Квантовая теория поля. Том 1 - Ициксон К., Зюбер Ж.-Б.

Author: Ициксон К. Зюбер Ж.-Б.
Tags: физика теория поля квантовая теория поля квантовая физика
Year: 1984
Similar
Введение в кинетическую теорию газов
Квантовая теория поля
Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 1
Нелинейные сигма-модели в квантовой теории поля и теории струн
Text
                    К. ИЦИКСОН
Жг Б. ЗЮБЕР
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ
ОЛЯ

CLAUDE ITZYKSON
and
JEAN-BERNARD ZUBER
Commissariat a I'Energie Atomique
Centre d'Etudes Nucleaires de Saclay
QUANTUM
FIELD THEORY
McGRAW-HILL
BOOK COMPANY
New York St.Lou is SanFrancisco Auckland Bogota Hamburg
Johannesburg London Madrid Mexico Montreal NewDelhi
Panama Paris Sao P.iulo Singapore Sydney Tokyo Toronto

к. ициксон
Жг Б. ЗЮБЕР
КВАНТОВАЯ
ЕОРИЯ
ОЛЯ
В 2-х томах
ТОМ I
Перевод с английского
под редакцией
Р. М. МИР-КАСИМОВА
Москва «Мир» 1984

ББК 22.31
И96
УДК 530.145
Ициксон К-, Зюбер Ж.-Б.
И96 Квантовая теория поля: Пер. с англ.—М.: Мир, 1984.—
448 с , ил.— Т 1,
Книга известных французских теоретиков К Ицнксона и Ж -Б Зюбера пред-
представляет собой современный курс квантовой теории поля, охватывающий как основ-
основные положения этой области физики, так н результаты, полученные в последнее
время В рус(ком переводе книга издается в двух томах В первом томе излагаются
основы квантовой теории поля Сюда входит теория свободных полей, квантование
полей, описание основных свойств симметрии, теория S матрицы, аналитические
свойства, расчет ряда электродинамических процессов и др
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших кур-
курсов, занимающихся проблемами квантовой теории поля и физикой элементарных
частиц
1704020000-314 ББК 22.31
И 041{01)-84 45~83' Ч- ' 530.1
Редакция литературы по физике
Клод Ициксон, Жан-Бернар Зюбер
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В двух томах
Том 1
Научный редактор А. Н Куксенко Мл научный редактор И. А Зиновьева
Художник Н И. Василевский. Художественный редактор Л Е Безрученков
Технический редактор Е С. Потапенкова Корректор Т И. Стифеева
ИБ № 3223
Сдано в набор 04 05 83 Подписано к печати 24 10.83
Формат бОХЭО'Ле Бумага типографская № J, Гарнитура латинская. Печать высокая.
Объем 14,0 бум. л Уел печ л 28,0. Ъсл кр -бтт 28,0. Уч -изд л 25,70 Изд №2/2047
Тираж 8000 экз Зак 1698 Цена 3 руб
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер , 2.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцо-
Образцовая типография имени А А Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торго! ли Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано с матриц в Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградскою объединения «Техническая книга» им Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном Комитете СССР по делам издательств, полигра-
полиграфии и книжной торговли 193144, г Ленинград, ул Моисеенко, 10 Зак, 26
Copyright © 1980 McGraw-Hill, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир»,
1984

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая монография является руководством по современной
квантовой теории поля Она охватывает большинство разделов этой
теории и, несомненно, будет полезной как для молодого поколения
физиков, которым она поможет ориентироваться в большом раз-
разнообразии новых направлений, так и для более опытных исследо-
исследователей. На русском языке книга издается е двух томах Первый
том (гл 1—7) содержит стандартный минимум сведений из теории
поля, начиная от квантования свободных полей и свойств симмет-
симметрии вплоть до описания радиационных поправок в электродина-
электродинамике. Второй том (гл. 8—13) посвящен более сложным проблемам.
Здесь рассматриваются такие вопросы, как теория перенормировок,
функциональные методы, теория неабелевых калибровочных полей,
алгебра токов, ренормализационная группа, динамика на световом
конусе и др. Изложение большинства вопросов сопровождается
примерами и задачами, которые помогают читателю быстро разо-
разобраться в сути дела.
Теория элементарных частиц и их взаимодействий при высоких
энергиях в последние полтора десятилетия развивается чрезвы-
чрезвычайно интенсивно Основными достижениями данного периода
являются создание единой теории слабого и электромагнитного взаи-
взаимодействий и динамической схемы, претендующей на роль силь-
сильных взаимодействий,— квантовой хромодинамики Этот прогресс
основан на лагранжевом подходе и связан с осознанием глубокой
роли калибровочной инвариантности, ее спонтанного нарушения и
условия перенормируемости. Теория также обогатилась новыми
методами, как возникшими а ее собственных рамках, так и при-
пришедшими из других областей,— статистической физики, физики
твердого ieia и др
Несомненно, ч^о охватить в одной книге все значительные
новые результаты квантовой теории поля —задача °есьма трудная.
Многие г ажные вопросы не вошли в настоящую книгу. Это ка-
касается гаких направлений, как аксиомашческий подход, попытки
объединения электрослабого взаимодействия с сильным, а также
с гравитационным взаимодействием, калибровочные теории на ре-
решетке, суперсимметрия, теоретико-полевые подходы, содержащие
фундаментальную длину и др.
Несколько слов следует сказать относительно библиографии.
Очевидно, что составление полной библиографии по квантовой тео-

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
рии поля является самостоятельной задачей, неразрешимой в рам-
рамках данной книги. Авторы и не пытались ее решить. При переводе
нами были добавлены некоторые ссылки на важные работы совет-
советских и зарубежных авторов, а также на обзоры и монографии,
которые могут стать полезным дополнением к книге. Читателю
рекомендуется также обращаться к обзорным статьям по кванто-
квантовой теории поля и физике элементарных частиц, публикуемым в
журналах «Физика элементарных частиц и атомного ядра» и «Ус-
«Успехи физических наук». Здесь можно найти статьи о современном,
состоянии всех важных проблем, затронутых в книге, а также
дальнейшие ссылки.
Авторы любезно прислали список опечаток, замеченных ими"
в английском издании книги Эти опечатки, вместе с опечатками,
обнаруженными переводчиками, исправлены в русском издании.
Перевод выполнили кандидаты физ.-мат. наук Владислав Дубо-
Дубовик (гл. 1—4), С. В. Зенкин (гл. 5—7, 11, 12), А. В. Радюшкин
(гл. 8—10, 13, приложение).
Р. М Мир-Касимов

ПРЕДИСЛОВИЕ
На протяжении многих лет квантовая теория поля является одним
из наиболее важных средств исследования микромира. В послед-
последнее время мы были свидетелями расцвета, вызванного новыми
идеями и приложениями, выходящими далеко за первоначальные
рамки этой теории.
Наша попытка дать педагогический обзор данного предмета осно-
основывается на лекциях, прочитанных в Орсё и Сакле. Впервые эти
лекции реализовались в виде записей на французском языке. Как
и любое начинание такого рода, данная книга в сильной степени
носит отпечаток наших предубеждений и пристрастий, хотя мы и
пытались достичь максимальной полноты изложения и соблюдать,
насколько это возможно, равновесие между формализмом теории
и примерами практических вычислений.
Настоящая книга адресована как студентам, так и исследова-
исследователям, работающим в области теории поля, физики частиц и в
смежных областях Предполагается, что читатель знаком с осно-
основами квантовой механики, электродинамики, специальной теорией
относительности, а также свободно владеет классическими разде-
разделами математики, включая теорию групп и теорию функций комп-
комплексной переменной Чтобы избежать односторонности изложения,
мы опирались на историческую перспективу и уделили одинаковое
внимание операторной формулировке, подходу, основанному на
функциях распространения, и более синтетическому методу кон-
континуального интегрирования. Однако наша книга никоим образом
не может претендовать на полноту изложения Не имея достаточно
места и сознавая свою некомпетентность, мы отказались от опи-
описания аксиоматического подхода и критических явлений в статис-
статистической механике. Нам не удалось рассмотреть здесь такие спе-
специальные вопросы, как подробный анализ группы Пуанкаре и ее
представлений, поля с высшими спинами, детальная структура
инфракрасных расходимостей, гравитационные взаимодействия,
двумерные модели и т. п.
Книгу можно разделить на две части Первые восемь глав охва~
тывают стандартные методы квантования в электродинамике.
К числу наиболее важных вопросов, рассматриваемых здесь, отно-
сятся перенормировки в рамках теории возмущений. Остальные
пять глав посвящены изложению функциональных методов, проб-
проблеме релятивистских связанных состояний, нарушенным симмет-

ПРЕДИСЛОВИЕ
риям, неабелевым калибровочным полям, асимптотическому пове-
поведению амплитуд.
Части текста, набранные петитом, содержат упражнения, ком-
комментарии и предложения. Мы сочли неуместным составлять отдель-
отдельный набор задач. Последними, как правило, завершается вывод
каких-либо соотношений, обобщений или приложений, и, следо-
следовательно, их более целесообразно связать непосредственно с основ-
основным текстом Это становится все более верным по мере того, как
мы достигаем более новых и содержательных разделов теории.
Для того чтобы наметить перспективу, указать источники, кото-
которыми мы пользовались, и материал для дальнейшего изучения,
каждая глава завершается разделом «Примечания», в которых
даются ссылки на литературу. Нет необходимости говорить, что
они ни в коей мере не претендуют на полноту. Заранее приносим
наши извинения всем, кто найдет, что его работы не освещены
в нашей монографии должным образом.
Мы обязаны в значительной степени многим превосходным руко-
руководствам по данному предмету. Невозможно было избежать неко-
некоторого перекрытия Это относится также к ряду обзорных статей
и лекционных записей. Надеемся, что читатель не будет слишком
страдать из-за нашего недостаточно совершенного английского
языка. В процессе перевода, несомненно, была утрачена четкость
стиля, присущего лишь тому, кто излагает свои мысли на родном
языке.
Вдохновляющая атмосфера Отдела теоретической физики в
Сакле существенным образом повлияла на развитие наших инте-
интересов в теории поля, и мы многим обязаны нашим друзьям и кол-
коллегам, с которыми работали прежде и продолжаем трудиться в
настоящее время Среди них наш учитель Р. Стора, который всегда
был для нас примером. Мы благодарны М. Бандеру, А Кэрроллу,
Г. Маху, Г. Паризи, Н. Салингаросу, В. Ганапатти, которые прочли
рукопись настоящей книги, а также студентам и физикам, заме-
заметившим опечатки, сделавшим замечания и предложения. Мы также
весьма признательны Т. Киносите, который любезно предоставил
нам свой обзор последних достижений квантовой электродинамики.
Наш замысел по написанию этой книги невозможно было бы осу-
осуществить без помощи нашей лаборатории. Мы благодарим прежде
всего Брижитт Бюнель, Даниель Лешатон и Жанин Ригу, кото-
которые вынесли всю тяжесть работы, связанной с печатанием руко-
рукописи. Выражаем благодарность Мадлен Порнеф, просмотревшей
предварительный вариант книги, и администрации Комиссариата
по атомной энергии за поддержку, способствовавшую выходу книги
в свет.
г-Саклё клод Ициксон,
маРт 1Э78 Жан-Бернар Зюбер

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Нам доставляет большое удовольствие представить советским чита-
читателям настоящий курс квантовой теории поля. Со своей стороны
мы с успехом использовали работы советских физиков.
За несколько лет, прошедших после первого издания наших
лекций, мы убедились в том, что методы теоретической физики
проявляют тенденцию ко все большему единству, когда идеи фи-
физики частиц и статистической физики применяются совместно.
Мы надеемся, что эти тенденции нашли отражение в данной книге,
которая позволит читателю проследить за бурным развитием
квантовой теории поля.
Одна из трудностей, которой мы опасались при подготовке
этой книги, к сожалению, действительно оказалась практически
непреодолимой. Речь идет о невозможности составить адекватную
библиографию для учебника такого объема. Поэтому мы снова
приносим свои извинения всем тем, чьи работы не процитированы
должным образом Увы, такие случаи многочисленны и, по-види-
по-видимому, это особенно касается работ советских физиков. Однако
мы воспользовались настоящим переводом, чтобы исправить неко-
некоторые опечатки и б>дем благодарны тем, кто обнаружит таковые
и сообщит нам о них.
Как бы то ни было, мы надеемся, что наша книга окажется
полезной и поможет новому поколению физиков оценить изящество
и мощь квантовой теории поля.
Мы очень признательны издательству «Мир», редактору пере-
перевода Р. Мир-Касимову, переводчикам, которые предоставили нам
возможность предложить вниманию читателей настоящий перевод.
Клод Ициксон,
Жан-Бернар Зюбер

ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА
Adler S., Dashen R. Current Algebras. — New York: Benjamin, 1968 [Имеется
перевод: Адлер С, Дашен Р. Алгебры токов и их применение в физике час-
- тиц.—М.: Мир, 1970.].
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука,
1969.
Alfaro V. de et al. Currents in Hadron Physics.— Amsterdam: North-Holland, 1973
[Имеется перевод: Де Альфаро и др. Токи в физике адронов.— М.: Мир,
- 1976.].
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская кван-
квантовая теория, ч. 1.—М.: Наука, 1968.
Бе резин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Науяа, 1964.
Bethe Н. A., Salpeter Е. E. Quantum Mechanics of One and Two Electron Atoms.—
Berlin: Springer-Verlag, 1957 [Имеется перевод: Бете Г., Солпитер Э. Кван-
Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами.— М.: Физматгиз, I960.].
Bjorken J. ?>., Drell S. D. Relativistic Quantum Mechanics and Relativistic
•* Quantum Fields.—New York- McGraw-Hill, 1964, 1965 [Имеется перевод:
Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория, т. 1, 2—
М.: Наука, 1978.].
Боголюбов Н. Н., ШирковД. В. Введение в теорию квантованных полей, 3-е изд,
переряб.— М.: Наука, 1976.
Eden R. ]., Landshoff P. V., Olive D. ]., Polkinghorne J. С The Analytic S-
Malrix.—Cambridge University Press, 1966.
Feyntnan R. P. Quantum Electrodynamics.— New York: Benjamin, 1973 [Имеется
перевод: ФейнманР. Квантовая электродинамика.— М.: Мир, 1964.].
Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals.—New York;
McGraw-Hill, 1965 [Имеется перевод: Фейчман Р., Хибс А. Квантовая меха-
механика и интегралы по траекториям.— М.: Мир, 1968.].
Getl-Mann M., Ne'eman Y. The Eightfold Way.—New York: Benjamin, 1964.
Hepp K. Theone de la Renormahsation.— Berlin: Springer-Verlag, 1969 [Имеется
перевод: Xenn К- Теория перенормировок.— М.: Наука, 1974.].
Jost R. The General Theory of Quantized Fields.—Providence, R. I.: AMS, 1965
[Имеется перевод: ЙостР. Общая теория квантованных полей.— М.: Мир
1967.].
Kallen Q. Quantum Electrodynamics.— Berlin.: Springer-Verlag, 1972.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.—М.: Наука, 1973.
Nakanishi N. Graph Theory and Feynman Integrals.—New York: Gordon and
Breach, 1970.
Quantum Electrodynamics/ed J. Schwinger.— New York: Dover, 1958.

ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА "Ц
SchwingerJ. Particles, Sources and Fields, vol. 1, 2.—Reading: Addison-Wesley,
1970 and 1973 [Имеется перевод: Швингер Ю. Частицы. Источники. Поля.—
М/ Мир, 1973.].
Streater R. F., Wightman A. S. PCT, Spin and Statistics and All That.—New
York: Benjamin, 1964 [Имеется перевод: Cmpumep P., Вайтман A. PCT,
спин, статистика и все такое.— М.: Наука, 1966.].
ThirringW. Principles of Quantum Electrodynamics.— New York: Academic
Press, 1958 [Имеется перевод: Тирринг В. Принципы квантовой электроди-
электродинамики.— М.: Высшая школа, 1964.].
Taylor J. С. Gauge Theories of Weak Interactions.—Cambridge University Press,
1976 [Имеется перевод: Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимо-
взаимодействий,—М.: Мир, 1978.].
Todorov I. Т. Analytic Properties of Feynman Diagrams in Quantum Field Theory,—
Oxford: Pergamon Press, 1971 [См. также: ТодоровИ. Т. Аналитические свой-
свойства диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля.—София: Изд-во Болгар-
Болгарской Академии Наук, 1966.].
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ. ПРИ ПЕРЕВОДЕ
БимньшйС. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана.— М.: Атомиз-
дат, 1971.
Боголюбов Н. Н. Избранные Труды по статистической физике.— М.: Изд-во
МГУ, 1979.
Боголюбов И. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического под-
подхода в квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.
Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперси-
дисперсионных соотношений.— М.: Физматгиз, 1958.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля.— М.: Наука, 1980.
Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статис-
статистике.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 3-е изд.—М.: Наука,
1976
Дирак П. А. М. Лекции по квантовой теории поля.—М.: Мир, 1971.
Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики.—М.: Наука, 1979.
ЕфимовГ.В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей.— М.: Наука,
1977.
Завьялов О. И. Перенормированные диаграммы Фейнмана.—М.: Наука, 1979.
Квантовая теория к&либровочных полей. Сб. статей. Пер. с англ. Под ред. Коноп-
левой Н. П.—М.: Мир, 1977.
Киржниц Д. А. Полевые методы теории многих частиц.— М.: Атомиздат, 1963.
Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состоя-
состояния квантовых систем.— М.: Наука, 1979.
Медведев Б. В. Начала теоретической физики.— М.: Наука, 1977.
Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц.—М.: Наука, 1972.
Общие принципы квантовой теории поля и их следствия. Сб. статей:/Под ред.

12 ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА
В.А.Мещерякова.— М.; Наука, 1977.
Окунь Л, $. Лептоны и кварки.—М.: Наука, 1981.
Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистиче-
статистической физике.— М.: Атомиздат, 1976.
Проблемы теоретической физики. Сборник, посвященный Н. Н. Боголюбову
в связи с его шестидесятилетием.—М.: Наука, 1969.
Проблемы теоретической физики.— Памяти И. Е. Тамма.— М.: Наука, 1972.
Главное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных
полей.—М.: Наука, 1978.
Тернов И. М., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Взаимодействие заряженных час-
частиц с сильным электромагнитным полем.— М.: Изд-во МГУ, 1982.
фок В. А. Работы по квантовой теории ноля.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Фундаментальные проблемы теоретической и математической физики./Под ред.
А. Л. Логунова,—Дубна: Изд-во ОИЯИ, 1979.
Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локаль-
локальной квантовой теории поля. Пер. с англ.— М.: Атомиздат, 1971.
Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории силь-
сильных взаимодействий при низких и средних энергиях.— М.: Наука, 1967.

Глава I
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
В настоящей главе мы рассмотрим лагранжев формализм в клас-
классической механике и его обобщение на системы с бесконечно боль-
большим числом степеней свободы, уделяя особое внимание симмет-
риям и законам сохранения в их локальной форме. Используя
как пример электродинамику, мы введем функции Грина и про-
пагаторы. Затем разберем простейшие задачи теории излучения
и завершим главу анализом противоречий в проблеме самодей-
самодействия. Поскольку в современных теоретических построениях ме-
методы классической теории поля играю г все возрастающую роль,
в последующих главах мы будем возвращаться к рассмотрению
этих методов.
1.1. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
1.1-1. Классическое движение
В классической механике уравнения движения следуют из прин-
принципа наименьшего действия. Если q— конечный набор конфигу-
конфигурационных переменных, q = \qv qit ..., qN\, a q — соответству-
соответствующие скорости в момент времени t, то действие определяется
следующим образом:
'«
l=\dtL[q(t\ д(Щ. A.1)
Функция Лагранжа L зависит от координат, скоростей, а в неко-
некоторых случаях также явно и от времени для незамкнутых систем,
т е. для систем, подверженных действию внешних сил. Принцип
наименьшего действия гласит, что среди всех траекторий q (t),
проходящих через точку qt в момент времени /, и точку q2 в мо-
момент времени t2, физическая траектория дает стационарное зна-
значение действия. Это стационарное значение является единственным
минимумом, если qv tv и q2> t2 достаточно близки друг к другу.
Поэтому действие следует рассматривать как функционал от всех
регулярных функций q (/), удовлетворяющих граничным условиям
</(^i):=<7i> Я (t2) = с/2- Ёсли Q @ — истинная траектория, то близ-

14 ГЛАВА 1
кая к ней траектория запишется как q(t) = Q(f)-j-6<jr(/). Разла-
Разлагая действие по степеням Sc/ в виде
и ...
I(q) = I(Q) + ^dt^L(QNq(t)+ ..., A.2)
и
принцип наименьшего действия можно записать следующим об-
образом:
^o. A.3)
Чтобы сравнить это выражение с уравнениями Эйлера—Лагранжа,
заметим, что, поскольку
^ = Q, A.4)
вариация действия A.1) записывается в виде
Интегрирование по частям последнего члена с учетом граничных
условий приводит к известному уравнению
dt
dq(t)
которое в случае нескольких степеней свободы рассматривается
как векторное. В простейших случаях величина L представляет
собой разность между кинетической энергией, квадратичной по
скоростям, и потенциальной энергией.
Уравнения не изменятся, если к величине L добавить полную
производную по времени, при этом действие изменится лишь за
счет вкладов, зависящих от граничных условий. Отсюда видно,
что функция Лагранжа не просто характерная величина, опреде-
определяющая движение, она является основой для более общего фор-
формализма, развитого, в частности, Картаном.
Гамильтонов формализм опирается на следующее определение
сопряженного импульса:
Pi = ^(q,q). A.6)
dqi
Допустим, что это уравнение можно обратить, т. е. выразить ско-
скорости через импульсы и координаты. Случай, когда якобиан этого
преобразования равен нулю, мы рассмотрим ниже. Функцию Га-
Гамильтона вводят о помощью преобразования Лежандра:
Н (Р, q) = Pfit {p, q)~L[q, q(p, q)\ A.7)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ t5
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Дифференцирование этого выражения дает
.Теперь, используя выражение для сопряженного импульса, нахо-
находим следующие уравнения:
' —— ' — — — п я\
В более общем случае вариация функции, заданной в фазовом про-
пространстве (т. е. в пространстве 2N переменных р, q), имеет вид
i
dt dt dpi dqi dq; dpi dt
Мы ввели здесь скобки Пуассона
Из A.9) следует, что функция^ не зависящая явно от времени и
такая, что ее скобка Пуассона; с Н равна нулю, является интег-
интегралом движения.
Замечательно то, что уравнения Гамильтона A.8) также оле-
дуют из принципа стационарного действия. Действительно, под-
подставим в A.1) выражение
L(q, q)dt = pdq — H(j}, q)dt;
тогда действие примет вид
и
I = \pdq—Hdt, A.11)
и
и его можно рассматривать как функционал от 2N независимых
функций q (t) и p(t). Предположим, как и выше, что без каких-
либо ограничений на p(tj и p(t2) справедливы равенства <7(^1)==7i»
Ч (^2)= <7г- Тогда будем иметь
Интегрируя по частям член p(d/dt)8q, получаем
6/ _ дН Ы _ дН
Ьр @ ~® dp' bq (t)~ P ~т~ dq '

ГЛАВА 1
Если положить 6/ = 0, мы снова получим уравнения A.8). Сле-
Следует заметить, что действие / можно также записать в виде
Следовательно, в действии / величины р и q играют аналогич-
аналогичную роль
Вычислим теперь действие / на стационарной траектории.
Предположим, что точка (q2, t-2) достаточно близка к {qlt 1г), т.е.
стационарная траектория между ними единственна, и будем обо-
обозначать действие через I [qs, t^, qit tt) или в более сокращенной
форме —через 1B, 1).
Случаи, когда за данный отрезок времени через две точки проходит не-
несколько траекторий являются не столь уж редкими. Например, в случае гар-
гармонического осциллятора через начало координат проходит бесконечно много
траекторий с интервалами во времени, равными полупериоду.
Нетрудно убедиться в справедливости выражения
в/(ft, hi дь У = (р2б92-//гб^)_(/0]б(?1-Я1б^), A.12)
а/ B.1) „ _ а/ B,1)
ГДв Р* — dq, ' г д!Г~'
Кроме того, если функция Лагранжа зависит явно от некоторого
параметра щ имеем
! fo '
Ж *t) = \dt ^ [a, Q (t, a), Q (t, а)]; <1.13)
здесь производная в правой части выражения отвечает явной за-
зависимости L от а. Чтобы показать, как можно применить этот
результат, добавим к функции Лагранжа член qF (t), который
приведет к появлению внешней силы F (t) в уравнениях движе-
движения. Действие становит«я функционалом от F (i), и из A.13) для
*i < t < t$ получаем
TFW=Q(t), 0-14)
где Q (t)—траектория в присутствии силы F (обе части этого
равенства можно вычислить также для F = 0). Из предыдущего
не следует, что это лучший способ решения уравнений движе-
движения, но он иллюстрирует метод производящих функций, с кото-
которыми мы будем часто вталкиваться в последующем изложении.
Раесмотрим, например, чаетицу в MaGGoft т., движущуюся вдоль прямой под
действием данной силы F (t). В этом случае функция Лагранжа равна
^ @. A15)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Л
Решение уравнения движения можно записать б виде
dt'G(t, t')FJQ, A.16)
от
где G (t, t')—функция Грина, симметричная по отношению к перестановке t
и ? и обращающаяся в нуль при<=^ и t=t2. Функция Грина удовлетворяет
уравнению
?<?(/, П=б</-О. A.17)
Здесь 6 (<—Г)—обобщенная функция Дирака (дельта-функцяя), производная
ступенчатой функции 9 (t—t'). Для G получаем выражение
&(t, tr)=-T-!-T[(t2-t)(t'-ti)e(t-t')+(ti-t')(t-t1)Q(t'-t)]. A.18)
Действие вдоль траектории записывается в виде
t,
+Ы) dt) *'f <0Q(<. *')F(t% A.19)
Мы видим, что траектория определяется функциональной производной по F.
Кроме того, полагая F=a=O, получаем
В качестве второго примера напомним, что дает этот формализм примени-
применительно к свободной релятивистской частице. Пусть х и v—соответственно ко-
координата и скорость частицы, обозначавшиеся до сих пор через q и q. Про-
Пространственно-временной интервал запишем в виде
A.21)
где т—собственное время вдоль траектории, 4т=A—v2/ca)x^2 4t = y-1 dt,
а с—скорость света. В 4-векторн'ых обозначениях
ж^ —<с*. х), ц-0, 1,2,3,
и
As2 = g^ Дат" Да:" = A% Дд-и,
причем метрический тензор, используемый для опускания и поднимания ло-
ренцевых индексов, имеет вид
1 0 0 0\
0 0 0 —1
Интервал As2 инвариантен относительно преобразований Пуанкаре, состоящих
из трансляции (а) и однородных преобразований Лоренца (Л):
§. A.22)

18 ГЛАВА 1
Любое однородное преобразование Лоренца может быть представлено в виде
произведения обычного вращения и частного преобразования Лоренца (или
буста) вдоль направления п
x'=x+n[(ch a— l)x-n—dsha], A.23)
ct' — ct ch а—n-xsh а,
где v = cthan—скорость движущейся системы отсчета. Четырехмерная ско-
скорость D-скорость)
представляет собой времени подобный вектор постоянной длины с. Его произ-
производная по собственному времени, dax't/dT2=afa^/rfx> ортогональна 4-вектору «^ и,
следовательно, пространственно-подобна. Для 4-импульса свободной частицы
выполняются соотношения:
, pW - т -(с, v),
?2 A.25)
р2==т2с2==__р2.
Заметим, что p = ?V/c2 Найдем теперь соответствующую функцию Лагранжа,
предполагая 1) действие релятивистски-инпариашным и 2) L, зависящим лишь
от первых производных по координатам. Разумеется, последнее требование
заимствовано из нерелятивистской механики и означает, что для описания
движения достаточно знать координаты и скорость. Это требование в более
общих случаях может быть ослаблено, чтобы удовлетворить условию конеч-
конечности скорости распространения сигналов в релятивистской 1еории. В случае
свободной частицы независимость от выбора начала отсчета пространственных
и временных координат приводит к тому, что L может зависеть только от
первых производных и что в пределе | vj^c мы получаем Z, = (l/2) mv2 с точ-
точностью до полной производное по времени.
Ясно, что выражение L — ads/dt удовлетворяет требованиям 1) и 2),
причем постоянная а определяется нерелятивистским пределом. Таким обра-
образом, мы имеем
0.26)
U
Формулы для импульса и энергии следуют из общих выражений
dL mv „ , тс*
П = C=p-V — /. = ¦
"v jA 1 - v2/c2 Y1 — v2/c2
и согласуются, безусловно, с A.25). Уравнение свободного движения записы-
записывается в виде dp/dt = Q, так что обобщенная сила f^^dp^/dx в нем равна
нулю. Действие на траектории
/ B, l) = -mc fa-sd^-m* [с2 (f.-fiP-fa-xi)»]1'1
является лоренцевым скаляром. Стандартные соотношения
д! B, 1) р д! B, 1)
=Е==Е ^=Р=р

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
означают, что релятивистский импульс —01/дх =р'г представляет собой
4-вектор.
Можно использовать и другую форму записи действия, а именно
где т—вообще говоря, произвольный параметр на траектории. Из уравнения
движения md~xil/dt2 = 0, полученного из требования стационарности дейст-
действия /, следует, что т пропорционально собственному времени и может быть
выбрано таким образэм, чтобы ui = (dx/dxJ = c2. В последующем изложении,
за исключением особо оговоренных случаев, мы будем полагать с= 1
Одно из достоинств формализма Лагранжа — Гамильтона со-
состоит в том, что он допускает широкий класс преобразований,
Оставляющих структуру уравнений движения инвариантной. Эти
'преобразования выходят за рамки простой замены параметриза-
параметризации конфигурационного пространства, поскольку они смешивают
координаты и импульсы. Преобразование (р, q)<r^(p', q') (воз-
(возможно, зависящее от времени) является каноническим, если су-
существует функция Н' от р', q' (и, возможно, от t) такая, что
в новых переменных уравнения движения имеют прежний вид:
v дН< -, дН'
q ~w р —w
(здесь, как и выше, индексы опущены). Достаточное условие для
выполнения этого свойства следует из принципа наименьшего
действия. Мы требуем, чтобы дифференциальные формы р' dq'—Н' dt
и pdq—Нdt отличались не более, чем на полный дифференциал.
В свою очередь это означает равенство внешних производных от
этих форм:
2dpi A dq,—dH Adt = %dpiA dqi — dH' Д dt. A.28)
i i
Данное условие подразумевает, что скобки Пуассона от функ-
функций, заданных в фазовом пространстве в переменных (q, p), равны
скобкам Пуассона в новых переменных (q', р'):
Oidqt dqt dpi
Из A.28) можно также вывести уравнения для Я', которые в силу
A.29) образуют интегрируемую систему:
ол V "^ Г орь ( oti до ь \ . ооь I oH oVb\ \
др\ ъ I др\ \dPk dt J dp'(\dqk dt /j'
ан' /ан / (li3°)
~&i'i~ k \-d~7i \<%Ь~~Ы ) dqt \дЯ~ь ~di~)y

20- глава l
Рассматривая A.29) и A.30), замечаем, что типичным примером
канонического преобразования является решение уравнений дви-
движения, в которых (q', р') соответствуют начальным данным в мо-
момент времени t0, a (q, р)— положению в фазовом пространстве
8 момент времени /. Очевидно, что в этом случае Я'=0 и что
скобки Пуассона остаются инвариантными.
Предположим, что Н не зависит от времени IN функций q',
р', выраженные через q, p и t являются константами движения.
Исключая t, получаем 2N—1 (локальных) констант движения.
Лишь небольшое их число можно рассматривать как функции,
хорошо определенные во всем фазовом пространстве Т орема
Пуанкаре утверждает, что последние связаны с симметриями дви-
движения
Разумеется, канонические преобразования не ограничиваются
решениями уравнений движения Их множество образует беско-
бесконечную группу В заключение заметим, что рассматривая соот-
соотношения A 28) при фиксированном времени и беря N-ю внешнюю
степень обеих частей, можно показать, что канонические преоб-
преобразования сохраняют меру Utdp, /\ dqt фазового пространства;
это есть не что иное, как теорема Лиувнлля.
1.1.2. Электромагнитное поле как бесконечная
динамическая система
Системы с бесконечно большим числом степеней свободы хорошо
известны в механике жидкостей и газов, электродинамике, физике
твердого тела и т п Мы обсудим здесь, как можно обобщить
лагранжев формализм па случай электромагнитного поля.
Чтобы получить функцию Лагранжа, будем исходить из урав-
уравнений поля в присутствии фиксированных внешних источников.
Мы используем систему единиц Хевисайда (в которой закон Ку-
Кулона записывается в виде QQ'/4nr2) и полагаем с=1. Запишем
уравнения Максвелла в терминах напряженности электрического
поля Е, магнитной индукции В, плотностей заряда и тока р и j:
1) divE = p, 3) divB = 0,
2>rotB-f = i, 4)rotE+|Uo. <L31)
Локальный закон сохранения заряда запишется в виде
| + divj = O. A.32)
Напомним физическую интерпретацию этих уравнений, записан-
записанных в интегральной форме
1) \ E-dS= J pd*r, поток вектора Е через замкнутую поверхность

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 21
равен полному заряду, находящемуся внутри объема, ограничен-
ограниченного этой поверхностью (закон ГауссаI).
2) Ф В dx = Г (j -j- -^г I d$>\ циркуляция вектора магнитной индук*
с ^ I
ции В вдоль замкнутой кривой С, являющейся границей поверх-
поверхности S, равна потоку через S суммы обычного тока и тока сме-
смещения Максвелла (dE/dt).
3) J В dS = 0; поток вектора В через замкнутую поверхность
равен нулю, что означает отсутствие магнитных зарядов (моно-
полей)
п Гк ЛО
4) —ф Е dx= \ dS -~г ; изменяющийся магнитный поток порождает
С S
электродвижущую силу (закон индукции Фарадея).
Удобно использовать компактные обозначения, которые отра-
отражают релятивистские ковариантные свойства векторных, тензор-;
ных и т. д. полей. Считая, что греческие индексы пробегают
значения от 0 до 3, можно ввести следующие обозначения2):
'О —Е1 —Е2 ~Е3^
?i о — В* В*
^?3 __g2 gl О
Производные будем сокращенно записывать как д/дх'л ^д^. Опре-
Определим также антисимметричный символ Леви-Чивиты е^р°, рав-
равный 1 или —1 в зависимости от того, является (\it v, p, а) четной
или нечетной перестановкой чисел @, 1, 2, 3), и равный нулю
в остальных случаях. Заметим, что 8^ро = — gu-vpo_ Этот символ
используется для преобразования антисимметричного тензора
в дуальный, например:
/°
 Рра=\ g2 рз п Pi г Vе
\В3
*) В отечественной литературе это соотношение принято называть теоре-
мей Остроградского—Гаусса—Прим. ред
2) Соответствующие величины с нижними индексами имеют вид
— Прим. ред.

22 ГЛАВА Г
Иными словами, F получается из F заменой Е-~>-В, В—>- —
справедливо и обратное соотношение
При преобразованиях Лоренца F и F преобразуются как анти-
антисимметричные тензоры. В частности, если выполнить однородное
преобразование Лоренца по формуле A.23), то получим (с=1)
где n = v/|v|.
Такая явная запись не всегда удобна. Например, чтобы найти
релятивистские инварианты, построенные из Е и В, проще вос-
воспользоваться тензорными обозначениями и убедиться в том, что
они могут быть комбинациями лишь следующих величин:
-F^ /^ = 2(ЕВ),
_4E-B.
Приведем также тождества:
Используя эти обозначения и эйнштейновское соглашение о сум-
суммировании по немым индексам, уравнения Максвелла можно за-
записать в компактном виде:
d^pnv = /vf g^y = о. A.37а, б)
При этом закон сохранения тока выступает как естественное
условие совместности:
д^ = 0. A.38)
Чтобы продвинуться дальше, нам нужно отождествить простран-
пространственную координату х с индексом i, обозначающим различные
степени свободы, причем это соответствие должно быть таким,
чтобы 2 —* ^ d3x. Однако, если рассматривать Е(х, t) и В (х, t)
как конфигурационные переменные, мы сразу же натолкнемся
на затруднение, поскольку в уравнения Максвелла входят про-
производные только первого порядка по времени. Кроме того,

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 23
в этой формулировке не проявляется в явном виде лоренц-инва-
риантность.
Чтобы, преодолеть эти трудности, преобразуем сначала наши
уравнения в эквивалентные уравнения второго порядка. Это
осуществляется с помощью 4-потенциала Л*\ который позволяет
представить F^ в виде
Fw = d»A'—d*A», A.39)
тождественно удовлетворяющем системе однородных уравнений
(!.37б). При этом напряженность электрического поля Е и маг-
магнитная индукция В выражаются через Ац следующим образом:
Е^ — уА°-^, B = rotA.
Это, вообще говоря, локальные соотношения для частногб
решения в окрестности точки, выбранной за начало координат,
причем частное решение записывается в виде
Однако такой потенциал не определяется единственным образом
соотношением A.39) Его можно преобразовать, добавляя 4-гра-
диент. Это преобразование называется калибровочным:
А»(х)-*А»{х) + д»ф. A.40)
В случае регулярных полей, удовлетворяющих уравнениям
A.37), потенциал Лд (х) можно фактически определить во всем
пространстве-времени, что приводит к эквивалентной форме урав-
уравнений Максвелла:
ПА»—d»(dvAv) = j>lt A.41)
где ? —оператор Д'Аламбера (даламбертиан), ?=дмд(*==
===(д/<9/J— Д. Очевидно, что при калибровочном преобразовании
вид уравнения A.41) не меняется. В электродинамике калибро-
калибровочный произвол иногда оказывается досадной помехой, в иных
же случаях он является глубоким и плодотворным принципом.
•Адекватный выбор калибровки можег привести к существенным
упрощениям, хотя при этом возможно нарушение явной реляти-
релятивистской ковариантности.
Наша первая цель достигнута в том смысле, что мы теперь
имеем уравнения второго порядка Однако компактные обозначе-
обозначения могут ввести в заблуждение. Поэтому более внимательно
рассмотрим эти уравнения, которые в явном виде записываются

24 ГЛАВА 1
следующим образом:
При некоторых условиях, фиксирующих калибровку, таких, как
divA = 0 (кулоновская калибровка), производная по времени
в первом из этих уравнений отсутствует (уравнение Пуассона).
Это уравнение играет роль связи. При этом можно найти реше-
решение для А°:
4я |х-х'| *
Векторный потенциал теперь дается выражением
4я |х—х'| *
Вследствие закона сохранения тока дивергенция правой части
равна нулю.
Рассмотренный выбор калибровки иногда применяют для того,
чтобы получить лагранжев формализм как первый шаг к кванто-
квантованию Он имеет очевидный недостаток — явное нарушение кова-
ковариантности. Тем не менее лежащая в его основе физическая
картина, соответствующая исключению некоторых лишних степе-
степеней свободы, может быть привлекательной в отдельных случаях,
например в задаче на связанные состояния
Однако нам нужно написать действие, используя функцию
Лагранжа, обеспечивающую локальный характер теории. Поэтому
мы не будем применять эту калибровку с ее мгновенно действую-
действующим кулоновским потенциалом Локальность — глубоко укоре-
укоренившийся физический принцип, происходящий из формализма
теории поля, созданного в XIX веке. Этот принцип лежит
в основе большинства достижений релятивистской теории поля;
его справедливость подтверждена вплоть до очень малых прост-
пространственно-временных интервалов (например, с помощью диспер-
дисперсионных соотношений) и пока не вызывает сомнений.
Следовательно, функция Лагранжа должна выражаться в виде
пространственного интеграла от плотности, называемой лагран-
лагранжианом S? (х), который в свою очередь зависит лишь от полей
и их производных конечного порядка В действительности мы не
требуем, чтобы *ти поля были непосредственно измеримыми вели-
величинами; это очевидным образом относится к зависящему от
калибровки потенциалу Лц. Однако локально измеримые вели-
величины должны выражатьая через локальные комбинации динамц-

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 25
ческих переменных. Напишем интеграл
). A.42)
В большинстве случаев будем рассматривать этот интеграл, не
уточняя пределы интегрирования. Предположим, что интегриро-
интегрирование распространено на все пространство и что поля исчезают
достаточно быстро на бесконечности, чтобы было оправдано
интегрирование по частям.
Предположим также, что А*(х) преобразуется как 4-вектор-
ное поле, а лагранжиан—как скалярная плотность; тогда дейст-
действие будет лоренц-инвариантным Кроме того, потребуем, чтобы
величина $ зависела только от полей и их первых производных
и при калибровочном преобразовании A.40) к ней могла доба-
добавиться самое большее дивергенция. Эт(. является естественным
обобщением аналогичного свойства функции Лагранжа и обеспе-
обеспечивает калибровочную инвариантность уравнений движения.
Вообще говоря, если лагранжиан зависит от полей ф,- (х) и
их градиентов д^у^х), то при бесконечно малой вариации полей
бфДх) изменение действия дается выражением
A.43)
Требование стадионарности действия приводит к обобщенным
уравнениям Эйлера—Лагранжа
б/ _дХ(х) д дХ(х) Q ,144
В соответствии с принятыми выше правилами мы должны выбрать
коэффициенты а, Ь, с, d и е в лагранжиане
таким образом, чтобы уравнения A.44) совпадали о A.41). Простое
вычисление дает с точностью до общего множителя
2 (х) = - 4 F^F^-I^+y Ид^Г-д^АЪуА*].
Здесь F^ используется как сокращенная запись связи электро-
электромагнитного тензора с потенциалом. Коэффициент с остается произ-
произвольным. Он умножается, как и ожидалось, на дивергенцию:
д„А ЧЛМ - ам [А? ^дрАе

26 ГЛАВА 1
Следовательно, этот член может быть опущен, и мы приходим
к выражению для действия
В присутствии внешнего тока этот лагранжиан не является
калибровочно инвариантным. При калибровочном преобразовании
A.40) к нему добавляется выражение, которое в силу закона
сохранения тока является дивергенцией:
Это объясняет инвариантность уравнений Максвелла. Мы заклю-
заключаем, что сохранение тока является необходимым и достаточным
условием калибровочной инвариантности теории
Поскольку этот вопрос крайне важен в квантовом случае,
интересно рассмотреть его с другой точки зрения. До сих пор
мы не ограничивали произвол в выборе величин Лм. Структура
уравнения A.41) такова, что наиболее естественно использовать
условие Лоренца
д»А»(х) = Ъ, A.46)
с учетом которого уравнение A.41) принимает вид
[ZMM = /ti. A-47)
Данное уравнение совместно с A.46). Калибровочный произвол
теперь сильно ограничен, поскольку в этом случае допускаются
лишь такие преобразования Л^1—>-А^-\-д^Ф, для которых
; ., ПФ=-0. A.48)
Условие Лоренца может быть включено в формализм с по-
помощью множителя Лагранжа %, если добавить в действие член
]>1
При этом уравнения Максвелла изменятся и запишутся в виде
аА» + $,-\)д„д-А = р. A.49)
Беря дивергенцию от обеих частей, видим, что при К=^=0
? Мд = °-- A.50)
Таким образом, если ддЛн обращается в нуль при больших |/|,
то этот член равен нулю для всех моментов времени и, следо-
следовательно, уравнение A.49) эквивалентно уравнениям Максвелла
в' калибровке Лоренца.
Просуммируем логические связи:

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 27
1. J? = — A/4) Р—j-A. Калибровочная инвариантность ч->
закон сохранения тока. Принцип наименьшего действия —* урав-
уравнения Максвелла.
2. ?> = — (]/4)F2 + (l/2)X(d-A)*—j-A и <?./ = 0. Принцип на-
наименьшего действия —+ П dilAtl = 0. Граничные условия —-»¦ ка-
калибровка Лоренца—»-уравнения Максвелла.
Несложный анализ позволяет запомнить знаки в A.45). «Кинетические»
члены в (dA/dtJ входят с коэффициентом +1/2. Кроме того, поскольку р°Л°
есть потенциальная энергия, она должна входить со знаком минус. Осталь-
Остальное следует из лоренц-инвариантности. Заметим также то, что в естественной
системе единиц \<зРж(Е3/2) представляет собой энергию и, следовательно,
d4x (E2/2) действительно имеет размерность действия: энергия X время.
\
1.1.3. Электромагнитное взаимодействие
точечной частицы
Четыре-вектор тока заряженной точечной частицы локали-
локализуется на ее пространственно-временной траектории хп(х). Следо-
Следовательно,
/(г(У.О = ^^[у_х(т)]|< = хО№=ерт^б*[у-х(т)]; A.51)
здесь е—сохраняющийся заряд (\d3yj"(t, y)=e). Ток р, как
следует из A.51), удовлетворяет уравнению непрерывности 5(г/>=0.
Для объединенной системы частицы и поля мы просто склады-
складываем действия:
— e J dx^ A» [x (t)]—rn J ds =
= f dH&ш (x) + [dt (— mV~T^v~2+e\-v — eA°). A.52)
Любая заряженная частица является источником и, следова
тельно, изменяет окружающее ее поле. В первом приближении
мы пренебрежем этим эффектом и будем полагать, что Лд опре-
определяется внешними условиями. Это позволит нам опустить вклад
J?9M в A 52). Заметим, что в данном случае мы принимаем точку
зрения, противоположную той, которой следовали в начале
нашего обсуждения Реальные связанные системы, будь го в клас-
классической или в квантовой механике, очевидно, трудны для изу-
изучения Более практично начать исследование с упрощенных мо-
моделей, а потом уже переходить к более реалистическим моделям.
В разд. 1.3.2 мы кратко рассмотрим классическую связанную

28 ГЛАВА 1
систему. Таким образом, мы подошли к изучению движения
частицы под действием данного внешнего поля. В этом случае
функция Лагранжа имеет вид
L = — mVl— v2 + e(A-v—A°). A.53)
Отсюда следует, что сопряженный импульс р отличается от
импульса свободной частицы mv/Kl—v3, поскольку
Функция Гамильтона имеет вид
при этом уравнение движения (dldt) (дЬ/дУ)=*дЬ/д%. принимает вид
4 gL-~-g^-eVi4« + gvxrotA = g(E + vxB). A.56)
Правая Часть этого выражения есть не что иное, как сила
Лоренца. Наконец, изменение энергии $ со временем равно
dt
О-57)
Это Хорошо известный результат, выражающий тот факт, что
только электрические поля совершают работу. Уравнений A.56)
и A.57) можно записать в более компактном виде
~
A.58)
где «^ = dxM'/dt—четыре-вектор скорости.
Читатель может убедиться, что применение вариационного
принципа к действию / = —уйхт(и?/Щ — ^еА dx приводит непо-
непосредственно к A.58).
Рассмотрим три простых примера:
1 Движение в постоянном однородном поле
Пусть Fpiv не зависит от х. Уравнения A.56) и A 57) сразу дают
Мы можем также непосредственно решить ковариантное уравнение (I 58)
в матричной форме

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 29
Наконец, пйучительйо использовать спинорное йредставлениё. Сопоставим
4-вектору « матрицу 2x2:
u = ue/+u-a,
где a—матрицы Паули. Используя тождество о ао-Ь = (а-b) 1-{-1<а-(я х Ь),
перепишем A.58) в виде
d e /Е-М'В . Е —?"В
Отсюда следует, что
Е—«В
Если п обозначает комплексный 3-вектор E-f-'B и а — (е/$т) (п2I/2, мы
получим
^— (E + t'B)-a =ch (ax) /—j—sh (at) п-.
В системе отсчета, в которой н@) = /, а *@) = 0, и в том случав, когда
Е'В = 0, т. е. параметр а веществен, мы получаем следующие решения:
и (т) = [ch* (ar)+bh2 (ax)
+ \ 2 sh (йт) ch (at) -^T72+2 sh* (дт) ^^1 ¦ a,
chBat)—1 Е shBQT)-2uTE X В
2а (п2)'/2 2a n2
В предельном случае, когда п2 = 0, т. е. Е-В = 0, Е2—В2 = 0, мы находим
Заметим, что скорость нарастает быстрее в направлении Е X В. Если Е-В
равно нулю, но Е2 — В2 т= 0, го мы фактически можем определить систему,
в которой либо Е, либо В равно нулю Если Е = 0, то частица движется по
винтовой линии, ось которой параллельна вектору В, с постоянной угловой
скоростью о) = (еВ/т) V~\ — v2. Если В равно нулю и v0 E=0, то траектория
представляет собой «цепн\ю» линию в плоскости (v0, E) с вогнутостью
в направлении еЕ (в нерелятивистском пределе эта цепная линия сводится
к параболе) (рис 1.1)
2 Гиромагнитное отношение Прецессия Томаса. Уравнение Барёманна —
Мишеля — Телегди
В рассматриваемой классической картине введем понятия собственного
магнитного момента и гиромагнитного отношения. С точки зрения последова-
последовательной теории это противоречивые понятия Мы будем трактовать их просто
как полезный предельный случай полного квантового рассмотрения
Напомним, что элементарная пегля с током эквивалентна магнитному
моменту dn = idZ, где i—ток, а d"Z = ndl — вектор, нормальный к плоскости

30
ГЛАВА 1
петли и по величине равный ее площади. Если ток обусловлен движением
нерелятивистского заряда по орбите, т. е. i = ev/2nr, то магнитный момент
дается выражением
ji = (e/2m)L, A.62)
где L = r X р—орбитальный момент. Соответственно в случае однородной
внешней магнитной индукции В часть функции Лагранжа, отвечающую
а б
РИС. 1.1. Движение в постоянном однородном поле, а—Е = 0; б—В=0;
E-v =0.
взаимодействию, можно записать в виде
о
A.63)
Из выражения для силы Лоренца
A.64)
следует, что как угловой, так и магнитный моменты прецессируют вокруг на-
направления магнитного поля с классической ларморовой частотой co = efi/2m.
В 1926 г. Уленбек и Гаудсмит для описания зеемановского расщепления
ввели понятия спина электрона (собственного углового момента) и магнитного
момента n = g (e/2m)S (|S| = &/2; в современной терминологии спин 1/2) и g
(приведенное гиромагнитное отношение), равное 2. К сожалению, это значение
g = 2 приводило к тому, что величина спин-орбитальной связи для электрона,
движущегося в поле центрального потенциала, оказывалась в два раза больше
значения, которое следовало из тонкой структуры спектра атома водорода.
Предположим, что в системе покоя электрона
dS - A.65)
Если Е и В — поля в лабораторной системе координат, где электрон имеет
скорость v, то из A.35) следует ВПОК = В — vxE-f-O (у2). Следовательно, в при-
приближении малых скоростей энергию магнитного взаимодействия спина можно
записать в виде
{/' = — ц(В — vXE). A.66)
Если принять, что электрическое поле атомного ядра определяется сфериче-
сферическим средним потенциала, т. е.
* — ¦=•?. 0.67)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 31
то для энергии U' получаем следующее выражение:
?/' = -§! S.B+#-2S.L-L^. A.68)
2т ' 2/л2 г dr v '
Имеющаяся здесь неточность обусловлена, как впервые было показано
Томасом, некорректным применением преобразований Лоренца к вращательному
движению. Иными словами, при преобразовании Лоренца мы от лабораторной
инерциальной системы переходим в систему, вращающуюся с угловой скоро-
скоростью <Лх, так что правильное выражение для энергии должно иметь вид
U = U' — Se>r. A.69)
Это типично релятивистский эффект, который можно получить, рассматривая
произведение двух однородных преобразований Лоренца, отвечающих скоро-
скоростям — v и v-(-6v Здесь ov —v6^. Как любое преобразование Лоренца, это
произведение можно разложить на частное преобразование Лоренца, отвечаю-
отвечающее скорости Ду и задаваемое формулой
Av=—¦=== ov + I
Ai2 [
—I v—у-
в трехмерное вращение
/ ' ,\v><6v
В рассматриваемом случае
г dV L 1 dV
mr dr 2m2 r dr
l^ ( '
Если g=2, то этот эффект действительно уменьшает наполовину спин-орби-
спин-орбитальную связь, что согласуется с наблюдениями. Теория Дирака (см. гл. 2)
приводит естественным образом к этому значению g для электрона и мюона.
Однако в случае других частиц со спином 1/2, таких, как протон (g = 5,59)
или нейтрон (g= — 3,83), в силу наличия внутренней структуры значения g
существенно отличаются от 2.
Рассмотрим снова движение частицы со спином в постоянном магнитном
поле при малых скоростях. Скорость прецессирует с' угловой частотой еВ/т,
в то время как для спина соответствующая частота равна geB/2m. Следова-
Следовательно, относительная фаза за период равна 2л (g/2—[)еВ/т. Баргманн, Ми-
Мишель, Телегди получили релятивистское описание классического движения
спина для случая медленно меняющихся внешних полей.
Будем обозначать в системе покоя частицы спиновые степени свободы 3-
вектором S В ковариантных обозначениях это просгранственно-подобный 4-век-
тор S^, ортогональный скорости №. Нам нужно обобщить уравнение dS/dt =
= g(e/2m) SXВ, справедливое в системе покоя, в которой 5^=@, S). Чтобы
не нарушалось условие Su = 0, необходимо, чтобы выполнялось соотношение
S-u-\-S-ы = 0, где точки обозначают производные по собственному времени.
В мгновенной системе покоя имеем и = A, 0); следовательно, S° = S-u и S**=
[ (?)
Чтобы записать это в произвольной системе координат, заметим, что FvvSv
сводится к (E-S, SxB) в системе покоя. ГТоэтому искомое уравнение имеет вид
>= f Tn f|i-vS*+-? (|— 1) и» (S*F afiufi). A.71)

Щ ГЛАВА 1
Отсюда ясно, что если g = 2, то 5 и и жестко связаны. В случае g ф 2 такое
утверждение не справедливо. Таким образом, мы нашли метод, который по-
позволяет измерять магнитную аномалию частицы g/2—1.
Определим в лабораторной системе с временной осью ?=A, 0) 4-вектор
L, такой, что L направлен вдоль и и L-u — О, т. е. L = (ueh(p—?)/sh<p,ohqp=
= «.? = «". Далее, пусть М—единичный четыре-вектор в плоскости (S, L),
Я
а 6
РИС. 1.2. а—система покоя частицы со спином S; б—движение в магнитном
поле.
ортогональный и и L. Положим S — L cos9+Af sin 9 (рис. 1.2). Ив выраже-
выражения A.71) находим уравнение движения для 8.
S = e<—I sin 9+/W cos 9)+? со*е-|-Л1 sin 9 —
-iy(L.F-ucosa+
A.72)
Записывая скалярное произведен ив в М и используя увловив Z.-At = a-L=
= а-Л1=0, получаем
2 от
Соотношение М¦ L = cth фи• М = (е/т) QthcpM-F-u нривоаит и
A.73)
иди в явном виде
В случае чисто магнитного поля в чаетицы, вращающейся по круговой орбите
с (собственной) ларморовой частотой <о=еВ/т, смешанное произведение (МВ)
оказывается равным shqpB. Таким образом,
а— ев?= (——1 ]

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 33
За период Дт = 2я/ш получаем приращение
Д« (период =(f-lJnch? = (|— l)*^. A.75)
3. Движение в поле плоской волны
Наконец, мы изучим движение заряженной бесспиновой частицы в элек-
электромагнитном поле плоской волны, которую для простоты будем считать ли-
линейно-поляризованной. Волна характеризуется изотропным направляющим век-
вектором Ф и поляризацией в*-1. Эти два вектора таковы, что
П2 = 8-Л = 0, 82 = — 1. A.76)
Потенциал зависит от произвольной функции переменной % = n-x:
/И»(*) = ес/(|). A.77)
Из A.76) следует, что д- А = О, а тензор электромагнитного поля
Fv^{x) = (яив*—nveii) /' (?) A.78)
удовлетворяет соотношениям
Следовательно, |Е| = |В| и Е-В = 0. Поскольку «M,Ftlv=/ifi,f1iAv = O, классиче-
классическое уравнение Лоренца
m^^eFV-vU? A.79)
приводит к соотношению u-n = const. Выбирая координаты таким образом,
чтобы при т = 0 мы имели *@) = 0, можно написать
В уравнении A.79) вместо т можно использовать переменную |; тогда это
уравнение запишется в виде
d$ т ' кы [ п-м(О)
Умножая обе части на е и интегрируя, приходим к выражению
которое можно подставить в правую часть последнего уравнения, В результате
получаем
! {
Интегрируя, имеем
ir U AL@I [^|]2^
A.81)

34 ГЛАВА 1
Предполагая, что волна затухает при больших |, находим
Заметим, что здесь имеют место нелинейные эффекты (члены /2).
В случае плоской монохроматической волны, например имеющей вид
jf{g)=flisinf, можно непосредственно вычислить хЧ:
A.83)
Действие записывается в виде
х
) = —Г сгт'
о
I
= - т%~1^Щ \ dl> f I /
Л()j A.84)
о
В последнем выражении мы использовали величину и (оо), определяемую фор-
формулой A.82), в предположении, что /{i) на бесконечности обращается в нуль
(напомним, что п-и сохраняете!)). Из A.84) можно получить сопряженный им-
импульс в виде
Имеет смысл определить средние значения некоторых потенциалов таким об-
образом, чтобы /4 = 0 [например, если f (|) = e~Ti! 11 g (g), где g—периодическая
функция, а Т)—>-0]. Тогда из A.85) получаем
S2 = OT2_g2^2==m2_|_e2 | Д2 | = т2эфф. A,86)
При интерпретации полученной формулы необходимо соблюдать осторожность,
поскольку мы имеем дело с анизотропным случаем вследствие того, что волна
плоская. Однако из формулы A.86) следует, что частица в сильном периоди-
периодическом поле будет реагировать на внешние возмущения с большей инерцией.
Линейные ускорители дают типичные примеры такого движения электро-
электронов в распространяющейся волне.
1.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
1.2.1. Фундаментальные инварианты
Рассмотрим снова системы с конечным числом степеней свободы.
'Главная задача, разумеется, состоит в том, чтобы решить уравне-
уравнения движения с соответствующими граничными условиями. Общие

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 35
свойства движения, такие, как симметрии, являются полезными, по-
поскольку они упрощают вычисления. Их можно использовать также
для того, чтобы сузить класс динамических моделей. Примеры этого
типа уже рассматривались нами в случае лоренц-инвариантности.
Симметрии могут играть двоякую роль. С одной стороны, они
позволяют получать семейства решений из одного данного реше-
решения, если некоторые преобразования сохраняют динамические
уравнения инвариантными. С другой стороны, они приводят
к сохранению таких величин, как заряд, энергия, импульс и т. п.
Глубокая связь между ^тими двумя аспектами и составляет пред-
предмет настоящего рассмотрения Мы начнем с очень простого при-
примера. Нерелятивистская точечная частица движется в силовом
поле, создаваемым не зависящим от времени потенциалом Поло-
Положение частицы и ее скорость в момент времени t, отвечающие
начальным условиям, заданным в нулевой момент времени, будут
те же, что и в момент времени t-\-x, если такие же начальные
условия мы зададим в момент времени т. Задача инвариантна от-
относительно временных трансляций Мы также знаем, что в этом
случае энергия (т. е. значение функции Гамильтона) сохраняется.
Посмотрим, как связаны оба этих свойства В фазовом простран-
пространстве изменение любой функции во время движения описывается
уравнением
± = 1 + 1Н П
dt dt ti"» l<-
Инвариантность по отношению к временным трансляциям эквива-
лентна утверждению, что dH/dt=O. Поскольку при этом выпол-
выполняется соотношение {Н, #} = 0, мы действительно получаем
° <L87>
и энергия сохраняется. Этого простого замечания достаточно,
например, чтобы явно описать движение, если частица вынуждена
двигаться в одном измерении
С другой стороны, рассмотрим действие, вычисляемое на ста-
стационарной траектории, проходящей от точки (дг, ^) к точке (q2, t2).
Инвариантность по отношению к временным трансляциям означает,
что
qv t, + т) = / (qt, *2; qlt f,),
или в дифференциальной форме
Принимая во внимание формулу A.12), находим, что действительно
Нг^Н1. A.89)

ГЛАВА 1
Ясно, что закон сохранения вытекает из существования непре-
непрерывной группы инвариантности Для пространственных трансляций
получаем аналогично
7*h-> hi {qn}v tt).
Вспоминая снова формулу A 12) и дифференцируя по с, находим
закон сохранения полного импульса
Предыдущие примеры можно рассматривать как частные слу-
случаи формулы, определяющей вариацию стационарного действия,
когда изменяется внешний параметр а [см соотношение A 13)]
Действительно, а можно выбрать как параметр, характеризующий
преобразование.
Если имеется также инвариантность относительно вращений,
рассмотрим инфинитезимальный поворот на угол 6« вокруг оси п:
Та же самая формула 6/B, l) = pdq — НЫЦ приводит к соотно-
соотношению
Поскольку вектор п произволен, мы нашли, следовательно, закон
сохранения полного углового момента:
Разумеется, если имеется инвариантность относительно вращения
лишь вокруг некоторой оси, то будет сохраняться только соот-
соответствующая компонента углового момента.
Таким образом, в том случае, когда динамическая задача об-
обладает симметрией, два стационарных действия / B,1) и / B', Г)
равны (руг другу (здесь штрихи соответствуют преобразованным
граничным условиям) Всякий раз, когда преобразования образуют
непрерывную группу, законы сохранения получаются путем диф-
дифференцирования по параметрам группы
Однако в действительности симметрии не обязательно непре-
непрерывны Примером могут служить четность, обращение времени и
т п В частности, в последнем случае мы имеем I (qit i%\ qt, *,) =
= / (glt — tt\ qv —}г)\ здесь граничные условия переставлены, время
обращено и соответственно ра*-*—/?, Эта инвариантность не при-
приводит к закону сохранения
В заключение постараемся получить вышеупомянутые выраже-
выражения в форме, удобной для дальнейших обобщений Для конкрет-

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 37
ности рассмотрим снова инвариантность относительно вращений.
При инфинитезимальном вращении вектор q переходит в i?q=q+
+ 6а п х q Функция Лагранжа предполагается инвариантной.'когда
R не зависит от времени Принцип наименьшего действия позво-
позволяет выразить малые отклонения от стационарной траектории Q (t)
в виде
6q@ = 6a(*)nxQ@, A.92)
при условии, что 6a (t%) = 6а (^) = 0 Используя инвариантность
величины L при постоянном 6а, получаем
6/(Q)= d dL ^Q
6a @ dt аба (О
Следовательно, сохраняющаяся величина пропорциональна
аба ~~ ^ A,, a6a@ ~ Г ^ '
поскольку dqJdba^dqJdSa В данном случае—это компонента
углового момента, направленная вдоль вектора п.
Для временных трансляций изложенный метод следует применять с осто-
осторожностью Если инфинитезшальный параметр 6a=const, то начальный и ко-
конечный моменты времени смещены. Мы полагаем, что 6q = 6a(t)q и &у =
=» 8<xq-{-6<xq, причем 6a (tx) = ба (t2) = 0 Вблизи реальной траектории
Инвариантность обычно означает, что dL/dt=O; э этих случаях энергил
H^pq — L сохраняется; в более общем случае (d/dt) H = — dL/dt
Может случиться, что уравнения движения инвариантны,
а функция Лагранжа не инвариантна При инфинитезимальном,
не зависящем от времени преобразовании к функции L добавляется
полная производная по времени Иными словами, в случае ба,
зависящей от времени, имеем dL/dba=(d/dl) фи (d/dt)(dL/dba—Ф)=0.
Таким образом, мы нашли сохраняющуюся величину, которая-
не равна дЦдЬа и ясвно зависит от времени.
Например, динамическое описание частицы, движущейся лод действиещ
постоянной силы, трансляционно инвариантно, но импульс частицы не сохра-
сохраняется. Функция Лагранжа имеет,вид. L = (lj2) mq^+q-F (t) При трансляции

38 ГЛАВА 1
имеем 6L = F6a=(d/A) ? <й'F (<')-6а(Г). Следовательно, интеграл дви-
жения mq—\ cft'F (f')=const, что можно было ожидать из общих соображе-
соображено
ний. Следует отметить, что даже в случае постоянной силы F эта величина
явно зависит от времени. Разумеется, невозможно физически осуществить
такую силу во всем пространстве, как это требуется трансляционной инва-
инвариантностью
Обобщение этих выражений на случай бесконечных систем не
вызывает трудностей. Мы будем различать два типа симметрии.
Первый тип симметрии соответствует геометрическим преобразо-
преобразованиям пространства и времени, при которых лагранжиан J?' (х)
переходит в J?{x'), где х' — преобразованная точка (см. разд. 1.2.2).
Симметрии второго типа оставляют лагранжиан инвариантным
и называются внутренними (см. разд. 1.2.3). Симметрии играют
столь фундаментальную роль, что мы посвятим главу 11 их бо-
более глубокому изучению.
1.2.2. Тензор энергии-импульса
В случае бесконечных систем будем предполагать, что лагран-
лагранжиан зависит от пространственно-временных координат х лишь
через поля и их производные. Следовательно, при трансляции
мы имеем
A.94)
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование, зависящее от х:
6d^t (x) = 8avdvd^t (х) + dM [6av (х)] dv<t>t (x). A.95)
После интегрирования по частям соответствующая вариация дей-
действия запишется в виде
[М]}аЧ*). A.96)
Таким образом, мы получили обобщение наших предыдущих рас-
рассуждений относительно энергии-импульса в полностью локальной
форме. Из равенства нулю б/ для произвольной вариации 8av(x)
можно сделать заключение, что поток энергии-импульса описы-
описывается каноническим тензором
(L97>
удовлетворяющим закону сохранения
д»в^ = 0. A.98)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 39
(Из: этого рассмотрения мы видим, что индексы величины
играют различную роль.) Отсюда следует, что четыре величины F1,
соответствующие полной энергии (v = 0) и трехмерному импульсу
(v=l, 2, 3), т. е.
, t), A.99)
не зависят от времени, поскольку
з
F* ^ $ d3x do&>v (x, ?) = — J d3x 2 d{Biv (х, t) = 0
при условии, что при больших аргументах поля достаточно
быстро обращаются в нуль, т. е. нет утечки энергии или им-
импульса в бесконечности.
Данный результат является типичной иллюстрацией теоремы
Нётер. Эта теорема гласит, что инвариантности лагранжиана
относительно любого однопараметрического преобразования соот-
соответствует локальный сохраняющийся «ток». Интегрирование чет-
четвертой компоненты этого гока по трехмерному пространству дает
сохраняющийся заряд. В этом геометрическом рассмотрении ин-
инвариантность лагранжиана означает, что мы также допускаем
возможное преобразование пространственно-временного аргумента,
как, например, в A.94). Кроме того, интеграл по трехмерному
пространству, определяющий заряд, может быть заменен на ин-
интеграл по пространственно-подобной поверхности а с элементом
поверхности do^, что не изменяет результат; таким образом,
= J
A.ГО0)
Разумеется, возможна ситуация, когда лагранжиан зависит дар
также от координат х\ в этом случае тождество A.94) не спра-
справедливо и уравнение A.98) заменяется на
-д^З. A.101)
Это имеет место, если 2 представляет собой сумму инвариантной
части SQ и взаимодействия с внешними источниками /,•(*), имею-
имеющего вид J^j = 2 Ф; (x) ii(x)- Тензор энергии-импульса, который
определяется вкладом 6fv от 3\ и добавочным вкладом от Зи
записывается в виде
причем в соответствии с A,101)

|Q ГЛАВА 1
Последнее выражение можно переписать следующим образом:
©ти два способа записи локальной вариации энергии и импульса
различаются в зависимости от того, включена или нет в систему
внергия взаимодействия —j d3xSi.
Рассмотрим в качестве примера электромагнитное поле, вза-
взаимодействующее с внешним сохраняющимся током /. В этом слу-
случае лагранжиан дается выражением
^--j^-M, A.104)
j A,105)
Тензор & калибровочно-неинвариантен, даже если ток / равен
нулю! При преобразовании А—+ А+д4 имеем
(gfw/оф—fiiP^) —/иа>. A.106)
В отсутствие внешних источников дополнительный член является
дивергенцией и не дает вклада в величину полной энергии-
импульса, если на бесконечности поля обращаются в нуль.
Плотность энергии-импульса в принципе измеримая величина,
и помимо всего она связана с гравитационным полем. Поэтому
очень нежелательно, чтобы выражение для нее оказалось калибро-
вочно-неинвариантным. Кроме того, антисимметричная часть тен-
тензора 0^ не равна нулю:
6^—e* = FvPaMp—F^dMp. A.107)
Нам известно, что уравнения движения не определяют полностью
лагранжиан. Соответственно выражение для тензора энергии-
импульса допускает некоторый произвол. Обозначим через №(х)
сохраняющийся ток. Тогда заряд К — \ d*x ku(x, t) и- локальный
закон сохранения не изменяется, если А1* преобразуется следую-
следующим образом:
A.108)
при условии, что
~ A.109)
0. A.110)

_ __ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 41
Решение для этих ограничений записывается в виде
Ш = др№, A.111)
где № антисимметричен и зависит локально от полей, В самом
деле, мы видим, что справедливо как равенство A.109), так и
A.110), поскольку
з
%д1к»1 = Ъ. A.112)
Возвращаясь к тензору энергии-импульса электромагнитного
поля, мы видим, что к каноническому тензору 6^v можно доба-
добавить величину
дФ"—dpe«>.vf A.ПЗ)
где в^р' v антисимметричен по (\i, p) и зависит локальным обра-'
зом от полей. Из рассмотрения калибровочной зависимости, в ко-
которой
. A.114)
следует выражение для компенсирующего члена, а именно
A®»v = dp(F™Av). A.115)
Таким образом, мы полагаем
@HV ^ §|iv + Qp (р ЧрД vj = giiv / J. f2 ц. I. А \ _
—F^aMp + ap(Fw^v). - A.116)
Используя уравнения Максвелла, получаем d0Fw = — /•*, так что
другое эквивалентное выражение для в^.имеет вид
в^ = -1?»«/72 + /Гцр/у + gnvj.?__ -^Av. A.117)
В отсутствие источников эта плотность энергии-импульса харак-
характеризуется следующими свойствами: она калибровочно-инва-
риантна, сохраняется, симметрична и имеет след, равный нулю.
При этом в соответствии с общей схемой в случае /^0 имеем
Это можно записать также в виде
) 0-H9)
Таким образом, новый тензор в0 имеет чисто электромагнитное
происхождение. Плотность энергии 62° = A/2) (Е2 + В2) положи-

42 ГЛАВА Г
тельна, а плотность импульса 6j° = (ExBI' есть не что иное,
как вектор Умова—Пойнтинга. Следовательно, мы получили из-
известное соотношение
—-?¦ J d*x в°° = j dS. (Е х В) + J йЧ Е. J.
После этих преобразований тензор B^v при наличии источников все еще
калибровочно-неинвариантен. Это не должно вызывать удивления, поскольку
система не замкнута Чтобы показать, что происходит в замкнутой системе
при наличии источников, рассмотрим систему заряженных точечных частиц,
связанных электромагнитным взаимодействием. При этом полное действие
дается выражением
AЛ20)
Это выражение инвариантно при пространственно-временной трансляции
А (л.) — ¦>¦ А (х+а), хп (т„) —* хп (т„)—а. A.12Г)
Если мы рассмотрим инфинитезимальные вариации вида
то найдем, что
S/
8av (х) ~б»т -Ц| AЛ23)
здесь
~ " ' ^*[х-хпAп)]АЦхп(
mn J dxjq Ы%1 (т„) Щх-хп(ХпI A-124)
Повторяя выкладки, ведущие к калибровочно-иивариантному тензору, т. е.
добавляя величину д0 (FwAv), получаем
l mn J Лдав*/[*-х„ (т„)]. A.125)
Все нежелательные члены исчезли, и мы получили калибровочно-инвариант-
ный, симметричный и сохраняющийся тензор энергии-импульса. Заметим, что,
хотя динамические уравнения связывают материальные точки с полями, их
вклады входят в A.125) аддитивно
Для того чтобы обобщить закон сохранения углового мо-
момента, изучим следствия лоренц-инвариантности около фиксиро-
фиксированной точки. В инфинитезимальной форме
8x» = 6a^xv; A.126)
здесь 6co'AV—антисимметричный тензор. Легко видеть, что лаг-
лагранжиан, вообще говоря, неинвариантен относительно такого
преобразования одних лишь аргументов, поскольку оно должно

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 43
сопровождаться соответствующими преобразованиями полей.
Иными словами, полям сопоставляются представления однородной
группы Лоренца. Элементам Л группы Лоренца отвечают пре-
преобразования полей по формуле
x). A.127)
Мы рассматриваем поля ф как вектор-столбец, a S(A)—как мат-
матрицу представления группы В случае Л, близких к единичному,
величина А~гх будет равна х—6х, где 8х определяется выраже-
выражением A.126), а 5(Л) имеет соответствующую форму. Оставляем
читателям как упражнение изучить такие преобразования для
электромагнитного поля и ограничимся здесь рассмотрением более
простого случая скалярных полей [5(Л) = 1] Чтобы применить
теорему Нётер, в выражении A.126) мы должны рассматривать
6couv как функции от х и определять коэффициенты при них
в вариации действия с учетом свойства антисимметрии 6co^v= —6cov^.
Если Gwv—симметричный тензор энергии-импульса, то закон
сохранения обобщенного углового момента запишется в виде
V«^ = o (L128)
В случае когда поля преобразуются по нетривиальным представ-
представлениям группы Лоренца, величина/^л'р преде 1авляет собой лишь
орбитальную часть. При построении сохраняющейся величины
к J^vp добавляют члены, соответствующие внутреннему моменту
вращения. В гл. 2 и 3 мы встретимся с конкретными примерами
этого явления. То, что A.128) задает сохраняющиеся величины,
существенно связано с симметричностью тензора e^v. Соответст-
Соответствующие шесть зарядов
\, t) A.129)
не зависят от времени. Следует отметить, что Jvp не являются
трансляционно-инвариантными. При смещении начала координат
на аи орбитальная часть изменяется на величину avPp—apPv.
Чтобы найти величину, которую в действительности следует на-
называть собственным угловым моментом, мы введем вектор Паули —
Любанскогог)
^ 0-130)
который в системе покоя (Р = 0) сводится к обычному трехмер-
трехмерному угловому моменту
J) Этот вектор был независимо введен Ю. М. Широковым в 1951 г, на
основании релятивистского обобщения понятия спина.— Прим перге.

4? ГЛАВА i
До сих пор в дa^ ном релятивистском описании мы избегали
обращаться к гамильтонову формализму или скобкам Пуассона.
Это объясняется тем, что нам не хотелось, чтобы время играло
выделенную роль. Однако ничто не мешает нам сделать это.
В данный момент времени t произвольному полю ф (х, t) можно
сопоставить сопряженное поле
О- (Ы31)
Аналогично определим скобки Пуассона для двух функционалов
Lt и L\ полей <р и л в момент времени t:
AЛ32)
К этим функциональным производным следует относиться осто-
осторожно. Например, если L выражается как пространственный
интеграл от плотности, содержащей производные от полей, всегда
подразумевается соответствующее интегрирование по частям.
В частности, справедливы соотношения
{я(х, t), ф(у, *)} = вэ(х-У), ,
{я(х, t), я (у, /)} = {ф(х, t), ф(у, /)}-0 К
и, например,
{л(х, 0,
Легко видеть, что уравнения поля A.44) принимают вид
={я, Ф(х, <)}«_-*¦ я.
*¦ ' ' /I 1ЭЛЧ
g A.134)
бф (X, t)
р полной аналогии с нерелятивистской динамикой, когда мы определяли функ-
функцию Гамильтона Н как интеграл от плотности энергии:
t, 0. A-135)
выраженный через <р (х, t), Уф (х, t) и я (х, t). Выражение A.134) означает,
что Н генерирует временные трансляции системы. Читателю нетрудно полу-
получить обобщения на случай пространственных трансляций и инфинитезималь-
ных преобразований Лоренца.
1.2.3. Внутренние симметрии
Системы, встречающиеся в физике элементарных частиц, обла-
обладают внутренними симметриями, играющими важную роль при
анализе их спектров и взаимодействий. Насколько нам известно,

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 45
большинство этих симметрии являются лишь приближенными,
причем нарушаются они силами более слабыми, чем те, которые
мы рассматриваем. Тем не менее при первом рассмотрении по-
полезно считать симметрии точными, а отклонения от них рассмат-
рассматривать как второе приближение Приведем краткий вывод тео-
теоремы Нётер в такой классической ситуации.
Пусть ф\. . .фдг обозначают N взаимодействующих полей. Неко-
Некоторые из них могут быть действительными, другие—комплекс-
другие—комплексными и иметь лоренцовы индексы Для каждого значения х
будем рассматривать этот набор полей как вектор в yV-мерном
пространстве, где задано представление группы G. Последняя
может оставлять инвариантными некоторые подпространства (так
с необходимостью будет в случае, если поля имеют неэквива-
неэквивалентные трансформационные свойства по отношению к группе
Лоренца). Если G—компактная группа Ли, будем обозначать
соответствующие антиэрмитовы генераторы Т" (s=l, ...,/¦); они
удовлетворяют следующим соотношениям коммутации:
[Т\ Tsq = CSl\Ts>. A.136)
Напомним, что в случае компактной группы структурные конс-
константы Сннн можно выбрать полностью антисимметричными. Для
краткости мы не отличаем группу от ее линейной реализации
на величинах ф.
Рассмотрим вариации nojpeft, обладающие пространственно-
временной зависимостью:
Т: A.137)
Мы имеем S (Ф) —* & (Ф + Щ = &, где ^—функция от Ф, д^Ф
(и их комплексно-сопряженных величин), ба5 и дцба,. Вариация
около стационарного решения дает
Определим соответствующие токи
В ток /^ будет давать вклад только часть лагранжиана, содер-
содержащая производные полей. Теорема Нётер следует из A.138) и
дает дивергенцию от этих токов в виде
TKT- AЛ40)
Здесь ми воспользовались тем, что dj? (x)/d8as (x) совпадает с про-
производной по величинам 6af, не зависящим от координат. Ток

46 ГЛАВА 1
j$ будет сохраняться, если соответствующий член в правой части
выражения A 140) равен нулю Это означает, что исходный лаг-
лагранжиан инвариантен относительно одномерной подгруппы G,
порождаемой генератором Ts. Иными словами, с каждой такой
подгруппой связан сохраняющийся заряд:
Вернемся к общему случаю, т. е. не будем предполагать, что
токи сохраняются. Это не мешает нам определить заряды Qs(t)
в момент времени t. В дальнейшем будем считать t фиксирован-
фиксированным и не будем писать его в явнОхМ виде. Пусть ?—функционал
от полей и сопряженных импульсов в момент времени t; вычис-
вычислим скобку Пуассона
рМгШУ <>¦'«>
Зависимость 2? от <308as (x) обусловлена только зависимостью 3?
от дофа. Для простоты предположим, что поля вещественны (тогда
Ts веществен и антисимметричен). В противном случаемы должны
были бы рассмотреть по отдельности вещественную и мнимую
части. Таким образом, мы можем записать
A.143)
Следовательно,
{Q*, Г} = 1*х($Т'ф-пТ>^у A.144)
В частности, мы получаем выражения
{Q* Ф(х)}~Т*Ф(х),
(х)Т* = Т°л(х) ( ¦ }
которые можно переписать в виде
{6аД», Ф(х)\ = 6ФМ, \8asQ*, п(Х))=Ьп(х),
где бф (х) и 8л(х) — вариации полей, определяемые выражением
A.137), при инфинитезимальных преобразованиях. Иными сло-
словами, заряды Qs порождают эти инфинитезимальные преобразо-
преобразования с помощью скобок Пуассона точно так же, как гамиль-
гамильтониан порождает временные трансляции. Аналогично получаем
очевидное равенство
{Qs>, Qb'} = — \а*хл(х)[Т*\ T^(x)=—Cs^SbQsK A.146)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 47
Для вывода приведенных выше соотношений инвариантность лаг-
лагранжиана не требуется. Действительно, если Я—гамильтониан,
то нетрудно получить
' - " Я* ,0- (U47)
dt кч'
Мы можем обобщить соотношение A 146) на случай скобок Пуас»
сона от временных компонент токов при равных временах:
I iSl (\ /I is* (v t\\ — Csisn f)s (-и \i\ »Sa (x f\ (\ 1481
Ijo ix> l)i jo (.У) '/( ^ ss" Iх—У) /o \Ai •/• ^l.ito/
В квантовом случае эти соотношения лежат в основе важного
формализма алгебры токов (см. гл. 11).
Полезно изучить одновременные скобки Пуассона для тензора энергии-
импульса:
{воо (х, t), в»о (у, f)} = [eo*(x> 0 + 60* (у, /I с$63 (х-у),
{0о« (х, О, 0°*(У. 0} = [в«(*. O-gft'eoo(y, ;)]<3|63(х-у),
{6«* (х, 0, ®ы (У, 0} = [®°* (У, I) д!+в°1 (х, 0 дхк] б3 (х—у).
Отсюда мы снова получаем алгебру Ли группы Пуанкаре:
В заключение этого раздела рассмотрим простой лагранжиан, зависящий
от двух вещественных полей Фг и Ф2, которые выразим через комплексные
(независимые) величины:
Предположим, что динамика инвариантна относительно внутренних вращений
в пространстве A, 2) или, что эквивалентно, при преобразованиях
ф* (х) -* #*<*Ф* (х) A.152)
Постоянная е, входящая в эти соотношения, будет отождествлена с элемен-
элементарной константой связи с электромагнитным полем, г. е. отождествлена
с электрическим зарядом. Например, предположим, что X имеет вид
^скаляр=Eи*)* (дН) — тЧ*Ф — У (Ф*Ф), (U53)
Где V — произвольная гладкая функция, например полином. Из теоремы Нё-
тер следует выражение для сохраняющегося тока
дХ *~*
A.154)
Разумеется, сохранение тока можно непосредственно проверить с помощью
уравнений движения
2H* = -?> A155)

48 ГЛАВА 1
Следовательно, заряд
Q = \ <Рх /» (х, t) = ie J сРдг Ф* (х, О доф (х, 0 A.156)
не зависит от времени. Свяжем теперь эту систему с электромагнитным полем.
Поскольку сохраняющийся ток нам задан, можно использовать его в правой
части уравнений Максвелла Однако при этом надо быть осторожным, так как
связь ф с вектор-потенциалом А^ может изменить структуру самого тока.
Поэтому мы ищем полный лагранжиан в виде суммы трех частей: — i?3M =
= —— Fa, ^?скаляр> определяемой выражением A.153), и части, отвечающей
взаимодействию, j?B3 (Ф, Ф*, Ау,). Таким образом,
=S?=^8m +-^скаляр+ -^вз- A.157)
Предположим, что ток •/!*, определяемый теоремой Нётер, примененной к пол-
полному лагранжиану A.157), действительно является электромагнитным током.
Иными словами, мы имеем
Нетрудно убедиться, что лагранжиан взаимодействия
<->
JgB3 = — 1еАцФ*д^Ф+егА*Ф*Ф = — A^j»-\-е*АЧ*Ф A.159)
удовлетворяет этим условиям, причем
Jp.=/n— 2еМиф*ф. A.160)
Следовательно, полный лагранжиан можно записать в виде
«5? = — 1/4р2 + [(дц + ;еДд)Ф]*[(дм.+;еДи.)ф] — тЧ*Ф~У (Ф*Ф); A.161)
Он приводит к связанным уравненичм
ай^=Л [(ай+^)(д>ч^)+т*]ф = --1^. A.162)
Мы видим, что выражение A.161) следует из принципа минимальной связи
с электромагнитным полем, согласно которому производная дд, действующая
на заряженное поле (с зарядом ё), заменяется на ковариантную производную
Эщ + геЛд. Таким образом, лагранжипн не только инвариантен при преобра-
преобразованиях A.152) с постоянной величиной а, но и при более общих, завися-
зависящих от х (т. е. локальных), калибровочных преобразованиях:
(х), Ф*(х)-+е1еаМФ*(х), Дд(л:)-*Лд(лг) + ^а(л:). A.163)
То, что первоначально было приемом, используемым при выводе теоремы
Нптер, оказалось более глубоким сиойством электромагнитных взаимодейст-
взаимодействий, которое обобщает свойство калибровочной инвариантности, рассмотренное
выше для свободного электромагнитного поля. Распространяя это понятие
соответствующим образом на некоммутативные группы, мы приходим к очень
интересным моделям теории поля (см. гл. 12).

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 49
1.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ
1.3Л. Функции Грина
Уравнение Клейна—Гордона имеет форму, типичную для дина-
динамических уравнений теории поля:
(П+т2)ф(х) = /(х), A.164)
где / может зависеть от полей ф, а внешние индексы опущены.
Примером может служить уже рассмотренный нами случай урав-
уравнений Максвелла для потенциала в калибровке Лоренца, в кото-
которых массовый член, входящий в A.164), отсутствовал
На время предположим, что источник / (х) задан и /п2^0.
Таким образом, мы имеем дело с гиперболическим дифферен-
дифференциальным уравнением в частных проичводных второго порядка,
которое определяет ф в окрестности точки х через значения этой
функции и ее производной в направлении нормали к простран-
пространственно-подобной поверхности, проходящей через точку х Харак-
Характеристические элементы касательны к световому конусу. Это ука-
указывает на то, что локально выполняется условие причинности.
В теории рассеяния редко встречается такой способ решения
задачи. Граничные условия для rf> задают, как правило, на про-
пространственно-подобных поверхностях, отделенных большим вре-
мениподобным интервалом. Полезно построить стандартные реше-
решения уравнения A 164), в котором правая часть заменена обобщен-
обобщенной функцией, сосредоточенной в окрестности точки х'. В общем
случае будем обозначать решение уравнения
(D+m2)G(x, х') = №(х—х') A.165)
через G(x, x') с дополнительным значком, характеризующим гра-
граничные условия, налагаемые на G. Эти условия в большинстве
случаев трансляционно-инвариантны, так что соответствующие
функции Грина (или пропагаторы) зависят только от аргумента
х—х'. Из принципа суперпозиции следует, что решения уравне-
уравнения A.164) записываются в виде
ф(х)~ф«»(х) + J Фх' G (х- х') j (А A.166)
где Ф@) (х) является решением однородного уравнения и выбирается
таким образом, чтобы Ф удовлетворяло граничным условиям
Опираясь вновь на трансляционную инвариантность, решим
уравнение A.165) с помощью преобразования Фурье, благодаря
которому оно становится алгебраическим уравнением. Полагая
щ§ *"*'> G ДО, A.167)
мы получаем
б1. A.168)

50 ГЛАВА 1
Чтобы разделить обе части на —р2-\-т2, нам необходимо обойти-
нули этого выражения, расположенные на двуполостном гипербо-
гиперболоиде ра—/па=0 (или на конусе р2 = 0, если /п2 = 0). Это в свою-
очередь эквивалентно интегрированию в A.167) по слегка де-
деформированному контуру. Следует заметить, что при различных
выборах контура функция G(p) изменяется самое большее на вели-
величину g(p, ро/\Ро\)б (р2—т2). Последнее выражение соответствует
решению однородного уравнения. Разумеется, этот выбор опре-
определяется граничными условиями на бесконечности.
Определим сначала запаздывающую и опережающую функции
Грина:
)
l p 4
«"'"'*
± fe)«-p»-m»-
Введение в знаменатель величины е эквивалентно незначительной
деформации контура интегрирования по р0 и показывает, что
G (х) следует рассматривать как обобщенную функцию. Если
сначала проинтегрировать по рй, скажем в случае Gret (x), то
контур интегрирования можно замкнуть в верхней комплексной
полуплоскости, если х0 < 0, не охватывая при этом какую-либо
сингулярность. Согласно теореме Коши, заключаем, что Gret (x)
равна нулю для xQ < 0. По отношению к Gadv (х) справедливо
противоположное заключение. Можно показать, что эти обобщен-
обобщенные функции лоренц-инвариантны. Таким образом, Gret (x) равна
нулю вне полы светового конуса, направленной в будущее,
a Gadv (х) обращается в нуль вне полы светового конуса, направ-
направленной в прошлое. Эти свойства согласуются с условием при-
причинности для распространения сигналов. Отметим также, что обе
функции Грина вещественны, причем Gadv (я) = Gret (—х). В слу-
случае т2 = 0 имеем
Gret (х) I*,.-. = ^-9 (± х0) б (х2), A.170)
adv
в то время как в случае та>0 явные выражения, включающие
функции Бесселя, не являются столь прозрачными. Однако неза-
независимо от значения /п3 сингулярности этих функций Грина на
световом конусе по-прежнему даются выражением A.170). Данный
результат отражает тот факт, что при малых а-2 поведение пол-
полностью определяется дифференциальным оператором, входящим
в A.165). Следовательно, массовый член ответствен за то, что
носитель не сосредоточен на световом конусе, как в выраже-
выражении A.170), но включает также сигналы, распространяющиеся
со скоростью меньшей, чем скорость света. Возвращаясь к инте-

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 51
тральному представлению A.169), проинтегрируем по р& исполь-
используя разложение
где соя = к p2-j-m2. Мы получаем непосредственно
Дадим физическую интерпретацию данной формулы. Для этого
представим себе, что система заключена в очень большой куби-
кубический ящик с линейными размерами L. Тогда интеграл по
импульсам заменится римановой суммой, а каждая компонента
импульса запишется в виде 2лп/Ь, где п—произвольное целое
число, причем [1/BяK] \ (Рр—>^/Ьй.
п
Таким образом, мы можем записать
Gret (*-*') — «в (ДСв-дГо) [2Ф+. р (X) ф*+, р (Х')-
Импульс р принимает только дискретные (но очень плотно лежа-
лежащие) значения, а функции
являются периодическими решениями однородного уравнения
Клейна—Гордона. Знаки «+» или «—» соответствуют знаку
частоты; в выражении A.171) знак «—» в квадратных скобках
[а также множитель i перед выражением, обеспечивающим веще-
вещественность всей величины: ц>*+1 р{х) =ц>~, -р(х)] обусловлен тем,
что решения уравнений должны быть нормированы в соответствии
с индефинитной «нормой» [см. формулу B.5) в гл. 2]. Мы уви-
увидим, что, в то время как ф+ имеет положительную норму, ф_ имеет
отрицательную норму.
В любом случае выражение A.171) приводит к интерес-
интересной интерпретации распространения сигнала, соответствующей
@га (х—х')- Распространение вперед во времени сигналов с поло-
положительной и отрицательной частотами определяется соответст-
соответственно первым и вторым членами выражения A.171) /1л я
Ga\v(x — х') справедливо аналогичное выражение, в котором х и
х' переставлены местами

62 ГЛАВА 1
Разность этих функций
представляет собой нечетную функцию, равную нулю вне свето-
светового конуса, так что
^Gl->(*)|*o=0 = 63(x). A.174)
Очевидно, что эта функция удовлетворяет однородному уравне-
уравнению Клейна—Гордона. При т2 = 0 она принимает вид
AЛ75)
где ц—бесконечно малый времениподобныи вектор, направленны^
в будущее.
Наконец, полусумма
G<+> (х) = V, [Gret (x) + Gadv (x)] = —Цг J d*p е- *•* -^- A.176)
представляет собой четное решение уравнения A.165). В A.176)
символ главного значения РР относится к интегралу по /?0;
напомним, что
1 , • = РР —-— Ч11л8 (о —юй),
Рассуждения, приведенные выше, справедливы для чисто класси-
классического случая. Однако в квантовом случае мы встретим другое
четное решение того же самого уравнения, впервые введенное
Штюкельбергом и Фейнманом. Одно из объяснений, почему это
решение не может появиться в классической физике, состоит
в том, что оно является комплексной обобщенной функцией,
определяемой выражением
A-178)
Следовательно, оно удовлетворяет уравнению
(D + /и2) Gp (х) = 8* (х), причем GF (— х) = QF (x).

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 53
Если, как и выше, мы перейдем к дискретной форме, то найдем
эквивалентную запись:
1, р
A.179)
В то время как найденные выше функции Грина обращались
в нуль вне светового конуса, функция GF вне светового конуса
в нуль не обращается, а экспоненциально спадает при отрица-
отрицательных х2. Положим хо = О и г = |х|. Тогда
Р
Из A.179) заключаем, что соответствующее GF распространение
положительных (отрицательных) частот происходит вперед (назад)
во времени. Это различие по отношению к частотам объясняет,
почему GP с необходимостью комплексна. Заметим также, что
GF(p) есть мероморфная функция комплексной переменной р%
в противоположность функциям Грина, рассмотренным выше.
Эти выражения можно обобщить на более общие случаи, например на электро-
электродинамику. В соответствии с тем обстоятельством, что одного уравнения
Максвелла
П^—д*(д-А) = р A.181)
недостаточно, для того чтобы определить потенциал А^ в терминах сохраняю-
сохраняющегося тока /I», мы находим, что матрица
L\-p*fa~-iPpv A.182)
сингулярна в импульсном, пространстве. "Ее детерминант тождественно равен
нулю. Фактически оператор L пропорционален проектирующему оператору,
поскольку
[*=р*Ь. A.183)
Чтобы обойти эту трудность, можно либо добавить малую массу, либо посту-
поступить так, как в разд. 1.1.2, и ввести в лагранжиан дополнительный член
(Я/2) (д-АJ. Модифицированные уравнения движения имеют вид
[пЛ-а-ада^л'-А A.184)
а пропагатор записывается следующим образом:
,, ц-^.f
W . AЛ85)
Кажущаяся сингулярность в числителе ие играет роли, когда G^v сверты-
свертывается с сохраняющимся током. В случае Х=1 вновь получаем пропагатор
Фейнмана g^Gpix). В гл. 3 мы обсудим этот вопрос более подробно.

54 ГЛАВА 1
1.3.2. Излучение
В качестве элементарного приложения функций Грина напомним,
как вычисляется электромагнитное поле, создаваемое движущимся
точечным зарядом. Предположим, что х11 (х)— это траектория
заряда в пространстве-времени, а /"(у, t) — связанный с ним ток,
определяемый выражением A.51). Требование причинности обус-
обусловливает использование запаздывающей функции Грина при
вычислении потенциала. Кроме того, замечания, сделанные
в конце предыдущего раздела, позволяют непосредственно напи-
написать выражение для потенциала в калибровке Лоренца:
A.186)
Величина с точкой наверху обозначает производную по собст-
собственному времени. Пусть x+^sx(r+)—единственная, зависящая
от у точка запаздывания на траектории, такая, что
(у-*+J = 0, хКу». AЛ87),
Справедливо следующее тождество:
Г j?L A.188)
Г
J
Из равенства A.187) итого факта, "Что на физической траектории
точка х+ принадлежит световому конусу, направленному в бу-
будущее, следует, что х+ (у—х+) > 0. Таким образом, мы получаем
запаздывающий потенциал Льенара — Вихерта в виде
т. е. релятивистское обобщение кулоновского потенциала, к ко-
которому он сводится в системе, где х+ = A, 0, 0, 0). В явном виде,
если г —у—х+ и v+ = (dx/dt) (т+), имеем
до /,.\ ? .
"ret \У) — л„ I. r „ \ >
-Г У + Г
Опуская индекс « + ». соответствующие напряженности можно
записать в виде
с __ е (г— /-у)A —v2)+r х f(r—rv) X d\/dt]
Е_?ХЕ (r~r"VK ' A-191)

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
55
Разумеется, эти соотношения справедливы и в точке запаздыва-
запаздывания. Оба соотношения для Е и В содержат члены, пропорцио-
пропорциональные 1/г2, дающие основной вклад на малых расстояниях,
и связанные с излучением члены, пропорциональные 1/г. Поток
энергии, проходящий через сферу, охватывающую заряд, выра-
выражается через вектор Умова—Поинтинга следующим образом:
J Jdft(rxEJ>0. A.192)
s s
При малых скоростях вклад от членов, ведущих себя как 1/г,
записывается в виде
(?)] 1^^ A.193)
т. е. соответствует обычным дипольным полям. В этом же пре-
пределе излучаемая энергия дается формулой Лармора
A.194)
Эти результаты применяются к решению многих интересных
задач; на некоторых из них мы кратко остановимся здесь.
Рассмотрим, например, заряженную частицу, осциллирующую
нерелятивистским образом под действием слабого электрического
Направление
наблюдения
РИС. 1.3. Излучение заряженной частицы, осциллирующей в поле плоской
волны с волновым вектором к и поляризацией е.
поля падающей на нее плоской волны с малой частотой. Движе-
Движение частицы описывается уравнением
dt
= -?_ е =,— вЕое-ш+{к-*,
m
m
A.195)
где е—поляризация волны, Ео—ее амплитуда, а к—волновой
вектор. В соответствии с формулой Лармора энергия, излучаемая

56 ГЛАВА 1
в телесный угол dQ (углы определены на рис. 1.3), определяется
выражением
Если смещение частицы в течение периода представляет собой
лишь небольшую долю длины падающей волны, то среднее зна-
значение величины (dv/dt)* равно
. dt j l~ 2 1V" dt dt
и, следовательно,
A.197)
Средний поток энергии, падающей в единицу времени через еди-
единичную площадку, перпендикулярную направлению распростра-
распространения волны, задается усредненным вектором Умоза—Пойнтинга
падающей волны, т.е. равен A/2) | .?0|2. Определим дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния do/dQ как отношение энергии, излу-
излученной в единичный телесный угол, к потоку энергии, падающей
на единичную площадку:
^J^30^31»29- AЛ98)
Здесь ге—классический электромагнитный радиус (в этом выра-
выражении восстановлена скорость света с):
причем классический радиус электрона равен 2,82-10~13 см,
а а( = е2/4л%с ж 1/137) — постоянная тонкой структуры Выраже-
Выражение A !98) известно как формула Томсона для сечения рассея-
рассеяния; оно приведено здесь для случая падающей поляризованной
волны. Для углов р, ф и ф, определенных на рис. 1.3, справед-
справедливо соотношение
sin20= I— sin2 p cos2 (Ф—1|>).
Чтобы получить дифференциальное сечение, достаточно выпол-
выполнить усреднение по ф:
L Г
= ^ф ^. A.200)
неполяриз 2д J Y dQ, е 2 v '
о
Рассеяние максимально в двух направлениях: вперед и назад.
Формула Томсона для полного сечения представляет собой

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
57
интеграл от выражения A.200) по телесному углу
A.201)
Для электрона это дает 0,66 • 10~а4 см8. Напомним, что выраже-
выражение A.201) справедливо для слабых полей и малых частот,
<и<^тс2/А. В случае когда fkii^mc2, или К^%j'тс (к—квантово-
механическая комптоновская длина волны), начальная частота
больше не сохраняется, и мы имеем дело как с квантовомехани-
ческим, так и с релятивистским эффектами, и процесс в этом
случае называется комптоновским рассеянием (см. гл. 5). При
этом сечение рассеяния с хорошей точностью определяется фор-
формулой Клейна — Нишины E.116) и E.117) Мы приведем здесь
лишь поправку низшего порядка по h(o/mc2 к томсоновскому
рассеянию:
Аналогичным образом можно описать классическое тормозное
излучение, т. е. излучение внезапно ускоренного заряда. Пусть
u{ = pi/m и Uf — pflm—соответственно начальная и конечная
РИС. 1.4. Тормозное излучение.
4-скорости (рис 1.4), Выберем начало координат в пространст-
пространственно-временной точке ускорения, которую можно представлять
себе как идеализацию акта столкновения. Пространственно-вре-
Пространственно-временная траектория параметризуется следующим образом:
A.203)
При этом выражение для тока запишется в виде
с dx

58 ГЛАВА 1
После преобразования Фурье получаем
Потребуем, чтобы при ?—>— оо электромагнитное поле сводилось
к кулоновскому полю падающей частицы, поскольку сохранение
тока запрещает обращение в нуль величины /д(л;), когда t —*-— оо.
Используя определение A.173), запишем в калибровке Лоренца:
Gret (*-
- j d*x' G<-> (x-xr) j»(x') + $ d*x' Gadv (x~xr) I* (*')¦ A.205)
Мы представили Л11 (я) как сумму поля излучения (решение одно-
однородного уравнения Максвелла) и кулоновского поля, связанного
с частицей Следовательно,
А$ш (х) = J й*х' G(-» (х-х1) у* (х') =
= ^Jd4fte"'*"*e(*o)e(*1)/'1 (A). A.206)
При этом
^^ A-207)
Плотность излученной энергии дается выражением A.117):
Определим для изотропного вектора &° — |к| два ортогональных
пространственно-подобных вектора поляризации е„, удовлетво-
удовлетворяющих соотношениям
82« = — 1, е^е^О, e«.fe = 0. A.208)
Нетрудно показать, что энергия <$*, испускаемая в момент вре»
мени t > 0, равна
A.209)
а=1,2
Дадим предварительную интерпретацию этого излучения в тер-
терминах световых квантов, т. е. фотонов с импульсом ilk. В даль-
дальнейшем будем полагать А=\. Тогда энергия, излученная в эле-
элемент фазового пространства dsk, запишется в виде
С помощью этого полуклассического вычисления можно найти
число испущенных фотонов с поляризацией е; для этого энергию

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 59
отдельного кванта нужно разделить на k0:
<Ш=Ш-
ер1 &-р
k°
A.211)
k pl k-pf
Этот результат фактически согласуется с полным квантовомеха-
ническим рассмотрением (см. разделы 5.2.4 и 7.2.3). Интегрируя
по k (в области малых k), мы видим, что полная энергия ко-
конечна, а полное число фотонов бесконечно. Это явление носит
название инфракрасной катастрофы, ниже мы его обсудим более
подробно.
Представляет интерес угловое распределение, определяемое выражением A.211).
В системе координат, в которой кРеа\к\{\, 1,0,0), е|* = @, 0, 1,0)
и е!1 = {0, 0, 0, 1), учитывая, что равенство k-j(k)=O сводится к /° = /1,
находим
2l«»#)l'—№ 0-212)
а
Следовательно,
Г w -р1 «t- __ ja
[(k-pi)(k-pf) (k-р'У {k-
Это выражение можно переписать в терминах начальной в конечной скоро-
скоростей частицы:
где k = k/|k|. В случае испускания мягких квантов (| k |—> 0) излучение
имеет четко выраженные пики в направлениях начальной и конечной ско-
скоростей, что является типичным свойством тормозного излучения.
Чтобы вычислить полное число излученных фотонов, проинтегрируем
A.211) от нижней границы &мин, вводимой из-за инфракрасной катастрофы,
до некоторого максимального импульса kwaKC, необходимость введения кото-
которого связана с нереально острым углом в траектории A.203). Сечение я!оСТ0Лн
будет описывать процесс столкновения, а в полное сечение рассеяния daroya
будут входить конечные испускаемые фотоны. Чтобы проинтегрировать A.211),
введем обозначение q'2 = (pj—ргJ ~ — 4?2sin39/2 в ультрарелятивистском
пределе, когда Hl ~ Ej = E (здесь 9—угол рассеяния); в нерелятивистском
пределе мы имеем | V,- [ ~ | \f | = v. Используя интегральное представление
Фейнмана
п
1 С dx
ш
вычисляем
2(l-vrV/)
I-
jfi —4 =2я \ dx-
t — k-v,)(l— k-\f) J
4 . (нерелятивистский
1 Л. f ^ i случай),
4я In ( - -С) -|- О ( ??), q^m* (ультрарелятивист-
V /л2/' \9а7 " ский случаи).

60 ГЛАВА 1
Кроме того,
«L
— k-vJ
Окончательное выражение для сечения излучения мягких фотонов можно
записать в виде
1<%Уторм \«М/Устои V Кш
in [
Кш У Я |in,_rt>/m» , ,
ln (. v im ) — • (ультрареляти-
й
у
вистскин случай).
A.215)
В этом беглом обзоре задач, связанных с излучением, мы пре-
пренебрегли взаимодействием частицы с собственным полем излу-
излучения. То же самое относится и к рассмотрению движения
в разд. 1.3. В принципе такой подход является неправильным,
за исключением экстремальных случаев, где это вполне оправдан-
оправданное приближение Действительно, из формулы Лармора A.194)
следует, что энергия излучения ^иэл ~ B/3) (е2/4я) (dv/dtJ (М/с3).
Поскольку ^изл мала по сравнению с характерными значениями
энергии задачи, например с энергией движущегося заряда
<?0 ~ т [(dv/dt) М]г, можно пренебречь классическими радиацион-
радиационными поправками. Это приводит к условию
где мы ввели характерное время излучения т0. Наоборот, поправки
становятся существенными, если силы заметно изменяются за вре-
время т0 или на расстояниях ~ст0.
Развитая Лоренцем классическая теория точечного заряда,
включая радиационные поправки, была предметом многочислен-
многочисленных споров до открытия квантовой механики, которая значи-
значительно изменила наши представления. В большинстве случаев
классическая механ ьа не является подходящим приближением.
Поучительно, однако, понять, насколько ограничена область ее
применимости на примере наиболее изученного объекта, а именно
точечного заряда. Приведем эвристический способ вычисления
поправки /^ к силе Лоренца, учитывающей самодействие. Напи-
Напишем уравнение движения
2? A-217)
Дополнительный член /•* должен быть 4-вектором, таким, чтобы
при малых скоростях из уравнения A.217) получалось нереляти-
нерелятивистское соотношение Лармора для потерь энергии, а именно
№ -2 е*
dt ~mW~ 3 4л \ dt

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 61
Кроме того, вследствие трансляционной инвариантности f^ должен
зависеть только от и и ее производных по собственному времени.
Если частица не имеет структуры, не должно быть никакой дру-
другой величины, не зависящей от е и т, с размерностью длины.
В заключение нам нужно сохранить определение собственного
времени, так чтобы и2 оставалось равным единице, и, следова-
следовательно, u-f должно равняться нулю.
Четыре-вектор — (и >и)"- =-- (и2) и*1- имеет четвертую компоненту,
сводящуюся в нерелятивистском пределе к —(dv/dt)a. Условие
f-u — O приводит к комбинации и11 — (и-и)и^, ортогональной к и.
Следовательно, учет сформулированных выше условий приводит
нас к классическому уравнению Лоренца—Дирака в виде
/nu^eFj&a.Uv-T-!--^ ["* —(«•«)«Ч О-218)
где FBHem представляет собой воздействие всех внешних зарядов.
Временная компонента этого уравнения дает релятивистское обоб-
обобщение баланса энергии:
4f = е/Тне„А, + | ~ (иУи°+т%Х. A.219)
В правой части первый член, очевидно, соответствует работе
внешних сил; второй—это диссипативный (ыа < 0) ларморовский
член. Третий член (так называемый энергетический член Шотта)
является полной производной. Им можно пренебречь при усред-
усреднении по (почти) периодическим движениям или, в более общем
случае, когда изменение ускорения мало в течение временных
интервалов порядка т0. Первоначальный вывод уравнения A.218),.
данный Лоренцем, основывался на сферической модели заряда,
и не был безупречен с релятивистской точки зрения. Дирак полу-
получил то же самое уравнение в последовательном релятивистском
подходе, используя локальные законы сохранения энергии и
импульса. Однако оба должны были учитывать бесконечный (поло-
(положительный) вклад в инертную массу, равный электростатической
кулоновской энергии заряда,— типичный ренормализационный
эффект. Если бы наблюдаемая масса имела только электромагнит-
электромагнитное происхождение, то мы должны были бы ввести в эту куло-
новскую энергию обрезание на коротких расстояниях а, такое,
чтобы е2/4ла ~ пк?, откуда а~ст(|~ге Имеется, следовательно,
ограничение на расстояния, за пределами которого классическая
физика встречается с трудностями Эта граница намного меньше
расстояний порядка комптоновской длины волны Х = ft/me, на кото-
которых становятся важными квантовые эффекты (rf/l = a~ 10).
Поэтому классические эффекты малых расстояний затушевываются
на фоне квантовых эффектов Мы убедимся, например, в том, что

62 ГЛАВА 1
«голая» масса электрона со спином 1/2 расходится только лога-
логарифмически, а нелинейно (обратно пропорционально расстоянию),
как здесь.
Даже если не обращать внимания на эти бесконечности, можно
ожидать, что на малых расстояниях или для малых интервалов
времени могут появиться осложнения Так, рассмотрим более
внимательно уравнение движения, пренебрегая даже диссипатив-
ным и релятивистским эффектами. Перепишем его в трехмерных
обозначениях:
m(v-xov) = FBHeul. A.220)
В отсутствие внешних сил кроме решения, соответствующего сво-
свободному движению v = const, уравнение допускает быстро расту-
растущие «самоускоряющиеся» решения v = voe'/ni0. С математической
точки зрения такие решения связаны с наличием высших про-
производных в уравнениях, которые приводят к полностью нефизи-
нефизическим ситуациям. Чтобы получить разумные результаты, необхо-
необходимо учитывать граничные условия и уравнение A.220)заменить
«(*)
v(t)
4
РИС. 1.5. Предускорение классического заряда.
интегродифференциальным уравнением, которое включает эти усло-
условия (в частности, условие v—>-0 при t—>оо, если в этом пре-
пределе FBBeui обращается в нуль). Таким образом, можно записать
следующее уравнение:
\s e-sFBHem(* + T.os). A.221)
В этом уравнении быстро растущие решения исключены, но воз-
возникает новое нежелательное свойство, а именно предускорение.
Если FBHem равно нулю при отрицательных t (рис 1.5), то v не
равна нулю, а начинает увеличиваться в более ранние моменты
времени порядка т„ (~ 104 с в случае электрона); это время,
за которое свет проходит расстояние, равное электромагнитному
радиусу. Здесь мы снова можем убедиться в том, что благодаря
учету квантовомеханических эффектов эти нежелательные явления
не наблюдаются. Включение внешнего поля в течение интервала
времени At означает, что энергия имеет неопределенность порядка

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 63
АЕ ~ ft/At. Если АЕ соизмеримо с тс2, то мы имеем At ~ fi/mc* ~
~ то/а ~ 137т0. Следовательно, классические эффекты, не имеющие
причины, являются ненаблюдаемыми.
В своих рассуждениях мы умолчали о тех трудностях, которые
связаны с радиационными поправками. Однако эти поправки
можно учитывать в определенных обстоятельствах при изучении
таких явлений, как уширение спектральных линий, поправки на
рассеяние и т. п.
ПРИМЕЧАНИЯ
Описание классической механики и ее приложения к теории поля можно
найти в следующих монографиях: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика.—
М.: Наука, 1973; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.—М.: Наука,
1973. Подробное рассмотрение механики имеется, например, в книге: Cartan E.
Lecons sur les Invariants Integraux.— Paris: Hermann, 1958. (Имеется перевод:
Картан Э. Интегральные инварианты.— М.: Гостехиздат, 1940.) Классическая
теория электромагнетизма и излучения исчерпывающе описывается в книге:
Jackson J. D. Classical Electrodynamics.— New York: John Wiley, 1975.
(Имеется перевод: Джексон Дж. Классическая теория поля.— М.: Мир, 1965).
Проблемы внутренней непротиворечивости электродинамики обсуждаются
в книге: Rohrlich Е. Т. Classical Charged Particles.—Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1965.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Изложение основных вопросов теории классических полей имеется в книгах;
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей.—
М.: Наука, 1976; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля.—М.:
Наука, 1980. Мы рекомендуем читателю также следующие руководства по
классической механике и электродинамике: Тамм И. Е. Основы теории элек-
электричества.—М.: Наука, 1976; Медведев Б. В. Начала теоретической физики.—
М.: Наука, 1977; Матвеев А. Н. Электродинамика.—М.: Высшая школа, 1980.

Глава 2
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Приступая к построению полностью релятивистской механики,
мы будем следовать исторически сложившемуся пути и начнем
с построения одночастичной теории. Мы введем уравнения Клей-
Клейна—Гордона и Дирака и укажем область их применимости.
В качестве приложений рассмотрим электромагнитное взаимодейст-
взаимодействие, релятивистский спектр атома водорода и кулоновское рас-
рассеяние. Дырочная интерпретация состояний с отрицательной энер-
энергией в терминах античастиц требует новой формулировки, так
называемого вторичного квантования, представляющего собой тео-
теорию многих частиц.
2.1. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
2.1.1. Квантовая механика и релятивизм
Наша первая цель—это попытаться совместить принципы кванто-
квантовой механики и релятивистской инвариантности, а именно по-
построить лоренц-ковариантное волновое уравнение. На этом пути
мы встретим все увеличивающиеся трудности и противоречия,
которые в конечном счете заставят нас полностью пересмотреть
наши физические представления.
В квантовой механике состояния системы представляются нор-
нормированными векторами |\|>> (или матрицами плотности р =
= 2 Pi I %><^i I) в гильбертовом пространстве Ж\ при этом
|<Ф | г|з> |2 (или <Ф | р | ^» является вероятностью нахождения системы
в состоянии |ф>. Физическим наблюдаемым величинам сопостав-
сопоставляются самосопряженные операторы А=А'! в пространстве Ж
которые в общем случае являются неограниченными. Математи-
Математическое ожидание наблюдаемой А, когда система находится в состоя-
состоянии | ф>, т. е. среднее значение по многим измерениям на иден-
идентично приготовленных состояниях, равно <ij)|i4|i|)>. Эволюция
системы во времени вследствие самодействия или под воздейст-
воздействием внешних сил, заданных классическими силовыми полями,
описывается уравнением Шредингера
B-1)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА (J5
или. что эквивалентно, уравнением
где Н—самосопряженный оператор, a U—унитарный оператор,
удовлетворяющий уравнению
Часто встречаются случаи, когда система инвариантна относи-
относительно определенных преобразований симметрии, например пре-
преобразований внешних сил. Теорема Вигнера гласит, что такие
преобразования представляются унитарными (или антиунитар-
антиунитарными) 1} операторами, которые отображают гильбертово простран-
пространство на себя, сохраняют модуль скалярного произведения и ком-
коммутируют с Н.
С другой стороны, специальная теория относительности утверж-
утверждает, что законы природы не зависят от выбора системы отсчета,
если только последняя принадлежит к классу «галилеевых систем»,
получаемых одна из другой с помощью преобразований группы
Пуанкаре. Эта группа содержит пространственные и временные
трансляции, обычные пространственные вращения и лоренцевы
вращения (или бусты), которые связывают системы, движущиеся
с постоянной относительной скоростью (см. гл. 1). Скорость све-
света с является абсолютной верхней границей для скорости любого
сигнала. Сигнал, исходящий из пространственно-временной точки
(х0, t0), достигает лишь точек (xt, tj, расположенных внутри
конуса будущего:
Это—релятивистское условие причинности. Для скоростей же,
много меньших скорости с, надежным приближением остается
галилеева механика.
При построении релятивистского и квантового описания точеч-
точечной частицы можно ожидать некоторых осложнений. Действи-
Действительно, релятивизм сопоставляет частице с массой т импульсы
порядка р — тс. Однако, согласно соотношению неопределенно-
неопределенностей &х*кр ~%, в случаях, когда масштаб длины меньше, чем
комптоновская длина волны К ее- hjmc (для электрона X =
s=3,8-101 см), понятие точечной частицы может привести к
затруднениям. Чтобы фиксировать положение частицы с большей
1) Оператор В называют аитилинейным, если справедливо соотношение
Сопряженный оператор В^ определяется с помощью соотношения <Вф|г|>> =
= <др |В^1|)>* = <??"*¦ г|)(ф>. Оператор В антиунитарен, если выполняются соот-
соотношения |+|

66 ГЛАВА 2
точностью, потребуется энергия (импульс) того же порядка, что
и масса покоя Тем самым допускается рождение новых частиц.
Мы с неизбежностью приходим к понятию античастицы. Тем не
менее для некоторой промежуточной области релятивистская кван-
квантовая механика вполне правомерна, что подтверждается ее после-
последующим развитием.
Чтобы согласовать условие релятивистской инвариантности
с квантовой механикой, обратимся к принципу соответствия.
В обычном конфигурационном представлении квантовой механики
мы связываем операторы it (d/dt) и ф/i) V; = Ф/i) (д/дх') с энергией Е
и импульсом р1 соответственно. Энергия свободной массивной
частицы связана с импульсом соотношениями
? =-|—-f-const (нерелятивистский случай), B.2а)
?а = р2са-J-т2с4 (релятивистский случай). B.26)
Если не будет специальных оговорок, мы будем использовать
систему единиц, в которой % = с=\.
Тем же способом, каким принцип соответствия преобразует
соотношение B.2а) в уравнение Шредингера для волновой функ-
функции \р(х, t) = <x, t\\p>:
*?¦<*. о--,?-¦<«. о.
Э релятивистском случае этцт принцип преобразует соотношение
B.26) в уравнение Клейна—Гордона:
(¦5—
Хотя это уравнение отличается от уравнения Шредингера, B.1), его можно
написать в аналогичном виде, если ввести матричные обозначения. Определим
следующие величины:
^г, '=1, 2, 3;
01 дх1
тогда вектор i|) = {fa} (a =—I, 0, ,,,, 3) удовлетворяет уравнению
для соответствующего набора эрмитовых матриц размерностью 5x5. Читатель
может непосредственно написать эту совокупность матриц и получить вспо-
вспомогательное условие, с помощью которого воспроизводится система уравне-
уравнений, эквивалентных уравнению B.3).
Если интерпретировать \р как волновую функцию, то нам
нужно найти неотрицательную норму, сохраняющуюся при эво-
эволюции во времени. Действительно, существует уравнение непре-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 67
рывности
-згР + div j==d,/fl = O, B.4)
в котором четыре-вектор /д==ц/° = р,//) определяется выраже-
выражениями
B-5)
Интегральная форма уравнения B.4) записывается в виде
откуда следует, что изменение полного «заряда» внутри объема V
соответствует потоку плотности j через поверхность 5, охваты-
охватывающую объем V. Однако плотность заряда р не является поло-
положительно определенной величиной. Поэтому ее вполне можно
рассматривать как плотность сохраняющейся величины (например,
электрического заряда), но не как положительно определенную
вероятность.
Еще одна проблема возникает, когда мы обнаруживаем сущест-
существование решений с отрицательной энергией. Любая функция,
имеющая вид плоской волны
1M (X, /)=М
удовлетворяет уравнению B.3) при условии, что Е2 =
Таким образом, отрицательные энергии ? = — |/"р2-}-^2 появ-
появляются на тех же основаниях, что и физические энергии Е =
— V\>2-\-т2. Это серьезная трудность, поскольку спектр больше
не ограничен снизу. Кажется, что из системы можно извлечь
произвольно большое количество энергии. В случае частицы,,
находящейся первоначально в покое, это было бы возможно,
если бы внешнее возмущение позволило ей перескочить через
энергетическую щель шириной АЛ = 2т между континуумами
положительных и отрицательных состояний. Очевидно, что при
этом понятие стабильных стационарных состояний становится
несостоятельным.
Эти доводы казались в свое время такими непреодолимыми,
что заставили Дирака ввести другое уравнение. Хотя новому
уравнению отвечает положительная норма, мы здесь с необходи-
необходимостью столкнемся с той же самой проблемой физической интер-
интерпретации состояний с отрицательной энергией. На этом этапе мы
вернемся к уравнению Клейна—Гордона и переформулируем нашу

gg - ГЛАВА 2
релятивистскую квантовую механику как теорию многих тел,
в которой состояния с отрицательной энергией могут быть интер-
интерпретированы как античастицы.
2.1.2. Уравнение Дирака
Поскольку с физической точки зрения уравнение Клейна—Гор-
Клейна—Гордона было найдено неудовлетворительным, мы попытаемся по-
построить волновое уравнение
) B.6)
где ty—векторная волновая функция, а а и р—эрмитовы мат-
матрицы, обеспечивающие эрмитовость Н, вследствие чего сущест-
существует положительная сохраняющаяся плотность вероятности.
Теперь введем три следующих требования:
1. Компоненты волновой функции г|) должны удовлетворять
уравнению Клейна — Гордона, так что решение представляет собой
плоскую волну при условии Е2 — р2-\-т2.
2. Существует сохраняющийся 4-вектор плотности тока, чет-
четвертая компонента которого—это положительно-определенная
плотность.
3. Компоненты волновой функции \|) не должны удовлетворять
какому-либо дополнительному условию, так что в любой данный
момент времени они являются независимыми функциями пере-
переменной х. Нам нужно также проверить релятивистскую кова-
ковариантность этого формализма.
Дирак предположил, что at и |3—антикоммутирующие мат-
матрицы, квадраты которых равны единице, удовлетворяющие соот-
соотношениям
К Р} = 0, B.7)
а,.2 = Р2=/.
Здесь скобка {А, В} обозначает симметричную комбинацию опе-
операторов АВ-\-ВА, называемую антикоммутатором.
Нетрудно проверить, что условие 1 выполняется-
= (—Va
Введем обозначения уй:
1-U2, 3, B.8)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 69
и символ Фейнмана # э= а,^. Это позволяет записать уравнение
Дирака в виде
(i-fd\x,—tn) У = (Ш—т) ф - 0. B.9)
При этом уравнение Клейна — Гордона получается умножением
уравнения B.9) на оператор (iB-\-m). Наименьшая размерность
матриц, удовлетворяющих условиям B.8), равна четырем.
Собственные значения матриц а' и Р равны ±1; при i Ф\ имеем detaW
= det (—aJaf) = (— l)ddet afaJ; таким образом, размерность d-матриц должна
быть четной. Поскольку для d=2 существуют лишь три антикоммутирующие
эрмитовы матрицы, а именно матрицы Паули, мы имеем d4
Рассматриваемые нами матрицы записываются явно в виде
0
0
где а'—матрицы Паули, а / — единичная 2х2-матрица. Это пред-
представление удобно при анализе нерелятивистского предела урав-
уравнения Дирака.
Среди всех возможных эквивалентных представлений1), получаемых с по-
помощью несингулярного преобразования у—>UyU-i, особую роль играет
представление Майорана; в этом представлении уравнение Дирака становится
вещественным, что достигается перестановкой а3 и р" ки изменением знака
у aj и он в предыдущем представлении: 3^ = — ccj, a2 = P, аз=—а,з,$—<хг.
Таким образом, одна лишь Р мнимая, а уравнение Дирака
вещественно; его решениями являются линейные комбинации вещественных
решений. Легко найти матрицу U, осуществляющую переход к этому пред-
представлению, и новые у-матрицы (см. приложение в т. 2 настоящей книги)
В четырехмерном представлении B.10) волновую функцию if>
можно записать как биспинор г|> = (^)в терминах двухкомпо-
нентных спиноров ф и %. По причинам, которые будут скоро
ясны, ф и х называют большой и ^малой компонентой соответст-
х) Эквивалентность различных представлений у-матриц, получаемых с и<*>
мощью несингулярного преобразования у —>¦ UyU*1, составляет содержание
так называемой леммы Паули. Это позволяет выбирать представления 7"мат*
риц различными способами. См. в этой связи книгу Боголюбова Н. Н.,
Ло1унова А. А., Тодорова И. Т.— Прим. перев.

70 ГЛАВА 2
венно Они удовлетворяют уравнениям
я г B.11)
Интересно отметить сходство между этими уравнениями и двумя из четырех
уравнений Максвелла
записываемых в явном виде как
где
Спиновые матрицы S' для электромагнитного поля, обладающего спи-
спином 1, играют такую же роль, как матрицы Паули о для спина 1/2, а ком-
комбинация (Е, /В) аналогична (ср, у).
Уравнение Дирака было введено в теорию прежде всего по-
потому, что необходимо иметь положительную плотность вероятно-
вероятности р и соответствующее уравнение непрерывности дд/и=0. По-
Поскольку ^ — комплексный спинор, то для того чтобы р была
вещественной и положительной, она должна иметь вид i];+cil\|5.
Выведем сначала уравнение Дирака для фт. Из B.9) следует, что
Величины y>*t нетрудно выразить через у&:
yot = ?о t yt = (pa)t = a$ = p фа) f, = fyf.
Таким.образом, определяя функцию \|> с помощью соотношения
iF^«V. B.12)
мы имеем
y(W + m) = 0. B.9а)
Комбинируя уравнения B.9) и B,9а), приходим к равенству
Следовательно, можно предположить, что ток имеет вид
B

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 71
Плотность р положительна. Малая и большая компоненты вхо-
входят в р одинаковым образом, тогда как в j входят перекрест-
перекрестные члены. Ниже мы убедимся в том, что при преобразованиях
Лоренца /^ преобразуется как 4-вектор.
2.1.3. Релятивистская ковариантность
Проверим теперь, соответствует ли уравнение Дирака принципу
относительности, т. е. сохраняет ли оно свой вид в двух систе-
системах отсчета, связанных преобразованием Пуанкаре. Иными сло-
словами, мы требуем, чтобы систему, описываемую в данной системе
отсчета уравнением с определенными граничными условиями,
с помощью преобразований Пуанкаре можно было связать с се-
семейством состояний, удовлетворяющих тому же уравнению с пре-
преобразованными граничными условиями.
Обращаясь к первой точке зрения (независимость от наблю-
наблюдателя), прежде всего замечаем, что трансляционная инвариант-
инвариантность выполняется с очевидностью. Рассмотрим преобразование
Лоренца Л. Пусть наша система описывается волновой функцией
ф, а в преобразованной системе — волновой функцией \|)'. Обе
функции должны удовлетворять уравнению Дирака:
'ValrlK*)-"«К*)-О, B.96)
'Vх §??¦'(*')-«¦'(*') = 0, B.9в)
причем х' = Ах.
Должно существовать локальное соотношение между \|) и ф',
такое, чтобы наблюдатель в преобразованной системе отсчета мог
восстановить г|з', если задана ф. Мы предполагаем, что это соот-
соотношение линейно:
где S (Л) — несингулярная 4х4-матрица. Уравнение B.9в) теперь
запишется в виде
Чтобы это уравнение следовало из B.96) для любого \|) и по-
поскольку дх /dx'p- = (A~1)v1t, должно выполняться равенство
S(A)y»i5-1(A) = (A-1^vvv. B.15)
Построим сначала S (Л) для инфинитезимального собственного
преобразования Л, которое можно записать в виде

ГЛАВА 2
где инфинитезимальная матрица а>^ антисимметрична. Запишем
выражения
B.16)
5^(A) = / + i-attva)^+...,
где матрицы a^v антисимметричны по (xv. В первом порядке по ю
из уравнения B.15) получаем
. B.17)
Матрицы аар, удовлетворяющие этому соотношению, даются вы-
выражением
Конечное преобразование записывается в виде
SM-e-™'**''*, B.19)
тде (в0* теперь конечная величина.
Для пространственных вращений 5 унитарно, а для лоренце-
вых бустов оно эрмитово.
Формулы конечных преобразований наиболее легко вывести в киральном
представлении "^-м^триц:
„ в / 0 — А /в 0\ /0
<*ы=4" IV* У Л = -'«,- = | (? ^
i , п t' , /сь 0
В этом представлении два спинора Паули в разложении биспинора г|)
преобразуются независимо при вращениях и бустах. Представление группы
-Лоренца [а точнее, ее накрывающей группы SL B, С)] приводимо к сумме
двух неэквивалентных представлений A/2, 0)-j-@, 1/2). Однако мы увидим,
что это представление неприводимо, если включить в него преобрсшование
четности (пространственное отражение).
Напомним, что представления группы Пуанкаре классифици-
классифицируются по собственным значениям двух операторов Казимира Р2
и W1; Р^ есть оператор энергии-импульса, который является
генератором трансляций, тогда как W^ строится из оператора
углового момента J^ (генератора преобразований Лоренца) сле-
"Дующим образом:
4 B.21)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 73
Если М% обозначает собственное значение оператора Р\ то IP
принимает лишь значения вида
W2= — M2S(S+\),
где спин S является целым или полуцелым.
Для решений уравнения Дирака и, следовательно, уравнения
Клейна — Гордона Р2= — <Э2 принимает значение т3, в то врем»
как Уцг дается формулой
= ( /- т V c
= ( /-
откуда следует
^'YV + 'Wv-^' B-22)
Вычислим теперь W^ по формуле B 21):
^ B.21а)
Вклад орбитальной части момента исчезает, тем самым под-
подтверждается, что W^ соответствует собственному угловому мо-
моменту. Используем далее тождество
8pU Hpt in \ —
ucxPy a'P'V — u L \ьтт'/ —
= — У(—l)pg s • B-23)
P
здесь в первом выражении индекс т (или т' соответственно) при-
принимает значения а, |5, у (а', |5', у'), а во втором происходит
суммирование по всем перестановкам Р индексов а', Р', у'.
После некоторых алгебраических выкладок с использованием
уравнения Дирака мы приходим к выражению
И72_ __Л«72— L (— Л- \\ т» (О 0А\
Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы со спи-
спином 1/2
В заключение найдем закон преобразования спинора \|) при
пространственном отражении. Нам снова нужно найти 5 (Л), удов-
удовлетворяющее соотношению B.15), где Л обозначает матрицу,
определяемую в виде
~* __! J. B:25)

74 ГЛАВА 2
Нетрудно заметить, что
B.26)
и есть искомое преобразование. Здесь г\Р является произвольным
ненаблюдаемым фазовым множителем. Следует отметить важное
обстоятельство, что решения с положительной и отрицательной
энергиями имеют по отношению друг к другу противоположные
четности, соответствующие двум противоположным собственным
значениям у°. После переосмысливания решений с отрицательной
энергией это будет означать, что частицы и античастицы имеют
противоположную внутреннюю четность.
В дальнейшем изложении важную роль будут играть различ-
различные билинейные формы, построенные из \|з и $. Остальную часть
данного раздела мы посвятим изучению трансформационных свойств
этих функций при преобразованиях Лоренца. Из B.14) получаем
где второе выражение проверяется с помощью явных выражений
B.19) для S (Л) [и выражения B.26) для преобразования прост-
пространственного отражения]. Таким образом, билинейная форма
\р(х)А^(х) преобразуется по формуле
ф' (х') Лф(х') = ?(*) S-1 (Л) AS (Л) г|> (х). B.27)
Например, из B.15) мы замечаем, что Ору^ преобразуется как
4-вектор:
t' (х') уЧ' (х') = Л<* v\jj (x) у vty (x), B.28)
тогда как \|э (х) if (л:) — это (не положительно-определенная) скаляр-
скалярная плотность.
Вообще говоря, любую матрицу 4x4 можно разложить по
базису из 16 матриц. Можно показать, что алгебра, образуемая у:
матрицами, алгебра Клиффорда, как ее принято называть у мате-
математиков,—это не что иное, как полная алгебра матриц 4x4.
Введем обозначение1)
у8 === у 5 5ю= гу°у1у2уа. B.29)
В представлении B.10)
B.30)
*) Данное обозначение не является общепринятым. Некоторые авторы не
вводят множитель i (тогда у^ = — 1) или используют другой знак при у»-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 75
Матрица у* удовлетворяет условию
{т«, vn} = 0 и (у6J-/. B.31)
Рассмотрим теперь 16 матриц:
^V^jtVu. Vv].
Они имеют следующие свойства:
1. (ГаJ = ±/.
2. Для любой матрицы Га (Га Ф Vs = /) существует матрица Гь,
такая, что ГаГь=—ГьГа.
3. Таким образом, след всех Та, за исключением Vs, равен нулю:
Spra(PJ= -Sprbrarb= -Sp(rbJra = 0.
4. Для любой пары Г", Ть (а Ф Ь) существует матрица Vе Ф Vs — /,
такая, что ГаТь = Тс с точностью до множителя ±1 или ±/.
5. Из перечисленных свойств следует вывод о линейной незави-
независимости совокупности матриц {Га}. Предположим, что
Умножая это соотношение последовательно на все Га и вы-
вычисляя след, получаем Ъа — 0 для любых а.
6. Справедливы следующие тождества:
.,HV _ 4 v^v^v = 2vv
Y^YT^ = 4gvp. y»yvfy°V»= -b°VPVv- K
В Приложении приведен список этих и других полезных тождеств.
Используя данный базис, запишем теперь свойства соответст-
соответствующих билинейных форм \|ь4\|) по отношению к собственным
преобразованиям Лоренца и пространственным отражениям
S: у'(х')Ц'(х') = у(х)у(х) ¦ (скаляр),
У:
Т:
А:
Р:
У(х)у^ (х
~$'(х') o*vty'(x
\j>V) ТбУ^^Чл
y'(x')y6y'(x
) = Л^г\|5 (л;) yv$ (х)
:') = Л^рЛ^"^ (х) ара\|з (х)
¦') = det (Л) А»ч\р (х) Y6?v^
f) = det(A)y(x)y^(x)
(вектор),
(антисимметрич-
(антисимметричный тензор), B.33)
(х) (псевдовектор),
(псевдоскаляр).
Приставка «псевдо» относится к пространственному отражению, а
х' означает, что x'tl — Atlvxv.

76 ГЛАВА 2
2.2. ФИЗИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
2-2.1. Решения в виде плоских волн и проекционные операторы
Будем искать решения свободного уравнения Дирака B.9) в виде
плоских волн, т. е. в виде
1|з(+> (х) — е~1к х и (k) для положительной энергии, „ .
\|5<-' (x)~elk xv (k) для отрицательной энергии
при условии, что k° положительна Чтобы эти решения удовлет-
удовлетворяли уравнению Клейна —Гордона, должно также выполняться
условие k2 — m2. Положительный времениподобный 4-вектор
jfen — это не что иное, как энергия-импульс частицы (в системе
единиц, в которой fi=\). Из уравнения Дирака следует
(K — m)u(k) = 0, (JC + m)v(k) = O. B.35)
Предположим, что частица имеет ненулевую массу (т=^=0). В си-
системе покоя частицы № = (т, 0), и уравнения B.35) принимают вид
(уо-1)и(т, 0) = 0,
(f + l)v(m, 0) = 0.
Очевидно, что имеется два линейно-независимых решения и и два
линейно-независимых решения v. В обычном представлении B.10)
мы будем обозначать эти решения следующим образом:
Преобразуем эти решения из системы покоя в систему, движу-
движущуюся со скоростью v== |k|/&°, используя собственное преобра-
преобразование Лоренца B.19). Проще же, исходя из тождества
(К — т) (К + т) = k* — т2 = О,
написать
B.37)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 77
Здесь Е обозначает положительную величину: Вз= k° — (ка-\-maI/s;
двухкомпоненгные спиноры ф и % являются ненулевыми компо-
компонентами и (т, 0) и v(m, 0) соответственно.
Сопряженные спиноры запишутся в виде
ы<«> (*) = ««*> (т, 0) .
V2» («+?) B38)
, 0)
^ ¦
J/ 2т (т+?)
Нормировочные множители выбраны нами так, чтобы выполня-
выполнялись соотношения
<» (A) = fi«p, _п«)(Л)о"(А) = 0, 2
(А) у(|3) (А) = — ааР, (а)(й)<Р)(^) 0
Рассмотрим матрицу
1, 2
1
(т-\-Е)
При получении последнего выражения использовалось тождество,
справедливое в случае й2 = т2, а именно
(ЛГ + т) v° (* + т) = 2? (АГ + т).
Аналогичным образом положим
2
а=1. 2
1 1—7°
—2т(т+Е)ул "ч 2 ^ "ч ~
==-х+т B.41)
Операторы Л+ и Л. являются проекционными операторами на
состояния с положительной и отрицательной энергией соответ-
соответственно Они удовлетворяют соотношениям
SpA±F) = 2, B.42)
Л+ (k) + A_ (k) = I.
В соотношениях B.39) нормировка лоренц-инвариантна. Поло-
Положительно-определенная плотность равна р = /'• (k) =* ty (k) /\|) (k).

78 ГЛАВА 2
Вычислим ее в случаях, когда решения имеют вид плоских волн
с положительной энергией:
?<W B.43a)
и с отрицательной энергией:
= a<a> (ft) у
= ^-б«р. B.436)
Спиноры были нормированы в состоянии покоя. Поскольку плот-
плотность, умноженная на объем, должна оставаться постоянной, то
при релятивистском сжатии объема в Е/пг раз плотность должна
увеличиваться в такое же число раз.
Состояния с положительной и отрицательной энергией взаимно
ортогональны, если мы рассматриваем состояния с противопо-
противоположными по знаку энергиями, но с одним и тем же 3-импульсом:
х>«<а>(/г),
' = ('*> к),
1 - ~ г л B-44>
m '
Физический смысл решений с отрицательной энергией еще
требует объяснения Кроме того, построенные нами состояния
(описываемые плоской волной) не имеют смысла для частиц с ну-
нулевой массой. Этот вопрос мы подробно обсудим в разд. 2.4.3.
Чтобы описать остающееся вырождение решений и и и, по-
построим операторы, проектирующие их на состояния с определен-
определенной поляризацией. Используя выражение B.21), можно показать,
что для любого пространственно-подобного нормированного
4-вектора п (п2 = — 1), ортогонального k, справедливо соотношение
B.45)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 79
Следовательно, в системе покоя
В обычном базисе имеем S = ( q aj. Если мы направим п вдоль
оси z [т. е. гг = л3 = @, 0, 0, 1)], то увидим, что решения B.36)
являются собственными состояниями оператора — W'ti^/m — Wym
с собственными значениями -\-1/2 (спин вверх) для иа) и аA) и
—1/2 (спин вниз) для мB) и уB). Таким образом, оператор, проек-
проектирующий на состояния ыш (т, 0) и и2(т, 0), можно записать
в виде
^(«ш) г — TV. 0 /—а
После преобразования Лоренца спиноры uM(k) и vw(k) стано-
становятся собственными состояниями оператора —W-nfm, где век-
вектор п получен преобразованием Лоренца вектора га,^:
\ \ ад B.46)
Знак плюс соответствует а=1, а знак минус — а = 2. Оператор,
проектирующий на состояния иш (k) и иB> (k), записывается в виде
/>(л) = у(/ + у6я). B.47)
Это выражение справедливо для произвольного нормированного
вектора п, ортогонального k; оператор Р (п) проектирует на со-
состояние, которое в системе покоя имеет спин о-п/2=1/2 для
решения с положительной энергией и спин сп/2 = —1/2 для
решения с отрицательной энергией. (Обратите внимание на знаки !)
Обозначим через и (р, п) и v(p, п) собственные векторы Р(п)
соответственно для положительной и отрицательной энергии
Р (га) и (k, n) = u (k, n), _
P(n)v(k, n) = v(k, п). ( '
Проектирующий оператор Р(п) имеет следующие свойства:
[A±(k), P(n)] = 0,
SpA±(/5)/»(±n)=l.'
Используя менее строгое условие на норму п, величину

ГЛАВА 2
можно рассматривать как спиновую матрицу плотности
Spp = 2, Spp2<4.
Существует специальный выбор п, такой, что в данной системе отсчета п
пропорционально к Пусть /г& имеет вид
Да«ное определение поляризации называют спиральностью. При этом спра-
справедливо соотношение
1^^±(к), B.50)
из которого следует, что Р (ге&) проектирует на состояния с положительной
спиральностыо и положительной энергией и на состояния с отрицательной
спиральностью и отрицательной энергией.
В ультрарелятивистском пределе имеем т/к0 —>• 0, | k \/k0 —+ 1 и
п% —<¦ k^/m, поэтому
B51)
±
2.2.2. Волновые пакеты
Перейдем к построению нормируемых волновых пакетов. Мы по-
потребуем, чтобы суперпозиция состояла из плоских волн только
с положительными энергиями, поскольку на данном этапе лишь
эти решения имеют ясный физический смысл Однако мы столк-
столкнемся с противоречиями; поэтому нам придется отказаться от
этого требования. Предположим, что \|з(+>(х) имеет вид
р)е-ч>". B.52)
a=l, 1
Коэффициент [1/BяK] (т/Е) введен для того, чтобы упростить
условие нормировки:
' ~ Ь*(р,а)Ь(р',а')х
(р) и^а">(р')е1 (б-е'м-{(р~ю х _
Здесь dsp/E—-лоренц-инвариантная мера.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Вычислим также полный ток
»pdy^p-5>(p, а)Ь(р\ о')х
X м(а) + (р) а «<«'>(/)') ё <Е-?/> '-Нр-р')-х =
На данном этапе нам понадобится тождество Гордона, кото-
которое устанавливает, что для любых двух решений уравнения Дирака
м<а) (р) и w<P> (G) с положительной энергией справедливо равенство
^ B-54)
Действительно, из уравнения Дирака следует, что
О « «(«) (р) [0 D-т) + (?—т) а] ««»(<?) =
здесь а—произвольный 4-вектор. Равенство B.54) получается
отсюда дифференцированием по а^ Используя это тождество
совместно с B.39), мы можем записать:
Следовательно, в случае суперпозиции решений с положительной
энергией полный ток совпадает с групповой скоростью Этог ре-
результат аналогичен тому, что наблюдается в теории Шредингера,
и он представляется удовлетворительным Однако суперпозиция
решений только с положительной энергией приводит к проти-
противоречию
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим эволюцию во вре-
времени волнового пакета, который в момент времени J? = 0 имеет
вид гауссова распределения с полушириной d:
ke~Ww' Bl56)
где w—некоторый фиксированный спинор, скажем (q )•
Соответствующее (нормируемое) решение уравнения Дирака
имеет вид
B.57)

82 ГЛАВА 2
Поскольку фурье-образ распределения Гаусса является опять-таки
распределением Гаусса, т. е.
мы можем написать
DndaK/l e-P! di^ w=y 2 [Ь (р, а)ы<«>(р) + d* (р, а
а
здесь р означает (ра, — р).
Из соотношений ортогональности B.43) следует, что
Ъ(р, а) = Dnd2K/,d-i*"/» и»> +(р) ш,
Используя явные выражения B.37), можно показать, что отноше-
отношение d*lb имеет порядок \р\/(т-{-Е) и становится существенным,
когда |p|~m. Если волновой пакет распределен по области
с характерным размером d^>l/tn, то вклад импульсов |р|-~яг^>
^> l/d сильно подавлен и компонентами с отрицательной энергией
можно пренебречь. Таким образом, одночастичная теория не при-
приводит к противоречиям. Однако, если мы хотим локализовать
волновой пакет в области пространства с размерами порядка
комптоновской длины волны, т. е. d^i/m, решения с отрица-
отрицательной энергией начинают играть заметную роль. Эта количе-
количественная оценка согласуется с эвристическими рассуждениями,
приведенными в начале настоящей главы Запишем, как и выше,
условие нормировки в случае волнового пакета, содержащего
вклады от состояний с отрицательными энергиями [см. B 57)]:
а)|*)=1. B.59)
При этом выражение для полного тока имеет вид
** (р. «)d* (р. а') e*lEi «(а) (р) °ia у(а/)(р)—
аа'
\ B.60)
Здесь введено обозначение (ро = рп, — р). Ток зависит теперь от
времени. Помимо члена, отвечающего групповой скорости, в него
входит также вещественный осциллирующий член. Частота этих
осцилляции очень высока—она больше, чем

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
83
Это явление, по традиции называемое «дрожанием» (zitterbewegung),
представляет собой пример тех трудностей, с которыми прихо-
приходится сталкиваться в рамках одночастичнои теории из-за наличия
состояний с отрицательной энергией.
Более поразительное явление—это знаменитый парадокс Клейна. Представим
Себе идеализированную картину процесса локализации с помощью прямоуголь-
прямоугольного потенциального барьера высотой V в полупространстве г = х3 > 0 (рис. 2.1).
V
РИС. 2.1. Парадокс Клейна
в случае прямоугольного потен-
потенциала.
?-
О
Рассмотрим в полупространстве г < 0 падающую вдоль оси г плоскую волну
с положительной энергией и импульсом k > 0:
) = *?**[ )
При этом отраженная волна запишется в виде
;
\E-\-m/
(суперпозиция решений со спином вверх и со спином вниз и с положительной
энергией). В полупространстве г > 0, т. е. в поле постоянного потенциала V
прошедшая волна имеет аналогичный вид:
E — V+m,
где q—эффективный импульс:
n up l/\2 m%ylt
Используя условие непрерывности решения при z = 0, а именно
if (г) = 9 (— г) 11|5пад B) + я|зОТр (г)]+6 (г) "'^р (г),

84 ГЛАВА 2
можно определить коэффициенты а, ,,,, d:
b = d=O (нет опрокидывания спина),
. q Е+т
1—а—гс, где /• — '¦
k E — V
До тех пор пока \Е—V | < т, эффективный импульс q является мнимым и
прошедшая волна спадает экспоненциально, и на расстоянии в несколько
комптоновских длин ею можно пренебречь. Если мы увеличим V, чтобы огра-
ограничить эту область проникновения, то прошедшая волна станет осцилли-
осциллирующей при У^Е-\-т
Вычисляя отношения прошедшего и отраженного токов к падающему,
получаем
/пр __ 4г /отр /1 — г У_,
/~A+J' /~W+/ ~
/пад"
На первый взгляд закон сохранения вероятностей выполняется, т. е.
/пад ^/
Однако, поскольку г < 0, отраженный поток оказывается больше падающего.
Таким образом, при попытке локализовать частицу в области с размером
порядка комптоновской длины волны, мы снова столкнулись с противоречием.
Несмотря на эти затруднения, уравнение Дирака и его одно-
частичная интерпретация очень полезны и физически разумны до тех
пор, пока мы рассматриваем внешние силы, которые мало ме-
меняются на расстояниях порядка нескольких комптоновских длин
волны. С его помощью мы найдем первые релятивистские поправки
к шредингеровской картине. Изучением этого вопроса мы соби-
собираемся заняться в следующих разделах, прежде чем вернуться к
более углубленному исследованию смысла состояний с отрицательной
энергией. Теперь мы понимаем, что противоречия, которые зас-
заставили нас отказаться от уравнения Клейна — Гордона, в действи-
действительности не были разрешены. Тем не менее мы продолжим данное
обсуждение в рамках теории частиц со спином 1/2 в силу того,
что эта теория имеет, важные физические применения. Можно было
бы таким же образом рассмотреть теорию скалярного поля, которая
применима в равной мере. Это еще один пример того, когда важная
физическая теория была разработана на основании соображений,
которые впоследсшии оказались необоснованными.
2.2.3. Электромагнитное взаимодействие
Рассмотрим взаимодействие дираковской частицы с внешним (клас-
(классическим) электромагнитным полем, заданным потенциалом Лм (дг).
Соответствующее взаимодействие (т. е. минимальное взаимодействие)
вводят в свободное уравнение Дирака с помощью рецепта, опи-
описанного в гл. 1:
дд — дц + fe^V B.61)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Тогда уравнение Дирака принимает вид
= 0. B.62)
Этот рецепт обеспечивает инвариантность уравнения относительно
калибровочных преобразований:
Здесь е—заряд частицы; для электрона он отрицателен, е = — \е\.
Лоренц-ковариантность данного уравнения очевидна. При пере-
переходе в новую систему отсчета электромагнитный потенциал преоб-
преобразуется как вектор:
и, следовательно, к данному случаю можно применить анализ,
выполненный в разд. 2.1.3.
Уравнение B.62) можно записать в более детализированном
виде
)у. B 64)
Следует отметить сильное сходство гамильтониана взаимодействия
Нвз и гамильтониана классической частицы во внешнем поле
— ev-A-\-eA", что согласуется с интерпретацией вектора а как
оператора скорости. В представлении Гейзенберга оператор C
удовлетворяет уравнению движения
в@'[лв (')]+§
Таким образом, в этом случае оператор положения г и калибро-
вочно-инвариантный импульс лг=р—еА удовлетворяют уравне-
уравнениям
dv .tT. ,
§ = /[Я,я]-в^ = в(Е + аХВ),
где
Е = —^—V^°, В = rot A.
Второе уравнение представляет собой операторную версию урав-
уравнения для силы Лоренца. Однако вследствие парадоксов, с кото-
которыми мы столкнулись в предыдущем разделе, мы можем интер-
интерпретировать векторы гил как координату и импульс лишь в
ограниченном смысле.

86 ГЛАВА 2
Чтобы выяснить физический смысл этих уравнений, рассмотрим
их нерелятивистский предел. Запишем -ф ===== Г Ф ) и используем
представление матриц, в котором Р = (л /)>а=( о)"
При этом уравнение B.64) запишется в виде пары уравнений
ду B-66)
В нерелятивистском пределе большая энергия т является до-
доминирующим членом в B.66). Введем медленно меняющиеся
функции времени Ф и X:
B.67)
Эти спиноры удовлетворяют уравнениям
Если предположить, что еЛ°<^2т, то решение второго уравнения
записывается приближенно в виде
а первое уравнение совпадает с уравнением Паули
Это оправдывает использование терминов «большая и малая ком-
компоненты» для ф и х (или Ф и X соответственно). Что касается
уравнения B.69), то оно является обобщением на случай спино-
спиноров уравнения Шредингера для электромагнитного поля. После
простых алгебраических преобразований, а именно вычисляя
[о,-, о,][я', я^] = я2—еа-В,
уравнение B.69) можно переписать в виде
]¦ <270»
Заметим, что единственная зависимость от спина сохранилась в
члене магнитного взаимодействия сьВ. Восстанавливая величины

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 87
% и с, этот член можно переписать в виде
ЯММ1| = -Ао.в = _ц.В, B.71)
где магнитный момент ц определяется выражением
<2-72>
Оператор спина S = fta/2. В соответствии с определением, данным
в разд. 1.1.3, гиромагнитное отношение g=2. Это нетривиальный
результат теории Дирака, предсказанный в рамках нереляги-
вистского рассмотрения, основанного на уравнении Паули.
Численное значение магнитного момента \ц\ равно
\^ 57910~°
Экспериментально измеренное значение величины g отличается
от дираковского на очень малую величину за счет радиационных
поправок; этот вопрос мы изучим позже.
Уравнение Паули B.70) можно упростить, если рассмотреть однородное маг-
магнитное поле В= rot А, такое, что А = 1/гВХг, и пренебречь квадратичным
членом по А (приближение слабого поля). В результате получим уравнение
где L=rXp—оператор орбитального углового момента. Предлагаем читателю
найти полную систему решений этого уравнения.
В действительности проведенное выше рассмотрение можно
выполнить также для уравнения Дирака, записанного в квадри-
рованной форме, т. е. не используя нерелятивистского прибли-
приближения. Запишем сначала уравнение B.62), умножив его на опе-
оператор (Ш—еА-\-т). Это дает
= [(id-eAy—e-a™F^m* ] ^ = 0. B.73)
Следовательно, в обычном представлении зависящей от спина
член имеет вид
{tVfpv = -g({) (te.E
+o.B).
Он вновь отвечает значению гиромагнитного отношения g = 2.
Заметим, что такое значение получено как следствие предпо-
предположения о минимальном взаимодействии B.61). Мы могли бы

88 ГЛАВА 2
написать уравнение с взаимодействием, которое не является мини-
минимальным, т. е.
&±] B.74)
Это уравнение привело бы к g = 2-\-Ag. Такое уравнение приме-
применяется при изучении поведения в слабых полях частиц с g-фак-
торами, сильно отличающимися от 2.
Представляет интерес задача определения энергетических уровней в постоян-
постоянном магнитном поле. Предположим, что поле В направлено вдоль оси г.
Вектор-потенциал А можно выбрать так, что А°=АХ — Аг =0 и Ау — Вх.
Для стационарного решения, отвечающего энергии Е, ty = e~i?il J, урав-
^ А /
нения B.66) записываются в виде
(Е— т)ф = а-(р—еА)%,
(?+т)х = а(р—еА)ф.
Исключая 5С> мы получаем уравнение для ф:
(?2 —т2)ф = [а (р—еА)]2ф = [(р—еАJ—еа-В]ф =
= [р*+еЗДа**-еЯ (oz+2xpv)] <p.
Это есть не что иное, как гамильтониан гармонического осциллятора. По-
Поскольку ру, рг и аг коммутируют с правой частью, мы ищем решения в виде
ф (х) = еИРуУ + Р2г) f(x),
где f (x) удовлетворяет уравнению
} & B.75)
Предполагая, что знак величины В таков, что еВ > 0, введем вспомогатель-
вспомогательные переменные
a
еВ
В этих переменных уравнение B.75) запишется в виде
Если / есть собственный вектор оператора аг с собственным значением а=±1,
причем
f—(о) для а=1' ?={f ) для а==—1<
то /а удовлетворяет уравнению
аA)=-(«+«)/„(!). «=± 1.
Решение, убывающее на бесконечности, выражается через полином Эрмита

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
при условии, что о+в = 2п+1, где п = 0, 1, 2 Следовательно, уровни
энергии определяются выражением
Е* = т2 + р1 + еВBп + \— а). B.76)
Нетрудно написать и соответствующие волновые функции. Эти
уровни являются вырожденными как по дискретной переменной
(п, а = —1; п-\-\, а=1), так и по непрерывной (по ру). Вырож-
Вырождение по ру можно свести к дискретному, если предположить,
что частица находится в потенциальном ящике конечных разме-
размеров. Выражение B.76) является релятивистским обобщением
уровней Ландау. Мы видим, что для g = 2 спектр простирается
до значения Е2 = т2.
В качестве второго примера изучим поведение дираковской
частицы в поле электромагнитной плоской волны. При этом мы
получим обобщение классического рассмотрения, проведенного
в гл 1. Предположим, что плоская волна, которая является
линейно-поляризованной, характеризуется направляющим векто-
вектором nii(n2 = Q) и вектором поляризации 8v(s2 — —1, в<я = 0). За-
Запишем выражение Л^ = е^/(|), где 5 = лаи ^Лу = «„Лу, причем
/4v = ev/'(g). Тогда квадрированное уравнение B.73) принимает
вид
(— ?—2ieA -д + ё*А2—/иа—ienA')-$=S). B.77)
Запишем его решения в виде
%(х) = е-1рхц>A), B.78)
где ф—дираковский спинор, а р — неортогональный к п четыре-вектор. До-
Добавляя к р некоторую величину вида %п, можно удовлетворить условию
р2 = т2.
Интерпретация этого 4-вектора следующая. В системе отсчета, в которой
е° = 0 и, следовательно, Л° = 0, а Е и А направлены вдоль оси Ох, В вдоль оси
Оу, а п — вдоль оси Oz, операторы Pi = idi, /?2 = (д2 и i' (до-\-д3) = ро-\-рд ком-
коммутируют с гамильтонианом Дирака. Подстановка решения B.78) в уравнение
B.77) приводит к условию
которое легко проинтегрировать. Таким образом, получаем
РО J '"' f 9.П..П 1 "" I" п. г, Ои.п II"' B.79)
где и — постоянный биспинор. Поскольку (кАJ = —п2А2 = 0, мы можем на-
написать

90 ГЛАВА 2
где /—действие классической частицы, в поле плоской волны (затухающей
на бесконечности), причем р=ти (оо) = р (оо); ср. с выражением A.84):
Для того чтобы i|) удовлетворяло исходному уравнению Дирака, а не только
квадрированному уравнению B.73), оператор «должен подчиняться некоторому
вспомогательному условию. После простых алгебраических преобразований
получаем
Следовательно,
(#—т) и = 0
и и = и(р) является решением свободного уравнения Дирака. Читатель может
убедиться, что решение B.79) имеет правильную нормировку
и что соответствующий ток имеет вид
Если Л (|) —квазипериодическая функция % (медленно затухающая на бескЬ-
нечности), то среднее значение величины /** равно
В гл. 1 мы получили аналогичное выражение для соответствующего классиче-
классического случая. Эти выражения впервые были получены Волковым в 1935 г.
2.2.4. Преобразование Фолди—Ваутхайзена
В разд 2.2.3 физический смысл уравнения Дирака изучался
с помощью нерелятивистского приближения. Покажем теперь,
что такое изучение можно провести последовательным образом.
Рассмотрим с этой целью преобразование Фолди — Ваутхайзена.
Говоря точнее, мы хотим найти унитарное преобразование
которое разделяет малую и большую компоненты и в котором S
может зависеть от времени.
Такие операторы, как а, которые связывают большую и ма-
малую компоненты, назовем нечетными, а четными—те операторы,
которые эти компоненты не связывают (например /, р\ ...).
Поскольку \р' удовле1воряет уравнению
= [elS (H—idt) e~'s] г|/ = #>S B.80)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 91
наша задача состоит в определении S таким образом, чтобы
в гамильтониан Н' не входили нечетные операторы до заданного
порядка по 1//л. Практически мы будем ограничиваться членами
порядка (Кинетическая энергия/mK или (Кинетическая энергиях
Потенциальная энергия/т2). Это приведет нас к более глубо-
глубокому пониманию роли реляти вистских поправок, вытекающих из
уравнения Дирака.
В свободном случае можно построить S точно. При этом
оператор не зависит от времени и его можно выбрать следующим
образом:
Поскольку (ур/|р|)*=ч=— /, мы можем вычислить ets ц Н' в замк-
замкнутой форме:
e,s = g(vp/iPi) е e cos «P
= (cose+ Ру:т sine) (a.p + p"/n)(cos8 — p ^2-sine) =
= а-р (cos26 — -p^-sin2e]+l3(mcos2J+|p|sin29).
Определяя 8 из условия
sin20 = i|i, cos 28 = ^,
мы исключаем нечетный оператор а«р. Таким образом, И'- запи-
запишется в виде
Я' = -|г (Р2
как и следовало ожидать. Другими словами, мы представили Н
в виде прямой суммы двух нелокальных гамильтонианов ±|/'т1'-\-р2'.
Очевидно, что в конфигурационном пространстве эти квадратные
корни нельзя представить в виде конечного набора дифференци-
дифференциальных операторов.
В случае когда имеется взаимодействие, мы предполагаем, что
S будет порядка т~х. Разложим Н' в ряд, построенный из мно-
многократных коммутаторов:
H]-±[S, [S, Я]]--i[S, [S,[
При выводе последнего выражения было использовано общее тождество
елВе-л «2-^И, [А, [...?4 BJJ...J], B.81)

92 ГЛАВА 2
где в каждый п-й член суммы величина А входит п раз. Это тождество легко
получить, вычисляя последовательно производные от выражения esA В e~sA
при s = 0 и используя их в (формальном) разложении в ряд Тейлора в точке
s = l.
Будем исходить из гамильтониана Н = |3т -\- 6 + 4>, где 6 =
= ос (р—е\)—нечетный оператор, а $—четный оператор еАи.
Из решения, найденного в свободном случае, следует, что в пер-
первом порядке можно положить S — — г|36/2. Таким образом, и со-
соответствии с полученным выше выражением для Н' находим
причем
U 2mLU' ®J 3m2 +i 2m
где б' теперь порядка m. Мы продолжим процесс итераций.
Второе преобразование e~iS' с S' = — t(P6'/2m) приводит к вы-
выражению
где в" = 0(т~2). Наконец, третий шаг, в котором полагается
S" = —(фб"/2т), устраняет этот нечетный член, и мы получаем
искомый гамильтониан в виде
8m2
Заслуживает внимания интерпретация отдельных членов в B.82).
Член в квадратных скобках представляет собой разложение (до
требуемого порядка) величины [(р—еАJ-\-т2]1^. Второй член
еА°—это электростатическая энергия точечного заряда, в то
время как третий член — это энергия магнитного диполя в случае
g = 2 Член в круглых скобках соответствует спин-орбитальному
(со.) взаимодействию. Действительно, для статического сфери-
сферически-симметричного потенциала rotE=0 и Е = — \А°. Следова-
Следовательно,
и член в круглых скобках запишется в виде
И е dA° a \

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 93
Этой дополнительной магнитной энергии соответствует магнитное
поле В'= — vxE, действующее на частицу Взаимодействие этого
поля с магнитным моментом ц, определяемым выражением B.72),
приводит к выражению
но благодаря томасовской прецессии этот результат уменьшается
в два раза.
Наконец, последний член в выражении B.82), называемый
дарвиновским членом —(e/8m2) div E, можно связать с явлением
дрожания. Координата электрона флуктуирует в области с раз-
размером Ьг, таким, что <6r2> ~ 1//л2. Поэтому эффективная элек-
электростатическая энергия электрона равна среднему значению,
определяемому выражением
« (г+бг)> = еЛ° (г) + L t^l <6r<6r/>
В силу сферической симметрии случайная величина, входящая
в последнее выражение, равна
и, следовательно, поправка к члену еА° (г) запишется в виде
что согласуется с величиной и знаком дарвиновского члена.
Читатель, по-видимому, заметил, что, поскольку преобразо-
преобразование Фолди—Ваутхайзена зависит от времени, средние значе-
значения величины Н' в состоянии \|/, вообще говоря, отличаются от
средних значений величины Н в соответствующем состоянии т|з.
2.3. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
Уравнение Дирака нашло важное применение при рассмотрении
тонкой структуры атомных спектров. Хорошо известно, что для
изучения этого вопроса с успехом используются квантовая меха-
механика и ее релятивистские обобщения, вплоть до учета радиацион-
радиационных поправок. Поскольку метод Фолди—Ваутхайзена является
сложным, особенно существенно то, что в статическом кулонов-
ском поле уравнение Дирака имеет точное решение, прекрасно
согласующееся с экспериментальными данными для водородо-
подобных атомов. Не следует ожидать, что трудности, указанные
в разд. 2.2, будут играть здесь значительную роль. В атомной

94 ГЛАВА 2
физике характерным масштабом длины является боровский радиус
ао = Й./тгса = 0,53А, который в 137 раз больше, чем длина волны
электрона. В случае тяжелых атомов указанные трудности ста-
становятся существенными и приходится разрабатывать иные методы.
2.3.1. Сравнение нерелятивистского спектра
с релятивистским
Напомним нерелятивистский результат, вытекающий из уравне-
уравнения Шредингера, явившийся триумфом квантовой Механики на
первых порах ее развития. Волновое уравнение имеет вид
где
_д== ? IL + У!
Щ„,1 = Ц1+\)%,1, / = 0, 1, ...,
a m—приведенная масса системы электрон—атомное ядро:,
tn'1 =m
Условие квантования требует, чтобы величина п' = п—(/+1)
была целым неотрицательным числом (число нулей волновой
функции). Уровни энергии определяются выражением
2, ... . B.83)
Постоянная Ридберга та2/2 численно равна 13,6 эВ.
Волновая функция s-состояния (/ = 0) в начале координат
равна
Поскольку для данного значения п~^ 1 число / может прини-
принимать целые значения от 0 до п — 1, каждый уровень оказывается
п- 1
вырожденным с кратностью 2 B/+1) = л2. Это связано с дина-
о
мической симметрией кулоновской задачи, соответствующей группе
0D) вращений в 4-мерном пространстве. Паули и Фок исполь-
использовали данную симметрию в начале развития квантовой механики
для алгебраического вывода формулы спектра Бальчера B 83).
В релятивистском рассмотрении вырождение снимается, что при-
приводит к тонкому расщеплению спектра
Пренебрегая на время эффектами, связанными со спином, рас-
рассмотрим результаты, предсказываемые теорией Клейна — Гордона,
когда электромагнитное взаимодействие введено минимальным

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 95
образом. Пусть Е—это полная энергия, равная сумме энергии
покоя тс2 и отрицательной энергии связи е. Тогда мы имеем
или B.85)
[
Последнее уравнение формально совпадает с уравнением Шредин-
гера, если произвести следующие замены:
Е
т '
?2 — ОТ»
8~~* 2т
При этом орбитальное квантовое число сдвигается на вели-
величину 6Ь (—»-Л = /—5,, причем
Главное квантовое число п сдвигается на ту же величину, по-
поскольку п' = п—(/ + 1) должно быть целым. Следовательно,
уровни энергии можно записать в виде
2m 2 m? (ге-^б,)г '
или Е „,=*—=-. ¦ —
KH[ZW/(n-«,J]
, , 3 mZ4a4
(a6). B.86)
В этом выражении второй член совпадает с нерелятивистской
энергией связи, а третий член снимает О D)-вырождение Мы не
будем обсуждать паталогические явления, возникающие в этом
случае, а именно сингулярное поведение волновой функции
в начале координат, обусловленное притягивающей частью вза-
взаимодействия — (ZW/r2), или катастрофу, которая имеет место при
Z > 137/2 (бг и, следовательно, Еп1 становятся комплексными!).
Выражение B 86) плохо согласуется с экспериментальными дан-
данными. Это означает, что нельзя пренебрегать эффектами, связан-
связанными со спином.
2.3.2. Теория Дирака
Рассмотрим теперь результаты, предсказываемые уравнением
Дирака. Прежде чем строить волновые функции, сначала, как
и в случае уравнения Клейна—Гордона, попытаемся дать про-

96 ГЛАВА 2
стой вывод формулы спектра С этой целью квадрируем уравне-
уравнение Дирака [ср B 73)] и подставим в него ненулевую компо-
компоненту потенциала /10=— (ZelAnr) (при этом^о^—Fl0=—dtA(l=E').
Удобно работ.а1ь в киральном представлении у-матриц B.20),
в котором матрица сг0/является диагональной: G°' = i(o a,
В уравнении B.73) спиновый член записывается в виде
\ a"v/Vv = ± tea. Е = =F iZa ^ ,
где г —единичный вектор г/г. Аналогом уравнения B.84) является
уравнение для двухкомпонентных спиноров:
Полный угловой момент J=L+S=L+ a/2 коммутирует с гамиль-
гамильтонианом и с U. В подпространстве, в котором У2 = /(/+1),
Jg = m (/=1/2, 3/2, ...; — /<т</), а Ls = /(/ + 1), целое чис-
число I принимает два значения: / = / + 1/2 = /+ и /==/—1/2 = /_.
Оператор a r не имеет диагональных матричных элементов,
</± | а -г| /±> = 0, он является эрмитовым, а квадрат его равен
единице; поэтому в рассматриваемом подпространстве оператор
[L2—Z2a2 =F iZaa>r] имеет следующий вид:
Обозначим через Я (Я- + 1) собственные значения этого оператора,
тогдаЯ = [0+1/2)а—Z2aa]V* и Л=[(/+ l/2J-Zaaa]'/2_ 1. Следова-
Следовательно, величину % можно записать в виде
где
б/==/+ l/2-j/'(/+l/2J-Z2a2
В этом случае п опять-таки сдвинуто на бу, чтобы /г' = (п—бу)—%—1
оставалось целым. Условие п'^0 ограничивает величину / сле-
следующими значениями: / ^я—3/2 для Я = /+ 1/2 — бу и ji^n—1/2
для Я = /— 1/2—бу. Следовательно, мы имеем двукратное вырож-
вырождение состояний, за исключением состояния, отвечающего j=n—1/2.
Окончательный результат выглядит следующим образом:
р тmZ2a2 mZ^a.* Э mZ4a4 , п ь.
B.87)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
97
где /i=l, 2, ..., а /=1/2, 3/2, ..., п— 1/2. При Z= 137 про-
происходит катастрофа; величина б^/г становится мнимой для заря-
зарядов, превосходящих это значение.
Вырожденные состояния могут различаться по их орбитальному
угловому моменту /, который принимает значения / ± 1/2 (за иск-
ZP,
Т Тонкая
1
стриктура
Гц
Лэмбовский.
сдвиг
1057 МГц
Триплет
тф-аг \-JS,/t СИ J
Синглет
Сверхтонкая
структура MZO МГц
РИС. 2.2. Низколежащие уровни энергии атома водорода.
лючением / = я—1/2, когда / = п—1); это в свою очередь свя-
связано с трансформационными свойствами состояния относительно
пространственных отражений. На рис. 2.2 показаны энергии низ-
колежащих состояний; здесь мы использовали традиционное не-
нерелятивистское спектроскопическое обозначение nlf.
Новым явлением оказывается тонкая структура спектра: раз*
лнчие по энергии между уровнями с разными /, но с тем же
самым значением п. Например, для Z=\
,) да'-^-=4,53-10-3 эВ=» 10,9 ГГц.

98 ГЛАВА 2
Можно показать, что тонкое расщепление является следствием спин-орбиталь-
спин-орбитальной связи B.82):
Для s-волны этот член обращается в нуль, тогда как для р-волны оператор
L-a = (J2—L2 — a2/4) принимает значения 1 и —2 для /=3/2 и / = 1/2 соот-
соответственно. С другой стороны, из соображений размерности для среднего значения
величины 1/г3 имеем <гс/1 1/г3 | nl} — knl (mZa.K, где ?„; —числовой множитель.
В любом учебнике по квштовоп механике дается значение этого множителя:
fe8i + l)n3[B/+lJ— 1] (в частности, fe31 = 1/24). Таким образом,
что согласуется с ранее сделанной оценкой. (Это справедлнво также для более
высоких значений п и /.)
Построим теперь спиноры, которые являются собственными
состояниями энергии в этой задаче Возвращаясь к представле-
представлению Дирака B.10), запишем биспиноры в виде t —( ) и найдем
двухкомпонентные спиноры, которые являются собственными сос-
состояниями операторов У2, Jг и L2 с собственными значениями
/(/+1), т и /(/+1) соответственно. Пусть фУ^—собственное
состояние для / = / ± 1/2.
Функции ф<.±^ как собственные состояния оператора La должны
иметь вид
Г п.. У^\
(здесь не проводится суммирование по ц и ц')>
где Yf—сферические гармоники. Эти функции должны быть так-
также собственными состояниями оператора J2 = LZ + SZ с собствен-
собственным значением т, а также собственными состояниями оператора
L-o — P—L2—3/4 с собственным значением / для ф<+^ и —(/+1)
для Ф^- Первое условие дает ji = /n—1/2 и (л' = т+1/2, второе
условие совместно с условием нормировки |а|2 + |Ь|2 определяет
величины а и Ь. Окончательно получаем спинорные гармоники
в виде
/_т+ {/2уи )
К7,+ 1/1],/-/-1/2,/>0. B.89)
Фаза выбрана таким образом, чтобы выполнялось равенство
Ф^„, = о.?ф;^. B.90)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
99
Поскольку а г псевдоскалярный оператор, спиноры ф^ и ф/~^,
характеризуются противоположными четностями (их угловые мо-
моменты / отличаются на единицу). Удобно ввести общее обозначе-
обозначение. Пусть ф';_ m обозначае! у')У,п, если / = / + 1/2, и ф*-),,, если
/ = /—1/2. Убедимся непосредственно в том, что ф^ ,„ имеет чег-
HOCIb (—1)'.
Поскольку уравнение Дирака с кулоновским потенциалом
B.91)
инвариантно относительно пространственного отражения, можно
построить нечетные и четные собственные функции, а именно
Очевидно, что спиноры
B.92)
имеют четность (—1)'. В выражении B.92) множители i и \}г мы
ввели для облегчения последующих вычислений. Замечая, что
входящий в уравнение B.91) гамильтониан Я можно представить
в виде
(Za
—у ср
выполним следующие промежуточные вычисления:
, /=/±1/2.
Аналогично имеем
(o-p)(a.f)
}im = - | [г^+ 1± (/+1/2)]
Несколько затянувшаяся процедура разделения переменных при-
приводит к паре радиальных уравнений
B.93)

100 ГЛАВА 2
Чтобы решить эту систему уравнений, обозначим через Х= )/~та—Е2 (посколь-
(поскольку Ег < т?), введем новую переменную р = 2Хг и для фиксированных / и /
новые функции F\ (p) и F2 (p)-
Исключая здесь F2, получаем дифференциальное уравнение второго порядка.
Его решение для Ft записывается в виде
Соответствующее выражение для F2 имеет вид
причем
Здесь F (а, Ь; р) — вырожденная гипергеометрическая функция, представляю-
представляющая собой решение уравнения
При больших р эта функция ведет себя как [Г (Ь)/Т (а)] ра-ьер. Требование,
GO
чтобы Fij и Gtj были нормируемы, т. е. \ dr (f|^+G//)= 1, оз-
о
иачает, что величина [Г {y — ZaE/X)]'1 должна обращаться в нуль. Это дает
искомое условие квантования:
ZaE
—г у = пг= (иеотрицательное целое)
—Ю-
которое приводит к выражению B.87):
ZaE
— ssn—О/.
(m2 — ?2) '/• у
Объединяя все множители, можно написать выражение для нормированных
решений Ftj и вц, а следовательно, и для гр/ш.
Мы приведем здесь выражения для волновых функций только основного
состояния:
B.94)

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА \Q\
¦„„,=.,. .=-
Следует заметить, что у = |^1 — Z3a2 ~1 —(Z2a2/2). В нерелятивистском пре-
пределе y —»• 1, и мы снова приходим к шредингеровским волновым функциям,
умноженным на спиноры Паули. Кроме того, полученные волновые функции
сингулярны в начале кооординат, но этот эффект заметен только, когда
Т. е. в очень малой области!
Чтобы сравнить эти результаты с экспериментально найден-
найденными положениями уровней, необходимо учесть ряд других эф-
эффектов
Сверхтонкая структура. В первом приближении мы пренеб-
пренебрегли магнитным поле\1, создаваемым магнитным моментом ядра
(в дальнейшем мы будем рассматривать атом водорода Z—X).
Взаимодействие спина протона с полным угловым моментом
электрона расщепляет уровни на дублеты. Чтобы оценить этот
эффект, воспользуемся нерелятивистским приближением для s-coc-
тояний. Гамильтониан нового взаимодействия запишется в виде
= rotA, A = — -7-iipXv —.
Здесь ае—спин электрона, а цр—магнитный момент протона.
Напомним, что, если ток равен j (х), магнитный момент ц =
= у \ г X J (х) &%х и ДА = — j; следовательно, ток, соответствую-
соответствующий магнитному моменту, локализованному в начале координат,
имеет вид j = — |u.xV63(x). Таким образом,
В случае s-состояний нам нужно иметь лишь усредненную по
угловым переменным величину Hht, оператор V/Vy можно заме-
заменить на A/3)Аб,-у. Иными словами,

102 ГЛАВА 2
Вводя гиромагнитное отношение протона gp, имеем цр ¦¦
= — {gpeftmp)(apl2); при этом
Для основного состояния га=1 [ср. B.84)] получаем
Величина ае ар принимает значения 1 в триплетном состоянии и
¦—3 в синглетном. Окончательно находим AZi^f (триплет-
П=1, / = 1/2
синглет) = D/3) теаА — gp = 5,89 • К)-6 эВ = 1,42 10е Гц. Мы видим,
ТПр г
что это расщепление по сравнению с тонким меньше за счет мно-
множителя me/mp ~\1р/це Разумеется, выполненные нами вычисле-
вычисления можно обобщать на волны более высокого порядка (/ ^ 1):
Радиационные поправки. Имеется несколько видов таких попра-
поправок Во-первых, возбужденные состояния являются нестабиль-
нестабильными, они имеют ширину, и атомы могут спонтанно переходить
в более низкое состояние.
В нерелятивистском дипольном приближении вероятность того, что за единицу
времени произойдет радиационный переход между двумя состояниями к и (д,,
дается выражением
где <^i| D \\ку — приведенный матричный элемент дипольного оператора D = er,
который определяется по теореме Вигнера—Эккарта:
< I ° I ^ > О^яу 1? I/W <У И D || к>.
nn д А B/
В частности, для перехода 2Р —> IS находим
Во-вторых, заряженные частицы взаимодействуют с флуктуациями
квантованного электромагнитного поля Последнее равно нулю
лишь и среднем. Поэтому энергетические уровни оказываются
несколько сдвинутыми Полное и систематическое рассмотрение
эшх эффектов требует применения методов квантовой теории
поля, которые будут изложены в дальнейшем. Здесь мы дадим
предложенное Велтоном качественное описание главного эффекта,
а именно лэмбовского сдвига Оно опирается на те же рассуж-
рассуждения, что и приведенные нами при обсуждении дарвиновского
члена в предыдущем разделе, но в данном случае мы будем рас-
рассматривать флуктуации координат, обусловленные электромаг-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА \Q<)
нитным полем, а не релятивистским дрожанием. Следовательно,
дополнительный вклад в гамильтониан запишется в виде
где У = — (Za/r), и, следовательно, согласно закону Пуассона,
АУ = 4rcZa63 (/¦) В этой простой картине, когда возмущение учи-
учитывается в первом порядке, вклад дают лишь s-волны и п-п уро-
уровень оказывается сдвинутым на величину
| г|>„ @) |» =
12 я» ^ОГ> >>
(Для волн более высокого порядка сдвиг значительно уменьшается
из-за обращения в нуль волновой функции в начале координат.)
Оценка величины <FгJ> основывается на классическом описании
движения электрона в флуктуирующем поле (ядро, которое на-
намного тяжелее электрона, считается неподвижным). Будем счи-
считать, что электрон осциллирует в соответствии с законом
Тогда компонента Фурье электрического поля ?а, отвечающая
частоте ш, дает вклад
/пбга=— ^Еи.
га
В предположении, что между различными модами нет корреля-
корреляции, получаем
Предвосхищая квантовое рассмотрение электромагнитного поля,
предположим, что поле является когерентной суперпозицией пло-
плоских волн, и напомним, что энергия вакуума такого поля есть
сумма энергий нулевых колебаний:
Т, 2 k
взятая по всем волновым числам k и поляризациям к. В случае
большого потенциального ящика размером L имеем k = Bn/L)n

104 ГЛАВА 2
(составляющие пх, пу и пг являются целыми числами). Тогда
-zl \-^ 2 ,
<E2> = J dco <E2m> = 1 j>x E2 =
Следовательно, среднеквадратичное отклонение
Этот интеграл расходится как в области высоких, так и в об-
области низких частот. Ультрафиолетовая расходимость (при со—юо)
связана с тем, что наше квантовое рассмотрение является непол-
неполным; в действительности происходит обрезание на расстояниях
порядка К/тс, что соответствует частотам со ~ тс2/А. С другой
стороны, инфракрасная расходимость в области низких частот
исключается при более точном рассмотрении электромагнитного
поля в присутствии зарядов. Длинноволновые моды чувствительны
к низколежащим состояниям электрона. Это приводит к инфра-
инфракрасному обрезанию на частотах порядка со ~ c/a — mc2a/fl. Исполь-
Используя эти грубые оценки, получаем
<бг2>~ !?>i'
и, следовательно, лэмбовский сдвиг
4 fliZ^o? f I \
6 пп° \ а ]
Для уровня атома водорода с « = 2 сдвиг между состояниями
2Si/2—2Pi/t численно равен
что приближенно согласуется с наблюдаемым сдвигом, равным1)
1057 МГц. Сравнивая этот сдеиг с дарвиновским членом [см. по-
последний член в B.82)], мы видим, что он в aln(l/a) раз меньше.
В дальнейшем мы существенно уточним данное приближенное
рассмотрение (см. гл. 7).
1) В настоящее время эта величина измерена с точностью до четвертого
знака после запятой, см. примечание на с. 439 и примечания редактора пере-
перевода в конце главы 7.— Прим. ред.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Ю5
Влияние ядра. Ядро имеет конечные размеры, его заряд не со-
сосредоточен в точке, а распределен в некотором объеме. В случае
протона распределение заряда ядра описывается формфактором.
Это сказывается преимущественно на s-состояниях, поскольку
волновые функции с более высокими значениями I в начале ко-
координат равны нулю. Интересным следствием неточечности ядер
является изотопический эффект, предсказанный еще в 1932 г. Он
состоит в том, что уровни, отвечающие различным изотопам,
несколько сдвинуты по отношению друг к другу.
В случае легких ядер основной вклад обусловливается разностью масс раз-
различных изотопов:
'электроны ^
поскольку приведенная масса электрона определяется выражением 1/т=1/те-{-
-f-l/msa. Однако в случае тяжелых ядер распределение заряда в конечном
объеме играет значительную роль. В нерелятивистском приближении поправку
можно записать в виде
где V (/•)— истинный потенциал, а — (Ze//¦) — аппроксимирующий его кулонов-
ский потенциал. Таким образом,
б? и е 11|> @) |
» 4-1* <0)|
Здесь мы подставили Д/-2 = 6, проинтегрировали по частям и использовали
закон Пуассона; ДК = — р, \ рсРх = — Т.е. В соответствии с B.84) мы видим,
чю ЬЕ ~ Z4. Этот эффект можно применить на практике для разделения изо-
изотопов. Первый луч лазера переводит атом данного изотопа в некоторое воз-
возбужденное состояние, а второй луч затем его ионизует. После этого можно
произвести электростатическое разделение изотопов.
Другое следствие состоит в том, что значение критического заряда 2<*я*137,
выше которого основное состояние становится нестабильным, оказывается более
высоким, а именно 1 « 175.
Двухчастичные релятивистские поправки. Последовательное рас-
рассмотрение должно также учитывать отдачу ядра. Эта задача яв-
является сложной, и ее решение нужно искать, опираясь на реля-
релятивистское двухчастичное уравнение (гл. 10). Однако с помощью
эвристических рассуждений можно пролить некоторый свет на
этот вопрос Мы видим, что энергетические уровни, получаемые
как из уравнения Шредингера [см. B.83)], так и из уравнения

106 ГЛАВА 2
Клейна—Гордона [см. B.86)], можно интерпретировать с помощью
следующего условия, налагаемого на скорость v:
У^]- = /г (где п—целое положительное число).
Действительно, в случае уравнения Шредингера
г, т\2 та?
в то время как для уравнения Клейна—Гордона v2=>pz/.E2, от-
откуда следует:
?а — т2 а2 г, т
¦ = —-2, или Е =
Е* я2
и искомый результат получается заменой п на n — bj, как и в
выражении B 86). В случае двухчастичной задачи соответствую-
соответствующей величиной является относительная скорость, т. е. скорость
одной из частиц, измеренная в системе покоя другой частицы.
Таким образом, получаем выражение
которо'е симметрично по отношению к замене т*-*М, Используя
снова наше эмпирическое правило
находим
или
Споли t
а4 тМ 1
,, аа тМ а* тМ I тМ Л
поли — rn-tm 2n2m+M^r 8п4 т-\-М[Л (m+MJJ~
4
Это выражение довольно хорошо описывает эффект отдачи, полу-
получаемый в более точной теории.
2.4. ТЕОРИЯ ДЫРОК И ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
2.4.1. Интерпретация решений
с отрицательными энергиями
Несмотря на успехи, достигнутые с помощью уравнения Дирака,
настало время серьезно заняться интерпретацией решений с от-
отрицательными энергиями. Как объяснялось выше, их присутствие

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Ю7
в теории неприемлемо, поскольку они приводят к тому, что
любые состояния с положительной энергией в конечном счете
оказываются нестабильными.
Решение этой проблемы было предложено Дираком еще в
1930 г. в рамках многочастичной теории Несмотря на то что
такое решение не получило окончательного признания, поскольку
оно неприменимо, например, к скалярным частицам, поучительно
проследить за ходом рассуждений Дирака. Это дает интуитивную
физическую картину, полезную во многих конкретных случаях,
и позволяет провести плодотворные аналогии с различными физи-
физическими ситуациями, например с ансамблем электронов в металле.
Главное предположение Дирака состоит в том, что в состоянии
вакуума все уровни с отрицательными энергиями полностью за-
заполнены. В соответствии с принципом Паули это препятствует
переходу электронов в состояния с отрицательной энергией и тем
самым обеспечивает стабильность физических состояний с поло-
положительной энергией. В свою очередь электрон из «моря» состоя-
состояний с отрицательной энергией может перейти в состояние с по-
положительной энергией При этом в море образуется дырка, кото-
которая в спектре состояний с отрицательной энергией и с отрица-
отрицательным зарядом проявляется как положительно заряженная
частица с положительной энергией, т. е. как позитрон. Теория
помимо свойств позитрона, а именно его заряда \е\ = — е и массы
покоя те, предсказывает также следующие наблюдаемые явления:
1, Аннигиляция пары электрон — позитрон. Электрон (с поло-
положительной энергией) заполняет дырку в море отрицатель-
отрицательных энергий с испусканием излучения. Из закона сохране-
сохранения энергии-импульса следует, что испускается по крайней
мере два фотона, если только не присутствует ядро, погло-
поглощающее часть энергии и импульса.
2. Наоборот, электрон-позитронная пара может быть рождена
из вакуума под действием падающего пучка фотонов в при-
присутствии мишени, необходимой для баланса энергии и им-
импульса. Это процесс, уже упоминавшийся выше: дыркд
образуется, когда возбужденный электрон приобретает по-
положительную энергию.
Таким образом, теория предсказывает существование позитро-
позитронов, которые были действительно зарегистрированы в 1932 г.
Поскольку позитроны и электроны могут аннигилировать, мы
должны отказаться от интерпретации уравнения Дирака как вол-
волнового уравнения. Кроме того, теперь несправедливы доводы,
которые привели нас к отказу от уравнения Клейна—Гордона.
Как мы увидим, оно действительно описывает бесспиновые ча-
частицы, такие, как пионы. Однако в случае бозонов дырочная

108 ГЛАВА 2
интерпретация не является удовлетворительной, поскольку в рас-
рассуждениях Дирака решающую роль играет статистика Ферми,
Даже для фермионов концепция ненаблюдаемого бесконечного
заряженного моря выглядит довольно странно. Вместо всего этого
мы должны построить последовательную теорию многих тел, даю-
дающую согласованное описание частиц и античастиц Такая задача
может быть решена с помощью «вторичного квантования», т. е.
введением квантованных полей, описывающих рождение и унич-
уничтожение частиц.
2.4.2. Зарядовое сопряжение
Дырочная теория подразумевает существование удовлетворяющих
одному и тому же уравнению электронов и позитронов, имеющих
одинаковые массы, но противоположные заряды. Следовательно,
уравнение Дирака должно отвечать новому виду симметрии, соот-
соответствующему замене частицы на античастицу. Найдем преобра-
преобразование ty^i|>c, меняющее знак заряда на противоположный, т. е.
такое, что
(М-еА-т)гр = 0,
A& + еА-т)ф = 0. ( '
Потребуем, чтобы это преобразование было локальным и чтобы
его двукратное применение сводилось к умножению \\> па ненаб-
ненаблюдаемый фазовый множитель. Чтобы построить tyc, рассмотрим
уравнение, сопряженное и транспонированное по отношению
к первому из уравнений B.96):
где 1(з;г = увгя|)*. В любом представлении алгебры ¦у-матриц должна
существовать матрица С, которая удовлетворяет соотношению
-v B.97)
Например, в представлении B.10) матрицу С можно записать
в виде
о — io*\
to. о }• <2-97а>
—С = С-1 = Ст = &. B.976)
Определим теперь tyc следующим образом:
Г = ЛеСфг; B.98)
здесь цс — произвольный ненаблюдаемый фазовый множитель, ко-
который обычно выбирают равным единице. В рамках данного под-
подхода зарядовое сопряжение является антилинейным преобразова-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
нием. Это согласуется с дырочной интерпретацией, поскольку при
вычислении вероятности перехода присутствие частицы в опре-
определенном состоянии будет описываться функцией \|э, а ее отсут-
отсутствие—функцией г);*. Рассмотрим более подробно свойства заря-
зарядового сопряжения. Вычислим \|зс в случае, когда г|з описывает
покоящийся электрон в состоянии с отрицательной энергией и
спином, направленным вниз. В отсутствие внешнего поля
Следовательно, состояние, получающееся при зарядовом сопря-
сопряжении электрона с отрицательной энергией и спином, направ-
направленным вниз, эквивалентно электрону с положительной энергией
и спином, направленным вверх.
Нам известно, что произвольное решение \|>, соответствующее
энергии е и импульсу р, поляризованному вдоль направления п,
записывается в виде
где g = ± 1 обозначает знак энергии. Поскольку в представлении
Дирака С коммутирует с уь = у1,
т. е. \рс описывается теми же самыми 4-векторами р и п, но имеет
обратный знак энергии. Используя обозначения B.48), получаем
и (р, п) = г) (р, я) V (р, п),
v(p, п) = ц(р, п)ис(р, п),
где фаза ц (р, п) может зависеть от р и п. Напомним, что опе-
оператор A+i>5#)/2 проектирует на спиновые состояния ±1/2
вдоль п в соответствии со знаком энергии. Таким образом, при
зарядовом сопряжении направление спина меняется на противо-
противоположное.
Кроме того, следует заметить, что при одновременном преоб-
преобразовании спинора t|) и потенциала А:
уравнение Дирака B.96) не меняется.

НО , ГЛАВА 2
При зарядовом сопряжении закон преобразования 4-вектора тока имеет вид
Мы могли бы наивно положить, что j°n = tyy ty = j . Однако в следующей главе
будет показано, чю 4 и -ф следует рассматривать как антикоммутирующие
операторы (сгагистика Ферми—Дирака). Таким образом, зарядовое сопряже-
сопряжение будет изменять знак гока / и оставлять неизменной величину ej-A.
В гл. 3, когда у нас уже будет удовлетворительная форму-
формулировка теории частиц и античастиц, мы изучим еще одну диск-
дискретную симметрию, а именно обращение времени.
2.4.3. Частицы с нулевой массой
В разд. 2.2.1 при построении спинорных решений уравнения
Дирака мы исключили из рассмотрения случай безмассовых ча-
частиц, т. е. с т = 0. Однако к безмассовым частицам относятся
нейтрино, имеющие спин 1/2. Кроме того, мы ожидаем, что при
очень высоких энергиях частицы, обладающие массой, ведут себя
как безмассовые. Учитывая это, мы подробно изучим такой случай.
Будем исходить из уравнения Дирака для безмассовых частиц:
/п|> = 0, p^id». B.101)
Умножение этого уравнения на у5у° = —i"fy2y3 дает
2-pi|) = vVW>. B-102)
поскольку, например, (v5T°) Т1 === *?2Y3 = <^2а 5Е= S1. Оператор кираль-
ности уь антикоммутирует с р. Для решения с положительной
энергией имеем
Из уравнения B.Ю1) следует, что &2 = 0, а значит kf> = ? = \k\,
и уравнение B.102) принимает вид
2.&|5 = Yst- B.103)
Следовательно, киральность равна спиральности (для решений
с отрицательной энергией они имеют противоположные знаки).
Будем различать независимые решения уравнения B.101) по зна-
значениям их киральности:
{к) = ±v± (k).

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
В обычном представлении Ys = (/ n) и. следовательно, мы можем
записать соотношения
a_(k) = -a. ka_ (A) = = ~falfl'+ (fe).
где 0 и ф—полярные координаты единичного вектора к. Анало-
Аналогично, для v± имеем
v+ (k)-C«I (k) - -^ (*+(*)- -to^g} - ~a+ (&))--«+ (ft).
,_ (ft) - Сп\ (ft) - -^ (*- (A) - < ^j; W - -«- (A)y-u_(k).
Таким образом, при данном k существуют только два независи-
независимых решения.
Экспериментальное наблюдение показывает, что существуют
нейтрино лишь с отрицательной киральностью. Спиральность
нейтрино равна —1, а спиральность антинейтрино 4-1- Это можно
объяснить более понятно, если перейти к рассмотрению двух-
компонентных спиноров. В самом деле, нет больше необходимости
использовать 4-компонентные спиноры в уравнении Дирака для
безмассовых частиц
поскольку алгебра
{a,., ay} = 26v
может быть реализована с помощью трех двумерных матриц
Паули. Если отождествить а,- с аь то мы придем к частицам
с положительной энергией и положительной спиральностыо, в то
время как замена а,- —* — ai дает отрицательную спиральность.
Такие спиноры, первоначально введенные Вейлем, были отверг-
отвергнуты вследствие того, что они несовместимы с сохранением чет-
четности (которая обращает знак спиральности). В настоящее время
это не является серьезным возражением, поскольку нейтрино
участвуют в слабых взаимодействиях, которые не сохраняют чет-
четность.

112 ГЛАВА 2
С помощью выражений B.20) мы уже определили соответст-
соответствующие киральные представления для а-матриц:
/о 0\ /0 —А /7 0\
/q>\
Для положительной киральности ¦v5 = + 1, \b = (n , и уравнение
\°/
•у.рг|з = О принимает вид
г) ф = 0, B.104)
. 1 , ?°\
тогда как для уъ =— 1, $ = { и
\Х/
(р° + р-о)х = 0. B.105)
В обоих случаях мы имеем двухкомпонентную теорию и, уравнение
Дирака эквивалентно паре уравнений Вейля. Так называемое
зарядовое сопряжение С (нейтрино не имеет заряда!) связывает
спиноры с противоположными киральносгями и меняет знак энер-
энергии. Инвариантность относительно С отсутствует, если в природе
существуют нейтрино лишь одной определенной спиральности.
Действительно, поскольку операция Р связывает между собой
решения двух типов
(i>° антидиагональна), комбинированная операция СР сохраняет
уравнения Вейля инвариантными. В новом представлении матри-
матрица С, определяемая выражением B.97), запишется в виде
Следовательно, операция СР действует в соответствии с выраже-
выражениями
Цср (t, х) = г)Сг|>* (t, -х) = =F ЩО2Г (t, —x) B.106)
для киральностей у5 = +1 соответственно.
Мы видим, что лоренц-инвариантные нормировки B.43а) и
B.436) решений, полученные для ненулевых масс, в случае без-
безмассовых частиц должны быть изменены. Таким образом, запишем
следующие уравнения:
и предоставим читателю самому построить соответствующие реше-
решения в виде плоских ёолн.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
2.5. ПРОПАГАТОР ДИРАКА
2.5.1. Свободный пропагатор
В гл. 1 мы ввели понятие функции Грина для классического
скалярного поля, Обобщим это понятие на частицы со спином
1/2. Рассмотрим сначала движение свободной частицы.
Попытаемся выразить решение уравнения Дирака в момент
времени t% через его значение в некоторый предшествующий мо-
момент времени tv Это возможно, поскольку мы имеем дело с урав-
уравнением первого порядка. Таким образом, мы ищем ядро К (х2, хх),
такое, что
г|> (/2, х8) - J d% К (h, х2; tir х,) V°i|> ft, xj. B.107)
Ниже мы обоснуем появление здесь величины у". Любое реше-
решение vf> представляет собой суперпозицию решений в виде плоских
волн:
t (t, x) = L f Щ? if ta<a> Ф) "(а) (*) e~ik'x + 6<а>* (® yla) (*)е'*"]-
С учетом соотношений B.43) мы можем написать
d3x н(а) (к) e-ik-*y°\p @, х) = аш (к),
J d3x vw (ft) e'k * v°f @.х) = bW* ФУ-
Следовательно,
<„ х2) = I ^ f ? J tf^ [u<a> (ft) ® п<«' (ft) e-«-<*.-«.) +
ft, x,).
Изменяя порядок интегрирования, находим искомое ядро
Следует заметить, что К зависит только от разности (xs—х^, что
является следствием трансляционной инвариантности свободного
уравнения. Кроме того, можно использовать операторы проекти-
проектирования Л±(к), определяемые выражениями B.40) и B.41), и пе-
переписать /С (х2, xL) в более компактном виде:
B.109)

114 ГЛАВА 2
Обозначим это запаздывающее ядро /Cret. Покажем непосредственно, что оно
является функцией Грина для уравнения Дирака. Действуя на /Cret (*a> *i)
оператором (Шг—т), получаем
В йравой части во втором члене можно заменить к на —к; тогда коэффи-
коэффициент при (Y-lc+m) обращается в нуль и мы получаем
((¦#2 — m)Ktei(x2, x1) = i6i(x2—x1). B.110)
Кроме того, /Cret(*2' xi) можно записать через запаздывающую функцию Грина
скалярного поля Gret(*2 —*i) [см. выражение A.169)]:
Уравнение B.110) следует также из тождества A.165), которому удовлетворяет
Orel'-
(Qs+ma) Gret (*a—*i) = б4 (х2—xj).
Из формулы
1 Г ,„, е-'*-*
следует
— k^—ma-
Здесь мы сначала должны выполнить интегрирование по переменной k0 вдоль
контура, показанного на рио. 2.3 штриховой линией.
Mm р°
РЙС. 2.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении функций
Грина. Штриховая линия соответствует запаздывающему пропагатору, а спло-
сплошная—пропягатору Фейнмана.
В теории дырок вводится другая функция Грина, а именно
пропагатор Фейнмана, о котором мы уже упоминали в последнем
разделе гл. 1. В теории квантованных полей этот пропагатор
появляется естественным образом. Тем не менее мы рассмотрим
здесь схематично те идеи, которые привели к нему Фейнмана и
Штюкельберга.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Ц5
Можно считать, что функция Грина описывает три последо-
последовательных этапа:
1. Появление электрона в точке (tlt хх).
2. Перемещение электрона из точки (tlt xx) в точку (t2, x2).
3. Исчезновение электрона в точке (t2, x2).
Если энергия электрона положительна, то этот процесс фи-
физически допустим при t2 > tl Если же энергия электрона отри-
отрицательна, то мы должны интерпретировать его исчезновение как
появление позитрона, и наоборот. При этом второй этап следует
рассматривать как распространение позитрона из точки (t2, х2)
в точку (tv Xj), что имеет смысл только при t2 < tx Поэтому в
теории дырок необходимо было бы построить функцию Грина,
которая соответствовала бы распространению частицы с положи-
положительной энергией только при времени t2 > tlt а частицы с отри-
отрицательной энергией (точнее позитрона)—только при tl > t2:
SF(x2, j^ = J?^[e(f,-fJa(AT + m)<r'* <*.-*,>+
- +Q(tl—tJb{X—m)e**i*'-*'f\.
Постоянные а и b определяются из условия
(&t-m)SF(x» ^) = 6*(x2-^). B.Ill)
Заметим, что здесь изменена нормировка по сравнению с B.110).
Непосредственное вычисление дает
(iit~m) SF (xtt Xl) = 16 (h-tj J^jst [a (K + tn) e'M*,-*o_
—6 (K—m) e-rt-(x.-x0] =
—m)].
Условие B.111) удовлетворяется, если a = — b— 1/t. Таким обра-
образом, мы получаем следующий результат:
B.112)
Величины KretiXi—Xj) и iSF(x2—xt) могут отличаться лишь на
решение однородного уравнения Дирака. Это на самом деле
так, в чем можно убедиться с помощью непосредственного вы-
вычисления
/Cret (Х,-Хг)- iSF (X2-Xl) = J ЩЩЗ (*-«) «•*¦<*.-•.».

JJ6 ГЛАВА 2
Ковариантное выражение для Sf (x) получим с помощью интег-
интегрального представления
. ,. Г day е"»<
„^„ J 2in cu—(в
Смысл предела е—>-0+ будет понятен из нижеследующих выкла-
выкладок Величины, которыми мы оперируем, являются обобщенными
функциями, действующими на гладкие основные функции. После
подстановки последнего выражения в B.112) получаем
L 2?
Положим в первом интеграле р° = Е—(а, р = к[? = &° =
], а во втором />° = ю—?, р=—к:
ie E—p°-i8 J"
Если е бесконечно малое положительное число, то можно напи-
написать следующее соотношение:
(E + ffl — ie) (E—р°—ie) = -(pi—р2—/П2+ (8).
Окончательно получаем
9 ж — (*_?!?- p-ipx__е±щ__ /о 11 ял
Величина ie дает рецепт интегрирования по импульсному про-
пространству Сначала интегрируем по р° вдоль контура, обозначен-
обозначенного сплошной линией на рис. 2-3, а затем производится интег-
интегрирование по р. Считая, что т — комплексное число, т. е. тс =
=чп—ie, е—»-0+, мы имеем '
_ р-\-тс _ 1 _ 1
~ —
Следовательно, мы можем записать преобразование Фурье вели-
величины SF(x) в виде
S,(p)= ,^+". = i-r-. B.114)
Запишем соотношение, связывающее SF (x) с пропагатором Фейн-
мана скалярного поля A.178):
SF(x) = —(i3+m)GF(x). B.115)
В заключение можно сказать, что пропагатор Фейнмана описы-
описывает распространение решений с положительными частотами впе-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Ц7
ред по времени и распространение решений с отрицательными
частотами в обратном направлении по времени.
Пусть г|з(+) (/j,x0) и i^-^i.x)—положительно-частотная и
отрицательно-частотная части решения, заданные в моменты вре-
мени t1 и t2 соответственно, причем tt <t%, a x произвольно.
Пропагатор SF позволяет нам определить функцию ^(t, x) в про-
промежуточный момент времени t:
>(*1, У)—
-SF(t-tit x-y)y°y->(t» у)]. B.116)
2.5.2. Распространение в произвольном внешнем
электромагнитном поле
На практике мы имеем дело с распространением волн при нали-
наличии помех, таких, как процессы рассеяния, внешние поля и взаи-
взаимодействия с другими частицами. Рассмотрим распространение
частицы во внешнем электромагнитном поле:
[i»t-eA(xt)-m]SA(xt, xJ^V (x2-Xl). B.117)
За очень редкими исключениями, нам не удается найти компакт-
компактное выражение для SA. К счастью, во многих случаях член еА
достаточно мал, так что его можно рассматривать как возмуще-
возмущение Величину SA можно представить в виде (асимптотического)
разложения по еА. Чтобы получить это разложение, умножим
обе части уравнения B.117) на SF(x3, x2) и проинтегрируем его
по л"г:
SF (xa, xt) = J d% SF (х3, х$) [Ш2—еА (xt)—m\ SA {*„ xj =
*x$ Sp (xa, xt) [~Шг—еА (xt)—m] SA (xt, xj.
Из B.1 И) следует:
Sf(x» *J (—i*t — m) = б4 (з^ —xj.
Таким образом, интегральное уравнение, которое определяет ве-
величину SA, запишется в виде
SA (х,, *,) = S, (ха, Xl) + e J d*Xi SF (xs, х,) А (хг) SA (xtt x,). B.118)
Итерируя это уравнение, получаем следующее разложение в ряд
по теории возмущений:
SA (х„ xj = S, (Х/, X;) + J d% SF (X/, Xi) eA (xt) SF (xt, xt) +
+ J J d<xt d'xt SF (xf, x^ eA {xj SF (xu xa) eA (xj SF (x2, x,)+... .
B.119)
Этот ряд изображен с помощью диаграмм на рис. 2.4.

118 ГЛАВА 2
SA(xf>xt)
Xt X, Xf X,
РИС, 2.4. Представление в виде диаграмм ряда теории возмущений B.119).
Сплошная линия между х^ и дгг соответствует пропагатору Sp(X)l—Х[),
а крестик —величине еЛ (х).
Рассмотрим фурье-образы величин Бд и А (х):
(ради простоты мы используем одинаковые обозначения в конфигурационном
и импульсном пространствах). Для Эд (pj, pi) также можно написать разло-
разложение в ряд по теории возмущений. В силу условия трансляционной инва-
инвариантности Sp(xj, xj) = 5р (Xf — xi) выполняется соотношение
Sf ipf, Рд = BяL S4 (pf-pd Sf (Pi),
где Sf (p) определяется формулой B.114). Таким образом,
(Pf, Pi) = SF (pf) Bл)* 6* {pf-pt)+^ d*Pl SF ipf) еЛ (Pl) SF (Pi)x
(pf—Pi—Pi)+
dlpt SP ipf) eA (pi) SF (рг+р{) еЛ [рг) SF (p()X
2.5.3. Применение к кулоновскому рассеянию
Кулоновское рассеяние будет служить пробным камнем для про.
верки метода, опирающегося на функции распространения. Про-
Процесс, который мы здесь изучаем,—это рассеяние электрона с мас-
массой т на центре, имеющем заряд —Ze и бесконечную массу.
Заряд рассеивающего центра (расположенного в начале коорди-
координат) создает в точке г потенциал А„ = —Ze/4nr, A = 0.
В классической нерелятивистской механике траектории явля-
являются гиперболами. Угол рассеяния 9 и прицельный параметр Ъ
связаны друг с другом благодаря следующим соотношениям
(обозначения см. на рис. 2.5):
1) геометрическим соотношениям
.i — t — —— —•
2) закону сохранения энергии
P'f p\ Za
8 = ;
2т 2т 2т с—а
(рл — импульс в точке А);

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
119
3) закону сохранения углового момента
Исключая из этих соотношений pit pA, с и а, получаем
Zo,
Ь = 2е tg (8/2) • BЛ2°)
Рассмотрим однородный поток электронов с плотностью р и ско-
скоростью v = pilm = pf!m. Число частиц, рассеянных в телесный
РИС. 2.5. Кулоновское рассеяние на заряде, расположенном в точке Р.
угол dQ = 2ndcos0 за единицу времени, равно числу падающих
частиц, пролетающих через кольцо радиусом b и площадью 2nb db,
а именно
dN
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния, определяе-
определяемое как отношение величины dN/dt dQ к падающему потоку,
равно
da I (Zay 4ZWm* /О 19П
dQ "~4sin*@/2) \2б ) ~ |q|4 * ^ -1 ^
Здесь q = p/—p,— переданный импульс, а | q | =2pjSin(9/2). Это
классическая формула Резерфорда.
Обратимся теперь к релятивистскому квантовому случаю.
Используем выражение B 116), в котором заменим SF на SA и
зададим следующие граничные условия: при tx = —оо функция
ty{ + ) (tt, x) представляет собой падающую плоскую волну, соот-
соответствующую электронам с положительной энергией, в то время

120 ГЛАВА 2
как при ti= -f °° волновая функция ty<-~)(t%, x) обращается в нуль.
Поскольку функция SA не известна, мы ограничиваемся двумя
первыми членами разложения B,119) в ряд по теории возмуще-
возмущений. Пусть г|зпад (t, x) — решение свободного уравнения Дирака;
это решение переходит в падающую волну при t—ytt — —оо.
В соответствии с B.119) волновая функция, вычисленная по те-
теории возмущений, запишется в виде
*w=*M«w+vw. BЛ22)
где
-*¦ — СО
= lim i\iPyld^SP{,x-z)eA(z)SP(t-y)^^mK{ti, у)
B.123)
и У =*(*!, У)-
Поскольку при г° > tt выполняется соотношение
/ J d3y SF(z-y)уЧпад Ci, У) = 4W (г),
мы имеем
когда л?—> +оо, г|5?асс ведет себя как решение свободного урав-
уравнения Дирака, соответствующее только положительным энергиям.
В самом деле, используя выражение B.112), находим, что в этом
пределе вклад дает только первый член, что приводит к следую-
следующему результату:
t, а
где
S/l. = -fej>^(^)VaM(a»(p/)^B)e>Vz.^(^. B.125)
Во втором выражении B.124) интеграл \d3p/BnK заменен на
сумму по всем конечным состояниям в конечном пространствен-
пространственном объеме V: 1/V 2 ; при этом еолнэ
по конечным состояниям k., а
(m/VE)'/2e- Cp-Xuia)(p) описывает частицу, имеющую в объеме V ско-
скорость р/Е и поляризацию а. Следовательно, амплитуда перехода
между состоянием

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 121
и аналогичным состоянием tyf(x) дается выражением
5//=~ie wh^ i d*z lm(Pf) A (г) e' (P'~P') {P
1 ' B.125a)
Для кулоновской задачи A^(A0, 0), где Ло = — Zefinr. Таким
образом, мы имеем
B.126)
Следует заметить, что здесь выполняется закон сохранения энер-
энергии. В заключение запишем необходимое преобразование Фурье
кулоновского потенциала:
" г , — | q |2 ¦ Ч = Р/ Pi-
Мы используем здесь вместо волновых пакетов стационарные
плоские волны; поэтому нет ничего удивительного в том, что
квадрат амплитуды B.126) не существует. Положение можно
исправить, если в соответствии с золотым правилом Ферми рас-
рассматривать конечный временной интервал и заменить б-функцию
на выражение
Г/2
2sln[T(Ef-Et)/2]
/
f
-Г/2
Ef-Ei
Квадрат этого выражения ведет себя при больших 7 как
72п6 (?,—?,).
Таким образом, вероятность перехода между состояниями (
и / в единицу времени в пересчете на одну падающую частицу
имеет вид
dP,i
dt
- B.127)
Суммирование здесь проводится по всем возможным конечным
состояниям, число которых в элементарном объеме импульсного
пространства d3p, равно Vd3pf/BnK, Разделив последнее выраже-
выражение на величину падающего потока (\/V)(\pt\/Et), получим диф-
дифференциальное сечение рассеяния

122 ГЛАВА 2
Чтобы выполнить тривиальное интегрирование по pf, восполь-
воспользуемся равенствами ] р( | = | pf | = pf и р/ dpf — Ef dEf:
/- B-128)
В нерелятивистском пределе величина «<а>у°«<0> пропорциональна
баР. В случае когда поляризация в конечном состоянии не из-
измеряется, нужно просуммировать по а, в случае же неполяри-
зованного падающего состояния мы усредняем по двум равнове-
равновероятным поляризациям
неполяриа
Здесь вновь использовано выражение B.40). Теперь нам пона-
понадобятся тождества для следов -у-матриц. След произведения лю-
любого нечетного числа у-матриц равен нулю Для четного числа
можно доказать по индукции следующее тождество:
—а,.а8Sp (а2а4 ... а2п) + ... .
В нашем случае эти свойства приводят к равенствам
Sp fpefPf** 4 (EtE,-pt¦ pf + Efi,), Sp /у» = 4.
Нам понадобятся также кинематические соотношения
где Р = vie — | р \/Е—начальная (или конечная) скорость, а
| q |4 = 161 р |4 sin4 @/2) = Щ2Е2 р2 sin4 (9/2).
Окончательное выражение сечения рассеяния для неполяризо-
ванных частиц (сечение Мотта) запишется в виде
da
B.130)
неполяриз ty-p-suj-iu/ij -
При р—>-0 это выражение переходит в формулу Резерфорда. Заме-
тимтакже, что релятивистская поправка[1—Р2sin2(8/2)]A—Р2)
играет существенную роль в основном для рассеяния назад.
Этот результат получен для рассеяния электронов. Рассмот-
Рассмотрим кратко рассеяние позитронов в том же самом кулоновском
поле. Кулоновская сила притяжения теперь заменяется на силу
отталкивания. В классической нерелятивистской механике мы
снова приходим к формуле Резерфорда (этот замечательный ре-
результат является характерной чертой кулоновского поля). В на-

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 123
шем квантовом рассмотрении нам известно, что теория инвариантна
относительно зарядового сопряжения. Рассеяние электрона за-
зарядом —Ze есть то же самое, что и рассеяние позитрона зарядом
-\- Ze. С другой стороны, в низшем порядке сечение рассеяния
является четной функцией от Z. Поэтому формула для сечения
Мотта в случае позитронов также справедлива.
Можно проверить это прямым расчетом; однако мы предпоч-
предпочтем использовать теорию дырок. Позитрон в конечном состоянии
с 4-импульсом pf и поляризацией а описывается решениями,
соответствующими «падающим» волнам с отрицательными энер-
энергиями, причем эти решения распространяются назад во времени:
Таким образом, мы вновь приходим к выражению B.116). Гра-
Граничные условия на этот раз имеют вид
4><+>(<lt Х)=0, <!=-»,
Повторяя этапы, которые привели нас от B.122) к B.125а),
и обращая при этом внимание на. знаки, получаем
Это выражение согласуется с результатом, полученным прямым
вычислением. Падающий позитрон (с точностью до фазы) описы-
описывается волновой функцией
ti(z) = e-tpi ZUW (Pi) = Ce-ip''zv<-^ T (pt).
В соответствии с B.125) рассеяние позитронов будет описываться
амплитудой
Отсюда очевидно, что это выражение приводит к сечению рассея-
рассеяния B.128).
Предоставляем читателю рассмотреть поляризационные эффекты или поправки,
обусловленные отдачей ядер. Напомним только, что можно применить полез-
полезное понятие формфактора. Предположим, что мы изучаем рассеяние не на
точечном заряде, а на распределении зарядов с конечными размерами, т. е.
на ядре с конечным радиусом. Будем считать, что сферически-симметричное

124 ГЛАВА 2
распределение —Zep (r) нормировано согласно условию
Как н в B.126), сечение рассеяния в низшем порядке по а пропорционально
величине | V (q) |2, где V (<?) — фурье-образ потенциала V (г). Из уравнения
Пуассона ДУ=—р находим, что величина V (q) связана с формфактором
соотношением V (q) = (\/q2) p(q). Следовательно, сечение рассеяния должно
быть исправлено в соответствии с выражением
dQ~~dQ
Мотт
B.132)
2.5.4. Метод собственного времени Фока—Швингера
В качестве дополнения к предыдущему изучению пропагаюров изложим здесь
красивый метод, предложенный Фоком и Швингером. Мы используем этот
метод, чтобы получить точные выражения дираковского пропагатора для внеш-
внешних электромагнитных полей двух типов постоянного однородного поля и
поля плоской волны, с которым мы уже сталкивались в классической теории.
Предположим, что мы ищем функцию Грина G (х, х') как решение урав-
уравнения
Н(х, idx)G{x, x') = h*(x—x') B.133)
где Н—полином по дх. Будем рассматривать Н как гамильтониан, который
описывает эволюцию некоторой системы в собственном времени. Предыдущее
уравнение есть не что иное, как определение функции Грина для Н (х, р)
в ^-представлении:
<х\х'у = ^(х—х'),
[^.РЧ—fetw ^о^. B.134)
Введем унитарный оператор эволюции U (х, х'; т):
i^U (х, х'; %) = Н (х, р) U (х, х'; т) B.135)
с граничными условиями
lim U (х, х'; т) = б»(дг—х'), B.136а)
Hm U (х, х'\ т) = 0. B.1366)
Мы имеем
U{x, x'\ т) = <.х\е-1Нх\х'>^<.х\и (%)\х">, B,137)
о
G(x, x') = —i f d%U(x, x'\ т). B.138)
— OB
Уравнение B.135) можно переписать в очевидных обозначениях следующим
образом:
»,<*I U Ш ^>^<^\Н (х, PW I *'>=<* | Щт) U* (т) Я (*, р) U (т) | х'>,
B.139)
m = <x(x)\H(x(%), р (т)) | х' @)>.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 125
В благоприягрых случаях мы можем решить уравнение относительно х(т.) и
р (т), демонстрируя связь между квантовым и классическим подходами. Запи-
Запишем гамильтониан Н (х (х), р (т)) как функцию соответствующим образом
упорядоченных операторов х (т) и х' @):
<х (т) | Н (х (т), р (т)) | *' @»=F (*, *'; -с) <* (т) | *' @)>.
Тогда уравнение для U (х, х'; т) становится обыкновенным линейным диффе-
дифференциальным уравнением, которое можно проинтегрировать в виде
U (х, х'; -г) = ехр [- i J dt'F (х, х'\ -г') jC(Jt, д;'), ^
где С (х, х') необходимо еще определить таким образом, чтобы оператор
U (х, х'\ т) удовлетворял правильным соотношениям между координатой и
импульсом; например,
<х (т) | х' ф)> = <х (т) | ЛA (т) |
\^Р»~е\, B.140)
<х (т) | х' @)> = <х (т) | % @) |
В случае дираковской частицы, взаимодействующей с внешним электро-
электромагнитным полем, нам нужно решить уравнение
[Ш~еА (х) — т] SA (х, *') = 64 (х—х').
Величина GA (x, х'), определяемая соотношением
SA(x, х') = [Ш—еЛ (х)+т] GA{x, x'), B,141)
удовлетворяет уравнению
HGA^ Г@_еА)«-т«-4оирИ GA{x, х') = Ь* (х-х'). B-142)
В представлении Гейзенберга операторы х (t)=U^ (т) х11 (%) н я (т)=(/+ (т) л(/(х)
удовлетворяют соотношениям Эренфеста
dx — у- — ц'
ш ~~~ t \ П JI I T77S —* А€г ЗХ -' ¦ {? у /^ ' i — о jp о G 14oI
Аф IX LUJ 1X0 О li/ DV л /
поскольку [я , я^] =— le^"nV-
Рассмотрим вначале постоянное поле. В этом случае предыдущие уравне-
уравнения принимают вид
dx., dn.. .
—t=_2n , —1=— 2eF яр. (
Эти уравнения легко проинтегрировать, используя матричные обозначения
х (х)-х @)*=[- ¦—I) я @).
Вычислим затем п (т) как функцию от х (т) я х @);
я (х)= -1 eF<r ^T [sh (efx)]-i [* (x)-x @)].

126 ГЛАВА 2
Используя антисимметрию величины F, получаем
л2 (т) = [х (т) -х @)] К [х (т)-лг (О)],
где
К *е A/4) e2F2 [sh (eFт)]-2.
Перегруппируем это выражение с учетом коммутационного соотношения
Окончательно получаем следующее выражение для Я:
#=* (т) Кх (т)-2* (т) К* @)+х @) К* @)-у Sp [ef ctb (eFx)]-~~ о^~т\
B.145)
Диффереициальное уравнение, которому удовлетворяет U (х, х'\ т), запишется
в виде
idxU(x, x'; r)={-joilvFllV-m*+(x~x')K(x-x')j
Y.U{xsx';i),
Интегрируя это уравнение, получаем
U (х, х'\ т) = С (х, х') т-2 ехр |-1 Sp In {(eFr) -i sh (eFt)]\ x
Xexp fi-^-^'JeFcth (efx) (*—*')+у ой
Функция С(дс, х') определяется соотношениями B.140), из которых следуют
уравнения
(х, х')=0,
Г] С (х, *')=0
Решение этих уравнений записывается в виде
С(х, *') = C(*')e
Поскольку rot[/V Ш + ('/2) Z7^ (S—-t')v] = 0, в этом выражении интеграл не
зависит от пути интегрирования Интегрируя вдоль прямой линии от х' к х,
убеждаемся, что второй член не дает вклада вследствие антисимметрии функ-
функции Fjxv, и мы можем написать
•H-H-
С(х, х') = С ехр
Постоянная С определяется с помощью граничного условия B.136а), откуда

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 127
В заключение запишем выражение для пропагатора в постоянном поле:
о
5.4 (*. х') = [Шх-еА (х)+т] (-») J dx U (х, х'\ т), B.141а)
где
U(x
( х
(• I Г и 1
x, x'; r)= 2 дехр^ — ie \ d\^ А^Ц) —-^-Sp In [(eFr) sh (eFx)]-\-
\ x'
+j (x-x1) eF cth (eFr) (x-x')+~ 0^\+{(т^-1в)х\- B.146)
Здесь присутствие члена — fe необходимо, чтобы удовлетворить условию
B 1366) Фазовый множитель ехр — ie \ dl, Л обеспечивает для ?7 калиб-
калибровочную инвариантность; при А)Х(х)—>¦ Аа(х)-\-длЛ (х) имеем
U (х, х'\ т) -^ e-teMx)U (х, х'; т) е1еЛ <*'>•
Обратимся теперь к случаю поля плоской волны. Вычисления здесь
полностью аналогичны выполненным выше, и мы наметим лишь последо-
последовательность действий Рассмотрим линейно-поляризованную плоскую волну
и воспользуемся теми же обозначениями, что и в разд. 2.2.3. Л|Л = 8ц/(^),
причем 1 = п-х, п2 = 0, Р^у = Ф11УГ (I), где ф^=п^у— nve(i Следует заме-
заметить, что d°F|j,p = O Таким образом, уравнения B.143) принимают вид
Замечая, что (d/dt) (я• п) = 0 и d%/dx — — 2n-n, a [|, d|/dir] = 0, сначала нахо-
находим |:
? (т) = «. * (т) = g @)—2я ¦ «т.
Затем проинтегрируем уравнение относительно ^Vtln и получим
здесь Cv—постоянный оператор, который коммутирует с п-п. Подставляя это
выражение в B.147) и интегрируя, получаем
Здесь ?>й — новый постоянный оператор, коммутирующий с п-п. Вычислим
далее х (т)—х @) и исключим D^.
+т Vpv°pvf (
i
5@)

128 ГЛАВА 2
Это позволяет нам записать постоянную Ср. в виде
1@)
После вычисления коммутаторов
v
[1@), *й
можно записать гамильтониан
2 pv
где
Е@)
Оператор эволюции имеет вид
I (Т) Г | (Т) П 2
J &(т)-6@) J E(t)-S(O) *
Е@) Le@) J
U(x,
здесь функция С(хлх'У снова определяется соотношениями B.140). Мы на-
находим
x'
где интеграл не зависит от пути интегрирования. Для прямой линии единст-
единственный остающийся в фазовом множителе член равен ехр
и мы приходим к окончательному выражению
[х -1
-ie^dy^iy) ,
B149>
Это выражение напоминает классический результат, полученный в разд. 1.1.3.
В случае периодической функции f (|) вкладом члена, пропорционального
<t>pvopv, при усреднении по нескольким периодам можно пренебречь. В ре-
результате мы получаем сдвиг массы1

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 129
Обнаружить гакой нелинейный эффект трудно; для этого требуются пучки очень
высокой интенсивности, поскольку для монохроматической плоской волны
частотой <о/2л = еД и плотностью энергии ^> = ?2=/2со2 = рЙ-со относительный
эффект равен
Здесь \е—комптоновская длина волны электрона, а р—число фотонов на
единицу объема в падающем пучке. В настоящее время наиболее мощные
лазерные пучки еще не позволяют нам достигнуть значительной величины
этого отношения.
ПРИМЕЧАНИЯ
Материал, изложенный в этой главе, является довольно стандартным, и мы
вряд ли сумели преподнести его иначе по сравнению с тем, как он изла-
излагается во многих прекрасных учебниках. См., например: B/orken J. D., Drell S D.
Relativistic Quantum Mechanics.— New York: McGraw-Hill, 19G4 [Имеется пере-
перевод: Бьеркен Дж., йрелл С. Релятивистская квантовая теория.— М. Наука,
1978.], а также Messiah A. Quantum Mechanics, vol. 2.— Amsterdam North-
Holland, Amsterdam, 1962 Великолепное описание теории дырок дал П. А М.Ди-
М.Дирак в своем докладе на Сольвссвском конгрессе в 1934 г.; этот доклад опуб-
опубликован в книге- Quantum Electrodynamics/ed J. Schwinger,— New York: Do-
Dover, 1958, в которую включены многие фундаментальные С1атьи по реляти-
вис1ской квантовой теории поля. Теория пропагаторов рассмотрена в статье:
Feynman R, Р.— Phys. Rev., 1949, v 76, p. 749 [Имеется перевод в сб.: Новейшее
развитие квантовой электродинамики.—М.: ИЛ, 1954.], а метод собственного
времени — в статье Schwinger J.— Phys. Rev., 1951, vol 82, p. 664. Реыение
в случае дираковского электрона в плоской волне получено Д, М. Волковым
(см. Zs. Physik, 1935, vol. 94, p. 25). Обзор решений уравнения Клейна —
Гордона можно найги в статье: Feschbach H., Villars F,— Rev Mod Phys.,
1958, vol 30. p. 24. Нерелятивистский предел уравнения Дирака изучали
Фолди и Ваутхайзен (см. Phys. Rev., 1950, vol. 78, p. 29). Полное рас-
рассмотрение вопроса о спектре связанного состояния дано в книге: Bet-
he Н. A., Salpeter E. Е. Quantum Mechanics of One and Two Electron Atoms.—
Berlin: Springer-Verlag, 1957 [Имеется перевод: Бете Г., Солпитер Э.
Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами.— М.-Л.. Физмат-
гиз, I960.] См. также книгу: Rose M. E. Relativistic Electron Theory.—
New York: John Wiley, 1961. Полуклассическая интерпретация лэмбовского
сдвига дается в статье: Welton Т. Л.™ Phys. Rev., 1948, vol. 74, p. 1157.
С теорией двухкомпонентного нейтрино можно познакомиться в статье. Feyn-
Feynman R. P., Gell-Mann M.— Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 193.
Описание релятивистской квантовой кинематики см в книге Moussa P.,
Stora R. Analysis of Scattering and Decay/ed. M. N'ikolic.— New York: Gordon
and Breach, 1968. К этой работе мы отсылаем и интересующихся дополни-
дополнительными деталями теории представлений группы Пуанкаре и их приложений.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Последовательное изложение вопросов, связанных с релятивистской инва-
инвариантностью, представлениями группы Пуанкаре, а также подробные литера-
литературные примечания по этому кругу вопросов даны в книге: Боголюбов Н. Н.,
Логунов А. А., Тодорое И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой
теории поля.— М.: Наука, 1969 Меюд собственного времени см. в кн^ге:
Фок В. А. Работы по квантовой теории поля.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

Глава 3
КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
В настоящей главе мы изучим каноническое квантование свобод-
свободных полей. Исходя из аналогии с механической системой после-
последовательно рассматриваются нейтральные и заряженные скаляр-
скалярные поля При квантовании электромагнитного поля мы применим
индефинитную метрику Гупты—Блейлера, причем особое внима-
внимание будет уделено калибровочной инвариантности и проблемам,
возникающим в связи с равенством нулю массы фотона. Будет
дано описание эффекта Казимира, убедительно свидетельствую-
свидетельствующего о наличии вакуумных флуктуации. В случае полей Дирака
мы покажем, что стабильность вакуума и принцип Паули приво-
приводят к квантованию, основанному на правилах антикоммутации.
К числу главных выводов этой главы относятся также существо-,
вание связи между спином и статистикой, а также СРТ-теорема.
3.1. КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ
В нерелятивистском случае мы получаем уравнение Шредингера,
заменяя классические наблюдаемые операторами, а скобки Пуас-
Пуассона— коммутаторами. Как обычно, сопряженные импульсы явля-
являются производными функции Лагранжа по скоростям. В гл. 1
показано, что эту классическую процедуру можно обобщить на
бесконечные системы, если дискретные индексы заменить непре-
непрерывными, а символ Кронекера — 6-функцией Дирака. Обобщим
процедуру квантования непосредственно на этот случай, не слиш-
слишком заботясь вначале о деталях. Единственно, что требует осто-
осторожности,— это необходимость сохранить лоренц-инвариантность.
В частном случае электродинамики лагранжиан, по крайней мере
классический, известен. После квантования нам нужно выяснить,
какую роль играет лагранжиан в теории. Рассмотрением этого
вопроса мы займемся в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги), в кото-
которой предложен иной плодотворный подход к квантованию с при-
применением методов континуального интегрирования.
Очевидно, что последовательная интерпретация квантовой
теории опирается на динамическое описание, которое она задает
(например, это описание может приводить к возникновению свя-
связанных состояний и т. п.). К сожалению, в большинстве случаев

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 131
нам не удается решить уравнения движения и приходится рас-
рассматривать взаимодействия, используя различные приближения.
Это главная трудность, которая в некоторых случаях не позво-
позволяет нам достичь четкого и последовательного описания. Бла-
Благодаря перенормировкам мы можем частично преодолеть эту
трудность При этом некоторые из взаимодействий оказываются
скрытыми в силу того, что наблюдаемые величины выражаются
через измеряемые массы и константы взаимодействия.
Уайтман предложил более последовательный, но более трудный
аксиоматический подход. В данном подходе квантовая теория
поля строится на основе нескольких четко сформулированных
аксиом, полученных путем идеализации физических требований1).
Для того чтобы раскрыть содержание теории, приходится при-
привлекать сложные математические построения. Решить эгу задачу
можно двумя главными методами. В рамках первого из них под-
подробно изучают функции Грина, а именно их аналитические свой-
свойства в импульсном пространстве, алгебраические свойства и
скачки. В конечном счете можно прийти к теории рассеяния,
после того как будут точно определены асимптотические состоя-
состояния. Более претенциозная программа включает явное построение
фундаментальных операторов, таких, как гамильтониан, с целью
исследования их спектральных свойств. Последние позволяют
получить интерпретацию в терминах частиц, связанных состоя-
состояний, состояний рассеяния и т. д.
Мы ставим перед собой более скромную цель и будем следо-
следовать отчасти по исторически сложившемуся пути, объединяющему
приближенные методы, физическую интуицию и математическую
дедукцию. Можно надеяться, что эти разные методы когда-нибудь
объединятся и теория обретет более строгую основу.
На первый взгляд может показаться, что теорию поля нельзя
интерпретировать, исходя из представления о микрообъектах,
*) Причиной возникновения аксиоматического подхода явилось отсутствие
убедительного и математически последовательного решения ряда проблем кван-
квантовой теории поля, в частности, упомянутого выше в тексте вопроса о роли
лагранжиана Различие между аксиоматическими подходами обусловлено,
в первую очередь, выбором основных физических величин, Главная цель аксио-
аксиоматического подхода — дать ответ на вопрос: существует ли нетривиальная
теория поля, совместимая с общими принципами?
В середине 50-х годов в аксиоматической квантовой теории поля сложи-
сложилось три направления. Кроме упомянутого авторами книги подхода Уайтмана,
существует подход Боголюбова, в котором особую роль играет условие при-
причинности, Данный подход в большей степени, чем другие, связан с наблю-
наблюдаемыми величинами. Именно в рамках этого подхода получено строгое дока-
доказательство дисперсионных соотношений. Третий подход связан с именами Ле-
мана, Симанзика и Циммермана.
В последующие годы Хаагом и Араки был развит так называемый алгеб-
алгебраический подход, в котором основным объектом являются операторы, соот-
соответствующие наблюдаемым. (См. примечание редактора перевод^ в конце
настоящей главы.) — Прим. ред.

132 ГЛАВА 3
которые мы идентифицируем как частицы В теории поля может
возникнуть такая же путаница, как и в теории света с корпу-
скулярно-волновым дуализмом, о чем свидетельствуют долгие
споры по этому вопросу. Квантовая теория сумела существенно
прояснить данный вопрос, и в этом ее огромная заслуга Однако
наивные представления, основанные на классических взглядах,
имеют ограничения, связанные, в частности, с понятием тожде-
тождественных частиц. Этот аспект теории находит свое отражение
в структуре гильбертова пространства состояний, построенных
для свободных полей, т. е. в структуре пространства Фока.
Мы рассмотрим здесь лишь локальные теории Смысл понятия
локальности будет проясняться по мере того, как мы будем про-
продвигаться вперед. Это понятие опирается на предположение о том,
что пространственно-временные измерения возможны в произвольно
малых областях. Из лоренц-инвариантности и слабой формы при-
причинности следует, что измерения, разделенные пространственно-
подобным интервалом, не могут влиять друг на друга. Иными
словами, 1) локальные наблюдаемые существуют и 2) локальные
наблюдаемые, относящиеся к областям, разделенным простран-
пространственно-подобным интервалом, коммутируют. Экспериментально
это находит лишь косвенные подтверждения, поскольку не суще-
существует установок, сравнимых с ядерными и субъядерными разме-
размерами. Нам приходится с необходимостью проводить измерения
с помощью объектов той же природы, что и исследуемые объекты.
Замечательно, однако, что принцип локальности не нарушается
вплоть до расстояний kc/l/'s, где s—квадрат энергии сталки-
сталкивающихся частиц в системе центра масс в современных ускори-
ускорителях (в установке ISR в ЦЕРН'е Ks^60 ГэВ). Эти расстояния
(~10~15см) малы1' по сравнению с размерами атомов A0~8 см).
Среди наиболее замечательных следствий, вытекаюших из
объединения принципа микропричинности с релятивистской инва-
м На сегодняшний день максимальная энергия достигнута на ускори-
ускорительной установке SPS в ЦЕРН'е (j^s«540 ГэВ). К концу нынешнего
десятилетия в различных цензах мира предполагается ввести в действие ряд
ускорителей «нового поколения» с существенно большей энергией. В част-
частности, ускорительно-накопи'ельный комплекс в Серпухове рассчитан на энер-
энергию У J& 600J ГэВ.
Безусловно, с ростом энергии мы получаем возможность эксперименталь-
экспериментальной проверки локальных свойств теории на все меньших расстояниях. Однако
проблема эта не является простой. Прежде всего следует подчеркнуть, что
мерой расстояний, зондируемых в опытах на ускорителях, является не энергия
в системе центра масс, а величина переданного импульса в процессах, пара-
параметры которых реально измеряются. При этом требуется высокая ючность
измерений. Сравнивая результаты измерений с такими предсказаниями теории,
которые опираются на требование локальности, мы можем делать выводы
о выполнении последнего (См. примечание редактора перевода в конце на-
настоящей главы.)—Прим. ред.

W
КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 133
риантностью, назовем связь спина со статистикой (фермионы
— частицы с полуцелым спином, бозоны—частицы с целым спи-
спином) и СРТ-инвариантность. Последняя включает произведение
зарядового сопряжения С, четности Р и инверсии времени Т.
Это означает, что существуют античастицы, имеющие такие же
кинематические инварианты, как и соответствующие им частицы,
но противоположные по знаку аддитивные квантовые числа (элект-
(электрический, барионный, лептонный заряды и т. п.).
3.1.1. Общая формулировка
Пусть уа(х) — это поля, динамику которых мы намереваемся
исследовать Индекс а обозначает внутренние (заряды и т. п.)
или кинематические характеристики (такие, как индексы Ло-
Лоренца). Предположим на время, что на рассматриваемые поля
не наложены связи (которые сокращали бы число степеней сво-
свободы). Мы не будем также пока обсуждать поля с полуцелым
спином, правильная трактовка которых требует специального
рассмотрения (см. раздел 3.3).
Из классической функции Лагранжа для фиксированного
момента времени
\, дц>) C.1)
получаем сопряженные поля
Па A' Х) ~ б [доуа (t, x)] - d[dwo.{U x)] '
Чтобы построить оператор Гамильтона Н, заменим с-числовые
поля операторами, удовлетворяющими каноническим одновремен-
одновременным коммутационным соотношениям
[Фв (t, x), лэ (*, у)] = /8ар6з (х-у), C.3}
причем коммутаторы [ср, q>] и [я, л] равны нулю. Выражая с помощью
C.2) величину доц> через п и ср, находим гамильтониан Я:
C.4)
Рассмотренная нами процедура имеет недостаток, связанный
с упорядочением операторов. Кроме того, умножение полевых
операторов, заданных в одной и той же точке, приводит к новым
трудностям, в чем мы скоро убедимся. Оба этих аспекта связаны
между собой.
Необходимо подчеркнуть, что при записи соотношения C.3)
мы не определили, в каком гильбертовом пространстве действуют
указанные там операторы. В случае свободных полей, как мы

134 ГЛАВА 3
увидим, этот вопрос решается просто, и поэтому мы не будем
на нем останавливаться при небольших отклонениях от свободных
полей. Однако в общем случае ответ на этот вопрос не является
тривиальным, и, чтобы получить его, требуется некоторое знание
динамики. Вот почему динамика в известной степени влияет на
саму структуру теории
Предположим для определенности, что имеется только одно
вещественное поле ф в классической теории, и, следовательно,
эрмитово поле ф в квантовой теории с лагранжианом
j? = J.(dq>J-V(q>), C.5)
где V—гладкая функция (например, полином). Классические
уравнения движения записываются в виде
-, дХ дХ __ , dV (ш) п ,о с\
"и ТТа 7 3~ = П фЧ Т^ = 0. C.6)
В случае когда V сводится к квадратичному члену V (ф) = (т2/2) ф2,
мы имеем
откуда следует уравнение Клейна — Гордона
ф = 0, C.8)
которое будет интерпретироваться здесь как уравнение класси-
классического поля, а не как релятивистское обобщение уравнения
Шредингера. Для проиавольного К(ф), т.е. для произвольного
самодействия без производных, сопряженный импульс я дается
выражением
так что гамильтониан, выраженный через ф и я, запишется
в виде
Н = j <Рх {^ [я» + (Vq>)»] + V (ф)} , C.10)
а в простейшем случае квадратичного V (ф), определяемого из
C.7), мы имеем
^ + т2ф2]- C.11)
Здесь не возникает проблема упорядочения операторов. Следова-
Следовательно, единственным источником затруднений может оказаться
умножение операторов, заданных в одной и той же точке. Рас-

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 135
смотрим сначала случай, когда гамильтониан определяется фор-
формулой C.11). Мы узнаем в нем простую систему связанных
гармонических осцилляторов. Для того чтобы дать физическую
интерпретацию такой системы, представим себе, что пространство
одномерно и что координата х принимает не непрерывные, а лишь
дискретные значения, кратные некоторой элементарной длине,
принимаемой за единицу. В этом случае выражение C.11) заме-
заменяется на следующее:
C12)
Физическая модель, соответствующая гамильтониану C.12), пред-
представляла бы собой колебания одномерного «кристалла», причем
Ф„ описывало бы смещение п-то атома, а пп соответствовало бы
сопряженной переменной. Каждый отдельный осциллятор с воз-
возвращающей силой, обусловленной слагаемым /п2ф^, связан со
своими ближайшими соседями благодаря наличию в потенциальной
энергии члена (ф„—ф/шJ При изучении такой системы естест-
естественно перейти к нормальным колебаниям Учитывая дискретную
трансляционную инвариантность гамильтониана Н, запишем сле-
следующее преобразование Фурье:
+ я +я
m = Г ^е«»#), я_ = f ~elk"n(k),
-Я -Я *¦ ' '
ф+(*)=ф(—ft), Я* (ft) = Я (—ft).
Коммутационные соотношения принимают вид
Последнюю сумму можно записать в виде 2jt^8(& — k' + 2nn).
п
При этом если q> и п продолжить как периодические функции
от k, то эта сумма сведется к величине 2n6(fc—k'). Используя
C 13), получаем следующее выражение для эрмитова гамильто-
гамильтониана:
# = j J ^{nt(ft)i(ft) + Vt(ft)[m» + 2(l-cosft)]^(ft)}. C.15)
-я

136 ГЛАВА 3
Чтобы отождествить его с суммой по отдельным несвязанным
осцилляторам, положим
о)А = (o_fc = Km2+ 2A —cos k),
Кф Ф) +in (*)].
C16)
Операторы «I и ак представляют собой операторы рождения
и уничтожения моды k с энергией соА. Гамильтониан Н прини-
принимает вид
J /гЯ,, C.17)
а поля записываются следующим образом:
+ я
л„ = -/ J dk |/^(а,е««-4г-'^)= C.18)
Операторы аА и al называются операторами уничтожения и рож-
рождения, поскольку если |?>—собственное состояние гамильто-
гамильтониана Н, отвечающее энергии Е, то справедливы следующие
соотношения:
Hat | Е> - Eat \ Е> + [Я, at] \Е> = (Е+ о,,) 4\Е>. {6ЛЭ)
В этой механической модели моду колебаний k, отвечающую
энергии соь мы интерпретируем как когерентное квантованное
колебание атомов решегки, или фонон. Здесь становится ясной
связь между частицами (фононами) и полями (<ри — смещение
rt-ro атома). Руководствуясь физической интуицией, можно было
бы сначала рассмотреть состояния кристалла, описываемые вол-
волновой функцией, получаемой посредством диагоналиаации поля:

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 137
Но мы поступим иначе, а именно построим набор состояний как
^оконные возбуждения вакуума |0>. Мы сразу же наталкиваемся
ja трудное'ь, поскольку энергия основного состояния, т. е. наи-
наименьшее собственное значение гамильтониана, в действительности
эесконечна. К энергии нулевых колебаний каждая мода k добав-
добавляет величину coft/2. Это согласуется с соотношением неопреде-
неопределенностей, так как каждый осциллятор обладает минимальным
)азбросом импульса, отвечающим его потенциальной энергии.
Вследствие того, что мы имеем континуум мод, на каждый ин-
интервал (k, k-\-dk) приходится бесконечная энергия. Это свойство
:вязано е бесконечными размерами системы. В самом деле,
тоскольку для любого k
аА10> = 0, <0]а1 = 0, C.20)
ш имеем
+ я . +я
-я -я
последний интеграл не имеет смысла, так как [ак, aI] = 8@)!.
Однако, если размеры кристалла конечны (—N^.n^N), зада-
зададим, используя периодическую структуру, периодические гра-
граничные условия, отождествляя узлы п и n-\-pBN-\-1).
При этом волновой вектор k будет принимать значения
/г = Г2л/B#-т-1I<7, где а — целое число, причем —N-s^q^N,
+ N
и энергия основного состояния (N/2N) 2 ^а будет конечной.
q=-N
+ N
Ясно, что A/2N) 2 «а имеет конечный предел при N—*oo.
q=-N
Отсюда следует, что энергия основного состояния действительно
пропорциональна размерам системы.
Взяв дискретную, а не непрерывную модель, мы ввели в им-
импульсном пространстве зону Бриллюэна —я^&^л, что экви-
эквивалентно ультрафиолетовому обрезанию в исходной модели.
Напомним читателю, что выражение «ультрафиолетовая катастрофа»
связано с расходящимся вкладом высокочастотных мод электро-
электромагнитного поля в тепловое излучение абсолютно черного тела.
Пространственное обрезание позволяет далее однозначно определить
оператор Гамильтона Это имеют в виду, когда говорят, что
система находится в ящике Однако можно использовать следую-
следующую схему. До тех пор пока мы не разрушим кристалл, мы не
можем измерить энергию основного состояния. В теории поля
основное состояние интерпретируется как вакуум, который еще
труднее разрушить! Обмены энергией с кристаллом не чувстви-
чувствительны к выбору начала отсчета. Мы примем, что основное состоя-
состояние имеет нулевую энергию, и переопределим гамильтониан

[38 ГЛАВА 3
следующим образом:
, [(а\ак+ака\)—<01 {а1ак + ака[) | 0> =
C.21)
В релятивистских теориях мы обязательно должны проверить,
что эта процедура не нарушает лоренц-ковариантности.
В выражении C.21) операторы рождения и уничтожения рас-
расположены в «нормальном порядке»—последние справа от первых.
Эта форма записи называется также упорядочением Вика и обоз-
обозначается двоеточиями:
Заметим, что под знаком нормального упорядочения операторы
коммутируют и что в нашем определении учтено основное состоя-
состояние свободного поля.
Если мы восстановим постоянную решетки а, то для значений | k |, много
меньших величины п/а, отвечающей границе зоны Бриллюэна, частота ю^
приближенно равна
щ = )^m2 + B/a2)(l—cosafc) —* ^т^+к*. C.22)
Это выражение, если k интерпретировать как импульс фонона, совпадает
с законом дисперсии в релятивистской механике. В физике твердого тела вели-
величина к является лишь квазиимпульсом, поскольку она определена с точностью
до величин, кратных 2п/а.
В рамках теории, в которой динамика системы описывается
соотношениями C.12), фононы являются хорошо определенными
объектами, причем их число сохраняется, в том смысле, что опе-
оператор
+п
ЛГ= J dka\ak C.23)
коммутирует с гамильтонианом.
Суперпозиция нескольких колебательных мод дает состояние,
в котором индивидуальность фононов ограничена, тогда как атомы
в различных узлах решетки хорошо различимы (например, в одном
из узлов можно поместить примесь). В действительности фононы
ведут себя как бозонная система, что становится очевидным, если
включить взаимодействие. Например, можно рассмотреть доба-
добавочный ангармонический член в энергии или связать кристалл
с термостатом.

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ __ J39
Симметрия Бозе проявляется, когда мы строим состояния,
действуя операторами рождения на нормированный вакуум |О>.
К сожалению, состояние а!|0> ненормируемо, поскольку вслед-
вследствие бесконечных размеров системы <0|аАа!|0> =*<0|[а&'а!] |0> = оо,
о чем упоминалось выше. Однако можно построить волновой
пакет, образуя линейную суперпозицию
+я
а}|0>= J dkf(k)at\Q>,
-я
где функцию f (k) можно выбрать таким образом, что она будет
иметь ярко выраженный максимум в точке k, но при этом будет
выполняться условие
+я +я
<01 ар} 10> = J dkt \ dk2 f (ktf (k2) <01 a* A10> =
Иными словами, f (k) должна быть квадратично-интегрируемой.
Основные операторы ak и а\ должны быть сглажены пробными
функциями, чтобы получались разумные выражения; эти функции
называются операторно-значными обобщенными функциями Идеа-
Идеализированное представление о волне, имеющей определенный
импульс k, следует считать упрощением, когда разброс Ak
(или А(лк) пренебрежимо мал по сравнению с рассматриваемыми
в задаче импульсами (или энергиями). Например, в кристалле
разброс Ak ограничен снизу величиной (iVa), эффект, который
можно иногда наблюдать И даже в трансляционно-инвариантном
мире геометрия экспериментальной установки всегда приводит
к эффекту конечного размазывания.
Состояние а}@> следует интерпретировать как одночастичное
(фононное) состояние Чтобы построить полное гильбертово про-
пространство состояний, образуемое векторами, такими, как
\г>=а{а},...а}г\0>, C.24)
мы используем обычную математическую процедуру, образуя ли-
линейные суперпозиции и их пополнение Коши. Построенное таким
образом пространство называется пространством Фока. Рассмотрим
действие операторов N и Н на состояние |г>. Предположим, что
волновые функции fs имеют ярко выраженный максимум в точке ks.
Тогда
^\>. C.25)

140 ГЛАВА 3
Следовательно, мы имеем фононное состояние г с почти опреде-
определенной энергией. Рассмотрим более подробно соответствующую
ему волновую функцию. Используя коммутативность операторов
рождения, мы можем записать
-я
+ я
= J dkt . . . j dkr ±^М ¦ ¦ • fr(kar)< ¦ ¦ • в2,|0>. C.26)
где в последнем подынтегральном выражении сумма включает все
перестановки а набора целых чисел A, ..., г). Можем ли мы
считать, что FNS (kt, ..., kr) = fi(k1) ... fr(kr) или что
Fs (К K) = -z2if* <*«*> • • • I г (Ь*г) C.27)
является волновой функцией данного состояния с точностью до
нормировочного множителя? Такой вопрос имел бы смысл, если
бы существовала наблюдаемая с различными средними значениями
для различных волновых функций. Однако в действительности
это не так. В самом деле, даже если с самого начала ввести
несимметричное ядро FNs в представлении состояния |г>, комму-
коммутация операторов рождения симметризует его автоматически.
Фононы представляют собой тождественные частицы, подчиняю-
подчиняющиеся статистике Бозе в силу основных коммутационных соотно-
соотношений C.12).
Чтобы получить нормированное г-частичное состояние, предположим, напри-
например, что одночастичные волновые функции fs (k) ортонормированы:
C.28)
Если <f| /> = 1, то
+ Я
h ... J dkrh(h) ... /,(*!•)< ••• 4r\°>-
-л -я •"
Следовательно,
+ я +я
1=<г|г> = |Я|з J din ... J dk'rfUki)...fr(k'r)<O\akr ... e*;|0>. C.29)
-я -я
Перенося каждый оператор а^ вправо и используя соотношение й?а|. =a|,afc4-
+ б (ft — ft') вместе с условием (З.кё), сразу получаем
|^]2=1> C.30)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 141
откуда следует, что величину Я можно считать равной фазовому множителю.
Однако, если гг одночастичных волновых функций равны /1; г2 одночасгичных
волновых функций равны /2 h т. д., причем /—по-прежнему ортонормирован-
ные функции, не трудно показать, что правильно нормированное состояние | г>
записывается в виде
+ я +л
В более общем случае, если F {къ ..., kr) — симметричная функция, нормиро-
нормированное /--частичное состояние принимает вид
tkrF(klt .,,, ft,) at ,., at |0>,
C-32)
-2 = /-! J dft!... J dftr|F(ftb ..., kr)\K
Мы предлагаем читателю в качестве интересного упражнения вычислить вол-
волновую функцию состояния с определенным числом фононов, и в частности
волновую функцию основного состояния, в базисе, который диагонализирует
поле
Каноническое квантование выполнено для фиксированного мо-
момента времени, например при t = 0. Однако теория является инва-
инвариантной по отношению к временным трансляциям. Следовательно,
можно было бы выбрать любой другой момент времени / и исполь-
использовать операторы ф„@> ял@ так- чт0
] = я„@, Ф„@)^Ф„, C33)
nn(t) = i[H, я„@]. я»@)^я„,
причем
Очевидно, что ake~m>it, ateia>kt удовлетворяют каноническим ком-
коммутационным соотношениям, а операторы Н и N не зависят от
времени. Наблюдаемые в моменты времени / и 0 связаны друг
с другом унитарным каноническим преобразованием. Матричные
элементы, соответствующие измерениям, не зависят от того, рас-
рассматриваем ли мы представление Шредингера или представление

142 ГЛАВА 3
Гейзенберга!
<а | eimA @) e~im | а> = «а | ёт) А @) (e~iHi | а» (представление
Шредингера),
<а | етА @) е~ш \ а> = <а | (е'яМ @) е"'н01 а> (представление
Гейзенберга),
Из структуры выражения C.34) становится понятным, почему поле
имеет как положительные, так и отрицательные частоты. Мы ви-
видим, что они соответствуют рождению и уничтожению фононных
мод. Последние всегда имеют положительные энергии (tm). Сле-
Следовательно, мы не можем рассматривать ср как волновую функ-
функцию. Это оператор в пространстве Фока, хотя он и выражается
через решения волнового уравнения. Суперпозиция строится с помо-
помощью операторно-значных амплитуд. Эта процедура называется
вторичным квантованием Рассмотрение механической модели на
примере кристалла позволяет нам перейти к квантовой теории реля-
релятивистского скалярного поля. Мы уже не можем интерпретиро-
интерпретировать колебания как колебания атомов, однако аналогия между
фононами и частицами остается. Полагая энергию вакуума равной
нулю, мы будем вое еще испытывать некоторое сомнение.
3.1.2. Скалярное поле
В случае квантованного свободного скалярного поля, гамильто-
гамильтониан которого дается выражением C.11), нам придется сущест-
существенно изменить вышеприведенные формулы, полученные для трех-
трехмерного непрерывного пространства. Трехмерные импульсы обоз-
обозначаются через k, a ku заменяет coft = co_ft= у k-'-f-m2 > 0. Здесь
и далее мера фазового пространства для бозонов будет обозна-
обозначаться следующим образом:
Последнее выражение ясно демонстрирует лоренц-инвариантность
этой меры. Инвариантность может быть проверена непосредственно
для величины с1лк/сок; она инвариантна относшельно вращений.
Преобразование Лоренца, отвечающее скорости th 0, оставляет инва-
инвариантными поперечные компоненты к7-, а также величину а\ — k"L.
Таким образом,
откуда следует, что dk'Ll<s>k,^=dkL[®k.

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 143
Используя операторы рождения и уничтожения, удовлетворя-
удовлетворяющие соотношениям
[a (ft), a+ (ft')] = Bя)»2*»А6« (k - k'),
[a(k), а(?')] = [а+(?), а+(*')] = 0, ' '
сопряженные друг другу поля <р(х), я(х) при ^=0, для которых
выполняются основные коммутационные соотношения C.3)^ можно
записать в виде
Ф(х) = \ d~k[a (k) ^ •« +a\k) e-*-«],
г ~ х C.37)
я(х) = — t \dk щ[a(k)eik-x —a+ (k)e-'kx].
Основное состояние, или вакуум, определяется следующим образом:
= 0, <0|0>=1,
в то время как гамильтониан принимает вид
Я = ~ f dk щ:a* (k) a(k) + a (ft) o-f (ft): = J dft coftй+(Л) a (ft). C.38)
В соответствии с рассмотрением, приведенным в гл. 1, естественно
ожидать, что .оператор трехмерного импульса Р дается выражением
х) = j dft Л/ [^(*) J
C.39)
В отличие от энергии здесь не требуется нормального упорядо-
упорядочения. Моды к и —к компенсируют друг друга, поэтому вакуум,
т. е. собственное состояние оператора Р с нулевым собственным
значением, является трансляционно-инвариантным. Операторы
Н = Р° и PJ коммутируют, и
[Я\ a* (ft)] = /^0* (ft), C.40)
откуда следует, что оператор a (k), действуя на состояние, добав-
добавляет 4- импульс №.
С точностью до нормального упорядочения выражение для плотности тензора
энергии-импульса совпадает со своим классическим аналогом
в котором <9°<р (х) заменяется на п (х).
В момент времени t — х° поле ф можно записать в виде
Ф (t, х) = eiHt(f @, х) e~im = \ dk [a {k)e~ikx + a*(k) «**•*]. C.42)

[44 ГЛАВА 3
Это выражение автоматически удовлетворяет уравнению Клейна—
<->
Гордона. Используя символ udv для операции
«->
udv — и (dv) — (дм) v,
оператор a (k) можно выразить через q> @, х) и п (О, х) следующим
образом:
a(k)= $ d3x е-'кхКф@, х) + in @, х)] = f [d3x[eik xdtty{t, %)]t=0.
C.43)
Это выражение в действительности не зависит от времени. В самом
деле, используя равенство &о = т2 + к2, имеем
d0 J &х<*к-*д& (х) = J d3x {elk-x dl<p(x) + [(m2 - Д) eih*] Ф (х)\.
Во всех приложениях мы должны рассматривать нормированную
суперпозицию плоских волн, для которой оправдано интегриро-
интегрирование по частям. Последнее выражение обращается в нуль, по-
поскольку ф (х) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. Следо-
Следовательно,
af (k) = — / J d*xe-lkx доу (х).
В пространстве Фока базис можно построить из нормированных
/"-частичных соотношений:
| г> = (Н J dkx ...dkr\F {kx kr) |«)-V
X $ dkt ... dk, F (k, kr) a\kt) ... a+ (ft,) 10>. C.45)
Волновая функция F (&1; ..., kr) симметрична относительно пере-
перестановок 4-импульсов ks, принадлежащих верхней поле гипербо-
гиперболоида № = т2, так называемой массовой поверхности. Коммутиру-
Коммутирующий с Р^ оператор числа частиц N,
N=[dka\k)a(k), C.46)
действует на состояния C.45) следующим образом:
N\ry = r\r>. C.47)
Необходимо убедиться, что соблюдается релятивистская инвариантность. В вы-
вышеприведенной формулировке используется определенная система отсчета, и
можно задаться вопросом, придем ли мы к эквивалентной теории, проводя кван-
квантование в какой либо другой системе отсчета, связанной с данной преобразова-
преобразованием Пуанкаре. Отметим штрихами координаты новой системы отсчета. Мы хотим

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 145
выяснить, существует ли квантовое каноническое преобразование, которое свя-
связывает основные операторы рожтения и уничтожения а и ат с соответствующими
операторами а' и я , полученными при квантовании на гиперплоскости <' = const.
Действительно, такое каноническое преобразование существует, если каждому
преобразованию х —*¦ х' =А.х-\-а можно сопоставить унитарный оператор U (а, Л)
в пространстве Фока, такой, что
U (а, Л) ф (*) ?/+ (о, Л) = ф (Лх+а). C.48)
Предполагая дифференцируемость по параметрам а и Л, достаточно рассмотреть
инфинитезималькые преобразования типа
где 6(o(iV-f-6»v^_Q Следовательно, нам нужно найти 10 эрмитовых операто-
операторов М1 (M^-f-M^V — O) и Р^, таких, что
t6a P" C.49)
] ^1 бсо^ (xV-^ Ф- C.50)
ны удовлетворять
Pv]=0,
]
10 генераторов Р и М должны удовлетворять геометрическим коммутационным
соотношениям:
C.51)
= t (VW^Mtxai"'MvK+oMIILk)
б которых коммутатор заменяет (с точностью до t) классические скобки Пуас-
Пуассона. Как и при выводе выражения для Р^, можно ожидать, что эти генера-
генераторы определяются из теоремы Нётер:
Л; (хцв^-^в№); C.52)
здесь в1 дается выражением C.41), которое более точно можно записать
в виде
вад(х)=-1:(я+(Уф)+^):. C53)
в°/(х)=:пЗ/ф:.
Выражения для Р11 совпадают с C.38) и C 39); они действительно такие, что
[ ] :). Для М*™ мы находим
C.54)
Таким образом, соотношения C.50) и C.51) выполняются. Поскольку в
входит лишь орбитальный момент, частицы, рождаемые и уничтожаемые по-
полем ф, не имеют спина.

146 ГЛАВА 3
Убедившись в ковариантности квантовой теории, изучим теперь
вопрос о том, как связаны между собой описание, использующее
представление частиц с массой т и нулевым спином, и описание,
основанное на эрмитовом поле q>, которое может принадлежать
набору измеримых величин.
Хотя в определенный момент времени поля, относящиеся к раз-
разным точкам пространства, коммутируют, это не выполняется, когда
мы сравниваем их в разные моменты времени. Однако из канони-
канонического квантования следует, что коммутатор двух свободных по-
полей ф (х) и ср (у) имеет простую структуру и описывается с-число-
вой обобщенной функцией вида
= iA(x-y). C.55)
Вещественную обобщенную функцию Д (х) можно также записать
с помощью знаковой функции г(и) = и/\и\:
откуда видно, что А (х) является нечетным лоренц-инвариантным
решением уравнения Клейна — Гордона. Из условия А @, х) = 0 и
лоренц-инвариантности находим, что на самом деле А(х) обра-
обращается в нуль вне светового конуса, т.е. в области х2 < 0. Изме-
Измерения в точках, разделенных пространственно-подобным интерва-
интервалом, не влияют друг на друга, что является следствием локальности
и причинности Заметим также, что из канонического квантова-
квантования следует
двД(*)|,*=„ = -63(х). C.57)
Чтобы поароигь кгперентные состояния, которяе диагонализуют положительно-
частотную часть квантового ноля, т.е. являются аналогами минимальных вол-
волновых пакетов для гармонического осциллятора, предположим, что на массовой
поверхности &2 = ma, k° > 0 задана нормируемая функция ц(к):
Рассмотрим состояние | т)>, определяемое выражением
dk T) (*) a+ (*)] | 0>, C.58)
которое в пространстве Фока является когерентной суперпозицией состояний
с 0, I, 2,... частицами. Считая, что ц яшяется произвольным, выражение C 58)
можно использовать как производящую функцию для получения состояний
с фиксированным числом частиц. Применяя тождество еАев~-еА+в+^А' Bl'2t
справедливое для двух операторов А и В, коммутирующих с [А, В], вычислим
норму состояния |г)>:
[ J dk ni (*) ъ (*)]. C.59)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 147
Следовательно, два таких состояния, вообще говоря, не ортогональны и система
когерентных состояний является переполненной. Обозначим через | т)) нормиро-
нормированное состояние, соответствующее | т|>:
тогда мы можем записать
т)^2—2-|%—т]а|2)|.
Вакуумное состояние соответствует т|=0, а в более общем<виде a {k)] t]> = г) (k) 1т}>;
таким образом, мы диагонализовали аннигиляционпую (положительно-частотную)
часть поля
Ф< + > (х) = { dk a (k) e-'kx, ф<+> (х) \ г]>= [ dk ц (ft) е~1к'х | ri>. C.60)
При эволюции во времени когерентные состояния остаются когерентными. Дейст-
Действительно,
e-im |т^ехр К dk т| (k)[e-iHt aT (k) e+iHt]\ 10>=
= ехр Г С dk ц (k) е-('*»'а+ (k)~\ \ 0>= C.61)
где щ{к) = е-№°\(к).
Полезно также построить унитарный оператор D (т)), который осуществляет
преобразование
D Ы | r)i) = exp[( J dk Ira пГ
Читатель может убедиться сам, что таким оператором является
D (г,) =ехр{ - J dk [ц* (k) a (k) -r, (к) а* (к)] }.
Поскольку <р(х) — это операторно-значная обобщенная функция, ее можно
сгладить пробной функцией
<pf=^d*xf(x)<p(x). C.62)
Если / близка к bit) g (х) или б' (t) g (x), мы получаем среднее по пространству
от ф @, х) или я @, х). Рассмотрим распределение вероятности величины ф^
в состоянии, соответствующем фиксированному телу частиц г.
р, (а) = <г\6 (Ф/-а) | r> = j" |? e'iaa <r | ela<?f | л>. C.63)
Чтобы вычислить это распределение, можно использовать в качестве произво-
производящих функций когерентные состояния, так что задача сводится к вычислению
величины
ut|, + fa (ч/+Ы)-^ I Л1] } ¦ C-64)
где /—фурье-образ функции /;

148 ГЛАВА 3
Заметим, что вклады в C.64) дают только значения f, заданные на массовой
поверхности. Предоставляя читателю в качестве упражнения изучить общий слу-
случай, найдем вакуумное распределение поля
C.65)
2$tf*|7(*)la
Нет ничего удивительного в том, что мы получили распределение Гаусса со
среднеквадратичным отклонением
от нулевого среднего значения. Поле в данной точке пространства-времени,
соответствующее /= 1, имеет бесконечную флуктуацию, и, следовательно, ненаб-
людяемо Но сглаженные операторы имеют смысл даже тогда, когда носитель
функции / ограничен фиксированным значением времени. Заметим, что вакуум
не является состоянием с нулевым полем, и, как мы скоро увидим, вакуумные
флуктуации наблюдаемы
Bvecio того чтобы рассматривать (р(+>(дс), можно также построить полный
набор сглаженных значений ф @, х):
>x <?(O,x)Fn(x), C.66)
соответствующих fn{x) = 6(x°) Fn(x) в предыдущих обозначениях, причём вели-
величины
L(*) = J«P* e~ik*Fn(x)=Fn(к) C.67)
нормируются в соответствии с формулами
с) Fn,(k) = on, п',
^„(—k) = F^(k), C.68)
S?п (Ю ?л (к') = BяK 2wft63 (к—к').
п
Собственное состояние операторов <р„ с собственными значениями срП: с не
совсем точно можно назвать собственным состоянием поля q> @, х) с собст-
собственным значением
<Ро (х) = 2 Ф„, Л * «~ lk'*Fn (Ю C.69)
так что
Обозначим соответствующее состояние через |(рс>. Для того чтобы получить
его компоненты в базисе Фока, достаточно знать скалярное произведение
этого состояния и когерентного состояния | т|>. Это произведение можно
получить, решив уравнение
<т|1фп|фс> = <Р«,е<Л11<Рс> C.70)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 149
для каждого значения п. Если нормировка такова, что
/= i |фс> JJ __^_^<срс|, C.71)
мы приходим к выражению
\, C.72)
)
с помощью которого можно изучать физический смысл этих состояний.
3.1.3. Заряженное скалярное поле
Проведенное выше рассмотрение эрмитова скалярного поля не
позволяет различать частицы и античастицы Частицы и анти-
античастицы должны иметь противоположные квантовые числа, соот-
соответствующие заряду, независимо от природы этого заряда.
В классической теории минимальная связь приводит к комплек-
комплексным полям. Поэтому в квантовом случае определим дублет эрми-
эрмитовых полей (pj и ф2, описываемый комплексной величиной
и величиной, эрмитово сопряженной с последней. Полный лаг-
лагранжиан =§?Г|0ЛН должен быть суммой двух идентичных лагран-
лагранжианов вида C.7), соответствующих срх и ф2:
^полн = & (Фх) + 2 Ы = (дцф) t (a«v)-mV ф. C.73)
Квадратичный лагранжиан J? инвариантен относительно враще-
вращений во внутреннем пространстве, характеризуемом индексами
1 и 2, или, что то же самое, когда q> умножается на фазовый
множитель, а ср+ — на сопряженный множитель Группой инва-
инвариантности является U (\) или 0B) Квантование выполняется
независимо для фх и ф2, причем состояния нумеруются числами
пг и п2 квантов типа 1 и 2, соответствующих операторам ф, и
Ф2; таким образом,
iV,= Jdftflf(*)fl((A), «=1,2. C.74)
Записывая гамильтониан через поля ф, ф+ и сопряженные им-
импульсы
+ Я^ М^, C.75)

150 ГЛАВА 3
H=\d?x jjt+n + VyVcp + mVcp: . C.76)
имеем
Следует заметить, что в уравнениях C.73) и C.76) отсутствует
коэффициент 1/2, характерный для случая эрмитовых полей.
Коммутационные соотношения
[ф (х), Ф (У)] = [Ф+ (х), Ф+ (У)] = 0, [Ф (х), cpt (*/)] = /А (*_у) C.77)
при совпадающих временах сводятся к соотношению
х), n*(t, у)] = »6*(х-у).
Само поле можно записать следующим образом:
Ф (*) = $ dk[a (k) е~ш * + tf (k) eikx],
Ф+ (x) = Jdk[b(k)e~ik * + a+ (k) eik *], C.78)
где
w
причем все остальные коммутаторы обращаются в нуль.
Мы видим, что ф уничтожает кванты типа аи рождает кванты
типа Ь, а оператор q>+ действует обратным образом; это соответ-
соответствует двум наблюдаемым
и Nb=\dktf{k)b{k). C.79)
То, почему мы предпочли диагонализовать Na и Nb, а не Nt
и N2, станет понятным позже, когда мы рассмотрим заряд. Это
напоминает то, как если бы вместо линейной поляризации света
мы выбрали круговую Разумеется, Na-\'Nb = N1-\-N^. Наконец,
запишем 4-вектор энергии-импульса:
Р» = J dk kl [a* (ft) a (k) + Ь+ (k) b (ft)], C.80)
причем вакуумное состояние уничтожается всеми операторами
a (ft) и ft (ft).
Применяя теорему Нётер к группе инвариантности U A), мы
предполагаем, что существует сохраняющийся ток
p: C-81)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 151
и соответствующий не зависящий от времени заряд
Q = J dsx : i (ф+ Ф—ф* ф): =
= J dk [a* (k) a (k)—b* (k) b (k)] = Na—Nb. C.82)
В самом деле, можно показать, что
Q = i[H, <?] = 0, дц/и = 0. C.83)
Следовательно, a-кванты имеют заряд + 1, а Ь-кванты—заряд—1.
Оба типа квантов входят в теорию симметричным образом и,
чтобы различить их физически, необходимо ввести внешнюю связь.
Стало традиционным отождествлять один тип квантов с части-
частицами, а другой—с античастицами. Симметрия теории требует,
чтобы та = ть, а также равенства спинов, которые в данном
случае равны нулю Дискретная симметрия, отвечающая замене
частиц на античастицы, называется зарядовым сопряжением.
Покажите, что в пространстве Фока можно найти унитарный оператор 4»,
который коммутирует с гамильтонианом и такой, что
= W (х), \г\с\=\; C.84)
обсудиге его свойства,
Примерами различающихся скалярных пар частица-античастица могут
служить мезоны п + п~, К+К~ или К°К0 В последнем случае «зарядом»
является странность.
Объединенное описание, основанное на рассмотрении комп-
комплексного поля ф, которое представляет собой единственную ком-
комбинацию, приводящую к взаимодействиям, инвариантным отно-
относительно зарядового сопряжения, указывает на глубокую связь
между динамическим поведением частиц и античастиц, которая,
как будет показано ниже, выходит за рамки простого равенства
их кинематических инвариантов
3.1.4. Хронологическое произведение
Действуя на состояние, оператор ср^(х) рождает частицу с заря-
зарядом + 1 или уничтожает античастицу с зарядом —1. В любом
случае к полному заряду добавляется -\-\. Аналогично, действуя
на состояние оператором Ф(х'), мы уничтожаем единичный заряд.
Можно рассматривать совместное действие двух операторов, остав-
оставляющее полный заряд инвариантным, двумя способами в зависи-
зависимости от знака V — t. Если f > /, то сначала в момент времени t
оператор ф+(х) рождает частицу, а в более позднее время V опе-
оператор ф (%') ее уничтожает. Соответствующая амплитуда опреде-
определяется средним значением оператора
Q(t'-t)(f(t', x')q>Ht,x). C.85)

152 ГЛАВА 3
В случае же когда t' < t, оператор ф (%') рождает античастицу,
которая затем уничтожается оператором ф+ (х) в момент времени t
с амплитудой
t, x)q>(*\ х'). C.86)
В обоих случаях заряд увеличивается в точке х и уменьшается
в точке х' независимо от причинных связей. В случае t > t',
вместо того чтобы говорить о рождении античастицы в точке х',
поглощенной впоследствии в х, можно сказать, что в х образо-
образовалась дырка, которая будет заполнена в более позднее время t.
Таким образом мы воспроизводим дырочное описание Дирака
(см. главу 2).
Сумма операторов C.85) и C.86) представляет собой хроноло-
хронологическое произведение Дайсона
t-t') ц>Цх) Ф(А C.87)
названное так потому, что операторы под знаком Г-произве-
дения расположены справа налево в порядке возрастания времен-
временных аргументов Бозонные операторы, очевидно, коммутируют
под знаком хронологического произведения.
Подействуем на хронологическое произведение C.87) операто-
оператором Пл:'+™а. При этом необходимо соблюдать осторожность,
поскольку ступенчатые функции зависят от времени; следова-
следовательно, мы должны получить не нуль, а обобщенную функцию,
сосредоточенную при совпадающих временах. Действительно,
ф(
здесь мы воспользовались тем фактом, что
6 (*'-*) fo(*'), <pt(*)] = i6(*'-QA(O, x'-x) = 0.
Из C.77) и C.57) следует, что
t'-t, x'-x) =
Используя равенство (д2/д/'2)ф(х') = (Ах<—тг)ц>(х'), находим
(Ох- + тг) Гф (х1) q>t (х) = — ft* (x'—x). C.88)
Если бы поле ф удовлетворяло уравнению (П +т2)ц> (х) = \ (х),
а не однородному уравнению Клейна — Гордона, то уравнение
C.88) следовало бы заменить на уравнение
(О + т*) Гф (х1) Ф+ (х) = Tj (xr) Ф+ (*)-/6* (х'-х). C.89)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 153
Отсюда мы получаем, что вакуумное среднее
GF(x'—x) = i <01 Гф (х')уЦх) 10> C.90)
представляет собой одну из функций Грина оператора Клейна —
Гордона. Простое вычисление показывает, что это действительно
скалярный пропагатор Фейнмана, встречавшийся в гл. 1:
Мы приходим к выводу, что квантование свободного релятивист-
релятивистского скалярного поля дает удовлетворительное описание бес-
бесспиновых невзаимодействующих частиц, подчиняющихся статистике
Бозе—Эйнштейна, как обладающих зарядом, так и без заряда.
В отсутствие взаимодействий число квантов поля сохраняется.
3.1.5. Термодинамическое равновесие
В системе покоя, в" которой полный трехмерный импульс равен нулю, может
оказаться, что правильное описание рассмотренной выше квантованной системы
соответствует не вакуумному состоянию, а термодинамическому равновесию при
температуре Г = 1/?[3 (ft—-постоянная Болышана) и химическом потенциале^.
Это утверждение справедливо, пока число квантов N сохраняется. Рассмотрим
вновь квантование в ограниченном объеме с дискретными импульсами:
2л
к=—п— п, причем щ, и2. Из—целые числа.
При этом интегралы заменяются на суммы:
BяK ~* V
С
J
Переопределим операторы уничтожения и рождения таким образом,
а(к)^У2щУ Аи,
чтобы выполнялось соотношение
[\< 4'] = Sk,k'-
Здесь дельта-функции заменены на символы Кронекера. Следовательно,
Н = ^ dk o)fe а (к) а (й) =
=(j dk а
Мы предположили для простоты, что система нейтральна. Полная статисти-
статистическая сумма % записывается в виде следа в пространстве Фока:
sp ехр Г-Р^ (ш*- V) 4Л

154 ГЛАВА 3
Каждая мода колебаний дает вклад в виде факторизованного члена, а поскольку
sp e =A—е^)~1, мы имеем
_2in(i-e-H-fe^
В случае большого объема термодинамический потенциал записывается в виде
Из термодинамики известно, что если р—давление, то Q = $pV. Следовательно,
р = — -
Bя)«
.,„(,_„-»<".-»>). ,3.92)
Средние значения плотности энергии E/V (без вклада нулевых колебаний)
и плотности частиц N/V даются хорошо известными выражениями
_? дп_
V ~
рц= const
Л/ 1
J г — 1
_Г d4 1
J с — I
соответствующими статистике Боэе. В случае когда ш=0 и число частиц не
сохраняется (т. е. ц=0), ситуация аналогична излучению абсолютно черного
тела, если не учитывать поляризацию. При этом среднее значение плотности
энергии записывается в виде
Интегрируя по частям, получаем
Т—
это есть не что иное, как классическое соотношение, хорошо известное из тео-
теории излучения абсолютно черного тела. Из этого соотношения следует, что
след усредненного гензора энергии-импульса в^, который имеет лишь диа-
диагональные элементы 0Оо =E/V, в,у = рб,уA, / = 1, 2, 3), равен нулю,
Обозначая термодинамические средние круглыми скобками (мы полагаем
здесь, что ц = 0, а масса является произвольной), т. е. записывая

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 155
рассмотрим распространение сигнала при конечной температуре. Полагая
можно записать следующие соотношения:
)i=- V к-/ (- «
В пределе бесконечного объема имеем
и хронологическое произведение принимает вид
(*-w). C.95)
Это выражение показывает, что пропагатор при конечной температуре яв-
является суммой прооагаюра Фейнмана при нулевой температуре и зависящего
от температуры решения однородного уравнения Клейна—Гордона, которое
обращается в нуль по закону е~^т при C —>¦ оо (Т —* 0). Такой пропагатор
позволяет изучать динамические возмущения состояния равновесия.
Структура статнаической суммы наводит на мысль, что, применяя теорию
возмущений к статистическим системам, \<ы можем столкнуться с каким-то
иным «евклидовым пропагатором». Исходя из рассмотрения основных динами-
динамических полевых переменных при фиксированном времени, определим эволю-
эволюцию в мнимом времени
где величина х0 вещественна и вначале ее изменение ограничено интервалом
[0, р] в соответствии с формулой
Обозначая упорядочение операторов по х0 символом Т, можно записать сле-
следующее уравнение:
( Jv-Л*+ m2) [f(P <*) <Р Ш = - »в (хо-Уо) S3 (х-у).
Величину Тф (х) ф (у) можно продолжить как периодическую функцию от
хо — Уо с периодом Р. Действительно, предположим сначала, что величина у0
ограничена интервалом [0, Р]. Тогда из циклического свойства следа получаем
Когда такое продолжение выполнено, мы должны понимать, что функция
S(^o— Уо) применяется к периодическим функциям (функциям на окружности),

156 ГЛАВА 3
причем 2лб (а) = 2 е"*а- Таким образом, можно написать следующие выра-
п
жения:
+ »
— п ,_у) t
Ф (*)]=-!¦ V exp f-2fa i & _
В последнем выражении используются обозначения Минковского, причем вели-
величина x° = —ix° так же, как и &°, является чисто мнимой. Если обозначить
символом \ dik/Bn)i комбинацию дискретной суммы и интеграла
1
2- J Bя
2/р
)» '
то выражения C.96) формально совпадают с обычным пропагатором. Однако
следует заметить, что знаменатель
никогда не обращается в нуль. Читатель должен понимать, что выражения
C.95) и C.96) описывают абсолютно разные величины, относящиеся к не свя-
связанным между собой проблемам.
3.2. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотренный выше пример из термодинамики приводит нас не-,
посредственно к полю излучения. Действительно, спектр излу-
излучения абсолютно черного тела, полученный Планком, явился
исторически первым случаем квантования поля. Единственно, что
нам нужно, так это обобщить построенный выше формализм на
степени свободы, описываемые потенциалом А1х(х), Так как для
нас важен локальный характер теории, мы не вправе использо-
использовать в качестве основной динамической переменной калибровочно-
инвариантный тензор F^v. Нам придется иметь дело с зависи-
зависимостью Лц от калибровки, о чем уже упоминалось в гл. 1. Эту
трудность пытались обойти различными способами. В нашу задачу
не входит описание всех этих способов, мы рассмотрим лишь
квантование Гупты — Блейлера, использующее индефинитную мет-
метрику.
3.2.1. Индефинитная метрика
Напомним, что лагранжиан
j?---J-/7\ C.97)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 157
в котором F выражается через А, не подходит для канонического
квантования, поскольку импульс, сопряженный А0, обращается
в нуль. Если бы нам не надо было заботиться о явной лоренц-
ковариантности, мы могли бы ограничиться величиной А, фикси-
фиксируя А" и используя условие типа divA = 0. С физической точки
зрения это, несомненно, разумный шаг, но он не соответствует
нашим целям. Поэтому мы поступим иначе, а именно видоизме-
видоизменим уравнения движения. Поскольку при этом придется ввести
фиктивные степени свободы, теорию Максвелла мы сможем при-
применить, наложив соответствующие ограничения на физические
состояния. Поначалу может показаться, что цена слишком высока
не только потому, что гильбертово пространство при квантовании
окажется слишком широким, но и вследствие того, что данное
пространство не обладает положительной метрикой, т. е. допускает
состояния с отрицательной нормой! Таким образом, обычная вероят-
вероятностная интерпретация квантовой механики будет справедлива
лишь тогда, когда мы ограничимся рассмотрением физических
квантов, а именно фотонов только с двумя поляризациями. Напом-
Напомним также, что для сохранения калибровочной инвариантности,
т. е. принципа, который оправдывает указанную выше процедуру,
необходимо убедиться в том, что ток продолжает сохраняться
и после включения взаимодействия.
Итак, мы заменяем лагранжиан C.97) следующим выражением:
\l\ C.98)
где ХфО—произвольная постоянная. Уравнения Максвелла при
этом заменятся на
OA)i—(l-X)dll(d-A) = 0, C.99)
а сопряженные импульсы для четырех компонент А запишутся
в виде
^а-Л)- (ЗЛ00)
В частности, я0 теперь не обращается в нуль.
Независимо от того, равна ли нулю правая часть уравнения
C.99), как в случае свободного поля, или нет, когда мы заме-
заменяем ее сохраняющимся током, выполняется следующее равенство:
? (д.Л) = 0, C.101)
так что д-А представляет собой свободное скалярное поле. В клас-
классическом случае мы показали, что при соответствующих гранич-
граничных условиях д'А обращается в нуль всюду благодаря C 101),
и, следовательно, теория Максвелла восстанавливается в лорен-
цевской калибровке д-А=0. В квантовом случае это невозможно.

158 ГЛАВА 3
В самом деле, мы хотим ввести канонические коммутационные
соотношения
[A (t, х), nv(t, y)] = tepve"(x-y). C.102)
В этом случае операторное уравнение д-А=0 не может выпол-
выполняться, поскольку с точностью до постоянного множителя вели-
величина д- А равна я0, а коммутатор последнего с А° при совпадаю-
совпадающих временах не равен нулю Мы видим, что квантование в соот-
соответствии с C.102) привносит в теорию нефизические свойства,
которые необходимо будет устранить. Хотя все вычисления можно
провести при произвольном значении X, для простоты здесь и далее
будем полагать к= 1. В этом случае уравнение C.99) принимает вид
? ^ = 0 (Х=1). C.103)
В квантовом случае выбор К не совсем точно называют выбором
калибровки, а случай Х=1 называют калибровкой Фейнмана.
В результате такого упрощения мы не сможем непосредственно доказать, чго
наши результаты не зависят от К. Мы предоставляем читателю проделать это
самостоятельно в случае свободного поля. Можно также рассмотреть различ-
различные варианты выражения C.98), когда дополнительный член выбран в виде
либо (к/2) [д- А — ф (х)]а, где <р (х)—с-числовое классическое поле, либо
(Х/2) [п (х) ¦ А]2, где п (х)—классическое векторное поле (возможно, постоянное).
Помимо C.102), в полную систему коммутационных соотно-
соотношений входят также соотношения
[Ap(t, х), Av(t, У)] = К(*. х), nv(t, y] = 0. C.104)
Отсюда следует, что временные производные величины
Ар коммутируют при совпадающих временах, так что C.102) и
C.104) можно переписать следующим образом:
[Ap(t, х), Av(t, y)] = [Ap(t, x,), Av(t, y)] = 0, Ю5
[Ap(t, x), Av(t, y)] = igpvb3(x-y);
это аналогично скалярному случаю, повторенному четыре раза.
Поскольку компоненты классического потенциала вещественны,
предположим, что соответствующие им квантованные величины
эрмитовы.
Таким образом, динамическая система описывается уравнением
C.103) и соотношениями C.105). Отметим, однако, некоторое
отличие по сравнению со скалярным случаем, где нетривиальный
коммутатор был равен
[Ф(/, х),ф(*. y)] = J«8(x-y). C.106)
Только три из четырех компонент A» (t, x) подчиняются соотно-
соотношениям, аналогичным C.106). Коммутатор, включающий A0(t, x),
имеет обратный знак, как если бы поле и его сопряженная пе-

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 159
ременная поменялись местами. Это обстоятельство связано с тем,
что Лц является 4-вектором, и как вскоре будет показано, оно
приводит к совершенно другому гильбертову пространству, когда
мы «решаем» C.105) методом, рассмотренным в разд. 3.1.
Чтобы решить эту задачу, запишем разложение Фурье поля
по решениям уравнения C.103) в виде плоских волн, полагая
Л^ (х) = J dk ? [а(Я) (*) e*> (k) е-'*-* + аЛ) + (ft) ej*« (ft) С*-*]; C.107)
здесь, как и в выражении C.35),
O' *» = 1П (ЗЛ08)
Для любого k, лежащего на верхней поле светового конуса,
величины е* (k) образуют систему четырех линейно-независимых
векторов, которые можно считать вещественными. Символ | оз-
означает эрмитово сопряжение по отношению к невырожденному
скалярному произведению в пространстве Фока. Из C.108) видно,
что кванты поля не имеют массы.
Чтобы прояснить смысл выражения C.107), выберем в данной
sсистеме отсчета определенные векторы поляризации eU) (k). Пусть
Ы обозначает ось времени п2=\, п° > 0. Возьмем еA) и е12) в
^плоскости, ортогональной k и п, так что
е^(к).г^(к) = -8кл„ к, Я' = 1, 2.
Затем выберем вектор еC) таким образом, чтобы он был расположен в
плоскости (k, n), ортогонален п и нормирован:
Наконец, предположим, что е<0) равен п. При таком выборе е(Я) (к)
мы будем называть еA) и е<2) поперечной, еC)—продольной, а е@> —
скалярной поляризацией. В системе отсчета, в которой п°=\, а
к направлен вдоль третьей оси, мы имеем
v /0\ /On
V' 8 \о/ 6 \о/ 8 U
В любом случае справедливы следующие соотношения:
Наличие знаменателя в первом выражении C.109) обусловлено
индефинитностью скалярного произведения. Из выражения C.107)

160 ГЛАВА 3
следует, что А^ автоматически удовлетворяет уравнениям поля.
Коммутационные соотношения C.105) выполняются при условии,
что
[а<Х) (k), a(V) + (ft')] = —g**" 2/e« BяK б3 (k—k'). C.110)
Кроме того, для произвольного момента времени можно записать
следующее коммутационное соотношение:
[А^х), Av(y)] = -ig,iVA(x-y), C.111)
где Л определяется выражением C.56) при т— 0. Мы ощущаем
уверенность, когда видим, что такие ковариантные выражения,
как C.11!), возникают естественным путем Введем далее вакуум-
вакуумное состояние, которое уничтожается операторами аа) (k);
0, Я = 0, 1, 2, 3.
Но здесь имеется некоторая трудность, поскольку мы, очевидно,
ввели вдвое больше поляризационных состояний, чем обычно при-
приписывается фотонам. Трудность проявляется с очевидностью,
когда строится одночастичное состояние со скалярной поляриза-
поляризацией:
Вычислим величину
< 11 1> = J J dkdk' f (k)* f ik') <01 a@) (ft) aM t (k1) | 0>.
С учетом C.110) получаем парадоксальный результат, а именно
т. е. пространство Фока имеет индефинитную метрику! Если вы-
выполнить аналогичные вычисления с тремя другими типами поля-
поляризации, то мы получим состояния с положительной метрикой
Как быть с вероятностной интерпретацией квантовой механики?
До тех пор пока мы ограничиваемся рассмотрением свободно-
свободного поля, ситуация не столь катастрофическая, как может пока-
показаться. Однако взаимодействия могут возбуждать нежелательные
состояния. Важно отметить, что до сих пор фактически мы имели
дело не с теорией Максвелла, поскольку нами был существенно
изменен лагранжиан. Чтобы восстановить!еориюМаксвелла, можно
было бы считать, что д-А=0, но наложить это условие на опе-
операторы невозможно. Следовательно, можно по крайней мере
попытаться выбрать такие состояния | \|)>, чтобы условие Лоренца
выполнялось в среднем:
<1|з|а.Л|\|з> = 0. C.112)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 161
С целью сохранения линейной структуры физического гиль-
гильбертова пространства ,%*, потребуем, чтобы аннигиляционная (по-
(положительно-частотная) часть оператора д-А уничтожала Ж{.
0. C.113)
Отсюда с очевидностью следует выражение C.112).
Теперь рассмотрим состояния, принадлежащие Жх. Поскольку
условие C.113) является линейным, можно выбрать базисные
состояния, которые получаются при действии на вакуум (сгла-
(сглаженными) произведениями операторов рождения, соответствующих
различным поляризациям. Поэтому мы можем факторизовать эти
состояния следующим образом:
|Ч>> = |Чзг>|Ф>; (ЗЛ14)
здесь | \|)Г> соответствует поперечным фотонам, а | Ф> получается
действием на вакуум продольными и скалярными операторами.
Это разложение зависит от того, какие мы выберем векторы по-
поляризации. Ясно, что достаточно изучить следствие условия
C.113) для таких состояний, как |Ф>, поскольку в д-Л(+) входят
лишь продольные и скалярные поляризации:
0.Л(+>=С dke~ik* 2 aP>\k)^{k)-k, C.115)
так что условие C.113) принимает вид
2 *-е<А*(Л)а(*>(Л)|Ф>«0. C.116)
2
Было бы слишком ожидать, что это уравнение позволит полно-
полностью определить |ф>. Кроме того, необходимо учитывать произ-
произвол в выборе вектора поперечной поляризации, к которому по
желанию можно добавлять член, пропорциональный k. Этот произ-
произвол должен отражаться на |ф>, т. е. только на части состояния,
поэтому мы можем лишь предположить, что данная физическая
ситуация представляется классом эквивалентных векторов, при-
принадлежащих ftv Разумеется, необходимо убедиться в том, что в
этом подпространстве векторы имеют положительную квадратич-
квадратичную норму.
Перепишем условие C.116) в эквивалентном виде
[а«»(ф—а<3)(А;)]|ф> = 0. C.117)
Состояние |Ф> может быть линейной комбинацией состояний,
соответствующих одному, двум и т. д. скалярным или продоль-
продольным «фотонам»:
|Ф> = С0|*,>+С4|ф1>+...+С1,|Фв>+...,
C.118)

162 ГЛАВА 3
Оператор числа этих фотонов, полученный с помощью C.110)
(обратите внимание на знак минус), запишется в виде
N' = J dk [al3) t (jfe)e<"(jfe)—a<°> t (k) a™(k)]. C.119)
Состояние |Ф„>, для которого выполняется уравнение C.117),
должно подчиняться условию
Следовательно,
При пфО такое состояние имеет нулевую норму. Общее реше-
решение записывается в виде C.118), причем
<Ф|Ф> = |С0|2>0.
Коэффициенты С; являются произвольными, и каждое состояние
[Ф«> удовлетворяет соотношению C.117). Остается показать, что
произвол в выборе |ф> не влияет на физические наблюдаемые.
Рассмотрим, например, энергию. Запишем гамильтониан
= ЫйсоЛ S art> t (й) о»*» (*)—a@) + (fe)a<0>№)| • C.120)
При действии Н на состояние, принадлежащее Жх, мы получаем,
вообще говоря, вклад от нефизической части |ф>, но он обращает-
обращается в нуль, когда мы вычисляем среднее значение, так как в силу
C.117)
Для оператора импульса мы получаем аналогичную формулу,
следует лишь заменить ык на к. Поскольку наблюдаются только
средние значения, мы видим, что если ограничиться рассмотре-
рассмотрением лишь Щх, то исчезают не только отрицательные вероятно-
вероятности, но и вклады от скалярных и продольных фотонов. Вклад
дают лишь два состояния с физическими поперечными поляриза-
поляризациями.
Полезно отдавать себе отчет в том, что произвол в выборе | Ф> следует из
того факта, что в этом состоянии среднее значение потенциала Лд является
чистым градиентом. Вычислим в качестве упражнения это среднее значение.
Из C.118) нетрудно получить следующее выражение:
<Ф I A+ (х) | Ф> = С1Сг <0„ | J dk е-*-* [e<f (k) a») (k)+$> (k) cP> (*)] | Фг>+к. с.

КВАНТОВАНИЕ} СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 163
Все остальные компоненты | Ф„> не вносят вклада в силу того, что А^ изме-
изменяет п на единицу, | Фо> можно принять равным | 0>, а | 0i> с необходимостью
имеет вид
| Фг> = J <% I (q) [о») t (q)-am t (</)] 10>.
Выбирая вещественные векторы поляризации, получаем
<Ф | Лд (*) | ф>= J & [е{? (к) + г™ (A)] [C0'Cie-«•*/ (*) + к. с]
Напомним, что e@)(fc)=n и по определению
Поэтому
Следовательно, при условии что интеграл имеет смысл,
<Ф | Ал (х) | ФУ^д^ J jg- [iCe'Cie-*-»/ (fe)+K. с.] = ЗдЛ (*), C.122)
где скалярная с-числовая функция Л (д:) представляет собой решение урав-
уравнения ПЛ(*) = 0 и может быть выбрана по желанию путем соответствующего
подбора вектора | Ф>. Это еще раз доказывает, что произвол в выборе | Ф> от-
отражает калибровочный произвол для Лр1 и не приводит к каким-либо сущест-
существенным последствии м.
В классе эквивалентности векторов состояний вида \ФтУ\ФУ,
налагая условие |ф> = |0>, можно выбрать подходящего пред-
представителя; здесь также существен выбор базисных векто-
векторов поляризации. Вместо поперечных векторов поляризации, ве-
вещественных и ортогональных, будем использовать комплексные
комбинации (еш ± teB))/|/2, соответствующие двум значениям спи-
ральности фотона.
Мы не станем приводить подробного доказательства лоренц-инвариантности.
Очевидно, что $fi является лоренц-инвариантом, равно как и класс эквива-
эквивалентности, представляющий данное физическое состояние. Читатель может
построить генераторы MW преобразований Лоренца, а также доказать, что
фотоны не только являются безмассовыми, но обладают спиральностью ± 1.
Иногда говорят, что фотон имеет спин 1.
Хотя только векторы, принадлежащие Жх, имеют физическую
интерпретацию, стоит подчеркнуть, что рассмотрение полного
пространства Фока с индефинитной нормой необходимо для того,
чтобы сохранить локальные свойства теории. Эти состояния вхо-
входят, как правило, в суммы по полным системам промежуточных
состояний.
В качестве упражнения предлагается обобщить рассмотрение, проведен-
проведенное в разд. 3.1.5, с целью получения спектра абсолютно черного тела в рам-
рамках данного формализма.
6*

164 ГЛАВА 3
3.2.2. Пропагатор
Мы предполагаем, что пропагатор, как и в случае скалярного
поля, определяется вакуумным средним хронологического произ-
произведения. До сих пор мы использовали калибровку Фейнмана.
Хронологическое упорядочение строится, как и в выражении
C.87), путем умножения произведений полей на ступенчатые функ-
функции:
ТА» (х) Av (у) = 9 (х^-уо) А» (х) Av (у)+в Qf-*>) Av (у) А» (х).
C.123)
Однако в некоторых случаях такое определение может оказаться
слишком упрощенным. При совпадающих временах это выраже-
выражение априори является неопределенным. К счастью, в данном слу-
случае мы с этой трудностью не сталкиваемся. Подставляя в форму-
формулу C.123) разложение C.107) и используя коммутаторы C.110),
находим
<01 ТАu (х) Av (у) 10> = ig^GF (x-y) |m=0 = -ig
C.124)
Компоненты поля независимы. Отметим различие в знаке для
пространственной и временной компоненты в C.124). При т = 0
имеем следующее явное выражение для пропагатора Фейнмана в
я-пространстве
O/?W~ J Bя)«
Связь этих формул с процессом измерения электромагнитных по-
полей рассматривается в классических работах Бора и Розенфельда.
В заключение прокомментируем вопрос о произволе в выборе параметра X в
выражении C.98). Из него мы выводим уравнения поля C.99) и соотношения
коммутации при совпадающих временах, которые имеют более сложную
структуру:
[Лц(*, х), Av(t, y)]=0,
[4 (/. I), av (t, у)]=?,« (i+Ц^ %») «3 (х- у),
[At(t, х), Xf(t, y)] = tA)(f. x), A\(t, у)]=в,
[A, (t, x), A,(t. yI = «^^.63(x-y).
Следовательно, существует связь между различными компонентами. Если за-
записать классические решения уравнения C.99) в виде

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 165
то можно получить следующее однородное матричное уравнение:
[*У\ — A— Я.) k»kv]Ay(k) = 0. C.127)
Для существования нетривиальных решений необходимо, чтобы детерминант
Я, (ft2L обращался в нуль, откуда следует, что потенциал А^ (k) сосредоточен
на конусе &2 = 0. Однако его нельзя выбрать в простом виде ар.(?) 6 (k2), посколь-
поскольку это означало бы, что Лд (х) является решением однородного уравнения
Клейна— Гордона, что неверно. Выражение для Ар.(х) с необходимостью
включает 6 (кг) и 6' (k2). Эквивалентный подход к решению этого вопроса свя-
связан с соотношением
^1^^Ш C.128)
которое выполняется для не равных нулю №. Представляем читателю разо-
разобраться в деталях построения пространства состояний с индефинитной метри-
метрикой для данного случая. Однако мы приведем построение пропагатора. Упро-
Упрощенное определение дает
[П^р-A-Я) д*д0) <0 | ТАР(х) А* (у) | 0> = <0 | Т \Uxg% -
— (\-%) д»д9] АР (х) А-* (у) | 0> +
+6 (ж0-*0) <0 | [Аи (х), А* (у)] | о>-
- A —Я,)^0 б (х°-г/°) <0 | [др АР (х), А"*(у)] \ 0>. C.129)
Используя уравнения поля и коммутаторы при совпадающих временах, мож-
можно показать, что нековариантные члены обращаются в нуль, и мы получаем
[?rf»p -A - W4 ] <01 ТАР (х) &>(у) | 0> = iguv6« (х-у). C.130)
Следовательно, учитывая C.128) и фейнмановскую добавку fe, находим
То, что знаменатель во втором члене последнего выражения равен
(k? + i&)*, а, скажем, не (k2J + ie, не кажется очевидным. Это
можно проверить лишь путем последовательного вычисления, но
вскоре, когда мы займемся изучением массивного векторного
поля, такой результат станет понятным.
При Х= 1 вновь возникает калибровка Фейнмана. В случае
X—»-0 появляется сингулярность определенного типа. Предель-
Предельный случай X—>оо называется калибровкой Ландау. Физические
же результаты не должны зависеть от выбора Я,. Например, вы-
вычисляя интеграл типа
с гладким сохраняющимся током, нетрудно убедиться в том, что
он действительно не зависит от i.
3.2.3. Массивное векторное поле
Согласно теории Максвелла, фотоны не имеют массы или, что
эквивалентно, радиус действия электромагнитных сил является
бесконечным. Равенство нулю массы фотона приводит к инфра-

166 ГЛАВА 3
красной катастрофе, т. е. к испусканию неограниченно большого
числа мягких фотонов всякий раз, когда ускоряется заряженная
частица. Посмотрим, как введение небольшой массы может по-
повлиять на такой результат. С точки зрения кинематики при этом
появляется новое (продольное) состояние поляризации. Следова-
Следовательно, взаимодействия должны быть такими, чтобы в пределе,
когда масса \i—>-0, отношение констант взаимодействия продоль-
продольных и поперечных мод колебаний также обращалось в нуль.
Классические массивные частицы со спином 1 можно описать
уравнениями Прока для 4-векторного поля Ли (л;):
-dvAp. C.132)
Вычисляя дивергенцию этого уравнения, находим
ц2д.Л = 0. C.133)
В случае [х2 Ф 0 дивергенция величины А равна нулю и уравне-
уравнение C.132) принимает вид
(П+М-гМр = 0. д-А^О. C.134)
Обращение величины д- А в нуль означает, что одна из четырех
степеней свободы для А^ оказывается исключенной ковариантным
образом, так что спин квантов поля действительно равен 1. Не-
Нетрудно показать, что лагранжиан, приводящий к соотношениям
C.132), записывается в виде
& = -\F*+±v?A\ C.135)
Следует заметить, что перед массовым членом стоит знак плюс,
а не минус, как перед соответствующим членом — (т2/2)ц>2 в ла-
лагранжиане C.7) для случая скалярного поля. Это легко
объяснить, если вспомнить, что пространственно-подобные ком-
компоненты, которые вносят отрицательный вклад в инвариантный
квадрат, соответствуют физическим степеням свободы.
После квантования поле Ар(х) можно записать в виде сле-
следующего разложения:
Ар (х) = С dk
(х) = С
р
[aa)(k), a<v)t(?')] = 8u,2?0BnK63(k-k'). C.136)
Три пространственно-подобных ортонормированных вектора
е^' (k) одновременно ортогональны времениподобному вектору kpf
так что, если считать их вещественными, можно получить сле-
следующие соотношения

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 167
Упрощенная конструкция хронологического произведения C.123)
приводит к нековариантному пропагатору
^] C-137)
при этом коммутатор равен
[Лр (х), А, (у)] = - J Ц в (ft») б (ft«-^ в-a-u-
C.138)
Однако нековариантный вклад в хронологическое произведение
представляет собой обобщенную функцию, сосредоточенную в сов-
совпадающих точках. Мы уже отмечали, что при хронологическом
упорядочении такая обобщенная функция остается неопределен-
неопределенной. Следовательно, можно определить пропагатор, не учитывая
эти члены, при этом свойства пропагатора не изменятся. В гл. 5
мы более подробно рассмотрим такое явление.
Если бы нам потребовалось описывать предельный случай
с нулевой массой, то вышеприведенное рассмотрение массивных
частиц со спином 1 было бы вполне удовлетворительным. Оно
использует пространство Фока только с физическими состояниями,
обладающими положительной нормой. Но если мы пытаемся по-
положить (л2 = 0, возникают сингулярности. Это отражается в том,
что если не выбрана калибровка, предельный лагранжиан — G4)^2
оказывается неприемлемым. Мы пытаемся найти эквивалентное
описание, допускающее корректный переход к случаю нулевой
массы
Прием состоит в том, чтобы ввести почти так же, как и в
случае электромагнитного поля, индефинитную метрику в про-
пространстве Фока с некоторым дополнительным условием. Поэтому
рассмотрим лагранжиан Штюкельберга:
^=-|р + 1цМ2-1х(а.ЛJ, C.139)
в котором в случае ХфО предел р.2—*0 не является сингуляр-
сингулярным. Чтобы в предельном случае была справедливой калибро-
вочно-инвариантная теория, существенно, чтобы поле Лц было
связано с сохраняющимся током.
Из лагранжиана C.139) следует уравнение
C.140)
(П+Ц)ЛAА,)д(дЛ) 0.
Взяв дивергенцию обеих частей, получим уравнение
x[ ?]d.i4=0, C.141)

168 ГЛАВА 3
которое остается справедливым, когда в правой части (ЗЛ40)
вместо нуля стоит сохраняющийся ток.
При ЯфО величина д-А представляет собой скалярное поле,
удовлетворяющее уравнению Клейна — Гордона с квадратом массы
m2 = fj,2A (/и2 может быть отрицательной величиной; чтобы избе-
избежать этого, будем предполагать, что % положительна). В силу
соотношения C.141) дивергенция поля
А1 = Ар + ±дрд-А = А +±дрд-А C.142)
равна нулю:
дМ?=0. C.143)
Соответствующее разложение А на «поперечную» (спин 1) и «ска-
«скалярную» части запишется в виде
Ар=А1-±др(д-А). C.144)
При каноническом квантовании вводятся четыре оператора рож-
рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотно-
соотношениям:
[ ]
C.145)
[а@) (А), а<°> t (*')] = - Bл.K 2 |/к3 + т2 б (к — к');
все остальные коммутаторы обращаются в нуль Знак минус в
последнем коммутаторе [C 145)] служит указанием на индефинит-
ность метрики Случаям векторного и скалярного поля соответ-
соответствуют две различные массы. Компоненты самого поля распола-
располагаются на двух гиперболоидах:
о
/1Ь
Г
J
А— 1
2 BлK
(k)e-№-x +a<e)t (fe)e'fe xl C.146)
Как и прежде, &а'(й) (где Х=\, 2, 3) представляют собой три
ортонормированных пространственно-подобных вектора, ортого-
ортогональные вектору к,(№ = \&). Можно проверить, что выражение
C.146) удовлетворяет уравнениям C.140) и C.143), причем соот-
соответствующий ковариантный пропагатор записывается в виде
_ /Г
~ J
где т* = ц'Д-

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 169
Коммутационное соотношение можно записать следующим образом:
[Ар (х), Av (у)] = - J Ц { [±- (e-*-i*-y) - &¦(*-*) х
I
jFTH5j '
148)
Читателю предлагается исследовать пределы (х—> 0 и X—>-О.
а) При Я—>0 к ц ф О покажите, что восстанавливается теория Прока.
б) Если X ?= О и (г —> 0, то m — * 0. Покажите, что в этом пределе фун-
функции Грина описываются выражениями, приведенными в разд. 3.2.2.
В частности, поскольку
gpv kpkv l\>.2 kpky/^l2 gjjv 1 X kpky
Я (й2 — цД + ) (ц
C.149)
двухполюсный член стремится к l/(fe3-l-feJ, что мы уже предвидели в выра-
выражении C.131). Мы будем возвращаться к этому пределу нулевой массы
в дальнейшем, в частности в гл. А Следует также заметить, что в формализме
Шиокельберга пропагаторы вгдут себя в k пространстве как l/k2 при больших
fe, в то время как пропагаторы Прока C.147) для массивных частиц ведут
себя иначе. В качестве дополнительного упражнения можно проверить кова-
ковариантность теории и построить генераторы Рц и М^ группы Пуанкаре. Мы
не привели здесь полного описания кинематических свойств фотонов. По этому
вопросу мы рекомендуем читателю обратиться к работам, указанным в приме-
примечании Мы ставили своей целью проложить путь к последним результатам,
потученпыч в калибровочных теориях, которые будут рассмотрены и гл. 12
(см г. 2 настоящей книги).
В заключение этого раздела рассмотрим схематический метод, позволяю-
позволяющий установить верхний предел массы фотона, используя наземные измерения.
Это так называемый метод постоянного поля Шредингера. В качестве первого
приближения предположим, что Земля представляет собой идеальный точеч-
точечный диполь М. Соответствующий локализованный сохраняющийся ток явля-
является Т?КИМ, ЧТО
следовательно, его можно записать в виде j=—(x/2) MxvS3(x). В статиче-
статическом случае из уравнений Прока выведем соответствующий векторный потен-
потенциал, подчиняющийся условию divA = 0, совместимому с этими соотноше-
соотношениями. При этом получаем уравнение
(-А+И2) A = j = -(V2) Mxv63(x) = _L J J^Left-ж fttxk,
решение которого записывается в виде
Соответствующий вектор магнитной индукции

170 ГЛАВА 3
Направим ось z вдоль вектора М. Тогда В принимает вид
где z—единичный вектор, направленный вдоль оси г. Мы видим, что поле
расщепилось на две части. В первой части выделен множитель [г(г ¦ г) — A/з)г],
соответствующий угловому распределению магнитного поля в пределе fi—> 0.
На постоянном расстоянии г имеется однородный дополнительный член, на-
направленный противоположно земному диполю. Детальное измерение углового
распределения магнитного поля позволяет установить верхний предел массы (г
порядка 4-10~48 г (З-Ю? эВ ~ 10~10 см). В последних измерениях,
использующих другой метод, эти результаты улучшены на порядок.
3.2.4. Вакуумные флуктуации
Прежде чем погрузиться в изучение соответствующих нелинейных
задач, полезно сначала рассмотреть простые эффекты, которые
возникают при квантовании поля. Особый интерес представляют
те эффекты, которые на первый взгляд не являются прямым след-
следствием концепции частиц, в данном случае —фотонов. Мы дадим
схематическое описание двух таких ситуаций, которые связаны
с возможностью наблюдения изменений в вакуумных флуктуациях.
С такими явлениями нам уже приходилось сталкиваться при
обсуждении в гл. 2 интерпретации лэмбовского сдвига, предло-
предложенной Велтоном.
Мы можем включить в рассмотрение простые макроскопиче-
макроскопические источники, изменяя граничные условия для поля, которое
до сих пор рассматривалось в свободном пространстве. Эта про-
процедура не совсем удовлетворительна, поскольку она не описывает
микроскопический механизм, приводящий к этим граничным услц-
виям. Однако она удобна для простых вычислений. Казимир
впервые в 1948 г. указал, что в вакууме электромагнитное
поле в действительности не исчезает, а испытывает флуктуации
(см. раздел 3.1.2). Если мы вносим макроскопические тела, ко-
которые даже не имеют заряда, необходимо выполнить определенную
работу, чтобы установить соответствующие новые граничные
условия. Невозможно предугадать знак этого эффекта, поэтому
работа здесь понимается в алгебраическом смысле, а именно как
различие в энергиях нулевых колебаний двух конфигураций.
Первоначально не учитывался (бесконечный) вклад 2 (V2) ^°a
в гамильтониан на том основании, что он ненаблюдаем. Однако
его изменения можно измерить.
Проиллюстрируем это положение на примере простой конфи-
конфигурации. Рассмотрим две большие идеально проводящие парал-
параллельные пластины —пример, который впервые изучался Казими-
Казимиром Разумеется, для этой цели можно изучать различные кон-
конфигурации и различные материалы; результаты получаются

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
171
аналогичными, за исключением, возможно, того, что эффект будет
иметь другой знак. Пусть пластины представляют собой квадраты
со стороной длины L и расположены на расстоянии а друг от
друга (рис. 3.1), причем a<^L. Рассмотрим энергию на единицу
РИС. 3.1. Эффект Казимира в случае двух параллельных пластин,
поверхности проводника по отношению к вакууму. Ее производ-
производная равна силе, действующей на единицу поверхности и имеет
размерность ML'^T" (где М — масса, L — длина, а Т — время).
В задачу входят только величины А, с и расстояние между плас-
пластинами а (граничные условия, состоящие в том, что вектор Е
перпендикулярен, а В параллелен пластине на внутренней по-
поверхности, не вводят никаких размерных величин). Несомненно,
как и нулевая энергия, результат пропорционален %. Следова-
Следовательно, из соображений размерности мы получаем, что сила на
единицу поверхности должна быть пропорциональна величине
tic/а1. Ниже мы покажем, что это будет сила притяжения.
Рассмотрим моды колебаний в объеме L2a, учитывая, что L^>a,
и пренебрегая вкладом, вносимым краями пластин. Известно, что
вклад в энергию вносят лишь поперечные моды. Если компо-
компонента kz, перпендикулярная поверхности пластин, отлична от
нуля, то она может принимать лишь дискретные значения
kz = nn/a (n—\, 2, ...), чтобы узлы располагались на пласти-
пластинах, при этом имеются два состояния поляризации. Однако если
kz обращается в нуль, то остается только одна мода, и энергия
нулевых колебаний данной конфигурации записывается в виде

172 ГЛАВА 3
Разумеется, мы видим, что это выражение не имеет смысла, по-
поскольку оно приводит к бесконечности. Но мы должны вычесть
свободную энергию, которая в тот же объем вносит следующий
вклад:
- 2 J
Bя)» J 2я
Следовательно, энергия на единицу поверхности дается выраже-
выражением
;2/я2— \ dn
о
Очевидно, что из-за ультрафиолетовых (при больших k) расходи-
мостей эта величина все еще не определена. Однако для длин
волн меньших, чем размеры атома, приближение идеального про- •
водника не является реалистичным. Поэтому введем в последние
подынтегральные выражения гладкую функцию обрезания f (k),
которая равна единице при k^km и обращается в нуль при
k^>km, где km имеет порядок обратной величины размера атома.
Положим u = a?k?ln%; тогда
Здесь мы определили функцию
со
F(п)« f du К1ГЙ5/f4 V~u
i ч
Замена суммы интегралом оправдана в силу того, что благодаря
присутствию функции обрезания мы имеем абсолютную сходи-
сходимость. При п—+ос получаем F(n)—>-0. Для вычисления разности
между суммой и интегралом, стоящей в квадратных скобках по-
последнего выражения для ?, можно использовать формулу Эйлера —

КВАНТОВАНИИ) СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 173
Маклорена:
Здесь числа Бернулли Bv определяются с помощью ряда
У ?L
V=0
откуда находим Б2=1/6, В4 = —1/30, .... Мы имеем
Предположим, что /@)=1, а все ее производные обращаются
в нуль при нулевом значении аргумента, так что f'@)=0,
F"'@) = —4, а все производные функции F более высокого по-
порядка равны нулю. Таким образом, в окончательный результат
параметр обрезания не входит:
J_
4! ~~ 720 а3 '
При этом сила на единицу площади ? дается выражением
ДИН/СМ ¦ (
Ас 0,013 , „
= ^ ДИН/СМ
Мы видим, что ее знак соответствует притяжению.
Эту крошечную силу экспериментально обнаружил в 1958 г.
Спарни, который смог измерить не только ее величину, но и
зависимость ее от расстояния между пластинами!
Полученные здесь результаты могут быть подвергнуты кри-
критике, поскольку мы не учитывали эффекты вне пластин. Однако
в рассмотренном нами примере они полностью сокращаются. Из
рассмотрений, проведенных в данном разделе, можно сделать
общий вывод, что вакуумные флуктуации проявляются в условиях,
сильно отличающихся от тех, при которых происходит рождение
и поглощение частиц. Изучая влияние различных типов тел на
конфигурацию вакуума, можно дать интересное объяснение силам,
действующим на них. Этот ход рассуждений следует иметь в виду.
В нем можно узнать один из истоков швингеровского подхода
к явлениям теории квантованных полей, основанном на источниках.
В качестве другого примера рассмотрим кратко силы Ван-дер-Ваальса, дей-
действующие между нейтральными атомами или молекулами. Для этого исследуем

ГЛАВА 3
флуктуации поля в присутствии двух систем, весьма похожих на рассмотрен-
рассмотренные выше. Затем мы должны были бы получить микроскопическое описание
эффекта Казимира для макроскопических тел, используя остаточные силы
между составляющими. Но в действительности мы не будем так поступать, а
последуем описанию, данному Файнбергом и Сачером. Более подробное иссле-
исследование этого вопроса дается в гл. 7. В гл. 1 мы показали, что классическая
плотность энергии электромагнитного поля равна (E3-f-B2)/2. Нейтральная
система может взаимодействовать с электромагнитным полем. Обозначим через
ag (или ад) статическую электрическую (или магнитную) восприимчивость.
В статическом электрическом поле в силу нейтральности заряда имеем
\ (Рхр (х) = 0, где р—плотность заряда. Поляризация определяется как
Р = \ сРх р (х) х, и соответствующий вклад в энергию, обусловленный измене-
изменением электрического поля 6Е=—V&Y, равен \ cPxpdV^— \ сРхр (х) Х'6Е=
= — Р'бЕ, если 6Е практически постоянно во всей системе. По определению
восприимчивости для слабых полей имеем Р = а?Е; следовательно, при неболь-
небольшом изменении поля 6Е изменение энергии взаимодействия равно —«gE-8E=
= б[—а?(Е2/2)]. Применяя аналогичные рассуждения, можно получить вклад
в энергию, даваемый магнитным полем. В конечном счете энергия взаимодей-
взаимодействия запишется в виде
Попробуем дать релятивистское феноменологическое квантовое обобщение
этого результата. Наша цель состоит в том, чтобы записать соответствующую
взаимодействию часть лагранжиана таким образом, что после ее интегриро-
интегрирования по трехмерному пространству в статическом поле и в не релятивистском
пределе мы получим приведенное выше выражение с обратным знаком. Ней-
Нейтральную систему можно описать некоторым эрмитовым скалярным полем ф.
Требуемыми свойствами обладает единственный лоренцев скаляр, квадратич-
квадратичный по F^v и ф, который записывается в виде
apF
где gi и g2 связаны с otg и а„ следующими соотношениями:
1 / , v 1П
(«ba) 82 = — -j-ав-
Наше стремление получить" лагранжиан 3?вз, квадратичный по <р (а, скажем,
не линейный), объясняется тем, что, для того чтобы провести сравнение с не-
нерелятивистским пределом, нам придется вычислять средние значения по одно-
частичному состоянию. В нерелягивисгском пределе <1 | \ #д::ф2 (х): \ \у я
я 1/т<1 | 1>, а <1 [ \ d*x:(d0q>J: | )> «т<1 | 1>. Поскольку -~?ЪЗ = ЖВЗ, вы-
ражение, записанное выше, позволяет нам получить асимптотический вид
статического потенциала взаимодействия между двумя нейтральными поляри-
поляризуемыми системами, Повторим вывод, который используется при получении
кулоновского потенциала между заряженными системами. Энергия взаимодей-
взаимодействия заряда 1 с полем записывается в виде \ сРх }М (х) А(х), но А (х) соз-
создается зарядом 2 и дается интегралом \ d*y G (х—у) /<2> (у). Поскольку ток
/2> по предположению не зависит от времени, сначала можно проинтегриро-

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 175
вать по у°, используя выражение
Это дает
А = Г <Ру 4- 1—-—г УB) (У).
откуда получается обычное кулоновское взаимодействие
Еъз = j ffix *у /Ч)(х) 4я|>!_у| /<«» (у).
Вернемся теперь к нашему случаю. Нас, очевидно, интересуют функции Грина
квадратичных операторов, таких, например, как F2 (входящих как коэффи-
коэффициенты при g2). Если Gp0] ар (х-у) означает величину <0 | TFpa (x) Fa?> (у) | 0>,
то функция Грина для F2 будет пропорциональна квадрату данного выраже-
выражения, т. е. Gpo ар (х—у) Gpo> а$ (х—у). Типичное выражение для этой обоб-
обобщенной функции имеет вид 1](х2 — /еL. Вклад от gi описывается аналогичным
выражением. Следовательно, можно ожидать, что потенциальная энергия про-
пропорциональна величине
j. .. .. С , 1 const
v (|x-y p ~ j йУо {(^_№I_(x_y)i_fcJ4-ji=jp.
Этот результат, впервые полученный Казимиром и Полдером, не согласуется
с не релятивисте кой теорией сил Ван-дер-Ваальса, которая дает потенциал,
спадающий как |х—у |-°^на больших расстояниях. В гл. 7 мы дадим вывод
полного выражения, полученного Файнбергом и Сачером для потенциала на
больших расстояниях;
VST1" (I D
и укажем область его применимости. Там мы объясним, почему это выраже-
выражение отличается от нерелятивистского закона |х—yi~6.
3.3. ПОЛЕ ДИРАКА И ПРИНЦИП ЗАПРЕТА
В предыдущей главе мы уже ввели частицы Дирака и предста-
представили соображения, согласно которым эти частицы следует опи-
описывать в рамках теории многих тел. Каноническое квантование
проводилось до сих пор для частиц Бозе—Эйнштейна, однако
эксперименты показывают, что частицы со спином 1/2, такие, как
электроны и нуклоны, удовлетворяют принципу Паули и под-
подчиняются статистике Ферми—Дирака. Таким образом, при рас-
рассмотрении частиц с полуцелым спином нам придется изменить
правила игры.
3.3.1. Антикоммутаторы
Уравнение Дирака следует рассматривать на тех же основаниях,
что и уравнения Максвелла. И те и другие являются классиче-
классическими уравнениями поля. Следовательно, нам нужно ввести лагран-
лагранжиан и сопряженные импульсы для комплексных полей \р и г[з+ (или

176 ГЛАВА 3
^ = \|)tY°). В случае свободного поля уравнения
(iy-d—т)г|) = 0, ijj (iy • д + т) =* О C.151)
получают вариацией действия, используя в качестве плотности
лагранжиан, в который производные v|) и \J) входят линейно:
\ $ C.152)
Мы имеем следующее уравнение для
Аналогичное уравнение получается, когда используется вариа-
вариация по i|>. Если г|; и г|; удовлетворяют уравнениям поля, то лаг-
лагранжиан C.152) обращается в нуль. Поскольку каноническое
квантование неприемлемо в данном случае, применим следующую
процедуру. Предположим, что г|) и г|)—квантованные операторы,
действующие в некотором гильбертовом пространстве. Выясним,
при каких условиях генераторы группы Пуанкаре, построенные
в соответствии с теоремой Нётер, преобразуют поля согласно
законам преобразования, рассмотренным в гл. 2. Так как эти
генераторы, а также наблюдаемые величины выражаются через
динамические переменные \|э и гр, это обеспечит ковариантность
теории; мы затем докажем, что эти наблюдаемые коммутируют
в случае пространственно-подобных интервалов.
Используя уравнения движения, из C.152) можно получить
следующее выражение для плотности тензора энергии-импульса:
^- (ЗЛ53)
Поскольку у нас нет какого-либо _рецепта, мы упорядочили это
выражение произвольно, помещая ф слева от г|х Ясно, что мы
действовали эвристически. При этом тензор в"^ не является сим-
симметричным. Исследуем поэтому обобщенную плотность углового
момента, последовательно учитывая внутренние переменные (т е.
спинорные индексы). Рассмотрим инфинитезимальное однородное
преобразование Лоренца, при действии которого мы должны иметь
ф (х) — г|/ (х) = S (А) $ (А -1*) = г|> (х) + Ц (*),
— М$а —Пег** 00 о** п$ \
/-6Oa^, C154)
Ц (x) = - \ 6coaB [H^ + / {x«& -^da)] ф (x) =

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 17t
Оператор Lap = (l/2)aap + t(xadB—х$да) действует как на спинор-
ные индексы, так и на пространственные переменные. Следова-
Следовательно,
Ц (х) = бф (*)t » L ф {) Z>
здесь
Если 6coap не( зависит от х, мы убеждаемся, что действие инва-
инвариантно. Если же боар изменяются в зависимости от х, мы по-
получаем следующую вариацию около стационарной точки:
-=о.
Следовательно, предполагаемая обобщенная плотность тензора
углового момента имеет вид
. C.155)
Можно проверить непосредственно, что ЗмУд'аC = О. Этот тензор
имеет как орбитальную, так и спиновую части. В приведенном
выражении г[з и г|; играют одинаковую роль. Интегралы по про-
пространству от величин вОд и У0'а|3 дадут квантовые генераторы
группы, когда мы найдем коммутационные соотношения для полей.
Кроме того, инвариантность относительно фазового преобразовав
ния \|з—>-е'а\р, т|)—>e~ia\]5 приводит к сохраняющемуся току
y^=^y^, C.156)
который использовался в одночастичной теории, рассмотренной
в гл. 2, для нормировки состояний при интегрировании вели-
величины У0. В случае квантованной картины необходимо дать более
общее описание
Чтобы выполнить нашу программу, разложим операторы ty(x)
и г|) {х) по с-числовым решениям уравнения Дирака в виде плос-
плоских волн, с операторно-значными амплитудами b, tf,dn <P:
а= 1,2 /Я 1 ^7^

178 ГЛАВА S
Спиноры а и о мы определили в предыдущей главе [см. форму-
формулы B.37) и B.38)]. Операторы Ь и d должны удовлетворять ком-
коммутационным соотношениям, таким, чтобы выполнялось следующее
равенство:
что в дифференциальной форме записывается в виде
d^(x) = i[P^ Ъ(х)], dv$(x) = i[Pfit у(х)]. C.158)
Используя разложения C.157), запишем следующее выражение:
(k)ba(k)~da(k)di(k)]; C.159)
из этого выражения необходимо вычесть вакуумный вклад. Из
C 159) следует, что если вакуум определен соотношениями
ba (k) 10> = da (k)) 0> = 0 и если бы мы квантовали, опираясь на
коммутаторы, то 6-частицы и d-частицы давали бы вклад в энер-
энергию с противоположными знаками. Теория не приводила бы к су-
существованию устойчивого основного состояния.
Из C 158) ридно, что трансляционная инвариантность выпол-
выполняется при следующих условиях:
[и, «()] А(>. l»> »()] ц4*(),
[Л», ь1 (k)}=kj)i (k), [pn, 4 (k)] = Kdl (k), {6-
Подставляя сюда вместо Р№ его разложение C.159), получаем
эквивалентное соотношение
К (ft)J = - Bя)* ? б» (k-q) ba (ft),
а также три аналогичных соотношения. Если предположить, что
это условие можно записать в виде
)> ba(k)\-{bt(q),
Следовательно, мы можем дать правильную интерпретацию опе-
операторам энергии и импульса, используя как альтернативу анти-
антикоммутаторы (фигурные скобки в последующем выражении) вместо
коммутаторов между основными операторами рождения и уничто-
уничтожения &+, d^, bud. Поскольку после вычитания энергии вакуума
остаются только положительные вклады в энергию, мы решили

квантование; свободные поля 179
также и проблему устойчивости, о которой шла речь выше. Сле-
Следовательно, мы полагаем, что
{Ьа (*), 4 (q)} = Bя)» ¦?¦ б»(k-q) 6ap,
t k« (ЗЛ61>
{da (А), 4(^BKвя(Ь)в
a все остальные антикоммутаторы обращаются в нуль. Как след-
следствие получаем антикоммутатор
{% (t, х), ^ (t, у)} = б* (х-у) б5п. C.162)
Нетрудно показать, что условия C.160) выполняются, равно как и аналогич-
аналогичные им условия, вытекающие из требования ковариантности относительно
однородных преобразований, которые включают коммутаторы генераторов
Ja$ = \ сРх J0' а® с полем. Соотношения C.160) можно истолковать следую-
следующим образом: Ь^ {к) и cfi (k) создают [а Ь (к) и d (k) уничтожают] 4-импульс к?-
Произведения Вика можно обобщить на случай полей Ферми.
При перестановке операторов рождения влево от операторов уни-
уничтожения необходимо ввести знак, соответствующий четности пере-
перестановки. Таким образом, правильное выражение для полной
величршы энергии-импульса имеет вид
a=l, 2
Мы видим отсюда, что энергия квантового состояния является
суммой положительных вкладов Займемся теперь изучением струк-
структуры соответствующего пространства Фока.
3.3.2. Пространство Фока для фермионов
Рассмотрим сначала одночастичные состояния. Подразумевается,
что в импульсном пространстве произведено необходимое сглажи-
сглаживание. Для каждого данного 4-импульса теперь имеется четырех-
четырехкратное вырождение. Обозначим соответствующие состояния через
\а> (а=\, 2, 3, 4):
Они удовлетворяют соотношению /)ц|а> = ^)Л|а>. Для того чтобы
различать эти состояния, найдем наблюдаемые, коммутирующие
с Рц. Одной из таких наблюдаемых является заряд (нормирован-

180 ГЛАВА 3
ный на ±1 для одночастичного состояния)
Q = J d9x j°(x) = J d3x : \|з+ (x) Xf (x):
м (ЗЛ64>
<х=1, 2
В случае дираковских частиц символом dk будем обозначать ве-
величину [d3k/BnK](m/k0), а не d3k/Bnf 2k0, как в случае бозонов.
Поскольку вакуум имеет нулевой заряд и
[Q, b\(k)] = b\(k), [Q, di,(k)] = — dt(k),
мы имеем
— |a>, a — 2>, 4.
В противоположность «классическому» случаю, где мы попыта-
попытались интерпретировать C.164) как положительную квадратичную
норму, в квантовом случае этого сделать нельзя. Использование
антикоммутаторов полностью изменило ситуацию; энергия теперь
положительна, а заряд является неопределенной величиной.
Таким образом, квантованная теория Дирака описывает час-
частицы двух типов. В электродинамике eQ будет электрическим
зарядом, а г|) будет уничтожать электроны и создавать позитроны.
Поскольку [Q, Рц] = 0, Q не зависит от времени и [Q,
|(), [Q, *()] K)
Чтобы полностью описать одночастичные состояния, остается
ввести спин. Для преобразований Лоренца по аналогии о C.158)
мы имеем
[ ^](x). C.165)
Поскольку
ba (k) s= J d3x «<«> (k) еш-х у>ф (х),
№(k)e-ik-xy°ty(x),
мы находим
C.166)
Рассмотрим теперь действие оператора Паули—Любанского Wa =
= —A/2)eOnvp^№V/3p на состояние |а>. Оператор Рр заменяется
при этом его собственным значением kp. Пусть ^ = A, 0, 0, 0) —

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 181
ось времени, а
является нормированным пространственно-подобным 4-вектором,
ортогональным k в двумерной плоскости (/, k). Очевидно, что
его пространственная компонента направлена вдоль вектора к.
Выберем третью ось, направленную параллельно к. При этом
величина (W-n/m)\a> принимает вид
т
Очевидно, что при действии на состояние \а> вклад орбиталь-
орбитальной части в J1 а обращается в нуль, а поскольку /12|0> = 0,
мы получаем
Теперь нам необходимо выбрать спинорный базис и(а>, о<а>. Запи-
Запишем выражение для и(а>:
где
ok ,„, \ Ф(а), « =
¦\ а = 2.
¦ф<а)=<
Соответствующие состояния называются спиральными. Так как
мы выбрали третью ось параллельной к, то
Учитывая это выражение, мы получаем
[
\
Аналогично
4 (А) |0> = - -^ ^ "+ о (ft) ^1 »(«(*) 4 (ft) f 0>
Определяя далее спинор

\82ГЛАВЛ 3
± (а)_1 Х№, «=1,
Ю Х ~\-Х(а), « = 2,
ГД6
находим
^.yt(«)(fe)i|ly<»^) = -^6«P> e1==l, e, 1
Формулы C.167) и C.168) завершают характеристику состояний:
состояния 11> и |4> имеют спиральность *12, а спиральность
состояний 12> и 13> равна —У2.
Заметим, что между спинорами пин существует типичная инверсия. В соот-
соответствии е дырочной интерпретацией спинор t>A) со спином а3 =—1 соответ-
соответствует положительной спиральности.
Рассмотрим теперь многочастичные состояния. Обозначим опе-
операторы рождения общим символом ат, опуская тем самым обозна-
обозначения импульса, заряда или спина. Базис пространства Фока
образуют состояния
Вследствие антикоммутативности операторов рождения эти со-
состояния являются антисимметричными по аргументам волновой
функции 1, ..., п и, в частности, они обращаются в нуль, если
какие-либо два аргумента совпадают. В этом формализме вос-
воспроизводится принцип запрета Паули, справедливый для элект-
электронов и вообще для любых тождественных фермионов. Кванто-
Квантование с использованием антикоммутаторов привело естественным
путем к статистике Ферми—Дирака.
Читателю будет интересно рассмотреть свободный релятивистский электронный
газ в состоянии теплового равновесия. Что произойдет, если сохраняйся
только полный заряд, а не число электронов и позитронов в отдельности?
3.3.3. Связь между спином
и статистикой; пропагатор
Из соотношений C.161) получаем антикоммутатор двух свободных
полей с произвольными аргумен гами. Очевидно, что ty(x) и г|з (*') так
же, как и ty(x) и г|э(л;'), антикоммутируют; в то же время
'*•<*-*> «<«» (ft) u
of» (k) vf(k)]\ C.169)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 183
здесь | и ?'—индексы Дирака. Из B.40) и B.41) имеем
«то»?>(*)
Отсюда следует, что
{% (а;), ^-(х')} = {Шх + m)w iA (x-x'), C.170)
где iA(x—у)— выражение, которое мы использовали в C.77) и
C.56) в аналогичном случае для бозонов. Из C.170) следует, что
для пространственно-подобных интервалов (*—у) антикоммутатор
равен нулю. Кроме того, если x° = y° = t, имеем следующий ан-
антикоммутатор:
{ifc(f, x), %,(*, у)} = -Т11<д„Д(*°-у°, x-y)|I.=,. = vM3(x-y),
C.171)
который согласуется с C.162). В смысле антикоммутации опера-
оператор n|)t выступает как сопряженный к ф, что соответствует ла-
лагранжиану C.152), хотя мы и не следовали процедуре канони-
канонического квантования.
Интересно узнать, что мы получили бы в результате такого
канонического квантования. Частицы со спином у2 вели бы себя
как бозоны, а энергия не была бы ограничена снизу Кроме того,
коммутатор двух полей определялся бы выражением, аналогичным
C.169) со знаком минус между двумя членами в правой его часги.
Как следствие, результат записывался бы в виде
26° BjxK v
Этот интеграл является четным решением однородного уравнения
Клейна—Гордона:
'->% C.172)
которое не обращается в нуль при (х—у)г < 0.
Рассмотрите поведение Aj (x—у) в области больших пространственно-подобных
интервалов.
Иными словами, локальные наблюдаемые не коммутировали
бы при совпадающих временах, и условие локальности было бы
нарушено. Подобные нарушения появились бы и в скалярной
теории при квантовании в соответствии со статистикой Ферми
Эти свойства служат примером связи между спином и стати-
статистикой, вытекающей из локальной релятивистской квантовой тео-
теории. Поля с полуцелым спином должны квантоваться в соответ-
соответствии со статистикой Ферми—Дирака, т. е. на основе соотношений

184 ГЛАВА 3
антикоммутации, а поля с целым спином—в соответствии со ста-
статистикой Бозе—Эйнштейна, т. е. с использованием коммутаторов1).
Более общее доказательство можно провести в рамках аксиома-
аксиоматического подхода. Тот факт, что привлечение данных понятий
действительно необходимо для описания этой глубокой связи,
существенной для стабильности вещества, в области, отнюдь не
релятивистской, является весьма интригующим. Однако нам не
известен какой-либо альтернативный подход для такого описания.
Для хронологического произведения двух полей Дирака, оп-
определяемого соотношением
Fife(х)% (у) = 9(x*—tf)%(х)%, (у)—В(у»-х?)%- (у)%(х), C.173)
справедливы следующие соотношения:
Г% (х) %, (у) = <017-ifc (х) %, (у) 10> + : % (х) %- (у):,
<01Щ (х) i|>6, (у) 10> = iS (x-y)lv, C.174)
S(X и) -Г ^ c-tt.««-v)
которые согласуются с B.113). Следует заметить, что
?i^Ts. C.175)
Поскольку функция GP(x) является четной по х, мы имеем
ST (— х) = — (- iMT + т) GF(x).
Используя матрицу С, определяемую выражением B.97) и удов-
удовлетворяющую условию Су^ТС~х — — у", получаем
x)C-l = S(x). C.176)
Это свойство симметрии является обобщением аналогичного свой-
свойства функции GF(x). В следующем разделе мы изучим его физи-
физический смысл.
х) Логически невозможно исключить правила квантования, отличающиеся
от стандартных правил, отвечающих статистикам Бозе—Эйнштейна и Ферми—
Дирака. В частности, в связи с возможностью применения их к кварковым
моделям особый интерес представляют варианты квантования, основанные на
трилинейных коммутационных соотношениях. Такое квантование соответствует
обобщенным статистикам. В случае парафермистатистики возможно присутствие
нескольких тождественных частиц в симметричном, а в случае парзбозестати-
стикч — в анжсимметричном состоянии. В определенном смысле параквантова-
ние связано с учетом дополнительных внутренних степеней свободы частиц.
(См. примечание редактора перевода в конце настоящей главы.)—Прим. ред.

КВАНТОВАНИЕ: СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 185
3.4. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ
Как это ни парадоксально, но роль симметрии более понятна,
когда они нарушаются внешними факторами, например измери-
измерительной аппаратурой. Здесь мы дадим краткий обзор некоторых
дискретных симметрии, возникающих в теории невзаимодейству-
невзаимодействующих квантованных полей. Симметрии, носящие кинематический
характер, мы уже рассматривали, а к внутренним симметриям
вернемся в гл. 11 (см. т. 2 настоящей книги).
При активной точке зрения под симметрией понимается одно-
однозначное соответствие между состояниями, или, точнее, матрицами
плотности, | ФХФ | —> | Ф'> <Ф' |, сохраняющее вероятности перехода
~ш «гч |ф;> |2=| <<Ы <r'H(v-v |ф,-> |а.
Это определение является несколько ограниченным, поскольку
в нем выделяется роль времени, т. е чистые преобразования Лоренца
и обращение времени следует рассматривать независимо. Для
последней симметрии это будет сделано ниже. По теореме Вигнера
любое взаимно-однозначное отображение матриц плотности р —» р',
удовлетворяющее условию Sp (p1p2) = Sp (PiPa), может быть расши-
расширено до унитарного или антиунитарного оператора в гильберто-
гильбертовом пространстве.
Исходя из симметрии, устарювленной для матриц плотности, можно подобрать
фазы состояний таким образом чтобы построить линейный (или антилинейный)
оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Группа симметрии обычно
реализуется с помощью проективного представления вида U (gx) U (g2) =
= e'w<«" «•>*/(&, ft), где fflfex.ft)
B таком ограниченном смысле каждому унитарному оператору U,
коммутирующему с гамильтонианом, отвечает симметрия Мы бу-
будем главным образом иметь дело с полем Дирака и предоставляем
читателю самостоятельно рассмотреть случаи скалярного и век-
векторного бозонных полей.
3.4.1. Четность
Мы предполагаем, что при соответствующем изменении экспери-
экспериментальной установки можно получить состояние с преобразован-
преобразованной четностью. С теоретико-полевой точки зрения мы ищем уни-
унитарный оператор 5\ удовлетворяющий условию
Щ (х) 9» = ЛрТЧ(х), > = *д, I % I = 1. C.177)
поск льку из предыдущей главы нам известно, что у"^(х) удов-
удовлетворяет уравнению Дирака с преобразованной четностью Таким
образом, можно предположить, что 53 коммутирует с Н. Из C.177)

186 ГЛАВА 3
следует, что
Ьа (р) S* = %Ьа (р), Т°"<а> (Р) = "{а) (Р). & т)
Независимо от величины фазы ч)р относительная четность системы
фермион—антифермион равна — 1, а оператор 5*| кратен единич-
единичному. Унитарный оператор, удовлетворяющий этим условиям,
имеет вид
а=1, 2
, (*) + -?4, (*)]}) , C.179)
где % произвольно, а г\р = е~цХ+л/2). В частности, 1-^ = 1, если
Я = — л/2. Убедиться в том, что 53 действительно является сим-
симметрией, можно проще всего, опираясь на соотношения, описы-
описывающие трансляции во времени:
eiffaba (k) e~lHa = e-ih°aba (k), eiffada (к) е~{На = е-'""' da (k).
Следовательно,
Кроме того, можно показать, что 3>Р& д*< = Рр,. В теории, описывающей вза-
взаимодействующие поля, полный оператор четности будет произведением опера-
операторов, относящихся к отдельным полям. В частности, мы предлагаем читателю
построить оператор 5>д для электромагнитного поля, такой, что
Л»А*(*)^ = ЛдЙ. C.180)
Читателю предлагается показать, что билинейный днраковский ток преобра-
преобразуется аналогичным образом:
5\:f (х) Yi**(х):д>1=:4> (ж) Yn¦(«):. C-181)
Отсюда, используя равенство d*x=d*Xi получаем, что лагранжиан взаимодей-
взаимодействия
инвариантен относительно преобразования четности.
3.4.2. Зарядовое сопряжение
Квантованные поля, как мы показали, могут описывать частицы,
имеющие тождественные массы и спины, но противоположные за-
заряды. В зависимости от физического содержания заряд можно
интерпретировать по-разному. Это может быть заряд электриче-
электрический, барионный, лептонный и т. д. Инвариантность относительно
зарядового сопряжения предполагает, следовательно:

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 187
1) существование античастиц и
2) симметричные свойства квантов обоих типов.
Первый пример такого рода, который мы встретили,— это заря-
заряженное скалярное поле. Однако может быть так, что частицы и
античастицы являются полностью тождественными. Такой случай
имеет место для фотонов, когда соответствующий оператор % ме-
меняет лишь знак поля:
?Л{1 (*)?+=— А^(х). C.182)
Почему это так происходит, мы увидим ниже.
Из главы 2 известно, что действие этого оператора на поле
Дирака приводит к следующему преобразованию:
^\сС^т(х), C.183)
где транспонирование относится только к индексам Дирака.
В стандартном представлении у-матриц имеем
Для определенности выберем операторы рождения и уничтожения,
действующие на спиральные состояния, т. е. b(k, ±) и d(k, ±).
Таким образом, мы имеем спинор
где0*&р±(?) =*±у±Ф), ф! (k) qy ф) = бе> е*, и по определению
v (k, ±) * С;* (k, ±) = у=$=Щ (х^} ) • C. 1846)
В обычном представлении %± (k)= — ш2ц>±ф), и можно показать,
что o"k%±(k)=z^p%± ф). Кроме того,
CvT(k,±) = u(k,±). <3.I85)
При этих условиях из C.183) нетрудно получить следующие со-
соотношения:
Эти соотношения можно было бы записать с самого начала, а
преобразование C.183) получить как следствие. С точностью до
фазового множителя % заменяет частицы на античастицы, причем
с теми же значениями импульса, энергии и спиральности. Вакуум
Сохраняется инвариантным. В явном виде оператор $ записывается

188 ГЛАВА 3
следующим образом;
«* = »!»„ C.187)
^ = ехр/ — i[dk 2 4bHk,e)b(k,e)—di(k,E)d(k,e)]\,
У J е=±> > C.188)
A ? [ftt(ft,e)-dt(A,e)][6(A,e)-d(*,e)]\
e=±l j '
где г\с — ел. Единственный смысл величины %х состоит в том, что
она определяет эту фазу; при \=\ мы имеем <ё1=±]. Читатель
может также проверить, что ток i^y^". является нечетным от-
относительно зарядового сопряжения.
В качестве приложения проведем классификацию низших связанных состояний
системы фермион — антифермион, прототипом которой является позитроний, по
отношению к операции зарядового сопряжения.
Последний представляет собой систему (е+е~), аналогичную атому водо-
водорода (ре-), в котором протон заменен позитроном.
Вследствие слабости электромагнитных сил связи можно использовать как
первое приближение нерелятивистское описание Основным состоянием является
s-волна, я = 1, но сверхтонкие эффекты расщепляют триплетное состояние ор-
топозитрония pSlt если использовать обозначение 2S + 1Lj) и синглетное (lS0)
состояния парапозитрония. Упрощенные волновые функции, которые дают пра-
правильные квантовые числа, в случае неподвижной оси квантования спина за-
запишутся в виде
| J = 1, М =0, орто> = J <Pq <pi( | q | ) [bt (q) < (- q)+ b\ (q) <? (_ q)] | 0>,
| J =0, M =0, napa>= J cPq Фо( | q \)[bl (q) d\ (- q)- b\ (q) d\ (-q)] | 0>.
Волновые функции фх и ф0 зависят только от абсолютной величины относитель-
относительного импульса q, величины Ь^± (q) [или о!^_ (q)] обозначают операторы рожде-
рождения электрона (позитрона) с импульсом q с проекцией спина ±1/2. Операция
зарядового сопряжения имеет вид
4b\ (q) tf = % dl (q), <&d\ (q) g+ = 4cb\ (q).
При действии % на эти состояния произвольная фаза цс исчезает, и мы полу-
получаем
% | пара) = | пара>. ( '
Знаки объясняются следующим образом. Зарядовое сопряжение заменяет элек-
электрон на позитрон, в результате чего относительный импульс меняет знак, что
в случае s-волны дает множи ель (— l)L = \t спиновые индексы меняются ме-
местами, что дает знак плюс (минус) для триплетного (синглегного) состояния.
Наконец, имеется еще один знак минус, обусловленный антикоммутацией опе-
операторов йт и eft Так косвенно и неожиданно проявляется статистика Ферми —
Дирака
Состояния позитрония неустойчивы и медленно распадаются с испусканием
фотонов Из выражения C.182) следует, что электромагнитный потенциал яв-
является нечетным относительно %. 3 действительности это есть не что иное,

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 189
как условие инвариантности электромагнитного взаимодействия относительно $.
Следовательно, для re-фотонного состояния мы имеем
Таким образом, ортопозитроний должен распадаться на нечетное число фото-
фотонов, а парапозитроний— на четное Однофотонный распад в ортосостоянии не-
невозможен в силу закона сохранения энергии-импульса. Оно должно распадаться
по крайней мере на три фотона, в то время как парапозитроний может рас-
распадаться на два фотона и. следовательно, имеет гораздо более короткое время
жизни Поскольку константа взаимодействия является постоянной тонкой струк-
структуры а, можно предположить, что для времени жизни т выполняется соотно-
соотношение тсинглет/ттрИплет ~ О (а). Вычислением этих величин мы займемся в гл. 5.
В низшем порядке по а имеем
Г, = т71=~ = 0,53.10-?эВ, т,= 1,25-10-" с,
Г<=т71=2^-5-^тав = 4,75-10-» эВ,т(= 1,410-Ю-'с.
Случайно оказалось так, что численное значение %$ на порядок меньше, чемсст^.
Сверхтонкое расщепление мы рассмотрим в гл. 10 (см, т. 2 настоящей книги).
3.4.3. Обращение времени
В классическом смысле инвариантность относительно обращения
времени нам вполне понятна. Если динамика обладает этой инва-
инвариантностью, то, изменяя скорости той конфигурации, которая
рассматривалась как конечное состояние, на противоположные,
мы видим, что система, развиваясь в обратном направлении, при-
приходит к первоначальному состоянию. Следовательно, начальное и
конечное состояния меняются местами, причем координаты сохра-
сохраняются прежними, а скорости меняются на противоположные.
В квантовой механике такая замена приводит к тому, что соот-
соответствующий оператор $~ оказывается антиунитарным, т. е.
Требование инвариантности относительно $~ означает, что
где Н—гамильтониан. Во всех рассматриваемых здесь случаях
мы предполагаем трансляционную инвариантность во времени.
Следовательно,
Амплитуда перехода из состояния |фг-> в момент времени tl в со-
состояние | ф^> в момент времени tf равна соответствующей ампли-
амплитуде перехода из состояния \S"^S в момент времени ti в состояние

190 ГЛАВА 3
/> в момент времени if. Действительно,
C.191)
Поскольку импульсы меняются на противоположные, а координаты
сохраняются без изменения, то при действии оператора JT изме-
изменяется знак орбитальных угловых моментов; то же самое должно
быть верно для спинов. В частности, спиральности остаются без
изменения.
Для скалярного релятивистского квантованного поля ф, удов-
удовлетворяющего уравнению Клейна—Гордона, имеем <@"<f(t, х) ^И =
=Ф(— t, x), возможно, с точностью до знака (поскольку ф эрми-
эрмитово) Это дает
т| = ±1, C.192)
= w(— t, х).
Для электромагнитного потенциала соответствующее преобразо-
преобразование запишется в виде
S~A^{x)^ = All(~~x). C.193)
Наконец, рассмотрим спйнорное поле в спиральном базисе. По-
Потребуем, чтобы выполнялись соотношения
= цтМ (К г)е~тч <*• Е>, ( '
где т]г — фиксированная фаза. Выберем 8Ь (ft, e) и 8rf(fe, e) таким
образом, чтобы $~ty (x)<^"+ удовлетюряло обращенному во времени
уравнению Дирака. Вследствие антилинейного характера опера-
оператора <?Г получаем
dk 2 [Ь (k, e) и* (ft, e) e"/eb(ft> e)e-'fr * +
8
+ d+ (ft e) v* (k, &)e-mi(
Спиноры мир определяются выражениями C.184). В интеграле
мы заменили k на k. Если имеется постоянная матрица А, та-
такая, что выполняются равенства
Au(k, е) = <Г'е*(*'Е1и*(?, е),
17 C.195)
(A

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 191
то будет выполняться соотношение
J-y(t,x)?-i = r)TAy(— t,x). C.196)
Из того факта, что матрица у0 эрмитова, а матрицы у антиэр-
антиэрмитовы, мы имеем
{KT-m)u*{k, g) = 0, (XT + m)v*(k, e) = 0.
Умножение на уъС дает
(К - т) fCu* (k, e) = 0, (X + т) у5Су* (k, е) = 0.
Следовательно, можно предположить, что с точностью до фазы
А~1 = уъС при условии, что двухкомпонентные спиноры ф± (k) и
Ф±(—k) связаны надлежащим образом. Покажем, что это дейст-
действительно так. В стандартном представлении у-матриц имеем
fCu- (ft. е) = fC *'+m Ы (~
f2m(k»+m)\ 0 —iaj\ 0
Из этого соотношения видно, что нам нужно, чтобы —ios(f>l(—ii)
было равно ф8 ф) с точностью до фазы. В самом деле, поскольку
оператор — io2 унитарен и
(а ¦ k) [- /а2фе* (- Щ = - ia2 [- (а ¦ к)*у*г (-Ъ)] = е [- iojpl (- k)l
мы имеем
Y?Cw*(?,e) = A(*>e)M(ft, e).
Тогда (уъС)~г = — у6С. Таким образом, с точностью до множи-
множителя, который может быть включен в i\T, мы действительно нашли
матрицу А, входящую в соотношение C.195), по крайней мере
для ы-спиноров. Для у-спиноров можно выполнить аналогичные
вычисления. Фазу обычно выбирают следующим образом:
А = iyly3 = — *уС. C.197)
Тем самым мы полностью установили соотношение C.196).
3.4.4. Заключение
Теперь мы можем суммировать различные трансформационные
свойства квадратичных форм относительно дискретных симметрии
в случае поля Дирака. Определим эти формы в соответствии с

192
ГЛАВА 3
их тензорным характером:
=:$ (х) о^у (х):,
C.198)
В последнем равенстве множитель / выбран для того, чтобы
обеспечить эрмитовость. Символ А для обозначения псевдовектор-
псевдовекторного (или «аксиального» векторного) тока (см. ниже) общепри-
общепринят, и его не следует путать с векторным потенциалом. Исполь-
Используя результаты, приведенные в предыдущих разделах, и учиты-
учитывая, что поле антикоммутативно, а оператор ?Г является анти-
антиунитарным, составим следующую таблицу:
•
в
S(x)
S(x)
S(x)
S(-x)
—^ (x) —1
j/n/ x\ fW
«» АЧ*
P(x)
-P(i)
P(x)
Р(-дг)
C.199)
В данной таблице каждый элемент представляет собой результат
действия оператора на соответствующую плотнойъ; например,
S"T^ (x) Jr+ = — Т^(—х). Кроме того, в ней имеется строка,
в которой представлена комбинированная 6 = 5i$Jr антиунитар-
антиунитарная операция Соответствующие законы преобразования электро-
электромагнитного векторного потенциала Л^м записываются в виде
х)^ = —А^(х), C.200)
^ (х) ^ = ЛЭИ1 в (- х),
Мы видим, что выражение
(х)
А^к (-х).
ведет себя как скалярная плотность S (х). Наконец, свойства
псевдовекторного тока А^(х) и псевдоскалярной плотности Р(х)

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 193
относительно преобразования четности оправдывают их названия.
Заметим, что в приведенной выше таблице отсутствует произвол
в выборе фазы.
В этом разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся
дискретные симметрии и построили соответствующие унитарные
(или антиунитарные) операторы для фундаментальных свободных
полей. Необходимость такой конструкции очевидна, так как толь-
только в этом случае мы можем быть уверены, что преобразованные
состояния действительно существуют. Проблему инвариантности
при учете взаимодействия придется решать отдельно Для этого
необходимо проверить, выполняется ли соотношение UHUf =H.
При рассмотрении взаимодействующих полей мы попытаемся опре-
определить операторы симметрии, действующие на состояния и поля
в соответствии с вышеприведенными правилами. Таким образом,
нам надо ответить на вопрос: выполняется ли инвариантность для
взаимодействующих систем?
Фундаментальное свойство локальной квантовой теории, впер-
впервые установленное Паули, Зумино и Швингером, гласит, что в
любом случае теория инвариантна относительно в. Это и есть
знаменитая СРГ-теорема. Мы приведем здесь схему доказатель-
доказательства, ограничиваясь случаем лагранжевой теории поля. Читатель,
интересующийся строгим доказательством, может обратиться к
работам, приведенным в примечаниях в конце главы. Пусть
локальная квантозая теория поля описывается принципом мини-
минимального действия с эрмитовым лоренц-инвариантным лагранжиа-
лагранжианом. Последний является комбинацией локальных скалярных плот-
плотностей, записанных через основные поля, которые в конечном
счете являются нормально упорядоченными. При квантовании
учитывается связь между спином и статистикой. Далее, согласно
СРТ-теореме, если даже инвариантность относительно Р, С и Т
по отдельности и отсутствует, выполняется инвариантность отно-
относительно их комбинации. В частности, это означает существова-
существование античастиц в случае заряженных полей (причем с теми же
массами и спинами, что и у соответствующих им частицI). В слу-
случае нейтральных полей мы имеем тождественность частицы и ан-
античастицы. Иными словами, мы хотим показать, что лагранжиан
*) Инвариантность теории относительно СРГ-преобразования означает так-
также равенство ^-факторов частицы и античастицы. Это дает возможность экспе-
экспериментальной проверки данной симметрии с высокой точностью. Наиболее
точное значение отношения g-факторов позитрона и электрона следующее:
(См. примечание редактора перевода в конце настоящей главы.)—Прим. ред.

194 ГЛАВА 3
(x) ведет себя относительно © как нейтральное скалярное поле:
=Я(—х). C.201)
Следует заметить, что для скалярного поля вообще справедливо
соотношение
в+ = ф+(— х). C,202)
Когда выполняется операция C.201), действие остается инвари-
инвариантным. Мы ограничимся здесь рассмотрением лагранжиана, зави-
зависящего лишь от скалярного (ср), векторного (Лд) и спинорного
(if) полей, имеющих, возможно, внутренние индексы. Теорема
остается справедливой и для полей с более высокими значениями
спина. Очевидно, что 3: можно построить, используя величины
Ар, г|), if и только эрмитовы скалярные поля, причем в случае не-
необходимости заряженные поля (.ледует объединить в эрмитовы
комбинации ф1=(ф+ф1' )/|/ и Ф2=(ф—Ф+ )/гJ/^2 (©ф,-(д;H+ =ф/—х)).
Таким образом, действие оператора 6 сводится к следующему:
1) оно заменяет аргументы полей х на —х;
2) вследствие этого производные меняют знак, т. е. дц—»¦—д^,
3) векторное поле Лд (х) получает дополнительный знак минус,
т. е. ведет себя как градиент скалярного поля;
4) любая квадратичная форма (<f, if) приобретает знак {— 1)р, где
Р—число лоренцевых индексов при ^-матрицах или производ-
производных [это следует из таблицы C.199) и пункта 2];
5) заменяет константы на их комплексно-сопряженные.
Поскольку 3?— скалярная функция, в мономиальном разложении
каждый член получается сворачиванием четного числа индексов
Лоренца. Знаки минус, происходящие от векторных полей, про-
производных и квадратичных форм по (if, if), взаимно уничтожаются.
В конечном счете вместо 3? (х) мы получаем J?+ (— х) = 3? (— х),
поскольку при нормальном упорядочении порядок операторов не
играет роли, так как векторные и калярные поля коммутируют,
а антикоммутативность полей if уже учтена в таблице C.199).
В результате получаем, что, если вакуум инвариантен относи-
относительно G, инвариантной будет и динамика.
Интересно доказать инвариантность ошосшельно в комму]ационных соотно-
соотношений при совпадающих временах. Здесь имеется некоторая тонкость, так как
взаимодействия могут изменить выражение для сопряженных переменных, на-
например при электромагнитных взаимодействиях заряженных бозонов и в любом
случае, когда в лагранжиан Jff взаимодействия входят производные. Можно
также показать, что плотность гамильтониана ведет себя как
и, следовательно,

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 195
В нашем доказательстве игнорируются трудности, связанные
с построением теории взаимодействующих полей. Последняя должна
придать точный смысл произведениям операторов, которые нельзя
определить иначе. Тем не менее алгебраические свойства, выте-
вытекающие из СЯТ-теоремы, при этом не нарушаются.
В качестве приложения рассмотрим формфакторы, представляющие собой
релятивистское обобщение распределения зарядов. Рассмотрим сначала в сво-
свободной теории Дирака матричные элементы тока Vх (х) между одночастичными
состояниями
<р', Р 1 V» (х) | р, а> = в-г<Р-Р'>-*<У, P|V^(O)|p, а>.
Греческие индексы а, Р, ,.., б обозначают поляризации \р, а>=6^ (р) |0>, a
Им @) - :¦* @) у* г|) @): - С J dM?i 2 «™ (*0 У* и'б) (*«) ^ (*i) *.(*») + ... .
v, б
Мы не выписали явно члены, дающие нулевой вклад в матричный элемент.
Из равенства
следует, что
<р', р | V» @) | р, а> =п<Р>
Это согласуется с определением заряда:
= Bя)« 88 (р-р')И(Р> (р') 7° «<0"(Р) = <Р'. Р I P.
Напомним, что п"р (р') 7°"а (/>) нормировано на 6ap
Предположим теперь, что /•* (дс) — эрмитова четырехвекторная плотность
тока, имеющая те же трансформационные свойства относительно дискретных
симметрии, что и VV- (дс), и запишем общую структуру ее одночастичного мат-
матричного элемента
</>'. Р I Р (х) | Р, a>==e-l<P-P'>-^u<P) (p') Oit (p', р) и<«> (р).
В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, что числовая матрица Ov-(p',p)
располагается между двумя спинорами и и и. Вследствие лоренц-ковариант-
ности матрица О^(р', р) должна подчиняться условию
p', p)S-1(A) = (A-^vOv(Ap', Ар),
а вследствие эрмитовости мы имеем
+ р, р').
Из того факта, что спиноры удовлетворяют свободному уравнению Дирака,
следует возможность замены любой матрицы ОЦр', р) на

196 ГЛАВА 3
а также тождество Гордона
Кроме того, потребуем, чтобы сохранялся ток />(*):
Таким образом, получаем (//—р)цОи(р', р) = 0. Обозначим через символ q
пространственно-подобную разность р'—р; поскольку р2 = р'2 = т2, единст-
единственным скалярным инвариантом является q2. Исходя из наиболее общего раз-
разложения матрицы Оа в базисе 16 матриц Дирака и учитывая лоренц-инвари-
антность, законы сохранения и эрмитовость, находим
C-203)
здесь вещественные формфакторы F,- (ij2) представляют собой функции квад-
paia передаваемого импульса q2. Квантуя спин вдоль некоторой фиксированной
оси, из уравнений C.178) и таблицы C.199) получаем, что в силу симметрии
относительно пространственной четности справедливо равенство
Поскольку г/м> (р) = уйи{а) (р), из этого равенства следует, что Оч(р', р) =
=Y°^^(p' Р) Vo% 0ТКУДа получаем F3 (q2) = — F3(?8)- Такич образом, одно
только сохранение четности дает {гз = 0' Однако четность может нарушаться
некоторыми взаимодействия ми (в действительности — слабыми взаимодействиями).
Долюе время считалось, что произведение четности на зарядовое сопря-
сопряжение является симметрией всех взаимодействий. Из СРГ-теоремы следует
тогда, что Т также представляет собой симметрию. Отсюда мы приходим к
равенству Гь (д2) = e,F( (q2), в котором е1 = гг = — es=l. Вследствие условия
эрмитовосш функции F вещественны. Таким образом, мы опять получаем /73 = 0.
Однако после того, как Фитч и Кронин обнаружили нарушение Т четности в
распадах нейтральных К-мезонов мы не можем утверждать, что она представ-
представляет собой симметрию всех взаимодействий.
Предположим, например, что /Д (х) — это электромагнитный ток в теории
взаимодействующих полей. Рассматривая два нормированных состояния, близ-
близких к состоянию покоя, читатель может без труда показать, что справедливо
следующее соответствие:
^@) = Заряд Q,
g— [Fj @)+^2 (ОД=*Магнитный момент (л (нерелятивистское магнитное взаи-г
модействие —Ц<т-В),
——/7у(О) = Электрический дипольный момент d (нерелятивистское электри-
электрическое взаимодействие —da E.)
Детальные измерения нуклонных формфакторов были выполнены с использо-
использованием рассеяния электронов на водородной и дейтериевой мишенях. Для
этого случая Fj и F2 сейчас известны в широком диапазоне значений q2.
Формфактор Fs, однако, до сих пор не обнаружен. В частности, имеются
сообщения (Рамсей) об ограничениях на величину статического электрического

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 197
дипольного момента нейтрона, а именно ^нейтрОн/е^ \0~и см. Значение этого
электрического дипольного момента является чувствительным местом механизма
нарушения СР-инвариантности :)
Полное гиромагнитное отношение заряженной частицы равно 2 [Fi @) -f
+ F% @)]/fi @) Например, для протона (при условии e~\e\) Fj(O) = l,
F2 @) = 1,79, и следовательно, его гиромагнитное отношение равно 5,58.
В литературе часто употребляются комбинации Закса GF=F1-|-(<72/4m2) F2 и
Gm = /7i+^2. которые более удобны для описания данных по рассеянию Эти
формЛчкторы можно аналитически продолжить на положительные (времени-
подобные) значения q2, где они соответствуют процессу фотон—> фермион -f-
+ антифермион.
В случае скалярных (или псевдоскалярных) частиц соответствующий мат-
матричный элемент тока записывается в виде
<Р' I /* (ж) I Р> = е'«-* (P+f)tl F fo«). C.204)
Мы завершаем этот раздел алгебраическим упражнением над произведе-
произведениями четырех полей Дирака, объединенных в ковариантные скалярные плот-
плотности. Эти произведения входят, например, в эффективный лагранжиан Ферми
для слабых взаимодействий при низких энергиях Наша цель —показать,
к каким следствиям может припести изменение порядка, п котором эти поля
объединяются в лоренцев скаляр. При этом исходные квадратичные блоки
совпадают с величинами, входящими в таблицу C.199). Результат такого ана-
анализа составляет содержание теоремы Фирца. Пусть Га обозначает какую-либо
из 16 матриц Дирака
rs, it rf, т% тР,
Положим Га=(Га)-1 и заметим, что у0 (Г™)+ V0 =г<х. так что формы
эрмитовы. В этих обозначениях
a . C.206)
Для любой из 4X4 матриц X справедливо разложение
X Г" SP (^Г)^^ Г
х) Значение статического электрического дипольного момента нейтрона в
настоящее время измерено более точно, чем для других частиц. Наиболее
точное значение dH получено группой В. М, Лобашова (Ленинградский ин-
институт ядерной физики АН СССР):
dK » B,3 ±2,3)-Ю-25 е-см.
С появлением перенормируемых теорий слабых и электромагнитных взаимо-
взаимодействий (см. гл. 11 и 12 в т 2 настоящей книги) проводятся вычисления
электрического дипольного момента частиц в моделях, допускающих наруше-
нарушение СР-симметрии. Последнее обусловлено введением в теорию так называе-
называемых тяжелых кварков. Кроме "того, существуют предсказания о наличии
электрического дипольного момента у свободных лептонов Таким образом,
точное измерение электрического дипольного момента является проверкой
теорий, предсказывающих нарушение СР-симмегрии (См. примечание редак-
редактора перевода в конце настоящей главы.)—Прим. ред.

198 глава з
Сопоставляя коэффициенты при ХаЬ, находим следующее тождество, в кото-
котором латинские индексы пробегают значения от 1 до 4:
Применяя это к ГаГр, имеем
W C.208)
Записывая Га = еаГа, где ea=± 1, нетрудно заметить, что величина pagv =
= 8apap7 не меняется при циклической перестановке индексов и что, если
заданы значения двух индексов, она ие равна нулю лишь при одном значе-
значении третьего индекса. Отличные от нуля члены таковы:
Р
= '
gll<sSvp-gwev<,)> C.209)
Sea —^У8^)+ (
Рассмотрим пять лоренцевых скаляров:
« = пD)иB)йC)«A),
1 й D) a^va B) Ъ C) а^и A), C.210)
Здесь гг A) обозначает спинор и (рь ах) с импульсом рх и поляризацией ах.
Мы будем применять символ sD, 2; 3, 1) для описания того, каким образом
свертываются индексы Дирака; аналогичное обозначение используется для
других амплитуд. Любую из амплитуд можно записать в виде
Ь D, 2; 3, 1) = иезC) Zai D) Г?л Га, a,at ив1 (I) ив, B).
Как связаны эти величины с соответствующими им величинами, в которых
4 свертывается с 1, а 3 с 2? Теорема гласит, что существует числовая 5х5-ма-
трица F, связывающая два набора величин. Эта матрица с необходимостью
равна своей обратной. Прежде чем продвинуться дальше, заметим, что можно
было бы задаться подобным вопросом в пространстве операторов типа
:л1'4 (*) ^2 (¦*) ^з (х) % (*): • Вследствие антикоммутативности патей Ферми со-
ответствующей матрицей была бы тогда —f. В любой из. пяти величин

КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 199
6D, 2; 3, 1) можно использовать уравнение C.207) и записать
"<«2 B) «fll (!) = ° - о - и- B) «- A) = -I Г - Гэ _ и- B) и- A).
Таким образом, с помощью C.208) получим
Ь D, 2; 3, 1) = 1«" ,D) «вз C) Г« аг Гр_ яг- Гв, „^Р-д-<2)«- A) ==
=jpa3vP«36 « W Г?и A) и C) Г6«B).
Остается использовать C.209), чтобы получить искомый результат:
t 1D, 2; 3, l)=j
-1
4
6
4
J
1
—2
0
2
—J
1
0
—2
0
1
I
2
0
—2
—1
Г
—4
6
—4
1_
w
\
D, i;
/
3,2).
Читатель может проверить, что F*=l, и диагонализовать матрицу, а также
рассмотреть поведение различных амплитуд относительно дискретных сим-
симметрии.
ПРИМЕЧАНИЯ
Физический смысл квантовых коммутационных соотношений в электродина-
электродинамике анализируется в статьях: Bohr N., Rosenfeld L.— Kgl- Danske Videnskab.
Selsk. Mat,—Fys. Medd., 1933, vol. 12, p. 8; Phys. Rev., 1950, vol. 78, p. 794.
Об ограничениях на массу фотона см. Goldhaber A. S., Nieto М. М.— Rev.
Mod. Phys., 1971, vol. 43, p. 277. Макроскопические следствия флуктуации
вакуума рассматриваются в работе: Casimir Н. В. G.— Ргос. Коп Ned. Akad.
Wetenschap., ser. В., 1948, vol. 51, p. 793. См. также Fierz M.— Helv. Phys.
Acta., 1960, vol. 33, p. 855; Boyer Т. М.— Annals of Physics (New York), 1970,
vol. 56, p. 474; Bahan R., Duplantier В.— Annals of Physics (New York), 1978,
vol. 112, p. 165. Результаты экспериментов обсуждаются в работе: Spar-
паау М. J.— Physica, 1958, vol. 24, р. 751. Для изучения сил Ван-дер-Ваальса
см. Feinberg G., Sucker У.—Phys Rev., ser. A., 1970, vol. 2, p. 2395. Изло-
Изложение квантовой теории поля при конечных температурах можно найти, на-
например, в статье: Dolan L., Jacktw R.— Phys. Rev., ser. D, 1974, vol. 9, p. 3320.
Общую аксиоматическую формулировку теории поля и вывод некоторых
фундаментальных положений см. в книгах: Streater R., Wightman A. S. РСТ,
Spin and Statistics, and AH That.—New York: Benjamin, 1964 [Имеется пере-
перевод: Стритер Р., Вайтман A.— CPT, спин, статистика и все такое—М.:
Наука, 1966]; Jost R. The General Theory of Quantized Fields. — Providence,
R. I.: AMS, 1965. [Имеется перевод: Йост Р. Общая теория квантованных
полей.—М.: Мир, 1967.]
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Подробное изложение проблем аксиоматической квантовой теории поля дано
в книге: Боголюбов Н, Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиомати-
аксиоматического подхода в квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.

200 ГЛАВА 3
Анализ вопросов экспериментальной проверки условия локальности (и дру-
других основных положений квантовой теории поля) можно найти в книге: Общие
принципы квантовой теории и их следствия/Под ред. В. А. Мещерякова.—
М.: Наука, 1977. См. также обзорную статью: Кир жниц Д. А.— УФН, 1966,
т. 90, вып. 1, с. 129. Основные методы вторичного квантования для систем
с переменным числом частиц (пространство Фока) рассмотрены в известной
работе В. А. Фока: Fock V., Zs. Phys., 1932, Band 75, s. 622.
Параквантование предложено в работах: Green N. S.— Phys. Rev. 1953,
vol. 90, p. 270; Волков Д. В.— ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 1560. Связь паракван-
тования с внутренним квантовым числом частиц рассматривается в работе;
Говорков А. Б.— ЖЭТФ, 1968, т. 54, с. 1785.
Значение электрического дипольного момента нейтрона взято из статьи:
Altarev I. S. et at.— Phys. Lett., 1981, vol. 102 B, № 1, p. 13. Значение g-фак-
тора позитрона приведено в работе: Schwiberg Р. В.. Van Dyrk R. S., Deh-
melt H. G,— Phys. Rev. Lett., 1981, vol. 47, № 24, p. 1679. Обзор методов
проверки дискретных симметрии дан в статье: Филд Дж., Пикассо Э., Комб-
ли Ф.— УФН, 1979, т. 127, вып. 4, с. 553. Существование электрического ди-
дипольного момента у свободных частиц предсказывается в работах: Pais A.,
Primack J. R.— Phys. Rev., Ser. D., 1973, vol. 8, p. 3036; Lee T. D.~ Phys.
Rev., Ser. D., 1973, vol. 8, p. 1226; Кадышевский В. Г.—ЭЧАЯ, 1980, т. 11,
вып. 1, с. 5.

Глава 4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ
В настоящей главе мы рассматриваем простой пример динамиче-
динамической системы, а именно взаимодействие квантованных полей с внеш-
внешним полем. Мы вводим здесь такие важные понятия, как пред-
представление взаимодействия и тождества Вика. Развитый формализм
применяется затем при анализе излучения классического источ-
источника и инфракрасной катастрофы. В фермионном случае физи-
физическим аналогом этих явлений является процесс рождения пар
под действием с-числового электромагнитного поля.
4.1. КВАНТОВАННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ
ИСТОЧНИКОМ
4.1.1. Вероятности излучения
Рассмотрим сначала взаимодействие квантованного электромаг-
электромагнитного поля с каким-либо внешним источником. Возникающая
здесь физическая проблема связана с описанием испускания или
поглощения фотонов классическим сохраняющимся током /Длс):
<U4*)=0. D.1)
Задавая электромагнитное действие в виде
/= - ]>х (| /> FW+ /„Д"), D.2)
получаем следующее уравнение движения:
dllFw=nAv—&*d-A=f>. D.3)
При квантовании рассматриваемого поля, как и при квантовании
свободного поля, имеется трудность, которую можно преодолеть,
вводя в выражение для действия дополнительный член вида
В этой калибровке уравнение движения принимает вид
QA» = j». D.4)

202 ГЛАВА 4
Операторы Ап(х) действуют в пространстве с индефинитной
метрикой и удовлетворяют тем же коммутационньм соотношениям,
что и в случае свободного поля:
Гу4„(/, х), Av(t, у)] = — gii\i&3 (х—у). D.5)
Если предположить, что решение уравнения D.4) принадлежит
тому же пространству Фока, в котором определено свободное
поле, то связь между свободным и взаимодействующим полями
является каноническим преобразованием. В квантовой механике
в случае конечного числа степеней свободы эта связь была бы
унитарным преобразованием. Однако при бесконечном числе сте-
степеней свободы ситуация может осложниться. Проиллюстрируем
это на простой модели.
Пусть конечная квантовая система состоит из N частиц с полу-
полуцелыми спинами, расположенных в узлах трехмерной кубической
решетки. Частицы могут обладать, например, магнитными мо-
моментами. Наблюдаемыми являются ЗЛГ оиерашров о1(п), а2 (п),
оа(п), где п—индекс учла. Состояния представляют собой линей-
линейные комбинации собственных векторов оператора сг3 и обозна-
обозначаются следующим образом: | ± ±.. . ±>. Они порождаются дей-
действием оператора <т_ на состояние |0> = |+ +• • •+>• Рассмотрим
операторы, полученные путем вращения:
tj (п) = о1! (п) cos 9—<r3 (n) sin 0,
T2(n) = cr2(rt),
хг (п) = <jf (n) sin G -f- <r3 (я) cos G.
Очевидно, что
Г N 1 Г N 1
та(п) = ехр — i|-X ot(p) M«)exp t-|? at(p) V
Это означает, что операторы <т и т, которые генерируют одну и
ту же алгебру, унитарно эквивалентны. Пусть |9> обозначает
новое основное состояние для операторов т:
|6>=ехр -*¦§¦
L
0>.
Нетрудно вычислить скалярное произведение <0|Q> = (cos6/2)w.
Предположим, что в пределе N —>оо гильбертово пространство
состояний получается из основного состояния |0> = | + +• ¦ • +>
действием конечного числа операторов рождения а(_) и пополне-
пополнением Коши. Мы можем совершить обратный поворот, преобразуя
операторы а в т, и определить состояние |6> по аналогии с |0>.
Попытаемся отыскать унитарное преобразование U (9), которое

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 203
осуществляло бы этот поворот:
19> = U (в)] 0>, та (п) = U (9) аа (п) W (9).
Очевидно, что, когда N—»-оо, такого унитарного оператора не
существует. В этом пределе любое скалярное произведение по-
повернутого и неповернутого состояний обращается в нуль, напри-
например <0 | 9> = (cos 6/2)v—>0. Отсюда можно сделать следующий
вывод: в случае бесконечного числа степеней свободы физически
эквивалентные наблюдаемые, т. е. подчиняющиеся той же алгебре
коммутационных соотношений и т. п., не являются с необходи-
необходимостью унитарно эквивалентными. Это следует иметь в виду, рас-
рассматривая поля Лц, удовлетворяющие свободным коммутационным
соотношениям D.5).
Возвращаясь к уравнению поля D.4), мы можем написать
частное с- числовое решение
выраженное через некоторую функцию Грина G(x—y) оператора
Д'Аламбера Пх-
Следовательно, общее решение уравнения D.4) запишется в виде:
А д (*) = Af (х) + \d*yG(x- у) /V (у), D.6)
где Л(о> — квантованное свободное поле Вид функции Грина оп-
определяется граничными условиями. Предположим, что ток /**(«/)
был включен адиабатически на конечном интервале времени.
Используя опережающую и запаздывающую функции Грина [A.170)]
можно записать
А» (х) = АГп (х) + $ d'y Gret (х-у) /•» (у) -
У)- D-7)
Свободные поля Л^ и A$ut описывают фотонное поле до и после
его взаимодействия с током /. Формально мы имеем
Нш
lim
D8)

204 ГЛАВА 4
Точный математический смысл этих выражений зависит от вида
источника j. Мы можем потребовать, чтобы данным соотноше-
соотношениям удовлетворяли хотя бы матричные элементы некоторого ло-
локального среднего этих полей между нормированными состояниями.
Этот слабый предел целиком основывается на предположении об
адиабатическом выключении источника при \t\—>оо. В действи-
действительности это часто не реализуется, и поэтому соотношение D.8)
приходится принять с некоторой долей скептицизма.
Теория строится в заданном гильбертовом пространстве, на-
например в пространстве Фока для падающих фотонов. При этом
вакуум является состоянием, которое дает нуль при действии на
него оператора afy (k). Наша задача состоит в том, чтобы найти
каноническое преобразование, осуществляемое унитарным опера-
оператором 5, который связывает in- и out-поля:
4fc,t(*) = <S-M|U*)S, D-9)
л также in- и out-состояния
S|out>. <*ли'
Предположим, что при t —+—оо система находится в определен-
определенном состоянии, например в вакуумном, т. е. не содержит (физи-
(физических) фотонов. Можно вычислить вероятность того, что конеч-
конечное состояние содержит нуль, один, два и т. д. испущенных
фотонов. Например, амплитуду вероятности того, что система
остается в основном состоянии, можно записать в виде
<0 out 10 in> = <0 in j 51 in> = <0 out | S |O out>.
Чтобы данное рассмотрение имело смысл, необходимо убедиться,
что вероятность р0 = | <0 out 10 in> |2 меньше единицы. Аналогич-Г
ным образом можно вычислить значения вероятностей рх, р2, ...,
поляризации в конечном состоянии и угловые распределения.
Следовательно, оператор S содержит всю информацию о конечном
состоянии.
Займемся теперь определением оператора S. Из выражения
D.7) имеем
4Sit М = i4fi, <*) + J d*y [Gtet (x-y)~G^ (x-y)] /^ (if) -
-A&M + A&M. D.11)
Второй член в правой части этого выражения, несомненно, является
решением однородного уравнения и представляет собой не что
иное, как классическое поле Д#л, излученное током / [(см. A.206)].

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 205
Комбинация G{~)^Gtet—Gadv уже встречалась в гл. 1 [см. A.173)]:
С* (х) = Gtei (x) -Gadv (x) = ^ J d'p e-
С точностью до знака эта величина совпадает с коммутатором Л
скалярных безмассовых свободных полей C.56). Вследствие этого
выражение D.11) можно записать в виде
(x), А1а(у).Цу)]. D.12)
Это соотношение напоминает формулу B.81):
±, [А, В]] + ... .
Действительно, в правой части этой формулы лишь два первых
члена отличны от нуля, поскольку А и В представляют собой
в нашем случае свободные поля, коммутатор которых является
с-числом. Следовательно, можно написать
S = ехр[-1 J d<x Ain(x).j (x)] = exp[-t $ d** Aoai (*)./ (x)]. D.13)
Данное выражение удовлетворяет всем условиям, налагаемым на
оператор S, включая условие унитарности в пространстве с инде-
индефинитной метрикой. Только с-числовая фаза, зависящая, воз-
возможно, от /", остается в S произвольной; однако этот произвол
не оказывает влияния на физические величины.
Удобно переписать 5 в нормальной форме. Представим Л^ как
сумму оператора уничтожения Afn<+) и оператора рождения /4JV~'.
Мы видим, что д11А%' + ) = д^А^р, и, следовательно, физическое
подпространство с положительной метрикой должно оставаться
инвариантным относительно преобразования S. Коммутатор опе-
операторов AVj{~) и Avl+) является с-числовой функцией:
^(k*). D.14)
Следовательно, можно воспользоваться тождеством
еАеВ==еА + В + 1А.ВУ2> D.15)
которое справедливо при условии, что [А, [А, В]]=[В, [А, 5]]=0,
и записать S в нормальной форме:
X ехр {1 JJ dlx d*y[Atf (x) ¦ i (x), A\V (у) ¦ j (у)}. D.16)

206 ГЛАВА 4
Введем фурье-образ тока / (х):
ум (k) = J d*x Г (*) е-'*1*. D.17)
Условие вещественности тока / и закон его сохранения запи-
запишутся соответственно в виде
j» (— ft) = J*'(k) и *„/* (k) = 0. D.18)
В выражении D.16) показатель последней экспоненты равен
ТО • / (*), A\i>(y).j (у) ] =
Как и предполагалось, вклад вносят только фурье-компоненты
источника, соответствующие изотропным значениям аргумента:
k2 = 0. В случае ?2 = 0 можно написать следующее разложение:
J^{k) = k4n9On(k) + J4;mep(k), D.19)
где JnvOn(k) — число, a J^onep(k) — пространственно-подобный век-
вектор, ортогональный k. Например, если k = (k°,k), мы вводим про-
пространственно-подобные 4-векторы е1 = @, et), б2 = @, es), причем
е? = е|= 1, e1-e2 = el-k*=ea k=0 Далее можно выбрать/^onep (k) =
= — 2 Ji(k)e?(k), где Jt(k) = et-J (k). Используя такое разложе-
(=1,2
ние, нетрудно показать, что
J * (k) ¦ J (k) = J'nouzP(k) • Упопер (k) = -[ | J, (Й) |2 + (У, (Й) I2].
Иными словами, лишь поперечные компоненты вносят вклад в
последний член выражения D.16):
S = ехр [—i J d*x Л'Гп1 (*) • / (х)] exp [—i J d*x A\y (x) ¦ / (x)J x
X ехр {-1 Jd?[ | Л (ft) |« +1 У| (ft) I21. D.20)
Вероятности излучения выражаются через эти поперечные ком-
компоненты. В самом деле, для р0 находим
р0 = |<0out 10 in > |г = |<0 in|S10 in > B =
D.21)
Чтобы вычислить вероятность рп, соответствующую излучению
п фотонов, ни импульсы, ни поляризации которых не измеряются,
вспомним, что п-фотонное состояние определяется выражением
j ft А, *Л. ¦ • • КК > = «+(Xl) (ftj • • • а+(М (*«) 10

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 207
которое нормировано следующим образом:
^Х8^'рМ'рп Bя)»2*?б»(к1-к/>|) ... Bn)*2k°6*(kn-kPn).
Сумма берется по всем перестановкам. Согласно статистике Бозе,
оператор проектирования на «-фотонные состояния имеет вид
D.22)
Следовательно, нам нужно рассмотреть матричный элемент
<k1Xi, ...,kn\n, out|0in> = <^1. ---.^Л. in|S|0in> =
= exp j-i-J dk [ | Jt (k) Is + f Ji (k) f2]} x
X < k,%t, ..., kn%n, in | exp [—i I d*x A<rl (x)-j (x)] \ 0 in >. D.23)
Теперь мы имеем
H A«-> (x)• /(x) =
2
Благодаря сохранению тока в сумму опять входят только попе-
поперечные степени свободы, если в оператор проектирования Рп
включить «продольные» и «скалярные» фотоны, то их вклады
автоматически сократятся В выражении D,23) член с п опера-
операторами рождения вносит единственный вклад:
=(—O"Ai (Ю- • • Л,„ (ka). D.24)
Множитель 1/n! исчез, поскольку мы имели ft! одинаковых членов.
Вероятность рп равна
D.25)
Вводя величину

2>О8 ГЛАВА 4
получаем распределение Пуассона
Рп=е~а?' D-27)
Это распределение нормировано, т. е.
со
Тогда среднее число испущенных фотонов п равно
2 pn
/1 = 0
Распределение Пауссона D.27) отражает статистическую неза-
независимость последовательного испускания фотонов, которая видна
также из факторизованнои структуры матричного элемента D.24).
Изучим теперь свойства конечного состояния. Рассмотрим сна-
сначала вакуумное состояние 10 in > при t—> — со, которое является
собственным вектором оператора уничтожения А§+) (х):
Можно вместо временной эволюции состояния рассматривать
эволюцию оператора; это дает
(х) /0 in > = S-M[V+) (x) S10 in > = Л&<+> (х) 10 in>. D.28)
Здесь Л^+) —положительно-частотная часть классического поля,
входящая в выражение D.11):
w{?=|^ D-29)
Следовательно,
<0in|^out(x)|0in>= А$л{х)= 1#у&-Чх-у)Р(у).
D.30)
Выражение D.28) означает, что конечное состояние является коге-
когерентным (см. гл. 3). Это не противоречит распределению Пуас-
Пуассона для излучения. Действительно, между свойством состояния
быть собственным состоянием оператора А{+) и статистической
независимостью последовательных испусканий существует глу-
глубокая связь. В более широком смысле можно утверждать, что,
если не учитывать квантовых флуктуации, поле в конечном
Акя(х). Этот факт и выражает равенство D.30).

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 209
АЛ.2. Энергия излучения и инфракрасная катастрофа
-Рассмотрим среднее значение энергии, излученной в данном про-
процессе:
= <0 in | S-> J d* й° 2 a(^n+ (ft)aft> (k) S | 0 in>.
D.31)
Мы видим, что, как и ожидалось, вклады нефизических степеней
свободы в сумму взаимно уничтожаются. Из выражения D.11)
мы имеем
^ W^S-taft*(k)S^a&"(Q-iJ^k), 1=1, 2,
и, следовательно,
D.32)
Этот результат согласуется с классической теорией! В самом деле,
излучаемое электромагнитное поле F^, соответствующее потен-
потенциалу А$л, дается выражением
При этом плотность энергии равна
а ее интеграл, усредненный по большому периоду времени, запи-
запишется в виде
[3
+ 2
1 < а < 0 <3
Продольная составляющая тока J не вносит вклада в разложе-
разложение D.19) на световом конусе, и мы получаем следующий резуль-
результат:
^кл = J dk к* [| А (к) |2 +1 J, (к) П D.33)
который согласуется с D 32). Физический смысл этого резуль-
результата и выражения D.26) состоит в том, что число фотонов, излу-

210 ГЛАВА 4
ченных в элемент объема фазового пространства dk, равно
ш~%-1 dk[\ Jt (k) |a +1Jъ (k) |«], D.34)
а их энергия _
de = hk°dn. D.35)
В частности, если излучается конечная энергия при низкой ча-
частоте, то резко возрастает число мягких фотонов dn —d$/fik0.
Для некоторых токов J может оказаться, что \ d$ конечен, в
то время как \ d?jhk° расходится. Это и есть знаменитая инфра-
инфракрасная катастрофа, о которой шла речь в гл. 1 Там мы видели,
что, когда заряд внезапно ускоряется от импульса pt до импульса
рр он создает ток
В результате он испускает поток фотонов с конечной полной
энергией^" ~^dfe°. К несчастью, общее число частиц расходится
как п ~ \dkQ/%№. Поэтому невозможно рассматривать заряжен-
заряженные частицы независимо от их поля излучения. Однако, как под-
подчеркивалось в гл 1, бессмысленно вычислять число испущенных
мягких фотонов: единственной физически измеримой величиной
является излученная энергия.
С математической точки зрения ситуация действительно «ка-
«катастрофическая». В самом деле, при п—*-оо из выражений D.21)
и D.26) следует, что
|<0 out 10 in> | = е-"/2 —*¦ 0.
Любой матричный элемент между in и out-состояниями обращается
в нуль Очевидно, что невозможно построить «oub-пространство
Фока из «т»-пространства и невозможно найти унитарный опе-
оператор S. Ситуация здесь такая же, как и в простой модели, кото-
которая обсуждалась в начале этого раздела. При определенных
обстоятельствах (здесь при п=оо) для системы с бесконечным
числом степеней свободы могут существовать неэквивалентные
представления канонических коммутационных соотношений. Не
удивительно, что при этом в рассуждениях возникают противо-
противоречия, поскольку мы хотим описать конечные состояния как
суперпозицию состояний с ограниченным числом фотонов, хотя
известно, что на самом деле их число бесконечно.
С физической точки зрения можно обрезать часть фазового
пространства, т. е. условиться учитывать в конечном состоянии

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 211
только фотоны с энергией-импульсом, заключенными в ограни-
ограниченной области Это соответствует фактическим эксперименталь-
экспериментальным условиям Разрешающая способность любого детектора фото-
фотонов ограничена, и, следовательно, фотоны, энергия которых ниже
энергии разрешения детектора, наблюдаться не могут. Пусть R —
ненаблюдаемая область фазового пространства, a CR—ее допол-
дополнение Полная вероятность того, что излучение происходит лишь
с импульсом, принадлежащим пространству R, т. е. что фотоны
не детектируются, отлична от нуля:
поскольку величина
CR
конечна, в то время как при п—юо каждый член суммы обра-
обращается в нуль. Наблюдаемая излученная энергия <g(CR)=$—<? (R)
при достаточно малом R сколь угодно близка к <?*, а вероятность
детектирования по крайней мере одного фотона с импульсом, не
принадлежащим пространству R, равна 1—ехр (—пс ) и является
конечной.
Имеется другая возможность обойти скользкие места предшествующего апа-
лиза инфракрасных расходимостей, по крайней мере его математические труд-
трудности. Предположим, что фотон имеет небольшую массу jj, и при квантовании
массивного фотонного поля используем калибровку Штюкельберга, рассмот-
рассмотренную в гл. 3. Это приведет к обрезанию области низких энергий, поскольку
теперь k° > (л; тем самым мы устраним инфракрасную расходимость. Однако
необходимо проверить, что дополнительные степени свободы не дают побоч-
побочного эффекта, т е наблюдаемые величины не изменяются в пределе р.—> 0.
Итак, будем рассматривать поле массивных фотонов, связанное с сохра-
сохраняющимся током Напомним что в теории с нулевой массой состояния с отри-
отрицательной нормой не играют роли, возбуждаются лишь поперечные степени
свободы. В нашем случае, т. е. в калибровке Штюкельберга, имеет место ана-
аналогичная картина; в силу сохранения тока только поперечное поле
связано с током:
i? W Z" («) d** = 5 Лй (л:) /!* M d**-
Следовательно, состояния с отрицательной нормой не дают вклада. Однако
остается вклад от состояния с продольной поляризацией. Величину п можно
вычислить, например, из выражений D.16) и C 148):
J 2/г° BлK

212 ГЛАВА 4
Как упоминалось выше, для ускоренного заряда J -J* ¦— 1/JfeJ. Обрезая инте-
интегралы при некотором значении ik|=fcMaKC, получаем для ~п потенциально
расходящуюся оценку:
макс
I
в то время как излученная энергия
макс
Г dkk*
о
при ц—s-0 ведет себя плавно. Заметим также, что вклад продольных фотонов
ni с данным импульсом к пренебрежимо мал по сравнению с вкладом попе-
поперечных фотонов пт:
nL Кпрод!3—Uo!3 _ p* |/„р
~ ~* II 12 I L- IS I I 12 ' V*'"'/
tlf I Jnonep I I K I I Jnonep I
где мы использовали соотношение | ^Прод I = №о/1 к |) | Jo I. вытекающее из
закона сохранения тока. Введение малой массы фотона обеспечивает устране-
устранение инфракрасной расходимости. Однако из-за наличия третьего состояния
поляризации спектр излучения абсолютно черного тела может измениться в
3/2 раза. Этой трудности удается избежать в предположении, что время ре-
релаксации третьей моды может оказался столь большим, что этот эффект не
будет вообще наблюдаться.
Из проведенного обсуждения ясно, что характерные особен-
особенности инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике
имеют по существу классическое происхождение и определяются
природой внешнего тока и разрешающей способностью экспери-
экспериментальной установки. Однако существуют квантовые эффекты,
например флуктуации числа испущенных фотонов, которые необ-
необходимо учитывать. Предполагая, что п—конечное число, вы-
вычислим
Отсюда следует
~ = (п)-ч*. D.38)
Если п велико, то эти флуктуации очень малы. Аналогично
флуктуацию энергии можно записать в виде
-oL|-M*)l2 + l^(*)l2]- D.39)
Если энергия излучения фотонов имеет резкий максимум для час-
частот вблизи значения <&°>, то мы получим

I
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 213
ледовательно, как и предполагалось,
Ш 1J». D.40)
& Vn п
4.1.3. Вынужденное поглощение и излучение
Используя явные выражения D.13) и D.16) для 5-матрицы, обсудим кратко
ряд интересных случаев. В частности, вопрос о том, как наличие фотонов
в начальном состоянии влияет на излучение источника /.
Как следует из соотношений D 28), действие классического тока на вакуум
дает когерентное состояние. Это когерентное состояние можно, в свою очередь,
считать начальным состоянием для второго источника /. Иными словами, пред-
предположим, что первый источник /jnc, который создает начальное состояние
i/inc>=exp [-i J d*x Aia (*)./lnc (*)] | 0 in>, D.41)
отделен от второго источника j (х). Проекция конечного состояния на out-co-
сто'яние запишется в виде
<b out | /mc> = <*> in I exp [—i J d*x A-lri (*)./ (*)] X
X exp [-i ^d*y Аы (у)./lnc (у)] | 0 in> =
= exp j^- L JJ d^xd^Mx) G*-5 (x-y) /Г„с (</)] X
X <b
in | exp { - / J d*y Am (y) [/inc (y)+j (y)] J | 0 in>. D.42)
В последнем выражении первый множитель—это чистая флза, не зависящая
от состояния b и, следовательно, ненаблюдаемая. Второй множитель означает,
что конечное состояние создается суммой /lnc-f-/- Полное число фотонов яПолн
получается заменой J на J--\-J\nc B формуле D.26), а (среднее) число излучен-
излученных фотонов, определяемое как разность пПолн—"то равно
b\ JnonepWl2+2Re ^ dk JnOnep (*)-Jlnc, попер (*)• D.43)
В правой части этого выражения первый член представляет собой число фо-
фотонов, испущенных лишь источником /, а второй — обычный интерференцион-
интерференционный член, который описывает вынужденное поглощение или излучение. Заме-
Заметим, что этот член является линейным относительно /1Ш. (или F^c) и что
члены, соответствующие различным частотам, не связаны друг с другом. Это
еще раз указывает на то, что различные моды независимы. Читатель может
вычислить энергию, излученную в присутствии /1ПС, и снова отметить это
явление интерференции. С одной стороны, известно, что два классических
источника интерферируют и следствием интерференции энергии должна стать
интерференция числа фотонов, поскольку dn (k)=d(?J (k)/fik0. С др>гой сто-
стороны, в силу стохастической природы излучения явление интерференции числа
испущенных фотонов не должно наблюдаться. Это указывает на явную огра-
ограниченность стохастической интерпретации. Излучение и поглощение представ-
представляют собой взаимосвязанные процессы, поскольку_излучающий источник может
также и погллцать фотоны. Тогда равенство ппозн = n\nc-\-nj означало бы
невозможность поглощения!

214 ГЛАВА 4
Полезно сравнить эту ситуацию со случаем, когда в начальном состоянии
имеется определенное число фотонов. Предположим для простоты, что все
фотоны принадлежат одной моде:
m>=-7J= \Uk 2 k (*) «<X) 4k) finc i ° En>- <444>
У Я1пе> Г ^=1,2 J
Функция /^ нормирована условием
и ясно, что / (k) имеет максимум в области среднего значения. Вычислим
среднее число фотонов в конечном состоянии:
Йполн = <«Ыс И I Л/oat I «lac <П>,
где
N out = S * 2 flg?tf <*) «$t W = St 5 * S «ft + (*) «ft (*) S =
2
X=l, 2
J dft 2 [«ft * (*)-"*(*)] K' (*)+ if I (*)]. D.45)
Поскольку продольные и скалярные фотоны в начальном состоянии отсутст-
отсутствуют и не излучаются, мы учитываем лишь число поперечных фотонов. Таким
образом,
dk[\ Jt (ft) |2+! h (*) |г] +
+<«tae I $ «^ [2 «W + (*) Jx(k)+3. c.l |
dk[\ /j (A) P+l J2 (k) ?]. D.46)
Итак, среднее число испущенных фотонов такое же, как и при отсутствии
фотонов в начальном состоянии! В среднем не происходит ни вынужденного
поглощения, ни вынужденного излучения. Но это ни означает, что вероятно-
вероятности излучения не изменяются. Действительно, можно вычислить вероятность
нахождения т фотонов в конечном состоянии. Простое вычисление дает
S I'xW+^Wj'f )| • D7)
12 J /|
В случае слабого источника J можно сохранить низший порядок по /. Един-

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 215
ственные ненулевые вероятности перехода в этом порядке запишутся в виде
D48)
«incline J x=l,2
= 1—р- - — р-
"inc^inc «incline4
Первое выражение можно сравнить с вероятностью перехода
Наличие фотонов в начальном состоянии увеличило вероятность излучения.
Это главный результат теории вынужденного излучения. С помощью выра-
выражения D 48) нетрудно также проверить, что среднее число испущенных фо-
фотонов остается равным tij.
4.1.4. S-матрица и оператор эволюции
Выражение D.13) для 5-матрицы мы получили исходя из пред-
предположения, что источник не является независимой динамической
переменной, т. е. что его эволюция во времени описывается неко-
некоторой заданной функцией. При таком подходе оставалась произ-
произвольной зависящая от источника фаза в S. Поэтому теперь следует
развить общий математический формализм и сравнить его резуль-
результаты с данным частным случаем. Задача состоит в том, чтобы
построить оператор, который осуществляет зависящее от времени
каноническое преобразование, связывающее взаимодействующее
поле /4м- со свободным полем Л^п:
A» (t, x) = С/ (t) A?n (t, х) U (t). D.49)
Мы уже отметили, записав результат в виде формулы D.8), что
Лш представляет собой слабый предел величины А» при t —*—оо,
и, следовательно, в этом пределе
lim U(t) = I. D.50)
При каноническом квантовании мы имеем дело с оператором A (t),
который удовлетворяет уравнению
^A(t,x)=i[H{t), A(t,x)], D.51)
и оператором я@> удовлетворяющим аналогичному уравнению.
Здесь Я (t) = H (A(t), n(t), j (t)) обозначает гамильтониан. Поле

216 ^ ГЛАВА 4
Ala удовлетворяет уравнению
где Н[п—не зависящий от времени свободный гамильтониан
[ср. с выражением C.120)], записанный через in-операторы рож-
рождения и уничтожения. Выведем уравнение эволюции во времени
для оператора U (t). Из требования унитарности получаем
Кроме того, из уравнения D.49) следует, что
U(t)H(A(t), я @, /(О^-ЧО^Я^шС). я|п(/), j(t)).
Таким образом,
ia(t,x) + iU (t)[H {A (t), n{t), j(t)), A(t,x)]x
(t), я1п@, К*)), Kit,
[
-»[Я'», Aia(t,x)];
аналогичное уравнение можно записать для nia. Отсюда вытекает,
что оператор
коммутирует с каждым in-оператором и, следовательно, является
с-числом. В нормированные матричные элементы оператора U
это число не дает вклада (что мы покажем ниже), и мы в даль-
дальнейшем не будем его учитывать. Таким образом, уравнение эво-
эволюции для 0 запишется в виде
^ Нвз (Аы @, Щп@, / it)) V^H,(t) U. D.52)
В нашем случае H\n = H (Aln(t), лш (t) /)|, =0, и гамильтониан
взаимодействия H,(t) обращается в нуль при / = 0. Таким обра-
образом, эволюция во времени, определяемая оператором U (t), отве-
отвечает представлению взаимодействия. Заметим, что зависимость
Н, (t) от времени определяется зависимостью от времени как тока
j(t), так и операторов Ain(t) и nm(t). Уравнение D.52) можно

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 217
решить итерацией соответствующего интегрального уравнения
U(t) = I-t 5 dt.H^QU^) D.53)
— 00
с учетом граничного условия D.50). В результате находим
t t tt
U(t) = I-i J dt.Htf^+i-iy J dtt S dt,H,{QHl(t%)+ ... +
— 00 — 00 — 00
dtx \ dtt... J dtaHI(t1)...HI(tJ+... . D.54)
— 00 — 00 — 00
В этих выражениях существенную роль играет упорядочение
операторов, а именно последовательная расстановка их в зави-
зависимости от величины временных аргументов. Дадим обобщенное
определение хронологического произведения п операторов (сокра-
(сокращенно Г-прои^ведения):
г[л/^1)...Ля(и]=|]е(^1, tPl tPn)SpAPi(tPl),:.APn(tPj,
D.55)
где сумма пробегает все перестановки Р, Э-функция обеспечи-
обеспечивает выполнение условия
iPl>tp,>...>tPa,
а 8р обозначает четность перестановки ферми-операторов, входя-
входящих в это произведение. (Последнее правило здесь пока не по-
понадобится, но вскоре нам придется его учитывать.) Здесь Г-произ-
ведение симметрично, и мы можем записать
i ] Y
— oo — oo
t t
n=0
= Texp
— i j dtlH,(t') I. D.56)
-» J
Последнее выражение для оператора эволюции U (t) в виде
Т-экспоненты является символом, смысл которого расшифровы-
расшифровывается предыдущим явным выражением. Нетрудно показать, что
Т-произведение экспонент обладает важным свойством. Для
h ^ h ^ *з имеем
Техр J dtO(t)^Texp J dtTexp(t)O J dtO(t).
и t t

'218 ГЛАВА 4
Если H,(t)—»0 при t —>—оо, то оператор U (t) в выражении
D.56) удовлетворяет требованию D.50). В нашем случае это
действительно так, если ток адиабатически выключается в дале-
далеком прошлом. S-матрица определяется как предел
S = lim {/(<) = Г exp —i J dt'H,{t')\. D.57)
<->-+co L -oo J
В данном случае H,= J }(x)-Am(x)d3x и мы получаем
S = Т ехр[ - i J d*x /V (х) A ft (*)]. D.58)
Определение хронологического упорядочения, обозначаемого сим-
символом Т, опирается на конкретные временные координаты. Поэ-
Поэтому последнее выражение на первый взгляд кажется нековариант-
ным. Однако благодаря локальной коммутативности плотность
^(xJsfW^W коммутирует с Ж, {у), если (х—г/J < 0. Сле-
Следовательно, изменение системы координат не меняет вида Г-произ-
ведения. В любой теории с взаимодействием без производных
имеем
Hj (t) = J d3x Ж, (*) = —$ dax Si (x), D.59)
где х° обозначает t и предполагается, что все операторы явля-
являются in-операторами. В результате общее «ковариантное» выра-
выражение для 5-матрицы записывается в виде:
D.60)
Кавычки напоминают, что используемое нами предположение
о локальности не исключает появления заведомо нековариантных
сингулярностей на малых расстояниях, когда два аргумента сов-
совпадают. Изучением этих сингулярностей занимается теория пере-
перенормировок.
Сравним общее выражение [см. D.58) и D.60)] с полученным
выражением D.13). Эти два выражения согласуются между собой,
если они различаются на ненаблюдаемый фазовый множитель.
Это можно показать, используя то свойство, что коммутатор сво-
свободных полей представляет собой очисло Мы дадим здесь простое
эвристическое доказательство данного утверждения, оставляя де-
детальное доказательство читателю. В любом случае свойство, ко-
которое мы собираемся доказать, связано с важной теоремой Вика,
подробным рассмотрением которой мы вскоре займемся. Запишем
сначала 5-матрицу как предел
S— Hm Texp
t .->¦ + »

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 219
Разобьем интервал tf—tt на N равных интервалов А/ = (tf—t;)/N
и обозначим через tk среднюю точку каждого из них: tk = tj +
-\-[Bk—\)/2]At F=1, ..., N). При больших N Г-произведение
можно приближенно записать в виде
Г -I 1'мНгУ)\ =
Г ехр
Поскольку коммутатор [Hj(t), Hj(t')] представляет собой с-число,
воспользуемся тождеством D.15) и перепишем это произведение
следующим образом:
( N ^
ехр -ШЦЯД^)—1д^ ? [Ht(tJ, Ht(tt)]\.
Считая, что JV^oo и переходя к пределам tt-^-—оо, tf—> оо,
находим
= exp[-t f ^хЛ1а(х)-/(
x[Ain(x)-i(x), А-ш(у)-Ну)]\- D.61)
Операторы A-m(x)-j(x) и Ain(y)-j(у)—это эрмитовы свободные
поля; следовательно, их коммутатор является мнимым с-числом.
Действительно, у нас имеются выражения для запаздывающего
коммутатора [A.169) и A.170)]:
0 (tf-jfl^R, (х), Л?п (у)] = ig»vB (х°-г/°) <?"> (х-у) =
= te*vGr.t (х-у),
где
Окончательно получаем
5 = ехр[ — i J d*x Ain (*) • / (х)] х
Xехр [ - ^ J ]d*x d*y j»{x) Gnt(x-y) /„ ((/)]. D.62)
Как и D.16), последнее выражение можно записать в нормальной
форме:
: X
хехр (i J rf*x d«y /; (х) {[Л|п"' * (х),
-6 (х9-У*) [А{"„ (*), ЛГп (у)]} Ь (

220 ГЛАВА 4
Во второй экспоненте величина в фигурных скобках есть с-число;
следовательно, оно равно своему вакуумному среднему (в состоя-
состоянии 10 in>). Для простоты мы опустим обозначение in и запишем
= -<0Mv(l/)^ (х) + 9 (х»-у<>) [А * (х), А" (у)} [ 0> *=
= — <01 в (х°—г/°) А» (х) Av (у) + 9 (у0—х°) Av (у) А» (х) 10> =
Теперь можно записать 5-матрицу в нормальной форме:
-±^d'x d>y <0m\TAiri(x).j(x)Altl(y).j(y)\0in>}.
D.63)
Заметим еще раз, что этот результат отличается от выражения
D.16) только на ненаблюдаемый фазовый множитель.
4.2. ТЕОРЕМА ВИКА
Данный раздел посвящен алгебраическим правилам, которые поз-
позволяют преобразовать Т-произведение операторов, например опе-
операторов в представлении взаимодействия, к нормальной форме,
более удобной для вычисления матричных элементов в простран-
пространстве Фока В дальнейшем любые поля будем считать свободными.
4.2.1. Бозонные поля
Выше мы получили следующее тождество для свободного безмас-
безмассового векторного поля:
Гехр[ — i \d*xA (*)•/(*)]= :ехр[— i J d*x A (x)j (*)]: x
'xd*y<01 TA(x).j(x) A (y).j(y) 10>]. D.64)
Данный результат не связан ни с векторным характером поля,
ни с равенством нулю его массы. Та же формула справедлива
для любого бозонного поля. Следовательно, нам все равно, имеем
ли мы дело со скалярным, векторным, тензорным или каким-то
другим полем, поэтому мы не будем здесь и далее писать лорен-
цевы индексы. Выражение D 64) можно рассматривать как произ-
производящую функцию для системы тождеств, известных как теорема
Вика Разложим экспоненты и определим коэффициент при
j (Xj)- ¦ ¦ j (хп), симметризованный по х1...хп (последнее возможно,
поскольку это произведение и коэффициент перед ним стоят под

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 221
знаком интеграла по хх...х^. Мы получаем
Т [А (х,) А (*,)] = : A (Xl) A (x2) :+<0\TA (xt) A (x2) \ 0>,
Т [A (xj А (х2) А (ха)] = : A (хг) A (*,) А (х3): +
+ '.A(Xl):<0\TA(x2)A(x3)\0> +
+:A(x3):<0\TA(Xl)A(x2)\0>,
Т[А(х1)...А(хп)]=:А(х1)...А(хп): +
этих формулах знак ^-^ сверху указывает на то, что отмечен-
отмеченный им оператор должен быть изъят из произведения, а 2 берется
р
по всем перестановкам, что приводит к различным выражениям.
Иными словами, в соотношении D.65) Т-произведение записано
через сумму всех возможных нормальных произведений, в кото-
которых некоторые пары полей исключены и заменены их спарива-
спариваниями, т. е. вакуумными средними их Т-произведений.
Доказательство тождеств D.65) представляет собой хорошее
упражнение Наиболее просто его можно провести методом ин-
индукции. Мы предоставляем читателю также убедиться в том, что
тождества D.65) можно обобщить на Т-произведения полей раз-
различной природы ТА1(х1)...Ап(хп). Их можно распространить на
выражения следующего вида:
Г:[Д(х,)... A(xk)]: ... :[А(х1)...А(хп)]:,
однако с тем ограничением, что спаривания здесь возникают только
между различными нормальными произведениями. Тождества по-
подобные D.65), можно применить для записи обычного произведе-
произведения Л, (л^)... Ап(х„) в виде нормальных произведений. В послед-
последнем случае единственное отличие состоит в том, что теперь спа-
спаривания представляют собой вакуумные средние обычных произ-
произведений операторов
К (*i) ¦¦¦ Ап (хп) = 2 •• К (*х) ... Л7Ы • • ¦ АчЛхк*Р) ¦¦¦ А(х„):х
X {<0 J Ah (xh) Акг (х%) [0>...<01 Л,г_, (*,р_ J Акгр(хкгр) 10> +
+ Перестановки|.

222 ГЛАВА 4
В заключение заметим, что аналогичные тождества связывают
Т-произведения с обычными произведениями. В этом случае спа-
спаривание означает запаздывающую функцию Грина; например,
ТА(х)А (у) =*А(х)А (у) + в №—#) [А (у), А (*)].
Из выражения D.65) следует, что
<0\ТА (Xl). .. A (xtp) | 0> = 2<0 \ТА (xPl) A (xPs) |0>... х
Р D.66)
Симметричную форму правой части Кайянелло назвал «гафнианом».
С помощью D.66) выражение D.65) можно переписать в более
слабой форме
[п/2]
TA(Xl)...A(tn)=% S :A(Xl)...
р = о к < ... <ksp
... A'(xHl)...A&tJ... A(xn): x
X<0\T[A(xk)...A(xk2p)]\0>. D.67)
4.2.2. Фермионные поля
В случае когда рассматриваются ферми-поля, единственно, что
нужно изменить в выражении D 65),— это знаки. Как и для бозе-
полей, выведем тождество, связывающее производящую функцию
Т-произведений с производящей функцией нормальных произве-
произведений. В случае бозонных полей мы использовали тождество
D 15) Чтобы при рассмотрении фермионных полей иметь дело
только с коммутаторами, введем для \|> и \|> антикоммутирующие
источники т] и т) Последние величины антикоммутируют между
собой, а также с \(з и ур. Подчеркнем, что они играют чисто ма-
математическую роль (они являются элементами алгебры Грассмана,
т. е. алгебры антикоммутирующих переменных). С их помощью,
можно написать тождество
[Л(*Ж*), Ц(у)ч(у)]=ч(х){У(х), У(у)}ц(у). D.68)
Все остальные коммутаторы величин г$, фт] обращаются в нуль.
Введем теперь вспомогательный лагранжиан взаимодействия
3, (х) = ц (х) Ц> (х) + ф (х) г\ (х) D.69)
и соответствующую S-матрицу:
S = Т ехр / \ d*x [ц (х) ф (х) + г^ (х) ц (х)]. D.70)

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 223
Поскольку коммутатор [Sj(x), Si{y)\ коммутирует с J?/(z), мы
еще раз используем тождество D.15) и получим
Texpjt $ d4* ft (*Ж*) + Ф(*И (*)]} =
хехр |—~ f Сй*хй*у 9 (х°—у0)х
X h (x) f(x) + f (х) т] (х), ч (У) Ч> (У) + ? (У) Л (У)]}• D.71)
Таким же образом можно разложить Щ -\- Щ на сумму положи-
положительно-частотной части, соответствующей уничтожению (знак « + »),
и части, соответствующей рождению (знак «—»), и записать
exp {i I d*x [ц(х) ф (х) + f (х) ц (х)]} =
= exp {i J d'xfi] (x) f-> (x) + f(-' (х) ц (х)]} X
Xexp [i J d*x h (x) f+> W + ^(+) (д;) ц (х)]} x
Xexp {]- J J^d*i/h Wt<-> (x) + t'">(x) n(x), л (f/)f(+) 0/) +
+ ?+Чу)ц(у)]}- D-72)
Как и выше, заменим с-число,
J J d4xd*# {9 (х1-^) [л (л) t|) W+?W л (л), Л(У) ^ (У) + ШЛ (fir)]-
-[П(х)#-> W + $"><л)tfW, тГ(у)^+> (у)-Н-tp+> («/)ri Ш
его вакуумным средним, т. е. величиной
<01 J $ d^ dV {9 (*• -у") [ J7; (х), 3?t (у)] + J?, (у) 2: (х)} 10> -
= <01 J J d*x#y Т [^7 (дс) J?7(jf)] 10>.
Вследствие антикоммутативности операторов т]еоть не что иное, как
х#у К (х) <019 (*°-^) ipe (х) % (у) -
-6 {If -X?) Ь (у) ^а (X) | 0> Щ {у) +
а (JC) <0 | 9 (Х?-у°) ^ (X) Ь (У) —в (й°-^) % (У) *а W
Заметим, что члены вида г|п|) и г|л|) исчезли при интегрировании.
Мы видим, что это выражение совпадает с определением Г-произ-

224 ГЛАВА 4
ведения фермионных полей [см. выражения C.173) или D.55)]:
[ца (х) <01 Т% (х)Ь (у) 10> щ (у) +
ь (х)<01 74ptt (х) % (у) 10> ^ (у)].
После замены переменной х на у под знаком интеграла оба послед-
последних выражения дают один и тот же результат. Окончательно
получаем
Техр {i^d*x[r](x)\p(x) + q(x) f](x)]} = exp [i $ d^x\y\ (x)f (x) +
D.73)
Единственное отличие этого выражения от соответствующей фор-
формулы D 64), полученной для бсвонных полей, состоит в том, что
в показателе последней экспоненты отсутствует коэффициент 1/2,
что связано с зарядом фермиона. Если бы мы начали рассмотре-
рассмотрение с заряженного неэрмитова бозе-поля А, то пришлось бы
написать J?, (х) = [Л* (л:) / (х) + /* (л:) А (х)]\ при этом мы полу-
получили бы два одинаковых вклада в показателе экспоненты
<0\]\ й*хй*у Т [Sf (х) 3?,(у)] 10> и, следовательно, коэффициент
1/2 исчез бы Явные соотношения между хронологическим и нор-
нормальным произведениями получаются, если разложить экспоненты,
входящие в D.73) и учесть антикоммутативность величин т\ и т\.
Например, во втором порядке по полю получим
\ JJ d*
(х) + Ш) Ц (х)] [Ц(У) *Ш + $(У)г\ Ш ==
d'x d'y ц (х) <01Т [4 (х) ${у)] 10> 1) (у).
Отождествляя соответствующие величины, имеем
) * {у) «: Ч> W ?(У):+ <° I ^ W Ф (У) |0>, D.74)
Заметим, что два последних выражения эквивалентны, поскольку
Т [% W % (у)] = - Т fo («/) % W]
(здесь 5 и Т1—спинорные индексы). Для компактности можно
включить в аргумент поля if пространственно-временную коорди-

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 225
нату, индекс Дирака и дискретный индекс, который отличает
г|за (х) от фа (я). В таких обозначениях получим следующую обоб-
обобщенную запись теоремы Вика для ферми-полей:
\п/2] ^^ ^^
2 2
Р=0 Я
X <01 Tip (kp) ур {к„Х\ 0> ... <01 Тф (kP,p_t) ф (kP,p) 10>. D.75)
Здесь сумма берется по всем перестановкам, а ор = ± 1 является
знаковой функцией перестановки, которая преобразует набор
{1, ..., п\ в {1, .. ., klt ..., kip, .. , п, kPt, ..., kp2p]. Проил-
Проиллюстрируем это правило йа примере Г-произведения четырех
полей:
Т {* A) V B) Ц> C) i|)D)}» :ф A) фB) ф C) ф D): +
:фA) i|> D):<0 | Тф B) г|) C) | 0>
B) | 0><0 | 7> C) г|? D) 10> -
- <0 ] 7> A) ip C) 10><01 ТЦ B) у D) 10> +
Выражение D.75) можно свести к вакуумному среднему:
= 0,
2 0|ТН/\ЖР)|0 ... х
2
Различные
члены
Х<0
Перестановки Р
X <0 | Гф (Р^.,) ^ (/>2„) 10>. D.76)
Правая часть выражения D.76) представляет собой пфаффиан,
т е корень квадратный из детерминанта антисимметричной 2/г х2/г
матрицы, элементы которой имеют вид <0174J> (i) \|) (/) 10>.
4.2.3. Общий случай
Нетрудно сформулировать теорему Вика для общего случая, когла
имеются как фермионные, так и бозонные поля Отдельные фер-
мионные поля антикоммутируют, а отдельные бозонные поля
коммутируют; предполагается, что бозонное поле коммутирует
с фермионным полем (по леднее обстоятельство является обще-

226 ГЛАВА 4
принятым соглашением). Как и выше, будем использовать ком-
компактные обозначения: ty обозначает либо бозонное, либо ферми-
онное поле, причем на его природу указывает дискретный индекс.
Для читателя должно быть очевидным, что формула D.75) спра-
справедлива и в этом случае, если учесть, что знак ор является
сигнатурой перестановки лишь фермионных полей. Этот результат
непосредственно вытекает из вида производящей функции D.73),
которая имеет одну и ту же форму независимо от типа поля.
Теорема Вика, рассматриваемая в данном разделе, тесно свя-
связана с вычислением интеграла от полинома нескольких перемен-
переменных с гауссовой весовой функцией. Впоследствии, при обсуждении
функциональных интегралов, мы покажем, что эта аналогия не
является случайной
4.3. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ДИРАКА,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ
ПОТЕНЦИАЛОМ
4.3.1. Общий формализм
После того как мы обсудили «алгебраический» аспект задачи,
рассмотрим еще один пример применения квадратичного лагран-
лагранжиана, а именно электрон-позитронное поле в присутствии клас-
классического электромагнитного поля В этом внешнем поле возможно
рождение электрон-нозитронных пар. Это физический эквивалент
задачи, обсуждавшейся в разд. 4.1, а ее математическим эквива-
эквивалентом является рождение и уничтожение отдельных электро-
электронов антикоммутирующим источником, который мы определили
в разд. 4.2.
Помимо рассмотрения таких интересных явлений, как рожде-
рождение пар, которое, очевидно, не имеет классического аналога,
наше исследование должно показать, какую роль играет уравнение
Дирака для квантованного поля ty:
[Ш—еА(х)—т]$(х) = 0. D.77)
Здесь Аи(х)^~данное с-числовое внешнее поле Это уравнение
соответствует лагранжиану взаимодействия
%, (х) = - Жг (х) = —е$ (х) y'j4> (х) Аи(х). D.78)
На данном этапе можно повторить все рассуждения, приведенные
в рачд 4.1.4, на основании которых были получены представление
взаимодействия и S-матрица. В результате получаем выражение
= Т ехр [- ie J <РхЪ. (х) уЧщ W ^ (*)]. D.79)

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 227
Однако выражение D.79) не так просто привести к нормальной
форме. Это обусловлено тем, что лагранжиан взаимодействия
является квадратичным по полю, а не линейным, и, следовательно,
коммутатор двух токов \^у^\\: не представляет собой с-число.
Заметим также, что нам неизвестно общее решение уравнения
Дирака D.77) для произвольного поля Лц.
Невзирая на эти трудности, поскольку в нашем распоряжении
имеется весь аппарат, следующий из теоремы Вика, мы можем
найти формальное решение этой задачи. Рассмотрим подробно
амплитуду вероятности процесса, в котором отсутствует рожде-
рождение пар:
I
n
n=0
= у
D.80)
здесь знак in опущен. В этом выражении, согласно теореме Вика,
каждый член представляет собой сумму произведений спариваний
следующего вида:
Для данных xk и xt определим следующую матрицу 4x4:
С (аА, xk; alf xt) = - ie 2 <0 \ T [Attfea (xj ifa (**)^(xt)] 10>. D.81)
Выразим SQ(A) через С:
об
5о(Л) = 2 -^Г" f йхг ¦ ¦ • dx« Л еР Л С («1. *iJ ая,^л) • • •
«=0 Р а,, ., аи
... С (о,„ хп\ аРп, хРп). D.82)
Удобно рассмотреть на равных правах дискретные индексы а,
и непрерывные переменные х{ и объединить их с помощью ско-
скобочного символа Дирака \х, а>. Пространство этих векторов
\х, а> является не чем иным, как пространством классических
спиноров Введем Г-матрицу с элементом вида
U, а|Г|0,р> = С(х. а; у,% D.83)
Используя матричные обозначения, можно напиеать
Sa(A) = Det(}—r) = exp[spln(/—Г)]. D.84)
Последние выражения в действительности справедливы для любой матрицы

228 ГЛАВА 4
конечной размерности:
det A — Г) = exp [Sp In (/ — Г)] =
ва +^=^ ? (ГавГьб " ГаьГьа
й ft
а, а„ Р
Перестановки
(I, л)
как результат применения формулы Кели — Гамильтона для детерминанта.
Разложение здесь заканчивается на d-м порядке для конечной d мерной
матрицы Разумеется, член порядка d равен (— l)d det Г В этой формуле
детерминант выражен через cjmmv следов атисимчетризованных тензорных
произведений. Существует аналогичная формула и для обратного детерминанта
det-* (/-Г) =ехр [- Sp In (/-Г)] =
а, Ь
+7П-
Перестановки
13, ¦ п)
здесь обратный детерминант представлен как сумма следов симметризованных
тензорных произведений Последнее выражение целесообразно использовать
в задаче квантования бозонных полей, связанных с внешним полем
Эти выражения справедливы и для случая бесконечных матриц
в рамках теории Фредгольма при соответствующих предположениях
относительно свойств Г-матрицы. Обозначение Det начинается с
прописной, a sp со строчной буквы, поскольку такие операции
предполагают интегрирование по непрерывным переменным
Использование нормальных произведений в D 78) было бы равно-
равносильно допущению, что Гйа = 0, а следовательно, что член 2Гаа
в D 85) можно опустить
Как и в последнем разделе гл. 2, удобно ввести операторы
Хц и Pw, определенные на состояниях | х, о>:
Xw|*. a> = xjx, a>,
<*, а|Рц | q>> = * — <*, а|ф>.
Они подчиняются каноническому коммутационному соотношению
[Хр, Pv] = — tg^, D.87)
а собственные векторы Pw, обозначенные как \р>, таковы, что

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 229
Используя эти матричные обозначения, наряду с выражением
C 174) для пропагатора Дирака, находим
= exP{-spln [^-т)г_еА^_т+1е]}. D.88)
В последнее выражение входит пропагатор Фейнмана в .присут-
.присутствии внешнего поля А^(х)
В качестве упражнения проверим калибровочную инвариантность полученных
выражений При калибровочном преобразовании
Р—еА (х) — т—+ Р—еА (х)—е9Ф (х) - т.
Из соотношений D.87) следует:
т.
Таким образом, калибровочное преобразование равносильно унитарному пре-
преобразованию в пространстве классические спиноров Это не влияет на детер-,
минанты и сохраняет инвариантной величину 50 (А)
Рассмотрим следствия унитарности S-матрицы Удобно ввести
одночастичный оператор рассеяния ?Г (А), который определяется
следующим образом:
Ж (Л) = еА (х) + еЛ (*) ^-l—tf- (A). D.89)
Предположим, что потенциал А^ (х) вещественный; для любого
оператора В на пространстве векторов \х, а> положим
где эрмитово сопряжение действует на индексы et §-x. r3ta ойе-
рация меняет знак величины" fe в <#"(Л)'
Ж (А)=еА (х)г^ш
Fl D.90)
Таким образом,
еА(х) = Г(А)-Г{А) r_lm__fe еА(х).

230 ГЛАВА 4
Подстановка этого выражения в D.89) дает
(A)^F (A) T-L-—eA
[f(A)-eA(x)] =
В результате имеем
= Ж (А) [^ (р + т) б (/>*_m*)l jr (Л). D.91)
Оператор 2л (Р-\-т) Ь (Р2—тг) можно разложить на сумму про-
проекторов на состояния с положительной и отрицательной энергией:
2л (Р + т) б (Р2—т2) = р,*+) + р<->)
(± Р°)8(Р2—т2). D.92)
Эти операторы, проектирующие на массовую поверхность, по-
появятся, естественно, при вычислении таких физических величин,
как \S,(A)\\
Если мы обратимся к первоначальному выражению D.82) для
S0(/l), то каждый член правой части можно предстаьитк в виде
произведения величин, в которых аргументы являются цикли-
циклическими перестановками:
C{av х{, а2, х2)С(а2, х2; а„, хв) .. . С {ак, хк; а„ хг)
Если бы вместо феинмановского пропагатора мы воспользовались
здесь запаздывающим пропагатором, то все эти циклические мно-
множители сократились бы, поскольку запаздывающая функция Грина
имеет носитель внутри конуса будущего и, следовательно, цикли-
циклический член определен на пустом ^знoжecтвe. Как отмечалось
в гл. 2, запаздывающий пропагатор имеет вид
(Я+'еJ — т2 P — m+ie '
где ей—бесконечно малый положительный времениподобный
четырехмерный вектор Отсюда следует, что
D?t[l-eA(x) F_lm+.^^l. ' D.93)

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 231
Но
где РР означает главную часть. Следовательно,
1 !___ — _ • (-)
F—m-j-i's F—m-\-ie "
и
= Det [l-eA(x)F_lm + .e] Det[/-^)p<->]. D.94)
Из этих выражений и D.91) мы находим
= Det [ /—
= exp{spln[/ — ^г(Л)р1 + )^=(Л)р1->]}- D.95)
Запишем следующее равенство:
|50(Л)|»«ехр[— 5^хш(х)], D.96)
в котором,
w (x) = Si><x\\n[l -<f (A) pl + )jT(A) р{-]]\ х> D.97)
(здесь знак следа относится лишь к индексам Дирака). Функцию
w(x) можно интерпретировать как плотность вероятности образо-
образования пар Если разбить четырехмерное пространство на неболь-
небольшие ячейки объемом Дх,- и со средней координатой х{, то можно
записать приближенное выражение
которое подтверждает данную выше интерпретацию величины W(x).
Каждая ячейка вносит независимый вклад w (x,) в полную веро-
вероятность испускания пар Это следует также из явного вычисления
вероятностей испускания одной, двух и т. д пар Благодаря при-
присутствию проекторов р1±) вероятность w (x) d*x выражается через

232 ГЛАВА 4
матричные элементы оператора оГ на массоюй поверхности между
состояниями частицы и дырки Это можно пояснить, если опре-
определить приведенный оператор t следующим образом Используя
нормированные решения и{а) (р) и via) (р) для положительной и
отрицательной энергий, введенные в гл. 2, определим матрицу t
на массовой поверхности в виде
<ра 111 p'by = 2л ? Г,™ ,л «а' (/?) <р, а | Jf | /?', р> ujN) (¦—/?'). D.98)
где о)р^(р2 + т2)'/г С помощью выражений для проекторов
а=\, 2
0=Ь2
долучаем
Н^полн = J d'x w (х) = J d*p Sp In (I + //t). D.99)
Отсюда с определенностью следует, что величина Wn0]la положи-
положительна Вычислим теперь в явном виде эту вероятность для двух
частных случаев
4.3.2. Скорость излучения в низшем порядке
Величину W можно разложить в ряд по степеням а = е2/4я; для
этого в выражении D 97) нужно записать в виде ряда как лога-
логарифм, так и амплитуду <?Г(А) В низшем порядке получаем
Ц7<1> =—sp (<Мгр( и е^р'-»). D.100)
Положим
^B^^^. D.101)
Тогда
J Sj S Sp К* + m) л ^ ^ ~т) *(-^^- <4-102)
х
В случае, когда q = pl + p2, мы имеем
A/4) Sp [(/г, +/я) tffoH/r.-m) *(-?)]
Вычислим следующие интегралы [при условии, что q2=(

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 233
4т2]:
2т
DЛ03а)
<4Л03б)
Величину /^.v можно записать в общем виде как Iw—hewv+sflvflv
а последовательные свертки с q^qv и ^v дают D 1036). Все эти
операции приводят к следующему выражению для IF11'"
X\q-a(q)q.a(~q)-~q*a(q).a(-q)\. D.104)
Этот результат станет более понятным, если ввести фурье-образ
тензора электромагнитного поля, определяемый выражением
^nv (q) = — i [<7n«v (?)—^v«n (q)],
i- /> (q) F^ (-q) = | В (q) |2-1 E (q) j2 =
= q2a (q) ¦ a (—q) — ?¦ a (q) q¦ a (—q).
Поскольку подынтегральное выражение в D 104) является четной
функцией, можно не учитывать ограничения q° > 2m, и мы окон-
окончательно получаем
()
D 105)
Это нетривиальный результат теории поля, и его оказалось воз-
возможным получить лишь при внимательном изучении теории дырок
Заметим, что в случае <?2 > 0 существует система отсчета, в кото-
которой q = 0, а следовательно, b(q) = —iqxa(q) обращается в нуль;
отсюда следует, что |Е(^)|2—|B(<7)|2^s0, т е образование пар
представляет собой электрический эффект Однако создать моды
электромагнитных колебаний, соответствующие q* > 4m2, при
помощи современных установок нелегко'
Запишем также в низшем порядке скорость образования пар
бесспиновых заряженных бозонов
(~^?)V?. D 106)'

234 ГЛАВА 4
4.3.3. Образование пар в постоянном
однородном электрическом поле
В случае постоянного однородного поля мы можем получить точ-
точный результат, не прибегая к теории возмущений. Рассмотрим
выражение D.88) и запишем
lty D.107)
Поскольку след оператора инвариантен при перестановках, а ма-
матрица зарядового сопряжения С удовлетворяет условию
можно записать следующее равенство:
lln 50 (А) = sp In {[F -еА (Х) + т~-Щ p+l_is) ¦ D.108)
Выражения D.107) и D.108) в сумме дают
2 In 5U (Л) = sV In (\[P-eA (X)j»-w' + fe} -pi_lmz+ie ) • D.109)
Полезное тождество
со
±№ D.110)
позволяет нам записать искомую вероятность в виде
со
м. / v\ . Pa I a—is(in2—ie) Qn (/ v I Ms\*- ~en{x)) I y\ / v I ^
Х<л:| (
ехр | [ | J|)
D.111)
В случае постоянного поля эта вероятность не должна зависеть
от х. Кроме того, оператор o^F^v коммутирует со всеми осталь-
остальными операторами, и мы можем вычислить соответствующую экс-
экспоненту. Здесь и далее мы будем считать, что электромагнитное
поле является чисто электрическим полем, направленным вдоль
оси г (в разд. 4.3.2 мы показали, что образование пар — это
электрический эффект). Выберем также калибровку, при которой

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 235
лишь компонента Ая(х) «= — Et (t s= x°) не обращается в нуль. Тогда
и, используя коммутационное соотношение [Ха, />„] = — г, получаем
(Р—МJ = Р\—Р*т~- (Р* +еЕХ0)* =
= e-ifP'/eE (PI — Р2.—е2?2Х02) eipopi'eE. D.113)
Следовательно,
D.П4)
Последний интеграл можно рассматривать как след оператора
эволюции гармонического осциллятора-, причем с чисто мнимой
частотой. Это следует из соответствия Рп -*¦ Р, —Хо ->- Q, 2ieE -*¦ o)w
- -v т0, Р1—егЕ*Х\ -> Р2/2т,+{ 1/2) m^lQ2. Энергетические уровни
такой системы хорошо известны, и мы можем написать
D.115)
следовательно,
ra|S8r D.116,
Собирая все члены, находим
±]U). D.117)
Здесь член \js соответствует вычитанию при е = 0 в D.111). Сле-
Следует заметить, что интеграл сходится на обоих пределах: инфра-
инфракрасная сходимость при s->-oo обеспечивается правилом обхода
пг2 — is, в то время как при s-> 0, Re (;е-'™2) = sin stn2 « sm2, член
в скобках убывает как s и подынтегральное выражение оказы-
оказывается конечным. Интеграл в D 117) можно вычислить по теореме
Коши Сначала он преобразуется в интеграл по промежутку (—оо,
¦f-oo), а «тем контур интегрирования деформируется так, чтобы
охватить отрицательную мнимую ось и выделить вклады от полю-

236
ГЛАВА 4
сов гиперболического котангенса, В результате получим выраже-
выражение для вероятности образования пар в единице объема за еди-
единицу времени:
D.118)
Вследствие того что величина \еЕ\ мала по сравнению с т2, об-
образование пар в постоянном поле никогда непосредственно не
наблюдалось. Вспомним, например, "что электрическое поле ?аг
Потенциальном
энергия
X
V0/\e\E
РИС. 4.1 Потенциальная энергия (сплошные кривые) элекфона в поле
связывающего его потенциала V (х) (штриховые кривые) и электростатического
потенциалл еЕх.
на боровской орбите атома водорода имеет порядок еЕЗТ ~/п2а3~
~4 10-'т2.
Аналогичное выражение для вероятности рождения бесспино-
бесспиновых бозонов имеет вид •
(— 1)"
n=i
nnm2
,. fin,
<4-119)
В этих формулах существенный множитель ехр (—ппг2/] еЕ |) найден
не по теории возмущений Он напоминает квантовый туннельный
эффект Действительно, рассмотрим в атомной физике электрон,
находящийся в потенциальной яме V (х) (штриховая кривая на
рис 4 1) и испытывающий действие дополнительного электриче-
электрического потенциала еЕх Результирующий потенциал показан на
рис 4. \ сплошной линией. При энергии связи —Vo вероятность

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 237
ионизации пропорциональна величине
[V'o/I еЕ |
2 J
изации п
[V'o/I е
-2 J
Если предположить, что электрон с отрицательной энергией
захвачен потенциалом | Vo f — 2m, то мы получим множитель
ехр (-— const тг/\еЕ\), который качественно согласуется с рассмот-
рассмотренным выше точным результатом.
4.3.4. Эффективный лагранжиан Эйлера — Гейзенберга
Благодаря квантовым эффектам классическое электромагнитное
поле может образовывать пары Это значит, что динамика клас-
классического электромагнитного поля содержит квантовые поправки.
До сих пор мы рассматривали эффект, связанный с поглощением.
Но существуют также явления, обусловленные дисперсией Вклю-
Включим эти квантовые поправки в эффективный лагранжиан
где
и будем считать, что поправка hg является локальной, по край-
крайней мере для медленно меняющихся полей, и записывается как
функция инвариантов Е2 — В2 и (Е-ВJ. Известно, что свойства
поляризуемости среды в среднем описываются векторами электри-
электрической индукции D и магнитного поля Н. Аналогично роль вели-
величины ЬЗ сводится к учету поляризуемости вакуума, т е. взаимо-
взаимодействия электромагнитного поля с вакуумными флуктуациями
электрон-позигронного поля. В любых расчетах электромагнитных
эффектов будет присутствовать амплитуда 50(Л), поскольку она
описывает динамику вакуумных флуктуации. Следовательно, мы
предполагаем, что Ь2 дается выражением
<01S10> = S0 (Л) = ехр [i J d*x№ (*)]. D.121)
Вещественная часть величины 6J5? описывает эффекты дисперсии,
а мнимая часть—эффекты поглощения. Функционал й=5?(Л) имеет
сложную форму, но если мы ограничимся низкими частотами, то
достаточно рассмотреть медленно меняющееся поле или даже по-
постоянное поле в низшем порядке. Тогда можно применить метод
вычислений, приведенный в последнем разделе. При этом в случае
*—В2), (Е-ВJ], D 120)

236 ГЛАВА 4
чисто электрического поля имеем
-gig- J J [e? cth (e?s)—i-]e- '»»•, D.122)
о
J
о
а в общем случае
8jt2 J s [ sh (eos) sin (efts)
0
_ П
где a2—Ь2=Е2— В2, ab = E-B. Читатель может также вывести
формулу D.123) с помощью выражения для пропагатора Дирака,
приведенного в разд. 2.5.4, используя соотношение
В интеграле D.123) в отличие от D.117), расходящаяся часть
пропорциональна а2—Ь2, что можно исправить перенормировкой.
Для этого перепишем Ь?? в виде
где С бесконечно, и заменим величину <3?0, определяемую выра-
выражением D.120), на A—C)J2?0\ такое изменение ненаблюдаемо,
поскольку по условию может наблюдаться лишь величина Sv-\-b??.
При этом последняя величина запишется в виде
^эФФ=A-С)-^=^ + б^ = -^~+б^конечн. D,124)
Поправка б^конеЧн получается из bJ3? вычитанием расходящегося
члена; разумеется, такое вычитание приводит к неоднозначности.
В по ледующих главах мы подробно рассмотрим процедуру пере-
перенормировки и связанный с ней произвол.
Абсорбтивная часть лагранжиана ЬЗ? вместе со всеми ее про-
ичводными обращается в нуль при е = 0. С помощью теории воз-
возмущений можно вычислить только эффекты дисперсии. Например,
разлагая D.123) по степеням а, во втором порядке находим
^ ВГ]. D.125)
Выражения для эффективного лагранжиана Эйлера — Гейзенберга
D 124) и D.125) можно применять при рассмотрении различных
нелинейных эффектов, обусловленных квантовыми поправками.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 239
ПРИМЕЧАНИЯ
Физическая интерпретация инфракрасной катастрофы рассмотрена в статье:
Bloch F., Nordsieck A., Phys. Rev , 1937, vol. 52, p. 54. Исчерпывающее иссле-
исследование проблемы в рамках теории возмущений дано в работе: Yennie D. R.,
Frautschi S. С, Suura Я.—Ann Phys. (New York), 1961, vol. 13, p 379. В
работе Glauber J. R. — Phys. Rev , 1963, vol. 131, p. 2766 впервые рассмот-
рассмотрены когерентные состояния с целью связать квантовую и классическую эле-
электродинамику. Дальнейшее развитие теории см., например, в книге: Quantum
Optics and Electronics/ed С De Witt, A. Blandin, C. Cohen-Tannoudji, New
York: Les Houches, 1964, Gordon and Breach, 1965.
Представление взаимодействия определяется в работе: Dyson F. J.— Phys.
Rev , 1949, vol. 75 p. 486 [Имеется перевод в сб.: «Сдвиг уровней атомных
электронов» —М.: ИЛ, 1950.]; см. также работу Вика (Wick G. С. — Phys.
Rev., I950, vol 80, p. 268).
Эффективный лагранжиан электромагнитного поля впервые рассмотрен
Гейзенбергом и Эйлером [см. Zs. Physik, 1936, vol. 98, р 714]. Его подробно
изучал Швингер (Phys. Rev., 1951, vol. 82, p. 664) [Имеется перевод в сб.:
Новейшее развитие квантовой электродинамики. — М- ИЛ, 1956] Эта работа
использовалась для написания разд. 4.3; см. также: Schwinger J. — Phys.
Rev., 1954, vol. 93, p, 615; 1954, vol. 94 p. 1362 [Имеются переводы в кн.:
Швингер Ю. Теория квантованных полей.—М.: ИЛ, 1956.].
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Физический смысл когерентных состояний и различные их применения в фи-
физике частиц подробно рассмотрены в книгах: Малкин И. А., Манько В И.
Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.—М.:
Наука, 1979' Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой опшки.—М.:
Мир, 1970
Вывод ряда соотношений настоящей главы носит символический характер
и требует обоснования. Например, формулу D.88) в случае постоянного одно-
однородного электрического поля нельзя использовать непосредственно, поскольку
не выполнены условия сходимости ряда D.80), на котором был основан вывод
этой формулы. Последовательный расчет основан на рассмотрении перемен-
переменного поля и предельном переходе к нулевой частоте. Детальный анализ раз-
различных случаен пчяимодействия квантовых систем с внешними полями дан в
книге: Гриб А А. Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты
в интенсивных внешних полях.—М.: Агомиздат, 1980.

Глава 5
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В настоящей главе будет установлена связь между измеряемыми
на опыте сечениями рассеяния и динамической картиной, которую
дает теория поля, опирающаяся на аппарат функций Грина н
редукционный формализм Лемана, Симанзика и Циммермана
Результаты иллюстрируются простыми примерами электромагнит
ных процессов низшего порядка Будут сформулированы общие
требования унитарности и причинности, которые затем исполь
зуются для построения разложений по парциальным волнам и
установления дисперсионных соотношений
5.1. S-МАТРИЦА И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Нам необходимо завершить изучение вопросов кинематики, преж-
прежде чем мы перейдем к вычислению амплитуд переходов на осно-
основе теории возмущений В настоящей главе мы изложим общие
правила, которые позволят связать эти вычисления с физическими
процессами
В реальных экспериментах основным средством исследования
является рассеяние частиц на различных мишенях В макроско
пической шкале характерное время таких взаимодействий чрез
вычайно мало Поэтом} невозможно проследить за деталями вре
менной эволюции системы в течение элементарных актов взаимо
действия Единственное, что мы можем сделать, — это восполь
зоваться следующей картиной Для времени, очень далекого от
момента столкновения, будем считать, что хорошо разделенные
волновые пакеты свободны и развиваются во времени независимо
друг от друга В гл 4 на конкретных примерах было показано,
что совокупность этих входящих сосюяний образует пространство
Фока, т е пространство in вектопов соответствующих свободных
полей Следует заметить, что эти in-состояния должны в точ
ности соответствовать индивидуальным характеристикам изолиро
ванных частиц, таким, как масса и заряд Иными словами, эти
измеряемые параметры должны поглотить эффекты самодействия
Затем имеет место процесс столкновения, при котором может
происходить рассеяние, поглощение или рождение новых частиц,
процесс подчиняемся фундаментачьным законам сох[ анения

¦ -ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 241
t
^энергии, импульса, углового момента, четности, зарядовой чет-
четности, внутренних симметрии и т д По истечении большого вре-
времени после столкновения волновые пакеты снова разделяются,
становятся свободными, они описывают теперь выходящие состо-
состояния Они снова подчиняются правилам кинематики свободных
частиц и соответствуют свободным полям. Согласно постулатам
квантовой механики, амплитуда
<Ь, out ja, in>
позволяет нам получить вероятность того, что входящее состоя
ние ! а> в результате временной эволюции перейдет в состояние
\Ь>
Выходящие состояния могут играть роль входящих для по-
последующею процесса Пример тому —приготовление вторичных
пучков Следоватечьно, между in- Hout-пространстьами состояний
Фока должен существовать изоморфизм Наша цель состоит в
том, чтобы связать вышеупомянутые амплитуды переходов с реаль-
реальными измерениями Иными сковами, мы хотим установить реля-
релятивистскую формулировку золотого правила Ферми и дать выра-
выражение для сечений рассеяния
5.1.1. Сечения рассеяния
Рассмотрим сначала простой пример рассеяния двух различных
бесспиновых частиц Выразим начальное состояние через падающие
волновые пакеты в импульсном пространстве
С этими волновыми пакетами связаны решения f (х), соответству-
соответствующие положительным энергиям уравнения Клейна —Гордона с
определенной массой
^x)=lwkfe"pxf(p)- E2)
Поток имеет вид
(X) Vj(x)=§ 2^W I f iP) |2- El3)
Вероятность перехода в конечное состояние |/, out> дается выра-
выражением
Wf^t = \<f, out | i, m>|« E.4)
В отсутствие внешних источников трансляционная инвариантность
приводит к тому, что такие матричные элементы обращаются в

242 ГЛАВА 5
нуль, если энергия и импульс не сохраняются. Кроме того, как
показано в гл. 4, предположение об изоморфизме между out- и
in-состояниями подразумевает существование унитарного опера-
оператора S, называемого обычно 5-матрицей, такого, что
</, out 11, in> = </, in\S\i, in>. E.5)
Свойство унитарности S необходимо, чтобы сохранить вероятно-
вероятности Ciporo говоря, S преобразует out-состояния в in-состояння
в соответствии с E 5). Поэтому можно говорить, что мы берем
эти матричные элементы в in-пространстве, и, если нет особой
нужды, будем опускать приставку in. Тогда S-матрицу можно
представить следующим образом:
S=f + iT, E 6)
где Т описывает эффект взаимодействия. Если конечное состоя-
состояние представляет собой плоскую волну, то можно выделить fi-функ-
цию, выражающую закон сохранения энергии-импульса, так что
<f\T\ pv p*> = Bя)*8* (Р, - Pl - Pt)if | Г | pt, р2У, E.7)
здесь приведенный оператор JT действует на энергетической поверх-
поверхности Подставляя выражение E.6) в матричный элемент E.5),
мы видим, что единичная матрица дает вклад только в рас-
рассеяние вперед и описывает часть падающего волнового пакета,
которая не изменяется взаимодействием. В большинстве экспе-
экспериментов нас интересует только рассеянная часть пакета. Поэ-
Поэтому мы рассматриваем лишь вклад $~ в вероятность перехода
wf_, = J dp, dp, dpi dpi KipJfM fiiPl) UiPd B«L x
xb\Pl+p2-p,-Pd Bny8*(pf-Pl-p2) <f | jq Pit p2>*<f i jr| Pu р1>ш
E.8)
Если конечное состояние не является определенным собственным
состоянием импульса, приведенная выше формула должна быть
обобщена очевидным образом. В большинстве случаев приготав-
приготавливают начальные частицы с почти хорошо определенными импуль-
импульсами, т. е. с пренебрежимо малыми ширинами в масштабах изме-
изменений матричных элементов <0~. Короче говоря, /, (/?,) имеет ост-
острый максимум вблизи среднего значения р, с шириной Aph так что
<f\f\p'x, />;>»<Л«?л, л>»</|<?"|д, л>.
Используя эго приближение и интегральное представление

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 243
', находим
*
E.9)
Эту величину можно интерпретировать как вероятность перехода
в единицу времени в единичном объеме:
^)^(P/-p1-p2)\<f\r\p1, р2У\\E.Ю)
В формулах E.9) и E.10) ]; (х) = е~'?< *F, (х), причем Ft (л;) —мед-
—медленно меняющаяся функция переменной х, такая, что мы можем
написать
if* (x)% fix) « 2~Pv\ f(x) |*. E.11)
Для определенности предположим, что в лабораторной системе
координат часшцы типа 1 падают на частицы типа 2, находящи-
находящиеся в покое Число частиц в единице мишени равно dnz/dV =
— ЗД112 (х) |2. р\=т 2- Падающий поток задается произведением
скорости |р,|//Г?' на плотность 2р?|/1(х)|2 и равен 2|рх | |/х (х)\2.
Это приводит к следующей интерпретации соотношения E 10):
dWf^ jdVdt — Вероятность перехода из состояния \iy в состоя-
состояние [f> за единицу времени в единице объема = Плотность ми-
мишени [2m2\f2 (x) |2]хПадающий поток [2 |рх |/ц(л:)|2]XСечение da:
Сечение рассеяния лредставляет собой вероятность перехода на
одном рассейвателе в мишени при единичном падающем потоке
Выражение E 12) отвечает идеализированному конечному состо-
состоянию с определенным импульсом Его следует заменить на более
правильное выражение, интегрируя по энергии и импульсу в
облает А, соответствующей точности измерения этих величин.
Например, в случае, когда имеется п различных бесспнновых
частиц в конечном состоянии (рис 5.1), сечение дается выраже-
выражением
dO V'«J dp, ... Ф„ + 2Х
E.13)
Здесь фактор т^р,' выражен через релятивистские инварианты

244 ГЛАВА 8
и учтено, что в лабораторной системе
тг | Pl | = т, [№-т\?и = [(р, ¦ Plf - гоЗД'».
Таким образом мы определили сечение как лоренц-инвариантное
понятие. Напомним читателю, что для бозонов dp обозначает
лоренц-инвариантную меру dp = d3p/2p° BлK. Разумеется, в этих
РИС. 5.1. Кинематика процесса
рассеяния в общем случае
формулах предполагается, что одночастичные состояния норми-
нормированы согласно условию
которое означает, что они образованы в результате действия на
состояние вакуума каноническими операторами рождения. Эта
нормировка позволяет записать плотности потока через волновые
функции /.
При рассмотрении массивных фермионов множитель 2р° будем
заменять на р°/т. Например, если две сталкивающиеся частицы
являются фермионами, в выражении E.13) множитель 1/4 заме-
заменяется на тхт%, а если фермионы имеются среди частиц в конеч-
конечном состоянии, под -элементом фазового пространства dp понима-
понимается величина (т/р°) [d.ap/ BnN] Однако, если фермионы, участ-
в\ющие в процессе рассеяния, имеют нулевую массу, факторы
фазового пространства совпадают по виду с бозонными.
Читателю предлагается найти модификации выражения E.13), когда некото-
некоторые из частиц являю 1 ся юждест венными и (или) имеют спин Клк бьпь, (.ели
начальное состояние не является чистым состоянием и должно описываться
с помощью поляризационной матрицы плотности' Выше мы установили связь
между инвариантной амплитудой перехода JT и сечением рассеяния Еще
один физически важный пример —вычисление скорости распада нестабильной
составной системы. В разд. 5.2.3. мы проиллюстрируем этот пример при изу-
изучении позитрония.
5.1.2. Асимптотическая теория
Центральной задачей при изучении столкновений является вычис-
вычисление элементов S-матрицы между состояниями частиц, находя-
находящихся на массовых поверхностях. В рамках лагранжева подхода

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 245
существует алгоритм вычисления этих величин. В этом мы убе-
убедились в предыдущей главе, изучая поведение квантовых полей,
взаимодействующих с внешними источниками. Локальная дина-
динамика позволит нам подробно изучить оператор 5 и выразить его
через более элементарные величины, а именно через фундамен-
фундаментальные функции Грина Для того чтобы формулировка была по
возможности простой, проведем построение в рамках самодейству-
самодействующего скалярного поля Обобщение на более сложные случаи,
такие, как электродинамика, лишь усложняет формализм, не
затрагивая логической основы Мы рассмотрим этот вопрос ниже.
Опишем теперь кратко постановку задачи Пространство состо-
состояний Фока строится с помощью оператора свободного поля ф1П (х),
действующего на единственное вакуумное состояние Это арена,
на которой разыгоывается весь динамический процесс. Физические
наблюдаемые должны выражаться только через данное своб >дное
поле В частности, это справедливо для взаимодействующего поля
Ф(х). Связь между этими двумя полями \гожно интуитивно пред-
представить себе следующим образом В отдаленном прошлом фш (х)
является соответствующим пределом оператора ср(л') Разумеется,
такая картина имеет смысл, если мы рассматриваем какой-то конк-
конкретный процесс, и применима лишь в случае, когда элементарные
частицы, участвующие в столкновении, достаточно отдалены одна
от другой Чтобы реализовать эту идею, можно предположить,
что члены, отвечающие взаимодействию, в уравнениях движения
вводятся с некоторой адиабатической функцией обрезания, кото-
которая равна единице при конечных временах и плавно спадает при
\ (\—* оо Поэтому любую физиче кую величину следует рассмат-
рассматривать как предел, когда эта адиабатическая функция выклю-
выключается. Адиабатическая гипотеза утверждает, что при этих усло-
условиях
х0-»—оо, ч(х)-*РРЧхп(х)- E 14а)
Сразу возникают два вопроса. Что означает множитель Z1'2?
В каком математическом смысле предполагается существование
этого предела^ Прежде всего заметим, что наличие множителя
при ф1п в E 14 а) обусловлено тем, что поля естественно норми-
нормируются соотношениями коммутации при совпадающих временах
и фт, дейавуя на вакуум, образует только одночастичные состо-
состояния, в то время как ф генерирует также состояния с парами
(в предположении, что лагранжиан является четным по ф) Ампли-
т) ды < 1 | ф1п (х) 10> и < 1 [ ф (х) | 0> имеют одинаковую функциональ-
функциональна ю зависимость от х, которая определяется кинематикой Следо-
Следовательно, нормировочный множитель Zl{% учитывает тот факт,
что состояние ср (л:) 10> не описывается полностью матричным
элементом <1|ф(х)|0>, что было бы справедливо, если бы ф за-

246 ГЛАВА 5
менили на ф1п. Интуитивно, таким образом, можно ожидать, что
Z1'2 является числом, заключенным между нулем и единицей.
Кроме того, в выражении E.14 а) предел может быть только сла-
слабым, т. е. справедливым для каждого матричного элемента в от-
отдельности. Если бы это было не так, мы могли бы заключить,
что коммутатор двух полей ф равен с точностью до Z соответст-
соответствующему с-числовому коммутатору свободных полей. Тогда из
канонического квантования следовало бы Z=l, и мы пришли бы
к заключению, что ф—свободное поле! Это указывает на то, что
адиабатическое условие надо рассматривать с осторожностью. Сле-
Следуя Леману и Челлену, константу Z можно следующим образом
связать со спектральным представлением коммутатора двух вза-
взаимодействующих полей. Рассмотрим вакуумное среднее этого ком-
коммутатора Для простоты предположим, что поле эрмитово. Ис-
Используя трансляционную инвариантность, запишем равенство
<01 [Ф (х), Ф (у)] 10> =21 < 0| ф@) | а> <T"V<*-% | Ф @) 10у-(
E.15)
где сумма берется по всей совокупности состояний а с положи-
положительными энергиями. Чтобы сравнить это с коммутатором двух
свободных нолей массы т:
^M^S^-mV'"'"' E.16)
подставим в E.15) тождество
Тогда будем иметь
<0 | [Ф (*), Ф (у)] 10> = j (-gL p (q) («-*¦<*-,> „^-u-,,).
Мы ввели здесь плотность
Р (?) = BяK]?8* (<7-Ра) | <01Ф @) | о> р.
а
Очевидно, эта величина положительна и обращается в нуль, ког»
да q не лежит в световом конусе будущего; кроме того, она
инвариантна относительно преобразования Лоренца, что опреде-
определяется соответствующим свойством поля ф. Следовательно, плот-
плотность р можно записать в виде:
р (q) = a (q2) Q{qa), причем а(<72) = 0, если q2 < 0.
В общем случае это положительная мера, которая может иметь
сингулярности типа б-функций. Окончательно получаем супер-
суперпозицию свободных коммутаторов с положительными весами (пред-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 247
ставление Челлена—Лемана):
00
$т'2о(т'а)А(л:-г/; т'). E.17)
Следуя той же схеме рассуждений, нетрудно убедиться, что для вакуумного
среднего хронологического произведения операторов получается аналогичный
результат с той же спектральной функцией р.
В выражении E.17), используя асимптотическое условие, можно
выделить вклад одночастичного состояние:
<01 [ф (х), ф (у)} | 0> = iZA (х—у; m) + i\ dm" о (т'>) А (х—у, т').
2
/П]
E.18)
Здесь т—масса частиц, а тх>т—многочастичный порог. Если
лагранжиан взаимодействия не содержит производных поля, вели-
величина ф будет сопряженной по отношению к ф. Дифференцируя
по времени обе части выражения E.18) и приравнивая коэффи-
коэффициенты при б8(х—у), находим, что из канонического квантования
следует:
$m'aa(m'2). E.19)
Положительность величины а действительно означает, что
O<Z<1. E.20)
Значение 1 исключается, если какой-либо матричный элемент ф,
отличный от <1 | ф(лг) 10> и <О|ф(дг)| ]>, не равен нулю. Очевидно,
что равенство 1— 1 влечет за собой ф=^ф1П.
Из представления Челлена — Лемана следует, что асимптотический предел
нельзя понимать как сильный. Можно также проверить, что при | х°—у0 | — > оо
доминирующий вклад определяется одночастичными состояниями, остальные же
члены подавляются быстро осциллирующими множителями. По той же при-
причине соотношение E 19) накладывает ограничения на изменение плотности
а (т2). Многочастичные состояния приводят к тому, что носитель плотности а (т2)
простирается до бесконечности, что может нарушить положительность величины Z.
По аналогии с асимптотическим пределом E.14а), имеющим
место в отдаленном прошлом, мы полагаем, что существует также
предел
*0-+-fao, V(*)->ZV.9out(*). E.146)
Здесь фои,—снова свободное поле с той же самой массой т, что
и у фт, и мы имеем гу же самую константу Z4*. Единственность

248 ГЛАВА 5
вакуума означает, что |0, in> = |0, out> = |0> (возможная отно-
относительная фаза, как правило, выбирается равной нулю) Кроме
того, мы предполагаем, что одночастичпые состояния являются
устойчивыми. При этих условиях |1, in> = |l, out>. Поскольку
зависимость <0|ф(х)|1> от х такая же, как и у соответствующих
матричных элементов cpin или tpoUt, нормировка которых опреде-
определяется их свойствами свободного поля, с необходимостью получаем
)|l>. E 21)
С помощью S-матрицы устанавливается изоморфизм между in-
и out-состояниями. Из соотношения E.Ь) следует, что
<Pm = S<poni(x)S-1,
\i, m> = S|f, out>, E.22)
<ft \n\S\i, in> = <f, out1511, out>.
Кроме того,
<0|5|0>-<0|0>=l,
здесь опущены индексы у одночастичных состояний и отражена
только стабильность этих состояний.
Чтобы была обеспечена ковариантность теории, унитарная
S-матрица должна коммутировать с преобразованиями Пуанкаре:
U{a, A)SU-1(a, A) = S. E.24)
Можно также проанализировать более глубокие локальные свойства S-мат-
S-матрицы, если, следуя Боголюбову и Ширкову, допустить пространственно-вре-
мечную зависимость констант взаимодействия в лагранжиане. Для системати-
систематического изучения этого подхода мы отсылаем читателя к монографин этих
авторов
5.1.3. Редукционные формулы
Мы используем здесь асимптотические условия E.14а, б), чтобы
связать элементы S-матрицы с полными функциями Грина взаимо-
взаимодействующих полей. Рассмотрим амплитуду перехода <рх, ...
..., outj^j, ..., in>, где для простоты мы опустили сглаживаю-
сглаживающие функции, необходимые для нормировки. Мы будем редуциро-
редуцировать этот элемент, извлекая один за другим in- или out-опера-
out-операторы рождения, с помощью которых мы строим начальное или
конечное состояние. Согласно определению, мы имеем
<plt ..., out|<7j, ..., in> = <pt, .... out \a\n (^7X) I <7a» •••» in> =
в — la -x ' Я / t I

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 249
Здесь интеграл берется для произвольного момента времени t.
Поэтому можно выбрать большое отрицательное значение t, что
позволит нам заменить Z~l/*(p на cpin:
<plt ..., out|ft, •-., in> =
= lim Z-l/2Cd3xe-'?-^4^o<Pi, .... out|q>(*)|?j, .... in>.
t ->¦ -co J '
Для произвольного интеграла справедливо следующее соотношение:
lim — lim Л С^3дг^(х, 0= Hm Г dt ~ш \dsxty(x, t).
Используя асимптотическое условие для случая произвольно боль-
большого положительного значения времени, находим
<ри ..., out\qv ..., in> = </?lf ..., out | l \
**do|>-<"-*do</>i. •••, out |ф(дс)|^, ..., in>], E.25)
где интегрирование проводится по всему пространству-времени.
В правой части этого выражения первый член представляет собой
сумму несвязных членов (соответствующих случаям, когда по
крайней мере одна частица не участвует в процессе столкновения):
</>!, .... out |
= 2 Ы BяK б^ (рй- qi) </7t ?,..., OUt I
fel
Мы предположили, что все частицы здесь одного типа. Измене-
Изменения, которые следует внести, когда это не так, очевидны. Заметим
также, что несвязные члены исчезают, когда ни один из началь-
начальных импульсов не совпадает с конечным.
Изучим теперь более внимательно второй член в правой части
выражения E.25). Поскольку мы рассматриваем его как ядро,
сглаженное волновыми пакетами, интегрирование по частям для
пространственных переменных законно. Разумеется, это неверно
в случае интегрирования по временной переменной, поскольку
любые вычисления тогда привели бы к нулевым результатам.
Учитывая сказанное, обозначая массу частиц т и вспоминая, что
ql — tn1, получаем
**do[e-'«f*do<p, out|<p(x)|a, in>] =
], out | <р(*) | a,
out | ф(*) | a, in>} =
, out | ф (;t)|a,

250 ГЛАВА 5
Первый шаг редукции принимает следующий вид:
<Ри ¦¦¦, Рп> out|<7i, ••-, qu in> =
= S 2pU2nK63(pft-q,)<p1, ..., pk, .... /?„, out|</t, .... qt, i
^1
/?„, out f Ф (дг) | <?2, ...,<7г, m>.
E.26)
Эти шаги можно повторять. Для определенности мы совершим
по для частиц в конечном состоянии Что касается несвязных
членов, они не вносят ничего нового, и мы не будем их выписы-
выписывать Для второго же члена можно написать
<pv ..., out | ф (хЛ | qt in>==
= <p2, .... out | aout {px) Ф (лгЛ \qit ..., in> =
= lim iZ~4> \ d3yl eip> v*d «<p2 out | ф Q/t) ф (xj \qt, ..., in>.
y{-+ <*>
Здесь нам хотелось бы заменить последний интеграл на четырех-
четырехмерный, как мы делали выше Ясно, что необходимо применить
какой-то прием, чтобы оператор ain(pj), связанный с нижним пре-
пределом интегрирования, действовал нетосредственно на состояние
\q2, ..., in>. Хронологическое упорядочение полей
располагает операторы подходящим образом на обоих пределах.
Следовательно, не изменяя предыдущее выражение, в него можно
подставить символ Т-произведения и действовать далее как в пер-
первом шаге Таким образом мы получаем
<plt .... out |
.... out | Гф (г/Л ф (*Л | ^га, .... in>
Здесь в правой части первое слагаемое соответствует несвязным
членам.
Итак, когда редуцированы две частицы, мы имеем
</>!, ..., out|<?1( ..., in> = </>!, ..., in|S|^, ..., in> =
= Несвязные члены -f-
+ {iZ-4'f S d% d%e1"' *-'«• '• (QVi + m8) (D«, + m2)x
Х</?г, ..., outl^fyJvWl?,, .... my. E.27)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 251
Несвязные члены, получавшиеся до сих пор, содержали одну или
две б^-функции Проводя аналогичные рассуждения до тех пор,
пока не будут редуцированы все входящие и выходящие частицы,
мы получим
<Р» ••¦' Рю outI<7о • •'. Qi, in> =
-<plt ..., рп, m\S\q1 qt, in> =
= Несвязные члены +
,, (г ) ... Ф{хг)]0>. E.28)
Замечательное свойство этих выражений, полученных Леманом,
Симанзиком и Циммерманом,— это связь, котор>ю они устанав-
устанавливают между амплитудами переходов на массовой поверхности
и полными функциями Грина теории, включающей взаимодействие.
Последние представляют собой вакуумные средние хронологических
произведений операторов поля Соотношение E 28) означает, что
в импульсном пространстве функции Грина имеют полюсы по
переменным р\, где pt сопряжены с хг С точностью до нормиро-
нормировочной постоянной элемент S-матрицы является вычетом в этих
полюсах
Отметим также замечательное свойство симметрии между вхо-
входящими (<7,, . • .) и выходящими (/?!, ..) импульсами Удобно
заменить совокупность выходящих импульсов (plt . .) на совокуп-
совокупность входящих (—plt ...) с отрицательными энергетическими
компонентами Поэтому, все импульсы можно рассматривать оди-
одинаковым образом.
5.1.4. Производящий функционал
Совокупность соотношений E 28) можно записать в компактной
операторной форме. Чтобы упростить обозначения, включим мно-
множитель Z~l/* в ф, т е. выберем в этом разделе нормировку ф
таким образом, чтобы lim ф = фои( В соответствии с предыду-
( -* ± « in
щим замечанием будем также использовать единый символ для
обозначения операторов рождения и уничтожения, полагая для
произвольного 4-вектора k на массовой поверхности к% = тг:
f am (k), k°>0,
Out
out
out
0. E 29)

252 ГЛАВА 5
Таким образом,
а* (к) = ю (A») J <Pxelk "Xф,„ (х). E.30)
out out
Пусть Вх, ,.., 5„—локальные бозоыные поля. Соотношение E.28)
эквивалентно следующему операторному соотношению:
lST[Bl(x1)...BH{xJl а*(*)] =
= — te (k°) S { d*y elk-y (П„ + w2) X
..В„(х„)]. E.31)
Это нетрудно доказать, если взять матричные элементы для in-
состояний, использовать равенство a?nS = S a*ut и с помощью E.30)
выразить а* через поле. Искомое соотношение тогда получается,
как и выше, заменой граничных членов интегралами от производ-
производных по времени. С помощью итерации мы приходим к коммута-
коммутатору более общего вида:
[...[ST [В, (хО ...Вя (*„)], ai* Ш ..., al (kp)]
J
(j,,) (Oyp + )
X S7 [Ф (Л) ... Ф (Ур) В, (Xl) ... Bn (xn)]. E.32)
Аналогичные формулы могут быть написаны и тогда, когда имеется
несколько типов частиц и полей.
Чтобы уяснить себе роль соотношения E.32) как средства построения самого
оператора S, вспомним, что пространство Фока строится как произведение
гильбертовых пространств, каждое из которых соответствует определенной моде
(обозначенной здесь импульсом k). Для данного осциллятора с основными опе-
операторами, такими, что [a, a'i'] = l] и вакуумным состоянием | 0> нормирован-
нормированные возбужденные состояния запишутся в виде | п> = а+л1/'(п!)'/г |0>. Проек-
Проектор | 0><0 | имеет следующее представление:
|0><0|=:te-a+a:. E.33)
Это действительно эрмитов оператор, оставляющий инвариантным вакуумное
состояние и обладающий свойством
п=1 п=1
или :е-аТа:а=О.
Следовательно, :е~а а: |«> = б„0|я>, что доказывает E,33). Пусть Q—опера-
Q—оператор, достаточно регулярный, чтобы имели смысл последующие операции. Раз-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 253
ложим Q в ряд по его матричным элементам:
А Д fltsl| 0> <0 | а"
|m><m|Q|n><n| = 2-i ИШ t
п, т—0 т, л = 0
^ _а\а .^
е
т, п=0 аа
В этом выражении а и а фигурируют как независимые переменные, а опера-
операторы перед матричным элементом расставлены в нормальном порядке. Таким
образом,
q = .eatfl/da + ad/da- aU . <Q j eaaQfiaa+ j 0> \^_= ^ _
Это еще не конечный результат. Наша цель—иайти матричные элементы Q
между нормированными когерентными состояниями, т. е. состояниями, которые
получаются действием на вакуум унитарного оператора еаа ~аа. Однако, соот-
соотношение
позволяет переписать последнюю формулу в виде
q __ .gata/3a+a3/3a-a+a. gaa ^q i eaa-aa+Qeaa+-aa i q . _
Кроме того, мы можем прокоммутировать еаа с производными, действующими
слева, чтобы в конце вычислений можно было воспользоваться условием a =
= сс = О. Под знаком нормального произведения am' коммутируют, и мы
видим, что оператор еа ''1'1 сдвигает а на величину а . Эти замечания позво-
позволяют прийти к окончательному выражению
Q= :ea^/aa+aa/ta.<0|eaa-ao+(?e5it-aa|0>|a=_ = o_ E щ
Разумеется, мы получили бы неправильный результат, если бы из E.34) сде-
сделали поспешное заключение, что для реконструкции самого оператора доста-
достаточно знать лишь диагональные матричные элементы оператора Q в базисе
когерентных состояний. Из формулы E.34) следует, что а и а надо рассматри-
рассматривать как независимые переменные, чтобы получить требуемые производные.
Возвращаясь снова к физическому пространству Фока с бес-
бесконечным числом степеней свободы, мы можем написать единич-
единичный оператор в виде
7ri ...d^l*!, ...,kP><kv ...,kp\, E.35)
где первый член в сумме надо понимать как оператор проектиро-
проектирования на вакуум |0> <0|, который определяется соотношением,
обобщающим E.33), а именно
10> <01 = : ехр [ — J dk aln (k) aUl (*)]:, E.36)

254 ГЛАВА 5
так что S-матрицу можно представить в виде
Х<0|ехр$
хехр \ d4[a\n(k)u(k)-aia(k)a(k)]\0>\a=-=0 E.37)
в полной аналогии с E.34). В соответствии с нашим условием
нормировки в экспоненту когерентного состояния входит мера d'k,
а не dk. Объединим теперь этот результат с выражением E.32),
в котором положим 5=1. Если в правой части выражения E.32)
ввести источник, оно примет простой вид:
е (*}) ...г (*$) [a* (kt), ..., [a* (k,), S]. . . ] -
П Ц ^] T exp
Поскольку вакуум стабилен, т. е. 5|0> = |0>, получаем
<0|ехр ^d»k[ain(k)a(k)-al(k)a(k)]Sx
X exp J d*k [al (k) a (*)- aifl (*) a (*)] 10> =
= exp{ jdV «{y) (Dw + т^ьщ}<° IT exP [' fal W Ф W I
;=0
Здесь через a (у) обозначено решение однородного уравнения
Клейна — Гордона, которое имеет вид
а(у) = f d*k [a (k) eih-y
Подставляя этот матричный элемент в выражение E.37), имеем
хехр [/Jd*x/(x)cp(x)|O>]|/=o. E.38)
Нам, естественно, пришлось ввести свободное in-поле и его
фурье-разложение [обратное по отношению к E.30)]
, (k) е~" -у + а\п (к) ёк -у].
Напомним читателю, что нормировка поля ф требует, чтобы в
последнем Т-произведении величина ф была заменена на Z~J/^.
В результате этих длинных алгебраических преобразований мы по-
получили компактное соотношение между S-матрицей и производя-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 255
щим функционалом для функций Грина взаимодействующего поля
0>. E.39)
Последняя формула имеет некоторое внешнее сходство с выраже-
выражениями, которые мы получали, рассматривая взаимодействия
с внешними источниками, рассмотренными в гл. 4. Отличие со-
состоит в том, что в данном случае мы не имеем какого-либо про-
простого замкнутого выражения для Z(j).
Функционал Z (/) является одной из основных величин теории поля. Заман-
Заманчиво предположить, что он содержит гораздо больше информации, чем это
необходимо для вычисления амплитуд на массовой поверхности. Однако в силу
ряда причин извлечь эту информацию современными методами невозможно. Пол-
Полные функции Грина необходимо избавить непротиворечивым образом от ультра-
ультрафиолетовых расходимостей, возникающих при рассмотрении их по теории воз-
возмущений. Для изучения связанных состояний требуются уравнения для ампли-
амплитуд вне массовой поверхности. Кроме того, теория поля дает прекрасную
основу для анализа поведения взаимодействий на малых расстояниях. Тем не
менее с S-матричным подходом, который основывается на самых общих свой-
свойствах амплитуд рассеяния, вытекающих из соотношений типа E.38), связаны
многие замечательные достижения. Краткий обзор этого подхода, выходящего
за рамки нашей книги, мы дадим в разд. 5,3.
5.1.5. Связные части
В соотношении E.28) не были включены некоторые несвязные части
амплитуд переходов (но не все), но теперь с помощью выражения E.38) их
можно подробно изучить. Суть дела в том, что некоторые подсистемы частиц
могут взаимодействовать в процессе столкновения независимо друг от друга.
Поэтому ес!ественно искать такое определение связности, чтобы элемент S-мат-
рицы был суммой всех возможных произведений связных элементов, включаю-
включающих подсистемы взаимодействующих частиц'
П <Pia ISCI Ч>- <5'40>
J
Мы использовали сокращенное обозначение для совокупности индексов,
\р,у — J J( g / at (pi) | 0>, a (p/) = JJ( g , a (pj). Связные матричные элементы
определяются рекуррентно правой частью данного выражения, где сумма бе»
рется по всем разбиениям системы начальных и конечных частиц. Если | /1
обозначает число элементов матрицы /, то можно определить величину:
s* (о, 5) = ? |7|,'|Л| j П &Pi Ц **/ a (Pl) <Р!'se' 1J>" ^ =
= <Ojexp f cPpa(p)a(/))S^exp Cd3? a (<?) af (<?) | 0>, E.41)
где sc @, 0) = 0. Аналогично
s (a, a)= <01 exp С d?p a (p) a (p) S exp J cPq a (q) a* (q) 10>, E.42)

256 ГЛАВА Б
так что s@, 0) = l. Рекуррентные соотношения E,40) можно теперь записать
следующим образом:
s(a, а)=е$С{а-*). E.43)
Используя определение E.39) для производящего функционала Z{j), можно
написать
s (a, а) = ехр H(Pk W BяK a (ft) a (k)+^d*y а (у) (П„ +«2) g^yl Z (/) | .
E.44)
Сравнивая E.43) и E.44), мы можем естественным образом определить связ-
связные функции Грина с помощью функционала
Z(j)=eGe{l). E.45)
Поскольку exp \ d*ya (у) (П^+'И2) б/б/ (у) является оператором трансля-
трансляции, комбинируя выражения E.43) — E.45), получаем соотношение
s'(a, a)^\cPk2koBnKa(k)a(k)+Gc[(n+m^a)]. E.46)
Перепишем эту формулу таким образом, чтобы был ясен ее смысл. Подобно
тому как мы записываем функционал Z (/I):
Z (/} = <01 Т ехр [< J d*x (f (x) i w] 10> =
*^— ^ — \ fi^-Y-i /i^v i (y-,\ i (y \ a (y y \ f^\ Л7\
/ 4л\ \ W A,~l_* * щ1Л Aft I \^1/ * • • j \""П/ \*^1) ¦ • • "rn)i ^O.t/ I
где
G(xu ..., xn) = <0 | ГФ (д:,).. >Ч> (дг„) | 0>,
определим величины Gc (xi. ,.xn) с помощью разложения
00
Ос (Л = 2_, гт \ d**i• • • d4*n / (*i)• • • / (хп) °с (xu ¦¦¦, xn). E.48)
Тогда смысл выражения E.46) ясен из следующей формулы:
00
sc (а, а) = Г cPk 2ko BяK а (к) а(к)+У.1-.
-(n^+m3)Gc((/i. ....»„). E.49)
Если подставить сюда определение величины а и разложение E.41), то в слу-
1) Двухточечная функция в стандартном определении содержит еще мно-
множитель i [ср., например, с выражением C.90) для свободного поля], но в та-
таком виде ее удобно использовать в общих рассуждениях. Надеемся, что чита-
читатель не встретит трудностей при переходе от одних обозначений к другим.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 257
чае л = | / |-Н } I > 2 мы получим основную редукционную формулу:
/I П U \ \
. ..d*ynexp i f Y] /?rW- X. Я/-У\ц+1 )x
X П (?»,+"«*) Oc(Sfi, ••-. Jfo). E.50)
i
выражающую связные элементы S-матрицы через связные функции Грина.
Сравнение с выражением E.28) показывает, что несвязные члены, записанные
в явном виде, исчезли. Дополнительные несвязные члены исчезли, когда Q
мы заменили на Gc. Напомним, что правильная нормироика функции ф тре-
требует деления правой час1и выражения E.50) на Z"'2. Мы не рассмотрели пока
случай п = 2. В соответствии с E.40) мы имеем
<р | S'\ q} = <p | 5 | ?> = 2р-> BяK 6» (p-q). E.51)
Кроме того, мы должны положить G(x) = 0, поскольку вакуумное среднее поля
равно нулю. Используя представление Челлена — Лемана E.17), двухточечную
функцию Грина можно записать в виде
откуда видно, что Qc (х, у) зависит только от разности х—у и ее фурье-образ
имеет единственный полюс При &2 = т2. Это означает, что
J d*yi J <*V (p^-q-^ (Пу,+т*) (Пуз+т2) Gc (yu y2) = 0.
Таким образом, вклад в <р | Sc \ q) дает лишь первый член правой части вы-
выражения E.49), и мы можем сразу убедиться, что отсюда следует соотношение
E.51). Даже если функция 0 (х) Ф 0, в силу трансляционной инвариантности
она не должна зависеть от х\ поэтому Gc (x, у) отличается от G (х, у) самое
большее на постоянную и, следовательно, проведенное выше рассуждение
остается в силе. Читателю не составит особого труда показать, что
где /--A, ..., й). Таким образом, естественное определение связных элемен-
элементов S-матрицы привело нас к определению связных функций Грина, незави-
независимо от каких бы то ни было диаграммных ралложений. В гл. 6 мы обсудим
этот вопрос более подробчо. Следует заметить, что иногда удобно использовать
определение Z (i)—elGc{l\ Завершим этот раздел замечанием, что в процессе
упругого рассеяния двух частиц разделение на связные части в точноаи со-
соответствует разбиению S = I~\-iT и удержанию в амплитуде перехода, исполь-
используемой для вычисления сечений рассеяния, только части Т.
5.1.6. Фермионы
Обобщим предыдущий формализм на случай, когда в начальном
или конечном состояниях имеются фермионы со спином 1/2, опи-
описываемые интерполирующим спинорным полем \|з(х). Нормировоч-

258 ГЛАВА 5
ную постоянную, относящуюся к этому полю, в электродинамике
обозначают Z2; таким образом, в смысле слабого предела мы имеем
¦ (*) > Z\'\\.oui (х). E.53)
Вакуумное среднее антикоммутатора имеет вид
i <01 {4>а (х) % (у)} 10> = i 2 [<01 г|>а @) | п><п | % @) 10> е-<>»•<*-г» +
+<01% @) |я><п |i|>o @) 10> e'p»-t*-W].
Матрицу спектральной плотности
2 б4 (Р„ ~ <7К° I Фо @) | «><« | Грр @) 10>
можно представить в виде комбинации шестнадцати независимых
4х4-матриц. Из релятивистской инвариантности следует
- р, (<72) щ + р2 (93) + Рз (Я*) %t + Р4 (Я") Т-
Если мы имеем дело с теорией, сохраняющей четность, то, как и
в случае электродинамики, существует унитарный оператор 9*,
такой, что
Отсюда мы получаем условие
P(<7) = TOP(^)Y0, ~Q = (q\ -q)
и требование того, чтобы члены, содержащие уь, обращались
в нуль, т. е. ps = p4 = O Следовательно,
Р (Я) = Pi (Я2) % + Р2 (Я*), Р/ (<72) = 0. если q* < 0.
Вследствие СРТ-инвариантности существует антиунитарный опе-
оператор в, оставляющий инвариантным вакуум ^и действующий на
поля следующим образом:
вг|5а (х) в = - tipp (-*)(vYW
Это позволяет нам связать второй член в антикоммутаторе с пер-
первым с помощью соотношения
<01% (у) Ца (х) i 0>- -т&х <01 iM-х)iх. (-у)\0>Tt6'P-
Таким образом,
t <о\{ца (х) % (у)} | о> = i j ^ е (<?°) [Pl (^) /^ + Рг (<7«)]вЭ х
X(e-fe-u-j/) __?*«•(*-»)). E.54)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 259
Пользуясь тем, что носитель функции р,(?2) сосредоточен на по-
положительной действительной оси, приходим х суперпозиции анти-
антикоммутаторов свободного поля:
i&x + m)A.(x — у, m) = S (х — у, т),
„ з (e~ik <*-*>—eik i*-yi). E.55)
Для вакуумного среднего антикоммутатора взаимодействующих
фермионных полей находим
ее
\(х-у,ц)\. E.56)
Здесь подразумевается, что \х — положительный квадратный корень
из (i2. Аналогичная формула с теми же спектральными плотно-
плотностями р, и р2 справедлива для пропагатора:
'р. E.57)
О
Из соотношения р+(9) = У°Р (?) ?" следует, что pt и р2 вещест-
вещественны. Кроме того, поскольку Sp[/p(g)] и Sp [y° {q — \i) p (q) x
Х(^ — и)] (причем д2=ф2) пропорциональны соответственно поло-
положительным величинам ^ | <0 | ф„ @) | п> |2 и ^]( <0 |[(/^—fx)i|5]a | л>|2,
a a
мы имеем следующие условия положительности:
Pl№)>0, мМ^)-рг(Цг)>0. E.58)
Наконец, можно выделить вклад одночастичных состояний.
И(. пользуя инвариантность относительно преобразования четности,
приходим к заключению, что носитель ^р, (ц2)— рг ((.i2) отличен от
нуля только на континууме состояний, так что вклад в первый
член в (К.56) вносит только дискретное одночгстичное состояние,
отвечающее ц = т. Разумеется, это предполагает, что мы можем
изолировать одночастичное состояние от континуума, и, строго
говоря, не справедливо для частиц нулевой массы, таких, как
фотоны. Небольшая Фиктивная масса фотонов будет поэтому
устраняться на последней стадии вычислений после того как мы
справились с возможными инфракрасными расходимостями. Иными
словами, одиночный полюс (заряженной) частицы становится ка-

260 ГЛАВА 5
либровочно-неинвариантнои точкой ветвления, и рассмотрение не-
несколько усложняется
Предполагая поэтому, что pj содержит член вида Z26 (jj,2—m?)
и что т1 соответствует порогу континуума состояний, можно за-
записать
x-y, ii). E.59)
Если мы положим х" = у°, левая часть эгого равенства сведется
к каноническому антикоммутатору t'63(x—у)УсФ Используя тож-
тождества
Д(* — у, (А)|х.=1/. = 0, д0Д(ЛГ — #, |X)Ue=J,o=— 63(Х — у),
получаем соотношение
которое в сочетании с условием положительности E.58) приводит
к тому же выводу, что и в скалярном случае, а именно к
0< Za < 1 E.60)
Установив это, можно теперь перейти к редукционным формулам,
аналогичным тем, которые рассматривались в разд. 5.1.3. Опера-
Операторы Клейна—Гордона заменяются операторами Дирака. Запи-
Запишем разложение Фурье свободного поля ij-in:
Г„(*. в) о (А, в) *<*•*],
Е=±1
где спиноры с фиксированной спиральностью удовлетворяют соот-
соотношению v(k, г) = СиТ (k, e). Операторы рождения и уничтожения
записываются в виде
Ьы (k, 8) = J d*x и (k, е) е>к * v° 4>щ (х),
t
4, (*, t) = \ d*xH(k, е) е-'*-
f' _ E.61)
6fn (Л, е) = \ d3^ ф1П (ft, e) у» <r'*-* « (*, 8),
di0 (ft, e) = J d*x ipin (ft, s) v« <**¦* у (ft, e).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 261
Для одночастичных состояний с данной спиральностью и импуль-
импульсом имеется неопределенность в знаке. Пренебрегая конечными
размерами волновых пакетов в случае электрона, например, в на-
начальном состоянии можно написать [ср. с E 26)]
<out | b]n (k, е) | in> = lim If* [ (Px<out |"\j> (x) y° | in> e~ik x и (k, e) =
= <out | bZutik, e) | in>—tZ-V. $ d*x[<out\y(x) | in>x
x{<Эоу° и (k, e) e~l* x + <out |"ф(x) | in> -j-^Y0и (k, e) e"'ft *] .
Спинор «(^, e)^~'ftx удовлетворяет однородному уравнению Ди-
Дирака, так что его производная по времени может быть заменена
пространственными производными. Интегрирование по частям дает
<out| b*in(k, e)|in> = HecB. чл.— »Z3"Vil $ d4x<out |ф(х) \ in>x
•x.{—ikx—m)u{k, t)-'k*. E.62a)
Здесь Несв. чл обозначает несвязный член Это выражение пред-
представляет собой результат редукции одной частицы в начальном
состоянии Соответствующие выражения имеются для редукции
античастицы в начальном состоянии или для частицы и антича-
античастицы в конечном состоянии Эти выражения соответственно
имеют вид:
dttl(fe, е)|ш>=.Несв. чл. + iZ;1/^ tfxv (ft, s)e~ikx (Wx— m)x
X<out|\|)(*)|in>, E-626)
<out \Ьш(к, e)|in> = HecB. чл. — iZ^'\ d*xu(k,e)etkx (iix — m)x
X<out|t(jc)|in>, E.62b)
<out|dout(fe, e)|in> = HecB. чл.+fZi/. J d4*<out | $(x) | in>x
x (—ikx—m)v(k, г)е'кх. E 62r)
Сравнивая выражения E.62а) и E.62г), соответствующие элект-
электрону, входящему в область взаимодействия, или позитрону, вы-
выходящему из него, мы видим, что
и(k, г)е~!к х —>¦ — v (k, e)е<*х;
эта подстановка рассматривалась нами в случае дырочной теории
(см гл. 2) Позитрон в конечном состоянии эквивалентен элект-
электрону в начальном состоянии, имеющему противоположный знак
энергии и импульса. Это замечание справедливо по отношению к
E.626) и E.62в).

262 ГЛАВА 5
Теперь легко продолжить процесс редукции, используя тот
же прием, что и прежде, т. е. используя хронологические произ-
произведения операторов, но при этом мы должны учесть свойства ан-
антикоммутации фермионных полей. С целью упрощения общего вы-
выражения не будем обозначать явно зависимость спиноров и опе-
операторов от поляризации.
Предположим, что частицы с импульсами (klt ...) и антича-
античастицы с импульсами (k[,...) являются входящими, а частицы
(qlt . . .) и античастицы (q'u . . .) — выходящими. Обозначим сопря-
сопряженные пространственно-временные переменные соответственно
через х, х , у и у', Кроме того, обозначим через nun' полное
число частиц и античастиц соответственно. Амплитуда рассеяния
запишется в виде
<out |.. .doin (q[) ... bou (qt) 6fn (fe,) ... d\a (k[) ... | in> =
= Несв. 4n.+{—iZ7'i*)a{tZ;lf*)n'ld*xl ... d% ...x
xexp[—t?(ft x + k'-x'—q-y—q'-y')] ...x
••• i|>W)-..]|o>x
X (—i$x—m) и (kj . .. (-Wy[—m)v{q[) .... E.63)
Разумеется, (с учетом возможного изменения знака) поля фиф
под знаком Т-произведения можно переставлять местами.
Полные функции Грина представляют собой вакуумные сред-
средние хронологических произведений полевых операторов. При этом
основополагающая гипотеза состоит в том, что каждому сорту
частиц соответствует не только асимптотическое свободное поле,
но и взаимодействующее (или интерполирующее) поле. Некоторые
из этих полей, в случае если имеются связанные состояния, мо-
могут быть составными, т. е выражаться через элементарные лаг-
ранжевы переменные. Это не тривиальная ситуация, которая тре-
требует тщательного изучения. Такие связанные состояния проявля-
проявляются в теории как полюсы некоторых функций Грина по соот-
соответствующим переменным энергии-импульса.
Мы предлагаем читателю найти связные функции Грина для процессов,
включающих фермионные поля, и рассмотреть соответствующие производящие
функционалы.
5.1.7. Фотоны
При рассмотрении фотонов калибровочная инвариантность приво-
приводит к дополнительным трудностям. Следуя подходу Штюкельбер-
га, введем фиктивную массу ц и гильбертово пространство с ин-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 263
дефинитной метрикой. Теперь физические векторные фотоны об-
обладают массой ц, а скалярные духовые состояния имеют массу
т(\х*1т2 = к). Взаимодействующее поле удовлетворяет модифици-
модифицированному уравнению Максвелла
(D+H2Lp—(I— X)dPd-A = jP, E.64)
тогда как в случае свободных полей сохраняющийся ток / обра-
обращается в нуль. Поле, сопряженное Ар, определяется как
A. E.65)
Рассмотрим вакуумное среднее коммутатора полей. Подставляя
полную систему состояний с положительными энергиями, полу-
получаем выражение общего вида
< 01 [Ар (х), Av (у)] 10> = -J dM2 J ** (е-^-у^-е^-у) х
о
X [яЛМ^-яЛМ*)^-] . E.66)
Величина k° означает здесь (к* + М*I/«, а нижний предел носи-
носителя спектральной меры больше или равен inf ((J-2, m2). Вследст-
Вследствие сохранения тока скалярная компонента является свободным
полем:
(? + т2)д-Л = 0. E.67)
Таким образом, можно написать
<Щ(П+т*)д-А(х), А,(У)]|0>=0.
Отсюда следует соотношение
(т2—М2) [пг (М2)—яг(М2)] = 0,
которое означает, что я, и я2 могут отличаться лишь на величи-
величину, пропорциональную б (Ж2—т?). Для удобства положим
Тогда E.66) можно переписать в виде
СО
<01 [ Лр (х), Лv (у)] 10> = - J dM* \ 2kf{^y (е-«-<*-у> - ^*-»*
^)^^] E.68)
где выделены поперечная часть с множителем я(М2) и продоль-
продольная часть, сосредоточенная вМ'= т2.

264 ГЛАВА 5
Потребуем теперь, чтобы коммутатор при совпадающих време-
временах обращался в нуль. Соответствующий вклад в правой части
выражения E.68) пропорционален градиенту б-функции. Полагая
коэффициент при нем равным нулю, получаем правило сумм:
Zaz = J dl№ я (М2) ?р . E.69)
о
Вычислим теперь одновременный коммутатор потенциала А с со-
сопряженным ему полем я. Простое вычисление с использованием
выражения E.65) дает
<01 [Лр (х), п* (у)] 10> |*„= ,о= Й» (х-у) х
X { gvp S dM* я (М2) + g°p gd Z3z- J сШ2 л (M2) [ . E.70)
Потребуем, чтобы этот коммутатор был каноническим, т. е. рав-
равным величине igpS3(x—у). Что касается пространственных ком-
компонент, то, чтобы удовлетворить этому требованию, достаточно
положить
00
J л(М2) = 1. E.71)
Чтобы этот результат был справедлив и для временных компо-
компонент, должно выполняться условие
Однако это условие, вообще говоря, несовместно с соотношением
E.69). Мы собираемся покачать, что п(М2) есть положительная
мера. Тогда, чтобы выполнялись оба условия, носитель должен-
сводиться к точке M2 — \i2, а это выполняется лишь для свобод-
свободного поля. Лучшее, что можно сделать,—это допустить разные
нормировки для пространственных и временных канонических
коммутационных соотношений, т. е. принять, что
[Ар (х), я-(у)] | хо=уо = й» (х-у) (gpv + agpo g-«),
(M2)i^!\ E.72)
До сих пор каких-либо ссылок на асимптотическое условие не
делалось. Поскольку различные части поля по-разному участвуют
во взаимодействии, было бы неразумным предполагать, что (даже
в смысле слабого предела) при х°—¦>¦— <х> поле Ар (х) с точностью

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 265
до нормировочной постоянной переходит в свободное поле. Более
реалистично определить поперечную компоненту этого входящего
поля следующим образом:
Ц- '"(*) = Л'"(х)+-1 ард. Л1"(х) E.73а)
и положить, что
Ар(х) — Г'ЛА1'^-г'и^дод.А^{х)\. E 736)
Из этого условия, в частности, следует:
E.74)
Для трех пространственных состояний поляризации дает вклад
только первый член, в то время как второй играет роль, когда
мы рассматриваем скалярное состояние. При этом вклад одноча-
стичного состояния в коммутатор можно записать в виде
<01 [ А, (х), Av (у)] 10> |, частицл = -Z, J <Ш2 J 2-^р х
* u-^_e«* и-,>)[а(Л*«-ц«) (^pv-^)+{ ^6(Al«-m
E.75)
Если М2, — порог континуума, мы получаем
__7 Г
I»1
7 7 Г ^к (р-'Ь (х-у) pik U-y)\
/>»Z J 2^° BяK le ;
СО
dM* n(M
х
1=Z3+ J dM2n(M2), E.77)
(^)-^. E.78)
м
Соответственно отклонение от канонического поведения обуслов-
обусловливается лишь вкладом континуума и обращается в нуль в слу-

266 ГЛАВА 5
чае свободного поля, поскольку E.72) принимает вид
a= \ dMan(M2)^ .." . E.79)
J Jyl *• ¦*
Ml
Для ковариантного пропагатора соответствующее разложение за-
записывается следующим образом:
i <01 Т [Ар (х), Av (у)] 10> = J Ц в-/*.
К
(см. в конце этого раздела обсуждение проблемы ковариантно-
ковариантности). Хотя продольная компонента динамически независима от
остальных, ковариантные выражения, выписанные выше, дают
нетривиальную константу перенормировки Zaz; выражения E.77)
и E 78) не позволяют нам положить 2=1 или Z3z=l.
Если мы покажем, несмотря на индефинитность метрики про-
пространства состояний, что мера п(М2) положительна, физическая
интерпретация Z3 станет ясной. Роль величины Zs будет анало-
аналогична роли Z в случае скалярного поля
Начнем с того, чтос помощью выражений E.64) и E.76) найдем
вакуумное среднее коммутатора тока:
00
E.81)
Отсюда следует, что 1) одночастичный вклад отсутствует:
<01 /1 1 фотон) = 0, и 2) ток сохраняется. В случае пространства
с дефинитной метрикой с помощью E.81) нетрудно показать, что
плотность я(М2) положительна. Однако в нашем случае мы имеем
2 6 (Pl-M*) (-1)"» <01 /р (х) [ а><а | }у (у) | 0>-
)E-82)
здесь па — число скалярных фотонов в промежуточном состоянии
|а>, a <0|/v @) [ а>* = <а|/v@)|0>. В гл. 4 мы рассматривали
примеры компенсации вкладов продольных и скалярных фотонов.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 267
Здесь мы ожидаем, что имеет место другой механизм, поскольку
массы фотонов двух сортов различны. Прежде всего заметим, что
состояния, содержащие одну скалярную частицу, не дают вклада
в E.81). Кроме того, из равенства E.64) и E.76) следует, что
<0|[/р(*), д-А(у)]\0> = 0. E.83)
Это соотношение в действительности может быть установлено и
для других матричных элементов, так что в общем случае спра-
справедливо операторное соотношение
[jP(x),d-A{y)] = O, E.84)
которое выражает калибровочную инвариантность тока и напоми-
напоминает нам, что д-А является свободным полем:
д- А = (zZ3)V* д- Л = (zZ,)'/.d. Лои*. E.85)
Комбинируя E.84) и E.85), находим, что матричные элементы
<01 /р (лс) | ot>, в которых | а> включают скалярные фотоны, долж-
должны обращаться в нуль Отсюда следует, что все члены в правой
части дают вклад с положительным знаком и
л(Мг)>0. E.86)
Таким образом, правило сумм E.77) имеет тот же смысл, что
и в скалярном случае Более тщательное рассмотрение показы-
показывает, что Zs фактически не зависит от калибровочного параметра
Я, как и предполагалось нами выше.
Теперь можно непосредственно получить редукционные форму-
формулы для состояний, включающих поперечные фотоны. Рассмотрим,
например, процесс, включающий испускание фотона с импульсом
k и поляризацией е (е¦& = ()):
<Р, k, e, out|a, jn> = <p\ out | а<оеи\ (k) | a, in> =
= — i) d3xeikxd0<P, out\e-AT'oni(x)\a, in>.
Воспользуемся асимптотическим соотношением, аналогичным E.73),
в котором произведена замена Л'п —->-Лои', при t = tf—>oo. Тогда,
рассматриваемый матричный элемент можно запясать в виде
Iim (— iZ;'u)^dsxeikxdu<§, out |е. А (х) +~2е-д д-А (х)\а, in> =
= Несв. чл. — iZrv'Jй*хе{к-*(Пх + и'КР, out | е- А

268 ГЛАВА 5
Справедливо соотношение
Таким образом, комбинация, входящая в матричный элемент, равна
8 / (х), и окончательное выражение (с возможным несвязным чле-
членом) запишется в виде
<р\ к, е, out|a, in> = HecB. чл. — iZ^ $d"xeik xx
X<p\ out|е-/(дс)|a, in> E.87)
Эта операция может быть выполнена многократно. Приведем ре-
результат, относящийся к случаю, когда начальный фотон (kL,e,i)
переходит в процессе рассеяния в конечное состояние (kf, sf):~
<р\ kf, г/у out|a, kh 8;, in> = HecB чл —Z~l jj i4xd4«/X
x i (kf *~ki y){Uy + lx2) <p, out | Те, • / (x) x
После действия оператора Клейна — Гордона матричный элемент
можно заменить на <р\ out | Т [ef ¦ I (х) в, / (у)] | a, in>. Разность
этих двух выражений сводится к обобщенной функции, сосредо-
сосредоточенной на многообразии х = у, вследствие неоднозначности хро-
хронологического упорядочения Мы приспособим наше определение
символа Т таким образом, чтобы выражения для матричного эле-
элемента совпадали:
<Р, kf, г{, out|a, kt, 8,-, in> =
= Несв. чл.—Z,-1 \dixdiyei(kfx-l!ry)x
X <Р, out | Те, ¦ j (x) e{ ¦ j (у) \ a, in>. E.88)
Эту формулу мы используем для рассмотрения эффекта Комптона.
Вернемся теперь снова к определению ковариантного хронологического произ-
произведения, поскольку мы не вникали в детали различий между выражением
E.76) для коммутатора и выражением E.80) для ковариантного Т произве
деиия. Многое не так просто, когда имеешь дело с тензорными операторами,
и поэтому мы должны сделать некоторые пояснения. Чтобы проиллюстриро-
проиллюстрировать это, рассмотрим произведение двух сохраняющихся токов. Обозначая
через р (М2) спектральную функцию (|ха — М2Jп(М2), можно записать
Wpv (х - у) = <0 | /р (х) j v (у) | 0> =
к^(Щ E.89)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 269
Сохранение тока здесь очевидно, а знак минус перед интегралом в правой
части следует из нашей лоренцевой метрики, что согласуется с положитель-
положительностью р (М2). Введем функцию Вайтмана двух скалярных свободных полей
массы М:
^б (&-М*) Q (&o) e-* u-«r> =<01Ф (*)<р (у) | 0>. E.90)
Очевидно, что коммутатор запишется в виде
<0 | [/„ (*). h (УI10> = Wpv(x - V)-WV0(y-x). E.91)
Попытаемся сначала определить хронологическое упорядочение (обозначим его
через Т) просто в виде
<0 | f /р (х) /v (у) | 0> = 9 (х»-у°) <0 | /о (х) /v (if) | 0>+
+6 Q^-Jt») <0 [ /v (у) Ур (Jt) | 0>. E.92)
К сожалению используя E.89), мы скоро обнаруживаем, что Т не приводит
к ковариантной величине. Для свободного поля массы М имеем
I <0 | ГФ (х) <р (у) | 0>= Ю (х°-у°) WM (х -у)+1в (уо-хо) WM {y-x) =
—I ш e~lk'(x-v)
Следовательно,
00
i <0 | f/p (*) /„ 0/) | 0> = - j dM* p(M*) х
l
Я (х«-^) (gpv - -%^)и^и (*-»)+(*<-»У)]• E-94)
Ковариантное Г-произведение определяется следующим образом:
к0|Г/р(*)М</I0>=<Т$(*-*/) + 1 Д7>(*. у), E.95)
причем
E.96)
Здесь i&Tpv(x, у) — локальная (т.е. сосредоточенная на многообразии х = у)
ковариантная величина которую мы оставим пока неопределенной. Мы уви-
увидим, что ее можгто определить с помощью закона сохранения тока. Рассмот-
Рассмотрим теперь разность между двумя хронологическими произведениями, опре-
определяемыми E 92) и E.95). С этой целью перепишем член в квадратных

270 ГЛАВА 5
скобках в выражении E.96) следующим образом:
у)
Из канонического квантования следует, что
Cgpoe (Xo-,f) d\[WM (x-y)-WM (у-х)] =
Поэтому
= -gpogv6Hx-y) J d^^_i. E.97)
Таким образом, разность между хронологическими произведениями оказы-
оказывается контактным членом, (.осредоточенным при * = !/, но не ковариантным.
Применим теперь это выражение для изучения важного свойства одновре-
одновременных коммутаторов или, в данном случае, их вакуумного среднего. Из E.96)
следуег, чго
В соответствии с E.97) эта величина должна быть равна
-gvodo64 (х-у) J dM* РШ1+1дсх <0 | f/p (х) iv (у) | 0>.
К
Ток сохраняется, так что дивергенция хронологического произведения токов
должна совпадать с одновременным коммутатором; следовательно,
Ml
откуда получаем
<01 [/„(*), /о (У)] 0>U.-v.-0,
<O|[/,W. /*(»)]|0>|;r.ev. = »*e>(x-y) J diM*<i^i.
To, что в выражении для одновременного коммутатора временной и простран-
пространственной компонент тока член, пропорциональный градиенту б-функции,

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 271
появляется как следствие условий ковариантности и положител1 hovth, было
впервые отмечено Швингером. Само его название — с-числобой швингеровский
член—напоминает, что он дает вклад даже в величину вакуумного срсшего.
Равенство нулю одновременного коммутатора временных компонент Юков отра-
отражает юг факт, что при интегрировании по пространству они дают сохраняю-
сохраняющийся электрический заряд. Если теория допускает более широкую группу
инвариантности, чем 1/A), го гоки должны иметь внутренние индексы, соот-
соответствующие различным генераторам группы симметрии, а при рассмотрении
одновременных коммутаторов мы должны включать алгебру Ли этой группы
(см. гл 11)
Рассмотрим снова в соотношении E.95) член i&T^(x, у) и выберем его
таким образом, чтобы выполнялось равенство
id;<0|r/pW/v(i/)|0> = 0. E.99)
Величина
00
Jp EЛ00)
удовлетворяет всем требованиям, так что полное выражение для ковариант-
ного Г-произведения запишется в виде
5.2. ПРИЛОЖЕНИЯ
Прежде чем развивать ковариантную теорию возмущений (см. гл. 6),
проиллюстрируем известные уже нам методы, рассматривая в ка-
качестве примеров простые процессы с участием фотонов и заря-
заряженных фермионов
5.2.1. Эффект Комптона <•>
В гл. 1 мы вычислили классическое томсоновское упругое рас-
рассеяние света на заряженном центре В 1923 г. Комптон при изу-
изучения рентгеновских лучей 01крыл процесс рассеяния со сдвигом
частоты, который носит его имя.
Для определенности выберем в качестве мишени свободный
электрон. При вычислении амплитуды эффекта в низшем порядке
по е (электронному заряду) будем опираться на выражение E.88).
В этом порядке Z3 = l, а ток можно отождествить g током-сво-
бодных электронов:
(*)'•¦ E.Ю2)
В дальнейшем мы будем опускать индекс «in» и отождествлять
in- и out-сосгояния электрона, т. е. будем вычислять амплитуды

272 ГЛАВА 5
с точностью до е%. Сам процесс изображен на рис. 5.2, на кото-
котором волнистыми линиями представлены фотоны, а сплошными —
электроны. Связные элементы 5-матрицы (индекс с означает «свя-
РИС. 5.2. Кинематика эффекта
Комптоиа в общем случае.
зывать») записываются в виде
S^t = -е2 J J й*х d*ye'(kfx-kiy)x
:у (х) erf(х): :$(у) в$(у):|р,у. E.103)
Хронологическое произведение операторов, согласно теореме Вика,
записывается через нормальные произведения, с коэффициентами,
построенными из спариваний
i 1 г 1
, (у) = )
Применим теперь выражение D.75); при этом опустим спаривания
между операторами, относящимися к одной и той же точке, по-
поскольку каждый из токов является нормально упорядоченным
Таким образом, получаем
Т: ф (х) ?Л> W: tip (у) Vv-ф (У) :-»:"* (х) YpS'7 (x-j/) Vv^ (f/) :+
+1:i|i(y)YvS'CV—x)y^(x):+... .
Остальные члены не дают вкладов в связаный матричный эле-
элемент. Выразим теперь свободные поля \р и ф через операторы
рождения и уничтожения [выражение C.157)]. Пусть а,- и а{
обозначают начальную и конечную поляризации электрона, т, е.
тогда типичная величина, которую нам надо вычислить, имеет вид:
<0\b{pf, а,):^(х)ф„(у):ЬЦр„ а,I0> =
/f a,) «n (p,-, a,-).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 273
Pf,af Pi + ki Pi>at
РИС. 5.З. Диаграммы Фейнмана низшего порядка для эффекта Комптона.
Это позволит нам вычислить Scf^t:
u
,^, ад].
Производя интегрирование по х, у и q, получаем
Щ~1 = - i<* Bя)« 6*(kf + Pf-kt-рЦ х
X [й ipf, л,) et ^.+],„от Btu (ph a,-) -f-
+ «(Р/, «/) etpi_\f_m efu (ph a,)]. E.104)
Интегралы по конфигурационному пространству даюг б-функцию,
выражающую сохранение энергии-импульса Величину /е в ферми-
онных пропагаторах можно опустить, поскольку, добавляя изо-
изотропный вектор (k) к импульсу на массовой поверхности, или
вычитая его, мы с необходимостью получаем импульс вне этой
поверхности.
Из проведенного в разд. 5.1 рассмотрения следует, что коэф-
коэффициент в квадратных скобках—это редуцированный матричный
элемент перехода
Г,^ = -<*п(р„ «/) (в"/Pt+Xt-m *l + *ipt-]c,-mBf) U (P" «'>•
E.105)
В этом выражении оба члена можно представить диаграммами Фейн-
Фейнмана (рис. 5.3). Внешние линии наделены функциями поляризации
е, и или и и соответствующими импульсами. Внутренним линиям
соответствуют пропагаторы Вершины представляют взаимодейавие
еу, и в каждой из них энергия и импульс сохраняются. Это объ-
объясняет, почему первый пропагатор соответствует импульсу ki-\-pl =
— kf-\-pf, а второй pi — kf = Pf — k{, Полные энергия и импульс
таким образом сохраняются всюду в диаграмме. Переход к пределу
(х —>- 0 в случае фотонов является тривиальным, и легко проверить,
что, если одна из поляризаций — продольная (соответствует индек-

274 ГЛАВА 5
су 3), выражение E.105) обращается в нуль Поэтому мы ограни-
ограничимся учетом только двух поперечных поляризаций
Используя выражение E,105), вычислим сечение рассеяния фото-
фотонов на неполяризованных электронах в случае, когда поляризация
конечного электрона не измеряется Для этого нам нужно усред-
усреднить вероятности по начальным поляризациям электрона и просум-
просуммировать по конечным. Следовательно, нам нужно вычислить с точ-
точностью до кинематических коэффициентов величину A/2) У, |с1Г;«_, |2.
Сечение рассеяния определяется из выражения E 13), в котором
делается соответствующее изменение, связанное с присутствием
электрона в начальном [вводится множитель B/т) prkj, обуслов-
обусловленный потоком] и конечном состояниях [фазовый объем
md1pf/BnKp0f]. Таким образом,
2
a,. af
Будем использовать переменные в лаб. системе отсчета, в которой
dk° dQ,
J d»pf d% fr(p, + k,-p,- kt) =
где Q —телесный угол, в который излучается фотон, измеряемый
относительно направления начального импульса Мы имеем
Таким образом, сечение принимает вид
da = t V \п ... и
2 ^г-"| PrktPfkf*
где кинематический коэффициент вычисляется с помощью закона
сохранения импульса
(Pi + kif = (Р/ + kf)*> Pfkt = Pf feP6 = mkl
Используя для фотонов обозначение k — k° = | k |, сечение do можно
переписать в виде
d0 = \
i
I gj — _— ?-,- U I
E.106)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 275
Освобождаясь от у-матриц в знаменателе и используя уравнение
Дирака, запишем матричный элемент следующим образом:
" (Р/. «,) (*, „+х,-т *t + */ fl-\,-m *f) U <P* a<> =
= п(Р/, «/) («t fitn.^m *i ~*i*\J.h. m Bf) u (Pi' a'-) =
= u(pf, af)\
l Поляризации поперечных фотонов е,-, zf можно выбрать ортогональ-
I ными «временной» оси р{, а также k{ (для 8(.) и kf (для 8^). Тогда
записанный выше матричный элемент принимает вид
Следует заметить, что общий вклад двух рассматриваемых диаг-
диаграмм Фейнмана инвариантен относительно перестановки фотонных
переменных начального и конечного состояний
(е„ ?,)*-> (в,, -kf): E.107)
причем знак импульса меняется на обратный. Это пример новой
симметрии амплитуды перехода, называемой перекрестной (крос-
(кроссинг) симметрией, которую мы подробно изучим в разд. 5.3.2.
Используя соотношение
a
можно теперь просуммировать по поляризациям электрона:
Х*= X \п(р„ *,)Ou{pt, ai.)p = Sp(o^O^), E.109)
a,., af
где O = y°O+Y° и слеД берется по дираковским индексам. В дан-
данном случае у нас получается громоздкое выражение:
+7 +
След можно разбить на четыре члена, два диагональных, каждый
из которых получается из другого подстановкой E 107), и два
перекрестных члена Последние совпадают друг с другом, поскольку
след нечетного числа уматриц равен нулю, а
Sp (Т„ Та ¦ • • ?2«)
в чем можно убедиться, транспонируя и связывая у с уТ с помощью
матрицы зарядового сопряжения С Остается вычислить два не рав-

276 ГЛАВА 5
ных нулю следа. Попытаемся наивыгоднейшим образом использо-
использовать тождества k\ = k) = §, г\ = &) = — I, применяя повторно тож-
тождество &Ь' = —Ьа-\-2аЪ с целью перемещения соответствующих
импульсов так, чтобы они оказывались рядом друг с другом:
Tl = Sp[B/BtX,(fit + m) *,*,*, (/»7 + m)] = Sp \в,вгХ jjtjtffif] =
= 2pi ¦ k( Sp (efBiKfififPf) = 2p( ¦ kj Sp (В/Л:^;?,} =
= Sp, ¦ k, Bгг ¦ kfif ¦ Pf + kt ¦ pf) = 8Pl .k,[2 (e, • *,)• + k, ¦ pt]
Здесь на последнем этапе мы использовали условие сохранения
импульса, которое дает k{-pf = kfpl и zfpl — tf{pi-^ki — kf) =
= Zf kt. (Мы выбрали Zfpi — e,.-p,= 0.) Аналогичным образом
получаем
72 = Sp [gfgfXi (#,• + т) K,B,Bt {pf + /га)] =
= Sp [BfB,Xt (Pi + m) K,«tBt (ff; + Af ,• — Kf + m)] ==
pi + m) Kf&fZfitZt (pt + m)] + 2k, ¦ e,Sp (jb-(
= 2kt¦ PtSp (XfBfBiBfB.fi,) + 8 (Л,-e,.Jft,• p,--8 (Л,• tff p,¦ k,-
= Щ ¦ Pikt ¦ Pi[2 (e, ¦ е,)г-1)]+8 {k,- г,)% ¦ p, - 8 (fe; • zff k, ¦ pt.
Второй перекрестный член Г, = Г8; и наконец, Т4 получается
из 7\ с помощью подстановки E.107) Добавляя к этим величи-
величинам соответствующие множители, входящие в выражение E 110),
и используя соотношения для кинематических величин в лабора-
лабораторной системе отсчета, получаем
Подставляя это выражение в E 106), приходим окончательно к
формуле Клейна—Нишины 1) (полученной в 1929 г ) для сечения
комптоновского рассеяния на свободных электронах:
|L = ^^J[^ + iL + 4(Ve,.)*-2|. E.112)
Имеющийся здесь сдвиг частоты легко связать с углом рассеяния 0;
для этого нужно возвести в квадрат 4-векторное равенство
kf — /г,- = pt — pf. Мы получим — 2k)k\ A — cos 8) == 2т (Щ — fe"). Таким
образом,
— cos 9)"
x) В отечественной литературе принято называть это соотношение форму-
формулой Клейна—Нишины — Тамма.— Прим. перев.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 277
В пределе низких энергий k;/m—>-0 формула E.112) сводится
к сечению Томсона (см. разд. 1.3.2):
Ш = %(Ь-Ч)\ ^=го = 2,8.1О-" см. E.113)
Вблизи направления вперед, т.е. при 0—<-0, формула Клейна—
Нишины также сводится к нерелятивистскому выражению E.113)
независимо от величины энергии падающего фотона.
Если пучок падающих фотонов неполяризован, а поляризация
конечного фотона не измеряется, то, как и в случае с электро-
электронами, чтобы получить сечение рассеяния неполяризованных частиц,
мы должны усреднить сечение по е,- и просуммировать по г{:
do l ^ do
2
е., в/
Поскольку выполняется равенство 2 (Vе/J— ' +cos20
(ср. с гл. 1), мы приходим к выражению
Наконец, интегрируя по углам (x = cos0), находим полное сечение
п
l +{kdm)(\-x)
Обозначим полное сечение рассеяния Томсона через о0, а отноше-
отношение энергии падающего фотона к энергии покоя электрона
через (о, т. е.
Тогда можно написать
E.116)
Из этого выражения мы получаем низкоэнергетический (ft><c;l) и
высокоэнергетический ((й^1) пределы
E.117)
-
На рис. 5.4 приведена зависимость отношения Ъ/о0 от со.

278
ГЛАВА 5
Мы проверили перекрестную симметрию амплитуды комптоновского рассеяния
в низшем порядке по е. С помощью выражения E.88) читатель может распро-
распространить это свойство на любой порядок Как показывают редукционные фор-
формулы, приведенные в разд. 5.1.3 и 5.1.4, это свойство можно обобщить на более
сложные процессы, включающие две зарядово сопряженные частицы одна из
которых находится в начальном состоянии, а другая — в конечном. Амплитуда
0,001
1000
РИС. 5.4. Отношение комптоновского сечения для неполяризованных частиц
к сечению Томсона как функция энергии падающего фотона (o = k;/m.
инвариантна по отношению к. замене входящей частицы на выходящую анти-
античастицу с обращением знаков их 4-импульсов. Соответствующая амплитуда,
разумеется, не является физической, поскольку она зависит от отрицательных
энергий, однако на основе тех же редукционных формул можно построить ана-
аналитическое продолжение этих амплитуд (см. разд. 5.3.2.).
5.2.2. Аннигиляция пар
Полученные в разд. 5.2.1 результаты позволяют вычислить веро-
вероятность родственного процесса, а именно вероятность аннигиляции
пары с образованием двух фотонов. Обратный процесс мы расстаг-
ривали в гл. 4 За исходную можно взять формулу, аналогичную
E.88), но которая соответствовала бы редукции двух фотонов
в конечном состоянии Однако, согласно статистике Бозе, если
Q—телесный угол одного из полученных фотонов, полное сечение
рассеяния получается интегрированием величины (\/2)da/dQ по
углу 4л, т.е. величины da/dU по углу 2я. Разумеется, наши выра-
выражения должны быть симметричными относительно перестановки
двух фотонов.
Кинематика процесса воспроизводится на рис. 5.5, а, где элект-
электрон (/?,, ах) и позитрон (р„, а2) аннигилируют, излучая фотоны
(кх, гх), (кг, е2). Соответствующая амплитуда имеет вид
X<O\T{s1j(x)s-a-j{y)\\p1,

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 279
Точно так же, как и прежде, будем проводить вычисления в низ-
низшем порядке, учитывая вклады того же типа, что и рассмотрен-
рассмотренные в разд. 5.2.1. Прямые вычисления дают
Sf <_(= - ie Bя)«б* (*, + kt-pt-р2)X
X * <Л. «Л {*, ^_^_m *i + *i ,,_,._„ ».} « (ft. «i).
E.118)
Это выражение демонстрирует замечательную аналогию с соответ-
соответствующей амплитудой эффекта Комптона. Соответствующий ему
Pv*t
Ptr at
РИС. 5.5. Аннигиляция пар. а—общая кинематика; б—диаграммы Фейнмана
низшего порядка.
процесс представлен на рис. 5.5, б, где фермионные линии ориен-
ориентированы в соответствии с протеканием заряда е. Если протекает
импульс позитрона, ориентация меняется на противоположную.
Выражение E.118) можно получить из формулы E.104) для эф-
эффекта Комптона, производя в ней следующую простую подстановку:
J J
(kf, it) -+ (kt, 8S), и (pf, af) —> v (p2, a2),
Pt — Pf E.Ц9)
При этом перекрестная симметрия заменяется бозе-симметрией
амплитуды аннигиляции, а подстановка E.119) дает еще один при-
пример перекрестных соотношений между процессами.
Матричный элемент E.118) позволяет получить сечение в слу-
случае неполяризованных электронов и позитронов. Множитель, свя-
связанный с потоком, равен A//и2)[(р1-ра)а"~т4]"*. а статистическое
усреднение приводит к множителю 1/4. Воспользуемся выраже-
выражением, аналогичным E.109):
_?!,(,, а) о (р, а) =

280 ГЛАВА 5
Тогда сечение рассеяния можно записать в виде
Лп._ —т*е* Г ' сп / ( *г*\*\
[(Pi-P«J-n>4lVf J 4 U 2pi-fc,
2m V
Здесь поляризации фотонов гг и е2 ортогональны /?, (и Л, или k2
соответственно). Производя в выражении E.111) подстановку
E.119), находим след
Выполняя вычисления в системе покоя электрона, находим
где kl определяется условием сохранения энергии-импульса. Сле-
Следовательно,
d(kl+kl) ¦ 1 d . ,*,-*,
dk\ +i^(p2 l) kikt'
kl-k2 = m(m-\-E2) — k" (m + E2 — \ p21 cos0).
Окончательно получаем выражение
которое дает дифференциальное сечение испускания одного из
фотонов в направлении, определяемом телесным углом О, соот-
соответствующим позитрону (Е2, р2), падающему на покоящийся
электрон. В выражении E.120) k1 и к2 — обозначают энергии фо-
фотонов, причем
К Ег — |рз |cosе ,
Чтобы получить полное сечение аннигиляции, нужно просумми-
просуммировать по поляризациям фотонов:
«1. «г
и проинтегрировать по половине полного телесного угла 4л.
В результате получим
v '
( +у^=Гf)_ -ffi=j, E.122)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 281
где
В двух предельных случаях у—>- 1 (порог) и у—»¦ сх> (при высоких
энергиях) находим
G =
я?о ^ —^ у^—скорость позитрона,
У2
E.123)
Используемое нами до сих пор борновское приближение, очевидно, не является
достаточным при низких энергиях, когда электрон и позитрон взаимодействуют
посредством дальнодейсгвующих кулоновских сил. Однако, рассматривая вы-
выражения E.123) как первую грубую оценку, можно показать, чго вероятность
аннигиляции в единицу времени медленно движущегося позитрона, определя-
определяемая формулой
ви = ахПадающий потокXПлотность мишени « av2nZ — nZnrly E.124)
не зависит от его скорости. Здесь п — число атомов в единице обьема, а 2 —
атомный номер. Следовательно, время жизни низкоэнергетического позитрона
в среде дается приближенно выражением
х = к>-1 w {nZnrt)'1. E.125)
Например, в свинце т~10-10с. Общую формулу E.122) впервые получил
Дирак в 1930 г.
5.2.3. Время жизни позитрония
В предыдущем разделе рассматривалась свободная аннигиляция
электрона и позитрона в пренебрежении кулоновской силой По-
Последняя может проявить себя, связывая две частицы в нейтраль-
нейтральную систему — позитроний — летонный аналог атомных связанных
состояний, KOTjpbie мы уже рассматривали в гл. 2 Обобщим по-
полученные выше результаты с тем, чтобы получить скорости рас-
распада пара- и оргопозитрония из s-волновых основных состояний.
Поскольку аннигиляция представляет собой медленный процесс,
ширина этих нестабильных состояний очень мала по сравнению
с нерелятивистской энергией свя^и. Поэтому мы можем провести
рассмотрение в два этапа, пренебрегая сначала аннигиляцией,
чтобы вычислить энергию связи, а затем пренебрегая связью,
чтобы вычислить вероятность аннигиляции Строгое рассмотрение
не допускает появления позитрония в виде стабильного асимпто-
асимптотического состояния, он может возникнуть лишь среди нестабиль-
нестабильных возбуждений. В нулевом порядке электрон и позитрон опи-

282 ГЛАВА Б
сываются нерелятивистской изотропной волновой функцией
(па3I'*
3Bя)зе ™W ]Bя):>е A+aVJ <ол^°>
где а—удвоенный боровский радиус атома водорода (поскольку
в нашем случае приведенная масса равна половине массы элек-
электрона):
2 2 E.127)
По порядку величины импульс электрона или позитрона равен
\/а = ат/2<^т, и аннигиляцию можно рассматривать в первом
приближении так, как если бы обе частицы покоились относи-
относительно друг друга. Поэтому второй этап состоит в том, чтобы вы-
вычислить ширину синглетного и триплешого состояний для сво-
свободных частиц, находящихся в покое
В гл. 3 было установлено, что зарядовая четность позволяет
распадаться синглетному состоянию на четное число фотонов, а
потому наименьшее возможное число фотонов равно двум. Мы
используем наш прежний результат, умножив его на 4, поскольку
вместо четырех усредненных состояний поляризации здесь имеет
место распад состояния с определенным спином.
Кроме того нам придется заново пересмотреть рассуждения,
приведенные в разд. 5.1.1, и дающие соотношение между сечением
и вероятностью перехода в единицу времени, которую мы обозна-
обозначим здесь как о~*пГЛ. Для этого умножим величину 4а на норми-
нормирующий множитель, получаемый следующим образом. Подставим
вместо фактора потока
вес
1
II
па
,з >
который возникает в нашем случае при повторении вычислений,
приводящих от выражения E.4) к E.13). Таким образом, можно
записать
•^„г = ~з Jim J4v%a) = ± Dnrl)= ^ . E.128)
Отсюда мы видим, что отношение т^иНГ/В, где В = та2/4—энергия
связи, имеет порядок величины а8 ~ 10~6; это подтверждает обо-
обоснованность нашего подхода.
Полученную нами величину можно интерпретировать как ве-
вероятность распада в единицу времени, выраженную через матрич-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
283
ный элемент перехода на пороге:
E.129)
Данная формула позволяет нам рассмотреть также и распад орто-
позитрония, когда минимальное число испускаемых фотонов равно
трем. Из редукционной формулы в низшем порядке получаем
Sf«_ ,- = (— ief \ d*xt dixi d% exp (i % k, ¦ Xj j <01T [: ip (xj x
X?,i|i (xt): :ty(x3) ?$(х2): :ty(xs) g-3ty(x3):]| e+e~, триплет). E.130)
С помощью теоремы Вика получаем следующее выражение для
матричного элемента:
Перест.
Подставляя этот матричный элемент в E.130) и интегрируя, на-
находим
^Jf^-i 1> уЫъ) v yi f ^^ idlllf U уг f) (& f: tc y?ijlj \J yr f — idlllj \J у if} A.
„(a)-, \ p, l_ -, „(E) /c !Q1\
Перест-
Здесь и<|3) и u<a>—дираковские спиноры электрона и позитрона
в состоянии покоя; мы должны образовать проекцию на триплет-
ное состояние. Полная энергия-импульсфермионов равна /? = (т, 0),
в то время как величины (kv ег), (/г2, ег) и (ks, e3) обозначают им-
~р,а
р,р
а
РИС. 5.6. Трехфотонный распад ортопозитрония. а—одна из шести диаграмм,
описывающих процесс в низшем порядке; б—выбор осей для измерения
поляризации фотона; п—нормаль к плоскости реакции.
пульсы и поляризации фотонов в конечном состоянии, причем
з
Р/= 2 kf. Разумеется, величина <^Г является симметричной по
фотонным переменным, как того требует статистика Бозе. Поэтому
интеграл по фазовому пространству следует разделить на 3!. Вы-
Выражение E.131) можно представить в виде суммы шести фейнма-

284 глава 5
новских диаграмм, одна из которых показана на рис. 5.6, а, по-
получаемых перестановкой фотонных переменных. Чтобы продолжить
вычисления, введем обозначения
«r^, = -esx?2a,,,X-, li^ilio,, E.132)
где %L—двухкомпонентные спиноры, описывающие фермионы.
Применим здесь метод, отличный от того, который состоит в вы-
вычислении следов при квадрировании оГ?«-»; а именно вычислим
2х2-матрицу ал s 3 в явном виде. В очевидных обозначениях по-
последняя получается из 4 х 4-матрицы следующим образом:
Пусть (By = fey, kj — VjIasj. Кроме того, положим Sj-p = 0 для / =
= 1,2,3 и обозначим b/ = kJxeJ-. Это единичный вектор, по-
поскольку Лу8у = 0. Тогда можно написать
2mtoi
в,, о)(Ч
Ч -
Аналогично
Следовательно,
l ,_ . ,_ с ч/'О —а-еЛ/ит-б,
•с» 0 Аае,
Таким образом, искомая комбинация 2 йт имеет вида-V. Дей-
Персст.
ствительно, след этой матрицы равен нулю, поскольку он про-
пропорционален величине
Перест
Напомним, что Spo;Oyofc = 2j8j/ft. Итак, мы имеем 2 el
Перес г
где

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 285
Очевидно, что время жизни ортопозитрония не зависит от состояния
его поляризации. Однако угловое распределение, когда мы изме-
измеряем поляризации фотонов, зависит от состояния начальной поля-
поляризации. Ограничимся здесь определением полной скорости распада,
которую в случае неполяризозанного ортопозитрония можно вы-
вычислить путем усреднения по трем состояниям спина. Таким образом,
Триплет- 6 j 8(OlftJ(U3 Bjl)9 \Ж) О {2^a/—lm) ° {>* K/
I2)- EЛ34)
Поляризации
фотона
Здесь мы учли множитель ia2, входящий явно в формулу E.132).
Например, амплитуда распада состояния | J = 1, Jz = 1> = | 1/2, 1/2>
пропорциональна матричному элементу %Tu<,io2a- \%1,2 = Vl + iV,^
= F+, а для состояния |/=1, Уг = 0>= 1/|/~| 1/2, — 1/2>+
-\- \iY 21 — у, у\ соответствующая амплитуда включает величину
1 ,..т ,__,,.. ...г ¦7.a-V7.1/2)=— V 2V.=a]
Наконец, для состояния |«/ = 1,Уг = —1> амплитуда содержит
величину V_ = — Vj + iV2. Следовательно,
Чтобы завершить вычисление, удобно воспользоваться комплекс-
комплексными векторами поляризации, записываемыми в виде е± = е±/8
и удовлетворяющими условиям
8±2=:0, 8+-8- = 2,
ef -ef = еГ8„—8,-S2 ± /(et-fij + ej-fij.
Таким образом,
v=- ш Е 8i+ (8?" • 8з"}+8Г (8? ¦8з+)•
Цикл
Цикл
+ [(8,+ EJ) (8^-8^) (83+ -8 + ) + КОМПЛ.
Просуммируем теперь по поляризациям фотонов, выбирая для
каждого фотона два ортогональных базисных состояния а) и б),
в которых 8 направлено вдоль нормали к плоскости реакции и

286 ГЛАВА б
вдоль кхп, (см. рис. 5.6,6):
а) 8 = п, 8 = кхп, е+=а = п+гкхп, е~=а* = п — гкхп;
б) е = кхп, 8 = —п, е+ = — га, s~ = ia*.
Таким образом,
Е fV2=i
Поляризации Цикл
фотонов
В сумму по поляризациям фотонов дает вклад лишь первый член
в выражении для V:
щ ¦ а, = (п + iks х п) • (n+ikn х п) =¦ I —cosB?3,
где cos923 = &2 k3. Подставляя в E.134) окончательное выражение
{A^+Р + |^| + |К_|2) = 4у^=з^ Е V-cosQ»)*, E.135)
Цикл
получаем
_g»m'Dn)»a»4 1
Ттр„пл. - 8д т4 з 6
X ^ (l-COS923)a.
Цикл.
Здесь каждый член суммы по циклическим перестановкам дает
одинаковые вклады. Следовательно,
ЭД , doJ A — cos 01SJ,
D E.136)
w
2m,
(O1C02
причем областью интегрирования является треугольник Мандель-
стама D: o)j+(B2^m, О^ю,, ш2^т.
Запишем выражения
^"р'ип.е^^тЛ, Л = ^^ J dj/(JC+j~')a- E-137)
о 1-*
Вычисляя интеграл А, получаем
1 09
п«1

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 287
ф
Сумма 2 I/ равна я2/6, так что Л =(я2—9)/3, и мы получаем
окончательный результат, о котором уже упоминалось в гл. 3:
_ m 2а , 2 q, ,r ,оп\
Из приведенных выше выражений нетрудно получить энергетический спектр
испущенных фотонов.
5-2.4. Тормозное излучение
В гл. 1 приведено классическое выражение для интенсивности
излучения фотонов, когда скорость заряженной частицы резко
изменяется. Мы рассмотрим здесь этот Еопрос более подробно на
примере кулоновского рассеяния на фиксированных ядрах (с за-
зарядом —Ze), рассмотренного в гл 2 В случае когда испускается
один фотон, матричный элемент определяется формулой E.87).
В предположении, что
~<1 E.139)
где v—скорость падающего электрона, мы проведем разложение
как по Ze, так и по е и удержим только вклад главного члена
В эвристическом подходе внешнее поле учитывается с помощью
замены свободных спиноров на решения уравнения Дирака в при-
присутствии внешнего поля Авкеш, так что
Пусть функции г|)внеш являются решениями уравнения
(Ш —еАакеш—т) г|>виеш (х) = О
с соответствующими граничными условиями. Напишем амплитуду
излучения
S/«., = — ie J &*х<**-х С!?ш (х) е №еш(х) E.140)
при условии, что k2 = 0, e2 = —I, e k — О, Падающий электрон
характеризуется асимптотически своим импульсом р1 и поляриза-
поляризацией а, а выходящий электрон — импульсом pj и поляризацией р.
В гл 2 показано, что в низшем порядке по Лвнеш справедливы
следующие выражения:
Ч>Г„неш (х) = хрш (х) + 5 d*y S>> (х-у) еА™ш{у) ifo, (у) + ...,
E.141)

28Й ГЛАВА 5
Здесь t|)in, ij5oUl—соответствующие решения свободного уравнения
Дирака
tinW=«"'P''«(ft, «).
^(x) eipfxu(p P)
где р\ = р) — т%. Подставляя E.141) в E.140), замечаем, что вклад,
пропорциональный интегралу ] й*хе&-х ^ои^[х)в^л(х), обращается
в нуль при k2 = 0. Следовательно, в низшем порядке
S, _, = - fe« J d*x d*y [eik•* tymi (x) eSF (x-y) Лгвнеш (у) tyin (у) +
+ **-"*ont W ^Гвнеш W 5F (x-y) B*in (y)]. E.143)
Отметим аналогию с амплитудой комптоновского рассеяния,
в которую внешний потенциал Лвнеш(х) подставлен вместо волно-
волновой функции свободного фотона е~ ikxs(k). Используя решения
E.142) и преобразование Фурье потенциала
л»иеш W = - 4-^Г = -Ze IW б (<?0) е" " "х TiF ¦ E-144)
находим
X «О»/. Р) ggjj_^_mY° + Y° „._k._wе- u(ph a). E.145)
Это выражение удовлетворяет лишь закону сохранения энергии,
поскольку инвариантность по отношению к пространственным
трансляциям нарушается из-за присутствия силового центра.
После некоторых преобразований сечение можно записать
в виде
г 1 is m cPpj d3k
E.146)
где pi | V,- \/т — | р; \/т—фактор потока, а в квадратных скобках
стоит такое же выражение, как и в формуле E.345).
Сечение излучения для неполяризованных частиц получаем,
суммируя выражения E.146) по е и Р и усредняя результат по а.
Чтобы упростить обозначения, введем переданный импульс q =
— (pf-\-k—р(). Пусть далее (в = й°, а телесные углы Qv и Qe
отвечают выходящему фотону и электрону соответственно. Та-

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 289
ким образом,
~3 m2|n*1 E.147)
X
Величину F можно разложить на три составляющие:
2 =/Г1
Xfi-
Выбирая e° = 0, находим
+ со (a>Pr pf—p\pf ¦ k—p'lPi ¦ k)].
Пусть 9; — угол между векторами k и pf, 9,-—угол между к и р,-,
а ф — угол между плоскостями (к, р;) и (к, р(-), как показано на
рис. 5.7.
Суммирование по поляризациям фотона можно выполнить
с помощью выражений
, 2 (е • р;Г = | Р/ I2 sin2«„ 2 (г-Р1Г -1 р, |2 sin^ 9„
8 8
2 (e ¦ p7) (e • p,)»| P/11 p/1 sin 0, sin 0J cos ф.
8
В окончательной формуле используем обозначения
/>?-?>, pj-?|f lP/1-P/, |р,|-Р„ |q|a = <7a. E.149)
10 A'. IB98

290
ГЛАВА 5
РИС. 5.7. Кинематика процесса тор-
тормозного излучения.
Теперь можно записать дифференциальное сечение, которое было
найдено Бете и Гайтлером в 1934 г.:
Pi sin2 Qt+Pf sin2
f—Pf cos bf)
Pi cos 0,)
— 2
Pf pi sin 9,- sin df cos q>
f—Pf cos %j) (E(—pi cos 9/)
E.150)
Этот результат имеет довольно сложную структуру, проявляющую
уже знакомое нам катастрофическоэ (!) поведение при а>—>0.
В пределе <в-
в виде
-0 выражения E.147) и E.148) можно приближенно записать
do
do
d3k
упР 2со Bя)
¦'•Pi
6-p,-
'k-pi
—r^- . E.151)
Это выражение нам известно из гл. 1, в которой приведены также результаты
интегрирования сечений излучения.
На этом примере видно, чго при малых k нам практически не удается
отличить упругое сечение, включаю цее поправку порядка е2, ог неупругого
сечения, рассматриваемого в гом же порядке. Следовательно можно ожидать
лишь, что сумма этих двух выражении имеет в этом порядке конечньн предел.
В гл. 7 мы вернемся к рассмотрению этого вопроса.
5.3. УНИТАРНОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ
Редукционные формулы дают соотношения между измеряемыми
амплитудами рассеяния на массовой поверхности и полными
функциями Грина Большинство результатов, которые будут рас-
рассмотрены в остальной части настоящей книги, связаны с вычис-
вычислением этих функций в рамках локальной релятивистской дина-
динамики, описываемой лангранжианом. Тем не менее важно подчер-
подчеркнуть и ясно сформулировать основные физические требования,

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 291
такие, как унитарность и локальность, которые являются общими
для различных динамических систем и, возможно, имеют более
глубокий смысл, i-ем эт0 представляется на сегодняшний день.
Одним из основных результатов такого анализа является доказа-
доказательство существования определенной аналитической струк1уры
амплитуд, приводящей к дисперсионным соотношениям по одной
или нескольким переменным, дополненных правилами, приводя-
приводящими к правильным предельным значениям на различных разре-
разрезах. J) Однако мы не будем подробно излагать все эти вопросы,
а лишь покажем, сколь важную роль они играют, и приведем
некоторые значительные результаты В следующей главе будет
покачано, как общие аналитические свойства сказываются на вы-
выражениях, получаемых в рамках теории возмущений.
5.3.1. Унитарность и разложение по парциальным волнам
Унитарность S-матрицы отражает фундаментальный принцип со-
сохранения вероятности. Даже если нам приходится использовать
в определенных случаях такой искусственный механизм, как ин-
индефинитная метрика "в гильбеотовом пространстве, физические
величины всегда связаны с состояниями с положительной нормой,
сохраняющейся в 1ечение временной эволюции. Формальные по-
построения не должны затенять это важное обстоятельство, нахо-
находящее свое отражение в ряде соотношений, прототипом которых
является оптическая георема Бора, Пайерлса и Плачека.
Рассмотрим поэтому сначала ограничения, накладываемые
условием унитарности 5-матрицы, которое с учетом E.6) можно
записать в виде
S*S=l = I + l(T—T* ) + Т*Т. E.152)
Выделяя 6-функцию, выражающую закон сохранения импульса:
</1Т11> = Bя)« б* (P,-Pt) S-n, E-153)
получаем нелинейное соотношение между амплитудами:
6* (Р„-Pt) JT*nl JTni, E.154)
в котором сумма берется по всем возможным промежуточным
состояниям |п>, связанным с | i> и |/>. В реальных случаях про-
процесс рассеяния начинается с взаимодействия двух частиц Поэтому
рассмотрим сначала двухчастичное упругое рассеяние. Обобщая
данное определение, мы можем предположить, что частицы обме-
обмениваются спином или внутренними квантовыми числами при усло-
условии, что выполняются соответствующие законы сохранения. При
!) См. примечание редактора перевода в конце настоящей славы.—Прим.
ред.

292 ГЛАВА 5
этом частицы должны оставаться внутри одного и того же муль-
типлета, отвечающего рассматриваемой симметрии (см. гл. 11).
Для простоты мы не рассматриваем тождественные частицы Ис-
Исследуем сначала в соотношении E 154) состояние |/> = |t> Это
соответствует рассеянию вперед, когда спины и внутренние кван-
квантовые числа в исходной и в конечной конфигурациях совпадают.
Мы предполагаем также, что в системе отсутствуют дальнодей-
ствующие силы. При этом левая часть соотношения E.154) запи-
запишется в виде 2ПтоГ„, а правая его часть связана с полным
сечением о>?1ОЛ|](г) с точностью до фактора потока, определяемого
начальным состоянием. Для конкретности обозначим через (та, SJ
и (ть, Sb) массы и спины начальных частиц В случае состояния i,
характеризуемого определенным спином и квадратом полной энер-
энергии s в системе центра масс, с помощью формулы E.13) получаем
следующее выражение для полного сечения рассеяния вперед:
где
k(xv хг, xs) = [х] + х\-f-xl)—2xtx2—2хйх3 — 2x,x1, E.155a)
и использована нормировка состояний на инвариантный элемент
объема фазового пространства d?p'2E BлK. Общий трехмерный
импульс |р| частиц А и В в системе центра масс свя$ан с вели-
величиной s соотношением 4s p2 = Я (s, mj, пф. Используя E.155), при-
приходим к оптической теореме, имеющей вид
lmflt = W*(s, ml ml)anoM(i). E,156)
В выражение для сечения упругого рассеяния вперед входит
амплитуда ?Гlt. Предположим, что поляризации частиц таковы,
что начальное состояние инвариантно относительно вращений
вокруг начального импульса Тогда сечение упругого рассеяния
можно проинтегрировать по азимутальному углу и выразить через
квадрат переданного импульса t, а не косинус угла рассеяния.
Начальные и конечные импульсы (ра, рь) и (р'а, р'ь) в процессах
рассеяния А-\-В—> Л-J-S удовлетворяют закону сохранения энергии-
импульса ра + рь = р'а + р'ь- Определим переменные Мандельстама
с помощью соотношений:
'a + Pb)\
, E.157)
Дифференциальное сечение упругого рассеяния можно теперь за-
записать следующим образом:

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 293
Рассеянию вперед соответствует /=0; <0~(s, 0) — амплитуда, ко-
которую мы обозначили выше через <?Га. Следовательно,
'
/А] ^ Ополи @ ,r ,,q,
@ J > -ТЕГ" • <5-159)
Т <s' °) - Ш [яE> mj, ffl|) +
В столкновениях при очень бысоких энергиях мнимая часть ам-
пли гуды рассеяния вперед преобладает над вещественной частью.
В этом случае в предположении, что полное сечение известно,
формулу E 159) можно использовать для нормировки дифферен-
дифференциального сечения упругого рассеяния.
Из условия унитарности можно извлечь и другие следствия,
если удастся хотя бы частично днагонализовать оператор $~. Для
двухчастичного рассеяния это можно сделать, используя в ка-
качестве базиса собственные состояния полного углового момента.
Для выполнения соответствующего проектирования лучше
всего подходит спиральный формализм Джакоба и Вика Обозна-
Обозначим через ка и >ь (к'а, Уь) спиральности начальных (конечных)
частиц в системе центра масс, где ра + Р& = Ра + Ро = 0 Предполо-
Предположим, что для двухчастичного состояния в этой системе 9 и ф
являются полярными и азимутальными углами относительного
трехмерного импульса р по отношению к фиксированным осям
координат Рассмотрим /?0, ф — произведение вращения на угол 0
вокруг оси у и вращение на угол ф вокруг оси z. Это вращение
переводит единичный Еектор z в вектор р/|р|. Состояние с пол-
полным угловым моментом J и проекцией М на ось г имеет вид:
x|/>J\; />». V- E-160)
Спиральность определяется как проекция спина на трехмерный импульс.
Тем самым обобщается рассмотрение дираковских частиц и охватывается слу-
случай частиц нулевой массы.
Напомним, что ® функции Вигнера получаются с помощью представлений
группы SU B) уншарных унимодулярных 2 X 2-матриц. Это осуществляется
следующим образом. Любое вращение R, действующее на произвольный век-
вектор р, может быть представлено пароч матриц U, — U с помощью формулы
UapU^ =o (Rp)- В более общем случае произвольную комплексную 2X2-
матрицу А = ( , ) можно рассматривать как линейный оператор, действую-
действующий в пространстве однородных полиномов от двух переменных и^, и_1/2-
Чтобы получить &т, т', распространим это представление на полиномы сте-
степени 2/ с базисом u/m = [(f+m)l (/—т)\]- '/гu>j™ u'J^ . Если

294 ГЛАВА 5
то можно записать
X X —г—Г—Г^~Г • E.161а)
/ / П*! ! ««• «4!
Эти матрицы имеют следующие свойства:
(А*) = @/ (Л)*, fi>^m, (Я/)
В , р ур, ур рд ? ()
В терминах группы SU B) вращение йе в формуле E.160) связано с его
В частности, если матрица Л унитарна, то унитарно и представление «?)./
В терминах группы SU B) вращение йе ф E160)
2Х2-представлением следующим образом:
®(а-хь.м (Яё\) =@i; Яв_ч(ф. в, 0)=^, Vx&
<„ «,(e) = (-J)m'-'Bid?IBl, -„„(^-(-l)'1"-'^. Я1(в). E.161, в)
Фазы можно выбрать так, что, если т)а и % обозначают внут-
внутренние четности частиц А и В, законы преобразования этих со-
состояний при отражениях пространства 5* и обращении времени <0~
запишутся в виде1)
?\J, М; К, V = 4e%(-t)y~Sa~S4A М;-Х„ -Хь>,
$-\J, М; Ха, kb> = (-\y-M\J, -M\ К> К>- E-162)
Эти соотношения отражают тот факт, что спиральность является
нечетной функцией при ^-отражении и четной — по отношению
к обращению времени.
Используя георему Вигнера—Эккарта и учитывая инвариант-
инвариантность относительно вращений, матричный элемент ?Гп можно за-
записать в виде следующего разложения:
<$~fi = <Pa, К'у РЬ, К\<&~\Ра> К'' Pb> К> =
-1бя|BУ + 1)^[;> Ч: v h(s)®il_h, к.ф, е, о).
E.163)
Кинематический множитель, возникающий при интегрировании
по фазовому объему:
%1/' (S т т®
Г
J
Bп\ f)(n 4-я Р\
Bя)" BЕа) Bя)» BЕЬ) ^1П> ° ^ + Рь~П ~ 8s Bя)
г) Читатель не должен путать обозначение оператора обращения времени^*
с обозначением амплитуды рассеяния, совпадающими на протяжении этой главы..

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 295
появляется в условии унитарности, которое мы приведем ниже.
В выражении E.163) ось z выбрана направленной вдоль началь-
начального импульса ра, а 9, ср—угловые координаты импульса р^.
Наконец, в сумме по J эта величина принимает целые или полу-
полуцелые значения, в зависимости от того, четное или нечетное число
полуцелых спинов имеется в начальном или в конечном состоянии.
Разложение Джакоба и Вика E.163) легко обобщается на случай
произвольного двухчастичного процесса рассеяния.
При наличии ^-инвариантности мы имеем
Ук'а. x'b; я, к (s) = У-к;, -* -ка. -хь (s). E.164)
Аналогично, если имеется Г-инвариантность, справедливо соот-
соотношение
Ka.i'b:xa.4(s)^^ia,h;K<K'b(s), E.165)
выражающее симметрию матрицы рассеяния.
В случае когда полная энергия s1/2 ниже неупругого порога,
в соотношении E.154) вклад в сумму по промежуточным состоя-
состояниям дает только начальный двухчастичный канал. В состоянии
с угловым моментом J это соотношение E.154) запишется в виде
s), E.166)
дф является матрицей BSe-| 1) BSb-\- l)xBSa + 1)BS6 + 1)
в спиральном пространстве. Используя инвариантность по отно-
отношению к обращению времени, можно заменить левую часть вы-
выражения E.166) на 2i\m<FJ(s).
Если частицы бесспиновые, то формулы значительно упро-
упрощаются. В частности, @>i*B(<p, 0, 0) совпадает с полиномом
Лежандра Pj(cos9), а уравнение E.166) можно решить, вводя
фазы рассеяния бу (s) с помощью выражения
^ , (s). E.167)
Если в некотором базисе матрица <0~J (s) диагональна, то полу-
полученное выражение справедливо для каждого диагонального мат-
матричного элемента.
Примером такого рода является пион-нуклонное рассеяние. В этом случае
две независимые амплитуды S~{^, ,/2 и ^"-1/2, i/г можно заменить комби-
комбинациями
еГ± =0^1/2, 1/2 ± 0^-1/2, 1/2'
которые соответствуют рассеянию в состоянии с данной четностью, равной
J1'

296 ГЛАВА 5
Соберем вместе выражения, описывающие упругое рассеяние бесспиновых
частиц. Если q — импульс в системе центра масс, Э — угол рассеяния, а 6(—
фаза рассеяния в 1-й парциальной волне (возможно, комплексный}, то спра-
справедливы следующие формулы:
dt
/ =0
/6, E.168)
-тг1т1Г(со5е=\) = ^гУ\
2qs I' qs '« f^
Последнее неравенство превращается в равенство ниже неупругого порога.
5.3.2. Причинность и аналитичность
Общее условие, носящее макроскопический характер и состоящее
в том, что события должны происходить пссле причин, их вызы-
вызывающих, требует не только того, чтсбы причины могли быть
однозначно идентифицированы, но и предполагает также спра-
справедливость термодинамической концепции необратимости, т. е.
свойств, не относящихся к области микроскопической физики.
К счастью, конечнссть скорости распространения сигналов позво-
позволяет дать ослабленную формулировку этого условия, не опираю-
опирающегося на выбор привилегированной временной оси. Мы придер-
придерживаемся точки зрения, что области, разделенные пространст-
пространственно-подобными интервалами, не влияют одна на другую. Иными
словами, это означает, что локальные наблюдаемые, заданные
в разделенных таким образом областях, коммутируют. Нам уже
известно, что это можно также связать со свойствами коммутации
(или антикоммутации) фундаментальных полей. Для простоты
рассмотрим здесь только случай бозе-полей. В математическом
смысле соответствующие свойства коммутаторов полей связаны
с аналитическими свойствами их фурье-образов. Этот факт лежит
в основе исследования показателя преломления света в среде,
выполненного Крамерсом и Кронигом, установивших связь между
дисперсией и абсорбцией. Отсюда и название «дисперсионные
соотношения», применяемое для аналитических представлений
амплитуд рассеяния.
Проиллюстрируем эти представления на примере. Рассмотрим
упругое рассеяние частицы А с массой та на частице мишени В
(с массой ть). Предполагается, чго обе частицы не имеюг спинов

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 297
(во избежание усложнений, связанных с техническими деталями,
по существу не изменяющих выводов), но могут обладать зарядом.
Следовательно, мы будем отличать частицу А от античастицы А
и используем для их совместного описания комплексное поле ф,
рождающее А и уничтожающее А. Пусть ql и q2— начальный
и конечный импульсы частицы A, a pt и р2— начальный и конеч-
конечный импульсы частицы В; тогда связную часть амплитуды рас-
рассеяния можно записать в виде
Sfi = - J dH d*y е1 «щ-«.-*>(пу + mj) (?, + m|) </>,|7У (у) <р (x) \ Pl >.
E.169)
Здесь множитель Z~4' мы включили в определение поля. В случае
когда qx и q2 находятся внутри верхней полы светового конуса,
и правой части выражения E.169) хронологическое произведение
операторов можно заменить запаздывающим коммутатором
7V(У) ф(х)-8 (у°—х°) [cpt (у), Ф(ХI
не изменяя величины Sfi, Справедливость этого утверждения
фактически доказана при выводе редукционных формул в разд. 5.1.3.
Введем источник / (х) поля ф(х) с помощью следующего уравнения:
(? + т2)<р (*) = /(*) E.170)
и для простоты предположим, что ф и / коммутируют при равных
временах. Учитывая трансляционную инвариантность, выражение
E.169) можно записать в виде
Sft = Bя)« б' (p2 + q2-p1~q1) &,
где
§[ () ()]^>- EЛ71)
Лоренц-инвариантность означает, что для частиц на массовых
поверхностях ST зависит лишь от скалярных произведений им-
импульсов, т. е. от двух из трех переменных Мандельстама.
Вследствие локальности запаздывающий коммутатор
<p2j8(z°)[/+(z/2), / (—г/2)] |/?!> обращается в нуль, если не вы-
выполняются условия г2 > 0, z0 > 0. Анализ выражения E.171)
показывает, что Ж—это аналитическая функция 4-вектора q
в так называемой трубе будущего, определяемой условием, что
Im q является положительным времениподобным вектором. Это
следует из предположения, что матричные элементы полей яв-
являются обобщенными функциями умеренного роста (т. е. поли-
полиномиально-ограниченными). Действительно, если q*=q%-\ Щ/, то

298
ГЛАВА 5
экспонента в E.171) обеспечивает обрезающий фактор е ''"', если
как 2, так и q, — положительные времениподобные векторы.
Рассмотренный пример указывает на прямую связь между
свойствами локальности релятивистских полевых теорий и ана-
аналитическими свойствами функций Грина.
Прежде чем анализировать математические следствия этого
результата, напомним свойство перекрестной симметрии. Предпо-
Предположим, что вместо процесса А (д,) + В (рх) —> A (q2) + В (р2) мы
изучали бы рассеяние античастицы А на той же самой мишени
В: A (<7i)+5(Pi)—* A (qt)-\-B(p2). Соответствующая амплитуда <#~
дается выражением
/ (|) , /t (-2.)]
Заменяя переменную интегрирования z на —z, это выражение
можно переписать также в виде
Эта амплитуда отличается от амплитуды еГ, определяемой выра-
выражением E.171), в двух отношениях Импульс q — (\/2) (q1 -\-qt)
заменен на —q — (l/2)(—q^—qj, а запаздывающий коммутатор —
на опережающий:
<Л| в (г1)
Мы можем изучать амплитуды $~ и J7" для произвольных значе-
значений их ар1ументов, вместо того чтобы рассматривать реальные
физические процессы, когда q и q принадлежат верхней поле
светового конуса Покажем, что величина
7Q
обращается в нуль в некоторой области. Эта функция является
фурье-образом коммутатора:
! /@)|Pi>б*
ay E.173)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
299
Если вакуум представляет собой изолированную точку в спектре,
что означает отсутствие безмассовых частиц, то состояния |н>
таковы, что в каждой из сумм выражения E.173) существует
наименьшая положительная величина р\ (вклад вакуума исклю-
исключается гипотезой о связности). Следовательно, вне области, огра-
ограниченной двумя полами гиперболоидов, изображенными на рис. 5.8,
С (q) — Q. Одна из пол соответствует массе М + , другая—массе М_,
а их центры расположены соответственно в точках —-A/2) (/?х -+- р2)
и A/2)(/?х + /?2) О/сюда заключаем, что амплитуды <&~(p2,q2; p^qj
РИС. 5.8. Две полы гиперболоида, ограничивающие носитель коммутатора
в импульсном пространстве Незаштрихованная часть рисунка соответствует
области совпадения, обозначаемой %.
и ?Г (р%, — qx\ pv —q2) совпадают в нефизических точках, распо-
расположенных в незаштрихованной области рис 5 8 Это и есть
свойство перекрестной симметрии, которая связьгеает процессы,
получаемые друг и-i друга заменой частицы в начальном (конеч-
(конечном) состоянии на античастицу с противоположным по знаку
(а потому не физическим) 4-импульсом в конечном (начальном)
состоянии Понятие перекрестной симметрии станет содержатель-
содержательным, если нам удастся показать, что, отправляясь от физических
значений импульсов, с помощью аналитического продолжения
можно перейти в область совпадения амплитуд Это свойство
является замечательным следствием теории поля
Пусть функция аГ(д) определяется выражением E 172), в ко-
котором величина — q заменена на q. Заметим, что &Г (q) акалитична
в трубе прошлого, т. е когда \mq-~отрицательный временипо-
добный вектор
Таким образом, $~ (q) и $~(q) заведомо имеют непересекаю-
непересекающиеся области аналитичности и совпадают в вещественной
области %. Знаменитая теорема об острие клина, доказанная

300 ГЛАВА 5
Бремерманном, Оме и Тейлором1), позволяет нам сделать вывод,
что амплитуды <0~ (q) u ^ (q) являются аналитическими продол-
продолжениями одна другой и, кроме того, их общая область анали-
аналитичности шире, чем объединение труб будущего и прошлого
и области ?.
Если бы мы имели дело с функциями только одной комплексной переменной,
то задача решалась бы легко. Действительно, если функции f± (г) аналитичны
соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости г
и совпадают на некотором отрезке вещественной оси, ю из теоремы Коши
следует, что они представляют собой ве1ви одной и той же аналитической
функции. Точки совпедения действительно являются точками аналитичности.
Однако наш случай оказывается, очевидно, более сложным. Около каждой
точки совпадения имеются щели, уходящие в пространсгвенно-подобных мни-
мнимых направлениях, где ни JT, ни $~ не определены. Отсюда и образное
название — острие клина. Кроме того, анализ в случае нескольких комплекс-
комплексных переменных скрывает новые свойства по сравнению со случаем одной
комплексной переменной. В многомерном случае, например, играет важную
роль понятие оболочки голоморфности. Функцию нескольких комплексных
переменных, аналитическую в области ®, можно продолжить по меньшей
мере в область ?50 zd &D с тем свойством, что для любол из ее граничных
точек мы можем найти аналитическое многообразие, т. е. набор нулей анали-
аналитической функции, лежащих (за исключением граничной точки, о которой
идет речь) полностью вне области ??)¦ Это свойство называется псевдорыпук-
лостыо (по аналогии с обычной выпуклостью), причем плоскости заменяются
аналитическим многообразием В рассматриваемом случае, хотя и возможно
чисто геометрическое построение области ??), решить эту задачу позволяет
полезное представление, обобщающее представление Челлена—Лемана для
вакуумного среднего 'коммутатора.
Читатель может задаться вопросом, достаточно ли исходной области анали-
аналитичности, включающей трубы прошлого и будущего, чтебы можно было опи-
описать хотя бы такой простой случай, как рассеяние вперед, когда р1 = р2 = р
и 9t=<?2 = <?- Следующее замечание рассеет наши сомнения. Пусть комплекс-
комплексный вектор q принадлежит массовой поверхности. Запишем его в виде
q = q^-\-i(J!- Тогда условие та = ог = цц— qi — Hqg-q/ означает, что q^ и ql
ортогональны, а для времениподобного <?/ это невозможно. Действительно,
если бы это было так, то из условия ортогональности вектор qp должен быть
пространственно-подобным, т. е. ?/? < 0, а значит, и разность q% — q\ была бы
отрицательной. Таким образом, лишь q с отрицательным или комплексным
квадратом массы принадлежит тр\бе. Для таких нефизических значений можно
сразу написать дисперсионное соотношение, чтобы получить информацию
о физических процессах. Нам, однако, остается еще решить задачу нахожде-
нахождения подходящего аналитического продолжения по q2.
') Теорема, получившая позднее название теоремы об «острие клина», была
впервые сформулирована и доказана Н. Н. Боголюбовым в 1956 г. при обос-
обосновании им дисперсионных соотношений в квантовой теории поля. См. допол-
дополнение к примечаниям в конце настоящей главы.— Прим. перев..

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 301
5.3.3. Представление Йоста — Лемана — Дайсона
Это—представление матричного элемента коммутатора C(q), опре-
определяемого формулой E.173), согласующееся со спектральными
свойствами в импульсном пространстве и свойствами носителя
в конфигурационном пространстве Напомним, что коммутатор
свободных полей Д (х, (я2) [см формулы C.55) и C.56)] равен
нулю вне светового конуса и имеет нечетный фурье-образ, сосре-
сосредоточенный на гиперболоиде, соответствующем массе ц1. Пред-
Представление Йоста —Лемана—Дайсона определяет С (д) как супер-
суперпозицию коммутаторов свободных полей в конфигурационном
пространстве или свертки этих коммутаторов в импульсном про-
пространстве:
С (д) = J d*k d[iH fa0—k°) б [fo—А)»—ц«] р (k, ц,2). E.174)
s
Весовая функция р отлична от нуля только для тех значений k
и ц.2, для которых гиперболоид (q — kJ=ji? не пересекает область %.
Такие гиперболоиды называются допустимыми. Их центры k лежат
в области, образуемой пересечением верхней полы светового
конуса с центром в точке —(рл-\-р2)/2 и нижней полы светового
конуса с центром в точке (pl + pi)/2. При этом нижним пределом
интегрирования по (я является величина
Очевидно, что C(q), определяемое выражением E.174), обладает
всеми требуемыми свойствами. Дайсон показал, что справедливо
также обратное, а именно что для С (q) всегда можно написать
представление этого вида. Интересующихся подробностями чита-
читателей мы отсылаем к статьям, цитируемым в примечаниях в конце
данной главы.
Соответствующее представление для амплитуды можно полу-
получить, если просто сравнить формулы E.171) и E.173). Помимо
фактора i они различаются из-за наличия ступенчатой функции
в E.171), которая умножается па коммутатор, заданный в кон-
конфигурационном пространстве При умножении этих обобщенных
функций нам надо соблюдать осторожность, поскольку вклад от
произведения их в точке г = 0 нуждается в доопределении, Пре-
Пренебрегая на время этой трудностью, мы получаем в импульсном
пространстве свертку
Физическая амплитуда восстанавливается при переходе к пределу
вещественных положительных времениподобных значений д с ис-

302
ГЛАВА 5
чезающе малой мнимой частью, лежащей в верхней поле свето-
светового конуса
Может случиться так, что интеграл по fx2 расходится при
больших значениях. Это является отражением в импульсном про-
пространстве того факта, что запаздывающий коммутатор плохо
определен. Однако можно произвести вычитание
где п—целое, a P(q)— полином от q, причем без изменения ана-
аналитических свойств, вытекающих из выражения E.175). Поэтому
мы не будем далее эти вычитания записывать в явном виде.
Представление E 175) задает S~ (q) как аналитическую функцию
для любых вещественных и комплексных точек, которые не при-
принадлежат допустимым гиперболоидам.
Область аналитичности <%), связанную с представлением Йоста—Лемана —'•
Дайсона, трудно описать в наглядном виде. Поэтому позаимствуем из работы
Броса, Фруассара, Омнё и Стора следующую полезную геометрическую кон-
конструкцию. Прием состоит в том, чтобы ввести пятую координату г и отобра-
вить исходное комплексное 4-мерное пространство q на поверхность второго
РИС. 5.9. Область % (заштрихованная
q0 часть рисунка), представляющая собой
выпуклую оболочку области совпадения
% в пятимерном пространстве.
порядка Р: г-=<?2. Таким образом знаменатель в выражении E.175) заменяется
линейным выражением (по г и q), г — 2q-k-{-ki — (i2, и допустимые гипербо-
гиперболоиды — соогвегстпукэш.ими плоское 1ями с параметрами (k, ц2), принадлежа-
принадлежащими S. Теперь <_ каждой комплексной точкой (г, q) связывается комплекс-
комплексная прямая линия L(z,q), описываемая параметрически величинами Re г+
+ X Im г. Res + XImg. Если (г, .,) принадлежит Р, го Р принадлежи! и юпря
женная ей точка, а потому прямая L (г, q) пересекав! Р в двух точках
(соответствующих Х-— ± i). Из свомсгв поверхностей второго порядка следует,
что вещественные точки прямой L (г, q) (получаемые при вещественных X) не
могут принадлежать Р, так чго при условии вещественности прямые L (z, q)
проходят полностью выше или полностью ниже поверхности Р. [Возможен
исключительный случай, когда L (г, q) целиком принадлежит поверхности Р.\
Веществе иная область говпаления огображается на поверхность Р в обла-
области, ограниченной двумя плоскоешми:

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 303
и догцстимые плоскости не пересекают области совпадения {§\ Условие f(.3> 0
приводит к тому, что они проходят выше плоскости, касательной к Р. По-
Поскольку мы имеем дело с плоскостями, это определяет исключительную
область- выпуклую оболочку области if (назовем ее if), которая не может
пересекаться какой-либо из допустимых плоскостей (рис. 5.9). Область анали-
аналитичности можно теперь описать следующим образом. Комплексная точка (z, q)
принадлежит ей в любом из указанных ниже случаев. I. Прямгя L (г, q)
проходит полноаью ниже поверхности Р. Этот случай соответствует исходным
трубам. 2. /. (г, q) пересекает оболочку %. Действительно, если бы точка (г q)
принадлежала допустимой плоскости, то это же относилось бы и к сопряжен-
сопряженной с ней точке. При згом вследствие линейности прямая L (г, q) принадле-
принадлежала бы допустимой плоскости и не пересекала бы %.
5.3.4. Дисперсионные соотношения
для амплитуды рассеяния вперед
Теперь мы можем изучить упругое рассеяние вперед (когда
Я^ — Яг — Ц' Pi~ Pi — Р) в зависимости от начальной энергии v =
— q p/mb = (s—ml—nrb)/2mb. Нам надо показать, что соответ-
соответствующая функция является аналитической в плоскости с разре-
разрезами на вещественной оси. В свете замечаний, сделанных в конце
разд. 5.3.2, это нетривиальный результат. Мы, естественно, будем
рассматривать случай q2 = m2a, что соответствует физической мас-
массовой поверхности
Чтобы решить данную задачу, пересечем поверхность Р, построенную выше,
плоскостью г = тё, что даст в сечении гиперболоид. Нам нужно найти соот-
соответствующее пересечение с областью %. Для комплексных значений q, при-
принадлежащих массовой поверхности, вещественная линия L (ma, q) не пересе-
пересекает этот гиперболоид, с которым она имеет уже две комплексные общие точки
(та, q) и {nia, <?*). Мы отмечали, что при фиксированных р лоренц-инвари-
антность означает, что^ является функцией только той компоненты q, которая
направлена вдоль р. Считая, что эта компонента направлена вдоль временной
оси, можно ограничиться рассмотрением векторов q, имеющих только две
ненулевые компоненты, скажем q0 и qx. Таким образом, мы имеем дело фак-
фактически с двумерной задачей, третья компонента г добавлена для удобства.
Комплексной точке (т2а, q) на гиперболе q\ — q* = т% соответствует (!mqJ<0,
и она будет точкой аналитичности при условии, что L (m"a, q) пересекает вы-
выпуклую оболочку 'ё в плоскости (q0, qi). Для этого необходимо, чтобы %
пересекала обе ветви гиперболы, отвечающей массовой поверхности.
Далее область % определяется неравенствами (р ± q)'2 < M^_ или, что
эквивалентно, т\ ± Ip-q^z < М2±. Условие, что % пересекает верхнюю ветвь,
записывается в виде ml-{-2mamb+ml<; М2+, или {та-^-тьу- s? M\. Аналогич-
Аналогично условие того, что % пересекает нижнюю ветвь, имеет вид (та-\-тьJ < УИ1.
Следовательно, эти критерии позволяют исключить возникновение комплексных
сингулярностей в комплексной плоскости v. С другой стороны, нам известно,
что неравенства Mi<(mo-f-mjJ являются ограничениями на массы промежу-
промежуточных состояний А-\-В или А-\-В в суммах, входящих в выражения E.173).
Из этого мы делаем заключение, что рассмотренный выше метод позволяет

304 ГЛАВА 5
получить в лучшем случае дисперсионные соотношения для рассеяния вперед
(без комплексных синг>лярностей) лишь условно.
В некоторых случаях одна из величин М+ или УИ_ или обе они ока-
оказываются определенно меньше, чем значение упругого порога Без особых
трудностей можно разобрать один часто встречающийся случай, когда проме-
промежуточное изолиров иное состояние [с массой Мо < (та-\-Щ)^ находится ниже
порога. Такое состояние дает полюсный вклад по энергетической переменной.
Умножение амплитуды на (р ± qJ—M0 не изменяет ее аналитических свойств,
но устраняет эту сингулярность. В пион-нуклонном рассеянии, например, такой
полюс возникает ог нуклона в промежуточном состоянии.
Предположим, что, за исключением таких полюсов, выпол-
выполняется условие М\ ^ (та + /льJ Следовательно, мы приходим
к заключению, что амплитуда рассеяния вперед имеет следующие
свойства
1. Она представляет собой аналитическую функцию в комплекс-
комплексной плоскости v, за исключением рачрезов, идущих вдоль ве-
вещественной оси от ти до -f-oo и от —со до —та, и возмож-
возможных полюсов в промежутке между разрезами.
2. Амплитуда вещественна в промежутках между разречами, так
что на этих разрезах ее скачок является чисто мнимым. Это
следует из выражения E.173), примененного к случаю рассея-
рассеяния вперед.
3. Амплитуда при больших v полиномиально ограничена. Это сле-
следует из предположения о том, что поля являются функциями
умеренного росга, и, следовательно, заведомо справедливо для
зависимости от комплексной переменной v.
4 В силу перекрестной симметрии, если А = А, мы имеем
<#•(—v*) = #"(vf
Используя эту информацию и формулу Коши, получим простое
аналитическое представление амплитуды рассеяния. Для простоты
предположим, что справедливо свойство 4, т. е. Лз=Л, и что
амплитуда ©Г обращается в нуль на бесконечности. Тогда можно
написать
Полюсные +1 Р d,, ^(v,} f_^_ I \
члены ^я J v '\\' — v v'+v)
(ma+mbf
E.177)
Если бы oT(v) имела степенной рост в зависимости от v, то ана-
аналогичное представление было бы справедливо для функции, полу-
получаемой делением ?Г(\) на вещественный полином от v.
Следует подчеркнуть, что рассмотренное выше представление
содержит лишь физически измеримые величины Абсорбтивная
часть ImeT(v) связана с полным сечением с помощью оптической
теоремы [формула E.156)], в то время как вычеты от возможных

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 305
полюсных членов являются произведениями констант взаимодей-
взаимодействия. Действительно, используя формулы типа E.177), можно
измерять такие константы взаимодействия.
В качестве иллюстрации рассмотрим традиционный пример, а именно пиои-
нунлонное рассеяние. Запишем для произвольных зарядов две независимые
амплитуды в виде
|](Л), E.178)
где и (р2), и (pi) — дираковские спиноры, описывающие нуклоны в конечном
(с импульсом р2) и начальном (с импульсом р{) состояниях на массовбй по-
поверхности. Начальный пион имеет импульс ь а конечный—импульс q%.
Кинематические инварианты выберем следующим образом:
5=И73 = (р1+<?,)а,
' = (<7i-<hJ = -2?2(l-«>s9), E.179)
и = (Pl—q^ = 2Л12-Г-2Ц2—s—(.
Здесь М и [х—массы соответственно нуклона и пиона, 9—угол рассеяния
в системе центра масс, i? —трехмерный импульс пиона, a W— полная энергия
в этой системе; таким образом,
Ч
В соответствии с разделом 5.1.1 дифференциальное сечение имеет вид
В выражении для $" E.178) функции А к В зависят только от инвариантов.
Предвосхищая обсуждение симметрии (см. гл. 11 в т. 2 настоящей книги),
используем то обстоятельство, что сильные взаимодействия обладают свойством
изотопической инвариантности и что изоспин нуклона равен 1/2, а изоспин
пиона 1. Следовательно, все каналы описываются с помощью двух матричных
элементов, соответствующих полным изоспинам 1/2 или 3/2, т. е. для любого
процесса с конкретными зарядами частиц функции А и В записываются в виде
комбинаций соответсшенио величин А1, Аъ и б1, В3. Это позволяет написать
следующие соотношения:
п~п
п~п /
Последние два процесса называют реакциями с перезарядкой. Поскольку три
наблюдаемых процесса описываются лишь двумя редуцированными амплиту-
амплитудами, мы получаем для сечений неравенства треугольника. Удобно ввести

306 ГЛАВА 5
комбинации амплитуд
(<7ь <h) = ± <Г(±) (- 92. -9i). E.I83)
1 G-3
21
соответственно четную или нечетную по отношению к перестановке S4->u.
Учитывая явную структуру выражения E.178) и используя переменную
v = (s— и)/Ш, E.184)
Нечетную по отношению к кроссинг-преобразованию (заметим, что при t = 0
величина v совпадает с энергией налетающего пиона в лабораторной системе),
получаем соотношения
Л(±)(—v, /)=± -4l±)(v, t),
B<±)(_v. ()=TS(±)(v, 0- EЛ85)
При ^ = 0 эти амплитуды являются аналитическими (по v) в плоскости с раз-
разрезом вдоль вещественной оси от упругого порога [s = (M -\-\i2), v = [i] до
-Ноо («разрез) и от — оо до порога в ц-канале [« = (УИ -\-цJ, v = —ц].
Кроме того, на вещественной оси встречаются изолированные полюсы,
соответствующие нуклонному промежуточному to гоянию в s- и и-каналах.
Напишем лагранжиан эффективного псевдоскалярного пион-нуклонного взаи-
взаимодействия
атауЛ, E.186)
где %а — изоспиновые матрицы нуклона, а ла (а=1, 2, 3)—три эрмитовы
компоненты пионного поля. Тогда полюсные вклады можно записать в виде
+gi vjv« (р2)татэ?5 *Z.tp*? T5 « (Pi)- E-187)
Здесь 2pf4i*=2M\—1/2. Используя уравнение Дйракй для спиноров на мас-
массовой поверхности, получае'м
VP~~ 2M^~4M'
Мы видим, что полюсы дают вклад только в амплитуды В, причем
д<+> ?nNN ( ! ! )
р ~ 2М \Vp—v \p+vj'
"\' Л''; E-189)
Заметим также, что положение полюсов зависит от переменной t.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 307
Подставляя значение \р при / = 0 и временно пренебрегая вопросом
о вычитаниях, получим дисперсионные соотношения для рассеяния вперед
виде
00
4<±>(v, 0)=— С dv' Im 4(±>(v', 0) (-Д— ± -Л-) ,
2M \p p+)
f±» (^^) E.190)
В действительности можно показать, что амплитуды являются аналитическими
функциями от s при фиксированных (отрицательных) значениях /, изменяю-
изменяющихся в промежутке —^f</<0; поэтому соотношение E.190) можно обоб-
обобщить следующим образом:
H + t/iM
00
+1 f dv'ImB(±>(v', t) (-1— T^r-)¦
Эти соотношения можно использовать вместе с разложением по парциальным
волнам, описанным в разд. 5.3.1. С этой целью в выражении для сечения
E.181) перепишем величину (MHnW)ST в виде
4л W™
Г In n \ Irr.n \ 1
E.192)
где Хг и ^—начальная и конечная спиральности нуклона, а %, %* — спиноры
Паули, такие, что [ср. с B.37)]
]/~2М(М+Е) I 0 /
IОбозначая энергию нуклона в системе центра масс через Е, получаем
* Е — М
f1 = tL-JlL[A-lr(W — M)B],
_Е-М _А <5Л93>
Матрицу 2x2, входящую в E.192), можно разложить по представлениям утло-

308 ГЛАВА 5
вого момента следующим образом:
С *.(ф> 9-0)> E-194)
где J принимает полуцелые значения.
Требование Р-инвариантности накладывает на эти амплитуды условия
/i/2, 1/2 —f-\/i, -1/2 и lf/2. -i/2 = /-i/2, 1/2- а обращение времени не дает
никаких новых ограничений. Используя спинор с определенными спирально-
стями, при ф = 0 получаем
i ] q E-195)
fl/i. -1/2, / /] ^ J/
Как уже упоминалось, амплитуды, соответствующие рассеянию с определенной
четностью, имеют вид
fl=/i/2. ./2 ± fii/t, 1Л = 2вЛ1/>±8«пвл±. E.196)
Сдвиги фаз 6j ± вещественны ниже неупругого порога и соответствуют рас-
рассеянию в канал с полным угловым моментом J и четностью ± (—1)'/+1'2.
В нерелятивистском рассмотрении эти состояния получались бы при опреде-
определенном орбиильном момеше / для / = / ± 1/2, поэтому соответствующие фазо-
фазовые сдвиги традиционно обозначают также как 6(i + и 6f+i, _ соответственно.
Воспользуемся 1еперь точными выражениями для @) функций Вигнера:
1 \ е E-197)
+Т) d~1/2- V» =81П 2" (Р^ + 1/2 + РУ- i/i) •
В обозначениях 6yi+ = 6j(+, 6y_^ej+1>_ это приводит к следующим раз-
разложениям:
(cos 6) = 2 Pi (cos 6) ft, + -/,, -), E.198)
I, ±
Очевидно, что при / = 0 дает вклад только амплитуда /0] +. Теперь следовало
бы изучить вопрос о вычитаниях в дисперсионных соотношениях В разд 5.3.5
рассмотрим некоторые общие >тверждения, а здесь лишь укажем на го, что
в случае пион-нуклонного рассеяния единственной амплитудой требующей
вычитаний, является Л( + ).
Классическим приложением формулы E.190) является определение эффек-
эффективной константы связи Идея метода сводится к точной оценке на основе
низкоэнергетического фазового анализа амплитуды В для упругого рассеяния
п+ на протоне (где практически доминирует вклад от резонанса J =3/2,
Г = 3/2) и к последующему сравнению ее вещеа венной части для рассеяния
вперед со значением, определяемым дисперсионным интегралом. В последнем

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 309
также доминирует низкоэнергетический вклад, поэтому наше рассмотрение
последовательно. Значение константы, полученное Гамильтоном и Вулкоком,
равно
/2= ' (ЩМРУ = 0,081 ± 0,002. E.199)
4л \ 2М )
Дисперсионные интегралы играют основную роль при анализе различных
фазовых сдвигов при промежуточных энергиях. В качестве упражнения мы
предлагаем распространить данный формализм на реакцию в t канале пп —>¦ AW,
5.3.5. Аналитичность по передаваемому импульсу
Ниже мы б>дем пренебрегать спинами внешних частиц. Учесть спин внешних
частиц можно, xoih это и не так просто. Однако это мало влияет на оконча-
окончательный результат Вместо того чтобы начать рассмотрение с редукционной
формулы, учитывающей как начальное, так и конечное состояния частицы
(см разд 5 3.2.), мы предпочитаем редуцировать две начальные частицы
с импульсами рг и <?ъ описываемые полями if) и ф. Таким образом, связный
элемент S-матрицы запишем сначала в виде
Х<Рш,Я,\Т^(х)^(у)[О>е. E.200)
Возвращаясь к выводу этой формулы, заметим, что в физической ебласти
упругого процесса мы могли бы с таким же успехом использовать запазды-
запаздывающий коммутатор вместо хронологического произведения. Таким образом,
опуская несущественные контактные члены, можно использовать следующую
замену (где /^ и / являются источниками полей т|з и ф)
<р2, <?21 7> (х) ф {у) | 0>с — <р2,
x[/fW. /ф(#)]|0>с. E.201)
Учитывая закон сохранения импульса, получаем
<Рг, Яг I S | рь г?1>с = BлL б4 (р2 + <?2 — рг—(Ji) l& fl,
)] - E-202)
(-4)]
Отсюда мы видим, что, согласно предстаилению Йоста—Лемана —Дайсона,
амплитуда $~ является аналитической по переменной q = (q± — pi)/2, и мы
можем повторить здесь анализ, который приводился нами выше для случая
рассеяния вперед. Положим, что временная ось направлена вдоль полного
начального импульса p = pi + p2. Иными словами, будем вести рассмотрение
в системе центра масс и используем выражение E.202), чтобы изучить анали-
аналитические свойства ауплитуды по косин\су угла рассеяния. Область совпадения
опережающего и запаздывающего коммутатора, который можно применить
с тем же успехом, что и опережающий, ограничивается гиперболоидами, соот-
вегавующими наинизшич массам Mt и Мг промежуточных состояний | п>,
дающих вклад соответственно в матричные элементы
<Р2, 921 1% @) I п}<п | /ф @) | 0>, <р2, q21 /ф @) | «><« | /^ @) | 0>,
<Ml. E.203)

310
ГЛАВА 5
Стабильность частиц а (импульс <jx) и Ь (импульс /7Х) означает, что
М\ > ml, M\ > т\.
E.204)
В случае когда рассматривается амплитуда рассеяния на массово;"? поверхно-
поверхности, имеем
V2
E,205)
В пятимерном пространстве г, </ (напомним, что мы находимся на поверхно-
поверхности Р, т. е. г=<?г) эти два линейных условия определяют трехмерное линей-
РИС. 5.10. Область аналитичности по относительному трехмерному импульсу
на массовой поверхности с вещественным пересечением Si.
ное многообразие, которое должно, очевидно, иметь вещественное пересечение
с поверхностью Р. Кроме того, плоскости, определяемые уравнениями
М\, L.-2p.q+z-.
:М\,
E.206)
пересекают поверхность Р по двум гиперболоидам, ограничивающим область %_
Обозначим ее выпуклую оболочку через 4$. В силу условий стабильности трех-
трехмерное линейное многообразие, описывающее массовую поверхность E 205),
пересекает поверхность Р по сфере Slt радиус которой равен постоянному
относительному 3-импульсу q2 = Pi = qi Пересечение этого многообразия с %
также является сферой 6'2, радиус которой R больше, чем | pi |, и зависит от
масс (рис. 5.10). Таким образом, область аналитичности может быть полностью
задана с помощью вектора q. Для произвольной комплексной точки на Si

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 311
имеем
Re q Im q = 0,
Req2— Imq2 = q2. E.207)
Напомним, что под qs следует понимать обычный квадрат длины всех 3-импуль-
сив в системе центра масс для упругого рассеяния. Комплексная точка Re q+
+ [ Im q будет точкой аналитичности в том случае, когда вещественная прямая
Re^ + ^Imq пересекает сферу S2. Поскольку Im q ортогональна Req, это
означает, что Re q лежит врутрн S2, в то время как, согласно первому усло-
условию, Req2 > | Pi |2. Граница соответствует величине (ReqJ = /?2. Выразим эти
результаты через угол рассеяния
Заметим, что квадрат длины qi равен величине q2. Таким образом, У"([гх =
= q -<72. гДе Яг—единичный фиксированный вектор, а переменная х, как это
следует из соотношения E.207), изменяется внутри комплексной области, огра-
ограниченной эллипсом:
l^qiRex=/?cosa, V ql lmx = V R^—q? sin a. E.208)
Это так называемый малый эллипс Лемана, уравнение которого имеет вид
Фокусами этого эллипса являются точки х= ± 1, а большая полуось равна
В более общем случае доказательство распространяется на любой матрич-
матричный элемент ви^а <poai\Pi, </i, in> и обнаруживает аналитические свойства,
достаточные, чтобы существовало сходящееся разложение по сферическим гар-
гармоникам от относительных углов, выражающее инвариантность S-матрицы
относительно вращений.
Эллиптическая область представляет собой естественную область сходимо-
сходимости разложения по парциальным волнам, в простейшем случае рядов по поли-
полиномам Лежандра. Однако вычислить фактическое значение R не так легко.
Оказывается, что
Существование эллиптической области аналитичности для амплитуды упругого
рассеяния предполагает, что абсорбтивная часть амплитуды аналитична в эллипсе
боль!его размера (в большом эллипсе Лемана). Для значений энергии ниже
неупругого порога в этом можно убедиться следующим образом. Обращаясь
к формуле E.168), напомним, что
= 16я 2 B/+1) ff-t (s) ?i (cos 9),
l = o E.211)
V
Из оценки для полиномов Лежандра при больших / следует, что необходимое
и достаточное условие (обобщенный критерий Абеля для рядов Тейлора) схо-
сходимости разложения E.211) в эллипсе с большой полуосью cos60 > 1 состоит

312 ГЛАВА 5
в том, чтобы наименьшая верхняя граница для \S~i\1Jl была равна
1
cos90+y~cos290— 1 '
Абсорбтивная (мнимая) часть амплитуды определяется с помощью аналогич-
аналогичного ряда, в котором @~i заменено на Im^T^. Из E.211) мы видим, что это
разложение сходится в эллипсе с большой полуосью cos 9i, определяемой выра-
выражением
т. e.
cos 0i = cos 2 90.
В работах Мандельстама, Лемана, Броса, Эпштейна и Глазера эти аналити-
аналитические свойства по s и t, полученные раздельно, были обобщены как аналити-
аналитические свойства от обеих переменных. Мартен с сотр. получили важные резуль-
результаты, используя свойства положительности абсорбтивнои части. В гл. 6 у нас
будет возможность вернуться к рассмотрению данного вопроса в связи с изу-
изучением разложений теории возмущений.
В заключение данного раздела обратим внимание на два важ-
важных результата, которые накладывают ограничения на поведение
амплит} л при больших энергиях и находятся в тесной связи
с аналитическими свойствами.
Первый из них —это полученное Фруассаром ограничение на
поведение полного сечения при больших значениях s. С интуи-
интуитивной точки зрения может показаться, что при s—><x> сечения
будут ограниченными, если радиус сильных взаимодействий коне-
конечен. В действительности дело обстоит не столь просто, даже
в экспериментальном аспекте. Это объясняется тем, что когда
взаимодействия переносятся частицами со спином, могут также
действовать силы, зависящие от скорости. Для получения этого
результата необходимо сделать следующие предположения.
1. Расширение области аналитичности таково, что дисперсионные
соотношения по s при фиксированных | /1 < ttl могут быть
записаны с не более чем п вычитаниями Полиномиальное огра-
ограничение возникает в рамках аксиоматического подхода, а также
последовательно во всех порядках теории возмущений в лагран-
жевой теории поля, Можно показать, например, для пион-нук-
лонного рассеяния, что в дейстрительности ll=im%.
2. Учитывая соотношение / = —2</2A—cos 8) и то, что разложе-
разложение по полиномам Лежандра для абсорбтивнои части, как можно
показать, сходится внутри эллипса с большой полуосью cos Эо =
5=?! -j-ro/2<72 (расширение большого эллипса Лемана вследствие

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 313
условия положительности), мы можем записать
При фиксированных значениях х > 1 величины Р{ (х) положи-
положительны и возрастают экспоненциально с ростом /.
В сущности Р[(х) ведет себя как функция (х-\-\^х2 — 1) , так
что ряд для абсорбтивной части при больших s эффективно обре-
обрезается при некотором 1^^ порядка
/MaKC=nlns-pL-. E.213)
Вследствие условия унитарности
разложение амплитуды в физической области, в которой
макс
| Pt (cos 0) | ^ 1, ограничено величиной 16л ^ B/ + 1) | &~t \,
и снова вследствие условия унитарности мы имеем 13~г | < V s/2</~ 1.
Таким образом, получаем
cos0)| < 16лZLKl= const-s(InsJ. E.214)
Точную оценку фигурирующей здесь константы можно получить
при рассмотрении максимального числа вычитаний п. Фактически
это число может быть сведено к двум, если использовать огра-
ограничение, аналогичное E.214), в и-канале и применить теорему
Фрагмена — Линделефа. Последняя показывает, что граница s(lnsJ
справедлива и для комплексных направлений; следовательно, /2=2.
Таким образом, граница Фруассара определяется неравенством
\<F(s, cos 9) | < 16л?- (In бJ, E.215)
а из оптической теоремы следует, что
<(М
E-216)
Хотя масштаб энергии под знаком логарифма не определен, уди-
удивительно, что тенденция, обнаруживаемая в экспериментальных
данных, полученных на последнем поколении ускорителей, нахо-
находится в качественном согласии с данным ограничением Величи-
Величину E.213), на которой происходит обрезание углового момента,
можно связать с эффективным радиусом поглощения р = /MaKC/t/ ~
/^ Исходя из аналогии с потенциальной теорией, мы

314 ГЛАВА 5
имели бы р ~ \\у t0 A/2 mn для пион-нуклонного рассеяния).
В действительности радиус поглощения отличается от этого наив-
наивного предсказания только логарифмическим ростом с энергией.
Используя свойства аналитичности, можно получить еще один
результат, а именно то, что полные сечения рассеяния частицы
и античастицы на данной мишени оказываются асимптотически
одинаковыми.
Впервые этот результат теоретически получил Померанчук.
Формулировка его теоремы нуждается в некоторых оговорках,
поскольку полные течения рассеяния могут возрастать при больших s
как (InsJ. Пусть о—сечение рассеяния частицы, а а—то же для ан-
античастицы; тогда можно показать, что о/о—> 1 при s—>оо.
Вопросу о роли свойств локальности и унитарности,
которые определяют закономерности рассеяния, можно было бы и
следовало бы уделить гораздо больше внимания Более глубокое
изложение этого материала имеется в обширной литературе, по-
посвященной данному вопросу.
ПРИМЕЧАНИЯ
Представление Челлена —Лемана описывается в книге: Kallen G. Quantum
Electrodynamics.— Berlin: Springer-Verlag, 1972. Асимптотическая теория под-
подробно рассмотрена в работе: Lehmann H., Symamik К., Zimmermann №.— Nuovo
Cimento, 1955, vol. 1, p. 205. В статье: Schduinget J.— Phys Rev. Lett., 1959,
vol. 3, p. 296, рассмотрен вопрос о дополнительных членах в коммутационных
соотношениях гоков.
В настоящее время вычисления по теории возмущений используются ' в
качестве упражнений на учебных занятиях. Подробное изучение эффекта Ком-
птона можно найти в книге: Evans R. D. Handbuch der Pbysik, 1958, vol.
XXXIV. p. 218.
Основы теории дисперсионных соотношений изложены в следующих кни-
книгах, которыми читатель может воспользоваться в соответствии с его вкусом:
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей, изд. 3-е,
перераб.— М.: Наука, 1976; Dispersion Relations and Elementary Particles.—
Proc. of the 1960 Le"s Houches Summer School/ed. C. de Witt, R. Omnes.—Paris: Her-
Hermann, 1960 (см..например, Goldberger M. L., Wigh.tm.an A. S., Omnes R.); —Disper-
—Dispersion Relations, 1960, Scottish Universities' Summer School/ed. G R. Screation.—
Edinburg: Oliver and Boyd, 1961; Dispersion Relations and Their Connection with
Causality.—Proc. of the International 1964 School of Physics Enrico Fermi/ed.
Wigner E. P.— New York: Academic Press. 1964 (см., например, Froissart M.).
Пион-нуклонное рассеяние рассмотрено в книге: Hamilton J.— Strong In-
Interactions and High Energy Physics, 1963 Scottish Universities' Summer School/
ed R. G. Moorhou-se,— Edinburgh: Oliver and Boyd, 1964.
Обзор работ по аналитическим свойствам и их физическим следствиям,
вытекающим из основных принципов, включая обсуждение различных высоко-
энергетических границ см. в лекциях: Martin А. В книге: Physique des Parti-
cules, Les Houches 1971 Summer School/ed. С de Witt, С Itzykson.—New York:
Gordon and Breach, 1973.
Основы теории 5-матриц обсуждаются в книге: Iagolnitzer D. The S-Matrix
— Amsterdam: North-Holland, 1978.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 315
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Метод дисперсионных соотношений в квантовой теории поля был предложен
Гелл-Манном, Голдбергером и Тиррингом (см. Phys. Rev. 1954, vol. 95, p. 1612
[Имеемся перевод; Проблемы современной физики, 1955, № 3, с. 195] и строго
обоснован исходя из общих флзичеекчх требований Боголюбовым (см. Боголю-
Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных
соотношений.— М.: Фиэматгиз, 1958). В последней монографии имеется дока-
доказательство теоремы об «оарие клина»; см. также: Владимиров В. С. В сб.
статей: Проблемы теоретической физики.— М.' Наука, 1969.
Дисперсионные соотношения сыграли важную роль в развитии теории
взаиуодействия частиц, в первую очередь сильных взаимодействий. В част-
частности, на их основе получена георема Померанчука (Померанчук И. Я-—
ЖЭТФ, 1958, 34, с. 725). Теорема Померанчука была уточнена; получено ее
более простое доказательство с помощью теоремы Фрагмена—Линделефз из
теории аналитических функций в работах: Sugawara M., Kanazawa A.,— Phys.
Rev., 1961, vol. 123, 1995; Мейман Н. Я.—ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 2277. Да-
Далее следует указать работы, в которых теорема Померанчука была обобщена
на дифференциальные сечения и было выведено соотношение
dq/dt
da/dt «-*»
при фиксированном переданном импульсе (см.: Логунов А. А., Нгуен Ван
Хьеу, 'Говоров И. Т., Хрусталев О. A.,— Phys. Lett., 1963, vol 7, p. 69, 71;—
ЖЭТФ, 1965, т. 46, стр. 1079; Van Hove L.— Rev. Mod. Phys., 1964, vol. 36r
p. 655).
Использование асимптотического поведения Редже в дисперсионных соот-
соотношениях но энергии привело к гак называемым правилам сумм при конечных
энергиях (см.: Логунов А. А., Соловьев Л. Д., Тавхелидзе А. Н.— Phys. Lett.,
1967, vol. 24В, p. 181; Igi К., Maisuda S.— Phys. Rev. Lett., 19S7, vol. 18
p. 625).
Аналитическим свойствам амплитуд и различным следствияу из них по-
посвящены следующие монографии: Колит П., Сквайре Е Полюса Редже в
физике частиц.—М.: Мир, 1971; Ширков Д. В., Серебряков В В., Мещеря-
Мещеряков В. А. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энер-
энергиях.— М.: Наука, 1967; Xetin К., Эпштейн А. Аналитические свойства
амплитуд рассеяния в локальной квартовой теории поля.— М.: Атомиздэт. 1971.

Глава 6
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В настоящей главе будет развита релятивистская теория всяму-
щений и диаграммная техника Фейнмана Мы рассмотрим, в част-
частности, случай, когда лагранжиан взаимодействия содержит произ-
производные, а также установим связь ряда теорий возмущений с
разложением по степеням постоянной Планка и изучим некоторые
простейшие топологические свойства. Будет введено параметри-
параметрическое представление интегралов Фейнмана, и на его основе по-
построено продолжение в евклидову область В заключение обсудим
аналитические свойства амплитуд и их поведение на разрезах.
6.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
Основной задачей теории поля является вычисление функций
Грина, т. е. вакуумных средних хронологических произведений
взаимодействующих полей:
G(xu -.., хга) = <0|7[ф(*1)...Ф(х„)]|0>. F.1)
Для ясности изложения рассмотрим здесь произвольное скаляр-
скалярное поле (или несколько таких полей) ср, а изложению квантовой
электродинамики посвятим разд. 6.1.2. Удобно объединить все
функции Грина в производящий функционал
= <01 T exp [i J d*x j(x) <p (*)] 10>. F.2)
При этом в соответствии с выражением E.38) запишем S-матрицу
в следующей компактной форме:
^^]}),. F.3)
Это соотношение представляет собой производящий функционал
для редукционных формул. Поле ц>(х) удовлетворяет динамичес-
динамическим уравнениям, полученным с помощью лагранжиана
^(Ф) = ^о(ф) + ^83(Ф), F.4)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 317
где J?o—квадратичный по полю фвз свободный лагранжиан, а
¦З'вз—лагранжиан взаимодействия Ради простоты предположим
сначала, что <2?вз не содержит производных полей Поскольку,
вообще говоря, для функций Грина нельзя найти точного выра-
выражения, нам приходится использовать теорию возмещений. При
этом J?B3 рассматривается как малая добавка к „2%. Обычно J?B3
зависит от одной или нескольких констант связи, и разложение
теории возмущений оказывается степенным рядом по этой или этим
константам. Однако, даже если константа связи мала, как в
электродинамике, где a = e2/4ni^c = l/137, мы не можем быть
уверены в сходимости этого ряда Как мы увидим ниже, имеются
некоторые указания на то, что он является расходящимся асимп-
асимптотическим рядом. Во всяком случае, разложение теории возму-
возмущений можно рассматривать как формальный математический ряд,
из которого может быть извлечено много информации.
В случае когда теория содержит несколько констант связи,
естественный «малый? параметр можно отождествить с %. Соот-
Соответствующий ряд можно также описать топологически. Это раз-
разложение по петлям, соответствующее возрастающему числу неза-
независимых петель в соответствующих диаграммах. Таким образом,
разложение теории возмущений можно одновременно рассматривать
как ряд по малой константе связи, как полуклассическое разло-
разложение в окрестности свободного поля и, наконец, как процедуру,
определенную топологически.
Начнем рассмотрение, как и в предыдущих главах, с некото-
некоторого эвристического построения и пренебрежем сначала такими
трудностями, как предел бесконечного объема, возможное появ-
появление ультрафиолетовых расходимостей или правильное определе-
определение лагранжиана. Эти вопросы мы рассмотрим позднее.
6.1.1. Самодействующее скалярное поле
Как уже отмечалось, мы ограничиваемся сначала рассмотрением,
скалярного поля q>. В гл. 4 было показано, что формально суще-
существует унитарный оператор U (t), который преобразует свободное
поле ф1п во взаимодействующее поле ф(/):
где U(t) = T exp \—i[ dt' HB3 (t')\. F.6)
Поскольку лагранжиан взаимодействия не содержит производных
поля, мы имеем
J
Х"ж1

318
ГЛАВА 6
Введем оператор U (*„ /,) более общего вида:
L tt
!)=/, F.8)
еде SB3 выражается, как и выше, через ф,„. Этот оператор обла-
обладает следующими свойствами:
U(t,-oo) = U(t), U(tlt t,)U(tt, t,) = U(tlt g.
Выведем теперь фундаментальное соотношение
<0|Гехр[/ ]й*хЦх)ц>(х)]\0>^
<01 Т ехр Гt[ db {i?B3 [фш (*)] + / (x) Фи, M}1 10>
= J ^-ЬЦ-т: —! 1-- F.9)
<0 I Гехр {' \ 4*x JSB3 [ф,0 (*)] } I 0>
Эквивалентное соотношение получается, если приравнять коэффи-
коэффициенты при n-й степени / в разложении F.9) по /:
<01 7\pln (xt) ¦ '(Fin Un) e^P { ' \ d*x JeB3[<Vin W]} I 0>
В правой части соотношений F.9) и F.10) символ Г-произведения
относится ко всему выражению. Это означает, что после разло-
разложения экспоненты в степенной ряд по <2\3 все поля ф1П должны
быть упорядочены по времени При этом вакуумное состояние [0>
следует понимать как вакуумное in-состояние |0in>.
Предположим, что взаимодействие адиабатически выключается
в отдаленном прошлом; отсюда следует, что lim U(t)=l. Рас-
/-»¦— со
смотрим упорядоченное во времени множество точек хг, •••, хп,
удовлетворяющее неравенствам х\ > х\ > • ¦ • > х°п. При этом мы
имеем
<017>(xj• - .ф(хпI0> = <01Ф (xj- ¦ -ф(хп) 10> =
= <01U'1 (tj Фш (xj U (tlt /,) ф1п (xj • ¦ • X
Для отдаленного момента времени /, такого, что
мы можем записать
U(tJ**U(ta, -t)U(-t)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 319
Таким образом,
n (хп) ехр - / ) dt'HB3 (f) №(-t) |0>. F.
Эта формула остается верной в случае произвольного упорядоче-
упорядочения во времени х\, ^••, х\ в пределах .интервала (—/, t). Пола-
Полагая t—*-оо, получаем
\\rnU (— 0|0> = |0>. F.12)
В том же пределе величина <0| U'1 (t) с точностью до фазы должна
быть равна <01, поскольку предполагается, что вакуумное сос-
состояние стабильно. Следовательно,
F.13)
Подставляя F 12) и F.13) в F.11), приходим к искомому соот-
соотношению F.10). Наш вывод носит лишь эвристический характер',
поэтому соотношения F.9) и F.10) можно рассматривать как оп-
определения .
Замечательно то, что соотношения F.9) и F.10) приводят к
явно ковариантным выражениям,— это обстоятельство Ht казалось
тривиальным в период создания релятивистской теории возмуще-
возмущений. Согласно теореме Вика, Т-проивведение сводится к опреде-
определенным комбинациям нормальных произведений и ковариантных
пропагаторов. «Бухгалтерию» этих комбинаций можно перевести
на язык диаграмм, к рассмотрению которых мы сейчас переходим.
Разложим в числителе выражения F.10) экспоненту в ряд и
будем опускать всюду в дальнейшем индексы «in». Тогда получим
G (х„ • • •, *„) <01 Гехр [/ J d'x &вл(х)] 10> =
со
р=йн
F.14)
Для определенности рассмотрим так называемую теорию ф4:
] = ^:^{Х):. F.14а)
Все последующие рассуждения нетрудно обобщить на произволь.
ное полиномиальное взаимодействие без производных. Нормирую-
Нормирующий множитель 1/4! введен для удобства, поскольку при вычис-
вычислениях он приводит к устранению комбинаторных факторов.

320 ГЛАВА 6
Перед константой связи знак минус выбран таким же, как и в
классической теории с полным лагранжианом (дцфJ/2—т2ф2/2 —
— Хф"/4!), что обеспечивает устойчивость решения ф = 0 уравнения
движения. Подставляя в F.14) выражение F.14а), получаем
G{xlt
р=0
F.15)
Чтобы вычислить вакуумное среднее хронологического произве-
произведения свободных полей, применим теорему Вика [соотношение D.65)]
с элементарным спариванием
«Ж(у) = <0|ГФ (х) Ф(у) @> = J (gitf-^+fe«-*•«*-*>. F.16)
Напомним, что спаривание двух полей, стоящих под знаком нор-
нормального произведения, отсутствует. Данное множество спарива-
спариваний удобно представить с помощью диаграммы, вклад которой
можно вычислить по соответствующим правилам. Сформулируем
эти правила сначала в конфигурационном пространстве. Посколь-
Поскольку в теории ф4 [F.14а)] не равны нулю лишь функции Грина с
четным числом внешних полей, заменим п на 2га. Сопоставим
члену /?-го порядка
(-^<0|Гф(х1)...ф(^п)^|^-...-^|^|0> F.17)
сумму вкладов, каждому из которых соответствует диаграмма
Фейнмана. На такой диаграмме хг, ' •', х2п—концы внешних ли-
линий, a ylt •••, ур — вершины. Из каждой вершины выходят че-
четыре линии, причем каждая линия соединяет две различные
точки: ха и хь, или ха и уа, или уа и y(i (аф$). Линии,
соединяющей точки г{ и Zj (z = xa или уа), соответствует пропа-
гатор ф (г;) ф (Zj). Каждой вершине сопоставляем множитель —IX.
Наконец, следует учесть так называемый фактор симметрии, от-
отвечающий учету всех возможных спариваний, приводящих к дан-
данной диаграмме. Если мы свернем все четыре поля, входящих в
моном :ф4 (г/а):/4! с четырьмя полями, зависящими от других
аргументов, мы получим комбинаторный множитель 4!, который
компенсирует множитель 1/4!. С другой стороны, если две линии,
выходящие из уа, оканчиваются в одной и той же точке у$, мно-
множители 1/4! в вершинах уа и у$ сокращаются только частично.
В случае, изображенном на рис. 6.1, а, этот множитель равен 1/2!.
Он получается в результате следующей операции: 1/4! х 1/4!(началь"
ные вершинные факторы)х4x3 (число возможных спариваний

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
321
zi—Уи 22—2/i)x4x3 (спаривания zs — yit г4— у?)х2 (спарива-
(спаривание между г/х и у2). Аналогично в случае рис. 6.2,6 имеем 1/3!.
Вообще говоря, фактор симметрии равен 1/S, где S—порядок
группы симметрии диаграммы, т. е. группы перестановок линии
в случае, когда вершины являются фиксированными.
хз<
a
РИС. 6.1. Примеры диаграмм, имеющих фактр симметрии, а—S=2!;
Сформулируем правила Фейнмана для Т-произведения F.17).
1. Нарисовать все различные диаграммы с 2л внешними точ-
точками xv ' • •, хгп и р вершинами г/х, •••,j/Jt) и просуммиро-
просуммировать их вклады в соответствии со следующими правилами.
2. Каждой вершине сопоставить фактор —ik.
3. Каждой линии между г,- и zf сопоставить спаривание
ф(г,-)ф(гу), определяемое выражением F.16).
4. Разделить вклад каждой диаграммы на фактор симметрии S.
В качестве примера рассмотрим двухточечную функцию
(—Л)/'<0|Гф(л;1)ф{х2):ф4(У1):/4!--- V (у,):/4110> в низших по-
порядках теории возмущений. При р = 0 имеем ф(х1)ф(х,\ тогда
Хг
о
yz v У у,
ads
РИС. 6.2. Вклады низшего порядка в двухточечную функцию теории ф*.
как при р=1 вклада не существует, поскольку спаривания
Ф(г/)ф(г/) нами запрещены. При р — 2 существуют следующие три
вклада, представленные на рис. 6.2:
2)
Ф
Ж- и 1
[Ф (Уд Ф (^«) J
Ф (Уд Ф

322 ГЛАВА 6
3) тот же вклад, что и в предыдущем случае, но с заменой \)^\)г-
Следует заметить, что в правиле 1 слова «различные диаграммы»
имеют существенное значение В конфигурационном пространстве
диаграммы считаются различными, если они отличаются тополо-
топологически, когда все точки х, и у1 фиксированы Например, диа-
диаграммы на рис. 6 2,6 и в различны, в то время как диаграммы
на рис 6.3,й и б не являкнся таковыми; в последнем случае
следует учитывать только одну из них.
Уз х"
a d
РИС. 6.3. Пример неразличимых диаграмм; следует учитывать только одну
из них.
Разделим все диаграммы на два класса Диаграммы первого
класса не содержат вакуумных поддиаграмм, т. е поддиаграмм,
которые не связаны с внешними точками (см. рис. 6.2,а), диа-
диаграммы второго класса включают такие поддиаграммы. Добавляя
вакуумные поддиаграммы, каждой диаграмме первого класса
можно сопоставить набор диаграмм второ)о класса Обозначая
индексом A) вклад диаграмм первого класса в функцию Грина,
можно написать следующее соотношение:
G(xu..., х2п) <0 | Гехр {i \ d<x J?B3 [Ф (*)]} | 0> =
1 Тц> (Xl)...Ф (*,„) J?B3 (yj.
, F.18)
поскольку вакуумные поддиаграммы (р—&)-го порядка соответ-
соответствуют вакуумному среднему хронологического произведения
р — к лагранжианов взаимодействия В F 18) комбинаторный
фактор
)
k) k\(P-ky
появляется вследствие того, что при интегрировании по г/,, ..., у
все возможные перестановки у дают одинаковые вклады. Легко
видеть, что вакуумные амплитуды <0|Гехр [t jj №х^вз(х)] |0>

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 323
фактор изуются в обеих частях соотношения F.18) и что
U (Xj, ¦ . • , Х^п) ==
F.19)
В празую часть выражения F.19) дают вклад только диаграммы,
не имеющие вакуумных поддиаграмм.
Правила Фейнмапа в импульсном пространстве выглядят более
просто. Запишем фурье-образ G функции Грина
(In
т е. F.20)
/ In \
G(Pi, •••. Pi») = \ d%...rf4jf3nexpf — j ^ p/.JtJG^, .... xj.
\ t=i J
В нашем рассмотрении все р — входящие импульсы. В силу
трансляционной инвариантности полный импульс сохраняется, т. е.
2л
2 Р/ = 0; это означает, что G имеет следующий вид:
/' 1
р1и). F21)
Для простоты мы обозначим функцию Грина одним и тем же
символом в х- и ^-пространствах. Чтобы вычислить G по форму-
формулам F 19) и F 20), необходимо выполнить интегрирование по
всем пространственно-временным точкам хну. Используя фурье-
преобразование элементарного спаривания F 16), после интегри-
интегрирования по х, мы получаем, что каждая внешняя линия дает
вклад i{pl — m2 + (e)~1 Остаются интегралы по координатам yt и
k[, которые представляют собой импульсы, отвечающие внутрен-
внутренним линиям Исследуем теперь вклады, определенные данной кон-
конфигурацией линий и вершин при фиксированных внутренних
импульсах и заданных внешних конфигурационных аргументах
xlt ..., х2п. Любая перестановка координат внутренних вершин
у1} .. , ур приводит к одному и тому же вкладу Однако не
все р\ перестановок у с необходимостью порождают в конфигу-
конфигурационном пространстве топологически различные диаграммы.
Если бы это было так, мы получили бы множитель /?', компен-
компенсирующий множитель (pi)'1 в выражении F.19) В некоторых
диаграммах две зершины (или более) могут играть одинаковую
роль (этот случай показан на рис 6 3, где такими вершинами
являются уь и г/4). Если р вершин разбить на группы из vv
и*

324 ГЛАВА 6
v8, ..,, vs вершин, играющих одну и ту же роль (v,-)-...
.. .-fv5 —Р). т0 интегрирование по у дает фактор вырождения
p!/Vj!. . ,\s\. В выражении F.19) он приводит лишь к частичной
компенсации множителя (pi)'1 и сохраняет вершинный фактор
симметрии l/v,!...vs!, который умножается на фактор симметрии
линий, рассмотренный выше. Например, в импульсном простран-
пространстве диаграмма, приведенная на рис. 6.3, а, имеет общий фактор
симметрии A/2)хA/2).
Наконец, каждый интеграл по у имеет вид
где qj обозначает сумму всех внешних или внутренних импуль-
импульсов, входящих в вершину у}. Таким образом, сохранение полного
импульса есть следствие сохранения импульса в каждой вершине.
Теперь можно сформулировать правила Фейнмана для функ-
функции Грина G(р1, ..., р2п) в импульсном пространстве.
1. Нарисовать все топологически различные диаграммы с In
внешними линиями, соответствующими входящим импульсам
Р\у • • • ¦> Ргп и не имеющими вакуумных поддиаграмм. Внутренние
линии каждой диаграммы обозначаются через klt ..., kv В ска-
скалярной теории со взаимодействием без производных выбор ориен-
ориентации внутренних линий несуществен.
2. Внешней линии с номером / сопоставить множитель
tf—m'-We).
3. Внутренней линии с номером / сопоставить множитель
[%/(y][{l + )]
4. Каждой вершине сопоставить множитель (—Д) BлLб4(^),
где qj — сумма всех импульсов, входящих в /-ю вершину.
5. Произведение всех этих вкладов проинтегрировать по пе-
переменным k и полученное выражение разделить на фактор сим-
симметрии внутренних линий и вершин рассматриваемой диаграммы.
6. Вычислить сумму вкладов всех топологически различных
диаграмм.
Вообще говоря, если V —число вершин (обозначенное выше
через р), а / — число внутренних линии, го после того, как мы
выделили условие сохранения полного импульса k (В.21), остается
V—1 условий сохранения и, следовательно, не более l — V-\-l
нетривиальных интегрирований.
В случае когда в диаграммах некоторые внешние линии сов-
совсем не связаны с вершинами, правила Фейнмана нужно несколько
изменить. Например, отдельный пропагатор, показанный на рис. 6.4,
в конфигурационном пространстве дает вклад
Г dip ' „-jp <*fc-v
)D22 + 'б '

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
325
а в импульсном пространстве
Проиллюстрируем эти правила в низшем порядке теории воз-
возмущений для двух- и четырехточечной функций Грина. После
отделения б-функции, отвечающей сохранению полного импульса,
X,
Рк
Pi
а б
РИС. 6.4. Диаграммы с короткозамкнутым пропагагором. я —в конфигураци-
конфигурационном пространстве; б —в импульсном пространстве.
р-Н,-кг
~Р
а
-р
РИС. 6.5. Вклады низших порядков в двухточечную функцию в импульсном
пространстве.
вклады диаграмм в двухточечную функцию G2(p, —p), представ-
представленные на рис. 6.5, запишутся в виде
a)
б)
3!
X
Bл)* Bя)
-4Х
Аналогично вклады диаграмм, представленные на рис. 6.6, в

326
Pi Рз
Pi
Рг-
Pi
Tz
a
Рз
ГЛАВА
Pi
+
К"
6
ft
Рг Pi
Pi к Рз Pi Рг Pi Рз
XX XX XX
Рг Pi+Pz~k Рч Рз Pi Pi Pi
в г д
РИС. 6.6. Вклады низшего порядка в четырехточечную функцию.
v Рг, Рз, Р*) (причем р1 + р2 + ря + р4 = 0) равны:
^(Pl+Pl)|6«
б) (pj_
1=1 '
г) и д) те же вклады, что и в случае (в), но с заменой рг<г*р3
и /?2<-> р4 соответственно.
При расчетах соответствующих элементов S-матрицы внешние
пропагаторы i(p] — /п2 + /е)~1 в точности компенсируются опера-
оператором (i ('Qx. + пг2), входящим в редукционные формулы E.28).
При этом последующее интегрирование по х, отождествляет вхо-
входящий импульс функции Грина, определяемой выражением F 20),
с физическим импульсом элемента S-матрицы, лежащим на мас-
массовой поверхности. Следовательно, чтобы получить вклад данной
диаграммы Фейнмана в S-магрицу, необходимо опустить внешние
пропагаторы и считать, что все внешние импульсы лежат на мас-
массовой поверхности Как мы увидим позже, это правило должно
быть дополнено перенормировками массы и волновой функции.
В случае несвязной диаграммы в функцию Грина G входят
б-функции, выражающие сохранение частичных сумм внешних
импульсов. В гл. 5 связные функции Грина G? определяются

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 327
рекурсивным выражением
S \\AxiJ, F-22)
где / = {1, ..., п], х, — {х1, ..., хп), и начальным условием
G(xlt x2) = Gc(x\, х2) (для теории ф4). Диаграммы, не имеющие
вакуумных поддиаграмм, входящих в разложение G(xt, x2), явля-
являются (топологически) связными Покажем по индукции, что в
Gc(x1, ..., х2п) дают вклад только связные диаграммы Предпо-
Предположим, что это справедливо для Bя — 2)-точечной функции Грина
и перепишем выражение F 22) в виде
G(xL, .... x2n)=Gc(x1, .... х2п)+ ? llGc(x,J. F.23)
Подставляя сюда диаграммные разложения функции G(xlt ..., х2л)
и каждой функции Gc, входящей в сумму в правой части, мы
видим, что вклад каждой несвязной диаграммы в G (хл, .., х2а)
можно отождествить с некоторым членом суммы и наоборот.
Отсюда следует, что алгебраическое определение связности [вы-
РИС. 6.7. Диаграмма «головастик».
ражение F.22)] можно отождествить с ее топологическим опре-
определением.
Вернемся к обсуждению роли нормального упорядочения в
лагранжиане взаимодействия F.14а). Если бы мы сохранили
обычное произведение полей в лагранжиане <3'ва= — Л./4!гр* (*),
то появились бы новые диаграммы, а именно диаграммы, содер-
содержащие спаривания полей, относящихся к одной и той же вер-
вершине. Например, в двухточечной функции Грина появилась бы
диаграмма типа «головастик», изображенная на рис 6 7 В не-
некоторых случаях оказывается более удобным сохранять обычное
произведение и включать в рассмотрение «головастики» Это имеет
место, например, когда мы хотим произвести над полями локаль-
локальные неоднородные преобразования (скажем, трансляцию), сохраняя
при этом также какие-либо свойства симметрии. Для теории ср4
переход от одного упорядочения к другому приводит просто к
изменению массового члена Это изменение в действительности
оказывается бесконечным, но, как мы скоро увидим, его можно
включить в перенормировку массы.

328 ГЛАВА 6
Теперь, иосле того как мы сформулировали правила Фейн-
мана для самодействующего скалярного поля, можно решить
ту же задачу для более сложных и физически более интерес-
интересных теорий, а именно для спинорной и скалярной квантовой
электродинамики. Остальные случаи, включая поля с внутрен-
внутренними симметриями, мы рассмотрим в следующих главах В лю-
любом случае общий метод получения правил Фейнмана очевиден.
Однако следует заметить, что в некоторых сомнительных ситуа-
ситуациях, в частности, когда неясно значение фактора симметрии,
может оказаться, что целесообразно вернуться к исходной точке,
т. е. к выражению F.10) и теореме Вика.
6.1.2. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики
Полный лагранжиан, описывающий взаимодействующую систему
фотонов, электронов и позитронов, записывается в виде
2 = &1 + Я1+''~ + #ю, F.24)
где si=-jF* + ^A'-^(d.A)*,
йй F-25)
Эти выражения нам уже встречались в гл. 3 и 4 В первом из
выражений F 25) вводится массивный фотон с массой ц, много
меньшей массы электрона т, и адесь нам приходи 1Ся использо-
использовать индефинитную метрику. Лагранжиан взаимодействия соот-
соответствует минимальной связи, т. е. замене id^ -^-id^—eA^ в
электронном лагранжиане.
Для двух типов пропагаторов, входящих в спаривания, будем
использовать различные обозначения. Электрон-позитронный про-
пагатор обозначим сплошной линией, ориентированной в направ-
направлении распространения заряда (е):
Л, й- ^ y,fi
<01 7>а (х) i|>p (у) 10> = 1|,в (х) Ь (у) =
Этот пропагатор, как известно, не является симметричной функ-
функцией от х и у, но удовлетворяет соотношению C.176). Фотонный

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 329
пропагатор мы обозначим волнистой линией:
. • = <01ТАР (х) Av (у) 10> = Лр (х) Av (у)
Для того чтобы избежать путаницы с электронной массой т,
здесь введено обозначение Л4 = ^,2Д Следует отметить, что ве-
величины к и М2 не входят в физические результаты.
Вследствие сохранения заряда функции Грина содержат рав-
равные числа полей \|з и \|>:
(j (Xj, . ¦ ¦ , Хя, Л^п + 1, • ¦ •, Xint У it • • •, ?/р/ —
iF. F.28)
Чтобы не усложнять обозначения, мы опустили спинорные и
векторные индексы, от которых зависит G. Как и в случае F.14),
можно получить выражение для G через in-поля:
G(xlt .... xin\ yl...yp) =
<0 , 7\|),„ (xj) .. грщ (хг t) А1" (уг)... А'" (ур) ехр « \ dlz?V3(z) |0>
* , F.29)
где предполагается, что поля, входящие в лагранжиан J?B3(z)=
= ^B1[tnB), fln(z). ^mB)]. нормально упорядочены. В даль-
дальнейшем индексы «in» будем опускать Разлагая F 29) в степен-
степенной ряд no e и используя теорему Вика, приходим к диаграм-
диаграммам Фейнмана, построенным из пропагаторов F 26) и F.27) и
вершины
м
(б.зо)
а 0
Эта вершина имеет один векторный и два спинорных индекса,
которые сворачиваются с соответствующими индексами фотонных
и фермионных пропагаторов Как и в скалярном случае, знаме-
знаменатель в F 29) служит для исключения вакуумных поддиаграмм.
Рассмотрим знаки, появившиеся после применения теоремы
Вика к фермионам. Вследствие сохранения заряда в диаграммах
встречаются два вида фермионных линий, замкнутые петли и не-
незамкнутые линии, оканчивающиеся в точках х/(] ^i ^.п) и на-

330
ГЛАВА 6
У1
Уг
РИС. 6.8. Пример идендичных диаграмм в спинорной электродинамике;
учитываться должна только одна из них.
чинающиеся в Xkt (п + 1 ^ k, ^ 2га). Замкнутые петли составлены
из последовательности пропагаторов полей, входящих в лагран-
лагранжиан взаимодействия:
(г,)... ф (г,) ф (г,).
F 31)
Так как последние коммутируют под знаком Г-произведения, его
можно записать в виде
<01Т... ft (Zl)A
zk)]...
не меняя знака выражения Произведение спариваний F 31) по-
получается после перестановки функций \j) (z,) с нечетным числом
полей Отсюда следует, что каждой фермионной петле отвечает
знак минус.
С другой стороны, незамкнутые линии определяют переста-
перестановку точек к,: х,х/;,л:2Х(.2. xnXkn (где хир — начало линии, кон-
кончающейся в хр) Это приводит к появлению дополнительного
знака, равного сигнатуре перестановки
A, 2, .... 2л) —A, Alt 2, k2, ..., п, kn).
Диаграммы, различающиеся только ориентацией фермионной
петли, обе дают вклад только в том случае, если они топологи-
топологически различны Например, очевидно, что диаграммы на рис 6.8
идентичны, лишь одна из них дает вклад в G(yt, г/2) Напротив,
каждая из двух диаграмм на рис 6.9, а и б дает вклад в четы-
рехфотонную функцию (рассеяние фотона на фотоне) Эти вклады
соответствуют двум различным совокупностям спариваний:
Г
I I
а) у\г (г,) A{zx) Ц (г,) $ (г,) A (z.)
"I
ф (z.)
(zt),
(Z4) ЛB4)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
331
причем /4(Zj) сворачивается с А (г/х) и т п В конфигурационном
пространстве в четырехточечную функцию G (yv.. . ,ух) дают вклады
4' хЗ' различных диаграмм, которые получаются из диаграммы, при-
приведенной на рис 6 9, а, с помощью перестановок точек zu z2, zs, z4 и
#2> Уч> #<Г> например, диаграмма на рис 6 9, б получается из диаг-
диаграммы рис 6 9, а перестановками y2*-*yi, z2<r+z% После интег-
интегрирования по z, 4! перестановок переменных г дают фактор, ко-
РИС. 6 9 Четырехфотонная амплитуда в низшем порядке. Диаграммы (а)
и (б) не идентичны в конфигурационном пространстве. После суммирования
по переменным г остается шесть различных диаграмм, изображенных на
рис в,
торый компенсирует множитель 1/4!, возникающий в разложении
exp i \ dz Sb3 (z) Таким образом, остается шесть различных диаг-
диаграмм (рис 6 9, в) (и никаких факторов).
Представление в импульсном пространстве определяется с по-
помощью фурье-преобразования Запишем для связной функции
следующее выражение.
Чс v^U • • •» -^л> ^в + 1» • • * > %2П> Уп • • • ) Ур) =
П
/= 1
J =; 1
\Pl, •••> Pn\ Pn + 1, ¦ -./W.?!. •¦•> Яр)\ F32)
здесь все импульсы являются входящими Правила Фейнмана для
вычисления функций йс состоят теперь в том, чтобы нарисовать
все возможные топологически различные диаграммы и сопоста-
сопоставить им соответствующие факторы, перечисленные в табл 6.1."

332
ГЛАВА 6
Таблица 6.1.
Правила Фейнмана для спинорной электродинамики
1. Внешние линии
Входящий фермион
tW
\ <?2 — H2-ft8
2 Вершины
По входящим
импульсам
3. Прошггаторы a. » «g B^ ^_
4 Знпк минус для каждой замкнуто) фермионнои пегли и общий знак, за-
зависящий от конфигурации внешних линий, определяются по правилам, ука-
указанным выше [см после формулы F.30)]
Затем все спинорные индексы необходимо свернуть вдоль фер-
мионных линий (для каждой замкнутой петли это сводится к
вычислению следа), а все векторные индексы свернуть вдоль
фотонных линий Наконец, нужно выполнить все интегрирования
по внутренним импульсам
Для диаграммы порядка г (диаграммы с г вершинами) интег-
интегрирование по г переменным г и их перестановкам приводят к
сокращению множителя 1/Н в разложении exp i \ d4z Уез (z) Сле-

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
333
доваг^льно, в данном наборе правил, когда учитываются только
тополо1 ически различные диаграммы, фермионная электродинамика
не содержит факторов симметрии. Читатель может сравнить
диаграммы, представленные на рис. 6.8, аи 6 10, с аналогичными
диаграммами скалярной теории, приведенными на рис. 6.6, в и
6 3, а Первые диа1ра\шы, если выбрать одну ориентацию для
РИС. 6.10. Диаграмма спинорной
электродинамики в отсутствие фак-
фактора симметрии
РИС. 6 11. Две диаграммы с проти-
противоположными ориентацииями спинор-
спинорной петли
каждой фермионной петли, не имеют факторов симметрии, в то
время как последние имеют весовые множители соответственно
1/21 и A/2IJ
Теорема Фарри При вычислении функции Грина все диаграммы, содержащие
фермионную петлю с нечетны1»! чи лом вершин, можно не учитывать Дейст-
Действительно, две петли с противоположными ориентациями (рис 6 11) дают
вклады с противоположными знаками Чтобы показать это, запинеч вклад,
соответствующий первой ориентации, в виде
г,)]
и вспомним, что существует матрица С [см. C.176)], такая, что выполняются
следующие равенства
CSP (х, у) С -1 = Sf (у, к) ,
г г_! т F.33)
Вводя в выражении для Gi между пропагаторами величину СС-1, получаем
Gi = (—1)* Sp [vJSp (г^, Zi) yJ Sp (z^-i, zs)yl • •-Уу Sp (zii 22)] =
= (_1)^ Sp [y^ Sf BЬ г2) упг. ¦ -y^St (zs, г,)] F.34)
С точностью до знака (—1)*, это выражение совпадает с вкладом диаграммы,
имеющей прогивоположную ориентацию Следовательно, для нечетных s вклады
обеих диаграмм сокращаются, что и требовачось доказать.
6.1.3. Электрон-электронное
и электрон-позитронное рассеяние
В качестве иллюстрации применения диаграммной техники вычис-
вычислим сечение электрон-электронного рассеяния в низшем порядке
теории возмущений. Напишем сначала редукционную формулу,

334
ГЛАВА 6
выведенную в предыдущей главе:
хп(р'и sd(i9x' — m)u(p't, ej)(t^ — m)x
X <017> «) ф (х?) ф (*i) Ф W10>' X
х (— Ш^—пг) и (/?,', е,) (— j#v, — m)« (р2, е2). F.35)
Соответствующие обозначения приведены на рис. 6.12; заметим,
что здесь р'и р'2—импульсы выходящих электронов. В низшем
Pi, si
РИС. 6.12. Общая форме) диаграмм,
дающих вклад в электронное рассея-
рассеяние.
Рг<4 Рг>?г
порядке теории возмущений в функцию Грина дают вклад две
диаграммы, показанные на рис 6.13, a Z2= 1 В выражении F.35)
факторы, соответствующие внешним линиям, компенсируются опе-
операторами Дирака и интегрированием, причем внешние импульсы
Рг
Pi
Рг Рг р\ рг
РИС. 6.13. Вклады низшего порядка в электрон-электронное рассеяние.
оказываются на массовой поверхности. В данном случае учет
сохранения импульсов в каждой вершине приводит к тому, что
интегралы исчезают. Диаграммы на рис 6.13 дают вклады с про-
противоположными знаками, и редукционная формула запишется
в виде
xf-«
X и (p'it si) vp« (p^ e8) + u (p'it ej) yvu (pt, e,) (— i) x
*( 1? )
F.36)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 335
где
kw^p1—p[ = pl—Pt,
k™ = pl—Pl=p[—pt.
Следовательно,
*v'u(p[, e.'dyvu(plt 8,) = u(pi, eO (д, —дО u(plt e,) =
Члены в пропагаторах, пропорциональные &v&p, не дают вкладов
в выражение F 36), и, при вычислении сечения можно перейти
к пределу р=0, не опасаясь инфракрасных расходимостей:
5', = - /е2 Bя)* б* (р[ + p'2-Pl-pz) jr)
где
и (рг, Ез) v^" (Pi, 80 « (pi, si) yv« (p2, e2)
(pi—pi)
Отсюда очевидна антксимуетрия начальных и конечных состоя.
ний Множитель, связанный с тождественностью частиц, отсут-
отсутствует, но, конечно, при вычислении полного сечения следует
Р[(Е,Р')
р, (?,Р) -^«^«J р2(?,-р)
РИС. 6 14. Кинематика элекгрон-электронного рассеяния в системе центра
масс.
интегрировать лишь по половине фазового пространства конечных
состояний
Вычислим дифференциальное сечение рассеяния неполяричо-
ванных начальных пучков в случае, когда поляризации конеч-
конечного состояния не измеряются Кинематика такого процесса в си-
системе центра масс приведена на рис. 6.14, где 0 — угол рассеяния
в этой системе, учтено, чю энергия Е сохраняется, и исполь-
используются обозначения |р| = |р' j = p = |/'?2—m2. Применяя общую

336 ГЛАВА 6
формулу E.13) и учитывая нормировку спиноров, получаем
F.38)
здесь |<|Г 2—квадрат модуля амплитуды, усредненный по началь-
начальным и просуммированный по конечным состояниям поляризаций.
Выполняя интегрирование с учетом 6-функции, отвечающей закону
сохранения знергии-импульса, находим
dQ -4?2BяJ1е/ I ' {рбУ'
причем
X
W (v v
2m )*PV 2m У 2m
Вычисляя след, имеем
(^i + m) Vp (^i +/«)] = 4 (/?lvp;p
1 + /«) Yp (Д1 + m)] Sp [yv (^2 + m) yp (fr'2 + m)]
Yv (P1 + /n) Yp № + m) Yv = —2^2
Sp [Tv (Pi+m) yp {p'2 + m) yv (д2 + m) y<> {p\ + m)] =
Следовательно,
l-p'l—Pl.p2)
(Pi — ft) \Pi — Pi) I
Все инварианты можно выразить через энергию ? и угол рас-

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
337
РИС. 6.15. Общий вид диаграмм, дающих
вклад вэлектрон-поэитронное рассеяние
сеяния 0:
Позитрон
pt ¦ p[ = E2 A —cos 9) -f m2 cos 9,
pt- pi = E* (\ +cosQ) — m2 cosQ.
Подставляя эти соотношения в F.41), с учетом F.39) получаем
формулу Мёллера:
do «М2?а-тТГ 4 3 ,{&-m*)*(lf _4 \ (g щ
dQ 4?? (?2—т2J |_sin48 sin2 0 ~BЕ*—т2J \ ^sm2Q
В ультрарелятивистском пределе, когда т/Е—>0, имеем
_i ? I_J_^ а2 /^ ^ I * | 1 А /С АО\
|У.р ?2Vsin40 sin2©" 4У ~АЕ2 Vsin*0/2 ^cos40/2 "^ )' ^ О)
da I аь_ #
а в нерелятивистском пределе, когда
1
и
= (?'2—ma)/?a,
н. р
\sin46
m
1
16t<4 V sin* 0/2 ^cos4 0/2 sin2 0/2 cos2 6/2;
Впервые этот результат был получен Morrow в 1930 г. Мы пре-
предоставляем читателю в качестве упражнения записать эти сече-
Pi
Pi -P\
/ \
-я i
РИС. 6.16 Вклады низшего порядка в электрон-позитронное рассеяние.
ния в лабораторной системе отсчета. Поучительно также сравнить
формулу F 44) с нерелятивистским пределом формулы Резерфэрда
для кулоновского рассеяния с Z=\ и приведенной ivriccofi т/2.
Рассмотрим теперь электрон-почитронное рассо^-шс На
рис. 6.15 и 6.16 представлены кинематика и диаграммы р. низшем

338 ГЛАВА 6
порядке теории возмущений. Мы здесь не указываем индексов
поляризации, и на рис. 6.16 4-импульсы ориентированы
в соответствии с направлением протекания заряда. При этом
амплитуду рассеяния можно вычислить по формуле F.37), выпол-
выполняя следующие подстановки:
«(Л) ~* «(Pi). Pi-*P»
"(рЭ-*«(рГ), p\-*p'u ,„.-.
и меняя знак амплитуды. В системе центра масс нетрудно по-
получить
dfi~4?aBnK' ' '
причем
¦ {pi-qiY+(pi-PiY+1m'i{pv Pi+Pi -д')л.
"г \/п. _i_/v.i2ia
Теперь мы можем записать окончательное выражение для сечения
рассеяния:
doc~e+ _ а Г5_ 8Ei—mi . Bg2-m2J
du ~2E2 [4 ?8(?3-от2)A— cose)"+*2(?2— m2J A — cos вJ +
2?4 (—I +2 cos e + cos2 e)+4?2m2 A — cos 6) B+cos 0)-f 2w* cos2 6"j
F.47)
В ультрарелятивистском и нерелятивистском пределах мы имеем,
соответственно
ae~e+ a2
dae
F.49)
Заметим, что в последнем случае аннигиляционная диаграмма не
дает вклада. Эти выражения были получены Баба в 1936 г.
Выражения F.42) и F.47) можно сравнить с экспериментальными дан-
данными. На рис. 6.17 приведены сечения электрон-электронного рассеяния на
90° при низких энергиях, полученные Ашкшгом, Пейджем и Вудвордом
в 1954 г. Эти сечения хорошо согласуются с формулой Мёллера F.42), но
не согласуются с соответствующим выражением для бесспиновых частиц, кото-

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
339
Т
•-.
0,6
ОА
0,1
п
1
\
1
1
-
-
1
0,5
1,0 1,5
Ет6, МэВ
а
РИС. 6.17. Экспериментальные данные по электрон-электронному и электрон-
позитронному рассеянию на угол 6 = 90° как функция энергии падющего
электрона в лабораторной системе координат, а — электрон-электронное рассея-
рассеяние, сплошная кривая отвечает формуле Мсллсра, но в пренебрежении спи-
спиновыми членами; б— элект рон-позитронное рассеяние; сплошная кривая соот-
соответствует формуле Баба, штриховая —формуле Баба в пренебрежении анни-
гиляционными членами. [См. Ashkin S., Page L. A., Woodward W. M.—
Phys. Rev., 1974, vol. 94, p. 357.]
300
250'
ZOO]
150
100
50
i.o г,о з,о
4,0 5,0 6,0
в, (ГэБJ
7,0 8,0 3,0 10
РИС. 6.18. Сечение рассеяния Баба при высоких энергиях (для значений
угла рассеяния 45° < 9 < 135°) как функция квадрата полной энергии s.
Сплошная кривая вычислена по формулам квантовой электродинамики с ра-
радиационными поправками первого порядка. [См. Strauch К., в сб. статей:
Proc. 6-tb Symposium on Electron and Photon Interaction at the High Energies/
ed. H. Rollnik, W. Pfeil.—Amsterdam: North-Holland, 1974.]

340 ГЛАВА 6
рое мы по пучим ниже [ш формулу F 65)] Результаты измерения в случае
электрон позчгронного рассеяния вполне удовлетворительно согласуются с вы-
выражением для сечения Баба [см формулу F 49)] То, что мы пренебрегли
аннигиляционным членом может нарушить это согласие. На рис 6 17 энер-
энергии налетающих частиц (ось абсцисс) в лабораторной системе принадчежат
промежуточной области, в которой ни нерелятивистское, ни ультра релягивист-
ско" приближен! е не справедливо Численные значения свидетельствуют о том,
что отношение сечений рассеяния е~е~ и е~е+ существенно отличается от
отношения 2 1, полученного из наивных рассуждений основанных на нераз-
неразличимости двух электронов
Учет радиационных поправок (см гл 7) позволяет улучшить результаты,
полученные из этих вычислений в низшем порядке Форуулы с такими по-
поправками можно сравнить с более современными данными, полученными при
ультрарелятивистских энергиях в электрон позитрон {ых накопительных коль-
кольцах Из рис 6.18 мы видим, что в диапазоне квадратов энергий в системе
центра масс 2—9 Г=>В'- согласие между теорией и экспериментом прекрасное.
Эти данные получены группой, работающей на ускорителе Адона во Фраскати.
6.1.4. Скалярная электродинамика
В качестве последней иллюстрации правил Фейнмана рассмотрим
скалярную электродинамику, т. е. электродинамику заряженных
бесспиновых частиц
Сравнение предсказаний этой теории с предсказаниями фер-
мионной квантовой электродинамики для основных процессов дает
нам возможность прояснить роль спина в последней В теорети-
теоретическом плане скалярная электродинамика представляет собой
интересный случай, поскольку ее лагранжиан взаимодействия со-
содержит производные и отличается от гамильтониана взаимодей-
взаимодействия, взятого со знаком минус
Мы начнем обсуждение с лагранжиана свободного заряженного
скалярного поля
J?o(<P) = d|l<ptdp—mV<P F.50)
(отметим, что коэффициент 1/2! здесь отсутствует) и введем в нем
электромагнитное поле посредством минимальной замены д^ср —>
—* (dM + teAp) ф. Добавляя из формулы F 25) лагранжиан =27 (Л)
свободного электромагнитного поля, получаем
-3'ю, F.51а)
еЧ*ф+Ф- F.516)
Поскольку в лагранжиан взаимодействия входят производные,
канонические импульсы модифицируются следующим образом:
F.52)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 341
Гамильтониан запишется в виде
п*&-&0-&^. F.53)
Здесь Но—свободный гамильтониан, определенный формулой C.76)
Я0(ф, л) = ^3л:(л+л4-д4ф+д?ф + тУф), F.54)
а Нвз дается выражением (пространственный индекс k пробегает
значения 1, 2, 3)
F.55)
Подставляя сюда выражения F 52), находим Жъз (ф)=— ??ъз(А, ф)—
— е2ЛО2ф1'ф С другой стороны, от канонического преобразования
можно перейти к представлению взаимодействия; при этом ф, л,
А заменяются соответственно на фш, лш, Лш, причем л,п = дофш.
Таким образом, в этом представлении получаем
«/ • Я 0 / f -v,t _ л \
<*?вэ == '^"in \.ЛМ1фп1 —лщФ|п/ *
^ф,,, — еМ^,,ф!пфш + еМ,°п ф^пф1п =
=* - =^Вз (/!,„, Ф,,,1 +е2Л1°п2ф!пФ1П. F 56)
Мы видим, чго гамильтониан и лагранжиан, взятый с обратным
знаком, отличаются на нековариантный член (отметим, что знак
перед этим членом изменился), который на первый взгляд пред-
представляет опасность для ковариантности теории
Однако, рассматривая в этой теории типичную функцию Грина
и (хх, . ¦ ¦, хп, х.„+1, . • ¦, х2п, yv ..., Ур) =
= <01 Гф (Xl) .. • ф (хп) фt (хп+1) ... vt (хгп) А (у,) ...А{ур)\О> =
<0 | ГФ|П (Xl) ... Аш (цр) ехр [- t J d*e ^вз (г)]| 0>
0> ' F'57)
мы видим, что хронологические произведения членов с производ-
производными представляют собой второй источник нековариантных чле-
членов. Чтобы окончательные результаты были ковариантнычи, эти
два типа нековариантных вкладов должны взаимно сокращать
друг друга Это в действительности имеет место
Поскольку проблемы, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями в тео-
теории возмущений, нами пока не рассматриваются, приведем здесь лишь фор-
формальное доказательство этого утверждения.

342 ГЛАВА 6
Изучим более внимательно нековариантные спаривания, возникающие
благодаря членам с производными. В последующих формулах мы будем опу-
опускать индексы in. Соответствующие пропагаторы запишутся в виде
<0 | ГФ (х) Ф+ (у) | 0> = <0 | ГФ (у) Ф+ (х) | 0> = i j —t k2_m2+iR . F.58а)
<01 Т д„Ф (х) Ф+ (у) | 0> = дх» <01 ГФ (х) ф+ (у) 10>, F.586)
<01 Т дцФ (дг) dv Ф+ ((/) | 0> = %% <0 | ГФ (х) ф+ ((/) | 0>- igmgva&4 (х-у). F.58в)
Нековариантные члены содержатся только в пропагаторах поля ф, поэтому
в последующих выкладках поле А можно рассматривать как классическое и
анализировать все функции Грина для ф и фт с помощью производящего
функционала
Z(j) = <0 | Т ехр { - i jjd*z [Жвз (г) +/* (г) Ф (г)+/ (г) Ф+ (г)]} 10> =
=<° IT Ti л" j d*Zi ¦ ¦ •d^ Ail' (г1> <pf (Zi) д^
(zr) ф' {zr) дД/.ф (zr) X
[-1 ^4г(-еМ3++ф+еМоаф+Ф+/*<Р+/ф+ )] |0>. F.59)
Хехр
Здесь в ряд по степеням е разложена лишь та часть гамильтониана взаимо-
взаимодействия, в коюрую входят производные, поскольку именно ока приводит к
появлению нековариантных спариваний в соотношении F.58в). Обозначим далее
через Т ковариантное хронологическое произведение, которое совпадает с Т-
прсизведением в F.58), за исклю гением последнего члена в соотношении
F.58в); таким образом, мы имеем
<01 Тд^ (х) dv (ff (у) | 0> = dxL dyv <0 | ГФ (x) qf(y) | 0>. F.60)
Рассмотрим теперь вклад s нековариантных спариваний —(g^ogvoS4 (x—у).
Имеется ( L ) = r\/Bs)\ (г—2s)! способов выбора Bs) вершин из г и Bs)\/2ss\
способов свертывания их в s пар. Каждая нековариантная свертка двух вершин
дзет
е А > (х) Ф (х) [<0 | Тд^\х) dv Ф (у) | 0> - <0 | f д^ (х) dv Ф (у) | 0>] X
X(-*) А*(у) Ф+ (у) + (Ф <-> Ф+) = 2ie*Al Ф+(дс) Ф (х) б* (х-у),
где неявно предполагается упорядочение по Вику. Следовательно,
/)= <0
er г г»
х
X ехр I —i \ а!4г(.—e?A\ ф4-е2АОф'ф-|-/ф -|-/*ф) 0). F.61)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
343
Мы видим, что нековариантные спаривания можно объединить в экспоненту,
и- что их вклад компенсирует нековариантную вершину еМ||ф ф.
Используя определение ковариантного Г-произведения F.60),
можно окончательно записать:
<0 \ fVin(x0 ...А-т (у) ехр Г« С d*zXB3 (г)] 10<
G(Xl, .... ^) = ^ !-^Ц =!—, F.62)
<0|Гехр| i \ й*гХъз{ "
где ковариантный лагранжиан равен
F.63)
В табл. 6.2 представлены соответствующие правила Фейнмана.
В вершине второго типа (диаграмма типа «чайка») наличие множите-
множителя 2 обусловлено тем,что квадратичный по А член равен Л2,а не А2/2\.
Напомним также, что в скалярной электродинамике фактор сим-
Фотон Ш~
Таблица 6.2
Правила Фейнмана для скалярной электродинамики
р
(e /BлL
Бозон •-
Верш ины
- ie
в* (р-р' -*-
метрии 1/2 возникает всякий раз, когда сворачиваются пары фо-
фотонов, входящих в две диаграммы типа «чайка» (рис. 6.19).

344 ГЛАВА 6
И наоборот, замкнутые скалярные петли, если они ориентирова-
ориентированы, не требуют никаких факторов симметрии, поскольку учиты-
учитываются только топологически различные петли.
XX
РИС. 6.19. Диаграмма скалярной электродинамики, характеризуемая факто-
фактором симметрии l/S=!/2.
Рассмотрим теперь кратко некоторые основные процессы, уже изученные
в фермионнои электродинамике.
/. Комптоновское рассеяние
В обозначениях, принятых в разд. 5.2.1, можно записать
В низшем порядке теории возмущений вклад дают три диаграммы, представ-
представленные на рис. 6.20, но если мы выберем векторы поляризации, удовлетворяю-
kf,tf к„е,
Pi Pf Pi
РИС. 6.20. Диаграммы низшего порядка для комптоновского рассеяния
в скалярной электродинамике.
щие условию B[-Pi = BfPi = 0, то лишь третья диаграмма дает вклад, отлич-
отличный от нуля, т. е.
|^"|а=4(8/-8/)8, F.64)
и мы получаем выражение
da a
которое следует сравнить с формулой Клейна — Нишины E.112).
2. Рассеяние двух одинаковых зарядов
Используем здесь те же обозначения и диаграммы, что и в разд. 6.1.3, а
также на рис. 6.12 и 6.13. Тогда в системе центра масс имеем
— = —21 #* I2.
где
Pi-Pi+Pi
(Рг-Р'г?
-Pt + Pi-Pi f
pi-ptf J

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 345
Таким образом, мы получаем выражение
do _ а2 I 2Е2 — т2 \г Г 2 Ea-w8 I2
dQ АЕ2 \ Е2— т2 / [sin3 9 2?2 — от2 J '
которое следует сравнить с F.42).
3. Аннигиляция пары в два фотона
Здесь используются обозначения, принятрле в разд. 5.2.2, и диаграммы,
представленные на рис. 6.20. В результате вычислений получаем
dQ 4 (m+?2— Pi соь tl)a P
где |^Г |2-=4 (бу^-Е,J. Если в конечном состоянии поляризации не измеряются,
имеем
Здесь y = E2ltn, a /•„ = а/т. В нерелятивистском пределе y -»¦ 1 и, следователь-
следовательно, ополн ~ 2лгУхK, что в два раза больше, чем сечение процесса е+е~ -> YY-
4. Тормозное излучение
Используем те же обозначения, что и в разд. 5.2.4; соответствующие
диаграммы изображены на рис. 6.21. Выберем вектор поляризации е таким
-Ze к,с к,г -Ze к, t -Ze
Pi Pf
РИС. 6.21. Диаграммы низшего порядка для тормозного излучения в скаляр-
скалярной электродинамике.
образом, чтобы g-fe = 0, e° = 0. При этом третья диаграмма (рис. 6.21) не дает
вклада, и мы имеем
7?а? Pf со cfco iJQv dQ /I/'8 o,/ve о
Суммируя по поляризациям, находим
"^неполяриз— /о_л2' ~Z "^4" "Jo"^^V **™X
pxPf sin 0r sin 9/ cos ф

346
ГЛАВА 6
6.2. ДИАГРАММАТИКА
Рассматривавшиеся до сих пор борновские диаграммы, или дре-
Еесные диаграммы, имели очень простой вид, поскольку они не
требовали интегрирования по внутренним импульсам. Однако в
общем случае мы имеем дело с более сложными диаграммами. В
этом разделе мы изучим общие свойства феинмановских диаграмм
и приведем соответствующею терминологию. Ради простоты боль-
большая часть этого материала излагается, за немногими исключения^
ми, на примере теории одного нейтрального скалярного поля.
6.2.1. Разложение по петлям
Разложение тесрии возмещений по петлям, т. е. разложение по
возрастающему числу независимых петель связных феинмановских
диаграмм, можно рассматривать как разложение по степеням по-
постоянной к. По определению число независимых петель есть не что
иное, как число независимых внутренних 4-импульсов в диаграм-
диаграммах, когда в каждой вершине учтены законы сохранения. Для
"связных диаграмм с числом внутренних линий / и вершин V мы
имеем V54 функций, выражающих закон сохранения, и с учетом
сохранения входящих импульсов у нас остаются V—1 условий.
Таким образом, число независимых импульсов, или петель, равно
1 = /_(У_1). F 69)
Следует заметить, что L не есть число граней или замкнутых
контуров, создаваемых внутренними линиями диаграммы Напри-
РИС. 6.22. Диаграмма «тетраэдр»
имеет только три независимые петли.
мер, диаграмма в виде тетраэдра, приведенная на рис. 6 22,
имеет четыре замкнутых контура, но лишь три независимые петли.
Чтобы найти связь между L и степенью величины к, соберем
вместе все множители К. Мы не будем учитывать множитель h,
который дает массовый член правильной размерности. Иными сло-
словами, уравнение Клейна—Гордона будем записывать в ииде
[д\ -\- (mc/hJ] ср = 0, из которого следует, что массовый член имеет

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 347
как бы квантовое происхождение. В дальнейшем мы будем ис-
использовать этот факт. Таким образом, имеется два источника,
приводящие к возникновению множителей /г Во-первых, множи-
множитель fi включают в себя коммутационные (или антикоммутацион-
антикоммутационные) соотношения, например [<р(х), л (у)] = ihb9 (x—у), вследствие
чего h появляется в каждом пропагаторе
Во-вторых, % входит явно в оператор эволюции e~iHt^ и, следо-
следовательно, в оператор exp I (i/h) \ -^взСфт)^4-2!- Таким образом,
каждый пропагатор имеет множитель k, а каждая вершина—мно-
вершина—множитель h~l. В диаграмме с числом внешних линий Е полная сте-
степень множителя fi равна ftl+E~v = hE-1+L. Следовательно, при
фиксированном числе внешних линий, т. е. для данной функции
Грина, получаем результат, о котором было сказано в начале
этого раздела.
В системе единиц, где с=1, имеем следующие размерности. Для скалярного
поля ф [ф] — (энергия/длинаI/*, для константы связи X в с5Рвз=Хф4 это [k]~x ~
'~(энергияХдлина)~1 и для спинорного поля [яр] ~ (энергияOг/длина. Отсюда
получаем правильную размерность [h] для действия
или
\ Т
Разумеется, диаграммы в низшем порядке по % представляют
собой рассмотренные в предыдущем разделе борновские диаграм-
диаграммы без каких-либо петель.
Читатель может спросить, почему в теории с единственной
константой связи топологическое разложение по петлям совпадает
с разложением по степеням константы связи? Это совпадение обус-
обусловлено тем, что в такой теории существуют дополнительные
соотношения между V, числом вершин (степенью величины К)
и L. Рассмотрим, например, теорию ф4; подсчитывая полное чис-
число линий, входящих в каждую вершину, можно показать, что для
диаграммы с числом внешних линий Е выполняется соотношение
Исключая отсюда / с помощью F.69), получаем L—1-f ?/2--«=
(здесь Е—четное число). .

348 ГЛАВА 6
6.2.2. Усеченные и сильносвязные диаграммы
Введем здесь терминологию, которая окажется полезной в даль-
дальнейшем.
Определим усеченные функции как функции Грина в импульс-
импульсном пространстве (без учета 64-функции от полной энергии-им-
энергии-импульса), умноженные на обратные двухточечные функции, отне-
отнесенные к каждой внешней линии:
G?'e4 (Px, • ¦ •, Pn)^ П [GB) (/>*, -Pft)] G<«> (Я1) ..., Pn), n>2.
F.70)
Двухточечная функция GB) здесь является полным пропагатором.
Для /9а~т2 имеем [GB)(p, — р)]'1 — (/Z)~J (р2 — т2), где Z —кон-
—константа перенормировки волновой функции, введенная в гл. 5.
РИС. 6.23. а—неусеченная диаграмма; б—усеченная, но не сильносвязная
диаграмма; в—сильносвязная диаграмма, В случаях бив внешним линиям
не сопоставляется какой-либо фактор.
Следовательно, с точностью до степеней величины Z эти усечен-
усеченные функции на массовых поверхностях совпадают с величинами,
входящими в редукционные формулы. Например, связная часть
матричного элемента в выражении E.28) записывается в виде
<Рг Pn out I Яь • • ¦. Ят «п>е - Z(fi+'SV2 X
л иусеч ( pv ..., рп, qit ..., q
Разложение усеченных функций по теории возмущений можно за-
записать с помощью усеченных диаграмм, т е таких, которые не
имеют собственно-энергетических частей на внешних линиях Кро-
Кроме того, здесь, согласно правилам Фейнмана, внешним линиям не
сопоставляются какие-либо множители или пропагаторы (см.
рис. 6.23). Наконец, если мы восстановим степени постоянной %
как в разд. 6.2.1, то окажется, что усеченным диаграммам с L
петлями соответствует множитель /$А~\

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 349
В заключение определим сильносвязные, или одночастично непри-
неприводимые, диаграммы1). Это усеченные связные диаграммы, кото-
которые остаются связными при удалении из них любой внутренней
линии (рис. 6 23).
Сильносвязные функции, определенные на основе разложения
теории возмущений по сильносвязным диаграммам, являются строи-
строительными блоками теории возмущений, поскольку интегрирование
по внутренним импульсам может быть выполнено независимо в
каждой сильносвязной поддиаграмме данной диаграммы. По той
же причине сильносвязные функции играют центральную роль
в программе перенормировок (см. главу 8 в т. 2 настоящей кни-
книги), поскольку для того, чтобы избавиться от всех ультрафиолето-
ультрафиолетовых расходимостей, необходимо и достаточно сделать эти функции
конечными.
Помимо этого топологического определения сильносвязным
функциям можно дать и алгебраическое определение. Как пока-
показал Иона-Лазинио, производящий функционал для сильносвя.шых
вершин представляет собой преобразование Лежандра производя-
производящего функционала для связных диаграмм. Последний, обозначае-
обозначаемый Gc(i), был определен в гл. 5 как логарифм производящего
функционала всех функций Грина:
Z (/) = <01Т exp [i J d*xq> (х) I (x)] 10> = е°* </>. F.71а)
В разд. 6.1 мы показали, что он действительно соответствует
связным фейнмановским диаграммам, причем
со
°с (/) = ? ^]d% ... dX Gc (»„ ..., .g / (Xl) ... j (xn). F.716)
Построим теперь преобразование Лежандра функционала Gc
следующим образом. Пусть ц>с (х, /) представляет собой функцио-
функционал /, определяемый выражением
«М*. /)=ire-G<(/)- FJ2)
Предположим, что соотношение фс (х) = <рс (х, /) можно обратить,
т. е. записать в виде / (х) = jc (x, фс). Это возможно по крайней
мере как формальное разложение, при условии что (бСс/б/)|у_о = О,
которое означает, что одноточечная функция равна нулю, и
[62Ос/6/(аM/(//)]|/ = 0=^0. В дальнейшем мы будем считать, что
эти условия выполнены. Индекс с в <рс подставлен с целью на-
1) Английский термин proper, используемый авторами для одночастично
неприводимых диаграмм, мы переводим как «сильносвязная», в соответствии
С терминологией, принятой в советской литературе. —Прим. ред.

350 ГЛАВА 6
поминания, что фс—обычная с-числовая функция и ее не следует
путать с квантованным полем ср
Определим функционал Г (фс) выражением
«Т (Фе) = [Gc d)-i J d'x j (х) Фс <*)] I {x)=h{x фв). F 73)
Коэффициент i введен здесь для удобства последующего рассмот-
рассмотрения Дифференцируя выражение F 73) по ус{х), получаем
'«C5FГ *J- № \ \ W-*
В силу соотношения F 72) первый член в правой часги равен
нулю и, следовательно,
'.*»•>—&$• F74)
Как хорошо известно из классической механики или термодина-
термодинамики, в подобных случаях преобразование Лежандра является
инволютивным Следует также чаметить, что гТ (фс) можно рас-
рассматривать как значение функционала Ge(j) — i ^ d"x \ (х)ц>с (х)
(здесь / и фе незагисимы) в его стационарной точке по /
Нам нужно показать, что Г (фс) является производящим функ-
функционалом для сильносвязных функций Г (хх, .. ., хп)
F.75)
Дифференцируя соотношение F.72) по ц>с(у), получаем
6* (х-у) =
= 1с (Фг)
F 76)
здесь последнее выражение мы записали, используя F 74) Сле-
Следовательно, ядро [б2Г/бфс (у) <5фс (г)] является величиной, обратной
по отношению к г [<52Gc/<5/ (z) б/ (х)] |/=/б Положим теперь фс = 0 в
соответствии с предположением, что FGc/6/) |у = ( =0 Из тожде-
тождества F 76) следует, что связная двуточечная функция G'-'(г—х)~
— —[6aGc/S/ (г) б/ (х)] \J = I> является обратной (в смысле свертки)
по отношению к функции —/Г'21 (у—г) = — i [62Г/бфс (у) бф? B)]ф(,=0.
Вследствие свойства трансляционной инвариантности величина ГB)
зависит только от разности у—г и, следовательно,
: Г<2> (y—z) G?> (z—x) = id* (x~y). F 77)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 351
В импульсном пространстве это равенство записывается в виде
G^(p, -р)Г<2)(р, -p) = t,
где фурье-образ величины Г определяется аналогично выражениям
F 20) и F.21). Перейдем к более экономным обозначениям двух-
+
.?..
рг-тг pz-mz l p--m° p'-m* ' p*-m*
РИС. 6.24. Графическое представление соотношения F.79) Незаштрихованный
кружок отвечает полному пропагатору G<2> (p), а заштрихованные —сильно-
связной собственноэнергетическоД част—(S
точечных функций, т. е. G<a) (р) == GB) (р, —р), ГB) (р) = Г12) (р, —р).
Если написать первую в виде
Gl2> (Р) = rt-J-V(^ ' F78)
где 2 (р) — собственная энергия, то получим
Г«> (р) - i [GB> (p)]-1 = р2-/п2~Е (р). F.79)
Теперь двухточечную функцию F.78) можно разложить (рис. 6.24)
следующим образом:
Отсюда следует, что —1'2 является одночастично неприводимым
вкладом в двухточечную функцию, полученным по теории возму-
возмущений. Функция iV 2) находится добавлением к —«2 вклада ну-
нулевого порядка Цр2—т1)
Интерпреицию функций высших порядков Г'"' как одночас-
гично неприводимых сильносвяшых функций можно установить,
если выполнить последовательные дифференцирования основного
тождества F 76) при <рс = 0 Например, после еще одного диффе-
дифференцирования F.76) по фс (и) получаем (рис. 6.25)
0 = I J dlz Г(8) (г, у, и) GB) (г, х)+J й4г d*v ГB) (г, у) G<3> (jc, z, v) x
X ГB) (о, и),
и используя F 77), находим
F-80)

352
ГЛАВА 6
Таким обрачом, /ГC) является усеченной функцией (или одноча-
стично неприводимой функцией; в случае трехточечной функции
это одно и то же). Читатель может продолжить это рассмотрение
Перекрестные
+ диаграммы
РИС. 6.25. Графическое представление выражения F.80) и аналогичной фор-
формулы для четырехточечной функции. Как и на рис. 6.24, незаштрихованные
кружки соответствуют связным функциям G<">, а заштрихованные—сильно-
связным функциям (Г("'.
и убедиться в том, что функции высших порядков гТ(п) действи-
действительно являются одночастично неприводимыми.
Функционал Г (фс) можно записать еще проще, а именно как Г (<рс) =
= — I d*x dly ГB> (х—y)fc (х)ц>с (у)-\-Т (фс), и решить совместно уравнения
F.74) и F.72):
-J
Используя соотношение F.77), получаем
F.81)
Смысл этого тождества наиболее ясно проявляется в графическом представле-
представлении, данном на рис. 6.26 Любая связная диаграмма либо дает вклад в двух-
двухточечную функцию Gc2>, либо имеет древесную структуру, которую образуют
обобщенные вершины Г'л)(«^3), соединяющиеся полными пропагаторами О? '.
С другой стороны, известно, что любая связная диаграмма может быть разло-
разложена на одночастично неприводимые поддиаграммы. Чтобы отождествить по-
последние с ?ПП), необходимо убедиться в том, что все диаграммы появляются
t правильным коэффициентом. Это достигается прямым подсчетом.
Мы продолжим рассмотрение этих замечательных тождеств в гл. 9 (см. т. 2
настоящей книги), где будет разработан метод континуального интегрирования.
Следует также подчеркнуть, что в дальнейшем преобразования Лежандра
можно будет использовать аналогичным образом для определения двухчастично
неприводимых ядер и т. п.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
353
Из этого обсуждения становится ясно, что в наинизшем по-
порядке (т. е. для древесных диаграмм) Г (<рс) сводится к
F.82)
(Множитель Ь, восстановлен здесь согласно установленному выше
правилу.) Действительно, в низшем порядке сильносвязная двух-
= Е
Щх)
(п-1)!
РИС. 6.26. Графическое представление тождества F.81). Обозначения те же
самые, что на рис. 6.24 и 6.25; черный кружок соответствует производящему
функционалу bGc (j)/ibj (x).
точечная функция дается выражением
Bя)*
следовательно, ее вклад в Г (<рс) равен
1 j d*xd*y Г'*> (х, у) Ф: (х) Фе (у) =
в то время как последующие Г(п! в том же порядке Д сводятся
к исходным вершинам лагранжиана.
Важная роль функционала Г (ф) состоит в том, что он обоб-
обобщает понятие классического действия на случай высших порядков;
Г (ф) часто называют эффективным действием Этот функционал
играет важную роль при обсуждении стабильных конфигураций
основных полей, например при изучении спонтанного нарушения
симметрии, как мы увидим в гл. 11 (см. т. 2 настоящей книги).
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на другие
типы скалярных полей, или на поля с ненулевым спином. Для
полуцелых спинов нам пришлось бы воспользоваться антикомму-
антикоммутирующими источниками (см разд. 4 2 2); этой алгебре антикомму-
антикоммутационных соотношений должно подчиняться также «классическое»
поле т|)с, представляющее собой аналог поля фс. Операции с та-
такими антикоммутирующими функциями требуют осторожности,
однако и в этом случае преобразование Лежандра дает произво-
производящий функционал для сильносвязных вершин.

354 ГЛАВА 6
6.2.3. Параметрическое представление
Рассмотрим в скалярной теории произвольную сильносвязную ди-
диаграмму G и вычислим соответствующий ей вклад / (G) согласно
правилам Фейнмана. Предположим, что G не содержит никаких
«головастиков», т. е, в диаграмме нет ни одной внутренней линии,
начинающейся и заканчивающейся в одной и той же вершине.
Пусть, как и прежде, /—число внутренних линий, а У —число
вершин. Ориентацию каждой внутренней линии удобно считать
произвольной. Определим матрицу инцидентности {svl\ с индек-
индексами, пробегающими номера вершин и внутренних линий соответ-
соответственно как
1, если вершина v расположена в начале линии /,
—1, если вершина v расположена в конце линии /,
О, если / не связана с v.
Эта Ух/-матрица характеризует топологию диаграммы. Введем
следующие определения. Поддиаграмма G' диаграммы G есть под-
подмножество вершин и линий диаграммы G, такое, что никакая
вершина в нем не является изолированной; мы не предполагаем,
что для двух данных вершин из G' все линии, соединяющие их
в G, принадлежат G'. Деревом для G будет поддиаграмма, со-
содержащая все вершины диаграммы G, но не содержащая петель.
Диаграмму G можно восстановить по любому из ее деревьев до-
добавлением к ним линий. Согласно соотношению F 69), дерево
имеет У—1 внутренних линий Его матрица инцидентности,
а именно Vx(V—1)-матрица, имеет ранг, меньший или равный
У—1. Покажем, что ее ранг действительно равен У—1. Если из
дерева удалить произвольную вершину, то между линиями 1г, ...
..., /y_i и оставшимися вершинами и1У ..., iv-i будет существо-
существовать взаимно-однозначное соответствие, при котором е, i ^0.
Для любого другого соответствия по крайней мере одно из е„ t
обращается в нуль. Это означает, что соответствующий (У—1) х
Х(У — 1)-минор матрицы инцидентности равен ±1. Последнее
справедливо для любого такого минора и, следовательно, ранг
матрицы инцидентности древесной диаграммы равен У—1.
Для произвольной связной диаграммы условие L=/-f-l —К > 0
означает, что ранг Ух /-матрицы инцидентности равен p^V.
В силу того что для любого /=1, ...,/ ^6^ = 0, мы имеем
р^ — 1, а поскольку е получается добавлением новых столбцов
к матрице ранга У—1 древесной поддиаграммы, получаем р = У—1.
Рассмотрим теперь G как диаграмму Фейнмана, дающую вклад
в некоторую сильносвязную функцию Грина Г (plt ...,pn). Пусть

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ 355
n
p—входящие импульсы и 2 Л = 0- Обозначим через Pv=^,pk
i = \ v
v
сумму импульсов, входящих в вершину v; очевидно, 2 Pv — ^-
Вклад 1а(Р) от GsiT (р,-)=BяL б4B/?,-) (Г(р() зависит только от Я,
при условии что мы рассматриваем теорию со связями без про-
производных. Этот вклад записывается в виде
F.83)
Здесь S(G)—фактор симметрии диаграммы, а С (G) объединяет
все множители, относящиеся к вершинам; например, С (G) = (—ik)v
в теории X (ф4/4!). Направление 4-импульса kt соответствует ориен-
ориентации, выбранной для 1-й внутренней линии Изучаемая теория
может включать различные виды скалярных полей, поэтому массы
т снабжены индексами /. Если в скалярной теории имеются связи
с производными или введены поля со спинами, то в числитель
подынтегрального выражения F 83) входят полиномы по k. Это
приводит лишь к небольшому усложнению, что в последующих
главах будет проиллюстрировано на практических примерах.
В дальнейшем мы будем ис-пользовать следующие интегральные
представления свободного скалярного пропагатора и б*-функции:
F.84а)
о
Bя)« б* [Pv -2ХЛ) = J d% exp [- iyv- [Pv - 2 zvlk^ J .F.846)
В F.84а) благодаря присутствию ie интеграл сходится на верх-
верхнем пределе. В дальнейшем величину ie будем опускать (при этом
можно считать, что /п2 имеет малую мнимую часть).
Подставим представление F.84) в F 83) и изменим порядок
интегрирования. Разумеется, такая операция не законна, если
интегралы не являются абсолютно сходящимися, что часто имеет
место. Однако в гл. 8 (т. 2 настоящей книги) при рассмотрении
регуляризации и перенормировок мы покажем, что это оправдано.
Интегрирования по каждому 4-импульсу kt могут быть легко вы-

356 ГЛАВА 6
полнены, что приводит к результату.
где А—интеграл Френеля:
А = С^<«*2 =
J 2л
Отсюда получаем
хе °
F.85)
Произведем в этой формуле следующую замену переменных:
Якобиан этой замены равен единице. Поскольку 2e»/— ' (линиям
V
соединяет две и только две вершины), zv входит лишь в послед-
последнюю экспоненту выражения F.85). Поэтому интегрирование по
zv дает б4-функцию, выражающую закон сохранения энергии-им-
пульса, а именно
xe

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 357
Матрица dG(a) размерности (V— \)x(V— 1), определяемая как
[do (a)k*2 =
является, кзк можно показать, несингулярной; ее детерминант
равен
где сумма пробегает по всем деревьям G. Поскольку каждое де-
дерево диаграммы G имеет V—1 линий, очевидно, что До представ-
представляет собой однородный полином по af1. При а > 0 детерминант Л
положителен Теперь можно проинтегрировать по остальным
(V—1) четыре-векторам г, в результате получаем
( I V-
» explt{ 2
/о С) - 3 U (date I) И4„J]
[|Dя)г]Чо1...а/Дс(о)]«
Эта формула выражает /G (P) как функцию инвариантных скаляр-
скалярных произведений внешних импульсов P0^-PVi. Функции от а,
которые входят в показатель экспоненты или в знаменатель, мо-
могут быть представлены в виде, не зависящем от выбора вершины V.
С одной стороны, знаменатель
является однородным полиномом степени L, не зависящим, оче-
очевидно, от У. С другой стороны, квадратичную форму
Qa(P, «)= 2 ^,-[do1(a)k«..^,
Vl, t>2= 1
можно записать в виде
где сумма пробегает по всем возможным С «рассечениям» L + 1
линии, делящим диаграмму на две и только две связные части
G^C) и Gz(C); такие разбиения получаются из древесных под-
поддиаграмм диаграммы G рассечением некоторой (L-fl)-ft линии.
При этом sc обозначает квадрат импульсов Р, входящих в GX(Q
или G2(C);
( S )'( S V F.88)

358 ГЛАВА 6
Таким образом, Qn равно отношению двух однородных полиномов
степени L-f I и L соответственно.
Окончательно параметрическое представление имеет вид
'.«- { П ^.'-"^„(«^СГм]" <689>
где Ра и Qo определяются выражениями F.86)—F.88), a L= / 4-
4-1—V. Мы опустим в нашем элементарном изложении доказа-
доказательство формул F.86)—F.88) и подробное рассмотрение свойств
^ ^5tf ( . 1 j РИС. 6.27. Пример диаграммы, даю-
°l ~* jr^^^e.3! * 4 Ще^ вклад в четырехточечную функ-
функцию.
функций !PG и QG, это можно найти в литературе, перечисленной
в конце настоящей главы.
Проиллюстрируем правила F.86)—F.88) На конкретном примере. Диаграмма,
изображенная на рис. 6.27, дает вклад в четырехточечную функцию в теории ф*.
Напомним, что фактор симметрии S(G)—2, a C(G) = (—йK. Деревьями <§~
являются (hh), (hh)< (hU)> (Уз) и (/2У- Следовательно, полином ^0 можно
записать в виде
Теперь перечислим рассечения С и соответствующие им величины
Выбирая в качестве независимых переменных Pt и Р2, имеем
Qa (P, a)=5>G1 [P?a,a2 (a3-ba4) + ^a1a3a44-(Pi+P2J a3a3a4].
В целях дальнейшего упрощения выражения F.89) можно воспользоваться
свойствами однородности S*G и Qq:
Q0(P, Ы) = Щ0(Р, а),
3><).a) = \L3>G(a).
Подставляя в подынтегральную часть тождество

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 359
и производя замену переменной а1 —*ка^ получаем
1 С й A У, И/) С dX
о ' = ' о
X exp M [Qo (Р, а) — S ш?аЛ I. _" F.90)
Из-за присутствия б-функции интегрирование по а проводится
в пределах от 0 до 1. При интегрировании по X сходимость на
верхнем пределе обеспечена благодаря неявно входящей в tnf до-
добавке i'e. Интеграл сходится также и на нижнем пределе при
условии, что 2V — /—2 > 0. Результат интегрирования можно вы-
выразить с помощью гамма-функции Эйлера в виде
•3(V-l)-27
' /nv -ГBУ-/—2)
X р V ' = l, ' -..v-/-, • F.91)
IPa («»2 Qa (P. a) -
2
Условие сходимости, записанное в виде 21 — 4У-}-4<0, отражает
лишь тот факт, что 1а(Р) имеет отрицательную размерность в еди-
единицах энергии. Это можно видеть из выражений F.83) и F.91),
учитывая то, что Qa имеет размерность [Е]2. Если же эта раз-
размерность неотрицательна, интеграл расходится на нижнем пределе
А,~0, что в рассматриваемом параметрическом представлении яв-
является отражением ультрафиолетовой расходимости интеграла
F.83) при больших к. Это соотношение между размерностью и
наличием расходимостеи предвосхищает правила подсчета степеней,
которые будут нашим основным критерием при рассмотрении про-
процедуры перенормировок.
Параметрические представления F.89)—F.91) полезны во мно-
многих отношениях С их помощью различным выражениям, соответ-
соответствующим диаграммам Фейнмана, можно придать простую форму,
удобную при практических вычислениях. Их можно также при-
применить для изучения аналитических свойств функций Грина и
выполнения программы перенормировок. Кроме того, существует
интересная аналогия между этими параметрическими представле-
представлениями и теорией электрических цепей

360 ГЛАВА 6
6.2.4. Ф^нсиии Грина в евклидовой области
Функции Грина (скалярной) теории являются функциями инвариантных ска-
скалярных произведении их внешних импульсов, представляющих собой вещест-
вещественные лоренцевы 4-векторы. Из результатов предыдущей главы (а также иэ
раздела 6.2.5) следует, что эти функции обладают свойствами аналитичности
и могут быть продолжены в нефизические области. Здесь мы остановимся на
вопросе о продолжении п евклидову область, в которой теория поля по неко-
некоторым свойствам аналогична статистической механике. Формулировкой теории
поля в евклидовой области мы заниматься не будем, однако разовьем соответ-
соответствующую этому случаю теорию возмущений. Вновь для простоты будем при-
применять скалярн>ю теорию.
Рассмотрим силыюсвязную функцию Г<л) (pi, ...,pn) и предположим, что
ее аргументы удовлетворяют условию
_j ukPk I <0 (евклидова область) F.92)
для любых вещественных («j,). Многообразие, удовлетворяющее этому условию,
есть линейное пространственно-подобное подпрострачство (гиперпространсво)
импульсного пространства. Рассматривая Г""> как функцию ннвариантв
Pi-Pj (i, /=1, • •¦> п—1), вычислим размерность всего многообразия, когда
отсутствует ограничение F 92), и размерность подмножества с ограничением
F.92) Разумеется, необходимо помншь, что в четырехмерном пространстве
любой набор более чем четырех векторов является линейно-зависимым. Следо
вателыга, при лЭ^б векторы р линейно-зависимы. Поэтому в случае п;>4
инварианты Pi-pj принадлежат многообразию размерности 4п—10 A и 3 для
л = 2,3 соответственно). Если принять во внимание условие F.92), то в случае
га 3=4 они принадлежат подмногообразию размерности Зп— 6A иЗдля я = 2, 3).
При л = 4 обе размерности совпадают и равны 6 (например, s, t, и, р\, ...
... , pt, причем 2jp\ — s-\-t-\-u), а при я^5 евклидово подмногообразие
F.92) имеет размерность, меньшую размерности всего пространства.
В евклидовой области F.92) все р ортогональны некоторому временипо-
добному вектору п. Используя преобразование Лоренца, можно выбрать п =
= A, 0, 0, 0), при этом р\ = 0 для всех i. Это позволяет сопоставить каждому
/?, вектор Pi евклидова /^-пространства: в такой системе отсчета р°1 = р°1=0 и
р, — р;. Следовательно,
Pi •/>/ = />?/>/+pJp/+P?/>/ + P?/>j = — Pi-Pj-
Если теперь выделить диаграмму, дающую вклад в Г(и\ и записать этот
вклад в виде F.89), то можно определить величину Pv, т. е. сумму импуль-
импульсов р[, входящих в вершш'у v. Напомним, что каждому «рассечению» С такой
диаграммы сопоставляются величины [ср. с F.87) и F.88)]
S М'—( S
06(/t(C) V
II
С (ее
Поэтому на многообразии F.92) выражение F.90) можно переписать в виде

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
361
Напомним, что в mi подразумевается наличие отрицательно"! мнимой части.
С учетом положительности выражения, стоящего в квадро ных скобках в по-
показателе экспоненты (при mf&zO), это позволяет нам повернуть контур инте-
интегрирования в комплексной плоскости X (рис. 6.28) на угол —я/2 (т. е. по
.часовой стрелке). Последнее, конечно, эквивалентно одновременному повороту
.на угол —л/2 всех переменных а в выражении F.89). Необходимо подчеркнуть,
©
Im
-*-Re\
\
а о
РИС. 6.28. Поворот Вика в параметрическом пространстве (а) и в импульс-
импульсном пространстве (б). Исходный контур интегрирования указан одиночной
стрелкой, а. контур, получающийся в результате поворота, — двойной стрелкой.
На рис. б крестиками обозначены положения полюсов fe?= ± [(кг + 2рJ -f-
что добавка (& играет решающую роль, так как она задает направление по-
поворота. Этот поворот, называемый обычно поворотом Вика, является незакон-
незаконным, если некоторые т/ оказываются отрицательными. В импульсном прост-
пространстве [ср. с F.83)] поворот Вика сводится к повороту на л/2 (против часовой
стрелки) всех k°i в системе отсчета, в которой все /р" = 0. Это согласуется с рас-
расположением полюсов пропагатора в точках
После осущесгвления поворота мы получим в евклидово! области
F.93)
Величина С (G), стоящая перед /о(^)[ср. с F.83)], содержит множитель iv,
происходящий от разложения ехр I « \ о!4г Л?вз(г) ДО членов степени V. По-
Положим C(G) — F С{0) и перепишем F.93) в виде
Например, в теории Кф1 имеем C(G) = (— X)v. В разд. 6.2.2 мы показали, что
сильносвязные функции отождествляются с (Г4"', определяемыми с помощью
преобразования Лежандра F.73) и F.75). Поэтому благодаря наличию допол-

362 ГЛАВА 6
нительного множителя i эти функции Г<и) совпадают с вещественными евкли-
евклидовыми функциями Грина, т. е,
г<«0ч />я)=*Чя)(й,...,>я),
определяемыми как суммы вкладов [C(G)/S(G)]la(P) от каждой диаграммы.
Повторяя те же вычисления, что и в разд. 6.2.3, нетрудно доказать справед-
справедливость соотношения
- S (G) J 1.1 <2я)« Щ +
F.94)
з
где ?г—евклидовы 4-импульсы, a fe? = 2 Ш)а. Здесь, как и в формуле
(=0
F.93), подынтегральное выражение является положительным. Разумеется, со-
соотношение F.94) означает, что f можно вычислить в соответствии с правилами
Фейнмана в евклидовом пространстве:
вершина —к вместо —i%,
^ вжсто fe*m*He • <6"95>
Из этих правил следует, что в области совпадения F,92) между связными
функциями Грина (с внешними пропагаторами) имеет место следующее соотно-
соотношение:
Gf (рх, ..., Р«) = « (- i)n &cn> (plt ... , ри). F.96)
В конфигурационном пространстве эти функции записываются в виде
где x-q=x0q0-{-x1q1-{-x2q^-^-x3q3. Введем теперь производящий функционал
и аналогичное выражение для Г (фс). Собирая все множители i в формулах
F.716), F.72), F.73) и F.96), можно непосредственно проверить, что Г (<рс)
является преобразованием Лежандра от Gc;
Г (фе) = [ бв (/) - J d*A: / (ж) Фс (х) ] , F.97)
где фс и / связаны соотношением
фс(л)-~о7^Г" F-98)
В низшем порядке теории возмущений евклидов функционал в теории ф4 можно

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 363
записать в виде
з
Г древесн (фс) = — I' d*X ХЕ [ф„ (*)] = — Г Л '
J J \ fe=O
4-А
+ 41
Следует згметить, что член (д0ц>J имеет здесь противоположный знак по срав-
сравнению с F.82).
Евклидову теорию можно рассматривать как аналог статистической
механики, в которой каждая полевая конфигурация входит С весом
ехр — \ cftz Xp (ф) . Это станет, по-видимому, более понятным после введе-
введения континуальных интегралов в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги)
Предлагаем читателю в качестве упражнения обсудить смысл поворота
Вика при наличии полей со спином 1/2; выяснить, что происходит при этом
t у-матРиЦами, а также найти соотношение между -гр и г|>. После этого можно
^эудет сформулировать правила Фейнкана для евклидовой квантовой электро-
электродинамики.
6.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
В последнем разделе гл. 5 мы изучали аналитические свойства
амплитуд, исходя из общего принципа локальной причинности.
В качестве типичного примера рассматривалась двухчастичная
амплитуда упругого рассеяния вперед, которая, как было пока-
показано, является аналитической по энергии при наложении соответ-
соответствующих ограничений на значения массы частиц. Область анали-
аналитичности представляет собой плоскость с двумя разрезами, начи-
начинающимися з точках ветвления s = M\ и и = 2(т%-\-пф—s — M'i
(при t = Q). Эти значения переменных соответствуют наинизшим
промежуточным состояниям в прямом (s) и перекрестном (и) ка-
каналах Скачки амплитуды на разрезах связываются с помощью
оптической теоремы с полным сечением реакции в данном канале.
Следовательно, амплитуда, по-видимому, будет иметь сингулярности
вдоль вещественной оси при всех значениях энергии, соответст-
соответствующих новым порогам, т. е. возникновению новых возможных
конечных состояний. Например, ожидается, что амплитуда рассея-
рассеяния вперед в процессе nN —>nN имеет сингулярности по s (или и)
в точках {ты-^тлу, (гпм^-2тл)% и т. д.
В настоящем разделе мы обсудим в общих чертах аналитиче-
аналитические свойства фейнмановских интегралов. Интерес к изучению
этого предмета вызван тремя обстоятельствами. Во-первых, по-
полезно проверить в рамках теории возмущений общие аналитиче-
аналитические свойства, установленные строго. Всякий раз, когда с помощью
общих аксиом можно доказать существование области аналитич-

364 ГЛАВА 6
ности, вклад произвольной диаграммы необходимо анализировать
на всех последовательных стадиях доказательства и убедиться при
этом, что он обладает соответствующими аналитическими свойст-
свойствами, или, точнее, их эквивалентами в рамках теории возмущений.
Однако, если массы таковы, что общее доказательство провести
не удается, практически полезным может оказаться изучение от-
отдельных диаграмм Во-вторых, таким образом можно исследовать
комплексные сингулярности или изучать свойства аналитичности
по нескольким переменным. Даже тогда, когда мы предполагаем,
что ряд теории возмущений не сходится, и, следовательно, точ-
точные выражения для амплитуд могуг иметь свойства, отличные от
свойств отдельных диаграмм, такое изучение позволит нам полу-
получить полезные выводы В-третьих, дисперсионные соотнесения по
одной или нескольким переменным могут оказаться полезным
средством при вычислении фейнмановских амплитуд
В дальнейшем мы часто будем использовать термин «физиче-
«физический лист амплитуды рассеяния». Под этим подразумевается об-
область, достигаемая аналитическим продолжением в комплексную
плоскость выше порога с учетом фейнмановской добавки ie. При
таком рассмотрении мы пренебрегаем возможностью пересечения
различных разрезов, обусловленных сингулярной природой ампли-
амплитуды рассеяния.
6.3Л. Уравнения Ландау
Функция, определяемая интегралом
F(z)=ldxf(x,z)
с
по контуру С, может иметь, например, в интервале (а, Ь) веще-
вещественной оси сингулярности двух типов Предположим, что функ-
функция / (х, г) является аналитической по переменным х, z во всей
области ее определения, за исключением сингулярностей, распо-
расположенных в х = хк(г). Очевидно, F(г) является аналитической
в любой точке г, такой, что ее открытая окрестность С свободна
от сингулярностей Если некоторая сингулярность xk(z) прибли-
приближается к контуру С и этот контур можно деформировать таким
образом, чтобы избежать ее, то F остается аналитической Следо-
Следовательно, F как функция от г может быть сингулярной в тех
случаях, когда контур С нельзя более деформировать. Этих слу-
случаев два.
1. Одна из сингулярных точек xr(z) находится близко от одной
из конечных точек контура, т. е. при г —>za мы имеем хг (г) —* а
или Ъ. В этом случае г0 называется концевой сингулярной
точкой.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 365
2. Контур С зажат между двумя сингулярностями xt(z) и хг(г)
(рис 6.29), т. е при z —+ z0 точки х1 (г) и х2 (г) подходят к кон-
контуру с противоположных сторон (снизу и сверху) и совпадают
при г = 20. В этом случае точка 20 называется пинч-сингуляр-
ностью.
а
РИС. 6.29 Сингулярность, возникающая
при зажимании контура интегрирования
между двумя сингулярными точками xi (г)
и хг (г) подынтегрального выражения.
Х2B) ••-¦¦
Элементарными примерами являются следующие интегралы:
* 2 ----рЦ. F.99а)
'" F.996)
В псовом примере г—0 мы имеем пинч-сингулярность, поскольку при z—>¦ 0+ кон-
контур зажимается между двух полюсов x—i |^z«i=- i V г. Во втором случае
получаем концевые сингулярные точки 2 = 0 и 2=1. При 2 = 2 во всех рима-
новых листах логарифма, за исключением первого листа (соответствующего его
глазному значению), мы имеем пинч-сингулярность. Действительно, на первом
листе контур интегрирования не пересекает точки х — 2. Однако при перехо-
переходах на другие липы нам приходится деформировать контур интегрирования.
При этом может возникнуть зажимание кон г) ра Такое же явление наблюдается
и в ] ретьем случае F.99в) Здесь при г=1 имеет место концевая сингулярная
точка, в то время как сингулярность при г=0 на каждом листе, за исклю-
исключением первого, появляется из за зажимания контура на бесконечности. Это
становится понятным, если заменить переменную интегрирования х на и = 1/х.
Это рассмотрение можно обобщить на функции нескольких
комплексных переменных лс? и г;, т. е. F(z/)=\ (JJ.dxt\f(xi,Zj).
Граница области интегрирования, определяемая гиперконтуром Н,
описывается набором аналитических соотношений If т (х, г) — 0.
Сингулярности подынтегральной функции f (xt, Zj) имеют вид ана-
аналитических многообразий cfs(x, г) = 0 Сингулярности возникают
тогда, когда гиперконтур Н зажимается между двумя или более
сингулярными поверхностями или сингулярная поверхность пере-
пересекается с ограничивающей поверхностью. Точнее говоря, можно по-

ГЛАВА 6
казать, что необходимым условием наличия сингулярности является
существование множества комплексных параметров Xs, Xr, которые
не все равны нулю и такие, что при xt = $, zf = z° имеют место
следующие равенства:
Xsdfs (х°, г°) = 0 для всех s,
%г&г(х°, 2°) = 0 для всех л, F.100)
= 0 для всех i.
х°, г°
Последнее условие отражает тот факт, что гиперповерхности
касаются друг друга в точке зажимания. Но это только необхо-
необходимое условие. Определение того, действительно ли гиперконтур
зажимается, требует детального изучения
Применим эти общие результаты к изучению интегралов Фейн-
мана, которые мы сначала рассмотрим в импульсном пространстве
Минковского. Рассмотрим интеграл
Обозначения здесь приняты те же, что и в формуле F.83), за
исключением лишь того, что теперь внутренние импульсы kt вы-
выражены через набор петлевых переменных qt и внешние импульсы Р.
Границы области интегрирования уходят здесь на бесконечность
В нашем элементарном рассмотрении мы пренебрежем возможно-
возможностью появления концевых сингулярных точек на бесконечности и
не будем веодить <SPr Сингулярности подынтегральной функции
определяются уравнениями <Уx = k\—mf = 0. Уравнения Ландау
выражают необходимые условия F.100) для данного случая:
j — m?) = 0 для всех /=>1, .... /, F.102а)
Д..|-;=0, l=\,...,L F.1026)
Второе уравнение можно переписать в виде
2 (±ДА=о, F.ЮЗ)
где мы использовали обстоятельство, что те k, которые зависят
линейно (и с коэффициентом ±1) от петлевой переменной qt, при-
принадлежат единственной петле, обозначаемой J?\. Уравнение F 102а)
можно интерпретировать таким образом, что сингулярности обра-
образуются, только если для каждой внутренней линии либо 4-импульс
находится на своей массовой поверхности k\ = m\, либо равен нулю
параметр К(. В последнем случае t-я линия никогда не появляется

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 367
в сингулярных уравнениях. При этом мы имеем сингулярность
редуцированной диаграммы, в которой i-я линия стянута в точку.
Поучительным является вывод уравнений Ландау из других интегральных
представлений. Прежде чем обсуждать параметрическое представление, рас-
рассмотренное в разд. 6.2.3, введем смешанное представление
S.104)
которое получается с помощью соотношения F.101), если использовать тож-
тождество
Теперь сингулярности интеграла Iq (P) обусловлены нулями знаменателя
ЗР = ^ «,•(*!—mf) при Зажимании гклерконтура в (а, ^-пространстве или
t =1
при пересечении его с границами (#",¦=«; = (). Уравнения, определяющие син-
сингулярности, записываются следующим образом:
к'<&> = 0, F.106а)
Я,;а,=0, i=l, .... /, F.1066)
0, /=1 L, F.106В)
Случай А/ = 0 приводит к Ц — 0 для всех /. Мы отбрасываем это
тривиальное решение и полагаем сУ=0. При этом уравнение (б.Юбв)
принимает вид
а уравнения F.1066) и (б.Юбг) приводят к
Таким образом, мы снова получили уравнения F.102), в которых X заменены
на а.
Параметрическое представление F.91), справедливое в случае, когда в диа-
диаграмме на первый взгляд отсутствуют ультрафиолетовые расходимости [т. е.
2L — 4 (У—1) < 0], получается из соотношения F 104) интегрированием по
петлевым импульсам д. Пренебрегая возможностью существования сингуляр-
ностей из-за наличия нулей у функции ^о(а), будем считать, что <?Р =

368 ГЛАВА 6
— Qo(P, a)— 2 aim*> <i?i==ai> и запишем условия существования сингу-
( = 1
лярностей в виде
vo
F.107)
Снова К' = 0 являе1ся тривиальным решением. Эти условия можно переписать
в виде а/3(У/ба/ = 0 для каждого /, откуда в силу однородности 0У имеем
tf = ^ ау d<ffldaj = 0. Чтобы показать эквивалентность этих условий урав-
уравнениям Ландау F.102), нам необходимо вернуться к переменным kt для каж-
каждой внутренней линии, определенным через внешние импульсы и параметры а.
Последние выбираются гак, чюбы удовлетворить уравнениям типа F.103),
в которых \ заменены на а,-. С этим определением условие а, З^/За/кгО
соответствует уравнению F.102а).
При отыскании решений системы уравнений F.106) или F.107) благодаря
однородности функции if мы можем опустить условие ^0^=1.
В любом представлении решение, соответствующее Я4 ф 0 (или
at Ф 0) для всех i, называется главной сингулярностью, в то время
как решение, для которого Я, = 0 (или а, = 0) при i?f-, назы-
называется неглавной сингулярностью. Для соответствующей реду-
редуцированной диаграммы R—G/^, в которой все линии /?^ стя-
стягиваются в точку, данная сингулярность является главной.
Уравнения Ландау представляют интерео в связи с тем, что,
решив их, можно было бы найти положение сингулярностеи s по-
помощью алгебраических действий. Однако даже для простых диа-
диаграмм получить общее решение этих уравнений веаьма трудно.
Эту задачу возможно решить лишь для случая вещественной син-
сингулярности.
6.3.2. Вещественные сингулярности
Вещественные еингулярности — это те сингулярности, которые
имеют место для вещественных значений инвариантов s^—P^P/
на физическом листе. Заметим, что эти вещественные значения
инвариантов ^ необходимостью не соответствуют физически воз-
возможным кинематическим конфигурациям. Например, в случае
упругого рассеяния двух частиц, находящихся на массовых по-
поверхностях та и ть, область s = (ра + рь)'2 < (та + т6J является
вещественной, но не физической
Если интегрирование проводить по вещественному контуру
в параметрическом пространстве, то при вещественных значениях
инвариантов ъу и мнимых добавках (—i&) к внутренним массам
никакой сингулярности не возникает. Сингулярности образуются
лишь в пределе 0

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 369
Можно показать, что любое вещественное решение уравнений
Ландау соответствует зажиманию контура интегрирования при
переходе к пределу в-»-0 и, следовательно, приводит к сингу-
сингулярности интеграла.
Для того чтобы это показать, рассмотрим параметрическое представле-
представление F.91). Начнем с анализа главной сингулярности, существующей при не-
некоторых вещественных значениях инвариантов s=s@). Пусть уравнения Ландау
ddf/da.j—0 имеют вещественные решения ау=*а° (/ = 1, ,.., У). В окрест-
окрестности этой точки справедливо разложение
W > хЧг- Ао^Ао/+0(До»).
2 х-* да; За/ „О), s*°> '
После диагонализации этой квадратичной формы получаем уравнение
д JVO д„2
2 ^^
с вещественными собственными значениями о,- и убеждаемся, что по любой
переменной р",- A = 1, ..., /—1) решения уравнения i<ff — гв = О приближа-
приближаются к вещественной оси с противоположных сторон за исключением, воз-
возможно, особого случая, когда а,' = 0 Это означает что в каждом интегриро-
интегрировании по р,- возникает пинч-сингулярносгь. Теперь можно расправшься с не-
неглавной сингулярностью. Предположим, что среди решений уравнений Ландау
п параметров а, равны нулю. <х,-@1=0, (?^. После интегрирования по этим
параметрам в окрестности нудя мы снова имеем предыдущий случай.
Для определения типа сингулярности, с которым мы имеем дело, можно
применить тот же самый метод. Предположим, что мы находимся вблизи син-
сингулярности s и s<0); посмотрим, какой вклад в интеграл дают точки, лежащие
в окрестности а = а<0). Напишем разложение
-??.*+ ?
J
t=l, Т., л t,/=n + l /-I
в котором первый член обусловлен вариацией \sa = $a—Sa0> инвариантов, вто-
второй член — вариацией п параметров а, (г?|0 вблизи нуля, а третий— вариа-
вариацией параметров редуцированной диаграммы R. Поскольку а,-=0 для t gjf,
в выражении F.91) знаменатель 5*о (а) стремится к нулю как степень L X'f-),
где L CU)—число независимых петель поддиаграммы, соотве!ствующей J^. Из
простого подсчета мы видим, что интеграл Iq(P) как функция числа петель
и внутренних линий редуцированной диаграммы ведет себя следующим образом:
/0(P)~(As)*, F.108)
где
(lln)[4L(R)
В любом случае, если k—неотрицательное число, может появиться добавочная
логарифмическая зависимость:
fc=0, I, ...„ F.109)

370 ГЛАВА 6
В действительности этот результат не зависит от того, вещественна сингуляр-
сингулярность или нет. Таким образом, мы приходим к заключению, что фейнманов-
ские интегралы как функции инвариантных скалярнь'х произведений stJ =
'=P,-Pj обычло имеют логарифмические и корневые (второй степени) точки
ветвления.
Вещественные сингулярности обладают рядом интересных
свойств. Например, в параметрическом пространстве в точке, соот-
соответствующей решению уравнений Ландау, производные по пара-
параметрическим переменным да?/да; равны нулю для всех ненулевых
а/0>. Следовательно, такое решение соответствует либо локаль-
РИС. 6.30. Диаграмма «пузырь».
Р-к
ному экстремуму, либо седловой точке of на компактном множе-
множестве Д = {0^аг^ 1, 2ai=U' С другой стороны, можно пока-
показать, что это не минимум функции #'. Например, диаграмма
собственной энергии, приведенная на рис. 6.30, сингулярна при
Я2 = [ml -\~ tn2J. Функция of для этой диаграммы имеет вид
а2+а2 ! ' 2 2
При Рг = (щ + tn^f она имеет максимум, равный нулю в точке
a1=tn2/(m-l + mi), aa = m1/(m1-(-/ns), являющейся решением урав-
уравнения Ландау и принадлежащей интервалу Д. Конфигурации же,
отвечающие седловым точкам, по-видимому, вообще не появля-
появляются в фейнмановских интегралах (хотя никаких доказательств
этого утверждения авторам не известно). Таким образом, мы
ограничимся рассмотрением решений, которые соответствуют ло-
локальным максимумам функции &', называемым порогами. В этих
точках как реальная, так и мнимая части амплитуды сингулярны.
Мы покажем, что при этом мнимая часть получает новый адди-
аддитивный вклад выше порога, в то время как вещественная часть
имеет бесконечные производные высших порядков.
Проведем дальнейшую классификацию порогов. Нормальные
пороги — это такие сингулярности, появление которых связано
с унитарностью, о чем уже упоминалось во введении к данному
разделу. Начнем со следующего определения. Множество / внут-
внутренних линий диаграммы G назыьают промежуточным состоянием
этой диаграммы, если после разрезания /— 1 из этих линий диа-
диаграмма остается связной, а еще одно сечение приводит к ее
разъединению на две части Gx и G2, причем так, что каждая из

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 371
них имеет входящие внешние импульсы. Заметим, что в отличие
от случая, когда вводились сечения С [см. выражение F.87)],
здесь Gj и G2 могут все же содержать петли. Аналогично фор-
РИС. 6.31. Диаграмма с промежуточным состоянием с массами пц, ..., mv
и соответствующая редуцированная диаграмма
toie F.88) определим инвариант (см. рис. 6.31):
|Тогда величина
s = s@) = B>;J. F.110)
Промежу-
Промежуточное со-
состояние
определяет нормальный порог амплитуды. С физической точки
зрения s@)—это наименьшее значение инварианта s, при котором
возможно рождение физических состояний с массами mlt ..., mt.
Покажем, что такое промежуточное состояние действительно соответствует
решению уравнений Ландау. Для этого приравняем нулю все а, соответст-
соответствующие линиям, не принадлежащим промежуточному состоянию, скажем
.,., а/. Тогда для редуцированной диаграммы получаем
t ..,, щ, 0
Е Уравнения д?Р1да,[ = й имеют решение при Vs — ^mit al = ml1/(?lm71)',
г нетрудно убедиться в том, что при эшх значениях $ имеет максимум, рав-
> ный нулю.
I
* В противоположность наивным представлениям существуют и
\ другие вещественные сингулярности, называемые аномальными
порогами Эти сингулярности приводят к некоторым трудностям,
поскольку их вклад в абсорбтивную часть амплитуды нельзя не-
непосредственно связать через условие унитарности с физическими
¦ процессами. Возникновение аномальных порогов в амплитуде рас-
рассеяния соответствует ситуации, когда аксиоматический вывод дис-
персионных соотношений больше не справедлив. Именно поэтому
; необходимо следить за возможностью появления таких сингуляр-
ностей Эта проблема довольно сложна, но в разд 6.3.3 мы по-
\ стараемся ее проиллюстрировать на простых примерах.

372 ГЛАВА 6
В импульсном пространстве различие между нормальным и аномальным по-
poi ами можно интерпретировать при решении уравнений Ландау в терминах
размерности пространства, натянутого на внутренние импульсы k, редуциро-
редуцированной диаграммы. В случае нормального порога внутренние импульсы обра-
образуют одномерное пространство, что видно из анализа системы уравнений F.102)
для редуцированной диаграммы, изображенной на рис. 6.30. Из этих уравне-
уравнений следует, что все импульсы fe,- (t=l, ..., I) коллинеарны между собой,
а потрму коллинеарны и с внешним импульсом Р=> 2 Pv В случае же ано-
мзльного порога эта размерность больше единицы.
6.3.3. Вещественные сингулярности простых диаграмм
Проиллюстрируем общие формулировки на примере однопетлевых диаграмм.
Сначала рассмотрим диаграмму типа «пузырь», изображенную на рис. 6.30.
Исследуем аналитические свойства по переменной s — P2, где Р — полный.
4-импульс, входящий в одну из вершин. Диаграмма может описывать собст-
собственно-энергетический вклад в теории <р3 или амплитуду рассеяния в теории ф*
и т. п. В любом случае решение уравнений Ландау тривиально. Запишем
соответствующий интеграл в импульсном пространстве
где вместо величины 1q{P), определяемой выражениями F.83) и F.101), рас-
рассматривается ветичина Tq (Р) = (—if+ l /G (Р), которая дает аддитивный вклад
в амплитуду рассеяния E.171). Из уравнений Ландау вытекает, что сущест-
существует два вещественных числа К% и Х2, такие, что
X1(k2-tnf)=0,
Ъ [(/>-*)»-ml] = 0, FЛ12)
Отсюда следует, что Р и k коллинеарны и что т\%\ = т\%\, a s=P2=(m1±m2J.
Величина {fiii-^-m^ соответствует ожидаемому нормальному riopoiy, в то
время как другое решение (nil — m.2J, как мы ниже покажем, не появляется
на физическом листе. По-видимому, мы заблуждаемся, поскольку интеграл
F.111) имеет логарифмическую ультрафиолетовую расходимость и требует
перенормировки. Имеет смысл лишь значение интеграла TG (Р2), полученное
после вычитания в некоторой точке, но это вычитание не приводит к измене-
пшо ни уравнений Ландау, ни структуры сингутярностей. В параметрическом
пространстве интеграл после вычитания записывается в виде
l —at—аа),
Dп)а J n[
J
Это выражение нетрудно получить с помощью формулы F.90), если сначала
произвести вычитание в подынтегральном выражении при произвольном зна-
значении sb а затем выполнить интегрирование по X. Сингулярности соответст-
соответствуют нулям выражения gf — aiOLzSl{ax-]~a^~-щт\ — а2т\, а уравнение

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 373
.,¦ = 0 ((=1, 2) дает
_2
Таким образом, s = (m1-\-miJ, поскольку ах, а2 > 0. Рассматриваемый нами
интеграл можно вычислить явно:
4^[T0(Sl)-Ta(Sl)] =
„2 2 2 1
In —— -[S = S[]. F.113)
О \ 9 9 1 / / О
/s \ т!+т2—s—Я, '2 / •" ml _,
В полученном выражении последний член напоминает нам, что в амплитуде
производится вычитание при s = si, а функция Я. вводится в соответствии с оп-
определением E.155а):
Аргумент логарифма можно переписать в виде
(mi4-/?:2J-s—^(mj— m2J — s
Отсюда следует, что на физическом листе, соотве1ствующем главному значе-
значению логарифма, T0(s) не имеет сингулярности при s (m, — m2J. Сингуляр-
Сингулярности при s = 0 и s=(mx — т2J появляются на нефизических листах.
Рассмотрим теперь эти комплексные сингулярности более подробно, хотя
это и не является здесь основной нашей задачей. Сингулярность при s =
= (nil — ИгJ' называемая также «псевдопорогом», очевидно, соответствует
решению уравнений Ландау в параметрическом пространстве при отрицатель-
отрицательном значении аг или а2, т. е. вне первоначального интервала интегрирования.
Это означает, что при переходе на нефизические листы нам приходиюя пере-
переходить от интервала 0<а<1 к комплексному контуру интегриг<эрания.
Это — аналог явления, с которым мы столкнулись, рассматривая пример F.996).
Точно так же сингулярность при s = 0 представляет собой аналог примера
F.99в). Последняя сингулярность, которая не является решением первой си-
системы уравнений Ландау F.112), иллюстрирует так называемые сингулярности
второго типа, которые мы отбрасывали, предполагая, чго сингулярности на
границе области интегрирования в импульсном пространстве, расположенной
на бесконечности, отсутствуют. В действительности это не так, поскольку на
бесконечности может происходить зажимание контура, которое ведет к син-
сингулярности при s = 0, как это следует из исходного вида интеграла F.111).
Уравнения Ландау отражают тот факт, что гиперболоиды ^2 = т? и (P—kJ — mi
касаются друг друга, когда P2 = (mi±m2J Однако такое касание может
иметь ме_то и на бесконечности, когда центры гиперболоидов совпадают или
разделены вектором нулевой длины, т.е. s = P2 = O.
Появление сингулярности при s = 0 должно служить предостережением.
Анализ комплексных сингулярносгей сложен'
На физическом листе скачок интеграла Tq(s) на разрезе, идущем от
(J до +оо, является мнимой величиной; он записывается в виде
6 [s-foi+mj*]- F.114)
По этой абсорбтивной части амплитуду TQ (s) — То (st) можно восстановить
с помолыо дисперсионного соотношения с одним вычитанием, т. е. по фор-

374
ГЛАВА 6
муле Коши с контуром интегрирования, охватывающим разрез:
%, ¦
Рассмотрим теперь вершинную диаграмму на рис. 6.32, а, которой соответ-
соответствует интеграл
Та (pi А Pl)=-
где ki=q — р2, ^2 =
имеет вид
и k3=q. В этом случае система уравнений Ландау
Ч*?-тЗ)-0,
i=I, 2, 3,
В случае главной сингулярности ни одна из К не равна нулю; следовательно,
детерминант, составленный из скалярных произведений (k;-kj), должен обра-
Рг
Рз
а
РИС. 6.32. Треугольная вершинная диаграмма и дуальная к ней диаграмма.
щаться в нуль. Это условие удобно записать в виде
1 Уи Уи
1
= 0,
F.117)
где yu = krkj/mimy=—(p\ — mi[ — my)/2mimj, a (i, j, ^ — перестановки индек-
индексов A, 2, 3.)
Аналогично, если имеется неглавная сингулярность, соотвеюгвующая,
скажем, А.з = О, должно выполняться условие
</12
т. е.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 375
При s = pl(m1-\-tn2J мы получаем нормальный порог, а сингулярность в
точке р\—(т1 — я?2J, как и в случае диаграммы типа «пузырь», на физичес-
физическом листе отсутствует, В этом можно убедиться, анализируя уравнения Лан-
Ландау в параметрическом пространстве. Скачок на разрезе, идущий от (^^
до -\-<х>, определяется выражением (здесь s = р|)
ro(s-fe) = Л ^~
(т|, /иг, s)
где
Ь = К''(т\, ml, s)W*(p\, pis).
Разумеется, аналогичные нормальные пороги существуют и по
переменным р\ и р\.
Чтобы изучить аномальный порог, рассмотрим дуальную диаг-
диаграмму, изображенную на рис. 6.32, б. Здесь мы имеем тетраэдр
в трехмерном евклидовом пространстве с ребрами, квадраты длин
которых равны р\ и Щ. Такое возможно, поскольку р\ > 0, a k{
находятся на массовой поверхности k\ — m\. Условия стабильности
для внутренних и внешних частиц приводят к тому, что углы
6,- @^9,-^л), определяемые выражением
должны быть вещественными. Условие F.117) означает, что ду-
дуальная диаграмма расположена в плоскости. Наконец, из усло-
условия вещественности следует, что центральная точка на рис. 6.32,6
должна располагаться внутри треугольника. Отсюда мы имеем
61-г-б2>л;, или, что эквивалентно, cosC^ + cosO,, < 0. Иными
словами, должно выполняться условие
т1 {р\—т\—т%) + т2 (pl—m\—ml) > 0. F.119)
Получим этот результат, используя параметрическое представ-
представление в частном случае, когда р\ = р\ = р2 и m? = m| = m2. Функ-
Функция <У тогда записывается в виде
а уравнения Ландау после исключения параметра as=l—ах—ag
при a = at = a2 @ < a < 1/2), поскольку 0<а3<1, принимают
вид
При условии что
p2>m2 + ml, F.120)

376
ГЛАВА 6
решение а заключено между 0 и 1/2. В этом частном случае
условие F.120) соответствует F.119). Аномальный порог располо-
расположен в точке
р\ — т^(Р°"> nf, тз) = 4т2 5(р2— ma—ml)*.
tltj Гпз
Рассмотрим какую-нибудь физическую величину, скажем элек-
электромагнитный формфактор нуклона. Очевидно, здесь возникнет
трудность, связанная с тем, что аномальный порог может ока-
оказаться ниже нормального. Действительно, наинизшее состояние,
связанное с фотоном,—эго двухпионная система, для которой
m = mi = m2^пгл, а наинизшее состояние для нуклона, находя-
находящегося на массовой поверхности (р2 — рг = р\ = М\) — это пион-ну-
jmoHHoe состояние; следовательно, m-\-ms'^mn-\-MN. Если мы
выберем m3 = m = (/пя-j-Л1д,)/2, то все предыдущие условия будут
выполнены; тогда неравенство F.120) запишется следующим об-
образом:
•¦пи,.
Очевидно, что ему удовлетворяют экспериментальные значения
масс. К счастью, при наших рассуждениях мы пока не учитывали
различные законы сохранения, например закон сохранения бари-
Pt
f
Рз
Pi
.Рз
щ
т,
Рг
а
РИС. 6.33. Диаграмма «ящик» в s—^-канале (а) и в перекрестом и—t-ка-
нале (б).
онного заряда, который приводит к тому, что любое состояние,
' связанное с нуклоном, должно содержать по крайней мере один
барион с массой большей, чем MN Таким образом, условие F.120)
не может быть выполнено, и мы избавлены от неприятностей.
Аналогичным образом аномальные пороги не появляются в форм-
факторах пионов и каонов, но они возникают в формфакторах
гиперонов и дейтронов.
С помощью рассмотренной выше схемы можно изучить анали-
аналитические свойства амплитуды рассеяния, представленной на

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 377
рис. 6.33,а в виде диаграммы типа «ящик»:
F.121)
В s-канале мы находим нормальный порог при s = (tn1{J
[в ^-канале этот порог расположен при 1 — (т%-\-т^]. Скачок на
соответствующем разрезе можно вычислить по формуле
/8, t)—Ta(s-iB, t) = 2iAsTo(s, t) =
e 2- 2s^(s,?lmt) Г(о.-Мсо.Щ+В'Ч Q [s_( J] (
где 6 — угол рассеяния в системе центра масс, т. е.
c^=Y4rPlPl)^(s,PiPbV-a+ ' J-
Величины а и Ь определяются выражениями F.118), acid получаются из а
и Ь заменами р\ на ps, р2 на pt и т3 на т4. Для величины D находим
D = (ac-bdcos6J-(а2-62) (с2—<f).
В случае равных масс т^ = т| = т2, т2 = т^ = т'2, /?3 = р| = р2 = р| = р2
записанные выше выражения упрощаются. Так, в правой части F.122) мы имеем
2$%Чг (*\f1' "® = {si [(s-4m2) (/_4m'2)-4 (p2~m2 -m'2J]}^. F.123)
Скачок AsTa, рассматриваемый как функция /, имеет сам скачок в ^-канале,
называемый двойной спектральной функцией р^:
Prt(s, 0 = -^[Ai7'o(s> t+ie)~AsTG(s, f-to)] =
= 2^'/'(s^"/|'m«) 9 [s_ (mi+m2K J в [/ - (ms+«4J] G ф). F.124)
Следовательно, TG (s, /) удовлетворяет дисперсионным соотношениям при фик-
фиксированном s или фиксированном t, или даже допускает аналитическое пред-
представление сразу по двум переменным sat:
Т I. Л ! С
5', 0
Второе выражение в F.125а), включающее двойной скачок pSf, является част-
частным случаем представления Манделстама. Для рассматриваемой здесь диа-
диаграммы типа «ящик» двойные спектральные функции piH и р?ц равны нулю.
В случае перекрестной диаграммы, изображенной на рис. 6.33, б. лишь pta
отлично от нуля. Поэтому Tp(t, и) удовлетворяет следующему дисперсионному

378 1ЛАВА 6
соотношению при фиксированном s
„ __ _ _ _|_
+— du' -^—^ ^f-i ' F 1256)
1 31 J ll' - U
{m,+msJ
или представлению Манделстама
На самом деле наши результаты являются не совсем точными В предшествую-
предшествующем выводе мы предполагали, что все внешние частицы стабильны по огно-
шению к распаду, г е р\ < (т2 + тзJ и т д , и что аномальные пороги
отсутствуют Точные условия того, чюбы это выполнялось, Moryi быть най-
найдены тем же способом, что и для вершины
Преднола(алось также, что в благоприятных случаях, например в случае
пион нуклонного рассеяния физическая амплитуда рассеяния удовлетворяет
представлению Манделстама общего вида
1. <ь «ь , „
м4
h) Г Р,(П dt, , («-«i) Г РП«?)
я J (<'_/)(/'_/,) "Г л J (и1-и) K-
»l)(«-«l) Г Г ds, du, Psu У,"')
я* JJ (s'-s)(s'_Sl) К-«)(«'-«
Prt (s', Q
(')()(^'
где двойные спектральные функции р^, pfB и pas отличны от нуля в некото
рых областях (затененные пблаои на рис 6.34) Соотношение F 126) написано
в предположении что требуются вычитаний
Изучение этих простых диаграмм не только полезно как иллюстрация
метода но и может служить предварительным шагом при рассмотрении более
сложных случаев Например используя технику мажорирования, из этих
«примитивных» диаграмм можно получить аналитические свойства диаграмм
высших порядков Для подробного изучения этого вопроса мы рекомендуем
читателю обратиться к более специальной литературе.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
379
/=4М2
РИС 6 34 Плоскость stu для пион нукюнного рассеяния Площади, заштрихо-
заштрихованные косыми линиями, являются физическими областями s канала nN—>-nN,
«канала л/V—<• л/V и /канала лч—> N\' т и М — массы пиона и ну-
нуклона соответственно Области где двойные спектральные функции отличны
от нуля, затенены точками
6.3.4. Сингулярности в физической области;
правила Куткоского
В физической области сингулярности соответствуют вещественным
значениям внешних 4-импульсов Такое утверждение справедливо
для нормальных порогов Аномальные же пороги не появляются
как главные сингулярности в физической области, если справед-
справедливы условия стабильности внешних частиц, т е если для каж-
каждой вершины квадрат входящего 4-импульса Р% меньше, чем наи-
наинизшее значение нормального порога в данном канале.

380 ГЛАВА 6
Коулмен и Нортон нашли следующую простую интерпретацию.
В физической области главная сингулярность диаграммы G имеет
место только в том случае, если вершины диаграммы G можно
рассматривать как точки пространства-времени, а ее внутренние
линии —как траектории реальных релятивистских частиц, находя-
находящихся на массовой поверхности
Это утверждение более удобно доказать с помощью смешанного
представления F 104). Для сингулярностей, расположенных в
физической области, переменные интегрирования а, и ql должны
принимать вещественные значения на решении уравнений Ландау,
которые записываются [ср. с уравнениями F.102), F.103) и F.106)]
в виде
k] = m\, F 127a)
2 (±)«A=0. F.3276)
Вещественность внешнего импульса Р и переменных интегрирова-
интегрирования q означает также вещественность величин к. В силу условия
F 127а) эти 4-импульсы находятся на своих массовых поверхнос-
поверхностях. Что касается соотношения F.1276), оно означает, что, если час-
\
РИС. 6.35. Иллюстрация правила
Куткоского; разрез, отмеченный
штриховой линией, даст вклад в син-
сингулярность при i = (m1-\-m2)'2. Импуль-
Импульсы &j и k2 принадлежат массовым по-
i \ верхностям: к\==т\, к\ = т\.
тица i распространяется с импульсом ±k{ в течение промежутка
собственного времени aimi(ai > 0), полное пространственно-вре-
пространственно-временное смещение вдоль замкнутой петли равно нулю Иными
словами, диаграмму можно рассматривать как истинный физичес-
физический процесс.
Правила Куткоского дают компактное выражение для скачков
на разрезе, который соответствует сингулярности, находящейся
в физической области. Пусть 1а(Р)—фейнмановская амплитуда,
определяемая выражением F,101), a TG(P) — (—/)v+1 ^(^ — со-
соответствующий вклад в амплитуду рассеяния Скачок амплитуды
2iATa (P) в данном канале, связанном с определенным разрезом,
получается следующим образом. Пусть (/ — /а — /2) внутренних
импульсов находится на массовых поверхностях Щ — т^, a(/1-f/a)
импульсов — вне массовой поверхности Эти совокупности импуль-
импульсов могут быть подразделены на две группы, относящиеся к двум

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 381
поддиаграммам Gx и G3, каждая из которых имеет /; внутренних
линий и Уг вершин (рис. 6.35). Справедлива следующая формула:
II Bл)Ц^б(к';-т% F.128)
/ /
Благодаря б-функциям все частицы, соответствующие проме-
промежуточным состояниям, находятся на массовых поверхностях с
положительной энергией. В физической области выражение F.128)
вытекает из того факта, что отдельные диаграммы удовлетворяют
условию унитарности.
Нижеследующее элегантное доказательство мы заимствовали у Никаниши.
Рассмотрим сначала произвольную диаграмму в рамках скалярной теории.
Как известно, в любом случае можно построить эрмитов лагранжиан, такой,
\
тА
РИС. 6.36. Аналитические свойства диаграммы на рис. а такие же, как и
у диаграммы на рис. б, которую можно рассматривать как вклад низшего
порядка в амплитуду процесса a-\-b —-*c-\-d на массовой поверхности теории,
5
описываемой лагранжианом cS?i= ^ -2-[Eфг)а — т/2ф?]-j- ^ -п-[(дфаJ —
/ = 1 а, Ь, с,й
что амплитуда рассеяния некоторого процесса в наинизшем порядке будет
описываться данной диаграммой. С этой целью поставим в соответствие каждой
внутренней линии I входящей в диаграмму, поля ф; различных видов с мас-
массами mt {mi — масса в соответствующем пропагаторе). Кроме гого, если внеш-
внешняя линия (или набор линий) с импульсом Pv входит в вершину V, будем
связывать с этой вершиной поле 4>v, квадрат массы которого М^ = Р^, При
условии что Р20 > 0, исходную диаграмму можно теперь рассматривать как
вклад низшего порядка в амплитуду рассеяния частиц, описываемых полями
*ь 02. • • • на массовой поверхности. Этот вклад определяется лагранжианом
/ v
[X фЛ • F-129)
Л ¦

382 ГЛАВА 6
Если в вершину v не входит ни одня из внешних линий и произведение про-
пробегает по всем внутренним линиям, входящим в у, то в последней сумме нужно
положить Ф„= 1. Эта конструкция иллюстрируется на рис. 6.36. Если i обо-
обозначает начальное состояние (для которого Р?, > 0), а /—конечное состояние,
то нетрудно проверить, что
где <gTfi вычисляется с помощью ?±, в то время как То—это амплитуда,
соответствующая исходной диаграмме Феинмана G. Поскольку для процессов
на массовой поверхности выполняется условие унитарности [соотношение
E.154)], имеем
ffi-fi-ru^iJlCbQWiP.-Piif-nf Гы = 21ЬТ0(Р). F.130)
На языке диаграмм Феинмана сумма пробегает по всем возможным промежу-
промежуточным физическим состояниям п. т. е. импульсы в промежуточных состоя-
состояниях находятся на их массовых поверхностях
Таким образом, условие унитарности приводит к соотношению
2ATo(P)^TOi(P)T*Gs(P), Г(ВЛ81)
где сумма берется по всем разбиениям диаграммы G на две части Gi и G2.
При этом Gi связана с начальным состоянием, a G2—с конечным. Диаграмма
С является объединением Gt U G2 (J {"J2-}- Знак суммы подразумевает также ин-
интегрирование по фазовому пространству промежуточных состояний. Таким
образом, мы снова получили правила унитарных рассечений.
Предлагаем читателю убедиться в справедливости этого пра-
правила для однопетлевых диаграмм.
Можно также попытаться распространить правила Куткос-
кого за пределы физической области и тем самым обобщить ус-
условие унитарности. Например, в этом имеется необходимость, если
приходится вычислять двойные спектральные функции, определен-
определенные в разд. 6.3.3 Однако доказательство таких общих правил
Куткоского требует нетривиальных методов. В частности, сле-
следует проявлять осторожность в связи с тем, что смысл б(+)-рас-
пределения для комплексных k становится неопределенным.
ПРИМЕЧАНИЯ
Ковариантная теория возмущений разработана в середине 40-х гг. в работах:
Tomonoga S.— Prog. Theor. Phys., 1946, vol. 1, p. 27 [Имеется перевод в сб.
статей: «Новейшее развитие квантовой электродинамики».— М.: ИЛ, 1954, с. 1.];
Schwinger J.— Phys. Rev., 1948, vol. 74, p. 1439 [Имеется перевод в сб. ста-
статей: «Новейшее развитие квантовой электродинамики».— М.: ИЛ, 1954, с. 12.];
1949, vol. 75, р. 651 [Имеется перевод в сб. статей: «Новейшее развитие кван-
квантовой электродинамики».— М.: ИЛ, 1954. с. 40.]; 1949, vol. 76, р. 790 [Имеется
перевод в сб. статей: «Новейшее развитие квантовой электродинамики».— М,:
ИЛ, 1954Ч с. 78.]; Feynman R. P.— Phys. Rev., 1949, vol. 76, p. 769; [Имеется

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 383
перевод в сб. статей: «Новейшее развитие квантовой элешродинамики».—М.:
ИЛ, 1954, с. 161.J Dyson F. J.-Phys. Rev., 1949, voi. 75, pp. 486, 1736
[Имеется перевод в сб. статей: «Сдвиг уровней атомных электронов».— М.: ИЛ,
1950, с. 94.]. Определение ковариашногс пропагатора дано в статье: Stueckel-
bergE.C.G., Rimer D.~ Phys, Rev., 1948, vol. 74, p. 218.
Скалярная электродинамика рассмотрена в статье: Matthews Р. Т.— Phys.
Rev. 1950, vol. 80, p. 292. В данной главе мы применили метод, рассмотрен-
рассмотренный Рорлихом: Phys. Rev., 1950, vol. 80, p. 666.
Первые расчеты по элекгрон-электронному и электрон-позитронному рас-
рассеянию описаны з книге: Mott N. F., Massey H. S. W.— Theory of Atomic
Collisions.—Oxford, 1956 [Имеется перевод 1-го изд.; МоттН., Мест Г,
Теория атомных столкновений.— М.: ИЛ, 1951]; см., в частности, гл. XXII.
Поляризационные эффекты обсуждаются в работе: McMaster W. Н.— Rev.
Mod. Phys., 1961, vol. 33, p 8.
Преобразование Лежандра ввел в теорию поля Йона-Лазинио: Jona-Lasi-
nio G.— Nuovo Cimento, 1964, vol. 34, p. 1790. Общий обзор диаграммной тех-
техники см. в работе: Hooft G. Ч, Veltman М.— Diagrammar.— Geneva: Cern report
73-9, 1973.
Топологические свойства и параметрические представления диаграмм Фейн-
мана изучаются в книге: Nakanlshi N. Graph Theory and Feynman Integrals.—
New York: Gordon and Breach, 1970. Эту книгу можно также рассматривать
как введение в изучение аналитических свойств диаграмм Фейнмана.
Среди большого числа работ, внесших вклад в эту область, перечислим
следующие: Landau L. D.— Nucl. Phys,, 1959, vol. 13, p. 181. Mandelstam S.—
Phys. Rev., 1958. vol. 112, p. 1344; 1959, vol. 115, p. 1741 [Имеются переводы
в сб. статей: «Новый метод в теории сильных взаимодейсгвил» — М.: ИЛ,
1960, с. 87, 137.]; Cutkosky R. E.— l. Math. Phys., 1960, vol. 1, p. 429. Ин-
Интерпретация сингулярностей в физической области дана в статье: Coleman S.,
Norton R. Е,— Nuovo Cimento, 1965, vol. 38, p. 438.
Многие детали и ссылки на литературу можно най>и в книге: Eden R. J.,
Landshoff P. V., Olive D, /., Polkinghorne J. C— The Analitic S-Matrix.—
Cambr. Univ. Press, 1966, а также в монографии: Todorov I. T. Analitic Pro-
Properties of Feynman Diagrams in Quantum Field Theory,—Oxford: Pergamon
Press, 1971 и в учебнике: Bjorken J. D., Drell S. D. Relativistic Quantum
Fields.— New York: McGraw-Hill, 1965 [Имеется перевод: Бьеркен Дж,,
Дрелл С. Релятивистская квантовая теория, т. 2.—М.: Нау,;а, 1978.].

Глава 7
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Здесь мы сформулируем программу перенормировок в квантовой
теории поля. Эта программа затем проводится для электродина-
электродинамики на примере однопетлевых диаграмм. Кроме того, мы рас-
рассмотрим применение перенормировок в расчетах аномального маг-
магнитного момента, радиационных поправок к кулоновскому рассея-
рассеянию (включая анализ инфракрасных расходимостей), лэмбовского
сдвига в атомах и амплитуды рассеяния фотона на фотоне. В за-
заключение дается обсуждение проблемы релятивистских наведен-
наведенных дальнодействующих электромагнитных сил между нейтраль-
нейтральными частицами.
7.1. ПЕРЕНОРМИРОВКА ОДНОПЕТЛЕВЫХ ДИАГРАММ
В данной главе мы изучим высшие порядки теории возмущений.
То, что на первый взгляд кажется простым упражнением, требую-
требующим, возможно, некоторого аналитического искусства, оказывается
в действительности весьма нетривиальной проблемой. Общая теория
перенормировок будет изложена в следующей главе (см. т. 2 на-
настоящей книги). Чтобы получить некоторое представление о предме-
предмете нашего изучения, обратимся сначала к расчету радиационных по-
поправок низшего порядка в квантовой электродинамике. Это позволит
нам увидеть, как из заведомо недоопределенных выражений извле-
извлекаются разумные результаты, которые можно сравнивать с экспе-
экспериментальными данными; это позволит также ввести последова-
последовательно понятие перенормировки. Серьезный недостаток данного
подхода связан с тем, чго квантовая электродинамика — довольно
сложная теория. Мы должны учесть требование калибровочной
инвариантности и отделить инфракрасные расходимости от ультра-
ультрафиолетовых. Тем не менее удивительные достижения квантовой
электродинамики делают наши усилия обоснованными и оправ-
оправдывают инверсию логической последовательности в нашем изло-
изложении.
Параметры, входящие в лагранжиан, такие, как массы и кон-
константы связи, непосредственно не измеряются. Например, в клас-
классической теории точечной частицы нам приходится добавлять
к голой массе величину электромагнитного происхождения, чтобы

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 385
получить физическую инертную массу. Последняя, разумеется,
конечна, тогда как первая вполне может быть бесконечной. Д\ы
дадим поэтому операционалистское определение фундаментальных
параметров (число которых конечно). Из теории перенормировок
след\ет, что выражения для функций Грина, полученные по тео-
теории возмущений, конечны, если их записать в терминах этих
физических параметров. Массы будут обычно определяться как
изолированные полюсы двухточечных функций. Соответствующие
вычеты, которые входят в амплитуды рассеяния как мультипли-
мультипликативные константы, будут включены в определение перенорми-
перенормированных полей. Наконец, константы связи мы зададим, фиксируя
значения определенных амплитуд в наперед выбранных точках
импульсного пространства.
Чтобы выполнить эту программу, лучше вначале иметь дело
с хорошо определенными конечными величинами. Происхождение
расходимости связано с сингулярным характером функций Грина
на малых относительных расстояниях. Эквивалентом этого
в импульсном пространстве является тот факт, что соответствую-
соответствующие фурье-образы не убывают на бесконечности достаточно быстро.
Таким образом, мы приходим к регуляризации теории на проме-
жу1 очном этапе. Она состоит в замене первоначальных выражений
на более гладкие, такие, что интегралы становятся конечными.
Итак, мы должны пройти следующие три этапа: 1) регуляризацию,
2) перенормировку и 3) устранение параметров регуляризации.
Регуляризация будет успешной, если в результате этого процесса
мы придем к конечным величинам.
7.1.1. Поляризация вакуума
Рассмотрим вначале фотонный пропагатор в импульсном простран-
пространстве. К свободному пропагатору
следует добавить поправку, которая в соответствии с правилами,
приведенными в гл. 6, запишется в низшем порядке (рис. 7.1)
в виде
' ^ ' ) G2)
Дополнительный знак минус возникает здесь благодаря фермион-
ной петле. Очевидно, что при больших значениях импульса
интеграл G.2) квадратично расходится Чтобы придать ему смысл,
применим регуляризацию Паули — Вилларса. Это равносильно вве-
введению минимальной связи фотонов с дополнительными спинорными

386 ГЛАВА 7
полями, обладающими очень большой массой Xsm. Такие поля
можно было бы отнести к секторам гильбертова пространства
с индефинитной метрикой. В случае когда мы имеем дело с тензо-
тензором поляризации вакуума copv (k), это подразумевает замену
_ _ _
copv (k, in) -+ co^ (k, tn) + 2 C,o)Pv (k, lsm), G.3)
2
s=l
которую необходимо произвести под знаком интеграла в выраже-
выражении G,2). Если бы данная замена производилась для сходящегося
РИС. 7.1. Фотонный пропагатор
в низшем порядке.
интеграла, то при К, •—>¦ оо получилась бы исходная величина.
В нашем же случае постоянные Cs вводятся, чтобы устранить зту
расходимость Минимальный характер связи с дополнтельными
полями означает, что при такой регуляризации калибровочная
инвариантность сохраняется.
Обозначим большие массы Xsm общим символом Л, a cojV (k, m, Л)
пусть обозначает правую часть в G 3) Тогда
пр*(к т Л)- c2CdV! SPу
s=l
_ dpi С flL IP" (P-b)" + P" (P-k)Q
dpi С flL I
} G.4)
Величина a>pv(k) представляет собой фурье-образ функции Грина,
отвечающей произведению токов. В любом порядке сохранение
тока приводит к условию
(*>=0, G.5)
которое формально удовлетворяется, поскольку
J BлL
~~е j Tlh

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 387
Здесь мы заменили К на (р— т + <е)—(р— К.—m-\-ie) и исполь-
использовали инвариантность следа относительно циклических переста-
перестановок Если бы интеграл сходился, то, совершая замену перемен-
переменной р—> p-\-k в первом члене, мы ь'огли бы удостовериться, что
условие G.5) выполняется. Такой способ действия не годится для
исходного выражения, но в регуляр!нованном тензоре указанную
замену уже можно произвести. Это свгзетсльствует о том, что
данная регуляризация подходит для наших целей
Чтобы вычислить интегралы G 4), воспользуемся параметри-
параметрическим представлением, введенным в предыдущей главе, с допол-
дополнительным усложнением, связанным с наличием числителей в фер-
мионных пропагаторах. Таким образом, мы имеем
Upv
X J da, J da2 exp (I {a, (рх—т*) + a2 [{p—kf—w?] +
о о
г,=гя=0
где г, и г2—вспомогательные 4-векторы, которые позволяют вос-
воспроизвести подынтегральное выражение в G.4) с помощью диф-
дифференцирования. Интегрируя по р и выполняя необходимые диф-
дифференцирования, получаем
Фигурирующий под знаком интеграла полином от k можно пере-
перегруппировать следующим образом:
Наше вычисление остается ковариангным, однако не очевидно,
что выполнено условие сохранения тока, которое требует, чтобы
величина о>рл была пропорциональна выражению kpk%—gpv&2-
В вышеприведенной формуле второй член не обладает такой струк-
13»

388 ГЛАВА 7
турой, и его вклад имеет вид gQV Аш, где
s
О о s=0
Здесь по определению мы положили С„=1, tnl = tn2, m| = A,|m2.
Последнее выражение можно переписать также следующим образом:
О 0 5=0
При фиксированных значениях ms коэффициенты С, выбираются
таким образом, чтобы интегралы сходились в окрестности alt
а2 —*¦ 0. Сходимость при больших а обеспечивается добавкой к мас-
массам величины (е, присутствие которой предполагается Мы можем
затем изменить порядок интегрирования и дифференцирования по р.
При этом интеграл
H
0 0
не зависит от р, в чем можно убедиться, производя замену
ai—*p~lai. Следовательно, Асо = 0. Оставшийся член в тензоре
поляризации вакуума запишется в виде
о о
S
S
X 2 С* ехр {г [- mf (а, + о,) + -?&^ ^] |. G.б)
Используя свойство однородности, введем под знаком интеграла
со
множитель 1 = ^ dp б (р—ctj—а2) и произведем замену переменных:
о
а,- —<¦ ра,-. Тогда
2, т, А) = —\ \ daxda^S(l—а,—аг)а,а2х
s=0

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В точке р = 0 интеграл по р, по-видимому, логарифмически рас-
расходится. Отделив вторую степень импульса при переходе от copv
к со, мы уменьшили степень расходимости от двух до нуля. Это
иллюстрирует тесную связь, существующую между степенью рас-
расходимости и размерностью интегралов.
Если выбрать коэффициенты Cs таким образом, чтобы Выпол-
Выполнялось условие
5 S
s=0 s=l
то регуляризованный интеграл по р будет сходиться. Кроме того,
выберем k таким образом, чтобы выполнялось условие № < 4т2,
т. е. ниже порога рождения пары. Поскольку значения а:, аа
заключены между нулем и единицей и удовлетворяют условию
a1-fa2=l, то a1a2'^.1/i. Тогда разность т\—аха2/г2 является
положительной, и контур интегрирования в комплексной плоско-
плоскости р можно повернуть на угол —я/2. При этом рассматривае-
рассматриваемый интеграл принимает вид
lim
"-% • s=o
В проинтегрированном выражении благодаря условию G.7) мы
избавились от опасного члена 1пг|. При фиксированных значениях
№ < 4m8 и т, = Кт^ ~*" °° этот результат записывается следую-
следующим образом:
— 1п(/п2—«,«,
m3 J
S=I
Здесь мы пренебрегли № по сравнению с /п|. Определим Л таким
образом, чтобы выполнялось соотношение
СО
s=l m
В результате мы приходим к следующему регуляризованному вы-
выражению для тензора поляризации вакуума:
1
«(и2, т, Л) =
о

390
ГЛАВА 7
Нетрудно взять оставшийся интеграл и получить следующее ана-
аналитическое выражение:
Ч,
х
G.9)
Это выражение получено в предположении, что № < 4т2. Соответствующую
функцию можно продолжить в комплексную плоскость k2. При k2 > 4m2 зна-
значения функции получаются с помощью предельного перехода ie—* 0 на верх-
РИС. 7.2. Комплексная плоскость k2 для поляризации вакуума; стрелка
указывает, как достигается физическая область на верхнем береге разреза.
ний берег разреза, начинающегося в точке ?2 = 4яг2 (рис. 7.2). Скачок на раз-
разрезе равен оз (fe2-j-te) —(о (fe2 — (e) = 2t Imco (ft2 + tB). Его можно также вычис-
вычислить с помощью последнего интегрального представления, в котором нужно
положить Р = A—и)/2, проинтегрировать по частям и перейти к переменной
u = (l— im^/kI^. Таким образом, получаем выражение
а
V/s
2m2
G.10)
которое представляет собой дисперсионное соотношение с одним вычитанием,
отвечающее описанным выше аналитическим свойствам. Абсорбтивная часть
тензора и запишется в виде
2т2\ _,,,
+-fe2-J« G.11)
Мы видим, что она не зависит от параметра регуляризации Л и, следова-
следовательно, перенормировка на нее не влияет. Данный вывод согласуется с нашим
расчетом вероятности рождения пар внешним полем [см. выражение D.105)].
РИС. 7.3. Вероятность рождения пар во
внешнем поле, определяющая скачок на
разрезе для тензора поляризации вакуума.
Эта вероятность определяется как квадрат соответствующей амплитуды
(рис. 7.3) и в рассматриваемом порядке дается выражением
ap(k) u>pv (k) av (- k)
im
E (A) |«—В (A) |
Единственное следствие регуляризации —появление константы (а/ЗпIп(Л*/т2),
которая расходится, если Л устремить к бесконечности.

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 391
Прежде чем произвести перенормировку, рассмотрим снова
исходные формулы G.1) и G 2). В действительности мы возсе tie
собираемся вычислять фотонный пропагатор по этим формулам!
Если к Gt0) добавить величину G[u, то при этом помимо простого
возникает также двойной полюс. Рассматривая упорядочение раз-
разложения теории возмущений по числу петель, мы имели в виду
одночастично неприводимые функции Грина, что соответствует
РИС. 7.4. Фотонный пропагатор, выраженный через поляризацию вакуума,
в нашем случае обратному пропагатору. Вклад нулевого порядка
(без петель) в эту величину равен Gj^, а однопетлевой вклад
равен — (Ор^(здесь индекс I указывает, что вклад вычисляется
в первом порядке теории возмущений);
[ p]
G.12)
Обращая это выражение, мы получаем пропагатор, представлен-
представленный на диаграмме суммой, каждый член которой является цепочкой
петель (рис. 7.4). Если в общем случае удастся показать, что
тензор поляризации вакуума во всех порядках имеет вид скаляр-
скалярной функции, умноженной на выражение g,jv^2 — ^А>> то т Ф°Р"
мулы G 12), в которой мы отбросим индекс 1, можно получить
следующее общее соотношение между пропагатором и величиной
Это coo-ношение можно с-раоншь с формулой E.80). При получении послед-
последней мы ire учитывали перенормировку массы, а также расходимости. Чтобы
быть более точными, предположим, что в G.13) для знаменателя справедливо
интегральное представление вида
{7Л4)
Если № по-прежнему удовлетворяет дисперсионному соотношению типа G.10)
(с порогом, расположенным в начале координат (|ла—«-О), а не в точке 4т2),
то справедливо соотношение
(fe3)s= (-Полюсные вклады.
(o<fe2)]2

392 ГЛАВА 7
При условии что интегралы, которые мы писали, имеют смысл, получаем
'^ 4)'+;
да
К "'О & Я
О
fe'2___P^Li__ |__L 1—^2 С ,а Р (fe'2) ¦ G.1
L о J
Рассматривая интеграт G.14) при fe = O, предположим, что величина ш@)
конечна; тогда можно показать, что в вышеприведенной формуле последний
член в квадратных скобках обращается в нуль. Следовательно, выражение
G.13) можно переписать в виде
f РЮ +ffi _L_. G.16)
о
Это выражение действительно аналогично E.80).
Результат суммирования, отраженный в выражениях G 12)
и G.13), привел к новому явлению В самом деле, изолирован-
изолированный полюс при k2 — ^2, соответствующий свободной теории, сдви-
сдвинулся, причем положение его определяется теперь выражением
Й2[1+<в (/г2)]—jut2 = 0. В случае же фотонного пропагатора изме-
изменения не столь сильны. Действительно, р,2 введено здесь лишь
для удобства, а именно чтобы обрезать в промежуточных вычис-
вычислениях инфракрасные расходимости. В любом случае для извле-
извлечения физической информации нам придется рычислять комбинации
типа /?(?) Gpv(k) Ж - k) где /\ и /2—сохраняющиеся токи:
k j(k) = O В этих выражениях устраняются члены, содержащие
kpkv, что позволяет нам рассматривать предельный переход \i2 —* 0.
Если вместо этого положить |ла = 0, то G запишется в виде
. 2==0 G17)
Если со @) Ф оо, то величина &2[1 +co(fe2)] по-прежнему обращается
в нуль при &2 = 0.
Характеризуя свойстео fe2[l-|-«(^2)]1*г=о, можно менее строго
утверждать, что на самом деле перенормировки массы фотона не
происходит. Однако требуется перенормиропка волновой функции,
поскольку вычет в полюсе k2 = 0 равен теперь не 1, а [1 +0) (О)].
Вычисления с помощью однопетлевых диаграмм приводят к инте-
интересному выводу, а именно: мы обнаруживаем, что единственная
потенциально расходящаяся и потому неизвестная величина, вхо-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 393
дящая в со, представляет собой константу, которую можно считать
значением этой величины при &2 = 0 В случае, когда измерима
только величина / G /, для того чтобы дать определение квадрата
заряда, можно взять два разнесенных на большое расстояние
идентичных источника. Определим квадрат заряда как коэффи-
коэффициент при кулоновском статическом потенциале l/4itr на больших
расстояниях. Этот коэффициент здесь равен e2 = el/[\ -f-G)(O)]=Z3e2,
где индекс 0 введен для того, чтобы показать, что речь идет
о «голой» константе связи, которая применялась нами вплоть до
настоящего времени в разложениях по теории возмущений. Это
определение Z3 согласуется с определением, данным в гл. 5,
в пределе |j.2 = 0. Таким образом, мы имеем
к
Z - ' -1 к In Д
3 l-fco(O) Зя m2
<7Л8)
Чтобы быть последовательными, представим все величины в виде
рядов по параметру, соответствующему числу петель L в непере-
нормированных диаграммах Фейнмана. В разд 6.2.! было пока-
показано, что такие диаграммы содэржаг множитель Я1. Поэтому если
остановиться в разложении на членах порядка h1, то в конечный
остаток и[и(?2)— (om@) вместо а0 можно подставить а, поскольку
этот член имеет порядок ft, как и а—а0. Этим также объяс-
объясняется, почему в правой части равенства G.18) стоит величина ее.
В соответствии с данным определением заряда перенормиро-
перенормированный пропагагор можно записать в виде
iGpv (k) = — =Д^—= (- Члены, пропорциональные kpkv.
М1+ш(*)-«@)]
Это выражение имеет равный единице вычет в фотонном полюсе
fe2 = 0 и может быть записано через физический заряд.
Мы видим, как содержание программы перенормировки стано-
становится более прозрачным; неопределенные и потенциально расхо-
расходящиеся величины исчезают, когда функции Грина выражаются
через физические перенормированные величины,
s
Полагая ^ Csln Ц = — In (Л2//п2), мы выбрали здесь знак в со-
S г= 1
ответствии с условием G.7). Интуитивно смысл выражения G.18)
состоит в том, что голый заряд экранируется за счет множителя
Z3 = 1—(а/Зл) In (Л7т2), меньшего единицы и положительного, до
тех пор, пока величина А2/т2 не становится подавляюще большой.
Поляризация вакуума, соответствующая рождению виртуальных
элекгрон-позитройных пар, уменьшает заряд пробной частицы,
что чувствует соседняя, удаленная от нее частица.

394 ГЛАВА 7
При выводе выражений, подобных G.19), можно встать на
другую точку зрения Она связана с утверждением, что исходный
лагранжиан есть лишь формальное средство для вычисления
амплитуд с помощью теории возмущений Такое утверждение
осноьано на интуитивном принципе соответствия между класси-
классической и квантовой механикой. Если это так, то результаты,
полученные с помощью исходного лагранжиана 3!, могут быть
уточнены с помощью квантовых поправок. Предположим поэтому,
что в низшем порядке J2-1 выражается через физические параметры.
Тогда следует построить пертурбатиьные поправки вида bj?,
называемые контрчленами (коэффициенты при этих членах стано-
становятся бесконечными, когда параметры обрезания устремляются
к бесконечности). Контрчлены позволяют сохранить правильные
значения этих физических параметров:
к >
Различные части SJ? классифицируются по степеням Ь, отвечаю-
отвечающим числу петель в исходных диаграммах. Тот факт, что число
петель можно связать со степенью Ь,, хорошо согласуется с вы-
высказанным выше соображением
Наш расчет можно интерпретировать как поиск вклада в 83Ш
следующего вида:
6^У = -1 (Z,- l)[JJ/vFpv- G.21)
Добавляя такой член к S?, мы вводим дополнительную диаграмму
порядка % (рис. 7.5) и заменяем исходный (регуляризованный)
Рис. 7.5. Две диаграммы порядка %, соответствующие поляризации вакуума
в подходе, использующем контрчлены.
тензор на следующий:
o>pv к) — wpv (k)—(Za - 1 )ш i {gpvk* - kpkv).
Таким образом, получаем
Это новое правило означает, что всюду вместо а0 используется а.
Кроме того, в уравнении G.9) член, не зависящий от In (Л2/«?2),
обращается в нуль при ?г = 0^тем самым оправдывается введение
перенормированной величины <од {№) = о> (k2)—со@). Из соотноше-
соотношений G.18) следует, что (Z3— 1)Ц| + (а/ЗлIп (Ла/т2) = 0 и, следо-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 395
вательно,
4m'
G.22)
Это выражение имеет смысл при вещественных k2 < 4m2. В области,
лежащей выше разреза k2 > 4/и2, его приходится находить с по-
помощью аналитического продолжения. Отметим следующие инте-
интересные предельные случаи:
Видим, что асимптотическог выражение при больших отрицатель^
ных k2 поразительно похоже (включая коэффициент) на первона-
первоначальный расходящийся член, содержащий обрезание. Разумеется,
это не является случайным, что станет более ясным в ходе нашего
изложения.
Экранирование заряда, происходящее за счет поляризации
вакуума, имеет физические следствия Используя перэнормиро-
ванные выражения и рассматривая статический случай, когда
k2 = — к2, мы видим, что замена е2 —>-е2/[1 4-ш(—к2)] приводит
к изменению закона Кулона и напоминает экранировку заряда
в обычной диэлектрической среде, в которой мы имели бы
еа —±е*/и(к), где' 8 —диэлектрическая проницаемость. В случае
достаточно малых к2 (по сравнению с величиной т.2, задающей
масштаб) кулонозское взаимодействие можно приближенно запи-
записать в виде
к2 к» [1+5* (-к")] ~ к3 \Ч~ 16я т*)'
Данный результат впервые был получен Улингом.
В конфигурационном пространстве для бесконечно тяжелого
ядра с зарядом — Ze, расположенного в начале координат, это
выражение дает следующую поправку:
15п тг} Апг 4лг 15п m2 Kh
Дополнительный член надо учитывать только в первом порядке,
иначе мы поступили бы непоследовательно, поскольку в ш^ сохра-
сохраняются члены лишь порядка а. Разложение в окрестности нуля

396 ГЛАВА 7
в первом порядке (k2//n2) привело к сингулярности в конфигура-
конфигурационном пространстве. Однако нас интересует лишь среднее зна-
значение потенциала в невозмущенных состояниях, на котором не
сказывается замена реальной поправки, имеющей форму острого
пика при малых г, на б-функцию. Следует заметить, что это уси-
усиление при малых г согласуется с представлением о том, что на
малых расстояниях восстанавливается пеэкранированное взаимо-
взаимодействие с «голым» зарядом.
В случае водородоподобного атома найденная выше поправка
приводит к следующему смещению s-волновых уравнений:
«.' = - лет- J
В этой формуле мы использовали кулоновскую волновую функцию
в нуле: tyn 0@) = (ля3а3)-'/г, где a = (Zma)~l. В теории Дирака
два уровня, отвечающие квантовым числам n=2, j=7» и обла-
-2S
V2
РИС. 7.6. Вклад поляризации вакуума в расщепление 2S1,2 —2-Pw уров-
уровней атома водорода.
дающие противоположными четностями 25i/, и 2Р./г, являются
вырожденными. Поправка, связанная с поляризацией вакуума,
понижает s-уровень на величину AE/h = (l/h)(E2Si/i—Егр,/)^
« —27 МГц (рис 7.6). В 1947 г Лэмб, измеряя расщепление
этого уровня, получил значение порядка +1000 МГц, указываю-
указывающее на то, что поляризация вакуума играет здесь несущественную
роль по сравнению с другими эффектами В разд 7.3 2 мы пока-
покажем, как полная теория согласуется с экспериментом, что является
косвенным указанием на экранирование заряда.
Разумеется, мы можем избавиться от приближения малых к2. В случае стати-
статического заряда, расположенного в начале координат, кулоновский погенциал

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
397
в первом порядке по а определяется выражениями
G.24)
Н
4я •(""•)''
00
Здесь у— постоянная Эйлера, равная —\ du In це~н = 0,5772.,. . Согласно
о
определению заряда, имеем Q(oo) = l. Мы снова видим, что, когда г умень-
уменьшается, Q (г) увеличивается и при т—>¦ 0 даже становится бесконечным При-
Приближение, используемое в выражении G.23), справедливо лишь для средних
значений
В заключение заметим, что предположения, при которых были получены
наши результаты, равносильны тому, что вычет фотонного пропагатора в фо-
фотонном полюсе (при |х2—>• 0) равен единице. Поэтому в амплитудах рассеяния
фактор
*, приписываемый фотонным линиям, был заменен на единицу.
7.1.2. Электронный пропагатор
Первый нетривиальный вклад в одночастичную неприводимую
функцию Грина с двумя внешними электронными линиями (назы-
(называемый также собственной энергией электрона) представлен гра-
РИС. 7.7. Собственная энергия элек-
электрона в низшем порядке.
фически на рис. 7.7 и записывается следующим образом:
- G-25)
К сожалению, данное выражение, представляющее собой 4х4-мат-
рицу, зависящую от р, страдает всеми возможными пороками.
Оно имеет очевидную линейную ультрафиолетовую расходимость
это означает, что при больших k интеграл ведет себя как
\d*kl\k\*). Мы покажем, что эту расходимость можно свести
к логарифмической. При малых k и частных значениях внешнего
О
(

398 ГЛАВА 7
импульса №oi ут иметь место также инфракрасные расходимости;
чтобы избавиться от них, будем удерживать )Х2^=О. Кроме того,
должна быть зависимость от выбора калибровки, как и у волно-
волновой функции заряженной частицы в нерелятивистской физике.
Чтобы иметь дело с разумными величинами, необходимо, как
и прежде, провести регуляри ^цмо свободных пропагаторов Во
избежание громоздких обозначений предположим, что введено
необходимое обрезание Ла, которое не будем указывать явно.
Напишем выражение
Ь*Е»0>) G.26)
таким образом, что Ъа(р) соответствует фейнмановской калибровке
(>v == I), и используем параметрическое представление пропагато-
пропагаторов, чтобы функции 2й и 2* после интегрирования по импульсу
петли k можно было записать в виде
G.27а)
/„л_ <" Г Г? datd
(Р) te 3 J J (a, + a
0 0 0
3 J J
0 0 0
Подразумевается, что массы включают бесконечно малые отри-
отрицательные мнимые добавки, обеспечивающие сходимость при боль-
больших а.
Как и в случае фотонов, будем классифицировать собственно-
энергетические части по числу петель, а сам пропагатор запи-
запишем в виде суммы ряда (рис 7.8)
—+—— \—а
G-28)
Вычислим теперь функцию 2е (р, Л), где мы должны ввести обре-
обрезание Л при интегрировании по р—общему коэффициенту растя-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 399
жения параметров а:
о о
X С^B/л — а,д)е"><а«««"'-«>11'-а'т1>. G.29)
Р
О
Благодаря выделению кинематических факторов т и р интеграл
по р расходится только логарифмически, в противоположность
линейной расходимости собственной массы в классической теории
РИС. 7.8. Пропагатор электрона, представленный в виде степенного ряда по
собственной энергии S.
(см. гл. 1). Если бы масса т была столь велика, что выполня-
выполнялись бы условия |р|^Л<^т, соответствующие статическому
классическому пределу, то мы снова имели бы линейную расхо-
расходимость по Л.
Чтобы получить релятивистски инвариантную регуляризацию,
из 2й можно кычесть вклад массивного фотона, в котором ц. сле-
следует заменить на Л. Таким образом, используемая здесь величи-
величина Л не связана с той, которая ргссматрипалась в случае поляри-
поляризации вакуума. Если имеется ьеобходиуость изучать зависящие
от Л части при больших, но кокечгых значениях параметра обре-
обрезания, то разумно было бы ввести единообразную процедуру регуля-
регуляризации, В соответствии с этим произведем замену:
О
где при Л2—^ оо мы пренебрегли по сравнению с Л2 всеми дру-
другими массовыми параметрами. Тождество
ф
Г _Р Шо («!+ is) g/p (гг+1е)\ _ Jn г2
ip
позволяет нам написать следующее выражение:
G.30)

400 ГЛАВА Г
Мы видим, что коэффициенты при линейном по р члене зависят
от Л таким образом, что остальная часть выражения остается
конечной.
Из-за наличия инфракрасных расходимостей ситуация несколько
усложняется. До тех пор пока (х2 остается конечным, квадратич-
квадратичная форма, имеющаяся под знаком логарифма, положительна пои
/;2 < (/n + fxJ. Действительно, для 0^C^1 и значений рг, нахо-
находящихся ниже порога, мы имеем 0^рA—P)s^V4 и, следова-
следовательно,
В этой области величина Ъа является «вещественной», т. е.
Тё^-уо^у° = Ъа. Выше порога 2а приобретает «мнимую» часть,
соответствующую переходу:
Виртуальный электрон—> Реальный электрон-j-Фотон.
Это аналогично тому, что происходит с фотонным пропагатором
выше порога образования пар Причина для беспокойства состоит
здесь в том, что при (л2—>0 порог совпадает с физической мас-
массовой поверхностью р2 = т2. В реальном случае полюс в пропа-
гаторе, соответствующий свободному электрону, нельзя изолиро-
изолировать от разреза, начинающегося в той же самой точке. Этим
объясняется наше стремление сохранить |J.2 > 0 Когда ц'2 = 0, один
из нулей квадратичной формы достигает предела интервала интег-
интегрирования Р=1 и разложение в окрестности сингулярной точки
р2 = та становится невозможным.
Похожее, но отличающееся явление наблюдается также при рассмотрении
фоюнного пропагатора в более высоких порядках (четыре или более петель),
соответствующих промежуточным состояниям с тремя, пятью и т. д. фотонами.
Для фотонного пропагатора на больших расстояниях это дает степенные
поправки с очень небольшими коэффициентами. Из-за его малости этот эффект
еще не был измерен.
Мы можем, однако, для значений р2 < тг перейти к пределу
ц2 —* 0, не столкнувшись с сингулярностями. В этом случае интег-
интеграл в выражении G.30) сильно упрощается, и мы можем написать
его в виде
При р%—>т' это выражение остается конечным, но его производ-
производные станоьятся бесконечными.

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 401
Подстановка этого выражения для собственной энергии в фор-
формулу G 28), очевидно, сдвигает положение полюса пропагатора
и изменяет чначение вычета в нем. Снова возможны два эквива-
эквивалентных подхода В первом из них т0 и еи называют парамет-
параметрами исходного лагранжиана, величина т определяется как изме-
измененное положение полюса, а функция Грина переопределяется
через физическую массу и константу связи. Во втором подходе
голые параметры вообще не рассматриваются, а в лагранжиан
вводятся конфчлены таким образом, чтобы сохранить положение
полюса и вычет в нем неизменными.
Мы можем добиться этого, разложив величину 2, рассматри-
рассматриваемую как функцию от р(р2 = р2), в окрестности р = т:
G.32)
В первом порядке по К можно пренебречь множителем Zj1 (Л),
стоящим перед 2Д(#), тогда первое выражение становится раз-
разложением в ряд Тейлора, поскольку
Однако более понятной является следующая запись этого выра-
выражения:
д_т-_2я (р) = Z2 (Л) [р -т0—2
В фейнмановскои калибровке для получения величин бот и Цх
мы используем выражение G.30). В действительности, при вы-
вычислении Ьт мы можем пренебречь инфракрасными расходимо-
стями и воспользоваться выражением G.31), откуда следует
G.33)
Для того чтобы найти Z^'(A) —1, нужно вернуться к G.30) и
удержать там вклады, сингулярные или конечные при ц2-^0.
Это дает
[Z^4A)-l]e=—?-2«(/г, Л, ,
2A—р)B—Р)

402 ГЛАВА 7
Перенормированное значение величины Е получается с помощью
вычитания величины 6т—(Zj1 — \){р—т). Используя в области
\р2—m2|$J>(A2 выражение G.31), находим
}
G.35)
В случае р2 — т2^^ при аналитическом продолжении в область,
лежащую выше разреза, начинающегося при (т + р.J, логарифм
приобретает мнимую часть: In A—р2/т2) —> In (р2/т2— 1) — гл. Соот-
Соответствующая абсорбтивная часть функции 2 в пределе ц2 —>¦ 0 равна
Исследовать поведение Хд в окрестности точки р2 = т2 при-
приходится отдельно Если требовать, чтобы перенормировка произ-
производилась на массовой поверхности, появляются дополнительные
инфракрасные особенности, первоначально отсутствовавшие в выра-
выражении G.31).
Посмотрим, как изменятся наши результаты, справедливые
в фейнмановской калибровке, при переходе к произвольной калиб-
калибровке Иными словами, нам нужно вычислить функцию 2*, кото-
которая в импульсном пространстве записывается в виде
2 * ДО = - W J dik (*2- v Х
fe) (*» - р,*/Х+ is)
Г к(р*-т>) kHv-m)
L^—feJ — ma + 'S (p — kf — m*+is
Обозначим вклады трех последовательных членов, стоящих в подын-
подынтегральном выражении, соответственно через /lt /2, /3 При усло-
условии что используется ковариантная регуляризация, вклад /3 вслед-
вследствие нечетности по k обращается в нуль (он может быть лишь
пропорциональным величине р, но соответствующий интеграл не
зависит от р) Мы видим, что после регуляризации 2Ь обращается
в нуль при р = т и, следовательно, не дает вклада в Ьт. Дей-
Действительно, вклад /j не содержит ультрафиолетовой расходимости.
Однако его производная в точке р — т имеет инфракр: сную осо-
особенность; при этом величина |я2 должна оставаться конечной, чтобы
можно было выделить вклад 1Х в перенормировку волновой функ-
функции, т. е. в (Zz1 — l)b. Наконец, член /2 имеет логарифмическую
ультрафиолетовую расходимость, но не имеет инфракрасных рас-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 403
ходимостей. В случае ]р2—т2|^>ц.2 находим
{
- <,—¦> [in $ +1 -^ In A - ?) ]} . G.38,
Вблизи массовой поверхности р2 = т2 первую квадратную скобку
[1 + (т2/р2) 1п A—р2/гпа)] следует ^шменить выражением
/т2) I
J '
1-Я
Следовательно, величину [A—Л)Д]26 можно представить в виде
суммы перенормированной части и части, убывающей линейно по
р — т\ при |/,2 — т2|^>ц.2 мы имеем
Отсюда получаем
^(l^^ ^l±^). G.40)
В формулах G.39) и G.40) используется тот же параметр обре-
обрезания Л, что и при вычислении 2е.
Рассматривая комбинацию (ZJ1 — l)a + &, мы видим, что при инфракрасном син-
сингулярном члене In (|Л2/т2) стоит коэффициент, пропорциональный величине
3—\/К. Выбирая Я = т/^ (Йенни и Фрид), можно устранить инфракрасные
расходимости в рассматриваемом приближении. В пределе |х2—> 0 этому выбо-
выбору Я соответствует фоюнньй пропагаюр — i (gyj/k2-| 2k kn/lt*). В результате
функция Tr+ 1 также (вободна or инфракрасных особенностей.
Теперь нужно скомпенсировать ультрафиолетовые расходимо-
расходимости, добавляя к лагранжиану контрчлены таким образом, чтобы
сохранить правильные значения физических параметров. Исходный
лагранжиан содержит член—яп|л|5. Он заменяется на величину
•—/пог|л|> = — тя|тф + Ьт. я|п|з. Это означает, что в первом порядке
мы добавляем к лагранжиану член
6j2^ = 6m^, G.41)
где
|^(^ l) G.42)

404 ГЛАВА 7
Следует заметить, что 6т не зависит от выбора калибровки (что
физически вполне разумно) и расходится лишь логарифмически.
Член гб/п, добавленный к лагранжиану, будет давать вклад в сильно-
свячную двухточечную функцию (рис. 7.9). В соответствии с опре-
определением G.25) это приведет к вычитанию 8т ил 2 и обеспечению
того, чтобы т была действительно физической массой. В смысле
РИС. 7.9. Графическое представление однопетлевых контрчленов 8mij3ij) -f-
-f-(Z2—1)[(i/2) \|)Jrip—лп|.г|>] к электронной двухточечной функции.
формального степенного разложения мы имеем в первом порядке
(Z2—1)[Ч = — (Z^1—1)[Ч. Таким образом, контрчлен
G.43)
Л2 о. ц2 1 . и2 , 9
„ , а / 1 , Л2 о. ц2 1 . и2 , 9 > ,„ ...
Z,—1 = — -;— ^-Jn^ + oln-1- -г-10-^-2-4.-7-1 , G.44)
где
компенсирует в первом порядке расходящийся член в д—т.
Оставшийся конечный пропагатор \р — т — ^ь(р)]~1 будет иметь
полюс при ^ = т с вычетом, равным единице.
Замечания
1. В первом порядке по п мы не можем различить контрчлены Ьт г|л|)
и Z2 5m \|)i|>, поскольку [Z26m]A1 = 6mtlJ.
J1
2. В калибровке Ландау (Я —>• оо) ультрафиолетовые расходимости в Z
К
J
р у ) урф р J
в первой порядке сокр<щаюкя К сожал'нию, не существует какой либо
единый выбор калибровки, коюрс1Я бы устраняла в рамках теории
возмущении все ультр^фиолетвые расходимости
3. Все введенные нами до сих пор конгрчлены имеют структуру, анало-
аналогичную различным членам исходного ллгранжиана, а это указывает
на го, что программа перенормировки находится на пути к успеху.
Первый, кто отметил, что собственная масса элеюрона расходится только
логарифмически, был Вайскопф A939 г.). Полный расчет впервые был выпол-
выполнен Карплусом и Кроллом в 1950 г.
7.1.3. Вершинная функция
После изучения двухточечных функций обратимся теперь к рас-
рассмотрению трехточечной вершинной функции (ееу). На рис. 7.10
представлена единственная одночастично неприводимая диаграмма,
относящаяся к этому процессу. Она дается выражением
-1еГ\!](р', р) =
{ d'k ' Г gp0 i a*-)M° ]
Bл.)

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
405
В тех же обозначениях величина нулевого порядка равна у^. Пол-
Полную одночастично неприводимую трехточечную функцию соответст-
соответственно запишем в виде
\(Р', />) = Тц + Г,Л/>'. Р), G-46)
причем первый ненулевой вклад в Гц определяется выраже-
выражением G.45)
Если вспомнить о том, что электромагнитное взаимодействие
вводится с помощью минимальной подстановки р—>р—еА, то
РИС. 7.10. Однопетлевая вершинная
диаграмма.
можно предположить, что между электронным пропагатором и вер-
вершинной функцией существуе! тесная свя^ь Действительно, ука-
указанная связь выражается тождеством Уорда.
Рассмотрим все возможные вставки внешней фотонной линии,
отвечающей нулевому импульсу, во внутренние пропагаторы заря-
заряженных частиц, которые входят в диаграмму собственной энергии
РИС. 7.11. Вставка внешней фотонной линии в диагоамму собственной энер-
энергии электрона, приводящая к тождеству Уорда.
электрона (рис. 7.11). Член нулевого порядка дает i{p — т)—»¦
—>¦—ieA, в то время как однопетлевой вклад, представленный
на диаграммах рис 7.11, приводит к замене: —ieS^i (p)—>
—> —ieA^T^ip, p) и т. д. Графическое соответствие можно интер-
интерпретировать следующим образом В каждом внутреннем пропага-
торе заряженной частицы собственно-энергетической диаграммы
мы заменяем протекающий импульс р разностью р—еА, где
А^—некоторый постоянный 4-векгор. Затем полученное выраже-

406 ГЛАВА 7
ние разлагается в ряд по степеням еА и определяется коэффи-
коэффициент при линейном члене. Это есть не что иное, как Г^ (р, р).
Применяя этот рецепт, например, к однопетлевому вкладу в S (/>), находим
I ~^ 1/ Л А- ~" i 71
К—еА — m-f-is л= о
Поскольку справедливо равенство
p p — X — m-^is p—X—eA—m-\-ie'
после дифференцирования его правой части и приравнивания А нулю мы по
лучим выражение для Г ¦ (р, р), согласующееся с G.45).
Может быть задан вопрос: все ли вершинные диаграммы учи-
учитываются в результате такой операции? Ответ очевиден: не все.
Рассмотрим в собственно-энергетической диаграмме внутреннюю
q=p'-p
РИС. 7.12. Пример диаграммы, которая не
может быть получена иэ 2 (р) с помощью
процедуры, описанной в тексте.
замкнутую фермионную петлю. Согласно теореме Фарри, к такой
петле присоединено только четное число фотонных л\ний (если
мы условились рассечь каждую внутреннюю фотонную линию,
начинающуюся и заканчивающуюся на этой петле). Опять-таки
по теореме Фарри невозможно прийти с помощью рассмотренной
выше процедуры к вкладу от вершины, в которой внутренняя
фермионная петля присоединена к остальной части диаграммы не-
нечетным числом фотонных линий, например так, как изображено
на рис. 7 12. Это означает, что мы получаем только такие диа-
диаграммы, в которых внешняя фотонная линия присоединяется к фер-
мионной, через которую протекает поток заряда, начинающийся
во внешней линии. На первый взгляд это можег причинить затруд-
затруднения, если нам действительно нужно нзйти соотношение между
2 и Г. К счастью, вклад суммы всех диаграмм, в которых внеш-
внешняя линия присоединена всеми возможными способами к внуфен-
ней члектронной петле, обращается в нуль, если его вычислять
при нулевом переданном импульсе q. В этом можно убедиться

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 407
с помощью соответствующей регуляризации петли по Паули —
Вилларсу, выделяя фактор вида
X
• • • y»P]
в котором сумма всех импульсов q2 + q3 + .. ¦ + q2p, входящих
в петлю, равна нулю. Как и прежде, воспользуемся тождеством
1 __J__ = д 1
Суммируя по всем возможным вставкам внешнего фотона при
фиксированных значениях импульсов внутренних фотонов, мы по-
получаем в подынтегральном выражении полную производную. При
этом интеграл при услозии, что он регуляризован калибровочно-
инвариантным образом, обращается в нуль. Оiсюда можно сде-
сделать заключение, что рассмотренный выше рецепт вставок внешних
фотонных линий применим лишь к выделенному набору элект-
электронных пропагаторов, несущих поток внешних зарядов Можно
показать, что тот же набор пропагаторов несет поток импульса
электрона, а потому использованный нами рецепт эквивалентен
взятию производной по этому импульсу. В результате мы прихо-
приходим к тождеству Уорда
Гц.(р, р) = —тгп-^О9)- G.47а)
Если учесть вклад нулевого порядка, это тождество принимает вид
Q
В следующей главе мы обобщим тождество Уорда на случай
ненулевого переданного импульса в форме, предложенной Така-
хаси:
(р' — p)ilAjl(p', р) = [р'—т—2 (р')]—\р — т — 2 (р)], G.48)
и обсудим его связь с законом сохранения тока. Нетрудно пока-
показать, что тождество G 47а) следует из G.48). Доказательство,
приведенное выше в общих чертах, очевидно, требует дополни-
дополнительного внимания. В частности, необходима соответствующая
калибровочно-инвариантная регуляризация. Фактически одна из
целей перенормировки в квантовой электродинамике состоит
именно в том, чтобы преобразовать формальные тождества Уорда—
Такахаси в. соотношения между перенормированными конечными
величинами.

408 ГЛАВА 7
Вернемся снова к однопетлевому приближению и опустим
индекс 1. Из выражения G.45) следует, что разность Г(р', р) —
—Г (р, р) конечна, а величина Г (р, р) вычисляется при помощи
тождества Уорда по заданной функции 2 (р). Это означает, что
IVO»', р)=>—?гЪ(р) + Г„(р', р)-Т„{р, р) =
G.49а)
Определим (бесконечную) константу перенормировки вершинной
части Z1 из выражения
Т«(р', р). G.496)
При вычислении в первом порядке множитель Zf1, стоящий перед
перенормированной поправкой Г^ к вершине, можно сноса заме-
заменить единицей, а Г^ (р', р) нормировано требованием, чтобы на
массовой поверхности (р'2 = р3 = т2) и при нулевом переданном
импульсе ее матричный элемент между дираковскими спинорами
обращался в нуль, т. е.
« (р') Г* (р\ Р)и (р) |р.=р..=т. = 0. G.50)
р=р'
Очевидно, что разность Гд(р', р) —Г|а(р, р) обращается в нуль,
когда р = р'~, равен нулю и матричный элемент оператора
(д/др^) ZR (p), поскольку этот оператор пропорционален величине
р — т. Сравнивая G.49а) и G 496), приходим к заключению, что
1* = 1Л G.51а)
и Т*(р\ p) = Z1[Tll(p', р)-Г„(Р, р)]-°рЪ*(р). G.516)
Тождество Уорда остается справедливым и в теории с массивными фотонами.
Мы предоставляем читателю убедиться самому в том, что однопетлево! конгр-
член вида
k% G'52)
действительно устраняет в первом порядке логарифмическую расходимость
вершинной части.
Нам осталось вычислить Т$(р', р). Ограничимся рассмотре-
рассмотрением случая, когда pup' находятся на массовой поверхности, а
обкладками для Гр являются дираковские спиноры, т. е.
и (р') Гр (р', р) и (р). Однако не будем выписывать спиноры в явном
виде, а воспользуемся соотношением Гордона
± '-Ру]и(р). G.53)

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 409
Величина, которую мы собираемся вычислить, имеет калибро-
вочно-инвариантную конечную часть. Действительно, в формуле
G.45) член, пропорциональный 1—X, включает интеграл от вы-
выражения
В этом выражении можно заменить К справа на К—р-\-т, а
слева—на К—р' + т и таким образом найти величину, не зави-
зависящую от р и /)', которая в силу условия нормировки погло-
поглотится в Zi1 — 1. Относительно величины Z, известно, что она
зависит от выбора калибровки. Положим ?i=l и запишем
_-г • 42 Г
-l{—le) J
X (p— kf~
Используя уравнение массовой поверхности, числитель этого вы-
выражения можно переписать в виде
Рассмотрим следующий вспомогательный интеграл
J BлL
Le
L (#>—,га4-is) (k2— 2p'-k+it) (k* -2p-k+ie)
_ 1 P da, da, da3 f T , (г/2-а2р'- a3pf
Вводя в подынтегральном выражении множитель eik'J, мы мо-
можем путем дифференцирования получить искомое выражение в
числителе величины Гр. После симметризации по а2 и а3 нахо-
находим следующее представление:
о
X (Щ + 2«»,+к+»,) Г"
где мы положили q — p' — p. При интегрировании по параметру
однородности величин ау- обнаруживается предполагаемая лога-
логарифмическая особенность; ее можно вычесть с учетом условия
нормировки G*50). Заметим, что ^2^0, если р и р' лежат, на

410 ГЛАВА 7
массовой поверхности. Выполнив поворот Вика a,—»-ay/t, мы по-
получим
3
^ [(а2+а3Jт2-а2а3<72]1
? J_ I
поскольку в соответствии с G.516) ренормировка в первом по-
порядке вершинной функции на массовой поверхности равносильна
вычитанию при <? = (). Выделим теперь формфакторы Ft(q2) и
F2(q2), определяемые соотношением
Г? (/Л Р) = Yp/Ч (Я2) + ^ aov q*Ft (q% G.54)
Разумеется, вклады в эти формфакторы вычисляются лишь с точ-
точностью до а. Учет нулевого порядка добавляет к Fx единицу.
Таким образом,
0
(та-?2/2—(a2+a3) {2та—д2/2)+/п2Г(а2+о3) - у(а,+ аз)Ч-
m2(a2 + as) +a!(x2 -а2а3(^ •"
1 In [т2 (о, + а3J + о^*—а2аз(?2] - (92 -'))>,, G.55)
0
G.56)
Переданный импульс можно параметризовать с помощью гипер-
гиперболического угла В следующим образом:
p.p' = m2ch9, (?2=-4m2sh2|-. G.57)
Проще всего вычислить магнитный формфактор Ft. В рассматри-
рассматриваемом порядке он не содержит инфракрасную расходимость, и
мы можем положить (л2 = 0. Интегрирование по а, дает

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 4i I
Вводя новый параметр однородности, это выражение можно пе-
переписать в виде
1 1
FG2)
_a —a\ ! { dx(\ — x) =
= 2^J'
о 2 — ¦ " " о
1
1
о
_ a Cd$_ 1
-2jp2 {l + [(lP)Ple}{
Последний интеграл нетрудно вычислить, переходя к переменной
интегрирования A— Р)/р. Таким образом,
В частном случае, когда q2 —* 0 и 0 —* О,
МО)-!- G.59)
Займемся теперь вычислением F,, учитывая наличие инфракрас-
инфракрасной расходимости. После интегрирования по a,t находим, что Ft
можно записать как сумму четырех членов:
Fi(q*)=~2>?r/ + const,
где постоянная выбирается из условия, чтобы /?1@) = 0. Вычис-
Вычислим <?Гj в пределе малых цЛ Запишем сначала выражение для #\:
1 1-<х2
ch0
l l
о о
J p+( p)+P ( P) ch 9
о
Вводя с помощью соотношения 1 — 2р" = th <p/th (8/2) новую пере-

412 ГЛАВА 7
менную ф, преобразуем интеграл к виду
6/2
а ц 2а С
вГг = — 0cth91n — cth 9 V йффШф.
1 л mm j т т т
о
Остальные #*у- имеют вид
1 1-аг
* a = — en t) \ da» \ aaq -s-i—»-T-j; т-х = — У ctn о,
0 0 2 3
l-a,
= —(l-che)fdo, f da, 2 , 
J J
1-аг
о о
a e/2
Учитывая нормировку, получаем окончательное выражение для F,:
9/2
^(92) = ^ [(lnf+l)(ecthe-l)-2cth9 ^фФ1Ьф-|ш|].
G.60)
В окрестности точки q2==Q мы имеем q*/m?tt — Q*, так что глав-
главный член по q2 можно записать в виде
Это означает, что полное выражение ренормированнои вершинной
функции, стоящей между спинорными обкладками, имеет вид
G.62)
С помощью аналитического продолжения в область комплекс-
комплексных значений 9 получаем Г^ для положительных значений q%.
Полагая, например, 9 = гЧ|5, находим выражение, справедливое для
значений q2, лежащих в области 0 — 4т2, в котором Fx и F2

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 413
остаются вещественными в рассматриваемом порядке:
I
F = " _JL G.63)
3 2л sin if' ^ '
где ?2 = 4m2 sin2 -|, 0<\|5<я. G.64)
Предлагаем читателю полезное упражнение, а именно продолжить эти выра-
жения в область значений |Д лежащую выше порога 4т2, и дать интерпре-
интерпретацию мнимой части формфакторов. Каково их поведение при больших | <?21?
7.1.4. Выводы
Опишем здесь кратко, чего мы достигли, устранив ультрафиоле-
ультрафиолетовые расходимости Мы ввели три расходящиеся константы:
l.Zj = Z2 — калибровочно-неинвариантные и имеющие инфра-
инфракрасную расходимость, но равные друг другу в силу тож-
тождества Уорда.
2. Zg и б/л — калибровочно-инвариантные и свободные от
инфракрасных расходимостеи. Мы вычислили Zx — 1 =Za— 1,
Z3—1 и бт в первом порядке по ft таким образом, что
лагранжиан
—t(Z3—1) F2 + (Za— 1)[ 4-Ф#г|з—/
4 _ \l i
G.65)
будет приводить в том же порядке к конечным перенорми-
перенормированным двух- и трехточечным функциям. Мы увидим, что
то же самое справедливо для функций Грина более высо-
высоких порядков.
Массовый член фотона обозначался как (ц.2/2) Л2. Мы отмечали, чго в теории
массивных частиц радиационные поправки смещают истинное положение по-
полюса па величину, связанную с константоп перенормировки Z3 волновой функ-
функции, поскольку 1ензор поляризации вакуума имеет тольку одну общую рас-
расходимость Проще определить соответствующий размерный параметр как взя-
взятый со знаком минус коэффициент при члене gp0 в обратном пропагаторе при
нулевом импульсе:
(I2 =—= =Z3(x2d. G.66)
F 1+МО)
где |i0—(бесконечная) голая масса Следовательно, |л2Л2 = 23[Ао<42. В теории
массивных векторных бозонов реальная физическая масса fi связана с fi конечным
перенормировочным фактором.

414 ГЛАВА 7
РИС. 7,13. Примеры однопетлевых диаграмм в отсутствие внешних фермион-
ных линий, с двумя и четырьмя внешними фермионными линиями.
Сейчас необходимо убедиться в том, что функции Грина более
высоких порядков являются конечными, поскольку мы уже
исчерпали свободу выбора, определив измеримые величины — массу,
константу связи и вычеты в полюсах Этот анализ представляет
интерес и вследствие того, что имеется еще одна величина, опас-
опасная с точки зрения расхотимостей, а именно амплитуда фотон-
фотонного рассеяния. Если бы мы рассматривали бесспиновые
заряженные бозоны, то для осуществления перенормировки пона-
понадобилась бы новая физическая константа, отсутствующая, оче-
очевидно, в приближении борновских диаграмм. В этом случае нам
пришлось бы задать нормировку амплитуды упругого рассеяния
заряженных частиц
Механизм, ответственный за ультр;фиолетовые расходимости
в однопетлевых интегралах, можно описать следующим обраадм.
Пусть k — это импульс, протекающий через петлю, пас интересует
поведение подынтегрального выражения в фейнмановском инте-
интеграле при больших k. Каждый фермионный пропагатор в нем дает
множитель |#|~\ а каждый бозонный пропагатор—множитель
|/?j~2. Вершинные части, в которые входят уп, не зависят от k.
Силыюсвя-шые функции классифицируются по числу внешних
фермионных линии нуль, два, четыре и т. д. Типичные диаграммы
изображены на рис. 7.13
Если обозначить через Л параметр ультрафиолетового обреза-
обрезания, то интеграл будет вести себя как
А*-'г*'в, 4-/,-2/в>0,
1пА, 4-/^—2/8 = 0,
где IF(!B)—число фермионных (бозонных) линий в петле. Гово-
Говорят, что интеграл является условно расходящимся, если
a>(G) = 4-/f-2/s>0, G.67)
где (o(G) называется условной степенью расходимости1). В электро-
•) Для величины a>(G) нет общепринятого названия. Авторы пользуются
для нее термином superficial degree of divergence. В учебнике Н. Н. Боголю-
Боголюбова и Д. В Ширкова эта величина называется индексом диаграммы Вели-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 415
динамике кинематика несколько усложняет дело Мы уже встре-
встречали примеры, такие, как в случае поляризации вакуума
(/р = 0, /Л=2), для которых рассмотренные выше правила под-
подсчета, казалось бы, указывают на квадратичную расходимость
со = 2; но сохранение тока, позволяющее выделить фактор k2g00 —
—k9k°, оставляет лишь логарифмическую расходимость Анало-
Аналогично при рассмотрении собственной энергии электрона имеем
ш=1, но опять-таки то, что (как было найдено) ? пропорцио-
пропорциональна величинам т и р, привело к уменьшению степени расхо-
расходимости на единицу Правило подсчета расходимости вершинной
функции является корректным, и ш = 0. Но даже в этом случае
только один формфактор оказался расходящимся Мы можем вы-
выразить о» (G) через (четное) число Ef, внешних фермионпых линий
и число Ев внешних бозонных линий, используя то обстоятельство,
что в каждой вершине сходятся две фермионные линии и одна
бозонная. Вдоль петли число вершин V равно числу внутренних
пропагаторов:
и в соответствии с предыдущим утверждением
так как концами каждого пропагатора являются две вершины.
Исключая V, 1Р и Iв, находим
а,= 4-4ег-?в. G 68)
В результате получаем следующую таблицу:
УслоЬная Эффективная
степень степень
?р Eg расходимости расходимости
о г
О 3 Исключается инвариатностью относительна
зарядового сопряжения
G.69)
чина со (С?) совпадав! с условной степенью роста по импульсу (см. главу 8
в г. 2 настоящей книги). — Прим. ред.

416 ГЛАВА 7
С ростом числа внешних линий в диаграмме сходимость интеграла
все более улучшается и результаты, приведенные в таблице G.69),
показывают, что мы исчерпали псе возможности, °,а исключением
амплитуды фотон-фотонного рассеяния. Однако последняя в дей-
действительности сходится опять-таки в силу кчлибровочной инва-
инвариантности, которая вносит определенные ограничения в кинема-
кинематическую структуру амплитуды этого процесса, в результате чего
мы получаем интеграл, обладающий хорошим поведением. Это
следует из проведенного нами ранее рассмотрения эффективного
лагранжиана Эйлера — Гейзенберга (см. разд, 4.3.4) и будет по-
подробно обсуждаться ниже (см. разд. 7.3.1).
Таким образом, в первом порядке по Ь, мы имеем конечную
теорию, которая может предсказывать определенные результаты
и удовлетворяет в рамках теории возмущений общим принципам
унитарности и причинности. Наличие контрчленов в такой теории
эквивалентно вычитаниям в дисперсионных соотношениях, т. е.
они не изменяют ни аналитических свойств, ни поведения на раз-
разрезах. Другое подтверждение этому следует из того факта, что
мы используем локальный эрмитов лагранжиан.
Вернемся теперь к выражению G.65) и перегруппируем в нем
члены следующим образом:
G.70)
Это выражение допускает естественную интерпретацию. Фи-
Фигурирующие здесь поля i|), ур и А являются перенормированными
полями, которым отвечают пропагаторы с вычетом, равным еди-
единице в одночастичном полюсе. Определим следующим образом
неперенормированные поля i|H) i{>0 и Ло и зависящие от параметра
обрезания голые параметры jijj, т0, е0:
G.71)
Лагранжиан G.70), записанный в терминах голых величин G.71),
имеет вид, аналогичный исходному лагранжиану:
S = —г FI + т? А\ — -^- Zj1 (А) {д ¦ Аоу -f- 4 ^о -^to — то^Фо—
— e0^^0. G.72)
Конечное число контрчленов различных типов обеспечивает не
только сходимость каждого члена ряда теории возмущений (свой-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 417
ство, которое будет сохраняться во всех порядках по %, в чем
мы убедимся далее), но и сохранение самой структуры теории
при перенормировке.
Подчеркнем еще раз роль тождества Уорда, приводящего
к равенству
e0AQ = eA, G.73)
благодаря которому имеют смысл масштаб, вносимый в теорию
электромагнитными взаимодействиями, и принцип минимальной
связи.
Следует также заметить, что введение контрчленов не затра-
затрагивает величин А% и (д ¦ ЛJ, что является особым свойством элек-
электродинамики. Таким же способом, каким вводилась голая «масса»
|а0, можно определить голый параметр Яо, а именно
Лагранжиан G.72) приводит к перенормированным функциям
Грина, определяемым следующим образом:
= Ц (A) Zf (A) GH (ft, ..., pin, kt, ..., kt; |i, m, e, к). G.74)
Здесь ри ..,, /?2n(^i> ••¦> ki) обозначают внешние фермионные
(фотонные) импульсы. Как и выше, эта формула справедлива
в рамках разложения по %, однако это доказано нами пока до
порядка Я1. Соотношения G.71) и G.74) оправдывают название
«мультипликативная перенормировка».
В рамках теории возмущений константы перенормировки вол-
волновой функции zH' и Z!/2 оказываются бесконечными. Это пока-
показывает, что по крайней мере в данном смысле одна из рабочих
гипотез настоящего подхода, а именно каноническая эквивалент-
эквивалентность свободной теории и теории взаимодействующих полей, ма-
математически не вполне обоснована. Нам удалось, однако, преодо-
преодолеть эти трудности, и позже мы обнаружим, что рассматриваемые
явно бесконечные величины имеют интересный физический смысл.
В гл. 8 (см. т. 2 настоящей книги) мы обобщим этот подход
на все порядки теории возмущений.
7.2. РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
К ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ
Оставшаяся часть настоящей главы посвящена примерам расчета
радиационных поправок. Одна из наших целей—выяснить смысл
инфракрасных расходимостей, обусловленных дальнодействующими
электромагнитными силами. Этот обзор имеет лишь ознакомитель-
ознакомительные цели и не претендует на полноту изложения.

418 ГЛАВА 7
7.2.1. Эффективное взаимодействие
и аномальный магнитный момент
В гл 2 и 4 мы уже изучили различные аспекты взаимодействия
заряженных частиц с с-числовыми внешними полями. Здесь мы
рассмотрим квантовые поправки, возникающие, когда мы подстав-
подставляем вместо квантового поля А4 сумму At-{-Ac, где Ас — класси-
классическое поле
Ас
\ч=р'-р
к-р\ \р'-к
р р' V^^/ p к р'
РИС. 7.14. Вклады диаграмм низшего порядка во взаимодействие с внешним
полем.
В первом порядке по Ас получим эффективное взаимодействие,
которое представляется первыми тремя диаграммами на рис. 7.14,
включающими однопетлевые квантовые поправки Это означает,
что мы заменили элементарное взаимодействие еА$ур на взаимо-
взаимодействие вида
еА2Ур — еА? (ур + Гр + apvGwy<jy, G.75)
здесь Г и со—величины, которые вычислены в разд. 7.1, a G —
пропагатор свободного фотона Мы предположили, что электроны
находятся на массовой поверхности, и, следовательно, пренебрегли
собственно-энергетическими вставками во внешние линии, которые
по предположению включены в корректное определение массы и
нормировки состояний
В случае малых передаваемых импульсов q — p'—р, удержи-
удерживая лишь главные члены, при \а—»-0 получаем
ыт -т-т
При выводе G 76) мы учли то обстоятельство, что калибровочно-
неинвариантные члены, входящие в Gv0, пропорциональные qsqa,
дают нулевой вклад при его свертке с тензором поляризации
вакуума Кроме того, член, содержащий щ = р'—р, обращается
в нуль на массовой поверхности. Следовательно, оставшееся вы-
выражение является калибровочно-инвариантным в том смысле, что
если А9С заменить на Avc + qpf (q), то дополнительный член обра-
обращается в нуль на массовой поверхности
Квазистатический предел q—*0 допускает простую интерпре-
интерпретацию В конфигурационном пространстве переданный импульс q

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 419
можно заменить дифференциальным оператором id, действующим
на Ас Используя тождество Гордона, получаем два эквивалент-
эквивалентных выражения для гамильтониана взаимодействия заряженной
спиновой частицы с медленно меняющимся (в пространстве и вре-
времени) внешним полем:
G-77)
Во второй формулировке этого выражения первый член соответ-
соответствует току конвекции, аналогичному току скалярных частиц, и
его взаимодействие с Ас сопровождается появлением инфракрас-
инфракрасных расходимостей Второй член имеет простую интерпретацию.
В предельном случае постоянного поля Fс этот член сводится
к эффективной энергии магнитного диполя. Предположим, что F
является постоянным магнитным полем /?12=—Б3, F23 = — В1,
F^^ — B*, аи = оя и т. д. При этом энергия магнитного диполя
запишется в виде
[()j] G.78)
При рассмотрении уравнения Дирака мы нашли гиромагнитное
отношение, равное 2, что дает следующее значение магнитного
дипольного момента;
2m.~Z2m 2 '
Мы видим, что в первом порядке по^ квантовые поправки изменяют
это гиромагнитное отношение так, что оно принимает вид?=2 A -\-а),
где а = а/2я—аномальный магнитный момент. Этот результат был
впервые получен Швингером в 1948 г. и затем подтвержден мно-
многочисленными точными экспериментами, которые позволяют прове-
проверить поправки высокого порядка.
Для электрона аномальный магнитный момент в низшем порядке не зависит от его
массы. Поэтому те же самые результаты применимы столь же хорошо и к любой
элементарной частице со спином 1/а, например к мюону Полная теория тре-
требует рассмотррния в более высоких порядках всех заряженных частиц, вза-
взаимодействующих с электромагнитным полем Это приводит к различным ано-
аномальным поправкам, что обусловлено различием в массах. В настоящее время
вычисления выполнены до третьего порядка (три петли). Они дают следующий
14*

420 ГЛАВА 7
результат:
атеоР= 1 «__0 328478 445 ( — У+1,183 A1) ( — У =
= 1 159 652 359B82) 10-".
(Числа, заключенные в скобки, указывают погрешности.) Последние измерения
выполнены с такой же точностью и, возможно, будут улучшены в близком
будущем
а|ксп = 1 159 652 410B00) 10~12.
Для сравнения со столь точными экспериментальными данными мы должны
теоретически вычислить член (а/я)' с более высокой точностью и получить
оценку вклада следующего порядка [поскольку (а'яL~29 10~12], который
описывается 891 диаграммой Фейнмана1 Малые вклады дают поправки к вир
туальном^ фотонному пропагатор) отвечающие вставкам мюонных петель
(~ 2 10~12) а также поправки связанные с учетом адронпых (~1,4 10~12) и
слабых (~0 05 10~12) взаимодействий Изменение аномального маг нитного момен-
момента электрона станет в ближайшем будущем по видимому, одним из самых пре
цизионных способов получения точного значения постоянной тонкой структуры а
благодаря уникальному соединению теоретического и экспериментального ис-
искусства
При рассмотрении аномального магнитного момента мюона неопределен-
неопределенность адронных поправок устанавливает ограничение на точность теоретиче-
теоретических предсказаний. Самые современные измерения дают
4КСП = 1 165 922(9) 10-».
При этом чисто электродинамический вклад равен
< = 1-2-+ 0,765 782 ^J+24,45@H6) (-?¦)*+128,3 G1,4) (?
= 1 165 851,8B,4)-10-9,
где член порядка а* является оценкой, учитывающей большую величину
отношения т^/те, а адронная поправка равна
4ДР =66,7 (9,4) 10-»
Теория предсказывает следующее значение аномального магнитного момента:
aj,sop = l 165 919A0) Ю-9,
что находится в разумном согласии с экспериментом. Ожидается, что эффекты
слабого взаимодействия дают вклад порядка а^лаб ~ 2-10~9
В эффективном гамильтониане G 77) первый член из-за его
инфракрасной расходимости вызывает беспокойство Эта расходи-
расходимость обусловлена стремлением иметь изолированный полюс в со
ответствующей функции Грина Однако такое состояние нельзя
отделить от состояний, включающих произвольное число мягких
фотонов Последние рождаются всегда, когда происходит измене-
изменение скорости заряженной частицы, независимо от того, сколь ма-
малым может быть такое изменение Следовательно, если мы обсуж-
обсуждаем виртуальные электромагнитные эффекты, содержащиеся
в гамильтониане G.77), нам необходимо включить в рассмотрение

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 421
также процессы с реальным испусканием или поглощением мягких
фотонов во внешнем поле Фиктивная масса фотона исчезает из
конечного результата при расчете, корректном с физической точки
зрения; она заменяется экспериментальной погрешностью.
7.2.2. Радиационные поправки к кулоновскому рассеянию
В качестве примера изучим кулоновское рассеяние на ядре с та-
таким Z, что величину Za можно считать малым параметром Атом-
Атомными поправками (эффектом экранирования в первом приближе-
приближении) мы пренебрежем Используя выражение G 75) для эффектив-
эффективного взаимодействия, вычислим все поправки с точностью до а3
к сечению рассеяния Мотта неполяризованных электронов [см вы-
выражение B 130)] Если Е—энергия, р — величина 3-импульса,
а р = р/Е—скорость электрона, то сечение рассеяния на угол 6
записывается в виде
Поскольку первая поправка будет иметь порядок Z2a3, в нее
необходимо включить второе борновское приближение, интерфе-
интерференция которого с главным членом будет давать вклад порядка
Z3a* При условии что величина Z достаточно мала, этот вклад
соизмерим с эффектом перенормировки вершины и поляризации
ваку>ма Одна из причин, побуждающих предпринимать столь
подробные вычисления, состоит в том, что они позволяют нам
изучить другие аспекты инфракрасных особенностей, связанные
с дальнодействующим характером кулоновских сил Последний
приводит к бесконечным фазам рассеяния Чтобы предотвратить
это, можно ввести фактор экранирования, который в последова-
последовательной теории должен быть связан с фиктивной массой фотона \л
Для того чтобы показать, что в сечении рассеяния такая инфра-
инфракрасная расходимость сокращается, введем независимую длину
экранирования а и отдельно изучим предел о—>0 На рис. 7 14
приведены диаграммы, дающие вклад в амплитуду рассеяния
в случае, когда внешний потенциал Ас описывает экранированное
кулоновское взаимодействие'
л =и, нс\х)— —— = z
Первые три диаграммы (будем отмечать их индексами 1, 2 и 3)

422 ГЛАВА 7
на рис 7.14 дают вклад
ф • -
X Bф cth 2ф—1)—2 cth 2ф Г dq>'q>' th q>! — j ф th ф +
-^)(фс*Ф-1)+4]-^^;4}"(Р), («О,
причем р-р' = яг2сЬ2ф, а <?*=р'—р. Четвертая диаграмма на
рис. 7.14 добавляет величину
Из-за кинематических связей имеем ро = р'° = Е и |р| = |р'|, По-
Положим
[(р-КJ+а2) (р»
If* к
Т (Р + Р') 'i™ J d3/: [(p'-kJ+o2] [(p-K
При этом S4 записывается в виде
G.81)
Разумеется, нас интересуют интегралы It и /2 лишь в пределе
малых значений о. Тождество Фейнмана
о 1
(a+X) (fr+X) дХ J ^ [Pa+A -P)
позволяет записать
i
l
о
где М2 = аа-НРA— Р) pasin2@/2), a P = |3p + A— p)p'.
Аналогично
1
Т
')»/» *" j * (гар7~гЖР? j j

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 423
Промежуточное интегрирование легко выполнить, и мы получаем
О , 1 fat» p—P+iM
J " R (p2_k2^(-g) [(Ь_рJц_Д42] — р Ш р_^р_]гШ ,
где при определении ветви логарифма выбирается соответствую-
соответствующий разрез. Окончательные выражения для lt и /2 при о —»О
имеют вид
G.82)
n2 @'2) о '
»2 |я Г. I 1 Л 1 . 2pstn№) |
cos2 (8/2) \2 [ sin F/2) J [sin2(9/2) x a T
}\ G.83)
Подставляя эти выражения в формулу G.81), получаем последний
in матричных элементов. Таким образом, сечение рассеяния не-
поляризованных частиц дается выражением
Ш-^ГТ X \^{Р')Т«(Р)\\ G-84)
По поляризациям
где Т — коэффициент, стоящий при (Не2/1 q |2) 2лб {р°—р'0) в сумме
S123+54, т. е.
А = -EL f 1 + 1П Ь ) Bф cth 2ф— I)—2 cth 2ф [ dy'y' th ф'—|-
G.85)
я sh 2ср '
Чтобы быть последовательными, в выражении G 84) оставим лишь
члены вплоть до порядка а3. Следует заметить, что комплексны-
комплексными величинами являются только 1г и /8 Суммирование по поля-
поляризациям дает
? l
• По поляризациям
= A + 2Re A) BE3) [ 1 — |За sin3 (9/2)] +
+ 2В B?2) 2 sin^ (9/2) + 2 Re С BmE) + О (а2).

42$ ГЛАВА 7
Зависимость от фактора о, которую вносили мнимые части вели-
величин А я С, исчезла, как и ожидалось; в результате сечение уп-
упругого рассеяния, включающее первые нетривиальные радиацион-
радиационные поправки, записывается теперь следующим образом:
ynp
ф
—2 ch 2Ф J йф'ф'th ф'—-|-th <p +
о
cth>\, ,, .. . 1 ф Р2sin2 (9/2)
Г-) (tpCth Ф~ 1) +Т~ Д
psin(e/2)[i-sin(e/2)] 1 ,7 ш
Напомним, что здесь Е и р — энергия и импульс электрона,
р = /?/?¦ —его скорость, 0 —угол рассеяния, а ch 2q = p-р'/т*,
sh ф = p/m sin (9/2) и | q |2 = 4m2 sh2 ф = 4/?2 sin2 (9/2)
В выражении G 86) сохранилась истинная инфракрасная рас-
расходимость. Чтобы получить разумный результат, нам необходимо
добавить к найденному выше сечению сечение испускания мягких
фотонов.
7.2.3. Мягкое тормозное излучение
В разд. 5.2.4 мы рассматривали тормозное излучение электрона
в кулоновском поле. Была получена формула Бете—Гайтлера,
демонстрирующая характерный спектр dco/co, где со — энергия фо-
фотона, или, что эквивалентно, потеря энергии электроном. Если
ввести в рассмотрение среднее энергетическое разрешение АЕ, то
После интегрирования мы получили бы вероятность излучения,
пропорциональную величине Z2aa ln(AE/\i), которая могла бы ком-
компенсировать аналогичный член в сечении упругого рассеяния. Следо-
Следовательно, наша цель состоит в том, чтобы проинтегрировать вы-
выражение Бете — Гайтлера по кинематическим переменным фотона
в области сй=?^Д? Будем предполагать, что ц,<^,АЕ<<сЕ Может
возникнуть возражение, что в гл 5 мы практически уже полагали
(х « 0. В действительности же единственный опасный член в пределе
ц/Е <$ АЕ/Е—»0 возникает от пропагаторов. Следовательно, мож-
можно применить формулу E 151), определяющую сечение рассеяния
в пределе бесконечно малого импульса фотона k. Обозначая этот
вклад как [(da/dQ) (AE)]myup, находим
-( — \ Г йЪк о* Г 2р-р' т2 т2 1
~\dQjMo-n J 2<аBяK [k-pk-p' (k'pf (k-p')*\ ¦
ю<Д?
G.87)

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 425
Однако энергетическое разрешение может зависеть от кинема-
кинематических ограничений; при этом могут требоваться более тщатель-
тщательные вычисления с использованием полного выражения для сече-
сечения Бете — Гайтлера Здесь мы хотим лишь продемонстрировать
основной механизм компенсации В формуле G 87)в принципе
Е = Е'~\-<и, но мы интересуемся только доминирующими вкладами
в АЕ. Поэтому всякий раз, когда это допустимо, будем перехо-
переходить к пределу Е'—> Е, |р|—*|р'| Разумеется, при этом сохра-
сохраняется связь (о = (к2 + (ягI/г. Обозначим коэффициент при (do/dQ)t,\orT
через В. Используя технику Фейнмана, запишем
2<о [
здесь Р = G2) [(р + р') + г (р' — р)]. Учитывая то, что | k J < [(Д?)г —
— ц2]1/» ~ Л?, находим
J
о
arctg (ДЕ/Ц)
sin \p tg 1
'Po—P2sir
S И 2|P|
Подставляя этот результат в выражение для В с обозначениями
р = |р|, р' = |р'| и Р==\Р\, которые, мы надеемся, не запутают
читателя, приходим к следующему одномерному интегралу по г:
2Д?
2р' Ш Е' - р1 2 _Jf а2 р^ (г) _ р2 (г)" Р (г) Ш Ро (г) - Р (г) {
Используя наши предыдущие обозначения, мы видим, что Pl(z)~-
— P2(z) = т2(сЬ2ф—2r*shacp). Следовательно, первый интеграл вы-
вычисляется в виде
Во втором интеграле введем переменную | = Р (z)$P0 (г) и вычис-
вычислим его в пределе Е'—>Е, р'—*р с точностью до поправок по-

426 ГЛАВА 7
рядка АЕ/Е. Мы видим, что величина | равна [cos2 @/2)
+ z3sin2(9/2)]Vs а потому
Собирая все вклады вместе, получаем выражение для сечения
испускания мягких фотонов в виде
t-4-PI \
9
-^TcnZ(P рйп(в/2) мв/1)
G.88)
7.2.4. Конечное инклюзивное сечение
Измеримая величина, обозначаемая как (d<J/dQ) (ЛЯ), представляет
собой сумму упругого и неупругого вкладов:
+[?>(I
упр [™ J неупр
Оба вклада вычислены нами в одном и том же порядке а3 и оп-
определяются соответственно выражениями G.86) и G 88) Швингер,
который впервые вычислил эти поправки, обозначил относитель-
относительные поправки, связанные с виртуальным (или реальным) испуска-
испусканием фотона и борновским приближением второго порядка, через
бд и <5Й Таким образом, мы имеем
G-90)
При сложении вкладов G.86) и G.88) параметр инфракрасного
обрезания, как и ожидалось, выпадает вовсе. Фиктивная масса р
нужна была только для того, чтобы придать смысл промежуточ-
промежуточным этапам вычислений Поэтому, если учтено экспериментальное
разрешение Д?, переход к пределу jjl —> 0 совершенно законен.
Очевидно, что величина А? влияет на окончательный результат.
При сложении двух вкладов можно применить следующее тож-
тождество, которое получается путем сравнения замен переменных,
выполненных при интегрировании величин (da/dQ)ynp n[(do/du)x

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 427
X(Л?)]неущ>. Вспоминая, что sh ф = [Р/( 1—P2)l/2] sin (9/2), мы имеем
-.ie/.) ^-m[i2-cos2(e/2)]7, •
Отсюда находим
I —фхп ф)х
Pa sin2 (9/2) Ф 1 ,2 1~Р2
I —Р2 sin2 (9/2) sh 2ф ^ 2 v v P sin F/2)'
х .' w= - . In(l-f-pg) ln(l-PI)
. 7„„ P sin @/2) [1-sin @/2)]
_zan _______
Численные расчеш показывают, что этими поправками нельзя пренебрегать,
поскольку с ростом энергии они возрастают. Когда АЕ/т —^ 0, приведенные
выше формулы перестанут быть справедливыми. Критерий их применимости
записывается в виде
а, , т ,
я Д?
Чтобы выйти за рамки этого приближения, необходимо доба-
добавить вклады более высоких порядков, учитывающие испускание
нескольких или даже бесконечного числа фотонов Известно, что
вклады мягких фотонов факторизуются в виде экспоненты, а это
значит, что в пределе &Е/т—«-0 процесс имеет нулевую вероят-
вероятность.
7.3. НОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
Учет высших порядков теории возмущений приводит к новым яв-
явлениям Некоторые из них мы кратко обсудим ниже.
7.3.1. Рассеяние фотона на фотоне
Четырехфотоиное взаимодействие не имеет классического аналога
и возникает в результате квантовых флуктуации виртуальных пар
заряженных частиц. С теоретической точки зрения интересно по-
показать, каким образом калибровочная инвариантность и сохране-

428 ГЛАВА 7
ние тока устраняют оставшуюся возможную расходимость ампли-
амплитуды, о чем мы упоминали в разд. 7 1
Приведем сначала некоторые соображения размерности. Основ-
Основная амплитуда (рис. 7.15) имеет порядок а2, так что сечение рас-
рассеяния запишется в виде
здесь используются очевидные обозначения импульсов и энергий фо-
фотонов. Размерными параметрами являются, например, полная энер-
энергия со в системе центра масс и масса электрона т. Здесь М — без-
РИС. 7.15, Основная диаграмма
тон-фотонного рассеяния.
размерный матричный элемент, так что а имеет естественную раз-
размерность площади.
Мы ожидаем, что калибровочная инвариантность позволит вы-
выделить четвертую степень импульса из М. Впоследствии мы в этом
убедимся. Соответственно величина \М |2 должна вести себя при
малых со по крайней мере как (со/т)8 В этом пределе kx k2 про-
пропорционально со2. Таким образом, можно ожидать, что при низ-
низких энергиях сечение имеет вид
где а —числовой коэффициент. Поскольку а*/т? ~ 10 мкб, это сече-
сечение чрезвычайно мало вплоть до энергий в сотни килоэлектрон-
килоэлектронвольт. В другом предельном случае, т. е. при со/т^> 1, массовые
сингулярности вследствие сходимости отсутствуют, так что из
простых соображений размерности мы получаем
где Ъ — вторая численная константа. Иными словами, очевидно,
что при характерных значениях со/т ~ 1 величина а должна иметь
максимум.
Мы не будем проводить полных развернутых вычислений, а
вместо этого покажем, что результаты, полученные в разд 4 3
гл. 4, позволяют кайги численное значение константы а из выра-
выражения для сечения при низких энергиях. Для этого прежде всего
заметим, что лагранжиан Эйлера — Гейзенберга D.123) включает

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 429
суммирование по всем однопетлевым диаграммам. При этом каждая
диаграмма интегрируется по рассматриваемому постоянному элект-
электромагнитному полю столько раз, сколько в ней имеется внешних
линий Следует заметить, что Е и В — линейные функции внеш-
внешнего импульса Кроме того, в данном порядке по е сумма всех
диаграмм, полученных путем перестановок индексов внешних ли-
линий, является калибровочно-инвариантной. Если процесс происхо-
происходит на массовой поверхности, то данная сумма, свернутая с век-
вектором поляризации е(, (k), инвариантна относительно замены
ер (к) —-> 8Р (k)-\-Xkp. Отсюда следует, что эта свернутая величина
может зависеть от е (k) только через комбинации ер (k) ka — ea (k) kp.
С точностью до множителя i это есть не что иное, как фурье-
образ /р0 (k) При этом член, пропорциональный е4, будет вклю-
включать в себя импульс по крайней мере в четвертой степени Таким
образом, в низкоэнергетическом пределе достаточно вычислить
4
коэффициент, стоящий перед произведением \\ Р^л > ПРИ нулевой
частоте Если внешние электромагнитные поля совпадают, то этот
коэффициент является членом четвертого порядка в эффективном
лагранжиане, вычисленном для постоянного поля, который дается
выражением D.125):
Чтобы найти амплитуду рассеяния, нужно просто заменить f на
4
сумму ^D-fP'-l-/'81-!-/'*' и разделить коэффициент при Ц/(()на
4!. Используя подстановку tiiQ = i(kp&a—kaep), получим искомую
величину в пределе со/т —> О
В целях сокращения обозначений будем рассматривать вели-
величину fp как матрицу, причем след получается суммированием по
четырем значениям лоренцева индекса. При этом нетрудно пока-
показать, что
(/Т = (Sp П\ if-If = 4 Sp f *-2 (Sp f *J.
Согласно приведенным выше соображениям, амплитуда М запи-
записывается в виде
М = - & 4
+ Sp fA) fD> Sp f(a) /C) — 7 Sp (fA) /(a) /(sl /D) -f /(a) /(l) /l3) /D) +
_L f C) Ш) f B) f D) i f B) f (8) f(l) f(*) I f <3> f B) f A) f(*) I f A) f C) f{2)fi*)Yl
G.97)

430 ГЛАВА 7
Сечение рассеяния неполяризованных частиц получается усредне-
усреднением квадрата абсолютной величины М:
В системе центра масс сечение записывается в виде
h
' 64ш2 BяJ'
BлK 2со4 BяK v ' v
fdQ. G.98)
Чтобы выполнить суммирование по поляризациям, воспользуемся
правилом
Утомительные вычисления приводят к результату
do11 «4
X
X 139 [(к, ¦ ktf (ks ¦ k,f + fa ¦ k,f fa ¦ k,f + (kt ¦ k,f (kt ¦ k,)*]. G.99)
Вторая инвариантная комбинация, которая могла бы войти в дан-
данное выражение,—это ^ (^¦k^ikfksJikg-kjx
По различным перестановкам
X(fe4'^i)- Она равна половине величины, стоящей в квадратных
скобках в выражении G.99). Если 8 —угол рассеяния в системе
центра масс, то
V k8 =» йг -К — °>* A —cos 9).
А4 • fe4 = fe2 • feg S5со2 A + cos 9).
Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния неполяри-
неполяризованных фотонов имеет вид
Поскольку фотоны подчинены статистике Бозе, это выражение
симметрично по отношению к замене 0—*л—9. Поэтому, чтобы
получить полное сечение упругого рассеяния, мы должны проин-
проинтегрировать лишь по половине полного телесного угла; при этом
получаем
_ 1 139 /56\ л/ш V- 1
Этот результат согласуется с нашими предыдущими оценками и,
еледовательно, дает значение искомого коэффициента а

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 431
В качестве упражнения мы предлагаем читателю вычислить коэффициент Ь,
входящий в выражение G.95) для сечения при высоких энергиях Индуциро-
Индуцированное взаимодействие фотона с фотоном означает, что возможно когерентное
рассеяние на заряженных мишенях; при этом две из линий на диаграмме
рис 7.15 относятся к кулоновскому взаимодействию с ядрами. Shw процесс
можно связать с рождением пар в поле ядра, а также с комптоновским рас-
рассеянием. Альтернативный процесс, который заслуживает внимания,—это так
называемое расщепление фотона, когдй фотон, сталкиваясь с мишенью (—Ze),
выбивает из нее два фотона.
7.3.2. Лэмбовский сдвиг
Измерение в 1947 г. Лэмбом и Резерфордом сдвига уровней, со-
соответствующих состояниям атома водорода 2Si/2 и 2А/г) которые
должны быть вырожденными в соответствии с теорией Дирака,
стало памятным событием, стимулировавшим развитие квантовой
теории поля Здесь мы удовлетворимся простым рассмотрением
эффекта, оставляя в стороне более глубокие вопросы, связанные
с формулировкой релятивистской теории связанных состояний
Фактически то, что изучали Лэыб и Резерфорд,—это поведение
2Р,/г—2Si/2-nepexoflOB в зависимости от наложенного магнитного
поля В пределе нулевого поля наблюдаемое значение расщепле-
расщепления уровней оказалось на ~1000 МГц ниже, чем то, которое можно
было ожидать из тонкой структуры уровней та4/32 ~ 10 960 МГц.
Чтобы проанализировать это расхождение, будем следовать
ори1 ииальной работе Бете, в которой теория Дирака сочетается
с радиационными поправками, как это уже делалось ранее в на-
настоящей главе Мы показали, что поляризация вакуума, приво-
приводящая к изменению эффективного потенциала, вызвала увеличе-
увеличение энергии связи, соответствующей уровню 25i/2, на 27 МГц по
сравнению с 2f\/2 Следовательно, это не может быть главной
причиной, поскольку, согласно экспериментальным наблюдениям,
уровень 2S./2 должен располагаться значительно выше уровня 2Л/2.
Разумеется, полная теория требует учета всех эффектор одного и
того же порядка и включения поправок, связанных с ядром (с его
магнитным моментом, отдачей, формфакторами, поляризуемостью
и т д ) Кроме того, все возбужденные уровни метастабильны, а
это означает, что соответствующие линии спектра имеют естест-
естественную ширину.
В гл. 2 мы приводили рассуждения Велтона, который рассма-
рассматривал взаимодействие связанного электрона с вакуумными флук-
туациями электрического поля и получил правильную как по знаку,
так и по порядку величины оценку сдрига:
Здесь мы дадим более точную количественную оценку этой вели-
величины.

432 ГЛАВА 7
Будем исходить из выражения для эффективного гамильтони-
гамильтониана взаимодействия электронов с внешним полем G.77) Оно при-
приводит к модифицированному уравнению Дирака
хеДр(х) ]t|)(*) = 0, G.103)
в котором учтены поляризация вакуума и вершинные поправки,,
вычисленные для случая медленно меняющегося внешнего поля
Дифференциальные операторы внутри фигурных скобок действуют
только на кучоновский потенциал А0 (х)
Величину 1|з следует интерпретировать как матричный элемент
оператора поля между вакуумом и одноэлектронным состоянием
в присутствии внешнего поля. В соответствии с правилами теории
возмущений добавочный член надо учитывать только в первом
порядке. В противном случае наше вычисление б\дет логически
непоследовательным. Невозмущенные состояния являются решени-
решениями уравнения Дирака
(i9-m-eAL(x) = 0, А»(х) = -j^&>°, G.104)
которое обсуждалось нами в разд. 2.3. Следовательно, сдвиг уровня
дается выражением
(x)> G.105)
где ур обозначает решения, отвечающие набору квантовых чисел
(л, I, /) уравнения G.104).
В качестве первого приближения для G.105) можно исполь-
использовать даже нерелятивистское выражение для ф таким образом,
что
АЛ» (х) = Ze6*(x), | С @) |" = —, = {^f .
лап пп6
Это дает
Запишем раздельно вклады двух членов G.105):
; G.106)
мы имеем
G..07)

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 433
Релятивистские волновые функции сингулярны в начале коорди-
координат. В более строгом рассмотрении мы должны были бы избегать
разложения в гамильтониане эффективного взаимодействия по сте-
степеням q'llnf. Поскольку в выражение G.105) входят только сред-
средние значения потенциала, полученный выше результат является
верным вплоть до порядка a(ZaL.
Рассмотрим теперь второй вклад 6EW, который мы хотим вы-
вычислить в том же духе, что и первый. Нам придется прибегнуть
к уравнению Дирака, поскольку у-матрицы связывают малые и
большие компоненты. Мы получаем для SE^i,, следующее выра-
выражение:
^MWv-E(x)*,,l./(x), G.108)
который описывает эффект аномального магнитного момента, ин-
индуцирующего электрический дипольныи момент движущегося элек-
электрона Если пренебречь кулоновским потенциалом, то большая (ср)
и малая (%) компоненты ф связаны приближенным соотношением
Поскольку еЕ (х) = — Za (х/1 х |3) и справедливы соотношения
,+ VX , + о-х + о-х 1
после интегрирования по частям интеграл G.108) принимает вид
Как и в случае сверхтонкого взаимодействия, рассмотрение такой
сингулярной величины, как х/1 х |3, требует некоторой осторожности.
Напомним, что х/|х|3== — VI/[х | и Д1/1 х | = — 4лб3(х). Будем
считать, что ф — это спинор Паули, и используем оператор нере-
нерелятивистского углового момента L = (l/i)xxV, а также тождество
[ааАа, сьВь] = 8аЬ (АаВь -ВьАа) + ЬЛеое (АаВ„ + В„Аа).
В результате получим
Нам известно значение волновой функции в нуле. Матричный
элемент L-S = (I—6,, 0) [/(/+ 1) — /(/+ 1)— -Jj^. Наконец,сред-
Наконец,среднее значение величины 1/jxj3 для состояний с угловым моментом,
равным или большим единицы, запишется в виде
B/+1) я» (Zmaf-

434 ГЛАВА 7
Объединяя полученные выше результаты, находим
GЛ09)
гпй Г -Л ±П Л 1/(/+')-'(Ч-1)-3/4_
где су, г = о, 0 + A— o,t 0) ГG+Т)
qrr • если / = * + */»,
—j-, если / = / —V,,
Для состояний с не равным нулю орбитальным моментом вклад
6?П1 обращается в нуль, в то время как б?12) дает малый вклад
порядка a(ZaL, связанный с аномальным магнитным моментом
электрона.
Для s-состояний величина ЬЕ все еще включает фиктивную
массу |я и расходится, когда ц—*0. Это указывает на то, что мы
пренебрегли каким-то существенным вкладом. Согласно качествен-
качественным рассуждениям, эффективное инфракрасное обрезание, по-види-
по-видимому, должно происходить не при произвольном значении ц, а
на расстояниях порядка воровского радиуса (Zma). Ошибка
кроется в использовании эффективного взаимодействия G.77) при
произвольно больших длинах волн. Для длин волн, сравнимых
или больших, чем боровский радиус, радиационные поправки уже
должны учитывать кулоновское взаимодействие, т. е. они вычи-
вычисляются для связанного, а не свободного электрона.
Чтобы учесть этот эффект, воспользуемся тем, что отношение
энергии связи к массе электрона очень мало, а именно порядка
Z2a2/2 Введем обрезание К для 3-импульса виртуальных фото-
фотонов, такое, что mZ2a2<^K <^m. В случае k < К электроны можно
рассматривать в нерелятивистском приближении, и мы сможем
принять во внимание ядерный потенциал В случае k > К будем
пренебрегать эффектами связи и использовать предыдущие резуль-
результаты, за исключением тех случаев, когда необходимо точно учи-
учитывать соотношение между К и \i.
Чтобы выполнить намеченный план, обратимся к разд. 7.2.3,
в котором мы выразили сечение мягкого тормозного излучения
через интеграл от следующей величины:
_а_ С сП Г 2р-р' т2 т2 1 -
2я2 J 2m[k-pk-p' (k-pJ (k-p'J\ -
Эта величина была вычислена при \к<^АЕ, но не при [а = 0. По-
Повторим эти вычисления, полагая fi = 0, но обрезая 3-импульсы
фотона снизу величиной К (К <^А?). Обозначим соответствующий
этому интеграл через В1. Сравнивая В и Bt, мы получим соотно-
соотношение между /Сир.. Определяя гиперболический угол ф из соот-

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 435
ношения р-/?' = тасп2ф, находим
Полученное нами выражение для В записывалось в виде [см. G.88)]
1+РЕ1
J ^ A—РЧ*) [?«—cos»
cos (9/2)
Скорость связанных электронов мала: §~2а. Поэтому уместно
сопоставить В1 и 5 в предельном случае, когда р —»• 0, ср ~ р1 sin (9/2).
При данных обстоятельствах интеграл, определяющий В, прибли-
приближенно равен
2Р sin'@/2) {1 + (V.) р12 [1 + 2 cos2 (9/2I + • • 4-
В этом случае можно отождествить В и Вх при условии, что
В данном расчете лэмбовского сдвига мы учитываем только одну
виртуальную фотонную линию. Кроме того, большая масса ядра
задае! привилегированную систему отсчета, в которой такое рас-
расщепление k^=sK законно. Разложим б?а| соответственно на две
части: 6?"> и 6?<. Величина 8Е> дается выражением G.107)
е подстановкой, вытекающей из G.110). Оставшаяся часть й?<
должна быть вычислена независимо. Более правильное выражение
запишется з виде
G-Ш)
Оно приобретает смысл, если зависимость от К в
взаимно сокращается.
Чтобы получить ЬЕ<, вернемся к исходной процедуре вычисле-
вычисления радиационных поправок с топ оговоркой, что импульсы вир-
виртуального электромагнитного поля ограничены параметром обре-
обрезания К- Следовательно, для вычисления б?<можно воспользоваться
вторым порядком нерелятивистской теории возмущений, основан-
основанной на уравнении Шредингера следующего вида:

436 ГЛАВА 7
Здесь \|э—волновая функция, описывающая как электрон, так и
поле излучения (Л°, А?) В случае невозмущенного состояния она
соответствует связанному электрону и электромагнитному вакууму.
Поле излучения эффективно описывается потенциалом
I к Г< к ' n ! U=T2 J G-ПЗ)
Л»(х) = О.
Рассмотрим взаимодействие с полем излучения в низшем не-
исчезающем порядке и рычислим оба вклада Первый вклад воз-
возникает от диаграммы типа «чайка», определяемой членом, квадра-
квадратичным по АС1 Его можно включить в Е как вклад в перенорми-
перенормировку массы, поскольку он одинаков для всех уровней. Второй
вклад запишется в виде
_____ v --—X
2k AпУ ___ BтJ
рх ______ >
G.114)
где Еп и Еп, обозначают невозмущенные уровни; Еп да т—mZ2a2/2«2.
Область интегрирования по х эффективно ограничивается боров-
ским радиусом Соответственно имеем К j x| ^.K/tnZa Согласно
нашему предположению о характере параметра обрезания К, ве-
величину K/tnZa можно считать очень малой, что оправдывает ди-
польное приближение, в котором ел х заменяется единицей. Оп-
Определим вектор vop = (l/jm)V и заметим, что
v
х
Х=\, 2
Таким образом, получаем
п' О
Это выражение не является еще правильным, поскольку в нем не
учтена перенормировка массы, в том смысле, что в определение
vop входит физическая масса Из нее необходимо еще вычесть
вклад очень мягких фотонов (k < К) в собственную массу. Иными
словами, в гамильтониан должен быть введен контрчлен вида
— Fm/2m2) рОр = — (Sm/2)vop. При этом Ьт выбирается таким об-
образом, чтобы в случае свободного электрона ЬЕ< = 0. Поскольку

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 437
2*pl"'>la' а К>\Еп—Еп>\, то очевидно, что
правильное выражение для оЕ< запишется в виде
п' О
К
G.П6)
На этой стадии мы можем проводить только численные расчеты.
Бете, который первым вычислил этот нерелятивистский вклад,
ввел следующее логарифмическое среднее. Для состояния | п> в s-вол-
не определим <?„> с помощью соотношения
S К» I v°p l»'> I2 (?«—?«) In I Е„— En |
rt'
Здесь используется произвольная, но фиксированная энергетиче-
энергетическая шкала Это определение становится бессмысленным для волн
более высоких порядков (/=^0), для которых, как мы вскоре
убедимся, знаменатель в G 117) обращается в н> ль Следовательно,
в этом случае ЬЕ< не зависит от К, что является благоприятным
обстоятельством. Тем не менее для этого случая определим вели-
величину <?„> следующим обра-юм:
2а^|<п|
В случае s-волн, используя соотношение G.117), имеем
Преобразуем это выражение. Если Яо—шредингеровский гамиль-
гамильтониан, включающий кулоновский потенциал, то можно написать
(?„, -?„) j <п | vop | п'у ? = <n j [vop( Яо] • vop |n> =

438 ГЛАВА 7
Отсюда для s-волн находим
.„< 4а (ZaL , К
о? = L m n
ол
, К , г\ /т tins
m n-~-, / = 0. G.119)
Соберем теперь все вклады: 6?<, определяемый формулами G.118)
и G.119), 6?>, определяемый G.111), и б?B), задаваемый форму-
формулой G.109) (он дает вклад также и для ^ = 0). Произвольные ве-
величины \i и К выпадают, и мы имеем для лэмбовского сдвига
следующее выражение-
d 3 С;,у / ,q v
где C/t/ даются формулой GЛ09).
Главный вклад был вычислен Бете, в то время как члены порядка a
были получены Кроллом и Лэмбом, а также Фрэнчем и Вайскопфом.
В случае атомз водорода величина расщепления уровней 2Sl/^ — 2Pl/ , вы-
вычисленная по формуле G.120) с использованием численных значений
= 16,640 Ryd, <?2/)> = 0,9704 Ryd, G.121)
равна
Это значение хорошо согласуется с измерением, выполненным в 1953 г. Триб-
вассером, Дейхоффом и Лэмбом, а именно со значением 1057,8^0,1 МГц,
Чтобы улучшить вычисления, необходимо разработать более точный тео-
теоретический подход. Дальнейшие поправки должны включать уточнение
электронного пропагатора в кулоновском поле (высшие степени и логарифмы
Za) и требукн рассмотрения радиационных поправок высших порядков. Сле-
Следует также учесть отдачу ядер [в членах (т/М) (ZaL и (m/M(Za.f] и эффекты
конечных размеров ядер R\ [в членах (R \т)~ (ZaL]. Это сделали Эриксон
A971 г.), нашедший величину расщепления 1057,916 ± 0,010 МГц, или Мор
A975 г.), получивший 1057,864 ± 0,014 МГц. При вычислении этих значений
основная неопределенность обусловлена высшими порядками по связи (Za) и
вторым порядком (а2) для собственной энергии электрона, Последние экспе-
экспериментальные значения составляют 1057,893 ± 0,020 МГц (Лундин и Пипкин,
1975 г.) и 1057,862 ± 0,020 МГц (Эндрюо и Ньютон, 1976 г.) Ц.
х) В настоящее время величина лэмбовского сдвига в атоме водорода
измерена с точностью до 10~4: E2s4 —^W>,, — 1057,8583 МГц (см. примечание
в конце настоящей главы).— Прим. ред.

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 439
7.3.3. Силы Ван-дер-Ваальса на больших расстояниях
Вернемся к вопросу, который мы начали рассматривать в гл. 3, о поведении
на больших расстояниях потенциала взаимодействия между поляризуемыми
нейтральными системами. Наше обсуждение будет основываться на работах
Файнберга и Сачера
Как мы убедились ранее, исходя из плотности феноменологического
гамильтониана, можно вычислить энергию взаимодействия поляризуемой нейт-
нейтральной частицы, которая описывается скалярным эрмитовым полем <р с
медленно меняющимся электромагнитным полем. Этог гамильтониан записы-
записывается в виде
т
81=Ы^' ^=~ —«в. G.123)
Константы связи gi и g2 соотносятся с электрической (ajj) и магнитной («в)
восприимчивостью таким образом, что покоящаяся частица вносит следующую
добавку в энергию взаимодействия:
^ ^ЕЗ=-аБЕ3/2-авВ2/2. G.124)
Под рассматриваемой системой можно, например, подразумевать атом, внут-
внутренней структурой которого мы не интересуемся, за исключением параметров
ар и ав. Отметим, что эти величины имеют размерность объема Чтобы оп-
определить статический потенциал взаимодействия между такими системами,
поступим следующим образом. Предположим, что a,g и ад достаточно малы,
так что можно в соответствии с золотым правилом Ферми отождествить бор-
новскяй член амплитуды рассеяния в нидкочнергетической области с фурье-
образом потенциала и написать
nal = ^ |-IV (ч) |2^ 2я6 (Ef-Et). G-125)
Здесь yoj, обозначает относительную скорость частиц а и b, q есть переда-
передаваемый импульс и V (q) таково, что
^i7/« G.126)
Пусть |р — полностью релятивистская амплитуда рассеяния, соответствующая
в низшем порядке взаимодействию G.123) (см. рис. 7.16). Рассмотрим порого-
пороговое поведение релятивистского сечения, т. е. предел (/»а+РьJ—> (та-\-ть)%:
ab ,[, i9 2 21V. la/ J Л>тг\з тр'\ т„\з /орл л
4l(/VPb) тать\ /2 ет ¦ U^ ^ j ^я; (^й6)
ХBяL6* (р'а+р'ь—ра — Рь).
В этом пределе pffi-P(, w тать-\-(р2/2) [(та-\-тьJ/тать], где р=1р| равна
величине полного 3-импульса частиц а и b в системе центра масс. В резуль-
результате получаем
Р — Р

440 ГЛАВА 7
Это означает, что вблизи порога можно написать:
m6, G.128)
где —q2 отождествляется с квадратом передаваемого релятивистского импульса
q'z = (pa — р'аJ, а квадрат энергии в системе центра масс s=(pa-\-PbJ берется
равным (^)*
Pa f \ Pa-
РИС. 7.16. Взаимодействие между
нейтральными системами, обладаю-
обладающими электрической и магнитной
восприимчивостью.
С помощью G.123) можно вычислить амплитуду ff в приближении g2, как
предаавлено на диаграмме рис. 7.16, Это снова однопе!левая диаграмма с
сильной ультрафиолешвой расходимоаыо Размерность константы связи та-
такова, что юорня, основанная на гамильтониане G,123), неперенормируема.
Тем не менее мы решили использовать ее лишь для феноменологического
описания В любом порядке мы можем выполнить конечное число улыра-
фиоле.овых вычитаний, не изменяя поведения потенциала V на больших рас-
(лояниях, которое мы намереваемся определить. Таким образом, мы можем
достичь нашей цели Элементарное спаривание, которое необходимо для при-
применения теории возмущений, имеет вид
<01 TFp, W FPJ (у) | 0> = - i J ^p k2+.s /CBV. 00 (ft).
G.129)
До проведения каких-либо вычитаний правила Фейнмана дают амплитуду
следующего вида
+ (a <-» b)\ -fg^ [(Р&р+Рр'*) /Cav- a'v' (ft) № P;v, (*')X
»*01. ' G.130)
Удобный способ провеои ультрафиолетовые вычитания, не изменяя поведения
потенциала на больших расстояниях, основан на том факте, что для фикси-
фиксированного значения i'=(pa-f-^J лмплнгуда ^" — аналитическая (и чисто мни-
мнимая) функция вдоль полуоси q2 < 0 Разрез же вдоль вещественной оси возникает
из-за реальной части амплитуды, а мы интересуемся только окрестностьюд2 = 0.
Поэтому можно написать следующее соотношение:
м2

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 441
где Д|Г регулярна в окрестности </2 = 0, а М2 — произвольная положительная
величина. Отсюда с помощью G.126) и G.128) получаем асимптотическое по-
поведение потенциала в виде
Vac(r) =
о
M'f1
G.132)
Скоро мы увидим, что f«(<?2) ведет себя как — Л (<?2J для <72 ->-0, так что
доминирующий вклад в V можно получить переходом к пределу Air—> оо в
G.132), т. е.
GЛЗЗ)
Остается вычислить А. Прежде всего заметим, что каждый знаменатель в
G 130) может быть расщеплен на два слагаемых по формула l/(A2-|-fe) =
= РР//г2 — (лб (&2) (здесь РР обозначав: взятие интеграла в смысле главного
значения) Введем сокращенное обозначение Р — ind. С точностью до поли-
полинома d подынтегральное выражение в G 130) имее1 вид
(Р—Mi8) (Р' — (яб') = РР' — я2бб' — (я (SP -J-б'Р).
Это, конечно, не что иное, как фурье-образ функции [Gp(x—г/)]2 в конфигу-
конфигурационном пространстве, где Gf — пропагатор Фейнмана. Тогда d действует
на эту величину как полином, составленный из производных. Если бы вместо
GlF мы использовали произведение Ga(jv (х—у) Gre^ (x—у), носитель которого
самое большее сосредоточен при х = у, то получили бы с помощью фурье-
преобразования плохо определенный полином по импульсам, не дающий вклада
в реальную часть JT- Следовательно, в нашем случае замена
11 1 1
|)8 k'%—((fe'<7|/e'o|)e
дает нуль. Это означает, что мы можем вычесть из выписанного выше выра-
выражения комбинацию
(Р- (яеб) (Р' + Ш'Ь') = РР' + я2ее'бб' + 1я (Ps'8'—Р'гЬ),
где еб обозначает (k°l\ k° \) 8 (А2). В результате получаем
(РР' - я2бб') — (РР' + я2е8'66') = - я2 A + ее') S6'.
Отметим, что \-\-гг'=2, если k° и k'0 имеют одинаковый знак, в противном
случае \-\-гг'—0, и что б-функции проектируют фотоны на массовую поверх-
поверхность. При q2 > 0, учитывая закон сохранения энергии-импульса k-\-k'=q, мы
можем сохранить только одну из двух возможностей: й» > 0 или k'° > 0.
Итак, мы имеем
1 С
iPk
Эти затянувшиеся рассуждения есть не что иное, как применение правила
Куткоского (гл. 6) к данному конкретному случаю. Конечно, амплитуда §?%,

442 ГЛАВА 7
выраженная через G.134),— это сходящаяся величина, а мы просто желаем
узнагь поведение ее основного вклада вблизи д2 = 0. Вычислим сперва вели-
величину d (k, k), определяемую соотношением G.130). Явная его запись несколько
громоздка:
?g* l(pa-pb) (P'a-P'b) (k-k'Y-(pa-pb) (p'"-k)(p'b-k') (k-k')-
-(Pa.pb){p'*.k')(p'b.k)ik-k')-(p'*-p'b)[p<i k')(pb-k)(k-k')-
-(p'a P'l>){pa k)(pt> k')(k-k') + (p'a-pb)(pa-p't>)(k kT-
-(p'a-pb)(pa k)(p'b -k'){k- k')~{p'a- pb)(pa-k')(p'b .k)(k k') —
~{pa-p'b)(p'a k')(p".k)(k-k')-(pa-p'b)(p'a-k)(pb.k')(k-k') +
P'b)(pa k)(p'a-k')(k-k')+(pb-P'b)(pa-k')(p'°.k)(k-k') +
+ 2(f/a-k')(p'a-k')(pb-k)(p'».k)+2(pa-k)(p'a.k)(pt>.k')(p't>.k')].
G.135)
С учетом того что 2k-k' = q2, нам надо подсчитать коэффициент при (q2J
после интегрирования. Поэтому скалярные произведения, на которые умно-
умножается (q2)-, те. ра-ръ или ра-р'а .. ., могут быть заменены на татъ,
tnl, .. . Положим
а1
где <rf> является функцией только q2 вблизи порога и выражается в виде
(<Pk/k<>) (iPk'/k'9) 64 (k+k'—q) d
kO) (d4'lk'0) б4 (k+k' —q)
Нам понадобится величина
G.137)
Qj^ G.138)
которую легко вычислить, зная, что ее след равен q2/2, а также
G.139)
Формула G.139) получается в пренебрежении всеми членами, ведущими себя
как высшие степени q2, к с использованием очевидных симметрии ошоси-
тельно замены (|a«-»v), (a«-»P), (ц, \¦ <-» a, P) Чтобы получить пять коэф-
коэффициентов а, Ь, с, d и е, используем следующие пять условий-
1. При взятии частичного следа по индексам (ia, v) мы должны получить
нуль (уравнение массовой поверхности), что приводит к равенствам
2. При взятии частичного следа по индексам (у, а) мы получаем вели-
величину <у2/2 <k' k?>, уже вычисленную нами ранее; отсюда следует
i) c+d+5e = i.

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 443
3. Наконец, свертка с q&qvqvq$ дает (</2/2)*, что приводит к соотношению
-i.
Решая эту систему, находим коэффициенты, которые понадобятся нам в даль-
дальнейшем:
*GЛ40)
*—шив-
Вблизи порога справедливо выражение
+(p'a-p'b)l2(q-Pa)(g-pb)+q*(pa-pb))+(p'a-p°)l2(q-pa)(q-p'b)+
<{pa-k') {p'a-k') (pb-k)(p'bk)>\ . G.141)
Однако все произведения q-pa, q-p'a, q-pb, Q-p'b пропорциональны q*. На-
Например,
(n« _L n'o „a n
Поэтому при извлечении коэффициента при (g2J все члены, содержащие ска-
скалярные произведения q с внешним импульсом, можно отбросить. В частности,
вклад последнего среднего значения равен величине
фа-к') (р'а-П (рЬ-k) (р'О-фя тать (?2 ^^
Таким образом, коэффициент Л, определяемый из разложения ^гл==—
равен
! 23
G.142)
Возвращаясь к выражению G.133), мы получаем асимптотическое поведение
потенциала Ван дер-Ваальса в виде
уяк (г) _ G.D3)
Закончим этот раздел кратким комментарием, касающимся связи между ре-
релятивистским потенциалом 1/г7 и обычным нерелятивистским потенциалом,

444 ГЛАВА 7
ведущим себя как I//-6, в пренебрежении эффектами запаздывания. В нереля-
нерелятивистском подходе учитываются только мгновенные кулоновские силы.
В целях упрощения рассмотрим два атома водорода, расположенные на рас-
расстоянии | га — Г), | друг от друга, электроны которых имеют координаты
та-\-Гх и Г{> —|—г2. Пренебрегая вместе со спинами принципом Паули, потенциал
взаимодействия можно записать в виде
V = IL( ! + !
4л V |г«-г&| К+Гх-ч* — r2| ;|ra+ri-r6| \гь+т2—га\
На больших расстояниях без учета угловой зависимости это выражение ка-
качественно можно представить в виде (e2/4nr3at) rtr%. Однако именно из-за угло-
угловой зависимости вклад первого порядка теории возмущений исчезает (исполь-
(используется адиабатическое приближение). Во втором порядке мы получим отрица-
отрицательный вклад следующего вида:
где АЕ — характерная энергия возбуждения атома. Подобным же образом
получается (электрическая) восприимчивость а для любого атома, если рас-
рассмотреть взаимодействие еЕ-r во втором порядке; в результате
а, ~ — _
АЕ
В итоге находим
„пг
Следовательно, мы можем ожидать, что формула, интерполирующая между
зависимостями г~е и /¦-', учитывает характерное время запаздывания т~ %/АЕ.
Переход от одного режима к другому должен происходить на расстояниях
порядка ст = %с1АЕ, где АЕ следует рассматривать как часть энергии иониза-
ионизации. Для водорода эта величина составляет около 102 боровских радиусов,
В реалистической теории жидкостей это приводит к тому, что мы всегда мо-
можем пользоваться нерелятивистским приближением.
ПРИМЕЧАНИЯ
Радиационные поправки излагаются во всех учебниках и во многих оригиналь-
оригинальных статьях, воспроизведенных в книге: Schwinger J.— Quantum Electrodyna-
Electrodynamics.— New York: Dover, 1958.
Здесь мы приводим краткий список литературы по соответствующим во-
вопросам.
Калибровочно-инвариантная регуляризация рассматривается в работе:
Pauli W., Villars F.— Rev. Mod. Phys., 1949, vol. 21, p. 434 [Имеется пере-
перевод в сб. статей: «Сдвиг уровней атомных электронов».— М.: ИЛ, 1950, с. 139.].
Поляризация вакуума в пределе k2—*-0 дается в статье: Uehlin.fi Е. А.—
Phys. Rev, 1935, vol. 48, p. 55. В работе: Schwinger 7.—Phys. Rev., 1950,
vol. 75, p. 651 имеется исчерпывающее рассмотрение. Тождество Уорда см.
в статьях: Ward J, С—Phys. Rev,, 1950, vol 78, р, 182; Takahashi Y,— Nuovo
Cimento, 1957, vol, 6, p. 371. Аномалия электронов порядка а обсуждается
в работе: Schwinger J.— Phys. Rev., 1948, vol. 73, p. 416 [Имеется перевод
в сб. статей «Новейшее развитие квантовой электродинамики».— М.: ИЛ, 1954,

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ «5
с. 40.]. Об электронных формфакторах порядка а см.: Feynman R. P.~ Phys.
Rev., 1949, vol. 76, p. 769 [Имеется перевод в сб. статей: «Новейшее развитие
квантовой электродинамики».— М.: ИЛ, 1954, с. 161.]. Обзор работ 60-х годов
по поправкам высших порядков дан в работе: Lautrup В., Petertnan A., de
Rafael E.— Phys. Rev., 1972, vol. 3C, p. 193. Последние теоретические резуль-
результаты, приведенные в данной главе, заимствованы из работы: Cvitanovic P.,
Kinoshita Т.— Phys. Rev., ser. D, 1974, vol. 10, p. 4007. Большое число тео-
теоретиков также внесли свой вклад в эти усилия. Изумляющей точности экспе-
экспериментальная величина получена в работе: Van Dyck R. S., Schwinberg P. В.,
Dehmelt H G — Phys Rev Lett., 1977, vol. 38, p. 310. Экспериментальное
значение аномального магнитного момента мюона взято из работы: Bailey /.,
Borer К- et al.— Phys. Lett., 1977, vol 68B, p. 191; теоретические значения
этой величины мы заимствовали из обзора: Calmet J. et al.— Rev. Mod Phys.,
1977, vol. 49, p 21. Радиационные поправки к кулоновскому рассеянию впер-
впервые вычислил Швингер (см. Schwlnger J.— Phys. Rev., 1949, vol. 75, p 1912). -
В части изложения этого вопроса мы следуем книге: Ахиезер А. И., Вере-
стецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1969 Эта книга со-
содержит исключительно много подробных вычислений. По инфракрасным рас-
ходимостям читатель может обратиться к работе: D. Yennie, Frautschi S.,
Н. Suura, полная ссылка на которую имеется в гл. 4. Что касается лэмбов-
ского сдвига, то общие аспекты водородоподобных атомных систем рассмат-
рассматриваются в книге: Bethe H. A., Salpeter E. Quantum Mechanics of One and
Two Electron Atoms.— Berlin: Springer-Verlag, 1957 [Имеется перевод: Бете Г.,
Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. —
М.: Физматгиз, I960.]. Результаты решающего эксперимента приведены в
работе: Lamb W. E., Rutherford R. С—Phys. Rev., 1947, vol 72, p. 241.
Более тонкое измерение было выполнено в 1950 г. (см. Triebwasser S., Day-
hoff E. S,, Lamb W. E. — Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 98).
Современные данные, приведенные в тексте, взяты из следующих работ:
Lundeen S. R., Pipkin F. M.— Phys. Rev. Lett., 197е), vol. 34, p. 1368; An-
Andrews D. A., Newton G.—Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 1254. Более ран-
ранние теоретические расчеты представлены в статьях. Bethe H. Л.—Phys. Rev.,
1947, vol. 72, p. 339 [Имеется перевод в сб. статей: «Сдвиг уровней атомных
электронов».— М.: ИЛ, 1950, с. 82.] (нерелятивистское рассмотрение);
Kroll N. М., Lamb W. E.~ Phys. Rev., 1949, vol. 75, p. 388, French J В.,
Weisskopf V. F.— Phys. Rev., 1949, vol. 75, p. 1240 (релятивистское рассмот-
рассмотрение). Обзор последовательной теории эффекта во всех порядках имеется,
например, в статье: Erickson G. W., Yennie D. R.— Annals of Physics, 1965,
vol. 35, pp. 271, 447. Теоретические результаты заимствованы из работ: Etick-
son G. W.~ Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 780; Mohr P. J.— Phys. Rev.
Lett., 1975, vol. 34, p. 1050.
Полученные в последнее время оценки точности, достижимые при вычие-
лениях в высших порядках, можно найти в книге: Kinoshita T. Perspective
of Quantum Physics.— Tokyo: Iwanami Shoten, 1978.
Излишне говорить, что этот короткий перечень литературы не претендует
на полноту и, разумеется, хоть на какую-то справедливость по отношению
к огромному множеству прекрасных экспериментальных и теоретических
работ по квантовой электродинамике.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Величина лэмбовского сдвига взята из обзорного доклада: Lepage G. Р.,
Yennie D. R. The implications of QED theory for fundamental constants. В сб.
статей: Proc. of the Second Jntern. Confer, on Precision Measurement and Fun-
Fundamental Constants, National Bureau of Standards, Gaithersbury, Maddison. 1982.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие • 7
Предисловие к русскому изданию 9
Общая литература 10
Глава 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 13
1.1. Принцип наименьшего действия 13
1.1.1. Классическое движение 13
1.1.2. Электромагнитное поле как бесконечная динамичес-
динамическая система 20
1.1.3. Электромагнитное взаимодействие точечной частицы 27
1.2. Симметрии и законы сохранения 34
1.2.1. Фундаментальные инварианты 34
1.2.2. Тензор энергии-импульса 38
1.2.3. Внутренние симметрии 44
1.3. Распространение и излучение 49
1.3.1. Функции Грина 49
1.3.2. Излучение 54
Глава 2. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 64
2.1. Релятивистское волновое уравнение 64
2.1.1. Квантовая механика и релятивизм 64
2.1.2. Уравнение Дирака 68
2.1.3. Релятивистская ковариантность 71
2.2. Физическое содержание 76
2.2 1. Решения в виде плоских волн и проекционные
операторы 76
2.2.2. Волновые пакеты 80
2.2.3. Электромагнитное взаимодействие 84
2.2.4. Преобразование Фолди—Ваутхайзена 90
2.3 Водородоподобные атомы 93
2.3.1. Сравнение нерелятивистского спектра с релятивист-
релятивистским 94
2.3.2. Теория Дирака 95
2.4 Теория дырок и зарядовое сопряжение 106
2.4.1. Интерпретация решений с отрицательными энергиями 106
2.4.2. Зарядовое сопряжение 108
2.4.3. Частицы с нулевой массой ПО
2.5. Пропагатор Дирака 113
2.5.1. Свободный пропагатор 113
2.5.2. Распространение в произвольном внешнем электро-
электромагнитном поле 117
2.5.3. Применение к кулоновскому рассеянию 118
2.5.4. Метод собственного времени Фока— Швингера . . 124

ОГЛАВЛЕНИЬ 447
Гле|ва 3. КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ [30
/ 3.1. Каноническое квантование .*,... 130
j 3.1.1 Общая формулировка 133
3.1.2. Скалярное поле 142
3.1.3. Заряженное скалярное поле 149
3.1.4. Хронологическое произведение 151
3.1.5. Термодинамическое равновесие 153
3.2. Квантованное поле излучения 156
3.2.1- Индефинитная метрика !56
3.2.2. Пропагатор 164
3.2.3. Массивное векторное поле 165
3.2.4 Вакуумные флуктуации 170
3.3. Пиле Дирака и принцип запрета 175
3.3.1. Антикоммутаторы 175
3.3.2. Пространство Фока для фермионов 179
3.3.3. Связь между спином и статистикой; пропагатор . . 182
3.4. Дискретные симметрии 185
3.4.1. Четность 185
3.4.2. Зарядовое сопряжение 186
3.4.3. Обращение времени 189
3.4.4. Заключение 191
Глава 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ 201
4.1 Квантованное электромагнитное поле, взаимодействующее
с классическим источником 201
4.1.1. Вероятности излучения 201
4.1.2. Энергия излучения и инфракрасная катастрофа . . 209
4.1.3. Вынужденное поглощение и излучение 213
4.1.4. S-матрица и оператор эволюции 215
4.2. Теорема Вика 220
4.2.1. Бозонные поля 220
4.2.2. Фермионные поля 222
4.2.3. Общий случай 225
4.3. Квантованное поле Дирака, взаимодействующее с клас-
классическим потенциалом ' , , 226
4.3.1. Общий формализм . , 226
4.3.2. Скорость излучения в низшем порядке 232
4.3.3. Образование пар в постоянном однородном элек-
электрическом поле , . 234
4.3.4. Эффективный лагранжиан Эйлера—Гейзенберга , . 237
Глава 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 240
5.1. S-матрица и асимптотическая теория 240
5.1.1. Сечения рассеяния , . . , 241
5.1.2. Асимптотическая 1еория 244
5.1.3. Редукционные формулы 248
5.1.4. Производящий функционал 251
5.1.5. Связные части , 255
5.1.6. Фермионы , , 257
5.1.7. Фотоны 262
5.2. Приложения 271
5.2.1. Эффект Комптона 271
5.2.2. Аннигиляция пар 278
5.2.3. Время жизни позитрония , 281
5.2.4. Тормозное излучение , « 287

448 ОГЛАВЛЕНИЕ
5.3. Унитарность и причинность 290
5.3.1 Унитарность и разложение по парциальным волнам 29'
5.3.2 Причинность и аналитичность , , 29
5.3.3. Представление Йоста —Лемана —Дайсона 30l
6.3.4. Дисперсионные соотношения для амплитуды рассея-
рассеяния вперед 303
5.3.5. Аналитичность по передаваемому импульсу .... 309
Глава 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЗЩ
6.1. Представление взаимодействия и правила Фейнмана . . . 316
6.1.1. Самодействующее скалярное поле 317
6.1.2. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики 328
6.1.3. Электрон-злектронное и элекгрон-позитронное рас-
рассеяние 333
6.1.4 Скалярная электродинамика 340
6.2. Диаграмматика , ,.,., 346
6.2.1. Разложение по петлям 346
6.2.2. Усеченные и силыюсвязные диаграммы 348
6.2.3. Параметрическое представление 354
6.2.4. Функции Грина в евклидовой области 360
6.3. Аналитические свойства 363
6.3.1 Уравнения Ландау 364
6.3 2 Вещественные сингулярности 368
6.3 3 Вещественные chhi улярности простых диаграмм . . 372
6.3 4. Сингулярности в физической области; правила
Куткоского 379
Глава 7. РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 384
7.1. Перенормировка однопетлевых диаграмм 384
7.1 1 Поляризация вакуума 385
7.1.2. Электронный пропагатор 397
7.1.3 Вершинная функция 404
7.1.4. Выводы 413
7.2. Радиационные поправки к взаимодействию с внешним полем 417
7.2.1. Эффективное взаимодействие и аномальный маг-
магнитный момент 418
7.2.2. Радиационные поправки к кулоновскому рассеянию 421
7.2.3. Мягкое тормозное излучение 424
7.2.4. Конечное инклюзивное сечение 426
7.3. Новые эффекты 427
7.3.1 Рассеяние фотона на фотоне 427
7 3.2. Лэмбовский сдвиг 431
7.3.3. Силы Ван-дер-Ваальса на больших расстояниях . . 439
Оглавление 446