J. SCHW1NGER
THE THEORY OF QUANTIZED FIELDS
THE PHYSICAL REVIEW
vol. 91, No. 3, p. 713—728, p. 728—740, August 1953
vol. 92, No. 5, p. 1283—1299, December 1953
vol. 93, No. 3, p. 615—628, February 1954
vol. 94, No. 5, p< 1362—1384, June 1954

@. ШВИНГЕР
ТЕОРИЯ
КВАНТОВАННЫХ
ПОЛЕЙ
Перевод с английского
Н. П. КЛЕПИКОВА и Л. И. ЛАПИДУСА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1956

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Литература . . 8
Глава I 13
Дииамический приицип 13
Заряженные поля 40
Электромагнитное поле 45
Литература 56
Глава II » 57
Введение 57
Максвеллово поле 59
Применения 68
Литература 89
Глава III 90
Введение 90
Функция преобразования 91
Собственные значения и собственные функции 101
Матрицы операторов поля 106
Матричные элементы поля Максвелла 122
Литература 133
Глава IV. 134
Зависящее от времени электромагнитное поле . . . . . 134
Приложение А 164
Приложение Б 166
Литература 171

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V 172
Не зависящие от времени электромагнитные поля . . . 173
Литература . 236
Приложение. Замечание о квантовом динамическом принципе 237
Введение 237
Динамический принцип 238
Переменные первого рода 243
Переменные второго рода 246
Литература 250
Ю. Ш в и а г е р
ТЕОРИЯ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ
Редактор Е. И. МАЙКОВА
Технический редактор И. А. Иоалева Переплет художника Н. М. Лобанова
Сдано в производство 29/Н 1956 г. Подписано к печати 10/IX 1966 г.
Бумага 84x10870=3,9 бум. л. —12,9 печ. л. Уч.-изд. л. 11,8. Изд. 1* 2/2962.
Цена 10 р. 25 к. Зак. 1174.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Ear. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

АННОТАЦИЯ
Книга составлена из серии статей известного
американского физика-теоретика Ю. Швингера>
посвященных последовательному изложению тео-
теории квантованных полей с помощью единого дина-
динамического принципа. В ходе изложения автор
широко использует теорию функций Грина (функ-
(функций распространения). Теория квантованных по-
полей лежит в основе современных физических
представлений о свойствах элементарных частиц
и их превращениях; методы, разработанные в этой
теории, повидимому, могут быть использованы
в ряде других областей теоретической физики.
Книга рассчитана в первую очередь как на
физиков, занимающихся исследованиями в об-
области квантовой теории поля, так и на физиков
других специальностей и математиков, интере-
интересующихся современными методами и проблемами
теоретической физики.
Редакция литературы по физике
Заведующий редакцией проф. Л. А. СОКОЛОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является переводом серии статей
Ю. Швингера, опубликованных в 1953—1954 гг. под общим
названием „Теория квантованных полей". Автор этих статей,
крупный американский физик-теоретик Юлиан Швингер,
известен своими работами по различным вопросам ядерной
физики, в частности по теории ядерных сил, по теории рас-
рассеяния, по излучению частиц в ускорителях. Наиболее из-
известные работы Швингера относятся к квантовой теории поля,
в особенности к квантовой электродинамике. Советский чита-
читатель уже имел возможность познакомиться с переводами
работ Швингера [1—7, 55], в которых он впервые изложил
основы квантовой электродинамики в строго ковариантном
и калибровочно-ковариантном виде, ввел представление
взаимодействия и. вычислил ряд радиационных поправок.
Из серии „Теория квантованных полей" Швингер опубли-
опубликовал шесть статей. Первая статья появилась в печати в 1951 г.,
и перевод ее был включен в сборник „Новейшее развитие
квантовой электродинамики". Являясь, с одной стороны, про-
продолжением предыдущих работ автора по квантовой электро-
электродинамике, эта серия, с другой стороны, имеет самостоя-
самостоятельное значение, поскольку она посвящена последовательному
построению теории квантованных полей с помощью единого
динамического принципа.
В работах этой серии автор обосновал динамический
принцип, получил с его помощью уравнения движения, вывел
перестановочные соотношения для операторов полей, показал,
как из инвариантности теории относительно отражения вре-
времени следует связь между спином и статистикой, и иссле-
исследовал ряд других следствий динамического принципа. При
этом, помимо источников полей Бозе — Эйнштейна, в рас-
рассмотрение были введены антикоммутирующие источники полей

ПРЕДИСЛОВИЕ
Ферми — Дирака. Введение источников полей позволило ком-
компактно представить бесконечные системы уравнений в виде
уравнений в вариационных производных и сделать многие
доказательства более прозрачными.
В ходе дальнейшего исследования автор подробно рас-
рассмотрел поле Бозе—Эйнштейна с внешними источниками,
поле Ферми — Дирака с внешними спинорными источниками,
а также поле Ферми — Дирака при наличии, заданного внеш-
внешнего электромагнитного поля как зависящего, так и не зави-
зависящего от времени.
Хотя серия статей, опубликованных Швингером, не завер-
завершена, однако исследования, составляющие содержание этой
серии, представляют самостоятельный интерес для изучения
ряда основных вопросов теории квантованных полей. Изло-
Изложение Швингером как основ теории, так и конкретных задач
отличается полнотой (в рамках программы, намеченной в ра-
работах [6, 7]) и не требует обращения к многочисленным
первоисточникам, так как многие результаты, полученные
ранее различными авторами с помощью разнообразных методов,
выводятся здесь с единой точки зрения. Это позволяет объ-
объединить переводы статей Швингера в книгу.
Во второй статье этой серии, появившейся в печати через
два года после опубликования первой статьи, Ю. Швингер,
как он это сам отмечает, заново начинает изложение мате-
материала. Поэтому отсутствие первой статьи в настоящей книге
объясняется не только тем, что перевод ее уже был издан,
а главным образом тем, что эта статья стоит особняком и
последующий материал может рассматриваться независимо
от нее. Первая глава настоящей книги и является переводом
статьи II, а последующие главы — соответственно переводами
статей III—VI.
В приложении дан перевод статьи Швингера „Замечание
о квантовом динамическом принципе", в которой показано,
что основной динамический принцип, сформулированный перво-
первоначально для систем с бесконечным числом степеней свободы:
применим также к квантовомеханическим системам с конечным
числом степеней свободы. Эта статья может способствовать
выяснению характерных черт динамического принципа, сфор-
сформулированного Швингером.
Для развития квантовой теории полей, в частности кван-
квантовой электродинамики, за последние годы характерным

ПРЕДИСЛОВИЕ
является введение и широкое использование функций Грина
(функций распространения) и вершинных функций, т. е. функ-
функций, с помощью которых решения основных уравнений теории
выражаются через внешние источники или через значения
тех же решений на некоторых гиперповерхностях. Теория
функций Грина была использована Швингером при рассмо-
рассмотрении вопросов поляризации вакуума и калибровочной инва-
инвариантности [5] и была им конспективно изложена в рабо-
работах [6, 7], опубликованных в 1951 г. Именно эти последние
работы дали толчок бурному развитию теории функций
Грина, функциональных методов исследования вопросов теории
квантованных полей, а также приложений этих методов
к ряду конкретных проблем.
Исключительная краткость изложения в работах [6, 7]
привела к тому, что появился ряд работ, в которых урав-
уравнения Швингера были заново получены разными спосо-
способами [8—11], причем авторы старались избежать исполь-
использования динамического принципа и антикоммутирующйх
источников ценою некоторого усложнения доказательств.
В дальнейших исследованиях был введен производящий функ-
функционал и исследовались уравнения в вариационных произ-
производных, которыми он определяется [13—20, 65]. Следующим
естественным шагом были попытки представления решений
полученных уравнений в виде бесконечно-мерных (конти-
(континуальных) интегралов [13, 21—32, 66, 67], причем выяснилась
эквивалентность их с соответствующими выражениями в виде
интегралов „по всем путям" Фейнмана [33].
Уравнения для функций Грина дали возможность иссле-
исследовать некоторые свойства взаимодействия квантованных полей
без применения обычной теории возмущений. В частности,
были получены [34—48] асимптотические выражения для
функций распространения и вершинных функций. Исследо-
Исследование найденных при этом выражений привело авторов ра-
работ [49—53] к выводу о том, что из формальной квантовой
электродинамики и мезонной теории со слабой связью следует
равенство нулю констант взаимодействия.
Использование функций Грина позволило рассчитать ряд
новых тонких эффектов и дать новые выводы для ранее
полученных результатов [54—60]. Применение функцио-
функциональных методов при исследованиях с функциями Грина делает
многие доказательства более краткими и ясными, позволяет

ПРЕДИСЛОВИЕ
проводить ряд доказательств единым методом [61—63]. При-
Применение функциональных методов, характерных для описания
систем с бесконечным числом степеней свободы, позволяет
переносить методы, разработанные в одних областях теоре-
теоретической физики, на другие ее области (см., например, [64]).
Несомненно, применение функциональных методов в кван-
квантовой теории поля находится в начальной стадии своего раз-
развития, и хотя на этом пути до сих пор еще не получено
новых физических результатов, тем не менее функциональная
формулировка уравнений теории представляет значительный
интерес, так как она, во-первых, дает единственную пока
возможность выхода за рамки теории возмущений и, во-
вторых, сочетает единообразие методов со строгой кова-
ковариантностью результатов.
В серии статей Швингера, переведенных в настоящей
книге, функции Грина и функциональные методы последо-
последовательно используются для получения многих теоретических
соотношений и конкретных выводов. Хотя Швингер далеко
не исчерпал всей программы применения"этих методов, наме-
намеченной им в работах [6, 7], однако в той части программы,
которую он выполнил, помимо указанных выше конкретных
результатов, он подробно изложил основные вопросы, возни-
возникающие при применении функций Грина и функциональных
методов в квантовой теории поля. Это изложение со многих
точек зрения является весьма поучительным.
Мы надеемся, что настоящая книга, представляя собой
фундаментальное введение в круг вопросов, кратко затро-
затронутых нами выше, будет полезной как для лиц, ведущих
исследования в области квантовой теории поля, так и для
широкого круга физиков и математиков, интересующихся
проблемами теоретической физики и, в частности, теорией
динамических систем с бесконечным числом степеней свободы.
Н. П. Клепиков,
Л. И. Лапидус.
ЛИТЕРАТУРА
I. Schwinger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики"
под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ, 1954, стр. 12.)

ЛИТЕРАТУРА
2- Sch winger J., Phys. Rev., 75, 651 A949). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 40.)
3. Schwinger J., Phys. Rev., 76, 790 A949). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 78.)
4. Schwinger J., Phys. Rev., 82, 914 A951). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 254.)
5. Schwinger J., Phys. Rev., 82, 664 A951). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 115.)
6. Schwinger J., Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 452 A951). (Имеется
перевод в сборнике „Проблемы современной физики", № 3,
ИЛ, 1955, стр. 28.)
7. Schwinger J., Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 455 A951). (Имеется
перевод в сборнике „Проблемы современной физики", № 3,
ИЛ, 1955, стр. 33.)
8. К a t а у a m a Y., Progr. Theor. Phys., 7, 265- A952).
9. U t i у a m a R., Sunakawa S., I m a m u г а Т., Progr. Theor.
Phys., 8, 77 A952). (Имеется перевод в сборнике „Проблемы
современной физики", № 3, ИЛ, 1955, стр. 80.)
10. Anderson J. L., Phys. Rev., 94, 703 A954).
11. Сборник „Проблемы современной физики", Вводная статья
В. Б. Берестецкого и А. Д. Галанина, № 3, ИЛ, 1955, стр. 5.
12. Поливанов М. К., ДАН СССР, 100, 1061 A955).
13. Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., ДАН СССР, 97, 209
A954).
14. Фрадкин Е. С, ДАН СССР, 93, 47 A954).
15. Клепиков Н. П., ДАН СССР, 93, 937 A954).
16. Symanzik K-, Zs. Nuturforsch., 9a, 809 (.1954).
17. Фрадкин Е. С. ЖЭТФ, 29, 121 A955).
18. U m e z a w а Н., V i s с о n t i A., Compt. Rend., 239, 690 A954).
19. U m e z a w a H., V i s с о n t i A., Compt. Rend., 239, 749 A954).
20. Hori S., Progr. Theor. Phys., 10, 575 A953).
21. Edwards S. F., Peierls R. E., Proc. Roy. See, 224, 24A954).
(Имеется перевод в сборнике „Проблемы современной фи-
физики", № 3, ИЛ, 1955, стр. 112.)
22. Боголюбов Н. Н., ДАН СССР, 99, 225 A954).
23. Клепиков Н. П., ДАН СССР, 100, 1057 A955).
24. Фрадкин Е. С, ДАН СССР, 100, 897 A955),

J0 ЛИТЕРАТУРА
25. MatthewsP. T, Salam A., Nuovo Cimento, 12, 563 A954).
26. Edwards S. F., Proc. Roy. Soc, 223, 411 A955).
27. Халатников И. М., ЖЭТФ, 28, 633 A955).
28. D e s e r S., Phys. Rev., 93, 325 A955).
29. Anderson J. L., Phys. Rev., 99, 674 A955).
30. Гольфанд Ю. А., ЖЭТФ, 28, 140 A955).
31. Matthews P. Т., Salam A., Nuovo Cimento, 2, 120-A955).
32. Edwards S. F., Proc. Roy. Soc, 232, 370, 377 A955).
33. F e у n m a n R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
34. Edwards S. F., Phys. Rev., 90, 284 A953). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 378.)
35. Ландау Л- Д., А б рикосов А. А., Халатников И. М.,
ДАН СССР, 95, 497 A954).
36. Ландау Л. Д., Абрикосов А. А., Халатникой И. М.,
ДАН СССР, 95, 773 A954).
37. Ландау Л. Д., Абрикосов А. А., Халатников И- М.,
ДАН СССР, 95, 1177 A954).
38. Ландау Л. Д., Абрикосов А. А., Халатников И. М.,
ДАН СССР, 96, 281 A954).
39. Абрикосов А. А., Г а л а н и н А. Д., Халатников И. М.,
ДАН СССР, 97, 793 A954). -
40. Г а л а н и н А. Д., Иоффе Б. Л., П о м е р а н ч у к И. Я-,
ЖЭТ.Ф, 29, 51 A955).
41. Gell-Mann M., Low F. E., Phys. Rev., 95, 1300 A954).
42. Г о р ь к о в Л. П., Халатников И. М., ДАН СССР, 103, 799
A955); 104, 197 A955).
43. Фрадкин Е. С, ЖЭТФ, 28, 750 A955).
44- Фрадкин Е. С, ЖЭТФ, 29, 377 A955).
45. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., ДАН СССР. 103, 203
A955).
46. Берестецкий В. Б., ЖЭТФ, 29, 585 A955).
47. Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В., ДАН СССР, 103, 391
A955).
48. Ширков Д. В., ДАН СССР, 105, 972 A955).
49. Ландау Л. Д., Поме ран чу к И. Я-, ДАН СССР, 102,489
A955).
50. П ом ер а н чу к И. Я-, ДАН СССР, 103, 1005 A955).
51. Померанчук И. Я., ДАН СССР, 105, 461 A955).
52. Померанчук И. Я-, ДАН СССР, 104, 51 A955).
53. П о м е р а н ч у к И. Я., ЖЭТФ, 29, 869 A955).

ЛИТЕРАТУРА ц
54. Karplus R., Klein A., Phys. Rev.. 85, 972 A952). (Имеется
перевод в сборнике „Новейшее развитие квантовой электро-
электродинамики", ИЛ, 1954, стр. 284.)
55. Karplus R., К 1 е i n A., Sch winger J., Phys. Rev., 86, 288
A952). (Имеется перевод в сборнике „Новейшее развитие
квантовой электродинамики", ИЛ, 1954, стр. 305.)
56. Newton R. Q., Phys. Rev., 94, 1773 A954).
57. Fulton Т., Martin P. С, Phys. Rev., 95, 811 A954).
58. Newton R. O., Phys. Rev., 98, 523 A955).
59. Newton R. G., Phys. Rev., 97, 1162 A955).
60. Umez a wa H., Visconti A., Compt. Rend., 239, 1466 A954).
61. N a m i k i M., С h i b a S., Hanawa S., Progr. Theor. Phys., 12,
694 A954).
62. LehmannH., Symanzik K-, Zimmermann W., Nuovo
Cimento, 1, 205 A955).
63. Klein A., Phys. Rev., 99, 998 A955).
64. Боголюбов Н. Н-, Вестник МГУ, N° 4—5, 115 A955).
65. Новожилов Ю. В., ДАН СССР, 104, 47 A955).
66. П о л и евктов-Нико л а д з е Н. М., ДАН СССР, 105, 458,
. 703 A955). •
67. Бонч-Бруевич В. Л., ДАН СССР, 105, 689 A955).

ГЛАВА
Здесь представлены аргументы, приводящие к формулировке
принципа действия для поля общего вида. В связи с полным разложе-
разложением всех численных матриц на симметричную и антисимметричную
части общее поле также разлагается на две части, которые отожде-
отождествляются с полями Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Ограни-
Ограничение значений спинов этих двух видов полей следует из требова-
требования инвариантности относительно отражения времени. Согласован-
Согласованность теории проверяется при помощи критерия, включающего
различные производящие операторы бесконечно малых преобразо-
преобразований. После обсуждения заряженных полей вводится электромаг-
электромагнитное поле так, чтобы удовлетворить постулату общей калибро-
калибровочной инвариантности. В силу последней устанавливается, что
электромагнитное поле и заряженные поля не являются кинемати-
кинематически независимыми. После обсуждения перестановочных соотно-
соотношений для напряженностей полей независимые динамические пере-
переменные электромагнитного поля находятся при специальном выборе
калибровки.
Вся представленная автором серия статей посвящена
одной теме — построению теории квантованных полей при
помощи единого основного динамического принципа. Вначале
мы дадим пересмотренный обзор исследований, содержа-
содержащихся в первой статье [1].
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
Функции преобразования, связывающие различные пред-
представления, обладают следующими двумя основными свой-
свойствами:
<«'|т').=
!> J. Sch winger, The- Theory of Quantized Fields. II, Phys,
Rev., 91, 713—728 A953).

24 ГЛАВА!
где j df означает как интегрирование, так и суммирование
по спектру собственных значений. Если о (а' 113') является
каким-либо бесконечно малым изменением функции преобра-
преобразования, то мы можем написать
W \vy, (i.i)
это — определение бесконечно малого оператора bWa^. При
любом бесконечно малом изменении должен сохраняться муль-
мультипликативный закон композиции для функции- преобразова-
преобразования, поэтому подразумевается, что для бесконечно малых
операторов выполняется аддитивный закон композиции:
SlFaT = 8.Wa34-8^r A.2)
Если представления аир тождественны, то мы заключаем,
что .»
это равенство выражает требование сохранения ортогональ-
ортогональности собственных векторов данного представления. Ото-
Отождествляя представления а и f, находим
Из второго свойства функции преобразования вытекает,
что
или
т. е. бесконечно лгалые операторы aWap эрмитовы.
Оператор bWa$ обладает еще одним свойством аддитив-
аддитивности, относящимся к композиции двух динамически незави-
независимых систем. Так, если системы I и II динамически неза-
независимы, то
и если %Wa$ и SWlp являются операторами, характеризую-
характеризующими бесконечно малые изменения отдельных функций пре-
преобразования, то оператор для полной системы равен

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП \Q
Бесконечно малые изменения собственных векторов, сохра-
сохраняющие свойства ортонормированностн, имеют вид
где производящий оператор Ga— бесконечно малый эрмитов
оператор, обладающий свойством аддитивности для компо-
композиции динамически независимых систем. Если оба собствен-
собственных вектора функции преобразования варьируются незави-
независимо, то результирующее изменение функции преобразования
имеет общий вид A-1), причем
84^ = 0, —Ср.
Вектор
цг <у) -1- 8W (а7) = A — »О«) ^ («')
можно охарактеризовать как собственный вектор совокуп-
совокупности операторов
а = A — Юа) а A -f- iGJ = « — оа
с собственными значениями а'; здесь
§а = — 1[<х, GJ.
Это бесконечно малое унитарное преобразование соб-
собственного вектора W(a') вызывает такое преобразование
любого оператора F, что
{a'\F\a")=(a\F\V).
Запишем это в виде
(a\F\ а") — (V | F \ а") = («' \(F—F) \7\
или, в силу бесконечной малости преобразования, в виде
где левая часть относится к изменению собственных векто-
векторов при фиксированном F, тогда как правая часть выражает
эквивалентную вариацию оператора F, даваемую выраже-
выражением
SF= F — F = — i[F, Ga\.

It) ГЛАВА t
Если вариация состоит в изменении некоторого пара-
параметра к, от которого зависят динамические переменные и
который может явно содержаться й F, то имеем
где 8_F — полное изменение F, из которого вычитается
dzF — изменение F, связанное с явным наличием т, так как
последнее изменение не может быть произведено преобра-
преобразованием операторов. Таким образом, мы получаем „урав-
„уравнение движения" по. параметру х:
KF = dTF + i[F, ax]. A.3)
Для динамических систем, удовлетворяющих постулату
локального действия, полное описание дается совокупностями
физических величин С, связанными с пространственно-подоб-
пространственно-подобными поверхностями о. Бесконечно малое изменение общей
функции преобразования (Ci^l^a) ИМеет ВИД
S (&х | Сгз2) — ' (&х I 8И^а I &J- A-4)
Здесь индексы 1 и 2 относятся как к выбору полных сово-
совокупностей коммутирующих операторов С, так и к простран-
пространственно-подобной поверхности о. Мы можем, в частности,
рассмотреть преобразования между одинаковыми совокупно-
совокупностями операторов на различных поверхностях или между
различными совокупностями коммутирующих операторов на
одной поверхности, как, например,
S(CojC/o) = /(C'c|8Wi^3). A.5)
Один тип изменения общей функции преобразования
состоит в введении независимо на поверхностях аг и а2 бес-
бесконечно малых унитарных преобразований операторов, вклю-
включающих смещения этих поверхностей. Преобразования будут
произведены операторами Qt и О3, построенными из дина-
динамических переменных на поверхностях <3t и о2 соответственно,
причем
^Ql — a3. A-6)
Если функция преобразования связывает на одной и той же
поверхности две различные совокупности операторов, под-
подвергаемых бесконечно малым преобразованиям, вызванным

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 17
производящими операторами О и О соответственно, то в силу
соотношения A.5) имеем
W=Q—Q. A.7)
Так как физические явления в различных точках простран-
пространственно-подобной поверхности динамически независимы, то
производящий оператор G должен иметь аддитивную форму
О= f daG{0) (х) *= f
где da— численная мера элемента пространственно-подобной
площади; чтобы придать поверхностному интегралу инва-
инвариантный вид, О@) (х) следует рассматривать как времени-
подобную компоненту вектора в локальной системе коорди-
координат, базирующейся на поверхности о. Если О^х) на поверх-
поверхности ot и на поверхности о2 можно интерпретировать как
значения вектора, определенного во всех точках, то разность
поверхностных интегралов в соотношении A.6) можно пре-
преобразовать в объемный интеграл
12 —
Другой тип изменения функции преобразования получается,
если учесть, что преобразование, соединяющее С1Э ох и Zg,, a2,
можно построить посредством бесконечной последователь-
последовательности преобразований, связывающих операторы на беско-
бесконечно близких поверхностях. В соответствии с общим свой-
свойством аддитивности A.2)
где bW,+dai<, характеризует изменение функции преобразо-
преобразования, связывающей бесконечно мало отличающиеся полные
Совокупности операторов на бесконечно близких поверхно-
поверхностях в и Q-\-d<3. Если выбор промежуточных операторов
непрерывно зависит от поверхности, то получим
принимая опять во внимание динамическую независимость
явлений в точках, разделенных пространственно-подобным
2 Зак. U74. Ю. Швингер

18 глава i
интервалом, с вытекающим отсюда свойством аддитивности,
мы находим, что bWa+aa,a будет иметь общий вид
a+da
j
a
Поэтому
f). A.8)
Комбинация этих двух типов изменений описывается вы-
выражением
JWia^Qt — Qz+f (dx)bj?(x),
которое содержит динамические переменные на поверхно-
поверхностях Oj, a2 и внутри объема, ограниченного этими поверх-
поверхностями. Кроме того, мы можем записать это выражение
в виде объемного интеграла
S^i2 = / (dx) [д^ (х) + Ь^> (х)],
который указывает, в свою очередь, на то, что любая часть
bj3?(x), имеющая вид дивергенции, дает вклад лишь в уни-
унитарное преобразование на поверхностях ах и а2.
Основной динамический принцип заключается в следующем
постулате: существует класс изменений функции преобразо-
преобразования, для которых соответствующие операторы %Wl2 полу-
получаются надлежащей вариацией единственного оператора W12:
Конечно, динамический принцип должен быть снабжен явным
указанием этого класса.
Оператор W12, оператор интеграла действия, очевидно,
имеет вид

Динамический принцип
Требование эрмитовости, налагаемое на §W12, удовлетво-
удовлетворяется, если оператор W12 эрмитов, а это означает, что
Jg{x) — оператор функции Лагранжа, обладает тем же
свойством. Чтобы соотношения между состояниями на поверх-
поверхностях <зг и а2 характеризовались инвариантным образом,
функция Лагранжа должна быть скаляром по отношению
к преобразованиям ортохронной г) группы Лоренца, которая
сохраняет временной порядок <з1 и а2. Динамическая система
характеризуется указанием лагранжевой функции, выражен-
выраженной через совокупность основных динамических переменных
в бесконечно малой окрестности точки х. В этой лагранже-
лагранжевой функции будут содержаться определенные численные
параметры, которые могут быть функциями от х. Всякое
изменение этих параметров изменяет структуру лагранжевой
функции и меняет тем самым и динамическую систему.
В соответствии с этим бесконечно малые изменения динами-
динамической системы описываются выражением
где S.27 = § (.i?7), а объектами вариации являются численные
параметры. Вид этого" выражения находится в согласии
с выражением A.8). Для фиксированной динамической системы
оператор W12 может изменяться при смещении поверхностей
п1 и а.2 и варьировании динамических переменных, содержа-
содержащихся в лагранжевой функции. Функция преобразования
(Z[<31 | С2<з2) описывает соотношение между двумя состояниями
данной системы, так что изменение в функции преобразова-
преобразования может происходить лишь от изменения состояний на
поверхностях at и о2. Поэтому для фиксированной динами-
динамической системы мы должны иметь
где 3№з = 8(№12), а объектами вариации являются at и о2
и динамические переменные, функцией которых является J3?.
Последнее утверждение есть операторный принцип
стационарного действия. Он утверждает, что оператор W12
должен быть стационарным по отношению к вариациям
и Это название предложил Баба [2].
2*

20 ГЛАВА! __•
динамических переменных внутри области, определяемой по-
поверхностями зг и о.2, так как Ох и О2 содержат лишь ди-
динамические переменные, связанные с границами области. Этот
принцип содержит в себе уравнения движения для динами-
динамических переменных; т. е. уравнения поля, и дает выражения
для производящих операторов Ог и О2. Класс вариаций,
к которому относится наш постулат, можно теперь опреде-
определить требованием: сведения относительно уравнений поля и
бесконечно малых унитарных преобразований должны быть
внутренне согласованными.
Внутри этого класса остается произвол, как можно за-
заключить, заметив, что две лагранжевы функции, отличаю-
отличающиеся дивергенцией вектора, описывают одну и ту же дина-
динамическую систему. Таким образом,
дает
где на каждой поверхности
В соответствии с этим принцип стационарного действия
для W1Z удовлетворяется, если он справедлив для W12,
так как
Здесь
определяют Ог и 02, которые являются новыми производя-
производящими операторами бесконечно малых унитарных преобра-
преобразований на поверхностях <зг и <з2 соответственно. Последние
уравнения имеют вид A.7) и, таким образом, характеризуют
функции преобразования, связывающие два различных пред-
представления на одной и той же поверхности. Действительно,
при подходящем выборе обозначений мы обнаруживаем, что
формула A.9) выражает свойства аддитивности операторов
действия, т. е.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 21
где, например,
и
Чтобы уравнения поля находились в соответствии с по-
постулатом локального действия, они должны быть дифферен-
дифференциальными уравнениями конечного порядка. Такие уравне-
уравнения всегда можно превратить в систему уравнений первого
порядка путем надлежащего добавления переменных. Основ-
Основные динамические переменные, удовлетворяющие уравнениям
первого порядка и образующие компоненты оператора поля
общего вида х(х), мы обозначим через Хг(х)- Без потери
общности положим, что ySx) является эрмитовым опера-
оператором
Если функция Лагранжа должна давать уравнения поля
желаемого вида, то она должна быть линейной относительно
первых производных операторов поля по пространственно-
временным координатам. Кроме того, если эти уравнения
поля должны появляться как явные уравнения движения для
компонент поля, то часть лагранжевой функции, содержащая
первые производные по координатам, должна быть билиней-
билинейной по компонентам поля. После этих- предварительных
замечаний напишем следующее общее выражение для функ-
функции Лагранжа:
X); A.10)
в этом выражении использовано матричное обозначение
= X
r
Члены с производными симметризованы по отношению к опе-
операции интегрирования по частям — процессу, который доба-
добавляет дивергенцию к лагранжевой функции и не влияет
поэтому на структуру динамической системы. Чтобы функ-
функция J3* была эрмитовым оператором, общая функция ?№
должна обладать этим свойством:

22 ГЛАВА I
а численные матрицы 2ta(ix = 0, 1, 2, 3; х± —ix0, 2t4 = i2t0)
должны быть антиэрмитовыми
*+=*?*«—9^; a = 0, 1, 2, 3.
Несмотря на то, что для нас представляют интерес зам-
замкнутые динамические системы, математически плодотворно
использовать методы, основанные на свойствах внешних
источников. В соответствии с этим мы добавляем к выра-
выражению A-10) член •
-2Vro,. = -j (НЭх -Ь *S3S), A-11)
предназначенный для описания рождения поля у(х) внешним
источником %{х), который должен рассматриваться как вели-
величина той же природы, что и уХ*)- Оператор ^не,0,, будет
эрмитовым, если 93 является эрмитовой матрицей
Чтобы введение понятия источника имело смысл, все компо-
компоненты •% должны появляться в выражении A.11) связанными
с компонентами источника. Это требует, чтобы ЯЗ была
несингулярной численной матрицей.
Ортохронное преобразование Лоренца
вызывает линейное преобразование компонент поля
'х = ?х = уЛ*.
где L должно быть действительной матрицей,
чтобы сохранять эрмитовость '•%. Требование скалярности
удовлетворяется, если ??в является скаляром,
и если
' г^%. A.12)
Будем предполагать, что источник обладает теми же транс-
трансформационными свойствами, что и поле. Условие того, чтобы

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 23
член лагранжевой функции, содержащей источник, был ска-
скаляром, имеет вид
Ltr»L = ». A.13)
Заметим, что 9l? и 93tr также удовлетворяют соответственно
уравнениям A.12) и A.13) и что эти уравнения можно
скомбинировать в соотношение
% /у, (
в силу несингулярного характера матрицы 23.
Для бесконечно малого преобразования Лоренца
матрицу L можно записать в виде
L=l— f-g-VV A.14)
где"
5jL» = — 5,1,; [a, v = 0, . . ., 3. A.15)
Вариантом условия A.13), содержащим бесконечно малые
преобразования, будет
ctr дао «п-1 с*
ИЛИ
C35,.,/ = C35,..,)'
где значки комплексного сопряжения относятся к компонен-
компонентам, указанным в выражении A.15). Аналогично,
A • 16)
Если рассматривать
как поле в первоначальной системе координат, которое по-
поэтому должно иметь ту же зависимость от системы коорт
динат, что и X' то получим
/ -*о / с

ГЛАВА I
Для бесконечно малых преобразований это соотношение при-
принимает вид
Производя вариацию интеграла действия, будем рас-
рассматривать два типа величин — координаты и переменные
поля — на почти равных правах, хотя первые являются чи-
числами, а последние — операторами. Введем вариацию коор-
координат Ъхр, произвольную во всей внутренней области, но
подчиненную условию:
aK.8x,, + a,5x!l = O A.17)
на поверхностях зх и з2, т. е. тому условию, что границы
остаются плоскими поверхностями. Компоненты поля у^г (х)
зависят как от системы координат, так и от „ собственного
поля". При вращении системы координат компоненты поля
изменяются в соответствии с выражениями A.14). В соответ-
соответствии с этим запишем общую вариацию поля как сумму
собственно полевой вариации и вариации, вызванной локаль-
локальным вращением системы координат:
где в силу антисимметрии тензора 5^, эффективна только
вращательная часть смещения координат. Для поля источ-
источника, являющегося заданной функцией координат, имеем
8F)^8^д^. A.18)
Мы также замечаем, что
откуда
чх- A.19)
Шоренцева[инвариантность оператора Jg дает существен-
существенное упрощение при вычислении вклада в вариацию В (J3?)
от координатной вариации /. Так, если бы величина д^ох^
была антисимметричной и постоянной, ее коэффициенты в ва-
вариации лагранжевой функции исчезали бы тождественно для
рсех членов, кроме члена, содержащего истояник, так-как

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 25
изменение в ?, вызванное вращением, не содержится в выра-
выражении A.18). В соответствии с этим в общей координатной
вариации выражения A.10) остаются лишь те члены, в кото-
которых дрЪх^ дифференцируется или появляется в симметризо-
ванной комбинации д'^Ьх^-\-д^Ьх^. Оба случая полностью со-
содержатся в выражении A.19), что приводит к вариации
Ввиду симметрии второй производной
последний переход здесь выражает результат интегрирования
по частям, при котором проинтегрированный член исчезает,
так как симметризованный тензор равен нулю на границах
[условие A.17)]. Собирая коэффициенты при д^Ьхч в тен-
тензор Г^, имеем
»i
5 (Wia) = J (dx) [bJST + <d^ 5*v) 7^] =
ea
«i
= J (dx) [ЪЯ> — Ьх, д^Тр, + dp (T^ 8jO1.
где
7*^=—-S-8^,— y(x5t(^v) x—^X«rtX)—f T «B^x-a-S+BS) +"
+ ^^^(^^;4-5x+{v^))x] A-20)
и использовано следующее обозначение для химметричной
части тензора:

26 ГЛАВА I
Вариация $J2* будет выражаться следующим образом:
Следовательно, применяя принцип стационарного действия
к вариациям координат и поля порознь, получаем
Д^ V^ 43 5x). 0-21)
в то время как поверхностные члены на <з: и <з2 дают бес-
бесконечно малый производящий оператор
Оператор J^ является произвольной инвариантной функ-
функцией поля у. Если его вариация должна иметь вид A.21),
то величина 8у, появляющаяся слева и справа, должна иметь
элементарные операторные свойства, характеризующие класс
вариаций, к которым относится принцип действия. Поэтому
мы должны иметь возможность сместить 8у в выражении
для Ъ??в полностью налево или полностью направо, т. е.
Этим определяются левые и правые производные от ?Ю по Х.
Ввиду полной симметрии между левой и правой частями
в процессе умножения заключаем, что выражения с By слева
и справа в действительности идентичны. Уравнения поля
имеют поэтому две эквивалентные формы
и Q можно соответственно записать в виде
охЛ = /*v[—Sy^y+r^BxJ. A.22)

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 27
Если ограничиться применением принципа стационарного
действия к фиксированным динамическим системам, то внеш-
внешние источники не должны изменяться. Если же теперь ввести
бесконечно малую вариацию величины ? и распространить
аргументы предыдущего рассмотрения на 8?, то получим
два эквивалентных выражения для изменения, вызванного
в операторе W12:
/ (dx) 8$ SB* = / (dx) yj& 8$.
Соответствующую модификацию соотношения между состоя-
состояниями на поверхностях а: и <з2 можно приписать индиви-
индивидуальным состояниям только в том случае, если ввести
некоторые ограничения, имеющие характер граничного усло-
условия. Таким образом, мы можем предположить, что1 состояние
на поверхности <за не затрагивается вариацией внешнего
источника в области между поверхностями зх и о2. В этом
„запаздывающем" описании &$W12 вызывает бесконечно малое
преобразование состояния на поверхности ot. Другому „опе-
„опережающему" описанию соответствует оператор —85TF:2,
вызывающий изменение состояния на поверхности <з2 ПРИ
фиксированном состоянии на поверхности а1. Это наиболее
простые из возможных граничных условий.
Полезность названий „запаздывающее" и „опережающее"
легко видеть, если рассматривать матрицу
(CjOl | F (о) | (?с2) « J (qOl | Со) rfC'.tf/o | F (а) | Со) dC (С"а |(?а2)
оператора, построенного из динамических переменных на
некоторой поверхности о, лежащей между поверхностями
<3j и о2. Бесконечно малое изменение источника ? вызывает
следующее изменение матричного элемента:
,WUF (?) + IF (a) 8^
C& I Vf (a) + i(F (a)
здесь мы предположили, что F (о) может явно зависеть от
источника, и ввели обозначение для упорядоченных во вре-
времени произведений. Матричный элемент зависит от внешнего

28 ГЛАВА I
источника посредством оператора F (о) и собственных век-
векторов на поверхностях <st и <з2. При этом получаются раз-
различные выражения для S^/7 (о), зависящие от принятых гранич-
граничных условий. Таким образом, если задано состояние на по-
поверхности <з2, то мы находим
?, 8?Wrt]; A.23)
здесь включены лишь изменения источника на поверхности о
или до нее. Для противоположного условия аналогично по-
получаем
Заметим, что
Оператор О в соотношении A.22) состоит из двух частей:
где
Ох = / rfc^ 8Х == — J
dop Т^ 8лг, = s/\ -j- ^
Вид последнего выражения для Ох обусловлен тем, что мы
ограничились плоскими пространственно-подобными поверх-
поверхностями, в результате чего смещения свелись к бесконечно
малым перемещениям и поворотам
С этими смещениями связаны операторы вектора энергии-
импульса
и тензора момента количества движения
J

Динамический принцип 29
Оператор Gx, очевидно, производит бесконечно малое
преобразование собственного вектора, вызванное параллель-
параллельным смещением поверхности, к которой он относится. В обо-
обозначении
Со) = (з
имеем
Если F(o) является произвольной функцией динамических
переменных на поверхности s и, возможно, нединамических
параметров, зависящих от в, то мы воспользуемся обозна-
обозначениями
= («А + ^ ^Л,) F (
чтобы различить полное изменение вследствие смещения и
изменение, вызванное явным наличием Нединамических пара-
параметров. В соответствии с выражением A.3) видим, что
Надлежащую интерпретацию производящего оператора Gx
можно получить, если заметить, что его действие эквива-
эквивалентно соответствующим образом выбранной бесконечно ма-
малой вариации внешних источников. Рассмотрим следующее
бесконечно малое поверхностное распределение на отрица-
отрицательной стороне поверхности о:
S85 = *@,8x&(*«»); A.24)
это распределение совместимо с операторными свойствами
данных вариаций. Для простоты было принято, что уравне-
уравнением поверхности о является Х@) = 0. При таком выборе

30 ГЛАВА t
Изменение, вызванное в поле ^, можно получить из вариа-
вариации уравнений движения
Очевидно,. величина 8?)г имеет разрыв при переходе через
поверхностное распределение 8?; величина этого разрыва
дается выражением
В запаздывающем описании, например, величина of/ равна
нулю до поверхности, несущей источник, так что разрыв,
который имеет эта величина, есть изменение, вызванное
в поле х на поверхности о (ее положительной стороне).
Таким образом, поверхностное изменение внешнего источ-
источника дает тот же результат, что и преобразование, вызван-
вызванное оператором Ог, в котором 51@) ^ на поверхности а за-
заменяется на
Я«йХ = «tt»X + «(о) 85Х = Що)Х — у «(о) 8Х-' О-25)
Матрица 51@) сохранена в этом равенстве, так как она,
вообще говоря, является сингулярной матрицей. Число-ком-
Число-компонент у, которые появляются независимо в выражении A.25),
равно рангу матрицы 51@) и равно числу независимых урав-
уравнений для компонент поля, которые являются уравнениями
движения, так как они содержат времени-подобные произ-
производные. Выражение A.25) с помощью производящего опера-
оператора Ог можно представить в виде
[«(©Х- °х] = Ц^@)8Х- 0-26)
Множитель х/2. который появляется в этом результате, про-
происходит оттого, что все компоненты 51(о)Х рассматриваются
на равных правах; мы не делили их на две группы, одна
из которых фиксирована, а другая варьируется *>. Если
и Дальнейшее обсуждение этого вопроса будет дано в статье,
направленной в Philosophical Magazine.. (Упомянутая статья Швин-
гера [4] опубликована, и перевод ее приведен в приложении к на-
настоящему сборнику. — Прим. перев.)

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 31
р. произвольная функция от 91@)Х на поверхности о, то
можно записать
[F, Ог] =
где объектами вариации являются компоненты 91@>х- Если
уравнения поля, которые являются уравнениями связи, до-
достаточны для выражения всех* компонент х через 51(о)"Х» то
мы можем превратить выражение A.26) в выражение
Конечно, следует различать эти вариации, в которых неза-
независимы только 51@)Х> и независимые вариации всех компо-
компонент х» дающие уравнения связи из принципа действия.
Чтобы облегчить построение перестановочных соотноше-
соотношений для этих полей в явном виде мы введем гипотезу при-
приводимости, которая связана с лоренц-инварйантным процессом
разделения матриц 51^, 95 на симметричные и антисимметрич-
антисимметричные части. Потребуем, чтобы поле и источники распадались
на две совокупности: первого рода у^ =ср, ?(!)=? и вто-
второго рода у^ = ty, ?('2) = ч\. Это разбиение соответствует
разложению матриц
Матрицы первого рода — действительные (а = 0, ..., 3),
а второго рода — мнимые. Мы не будем писать различаю-
различающих индексов, когда нет основания спутать эти матрицы.
В соответствии с гипотезой приводимости уравнения
поля в двух эквивалентных формах

32 ГЛАВА t
разделяются на две группы
Кроме того, производящий оператор
Ох = J d*y%{0) 8Х = J rfa (- «?,
разделяется на сумму двух слагаемых, О? -f- Gj,, где
О9 = J* rf<Jcp2l@) 8Т = J* da E1@) Зср) ср
= J* *вф*@) 8ф = J rfo (— «@) 8ф) ф. ( Ь 27)
м
С учетом этих результатов функция Лагранжа принимает
вид
Эквивалентность между правой и левой производными
произвольной функции <3f6 по компонентам поля первого
рода, а также двух выражений для О? показывают, что
операторы Зср коммутируют со всеми полями в той же
точке. С уравнениями поля совместимо распространейие
этого утверждения на поля в произвольных точках
[ср (х), Зср (*')] = № (х), 8Т (х')) = О,
причем это относится и к компонентам источника:
[С (a:), 3cp(.*r')] = h(*), Зср(*')] = О.
Из выражения A.27) следует, что соотношение между ^
и 8ф является соотношением антикоммутативности. Разные
знаки левой и правой производных $в по $ учитываются
тогда равенством
[ср (х), Зф (*')] == {^ (х), Ц (а:')} = О,

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 33
если только ©Я? является четной функцией переменных
второго рода. Включив сюда и компоненты источника
[С (*), Ц (*')! = Ы (*). Ц (*')} = О,
мы обеспечиваем совместность с уравнениями поля. Мы полу-
получили теперь явную характеристику класса вариаций, к кото-
которому относится наш основной постулат.
Заметим также, что вариация

разлагается на две части:
9, в.
i9 = J (dx) 7 95 К = J (d*) (8 8Q <р
= J (d
—93
Можно заключить, что вариации источников имеют те же
самые операторные свойства, что и вариации поля [это уже
использовано в соотношении A.24)].
Операторные свойства 5t@)"x на данной поверхности а
можно теперь вывести из выражения A.26), таким образом
[««»?(•*). Ф (-«О «(о) 1 = 0, A.28)
где 8„(л; — jc') является трехмерной 8-функц'ией, связанной
с поверхностью а. Численные значения этих коммутаторов и
антикоммутаторов обеспечивают их совместность с опера-
операторными свойствами вариаций 891«»<р и 851(О)ф- Динамические
переменные первого и второго рода описывают, таким об-
образом, соответственно поля Бозе — Эйнштейна и Ферми —
Дирака, которые объединены в общем поле ¦%.
3 Зак. 1174. Ю. Швингер

34 ГЛАВА I
Так как ранг антисимметричной матрицы 5l'J] с необхо-
необходимостью четен, то имеется четное число независимых ком-
компонент первого рода, например, 2яA). Всегда можно по-
построить матрицу 9l'oJ таким образом, чтобы все элементы,
кроме первых 2яA> строк и столбцов, были нулями. Обо-
Обозначим эту несингулярную субматрицу размерности 2яA)
через Ш-(AК а связанные с ней независимые компоненты ср —
через ^р. Тогда первое перестановочное соотношение A.28)
принимает вид
Матрица 23(а), связанная с полями Ферми—Дирака, антисим-
антисимметрична и несингулярна. Следовательно, полное число ком-
компонент поля второго рода четно. Если мы допустим, что
матрица 9t<o) может быть сингулярной, и расположим ее
строки и столбцы так, чтобы несингулярная матрица Ш&
была связана с независимыми компонентами *!*, то получим
а отсюда следует, что действительная симметричная мат-
матрица / ЭД.;^ должна быть положительно определенной.
Покажем, что число независимых компонент поля второго
рода, т. е. размерность ШAК должно быть четным, скажем,
равным 2д(а). Допустим, что при помощи подходящего дей-
действительного преобразования матрица Ш'Д приведена к диа-
диагональному виду. Если число компонент <$> нечетно, то произ-
произведение всех этих компонент в заданной точке коммутирует
с «J» в этой же точке. Таким образом, поскольку рассматри-
рассматривается алгебра операторов в заданной точке, это произве-
произведение есть кратное единичного оператора (необходимая
коммутативность с «J* в Других точках на поверхности о мо-
может быть всегда достигнута), что противоречит предполо-
предположению о том, что все компоненты «J* независимы.
Рассмотрим теперь соответствие между инвариантностью
при отражении времени и связью между спином и стати-
статистикой. Преобразование отражения времени
хк

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 35
вызывает такое преобразование поля
при котором
=«* С1-29)
Однако сохранение вида функции Лагранжа является лишь
кажущимся для полей второго рода. Так как —/3t[o) яв-
является неотрицательной матрицей, то мнимый оператор Lf)
позволяет удовлетворить только первому уравнению A.29),
что дает антиэрмитовы компоненты поля 'yj®. Но инвариант-
инвариантность функции Лагранжа не является правильным критерием
для инвариантности при отражении времени. Изменение
направления времени обращает порядок поверхностей ot и
а2 и поэтому вносит знак минус в интеграл действия; знак
минус может быть компенсирован лишь изменением знака
при / в выражении A-4). Мы представим это как переход
от алгебры операторов •/ к комплексно-сопряженной ал-
алгебре операторов у*. Так как линейное преобразование,
которое должно сохранять вид функции „^(ср, д^ср;' &, д^),
эффективно заменяет J2* на .2*0?, д^у; fy, id^ty), то крите-
критерий инвариантности принимает вид
-2* (т. <Vp; *>• *№?=&&• V; <Г. <W-
Член с производными в функции jg*, несомненно, инвариан-
инвариантен, так как матрицы 51^ и 51^' соответственно действи-
действительны и мнимы. Мы выразим это; если скажем, что теория
кинематически инвариантна при отражении оси времени.
Чтобы она была динамически инвариантной, i№ должно быть
следующим:
Так как $№ — четная функция компонент <Ь, последние должны
быть соединены в пары с помощью мнимых матриц, харак-
характерных для переменных второго рода. Член с источником
инвариантен, если источник и поле преобразуются одинако-
одинаковым образом.
Связь между спином и статистикой возникает, если за-
заметить, что мнимая матрица L4 характерна для полей с
3*

ГЛАВА 1
полуцелым спином. Мы можем доказать это, замечая, что
все трансформационные свойства L4 удовлетворяются при
L4 = ехр ( — -2- niSu} Lx exp (-^ ni S14) = ехр ( — i"\S14) Lit
где Lx — матрица, описывающая отражение первой про-
пространственной оси. Последнее выражение следует из соот-
соотношения
Lx SXiL± = — S14-
Существенный пункт в отношении действительности Li со-
состоит в том, что Su= iSX0 является действительной мат-
матрицей, откуда
q = ехр (iclSu) Lx = ехр B-KiSJ L4-
Далее, матрица Sti должна обладать теми же самыми соб-
собственными значениями, что и, например, матрица 51а, откуда
следует, что матрица L4 действительна для поля с целым
спином и мнима для поля с полуцелым спином. Требование
инвариантности при отражении оси времени ограничивает
поля первого рода (Бозе—Эйнштейна) и второго рода
(Ферми — Дирака) соответственно целыми и полуцелыми
спинами. Эта связь также удовлетворительна в том отно-
отношении, что она отождествляет двузначные поля с полуце-
полуцелым спином с полями второго рода, по отношению к кото-
которым J2? является четной функцией.
Мы ввели несколько видов производящих операторов
бесконечно малых преобразований. Критерий согласованности
получается при вычислении разными способами коммутатора
таких двух производящих операторов:
[Ga, Ob] = / (8GaN = — i (bGb)a
или
В качестве первого примера рассмотрим два производящих
оператора
и

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 37
в запаздывающем описании. Предварительно заметим, что
Л Ы—р, (°2) = /(**) д^, = J" (dx) i. (X
и что
Так как
7V, — T*^ = — / у E»5^x — X-5J.93O,
мы имеем
В отсутствие внешнего источника тензор Т^ч симметричен
и дивергенция его равна нулю, вследствие чего Рч и У„ч
сохраняются. Для простоты мы ограничимся при доказа-
доказательстве случаем, когда нет источника и бесконечно малое
изменение 8; распределено в области между поверхностями <з±
и <за- Тогда
Условие совместности
требует, чтобы

38 ГЛАВА 1
это действительно справедливо в силу эквивалентности между
вариацией (Зу (х))х, вызванной смещением Ъх^> и разностью
'х(х) — 7.W- возникающей при преобразовании координат
rxv. = xVi-\-bxv..
Иные формы операторов Рч и J^,, удобны для проверки
согласованности О^ и Gr Соотношения, выведенные из выра-
выражения A.16),
—0, Ах =
позволяют записать Т^., в виде
1
где
и
1 + +
В силу антисимметрии 5Хач по первым двум индексам дивер-
дивергенция от dxSx^ исчезает тождественно и не дает вклада
в вектор энергии-импульса /¦>„,
Рч = J rf3Hb [^8F; — 1
но входит в выражение
y (*^д, — х^ +75^0 yJUxX + ^ Рх» —
Компонентами Рч в локальной системе координат являются
р@) = Г do \$
= J rfa [—

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП 39
тогда как для компонент J^., имеем
J{0) (ft) = X@)Pw — f dax(k) [a%? — 1
A.32)
х{г)д(к) +
) X
Величина р^., связана с соотношением, выражающим ска-
скалярный характер величины е%? при бесконечно малых пре-
преобразованиях:
х) = о.
В действительности можно доказать, что
если <з№ не содержит компонент различных независимых
полей в степенях, более высоких, чем вторая. Мы покажем
это также без последнего ограничения, однако для простоты
будем считать, что не имеется уравнений связи. Переста-
Перестановочные соотношения
\Ъ /\1 = —W.JC.
lX> -V.1 = —' (*иА — х,д^ + tS^J х-
эквивалентные соотношению A.30), предполагают, что
1Х> N^] = S^x>
где
Л/^., = J^v х^Рч —(- х^Рр.
Это позволяет выразить требование скалярности <ffi в виде
[^, ^,] = 0.
.Компоненты
N@) (к) = J* do' (x(S) — jp|ft)) [ ffi (xf) — — {y%d)d{iX —
~ t J, rf=X(ЯсоM(о) №) + 5(J)(ft,9lco,) X

40 ГЛАВА I
не содержат неизвестной величины Р@)(&). Согласно нашему
упрощающему предположению об отсутствии уравнений
связи, коммутаторы (антикоммутаторы) всех компонент поля
в точках х и х' содержат трехмерные функции Ъа(х — х')
и поэтому исчезают при умножении на jc(A) — х\щ. Кроме
того,
и
(*0. ^
откуда получаем
W, Л/"@) да] = 2/р@) (А) = 0.
Зная это, легко распространить доказательство на все ком-
компоненты р„.,.
Для согласованности производящих операторов G& и Ох
требуется, чтобы
или
. J
что легко теперь показать с помощью выражений A.31) и
A.32) при P@)(fr) = 0.
ЗАРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ
Из наших предыдущих рассмотрений исключалось электро-
электромагнитное (и гравитационное) поле. Введем понятие заряда,
требуя, чтобы функция Лагранжа была инвариантной при
преобразовании с постоянной фазой (специальном калибро-
калибровочном преобразовании), выражением для которого при беско-
бесконечно малом преобразовании будет

ЗАРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ 41
Здесь Ьк-—постоянная, а Ъ — мнимая матрица, которую можно
рассматривать как матрицу поворота, относящуюся к про-
пространству, отличному от четырехмерного мира. Из требо-
требования инвариантности следует, что
или
E8S)+ = 23$,
и что
&e{x—i ъ\Ъ0—&в со = о.
Запишем теперь общую вариацию в виде
8 () Ч *<а **> Sl Ь1
где величина ЬХ, характеризующая локальное фазовое пре-
преобразование, является произвольной функцией от х, совме-
совместимой с постоянными значениями на поверхностях в1 и о2.
Производимый при этом дополнительный вклад в %
равен
1
где
V=-
является вектором заряда—тока. Принцип стационарного
действия требует, чтобы
аЫ»*9 A-33)
и дает в качестве оператора, производящего преобразование
фазы,
где Q — оператор заряда.
Интегральное соотношение
Q (в,) — Q (ва) =
получающееся из выражения A.33), становится законом со-
сохранения заряда при отсутствии внешних источников. Если
в область, ограниченную поверхностями Oj и а2, вводится

42 ГЛАВА I
бесконечно малый источник, то в запаздывающе^ описании
имеем
kQ (°i) = —' J (dx) 8;S3f x = * IQ0»i). G5],
откуда
ft. QI = Sx-
Это перестановочное соотношение следует также непосред-
непосредственно из смысла оператора Gx, указывая на согласован-
согласованность последнего с Ge-
Предположим, что матрица 33 является элементом алгебры,
образованной величинами ЗЗ"^ и S^.,. Отсюда следует, что
матрица 33 коммутирует с матрицей ?> и поэтому последняя
явно эрмитова:
Такая антисимметричная мнимая матрица имеет действитель-
действительные собственные значения, которые симметрично располо-
расположены относительно нуля; неисчезающие собственные значе-
значения встречаются парами с противоположными знаками. Так
как матрица § коммутирует со всеми элементами выше-
вышеупомянутой алгебры, то характер заряда данного поля зави-
зависит от приводимости этой алгебры. Так, если алгебра для
определенного вида поля неприводима, то единственной мат-
матрицей, коммутирующей со всеми элементами алгебры, является
симметричная единичная матрица. Тогда & = 0, и поле элек-
электрически нейтрально. Если, однако, алгебра матриц приво-
приводима к двум подобным алгебрам, как в случае
то матрица $ существует и (в том же представлении) имеет
вид
Таким образом описывается заряженное поле, состоящее из
частиц с зарядами dze, являющимися собственными значе-
значениями оператора §. Если участвуют три подобные алгебры,
то поле содержит частицы с зарядами 0, rte.

ЗАРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ 43
Чтобы представить матрицу § в виде диагональной мат-
матрицы, мы должны предварительно выбрать эрмитовы компо-
компоненты поля. Так, в случае заряженного поля Ферми—Ди-
Ферми—Дирака, когда компоненты поля распадаются на $A)г *(,> в со-
соответствии со структурой матриц A.34) и A.35), взаимно
эрмитово-сопряженные операторы
отвечают собственным значениям -\-е и —е соответственно.
При введении этих компонент поля член с производными
в функции Лагранжа, вектор электрического тока и пере-
перестановочные соотношения принимают соответственно вид
4-мч-)*,. 4'W+tN<+>V дЛ->ь с1-36)
- 0.
Имеется очевидная симметрия по отношению к замене
«5»(+)-«—><\-), е*—> — е.
Так как ^(+) и ф(-) являются эрмитово-сопряженными
операторами, то мы можем произвольным образом выбрать
одно из них в качестве первичного не-эрмитового поля.
Напишем
Это придает следующий вид выражениям A.36)—A.38):
A-39)
Т(о) Ф(^)) = {ф(*)Т(о). Й*)Т(о)} = 0,.
О

44 ГЛАВА I
Чтобы выразить теперь несколько скрытую симметрию между
положительными и отрицательными зарядами, назовем ф(-)
зарядово-сопряженным полем
фв = (— 23~*)Ф A.41)
и установим эту симметрию как инвариантность при под-
подстановке (|>ч—*-$°, е<—> — е.
Матрицы Yyu (I* = 0 3) удовлетворяют равенствам
^ A.42)
так как они являются чисто мнимыми матрицами. Вспомним
также, что S3 является антисимметричной мнимой матрицей.
Если бы мы перешли от этого специального представления
к другому представлению, подвергая все матрицы произ-
произвольному унитарному преобразованию, то нашли бы, что
в выражениях A.41) и A.42) произошли лишь формальные
изменения, причем матрица 23 оказалась бы измененной
с помощью не унитарного, а ортог-онального преобразова-
преобразования. Следовательно, в общем представлении эти уравнения
имеют вид
где С попрежнему обладает симметрией матрицы S3.
соответствующей примеру поля с полу целым спином.
Перестановочные соотношения A.40) имеют канонический
вид, соответствующий разделению независимых компонент
поля на такие две группы, каждая из которых имеет исче-
исчезающие антикоммутаторы (коммутаторы для полей с целым
спином) с представителями той же группы. Оператор, про-
производящий изменения в <|> и ^ и определяемый выражением
A.27), в случае поля с полуцелым спином будет равен

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 4$
что можно получить непосредственно из члена в функции
Лагранжа, содержащего производные [см. выражение A.39)].
В соответствии с тем, что функцию Лагранжа можно изме-
изменить путем добавления дивергенции, возможны различные
выражения для операторов, производящих изменения в ком-
компонентах поля. Так, мы имеем следующие два простых
возможных выражения для члена, содержащего производные,
и для связанного с ним производящего оператора:
О D0 = —
Очевидно, что G($), например, является производящим
оператором для.изменения компонент Т(о)^ без изменени
Связанные с этим перестановочные соотношения
0D01 = 0
удовлетворяются в силу выражения A.40), и, наоборот,
в сочетании с аналогичными утверждениями относительно G(<}0
обусловливают эти операторные свойства компонент поля.
Связь с производящим оператором при симметричном рас-
рассмотрении всех компонент поля дается соотношением
откуда и возникает множитель »/а в общем уравнении A.26).
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Постулат общей калибровочной инвариантности позволяет
ввести электромагнитное поле. Если все поля и источники
подвергаются общему калибровочному преобразованию
'х = ехр (— ik (х) $) х — X ехр (Л (х) $),

46 ГЛАВА I
то рассматриваемая функция Лагранжа изменяется следую-
следующим образом:
Добавление лагранжевой функции электромагнитного поля
J3?3im. — ~2 {-/(t> А^} — * и е--" д\}А*> — д^Ар] -f- -? F[xv + •v'V
A.43)
дает компенсирующую величину при помощи сопутствую-
сопутствующего калибровочного преобразования
Если
V* = °-
то слагаемое, содержащее внешний ток J^, будет эффек-
эффективно калибровочно инвариантным, так как добавка к нему
имеет вид дивергенции. В том же смысле допустимо упо-
употребление такой фэрмы лагранжевой функции, в которой
второй член [см. выражение A.43)] заменяется на
1{<У>» ЛЛ- A-44)
Запишем общую вариацию Л„ в виде
.,) А, =
—y (^ s^+a, §v л,,
который показывает, что вектор Л^ имеет те же трансфор-
трансформационные свойства, как и градиент скаляра, и что тем
самым сохраняется возможность калибровочного преобразо-
преобразования при произвольных деформациях координат. Подобным
образом
S (/у,) = 3/у, — (д,. Ьхх) Fu — (а, Ъхд /=>
Имея в виду вывод уравнений электромагнитного поля из
принципа действия, следует заметить, что общая калибро-
калибровочная инвариантность требует, чтобы источники заряжен-
заряженных полей неявно зависели от векторного потенциала А^.
Выразим эту зависимость в виде

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 4?
Так как бесконечно малое калибровочное преобразование
§д =—д^&к должно вызвать изменение о? =—/оХ?$, то
мы находим, что
Д^) Ж*-*'). A.45)
Варьируя F^., и Л„ в полной лагранжевой функции, полу-
получаем следующие уравнения поля:
А ;^ ^ A.47)
где
представляет ту часть полного вектора тока, которая свя-
связана с источниками заряженного поля. Из уравнения A.45)
получаем, что
Но дивергенция полного вектора тока равна нулю в силу
уравнений электромагнитного поля. Поэтому
что находится в согласии с выражением A.33).
После устранения тех членов в вариации 3(„2%мд.), ко-
которые приводят к уравнениям поля, остается
) {8/V А) ^ (FS
^) (^- {y^, A,} — i- {F^x, FvX}) —
— (д^Ьх.,)^А, A.48)
где
y {5-v Al =—
Этот член изменяет уравнения поля заряженных полей, при-
приводя их к виду
* G ^

4» ГЛАВА Г
Мы учли, что не все компоненты А„ коммутируют с -?.
Тензор 7\v теперь принимает вид
7V,= ...+|{/>, FvX}—i-{yV Л7)}—У,Л„ A.49)
где многоточие заменяет выражение A.20), но с J2? — пол-
полной лагранжевой функцией. Из принципа действия полу-
получается дифференциальное уравнение
<J -50>
Член с дивергенцией в уравнении A.48) дает бесконечно
малый производящий оператор
= — fdcF@)ik)bA(k), A.51)
тогда как функция Лагранжа, в которую включен член
с производной A.44), дала бы
% lFr, Av = fd? SF@) шА(к). A.52)
Изменение интеграла действия, вызванное изменением
внешнего тока У[Д., дается выражением
Если вариация тока 8/^ имеет вид
, М^ = — М^ A.53)
исчезает на поверхностях at и о2), из которого сле-
следует, что дивергенция тока равна нулю, то мы находим
= J
это делает излишним введение внешнего источника, связан-
связанного непосредственно с тензором напряженности поля F ,.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 49
Особая природа электромагнитного полях) очевидна из
формы оператора A.52), производящего изменения в локаль-
локальных компонентах электрического поля. Так как одно из
уравнений поля является уравнением связи
d(k)F(o) (к) = У (о) -Ь *(о) + -Ао) • О -54)
три вариации S/7 «))(&) не могут быть выбраны произвольно,
электромагнитное поле и заряженные поля не являются кине-
кинематически независимыми. Очевидно, это является выражением
калибровочной инвариантности, которая связывает два типа
полей. Из выражения A.51) мы видим, что Л@) не является
динамической переменной, подвергающейся независимым ва-
вариациям. Однако не существует уравнения поля, которое
выражало бы А^ через независимые динамические пере-
переменные в силу произвола, связанного с наличием калибро-
калибровочных преобразований. Кроме того, вариация вектора А^,
имеющая вид градиента, т. е. калибровочное преобразование,
дает производящий оператор, который вследствие уравне-
уравнения A.54) не содержит более динамических переменных
электромагнитного поля. Таким образом, в любом виде,
A.51) или A.52), имеются лишь две кинематически незави-
независимые вариации величин электромагнитного поля.
Применим теперь эти производящие операторы для вы-
вывода перестановочных свойств калибровочно-инвариантных
компонент напряженности поля. В соответствии с действием
вариации ЬА^ на локальные компоненты f имеем
— дA) ЬАт),
откуда
1^@) (»(*)• <F(o) (*)(*')] = 0 A.55)
и
(I) (*). ^"@) (т) (*'I =
A.56)
и Работ, касающихся вопросов, связанных с электромагнитным
полем, весьма много. Из статей, опубликованных ранее, наиболее
близкой по духу к нашему изложению является статья [3].
4 Зак. 1174. Ю. Швингер

50 ГЛАВА I
При использовании оператора Ор мы должны ограничить
вариации электрического поля условием
которое тождественно удовлетворяется, если
8^"@) (к) = d{D 82(fc) (I) • Z(k)(D= — Z(X) (ft) •
Это дает выражение
dcs -2F(k)(n^(k)(l)-
Из выражений для изменений, вызванных вариацией
вытекают тогда перестановочные свойства
(ft)
A.57)
Последнее равенство эквивалентно выражению A.56).
Иной вывод используется при^бесконечно малом измене-
изменении внешнего источника
распределенного на поверхности о (на отрицательной сто-
стороне), лг(О)=О. При этом соответствующим оператором
является
°т ~ J dz \2 Ьм (fc) (Ч F № @ — 8от (ВД W ^W №> J '
Изменение, произведенное в компонентах поля, следует из
уравнений поля A.47) и из свойств тензора поля A.46),
выражаемых уравнением
V* + dfi* + <W = 0- A -58)
Таким образом,
@> ф — SM(о) (j)) = — dik) 8F(fc) @ + a(
d(o) 8f"(fc) (zi = d(D Sf"(o) (ft) — ^(fc) 8

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 51
что дает следующие разрывы З/7^,, при переходе через
поверхность:
8^"@) @1 = д(к) 8/w(fc) (?) >
^F(k) «I — dU) 8/w(o) (ft) — дШ 8/w(o) (»•
В запаздывающем описании эти разрывы являются действи-
действительными изменениями в компонентах поля на поверхности а.
Согласно общей формуле A.23), получаем
дШ 8/Я(*) (,) = i \F(q)(г), От],
дй) 8/w(o) (ft) — дШ 8/»(о) (г) = ' [^(л) (г) • Gm\ •
Ввиду произвольности значений 8да№, на поверхности о из
этих уравнений вытекают перестановочные соотношения для
напряженностей полей, которые совпадают с соотношениями
A.55)—A.57).
Мы дадим родственную процедуру, которая также по-
показывает возможность вычисления перестановок величин поля
в точках, разделенных времени-подобным интервалом. Два
уравнения поля A.47) и A.58) можно объединить в уравнение
— <?*/> = ^ (у,+/,) — а, (У;+jj
(мы включаем к^ в у,). Изменение внешнего тока, опреде-
определяемое выражением A.53), дает
^ — д^му;+ dMU = Vx 8Мл — <?A 8AV, A.59)
где в запаздывающем описании
8*/> (х) = i\ F^(x), J (dx') 1 ЬМХх (x') Fu(x') =
La, J
— разрывная функция
'
ч\+(х — x')=±l, xo> x'o,
;
Для %mJi(x) мы имеем аналогичное выражение. Сравнивая
коэффициенты при ЪМхх(х') в выражении A.59) (два наших
4*

52 Глава i
рассмотрения, использующие внешние источники, отличаются,
таким образом, поверхностным и объемным распределе-
распределением S/W^ соответственно), находим
jfo х — х) i [/>, (x), FXx (*') ] — д^чц- (х — x')tX
X [Д (*). ^x, (*01 + df\+ (x — x') t [Д (x), FXx (^0 ] =
= (Svx^^x — «„^dx — Ь^д, + \.ЛЪ) 8 (x — x'). A.60)
Значение величины
для равных времен получается иа коэффициента при произ-
производной 8-функции от временной координаты и дает результат,
который следовало ожидать.
В приближении, в котором пренебрегают динамической
связью между токами и полями в точках с времени-подоб-
ным соотношением, дифференциальное уравнение A.60) имеет
решение
tj+ (х— х') I [/=;,(х), FXx О') ] =
= (8,х^^х — «„^ — в^дА -+- Ъ^д&) Diet (х — х1),
где DT()t(x — х')—обычное запаздывающее решение уравнения
— dlDT6b = b(x— x'). A.61)
Если бы мы использовали опережающее описание, то т)+ за-
заменилось бы на —т)_, где
т)_ (х — х') = 0, лго > Xq,
¦»!_ (х — х') = 1, х0 < лго,
и появилось бы опережающее решение уравнения A.61).
Вычитая один результат из другого, находим
' [/^ (х), FXx (xf) J =
где D(x — х')—решение однородного уравнения A.61),
даваемое равенством

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 53
Кинематическое соотношение между электромагнитным полем
и заряженными полями на данной поверхности о наиболее
ясно обнаруживается при специальном выборе калибровки,
так называемой калибровки излучения:
<*(*И(ад=О. . A.62)
При этом выборе калибровки уравнение связи для электри-
электрического поля имеет вид
так что скалярный потенциал полностью определяется плот-
плотностью заряда
А (о) (х) = J do' 3), (х — *') G(о) (*') -+¦ J@) (x') ),
где
Очевидно, потенциал Л@) не коммутирует с компонентами
заряженных полей. Таким образом, при этой калибровке
зависимость электрического поля от заряженных полей ста-
становится явной благодаря разбиению электрического поля на
поперечную и "продольную части:
^@)(fc)= — d{O)A(jc) — дAс)А(р) — /^@)(fc)-|- F@)(ky
Заключение, что поперечные поля являются независимыми
динамическими переменными электромагнитного поля при
этой калибровке, подтверждается при исследовании произ-
производящих операторов Ол и Ьр. Действительно,
°л = — J 4<з Fi0) (fc) ЬА (М = — J
J
do bFi
в силу поперечности вектора А(Ъу согласно уравнению A.62).
Теперь можно вывести перестановочные свойства этих дина-
динамических переменных из выражений
И СИ.

54 ГЛАВА I
принимая во внимание ограничения
= О,
имеющие место в силу поперечности этих величин. Метод
лагранжевых множителей позволяет нам найти
I [А(к) (*), Fffifo (*0 ] = 8(fc) (|)8. (х — х) + д'0)\(к).
Если дивергенция поперечного электрического поля равна
нулю, то
откуда
(¦* — до-
дополучающаяся перестановка
)
(х)] = 5(fc)да8о(х — х) — дшдъта{х — х)
также совместима с поперечностью вектора >l(fcv Остаю-
Остающимися перестановочными соотношениями являются
Используем метод внешнего поля для вывода перестано-
перестановочных соотношений между тензором электромагнитного поля
и производящими операторами смещения Р„ и У^. Согласно
выражению A.49) и уравнению A.50),
«1
i) — /\(aa) ^ J
= J (dх) [. .. -f- Ах (х^ —
здесь мы указали лишь члены, содержащие внешний ток.
Рассмотрим бесконечно малое изменение в последнем, имею-
имеющее вид A.53)^ В запаздывающем описании результирую-

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 55
щИми изменениями в величинах Л, и 7^ на поверхности ох
буДУт
У 1
[т
Выражая это через производящий оператор
получаем следующие перестановки:
В заключение мы заметим, что обобщением выражения
A.31), включающим электромагнитное поле в калибровке
излучения, является
()
излучения, является
Р(к) = J do [^ (^г). Л», (I)} — Х
При получении выражения для Я@) следует учесть некомму-
некоммутативность Л@) с х> н0 это не дает дополнительных членов.
Вариация каждого из независимых полей дает
что подтверждает согласованность производящих операторов
смещения с различными производящими операторами вариа*
ций поля.

56 ГЛАВА I
ЛИТЕРАТУРАМ
1. Sch winger. J., Phys. Rev., 82, 914 A951). (Имеется перевод
в сборнике. Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 254.)
2. В h a b h a H. J., Rev. Mod. Phys., 21, 451 A949).
3. Pauli W-, Handbuch der Physik, Bd. 24, 1943. (Имеетсяперевод
Паули В., Общие принципы волновой механики, М. — Л.,
1948.)
4*- Sch winger J., Phil. Mag., 44, 1171 A953).
x) Здесь и в дальнейшем литература, отмеченная звездочкой,
добавлена переводчиками.

ГЛАВА II
Здесь исследуется электромагнитное поле, возмущенное задан-
заданным током- Все величины, представляющие физический интерес
в различных случаях, — собственные значения, собственные функции
и вероятности переходов — вычисляются из общей функции преоб-
преобразования, которая дана в не-эрмитовом представлении. Рассматри-
Рассматриваются следующие проблемы: определение собственных значений
и собственных функций оператора энергии-импульса для изолиро-
изолированного электромагнитного Поля и собственных значений и соб-
собственных функций оператора энергии для поля, возмущенного то-
током, не зависящим от времени; вычисление вероятностей переходов
и средних значений чисел фотонов для зависящего от времени
тока, который отличен от нуля только в конечном промежутке вре-
времени, а также для зависящего от времени тока, принимающего
неисчезающие и не зависящие от времени значения вначале и в
конце. Результаты применяются при обсуждении инфракрасной
катастрофы и адиабатической теоремы. Показано, как. последнюю
можно использовать для единой формулировки всех проблем, тре-
требующих вычисления вероятностей переходов или смещений соб-
собственных значений.
ВВЕДЕНИЕ
Подойдем к общей проблеме взаимодействующих полей,
исследуя более простой случай, т. е. случай, когда имеется
одно поле, которое возмущается извне. В этой статье мы
исследуем систему Бозе Эйнштейна на примере поля
Максвелла с заданным электрическим током. Последующая
статья будет посвящена полю Дирака.
Решение всех динамических вопросов достигается по-
построением функции преобразования, связывающей два описа-
описания системы, соответствующие различным пространственно-
!) J. Sen winger. The Theory of Quantized Fiel4s, III, Phys.
Rev.,. 91., 72S—740 A953).

58 ГЛАВА II
подобным поверхностям. Так, для замкнутой системы общую
функцию преобразования можно выразить в виде
т'.т"
где "(— полные совокупности совместимых интегралов дви-
движения, посредством которых можно выразить вектор энер-
энергии-импульса Рц.. В представлении f результат бесконечно
малого смещения at дается выражением
К (тЧ I тЧ) =' (т'«»11 р^ КI т'Ч)=ip{ К (t'«i I т'Ч).
где Р'р.— Рц.(ч')- В соответствии с этим, если поверхность ох
параллельна поверхности о.2 и получается из последней сме-
смещением на Х^, то мы имеем
^ (|T)p(;^)(/|2) B.1)
т'
Это показывает, что, зная функцию преобразования, которая
связывает два подходящим образом выбранных представле-
представления на параллельных поверхностях, можно . получить все
собственные значения и собственные функции оператора /-*,..
Функция преобразования полезна также и в случае,
когда та же система возмущается извне внутри простран-
пространственно-временной области, ограниченной поверхностями at
и «j2. Функция преобразования (^/о11 ч"а2), которая полу-
получается, если известна функция (CioJ C2O2), дает тогда ве-
ве"
"
роятность перехода из начального состояния "\" в конечное
состояние if', т. е.
O = |Cr4lT^-2)l1. B.2)
Особенно удобные представления получаются npw опре-
определении вакуумного состояния для полной системы. Вакуум
есть состояние минимальной энергии. Если это естественное
начало отсчета энергии принять за нуль, то, вакуум можно
описать как состояние, проявляющее одинаковые свойства
по отношению ко всем наблюдателям, т. е. P]fW'o = Jv,lWo = O,
и не зависящее от поверхности о. Если теперь компонента х
общего поля разлагается по компонентам ^ра с различными

МАКСВЕЛЛОВО ПОЛЕ 59
частотами, то мы имеем [ур^, Р0]=р0у#, или Qy^
=*У.р Со— А))* Если эт0 соотношение, содержащее поло-
положительную частоту Pq > 0, применяется ic вектору состоя-
состояния вакуума, то получаем
Следовательно,
*Л = °. А>>°. B-3)
так как состояние с энергией, меньшей, чем у вакуума,
должно отсутствовать. Аналогичное рассмотрение дает
^07^ = 0, А><0,
т. е. равенство, сопряженное с равенством B.3). Вектор Wo,
таким образом, характеризуется как правый собственный
вектор положительно-частотных частей компонент поля х(+)
с нулевыми собственными значениями, а Чго выступает в ка-
качестве левогр^обственного вектора отрицательно-частотных
частей компонент поля yl~) с нулевыми собственными зна-
значениями. Следует заметить, что разбиение на положительно-
частотные и отрицательно-частотные части инвариантно
относительно ортохронных преобразований Лоренца. Полные
совокупности собственных векторов этого типа будут, оче-
очевидно, иметь особое значение для построения собственных
состояний оператора энергии.
МАКСВЕЛЛОВО ПОЛЕ
Электромагнитное поле на заданной поверхности о про-
простейшим образом описывается различными полными совокуп-
совокупностями коммутирующих операторов, т. е. поперечным потен-
потенциалом Ак(х) и поперечным электрическим полем Fok(х) *).
Следуя предположению, сделанному в предыдущем разделе,
мы вместо этого будем использовать не-эрмитовы опера-
операторы Fok\x) и Fo^ix), которые в отсутствие внешнего
О В очевидных случаях, когда это не может привести к недо-
недоразумению, мы не будем употреблять более полного обозначения
^@)'fc) (•*)¦ Такой способ обозначения подчеркивает, что имеются
в виду поперечные компоненты поля относительно локальной си-
системы координат, базирующейся на поверхности а.

60 ГЛАВА II
тока являются положительно-частотными и отрицательно-
частотными частями оператора поля FQk(x). Уравнения
поперечного поля при нулевом токе имеют вид
— д0Ал = Fok, doFOk = — д*Ак — <о2Ак,
где «о — координатный оператор, определяемый матрицей
(x— х')),
которая симметрична и положительно определенна. Если
записать
где
то уравнения движения приобретают вид
что в силу положительной определенности со подтверждает
интерпретацию операторов FhV> F'm-
Каноническую форму бесконечно малых производящих
операторов
Ол = J da (— Fok) ЪАк, Oj? = fdo Ak bFo
ok
можно распространить на производящие операторы беско-
бесконечно малых изменений в не-эрмитовых операторах FoV
и Foj? в смысле уравнения преобразования О—О = b(W).
Таким образом,
f [/ do
.и
[J
do [\ a?>f№+-i 4-W 4-

МАКСВЁЛЛОВО ПОЛЕ 61
что дает
= J da 2Ак~.] ЬРй> = 2i J d
_) = J da 2А(к+) ЪР& = —
da
Перестановочные соотношения на поверхности а, порождае-
порождаемые этими производящими операторами, имеют вид
[PloV(x), FiV(x')] = [P\rk\x), /^ (*'»= О
и
)(х')\ =
Последнее соотношение можно также записать в виде
[FftW, /7{,7)(^)]=j(Sw(xico|x0)(;r). B.4)
Эти операторные свойства можно прямр проверить с помощью
свойств операторов FOk и Ак.
Следует отметить, что существует некоторая свобода
в выборе производящего оператора для данной совокупности
независимых переменных. Например,
также является производящим оператором бесконечно малых
изменений в операторе поля Fqjc, так как
O,(+J — rOFi+y = — J do 2Ak+) bF(oV =
«- 2/ J do F^'ca-1 SHft' = 3 [/ J da /?Й)ш/'
Аналогично этому
является другим производящим оператором, вызывающим
изменения в операторе поля F^,

62 ГЛАВА II
Понятие о собственных векторах можно с некоторыми
ограничениями распространить на не-эрмитовы операторы.
Мы введем правый собственный вектор полной системы
коммутирующих операторов F\)%v(x) на поверхности а, т. е.
и левый собственный вектор полной системы коммутирую-
коммутирующих операторов Fo~jt(x) на поверхности а:
Ф (/^'о) Ffe> (*) = Ф (Г*-*'a)
В силу соотношения F(o~jc)(x)= Fou\x)f эти собственные век-
векторы и собственные значения связаны равенствами
№ B.5)
Однако правый собственный вектор оператора /?ой) и левый
собственный вектор оператора /^й* не существуют. Это
можно заметить из перестановки B.4), представленной в виде
I'/foW. //7оГ) (х')] = 1 <8„ (х | (в | хО)(Г),
где
Vofc) (д;) = Ffc> (х) — F&' (х).
В применении к гипотетическому собственному вектору
() это соотношение дает
Противоречие между отрицательно-определенной природой
оператора слева и положительно-определенным характером
численного множителя справа устанавливает отсутствие
вектора *)¦ ^(/^'о) и, аналогично, вектора Ф(^+'а).
Рассмотрим значение изменения, вызываемого в собствен-
собственных векторах W(F{+)'a) и Ф^~'а) соответствующими про-
^ Из обсуждения, приведенного в первом разделе, видно, что
это связано с отсутствием состояния с максимальной энергией.

МАКСВЕЛЛОВО ПОЛВ 63
изводящими операторами G^+) и G^_) согласно взаимно
эрмитово-сопряженным уравнениям
Теперь Ф" (/7(+)'а) + 8ф1(/7(+)'а) является собственным векто-
вектором совокупности операторов Т3!*'— *>FiV с собственными
значениями Z7^' . Так как bFffi—произвольные бесконечно ма-
малые числа, то этот.вектор является также собственным вектором
операторов /7{jft) с собственными значениями Р\и?'—[-SFojcK
В силу этого изменение собственного вектора Ф^/^'а) свя-
связано с изменением собственных значений на величину %F'ot}-
Аналогичное утверждение имеет место относительно
()
Соотношение между собственными векторами W(F а)
и 'Ф"(/?(+/ а), на которые аналогичным образом действуют
соответствующие производящие операторы О '0
можно вывести из выражения
а именно:
)'o) = exp (— J rfa^)r •" W) V (Z5*^'o) =
= exp (- / / ^S,+)' F'Qp) W(Fw'a). B.6)
Сопряженное уравнение имеет вид
)' e) e ехр (_ J Л|^)'.-^)') ф (^->'а) =
= ехр ( / f daAlbY F&') Ф (/^'b). B.7)
Исследуем теперь максвеллово поле, находящееся под
действием заданного распределения тока J^{x)t Удобно вна-
вначале описывать соотношения между состояниями на двух

64 ГЛАВА It
произвольных плоских поверхностях ах и а2 при помощи
функции преобразования
'</*-Ч | /*+Ч) = (Ф (F^'ojW (/"+Ч)). B-8)
Зависимость этой функции преобразования от собственных
значений /'{он'*) и Fffilh) дается соотношениями
= 2/
B-9)
тогда как бесконечно малое изменение внешнего тока вызы-
вызывает изменение
Ч^ '(^Ч/^Ч). B.Ю)
На вариации тока накладывается ограничение <?„ 87^ = 0.
Поэтому, если переписать B.10) при помощи обозначения
BЛ1)
то к вектору Ар (х) можно добавить произвольный градиент.
Так как это совпадает со свободой калибровочного преобра-
преобразования, то мы не указываем этой возможности явно.
Функция преобразования B.8) имеет то преимущество,
что она позволяет объединить соотношения B.9) и B.11)
в уравнение
da» IF<-V ±-
- 2 J

МАКСВЕЛЛОВ О ПОЛЕ 65
которое имеет формальное решение
'(/Х-Ч I F{+Y4) = ехр [2 J d,,F^'
2 J do, /*+>' А-] '@в1 | 0а2). B.12)
Таким образом, проблема сводится к построению функции
преобразования, относящейся к нулевым собственным зна-
значениям.
Запишем *)
@3l|0a.2) = ехр
@ai|0a2) ^ (Х)> ¦
В этих обозначениях зависимость функции преобразования
с нулевыми собственными значениями от внешнего тока
описывается соотношением
^ (Л()}
или
-+оо
B.13)
где мы распространили интегрирование на все пространство-
время, предполагая, что ток исчезает вне рассматриваемой
области, т. е. вне объема, ограниченного поверхностями ах
и в2. Согласно уравнению для оператора поля
численная величина (ЛДл:)) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
— д\ (А^ (х)) 4- V, (Лч (х)) = У„. B.14)
Заметим теперь, что произвол калибровки (Л^) совер-
совершенно не влияет на выражение B.13), так как J^ исчезает
1) Штрих опущен, так как для нулевых собственных значений
нет различия между собственными векторами ЧГ(/^+)'а) и 'ЧГ (/^+J a).
5 Зак. 1174. Ю. Швиигер

66 ГЛАВА II
на границе расширенной области. Поэтому, имея целью
построение Wo, мы можем заменить дифференциальное урав-
уравнение B.14) уравнением
— д5{\)=^. B.15)
Нас интересует решение этого уравнения, совместимое
с граничными условиями:
(р[о)\к)) = 0 на поверхности alt
(р[а)\к)) = 0 на поверхности а%,
которые следуют из природы состояний с нулевыми соб-
собственными значениями на поверхностях ах и <з2. Так как
вектор тока равен нулю во внешней области, то мы можем
считать, что эти граничные условия эквивалентвы требо-
требованию: поле должно содержать только положительные ча-
частоты в области, составляющей будущее по отношению к alF
и только отрицательные частоты в области до <з2. Это ис-
исключает возможное решение однородного уравнения, полу-
полученного из уравнения B.15), откуда
{А^(х)) = J* (dx')D+(x — х')^{х'), B.16)
— оо
где D+(x — х') — функция Грина, определенная уравнением
— d*D+ (х — х') = 8 (х — х')
и требованием: она должна содержать лишь положительные
частоты при х0 > х0 и лишь отрицательные частоты при
х0 < хо- Она является поэтому временным аналогом условия
расходящихся волн или условия излучения, обычного в про-
пространственном описании гармонического источника -1).
Выражение B.16) с учетом соотношения
1) Функции Грина этого типа обсуждали Штюкельберг [1] и
Фейнман [2].

МАКСбЕЛЛОВО ПОЛЕ 67
указывает на то, что D+(x— х') является симметричной
функцией х и х'. В силу этого интеграл B.13) равен
+ ОО
= Y J (dx)(dx')J^(x)D+(x — х')^(х') B.17)
с точностью до аддитивной постоянной, которая равна зна-
значению 7t°0 для изолированного электромагнитного поля
(/ = 0). Преимуществом представления, которое мы исполь-
использовали, является то, что постоянная интегрирования равна
нулю. Действительно, состояния полной системы с нулевыми
собственными значениями, которые осуществляются, когда
электромагнитное поле не имеет внешних источников, являются
как раз не зависящими от о состояниями вакуума, откуда
при Jy. = 0
@0,10^)= 1, 7^0 = 0.
Дифференциальный оператор, появляющийся в решении
B.12), вводит в ~WU подстановку
\ (*) -+ J,. (х) -f 2 [8^ (х, ох) Fj-У (х) — \ (х, о2) /*+>' (х)].
Здесь Ь^(х, а) представляет собой одномерную S-функцию,
определяемую равенством
J* (dx) S^ (х, о) Д (х) = J* da^ (x).
Поэтому
где
J Fl-У (х
J
2 J do,, J* doi/^>' (x) D+ (x
2 J d^ J* rfa,' F^tr (x) D+ (x
— 4 J rf^ J rfav' 4xr (д:) D+ (jc — *') F[ty (x*). B.18)
5*

68 ГЛАВА II
Функция Грина D+(x— х') имеет следующее символиче-
символическое выражение:
D+ {х — х') = i- m-i ехр (— ш | х0 — ^ 1) 8 (х — х'). B.19)
из которого при xQ = х^ получаем
что позволяет отождествлять двойные поверхностные инте-
интегралы, входящие в выражение B.18) и относящиеся к одной
поверхности, с множителями, появляющимися в соотноше-
соотношении B.6) и B.7). Наш результат поэтому более просто
можно выразить в виде
Ч | F{+)> о2) = ехр AЖ), B.20)
где
7^=^0+ 2 J d^~y (х) (А, (х))~2 f d^F$y (х) (Л.,(х))-
— 4 J rfa,, J rf^F^ >' (a:) D+ (x — а:') ^Ц" >' (х').
В частности, при X = 0
= ехр [— 4i f d^ J do'4Ffcr (x) D+ (x — x') F$v (a:')] . B.21)
ПРИМЕНЕНИЯ
Для дальнейших исследований нужны будут явные выра-
выражения для функции Грина D+(x — х'). Представление трех-
трехмерной 3-функции, входящей в выражение B.19) в виде
интеграла Фурье, дает
D ,х _ ^ _ 1, г j*i И *ik (*-*'}- хо > < B 22)
D+(x x)--l)—^e_.k(x_xi)^<x^ B.22)

ПРИМЕНЕНИЯ 69
где Ло = | к | — положительная частота. Инвариантность
этого выражения более очевидна при записи с помощью
четырехмерного интеграла
D+ (х — *0 = i J |gi 8 (А«) е** «•—'),
где интегрирование ограничено положительными частотами
при хо^> х'о и отрицательными—г при л:0 < x'Q. При другом
четырехмерном написании никаких условий на область инте-
интегрирования не накладывается
*) — ]
1
Пс1!Г.-!К'
Выразим тензорную функцию Грина Z^D+(x — х') при
помощи четырех ортонормированных векторов, связанных
с каждой плоской волной
Выберем первые два вектора так, чтобы удовлетворить
условиям при Х=1, 2
где п^ является произвольным времени-подобным единичным
вектором:
»«—1.
Остальные два вектора имеют следующие явные выражения:
и
Поэтому, используя трехмерное выражение B.22), имеем
<<*) 1 „
B.23)
Для применений, относящихся к параллельным поверх-
поверхностям, имеется-другое полезное выражение для-Т^, которое

70 ГЛАВА II
соответствует построению {А^) при калибровке излучения,
одинаковой для обеих поверхностей:
(Ао (х))жляшв. и3л. = / (dx') ?Б(х~ х') Уо (хг),
(Ак (д:))Калиб. и3л. = J (rf^O D+ (x — *0
где
25 {х — х') = Ъ(х0— х'0)@(х—х')и @(х— х') = ^-|х—x'l»
Таким образом,
— J0(x)@(x — x')J0(x')}. B.24)
Для непосредственного доказательства эквивалентности выра-
выражений B.24) и B.17) используется формула для продоль-
продольного тока
и тождество
= дк J
Vo J*
+ (л; — х")Qi(х" — л/). B.25)
Последнее можно выразить эквивалентным образом в сим-
символическом виде
(х — х') = ш-^S (дг0— jcJ) В (х — х'
B.2б)
Нулевой ток. Мы используем специальное выражение
для функции преобразования B.21), для того чтобы пока-
показать, как построить собственные значения и собственные
функции оператора Р^ для полной системы. Предполагается,
что поверхность a-t получается из поверхности а2 путем
параллельного переноса на X, который переводит точку х2
на поверхности а2 в точку xt. Так как поверхности парал»

ПРИМЕНЕНИЯ 71
лельны и собственные значения относятся к поперечным
полям, то равенство B.21) можно записать в виде
= ехр [— 4i J da f da'F^' (*) (ZmnD+ (x —
Если времени-подобный вектор п^ отождествить с общей
нормалью к обеим поверхностям, то мы увидим, что три
вектора e^Q^k) (X= 1, 2, 3) являются чисто пространствен-
пространственными векторами, тогда как четвертый вектор обладает лишь
временнбй компонентой. Более того, первые два вектора
ортогональны к вектору к, которому параллелен третий
вектор. Поэтому при х0 >¦ д^
-i' 2
X=l, 2 ft
где мы также заменили интегрирование по к суммированием
по ячейкам объема (tfk)«
Определяя величины
1 f daF0-m4x)em(Xk)e^ ^ B.27)
(x), B.28)
являющиеся соответственно построенныл?и линейными ком-
комбинациями F(o~^ на поверхности ох и /^+1 на поверхности о2,
получаем
(/^->'в11 F'+>',2) = ехр Г ^ ^Ха1^' ett}' 1 -
д("Г)п О(+у)"
exo
P

72
ГЛАВА II
или
Сравнение с выражением B.1) показывает, что
D /*,Ч "%л п Ь и Г\ 1 О /О ООЛ
и. у. \ / ^ t '^Xk u.> Xft ^» *¦ 9 ~> •".» ^Z.Z!7_/
Хй
где, в частности,
Хй
и что
Хй v '
Числа заполнения пхк дают полную совокупность интегралов
движения.
Заметим, что если собственные значения в соответствую-
соответствующих точках связаны соотношением Г\^' = F<$'*, то мы
имеем а\Тсу = охй*'*. и поэтому (F(~r [«) = («[ /?(+)' )*, как
этого требует выражение B.5). Зная эти простые собствен-
собственные функции, можно построить собственные функции любого
другого интересующего нас представления. Можно также
выразить наши результаты безотносительно к представле-
представлению. Замечая, что собственная функция вакуумного состоя-
состояния равна (F^+) o|0)=l,' можно написать
DРТ
<nl)Vl
(F
(+)\
0) =
Поэтому
(^+>'° П
\ Хй
= F'+y
(я!I*
0

ПРИМЕНЕНИЯ 73
являются собственными векторами состояния с числами за-
заполнения фотонов, равными пхп.
Ток, не зависящий от времени. В этом случае УA(л;) =
= У!1(х), оператор энергии Ро является попрежнему инте-
интегралом движения и его собственные значения и собственные
функции получаются из функции преобразования, характе-
характеризующей смещение во времени
где t± и ?а являются временными координатами, которыми
отмечаются а^ и з2-
Используя выражение B.24) для ^°0, получаем
о = — Еф) 7-1-i- / (dx)(dxOA(x) X
t,
где
E @) = — -i- J (rfx) (rfx') ./„. (x) S> (x — x') J^ (x').
В соответствии с символическим выражением B.26)
f dxodxo[D+(x — x')—3!(x — x')] =
= Г с?л;0 rfjco^o(?o -я-^^ *Ш Ж° Х° 8(х — x') =
•^ L * J
= /(o-S(l~e-iair)8(x —x'),
так что
Кроме того, при ^0 = ^

74 ГЛАВА II
и при х0 = t2
Таким образом, функция преобразования B.20) получается
в виде
- ехр [-^@) Г
-2 J (*) X
X (/?te)'+4" ^-/АI~^ (rtV' — Y^-1^)] • B-30)
Здесь мы разделили на функцию преобразования
3 *'/^*)r (jc) D+ (jc—JcO
= exp [2 J
относящуюся к одной и той же поверхности.
Очевидно, желательно использовать новое описание,
характеризуемое собственными значениями Foj? и /^д , где
.-1
и
(+) А+) 1 „,-2 , "Л-) ,(-) 1 -2
Соотношение между собственными векторами W (F^ о) и
W(F("H ^ можно вывести при помощи производящего опе-
оператора
+)) =, J daiA^FW = J do BЛй-> — «Г

ПРИМЕНЕНИЯ 75
где сохранена симметрия между Fob1 и JFot\ связанная
с подстановкой ./ft—»¦ — Jk. Таким образом,
= ехр [/ fd*Jk «-•.*¦ (F'oV -f ??>)] V (F^ о)
= ехр [i J Л^оТ2/^' +^ /
и
Ф (F^'o) = exp[—i J ЛУ^-2^)' +1J
Исследуя далее, заметим, что
[2 / ЛW»
') = ехр [
= ехр [- / / dayftW -2^>' + |J ^ш-Ч] (/=•<->' | F<+>') X
X ехр [* J
откуда следуют те же самые трансформационные свойства
собственных векторов. Так как эти преобразующие множи-
множители не зависят явно от поверхности, то отношение функ-
функций преобразования [см. выражение B.30)] сохраняет свою
структуру при введении нового представления. Следова-
Следовательно,
()'?(+)T ^ B.32)
где
тг = - е @) т— 2i f (Л) n*)r
= — Е @) Т— 4 J rfs J tfo'7V(*) D+ (д; —
, Oj О,
За исключением множителя ехр (— iE @) Т), эта функция
преобразования по форме совпадает с функцией B.21).
Разложением B.32) при этом будет
где
г — -
хй " Хй
Xft

76 ГЛАВА II
Мы видим, что Е @) следует интерпретировать как энергию
фотонного вакуума, т. е. состояния с минимальной энергией
(йХй = 0). По отношению к этому смещенному началу от-
отсчета собственные значения энергии оказываются теми же,
как в отсутствие тока. Можно сказать, что поле FQk опи-
описывает чистое излучение, не связанное с внешним током.
Действительно, соотношения B.31), записанные в виде
А1к+) (х) = Д+) (*) —\ / (dxf) 3> (х — х') 4 (*0.
А\Г\х) = 4Г> (х) — \ J (dxf) ДГ(* — jcO Л (*0,
представляют процесс удаления из -^ft(jc) не зависящего от
времени потенциала, вызванного статическим током; это от-
относится как к Лй+), так и к ЛдГ*. Ввиду отсутствия связи
между статическим полем и полем излучения собственные
значения импульса, так же как и собственные значения энер-
энергии, можно приписать квантам излучения, как это отражено
в выражении B.29).
Токи, зависящие от времени. Обсудим теперь ряд про-
проблем, в которых физические сведения, содержащиеся в общей
функции преобразования B.20), относятся к вероятностям
переходов, а не к собственным значениям. Предположим
сначала, что ток равен нулю на поверхности о2, изменяется
произвольным образом в области между параллельными по-
поверхностями Oj и о2 и опять обращается в нуль на поверх-
поверхности а1. Таким образом, физические состояния на поверх-
поверхностях а1 и о2 являются состояниями изолированного элек-
электромагнитного поля, и мы хотим вычислить вероятности
переходов, вызванных возмущающим током.
При этом
2 J doFfa? (x) (Am(x)) = 2 fdoFW (*) J (Ac7) X
X (*mnD+(x — лг'))BЧ(*') = — 2«&У ^Л*
2/ daF№ (х) ( Ат (х) ) = 2 J daFbV (x) J (dx') X
^ A.
и

ПРИМЕНЕНИЯ 77
где
Величина 7^°, определяющая функцию преобразования
(/=¦(-)'ог |/=1(+)'о2), таким образом, получается в виде
ж- = ж0—
2 [4а>' ^ifta!
Функция преобразования в соответствии с соотношением
-> о, 2
а) 2
п, п'
будет служить тогда в качестве производящей функции для
(яз1| rt'o2), откуда вероятности переходов находятся по фор-
формуле B.2).
Несколько более удобно иметь дело с элементами ма-
матрицы
(п | 5 | п') = e~iF (*) *. (rtOi | л'ог) е^ (»')«•,
р(п, я')=[(«|51«'I2.
так как они не зависят от поверхностей ог и о2, если только
ток равен нулю на этих поверхностях. Следующая подстановка
представляющая преобразование к общей поверхности отсчета,
дает производящую функцию
ехр<77^0)Цехр[а(-)'а(+)' —ia(~Y J— irt+У Г] =
2 ^""^ | я) (я | 51 л') (я' | F{+y ). B.34)
п, п'
Выделяя коэффициенты при определенном (Р^~у \ п), получаем
частичную производящую функцию
(rt [ о I fl )(tl \ г ) (Z.oo)
п'

?8 ГЛАВА it
и аналогичным образом
exp (iTSQ TT [^^"f/^ ехр (— /а(-)'УI =
у \n)(n\S\h'). B.36)
Прежде чем перейти к непосредственному доказательству
свойства унитарности оператора S, вычислим мнимую часть
от Wo. Согласно выражению B.24),
2 Im Жо = J (dx) (dx') Jm (x) Im (?mnD+ (x — *') )(T) Уи (*'),
где в соответствии с формулой B.23)
lm(bmnD+(x — xO)(T) =
ikaien(Щe~ika1'-
*
Это выражение справедливо без ограничения относительно
Хо — Хо. Поэтому, с одной стороны,
2Im^0 = 2lA*i2.
Xfe
С другой стороны, инвариантное выражение B.17) дает "
2 Im Жо = J (dx) (dxr) J^ (x) Im D+ (x — xr) J^ (xf),
где
что можно записать в виде
2 Im Жо = 2 /ft.
А:
Здесь
Х = 1, 2
при этом следует понимать, что комплексное сопряжение
не относится к Ji = /Уо. Поскольку эти два вычисления не-

ПРИМЕНЕНИЯ 79
обходимым образом эквивалентны, то это указывает на полное
сокращение интегралов, связанных с i = 3 и 4.
Умножим выражение B.35) на комплексно-сопряженное
соотношение
п'
и произведем суммирование по п:
(F{'y \ S+S \ F{+y ) = П ехр [— 1J |2 + (а(-) -+- U*) (а(+) — /У) +
откуда S 5=1. Отметим здесь свойство симметрии 5.
В силу инвариантности производящей функции B.34) при
подстановке
имеем
Хй
откуда следует равенство
р(я, п')=р(п', п.).
Рассмотрим элементарное приложение производящей
функции; для этого положим в выражении B.36) #^ = 0,
что даст
(п | 510) = ехр (iW^ ff (- Ц)п
1 B.38)
ХА
для случая, когда вначале нет квантов. Если нас не инте.-
ресует поляризация излученных квантов, то мы можем

80 ГЛАВА II
воспользоваться биномиальной теоремой и формулу B.38)
заменить формулой
J
ft
Общий элемент матрицы 5 получается в виде
ПГ fn+n'
где функция / , (х), симметричная по л и л', дается выра-
' п, п
жением
В этвм соотношении, выраженном через полиномы Лагерра1),
п> и п< представляют собой большее и меньшее из целых
чисел п и я'. Общая вероятность перехода получается,
таким образом, в виде
B.39)
В частности, вероятность того, что не будет изменения
в числе квантов, равна
р(п, я) =
Если квантовые числа лил' будут велики по сравнению
с единицей и Ал = л — п' <^С л, п? для данного состояния
поля излучения, то множитель в вероятности перехода, отно-
относящейся к этому состоянию, можно заменить асимптотическим
разложением функции Бесселя:
Можно придумать другую производящую функцию для
вероятностей переходов, которая будет иметь то преиму-
Мы следуем определению, данному в справочнике [3], стр. 84.

ПРИМЕНЕНИЯ 81
шество, что даст средние значения степеней конечных чисел
заполнения. Сначала произзедем в выражении B.35) подста-
подстановку «х&; —> affl е~гЬяг Где -f}k — произвольные постоянные.
Затем результат
ехр
П
умножим на выражение B.37) и произведем суммирование
по я. Это даст соотношение
S (^")Г I я') (я' 15+ | я) ГЦ ехр (?Т (л — п"))] X
Х(я | S | л")(л"[ F(+)') = Д ехр [«(-)'я
\к
— /af+)' (в-*т—
которое имеет ту же структуру, что и B.34). Рассматривая
диагональные матричные элементы п'Хк = п"к, находим
S ГПехр (/т (« — «О I р (л, я') = /П ехр (if (я — я'))) =
1)|у|а)з. B.40)
Правая часть, таким образом, представляет собой производя-
производящую функцию для вероятностей переходов, если ее разло-
разложить по положительным и отрицательным степеням функ-
ции е Vc. Разложение по степеням -*Хк служит производящим
оператором средних значений всех степеней величин п)к —п'У1с.
Пользуясь другим представлением этого результата,
а именно:
ХЛ " ХЛ
можно получить средние значения произведений с числом
сомножителей, последовательно уменьшающимся на единицу.
6 Зак. 1174. Ю. Швннгер

g2 ГЛАВА It
Таким образом, в специальном примере, где за начальное
состояние принято состояние вакуума и где
для некоторого частного состояния найдем
чтб характерно для распределения Пуассона. Первыми двумя
средними значениями, выведенными из общей производящей
функции, будут
< (*ис — nxh> )п> = I Ль Га B-4 !)
и
((пХк — п[кУ*)п, = ((пкк — пХк))*,-(-Bп[к-\- \)\JXk|2.
Едва ли нужно подчеркивать статистическую независимость
различных состояний.
Если нас не интересует поляризация излученных квантов,
то достаточно отождествить параметры, соответствующие
разным поляризациям, -у^ —Т*# Чтобы получить сведения,
относящиеся также к неполяризованным падающим квантам, мы
должны произвести усреднение с равными весами по числам
фотонов, поляризованных различным образом, причем эти
числа должны быть совместимы с заданным числом фотонов
в определенном состоянии распространения пflk -f- nfZk = п'к.
Это можно сделать при помощи теоремы сложения полино-
полиномов Лагерра. Результирующая производящая функция без
учета поляризации имеет вид
S [11ехР (*т О—п>))] р (»• л0 = A1>хр (п- (я — яО
=^[[(я'+1Г1Л1'((^Т— 0(*-*Т— D/)exp((eiT— 1OI.
Некоторые из средних значений равны

ПРИМЕНЕНИЯ 83
Во втором примере, связанном с вычислением вероят-
вероятностей переходов, предположим, что ток не зависит от
времени в окрестности поверхности о.2, изменяется произ-
произвольным образом в области между параллельными поверх-
поверхностями с?! и о2 и опять становится не зависящим от вре-
времени около поверхности ot. Эти предельные формы /Дх, 1)
и ./^(х, 2) не обязательно одинаковы.
На каждой поверхности мы используем описание, соот-
соответствующее току на этой поверхности
T f
= ехр [— i f doJk(l) (o-2F^)f +
X exp [/ J* dojk B) o>-2Hty + -J- / d°h B) "> B)] > B-42)
где
— !¦/«>-% B).
Если бы ток был постоянным, то эта функция преобразо-
преобразования имела бы вид B.32). В соответствии с этим мы
должны иметь возможность выразить все дополнительные
члены через производные по времени от тока. Способ, при
помощи которого это осуществляется, можно проиллюстри-
проиллюстрировать, вычисляя выражение
& (х) ( Ак (лг) ) = — J daFW О) J* dx0 f (dx'} д'о X
X D+ (х — *') to/* (*0 = J doFf/ i- (o
+ J rfa J rfa'Hl)f (jc) D+ (x—x) to/* (x',
+ J rfaF^5' ( x) J (rfArO D+ (jc — x') m^d'oJ
Члены, содержащие /fc(l) и /fcB), сокращаются, если пред-
представить соотношение B.42) как функцию переменных F\H
6*

84 глава ii
и F$t'' Выполняя аналогичное преобразование для Wo при
помощи формулы B.25), получаем
= exp \ifTQ— lifdaf Л'ЭД (*) X
«i «а
— • —
X D+(x — х') F'oV (*') + 211 dsFW {х) f (dxr) X
X ?>+ (л: — л:') /ш-^оЛ(л/) + 2/ J </3ВД' (х) X
"а
J* (rfJfO ?>+ (•« — *0 /">"^оЛ (А?0 ,
а, А
X
а,
где
х-х-)-\-
4-4- Г (dx)(dx')doJtP(x) cd^D. (x — x') o>"
Введение переменных а[ь и а[~ь [см. определения B.27)
и B.28I приводит функцию преобразования к виду
(/^""''о! I ^+)'о-2) == ехР О^°о)ПехР 1а(-) eikXla^ e~ikx* —
— /а(-)'eikXiJ— /с(+)' e~ikx\J*\, B.43)
где
v "^ ~—) 1 (dx) em (\k) e~ikx-г- d0Jm (x), B.44)
причем интегрирование производится по всему простран-
пространству-времени при предположении, что в расширенной
области ток имеет не зависящее от времени значение,
соответствующее ближайшей поверхности, ограничивающей
рассматриваемую область. Чтобы представить этот резуль-
результат в виде производящей функции для не зависящей от
поверхности унитарной матрицы
(п 151 я') =

ПРИМЕНЕНИЯ 85
необходимо дальнейшее преобразование Wo. Действительно,
первый член выражения этой величины равен
*,
— fdx0E@, хо) =
Ч
+СО
= — [ttE (О, 1) — t.^E (О, 2)] + | dxQxod<? (О, х0).
—со
Подставляя
получаем теперь искомую производящую функцию
exp (mo)JIl«(")'«(+)' — i~a(-yJ — &+vT\ =
хл _
= 2 (^(~V | я) (я 151 яО (я' | F(+)'), B.45)
и, и'
где функция
+ СО +ОО
,== J* dxoxodoE @, Jfo) + Y j*
— CO _ —CO
-^(jc — лгОоГЧ/л'Ч*') B-46)
такова, что
Производящая функция B.45) совпадает по структуре
с производящей функцией B.34). Поэтому вероятности
переходов и средние значения даются выражениями B.39)
и B.40) при замене JXk на Jkk. Если ток равен нулю на
границах области, то интегрирование по частям сводит JXk
к Ль- Заметим также, что если ток не зависит от времени,
то из формулы B.45) следует (л|5|«0 = <Нл, п'У Это
указывает на стационарный характер состояний, характери-
характеризуемых числами фотонов.
Инфракрасная катастрофа. Согласно формуле B.41),
среднее число фотонов, излученных в определенном состоя--
нии, дается выражением
+СО

86 ГЛАВА И
Рассмотрим теперь настолько низкие частоты, чтобы длины
волн были велики по сравнению с линейными размерами
пространственно-временной области, в которой изменяются
токи. Среднее число фотонов каждой из поляризаций, кото-
которые появляются в области таких низких частот, равно тогда
+ о6
I т Сх о\\ 2
Это число становится бесконечным, когда нижний предел
частоты стремится к нулю. Любое временное изменение
тока производит таким образом логарифмически бесконечное
число фотонов нулевой частоты—факт, хорошо известный
как „инфракрасная катастрофа". Следовательно, мы находим,
что вероятность излучения конечного числа фотонов равна
нулю. Чтобы уклониться от утверждений подобного типа,
вспомним, что во всяком экспериментальном устройстве
имеется минимальная регистрируемая частота kOt min, и, сле-
следовательно, мы не имеем сведений о числе фотонов, излу-
излученных в состояниях, частоты которых меньше &0>min- Если
просуммировать общую вероятность переходов B.39) по
всем конечным числам заполнения, относящимся к этим
ненаблюдаемым состояниям, то останется то же выражение,
построенное лишь из наблюдаемых состояний. Последнее
даст неисчезающие вероятности излучения конечного числа
фотонов, причем зависимость каждой вероятности перехода
от &0(min выражается множителем
[со +со
— J -krf-^F J
А —со
О) Ц1111
Эта величина представляет собой вероятность того, что
не будет излучен (наблюдаемый) фотон, если ни одного
фотона не было вначале.
Адиабатическая теорема. Это важное утверждение
относится к тому случаю, когда.ток изменяется от своего

ПРИМЕНЕНИЯ 87
начального значения к конечному со скоростью, определяе-
определяемой полным истекшим временем T=tt — ?2. Нас в особен-
особенности интересует предел, при котором Т становится очень
большим по сравнению с периодами всех наблюдаемых
состояний, т. е. kOimin T—*¦ оо. Указанное описание изменения
тока со временем количественно выражается соотношением
Т
= Л*
Следовательно, величина интеграла, появляющегося в фор-
формуле B.44), в основном определяется выражением
1
J
о
Далее, по лемме Римана — Лебега1)
1
Lim
о
если только
1
О, B.47)
о
Этого достаточно, чтобы показать, что
Если y(ft(C) имеет ограниченное полное изменение, то инте-
интеграл в выражении B.47) стремится к нулю как (k0T)~1, что
позволяет нам удовлетворить равенству
2
Т->со, Х/е
без существенного ограничения пространственного распре-
распределения тока (оно не должно быть столь сингулярным как
градиент 3-функции). При этих условиях <получаем нулевую
вероятность для любого изменения чисел фотонов, несмотря
на изменения тока.
*) См. книгу [4], стр. 17?-

ГЛАВА П
Эту теорему можно использовать, чтобы получить еди-
единое выражение для результатов всех задач, в которых рас-
рассматриваются вероятности переходов. Так, при интегриро-
интегрировании по расширенной области в формуле B.44) предпо-
предполагается, что ток постоянен во внешней области. Если бы
мы заменили эти постоянные токи токами, убывающими
адиабатически до нуля на бесконечности, то нулевой вклад
от внешней области не был бы затронут. Но мы заменили бы
при этом первоначальную задачу такой, в которой ток
исчезает на границах расширенной области. Поэтому мы
можем интегрировать по частям в формуле B.44) и полу-
получить снова выражение B.33), относящееся к случаю нулевых
токоз на границах. Наиболее общая задача, требующая
вычисления вероятностей переходов между стационарными
состояниями, включает начальные и конечные токи, которые
не зависят от зремени в различных системах отсчета. Этот
случай, если его модифицировать при помощи адиабатиче-
адиабатического приема, также попадает в класс задач, охватываемых
соотношением B.34). . >
Адиабатический прием также применим к задачам на
собственные значения. Например, мы можем использовать
функцию преобразования B.34), относящуюся к случаю
нулевых токов на граничных поверхностях, чтобы построить
собственные значения энергии для случая тока, не завися-
зависящего от времени. Предположим, что ток, который равен
нулю на поверхности з_со, возрастает адиабатически и
сохраняет постоянное значение между поверхностями о.3 и в1,
а затем убывает адиабатически до нуля на поверхности зш,
Обозначения о± <» соответствуют тому обстоятельству, что
адиабатическая теорема включает предел бесконечного вре-
временного разделения между Осо и о1э а также между оа
и o.oq. Тогда
(газе» | й/з-со) = S (п, п') ехр [tW0 -\- IP (п) (Хоо — х_ооI.
где [обращая интегрирование по частям в первом члене
выражения B.46)]
+ СО
= — J dXQE@,

ПРИМЕНЕНИЯ 89
Я%) = exp f — * J* dxJS @, xQ) I X
X exp (— IE @) itx —12) ) exp ( — i j dxQE @, xQ) \ .
Вспоминая свойство композиции функций преобразования,
непосредственно находим
(паг \ я'о3) = S (n, nr) exp [— iE @) (tt — t2) + IP (л) (хг — x2)J.
Это показывает, что в присутствии не зависящего от вре-
времени тока собственные значения поля излучения смещаются
на Е@).
ф Методы, рассмотренные в этой статье и проиллюстри-
проиллюстрированные для электромагнитного поля, применимы также
к другим системам Безе — Эйнштейна, например к сим-
симметричному псевдоскалярному мезоннсму полю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stuckelberg Е. С О-, Helv. Phys. Acta, 19, 242 A946).
2. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 138.)
3. Magnus W-, Oberhettinger F., Formeln und Satze fur die
speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Berlin, 1943-
4. W h i 11 a k e r E. Т., Watson O. N., Modern Analysis, New
York, 1927. (Имеется перевод: Уиттекер Е. и Ват-
сон Г., Курс современного анализа, М. — Л., 1937.)

ГЛАВА HID
Основной темой статьи является распространение понятий
о собственных значениях и собственных векторах на полные сово-
совокупности антикоммутирующих операторов. При помощи этого приема
мы строим функцию преобразования для поля Дирака, возмущенного
внешним источником. Эта функция преобразования обобщается для
того, чтобы описать фазовые преобразования, и при применении
к изолированному полю Дирака дает собственные значения и соб-
собственные функции операторов заряда и энергии-импульса. Функция
преобразования, описывающая систему при наличии источника,
используется затем как производящая функция для построения
матриц всех упорядоченных произведений операторов поля для
изолированного поля Дирака. В представлении чисел заполнения
матрицы исследуются при помощи классификации, эффективно
использующей обратное во времени описание для отрицательно-
частотных состояний.
В последнем разделе строится матрица всех упорядоченных
произведений векторов потенциала для изолированного электро-
электромагнитного поля.
ВВЕДЕНИЕ
В этой и последующей статье исследуется одно поле,
возмущенное извне. Рассмотрим поле Дирака, возмущенное
другим заданным полем Дирака, которое можно рассматри-
рассматривать как внешний источник, или заданным полем Бозе —
Эйнштейна, например заданным электромагнитным полем.
Функция Лагранжа этой системы имеет вид
ГФ •»)]+ fo. W- C-1)
1) J. S с h w i n g e г, The Theory of Quantized Fields, IV, Phys.
Rev., 92, 1283—1299 A953).

ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 91
При этом получаются следующие уравнения поля:
а производящие _операторы бесконечно малых изменений
в величинах ф и ф на поверхности о принимают вид
О0» = * / Л^ 5ф = / J Л фТ@) 5ф C.3)
,*• C.4)
В предыдущей статье [1] было показано, что вакуумное
состояние замкнутой системы можно охарактеризовать век-
вектором Wo и рассматривать последний как правый собствен-
собственный вектор с нулевыми собственными значениями положи-
положительно-частотных частей компонент поля, а вектор Ч*"о —как
левый собственный вектор с нулевыми собственными значе-
значениями отрицательно-частотных частей компонент поля. Заклю-
Заключение о том, что совокупность собственных векторов этих
двух типов особенно полезна, привело нас при исследовании
системы Бозе — Эйнштейна к введению собственных векторов
и собственных значений для полной совокупности коммути-
коммутирующих не-эрмитовых операторов. Сейчас мы покажем, что
целесообразно распространить понятие о собственных векто-
векторах и собственных значениях на полные совокупности анти-
коммутирующих не-эрмитовых операторов.
ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В этой статье обсуждение будет ограничено случаем
нулевого электромагнитного поля, описываемого при простейт
шей калибровке А^ = 0. Относительно координатной системы,
базирующейся неа данной поверхности, уравнения поля в отсут-
отсутствие источников можно записать как уравнения движения:
C.5)

92 ГЛАВА Ш
Определим два эрмитовых координатных оператора:
"+>—К'+т)- ""'-H'-tV C-6>
где Е — положительно-определенная величина
? = (//*)*. C.7)
Эти операторы обладают проецирующими свойствами
= p(-)p(+) = 0 C.8)
P<+)tf = + ?Я(+), Р(")Я = —?Р(-). C.9)
Вследствие этого представление ф и ф в виде
.i) = ^+)-f^-), ^=^+)-f-^("), (зло)
где
ф<+>=р«+)ф, <j/->=p<-y,
) ¦¦ (ЗЛ1)
является разложением на положительно-частотные и отрица-
отрицательно-частотные части и соответствует виду уравнений
движения
.) 4<-> (ЗЛ2)
Следует также заметить, что
ф<+) = ф<-), ^<-) = ^+). C.13)
В силу свойств ортогональности, выражающихся равен-
равенствами
J da ^(~Ч0^(") = / Л ^Yo^(+)^("^ = 0. C.15)
производящий оператор О(-Ь) принимает вид
G('!0 =./ J da ?->To S^(+)-}- / J rf3"?(+)To^->. C.16)

ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 93
Добавив подходящие вариации к этому производящему опе-
оператору, выведем производящие операторы бесконечно малых
изменений в положительно-частотных или в отрицательно-ча-
отрицательно-частотных частях ty и «Ji:
) — I J do Ц^^/'К C.17)
Q_ =/ J йзф(+)'Го8ф(-) — / J do З^^Ч C.18)
Свойства ортогональности [см. равенства C.14) и C.15)]
позволяют нам также записать, с одной стороны, эти произ-
производящие операторы в виде
da Ц(+)*($ C.19)
и
G_ = / J da lfr0 8^(") — ifda Ц^ Тоф C.20)
или, с другой стороны, в виде
J^) C.21)
G_ = i J rf3^(+)«f0 8ф — / J da 3^оф(+). C.22)
Последние формы облегчают вывод перестановочных
свойств компонент поля <{/+\ <|)(~\ ^+), ^?~' на поверхности а.
Эти свойства сказываются в исчезновении всех антикомму-
антикоммутаторов, кроме
{<]/+) (х), ?~\х') } = /*+)ТГо*. (х — хО C.23)
* — х'). C.24)
В частности, все положительно-частотные компоненты анти-
коммутативны, так же как и все отрицательно-частотные
компоненты.
Полные совокупности антикоммутирующих операторов на
поверхности о представляются, таким образом, при помощи опе-
операторов х(+)С*О = <!>(+)С*О. Ъ(+)(х) и у}4(x)=tf~y(x), $~\х).
Существование соответственно правых и левых собственных

CJ4 ГЛАВА III
векторов с нулевыми собственными значениями следует из экви-
эквивалентности состояний, описываемых этими векторами, с ваку-
вакуумным состоянием. Расширим теперь систему чисел, введя ве-
величины х(+)'(хН(+)'D ^(+/(*) и х("Г (х)=<\>{~у (х), ~^(~у(х),
которые антикоммутируют между собой и со всеми опера-
операторами дираковского поля. Тогда операторы
будут иметь те же самые перестановочные свойства, что и
операторы у}+К у}~\ поэтому существует правый собствен-
собственный вектор полной совокупности 'х(+) с нулевыми собствен-
собственными значениями
(*/(+> (*) — Х(+)' (*) ) w 0*+)'а) = О
и левый собственный вектор полной совокупности /х(~) с НУ"
левыми собственными значениями
) ) = 0.
Мы, таким образом, получаем правый собственный вектор
полной совокупности х<+) с „собственным значением" -/}+)' и
левый собственный вектор совокупности х(-) с „собственным
значением" х{~У• в СИЛУ соотношения C.13) собственные
векторы и собственные значения связаны равенствами
C-25)
C.26)
При интерпретации уравнений бесконечно малых пре-
преобразований
ЪЧГф+Го) = — Ш+Ф(х(+)'о) C-27)
и
ЬФ (х(->'о) = /Ф (x(-)re) G_ C.28)
используются тождественные операторные свойства вариаций
поля и собственных значений. Таким образом, Чг(х(+)'°) +
+ оЧг(Х(+)'°) является собственным вектором оператора
Х(+) — ьу(+> с собственными значениями х(+)- ^° это также
собственный вектор оператора у}+> с собственными значе-
значениями х'+)Ч~^+)> Поэтому изменение, даваемое выраже-
выражением C".27), связано с изменением собственных значений на
величину оу^'+К Аналогичное утверждение справедливо отно-
относительно уравнения C.28).

ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 95
Рассмотрим теперь дираковское поле, находящееся под
действием внешних источников г\, т), при помощи функции
преобразования
Зависимость этой функции преобразования от собственных
значений дается выражением
V (х(-^1! Х(+)' °а) =* (Х("г «I I (О- (°i> — G+ (a2) ) | *(+>' о2),
C.29)
где
-И f do^+Y-tJ — if (
§
C.30)
В последнем выражении подразумевается, что отрицательно-
частотные собственные значения используются на поверх-
поверхности ох и положительно-частотные собственные значения —
на поверхности оа.
Бесконечно малое изменение внешнего источника вызы-
вызывает вариацию
3
C.31)
В соответствии с этим бесконечно малое изменение собствен-
собственных значений можно заменить вариацией источника, рас-
распределенного на поверхности
V>2>> C 32)
х) = i\ (х, 3l) ^ Ц'-у (yib ( ) S^(+)' ()
где 8 (дг, о) определяется равенством
J (Ахг) 8„ (х, о) Д (х) = J &„/„, (х)

96 ГЛАВА lit
Мы заключаем, что общая функция преобразования полу-
получается из функции, относящейся к нулевым собственным
значениям, если в последней произвести следующую под-
подстановку:
Д (х, оО+лР' (X) Т Д (X,
В обозначениях
Д (х, оО+лР (X) Т Д (, 2),
)
C.34)
((toil 0 a,)
зависимость функции преобразования с нулевыми собствен-
собственными значениями от источников выражается равенствами
i-<¦«> %^-ffw> C-36)
или
+ 00
= /
(-» + (ф) 8-4], C.37)
где предполагается, что источники исчезают вне объема,
ограниченного поверхностями oL и о2. В соответствии
с уравнениями поля C.2) мы имеем уравнения
— ПЛ (Ф(*)) + т (ф (х)) =71 (*) C.38)
^^)^^*). C-39)
которые должны быть решены с граничными условиями
(*}~)у) = (Ь{~]) = 0 на поверхности at C.40)
и
<<]/+)) — (ф(+)) == 0 на поверхности о2, C.41)
следующими из природы состояний с нулевыми собствен-
собственными значениями на поверхностях sL и о3. Можно выразить
эти условия как граничные условия во всей расширенной
области, потребовав, чтобы поля содержали только поло-

ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 97
жительные частоты в области, представляющей будущее
от olf и только отрицательные частоты в области до о2-
Решениями, удовлетворяющими этим условиям, являются
> = / (dx') O+(x, *0 •»!(*') C.42)
+00
*')) = / (dx) 4 (*) G+ (*, *')> C.43)
—оо
где О+(х, х')— функция Грина, определяемая дифферен-
дифференциальными уравнениями
— ^<VG+ (х, х')-\-тО+ (х, х') =
= tdff.O+ (х, х') Ти. + /»G+ (x, х% C.44)
' ' 8 '
и граничным условием: G+, как функция от х, должна содер-
содержать только положительные частоты при х0 ]> х'о и только
отрицательные частоты при х0 <С x'Q. Так как G+ зависит
только от х — х'',. то это утверждение справедливо при
замене л: на л:'. То, что в выражения C.42) и C.43) входит
одна и та же функция Грина, следует из условия инте-
интегрируемости
получающегося из равенств C.36). Запишем поэтому
в виде
о = J
+ ОО
) G+ (х, *0 Ч (*'). C• 45)
причем константа интегрирования равна нулю, так как
в отсутствие источников состояния с нулевыми собствен-
собственными значениями имеют смысл вакуумного состояния, не
зависящего от а, т. е.
@о1|0о2)=1 и ^0 = 0 при т]=^=0.
7 Зак. 1174. Ю. Швингер

9§ глава rii
Производя подстановку C.33), получаем общую функ-
функцию преобразования в виде
C-46)
Где
Ж = J(dx)(dx')^(x) G+ {xt х')ч{х') —
— i § da^ J {dxf) у {х) ^О+ {х, х') ч {X') +
+ ^ / (dx) § da'M*) G+ (x, x') Yv./ (xf) +
+ § da^ | rfa/jT (*) Yl,G+ (jc, V) Т,ф' (У). C.47)
В частности, при T) = iq = O
C.48)
Функцию Грина G+(x, x') можно выразить в трехмерной
символической форме
G+ (х, х') = iP<+) ехр [— IE (х0 —• 4I YoS (x — х'),
Jfo > x'q,
, . , C.49)
G+ (jc, jc') = — ll*-* exp[—LE (x0 — jc0)] yo» (x — xO,
комбинируя оба случая, мы имеем
G+ (х, х') = (ido-\-H) — Е'1 ехр (— iE[x0 — х'о |) ?о&(х — х')«
C.50)
Функция от ? в последнем уравнении имеет интегральное
представление
+ ОО
„ - и и и'
. C.51)

ФУНКЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Интегральное представление Фурье трехмерной 5-функции,
входящей в выражение C.50), в сочетании с формулой C.51)
ведет к четырехмерному интегралу
который показывает, что при построении функции Грина
обращением дифференциального оператора в уравне-
уравнениях C.44) к массе т надо добавить бесконечно малую
мнимую отрицательную константу.
Трехмерные интегралы Фурье, получаемые из выраже-
выражения C.49), наиболее удобно можно представить в виде
+(x, х)- 2
где />0 — положительная частота
Четырехрядная квадратная матрица —х/? имеет два разных
собственных значения =t m\
каждое из которых является дважды вырожденным. Обозна-
Обозначим собственные векторы через иХр, где Х=1, 2 относится
к собственному значению -\-т, а л = — 1, —2 — к соб-
собственному значению —т. Таким образом,
— ТР«Хр = в (А.) даих, C.54)
где
Ввиду неопределенного характера величин
7*

100 ГЛАВА III
свойства ортонормированности и полноты этих собственных
векторов представляются в виде
(%хР хх() 2
Положительно-определенные величины
(%Т0%) = К>%
даю.тся тогда выражением
Последний результат выводится из соотношения
= т (е (л) + в (Г) ) (.йХр10иГр),
показывающего, что (uXpUXp) в действительности отрица-
отрицательно при к -< 0.
Если уравнение для собственных значений C.54), пред-
представленное в виде
умножить на е (л) иХр и просуммировать по всем X. при по-
помощи соотношения полноты, то получится
^-(т — 1Р) =
где знак „-f-" указывает на собственные вектора с
Аналогичным образом
-J5— (/» + ТР) = —
Используем эти представления проецирующего оператора
в выражении C.53) и заменим интеграл суммированием по

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Ю1
ячейкам с объемом (dp). Это даст
G( v vl\ ,• ^* .1. I v\ Л, ( v'\ v 4- vf
G/ v- -v-^\ , t ^^ ,(. /-v\ ,1, / ч^\ ч^ ^^ ч^
_j_ ^Л, Л ^ I j/j \\p \X) *f\p \Л /' Л0 <ъ. л0г
где
Полнота этих функций на данной поверхности обеспечи-
обеспечивается разрывом функции Грина при xQ = x'Q, как это по-
получается из уравнения C.44):
2
2 Ьр (*) 'WP (xf) = Ъ*° (х — х'). C.56)
\р
Соответствующее утверждение оряго-нормируемости имеет
вид
J rfatVYo<V:P' = Ъ\Р, \'р' • C.57)
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Начнем наши приложения формулы C.46) с изолирован-
изолированного поля Дирака, описываемого выражением C.48). Соб-
Собственные значения и собственные функции вектора энергии-
импульса Р получаются из функции преобразования,
соединяющей представления, связанные с параллельными
поверхностями. Результат бесконечно малых параллельных
смещений поверхностей ох и о2 дается равенствами
В соответствии с этим, если х1 и х2 являются конечными
смещениями, которые преобразуют стандартную поверхность
в поверхности а1 и о2, мы. имеем
Ф (y^-^i) = Ф (Х(")Г)
)'°з) = ехр (— *

102 ГЛАВА III
W-У | exp
= 2 (X(")f I T
2
где
sl -y— полная совокупность интегралов движения.
Прежде чем так использовать функцию преобразования
C.48), мы должны обобщить ее таким образом, чтобы она
служила производящей функцией и для собственных значений
и собственных функций оператора заряда Q. Бесконечно
малое преобразование фазы на поверхности о
(х) = 1еЩ (х)
вызывает преобразования собственного вектора посредством
оператора
В соответствии со свойствами ортогональности C.14) и C.15)
оператор заряда можно записать в виде
При получении последней формы с помощью перестановоч-
перестановочных соотношений C.23) и C.24) мы приписали нулевое зна-
значение величине
Тг(Я+) — р(-)) = Тг(-^Л, C.60)
где след относится к пространственным координатам и
спинорным индексам. Это вычисление основывается на инва-
инвариантности теории относительно обращения времени, кото-
которая указывает на то, что может быть установлено одно-
однозначное соответствие между положительно-частотными
и отрицательно-частотными состояниями. Поэтому при сум-
суммировании по собственным значениям оператора Н/Е, кото-
которые равны =tl, получается полное обращение в нуль.

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЮЗ
Уравнениями бесконечно малых преобразований собствен-
собственных векторов являются
Сравнение с уравнениями C.17) и C.18) показывает, что
преобразования собственных векторов являются такими, как
если бы они вызывались изменениями в собственных значениях
как это можно было предвидеть, исходя из соотношений C.58).
Конечные фазовые преобразования
Ф (tf-Yaa) == Ф (у}~Уа) exp (/Qa),
W (X(+)'oa) = exp (— iQa) W (x(+)'o)
описываются, таким образом, равенствами
Ф(^-)'ф(-)'Ов) = Ф(в-*'(")'. ^(~У. о) C.61)
и
W(^(+)^(+)'oa) = ^(e-ieV+)', в1ввф(+)', о). C:62)
Если на поверхностях аг и о2 совершаются различные
фазовые преобразования, то мы имеем
(Х<->'01«! | х(+коа«я) = (X(-r°i! ехР (^«) I 7(+)Ч)> C-63)
где
a2.
Следовательно,
exp (/P;^ + 1С? a) (f' | X(+)') C-64)
является производящей функцией одновременных собствен-
собственных функций и собственных значений коммутирующих опе-
операторов Р„ и Q, и эта функция преобразования получается

104
ГЛАВА III
из выражения C.48) путем подстановок, указанных в равен-
равенствах C.61) и C.62).
Необходимо отметить, что выражение C.48) ие содер-
содержит членов, в которых оба интеграла относятся к одной и
той же поверхности. Рассмотрим, например,
f da f da^ (x) -f0<3+ (x, *')
a, a,
= fdaf
C.65)
При этом O+"i0 становится равным /Р(+> или —if^-'> при
x0 — x'Q—э-drO. Оба предела дают нулевые значения для
выражения C.65) (Р(+)р(~) = 0). Следовательно,
X
/ j* d^ f da'$-y(x) T(J.
о, оа
— I f d^ J da$+)' (x) T(J. X
XG+(x, ^e-^t-)'^], C.66)
X G+ (х, х')
и можно было не различать положительно- и отрицательно-
частотные части собственных значений операторов поля,
так как эти части автоматически отбираются структурой
функций Грина.
При подстановке выражений C.55) для функции Грина
введем следующие линейные комбинации собственных зна-
значений:
yipy = J
X&' = J
при \ > 0,
при X < 0,

= ехр Г ?*?;>'
~У ехр (ipX-\- iez (Л) ос) у&+У\=*
= П И 7ГГ <x?/x?>f>n ^р [ш (р*+ « (X) аI- C.67)
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Ю5
которые не являются явными функциями поверхности. Исполь-
Используя эти определения, представим функцию преобразова-
преобразования C.64) в виде1)
Ввиду антикоммутативной природы собственных значений
квадрат любого у{р', у^' равен нулю, в силу чего разло-
разложение экспоненты обрывается после первых двух членов,
для которых пХр = 0, 1. Мы увидим, что различие между
системами Бозе—Эйнштейна и Ферми—-Дирака заключено
прежде всего в природе собственных значений, а не в фор-
формулах, содержащих эти собственные значения.
Из сравнения с производящей функцией C.64) мы видим,
что
К = pv (") = 2 «xp/V п\р = 0,1,
\р
где
и что
Числа* заполнения пХр, таким образом, образуют полную со-
совокупность интегралов движения. Соответствующие соб-
собственные функции равны
(я 1 Х(+)') = HGi?>')^ = (Xi+Oni Gi+)T3- ¦ •
Хр
'РО"^ = ¦ ¦ ¦ (х^-}')па(х(г>Т'.
i) Основное положение при всех манипуляциях с собственными
значениями заключается в том, что произведение двух собственных
значений как целое ведет себя подобно обычному числу.

106 ГЛАВА III
где мы ввели произвольный стандартный порядок состояний
поля, который при чтении слева направо обозначается сим-
символом JJ, а в обратном порядке символом 'JJ. Так, если
заняты только состояния 1 и 2, то функция C.67) прини-
принимает вид
Подставляя в соотношение C.26) собственные значения у?+У (х),
у(-У (х) в соответствующих точках, мы имеем
АХр У-Хр
и тем самым
как это требуется согласно соотношению C.25) между
собственными векторами.
Собственной функцией вакуумного состояния, относя-
относящейся к произвольной поверхности, является
(Х(-)'0|0)=1
и поэтому
(Х(-)' а |/ю) = (*<->' а | 0) 'Ц(хР'Гьр = (Х(-)'о | 'Ц^)^ 0M
здесь мы ввели на поверхности о операторы, . имеющие
собственные значения xip''* ^ соответствии с этим, собст-
собственными векторами состояния с числами заполнения частиц П\р
будут
МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ
Используем теперь функцию преобразования C.46),
чтобы в случае изолированного поля Дирака получить мат-
матричные элементы всех произведений операторов поля $(х)

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 107
и ty(x). С этой целью заметим, что функция преобразова-
преобразования, описывающая систему при наличии источников, является
матрицей определенного упорядоченного во времени опера-
оператора для изолированной системы. Действительно,
[t J
C.68)
где означает, что операторы и состояния соответствуют
случаю у\ = у\ = 0. Чтобы доказать это, заменим т] и т] соот-
соответственно на >л] и >л], где X—численный параметр. Эффект
бесконечно малого изменения последнего выражается в виде
— Ы'у о, I у(+У о„) = (у(~У а, I Г
где мы временно положили
Дифференцируя еще раз, получаемх)
x(+r
или, в общем случае,
= (х(-Г «11 J (^i) • • • (dxn) (I (Xl) ...I (xn) )+
Если мы теперь построим функцию преобразования, описы-
описывающую систему при наличии источников (X. = 1), с помо-
помощью функций преобразования при нулевых источниках
(Л = 0) в виде ряда Тейлора, то получим бесконечный ряд,
который компактно представлен выражением C.68).
Соотношение B.133) в работе [2].

108 ГЛАВА III
Функцию преобразования C.46) можно представить
в виде
(Х(->' «1 ] Х(+)' «а> = (X(-)f «i I X(+)' °2)Io X
Xexp[i J(^)(rfx')^WO+(^ л:') ?](*') +
+ * J (rf*) ft (*) У (*)+?(*) 4 (*))], C-69)
где мы использовали символы У (х), у (х) во внутренних
точках области, ограниченной поверхностями ах и о2, в смысле
= i J do; G+ (х, лт') ifl 'У (jO — / J rfo'^G+ (jc, д:7) ^ф(+>' (V)
°1 О„
И
Мы видим, что
"+ 2 </хЛх
является решением уравнения Дирака с заданной положи-
положительно-частотной частью ty+Y (лг) на поверхности о^ и за-
заданной отрицательно-частотной частью <^~)Г (х) на поверх-
поверхности ог. Аналогично,
У (лг) = 2 Ьр & e-ipa"vW + 2 Ъхр (х) е*Р*'х{р >'
-. р +.р
является решением сопряженного уравнения Дирака, которое
имеет положительно- и отрицательно-частотные части
(i/4^ (лг) и ty(~^ (лг) на поверхностях о2 и ох соответственно.
Заметим, однако, что У (лг) не является оператором, сопря-
сопряженным с У (лг). Действительно,
У (x)f Ъ = —
где
(x', x)f-@ C.70)

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 109
удовлетворяет тем же дифференциальным уравнениям, что
и О+(х, х'), но подчиняется временным граничным условиям
с падающими, а не с расходящимися волнами
О_(х, x') = i 2 М*)ЙМ*'). *о>*о.
~'р _ C.71)
О_(х, x') = — i 2 «М^М*^ хо<х'о.
+¦ р
При помощи обозначений
. (_)' Г7+?—^~ =\^; F.72)
(Г 3 CTilX(N Ъ) Jo
[не следует смешивать с обозначениями C.35)] можно вы-
выразить функции C.68) и C.69) в виде
( (ехр [* J (dx) (^ + фт!)])+ ) =
= ехр [/ J (rfx) (dx'):nO+'»i + i J (dx) (^' + ?"П)] C.73)
или, более просто,
( (ехр [/ J (dx) (^ + '^)])+ ) =
f (dx)idx')v(x)G+(x, ^О-П(*')]> C.74)
где мы ввели операторы
Разложив обе части по степеням -iq и -iq, получим матричные
элементы упорядоченных произведений операторов ^ и ty.
Из-за отсутствия членов, линейных по f\ и т], в правой
части соотношения C.74) мы видим, что
Cf<*>> = ('*<*)> = о
или что
*'(*). C-75)
?D C.76)

ГЛАВА ill
Член в левой части соотношения C.74), билинейный по
и ч\, равен
—( J (л*) (djo On С*) 'Ф С*) 'ФС*О -п (*'))+ ) =
= — / (Же) (djcO ^(jc) (('ф (*)'M*') )+ ) • С*,
где
4
—1, л:0< дг0.
Поэтому
<('Ф(*)'Ф(-«О)+)•(*. *0 = — «?+(•*. -«О.
или
( (ф (jc) ф (jcO )+ ) • C*. JO = Ф' (•«)?(-«0 — iO+ (jc, jcO- C-77)
Полное разложение левой части соотношения C.74) имеет
вид
Еюг J(dJCl)-' -(djc*)(dJcb • • • (**^C*ft) • • • -n(^i) X
к, г _
X <('«H*i) • • • '«К*»)Ч(^) • • • ^ (Jfi))+> X
Х5*,гт1D...11(Д C.78)
где ek i — знакопеременный символ
(^i. ^))(.Пз(^. JCy)). C.79)
Разложение C.78) следует сравнить с выражением
dxJ - - • <dJC*><dJ& • • • (^)^(^) • • ¦ 4c*i) х
X O+ '
X [detlfc)G+ (xt, xj)] ч\(х[) . . . tjD).
где был введен ^-мерный определитель, построенный из
элементов Q+(xit Xj) с помощью k\ перестановок перемен-

Матрицы операторов по Ля ill
ных х[ .. . х'к. Вследствие антикоммутативности величин f\
возникают знаки, необходимые для образования знакопере-
знакопеременных слагаемых, из которых состоит определитель. Таким
образом,
(('ф(xv) . .. 'ф(хк)^(хг) . .. 'ф (*{))+)skii =
*(JCi, xj), C.80)
где обе стороны полностью антисимметричны по перемен-
переменным xi и по переменным Xj.
Непосредственные алгебраические преобразования дали
бы матричные элементы последовательных произведений
операторов фиф, как это иллюстрируется формулами
C.75) и C.77). Однако мы можем получить из соотношения
C.73) явную формулу. Рассмотрим сначала произведения
операторов с ft = i и заметим, что такие члены выделяются
из соотношения C.73), если сделать подстановку т\—>ti\,
t\—*-t~xf\ и вычислить интеграл
= 2^2 § Т ехр [' /{dx
C.81)
Дальнейшая подстановка it Г (dx) ч^' —*¦ t, произведенная
в правой части, дает
X ехр ^ J \dx) (dxf) ^ (jc) (G+ (jc, jc/H-«f (•«) ? (-«О ) -П (*
Зная результат разложения правой части равенства C.74)
[см. соотношение C.80)], находим теперь, что
s/ $ т '* det(fc>l—
• • • Н-

112 ГЛАВА III
где различные члены получаются при разложении опреде-
определителя, если учесть теорему
пУ
В результате интегрирования по t компенсируются числен-
численные множители, появляющиеся при разложении определи-
определителя. Примером является
- IQ+ (хи х[) + Г V (Xl) ф' (х[), —iG+ (хи х2) + Г V (хд) Ъ'{х2)
— Ю+ (х2, х[) + *-у (лг2) ф'(х1), — IG+ (x2, xf2) + «"V (лг3) ф' D)
= ф' (хЛ ф' (jca) ф' D) ф' (/О — /ф' (X) ф' C«'i) O+ (jc8. x2) —
— */ (-«а) ф' D) О+ (^, .*{) + /ф' (jcj ф' (х2) О+ (х2, [
Н- 'ф' (-^г) Ф ' C-^i) 0+ (-«I. 4) — С?+ (Xp JCi) 0+ (х2, 4
Произведения операторов с ^ — />0 выделяются при
помощи интеграла
25 § JE^
X ехр [/ j* (djc) (djcO ^(O+
Разлагая правую часть, можно видеть, что
О .. . ф (jc*) ф()
у

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ ИЗ
здесь определитель построен из величин t~\ (л^), I = 1 . . . k,
занимающих первые k — / столбцов, и прямоугольной мат-
матрицы
— Ю+ (xit xs) + Г V (**)Т (xj), i = 1 . . . k? j = 1 . . . I,
дополняющей ^-мерный квадрат. Считается, что детерминант
определен знакопеременными перестановками индексов строк,
примененными к произведениям диагональных элементов,
записанных последовательно слева направо. Это иллюстри-
иллюстрируется выражением
*я) Ф С*в) Ф (
f t f —/ f f t f
Аналогичное рассмотрение для I — k > 0 дает
Xdet(r)[— *<
.-177 , 'ч . , ,
где определитель содержит величины t 7 \хз/> J == * • • ¦ I,
в первых I — k строках и /-мерный квадрат заполняется
квадратной матрицей
— iO+(xp л?) + *~У(х^(xj), l=\ ... k, J=l ... I.
Здесь детерминант определен знакопеременными перестанов-
перестановками индексов столбцов, примененными к произведению
диагональных элементов, записанных последовательно справа
налево. Так, например, для & = 0 имеем
Представление в пространстве чисел заполнения. Из
этих результатов можно получить матрицы в представлении
8 Зав. 1174. Ю. Швингер

114 Глава in
чисел заполнения. Простейшим примером являются диаго-
диагональные матричные элементы, относящиеся к вакуумному
состоянию — средние по вакууму. Действительно, полагая
в соотношении C.80) все собственные значения равными нулю,
получаем
+(jc4, 4) C.82)
й, в частности,
(х, *') = — «?+(*, -О- C.83)
Чтобы получить матрицы операторов $(х) и ^0*0 в пред-
представлении чисел заполнения, заметим, что, например, равен-
равенство C.75) можно записать в виде
(х(~Ч Ж*> I х(+4) = V <*) (х(~Ч I х(+4).
или
2, (*<->' | Я) (»3t | ф (X) | Л'о.) (*' | Х(+)' ) ==
n, n'
Г
L
X S (Х(-}' I я) exp [iP(Д) (*t — *2I (ft | X(+)')• C-84)
Выражение C.84) служит производящей функцией для мат-
матричных элементов (/tax j ty(x)\n'a2). Удобнее образовать выра-
выражение
(д | ф (*) I «0 = ехр (— */> (л) jcJ («о, | ф (jc) | д'ва) exp
которое не зависит от поверхностей at и о2 и относится
к стандартной поверхности. Если включить е-*^» в собствен-
собственное .значение у[+У и etP^i в собственное значение y\z>', то
соотношение C.84) приобретет вид
п, п'
Г 2 ^р (*) з^)Г + S ^х[;П 2 (х("г I я) (л
L+.р -,р J л

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 115
Далее,
^~yГ = о, «Хр = i,
где »>xjd—число занятых состояний, которые следуют за Хр
в стандарном порядке. Аналогично,
П
Мы видим, что неисчезающие матричные элементы опера-
оператора ty(x) имеют вид
(я I Их) I я+ Up) = (— 1)я>х^^р(л:), X > 0, C.85)
(я+ 1хр|Ф(-«) I я) = (— l)»>^p(Jc),_ X < 0, C.86)
где П\р = 0 в обоих равенствах. Это показывает, что
оператор fy(x) является оператором уничтожения единичного
заряда. Подобным образом
(X(->'Ol | Их) | Х(+)'а2) ?
дает
Ъ, (у}~у | я) (я j f(jc) | «О (я' |
= Г 2 ^W 5Й)Г + 2 V (*) xi;rl 2 (х[7у I«) (»I
L-.1» +.1» J »
откуда получаем неисчезающие матричные элементы
(я+1хр1Й*)|я) = (—1)»>*йр(*), Х>0,
(я|Н*)|я+1Хр) = (— О
где »хр = О; это показывает, что оператор fy(x) является
оператором рождения единичного заряда.
Матрицы операторов ty и ^ дают возможность классифи-
классифицировать матричные элементы, объединяющие заданное изме-
изменение чисел заполнения для положительно-частотных состоя-
состояний с изменением в обратном смысле для отрицательно-
частотных состояний. Это осуществляется транспозицией
8*

116 ГЛАВА ill
матриц относительно чисел заполнения состояний с X < О,
тем самым эффективно вводится обращенное во времени
описание отрицательно-частотных состояний.
Производящей функцией для матриц всех упорядоченных
произведений является функция C.73), записанная в виде
2у.|
n,ri
=(Х(->' ! Х(+)') ехр [/ J (dx) (dx') чО+ч\ + * / (dx
C.87)
где все состояния относятся к стандартной поверхности.
Подразумевается, что источники ч\ и ч\ располагаются слева
и справа соответственно, как это предполагалось в выра-
выражении C.78). Укажем теперь положительно- и отрицательно-
частотные состояния порознь, располагая сначала отрица-
отрицательно-частотные состояния в стандартном порядке:
и определим смешанные собственные функции
-D1^^. C.88)
Здесь целые числа »_ и »_ — соответствующие числа заня-
занятых отрицательно-частотных состояний, в то время как N
и ЛГ—совокупности чисел заполнения {«+, «1} и {»+, »_}
соответственно. Запишем также Л^_=»_, N- = п_. Обо-
Обозначение [ty'j Л/] отражает то обстоятельство, что -/^^ и Х(-^'
совместно включаются в величины
) C -
для положительных и отрицательных X. Таким образом,
C-90)

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 117
причем сомножители в этом произведении располагаются
в стандартном порядке справа налево из-за множителя
(—1)г ~ ~ , который эффективно изменяет порядок умно-
умножения в функции (п.-\уг-) для я_ анти коммутирующих соб-
собственных значений. Подобным образом у?+^ и yf_^ вклю-
включаются в выражения
jOvK*)' C-91)
к*. C.92)
Тр
Чтобы выполнить перестановку, рассмотрим
2 (Х1+У 1 п+)(у}-у\ п_)(п+п_ \F\n'+ п_) (п'_ |у(_+)') (я'+ |х'++)'),
п, и'
C.93)
где F — какое-либо произведение операторов ty, ф, и пере-
переставим местами две отрицательно-частотные собственные
функции. В результате появляется множитель (— 1) ~ ~, так
что выражение C.93) приобретает вид
l^ W\ N'\ [N' | Yb C -94)
N,N'
где мы использовали обозначения
[N\F\N']=in\F\n')
и
= (— l)N~ (— l)^--*-* (*-+1-»->ш C.9б)
Если F — единичный оператор, то мы имеем
2
C.96)

118 ГЛАВА HI
Чтобы завершить преобразование производящей функ-
функции C.87), заметим, что
C.97)
, . . C-98)
Хр
Следовательно,
vi -~/ Г I / Г Г — — ~1\ 1
2j (=t) И» IN] IN11 ехр I / I (dx) (iq4» 4" tV1fl) I) ЛГ I [Л/1 ф 1 ^
N,N' L I \ L •» J/+ J
= ехр I / j (dx) (dx'y f\ O+1] I exp 12 'Wj»8 (^) ^i» ~b*
4" Щ^р"У^р 4" ''i'^p'^i» \i C.99)
где мы использовали обозначения
~ ,(x)f\{x).
— J
Следует еще раз подчеркнуть, что источники t\ иt\ запи-
записаны слева и справа соответственно, а не так, как это ука-
указано в левой части соотношения C.99), потому что знаковый
множитель, даваемый выражением C.95), справедлив лишь
в том случае, когда матричный элемент в выражении C.93)
является числом, а не величиной, обладающей антикоммути-
рующими свойствами.
Так как при разложении экспоненты, относящейся к дан-
данному состоянию, остается лишь пять неисчезающих членов,
второй экспоненциальный множитель в соотношении C.99)
можно записать в виде
П 2
Хр N, Я
(&pf [. A 4" А/е-^п) 4-
Я'
4- *&' A — N)+^л/ A — N')} i^pf, C. i оо)

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 119
М сначала выделим диагональные матричные элементы,
которые дают следующие члены из выражения C.100):
П 2 <&pfxp [• a)fXp 114-
— if' [N\ Y]. C.101)
Полученная таким образом экспонента в комбинации с пер-
первым множителем в правой части соотношения C.99) образует
exp [i J (dx)(dx'u(x)(O+(x, xf) —
— i S
Xp
При перемещении величины v\ вправо от произведения соб-
собственных функций в выражении C.101) не возникает пере-
перемен знаков. Из сравнения с равенствами C.74) и C.80) мы
ВИДИМ, ЧТО
(я | («К*,) ...ф (хкЦ (хг). .. ф (х!))+1 я) в*. г =
r— tQ+(xt, xj)—2 «x^W^^i)^^)!. (ЗЛ02>
простейшим примером чего является
(я I (Ф (*Я (-«0)+ 1 я) • (*. *0 = — ^+ (х, х')
2
Состояния, которые встречаются в общем матричном
элементе, можно разбить на три класса: класс а, для кото-
которого Nxp=0, Л/хр=1; класс Ь, включающий состояния
с NXp = N\p', класс с, в котором N\p=l, Л/хр = 0. Типич-
Типичный член в разложении произведения C.100) можно тогда
записать в виде
Ш + riYП C.104)
и
Произведение состояний класса b можно преобразовать
таким же образом, как при исследовании диагональных
матричных элементов, что даст
МХре

120 ГЛАВА III
Если мы приведем собственные значения fyp состояний
класса а и собственные значения фхр класса с к стандарт-
стандартному порядку, то произведение C.100) приобретет вид
L 6
(-I)* (-1) V- X
X l? I N\ [N' j
с
где Л/>, т. е. N>\i,) представляет собой число занятых
состояний класса Ъ, которые следуют за кр в стандартном
порядке, в то время как Na и Ne являются полными числами
состояний классов а и с.
Правая сторона соотношения C.99) выражается, таким
образом, в виде
Л'\
с
где
ехр [ ] = ехр Гг J (dx) (dxf) -rj (jc) (o+ (jc, x') —
Мы должны удовлетворить условию, чтобы все г\ стояли
слева, а все т\ — справа. В результате перемещения вели-
величины 'f\ в указанной выше экспоненте вправо от произведе-
произведения собственных функций появляется множитель (—1) ~ ,
где iV и Nr — полное число занятых состояний в соответст-
соответствующих собственных функциях. В соответствии с этим
(±) [Л/1 (ехр [i J

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ 121
Разлагая, мы получаем следующий результат для общего
неисчезающего матричного элемента:
X
о,
6
C.105)
где
k — Na = l — Ne = r C.106)
должно быть неотрицательным целым числом. Точно так же
iV^ iv ^*Ь9 С ^*b'
В этом определителе 0 стоит вместо нулевой матрицы
с /Vc строками и Na столбцами, а (—l)N>tya(xi) пРеД-
ставляет матрицу с k строками и Na столбцами, в которой
собственные функции различных состояний класса а стан-
стандартно распределены по последовательным столбцам. Мат-
Матрица (—1) >tyc{x'j) является матрицей с Nc строками
и / столбцами с различными сопряженными собственными
функциями состояний класса с, расположенными в стандарт-
стандартном порядке и занимающими последовательные строки.
Наконец, мы имеем матрицу
— Юл ~
с k строками и I столбцами. Таким образом, порядок этого
определителя равен
Поскольку это число можно записать как Na-\- Nc-\-r, мы
видим, что целое число г является также максимальным
числом множителей, содержащих функцию Грина И появляю-
появляющихся в разложении определителя.

122 ГЛАВА III
В простейшем примере, когда k=l, 1 = 0, мы имеем
Na=l, Ne = r = Q, и неисчезающий матричный элемент
равен
что объединяет выражения C.85) и C.86), как это следо-
следовало ожидать. Аналогично,
При этой классификации ty(x) и ty(x) выступают как опе-
операторы поглощения и рождения отдельных „частиц" соот-
соответственно. Правила отбора C.106) для общего матричного
элемента можно изложить следующим образом. Оператор
содержит k операторов поглощения и / операторов рожде-
рождения. Если г из этих операторов комбинируются в пары,
давая нулевой эффект, то остающиеся k — г операторов
поглощения и I — г операторов рождения освобождают
Na-=-k — г занятых состояний и заполняют Ne = l — г
незанятых состояний. Конечно, N=н N' ~\-l — k.
Диагональные матричные элементы C.102) представляют
крайний случай, в котором
Противоположным пределом является
г==0, Na = k, Ne = l,
когда матричный элемент C.105) приобретает вид
:±:det№)[(—l)*>4 *&
и
i.JV (N -« i-N „(N -1) 4w v _w v
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА
Этот раздел является дополнением к предыдущей статье,
в которой функция преобразования, описывающая поле
Максвелла с внешним током, используется для построения
матриц всех произведений вектора потенциала для. изоли-

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА 123
рованного электромагнитного поля. Функцию преобразова-
преобразования B.20) можно записать в виде
ехр [* Жо +1 J (dx)Mx) К (*)], C.107)
где ]0 означает нулевой внешний ток и
Ж О') = 2 J ds^*' О) D+ (jc — *') —
— 2 J do,^*' (jc) D+ (jc — *0 =
= 2 ^ dc^F"^ (x) D+ (x— x'). C.108)
Вспомним также, что
= 1 J (dx) (dxO [Jk (x)
где последняя форма соответствует калибровке излучения.
Зависимость функции преобразования от внешнего тока
выражается равенством
{y | f (х) Л^ (х) |
)
C.109)
При калибровке излучения -<4о(л0 является численной ве-
величиной
Поэтому
'а11 F^^aa) = — * J (dx) {dx') Ц, (x) 35 (x — *0 X
2)]л=0 X
X ехр [— -i- J (a^) (djc') 70(jc) SJ (* — ^0 70

124
ГЛАВА III
что дает простую зависимость функции преобразования
от Уо при калибровке излучения. Последний множитель
очевиден из вида exp (iW0) при калибровке излучения.
В соответствии с этим ограничимся поперечными токами,
для которых Уо = 0.
Вводя масштабный множитель А, УЛ —> ХУЛ, находим
из равенства C.109), что
д\
f(dx)Jk(x)Ak(x)
Повторное дифференцирование дает
yo11 J (dxj . . . (dxn) JK (xx) . . .
(xx) . . . Akn(xn))+
и функция преобразования, соответствующая наличию вне-
внешнего тока (А. = 1), получается из функции для изолирован-
изолированного электромагнитного поля (А. = 0) при помощи равенства
= (l*-rol | (exp ¦[/ J (dx)
Если использовать обозначение
то функцию преобразования C.107) можно выразить в виде
exp [t fXdxyj* (x) Ak (
+ i f (dx) JH (x) A'k (x)]. C.110)

Матричные элементы поля максвелла 125
Удобно опустить векторные индексы. В соответствии с этим
мы перепишем соотношение C.110) в виде
((ехр[/ f(dx)J(x)A(x)])+) =
= ехр [-| J (dx) (dx') J(x) D+ (x — x') J (xr) +
-M f (dx)J(x)A'(x)]. C.111)
Другим выражением является
((exp [/ J (dx) J(x) 'A (*)])+) =
= exp [| J (dx) (dx') J(x) D+ (x — x') J(*')], C.112)
где
При разложении обеих частей равенств C.111) или C.112)
получаются матричные элементы упорядоченных произведе-
произведений операторов А.
Правая часть равенства C.112) является четной функ-
функцией от У. Поэтому
В частности,
{'А(х))=0,
или
{А(х))=А'(х). C.113)
Общий четный член разложения левой части равенства C*112)
имеет вид
¦^ J (dxj. . .(dx2n)J(Xl) . . . У(*2ге) (('A(Xl) . . . fA(x2n))+).
Его следует сравнить с выражением
-~-f J (dxx) . . . (dx2n) J(xx) . . . J(x2n) D+ (x1 — x2) ...
¦ ¦• D+ (x2re_1 — x2n) — j^~ J (dXl) . . . (dx2n)J(x1)....
• • • J(x2n) sym(n) D+ (x{ — Xj)r

126 глава lit
где введена величина, которую мы будем называть /i-м сим-
метрантом из функций D+. Она определяется равенством
sym (n) D+ (хг — Xj) =n
причем суммирование распространено по всем различным
перестановкам индексов 1и ..., /2п, соответствующим раз-
различным перестановкам целых чисел 1, ...,2п. Так как D+
является четной функцией своего аргумента и порядок п
множителей безразличен, то число перестановок равно
Матрица произведения четного числа 'А выражается
в виде
=(— 0nsym(re) О+(аг, — *,). C.114)
Первыми двумя такими произведениями являются
(СА (дг) 'А (дгО )+> = - ID+ (х — х'),
или
((Л (х) А (хг) )+) = А' (д:) А' (д:') — ID+ (х — х') C.115)
и
(СА (х,) 'А (д:2) 'А (д:3) М (д:4)
=— [D+ (xt — д:2) D+ (x3 — xj
Чтобы получить соответствующие результаты для про-
произведений операторов А, как в простых примерах C.113)
и C.115), рассмотрим сначала четные члены в равен-
равенстве C.111). Четную функцию cos л: можно получить из
экспоненциальной функции от х2 при помощи соответ-
соответствующей операции:
cos х = Ct [exp (— i-
где соотношение

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА 127
эффективно определяет оператор Ct, хотя можно дать и
явное интегральное представление, подобное использован-
использованному в соотношении C.81). Отсюда четная часть выраже-
выражения C.111) принимает вид
((cos [ J (dx )J(x)A (*)])+) =
= Ct exp [— i J (dx) {dx') J(x) X
X (— ID+ (x — *0 +M'(x) A' (xr) ) 7(jc'
что в силу соотношений C.112) и C.114) дает
== Ct sym (я) t— *D+ (^ — x^) -f- tA' (Xi) A' (Xj)] =
. • .+(-Onsym(re) D+(Xi-Xj). C.116)
Первый член разложенного выражения указывает, что под
влиянием операции Ct каждая различная перестановка
в разложении симметранта C.116) учитывается один раз.
Для построения матриц, описывающих произведения
нечетного числа операторов А, заметим, что
=и(х) <(
ехр
Разлагав обе части, получаем равенство
= 8(х — xt)((A(x2) ...
. . . +b(x~xm)((A(xt) . . .
которое можно записать в виде
Следовательно, матрицы произведений нечетных чисел опе-
операторов можно получить дифференцированием матриц про-
произведений четных чисел операторов:
((Л (дгх) ... А (х^^) )+ ) = дА,д(Хяп) ((A (Xl) ...А (дг2п) )

126 f-лАвл iii
или
{(A(Xl) ... A(x2n_!»+> =
== Ct sym(n) [— iD+ (x< — x^) + M' (**) Л' (x,), M' (xk)),
здесь подразумевается симметрант, который получается из
выражения C.116) заменой элементов, содержащих пере-
переменные хк, х2п, на tAf (х^).
Представление в пространстве чисел заполнения. Если
положить все собственные значения равными нулю, то полу-
получаются диагональные матричные элементы, относящиеся
к вакуумному состоянию:
@\(A(Xl) ... ^(
@\(A(Xl) ... Л( ^
и, в частности,
(О | (А (х) А (*') )+ | 0) = — tD+ (х — хг). C.118)
Введем функции состояний
тензорную функцию Грина B.23) можно выразить через
них в виде
V'D+ {* Х') = i S Aft (*V Aft (^0v. *0 > x'o,
ъ- , (ЗЛ20)
8^O+ (^ — -«0 = ' S Ал (*V Ал (^Ov. ^o < Je0.
Поэтому
A[(x) = 2 ^daj*'^(x)8,,^+ (jc — x)
приобретает вид (если опустить векторные индексы)
А (х) - 2 (А* (х) «-^Mir -Ь ЛхЛ (х) ^4'').
).ft
где
' = 2t J do,, F^)f (
_ 2t J do,, 4lr (x) Aft (x),

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА 129
Последние величины отличаются лишь знаком от а^У', а<~)'
[см. выражения B.27) и B.28)]. Так как знаки минус
являются несколько неудобными для рассматриваемых здесь
целей, мы заметим, что противоположный выбор знаков
в выражениях B.27) и B.28) приводит к относительно три-
тривиальным изменениям в результатах гл. II. Так, в уравне-
уравнении B-34) и .его следствиях знаки членов, содержащих
Л* и J\tc, должны быть изменены. Запишем теперь собствен-
собственные функции изолированного электромагнитного поля в виде
тогда как функцией преобразования является
4 | F(+V2) - exp [S 4/Л-^4?П -
Lxft J
= S (^(">Г I «) exp [IP («)(*! — x2)] (я
Матрица оператора А в представлении чисел заполнения,
получаемая из соотношения C.113), запишется в виде
Подстановки е'**1*А&-* A&Y, е*"*'А&'^ А&' превра-
щают это выражение в производящую функцию
(п | А (х)\п') = ехр (—IP (я) JCj) (па1 \А(х)\ п'а2) exp (iP (nf) x.2)
для матрицы, отнесенной к стандартной поверхности, а
именно:
}' \п)(п\А (х) | «О in' | Fi+Y) =
2
п,п'
ftГ) S (^(~>Г I я) («
Далее,
^Г (/7("r | n — lu) = (F("r | n) «Й
9 Зак. 1174. Ю. Швингер

130 ГЛАВД "I
так что неисчезающими матричными элементами оператора
А(х) будут
(л — 1 хк IЛ (х) \ л) = п^Ахн (х)
(п} Л (*) \п — I») = я
и
Производящей функцией для матриц всех упорядочен-
упорядоченных произведений, отнесенной к стандартной поверхности,
является функция
2| (F{-y | л) (л | (ехр [/ J (dxy J(x)A (jc)])+
' | FM'} ехр ^ J {d
= ехр [i- J (dx) (dx') УД+У]Ц ехр [^iГ 4^' -Ь М^у X
X / idx)J{x) AXk (х) + СА{$у J (dx)J(x) A*(jc)]. C.121)
Разложение по собственным функциям сильно упрощается
при использовании того обстоятельства, что (rffc) является
бесконечно малой величиной. При этом второй экспонен-
экспоненциальный множитель в выражении C.121) приобретает вид
п,»'
Ix)JA + 5 , п.лп'ш1 (dx)JA ^—jf-.C.122)
Изменение числа частиц в данном состоянии, например, на
два привело бы к матричному элементу, пропорциональ-
пропорциональному (dk), и поэтому к вероятности перехода, пропорцио-
пропорциональной (dk)a.

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА 131
Рассмотрим скачала диагональные матричные элементы,
которые содержатся в следующих членах выражения C.122):
= 2 (J*~Y | л) ехр Г— Г (Ac) (dxf) J(x) X
n L J
X (S
Таким образом,
= exp [— 4" J (dx) (dx') J(x) (— '?>+¦(* —
Лх* (JO) У (JO] 5
это показывает, что
и что
(п\(А(хх)...А(х21))+\п) =
= sym w J— Ш+ (^ —
+ 2 nXk (ЛХЙ (Xi> AXk (xj) 4- Лх» (*4) Л№ (^)I. C.123)
Элементарным примером последнего результата является
2 № (и (дг) Л№ (л:7) + АХк (дг) Л
C.124)
Введем классификацию состояний в общем матричном
элементе: класс а — состояния, для которых пХк = п^к—1;
класс Ъ — состояния, для которых пХк = п^к; класс с — со-
состояния, для которых л^ = п'Хк -\- 1. Типичный член разло-
9*

132 ГЛАВА III
жекия произведения C.122) можно тогда записать в виде
JAf(dx)JA ] X
7' J (<
В соответствии с этим
(»| (exp [i J (rfx) У(лг) Л (лг)])+ | V) =
= exp [J- J (rfx) (rfxO У(х) D(^ (x, x') J (j/)] X
X П[»/Т< J- (rf*) ^х*}И [яТ' J (^) Л4х*}'. C.125)
где мы ввели символ
= D+ (дг —
Будем использовать Ал(х) для общего обозначения функций
АХк(х) состояний класса а и функций Ахк(х) состояний
класса с (полное объединение было бы получено путем
транспозиции матриц по отношению к числам заполнения
состояний класса с, что привело бы к обращенному во вре-
времени описанию процессов излучения). При использовании
этого обозначения равенство C.125) приобретает вид
. (п | (ехр-[/ J (fix) J(x) А (х)])+ | п') =
f(dx)J(x)Aa(x)] X
X exp [-1J (dx) (dxr) JD(?j].
Разложение этой производящей функции ведет к сле-
следующей формуле для общего кеисчезающего матричного
элемента:
tn\(A(x1)...A(xm))+\n') =
dfxr xk)\, C.126)

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА 133'
где N — число состояний а = а-\-с, а г — такое неотрица-
неотрицательное целое число, что
Мы ввели обобщение симметранта, образованное из N раз-
различных функций одной переменной Aa(xi), и симметричной
функции двух переменных D^ixj, хк), взятой г раз:
= 2 AaXxO-A<lN(xilf)D™(xiN+vxiN+2)...D™(xim_vxiJ.
перест.
Здесь суммирование распространяется на (N -j- 2г)!/2гг! раз-
различных перестановок индексов ix. . Лт, которые являются
некоторым преобразованием целых чисел 1. . . т.
Диагональные матричные элементы соответствуют случаю,
когда N=0, т=2г. Противоположным крайним случаем
будет г = 0, yV= m;' симметрант при этом сведется к выра-
выражению
) j ,Omm
перест.
Эта сумма ml перестановок получается из соответствующего
определителя, если опустить множитель, меняющий знак.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sch winger J., Phys. Rev., 91, 728 A953) (см. гл. II).
2. Schwinger J., Phys. Rev., 82, 914 A951); (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 115.)

ГЛАВА IV1)
В этой статье изучается поле Дирака, возмущенное зависящим
от времени внешним электромагнитным полем, обращающимся
в нуль на граничных поверхностях. Функция преобразования в этом
случае отличается от функции преобразования для случая свобод-
свободного поля, кроме видоизменения функции Грина, только появлением
зависящего от поля численного множителя, выражаемого бесконеч-
бесконечным определителем. Показано, что для класса полей, характеризуе-
характеризуемых конечными значениями пространственно-временных интегралов
от плотности энергии, определитель, получающийся в результате
видоизменения этого детерминанта, является целой функцией пара-
параметра, характеризующего напряженность поля, и может быть по-
поэтому выражен в виде степенного ряда с бесконечным радиусом
сходимости. Функция Грина получается отсюда как отношение двух
таких степенных рядов. Функция преобразования используется
в качестве производящей функции для элементов матрицы рассея-
рассеяния S, характеризуемых числами заполнения. В частности, выво-
выводятся формулы для вероятностей рождения га пар в системе, перво-
первоначально находившейся в вакуумном состоянии. Дана классификация
матричных элементов общего вида матрицы S, при которой исполь-
используется описание отрицательно-частотных состояний с помощью
обращения времени, и связанной с ней матрицы 2, которая может
рассматриваться как матрица, дающая описание развития системы
в собственном времени. Показано, что последняя матрица является
неопределенно-унитарной в отличие от матрицы S, унитарность
которой показана непосредственно. Два приложения посвящены
свойствам определителей.
ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В предыдущей статье [1] было рассмотрено поле Дирака,
связанное с другим заданным полем Дирака. Теперь мы на
примере электромагнитного поля рассмотрим влияние связи
поля Дирака с заданным полем Бозе — Эйнштейна.
1) J. Sch winger, Theory of Quantized Fields. V, Phys. Rev.,
93, 615—628 A954).

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 135
Функция Лагранжа и уравнения поля этой системы даны
в предыдущей статье [см. формулу C.1) и уравнения C.2)].
Простейшее развитие найденных выше результатов полу-
получается при предположении, что внешнее электромагнитное
поле исчезает в окрестности граничных поверхностей _аг и а2,
принимая произвольные значения внутри этой области. Сохра-
Сохраним калибровку А^ = 0 для описания нулевого поля. Разбие-
Разбиение поля Дирака на положительно- и отрицательно-частотные
компоненты на поверхностях "аг и аа можно провести как и
в предыдущей статье, и поведение системы между этими
поверхностями будет описываться функцией преобразования
(Х( ^ °i I Х(+)'°2)- Подстановка источников C.33) дает возмож-
возможность получить функцию (х(~)о11Х(+) "а) из функции пре-
преобразования
@ох | 0з2) = ехр AЖ0), D.1)
относящейся к нулевым собственным значениям. Зависи-
Зависимость Wo от источников выражается формулой C.37):
+ ОО
й[ D-2)
где теперь
'Л — еЛ, (х) ] (ф (х) ) + т {Ц (*) ) = -л (х),
[— 'Л — еЛ,. (х) ] (ф (х) ) + т {Ц (*) ) = -л (х),
[Idy. — еА^ (х) ^
являются уравнениями, которые должны быть решены с уче-
учетом граничных условий C.40) и C.41). Поэтому соответ-
соответствующая функция Грина [уравнения C.42) и C.43)] удовле-
удовлетворяет дифференциальным уравнениям
VI— '** — е\(х)\О+(х, х')-\-тО+(х, *') =
= S(jc—x') D.4)
и следующему граничному условию: О+, как функция от х,
должна содержать лишь положительные частоты для лг0 > xQ, A
и только отрицательные частоты для х0 < х0, А. Записью
х0 > А и лг0 < А мы указали, что область неисчезающего
поля ограничивается соответственно более ранними и более

136 ГЛАВА IV
поздними временами, чем лг0. То же утверждение справед-
справедливо, если поменять х и х' местами.
Совместность этих двух форм граничных условий для
произвольного А^ можно связать с зарядовой симметрией тео-
теории. Если второе дифференциальное уравнение для О+ (х, х')
транспонировать по отношению к спикоркым индексам и
поменять местами х и х', то мы получим дифференциальное
уравнение для зарядово-сопряжеккой функции Грина:
-(- тс О+ (дг, х') = 8 (х — *')> D.5)
где
сО+(дг, x') = CG%(x', x)C~l D.6)
T^ = -C-iTitC. D.7)
Зарядово-сопряженкая функция Грина получается, таким
образом, из функции О+ подстановкой А -> — А^. Соотно-
Соотношение
О+ (х, х') = С CG% (x, х) С~\ D.8)
обратное соотношению D.6), показывает теперь, что G+(x, xr),
•как функция от хг, удовлетворяет тому же граничному уело-,
вию, что и О+{х', х).
Иктегрировакие дифферекциалького выражения D.2) дает
, D.9)
где w — константа иктегрировакия, характеризующая фукк-
цию преобразования с кулевыми собствеккыми значениями
в отсутствие источкиков. Мы не можем больше утверждать,
что эта кокстакта равка кулю вследствие присутствия вкеш-
кего электромагнитного поля. Получающаяся функция пре-
преобразования отличается по форме от функции C.46) только
добавлекием w к W. В частности,
(X(-Ya1 j х(+)'о-2) 10 = exp [iw +* | *V ? datf (x) X
X^G+(x, x'O,f (*')], D-ЮУ
где ]0 означает, что йсточкики отсутствуют.

ЗАВИСЯЩЕЕ-ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ]37
Зависимость w от электромагнитного поля выражаете»
равенством
°1 +0О
где
и использованы обозначения C.35). В последнем выражении
для вектора тока предполагается, что берется среднее двух
предельных выражений, получаемых при xq— xQ—>r±rO.
Символ tr выражает диагональное суммирование по спинор-
ным индексам. При этом
= / ( J (rfxO («1» (х) ф (хО St) (д:') )+) ] D.13)
и, следовательно,
)+ ) в (*, л:') ]0 = О+ (х, л:'), D.14)
что сродится к выражению C.83) в отсутствие электромаг-
электромагнитного поля. Таким образом,
где О+(дг, х) определяется тем же средним двух пределов,
что и в выражении D.12). Чтобы построить w, необходимо
проинтегрировать дифференциальное выражение
+оо
= J (dx)tr ie^ZA^x) G+(x, x) D.16)
—oo
с начальным условием t»=0 при А^ = 0.

138 ГЛАВА IV
Следует отметить, что w является четной функцией
внешнего поля и поэтому четной функцией от е. Этот вывод
зарядовой симметрии следует из соотношения
l+ tf% *) = —trTlteO+(*. *).DЛ7)
показывающего, что
(yV (*) ) ]0 = | tr Три (О+ (*. *) — СО+ (*, х) ) D.18)
является нечетной функцией внешнего поля. Отсюда w
является четной функцией. Заметим также, что w яв-
является калибровочно-инвариантной и лоренц-инвариантной
величиной.
Бесконечные определители. Чтобы получить явные фор-
формальные выражения для w, введем обозначение, в котором
спинорные индексы и пространственно-временные координаты
рассматриваются в качестве матричных индексов. Дифферен-
Дифференциальные уравнения для функции Грина можно тогда пере-
переписать в виде
]=1, D.19)
я дифференциальное выражение для w примет вид
Ъхе> = Тг (ie? 8Л О+) = Тг (О+/*т 8^). D-20)
где Тг означает полное диагональное суммирование по
непрерывным координатам и дискретным спинорным индек-
индексам.
Введем функцию Грина для случая нулевого поля. Она
подчиняется уравнениям
)=\. D.21)
Если мы умножим два уравнения D.19) на G°+ слева и
-Справа соответственно, то получим интегральные уравнения
A — G°+e^A) G+ = G+ A — e^AG°+) = G°+, D.22)
которые имеют символическое решение
G+ = A — G\e-{A)-1 G% = G°+ A — e^AG^y1. D.23)

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 139
Поэтому
/ Ъхе> = Тг [ A —е7ЛО+)~1 8 (— e-(AG0+) ] =
= Tr[(l — (f+^A)-1^— G°+e-(A)]. D.24)
Таким образом, приходим к дифференциальному выражению
TrJT^Sjr^SOndet^r), D.25)
которое вместе с начальным условием det 1 = 1 полностью
определяет детерминант *) матрицы или оператора. Следо-
Следовательно,
eiw = det(l — ечАО%) = det (I — G°+e-(A). D.26)
Равенство этих двух форм выражает свойство определителя
det A — G0+e-(A) = det [G°+ A — e-(AG°+) (O+)] =
= det(l— e-(AG0+). D.27)
Мы показали, что w является четной функцией от е.
Поэтому должны иметь
e<U) = det(l + e-p4<^.), D.28)
что можно также непосредственно получить из свойства
определителей относительно, транспозиции. Из правила
перемножения определителей следует формула
e2fto = det(l—e^A(f^AQ%) D.29)
с явной четной зависимостью от е. Эту формулу можно
было бы получить, если построить w при помощи выраже-
выражения D.18). Соотношение между значениями eiw для двух
различных полей можно также получить перемножением
определителей. Заметим сначала, что соотношение D.26)
можно записать в виде
e<tr==det[(O+)G^]. D.30)
Поэтому
"detК^ °°+1 det
= det [(G^yW?] = det [ 1 — п- (ЛA) — ЛB)) О?]. D.31)
i) Эквивалентность этого определения с обычным показана
в приложении А.

140 ГЛАВА IV
Матрицы, которые входят в эти определители, имеют
вид l-j-X/С. Бесконечно малое изменение параметра X, со-
согласно выражению D.25), дает
8 In det A + ХК) = Tr A + ХК)'1 %ХК. D.32>
Если мы определим логарифм от матрицы 1 -\- ХК равен-
равенством
J+X'/crVX'/C, D.33)
о
то найдем, что
D.34)
При известных условиях матрицу ln(l-(-X/Q можно разло-
разложить по степеням X, причем
со
Тг1пA + Х/О=2](— О -~Кп, D.35)
где
Кп^ТхК". D.36)
Если мы разложим затем экспоненту в выражении D.34),
то найдем
оо
= 2хч <4-37>
п—0
причем суммирование распространяется на все такие не-
неотрицательные целые числа kv k2, . . ., что
¦n==A1 + 2*e+3Aa+'.... D.39)
Непосредственное разложение1) определителя выражается
при помощи коэффициентов
**i) • • • (^^п)det(ra) K(xit Xj), D.40)
*) См., например, в книге [2] раздел 11.2. Вывод с помощью
операторных методов будет дан в приложении Б.

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 141
где подразумевается суммирование по спинорным индексам.
Тождественность выражений D.38) и D.40) можно устано-
установить, заметив, что каждый из п\ членов в разложении
det(/i) K(xit Xj) состоит из одного или более циклов пере-
переменных. Так, для п = 6 одним из членов будет
(Х2, XS)K(XS, Х2)]Х
X [К(х„ хь)К(хь, хв)К(хв, xj).
Проведя интегрирования, получим произведение трех следов
В общем случае найдем kx одиночных циклов, k2 двойных
циклов и т. д., причем эти целые числа связаны с п соот-
соотношением D.39). Число членов, которые имеют величину
Ki'Kz' • • -, равно
и1 и 4П
где степени чисел 2, 3, ... выражают циклическую сим-
симметрию следов. Двойной цикл содержит нечетную переста-
перестановку, и в общем случае знаковый множитель равен
(__1)*«+*«+"\ D.42)
Выражением, получающимся для формулы D.40), будет как
раз D.38).
Величина
det'(l + */O = e~TrXir det(l-f-A/O, [D.43)
очевидно, получается из det(lH-X/Q, если положить /^ = 0.
Следовательно, в разложении в степенной ряд
5>nrfn D.44)
м = 0
коэффициенты
± ... (dxn)det('n)К(xit Xj) D.45)
'n=± f
содержат определители, получающиеся из определителей
для коэффициентов dn, если опустить в них все одинарные

142 ГЛАВА IV
циклы. Это эквивалентно вычеркиванию диагональных
ментов л-мерной матрицы. Аналогично, величину
det'O Ч-Х/О = ехр F-^ Tr ХК-\-^Тт X2^a]det О + Х/С) D.46)
можно разложить в степенной ряд при помощи определи-
определителей, в которых опущены все одинарные и двойные циклы.
Однако этот процесс нельзя представить простым выбра-
выбрасыванием элементов матрицы.
Модифицированный определитель det'(l -}-ХАГ) удовле-
удовлетворяет фундаментальному неравенству
Чтобы доказать его, заметим вначале, что
| det' A 4- МО I2 = ехр [— Тг ХДГ] det A + ХДГ) X
X ехр [— Тг (kKf] det A Н- Wf=
= exp[Tt\K(\K)f\det'[(l+\K)(l-\-XK)f]. D.48)
Если //==1-4-/4 представляет неотрицательную эрмитову
матрицу, то мы имеем
det'tf = ехр [Tr(InA -+-А) — Л)]< 1, D.49)
так как для каждого собственного значения 14" А' ^ О
выполняется неравенство
In A4-Л7) — Л'<0. D.50)
Следовательно,
f<l; D.51)
этим доказывается неравенство D.47)г) г
Исходя из этого неравенства заключаем, что det'A
не имеет сингулярностей на всей конечной части плоскости X,
если только
TrA:A:t<oo. D.52)
Модифицированный определитель является тогда целой
функцией от X, и можно утверждать, что ряд Тейлора D.44)
О Можно также доказать неравенство D.47) при помощи нера^
венства Адамара, см. книгу [3], стр. 31.

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ - J43
сходится ддя всех X. То же утверждение применимо, и
к det"(l-f-X/Q> поскольку
|Trtf»|<Trtftf*. D.53)
Зависимость определителя det' A -\- ХК) от элементов
матрицы ДГ" описывается соотношением
8* det' ( IX + К) = det' A -+- ХК) Тг [( A + ХК)-1 — 1) ХЬК] =
= ^det'(l -h x#)Tr [A 4- а/О i^Wfi, D.54)
которое указывает, что величины
det'( 1 + ХК)(х| A 4- ^Ю ^| а:') =
являются целыми функциями от X. Далее,
о
и
== — AT (а:,О D.56)
так что
det' A 4- МО (* | О + ^Ю ^^ | *') = ^ (JC *') +
^ , хЛ~\
/ [к\щ, х kL 4J
D,58)
является степенным рядом с бесконечным радиусом сходи-
сходимости при условии выполнения требования, наложенного
на К- Мы использовали обозначение в виде определителя,
соответствующее разбиению (п~\- 1)-мернрго минора отно-
относительно элементов первой строки и первого столбца.
Отбрасывание одинарных циклов здесь равносильно выки-

144 ГЛАВА IV
дыванию- всех диагональных элементов, кроме первого,
Л(х, хГ).
Аналогичным образом имеем
Ьк det"(l + XA3=det"(l-M-/OTr [((l+X/C)— l-f-X/O Х8/С]==
= det"(l + >-АЭТг [A -Ь ХК)'1 Л8Я*Ша, D.59)
так что
<det"(l Н- Х/О(^ | A + Х/О-'^АГ21 *')= 5XK(8^ ^ det" A +Х#)
D.60)
является целой функцией от X, которая представляется
в виде сходящегося степенного ряда
оо
n=l
•Отсутствие функции К(х, х') в определителе в соотноше-
соотношении D.61) связано с дифференцированием члена с двойным
циклом -i-Tr/C3.
Чтобы использовать эти результаты, положим сначала
Х/С = — eziAG°+iAG°+. D.62)
Позже мы покажем, что условие D.52), налагаемое на К,
•справедливо для определенного класса электромагнитных
полей. При этом
det'(l — e2iAG°+4AG°+) = ехр [е2Тт f AGI^AgI] e2iu> D.63)
•является целой функцией от е'или от параметра, характе-
характеризующего напряженность поля. Но, согласно соотношениям
,¦D.26) и D.46), мы также имеем
det" A — eiAG°+) = ехр Г-1 е2 Тг ТЛG^f^G+l **"> D-64)
где использован тот факт, что
Тг iAG°+ = —Тг -(А СО°+ = 0, D.65)

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 145
так как G°+= CG°+- Следовательно, мы имеем соотношение
det'(l — <?2"f,4G0+"^G0+) = [det"(l— еТ/Ш+I2, D.66)
которое показывает, что разложение det"(l—е^АО%) в сте-
степенной ряд не может иметь конечного радиуса сходимости,
так как это противоречило бы свойству левой части соот-
соотношения D.66), являющейся целой функцией. Следовательно,
выражение D.64) является целой функцией от е, которая
представляется сходящимся степенным рядом
ехр (— /Лв^) eiw = det" A — е-{АО%) =
. D.67)
Мы использовали известное свойство этой функции — ее
четность — и написали
w1 = ^ Tr tAG°+4AG% D.68)
в качестве коэффициента при еа в разложении w. Между
прочим, так как ш является логарифмом, целой функции,
то ряд Тейлора этой величины будет в общем случае иметь
конечный радиус сходимости, равный величине наименьшего
корня, который имеет целая функция D.67).
Зная, что определитель det A—efAG°+) является целой
функцией, обратимся к выражению D.61), которое дает
сведения об элементах матрицы
A — etAGly1— 1 — ечАО% =
= йТЛ [G°+ A — e-iAG^y1 — О°+] = е^А (О+ — G+). D.69)
Ю Зак. 1174. Ю, Швингер

146 ГЛАВА tV
Сокращая обе части соотношения D.69) на е-(А(х), находим
представление целой функции в виде степенного ряда
det"(l— etAG°+)[O+(x, x')—
n=l
(tt rr Г0» G°+(x, xA]\
X tr Ц(ТИ <*» JeWi) Lo , „ ^o , J • D-70)
Функция Грина G+(a:, x'~) получается, таким образом, как
отношение двух целых функций1), каждая из которых явно
выражается в виде бесконечного ряда. Можно также предста-
представить выражение D.70) при помощи матрицы /, определяемой
равенством
О+ = О0+ + О°+Ю°+, D.71)
или
(dxr)(dx"')(f+(x, x")f(x", x'")G°+(x"', х'). D.72)
Таким образом,
со
det" A _ e^AG°+) I(x, хГ> = ]g ~f~ f (^i) • • - (dxj X
ro, S(jc — хЛ "I i
( „ o, S(jc
Xtr lJ(TH(^))detn+1) \ D.73)
где o(a: — д:^) и 5(д^ — а:') также включают 3-символы для
опущенных здесь спинорных индексов.
При обсуждении условия D.52), в котором X/f дается
выражением D.62), следует отметить, что значение det'(l—J—ХАТ)
не изменяется при замене К на f~xKf, причем / является
по существу произвольной функцией от х, относительно
1) Этот результат можно отождествить с решением интеграль-
интегральных уравнений D.22) методами Фредгольма, Гильберта и Пуанкаре.
В данном случае мы развили необходимую часть этой теории
непосредственно из дифференциального выражения D.25). Теория
Фредгольма применялась к теории рассеяния разными авторами [4, 5],

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 147
которой мы требуем только, чтобы пространственно-вре-
пространственно-временная локализация вектора А^(х) была совместима с ло-
локализацией функции f(x)~1A^(x). Так, можно сказать, что
f(x) = (A(x)f'', где А(х) определяет величину вектора по-
потенциала для внешнего поля. Тогда
Тг Щ(кК? = е* f (dx) (dx') (dxj (dx2) X
X tr [/(xy14А {x) (f+ (x, xj ТЛ (Xl) Q% (xv x') f(x'f X
° 1'i0], D.74)
и все интегрирования относятся к внутренней части области,
занятой полем. Условия конечности этого интеграла, таким
образом, зависят от возможного характера сингулярности
поля в окрестности некоторой точки (или точек). Предпо-
Предположим, что
А(х)~[(х — хо)*\~ ТA-?)= | *_*0 |-(i-P> D.75)
в окрестности точки х0. Сходимость интеграла зависит от
поведения функции G°± (х, хг) при х — хг. Так как функция
Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению первого
порядка с четырехмерной 8-функцией в качестве неодно-
неоднородности, то при x>-~^xf мы имеем
Cf±(x. *')~~ |x-~^|-3. D.76)
Шестнадцатикратный интеграл в выражении D.74) будет
сходиться около точки х0, несметря на сингулярности четы-
четырех потенциалов А и четырех функций О0, если только
16 > 4A —?)-Ь12, или
Р > 0. D.77)
Величина F(x), мера напряженности поля, при х~х0 выра-
выражается в виде
F(x)~\x — xQ\-V-*\ D.78)
В силу неравенства D.77) эта величина не может быть
сингулярнее | х—Jco|~2, откуда следует интегрируемость F(x)u.
Следовательно, наше рассмотрение применимо к таким элек-
10*

148 Глава iv
тромагнитным полям, для которых пространственно-времен-
пространственно-временной интеграл от плотности энергии конечен1).
Наконец, следует отметить, что
t = y / (dx)(dx')tr[fA(x)(f+(x, х'
X 0°+(х', х)] = оо D.79)
независимо от поля. Это происходит вследствие совпадения
сингулярностей функций О°+(х, х') и О(+(хг, х) при х = х'.
Так как о/г должно быть калибровочно-инвариантным, векторы
потенциала всегда встречаются продифференцированными,
к сингулярность каждой функции Грина эффективно сни-
снижается до (л: — х'\~г. Следовательно, интеграл D.79) лога-
логарифмически расходится при х — х'=0. Явное выражение,
полученное ранее в работе [6]а>, можно без труда преобра-
преобразовать к виду
wl = — j (dx) (dx') 1F^ (x)wt(x~~x') F^ (x'), D,80)
где
2m
(x - *', ») = ^ f (difc) /^"-l ¦ s- + 0 D-82)
является функцией Грина для расходящихся волн; она свя-
связана с дифференциальным уравнением
(—<Э? + *<О®+(* — *', x) = 8(jc —х'). D.83)
Величина х, которая появляется в последнем уравнении в ка-
качестве параметра массы, изменяется от 2/га до бесконеч-
бесконечности, давая тем самым логарифмическую расходимость,
которую мы уже установили.
О Этот критерий был также установлен в работе [5]..
а) В выражениях F.26) и F.29) работы [6] вместо напечатан-
напечатанных 4тс8 следует читать Dя)а.

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 149
Расходящаяся часть отделяется, если написать
¦ ®+(х — х', -х) = у.-25 (* — х')-\-ъ-ъд1®+(х — х', х), D.84)
ито даст
<и>г (х — х') = CS (х — х') -{- dl<o (х — х'), D.85)
где
с-и О» ?-¦!)]..,.. («•«»
и
2т
Таким образом,
4-1 J (dxXrfAT')^/5",., (¦«)»(* — *0^^(-«0. D-88)
и второй член конечен для того класса полей, к которому
относятся наши результаты. Это очевидно, если заметить,
что
при х~х'. Если производные от полей имеют сингуляр-
сингулярность вида \х—лг01—C—Р) при J3 > 0, то интеграл
f (dx) (dxf) <?.,/> (х) ®+ (х — х', -х) dxF^ (xf)
сходится и ведет себя как -х~2Р при у. —»• оо . Окончательное
интегрирование поэтому является сходящимся.
Хотя w расходится, однако величина
] eiw j-2 __ e-llmw D.89)
конечна, так как расходящийся параметр С действите-
действителен. Выведем полезное выражение для этой величины при

150 ГЛАВА IV
помощи определителя. Матрица /, введенная в соотношение
D.71), определяется также равенствами
О°+/, D.90)
или
f = e*(A(\ — G°+e-{A)-1 = (l — e-fAG^y1 efA. D.91)
Сопряженная матрица
/ = 1Г<Ло D-92)
определяется теми же уравнениями, но с заменой G+, О+
соответственно на G^., O_. Если решить уравнение D.91)
и аналогичные сопряженные уравнения относительно е%А, то
мы найдем
°.7)-i = (l+7G°_)~1A D.93)
что даст важные уравнения
/—-/=/(О°+— G0-) I
- - « „/ (
1 — 1 =*!{&+ —&J)l.
Запаздывающая и опережающая функции Грина в отсут-
отсутствие поля даются выражениями
=u:
, х*)}, хо>х'о,
^ , D.95)
G°adv(x, x)=G°+(x, х)—
Цх, х% *0

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 151
где мы записали
2
—, р
Теперь
D.98)
D.99)
откуда получаем
det(l — G?ete-r^) = det(l —/^"^detCl — O0+e-(A) =
= det(l—/S(+O)det(l — Gte-fA) D.100)
и
det(l — Ql^e-iA) = det(l -|-i5(+)/)det(l — О+ет^) =
= det(l-}-/5("O)det(l —О?.етЛ). D.101)
Ho
det(l — G^te-fA) = det(l — G2dT «T^) = 1. D.102)
так как все циклы исчезают, когда матрица К (х, х') про-
пропорциональна G?et(jc, x') или Gadv(->c. л?0- В частности, оди-
нарные циклы не поязляются в силу определений этих функ-
функций Грина при (л:0 = д:0) х). Следовательно,
1 D,103
1) Произвол в определениях при х = лгд не оказывает влияния
на конечный результат. Пусть, например, C^ (дг, j/) более Q0-.

152 ГЛАВА IV
«-*"•= det(l — dLe-{A) = [det(l
= [det(l — jS'^J)]-1- D-104)
Перемножая соответствующие выражения в формулах
D.103) и D.104), приходим к определителям матриц
D.105)
и
>/s<-O, D.Ю6)
где мы использовали равенство D.94), записанное в виде
— 5(~)O = г7E<+) — St'*)/, D.107)
в силу соотношения
G% — О_ = /E(+) — 5(-)). D-108)
Тогда
| eiw|a = [det(l +-S(")/S(+)/)]'1 =
= [det(l+5(+)y5(~O)]~1. D.109)
Сюда вошли только элементы матриц / и /, связывающие
положительно-частотные и отрицательно-частотные состоя-
состоящим образом определяется при xQ — х'0—0 как произведение числен-
численного множителя f*(O<!f*<!l) на значение при х0—-^ = 4-0,
равное
1 2 *** (¦*> й* (•*') I - 'То* (х — х')].
Тогда
det A — G?0t е-;А) = ехр — Г (dJf) tr Gret (х, х) е-\А (х) =
[Г — 1
— '•* 2 I (dx) ^хр (*) еч^ (•*) ^хр ^х) I»
Хр J J
что по абсолютной величине равно единице Это как раз то свой-
свойство, которое используется при выводе соотношении {4.109).

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 153
ния. Указывая явно эти субматрицы, мы имеем
\е™\2 = [det(l +/_+7._)]-1 = [det(l+/+_7'_+)]-1 D.110)
Поэтому /_+/+_ и /+_/_+ являются неотрицательными эр-
эрмитовыми матрицами, обладающими неотрицательными дей-
действительными собственными значениями, причем
|«lte|a<l. D.112)
Матрица рассеяния. Поведение поля Дирака, находя-
находящегося под действием внешнего электромагнитного поля,
описывается функцией преобразования D.10), которую мы
используем теперь в' качестве производящей функции для
функции преобразования (паг \ п'а.2) в представлении чисел
заполнения, так как
(х^Ч I х(+L) = 2 (х(-у I«) (яв11 пЧ) (я' | х(+у) - D-113)
и. и' '
Выразим эту функцию преобразования при помощи матрицы
унитарного оператора S, т. е.
(по, | п'о2) = exp {IP («) хг) (л | 5 | п.') ехр (-— IP (л7) л:г), D.114)
отнесенной к стандартной поверхности. Можно рассматри-
рассматривать матрицу 5 как матрицу, описывающую эквивалентное
возмущение, локализованное на стандартной поверхности.
Вводя матрицу /, согласно соотношению D.72), полу-
получаем
§ (х) ^ О+ (х, х') ъу (х') =
(х) ^G°+ (х, х') ъу (х') +
х')У(х'), D.115)
где для внутренних точек мы, как и в предыдущей статье,
записали
f W = — / j do'?, у (jf') f^Gl {x1, x\, D Л 16)

154 ГЛАВА IV
следует отметить, что функции Грина в формулах D.116)
относятся к случаю отсутствия внешнего поля. Таким обра-
образом,
(Х{~у «11 Х(+>> °а) = (Х<->' о, I Х(+/ °а)]0 «*" X
X ехр [/ J* (^л:) (rf*0 ф' (*) / (х, xr) ? (*')] ; D.117)
в этом разделе символ ]0 означает отсутствие внешнего
электромагнитного поля. Следует напомнить, что
ОС*"'' °i I Х(+)' «аIо = ехР [S ^J'e^e-**"^^'] D-118)
и что
>' -+• 2 V
Включая фазовые множители в***"', e-ii'3'» в собственные зна-
значения, приходим к производящей функции для матрицы рас-
рассеяния (n\S\nr):
—*¦ J
где
. (хО. D.121)
Упрощенная производящая функция, описывающая пере-
переходы системы, о которой известно, что она первоначально
находилась в вакуумном состоянии, получается приравнива-
приравниванием нулю собственных значений х(+)':
= «*" ехр р S Х^г /(V- ^Р') Х^;], D.122)

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 1Д5
Поэтому
(О | »S | 0) = е*«° D.123)
и
(л+й_ | S10) = 8W+, „_ e*»*»4etf», /(+ , —);¦ D.124)
здесь п = п+ = п_—число порождаемых пар противопо-
противоположно-заряженных частиц и й-мерный определитель строится
из элементов 1(\р, к'р'), где индекс строк Ар пробегает в
стандартном порядке все положительно-частотные состояния,
занятые в конечном состоянии системы, а индекс столбцов
аналогичным образом пробегает все отрицательно-частотные
состояния. Множитель in', равный единице при четном
п и- равный i при нечетном п, происходит от комбина-
комбинации И* с (—i)V«I» («-!)), Причем последний множитель воз-
возникает от приведения собственных значений к стандартному
порядку. Определитель можно также записать в виде
det(n) /(+,—) = fJ_ J (dxj . .. (dxn) (dx[).. . (**?) X
X (detjn, ф+ (xj ) (det(n) / (Xi, 4) ) (det(W^_ (xtf). D.125)
Вероятность того, что система останется в вакуумном
состоянии, дается, таким образом, выражением
р@, 0) = |@|S|0)|2=|e'«|2, D.126)
тогда как вероятность рождения п пар частиц в определен-
определенных состояниях равна
р(п+п_, 0) = |e"°|2|dei(W)/(+, —)|2. D.127)
Поэтому полная вероятность образования п пар равна
Р(.п+п-> °) =
D,128)
где последнее суммирование распространено независимо по п
положительно-частотным состояниям и по и отрицательно--
частотным состояниям. Таким образом, множитель 1/(й!)9
устраняет повторный счет конечных состояний системы.
Подставим D.125) вместе с аналогичным выражением для

156 ' ГЛАВА IV
/ (—, +) в D.128) и воспользуемся соотношениями
между определителями типа
2 <det^ <*» (*%?(*)) det5(-) (* x
7Г\ 2 <det<^- <**» (*%>?_(*,)) = det(nM (*4, xj) D.129)
Xj))(det{n)S(~\xj, *?)) =
)|4)- DЛ30)
Это даст
А., о =
SH)lS{-rJ\
D.131)
Вероятность того, что система находится в каком-либо ко-
конечном состоянии, равна, таким образом,
п-0 п=0
= | e*«"i2det<l -+- 5!+)/Sf~'7)=l D.132)
в силу выражения D.109) для величины, являющейся вероят-
вероятностью перехода вакуум — вакуум-
Общий элемент матрицы 5 удобно представить при
помощи классификации, введенной в предыдущей статье и
использующей описание отрицательно-частотных состояний
посредством обращения времени. Возьмем производящую
функцию D.113) для матрицы 5 и запишем
2
так что
If I 2 I Y) = exp [i $ do^ j> do'J?' (x) VG+ (x, x') r,Y (a;')] ,
D.134)
причем подразумевается, что в правой части выражения
D-134) собственные значения относятся к стандартной поверх-
поверхности, Выражение D.134) служит производящей функцией

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНбЕ ПОЛЕ 1§7
для матрицы 2 в представлении чисел заполнения в соот-
соответствии с соотношением
[?|Е|'К1 = ^2, [?!^][/v|2|/v'][N'(^]. D.135)
В силу соотношения
(/<->'| я) (»'lx<+)') =
= (_ 1)W-(__1)V.K»>--irj(*--.-i-«/_)l tflm[N>\?] D.136)
мы имеем следующую связь между матрицами S и 2:
(/» | 5 | «О = «*-(- IJ'- (- l)Vs '<*--*-> (»-^-»-И [/V(S |iV'l-
D.137)
Числа заполнения N — п+, ri- связаны с состояниями,
в которых волны распространяются из области, ограниченной
поверхностями <зх и а3 (положительные частоты на поверх-
поверхности <jlt отрицательные — на поверхности о2), тогда как
числа заполнения N = «+, й_ относятся к'состояниям, в ко-
которых волны распространяются внутрь области (положитель-
(положительные частоты на поверхности оа, отрицательные — на поверх-
поверхности ах). Следовательно, 2 связывает „начальное" состояние
системы, описываемое падающими волнами, с „конечным"
состоянием системы, характеризуемым расходящимися вол-
волнами. Направление развития совпадает с направлением
времени для положительно-частотных состояний, но является
обратным для отрицательно-частотных состояний. Мы говорим,
что 2 описывает развитие системы в собственном времени,
не обосновывая этого термина здесь. Следует заметить, что
число „частиц" сохраняется (N = N'), что очевидно из струк-
структуры производящей функции. Таким образом, п+-\-п'_ =
= п+-\- п_ или п+ — /г_ = п'+—л_; сохранение частиц
в собственном времени эквивалентно сохранению заряда
в обычном времени [7].
В отсутствие внешнего поля мы имеем 5=1, 2==3 s и>
согласно выражению'C.96),
\7/ ( 3 |«/] = ехр [2 ф!*в (*) &р\ =» 2 гё' I ^j (~ 1)W" [N | ф'Ь
D.138)

158 ГЛАВА IV
так что
I jV'] = bN, N, (— 1 )N~ . D.139)
Это также следует из равенства D.137). Если использовать
соотношения D.115) и D.138), то производящая функция
D.134) примет вид
| h DЛ40)
причем
о (Ар. к'р') = г(к)КР.\>р> + И&Р. к'р'). D.141)
Общий элемент матрицы 2 в представлении чисел заполне-
заполнения получается, таким образом, в виде
[А/|2 \Nr\ = bNtN, det{N)a(kp, k'p'), D.142)
где кр и к'рг пробегают в стандартном порядке по всем
заполненным состояниям „конечного" и „начального" состоя-
состояний системы соответственно.
Используем теперь связь между / и /, согласно уравне-
уравнению D.107), для доказательства того, что 2 удовлетворяет
соотношениям
2^2 = 2в2* = е D.143)
Это неопределенно-унитарное свойство будет сначала уста-
установлено для матрицы а (Ар, к'р'), которая является субмат-
субматрицей матрицы 2 Для состояний системы с одной „части-
„частицей". Комбинируя соотношение D.141) с равенством
а+ (кр, к'р') = з (к) ЬХр, Vp, — II (кр, к'р'), D.144)
строим выражение
S «+-(л/>. к"р")г(к")а(к"р", XV) =
Ч- 2 / (*/>, a"p") 8 (к") I (k"p", k'p'). D.145)
\»p»

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 159
Но из формулы D.107) следует, что
D.146)
Таким образом,
Х/р') = &(Х)8Хр,х'р'> D.147)
или, в матричном обозначении,
о+ео = е. D.148)
Так как основное соотношение между / и 7 не меняется при
подстановке / ч—>- — Г, то мы также имеем
оао+ = е. - D.149)
Общее утверждение можно вывести из равенства D.142).
При помощи формулы
(\p, \'p') D.150)
получаем
N
«if. N' detlN)f^ ot(Xp, XV).(X")о (XV. *УЛ =
\X''p" }
* \N'], D.151)
что доказывает первую часть соотношения D.143). Доказа-
Доказательство второй части аналогичным образом основывается на
формуле D.149). При ином близком выводе мы комбинируем
частичные производящие функции
^Y D.152)
V
S, ^'of (хV.
D.153)

160 ГЛАВА IV
в функцию
= exp [2^з+ (кр, к"р") е (к") а (\"р", к'р') &р. ] =
= exp [2U*« (к) ?р\ = [? I в | ф'Ь D.154)
Из неопределенно-унитарного свойства матрицы 2> в ча"
стности, следует, что
2(— 1)^-"^- | [А/1 2 I/V] |а = 1. D.155)
Это указывает на то, что I f Л/ [ "S I Л/'l |а не обязательно меньше
единицы. Однако такой результат можно ожидать, так как
эти величины являются не абсолютными, а относительными
вероятностями:
Рассмотрим, например,
= | о (кр, кр) |а, D.15.7)
Р @, 0)
т. е. вероятность того, что не произойдет изменений состоя-
состояния одной частицы, отнесенную к вероятности сохранения
вакуумного состояния.
Вид соотношения D.155) для одной частицы
Д • (F) в (к') I в а V- Хр) р = 1 D.158)
показывает, что
| а (Хр, кр) |2 = 1 — 2 « (Х)е (X') | а (XV. Хр) |а. D.159)
Поэтому, например, для X >¦ 0 мы имеем
D-' 60>
где суммирование по положительно-частотным состояниям
не включает кр. Суммы, имеющие противоположные знаки,
определяют в выражении D.160) те изменения в отношении

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ \Q\
вероятностей по сравнению с единицей, которые вызываются
переходами частиц в другие положительно-частотные состоя-
состояния, а также изменениями, связанными с учетом принципа
исключения, уменьшающего вероятность образования пар,
при котором одна частица попала бы в занятое состоя-
состояние кр.
Дадим теперь явное доказательство того, что 5 является
унитарным оператором. Доказательство более громоздко,
чем элементарное установление свойства неопределенной
унитарности матрицы Е. Это связано с несохранением числа
частиц в отличие от сохранения числа „частиц". Наша про-
процедура начинается с записи соотношения D.117) в виде
(Ф (Х(-0 SW (Х(+)')) = (ф (Х(-)')ЧГ(*<+>')) X
X «** ехр [/ J (dx) {dx') Y(x)I (x, xr) у (*')], D.161)
где, как обычно понимается, собственные значения относятся
к стандартной поверхности. Вводя операторы, обладающие
собственными значениями у[~'>'', мы можем построить вектор
SW(y}+y), а также сопряженный вектор Ф(х<~)'M+- Затем
мы должны показать, что произведение (х(-)' |«Sf«S |x.(+))
равно (х<-*' !х<+0' Вычисление этого произведения осуще-
осуществляется путем действия операторов на их собственные
векторы, что дает функцию от собственных значений, умно-
умноженную на (х(~)г I Х(+)')¦ Эту функцию о'т собственных значе-
значений также можно получить, если подставить х[«)~*'Хх±^"*Ь Хх±}'
и вычислить матричный элемент с нулевыми собственными
значениями. Таким образом, доказательство соотноше-
соотношения 5+S=l сводится к установлению того, что
\e*»\t(p\F\G)= 1, D.162)
где
+ 2^,'(-Ох1^|)ехр
l VT / ~\ v(-)| Л/ 1Г- «Л Г,|/ /- v/\ _l_ V1 ,1. /• уЛ v(—) П Г4 1 631
11 Зак. 1174. ГО. Швннгер

162 " ГЛАВА IV
Следует отметить перестановочные свойства операторов
> Х[р]- Так как
(Х(-} 1х(+)) = ехрBда УЖ)' D-164)
то мы имеем
<+>' . D.165)
\ i кр ' - - I
и поэтому
2х(;%^ x() SxlJxl? D.166)
Вытекающие отсюда перестановочные соотношения имеют
вид -
|х&». *&} = № х^,} = о,
{^'. ^,}=^,^'. - DЛ67)
Естественно, те же самые результаты получаются из свойств
операторов <Ь и ^.
Нашей первой задачей будет показать, что левая часть
соотношения D.162) не зависит от собственных значений.
Мы имеем
-М- = -/ J (dx>)I(x, х') (-/ (*') + 2 ^р (*
+ F//(йдгО/(аг, atO^^O + S^^O/^)- D-168)
Кроме того, при к > О
V^) D-169)
и при X < О
IF, y{-)]=^-^T =

ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 163
Последние результаты можно выразить в виде
J[ ^pj D.171)
и
)|0(f0 2)( D.172)
где Si+)(x, x'), S{~}(x, xf) определяются по формулам D.97).
При введении обозначения
D.173)
из формулы D.168) следует, что
_8* (О I F | 0) =
= — @1F10) I J (ЛсО [7(jc, х') Д (х')—/ (х, JO /_ (JOI. D.174)
тогда как из соотношений D.171) и D-172) вытекает, что
д (х) — Г (d^o (j: | ts{+) 11 «o/_ (jO = ? (x),
DЛ75)
/_ (x) - J (djcO (x | is*" /1 jO /+ (JO = f (*)•
Вычитая одно уравнение D.175) из другого, мы (опуская
индексы) получаем
A -+- &-*> 7) Д = A + г5(н)/)/_. D.176)
Но, согласно формуле D.107),
/A + /5<~)/) = A4-^5(+))/. D.177)
тогда как
/(l+/S(+)/) = (l-M/S(+))/. D.178)
И*

164 ГЛАВА IV
Следовательно, если мы умножим уравнение D.176) на /
и сократим на получающийся при этом общий множитель
1 -f- if&+\ то получим соотнощение
//+ = //_. D.179)
показывающее, что
^.0. [D.180)
Очевидно, что @ [ F [ 0) также не зависит от собственных
значений «J/ (х). Остается показать, что
X ехР[/2зс1^(^. Wx[^]|o) = 1. D.181)
Но это как раз означает соотношение
@|S+S|0) = S|(«|S|0)|a= 1, D.182)
»
Доказательство 1) которого было уже дано при выводе фор-
формулы D.132). Если в приведенном доказательстве сделать
замену 1 <-—> — /, то вместо соотношения 5+S=l мы най-
найдем, что 6\Sf= 1. .
Обсуждение полей, не зависящих от времени, отклады-
откладывается до последующей статьи.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Мы хотим показать здесь, что дифференциальное выра-
выражение D.25) правильно определяет detA". Прежде всего
нужно доказать интегрируемость этого выражения. Рассма-
Рассматривая две независимые вариации, заключаем, что
82 Тг {Х~\X) — \ Тг (Х~%Х) « — Tr (X~\XX-\X) -f-
г (Х~\ХХ~\Х) = 0 (АЛ)
в силу основного свойства следа Tr XY *=* Тг YX. Для приме-
применимости этого свойства к бесконечным матрицам требуется
Дальнейшее обсуждение см. в приложении Б.

ПРИЛОЖЕНИЕ А 165
соответствующая сходимость следов. Обозначая матричные
элементы дискретными индексами, можно представить фор-
формулу D.25) в виде
^ det Х= (Х-% det X. (А.2)
Второе дифференцирование по произвольному элементу мат-
матрицы дает
det х= К^ (Ь
— (Х-%к(Х-\]й^Х. (А.З)
Правая часть изменяет знак при перестановке индексов
строк i, к и при перестановке индексов столбцов j, l. Сле-
Следовательно, вторая производная исчезает при равных индек-
индексах строк или равных индексах столбцов. В частности,
^0. (A.4)
Мы также заключаем, что
^ (A.5)
J j з
и что
2^fe. (A-6>
Поэтому det X является линейной однородной функцией эле-
элементов каждой строки и каждого столбца, антисимметричной
относительно строк и столбцов матрицы. Это доказывает
тождественность, определения detX из формулы D.25) при
начальном условии det 1 = 1 с обычным определением.
Свойство умножения определителей прямо следует из
определения D.25). Действительно, из равенства
У~18У (А.7)
вытекает, что
S (In det XY) = 8 (In det X) + 8 (la det Y), (A.8)
рткуда
det XY — det X det У. (A.9)

166 ГЛАВА IV
Постоянная интегрирования находится из начального
условия. Заметим также, что свойство следа
ТгЛ^ТгЛ^ (АЛО)
немедленно приводит к равенству
detA^detA*1. (A. 11)
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
В этом разделе мы обсудим связь между определите-
определителями и упорядоченными операторами. Пусть х?+)> Хг-) — с°"
вокупность операторов, которые удовлетворяют соотношениям
te+>. хЬ+>) = {?->. хН*-о.
(х<+>. х$г>} = »„•
Рассмотрим упорядоченную экспоненту
V»=exp[2;zJ.+>. ^^С(Г}]; (Б.2)
Г8
здесь мы использовали обозначение -
ехрИ; ?]=
«=о
Выведем перестановочные соотношения
откуда
р (Б.б)
(Б.7)
ft

ПРИЛОЖЕНИЕ Б 167
Дифференцируя V по к, получаем
4 - 2
(Б.8)
интегрируя последнее выражение, находим тождество
= det(l + *Ю ехр [- ^ Х^; Х|-+) (i^if )J* (Б>9)
Матричный элемент (х(-)' 11 X('+)") storo операторного
соотношения показывает, что
'Ц I х(+)') =»
и, в частности, что
т. е. det(l+X/Q выражается в виде матричного элемента
некоторого оператора. Для доказательства этого результата
требуются лишь первые две перегруппировки в соотноше-
соотношении (Б.8). Теперь
Z л! п
га=О г, s i=i
у(+)ТТА' у(-} - • • У(~} (Б.12)
¦
где собственным векторам в представлении чисел заполне-
заполнения предшествуют знакопеременные символы, которые равны

168 ГЛАВА IV
единице, если операторы находятся в некотором стандарт^
ном порядке, Поэтому
со
det( 1 + Х/0 = ^ Iff 2 det<"> *V> (Б'14)
так как ^ . . . sM должны быть некоторой перестановкой
чисел гх .,. гп, а множитель &rl,..rn^al...a равен -|- 1 или
— 1 в зависимости от того, является ли перестановка чет-
четной или нечетной. Аналогичный результат для матрицы
с непрерывными индексами получаетея при подстановке
Кг^-*(*хУ'К(хР XjXdxjf: (Б. 15)
а именно:
det(l-+•**)=¦ 2 ?f f idxj. . .(dxJuetwKiXt. xj).
Представляет интерес рассмотреть сходные свойства
упорядоченных экспонент, построенных из операторов, под-
подчиняющихся перестановочным соотношениям Бозе—Э
штейна:
Тогда знак минус в выражениях (Б.4) и (Б.5) должен быть
опущен^ так что знаки при К в выражениях (Б.6) и (Б.7)
будут иротивоположны. Это сказывается в том, что соот-
соотношение (Б-8) заменяется на следующее;
Что дает для случая поля Бозе — Эйнштейна тождество
Таким образом, аналогом соотношения (Б. 11) для систем
Бозе — Эйнштейна будет соотношение
(Б.20)
det(l —

ПРИЛОЖЕНИЕ Б 169
В разложении (Б. 12) порядок левых и правых множите-
множителей теперь несущественен и могут появляться повторяю-
повторяющиеся индексы. Таким образом, соотношения (Б. 13) заме-
заменяются на следующие:
> ЧГ @) = Obi!) * ()•
Индексы 52 . . . sn должны быть некоторой перестановкой
чисел гг . . . гп, и каждый член имеет множитель Ц
Поэтому разложение (Б.20) представляется в виде
_ Krej, (Б.22)
n=0 r
где так называемый перманент определяется равенством
perm(ra) Krfj = S Д КгЛ. (Б.23)
а суммирование по индексам st распространено на вс.е п\
перестановок чисел г{. Перманент отличается от соответ-
соответствующего определителя отсутствием знакопеременного мно-
множителя, который в последнем обеспечивал отсутствие оди-
одинаковых строк или столбцов. В пределе непрерывных ин-
индексов [подстановка (Б. 15)] повторяющиеся индексы не
сказываются, и мы получаем
со
1 X 1 (Л v \ /Jv \ _ «-—, IS / v t- Л /Т5 <"М\
j—тт\ г-^-г~ ?==! / j , 1 \(лХ^). . .(пХц) регШ(и) t\ \-*j> Хл), ^D.x^
Этот перманент совнадает со специальным" случаем сим-
MeTpaHTaj определенного в предыдущей статье. Соотношение
между разложениями (Б. 14) и (Б.22) можно понять при по-
помощи выражений
det A + ХК) = exp [Tr In A + ^К)\ (Б.25)
и
-\К)]. (Б.26)

170 ГЛАВА IV
так как знаковые множители в выражении D.38) происхо-
происходят от последовательных изменений знаков в разложении D.35),
отсутствующих в выражении
оо
— Trln(l—X/Q=2lTA:"- <Б<27)
п=Х
Наконец, мы используем операторную технику, чтобы
показать, что
@ | Fo | 0) = det (I + S^IS^J), (Б.28)
где Fo представляет собой выражение D.163) с нулевыми
собственными значениями; ""этим доказывается соотноше-
соотношение D.181). Зависимость Fo от величины 1(х, х') дается
выражением
fc* W«- <Б-29>
Теперь, согласно выражениям D.171) и D.172),
= FQf (dxf) (x | i&+ V | x') S \,p, {x') zGi), (Б. 30)
= f {dx') {x I /5(->71 *') S \,p, (x') x[f),F0, (Б. 31)
что можно скомбинировать в виде
J* (dx') (х | 1 + S(+>/S(->71 *') S фХз> (x') zfx+)^0 =
dx') (x | /5(+)/ | *0 2 Фх„ (*') Xip} ^o-
(Б. 32)

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
171
Мы находим, что
(о 12 \р (х) z<;> s ^ (до x<ti.F0 ] о) =
= (^|A+5(+)/5(-OГ1/5(+)/5(-)к)(О|/:1о|О) (Б.ЗЗ)
и, следовательно,
1 4- S<+>itf-l/r1 5(+)/5(~) J *) @1 FoJ 0). (Б. 34)
Таким образом, мы приходим к дифференциальному выра-
выражению
8 In @ | Fo 10) = Tr [ A + S^W'4)-18 (SwIS(-rI)], (Б. 35)
которое доказывает формулу (Б. 28).
ЛИТЕРАТУРА
1. Sch winger J., Phys. Rev., 92, 1283 A953) (см. гл. III).
2. Whittakei E. Т., Watson O. N.. Modern Analysis, Cambridge,
1927. (Имеется перевод: Уиттекер Е. и Ватсон Г., Курс
современного анализа, М. — Л., 1937.)
3. С о и г a n t R., H i I b е г t D., Methoden der Mathematischen
Physik, Berlin, 1931. (Имеется перевод: Курант и Гиль-
Гильберт, Методы математической физики, ч. I, M. — Л., 1949;
ч. И, 1951.)
4. J о s t R., P a i s A., Phys. Rev., 82, 840 A951).
5. Salam A., Matthews P. Т., Phys. Rev., 90, 690 A953).
(Имеется перевод в сборнике «Проблемы современной фи-
физики», № 3, ИЛ, 1955, стр. 122.)
6. Sch winger J., Phys. Rev., 82, 664 A951). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 254.)
7. F е у п га a n R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики'',
ИЛ, 1954, стр. 138.)

ГЛАВА V1)
Воздействие на поле Дирака внешнего электромагнитного поля,,
не зависящего от времени, исследуется в этой статье путем построе-
построения функции преобразования в представлении, приспособленном
к внешнему полю. Помимо изменений в функции Грина, структура!
функции преобразования отличается от структуры ее в случае отсут-
отсутствия внешнего поля множителем, который описывает энергию изме-
измененного состояния вакуума. Выводится формула для энергии вакуума,,
которая выражается через собственные значения энергии состояний
дискретного спектра и фазовые смещения, связанные с состояниями
непрерывного спектра в форме, свойственной локализованному полю.
Вводятся методы, использующие определители, и устанавливается
класс полей, для которого некоторый модифицированный определи-
определитель, зависящий от частоты, является целой функцией параметра,,
характеризующего напряженность поля. Свойства определителя изу-
изучаются в двух областях частот (\po\<im и \Ро\^>т) с точки зре-
зрения нахождения нулей действительного определителя в первой:
области (эти нули являются частотами дискретных состояний) и фаз;
комплексного определителя во второй области. Во втором случае:
устанавливается связь с унитарной матрицей, определенной для
состояний с данной частотой; фаза определителя выражается через:
собственные фазы этой матрицы. После обсуждения асимптотического,
поведения определителя как функции от pQ строится модифициро-
модифицированный определитель, выражаемый через энергии дискретных состоя-
состояний и собственные фазы. Это дает для соответствующего класса
полей более точный вид формулы для энергии вакуума; показано,
что в эту формулу входит один расходящийся параметр.
Для описания рассеяния используется функция Грина; она выра-
выражается для достаточно больших интервалов времени через функции
дискретных состояний и линейные комбинации функций состояния
свободных частиц, выраженные через унитарную матрицу, которая
является обобщением такой же матрицы для состояний с одной
чаетотой. Выводятся вероятности переходов; они входят в виде сумм
в выражение для производящей функции, которая служит для вы-
вычисления средних значений чисел заполнения конечного состояния
системы, на чем основываются определения дифференциального и
полного сечений рассеяния. Дается обсуждение различных операций
О J. Sen winger, The Theory of Quantized Fields. VI, Phys.
Rev., 94, 1362—1384 A954).

Не зависящие от времени электромагнитные пол# 173
симметрии и вытекающих из них свойств поперечных сечений. Далее,
для исследования зависимости вероятности сохранения состояния
системы от чисел заполнения применяется формула для вероятностей
отдельных переходов, использующая определитель. Побочным ре-
результатом этого анализа является качественный верхний предел
полных поперечных сечений, связанный с характером углового
распределения. Отдельный раздел посвящен свойствам собственных
фаз, включая доказательство эквивалентности между смещениями
фаз и собственными фазами, и обсуждению иных способов их вычис-
вычисления при помощи величин, выраженных сходящимися степенными
рядами по потенциалам. Наконец, асимптотическое поведение опре-
определителя используется при получении приближения для собственных
фаз, справедливого при больших энергиях в случае изотропного
скалярного потенциала. Получающийся при этом вид сечения рас-
рассеяния для больших энергий и малых углов обсуждается для край-
крайних квантового и классического пределов. Дается другой вывод
формулы рассеяния для больших энергий при помощи приближен-
приближенного построения функции Грина.
Влияние внешнего электромагнитного поля, не зависящего
от времении, на поле Дирака можно рассмотреть либо при-
приспособив представление к внешнему полю, либо предположив,
что данное поле является частью поля, занимающего больший
объем, зависящего от времени и исчезающего вне соответ-
соответствующих границ. При последнем подходе применяются ре-
результаты предыдущей статьи [1], и вопрос сводится к про-
проблеме выделения свойств системы для определенного интервала
¦времени из известного поведения в большем интервале. Отло-
:жим обсуждение этой проблемы и воспользуемся первым
методом рассмотрения полей, не зависящих от времени.
НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Естественно использовать калибровку, при которой век-
Тор потенциала А^(к) не зависит от времени. Так как поля,
представляющие физический интерес, пространственно лока-
локализованы, то мы наложим условие исчезновения потенциала
в пространстве, свободном от поля. Уравнения поля в отсут-
отсутствие источников можно записать как уравнения движе-
движения [2]1), где оператор Н, действующий на функцию ф» равен
Н = е\ (х) -h пГоПГаг I— *дк— еАк (х) 1 +¦ тЧо- E**)
См. уравнения C.5) гл. III. — Прим. перев.

174 ГЛАВА V
Введем основное ограничение класса полей, не зависящих
от времени, а именно потребуем, чтобы спектр собственных
значений Н распадался на две разные совокупности (поло-
(положительных и отрицательных частот) с конечным интервалом,
отделяющим каждую совокупность от нулевой частоты. Это
исключает, например, однородное электрическое поле1), где
спектр Н образует континуум, простирающийся от — оо
до -f-oo.
Процедура, примененная выше (гл. III) в случае отсут-
отсутствия электромагнитного поля, может быть непосредственно
приспособлена к этому классу статических полей. Можно
определить проецирующие операторы C.6), которые разде-
разделяют ф и i|i на части с положительными и отрицательными
частотами [см. C.11)]. Можно построить производящие опе-
операторы бесконечно малых изменений в положительно- или
отрицательно-частотных частях ф и ^ [см. соотношения
C.17) — C.22)] и вывести с их помощью перестановочные
соотношения, относящиеся к данному моменту времени
[см. C.23) и C.24)]. Полные совокупности антикоммутирую-
щих операторов для фиксированного момента времени обра-
образуются положительно- или отрицательно-частотными частями
операторов полей; можно ввести их правые или левые соб-
собственные векторы. Функцию преобразования, описывающую
сдвиг во времени, можно построить при помощи, функции,
относящейся к нулевому собственному значению [см. подста-
подстановку C.33)]. Зависимость 7t°0 от источников выражается, как
и в соотношении D.2), посредством функции Грина, удовле-
удовлетворяющей дифференциальному уравнению D.4). Однако эта
функция зависит только от х0— х0 и содержит положитель-
положительные или отрицательные частоты для х >¦ х$ или х0 < Xq
соответственно. Принципиальное отличие от случая отсут-
отсутствия поля состоит в появлении функции w, которая характе-
характеризует функцию преобразования с нулевыми собственными
значениями в отсутствие источников.
Относительно зависимости w от электромагнитного поля
следует заметить, что определение собственных значений
явно содержит потенциал ^(х). Поэтому изменение функции
I) То есть поля с напряженностью Е, которые существенно
однородны на расстояниях, ббльших т/еЕ, причем последнее
не ыа много порядков превышает величину 1/от.

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 175
преобразования (О^ 10з2) ]0, вызванное вариацией ЬА^, проис-
происходит от вариаций потенциала внутри области и на границах:
ЬА @в11 0о2) ]0 = ЪАе™ = i @3l | [ GA Cl) — GA (оэ)
0a2) ]0. E.2)
Бесконечно малые производящие операторы ОА(<зг) и GA(p^)
различаются только тем, что первый зависит от динамических
переменных, относящихся к поверхности <зх (время tj), а вто-
второй— к поверхности а2 (время t2). Но состояние с нулевыми
собственными значениями является состоянием минимальной
энергии системы, и, как указывает выражение „стационарное
состояние", средние значения динамических переменных в соб-
собственном состоянии энергии не зависят от времени, к кото-
которому относятся динамические переменные. Отсюда
))|Oa2)]o = O, E.3)
и тот же расчет, как и в предыдущей статье, дает
ЬА^ {х) G+ (x, x). E.4)
= J*
Предположим, что независимость потенциала АДх) от
времени сохраняется цри любой бесконечно малой вариации
ЗДДх); Так как функция Грина содержит только х0 — х0,
то 0+{х, х) не зависит от х0 и подинтегральное выражение
в формуле E.4) не зависит от времени. Интеграл по вре-
времени дает, таким образом, множитель
T = tx — t%. E.5)
Записывая
w = — TE{0), E.6)
получаем дифференциальное выражение
dx)tTle-iv.M^(x)Q+(x, x), E.7)
которое должно быть проинтегрировано при начальном
условии:
?F) = 0 E.8)
при А^ = 0.

176 ГЛАВА V
Получающаяся функция преобразования, описывающая
сдвиг во времени, отличается по форме от приведенной
выше (см. гл. III) только дополнительным множителем
ехр [—1Е@)Т]. Если обобщить функцию преобразования
системы без источников, включив фазовые преобразования,
то она будет определяться выражением C.66):
(Zl-)'«i«ilz(+)'^«2)b =
= ехр Г— iE@) Т— t J do J dQ'~$-y (x) toeie* X
X G+ (x, x') To^(+)' (*') — * / do J* do ф(+)' (x) To X
E.9)
Членов, у которых оба интеграла относятся к одной и той же
поверхности, не имеется [см. выражение C.65)], так как
символическая трехмерная форма функции Грина C.49) по-
прежнему применима в этом случае статического поля.
Введем полную совокупность дискретных собственных
функций оператора Н:
(х), фх (х)ТоЯ== sxEs^s(х)То.
—"О. E.10)
где Ех >• 0 и ex = =t 1 характеризуют положительные и
отрицательные собственные значения. Следовательно,
3 (х — х') = 2 ф
и по аналогии с выражением C.55) имеем
/ E.12)
А хо<л;о.
M E.13)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 177
В обозначениях
при ех «= 1,
E.14)
при
—1,
функция преобразования E.9) получается в виде
ехр [— Ш@) r-h2xL-r exP(— iEJ+ie\«
= 2 (Х(-)Г I я) ехр (— /РоГ-f iQ'«)(«.
где
Po = ?@)H-S«x^x. Я» = 0,1, Q' =
и
), E.15)
V E.16)
E.17)
Очевидно, что Е@) представляет энергию измененного ваку-
вакуумного состояния, т. е. минимальную энергию состояния
системы, для которого ях —0.
Энергия вакуума. Чтобы получить формулу для Я@),
заметим, что вариация- оЛДх) вызывает изменение функции
Грина, которое описывается уравнением
а+(х, х'). E.18)
Левую часть этого уравнения можно записать в виде
12 Эак. 11Г4. Ю. Шввнгер

i7§ Глава v
и, следовательно,
8Я@) = — J* (rfx)tr (ToaoH-iTo//KG+ (д:, xOW-wr. E.19)
При этом Н является дифференциальным оператором, отно-
относящимся только к пространственным координатам, так что
в правой части формулы E.19) в функции Грина при пере-
переходе к равным временам можно взять усредненный предел,
*. е.
— J (rfx) tr ЪоНЮ^ (х, *') \х,^х «. 1J (rfx) tr V/ X
• E.20)
Ввиду формально* эрмитовости оператора Н, которая обес"
печивается при использовании дискретных собственных функ"
ций, оператор IqH всегда можно применить к неизменной
собственной функции в выражении E.20), вследствие чего
последнее равенство принимает вид
Можно tenepb проинтегрировать формулу E.19) и получить
?•@) J (rfx)tr-r<A(G+(*, x)—G% (x, x'))]^^. E.22)
Так как
(dx) tr ТоО+ (х, хО 1Х, шх - / 2 «""**' (^~^'. ^о > <•
+ E.23)
J (rfx) tr ЪО+ {x, x') )x, иж = -12 ^Ex ("}. ^о< 4,
to усредненный предел дается формулой
E-24)
При видоизменении, этой процедуры, приводящем непосред-
непосредственно к формуле E.24), используется свойство собственных
значений,, а именно:
/АЙ.г-г.МЛ: E-25)
это выражение эквивалентно соотношениям E.20) и E.21).

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 179
Для статических полей, которые эффективно локализованы
в конечнем объеме, спектр Ех будет состоять из континуума,
простирающегося от т до бесконечности, Hi возможно, ди-
дискретных значений (меньших т), которые соответствуют свя-
связанным состояниям поля Дирака. Полностью дискретный
спектр, которым мы пользовались, может быть достигнут
при помощи обычного искусственного приема, т. е. рассма-
рассматривая большой, но конечный объем в трехмерном простран-
пространстве, определяемый радиусом R. Собственная функция харак-
характеризуется собственным значением энергии Е и совокупностью
других величин f- Собственная функция типа -( с Е > т.
будет иметь асимптотический вид, содержащий тригономет-
тригонометрические функции от р | х | -j- <р, где р = (Е'2 — т?I* и <р — по-
постоянная фаза. Если мы при | х | = R наложим некоторые
простые граничные условия (например, Bty == О, где В является
Матрицей второго ранга), то уравнение для собственных зна-
значений примет вид
л = 0, 1,2,..., E.26)
где р зависит от выбора граничного условия. Таким образом,
число собственных функций типа -( в интервале dE равно
где АЕ— интервал между соседними собственными значе-
значениями.
Уравнение для собственных значений в случае нулевого
внешнего поля аналогичным образом записывается в виде
E.28>
так что статическое поле вызывает в заданном состоянии
смещение энергии
E — E0 = ^R-\p—p°)R = -bE^, E.29)
где 8тя—фазовый сдвиг, равный ср — ср°. Поэтому, если
8 =1 vrc, v = 1, 2, . . ., действие статического поля про-
проявляется в смещении л-го состояния на уровень, который
был (л — ч)-м невозмущенным состоянием. Иначе говоря,
1 состояний (типа f) опускаются ниже энергетического
уровня Е. Будем считать связанным такое состояние, которое
12*

180 глава v
сместилось ниже минимальной невозмущенной энергии Е=т
и стало обособленным, как настоящее состояние дискретного
спектра. Если имеется v.f связанных состояний типа -f> т. е.
много состояний смещено ниже уровня Е = т, то мы должны
иметь
Ъ^т = ^ъ. E.30)
Как следствие этого замечания о происхождении связанных
состояний из невозмущенных состояний, энергия которых Е
бесконечно мало отличается от т, мы видим, что вклад свя-
связанных состояний в формулу E.24) равен 9"
здесь мы написали Е% для дискретных собственных значений,
для которых Е% < т. Для состояний с энергией Е> т мы
комбинируем выражения E.27) и E.29). При этом для дан-
данного типа 1
dn(E — E°) = —dE^, E.31)
и Е @) выражается через дискретные собственные значения
энергии и фазовые смещения для состояний непрерывного
спектра в виде
оо
?@) = i-2(m — ^) + ^J^S^ E-32)
х т 7
Методы, использующие определители. Получим теперь
более точные результаты, применяя трехмерный вариант
метода вычислений, развитого в предыдущей статье для полей,
локализованных в пространстве и во времени. Введем пре-
преобразование Фурье для функции Грина
+ ОО /
G+(x, х', />„)= J dxoeipo<a'o-*o'>G+(Xt Х') E.33)
— оо
или, используя представление функции Грина через соб-
собственные функции, напишем
оо
2 ') е-*(К-
О+ (х, х', р0) = / Г dt 2 фя (х)-К(х')
^х (х) & (х') в-* (*,+»ь> *, F.34)
о
оо

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 181
где мы положили t=\xQ—x'Q\. Здесь полезно дать уточ-
уточнение G+ при помощи бесконечно малой отрицательной
мнимой добавки к т.
Влияние последней добавки на собственные значения
энергии состояний непрерывного спектра выражается в том,
что для производной dEJdm будем иметь
Для связанных состояний используем следующую форму
теоремы вириала:
она получается дифференцированием по т после введения
величины 1/т в качестве единицы длины. Так, для кулонова
dE^ , dE[
поля соотношения т~— — ЕА и —— = 0 могут иметь место
am am
только тогда, когда Ех — 0, что исключено. Между прочим
последнее обстоятельство осуществляется для наинизшего
энергетического состояния при Z= 137. Только для полей
более сингулярных, чем кулонояо поле, неравенство -г- > 0
не будет следствием неравенства Е% >¦ 0- Исключая из рас-
рассмотрения такие поля, можно утверждать, что
и каждое собственное значение энергии приобретает беско-
бесконечно малую отрицательную мнимую часть при замене т
на т — U, е >• 0. Это означает, что все интегралы по времени
в соотношении E.34) сходятся для действительных р0 и что
Мы видим, что функция Грина О+(х, х', р0), рассматри-
рассматриваемая как функция от р0, имеет полюса при ро = Ех, вх= 1
и р0 — —Е%, ех = — 1, которые бесконечно мало смещены
вниз и вверх от действительной оси соответственно. Для

182 ГЛАВА V
пространственно локализованных полей, которые мы рассма-
рассматриваем, функция Грина может иметь изолированные полюса,
соответствующие дискретным связанным состояниям, в то
время как состояния непрерывного спектра дают-две линии
полюсов, начинающиеся при ±и и простирающиеся до бес-
бесконечности. Это означает, что точки rfc/n являются точками
ветвления для функции О+(х, х', р0) как функции от р0.
Эта функция Грина удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
}°+(x' х', />0) = 3(х —х'), E.37)
где рк — —1дк, и мы ищем такое решение, которое для
действительных р0 является регулярной функцией комплекс-
комплексного переменного т в нижней полуплоскости Im m < 0.
Конечно, нас интересует только предел для действительного
переменного т, достигаемого из нижней полуплоскости. Пре-
Преобразование, обратное E.33), имеет вид
+со ,
G+(x, х') = ± / dpoe-ij>o^o-^ 0+(х, х', р0). E.38)
— со
То обстоятельство, что функция, записанная таким образом,
удовлетворяет условию расходящихся волн, характерному
для 0+ (х, х'), следует из расположения сингулярностей функ-
функции, определяемой выражением E.36), которое воспроизводит
разложение E.12).
Функция Грина, определяемая условиями сходящихся волн,
О- (х, х) = / 2 4*х (*) «F* <У )< *о > хо,
" ^ - / / (б-39)
G_ (x, x) = — i24^x (х) *?Лх ), хо< х0
может быть представлена с помощью преобразования Фурье
, х', pQ) =
о
оо
t

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 183
которое существует, если массе т приписывается положи-
положительная мнимая часть; тогда
х' п^-
Функция Грина О_ (х, х', р0) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
} О_ (х, х', р0) = S(х — хО E.42)
и представляет собой решение, которое является регулярной
функцией от т в верхней полуплоскости, Im т > 0. Из выра-
выражений E.36) и E.41) ясно, что функция О_ является анали-
аналитическим продолжением функции О+ на верхнюю полупло-
полуплоскость комплексного т.
Разрыв на действительной оси т дается выражением
О_(х, х\ р0) — О+(х,
2 ^ (X) f,(xO {[зД {
X
2 /А (х) ^(х')« E.43)
Поэтому если \ро\ < т, то мы имеем О_ — О+ почти всюду,
причем исключениями являются разрывы типа о-функции
при pQ = sxEx, которые соответствуют связанным состояниям.
Непрерывный спектр дает конечный разрыв при \ро\^>т.
Эти утверждения выражают характер сингуяярностей функ-
функции Грина, представляющих собой изолированные полюса
и точки ветвления. Простым примером является функция
G± (x, х', р0), описывающая случай отсутствия поля. Так,
О±(х, х', />0) =
X exp[±i(p20-m2yu\x~x'|]}, E.44)
где
=±ri(^— /и2I/! = — (т2— р20)\ \ро\<т. E.45)

184 ГЛАВА V
Мы видим, что G°- = G+ при | р0 | < т (это соответствует
отсутствию связанных состояний), тогда как при |/>0|>т
разность G°- — G+ конечна, что указывает на наличие
непрерывного спектра, простирающегося от т. до беско-
бесконечности.
Вернемся к дифференциальному выражению для Е@)
и запишем
+ ОО
ЬЕ @) = — -^ / dp0 f (rfx) tr ie^ ЬА^ (x) G+ (x, x, p0) =
+00
= —^ / d>0 Tr еч ЫО+ (p0); E.46)
—00
в последнем выражении используется матричное обозначение
для спинорных индексов и пространственных координат.
При этих обозначениях дифференциальное уравнение E.37)
принимает вид
^ (Р _ еА)Ч- т\ G+ (Ро) == 1, E.47)
в то время как уравнением для случая свободного поля
будет , ¦
?1. E.48)
По аналогии с четырехмерным случаем можно построить
интегральные уравнения D.22) и использовать их формаль-
формальное решение D.23) для вычисления величины
Tr e-f 8Л G+ (ро) = Тг еТ ЗЛО°+ (р0) [ 1 — efAG°+ (po)]*1 =
== — 8 In det [ 1 — nAG°+ (pQ)l. E.49)
Таким образом,
. -)-оо
2Г / dPoln det 11 — ^T^G°+ (А>I> E-50)
ИЛИ
4-со
= ~^ f dp0 Tr In [ 1 — e-iAG°+ (pQ)\. E.51)
—00
Необходимо заметить, что
E.52)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 185
не является четной функцией от е в противоположность
своему четырехмерному аналогу. В действительности имеем
D+ (Ро) = det [ 1 -f e*iAG\ (— ро)\. E.53)
Это является следствием структуры зарядово-сопряженной
функции Грина
еО+ (х, х', po) = CG% (х', х, —ро)С-\ E.54)
где появление аргумента —р0 эквивалентно при преобра-
преобразовании Фурье перестановке х0 и x'Q в выражении D.6).
Так как
с*
G\ (х, х', Ро) = О°+ (х, х', р0), E.55)
то транспозиция матрицы в соотношении E.52) дает фор-
формулу E.53). Конечно,
+ ОО +СО
E^> = -L Г dPoln °+ (Ро) =4^ f dPo»« [D+ (Po) D+ (— Ро) 1
Л, -« E.56)
является четной функцией от в.
Чтобы установить характер функциональной зависимости
D+(p0) от е или от параметра, измеряющего напряженность
внешнего поля, запишем
D+ <j>o) = ехр { — Tr [eiAG\(po)\ — -~ Тг [вт>Ю0+ (р0)]2} ?>+ (Ро).
E.57)
где
D+ (ро) = det" [ 1 — e~(AGl (p0)]; E.58)
также имеем
[D+ (Ро)]9 = det [ 1 — eiAG% (pQ)] det [ 1 ~f e^AG°+ (~pQ)} =
=det {l-e*(A [G°+(po)-Gl(—Po)]-e«(AGQ+ (p0) e^AG% (-po)} =
= exp {— 2 Tr [e^AG°+ (pQ)]—Tr [e^AG°+ (po)e*(AGQ+ (—pQ)]} X
Xdet'(l-f X/Q. E.59)
Здесь использовано соотношение зарядовой симметрии
(—p0) E.60)

186 ГЛАВА V
и введено обозначение
% (р0) — G% (— ро)\ —
(~p0). E.61)
Таким образом,
[/? (роI2 = ехр {i- Tr [e-iА (О°+ (р0) — О% (— р0) )]2 } X
Xdet' A+X/0 E.62)
и доказательство того, что правая часть является целой
функцией от е, устанавливает то же свойство для D"+ (p0).
Выше было показано, что определитель det'(l-j-A/Q
является целой функцией от X, если след TrXK(^К)+ ко-
конечен. Чтобы применить этот критерий, воспользуемся соот-
соотношениями
G°+(x, x', Po) — G°+(x, х', — j»o)—'|x — х'Г1 E.63)
при х — х', выводимыми из выражения E.44). Рассмотрим
вопрос о сходимости в окрестности точки Xq, где
Л(х)~1х — х0ГA-Э). E-64)
Второй член в выражении E.61) является трехмерным ана-
аналогом выражения D.74), и обсуждение последнего интеграла
показывает, что условием сходимости при этом будет
12 > 4A—j3)-f-8, или р > 0. Легко проверить, что допол-
дополнительные члены, происходящие от первого члена выраже-
выражения E.61), являются более быстро сходящимися в силу
уменьшенной сингулярности выражения Ol (р0)—G°+(—р0).
То же утверждение относится к аргументу показательной
функции в выражении E.62).
Дадим также более точную характеристику ограничения,
наложенного на пространственно локализованные поля, рас-
рассматривая потенциалы, которые имеют асимптотическое
поведение
E.65)

_ НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 187
при |х | —> со. Соответствующим свойством функций Грина
при | х—х'|—>оо, будет
G+ (х, х', р0), [G+ (х, х', po)—G+ (х, х', — р0)] ~ | х—х' Г*Х
— /7t2)'A|x — х'|Ь E.66)
где |ехр[/(/?о—»12)'/г|х— х'|]|^[1. Рассматривая, напри-
например, второй член в выражении E.61), мы должны проверить
сходимость на бесконечности интеграла
f (rfx) (dxO (rfxt) (rfx,2) A (x) A (x') A(xt) A (x2) X
X[|x— x1||x1— x'Hx' — xa||x2 — хЦ-1,
условием сходимости его будет неравенство 12 < 4 X
X B -+- У) -\- 4, или р'> 0. Все другие встречающиеся при
этом члены приводят к тому же условию. Мы заключаем,
что для потенциалов1), которые менее сингулярны, чем
| х~:—хо\~х, и которые убывают на бесконечности быстрее,
чем |х|~а, функция D+(j?0) является целой функцией пара-
параметра, характеризующего напряженность поля, и предста-
представляется сходящимся степенным рядом
X tr { JJ [цА (xt)] deC) O% (xu xj, pQ) I. E.67)
*) В нерелятивистском пределе сингулярность функции Грина
уменьшается до |х — х'I при х<~х', н соответствующий класс
скалярных потенциалов включает такие, которые менее сингулярны,
чем |х — хо|~а, и которые убывают на бесконечности быстрее,
чем |х|~2- Для потенциалов, которые сингулярны только в начале
оо
координат, эти критерии комбинируются в условие I d \ х | | х | X
о
X \еАо (х) | <С оо, которое совпадает с условием D6) работы [3].

188 ГЛАВА V
Теперь можно воспользоваться соотношением D.61),
которое дает элементы матрицы
[ 1 — e*iAG% (pa)]'1 — 1 — e^AGl (р0) =
= е^А IQ+ (ро) — О°+ (роI E.68)
по аналогии с соотношением D.69). Нам нужно только
переписать выражение D.70) в форме
D+ (po)[G+ (x, x', ро) — 0+ (x, x', po)\ —
П=1 I
Г °> G+ (x« xi« Ро) 1 )
Xde?+» ¦ ;V ' W ; E.69)
LG+(x», x', ро), [G+(xi, xj, po)\ )
это позволит выразить G+(x, x', p0) в виде отношения
двух целых функций. Можно также представить этот
результат при помощи матрицы 1(р0), определяемой равен-
равенством
G+ (ро) = G°+ (ро) ¦+- G°+ (ро) I(Ро) G% (ро). E.70)
Таким образом,
D+ (ро) I (х, х', ро) = J] Ц^ f(dx1)... (dxn) X
i
й(х—х,-) 1]
; J; .
O. G-^Xi, xj, po)\)
E7
s(xi j )
E.71)
Свойства функции D+(p0) различны в двух -областях
\Ро\<т и \Ро\>т' Заметим сначала, что функции D+(p0)
и D+ СРо) являются действительными, если |/>ol<^- Это
очевидно, если заметить, что функция
D-(Po)=D+(PoT E-72)
получается из функции D+(p0) при замене G+ на G*L,
а эти функции Грина равны, если |/>0|<>я- Другим утвер-
утверждением, относящимся ко второй области, является то, что

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 189
функция D'+(po) имеет, по крайней мере, один нуль1) как
функция величины параметра, характеризующего напря-
напряженность поля. Это мы докажем для электростатических
полей, у которых потенциал Ло имеет постоянный знак.
Начнем с соотношения
D+ (р0) D+ (— р0) = exp {Tr In [ 1 — {е^А О\ (р0) )*])-• =
= ехр {— Тг [е^АО% (ро)\2 } D"+ (p0) D"+ (— р0)., E.73)
Для достаточно слабых полей можно разложить логарифм
и получить
оо
D"+ (р0) Dl (— а>) = ехр j — ^ 1 Tr [e^AG% (pjf1}, E.74)
где отдельные следы все конечны. Мы рассматриваем элек-
электростатические поля, для которых потенциал Л0(х) обладает
определенным знаком. Так как выражение E.74) является
четной функцией от еА0, то без ограничения общности можно
считать знак произведения вЛ0 положительным; изменение
знака перед Ао переставляет местами функции D'+(j?0) и
D"+ (—р0)- Заметим теперь, что
E.75)
где матрица
К = KeAj'' ЪО°+ (р0) (*Л0)*]2 E.76)
является эрмитовой и положительно-определенной; Поэтому
след Тг/С™ действителен и положителен. Эти следы удо-
удовлетворяют неравенствам
Тг Кп+т < Тг Кп • Тг Кт, E.77)
(Тг Кп)* < Тг Кп~г ¦ Тг Кп+1, E.78)
из которых выводим, что
И, п = % 3, ... E.79)
Таким образом, ряд E.74) сходится, если
Тг К2 = Tr [eA0i0O% (pQ)f < 1. E.80)
J) Это является аналогом теоремы Шмидта (см. [4]).

190 ГЛАВА V
Но из неравенства E.78) также вытекает, что
TrAT" ^ ТгAT«-i " ' " -^Тг АГ2' ^
и поэтому сумма положительных членов в разложении E.74)
наверняка расходится, если
' E.82)
это указывает на обращение в нуль выражения ?)+ (р0) X
X D+ (—р0) для некоторой напряженности поля, равной или
меньшей той, которая определяется выражением
Tr [eA,ToO°+ (/>оIв = Тг [еЛоТоО°+ Ср0)]4. E.83)
Чтобы установить, который из множителей исчезает при
данном знаке произведения еЛ^х), рассмотрим достаточно
слабое поле и исследуем зависимость выражения
„ + = exp { — 2 2 2m+1 Tr H^G+ (po)fm+1) E.84)
E.85)
от р0. С этой целью заметим, что уравнение
имеет единственное решение:
,= 00+(p0)-f0G0+(Po)- (S-86)
Предположим, что произведение еА0(х) положительно. Тогда
выражение '
X
действительно и положительно, так как каждый член имеет
вид 7iKKf- Следовательно, логарифм возрастает монотонно
при возрастании р0 от нуля и
D"+iPo) . , E.88)
при р0 > 0, т. е. при еЛ0>0 именно функция D+(—ро)
исчезает при р0 > 0 для соответствующей напряженности

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ JQ1
поля. Аналогично функция D+ (р0) при р0 > О является тем
множителем, который исчезает при eAQ < 0. Итак, для
любого р0 ф О в интервале | р0 | < т имеются определенная
напряженность поля и ее знак, для которых D'+(j>0)=0.
Качественно зависимость этой величины поля от р0 можно
также вывести из выражения E.87). Пусть Х(р0) будет зна-
значением параметра, соответствующим напряженности поля,
для которой D+(p0) = 0. Выражение E.87) справедливо для
X < К (р0) . Рассматриваемый определитель ?)+ (р0), как функ-
функция от к, очевидно, содержит множитель л(р0) —л, кото-,
рый в производной E.87) дает член ^
Он преобладает, когда к приближается к к Q?q) снизу, и
должен поэтому быть положительным. Мы заключаем, что
^ > 0 E-89)
при еЛ0>0. Таким образом, при возрастании ро от —т
критическая напряженность поля должна возрастать. Если
произведение еА0 отрицательно, то логарифмическая про-
производная E.87) отрицательна и dX (po)/dpo < 0; при умень-
уменьшении р0 от т. величина поля должна возрастать для сохра-
сохранения равенства D+ (р0) — 0.
Мы получили эти результаты без ссылки на то обстоя-
обстоятельство, что корни D"+ (p0) являются частотами связанных
состояний. Уравнение
0+ (Ро) — О\ О0) = О% Оо) «ТА 0+ СРо) =
= °+ (Ро) e"tA G+ (Ро) E-90)
показывает, что в нуле функции D+ (p0), который для про-
простоты не предполагается кратным, функция D+ (р0) X
X б+(х> х', р0) удовлетворяет однородным интегральным
уравнениям
ф (х) = J (dx') О°+ (х, х', Ро) efA (x') ф (х') E.91)
и •
^(х) = J (dxr) ^(x') etA (x') Q°+ (x', х, р0), E.92)

i92 ' глава V
которые определяют ее зависимость от переменных х и х'
соответственно. Следовательно, в окрестности корня е Е'
имеем
E.93)
Используемую при этом нормировку собственной функции
фч(х) можно вывести из равенства
Ъ =_Тг{[1 —
= — Tr{[G+(p0)— G^(po)]Yob E.94)
а именно:
/ (tfx) Щж (х) То^х (х) = 1 • E.95)
Для действительных значений р0, превышающих т. по
абсолютной величине, D+(p0) является комплексным числом.
Его фаза определяется выражением
= det { 1 -Ь / (Ро) [G°+ (p0)— G°_ (р0)]} , E.96)
как это следует из соотношения
[\—ечА&+ (ро)] [1 — efACfL (р0)] =
= 1H-/(Po)IG°+(Po)— 0°-(Po)l E-97)
Меняя местами G^. и G^_, получаем
= det { 1 — 7(po)[G°+(po) — G°_ (p0)] } 4 E.98)
Для непосредственной проверки того, что произведение этих
двух определителей равно единице, следует использовать
преобразование Фурье [см. соотношение D.94)], а именно:-
I(Po)—'f(Po) = '(Ро) [G+ (Ро) — О- (РоI' (Ро) =
= 7(Ро)[0°+(Ро) — G°_(po)]/(Po)- E-99)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ бТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 193
Равенством, аналогичным соотношению E.96) и характери-
характеризующим фазу определителя D+ (р0), будет
ехр {— Тг /A) (р0) [G% (р0) — G°_ (р0)]} X
X det { 1 -\-I(po)[G%(po) — G(L(po)]} , E.100)
Где введено сокращенное обозначение:
/A) (А>) = е1А + е-(А^ [0% (ро) + О°_ (р0)] втЛ. E.101)
Учитывая выражения-E.43) и C.55), видим, что
О°+(х, х', р0) — G°_(x, х', />0) =
= 2rd S S (е (X) Ер — р0) е (X) -^Хр (х) ^, (х'), E.102)
где
Ep = (p2 + w2)Va E.103)
(ранее мы употребляли символ р0 для этой величины),
a i^xp (x) являются собственными функциями
x- E-104)
Суммирование в выражении E.102) ограничено состояниями
с частотой р0, т. е. состояниями с Ер = |ро| и s(X) = s(p0).
Удобно характеризовать состояния не при помощи величин
Хр, а при помощи величины pQ = s(\)Ep и индекса а, кото-
который включает как [Х|, так и направление р. Запишем
(dp) = р2 dp day = pEp dEp dm E.105)
(do> — элемент телесного угла) й
<Кр (х) =* (^p)V* ?аРо (X), E.106)
так что
13 Зак. П74. Ю. Швйнгер

194 ГЛЛВЛ V
Мы можем тогда выполнить интегрирование по Ер в выра-
выражении E.102), после чего получим
G°+(x, х', р0) — О°_(х, х', ро) =
(р0) 2 ?ар0 (х) фаРо (хО . E.108)
а
Матрицы, определяемые равенствами
1аъ (Ро) = / (*0 (rfx')^a/,u (х)/(х, х', р0У<?ьра(хО,
/аб (Ро) = / (*0 (dxO Тад (х) Т (х, х', Ро) X E•109)
X '
обладают, согласно формулам E.99) и E.108), следующими
свойствами:
he (А)) — *ас (Ро) = 2тЛе(р0) 2 lab (Ро) *Ьс(Ро) =
ь
= 2«й (Ро) 2 /аб (Ро) /6с (Ро) • E-110)
Мы приходим при этом к унитарной матрице s(p0) с эле-
элементами
Sab (Ро) = Kb + 2*& (Ро) U (Ро)" E.111)
Таким образом,
2 4& (Ро) зЬв (Ро) = 2 [Заб — 2«fe (р0) /+ь (р0)] X
X [S6c -h 2«ie (Ро) /&с (РоI =
= Sac + 2«» (р0) [/ас (р0) — it, (Ро) —
— 2шг (Ро) 2 /аб (Ро) 4с (РоI = Sac E.112)
6
и, аналогично, находим, что
5 (Ро) 5+ (Ро) = 1;
в этом равенстве мы могли бы, собственно говоря, написать
1 (р0), чтобы подчеркнуть, что элементы s(p0) относятся
исключительно к состояниям с частотой р0.
Чтобы убедиться в том, что определитель E.96) можно
представить в виде det s(p0), рассмотрим следы последова-

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 195
тельных степеней выражения I(р0) [О% (р0)—G°-(p0)]. Пер-
Первые два следа, а именно:
Tr {/(po)[G+(Po) — G-(Po)]} =S2ws(po)/aa(po) E.113)
а
И
Tr { /(р0) [G% (р0) — G°_ (р0)] /(р0) [G°+ (р0)— G°_ (р0)]} =
= 2 [2«/. (р0)]21аЪ(Ро) 1Ьа (Ро), E.114)
аЬ
приводят к результату общего характера: /(po)[G+(po) —
— Q'L (p0)] эффективно заменяется на элементы матрицы
2nie(pjlab(p0). Следовательно,
det { 1 -h /(Ро) 10+ (Ро) — О- (РоI } =
= det [ЬаЬ + 2«/. (р0) /аЬ (р0)] = det s (р0). E.115)
Можно также заметить, что первоначальная матрица пред-
представляется в виде произведения единичных матриц, связан-
связанных с состояниями, частоты которых не равны р0, и ма-
матрицы s(p0) для состояний с частотой р0. Итак,
E.116)
и
^Щ = ехр Г— 2ir/s (р0) V /й(роI det 5 (Ро) . E.117)
D+(p0) La J
Так как унитарная матрица s(p0) обладает собственными
значениями sA(p0), имеющими вид ехр [2/3^(ро)Ь где фазы
8д(р0) действительны, то эти результаты можно выразить
в форме
E.118)
и
-л-— = ехр 2i\ У. ол(р0) — «вСр0) V Гь'а(р0) }. E.119)
13*

196 глава V
Матричные элементы sa6(p0) и /а&(р0) можно выразить
при помощи собственных фаз S^(p0) и функции преобразо-
преобразования (а | А) . Таким образом,
Sab (Ро) = 2 (а | А)реш^ (Л | Ь)р<> E.120)
д - ¦ J'o - ¦ 'Pa
U (Ро) = ^ * (Ре) 2 <а I ^л*"* Ш sin S^ CPe) И | b)po. E.121)
Соответствующие уравнения преобразования собственных
функций имеют вид
?а/»„ (х) = 2 (а I А) ФАРа (х),
4
4 E.122)
(х) = 2 <?аРо (х) (Л | а)ро.
2 ?Ро () ( | )ро.
Как следствие последнего уравнения мы имеем
2 ?«/,„ (X) ера*. (ХО = 2 ЧАРв (X) «Рал (JC') E-123)
4
И
a
что позволяет нам записать равенство E.119) в виде
J7 {,Р°1 = exp hi У\'ЬА. (роI , E.125)
D+Ш L T J
или
Im In D+ (/>o) = —^j од (Ро)> (^* * ^")
л
где
&Д (Ро) == &А (Ро) ие (Ро) IAA (Ро)' (^* 127)
Необходимо также изучить асимптотическое поведение
?)+ (Ро) как функции р0. Сначала полезно рассмотреть класс
потенциалов, которые не имеют сингулярности. Тогда можно
найти настолько большие р0, что на расстоянии (ро—/»2)~1/я,
которое является характерным расстоянием,-встречающимся

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 197
в функции G+ (х, х', р0), происходит пренебрежимо малое
относительное изменение потенциала. Запишем
G\ (Х> х', Л)-/^*'^-"'^ (Р, РоУ, E.128)
и вычислим типичный след
X «*»>-^-^О». (Pl, Ро) е-(А (х2) в<*-<*--*> х
X G+ (Ра, Ро) • • - «T^(xJ«iPra>(^-Xi)G+(p«, РоI E.129)
с асимптотически справедливым приближением Л(х2) =
«= . .. Л(х„)==: Л(х^. Это дает
ТгИЖ?+0>о)Г~ $У$ррЬ[е1А0О<Р+(р, ро)Г E.130)
и, следовательно,
det [1 — eiAG°+ (р0)] = exp {Tr In [ 1 — e^AG% (р0)]} ~
^ ехр { J (^3P) tr In [ 1-ПЛ (х) О°+ (р, р0)]}. E.131)
°
Видоизмененный определитель det" [ 1—efAG°+ (pQ)] анало-
аналогичным образом выражается через измененный логарифм
In'O—*) = In A —4
Эти асимптотические результаты, очевидно, соответствуют
классическому приближению, когда величина (rfx) (rfp)/BitK
представляет собой число состояний в соответствующем
объеме фазового пространства.
След, входящий в выражение E.131), можно вычислить
в виде
tr In [ 1 — «ТЛ(х)О°.(р, ро)] =
= trln {[т(^еЛ)-+- wKTP+wr1} =
^ 2 {In l(p-^ a A?+ tn*} — ln(/>a-|-/»a)} E.132)

198 ГЛАВА V
и, следовательно,
trln"[l — е-(А(х)О°+(р, ро)]
И.= .8
Выполняя сходящиеся интегрирования по р, находим, что
каждый член, содержащий д/др, приводит к исчезающему
поверхностному интегралу, откуда получаем соотношения
J g§j tr I n" [ 1 — e-iA (x) 0% (p, po)l =
n=3
in
— | f^o (x)]2 [(Яо — ™2)'/2 + Po (Po — m2r4 } . E.135)
Выражение E.135) не зависит от А(х), как это требуется
калибровочной инвариантностью.
Мы видим, что In D+ (р0) обладает конечным пределом
при |р0|->оо:
l^J, E.136)
тогда как, согласно приближению E.131), произведение
D+ (Ро) D+ (-—р0) стремится к единице по закону
In {D"+ (Ро) D- (РоI -^-^1^5 / (<**) 1*<»о СЮ]4. EЛ37)
Рассмотрим теперь потенциалы с сингулярностью
|х — х0ГA-р), р>0,

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 199
Асимптотический вид выражения E.130) остается справедли-
справедливым для вкладов от расстояний до сингулярности, больших
по порядку величины, чем
(Ро—да )~/й —*¦ IРо I
Как можно проверить, вклад в формулу E.129) от меньших
расстояний имеет асимптотическую зависимость от р0 в виде
|Ро1~та? ПРИ !Ро1—*"°°- Поэтому конечное предельное значе-
значение E.136) также справедливо для потенциалов, которые
менее сингулярны, чем |х — х0 |~\ но утверждение E.137)
заменяется на следующее:
In [D+ (/>„) D"+ {—Ро)] — |/70 Г4Э E.138)
при |/?0|—>-оо.
Перейдем к доказательству того, что исследованных выше
свойств функции D+ (р0) достаточно, чтобы определить пол-
полностью эту величину. Заметим сначала, что источник ком-
комплексных значений, предполагаемых у функции D+(p0) для
действительных р0 в интервале \po\^>fh, можно перенести
с массы т на энергию р0. Таким образом, при s—>--|~0
можно записать
-(po) = D (р0—-w)J
E.139)
rUp0) = D"(p0 — ie)\
при Рп <С —да.
где т — действительный параметр в функции D"(p0). Эти
соотношения- устанавливают эквивалентность, например,
бесконечно малого смещения линии полюсов ниже величины р0,
находящейся на действительной оси, и сдвига энергии р0
на бесконечно малую величину выше линии полюсов, распо-
расположенных на действительной оси. Функция In D"(p0) регу-
регулярна в верхней полуплоскости Im р0 >> 0 и приближается
на бесконечности к постоянной -^ Г (dx) [eA0 (х)]3, а мни-
мнимая часть ее на отрезке действительной оси \Pq\> m

200 ГЛАВА V
(достигаемом из верхней полуплоскости) принимает сле-
следующие значения:
imlnD" (po-\-ie) =— S'S^CPo) пРи Р0>т>
* E.140)
Im In ГУ' (р0 — /е) = + 2 '*л (Р0) ПРИ Ро<~гп.
Ля.
Если р0 находится на действительной оси, причем
| р01 < т, то функция D (р0) = D± (p0) действительна и
имеет нули в точках ех?Гх. Поэтому мнимая часть
Im In ГУ' (р0) постоянна между корнями, но разрывным обра-
образом уменьшается на те, когда р0, возрастая, проходит через
корень (с обходом через верхнюю полуплоскость). Следует
заметить, что 1т\п ГУ'(ро) = О в окрестности точки ро = О.
В случае отсутствия поля D"(po)=l и Im In D//(jr?0) = 0.
При возрастании напряженности поля корни могут появиться
на границах интервала \р0|<м и начать двигаться по на-
направлению к началу отсчета. Однако мы исключили возмож-
возможность того, что корень достигнет начала, в силу чего фаза
функции D" (р0) в окрестности начала отсчета не должна
изменяться по сравнению со своим значением при нулевом
поле, что подтверждает сделанное выше замечание. Про-
Проследим теперь за значениями Imln D"(p0) от ро = О до
р0 = т. Начальное значение этой величины равно нулю.
При прохождении первого корня она принимает значение
— те, а после прохождения нулей, связанных с v+ положи*
тельно-частотными связанными состояниями, она принимает
значение —v+w. Следовательно,
S>; <5Л41>
вторая часть этого утверждения основана на исчезновении
нормирующей постоянной в функции <pajBo при ро = т, р == 0.
Число отрицательно-частотных связанных состояний аналсн
гичным образом определяет значение Jm Iq D" (j)q) при
p0 — — m, а именно v_w. Отсюда
л

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 201
При введении обозначения Ъд (pQ) == Ь Е, в котором величина
р0 |, равная Е, указывается в качестве индекса (независимо
от знака />0), можно заметить, что соотношения E.141) и
E.142) являются следствиями соотношения E.30), которое
было получено при помощи более простых аргументов.
Конечно, это согласие основано на предполагаемой эквива-
эквивалентности двух определений фаз, которую мы еще должны
установить.
Функция комплексного переменного <p(z) = a(x, у)-\-
-Jf-iv(x, у), которая регулярна в верхней полуплоскости и
принимает на бесконечности мнимое постоянное значение,
выражается через свою мнимую часть на действительной
оси равенством
-t-c
-и
+ OO
dx, v(x', 0) ^ ]mz>0> E.143)
где под интегралом с бесконечными пределами понимают
предел интеграла, взятого от —К до X при ^->oo. Это
утверждение можно получить из интегральной теоремы
Коши, примененной к точке z И сопряженной точке z*. Вос-
Воспользуемся им для построения функции In ГУ'(р0). При этом
мы встречаемся с интегралом
—7
Ро—Ро
Произведем, в нем интегрирование по частям. Так как
^ Im In D" (Ро) ^ — те ^ НЯо — s*^) E-144)
и
Im In О' (от) == — v+it, ImlnZX^— ») = *„*, E.145)
получаем
— v+ In (да—Pq) -г- v^ In (— m -^ pQ) -h ^In (s?s*—/>q)'

202 ГЛАВА V
и, следовательно,
-со ^0 ''О .д
Вводя обозначения '8д(р0) = 'Ь^Е> в(/?0) = вт, находим, что
_± Г ?/У 1
Г
L
E.147)
Связь между числом связанных состояний и фазами при
Е = т обеспечивает отсутствие какой-либо сингулярности
при ро = ±т. Функция D+(p0) для действительных р0
дается той же формулой, где т снова имеет бесконечно
малую отрицательную мнимую часть.
Теперь вернемся к обсуждению выражения
i / dpolnDl(pQ), E.148)
где мы использовали соотношение E.60) и написали
ip0 Tr (fAG°+ (p0) fAG°+ (р0) ) =
= — 11 Г (rfx) (dxr) dx'o tr [ТЛ (х) 0% (x, x') -(A (xO X
Исследуя функцию D.68) и ее выражение D.88) для поля,
которое не зависит от времени на большом интервале, за-

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 203
мечаем, что один интеграл по времени можно взять, это
даст
_?U> =CJ (dx)~Fl*(x) — i J (АО(dx')df^(x) X
X«(x-x')^(x'), E.150)
где
f\ Г f /\ ^ С ^* Чу'
Zm
К1 -(?)?-*
Второй член в выражении E.150) конечен, если сходится
интеграл
со
J* rfx-z-i J* (dx) (dx') 1 л: — л:0 ГC-р) | х — х' Г1 X
для этого требуется, чтобы C было больше 1/а. Следова-
Следовательно, квадраты напряженностей полей должны быть менее
сингулярными, чем |х — хо|~8, и этот класс внешних полей
можно охарактеризовать как класс, обладающий конечной
полной энергией. Таким образом, коэффициент при С
конечен.
Второй член в выражении E.148) также конечен для
этого класса полей, как это очевидно из соотношения E.138).
Интегрируя по частям вклад от дискретных состояний, по-
получаем
Г dpo\nD'UPo)= [ dpo\Y.(-A-! sjHL-\
вычисление вычетов можно провести путем усреднения ре-
результатов замыкания контура интегрирования в верхней и

204 ГЛАВА V
нижней полуплоскостях. Это дает1) для энергии вакуума
выражение
%E> EЛ53>
* ^ т
из которого видно, что имеется одна расходящаяся вели-
величина С; это выражение заменяет формальное выражение
E.32) для соответствующего класса полей.
Описание при помощи рассеяния. Мы использовали
функцию преобразования E.9) для получения собственных
значений и собственных функций при помощи такого пред-
представления функции Грина, при котором все состояния рас-
рассматриваются с одинаковой точки зрения. Но такое рассмот-
рассмотрение является несколько искусственным для локализованных
потенциалов, для которых состояния непрерывного спектра
существенным образом отличаются от связанных состояний
и наиболее естественно описываются на языке физической
картины рассеяния. Ниже мы используем эту точку зрения.
Функцию Грина для xQ — x'Q = T > 0
+ ОО
G+(x, x') = ± f dpoe-*PoTG+(x< x/, po) EЛ54)
—oo
можно вычислить, если деформировать путь интегрирования
таким образом, чтобы он обходил в отрицательном напра-
направлении дискретные полюса при ро = Ех < m и линию раз-
разреза, простирающуюся из точки m в бесконечность. Как мы
видим из соотношения E.93), вклад каждого изолированного
Полюса равен /фх(хL'х(х/H~гЕ*т. так что
О+ (х, xf) —« 2 ф, (х) фх (х') е~<т =
+
5=3i J dPcf-<**Q+{x, x', pj, E.155)
i) Замечание 'относительно порядка вычислений е последнем
члене см, е примечании на GTp. 229.

Не ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЙРЕМЁНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
где путь интегрирования начинается на бесконечности, оги-
огибает точку т в отрицательном направлении и возвращается
в бесконечность. Сделав подстановку
О+ (х, х', р0) = О\ (х, х', Р0)+ / (<**i) (<***) %
XG°+(x, x1( po)I(xt, х2, р0)О+(х2, х', р0), FЛ56)
заметим, что
{т. -)
i J dp0e-ip°TO°+(x, х', po)=G°+(*. x'), E.157)
как это можно непосредственно показать при помощи фор-
формулы
. X , р0) = 2| eW?p-a • E.
Рассматривая член выражения E.155), происходящий от
второго члена в правой части равенства E.156), мы прихо-
приходим к интегралу
~ f dpoe-ip^^ J/ (р0) s {V) E, . E.159)
Именно здесь мы вводим картину рассеяния, вычисляя этот
интеграл лишь для больших Т:
ТУ$>??, E.160)
где ЬЕ представляет собой наименьшее изменение энер-
энергии р0, которое различимо в функции f(p0)- Можно сказать,
что Т выбирается большим по сравнению с продолжитель-
продолжительностью столкновения. Тогда зависимостью 1(р0) от р0 можно
пренебречь, и интеграл E.159) примет значение
, E.161)

?06 ГЛАВА V
если только, конечно, s(k) = e(k') = 1. Мы не делали раз-
различия между /(?) и /(f')> так как величина E.161) отно-
относительно велика лишь при условии
Е — Е'~ ^г
Таким образом, получаем
Ч- /2 <Кр(х) 5хР. х-р'^'р- (х') в-^т , E.162)
¦ +
а аналогичное утверждение для х'о — xQ = T имеет вид
G+(x, jO = —*2MxH,(x')«-'*> —
— i 2 ^p(x) 5xPA'p' fx-p' (x') e~iET. E.163)
Здесь
5xP. x'p< = V x'p' + 2*/e (p0) 8Г(Е — Е') X
X J (dx) (rfx')^xp (x) /(x, x', p0) ^x'p' (x') =
= SxP. x-p' Ч- 2«/e (Po) 8r (E — E') (dEdE'f* Iab (p0) E.164)
и
^1е ±f^. EЛ65)
Мы также имеем
5xp, x'p' = 5x'p', xP =
= Sxp,x'p/ — 2тв (Po) bT(E — Ef)(dEdE'f* fU (.Po)> E-166)
в силу соотношения
8Г(?' — ?)* = 8Т(Е — Ег). E.167)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 207
Другие свойства функции ог(? — Е') выражаются равенствами
f dE'bT(E — Е')ЪТ(Е' — Е") = ЪТ(Е — Е"), E.168)
8,@) = ?
и
-т
_> Jig(? — ?:'); E Л 69)
последний результат отвечает предельному случаю, соответ-
соответствующему Т—>оо.
Можно проверить так же, как в соотношении E.112),
что Sxp, X'p' образует унитарную матрицу. Эта матрица
определяется по всей области состояний, но ее неисчезаю-
щие элементы относятся к области энергий Е — E'^-ljT.
Понимая, что отбор состояний с равной энергией ограничен
точностью 1/7* (<^Д?), можно записать
Это указывает на связь с унитарной субматрицей
•Sxp, X'p' = ЬЕ, E-Sab(Po)- E. 170)
Из свойства унитарности вытекает особое следствие:
|5хР,хр|а=1— S |5хр,х'р'|а=1— 2 |5х-р',хр|а.
Х'р'-гбХр Х'р'-гбХр
E.171)
где
|5хр,хр|а=1— 2TdEe(po)lmfaa(po) E.172)
и при Хр Ф к'р'
E')\Tab(p0)\*. E.173)
Мы узнаем здесь диагональный элемент матричного соотно-
соотношения E.110)
2 Im /«, (р0) = 2ы (р0) S 11аь (Ро) Га =
ь
EЛ74)

208 ГЛАВА V
Теперь подставим представления E.162) и E.163) функции
Грина в выражение E.9) (опуская фазовое преобразование).
Обозначение E.14) для дискретных состояний сохраняется, и
мы пишем yi±Y для аналогичных величин, построенных из
функций состояний свободных частиц t{/ (х). Тогда
[2 Х<->'Х<+>'«
где для отрицательно-частотных состояний появляются вели-
величины
•Sxp, х'р'^^х'р'.хр- E.176)
Это дает производящую функцию для функции преобразо-
преобразования (/tot | л'о2), в которой состояния системы характери-
характеризуются числами заполнения связанных состояний и состояний
свободных частиц. Представим эту функцию преобразования
Посредством унитарной матрицы
(rtOl | rt'o2) =* exp (— IB (л) tt) (л | 51 rt') exp (IE (ft'
?(л)=*?@)-г-2лх
x
Элементы этой матрицы
')=*S
E.178)
ПОПрежнему зависят от Т. В первом определителе Хр и к'р'
пробегают в стандартном порядке п+ занятых положительно-
частотных состояний конечного и начального состояний
системы соответственно. Второй определитель относится ана-
аналогичным образом к отрицательно-частотным состояниям.
Множитель 8 i описывает стационарный характер связан-
связанных состояний.
Вероятность перехода между состояниями, таким образом,
дается выражением
|(n|S|n')|* = 8 'Р+(.п> пг)р_{п, п'), E.179)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 209
где
р+ (п, л') = | det(n+MxP, x'p' |2 E.180)
и
р_ (п, л') = | det^ySx*, X'p' |2 E.181)
являются независимыми вероятностями для двух типов частиц.
Производящая функция для р+(п, пг), например, дается выра-
выражением
det A + xSySf) = det A -(- SfxSy) =
= 2 П(*М>»+(л> «')П(Л'Р')Я'- E-182)
п,п'+ + у
При этом, разложив бесконечный определитель, получаем
X
Я+=0
оо
•^Хрг \Х'р' +
xPft
И (а;х*)Я i det<v 5хр« х'р' i2И
7», Я' +
где kpi и Xpft независимо пробегают по всем (положительно-
частотным) состояниям. Если мы в выражении E.182) всюду
положим Х\р == 1, то получим соотношение
Р+(п, n')
' +
П ЕП/ч E.184)
П( +Jp) Е
+ Я'
которое показывает, что
Sp+(», »')= 1. E.185)
я
Аналогичным образом, полагая j^p=l, находим, что
2/>+(«. п')= 1. E.186)
я'
14 Зак. 1174. Ю. Швингер

210 ГЛАВА V
Частичную производящую функцию для данных началь-
начальных чисел заполнения можно получить, если записать опре-
определитель E.182) в виде
det
и положить у\р = 0 для всех состояний, за исключением
некоторых (п( — 1), где ух —>оо. Это даст
S П(*М.)П />+(«• л') = det A — л' -f- S*xSn). E.188)
(l— r^+S+^TJLr)det(l+jO E.187)
Чтобы получить иную полезную форму, сделаем подстановку
x—*rl-\r.x и заметим, что A -f- л:)п = 1 -J- пх, так как
и (и—1) = 0. Отсюда получаем функцию
2 ПО + лхр*хр) Р+ (п. «О =
= det A + S*xSn) = det A -f- xSnS*), E.189)
которая служит производящей функцией для средних значе-
значений чисел заполнения или произведений чисел заполнения
в конечном состоянии. Так как равенство E.189) совпадает
по форме с соотношением E.182), мы видим, что
(*>»)/> (й. й'>=(д (пхР))п, =
(ft)
=ж 21det^ з»-х'^' Iя П (л^»г)' Eл90)
Х'р' (Л)
где А.р является k произвольными состояниями. В частности,
2 nXpjo(n, я')= (лхр)п/= Ц |Sxp. XV |9п(-р-. E.191)
п Х'р'
Последний результат также выражается равенством
S I 5хР, Х'р'
Х'р'
S( )|а6()|(р — л(Р). E.192)
Х'р'
Теперь
Щ^^^, E.193)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 211
где мы (при р0 = -}-?) ввели определение
(*Р ] / (А)) I *'Р0 = / (<*х) (dx') axp X
X ехр[—/е(/>0)р.х]/(х, х', ро)и\>9, expl/s(/>0)p'.x']. E.194)
Далее заметим, что, согласно соотношению C.103), среднее
значение вектора электрического тока в начальном состоянии
системы дается выражением
— 2 « (*) 4*р (х) Y 4*р №хр = 2 ег (\)%Р, E.195)
tXp Xp»
где, следовательно,
Jx»"°"?^0»nx» E.196)
является вкладом состояния в средний поток частиц. Поэтому
равенство E.192) можно записать в виде
2( ) X
Х^(Хр, х'р#)Х',' — То(Хр)Хр', E.197)
это дает среднее изменение числа частиц в данном состоянии
за интервал времени Т как разность числа частиц, попадаю-
попадающих при рассеянии в это состояние и выходящих из него.
Здесь
Г EЛ 98)
является дифференциальным поперечным сечением, для ука-
указанного процесса рассеяния, отнесенным к единице телесного
угла, и
а (Хр) == ^ / *' I ^ <Х 17 Ю I Х'') Г
X'
r? E-199)
X'
является полным поперечным сечением рассеяния. Эквива-
Эквивалентность различных выражений для о(Хр) следует из соот-
соотношения E.174).
14*

212
ГЛАВА V
Поперечные сечения рассеяния для отрицательно-частот-
отрицательно-частотных состояний представляются в виде
E.200)
(Хр) = —
(ХР | /(— я)! хР) =
—?)[ Ар); E.201)
Для случая, когда падающие частицы образуют пучок,
который имеет полностью определенные импульс и поляри-
поляризацию (спин), из соотношения E.197) следует, что число
частиц с определенной поляризацией, которое отклоняется
внутрь телесного угла d<o, дается выражением -
S
dm
= Tda <ЯР> Х'рОЛ
-E.202)
где У' — полный ток частиц. Это находится в соответствии
с обычным определением дифференциальных поперечных
сечений. При помощи соотношений
можно построить поперечные сечения, относящиеся к непо-
ляризованным частицам. Так,
а+ (р) = -i
= 2^ Im J
/) X
*.*'. Я). E-204)
=h1ш
Xtr exp[ip • (х —х')](т-{->{
x° х
x, x',—E). E.205)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 213
Последнее выражение можно также записать в виде
Im/(rfx) (d x'>tr exp [~~ip'(x ~ x/) ] x
/(x, x', ?). E.206)
Усредняя по всем начальным направлениям движения с данной
энергией, можно получить соотношение
г<в<3±(р) = °(.Ро) =
= _Ц_Тг
X
X [ G°+ (/>„) — Gl (А>) ] / (ро) }, E.207)
или, в эквивалентном виде,
a ab
Подставив в первую часть E.208) разложения E.71) и E.67),
придем к явным выражениям для этих поперечных сечений
в виде отношений сходящихся степенных рядов по потенциалу.
Следует отметить некоторые свойства инзариантности
поперечных сечений рассеяния. Для электростатического поля
сочетание зарядового сопряжения и отражения времени1)
оставляет функцию Грина инвариантной:
х, /'о)(ТоТ5С)~1=0+(х> х'. Ро). E.209)
Так как это свойство относится, конечно, и к G+, то оно
также справедливо и для /(х, х', р0), в силу чего
(*Р I ПРо) I * V) = (*обр. — р' I Про) \ КбР. — р), E.210)
где функции
и^обр.-р = "-рТоТ5С, «"хобр--р = (ТоТбО иХр E.211)
связаны соотношением
^* E.212)
*¦* Это является аналогом нерелятивистского понимания отра-
кения времени [5].
15 Зак. 1174. Ю. Швннгер

214 ГЛАВА V
и описывают обращенное состояние (А.0<$р., _р), которое имеет
ту же частоту, что и начальное состояние (А., р). В силу
инвариантности функции О+ имеем (А., А.обр. > 0 или < 0)
2 "ХрИхр = 2 ихобр. Р^обр р, E.213)
*¦ *-обр.
откуда для дифференциальных поперечных сечений, относя-
относящихся к неполяризованным частицам, вытекает следующее
свойство обратимости:
2 I(*pI/(A))UV)I2=2 |(*'—р'|'(/»оI*— рI9- E-2И)
А, /.' X, А'
Для полных поперечных сечений находим
о(*р) = о(Хобг.— р) E.215)
и
а+(р) = а+(—р), а_(р) = а_(— р). E.216)
Для потенциала, поведение которого при пространствен-
пространственном отражении описывается соотношением
Л0(х) = Л0(—х), А(х) = — А(— х), E.217)
функция Грина обладает следующим свойством инвариант-
инвариантности:
Т0О+(— х, — х', po)lo=G+(x, х7, Ро), E.218)
откуда следует
Здесь функции
^ E.220)
описывают отраженное состояние (А.отг., -—р). Из соотноше
ния E.219) можно получить следующие утверждения относи-
относительно поперечных сечений:
2
к,
= о(Хотр. — р). E.222)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 215
Для электростатического поля сочетание обоих преобразо-
преобразований (пространственно-временное отражение и зарядовое
сопряжение) дает
E.223)
где дополнительное (обращенно-отраженное) состояние описы-
описывается функциями
й 1 E.224)
Мы имеем основание для такого обозначения, ибо
(йхр«хдоп.р) = (ЗДбСйхр) = 0, E.225)
так как f5C — антисимметричная матрица. Поэтому (Хдоп., р)
является состоянием с дополнительной поляризацией по отно-
отношению к (X, р). Действительно, ti\v можно выбрать так,
чтобы
и±2р = и±1р-у5С, и±1Р = — и±2рТ5С E.226)
Из соотношения E.223) находим, что для рассеяния непбля-
ризованных частиц в электростатическом поле имеет место
принцип детального равновесия
2,I (Хр | /(Ро) I A'pO |2^ 2,| (Х'р' I /(Ро) I ^Р) I2. E-227)
а также соотношение
о(Хр) = аадоп.р), E.228)
выражающее для электростатического поля независимость
полного поперечного сечения рассеяния от спина.
Если электростатическое поле таково, что
А0(х.) = А0(Ж-х), E.229)
причем ортогональная диада Ж -описывает произвольный
поворот, то мы имеем свойство инвариантности
/?~1G+(Sl-x, ?R.x', Po)R = G+(x, x', p0) E.230)
при условии, что унитарная матрица R удовлетворяет соот-
соотношениям
1=Т'^- E.231)
15*

216 ГЛАВА V
Тогда
(W(j0omV) = (^-p|/(Po)l^-P'). E.232)
где функции
Я*.р = %Я-* E.233)
описывают состояние после поворота. Мы не написали Хпов.,
зная, что два состояния поляризации различаются соб-
собственными значениями оператора а • pip, которые не меняются
пои поворотах. Поворот на угол тг вокруг оси p-f-p' дает
gR • р = р' и Ш, • р' = р, так что
(Хр\1(ро)\ Х'р') = (*Р'11(Ро) | А'р), E.234)
а это опять приводит к принципу детального равновесия
E.227). Результатом сочетания соотношений E.234) с E.223)
является соотношение
(^РI ПРо) 1 *V) = (^доп.Р I '(Л,) I W)> E-235)
включающее утверждение:
(Ар \/(р0) | ХрО = (Хдоп.р 11(р0) | Хдоп. р'). E.236)
Поворот на угол it вокруг оси р — рг дает
(Хр|/(роIХ'р') = (Л —р'|/(Л>)|Х' —р). E-237)
откуда можно вывести принцип обратимости E-214). Из
соотношений E.232) находим, что дифференциальные попе-
поперечные сечения для неполяризованных частиц зависят только
от угла рассеяния и что полное поперечное сечение не за-
зависит от направления падающих частиц. Так как полное
поперечное сечение также не зависит от спина, то оно сов-
совпадает с усредненным поперечным сечением а(р0).
Формулу для вероятностей отдельных переходов, исполь-
использующую определитель, можно получить из выражения E.188),
если положить х, = 0 для всех состояний, за исключением
состояний с п+ = п+, где хх =1. Ввиду того, что число
частиц фиксировано для конечного состояния с числами за-
заполнения гаХр = хХр, можно выделить вероятность перехода
р+ (и, п') = detA — п'-\- 5+raS/i') = det [ 1 — Sf A — n) Sn'\.
E.238>

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 217
Применим эту формулу для определения вероятности того,
что не происходит изменений состояния,
р+(п, n) = det[l—nS+(l—n)Sn]; E.239)
последняя формула отличается тем, что в ней не появляются
диагональные матричные элементы матрицы S\p, х'Рч так как
пA—п) = 0. Отметим, что р+(п, и)—1 в двух предель-
предельных случаях, когда ни одного состояния не занято или когда
заняты все состояния. Действительно, эта вероятность не
меняется при Подстановке 5 ч—>S*, пч—>¦ 1 —п (в более
общем случае п1'•*—>-1—п). Мы будем иметь дело с часто
встречающимся в физике случаем, когда имеется лишь ко-
конечное число занятых состояний или „почти все" состояния
не заняты. Это обусловливает быструю сходимость разло-
разложения для логарифма определителя E.239):
— Inp+ (я, л) = ^ % \2 5?р, XV <J — *x'
Хр UX'p'
+ J 21 "гр^'р' Z* 5*р> W ^ — ^"р"^ ^"р". х'р' j + • • • •
Хр, Х'р' Х*р-
E.240)
который не превышает величины
. E.241)
Рассмотрим выражение E.240) для поляризованного пучка
Частиц, заключенного внутри телесного угла 8ш, который
настолько мал, что можно пренебречь изменениями в диф-
дифференциальных поперечных сечениях, и для которого числа
заполнения слабо меняются с энергией (по шкале, опреде»
ляемой величиной 1/Т). Тогда первым членом в выражении
E.240) будет
= Т Г dE а'(Ар)Л(?), E.242)
J
Где
есть поток падающих частиц в интервале энергии dE,
а о'(Хр) — полное поперечное сечение рассеяния, вычисленное
16 Зак. 1174. Ю. Швингер

218 • глава V _
без учета всех переходов в первоначально занятые со-
состояния. Так как последние состояния имеют одинаковые
поляризации и направления движения в этих состояниях
различаются бесконечно мало, то мы найдем, что второй
член в выражении E.240) будет иметь вид
JdE[of(kp)A(E)]*, E.244)
и, действительно, полное разложение представляется выра-
выражением
— In p+ (n, n) = — ^j dE In [ 1 — 2™' (Ар) Л (?)]. E.245)
Форму этого результата можно понять непосредственно
исходя из выражения E.239) при помощи представления
S\p, x'p' — ^E,E'Sab, которое позволяет выразить определи-
определитель в виде произведения определителей
—nc)scbnb], E.246)
связанных с каждой энергией. Отметим, что, согласно соот-
соотношению
2 | Sy (Е- Е') {dE dE'I1' j2 = L dE j dE'b (E — Е')*=^ dE.
E.247)
интервал между соседними значениями энергии равен
Так как все занятые состояния данной энергии имеют суще-
существенно одинаковые свойства, имеем
с
И
р+(п, n)e^det[8aft-^.«0doI*n»rfo)^(g)'a']. E.249)
Все члены разложения отдельного определителя, за исклю-
исключением первых двух, исчезают теперь, поэтому
p+{n, n)=
E a
E.250)
Х1

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 219
Беря логарифм и заменяя сумму интегралом при помощи
соотношения E.247), приходим к выражению E.245).
Из соотношения E.250) можно получить верхний предел
полных поперечных сечений. Пусть До> будет телесным
углом, который связан,с различием направлений в состоя-
состояниях а и Ь и для которого формула E.248) справедлива
без большой ошибки. Если все состояния в этом угловом
интервале одинаково заняты, то каждый множитель в соот-
соотношении E.250) приближенно дается выражением
. E.251)
Так как п{\ — пХ;1/*» то мы заключаем, что
о^?. E.252)
Тот же результат получается из формулы E.199) следую-
следующим путем:
\2к)
Мы видим, таким образом, что
E.254)
Ъш
так как 8о> <; Ао>, и при обычных условиях только малая
часть состояний в телесном углу 8о> будет занята. Незна-
Незначительное различие между о(лр) и о'(Хр) имеет тот же
порядок величины. Действительно, из соотношения
о' (Хр) = о (лр) - <ggi da <% ХР> Л (Е) E.255)
и оценки
а(Хр)>Ао>^(ХР;Хр) E.256)
находим, что
16*

220 глава V
Таким образом, мы обосновали выражение
р(п, «) = ехр[— г]*<Шо(Хр)/х(?)] E.258)
для пучков малой плотности, с которыми обычно имеют
дело. Установив статистическую независимость состояний
при последних условиях, можно написать более общую фор-
формулу [соотношение E.241)]:
р(п, л) = ехр[ — 712 о (Ар)Л,]. E.259)
Собственные фазы. Мы должны еще доказать эквива-
эквивалентность смещений фаз, определяемых при помощи асимп-
асимптотической формы собственных функций, с. собственными
фазами, определяемыми через собственные значения матрицы
sab(jp0). Для этой цели рассмотрим асимптотическую форму
функции Грина и представим ее в виде разложения по соб-
собственным функциям. Для х0 — Хо=Т>О имеем
О+(х, *')- *2
m
х
[J
так как вклады дискретных состояний экспоненциально
уменьшаются при возрастании расстояния от локализован-
локализованного поля. Заметив, что <^р(х) и <]>xv (x') являются быстро
изменяющимися функциями от Е и Е' по сравнению с инте-
интегралом Г ^Хр/(Ро)фх'р'> мы можем воспользоваться предель-
предельными выражениями при | х [, Ix'l—>схэ.
Следовательно,
Q+(x,
(w,—)
а Ьт
E.261)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 221
здесь вклад отрицательно-частотных состояний исключен из
рассмотрения и введена величина 1аъ(Ро)> которая целиком
относится к состояниям с частотой р0, ибо интегралы
m
со
E.262)
Tj dE E'-E-U^^
m
со
при |х|->оо определяются значениями Е' в непосредствен-
непосредственной окрестности точки Е. Так как путь интегрирования
по р0 обходит часть действительной оси от т до бесконеч-
бесконечности, то мы получаем соотношение
О+ {х, x')~t j dEe-MT {2 в (Ро) 9ара(х)
— ^ (X) 1аЬ
аЬ
E.263)
которое мы записали в виде, справедливом также для
х'о — х0 = Г, когда s (р0) = —1.
Соотношение
] ЫЧЕЕ') 3^ + 0E.264)
показывает, что
?ffi —ТЙ.^2^^. E.265)
Мы также имеем
&& & E-266)

222 глава v
где определение
ifW=E- E-267)
содержит интеграл, взятый в смысле главного значения.
Представление функции <рор„(х), даваемое формулой E.265),
является разложением на расходящиеся и сходящиеся волны.
Интегральные операции E.262), примененные к плоской
волне eip'x == exp (lp | х | cos в), дают асимптотические соот-
соотношения
1 . „II o\, (+) l Г j r exp Hr/ I x I cos 61
5j[exp(fp]x|cos8)] '—^2rrF J p t/—p — t&
fexp (ip | x | cos 8), cos 8 > 0,
10, cos8<0,
и
1 r ,, i i o\if-) 1 f J л exp f/p'1 x |-cos 81
2T[exp№|x!cos6)] aaj^ J =
11
Г0, cos6>0,
^lexp^lxlcose), cos6<0, E-269)
которые показывают, что фазы волн <pJ+> и ср^~) соответ-
соответственно растут и уменьшаются при возрастании расстоя-
расстояния. С этим связано утверждение, что
J dEe-**v9(?00~0, E.270)
следующее из интегрального представления E.262) или из
отсутствия точки стационарной фазы в подинтегральном
выражении в E.270). Последний аргумент указывает также
на справедливость утверждения
J dEe'iET^aP\(х) Ж 00 ~ 0 E-271)
для больших |х| и Jx'J.

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 223
Теперь можно выразить соотношение E.263) через соб-
собственные функции при помощи следующей перегруппировки:
W2» (/'о) Ж] -+¦
4- *• (Ро) 2 'P&Vee (Ро) Jcb (р0) Пр] —
(Ро)/J» (Ро)?ьЪЬ E-272)
здесь мы воспользовались соотношениями E.110). Если мы
выбросим последний член в выражении E.272) на основании
соотношения E.271), то получим
со
О+(х, х*)~1 f dEe-**T%*(p№apo(*></<»A*')> E-273)
т а
причем
W (X) — <pei)j (X) -f 8 (Р2
»
= 27 [ — ?&(*)+ 2 <Рбл(х)*6вО»о)] E-274)
и
Ф ер, (X) ~ ?^ (X) + • (Ро) S u/^6 (р0) ^ (X) = фед, (X)* То-
E.275)
Эти собственные функции имеют тот же 'вид, что и в ста-
стационарной теории рассеяния. В частности, матрица sab(p0)
выступает как матрица рассеяния одной частицы, связываю-
связывающая радиально расходящиеся волны со сходящимися волнами.
При введении собственных функций <р^ соотношения
E.273) и E.274) заменяются на следующие:
с
О+(х, О~/ J
E.277)

224 ГЛАВА V
где функции <р<+)о, <р^о получаются из ср(+), tp<~J при помощи
соотношения
E.278)
в котором подразумевается интегрирование по направлению
распространения. Асимптотическое поведение этих интегра-
интегралов определяется точками стационарной фазы при углах
в = 0, и [соотношения E.268), E.269)]. Поэтому асимпто-
асимптотическое выражение для <р<±> (х) содержит радиальные функ-
функции вида |х. j"~x exp [± l(p\ x|-f-cp°)l- Получающиеся асим-
асимптотические выражения для ф. (х) содержат тригонометри-
тригонометрические функции от аргумента р | х | -f- ф° -\- %л (Ро)> чем и
устанавливается эквивалентность двух определений фаз:
ЪА(р0) = ^Е- E.279)
Можно отметить, что дифференциальное поперечное сече-
сечение,полное поперечное сечение и усредненное полное попе-
поперечное сечение выражаются следующим образом через
собственные фазы:
;(Xp,Vp')==l_ ^Р\Л)еЫ(М^мапЬл{р^^А\.
л
E.280)
р- л
а (Ро) = ^ 2isin2 S*(A>). E.281)
л
где мы записали
E.282)
так что
в- E.283)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 225
Следует сделать замечание о построении фаз из элемен-
элементов диагональной матрицы /()
, х',
= %лв ^• (Ро) *"А(Л) «п *л(р0) : E-284)
здесь имеется неудобство, заключающееся в вычислении
комплексной функции одного действительного параметра.
Можно обойти эту трудность, возвращаясь к определению
E.285)
и записывая
О°+ (р0) = 0° О0L- \ [О°+ (Ро) — 0°- (Ро))' E-286)
при ,этом функция Грина
0° (р0) = у [О°+ Оо)+ О°_ Оо)] E.287)
является самосопряженной. Теперь имеем
1 — (f+ (р0) е-[А =
= {1 — у [ О+ (Ро) — О- (Ро)] I (Ро)} 11 — О° (А>)е-ИЬ E.288)
где самосопряженная матрица
I (Ро) — etA [ 1 — G°(Po) П^Г1 E-289)
построена из функций Грина G0 таким же образом, каким
1(р0) включает О°+. Поэтому
> E-290)

226 ГЛАВА V
или, что то же самое,
Юг(Ро)— О- (Ро)П(Ро) =
уРо) — G-(po)]/(Po)- E.291)
Матрица I (р0), относящаяся к состояниям с частотой р0,
эрмитова:
*аЪ (Ро) = / (^Х) (<**')~?ар0 (Х) Г (Х) Х'> А>) ТбРа (ХО = 1ба (Р0)
E.292)
и, согласно соотношениям E.108) и E.291), связана с ма-
матрицей 1аЪ(р0) следующим образом:
/ос (Po) — lac (Po) = к/е (Ро) 2 /об (Ро) 1Ье (Ро) =
= **s (р0) 2 1О6 (Ро) /&с (Ро)- E.293)
Вводя общие собственные функции этих матриц, получаем
соотношение для собственных значений
E.294)
или
U (Ро) = U (Ро) 11 — «/• (Ро) U (Ро)Г1. E.295)
откуда
E.296)
Таким образом, действительные числа \д(р0) связаны с соб-
собственными фазами соотношением
h- E.297)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 227
Видоизменяя соответствующим образом соотношения
E.67) и E.71), получаем следующее уравнение для построе-
построения собственных фаз:
— s (A)) *g *л (Ро) =
X .г { Ц [ТИСЖЛ ав^+1, [^(жЛ J«>? J} , E.298)
Ц
где
X
X tr f П UiA(Xi)] det^G0(Xi, x^, p0)) . E.299)
Следует иметь в виду, что в общем случае собственные
функции cpAj»0 зависят от величины потенциала, так как они
определяются условием: матрица E.298) должна быть диа-
диагональной матрицей для данного потенциала. Когда этой
зависимости нет, возможно дальнейшее упрощение. благо-
благодаря полному определению собственных функций из свойств
симметрии потенциала. Привычным примером такого опре-
определения является классификация функций по моменту коли-
количества движения для сферически симметричного скалярного
потенциала. При этих условиях функция Грина G°(x, x', р0)
выражается аддитивно через функции Ga(x, x', р0), содер-
содержащие только состояния свободных частиц типа А, а опре-
определитель D"(p0) соответственно разбивается на произведе-
произведение определителей, каждый из которых полностью относится
к определенному типу состояний. Поэтому в выражении
E.298) для элемента, диагонального по А, все вклады со-
состояний, отличных от Л, сократятся, и в выражениях E.298)
и E.299) G0 можно заменить на G^.
Необходимость использования модифицированных опре-
определителей следует из сингулярности функции G°(x, %r, р0)
при х==х'. Как можно проверить на примере изотропного

228 ГЛАВА V
скалярного потенциала, эта сингулярность связана с расхо-
расходимостью суммирования по А; каждая функция G^(x, x', р0)
конечна всюду, кроме начала координат. Следовательно,
нет необходимости использовать модифицированные опреде-
определители в том варианте соотношений E.298) и E.299), ко-
который включает функцию g!i(x, xr, pQ). Оказывается, что
критерием существования каждого ^модифицированного
определителя в приведенном выше примере является
оо
конечность величины f <*|х||еЛ0). Таким образом, инди-
о
видуальные фазы существуют для произвольной величины
потенциала, который менее сингулярен, чем хГ1. и кото-
который убывает на бесконечности быстрее, чем х |-1. Послед-
Последнее условие менее сильно, чем условие существования функ-
функции D"ip0).
Предел высокой энергии. В заключение дадим для изо-
изотропного скалярного потенциала А0{г~) простые предельные
формы дифференциального и полного поперечных сечений,
справедливые при высоких энергиях. Если R — эффективный
радиус действия потенциала — настолько велик, что выпол-
выполняется условие
р#^>1, E.300)
то становятся важными большие значения орбитального мо-
момента количества движения/. Тогда точный вид связи между
орбитальным и спиновым моментами становится несущест-
несущественным, и в качестве квантовых чисел А, характеризующих
различные типы состояний, можно выбрать 1тк. Определи-
Определитель D+(lmXp^), относящийся к состояниям с данным моментом
количества движения, можно построить для достаточно боль-
больших энергий по аналогии с классическим приближением для
D"+(p0). Замечая, что рг7s^p%-\-{fjrz), мы находим
In D+ Qm\p0) ~ J *^*L j In
ifdr j [(a,-
9
E.301)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 229
Для контроля проверим, чтох)
In Dl (p0) = ^1п D+
оо оо
^-f-^Wr^)"^-'»3O1. E-302)
0 n=3
а это находится в согласии с выражением E.135). Поэтому
h (Ро) = — Im In D+ (lm Xp0) ~
OO
J
E.303)
здесь интегрирование по радиусу распространено только на
область, где отдельные квадратные корни действительны.
Для /, не равных нулю [или, точнее, при выполнении соот-
соотношения ра « р?-{-(/+ 1/г)а//"аЬ область во втором интеграле
в выражении E.303) ограничена значениями г, большими,
чем Цр. Предполагается, что в первом интеграле для любой
величины потенциала имеется также наименьшее ненулевое
значение г, если только этот потенциал менее сингулярен,
чем 1/г.
1) Следует отметить, что в этом приближении
Ч-оо оо оо
f
n=3 О
+ OO
д У*
)
J/ д
в соответствии с требованиями калибровочной инвариантности,
тогда как выражение E.135) дает конечный результат, зависящий
от калибровки. Это подтверждает, что трудности с сохранением
калибровочной инвариантности в выражении E.153) для ?@) можно
обойти, если интегрирование по энергии проводить раньше сумми-
суммирования по т-

230 Глава V
Пусть теперь энергия будет настолько велика, что
pv^>\eA0(r~±)\, E.304)
где
и г — A/р) — наименьшее расстояние, которое встречается
в выражении E.303). Тогда можно приближенно заменить
выражение E.303) выражением
-j-^YyTeAo(r) = 3(P)> E.306)
p
в котором
p = —. E,307)
Условию E.304) можно удовлетворить при произвольной ве-
величине потенциала, который менее сингулярен, чем 1/г.
Итак, пусть | еЛ0(г)|~'Хг-A~Р). Тогда соотношение E.304)
принимает вид
p$v ^> X, E.308)
и левую часть можно действительно сделать произвольно
большой, если только C > 0. Если мы запишем. г= (р1*-\-г*)Ч*,
то соотношение E.306) примет вид
3(р)= — е(Ро)тг Г dzeA0[(p*-\-z*)tft], E.309)
соответствующий случаю частицы, движущейся по траекто-
траектории, которую можно описать классически и которая аппро-
аппроксимируется прямой линией. В пределе, когда энергия
стремится к бесконечности, для произвольного фиксирован-

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 231
ного I собственные фазы принимают универсальное неис-
чезающее значение1)
со
— S(A>) jdreAQ(r). E.310)
Требование, чтобы эта величина была конечной, совпадает
с ранее установленным условием существования отдельных
собственных фаз.
Функцией преобразования, удовлетворяющей условию
нормировки E.283), будет, очевидно, функция
(Хр | imV) = 8xx< Du)V. Ylm (р), E,311)
так что, согласно выражениям E.280) и E.281),
E-312)
*>)' E*313)
Заменяя суммирование интегралами по / = /?р и используя
предельное выражение для Pj(cos6) при малых углах, рав-
равное J0(lb) (что можно получить, сравнивая соответствующие
дифференциальные уравнения), находим 3>
(Хр,
И
I J р dpJ0 (р 6Р) е*> »•M W sin 8 (р) 3 E.314)
о
оо
4(po)~8it f ptfpsin3S(p). E.315)
о
Чтобы полное сечение существовало, фаза 8 (р) должна при-
приближаться к нулю при возрастании р быстрее, чем 1/р; для
этого требуется, чтобы потенциальная энергия еА0(г)
17, 8]
*) Это было замечено в работе [6].
2J Аналогичные результаты были ранее получены в работах
].

232
ГЛАВА V
исчезала быстрее, чем 1/га, в согласии с ранее полученным
условием для эффективной локализации поля. Необходимо за-
заметить также, что сечение а имеет ненулевой предел для
бесконечной энергии.
Величина фазы 8(р) при р < R приближенно дается вы-
выражением
/ I Л Я I \
E.316)
первый множитель которого мал, а второй велик. В зави-
зависимости от соотношения между этими величинами собствен-
собственные фазы могут принимать произвольные значения. Если
максимальное значение фазы 8(р) будет мало по сравнению
с единицей, то угловое распределение, получаемое из вы-
выражения E.314), будет в основном определяться колеба-
колебательным характером функции Бесселя и поэтому относиться
к угловому интервалу, измеряемому величиной
E.317).
Положение является иным (и представляет классический
предел), когда 8 (р) достигает значений, которые велики по
сравнению с единицей. Обозначим теперь через R радиус
действия потенциала, т. е. расстояние, на котором фаза
5(р) спадает от больших значений при р < R к значениям,
меньшим единицы, при p^>R. Если мы пренебрежем вкла-
вкладом расстояний, больших R, то мы можем при Л = Л' за-
записать выражения E.314) И E.315) в виде
в R
%;— Р*
^ fpdpJ0(pbp)f E.318)
E.319)
где мы использовали среднее значение для sin3 8 (р). Главный
вклад в первый интеграл в выражении E.318) получается
в окрестности точки стационарной фазы (в предположении
Ь t$ 1), которая определяется выражением
+оо
E.320)

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 233
Это — как раз приближенное выражение классической связи
между параметром столкновения и углом отклонения, спра-
справедливое при больших энергиях. Чтобы удовлетворить
условию рЧр ^> 1, необходимо ограничить р такими значе-
значениями, для которых
+ ОО
J dzp?
E.321)
Если фаза § (р) достаточно велика, то исключается только
малая часть области действия 0 < р < R. Отметим также,
что величина углов, получаемая из формулы E.320), дается
выражением
в то время как второй член выражения E.318) эффективно
О
ограничен углами порядка b
Однако
E-323)
что велико по сравнению с единицей для р < R. Проводя
интегрирования в выражении E.318) и пренебрегая интер-
интерференцией между двумя существенно не перекрывающимися
угловыми распределениями, получаем
где первый член — классически вычисленное дифференциаль-
дифференциальное поперечное сечение, а второй — определяет обычное
теневое рассеяние. Обе части в согласии с выражением
E.319) дают вклады в полное поперечное сечение, равные
тс/?3. Конечно, пренебрежение интерференцией между клас-
классическим и теневым рассеянием точно соответствует при-
приближению
4 sin2 В = | e2ib — 1 J3 — 1 —1— 1 -
Можно -дать другие выводы предельных форм попереч-
поперечных сечений E.314) и E.315). В частности, можно избе-
избежать явного использования собственных фаз путем прямого
построения функции Грина из дифференциального уравнения,

234 ГЛАВА V
определяющего ее в приближении, справедливом при боль-
большой энергии. Если мы напишем
х', Ро)= f($$e*<*-*')g+(x, р), E.325)
то дифференциальное уравнение для функции Грина при-
примет вид ' . ¦
[W + т — if • V + ЪеА0 (х)] g+ (х, р) = 1. E.326)
Умножив его на т — -^р, получим
{ръ + т* — 2/р • V + 2р0*Ло 4-
p) = m — W. E.327)
Для нулевого потенциала функция g+(x, p) не зависит от х:
при Ао = О
- <5-328)
и имеет сингулярность при pq-\-mq = 0, так как выражение
E.328) представляет собой уравнение для собственных зна-
значений в случае свободных частиц. Множитель fp-\- rn устра-
устраняет эту сингулярность, поэтому ясно, что приближение,
справедливое при высокой энергии, получается заменой урав-
уравнения E.327) на упрощенное уравнение
[jt?2 -f- ma — 2/р • V + 2р0еА0 (х)] g+ (х, р) = m — 7Р- E.329)
Если направить вектор р по оси z, то решением этого
дифференциального уравнения будет функция
— ОО
X ехр[ —2T^F /^'(^+/»9+2^Л0)], E.330)
г'
где —оо выбрана в качестве нижнего предела интегриро-
интегрирования на основании требования, чтобы функция О+ была
регулярной в нижней полуплоскости т, а это, в -свою оче-
очередь, требует, чтобы разность z — z' нигде не быда отри-
отрицательной для произвольного г.. Для Л0 = 0 можно прозести
интегрирование, и мы снова получим выражение E.328).

НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 235
При /?а-|-/»2->0 основной вклад в выражение E.330) про-
происходит от больших отрицательных значений z'', и
г
g+(x, P)-> ?~Z exp[-^(Po)^ fdz'eA0~j. E.331)
Эта величина имеет постоянное предельное значение при
z >R:
g+(x, ,р)AГР4-'«)->1 при *< — R,
g+(x, p){W+m)^e™<* при *>/?.
Обозначение, аналогичное записи E.325), а именно
/(х, х', р0) = J g^ в«р-(х-х') / (х> ^ E.333)
позволяет представить 7(/?0) 0+ (ро) = e"(AG+(j>o) B виДе
^ )—1]; E.334)
последнее выражение соответствует пределу р9-{-/гаа—> 0.
Используя свойства E.219) относительно отражения, можно
заменить выражение E.194) на следующее:
, X',
= J (rfx) в~* (р-р')"х «xpi (x, p') их'р' • E.335)
Замечая, что продольный множитель этого выражения
g-MP-p')-x изменяется сравнительно мало на расстоянии по-
порядка R, для достаточно малых углов рассеяния можно
представить выражение E.335) в виде
-= — iSxx' ^ J (dp) exp [— С (р — р') • р] (е™ (р) — 1) =
со
= Зхх- 4тгг (р0) -?¦ J р dpJ0 (pGp) в*» (р) sin S (р). E.336)

236 ГЛАВА V
Здесь р— поперечная (к р') компонента вектора х и во
второй форме выражения E.336) учтена аксиальная симмет-
симметрия функции S (р). Следует заметить, что это приближение
согласуется с общим свойством [см. равенство E.110)]:
<хР | / (Ро) | х'ро—
X 3 (Е" — Е) (Х"р" 17 (Ро) Х'р') » t у в (ро) X
E-337)
в его последнем варианте для рассеяния на малые углы.
Легко проверить, используя первую форму выражения
E.336), что обе стороны выражения E.337) дают
-?¦ з (р0) J (dp) exp I— i (р —р') • р] sin* S (р). E.338)
Дифференциальные и полные поперечные сечения, вычи-
вычисленные по формуле E.336), согласно соотношениям
E.198) — E.201), совпадают с вычисленными по формулам
E.314) и E.315).
ЛИТЕРАТУРА
1. Sch winger J., Phys. Rev., 93, 615 A954) (см.'гл. IV).'
2. Sch winger J., Phys. Rev., 92, 1283 A953) (см. гл. Ш>.
3. Jost R., Pals A., Phys. Rev., 82, 840 A951).
4. Whittaker E. Т., Watson G. N.. Modern Analysis, Camb-
Cambridge, 1927, p. 223. (Имеется перевод: Уиттекер Е. и Ват-
с о н Г., Курс современного анализа, М. — Л., 1937.)
5. Wig пег Е., Qott. Nachr., 31, 546 A932).
6. Parzen Q., Phys. Rev., 80, 261 A950).
7. Moliere О., Zs. Naturforsch., 2д, 133 A947).
8. G I а ц b e r R. J., Phys. Rev., 91, 459 A953).

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАМЕЧАНИЕ О КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ
ПРИНЦИПЕ и
Показано, что для систем, удовлетворяющих уравнениям дви-
движения первого порядка, перестановочные соотношения последова-
последовательно выводятся из квантового динамического принципа.
ВВЕДЕНИЕ
Автором [1] была предложена формулировка квантовой
динамики, которая позволяет вывести все свойства квантово-
механической системы из одного динамического принципа.
В статье Бертона и Тоушека [2] утверждалось, что
данная схема не годится для систем, удовлетворяющих
уравнениям движения первого порядка. Такое утверждение
неправильно.
Чтобы выяснить источник этого недоразумения, коротко
обсудим такие системы с конечным числом степеней свободы.
Необходимо отметить, что использование уравнений движе-
движения первого порядка не является ограничением, а скорее —
стандартизацией систем, подчиняющихся обычному принципу
причинности: относительно некоторого состояния имеется
максимальный набор сведений, если известны значения пол-
полной совокупности совместимых физических величин в опре-
определенный момент времени; это позволяет определять такие
состояния в любой другой момент времени. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения движения для систем такого типа должны
быть уравнениями конечного порядка и поэтому при соот-
соответствующем добавлении переменных могут быть всегда
представлены в виде уравнений первого порядка.
l)j. Schwinger, A Note on the Quantum Dynamical Prin-
Principle, Phil. Mag., 44, 1171 A953). (См. также дискуссию [4, 5].—
Прим- перев.)
17 Зак. 1174. Ю, Швингер

238 ПРИЛОЖЕНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
Задачей квантовой динамики является построение функ-
функций преобразования, имеющих вид
(&i! С *о = С? (&i )f w (ф8)), (П. о
где С^ и . С2— полные совокупности коммутирующих эрми-
эрмитовых операторов. Основной динамический принцип является
дифференциальной характеристикой таких функций преобра-
преобразования. Любое бесконечно малое изменение можно пред-
представить в виде
s (&11 Фа) = -g- <&i! 3^121 Фа);
это выражение служит определением бесконечно малого
оператора 8W19. Из свойств функций преобразования отно-
относительно композиции и свойства действительности этой
функции вытекает, что
Основной постулат динамического принципа состоит в том,
что имеется класс изменений, для которых соответствующие
операторы 8Wia получаются надлежащими варьированиями
одного единственного оператора — оператора действия Wl2:
Согласно свойству аддитивности оператора действия, он
должен иметь вид
где L[t] — эрмитова функция основных динамических пере-
переменных xa(t) в бесконечно малой окрестности момента вре-
времени t. Без потери общности можно считать, что перемен-
переменные ха эрмитовы.
Для данной динамической системы, т. е. для данной
формы оператора Лагранжа L, можно изменять динамические
переменные ха и моменты времени tx и t2. Это должно
соответствовать произволу в описании данной динамической

ЗАМЕЧАНИЕ 6 КВАНТОЕОМ ДИНАУИЧЕСЙОМ ПРИНЦИПЕ 239
системы, а именно возможности введения бесконечно малых,
изменений в состояния, входящие в функции преобразова-
преобразования (П. 1), — бесконечно малых изменений полных совокуп-
совокупностей операторов или моментов времени, к которым они
относятся. Эти вариации локализованы в моменты вре-
времени ty и t.2 и описываются бесконечно малыми унитарными
преобразованиями собственных векторов:
где Gx и Оа — бесконечно малые эрмитовы операторные
функции динамических переменных, относящихся к моментам
времени tt и t2 соответственно. Итак, для данной системы
=G1—Gz, (П. 2)
это — квантовая форма принципа Гамильтона. Утверждается,
что оператор действия W12 стационарен по отношению
к вариациям динамических переменных в интервале' между tt
и t2, так как Ох и О2 содержат лишь переменные, отно-
относящиеся к моментам времени tx и t2. Из этого принципа
действия, следуют уравнения движения для динамических
переменных и выражения для Ох и О2, производящих опе-
операторов бесконечно малых унитарных преобразований.
Заметим, что две функции Лагранжа, отличающиеся
производной по времени, описывают одну и ту же систему.
Так,
дает
Следовательно, принцип действия для W12 удовлетворяется,
если он удовлетворяется для Wl2- Таким образом, операторы
действия W12 и W\a приводят к одинаковым уравнениям
движения; однако
где вариации
= al—~Gl, bW2=G2—G2
17*

240 ПРИЛОЖЕНИЕ
определяют новые производящие операторы бесконечно малых
преобразований при tt и t2- Последние уравнения являются
специальным случаем соотношения (П. 2), когда все опера-
операторы относятся к одному и тому же времени.
Чтобы функция Лагранжа давала явные уравнения пер-
первого порядка, она должна иметь следующий вид:
/ __ ±_ X1 / Y л илЬ dxa л Y\ ui (v t\
ma \ at at / "¦
a, b
1 / . dx dx . \ „. »
— 2~ \Х ~di dT X) 'Х' ¦ ^'
где член с производной по времени симметризован по отно-
отношению к операции интегрирования по частям; эта симметри-
симметризация связана с возможностью добавления к функции Лагранжа
производной по времени. Если L — эрмитов оператор, то
тем же свойством должен обладать оператор Гамильтона Н,
а численные матрицы А должны быть антиэрмитовыми.
Оператор действия равен
Wi2= Г \ir(xAdx—dxAx) — Hdt],
причем в этой форме объектами вариации являются пределы
интегрирования. Можно ввести такую вспомогательную
переменную т, что вариации 8^ и Ы.2 будут представляться
изменениями функциональной зависимости t от т. Это позво-
позволяет нам варьировать ха и t при фиксированных преде-
пределах т1 и т2. Нет необходимости выписывать явно вспомога-
вспомогательную переменную х, так как она не подвергается вариации.
Следовательно,
5 W12 = J [ЪхА dx — dxA Ьх — bHdt-\- dH bt\ -f-
+ ^ d\~ixAbx — ЬхАх)—Hbt\.
J ]_¦* J
Принцип действия утверждает теперь, что
ЬхА dx — dxA Sjc = Wdt — dH bt,
или
Щ. — '2*.АЪх, (П.З)

ЗАМЕЧАНИЕ О КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИНЦИПЕ 241
откуда вытекает, что в моменты времени tx и t2
^x— ox Ax) —Hot.
Оператор Гамильтона является произвольной функцией от
переменных ха. Если вариация оператора Гамильтона должна
иметь вид (П. 3), причем вариации Ьха появляются только
слева и справа, то они должны обладать элементарными
операторными свойствами, характеризующими класс вариа-
вариаций, к которому относится динамический принцип. Это
позволило бы нам сместить 5д:а в выражении для ЬН пол-
полностью налево или направо:
это определяет левую (/)и правую (г) производные от Я. Ввиду
полной симметрии между левой и правой частями в про-
процессе умножения мы заключаем, что члены с Ьх слева
и справа в выражении (П. 3) в действительности равны.
Таким образом, получаем
%=*-§ (П. 4,
2Л dx = дгН ,
?^2Л — 2Л—-^^
~~ dt ZA — ZA dt — дх » ¦
последние уравнения должны быть эквивалентными формами
уравнений движения. Аналогично,
G= — ЬхАх — Hit
и
G = хАЪх — Hot = (Атх)Ъх — Hot
должны быть эквивалентными формами бесконечно малого
производящего оператора G.
Если матрица А полностью разбивается на две суб-
субматрицы с соответствующим разделением динамических
переменных на две совокупности, то мы говорим о двух
совокупностях переменных как о кинематически независимых,
потому что как члены с производными в функции Лагранжа,

242 ПРИЛОЖЕНИЕ
так и бесконечно малый производящий оператор G, за
исключением члена —НЫ, аддитивно строятся из этих двух
совокупностей. (Если гамильтониан разбивается таким же
образом, то две совокупности переменных динамически
независимы.) При этом матрицу А можно всегда записать
как сумму антисимметричной действительной матрицы а
и симметричной мнимой матрицы 5. Матрица А и транспо-
транспонированная от А матрица входят в эквивалентные формы
уравнений движения и оператора G, так что можно предви-
предвидеть возможность построения последовательной теории лишь
в том случае, если представление для А в виде
является полным разбиением. Тогда можно сказать, что
имеются две кинематически независимые совокупности дина-
динамических переменных: переменные первого рода xit связан-
связанные с а, и переменные второго рода Stt, связанные с s.
Теперь функция Лагранжа принимает вид
Уравнения движения представляются в виде двух сово-
совокупностей:
= 4^=4^ (П. 5)
dt ax ax v '
d% дгН дгН
тогда как бесконечно малый производящий оператор имеет
вид
G = — Ъх(ах) — S« (s%) — НЫ = —(ах) Sjc + (si) S« — НЫ.
Что касается переменных первого рода, то из равенства
левой и правой производных от Н мы видим, что вариа-
вариации Sjfy должны коммутировать со всеми операторами. Это
согласуется с эквивалентными выражениями для G. Поэтому
откуда следует, что вариации 5дг, являются бесконечно
малыми величинами, кратными единичному оператору. Срав-

ЗАМЕЧАНИЕ О КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИНЦИПЕ 243
нивая дза выражения для G, заключаем, что вариации 8:в
антикоммутируют с переменными второго рода:
Противоположные признаки левой и правой производных
от И по переменным второго рода указывают на то, что Н
должно быть четной функцией от ?а, но произвольной функ-
функцией от х.ь, если только
[8*., *4] = 0.
Этими операторными свойствами выражений ojt.j и 8;а точно
характеризуется класс вариаций, к которому относится
основной динамический принцип.
Для простоты предположим, что уравнения движения
можно явно решить относительно производных dxjdt и cT-Jdt',
для этого требуется, чтобы матрицы а и 5 не были сингу-
сингулярными. Антисимметричная матрица а будет обладать этим
свойством только в том случае, если число переменных
первого рода будет четным Bп1). Позже мы представим
доводы, указывающие, что число переменных второго рода
также должно быть четным Bл2). Разделение 2п переменных
каждого типа на две совокупности по п переменных приво-
приводит к каноническому виду формализма.
ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА
Воспользуемся тем обстоятельством, что при помощи
действительных линейных преобразований переменных анти-
антисимметричную действительную матрицу 2а можно привести
к диагональному виду, в котором п± диагональных элементов
являются двухмерными матрицами:
'О — Г
J
Если динамические переменные, связанные с &-й двухмер-
двухмерной матрицей, обозначить через дк и рк, то соответствую-
соответствующий член с производной по времени в функции Лагранжа
примет вид
|р ИГ }~Y ~'

244 ПРИЛОЖЕНИЕ
а уравнения движения выразятся в форме
dqk дН dpk дН
в то время как член в функции G, происходящий от вариа-
вариаций переменных первого рода, будет равен
. (П. 8)
Менее симметричные, но более удобные выражения полу-
получаются при добавлении к функции Лагранжа подходящей
производной по времени с соответствующим изменением
производящего оператора G. Так, при
к
член с производными в выражении для L принимает вид
а к бесконечно малому производящему оператору доба-
добавляется
к
Если изменить знак W, то эти выражения становятся равными
Ор = — 2 oPkqk = —
к к
Преимуществом этих выражений является однозначная интер-
интерпретация бесконечно малых операторов Gq и Ор. Очевидно,
оператор Gq описывает такое бесконечно малое унитарное
преобразование, при котором операторы qk изменяются
на $qk(qk = qk—8?&)> а операторы рк не изменяются; ана-
аналогично интерпретируется <3„. В соответствии с этим длд

ЗАМЕЧАНИЕ О КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИНЦИПЕ 245
произвольной функции F канонических переменных qk и рк
имеем
3F
или, если вспомнить, что 8^Л и Ьрк коммутируют со всеми
операторами,
dF
откуда получаем перестановочные соотношения для канони-
канонических переменных:
Очевидная интерпретация оператора
как производящего оператора бесконечно малого унитарного
преобразования от переменных в момент времени t к пере-
переменным в момент времени t-\-bt дает важное подтверждение
совместности сведений об уравнениях движения и о произ-
производящих операторах бесконечно малых унитарных преобра-
преобразований. Мы имеем
или
dF__dF_\ !_[/? н\
dt dt lh
Подставляя последовательно F = Н, qk, pk и пользуясь
свойствами бесконечно малых преобразований, выводим урав-
уравнение (П. 4) и канонические уравнения движения (П. 7)-

246 ПРИЛОЖЕНИЕ
Заметим теперь, что производящий оператор (П. 7) имеет
вид
Gv,P~ 2~Ga ~\~~2GP'
очевидно, он описывает преобразование, в котором qk и рк
изменяются на -я- oqk и -к- Ьри соответственно. Так как это
утверждение одинаково относится к обеим совокупностям
канонических переменных, то та же интерпретация приме-
применима к производящему оператору
Од, = — 8л: ах,
в котором не используется специальный вид матрицы а;
этот оператор, очевидно, описывает изменение х на вели-
величину -п~^х- Соответствующее утверждение относительно
перестановочных соотношений записывается в виде
Л-[2ах, />] = ?.
что дает уравнения движения в форме (П. 5), а перестано-
перестановочные свойства переменных первого рода представляются
одним уравнением:
[**, *,] = й!(а-1)и. (П. 9)
В работе [2] имеется недосмотр, заключающийся в том,
что 1пх переменных х рассматриваются как канонические
координаты, а линейные комбинации тех же самых вели-
величин, — ах,— как канонические импульсы. Это сказывается
на соотношении (П. 9) — в нем отсутствует множитель 1/а.
ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА
Полезно предвидеть, что действительная симметричная
матрица (\jlh)s должна быть положительно-определенной.
Следовательно, существует такое действительное линейное
преобразование переменных, которое сводит эту матрицу
к единичной матрице. Производящий оператор изменений
в переменных второго рода имеет тогда вид
О5 = И 235.85.. (П. 10)

ЗАМЕЧАНИЕ О КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИНЦИПЕ 247
показывающий, что различные переменные второго рода ?Л
кинематически независимы. Это утверждение можно пред-
представить в операторном виде
[?«. ?р 85р1 = 0, <х Ф р,
откуда вытекает, что
{5«, У=0, а^р
в силу антикоммутативности вариаций 8^ с величинами !-а.
Если бы теперь число переменных второго рода было
нечетным, то произведение всех этих операторов коммути-
коммутировало бы с каждым ?а и было бы кратным единичному
оператору, что противоречило бы независимости различ-
различных ?„. Другой вариант этого аргумента исходит из тре-
требования: совокупность операторов j-a должна быть алгебраи-
алгебраически полной в том смысле, чтобы из них можно было
построить оператор, обладающий свойствами 5?а. Для четного
числа переменных произведение всех ?а антикоммутирует
с каждым ?tt, но такого оператора нет для нечетного числа
переменных. Отсюда заключаем, что число динамических
переменных второго рода должно быть четным.
Чтобы ввести каноническую формулировку для перемен-
переменных второго рода, заметим, что в силу свойств антикомму-
антикоммутативности вариаций Ъ*а пару членов в выражении (П. 10)
можно скомбинировать следующим образом:
= ih 1 [Et — г>2) 8 С'г + й9) — S & —
Здесь р и д — не-эрмитовы операторы; они связаны соот-
соотношением
р = ihg+,
если выбрать д в виде %х -f-z'V Группируя, таким образом,
по парам все 2л3 членов в выражении (П." 10), мы получаем
каноническую форму члена в выражении для О, связанного
с переменными второго рода:

248 приложение
Член с производными в функции Лагранжа и уравнения
движения, выраженные, в канонических переменных, имеют
вид
dt \ 2
dt \ 2 L dt
dqa __ дгН dpa дгН
dt дра > dt ~~ dga '
Добавляя к функции Лагранжа соответствующие производ-
производные по времени, получаем измененные формы слагаемого
в функции Лагранжа, содержащего производные, и связан-
связанного с ним производящего оператора, а именно:
2d 2 Г"' dt J'
1
2 L dt
а.
Согласно очевидной интерпретации бесконечно малых произ-
производящих операторов Ga и Gp, имеем
I
Если F содержит нечетное число переменных второго рода,
то из этих соотношений вытекает, что
/Й * ' ' d^ dqa '

ЗАМЕЧАНИЕ 6 КВАНТОВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИНЦИПЕ 249
тогда как для операторов, построенных из четного числа
переменных второго рода, следует
!h[F' Pa]==~
th ««¦ ' ' - дра - дра •
Из первой системы получаем свойства коммутации канони-
канонических переменных второго рода:
{?«> Я$) — {/>«> Рр} — 0>
В качестве примера применения второй системы соотноше-
соотношений покажем, что переменные первого рода коммутируют
с переменными второго рода, и проверим, что уравнения
движения для переменных второго рода следуют из свойств
бесконечно малых преобразований. Таким образом, установим
согласованность теории для обоих типов динамических пере-
переменных.
Так как производящий оператор (П. 11) описывает пре-
преобразование, в котором да и ра изменяются на -rf^* и Т^«
соответственно, то та же интерпретация применима к произ-
производящему оператору
который не использует особой формы матрицы 5; этот
оператор описывает изменение переменной $ на величину -<т8?.
Отсюда для операторов F, которые являются соответственно
четными или нечетными функциями переменных Е, имеем
—
a
Первое соотношение, примененное к гамильтониану, дает
уравнения движения в форме (П. 6), тогда как перестано-

250 ПРИЛОЖЕНИЕ
вочные свойства эрмитовых переменных второго рода ?„
выводятся из второго уравнения:
{Sa( %} = ib±(s~LXr (П. 12)
Кстати, структура левой части в этом выражении дает
основания для утверждения, что матрица (l/ih)s .должна
быть положительно-определенной. При обсуждении систем
такого типа в работе [2] 2га2 переменных 5 рассматривались
как канонические координаты, а линейные комбинации этих
переменных, sS, — как канонические импульсы, что дает
антикоммутатор, отличающийся от антикоммутатора, опре-
определяемого выражением (П. 12), отсутствием множителя 1/.2.
Не будем продолжать здесь этой дискуссии, так как
нашей целью было показать, что динамический принцип
приводит к совместимым перестановочным свойствам" для
систем, удовлетворяющих уравнениям движения первого
порядка. Читатель отсылается ко второй статье серии автора
„Теория квантованных полей" [3] (см. гл. I), где рассматри-
рассматриваются поля, удовлетворяющие уравнениям первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. SchwingerJ., Phys. Rev., 82,914A951). (Имеется перевод
в сборнике „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954, стр. 254.)
2. Barton W. K-, Т о u s с h e k В. F., Phil. Mag., 44, 161 A953);
3. Sch winger J., Phys. Rev., 91, 713 A953). (См. гл. I.)
4*. Burton W. К., Touschek В. F., Phil. Mag., 44, 1180 A953).
5*. Sch winger JM Phil. Mag., 44, 1181 A953).