LECTURES IN APPLIED MATHEMATICS
Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Coloradt
MARC KAC, EDITOR
Volume IV
THE GENERAL THEORY
OF
QUANTIZED FIELDS
by
RES JOST
EIDQENOSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE
ZURICH, SWITZERLAND
1965
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
PROVIDENCE, RHODE ISLAND

Р. Й о с т
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ
При участии
КЛАУСА ХЕППА
Перевод с английского
О. И. ЗАВЬЯЛОВА а Б. В. МЕДВЕДЕВА
Под редакцией
В. С ВЛАДИМИРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР*
Москва 1967

УДК 530. 145 + 517
Книга написана известным швейцарским физиком-
теоретиком и математиком Р. Йостом. В ней содер-
содержится ясное и математически строгое изложение аксио-
аксиоматической квантовой теории поля, причем значи-
значительная часть результатов принадлежит автору и его
ученикам.
Математический аппарат книги включает в себя
представления групп, обобщенные функции, методы
теории функций многих комплексных переменных, опе-
операторы в гильбертовом пространстве н т. д., что де-
делает ее привлекательной и с математической точки
зрения.
Книга несомненно заинтересует широкий круг мате-
математиков, интересующихся физикой, и физиков-теорети-
физиков-теоретиков, работающих в области квантовой теории поля.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-3-2 + 2-2-3

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Монография «Общая теория квантованных полей», русский
перевод которой предлагается вниманию читателя, написана
известным швейцарским физиком-теоретиком и математиком
проф. Р. Йостом на основе лекций, прочитанных им в 1960 г.
на Летнем семинаре по прикладной математике (Колорадский
университет, США). При подготовке книги автором были
учтены результаты, полученные в этой области вплоть до
конца 1962 г. Для русского издания книги ученик Р. Йоста
д-р Клаус Хепп написал новый текст гл. VII «Новые дости-
достижения» (ранее называвшейся «Что не рассмотрено»), в кото-
которой в обзорном плане отражены последние достижения
в аксиоматической (вайтмановой) теории квантованных полей.
Перевод глав I, II и III выполнен Б. В. Медведевым,
а гл. IV, V, VI и VII — О. И. Завьяловым. При переводе
были исправлены мелкие неточности и опечатки.
Книга содержит насыщенное и тщательно продуманное
изложение большого числа фактов и математических резуль-
результатов в теории квантованных полей, строго доказанных
в рамках аксиоматики Вайтмана. Она представляет интерес
для широкого круга научных работников, аспирантов и сту-
студентов — физиков и математиков.
В. С. Владимиров

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Выход в свет русского перевода моей книги «Общая
теория квантованных полей» пробуждает во мне чувство
гордости, смешанное с некоторым чувством стыда. Дело
в том, что своими скромными знаниями я настолько обязан
переводам выдающихся русских научных книг, что мой от-
ответный вклад весит чересчур мало.
Мне хотелось бы выразить мою благодарность и сочув-
сочувствие редактору В. С. Владимирову и переводчикам
Б. В. Медведеву и О. И. Завьялову, которые при переводе
должны были прорываться через недосказанности, ошибки и
опечатки оригинала. Я убежден, что некоторые высказывания,
котврые первоначально, строго говоря, были неверными,
в переводе сформулированы ими верно.
Наконец мой коллега Клаус Хепп, несмотря на перегру-
перегруженность другими делами, еще раз нашел в себе готовность
содействовать завершению этого труда и полностью перера-
переработал последнюю главу. Мне, как всегда, приятно выразить
ему дружескую признательность.
Цюрих, январь 1967 Проф. Р. Йост

ПРЕДИСЛОВИЕ
Со времени моих лекций в Боулдер, Колорадо, в I960 г.
у меня возникла необходимость написать эту книгу. В пос-
последующие годы я пытался, несмотря на многочисленные иные
обязанности, в меру моих сил выполнить эту задачу. В ре-
результате настоящая книга создавалась в относительно корот-
короткие отрезки времени, разделенные большими промежутками.
Даже поверхностному читателю бросятся в глаза вызванные
этим шероховатости, которые проявляются в отсутствии един-
единства обозначений и в повторениях. Я прошу читателей
о снисхождении к этому и другим недостаткам.
Рукопись была в основном завершена к концу 1962 г., и
более поздние результаты уже не учитывались. Популярный
обзор новейших тенденций в исследованиях читатель сможет
найти в реферате автора об аксиоматической теории поля,
опубликованном в Rendiconti della Conferenza internationale
di Siena sulle particelle elementari, Societa Italiana di Fisica,
Bologna 1964, Vol II, p. 140—144. Особенно стоит обра-
обратить внимание на недавно вышедшую книгу Стритера и
Вайтмана: R. F. Streater and A. S. Wight man «PCT,
Spin & Statistics and all that», W. A. Benjaman, New
York, 1964*), сравнением с которой читатель установит, как
следовало бы излагать предмет настоящей книги.
В заключение мне остается выполнить приятный долг и
поблагодарить участников семинара по теоретической физике
*) Русский перевод «РСТ, спин и статистика и все такое»
вышел в 1966 г. в Главной редакции физико-математической ли-
литературы изд-ва «Наука».— Прим. перев.

8 Предисловие
ЕТН в Цюрихе за многообразную помощь при составлении
настоящего доклада. Особо признателен автор д-ру Отмару
Штайнману и д-ру Давиду Рюэлю и, наконец, своему асси-
ассистенту д-ру Клаусу Хеппу, без самоотверженного сотрудни-
сотрудничества которого эта книга никогда не возникла бы. Чувства
автора лучше всего выражаются цитатой «Все хорошее
в этой книге восходит к его младшим друзьям, а плохое он
внес в нее сам» *).
Сентябрь 1964 Проф. Р. Йост
') Приписка матери в письме № 2 Якоба Буркхарта, Jacob
Burkhardt, Brlefe, Bd. I, Benno Schwabe, Basel 1949.

ВВЕДЕНИЕ
1. В последние годы был развит новый подход') к старым
проблемам квантовой теории поля. Эта новая теория иссле-
исследует понятия, лежащие в основе всех частных моделей, ко-
которые были исследованы до сих пор. Целью этой теории
является построение базиса для конкретных теорий суще-
существующих частиц и соответствующих им полей. Поэтому,
хотя мы будем называть ее общей теорией квантованных
полей, более справедливым было бы название аксиоматиче-
аксиоматическая теория поля.
2. Эта новая теория весьма абстрактна и к тому же так
математична, что возникает вопрос, не существует ли она
лишь потому, что некоторые физики захотели попрактико-
попрактиковать свое ограниченное математическое искусство.
Мы не думаем, что это в самом деле так, во всяком
случае причины существования теории глубже.
3. Для этого нужно знать кое-что о классической теории
квантованных полей, об ее истории, об ее взлетах и паде-
падениях. Поскольку классическая теория не связана с содержа-
содержанием основной части книги, мы дадим в этом введении крат-
краткий очерк исторического развития наиболее важной частной
модели — квантовой электродинамики.
4. Исторические корни теории квантованных полей ле-
лежат в начале самой квантовой теории. Закон черного излу-
излучения, поиски которого привели Планка [Р1 1] к введению
универсального кванта действия, относится прежде всего
к теории электромагнитного поля. Правда, сам Планк на-
наложил свой революционизирующий постулат на материальные
осцилляторы, взаимодействующие с электромагнитным полем,
но уже через несколько лет Эренфест и Дебай применили
квантовый постулат непосредственно к осцилляторам поля,
') См., например, Wight man A. S., Les problemes mathema-
tiques de la theorie quantique des champs [Wi2J.

10 Введение
т. е. к Фурье-компонентам поперечного электромагнитного
поля1).
5. Как только нерелятивистская квантовая механика при-
приняла свой окончательный вид, Гейзенберг, Борн и Иордан
[Bnl] указали, что реинтерпретацию физических наблюдаемых
нельзя остановить на чисто механических величинах, таких,
как положение и импульс точечного электрона, но необхо-
необходимо распространить и на электромагнитное поле тоже. Как
надо было это сделать для операторов поля, было ясно из
(восходящей исторически к Джинсу) аналогии Эренфеста —
Дебая между осцилляторами поля и вещества.
6. Заслуга первого описания взаимодействия квантован-
квантованного электромагнитного поля с материальными системами,
описания, предложенного в памятном 1927 г., принадлежит
Дираку [Di 1]. За этим последовали блестящий успех и
крупная неудача. Успех состоял в том, что Дирак сумел вы-
вывести и, следовательно, разумно объяснить уже известные
правила, описывающие испускание и поглощение света. Не-
Неудача в том, что Эренфест [Pal] немедленно указал, что теория
должна приводить к бесконечностям, поскольку она содержит
в качестве существенной величины значение вектор-потен-
вектор-потенциала в месте расположения точечного электрона.
7. Метод Дирака рассмотрения взаимодействия элек-
электромагнитного поля с атомом состоял в применении теории
возмущений, т. е. в разложении соответствующих величин
в степенные ряды по заряду электрона (или, что то же
самое, по постоянной тонкой структуры 1/137). Первый необ-
необращающийся в нуль член такого разложения приводит, как
мы теперь знаем, к превосходному согласию с опытом [Не 2*].
В старших порядках, однако, предсказание Эренфеста ока-
оказалось справедливым. Все они бесконечны2) или по крайней
мере, как теперь благозвучно выражаются, неопределенны.
Казалось, что теория, вообще, не имела никакого содержа-
содержания за пределами «первого порядка теории возмущений» и
что эта теория возмущений была единственным средством,
позволяющим извлечь из теории какие-нибудь осмысленные
результаты. Последнее по существу все еще справедливо и
сегодня.
') [Dbl]. Относительно нерасположения Дебая к интерпрета-
интерпретации световых квантов, как свойства эфира, см. [Db 1, стр. 1434].
2) См., например, для собственной энергии электрона [Ра 1*].

Введение И
8. Но теорию одолевали и другие трудности. Часть из
них была связана с дираковой теорией электрона, в которой
было свое туманное место — состояния с отрицательной энер-
энергией. Сколь серьезным представлялось это затруднение,
лучше всего охарактеризовать соответствующим замечанием
Паули в его воистину изумительной статье в Handbuch der
Physik, том 24.1: «Попытка спасти теорию в ее настоящей
форме кажется в свете этих следствий» (переходов в состоя-
состояния с отрицательной энергией) «уже заранее безнадежной»;1)
тем не менее теория была блестяще спасена Дираком его
теорией дырок и предсказанием и открытием позитрона
[Di2].
9. Другая трудность возникла из наблюдений над прони-
проникающей компонентой космического излучения. Она воспри-
воспринималась как указание на то, что первое приближение тео-
теории возмущений терпит крах при энергиях, превышающих
в лабораторной системе примерно в 137 раз массу электрона,
пока не было открыто, что эта проникающая компонента
состоит из мезонов, а не из электронов.
10. Ясно, что поскольку положение было столь туман-
туманным, квантовая электродинамика оказалась подходящей аре-
ареной для развития общих идей любого рода и временами для
измышления очень впечатляющих и нетривиальных математи-
математических методов, призванных спасти ситуацию. Многие из
таких предложений более общего и даже философского
характера дожили до наших дней и до сих пор превозно-
превозносятся как лекарства от всех болезней. Тем временем сама
теория взаимодействия электронов с максвелловым полем
развивалась очень медленно вплоть до конца второй мировой
войны.
11. В послевоенные годы стала энергично разрабаты-
разрабатываться идея о перенормировках, корни которой лежат в рабо-
работах Гейзенберга [Hei4], Дирака и Вайскопфа [Weil] сере-
середины тридцатых годов. Была показана ее эффективность
в приведении раздражающего скопления бесконечностей
в строгий порядок. Именно оказалось, что их можно
') [Ра 1*, стр. 245 (стр. 286 русского издания)]. Относительно
общего положения в квантовой электродинамике см. стр. 325 и сле-
следующую.

12 Введение
полностью собрать в три перенормировочные постоянные
[К2 1*], одну из которых можно фиксировать по соглашению,
а две другие определяются после подстановки известной вели-
величины массы электрона и экспериментального значения безраз-
безразмерной постоянной тонкой структуры. Этот очень существенный
прогресс привел к новым, перенормированным рядам теории
возмущений, каждый отдельный член которых уже хорошо
определен, однако свойства сходимости которых по-прежнему
остались неизвестными1). Однако уже несколько первых
членов этих (формальных) рядов по степеням постоянной
тонкой структуры согласуются с опытом во всех проверяв-
проверявшихся случаях с изумительной, до сих пор не встречав-
встречавшейся точностью. По своим успехам перенормированная
квантовая электродинамика намного превосходит любую физи-
физическую теорию, которой мы сейчас обладаем [Pel].
12. Это очень впечатляющее обстоятельство не делает,
однако, положение вещей в целом менее странным. Мы исхо-
исходим из уравнений, которые не имеют смысла. Мы приме-
применяем к их решениям некоторые определенные предписания и
приходим, наконец, к степенному ряду, про который мы не
знаем, имеет ли он смысл. Несколько первых членов этого
ряда приводят, однако, к наилучшим известным предсказа-
предсказаниям. Положение вещей не становится более понятным
в свете того факта, что успех квантовой электродинамики
совершенно единствен. Математически возможно выписать и
другие перенормируемые теории, но если в природе и исполь-
использованы некоторые из них, то выбраны столь большие по-
постоянные связи, что перенормированный ряд теории возму-
возмущений по необходимости бесполезен. С другой стороны,
в природе существуют и очень слабые взаимодействия,
однако они, по-видимому, соответствуют неперенормируемым
теориям.
13. Наибольшее впечатление в истории развития кванто-
квантовой электродинамики производит удивительная живучесть
теории. От чего в точности это происходит — неизвестно.
Анализ других моделей вряд ли сможет пролить свет на
этот круг вопросов. Тем не менее исследование общих пред-
представлений, лежащих в основе всех релятивистских квантовых
') См., например, [Ка 1*].

Введение 13
теорий поля, кажется неотложной задачей. Общая теория
квантованных полей ставит (но не решает) эту задачу.
14. Основная задача, а именно вопрос о том, не будут ли
основные постулаты совместными друг с другом только для
тривиальной 5-матрицы (именно, для S = /) и поэтому физи-
физически неприемлемыми, кажется столь трудной, что большин-
большинство работающих в этой области считает ее безнадежной.
Однако до сих пор удавалось обходить этот вопрос за счет
того, что рассматривались многие нетривиальные, но под-
поддающиеся решению проблемы.
15. Теория строится аксиоматическим образом; она осно-
основывается на группе основных постулатов, часть которых
выглядит в высшей степени технически и абстрактно. Это
обстоятельство, так же как и то, что интуиция вряд ли по-
поможет здесь, заставляет нас использовать уровень строгости,
на который обычно в теоретической физике смотрят без вся-
всякого восторга.
16. Мы должны, однако, отметить, что аксиомы в их
современной формулировке будут приведены в этой книге
в применении к специальному случаю, исключающему кван-
квантовую электродинамику из-за непрерывности отвечающего ей
спектра энергии-импульса '). Считают, что несмотря на это,
они будут определять интересные вещи. Однако упомянутый
выше особый характер квантовой электродинамики, строго
говоря, не обнадёживает.
17. Мы не будем ничего говорить о возможных успехах
этого нового подхода, поскольку у читателя после изучения
тех аспектов теории, которые представлены в этой книге,
появится свое собственное мнение.
18. В заключение было бы, пожалуй, уместным сравнить
аксиоматический подход в общей теории квантованных полей
с другими аксиоматическими теориями.
А. Совершенно ясно, что эта попытка имеет мало общего
с обычной аксиоматизацией классической математики и мате-
математической физики. Поэтому она не имеет никакого отно-
отношения ни к шестой проблеме Гильберта [Hil*. стр. 306],
ни к „Основаниям геометрии" того же автора. Во всех этих
случаях аксиоматизация завершала уже вполне выстроен-
выстроенное здание, здесь же мы имеем дело с несуществующим
') См., однако, [WL3].

14 Введение
фундаментом здания, которое, может быть, никогда не будет
построено.
В. Обсуждаемую аксиоматизацию можно было бы назвать
„аксиоматизацией, как последним прибежищем". Ее можно
было бы, если нужна какая-то аналогия, в крайнем случае
сравнить с аксиоматизацией теории множеств. Это также по-
попытка отделить смысл от бессмыслицы. Мы чувствуем, однако,
что и это сравнение еще далеко не точно; нам представляется,
что соотношение смысла к бессмыслице более благоприятно
в наивной теории множеств.
19. Эта книга основана на серии лекций, которые автор
прочел на Летнем семинаре Американского математического
общества в 1960 г. Хотя ее содержание и не тождественно
содержанию этих лекций, оно тем не менее сохранило харак-
характер лекций в том смысле, что
a) излагаемый материал не претендует на полноту;
b) мы были не очень тщательны в цитировании литера-
литературы и не хотели щеголять ученостью при выполнении этой
работы;
c) стиль определяется нашим умением или, скорее, не-
неумением излагать свои мысли по-английски. Наш язык — это
смесь ломаного английского и научного жаргона, принятого
на семинарах. Возможно, он будет раздражать читателя (как
это было с автором), но мы надеемся, что его можно будет
понять.

Глава I
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА; ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ,
СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Математические средства, необходимые для понимания
общей теории квантованных полей, заметно отличаются от
стандартного набора средств классической математической
физики. Они более абстрактны, более современны и более
просты. Мы сочли целесообразным посвятить раздел краткому
обзору основных идей. Доказательства не будут приведены,
но ссылки на литературу будут частыми и подробными.
Остальная часть этой вводной главы посвящена струк-
структуре пространства-времени и возникающим при этом про-
проблемам.
1. Математические средства
А. Функциональные пространства [Кб 1*, Sw 2*].
Почти все математические средства, нужные для понимания
книги, связаны с линейными топологическими пространствами.
Многие такие пространства являются функциональными про-
пространствами. Мы опишем ниже наиболее важные из этих
пространств.
Пространства функций рассматриваются только над веще-
вещественным конечномерным линейным пространством RN (веще-
(вещественным аффинным пространством). Вспомним основные
свойства RN, поскольку бесконечномерные пространства —
это обобщения пространств RN. Элементами RN являются
совокупности N вещественных чисел, х = (х1, х2, ..., xN).
Сложение и умножение на скаляр определяются как обычно.
Пространство RN инвариантно относительно неособенных
линейных неоднородных преобразований (х' — Мх-\-а, ма-
матрица М — невырожденная), которые образуют автоморфизмы
пространства RN; RN становится топологическим простран-
пространством, если мы введем базу окрестностей каждой его точки

16 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спиноры, исчисл.
[Кб 1*. стр. 3]. Достаточно даже ввести такую базу для
одного вектора, например для лг = О, и определить окрест-
окрестности в любой другой точке трансляцией (х' = х-\-а есть
трансляция).
Введем базу окрестностей вектора 0 с помощью нормы
(Ко 1*. стр. 127]
у
1*11= 2(**J • A)
Тогда шары {лг|||л:|| < р) положительного радиуса р обра-
образуют базу окрестностей. Ясно, что норма A) неинвариантна
относительно однородных неособенных линейных преобразо-
преобразований (х' = Мх), в то время как введенная таким образом
топология инвариантна относительно всех автоморфизмов
RN [КО 1*, стр. 129].
Множество 5 с RN называется ограниченным, если точ-
точная верхняя грань норм ||л:|| для x?S конечна:
sup II л: II < оо. B)
Ограниченное множество всегда содержится в достаточно
большой, сфере: пусть р больше точной верхней грани B),
тогда S с {х |||*|| < р]. Предполагается, что читатель знаком
с понятиями открытого и замкнутого множества. Ограни-
Ограниченное и замкнутое множество ScRN компактно.
Перейдем к комплекснозначным функциям ф над RN.
Функция ф отображает RN в множество комплексных чисел С,
где С — комплексное одномерное линейное топологическое
пространство, топология в котором задается модулем ком-
комплексного числа. Функция ф ограничена, если образ ф (RN)
ограничен, т. е. если
sup|?(x)|<oo. C)
Носителем ф называется наименьшее замкнутое множество
в RN, вне которого ф равно нулю. Оно обозначается как
supp ф. Можно задать supp ф выражением
supp ф = /?лг~ф-1{0}, D)
где черта сверху означает замыкание в RN: Если supp ф
компактен, то ф равно нулю вне соответствующей сферы и
обратно.

/ Математические средства 17
Мы не будем определять непрерывность и дифференци-
руемость функции. Напомним некоторые простые понятия,
которые потребуются нам далее. Пусть т. — (тх, щ, ...
... t mN) — набор из N натуральных чисел. Определим
ZT= ^ , E)
(dx^(dx*)m*...(dxN)mN
N
где |ffi|= 2 mk — порядок дифференциального монома D.
Определим также
.тогда \ш\ — степень монома хт.
Функция ф принадлежит классу Са, если все ее произ-
производные Dm<jp для |fft|-^a существуют и непрерывны. Со со-
состоит из всех непрерывных функций. Иногда мы будем
писать С вместо Со. Если ?У"ф существуют и непрерывны
для всех т, то ф принадлежит классу С^.
Теперь мы можем ввести простое топологическое линей-
линейное функциональное пространство. Пусть В содержит все
ограниченные функции класса С. Введем в В норму с по-
помощью равенства
| = вир|ф|. G)
Далее рассуждения такие же, как и для RN. База окрест-
окрестностей нуля будет задаваться шарами (ф|||ф|| < рЬ а база
окрестностей точки ip получается трансляцией {ср I (| ср—Ф||<
<р}. Сходимость в этой топологии означает равномерную
сходимость в RN. Пространство В полно: каждая последо-
последовательность Коши сходится к элементу из В. Поэтому В есть
полное линейное нормированное пространство. Такое про-
пространство называется банаховым пространством (В-простран-
ством) [Кб 1*, гл. 3].
Множество S а В называется ограниченным, если
вир||ф||<оо. (8)
Это соответствует определению B). Определение замкнутого
множества также очевидно. Однако в отличие от RN замкну-
замкнутое ограниченное множество не обязательно компактно.
Такое множество может содержать бесконечный набор
2 Зак. 707

18 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
замкнутых подмножеств [Аа], таких, что любой конечный под-
набор f-^aft}' *= 1. 2. .. ., s содержит общие точки [КО 1*.
§ 3.1, B)]: П Аа Ф 0, но пересечение [\ Аа пусто. Для
примера возьмем замкнутую единичную сферу {ф|||ф||=1}
и выберем в качестве Аа (а= 1, 2, 3, . . .) множества
с {x|||x||>ajj. (9)
Далее будет использовано замкнутое (линейное) подпро-
подпространство Во пространства В, определяемое условием
о}. (Ю)
Пространство Во также является В-пространством с нормой,
задаваемой G).
Понятие В-пространства очень широко, и потому полезно.
Например, примером В-пространства будет множество всех
функций класса Сг, для которых
||ф||= max sup(l+||x||2)*/2 | D"Vp |< oo. A1)
Это пространство обозначается Bk'1.
Нам встретятся и другие топологические линейные про-
пространства, из которых наиболее важным будет пересечение
^"[Sw 2*, стр. 91] всех пространств В"-1. Это пространство
содержит все функции класса С^, для которых все выражения
/»Х(Ф)= max sup|(l+||x||2)ft/2D>|, я = 0. 1, 2
A2)
конечны. Выражения ри(<р) являются нормами и потому полу-
полунормами [Кб 1*. § 14.1]. Геометрию в <?Р можно описать
только бесконечной последовательностью полунорм A2). Пы-
Пытаться заменить эти полунормы одной единой нормой, напри-
например, 5ири/7и(ф), неразумно, поскольку условие зирири(ф)<
< оо влечет за собой ф = 0. Поэтому мы должны приспо-
приспособиться к новой ситуации. Но это совсем просто. Опреде-
Определим базу окрестностей N(%, e) для ф = 0 условием
ЛГ(х, е)={ф|/>и(ф)<е}. A3)
Легко проверить, что эти окрестнохти (и окрестности,
получающиеся из них трансляцией) определяют топологию

1. Математические средства 19
в if и что if полно в этой топологии. Из того, что ря—
норма, следует, что окрестности N (и, е) абсолютно выпуклы
[Ко 1*. стр. 164]. Поэтому if— локально выпуклое полное
топологическое линейное пространство со счетной базой
окрестностей нуля. Такое пространство называется простран-
пространством Фреше (F-пространством), поскольку оно метризуемо
[Кб 1*. § 18.2].
В то время как в В-пространстве мы могли выбрать базу
из ограниченных окрестностей нуля, в if это уже невоз-
невозможно. Полезно ввести следующее определение ограничен-
ограниченного множества Sad?: множество 5 ограничено, если для
всех и
оо. A4)
Отметим простое, но примечательное обстоятельство, что
замкнутые ограниченные множества в if компактны
[Sw 2*. стр. 91]. В этом смысле if ведет себя скорее как
конечномерное векторное пространство /?„, чем как В-про-
странство. Пространства, в которых замкнутые ограниченные
множества компактны, называются пространствами Монтеля
(М-пространствами). Поэтому if есть FM-пространство [Кб 1*,
§ 27.2].
Каждая сходящаяся последовательность {<рй | А = 1, 2, 3,...}
ограничена, поскольку из фА —> ф следует, что рк (ф — фй) —> О
для всех и, и поэтому рх (фА) ¦< рх (ф — щ) -f- ри (ф) остаются
ограниченными.
Таким образом, нам известны следующие сведения о if:
множество & содержит все функции класса Ст, которые
вместе с их производными быстро убывают (именно быстрее,
чем A +||лг||2)~*/? для любого k). Последовательность эле-
элементов фА ? if сходится в if к ф, если для любых тик
A+1НР)*/2#"(Фа — Ф)->О равномерно в /?".
Более сложные топологические линейные пространства,
чем if, играют меньшую роль. Отметим два из них: 3) и ?\
Пространство S есть подпространство if и содержит все
функции из if с компактным носителем [Swl*]. После-
Последовательность фА сходится в 3>, если виррфА содержится
для всех k в компактном множестве, не зависящем от к,
и если Dfn(fk сходится равномерно в RN для любого т.
Топологию в 3) легко описать несчетным множеством полу-

20 Га. 1. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
норм; 3 не является F-пространством, но по-прежнему есть
М-пространство [Sw 1*, гл. III].
Пространство (f содержит ??. Элементами У являются
все функции класса С^. Последовательность фЛ->ф в У,
если для любого m Cfq>k —> [У"у равномерно на каждом
компактном множестве. Последовательность полунорм задается
выражением
sup |D>| A5)
\\х\\<К
для натуральных и и К. Пространство У также является
FM-пространством [Sw 1*. стр. 88].
Пространство 35—наименьшее из трех пространств, однако
оно плотно и в ?Р и в У (в соответствующих топологиях); S
плотно также и в пространстве Во, введенном выше.
Все эти пространства сепарабельны; они содержат счетные
плотные подмножества. Для пространств ?Р, У и Во плотное
множество образуют линейные комбинации функций
— i-ilrip
Л 2" A6)
с рациональными коэффициентами.
Обсудим вкратце тензорное произведение функциональ-
функциональных пространств. Тензорное произведение является чисто
алгебраической конструкцией и не имеет никакого или почти
никакого отношения к топологии входящих в него пространств
[Sw 1*. гл. IV].
Пусть R ' и R г — два аффинных пространства с элемен-
элементами х и у соответственно. Элементами их прямой суммы RNl+N2
являются упорядоченные пары (а:, у), для которых очевидным
образом определены сложение и умножение на скаляр. Пусть
<?%, ?РУ и SfXy — функциональные пространства над RN\ RNl
и RNi+N*. Пары функций (fx^ePjc, фу6<?% отображаются
тогда в SPxy по правилу
(Ф, ® Фу) (*. У) = Ф, {х) ¦ Фу (у). A7)
Отображение ф^ ® фу непрерывно по обоим множителям.
Конечные линейные комбинации функций вида A7) образуют
в S^xy линейное множество, обозначаемое через ?Рх ® ?Ру.
Множество of х % ??у плотно в &'ху, что следует из плот-

/. Математические средства 21
ности множества, описываемого формулой A6). Аналогично
Зх®35у плотно в 35xr Sfху Ь?ху и ВОху.
Понятие прямой суммы конечного числа топологических
линейных пространств совершенно очевидно. Для дальнейшего
нам надо обсудить некоторые бесконечные прямые суммы.
Пусть {/?4л}, га = 0, 1, 2, ...—последовательность веще-
вещественных аффинных пространств, в которой R0 означает
0-мерное пространство, содержащее единственный вектор 0.
Пусть if',, суть (^"-пространства, соответствующие R4n,
iP0 = C. И, наконец, ф == (ф0, ф,, ф2, . . .) — последователь-
последовательность элементов фя ? if '„, такая, что только конечное число
компонент q>k не равно нулю. Эти „конечные" последова-
последовательности образуют при естественном определении линейных
операций линейное пространство
00
& — ф & ... Aо)
— я-0
Введем следующее понятие сходимости в if. Последователь-
Последовательность {ф'}, 1 = 1, 2, 3 сходится в if, если (а) суще-
существует такое целое К, что ф'й = 0 для всех k > К, и если (Ь)
каждая компонента ф^ сходится к ц>к при /->оо в тополо-
топологии ifk.
Нетрудно охарактеризовать топологию в ?Р несчетным
числом полунорм. Тогда if становится локально выпуклым
топологическим линейным пространством. Из приведенного
определения сходимости уже видно, что пространство if сепа-
рабельно [Кб 1*. § 18.5].
Интересно, хотя и почти тривиально, что if — это не
только векторное пространство, но и топологическая ал-
алгебра. Умножение определяется равенством
л
оно непрерывно по обоим множителям. Эта алгебра еще
встретится ниже.
В. Сопряженные пространства. Непрерывное линейное
отображение комплексного (вещественного) топологического
линейного пространства в С(/?) называется функционалом.
Функционалы образуют линейное пространство (если опре-

22 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
делить их сложение и умножение на скаляр обычным образом).
Это линейное пространство называется сопряженным про-
пространством к исходному пространству.
Пространство, сопряженное к RN (с элементами х), состоит
N
из линейных функций (р, х) = 2 Pkxk< а его элементы одно-
значно характеризуются наборами N вещественных чисел
р — (pv ..., pN), т. е. пространство (RN)', сопряженное
к RN, оказывается (вещественным) Л^-мерным векторным
пространством.
Опишем пространство, сопряженное к Во. Функционал [X
будет непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен
на единичной сфере ||<р||-=1 [Кб 1*. § 14.6]. Определим
. B0)
Величина ||(х|| обладает всеми свойствами нормы в сопряжен-
сопряженном пространстве Во, и So полно относительно этой нормы.
Таким образом, So — это В-пространство. Пространство В%
содержит элементы, отличные от нуля. В самом деле, для
любого фиксированного а ? RN
Мф) = Ф(«) B1)
будет функционалом. Из B1) следует, что функционалы
отделяют Во: если ф Ф ф, то тогда существует такая точка а,
что ф(а)=?ф(а), и функционал (х, определенный форму-
формулой B1), такой, что
МФ)=*МФ). B2)
Все функционалы \ia удовлетворяют соотношению || \ia || = 1
и для афЬ соотношению |||ia—(xi||==2. Следовательно,
Во не сепарабельно, поскольку RN не счетно.
Можно показать, что любой функционал из Во однозначно
представим интегралом Стилтьеса
B3)
где \х(х)—ограниченная комплекснозначная мера.
Пространство So, сопряженное к Во, ке совпадает с Во,
т. е. Во не рефлексивное пространство.

1. Математические средства 23
Перейдем теперь к более важному случаю пространства ?Р',
сопряженного к ?Р [Sw 2*, VII, § 4]*). Элементами &"
являются обобщенные функции медленного роста Т. Ясно,
что ?/" содержит нетривиальные элементы, например
Г(Ф) = (Отф)(а) B4)
для фиксированных т и а. Элементы SP' отделяют элементы
пространства ?Р в том же смысле, что и выше. Обобщенная
функция Т (ф) непрерывна по ф. Из этого следует, что
|^(ф)|<1 Для подходящей окрестности N (и, е), опреде-
определенной формулой A3). Значит, существует и0, такое, что
|Г(Ф)|<1. если \р^Щ<К. B5)
Значение %0 зависит, конечно, от Т. Это означает по суще-
существу, что каждая обобщенная функция медленного роста
принадлежит пространству, сопряженному одному из В-про-
В-пространств, характеризуемых нормами рк(<$). Наименьшее зна-
значение и0 можно назвать порядком обобщенной функции Т.
Из приведенных рассуждений следует, что каждая обобщенная
функция ограничена на ограниченных множествах Sc?P
(см. A4)). Обратно, каждое линейное отображение простран-
пространства ^ в С, ограниченное на ограниченных множествах, есть
обобщенная функция медленного роста. Это обстоятельство
побуждает нас ввести в SP' топологию, определяемую несчет-
несчетным набором полунорм
р' (T) = supT((f), S ограничены в &>. B6)
ф?5
В такой топологии 3" полно. Поскольку топология в &Р'
определена набором полунорм, ?/" опять будет локально
выпуклым топологическим линейным пространством. Сопря-
Сопряженным к нему будет SP, так что пространство ?Р рефлек-
рефлексивно. Множество S'c?P' ограничено, если для всех огра-
ограниченных множеств 5
oo. B7)
*) Обобщенные функции были введены в математику С. Л. Со-
Соболевым [6]. Первое применение обобщенных функций в квантовой
теории поля было сделано Н. Н. Боголюбовым [4]. — Прим. ред.

24 Гл. 1. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
Ограниченные множества в $" относительно компактны,
поэтому $" является М-пространством. Множество 5' огра-
ограничено тогда и только тогда, когда порядки обобщенных
функций из S' ограничены числом и0 и когда, кроме того,
sup |Г(Ф)|<оо. B8)
/>„ (ф)<1. res'
Поэтому множество S'???" ограничено, если все его эле-
элементы лежат в пространстве, сопряженном к одному из В-про-
В-пространств, характеризуемых нормами />и(ф), и если они, кроме
того, образуют в этом сопряженном пространстве ограничен-
ограниченное множество. Кроме сильной топологии, мы можем ввести
в $" также и слабую топологию, определяемую полунормами
B9)
Соответственно слабо ограниченные множества S' опреде-
определяются условием
sup р" (Г) < оо для всех ф. C0)
T?S' ф
Примечательным и весьма общим фактом является то, что
в S' слабо ограниченные и сильно ограниченные множества
совпадают (теорема Макки, [Кб 1*, § 20, 11G)]).
Следующая теорема показывает, почему в применениях
обобщенных функций сравнительно меньшую роль играет
сильная топология.
Теорема [Sw Г, стр. 74, теорема XIII]. Пусть {Тк\,
k=\, 1/2, 1/3, ... последовательность обобщенных функ-
функций медленного роста, и предположим, что для каждой ф
предел
(ф) = Г(ф) C1)
существует. Тогда Г(ф) тоже будет обобщенной функ-
функцией медленного роста и Tk-*-T в сильной топологии.
То же будет справедливо в случае, когда индекс k изме-
изменяется в конечномерном линейном пространстве.
Таким образом, в $" слабая и сильная сходимости совпа-
совпадают для последовательностей и для таких обобщенных
функций, которые зависят еще и от конечного числа непре-
непрерывных параметров.

/. Математические средства 25
Непрерывные функции /, которые ограничены полиномами
являются элементами ?f" в смысле
C2)
Каждая обобщенная функция вида Т, называется непрерывной
функцией. Поэтому & оказывается подмножеством ?f"', так же
как и Во, и 3. Полезно знать, что 3 плотно в ?Р' (в топо-
топологии ?Р'). Поскольку топология, индуцированная в 3 топо-
топологией ?Р', слабее, чем топология 3, и поскольку 3 сепа-
рабельно, то и ?Р' сепарабельно.
С точки зрения C2) мы можем интерпретировать обобщен-
обобщенные функции как обобщение обычных функций и писать
формально
| C3)
В другой часто употребляемой системе обозначений исполь-
используется символ скалярного произведения
C4)
В таких обозначениях сопряженность ?Р и ?Р' выражена
в явном виде.
Прежде чем закончить этот раздел, мы хотим еще ввести
понятие носителя обобщенной функции Т ?<&"'. Мы будем
говорить, что Т обращается в нуль в открытом подмно-
подмножестве 33 пространства RN, если Т (ф) = 0 всякий раз, когда
виррфсЗЗ. Носитель Т определяется как наименьшее мно-
множество, вне которого Т равно нулю; это множество обозна-
обозначается supp T,
Напомним вкратце о пространствах, сопряженных к У
и 3. Ясно, что %"с?Р'с:3'; У" содержит все обобщенные
функции с компактным носителем. Связь обобщенных
функций из 3' с обобщенными функциями медленного роста
несколько сложнее. Мы видели (см. C2)), что все непре-
непрерывные функции, ограниченные величиной const. (I -f-II ¦* IP)*^
с некоторым значением k, являются элементами из ?Р'',
Из определения 3 следует, что все непрерывные функции
независимо от их роста при ||#||-»-оо будут элементами из 3' •
Эта ситуация типична. Обобщенные функции медленного роста

26 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
будут теми элементами из 2>', которые медленно растут на
бесконечности [Sw 1*. 2*].
Последнее замечание. Обобщенная функция Т называется
положительной, если Г(ф)^0 для основных функций ф,
удовлетворяющих условию ф(л:)^>0. Положительные обоб-
обобщенные функции являются положительными мерами, зави-
зависящими, конечно, от выбора подходящего пространства основ-
основных функций. Если они являются элементами из %", то их
носитель компактен; если они лежат в 0", то ц/A-)-||х||2)*/2
ограничено для некоторого значения k. Меры из 3)' ничем
не ограничены [Sw 1*, стр. 29].
С. Операции над обобщенными функциями. Линейные
операции над обобщенными функциями связаны с линейными
отображениями пространства основных функций ?Р. По-
Поэтому мы начнем с обсуждения этих отображений. Пусть ?РХ
и ?Р2 будут двумя пространствами основных функций (над
двумя аффинными пространствами RN' и RNi), и пусть А будет
линейным непрерывным отображением ?Р2 в ffx. Как легко
убедиться, такое отображение преобразует ограниченные мно.-
жества в ?Р2 в ограниченные множества в ffv С другой
стороны, линейное преобразование, преобразующее ограни-
ограниченные множества в ограниченные, непрерывно. Мы уже
сталкивались с частным случаем такого отображения в самом
определении обобщенных функций, когда RN' было нульмерно
(N, = 0) и ^, = С.
Отображение А позволяет нам определить сопряженное
отображение пространства SP[ в ?Р'2 формулой
(Л7\, Ф2> = (Л, Лф2>, C5)
где Т1??/ и %??Р2. Легко проверить, что:
(a) левая часть C5) определяет обобщенную функцию
в оУ'ь или, иными словами, что А'Т\ ? ?Р2',
(b) линейное отображение ??[->¦ ?Р2 непрерывно;
(c) отображение А' отображает ограниченные множества
в SP\ в ограниченные множества в ?Р2.
Линейные непрерывные отображения из <^°2 в e?i (и из
<?Р\ в ЗР'ъ) опять образуют линейное пространство. В этом
линейном пространстве опять можно ввести (каноническим
способом) локально выпуклую топологию. Мы не будем этого

/. Математические средства 27
делать, а заменим в случае необходимости топологическое
рассмотрение следующей теоремой Банаха — Штейнхауза.
Теорема [Кб Г, § 15, 13C)]. Пусть {Ап\п=1, 2,
3, .. .} будет последовательностью линейных непрерыв-
непрерывных отображений из ?Р2 в ?Р\- Если для всех ч^
последовательность Апщ сходится, то lim •^Яф2
опять определяет линейное непрерывное отображение (?
в Sfv
Замечания. 1. При условиях теоремы из C5) следует,
что
lim AnTi = А Т\.
П->СО
2. С необходимыми изменениями теорема остается спра-
справедливой и для отображений, зависящих от конечного числа
непрерывных параметров.
3. Специальный (^1 = 0) случай теоремы Банаха —
Штейнхауза уже встречался нам в разд. В.
Примеры
1. Перемножение обобщенных функций [Sw 2*, стр. 99].
Пусть 6М будет пространством функций класса Сю> которые
вместе со всеми своими производными ограничены полино-
полиномами. Пусть а.?бм и
(aq>)(Js) = a(Jf)q>(Js). C6)
Отображение ф-ххф есть линейное и непрерывное отобра-
отображение из <?Р в ?Р. Соответственно формула
<о7\ q>) = <7\ аФ> C7)
определяет линейное непрерывное отображение из ?Р' в SP'.
Формально мы запишем (аГ) (х) = а (х) Т (х).
2. Дифференцирование обобщенных функций [Sw Г,
стр. 80]. Ясно, что линейное отображение
— 1)|т|/)™Ф C8)
ение из <?Р в ?Р. Сопряженное
{1ГТ, Ф> =,(Т, (—1)|яг| /)«ф) C9)
есть непрерывное отображение из ?Р в ?Р. Сопряженное
отображение

28 Гл. I. Магем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
определяет дифференцирование обобщенных функций. Из
непрерывности ГУ"Т следует, что сходящийся ряд обобщен-
00
ных функций 2 ^л можно дифференцировать почленно.
Как уже говорилось, ограниченные полиномами непрерыв-
непрерывные функции образуют подмножество в $". Теперь мы видим,
что и все их производные входят в Sf"¦ Следующая теорема
утверждает, что на этом пути получаются все элементы $".
Теорема [Sw 2*, стр. 95, теорема VI]. Для каждой
обобщенной функции Т ?Sf" существует число т и не-
непрерывная полиномиально ограниченная функция /,
такие, что
Т = Dmf.
3. Автоморфизмы пространства RN. Пусть х'—Мх-\-а
будет неособенным отображением RN в RN. Это отображе-
отображение определяет непрерывное отображение SP в себя с помощью
равенства
<Р(а,м)(х) = (р{М-1(х — а)). D0)
Сопряженное отображение
(Т(а,М), Ч>) = (Т, ф(а,М)> D1)
определяет линейное непрерывное отображение пространства
S?" в себя. Все эти отображения будут гомеоморфизмами.
Вместо D1) мы будем также писать Т{а> М) {х) = Т (Мх ~\- а).
Пусть (#(т), М(т)) — аналитическая однопараметрическая
подгруппа; определим Фт = ф(а(т), м (¦*))¦ Тогда
d
T-»0
Фо)==-хгФт
т-0
D2)
сходится в топологии SP для любой ф и определяет тем
самым непрерывное отображение SP в себя. Поэтому
t->0
t-0
D3)
тоже будет существовать. Если однопараметрическая группа
является группой трансляций, то D3) определит дифферен-
дифференцирование первого порядка в 0".

/. Математические средства 29
4. Преобразование Фурье [Sw 2*. гл. VII]. Разложение
Фурье
" $ ap**l pN)dp D4)
преобразует пространство ?Р быстро убывающих функций
класса Ст над пространством (R14)', сопряженным к RN,
линейно и непрерывно на ?Р. Запишем D4) в виде
D5)
и определим Фурье-образ обобщенной функции условием
(Т, ф) = (&"Т, ф> = (Т, #>) = G\ Ф). D6)
Формально мы найдем, что
f(p) = Bn)-Nje-i(P-^T(x)dx D7)
и
1р, D8)
поскольку для преобразования Фурье всегда существует
обратное.
В примере 1 мы занимались мультипликаторами функ-
функций в ?Р и выяснили, что они лежат в пространстве 6М.
Аналогично в 6М лежат и мультипликаторы элементов про-
пространства $*. Непрерывному отображению ф—>-сир с о,^6м
будет после выполнения преобразования Фурье соответство-
соответствовать в & отображение, записываемое как ф-*5#ф. Легко
видеть, что это отображение будет иметь вид
E * ф) (х) = J S (у - х) Ф (у) dy, D9)
где
S (х) = Bn)~N J в' <л *> • а (р) dp, а 6 6М, E0)
— специальная обобщенная функция. Исследуем эти. соот-
соотношения несколько подробнее. Соотношение D9) имеет смысл
для произвольной обобщенной функции S?Sf" и приводит,
очевидно, к обобщенной функции из класса С^, которая
вместе со всеми своими производными будет полиномиально
ограничена [Sw 2*. стр. 95, теорема VI]. Поэтому в общем

30 Гл. I. Матем. средства} пространство-время, спинорн. исчисл.
случае (S*(p)?6M. Однако для специальной обобщенной
функции E0) (когда а?6м) 5*<р будет непрерывным ото-
отображением ?Р в себя. Поэтому ясно, что Зя-ф^^". С дру-
другой стороны, можно показать, что обобщенная функция,
обладающая тем свойством, что для любой ф ? <ff, S * ф ? ??
определяет непрерывное отображение of в себя, будет иметь
вид E0) [Sw 2*. стр. 100, стр. 124, теоремы IX, XV]. Спе-
Специальные обобщенные функции вида E0) образуют линейное
пространство 6 с, пространство бистро убывающих обоб-
ценных функций. Отображение, сопряженное к ф->5#ф,
задается условием
(S*T, ф) = G\ 5*Ф) E1)
и может быть формально записано как
(S*T)(x)= $ S(x-y)T(y)dy. S?6'c. E2)
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема о пред-
представлении.
Теорема [Sw 2*. стр. 100, теорема IX]. Для того
чтобы Т ?бс необходимо и достаточно, чтобы для любого
натурального числа k T было конечной суммой произ-
производных непрерывных функций, каждая из которых
остается ограниченной после умножения на A +||л;||2)*/2.
ПроизведениеSxT, определяемоеD9)—E2), есть свертка.
Свертка тесно связана с регуляризацией обобщенной функ-
функции. Ясно, что все непрерывные быстро убывающие при
||jc||->oo функции принадлежат б'с (однако e'lkll2 тоже лежит
в б'с)- Поэтому SP и 35 содержатся в в'с. Выберем а??В.
Тогда
| E3)
будет функцией класса С^. Согласно сделанным выше заме-
замечаниям, (а*Т)?6м. Говорят, что (а* Г) есть регуляриза-
регуляризация Т с помощью а. Носитель свертки а*Г лежит в неко-
некоторой окрестности supp T, которая зависит от supp а. Если
мы выберем теперь последовательность щ ? 3 таких, что
в топологии ?/" ak(x)~>b(x), т. е. 6-функции Дирака, то
>ф для всех ц>??Р, и поэтому а^-х-Г->Г для всех

/. Математические средства 31
Г ?(?"'• С помощью такого приема каждая обобщенная функ-
функция из $" явным образом представляется пределом функций
из 6М. Значит, вм плотно в $" [Sw 2*, стр. 21 и далее].
D. Тензорное произведение обобщенных функций и
связанные проблемы. „Теорема о ядре". В разд. А мы
ввели тензорное произведение ?Р х % if у двух пространств
основных функций. Мы отметили также, что тензорное произ-
произведение ?f х ® ?Ру плотно в <??ху — пространстве основных
функций над Rx®Ry- Теперь мы хотим ввести тензорное
произведение if'x ® еУу Пусть Тх ? ?Р'Х и Sy ? ?Р'у Мы опре-
определим Тх 0 Sy сначала только на S?'х ® ?гу линейным рас-
расширением равенства
(Tx®Sy)(q>x®$y) = Tx(q>x)Sy(Mpy). E4)
Но ясно, что обобщенная функция Q ? <??ху, совпадающая на
<&'х®?Ру с Tx®Sy, определена однозначно, поскольку
о?х%?Ру плотно в ?Рху- Поэтому мы будем писать Т'x(&Sy = Q.
Нетрудно видеть, что такое расширение всегда суще-
существует. Пусть хб^ху Тогда
х, Х>(У)= J
Поэтому функционал (Sy, (Tx, у)) существует и, как можно
показать, непрерывен. Так определенная обобщенная функция
совпадает на gf x ® ?fy со значениями, получаемыми из E4).
Таким образом, мы находим, что
<5,. (Тх, X) ) = (Тх. (Sr X» = (Тх ® Sy) (X)- E5)
Далее, мы определим q?x ® ?РУ как конечную линейную ком-
комбинацию обобщенных функций вида Тх ® Sy. To, что ?Рх®&у
плотно в ifХу,—тривиально. Равным образом S^x®S^y плотно
в tf'xy [Sw 1*. гл. IV].
Гораздо более глубокие проблемы встают в связи с поли-
полилинейными формами. Пусть RN=@RNkb r конечно. Пусть
еще <Pft ^ S^k' где ^к — пространство основных функций
над RNk. Наконец, пусть L(yv (fo, .. ., q>r) будет линейной
и непрерывной формой по каждому аргументу фА в отдель-
отдельности. Тогда ясно, что в силу линейности ?(q>j, ф2, .... срг)

32 Гл. I. Матем. средства; пространство время, спинорн исчисл.
можно расширить на ifx®if2% ... %??,- Тут опять возни-
возникает вопрос, существует ли в Sf'Xv .... хг обобщенная функ-
функция Т, удовлетворяющая условию
Г(ф1®ф2® . . . ®фг) = ?.(ф1> ф2 <рг). E6)
„Теорема о ядре" Шварца [Sw 1; G& 3] гарантирует нам,
что такая обобщенная функция Т существует. Ее единствен-
единственность тривиальна.
Обсудим, наконец, пространство, сопряженное введенному
формулой A8) пространству SP; 0" содержит все последова-
последовательности Т_=(Т0, 7\, Т2, ...),Тк??Р'ь. Скалярное произ-
произведение определено равенством
<7\ Ф) = 2<7\, Ф*>. E7)
к
Ясно, что G", ф)->0 при ф->0 в смысле введенного выше
понятия сходимости. Пространство ?Р' также образует алге-
алгебру, если определить умножение равенством
E®П,= 2 5я-*®7\. E8)
Однако в дальнейшем эта алгебра не будет играть для нас
никакой роли.
Е. Гильбертово пространство [Ас Г; Ri \*\. Единствен-
Единственным абстрактным пространством, с которым нам придется
столкнуться, будет бесконечномерное сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство ф.
Элементарная теория пространства $ хорошо известна,
и мы не будем вдаваться здесь в ее детали, но ограничимся
тем, что напомним читателю некоторые факты относительно
неограниченных операторов и спектральных представлений
непрерывных абелевых групп унитарных операторов.
Элементы пространства ф будут обозначаться через
Ф, VF, ..., а положительное симметричное скалярное произ-
произведение (линейное по второму множителю) через (Ф, \F).
Наконец, ||Ф|| = (ф, фI/2 есть норма в пространстве ф-
Функционалы (непрерывные линейные формы) в ф суть
в-точности скалярные произведения /(Ф) = (Ч/-, Ф). Поэтому ф
совпадает со своим сопряженным пространством, ф'.

/. Математические средства 33
В пространстве ?> мы можем ввести слабую топологию
с помощью полунорм рЧг(Ф) = \(Л?, Ф)|. Множество 5 будет
слабо ограниченным, если sup K^F, Ф) | < оо для всех Ч?;
оно будет сильно ограниченным, если sup ||Ф||<оо. Здесь
также слабо ограниченные и сильно ограниченные множе-
множества совпадают. Для каждого непрерывного оператора А
(непрерывного линейного отображения § в © однозначно
определяется сопряженный оператор А* условием
(Ф, ЛЧ0 = (Л*Ф, Чг). E9)
Оператор А называется самосопряженным, если А* = А.
Оператор U называется унитарным, если {/"'={/*.
Оператор А называется ограниченным, если sup || А (Ф) || =
II ф И-»
= || Л || < оо. Ограниченные операторы и непрерывные опера-
операторы совпадают. Последовательность Ak операторов сильно
сходится к оператору А, если ЛАФ->ЛФ в сильной топо-
топологии пространства ф для всех Ф?ф. Множество ограни-
ограниченных операторов замкнуто по отношению к сильной схо-
сходимости.
Следующая теорема излагает „основное условие существо-
существования" неограниченных не непрерывных операторов.
Теорема (Хеллингер — Теплиц) [Ас Г, стр. 51]. Если
два оператора А и В, определенные для каждого век-
вектора в ф, удовлетворяют соотношению
(Ф, ЛЧ0 = (ВФ, W) F0)
для всех Ф, W ? |>, то А и В ограничены и В = А*.
Доказательство. Покажем, что образ единичной
сферы || Ф ||=1 сильно ограничен. Действительно,
Поэтому {ЛФ|||Ф||=1} слабо ограничено. Но каждое слабо
ограниченное множество ограничено и в сильном смысле.
Следовательно,
sup || лф ||=|И1! F1)
11ФЦ-1
существует и А ограничен. Ясно, что тогда В = А*.
3 Зак. 707

34 Гл. I. Матем. средстве; пространство-время, спинорн. исчисл.
В теорем; Хеллингера — Теплица содержится то утвер-
утверждение, что неограниченный самосопряженный оператор
вообще не может быть определен на всем ?>. Поэтому при-
приходится связывать с каждым неограниченным оператором Л
его область определения DA и его область значений
ADA=AA. Мы всегда можем считать, что DA линейно зам-
замкнута; кроме того, разумно ограничиться плотными обла-
областями DA.
Если DA плотна, то для Л однозначно определяется
сопряженный оператор равенством
(Ф, ЛЧ0 = (Л*Ф, ЧГ). F2)
Область определения DA* оператора А* содержит в точности
те векторы Ф, для которых (Ф, АЧ?) ограничено по Ч?, и,
таким образом, однозначно определяет непрерывную линейную
форму на ф. Область DA* может состоять только из одного
нулевого вектора. Если, однако, DA* опять плотно в ф, то
можно определить А**. Оператор А" есть расширение
A: DA**^DA и на DA оба оператора совпадают. Опера-
Оператор А** обладает тем важным свойством, что он замкнут.
Это означает, что соотношения ФА—>Ф и А**Фк—>Ч/ для
<&k?DA*> влекут за собой Ф?ОД** и ¦ А**Ф = Ч?. Опера-
Оператор А** является наименьшим замкнутым расширением А.
Наконец, А*** = А*, так что оператор А'" тоже замкнут.
Мы будем иметь дело только с такими операторами А,
для которых DA* плотна. Поэтому все наши операторы будут
допускать замкнутые расширения. Кроме того, операторы,
с которыми мы только и будем работать, будут обладать
еще и тем дополнительным свойством, что DA П DA« будет
плотным в ф.
Оператор А называется симметричным, если для всех Ф,
(Ф, АЧ?) = (АФ, 40. F3)
Для симметричного оператора А оператор А* оказывается
расширением А, и поэтому Л** существует; при этом
АсА**сА*. Если А = А*, то Л называется самосопряжен-
самосопряженным. Если А*=А**, то Л называется существенно само-
самосопряженным; в этом случае оператор Л будет обладать
единственным самосопряженным расширением. Не каждый
симметричный оператор допускает самосопряженное расшире-

/. Математические средства 35
ние. Необходимым и достаточным условием того, чтобы опе-
оператор А обладал самосопряженным расширением, является
равенство
m+ = dim [(A + //)] DA\L = dim [(A — tl) DA\X = m_. F4)
Если А существенно самосопряжен, то m+ = m_ = 0 и
обратно. Числа ш+ и т_ называются индексами дефекта
оператора А.
Самосопряженный оператор обладает единственным спек-
спектральным представлением
оо
= J
F5)
где Е(Х) — спектральная мера*) на вещественной пря-
прямой R. Справедливо и обратное — каждый оператор вида F5),
где Е(К) спектральная мера на вещественной прямой, есть
самосопряженный оператор, область определения DA кото-
которого равна
{| J | F6)
Унитарный оператор U обладает единственным спектраль-
спектральным представлением
*/= J е^с1Е((р),
-о
где ?(ф) — спектральная мера „на единичной окружности".
Слабо непрерывная однопараметрическая группа унитар-
унитарных операторов U(т) определяется условиями
U (ti + tj) = U (тО U (т2). — оо < т1( т2 < + оо,
U-1(r) = U\x). F7)
(Ф, /7 (т) Ч1") непрерывно в т для всех Ф, W ^ ф.
Такая группа обладает единственным спектральным пред-
представлением вида
от
U(x)= J eiKxdE(%), F8)
*) ? (Л) называется также разложением единицы, соответствую-
соответствующим оператору А. — Прим. ред.

36 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спиноры, исчисл.
где Е {%) — опять спектральная мера на /?. Обратно, опера-
операторы вида F8) образуют сильно непрерывную однопара-
метрическую группу унитарных операторов. Самосопряжен-
Самосопряженный оператор
00
Л= f % dE (к) = ±-\im х-1 [U(%)-U @)} F9)
J l т->о
— 00
будет инфинишезимальным оператором — генератором пре-
преобразований U (%); он обладает тем свойством, что
U(x) = eixA. G0)
Эти утверждения образуют содержание теоремы Стоуна. Нам
потребуется и почти непосредственное обобщение этой тео-
теоремы.
Теорема [Ri 1*. стр. 387, стр. 421 русского издания,
где изложена значительно более общая теорема]. Пусть U (х),
х ? RN, будет слабо непрерывным унитарным представле-
представлением группы векторов в RN no сложению
(Ф, U (х) УР) непрерывно по х для всех Ф и Ч из §.
Тогда U (х) однозначно определяет проекторнозначную
меру Е (ру в сопряженном пространстве (RN)', такую, что
J
и
U (х) = J el (P- *) dE (p). G 2)
Обратно, каждая проекторнозначная мера Е(р), для
которой Г dE(p) = f, определяет с помощью G2) сильно
(RY
непрерывное представление U(x) группы векторов в RN
по сложению. Самосопряженный „векторный оператор"
G3)

2. Структура пространства-времени 37
будет инфинитезимальным оператором для U (х), и
можно будет написать
U(x) = el(p'*h G4)
Заметим в заключение, что часто встречается следующее
обобщение понятия обобщенной функции. Пусть ?Р будет
пространством основных функций, а Ф —непрерывным ли-
линейным отображением ?Р в ф. Тогда мы назовем Ф векторно-
значной обобщенной функцией. Слабо непрерывное отображе-
отображение А пространства ?f в пространство операторов над -?> будет
называться операторнозначной обобщенной функцией. Мы еще
вернемся ниже в подходящем месте к обсуждению послед-
последнего понятия.
2. Структура пространства-времени
Пространство-время, в котором строится обобщенная тео-
теория квантованных полей, это плоское пространство Минков-
ского. Мы будем последовательно пренебрегать гравитацион-
гравитационными эффектами, которые могли бы проявиться в кривизне
пространства-времени.
Свойства пространства-времени для нас настолько важны,
что им посвящается отдельный параграф, несмотря на то,
что мы не сможем сказать ничего нового или необычного.
Чтобы скомпенсировать это последнее обстоятельство, мы
выберем несколько необычный способ изложения, который
подчеркнет различие между пространством-временем и обыч-
обычным евклидовым пространством.
Число измерений N пространства-времени не имеет зна-
значения для дальнейших рассуждений, лишь бы N^-Ъ. Случай
N = 2 потребует только небольших изменений, но, конечно,
только случай N = 4 имеет действительное физическое зна-
значение.
Плоское пространство-время —это вещественное аффин-
аффинное пространство RN размерности N (Л/ ^ 3), снабженное
метрической структурой с помощью неособенного симметрич-
симметричного билинейного скалярного произведения (|j, |г) = (?2> ?i)>
где |ft = xk — х0, k = 1, 2, — векторы разностей между х,, х2
и произвольной фиксированной точкой х0. Векторы разностей
| = х — х0 образуют векторное пространство SB, строение
которого не зависит от Xq.

38 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
Если (у — х, у — л:) = 0, то х и у могут быть соеди-
соединены световым сигналом.
Линейное подпространство пространства RN (или 23)
изотропно [At Г], если каждая пара его точек может быть
соединена световым сигналом, или, выражаясь математически,
если его метрическая структура полностью вырождена — ска-
скалярное произведение на этом подпространстве обращается
в нуль тождественно. Основное свойство RN выражается сле-
следующим постулатом.
Постулат. Одномерные изотропные подпростран-
подпространства существуют. Не существует изотропных подпро-
подпространств размерности большей единицы. Изотропные
подпространства пространства RN называются свето-
световыми лучами.
С помощью этого постулата мы следующим образом нор-
нормализуем метрику в 23. Выберем а ф О из изотропного под-
подпространства. Тогда пространство, ортогональное к а, 9(а =
= {1|(а« I)—0}> будет содержать (а), подпространство, на-
натянутое на а, но в нем не будет других изотропных-про-
изотропных-пространств. Поэтому метрика в \ будет полуопределенной,
причем знак метрики не будет зависеть от частного выбора а,
поскольку пересечение Ш.а П ЭДа' по меньшей мере (N — 2)-
мерно. Выберем теперь знак этой метрики в пространстве %а
отрицательным. Каждый вектор | с отрицательным квад-
квадратом (|, |)< 0 будет принадлежать некоторому %а, так как
иначе ортогональное дополнение |-*- не содержало бы ни
одного нулевого вектора, метрика в 23 была бы отрицательно-
определенной и пространство 23 было бы евклидовым.
Определение:
Вектор
1Ф0
называется
пространственно-
свето-
времени-
подобным
тогда и
тогда
(|,
только
, когда
|) = 0.
Все пространственно-подобные векторы образуют связный
конус, боковой конус. Световой конус N содержит все
свето-подобные векторы (нуль-векторы). Он распадается на
два несвязанных конуса. Выберем а?Л/ и обозначим через Na
все нуль-векторы р, для которых (а, р) > 0 и нуль-векторы
полупрямой {Ха}, X > 0. Тогда будет Na f] N_a = 0. Выбо-

2. Структура пространства-времени ' 39
ром направления времени мы будем различать эти два конуса
как верхний световой конус Nh и нижний световой конус N_.
Выпуклый конус V +, порождаемый векторами из Л/'+, будет
замкнутым верхним конусом. Аналогично V_, выпуклая обо-
оболочка конуса N_, будет замкнутым нижним конусом. Откры-
Открытые верхний V + и нижний V_ конусы определяются условием
V±^{i\i?V±, (l,l)>0). A)
Объединение V+ U V_ содержит все времени-подобные век-
векторы, a V+[\V_ — 0. Пространство 23—это объединение
V+, V'_, Л/+, N_, бокового конуса и точки {| = 0}. Конусы
V+ или V_ выпуклы и потому связны. Легко проверить, что
из %, 4?V+ следует Ц, т)J>(?, 1)(ц, ц).
Отметим, наконец, что в подходящим образом выбранной
ортонормированной системе координат
N-1
Iklk = lr0l B)
к-
C)
Пространство, сопряженное к RN, — это импульсное про-
пространство (RN)'. Все элементы (RN)' имеют вид
Слабая топология в RN, топология в которой xk—>x,
если для любого р, (р, х„)->(р, х), эквивалентна евклидо-
евклидовой топологии, определяемой расстоянием
I N-\ \l/2
II*- у 11= 2(**-/п • D)
\*=о /
Само по себе это расстояние не имеет, конечно, инвариант-
инвариантного смысла, но такой смысл будет у соответствующей топо-
топологии, как уже указывалось в 1А.

40 Гл. 1. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл,
3. Неоднородная группа Лоренца
Симметрии пространства-времени состоят') из веществен-
вещественных неособенных неоднородных линейных преобразований
х = Ах-\-а, для которых (Л|, Лт]) = D, т]) *). Мы будем
обозначать такие преобразования через (а. Л) и отметим сле-
следующий закон умножения (ах, А{){аь А2) — (а1 -{-А^, AjA2)
и выражение для обратного преобразования (а. Л) =
= (—А~ а, А~ ). Если выразить эти линейные преобразо-
преобразования в ортонормированной координатной системе, то Л ста-
станет матрицей, для которой Л = GATO, откуда следует,
что (Det ЛJ = 1, причем действительно появляются оба знак а
детерминанта. Отметим следующие гомоморфизмы неодно-
неоднородной группы Лоренца:
(I) (а, Л)-*Л.
Соответствующим нормальным делителем (ядром) будет
{(а, /)}, группа трансляций. Соответствующую факторгруппу
мы обозначим через L — {Л}, это однородная группа Лоренца.
(II) Л -> Det Л.
Соответствующим нормальным делителем будет группа
L+ = {A|DetA = -j- 1), собственная группа Лоренца.
(III) Л ? L+ либо оставляет V+ инвариантным, либо пере-
переставляет V+ и V_. Преобразования, совершающие переста-
перестановки, на самом деле встречаются среди L+. Поэтому L+
гомоморфна группе перестановок [V+, V_}. Соответствующий
нормальный делитель — это L+, собственная ортохронная
группа Лоренца.
Для четного числа измерений можно записать разложе-
разложение L по отношению к L+ как
L = Lj -f PTLJ + PL+ + TL+. •
где
рг|=—i, Р|°=|°, 7!°=-!°,
Plk = — lk, 7|* = !\ k = \, 2, 3 N—\.
В дополнении I мы покажем, что группа L% связна и проста
и обладает поэтому лишь тривиальными гомоморфизмами.
') См., например, [Jo 5; Wi5].
*) Это неоднородная группа Лоренца; она называется также
группой Пуанкаре. — Прим. ред.

4. Спинорное исчисление в физическом случае N=4 41
4. Спинорное исчисление в физическом случае N = 4
Пусть матрицы
'1 0\ /0 1\
Л) —Л /1 0\
о/1 °3 =
суть спиновые матрицы Паули, дополненные единичной ма-
матрицей. Тогда
дает взаимно однозначное соответствие между векторами из 93
и эрмитовыми матрицами второго порядка [Wae Г]. Кроме
того,
з
Det X = 1%° — 2 l%k = (?. D- B)
Линейное преобразование матриц X:
X = АХ А* с Det Л = 1 C)
соответствует вещественному лоренцову преобразованию
^=Л(Л)|. Поскольку А(А1)А(А2) = А(А1А2), то группа
преобразований Лоренца появляется теперь как представление
группы SL2(C) — группы унимодулярных комплексных матриц
второго порядка Л. Это представление не является точным,
так как Л(—А) = А(А). Как легко видеть, это един-
единственное вырождение: из Л(Л)=ЛE) следует В= ± Л.
Поэтому ядром представления является {Е, —Е]. Все пре-
преобразования Л (Л) ортохронны, т. е. не переставляют V+
и V_. Чтобы убедиться в этом, заметим, что вообще
2|0 = Spur X, и поэтому 2?° = Spur ЛXЛ*. Выбирая теперь
в частности, Х = 1, чему отвечает | = A, 0, 0, 0), получим,
что тогда 2fo = Spur AA* > 0 и, следовательно, %?V+. На-
Наконец, Л (Л) никогда не оказывается отражением, поскольку
а0 = Ао0А*, — ok — AoltA*. Л = 1,2,3, повлекло бы за собой

42 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
А* = А~1 и поэтому —ok = AokA~l. Но последнего не мо-
может быть, поскольку О;О2 = to3. Итак, мы показали, что
Л(Л)??+; легко показать и то, что каждая матрица A?Z,|
получается таким образом. Поэтому группа
SL2(C)/(?, — Е) изоморфна L%.
Поскольку SL2(C) односвязна, то она является универ-
универсальной накрывающей группой группы L+. Группа SL2 (С)
действует, конечно, на двумерное комплексное векторное про-
странство V с элементами и = I I; и' = Аи. Кроме про-
пространства V, нам придется ввести в рассмотрение и второе
"
векторное пространство V с элементами и = I . I , на кото-
\ 2 /
рое Л действует по правилу и'' = Аи, где А = А*Г—ма-
А*Г—матрица, комплексно сопряженная к А.
Тот факт, что все элементы SL2(C) обладают детерминан-
детерминантом, равным 1, отражается в симплициальной структуре V
и V: образования (и, v) = uxv2 — u2v1 = e^iigV» и (к, v) =
= KjW2—и $v ; =еаРк^« д будут инвариантными антисим-
антисимметричными скалярными произведениями. Их существование
позволяет нам определить контравариантные компоненты век-
вектора и равенством иа = е°$и„ и соответственно для и.
Общий спинор ранга (k, l) будет одновременно тензором
k-то ранга над V и тензором /-го ранга над V с компо-
компонентами иа а „• •„ .
Спинор ранга (k, /), симметричный в непунктирных и в
пунктирных индексах по отдельности, неприводим. Простран-
Пространство таких спиноров ((&+ 1)(/ + 1))-мерно и несет непри-
неприводимое представление группы SL2(C). Все неприводимые ко-
конечномерные представления получаются таким образом [Wae 1*].
Несимметричный спинор можно разложить на симметричные
спиноры свертками с универсальными спинорами е и е с по-
последующей симметризацией по остающимся пунктирным и не-
непунктирным индексам по отдельности. Аналогично каждое ко-

4. Спинорное исчисление в физическом случае N=4
43
нечномерное непрерывное представление группы L+ полностью
разлагается на неприводимые представления.
Представление ранга (k, l) группы SL2(C) будет (одно-
(однозначным) представлением группы Z.+ тогда и только тогда,
когда —E?SL2(C) представляется единицей. Так случится,
когда k-\-l четно. Все остальные представления являются
двузначными над /,+ (представлениями на лучах). Представле-
Представление A,1) было нашим исходным пунктом и эквивалентно
первоначальному представлению L\ в 934- Между спинорами
ранга A,1) и обычными векторами существует взаимно одно-
однозначное соответствие, которое задается формулой и^„ =
= 2!*°*. ар. совпадающей с C). Совершенно так же, если
h
k-\-l четно, то спинор однозначно соответствует некоторому
тензору над 234-
Дальнейшая вслед за четностью k -\-1 классификация
спиноров (представлений) дается парой знаков ((—1)й, (—1)г)=
= (Pj, р2)[Ра4] (характерами Паули):
(Pi, Рг)
Соответствие
Представление группы
A,1)
(-1, -1)
(+1. -1)
(-1. +1)
Тензор четного ранга
Тензор нечетного ранга
Ундоры
| Однозначно
| Двузначно
Прозведению двух спиноров (кронекерову произведению
представлений), имеющих знаковые пары (pv р2) и (р^, р0,
соответствует пара (Pjp(. Р2Рг)- Отметим, наконец, еще неко-
некоторые тождества, связанные с и^ = 2 1*°й $ и
й
«11
«21
«12
«22
•да21'
W22
3
r-1
3
r.l
3
3
r-1
D)
E)

44 Гл. I. Магем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
откуда мы получаем, например, что
Неприводимые представления и спиноры
к
0
1
0
1
0
2
2
1
2
I
0
0
1
1
2
0
1
2
2
Размер-
Размерность
1
см см
4
3
3
6
6
9
Название
Скаляр
| Спинор
Вектор
Антисимметричный самодуальный
тензор 2-го ранга
Антисимметричный антисамодуаль-
иый тензор 2-го ранга
1 «Ундор»
Симметричный тензор 2-го ранга
со следом 0
Зиач-
иость
1
2
1
1
1
2
1
5. Простейшие линейные ковариантные
дифференциальные уравнения1)
В этом параграфе мы впервые столкнемся с понятием поля
и начнем с простейшего случая — скалярного поля.
Комплексное (вещественное) скалярное поле — это ком-
комплексно (вещественно) значная функция ty(x) в пространстве-
времени, которая преобразуется при преобразованиях коор-
координат х = Ах + а по закону ty(x) = ф (х). Простейшее не-
нетривиальное линейное дифференциальное уравнение, которому
мы могли бы подчинить такое поле, это, конечно, щ|з + т2ф=О
с [] = gkldkdv где дк = д/дх", а от — постоянная размерности
обратной длины. Более подробное обсуждение этого урав-
уравнения и его квантования мы еще проведем ниже, пока же мы
хотели бы использовать его в качестве модели для обобще-
обобщений. Прежде чем перейти к следующему по простоте случаю
') В этом параграфе мы используем соглашение о суммирова-
суммировании.

5. Линейные ковариантные дифференциальные уравнения 45
спинорного поля, введем спинорное представление оператора
дифференцирования дк:
B)
и отметим, что
^22
3.
C)
r-1
Спинорное поле с компонентами tya(x) преобразуется при
преобразовании координат х = Ах-\~а, где А = А(А), по
правилу ф (jc) = Лф (jc).
Простейшим ковариантным уравнением для него будет,
очевидно,
= а или
D)
Поскольку д^д°^ = 6°Q то следствием D) будет ?Фа=:^1
т. е. ф удовлетворяет волновому уравнению и распростра-
распространяется со скоростью света. После квантования поле ф будет
описывать частицы спина 112, также распространяющиеся
со скоростью света и, следовательно, имеющие нулевую
массу. Уравнение D) используется для описания нейтрино.
Оно было впервые предложено Вейлем [Ра 1*, стр. 149].
Если мы хотим, чтобы ф удовлетворяло бы не волновому
уравнению, а уравнению Клейна — Гордона, нам надо будет
вспомнить, что ф преобразуется как ф (я) = Л ф (я) и, сле-
следовательно, представляет спинор ЗСа = фа- Это замечание по-
позволяет нам обобщить уравнение D), написав
да^а = тх^ E)
и
д^х. =/ифа E')
или, что то же самое,

46 Гл. I. Матем. средства; пространство-время, спинорн. исчисл.
откуда следует, что
К- F)
Только что полученные новые уравнения — это уравнения
Дирака, дополненные условием вещественности Майорана
[Maj 1] х„ = lIV Если забыть это последнее условие и
сделать %^ независимым полем, мы получим обыкновенное
уравнение Дирака. Поэтому дираково поле (i|), %) отвечает
сумме двух неприводимых представлений A, 0) и @, 1).
Нам осталось еще преобразовать уравнения поля к более
привычной форме. В то же время мы хотим сохранить форму
условия Майорана столь простой, сколь это возможно. Чтобы
сделать это, перепишем E) и E') в матричной форме
G)
(8)
с условием вещественности % = 'ф. Заметим также, что отт=от-
Введем теперь векторы ty1 = (ty-\-%)j2 и ф2 = (ф — ^)/2/
в качестве новых переменных поля и образуем четырехком-
понентный спинор ф = ( |М.
Мы придем тогда к уравнению
(9)
где матрицы
0
—1
—1
1
0
0
0 —1
0
1
—1
0
—1
0
0
J
«Л
Y —
1
0
0
— 1
0
1
—1
0
—1
0
0
1
1
0
0
1
A0)

5. Линейные ковариантные дифференциальные уравнения 47
удовлетворяют известным соотношениям
V Y = —2?*'. A1)
В этом специальном представлениии условие Майорана вы-
выражает собой просто вещественность ф. Если мы примем ф
комплексным, то получим обычное уравнение Дирака. Отме-
Отметим еще особые свойства матрицы С=1у°=С* = С~1 = — Ст:
С-УС = — у"т. A2)
В то время как существование такой матрицы С следует из
аргументов общего характера [Ра 1,2], к которым мы еще
вернемся, то обстоятельство, что С = Гу°. зависит от нашего
частного представления ¦уматРиЦ-
Дальнейшее обсуждение уравнения Дирака мы отложим
до следующей главы. Что же касается уравнений для более
сложных полей, то мы не будем затрагивать этого предмета
и отсылаем интересующегося читателя к литературе [Fi 1;
Urn Г].

Глава II
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ
1. Вступительные замечания
Глава начинается с лагранжевой теории классических
полей [We 1*]. Эта теория и ее дальнейшее развитие в тео-
теорию Гамильтона играет существенную роль в обычной
процедуре квантования [We Г; Hei 1,2]. Значения этой
процедуры при установлении частных моделей "или теорий,
как, например, квантовой электродинамики дираковских
электронов, мы не касаемся, сколь бы велико оно ни было.
Наша цель состоит в том, чтобы, во-первых, приготовить
основу для рассмотрения свободных полей и, во-вторых,
проиллюстрировать фундаментальную связь между свойствами
симметрии и законами сохранения, связь, которая сохраняется"
и в квантованных теориях.
Рассмотрим простейшие свободные поля, классические и
квантованные: свободное вещественное (и комплексное клас-
классическое) скалярное поле и дираково поле. Первое из них
послужит нам моделью, из которой мы в дальнейшем извлечем,
абстрагируясь, аксиомы для общего вещественного скалярного
поля.
Уже до квантования в свойствах этих двух полей — ска-
скалярного и диракова — можно увидеть весьма существенные
различия:
a) В случае комплексного (или вещественного) скалярного
поля плотность энергии, а потому и полная энергия, поло-
положительно определены (исключая тривиальный случай обра-
обращения поля в нуль). Напротив, „плотность заряда" s0, вхо-
входящая в C.9), равно как и ее пространственный интеграл,
„полный заряд" C.11), индефинитны. Такое поведение типично
для свободных полей, относящихся к однозначным предста-
представлениям группы Лоренца (тензорных полей) [Fi I; Pa 6J.
b) Для неквантованного поля Дирака плотность заряда,
а потому и полный заряд положительно определены. По-

2. Вариационный принцип и законы сохранения 49
этому плотность заряда была сперва ошибочно интерпрети-
интерпретирована как плотность вероятности. Плотность же энергии и
полная энергия индефинитны. Такое поведение типично для
свободных полей, относящихся к двузначным представлениям
группы Лоренца (спинорных полей) [Fi I; Pa 6].
Эти факты тесно связаны с возможными способами кван-
квантования. Свободное скалярое поле можно квантовать так, что
соответствующие полевые кванты (частицы) будут подчиняться
статистике Бозе — Эйнштейна, а со свободным дираковым
полем этого сделать нельзя — его полевые кванты (частицы)
обязательно подчиняются статистике Ферми — Дирака. Важная
связь между геометрическим характером поля и возможным
способом его квантования будет изучена далее системати-
систематически в рамках общей теории квантованных полей.
Наконец, для того чтобы перейти к гораздо более ма-
математически сложной основной части книги, приведем доста-
достаточно подробное описание обобщенных скалярных полей.
2. Вариационный принцнп и законы сохранения
Пусть фдОО — поле, фигурирующее в наших уравнениях
поля. Индекс о выделяет различные компоненты одного поля
и в то же время различные поля. Будем считать, что каждое
отдельное поле преобразуется под действием неоднородных
собственных ортохронных преобразований Лоренца (а. А)
по конечномерному неприводимому представлению L% (или
накрывающей группы SL2(C)). Все эти представления нам
уже известны из § 3 гл. I. Поэтому полное поле tya(x) будет
при преобразовании координат х = Ах-\-а преобразовы-
преобразовываться по закону 1)
%(x) = Saa(A)^'(x), A)
где 5 (Л) — конечномерное, возможно, двузначное представле-
представление группы L%. Запишем A) в краткой форме
B)
Если Л бесконечно мало отличается от" единицы,
/-|, C)
') С суммированием по повторяющимся индексам.
4 Зак. 707

50 Гл. II. Классическая теория поля
то 5 (Л) будет тоже бесконечно мало отличаться от единицы
и его отклонение от единицы будет линейным по г.
S = f-\-r • т и игр = ф (х) — ф(х) = г ¦ тф. D)
Дифференцируя ф (х) — ф (х — гх) -)- г ¦ тф (х) по х*,
найдем *)
6г1>, ft = ^,~xk & ~ t x* W
После этих предварительных замечаний можно перейти
к уравнениям поля. Поскольку мы хотим следовать возможно
ближе к каноническому формализму классической механики'),
то начнем с того, что во всех существенных случаях клас-
классические уравнения движения эквивалентны уравнениям Лаг-
ранжа — Эйлера, следующим из вариационного принципа,
принципа Гамильтона:
р,
6 J L(qx qf, <7, qf)dt = O, F)
Ро
при том условии, что bqk = 0 на концах Р$ и Р1ш Тогда
уравнением движения будет уравнение
где L — лагранжиан механической системы.
В полной аналогии с этим мы потребуем (и это также
охватывает все интересные случаи), чтобы уравнения поля
можно было вывести из вариационного принципа
=0 (8)
при условии 6ф=0 на дС4, границе области С4. Величина
/.(ф, ф_ к) будет называться лагранжианом (плотностью функ-
функции Лагранжа) рассматриваемой теории поля. Уравнениями
*) Формула E) полнее записывается в виде
дх** ) дхк дхк дх" дх1
Прим. перев.
') См., например, [La 1*].

2. Вариационный принцип и законы сохранения 51
поля будут
и вариационный принцип имеет смысл только в той степени,
в какой он эквивалентен этим дифференциальным урав-
уравнениям.
Основное ограничение, налагаемое на уравнения поля, —
это требование их ковариантности. Оно будет обеспечено,
коль скоро лагранжиан L(ty(x), tyik(x)) будет преобразо-
преобразовываться при преобразовании координат (а, Л), как скаляр-
скалярное поле
Хорошо известная связь между свойствами симметрии и
законами сохранения [Noe 1] справедлива в этом случае
так же, как и в классической механике. Группа трансля-
трансляций {(а, 1)) ведет к сохранению энергии и импульса; ее на-
наличие эквивалентно тому, что L зависит от х не явно только
через поля. Поэтому можно написать
Равенство A1) при предположении, что г|з заменяется реше-
решением уравнений поля, приводит нас к условию
л / • ib д L, ~* - 0 (\ 2^
или
fc,* = O. (lo)
где
Простые рассуждения показывают, что при достаточно быст-
быстром убывании Tft на бесконечности величины
'U3x A5)
будут компонентами не зависящего от времени четырехмер-
четырехмерного вектора. Исходя из связи с группой трансляций, этот
закон сохранения следует интерпретировать как закон со-
сохранения энергии и импульса. Тензор Т{ является тогда
каноническим тензором энергии-импульса.
Аналогичным образом однородная группа Лоренца связана
с сохранением момента: L не должен меняться, если мы
4*

52 Гл. II. Классическая теория поля
подвергнем поля вариациям D) и E). Мы получаем поэтому
что после использования уравнений поля (и соответствую-
соответствующего предположения, что именно их решения подставляются
в A6)) ведет к
~ д* (L' •.»¦¦*гх)+L> Л *гх
и. наконец, к
где (ллг)* есть k-я компонента произведения г • х. Запомним,
что (лдг)*й = О. Обозначая {rx)k = rklxv где rkl-\-rlk = 0
и п = i"kl^ki> a T*j — по-прежнему линейная операция над
полями, получаем
что из-за произвольности гы ведет к законам сохранения
где
Ж?т = Г?дгт — О, — 2ДФ >Лт,т1|». B1)
Полезно выписать последний член более подробно:
и подчеркнуть, что в силу допущения xlm~\-xml = 0.
При. соответствующих условиях относительно асимптоти-
асимптотического поведения Mlm из B0) следует, что
= J 4A B3)
являются шестью компонентами антисимметричного тензора,
не зависящего от времени, который, судя по методу его
вывода, имеет смысл тензора момента.

2. Вариационный принцип и законы сохранения 53
Получим теперь из закона сохранения момента одно до-
дополнительное следствие. Заметим прежде всего, что, вообще
говоря, канонический тензор энергии-импульса Tkl несимме-
несимметричен. Это вызывает эстетическую неудовлетворенность и
было бы помехой при использовании этого тензора в каче-
качестве источника симметричного тензорного поля второго ранга
или включения его в теорию тяготения. Отрадно поэтому [Pa 5J,
что сохранение Р1т позволяет нам построить симметричный
тензор энергии-импульса 8АГ, не изменяя при этом канони-
канонического вектора энергии-импульса Рк.
Разобьем М1т на две части
B4)
где
°Mfm = Т}хт ~ TkmXl. B5)
Очевидно, что
^O B6)
и
lMfm,k = Tlm-Tml. B7)
Введем величину
fkim = {CMklm-Wlmk + iMmlk), B8)
удовлетворяющую условию
/«m + /*mr = 0, B9)
и определим
^=Tk,-flm- C0)
Этот тензор симметричен, поскольку
e«-ert = 7'*!-7'a-/?im+/™ m. C1)
а /^ — fni= —1^ikt и в СИЛУ B7) правая часть обращается
в нуль. Антисимметрия f\m в двух последних индексах га-
гарантирует, что
e** = 7t* = 0. C2)
Наконец,
J 9°, й\ = Я* - J (S ft) d*x = Pk C3)
v

54 Гл. П. Классическая теория поля
при обычном условии достаточно быстрого убывания на бес-
бесконечности.
Эти подробные выводы должны показать, что классиче-
классическая теория поля представляет собой прямое обобщение
классической механики. То же справедливо и для используе-
используемых методов. В частности, мы нашли в теории поля ту же
тесную связь между свойствами симметрии теории и законами
сохранения, которая хорошо известна в классической ме-
механике.
Параллель между теорией поля и классической механикой
можно продолжить, если ввести канонические импульсы
/.ф =я и канонические уравнения движения, получаемые
из гамильтониана. Наконец, к такой гамильтоновой форму-
формулировке теории поля можно применить хорошо известные
правила квантования [Hei 1,2; We 1*]. Правда, эта процедура
наталкивается на некоторые ограничения (она всегда ведет
к статистике Бозе — Эйнштейна). Имеются и более серьезные
формальные неудобства; именно то, что релятивистская инва-
инвариантность вовсе не очевидна и должна быть доказана с по-
помощью длинного рассуждения [Hei 1,2].
В случае свободных полей, которыми мы сейчрс займемся,
квантование вводится другим, ковариантным способом.
3. Классическое свободное скалярное поле
Проиллюстрируем часть формальных выкладок преды-
предыдущего параграфа на простом, по существу на самом про-
простом, примере — случае свободного комплексного скалярного
поля ф(х). В качестве лагранжиана выберем [Ра 7; We 1*]:
L = g%k$il-m*W, A)
где фиф изменяются независимо. Соответствующие уравне-
уравнения движения знакомы из § 4 гл. I:
0 и (?+/»2)ф = 0. B)
Тензор энергии-импульса симметричен и задается выра-
выражением
и тензор плотности момента
k kTkmXi. ' D)

3. Классическое свободное скалярное поле 55
Мы специально подчеркнем то обстоятельство, что плотность
энергии
Гм=|Ф,о12-Ь2|Ф.г|2 + «21Ф12>О E)
неотрицательна и обращается в нуль лишь для тривиального
поля i|) = 0. Это приводит к важному следствию для вектора
энергии-импульса
Pk= J TQkd3x= J 7V*. F)
который должен или обращаться в нуль или, если т|з Ф 0,
обладать положительной нулевой составляющей Ро > 0. По-
Поскольку ясно, что все возможные векторы Р образуют инва-
инвариантный конус, то таковым может быть только верхний
конус, дополненный вектором /> —0. Простое рассуждение
показывает, что
{Р)=У+и {0} = V, G)
и поэтому все возможные векторы Р лежат в V+, за исклю-
исключением вектора Р = 0, относящегося к ф = 0. Состояние ф == 0
разумно называть состоянием вакуума.
Наш лагранжиан допускает дополнительное преобразова-
преобразование симметрии—„калибровочную группу"
ф->егаф, ф->е-'"ф. (8)
Соответствующий закон сохранения — это skk = 0, где
** = — l&.k$ — W.k) = tyX$- (9)
Оператор д определяется здесь как
Таким образом, величина
J s°d3x= J sQd3x = i Jjpd^i|3d3* = (i|3, ф) A1)

56 Гл. П. Классическая теория поля
не зависит, если она существует, от времени t. Обычные рас-
рассуждения показывают, что то же верно и для
(ф, q>) = / J фдЛ>«Р*. A2)
„Скалярное произведение" (ф, ф) обладает всеми свойствами
симметричного скалярного произведения, за исключением
положительности. В самом деле, если (ф, ф) > 0, то (ф, ф) <
<0 для ф (х) = ф (л;) и (ф, ф) = 0 для вещественного ф.
Введем преобразование Фурье решения ф (х): ф (р) =
= Bя)~4 el<Pi*1 ф(х) d*x, чтобы отойти от этих чисто фор-
формальных рассуждений. Из дифференциального уравнения оче-
очевидно, что носитель ф(/?) лежит на {(р, /?) = т2}. Этот
гиперболоид распадается в зависимости от знака р0 на две
поверхности. Во всех дальнейших рассуждениях эти две
поверхности будут иметь существенно разный смысл; поэтому
мы напишем
{—p)b{—p% A3)
полагая
ф (х) = Bя)~3/2 J е-< (р. *N(р2 — т2) 0 (/») а (/») d*p -+
+ Bя)-3/2 J е1 {р' х) б (/72 — т2) 0 (/>) * (р) d*p =
^ф+ (лг) + ф_ (х). A4)
Такое разбиение ф на „положительно частотную часть" ф+ и
„отрицательно частотную часть" ф_ (странные и общеприня-
общепринятые названия) инвариантно относительно L . Скалярное произ-
произведение (ф, ф) равняется
(ф, ф) = ||ф+|р — ||ф_||2, A5)
где
||ф+ |р= J d*pQ(pN(p* ~m2)\a (p) p A6)
и
|| ф_ |р = J ФрЬ (р) б (р* - т2) | b (p) р. A7)

3. Классическое свободное скалярное поле 57
Эти скалярные произведения определяют два гильбертовых
пространства (пространства L2 по отношению к мере
Q(pN(p2— от2)), и нам придется брать пары элементов ф+,
if>_ в этих пространствах в качестве подходящего определе-
определения решений уравнений B).
Для вектора энергии-импульса найдем теперь
РЛ = J tfVW- т2)в(Р)(\ а (р) Р +1 ЬО) Р)Pk. A8)
Отметим, наконец, что скалярное произведение (ф, ф) появи-
появилось как интеграл от локальной плотности в ^-пространстве,
чего нельзя сказать ни о ||ф+1р, ни о Цф_|р. Решения ф+
и ф_ образуют неприводимое представление неоднородной
группы Лоренца. Напомним [Wig 1*], что такое представле-
представление однозначно характеризуется своей массой, в нашем слу-
случае равной т, и если масса /га вещественна и отлична от нуля,
своим спином, который в данном случае равен нулю.
Введем ортонормированный базис {/„} в пространстве
положительно частотных решений. Тогда {/„} образует такой
базис в пространстве отрицательно частотных решений. Со-
Соотношения ортонормальности имеют вид
(/«. /э) = -(/„. /0)=V A9)
а соотношение полноты
2/а(*)/а(*') = *Л+(*-*/). B0)
а
где Д+ (|) — обобщенная функция
Д+ (!) = — / Bп)~3 J ФрЬ (р2 — т2) Q(p)e-1 (л 5). B1)
Функция Af (I) удовлетворяет уравнению (?+ т2)А+ (|) = 0,
обладает только положительными частотами и инвариантна
относительно L%. Эти условия характеризуют Д+ (|) с точ-
точностью до постоянного множителя.
Произвольное решение можно разложить по этим базисам
Ф = 2 (/„. Ф) /в - 2 Gа. Ф) /~а. B2)

58 Гл. II. Классическая теория поля
причем первый член здесь будет соответствовать г|)+, а вто-
второй ф_. Легко найти явное выражение для этих „полуполей":
ф+= — J А+(х — х')%$(х')сРх', B3)
*о-''
ф_ = — j ф (х')~доЛ+ (х' — 1с) d\x', B4)
x'Q~t
и решение задачи Коши для нашего уравнения
ф(х) = — J tn(x — x')dQ^{x')d*x', B5)
x'0=t'
где
A(i) = A+a)-^+(-i) = 2Re^+(l) B6)
(явное выражение см., например, в [Bog 1*]).
Из двух последних уравнений непосредственно следуют
следующие свойства функции Л (?):
>и2)Д(|) = 0( B7а)
Д(Л&) = Д(&). Л 6 4. B7Ь)
Л(-&) = -Л(&). B7с)
Д@, |) = 0, B7d)
Из свойств (Ь) и (с) мы получаем важное следствие, что
Д (!) = 0 для (?, ^) < 0, поскольку любые два вектора | и т],
для которых (I, I) — (т], т)) < 0, эквивалентны относи-
относительно Z.+.
4. Квантование свободного вещественного
скалярного поля
Ограничимся в дальнейшем случаем вещественного ска-
скалярного поля А(х). Соответствующим лагранжианом [We 1*]
будет
Ll2"AA lA* (D

4. Квантование свободного вещественного скалярного поля 59
где А (х), конечно, вещественнозначно. В этом случае также
(\J + m2)A(x) = 0 B)
и, кроме того,
Tllt = AitAilt — gtkL. C)
Гоо^ 1/2 [(Л оJ+2 (Л rJ + ^2]>0 D)
и
Mfm = T!xm — T*mxi. E)
Из этих уравнений следует, что Р?V+, кроме случая А — 0;
здесь Р— вектор (Ро, Pv Р2, Р3): Рк= | T°kd3x. Разло-
Разложение Фурье для А (х) задается формулой
= Bя)~3/2 | d*pb(p2 — m2) [0 (р) а (р) е~1^ *) +
+ 0(-р)в*(-р)в-'(".*)]. (бI)
Как и ранее, ограничимся гильбертовым пространством, ха-
характеризуемым требованием
|| Л+ |Р = J | в (р) |2 9 (р) 6 (р2 - m2) dV < оо. G)
Наконец, отметим, что
Р*=\ d*pb(p2~ w?) 0 (р) pfttf* (p) а (р). (8)
В нашем базисе {/„}, А{х) обладает разложением
^ = 2(Va+</a). (9)
где
\ = ^а' А)' К - ~ (/.. А) = (^- /„)• (Ю)
Квантование преобразует Ла и Л^ в операторы, действую-
действующие в гильбертовом пространстве ф, при этом А* будет
оператором, сопряженным к Аа.
') Для удобства квантования мы используем здесь временно
обозначение а* для величины, комплексно сопряженной а. В даль*
нейшем звездочка будет означать сопряжение.

60 Гл. П. Классическая теория поля
Мы постулируем соотношения коммутации
Эти соотношения коммутации не зависят от выбора орто-
нормального базиса {/„}, т. е. инвариантны относительно
унитарных преобразований. Неоднородное собственное орто-
хронное преобразование Лоренца индуцирует такое унитарное
преобразование над базисом {/„}, что наши соотношения,
коммутации релятивистски инвариантны. Это можно прове-
проверить и явным образом, вычислив коммутатор поля А с самим
собой:
A — y). A3)
Для Фурье-компонент а(р) получим соотношения коммутации
• [а (р). а (р'I = [а* (р). а* (р'I = 0. A6)"
Соотношения
i\Pk, A] = A>k A6)
являются следствиями соотношений коммутации. Они так же
важны, как релятивистская инвариантность, и тесно с ней
связаны. Из этих соотношений следует, что вектор энергии-
импульса оказывается оператором бесконечно малых тран-
трансляций.
Аналогично
ЦРШ> A\ = Atlxm — Atmxv A7)
где
т. е. компоненты момента оказываются инфинитезимальными
операторами однородных преобразований Лоренца. Из только
что установленных формул следует, что соотношения ком-
коммутирования между Pk и Plm будут обычными перестано-
перестановочными соотношениями между инфинитезимальными опера-
операторами неоднородной группы Лоренца.

4. Квантование свободного вещественного скалярного поля 61
Таким образом, с помощью процедуры квантования мы
получили по крайней мере формально представление неодно-
неоднородной группы Лоренца, которое, как вскоре выяснится,
весьма сильно приводимо [Wi 5]. Однако нужно еще подвести
более солидный фундамент под наши, пока чисто формаль-
формальные рассуждения, и для этого мы уточним представление
соотношений коммутации A1), A2). Эти соотношения ком-
коммутации обладают многими неэквивалентными представле-
представлениями [Fr I*; Gk 2], одно из которых будет особенно инте-
интересно. Чтобы построить это представление, постулируем
существование состояния Q ? ф, которое будет в дальнейшем
отождествлено с состоянием вакуума, обладающего тем свой-
свойством, что /4aQ=0 для всех а и (Q, Q)= 1, Если теперь
нам задана неотрицательная функция с целочисленными зна-
значениями »(а), такая, что 2ге(а)<°°> т0> как легко видеть,
a
из соотношений коммутации следует, что
> A9)
нормировано. Если идентифицировать <#0> и Q, то
(ф(">, ф(т>) = 6(й, /*) = nWm(a). B0)
a
Мы выберем базис {Ф(л>} в гильбертовом пространстве ?>.
Векторы этого базиса являются собственными векторами
операторов Na = A* A ,
B1)
и оператора N = 2 Na:
a
дгфС)==2»(а)Ф(я). B2)
а
Матричные элементы операторов А„ и А* равны
B3)
где

62 Гл. П. Классическая теория поля
Здесь Na—„число частиц" в состоянии a, a N — „полное
число частиц". Эти „частицы", очевидно, удовлетворяют ста-
статистике Бозе: состояние однозначно характеризуется числом
частиц в каждом состоянии, а это число может быть произ-
произвольным целым. Состояния с заданным числом частиц п =
= 2 п (°0 образуют подпространство ф„ пространства $.
Особенно важны тривиальное пространство -§>о = (^) и про-
пространство фь допускающее естественное отображение на
пространство положительно частотных решений уравнения
2
Это пространство не зависит от специального выбора
базиса {/„} и так же, как и <§>0, релятивистски инвариантно.
Само пространство § — пространство Фока [Fo 1; Со 1;
Ка 1, 2; Wi 3], построенное над ^:
--. B4)
где ¦§>! ® ... ® $i — симметричное тензорное произведение п
множителей ф2. Операторы Na и N первоначально были
определены только на базисе A9), однако линейное расши-
расширение и замыкание превращает их в самосопряженные опера-
операторы ([Со 1] и § 6).
Оператор поля А(х), как следует из A3), становится
операторнозначной обобщенной функцией. Каждой веществен-
вещественной основной функции ф из пространства ?Р [Sw 2*] основных
функций соответствует оператор
А (ср) = J А (х) ф (х) Фх, B5)
определенный на многообразии D состояний, обладающих
лишь конечным числом не равных нулю компонент в разло-
разложении § в прямую сумму B4). В § 6 мы увидим, что этот
оператор существенно самосопряжен на D[Wi 3].
Пространство $>0 релятивистски инвариантно и несет три-
тривиальное представление неоднородной группы Лоренца. Про-
Пространство ф, несет неприводимое унитарное непрерывное
представление этой группы. Это представление индуцирует
(приводимые) представления в каждом из пространств
Поэтому и все полное пространство <§> тоже несет унитар-

5. Свободное поле Дирака 63
ное непрерывное представление U (а, Л), которое в силу (9),
A9) и B3) удовлетворяет соотношению
U (a, A)A{x)U~\a, Л) = А (Ах +¦ а). B6)
Инфинитезимальными операторами преобразований U (а, А)
являются самосопряженные операторы Pk и Р1т, удовлетво-
удовлетворяющие A6), A7). Наконец, спектр Р, исключая одно изо-
изолированное собственное значение {р=0}, отвечающее ?2=Ф@),
лежит в верхнем конусе V+.
5. Свободное поле Дирака
Мы уже встречались с уравнением Дирака
(?Ч-4-»)Ф = о. A)
где Y* — матрицы четвертого порядка, удовлетворяющие
условию y*y! + 'y'y* = — 2g'*/, и знаем, что оно релятивистски
инвариантно. Матрицу Y0 можно выбрать антиэрмитовой,
а матрицы yr(r=l, 2, 3) — эрмитовыми, и придерживаться
этого выбора. Нетрудно видеть, что алгебра у-матриц допу-
допускает точно одно неприводимое представление [Ра Г, стр. 220].
Если определить ф+ как i|)+=A|)*y°, то следствием A) будет
<WV — ш|>+ = 0. B)
Уравнением, транспонированным к предыдущему, будет урав^
нение
C)
м со
у. у у матр
= (С*), такая, что С~1укС = — укТ. Тогда поле
ъТ
матрицы — у удовлетворяют тем же алгебраическим соот-
соотношениям, что и у*. и поэтому должна существовать матрица
1 Т
г|^=Сф+г D)
удовлетворяет уравнению
В частном представлении § 5 гл. I фс было равно ф, и ма-
матрица С равнялась С = — iy° = C*, Ст = — С. Антисимме-
Антисимметрия С не зависит от представления, и (выбором эрмитова

64 Гл. 11. Классическая теория поля
представления для у'A <^л <!4) всегда можно достичь того,
что С*=С[Ра 3, 4]. Особенно важен закон сохранения,
связанный с градиентной инвариантностью уравнения Дирака;
из A) и B) легко вывести, что 5*^ = 0, где
s" = n|>+Y*i|>- F)
Это позволяет определить инвариантное, не зависящее от
времени скалярное произведение двух решений ф и % урав-
уравнения Дирака
01>. Х) = ' JVy°X<*3*. G)
.го-.'
которое после подстановки значения ф+ принимает простой
вид
J4 (8)
Скалярное произведение для диракова поля положительно
определено, что сильно отличает его от комплексного ска-
скалярного поля. Этот важный факт воспринимался первона-
первоначально как указание на то, что s° следует интерпретировать
как плотность вероятности [Ра 1*]. Однако такая интерпре-
интерпретация может быть сохранена лишь совершенно неприемлемой
ценой — отсутствием нижней границы для энергии и потому
нестабильностью и стремительным распадом всей материи.
Неквантованное дираково поле не имеет, следовательно,
полезной физической интерпретации.
Заметим, что
(V. Х') = ОР. Х)* = (Х. Ч>). (9)
Мы хотим теперь выразить скалярное произведение через
Фурье-образы полей ip и фе. Для этого заметим прежде
всего, что i|) удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона
(? -f- /я2) ф = 0. Поэтому носителем Фурье-образа будет
также гиперболоид, одна пола которого будет соответство-
соответствовать „положительным", а другая — „отрицательным" частотам.
Если ф относится к положительным частотам, то ipe будет
относиться к отрицательным. Поэтому достаточно обсудить
решение, имеющее вид плоской волны с положительными
частотами
f-m2 = <i>(jp). A0)

5. Свободное поле Дирака 65
Уравнение Дирака требует, чтобы (— lykpk -\- т)и (р) = О
или, после умножения на ty°: (—Ро~\~ ~2iarPr~\"m^\ и(р)=0,
где ar = Y°Yr и р = /у°- Матрицы а' и р эрмитовы и удо-
удовлетворяют соотношениям
par = о, рр=1. A1)
Поэтому для и(р) получается эрмитова задача на собствен-
собственные значения, и мы уже знаем интересующее нас собствен-
собственное значение ро — ы(р). Пусть решения их и и2 образуют
ортонормированный базис
< (Р) «о,0») = 2<о (р)й00,. A2)
Наконец, для решения, С-сопряженного К1|) = ио(р)е-'С'Ч
напишем
). A3)
Теперь можно выписать разложения Фурье для ф:
2
ф = Bл)/21 d*p6 (р2 — m2) 6 (/>) 2 [«-' to ^a" (/>) «a (p) +
0-1
Для скалярного произведения получим
2
(ф, ф) = J d*pfi (р2 - О 9 (р) J] [а0' (р) аа (р) +
0-1
+ *в(р)*°'(р)]. A5)
Условие вещественности Майорана равносильно теперь ото-
отождествлению а" (р) с Ь" (р).
Мы снова отождествляем решения уравнения Дирака
с элементами двух гильбертовых пространств Ьа = 0 и
аа = 0, определяемых соответствующим скалярным произве-
произведением A5). Каждое из этих гильбертовых пространств инва-
5 Зак. 707

66 Гл. П. Классическая теория поля
риантно относительно неоднородных собственных ортохрон-
ных преобразований Лоренца и, следовательно, дает нам уни-
унитарное представление этой группы. Эти представления
соответствуют массе m и спину lj2, что видно из преобразо-
преобразований, индуцируемых пространственными вращениями на ком-
компонентах а1 (т.. О, 0, 0) и а2(т, О, 0, 0). Эти преобразо-
преобразования описываются группой SU2.
Прежде чем перейти к квантованию поля Дирака, наметим
кратко, как теория такого свободного поля вписывается
в общую схему классической теории. В качестве лагранжиана
можно выбрать, например,
/. = _ф+(/дл + |И)ф. A6)
где ф+ и ф должны варьироваться независимо (возможен и
другой, более элегантный, выбор [КЗ 1]).
Этот лагранжиан приводит к несимметричному канониче-
каноническому тензору энергии-импульса
7? = -4>+y4 *-**?. 07)
где член ofi можно опустить, если ф является решением
уравнения Дирака. В этом случае вектор энергии-импульса
имеет вид
jV - A8)
или с помощью преобразования Фурье
2
Pk = J d*pb (p2 - яг2) 0 (р) Pk 2 [а0* (р) аа (р) -
- Ьв (р)Ь°* (/,)]. A9)
Поэтому энергия
2
Ро = J d*pb (р2 — /и2) 0 (р) со (р) 2 [с«* (/») а" (р) —
-ft°(/»)ft°*(/»)] B0)
неопределенна, обстоятельство, о котором мы уже преду-
предупреждали и которое сильно отличает этот случай от случая
скалярного поля.

5. Свободное поле Дирака 67
Единственный путь спасения катастрофического положе-
положения с индефинитностью энергии состоит в квантовании по
статистике Ферми — Дирака. Правила коммутирования имеют
тогда вид
[а°* (р), а"' (р')]+ = а"* (р) а« (/?') + а"' (/?') а°* (р) =
= 2fl)(jBN(J —р')*оа'. B1)
\Ьа\р), Ь°'(р')]+ = 2ы(р)Ь(р-р'')Ьаа., B2)
все остальные антикоммутаторы со скобками [ ]+ обращаются
в нуль.
Тогда Pk переписывается в новой форме
2
« - «2) е (р) Pk J] [а°« (р) с (р)+
+ io*(p)*o(p)] + PS. B3)
где Р^ неопределенная и, возможно, бесконечная константа,
которая кажется сравнительно меньшей помехой, может быть
исключена и не будет приниматься во внимание в дальней-
дальнейших рассуждениях. После этого исправления неприятного
положения, в которое мы попали, энергия уже положительно
определена
2
Ро = J d*pb (р2 — ffi2) 9 (р) со (р) 2 [а°* (р) а* (р) +
+ *°*(р)*а(р)]. B4)
но первоначальное скалярное произведение
2
(ф, ф) = J d*pb (р2 — т?) 9 (р) J] [С»* (р) а" (р) -
0 = 1
- *°* (Р) *° (Р)] Ч- 2 J <*4Р6 (р2 - «2) 9 (р) B5)
становится индефинитным, после тех же действий с игнори-
игнорированием последнего члена (которых частично можно избе-
избежать), В действительности это скалярное произведение ока-
оказывается после умножения на элементарный электрический
заряд оператором заряда, а соответствующая плотность

68 Гл. 11, Классическая теория поля
г (ф*ф — фс*фс)/2 является источником для электростатического
поля. Полный вектор
sk = -f" №+y4 - Ф'+Y Vl B6)
есть источник электромагнитного поля (в той мере, в кото-
которой это поле вызывается спинорным полем ф). Приведенная
выше „зарядово-симметричная" форма тока sk получилась
в результате указанного выше вычитания и может служить
моделью того, как можно выполнить это вычитание естествен-
естественным и элегантным способом в более общих случаях (напри-
(например, в тензоре Tt или в лагранжиане). Подчеркнем, однако,
что это возможно только после квантования; ибо если бы
мы подставили в приведенное выше выражение с-числовое
поле, то получили бы вместо тока sk тождественный нуль.
Для перестановочных соотношений поля а|) с самим собой
и с i|)+ после некоторых выкладок получается
[Ф.М. + +
- 0 B7)
V ]+ = - г5ор (* - У) = [% (*). %+ (У)]+. B8)
где
B9)
Важными тождествами, использованными для вывода этих
равенств, являются тождества
2
aS «a, a (P) «J p (p) = — [— iykpk — тЦ C0)
и
2
22 «а. а (Р) < В (/») = + ['YVft - m]ap • C1)
Прежде чем перейти к связи между статистикой и „кванто-
„квантованием с антикоммутаторами", хочетея отметить два важных
факта:
1. Простая выкладка показывает, что
I+]>,V C2)

5. Свободное поле Дирака 69
поэтому Pk становится оператором бесконечно малых транс-
трансляций. То же справедливо и для оператора момента Рн,
который можно получить с помощью общих выкладок, хотя
здесь это и не сделано. Таким образом Pk и Рм вместе
образуют (в сильной степени приводимое) представление бес-
бесконечно малых преобразований Лоренца.
2. Поле ф(.к) антикоммутирует с v|)+ (у) на пространст-
пространственно подобных расстояниях. Это ведет к тому важному
следствию, что локальные билинейные в ф и ф+ выраже-
выражения на пространственно-подобных интервалах коммутируют.
Это верно, например, для плотности тока
для которой находим, что
[s\x), sl(y)] = 0, C4)
для (а; — уJ < 0. Это обстоятельство, очевидно, очень важнр,
если мы действительно объединяем электромагнитное поле Fkl
с sk уравнением типа
Ft, k = st. C5)
Поле Fkt(x) коммутирует с полем Fmn(y) на пространст-
пространственно-подобных интервалах. Это результат обычного кано-
канонического квантования, которое ведет к статистике Бозе —
Эйнштейна для фотонов (и к правильной формуле для излу-
излучения черного тела). Но эта коммутативность в сильной сте-
степени подсказывается также локальной (физической) измери-
измеримостью, не самого электромагнитного поля, но его средних
значений /г(ф)= j FklyktdAx по основным функциям <р*г
с произвольно малым носителем1). Два таких измерения по-
полей F(ф,) и F(q>2) возмущают друг друга, если операторы
F(%) и F (ф2) не коммутируют. Но в случае когда каждая
точка носителя <pj отделена от каждой точки носителя <р2
пространственно-подобным интервалом, у нас нет никаких
оснований ожидать такого возмущения; в этом случае ника-
никакое действие, имеющее место в носителе <pi, не может рас-
распространиться на точки носителя фг, и наоборот.
«) См., например, [BR 1, 2; Cor I; Hel 3].

70 Гл. II. Классическая теория поля
Этот принцип локальности требует, чтобы коммутатор
[sk (х), sl (у)] обращался в нуль при (х— уJ < 0, и это тре-
требование удовлетворяется для наших соотношений комму-
коммутации.
Дираково поле ty(x) не измеримо, даже если мы, как
в случае "поля Майорана, не налагаем на него никакой ка-
калибровочной группы (утверждающей, что лишь величины,
инвариантные относительно ф-->е'°ф, измеримы), так как
ф (х) принадлежит к двузначному представлению L\. и ме-
меняет знак при вращении на 360°. Поэтому мы не можем
требовать коммутативности ф (л:) и ф+ (у) для пространст-
пространственно-подобных интервалов.
Перейдем к представлениям соотношений коммутации B1),
B2). Введем для этого ортонормированный базис положи-
положительно-частотных решений
(Y4 + т)иа = 0, (аа, Мр) = 6ар C6)
и соответствующих зарядово-сопряженных решений va = ис =
= iCy^u*J. Тогда для поля ф имеет место разложение
C7)
о
где
Ах = («о. Ф). Яо = (*о. *)• C8)
Зарядово-сопряженное поле дается разложением
4>в= 2 Ua*e+ ?„«„)• C9)
о
Соотношения коммутации B1), B2) эквивалентны соотно-
соотношениям
[Аа. Л1]+ = [Ва. Вр]+ = 6„р, D0)
[Aa,Ap\+ = [Aa,Bl]+ = 0. D1)
Как и в соответствующем случае коммутаторов, у этих ан~
тикоммутаторов тоже много унитарно-неэквивалентных пред-
о
ставлений (см., например, [Ga 2]).
Среди них есть одно, принципиально важное для нас,
которое, как и раньше, выделяется существованием „состоя-
„состояния вакуума" Q со свойством AaQ = BaQ — 0. Чтобы по-
построить базис гильбертова пространства, выберем две функ-

5. Свободное поле Дирака 71
ции п+ (а) и п~ (а), принимающие значения 0 или 1 и удов-
удовлетворяющие неравенствам 2 п+ (а) < оо и 2 п~ (fl) <С оо.
а а
Снова легко проверяется, что векторы
в)" <а)П(ва)" <а>Й D2)
а а
(имеется в виду фиксированный, хотя и произвольный, по-
порядок множителей в формально бесконечных произведениях)
будут в силу соотношений антикоммутации удовлетворять
(ф(»+.»-)г ф(т+-'л~))^б(«+, m+N(rt-, m-). D3)
Ясно, что D3) остается справедливым и после определения
Ф@'0)е=Й. D4)
На все эти векторы натянуто гильбертово пространство ф,
причем на векторы Ф '" ', относящиеся к фиксированной
сумме 2 (п+ (°0 + п~ (а))= п< натянуто подпространство ф„.
а
Пространство <?H одномерно и инвариантно относительно
преобразований Лоренца. Пространство ?>, естественным об-
образом отображается на гильбертово пространство положи-
положительно-частотных решений уравнения Дирака. Под действием
неоднородной группы Лоренца оно распадается на два не-
неприводимые пространства, несущие одно и то же представ-
представление массы т и спина '/г- Наконец, пространство ф„ —
это антисимметричное прямое произведение п множителей ф]
оно несет однозначно определенное унитарное непрерывное
представление универсальной накрывающей группы неодно-
неоднородной группы Лоренца. То же самое справедливо и для
всего гильбертова пространства ф, задаваемого равенством
Ф = 0Фл- • D6)
Этот способ построения гильбертова пространства был впер-
впервые предложен Фоком [Fo 1; Ка 1, 2; Со 1].

72 Гл. П. Классическая теория поля
Операторы Л/„ = АаАа и Л/„ = ВаВа определяются урав-
уравнениями
дг±ф(«+. »") = п± (а) ф(«+, «") D7)
Они ограничены и самосопряжены. Операторы N* = 2 Njf,
а
определенные только на плотном множестве конечных ли-
линейных комбинаций базисных векторов D2), допускают един-
единственное самосопряженное расширение.
Операторы Л/|—это операторы числа частиц в состоя-
состояниях иа и va соответственно, a N± — это операторы пол-
полного числа частиц во всех состояниях [иа] или {va}. Ясно,
что мы имеем дело со статистикой Ферми — Дирака, по-
поскольку числа заполнения п± (а) ограничены собственными
значениями 0 и 1.
Как и в § 4, поля ф (х) и ф+ (х) приобретают смысл
лишь после усреднения с подходящими основными функциями
Под действием унитарного представления U (а. Л') уни-
универсальной накрывающей группы {(а, Л')} неоднородной
группы Лоренца поля преобразуются ковариантно:
U (а, А') Ф(*) */"'(<*. А/) = 5(А/"')ф(Лл-1-с), D9)
где Л (Л') — соответствующее Л' преобразование Лоренца,
а 5(Л') — представление группы SL2(C), к которой принад-
принадлежит дираков спинор ф, согласно §§ 4, 5 гл. I.
в. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля
Свободные поля служат нам моделями, исходя из кото-
тых мы установим абстрактные аксиомы Вайтмана. По этой
причине обсудим сейчас математически более удовлетвори-
удовлетворительный подход к свободному вещественному скалярному
полю. Со всеми остальными свободными полями можно по-
поступить аналогичным образом. На самом деле наша модель
оказывается несколько более общей, и обобщенные свобод-
свободные поля, которыми мы займемся, имеют значение для по-
последних исследований аксиом Вайтмана,

6. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля 73
Все основные идеи нашего построения принадлежат по
существу В. А. Фоку [Fo 1].
Построение будет происходить следующим образом. Сна-
Сначала построим гильбертово пространство $>, затем последуют
„размазанные" в импульсном пространстве операторы поля
А (ф), и наконец после нескольких математических шагов
появятся операторы поля А (х) в jc-пространстве. Унитарное
непрерывное представление неоднородной группы Лоренца
появится в процессе построения гильбертова пространства ф.
А. Гильбертово пространство. Начнем с положитель-
положительной, инвариантной относительно L+, меры dp из $' прост-
пространства обобщенных функций медленного роста над импульс-
импульсным пространством. Мера dp принадлежит ^', если для не-
некоторого &>0 dp/(l +|| p ||2)*/2 ограничена. Мы требуем
еще, чтобы suppdpcV+.
Пусть ф, будет гильбертовым пространством измеримых
по мере dp квадратично интегрируемых функций tyx
II 4>i IP =Jl*iG>)P *Р (/>)<«>• A)
Как и обычно, функции t^, отличающиеся только на мно-
множестве меры нуль по мере dp, считаются равными. Поэтому
две функции, различающиеся лишь вне V+, будут равными,
как элементы ?)г
Мы хотим построить фоково пространство над ф,. Для
этого введем ф„ — симметричные тензорные произведения я
пространств фр Пространство фп содержит все* квадратично
интегрируемые по мере (ф)х" функции $n(pv р2, ¦•-, ра),
симметричные по я векторным переменным рх, р2, ..., рп,
11Ф.1Р= J I 4>.0>1. Р» ¦ ¦ •• Pn)\2dp(P1)dp(p2) .. . dp(pn). B)
Наконец введем >?>0, вакуумное пространство, как одно-
одномерное гильбертово пространство. Порождающее ?>0 состоя-
состояние мы обозначаем буквой Q.
Фоково пространство § определяется как прямая сумма
0?„ C)
л-0

74 Гл. II. Классическая теория поля
Его элементами будут поэтому последовательности Ч =
— (Фо> ^1- •••). ФлбФя- а норма определяется как
л-0
Ясно, что пространство ф—сепарабельное гильбертово про-
пространство. Оно несет унитарное непрерывное представление
неоднородной группы Лоренца, задаваемое формулой
(U(a,
E)
Инвариантность меры dp относительно L% гарантирует, что
||f/(a. Л)Чг|р = ||Чг|р. F)
Оператор трансляции Т (a) = U (а, I) обладает спектральным
разложением
Т(а)= I" el(P'a)dE{p), G)
где dE(p) определяется формулой
f(p)dE(p)W]jit(Pl ... Ра) =
4>n(Pv Рч Рп)' (8)
(J
справедливой для любой ограниченной измеримой функции /.
Спектром инфинитезимальных операторов
P=jpdE(p) (9)
трансляций Т(а) (которым надо будет приписать смысл со-
составляющих вектора энергии-импульса) будет носитель dE(p),
задаваемый выражением
со
supp dE(p)= {0} U У «• suppdp, A0)
где й ¦ supp dp ={/> |/> = />!+ />2+ ¦¦.-\-ра; />* 6 supp dp).
Он содержит дискретное собственное значение р=0, соот-
соответствующее вакууму $0' a B остальном содержится в V+.
В. Оператор поля в импульсном пространстве. Вве-
Введем теперь „размазанный" оператор поля в импульсном про-

в. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля 75
странстве Г A(p)<p(p)d4p. В качестве первого шага уточ-
уточним пространство „размазывающих функций" ф. Самым ши-
широким допустимым пространством будет опять простран-
пространство Z.2> а именно пространство L2(p1), мера d^ в котором
определяется равенством
p). A1)
Норма в Z,2 (pj) задается обычным выражением
II ФII2 = J IФ (Р) I2 dPl (р) = J [ф (р) |2 +1 $ (- р) |2] dp {p).
A2)
Теперь мы можем определить оператор А (ф) равенством
Рх •¦• /»Я)Ф(Р). A3)
где галочка над /?й означает, что переменная pk отсутствует.
Поскольку Л(ф) оказывается во всех интересных слу-
случаях неограниченным оператором, мы должны установить
его область определения. Выражение A3) определяет вектор
в гильбертовом пространстве §, только если конечное число
компонент Ч? не равно нулю. Эта область, которую назо-
назовем D2, общая для всех А (ф). Если обозначить PN проек-
проектор, который обращает в ноль все компоненты вектора
с номером большим N, то D2 можно записать как
U
JV-0
Обозначим сужение оператора А (ф) на область D2 через Л2(ф).

76 Гл. //. Классическая теория поля
Для матричных элементов оператора А (ф) чисто формально
мы получим
(X, Л(ф)?) =
оо
= 2 {Уя
п-0
lTfT J х» (/»i... />») Ф (- />) X
Если Ч*1 ??>2> то формально бесконечная сумма в A5) на самом
деле конечна и мы вправе изменить в ней порядок членов.
В результате получим
(X,
л-0
/ф(—Pl)Xn-l(P2
откуда
(X, Л2(ф)Чг) = (Л(ф*)Х. ?), A7)
где
Ф*(/»)==Ф(-^). A8)
если только Л(ф*)Х существует, т. е. если выражения,
построенные согласно A3) с ф, замененной на ф*, действи-
действительно являются компонентами вектора из ф или, что то же
самое, приводят к конечной норме D). Обозначим совокуп-
совокупность векторов, для которых это справедливо, ?>~»; D~» —
это область определения оператора А (ф*) и D область
определения оператора Л(ф). Соотношение A7) означает, что
A(<fo = [A2&)\*- A9)
Дальнейшие рассуждения основаны на следующей лемме.

6. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля 77
Лемма. Пусть X ? D~,, 47 ?°?-
RN = (PNX. Д ($)?)-(Я ($*)Х, Р„ЧО. B0)
Гог<?а lim Z?^ = 0 при jV->oo.
Доказательство. Последовательность RN имеет пре-
предел при N -+ оо, поскольку
Ит/глг = (Х, Л(ф)^)-(Л(ф*)Х, Y). B1)
Определение A3) приводит для /?^ к выражению
= J
- J
правую часть которого можно мажорировать с помощью
неравенства Шварца, используя определение A2) нормы ||ф||,
выражением
B3)
так что, применяя неравенство Шварца еще раз, получим
оо
2 (N4- 1)/2| Ллг К 21|Ф|| • ||Х|| ¦ || W\\. B4)
Из B1) и B4), очевидно, следует, что RN->0 при Л/->оо
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема.
B5)
Доказательство. В лемме установлено (см. B1)), что
(X, Яй)Ч0 = (Л(ф*)Х, Ч) B6)
для Y^D^ и X?D~». Отсюда следует, что А(ц>*) Е [Л(ф)]*.
Поскольку Л(ф) является расширением ^(ф), мы получаем
в силу A9), что и А (ф*) 3 [А (ф)]* и потому должно вы-
выполниться B5).

78 Га. II. Классическая теория поля
Следующее утверждение является частным случаем B5).
Следствие. Если ф* = <р, то оператор Л(ф) само-
самосопряжен.
С. Сужения областей. Оператор поля в лг-простран-
стве. Определение. Область D с D2 существенна, если
сужение оператора Л(ф) на область D, называемое Л0(ф),
обладает свойством
2 B7)
Поэтому если Л(ф) сужен на существенную область
определения, то его всегда можно полностью восстановить,
переходя к сопряженному оператору. В частности, если
ф* = ф, то До (ф) существенно самосопряжен.
Теорема. Следующие области определения суще-
существенны.
Область D, содержащая все векторы из D2, для
которых компоненты являются быстро убывающими
основными функциями Шварца. В обозначениях A8)
из разд. 1А, гл. I,
D = D2()g>. B8)
Область Dx, содержащая все векторы из D2, для кото-
которых п-я компонента лежит в SP®" для всех п.
Сужение оператора Л(ф) на область определения D обо-
обозначается Л~0(ф), а на область определения D1 — А (ф).
Проверка выполнения B7) и соответствующего равенства
для Ах выполняется так же, как и вывод A7).
Рассмотрим теперь зависимость Л2 (ф) от ф. Согласно
определению A3), Л2(ф) непрерывна по ф (на D2) в топо-
топологии, задаваемой A2). Поэтому мы можем ограничить ф
плотным подмножеством в L2(p{), в качестве которого выби-
выбирается множество $ — пространство основных функций над
импульсным пространством /?4. Поскольку топология в ?f
сильнее топологии индуцированной ?2(Pi)> оператор Л2(ф)
становится операторнозначной обобщенной функцией мед-
медленного роста. То же справедливо и для А1 (<р) и Ао (ф).

6. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля 79
С этим ограничением области D, Dx и D2 инвариантны
относительно Л(ф), так что, например,
A(y)DcD B9)
и то же самое для Dx и D2.
Но это означает, что мы можем свободно перемно-
перемножать ЛА(ф), k = 0, 1, 2 поэтому мы можем рассматри-
рассматривать алгебру 91, порождаемую операторами поля. Если при-
применить 91 к Q (состояние вакуума), то мы придем к D^.
Dx = 9Ш. C0)
Поэтому Q является циклическим вектором алгебры 91.
Операторы в ^-представлении получаются по обычным
правилам преобразования Фурье обобщенных функций медлен-
медленного роста (разд. 1С, гл. I):
0(д;)ф(д:)^д; = Л0(ф) C1)
и аналогично для А1 и А2.
Условие ф* = ф означает, что ф вещественна. Поэтому
для вещественных ф операторы Ak (ф) существенно само-
сопряженны. Для произвольной ф мы получаем (анало-
(аналогично B7))
Ло(ф) = Л**(ф) = Л(ф). C2)
Простая выкладка приводит к соотношениям коммутации
[А0(х), A0(y)] = je(p)e-nP,x-y)dPl. C3)
Этот коммутатор обращается в нуль для пространственно-
подробной разности х — у. Поэтому теория локальна.
Наконец, определенный формулой E) оператор О (а, Л),
действуя на А0(х), дает
U(a, A)A0(x)U-1(a, Л) = Л0(Л* + а). C4)
Обычное скалярное поле получается отсюда с точностью
до йормировки, если носителем меры dp(p) является только
положительная пола гиперболоида р2ф = т2.

Глава HI
АКСИОМЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВАЙТМАНА
1. Вступительные замечания
В этой главе мы переходим к предмету настоящей книги,
к «общей теории квантованных полей». Существует несколько
попыток аксиоматического подхода к теории квантованных
полей [Wi 1,2,3; LSZ 1; GLZ 1; Sm 1]. Их объединяет
одна цель — желание уяснить связи между основными допу-
допущениями, лежащими в основе всех частных моделей кванто-
квантованных полей. Кроме того, все они избегают тех специфи-
специфических особенностей классической лагранжевой теории, ко-
которые, по-видимому, ведут к математической неопределен-
неопределенности.
Среди различных подходов следует упомянуть чрезвычайно
плодотворные идеи Хаага [На 1, 2, 3], к которым мы еще
вернемся в последних главах, и теорию Лемана, Зиманцика
и Циммермана (ЛЗЦ-теорию) [LSZ 1, 2; GLZ 1J. Последняя,
хотя и менее последовательная математически, чем теория
Вайтмана, привела к нескольким экспериментально проверяе-
проверяемым и оправдавшимся предсказаниям (дисперсионные соот-
соотношения): [Bog I*; Sy 1; Le 1, 2] *), относительно эксперимента
см. [No 1]. В § 2 этой главы описываются аксиомы для
нейтрального скалярного поля. В § 3 вводится последова-
последовательность обобщенных функций (обобщенных функций Вайт-
Вайтмана), которые полностью характеризуют теорию (§ 4).
В § 5 сделано несколько дополнительных замечаний и вве-
*) Первый математический строгий вывод дисперсионных соот-
соотношений был дан Н. Н. Боголюбовым (Bog Г [1]. [2], [4]) на
основе развитой им аксиоматики, которая существенно отличается
от аксиоматик Вайтмана и ЛЗЦ. Аксиоматика Н. Н. Боголюбова
имеет дело в большей степени с матрицей рассеяния, чем с гайзен-
берговыми полями. В последующие годы эта аксиоматика получила
дальнейшее развитие в работах советских ученых. — Прим. ред.

2. Аксиомы Вайтмана для нейтрального скалярного поля 81
дены хааговы усеченные вакуумные средние значения. На-
Наконец, в § 6 обсуждаются свойства оператора трансляций
и его матричных элементов.
2. Аксиомы Вайтмана для нейтрального скалярного поля
Рассмотрим в качестве модели теорию свободного скаляр-
скалярного поля и попытаемся выделить общие свойства, сформу-
сформулированные в виде аксиом, остающихся верными и в более
общих ситуациях, которые могут реально встретиться при
описании явлений природы.
Ограничение (в процессе вывода и формулировки аксиом)
нейтральным скалярным полем несущественно в том смысле,
что обобщение на (конечное или счетное) число полей с дру-
другими трансформационными свойствами (произвольных спинор-
ных полей) потребовало бы менее существенных и очевидных
модификаций. В дальнейшем в применениях нам потребуются
эти более широкие рамки, тогда мы и сделаем несколько
замечаний.
A. Гильбертово пространство. Наше скалярное поле
в некотором нуждающемся в уточнении смысле есть оператор,
Действующий в линейном векторном пространстве, в про-
пространстве состояний. Нулевая аксиома постулирует, что
это пространство будет гильбертовым пространством').
Нулевая аксиома. Пространство состояний является
гильбертовым пространством •§> над комплексными чи-
числами С. Обозначим элементы ф буквами Ф, W, . . .,
а положительное эрмитово скалярное произведение (Ф, W).
Оно антилинейно по Ф и линейно по W.
B. Скалярное поле. Введем теперь нашу основную вели-
величину— оператор скалярного поля. Из обсуждения свободного
скалярного поля А0(х) мы знаем, что только средние значения
') В действительности не существует взаимно однозначного
соответствия между физическими состояниями и элементами гиль-
гильбертова пространства, а существует лишь взаимно однозначное
соответствие между физическими состояниями и определенными
„лучами" в пространстве Гильберта [Wey 1*]. Лучом называется
множество {^ = e'ai|H, а — вещественно). Несмотря на это, мы будем
называть гильбертово пространство пространством состояний.
6 Зак. 707

82 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
по основным функциям Л0(ф)= Г A0(x)q>(x)dAx являются
приемлемыми (хотя и неограниченными) операторами.
В этом случае допускалось довольно широкое разнообразие
основных функций ф(х) (§ 6 гл. II). В общем случае, однако,
мы будем более строги и ограничим наши основные функции
пространством & быстро убывающих функций класса С^
в пространстве-времени (Л. Шварц) [Sw 2*, стр. 89]. На-
Напомним читателю, что в пространстве ?Р существует есте-
естественное определение сходимости и что линейные непрерывные
функционалы над <?" являются обобщенными функциями мед-
медленного роста (§ 1 гл. I).
Первая аксиома. Пространство ?? отображается
в пространстве линейных операторов (Л(ф)} над ?); А (ф)
определен на плотном множестве Defy, не зависящем
от ф. Для Ф, Ч' ? D скалярное произведение (Ф, А (ф) 40
есть обобщенная функция и.
(Ф, Л(ф)Ч0 = О4(ф)Ф, 40. A)
Наконец, мы потребуем, чтобы
A((q)DclD. B)
Замечания. 1. Первую аксиому можно постулировать
в более слабой форме, если заменить пространство ?Р на ЗЕ>
(пространство функций класса С^ с компактным носителем
в пространстве-времени). Мы не обсуждаем вопрос о том,
будет ли такая более слабая форма первой аксиомы вместе
с остальными аксиомами иметь следствием приведенную выше
более сильную форму.
2. Если ф = ф, то А (ф) — симметричный оператор в D.
Вопрос о том, обладает ли А (ф) самосопряженным расшире-
расширением, здесь не обсуждается.
3. Иногда мы будем формально записывать
|)Л C)
или
(Ф, А (ф) 40 = J ф (х) (Ф, А (х) У) d*x,
т. е. расширим определение интеграла на обобщенные функции.

2. Аксиомы Вайтмана для нейтрального скалярного поля 83
4. Постулат Л(ф)ОсО разрешает свободное перемноже-
перемножение операторов А (ф), A (vp) и т. д.
C. Релятивистская инвариантность. Пока мы ввели
только однокомпонентный оператор А (ф) с еще не уточнен-
уточненным поведением при неоднородных преобразованиях Лоренца.
Мы знаем, однако, как выражаются трансформационные свой-
свойства свободного скалярного поля через существование уни-
унитарного представления неоднородной группы Лоренца. Чтобы
сформулировать соответствующий постулат в общем случае,
введем обозначениеф(а Д)(л;)=ф(Л~ (х—я)). Заменаф->ф д)
определяет отображение <?f на ?f с хорошими свойствами.
Вторая аксиома. Унитарное (непрерывное) пред-
представление U (а. Л) неоднородной собственной ортохрон-
ной группы Лоренца существует и удовлетворяет ра-
равенству
U(a,A)A((p)U-1(a,A) = A (Ф(й( Д)). D)
Область определения D релятивистски инвариантна
U(a,A)D = D. E)
Замечания 1. Согласно замечанию в сноске на стр. 81,
собственная ортохронная группа Лоренца индуцирует пред-
представление на лучах в ?>. Подробности относительно сведения
таких представлений к обычным см. в [Ва 1,2; Wi 4; Wig I, 1*J.
2. Представление группы трансляций {(а, /)} коротко
обозначается Т (а); Т (а) — представление (локально компакт-
компактной) абелевой группы, и потому оно допускает спектральное
представление.
^ F)
где Е — спектральная мера с релятивистски инвариантным
носителем [RN 1*] (§ IE, гл. I).
3. В случае спинорного поля мы имеем, конечно, пред-
представление U накрывающей группы неоднородной собственной
ортохронной группы Лоренца.
D. Стабильность вакуума. Перейдем к одному из самых
характерных постулатов вайтмановой теории поля, в котором
идет речь о спектре вектора энергии-импульса Р, определяе-

84 . Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
мого равенством Рц — | /?ц dE (p), и который одновременно
является носителем спектральной меры Е.
Третья аксиома, (а) Точка [р = 0) есть изолиро-
изолированное собственное значение Р. Соответствующее соб-
собственное подпространство одномерно а соответствует
вакууму Q, Q?D.
(b) Остальная часть спектра Р лежат в V+.
Замечания. 1. Собственное подпространство, относя-
относящееся к {р = 0}, инвариантно относительно /,+. Поскольку
группа L+ обладает лишь тривиальным одномерным пред-
представлением, Q удовлетворяет U (О, Л) О, = Q, и поэтому
U (a, A)Q = Q.
2. Поскольку спектр оператора Р замкнут и релятивистски
инвариантен, то должно существовать jj<, > О, такое что на
самом деле спектр содержится в объединении {p = 0}[}V>+,
где V^°= [/? ?.V+; (p, p) > ^J. Это частично является след-
следствием того постулата, что [р = 0J должно быть изолиро.-
ванным собственным значением.
3. В природе встречаются важные поля, именно электро-
электромагнитное поле и поле нейтрино, для которых третья аксиома
не удовлетворяется в приведенной выше строгой форме.
В этих случаях световой конус N+ тоже принадлежит спектру,
поскольку соответствующие частицы — световые кванты или
нейтрино — обладают массой нуль. Мы не будем касаться
этих случаев. Попытки изучить эти поля „в лоб" могут при-
привести к значительным трудностям. Есть, однако, более или
менее оправданная надежда, что такие поля можно было бы
рассматривать как предельные случаи фиктивной теории,
в которой фотон или нейтрино обладают положительной
массой, и далее, выполняя предельный переход, при котором
масса устремляется к нулю.
4. Если принять третью аксиому в приведенной выше
форме, тогда любое состояние Ф, ортогональное к Q, обла-
обладает средним значением энергии (Ф, Я0Ф)/(Ф, Ф) ^> ц0, а ва-
вакуум определяется условием (Q, /HQ):=0.
5. Для отдельных конкретных задач могут быть весьма
существенными более конкретные сведения относительно
спектра Р. Например, если нужно описать один сорт ней-

2. Аксиомы Вайтмана для нейтрального скалярного поля 85
тральных частиц спина 0, которые не образуют связанных
состояний, то спектр Р (включая и кратности собственных
значений) будет совпадать с соответствующим спектром сво-
свободного скалярного поля. Такая дополнительная информация
становится существенной, например, при определении асим-
асимптотических состояний или при выводе дисперсионных со-
соотношений.
Е. Локальность. Определение. Два множества ^
и 82 пространственно-подобны друг другу, если для любой
пары точек (х,, х2), -*i6$]. х2?Ь2 справедливо неравен-
неравенство (х, — х2J < 0.
Четвертая аксиома. Если suppcpj и supp<p2 ком-
компактны и пространственно-подобны друг другу, то
[А (Ф]) А (ф2) - А (ф2) А (ф1)] Фгз [А (ф,), А (фо)] Ф = 0 G)
для всех
Замечания. 1. Из § ЗВ следует, что G) выполняется
и для основных функций без предположения о компактности
носителей.
2. Иногда мы будем писать просто
[А (х,), А (х2)] = 0 для (х, — х2J < 0 (8)
вместо приведенной выше более аккуратной формулировки.
В то время как смысл формулы G) с точки зрения теории
обобщенных функций совершенно ясен, значение ее для теории
операторов проясняется только тогда, когда мы сузим опе-
операторы А(ф) на область определения D.
3. Эвристически под равенством G) подразумевается то
требование, что для измеримых полей А (х) измерения в обла-
областях, разделенных пространственно-подобными интервалами, не
возмущают друг друга, поскольку никакое действие не мо-
может распространяться со скоростью, большей скорости света.
Ясно, что это рассуждение влечет за собой локальность,
однако остается непонятным, эквивалентна ли локальность
этому рассуждению.
4. Положение становится более сложным, если в нашей
теории есть много полей и если А (х) — это, скажем, веще-
вещественная часть комплексного поля ф(х), допускающего кали-
калибровочную группу. Тогда придется вспомнить доводы, которые

86 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
мы приводили в связи со свободным дираковым полем. На-
Наблюдаемые локальные поля (т. е. билинейные по ф* и ф)
по-прежнему будут коммутировать на пространственно-по-
пространственно-подобных расстояниях, если в приведенной выше аксиоме мы
выберем антикоммутативность вместо коммутативности. Однако
такой выбор все-таки приводит к противоречию с остальными
аксиомами — как именно, мы покажем ниже.
5. Ниже мы обсудим также и притом во всех подро-
подробностях положение, которое возникает в теории нескольких
различных полей с произвольными трансформационными свой-
свойствами; тогда и будет приведено необходимое обобщение
четвертой аксиомы.
F. Полнота. Пятая аксиома выражает то требование, что
в нашей теории не должно быть иных полей, кроме А (х).
Пятая аксиома. Пусть ^(А) будет кольцом поли-
полиномов (над С) от операторов А (<р), <р ? ?Р. Тогда ^ (Л) Q
должно быть плотно в §. Иными словами, Q должно
быть циклическим по отношению к операторам
Общее замечание к аксиомам. Понятие частицы
в аксиомы нигде не входит. Оно появится лишь в гл. VI
вместе с дополнительным постулатом, обеспечивающим полную
корпускулярную интерпретацию нашей теории поля.
3. Обобщенные функции Вайтмана
Одним из основных средств в нашей дальнейшей работе
будет определенная последовательность обобщенных функ-
функций— так называемых обобщенных функций Вайтмана (Wi 1].
Как мы увидим в этом и следующем параграфах, содержание
аксиом можно будет легко и полностью перевести на язык
свойств этих обобщенных функций, и поэтому анализ аксиом
можно будет заменить изучением обобщенных функций Вайт-
Вайтмана, что во многих отношениях лучше.
А. Определение вайтмановых обобщенных функций.
Существование вакуумного состояния Q, Q ? D и тот посту-
постулат, что Д(ф)ОсО, позволяет нам ввести для любых
Ф* 6 & (R4) величины
(Q, А (ф,) A (q>,) ... А (Фл) Q)s Шп (ср,, ф2 Фя). A)

3. Обобщенные функции Вайтмана 87
Функционал ЗВя(ф!, <р2, ..., фя) является обобщенной функ-
функцией медленного роста по каждой переменной <pft в отдель-
О
ности. Теорема Шварца о ядре [Sw I; Ga 3] ведет к тому,
что Шп((р1г ф2, •••> фя) однозначно определяет обобщенную
функцию медленного роста ЗВЯ (ф) для основных функций
(р(х{, х2, . . ., хп) над RAn таким образом, что для специаль-
специального выбора
=¦ (ф1 ® Ф2 ® • ¦ ¦ ® Фя) 0*1. *2 •*„)
ЗВя(ф) СВОДИТСЯ К ЗВя(ф!, ф2 фя).
Свойство симметрии (Ф, А (ф) Ч1") = (А (<р) Ф, Ч*") ведет
к симметрии функции ЗВл(ф), выражаемой равенством
ЗВя(ф) = Жя(ф*), B)
где
ф*(^1- х2 ' хя) = ф(хя х2, xj. C)
В. Одно применение. Определим для х(хх, ..., хп) =
= ф1(х1) ... фя(хп) векторнозначный функционал
Фп(Х)=А((Р1)А(Ч>2) ... A((fn)Q D)
и расширим это определение по линейности
).
(
Таким образом, мы получаем отображение пространства
^)®л(/?4) в пространство §. Мы хотим расширить это отобра-
отображение до отображения 3P(R4") в §. Но ?>®"(/?4) плотно
в ??(№") [Swl*]. Пусть ф^а?3^4")—произвольная функция,
а Хй6^°ХЛ(^4) таковы, что Х*~*"Ф ПРИ ^->со. Тогда
фя (X* — Хг) = ф« (Xs) — ф« (Хг) удовлетворяет условию
II Ф„ (X* - Xi) IP = ЭВг, ((х, - х«Г S(xft - Х«)) F)
и стремится к нулю для &->оо, /->оо. Следовательно,
ФЯ(ХЯ) сходятся и, поскольку ф полно, сходятся к вектору
Фя (ф) ? §. Формально мы запишем
ф« (Ф) = J ^ Oi) ¦ • • ^ (*я) Ф (*1 хп) d*Xl ..
G)

88 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
причем Ф„(ф) будет обобщенной функцией медленного роста
со значениями из ф.
Для оператора
J А (л;,) ... Л (*л)<р (л;, хп)
мы будем иногда писать {Ап, ф). Ясно, что он определен
на D. Наконец, у нас есть соотношения
(Фя (ф), Фт (ф)) = 9Вл+т (Ф*®ф)
(8)
(9)
последнее из которых подсказывает обозначение Ф0(ф)=<р$3,
где ф — постоянная величина, не зависящая ни от каких аргу-
аргументов. Аналогично положим
С. Нулевая аксиома. Из аксиомы следует, что
п-0
„ (ф„)
>0
или в терминах вейтмановых обобщенных функций
D. Вторая аксиома. Если определить
A0)
A2)
то из аксиомы следует, что
Доказательство.
= (t/*(a, A)Q.
у, A)Q) =

3. Обобщенные функции Вайтмана
89
или в терминах обобщенных функций Вайтмана
2ВЯ (Ф1® • • • ®Ф«) = 28Я ((«Pi® • • ¦ ®Ф«)(в> л)).
что в силу теоремы о ядре ведет к равенству A3).
В качестве частного случая мы получаем из второй
аксиомы трансляционную инвариантность 2ВЯ (ф) и отсюда как
следствие, что Шт+1 (ф) может быть выражена в виде обоб-
обобщенной функции только т векторных переменных [Sw 1*].
Формально такая замена переменных указывается записью
23m+i(*o. Х\ xJ = Wn{xl—xa, x3-xl хт-хт_1).
A4)
Функция Wm(lv . . ., lm) по-прежнему инвариантна относи-
относительно L\.
¦Wm(Ah MJ = Wn(li U< A64- A5)
E. Третья аксиома, первая часть. Перейдем к ограни-
ограничениям, налагаемым на обобщенные функции Вайтмана третьей
аксиомой. Их лучше всего выразить в терминах Фурье-образов,
поэтому здесь уместно сказать несколько слов относительно
преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста
[Sw2*J (см. также § 1С гл. I). То, что разложение Фурье,
<P(*i *„) =
возможно, для функций из ?Р (R*") тривиально.
Фурье-образ ц>(рх, .... рп) будет также быстро убываю-
убывающей функцией класса Ст, т. е. функцией, принадлежащей
& (Rin), где /?4 обозначает векторное пространство „векторов
импульса" (или пространство, сопряженное к R4). Это ото-
отображение является (топологическим) изоморфизмом S^(R4")
на (^(/?4")[Sw 2*]. Если S — обобщенная функция медленного
роста, то линейный функционал на ?P(R), определяемый
равенством
3(ф)=з5(ф), A7)
будет также обобщенной функцией медленного роста, которая
называется Фурье-образом от 5. Таким способом мы опре-
определим 28„(ф), Л(ф). Ф„(ф) и (А*, ф).

90 Гл. 111. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
Действие Т (а) на Фя (ф) легко сосчитать:
*-
Поэтому для достаточно регулярных функций %(р), используя
спектральное разложение для Т (а), получаем
Но левая часть A9) обращается в нуль, если suppx(/>H
(]suppdE=0. Поэтому наш первый вывод следующий:
носитель Ф„ (ф) по векторной переменной р1 -\- р2 -\- ...
¦••-\-Рп содержится в спектре Р (т. е. в носителе dE).
Однако мы можем немедленно получить и дальнейшие
следствия, поскольку
(Ат, ф) Ф„ (ф) = Фт+п (ф®ф), B0)
и поэтому
(Лт, $)Jx(P)^(P)*»(?) = *»+«(*®X(Pi+---+P»)«P)-
B1)
Последнее выражение также обращается в нуль при сформу-
сформулированном выше условии на х(Р)- Но из равенства B1)
следует, что носитель Ф„(ф) содержится в Рк~\-Рк+\~\~- ¦ •
... -f-Ря6SUPP(dE), I ^k^n. Этот результат подсказывает
преобразование переменных
k k n B2)
В новых переменных справедлива следующая
Теорема. Пусть ф? = ф(?, ?„)€^(?4")- Тогда
носитель Фя(ф9) содержится в [supp </?]х".
Теорема приводит к соответствующему утверждению
о носителе обобщенной функции
$„($,) = (О. ФЯ(Ф,)) = (О. {А*. Ф)О). B3)

3. Обобщенные функции Вайтмана 91
Однако данная величина еще и трансляционно инвариантна
(Q, Г(д)Фя(<рг)) = (О, Фя(ф?)) B4)
или
2В;! (ф е<(<?1. о)) — 2ВЛ (ф?), B5)
откуда следует формальное соотношение
Легко проверить, что в формальной записи
»«& IJ= J *'[(?1> s'>+-+<*«'
B7)
Таким образом, получена
Теорема
supp Шт (9, ... ?m)c(supp rf?)Xm. B8)
Е. Третья аксиома, вторая часть. Третья аксиома не
исчерпывается теоремой B8), соотношение B8) было бы
справедливо и в случае вырождения вакуума. Условие [Hep 1],
исключающее последнюю возможность, легко вывести из A9).
Если supp х (р) П supp dE = {p\p = 0}, то, значит, вектор
Ф»(X(Р\~Ь ••• -г"/>л)ф) должен быть кратным Q. Иными сло-
словами, если носитель (р(рг, . . ., р„) по переменной р1 -f- . ..
...+/'л имеет единственную точку /72 -\- р2 -\- ¦ • ¦ + Рп = 0-
общую со спектром Р (оператора энергии-импульса), то
Фя(ф) есть вектор, кратный й, т. е.
1|фл(ф)!1?=(Ф«(ф). ^(Q. Ф«(ф))- B9)
Последнее условие действительно налагает ограничения на
вайтмановы обобщенные функции.
Теорема, Если носитель функции (р(р^ рп) по
переменной рх -f- . . . -\- рп пересекает спектр оператора Р
самое большее в одной точке рг -\~ ... -\~ Рп = 0> то
2В2л(ф*®ф):=|2Вя(ф)|2. C0)
О. Четвертая аксиома. Эта аксиома может быть сразу же
записана в терминах вайтмановых обобщенных функций.

92 Гл. 111. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
Обозначим
i хп) = ф! (xj . . . ФА (*А) фА+1 (**+1) ... фя (дгя) C1)
Ф1г (Jfi *„) = Ф1 (*i) ••• фА (Je*+i) Фа+i (**) •.. Ф„ (*я) C2)
и допустим, что 8иррфА(л:) и 8иррфА+1(лт) компактны и
пространственно-подобны друг другу. Тогда
2Вя(ф) = 2В«(ф1г). C3)
Н. Резюме. Ограничения, налагаемые на обобщенные
функции Вайтмана, можно естественным образом разбить на
линейные и нелинейные.
а. Линейные ограничения.
al. 2В„ есть обобщенная функция медленного роста в$"(№"),
причем 2Вя(ф*)=23я(ф), где ф*^ х„) = <р(х„ ж,).
а2. Ш„ инвариантна относительно неоднородной собст-
собственной ортохронной группы Лоренца
Определение.
Wm(ll 4m) =
где lk = xk — xk_1.
аЗ. Носитель #m (^ ... qm) содержится в \qk ^ в0, вос V}.
а4. Если виррфд и зиррфА+1 компактны и пространст-
пространственно-подобны, то
® • ¦ • <8>ФЯ) ==
Ь. Нелинейные ограничения.
Ы. Для любой фя(Хг xn)^S^(Rin), n = 0, 1 N,
N — произвольно,
2
Ь2. Если носитель функции <p(/>i, ..., р„) по перемен-
переменной j»j+ ... +ря пересекает спектр оператора Р самое

4. Основная теорема 93
большее в точке р\-\- ... +/>я = 0, то
2В2п (Ф* ® Ф) = I 2В„ (Ф) I2-
В следующем параграфе мы покажем, что свойство (а) и (Ь)
полностью характеризуют обобщенные функции Вайтмана.
4. Основная теорема
Теорема [Wi 1]. Каждой заданной последователь-
последовательности обобщенных функций 28„, удовлетворяющих усло-
условиям (а), (Ь) предыдущего параграфа, однозначно соот-
соответствует нейтральное скалярное поле А {х), удовлет-
удовлетворяющее всем аксиомам и имеющее обобщенные функ-
функции Шп своими вайтмановыми обобщенными функциями.
Доказательство, (а) Пусть &п = <?"(Rin) для п = 1.
2, 3 и пусть ?Р0~ С — полю комплексных чисел. В этом
параграфе элемент пространства ?Рп обозначается через фя.
(b) Построение гильбертова пространства $>. Каждой
функции ф„ соответствует вектор Фя(фя) линейного прост-
пространства таким образом, что Фя (фя + Фя) = Ф„ (<Р„) + Ф„ (Ф„)
и Фя (сфя) = сФп (фя) для с ? С. Скалярное произведение
вводится равенством
(Ф„(<РЯ> Фт(фт))^28Я+т(ф;®Фт> @
линейным расширением по второму и антилинейным расши-
расширением по первому аргументам. Это скалярное произведение
симметрично и положительно полуопределено из условия Ы.
Если Ф и W — конечные линейные комбинации векторов
Ф„(фя), то (Ф, W) определено и удовлетворяет неравенству
Шварца
Р V). B)
Это векторное пространство обладает радикалом, который
в силу B) соответствует векторам с квадратами, обращаю-
обращающимися в нуль.
Факторпространство по отношению к этому радикалу будет
после пополнения нашим гильбертовым пространством ф.
Замечание. Упомянутое выше построение $> можно
в более современной терминологии описать следующим

94 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
образом: [Во 3] (см. также § 1А гл. I). Пусть пространство
C)
п
с элементами ф, ф, . .. снабжено локально выпуклой то-
топологией прямой суммы [Кр 1*, стр. 217], индуцированной
топологиями в Sfn- Пространство & — модуль; далее в нем
допустимо умножение ®, где и-я компонента произведения
Ф®ф определяется равенством
п
(<р ® ф)д == 2 Фв-h ® Фа D)
— — s=o
и обладает антилинейной инволюцией, определяемой формулой
(ф*)„^ф;- E)
Поэтому S? — топологическая -х-алгебра.
Далее вводится скалярное произведение
(ф, Ф)=2авя+т(ф;®Ф„) F)
~* п, тп
и соответствующая метрика ||ф|| = у (ф, ф). Из условий al
и Ы следует, что эта метрика снабжает & новой, более сла-
слабой топологией.
Пусть ^"q = {ф|(ф, ф) = 0}; тогда пополнение факторпро-
странства SfjSfo совпадает с пространством ?>[Ne 1*, гл. IV].
(с) Плотная область определения D и оператор поля А.
Область определения D состоит из всех конечных линейных
комбинаций векторов Ф„(фя). Оператор Л(ф) определяется
линейным расширением по формуле
Л(ф)Фя(<Р«) = Ф«+1(Ф®<Р«)- G)
Матричные элементы оператора Л(ф) задаются выражениями
(фт 0U А (ф) фя (<р„) ) = авж+я+1 К ® ф ® ф„) (8)
(А (Ф) фт Ю- фл (%)) « 58W+B+, (€ ® Ф ® Ф«)' О)
так что для Ф, W ? D
OF. /1 (ф) Ф) = (Л (ф) W, Ф). A0)

4. Основная теорема 95
Последнее равенство показывает, что радикал первоначального
векторного пространства отображается в себя операцией А (ф).
Наконец, ясно, что A((p)DczD и в силу al Л(ф)Ф сильно
стремится к нулю при ф->0.
Поэтому здесь верна даже самая сильная форма первой
аксиомы.
Замечания. 1. В остальной части этой книги мы будем
придерживаться приведенного выше определения D.
2. (Ат. Фш)Фл(ф«) = Фт+ЛФт®Ф„)- (И)
3. Фя(фл)->0 в сильном смысле, если фл->0. A2)
Вектор Ф„ — векторнозначная обобщенная функция мед-
медленного роста, и поэтому она обладает Фурье-образом Фл.
Свойство носителя аЗ ведет к тому, что (\F, Ф„(ф„)) = 0
для W ? D, если точки с рх -\- р2 + ... + рп 6 $о не содер-
содержатся в supp9;r Поэтому Фя(фл) = 0 в этом случае.
(d) Представление О (а, А). Линейное расширение соот-
соотношений
U(а, Л)Фл(Фл) = Фл(фя(аЛ)) A3)
ведет в силу а2 к унитарному преобразованию в ф и к пред-
представлению неоднородной собственной ортохронной группы
Лоренца. Простая выкладка показывает, что
U(а, Л)(Ап, ди-^а.. Л) = (Ап, Ф(а л)). A4)
Наконец, получаем
U (a, A)D = D. A5)
Тем самым вторая аксиома удовлетворена.
(е) Спектр оператора Р. Положим снова
T(a) = U(a, /) = e'(p> a> = J e1^, a)dE(p). A6)
Тогда
Т(а) ФЯ(Ф„) = ФЯ($У «''+ - +р* а)) A7)
и для достаточно гладких % (q)
J х (?) dE (g) Фа (ф) = Фл (ф„ • х (Pi + • • • +Рп) )• A8)

96 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
Правая часть здесь исчезает, если supp х (?) П $0 = 0*
Отсюда следует, что спектр Р полностью содержится
в g0. Тем самым выполнение одной части третьей аксиомы
проверено.
(f) Единственность вакуума. Пусть X (?)
влетворяет условию
Х@)=1. B0)
Тогда проектор
j B1)
проектирует ф на трансляционно-инвариантные состояния;
Ф0(ф0) = ф00 дает нам один набор таких состояний, и нам
надо показать, что других наборов не будет.
Согласно A4) —A7),
E0DczD, B2)
и поэтому
. B3)
где черта сверху означает замыкание. Поэтому нам достаточно
посмотреть, нет ли трансляционно-инвариантных состояний
в D. Такие состояния обязательно будут конечными комби-
комбинациями трансляционно-инвариантных состояний вида Фя (ф„),
а эти последние — это состояния вида Ф„ (ф„х (Pi + • • • ~\~Рп))-
Но согласно A5), A6) и Ь2, для этих состояний
||ФЛ1Р = |(ФЛ, ?)|2. B4)
и потому они будут кратными вакууму Q.
(g) Локальность тривиально выполняется согласно а4.
(п) Полмота. Эта аксиома утверждает, что линейное
многообразие, натянутое на векторы Ф„ (ф„) сфл? d?®" (ft4),
плотно в ф. Но ^"(R4) плотно в ^(Rin), а Ф„ (ф„) не-
непрерывно по фл. Тем самым рассматриваемое линейное мно-
многообразие плотно в D и последняя аксиома проверена.
Этим доказательство завершено.

5. Дополнительные замечания 97
5. Дополнительные замечания
Продолжим эту главу четырьмя дополнительными замеча-
замечаниями.
A. Сепарабельность пространства •?>.
Теорема [Ru 4; Во 3]. Пространство ?> сепарабельно.
Доказательство. Область D плотна в ?) и поро-
порождается векторами Ф„(ф„), ф„ ? ?Рп = if (R4n). Векторы
Ф„(ф„) непрерывно зависят от ф„. Каждое пространство ?Р п
сепарабельно [СН 1*; Sw 1*, стр. 108]. Пусть q>*. А=1, 2,3,. ...
будет плотной последовательностью в ?Рп. Вектор Ф„ (ф„)
для произвольной фл ? if '„ является пределом подпоследо-
подпоследовательности Фп (ф„-5)- Поэтому § — замкнутое линейное про-
пространство, порождаемое счетной последовательностью Фп (ф*),
я=0, 1, 2 k=l, 2, 3 и потому сепарабельно.
B. Полнота [Ru 4]. Мы определили полноту тем, что Q
цикличен относительно кольца полиномов от А (ф), ф ? ?PV
Другим понятием, которым можно было бы охарактеризовать
полноту теории, могла бы быть неприводимость в том смысле,
„что каждый ограниченный оператор С, коммутирующий
с А (ф) для всех фб^, кратен единичному". В такой форме
слова, стоящие в кавычках, не имеют точного смысла. Соот-
Соответствующее осмысленное утверждение дается следующей
теоремой.
Теорема
удовлетворяет
ношению
(
то
(Рюэль).
Если
для всех W,
С=с
ограниченный
Ф? D и всех
(Л(ф)чР, СФ),
¦/.
оператор С
cpE^i coom-
A)
B)
Доказательство, (а) Ясно, что
c = (Q, Си). C)
(Р) Повторное применение A) приводит к равенству
Q?, С(Ап, Ф)Ф) = ((ЛП. ф*)^, СФ) D)
7 Зак. 707

98 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
для ф ? S?f "• а в силу непрерывности обеих сторон D) и
тому факту, что ?Pfa плотно в ?Рп и для ($??Рп-
(Y) Из D) мы выводим
(Q, СТ (а) {Ап, ф) Т (—а) О)=(Т (а) (Ап, ф*) Т (—а) й, СО) E)
или
(Q, СТ (а) {Ап, Ф) Q) = «Л", ф*> Q. Т (— а) СО). F)
Пусть А — борелевское множество в /?4 и
?(Л)= \dE{p);
д
тогда F) дает
(Q, СЕ (А) (Л", ф) Q) = ((Л", ф*) Q, Е (— A) CQ). G)
Если выбрать в качестве А замкнутый верхний конус V+, то
Е (А) = / и Е (— А) = Ео — проекция на вакуум й. Поэтому
с учетом C)
(Q, C(An, <p)Q) = c(Q, (Л", ф)й) (8)
и согласно определению D
(й, СФ) = с(й, Ф) (9)
для любого Ф ^ D.
F) Наконец,
с«Лт, ф)й, Ф) A0)
и опять по определению D для любых Ф, *Р ? D
(^, СФ) = с(^, Ф). A1)
В силу плотности D отсюда следует B).
С. Усеченные вакуумные средние*) (TVEV). Во мно-
многих отношениях желательно исключить симметричным образом
вклад вакуумного состояния в вайтмановы обобщенные функ-
функции. Согласно Хаагу [На 3], этого можно достигнуть введе-
*) В оригинале: The truncated vacuum expectation values.—
Прим. перев.

5. Дополнительные замечания 99
нием усеченных вакуумных средних. Они определяются ре-
рекуррентным образом соотношениями
где сумма в правой части распространяется на все разбиения
индексов 1 п, а в каждой группе 1ь, i J*, г ин-
индексы берутся в их естественном порядке. Для п — 1 и для
ге = 2 уравнения A2) гласят
T A3)
Ясно, что усеченные вакуумные средние удовлетворяют всем
линейным ограничениям (al-4). Согласно а2, они трансля-
ционно инвариантны и позволяют определить
При этом W^o = Wo = SBi (xo) = ЗВГ (-«о) будет константой
(равной во всех разумных случаях нулю).
Мы хотим рассмотреть носитель функций WTm (<7j q\.
Для этого докажем следующую теорему.
Теорема. Носитель функций WTm (^ q^ содер-
содержится в qk?V+, k=l, 2, ..., т.
Если §oc{<7|<7 = O}UV^, то supp WTm (q1 qm) со-
содержится в {(Jk^V^, k=l, 2, ..., m).
Доказательство, (а) Как можно заранее предвидеть
и как подтверждается индукцией по т из A2), носитель
WTm (<?v • • •. Ят) содержится в 8ОХ т.
7*

100 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
(Р) Если функция х (?) удовлетворяет условию supp % f| §0=
= [q\q=0}, то
J X (в) SBm+1 (*0 *,_!. л:г + «. *г+1 + а *
= J X (в) SBm(Si i« + e. l«+i U <*4« =
= (Q, Л (*0) ...А (*,_!) J Г (а) х (а) ^%л (^ ... A (xm
= X@)(Q. Л(*0) ... Л(хг_1H)@, Л(*,) ... A(xm)Q) =
= Х@JВг(^0 *,_i)SBm+i-i(«, xm). A6)
Сделаем теперь индуктивное предположение., что для / < /я+1
С помощью A4) это предположение легко проверить для
1 = 2, Затем подставим для SBm+1 в первом члене A6) усе-
усеченные вакуумные средние. Если не говорить о члене
J X(«JB?+i(x0 xi + a хт + а)с1*а, A7)
то единственными членами из правой части A2), которые
дадут при этом ненулевой вклад, будут члены вида
х@) 2 авГ, (• • •) звгг (...)... авГ (...), (is)
(разб)' ' 2 *
где (разб)' означает суммирование по всем подразбиениям
разбиения
@, 1 / —1)(/. /+1 ж).
Но такая сумма — это как раз
Х@J3г(*0 *i-i) 2Bm+i-i (*» хт), A9)
так что из A6) (принимая, что %@)ф0) получается
J 1 (а) 35^+1 (*о ^г + а xm + a)d4a =
= 0. B0)
По индукции B0) выполняется для всех /в, что вместе
с предположениями относительно Х(|) доказывает теорему.

5. Дополнительные замечания 101
Тем самым получено следующее утверждение.
Следствие. Если последовательность обобщенных
функций ШТп(х1 х„) удовлетворяет условиям al, 2, 4
и, кроме того, функции
удовлетворяют условию
то обобщенные функции 2В„, определяемые A2), удовле-
удовлетворяют al—4 и Ь2. Если 9В„ удовлетворяют Ы, то они
определяют теорию Вайтмана.
Доказательство. Обобщенные функции A2) удовле-
удовлетворяют A6) (равенству первого и последнего членов). По-
Поэтому аЗ выполнено.
Как легко заметить, из A6) вытекает также и Ь2. Мы
видим, что введение усеченных вакуумных средних в опреде-
определенном смысле линеаризует нелинейное условие Ь2. Однако
условие Ы, выраженное через усеченные вакуумные средние,
выглядит непривычно и вызывает чувство неудовлетворен-
неудовлетворенности.
D. Инфинитезимальные преобразования Лоренца и
область D. Как мы видели в § 1С, гл. I, инфинитезималь-
инфинитезимальные преобразования Лоренца действуют на основные функции
следующим образом:
(а) Инфинитезимальные сдвиги
5 = 1 s
(P) Инфинитезимальные однородные преобразования
Лоренца
п
7, [X
В любом случае ф отображается непрерывно [Sw 1*] в ?Р'„.
Поскольку векторы Ф„(ф), порождающие D, сильно непре-
непрерывны по ф, представления бесконечно малых преобразований

102 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
определены на О и отображают D в себя. Поэтому их про-
произведение можно свободно применять к любому вектору
из D [Gal].
6. Матричные элементы оператора трансляции
[Del; Ar2; Jo7]
Спектральное разложение
Т(а)= J el(P-*dE(p) = el (р-а> A)
определяет спектральную меру Е. Пусть В — .банахово про-
пространство непрерывных функций векторного переменного р
с нормой sup | % (/>) |. Как мера Е определяет непрерывный
операторнозначный линейный функционал на В, который в
свою очередь однозначно определяет меру E[RN1*]. Мы
используем для этого функционала одно из обозначений
J х (/>) йЕ (р) = (Е, х> = X (Р). B)
Второе обозначение заимствовано из теории обобщенных функ-
функций, а последнее соответствует определению функции от опе-
оператора энергии-импульса. Непрерывность (Е, х) следует из
неравенства
ll<?. x>l!=!lx(P)ll<sup|x(/>)|. C)
Для каждой пары состояний Ф, Ч* определяется ограничен-
ограниченная комплекснозначная мера
D)
удовлетворяющая условию
E)
Мы интересуемся этой мерой для состояний Ф и 1Р из D.
Соберем свойства меры (т, х)-
Первое свойство: {т, х) сильно ограничена.
Доказательство. Пусть п = («o. Л\, Щ, п3) — набор
четырех натуральных чисел, а Я" — соответствующая степень
оператора энергии-импульса. Оператор %{,Р)Р", вообще

6. Матричные элементы оператора трансляции 103
говоря, будет неограничен, однако на D он определен, по-
поскольку Р отображает D в себя. Поэтому
|=| {щ.Р\ х)|<1|Ф||-Н^я^1|8ир|х(р)|- F)
Значит, и мера, получающаяся из m умножением на р",
остается ограниченной. Это доказывает первое свойство.
Второе свойство вытекает из того обстоятельства, что
бесконечно малые однородные преобразования Лоренца Pik
отображают D в себя. Если мы будем писать U (Л) = U @, Л),
то
G)
Поэтому
(U (Л) Ф, (Е, х) U (Л) W) = </иА, х). (8)
где
mK(p) = m{Ap). (9)
Но левая часть (8) бесконечно дифференцируема на собствен-
собственной ортохронной группе Лоренца. Отсюда мы получаем, что,
например,
(Ю)
где ды = pk (д/др{) — рх (д/дрк), а Рм — соответствующее
представление. Мы получаем, таким образом.
Второе свойство: применение произвольного полинома
по дк1 к мере т опять приводит к ограниченной мере.
Теперь мы расщепим меру т на тривиальную часть с но-
носителем в [р\р = 0] и остаток тх с носителем в Vr+>
.(Ф, (Е, Х>^) = (Ф. Q)(Q. ^)х@) + К. х). (Н)
Для mL остаются справедливыми оба сформулированных
свойства. Но для тх мы можем ввести теперь новые (регу-
(регулярные на V+0) координаты
Отметим это преобразование координат в наших обозначе-
обозначениях тем, что будем писать (тг, %). Оператор dok имеет
теперь вид

104 Гл. III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана
Наконец, отметим еще, что со ограничена на supp m. Все
это приводит нас к следующей теореме.
•> •>
Теорема [Jo7]. Пусть ))i(«, p) и p2(D) — произволь-
произвольные полиномы от указанных переменных и пусть
п — произвольное натуральное число, тогда
(Н)
будет ограниченной мерой.
Следствие. Функция
Ф Т
(Ф, Q)(Q. *F) A5)
для Ф, f^O i/a = @, а) сильно убывает при а->оо и
принадлежит классу Ст. Поэтому
Доказательство следствия. Если обозначить
¦> ¦> ->
= е~1<~р' а\ то функция A5) имеет вид
A6)
Из того, что т сильно убывает, следует, что tt (а) отно-
относится к классу С^- из того, что р (D) т опять образует
->
ограниченную меру, следует сильное убывание tx (a).
Это следствие приводит нас к тому, что вайтмановы
обобщенные функции обладают свойством асимптотической
факторизации *).
Свойство асимптотической факторизации.
_ ;>¦ У\+а> ¦¦¦' Ут + «)Ф(-«1. • • • • хп) X
ХФ(У1. ¦¦-. yjdxdy — 2Вя(фJВт(Ч>)-»>0 A7)
"*" ¦*¦"*" —1/2
при а->0 быстрее, чем любая степень [а ¦ а] .
Замечания. 1. Нигде в этом параграфе мы не исполь-
использовали локальности. Следующую теорему также можно дока-
доказать, не прибегая к локальности.
*) Английский термин звучит как «cluster property». Использо-
Использованный ранее русский перевод: «свойство распадения на пучки» —
представляется нам исключительно неудачным. — Прим. перев.

6. Матричные элементы оператора трансляции 105
Теорема [Jo7]. В смысле сходимости обобщенных
функций для любого натурального N равенство
Urn \{а, а)\т{Шп+т(Х1 *„,* + « у„-И)-.
-(а, а)-»со
-9Bn(Jfi хп)Шт(У1 Ут)] = 0 A8)
выполняется равномерно в (а, а) < 0.
2. Для специально выбранных точек, а именно для ве-
вещественных точек голоморфности, тривиально получается и
более сильный результат [Аг 2].
3. Интересные свойства асимптотической факторизации
были выведены из локальности Рюэлем ([Ru 4], см. также
гл. VI) и Араки, Хеппом и Рюэлем [Аг 8].

Г лав а IV
ФУНКЦИИ ВАЙТМАНА
1. Вступительные замечания
Оказывается, что обобщенные функции Вайтмана пред-
представляют собой граничные значения аналитических функций,
так называемых функций Вайтмана. Последние служат чрез-
чрезвычайно удобным инструментом для изучения теории. Почти
все важные приложения общей теории к физике в той или
иной степени используют фундаментальное свойство этих
функций — их инвариантность по отношению к компоненте
связности с единицей комплексной неоднородной группы
Лоренца1). Этот факт составляет содержание глубокой тео-
теоремы Баргмана, Холла и Вайтмана (БХВ-теоремы) (§ 4,
[Hal 1]). Доказательство БХВ-теоремы, которое мы приво-
приводим ниже, в своих основных чертах повторяет первоначаль-
первоначальное доказательство авторов, однако оно заметно проще. Этот
простой вариант дан Рюэлем и публикуется впервые.
БХВ-теоремой можно воспользоваться для разрешения
проблем, связанных с четвертой аксиомой (аксиомой локаль-
локальности, § 5), но тотчас же возникают новые проблемы, пока
еще не решенные (§ 6). Мы заключим главу двумя интерес-
интересными теоремами: первая принадлежит Глазеру и Стритеру
[Str 1] и проливает новый свет на область регулярности
вайтмановых функций, другая простая, но замечательная тео-
теорема дана Рее и Шлидером.
2. Аналитическое продолжение обобщенных функций
Фп{Х\ х„) и 28n(xi ... Хп); функции Вайтмана
Мы переходим сейчас к наиболее характерным следст-
следствиям предположения о спектре (третья аксиома и свойство аЗ).
') Это утверждение уже не вполне точно. Вещественный ана-
анализ, например, изложенные в гл. VI методы Д. Рюэля, оказался
столь же плодотворным, как и комплексный анализ. См. также
гл. III, примечание I.

2. Аналитическое продолжение обобщенных функций 107
Как мы уже знаем из гл. III, § 3, из этой аксиомы
следует, что носитель векторнозначной обобщенной функции
А (/>,) А(р2) ...A (pn)Q = Ф„ (/>„ р2 рп) A)
содержится в
9* = Р*+/>*+!+.•• 4-j»«€supprf? = s0. *=I. 2 п.
B)
Из этого свойства носителя следует, что Фл (ф) существует
для гораздо более широкого класса основных функций ф,
чем предполагалось первоначально. Самые важные основные
функции такого рода — это экспоненты
e\pilqlz1-\-q2(z2~z1)-\-q3(z3-z2)-\-... -f ?,(«„—«,_i)] =
= exp/2/V*A, C)
где
k = 2, 3 п. D)
Ясно, что эти экспоненты и их производные быстро убы-
убывают на носителе Фл. Таким образом, функция
zn) = | ехр [ 2 \
E)
существует и, более того, является голоморфной (векторно-
(векторнозначной) функцией переменных (гг za) [Die I*].
Чтобы проанализировать связь между Ф„ (z) и Ф„ (х),
запишем zk = xk+iyll, r\! = yv Л* = У* —уГ-i- k = 2,
3, ..., п и
ФЛ*!. z2 г„) = Ф„(х1, х2, .... хп; гц. % Лл)-
F)
Правая часть F) понимается как обобщенная функция
переменных (хг, х2 хп), зависящая от параметров
(tj!,!^ t]n). Все эти параметры находятся в V+. Нако-
Наконец, введем еще функцию
еъ (Pi Р,) = ехр [— S Щ (Pk + P*+i -г- • • • + /»*)]• G)

108 Гл. IV. Функции Вайтмана
Теперь соотношение между Ф„ (ф) и Ф„ (ф; т)) будет иметь
вид ~
Ф„ (ф. Ц) = Фя (ф • е-ц)- (8)
В силу свойств носителя B) ф • е^ является допустимой основ-
основной функцией и стремится к основной функции ф при x\k -> 0
внутри V+. Таким образом,
lim Ф„(ф, Л) = Фп (ф)= ^я (ф)- (9)
lim Ф„(х, п) = Фд(х). A0)
т)-»0 — — —
В этом смысле
Итак, нами доказана
Теорема. Обобщенная функция Фп(х) является
граничным ^значением аналитической функции Ф„ (z),
голоморфной в области
Im«,6V+, lm(zk — zk_1)?V+, k = 2, 3 п. A1)
Следствие. Для любого ^^Ф функция
С?, <S>n(z))=Fn(W)(zJ A2)
голоморфна в области A1). Последовательность анали-
аналитических функций Fn(W) определяет W однозначно.
Если в качестве W выбрать состояние вакуума Q, то
получается следующая
Теорема. Обобщенные функции Вайтмана Ш„ (xv .. .
.... хп) являются граничными значениями аналитиче-
аналитических функций 23nB] zn), голоморфных в области
b A3)
Функции Вайтмана инвариантны относительно преобра-
преобразований собственной ортохронной неоднородной группы
Лоренца.
Тот факт, что условия A3) никак не ограничивают zu
следует из трансляционной инвариантности ©„(^ zn).

3. Комплексные преобразования Лоренца 109
Следствие. Обобщенная функция Вайтмана
является граничным значением аналитической функции
Wn(t,1, ..., ?„), голоморфной в 2, 2 = {?|1т??^+Ь
2 называется трубой будущего *).
Скалярное произведение (Ф„ (z), Фт (w)) можно без
труда выразить в терминах функций Вайтмана
(Ф„ (?), Фт («0) = Шп+т Cz, w). A4)
где z обозначает «-строку (zn, za_x zx).
Из A4) получается следующее свойство симметрии
которое вытекает также из равенства 2В„ (ф*) = Шп (ф).
Наконец, и для оператора трансляции Т (а) существует воз-
возможность аналитического продолжения, обсуждаемого в этом
параграфе. Ясно, что Т (а) является граничным значением
аналитической операторнозначной функции
Т(а)= J е((Р'аЫЕ(р), A6)
которая голоморфна при Im<z?V+> т. е. a??[Uhl]. Для
к > 0, как можно легко проверить,
lim T(Xa) = EQ, A7)
А.->оо
Ео есть проектор на (Q).
3. Комплексные преобразования Лоренца
Введенные в предыдущем параграфе аналитические функ-
функции Wn(t>l ?„) будут привлекать наше внимание на про-
протяжении большей части последующего. Эти функции являются
основным средством анализа линейных ограничений а1-а4
гл. III, § 3. Мы назвали их функциями Вайтмана. Их аргу-
аргументы представляют собой упорядоченные наборы комплекс-
комплексных векторов ?А. Поэтому вполне уместно (а для дальнейшей
*) В оригинале forward tube.— Прим. ред.

НО Гл. IV. Функции Вайтмана
нашей работы и просто необходимо) поговорить о ком-
комплексном лоренцевом пространстве Rc и соответствующем
векторном пространстве ЗЗе. Очевидно, в качестве эле-
элементов RC($5C) выступают пары точек (векторов) z = x-{-iy
(? = |-|-/т]) пространства RN08). Метрика порождается
скалярным произведением
(d. Q = (ii, 62) —Di. Па) +'К61. тьL-(Л1. |2I-
Это скалярное произведение симметрично, билинейно отно-
относительно умножения на комплексные числа, несингулярно и
аналитично по обоим сомножителям.
Изометрические по отношению к скалярному произведе-
произведению (Сц ?2) преобразования 93 образуют комплексную группу
Лоренца L(C). Элементы L(C) мы будем обозначать через А,
В. Разумеется, комплексная группа Лоренца по своей струк-
структуре ничем не отличается от комплексной ортогональной
группы. Однако мы все же сохраним для нее название L(C),
чтобы подчеркнуть, что мы рассматриваем ее как комплекс-
комплексное расширение вещественной группы Лоренца.
Это по существу снова связано с тем фактом, что дей-
действительные точки (векторы) пространства RC(?8C) предста-
представляют собой величины, имеющие непосредственный физиче-
физический смысл. Поэтому преобразования координат должны быть
все время вещественными, а элементы L(C) нужно рассмат-
рассматривать как отображения.
В ортонормальной системе координат А будет предста-
представлено комплексной матрицей. В зависимости от обстоятельств
символом А мы будем обозначать иногда преобразование
из L (С), а иногда его матричное представление. Если О —
метрический тензор, то А удовлетворяет равенству ATGA = G,
и обратно, выполнение этого равенства свидетельствует о том,
что А — матрица комплексного преобразования Лоренца.
Снова det.4=±l и снова имеется гомоморфизм Л—> det Л,
ядро которого мы обозначим L+ (С). Но в отличие от веще-
вещественной группы Лоренца L+ (С) уже связна. Поэтому она
содержит в качестве вещественных преобразований и L\, и LX.
Тот факт, что L+ и L% могут быть связаны (непрерывной)
кривой в L+ (С), имеет, как мы увидим, физические след-
следствия.

3. Комплексные преобразования Лоренца 111
Разложение L(C) по отношению к L+ (С) можно изобра-
изобразить следующим равенством:
L(C) = L+(C) + TL+(C), A)
где Т — отражение времени.
Для доказательства фундаментальной теоремы, которой мы
будем заниматься в следующем параграфе, нам понадобится
аналитическая параметризация окрестности единицы в L+ (С)
и в L+. Выберем параметризацию, предложенную Кэли
[Wey 2*] и характеризуемую следующей теоремой.
Теорема, (а) Пусть R — — RT — вещественная (ком-
(комплексная) кососимметрическая матрица. Тогда А =
==(/—GR)(f-\-GR)~1 (если она существует) есть матрица
вещественного (комплексного) преобразования Лоренца.
(Ь) Пусть А—матрица комплексного (вещественного)
преобразования Лоренца. Тогда R = G(f — A)(f-\-A)~1
(если она существует) есть комплексная (вещественная)
кососимметрическая матрица, RT = — R.
Доказательство. 1. Свойства вещественности матриц
и преобразований тривиальны.
2. Чтобы доказать, что A — (I — GR)(I-\-GR)~1 есть
преобразование Лоренца, проделаем следующие вычисления:
ATGA = (I — RG)~l (I -f RG) G(I — GR) (I -f GR)~\ B)
Поскольку G2 = 1, это равно
(/ — RG)'1 (I — RO) G (I + GR) (I + GR)'1 = G. C)
3. Для доказательства того, что R = G(I — A)(I-\-A)
кососимметрична, запишем
~l
Г1 = -/?. D)
Замечания, (а) Если R достаточно мала (т. е. малы
абсолютные значения ее матричных элементов), то (/— GR) X
Х(/ -\-GRy1 существует.

112
Гл. IV. Функции Вайтмана
(Ь) Если А достаточно близка к единице /, то 0A—А) X
X (J -+- АI существует.
Поэтому матричные элементы R задают регулярную и
аналитическую параметризацию группового ядра соответ-
соответственно L+(C) и L+. При этом вещественным значениям
параметров отвечают вещественные преобразования Лоренца.
Наконец, нам понадобится еще понятие эквивалентности
двух комплексных преобразований Лоренца по отношению
к L\ и характеристика соответствующих классов экви-
эквивалентности.
Определение. Комплексные преобразования Лоренца А
и В называются эквивалентными по отношению к Z.+, если
существуют такие Ль Л2??+. что Л = Л,ВЛ2.
Теорема [Jo 6]. Любое A?L+ (С) эквивалентно одной
из следующих нормальных форм:
1. Для четной размерности
(а) Нормальный случай
о
о
|ф|<я; Ф, Xi
вещественны;
E)
(Ь) Исключительный случай
М (It) О
, t, xi. •
вещественны,
o=±l.
F)

3. Комплексные преобразования Лоренца
ИЗ
2. Для нечетной размерности
(а) Нормальный случай
L(ia
(al) N =
(а2а) N =
(a2p) N =
о
(b) Исключительный случай
M(tx)
(bl) Л/"==
(Ь2) Л/" =
0
Ж (гт)
0
О
0
0
R;
G)
(8)
(9)
A0)
R. A1)
Доказательство теоремы и определения МAх), L(l<p) и K(i%)
даны в приложении I. R есть диагональная матрица с диа-
диагональными элементами —1, —1, 1, ..., 1.
8 Зак. 707

114 Гл. IV. Функции Вайтмана
4. Теорема Баргмана, Холла и Вайтмана
В этом параграфе мы будем заниматься доказательством
следующей фундаментальной теоремы.
БХВ-теорема [На 1]. Если /,+-инвариантная функ-
функция Wn(d> ..., ?„) голоморфна в ?", то она допускает
однозначное, L+ (С)-инвариантное аналитическое продол-
продолжение в область
%'*= U Аг"-
A4L(C)
Замечание. Мы будем называть %п расширенной тру-
трубой *). Однако %'п не является трубой по переменным (?i, ..., ?„).
Доказательство. 1. Для краткости на протяжении
этого доказательства мы будем обозначать (?i ?„) через ?,
3;" через % н Wn через W.
2. Функция WA(?)==W(A~l§ определена в AZ, WA(t,)
и W(Q определены одновременно в 2 П А%. Предположим,
что %Г[А%Ф0. Если нам удастся доказать, что эти две
функции совпадают в этой области, то тем самым мы покажем,
во-первых, что WА (С) является аналитическим продолже-
продолжением W(?), и, во-вторых, что это продолжение не приводит
к многозначностям внутри Z.
3. Однако последний факт уже гарантирует однозначность
продолжения посредством WA(Z) на всю область %'. Чтобы
убедиться в этом, предположим, что WAl (?) ф WAl (?,) для
какой-то I ? AXZ П A2Z. Пусть Ci = ^f'C 6 г и ^ = А^\ 6 %•
Тогда Г (&) =?№¦(&), но C2 = ^2^iCi. Таким образом,
Г^_1л E,)чЫГ(^) и 5j 6 % П Л-М2г, что противоречит
утверждению пункта 2.
4. Далее область % П ^42, являясь пересечением двух вы-
выпуклых областей, также выпукла, а следовательно, связна.
Поэтому осталось доказать, что W(?,) и WA(Q совпадают
в окрестности одной точки. Сверх того если W(?) и WA(Q
совпадают для некоторого лоренцева преобразования Ао, то
они совпадают также, когда А пробегает некоторую окрест-
окрестность Ао. В этом можно убедиться следующим образом.
*) В оригинале extended tube. — Прим. ред.

4. Теорема Баргмана, Холла и Вайтмана 115
5. Фиксируем С в % П Ао% и рассмотрим WА (?) как функ-
функцию А. Введем локальные координаты соотношением А = А0В,
где В выражена через параметры Кэли. Если В будет меняться
в достаточно малой (связной) окрестности единицы, мы по-
прежнему будем иметь ? ? ? П А%. Можно выбрать настолько
малую окрестность, что это будет справедливо не только для
точки С. но и для всех точек некоторой ее окрестности.
Из ^-инвариантности следует, что Wa(Z,) = WAii(Q для
B?L.\; WA(t,) представляет собой аналитическую функцию
описывающих В параметров Кэли. При действительных зна-
значениях параметров эта функция постоянна (что соответствует
B?L%). Поэтому [ВМ 1*] она постоянна и при комплексных
значениях параметров. Таким образом, Wa (С) = И^д. (?) в не-
некоторой окрестности ? для всех элементов В из упомянутой
окрестности единицы. Отсюда следует, что WА (?) = W (?)
в Z(\AZ.
6. Если в качестве Ло выбрать единичный элемент, то
получится, что WB(Z,) — W(Z,) для B?L+(C) достаточно
близких к единице.
7. В оставшейся части доказательства используется лемма.
Множество 23={Л??+ (С) | Л2п$Ф0} является связным.
Чтобы не прерывать рассуждение, отложим доказательство
леммы. Произвольную точку А ? 23 можно соединить с еди-
единицей цепочкой пересекающихся окрестностей типа, описанных
в пункте 5. Применение утверждения пункта 4 завершаем
доказательство теоремы.
Наконец можно перейти к
Доказательству леммы, (а) Из определения 93
вытекает, что для любых Ai, 2 6 ?+ справедливо равенство
Ai23A2 = 33. Таким образом, 23 представляет собой некоторый
набор классов эквивалентности L+(C) по отношению к Z.+ .
Поэтому нам нужно только определить, какие нормальные
формы входят в 23.
(Р) Для этой цели обратимся к классификации § 3. 23 со-
содержит лишь следующие нормальные формы.
1. Четная размерность
(а) Нормальный случай: | ф | < -& , остальные параметры
произвольны;
8»

116 Гл. IV. Функции Вайтмана
(Ь) Исключительный случай: о = —J— 1. остальные пара-
параметры произвольны.
2. Нечетная размерность
(a) Нормальный случай: (аГ) | ф | < -_-, остальные параметры
произвольны;
(а2а): все возможности;
(b) Исключительный случай (Ы): все возможности'.
(Y) Для того чтобы проверить это утверждение, нужно
только применить преобразования, отвечающие нормальным
формам (в исключительных случаях для достаточно малых т),
к точкам специального вида
d = Ca= ••• =?„ = (/, 0...0).
Результат преобразования Nt, лежит в $. Никакие другие
варианты невозможны, поскольку все остальные нормальные
формы приводят к появлению отрицательной нулевой компо-
компоненты у мнимой части Nt,k (в исключительных случаях т
снова нужно выбрать достаточно малым).
F) Все нормальные формы в 23 можно непрерывно сое-
соединить с /, устремив абсолютные значения параметров к нулю.
Поэтому 23 связно.
Итак, лемма, а стало быть, и теорема полностью доказаны.
По-видимому, полезно проиллюстрировать описанную
в теореме ситуацию на двумерном случае. При этом для
простоты мы будем пользоваться терминологией преобразова-
преобразования координат. В качестве координат вектора введем вместо
(С°> С1) переменные и—?0-j-?i И v=—(?°—С1). Тогда в $ попа-
попадут все точки с 1ти > О, Imi» > 0. В комплексной плоскости
вектор в ? изобразится парой точек в верхней полуплоскости.
Нормальная форма комплексного преобразования Лоренца
сведется теперь к одновременному умножению и и v на одно
и то же число с единичным модулем: и = el<fu, v = el<tv.
В комплексной плоскости это отвечает повороту и и v на
угол ф.
Точка в %" изображается набором 2я точек в верхней
полуплоскости (рис. 1); точка в %п — набором 2# точек
в открытой полуплоскости, граница которой проходит через
начало координат (рис. 2).
Заметим, что %а содержит вещественные точки, удовлетво-
удовлетворяющие условиям аи( > 0 и avt > 0 для всех I и для а= ± 1.

5. Приложение БХВ-теоремы к локальности
117
Аналитически точки %'п можно охарактеризовать тем их
свойством, что выпуклое множество, порожденное (uv ..., vn),
не содержит начало координат: если %k ^. 0 и 2 ^* — 1 • т0
^¦1И1+ ••• +^2л'ул^=0- Точки вне %'п обладают тем свой-
свойством, что начало координат содержится в их выпуклой обо-
оболочке. Это, очевидно, позволяет построить функцию, голо-
•V,
•V?
'V3 %U?
У
Рис. 1. Точка вй
р и с> 2. Точка в %'3.
морфную в Хп и сингулярную в произвольно заданной точке
вне ?„. Поэтому Zn является областью голоморфности [Be 1*].
5. Приложение БХВ-теоремы к локальности
Теорема последнего параграфа допускает немедленное
приложение (подготовленное даже обозначениями) к вайтма-
новым функциям: W„(^ ?я) имеет однозначное аналити-
аналитическое продолжение в %п и инвариантна относительно L+ (С).
Соответственно
2В„+1Bо. 2, zn) = Wn(Zl — z0 zn — г„.г) A)
имеет однозначное аналитическое продолжение в область <В'п+\,
определенную условием
®^+1 = {(г0, гх zn)\((zi — z0) {zn— «/i-i))€2«}.
В результате продолжения получается функция 2В„, инвариант-
инвариантная относительно компоненты связности с единицей комплекс-
комплексной неоднородной группы Лоренца, образованной комплекс-
комплексными трансляциями и L+ (С).
Любопытно, что в отличие от Х„ и <5я+ь &я и ®^+]
содержат действительные точки, характеризуемые следующей
теоремой.

118 Гл. IV. Функции Вайтмана
Теорема [Jo 3]. Вещественные точки (plt ф р„) *)
принадлежат Zn тогда и только тогда, когда выпуклый
конус t(pv p2 р„), порожденный р1( р2 р„, содер-
содержит лишь пространственно-подобные точки.
Замечание. Выпуклый конус t(pu fo р„) опре-
определяется как множество точек А.^ -f- А.2Р2 -["•••+ ^лР»> гДе
**>0 и %Кк>0-
Доказательство, (а) Необходимость. Условие
(рг ..., рл) ? Z'n предполагает, что существует такое А ? L+ (С),
что pft = AZ,k и С* 6 2- Если теперь %k > 0, то
(С. 0. B)
где ?=2^*?ь6?' поскольку 2 выпукла. Записав, как
ft-i
обычно С = Е —J—^Л» мы заключаем, что (?,, S) = (i. I) — (Л. '4L-
+ 2/(^, Ti), и требуем, чтобы это число было вещественным.
Отсюда вытекает, что (?, ri) = 0, а поскольку тN^+> то
й. I) < 0, так что (С, 0 < 0.
(Ь) Достаточность. Обозначим через f, У± замкнутые
конусы, отвечающие f и V±. Так как f fl V"+ = f П ^_ = {0},
то существует касательная к V+ плоскость (а, |) = 0, отде-
отделяющая V+ от t и V_. Существует также касательная пло-
плоскость ф, ?) = 0, отделяющая V_ от f и V+. Тогда выпол-
выполняются следующие соотношения:
(а, I) > 0 для ?6 V+.
(а, S)< 0 для l?t или SgV_
и
(Р. ?)>0 для |6^-
(Р, |)< 0 для ?€1 или &6^+-
Здесь аир — векторы с нулевым квадратом, а ? N+ и р ? ,/V_.
Сверх того, они линейно независимы, откуда следует (а, Р)=?0,
а фактически и (а, Р) < 0. Нормируем аир так, чтобы
(а, р) = — 2. В подходящей системе координат аир имеют вид
а = A. 1, 0 0), р = (— 1, 1, 0 0).
*) Эти точки называются точками Йоста. — Прим. ред.

5. Приложение БХВ-теоремы к локальности
119
Условия (а, 1) < 0 и (($, |) < О, справедливые для |?f, при-
принимают форму —1° — I1 < 0 и |° — I1 < 0, поэтому I1 > ||°|.
Комплексное преобразование Лоренца
О
1
6MQ
C)
отображает теперь, как легко проверить, |?f в Л! = ??2.
Так как pft ? f, сразу же находим, что Apk = ?ft ? Z или
(рр ..., рп)?А~1%", что и завершает доказательство.
Вещественные точки расширенной трубы %п мы будем
систематически обозначать через (р; р„). В этих точках
функция Wn (?lf . .., ?„) голоморфна. Аналогично символ
(г0, гх г„) будет обозначать вещественные точки в ©л+1>
а следовательно, точки голоморфности Ш„+1(г0, zx zn).
Они связаны соотношением
('i — го< г2 — гх гп — г„_х) = (р„ р2 р„). D)
Из только что доказанной теоремы вытекает простое
Следствие. Точки г0, гх, ..., гп вполне простран-
пространственно-подобны: (rk — Г;J < 0 для произвольного k>l.
Доказательство. Ясно, что rk—rl = pk~\-pk+x~\- -. . .
• • • -r-Pi-i 6 f (ft Ря) и поэтому (rk — г,J < 0.
Точки (г0, гх, .... г„) помогают нам глубже понять ло-
локальность. Очевидно, точки г образуют открытое веществен-
вещественное множество, и на этом множестве обобщенные функции
Вайтмана являются голоморфными функциями. Но локальность
предполагает симметрию функции ЗЯп{хх, ..., хп) относи-
относительно перестановок векторных аргументов в вполне простран-
пространственно-подобных точках. Но поскольку ЗЯп (гх, ..., г„)
является обычной функцией, она останется в силу локальности
обычной функцией и во всех точках (rk, .... rkJ, где
Ih, k2 kn — произвольная перестановка чисел 1, ..., п.
Однако равенство
п\ v 2> •••> п) n[fki' *j> •••• *„) w

120 Гл. IV. Функции Вайтмана
допускает аналитическое продолжение, и мы получаем соот-
соотношение между вайтмановыми функциями
ЖпС*, z2, ..., zn) = Жп(zki, zki е„п). F)"
Это соотношение справедливо в наименьшей области, содержа-
содержащей Eл и инвариантной относительно перестановок (г,, ..., zn).
Обозначим эту новую расширенную область через Eл-
Область <&п является объединением всех областей, получаемых
из ©„ всевозможными перестановками переменных zl zn.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Вайтмановские функции Шп(г1 zn)
локальной теории поля голоморфны в области <Вп и сим-
симметричны по переменным zx zn.
Теперь наша цель состоит в доказательстве следующей
теоремы.
Теорема. Если ffin+1(z0, zv ..., zn) обладает всеми
свойствами функций Вайтмана, кроме свойств, вытекаю-
вытекающих из локальности, и если сверх того 2Вл+1 (z0, zv ..., zn)
симметрична по z0, zx, ..., zn, то она удовлетворяет
и требованиям локальности.
Доказательство. Согласно предположениям,
(ГО (V V V \ П7 (V V 9 V \
-"'л+1\'*01 *1« •••> &п>— " п \*\ *0' •••• *я *я-1/«
a W,,(Cii .... %,„) голоморфна в %п и Ll+ -инвариантна. Кроме
того, Wn(^l ?„) стремится к обобщенной функции
W„(I,! |„) при стремлении мнимых частей ?i ^„
к нулю внутри V+. Тогда БХВ-теорема позволяет аналити-
аналитически продолжить Wn в %п и Шп+\ в <5л+ь а симметричность
функции Шп+1 позволяет аналитически продолжить ее в ®л+1-
Нам нужно теперь показать, что из этих предположений
о 2Bn+i(z0, ..., zn) следует, что граничная обобщенная
функция
(та / v v \ == 117 / v ___ »• V »• Ч
'азп+1\хй> •••> х п) == " я V-*! -*0' •••• хп Xn-V

5. Приложение БХВ-теоремы к локальности 121
удовлетворяет уравнению
2Вл+1(*о xk_v xk хп) =
= 2S«+i (*о **• **-i. • • • • *„) G)
при условии, что (xk — xk_\f < 0.
Доказательство не составляет труда. Транспозиции zft_i
и 2ft соответствует линейное преобразование
причем все остальные ?г не изменяются. Поэтому в области
голоморфности, т. е. в %п, имеем
W/i(?i ?*-i. ?*. Sft+i. • • •-, ?я) =
= ^„«1 Cft-i-fCft. -С*. C*+C*+i Q-
Теперь можно утверждать, что это уравнение останется
справедливым и в том случае, если выбрать все ?г ?2 для I Ф k,
а ?а вещественным и пространственно-подобным: ?* = |ft,
{lk< Ik) < 0. Это верно, если точка (^ Sft_i, lk С„)
лежит в 2„, потому что тогда она будет точкой голо-
голоморфности. Чтобы показать это, нам нужно найти преобразо-
преобразование A?L+(C), переводящее упомянутую точку в %п.
Совсем нетрудно показать, что такое преобразование суще-
существует. Не теряя общности, можно считать, что | = @, \',
0, ..., 0), причем |' > 0. Если к первым двум компонентам
применить преобразование
coscp Zsincp\
Jsincp coscp /'
где sin<p>0, то в результате получится вектор из %. Но,
с другой стороны, ф можно выбрать настолько малым, что ни
один из векторов |г, I Ф k не выйдет из X. Таким образом,
мы установили равенство
ure«i E»-i. I*. C*+i. ••-. Е„) =
= ^«(Ci lk-x +1*. -I*. S* + i-r-lft Q (8)
для ?, ? J, / Ф k и (|A, lk) < 0. Однако и левая и правая
его части стремятся к соответствующим обобщенным функ-
функциям Вайтмана при 1т?г->0 в X, и мы получаем
1*+1
-т-1* U- (9)

122 Гл. IV. Функции Вайтмана
В терминах же функций 2Кя+1 это уравнение имеет вид
¦"*n+l(xO' •••> хь-1> хк хп)==
и справедливо при единственном ограничении (xk — xk^tJ < 0.
Доказательство завершено.
Замечания, (а) Таким образом, локальность совер-
совершенно эквивалентна (если выполняются все другие аксиомы)
симметрии функции 3Jta(zl za). Любое условие, обеспе-
обеспечивающее симметрию, обеспечивает тем самым и полную
локальность.
(Ь) Единственное свойство Wn(^v .... Ся), которое мы
использовали в процессе доказательства, помимо голоморф-
голоморфности в %" и L+ -инвариантности, — это существование гра-
граничной обобщенной функции Wn(lll, .... |„) при Cft->gft в %.
В качестве приложения изложенной теоремы и для иллю-
иллюстрации силы аксиом Вайтмана обсудим теперь следующую
теорему
Теорема. Пусть скалярное поле А(х) удовлетво-
удовлетворяет всем аксиомам Вайтмана, кроме аксиомы локаль-
локальности. Пусть также
[А(х). А(у)] = 0
для х в произвольной окрестности нуля и для у в произ-
произвольной окрестности пространственно-подобного век-
вектора а. Тогда оно удовлетворяет полной аксиоме локаль-
локальности *).
Доказательство. Пусть /—1, 2 п — 1. Рас-
Рассмотрим следующую действительную точку голоморфности
(rlv rl2 rl\ rlk = (k — l) а. Согласно предположению,
A1)
*) При условии \А(х), В(у)]=0, (х—уJ < — I2 эта теорема
доказана Д. Я. Петриной [5] и В. С. Владимировым [3] даже без
предположения лоренцевой инвариантности. — Прим. ред.

6. Проблема, связанная с полной симметрией 123
Это же равенство выполняется в некоторой окрестности
выбранной точки. Аналитически продолжая это соотноше-
соотношение, получаем
9ЙЯB! *|. «i+i. •... г„) = ЗКяB1 zl+l, zt zn).
A2)
Поскольку / произвольно, должна иметься полная симметрия Шп
для каждого я, что и требовалось доказать.
Замечание. Эта теорема отчетливо демонстрирует тес-
тесную взаимную связь лоренц-инвариантности, условия поло-
положительности энергии и локальности. Она показывает также,
что в определенном теоремой смысле у нас есть только две
возможности — либо строго локальная, либо везде нелокаль-
нелокальная теория.
6. Проблема, связанная с полной
симметрией Ш„(ги z2 , . . ., zn). Дополнительные
замечания о БХВ-теореме
А. Проблема, связанная с полной симметрией Ш„.
Как мы уже видели, полная симметрия Шп выражает в эле-
элегантной и нетривиальной форме локальность соответствующей
теории поля. Однако она тотчас же выдвигает новые, трудно-
труднопреодолимые проблемы. Мы знаем, что из симметрии выте-
вытекает голоморфность 2№я в <?„. В то время как совер-
совершенно тривиально, что <2>„ является областью голоморфности,
и очень похоже, что это так и для &'„ при п > 2, для <2>?
это уже неверно ').
Чтобы пояснить сделанное утверждение, мы должны вспом-
вспомнить простой, но фундаментальный факт, отличающий теорию
функций многих комплексных переменных от теории функций
одного комплексного переменного. В последней любая область
является областью голоморфности. Это означает, что всегда
найдется функция, голоморфная з данной области, но не
допускающая голоморфного продолжения за ее пределы.
В случае же нескольких комплексных переменных это далеко
>) Случай п = 2 тривиален. Для и = 3 это было впервые пока-
показано Челленом и Вайтманом [Ка 2], для п = 4—Челлеиом и Тол-
лом [Ка 41, для п = 5 — Маногараиом [Mh 1], Меллером [Мб 1] и
Лузатто [Lu 1].

124 Гл. IV. Функции Вайтмана
не так. Если, к примеру, 35 — однолистная область в много-
многомерном комплексном числовом пространстве, то может слу-
случиться, что любая функция, голоморфная и однозначная в 35,
с необходимостью голоморфна и в некоторых точках за пре-
пределами 35. Если же этого нет, иначе говоря, если найдутся
функции, голоморфные в 35, но сингулярные в произвольно
заданной точке вне 35, то 55 называется областью голоморф-
голоморфности [Be 1*. Wi 5]. В противном случае 35 содержится
в некоторой наименьшей области голоморфности, называемой
оболочкой голоморфности ©%?E5). Из трудностей, которые
могут возникнуть в процессе аналитического расширения,
т. е. в процессе построения по данной 35 ее оболочки голо-
голоморфности Ш C5), отметим, что ef? C5) однолистной области
может не быть однолистной.
По-видимому, стоит проиллюстрировать эти факты про-
простой, но полезной теоремой об аналитическом расширении.
Рассмотрим s-мерное комплексное аффинное пространство
координат zx, z2, .... zs. Запишем zl = xx-\-iyv где хх
и уг вещественны.
Определение. Пусть 23— (связная) область в s-мер-
ном вещественном пространстве с координатами у1? у2, .... ys.
Область
называется трубой с базисом 23.
Пример. Наша область % — это труба с базисом V+.
Аналогично %п — труба с базисом V+". Однако %п уже не
труба.
Теорема. Оболочкой голоморфности трубы X B3)
является ее выпуклая оболочка или, что эквивалентно,
труба $B3), где 23 — выпуклая оболочка 23.
Доказательство см., например, в [Wi 5].
Замечание. В комплексном аффинном пространстве
любое выпуклое множество, имеющее внутреннюю точку, есть
область голоморфности. Это вытекает из следующих двух
фактов:
A) Выпуклое множество есть пересечение полупространств.
B) Полупространство есть область голоморфности.
Последнее утверждение нетрудно понять. Аффинным пре-
преобразованием (которое, очевидно, переводит область голо-

6. Проблема, связанная с полной симметрией 125
морфности в область голоморфности) полупространство может
быть приведено к виду {У]<0}. Но функция (Zj — а),
где Im а ^> 0, при должном выборе а становится сингулярной
в произвольно заданной точке вне нашего (открытого) полу-
полупространства.
Чтобы продемонстрировать возможности метода аналити-
аналитического расширения даже в рамках сравнительно простой
теоремы о трубе, докажем теорему, относящуюся к случаю
двух измерений.
Теорема. Пусть %+ — труба будущего в двух изме-
измерениях, а 2_ = РТ%+ — труба прошлого. Пусть далее
23— область, содержащая 2" U ?" и Ь\-инвариантную
окрестность вещественных точек в %п. Тогда оболочкой
голоморфности 23 является %п.
Замечание. Это — простой вариант замечательной тео-
теоремы Р. Ф. Стритера, относящейся к случаю четырех изме-
измерений (см. следующий параграф).
Доказательство. В переменных § 4, %п+ опреде-
определяется условиями Im uk > 0, 1тг>? > 0, 1 -^ k <^ и; XI— усло-
условиями Im uk < 0, Im vk < 0, 1 <[ k <[ n, а вещественные точки
регулярности—условиями аик > 0, avk > 0, где сг2= 1. Нако-
Наконец, Z.+ содержит преобразования uk = %uk, vk = %vk, где
Я > 0. Очевидно, мы столкнулись с ситуацией, где все зависит
только от углов. Напрашивается переход к логарифмам
В этих новых переменных %п+ и %t принимают вид
С" ={0<Imnft, ImvA<n} и С" ={—я<1т^, Imvft<0},
а вещественные точки в ?я описываются условиями Im |i,A =
= Im vk — 0, 1 ¦<; k -^ п или Im \ik = Im vk = я. Ясно, что мы
имеем дело с трубой, базис которой состоит из двух кубов С+
и С"_, соединенных вещественными точками %п, и их повто-
повторением с периодом 2я (см. рис. 3). Оболочка голоморф-
голоморфности представляет собой трубу над выпуклым множеством,
порожденным этими кубами, иначе говоря, объединение кубов
{ф<1т(хА, 1тгА<ф + я} с произвольным ф. Если теперь

126
Гл. IV. Функции Вайтмана
вернуться к старым переменным, то мы получим расширен-
расширенную область Zn.
Обратимся теперь снова к проблеме, поставленной'в загла-
заглавии параграфа. Мы уже говорили, что ©„ не является
областью голоморфности для п > 2. Сразу же возникает задача
аналитического расширения. Для п = 3 эта задача была решена
ImV
Л
-л/
/л
Рис. 3.
Челленом и Вайтманом [К'& 2]. Их результаты можно получить
и более простым способом (существенно пользуясь подхо-
подходящим обобщением теоремы о трубе) [Ru3]. Для больших
значений п проблема голоморфного расширения (в более чем
двух измерениях) представляется очень трудной.
Это вызывает вопрос, следует ли придавать такое боль-
большое значение знанию „истинной" области голоморфности
Шп {zx, ..., zn). Слово „истинный" поставлено в кавычки по
той причине, что мы хотим напомнить читателю и себе, что
до сих пор мы имели дело лишь с линейными ограничениями
на функции Вайтмана. До тех пор пока нелинейные ограни-
ограничения игнорируются, можно вообразить себе довольно, впро-
впрочем, маловероятную ситуацию, что они расширяют область
голоморфности, выводя ее за пределы ^?(®^). Однако даль-
дальнейшие ограничения спектральности на оператор трансля-
трансляции Т (а) не повлияют (в рамках „линейной программы") на ана-
аналитическое поведение Шп{гх zn).
Первоначальная идея заключалась в том, чтобы рассма-
рассматривать gf? (<?>n) как промежуточный этап для построения
подходящего представления, выражающего все линейные огра-
ограничения, и в дальнейшем воспользоваться этим общим пред-

6. Проблема, связанная с полной симметрией 127
ставлением для обсуждения нелинейных ограничений. Помимо
сложностей, связанных с построением 0$"(Eп)для я > 3 (кото-
(которые, впрочем, делают проблему еще более привлекательной),
довольно трудно надеяться, что для вайтмановых функций
в результате получится, скажем, простое интегральное пред-
представление, поскольку ffl?\&n) вряд ли окажется аналитическим
полиэдром, единственной областью, для которой можно запи-
записать интеграл Бергмана — Вейля. Известная оболочка голо-
голоморфности в случае я = 3, к которой можно применить пред-
представление Бергмана — Вейля, пока еще мало что дала нам
для понимания ситуации (как нам кажется).
Тем не менее аналитическое расширение в очень близкой
форме входит в теорию поля в другом месте — в применении
к преобразованиям Фурье полностью запаздывающих функ-
функций, т. е. величинам, более тесно связанным с экспериментом.
Значительный интерес представляет аналитическое поведение
выводимых таким способом матричных элементов оператора
рассеяния 5. Поэтому развивать подходящие методы построе-
построения оболочек голоморфности важно отнюдь не только в связи
с проблемой вайтмановых функций (гл. VII, § 3).
Отметим в связи с этим еще небольшую элегантную тео-
теорему, доказанную Рюэлем [Ru 1], которая вместе с замеча-
замечанием Штайнмана показывает, что в случае п >¦ 3 и более чем
двух измерений ©„ не является областью голоморфности.
Теорема. Все вполне пространственно-подобные
точки содержатся в е%?(<5?).
Доказательство. Достаточно рассматривать как ком-
комплексные переменные лишь временные компоненты, простран-
пространственные же компоненты можно считать вещественными. По-
Поступая так, мы, разумеется, выделяем систему координат,
обозначим Im Z° через t. Точка (zx zn) попадает в <5„,
если tk ф tl для k Ф I. Это очевидно, так как расположение
точек z в соответствии с возрастающими значениями t при-
приводит к точке в Z \ Поэтому сингулярности могут возни-
возникать лишь при совпадающих значениях двух t. Рассмотрим
теперь точку (z1 zn), вещественная часть которой
(jclt .... ха) вполне пространственно-подобна: (xk — x{f < 0
при k Ф I. Будем классифицировать опасные точки по числу
совпадающих значений t: для /и-точки имеется в точности т

128 Гл. IV. Функции Вайтмана
(независимых) уравнений tk — tv Покажем теперь с помощью
индукции, что ни для какого m сингулярности не. возни-
возникают.
Случай ш=\. Снова предположим, что координаты zt
упорядочены по возрастающим значениям t. В таком случае
разности координат ?г = zt — zl_l попадают в 2 за одним
только исключением: когда соответствующая разность веще-
вещественна и пространственно-подобна. Но как мы видели в пре-
предыдущем параграфе, такая точка попадает в 1(Л_1) и, следо-
следовательно, является точкой голоморфности.
Индуктивное предположение. Пусть никаких
сингулярностей нет для m < m0, mo> 1. Пусть (zx, ..., zn)
является /га0-точкой, и пусть zt опять упорядочены согласно
росту значений t. Пусть ?ft и ?г — две вещественные разности
координат. Пусть, наконец, xk = tk — tk_x и xt = tt — tl_1 —
мнимые части временных компонент этих разностей в окрест-
окрестности нашей /га0-точки. Согласно определению /га-точки, суще-
существует некоторая окрестность многообразия xk = т, — 0 (и,
значит, нашей т0-точки), скажем, | xk | < е и | тг | < е, е > О,
где нет других /га0-точек. В этой окрестности xk = т, = О
является единственной возможной сингулярностью. Однако
такая особенность устранима (теорема „о ребре" [Be 1*]).
Нам осталось еще показать, что мы и в самом деле произ-
произвели аналитическое расширение. Для этого мы построим
вполне пространственно-подобную точку, не содержащуюся
в <3„. Рассмотрим в трехмерном случае точки с координатами
A-е, 1, 1), A-е, —1, —1), (е-1, 1, —1), (е-1, —1, 1),
где е > 0 и мало. Эти точки вполне пространственно-подобны
и никакой перестановкой не приводятся к г-точке.
В. Дополнительные замечания о БХВ-теореме. БХВ-тео-
рема § 4 является результатом только первой половины при-
примерно дюжины лемм, доказанных в очень важной работе
Холла и Вайтмана [Hal 1]. В дальнейшем нам понадобится
лишь эта теорема. Однако для других исследований чрезвы-
чрезвычайно важны и все остальные результаты работы. По этой
причине весьма желательно по крайней мере описать общие
идеи, изложенные Холлом и Вайтманом, что мы и собираемся
сделать в этой части параграфа. При этом мы в какой-то степени
будем следовать двум недавним статьям К. Хеппа [Hep 2, 3].

6. Проблема, связанная с полной симметрией 129
Последующее обсуждение ограничим случаем четырех изме-
измерений. Это ограничение несущественно и сделано исключи-
исключительно из соображений удобства.
Функция Вайтмана Wn есть 1+ (С)-инвариантная функция,
голоморфная в %п. Вполне естественно желание записать ее
в декларативно инвариантном виде, именно, как функцию
простых инвариантов, подобных скалярным произведениям
•z«=(?(i tit)- Такое представление, однако, нетривиально.
Чтобы составить себе некоторое представление о проблеме,
вспомним сначала аналогичную, но более простую ситуацию
в классической теории инвариантов. Здесь приходится иметь
дело с L+ (С)-инвариантными полиномами п векторных пере-
переменных t,\, • • •. ?„• Первая главная теорема теории инвариан-
инвариантов утверждает, что каждый такой полином является поли-
полиномом по следующим инвариантам:
*« = *« = (?,. ?*)• *<*•
Детерминанты появляются, естественно, лишь, когда п
Полное число инвариантов равно
4't'M;
Обозначим инварианты через (/j, .... 1ГУ^1- Они принимают
значения в Сг. Снова вместо (d, • • •. ?„) будем писать
?, а вместо %п просто % . Чрезвычайно важно для нас ото-
отображение л :?->/. В этих обозначениях содержание первой
главной теоремы можно сформулировать так: каждому L+ (C)-
инвариантному полиному р переменных ? соответствует такой
полином р переменных /, что
Р@ = (?оя)@. A)
Однако полином р определяется однозначно лишь в простей-
простейших случаях, именно, если я < 4. Во всех других случаях инва-
инварианты ^(С), .... /Г(С) не независимы, а удовлетворяют опре-
определенным полиномиального вида тождествам. Эти тождества
нетрудно найти. Во-первых, ранг матрицы \\zik\\ не
9 Зак. 707

130 Гл. IV. Функции Вайтмана
превосходит четырех, т. е. все ly^l миноры, где / > 4, равны
нулю *)• Во-вторых,
Таким образом, р определены только по модулю идеала У,
порожденного конечным числом полиномов, выражающих зави-
зависимость инвариантов /.
Можно описать ситуацию другим способом: значения /(?)
пробегают не все Сг, они лежат в алгебраическом много-
многообразии, определенном равенством 7=0. Два полинома р1
и р2 отвечают одному и тому же полиному р, заданному
формулой A), если их разность исчезает на {/=0}. Но каждый
конкретный полином, удовлетворяющий A), допускает про-
продолжение вне {/=0}, во все пространство Сг.
Теперь наша цель состоит в том, чтобы доказать суще-
существование представления вида A) для функций Вайтмана. Это
оказывается возможным, но возникающие при этом труд-
трудности весьма значительны.
Первый шаг в такой программе относится к отображе-
отображению л. Первый результат прост: отображение я:?->/ есть
отображение на {/=0}. Каждой точке /° на {7=0} соот-
соответствует такой вектор ?°, что /° = я (?°).
Второй результат значительно глубже. Начнем с тривиаль-
тривиального замечания, что топология на {/=0} индуцируется окрест-
окрестностями в С. Второй результат утверждает, что для каждой
/<>?{/—0} найдется точка ?Р? я (/<>), такая, что каждая
окрестность ?° отображается на некоторую окрестность /°
(лемма 3 в [Hal 1 ]). Однако, вообще говоря, не каждая
точка в я (/°) обладает этим свойством.
Следующий шаг связан с важным свойством V : V насы-
насыщено по отношению к я
%' = я-1 о я (г1). B)
Простым следствием уже перечисленных результатов
является тот факт, что существует функция W, непрерывная
на я B/) и удовлетворяющая равенству
C)
') Мы не утверждаем, что эти тождества независимы так же,
как и следующее за ними соотношение.

6. Проблема, связанная с полной симметрией 131
Функция W голоморфна в любой регулярной точке {/=0),
т. е. в любой точке {7=0}, в которой алгебраическое много-
многообразие {7=0} локально представляет собой алгебраическую
поверхность.
Представление C) и упомянутые свойства W составляют
главный результат статьи [Hal 1]. Он, однако, заметно слабее,
чем соответствующий результат для инвариантных полиномов.
Как мы видели, полиномы допускают продолжение за пределы
{/=0}. Согласно Хеппу, похожий результат можно получить
и для W по крайней мере локально [Hep 2,3]. Для каждой
точки /° ? л C/) можно найти такую окрестность N ? Сг и
такую функцию W', голоморфную в N, что в N(\n(Z')
функция W является следом W'. Другими словами, W сильно
голоморфна в я{%').
Вышеприведенный результат следует из несколько более
общей теоремы.
Теорема (БХВ, Хепп). Пусть D есть п-насыщенная
область изменения переменных ?. Тогда любая L+ (C)-
инвариантная и голоморфная в D функция F векторов ?
допускает представление
F (?) = (? о л) (?), D)
где F сильно голоморфна на n(D).
Представляет интерес и следующая теорема.
Теорема (Хепп). Пусть D л-насыщена и л(?)) =
= Gfl{J=Q), где О в Сг голоморфно выпукла. Тогда
любая функция F, голоморфная в D, допускает пред-
представление D), причем функция F является следом голо-
голоморфной в G функции F'.
Замечания. 1. Разумеется, вообще говоря, функция F'
не определяется однозначно, поскольку две разные функции
могут совпадать на л (D).
2. Если в предыдущей теореме заменить L+ (С) на L (С),
то она останется верной при условии, что число инвариантов
ограничено числом с\ скалярных произведений zlk = (?г, Cft).
3. В инвариантных относительно отражения теориях вайт-
мановские функции L (С)-инвариантны. При этих условиях
предыдущая теорема открывает возможность рассматривать
9*

132 Гл. IV. Функции Вайтмана
вайтмановские функции, зависящие от « четырехмерных
векторов, как голоморфные /."(С)-инвариантные функции я-век-
я-векторов в «-мерном пространстве Минковского (Ln(C)—это
«-мерная группа Лоренца). Однако такая возможность суще-
существует лишь в том случае, если расширенная труба «-векто-
«-векторов в «-мерном пространстве Минковского голоморфно вы-
выпукла. Это справедливо для »^4 и неизвестно для я > 4.
Заключим этот параграф несколькими комментариями.
(a) Вычисление оболочки голоморфности W2, проведенное
Челленом и Вайтманом [КЗ 2] и Рюэлем [Ru 3], использует
результаты Холла и Вайтмана.
(b) Анализ границы %п содержится в [Ка 2, 5, 6; Jo 4;
Wi 6; Mh 1].
(c) Геометрия комплексного «-мерного пространства Мин-
Минковского проанализирована в [Lo 1].
(d) Мы абсолютно ничего не сказали здесь о распро-
распространении изложенной теории на ковариантные тензорные поля.
В этой области важные результаты были получены Араки и
Хеппом [Hep 2, 3].
7. Теорема Глазера и Стритера
Как уже упоминалось, В. Глазер и Р. Ф. Стритер [Str 1]
открыли следующую теорему, проливающую новый свет на
расширенную область %п Баргмана, Холла и Вайтмана.
Теорема (Глазер и Стритер). Пусть 23 есть L+-uh-
вариантная область, содержащая %п и вещественные
точки J в %п. Тогда оболочка голоморфности е%?B3):э?л.
Доказательство1). Снова опустим индекс я и будем
писать С вместо (^ ?я). Пусть /(?)— функция, голо-
голоморфная в 23. Нам нужно показать, что она допускает одно-
однозначное аналитическое продолжение в %'. Ограничимся слу-
случаем четырех измерений.
1. Помимо % в 23 содержится также %_ = {? | — С 6 Щ<
так как ?_ = /?2, где R— отражение в L + , например, пред-
представленное диагональной матрицей с диагональными элементами
1) Автор признателен д-ру Эпштейну, который указал, что
первоначальное доказательство, предложенное автором, было оши-
ошибочным.

7. Теорема Глазера и Стритера
133
(—1, —1, -)-1, +1)- Поэтому /(?) голоморфна и в Z, и в ?_.
Поговорим сначала о функции F (х; 0 = / (^ 00 0> гДе С 6 ®-
a Z. (х) — произвольное (комплексное) лоренцево вращение
в @, 1)-плоскости
x shx On
Эта функция F(%; ?) при фиксированной ? определена и
голоморфна в „трубах" вокруг Im % = rrm, m = О, ±1, ±2
Конкретнее, ее область определения дается соотношением
?(Х)?6?> а в силу L+-инвариантности 23, это накладывает
ограничения лишь на мнимую часть х-
Mm
ш
777777777777777777
i/1111111/1111111/III 11/1111
Рис. 4. Область определения F (? О- В заштрихован-
заштрихованных областях функция не определена.
2. Существуют даже такие точки ?о?23, а стало быть,
и их окрестности, в которых ^(х; Q голоморфна при всех
значениях х- Таковы, например, точки в У, у которых первая
компонента больше абсолютной величины нулевой компоненты
(р°. р1. Р2. Р3). гДе РХ>|Р°|- Действительно, эти точки пере-
переводятся преобразованием L(ty) либо в точки J, ?_, либо
при ф = я в У (заметим, что У инвариантно относительно L+).
Обозначим такие точки через р0- То же самое верно для
преобразования Z.(x) при произвольном х- Поскольку кривая
L (ф) ро компактна, можно найти также такую окрестность ро<
что при действии преобразования L(iq>) она остается в 23.

134 Гл. IV. Функции Вайтмана
То же самое справедливо при применении Z,(x) с произволь-
произвольным х-
3. Таким образом, возникает следующая типичная ситуа-
ситуация: при определенных значениях ? функция F(%, Q голо-
голоморфна для всех х. например, в полосе 0-^1тх-^2я, но
при изменении ? появляется некоторое множество точек,
в которых F (х< 0 уже не определена. Если бы это мно-
множество (в полосе 0 -^ Im х -^ 2я) содержалось в некотором
компактном множестве (для подходящих значений ?), то мы
легко смогли бы доопределить F(x; ?) Для всех х (ПРИ
заданных подходящих значениях ?). Однако, поскольку это
не так, нам приходится искать обходный путь.
4. Для этой цели обсудим функцию / в точках
где на х> начиная с этого момента и далее, наложено огра-
ограничение 0-^1тх-^2я, а С находится в ?. Получившуюся
функцию переменных х и ? назовем Fx (x; ?). Иначе говоря,
Функцию a(x) нужно выбрать таким образом, чтобы она ото-
отображала х = °° в точку a = О, х = 0 — в точку a = 1,
а полосу 0 -^ Im х -^ 2л — в подходящую окрестность сег-
сегмента [0, 1]. Простым примером такой функции является,
скажем, а(х) = Л[Д + х2]. причем А > 0 превосходит BлJ
и достаточно велико.
Нижняя граница для А определяется с помощью следующих
соображений. Так как 2 выпукла и имеет р0 в качестве
граничной точки, то а?-|-A—а)ро?3: при 0<а-^1. По-
Поскольку Ро6®> а? + 0—а)Ро6®' если а изменяется в до-
достаточно малой окрестности [0, 1], то функцию а(х) следует
выбирать так, чтобы полоса 0 ^ Im x -<! 2я отображалась как
раз в эту окрестность. В нашем конкретном примере нижняя
граница Ао значений А находится именно таким способом.
5. Очевидно, что функция Fx (x, С) определена и голо-
голоморфна в окрестности Im х = 0, л или 2л. Однако для до-
достаточно больших | Reх | точка a(x)?-f-(l—a(x))Po близка
к р0, и Fx (х; 0 будет голоморфной для 0 -< Im x < 2я. Сле-
Следовательно, область определения F, (х, С) обладает изобра-

7. Теорема Глазера и Стритера
135
женной на рис. 5 структурой. Таким образом, мы достигли
своей цели: точки, где Рг(%, ?) остается неопределенной,
оказались внутри компактного множества.
¦Хп
<////////// У///////А
У///////А
Рис. 5. Область определения Ft (x, ?)•
Все, что было сказано об одной точке ?, тотчас обоб-
обобщается на множество значений ? при условии, что это мно-
множество содержится в компакте (?ос?. Можно даже добавить
к 60 замкнутую окрестность р0 и предположить, что такое
объединение (S связно.
6. Теперь уже мы можем доопределить Z7, (х, ?) при
0<1т)с-<2я и произвольных ? 6 ® П 1. Фактически, если
А > Ао, функция F) {%, О будет всегда голоморфной вдоль
границ прямоугольника, образованного линиями Rex=±Xo
и Im у = 0, 2я. Поэтому интеграл Коши
определяет аналитическую функцию переменных % и ?, сов-
совпадающую с нашей старой функцией, если ? достаточно
близки к pt,. Итак, ?\(х. О голоморфна во всем прямоу-
прямоугольнике и при аналитическом продолжении равна Z7, (%, С)
во всех точках области определения.
7. При формальном переходе к пределу А—>оо не про-
происходит ничего особенно поучительного. Поэтому опустим
детали и сразу же перейдем к заключению, что функция
F(%, ?) = /(Х(хК) допускает аналитическое продолжение
во все точки Im % = 0, 2я; ? ? Z и что это продолжение
однозначно.
8. Все сказанное выше можно тотчас же обобщить на
функцию
Л 6 4.

136 Гл. IV. Функции Вайтмана
определенную в L+ (С) X ?¦ При фиксированных Ли? эта
функция также допускает единственное аналитическое про-
продолжение для произвольных точек %. Особенно важен случай
Х = /ф, где ф вещественно.
Фактически, функция F(AL(iq>); ?) однозначна в L+ (С)Х&
(где бы она ни была определена). Это так, поскольку из
A'L (/ф') = KL (йр)
вытекает, что Л' = Л и L (Лр') = L (/ф).
9. Теперь нам нужно несколько изменить обозначения.
Впредь пусть Ц (х) = ?(х), и пусть Lk(%)—соответствующее
Лоренцево вращение в @, k) 2-плоскости. Пусть далее Klm (ф),
О < / < т, — однопараметрическая подгруппа L+ (С), отве-
отвечающая вращениям лишь в (/, т) 2-плоскости. Отметим
формулу
К1т (IX) - Lm (/я/2) Lt (х) Lm (- /я/2).
10. Обсудим теперь функцию
С помощью небольшого и вполне очевидного изменения, опи-
описанного в пунктах 1—7 метода (необходим другой выбор
точки ро), эта функция продолжается к произвольным значе-
значениям х- и в результате мы получаем частный случай функции
которая снова однозначна в L+ (С)X ?•
Последующее продолжение тривиально (х вещественно)
/7(AL,(/9)i3(/n/2)i2(x); С) = F (AL, (*Р) ?3 (ВД; МхH-
Несколько менее тривиален тот факт, что такое продолже-
продолжение однозначно в L+ (С) X ?• Пусть
Л'?, (Ар') ^з (^/2) L2 (хО = AL, (/Ф) L3 (ui/2) ij (X)-
Тогда
A-!A' = Ц (йр) АГ23 (/ (X - X')) ^i (- V) -
= ^,(/(ф —Ф'))^2зУ(Х —X')).
а это возможно (для Л, Л ? Z.+) только, если х' = X и

7. Теорема Глазера и Стритера 137
11. Далее
F (AL, (up) Z.3 (/л/2) L2 (х) L3 (x'); С) =
= Z7 (Л1, (йр) А3 (/я/2) L2 (х); i3 (хО 0
продолжается на %'= —/я/2, и мы получаем, что функция
/7(AL1(up)/C23(/x); О однозначна в L+(C)XS.
Последнее тривиальное продолжение приводит к (Ai ? Z.+)
f (Л/., (йр) К23 (/х) Л1; С) зз Z7 (AZ., (йр) АГ23 (/X); Л,С).
Такое продолжение снова однозначно, если мы ограничимся
неотрицательными значениями %, поскольку из равенства
л'л, (йр') к23 (/хО л; = л/., (йр) кп (/х) л,
следует, что Z. (/ф') = L (йр) и % = %' (единственность нор-
нормальной формы, приложение I, § 3). Нетрудно установить, что
A-WL2 Bйр) АГ23B/х) = L2 Bйр) АГ23 B//) A~4'.
Отсюда следует [Л"^', Z-j (/ф) /С23 (/X)] = О И. наконец,
AAi = AAi. Поэтому можно записать
F (Л' L, (V) /С23 (/х'); Л(С) = Z7 (AL, (йр) АГ23 (/X) Л-'Л'; ЛГС)=
= /7(AII(ftp)/fffl(/x); Л,С).
Однако даже для х^-0 {-^^i (гФ)^2з('Х) ^х} пробегает всю
L+ (С), кроме точек множества низшей размерности. Поэтому
посредством продолжения по непрерывности в эти исключи-
исключительные точки мы получаем единственную аналитическую
функцию F(A; Q, определенную на A?L+(C), Z, ??. Эта
функция является расширением / (Л?).
12. Из последнего утверждения следует, что функция
Q>{B) = F{AB-\ ВС)
локально постоянна на L+ (С). Область ее определения пред-
представляет собой {В\В??%, ???}. Так как эта область связна
[Hal I; Jo 3], Ф(В) глобально постоянна и допускает одноз-
однозначное аналитическое продолжение в L+ (С). Таким образом,
мы вправе записать
F(A; О = /
расширив /(С) на X'.
Тем самым теорема доказана.

138 Гл. IV. Функции Вайтмана
Замечание. Интересное обобщение состоит в том, что
можно отказаться от требования L+-инвариантности, если 93
содержит Z, 2_ и J.
Теорема (Глазер и Стритер). Если 33—область, со-
содержащая X", %1 и J, то ее оболочка голоморфности
содержит Zn-
Доказательство этой более сильной модификации теоремы
Стритера основано на теореме „острие клина" *) [Вт 1; Dy 1;
Та 1; Ер 1], из применения которой к возникшей ситуации сле-
следует, что оболочка голоморфности области 33 содержит вместе
с каждой точкой р?У некоторую ее комплексную окрест-
окрестность, причем размеры этой окрестности универсальны и
не зависят от 33 (от 53 требуется лишь, чтобы %п, J"_ и У
содержались в 33). Это приводит нас к рассмотрению мно-
множества всех функций, голоморфных в %, %_ и J. Все такие
функции будут (согласно вышесказанному) голоморфными
в некоторой универсальной окрестности J. Однако, поскольку
множества %, %_ и J (мы снова опустили индекс и) /^-ин-
/^-инвариантны, множество функций, голоморфных в объединении
Z, ?_ и J, также L+-инвариантно. То же самое относится
к пересечению областей голоморфности этих функций. Но
пересечение областей голоморфности содержит упомянутую
окрестность J, а поэтому и L+-инвариантную область 93О,
удовлетворяющую требованиям более слабой модификации
теоремы Стритера.
В сочетании с теоремой „острие клина" сильная модифи-
модификация теоремы Стритера приводит к следующей форме.
Теорема. Пусть /+(?i, .... ?„) голоморфна в Z'1,
а /_ (С, In) —в Z1. Пусть /+(?i Q и /_ (й ?„)
таковы, что граничные значения /+(Р\> ••¦> Рп) и
/_(Pi, .... ря). Р?J, существуют как обобщенные функ-
функции.
Если, кроме того, f+(pr Pn) = /_(Pl Рл)
в области J в смысле равенства между обобщенными
функциями, то /+ и /_ допускают (однозначное) ана-
аналитическое продолжение /(^ ?я) в %'п.
*) В оригинале „Edge-of-the-Wedge"i Эта теорема при допол-
дополнительных предположениях впервые была установлена Н. Н. Бого-
Боголюбовым [1, дополнение А, теорема 1]. —Прим. ред.

8. Теорема Рее и Шлидера и ее приложения [Re 1] 139
8. Теорема Рее и Шлидера и ее приложения [Re 1]
В главах I, § 1С и III, § 4 мы ввели линейное тополо-
топологическое пространство
оо
е^=®е^п, A)
- л=0
элементами которого служат последовательности основных
функций <р = (ф0, qjj, ф2, ...) с конечным числом отличных
от нуля членов. Равенство
И(Ф)=2<ЛЯ, Фл) B)
п
отображает это пространство &f в пространство операторов,
действующих в §, а равенство
Л(ф)О C)
— на плотное множество D. ?? является -х--алгеброй и ото-
отображается посредством B) в алгебру 91 = М(ф)} операторов,
определенных на D. Если сузить [А (ф)]* на D, то будет
выполняться соотношение
= Аф. D)
Поставим теперь вопрос о подалгебрах ??. Пусть 23 —
открытое множество в R4. Наложим на фл условие зцррфлс:93х'1
и определим
^я(») = {ф»1ф»€^.. зиррф^аз4"}. E)
Окончательно,
ф^„(93) F)
представляет собой замкнутую -^-подалгебру &'. Оператор А
есть отображение ^"(93) в подалгебру 51B3) алгебры, 91,
а Ф —отображение в подмножество DB3) множества D.
Справедлива следующая замечательная теорема.
Теорема [Rel]. Подмножество Оф) плотно в $.

140 Гл. IV. Функции Вайтмана
Доказательство. Нужно показать, что DC3)L = O.
Вектор \Р ? D (S3)-1- удовлетворяет равенству
С?, (А\ Ф„>0) = (^, Фя(Фл)) = 0 G)
при всех Флб^лС®)- Таким образом, обобщенные функции
.-..*„) (8)
обращаются в нуль в 33х". Однако, согласно § 1, эти обоб-
обобщенные функции допускают аналитическое продолжение
Р„ СР) (*i *„) в Im z, ? К+, Im (zft — *,_,) ^ ^+. Теорема
„острие клина" позволяет аналитически продолжить Z7,, (W)
через 33х" в ImZj^K., lm(zk — -2*-iN^-i- Ho такое про-
продолжение дает нуль. Поэтому Fn(*?) = 0 и 4r?/>L={0},
что и требовалось доказать.
Отметим, что в процессе доказательства локальность никак
не использовалась.
Теорема Рее и Шлидера дает возможность значительно
обобщить доказанную в гл. III, § 5В теорему Рюэля.
Теорема. Пусть 33 —¦ область, инвариантная отно-
относительно однопараметрической группы времени-подобных
или лежащих на световом конусе трансляций
л: ? 23-* л: + Ал ? 33, афО, a ?V+, —оо < I < +оо. (9)
Пусть 21C3)—соответствующее кольцо операторов. Огра-
Ограниченный оператор С, удовлетворяющий равенству
(Ф, CAW) = (A*<$, CW) A0)
при всех Л?ЯC3) и всех Ф, W?D08), кратен I.
Доказательство. Пусть ТХ = Т(Ка)= J eiladEa(l),
и пусть dEa {%) — Еа (А) для любого борелевского мно-
жества А. Тогда Еа([0, оо)) = / и Еа{{—оо, 0]) = ?0,
где Ео — проектор на (Q). В полной аналогии с доказатель-
доказательством гл. III, § 5, получаем из A0)
(Q, СЕ1 (А) Аи) = (A*Q, ft(— A)CQ),

8. Теорема Рее и Шлидера и ее приложения [Re 1] 141
где —Д={^| — Я?Д}. Выбрав А = [0, со), получаем далее
(Q, CAQ) = (Q, CQ)(Q, AQ) ¦ A1)
при всех А ? Ш C3), а поэтому и при всех Ф ? D E8)
(Q, СФ) = (?2, CQ)(Q, Ф). A2)
Наконец, снова пользуясь A0), приходим к соотношению
= (О, CQ)Df, Ф) A3)
для всех Ф, ^Р ^ D E8), а с помощью равенства D B3) = §—
к результату С = (Q, СО) • I, что и нужно было доказать.
Только что доказанная теорема является частным случаем
теоремы, полученной Борхерсом [Во 2] и Араки [Аг 9].
Если скомбинировать теорему Рее и Шлидера с локаль-
локальностью, можно вывести следующий полезный критерий.
Т е о р е м а. Пусть А ? Ш E8) и пусть 58 ограничено.
Тогда из
AQ = 0 A4)
вытекает, что
0 для Ф?О. A5)
Доказательство. Если 58 ограничено, то множество 58'
пространственно-подобных по отношению к 58 точек
»' = {*|(* —*,)*<о v*,€»} A6)
не пусто. Каждый оператор Л, ? 91 E8') перестановочен с А.
Таким образом, из A4) следует
AA1Q = A1AQ = 0, A7)
и поэтому
ЛФ' = 0 для всех Ф'?ОE8'). A8)
Итак, поскольку D E8')=§, то А* = 0 и, наконец, А (пред-
(представляющий собой сужение А** на D) удовлетворяет A5).
Теорема доказана. ~

Глава V
TCP-ТЕОРЕМА. СПИН И СТАТИСТИКА
1. Вступительные замечания
В этой главе мы будем заниматься двумя важными при-
приложениями развитой до сих пор теории. Оба приложения
относятся к проблемам, которые широко обсуждались и про-
продолжают обсуждаться в лагранжевой теории поля. По этой
причине результаты настоящей главы никоим образом не пре-
претендуют на новизну. Однако нам кажется, что развиваемая
здесь теория дает гораздо более глубокое представление
о природе этих проблем.
В ГСР-теореме утверждается, что любая локальная тео-
теория поля обладает дополнительной дискретной антилинейной
симметрией 0. В теориях, инвариантных относительно инвер-
инверсии времени Т, пространственного отражения Р и сопряжения
частица—античастица С, такая инволюция представлена произ-
произведением TCP. Мы докажем эту теорему лишь в случае
вещественного скалярного поля, т. е. лишь для теории, опре-
определенной в гл. III.
Приведенное в этой главе рассмотрение связи между спи-
спином и статистикой не является полным. Важное дополнение
будет дано в гл. VI. Здесь же мы рассмотрим только воз-
возможные коммутационные соотношения между одинаковыми
или различными полями.
Соответствующий результат в сочетании с предложенной
Хаагом и Рюэлем теорией асимптотических полей и частиц
(гл. VI) приводит к утверждению, что частицы с целым спи-
спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (разумеется,
если они описываются удовлетворяющей перечисленным акси-
аксиомам теорией), в то время как частицы с полуцелым спином
подчиняются статистике Ферми — Дирака.
Для рассмотрения спина и статистики нам придется рас-
распространить наши аксиомы на случай нескольких полей
с произвольными трансформационными свойствами по отно-
отношению к группе Лоренца.

2. TCP-теорема для одного скалярного поля 143
2. ГСР-теорема для одного скалярного поля.
Как уже упоминалось, в TCP -теореме х) утверждается,
что любая теория поля, удовлетворяющая всем аксиомам,
инвариантна относительно антиунитарной инволюции 8. В тео-
теориях специального вида, именно симметричных по отношению
к операциям Т (инверсия времени), С (сопряжение частица-
античастица) и Р (пространственное отражение), это преоб-
преобразование 8 появляется как произведение TCP.
. ГСР-теорема замечательна тем, что она показывает, что
дискретная симметрия возникает и в тех теориях, которые
первоначально содержат инвариантность только относительно
связных непрерывных групп. Как мы увидим, это чрезвы-
чрезвычайно тесно связано с тем фактом, что L+ (С) содержит
в качестве вещественных подгрупп обе компоненты L+,
а поэтому и отражение РТ.
Наш анализ ГСР-теоремы не ограничится лишь ее выво-
выводом. Мы вдобавок точно покажем, что именно из аксиомы
локальности требуется для существования инволюции 6.
Чтобы подготовить почву, вспомним, что любое коммутацион-
коммутационное соотношение вида
(Q, А{го)А{г,) ... A(rn)Q) = (Q, Л(г»о) ... A(rkJQ)
позволяет продолжить функцию Вайтмана из первоначальной
области <2>'п в Р&'п, где Р — перестановка (г0, .... zn)->
->(zjt , .. ., Zk\ Вообще говоря, это фактическое про-
продолжение. Действительно, только для двух перестановок
имеет место <В'п = Р&'п- Это единичная перестановка и пол-
полная инверсия
Последнее можно увидеть следующим образом. Если
?)&;. то (—Si -Q€K' так как ^-инва-
^-инва) (Q
риантна %'п. Но сверх того, (—?„• —1п_г —?iN2^.
так как определение %'п симметрично по разностям перемен-
переменных. Но (— ?„, —4,-1 — Ci) соответствует точке
(zn, zn_v .... z0). Это приводит к следующему естествен-
естественному определению.
') См. [Lu 1, 2; Ра 9; Sch 1; Jo 3; Gra 1].

144 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
Определение. (Дайсон [Dy 1 ].) Теория поля (в случае
нейтрального скалярного поля) называется слабо локальной,
если для всех п и всех (r0, rl гп) выполняется
(О. А (г0) А (г,) ... Л (/¦„) Q) = (Q. А (/¦„) А (/¦„_,) . .. A (r0) Q)
A)
и если удовлетворяются все аксиомы, кроме четвертой.
Замечание. Раньше было показано, что слабая ло-
локальность следует из локальности.
Сформулируем теперь теорему.
Теорема. Слабая локальность {если выполнены все
аксиомы, кроме аксиомы локальности) эквивалентна
уравнениям
(Q. А{хь)А(х{) ... A(xn)Q) = (Q, А (- *„) А (- *„_,) . . .
... Л(—jto)Q) = (Q. A(~xo)A(-Xl) ... A(—xn)Q). B)
Доказательство. Из A) следует B). Соотноше-
Соотношение A) в терминах W-функций гласит
Wfa, p2, .... ря) = ^(-ря. -Ря_, -р,).
и ввиду L+ (С)-инвариантности W и того факта, что РТ ^
^ L+ (С) может быть переписано так
W((h pa) = W(pa. ..., Pl).
Аналитическое продолжение дает
Выберем (С, ?„)€?", Т0ГДа и (?»¦ •••¦ d) 6 2я.
Пусть теперь ?ft стремятся к вещественным значениям.
Тогда для вайтмановских обобщенных функций мы получаем
что дает для средних значений
(Q, А(х0) ... A(xn)Q) = (Q, A(—xn) ... Л(—xo
Яз B) следует A). Как мы только что видели, B) можно
переписать в виде

2. TCP-теорема для одного скалярного поля 145
Для регулярных точек это уравнение гласит
Г(р„ .... р„) = Г(р„, .... р,).
Используя РГ-инвариантность W-функций, находим
IF (Pi Pn)=W(-Pn -ft),
что на языке вакуумных средних дает как раз A).
ТСР-т е о р е м а. Слабо локальная теория симмет-
симметрична относительно антиунитарной операции 0, являю-
являющейся антиунитарным расширением преобразования
9Q = Q, вФя(Ф) = Ф«(ф-).
где
ф-(ЛГ0, .... *я) = ф(—Х0, .... — Х„).
Обратно, если теория инвариантна относительно упо-
упомянутой антиунитарной инволюции, то она слабо ло-
локальна.
Доказательство. Согласно пятой аксиоме, G пол-
полностью определяется перечисленными условиями.
Тогда мы получаем для скалярного произведения
(вФя(Ф). вФ
= J 9B(лг0, .... ха, у0 Ут)ф(— хп — дго)Х
(— Уо —ym)d(x)d(y)
и для
(ф»(ф). ф*(ф))=(ф*(ф). фя(ф)=
= I Ш (Ут Ус хп л:0)ф (у0 ут) X
Хф(*„ xo)d(x)d(y).
Эти величины совпадают тогда и только тогда, когда
2В(*о хп, у0, .... ут) =
= 9В(— ут — у0, —хп — xj,
а это и есть уравнение B). Аналогичное рассмотрение ска-
скалярных произведений @Ф(ф), Q) приводит к утверждению,
10 Зак. 707

146 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
что уравнение B) эквивалентно существованию 6. А тогда
первая теорема завершает доказательство.
Замечания о ТСР-т е о р е м е. 1. Еще раз подчерк-
подчеркнем, что слабая локальность следует из локальности, поэтому
в локальной теории 6 существует.
2. Следующий пример показывает, что слабая локальность
и в самом деле значительно слабее локальности (хотя это
довольно ясно и так).
Пример. Пусть А (х) — поле, удовлетворяющее уравне-
уравнению (?"-(-от2) А (х) — О, и потому допускающее разложение
А (х) = Bя)~зй J d*p6 (р2 — от2) [6 (р) а (р) е~ < ("¦ *> -f
-f8(— p)a*(— p)e'<"•*>],
введенное в гл. II, § 4, F). Но теперь вместо перестановоч-
перестановочных соотношений A4) и A5) мы постулируем антикоммута-
антикоммутационные соотношения
а(р)а*(р')-±а*(р')а(р) = 2«>(р)Ь(р — р')
и
а (р) а (/,') + а (/,') а (р) = а* (р) а* (р') + а* (р1) а* (р) = 0.
Такая процедура квантования вместе с предположением
о существовании вакуума Q, характеризуемого соотношением
a(p)Q=:0, приводит к фермионам с нулевым спином. Тео-
Теория нелокальна — коммутатор А (х) и А (у) не равен нулю
в пространственно-подобных точках, не равен нулю также и
соответствующий антикоммутатор. Действительно,
А (х) А(у)+А(у) А (х) = Д, (* — у).
Однако в теории имеется антиунитарная инволюция 8Q = Q,
8Л (х) 8 = А (— х), оставляющая уравнение (? + от2) А (х) = 0
и перестановочные соотношения инвариантными. В терминах
операторов а(р) инволюция 8 принимает особенно простую
форму
Фактически она сводится к автоморфизму комплексных чисел
Z-+Z*.

2. TCP-теорема для одного скалярного поля 147
Теперь наше следствие утверждает, что А(х) удовлетво-
удовлетворяет нормальным слабым коммутационным соотношениям
(Q. А(г0) ... A(rn)Q) = (Q, A(rn) ... A(ro)Q).
Это очень просто проверить для двухточечной обобщенной
функции
(Q, [А (х) А (у) - А (у) А (х)] Q) = *Д (х -у),
которая исчезает при (х — уJ < 0, поскольку она нечетна
и L.\ -инвариантна.
3. Пока наше обсуждение ГСР-теоремы никак не пока-
показывает роль преобразования С. Это связано с тем фактом,
что мы проиллюстрировали теорему только для случая веще-
вещественных скалярных полей. Вполне очевидно, как нужно
изменить аксиомы, чтобы включить в рассмотрение и ком-
комплексное скалярное поле В. Разумеется, количество функ-
функций Вайтмана при этом будет увеличиваться, поскольку теперь
не только В (х), но и В* (х) может фигурировать в качестве
сомножителя в произведении операторов. Для вещественных
основных функций ф и для Ф, W ? D мы будем иметь соот-
соотношение
(Ф,
устанавливающее связь между В и В*. Мы могли бы, конечно,
разбить комплексное поле В на два вещественных поля А1
и А2: В = А1-\-1А2. Но такое разбиение во всех случаях,
когда комплексное поле появляется естественным образом,
лишено какого-либо физического смысла. Здесь проявляет себя
дополнительное требование, чтобы по крайней мере в про-
простейших случаях теория была симметричной относительно
„калибровочных преобразований" eixB = B1. Иначе говоря,
должна существовать группа таких унитарных преобразова-
преобразований V (т), что наблюдаемые величины инвариантны относительно
них и V'1 (х)В(x)V(-х) = elxB(x\ V(t)Q = Q. Ясно, что
гильбертово пространство состояний разбивается при этом
на подпространства неприводимых представлений группы V (%)
и что никакой процесс никогда не переводит вектор из од-
одного подпространства в другое. Однако в дальнейшем мы
не будем больше обсуждать это правило суперотбора [Wk 1].
10*

148 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
В теории свободного дираковского поля и в классической
общей теории поля мы встречались с калибровочной группой
в связи с сохранением заряда. Это односторонняя связь: со-
сохранение заряда всегда определяется калибровочной группой,
но существуют калибровочные преобразования, не зависящие
от сохранения заряда. (В этом смысле и операцию С в TCP
следует трактовать более широко—как сопряжение частица—
античастица.)
Слабое коммутационное соотношение для вещественного
скалярного поля В имеет вид
где (ak) обозначает либо сопряжение, либо его отсутствие,
В этом случае в первой теореме утверждается, что ура-
уравнения
= (О. B^\-
эквивалентны слабым коммутационным соотношениям.
Инволюция 0 второй теоремы обладает свойством
05 (х) 0 = 5* (—X), 05* (х) 0 = В (— х)
и переводит состояние Ф, преобразующееся при V (х), со-
согласно е1пх, в состояние, преобразующееся согласно e~tax.
Если п Ф 0, эти состояния различны. Так, если Ф описывает
положительный электрический заряд, то 0Ф будет описывать
отрицательный заряд.
Поэтому существование операции 6 гарантирует, что ка-
каждому состоянию с заданным зарядом всегда соответствует
состояние с противоположным зарядом.
4. Мы уже несколько раз упоминали, что фундаменталь-
фундаментальная проблема общей теории поля состоит в том, можно ли,
вообще, нетривиальным образом удовлетворять всем аксио-
аксиомам. Любопытно отметить, что замена четвертой аксиомы тре-
требованием слабой локальности сильно раздвигает рамки тео-
теории, хотя это расширение теории и тривиально [Jo 8].

3. Спин и статистика 149
5. Некоторые поразительные приложения ГСР-теоремы
были даны Борхерсом. Однако здесь мы воздержимся от их
обсуждения (см. гл. VII, § 1).
6. Обобщение нашей теоремы на случай конечного числа
различных полей не составляет труда и не дает ничего суще-
существенно нового.
3. Спин и статистика
В этом параграфе мы обратимся к теории произвольного,
но конечного числа различных полей. По причинам, которые
будут объяснены в связи с новой формулировкой четвертой
аксиомы (аксиомы локальности), мы потребуем, чтобы эти
поля преобразовывались по неприводимым конечномерным
вещественным представлениям накрывающей группы /.+ .
Над полем комплексных чисел такие неприводимые веществен-
вещественные представления, вообще говоря, приводимы. В терминах
(абсолютно) неприводимых представлений (k, l), введенных
в гл. I, § 4, это фактически представления (k, k) для k = l
и (k, l)($)(l, Щ Ддя кф1- Лишь представления первого
вида являются неприводимыми над С. В пространстве пред-
представления мы выберем вещественный базис. Матрицы пред-
представления поэтому также будут вещественными. Однако мы
не требуем вещественности самих полей.
Нашей первой задачей является формулировка аксиом
в этом, более общем случае. Особое внимание следует уде-
уделить четвертой аксиоме (локальности). Существует несколько
вариантов формулировки этой аксиомы, и мы выберем один
из них. Он оставляет некоторую свободу для перестановоч-
перестановочных соотношений, свободу, которая частично ограничивается
другими аксиомами. Эти ограничения полностью описаны
в двух теоремах (Бергойн, Людерс, Цумино, Дель-Антонио)
[Bu I; Lti 3; De 2] и относятся к перестановочным соотно-
соотношениям между полем и сопряженным к нему полем и к пере-
перестановочным соотношениям поля с самим собой. На любые
другие перестановочные соотношения ограничения не нала-
налагаются. Однако, вообще говоря, они испытывают влияние
определенных дополнительных дискретных симметрии теории
(Араки) [Аг 5].
Такие симметрии не возникают только в одном случае,
в случае нормальных перестановочных соотношений.

150 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
Нормальные перестановочные соотношения определяются сле-
следующим образом: тензорные поля (принадлежащие однозначному
представлению l\) коммутируют на пространственно-подоб-
пространственно-подобных расстояниях сами с собой и со спинорными (принадле-
(принадлежащими двузначному представлению L+) полями; спинорные
поля антикоммутируют на пространственно-подобных рас-
расстояниях.
Замечательно, что во всех аномальных случаях можно
ввести с помощью необходимо возникающих дополнительных
симметрии новые поля, удовлетворяющие уже нормальным
перестановочным соотношениям (Клейн, Людерс, Араки) [К1 1;
Lu4; Аг5].
Если забежать вперед и воспользоваться результатами
гл. VI, где в теорию Вайтмана вводятся частицы, то из опи-
описанных выше результатов будет вытекать закон связи между
спином и статистикой: частицы с целым спином подчиняются
статистике Бозе — Эйнштейна, частицы же с полуцелым спи-
спином— статистике Ферми — Дирака.
Материал этого параграфа отличается сложностью. По-
Поэтому мы будем выделять разделы и более мелкие части.
А. Аксиомы Вайтмана и обобщенные функции Вайт-
Вайтмана.
А1. Аксиомы [Wi 2]. Рассмотрим конечное число полей
^1(*)> %(х)> •••' ФЕ (•*)> каждое из которых преобразуется
по конечномерному вещественному неприводимому предста-
представлению группы L+- Компоненты поля tyk(x) обозначим через
Фа,а(х)- Каждому полю приписывается число /(iJ)ft) = /?,
принимающее значение -\-1, если фА принадлежит двузначному
представлению группы L%, и 0 —в противном случае. Дву-
Двузначное представление L% является истинным представлением
группы SL2(C) — накрывающей группы L%. Элементы накры-
накрывающей группы мы будем обозначать через Л', элементы же
L%—, как правило, через Л ').
От полей tyk не требуется, чтобы они были симметрич-
симметричными на плотном множестве D. Однако ф*, сопряженное
к фА, (может быть, суженное на D) также должно быть полем
и принадлежать тому же представлению, что и фА.
1) Здесь мы отступили от обозначений гл. I, § 4.

3. Спин и статистика 151
Просмотрим теперь аксиомы и сделаем необходимые
изменения.
Нулевая аксиома остается неизменной. ¦
Первая аксиома принимает новую форму: для каждой
функции <p?<?" вектор ф*, „(ф) есть линейный оператор, опре-
определенный на плотном множестве D. Для Ф ? D вектор фй,а(ф) Ф
линеен и непрерывен по ф; фА,а(ф)D с D. Для Ф,
имеет место равенство
Вторая аксиома также принимает новую форму: суще-
существует унитарное (непрерывное) представление О (а, А') уни-
универсальной накрывающей группы неоднородной собственной
ортохронной группы Лоренца, удовлетворяющее равенству
U(a. A')^k(x)U-1(a,Af) = Sk(A'-1)^k(Ax-^a), A)
причем U (а, Л') D с D.
Здесь Л = Л(Л') есть однородное преобразование Ло-
Лоренца, отвечающее элементу Л' универсальной накрывающей
группы; Sk—(вещественное) неприводимое представление,
но которому преобразуется фй. Матричные элементы Sk (Л')"
вещественны.
Третья аксиома остается неизменной.
Четвертая аксиома заменяется другой аксиомой, кото-
которая даже в применении к случаю единственного веществен-
вещественного скалярного поля имеет большую общность.
Четвертая аксиома. Если разность х— у простран-
пространственно-подобна и если фй а и фг „ — компоненты одного и
того же или разных полей, то
Ф*. а (*) Ь. р (У) = О«Ч>1. р (У) Ф*. а (*)¦ B)
где ак1 не зависит от конкретного выбора компонент поля и
равна либо +1, либо —1. Равенство B) обязано выпол-
выполняться только на множестве D.
Пятая аксиома. Состояние Q циклично по отношению
ко всем операторам поля.
А2. Обсуждение четвертой аксиомы. Повторим еще
раз, что B) следует понимать как равенство между обоб-
обобщенными функциями. Сверх того, выполнение B) требуется
лишь на множестве D.

152 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
Мы уже сказали, что перестановочные соотношения B)
не зависят от компонент аир. Можно рассмотреть и более
общую ситуацию, когда соотношение B) заменяется на
.«,р (У) = S <.<#Ф|.4СУ)Ф*.?(*). B0
Чтобы удовлетворить второй аксиоме, нужно, чтобы ма-
матрица Mkl обладала определенными свойствами. Легко про-
проверить, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
Sk (Л') ® St (Л') Мы = MHSk (Л') ® St (Л'), C)
где опять Sk и 5,- представления, отвечающие полям \(зА и
фг. Разумеется, не только вторая, но и другие аксиомы на-
накладывают дальнейшие ограничения на Mkl. Равенство C)
выполняется, если Мы пропорциональна единичной матрице.
Однако, вообще говоря, возможен и другой выбор. Мы не
будем входить в детали этого вопроса, здесь естественно
привести лишь теорему Шнайдера [Sn 1].
Теорема 1. Если в базисе, использованном в B'),
матрица Мн диагональна, и ее диагональные элементы
равны ± 1, то она пропорциональна единичной матрице.
Доказательство. Ясно, что AН ± МыI2 = Р±
представляют собой два диагональных проектора, коммутирую-
коммутирующих с представлением Sk 0 Sr Если оба представления не-
нетривиальны, то матрицы (Sk (Л') ® St (Л') )„ . приводимы.
Поэтому если проекторы Р± нетривиальны, то существует
по крайней мере один матричный элемент (с^Рд, Y<A))> равный
нулю тождественно
для всех элементов Л' ? SL2 (С). Поскольку матричные эле-
элементы матриц Sk и St являются вещественными аналитиче-
аналитическими функциями на группе SL2(C) и, таким образом, при-
принадлежат кольцу без делителей нуля, то, либо Sk, од, (Л') =
= 0, либо Sit рд (Л') = 0 для всех Л'. Предположим, что
Sk, ooYo (-^0== 0- Если подействовать матрицами Sk (Л') на
вектор, у которого только Уо'компонента отлична от нуля,
то результирующий вектор будет пробегать нетривиальное
вещественное инвариантное подпространство, а именно под-
подпространство векторов с нулевой <х0-компонентой. Итак, над

3. Спин и статистика 153
полем вещественных чисел Sk оказывается приводимым, что
противоречит предположению.
Для оправдания введения комплексных (несимметрических)
полей необходима специальная аргументация. Безусловно, мы
можем разбить любое поле фА на его вещественную часть
(Фа + Фа)/2 и мнимую часть (ф^ — Ф*)/2' Однако такое раз-
разбиение лишено физического смысла во всех случаях, когда
есть группа калибровочных преобразований. Когда говорят,
что существует калибровочная группа, имеют в виду, что
теория инвариантна относительно преобразований (т веще-
вещественно)
Ф*--*«'*Ч>*.. ^1-^е~'%" й->п, E)
где {k'\ —какое-то подмножество A, 2, . . ., SI). Разбиение
полей ф^, на вещественную и мнимую части неинвариантно
по отношению к группе E). Поэтому соответствующие пере-
перестановочные соотношения вида B) могут нарушать калибро-
калибровочную инвариантность. Комплексные поля мы вводим только
тогда, когда существует калибровочная группа.
На более поздних ступенях нашего анализа мы будем
разбивать поля на вещественную и мнимую части. Это будет
делаться лишь после того, как мы удостоверимся, что ка-
калибровочная инвариантность при этом не теряется (теорема
Дель-Антонио).
Все наше обсуждение вызвано тем обстоятельством, что
B) является нелинейным условием, наложенным на каждое
поле. Поэтому оно неинвариантно при линейных преобразо-
преобразованиях полей с одинаковыми трансформационными свойствами.
Конкретный выбор неприводимых полей, удовлетворяющих B),
должен определяться динамическими соображениями, т. е.
соображениями, лежащими за рамками общих аксиом Вайт-
мана.
A3. Обобщенные функции Вайшмана. Определение
обобщенных функций Вайтмана остается неизменным; это
по-прежнему вакуумные ожидания произведений операторов
поля. Их свойства также остаются неизменными или меняются
очевидным образом. Вообще говоря, они уже перестают быть
') Мы не утверждаем, что все калибровочные группы имеют
такой вид. Однако лишь описанные здесь калибровочные группы
имеют отношение к нашей проблеме.

154 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
скалярными обобщенными функциями. Их трансформационные
свойства определяются трансформационными свойствами фи-
фигурирующих в них полей
= Ski (Л') ® .., ® Skn (A') (Q, ^ (*,) ... ф^ (х„) Q). F)
Если представление 5^ ® ... ®5^ является двузначным
представлением L%, то из F) Следует, что обобщенная функ-
функция Вайтмана равна нулю. Это приводит к лемме.
Лемма 1. Обобщенные функции Вайтмана, содержа-
содержащие нечетное число спинорных полей и произвольное
число тензорных полей, равны нулю, v
Поэтому все отличные от нуля обобщенные функции
Вайтмана преобразуются по отношению к неоднородной группе
Лоренца как ковариантные тензорные поля.
Снова из аксиом вытекает, что обобщенные функции
Вайтмана представляют собой граничные значения вайтмано-
вых функций, голоморфных в ©„. Незначительная модифи-
модификация доказательства БХВ-теоремы приводит к расширению
области аналитичности на <5п- В &„ функции Вайтмана
являются тензорными полями, ковариантными относительно
комплексной неоднородной группы Лоренца
SB (Az 4- а) = 5 (А) Ш (z) G)
для А ? L+ (С). Расширение представления
из L+ в L+ (С) тривиально, поскольку как тензорное пред-
представление S (А) полиномиально выражается через матричные
элементы А, если 23 (z) отлична от нуля. Тот факт, что
РТ ? L+ (С) еще раз оказывается принципиально важным для
нас (теорема Бергойна, Людерса и Цумино).
В. Теорема Дель-Антонио и теорема Бергойна, Лю-
Людерса и Цумино. В этом разделе мы запретим некоторые
перестановочные соотношения. Слово „запретим" нужно по-
понимать в том смысле, что такие перестановочные соотноше-
соотношения совместны с аксиомами лишь тогда, когда по крайней
мере одно из входящих в них полей равно нулю.

3. Спин и статистика 155
Для дальнейшего нам нужна следующая простая лемма.
Лемма 2. Если поле фА> действуя на Q, дает нуль,
то оно само равно нулю.
Доказательство. Предположение означает, что
для любой (р??? оператор фй (ф) удовлетворяет равенству
1|зй (ф) Q = 0. Рассмотрим обобщенную функцию Вайтмана,
содержащую поле фА в качестве сомножителя. В веществен-
вещественных точках голоморфности можно, в худшем случае лишь
изменив знак вакуумного ожидания, переставить поле i|)ft на
последнее место, где оно будет действовать непосредственно
на Q. Такая вайтманова обобщенная функция равна нулю во
всех вещественных точках голоморфности, а следовательно,
в силу возможности аналитического продолжения она равна
нулю тождественно. Из пятой аксиомы вытекает теперь, что
фй = 0. Другое доказательство следует из теоремы Рее и
Шлидера (гл. IV, § 8).
В1. Теорема Дель-Антонио [De2].
Теорема 2. Если фг ф О и если при (х — уJ < О
справедливы перестановочные соотношения
) = оф» (У) Ф* (*) (8)
, о»=—аф, со *;<*). (9)
то фй = 0.
Доказательство. Рассмотрим следующую обобщен-
обобщенную функцию Вайтмана
Согласно (8) и (9), при (хТ — ysJ < 0; /-,5=1,2, она равна
%, р (у,) Гк, р (У2) % а (х2) Q). (Ю')
а
Пусть теперь cpj и ф2 — вещественные основные функции
с компактным носителем. Пусть также а пространственно-
подобно. Определим ф2, х (Х)=Ч12 (х—^а) *ля ^ > 0- так что
{п. ф* в (ф1) фл в (Ф|) Г (Ха) ф, р (Ф2) ф;§ р (Ф2) Q) =
= (Й- Ч5*, а (ФО Ф/. а (ФО ¦*, 3 (Ф2> х) VS. р (Ф2, X

156 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
Согласно A0) и A0'), при достаточно больших % это равно
- (Й- *;, а N **, 0 (Ф2, к) *;. р (Ф2, 0 \
Но из гл. III, § 6 мы знаем, что при X—>оо первый член
в A1) стремится к
Из предположения \|)г =? 0, из A1') и из A2) следует, что
ф* = 0 и фй = 0, что и нужно было доказать.
Как уже отмечалось, теорема 2 позволяет разбивать поля
на вещественную и мнимую части, без противоречия с нали-
наличием калибровочных групп. Мы будем обозначать получен-
полученные таким образом поля теми же буквами ф^, k = 1, 2 3'.
Будем надеяться, что это не приведет ни к каким недора-
недоразумениям. Начиная с этого момента, всегда будет предпола-
предполагаться, что ф* (х) = \j)ft (х). Перестановочные соотношения
сохраняют форму B). Вещественная и мнимая части перво-
первоначального поля обладают теми же перестановочными соот-
соотношениями друг с другом, что и сами с собой.
В2. Теорема Бергойна, Людерса и Цумино [Bu I; Lu3].
Мы переходим к последнему этапу первой части нашей про-
программы, к запрещению некоторых перестановочных соотно-
соотношений.
Теорема 3. Перестановочные соотношения
Ь (х) Фй (у) = — (—l/* Ф* (у) Ф* (х), A3)
где (х — УJ < 0, запрещены.
Замечания. 1. Напомним читателю, что fk = 1 для
„двузначных" (спинорных) полей и fk = 0 для „однозначных"
(тензорных) полей.
2. Этой теоремой константа akk, фигурирующая в
). . О 80
л
определяется как okk = (— 1) *. То же относится к соответ-
соответствующей константе в B) (до разбиения полей на веществен-
вещественную и мнимую части).

3. Спин и статистика 157
Доказательство. Здесь мы вынуждены разложить
вещественное неприводимое представление, которому принад-
принадлежит фА, на его абсолютно неприводимые части. Разумеется,
для полей, которые с самого начала преобразуются по абсо-
абсолютно неприводимым представлениям, в этом нет необходи-
необходимости. Последний случай допускает очень простое рассмо-
рассмотрение; мы обратимся, однако, сразу к более сложному
случаю, когда представление Sk разлагается на два комплекс-
комплексных представления (kk, lk) и (lk, kk). Поле, которое после
такого разложения преобразуется по представлению (kk, 1Ь),
мы обозначим через %k. Часть поля, преобразующаяся по
(lk, kk), будет тогда %?. Поле %к соответствует характеру
Паули (аг а2), поле уСк — характеру Паули (а2, а,) (гл. I, § 4).
А
Число (—1) * равно охо2. Из предположения A3) теперь
вытекает
Ч а <*) *\, а (У) = - <W*, а О» lk, а <¦*) С14)
при (х — уJ < 0. Рассмотрим две обобщенные функции
Вайтмана
A5)
Обе они соответствуют характеру Паули (а^, охо^. Со-
Согласно A4), в вещественных точках голоморфности они удо-
удовлетворяют соотношению
«1 Со- г0 = — о1о2Ш2 (г„ г0). A6)
Сверх того и 2Bi(z0, ^i). и Щ(^ zi) преобразуются кова-
риантным образом по отношению к L+ (С), а следовательно,
и по отношению к РТ. Поэтому находим
2В2 (- /¦„. - гх) = а,а22В2 (г0, г,). A7)
Аналитически продолжая A6) и A7), получаем
SB, (*0, Zl) = ~ Ш2 (- zv - z0). A8)
Если в обеих частях A7) перейти к физическим граничным
значениям в ?2, то получится
a»i (х0, хг) = — Шг С— хх, —х0) A9)

158 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
для всех значений х0 и xv Умножение обеих частей равен-
равенства A9) на ф(—*i)<p(—х0) и последующее интегрирование
приводят вместе с A5) и A5') к соотношению
B0)
где (р-(х) = ц>(—х). Таким образом, в соответствии с лем-
леммой 2 и xft а' и Хй равны нулю, так как, как при действии
на вакуум, они дают нуль.
С. Теорема Араки и преобразования Клейна [Аг 5].
В этом разделе мы проанализируем структуру теории с ано-
аномальными перестановочными соотношениями. Такие теории
могут существовать, и мы полностью охарактеризуем их
в терминах определенных симметрии. Обнаружив эти сим-
симметрии, нетрудно уже установить родство между аномаль-
аномальными и нормальными теориями. Объектом нашего рассмотре-
рассмотрения снова является множество вещественных полей фй, k = 1,
2, .... 2', удовлетворяющих перестановочным соотношениям
ФА^С-О^Ч-!)^*. B1)
При этом молчаливо предполагается, что разность аргумен-
аргументов в ||){ и в i|;f пространственно-подобна. Числа r\kl = r\lk
принимают значения 0 и 1. Они удовлетворяют основным
соотношениям
411 = 422= ¦ • • = %>3- = ° B2)
и, следовательно, образуют симметрическую матрицу ц с ну-
нулевыми диагональными элементами.
Нормальные перестановочные соотношения отвечают слу-
случаю т] = 0. Для тех вещественных полей, которые получаются
в результате разбиения первоначальных комплексных полей,
имеются некоторые ограничения на матрицу г\. Если ф^ и
\^1 —вещественная и мнимая части одного комплексного
поля, то
для всех значений I. В частном случае т] = 0.
Помимо этих ограничений, матрица ц произвольна.

3. Спин и статистика 159
С1. Мономы и перестановочные соотношения между
ними. Моном — это произведение полей (или компонент поля).
Предполагается, что множество аргументов сомножителей
вполне пространственно-подобно, т. е. разность любых двух
различных аргументов пространственно-подобна. Мы будем
обозначать мономы буквой М. Произведение двух мономов
М1 и М2 снова является мономом М = МХМ2. Предполагается,
что аргументы Мг и М2 выбраны так, что аргументы М
вполне пространственно-подобны. При этих условиях мономы
удовлетворяют перестановочным соотношениям:
MlM2 = o(Mi, М2)М2Ми B3)
где о2=1; о(Мг, М2) однозначно определяется соотноше-
соотношением B1). Оно не зависит от порядка сомножителей в Мх
и М2 и определяется лишь тем, какое число раз поле i|)ft
входит в Ж, и М2, причем имеет значение только класс
эквивалентности этих чисел по модулю 2. Это естественным
образом приводит к отображению мономов М в З'-мерное
векторное пространство Ъ над полем, состоящим из двух
чисел 0 и 1 (простым полем характеристики 2) и подчиняю-
подчиняющимся следующим правилам действий:
0 + 0 = 0, 0+1 = 1+0=1, 1 + 1=0,
0.0 = 0, 0-1 = 1 -0 = 0, 1-1 = 1.
Каждый моном М отображается на вектор
т = (т\ .... т3') в 93.
Компонента mk — 1, если поле vj)ft входит в М нечетное число
раз, в противном случае ть = 0. Каждому вектору т мы
ставим в соответствие линейную форму /7==2'и*/а- В этих
обозначениях перестановочные соотношения B3) приобретают
вид
МХМ2 = (—I)™ (—l)(m- тг) M2MV B4)
где, разумеется, ml^=m{Mi) и Ft = (f, mj), г=1, 2. Соот-
Соотношение B4) вводит в рассмотрение симметричную функцию
(/»!, щ) двух векторов*). Эта функция билинейна по сомно-
*) Функция (ти т2) принимает целочисленные значения по
mod 2. — Прим. ред.

160 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
жителям /«] и т2. В этом можно убедиться следующим об-
образом:
М1М2М3 = (— 1 ff' (— 1 )(m" m2> AfjAfj M3 =
М2М3М1. B5)
Последнее равенство следует из того, что т(М2М3) =
= т(М2)-{-т(М3). Итак, (тх, m2--\-fn3) = (nil, m2)-\-(ml, т3).
Линейность по первому сомножителю вытекает из симметрии
(/»!, 1щ) = {щ, mj). Теперь можно легко найти точное вы-
выражение для (nil, Щ) (как и раньше, над простым полем
характеристики 2)
Мы подытожим и сформулируем полученные результаты
в следующей лемме.
Лемма 3. Перестановочные соотношения между мо-
мономами имеют вид
Af,Af2 = (— \)F>P'(— 1)(ш" mi) M2MV B7)
где Fl = '^ifkm4, 1=1,2 и (mv «a) = 2 Tlw'»fЦ- Сл:«-
лярное произведение (тх, т2) обладает свойствами
2, /»j) = ° B8)
(т, т) = 0 для всех т?Ъ. B9)
Оно порождает поэтому симплектическую структуру
в 58 [At 1*1.
Доказательство. Соотношение B8) тривиально, по-
поскольку (mi, Щ) = (Щ> Щ) и, таким образом, (ти т2)-{-
-{-(т2, /»j) = (/»j, m2)-{-(mi, /и2) = 0. Свойство B9) важно;
оно является следствием B2), так как
(т, т) = 2 Цы*™1 + 2
= 2

3. Спин и статистика 161
С2. Вакуумные ожидания. Плодотворность введения
скалярного произведения (mlt tn2) основана на следующей
лемме.
Лемма 4. Если (mv /я2)=1, то
(Q, Af,Q)(Q, M2Q) = Q. C1)
Доказательство. Пусть % и ф2 — основные функ-
функции, носители которых компактны и содержатся в веществен-
вещественных областях голоморфности функций (Q, МХО) и (Q, M2Q).
Пусть а пространственно-подобно, a Jl положительно. Если
Я. достаточно велико, то
М1 (ф1) [Т (Ка) М2 (ф2) Т (- Лв)] =
= {-\flFl (-l)(m" m2) [Г (Ха) М2 (ф2) Г (- 1а)] Мх (ф1), C2)
и, таким образом,
(Q, M1(y1)T(Xa)M2((f2)Q) =
= (-l)^2(-l)<m"ms)(^. ^(ф^Г^^Ж^ф^О). C3)
Согласно следствию гл. III, § 6, находим при Я,—>оо
(Q, Afi(9i)Q)(Q, М2(ф2)О)=:
= (.-lflFt (-l)(m" m2) (Q. ^2 (ф2) Q) (Q. А!, (ф1) Q). C4)
Поскольку (mx, /и2)=1, имеет место либо /=11/=12=1, либо
(Q, Ml((p
Но Т7!^ = 1 только, если Fl= I и F2 = 1. Тогда
лемма 1 приводит к соотношениям (Q, Л1: (ф^ Q) == 0 и
(Q, УИ2(ф2)О) = 0. И в том, и в другом случае аналитическое
продолжение дает C1).
СЗ. Векторное пространство 33О. Все элементарные по-
понятия аффинной и метрической геометрии [At 1*] (другие
нам просто не понадобятся) приложимы к нашему вектор-
векторному пространству 23, несмотря на дискретную природу его
основного поля {0, 1}. Тот факт, что S3 представляет собой
симцлектическое пространство, может на первый взгляд по-
показаться физику довольно необычным. Однако, как мы сейчас
покажем, ситуация не так уж неожиданна и вполне устраи-
устраивает нас, так как в отличие от ортогональной геометрии нал
И Зак. 707

162 Гл. V. TCP-теорема, Спин и статистика
полем характеристики 2 симплектическая геометрия не имеет
слишком много специфических черт. Физику симплектическая
геометрия известна из аналитической механики. Линейные
формы в фазовом пространстве образуют векторное про-
пространство. Скобки Пуассона [La 1 *] порождают в этом век-
векторном пространстве симплектическую структуру. Импульсы
рх Pj и сопряженные координаты q1 q, задают
канонический, базис. Они удовлетворяют соотношениям
{Pk< Pi)~{Qk< ft}—® и [Pk< ?/}—6*/- Аналогичный базис
в 23 окажется полезным для нас. Начнем с нескольких опре-
определений.
Определения. Два вектора ш1 и /и2 ортогональны,
если (пги /я2) = 0. Вектор пг ортогонален линейному под-
подпространству 23[, если он ортогонален всем векторам 23,.
Все векторы, ортогональные 23j, образуют подпространство,
обозначаемое 23]Ч Пересечение 23i f) 23f называется радика-
радикалом 23j. Если 23j fJ31J- = 23b то 23i изотропно: любые два
вектора в 53j ортогональны. Радикал самого 23 обозначим
через 3t
Если моном Мх отображается в 3t, то по определению 91
мы имеем следующие перестановочные соотношения Мх с лю-
любым другим мономом М
ЛШ, = (— 1)тЖ,/И. ' C5)
Иначе говоря, мономы, принадлежащие радикалу 9?, обладают
нормальными перестановочными соотношениями. Поскольку
мы интересуемся аномальными перестановочными соотноше-
соотношениями (и хотим преобразовать их в нормальные), нас не
интересуют такие мономы, и мы исключим их из рассмотре-
рассмотрения, перейдя к факшорпространсшву 93О == 93/3t.
Симплектическая структура в 23 однозначно определяет
симплектическую структуру в 33О; в 23О определено скалярное
Ороизведение (т^ т2) со свойствами B8) и B9). Оно равно
Одному и тому же значению, которое принимает исходное
скалярное произведение любого вектора из смежного класса тх
и любого вектора из смежного класса т2- Однако 23О обла-
обладает только тривиальным радикалом {о}; оно несингулярно.
Начиная с этого момента, будем работать только с 23^. Мы

3. Спин и статистика 163
сконструируем специального вида канонический базис 23О.
Разумеется, этот базис нетрудно дополнить до базиса в 23,
прибавив к нему множество линейно независимых векторов
из SR.
Нам будет полезна следующая лемма, вытекающая из
элементарных теорем о линейных уравнениях.
Лемма 5. Если 23, — подпространство 23О, то
C6)
С4. Построение базиса в 23О.
Лемма 6. Множество векторов 2t cz S90, отвечающих
мономам с ненулевыми вакуумными ожиданиями, обра-
образует изотропное подпространство % = (а1, а2, ..., аг),
[ak) линейно независимы, (ak, a;) = 0.
. Доказательство, (а) Покажем сначала, что из /и, ? 91,
яг2'6^ следует, что т1-\-т2?%. Пусть mk — m(Mh) и
(Q, Мкп)ф0 для А=1, 2. Тогда при (а, а)-* — оо имеем
(Q, М{Г (а) М2п) -* (Q, Мхп)(п, М2О)
(гл. III, § 6, следствие). Таким образом,
(Q, MiAfgQ) = (Q, М{Г (а) М2Т (— a) Q) ф 0 C7)
для подходящих значений а. Наконец, m(MiM'J) =
Так как m1-\-m2 = 0, то % содержит нулевой вектор и
вместе с любыми двумя векторами также и их сумму. По-
Поэтому оно является подпространством.
(Ь) Покажем теперь, что 91 изотропно. Выберем mk и Mk,
k=\, 2, такими же, как в (а). Предположим, что (яг,, т2)=\.
Тогда, согласно лемме 4, имеем (Q, /WjQ)(Q, M2Q) = 0, что
противоречит выбору Мг и М2. Тем самым доказательство
леммы завершено.
Вообще говоря, Ч11 содержит 31 в качестве нетривиаль-
нетривиального подпространства. Если это так, то существует некото-
некоторый вектор #r+i62t и ат+1 ^ 91, и им можно воспользо-
воспользоваться для того, чтобы вложить 21 в более широкое изо-
изотропное подпространство (а, ar+i)- Продолжая этот
процесс, мы в конце концов придем к максимальному изо-
изотропному подпространству (ах, а2, . .., as) = 3tj, удовлетво-
11*

164 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
ряющему условию 2lf = Щ. Таким образом, согласно лемме
5, 2 dim % = 2s = dim »0.
Множество векторов {cj, ..., as] можно без труда до-
дополнить до канонического базиса в 93О, добавляя к нему
векторы \Ьг bs), которые снова порождают максималь-
максимальное изотропное подпространство и таковы, что их скалярные
произведения равны (ak, bj) = bkl. Итак, справедлива
Лемма 7. 93О обладает каноническим базисом
С], .... as, blt ..., bs, удовлетворяющим условиям
{ak, a,) = (pk, ft,) = 0. (а*. *,) = б„ (I)
для k, 1=1 s;
(Q, M,Q) = 0, (II)
если m1=--m(Ml) удовлетворяет, хотя бы для одного
значения k, равенству (ak, mi)=l.
Доказательство утверждения B). Если
(ak, т1)=\, то ml^(ai as) и, таким образом, тх^%.
Из определения 31 теперь следует, что (Q, МгО.) = 0.
С5. Симметрии и преобразования Клейна. Каждое
поле фй само по себе является мономом и поэтому отобра-
отображается на какой-то вектор в 23О. Запишем для этого век-
вектора ek,
ek = mWk). C8)
Теорема 4. Преобразования Qk, определенные соот-
соотношениями
QkQ = Q, C9)
* ' = (—!)<"*•''> ф, D0)
отвечают унитарной симметрии теории. Они удовле-
удовлетворяют равенству в| = / и поэтому являются инво-
инволюциями.
Доказательство. 1. То, что такие преобразования
являются инволюциями, очевидно. Мы будем поэтому писать
гй вместо Qktyfik1-
2. Мы должны показать, что C9) и D0) задают унитар-
унитарное преобразование. В соответствии с основной теоремой
гл. III, § 4, достаточно доказать, что поля Ф^ = 0?ф;0д, по-

8. Спин и статистика 165
рождают те же самые обобщенные функции Вайтмана, что и
первоначальные поля. Из D0) следует, что
М! = QkMQk = (—1)(а*' m) M. D1)
Таким образом, с помощью C9) находим
(Q. QkMQkQ) = (— l)(a*'m)(Q, MQ). D2)
Чтобы выполнялось равенство
(Q, M'Q) = (Q, MQ), D3)
необходимо и достаточно, чтобы (Q, MQ) — 0 каждый раз,
когда (ak, /re)=l. Последнее, однако, гарантируется лем-
леммой 7.
Теорема 4 дает нам полное представление о структуре
теории с аномальными перестановочными соотношениями.
Она позволяет доказать завершающую теорему.
Теорема 5 (Араки). Новые поля, определенные ра-
равенством
ф;=П (о<а<- '*> <*" '*> ф* П Ф-ек). D4)
также вещественны и удовлетворяют нормальным пе-
перестановочным соотношениям
Ф&'^-О'^'ФЖ- D5)
Доказательство. 1. Вещественность ф?:
фГ = П (-о(й'' е*> (ft<' е*> П е^ е*> ф, П е(^ е*> х
х П еГг ч)=П (— o(e'' e*} (ft<> pft) (—1)(г>/> eft) (a<> вл) ф* х
хПвГ<>'*)=«;. D6)
2. Перестановочные соотношения: для проверки соотно-
соотношения D5) первый множитель в D4), очевидно, несуществен
(имеется в виду степень I). Поэтому введем поле
ф; = ф4Цер«-'*> D7)
12 Зак.' 707

166 Гл. V. TCP-теорема. Спин и статистика
И ВЫЧИСЛИМ
Ч>Ж = ФА Ц (-If' '*> <"<• '«> П Ф1 e"+ei) D8)
и
¦Ж = **Ф/(-1)Т|«(—1
X П ef <" '*+'г) • D9)
t '
Таким образом,
х П (— о[(а'' 'г) (й'' е*)+(*'' ^(а/> "*)J = (—i/*7'*/*!. E0)
поскольку по определению канонического базиса
2 . «/)(*«. «*)]=(«*¦ «/) = %•
Замечания. 1. Преобразования типа D4) впервые были
открыты Клейном [К1 1]. Здесь мы их называем преобразо-
преобразованиями Клейна.
2. Важность векторного пространства 93 была впервые
осознана Людерсом [Lii 4]. Людерс решил проблему раз-
раздела С в рамках традиционной лагранжевой теории поля.
D. Пример аномальных перестановочных соотношений.
Теоремами 4 и 5 можно воспользоваться для построения
теорий с аномальными перестановочными соотношениями.
Простейший пример дан ниже.
Начнем с нормальной теории двух вещественных скаляр-
скалярных полей А п В. Предположим, что все функции Вайтмана
с нечетным числом полей В равны нулю. Теория тогда обла-
обладает симметрией в, удовлетворяющей условиям
еве= — в и еле = л. E2)
Введем теперь новые поля
A' = AQ и В' = В. E3)
Перестановочные соотношения между А' и В' будут при этом
аномальными
= — В'А'. E4)

Глава VI
ТЕОРИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И ЧАСТИЦ
(ХААГ — РЮЭЛЬ)
1. Вступительные замечания
Как мы уже несколько раз подчеркивали, аксиомы Вайт-
мана не содержат понятие частицы. Идея частицы имеет,
однако, решающее значение при установлении связи между
теорией и физической реальностью. Принципиальной наблю-
наблюдаемой величиной физики элементарных частиц является ма-
матрица рассеяния E-матрица) [Hei 5]. Она описывает резуль-
результаты экспериментов по рассеянию, соотнося состояние частиц
до взаимодействия состоянию частиц после взаимодействия.
Поскольку в этой книге мы хотим выдвинуть на первый план
главным образом формальные и математические аспекты
теории, мы не будем здесь подробнее обсуждать 5-матрицу
и ее связь с экспериментом. За дальнейшим рассмотрением
физических оснований теории мы отсылаем читателя к пре-
превосходной статье Бренига и Хаага [Вг 1]. Для нас же доста-
достаточно того, что существование 5-матрицы существенно зависит
от возможности определить асимптотические ин- и аут-со-
аут-состояния, которые в свою очередь можно описать в терминах
свободных частиц и соответствующих свободных полей.
Чрезвычайно приятно, что при естественных ограничениях
вайтманова теория поля допускает точное определение таких
асимптотических полей. Это было доказано Рюэлем в пре-
превосходной работе [Ru 4], на которой и основана настоящая
глава. Рюэль доказал, что предположения Хаага [На 2, 3, 4],
введенные с целью определения асимптотически свободных
частиц, на самом деле можно доказать строго.
2. Специфические предположения о теории поля
В своей теории Рюэль [Ru 4] делает некоторые есте-
естественные дополнительные предположения, которые выходят
ва рамки аксиом Вайтмана. Это и неудивительно. Легко
12*

168 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
понять, что в теории, допускающей полное истолкование в тер-
терминах частиц, спектр вектора энергии-импульса должен обла-
обладать специфическими свойствами.
В этой главе мы не будем развивать общую теорию.
Однако частный случай, которым мы ограничимся, обнару-
обнаруживает большинство интересных и характерных черт общей
теории. Мы постараемся каждый раз отмечать, чем наши
предположения отличаются от предположений Рюэля. Наш
случай характеризуется набором все более сильных предпо-
предположений, следующих ниже.
Первое предположение — это наше обычное предполо-
предположение о том, что мы имеем дело только с одним веществен-
вещественным скалярным полем А (л:). Первое предположение имеет
специальный характер. Рюэль рассматривает общий случай
по крайней мере счетного числа неприводимых тензорных
и спинорных полей.
Наше второе предположение относится к спектру опе-
оператора энергии-импульса Р. Предполагается, что спектр Р
совпадает с соответствующим спектром для свободного
поля с массой т. Поэтому спектр имеет следующие ком-
компоненты: [р |/? = 0}, вакуум; {р\ро~>Ъ, (р, р) = т2), одно-
частичный гиперболоид; континуум V+m.
Третье предположение касается гильбертова простран-
пространства $v отвечающего одночастичному гиперболоиду. §х ло-
ренц-инвариантно. Сужение на фх представления U (а, Л)
неоднородной группы Лоренца — есть представление t/j (а, Л).
Предполагается, что это представление неприводимо и отве-
отвечает спину 0. Ясно, что оно соответствует массе т.
В общем случае, рассмотренном Рюэлем, предполагается
существование дискретных представлений в разложении <§>
в прямую интегральную сумму. Разумно предположить также,
что во всех случаях, когда нет дополнительных симметрии,
приводящих к вырождению, соответствующие представления
неоднородной группы Лоренца неприводимы. Однако спины
представлений произвольны. Разумеется, в нашем случае спин
не может быть полуцелым.
Последнее предположение связано с ограничением на
спин в третьем предположении. Требуется, и это существенно,
чтобы поле А обладало ненулевыми матричными элементами
между Q и $>v Сверх того предполагается определенная нор-
нормировка поля А. Пусть Р1 — проектор на $lt тогда должно

3. Результаты 169
быть
(Q, X(jc)Pii4(y)Q) = /A+(m2; х — у). A)
Для нашей дальнейшей работы удобнее другая формулировка
этого предположения. Пусть h(к) —такая основная функция,
что п(к)=\ в окрестности А, —/я2, Л (Л,) = 0 при |А,—/и2|>
> тк2/2, 0<;/г(Я,)<;1. Поле Б, Фурье-образ которого опре-
определен равенством
B(p) = A(p)h((p, p)), B)
удовлетворяет всем аксиомам, кроме аксиом локальности и
полноты; В (q>) Q ? igv Соотношение A) тогда принимает вид
(Q, В (х) В (у) Q) = /А+ (/и2; х — у). C)
Специальный характер четвертого предположения очевиден.
Из полноты следует только существование некоторого поли-
полинома от полевого оператора А, обладающего переходами
между Q и $>г. В общем случае этот полином играет роль
поля В. Если одночастичный гиперболоид погружен в кон-
континуум, то нужно предположить существование такого поли-
полинома по полям, что из состояния вакуума О для него воз-
возможны лишь переходы в одночастичные состояния. Суще-
Существование такого полинома может обеспечиваться правилами
отбора.
3. Результаты
Доказательства изложенных здесь результатов довольно
объемисты. Поэтому в настоящем параграфе мы только сфор-
сформулируем теоремы, а докажем их позднее. Необходимые
комментарии частично содержатся в последнем параграфе
этой главы.
Введенное формулой B) § 2 поле В(х) обладает спе*
циальным свойством — оно является гладким по переменной
х° = t: если ф — основная функция (из ?Р) вектора j =
= (х1, х2, х3), то
J A)
есть оператор, определенный на D; Вф(^)Ф, где
принадлежит классу Ст по t и непрерывен по ф.
13 Зак. 707

170 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Мы называем решение уравнения Клейна — Гордона
(?+/«2)/ = 0 B)
гладким, если оно представимо в форме
/(х)-Bя)/2 J й(р2-»2) [«-'<"¦*> в (р)*+()>)+
+ et<P-*>Q(p)g_(p)]d*p. C)
и g±?.3! как функции вектора р = (р1, р2, р3). Любая
производная гладкого решения снова является гладким реше-
решением.
Таким образом, величины
D)
x'-t
существуют как операторы на D.
Наша основная цель состоит в доказательстве следующей
теоремы.
Теорема 1. Состояния
<S>(t) = B,t(t)Bfi(t)... Bfn{t)Q E)
удовлетворяют требованию ЦФ(^) — Ф(/2)||->0 при
tx, t2->—оо (или tv ^2->4~°°)- Таким образом, они имеют
сильный предел при t-> — оо (или t—>-j-oo). Этот пре-
предел не зависит (в рамках собственной ортохронной
группы Лоренца) от системы координат, в которой
определены D).
Определения. Состояние lim Ф(/) называется ин-со-
<->-оо
стоянием Ф1п, состояние lim Ф (t) — аут-состоянием Фои'.
фш —это гильбертовы пространства, натянутые на I I -co-
out
стояния соответственно. Символ „ех" мы будем ставить либо
вместо in, либо вместо out.
Запишем
ф-'(/) = Ф°Пи'(/0, /„..., /„) =
= lim В, (t)Bf (t) ...Bf (t)Q. F)

3. Результаты 171
Теорема 2. Операторы, определенные как линейное
расширение операторов
Ле/Фех (/о. /, /„) - Фех (/, U /г /„). G)
задают два вещественных скалярных поля Аех(х), удо-
удовлетворяющих равенствам (гл. //, §§ 3, 4)
d^d% (8)
JC"-t
U (a, A)A^(x)U~l(a, Л) = Лех (Ах + а) (9)
и
QA[a(x)Q = Aoat(— х), A0)
где 6 есть JCP" -оператор 6А (х) Q=A (—х) (гл. V, § 2).
С тем чтобы обеспечить полную интерпретацию теории
в терминах частиц, в этом месте следует ввести еще один
новый постулат.
Аксиома полноты ин-состояний [Ru 4]. Она требует,
чтобы
$„,==$• 00
Из A0) следует, что 6ф1п —ФоиГ Поскольку Эф = ф,
A1) имеет следствием
? = ?in = ?out. A2)
Теперь А1п(х) и A°ut (х) действуют в одном и том же про-
пространстве и унитарно эквивалентны. Таким образом, суще-
существует унитарный оператор, однозначно определенный равен-
равенствами
A3)
SQ = Q. A4)
Оператор S представляет собой матрицу рассеяния. Она
задает вероятности переходов из ин-состояний в аут-состоя-
аут-состояния. Соотношения (9), A0), условие неприводимости свобод-
свободного поля и A4) приводят к равенству
U(a, A)SU~[(a, Л) = 5 A5)
и
650 = 5*. A6)
13*

172 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
4. Гладкие решения уравнения Клейна — Гордона
Доказательство теорем 1 и 2 базируется на двух вспо-
вспомогательных теоремах, из которых одна относится к гладким
решениям уравнения Клейна — Гордона, а другая — к опре-
определенным свойствам (пространственно-подобной асимптотике)
TVEV поля А.
Мы начнем с рассмотрения гладкого положительно-час-
положительно-частотного решения
/(х) = BяГ3/2 J «-'(* *) 6(рN0>»- /я2) g (р) d*p, A)
где функция g трех переменных р = (р1, р2, р3) — основная
функция из 3) (гл. I, § 1А). Однако все наши результаты
остаются справедливыми и для произвольного гладкого реше-
решения, т. е. для произвольной суммы гладкого положительно-
частотного решения и функции, комплексно сопряженной
к любому другому положительно-частотному решению.
Функция f (х) является преобразованием Фурье функции
с компактным носителем. Таким образом, это целая функция,
и поэтому она принадлежит С^. Выделим теперь из х вре-
временною часть x° = t и пространственную часть J. Тогда
/(t, х)-BяГ3/2 J dVlw [щ<юе~Ш8 0>)] • B)
где ю (р) = УпР + р2. Функция в квадратных скобках является
элементом пространства 3). Поэтому f(t, j) как функция
переменных J при фиксированном t есть элемент ?Р. Очевидно,
это справедливо и для любой производной / по времени.
Таким образом, мы имеем
Первое свойство. При фиксированном t, f(t, J)—основ-
J)—основная функция из ?Р.
Теперь мы будем интересоваться поведением f(t, j) как
функции t. Лучше всего начать с обсуждения зависимости / (х)
от расстояния по лучу, т. е. зависимости /(Хм) от X, где
и — фиксированный четырехмерный вектор. Чтобы получить
равномерную оценку по всем направлениям, будем считать,
что и лежит на евклидовой единичной сфере || и \f = (и0J -J-
12 22 32=1. Тогда
'**<pB(*)<fa. C)

4. Гладкие решения уравнения Клейна — Гордона 173
где
3/2| u)-s)g(\i)d*p. D)
Функция cpa(s) представляет собой интеграл от функции
Bя)~3/26(/?2—m2)Q(p)g(p) по плоскости (р, u) = s. Пове-
Поведение фц как функции s существенно зависит от того,
является ли одна из плоскостей (р, u) = s, —oo<s<-f-oo
касательной плоскостью к (р, р) = т2 в точке носителя
6(р2—т2) 6 (р) g (p). Ясно, что это может случиться лишь
при (и, и) > 0; (р, u) = s есть касательная плоскость
к р2 = т2, если s = so = m(u, иI/2, и при этом точка при-
прикосновения есть
р = т(и, и)~1/2и.
Пусть К—(замкнутое) множество {и | +р ?suppS(j02—т2} X
X ®(P)g(P)} и 6± = ЙП^±- Пусть (?' — дополнение к (S.
Определим, наконец, DcV^UV^ (и ф± = J) П V±) как
открытое множество на||и||=1, содержащее (S. Его дополнение
3)' замкнуто. 35 — есть замыкание 3). В качестве 3) мы
можем выбрать множество [и ||[к|| < р| м° |} при каком-то
подходящем значении 0 ¦< р < 1.
Так или иначе, фц как функция s имеет компактный но-
носитель. Нетрудно убедиться, что она принадлежит классу С^
и потому представляет собой основную функцию из if до тех
пор, пока и?E>'. Таким образом, /(А,и) быстро убывает при
| к | —> оо, и мы получаем
Второе свойство. Для любого и ? (?' и любого целого
числа М имеет место
\X*f(Xu)\<CM(u). E)
где См{и) равномерно ограничено на любом компактном под-
подмножестве Ё'. Поэтому в ЗУ мы имеем
СМ. F)
Ситуация совершенно меняется для и?&+ (или
В этом случае фц (s) принимает следующий вид:
Фи (*) = 0 (s - s0
[ИЛИ ф„ (S) = е (

174 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Функция 1ц{х) имеет компактный носитель и принадлежит
классу С^ при 0 -^ т < оо. Однако, вообще говоря, она не
равна нулю при т = 0. Вместо G) мы можем написать также
(ограничиваясь случаем и&
Ys — So). G0
где хв (t) снова принадлежит классу Ст на замкнутой полуоси.
Тогда мы получим
00
/ (ки) = f е ~iK С+*>> У v хи (V«) dv (8)
о
или
оо
f (Хи\ 9 I e-<*.(t*+Jo)v (t\ т2 //т f<V»
j \ки)—^ | е AbW1' а~" у?)
6
Если произвести разбиение Хн(тг) = Хи(О)е~Т!-Ь(ЗСн('1Г) —
— Хм(О)е~т!), то вклад первого (ведущего) члена можно вы-
вычислить точно, а для вклада второго члена можно указать
оценку. При этом получается
\Xf/2\f(lu)\<C(u), A0)
где С (и) равномерно ограничено на &. Разумеется, в точ-
точности тот же метод можно применить и к 3)+ или 2)_, или
даже ко всем векторам и.
Третье свойство. При и ?5) имеет место
Л \ f \j\iU) \ <^ С, A1)
Если выбрать подходящую постоянную С, то это утверж-
утверждение останется справедливым и для всех векторов и.
Теперь мы уже достаточно хорошо подготовлены к тео-
теореме.
Первая вспомогательная теорема [Ru4]. Глад-
Гладкое решение f(t,$) уравнения Клейна — Гордона обла-
обладает следующими свойствами.
При фиксированном t оно является функцией из ??
по переменным J.

4. Гладкие решения уравнения Клейна — Гордона 175
Существует такая постоянная Г, зависящая только
от /, что
j ^ |3/2 max | / (Л $)|<Г; A2)
Ш
\f(f. J)|rf3j<r(l+|/|3/2); A3)
|/|1/2 max || s HI/(/. $)|<Г. A4)
Доказательство. Неравенства A2) и A4) следуют
из A1), так как в A1) утверждается, что
S)\<C; A5)
A3) следует из F) и A1). Для некоторого 0 < р < 1 и
I S I > РI * I из F) вытекает, что
Оценка A6) вместе с A5) приводит к оценке
+ Iw
г>Р\Ц
r2
,dr
¦ A7)
Первый член в квадратных скобках пропорционален 11 \s/2,
второй же пропорционален l^l. Поскольку левая часть A7)
ограничена при любом значении t, существует мажориро-
мажорирование типа A3).
Так как любая производная гладкого решения есть снова
гладкое решение, теорема приложима и к произвольной про-
производной функции f(t, j) по времени, хотя, конечно, зна-
значения Г будут при этом, вообще говоря, другими.
И последнее замечание: первая вспомогательная теорема
справедлива также и в том случае, когда функции g± в § 3,
C), или функция g в § 4, A), удовлетворяют лишь одному
требованию: они должны быть элементами пространства ??.
Этот факт нам, однако, не понадобится.

176 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
б. Пространственно-подобная асимптотика TVEV
Усеченные вакуумные средние были введены в гл. III,
§ 5С. Здесь мы будем пользоваться теми же обозначе-
обозначениями
2ВГ (*о хя) = (О, А (*0) ...А (хп) Of. A)
Однако (я-f-1)-строку точек (xQ, xlt ..., хп) мы будем те-
теперь записывать как х. В дальнейшем а будет обозначать
вектор вида @, а1, а2, а3) и соответствующий вектор (а1, а2, а3).
Символ а следует понимать как (я + 1)-строку четырех -
или трехмерных векторов (а0, с^ а„). Величина, кото-
которую мы будем здесь обсуждать, есть
Ф(а)= f
B)
где dx обозначает rf4(/l+1)jf. В силу трансляционной инва-
инвариантности Шт (х), Ф (а) зависит лишь от переменных ak =
= <xk — Оо- Вместо (aj an) мы будем писать а.
Чрезвычайно прямое и непосредственное применение ак-
аксиомы локальности и спектрального условия позволило Рюэлю
доказать следующую теорему.
Вторая вспомогательная теорема [Ru4;Ar8]. По
переменным а функция Ф, определенная равенством B),
есть основная функция из &'.
Замечания. 1. Очевидно, что Ф принадлежит классу Ст.
2. Любая производная Ф снова имеет вид B). Таким об-
образом, нам нужно только показать, что Ф есть быстро убы-
убывающая функция переменных а.
3. Если D — произвольный дифференциальный моном
по х, то
Oj (a) = J (DmmT) (x + a) q> (*) dx =
= (— !)""' J ®r (f + a) (Dmq>) (x) dx C)
опять имеет вид B). Поэтому если мы заменим какое-то
фигурирующее в A) поле A(xk) на его производную, то ут-

5. Пространственно-подобная асимптотика TVEV 177
верждение второй вспомогательной теоремы останется вер-
верным.
Доказательство второй вспомогательной теоремы длинно
и сложно. Попытаемся воспроизвести его, разделив его на
небольшие,' а иногда и очень маленькие части. Начнем с не-
нескольких элементарных геометрических определений и за-
замечаний.
Определение 1. (Гл. I, § 1А, A) и гл. I, § 2, D)).
Если | = (|°. I1, |2. ?3)—четырехмерный вектор, то
Аналогично ||*|р= 2/11 xiIP-
Определение 2. Диаметром d (а) называется
rf (a) = max || a,- — ak\\. D)
- i, k
Определение 3. Если X—подмножество (/0, ...,lk)
индексов @, 1 га), и все индексы расположены в на-
натуральном порядке, то X' = (i'o, .... l'k,\ дополнение к X,
и все индексы снова расположены в порядке возрастания.
По определению
= Ь(Х')= min \\tLt-ar\\. E)
Лемма 1. Для каждой конфигурации а найдется
такое разбиение X, X', что
F)
Доказательство. Пусть rf(a) = ||aft—аг||. Будем
считать (а0, 0] а„) точками в трехмерном евклидовом
пространстве. Плоскости, проходящие через точку aft или точ-
точку аг и перпендикулярные вектору aft — аг, представляют собой
опорные плоскости выпуклого множества, порожденного точ-
точками {at}. Таким образом, плоскости, перпендикулярные
ak — ar и проходящие через точки а2, разбивают сегмент
(aft, a;) самое большее на га интервалов, общая длина ко-
которых есть d. Длина по крайней мере одного интервала
должна быть не меньше djn. Тогда соответствующие пло-
плоскости, проходящие через крайние точки этого интервала,
задают разбиение X, X', удовлетворяющее F).

178 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Лемма 2. Пусть X, X' — разбиение, описанное лем-
леммой 1.
Если ||x||<rf/2«, то (xi-\-a.i)— (хг -j-ctr) есть про-
странственно-подобный вектор при любых i?X, i'?X'.
Доказательство. Поскольку [|х|[< d/2n, наверняка
выполняется неравенство
г|р<^<7 min || в4-а
< 7II в/-аг IP-
Но ||*,-*|.|Р+|1х, + х,.|р = 2||х,|Р + 2||*г|Р. Вместе
с приведенным выше неравенством это означает, что
Положим % = xt — Хг и <x = ct/—а/-; тогда в последнем
неравенстве утверждается, что
lltlP<72||a|P
и, таким образом,
откуда следует, что (||° Ц-|||||J < ||а|р или
11° К II а || -|| f||.
Но ||<H-6i|>||aj| —||f|| и ^поэтому и°|<||о + Г||. Окон-
Окончательно получаем, что | + а пространственно-подобен. Но
= (xi + а/) — (хг + аг).
Определение 4. Пусть я — подстановка
я@, 1 я) = (&о kn).
Определим тогда
2В^(х) = 2ВгК **„) G)
Фя (a) = J Шп (х + а) ф (х) d?. (8)

5. Пространственно-подобная асимптотика TVEV 179
Это определение, по сути дела, уже является началом ана-
аналитической части доказательства второй вспомогательной тео-
теоремы. На первом этапе этой части используется локальность.
Лемма 3. Пусть конфигурация а. изменяется таким
образом, что для данного разбиения X, X' все время
выполняется неравенство nb(X)~^d(а). Тогда для любого
натурального числа М
dM (ф _. фя) _>. о (9)
равномерно по а при tf->oo. Здесь я (О, 1 и) =
= ('о. ••" '*• 'о- "•• <*')•
Доказательство.
ф _ фя == J \ШТ(х + о) — Штл(*4-jO]q>(*) dx. A0)
Поскольку Ф и Фя трансляционно инвариантны, можно, не
теряя общности, выбрать ао = 0. Тогда
||a||<rf/n. (II)
Из локальности следует, что точки в х-пространстве, для
которых (xi-\-a.i)—(xtr-\-dir) пространственно-подобны при
любых i?X, i'^X', не дают вклада в интеграл A0). Со-
Согласно лемме 2, как раз такая ситуация возникает, если
\\х\\«Ц2п.
Далее, Шт—2В? представляет собой обобщенную функ-
функцию медленного роста и, как таковая, является производной
непрерывной функции, растущей не быстрее полинома [Sw 2*]
(гл. I, § 1С, пример 2):
Шт — ml = Dm23, A2)
причем
|р)^. A3)
где С — некоторая постоянная, а a — некоторое натураль-
натуральное число. Подставив A3) в A0), мы получим
Ф — Фя = (— I)" J »(? +а)//>(*)<** A4)
\\x\\>d/2n

180 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
или, положив (—
Ф-Фя= J 23(*+_а)ф1(*)я!*. A5)
||?И
Тем самым доказательство почти закончено, так как <р2 (лт)
убывает быстрее любой степени полинома. Все, что нам
нужно — это несколько оценок. Во-первых,
< С A + 21| * ||2)а/2 A + 21| а ||2)а/2- A6)
Во-вторых, для любого целого числа М найдется такая по-
постоянная Cj, что
\\ral2. A7)
В силу этих оценок, из A5) и A1) вытекает, что
оо
|O-OJ<5n.C.Cl(l-b2«d2)a/2 j\\x\\-M-a-2d\\x\\,
dftn
A8)
где Sn — площадь поверхности 4(«-(- 1)-мерной единичной
сферы. Теперь (9) следует из A8).
Замечание к лемме 3. Пусть я' — подстановка
«'(о. 1 »)=$..... *;,.*„ М-
Ясно, что при выполнении условий леммы 3
Птй?ж(Фя — Ф„0 = 0. A9)
Используем теперь спектральное условие. Вспомним (гл. III,
§ 5, теорема), что в силу усечения точки носителя Шт
л
удовлетворяют условиям 2 Pi € ^+ ПРИ 1 <! s <;« и
Po~\-Pi~\- ¦ ¦ ¦ -\-Рп — 0. Последнее равенство есть, разу-
'меется, просто условие трансляционной инвариантности.
Соответственно все точки носителя 2ВЯ удовлетворяют
условию

5. Пространственно-подобная асимптотика TVEV 181
и поэтому P=2pi = — Pf?Vt. Однако точки носи-
теля 2§я' обладают свойством Р'?Vt. и P?V^. Это при-
приводит нас к очередной лемме.
Лемма 4. Существует такая функция h1^6M[Sw2*]
(гл. I, § 1 С, пример 1), что
Л128я = 2В„ и ft,8J. = 0. B0)
Доказательство. Достаточно рассмотреть функ-
функцию hv зависящую только от Ро. Пусть hl(P0)=l при
^о< — Ц/2, h1(P0) = 0 при Р0>0 и /г^бж- тогда соот-
соотношения B0) выполняются.
Лемма 5. Если выполняются условия леммы 3, то
для любого целого числа М
0 B1)
<2->оо
равномерно по а.
Доказательство. Пусть ф = А^ и
Тя (а) = f 3BJ (дс + а) ф (*) <i?,
г т B2)
V«. (а) = J 2В? (х + а) ф (*) rf*.
Из B0) следует, что Фя = гРя и ^'==0. Соотношение A9)
остается справедливым, если вместо Фя, „¦ в него подста-
подставить 4^,3,'. Таким образом, dMWn = с1мФя —> 0 при d->oo
и, согласно лемме 3, </лФ->0. Говоря немного иначе, из
оценок типа A8) мы получили следующий
Результат. Для любого целого числа М и любой кон-
конфигурации а выполняется неравенство
«/*(а)|Ф(а)|<Ся(ЛГ). B3)
где (X, X') — разбиение из леммы 1. Поскольку, однако,
число различных разбиений (X, X') конечно, существует та-
такое См = тахх См (X), что
<Сж. B4)
Соотношение B4) и второе замечание к вспомогательной
теореме завершают доказательство этой теоремы.

182 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Комментарии ко второй вспомогательной теореме. До-
Доказывая вторую вспомогательную теорему, мы использовали
локальность (в доказательстве леммы 3). Однако похоже на то,
что лемма 3, а поэтому и вторая вспомогательная теорема
справедливы и при более общих предположениях. Нужно лишь,
чтобы коммутатор двух полей достаточно быстро убывал
в пространственно-подобном направлении. Поэтому теория
Хаага — Рюэля, по-видимому, приложима и к некоторым не-
нелокальным теориям.
6. Доказательство теорем 1 и 2
Содержание § 4 настоящей главы совершенно не свя-
связано с какой-либо теорией поля. В § 5 использовано лишь,
то, что TVEV являются обобщенными функциями медленного
роста, а также трансляционная инвариантность TVEV, свой-
свойства носителей их Фурье-образов и локальность. Специаль-
Специальные предположения § 2 нигде не использовались. В этом
параграфе мы, наконец, используем и эти ограничивающие
предположения.
Начнем со свойства В (t, j), которое понадобилось нам
в § 3.
Лемма 6. При ф6<5" оператор
JB(t.
A)
определен на D, принадлежит классу С^ по t и непре-
непрерывен по ф.
Доказательство.
B4(t)= J A(p)h((p, p))y(p)elP°Wp. B)
Функция А ((/7, р))(р(р) elP°l, как и все ее производные по
времени, является основной функцией из ^"(/?4). При ф->0
она стремится к нулю.
Лемма 6 позволяет определить одновременные VEV и
одновременные TVEV произведений В-полей и их производ-
производных по времени
Si Sn)=F& = F&i !») =
== (О, В (t, у В (t. Ь) ...В (t, я„) О), C)

б. Доказательство теорем 1 и 2 183
где \k = gft — g0; $г и Z77" определяются с помощью обычной
процедуры усечения. Аналогичные выражения возникают и в
том случае, если на месте каких-то полей В (t, y.t) стоят их
производные по времени. Поскольку трансформационные
свойства таких TVEV не имеют для нас значения, мы по-
прежнему будем обозначать такие выражения через g7" и FT
соответственно. Доказательство последующих лемм будет
дано только для выражения C). Доказательство соответст-
соответствующих утверждений в общем случае совершенно анало-
аналогично.
Лемма 7. При любой фб^" функция
Ф(а)= /Зг(Н-а)ф(?)<*5. «* = «» — а* D)
является элементом ?f.
Доказательство. Из определения В и gr следует,
что
Ф (а) = J W (х + а) ф (х) dx, E)
где
я
Дft- />*)) Ф (Ро Ря)- F)
я) = Д
Очевидно, ф(/>) 6^" и> таким образом,
Вторая вспомогательная теорема приводит теперь к сфор-
сформулированному утверждению.
Другой удобный способ доказательства леммы 7 состоит
в применении теоремы Л. Шварца [Sw2*, стр 100, тео-
теорема IX] (гл. I, § 1 С, пример 4, теорема).
Лемма 8. %г@, |а 1П) = ^ГA) является конеч-
конечной суммой производных от непрерывных функций, ограни
я ^
ценных по модулю выражениями вида С Д A -)-|| |й |р)~2.
Выражаясь технически, FT <|) 6 ©с lSw 2*J (гл- Ь § 1 С
пример 4).

184 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Лемма 9. Пусть [fk\k = O, 1, ..., п)—произволь-
п)—произвольное множество гладких решений уравнения Клейна —Гор-
—Гордона, и пусть
\ G)
Тогда при п >-1
|(Q. Bfo(t)Bfi(t)...Bfn(t)Qy\\t\3^>2 (8)
ограничено по t. Это справедливо и в том случае, когда
в (8) вместо некоторых операторов Bfk(t) стоят их
производные любого порядка по времени.
Доказательство. Доказательство базируется на
лемме 8 и на первой вспомогательной теореме. Выражение (8)
можно записать в виде
(9)
k-2
где 2 обозначает конечную сумму, а штрих у ft(t, %t) —
возможную производную по времени. Воспользовавшись раз-
разложением из леммы 8, мы видим, что выражение (9) мажо-
мажорируется конечной суммой членов вида
A0)
где два штриха обозначают теперь возможные пространст-
пространственно-временные производные. Согласно первой вспомога-
вспомогательной теореме, все члены вида A0) ограничены.
Следующая лемма является тривиальным следствием оп-
определения B(t, j) и предположений § 2.

6. Доказательство теорем 1 и 2 185
Лемма 10. Пусть fit, %) — гладкое решение урав-
уравнения Клейна — Гордона, а В At) определен равенством
= l J 7XBd% A1)
Тогда вектор BAt)Q не зависит от времени.
Доказательство (гл. II, § 3, A1)). Вектор B(x)Q
удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона. Это следует из
того, что Bi(p)Q?$v и из свойств $j.
Лемма 11 (теорема /, первая часть) [На 3; Ru 4].
Пусть В/ (t) снова определен равенством G). Вектор
0(t) = B/o(t)Bfi(t) ... Bfn(t)Q A2)
имеет сильный предел при t-> — оо и t—>-\-oo.
Доказательство (Хааг). Разложим ||йФ(t)/dt|p на
произведения TVEV вида (Q, В), (t) ... fi/_ (t) QY, где
V "о */• ]
штрих обозначает возможную производную по времени. При
этом в разложении окажутся члены, которые содержат
только TVEV, квадратичные по полям В/ . Два сомножителя
в таких членах будут содержать производные по времени и
будут иметь вид
или (±B}Q.Bf.Q).
Согласно лемме 11, они равны нулю. Оставшиеся члены со-
содержат либо два кубичных сомножителя TVEV, либо один
сомножитель более высокой степени, тем третья. Из леммы 9
мы знаем, что такие члены ограничены выражением Ct\ /|~3.
Таким образом,
< /~* I 4- I —"/^ /1 ГХ\
и при t2 < tx < 0 мы получаем
^
и поэтому Ф(/) имеет предел при t-> — оо.
Аналогичное доказательство справедливо для t -»+ оо.
14 Зак. 707

186 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
Лемма 12 {теорема 1, вторая часть). Предел век-
вектора A2) при t-> — оо (t->--\-co) не зависит от выбора
системы отсчета в рамках собственной ортохронной
группы Лоренца.
Доказательство. Пусть Л?Л+. Введем функции
Д,л(лг) = Д(Л4 оператор ВА(х) = В(А~1х),
и, наконец,
G>x(t) = Bfo(t) ...B)n(t)Q. A6)
Теперь нужно показать, что
||Фл@-Ф@1|->0 A7)
при / —> + оо. (Трансляционная инвариантность проверяется
тривиально.)
Поскольку все введенные величины являются гладкими,
мы можем спокойно применять инфинитезимальные преобра-
преобразования Лоренца. Так как инвариантность относительно трех-
трехмерных вращений также тривиальна, можно ограничиться
рассмотрением лишь инфинитезимальных преобразований
xsd0—x°ds, 1-^5^3. Вариация В At) при таких преобра-
преобразованиях имеет вид
= i J х"Т{и + т?)В(Рх. A8)
Из A8) мы заключаем, что
dBf(t)Q = 0, A9)
так как B(x)Q является решением уравнения Клейна— Гор-
Гордона. Разложим затем ||йФ(^)|р на TVEV. В силу A9) про-
произведение квадратичных TVEV снова не дает вклада. Все
остальные члены ведут себя при 11 \ --»оо по крайней мере
как \t\~1/2. Таким образом, \\dO(t)\\^-0 при |*|-»-оо.
Читатель, надо полагать, помнит определения фщ, $out
и фех. а также обозначение
ф°(/)=ф°"'(/0, /,...., /„) = ^5^@ ... Bfn(t)u,
данные в § 3. ^ '

6. Доказательство теорем 1 и 2 187
Лемма 13 (теорема 2) [Ru 4]. Скалярные произве-
произведения (Фех(/). Фех(§")) совпадают с соответствующими
скалярными произведениями в случае свободного веще-
вещественного скалярного поля. Равенства
А?Фп (/о /п) = Ф" (/• /о /„) B1)
определяют (с помощью линейного расширения) два веще-
вещественных скалярных поля Aia(x) и Aoat(x). Эти поля
удовлетворяют условиям
U (а, Л) Лех (х) И~х (а, Л) = Аех (Ах + а) B2)
6A[n(xN = Aoat(—x). B3)
Доказательство, (а) Скалярные произведения век-
векторов
Bu(t)...Bfn(t)Q и Bgo(t)...Bgm(t)Q
разлагаются на TVEV. Из уже известных оценок следует,
что все члены, кроме содержащих только квадратичные TVEV,
исчезают в пределе при t ->• — оо (t ->• -)- оо). Согласно
предположению C), § 2, сумма остающихся в пределе чле-
членов в точности совпадает с соответствующим скалярным
произведением в теории свободного скалярного нейтрального
поля.
(Ь) Из (а) следует, что Ае/, определенный равенством B1),
допускает представление
= i J
где Аех(х)—свободное скалярное нейтральное поле.
(c) Соотношение B2) для Аех(х) следует из леммы 12.
(d) Трансформационные свойства А[п(х) при ГСЯ-преоб-
разовании вытекают из соотношения QA (x)Q = А (— х).
14*

188 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
7. Обсуждение результатов, заключительные замечания
Мы детально описали теорию Хаага — Рюэля, касающуюся
асимптотических состояний и частиц, в применении к част-
частному случаю. Ситуацию в общем случае, возможно не вполне
ясную читателю, можно тем не менее представить себе
с отчетливостью, достаточной для нижеследующего общего
обсуждения.
Мы выяснили, что при естественных ограничениях на
спектр Р и на определенные полиномы операторов поля
можно определить асимптотические свободные поля. Эти сво-
свободные поля обязательно обладают нормальными перестано-
перестановочными соотношениями, если ими обладают исходные поля.
Таким образом, соответствующие частицы имеют правильную
связь между спином и статистикой, что вместе с результа-
результатами гл. V, § 2, является существенным достижением в по-
понимании этого фундаментального закона природы.
Не существует никаких указаний на тесную связь между
фигурирующими в теории полями и соответствующими асим-
асимптотическими частицами, если не считать тривиального огра-
ограничения, что асимптотические частицы с полуцелым спином
могут появляться лишь в теории, содержащей по крайней
мере одно спинорное поле.
Не исключено, что возможна теория с небольшим числом
полей и большим числом стабильных частиц. Но мы не
должны забывать, что проблема совместности аксиом с не-
нетривиальной матрицей рассеяния S ФI совершенно не
решена.
Ничего не известно и об обратной проблеме — можно ли
каждой вводимой в теорию стабильной частице ставить
в соответствие новое вайтманово поле, так чтобы оно обла-
обладало ненулевыми матричными элементами между Q и одно-
частичными состояниями. В рамках аксиом ЛЗЦ эта задача
успешно изучалась Циммерманом [Zi 1].
Введенный в § 3 дополнительный постулат полноты
ин-состояний представляется нам очень важным. При об-
обсуждении этого постулата мы ограничимся частным случаем,
определенным предположениями § 2. Из постулата ф1п = ф
вытекает нулевая аксиома, становящаяся по этой причине
излишней. Этот постулат включает и даже уточняет также и
третью аксиому, если не говорить о требовании Q ? D.

7. Обсуждение результатов, заключительные замечания 189
Более того, представление U(а, Л) из второй аксиомы
однозначно определяется полем А1п(х). В этой аксиоме
остаются теперь лишь условия U(a, Л) A (x)U~l(a, Л) =
= А(Ах-\-а) и U (a, A)DczD. Теперь первая и четвертая
аксиомы не испытывают никакого влияния дополнительного
постулата. Пятая аксиома следует из равенства ф = ф1п и
нашего четвертого предположения.
Таким образом, мы видим, что постулат ф = |Iп в зна-
значительной мере разрушает, казалось бы, так хорошо орга-
организованную структуру аксиом Вайтмана. Кроме того, он
ставит под сомнение полезность и основного математического
аппарата теории —¦ обобщенных функций Вайтмана. Во вся-
всяком случае, не видно, каким образом, не сделав никаких
новых ограничительных предположений (от возможности ко-
которых не следует отмахиваться, поскольку отнюдь не
установлено, что аксиомы описывают только тривиальные мо-
модели), можно выразить постулат полноты на языке свойств
вайтмановых функций.
В этой связи нужно упомянуть теорию S-матрицы в смы-
смысле ЛЗЦ. В такой теории (в простейшем случае ограничен-
ограниченной случаем нейтральных бесспиновых частиц) исходными
величинами являются поля Aln(x), Aoat (х) и унитарное пре-
преобразование S, удовлетворяющее условию 5~1Л1п(хM =
= Aoat (x). Что касается поля А (х), то оно входит в теорию
как интерполирующее поле, связывающее А1п (х) и Aoat (х).
Наиболее деликатный пункт теории состоит в точном опре-
определении смысла, в каком поле А (х) имеет предел Aln'out (x)
при t->j- оо. Эти пределы не определяют поле А(х) одно-
однозначно. Однако предположение, что существует по крайней
мере одно локальное интерполирующее поле, является самым
существенным и интересным ограничением на S-матрицу. Так
называемые асимптотические условия ЛЗЦ позволяют исполь-
использовать аксиому полноты.
Мы совершенно не собираемся здесь обсуждать недавние
и энергично разрекламированные „чисто S-матричные теории"
в смысле Чу, которые упраздняют само понятие поля. Они
также представляют собой еще лишь подлежащую заполне-
заполнению оболочку, но совершенно в другом смысле, чем теория
Вайтмана — структура этих теорий математически не опре-

190 Гл. VI. Теория асимптотических полей и частиц
делена. Они могут поглотить практически любую кажущуюся
полезной идею. Разумеется, всегда можно выразить надежду,
что эта идея могла бы быть следствием каких-то „фунда-
„фундаментальных предположений". Их лучше всего охарактеризо-
охарактеризовать по-немецки — „als ein Medium des freien Werdens" *).
*) По-русски это звучит примерно так: .Стихия свободных
домыслов'. — Прим. ред.

Глава VII
НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ
1. Приложения ГСЯ-теоремы
Интересное приложение ГСР-инвариантности получено
Борхерсом [Во 1]. Пусть А — вещественное скалярное поле
Вайтмана, введенное в гл. III, § 2, причем D — соответ-
соответствующая инвариантная область определения, a U (а, Л) —
соответствующее представление группы Р\ *). Пусть также
[Bk] — семейство операторнозначных обобщенных функций,
определенных на D, причем Bk (ф) D = Bk (ф)* D с D и
U (a, A)Bk(x)U~l (а, Л) — Bh (Ах -\- а). Тогда можно ввести
следующие понятия.
Определение. Оператор Bk называется локальным
по отношению к А, если
Вк(у)]Ф = 0 A)
при (х — уJ < 0 и любых <D?D; Bk называется слабо ло-
локальным по отношению к А, если
(Q, А (г0) ... А (/-,_,) Bk (rs) A (rs+l) ...A (/¦„) Q) =
= (Q. А (/¦„) ...A (rs+1) Bk (О А (/-,_,) ...A (r0) Q) B)
во всех вещественных точках голоморфности при всех
и всех п.
Теперь мы можем сформулировать две теоремы Борхерса.
Теорема. Если все поля семейства [Bk] локальны
(слабо локальны) по отношению к А, то они локальны
(слабо локальны) по отношению друг к другу.
Теорема. Пусть поле А удовлетворяет требова-
требованиям гл. VI, включая аксиому полноты. Пусть В — ве-
*) Группа Пуанкаре Р*. состоит из элементов (а, Л), где а ? /?4,
'¦. ред. *

192 Гл. VII. Новые достижения
щесшвенное скалярное поле, определенное на D и обла-
обладающее асимптотическим полем В[а, причем
А1а(х) = В1а(х). C)
Если А и В слабо локальны по отношению друг к другу,
то они отвечают одной и той же S-матрице, и об-
обратно.
Замечание. Обе теоремы допускают почти автомати-
автоматическое обобщение на более сложные случаи, например слу-
случай нескольких ин-полей или случай спинорных полей.
Определение. Класс вещественных скалярных полей Bk,
определенных на D и локальных по отношению к А, назы-
называется классом Борхерса поля А.
Эпштейн [Ер 2] и Шроер и Лангерхолк [Sr 1] полностью
охарактеризовали класс Борхерса свободного поля А0(х).
В четырехмерном случае это — полиномы Вика поля Ао (х):
пусть {Рт(Щ — конечное множество вещественных полино-
полиномов по переменной X, тогда поля
A(.x) = IiPm<a>--donx) D)
т
(строгое их определение дано в [Ер 2], [Wi 3]) исчерпывают
(скалярный по отношению к преобразованиям Лоренца) класс
Борхерса поля А0(х) в четырехмерном пространстве-времени.
В двумерном случае в класс Борхерса. входят также неко-
некоторые целые функции А0(х) [Ja 1]. Это обстоятельство имеет
важные приложения в исследованиях двумерных моде-
моделей [Wi 9]. Описание локальных колец, порожденных по-
полями D), можно найти в [Sr 1]. Состояния рассеяния для
полей из одного класса Борхерса тесно связаны друг с дру-
другом [Аг 7], [Do 1]. Пусть J3j и В2 — два полинома от сгла-
сглаженных полей из одного и того же класса Борхерса (на
самом деле для теории Хаага — Рю'эля достаточно даже,
чтобы В1 и В2 были почти локальны *) и взаимно почти
локальны). Допустим далее, что каждое из Вх и В2 поро-
порождает одно одночастичное состояние в пространстве одного
и того же дискретного неприводимого представления [т, s],
возникающего при разложении U(a, А). Тогда все много-
*) Определение почти локальных полей содержится в работах
[НаЗ], Щи 4]. —Прим. ред.

2. Связь между аксиоматиками Вайтмана и ЛЗЦ 193
частичные состояния рассеяния для частиц этого сорта
Oex(/i /„), где волновые функции /, /„ лежат
в S(/?3)xBs+1), можно построить, пользуясь либо только по-
полем В,, либо только полем В2.
2. Связь между аксиоматикой Вайтмана и аксиоматикой
Лемана, Зиманцика и Циммермана
Значение аксиоматики ЛЗЦ [LSZ 1, 2], [GLZ 1] для кван-
квантовой теории поля определяется ее естественной связью
с, наблюдаемыми величинами. Использование в редукционных
формулах следствий локальности интерполирующих полей и
спектрального условия (содержащегося уже в асимптотической
полноте) позволяет выявить аналитические свойства амплитуды
рассеяния и провести, следуя Зиманцику, анализ многочастич-
многочастичной структуры функций Грина [Sy 2, 3, 4].
В случае единственной скалярной частицы с массой m > О
аксиоматика ЛЗЦ требует следующих дополнительных по
сравнению с теорией Вайтмана предположений'):
A) Асимптотическая полнота
ОО ОО
Ф=е &а=е §«ut- E)
л=0 я=0
B) Асимптотическое условие ЛЗЦ. Существует
такое нейтральное скалярное поле А (х), что на плотном мно-
множестве состояний Ф, Ф" и при любых h^S^iR1) (гл. VI,
§ 2 B)) имеет место равенство
lim (Ф, Bf(tLf) = (Ф, Ае/Ч?), F)
где либо Ф, либо W — состояние рассеяния при te*.
') Обобщение на случай высших спинов не составляет труда.
Однако проблема существования локального интерполирующего
поля, отвечающего хааг-рюэлевому связанному состоянию (т. е.
одиочастичному состоянию, порожденному полиномом от локальных
полей), еще далека от разрешения [Zi 1].

194 Гл. VII. Новые достижения
C) Существование обобщенных запазды-
запаздывающих функций. Пусть S — пространство всех (s) =
л
s=(s0 *л)€#Л+1> гДе 2^ = 0. Плоскости
0ФХ^{О п] G)
разделяют 2 на некоторое множество замкнутых выпуклых
конусов 2а. Для всех а и 0 =? X 5 {0, ...,"«} существует
такой согласованный выбор знаков а (а, Х)=+\, что при
любом (s)?2A а(а, A")sx^-0. Отвечающий Sa открытый
выпуклый конус (Та в пространстве всех (q) = (q0, .... qn) из
л
^ где 2<7/ = 0, определен соотношением
(=0
где Va(a,x) = V±' если ff(a' X)= ±1. Сопряженный к Са
конус мы обозначим через Са:
{" \
i = 0 J
Постулируется, что для любого конуса Sa существует обоб-
обобщенная функция медленного роста га(х0 хп), обладаю-
обладающая формальными свойствами выражения
л-1
2 о- (а, я) П в, (а, я) (А (хя0) ...А (хлп)H *). A0)
Я 1=0
Здесь суммирование 2 распространяется на все переста-
я
новки я чисел @, .. ., п), а
л-1
а (а, я) = 11 о (а, {лО я/}),
(=0
@i (а, л) = в (а (а, {яО :
*) Здесь используется другое обозначение для вакуумных сред-
средних:
*) Здесь используется
к: ( H = (Й, ... fi).-i

2. Связь между аксиоматиками Вайтмана и ЛЗЦ 195
Нетрудно проверить, что это определение согласуется с опре-
определением обычных запаздывающих обобщенных функций
[GLZ 1] в терминах многократного коммутатора
= |' П в К, - 4 (г+1)) ([ • • • [Л (*я0), А (*„,)]... Л (хяя)])о,
A2)
где 2 распространяется на все перестановки л, для кото-
я
рых яО = Л В этом случае соответствующие конусы I,i харак-
характеризуются неравенством Sj <^ 0 для всех j Ф L
Нам понадобятся следующие свойства га (х0 хп)
(см. [Ste 1, 2], [Ru I, 2], [Ar 3, 4], [Bro2]):
(a) Совпадение запаздывающих функций с соответствую-
соответствующими VEV типа A2) вне поверхностей разрыва ступенчатых
функций.
(b) Лоренц-инвариантность: при всех (а, А)?Р+
га(х0 хп) = га(Ах0-]-а Ахп-{-а). A3)
(c) Свойства носителя в ^-пространстве
suppracCa. A4)
(d) Спектральное условие: если конусы Sa и 2„ разделены
только гранью {sx = 0} (т. е. dimSanSp П {sx = 0} =
= п— 1), то
A5)
кроме точки р2х=т?.
(е) Соотношения Штайнмана; при я^-3 пересечение двух
(я—1)-плоскостей {sx = 0} и {sK = 0}, ХфУ, является
(я—2)-плоскостью, не содержащейся ни в какой другой
(я—1)-плоскости {sz = 0}, ЁфХ, К в том и только в том
случае, если X, СХ, Y и CY *) имеют попарно непустые
пересечения. Тогда эта (я—2)-плоскость разделяется всеми
*) Здесь и в дальнейшем С означает операцию дополнения
множества. — Прим. ред.

196 Гл. VII. Новые достижения
{sz = 0}, ХфХ, Y, на выпуклые конусы. Для каждого
из этих конусов найдутся в точности четыре конуса 2++, Б+_,
2_+, 2__, содержащие исходный конус в качестве (я — 2)-
мерной грани, причем (рис. 6)
r sx~v, sY~v при
A6)
*"«f/ Для этих конусов справедливо со-
соотношение Штайнмана
^V- г -(-/•__= г _-|-г_ . A7)
Рис. 6. Если VEV {А (хя0) ... А (хяя)H
достаточно регулярны и допус-
допускают умножение на произведения ©-функций, то свойства
(а)-—(е) можно проверить непосредственно [Вго 2]. Кроме
предположений A) — C), в теории ЛЗЦ часто используется
изменение порядка перехода к пределу и сужение обобщен-
обобщенных функций на массовую поверхность.
Возникает вопрос, в какой степени результаты подхода
ЛЗЦ могут быть осознаны в рамках асимптотически полной
вайтмановой квантовой теории поля. Что касается асимпто-
асимптотического условия, то здесь ситуация вполне удовлетвори-
удовлетворительная. Техника Хаага — Рюэля сильной сходимости дает
полное описание времениподобной асимптотики сглаженных
локальных полей, заданных на плотном множестве состояний
рассеяния.
Определение. Множество волновых функций {fi}c
с ?Р (Rz) называется неперекрывающимся, если носители ft
попарно разделены в пространстве скоростей
р, К+й)~1/2 * Pj (m)+р))~112 <! 8>
при всех 1Ф j и Pk€suPPfk> k = i, j. Оценки, подобные
оценкам гл. VI, приводят к следующей теореме [Hep 5, 6].
Теорема. Для неперекрывающихся функций

2. Связь между аксиоматиками Вайтмана и ЛЗЦ 197
и подходящих ht{{p, p))
—
A9)
Для любого полинома Q по сглаженным вайшмановым
полям состояние Фех(/и .... /„) принадлежат области
определения оператора Q** и
«га
B0)
где предел понимается в сильном смысле.
Предположив асимптотическую полноту и записав для
A(g. t) =
=Bя)/2 J <*V1 (-p)g(P) exp (i (jo0 - (от2 + >I/2) *}, B1)
можно доказать справедливость асимптотических условий ЛЗЦ:
lim A(l 0>ЛФ"СЛ fn) = Af (%ex(/, /„), B2)
где предел понимается уже в слабом смысле.
Следующая теорема Араки и Хаага [Аг 11] допускает,
интерпретацию в терминах счетчиков Гейгера.
Теорема. Для гладких неперекрывающихся состоя-
состояний рассеяния Ф, Y?^out и Q(x) = U(x, l)QU(—x, 1)
выполняется равенство
(Ф, Q(x)V) = (Q. QQ)(O, 40 +
+S J ^ {(^' IQ (x) Q) (ф- a°ui (?>* ^)+
+ (Q. Q (*) I р. О (ф. «? ?
3d3(
B3)

198 Гл. VII. Новые достижения
где R(x) убывает быстрее любой степени х° при jt->-oo
внутри конуса [х°^а\ х I, а > 1}. Суммирования S и S
'¦ i
распространяются на все виды частиц; асимптотическая
полнота не предполагается.
Для неперекрывающихся скоростей и любого определения
хронологических обобщенных функций х(х0, .... хп), при-
приводящего к совпадению х(х) с (А (хя0) ... А (хяп)H при
•^яо -^* • • • *^* -^яя' можно доказать редукционные фор-
формулы ЛЗЦ в следующей сильной форме [Hep 5, 6].
Теорема.
П
X т (Ро Рт> ~Рт+1 - Рп) \por(m2+pjl2- B4)
Здесь т принадлежит классу С°° по p°t — (тя2 -\- pff12
в окрестности энергетической поверхности (предпола-
(предполагается, что т сглажена по неперекрывающимся
}о Рп)-
В окрестности любой точки (р) = (р0, .... рп), где
2/7« = 0> существует по крайней мере одна га(р0 рп),
совпадающая с т (р0 рп). На массовой поверхности
для процессов перехода двух частиц в т ^ 2 частиц можно
воспользоваться, например, опережающими обобщенными
функциями. Поэтому амплитуды рассеяния допускают экстра-
экстраполяцию за пределы массовой поверхности с помощью обоб-
обобщенных запаздывающих функций, в терминах которых легко
выразить спектральные условия, асимптотическую полноту
и локальность интерполирующих полей. Это исходный пункт
поисков «максимальной аналитичности» в квантовой теории
поля (см. следующий параграф).
Матричные элементы запаздывающих произведений двух
операторов поля R±(x, y)= + Q(+(x°—у°))[А(х), А(у)] вида
{p\R±(x, y)\q) и {R±(xlt x2)R±(x3, л:4)H можно опре-

S. Аналитические свойства четырехточечной функции 199
делить с помощью представления Йоста — Лемана — Дайсона
[Jo I], [Dy 2]. Пользуясь такого рода точными интегральными
представлениями и информацией из доказательства асимпто-
асимптотического условия, можно [Hep 4] связать непосредственно
с аксиомами Вайтмана классические результаты Н. Н. Бого-
Боголюбова и других [Bog 1*], [Вт 1], [Sy 1] и Лемана [Le 1, 2],
касающиеся дисперсионных соотношений с конечным числом
вычитаний и аналитичности по передаче импульса двухчастич-
двухчастичной амплитуды рассеяния.
Проблема построения обобщенных запаздывающих функ-
функций, удовлетворяющих условиям (а) — (е), непосредственно
из вайтмановых обобщенных функций пока еще не решена,
если не считать положительного результата Сторы [Sto 1]
для трехточечной функции и некоторых частичных результа-
результатов Штайнмана [Ste 3].
3. Аналитические свойства четырехточечной функции
в р-пространстве
То, что носитель обобщенных запаздывающих функций
га(х0 хп) содержится в конусах Са, приводит к заклю-
заключению, что их фурье-образы1) га(р0, ..., рп) представляют
собой граничные значения в &"(R4n) функций Н (kQ, .... kn)
где 2&i = 0, k, = pt-\-iq, , голоморфных в трубчатых
\ i=o 1
областях
2^ ={(*): (?)€<?«}• B5)
Согласно спектральному условию и теореме «острие клина»
(ОК), функции На имеют общее аналитическое продолжение
Н (Ко АГ„) в образ А„ объединения (j?a (посредством
') Мы пользуемся следующим определением:
га (•% • • •> хп) =

200 Гл. VII. Новые достижения
отображения L+{C)) с окрестностью ОК-области. При п > 1
эта область не является областью голоморфности. Отыскание
соответствующей оболочки голоморфности $в (Д„) называется
«линейной программой». Сверх того, здесь нужно исполь-
использовать тот факт, что исходные обобщенные функции с носи-
носителем в Са удовлетворяют спектральному условию и
соотношениям Штайнмана. Исследования часто носят геометри-
геометрический характер и обычно без изменений могут быть пере-
перенесены на случай «гладких» обобщенных запаздывающих
функций, которые можно определить в теории Вайтмана
с помощью регуляризованных ступенчатых функций.
Известно (см. [Вго 2], [ЕрЗ]), что е%?(Дя) однолистна
и L+ (С)-инвариантна, если все пороговые массы Мх строго
положительны. Более того, разрезы
Г* ={(?): k\?[M\, со)} B6)
никогда не пересекают е%?(Дл), даже если на них наложены
ограничения, вытекающие из соотношений Штайнмана. Такие
исследования показывают, как появляется мандельстамовская
[Ма 1, 2] область аналитичности четырехточечной функции
на массовой поверхности,—простейшая область, совместная
с линейными ограничениями.
Брос, Эпштейн и Глазер [Вго 2, 3, 4], [Ер 3] получили
несколько новых важных свойств аналитичности четырех-
четырехточечной функции. Геометрически ситуация характеризуется
32 конусами Са в р-пространстве, а именно
V) =-V] ={(?): qk?V+t qm?V + , qa?V+ }.
V% = -V]k= B7)
где {j, k, m, n) = {0, 1, 2, 3}. Обобщенные функции, являю-
являющиеся граничными значениями Я(й) = Я(А0, .... k3) при
стремлении аргумента к вещественным значениям изнутри
трубчатых областей Za = /?12 -\- tCa, суть
r}{p)— lim H(k), aj(p)= lim H (k),
rlk(p)= lim H{k), ajk(p)= lim H{k).
t

3. Аналитические свойства четырехточечной функции 201
Выполняются следующие равенства (в смысле обобщенных
функций):
B9)
Здесь предполагается, что пороговые массы Mk, Mjm =
= Mmj = Mkn удовлетворяют условиям стабильности
О < mk < Mk < 2mk, 0 < k < 3,
I % - m* I < ли < Щ + «|. ° < k * l < 3- C°^
Одночастичные сингулярности H(k) при Щ= tn\ устраняются
умножением на
В пространстве 2 взаимное расположение конусов 20
наглядно демонстрируется рис. 7 и 8 (центральная проекция
на {Sj -)-52-)-5з== — 1} единичной сферы в R3(slt s2, s3)
с центром в @), пересеченной плоскостями {^ -|~52-г-5з = ОЬ
{ + 0} { <)}
C1)
Наконец, введем еще обозначения для разрезов
Yjk = {(ft): (fty + kkJ >
0 < j ф k < 3.

202 Гл. VII. Новые достижения
Используя в качестве аппарата аналитического расширения усо-
усовершенствованные варианты ОК-теоремы и теоремы о трубе,
Брос, Эпштейн и Глазер получили информацию об е%?(Д„),
причем эта информация носит частично глобальный, а частично
локальный характер. Нижеследующие глобальные теоремы,
хотя они и интересны сами по себе, не дают, однако, ничего
для аналитичности H3(k) на массовой поверхности.
Теорема.
(f%) = A%nCrk, C2)
где N(Rk) есть ОК-окрестность Rn, а А.%— выпуклая
оболочка Zf U Zjk-
Следствие. Функция Hz(k) голоморфна в
\J C3)
i,
Для смежных трубчатых областей %Jk и %?пп, [j, k, т, п\ =
= {0, 1, 2, 3} с ОК-областью Rjm можно получить более
сильный результат. Основная идея состоит в том, чтобы
разложить «квартет Штайнмана», т. е. обобщенные функции
aQl, а10, г2з, /"з2> носитель которых в л;-пространстве описы-
описывается соотношениями
supp r23 с Sj U S2, supp r^ с S3 U S4,
suppa0l сSjU54, suppawczS2\j53,
C4)
на обобщенные функции fv ..., /4 с
Г23 = /l 4- /2- /2 = /3 + /4- „ c
. «01 = /l + /4' «10 = /2 + /з-
Оказывается, что необходимыми и достаточными условиями
непротиворечивости такого разложения служат соотношения
Штайнмана
^23 + Г32 = «01 + «10- C6)

3 Аналитические свойства четырехточечной функции 203
Равенства в р-пространстве, например aQ1 (p) ~ г23 (р) при
(p. -f- р.,J < М2 , приводят к
C7)
Таким образом, fx и /3 (/2 и /4) голоморфны в трубчатых
областях %х и 23 ($2 и ^4) c основаниями Sj и 53 C2 и 54)
и совпадают в Rl2 (Ris)- Си-
Ситуация иллюстрируется рис. 9.
Рассуждая так же, как и
р предыдущей теореме, мы при- s
ходим к выводу, что J
' m (?i и гъ и л/ (/?12) )=з01 п сг03,
^ (г2 и 24 и л/ (/?13) )=з01 п сг03,
C8)
где а01 — выпуклая оболочка
2j U 23 или ^2 U ?4- т' е- факти-
фактически Joi U Jio U 3;21 U 1з2- Нако-
Наконец, используя C5), мы приходим
к следующей теореме.
Теорема. Функция H3(k) голоморфна в области
3О1ПСГО2ПСГОЗ, C9)
Брос [Вго 2] распространил эту технику на л-точечные
функции Нп (k). Функция га допускает разложение
ra — 2j ^ap/p! kaK—l< °> —1' D0)
р
где носитель /„ содержится в симплициальных выпуклых кону-
конусах в х-пространстве. Из спектральных условий вытекает
равенство определенных сумм /„ в областях типа Rx. По-
Посредством аналитического расширения можно получить области,
пересеченные единственным разрезом Гх. Поэтому Hn{k) голо-
голоморфна в определенных трубчатых областях, пересеченных
несколькими разрезами.

204 Гл. VII. Новые достижения
С помощью локального голоморфного расширения Брос,
Эпштейн и Глазер получили аналитические свойства Н3 (Щ
(и H2{k)) в окрестности вещественных точек р, где геомет-
геометрическая ситуация весьма напоминает ОК-случай.
Рассмотрим вещественную физическую точку (р) на мас-
массовой поверхности, где, например,
D1)
В окрестности (р) можно воспользоваться информацией, полу-
полученной из расширения двух противоположных квартетов
Штайнмана \ат, а1П, г23, г32} и {r0l, rw, a23, а32]. На самом
деле, однако, для получения окончательного результата соот-.
ношения Штайнмана не нужны. Функция Н3 (k) голоморфна
в Е01 П СГда П СГ03 и в (— Ем) П СГ02 П СГ03, причем разрез Г^
не проходит в шаровой окрестности N (р) точки (/?). При-
Применяя усовершенствованную ОК-теорему к противоположным
трубчатым областям 301 и —301 за вычетом разреза Г03 и
к ОК -области — пересечению Ro П R\ П ^2 П #з П ^?oi П R<y2
с N(р), мы получаем аналитичность H3(k) в N(р) по обе
стороны от Г03[ВгоЗ].
Теорема. При выполнении условий стабильности C0)
сужение H3(k) на комплексную массовую поверхность
голоморфно в ЦСуинвариантном открытом множестве О.
Образ О в пространстве инвариантов s, t, и предста-
представляет собой комплексную окрестность объединения трех
физических областей за вычетом разрезов Г01, Г^, Г^.
Открытое множество О является связным в бесконеч-
бесконечности; например, при любом фиксированном t ^0 имеется
аналитичность по s на множестве
пСГт. D2)
где /?(?)< со. Граничные значения при Ims—>0, Ims>0
совпадают с двухчастичной амплитудой рассеяния T(s, t).
„Кроссинг"-свойство T(s, t) было доказано в [Вго2, 4]
с помощью локального расширения „на бесконечности". Во-
Вопрос, можно ли доказать аналогичные результаты для Нп (k),
остается открытым.

3. Аналитические свойства четырехточечной функции 205
Эти свойства аналитичности Т (s, t) по двум переменным
дополняют ранее полученные результаты Мандельстама [Ма 3]
и Лемана [Le3].
Значительное расширение области голоморфности T(s, t)
было получено Мартеном [Mrl, 2]. Его основной результат
выражается следующей теоремой.
Теорема. Пусть Та (s, t) — инвариантные амплитуды
рассеяния для процесса А -}- В -» А -\- В, удовлетворяющие
дисперсионным соотношениям при фиксированной пере-
передаче импульса to<t<^O, tQ<0. Пусть частицы А и В
бесспиновые или имеют спин соответственно 0 и г/2.
Тогда Ta(s, t) голоморфна в области
{(*. t): \t\<R, s?[(тА+твУ, оо)U(— оо. {mA-mBf-t}).
D3)
Для физически интересных спектров масс, например для реак-
реакций я + я->я-|-я, п-\-К->я + /С, n-{-N->n-\-N, кон-
константа Ft = 4\i2, где ц — масса пиона [Mrl; Sol].
Исходным пунктом доказательства этой теоремы служат
дисперсионные соотношения при фиксированном t, в част-
частности в бесспиновом случае, соотношения
=! Г
п J
s' — s
оо
+ я J
(тА+тву
Из общих свойств H3(k) следует, что Т(s, t) голоморфна
по t в области 111< г (s) при (тА — твJ < 5 < (тА + твJ.
Основная идея состоит в том, чтобы найти коэффициенты
соответствующего тейлоровского разложения по t, дифферен-
дифференцируя под знаком дисперсионного интеграла D4). Необходи-
Необходимые равномерные оценки подинтегральной функции выводятся
из следующих свойств As(s, cosQ)^As(s, t):
dn ./
7JS" Л* (S.
.„ / i при всех х^[—J
A.(s.x^^A.(s. x) , D5)
15 Зак. 707

206 Pa. Vtl. Новые достижения
Соотношения D5) получаются из аналитических свойств Т (s, t)
и As (s, t) no t, приводящих к сходящемуся разложению на
парциальные волны [Lei]:
A's (s, *) = -Igi 2 B/ + О I» /, (*) Я, (*). D6)
Z-0
и из условия положительности
Im/,(s)>0. D7)
Этим соотношениям можно придать строгий смысл в духе
теории обобщенных функций [Ru 6], используя тот факт, что
5-матрица есть ограниченное лоренц-ковариантное отображе-
отображение 4?out на ф1п. Для вывода D7) асимптотическая полнота
(унитарность) не требуется. Достаточно уже положительности
метрики в гильбертовом пространстве. (Между прочим, даже
«упругую унитарность" можно рассматривать как спектраль-
спектральное условие [Str 2], характеризуемое кратностью вырождения
спектра оператора энергии-импульса ниже трехчастичного
порога.)
Аналитичность Т (s, t) в области D3) можно показать,
подставив в D4) разложение абсорбтивной части в степенной
ряд. При отождествлении возникающего интеграла с Т (s, t)
используются результаты Броса, Эпштейна и Глазера.
Все эти аналитические свойства тесно связаны с нелиней-
нелинейными ограничениями на VEV или на обобщенные запазды-
запаздывающие функции. Известен заставляющий задуматься контр-
контрпример [Jo 3], давно показавший важность информации, зало-
заложенной в нелинейных условиях. Другой результат Гринберга
и Лоу [Gr 4] и Мартена [Мг 3] благородно прост: из унитар-
унитарности следует, что минимальное число вычитаний в диспер-
дисперсионных соотношениях для инвариантных амплитуд рассеяния
частиц: спин 0 — спин 0 или спин 0 — спин 1/2 не пре-
превосходит двух. Все это налагает довольно жесткие ограни-
ограничения на амплитуды рассеяния в локальной квантовой реля-
релятивистской теории поля
A) фруассаровское ограничение [Frl] на двухчастичную
амплитуду:

4. Локальные квантовые поля 207
B) ограничения на пороговое поведение (при отсутствии
пороговых резонансов) [Ji 1]
6Z(?)~ ?2(+1 при k-+0 D9)
и на аналитические свойства парциальных амплитуд, которые
являются хорошим исходным пунктом для численных расче-
расчетов, обычно базирующихся на представлении Мандельстама;
C) (квази-) дисперсионные соотношения вида [Вго 4] вы-
выполняются также и в некоторой области комплексных t;
D) существует абсолютное численное ограничение на ам-
амплитуду рассеяния л° — лР. Если считать, что при всех энер-
энергиях можно пользоваться чисто упругим условием унитарности
[Zi 2], [Mr 4], то амплитуда рассеяния я — я и ее абсорбтив-
ная часть допускают продолжение вплоть до границ носителя
мандельстамовской двойной спектральной плотности. Это по-
показывает, что ближайшие особенности Т (s, t) и в самом деле
определяются двухчастичной унитарностью.
4. Локальные квантовые поля
Как доказано Вайтманом [Wi 10], трансляционно инва-
инвариантное локальное поле А (х), удовлетворяющее спектраль-
спектральному условию с вакуумом, не может быть корректно опре-
определено как обычное поле операторов, зависящих от точки х,
в случае если А(х)Фа1. Поэтому операторнозначные обоб-
обобщенные функции являются естественным аппаратом квантовой
теории поля. В импульсном пространстве удобно формулиро-
формулировать лоренц-ковариантность, спектральное условие и свойства
5-матрицы. Однако для доказательства асимптотических усло-
условий и аналитических свойств амплитуд рассеяния необходима
эффективная формулировка аксиомы локальности в .«-про-
.«-пространстве.
Предположение, что вайтмановы обобщенные функции
суть обобщенные функции медленного роста, является соблаз-
соблазнительно простым, но может исключить из рассмотрения физи-
физически интересные теории „неперенормируемого" характера.
Недавно Яффе [Ja 2] разработал аксиоматическую основу
локальных квантовых теорий поля, в которых допускаются
гораздо более широкие, чем в обычной вайтмановой схеме,
свойства роста VEV в импульсном пространстве.
15*

208 Гл. VII. Новые достижения
Пусть 3R(Rin)— пространство основных функций по отно-
отношению к VEV в импульсном представлении, а &(Rin)— про-
пространство их Фурье-образов. Аксиому локальности можно
сформулировать в смысле обобщенных функций, если для лю-
любого открытого множества 6cR4n
^(б) = ^(/?4")П^(б) E0)
плотно в 3>{6). Яффе показал, что существует много прием-
приемлемых пространств основных функций, удовлетворяющих E0).
Каждое такое пространство характеризуется целой функцией
- / С Z С У> О С "> О /-g j ч
в-0
которая задает нормы || .. . ||ffl> я соотношением
Ыт,п = sup, 2 I И« || ^2)A+М|УДаФ (/>)!¦ E2)
' |а|<т
где ||р ||—евклидова норма в Ru. Пространство ffi(R41)
является ядерным пространством [Ge 1*J:
Ш (RU) = (ф e & (Ril): || q> ||m, я < oo. V«. «}. E3)
Теорема. Пространство 9К(/?4/) локально в смысле
E0) тогда и только тогда, когда
«<0О. E4)
1
Эта теорема разрешает рост
) *-* + со, E5)
для любых е > 0, а < со.
Предполагается, что VEV произведений п полевых опе-
операторов в х- и р-представлениях являются обобщенными
функциями из 16' (R4n) и Ш' (R4n). Лоренц-ковариантность,
спектральные условия, а также условие положительной опре-
определенности формулируются как обычно. Соотношения же ло-
локальности должны выполняться для таких основных функций
в J? (RAn), носители которых пространственно-подобны друг
другу. Весьма полезной оказывается следующая

4. Локальные квантовые поля 209
Структурная теорема. Обобщенная функция
Т ?^'\Rl) тогда и только тогда, когда
Г (*) = A _ A)" g (- «А) х (х) E6)
при некотором целом п^-0 и некоторой непрерывной
функции х(х) медленного роста.
Основные черты вайтмановой квантовой теории поля со-
сохраняются, за некоторыми очевидными изменениями, и в новом
общем подходе [Ja 2].
Теорема.
A) В х-представлении VEV являются граничными зна-
значениями (в ^'(R4n)) функций, голоморфных в трубе буду-
будущего ?„.
B) ОК-теорема справедлива в &'(R1) и Ж (/?').
C) Различные VEV, получающиеся перестановкой п
полевых операторов, представляют собой граничные зна-
значения {из различных труб) единой функции, голоморфной
в объединении всех расширенных пер мутированных труб *).
D) Выполняется теорема Рее—Шлад ери: для любого
непустого открытого множества 6cRA циклическое под-
подпространство DF) всех векторов, порожденных поли-
полиномами от полевых операторов, сглаженных с помощью
функций из J?F), совпадает с ф.
E) Поле А (х), сглаженное по времени-подобному на-
направлению с помощью функции из Ш, принадлежит
классу С°° по пространственно-подобному направлению
[Во 4].
F) Сохраняется обычная связь между спином и ста-
статистикой, TCP-теорема и борхерсова эквивалентность
по отношению к {слабой) локальности.
G) Можно доказать теорему о пространственно-
подобной асимптотической факторизации: TVEV как обоб-
обобщенные функции от разностей переменных являются
после сглаживания по временным аргументам элемен-
элементами пространства ^{R3").
(8) Выполняется асимптотическое условие Хаага —
Рюэля, а также асимптотическое условие ЛЗЦ на
*) В оригинале extended permuted tubes. — Прим. ред.

210 Гл. VII. Новые достижения
неперекрывающихся гладких состояниях рассеяния и соот-
соответствующие редукционные формулы.
(9) Причинные коммутаторы допускают представле-
представление Йоста — Лемана — Дайсона со спектральной плот-
плотностью из Ж.
A0) Матричные элементы запаздывающего коммута-
коммутатора R+ (x, у) двух полей можно определить в слабом
смысле как
' Г dsd*u g«/»-»>l u *<¦;¦»> . E7)
2я J g (s) [(p — uf — s]ret v '
A1) Методом Боголюбова можно доказать аналити-
аналитические свойства двухчастичной амплитуды рассеяния
Т (s, t) и рост на бесконечности типа g (| s \). Применяя
условие унитарности и теорему Фрагмена — Линделёфа,
можно получить дисперсионные соотношения с конечным
числом вычитаний и аналитичностью в области Мар-
Мартена D3).
A2) Формфактор f(t), продолженный за массовую
поверхность с помощью соотношения
(D, + Ч) (П, + *2) (О. Я+ (*• У) | \ E8)
тождественно равен нулю или удовлетворяет неравен-
неравенству
max | / (?) | > А ехр (— В \t |1/2) E9)
при t < 0 и при некоторых А > О, В < оо.
Из всех этих результатов следует, что вполне возможна
локальная релятивистская квантовая теория поля, довольно
сингулярная в х-представлении и соответственно допускающая
быстрый рост на бесконечности в р-представлении, причем
сохраняются обычные свойства регулярности на массовой по-
поверхности, вытекающие из аксиом Вайтмана (и унитарности).
5. Модели
Один из самых „роковых" вопросов квантовой теории
поля — это вопрос о том, существуют ли нетривиальные мо-
модели, удовлетворяющие всем аксиомам Вайтмана (или Яффе).

5. Модели 211
Следует .отметить недавние достижения в этой области, кото-
которые, по крайней мере, отчетливо демонстрируют неразрешен-
неразрешенные трудности.
Отличная от 1 матрица рассеяния несовместна ни с одним
из перечисленных ниже упрощающих предположений, на
основе которых на первый взгляд можно было бы надеяться
построить какую-нибудь нехитрую аппроксимационную схему.
Теорема. Только обобщенное свободное поле удовле-
удовлетворяет, помимо аксиом Вайтмана, хотя бы одному из
следующих условий:
(a) Только конечное число усеченных VEV отлично от
нуля [Ог 3; Ro 2].
(b) Коммутатор [А (х), А (у)] является операторно-
значной обобщенной функцией ?>(х— у) только от одной
переменной {х — у) [Li 1].
(c) Выполняется равенство
J (А (х) А @)H е1 <* *) dx = 0 F0)
при некотором 0 -< М2 < оо и всех (р, р) >. М2, р° > О
[Ог 21.
(d) Выполняется равенство
А (р) = Bя)~2 J dxA (х) е1 <"¦ *) = 0 F1)
в окрестности пространственно-подобной р [Ro I; Gr 2].
Кроме того, работа Акса [Ак 1] (игнорирующая, впрочем,
некоторые технические трудности [Mr 4]) показывает, что
двухчастичная амплитуда рассеяния тривиальна, если равны
нулю все амплитуды перехода из двух частиц в п > 2 частиц.
Большие надежды на построение нетривиальной точно
решаемой модели всегда возлагались на исследования полей
в двумерном пространстве Минковского. К настоящему вре-
времени [Wi 9] из таких исследований мы узнали больше об опе-
операторной структуре полей и токов, чем о нетривиальных ре-
релятивистских 5-матрицах.
Взаимодействию между полями можно придать точный
математический смысл либо в рамках гильбертова простран-
пространства, либо изучая решения бесконечной системы интегродиф-

212 Гл. VII. Новые достижения
ференциальных уравнений для VEV (упорядоченных во вре-
времени) произведений полевых операторов.
Для первого подхода очень характерно рассмотрение
Нельсона [Ne 1], относящееся к взаимодействию фЧф кван-
квантованного релятивистского мезонного поля ф с нерелятивист-
нерелятивистскими нуклонами \|). В этой модели число нуклонов сохра-
сохраняется, и в тензорном произведении $N пространства волно-
волновых функций для N нуклонов и фоковского пространства для
мезонного поля свободный гамильтониан Ио — Нт -\- На
является хорошо определенным самосопряженным оператором
на области Д. Здесь
Нт = J
(!) а* (!) а (!),
<62>
т>0-
Для 0 <^ и -^ оо определим
| k\ < v.
и 2фк/ F4)
Теорема. Оператор Нх, определенный на Д, явля-
является самосопряженным, если g вещественно, a O<0t<oo.
Доказательство следует из критерия Като [Ко 1]: суще-
существуют такие постоянные а < 1 и Ь < оо, что для всех
WA выполняется
F5)
Теперь естественно попытаться придать смысл взаимо-
взаимодействию 1|)*фф при и->оо, когда интеграл
^ J $ h' F6)
логарифмически расходится. Главный результат Нельсона
выражается следующей теоремой.

5. Модели 213
Теорема. Существует такой единственный само-
самосопряженный ограниченный снизу оператор Н на fyN,
что при всех вещественных t
Шп «"<"*-"**> = «"*• F7)
Предел понимается в сильном смысле.
Досадно, что, несмотря на простоту модели (отсутствие
требований локальности, релятивистской ковариантности и
стабильности вакуума), не доказано ни существование гай-
зенберговых полей как операторнозначных обобщенных функ-
функций, заданных на плотной инвариантной. области, ни спра-
справедливость теории рассеяния (даже при к < об).
Для релятивистских моделей предпочтительными с точки
зрения теории возмущений оказываются гамильтонианы взаимо-
действия вида Н, = I dxgffli (x), где ?%!, (х) — виковский
полином по свободным полям в фоковском пространстве.
Чтобы сделать Н{ хорошим оператором в гильбертовом прост-
пространстве, нужно прежде всего ввести пространственное обреза-
обрезание V, поскольку в силу трансляционной инвариантности
Ц/У/ОЦ равна либо 0, либо бесконечности:
|| Н,О. || = J dxdy (Q. &е, (О)* SB, (x — у) Q). F8)
В четырехмерном случае, однако, гамильтониан Н,зУ =
= dx<ffi,(x) с пространственным обрезанием V по-преж-
v
нему приводит к ультрафиолетовым расходимостям: из-за
возможности рождения большого числа частиц с высокими
относительными импульсами нельзя применить HIt„ни к какому
вектору с конечным полным числом частиц.
Пользуясь совершенно другой техникой, Яффе [Ja 3],
а также Като и Мугибаяси [Ktl,2] и Ланфорд [Lai] изу-
изучали взаимодействие ф4 и юкавское взаимодействие. Яффе
ввел пространственное обрезание и высокоэнергетическое
обрезание к таким образом, чтобы во взаимодействии осталось
лишь конечное число членов. В этом случае формальная
положительность взаимодействия ф4 (при положительных кон-
константах связи А,) позволяет применить теорию эллиптических

214 Гл. VII. Новые достижения
уравнений в частных производных. При этом удается опре-
определить Н = Но -}- ЯЯ7> х как самосопряженный оператор с не-
невырожденным основным состоянием и доказать существова-
существование VEV произведений гайзенберговых операторов поля
( t) = emy(x, Q)e-lHt. F9)
Для юкавской связи с двумя обрезаниями (но все еще с бес-
бесконечным числом членов во взаимодействии) Като и Лан-
форд использовали в качестве основного инструмента сле-
следующую оценку:
G0)
для всех W ? А (#0), причем а < 1 и Ь < оо. Неравенство G0)
следует из ограниченности сглаженного свободного ферми-поля.
Ланфорд доказал существование плотного множества D,
инвариантного по отношению к eiHt, и гайзенберговых полей
<рн(х, t), являющихся операторнозначными обобщенными функ-
функциями. На D оператор elHt можно вычислить с помощью
сходящегося разложения теории возмущений. При достаточно
малых константах связи Я, можно построить единственное
основное состояние, принадлежащее D, снова с помощью
теории возмущений [Ко 2]. Сходящийся ряд теории возмуще-
возмущений для хронологических VEV отождествляется с разложе-
разложением Гелл-Мана и Лоу [GM 1], которое в этом случае (как
ряд обобщенных функций из 3 (Rn X V")) имеет ненулевой
радиус сходимости. Таким образом, в этой модели с обреза-
обрезанием удается придать строгий смысл формальным манипуля-
манипуляциям, типичным, например, для квантовой электродинамики
(с массивным фотоном).
Установив существование VEV в теории с обрезанием,
можно надеяться преодолеть трудность, связанную с теоремой
Хаага [Hal; Hall], доказав сходимость
(Qx,<hl(xl)...<bl(xn)Qj G1)
в топологии $" (R4n) или &' (R4") при снятии обрезания я.
(В не совсем тривиальном случае перенормировки массы
в квантовой теории поля с линейным взаимодействием такая
сходимость была доказана Яффе [Ja3].) Соответствующий
предел тоже будет удовлетворять условию положительности

5. Модели 215
и в силу теоремы реконструкции [Wi 1] определит некоторые
операторнозначные обобщенные функции, т. е. поля, которые,
можно думать, окажутся локальными и лоренц-ковариантными.
Стоит упомянуть еще один результат Нельсона [Ne2].
В двумерном пространстве-времени оператор
+я
нт = J : Я»4 :(*)** G2)
—/?
корректно определен при R < оо. Если рассматривается
ф4-теория в пространственном ящике I— /?,+/?] с перио-
периодическими граничными условиями, то можно показать, что
при g^Q оператор HR — H0-\- gH1R ограничен снизу [Ne2].
Поэтому HR допускает естественное расширение по Фрид-
рихсу до самосопряженного оператора. Однако о существова-
существовании вакуумных средних от гайзенберговых полей ничего не
известно, ибо для этого нужно изучать предел при /?->оо.
Исследование бесконечной системы уравнений для обоб-
обобщенных функций т в евклидовой области (т, е. для мнимых
значений временных компонент) было предпринято Зиман-
циком [Sy5] и Тэйлором [Та 2]. В евклидовой области условно
сходящиеся интегралы становятся абсолютно сходящимися,
и для
exp^D-rj G3)
можно написать корректное представление с помощью интег-
интеграла Винера. Перегруппировав ряд теории возмущений для
теории с взаимодействием <р4, Зиманцик [Sy 5] получил бес-
бесконечную систему уравнений типа уравнений Кирквуда—Зальц-
Кирквуда—Зальцбурга в квантовой статистической механике, где они привели
к доказательству сходимости вириального разложения в термо-
термодинамическом пределе [Gil]. В модели <р4 эти уравнения
оказываются плохо определенными, если не введено обреза-
обрезание. Устранив ультрафиолетовые расходимости с помощью
метода Нельсона [Ne3], можно надеяться, что перенормиро-
перенормированные уравнения имеют приемлемые решения.
Таким образом, пока не слишком удачные поиски реали-
реалистических моделей взаимодействующих релятивистских частиц
вознаграждены, по крайней мере, появлением очень интерес-
интересных математических структур.

ДОПОЛНЕНИЕ I
1. Нормальные формы преобразований Лореица
Основная цель настоящего приложения состоит в нахож-
нахождении нормальных форм комплексных преобразований Лоренца.
Такие нормальные формы возникают в результате следующего
рассуждения. Пусть А — изометрическое отображение одного
комплексного лоренцева пространства на другое. Мы хотим
упростить матричное представление А, выбирая подходящие
вещественные системы координат в этих комплексных про-
пространствах. Это приводит к следующему определению.
Определение 1. Два комплексных преобразования
Лоренца А и В называются эквивалентными друг другу по
отношению к L\, если А = А1ВА2, где Л1( Л2??+. В этом
случае мы будем писать Л ~ В.
Лемма 1. Если А~В, то М = А~ХА и N = B~1B
связаны преобразованием подобия
M = A2~1NA2, AzZLX-
Кроме того, они удовлетворяют, равенству
Доказательство тривиально следует из определения.
Определение 2. Комплексное преобразование Лоренца,
удовлетворяющее равенству MM—I, называется чисто мнимым.
Значение чисто мнимых преобразований Лоренца может быть
по настоящему понято только в рамках псевдоунитарной
геометрии, порожденной скалярным произведением [?, т]] =
= t,TGx]. В этой геометрии матрица, сопряженная к матрице С,
определяется как С+ = GCTG. Псевдоунитарное преобразова-
преобразование соответствует матрице, для которой U+ = U~l. Вещест-
Вещественное псевдоунитарное преобразование одновременно яв-

/. Преобразования Лоренца 217
ляется вещественным преобразованием Лоренца: Л+ = Л.
Л = Л. Чисто мнимое преобразование Лоренца удовлетворяет
соотношениям М+ = М и М = М~Х. Поэтому М является
самосопряженным. Связь между вещественными унитарными
преобразованиями Л и самосопряженными преобразованиями М
устанавливается в следующей лемме.
Лемма 2 (Хепп). Пусть М самосопряжено, М=М~Х,
е не является собственным значением М и, кроме того,
e2^i, |е|= 1. Тогда
Л = A — еМ)(М — г) A.1)
есть вещественное унитарное преобразование, причем
det Л = det M.
Если Л вещественно и унитарно и г2ф1, |г| = 1
таково, что —г не является собственным значением Л,
то
Ж = A+еЛ)(Л + 8)~1 A.2)
самосопряжено, М= М~1 и det Л = det M.
Доказательство. 1.
( )(
поскольку М+ = М.
2.
Л = A — е^Ж) (Л? - е) = (е — М~х) {гМ~х ~ l) =
= {1—гМ)(М — г)~1 =
так как М= М~х
3.
3.
det Л/det М = det (AT1 — e)/det (М — е) =
= det О {МТ — е) O/det (М — е) = 1,
поскольку М~ = GM G и О =/.
4.
так как Л+ = Л.
5. В силу равенства Л = Л
М = A -f е-!Л) (Л -f е) = (е + Л) A -f еЛ) == М~\

218 Дополнение I. Нормальные формы
6. Равенство det Л = det M получается, как и выше.
Лемма доказана.
Таким образом, проблема классификации чисто мнимых
преобразований Лоренца (по отношению к Z.+) сводится
к проблеме классификации (по отношению к Lf) веществен-
вещественных преобразований Лоренца.
2. Нормальные формы собственных ортохронных
преобразований Лоренца
Пусть Л ? L+ их М = det (Л — XI) — соответствующий
характеристический полином.
Лемма 3. Если х(А,о)=О, то хAог)=О. Если х<Ло)=°
и %оф%о, то Аю = Аю-
Доказательство. 1.
X(A,) = det(A —A,/)== detO(Ar — %l)G =
= det (Л — XI) = (— if det (Л — к'1!),
откуда следует первое утверждение.
2. Пусть теперь ХфХ и ЛС = /^С- Тогда (Л?, ЛС) =
= Л,2 (Sj_ С)=(С. 0=0, поскольку А,2=^1. Более того, Л?=Ц
и (^, С) = Я.А, (CS). Однако равенство (С. 0 = 0 невозможно,
так как иначе Re С и Im? порождали бы двумерное изотропное
подпространство. Поскольку кфк, то С и С линейно незави-
независимы. Таким образом, А.А. = 1, что и требовалось доказать.
Лемма 4. Векторное пространство 93 распадается
на инвариантные ортогональные подпространства 23О и
23(f, где 23о в реме ни-под об но, а сужение Л на 23О являет-
является собственным ортохронным преобразованием Лоренца
с вещественными собственными значениями, причем соб-
собственные векторы времени-подобны или изотропны и
вещественны. Сужение Л на Ъ^ является собственным
ортогональным преобразованием Ло.
Доказательство. Пусть К — ei(v—комплексное соб-
собственное значение, a t, = z-l-\- /e2 — соответствующий соб-
собственный вектор. Так как (elf ei) = (82, ?2) и (е,, е2) = 0,
пространство (е^ е2) является пространственно-подобным.

2. Собственные ортохронные преобразования Лоренца 219
Если (elt е1) = (е2, ?2)==—1. то сужение Л на fa, %) имеет
канонический вид
— sin
COS
Пространство (е:, Cj)-1- времени-подобно, и, поскольку
det/С (ф) = 1, сужение Л на (е^ ь^ является собственным
и ортохронным. В результате итерации мы придем в конце
концов к собственному преобразованию Лоренца Л,, облада-
обладающему только вещественными собственными значениями.
Пространственно-подобные собственные векторы будут
теперь отвечать вещественным собственным значениям с мо-
модулем -{-I. Они порождают подпространство 8j, в котором Aj
индуцирует инволюцию. Сужение А1 на 8-1- представляет
собой ортохронное преобразование Лоренца с веществен-
вещественными собственными значениями и времени-подобными или
изотропными собственными векторами. Поэтому собственные
значения с необходимостью положительны. Таким образом,
инволюция в 8j обладает детерминантом -f-1 и является
поэтому собственным ортогональным преобразованием, что и
нужно было доказать.
Обратимся теперь к анализу Ло, где будем различать
несколько случаев.
Случай A). Преобразование Ад имеет времени-подоб-
ный собственный вектор. Тогда 80 одномерно, и Ло—единица.
Мы получаем следующие нормальные формы для преобразо-
преобразования Лоренца в целом:
1
при нечетной размер-
размерности,
L@)
при четной размерности,

220
Дополнение I. Нормальные формы
где
\sh x ch x/
Случай B). Преобразование Ло обладает изотропным
собственным вектором а, отвечающим собственному значению
Х — ех, х^О. В этом случае у Ло есть и другое собствен-
собственное значение е**, принадлежащее линейно независимому по
отношению к а изотропному вектору р. Пространство 33О =
= (а, р) двумерно, и мы можем написать
а——™ с I о \л ft —— о ^^^_ о * {& с \ /'о о ^ 1 /'с о \ II
— ь0 "I Ь1 и Р — ь0 Ь1> \ь0> ь0/ — \Ь1> Ь1^ — J > \ь0' Ь1^—и#
В этом базисе Ло принимает вид
Z,(y) = |c1 " s, "|.
чл/ \sh х ch x/
Каноническая форма для Л при этом будет
A)
где A) появляется только при нечетной размерности.
Случай 3. Ло имеет единственное собственное значе-
значение 1 и единственный изотропный собственный вектор а
(если найдутся два собственных вектора, то это будет означать,
что Ло — тождественное преобразование). Метрика в (а)
является сингулярной. Пространство (a)L обладает одномер-
одномерным радикалом (а). Факторпространство (а)-'У(а) является
евклидовым, и сужение Ло на него есть единичное преобразо-
преобразование. Поэтому если | ? («)"Ч то Л| = | -+- {I, |) а, где
/ ^ {аI определен по модулю (а) и, следовательно, / ? ((^/(а).
Поскольку 1^0, мы находим, что {а)-1/(а) по крайней мере
одномерно. С другой стороны, размерность его не может
быть больше единицы, так как в этом случае у Ло были бы
пространственно-подобные собственные векторы. Таким об-
образом, (а)-1- двумерно, а 23О трехмерно. Пусть в 23О =

2. Собственные ортохронные преобразования Лоренца 221
(eQ, ev ex) выбран такой ортонормальный базис, что
Тогда Ло принимает вид
1 -|_ т2/2 _ т2/2 — -
т2/2 1—т2/2 — т
— т т 1
Нормальная форма для Л будет выглядеть так:
М{х)
[И
где [1] появляется только при четных размерностях.
Итак, мы получили все нормальные формы для A?L\.
Нормальные формы для Л ? L% получаются следующим изме-
изменением знаков:
Случай B%
к
Случай C*).
— 1
к (ъ)
16 Зак. 707

222 Дополнение I. Нормальные формы
В обоих случаях A) появляется только при нечетных раз-
размерностях.
Замечания. 1. Группы К(ф), L(у) и М(т) пред-
представляют собой однопараметрические группы; например,
(l2
2. Эти нормальные формы одновременно описывают
классы эквивалентных элементов L%. Нормальные делители L\
поэтому характеризуются содержащимися в них нормальными
формами. Пользуясь нормальными формами, нетрудно дока-
доказать, что L+ не имеет нетривиальных нормальных делителей.
Поэтому L,\ является простой группой.
3. Три трехмерные нормальные формы
1 I
имеют простой смысл в двумерной неевклидовой геометрии
[К1 1*. стр. 105].
3. Нормальные формы комплексных преобразований
Лоренца
Теперь лемма 2 позволяет провести классификацию всех
мнимых собственных преобразований Лоренца
1 -^— &А |о| , Hot/'A .J_e\_JL 0. C.1)
Мы интересуемся только такими преобразованиями, для ко-
которых det Ж=-{-1. Поскольку преобразование {\-\-zw)j(w-\-e)
отображает вещественную ось на единичную окружность,
а единичную окружность на вещественную ось, нормальные
формы для М можно получить, подставив мнимые значения
X и <pv в нормальные формы § 2 случаев A) и B). То же
самое верно и для параметра т, который фигурирует в исклю-
исключительном случае C) в качестве аргумента М(х). Это следует
дибо непосредственно, либо из того, что M(i) является пре-
предельным случаем трехмерных преобразований, принадлежащих
нормальным формам, упомянутым в замечании 3. Тот факт,
что все параметры ф, % и т принимают чисто мнимые зна-
значения, оправдывает название „чисто мнимые преобразования
Лоренца" для М.

3. Комплексные преобразования Лоренца
223
Однако мы интересуемся лишь такими чисто мнимыми
преобразованиями Лоренца, для которых, согласно § 1,
М — А'1 А. Такие преобразования обладают специальным
свойством: эрмитова форма (?, М?) обладает той же самой
сигнатурой, что и само (?, С). Это вытекает из того, что
(?, М?) = (Л?, Л?). Поэтому остаются только следующие нор-
нормальные формы.
Случай A'). Нечетная размерность:
1
М-
Четная размерность:
М
Случай B').
М-
Случай C').
м
/С (ftp,)
где х = 0 или % =
A)
111 < я-
к (tor)
где
и вещественно.
16*

224 Дополнение I. Нормальные формы
Теперь нетрудно решить уже нашу первоначальную про-
проблему. Пусть A ?L+ (С) и М== А~1А. Пусть также Мо =
= А~1МА, Л??+ — соответствующие нормальные формы,
т. е. формы, описанные выше. Все входящие в их состав
элементы L(ly), M{ix), К(Лр) имеют чисто мнимый квадрат-
квадратный корень: L(lyJ2), M(ix/2) и /С(/ф/2). Таким образом,
У~Щ= No чисто мнимо и принадлежит L. (С), так что
Ао = Л-1ЛЛ удовлетворяет равенству А$ Ао = Л/2, где
= f. Иначе говоря,
Если Л! ? L+, то А — Ао = ЫАг ~- N и N уже является
нормальной формой, которую мы хотели получить. Она имеет
вид, аналогичный одному из случаев A'), B')> (З')- Если
A1^L%, то N нужно умножить справа на такое фиксиро-
фиксированное отражение R?L%, что A0 = (NR)(RA). Тогда NR
будет искомой нормальной формой. Все нормальные формы
определяются однозначно с точностью до выбора хфО и R.
Эта процедура приводит в точности к утверждениям § 3,
гл. IV.

ДОПОЛНЕНИЕ Н
ЕДИНСТВЕННОСТЬ W (?) В Un3^
Содержание этого приложения целиком базируется
на работе Рюэля (частное сообщение).
Основой доказательства является следующая теорема.
Теорема. Пусть л—подстановка точек (zQ, г^ гп)г
а также порожденное этой подстановкой линейное пре-
преобразование разностей переменных zk — zk^^Zk. Пусть
W(?{ ?л) однозначна и аналитична в %'п и L+(C)-
инвариантна. Пусть также Wn(t,lt ..., ?„) однозначна
и аналитична в nVn и L+ (С)-инвариантна. Предположим
далее, что существуют граничные значения Wn(plt ..., р„),
задающие обобщенную функцию.
Если
W(Pl, .... ря) = ^я(р, ря), A)
то Wn есть однозначное аналитическое продолжение
функции W в область Vn\)n%'n,
Доказательство. 1. Мы будем пользоваться упро-
упрощенными обозначениями: ? = (?] ?л).
2. Исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда
я — тождественная подстановка или полная инверсия. При
этом р — граничная точка Хп.
3. Из уравнения A) следует, что Wn голоморфна по р
и во всех точках Ар, A (jj L+ (С), где она определена,
Wn (Ар) = Wn (p). Поэтому мы имеем
= Wn(Bp), где A,
4. Исходя из A) и (l')i мы должны показать, что
W(to = Wa<& при

226
Дополнение П. Единственность №(?) в
Вследствие того что ??&, существуют два таких преобра-
преобразования Лоренца Л и В, что i^AZ()BZn. По соображе-
соображениям непрерывности мы можем считать, что Л и В не при-
принадлежат исключительным классам. Пересечение 0о=Л2; П В%я
опять оказывается выпуклым и, следовательно, связным.
Поэтому достаточно показать совпадение W и Wn в окрест-
окрестности одной точки в Од.
5, Рассмотрим сначала ситуацию, когда В представляет
собой единицу, а Л — нормальную форму N. Интересный
случай NZ П in Ф 0 возникает только при
/.(ftp)
1
A}
где ф=?0, я. Тогда Бтф^О, и N переводит точку
в р1 = р2= ... =рл = (о, —(sin<p)-\ 0...0). Поэтому NZ
также содержит вещественные точки Z'. В применении к этим
граничным точкам р области ?я уравнение A) дает следую-
следующее: W и Wn голоморфны и совпадают друг с другом
в окрестности точки р. Следовательно, они совпадают
в NZ П 5ЕЯ.
6. Мы можем, наконец, свести общий случай AZ(]BZn^0
к предыдущему следующим образом. Поскольку В~ХА =
= Л1Л^Л2, Л,git и поскольку B~1AZ = AlNZ, как и NZt
содержит вещественную точку р из области %', область AZ
содержит точку Вр, лежащую на границе В%я. Однако в ком-
комплексной окрестности этой точки, согласно A'). W и Wn
совпадают.
Приложение. Из этой теоремы непосредственно сле-
следует, что в локальной теории можно однозначно продолжить
функцию 2B(z0, zx zn) в ©я+i. где полная симметрия
по аргументам (zQ, zx zn) обеспечивается симметрией
в вещественных точках голоморфности (г0, гх, .... гп). Так

Дополнение II. Единственность W(t) в U^n 227
как при л^-2 область <5я+1 не является областью голоморф-
голоморфности, остается, разумеется, еще возможность, что оболочка
голоморфности ©л+1 Уже не однолистна. При я=2 это ослож-
осложнение, однако, не возникает.
Обобщение. До сих пор мы предполагали существо-
существование граничных значений функции Wn (p). Это условие можно
ослабить, если размерность больше 2. Достаточно предпо-
предположить, что W и Wn совпадают на пересечении множеств
вещественных точек голоморфности %' и %я. Тогда уравне-
уравнение A) получается в результате аналитического продолжения.
Это вытекает из следующих положений, доказательство ко-
которых мы оставляем читателю.
(a) Пересечение %' П ?я содержит вещественные точки голо-
голоморфности, а поэтому и их вещественную окрестность, если
размерность 93 превосходит 2.
(b) Если размерность 93 больше 2, множество веществен-
вещественных точек %' является связным.

Ak
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
Ar
1
1
2
3
4
5
6
7
ЛИТЕРАТУРА
А. ОРИГИНАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Aks S., J. Math. Phys., 6 A965), 516.
Araki H., J. Math. Phys., 1 A960), 492.
Araki H., Ann. Phys., 11 A960), 260.
Araki H., Burgoyne N.. Nuovo Citn., 8 A960), 342.
A r а к i H., J. Math. Phys., 2 A961), 163.
Araki H., J. Math. Phys., 2 A961), 267.
Araki H., Progr. Theor. Phys. SuppL, 18 A961), 83.
Araki H., Haag R., S с h г о е г В., Nuovo Citn., 19
A961), 90.
[Ar 8] A r а к i H., H e p p K., R u e 11 e D., Helv. Phys. Ada.,
35 A962), 164.
[Ar 9] Araki H., Helv. Phys. Ada., 36 A963), 132.
[Ar 10] Araki H., Einfiihrung in die axiomatische Quantenfeld-
theorie, I, II, Lecture notes, ETH, Zurich, 1961/62.
[Ar 11] A r а к i H., H a a g R., to be published.
[Ba 1] Bargman V., W i g n er E. P., Proc. Nat. Acad. Sci,
USA, 34 A946), 211.
[Ba 2] Bargmann V., Ann. of Math. B), 59 A954), 1.
[BR 1] Bohr N.. Rosen f eld L., Mat. Fys. Medd. Danske
Vid. Selsk., 12 A933), № 8.
Bohr N., Rosen J eld L., Phys. Rev., 78 A950), 794.
Borchers H. J., Nuovo Citn., 15 A960), 784.
Borchers H. J., Nuovo Citn., 19 A960), 787.
Borchers H. J., Nuovo Citn., 24 A962), 214.
Borchers H. J., Nuovo Citn., 33 A964), 1600.
Born M., H e i s e n b e r g W., Jordan P., Z. Physik.,
35 A926), 557.
[Bm 1] Bremermann H, Oehme R., Taylor J, Q., Phys.
Rev.. 109 A958), 2178.
[Br 1] Brenig W., Haag R., Fortschr. Physik, 7 A959), 183.
[Bro 1] Bros J., Messiah A., Stora R., J. Math. Phys., 2
A961), 693.
[Bro 2] Bros J., in «High Energy Physics and Elementary Par-
Particles», Vienna A965).
[Bro 3] Bros J., Epstein H., G 1 a s e r V., Nuovo Citn., 31
A964), 1265.
[Bro 4] Bros J., Epstein H., G1 a s e r V., Commun. math.
Phys., 1 A965), 240.
[Bu 1] В u r g о у n e Si., Nuovo Citn., 8 A958), 607.
BR
Bo
Bo
Bo
Bo
Bn
2
1
2
3
4
1

Литература 229
Со 1] Cook J. M., Trans. Amer. Math. Soc, 74 A953), 222.
Cor 1] Corinaldesi E., Nuovo Cim. Suppl., 10 A953), 83.
Db 1] Deb ye P., Ann. Physik D), 33 A910), 1427.
De 1] D e 11' A n t о n i о G. F., G u 1 m a n e 11 i P., Nuovo Cim.,
12 A959), 38.
De 2] Del Г Antonio G. R, Ann. Phys., 16 A961), 153.
De 3] Del Г Antonio G. F., J. Math. Phys., 2 A961), 759.
Di 1] Dirac P. A, M, Proc. Roy. Soc. Ser. A., 114 A927),
243.
[Di 2] D i г а с P. A. M, Rapport du 7e Conseil Solvay de Phy-
Physique A934), 203.
Do 1 Doplicher S., Nuovo Cim., 29 A963), 285.
Dy 1 D у son F. J., Phys. Rev., 110 A958), 579.
Dy 2 D у s о n F. J., Phys. Rev., 110 A958), 1460.
Ep 1] E p s t e i n H., /. Math. Phys., 1 A960), 524.
Ep 2] E p s t e i n H., Nuovo Cim., 27 A963), 886.
Ep 3 Epstein H., Brandeis Lectures 1965, New York, 1966.
Fe 1] Federbush P. G., Jons on K. A., Phys. Rev., 120
A960), 1926.
Fi 1] FierzM, Helv. Phys. Ada., 12 A939), 3.
Fo 1] F о с к V., Z. Physik., 75 A932), 622.
Fr 1] Froissart M., Phys. Rev., 123 A961), 1053.
Fu 1] Fukutome H., Progr. Theoret. Phys., 23 A960), 989,
Ga 1] Gar d ing L., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 33 A947),
331.
[Ga 2] Gar ding L., Wightman A. S., Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 40 A954), 617, 622.
[Ga 3] Girding L, Lions J. L, Nuovo Cim. Suppl., 14
A959), 9.
[Gi 1] Ginibre J., Math. Phys., 6 A965), 238, 252, 1432.
[GLZ 1] GlaserV., LehmannH., Zimmerman W., Nuovo
Cim., 6 A957), 1122.
[GM 1] Gell-Mann M., Low F., Phys. Rev., 84 A951), 350.
[Gra 1] G r a w e r t G., L fl d e r s G., R о 11 n i к Н„ Fortschr.
Physik, 7 A959), 291.
[Gr 1] Green berg O. W., Ann. Phys., 16 A961), 158.
[Gr 2] Greenberg O. W., J. Math. Phys., 3 A962), 859.
[Gr 3] G r e e n b e r g O. W., L i с h t A. L., Л Math. Phys., 4
A963), 613.
[Gr 41 Greenberg O. W., Low F., Phys. Rev., 124 A961),
2047.
[Gu 1] G uns on J., Taylor J, G., Phys. Rev., 119 A960),
1121.
[Hal] H a a g R., Mat. Phys. Medd. Danske Vid. Selsk, 29, № 12
A955).
[Ha 2] H a a g R., Les problemes mathematiques de la theorie
quantique des champs, Centre National de la Recherche
Scientifique, Paris, 1959.
Ha 3] H a a g R., Phys. Rev., 112 A958), 669.
H 4] H R N Ci Sl 14 A959
[H
[H
[H
] g R, y R, (),
Ha 4] H a a g R., Nuovo Cim. Suppl., 14 A959), 131.
H 5] Haag R, Schroer В., /, Math. Phys., 3 A962), 248.

230 Литература
Ja
Ji
Jo
Jo
Jo
Jo
[Jo
[Jo
Jo
Jo
Ka
[Ka
[Ka
[Ka
[Ka
Ka
Ka
Ka
Kl
Kk
Ко
Ко
Kt
Kt
3]
1]
1]
2]
3]
4]
5]
6]
7]
8]
1]
2]
3]
4]
5]
6]
1]
2]
1]
! 1]
1]
2]
1]
2]
Hepp K., Helv. Phys. Ada., 36 A963), 355.
Hepp K., Math. Ann., 152 A963), 149.
Hepp K., Helv. Phys. Ada., 37 A964), 639.
Hepp K., Commun. math. Phys., 1 A965), 95.
Hepp K., Brandeis Lectures 1965, New York, 1966.
[Hal 1] H a 11 D., W i g h t m a n A. S., Math. Fys. Medd. Danske
Vid. Selsk., 31 A957), № 5.
[Hei 1] Heisenberg W., Pauli W., Z. Physik., 56 A929), 1.
[Hei 2] Heisenberg W., Pauli W., Z. Physik., 59 A930),
160.
[Hei 3] Heisenberg W., Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leip-
Leipzig. Math.-Phys., KL, 86 A934), 317.
[Hei 4] H e i s e n b e r g W., Z. Physik, 90, A934), 209.
[Hei 5] Heisenberg W., Z. Physik, 120 A943), 513, 673.
[Hep 1] H e p p K., J о s t R., R u e 11 e D., Steinmann O,
Helv. Phys. Act a, 34 A961), 542.
Hep 2 " - ----- - . -- .
Hep 3
Hep 4"
Hep 5
Hep 6] ___.r .,., , .....
Ja 1] J a f f e A. M., Ann. Phys., 32 A965), 127.
Ja 2] Jaffe A. M., Phys. Rev. Lett., 17 A966), 661 and to be
published.
J a f f e A. M., Thesis, Princeton, 1965.
J i n Y. S., preprint.
Jost R., Lehmann H., Nuovo dm., 5 A957), 1598.
Jost R., Helv. Phys. Ada., 30 A957), 409.
J о s t R, Helv. Phys. Ada., 31 A958), 263.
Jost R., Lectures on field theory and many body pro-
problem, E. R. Caianiello, Academic Press, New York, 1961.
Jost R., Theoretical physics in 20th century; F i e r z M.,
W e i s s - к о p f V. R, Interscience, New York, 1960.
Jost R., Helv. Phys. Ada., 33 A960), 773.
Jost R., Hepp K., Helv. Phys. Ada., 35 A962), 34.
Jost R., Helv. Phys. Ada., 36 A963), 77.
К a 11 ё n Q., Helv. PRys. Ada., 25 A952), 417.
К a 11 ё n Q., W i g t h m a n A. S., Mat.-Fys. Skr. Danske
Vid. Selsk., 1 A958), № 6.
К a 11 ё n Q., W i 1 h e 1 m s s о n H., Mat.-Fys. Skr. Danske
Vid. Selsk., 1 A959), №9.
Kallen G., Toll J. C, Helv. Phys. Ada., 33 A960),
753.
Kallen Q., Dispersion relations and elementary parti-
particles, С de Witt and R. Omnes, Hermann, Paris, 1960.
К a 11 ё n Q., Nud. Phys., 25 A961), 568.
Kastler D., Ann. Univ. Sarav., 4 A955), 206.
Kastler D., Ann. Univ. Sarav, 5 A956), 186, 204.
Klein O., J. Phys. USSR, 9 A938), 1.
KleiraanD, Nud. Phys., 11 A959), 459.
Kato Т., Trans. Am. Math. Soc, 70 A951), 195.
Kato Т., Progr. Theoret. Phys., 4 A949), 514.
Kato Y., Progr. Theoret. Phys., 26 A961), 99.
Kato Y., Mugibayashi N, Progr. Theoret. Phys..
30 A963), 103, 409.
[La 1] L a n f о г d О. Е., Thesis, Princeton, 1966.

Литература 231
[LSZ 1] Lehmann H., Symanzik K-, Zimmermann W.,
Nuovo Cim., 1 A955), 205.
[LSZ 2] Lehmann H., Symanzik K-, Zimmermann W.,
Nuovo Cim., 6 A957), 319.
[Le 1] Lehman H., Nuovo Cim., 10 A958), 579.
[Le 2] Lehman H., Nuovo Cim. Suppl., 14 A959), 153.
[Le 3] Lehman H., preprint.
[Lew 1] Lew J., Thesis, Princeton Univ., Princeton, N. J. A960),
unpublished.
[Li 1] Licht A. L., Toll J. C, Nuovo Cim, 21 A961), 346.
[Lo 1] Loeffel J. J., Helv. Phys. Ada., 36 A963), 216.
[Lfl 1] Lflders G., Mat.-Fys. Medd. Danske Vid. Selsk, 28
A954), № 5.
Lfl 2
Lfl 3
Lfl 4:
Lu 1
Ma 1
Ma 2
Ma 3'
Mh
Mo
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
4]
5
6
7
8
9
LudersG., Ann. Phys., 2 A957), 1.
Lflders G., Zumino В., Phys. Rev., 110 A958), 1450.
Lflders G., Naturforsch., 13a A958), 254.
Luzzatto G., private communication.
Mai 1] Ma jo r ana E., Nuovo Cim., 14 A937), 171.
Mandelstam S,. Phys. Rev., 112 A958), 1344.
Mandelstam S., Phys. Rev., 115 A959), 1741.
Mandelstam S., Nuovo dm., 15 A960), 658.
Manoharan A. C, J. Math. Phys., 3 A962), 853.
M б 11 e r N. H., Nucl. Phys., 35 A962), 434.
Mr 1] M a r t i n A., Nuovo Cim., 42A A966), 930.
Mr 2] M a r t i n A., Nuov. Cim., 44A A966), 1219.
Mr 3] M a r t i n A., Nuovo Cim., 42A A966), 901.
Mr 4] M a r t i n A., CERN report TH 727 A966).
Ne 1] Nelson E., J. Math. Phys., 5 A964), 1190.
Ne 2] Nelson E., in «Mathematical Theory of Elementary
Particles», M. I. T. Press, 1964.
[Ne 3] Nelson E., in «Analysis in Function Space», M. I. T.
Press, 1964.
[Noe 1] No ether E., Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-
Phys. Kl. A918), 235.
[Noy 1] Noyes H. P., Edwards D. N.. Phys. Rev., 118 A960),
1409.
[Oe 1] Oehme R., Phys. Rev., 121 A961), 1840.
[Pa 1] Pauli W., Naturwissenschaften, 21 A933), 841.
[Pa 2] P a u 1 i W., W e i s s к о p f V. F., Helv. Phys. Ada, 7
A934), 709.
[Pa 3] Pauli W., Zeeman Verhandelingen, Haag, Martinus
Nijhoff A935), 31.
Pauli W., Ann. Inst. Henri Poincare, 6 A936), 109.
Pauli W., Ann. Inst. Henri Poincare, 6 A936), 137.
P a u 1 i W., Phys. Rev., 58 A940), 716.
Pauli W., Rev. Mod. Phys., 13 A941), 203.
P a u 1 i W., Progr. Theoret. Phys., 5 A950), 526.
Pauli W., Niels Bohr and the development of physics,
W. Pauli, Pergamon, London, 1955.
Pe 1] Petermann A., Fortschr. Physik, 6 A958),-507.
PI 1] Plank M., Verh. Deutsch. Phys. Ces., 2 A900), 237.

232 Литература
[Re
Re
Ro
Ro
Ru
Ru
Ru
Ru
Ru
1]
2
1
2
1
2
3
4
5
Reeh H., Schlieder S., Nuovo Cim., 22 A961), 1051.
Reeh H., Schlieder S., Nuovo Cim., 24 A962), 32.
Robinson D. W., Helv. Phys. Ada., 35 A962), 403.
Robinson D. W., Commun. math. Phys., 1 A965), 89.
Ruelle D., Helv. Phys. Ada, 32 A959), 135.
Ruelle D., Nuovo Cim., 19 A961), 356.
Ruelle D., Helv. Phys. Ada., 34 A961), 587.
Ruelle D., Helv. Phys. Ada., 35 A962), 147.
Ruelle D., These, Universite Libre, Bruxelles, 1959
(unpublished).
[Ru 6] R u e 11 e D., private communication.
[Sm 1] Schmidt W, Baumann K, Nuovo Cim., 4 A956),
360.
(Sw 1] Schwartz L., Proc. Internat. Congr. Math., 1950.
[Sw 2] Schwartz L., Medd. Lunds Mat. Sem. (Suppl) A952),
196.
[Sn I] Schneider W., private communication.
[So 1] S о m m e r G., to be published.
[Sr 1] SchroerB., LangerholcJ., Commun. math. Phys.,
1 A965), 215.
SchwingerJ., Phys. Rev., 82 A951), 914.
Segal L. E., Trans. Amer. Math. Soc, 88 A958), 12.
S tapp H. P., Phys. Rev., 125 A962), 2139.
Steinmann 0., Helv. Phys. Ada., 33 A960), 257.
Steinmann O., Helv. Phys. Ada., 33 (I960), 347.
Steinmann O., Helv. Phys. Ada., 36 A963), 90.
Steinmann O., J. Math. Phys., 4 A963), 583.
S t о г a R., to be published.
Streater R. F., /. Math. Phys., 3 A962), 256.
Streater R. F., Phys. Rev., 136B A964), 1748.
Symanzik K., Phys. Rev., 105 A957), 743.
Symanzik K-, Л Math. Phys., ГA960), 249.
Symanzik K., Boulder Lectures, Boulder, Colo,
1960.
[Sy 4] Symanzik K-, Hercegnori Lectures, 1961.
[Sy 5] Symanzik K., 1. Math. Phys., 7 A966), 510, in «Ma-
«Mathematical Theory of Elementary Particles», M. I. T. Press
A966),
Та 1] Taylor J. G., Ann. Phys., 5 A958), 391,
Та 2] Taylor J. G., J. Math. Phys., 7 A966), 1720.
To 1] Toll J. C, Phys. Rev., 104 A956), 1760.
Uh 1] Uhlmann A., Ann. Phys., 13 A961), 453.
Wei 1] Weisskopf V. F., Mat.-Fys. Medd. Danske Vid.Selsk,
14 A936), № 6. i
{Wk 1] Wi ck G, G, Wightman A. S., Wigner E. P.,
Phys. Rev., 88 A952), 101.
[Wig 1] Wigner E. P., Ann. of Math. B), 40 A939), 149.
[Wi 1] Wightman A. S., Phys. Rev., 101 A956), 860.
[Wi 2] Wightman A. S., Les problemes mathematiques de la
theorie quantique des champs, Centre National de la Re-
Recherche Scientifique, Paris, 1959.
Sch
Se
Sta
Ste
Ste
Ste
Ste
Sto
Str
Str
Sy
Sy
Sy
1
1]
1
1
2
3
4
1
1
2
1]
2]
3]

Литература 233
[Wi 3] W i g h t m a n A. S., Cours de la Faculte des Sciences de
l'Universite de Paris, 1957/58.
[Wi 4] Wightman A. S., Nuovo Cim. Suppl., 14 A959), 81.
[Wi 5] Wightman A. S., Dispersion relations and elementary
particles, C. de Witt and R. Omnes, Hermann, Paris,
1960.
[Wi 6] Wightman A. S., J. Indian Math. Soc. 24 A960), 625.
[Wi 7] Wightman A. S., S. S с h w e b e r, Phys. Rev., 98
A955), 812.
[Wi 8] Wightman A. S., Epstein H., Ann. Phys.. 11
A960), 201.
[Wi 9] W i g h t m a n A. S., Cargese Lectures, 1964.
[Wi 10] Wightman A. S, Ann. Inst. Henri Poincare, Ser. A,
1 A964), 403.
[Zi Ц Zimmerman n W., Nuovo Cim., 10 A958), 567.
[Zi 2] Zimmermann W., Nuovo Cim., 21 A961), 249,
в. монографии
[Ac 1*] A x и ез e p H. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», М.,
1966.
[At 1*1 Artin E., Geometric algebra, Interscience, New York,
1957.
[Be 1*] Behnke H., Thullen P., Ergebnisse der Math. 3,
Nr. 3 A934), Springer, Berlin, 1934.
[BM 1*] Б о x н ер С., М а р т и н У., Функции многих комплекс-
комплексных переменных, ИЛ, М., 1951.
[Bog 1*] Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в тео-
теорию квантовых полей, Физматгиз, М., 1957.
[СН 1*] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической
физики, т. 1, Гостехиздат, М., 1951.
[Die 1*] Дьедонне Ж-. Основы современного анализа, «Мир»,
М., 1964.
[Dix I*] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans l'espace
Hilbertien, Gauthier-Villars, Paris, 1957.
[Fr 1*] F r i e d r i с h s K., Mathematical aspects of quantum
theory of fields, Interscience, New York, 1953.
[Ge 1*] Гельфанд И, М., Шилов Г. Е., Пространства ос-
основных и обобщенных функций, Гостехиздат, М., 1958.
[Не 1*] Heitler W., Quantum theory of radiation, 1st edition,
Oxford Univ. Press. Oxford, 1936.
[He 2*] Гайтлер В., Квантовая теория излучения, перев.
третьего' издания, М., 1956.
[Hi I*] Hilbert D., Gesammelte Abhandlungen, Bd. 3, Sprin-
Springer, Berlin, 1935.
[Ka 1*] Kail en G., Quantenelektrodynamik, Handbuch der
Physik, Bd V, 1, Springer, Berlin, 1958.
[Kl 1*] Klein F., Nicht-euklidesche Geometrie, Springer, Berlin,
1928.
[Кб 1*] Kothe G., Topologische lineare Raume, Springer, Ber-
Berlin, 1960,

234 Литература
[La 1*] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика, Физмат-
гиз, М., 1958.
[Ne 1*] Наймарк М. А., Нормированные кольца, Гостехнз-
дат, М., 1956.
[Ра 1*] Паули В., Общие принципы волновой механики, Гос-
техиздат, М.—Л., 1947.
[RN 1*] Riesz F., S z.-N a g у В., Vorlesungen iiber Funktional-
analysis, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin,
1956. Имеется русский перевод: Рисе Ф., Секефаль-
в и - Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу,
ИЛ, М., 1954.
[Sw I*] Schwartz L, Theorie des distributions, Vol. I, Her-
Hermann, Paris, 1957.
[Sw 2*] Schwartz, Theorie des distributions, Vol. 11, Her-
Hermann, Paris, 1959.
[Um 1*] Умэдзава X., Квантовая теория поля, ИЛ, М., 1958.
[Wae I*] van der Waerden B. L, Die gruppentheoretische
Methode in der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1932.
[We 1*] Wentzel G., Einfuhrung in die Quantentheorie der
Wellenfelder, Franz Deuticke, Wien, 1943.
[Wey 1*] Weyl H., Theory of group and quantum mechanics,
Dover, New York.
[Wey 2*] В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и
представления, ИЛ, М., 1947.
[Wig 1*] В иг и ер Е., Теория групп и ее приложения к кванто-
квантовой механике атомных спектров, ИЛ, М., 1961.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
1. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К.,
Вопросы теории дисперсионных соотношении, Гостехиздат, М.,
1958.
2. Боголюбов Н. Н,, Доклад в Снэттле, 1956.
3. В л а д и м и р о в В. С., Методы теории функций многих комплекс-
комплексных переменных, «Наука», М., 1964.
4. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., УФН, 55 A955), 3, 149.
5. Петрина Д. Я., УМЖ. 13, № 4 A961), 109—111.
6. Соболев С. Л., Математ. сб., 1 D3) A936), 39—72.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие автора к русскому изданию 6
Предисловие 7
Введение 9
Глава I. Математические средства; пространство-время, спи-
норное исчисление 15
1. Математические средства 15
2. Структура пространства-времени 37
3. Неоднородная группа Лоренца 40
4. Спинорное исчисление в физическом случае N = 4 . . 41
5. Простейшие линейные ковариаитиые дифференциаль-
дифференциальные уравнения 44
Глава П. Классическая теория поля. Квантование свободных
полей 48
1. Вступительные замечания 48
2. Вариационный принцип и законы сохранения 49
3. Классическое свободное скалярное поле 54
4. Квантование свободного вещественного скалярного
поля 58
5. Свободное поле Дирака 63
6. Обобщенные свободные вещественные скалярные поля 72
Глава III. Аксиомы и обобщенные функции Вайтмана ... 80
1. Вступительные замечания 80
2. Аксиомы Вайтмана для нейтрального скалярного поля 81
3. Обобщенные функции Вайтмана 86
4. Основная теорема 93
5. Дополнительные замечания 97
6. Матричные элементы оператора трансляции .... 102
Глава IV. Функции Вайтмана 106
1. Вступительные замечания 106
2. Аналитическое продолжение обобщенных функций
Ф„(*!,..., *я) и ЯВ„(.*„...,.*„); функции Вайтмана 106
3. Комплексные преобразования Лоренца 109
4. Теорема Баргмана, Холла и Вайтмана 114
5. Приложение БХВ-теоремы к локальности 117
6. Проблема, связанная с полной симметрией 2Б„ (z,,
гъ ¦¦•<гп)- Дополнительные замечания о БХВ-тео-
реме 123
7. Теорема Глазера и Стритера 132
8. Теорема Рее и Шлидера и ее приложения 139

236 Оглавление
Глава V. ГСР-теорема. Спин и статистика 142
1. Вступительные замечания 142
2. ГСЯ-теорема для одного скалярного поля 143
3. Спин и статистика 149
Глава VI. Теория асимптотических полей и частиц (Хааг —
Рюэль) 167
1. Вступительные замечания 167
2. Специфические предположения о теории поля .... 167
3. Результаты 169
4. Гладкие решения уравнения Клейна — Гордона ... 172
5. Пространствеино-подобная асимптотика TVEV .... 176
6. Доказательство теорем 1 и 2 . . 182
7. Обсуждение результатов, заключительные замечания 188
Глава VII. Новые достижения 191
1. Приложения ГСР-теоремы 191
2. Связь между аксиоматикой Вайтмана и аксиоматикой
Лемана, Зиманцика и Циммермана 193
3. Аналитические свойства четырехточечной функции
в /^-пространстве 199
4. Локальные квантовые поля 207
5. Модели 210
Дополнение I 216
1. Нормальные формы преобразований Лоренца 216
2. Нормальные формы собственных ортохронных пре-
преобразований Лоренца 218
3. Нормальные формы комплексных преобразований
Лоренца 222
Дополнение II. Единственность W (О в Цд^я 225
Литература 228
Р. й о с т
Общая теория квантованных полей
Редактор Э. Э. Пейсахович Художник В. П. Зайти
Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор И. К. Дерва
Корректор В. И. Киселева
Сдано в производство 6/V 1967 г. Подписано к печати 27/IX 1967 г. Бумага
типографская №2, формат 84x1087™. »3,68 бум. л., 12,39 усл. печ. л„ 9,77 уч.-ивд. л.
Изд. tit 1/4078. Цена 85 к. Темплан 1967 г. Издательства «Мир», № 10.
Зак. М 707.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР' Москва. 1-Рижский пер., 2
Ленинградская типография М 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.