МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической физики
М. Ф. Баринова, Л. И. Костицына, Ю. И. Яламов
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Рекомендовано Министерством Образования РФ
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических факультетов
педагогических вузов
Москва 1995

Печатается по решению кафедры
теоретической физики и Редакционно-
издательского Совета Московского
педагогического университета
Баринова М. Ф., Костицына Л. И., Яламов Ю. И. Электродинамика: Учебное
пособие. — М.: МПУ, 1995.— 346 с.
В учебном пособии освещаются теоретические основы классической электро-
электродинамики для студентов педвузов физико-математического профиля и учителей
физики средних учебных заведений, содержатся задачи с решениями, упраж-
упражнения, контрольные вопросы.
Под общей научной редакцией Заслуженного деятеля науки Российской
Федерации, Действительного члена Международной академии наук высшей
школы, доктора физико-математических наук ^профессора Ю. И. Яламова.
Рецензенты: д. ф.-м. н., проф., зав. кафедрой экологического менеджмента Меж-
Международной Академии Предпринимательства А. К. Дадпванян,
д. ф.-м. н., проф. В. И. Алхимов (МПУ).
11103@3) @ Московский педагогический
ISBN 5-7017-0123-9 университет, 1995.
(g) Баринова М. Ф., Костицына Л. И.,
Яламов Ю. И.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено студентам педагогичесских
вузов, изучающим электродинамику в рамках теоретической фи-
физики после изучения курса общей физики, где сформулированы
основные понятия и принципы теории электромагнетизма, как обоб-
обобщение опытных фактов, приведшее к системе уравнений Максвел-
Максвелла. Изучение курса теоретической электродинамики предполагает
владение основными методами математической физики.
В работе излагается макроскопическая теория электромагнит-
электромагнитных явлений, основанная на простейших моделях зарядов и поля,
выводы которой согласуются с экспериментами и позволяют пе-
перейти к классической микроскопической теории.
Изложение основных вопросов теории сопровождается большим
числом упражнений и задач, выполнение которых обязательно.
Значительная часть их органически связана с теоретическими
выводами, необходимыми при последующем изложении. Другие
задачи помогают выяснить физический смысл результатов иссле-
исследования. Есть также задачи, в которых уделяется внимание связи
теоретического курса электродинамики и соответствующего раз-
раздела школьного курса. Это позволяет студентам использовать
учебный материал в работе со школьниками. Приведенные подроб-
подробные решения задач и тренировочных упражнений существенно
облегчают изучение курса, особенно при самостоятельной работе
над ним.
В работе последовательно используется Международная систе-
система единиц (СИ), но основные уравнения и соотношения приводят-
приводятся также и в абсолютной гауссовой системе единиц.
В книге широко использованы приемы изложения основ элек-
электродинамики, разработанные известными отечественными педаго-
педагогами-физиками В. Г. Левичем, И. Е. Таммом, А. Н. Матвеевым,
В. В. Мултановским, А. С. Василевским и др.
Все пожелания и критические замечания читателей авторы
примут с благодарностью.
Авторы

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ. Предмет и роль электродинамики в физике. Заряд. Электро-
Электромагнитное поле. Экспериментальные основания электродинамики.
Классическая электронная теория 9
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРИНЦИПЫ И УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 13
§ 1. Электрический заряд. Электромагнитное поле. Системы единиц . 13
1.1. Заряд. Объемная плотность заряда. 1.2. Плотность тока.
1.3. Закон сохранения заряда. 1.4. Электромагнитное поле. 1.5.
Потенциальное и вихревое поле. 1.6. Микро- и макроскопические
значения физических величин. 1.7. Системы единиц. 1.8. Перевод
электродинамических величин из гауссовой системы единиц в си-
систему СИ и обратно. Задачи и упражнения. Контрольные вопро-
вопросы.
§ 2. Уравнения Максвелла 26
2.1. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля
в веществе. 2.2. Система уравнений Максвелла для поля и заря-
зарядов в вакууме. 2.3. Математический анализ уравнений Максвел-
Максвелла. 2.4. Интегральная форма уравнений Максвелла. 2.5. Физиче-
Физическое содержание уравнений электромагнитного поля. 2.6. Прин-
Принцип суперпозиции. 2.7. Основная задача электродинамики. Прин-
Принцип причинности. 2.8. Граничные условия. Упражнения. Контроль-
Контрольные вопросы.
§ 3. Энергия и импульс электромагнитного поля. Законы сохранения
энергии и импульса 41
3.1. Уравнения Максвелла—Лоренца. 3.2. Работа поля по пере-
перемещению зарядов. 3.3. Энергия электромагнитного поля. Закон
изменения энергии. 3.4. Закон сохранения энергии для изолиро-
изолированной системы. 3.5. Импульс электромагнитного поля. Закон со-
сохранения импульса. 3.6. Давление. Упражнения. Контрольные
вопросы.
§ 4. Потенциалы электромагнитного поля 55
4.1. Векторный потенциал. 4.2. Скалярный потенциал. 4.3. Урав-
Уравнения поля в потенциалах. 4.4. Калибровка потенциалов. Кали-
Калибровочное условие Лоренца. 4.5. Уравнение Даламбера. Волно-
Волновое уравнение. 4.6. Общее решение уравнений поля в потенциа-
потенциалах. 4.7. Аналитическое выражение общего решения волнового
уравнения. 4.8. Разложение свободного поля по гармоническим
составляющим. 4.9. Сферические волны. 4.10. Потенциалы поля
стационарной системы движущихся зарядов. 4.11. Запаздываю-
Запаздывающие потенциалы. 4.12. Потенциалы электромагнитного поля в сре-
среде. 4.13. Потенциалы поля произвольно движущегося точечного
заряда. Упражнения. Контрольные вопросы.
о

Стр.
Глава II. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ... 77
§ 5. Электростатическое поле в вакууме 78
5.1. Уравнения Максвелла для электростатического поля. 5.2. По-
Поверхностные источники поля. Поле заряженных поверхностей.
5.3. Уравнения для потенциала электростатического поля. 5.4. По-
Потенциал поля объемных и поверхностных зарядов. 5.5. Поле то-
точечного заряда. 5.6. Поле диполя. 5.7. Потенциал поля равно-
равномерно заряженного шара. 5.8. Основные задачи электростатики.
5.9. Поле системы зарядов на большом расстоянии от нее. Ди-
польный момент системы. Упражнения. Контрольные вопросы.
§ 6. Электростатическое поле в веществе 88
6.1. Свободные и связанные заряды. Диэлектрики. 6.2. Поляри-
Поляризация диэлектрика. 6.3. Потенциал поля в диэлектрике. 6.4. Ос-
Основные уравнения электростатического поля в диэлектрике.
6.5. Уравнения Максвелла для электростатического поля в веще-
веществе. Материальные уравнения. 6.6. Электростатическое поле в
неоднородной среде при наличии границ разрыва непрерывности
диэлектрической проницаемости и плотности зарядов. 6.7. Расчет
поля в диэлектрике со сферической границей раздела зон одно-
однородности. 6.8. Влияние диэлектрического шара на однородное
поле в вакууме. 6.9. Проводники в электростатическом поле.
6.10. Электроемкость проводника. 6.11. Система проводников.
Конденсатор. Задачи и упражнения. Контрольные вопросы.
§ 7. Энергия электростатического поля 106
7.1. Система зарядов во внешнем поле. 7.2. Энергия взаимодей-
взаимодействия зарядов. 7.3. Энергия электрического поля в вакууме. 7.4.
Пример. Энергия электрического поля системы двух точечных за-
зарядов. 7.5. Методические замечания. 7.6. Энергия электрического
поля в диэлектрике. 7.7. Энергия электростатического поля как
энергия взаимодействия системы тел. 7.8. Энергия заряженных
проводников. Задачи и упражнения. Контрольные вопросы.
§ 8. Мапштостатическое поле в вакууме 118
8 1. Уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля.
8.2. Уравнение магнитостатического поля в потенциалах. 8 3. Ин-
Индукция магнитного поля. 8.4. Сравнение уравнений и характери-
характеристик электро- и магнитостатического полей. 8.5. Магнитное поле
в дипольном приближении. 8.6. Граничные условия. 8.7. Основная
задача магнитостатики. Задачи и упражнения. 8.8 Энергия си-
системы движущихся зарядов во внешнем магнитном поле. Анало-
Аналогии с электростатикой. 8.9. Энергия магнптостатического поля.
8.10. Сопоставление выражений для энергии электро- и магнито-
магнитостатического полей. 8.11. Замечание. Контрольные вопросы.
§ 9. Постоянный электрический ток и его электромагнитное поле . 128
9.1. Постоянный ток и его электрическое поле. 9.2. Стороннее
поле. Закон Ома в дифференциальной форме. 9.3. Линейные то-
токи. Поле замкнутой цепи постоянного тока. 9.4. Интегральная
форма закона Ома. Электродвижущая сила. 9.5. Закон Джоуля—
Ленца. 9.6. Магнитное поле постоянных линейных токов. Закон
Био-Савара. 9.7. Силы, действующие на ток в магнитном поле.
Формула Ампера. 9.8. Магнитный момент замкнутых токов, За-
Задачи и упражнения. Контрольные вопросы.

Стр.
§ 10. Магнитостатическое поле в веществе 139
10.1. Эволюция представлений о природе магнетизма. Намагничи-
Намагничивание вещества. 10.2. Магнетики. Вектор намагниченности. 10.3.
Потенциал поля в магнетике. Плотность тока связанных зарядов.
10.4. Вывод уравнений Максвелла для магнитостатического поля
в магнетике путем усреднения уравнений микрополя. Напряжен-
Напряженность магнитного поля в веществе. 10.6. Аналогии электро- и маг-
магнитостатики для поля в веществе. 10.7. Энергия магнитного поля
постоянных токов. Коэффициент индукции. Задачи и упражнения.
Контрольные вопросы.
§ 11. Квазистационарное электромагнитное поле 152
11.1. Определение. 11.2. Условия квазистационарности. Ток сме-
смещения. 11.3. Уравнения квазистационарного поля. 11.4. Уравнения
для потенциалов. 11.5. Закон электромагнитной индукции Фара-
дея. 11.6. Дифференциальные уравнения квазистационарных то-
токов. 11.7. Скин-эффект. Задачи и упражнения. 11.8. Потенциаль-
Потенциальная функция тока в магнитном поле. 11.9. Магнитная энергия
взаимодействия токов. 11.10. Энергия магнитного поля. 11.11.
Энергетический смысл коэффициентов индукции. Задачи и упраж-
упражнения. Контрольные вопросы.
Глава III. БЫСТРОПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 170
§ 12. Полная система уравнений Масквелла для макроскопического
поля в неподвижной среде ! . . 170
12.1. Уравнения переменного электромагнитного поля в веществе.
12.2. Энергия поля. 12.3. Импульс поля. 12.4. Потенциалы элек-
электромагнитного поля в среде. Контрольные вопросы.
§ 13. Плоские электромагнитные волны 174
13.1. Волновой характер свободного поля в пустоте. 13.2. Опре-
Определение векторов напряженности и индукции плоской электро-
электромагнитной волны. Волновая калибровка потенциалов. 13.3. Пло-
Плоские монохроматические волны. 13.4. Электромагнитные волны в
веществе. 13.5. Отличие реального диэлектрика от идеального.
Дисперсия. 13.6. Отражение и преломление электромагнитных
волн на границе двух диэлектриков. Замечание о монохромати-
монохроматических и реальных электромагнитных волнах. Упражнения. Кон-
Контрольные вопросы.
§ 14. Осциллятор. Излучение электромагнитных волн 187
14.1. Понятие об осцилляторе. 14.2. Выражение потенциалов по-
поля нейтральной системы движущихся зарядов через дипольный
момент системы. 14.3. Выражения векторов поля Е и В осцил-
осциллятора. 14.4. Магнитное поле осциллятора. 14.5. Электрическое
поле осциллятора. 14.6. Гармонический осциллятор. 14.7. Поле
вблизи осциллятора. 14.8. Поле вдали от осциллятора. 14.9. Энер-
Энергия, излучаемая осциллятором. Упражнения. Контрольные вопросы.
Глава IV. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРО-
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 200
§ 15. Основные положения СТО 200
15.1. Постулаты СТО. 15.2. Пространство в СТО. 15.3. Преобра-
Преобразования Лоренца. 15.4. Релятивистские импульс и энергия. 15.5.
Второй закон Ньютона в СТО. Закон сохранения энергии и им*
пульса. Упражнения. Контрольные вопросы.

Стр.
§ 16. Математический аппарат теории относительности 209
16.1. Трехмерное пространство. Преобразование координат точки.
16.2. Трехмерные векторы. 16.3. Четырехмерный мир. Преобразо-
Преобразования Лоренца. 16.4. Векторы в четырехмерном мире. 16.5. 4-век-
тор скорости и его связь со скоростью точки в трехмерном мире.
16.6. Преобразования компонент 4-вектора скорости при преобра-
преобразовании координат. 16.7. Трехмерные тензоры. 16.8. Четырехмер-
Четырехмерный тензор II ранга. 16.9. Элементы тензорного анализа. Упраж-
Упражнения. Контрольные вопросы.
§ 17. Ковариантная форма уравнений электродинамики 219
17.1. 4-вектор плотности тока /а. Закон сохранения заряда. 17.2.
4-вектор-потенциал Аа. Ковариантная форма уравнений поля в
потенциалах. 17.3. Преобразование скалярного ф и векторного А
потенциалов электромагнитного поля при переходе от одной ИСО
к другой. 17.4. Тензор электромагнитного поля. Тензорная форма
уравнений Максвелла. 17.5. Преобразование векторов поля при
переходе от одной инерциальной системы к другой. Инварианты
поля. 17.6. Эффект Доплера. 17.7. Аберрация света. Упражнения.
Контрольные вопросы.
§ 18. Поле произвольно движущегося заряда. Потенциалы Льенара —
Вихерта 231
18.1. Постановка задачи. 18.2. 4-вектор потенциала в системе К
заряда. 18.3. 4-вектор потенциала Аа в системе наблюдателя.
18,4. Потенциалы Льенара — Вихерта. 18.5. Поле движущегося
заряда. 18.6. Вычисление производных. 18.7. Векторы поля про-
произвольно движущегося точечного заряда. 18.8. Заключение. За-
Задачи и упражнения. Контрольные вопросы.
Решения задач 241
Приложение I. Основные формулы векторной алгебры и вектор-
векторного анализа 328
Приложение II. Сингулярная б-функция Дирака 332
Приложение III. Вывод выражений для потенциалов поля объ-
объемных и поверхностных зарядов 333
Приложение IV. 1. Основные формулы электродинамики в СИ и
гауссовой системе. 2. Перевод обозначений физических величин
из абсолютной гауссовой системы единиц в международную си-
систему СИ. 3. Соотношение между единицами системы СИ и еди-
единицами гауссовой системы. 4. Значения некоторых физических
величин 337
ЛИТЕРАТУРА 345
РИСУНКИ 347

ВВЕДЕНИЕ
Электродинамика изучает электромагнитные явления в различ-
различных средах. Эти явления играют чрезвычайно важную роль в при-
природе, так как многие силы, которые в классической механике
рассматриваются без учета их природы (например, силы вязко-
вязкости), в конечном итоге являются электромагнитными. Из четырех,
известных науке видов взаимодействий, электромагнитное получи-
получило наибольшее применение на практике и, пожалуй, определяет
уровень современной цивилизации. Оно может быть использовано
для управления движением заряженных частиц, а это важно для
решения проблемы управляемых термоядерных реакций, так как
магнитное поле может играть роль резервуара для горячей плаз-
плазмы. Плазменные реактивные двигатели обеспечивают выведение
на орбиты космических кораблей, осваивающих околоземное про-
пространство. Электродинамические явления играют большую роль
в астрономии: в теории строения и эволюции звезд и галактик,
в образовании радиационных поясов Земли и т. д.
За электромагнитное взаимодействие тел (частиц) ответстве-
ответственен их заряд q. Понятие электрического заряда является исход-
исходным и это свойство его носителей рассматривают отдельно от
других, например, гравитационного, которое гораздо слабее элек-
электромагнитного. В этом непосредственно можно убедиться на при-
примере сравнения сил гравитационного притяжения и электрического
отталкивания для двух электронов, расположенных на расстоя-
расстоянии г в вакууме.
Гравитационная сила притяжения равна:
где y = 6,67- 10~п гравитационная постоянная,
кг2
ше = 9,1'101 кг — масса электрона.
Электрическая сила отталкивания равна:
где е=1,6-10-19Кл — заряд электрона,
8о = . ф/м — диэлектрическая постоянная вакуума.

Отношение этих сил равно:
F™ = 1 ~ Ю43.
Fg 4 л во Y т*2
Следовательно, гравитационное взаимодействие между двумя
электронами ничтожно мало, практически его можно не учиты-
учитывать.
В природе существует два вида электрических зарядов: поло-
положительные и отрицательные. Заряды взаимодействуют друг с дру-
другом: одноименные заряды отталкиваются, разноименные притяги-
притягиваются. Макроскопический заряд q состоит из элементарных
зарядов частиц, входящих в состав вещества, — электронов и про-
протонов. У всех элементарных частиц заряд имеет одно и то же
абсолютное значение. Во всех электродинамических процессах
алгебраическая сумма зарядов не изменяется. Это свойство (за-
(закон) сохранения заряда. Для выявления количественных характе-
характеристик электромагнитных процессов вводится понятие точечного
заряда. В природе таких зарядов не существует, так как все тела
и элементарные частицы имеют конечные размеры. Точечный за-
заряд— это модель, подобная материальной точке в классической
механике. Величина заряда определяется силой взаимодействия
двух точечных зарядов, из которых один принимается в качестве
эталона. Однако, основным объектом изучения электродинамики
является не заряд, а электромагнитное поле, посредством которого
осуществляется взаимодействие зарядов. Это реальный физический
объект, который существует в природе наряду с веществом и
является видом материи. Оно отличается от материальных тел и
систем классической механики тем, что является предельно реля-
релятивистским объектом. Порождаемое электрическими зарядами, а
точнее присущее зарядам электромагнитное поле может покидать
их, распространяясь в окружающее пространство со скоростью
света с, может существовать независимо от источника, занимая
макроскопические области пространства бе$ четких границ. Уста-
Установить наличие поля в данном месте можно по силе, действующей
на помещенный туда заряд. Эта сила определяется состоянием
гюля в данной точке, а передача взаимодействия между заряжен-
заряженными телами (источником и приемником) происходит через поле
с конечной скоростью с. Эта полевая или релятивистская модель
взаимодействия зарядов выражает концепцию близкодействия.
Заметим, что электродинамика изучает процессы в системах, со-
состоящих из поля и заряженных тел, при этом тела могут двигать-
двигаться со скоростями v<?c. Так все планеты движутся вокруг Солнца
со скоростями, меньшими чем скорость света. Все околосолнечное
пространство заполнено электромагнитным полем, возбуждаемым
10

зарядами в недрах и фотосфере Солнца. Это поле распространяет-
распространяется со скоростью с, достигает поверхности Земли через 8,5 минут
в виде электромагнитных воли. Оно играет решающую роль в
функционировании всех форм жизни на планете.
В классической электродинамике поле и заряд принимаются
непрерывными. Принятие таких моделей макроскопических полей
и зарядов допустимо для совокупности большого числа элемен-
элементарных зарядов и фотонов, когда можно рассматривать некоторое
усредненное взаимодействие. Это означает также, что в таких за-
задачах дискретные микроструктуры поля и зарядов не играют су-
существенной рели. Для взаимодействия элементарных зарядов
законы макроскопической электродинамики имеют ограниченное
применение, так как они не учитывают квантово-механических
свойств элементарных частиц. Таким образом, макроскопическая
электродинамика имеет широкую, но все же ограниченную область
применимости.
Теоретическое ядро электродинамики составляют уравнения
Максвелла, которые играют роль, подобную аксиомам Ньютона
в классической механике. Созданию этой теории способствовало
накопление большого числа эмпирических фактов и открытие ряда
фундаментальных законов, связанных с именами Кулона, Эрстеда,
Ампера, Фарадея и др. ученых.
Первоначально разобщенные эмпирические законы электроди-
электродинамики послужили фундаментом теории электромагнитного поля,
раззитой Д. К. Максвеллом в 1860—1865. В рамках этой теории
электрическое и магнитное поле являются проявлением единой
сущности — электромагнитного поля. Все эмпирические законы
электромагнетизма вытекают из уравнений Максвелла. Эта тео-
теория получила блестящее подтверждение, когда предсказанные
Д. К. Максвеллом электромагнитные волны, были эксперимен-
экспериментально получены Г. Герцем A888). Работы А. Эйнштейна по спе-
специальной теории относительности A905) утвердили взгляд на
поле, как па вид материи.
Переход от концепции дальнодействия в классической механи-
механике к полевой концепции близкодействия означили подъем науки
на новый уровень познания природы. Теория электромагнитного
поля Д. К. Максвелла позволила Г. Лоренцу создать классиче-
классическую электронную теорию, в которой сочетаются идеи теории поля
с дискретностью электрических зарядов A895). Эта теория позво-
позволяет на основе механики и классической электродинамики прове-
провести принципиальный анализ электромагнитных свойств вещества,
которые в макроскопической электродинамике Максвелла учиты-
учитываются феноменологическими константами. Электромагнитные
свойства вещества и особенности микрополя доступны теоретиче-
11

скому описанию в рамках современной электронной теории, опи-
опирающейся на квантовую механику и статистическую физику.
В настоящей работе принята простейшая модель вещества и
рассмотрено электромагнитное поле параллельно в вакууме и в
среде. Теория электромагнитных явлений изложена в эволюцион-
эволюционном порядке в четырех главах. В первой главе содержится основ-
основной теоретический фундамент: предмет, объекты изучения, основ-
основные понятия, уравнения, законы сохранения, метод потенциалов.
Во второй главе излагается теория стационарного и квазистацио-
квазистационарного электромагнитного поля; в третьей главе — описание бы-
стропеременного э. м. поля и теории излучения. В четвертой главе
основные уравнения электродинамики представлены в ковариант-
ной форме. В заключение здесь рассмотрена задача о поле произ-
произвольно движущегося заряда, объединяющая в своем решении
методы нерелятивистской и релятивистской электродинамики. Зна-
Значительное место в работе уделено решению задач и упражнений.
Предполагается, что студенты знакомы с основами теории
электричества в рамках общего курса и с математической теорией
поля. Основные формулы векторного анализа, свойства 6-функции
Дирака и другие дополнительные сведения приведены в приложе-
приложениях I—IV, ссылки на которые в тексте обозначены как П. I—
П. IV.

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРИНЦИПЫ
И УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ПОЛЕ. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
1.1. Заряд. Объемная плотность заряда. Заряд q характери-
характеризует свойства заряженного тела создавать вокруг себя электро-
электромагнитное поле и испытывать силовое воздействие полей других
зарядов. Заряд — величина скалярная, может иметь положитель-
положительные, нулевые и отрицательные значения. Существенно, что заряд q
есть скаляр, то есть инвариант преобразований Лоренца. Он обла-
обладает свойством аддитивности, то есть при соединении нескольких
зарядов в один, последний равен алгебраической сумме слагаемых
зарядов. Пределом делимости макроскопического заряда является
элементарный заряд е—1,6021892-10~19 Кл, присущий таким эле-
элементарным частицам, как электрон и протон. (Частицы с дробным
зарядом—кварки в свободном состоянии не встречаются).
Непрерывное распределение заряда q в пространстве характе-
характеризуется объемной плотностью:
где dq — заряд в объеме пространства dV. Заряд q в конечном
объеме пространства V определяется интегралом:
1.2. Плотность тока. Движущиеся заряды создают ток, который
->
характеризуется вектором плотности тока /. Он связан с силой
тока / соотношением:
/ = П-Д A.2)
s
—>
где dS — вектор площади поверхности, пересекаемой векторным
полем /. Из выражения A.2) следует связь:
Т=рЯ A.3)
где р — плотность заряда в некоторой точке пространства, аи —
скорость движения заряда в этой точке.
13

Выражение A.3) часто используют в качестве определения
плотности тока. В общем случае плотность тока /, как и плотность
заряда р, являются функциями координат и времени.
Если ток / протекает в проводнике, сечение 5 которого мало
в сравнении с длиной /, то можно принять, что /== const по всему
сечению и сила тока равна:
I=jS.
Такой проводник и протекающий по нему ток называются линей-
линейными. Вводя элемент линейного проводника dl, совпадающий по
->¦
направлению с вектором /, получим (см. рис. 1.1) соотношение
для перехода от объемных токов конечного сечения к линейным
токам:
Idl^jdV. A.4)
1.3. Закон сохранения заряда. Классическая электродинамика
не рассматривает процессов, сопровождающихся превращением
частиц. Поэтому изменение заряда в объеме V возможно только
путем втекания заряда в систему или вытекания из нее. Следова-
Следовательно, убыль заряда в объеме V за единицу времени равна всегда
потоку этого заряда через поверхность 5 объема V. Математиче-
Математическая запись этого утверждения имеет вид:
/) Г» П -> —>-
dt
v
и выражает закон сохранения заряда в изолированной системе
электрический заряд сохраняется. Интегральному выражению A.5)
соответствует дифференциальная форма закона сохранения:
-Ё2- + div7=0. A.6)
Заметим, что символ частной производной по времени в выра-
выражениях A.5) и A.6) подчеркивает неподвижность точки простран-
пространства 1/, в которой плотность заряда равна р(г, /). При стационар-
стационарном распределении зарядов плотность р не зависит от времени.
Тогда имеем в соответствии с A.5) и A.6):
$7-dS = 0, A.5х)
div7=0. A.6')
Это означает, что векторные линии / замкнутые.
14

На практике встречаются различные виды распределения заря-
зарядов в пространстве. Приведем некоторые из них:
а) !p=p0=const. В этом случае заряды равномерно заполняют
некоторый объем V. Полный заряд равен q=p0V;
_ г
б) р = ро? *. При такой зависимости р(г) плотность заряда р
убывает с расстоянием г от р0 в центре сферы при г = 0 до значе-
значения р = -^-иа поверхности сферы r=\R;
е
в) P=pi(O при г^а\ р = р2(г) при г>а, где а —радиус сфе-
сферы. Это кусочнонепрерывное распределение заряда;
г) р = р1 при г^а, р=р2 при г>а. Это кусочнооднородное
распределение заряда. При р2=0 имеем равномерно заполненный
зарядом шар радиуса а;
д) на практике встречаются такие случаи, когда заряженные
тела можно моделировать поверхностями. Например, заряды про-
проводников собираются в тонком поверхностном слое. В этом случае
вводят понятие поверхностной плотности заряда:
а
dS
Распределение зарядов с плотностью a=ao=const при г=а и
а=0 при гфа соответствует равномерно заряженной сферической
поверхности радиуса а.
Аналогично вводится понятие линейной плотности заряда, раз-
размещенного на нити:
п - dq
Рлин ~ ~dT '
При рЛин=const имеем равномерно заряженную нить.
Упражнения
1.1. Показать, что в случае переменных токов векторные линии
плотности тока / не являются замкнутыми.
1.2. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса D4), пока-
показать, что из выражения A.5) следует A.6) и наоборот.
1.3. Выразить закон сохранения заряда в интегральной форме.
1.4. Вычислить силу тока /, протекающего через поверхность
—>
сферы радиуса г, если плотность тока равна / = —^— .— . Найти
4 я г г
закон изменения заряда
15

1.5. Исходя из уравнения непрерывности A.6), показать, что в
цепи переменного тока между обкладками конденсатора проходит
ток смещения плотности /см = ео • Проанализировать резуль-
dt
тат.
1.6. Показать, что плотность тока смещения между обкладками
конденсатора равна плотности тока проводимости, который проте-
протекал бы между обкладками конденсатора, если бы пространство
между ними было бы заполнено проводником.
1.4. Электромагнитное поле. Это основной объект, изучаемый
в электродинамике, является видом материи, в макромире, отлич-
отличным от вещества. Отличие проявляется в отсутствии четких гра-
границ, характерных для тел. Поля обладают проницаемостью; в од-
одной области могут находиться несколько полей. В общем случае
электромагнитные поля переменны во времени и рассеиваются в
пространстве. Характер ослабления поля по мере удаления от ис-
источника зависит от свойств источника. Единство материи в виде
вещества и поля проявляется в применимости как к вещественным
системам, так и к полю в равной мере таких фундаментальных
понятий, как энергия, импульс, момент импульса. Применительно
к макроскопической модели поля они принимаются распределен-
распределенными по всему объему поля с некоторой плотностью. При взаимо-
взаимодействии поля с веществом изменяется состояние поля и тел в со
ответствии с фундаментальными законами природы об изменении
и сохранении энергии, импульса, момента импульса. Однако, при
этом специфика электромагнитного поля не проявляется. Поэтому
рассматривается сначала силовое действие электромагнитного по-
поля на помещенный в него электрический заряд q. При этом раз-
различают две силы: электрическую F3y действующую на заряд неза-
независимо от того покоится он или движется, и магнитную FMy дей-
—¦•
ствующую только на движущийся заряд. Величина силы FM зави-
зависит как от численного значения, так и от направления скорости
заряда. На основании экспериментов установлено, что обе силы
пропорциональны величине заряда q и выражаются соотноше-
соотношениями:
F3=qE, FM = q{vy В]. A.7)
-*•
Векторный сомножитель Е называется напряженностью элек-
электрического поля и характеризует силовое действие этого поля на
заряд в данной точке. Вектор В в выражении для FM характера
16

зует магнитное поле в данной точке и называется индукцией маг-
магнитного поля. Заметим, что сила FM пропорциональна модулю
скорости и перпендикулярна к ней.
Таким образом, в электромагнитном поле на движущийся заряд
действует сила Лоренца:
~F=q~E + q[v,B]. A.8)
Электрическое и магнитное поле называются однородными,
-> —>
если векторы Е и В сохраняются всюду по величине и направле-
—*•
нию. Определяя напряженность Е поля в точке, мы предполагаем
точечную модель пробного заряда, а поле считаем однородным в
окрестности этой точки. Для определения индукции В магнитного
поля используется малый проводник длины /, на протяжении ко-
которого магнитное поле считается однородным.
Таким образом, реальные электромагнитные поля моделируют-
моделируются усредненными.
В общем случае электромагнитное поле зависит от времени и
—> ->
изменяется от точки к точке, то есть векторы Е и В являются
функциями координат и времени:
^Е=ЕGУ О, В = ВG, t). A.9)
Если функции ? и В не зависят от времени, то поля называ-
называются стационарными, если не зависят от координат, то называются
однородными. Задание этих двух векторных характеристик элек-
электромагнитного поля как функций четырех независимых перемен-
переменных х, у, z, t достаточно для исчерпывающего описания электро-
электродинамических процессов в системе.
Упражнения
1.7. Получить выражение для плотности силы Лоренца.
1.8. Найти силу dF, действующую на элемент тока Idl в маг-
магнитном поле с индукцией В.
1.5. Потенциальное и вихревое поле. С математической точки
зрения электромагнитное поле является полем векторов Е и В.
Векторные поля бывают двух видов: потенциальные и вихревые.
Потенциальным называется поле такого вектора Е(г), для ко-
которого выполняются условия:
rot?=0, div?=p(r), A.10)
где р(г) —некоторая функция точки пространства. Те точки, в ко-
которых она отлична от нуля называются источниками (стоками)
2—1136 17

поли. Вводя скалярный потенциал поля ср(г), связанный с векто-
ром Е соотношением:
? = -grad<p, A.11)
приходим к уравнению поля:
ДФ = -р. A.12)
Это уравнение Пуассона позволяет по заданной функции р(г)
и некоторых дополнительных условиях найти потенциал ф(г), а по
нему с помощью соотношения A.11) определить поле вектора
Вихревым или соленоидальным называется поле вектора В (г),
если для него выполняются условия:
divB = 0, rot В =7@, A.13)
где /(г) —некоторая функция точки пространства. Введение век-
-¦ -¦• —>
торного потенциала А (г), связанного с вектором поля В соотно-
соотношением:
В = гоМ, A.14)
приводит второе условие соленоидальности A.13) к уравнению
Пуассона относительно вектора А (г)
ААСг)=-1(Ъ. A-15)
По известной функции /(г) из уравнения A.15) определяется век-
тор А (г), а по нему с помощью соотношния A.14) определяется
вектор индукции поля В (г).
Все векторные поля, рассматриваемые в курсе электродинами-
электродинамики, сводятся к этим двум видам: потенциальным и вихревым.
Упражнения
1.9. Показать, что если во всех точках пространства выполня-
ются условия: div?"=O и rot?=0, то поле в нем отсутствует.
1.10. Показать, что если поле Е удовлетворяет условиям:
div?=7^0 и rot ?=т*=0, то оно имеет две составляющих: потенциаль-
потенциальную и вихревую.
1.11. Показать, что электростатическое поле Е потенциально.
18

1.12. Показать, что магнитное поле В соленоидальное.
1.13. Показать, что электрическое поле с составляющими век-
вектора напряженности: Ех=6хуу Еу = 3х2—Зу2, ?г=0 является по-
потенциальным. Определить его потенциал ср.
1.6. Микро- и макроскопические значения физических величин.
Чтобы выяснить смысл макроскопических (средних) значений фи-
-¦• —у —>¦
зических величин р, /, ?, В и др. введем понятия физически бес-
бесконечно малых элементов объема, поверхности и длины, под кото-
которыми будем понимать такие элементы, которые велики по сравне-
сравнению с атомами и молекулами и чрезвычайно малы по сравнению
с макроскопическими неоднородностями среды.
Под макроскопическими величинами будем понимать средние
значения микроскопических физических величин в физически бес-
бесконечно малом объеме V. Математически:
фмакро = 'фмикро = \ фмикро • dV, A.16)
V
где г|) — любая характеристика поля: ф, ?, В, плотность заряда р
или тока /.
1.7. Системы единиц. Заряды, входящие в состав диэлектри-
диэлектриков и магнетиков вносят вклад во внешнее электромагнитное поле.
Поэтому в общем случае оно характеризуется четырьмя вектора-
векторами; кроме рассмотренных векторов Е и В вводятся еще два: D —
—>
вектор электрической индукции и Н—напряженность магнитного
-> —>
поля. Эти векторы связаны с ? и В соотношениями:
~D = eE, В = цЯ, A.17)
где е — абсолютная диэлектрическая проницаемость, \х — абсолют-
абсолютная магнитная проницаемость среды.
Попытка свести в одну систему единиц механические и электри-
электрические величины обозначила два принципиально различных пути.
Путь, предложенный физиками, привел к абсолютной гауссовой
системе единиц, в которой электрические и магнитные величины
были производными от механических. В ней векторы D с ?, Н с В
имели одинаковую размерность. Величины г и \х были безразмер-
безразмерными и для вакуума равнялись единице. Поэтому поле в вакууме
характеризовалось двумя векторами ? и Я. Это привело к неко-
некоторому упрощению уравнений электродинамики. Однако при этом
2* 19

многие электромагнитные величины оказались выраженными в еди-
единицах, которые не употребляются в практике и не имеют специ-
специальных названий.
Второй путь, предложенный Хевисайдом A850—1925) учиты-
учитывает электротехнику и сохраняет основные механические и основ-
основные практические единицы электричества: ом, ампер, вольт. В ре-
результате их объединения сформировалась Международная система
единиц (СИ). В этой системе векторы Е и D имеют различные
размерности, поэтому величина е размерная; для вакуума она не
равна единице и векторы D и Е не совпадают. Тоже самое отно-
—У —V
сится к величинам В, Н и \i. Поэтому электромагнитное поле ха-
характеризуется четырьмя векторами Е, D, В, Н как в материальной
среде, так и в вакууме.
Из A.17) с учетом размерностей векторов поля, приведенных
в приложении, вытекают единицы измерения абсолютных диэлек-
диэлектрических и магнитных проницаемостей:
[е]=-Ф_, [ц] = -^-. A.18)
м м
Магнитная постоянная вакуума \i0 определяется из выражения
для силы F взаимодействия двух параллельных проводников с то-
токами /ь /2, длины / на расстоянии а:
F = ll0LM. A.19)
При/ = а=1м, /1=/2=1 Л, /7=2-10~7 Н имеем:
|хо = 4я- Ю-7 Гн/м = 1,26- Ю-6 — . A.20)
м
Для определения диэлектрической постоянной вакуума е0 ис-
используется известное (см. задачу 1.15) соотношение:
8оцо = -^, A.21)
где с — электродинамическая постоянная, равная скорости света
в вакууме (с = 3-108 м/с). Учитывая A.20) и A.21), найдем:
8о = . 1 |п. —=8,85-Ю-*2 — . A.22)
Используя выражения A.20) и A.22), можно абсолютные зна-
значения диэлектрической и магнитной проницаемости представить
в виде:
е=ег8о; 11 = ^^0, A.23)
20

Удельная электропроводность К имеет размерность:
I ED\ [qL J Вм Омм '
где zr и \ir—безразмерные величины, называемые относительной
диэлектрической и относительной магнитной проницаемостями.
Численно они равны е и \х в абсолютной гауссовой системе единиц.
Присоединим к уравнениям A.17) закон Ома в дифференциальной
форме. Получим материальные уравнения в системе СИ:
A.24)
A.25)
При изложении курса электродинамики будем пользоваться
главным образом системой единиц СИ, так как в этой системе
излагается школьный курс и приведем также порядок перевода
уравнений и электродинамических величин из гауссовой системы
в СИ.
1.8. Перевод электродинамических величин из гауссовой систе-
системы единиц в систему СИ и обратно. Переводные коэффициенты.
Так как уравнения механики в обеих системах одинаковы, то пере-
переводные коэффициенты отличны от единицы только для электриче-
электрических и магнитных величин. Умножение или деление на механиче-
механическую величину не изменяет коэффициента. Скорость света с явно
в систему СИ не входит. Она заменяется величиной 1/УеоМ<о.
Сопоставим величинам Е, D, ... коэффициенты е, d, ... согласно
следующей схеме:
Е
е
D
d
В
ь
н
h
i
с
ill"
Для определения переводных коэффициентов можно восполь-
воспользоваться уравнениями Максвелла, но проще использовать выраже-
выражения для плотности энергии w3, wMi плотности потока ее П и силы
F, так как эти чисто механические величины не преобразуются.
В гауссовой системе имеем:
8 л
- .„ ¦<в-я);
Я]; F = qE.
A.26)
2!

После умножения на переводные коэффициенты эти выражения
запишутся в виде:
о Я о Я
П = eh [?, Н]; F = ieqE. A.27)
4 я У
Переводные коэффициенты надо подобрать так, чтобы выраже-
ния w3, wm II и F A.27) привелись к их виду в системе СИ:
3 ±.(); h();
П=[Д Я]; F = qE. A.28)
Для этого должно быть выполнено условие:
ed __ bh eh . 1
———— — —— ZZIZZ — — •
4 я 4 я 4 я Уеойо
Так как один коэффициент можно выбрать произвольно, то нало-
наложим дополнительное «условие симметрии»:
Тогда найдем:
е = У4я8о; h =
|/§ / = _L_. A.29)
бо Г М-о У4яео
Нетрудно убедиться, что все уравнения электродинамики с помо-
помощью этих коэффициентов переводятся правильно из одной системы
в другую.
С помощью найденных переводных -коэффициентов определя-
определяются коэффициенты для остальных физических величин.
Для перевода численных значений физических величин из си-
системы СИ в гауссову и наоборот следует принимать:
с = 2,997924562-108 м/с.
Таким образом, любое уравнение электродинамики сравнитель-
сравнительно просто переводится из гауссовой системы в систему СИ.
Задачи и упражнения
1.14. Показать, что уравнение Максвелла, записанное в гауссо-
гауссовой системе единиц
— A)
dt
22

с помощью переводных коэффициентов приводится к форме в си-
системе СИ:
TotH=l+^-. B)
1.15. Вычислить значения электрической ео и магнитной цо
постоянных и показать, что еоМю = Wc2> гДе с — скорость света в
вакууме в м/с.
Дополнительные упражнения
1.16. Вычислить grad/?, где R = Ух2+у2+г2.
1.12. Вычислить градиент скалярного произведения двух векто-
ров (P-R), если Р=const.
1.18. Вычислить градиент сферически симметричной функции
)
1.19. Вычислить градиент скалярного поля cp=xz+y3 + 3z2y—
-Ьху2 в точках М^О, 0, 0) и М2A, 1, 2).
1.20. Вычислить градиент скалярного поля ф(х, у, z), заданно-
; э в предыдущем упражнении, в точке М2A, 1, 2) по направлению
Я, образующему с осями х, у, z углы соответственно а = 45°,
р = 45°, 7=90°.
1.21. Показать, что graddiVi4 = rot rot Л + АЛ, где А — опера-
оператор Лапласа.
1.22. Показать, что divgradqp = Д<р.
1.23. Показать, что divroM = 0.
1.24. Показать, что div[ЕВ] =Ъ^rotЁ— "E-rotB.
1.25. Показать, что векторное поле
А(х. у, г) = (Ш. _ 2,з) Г+
потенциально.
1.26. Показать, что ф = (R — расстояние произвольной
R
точки поля до некоторой точки 0) удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа всюду, кроме точки 0.
Контрольные вопросы
1. Что такое заряд? Как он измеряется? Какими свойствами
обладает эта физическая величина?
23

2. Какие модели заряда используются в классической электро-
электродинамике?
3. Дайте определение плотности заряда и плотности тока. По-
Покажите, что они связаны соотношением A.3).
4. Покажите, что переход от линейных токов к объемным и об-
обратно происходит согласно формуле:
Idl. A.4)
5. Что выражает закон сохранения заряда?
6. Приведите примеры различных видов распределения заря-
зарядов в пространстве.
7. Что такое электромагнитное поле?
8. Как показать материальность электромагнитного поля?
9. Какова связь электромагнитного поля с его источниками —
зарядами и токами?
10. В чем отличие электромагнитного поля, как материального
объекта природы, от материальных тел?
И. Что такое свободное электромагнитное поле? В каком виде
оно существует?
12. Назовите силовые характеристики электромагнитного поля.
Дайте их определения.
—». —>
13. Получите размерности для векторов Е и В.
14. Что такое сила Лоренца? Запишите ее выражение.
15. Какие виды электромагнитных полей изучаются в электро-
электродинамике?
16. Дайте определения и приведите примеры потенциального и
вихревого полей.
17. Какие точки называются источниками и стоками поля. При-
Приведите примеры.
18. Как доказать, что поле потенциально?
19. Запишите в общем виде уравнения Лапласа, Пуассона, Да-
ламбера.
20. Дайте определения векторного дифференциального опера-
оператора Гамильтона V. Поясните правила обращения с ним.
21. Как связаны микроскопические и макроскопические значе-
значения физических величин?
22. В чем состоит проблема выбора системы единиц в электро-
электродинамике?
23. Охарактеризуйте гауссову систему единиц и Международ-
Международную систему единиц (СИ),
24

§ 2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
2.1. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля
в веществе. Эти уравнения сформулированы Д. К. Максвеллом в
1873 году как обобщение опытных фактов. Они играют роль тео-
теоретических принципов, подобную аксиомам Ньютона в механике.
Современный вид этим уравнениям придал Г. Герц в конце XIX ве-
века. Мы приведем их в готовом виде пока без обсуждения. В систе-
системе СИ эти уравнения в дифференциальной форме имеют вид:
dt
О,
B.1)
div D = p,
где 5 = еое? B.2)
~B=HoliH B.3)
1=%E. B.4)
В уравнениях B.1) векторы Е и D — напряженность и индук-
—> —>
ция электрического поля, Н и В — напряженность и индукция маг-
магнитного поля: р и / = pv — плотности заряда и тока. Материаль-
Материальные уравнения B.2) — B.4) связывают векторы D с?, Б с Я,
-*• —>
j с Е. Безразмерные величины е и \i называются относительными
диэлектрической и магнитной проницаемостями вещества, ео и
цо—постоянные, характеризующие вакуум. Эти величины связаны
соотношением A.21).
Заметим, что наличие вещества (среды) с точки зрения клас-
классической электродинамики эквивалентно системе зарядов, опреде-
определенным образом распределенных в пространстве. Если размеры
носителей зарядов малы в сравнении с макроскопической систе-
системой, а остальное пространство характеризуется параметрами
e=pi=l, то говорят о системе поле—заряды в вакууме.
2.2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля и заря-
зарядов в вакууме. В плане физических исследований основоцолагаю-
Щую роль играют уравнения Максвелла для системы поле—заря-
25

rot?
rot Б
—У
div?
= 0,
= -?-
80
дВ
dt '
+ eoM-o
дЕ
dt
ды в вакууме. Математически они вытекают из уравнений B.1)
при ц=е=1. Выпишем их, используя уравнения B.2) и B.3), че-
через векторы Е и В:
(а)
(Ь)
B.5)
(с)
(d)
2.3. Математический анализ уравнений Максвелла. В силу ска-
сказанного выше математическое и физическое содержание уравнений
Максвелла для поля в веществе и поля в вакууме сходно. Для
определенности будем говорить главным образом об уравнениях
B.5), а при обсуждении физического содержания привлечем урав-
уравнения для поля в среде B.1). Уравнения B.5) представляют собой
систему дифференциальных уравнений в частных производных и
устанавливают связь между векторами Е и В поля, плотностью
заряда р и плотностью тока / в каждой точке пространства в лю-
любой момент времени. Все переменные Е, В, /, р являются в общем
случае функциями четырех переменных: пространственных коор-
координат и времени. Частные производные в уравнениях подчерки-
подчеркивают неизменность переменных, по которым не производится диф-
дифференцирование.
Так, например, дифференцирование по времени в первом ураз-
нении системы B.5) означает изменение по времени вектора В
в неподвижной точке пространства.
Уравнения Максвелла B.5) представляют собой систему вось-
восьми скалярных уравнений относительно шести скалярных перемен-
переменных Ех, Еу, EZj ВХу Ву, Bz. Принимается, что функции р, /*, jy> j2
заданы. Однако эта система не является переполненной. Она со-
совместна, так как каждое второе уравнение в выделенных скобками
парах системы B.5) является дифференциальным следствием пер-
первого. Покажем это. Возьмем дивергенцию от обеих частей урав-
уравнения (а). Получим:
дВ
div rot Ё = —div
dt
26

Так как div rot E = V• [V, Е] =0, то имеем!
—>•
_div -??. = — -?— divB = 0,
d/ dt
или div В = const. Постоянная по времени дивергенция произволь-
произвольного переменного поля может быть только равной нулю.
—у
Таким образом, приходим к уравнению div В = 0, которое само-
самостоятельно представлено в системе B.5). Аналогично вычислим
дивергенцию от обеих частей уравнения (с):
div rot В = |i0 div / + eoM-o div = 0. B.6)
dt
Учтем, что в силу уравнения неразрывности A.6):
divr=__*L
dt
Я —V —>
будем иметь: ч (eo|Aodiv?—|Аор)=О, или eo\iodivE—[iop = const.
dt
Как и в предыдущем случае эта постоянная может иметь только
нулевое значение. Тогда приходим к уравнению: div?"=—р,
которое представлено в системе B.5) четвертым уравнением.
Заметим, что уравнение неразрывности A.6) можно не считать
независимым постулатом электродинамики, так как оно вытекает
из уравнений Максвелла, если в уравнение B.6), записанное в
виде: 8о div E + div / = 0, подставить вместо div? ее значение
dt
из уравнения (d). Получим уравнение —— + div/ = 0, выражаю-
dt
щее закон сохранения заряда.
Напомним, что существует глубокая связь законов сохранения,
рассматриваемых в физике, со свойствами симметрии простран-
пространства-времени. Рационально сформулированные уравнения фунда-
фундаментальной физической теории обязательно содержат законы
сохранения: массы, энергии, импульса, момента импульса и т. д.
В этом аспекте важно, что закон сохранения заряда (уравнение
неразрывности) содержится в уравнениях Максвелла. Он связан
с калибровочной инвариантностью основных уравнений электро-
электродинамики, но область его применимости шире и далеко выходит
за рамки классической электродинамики. Поэтому его присоеди-
присоединяют к системе уравнений Максвелла в качестве пятого уравнения.
27

В этом случае только два векторных уравнения (а) и (с) системы
B.5) являются независимыми.
Таким образом, в математическом плане задача корректна. Ис-
Использование дополнительных уравнений (Ь) и (d), являющихся
дифференциальными следствиями из независимых, продиктовано
их самостоятельно информативной ценностью и частым практи-
практическим использованием при решении задач.
Следовательно, уравнения Максвелла образуют совместную
систему дифференциальных уравнений в частных производных, ко-
которые вместе с начальными и граничными условиями полностью
определяют два вектора поля Е и В. Начальные условия харак-
характеризуют значения векторов поля в некоторый момент времени
/=0. Граничные условия для системы поле — заряд в вакууме ха-
характеризуют уменьшение векторов поля в бесконечно удаленных
точках пространству до нуля. Граничные условия для уравнений
поля в веществе B.1) выражают поведение векторов В и ? на
границах, где е и \i изменяются скачком. Этот вопрос подробно
рассмотрен в п. 2.8.
2.4. Интегральная форма уравнений Максвелла. Первое и тре-
третье уравнения Максвелла позволяют по заданным функциям рас-
—> -¦• —>
пределения заряда p(r, t) и тока /(г, t) в пространстве найти
электромагнитное поле. Однако дифференцирование этих уравне-
уравнений представляет собой достаточно трудную задачу, которую мож-
можно облегчить, записав уравнения Максвелла в интегральной форме.
Такая форма уравнений обладает большей наглядностью, что по-
помогает выяснению физического смысла решения. Переход к инте-
интегральной форме осуществляется с помощью теорем Остроградско-
Остроградского— Гаусса и Стокса (см. П. I, 44, 45). Выделим в пространстве
произвольный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью 5.
—>¦
Внутри него распределен заряд с плотностью p(r, t). В каждой
точке этого объема выполняется уравнение (d) системы B.5). Ум-
Умножим обе части этого уравнения на элемент объема dV и просум-
просуммируем по всему объему V. Получим:
fdiv?dl/=— Г prfK.
J eo J
v v
Интеграл в правой части выражает полный заряд Q объема V.
Левую часть заменим поверхностным интегралом. Используя тео-
теорему Остроградского—Гаусса, получим:
? . dS = — Q. (d')
eo
28

В левой части выражения (сГ) стоит поток вектора напряженно-
напряженности электрического поля через замкнутую поверхность, охватываю-
охватывающую заряд Q. Выражение (сГ) является интегральной формой
четвертого уравнения Максвелла. Его принято называть теоремой
Гаусса. Математическое и физическое содержание его эквивалент-
эквивалентно исходному уравнению. Уравнение ((Г) можно проиллюстриро-
проиллюстрировать рисунком (рис. 2.1), где в соответствии с правилом графиче-
графического изображения полей векторы поля Е направлены по каса-
касательным к линиям напряженности, а их густота отражает числен-
численное значение потока if) = J E-dS. Так как сила F3Jl, действующая
на электрический заряд q, помещенный в поле, также направлена
по касательной к линиям напряженности, то последние называют
также силовыми линиями поля.
Аналогично второе уравнение Максвелла приводится к инте-
интегральной форме:
^  = 0, (V)
утверждающей, что поток вектора индукции магнитного поля В
через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Из (Ь')
следует замкнутость линий магнитной индукции. Графически маг-
магнитное поле изображают с помощью линий индукции В: число
этих линий, пересекающих ортогональную к ним поверхность, рав-
равно магнитному потоку через эту поверхность и обозначается че-
через Ф:
' . dS. B.7)
Обратимся к первому уравнению Максвелла. Выберем в простран-
пространстве произвольный замкнутый контур L, на который натянем не-
некоторую поверхность S (рис. 2.2). Умножим обе части уравнения
(а) на элемент площади dS и просуммируем по всем элементам,
получим:
Crot/f-Д5 = —
В правой части поменяем местами операции производной по вре-
времени и интеграла по поверхности 5. Используем определение маг-
магнитного потока B.7). В левой части с помощью теоремы Стокса
29

D5) перейдем к циркуляции вектора напряженности электриче-
электрического поля Е по контуру L; получим:
**¦*—¦*?¦ (а'>
Это интегральная форма первого уравнения Максвелла. Из выра-
выражения (а') видно, что только вихревая составляющая вектора Е
совершает работу по замкнутому контуру. Вклад потенциальной
составляющей равен нулю. Эта работа по перенесению единичного
заряда по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора ?
и обозначается через &:
g = jf.dl. B.8)
Следовательно, в общем случае электрическое поле ? имеет
две составляющих: одна начинается и заканчивается на зарядах,
—у
это потенциальная составляющая, для которой rot ? = 0 или
§ Е - d/=0. Другая составляющая характеризуется замкнутыми
силовыми линиями, охватывающими линии индукции В перемен-
"** г "*" ""*" дФ
ного магнитного поля. Для нее rot?=7^0 и g)?-d/ = . За-
L dt
метим, что символ частной производной по времени подчеркивает
неподвижность контура L и натянутой на него поверхности S.
Переведем теперь в интегральную форму третье уравнение
Максвелла (с). Поступив с ним так же, как с предыдущим уравне-
уравнением (а), получим эквивалентное исходному соотношение:
(В Я ¦ dl = цо tf • dS + pioeo J_ f ? •
7 i ы i
—У
Оно связывает циркуляцию вектора индукции В с величиной пол-
ного тока / = J j-dS, пронизывающего контур L, с изменением
потока \f> = J EdS напряженности электрического поля через по-
верхность S (рис. 2.3), натянутую на контур L. Заметим, что зам-
замкнутые линии индукции В охватывают линии тока j и линии
дЕ
—переменного электрического поля.
Таким образом, системе уравнений Максвелла B.5) в диффе-
30

ренциальной форме соответствует система этих уравнений B.5) в
интегральной форме:
¦•<г/ = --?_|в.Д (а')
§B-dS=0, (b')
'¦dS, (с') B.5)
8о X 6О
Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме B.1) для
электромагнитного поля в веществе соответствует система уравне-
уравнений в интегральной форме B.1'):
•—.S-Jra. (a,
о
В • dS = О, (Ь)
»-Д (с) B.1')
D- dS= \ pdV=Q. (d)
2.5. Физическое содержание уравнений Максвелла и их связь
с эмпирическими законами электродинамики. Уравнения Максвел-
Максвелла являются математическим выражением результатов экспери-
экспериментов, которые легли в основу теории электромагнитных процес-
процессов. Поэтому естественно, что опытные законы, положенные в осно-
основу этих аксиом, следуют из уравнений Максвелла.
Первое уравнение B.5а) в дифференциальной форме утверж-
утверждает, что изменяющееся по времени магнитное поле порождает в
окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Это обоб-
обобщение закона Фарадея, состоящее в том, что вихревое электриче-
электрическое поле возникает во всем пространстве,- заполненном любыми
средами. Экспериментальный закон Фарадея для проводников вы-
вытекает из этого уравнения в интегральной форме B.5а'), если
контур L — замкнутый линейный проводник. Тогда переменный
31

магнитный поток Ф порождает в проводящем контуре электродвй-
жущую силу (э.д.с.) индукции §инд = 'у Е • dlt связанную со ско-
скоростью изменения магнитного потока известным из школьного
курса соотношением:
©инд = ~— • B.9)
at
Второе уравнение Максвелла утверждает отсутствие источников
магнитного поля, подобных электрическому заряду. Установлено
наличие элементарных магнитных диполей, характеризуемых соб-
собственным (спиновым) магнитным моментом элементарных частиц:
электронов, протонов и др. Как и электрический заряд частицы, ее
собственный магнитный момент не изменяется при перемещении
ее в пространстве. Однако многочисленные попытки эксперимен-
экспериментально выделить из диполей «монополи» противоположных знаков
не увенчались успехом.
Отсутствие магнитных зарядов, постулируемое вторым уравне-
уравнением Максвелла, можно связать с гипотезой Ампера о природе
намагничивания тел, как проявления суммарного действия магнит-
магнитных полей молекулярных токов вещества.
Третье уравнение Масквелла утверждает, что вихревое магнит-
магнитное поле с индукцией В порождается движущимися зарядами (то-
ком / = J / • dS) и переменным по времени электрическим полем
с индукцией D. Это уравнение выражает результаты эксперимен-
экспериментов Эрстеда, и из него следует закон Био-Савара.
Наконец, четвертое уравнение системы B.5) и B.5') утвер-
утверждает, что источником (стоком) электрического поля являются
заряды. Это уравнение связано с законом Кулона для взаимодей-
взаимодействия покоящихся зарядов, каждый из которых создает поле со-
согласно этому уравнению.
Упражнения
2.1. Получить выражения законов Ома и Джоуля—Ленца в
дифференциальной форме.
2.2 Используя закон индукции Фарадея B.9), получить диффе-
дифференциальную его форму B.5а).
2.3. Используя выражение закона индукции B.5а), показать,
что линии индукции В замкнуты.
32

2.4. Используя закон полного тока:
где /—алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L,
получить его обобщение в форме третьего уравнения Масквелла.
2.5. Вывести уравнение: div? = р.
2.6. Принцип суперпозиции электромагнитных полей. В клас-
классической механике в качестве постулата формулируется принцип
независимости действия сил, следствием которого является пра-
правило векторного сложения сил: если на материальную точку мас-
сы т действует несколько сил Fu F2t ..., Fny то ускорение а точки
определяется векторной суммой этих сил: а = У Ft.
т iSi
Аналогичная задача о наложении нескольких электромагнит-
электромагнитных полей и отыскания результирующего поля стоит в электроди-
электродинамике. Так, заряды pi, /i создают поле с векторами Еи Ви заряды
Р2> /2 порождают поле E%, В% и т. д. Каждый заряд и каждый ток
порождает электромагнитное поле. Как отыскать результирующее
поле при одновременном действии всех зарядов и токов? Линей-
Линейная форма уравнений Максвелла позволяет сформулировать от-
ответ: векторы результирующего поля равны сумме векторов слагае-
слагаемых полей:
Е*= 2 Ei, 5=2 В/, B.10)
п — число слагаемых полей.
Это принцип суперпозиции электромагнитных полей, с которым
студенты знакомятся еще в школьном курсе, решая задачи на вы-
вычисление потенциалов и напряженностей полей, создаваемых не-
несколькими зарядами. В более общем случае, когда заряды и токи
распределены непрерывно внутри некоторого объема V, принцип
суперпозиции выражается не дискретными суммами, а интегра-
интегралами:
где dE и dB — векторы поля, создаваемого зарядами и токами в
элементе объема dV. В тех областях пространства, где нет заря-
зарядов и токов, электромагнитное поле описывается уравнениями
B.5), где р=0 и /=0. Это система однородных линейных диффё-
3—1136 33

ренциальных уравнений в частных производных. Они допускают
бесконечное множество решений ?*, В/. Решением также будет
их линейная комбинация:
?= 2 Ci%, 5=2 С1%. B.11)
Это значит, что в свободном от источников поле могут существо-
существовать поля с характеристиками Е и В B.11). Справедливо и обрат-
обратное: всякое свободное поле с векторами Е и В может быть пред-
представлено в виде B.11).
В § 4 будет показано, что решения уравнений Максвелла B.5)
при р=0 и /=0 представляют собой функции вида:
?г.==?о/ cos(mt—% • 7), Bi=%i cos (©//—"fti -7), B.12)
которые характеризуют плоские монохроматические волны с ам-
амплитудами ?0/, BOiy частоты со/. Векторы ?о/, #о/ и ki взаимно орто-
ортогональны; ki = -2i-. Эти волны со скоростью с распространяются
с
по всевозможным направлениям векторов ki. В соответствии с
принципом суперпозиции любое свободное поле может быть пред-
представлено в виде разложения по плоским монохроматическим вол-
волнам B.12), различных поляризаций, амплитуд, частот и направ-
направлений распространения.
2.7. Основная задача электродинамики состоит в определении
векторов поля ?(r, t) и В (г, t) по заданным функциям р(г, /) и
/ (г, t), характеризующим плотности заряда и тока во всех точках
пространства во все моменты времени. Составляющие векторов
поля входят под знаком частных производных в уравнения Мак-
Максвелла. Поэтому их общие решения будут содержать произволь-
произвольные функции. Чтобы найти частные решения, описывающие кон-
конкретное поле, необходимо задание начальных и граничных усло-
условий.
Начальные условия характеризуют значения векторов Е и В
во всех точках пространства в некоторый момент времени to:
?G, fo)=?oG), B.13)
. B.14)
Граничные условия для поля в вакууме характеризуют значе-
значения векторов поля на границе S пространства, занимаемого им.
34

Следовательно, во всех точках пограничной поверхности S заданы
векторы Е и В как функции времени:
, t)=~E*(t), B.15)
, t) = ~ВЩ). B.16)
Поле точечного заряда не ограничено какими-либо поверхностями.
Граничные условия для такого поля выражают значения векторов
? и В в удаленных от заряда точках. Если поле образовано си-
системой зарядов, занимающих ограниченную часть пространства, то
граничные условия для такого поля характеризуют ослабление
поля в бесконечно удаленных точках пространства, то есть:
-й), В
B.17)
Для электромагнитного поля в среде граничные условия выража-
выражают поведение векторов поля на границе раздела двух сред, где
характеристики е и \к изменяются скачком. Аналитические выра-
выражения для таких граничных условий рассмотрим отдельно в п. 2.8.
Таким образом, основная задача электродинамики состоит в
отыскании из уравнений Максвелла векторов поля по заданным
функциям распределения зарядов и токов при заданных началь-
начальных и граничных условиях. В такой постановке уравнения Мак-
Максвелла имеют единственное решение. Это означает, что задание
состояния системы поле—заряды в некоторый момент времени t
единственным образом определяет ее состояние во все последую-
последующие моменты времени, то есть ее эволюцию. Здесь прослеживается
аналогия с решением основной задачи динамики, где задание сил
и начальных условий единственным образом определяет состояние
системы в любой момент времени. То есть, как и в механике, в
электродинамике действует принцип причинности: состояние систе-
системы в некоторый момент времени однозйачно определяет состояние
системы во все другие моменты времени, последующие и преды-
предыдущие.
На практике встречается задача обратная по отношению к ос-
основной, когда надо по заданному полю определить плотности за-
заряда и тока. Она решается с помощью двух последних уравнений
Максвелла, путем дифференцирования функций E(r, t) и В (г, t).
Отметим еще, что решение основной задачи требует интегрирова-
интегрирования уравнений Максвелла, а это сложная математическая пробле-
проблема, так как нет общих методов их интегрирования. Только в част-
частных случаях удается проинтегрировать непосредственно эти урав-
з* 35

нения. Поэтому применяются различные Методы интегрирования
уравнений электродинамики, например метод потенциалов (§ 4).
В некоторых случаях распределение зарядов, обладающих прост-
пространственной симметрией, удается отыскать векторы поля, исполь-
используя интегральную форму уравнений Максвелла.
2.8. Граничные условия для уравнений электромагнитного поля
в среде. Как отмечалось выше, произвольные функции в общем
решении уравнений Максвелла исключаются при помощи задания
начальных и граничных условий. В случае поля в вакууме гранич-
граничные условия характеризуют ослабление поля до нуля в бесконеч-
бесконечности. Для поля в среде появляется новый тип границ, на которых
электромагнитные параметры среды е, \i, X изменяются скачком,
что вызывает изменение векторов поля на этих границах. Выведем
систему граничных условий для векторов поля ?, D, В, Н и плот-
плотности тока /, используя уравнения Максвелла в интегральной
форме. Пусть на поверхности S характеристики среды изменяются
скачком от 8ь ц-ь h до 82, №, А,2 (рис. 2.4). Двумя поверхностями
выделим тонкий слой, содержащий границу раздела S. Примем,
что е, fx, К изменяются не скачком на поверхности 5, а непрерывно
в слое. Применим к нему уравнение Максвелла, затем устремим
к нулю толщину слоя, получим граничные условия для векторов
поля. Выведем сначала граничное условие, вытекающее из уравне-
уравнения Максвелла, содержащего divD. Проинтегрируем его по объему
V цилиндра, который выделяет часть слоя высотой h (рис. 2.5),
получим:
Jdivfl - dV=Q,
где Q — заряд внутри цилиндра. С помощью теоремы Гаусса пе-
перейдем к интегралу по поверхности цилиндра, выделив отдельно
поверхности боковую и оснований:
f D • dS + J Z) • dS + JD . dS=Q.
Применяя теорему о среднем и учитывая, что 5i=52=5 — площа-
площади сечения цилиндра, получим:
D2n -S — Dln • 5 + D6oK • 2nrh = Q.
Устремим высоту цилиндра h к нулю. Получим:
{D2n — Dln)S=Q или D2n — Du=a, B.18)
Q -*
где a = — поверхностная плотность заряда, п— нормаль к по-
«ь
верхности раздела, проведенная из первой среды во вторую. Из
36

B.18) следует, что нормальная составляющая вектора электри-
электрической индукции изменяется скачком только в том случае, если
граница раздела заряжена.
Учитывая связь вектора индукции D с напряженностью Е B.2),
граничное условие для нормальной составляющей вектора Е полу-
получаем в виде:
8260^2/1 — eieoEin—a, B.19)
откуда видно, что даже при а = 0 (незаряженная поверхность
границы) вектор Е терпит разрыв:
-^L=-fL.. B.20)
E2r. 8i
Аналогично из второго уравнения Максвелла для вектора магнит-
—>
ной индукции В получаем:
В2п-В1п=0, B.21)
что выражает непрерывность нормальной составляющей вектора
В. Для нормальной составляющей напряженности Нп на основании
уравнения связи B.3) получаем разрыв:
Формулы B.18) —B.22) выражают граничные условия для нор-
нормальных составляющих векторов поля.
Чтобы получить граничные условия для составляющих векторов
поля, касательных к границе раздела двух сред, воспользуемся
уравнениями Максвелла, содержащими векторы поля под знаком
ротора. Выберем в рассмотренном выше слое толщины h малый
прямоугольный контур L (рис. 2.6) со сторонами h и /, пересекаю-
пересекающий границу раздела, и применительно к нему рассмотрим третье
уравнение Максвелла B.1с):
f J|2- -dS. B.1c)
Первое слагаемое правой части равно полному току /, протекаю-
протекающему через площадь S контура L, второе слагаемое представим,
учитывая теорему о среднем. Левую часть этого уравнения пред-
представим в виде суммы слагаемых, соответствующих каждому отрез-
отрезку этого малого контура. Направление обхода контура выберем
так, чтобы он соответствовал переходу из первой среды во вторую.
37

Получим:
- Ни • / + H2z. I + 2Hh • ft = /
Здесь S — площадь, ограниченная контуром L. Устремив h к нулю,
приходим к граничному условию:
H2x-Hlx = JL = js, B.23)
где /s — плотность поверхностного тока. Следовательно касатель-
касательная (тангенциальная) составляющая напряженности Н магнитного
поля изменяется скачком, если по границе раздела S течет ток.
Если поверхностных токов нет, скачок Н% равен нулю, то есть
при /s = 0 составляющая Hz на границе изменяется непрерывно.
Скачок для касательной составляющей вектора индукции магнит-
магнитного поля В в соответствии с уравнением связи B.2) будет отлич-
отличным от нуля как при наличии поверхностных токов:
± J = jS9 B.24)
так и при отсутствии их. При /s=0 имеем:
Bit ^^ Bat
Аналогичные действия с первым уравнением Максвелла B.1'.а)
приводят к граничному условию для касательной составляющей
вектора напряженности электрического поля Е:
?2т —?lt=0. B.26)
Она изменяется непрерывно при переходе через границу раздела
двух сред. Аналогичная составляющая вектора электрической ин-
—>•
дукции D в силу уравнения связи B.2) изменяется скачком:
-?li = -22LL . B.27)
Формулы B.23) — B.27) выражают граничные условия для танген-
тангенциальных составляющих векторов поля.
Получим теперь граничные условия для вектора плотности
хока / = %Е. Очевидно, что для касательной к границе составляю-
щей вектора / на основании B.4) будем иметь скачок:
-*2- . B.28)
/21С U
Э8

Для нормальной составляющей граничное условие получаем из
уравнения неразрывности:
div i =
dt 9
которое приводится изложенным выше способом, к виду:
/2n-/ii. = --?L. B.29)
dt
где а — поверхностная плотность зарядов. Если поверхностных за-
зарядов нет (а=*=0) или их плотность постоянна ( !L=0\,to нор-
V dt I
мальная составляющая вектора / изменяется непрерывно.
Таким образом сформулирована полная система граничных
условий для векторов поля B.18) — B.29). Задание их необходимо
для решения широкого круга конкретных задач.
Эту систему граничных условий можно легко выписать на осно-
основе дифференциальной формы уравнений Максвелла, если исполь-
использовать понятие поверхностной дивергенции:
= a2n — aXn. B.30)
и поверхностного ротора:
Rota = a2x — Ли, B.31)
где а — один из векторов поля, стоящий под соответствующим
оператором в уравнениях Максвелла. В соответствие к ним (Diva,
—>
Rota) ставятся поверхностные плотность заряда а и тока js. Си-
Система граничных условий для векторов поля записывается с по-
помощью уравнений Максвелла B.1) формально:
Rot?=0, Div B=0,
_^ _^ B.32)
Rot//=/s, DivD=a.
Отметим, что внесение в электромагнитное поле материальных
тел различной природы, а также заполнение значительной части
пространства какой-либо средой порождает множество самостоя-
самостоятельных задач по расчету полей и зарядов в рамках электростати-
электростатики, магнитостатики, теории электромагнитных волн и т. д.
Упражнения
2.6. Чему равна полная электростатическая сила, действующая
на единицу положительного заряда, помещенного в центре квадра-
39

та со стороной, равной Ь, если в вершинах его расположены заря-
заряды q, 2?, —4?, 2??
2.7. Заряды (—е) расположены в вершинах равностороннего
треугольника со стороной, равной а. Заряд +Q расположен в цен-
центре. Определить величину Q, если система находится в равновесии.
2.8. С помощью принципа суперпозиции найти поле равномерно
заряженной плоской поверхности. Поверхностная плотность заря-
зарядов постоянная и равна а.
—>
2.9 Выяснить, при каком условии из уравнений: rot Я = / +
dt
и _Л -|- div / = 0 следует: divD=p, где р — объемная плотность
dt
свободных зарядов.
2.10. Вычислить поток вектора Е электрического поля через
поверхность сферы радиуса /*, если напряженность поля в системе
с началом координат в центре сферы выражается соотношением:
4яво г2 г
—>
2.11. Вычислить поток вектора однородного поля Е через про-
произвольную замкнутую конечную поверхность.
2.12. Вычислить поток вектора магнитной индукции через про-
произвольную конечную замкнутую поверхность.
2.13. Показать, что в общем случае циркуляция вектора маг-
магнитной индукции поля В по любому замкнутому контуру не равна
нулю.
2.14. Показать, что циркуляция векторного однородного поля
В по замкнутому контуру равна нулю.
Контрольные вопросы
1. Когда сформулированы уравнения Максвелла? Какую роль
они играют в электродинамике?
2. Какие векторы поля содержатся в уравнениях Максвелла и
как они взаимосвязаны?
3. Какие уравнения отражают связь поля с зарядами?
4. Какие задачи можно решать на базе уравнений Максвелла?
5. Запишите уравнения Максвелла для поля в среде? для поля
в вакууме?
40

6. Дайте математический анализ уравнений Максвелла. Про-
Прокомментируйте соотношение между числом уравнений и числом
неизвестных.
7. Какова роль начальных и граничных условий?
8. Как связано уравнение неразрывности с уравнениями Мак-
Максвелла?
9. Укажите независимые уравнения Максвелла?
10. На что указывает дифференциальная форма уравнений
Максвелла?
11. Как перейти к уравнениям Максвелла в интегральной фор-
форме? Чем отличается интегральная форма от дифференциальной?
12. Охарактеризуйте физическое содержание каждого уравне-
уравнения Максвелла и осветите их связь с эмпирическими законами.
13. В чем состоит обобщение закона электромагнитной индук-
индукции Фарадея, содержащееся в первом уравнении Максвелла?
14. В чем отличие источника магнитного поля от источника
электрического поля?
15. Сформулируйте электростатическую теорему Гаусса.
16. В чем состоит принцип суперпозиции для электромагнитных
полей?
17. В чем состоит основная задача электродинамики?
18. Какова роль начальных и граничных условий?
19. Что утверждает принцип причинности в электродинамике?
20. Где в уравнениях Максвелла содержится скорость распро-
распространения электромагнитного поля и его возмущений?
§ 3. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
Электромагнитное поле представляет собой форму распределе-
распределения материи в пространстве, поэтому ему должны быть присущи
такие понятия, как энергия и импульс. Эти понятия применялись
в классической механике для таких объектов как материальная
точка, твердое тело, механическая система. Эти материальные объ-
объекты в электродинамике являются носителями зарядов и токов.
Поэтому предстоит найти выражение для энергии электромагнит-
электромагнитного поля через векторы В и Е, а также найти место этой энергии
в фундаментальном физическом законе изменения и сохранения
энергии.
3.1. Уравнения Максвелла—Лоренца. Рассмотрим в рамках
основной задачи электродинамики для изолированной системы в
вакууме следующую проблему: по заданному начальному состоя-
41

системы, которое характеризуется заданием начальных поло-
положений и скоростей заряженных частиц, а также векторов поля в
момент ?=0, определить состояние системы во все последующие
моменты времени. При этом будем считать, что условия изолиро-
изолированности системы выполняются, а носители зарядов моделируются
свободными от связей материальными точками с массами mt-, pac-
—у
положенными в точках пространства г*(/). Плотности зарядов и
плотности токов, связанных с точечными зарядами, могут быть
выражены в виде:
pi=qif> (r-^i); Ji = qiri6 (r—n), C.1)
где 6(r—n)—дельта-функция Дирака, равная нулю при гфгь и
бесконечности при г=г, (см. П. II). В соответствии с принципом
суперпозиции результирующее поле определится как сумма полей
отдельных зарядов:
? = 2 %, В = 2 %. C.2)
I i
Решение задачи следует искать из совокупности уравнений Мак-
Максвелла и Ньютона. Запишем уравнение Максвелла через функции
C.1), учитывая C.2) и линейность операций div и rot:
дВ
dt
div В = О,
rot В = ц0 2 qtn6 (r—n) + Mo— • C.3)
* dt
div Ж= — У qt 6 (r—fi).
Присоединим к этим уравнениям уравнения движения материаль-
материальных точек под действием силы Лоренца:
= ?i? + rf,fi], C.4)
dt
где pi—импульс материальной точки. Выражения C.3) и C.4)
образуют совокупность уравнений Максвелла—Лоренца для систе-
системы поле—заряды в вакууме. В принципе они решают поставлен-
поставленную задачу о движении зарядов и изменении векторов поля с тече-
течением времени однозначно. Однако точное решение этой системы
42

уравнений неизвестно даже при небольшом числе материальных
точек. В практических задачах используют приближенные методы.
Уравнения же Максвелла—Лоренца являются базой для изучения
электромагнитного поля в веществе.
Заметим, что расположение и движение зарядов определяется
не только действием сил поля. Возможны и другие силы, например
силы гравитации, упругости, трения и т. д. Среди всех сил, дей-
действующих на заряды, выделим силы воздействия электромагнит-
электромагнитного поля. Остальные объединим в группу под общим названием
«сторонних» сил.
3.2. Работа поля по перемещению зарядов. Важным следствием
уравнений Максвелла является существование энергии и имйульса
электромагнитного поля. Экспериментально подтверждено, что эти
величины, универсальные для всех физических объектов, присущи
также электромагнитному полю. Они дают вклад в общий баланс
энергии и импульса системы заряд—поле и подчиняются установ-
установленным в механике законам об изменении этих величин и законам
сохранения.
Рассмотрим систему взаимодействующих между собой матери-
материальных точек с массами т/, несущих на себе заряды qu Такая
система описывается уравнениями Масквелла—Лоренца C.3) и
C.4). Используя их, распространим понятия энергии (и импульса)
на поле, рассматривая соотношения, сохраняющиеся для изолиро-
изолированной системы.
Покажем, что уравнение C.4) приводится к интегралу энергии.
Умножим обе его части на элементарное перемещение drt = vidt.
Так как скорости движения частиц не ограничены как в механике
Ньютона, то будем учитывать релятивистские эффекты, в частно-
частности зависимость массы частицы от скорости. Получим:
—».
drt J = qtEi • dn.
at
l—jr
Справа стоит элементарная работа электрической составляющей
силы Лоренца. Работа магнитной составляющей в силу ортого-
ортогональности векторов [vi, В] и drt равна нулю. Левую часть пре-
преобразуем с помощью тождества (см. упр. 3.1):
v-d

где справа под знаком дифференциала стоит полная релятивистская
энергия частицы. Тогда для каждой заряженной частицы получим:
dn. C.5)
Следовательно, элементарная работа силы Лоренца равна приро-
приросту релятивистской кинетической энергии заряженной материаль-
материальной точки mi. Просуммируем по всем точкам системы, получим:
7
Стоящая под знаком производной по времени сумма представляет
собой полную релятивистскую энергию системы заряженных час-
частиц. Равенство C.6) выражает теорему об изменении кинетической
энергии системы материальных точек за единицу времени. Это
изменение энергии частиц вызвано работой поля над зарядами.
Это выражение легко обобщается на случай непрерывного рас-
распределения заряда в пространстве. Тогда работа поля над заря-
зарядами в объеме V за единицу времени равна:
C.7)
Плотность мощности, выделяемой полем, или работа поля за еди-
единицу времени в единичном объеме равна:
Яо=7-?. C.7)
Таким образом, за счет работы поля изменяется кинетическая
энергия заряженных частиц. Это говорит о наличии у поля энергии
и превращении ее в кинетическую энергию частиц.
-*
Если плотность тока / образована движением свободных заря-
зарядов, то совершаемая полем работа будет рассеиваться в виде теп-
теплоты, поэтому величина \Е равна тепловой мощности поля. Если
же ток возникает в проводнике, подчиняющемся закону Ома
->> —>•
/ == Х?, то имеем:
C.8)
Это дифференциальная форма закона Джоуля—Ленца, выражаю-
выражающая плотность тепловой мощности, выделяемой полем в проводя-
проводящей среде.
44-

3.3. Энергия электромагнитного поля. Закон изменения энер-
энергии. Чтобы получить выражение для энергии электромагнитного
поля в зависимости от векторов поля ? и В, используем уравнение
Максвелла B.5) и выражение для работы поля по перемещению
зарядов C.7). Выпишем уравнения Максвелла, содержащие rot:
dt
dt
Выразим из последнего уравнения плотность тока / и подставим
в выражение C.7). Получим:
Г—
V ^°
fvoilidV— feo-? — dV.
V V ^° V
Чтобы сделать это уравнение симметричным относительно векто-
векторов ? и Б, прибавим к его правой части нуль вида:
будем иметь:
= -fl-(rot?+
t/?dV = (" -i- (ErotB— ~B rot?)dV— Г/еЗ—
Ho
dt
В первом слагаемом правой части скобку представим как
—div[?, В] (см. упр. 1.24); во втором слагаемом в силу незави-
независимости переменных вынесем частную производную по времени за
знак интеграла.
Последнее уравнение примет вид:
dt
= -[ div [f, l-
45

В первом слагаемом правой части перейдем к поверхностному ин-
интегралу с помощью теоремы Остроградского—Гаусса и перепишем
это соотношение в виде:
ео?2 + — Б2 ^ ^ ^ ^
i±2 dV = С / • ?W + _ ф [?, В] dS. C.9)
К И ° S
Размерность всех членов этого выражения должна совпадать с
размерностью работы P = jj • EdV. Это дает основание для вве-
введения фундаментальных величин:
w = — (е0Е2 + ~ В2) C.10)
2 \ Но )
— плотности энергии поля и
П= —ЙВ] C.11)
Но
— плотности потока энергии.
Интеграл
ffeo?2 + — B*)dV C.12)
J 2
определяет энергию электромагнитного поля в выделенном объ-
объеме V. Выражение:
фа«=ф~ [?, B]dS C.13)
характеризует поток энергии через замкнутую поверхность S, ох-
охватывающую объем V, за единицу времени. Иными словами это
мощность излучения системы зарядов.
Используя введенные обозначения, выражение C.9) можно
записать в виде:
—dW = Pdt+Ndt. C.14)
3fo интегральная форма теоремы C.9), утверждает: убыль энер-
энергии поля в некотором объеме равна работе поля над зарядами в
этом объеме и потоку энергии,, выходящему из объема через охва-
охватывающую его поверхность.
Так как объем V произвольный, то из C.9) следует, что в каж-
каждой точке пространства выполняете^ соотношение:
-^ =/)f+divff.
ot
46

Это дифференциальная форма закона изменения энергии. Выра-
Выражение C.15) называется теоремой Пойтинга. Она доказана впер-
впервые в 1884 году английским физиком Дж. Пойтингом.
Если зарядов нет (/=0), то равенство C.15) принимает вид:
— ЛЕ =divil C.16)
и выражает закон сохранения энергии в свободном электромагнит-
электромагнитном поле: убыль энергии в единицу времени в единичном объеме
происходит вследствие ее вытекания через поверхность этого объ-
объема.
При наличии зарядов имеет место обмен энергией между полем
и зарядами. В соответствии с выражением C.15) движущиеся за-
заряды можно рассматривать как источники энергии поля. В этом
случае плотность мощности источников равна j E.
В случае, когда потока энергии через границу системы нет, то
имеем:
d -д C Л7)
dt
-+• *¦¦
При /?>0 энергия поля убывает, так как заряды движутся за
счет энергии поля под действием сил поля. При /?<0 энергия
поля растет, так как работа по перемещению зарядов совершает-
совершается сторонними силами. Энергия поля может изменяться за счрт
кинетической энергии входящих в систему зарядов. Это изменение
также характеризуется величиной /? и рассмотрено в п. 3.2.
Плотность энергии w характеризует непрерывное заполнение
энергией пространства электромагнитного поля. Изменение век-
—> —У
торов поля Е й В со временем в каждой точке пространства вы-
вызывается перетеканием энергии из одних мест в другие. Это пере-
текание рписывается с помощью вектора П C.11), называемого
часто вектором Пойтинга.
Однако понятие плотности потока энергии еще в 1874 году
ввел русский ученый Н. А. Умов и доказал более общую теорему
для любой энергии, распределенной в пространстве с некоторой
плотностью до. Введенный им вектор плотности потока энергии по-
получил название вектора Умова.
Введенный Дж. Пойтингом в 1884 году вектор плотности пото-
потока электромагнитной энергии П C.11), характеризует отдельный
вид энергии и его исторически справедливо именовать вектором
Умова—Пойтинга.
47

3.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы.
Изолированными будем считать такие системы заряд—поле, для
которых отсутствует поток энергии и массы через поверхность,
ограничивающую их объем. В реальных случаях это условие вы-
выполняется, если векторы поля Е и В убывают с расстоянием R
быстрее, чем . Тогда поток энергии N = BES ~ -—^ >¦ О,
если а+р>2. Это обстоятельство убыли поля на бесконечности
соответствует реальности и освобождает постановку задачи от
требования конечности объема системы. Слагаемое, выражающее
поток энергии, исчезает, если рассматривать поле, занимающим
все бесконечное пространство. Тогда из соотношения C.9) полу-
получаем:
Работа, совершаемая полем над зарядами в изолированной систе-
системе, равна убыли энергии электромагнитного поля в ней. Из C.18)
следует, что работа, производимая полем над зарядами, является
мерой превращения энергии электромагнитного поля в другие её
виды. Конкретный вид зависит от природы вещества носителей
зарядов. В случае простейшей модели дискретной системы мате-
материальных точечных зарядов величина работы поля J / Е dV харак-
характеризует изменение полной релятивистской энергии заряженных
частиц. Тогда согласно формуле C.6) получаем равенство:
dt
dt J 2
из которого следует сохранение энергии в изолированной системе:
f _L (гоЕ2 + JLвЛ dV + V —2^ = const. C.19)
J 2 V м. I 4» f vi
В изолированной системе сохраняется сумма энергии поля и реля-
релятивистской энергии заряженных материальных точек.
В случае проводящей среды эта величина работы характеризует
количество энергии, выделившейся в виде тепла; возможно пре-
превращение энергии электромагнитного поля в потенциальную энер-
энергию деформации и т. д.
Заметим, что требование уменьшения до нуля векторов поля в
бесконечно удаленных точках пространства обеспечивает конеч-
48

ность значения энергии поля рассматриваемых в электродинамике
.конкретных систем. Только такие системы имеют физический
смысл.
Обсудим еще одно обстоятельство, вытекающее из выражения
C.19) закона сохранения энергии. Энергия системы заряды—поле
содержит два слагаемых кинетическую энергию частиц и энергию
поля. Частицы взаимодействуют друг с другом, а потенциальная
энергия, соответствующая этому взаимодействию, отсутствует. Это
является следствием замены механической концепции дальнодей-
дальнодействия полевой концепцией в электродинамике. Эта модель близко-
действия приписывает энергию всем материальным объектам:
незаряженным частицам, зарядам, полю, а не взаимодействию.
Лишь в частном случае электростатики энергию поля системы за-
зарядов можно выразить формально, как энергию их взаимодей-
взаимодействия. В общем случае потенциальная энергия всегда сводится к
энергии поля.
Упражнения и задачи
3.1. Используя известную [6, 7] связь полной релятивистской
энергии Ег частицы с релятивистским импульсом Рг:
где Ег= тс2 ; Рг=
показать, что имеет место тождество:
"*". тхх ./ тс2
эквивалентное выражению: ~vdpr = dEr.
3.2. Сформулировать теорему Пойтинга при наличии сторонних
ЭДС.
3.3. Постоянный ток плотности У течет по длинному цилиндри-
цилиндрическому проводнику сечения а = кг2. Показать, что в объеме
V=ol, где / — длина участка проводника, выделяется джоулево
тепло за счет энергии, которая приходит в виде электромагнитной
из тех участков провода, где совершается работа сторонних ЭДС.
4-1136 49

3.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения им-
импульса. Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля, ха-
рактеризующегося векторами Е и В с зарядами и токами, распре-
распределенными в объеме V с плотностями р и / = ро.
Со стороны поля на объем V действует сила
F*= $JdVy C.20)
где
7=р? + р[Я ~В] C.21)
— плотность силы Лоренца.
Преобразуем выражение C.21). Из уравнений Максвелла:
div? = р,
во
-> -> а-р
rot В = jiopf + 8О|Хо -=-
dt
—>
выразим плотность заряда р и скорость у, получим:
-> дЕ
1 В
8о М-о div ?
Подставим эти выражения в формулу C.21), добавим член
—^—, равный нулю. Получим:
Но
f=8o/fdiv?+ JL_BdivB+— rotff—eojio—, 51.
Ho Ho L d* J
Учтем, что
Здесь мы использовали первое уравнение Максвелла.
Теперь выражение для плотности силы Лоренца принимает
вид:
iv^— [? rot?]) +
L (В div if—Д rotfi])—ео-?-[Д В].
50

Составляющая fx определяется выражением:
U = го(Ех div? — [E, rotE]x +
+ — (Вх div в"— [В, rot В]* — е0 — [Е, В] *,
Но dt
которое можно представить в виде:
fx = uiv&-eo~[?,B]x,
dt
—>
где & — некоторая функция.
Компонента Fx силы, действующей на весь объем системы V,
равна интегралу:
Fx=[fxdV*= fdiv^rfV—|-jeo[^B]^V. C.22)
V V V
Аналогичны выражения для Fy и Fz.
Сила Fx сообщает зарядам в объеме V ускорение, то есть она
изменяет импульс Gxu материальных тел, носителей зарядов. В со-
соответствии со вторым законом Ньютона имеем:
dt
В выражении C.22) первый интеграл представим по теореме
Остроградского—Гаусса, во втором слагаемом частную производ-
производную по времени заменим на полную, так как объем системы V от
времени не зависит. Тогда выражение C.22) можно записать так:
dt ~~ ~
Перепишем это выражение в векторной форме:
d
dt
^ + Г во [Е, B]dV) = f"noBe (з.23)
v
Здесь GM = \ ' 1 полный релятивистский импульс мате-
рпальных точек, носителей зарядов; через FIIOB обозначен интеграл
по поверхности, охватывающей объем системы V. Величину, стоя-
стоящую под интегралом, обозначим через g. В соответствии с размср-
4* 51

ностью выражения C.23) она равна плотности импульса электро-
электромагнитного поля; то есть
g = to[I?,B], C.24)
а интеграл выражает полный импульс этого поля:
$~gdV. C.25)
= J8o[?,
В принятых обозначениях выражение C.23) имеет вид:
— (<?м + <3"оля\ = FB C.23)
dt
и утверждает, что полный импульс системы, состоящей из поля и
зарядов, изменяется в результате действия сил через поверхность,
ограничивающую объем системы V. Заметим, что здесь прослежи-
прослеживается аналогия с соответствующей теоремой классической меха-
механики, утверждающей, что изменение импульса системы за единицу
времени равно главному вектору внешних сил.
Если система заряды—поле изолированная, то /пов = 0. В этом
случае полный импульс сохраняется, то есть
C.24)
Взаимодействие между зарядами и полем может сопровождаться
изменением импульса поля и зарядов согласно закону сохранения:
jg ^л°ля C.24)
dt dt
Изменение импульса материальных тел происходит в результа-
результате изменения импульса поля и наоборот. В этом случае импульс
механической системы не сохраняется и третий закон Ньютона
не имеет места, так как невозможно приложить силу к полю.
Поле в отличие от классических частиц является чисто реляти-
релятивистским объектом. Это подтверждается еще одним качеством,
роднящим его с безмассовым релятивистскими частицами: если
ввести понятие плотности энергии в потоке: w = — = 1 [?, В] |,
с с\х0
то учитывая определение плотности импульса g C.24), приходим
к связи: w — cg. Это идентично связи энергии г с релятивистским
импульсом рг для частиц с массой покоя, равной нулю: е = срг
(см. упр. 3.1). Заметим еще, что такая связь энергии с импульсом
имеет место не для всей энергии поля, а лишь для энергии, содер-
содержащейся в потоке. В частности для электромагнитного поля, рас-
52

пространяющегося со скоростью с в пустом пространстве в виде
плоской монохроматической волны это соотношение выполняется
для всей энергии, так как она вся содержится в потоке.
3.6. Давление света. Обладая импульсом, электромагнитное по-
поле оказывает давление на тела, с которыми взаимодействует. Из
закона сохранения импульса C.24) следует, что электромагнитное
поле, распространяясь в виде волны, испытывая отражение или
поглощение телом, оказывает на него давление, под действием
которого тело может изменить импульс.
Давление р, оказываемое электромагнитной волной на поверх-
поверхность тела, равно импульсу, передаваемому единице площади
поверхности тела за единицу времени. При полном поглощении
телу передается весь импульс электромагнитного поля, распро-
распространяющегося со скоростью с. Поэтому для давления р имеем:
p = cg=w = w. C.25)
Следовательно давление, производимое электромагнитной вол-
волной на поглощающую её поверхность, равно плотности энергии в
потоке w, причем в этом случае (когда поле распространяется в
виде волны) она совпадает с плотностью энергии w электромаг-
электромагнитного поля, вся энергия которого переносится в потоке (см. упр.
3.4).
Этот вывод блестяще подтвержден в 1899 году опытами
П. Н. Лебедева с электромагнитными волнами светового диапа-
диапазона.
Упражнения
3.4. Используя определение давления как силы, действующей
на единицу площади, показать, что давление р электромагнитной
волны на нормальную к направлению ее распространения погло-
поглощающую поверхность связано с плотностью импульса g и плот-
плотностью энергии w соотношением: p = cg=w.
—> —> -> ->
3.5. Для плоской монохроматической волны ?=?0cos(o)^—kr),
В — B0cos((dt—kr) вычислить плотность энергии w, плотность
энергии в потоке до, плотность потока энергии П и плотность им-
импульса g. Установить, при каком условии вся энергия волны пере-
переносится в потоке.
3.6. Как понять, что магнитное поле В может совершать работу
над проводником с током, в то же время не может изменить энер-
энергию одного заряда?
5Э

3.7. Объяснить правило Ленца на основе закона сохранения
энергии, предположив, что энергия электромагнитного поля поло-
положительна.
3.8. Показать, что закон Ампера
следует из закона электромагнитной индукции Фарадея и закона
сохранения энергии.
Контрольные вопросы
1. Какие, применимые к полю понятия, подтверждают его ма-
материальность?
2. Охарактеризуйте уравнения Максвелла—Лоренца.
3. Сравните теорему о кинетической энергии системы матери-
материальных точек в классической механике с соответствующей теоре-
теоремой в электродинамике.
4. Охарактеризуйте работу поля над зарядами.
5. Покажите, что работа поля изменяет кинетическую энергию
частиц.
6. Показать, что в проводящей среде поле выделяет тепловую
энергию в соответствии с законом Джоуля—Ленца.
7. Как зависит плотность энергии электромагнитного поля w
от силовых характеристик поля?
8. Что называется потоком энергии? плотностью потока энер-
энергии?
9. Что называется мощностью излучения системы зарядов?
10. Сформулируйте теорему Пойтинга об изменении энергии
электромагнитного поля в дифференциальной форме; в интеграль-
интегральной форме.
11. Сформулируйте теорему об изменении энергии электромаг-
электромагнитного поля для изолированной системы стационарно движущих-
движущихся зарядов.
12. Какие изменения энергии происходят в свободном от заря-
зарядов пространстве электромагнитного поля?
13. Сформулируйте закон сохранения энергии для изолирован-
изолированной системы заряженных материальных точек.
14. Как в выражении закона сохранения энергии в электроди-
электродинамике проявляется концепция близкодействия?
15. Сформулировать постановку задачи, которая приводит к по-
понятию импульса поля.
16. Сравните теорему об изменении импульса системы поле—
заряды с соответствующей теоремой классической механики,
54

17. Сформулируйте и дайте анализ закона сохранения импульса
для изолированной системы поле—заряд.
18. Как связана плотность энергии электромагнитного поля w
с плотностью импульса g? С плотностью потока энергии П?
19. Как связана энергия безмассовой релятивистской частицы
с ее импульсом? Где аналогичная связь имеет место в электро-
электродинамике?
20. Покажите, что давление световой волны на поглощающую
ее поверхность тела равно плотности энергии ее электромагнитного
поля w.
§ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Решение основной задачи электродинамики состоит в опреде-
определении векторов поля по заданным функциям p(r, t) и /(г, t), ха-
характеризующим распределение зарядов и токов. Сводится она к
интегрированию уравнений Максвелла, а это математически слож-
сложная задача. Основным расчетным аппаратом является метод потен-
потенциалов, который сводит систему уравнений Максвелла первого
порядка к хорошо изученным дифференциальным уравнениям вто-
второго порядка. Векторное поле полностью определяется диверген-
дивергенцией и ротором. В системе уравнений Максвелла дивергенция и
ротор векторов поля Е и В определяются распределением зарядов
p(r, t) и токов /(г, t).
Как отмечалось выше, поле, для которого ротор равен нулю, а
дивергенция не равна нулю, называется потенциальным или полем
источников. Его векторные линии начинаются и заканчиваются на
источниках поля — зарядах. Поле, для которого равна нулю ди-
дивергенция, но отличен от нуля ротор, называется вихревым или
соленоидальным. Его векторные линии замкнуты. В общем случае
векторное поле может иметь две составляющих: потенциальную и
вихревую.
4Л. Векторный потенциал. Из уравнений Максвелла B.5) сле-
следует, что магнитная составляющая поля, характеризуемая векто-
вектором индукции В, имеет чисто вихревой характер, так как ее ротор
отличен от нуля, а дивергенция равна нулю. Уравнение:
div 5 = 0 B.5)
55

тождественно удовлетворяется, если положить:
if=rot^ D.1)
так как div rot A = V • [V, А] ==0.
—V
Вспомогательный вектор А называется векторным потенциалом
электромагнитного поля. Самостоятельного физического смысла
—>
он не имеет, но через него выражается вектор индукции В, кото-
который имеет физическое содержание и является измеряемой вели-
величиной.
4.2. Скалярный потенциал. Электрическая составляющая поля,
—У
характеризуемая вектором напряженности ?, имеет обе состав-
составляющие: потенциальную и вихревую. Введем вектор В D.1) в пер-
первое уравнение Максвелла B.5а); получим:
rot ? = —-??=--?- rot Л",
dt dt
или
rot I ~E + ^) = 0.
V dt J
Это соотношение удовлетворяется тождественно, если принять:
?+ — =— gradcp.
Функция ф=ф(л t) называется скалярным потенциалом электро-
электромагнитного поля, напряженность Е которого имеет две составляю-
составляющие:
? = -grad<p--^-, D.2)
dt
—у
Первое слагаемое Е\ = —grad ф характеризует электростатиче-
скую компоненту поля; второе слагаемое /?2 = —- — вихре-
dt
вую составляющую поля, возникающую вследствие электромагнит-
электромагнитной индукции.
Таким образом, если потенциалы Л (г, t) и ф(г, t) известны, то
—>-
напряженность Е электрического поля однозначно определяется
56

выражением D.2). Заметим, что по заданным векторам поля Е и
В, потенциалы А ц ср определяются не однозначно, а с точностью
до некоторых произвольных функций независимых переменных в
соответствии с теорией решения дифференциальных уравнений
в частных производных. Эта неоднозначность в выборе потенциа-
потенциалов используется для максимального упрощения уравнений Мак-
Максвелла.
4.3. Уравнения поля в потенциалах. Придадим уравнениям
Максвелла другую математическую форму, введя в них потенциа-
потенциалы А и ф. Первые два уравнения системы B.5) уже использованы
для определения потенциалов D.1) и D.2). Введем теперь их в
два другие уравнения B.5с) и B.5d):
rot J5 = \i0 Г+ e0 \x0 — , B.5c)
dt
div if= -L p. B.5d)
Введем сначала D.1) и D.2) в уравнение B.5с), получим:
rot rot A = \i0 j + во [io I —grad cp ).
dt \ dt у
Преобразуем левую часть этого выражения:
rot rot 1= [V, [V, А]] = V(V • A)— A(V • V) = grad div Д—ДД,
где А — оператор Лапласа.
Теперь уравнения B.5с) принимает вид:
^~ т- ? = -fioT+ grad {d[vX+ -т тг) • D-3)
Введем теперь D.1) и D.2) в уравнение B.5d); учтём, что коор-
координаты и время являются независимыми переменными:
div grad ф+ —div Л = ~ р. D.4)
dt Ео
Получили два взаимосвязанных уравнения D.3) и D.4), эквива-
эквивалентные исходной системе уравнений Максвелла B.5). Эти урав-
уравнения можно сделать независимыми, если надлежащим образом
выбрать вид функций А и ср, используя отмеченную выше их не-
неоднозначность.

4.4. Калибровка потенциалов. Калибровочное условие Лоренца.
Из определения А D.1) следует, что он определяется с точностью
до градиента произвольной скалярной функции tf(r, t), то есть
возможна замена Л на Л', если:
A' = A + gv*dqG, 0, D.5)
так как
? = roM = rot/T.
Скалярный потенциал <р определяется выражением D.2). Введём
в него А D.5), получим:
F
Обозначим:
ф' =
-Ф-
dt J
d$(r>t)
дА'
dt
D.6)
тогда вектор напряженности электрического поля Е запишется
—>
через потенциалы q/ и А' в форме D.2):
F=-grad9'- ^1. D.2)
Сопоставляя выражения D.5) и D.6), заключаем, что векторы
поля Е и В можно выразить по формулам D.1) и D.2) через Л
и ф, а можно через Л', q/, если между ними существует связь D.5)
и D.6).
—у
Разные способы выбора потенциалов Л и ф, оставляющие не-
неизменными векторы поля Е и В, называются калибровками потен-
потенциалов. Калибровочные условия подбирают так, чтобы уравнения
поля принимали наиболее простой вид. В электродинамике исполь-
используют калибровочное условие Лоренца:
div?+ — -22. =0. D.7)
4.5. Уравнение Даламбера. Волновое уравнение. Применим ка-
калибровочное условие Лоренца DJ) к уравнениям для потенциалов
58

D.3) и D.4). Получим дифференциальные уравнения второго по-
порядка, решение которых имеет общую методику — уравнения Да-
ламбера:
дф_ _L J?f? = _-Lp. D.9)
с2 dt2 ео
Эти уравнения эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.
Если заданы функции распределения заряда р(г, /) и тока / (г, /),
удовлетворяющие уравнению непрерывности A.6), то интегрируя
уравнения D.8) и D.9), найдём потенциалы А и ф, удовлетворяю-
удовлетворяющие калибровочному условию Лоренца D.7). Эти потенциалы свя-
—У —>
заны с векторами поля Е и В соотношениями:
?f=rot? ? = — ёгас1ф — -id . D.10)
di
Заметим, что уравнения Даламбера D.8) и D.9) по существу
являются независимыми, так как векторный потенциал А зависит
—у ->
только от распределения токов / (г, /), а скалярный потенциал
Ф — только от распределения зарядов p(r, t). Это облегчает реше-
решение.
Кроме того, уравнения Даламбера D.8) и D.9) математически
однотипны и методика их решения хорошо известна в общем виде
и для ряда частных случаев. Для краткой записи вводят диффе-
дифференциальный оператор Даламбера:
п д ++Dii)
с2 dt2 дх2 ду2 dz2 с2 dt2
С помощью этого оператора уравнения D.8) и D.9) записывают
так:
? -5 = — х, D.12)
где S — одна из величин ЛА-, Ау, AZi ф, а к — функция, характери-
характеризующая источник поля, соответственно равна: \iojx, \iojy, jxo/г, —р«
В тех точках пространства, где нет зарядов и токов, то есть р = 0
и / = 0 (рис. 4.1) уравнение Даламбера переходит в волновое урав-
уравнение:
0. D.13)
59

В стационарном случае, когда S=?S(t), уравнение Даламбера
переходит в уравнение Пуассона для области V, где р=И=О и ]фО:
AS = — х. D.14)
В области вне 1/, где нет зарядов и токов х = 0, потенциалы удов-
удовлетворяют уравнению Лапласа:
0. D.15)
Все эти виды дифференциальных уравнений хорошо изучены и их
общие решения известны.
4.6. Общее решение уравнений поля в потенциалах. Пусть в не-
некоторой инерциальной системе задано распределение зарядов и
токов функциями р(г, /) и /(г, /), удовлетворяющими уравнению
непрерывности A.6). Требуется найти векторы поля E=E(r, t) и
—>—>-> ->
B = B(r, t). Эти векторы выражаются через потенциалы поля А
и ф. Для определения потенциалов мы имеем систему четырех ска-
скалярных математически однотипных уравнений:
Tlr—IW* DЛ6)
Аф г*
= р.
е0
Это неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
в частных производных вида:
AS 1—^-=—4лх. D.17)
С2 дР '
Общее решение такого уравнения Даламбера складывается из
общего решения соответствующего ему однородного (волнового)
уравнения и любого частного решения заданного неоднородного
уравнения D.17) [11]:
S=S0 + Sr. D.18)
Так как векторы поля Е и В должны определяться условиями
задачи однозначно, то физический смысл имеют лишь однознач-
60

пые и непрерывные решения уравнений D.1b). Первое слагаемое
50 характеризует электромагнитные волны, существующие в про-
пространстве, где нет источников поля: зарядов и токов (рис. 4.1).
Конкретный вид этих волн определяется начальными условиями,
выражающими значения потенциалов и их производных по вре-
времени в некоторый начальный момент. Эти начальные условия по-
позволяют исключить две произвольные функции в общем решении
волнового уравнения и характеризуют свободное от источников
поле, определенное в каждой точке в момент /=0. Дальнейшее
его поведение описывается решением волнового уравнения.
Второе слагаемое в общем решении D.18) описывает поле, со-
создаваемое заданной системой зарядов и токов. Однозначность это-
этого решения достигается с помощью граничных условий и норми-
нормировки потенциалов. Для замкнутой изолированной системы заря-
зарядов в вакууме граничные условия характеризуют убыль потенциа-
потенциалов с увеличением расстояния г от системы зарядов V не медлен-
медленнее, чем —:
г
ф|г_^0О= 0, Л*|г_^о=0. D.19)
Определив таким образом потенциалы А и <р с помощью соотно-
соотношений D.1) и D.2), находят векторы поля В и Е.
4.7. Аналитическое выражение общего решения волнового урав-
уравнения. Вернемся к общему решению волнового уравнения. Пред-
Предположим, что во всем пространстве отсутствуют заряды и токи.
Существует только свободное электромагнитное поле. Реально
отделить заряды от поля невозможно, но эта модель позволяет
изучить свойства поля, как вида материи, отдельно от зарядов.
Потенциалы такого поля удовлетворяют волновому уравнению:
AS~1TJ?=0' D-20)
где S — любая из величин: AXj Ау, Аг, ф.
Существование ненулевого решения [11] уравнения D,20) ут-
утверждает возможность существования в вакууме поля при отсут-
отсутствии зарядов.
Покажем, что при таком условии электромагнитное поле может
существовать только в виде волны, то есть в таком состоянии,
—>
когда распространение значений величин А и ф происходит от точ-
точки к точке. В простейшем одномерном случае волновое уравнение:
*L L^ =o D.21)
дх2 с* dt*
61

допускает решение в виде [12]:
S = /i(/-^) + /2(;+-^), D.22)
которое является общим. Здесь f\ и /2 — произвольные функции
переменных t± -^-. Конкретный вид функций определяется из
начальных условий, выражающих зависимость от х суммы этих
функций и их производных по времени в момент / = 0:
Решение 5 D.22) характеризует бегущую вдоль оси Ох волну
потенциала. Значение /i в момент t\ в точке х\ повторяется в мо-
момент /2 в точке х2. Из условия: t\ — = t% — находим ско-
с с
рость распространения потенциала: *2~*1 = с.
Функция /i характеризует волну в положительном направлении
оси Ох, /г — в противоположном направлении (рис. 4.2). В общем
случае трехмерного волнового уравнения решение ищется также
в виде бегущих волн [12]:
Щ ( Щ D.23)
= U [t- Щ + h (t + Щ
—>
где k0 — произвольный единичный вектор, характеризующий на-
направление распространения волны. Непосредственной подстанов-
подстановкой S D.23) убеждаемся, что это есть решение уравнения D.20)
при произвольных /i и /2.
Найдем фронт волны, то есть геометрическое место точек с
одинаковыми значениями А и ф в некоторый фиксированный мо-
момент времени t. Эта поверхность определяется условием:
t— ^- = const.
с
Отсюда находим:
kQ - г = const.
—>
Это уравнение плоскости, перпендикулярной вектору к0.
62

Следовательно, решение D.23) характеризует плоские волны,
распространяющиеся со скоростью с в направлении вектора k0.
Если вектор k0 определяет направление оси Ох, то k0 • г = х
(рис. 4.3) и решение D.23) совпадает с D.22).
Таким образом, установлен общий вид решения D.23) волно-
волнового уравнения D.20) в виде плоских волн. Произвольные функ-
функции fi и f2 определяются из начальных условий. Граничные усло-
условия в пустом однородном пространстве естественно отсутствуют.
Из общего решения следует волновой характер свободного элек-
электромагнитного поля, которое распространяется в вакууме со ско-
скоростью с.
4.8. Разложение свободного поля по гармоническим составляю-
составляющим. Получим частное решение волнового уравнения D.20), пред-
представив его в разделяющихся переменных:
S(r, t) =S(x, у, z, t) = <(>Ax)<vy(y)c?z(z)f(t). D.24)
Подставим его в уравнение D.20), разделим почленно на S, полу-
получим:
1 д2ух , 1 д2ф„ , _1_ d2q>z _ 1 d2f _ Q
Ф* дх* q>w дф ФГ дг> c2f dt2
Такое равенство выполняется при условии, что каждое слагае-
слагаемое постоянно, а сумма этих постоянных равна нулю. Обозначим
эти постоянные kx2, ky2, kz2y -^- и приравняем их соответствующим
с2
членам. Получим четыре однотипных уравнения:
?2fL _ kx* Ф, = 0, ?SL- k* ф2 = 0, D.25)
dx2 dz2
?2!L-ky*<py = 0, Л -0Jf = 0.
dy2 У ^У dt2 '
Частные производные заменили полными, так как все переменные
независимые. Присоединим еще условие:
В соответствии со значениями корней характеристических урав-
уравнений, соответствующих уравнениям D.25), найдём частные реше-
решения с точностью до постоянного множителя:
фг = в ±ik*>; f = в ±м.
63

Им соответствуют два решения исходного волнобого уравнения
D.20):
ф1 = Г1Ⱬи.ГГ)в D2б)
щ = С2е±1^гТ\ D.27)
где со = ck. D.28)
Так как потенциалы электромагнитного поля являются веществен-
вещественными величинами, то выделим из этих выражений вещественные
части, используя формулу Эйлера:
е±*а = cos a ± i sin а.
Получим:
Ф1 = Фо cos (со/ — k • г),
D.29)
Ф2 = фосоз (со/ + к • г).
Эти функции описывают плоские, монохроматические, гармониче-
гармонические волны с частотой v =-2- и длиной волны к з=—2-; волновой
2л Л
вектор /г перпендикулярен фронту волны. Решение ф1 описывает
волну в направлении вектора /г, а фг — в противоположном направ-
направлении.
В соответствии с принципом суперпозиции электромагнитных
полей общее решение волнового уравнения в силу его линейности
можно представить линейной комбинацией бесконечного числа
монохроматических волн:
Ф(г, 0 = L • Гц>о(к)е'ы-гТ)сШ1 D.30)
(У2яK J
здесь фо(&)—комплексные коэффициенты. Решение D.30) будет
вещественным, если фо(&)=Фо*(—к). Интегрирование распро-
распространяется по всем k от —оо до +оо.
Выражение D.30) является разложением свободного поля по
гармоническим составляющим и называется интегралом Фурье.
Оно справедливо для любого решения волнового уравнения. Коэф-
Коэффициенты разложения определяются из начальных условий.
64

Выражения, полученные для скалярного шугейциала <р, фор-
формально обобщаются на векторный потенциал; общее решение так-
также представляется разложением по гармоникам:
А G, t) = —Lr— (Х(к)е1'Ы^ dk. D.31)
(У2лK J
Таким образом, свободное волновое электромагнитное поле сво-
сводится к системе пл х dux монохроматических волн с различными
амплитудами, частотами и направлениями распространения.
4.9. Сферические волны. Рассмотренное выше свободное поле,
представленное суперпозицией плоских волн, соответствует слу-
случаю, когда система зарядов и токов, породившая это поле, удалена
от наблюдателя на большое расстояние, так что поле утратило
связь с источником.
Рассмотрим теперь случай, когда система зарядов и токов, из-
излучающая электромагнитные волны, может моделироваться точкой.
С ней совместим начало координат и выясним свойства поля в ва-
вакууме вблизи этой особой точки. Очевидно, свободное поле должно
обладать сферической симметрией, поэтому потенциалы электро-
электромагнитного поля не должны зависеть от углов 9 и а (см. опера-
оператор Лапласа А в сферических координатах; П. I B7)). Волновое
уравнение D.20) в этом случае принимает вид:
&S . _2_ dS_ 1_ №S_ _ 0
Ti* г дг с2 dt2 ~
Это эквивалентно такому уравнению:
— (г 5) — — — (г S) = 0, D.32)
дг* с2 dt2 v ' v '
где г, t — независимые переменные.
Уравнение D.32) является для функции rS одномерным волно-
волновым уравнением, решение которого получено в п. 4.7:
*-'•('- 7") +
откуда следует:
^)^) D-33)
Решение D.33) характеризует две бегущие сферические волны.
Первое слагаемое характеризует расходящуюся от точки 0 волну,
второе — сходящуюся к ней волну. Первая волна характеризуется
амплитудой, убывающей пропорционально —-, вторая волна, схо-
Щаяся — растущей амплитудой.
5-1136 65

В любой фиксированный момент времени потенциалы А и ф,
обозначенные в D.33) через 5, имеют одинаковые значения на
поверхности сферы с центром в источнике поля, то есть в начале
координат 0. Это фронт волны. Для расходящейся волны фронт
движется от начала координат со скоростью с, для сходящейся —
к началу координат (рис. 4.3).
В отличие от плоских волн, где значения <р и А во все моменты
времени во всех точках движущегося фронта одинаковы, в сфери-
сферических волнах А и ф убывают пропорционально — . Ограничимся
г
рассмотрением расходящейся волны, то есть в решении D.33)
ограничимся первым слагаемым. Это соответствует источникам
конечных размеров. Для приложений важны сферические гармони-
гармонические волны. Подобно плоским волнам D.29) сферические гармо-
гармонические волны характеризуются потенциалами:
—>•
ф= 2t_ cos (cot— ?.~r); A = -^cos(tot—~k.7). D.34)
r r
Разложение потенциала свободного поля по сферическим гармони-
гармоникам имеет вид:
Л = -±r f Ао(k)el ^'tT) dk. D.35)
Ц2пг J
В отличие от случая плоских волн это разложение сводится к од-
одномерному, так как векторы k и г сонаправленные.
Монохроматические волны являются простейшими составляю-
составляющими переменного поля. Из них по принципу суперпозиции может
быть построено любое свободное поле.
Из сказанного выше следует, что решение волнового уравнения
следует искать в виде плоских волн для пустого пространства, в
котором нет выделенных точек — источников, и в виде сферических
волн для областей, где имеются одна или несколько источников
волн.
4.10. Потенциалы поля стационарной системы движущихся за-
зарядов. До сих пор мы рассматривали общее решение волнового
уравнения, соответствующее свободному от зарядов полю. Частное
решение уравнения Даламбера (второе слагаемое в D.18) найдем
сначала для простейшего случая, широко распространенного в
практике и поэтому имеющего самостоятельное значение — для
случая, когда плотность зарядов и токов от времени явно не зави-
зависит:
р = рЙ; 7=7 Й-
66

В этом случае электромагнитное пФле будет также стационарным,
уравнения Даламбера для потенциалов сводятся к уравнениям
Пуассона:
Аф = - JL р, D.36)
во
дХ=— цо/Г D.37)
Получим решение уравнения Пуассона, используя следующие
соображения. Разобьем все пространство на малые элементы dV,
которые можно считать точечными. Каждый элемент содержит за-
заряд pdV и ток jdV. Результирующее поле складывается из полей,
создаваемых этими зарядами и токами. Обозначим в соответствии
с рис. 4.4 через г радиус-вектор точки наблюдения Р\ в ней опре-
определяются потенциалы поля, г0 — координаты элемента объема dV
с зарядом pdV и током j dV = pvdV. Вектор г' равен г—г0, его
модуль равен расстоянию от источника dV до точки наблюдения.
Каждый источник dV моделируется точечным; он создает вокруг
себя поле, потенциал которого определяется как сферически сим-
симметричное решение уравнения Лапласа:
Ф=-Х_, f=-f-jl. D.38)
4ле0 г' 4я г'
Эти потенциалы применительно к непрерывному распределению
зарядов и токов являются слагаемыми вида:
dfp=s _L ??L dX= Jit. Ш-
dfp t X D.39)
4л80 г' 4я г'
В соответствии с принципом суперпозиции просуммируем их по
всему объему системы V; получим:
ф()
4Я8о J
D.40)
дG)= ?L.[JELdV.
4я J г'
V
Эти формулы являются решениями уравнения Пуассона. Они ха-
характеризуют потенциалы поля стационарно движущихся зарядов.
Заметим, что решение неоднородного стационарного уравнения
Пуассона является суммой решений соответствующего ему одно-
однородного уравнения Лапласа.
5* 67

В решении D.40) под областью интегрирования V можно по-
понимать все пространство поля, отличные от нуля слагаемые в ин-
интеграле относятся к части пространства, занятой зарядами и тока-
токами; остальные слагаемые равны нулю.
4.11. Запаздывающие потенциалы. Найдем теперь решение урав-
уравнений для потенциалов электромагнитного поля в общем случае,
когда плотность заряда р и плотность тока / зависят явно от вре-
времени. В этом случае потенциалы А и ф удовлетворяют уравнению
Даламбера D.16) или D.17). Для отыскания решения применим
ту же методику, что и в случае стационарного распределения за-
зарядов и токов. Выделим элемент объема dV> содержащий заряд
-> —>
dq=pdV и ток dI = jdV. Он порождает электромагнитное поле,
потенциалы которого всюду вне dV удовлетворяют волновому
уравнению, а в самом источнике — уравнению Даламбера. Реше-
Решение волнового уравнения для точечного источника обладает сфе-
сферической симметрией; оно определено в п. 4.9 и описывается функ-
функцией D.33). Ограничимся первым слагаемым и примем решение
в виде:
S= ±f(t-I~y D.41)
Если 5=ф, то решение D.41) описывает распространение элек-
электрического поля со скоростью с в виде шаровой волны с амплиту-
амплитудой, убывающей как
г
В точке Q, модель^ующей источник поля объемом dV, функ-
функция S должна удовлетворять уравнению Даламбера D.17). Чтобы
найти его решение, используем аналогию следующих задач и урав-
уравнений.
В стационарном В переменном
электрическом поле электромагнитном поле
В области вне заряда потен- Вне источника поля Q потен-
потенциал поля ф удовлетворяет циал ф удовлетворяет волно-
уравнению Лапласа: вому уравнению:
Дф = 0. Пф = 0.
63

В стационарном В переменном
электрическом поле электромагнитном поле
Сферически-симметричное ре- Сферически-симметричное ре-
решение уравнения Лапласа име- шение волнового уравнения
ет вид: имеет вид:
Решение общей задачи сводится к решению:
уравнения Пуассона: уравнения Даламбера:
А 1 _.1
Дф = p. [J<p = — р.
8о 8о
Его решение имеет вид: Его решение по аналогии пред-
-+ ставим суммой сферически-
фG) = 1 Г Р(го)^^ симметричных решений волно-
4л80 J г' вого уравнения для полей от
всех элементов dV:
и представляет собой сумму # г/ ч
сферически-симметричных ре- __+ «pU )
шеиий уравнения Лапласа. ф(г, t) = \ -^ — dV*
4лео J г'
D.42)
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что выражение D.42)
является решением уравнения D.17).
Для векторного потенциала А решение уравнения Даламбера
имеет вид:
dV. D.43)
Заметим, что решения ф D.42) и А D.43) определены с точно-
точностью до любых решений ф7 и А' волнового уравнения. Найденные
потенциалы нормированы так, что при удалении в бесконечность
они стремятся к нулю.
Проанализируем теперь физическое содержание решений D.42)
и D.43). Из этих выражений следует, что потенциалы, характери-
характеризующие поле в точке с координатами г в момент времени t опре-

деляются значениями функций р и / в момент т; предшествующий
t на время т'=-^—, в течение которого поле распространяется от
с
элемента dV до точки наблюдения Р, в которой определяются по-
потенциалы А и ф (рис. 4.5). Поэтому ф D.42) и А D.43) называ-
называются запаздывающими потенциалами. Этот вывод о запаздывании
имеет важный физический смысл. Он является выражением реля-
релятивистской идеи близкодействия, утверждающей, что влияние за-
зарядов и токов, создающих поле, на другие заряды и токи пере-
передается в пустоте не мгновенно, а с конечной скоростью с. С этой
же скоростью передаются все возмущения поля, поэтому эта вели-
величина входит в уравнения Максвелла через электрическую и маг-
магнитную постоянные вакуума: с2 =
Моо
Если в начальный момент времени электромагнитного поля в
пространстве нет, то найденые решения для потенциалов поля при
произвольном непрерывном распределении зарядов и токов одно-
однозначно определяют его в любой момент времени.
Второе слагаемое в решение D.33) уравнения Даламбера (опе-
(опережающие потенциалы) физического смысла не имеет. Оно отра-
отражает симметрию уравнения Даламбера относительно обращения
времени, то есть замены t на —t и противоречит принципу причин-
причинности в электродинамике. Поэтому в последующем опережающие
потенциалы рассматривать не будем.
4.12. Заключение. Мы рассмотрели основной метод решения
уравнений Максвелла — метод электродинамических потенциалов,
относительно которых уравнения Максвелла превращаются в урав-
уравнения Даламбера, хорошо изученные в математике.
Общее решение уравнения Даламбера складывается из общего
решения волнового уравнения и решения в виде запаздывающих
потенциалов:
ф = фволн + фзап,
A ==z -Дволн 4~ -^зал-
Решение волнового уравнения соответствует системе гармониче-
гармонических, плоских волн всевозможных амплитуд, частот и направлений,
определяющих свободное поле. Это поле порождено бесконечно
удаленными источниками, не входящими в рассматриваемую си-
систему. Примерами таких свободных полей можно назвать электро-
электромагнитное поле звезд, Солнца, реликтовое излучение.
Решения в виде запаздывающих потенциалов D.32) и D.33)
имеют физический смысл при условии их конечности, то есть, когда
70

интегралы, распространенные по всему пространству V, являются
сходящимися. Совместим начало координат с точкой наблюдения
—у —> —>
Р (рис. 4.5). Тогда г/=/*0 обозначим через г. Запаздывающие по-
потенциалы могут быть записаны в виде:
4Я8о v Т 4Я у
D.44)
где г — расстояние элемента dV от точки наблюдения. Очевидно,
что функции р и / должны достаточно быстро убывать с расстоя-
расстоянием г. Только при таком условии интегралы будут сходящимися.
Эти потенциалы соответствуют полю, образованному ограниченной
в пространстве системы зарядов и токов, состояние которой задано
до некоторого момента времени. Типы начальных условий могут
быть различными.
4.13. Потенциалы электромагнитного поля в среде. Поле в ве-
веществе по сравнению с полем в вакууме имеет некоторые особен-
особенности, которые проявляются в процессе применения уравнений
Максвелла для расчета полей в веществе.
Так для нахождения векторов поля, кроме функций р(г) и / (г),
должны быть заданы величины, характеризующие свойства веще-
вещества:
е=е(г), \ь=\л{г), у=у(г).
Поэтому в общем случае математический расчет поля очень сло-
сложен. Однако, в практическом и теоретическом отношении важен
случай изотропной однородной среды, заполняющей все простран-
пространство. В этом случае функции е и \х являются постоянными и урав-
уравнения B.1) для поля в среде можно записать в форме, сходной с
уравнениями для поля в вакууме B.5):
—>>
JL С О D . 1 • „ d /\
dt
D.45)
rot В = (я[х0 / + ццоеео ; div E = —^- .
dt ee0
При решении системы уравнений D.45) можно широко исполь-
использовать соотношения, полученные для поля в вакууме, опираясь на
71

формальную аналогию этих уравнений с детально исследованной
системой уравнений B.5).
Потенциалы поля в веществе вводятся, подобно тому, как они
были введены для поля в вакууме, выражениями D.1) и D.2):
6 = rot Х\ ?* = —grad Ф — — . D.46)
dt
Уравнения Максвелла D.45) приводятся к уравнениям Далам-
бера:
D.47)
д Е\Х д2ф 1
Калибровочное условие Лоренца для потенциалов приобретает
вид:
div?+-^-^L = 0. D.48)
Общее решение уравнений Даламбера, подобно рассмотренному
выше случаю поля в вакууме, складывается из решения волнового
уравнения и решения в виде запаздывающих потенциалов.
Запаздывающие потенциалы, характеризующие электромагнит-
электромагнитное поле, создаваемое заданной системой зарядов и токов в одно-
однородной среде имеют вид:
Л
4я ^ г
D.49)
ф
4Я8 Eq ^
Сопоставляя эти выражения с потенциалами поля в вакууме D.44),
заключаем, что потенциалы поля в однородной среде изменились:
векторный потенциал изменился кратно \i, скалярный потенциал —
кратно —, изменились соответственно векторы поля, а скорость
е
распространения возмущений стала равной и, причём
72

Все требования относительно функций р и / сохраняются и для
электромагнитного поля в однородной среде.
4.14. Потенциалы поля произвольно движущегося точечного
заряда. В качестве примера применения формул запаздывающих
потенциалов рассмотрим случай произвольного движения точеч-
точечного заряда еу движущегося со скоростью vo(t). Координаты заря-
заряда изменяются по закону ro = $vodt. Плотность заряда и плот-
плотность тока можно представить в виде:
р = eb{rr~г0); / = pl\> =* e~vo(tN(r'—г0),
где б (г'—г0) —дельта-функция Дирака (см. П. III). Тогда в соот-
соответствии с D.44) получим следующие выражения для запаздываю-
запаздывающих потенциалов:
? t) = -i^ e f
г
J
е
4л J | г—r'|
D.51)
D.52)
4ле0 ^^
Чтобы выполнить интегрирование, воспользовавшись свойством
дельта-функции, введем новые переменные:
1х=х'—дсо(т); ly=y'—yo(%)-y lz=z'—z0(%).
Для вычисления якобиана положим для простоты, что заряд дви-
движется вдоль оси Ох, так что vx=v0. "Тогда имеем:
д1х __ j _ дхр _ . __ ал:0 (^т __
дх' дхг дх ' Лс" ~"
\r-r'\
73

dlx л dlx
ду' dz'
dly л dly
= 1»
dx' dy' dz'
dU _ q dU _ q dU _ j
dx' ' d/ ' (?2r
Якобиан равен:
-л / / * / \ v/
<?(*', */', /) с \r-r'\
Аналогичные вычисления при произвольной ориентации скорости
vQ приводят к выражению:
d(lx, ly, lz) 1 _ Ур Г—Г'
———————— |^ —___ —__— #
d(x'yy'yz') с \7-?\
Поэтому можно нацисать:
dx'dy'dz' = d{x>y>z)> dlxdlydlz =
дAх, ly, lz)
dlx dly dlz dl
— Vu r~r'
c \г„г'\ С \Г-Г'\
Преобразуя выражения D.50) и D.51) к новым переменным, полу-
получим:
А G 0 =
4зх
Здесь i?(x)—радиус-вектор, проведенный из точки мгновенного
—> -> ->
положения заряда в точку наблюдения, то есть R(x) = г—г0.
—>•
Мгновенное положение заряда и его скорость vo(x) соответствуют
моменту времени т:
74

с
Аналогично находим:
4ле, J
С
i e
4л8° - - Мт) (Г-
к—го| —
с
е
Между потенциалами Л и ф имеется соотношение:
Л = -Й- ф. D.54)
Потенциалы поля произвольно движущегося заряда называются
потенциалами Льецара—Вихерта. Они характеризуют иоле точеч-
точечного заряда в самом общем виде — при произвольном значении
скорости и характере движения.
Упражнения
4.1. Показать, что функция S = f (t — j является решением
одномерного волнового уравнения: AS = 0.
4.2. Записать с помощью б-функции уравнения стационарного
поля в потенциалах для источника поля объемом dV, содержаще-
—> —>
го заряд q = pdV и ток / = q • и, считая источник точечным. Най-
Найдите решения этих уравнений.
4.3. Показать, что скалярный потенциал ф D.42) является ре-
решением уравнения Даламбера.
4.4. Определить напряженность Е и индукцию В поля точеч-
точечного заряда, движущегося равномерно и прямолинейно со скоро-
скоростью и<с.
75

4.5. Показать, что скалярный потенциал ср D.44) поля, создан-
созданного ограниченной в пространстве системой зарядов объемом VOi
при удалении от нее на расстояние г->оо убывает, как —.
г
4.6. Найти циркуляцию вектора напряженности электрического
поля по любому замкнутому контуру, используя выражения для
вектора поля Е через потенциалы.
4.7. Записать работу по перемещению точечного электрическо-
электрического заряда в электромагнитном поле через потенциалы поля.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит решение основной задачи электродинамики?
2. Чем в общем случае определяется векторное поле?
3. Какое поле называется полем источников или (потенциаль-
(потенциальным полем)?
4. Какое поле называется вихревым или соленоидальным?
5. В чем состоит метод потенциалов?
6. Что называется векторным потенциалом электромагнитного
поля?
7. Что называется скалярным потенциалом электромагнитного
поля?
8. Однозначен ли выбор потенциалов?
9. Что называется калибровками потенциалов?
10. Каким калибровочным условием связаны потенциалы в
классической электродинамике?
11. Что дает применение калибровочного условия Лоренца к
уравнениям поля, записанным через потенциалы?
12. Охарактеризуйте уравнения Даламбера для потенциалов
электромагнитного поля.
13. Из каких слагаемых состоит общее решение уравнения Да-
Даламбера?
14. Что означает понятие свободного электромагнитного поля?
15. Что выражают граничные условия для потенциалов поля?
16. В каком виде может существовать свободное электромаг-
электромагнитное поле?
17. Что такое плоская волна? Какому уравнению удовлетворяет
потенциал, характеризующий бегущую плоскую волну?
18. Какой вид имеет решение волнового уравнения для плоской
волны?
19. Как определить фронт волны?
20. Дайте определение плоской монохроматической волны.
76

21. Охарактеризуйте представление общего решения волнового
уравнения в виде разложения свободного поля по гармоническим
составляющим.
22. Дайте определение сферической волны.
23. Запищите уравнение расходящейся сферической волны.
Охарактеризуйте его.
24. Запишите уравнение сферической гармонической волны.
25. Поясните представление потенциалов свободного электро-
электромагнитного поля в виде разложения по сферическим гармоникам.
26. Когда потенциалы представляются в виде разложения по
плоским, а когда по сферическим гармоникам?
27. Какому уравнению удовлетворяют потенциалы поля стацио-
стационарной системы движущихся зарядов?
28. Запишите решение уравнения Пуассона для скалярного и
векторного потенциалов поля стационарной системы движущихся
зарядов.
29. Как связано решение уравнения Пуассона с решением со-
соответствующего ему однородного уравнения Лапласа?
30. Запишите решение уравнения Даламбера для общего слу-
случая зависимости плотностей заряда и тока от времени.
31. Как связано решение уравнения Даламбера с решением со-
соответствующего ему однородного волнового уравнения?
32. Почему эти решения уравнения Даламбера называются за-
запаздывающими потенциалами?
33. Каково физическое содержание вывода о запаздывании?
34. Как в уравнениях Максвелла отражена концепция близко-
действия?
35. Проанализируйте общее решение уравнения Даламбера в
соответствии с принципом суперпозиции полей.
36. При каком условии интегралы, выражающие запаздываю-
запаздывающие потенциалы, будут сходящимися?
Глава II. СТАЦИОНАРНОЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Выше рассмотрены основные уравнения электромагнитного
поля и общие методы их решения. Напомним, что общее решение
Уравнений поля в потенциалах D.18) состоит из двух слагаемых:
первое — это решение соответствующего однородного уравнения,
то есть уравнения D.17) без правой части, характеризующей ис-
источник поля; второе слагаемое — это решение в виде запаздываю-
77

Щих потенциалов D.41). В соответствий с принципом суйерйози-
ции первое слагаемое описывает совокупность плоских волн,
заполняющих пустое (без зарядов) пространство. Оно определяет-
определяется начальным условием. Второе слагаемое характеризует поле
интересующей нас системы зарядов. В задачах, где исследуется
поле конкретной системы зарядов, внимание сосредоточено на вто-
втором слагаемом, без учета волновой части уравнения, что соответ-
соответствует начальному условию, характеризующему отсутствие пло-
плоских волн. Это относится и к частным проявлениям поля, к изуче-
изучению которых мы приступаем.
Стационарное электромагнитное поле характеризуется векто-
векторами поля Е и В, не зависящими от времени, а такое поле имеет
место, когда его источники — заряды и токи — характеризуются
функциями р и /, не зависящими от времени. В этом случае урав-
уравнения Максвелла B.5) распадаются на две независимые группы
уравнений, одна из которых содержит только характеристики
—> —^ 1
электрического поля: rot? = 0; div?= р; другая содержит
только характеристики магнитного поля: divB = 0; rot jB = jxo/.
В этом случае электрическое и магнитное поле можно рассматри-
рассматривать отдельно.
§ 5. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
5.1. Уравнения Максвелла для электростатического поля. Урав-
Уравнения, приведенные выше:
гоГЕ = 0> E.1)
div?= — p, E.2)
описывают стационарное электрическое поле в вакууме. Выведем
эти уравнения, используя эмпирические законы. Установлено, что
работа сил электростатического поля по замкнутому контуру рав-
равна нулю:
L
Представим левую часть по теореме Стокса D5), получим:
|?.d?=J[rot?y-dS = 0.
Отсюда следует уравнение E.1), которое выполняется в любой
точке поля. Для вывода уравнения E.2) используем электроста-
78

тическую теорему Гаусса [1]: поток вектора Е через замкнутую
поверхность S, охватывающую заряд q, выражается формулой:
N= §f.dS= -J- q. E.3)
S 80
Выражение E.3) связывает поле Е с его источником — зарядом q
п является следствием закона Кулона. Если заряд распределен
в объеме V с плотностью р, то его можно представить в виде:
Выражение E.3) примет вид:
е0 V'
Заменив поток вектора Е по формуле Остроградского—Гаусса
D4), получим:
Jdiv?W= —
Отсюда следует, что в каждой точке поля выполняется уравнение
E.2).
Из уравнения E.1) следует существование скалярного потен-
потенциала ф, связанного с вектором Е соотношением:
Е = —gradcp.
Линии напряженности Е начинаются и заканчиваются на заря-
зарядах, поэтому о зарядах говорят как об источниках поля. Уравне-
Уравнение E.2) позволяет по величине плотности заряда р в каждой
точке поля вычислить div?. Точки поля с div?>0 называются
источниками поля; с div?<0 — стоками. Электростатическое поле
называется полем источников или потенциальным полем.
5.2. Поверхностные источники поля. Поле заряженных поверх-
поверхностей. Как отмечалось в § 2, если заряд находится в слое, тол-
Щина которого мала, то пользуются понятием поверхностной плот-
плотности заряда
79

На этих поберхно?тях вместо уравнения E.2) выполняется урав-
уравнение E.2'):
Div? = Е2п—Ехп = — а, E.2')
из которого следует, что на заряженных поверхностях вектор Е
изменяется скачком. Величина скачка называется поверхностной
дивергенцией (обозначается: Div?), а сами поверхности называ-
называются поверхностными истоками поля. Заметим, что из E.1) сле-
следует непрерывность касательной составляющей вектора
Rotif=?2,— ?„=0. E.Г)
Этот вывод относится к заряженным поверхностям проводников.
В случае электростатического равновесия заряды проводников
собираются в тонком поверхностном слое. Это явление используют
для электростатической защиты. Внутри проводника (рис, 5.1)
поле ?i = 0; следовательно ?/г = 0 и Ей = 0. Внешнее поле Е2
определяется уравнениями E.1) E.2), откуда следует, что на по-
—> —> 1 —>¦
верхности проводника Е2—Е2п • п = — а я, то есть поле направ-
лено по нормали к его поверхности.
5.3. Уравнения для потенциала электростатического поля. Под-
—>- —>
ставим Е — —Уф в уравнение E.2), получим:
div?=(V .?)=V(—Vcp) =—Дф== JL p.
Отсюда следует, что потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона:
ДФ = - — р. E.4)
ео
В точках поля, где плотность зарядов р = 0, потенциал удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа
Аф = 0. E.5)
Заметим, что уравнения для потенциала E.4) и E.5) непосред-
непосредственно следуют из уравнения Даламбера D.9) при требовании
стационарности поля.
5.4. Потенциал поля объемных и поверхностных зарядов. Если
в объеме V распределен заряд с объемной плотностью р и внутри
V есть поверхности 5, заряженные с поверхностной плотностью о«
80

то потенциал поля <р в произвольной точке определяется как ре-
решение уравнения Пуассона выражением:
E.6)
S*r
где г — расстояние элемента dV с зарядом pdV или dS с зарядом
odS до точки поля, в которой определяется потенциал; k = .
4яе
Вывод выражения E.6) приводится в Приложении 4.
Если поверхностных зарядов нет, то решение E.6) принимает
вид:
.E.7)
На больших расстояниях г от системы зарядов имеем:
ф = JL f pdV = k Л- , E.8)
что совпадает с потенциалом поля точечного заряда.
Рассмотрим теперь некоторые системы зарядов, имеющие как
самостоятельное, так и вспомогательное значение, и исследуем их
поле.
5.5. Поле точечного заряда. Потенциал E.8) этого поля являет-
является сферически симметричным решением уравнения Лапласа E.5).
Постоянные интегрирования определяются с помощью электроста-
электростатической теоремы Гаусса и условия, что на бесконечности (при
г-ноо) потенциал поля равен нулю. Заметим, что точечный заряд—
это модель реальных зарядов. Им заменяется заряженное тело,
если его размеры малы в сравнении с расстояниями до точки, в
которой рассматривается поле. В качестве, точечных зарядов могут
рассматриваться заряды элементов объема dV, площади dS и ли-
линии dl.
Потенциал E.8) поля точечного заряда имеет особую точку
там, где расположен заряд. Потенциал поля в этой точке обра-
обращается в бесконечность, что лишено физического смысла. Поэтому
поле в этой точке не рассматривается.
Потенциалу E.8) соответствует вектор напряженности поля
точечного заряда:
jf=-*.V<p = *^ ~, E.9)
где k *= — .
4яео
6—1136 81

Для любой совокупности дискретных точечных зарядов qt по-
потенциал и напряженность поля находятся с помощью принципа
суперпозиции:
v = k у Я- ; ? = k 2 -^ . E.10)
Аналогично эти величины находятся для системы зарядов, распре-
—>
деленных непрерывным образом с плотностью р(г). Надо разбить
—>
систему на элементарные точечные заряды dQ=p(r)dV и приме-
применить принцип суперпозиии. В результате получаем:
E.11)
v
В статическом случае точечный источник рассматривается как
элементарный источник поля, наглядный в методическом плане,
так как связь потенциала и напряженности поля с зарядами выра-
выражается простыми формулами E.8) и E.9). В общем случае в силу
запаздывания такая связь сложнее и потому не используется.
Вместо неё более универсальной оказывается связь, отраженная в
уравнениях Максвелла между плотностями зарядов и токов в каж-
каждой точке пространства и изменением векторов поля в простран-
пространстве и времени.
5.6. Поле диполя. Рассмотрим важный для теории диэлектриков
частный случай расположения двух, равных по величине, разно-
—> ->
именных зарядов, характеризующихся вектором p—ql таким, что
p=const при /->0. Такая простейшая модель нейтральной систе-
системы зарядов называется диполем, а вектор р называется электри-
электрическим моментом диполя. Найдем потенциал <р поля диполя в
произвольной точке 0 (рис. 5.2). На основании принципа супер-
суперпозиции для полей двух точечных зарядов имеем:
U* (ro2rol)* *
1 Г02 /Г2 Г2 Г2
Мы приняли, что ввиду малости /: гО1Жго2&г; г02—r0i = /cosa.
Домножим выражение для ф на 1 = —; тогда потенциал ф мож-
г
но выразить через электрический момент диполя р формулой:
82

E.12)
Напряженность Е поля диполя определяется через потенциал
(зад. 5.7) и равна:
Щ^7-^. E.13)
—У
Векторные линии напряженности Е поля диполя изображены на
рисунке 5.3.
Обобщением этих результатов является утверждение, что любая
нейтральная система зарядов с электрическим моментом
?=2<7,Л E.14)
—>
ка больших расстояниях эквивалентна полю диполя с моментом р
E.14).
5.7. Потенциал поля равномерно заряженного шара. Если шар
радиуса а равномерно заполнен зарядом с объемной плотностью р,
то потенциалы поля вне шара уе и внутри него <р; определяются
как сферически симметричные решения уравнений Лапласа:
4f^) E.15)
г2 дг \ дг I
и Пуассона:
1 f(^)± A5.16)
p <
В результате их интегрирования (см. задачу 5.8) находим:
E.17)
E.18)
где k = . Заметим, что в случае непрерывного распределения
4
заряда поле не имеет особых точек там, где размещен заряд и
конечно.
5.8. Основные задачи электростатики. В случае, когда задано
Распределение зарядов в пространстве для расчета электростати-
электростатического поля, следует пользоваться формулами E.3) и E.6), при-
водящими сразу к выражениям напряженности поля и потенциа-
6* 83.

ла, либо уравнениями Пуассона E.4) и Лапласа E.5), из которых
путем интегрирования при заданных граничных условиях опреде-
определяются потенциалы поля для соответствующих областей простран-
пространства, а напряженность определяется градиентом потенциала. Заме-
Заметим, что для поля системы непрерывно распределенных зарядов
в вакууме физический смысл имеют только всюду непрерывные
вместе с производными однозначные ограниченные решения этих
уравнений.
Если известен потенциал поля <р(г) и надо определить распо-
расположение зарядов в пространстве, следует определить напряжен-
напряженность поля Е = —V(p; по дивергенции этого градиента в соответ-
соответствии с уравнением E.2) определить функцию р(г). По величине
скачков нормальной составляющей напряженности на поверхно-
поверхностях разрыва определяется плотность поверхностных зарядов.
Таким образом, распределение зарядов по их полю определяется
однозначно.
Задачи и упражнения
5.1, Вычислить на основании закона Кулона напряженность
поля в вакууме бесконечной прямолинейной нити, равномерно за-
заряженной с линейной плотностью %.
5.2. Поверхность бесконечно длинного кругового цилиндра ра-
радиуса а равномерно заряжена так, что на единицу его длины при-
приходится заряд х- Показать, что поле внутри цилиндра ?* и вне
цилиндра Ее выражаются следующими формулами:
Ж = 0; Е = *-^, A)
где г — вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки
поля от оси цилиндра. Показать, что скачок вектора Е при пере-
1 г
ходе через заряженную поверхность равен — а, где 0 = ¦ *— •
во 2па
5.3. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара
произвольного радиуса. Показать, что поле внутри и вне шара
выражается формулами:
где Я — радиус-вектор, проведенный из центра сферы в рассмат-
84

риваемую точку поля. Показать, что скачок вектора Е при лере-
ходе через заряженную поверхность шара равен — а.
5.4. Заряд q равномерно распределен с плотностью р по шаро-
шаровому объему радиуса а. Показать, что напряженность Ее поля вне
тара такова, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре:
'ge з= к JL R, а напряженность поля внутри пропорциональна рас-
стоянию от центра шара: Ei = k — R. Проанализировать измене-
ние вектора Е при переходе через поверхность шара.
5.5. Показать, что потенциал поля шара радиуса а, равномер-
равномерно заряженного по объему с плотностью р, при условии <р<» = О
равен
Ф/ = 2knp(a2— J?
где q = —• зш3р — заряд шара, R — расстояние точки поля до цен-
3
тра, k = -г . Показать, что потенциал на поверхности шара
изменяется непрерывно, то есть фе=<р* при R = a.
5.6. Решить предыдущую задачу путем непосредственного ин-
интегрирования уравнений Пуассона и Лапласа,
5.7. Точечный заряд q находится на расстоянии d от бесконеч-
бесконечного проводника, Заполняющего левое полупространство. Опреде-
Определить потенциал поля в правом полупространстве и плотность
зарядов а, индуцированных зарядом q на поверхности провод-
проводника.
5.8. Показать, что потенциалу ф E.12) поля диполя соответ-
соответствует вектор напряженности Е E.13).
5.9. Поле системы зарядов на больших расстояниях от нее. Ди-
нольный момент системы. Практическое значение формул E.10)
и E.11) для исследования поля системы зарядов невелико, так
Как их применение возможно лишь для систем с небольшим чис-
числом точечных зарядов, либо для случаев простой зависимости
плотности зарядов от их положения в пространстве. В других
85

случаях вычисления по этим формулам очень громоздки. Однако
можно получить приближенные, более простые выражения для
потенциалов поля системы зарядов на большом удалении от неё,
то ест$> при г»г0 (рис. 5.4). При этом состояние системы харак-
теризуется одним или двумя электрическими параметрами, кото-
которые полностью описывают ее поле.
Найдем приближенное выражение потенциала в точке М(г),
используя формулу E.11), для чего разложим подинтегральную
функцию —== в цяя по степеням малого параметра г0.
Перейдем к декартовым координатам и обозначим: х{=х, х^^у,
Xs—z. Функция -7- в этих обозначениях равна
1 _ 1
2Ж
Она может быть разложена по степеням малого параметра
в ряд Тейлора:
Подставим это выражение в формулу E.11). Получим выражение
для потенциала в виде мультипольного разложения:
Вынесем из-под интегралов величины, не Зависящие от перемен
ных интегрирования, содержащих индекс 0; во втором и третьем
слагаемых поменяем местами суммирование и интегрирование:
<р(/•)«= -
r
4-2 -ГТГ (—) 1 ^pfo)rfVo. E.19)
Первое слагаемое выражения E.19) называют нулевым прибли-
приближением. В таком приближении весь заряд системы считается сосре-
сосредоточенным в точке 0.
86

Второе слагаемое дополняет потенциал до приближения, назы-
называемого дипольным, и может быть записано в векторной форме:
Вектор
~ $~ E.20)
называют дипольным моментом системы. Для системы п точечных
зарядов дипольный момент равен:
?
р = ? 70iqi. E.21)
Третье слагаемое выражения E.19) называется квадрупольным
приближением. Обычно в разложении потенциала поля пр мульти-
полям ограничиваются квадрупольным приближением, нр во мно-
многих задачах достаточным оказывается приближение дипольное.
Через дипольный момент р E.20) второе слагаемое потенциала
Ф E.19) выражается формулой:
ФG) = -a^grad (-1) = k ?j?- , E.22)
что совпадает с потенциалом E.12) поля диполя с электрическим
—> -*•
моментом р = q /, полученным в п. 5.6. Введем единичный вектор
направления на точку наблюдения п = — , получим:
г
ф(г) = *?!?. E.23)
Потенциалу ф E.23) соответствует напряженность Е поля в ди-
польном приближении
Е = -Уф = Зу1(дзр)^ • E.24)
На практике особое значение имеют электронейтральные системы,
так как атомы и молекулы являются таковыми в нормальном со-
состоянии. Незаряженные тела также являются электронейтраль-
электронейтральными системами. Поле нейтральной системы, если не учитывать
последующие члены в разложении потенциала, определяется ди-
дипольным приближением E.22). Заметим, что момент р является
87

характеристикой системы и не зависит от выбора начала коорди-
координат (см. упражнение 5.9).
Упражнения
5.9. Показать, что дипольный момент системы двух точечных
равных по модулю и противоположных по знаку зарядов не зави-
зависит от выбора начала координат. Обобщить вывод на систему
диполей.
5.10. Показать, что дипольный момент системы зарядов, обла-
обладающей центром симметрии* равен нулю.
5.11. Записать выражения для потенциала ф и напряженности
Е поля диполя в сферических координатах.
Контрольные вопросы
1. Приведите и охарактеризуйте уравнения Максвелла для
электростатического поля в вакууме.
2. Какова связь этих уравнений с эмпирическими законами?
3. Сфррмулируйте электростатическую теорему Гаусса.
4. Каким дифференциальным уравнениям удовлетворяет потен-
потенциал электростатического поля в вакууме?
5. Приведите общий вид решения уравнения Пуассона и про-
прокомментируйте его.
6. Каковы особенности выражения для потенциала поля точеч-
точечных зарядов? Чем они вызваны?
7. Дайте определение и охарактеризуйте поле диполя.
8. Предложите, как создать систему в виде шара, заряженного
по объему с плотностью p=const; p==p(r)?
9. В чем состоит метод изображений для определения поля в
пространстве, содержащем проводячие области?
10. Охарактеризуйте разложение в ряд потенциала поля систе-
системы зарядов на большом удалении от неё.
11. Какими параметрами и в каких случаях описывается поле
системы?
12. Дайте определение дипольного момента системы точечных
зарядов, системы непрерывно распределенных зарядов.
§ 6. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
6.1. Свободные и связанные заряды. Диэлектрики. Говоря о за-
зарядах, распределение которых в пространстве характеризуется
—*
функцией р(г), мы мысленно отделяли их от тел, на которых они
сосредоточены. Это полезная идеализация, допустимая в тех слу-
88

чаях, когда влиянием на поле зарядов, входящих в вещество тела,
можно пренебречь. Однако влиянием вещества на расположение
зарядов пренебречь нельзя, и это особенно проявляется в электро-
электростатическом случае. Так, покоящиеся свободные заряды вообще не
могут существовать, ибо силы взаимодействия приведут их в уско-
ускоренное движение. Только вещественные среды обеспечивают связи
свободных зарядов, задающие их расположение в пространстве,
характеризуемое функцией р(г), а в случае движения зарядов —
функцией / (г).
Заряд не является самостоятельной подвижной субстанцией,
а всегда связан с элементарными частицами, входящими в веще-
вещество. Заряды, которые входят в состав атомов, молекул или рас-
расположены в узлах кри^аллической решетки твердых тел, не спо-
способны к свободному перемещению, поэтому называются связан-
связанными. Заряды, утерявшие связь с атомами и способные переме-
перемещаться в пределах конкретной вещественной среды, называются
свободными. Это, например, электроны внутри проводника или в
вакууме. Вещественная среда, в состав которой входят только свя-
связанные заряды, называется диэлектриком. Диэлектрик, если на
него не нанесены извне посторонние заряды, является электро-
электронейтральной системой: число положительных связанных зарядов
равно числу отрицательных. Если на твердый диэлектрик поме-
поместить свободный (то есть утративший связь с нейтральным телом)
заряд, то он сохраняет свое положение на нем неойределенно
долго.
Исследуя электростатическое поле в вакууме, мы исследовали
фактически поле свободных зарядов, которые располагались либо
в вакууме, либо на телах, влияние^ которых на поле свободных
зарядов можно было пренебречь. Такой подход пригоден' не всег-
всегда, так как в электромагнитное поле вносят вклад не только
свободные, но и связанные заряды, которые входят в структуру
вещества. Связанные заряды носят дискретный характер, они ни-
ничем не отличаются от свободных зарядбв, кроме того, что входят
в состав атомов и молекул. Заметим, что свободные заряды могут
быть для рассматриваемого тела как внешними (принесенными
извне), так и внутренними (свободные электроны в проводнике);
связанные заряды всегда внутренние. Если на диэлектрик помещен
заряд извне, то он свободен, хотя в силу строения диэлектрика он
не может перемещаться на макроскопические расстояния.
6.2. Поляризация диэлектрика. Диэлектрики— это непроводнн-
Ки электричества, заряды в них не могут перемещаться на значи-
значительные расстояния» Внешнее электрическое йоле стремится раз-

двинуть заряды противоположных знаков в каждой молекуле и
повернуть образовавшиеся диполи в направлении вектора ?. Этот
процесс называется поляризацией; вещество диэлектрика приобре-
приобретает макроскопический дипольный момент р. Физически малые
элементы объема, поляризуясь, приобретают дипольные моменты
dp. Для описания поляризации диэлектрика в каждой его точке
вводится величина, называемая вектором поляризации:
?=*?-. F.1)
Это макроскопическая характеристика диэлектрика. Из определе-
определения F:1) следует, что вектор поляризации равен дипольному мо-
моменту единицы объема диэлектрика. В общем случае вектор Р
F.1) является функцией координат и времени. В статическом слу-
случае Р=Р(г). Если P(r)=const всюду в диэлектрике, то говорят,
что он поляризован однородно.
Для нейтральной системы точечных зарядов вектор поляриза-
поляризации равен:
?=2р1= 2 Л
/eel im*\
где pi — дипольный момент молекулы, п — число молекул в едини-
единице объема.
Так как поляризация диэлектрика сопровождается возникнове-
возникновением в пространстве непрерывного распределения связанных заря-
зарядов, то вектор поляризации связан со средней плотностью ее соот-
соотношением:
Р^Трсв.зИ. F.1)
Экспериментально установлено, что поляризация Р пропорцио-
пропорциональна напряженности поля:
Р = еох?. F.2)
Коэффициент пропорциональности х называется диэлектрической
восприимчивостью вещества. Для всех веществ х>0 и считается
независящей от напряженности поля.
Произведение еох называют поляризуемостью диэлектрика.
6.3. Потенциал поля в диэлектрике. Как отмечено выше, заря-
заряды диэлектрика делятся на два вида: свободные и связанные. По-
90

ле создается зарядами обоих видов, поэтому потенциал поля в
диэлектрике можно представить в виде суммы:
Ф = Фо+<р',
где фо — потенциал поля свободных зарядов, а ф' — потенциал
поля связанных зарядов. В соответствии с изложенным выше, по-
потенциал фо определяется выражением E.6):
tsHL
$ r
r $
где p и а — объемная и поверхностная плотность свободных заря-
зарядов /г == . Потенциал ф' представим через вектор поляриза-
4де
ции Р, Так как связанные заряды входят в состав молекул, кото-
которые с электродинамической точки зрения являются диполями, то
в соответствии с принципом суперпозиции и с учетом E.12) ф'
запишем в виде:
р • f
где k — потенциал поля диполей, содержащихся в объеме
г3
V = I, P — вектор поляризации.
Для потенциала ф результирующего поля имеем:
+k[s*§L+klLldv. F.3)
С помощью формул векторного анализа A7), B3) и D4) потен-
потенциал ф F.3) приводится к виду:
ф = k I (p+pCB з) dV + k \ ((Т+Gсвз) dS, F.4)
V r S г
где рсв.з = —divP(ir),
асв.з = —Div P(r). F.5)
Подробный вывод выражения F.4) приведен в решении задачи
6.1. Если диэлектрик поляризован равномерно, то есть Р(г) =
== const, то имеем: рсв.з = 0, сгсв.з = О, В-этом случае потенциал
поля определяется распределением свободных зарядов,
91

6.4. Основные уравнения электростатического поля в диэлек-
диэлектрике. Очевидно, что потенциалы ф0 и <р' удовлетворяют уравнению
Пуассона:
Дф0 = р; Дф' = рсв<3.
ео ео
Потенциал ф F.4) удовлетворяет уравнению:
Дф*= (р + рсв.з).
8
Вычислим вектор напряженности Е = —Уф и его дивергенцию:
div? = (V.?) = —У(Уф) = —Дф = -i- (р + рсв.з). F.6)
Подставим вместо рСв.з его выражение через вектор поляризации
Я F.5):
div?= — (р—divP). F.6)
ео
Учтем экспериментальную зависимость поляризации от напряжен-
напряженности:
F.7)
—>
Подставляя Р F.7) в выражение F.6), приходим к уравнению:
=diveo(l
из которого следует целесообразность введения вектора D элек-
электрической индукции, равного
D = ео? + Р = еоA +>€)?= еое?, F.8)
где величина
е=1 + х F.9)
называется диэлектрической проницаемостью вещества.
Последнее уравнение, записанное через вектор Z), принимает
вид:
Из F.10) следует, что вектор электрической индукции D опреде-
определяется плотностью свободных зарядов, не скомпенсированных свя-
связанными зарядами.
92

Уравнения F.6) — F.10) являются основными уравнениями
электростатического поля в диэлектрике.
Решение основной задачи электростатики сводится к отыска-
отысканию функций ф, Е и D по заданным функциям р и а. Потенциал
(f определяется как решение уравнения Пуассона, удовлетворяю-
удовлетворяющее определенным граничным условиям. Векторы Е и D определя-
определяются из приведенных выше уравнений.
6.5. Уравнения Максвелла для электростатического поля в ве-
веществе. Материальное уравнение. В статическом случае, когда
заряды, создающие поле, неподвижны, а все пространство запол-
заполнено однородным безграничным диэлектриком, уравнения Макс-
Максвелла B.5) принимают вид:
rot? = 0, AivD — p, ?) —еое?,
rot^=0, divJBT=O, 2?=|хО[хЯ. (?.11)
В этом случае есть только электростатическое поле, описываемое
уравнениями F.11), из которых главным является полученное ра-
ранее уравнение
divJ9 = p. F.10)
В интегральной форме оно имеет вид теоремы Гаусса для поля в
веществе:
Q, F.12)
где Q — общий заряд внутри замкнутой поверхности S. Эти урав-
уравнения отличаются от соответствующих уравнений для поля в ва-
вакууме лишь постоянным сомножителем е, поэтому все выводы
п. п. 5.1—5.8 о свойствах стационарного поля в вакууме остаются
в силе для однородного диэлектрика. Следует лишь в формулах,
содержащих ео или к, произвести замену этих величин соответ-
соответственно ео е или — .
е
Отметим, однако, что материальное уравнение
F.8)
связывающее вектор электрической индукции D с напряженностью
электрического поля ?, имеет место при выполнении пропорцио-
пропорциональной зависимости поляризации диэлектрика от напряженности
Е поля F.7), а эта экспериментальная зависимость весьма при-
93,

ближенная и в силыШх полях йе выполняется. &то обстоятельстве
является причиной существенного уменьшения общности выводов
классической электродинамики для поля в веществе в сравнении
с выводами для поля в вакууме.
Задачи и упражнения
6.1. Показать, что потенциал поля в диэлектрике F.3) приво-
приводится к виду F.4).
6.2. Показать, что вектор электростатической индукции D опре-
определяется плотностью свободных зарядов»
6.3. Показать, что потенциал поля в диэлектрике в е раз мень-
меньше потенциала поля в вакууме.
6.6. Электростатическое поле в неоднородной среде при нали-
наличии границ разрыва непрерывности диэлектрической проницаемо-
проницаемости и плотности зарядов. Предположим, необходимо рассчитать
поле системы заряженных и нейтральных тел. Поверхности этих
тел являются границами разрыва непрерывности функций е(г) и
р(г); соответственно терпят разрыв векторы В й D. Основным
уравнением электростатического поля диэлектрика является урав-
уравнение F.10). Можно ввести потенциал фо соотношением:
D = —grad фя.
Тогда оно приводится к уравнению Пуассона:
Дфя = —р F.13)
для каждой области непрерывности е.
Обычно в пределах каждой области можно считать е постоян-
постоянным, поэтому можно пользоваться введенным ранее потенциалом,
определяемым выражением:
if = —grad ф,
и решать уравнение Пуассона вида:
L FЛ4)
для каждой области однородности.
Найденные решения «сшиваются» с помощью граничных усло-
условий, рассмотренных в § 2. Отметим, что потенциал всюду непре-
непрерывен, в том числе и на границах раздела двух сред. Это условие
—* —у
необходимо для однозначности ректоров D и Е (исключение со-
составляют двойные электрические слои, которые мы не pacCMafpn-
ваем).
94

Такова общая постановка и методика решения многих задач
электростатики. В систему тел могут входить тела не только из
диэлектрика, но и из проводника. Особенности поля в проводнике
рассматриваются ниже.
Из уравнения F.14) следует, что потенциал поля в веществе
определяется конфигурацией системы свободных зарядов. После
определения напряженности поля Е в нем можно установить рас-
распределение связанных зарядов в диэлектрике. Для этого следует
использовать формулы F.5), F.7) и F.9):
рсв.з = —div Р, (Хсв.з == P\n—P<in, P = ео(е— 1 )?.
Так как поверхностные связанные заряды возникают на границе
раздела двух сред, то привлечём ещё уравнение B.19) для заря-
заряженной границы раздела двух диэлектриков:
еоег-Егл — 8о 8i-fij^ = а, B.19)
где а — поверхностная плотность свободных зарядов. Решая его
совместно с уравнением Рщ—Рчп = асв.з, где Рп = го(г—1)Еп,
получим:
(а+асв.з) = ео{Е2п—Ещ), F.15)
то есть сумма поверхностных плотностей свободных и связанных
зарядов определяется скачком нормальной составляющей вектора
напряженности поля Е.
Если граница раздела двух сред незаряжена (а=0), то имеем:
сгсв.з = го(Е2п—Е\п). F.15)
Этим и завершается исследование вопроса о распределении свя-
связанных зарядов.
Выясним поведение линий напряженности Е при переходе через
границу раздела двух однородных диэлектриков. В соответствии
с уравнениями, B.19) и B.26):
?2,— ?и =0 B.26)
заключаем, что нормальная составляющая вектора Е изменяется
скачком, а касательная к границе составляющая изменяется не-
прерывно. Предположим, поверхность раздела двух сред незаря-
незаряжена, то есть <т=0. Проведем линии напряженности поля с густо-
т°й, пропорциональной модулю ?. Заметим, что число линий, пер-
Пендикулярных к границе, изменяется в отношении 82/81. Это
^бъясняется возникновением поверхностного связанного заряда
'Рис. 6.1). Учитывая поведение составляющих Еп и Ех вектора
95

ков, заключаем, что линии напряженности Е преломляются
(рис. 6.2) по закону:
напряженности на незаряженной границе раздели Дйух диэлектри-
яются
F.15)
Задачи и упражнения
6.4. В однородной протяженной диэлектрической среде создано
электростатическое поле. Показать, что напряженность поля Е}
—>
в средней части узкой длинной щели равна напряженности ?2 по-
поля в диэлектрике, если щель параллельна силовым линиям и рав-
1 —У —>
на —D2 (D — индукция), если щель перпендикулярна силовым
Со
линиям.
6.5. Показать, как зависит напряженность поля в веществе от
его поляризации Р.
6.6. Показать, что плотность связанных зарядов выражается
—>
через вектор поляризации диэлектрика Р соотношением:
Рев.. = — .
6.7. Показать, что потенциал поля системы связанных зарядов
приводится к вяду:
эквивалентному потенциалу поля системы диполей, распределен-
распределенных по объему V диэлектрика.
6.8. Показать, что объемная плотность связанных зарядов от-
отлична от нуля только в неоднородно поляризованных диэлектри-
диэлектриках.
6.9. Показать, что в однородно поляризованном диэлектрике
плотность связанных зарядов отлична от нуля только на его по-
поверхности, граничащей с вакуумом или другим диэлектриком.
6.7. Расчет поля в диэлектрике со сферической границей раз-
раздела зон однородности. Пусть шар радиуса а из однородного
диэлектрика с проницаемостью ei заряжен с постоянной плотно-
плотностью р. Он помещен в однородную диэлектрическую среду с про-
проницаемостью е2. Исследуем поле во всем пространстве.
96

В соответствии с изложенной выше методикой решения, запн-
шем основное уравнение для поля в потенциалах F.13) для каж-
каждой области однородности:
Дф1 = —р; Дф2 = 0.
решение аналогичных уравнений найдены ранее в задаче 5.6:
рг2 Л2 . г>
ф1 = — ; ф2 = + в2щ
6 г
Постоянные интегрирования А2 и В2 определим, используя условия
непрерывности потенциала и его производной на границе раздела:
* __ ^ ра3 . о pfl2
2— ^ , 2_ ^
Определим индукции поля:
~~~ 3 Т" ~"я"~ г *
4л г2 г
Здесь Q= — яа3р — заряд всего шара, Qr=—nrzp — заряд вну-
3 3
три сферы радиуса г<а. Так как поверхностных зарядов нет, то
индукция D непрерывна на границе г=^а. Напряженности поля
внутри и вне шара равны:
]
4ne0ei г2 г 4яео82 г2 г
Заметим, что нормальная составляющая вектора напряженности
терпит разрыв в соответствии с граничным условием B.20):
6.8. Влияние диэлектрического шара на однородное поле в ва-
вакууме. Шар радиуса а из однородного диэлектрика с проницае-
проницаемостью е внесён в однородное поле с напряженностью Ео. Опреде-
Определим поле после внесения шара. Очевидно, поле изменилось вслед-
вследствие поляризации вещества шара.
Так как свободных зарядов нет, то потенциал поля удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа Дф = 0. Введём сферическую систему
координат, направив ось Ог по вектору Ео (рис. 6.3). В сфериче-
сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид B7):
7—1136 97

r*f? + ;>risL + ~i~<L /sine isL\ = o. A)
dr2 dr sin 9 d9 \ ав /
Здесь учтено, что вследствие осевой симметрии задачи потенциал
не зависит от азимутального угла а. Представим решение в раз-
разделяющихся переменных:
Ф(г, в)=Я(г).Г(е). B)
Подставляя ф B) в уравнение A), получим два уравнения:
г*?± +2г-^- —X-R = О, C)
dr2 dr
sin e ^9 \ de / v '
где Я — параметр разделения переменных. Функция Т = cos 8
является решением уравнения D) при Х=2. Уравнение D) при-
принимает вид:
га ?1 + 2т -??- — 2R = 0. F)
dr* dr
Используя подстановку r=ez, приводим уравнение F) к диффе-
дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффи-
коэффициентами:
G)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Я = Схег + С2е~2г.
Возвращаясь к переменной г, получим:
Окончательное решение уравнения A) имеет вид:
(8)
Постоянные С\ и С2 определим, используя граничные условия.
Для внешней области B) вдали от шара поле остается невозму-
невозмущенным, то есть однородным. Следовательно,
откуда имеем:
ф2 | г-+оо = —?"о • Т = —Eq Г COS 9.
98

Следовательно, Сх — —Ео. Выражение для потенциала поли вне
шара принимает вид:
ф2
= (—Eor+ -M cos.G,
где Сг заменено на а. Потенциал (pi поля внутри шара всюду ко-
конечен, поэтому С2 = 0. Отсюда имеем:
Ф2 = р Ео • г = р Ео г cos Э,
где Р = —-. Для определения постоянных аир используем усло-
условие непрерывности потенциала ф на границе г=а и условие B.20)
для нормальной составляющей напряженности Е> выраженное
через потенциалы ф! и фг:
ф11 г=а = ф2|г=а,
d(pi
~dr~
Подставляя функции ф! и фа, получим два алгебраических урав-
уравнения относительно коэффициентов а-й р.-
= — Еоа + — .
а2
р ft F с\ ——"" —— Fп —— / Q |
а3
Решая эти уравнения, найдем:
а =
е+2 ^ 8+2
Теперь запишем потенциалы в окончательной форме:
о
ф1 ==i
е+2
Ф2
= Ео {-г + — ^Л . cos9. A0)
\ г2 е+2 /
Эпщ потенциалам соответствуют составляющие напряженности
(рис. G.3):
El%=-± ESL =«1- ?oSin9, (И)
г дв е+2
99

+ ^
rs e+2
?29 = — - — = EQ 1 sin 8.
r d6 \ r3 e+2 /
При r-^oo ?2г и ?2e характеризуют невозмущенное поле. Предста-
вим потенциалы ф} и ф2 в иной форме, введя в них вектор поля-
ризации для шара:
4я е+2
Получим:
—» ^»
<р, = —?0 -Т+ -^- яг3 -^ ,
Ф2 = —"Ео -Т+ — ла3 -^ , ^
Эти формулы позволяют интерпретировать потенциалы <pi и ф2 в
соответствии с принципом суперпозиции. Поле вне шара эквива-
эквивалентно наложению на заданное однородное поле ?о, поля однород-
однородно поляризованного шара с дипольным моментом равны Р • V,
где V = — naz — объем шара. Поле внутри шара можно рассмат-
о
—>
ривать как наложение на однородное поле Ео поля поляризован-
поляризованного шара объема V = — лг3, где г<са. Заметим, что электриче-
«з
ский момент Р • V диполя, характеризующего влияние диэлектри-
диэлектрического шара на однородное поле Ео, пропорционален напряжен-
ности ?о; коэффициент пропорциональности, равный а3 , назы-
е+2
вается поляризуемостью шара.
Можно определить также плотность связанных зарядов на
поверхности шара, воспользовавшись формулой F.5). Вне сферы
г = а Рг=0, поэтому имеем:
Ссв.з = —Р\п = Е—- Е0 COS 6.
4л е+2
6.9. Проводники в электростатическом поле. Из общего курса
известно, что проводник, помещенный в электростатическое поле,
100

заряжается по поверхности. При отсутствии поля плотность сво-
свободных зарядов в проводнике равна нулю, так как любой макро-
макроскопический объем его содержит одинаковое число положительных
и отрицательных зарядов. Однако это не означает, что в провод-
проводнике нет свободных зарядов: в проводнике имеется очень большое
число свободных электронов, утративших связь с ядром. Под дей-
действием внешнего поля Ее они движутся до поверхности провод-
проводника, создавая на ней отличную от нуля плотность заряда а и
соответствующее поле Е'. Движение зарядов продолжается до тех
пор, пока поле внутри проводника не скомпенсируется, то есть
будет:
? = ?e + zf' = O. F.16)
В этом случае на основании уравнения E.2) заключаем, что вну-
внутри проводника объемная плотность свободных зарядов р равна
нулю.
Таким образом, говоря о проводниках, мы всегда имеем в виду
вещество, в котором свободных зарядов достаточно для создания
поля Е' — —Ее.
Этот вывод справедлив и для статического случая заряженного
проводника, когда нанесенные извне заряды располагаются на его
поверхности.
Сопоставляя диэлектрик с проводником, отметим, что поляри-
поляризация диэлектрика приводит к образованию на его границе по-
поверхностных связанных зарядов; поляризация проводника сопро-
сопровождается образованием поверхностных свободных зарядов.
В диэлектрике поле ослабляется в е раз по сравнению с полем
в вакууме, а в проводнике оно вообще отсутствует (уменьшается
до нуля), что соответствует е=оо. Это можно прокомментировать
на примере задачи, рассмотренной в п. 6.8. Полагая в решении
е~оо, что соответствует замене диэлектрического шара проводя-
проводящим, получим потенциалы:
Ф2 = — ?ог(.Л ~"
Удовлетворяющие граничным условиям на поверхности г=а раз-
Дела проводника и вакуума. Это решение можно интерпретировать
Так: влияние проводящего шара на однородное поле Ео эквива-
эквивалентно внесению в него диполя с моментом а?Е0. Поляризуемость
Шара в этом случае равна а3, что также соответствует переходу
От Диэлектрика к проводнику при е=со.
141

Все нескомпенсированные свободные заряды располагаются на
поверхности проводника, образуя тонкий электрический слой, тол-
толщиной порядка размеров атома.
Из граничного условия B.19) следует связь поверхностной
плотности свободного заряда а с составляющей Еп напряженности
внешнего поля на поверхности проводника
ео-е-Еп — о. F.17)
Так как напряженность Е поля внутри проводника равна нулю, то
в соответствии с граничным условием B.26) заключаем, что каса-
feльнaя к границе составляющая внешнего поля равна нулю:
?,= 0. F.18)
Таким образом, линии напряженности электростатического поля
нормальны к поверхности проводника; начинаются или оканчива-
оканчиваются на зарядах, расположенных на этой поверхности (рис. 5.1):
?=-2— Z F.19)
806
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности провод-
проводника; е — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей
проводник.
Внутри проводника напряженность поля равна нулю, следова-
следовательно на основании формулы связи Е — —grad(p заключаем, что
потенциал во всех точках проводника одинаков, поэтому можно
говорить о потенциале проводника, а его поверхность, естественно,
является эквипотенциальной (см., например, зад. 5.7).
6.10. Электроемкость проводника. Запишем выражение E.6)
для потенциала поля системы поверхностных зарядов проводника,
окруженного диэлектриком с проницаемостью е:
ф== А.ф?1± dS. F.20)
8 s Г
Если точка наблюдения О находится внутри проводника, то ш
выражения F.20) должна следовать независимость потенциала ц
от выбора точки О. Это приводит к пропорциональности потен-
потенциала ф заряду проводника Q:
Ф=-4-. F.21)
с
Выражение F.21) является определением новой физи**еской вели-
величины— электроемкости С проводника,
102

Из выражений F.20) и F.21) следует, что размерность С со-
совпадает с размерностью длины:
С = -5- <г>. F.22)
Этот параметр учитывает некоторые средние размеры проводящих
тел, так как они входят в интеграл F.20).
Электроемкость не зависит от величины заряда Q на провод-
проводнике, а определяется размерами, формой проводника и окружаю-
окружающим проводник диэлектриком. С помощью выражения F.22) мож-
можно рассчитать электроемкость тел простейшей формы; например,
для проводящего шара радиуса R в вакууме: е=1, а = const,
С= -?-. F.23)
Единица электроемкости—1 фарад (Ф):
1 ф = 1 м-2 кг-1 с4 А2.
Это емкость шара радиусом 9-Ю9 м.
6.11. Система проводников. Конденсатор. Если в пространстве
находятся несколько заряженных проводников, то потенциал каж-
каждого из них зависит от расположения зарядов в пространстве, то
есть от расстояний до других проводников, их формы и размеров,
а также от диэлектрической проницаемости среды, разделяющей
проводники. Рассмотрим систему проводников, помещенных в од-
однородный диэлектрик и применим выражение F.20) для определе-
определения потенциала одного из проводников:
^=±-4*1^1 dSf. F,24)
Это выражение можно [4,5] привести к виду:
Ф/ = У ац Q/, F.25)
где все ац— постоянные положительные коэффициенты, причём
Решая систему алгебраических уравнений F.24) относительно
зарядов, на основании формул векторной алгебры получим:
Q,= у с,/ф/, F.26)
2 с"
где С*/= -^-, D — определитель матрицы коэффициентов ац9
D 103

Ац — алгебраическое дополнение к элементу ац. Коэффициенты
Сц зависят от формы и размеров тел, их взаимного расположения,
диэлектрических свойств среды. Величины Си называются коэф-
коэффициентами ёмкости; Сц — коэффициентами индукции. Можно по-
показать, что
Сц = Сц\ Си > 0; Сц < 0.
В качестве примера рассмотрим систему из двух проводников, за-
заряды которых равны по величине и противоположны по знаку.
Согласно формуле F.26), имеем:
—Q = Сцф1 + С12Ф2, A)
Q = С21Ф1 + Сг2ф2- B)
Положим, ф2 = 0. Складывая эти равенства и учитывая, что
Ci2 = С21, Получим
Сц = —Ci2,
откуда следует, что Сц = С22. Таким образом,
Си = С22 == —Cj2 = —С21 =:::: С.
Система двух проводников с равными по модулю разноимен-
разноименными зарядами называется конденсатором. Из равенства A) так-
также, как и из B), для конденсатора следует:
С = -?— . F.27)
Ф2~Ф1
Величина С называется ёмкостью конденсатора. Так как С>0, то
предполагается, что ф2 — потенциал той обкладки конденсатора,
заряд которой положителен. Емкость конденсатора определяется
только его параметрами.
Задачи и упражнения
6.10. Проводящий шар радиуса а внесён в однородное электри-
электрическое поле в вакууме с напряженностью Ео. Определить поле
после внесения шара.
6.11. Изобразить графически напряженность Е(г) и потенциал
<р(г) поля равномерно заряженной сферы радиуса а (г —расстоя-
—расстояние точки наблюдения от центра сферы).
6.12. Вычислить и изобразить графически напряженность и по-
потенциал поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с
Плотностью заряда -for.
6.13. Изобразить графически напряженность Е(г) и потенциал
Ф (г) -поля от двух равномерно заряженных сфер радиусами R\ и
104

, центры которых совпадают. Заряд на сфере равен
, на сфере R2 равен Q<0, причем |?|<|Q|; — >—.
6.14. Бесконечная прямолинейная нить равномерно заряжена с
линейной плотностью % и окружена однородным диэлектриком
с проницаемостью еь имеющим форму бесконечного цилиндра ра-
радиуса /?ь а за ним (R>R{)—однородным безграничным диэлек-
диэлектриком с проницаемостью ег. Определить напряженность поля,
создаваемого заряженной нитью, и поверхностную плотность свя-
связанных зарядов на границе R=R\ диэлектриков.
6.15. Определить поле, создаваемое равномерно заряженной
(сг=const) поверхностью бесконечно длинного круглого цилиндра
радиуса а в неоднородной диэлектрической среде, проницаемость
которой е=е(/?), где R — расстояние от оси цилиндра. Опреде-
Определить также объемную плотность связанных зарядов.
6.16. Определить поле, создаваемое бесконечной равномерно
заряженной (а = const) плоскостью, если по обе стороны от нее
пространство заполнено однородным диэлектриком с проницае-
проницаемостью е.
6.17. Определить поле заряженного проводящего шара радиу-
радиуса а. Заряд его равен Q. Диэлектрическая проницаемость окружа-
окружающей среды е=е(/?), где R — расстояние от центра шара. Опре-
Определить поверхностную плотность связанных зарядов <тСв.з на гра-
границе диэлектрика и шара.
6.18. Определить потенциал и напряженность поля, создавае-
создаваемого в однородной среде заряженным проводящим шаром радиу-
радиуса а. Заряд шара q. Диэлектрическая проницаемость среды е.
6.19. Проводящий шар радиуса а окружён концентрическим
слоем диэлектрика радиуса Ь. Найти емкость шара, если прони-
проницаемость диэлектрика равна е.
6.20. Вычислить емкость цилиндрического конденсатора. Длина
его равна /, радиусы обкладок R\ и /?2. Между обкладками два
коаксиальных слоя однородных диэлектриков с проницаемостью
?i и 82, граница между ними — цилиндрическая поверхность ра-
радиуса Ro. Краевым эффектом пренебречь.
Контрольные вопросы
1. Какие модели зарядов имеются в виду, если характеризуют-
характеризуются величинами <//, функциями р(г)?
2. Какую роль играет вещество тел для размещения на них
свободных зарядов?
3. Дайте определение свободных и связанных зарядов. В чем
их общность и в чем различие?

4. Какие вещества называются диэлектриками? Проводниками?
Приведите примеры.
5. Что называется поляризацией диэлектрика? Каким вектором
она характеризуется?
6. Приведите определения вектора поляризации диэлектрика,
моделируемого системой точечных зарядов и системой непрерывно
распределенных связанных зарядов.
7. Что называется поляризуемостью диэлектрика?
8. Как выражается плотность связанных зарядов через вектор
поляризации?
9. Как распределены связанные заряды в однородно поляризо-
поляризованном диэлектрике?
10. Приведите основные уравнения электростатического поля
в диэлектрике.
11. Сформулируйте постановку основных задач для электро-
электростатического поля в диэлектрике.
12. Проанализируйте материальное уравнение для электроста-
электростатического поля в диэлектрике.
13. Приведите пример постановки задачи на исследование
электростатического поля в неоднородной диэлектрической среде.
14. Проанализируйте поведение векторов поля, потенциала и
плотности заряда на границе раздела двух диэлектриков с раз-
различными проницаемостями.
15. Приведите условие электростатического равновесия заря-
зарядов в проводнике.
16. Покажите, что внешнее электростатическое поле нормаль-
нормально к поверхности проводника.
17. Проанализируйте напряженность и потенциал поля внутри
заряженного проводника.
18. Приведите и проанализируйте выражение для потенциала
поля заряженного проводника, окруженного диэлектриком.
19. Дайте определение электроёмкости проводника.
§ 7. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
7.1. Система зарядов во внешнем поле. Рассмотрим энергети-
энергетические соотношения для электростатического поля и зарядов. Най-
Найдем работу силы, действующей со стороны электростатического
поля Е на помещенный в него точечный заряд qy который считаем
малым и не изменяющим внешнее поле. Элементарная работа по-
поля по перемещению этого заряда равна:
ЬА = qE - dr = —q grad cp • dr — —qdy. G.1)
106

Работа на конечном перемещении равна:
4i,2 = <7(q>i—ф2). G.2)
Следовательно, работа определяется разностью потенциалов точек
начала и конца перемещения заряда и не зависит от его траекто-
траектории. Разность потенциалов является измеряемой физической вели-
величиной, однозначно связанной с работой, и наряду с напряженно-
напряженностью является важной характеристикой поля.
В соответствии с выражением G.2) можно ввести понятие по-
потенциальной энергии заряда в точке поля:
. G.3)
Это выражение обобщается на систему зарядов во внешнем поле:
S. G.4)
Если заряды распределены непрерывно с плотностью р(г), то раз-
разбивая их на элементы pdV и следуя принципу суперпозиции, будем)
иметь:
Если внешнее поле ф(г) изменяется плавно, а размеры системы
—>¦
невелики, то для любой точки г внутри системы (рис. 7.1) выпол-
выполняется неравенство:
->• -> ->
1. G.6)
Это неравенство служит критерием применимости таких инте-
интегральных характеристик системы зарядов, как полный заряд и
дипольный момент для приближенного описания взаимодействия
этой системы с внешним полем.
Выбирая внутри системы произвольную точку г0, для потен-
потенциала, получим приближенное выражение:
Ф (О = Ф (го + О ~ Ф (г0) + rr grad ф (г0) + ...
Подставим это разложение в формулу G.4):
Ч + ... G.7)
Первое слагаемое совпадает с потенциальной энергией точечного
заряда Q = 2 ц^ расположенного в точке г0. Для заряженной си-
107.

сТемы, удовлетворяющей условию G.6), этой величиной в разло-
разложении G.7) можно ограничиться. Если система электронейтраль-
электронейтральна, то Q = 0, тогда в расчет следует принять второе слагаемое:
U {r) =-^W. G.8)
В этом случае потенциальная энергия определяется дипольным
моментом системы р и напряженностью внешнего поля Е, в точку
г0 которого малая система зарядов помещена.
Заметим, что выражения G.7) и G.8) для энергии системы
зарядов, представленные через интегральные характеристики си-
системы— заряд и дипольный момент, имеют смысл, если заряды
системы фиксированы жесткими связями неэлектрического проис-
происхождения, в результате действия которых дипольный момент си-
системы не изменяется при внесении её во внешнее поле. Силы,
действующие на жесткую систему зарядов во внешнем поле, опре-
определяются в первом приближении зарядом системы, во втором
приближении дипольным моментом и неоднородностью внешнего
поля (см. зад. 7.1—7.3).
Задачи и упражнения
7.1. Определить силу, действующую на жесткую систему заря-
зарядов во внешнем поле с напряженностью Е{г).
7.2. Используя выражение G.8), показать, что сила, действую-
действующая со стороны внешнего электрического поля на нейтральную
систему зарядов, определяется дипольным моментом р и равна:
F= G-V)?G). G.9)
Показать, что сила F отлична от нуля только в неоднородном
поле Е(г).
7.3. Показать, что действие внешнего поля ? на жесткую ней-
—>¦
тральную систему зарядов с моментом р характеризуется момен-
моментом
М= Й?] G.10)
в случае однородного поля; моментом М и силой F G.9), если
поле неоднородное.
7.4. Вычислить энергию U, момент М и силу /\ действующую
на диполь, расположенный в поле точечного заряда на расстоя-
расстоянии г от него.
108

7.2. Энергия взаимодействия зарядов. В рамках электростати-
электростатики остается нераскрытой концепция близкодействия, так как в
статическом случае не проявляется конечная скорость распростра-
распространения взаимодействия поля и зарядов.
Можно рассматривать с этих же позиций энергию взаимодей-
взаимодействия зарядов — придем к знакомому из механики понятию потен-
потенциальной энергии системы.
Рассмотрим сначала два заряда qx и q2, расположенных на
расстоянии Г\ч (рис. 7.2). Пусть заряд q2 неподвижен, a q\ пере-
перемещается под действием силы, действующей на него со стороны
поля заряда q2y из точки §*х с потенциалом ф1 = &-^- в точку
$>х' с потенциалом ф2—dcpi. Совершенная при этом работа Л
поля равна убыли энергии —dW3n электрического поля:
А = -<7i*pi = —
Отсюда находим:
№эл = qiVl = k H2L . GЛ1)
Г\2
В решении G.11) опущена постоянная интегрирования и опреде-
определена лишь переменная часть энергии, которая может быть как по-
положительной, так и отрицательной. Энергия W3n G.11) нормиро-
нормирована на нуль при бесконечном удалении зарядов друг от друга.
При rI2-^0 энергия №Эл->сю. Выражение G.11) сохранится, если
неподвижным будет заряд <7ь а заряд q2 будет перемещен в точку
<^Y с потенциалом ф2—dq>2. Поэтому можно записать:
№*л= —
Для системы п (п^2) зарядов имеем:
Так как потенциал поля, созданный всеми зарядами, кроме
в точке его расположения (рис. 7.3) равен:
То для энергии взаимодействия системы п зарядов имеем:
109

Uh
G.12)
Выражения для энергии взаимодействия зарядов G.11) —G.12)
пригодны только для точечных зарядов* Требование i-фк озна-
означает, что выражение G.12) не учитывает случай, когда г^-^0, то
есть не учитывает энергию взаимодействия частей одного и того
же заряда, моделируемого точечным (рис. 7.3). Коэффициент —
исключает из выражений G.117) и G.12) повторный учет каж-
каждого заряда. Для энергии зарядов, непрерывно распределенных
в пространстве V с объемной плотностью р и поверхностной плот-
плотностью а на заряженных поверхностях 5, можно получить анало-
аналогичные G.11) и G.12) формулы.
Представим систему непрерывно распределенных зарядов в
виде совокупности зарядов p{r)dV и p{rr)dVfy расположенных
в точках г и г' (рис. 7.4). Тогда для энергии W3n в соответствии
с G.12) получим выражение:
W^= ¦*- Jf^f) ¦ G.13)
2 v v> |^L7'|
В формуле G.13) содержится потенциал, создаваемый в точке г
всеми элементами непрерывно распределенного заряда, кроме
7
Выражение для энергии, аналогичное G,12), принимает вид:
G.14)
Эта формула имеет более глубокое содержание, чем G.12), так
как в отличие от неё учитывает собственную энергию зарядов, как
энергию взаимодействия его частей.
Если в области V есть поверхности S, заряженные с плотно-
плотностью а, то энергия зарядов W принимает вид:
где ф — дотенциал поля всех объемных и поверхностных зарядов.
ПО

7.3. Энергия электрического поля в вакууме. Возможен иной
подход к энергии системы зарядов, а именно: вместо потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействия системы зарядов G.12) и G.13) мож-
можно рассмотреть энергию созданного ими поля. В соответствии с
формулой C.12) имеем:
ГЭл= 4- S *oE2dV. G.16)
2 у
Интегрирование в G.16) распространяется по всему пространству
поля.
Покажем, что потенциальная энергия системы зарядов G.14)
сводится к энергии поля G.16), созданного этой системой. Введем
в формулу G.14) плотность заряда р, выраженную уравнением
Максвелла: р = eodiv?, получим:
= -±- Jeo<pdiv?<*V= 4" J
2 v 2 v
2 v v
L f 8o?grad(pdV = — (J) eoq)~EdS + ±- J e0E2dV.
Здесь использованы тождество B3) и теорема Остроградского —
Гаусса D4). Реальные системы зарядов ограничены по размеру.
Для них при г-^оо, ф-Я) как — ; ?-Я) как ,., поверхность S,
охватывающая объём V, при г->оо увеличивается пропорциональ-
пропорционально г2. Поэтому первое слагаемое правой части обращается в нуль.
Тогда имеем:
I у
Учет поверхностных зарядов ничего не меняет (см. п. 7.7). Таким
образом, заключаем, что потенциальная энергия системы зарядов
по своей природе является энергией их электростатического поля.
Выражение G.16) для энергии имеет более глубокий, чем
G.14), смысл: энергия W3n распределена в пространстве с Плот-
Плотностью
w= уео?2. G.17)
представление о локализации энергии в поле является проч-
прочем достоянием науки. Энергия W3Jl G.16) всегда положительна,
а энергия G.14) может быть и отрицательной (например, в слу-
111

чае взаимодействия двух разноименных аарядов). $то объясняет,
ся тем, что энергия ИРЭЛ G.14) является частью полной энергии
G.16), которая всегда положительна.
7.4. Пример. Энергия электростатического поля системы двух
точечных зарядов. Поясним сказанное выше на примере двух за-
зарядов q\ и <72, обладающих полями Е\ и Е2. Результирующее поле
равно Е = Ех + Е2. Заключённая в нём энергия определяется вьь
ражением G.16):
Й7ЭЛ = -1 j гоЕШ = -i- j eo(?i + B>JdV =
* у * у
= -L Jeo?i W + ~- J eQE22dV + J eo?i • E2dV.
Первые два слагаемых характеризуют собственные энергии заря-
зарядов, третье слагаемое характеризует энергию взаимодействия \Fl2,
которая может быть как положительной, так и отрицательной.
Так как (Е{ — Е2J ^ 0, то ?\2 + Е22 ^2Е{ - Е2у а это значит, что
положительная собственная энергия зарядов всегда больше (в
крайнем случае равна) их взаимной энергии, которая может быть
как больше, так и меньше нуля.
Представление энергии поля в виде суммы собственной энергии
поля зарядов и энергии их взаимодействиях позволяет до некото-
некоторой степени уточнить понятие потенциальной энергии, как опре-
определенной части энергии поля системы. Заметим, что энергия поля
Е = Е\ + Е2 в общем случае не равна сумме энергий слагаемых
полей. Возрастание поля Е в п раз увеличивает энергию в п2 раз.
7.5. Методические замечания. Отметим, какими выражениями
для энергии следует пользоваться в конкретных случаях. Выра-
Выражение G.16) для энергии согласуется с экспериментом всегда для
постоянных и переменных полей. В случаях, когда заряды допу-
допустимо рассматривать как точечные, можно использовать формулу
G.11). Её характерной особенностью является неограниченное воз-
возрастание энергии при сближении зарядов. Использование форму-
формулы G.16) дает конечное значение энергии. Расхождение возникает
вследствие использования точечной модели зарядов. Бесконечные
значения энергии физически никак не интерпретируются. Они я
не мешают в конкретных случаях, так как в электродинамических
процессах проявляется лишь разность энергий системы в двух ка-
каких-либо состояниях, а она всегда конечна. Если точечная модель
112

зарядов неприемлема или в расчет входит полная энергий системы
зарядов, следует воспользоваться моделью непрерывно распреде-
распределенных по пространству зарядов и использовать формулы G.13) —
G.16). Однако понятие непрерывно распределенных по простран-
пространству зарядов применимо лишь в макроскопическом смысле.
Упражнения
7.5. Вычислить энергию электрического поля равномерно за-
заряженного с объемной йлотностью р шара радиуса а.
7.6 Показать, что работа поля заряда q\ по удалению заряда^
из некоторой точки поля в бесконечность равна энергии системы
этих двух зарядов. Проанализировать нормировку энергии точеч-
точечного заряда.
7.6. Энергия электрического поля в диэлектрике. Выражение
G.15) для энергии электрического поля справедливо и для ди-
диэлектриков, если под р и а понимать объемную и поверхностную
плотности свободных зарядов, а под ф — потенциал поля в диэлек-
диэлектрике, который учитывает связанные заряды вещества и потому
в е раз меньше, чем в вакууме. С помощью теоремы Грина D6)
выражение G.15) приводится к виду:
1 f» —>—> if*
эл — — J О с dV = —J бое?2аУ, G.18)
2 v 2 v
который указывает, что энергия W3n распределена в пространстве
с объемной плотностью
Юэл= JL/) .? = JL 8о8?2 G.19)
Вывод формулы G.18) приведен в упражнении 7.7.
Выражения G.15) и G.16) энергии поля в вакууме, G.15) и
G.18) для поля в веществе идентичны только для постоянных
полей. Для переменных полей с экспериментом согласуется лишь
представление энергии в виде G.16) и G.1-8).
7.7. Энергия электростатического поля, как энергия взаимодей-
взаимодействия системы тел. Пусть в однородной диэлектрической среде
имеется некоторое количество однородных тел конечных размеров,
на которых сосредоточены электрические заряды. В таком случае
все пространство заполнено кусочно-однородным веществом.
Преобразуем формулу G.18), вводя в нее Е = —grac^ и ис-
используя тождество B3). Получаем:
—D grad ф = ф div D —
8-1136 113

Применяя уравнение F.10), находим:
Далее запишем интегралы, подразделяя область интегрирования
на части в соответствии с рисунком 7.5: область A) охватывает
всю среду, а области B), C) и т. д. — тела в ней:
1
i-2 V t
N
— — J div((pZ))</V- — 2 Jdiv(<p/5)dV. G.20)
Первое слагаемое в формуле G.20) равно нулю, так как заряды
расположены только на телах. Третье слагаемое представим в
виде суммы поверхностных интегралов:
Поверхностный интеграл по внешней границе S\ обращается в
нуль, если учесть, что поле занимает все пространство.
Объемные интегралы вида
J div (wD)dV
v
сводятся с поверхностным:
—»
Знак сменился, так как нормаль щ для всех областей i=l, 2, ...
является внутренней. Подставим полученные выражения в форму-
формулу G.20); сгруппируем поверхностные интегралы по индексу обла-
области. Например, для области B) получим член:
114

который с помощью граничного условия B.18) преобразуется к
виду:
— ф (fadS.
В итоге формула для энергии поля G.18) принимает вид:
* vk * sk
который позволяет интерпретировать ее как энергию взаимодей-
взаимодействия системы тел.
Примечательно, что энергия поля системы электростатически
заряженных тел сводится к энергии системы свободных зарядов
в поле с потенциалом <р(г). В этом смысле формула G.21) анало-
аналогична формуле G.14). Однако здесь (в формуле G.21)) связан-
связанные заряды, входящие в состав вещества, учитываются в значе-
значениях потенциалов, уменьшая потенциал, а вместе с тем и энергию
системы.
Выражение энергии G.21) пригодно для случаев, когда сво-
свободный заряд может быть распределен как по объему, так и по
поверхности диэлектрика. Если в системе есть заряженные нити,
то следует учесть еще слагаемое вида Jcprd/, где т — линейная
плотность заряда.
7.8. Энергия заряженных проводников. Так как заряды провод-
проводников собираются на их поверхности, то система заряженных про-
проводников в вакууме или диэлектрике обладает энергией, которую
можно рассматривать как потенциальную энергию взаимодействия
заряженных проводников. Воспользуемся формулой энергии G.21)
и учтем, что заряды распределены только по поверхности провод-
проводников, а потенциалы каждого проводника одинаковы во всех точ-
точках. Получим:
1 ^ 4 adS = 4r У* 4>kQk. G.22)
Формально это выражение совпадает с формулой G.11) для энер-
энергии системы точечных зарядов в вакууме.
Задачи и упражнения
7.7. Используя тождество B3), показать, что выражение для
энергии электрического поля в диэлектрике
8* 115

приводится к виду
= — \ ~fildV. G.19)
2 v
—>•
7.8. Показать, что сила / действия электрического поля на
единицу объема твердого диэлектрического тела равна
~f= 2i2Lgrad?2 G.20)
и, не зависит от направления силовых линий поля.
7.9. Показать, что сила, действующая со стороны электриче-
электрического поля на проводник, приложена к его поверхности, направ-
направлена по нормали к ней,, а модуль поверхностной плотности силы
равен плотности энергии электрического поля у поверхности про-
проводника:
fn0B= Е?^1 = Шэл. G.21)
7Л0. Вычислить энергию поля равномерно заряженного с плот-
плотностью р шара радиуса а, если все поле заполнено однородным
диэлектриком с относительной проницаемостью е.
7.11. Точечный заряд q находится на расстоянии а от беско-
бесконечного проводника, занимающего левое полупространство. Опре-
Определить поле в правом полупространстве и плотность наведенных
на проводнике зарядов.
7.12. Точечный заряд q расположен в вакууме на расстоянии а
от плоской поверхности однородного диэлектрика с относительной
проницаемостью е, заполняющего все нижнее полупространство.
Показать, что поле описывается потенциалами:
Й^2=?-*-, 2>0.
„G) =.*?.!-
е+1 г
где гх и г2 — расстояние точки М(г) от точек @, 0, а) и @, 0, —а)
(рис. 7.6).
7.13. Определить силу, с которой точечный заряд q притяги-
притягивается к бесконечной проводящей поверхности (см. зад. 7.11).
116

7.14. Вычислить энергию заряженного уединенного проврдяще-
го шара радиуса а в однородной среде с проницаемостью е. Заряд
шара q.
7.15. Вычислить энергию равномерно заряженною цо объему
диэлектрического шара радиуса а. Диэлектрическая проницае-
проницаемость шара е, окружающая среда — вакуум. Заряд щард q.
7.16. Определить энергию ззаиадодействия двух электрических
диполей в вакууме. Какую работу нужно затратить, чтобы два
диполя расположить параллельно друг другу.
Контрольные вопросы
1. Что называют потенциальной, энергией заряда во внешнем
поле?
2. Проведите аналогию с понятием потенциальной энергии в
механике*
3. Проанализируйте выражение потенциальной энергии для си-
системы точечных зарядой и для зарядов, непрерывно заполняющих
пространство.
4. Какими макроскопическими параметрами характеризуется
воздействие внешнего поля на заряженную и нейтральную систему
зарядов?
5. Приведите и охарактеризуйте выражение энергии взаимо-
взаимодействия двух точечных зарядов, системы п зарядов.
6. Проанализируйте выражение энергии взаимодействия систе-
системы непрерывно распределенных в пространстве зарядов.
7» Сравните выражения для энергии G.14) и G.16).
8. Поясните понятия собственной энергии зарядов, энергии
взаимодействия и их связь с энергией поля системы.
9. Приведите и проанализируйте выражения G.15) и G.18)
для энергии поля в диэлектрике.
10. Приведите и охарактеризуйте выражение энергии электро-
электростатического поля в виде энергии взаимодействия системы заря-
заряженных тел.
11. Приведите и проанализируйте выражение энергии поля
заряженных проводников.
12. Что можно сказать о характере, направлении и величине
плотности силы, действующей со стороны электрического поля на
проводник?
13. На основе анализа решений задач 7.11 и 7.12 сформулируй-
сформулируйте метод изображения для нахождения поля в средах с прямо-
линейной границей раздела зон однородности.
117

§ 8. МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
8:1. Уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля.
В начале гл. II отмечалось, что в случае, когда источники поля —
заряды и токи — не изменяются со временем, уравнения Максвел-
Максвелла B.5) распадаются на две группы уравнений, одна из которых
содержит функции Е и р, другая — В и /. Первая группа уравне-
уравнений описывает электростатическое поле и рассмотрена в § 5. Вто-
Вторая группа содержит уравнения:
divB = 0, (8.1)
rotiB:=no7 (8.2)
и характеризует стационарное магнитное поле. Уравнения Макс-
Максвелла (8.1) и (8.2) выражают известные экспериментальные фак-
—>
ты: замкнутость векторных линий В и вихревой характер магнит-
магнитного поля. Вектор / = / (г) характеризует движение зарядов в
пространстве с постоянной по времени плотностью тока.
8.2. Уравнение магнитостатического поля в потенциалах. Ис-
Исходным уравнениям поля (8.1) и (8.2) соответствует эквивалент-
эквивалентное им уравнение D.37)
(8.3)
записанное через векторный потенциал Л, связанный с вектором
индукции В соотношением:
В = rot Л*. (8.4)
Решение его D.40), найденное р^нее, имеет вид:
А (г) = ~^-\1Ш dV. (8.5)
4к I г'
Обозначения в формуле (8.5) соответствуют рисунку 8.1. Решение
(8.5) характеризует поле рассматриваемой системы токов / (г0).
Отсутствие слагаемого, соответствующего решению уравнения
Лапласа АА = 0, означает, что внешнее стационарное магнитное
поле отсутствует.
118

8.3. Индукция магнитного поля. Вычислим индукцию вихре-
вОго магнитного поля по его потенциалу (8.5). Воспользуемся обо-
обозначением [5]:
/= -JiL.=io-7 JK2L (8.6)
4я к2 с2
непредусмотренным, как и введенный ранее коэффициент fc=——
4яб
о
системой единиц СИ. Из равенства еом-о = — следует соотноше-
с2
ние
* = c2f.
Коэффициент f будем называть [5] индукционной постоянной.
Чтобы любому выражению придать стандартный для СИ вид, сле-
следует подставить значения коэффициентов k и f. Рассчитаем теперь
индукцию магнитостатического поля, используя связь векторного
потенциала А (8.5) с индукцией В (8.4) в произвольной точке
Af(rj (рис. 8.1):
= [v, f
где r'=r—r0, Vo — объём области, заполненной токами плотности
/(г0). Следовательно, имеем:
'о), г'] dy
(g7)
Эта формула имеет физический смысл для произвольной системы
токов ограниченного размера. Отметим также некоторую аналогию
формулы (8.7) с выражением E.11) для напряженности электро-
электростатического поля Е. В отдельных случаях при симметричном рас-
распределении токов в пространстве индукцию В можно определить
с помощью интегральной формы уравнения (8.2):
где J — ток, пронизывающий контур L, по которому вычислена
ЦиРкуляция вектора 5.
.119

Если в области Vo есть поверхности 5, по которым протекает
поверхностный ток с плотностью /s(^o), то векторный потенциал
—>• —>¦
А и индукция В выражаются следующими формулами:
А Й = / f^ dV + f
' J
J
(8.9)
(8.10)
8.4. Сравнение уравнений и характеристик электро- и магнито-
статического полей. Приведем основные уравнения и их решения
для статических полей при условии, что т' = г, то есть для случая,
когда начало координат совпадает с точкой, в которой опреде-
определяется поле.
В электростатическом поле
Л<р =
p
80
, r pdV
J г
Е = —gradcp
~Е = k J ргз </V
В магнитостатическом поле
ЛЛ = —^о j
Из сравнения следует, что плотность тока / в магнитостатике иг-
играет такую же роль, как плотность заряда р в электростатике.
8.5. Магнитное поле в дипольном приближении. Рассмотрим
стационарное движение зарядов в ограниченной области Vo. В си-
силу уравнения непрерывности и условия стационарности движения
имеем уравнение:
div/ = 0,
(8.11)
означающее, что векторные линии / замкнуты. Представим весь
объем системы в виде совокупности замкнутых трубок тока мало-
120

го сечения, стенки которых образованы линиями тока. Для каждой
тонкой трубки справедливо соотношение
где Л — постоянная но всей длине трубки сила тока. Интеграл по
объему Vq системы представится суммой интегралов по трубкам
тока. В результате получаем:
dV =21 TidVi = 2 /, <j> & = 0> (8.12)
I it
так как для замкнутых кривых f dl = 0. Выражение (8.12) (как
и (8.11)) является условием стационарности движения зарядов
в системе и будет использовано в последующем изложении. По
форме оно сходно с условием нейтральности системы зарядов в
объеме Vo, поэтому систему токов условно можно уподобить неко-
некоторой нейтральной системе фиктивных «магнитных» зарядов.
Теперь предположим, что размеры г0 системы много меньше
расстояния г от нее до точки наблюдения (рис. 8.2). При этом
условии (го<С) разложим —^ в ряд по степеням малого пара-
параметра г0. Ограничимся первыми двумя членами разложения, при-
приведенного в § 5, получим:
г' г \ г } г г*
Подставим это выражение в формулу (8.5), получаем:
В соответствии с формулой (8.12) первое слагаемое равно нулю и
A(r) =i- [7&)(?o-~r)dV. (8.13)
г3 fo
Преобразуем подинтегральное выражение с помощью следующего
тождества:
й -7) = -L О(?о -Ъ -
скобка равна [[г0, /], г], интеграл от второй скобки обра-
обращается в нуль. Действительно, следуя приёму, использованному
пРи выводе (8.12), прлучим:

Выражение для векторного потенциала принимает вид:
. (8.14)
Введем дипольный момент системы
Т (8-15)
2 Vo
Выражение для потенциала принимает вид:
А(г) = / ?1 = f &J$, (8.16)
Г3 Г2
где п = —
—>.
Вектор индукции В в дипольном приближении равен:
Заметим, что формула (8.17) аналогична формуле E.24) для на-
напряженности поля нейтральной системы зарядов в дипольном
приближении. Однако в отличие от электростатического поля для
магнитного поля нет нулевого приближения ввиду отсутствия маг-
магнитных зарядов.
8.6. Граничные условия. Для магнитостатического поля в ва-
вакууме физический смысл имеют решения уравнений для поля и
потенциалов, обращающиеся в нуль на бесконечности, то есть
АI г-нх> = 0; В\ г->оо = 0.
—>
Если есть заряженные поверхности S, на которых вектор / терпит
разрыв, то на них в соответствии с уравнениями (8.1) и (8.2)
выполняются условия:
Div ~В = В2п—В1п = 0, (8.18)
RotB = B2n —Bln = |io/s, (8.19)
122

где is — плотность поверхностного тока, равная количеству элек-
электричества, протекающего в единицу времени через единицу длины
0трезка, расположенного на поверхности S, перпендикулярно на-
набавлению тока.
8.7. Основная задача магнитостатики сводится к определению
вектора индукции В по заданным функциям, характеризующим
распределение в пространстве токов с объемной плотностью / (г0)
и поверхностной плотностью js(ro). Система уравнений (8.1), (8.2),
(8.18), (8.19) однозначно определяет поле в каждой точке про-
пространства.
Задачи и упражнения
8.1. На основании формулы (8.7) получить выражение закона
Био-Сйвара для магнитного поля линейного тока.
8.2. Вычислить магнитный момент кольцевого линейного тока/.
8.3. Вычислить магнитный момент точечного заряда е, движу-
движущегося по окружности радиуса г со скоростью v. Найти отноше-
отношение магнитного момента к механическому.
8.4. Найти индукцию поля бесконечного соленоида с плотно-
плотностью поверхностного тока L
8.5. Показать, что индукция магнитного поля бесконечного пря-
прямолинейного тока / на расстоянии г от него равна
B=^Lt (8.20)
что линии индукции — концентрические окружности, плоскости ко-
которых перпендикулярны току, а вектор В образует с током / пра-
вовинтовую систему.
8.6. Показать, что векторному потенциалу А (8.16) соответ-
соответствует вектор индукции В (8.17).
8.8. Энергия системы движущихся зарядов во внешнем магнит-
магнитном поле. Аналогии с электростатикой. В п. 3.2 показано, что маг-
нитная составляющая силы Лоренца при перемещении электриче-
электрического заряда работы не совершает. Однако силы, действующие на
токи, как на систему зарядов, движущихся в условиях определен-
определенных связей, могут совершать работу.
123

Чтобы получить выражение для энергии системы токов во
внешнем поле в дипольном приближении, условимся о двух допу-
допущениях:
1. Магнитный момент т системы не изменяется во внешнем
поле. Это соответствует «жёсткости» системы токов, обусловленной
связями, обеспечивающими заданную конфигурацию токов.
2. Так как магнитное поле в дипольном приближении эквива-
эквивалентно электростатическому (п. 8.5), то в этом приближении си-
систему токов в ограниченном пространстве формально можно счи-
считать эквивалентной нейтральной системе магнитных зарядов,
распределенных с некоторой плотностью рт.
В этом случае магнитный момент системы выражается через
фиктивные магнитные заряды соотношениями, аналогичными E.20)
и E.21). Магнитное поле создается этими зарядами в соответствии
с формулами электростатики, а энергия системы во внешнем поле
определяется формулой, аналогичной G.8):
U = —ln-lj. (8.21)
Силы и момент силы, действующие на систему токов, определяют-
определяются формулами, аналогичными G.9) и G.10).
В последующих выводах надобность в магнитных зарядах от-
—>¦ —>
падает, а величины Вит рассчитываются по формулам (8.7) и
(8.15) для токов, распределенных с плотностью /(г0).
8.9. Энергия магнитостатического поля. Полагая ?=0 в выра-
выражении C.12) для.энергии электромагнитного поля, получим;
В7магн = -i- f B4V. (8.22)
2 J
= -i- f
Это выражение можно свести к энергии взаимодействия токов.
Проделаем ряд преобразований. Заменим В2 на равную величину
В - rot А и применим тождество D3):
div[^"B] = ~В rot Л— Л rotfi,
имеем:
В2 = Л rot В + сНу[Л, В],
учтем, что rotB = |Xo/. Подставим выражение для В2 в интеграл
энергии, применим теорему Гаусса D4), получим:
Гмаг„ = -L ( AfdV + — <fi [Л, 5]dSV.
124-

g поверхностном интеграле перейдем к пределу при $->оо. Так
как поле на бесконечности отсутствует, то это слагаемое обра-
обращается в нуль. В первом интеграле ограничим область интегри-
интегрирования частью пространства, где ] ф 0. Тогда имеем:
№магн = -L J AjdV. (8.23)
Эта формулй по смыслу аналогична формуле G.14) для энергии
электростатического поля. С помощью выражения для векторного
потенциала (8.5) эта формула принимает вид
WMarH= i- Г ГШШ dVdV\ (8.24)
2 Л' \г-"'\
Здесь снова видно сходство с электростатикой: только здесь вме-
вместо элементарных зарядов pdV и pdV в формуле G.13) взаимо-
взаимодействуют элементы тока j dV и j dV' (рис. 8.3). Таким образом,
энергия магнитного поля свелась к энергии взаимодействия токов
между собой подобно тому, как энергия электростатического поля
свелась (см, п. 7.2) к энергии взаимодействия зарядов на расстоя-
расстоянии.
8.10. Сопоставление выражений для энергии электро- и магни-
тостатического полей. Сравним формулу для энергии взаимодей-
взаимодействия электрических зарядов G.13) с формулой (8.24), придав ей
следующий вид:
2 "* "*
Значение коэффициента k больше / в 1016 раз, поэтому энергия
магнитного поля при малых скоростях движения зарядов исчезаю-
Ще мала по сравнению с электрической. Соответствующее соотно-
соотношение существует также между силами электрического и магнит-
магнитного взаимодействия. Магнитные взаимодействия движущихся
зарядов можно отнести к релятивистским эффектам: они растут
с ростом скорости зарядов. Когда скорости v и v' близки к с,
множитель v v' s подинтегральном выражении компенсирует ма-
малость коэффициента f. Однако не следует считать, что магнитные
силы при малых скоростях движения зарядов всегда малы. Маг-
нитное взаимодействие может быть значительным, если ток обус-
обусловлен движением большого количества зарядов одного знака.
125

Так, например, в металлах ток обусловлен движением одних элек-
ронов; нейтральность же системы сохраняется в физически малых
элементах объема. Для предельно релятивистского объекта •—
электромагнитных волн, как будет показано ниже, вклады в энер-
энергию электрической и магнитной составляющих полей одинаковы.
Обсудим теперь вопрос о потоке энергии в стационарном элек-
тромагнитном поле. Если есть только одно поле электрическое
или магнитное, то в соответствии с формулами C.11) и C.24)
нет ни потока энергии, ни распределенного в пространстве импуль-
импульса. Если в некоторой области пространства есть одновременно
стационарное магнитное и стационарное электрическое поля, при-
причем векторы Е и В неколлинеарны друг другу, то имеется перенос
энергии с плотностью потока
и в поле распределен импульс с плотностью
~?=ео[Е, В];
стационарный поток энергии не приводит к изменению векторов
Е и В в различных точках пространства. Сохраняется также плот-
плотность импульса и плотность энергии. Для плотности энергии
*** тт
w = —— в потоке, движущемся со скоростью с, выполняется ре-
с ^
лятивистское соотношение: w ~ eg.
8.11. Замечание. Отметим, что уравнения для электромагнит-
электромагнитного поля в вакууме являются строгими выражениями законов
природы, не знающими отклонений от эксперимента. Иначе об-
обстоит дело с уравнениями для поля в веществе, основанными на
уравнениях Максвелла B.1). Область их применимости ограни-
ограничена допущениями об электромагнитных свойствах вещества, вы-
выраженных эмпирическими зависимостями макроскопических ха-
характеристик среды от внешних полей: Р = кгоЕ, I — аВ\ j == уЕ.
Эти линейные зависимости приближенные и выполняются не всег-
всегда. Поэтому и точный анализ возможен не всегда. Но несмотря
на это переход от уравнений для поля в вакууме к уравнениям
поля в веществе помогает вскрыть роль вещества в создании поля,
природу поляризации, намагничивания и т. д.
Магнитостатическое поле, рассмотренное в этом параграфа
присуще постоянным токам, которые возникают в средах с прово-
проводимостью 7=^0, называемых проводниками. Для таких сред накоп-
126

лен богатый экспериментальный опыт, позволяющий в совокупно-
совокупности с уравнениями поля глубже изучить электромагнитные свой-
свойства проводящих сред.
Контрольные вопросы
1. Что общего в уравнениях Максвелла для электростатическо-
электростатического и магнитостатического полей?
2. Сформулируйте уравнения магнитостатическбго поля в ваку-
вакууме и проанализируйте их.
3. Как записываются уравнения магнитного поля через его
потенциал? Сравните с аналогичным уравнением в случае электро-
электростатики.
4. Проанализируйте общее решение (8.5) уравнения Пуассона
для векторного потенциала магнитного поля.
5. Что называется индукцией магнитного поля? Как связана
—> —>
индукция В с магнитным потенциалом Л?
6. Получите выражение для индукции магнитного поля систе-
системы токов, распределенных в конечном объеме с плотностью / (г0).
7. Приведите пример вычисления индукции В магнитного поля
тока на основе уравнения Максвелла в интегральной форме.
8. Проведите сравнение электро- и магнитостатического полей,
укажите сходство и различие их.
9. Приведите дифференциальное уравнение непрерывного ста-
стационарного движения зарядов.
10. Получите интегральное выражение стационарности движе-
движения зарядов в системе.
11. Когда и почему магнитное поле системы токов можно рас-
рассматривать в дипольном приближении?
12. Что называется дипольным моментом системы? Чему равен
момент линейного, плоского замкнутого тока?
13. Как выражаются векторный потенциал и индукция магнит-
магнитного поля через дипольный момент системы?
14. Охарактеризуйте граничные условия для магнитного поля
токов в вакууме.
15. Сформулируйте основную задачу магнитостатики.
16. Сформулируйте постановку задачи о поведении системы
токов во внешнем магнитном поле.
17. Приведите выражения для энергии, силы и момента силы,
Действующих на систему со стороны внешнего магнитного поля,
18. Приведите и сравните различные представления энергии
магнитного поля токов.
127

19. Охарактеризуйте релятивистский эффект для магнитного
взаимодействия токов.
20. Проанализируйте вопрос о потоке энергии в стационарном
электромагнитном поле.
21. Выделите роль уравнений поля в вакууме и сравните с
уравнениями поля в веществе.
§ 9. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
И ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Основным источником магнитных полей, используемых в науке,
технике, промышленности, является электрический ток, то есть
направленное упорядоченное движение электрических зарядов, ко-
которое возникает при определенных условиях в проводниках, то
есть в средах с проводимостью, отличной от нуля.
В этом параграфе рассмотрим постоянный ток в проводнике,
его основные законы, сопутствующее ему электромагнитное поле,
а также его взаимодействие с внешним магнитным полем.
9.1. Постоянный ток и его электрическое поле. Для кляссиче-
ской электродинамики, которая является феноменологической тео-
теорией, природа носителей зарядов малосущественна. Основными
величинами, характеризующими ток, являются плотность тока j
и величина (сила) тока /, протекающего через некоторую поверх-
поверхность S. Напомним их определения, приведенные в § 1:
s
Основная эмпирическая закономерность, определяющая ток в ве-
веществе,— это уравнение B.4), выражающее закон Ома в диффе-
дифференциальной форме:
Т=??. (9.1)
Электрическое поле, вызывающее направленное движение зарядов
в каждой точке проводника, характеризуется вектором ?, ток
—¦•
определяется вектором /, а электрические свойства проводника-^
величиной у, называемой удельной электрической проводимостью
вещества.
Величина у постоянна для широкого диапазона изменения ве-
величин / и Е только для металлов и электролитов. Она превышает
проводимость диэлектриков на несколько порядков, поэтому для
последних удельная проводимость принимается равной нулю.
128

Постоянным называют ток, для которого во всех точках про-
вОдника величина / не зависит от времени. В этом случае не зави-
зависят от времени и величина тока /. В соответствии с уравнением
(9.1) постоянный ток возможен только в стационарном электриче-
электрическом поле. Постоянной величиной должна быть в этом случае так-
также плотность заряда р. На основании уравнения непрерывности
1Г
заключим, что
div7= 0. (9.2)
Следовательно, линии / постоянного тока замкнуты. Учитывая
выражение (9.1) закона Ома, находим условие замкнутости линий
напряженности электрического поля:
0. (9.3)
Это равенство позволяет с учетом четвертого уравнения системы
B.1) Максвелла сделать вывод об отсутствии объемных зарядов
в проводнике с постоянным током:
р = 0. (9.3а)
Условие (9.3а) приводит к некоторому сходству электрического
поля постоянного тока в проводниках с электростатическим полем
в диэлектриках. Так, на границе раздела двух проводников с про-
водимостями 7i и 72 в соответствии с уравнением B.26) выпол-
выполняется соотношение:
2?2т — El х)
из которого следует пропорция B.28)
J\x _ Yj_
J2X У*
связывающая токи в двух слоях с их проводимостями. В соответ-
соответствии с граничным условием B.29) получаем для стационарного
случая непрерывность нормальной составляющей плотности тока:
hn = jin,
то есть заряд, приходящий к поверхности, равен заряду, уходяще-
уходящему от неё. Из этого выражения получаем:
Jk. = -XL. (9.4)
Е\п Y2
Таким образом, заключаем, что электрическое поле постоянного
т°ка в проводнике напоминает электростатическое поле в диэлек-
9—U36 129

трике. Так, поле в кусочнЬ-однороДном Диэлектрике при р = О
удовлетворяет уравнению div? = 0, а на границе выполняются
условия Е2%= Е\х> г\Ещ = г2Е2п, Но это сходство нарушается на
границе проводника с диэлектриком: по-прежнему будет выпол-
выполняться условие Е2% = Eiz, но jin = j2n = 0, так как заряды из
проводника не выходят в диэлектрик. Поэтому в проводнике будет
Е\п = 0, а в диэлектрике Е2п ?= 0 и зависит от плотности поверх-
поверхностных зарядов на проводнике.
9.2. Стороннее поле. Закон Ома в дифференциальной форме.
Выясним отличие электрического поля проводников с постоянным
током от электростатического поля в диэлектрике. Рассмотрим
уравнения Максвелла B.1) для области внутри проводника в слу-
случае постоянных полей и отсутствия объемных зарядов:
rot"? = 0, rot Я =7;
div? = 0, divB = 0. (9.5)
Из уравнений для электрического поля Е следует, что оно не яв-
является ни потенциальным (полем источников), ни вихревым. Ток
в проводнике за счет электростатического поля невозможен, а
вихревого поля нет. Остается признать, что система (9.5) описы-
описывает факт прохождения тока / по проводнику, но не включает в
себя причину существования тока. Эта неучтенная уравнениями
(9.5) причина постоянного тока имеет неэлектростатический ха-
характер и должна быть отдельно рассмотрена. В электростатике
отмечалось, что конфигурация зарядов не определяется уравне-
уравнениями, а обусловлена неэлектростатическим взаимодействием (свя-
(связями). Аналогично обстоит дело в случае с током. Привести в дви-
движение заряды можно разными способами, в том числе и электро-
электростатическим полем. Но в случае постоянного тока — это неэлектро-
неэлектростатическое поле объемных зарядов. В движении зарядов участву-
участвуют сторонние по отношению к системе {9.5) поля, которые фор-
формально можно учесть вводя напряженность стороннего электриче-
электрического поля ?ст. Теперь закон Ома (9.1) в дифференциальной
форме следует записать в виде;
Ъ*). (9.6)
Равенство (9.6) является основншм законом тока, который учиты-
учитывает поля, не входящие в уравнение (9.5). Здесь Е — #а»ряжен-
ность стационарного поля, созданного на границах раздела в про-
130

воднике пб&ёрхйостньши зарядами, не учтенными в уравнениях
/д.5), а Ест вовсе не связано с распределением зарядов по про-
проводнику. Природа сторонних сил практически всегда электромаг-
электромагнитная. Независимо от типа источника тока сторонним может быть
вихревое поле в генераторе тока; поле, создающееся при разделе-
разделении зарядов в химических реакциях и т. д. Однако во всех случаях
поле ?ст не учтено в уравнениях (9.5), и оно не является напря-
напряженностью электростатического поля, созданного объемными за-
зарядами в проводнике.
9.3. Линейные токи. Поле замкнутой цепи постоянного тока.
На практике распространены проводники значительной длины и
небольшого сечения. Их называют линейными, если плотность то-
тока в сечении можно считать постоянной. Для них выполняется
условие A.4):
причем сила тока постоянна в любом сечении проводника; она
принимается положительной, если векторы / и dl коллинеарны
(ток течет по направлению обхода цепи), и отрицательной, если
векторы / и dl направлены противоположно. Токи в линейных про-
проводниках также называют линейными. На основании (9.2) заклю-
заключаем, что внутри замкнутого однородного линейного проводника
линии тока / и линии напряженности Е суть замкнутые непрерыв-
непрерывные кривые, параллельные оси проводника. Стороннее поле воз-
возбуждается на сравнительно малом участке цепи, называемом
источником тока. Во внешней части цепи, то есть вне источника,
стороннего поля нет. Здесь действует стационарное электрическое
поле, соответствующее движению зарядов (току); оно создается
поверхностным стационарным распределением зарядов, которое
поддерживается источником.
9.4. Интегральная форма закона Ома. Электродвижущая сила.
Получим известное из курса общей физики выражение закона Ома
Для полной (замкнутой) цепи. Проинтегрируем выражение (9.6)
по замкнутому контуру, содержащему источник тока, получим:
§ J. сН= '§ уЕ • dl+ § YifCT • dl. (9.7)
Величину
(9.8)
131

й&зЫвают электродвижущей силой источника тока (ЭДС). Если
стороннее поле сосредоточено на участке цепи L, то имеем:
gu2=^fr?.dT (9.9)
Очевидно, что ЭДС есть работа, совершаемая сторонними силами
над зарядом q=\ в источнике. Знак ЭДС зависит от выбора по-
положительного направления обхода контура цепи. Целесообразно
выбирать его по направлению вектора плотности тока. Тогда ЭДС
всей замкнутой цепи положительна. Для участка цепи принято
считать ?>0, если стороннее поле направлено по току, и $<0,
если оно направлено против тока. Другое слагаемое интегрального
выражения (9.7), в силу потенциального характера поля Е, равно
нулю. Выражение (9.7) принимает вид:
L У
Домножим числитель и знаменатель подинтегральной функции на
множитель S — площадь сечения проводника. Учитывая сонаправ-
-*¦ —>
ленность векторов / и dl, получим:
S JLe?. (9.10)
Обозначим сопротивление элемента проводника:
dR= -4L., (9.11)
yS
Получим вместо (9.10) выражение:
jjdR = g
или
/•#„=?, (9.12)
где /?п — полное сопротивление цепи, равное сумме сопротивлений
внешней (R) и внутренней (г) частей цепи. Формула (9.12) явля-
является интегральным выражением закона Ома для полной цепи:
1=4гг- <9лз)
9.5. Закон Джоуля—Ленца. Проводники обладают высокой
проводимостью. Поэтому даже при малых напряженностях поля
в них создаются значительные токи. Они в основном и определяют
132

совокупность явлений, сопровождающих ток, в частности, его
тепловое действие. Рассмотрим этот процесс в замкнутой цепи.
Источник тока совершает работу над зарядами против сил элек-
трического поля, увеличивая тем самым их потенциальную энер-
энергию. Это происходит внутри источника, то есть на участке с ЭДС.
go внешней части цепи заряды движутся под действием стацио-
стационарного электрического поля, но их кинетическая энергия не уве-
увеличивается, так как имеет место передача энергии проводнику.
Заметим, что проводник неподвижен, следовательно, работа поля
"/? по перемещению зарядов относится к зарядам, движущимся
в проводнике. В таком случае с помощью уравнения (9.1) имеем:
']~Е = JL. . (9.14)
Y
Эта работа идет на повышение внутренней энергии тел в системе.
Формула (9.14) выражает закон Джоуля—Ленца в дифференци-
дифференциальной форме: теплота q, выделяемая при движении зарядор в
единице объема проводника за единицу времени Aс), определяет-
определяется формулой:
?=-?-. (9.15)
Y
Величина q называется удельной теплотой.
В соответствии с равенствами (9.14) и (9.15), работа поля над
зарядами в нем (] Е) равна работе тока (-—) в проводнике (без
ЭДС), а она в свою очередь равна выделенной в неподвижном
проводнике теплоте q. Эти равенства справедливы для всей цепи,
если учесть закон Ома (9.6). В этом случае получаем:
= JL. =
(9.16)
Это соотношение выражает закон сохранения энергии для тока
при наличии стороннего поля в дифференциальной форме. Подоб-
Подобно тому, как дифференциальная форма закона Ома (9.1) приве-
приведена к интегральной форме (9.12), так и это выражение приводит-
приводится к интегральной форме:
= Jg. (9.17)
Равенство (9.17) выражает закон Джоуля—Ленца для замкнутой
Цепи и характеризует количество тепла, выделяемого в единицу
вРемени во всей цепи.
133

9.6. Магнитное поле постоянных линейных токов. Закон Био*
Савара. Рторая груггпа уравнений (9.5), содержащая векторы И
и В, характеризует магнитное поле тока. В случае, ногда токи
линейные, ввиду малости области поля, заполненной проводящей
средой, влиянием вещества можно пренебречь и пользоваться
вектором напряженности Н. Для учёта вещества после определе-
определения Н из уравнения
rot Я =7 (9.18)
переходят к индукции
"в = |хо^Я. (9.19)
В случае симметричного расположения линейного тока для
определения Н используется интегральная форма уравнения
(9.18):
$f?.dT=J. (9.20)
В общем случае вводят вектор Ан, связанный с напряженно-
напряженностью // соотношением:
Я = rot Ля, (9.21)
которое приводит уравнение (9.18) к уравнению Пуассона:
ААН = -Г (9.22)
Решение его известно (см. выражения D.40) и (8.5)):
7Й> dV.
Для определения напряженности Я по формуле (9.21) восполь-
воспользуемся расчетом, приводящим к формуле (8.6), получим:
dy. (9.23)
4л VJ (r'V
Перейдем теперь к линейным токам, используя соотношение
134

выражение (9.23) приводится к виду:
Обозначения здесь соответствуют рисунку 9.1. Формула (9.24)
является выражением известного закона Био-Савара в интеграль-
интегральной форме и характеризует магнитное поле линейного тока. Диф-
Дифференциальная форма этого закона:
определяет напряженность поля в произвольной точке М, созда-
создаваемого элементом линейного тока J dl. Таким образом, этот закон,
установленный экспериментально, получил теоретическое обосно-
обоснование.
Конечный этап исследования магнитного поля тока — переход
к вектору индукции В по формуле (9.19), так как именно индук-
индукция определяет силовое действие поля и его энергию.
9.7. Силы, действующие на ток в магнитном поле. Формула Ам-
Ампера. При исследовании магнитного поля тока рассматривают в
основном две задачи. Первая состоит в определении магнитного
поля тока заданной конфигурации. Она решается на основании
закона Био-Савара и рассмотрена в п. 9.6. Вторая задача состоит
в определении силы, действующей на проводник с током в маг-
магнитном поле. Эту силу можно рассчитать на основе формулы Ло-
Лоренца. Её магнитную составляющую запишем в виде:
В случае линейного тока (рис. 9.2) она принимает вид:
dK = l[dlt В] (9.26)
и называется законом Ампера. Для проводника конечной длины
формула Ампера принимает вид:
/М = /|[Д В]. (9.27)
Заметим, что закон (формула) Ампера был также сначала уста-
установлен экспериментально. Для токов конечного сечения (поля
вблизи проводников) формулы (9.24) и (9.27) принимают вид:
(9.24)

(9.27)
Таким образом, механическая сила Ампера, с которой магнитное
поле В действует на проводник с током /, равна результирующей
всех сил Лоренца, действующих на электроны, участвующие в на-
направленном движении и образующие ток в проводнике. При отсут-
отсутствии тока все силы Лоренца направлены в разные стороны, и их
результирующая — сила Ампера — равна нулю.
9.8. Магнитный момент замкнутых токов. В § 8 соотношением
(8.15) введен магнитный момент системы токов вида:
L7J (9.28)
При условии малости системы он характеризует ее как целое. Для
замкнутого линейного контура постоянного тока магнитный момент
принимает вид:
(9.29)
Если контур с током плоский, то имеем:
±\г,Ш\= dS,
причем все dS (рис. 9.3) параллельны. Магнитный момент в этом
случае равен
m = / • S", (9.30)
где S — вектор площади, ограниченной замкнутым контуром тока,
по величине равный площади контура и, направленный по нормали
в соответствии с правилом винта. Замкнутый ток называют эле-
элементарным, если размеры контура много меньше расстояний, на
которых исследуется его поле, а на всем контуре значения внешне-
внешнего поля и его производных постоянны. Магнитное поле такого тока
характеризуется магнитным моментом т (9.30), векторный потен-
потенциал А и индукция В которого выражаются формулами (8.15) и
(8.17):
136

(9.31)
Магнитное поле такого тока сходно с полем электрического диполя
E.13), поэтому элементарный замкнутый ток называют магнит-
ным диполем. Таким образом, аналогом электрическому диполю с
моментом pi в электростатике является магнитный диполь с мо-
моментом mi в магнитостатике. Поле произвольной системы замкну-
замкнутых токов характеризуется моментом т = 2 mt-, или вектором т
(9.28), называемым магнитным моментом системы. В электроста-
электростатике ему соответствует вектор Р электрического момента ней-
нейтральной системы зарядов. Если замкнутый ток или жесткая си-
система токов с магнитным моментом т помещена во внешнее поле
с индукцией В, то результирующие сила F и механический момент
М определяются по формулам, аналогичным G.9) и G.10):
Т= (mV)B, (9.32)
М= [т,И]. (9.33)
Задачи и упражнения
9.1. Показать, что из уравнения неразрывности для стационар-
стационарного тока (9.2) следует, что в любом сечении проводника сила то-
тока постоянна.
9.2. Показать, что в разветвленной части цепи алгебраическая
сумма токов равна нулю.
9.3. Постоянный ток плотности / течет по длинному цилинд-
цилиндрическому проводнику сечения а = пг2. Показать, что в объеме
V=ol участка проводника4 длиной / выделяется джоулево тепло
за счет энергии, которая приходит в виде электромагнитной энер-
энергии из тех участков провода, где совершается работа сторонней
ЭДС.
9.4. Показать, что линии постоянного тока на границе раздела
Двух проводящих сред с проводимостями у{ и у2 преломляются по
закону
tgai _ Yi
tga2 Y2 ' __^
гДе оц и о&2 — углы, образованные векторными линиями / с нор-
малью к границе раздела двух сред.
137

9.5. Показать, что на поверхности проводника с постоянным
током векторы напряженности Е и индукции В не перпендикуляр,
ны к ней.
9.6. Линейный ток силы / протекает по окружности радиуса /?0.
Показать, что индукция поля в любой точке оси этой окружности
направлена по этой оси, составляет с направлением тока право-
винтовую систему и равна
В=
2 (Ro2+d2K!2 '
где d—расстояние рассматриваемой точки оси от центра круго-
кругового тока.
9.7. Определить индукцию В магнитного поля по механическо-
—>
му моменту Му действующему со стороны этого поля на рамку с
током силой /, если площадь рамки равна S. Проанализировать
результат.
9.8. По бесконечному прямому круговому цилиндру протекает
параллельно оси его постоянный ток силы /, равномерно распре-
распределенный по поверхности цилиндра. Показать, что магнитное поле
в любой точке внутри цилиндра равно нулю.
9.9. Решить предыдущую задачу, исходя из дифференциальных
уравнений магнитостатического поля. Показать, что поле вне ци-
цилиндра совпадает с полем линейного тока такой же силы /, проте-
протекающего по оси цилиндра.
—>¦ —>
9.10. Исходя из уравнения rot# = /, показать, что напряжен-
напряженность поля тока силы /, протекающего по бесконечному прямо-
прямолинейному круговому цилиндру радиуса г0, равна
2кг
Hi = ~г ,
2яг02
где г — расстояние от оси тока до точки, в которой определяется
напряженность поля.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение и охарактеризуйте роль постоянного тока
в электродинамике и её приложениях.
2. Сформулируйте закон Ома в дифференциальной форме.
3. Какой вид имеет уравнение неразрывности для постоянного
тока в дифференциальной и интегральной форме?
138

4. Каким уравнениям удовлетворяет напряженность электриче-
электрического поля постоянного тока?
5. Осветите роль стороннего поля в создании постоянного тока.
6. Сформулируйте граничные условия для плотности тока на
границе двух сред с разными проводимостями.
7. Приведите и проанализируйте уравнения магнитного поля
постоянного тока.
8. Как определяют напряженность магнитного поля в случае
симметричного тока и в общем случае?
9. Сформулируйте и проанализируйте закон Био-Савара.
10. Охарактеризуйте механическое действие магнитного поля
на ток.
11. Объясните происхождение силы Ампера.
12. Приведите выражения закона Био-Савара и формулы Ам-
Ампера для объемных токов.
13. Дайте определение магнитного момента замкнутых токов.
Охарактеризуйте частные случаи.
14. Что называют элементарным замкнутым током? Какова
роль этого понятия?
15. Приведите выражения векторного потенциала А и индук-
индукции В магнитного поля диполя.
16. Проведите сравнение электрического диполя с магнитным.
17. Охарактеризуйте динамическое взаимодействие магнитного
поля с индукцией В и жесткой системы токов с моментом т с по-
позиций классической механики.
§ 10. МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
10.1. Эволюция представлений о природе магнетизма. Намаг-
Намагничивание вещества. Первыми источниками магнитного поля были
постоянные магниты. Из факта невозможности разделить гипоте-
гипотетические магнитные заряды родилось представление о механизме
намагничивания, который состоит либо в магнитной поляризации,
либо в повороте магнитных осей. Открытие в 1820 году магнитного
поля тока показало, что теперь существует два источника магнит-
магнитного поля.
Этот дуализм устранил Ампер. Он свел все источники магнит-
магнитного поля к одной категории — токам. Магнитные свойства веще-
139

ства в конечном итоге определяются тем, что электроны при дви-
движении внутри атома уподобляются элементарным замкнутым то*
кам с моментами
-> —>
тщ = / Si,
—>
где Si — вектор площади, ограниченной контуром тока. Результи-
Результирующий магнитный момент молекулы равен сумме всех моментов
nii. Эта простейшая классическая электронная теория дает грубую
качественную картину явления намагничивания, но и она имеет
ряд крупных достижений.
В 1925 году установлено наличие у электронов собственных
механического и магнитного моментов. Свойства электрона, свя-
связанные с его собственным вращением, характеризуются термином
спин. Они описываются квантовой механикой. В соответствии с её
выводами магнитное поле, обусловленное спином электрона, сво-
сводится к полю токов, определенным образом распределенных в про-
пространстве.
При описании механизма намагничивания в классической элек-
электродинамике реальные носители магнитных моментов заменяются
так называемыми «молекулярными круговыми токами». Каждому
такому току соответствует элементарный магнитный диполь. Ве-
Вещества, помещенные в магнитное поле, представляются, таким
образом, системой диполей во внешнем поле.
10.2. Магнетики. Вектор намагниченности. Магнетики—это ве
щества, способные оказывать влияние на магнитное поле, возбуж-
возбуждая или изменяя его. В результате помещения магнетиков во внеш-
внешнее магнитное поле они приобретают магнитный момент (намагни-
(намагничиваются). В зависимости от механизма намагничивания они
делятся на три группы: парамагнетики, диамагнетики и ферромаг-
ферромагнетики. Классическая электродинамика удовлетворительно объяс-
объясняет механизм намагничивания первых двух групп. Ферромагне-
Ферромагнетизм удовлетворительно объясняется только с позиций квантовой
механики.
Если магнетик не проводит ток, то его намагничивание объяс-
->•
няется упорядочиванием молекулярных токов /мол внешним маг-
магнитным полем. Если магнетик проводит ток, то магнитное поле в
нем создается током проводимости и молекулярным током. Моле-
Молекулярные токи — это замкнутые токи, а система замкнутых токов
характеризуется моментом т:
m=±$&7]dV, (ЮЛ)
140

де V — объем магнетика. Меру намагниченности магнетика ха-
характеризуют вектором намагниченности /, который равен магнит-
магнитному моменту токов в единичном объеме магнетика, то есть
—У
7= J?L=z±- Г [r,f\dV. A0.2)
dV 2 /=1
Наличие магнитного момента у каждого элемента объема приво-
приводит к тому, что этот магнитный момент порождает в соответствии
с формулой (8.17) дополнительное магнитное поле, которое скла-
складывается с внешним магнитным полем. Таким образом, влияние
намагничивания магнетиков на магнитное поле аналогично влия-
влиянию поляризации диэлектриков на электрическое поле. Однако в
диэлектриках дополнительное электрическое поле всегда направ-
направлено противоположно первоначальному внешнему полю. Поэтому
полное поле в диэлектрике всегда меньше первоначального. В маг-
магнетиках дополнительное поле может быть направлено как проти-
противоположно первоначальному, так и в том же направлении, что и
первоначальное в зависимости от свойств вещества. Магнетики, в
которых дополнительное магнитное поле направлено противопо-
противоположно первоначальному, называются диамагнетнками. Магнетики,
у которых дополнительное магнитное поле направлено в ту же
сторону, что и первоначальное поле, называются парамагнетиками.
Таким образом, диамагнетик ослабляет магнитное поле, а пара-
парамагнетик усиливает его. Для всех диамагнетиков и большинства
парамагнетиков дополнительное магнитное поле весьма мало по
сравнению с первоначальным внешним полем. При снятии внеш-
внешнего поля дополнительное поле в диа- и парамагнетиках исчезает,
то есть диа- и парамагнетики полностью размагничиваются. Но
имеется еще третий класс магнетиков, у которых дополнительное
поле много больше первоначального, и это дополнительное поле
не исчезает при снятии внешнего поля. Следовательно, эти магне-
магнетики обладают остаточным намагничиванием. Они способны не
только изменять первоначальное поле, но и самостоятельно воз-
возбуждать его. Такие вещества называются ферромагнетиками.
С помощью классической электродинамики невозможно построить
стРогую теорию намагничивания ферромагнетиков, так как их на-
намагниченность обусловлена спином электронов и подчиняется
квантовым закономерностям. Поэтому в настоящем курсе класси-
классической электродинамики ограничимся рассмотрением намагничи-
Вания веществ, относящихся к диа- и парамагнетикам.
Экспериментально установлена пропорциональная зависимость
ИаМагниченности / от индукции поля В:
141

7*= JL- В = —25 fi, (Ю.З)
Цо (Х+ПИо
причем %=const для каждого магнетика.
10.3. Потенциал поля в магнетике. Плотность тока связанных
зарядов. Влияние магнетика на магнитное поле сводится к появле-
нию дополнительного магнитного поля, возникающего за счет на-
намагничивания. Вектор намагниченности /, являясь макроскопиче-
макроскопической характеристикой магнетика, учитывает вклад поля тока свя-
связанных зарядов (молекулярных токов) в результирующее магнит-
магнитное поле. Поэтому полное магнитное поле при наличии магнетика
является суммой двух полей, создаваемых током проводимости /
и молекулярными токами /МОл. Векторный потенциал А поля мож-
можно представить в виде суммы:
А =А0 + А',
где Ло — потенциал поля, созданного токами проводимости / и
выражающийся соотношением (8.5); А' — потенциал поля тока
связанных зарядов (/мол), который можно представить выраже-
выражением вида (8.5):
J&2if!± dV. A0.4)
Каждый элемент объема dV магнетика, являясь системой замкну-
замкнутых токов, характеризуется магнитным моментом
dm =ldV
и создает магнитное поле с потенциалом
где г — радиус-вектор, проведенный из элемента объема dV в ту
точку поля, в которой определяется векторный потенциал. Инте-
Интегрируя по объему, найдем
f?i dV.
Заметим, что интегрирование здесь можно распространить на
142

у
бесконечное пространство, ибо вне магнетиков / = 0. Таким обра-
зОм, векторный потенциал А' поля молекулярных токов полностью
оПределяется намагничением /.
Преобразуем это выражение, используя тождество:
rot|-LU-LrotT-
получаем
" ^ dV-f Г Tot[-L.]dV. A0.5)
Последний интеграл может быть преобразован с помощью соотно-
соотношения D7) П.1 векторного анализа в интеграл цо поверхности S,
охватывающей объем интегрирования V:
^-dS, A0.6)
где индекс q означает интегрирование по истоку вектора г.
—>
Если в поле нет поверхностей разрыва вектора /, то последний
интеграл может быть взят по бесконечно удаленной поверхности,
охватывающей полное поле, и обращается при этом в нуль, если
вектор намагниченности / убывает в бесконечности быстрее, чем
— В противном случае, когда вектор намагниченности / претер-
претерпевает разрыв на некоторой поверхности 5Ь (границе раздела
двух сред), поверхностный интеграл следует распространить еще
на поверхность S/, выделяющую её из объема интегрирования
(Рис. 10.1).
Стягивая поверхность 5/ вплоть до совпадения с поверхностью
Разрыва Si, убеждаемся, что
ILds= г K?i]+k72] .dS = _ г [п,7,-л] dS A07)
i I r
ГДе 11 и I2 — суть значения вектора / по обеим сторонам поверх-
н°сти Su n — нормаль к этой поверхности, направленная от среды
к 2. Выражение для А1 принимает вид:
143

(Ю.8)
где S — сумма поверхностей раздела магнетиков, на которых век-
вектор / претерпевает разрыв.
Сравнивая выражения A0.4) и A0.8) для магнитного потен-
потенциала А', заключаем, что средняя объемная плотность молекуляр-
молекулярного тока /мол связана с вектором намагниченности / соотноше-
соотношением:
~JMOJl = rot7. A0.9)
Из этого же сравнения следует, что допущение о существовании
поверхностей разрыва вектора / эквивалентно допущению о суще-
существовании наряду с объемными также и поверхностных молеку-
лярных токов, средняя плотность которых (мол пропорциональна
поверхностному ротору /:
7М0Л = RotT= [/Г, 72 —Л]. A0.10)
При этом допущении выражение A0.4) нужно дополнить членом,
учитывающим поверхностные токи:
¦-J-
+
после чего оно становится эквивалентным выражению A0.8).
Заметим, что поверхностные молекулярные токи возникают на
границах раздела различных магнетиков, а также на границах
магнетика с вакуумом.
Допущение о возможности существования поверхностей разры-
йа физических величин и поверхностных токов характерно только
для макроскопической трактовки поля и недопустимо в Микроско-
Микроскопической теории.
Таким образом, полный векторный потенциал А = Ао + А'
магнитного поля в произвольной среде в макроскопической теории
выражается через макроскопическую плотность токов / и макро-
макроскопический вектор /, характеризующий намагниченность среды:
A=f [d*Z +f [I^LdV + f ?^dS. (,10.11)
kJ г t r I r
144

Заметим, что в равномерно намагниченных средах (/ = coftst)
средняя плотность молекулярных токов, согласно уравнению A0.9),
равна нулю. Действительно, если смежные элементы объема среды
намагничены одинаково, то в ней нигде не может преобладать ток
какого-либо одного направления. На границах намагниченных
магнетиков с вакуумом, согласно уравнению A0.10), имеются по-
поверхностные молекулярные токи плотности zt[nrl]f ибо в вакууме
10.4 Вывод уравнений Максвелла для магнитостатического по-
поля в магнетике путем усреднения уравнений микрополя. Напря-
Напряженность магнитного поля. Получим уравнения магнитного поля
в веществе, используя лредставления1 классической электронной
теории Максвелла—Лоренца, в соответствии с которой связь меж-
между зарядами осуществляется посредством микроскопического элек-
электромагнитного поля в вакууме. Это поле по отношению к макро-
макроскопическому полю являетдя первоначальным «истинным» полем
и подчиняется уравнениям, по форме совпадающим с уравнениями
Максвелла для макроскопического поля в вакууме. Движение sa*
рядов в рамках классической электродинамики подчиняется зако-*
нам Ньютона.
Обозначим через Ь — вектор индукции микроскопического маг-
магнитного поля и запишем уравнения Максвелла—Лоренца:
div Z = 0,
-L TOtb = /пр.микро + /св.з. A0.12)
М-о
Токи /пр.микро и /св.з удовлетворяют уравнению непрерывности:
div/пр.микро 4- — = 0,
at
.3+0.
at
В стационарном случае р и р^в.3 не зависят от времени, поэтому
микротоки свободных и связанных зарядов удовлетворяют урав-
уравнением:
div / = 0; div /св.з = 0.
средним уравнения A0.12), получим:
div (b) =0; — rot F) = (Пр.микро) + (Тсв.з).
Но
1136 145

Учтем, что
-* •¦*
(b) = В — индукция макроскопического поля,
-»• -+•
(/пр.микро) == / — плотность макроскопического тока проводи-
мости,
-> -* -•»
(/св.з) = (/мол) = rot/— плотность тока намагничивания.
В результате усреднения получим:
div /?= 0; — rot "В = / + rot L
Перепишем последнее уравнение в виде
Введем вектор напряженности магнитного поля
я= -?—7.
Но
Таким образом, приходим к уравнениям магнитного поля в веще-
веществе:
0; rotH = Jt A0.14)
где Н и В связаны соотношением A0.13). Заметим, что вектор
—>
напряженности Я учитывает вклад в поле тока связанных заря-
зарядов. Введем в A0.13) экспериментальную зависимость намагни-
-* —>
ченности / от индукции В A0.3), получим:
# . (ю.15)
Но О+Х)Ио ЦоО+Х) НоН
где |х = 1 + х называется магнитной проницаемостью вещества.
Уравнение A0.15) является материальным уравнением для поля
в веществе. Из A0.13) и A0.15) следует пропорциональная зави-
зависимость / от напряженности поля Я:
7=%Н. A0.16)
Коэффициент х называется магнитной восприимчивостью веще-
вещества. Его величина и знак позволяют отнести вещество к опреде-
определенному виду магнетиков. Парамагнетики характеризуются х>^
и |х| >1. Это натрий, алюминий, сернокислые соли и др. Диа-
магнетики характеризуются х<° и 1x1 <!• Они намагничиваются
146

против внешнего поля. К таким веществам относятся медь, вода,
поваренная соль. Ферромагнетики имеют х>0 и 1x1^*» причем
р
поваренная
=====5c(iB). Это железные руды, чистое железо, кобальт. Заметим,
что из уравнения A0.15)
В — [io[iH
следует, что потенциал поля А в магнетике в ц раз больше потен-
потенциала Ао поля в вакууме.
10.5. Полная система уравнений магнитного поля в веществе
содержит уравнения поля:
div~B = 0,
rot Н = Т
Материальные уравнения (уравнения связи):
7= хя, н = -А- -7.
Граничные условия:
DivB = 0, Rot Я =7, A0Л7)
где / — поверхностная плотность тока проводимости. Вектор напря-
напряженности Н определяется токами проводимости /, вектор индук-
индукции В — токами проводимости и молекулярными токами.
10.6. Аналогии электро- и магнитостатики для поля в веществе.
Сравним основные модели и характеристики полей в диэлектриче-
диэлектрической и магнитной среде.
Электростатическое поле
в диэлектрике
Магнитное поле в магнетике
Молекула диэлектрика — это
Диполь с электрическим мо-
моментом
Pi = elt
Молекула магнетика — это маг-
магнитный диполь с моментом
пи = JSt
147

Электростатическое поле
в диэлектрике
Объем V диэлектрика харак-
характеризуется электрическим мо-
моментом системы
1 V
Вектор Р называется удель-
удельным дипольным моментом
(поляризованностью) диэлек-
диэлектрика
Потенциал поля <р в диполь-
ном приближении определяет-
определяется электрическим моментом
—>
системы р:
Напряженность Е поля в ди-
польном приближении:
/?= —V<p ==
а(з(р-Г)-г р \
[ г* г3 )
Индукция поля:
-—>¦ —> —>
D = ео? + Р
Уравнения поля в диэлектри-
диэлектрике:
divZ) 2=^р
rot? = 0
р — плотность свободных
зарядов.
Магнитное ноле в магнетике.
Объем V магнетика характери-
характеризуется магнитным моментом
т = 2m/ = fldV.
i. V
Вектор / называется плотностью
магнитного момента (вектором
намагниченности)
Векторный потенциал А поля в
дипольном приближении опреде-
определяется моментом т:
Индукция В магнитного поля
в дипольном приближении:
B = rotA =
~М г- Г г' )
Напряженность магнитного поля:
-*-
Я=-^ /
Но
Уравнения поля в магнетике:
divB = 0
rot#=7
/ — плотность тока свободных
зарядов.
148

Из формального сравнения уравнений для электрического -поля
диэлектрике и магнитного поля в магнетике следует аналогия
векторов Е с Я, D с В. Однако это не так. Аналогом напряжен-
напряженности Е является вектор индукции В. Действительно, поле Е в ди-
диэлектрике создается свободными и связанными зарядами, то есть
^= ?(рСвоб.з, рсв.з). Индукция В определяется движением свобод-
свободных и связанных зарядов, то есть В = В(рСвоб.з • v, рсв.3 • v) или
'g = i3(/, /св.з). Аналогом вектора D = /)(рСВоб.з) является вектор
напряженности магнитного поля Н = Я(рСВОб.з • v) = H(j).
10.7. Энергия магнитного поля постоянных токов. Коэффициен-
Коэффициенты индукции. Рассмотрим систему замкнутых токов в магнитной
среде. В § 8 получено выражение для энергии магнитного взаимо-
взаимодействия токов (8.22):
Это выражение эквивалентно формуле (8.21):
Переходя к линейным токам с помощью соотношения j dV — J dl,
для энергии взаимодействия системы постоянных замкнутых токов
получим выражение:
A0.18)
где Ai — векторный потенциал магнитного поля всех токоз в точке
расположения элемента dU. Он равен
С учетом магнитной среды для энергии взаимодействия системы
Т(жов получим выражение
A0.19)
149

Преобразуем выражение A0.18) с помощью формулы Стокса, по.
лучим
4
li — J rot At • dSi = § BfdSi=: Ф,.
* s
Это магнитный поток через площадь Si контура Li. Выражение
для энергии A0.18) принимает вид:
Введем в формуле A0.19) обозначения
^-. A0.21)
При i=& это коэффициент самоиндукции, при 1Фк это коэффи-
коэффициент взаимной индукции. Заметим, что коэффициенты L^ зави-
зависят от магнитной проницаемости среды \i и взаимного расположи
ния элементов dU и d/jfe. Выражение для энергии A0.19) прини-
принимает вид:
^«=4-2Wi/ik- A022)
Представим й^м A0.22) в виде
^«=х2у'2ь'»/* AО22)
/ к
и сравним с WM A0.22). Получим
0, = 2L^/A. A0.23)
Расчет коэффициентов индукции по формуле A0.21) возможен
лишь для частных случаев; например, для одиночного проводника
имеем:
WM= -Llh/2=-I- /ф, A0.24)
откуда следует, что Ф = 1ц /.
Задачи и упражнения
10.1. Известно, что индукция Во магнитного поля постоянной
тока в вакууме и векторный потенциал Ло удовлетворяют уравне-
уравнениям (8.2) и (8.3):
150

[V, В0]=Цо/, A)
Д/Го = — цо Л B)
—>
Найти уравнения для вектора индукции В и магнитного потенциа-
—>•
ла Л, если поле токов заполнить однородным магнетиком.
10.2. Показать, что аналогом вектора электрической индукции
'р является напряженность магнитного поля Я, а аналогом напря-
напряженности Е является вектор индукции магнитного поля В.
10.3. Показать, исходя из граничных условий A0.17) при ?=0,
что напряженность поля Я' в средней части длинной узкой щели,
проделанной в твердом магнетике, равна напряженности поля Я
в смежных со щелью точках пространства, если щель параллель-
—> —V D —>
на полю Я, и что Я/ = — , где В — индукция в смежных точках
магнетика, если щель перпендикулярна вектору Я.
10.4. Показать (см. п. 10.3), что J rotf— Ы1/ = 0, где 7—
вектор намагниченности магнетика, если поле охватывает все про-
пространство; г — расстояние элемента dV от начала координат.
10.5. Внутри бесконечной проводящей цилиндрической оболоч-
оболочки радиуса а,\ находится коаксиальный с ней провод радиуса а2.
По оболочке течет ток /, равномерно распределенный по ее по-
поверхности; по проводу течет равный, но противоположно направ-
направленный ток, равномерно распределенный по сечению провода.
Определить энергию магнитного поля и самоиндукцию единицы
длины указанного кабеля, считая его достаточно длинным.
Контрольные вопросы
1. Какие источники магнитного поля Вам известны?
2. Что представляет собой магнетик в рамках классической
электродинамики?
3. Приведите определение магнитного момента объема V маг-
магнетика. Что называют вектором намагниченности?
4. Проанализируйте зависимость намагниченности от индук-
индукции и от напряженности магнитного поля.
5. Проанализируйте связь плотности молекулярного тока с век-
т°ром намагниченности.
151

6. Приведите выражение для магнитного потенциала поля в
магнетике при условиях, что он проводит ток и в нем есть поверх-
поверхности разрыва непрерывности вектора намагниченности.
7. Что значит произвести усреднение величин и уравнений ис-
истинного микрополя? Какое поле мы фиксируем, измеряя напря-
напряженность и индукцию?
8. KafK влияет на результат усреднения неоднородность и пере-
мендость во времени истинного микрополя?
9. В какой мере уравнения Максвелла для поля в среде (маг-
(магнетике) являются более общими, чем уравнения для поля в ваку-
вакууме?
10. Что означает скалярный характер постоянных электромаг-
электромагнитных параметров вещества?
11. Дайте определения векторов индукции и напряженности
магнитного поля и проанализируйте связь между ними.
12. Объясните несовпадение в названии двух силовых харак-
характеристик действия поля на заряды — векторов ? и В.
13. Поясните качественную зависимость векторов Е и В, D и
Н от плотности свободных и связанных зарядов.
14. В каком случае второе уравнение магнитостатического поля
в веществе A0.14) можно записать через один вектор поля В:
rot В = \i\ioft
15. В каких случаях можно избежать употребление векторов
D и Я?
16. Какие векторные характеристики поля являются основными
в школьном курсе электродинамики?
17. Обсудите сходство и различие таких величин, как диэлек-
диэлектрическая и магнитная восприимчивость вещества.
18. Сопоставьте систему уравнений для поля в веществе и в
вакууме.
19. Обсудите аналогию между полем в однородной изотропной
среде и в вакууме.
§ 11. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
11.1. Определение. Выше отмечалось, что постоянный электри-
электрический ток порождает электрическое и магнитное поля, которые
существуют самостоятельно и не взаимодействует. Переменный
ток порождает взаимодействующие электрическое и магнитное по-
поля. Всевозможные его применения в промышленности, технике и
152

связаны с особым частным случаем электромагнитного поля,
называемого квазистационарным.
Переменные токи называются квазистационарными, если мож-
й0 принять, что магнитные свойства этого тока совпадают со свой-
свойствами магнитного поля постоянного тока, равного мгновенному
значению этого переменного тока.
11.2. Условия квазистационарности. Ток смещения. В соответ-
соответствии с определением основная система уравнений B.1) рассмат-
рассматривается при наличии переменных полей: ^0 и ф 0.
v dt dt
Однако общее решение уравнений Максвелла в запаздывающих
потенциалах применять в ряде случаев нет смысла, потому что
запаздывание т в системе пренебрежимо мало, то есть
т<7\ A1.1)
где т = —, г — характерный размер системы, Т — характерное
с
время изменения полей в ней. Это и есть условие квазистационар-
квазистационарности. Ему удовлетворяют переменные токи с частотой от 10 Гц
до 1000 Гц. Это медленно переменные токи, для них мгновенное
значение тока /мгн достигается практически одновременно во всех
сечениях цепи.
В электротехнике используется переменный ток с частотой
v=50 Гц. Ему соответствует электромагнитное поле с длиной вол-
ны ^— = 6 • Ю6 м. Характерное время изменения поля — это
период Т=— = 10~2 с. Размеры установок (генераторов, транс-
v
форматоров, осветительных систем) меньше или порядка кило-
километра. Тогда для г = 1000 м запаздывание т=— « 3 • 10~6 с,
с
что в ~3 • 104 раз меньше Т. Электромагнитное поле часто кон-
концентрируется в малых по объему областях пространства (зазо-
(зазорах между полюсами, в сердечнике); если линейные размеры этих
областей меньше длины волны (К = сТ), то и здесь можно пре-
пренебречь запаздыванием. Условие A1.2)
г<сТ A1.2)
является другой формой критерия квазистационарности. Заметим,
Чт° в квазистационарных процесса^ скорости движения зарядов
НеРелятивистские (и<с). Кроме, того, в квазистационарном слу-
153

чае поля изменяются сравнительно медленно. Это значит, что
изменения магнитного и электрического полей вносят
неравнозначные вклады в процессы, происходящие в системе.
Обратимся к третьему в системе B.1) уравнению Максвелла
rot# = f+ -22-, A1.3)
dt
где j = yE— плотность тока проводимости. Величина назва-
dt
на Максвеллом плотностью тока смещения /СМещ. Заметим, что ток
проводимости / и ток смещения /смещ = разные физические
dt
понятия. Их общая черта в том, что они возбуждают вихревое
магнитное поле. Различие этих понятий в следующем: ток прово-
проводимости / — это направленное движение частиц (зарядов); ток
смещения в вакууме вообще не сопровождается движением заря-
дов и соответствует лишь изменению электрического поля Е.
(/смещ.вак = ео —•-}. В диэлектрической среде ток смещения со-
\ dt 1
стоит из двух слагаемых:
/смещ.диэл = —— = —— (ео Е + Р) = ео — Ь
t 01 01
dt dt x dt dt
Учитывая, что поляризация диэлектрика равна Р = Ее<п, най-
найдем:
/смещ.диэл === Во " ~
Первое слагаемое — это плотность тока смещения вакуума, второе
слагаемое — компонента микроскопического тока проводимости.
Токи смещения не выделяют тепла. В проводниках /смещ <С /, по-
поэтому в замкнутых проводящих цепях током смещения пренебре-
пренебрегают. Цепи, содержащие конденсатор, отождествляют с замкну-
замкнутыми и принимают, что в конденсаторе ток смещения равен току
проводимости, то есть:
./смещ = ]•
154

g области квазистационарных частот ток смещения много меньше
тока проводимости, поэтому слагаемым
7смеЩ= ~7~<7 (И.5)
01
в уравнении A1.3) для квазистационарных частот пренебрегают.
g то же время пренебречь членом в первом уравнении Мак-
dt
свелла системы B.1) нет никаких оснований. Выполнение неравен-
неравенства A1.5) означает, что rot Я отличен от нуля только в областях,
где наблюдается направленное движение зарядов; для вещества
это токи проводимости. Поэтому в квазистационарном случае при-
принимают, что токи проводимости являются единственным источни-
источником вихревого магнитного поля.
К условиям квазистационарности следует добавить общее для
электродинамики вещества требование постоянства материальных
характеристик у, е, \i. Эти условия выполняются для широкого
круга веществ, поэтому квазистационарные процессы лежат в
основе большого числа практических применений этих полей и
токов.
11.3. Уравнения квазистационарного поля следуют из уравне-
уравнений Максвелла B.1) с учетом A1.5) и имеют вид:
—>¦
rot/f=— — A) rot// = / C) A1.6)
dt
divif=0 B) divD = p D)
В = \i\ioH; D = eeo?; / = yE.
В формуле закона Ома учтем возможность действия в замкнутых
цепях переменного тока сторонних полей, не отраженных в системе
уравнений A1.6). Как и в случае постоянных токов, имеем:
?CT). A1.7)
Присоединим к выписанным уравнениям условие непрерывности
тока. Из закона сохранения заряда
учетом уравнения D) системы A1.6), имеем:
155

где изменен порядок дифференцирования функции D по координа-
координатам и времени ввиду их независимости.
В соответствии с условием A1.5), величина пренебрежимо
dt
мала в сравнении с величиной /, поэтому имеем:
div7« 0. A1.8)
Это значит, что линии тока для квазистационарных процессов ква-
квазизамкнутые.
Отметим, что если для стационарных процессов в веществе си-
система основных уравнений распадалась на электрическую и маг-
магнитную подсистемы, связанные только током, то для квазистацио-
квазистационарных процессов связь подсистем теснее: электрическое поле
имеет вихревую составляющую, обусловленную переменным маг-
магнитным полем.
На основании закона Ома, условия A1.8) и уравнения D)
системы A1.6) заключаем, что как и при постоянных токах объем-
объемные заряды в замкнутой цепи при квазистационарных переменных
токах отсутствуют.
Таким образом, в области квазистационарных полей электри-
электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать раздельно. Однако
между ними учитывается лишь главная связь, осуществляемая
явлением электромагнитной индукции. Связь, осуществляемая то-
токами смещения, является менее важной и для квазистационарных
полей не учитывается.
11.4. Уравнения для потенциалов квазистационарного поля
имеют вид:
ih (H.9)
= Lp. A1.10)
ео?
Это уравнения Пуассона. Они следуют из общих уравнений Да-
ламбера для потенциалов переменного электромагнитного поля
(см. § 4), если принять, что скорость распространения взаимодей-
ствия v = —^z = оо. Только при этом условии можно пренебречь
Т'ец
запаздыванием, а мгновенное значение тока /мгн будет одинако-
одинаковым во всех сечениях замкнутой цепи. Решения уравнений для
потенциалов известны и имеют вид:
j^L (ll.ll)
156

A1.12)
Однако, в отличие от решений для стационарного поля, где / и р
не зависят от времени, здесь р и / являются функциями времени,
хОтя явно время в уравнения A1.9) и A1.10) не входит. Время t
является параметром, от которого зависят р и / и как следствие
ф и А. В соответствии с выражениями A1.11) и A1.12), изменение
потенциалов происходит со временем синхронно с изменением
функций / и р без запаздывания.
Если произвести мгновенную фотографию распределения заря-
зарядов и токов в некоторый момент времени, то по ней можно опре-
определить значения скалярного и векторного потенциалов во всех
точках пространства. Эти потенциалы будут такими же, какими
они были бы в случае стационарных полей, если бы распределение
зарядов и токов совпадало с тем, какое получилось на мгновенной
фотографии. Векторы поля определяются через потенциалы изве-
известными формулами:
? = —gradcp — — . В = rot A. A1.13).
dt
По полученному с фотографии значению векторного потенциала
можно вычислить индукцию магнитного поля. Получить же напря-
напряженность электрического поля по одной моментальной фотографии
нельзя, так как напряженность зависит от производной по време-
времени векторного потенциала. Поэтому дл# определения вектора Е
необходимо сделать как правило две моментальные фотографии
распределения токов в бесконечно близкие моменты времени. Из
выражений A1.13) следует, что магнитное поле является вихре-
вихревым, а электрическор поле имеет две составляющие: потенциаль-
потенциальную и вихревую, обусловленную электромагнитной индукцией.
Таким образом, уравнения квазистационарного электромагнит-
электромагнитного поля отличаются от уравнений стационарного поля учетом
явления электромагнитной индукции.
11.5. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Явление
электромагнитной индукции играет исключительно важную роль
в теории поля и в практических приложениях её. Закон, описыва-
юЩий это явление, установлен М. Фарадеем экспериментально для
пРоводников. Он утверждает: ЭДС индукции пропорциональна
157

скорости изменения магнитного потока, пронизывающего проводя-
проводящий контур, то есть:
g»HA = -12L, A1.14)
at
где Ф = [ В dS — магнитный поток через поверхность S, натяну-
тую на контур длины L. Измеряют ?ИНд путем измерения тока J.
При этом допускается справедливость законов Ома и Кирхгофа
для квазистационарных токов:
/Я = <§ст + ?инд A1Л5)
Если ёст = 0, то / = /инд. Тогда имеем:
Jинд * R = ©инд = "— • A1.16)
at
Знак «—» отражает правило Ленца о направлении индукционного
тока: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет
такое направление, что созданный им магнитный поток через пло-
площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать то изме-
изменение магнитного потока, которое вызывает этот ток.
Экспериментально установленный закон Фарадея обобщен в
уравнении Максвелла
rot? = —— A1.17)
dt
и утверждает, что изменяющееся по времени магнитное поле по-
порождает вихревое электрическое поле во всем окружающем про-
пространстве. Если в нем есть проводящая среда, то это вихревое поле
вызовет индукционный ток. В этом случае магнитное поле действу-
действует как источник электрического поля и может характеризоваться
ЭДС. Запишем уравнение A1.7) с помощью формулы Стокса в
интегральной форме, получим:
I dt
—»
Вклад в интеграл дает только вихревая составляющая поля Е.
Циркуляция вихревой составляющей поля Е называется ЭДС ин-
индукции. Она порождает в замкнутом линейном проводнике индук-
индукционный ток, векторные линии которого / совпадают с линиями
—>
?ВИхр. Контур интегрирования совпадает с проводником. Выраже-
Выражение закона индукции Фарадея:
158

lHia (ii.is)
dt
уписано для неподвижного проводника. Магнитный поток в этом
случае изменяется только вследствие изменения со временем ин-
индукции поля B(t). Однако проводник, или его части, могут также
двигаться в пространстве. По этой причине также будет изменять-
изменяться магнитный поток Ф, пронизывающий контур проводника. По-
Поэтому в общем случае имеем:
?инд = - -^-. A1.19)
at
Знак полной производной по времени означает, что магнитный
поток Ф = \BdS изменяется по двум причинам: изменение индук-
индукции магнитного поля со временем B = B(t) и вследствие движе-
движения проводника. Первая причина учтена в уравнении Максвелла
A1.17), вторая причина является результатом действия сил Лорен-
Лоренца на заряды в проводнике.
Наконец, в заключение отметим еще раз, что вихревое электри-
электрическое поле ?, возникающее вследствие явления индукции в про-
пространстве, вызывает в замкнутом проводнике ток проводимости,
в диэлектрике и вакууме — ток смещения, в магнетиках — ток про-
проводимости или смещения. В этом и состоит обобщение эксперимен-
экспериментального закона, установленного первоначально Фарадеем для
проводников.
11.6. Дифференциальные уравнения квазистационарных токов.
Рассмотрим теперь систему проводников, связанных магнитным
взаимодействием, то есть с общим магнитным полем. Согласно
A0.23), магнитный поток через контур t-ro проводника равен:
Q>i = ^LikJk, A1.20)
к
Он зависит от силы тока в этом и других контурах, их формы,
размеров и взаимного расположения в пространстве. При измене-
изменении этих факторов возникает ЭДС индукции:
dt "j* dt +* dt
Практически важен случай, когда меняются токи, а коэффициен-
TbI Lik не изменяются. Тогда ЭДС индукции равна:
инд
159

Для уединенного проводника имеем:
Запишем закон Ома (Кирхгоффа) для системы двух взаимодеГь
ствующих контуров:
Магнитные потоки Oi и Фг на основании A1.20) равны:
Ф{ = LuJi + I12/2; Ф2 = L2\J\ + ^22^2-
При неизменном взаимном расположении контуров ЭДС индук-
индукции в них равны:
A1.22)
Введем эти выражения для ЭДС индукции в уравнения A1.22) и
запишем их в виде:
A1.22)
Это дифференциальные уравнения квазистационарных токов. Они
играют фундаментальную роль в теории и практике переменных
токов.
11.7. Скин-эффект. Это явление состоит в повышении плотно-
плотности переменного тока по мере приближения к поверхности провод-
проводника, по которому течет ток. Это явление выходит за рамки линей-
линейных токов, так как /^ const по сечению проводника.
Рассмотрим это явление в предположении, что однородная
проводящая среда занимает полупространство у ^ 0 (рис. 11.1)-
Уравнения Максвелла для квазистационарного поля при р ~ 0 и
j = yE:
160

divB»O div7>=sO 0*23)
приводятся к раздельным уравнениям относительно ? и #:
A1.24)
Предположим, что ток течет в направлении оси Ох, тогда имеем:
i = ix(y, 0; /* = /* = о.
Тогда
Е = Ех(у, 0; ?, = ?* = <).
Уравнение для электрического поля A1.24) упрощается и прини-
принимает вид:
ЕЕ* =wii A1.25)
у dt
Ищем решение этого уравщения в виде:
Подстановка этого пробного решения приводит к уравнению для
амплитуды:
шУ[1ОрОх - -^- ?о«, A1 -26)
ау2 п2
где введено обозначение:
Составим характеристическое уравнение, соответствующее A1.26),
получим:
/i2
Оно имеет два комплексных корня:
ll8 ±y±_i + o
Теперь можно записать об1дае решение уравнения A1.26):
JL iJL -А ~(Х
Яо, —Ci* Л # ft + C2e h e h.
11-1136 161

ПерЬое слагаемое лишено физического смысла, так как характе*
ризует неограниченный рост поля по мере углубления в проводник,
Остается принять:
Соответственно напряженность электрического поля и плотность
тока изменяются по закону:
A1.27)
Из выражений A1.27) видно, что по мере удаления от поверхности
проводника функции Ех и jx уменьшаются по экспоненциальному
закону. Чем выше частота со, тем интенсивнее убывание электриче-
электрического поля и плотности тока.
Оценим толщину скин-слоя. Основной ток сосредоточен в слое
толщины у = Л. На этой глубине напряженность поля Е и плот-
плотность тока / убывают в е=2,72 раз. Например, для меди при час-
частоте тока v=50 Гц (<o=2nv) толщина скин-слоя равна 1 см, при
v=105 Гц его толщина равна 10~3 см. Аналогично изменяются
величины напряженностей полей Е и Н.
Таким образом, переменное электромагнитное поле и ток лока-
локализованы в тонком скин-слое проводника; здесь же выделяется
джоулево тепло. Качественно этот результат справедлив и для
цилиндрических проводников.
Скин-эффект изменяет сопротивление проводника и его индук-
индуктивность. С ростом частоты v сопротивление проводника R воз-
возрастает, индуктивность L уменьшается. С учетом этого явления
в технике переменных токов используют полые провода, а для
кабелей используют хорошо проводящие покрытия.
Задачи и упражнения
11.1. Показать, что при движении замкнутого проводника в по-
постоянном магнитном.поле с индукцией В в проводнике возникает
ЭДС индукции, равная
A1.28)
—>
где v — скорость движения проводника.
162

11.2. Выразить ?ИНд A1.26) через изменение по времени маг-
магнитного потока Ф, пронизывающего боковую поверхность цилинд-
цилиндра, описываемого проводящим контуром при его бесконечно малом
перемещении в магнитном поле.
11.3. Получить уравнения для расчета токов в системе произ-
произвольного числа замкнутых неподвижных проводников с перемен-
переменным током.
11.4. Показать, что уравнение для определения тока в квази-
квазизамкнутой цепи с переменной ЭДС, содержащей конденсатор с
емкостью С и дроссель с индуктивностью L, имеет вид:
L^L +R AL+JL j= _<L гст. (Ц.29)
dt* dt С dt
11.5. Показать, что уравнения Максвелла для квазистационар-
квазистационарного поля в однородной проводящей среде приводятся к раздель-
—> —>•
ным для векторов поля Е и Н уравнениям A1.24).
11.6. Найти закон изменения тока в колебательном контуре,
состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емко-
емкостью С.
11.7. Вывести закон Ома для цепи переменного тока.
11.8. Найти изменение силы тока со временем при замыкании
и размыкании цепи, содержащей катушку индуктивностью L.
В цепи действует постоянная ЭДС, равная ?. Сопротивление це-
цени Ry емкостью проводников пренебречь.
11.9. Найти изменение силы тока при замыкании и размыкании
тдепи, содержащей электрическую емкость С и постоянную ЭДС.
11.8. Потенциальная функция тока в магнитном поле. В маг-
магнитном поле элементарный замкнутый ток испытывает силу:
f=]§[dl,~B], A1.30)
где / = const. Запишем выражение элементарной работы ЬА этой
силы на бесконечно малом перемещении q (рис. 11.2)
ЬА = ~F- "f== / j [dt, В] • ~q.
Сделаем циклическую перестановку векторов q, dl, В; получим:
§[q
п —> —?
где 6Ф = J В dS — изменение магнитного потока, пронизывающего
контур тока / в результате его перемещения. Обозначим:
П* 463

?/ = -/Ф. A1.31)
Тогда имеем:
Л U) A1.32)
где индекс / означает постоянство тока на перемещении q. Функ-
Функция U называется потенциальной функцией тока / в магнитном
поле В, а элементарная работа сил магнитного поля равна убыли
потенциальной функции U. Заметим, что потенциальная функция
U не тождественна с потенциальной энергией магнитного поля,
так как энергия изменяется не только в результате работы сил F
A1.30), но и в результате работы индуцированных в контуре ЭДС.
Поэтому принцип суперпозиции магнитных полей иной: потенци-
потенциальная функция U двух взаимодействующих контуров имеет вид:
U = Un + U22 + Ul2 = - -i- (In/!2 + I22/22 + 2I12/i/2). {11.33)
Здесь Ln, L22, L{2 — коэффициенты самоиндукции и взаимной ин-
индукции контуров. Выражение U A1.33) получено в решении зада-
задачи 11.13.
Для произвольного числа взаимодействующих токов функция
U имеет вид:
i Likhh. A1.34)
U
11.9. Магнитная энергия взаимодействия токов. Рассмотрим
взаимодействие контуров с токами J\ и /2 с энергетической точ-
точки зрения. При этом учтем следующие виды превращения энергии
за бесконечно малое время dt:
1) механическую работу ЬА пондеромоторных сил магнитного
поля;
2) выделение джоулева тепла;
3) работу Pdt сторонних ЭДС;
4) изменение энергии магнитного взаимодействия токов Wm
при изменениях Л, /2, Li2.
Элементарная работа пондеромоторных сил магнитного поля в
соответствии с выражением A1.32) равна убыли потенциальной
функции
где U определено выражением A1.33). Будем писать знак пол-
полного дифференциала, помня, что токи J\ и /2 за малое время dt
не изменяются. Поэтому для ЬА имеем:
164

ЬА = -i-(/,2c?LI1 + J22dL22 + 2/i/2dL,2). A1.35)
z
Джоулево тепло за время dt равно:
Qdt= (Ji2Ri + J22R2)dt.
работа сторонних ЭДС за это же время равна:
Pdt= (Jic^ + J2e2CT)dt
Она совершается за счет убыли химической энергии источника
тока.
Увеличение Д всех видов энергии за время dt равно:
Д = 6Л + (Q-P)dt. A1.36)
В соответствии с законом Ома A1.15) представим Q—P в виде:
Д. A1.37)
Внесем A1.37) в выражение для Д {11.36), вместо ЭДС индук-
индукции подставим их выражение A1.21), вместо 6А — выражение
A1.35). После несложных преобразований получим:
д = _ -1 d(LnJi2 + Inh2 + 2LX2hh). (H.38)
По закону сохранения энергии увеличение всех перечисленных ви-
видов энергии должно сопровождаться эквивалентным уменьшением
некоторого другого вида энергии. Изменение токов и формы кон-
контуров изменяет их магнитное взаимодействие. Этому взаимодей-
взаимодействию необходимо приписать определенную магнитную энергию
WM. Естественно принять:
д = -dWM.
Закон сохранения энергии A1.36) принимает вид:
(P—Q)dt = 6A + dWu. A1.360
Для энергии магнитного взаимодействия двух контуров с токами
имеем выражение:
Гм=± (Lu/i2 +W22 + 2Z,12/i/2). A1.39)
Для магнитной энергии взаимодействия произвольного числа то-
токов получим выражение:
165

A1.40)
аналогичное по виду с выражением для энергии взаимодействия
покоящихся зарядов G.12).
11.10. Энергия магнитного поля. Выражение для энергии
A1.39) магнитного взаимодействия токов по форме соответствует
представлению о магнитном взаимодействии токов на расстоянии.
Эту энергию токов A1.39) можно выразить в форме интеграла по
всему объему поля этих токов и рассматривать энергию WM в духе
теории близкодействия, как энергию поля (см. зад. 11.17):
Wu= — [ liHdV. (H-41)
Эта энергия локализована в поле и распределена по ему объему
с плотностью
w
= — ВЯ. A1.42)
Для квазистационарных полей оба представления энергии A1.40)
и A1.41) равноправны. В быстропеременных полях с эксперимен-
экспериментом согласуется лишь представление о локализации энергии в по-
поле. Так как
то для энергии магнитного поля в среде выражения A1.41) и
A1.42) принимают вид:
2 v
A1.41)
ш=, -L ji^tf2. A1.42)
11.11. Энергетический смысл коэффициентов индукции. Рас-
Рассмотрим магнитное взаимодействие двух токов Jx и /2 в произ-
произвольной среде. Пусть Н\ и Я2 — напряженности, создаваемые
токами /i и /г в некоторой точке пространства. Результирующее
—>
поле Н в этой точке равно сумме:
н = нх + н2.
166

Энергия магнитного поля на основании A1.41) равна:
J- j ццоВДУ + -i- j wHfdV + ||2ЯГ #2^V. A1.43)
Первые два слагаемых правой части выражения A1.43) характе-
характеризуют собственную магнитную энергию поля токов, третье слагае-
слагаемое характеризует энергию взаимодействия. Сравним выражения
A1.43) и A1.39):
1 С U 2А\7 1 Г Г 2
= I по[1П2 CLV = L22J2
2 J 2
~tx .^2 = L12/i/2. A1.43)
Так как напряженности Н\ и Я2 пропорциональны токам J\ и /2,
то индуктивные коэффициенты зависят лишь от конфигурации
проводников и от магнитной проницаемости среды. Из последних
соотношений видно, что коэффициенты индукции являются мерой
энергии магнитного поля токов.
Задачи и упражнения
11.10. Показать, что потенциальная функция постойнного тока
во внешнем магнитном поле выражается через векторный потен-
потенциал А этого поля соотношением
U = —J § Л • Д A1.44)
если ток линейный и соотношением
\JdVy A1.45)
если ток объемный.
11.11. Показать, что собственная потенциальная функция зам-
замкнутого тока J\ конечного сечения равна
(/u = -y?u/i2, A1.46)
157

11Л2. Показать, что в случае линейного тока выражение Uu
(И,46) принимает вид:
!/„=,:--L/ <$A-dL A1.47)
11.13. Показать, что потенциальная функция U для двух взаи-
взаимодействующих контуров с токами 1\ и /г определяется выраже-
выражением A1.33).
11.14. Показать, что выражение A1.33) для потенциальной
функции двух взаимодействующих контуров может быть приведе-
приведено к виду:
где Л »=i4i+i4jj; Ai(Az)—векторный потенциал магнитного поля
тока 7i С/г); l—i\ + /2.
11.15. Показать что в случае неподвижных контуров с постоян-
постоянными токами /i и J% работа сторонних сил полностью переходит
в тепло.
11.16. Рассмотреть превращение энергии в контуре L\ с ЭДС
ехс>т зз= 0, который перемещается в достоянном магнитном поле
тока /2 » const.
11.17. Показать, что выражение A1.39) для энергии магнит-
магнитного взаимодействия двух контуров с токами приводится к виду
A1.41).
;,: Контрольные вопросы
1. Приведите определение квазистационарного поля и квази-
квазистационарного тока.
24 В чем отличие стационарного электромагнитного поля от
квазистационарного?
3. Приведите примеры, поясняющие критерии квазистационар-
квазистационарности.
4. Сравните вклады в квазистационарное электромагнитное по-
дв дЕ
ле величин и
dt dt
5. Поясните сходство и различие таких понятий, как ток прово-
проводимости и ток смещения.
6. Чем обусловлено требование постоянства материальных ха-
характеристик вещества е, ц> у?

7. Сравните уравнения Максвелла для квазистационарного и
тационарного электромагнитного поля.
8. Поясните условие квазизамкнутости линий тока.
9. Покажите, что при квазистационарных переменных токах
объемная плотность р зарядов равна нулю.
10. Приведите уравнения для потенциалов квазистационарного
поля.
П. Почему в уравнениях для потенциалов квазистационарного
поля отсутствует временной член?
12. Как отражена переменность поля в уравнениях Пуассона
для потенциалов?
13. Приведите решения уравнений Пуассона для потенциалов
—>¦ —>
и соответствующие им векторы поля Е и В. Охарактеризуйте поле
этих векторов.
14. В чем состоит явление электромагнитной индукции?
15. Сформулируйте закон электромагнитной индукции Фара-
дея.
16. В чем состоит обобщение закона Фарадея в уравнении
Максвелла?
17. Приведите выражение ЭДС индукции через напряженность
соответствующего электрического поля.
18. Приведите выражение закона индукции Фарадея в инте-
интегральной форме для случаев неподвижного и подвижного конту-
контуров. Прокомментируйте их.
19. Проведите вывод дифференциальных уравнений квазиста-
квазистационарных токов и охарактеризуйте их.
20. Что такое скин-эффект?
21. Что называют толщиной скин-слоя? От чего она зависит?
22. Предложите свои практические приложения этого эффекта.
23. Как влияет скин-эффект на сопротивление и индуктивность
проводников?
24. Что называют потенциальной функцией тока в магнитном
поле? Прокомментируйте это определение с точки зрения меха-
пики.
25. Сравните выражение A1.38) для увеличения всех перечис-
перечисленных видов энергии А за время dt в двух взаимодействующих
контурах с выражением A1.33) для потенциальной функции этих
контуров токов.
26. Как связана энергия магнитного взаимодействия двух токов
с их потенциальной функцией?
27. Покажите, что для квазистационарного поля оба выраже-
Ния энергии A1.40) и A1.41) равноправны.
28. Поясните энергетический смысл коэффициентов индукции.
169

Глава III. БЫСТРОПЕРЕМЕННОЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 12. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА
ДЛЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ
12.1. Уравнения переменного электромагнитного поля в веще,
стве. Для частот, превышающих квазистационарные, следует учи-
учитывать ток смещения и его роль в возбуждении вихревого магнит-
магнитного поля. В этом случае система поле—заряды описывается пол-
полной системой уравнений Максвелла B.1):
—— A) div?f=O C)
dt
dt
B) divD = p D)
~D = еов/f, B = у,оУМ -2B- + div J= 0
dt
^CT). A2Л)
Эти уравнения выписаны при условиях, что все материальные тела
в поле неподвижны, в каждой точке поля материальные парамет-
параметры 6, [iy у не зависят от времени и напряженностей полей, постоян-
постоянные магниты и ферромагнетики отсутствуют. При заданных на-
начальных и граничных условиях эта система уравнений однозначно
-*. _у —>
определяет по заданным функциям р и / векторы поля Е и В.
Заметим, что в произвольной среде уравнения A) и B) несим-
несимметричны, однако в идеальном диэлектрике (v^^O) эти уравнения
симметричны:
rotH= , .
dt dt
Для поля в вакууме имеем уравнения:
rot Я = ео — , rot fT= —ix
, rot ixo .
Из этих уравнений следует, что изменение по времени одного из
170

еГ<торов поля создает вихревое поле другого вектора. Векторы
поля В и Е связаны только в случае переменных полей.
Уравнения A2.1) являются постулатами классической электро-
электродинамики. Точки поля, в которых функции р и / отличны от нуля,
играют роль узлов силовых линий поля. Роль первичного понятия
принадлежит полю. Г. Герец очистил это понятие от механической
основы, а Лоренц утвердил современное представление о том, что
поле — самостоятельный вид материи, его носителем является ва-
кууМ.
12.2. Энергия поля. Экспериментальной проверке уравнения
Максвелла доступны, если постулировать зависимость энергии
электромагнитного поля от векторов поля. Для определения энер-
энергии поля в веществе можно повторить выкладки, проделанные для
поля в вакууме в п. 3.3. В результате придем к равенству:
Я]. A2.2)
Заметим, что использование векторов Н и D для поля в вакууме
приводит уравнение C.15) к такому же виду, как уравнение A2.2).
Поэтому последующие соотношения можно выписывать, не повто-
повторяя рассуждений, а лишь заменяя в формулах § 3 • В на Я,
До
ео? на D. Формула A2.2) выражает закон изменения энергии
электромагнитного поля в веществе и позволяет ввести понятие
плотности энергии поля
w = DE+BH A2.3)
и плотности потока энергии:
П= [Е,~Н]. A2.4)
Полученные формулы имеют общий смысл и справедливы для не-
неподвижной непрерывной неоднородной среды. Однако в толкова-
толковании закона изменения энергии электромагнитного поля в веществе
A2.2) есть некоторые отличия от случая поля в вакууме. Во-пер-
вых вещество по условию неподвижно, следовательно, работа j Е9
Довершаемая при перемещении зарядов, относится к зарядам, дви-
движущимся в проводниках. В таком случае в соответствии с уравне-
уравнением 7=7^ имеем
171

Эта работа идет на повышение внутренней энергии тел в системе,
то есть мы приходим к закону Джоуля—Ленца в дифференциаль'
ной форме. Следовательно, первое слагаемое в формуле A2.2)
выражает теплоту, которая выделяется в системе за счет убыли
энергии поля.
Формула A2.2) справедлива также в случае кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывных сред, то есть при наличии границ раздела сред с различными
параметрами е и \х. В поле могут быть области, незаполненные
веществом. Для них / • Е имеет такой же смысл, как для поля
в вакууме. Эта работа поля идет на повышение кинетической энер-
энергии свободных зарядов. Еще одна особенность в применении
формулы A2.2) состоит в том, что в веществе поле может иметь
границы, через которые поток энергии не проходит. В этом случае
закон сохранения энергии в изолированной системе C.18) имеет
место не только для бесконечно больших, но и для конечных обла-
областей пространства, в которых заключено электромагнитное поле:
?- dV. A2.5)
Таким образом, уравнения Максвелла характеризуют изменения
векторов поля со временем в пространстве, а закон изменения
энергии A2.2) характеризует те превращения энергии в системе,
которые при этом происходят.
12.3. Импульс поля. Наконец, электромагнитное поле, как вид
материи, обладает импульсом. При тех же допущениях о непо-
неподвижности вещества по аналогии с формулой C.24) имеем выра-
выражение для плотности импульса:
~S= [D, В]. A2.6)
Однако вопрос об импульсе электромагнитного поля в веществе в
рамках классической электродинамики решается неоднозначно,
что будет показано ниже.
12.4. Потенциалы электромагнитного поля в среде. Основным
методом интегрирования уравнений Максвелла A2.1) для поля в
среде (как и для поля в вакууме) является метод потенциалов
->
(см. § 4). Уравнения поля относительно потенциалов А и <р приво-
приводятся к уравнениям Даламбера D.47):
ф ф^^__1_р, A2.7)
С2 Ot2 е0 8
172

причем потенциалы А и ср связаны калибровочным условием Ло-
Лоренца D.48):
-^ дЛ- =0. A2.8)
с2 dt
решения уравнений Даламбера в запаздывающих потенциалах
имеют вид:
v}
?\rtt—— 1
dV, A2.9)
где f = i^L, k = , v = -^= — скорость распространения элек-
4 4^е Vet
тромагнитных возмущений в среде. Решения A2.9) характеризуют
поле заданной системы зарядов и токов, распределенных в конеч-
конечном объеме с плотностями р(г) и / (г). Дальнейшая задача состо-
состоит в исследовании этих уравнений применительно к отдельным
вопросам, к чему мы и приступаем.
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте полную систему уравнений Максвелла в
среде.
2. Опишите модель вещества, принятую в классической элек-
электродинамике.
3. Приведите выражения для плотности энергии, плотности по-
потока энергии и импульса электромагнитного поля в среде.
4. Сформулируйте закон изменения энергии электромагнитного
поля и закон её сохранения.
5. Охарактеризуйте общий метод решения уравнений Максвел-
ла для поля в среде.
6. Приведите и охарактеризуйте общий вид уравнений поля
в потенциалах.
7. Какой смысл имеет допущение о неподвижности среды, для
к°торой записаны уравнения Максвелла?
173

§ 13. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
13.1. Волновой характер свободного поля в пустоте. Рассмо].
рим сначала свободное от зарядов и токов электромагнитное поде
в пустом пространстве (вакууме). Положим в уравнениях A2.Ц
р=0, / = О, 8=и=1. Учтем, что еом-о = — и перейдем к векто,
с2
рам В и Еу получим:
9
rot 5*= -±- — > div5 = 0. A3.1)
Из уравнений A3.1) непосредственно вытекает, что оба поля и
электрическое, и магнитное являются вихревыми (соленоидальны-
ми), линии векторов В и Е являются замкнутыми. В отличие от
общего случая нет источников электрического поля. Векторные
—>
линии охватывают линии переменного вектора B(t). Линии маг-
магнитного поля В охватывают линии переменного вектора E(t).
Разделить поля В и Е невозможно! Они взаимосвязаны и взаимно
обусловлены. Изменение по времени одного поля вызывает появ-
появление и согласованное изменение другого поля.
Взаимосвязь переменых полей В и ?, а также конечная ско-
скорость их распространения в пространстве приводят к электромаг-
электромагнитной волне: состояние поля в некоторой точке пространства
повторяется через определенный промежуток времени в другой
точке, распространяясь со скоростью с.
Волновой характер свободного поля следует непосредственно
—у —>
из уравнений A3.1), которые относительно векторов Е и В приво-
приводятся к волновым уравнениям (см. упр. 13.1):
->¦
= 0, A3.2)
= 0. A3.3)
В соответствий с изложенным в п. 4.7 эти уравнения имеют реше-
решения в виде плоских волн:
174
А
Л
р
В —
1
С2
1
д2Е
dt2
д2Б
dt2

A3.4)
где ko — единичный вектор в направлении распространения фрон-
фронта волны. Таков характер свободного электромагнитного поля:
оНо способно существовать само по себе, реализуясь через цепочку
в3аимопревращений электрической и магнитной составляющих.
Эти две компоненты единого поля возбуждают друг друга и обес-
обеспечивают движение поля из одной области пространства в другую.
Эти волны представляют собой не только процесс, но и вид мате-
материи.
13.2. Определение векторов напряженности и индукции пло-
плоской электромагнитной волны. Волновая калибровка потенциалов.
Для анализа особенностей свободного электромагнитного поля
удобнее пользоваться решениями уравнений поля в потенциалах.
При р = 0, / = 0 потенциалы А и ф поля в пустоте удовлетворяют
волновым уравнениям (см. п. 4.5):
с2 dt2
_-L^L =0. A3.5)
с2 dt2
Векторы поля В и Е определяются выражениями D.1) и D.2):
—>- -»- —у
В = rot Л, ? = —gradq) —
дА
dt
Потенциалы А и ф должны удовлетворять калибровочному усло-
условию Лоренца:
-L 2i- =o.
с2 dt
& случае свободного поля калибровку можно дополнить с целью
Упрощения системы A3.5). Учитывая неоднозначность выбора по-
Тенциалов А и ф, можно выбрать ф=0, так как ф = 0 удовлетво-
удовлетворяет волновому уравнению. Тогда калибровочное условие прини-
вид: dhM = 0. Эти два условия:
175

Ф=0, div4 = 0 A3.6)
называются волновой калибровкой потенциалов. Она возможна
только в свободном от зарядов пространстве и позволяет отбросу
второе в системе A3.5) уравнение. Векторы поля определяются
из уравнений:
E = -jL, в = rot A. A3.8)
Уравнение A3.7) допускает решение, как показано в § 4, в виде
плоских волн:
где k0 — единичный вектор направления распространения фронта
волны. Вычислим векторы поля плоской волны:
^=— — =— А, A3.9)
at
= -J- [A, k0] = -i- [*o, ?]• A3.10)
с с
Точка над вектором А означает дифференцирование по аргументу
(->. -> \
/ tlL\ при выводе A3.10) использовано соотношение C5)
с /
П.1. Из калибровочного условия A3.6), используя выражение B4)
П.1, получаем:
A ."io = O.
Это означает, что AA-k0. Поэтому E±.k0. Кроме того, из A3.10)
следует, что BA-kQ и В±.Е. Следовательно, векторы ?, В и ^
образуют правую тройку. В плоской электромагнитной волне век-
векторы поля всегда перпендикулярны направлению распространен^
фронта волны. Следовательно, электромагнитная волна относит^
176

lc поперечным волнам; колебания величин ? и В происходят &
плоскости, перпендикулярной вектору &0.
В соответствии с формулами A3.9) и A3.10) векторы
A3.11)
являются функциями координат и времени; модули векторов свя-
связаны соотношением
\В\ = -i- \E\. A3.12)
Выражения A3.11) и A3.12) вместе с условием, связывающим на-
направления векторов ?, В, k0, описывают плоские волны напряжен-
напряженности и индукции» распространяющиеся со скоростью с. Обе волны
согласованы друг с другом во времени: у них одинаковые фазы,
поэтому изменения векторов поля в каждой точке пространства
происходят синхронно. Они одновременно достигают максималь-
максимальных и минимальных по модулю значений. Графическая иллюстра-
иллюстрация электромагнитной волны дана на рис. 13.1, который можно
рассматривать как «мгновенную фотографию» поля, распростра-
распространяющегося вдоль положительного направления оси Оу. С помощью
формул § 3 можно расчитать значения плотности энергии, плот-
плотности потока энергии и плотности импульса электромагнитных
волн, а также убедиться, что вся энергия плоских электромагнит-
электромагнитных волн участвует в потоке, (см. упр. 3.5), поэтому между энер-
энергией и импульсом выполняется релятивистское соотношение:
w = eg.
13.3. Плоские монохроматические волны. Важное значение име-
имеет частный случай плоских волн — гармонические или монохрома-
монохроматические волны (рис. 13,2), Для них
А = A0cos (kг—at),
°ткуда следует:
Е =з= ~~-a>i4osin (k • г—&t))
]f=» [AOi ?] sin A7— mt). A3.13)
изб 177

Эти формулы
причем:
можнб представить в
Е
~В
|В| =
= Ео sin (k
= Во sin (k
-- — [ko, Ж]
с
с
йиде!
*• г—соО,
, JZ _1_
—*•
— Л-
A3.14)
A3.15)
В общем случае векторы свободного поля могут быть представлены
суперпозицией плоских поперечных гармоник всевозможных час-
частот, амплитуд и направлений распространения (см. п. 4.8).
Вывод о существовании гармонических составляющих свобод-
свободного поля следует непосредственно из уравнений A3.2) и A3.3),
так^как функции вида
—> —> -> -»•
являются их частными решениями.
13.4. Электромагнитные волны в веществе. В вещественной
среде существуют не только стационарные и квазистационарные
поля, но и распространяются электромагнитные волны. Допустим,
пространство заполняет однородный диэлектрик с постоянными
диэлектрической и магнитной проницаемостями е и \i и проводи-
проводимостью, равной нулю (y=0). Эта простейшая модель диэлектрика
позволяет получить важные качественные заключения об электро-
электромагнитных, в частности световых, волнах в веществе.
Воспользуемся уравнениями поля в потенциалах для однород-
однородного диэлектрика D.47). В случае отсутствия свободных зарядов
применяется волновая калибровка A3.6). Уравнения для вектор-
векторного потенциала принимают вид:
= 0. A3.17)
Общее решение волнового уравнения A3.16) можно представить в
вяде суперпозиции гармоник всевозможных частот, амплитуд и
178

^правлений распространения. Каждая отдельйай гйрМбнть ха-
характеризует плоскую монохроматическую волну:
Л = A, cos (ft-7—©*). A3.18)
Qf таких же по форме волн в вакууме она отличается скоростью
распространения. По виду уравнения A3.16) заключаем, что в
среде фазовая скорость волны равна
v= —^, A3.19)
где с — фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме.
Изменяется также соотношение между волновым числом k и цик-
циклической частотой со. В вакууме выполнялось соотношение:
k = , для волн в веществе
с
k = J^- = Ю^ . A3.20)
V С
Векторы поля Е и В определим с помощью формул их связи с по-
потенциалами:
Е'= — —А- , В = rot A.
dt
Производя вычисления, аналогичные проделанным в п. 13.2, полу-
получим:
—у -*. -*--»¦
Е = —со Ло sin (k • г—Ы),
ЕГ= [Ло, ft] sin (A -7— (dt). A3.21)
Из уравнений A3.17) и A3.21) следует поперечность электромаг-
электромагнитных волн в веществе, правило правой тройки для векторов Е,
fi, '? и соотношение между модулями бекторов поля:
В= — . A3.22)
V
Это соотношение мощное представить в симметричной форме, если
перейти к напряженности. Я:
ЯУ^=?У1^Г A3,23)
^3 выражений A3.21) следует, что изменение по времени полей Е
и й происходит синфазно.
х

13.5. Отличие реального диэлектрика от идеального. Диспер.
сия. В идеальном диэлектрике e=const и не зависит ни от напря-
женности поля ?, ни от частоты его изменения ш. Поэтому фазо-
фазовая скорость распространения волн в среде не зависит от частоты
и равна групповой скорости, то есть скорости переноса энергии [5].
Идеальные среды, такие как вакуум и однородный диэлектрик с
диэлектрической проницаемостью ефг((о, Е) не обладают дис-
дисперсией. Однако опыт с реальными средами свидетельствует о за-
зависимости скорости распространения электромагнитных волн от
частоты. В соответствии с формулой A3.19) это является след-
следствием зависимости диэлектрической проницаемости среды от час-
частоты колебаний поля:
е = е((»).
Для диэлектриков ц«1 и эту величину можно исключить из рас-
рассмотрения. Следовательно, реальные среды обладают дисперсией.
Волновое число k в этом случае усложняется зависимостью е(со)
и принимает вид:
Соответственно меняется длина волны Я = — -^- . Для
произвольного волнового поля в среде векторы Е и В выражаются
формулами вида A3.21), причем векторы Е, В и к по-прежнему
образуют правую тройку, а Е = vB, где v = с
Вычислим плотность энергии и импульса электромагнитной
волны. Для плотности энергии произвольного электромагнитного
поля в среде согласно формуле A2.3) имеем
w = —
2
Для электромагнитных .волн в силу соотношения A3.23) полу-
получаем:
w=~ED=~B~H. A3.24)
Выражение A3.24) свидетельствует о равном вкладе электриче-
электрической и магнитной составляющих поля в энергию волны. Плотность
потока энергии электромагнитного поля в соответствии с A2.4)
равна
180

П=[Е,Н].
для электромагнитной волны в соответствии с формулами A3.22)
й A3.23) плотность потока энергии может быть записана в не-
нескольких видах:
n = v(E.D)ko =
= v(H .~B)'ko = vw'ko, A3.25)
где
k Уец
Плотность импульса поля в веществе определяется формулой
A2.6). Сопоставим выражение для плотности импульса
A3.26)
с формулами для плотности энергии и потока энергии. Векторы g
—>
и П имеют одинаковые направления, а их модули связаны соотно-
соотношением
П = gv2,
откуда следует, что
w = gv. A3.27)
Из A3.27) следует, что для поля в веществе релятивистское соот-
соотношение между импульсом и энергией Ег = срг оказалось нару-
нарушенным. Можно восстановить связь энергии с импульсом: w = eg,
если иначе определить импульс
Но тогда нарушится связь потока энергии с импульсом, так как
энергия переносится со скоростью и, а импульс соответствует дви-
движению энергии со скоростью с.
Это противоречие неразрешимо в рамках принятой в классиче-
ской электродинамике модели вещества, отраженной в материаль-
Нь1х уравнениях:
181

13.6. Отражение и преломление электромагнитных волн на гра.
нице двух диэлектриков. Рассмотрим поведение плоской электро-
магнитной волны на границе раздела двух диэлектриков с пронц,
цаемостями ei и ег. Примем pti == 1x2= 1; тогда скорости распро.
странения электромагнитных волн в этих средах равны V\ = -^
v2= -~. Выберем систему координат xyz так, чтобы граница
раздела совпадала с плоскостью хОу (рис. 13.3). Пусть плоская
волна из первой среды падает на границу под некоторым углом а.
Она частично проникает во вторую среду и, как показывает опыт,
частично отражается. Связь между этими тремя волнами содер-
содержится в граничных условиях B.23) и B.26), вытекающих из урав-
уравнений Максвелла:
Ни = Н2х\ Еи =Е2х. A3.28)
Обозначим через ?, Н — векторы поля падающей волны; ?г, Нг —
отраженной волны; Eg, He — преломленной волны* Тогда, задавая
гармонику падающей волны, имеем:
Е* = fo? e«Vy ?-V}; A3.29)
—> —>• —>
где пу пг и ng — единичные векторы направления распространения
падающей, отраженной и преломленной волн. Для вектора Н вы-
выражения аналогичные.
Падающая и отраженная волна распространяются в первой, а
преломленная — во второй среде, поэтому имеем:
Граничное условие A3.28) для Ех примет вид:
?, + ?х = ??.
С учетом выражений A3.29) оно приводится к уравнению
182

где R — радиус-вектор в плоскости границы раздела двух сред.
Чтобы это равенство имело место в любой точке границы в любой
момент времени необходимо выполнение следующих двух условий:
(а) со = ©г = tog,
(б) k(n • /f) = kr(hr^~R) = kg(ng • #"). A3.30)
Первое означает, что отражение и преломление происходит без
изменения частоты. Из второго следуют законы геометрической
оптики. Рассмотрим его, записав в координатной форме:
k (x cos a + у cos p + z cos у) =
= (Ч SOD Z + J$ SOD d + ЛЪ SOD х) ЛЦ =
= kg (x cos ag + у cos pg + z cos yg),
где а, р, у — углы, образуемые вектором п с осями координат xyz.
Так как ось Oz перпендикулярна границе раздела двух сред, то
2=0. Пусть вектор я, характеризующий .падающую волну, лежит
в плоскости xz, тогда cos p = 0. Следовательно, во всех точках
границы должно быть:
cos Рг = cos Pg = 0.
Это означает, что падающий, отраженный и преломленный лучи
лежат в одной плоскости xz. Из условия (б) следует теперь, что
во всех точках границы выполняются равенства:
k cos a = kr cos ar = kg cos ag.
Так как
со
k — ш h — ш h — ш
то имеем:
COS a COS OLr COS OLg
Отсюда следует, что a = ar. Переходя к углу падения 0 = ~ —а,
имеем: 9 = 8Г, то есть угол падения равен углу отражения. Вве-
Введём угол преломления Qg = — ag. Имеем:
2
cosf я -в)
cos a \ 2 /
v2
183

или
sin 9 sin8g
Таким образом, приходим к закону преломления:
вЛ1Я. A3.31)
Заметим, что соотношение A3.31), связывающее п\2 с диэлектри-
диэлектрическими проницаемостямн ei и ег справедливо для постоянных и
медленнопеременных полей. Для больших частот изменения полей
п сильно зависит от длины волны. Этот факт дисперсир не имеет
объяснения в рамках классической электродинамики.
Найдем соотношения между амплитудами падающей, отражен-
отраженной н преломленной волн. Предположим, что волна падает пер-
перпендикулярно поверхности раздела 2=0, причем вектор Е направ-
направлен по оси Ох, тогда вектор Н направлен по оси Оу (см. рис. 13.4).
Используя свойства электромагнитных волн для поля падающей
волны, запишем:
Ех = ?0 «'<**—*>, Еу « Ег = 0,
Ну = 1 /«L2-
V Но
= Нг = 0.
Но
Для отраженной волны, распространяющейся в обратном на-
направлении, имеем:
Е/ = fo^^O; Е/ = Е/ = 0;
Н/ = _ l/uiLе/\ Н/ = Н/ = 0.
V мо
Поле преломленной волны запишется в виде:
Ехе = Ео8 в'<**—*>, Е/ = Ez8 = 0;
= нг* = о.
Ро
Снова используем граничные условия A3.28). Исходя из непре-
—*¦ —*¦
рывности тангенциальных составляющих векторов Е и Н приходим
к уравнениям:
Ео + Еог = Ео8,
184

решая эту систему уравнений, находим амплитуды отраженной и
реломленной волн:
Еог = Ео biiL ; Еое = Ео —Z— . A3.22)
1+П \+П
г помощью этих формул можно сравнить интенсивности этих'трех
волн, а также найти поток энергии отраженной и преломленной
волн.
ЗАМЕЧАНИЕ о монохроматических и реальных электромагнит-
электромагнитных волнах. Монохроматическая волна — это идеализация процес-
процесса распространения электромагнитного поля. Близким к монохро-
монохроматическому является излучение лазера. Реальные волны являют-
являются результатом излучения большого числа атомов, которые испус-
испускают цуги волн длиной около 3 м для видимого света с убываю-
убывающими амплитудами. Реальная волна не является монохроматиче-
монохроматической и характеризуется групповой скоростью
~"~ dk
связанной с фазовой скоростью v соотношением
~ dl '
Если дисперсии нет, то — = 0 и тогда фазовая скорость совпа-
совпадает с групповой. В средах, где дисперсия значительная, её учиты-
учитывают и рассматрирают групповую скорость. В экспериментах опре-
определяется групповая скорость.
Упражнения
13.1. Показать, что при р=0 и / = 0 уравнения Максвелла для
поля в вакууме и в однородной среде приводятся к волновым
Уравнениям относительно векторов Е и В.
13.2. Показать, что плоские электромагнитные волны являются
поперечными и что амплитуды полей связаны соотношением:
с
13.3. Показать, что свободное от зарядов поле, изменяющееся
По закону Е = A (z) 1Ш, распространяется вдоль оси Ох в виде
доской электромагнитной волны согласно уравнению:
185

13.4. Покажите, что фазовая скорость электромагнитной
равна с для вакуума и v = —^ для среды.
13.5. Покажите, что плоские электромагнитные волны в среде
являются поперечными и что амплитуды полей связаны соотношу
нием: В = —, где v = -—-.
v
13.6. Вычислить плотность энергии w, плотность потока энер.
гии II и плотность импульса g плоской электромагнитной волны,
распространяющейся в однородной среде.
13.7. Показать, что скорость истечения энергии электромагнит,
ной волны равна её фазовой скорости.
Контрольные вопросы
1. Какой вид движения называется волновым?
2. При каких условиях уравнения Максвелла описывают рас-
распространение электромагнитных волн?
3. Что такое фронт волны? Приведите примеры плоского, сфе-
сферического, цилиндрического фронтов волны.
4. В чем состоит и какова роль волновой калибровки потенциа-
потенциалов?
5. Охарактеризуйте понятие и роль плоской монохроматической
волны в теории электромагнитных волн.
6. В чем отличие монохроматической волны от реальной?
7. Приведите понятие фазовой и групповой скорости электро-
электромагнитных волн.
8. Охарактеризуйте электромагнитную волну в пустом прост-
пространстве и в среде, выделив сходство и различие.
9. Приведите различные формы записи уравнений волны, рас-
распространяющейся вдоль оси Ох; вдоль произвольного направле-
—>
ния к.
10. Покажите, что в плоской волне амплитуды векторов Е и И
изменяются синхронно.
11. Что такое дисперсия среды?
12. Поясните нарушение релятивистской формулы связи энор*
гии и импульса для волны в среде.
13. Как выяснить поведение плоских монохроматических
на границе двух диэлектриков?
186

§ 14. ОСЦИЛЛЯТОР.
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
14.1. Понятие об осцилляторе. В электростатике (§ 5) мы уста-
установили, что поле нейтральной системы неподвижных зарядов, за-
занимающих конечный объем V, на большом удалении от нее харак-
характеризуется дипольным моментом E.20):
7=$Rp(R)dV. A4.1)
Потенциал ф и напряженность Е поля этой системы зарядов опре-
определяются выражениями E.22) и E.24):
то
Где k= . Отметим, что в этом случае р=т^/?(О» ЕфЕ(г).
4Л80
Магнитное поле отсутствует.
Исследуем теперь поле нейтральной системы движущихся за-
зарядов, не покидающих конечного объема V. Мы покажем, что
вдали от системы, то есть на расстояниях, превышающих ее раз-
размеры, поле также характеризуется дипольным моментом. Однако,
в случае движущихся зарядов дипольный момент зависит от вре-
времени. Следовательно, электромагнитное поле вдали от нейтраль-
нейтральной системы движущихся зарядов подобно полю диполя с момен-
моментом p = p(t). Такой диполь с переменным во времени моментом
называется осциллятором.
14.2. Выражение потенциалов поля нейтральной системы дви-
движущихся зарядов через дипольный момент системы. Пусть заряды
занимают объем V и его не покидают. Обозначим через / — наи-
наибольший линейный размер системы (рис. 14.1). Выберем внутри
объема V произвольную точку О, которую условно назовем цен-
центром системы зарядов. Пусть Ro — радиус-вектор, проведенный
из О в точку наблюдения М, причем мы ограничимся рассмотре-
рассмотревшем лишь тех точек поля, расстояние которых от системы значи-
значительно больше её размеров /:
Ro>l.
187

Если через R обозначить радиус-вектор, проведенный из произ-
вольной точки Q(x\ у', z') системы в точку наблюдения М, то
А = АО — А ,
где R' характеризует положение точки Q относительно центра си-
системы. Возведем это выражение в квадрат и извлечем корень,
получим:
Х = Ц0—ЖЛ-. A4.2)
Ro
Соотношение A4.2) определяет расстояние от различных Q до
точки наблюдения М через общее для всех точек системы расстоя-
расстояние Ro и параметр, не превышающий размеров системы.
Рассмотрим теперь скалярный потенциал системы движущихся
зарядов. Он является решением уравнения Даламбера (§ 4):
Г
, ytz,t)=k )
dV. A4.3)
Введем сюда R A4.2) и разложим подинтегральное выражение в
/ -*•-*• \
ряд Тейлора по степеням малого параметра ( -^ I:
\ Ro /
>{<¦»¦¦>¦¦'- f) р„- о
R Ro
д
«о dR0 ' " , + •••»
где t' = t— J^L.
с
Ограничимся двумя членами разложения, так как R' <С /0. Тогда
имеем:
ф К \ —————— и к К I ———— —«——• ———————— (I у #
V' Ro V' Ro dRQ Ro
Так как Ro не зависит от положения Q и система нейтральна, то
первый член равен нулю. Второй интеграл ввиду независимости Ro
от x'f y\ zr можно записать в следующей форме:
Ro д
18S

0Нтеграл
_ А
с
представляет собой электрический момент системы р в момент
п
t'zszt — . Таким образом, скалярный потенциал ф равен:
с
R
Индекс 0 у /?0 опустили.
С помощью формул 17 и 23 ПЛ это выражение приводится к
виду:
p\t—
«¦¦¦ <•">
Здесь R — расстояние точки наблюдения от произвольной точки
объема V. В случае независимости момента р от времени выра-
выражение A4.4) может быть приведено к виду, совпадающему с по-
потенциалом поля статического диполя (см. п. 14.1).
Аналогично вычисляется векторный потенциал поля А:
7(:«-,»¦.«-,<-
dV.
Разлагая подинтегральное выражение в ряд Тейлора, мы можем
ограничиться лишь первым членом разложения. Выражение для
векторного потенциала преобразуется к виду:
p. A4.5)
Из выражений A4.4) и 14.5) следует, что скалярный и векторный
потенциалы поля произвольной нейтральной системы движущихся
зарядов на больших расстояниях от нее однозначно определяются
—>
Актором р электрического момента этой системы, то есть оно
подобно полю диполя с таким же моментом. В отличие от стати-
цеского этот диполь характеризуется моментом р@, изменяющим-
ся во времени и называется осциллятором или вибратором. Следо-
189

вательно поле вдали от нейтральной системы движущихся зарядов
совпадает с полем осциллятора. Благодаря этому обстоятельству
изучение поля осциллятора играет принципиально важную роль в
теории электричества.
—> —>
14.3. Выражения векторов поля Е и В осциллятора. Введем
вспомогательный вектор Герца
( R \
V c
A4.6)
который определяется в точке на расстоянии R от осциллятора в
момент времени / значением электрического момента осциллятора
D
в момент времени У = t— —. Из формы выражения A4.6) сле-
с
дует, что вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению
-»•
А"? — =0. A4.7)
с2 dt* K ]
Иначе, каждая из слагающих вектора Р, согласно уравнению
A4.7), совпадает по форме со сферически симметричным реше-
решением D.41) волнового уравнения.
Введем теперь Р(/, R) в выражения для потенциалов ср(^) и
A(t). Получим:
A(t)=f-*? = •*-*?-.
w ' dt с* dt
Заметим, что k = c2f.
Переходя от потенциалов к векторам поля, в соответствии с вы-
выражениями D.1) и D.2) найдем:
li = rotA = f — rot "P. A4.8)
Е = — -Jf + k &rad dlv p =
—>¦
=_ ±- dlL- + kA"P + k rot rot P" =
c2 dt2
*=k lДР— -7-—) +*rotrot"p. A4.8)
190

|ер слагаемое в соответствии с выражением A4.7) равно ну-
^ Окончательно имеем:
? = rotrot~P. A4.9)
таким образом, задача определения векторов поля свелась к вы-
вычислению ротора вектора Р и его производных.
14.4. Магнитное поле осциллятора. Предположим, что со вре-
временем изменяется только алгебраическая величина электрического
момента осциллятора. В этом случае
—>
где ро — постоянный вектор, направленный по оси осциллятора,
Ш) •—произвольная скалярная функция бремени. Обозначим вре-
временно
Тогда согласно уравнению A4.6) имеем:
~P(f, R) =Ф(г, R) - ро.
Ввиду постоянства вектора р0 на основании выражения C4) П.1
получаем:
rot Р = rot (Ф ро) = [grad Ф, ро] =
дФ R ^1 1 дФ г~? •+,
Введем теперь сферическую систему координат /?, 8, а с центром
в осцилляторе Q и полярной осью, параллельной вектору р0 (рис.
14.2), и будем рассматривать в каждой точке проекции всех векто-
векторов на взаимно перпендикулярные направления возрастания сфе-
сферических координат: ur, пв, па- Очевидно, вектор [/?, ро] в каждой
точке поля М направлен по касательной к параллели в сторону
Убывания угла а. Численная его величина равна:
\{Ry ро] | =
^едовательно, составляющие вектора [/?, р]0 в направлении воз-
Растания координат /?, Э, а равны:
R, Po]r= [% Po]e=0; [7f, po]*= — Rp0sin0.
191

Соответственно этому
(rotP)*= (rot Р) в = О,
(rotP),= —posine— =—sine
; dR dR
Внося это в выражение A4.8), получим:
В* = Б„=:0; Ba=fsmQ-??~. A4.8')
at oH '
Из A4.8) следует, что силовые линии магнитного поля совпадают
с параллелями.
14.5. Электрическое поле осциллятора. Напряженность поля ?
на основании A4.9) равна:
Е = k rot rot P = k rot a,
где а = rot P. Тогда вектор Е имеет следующие составляющие:
?» = t(roU). - -g^ {— (sin e ¦ a.) - i?),
.=-J_ {^-JL (Ksine ¦ a.)},
В нашей задаче отлична от нуля единственная составляющая
aa= (rot"P)a=— sinO-^-.
Поэтому имеем:
/?sin8 d9 V d/J / R dR
R dR\X dR )
?a = 0. A4.90
Из выражений A4.9') следует, что векторные линии электрического
поля Е лежат в меридианальной плоскости. Таким образом, век-
векторы В и Е электромагнитного поля осциллятора взаимно орто-
ортогональны.
192

14.5. Гармонический осциллятор. Рассмотрим частный принци-
принципиально важный случай, когда осциллятор совершает незатухаю-
незатухающие гармонические колебания, то есть предположим, что
A4.10)
—>
где со — циклическая частота. В этом случае вектор Р и производ-
производные, входящие в выражения A4.9'), равны:
P(t, R) = М
(>~т)
R
* Л
dP
dR ' v \ R2 cR I \R с )
dR\ dR) ~ dR [\ . с ) j { с
i®R\ dP
R с 1 j \ R с с2 ,
Отличные от нуля слагающие векторов В и Е равны:
Рассмотрим эти слагающие векторов поля В и Е для двух край-
них случаев: в непосредственной близости к осциллятору и на
значительном расстоянии от него. Мерилом расстояния примем
отношение абсолютных величин членов полиномов, входящих в вы^
раженне A4.11), то есть отношение — к — = —— , где Т —
R с Т • с
колебаний осциллятора. Заметим, что Т • с = X, где X —
электромагнитной волны, излучаемой осциллятором. Так,
—1136 193

что близкими к осциллятору точками будем считать тйкие, для
которых
1 чу со _ 2я
D п \
или
*«¦=•
то есть расстояние которых много меньше длины его волны. Уда-
ленными от осциллятора точками будем считать такие, для кото-
которых
~2з7#
14.6. Поле вблизи осциллятора. При R <С , ®[t ~ )^
2я \ с )
»со(/), так что
Таким образом, вблизи осциллятора поле его в каждый момент
времени / определяется одновременным с t значением момента
осциллятора p(t) и его производной по времени р, то есть запаз-
запаздывание вблизи осциллятора пренебрежимо мало.
В выражениях A4.11) можно ограничиться лишь первыми чле-
членами и принять:
i ^ = /^|p|. A4.12)
Из выражений A4.12) следует, что электрическое поле вблизи
осциллятора с составляющими ER и Еь совпадает с полем стати-
статического диполя, момент р которого равен мгновенному значению
p(t) электрического момента осциллятора (см. упр. 14).
Если осциллятор рассматривать как отрезок линейного тока
194

т0 создаваемое им магнитное пбле в соответствий с законом Био
Савара (9.25) характеризуется индукцией
абсолютная величина которой совпадает со значением Ва A4.12).
Таким образом, магнитное поле вблизи осциллятора совпадает
с полем эквивалентного р отрезка тока. Из выражений A4.12)
следует, что вблизи осцилятора электрическое поле убывает с рас-
расстоянием пропорционально , а магнитное поле убывает пропор-
пропорционально —Ь-.
14.7. Поле едали от осциллятора. Области поля, удаленные от
осциллятора на расстояние, много превышающее длину волны, на-
называются волновой зоной. В выражениях A4.11) для составляю-
составляющих векторов поля В и Е можно пренебречь всеми членами, содер-
содержащими в знаменателе R. В этом случае имеем:
p\t
= — sine
с2 с с3 R
p(t-
Et==- J&L sine .p = -J«zL sine
--)
sine p sine
с* с* R
Внесем сюда
ру-т)=
ограничимся вещественной частью, получим:
ER = Eb = 0; BR = Bq= 0, A4.13)
k (О2 /
jC8== cfia—— —- • sin 0 • pocos со [ i
c2 R \
Выражение A4.13) можно представить в виде:
A4.14)
195

который справедлив при любой форме зависимости p(t). Если
воспользоваться единичными векторами nRy m и па (рис. 14.2)
то волновое поле осциллятора A4.14) примет более наглядную
форму:
'= 1
R
Из A4.15) следует, что
Е = — \р\ sin0
R
В = -i- |p| sine • Да. A4.15)
cR
=У[10Н . A4.16)
Это соотношение в гауссовой абсолютной системе единиц выгля-
выглядит как равенство векторов напряженностей электрического и маг-
магнитного полей. В Международной системе единиц (СИ) эти век-
векторы имеют различные размерности и сравнивать их абсолютные
значения не имеет смысла. Формулы A4.15) показывают, что в
волновой зоне векторы напряженности электрического и магииi-
ного полей в любой точке М (рис. 14.2) взаимно перпендикулярны
и перпендикулярны также радиусу-вектору R, проведенному из
точки (начала координат), в которой находится излучающая си-
стема зарядов Q. Векторы поля ?, В и R образуют правовинтовую
тройку. По абсолютному значению напряженности поля убывают
обратно пропорционально расстоянию от осциллятора. Поле век-
векторов В и Е A4.13) описывает периодический по времени и про-
пространству процесс, называемый электромагнитной волной. Эта
волна является сферической, так как фаза ее зивисит только от t
и R. Она распространяется вдоль радиуса-вектора R со скоростью
света с. Таким образом, осциллятор излучает электромагнитную
волну, которая формируется в его волновой зоне. Фронт волны
сферический. На большом удалении от осциллятора малые его
участки можно рассматривать как плоские. Однако сходство вол-
волны, излучаемой осциллятором со сферической неполное, так как
волновое поле A4.13) не обладает сферической симметрией: ин-
интенсивность поля по различным направлениям неодинакова. На
оси осциллятора (9 = 0, 8 = я) поле минимально. Максимальное
значение полей достигается в экваториальной плоскости (б = -^-1*
Поле обладает осевой симметрией.
196

Очевидно, что волновое поле будет периодическим, если вели-
величина р — периодическая функция времени. Например, при гармо-
ч{1ческой зависимости дипольного момента р от времени излучает-
излучается соответствующая по частоте монохроматическая волна длины
^ 0)
Наконец, заметим, что излучение имеет место только при усло-
условии, что р =7^= 0. Это следует из формулы A4.15): поля Е и В
оПределяются второй производной по времени от дипольного момен-
момента системы. Поэтому такое излучение называется дипольным. Так
как р = 2 ?; т-и то р = 2 еь vt. Следовательно, излучать заряды
могут только в том случае, если они движутся с ускорением. Рав-
Равномерно движущиеся заряды не излучают.
14.8. Энергия, излучаемая осциллятором. Поток электромагнит-
электромагнитной энергии характеризуется вектором Пойтинга
ff= [?, Н] = JL -?Lsin2e -nR= -I— .?-sin2 6 • n*. A4.17)
C[io R2 4лс R2
Направление потока энергии совпадает с направлением распростра-
распространения волны. Количество энергии, излучаемой осциллятором по
различным направлениям, неодинаково и зависит от угла 0. Мак-
Максимальное излучение сосредоточено вблизи экваториальной пло-
плоскости. Важной характеристикой излучающей системы является
мощность излучения, то есть полный поток энергии по всем направ-
направлениям за единицу времени
N= <p ГЬ dS, A4.18)
где S — произвольная замкнутая поверхность, охватывающая ис-
источник излучения. Производя вычисления в сферической системе
координат (см. упр. 14.6), найдем:
N= — fp2. A4.19)
Для гармонического осциллятора A4.10), используя выражения
(Н.15), найдем:
N = 2/p°2faL cos2 (vt—kR), A4.20)
Зс
k = -2L .
с
197

Из выражения A4.20) заключаем, что мощность гармоническо*
го осциллятора пропорциональна со4 или . Это означает, что
высокочастотное излучение обладает большой мощностью. Низкие
частоты колебания осциллятора порождают длинноволновое излу.
чение, обладающее малой мощностью. Отсюда следуют важные
рекомендации для практических приложений этой теории.
Упражнения
—>
14.1. Показать, что в разложении векторного потенциала А по-
поля системы движущихся зарядов первый интеграл в случае замк-
замкнутых токов равен нулю.
14.2. Показать, что потенциал ср A4.4) поля осциллятора при
независимости момента р от времени приводится к потенциалу
поля статического диполя
-> -*-
Ф =,?-*.
14.3. Покажите, что магнитное поле произвольного осциллято-
-*• -*¦
ра с моментом p=pof(t) перпендикулярно оси осциллятора, совпа-
дающей с р0.
14.4. Покажите, что электрическое поле произвольного осцил-
осциллятора лежит в меридианальной плоскости.
14.5. Показать, что электрическое поле вблизи гармонического
осциллятора совпадает с полем статического диполя, момент р ко-
которого равен мгновенному значению p(t) электрического момента
осциллятора.
14.6. Покажите, что мощность излучения N произвольного ос-
осциллятора определяется формулой A4.19).
14.7. Получите зависимость мощности гармонического осцилля-
осциллятора от частоты со и от длины волны X.
14.8. Вычислить полную энергию излучения гармонического
осциллятора за период, а также среднюю энергию излучения за
единицу времени.
196

Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте поле системы неподвижных зарядов, рас-
-*•
пределенных в некотором конечном объеме с плотностью р(г) в
случаях, когда система заряжена и когда она нейтральна.
2. Приведите выражения для потенциала и напряженности по-
поля статического диполя. Какой симметрией оно обладает?
3. Дайте определение дипольного момента нейтральной систе-
системы дискретных зарядов и системы непрерывно распределенных
зарядов.
4. В чем сходство и различие полей нейтральных систем непо-
неподвижных и движущихся зарядов?
5. Что называется осциллятором?
6. Приведите разложение в ряд Тейлора потенциала поля си-
системы движущихся в конечном объеме зарядов и охарактеризуйте
его для случая нейтральной системы.
7. Приведите и охарактеризуйте выражения для потенциалов
поля осциллятора.
8. Как выражаются векторы В и Е поля осциллятора через его
дипольный момент? Сравните эти выражения.
9. Как, не производя вычислений, показать, что магнитное поле
осциллятора находится в плоскостях параллелей, а электрическое
поле ортогонально ему?
10. Дайте определение гармонического осцилятора и охарак-
охарактеризуйте роль этой модели в электродинамике.
11. Что является мерилом расстояния точек поля от осцилля-
осциллятора? Какие точки считаются близкими и какие далекими от него?
12. Охарактеризуйте поле вблизи осциллятора.
13. Как и почему называется область поля, удаленная от ос-
осциллятора?
14. Охарактеризуйте поле в волновой зоне осциллятора.
15. Напишите: 1) уравнение гармонических колебаний для век-
векторов ? и В; 2) уравнения сферической и плоской электромагнит-
электромагнитных волн.
16. При каком условии система движущихся зарядов излучает
электромагнитные волны?
17. Охарактеризуйте энергию излучения осциллятора.
199

Глава IV. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА
УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Уравнения Максвелла выражают законы электродинамики, ко-
которые справедливы во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).
Это установлено экспериментально. Однако величины, входящие в
уравнения электродинамики, проявляют себя по-разному: напри-
например, численная величина заряда q не зависит от выбора системы
отсчета, а векторы поля Е, D, В, Я, плотности тока / и др. зави-
зависят от выбора системы. Поэтому следует установить, как, изменя-
-> —>
ются векторы /, ?, .., при- переходе от одной инерциальной системы
к другой, а также доказать инвариантность уравнений электроди-
электродинамики при преобразованиях координат, сопровождающих переход
от одной ИСО К к другой К'.
В отличие от объектов механики электромагнитное поле явля-
является предельно релятивистским объектом: оно распространяется в
пространстве со скоростью света с. Поэтому классические форму-
формулы преобразования Галилея здесь непригодны, так как следует
преобразовывать не только координаты, но и время. Такими явля-
являются преобразования Лоренца, относительно которых уравнения
поля ковариантны, то есть сохраняют форму во всех ИСО. Это
утверждение неочевидно, так как уравнения Максвелла обычно
используются в трехмерной форме, а их ковариантная запись тре-
требует четырехмерной формы.
Анализ релятивистских особенностей уравнений поля и вывод
релятивистской формы законов электромагнетизма требуют знания
основ специальной теории относительности (СТО), необходимый
минимум которой приведен ниже.
§ 15. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТО
15.1. Постулаты СТО. В результате анализа многовековых на-
наблюдений и результатов экспериментов, завершившихся опытами
Майкельсона и Морли. А. Эйнштейн в 1905 году сформулировал
специальный принцип относительности (СТО), который базирует-
базируется на, двух постулатах:
1) скорость света с постоянна и не зависит от движения источ-
источника или приемника света;
2) все инерциальные системы отсчета равноправны относитель-
относительно всех физических явлений.
Релятивистская механика, основанная на этих постулатах, пе-
переходит в ньютоновскую, если принять с~-+оо. С позиций класси-
200

ческой механики оба постулата несовместимы. Принятие их потре*
ковало отказа от абсолютного времени и повлекло принятие нозых
представлений о пространстве и времени, которые сводятся к сле-
следующему: каждая система отсчета К имеет собственные измерения
пространства и времени, не совпадающие с измерениями в другой
системе К'. При этом сохраняются классические представления об
однородности и изотропности пространства. Таким образом, прин-
принцип относительности Эйнштейна внес фундаментальные изменения
в основные физические понятия. Наши представления о простран-
пространстве и времени, заимствованные из повседневной жизни, оказались
приближенными, связанными с тем, что обычно мы имеем дело со
скоростями движения v <С с.
15.2. Пространство в СТО, в отличие от трехмерного простран-
пространства классической физики, по предложению Минковского A908)
рассматривают как четырехмерное в пространственно-временном
смысле. Каждая его точка называется событием и характеризует-
характеризуется четверкой чисел: t, х, у, г, обозначающих его время и место.
Это пространство принимают псевдоевклидовым, то есть все его
оси координат взаимно ортогональны; как и в классической меха-
механике оно однородно и изотропно. Расстояние между двумя его
точками — событиями A\(tu х{> уи %\) и Л2(*2, я2, у2, ?г) называет-
называется интервалом и определяется выражением:
5?2= c2(t2-txJ- (х2-х{J- (У2-У1J- (z2-ziJ. A5.1)
Для интервала dS двуя бесконечно близких событий имеем:
(dSJ = c2(dtJ—(dxJ—(dyJ—(dzJ. A5.2)
Выражение A5.1) можно записать короче:
где /i2 — пространственное расстояние между событиями Л1 и А2.
Интервал — величина инвариантная, то есть не зависит от выбора
ИСО. Это является математическим выражением принципа инва-
инвариантности скорости света.
Различают три вида интервалов:
1) времениподобный, если S?2> 0;
2) светоподобный, если 5?2= 0;
3) пространственноподобный, если 5?2<0.
Для времениподобного интервала 5i2 двух событий в силу его
инвариантности относительно систем К и К' имеем:
22 2~l'2ti. A5,4)
201

Если в системе К' оба события происходят в одной точке про.
странства, то /'?2= 0, тогда имеем:
Отсюда находим время, протекшее между этими событиями в си-
системе К':
^. A5.5)
События, происходящие с одним и тем же телом, всегда разделены
времениподобным интервалом, так как пространственное расстоя-
расстояние /12 между событиями А\ и А2 тело проходит со скоростью, не
превышающей скорости света с.
Светоподобный интервал Si2 = 0 означает, что c2^i2=/?2> то
есть пространственное расстояние 1\2 между событиями Ai и Л2
сигнал проходит со скоростью света с. Отсюда и название интер-
интервала.
Пространственноподобный интервал Si2 — величина мнимая.
Из A5.4) следует, что для таких событий А\ и А2 можно найти
систему К', относительно которой они произошли одновременно в
разных точках пространства. Вид интервала, а он инвариантный,
позволяет установить взаимосвязь событий А\ и А2. Чтобы два
события находились в причинно-следственной связи, надо чтобы
они были разделены времениподобным или светоподобным интер-
интервалом.
15.3. Преобразования Лоренца. Переходу от одной ИСО К к
другой К' соответствует преобразование координат в псевдоевкли-
псевдоевклидовом четырехмерном пространстве, оставляющее инвариантным
интервал SX2 между двумя событиями. Это преобразование полу-
получено Лоренцем и носит его имя. Для случая, когда система Кг
движется со скоростью v0 вдоль оси Ох системы К, оно имеет вид:
УрХ
l~ с% XVot . A5.6)
у' = у; z' = z.
При v0 «С с преобразования Лоренца переходят в классические
формулы Галилея. Из формул преобразования Лоренца A5.6) вы-
вытекают важные кинематические следствия:
202

1) лоренцево сокращение длины тела в направлении движения:
/l-^L. A57)
где /о — инвариантная, собственная длина тела, измеренная в той
системе отсчета, например /С, относительно которой тело покоится;
/ — длина тела щ системе К\ относительно которой тело движет-
движется со скоростью v0 параллельно /.
Поперечные к направлению движения размеры тела не затра-
затрагиваются преобразованиями A5.6), поэтому объем V тела при пе-
переходе от системы К к системе К' изменяется по закону
V= Vo\/ 1-^. A5.8)
г С
2) Релятивистский закон сложения скоростей, который для слу-
случая, когда относительная скорость v' частицы в системе К парал-
параллельна переносной скорости v0 этой системы, имеет вид:
~
v= ?+^ . A5.9)
+
с2
3) Изменение интервала времени между событиями при пере-
переходе от одной системы К к другой К'\
--^~. A5.10)
с2
Соотношение A5.10) позволяет различать собственное и лабора-
лабораторное время. Время т, отсчитываемое по часам, движущимся вме-
вместе с данным объектом, называется собственным временем данного
объекта. Иначе: часы, покоящиеся в системе К\ связанной жестко
с движущимся объектом, показывают его собственное время т, свя-
связанное с показанием t часов в системе К соотношением:
т = *1/ 1 ——-• A5.11)
Собственное время т минимально. Это инвариант преобразований
Лоренца. Этот результат трактуют как эффект замедления вре-
времени, измеряемого движущимися часами. Движущиеся часы идут
Медленнее покоящихся.
4) Относительность понятия одновременности двух событий:
события Л и В, одновременные в одной системе /С, в общем
случае не являются одновременными в другой системе /('.
203

Радикальные изменения в представлениях о пространстве ц
р.ремени, выраженные в преобразованиях Лоренца, повлекли изме-
изменение таких фундаментальных понятий динамики, как импульс }1
энергия. Сформулированные ранее физические законы, подтверж-
подтвержденные экспериментально при малых скоростях движения (у<с)(
изменили свою форму в области больших скоростей.
15.4. Релятивистские импульс и энергия. Релятивистским им-
импульсом точки называется вектор
pr = mry) A5.12)
где
m m{v) т A5.13)
с2
— релятивистская масса точки; т — масса покоя, инвариантная
относительно преобразований Лоренца, v — скорость точки. Как
веден вектор рг?
По аналогии с трехмерным пространством, где положение точ-
точки характеризуется тремя координатами, точка (событие) четырех-
четырехмерного мира определяется четырьмя координатами: тремя про-
пространственными и временной,-которую удобно в математическом
плане выбрать мнимой. Обозначим:
Х0 = Ш, Х\ = X, Х2 = У, Хз = Z,
где i = У — 1. Эти координаты можно рассматривать как компо-
компоненты четырехмерного радиуса — вектора га D-вектора г), прове-
проведенного из начала координат системы К в точку, изображающую
событие в мире Минковского, то есть в движущуюся точку. Зави-
Зависимость г = г(т) представляет собой уравнение движения точки
в четырехмерном мире; т — собственное время. Вектор
и= — A5.14)
dx K
называется 4-вектором скорости. Более строгое определение век-
векторов в четырехмерном мире будет дано в § 16, где излагается
математический аппарат. Учитывая связь dx и dt, получим:
dx
dt
204

пли
/--г
здесь во, еи ...— единичные орты соответствующих осей, Uq =
•-. 4-вектор импульса р определяется подобно трех-
трехмерному:
icm "* , mv
р = mu=
- Pr. A5.15)
Таким образом, релятивистский импульс рг является составной
частью 4-вектора р.
Полной релятивистской энергией Ег точки называется сумма
Ег=Тг + тс2 = тс2 , A5.16)
где Тг — релятивистская кинетическая энергия точки, пгс2 — энер-
энергия покоя. Полная релятивистская энергия Ег связана с реляти-
релятивистским импульсом соотношением:
Er = cipr2 + пг2с*. A5.17)
^ A5.17) следует возможность существования частиц с массой
покоя щ = 0. Одновременно они имеют отличные от нуля реляти-
релятивистские импульс, энергию и массу. Релятивистская масса опреде-
определяется её энергией Ег\
nir= -^-«=-?- . A5.18)
205

Примером частицы с нулевой массой покоя является фотон.
него Er = hv, pr = —- = —^- . Выражение A5.17) для фотоиа
с с
принимает вид:
AV = <*(*'-?- +т*сА.
Это равенство выполняется только при т = 0.
15.5. Второй закон Ньютона в СТО. Закон сохранения энергии
и импульса. Обобщения кинематических величин позволяют сфор-
сформулировать II закон Ньютона в четырехмерном виде:
F = т -^- , A5.19)
d%
который следует рассматривать как определение 4-вектора силы
F. Здесь
A5.20)
— 4-вектор скорости, d% = df\/ \ — — дифференциал собствен-
собственного времени. Из A5.19) следует связь F с F
F • v F \
f- /¦-¦!
A5.21)
с2 )
Тогда три скалярных уравнения A5.19), соответствующих прост-
пространственным компонентам F выражают релятивистский II закон
Ньютона:
-4-(mrfl) =F, A5.22)
dt
где mr — релятивистская масса точки. Для изолированной точки
(F=0) из A5,22) следует закон сохранения релятивистского им-
импульса
mrv = const. A5.23)
206

Четвертое уравнение системы A5.19), соответствующее временной
оОрдинате ict, приводит к уравнению энергии
dEr
dt
= F -v, A5.24)
где Er — полная релятивистская энергия. При F = 0 из A5.24)
пОлучаем закон сохранения энергии в СТО для изолированной
точки.
Таким образом, в СТО уравнение энергии A5.24) является со-
сТавной частью II закона Ньютона в четырехмерной форме. Зако-
Законы сохранения энергии и импульса для изолированной частицы
следуют из четырехмерной формы II закона Ньютона A5.19).
Рассмотрение системы частиц потребовало ввести понятие
поля, как самостоятельного материального объекта с присущими
ему энергией и импульсом. Посредством поля осуществляется
взаимодействие между заряженными частицами. Для замкнутой
системы, состоящей из электромагнитного поля и зарядов, также
имеют место рассмотренные выше законы сохранения энергии и
импульса. Чтобы применить выводы СТО к описанию электромаг-
электромагнитных процессов и привести уравнения электродинамики в кова-
риантную форму, сохраняющуюся во всех системах, необходимо
напомнить некоторые сведения об ортогональных преобразованиях
координат в трехмерном пространстве и обобщить их на четырех-
четырехмерный мир пространства Минковского, что и будет сделано в сле-
следующем параграфе.
Упражнения
Покажите справедливость утверждений 15.1—15.9.
15.1. Два события, происходящие в одной точке пространства,
связаны времениподобным интервалом.
15.2. Два события, произошедшие одновременно, разделены
пространственноподобным интервалом.
15.3. Из преобразований Лоренца A5.6) следует сокращение
Длины тела в направлении движения A5.7).
15.4. Собственное время % связано с лабораторным временем
1 соотношением A5.11).
15.5. Собственное время т является инвариантом преобразова-
преобразовали Лоренца.
15.6. Частицы с массой покоя, равной нулю, могут двигаться
только со скоростью света с.
207

15.7. Энергия ?V и релятивистский импульс рг связаны соотнес
шением A5.17).
15.8. Из определения F A5.19) следует её связь с силой f
вида A5.21).
15.9. Уравнение A5.19), соответствующее временной компонец.
те силы, приводит к уравнению энергии A5.24).
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постановку вопроса об инвариантности уран,
нений Максвелла относительно преобразования инерциальных си-
систем координат.
2. Какие системы отсчета называются инерциальными? Какова
роль этого понятия в физике?
3. Приведите и охарактеризуйте классические формулы преоб-
преобразования Галилея. Укажите инварианты этих преобразований.
4. Какие результаты наблюдений и экспериментов составили
основания СТО?
5. Сформулируйте постулаты СТО и проведите их анализ.
6. Какие изменения в представлениях о пространстве и времени
произошли в результате принятия постулатов СТО?
7. В чем отличие пространства СТО (Минковского) от класси-
классического ньютоновского пространства?
8. Какую роль играет пространство Минковского в описании
физических явлений?
9. Приведите определение интервала между двумя событиями
в мире Минковского. Как в нем отражена псевдоевклидовость
пространства СТО?
10. Назовите виды интервалов и приведите примеры каждого
из них.
11. Приведите формулы преобразований Лоренца для частного
случая движения системы К! и точки. Охарактеризуйте их.
12. Какие кинематические следствия вытекают из преобразова-
преобразований Лоренца?
13. Что такое собственное время? Лабораторное время? Какова
связь между ними?
14. Перечислите инварианты преобразований Лоренца.
15. Приведите понятия координат, радиуса-вектора, уравнения
движения и скорости точки в четырехмерном мире.
16. Дайте определение релятивистского импульса точки. Как
он связан с 4-вектором р?
17. Напишите выражение для полной релятивистской энергий
точки. Как она связана с релятивистским импульсом? Какова связь
энергии с импульсом точки в ньютоновской механике?
208

18. Сформулируйте II закон Ньютона й четырехмерной форме,
его понимать?
19. Приведите выражение II закона Ньютона в СТО и проана-
проанализируйте его.
20. Напишите и проанализируйте уравнение, соответствующее
временной компоненте силы F в уравнении A5.19).
21. Какие законы сохранения для материальной точки следуют
113 II закона Ньютона в четырехмерной форме?
22. Какой вид принимают эти законы для системы?
23. Что означает ковариантная форма уравнений электроди-
электродинамики?
§ 16. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
16.1. Трехмерное пространство. Преобразование координат
точки. Рассмотрим положение какой-либо точки относительно двух
декартовых систем координат К и К' с общим началом 0. Будем
обозначать координаты точки одной буквой
* = *Ь # = *2, 2 = Х3. A6Л)
Единичные орты соответствующих осей обозначим: ги г^, г$. В си-
силу ортогональности координат системы имеем:
.(О прио^р, A62)
{ 1 при a=i[J.
Аналогично в системе К';
*'=*/, у'=х2', z'=xz'.
.hi. A62')
Координаты какой-либо точки можно рассматривать как состав-
составляющие радиуса-вектора R, проведенного из начала координат в
ЭТУ точку. Его можно представить в виде:
^множим вектор R A6.3) скалярно на га\ получим:
*а' = га'-Я A6.4)
14-И36 209

или
Ха' =
Аналогично получим:
A6.6)
Из выражений A6.5) и A6.6) следует, что при переходе от систе-
системы К к К' и обратно компоненты радиуса-вектора R преобразу-
преобразуются по линейному закону.
16.2. Трехмерные векторы. В общем случае, если три величины
Аи Л2, Л3 при переходе от системы К к системе К' преобразуются
по формулам вида A6.5) и A6.6)
з з
A6.7)
то они образуют трехмерный вектор, а сами величины Ль Лг, Л3
называются его компонентами. Получим условие для коэффициен-
коэффициентов преобразования aap. Из A6.3) следует, что скалярная вели-
величина R2 сохраняется при переходе от одной системы к другой,
то есть
я8=i с*.?-
Подставим ха' A6.5) в выражение A6.8), получим:
R2 = 2 (** J e S *•'' *¦' в S S «-Р^Р S а*Л =
a a a p f—1
== У aa^paaTjtT = У *р' хт 2 а«эа«т = Я2- A6-9)
Так как левая часть равна правой, то должно выполняться следу-
следующее условие для коэффициентов:
A6Л0)
1 при P=v.
Если A6.8) записать как ^(^зJ, то получим условия для коэф-
коэффициентов обратного преобразования
1 при р=
210

коэффициенты й«р удобно зависать в биде матрицы:
#31
#22
032
#23
#33
условия A6.10) и A6.11) означают, что произведения различных
столбцов и строк этой матрицы равны нулю, а произведение столб-
столбцов или строк на самих себя равны единице. Эти соотношения вы-
выражают условия ортогональности преобразования, сохраняющего
абсолютную величину вектора.
16.3. Четырехмерный мир. Преобразования Лоренца. В п. 15.4
yiu ввели координаты точки (события) четырехмерного мира:
хо=Ш, х\—х, х2=у, Хз = г. A6.12)
Преобразования Лоренца A5.6), записанные для случая, когда
система К! движется вдоль оси Ох системы К со скоростью и0,
можно записать в виде:
Хо =
V1-P2
У1-Р2
1
хх + 0 • х2 + 0 •
хх + 0 • х2 + 0 •
х2' = 0 • х0 + 0 - xi + 1 • х2 + 0 • *3,
хъ' = 0 • х0 + 0 • Xi + 0 • х2 + 1 • хг,
где р =j
=,.?•
Эти линейные преобразования более компактно запишем в виде
A6.7):
з
х* — 2а«т*т> а==0> *> 2> 3-
A6.13)
Коэффициенты а«т определяются матрицей:
j_ _^i&_ 0
У1-рз У1—ра
Ф 1
yi-p2
0
0
У1—Ря
0
0
1
0
О
A6.14)
211

Обратные преобразования координат производятся по формулам,
аналогичным A6.6):
з
*«=2ат«*т'- A6Л5)
т-о
Коэффициенты удовлетворяют условиям ортогональности:
ПРИ
A6.16)
1 при у=к.
Таким образом, преобразования Лоренца A5.6) формально сход.
ны с ортогональными преобразованиями координат точки в трех-
мерном мире.
16.4. Векторы в четырехмерном мире. Совокупность четырех
величин Аи А2, Л3, Л4, которые при переходе от системы К к си-
системе К! преобразуются по формулам A6.13) с теми же коэффи-
коэффициентами а«т образуют вектор в четырехмерном мире. Таким
образом имеем:
з
Ах'= 2 a*v&v
Лв=2а7а.Л/. A6.17)
т=о
Возведем первое из выражений A6.17) в квадрат и сложим, полу-
получим инвариантную величину, называемую квадратом вектора в че-
четырехмерном мире:
2 (д«>* = 2 я*Ая«нА = 2 лА2а^а^ " S W •
Примером 4-вектора является совокупность координат A6.12) ми-
мировой точки, определяющая вектор г или ra. Квадрат этого век-
вектора равен:
2
a=Q
где S — интервал между двумя точками-событиями. Так как диф-
дифференциал собственного времени dx — величина инвариантная, то
совокупность четырех производных
dx0 dx\ dx2 dx$
dx dx dx dx
образует вектор скорости и в четырехмерном мире D-вектор ско-
скорости иа).
212

16.5. 4-вектор скорости и его связь со скоростью точки в трех-
трехмерном мире. Установим связь компонент 4-вектора скорости
ил = ^, a=<W,2,3 A6.18)
ах
с компонентами обычной скорости и точки в трехмерном мире их,
Uy, иг. Учтем, что:
xo=ict, хх = х, х2=У, Xz=z,
dx = dt у 1 - iL-f u2 = ux2 + uy2 + иД
В соответствии с определением A6.18) имеем:
1С
по = —~ —
dx
dx i /—S"
dt l/ i —ii-
^_ с?дсд dy_
dx - ==r. A6.19)
'--f
* -/-s- И71?
1/3 = —— =
* -/-5-
Эти соотношения выражают связь компонент wa 4-вектора скоро-
скорости с компонентами иХу иу, и2. Из A6.19) следует, что:
16.6. Преобразования компонент 4-вектора скорости при пре-
преобразовании координат Лоренца. При переходе от системы К к
системе К' компоненты и* преобразуются по формулам A6.17),
коэффициенты а«т определяются матрицей A6.14). Имеем:
и0' = Ц>—Ф"! . и' =
с
213

Перейдем к трехмерным обозначениям, учитывая A6.19):
1С
ic
1 —
с2
сокращая на ic, получим:
1
VqUx
У1-Р2
/-¦?-
Далее преобразуем выражение для и\\
(a).
(Ь).
Для w2x и a3' имеем:
С помощью соотношения (а) выражение (Ь) принимает вид:
(с).
их' =
г/ их
Перепишем это соотношение иначе:
„ _ Vo+l/x
1 +
A6.20)
Это известная формула сложения скоростей в СТО, полученная
из формул преобразования компонент 4-вектора скорости.
Далее выражения (с) приводятся к виду:
и'-и
Uy Ну
/ VI—В2
и/ = иг —у-—Е-
1—¦
1 —
С2 С2
Таким образом, формулы преобразования компонент трехмерной
скорости и точки получены как следствия ортогональных преоб-
зований компонент 4-вектора скорости и%.
214

16.7. Трехмерные тензоры. Рассмотрим два вектора А и В с
компонентами Au А2, As и Bu B2y Въ. Составим девять величин
вида:
Tal = A*Bv A6.21)
Компоненты векторов Аа и fi7 преобразуются по формулам A6.17),
поэтому формулы преобразования для величин Тат имеют вид:
Следовательно, величины Т^ при переходе от системы К к си-
системе К преобразуются по формулам:
A6.22)
а, т=1,2, 3.
Коэффициенты имеют те же значения, что и в формулах преобра-
преобразования векторов. Совокупность девяти величин Тч A6.21), кото-
которые при переходе от системы К к системе К' преобразуются по
формулам A6.22), называется тензором II ранга. По каждому
индексу компоненты тензора преобразуются как вектор.
16.8. Четырехмерный тензор II ранга определяется как сово-
совокупность 16 величин, которые при переходе от системы К к систе-
системе /(', преобразуются по формулам:
Т17= 2 0«4*0Tx7Vx- A6.23)
В общем случае совокупность величин Г.^ «л» зависящих от
п индексов и преобразующихся при переходе от системы К к К'
по каждому индексу как вектор, называется тензором п-го ранга.
Так скаляр — это тензор нулевого ранга, вектор — тензор первого
ранга и т. д. В физике используются тензоры до 4 ранга. Если
Т^ = 7\а, то тензор называется симметричным, если ГаТ =
= —7\а —антисимметричным. Свойство симметрии тензора ин-
инвариантно, то есть не зависит от выбора системы координат. Любой
тензор Г«т можно представить в виде суммы симметричного и
антисимметричного тензоров. Тензоры можно складывать. Суммой
тензоров называется тензор, компоненты которого равны сумме
соответствующих компонент слагаемых тензоров. Аналогично опре-
определяется разность тензоров.
215

16.9. Элементы тензорного анализа.
1. Четырехмерный градиент. Рассмотрим скалярную функцию
четырех переменных ф (х0, хи х2, хъ) и запишем ее полный диффе,
ренциал
Лр = i2_ dXo + iS_ rfXl + -2L- d*2 + -fL. dx3. A6.24)
d*0 d*[ d*2 dxz '
Приращение функции dq> при смещении из одной точки в другую
является величиной инвариантной. Из инвариантности выражения
A6.24) можно заключить, что совокупность производных
djco (?a:i дх2 дхз
образует четырехмерный градиент. Формально его можно предста-
представить как произведение четырехмерного векторного оператора
на скаляр ф.
Векторный характер оператора Va следует из формул A6.6)
преобразования координат
Следовательно, имеем связь, аналогичную A6.17):
выражающую, что оператор производных преобразуется по форму-
формулам преобразования координат.
2. Четырехмерная дивергенция. Скалярное произведение век-
векторного оператора Va A6.26) на четырехмерный вектор Ал яв-
является инвариантом
дА0 дАх дА2 дАз ^дАа .
h +ЬA6.28)
ДаЛаhr +Ьт
oxq dxi дх2 дхз ?
который называется четырехмерной дивергенцией вектора Аа*
3. Оператор Даламбера. Если в формуле A6.28) в качестве
вектора Аа взять четырехмерный градиент A6.25), получим инва-
инвариантное дифференциальное выражение
^ + J^+^-+J^P-= inv. A6.29)
дхо2 дхх* дх^ дх? ч
216

Оператор
--±тт- A6.30)
называется оператором Даламбера. Его инвариантность относи-
относительно преобразований Лоренца является следствием инвариант-
инвариантности оператора Va A6.26) квадратом которого он является.
4. Дифференцирование тензоров. Тензор можно дифференциро-
дифференцировать. В результате дифференцирования тензора по координатам,
получаем тензор, ранг которого выше на единицу. Так, дифферен-
дифференцируя скаляр, получаем вектор, дифференцируя вектор, получаем
тензор второго ранга. Повышение ранга тензора при дифференци-
дифференцировании в общем случае следует из соотношения A6.27).
5. Четырехмерный ротор. Из вектора А% с помощью дифферен-
дифференцирования можно образовать антисимметричный тензор
п дА,- dAi
ГЦ = — ,
OXi OX,
называемый четырехмерным ротором. Его пространственные ком-
-*- -¦•
поненты совпадают с компонентами rot Л, где А — вектор трех-
трехмерного мира.
Заключение. Принцип относительности требует, чтобы все за-
законы природы имели одинаковый вид во всех инерциальных систе-
системах отсчета (HCQ). Это значит, что при переходе от системы К
к системе К' вид уравнений, выражающих эти законы, должен
сохраняться. Это достигается автоматически, если законы природы
записывать в тензорном виде. Ковариантность законов в этом слу-
случае следует непосредственно из их вида и не требует специальной
проверки.
Упражнения
16.1. Показать, что приведенные соотношения являются инва-
инвариантами. Указание: это задание сводится к тому, чтобы показать,
что приведенные соотношения в системе /Сив системе К! имеют
одинаковый вид, если системы связаны ортогональным преобразо-
преобразованием координат.
1) 2Ла- Ва= inv.
2) 2 Bss = inv.
s
217

3) 2 Bsi - А3 • Ai = inv.
4) 2 Bsi • fis< = B2 = inv.
16.2. Показать, что 2 Dsik — Dk — вектор.
s = l
16.3. Показать, что 2 DsikAsBi = Ck — вектор.
s,l
Контрольные вопросы
1. Запишите и охарактеризуйте ортогональные преобразования
координат точки в трехмерном мире.
2. Приведите определение трехмерного вектора и формулы
преобразования его компонент при ортогональном преобразовании
координат.
3. Охарактеризуйте матрицу коэффициентов преобразования.
4. Запишите формулы преобразования координат Лоренца. Что
общего у них с выражениями для ортогонального преобразования
координат?
5. Приведите определение и пример вектора в четырехмерном
мире.
6. Как связаны компоненты 4-вектора скорости иа с компонен-
тами скорости и в трехмерном мире?
7. Охарактеризуйте формулы преобразования компонент 4-век-
4-вектора скорости при переходе от одной системы к другой.
8. Приведите определение тензора II, III ранга. Охарактери-
Охарактеризуйте роль этого понятия в физике.
9. Что называется градиентом скалярной функции в четырех-
четырехмерном мире?
10. Как выражается четырехмерный векторный оператор V,
через оператор Гамильтона V?
11. Как преобразуется оператор производной при переходе от
одной системы к другой?
12. Приведите определение четырехмерной дивергенции век-
вектора.
13. Как связан оператор Даламбера с оператором Va ? Что
можно сказать о его инвариантности?
14. Поясните операцию дифференцирования тензора.
15. Приведите и охарактеризуйте определение ротора в четы-
четырехмерном мире. Какие операции с тензором использованы в этом
определении?
218

§ 17. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Чтобы получить релятивистски инвариантные выражения основ-
основных уравнений электродинамики (уравнений Максвелла, законов
сохранения и др.) надо помимо введенных в механике СТО 4-век-
торов (г«, иа> ра) ввести новые 4-векторы, содержащие физические
величины, входящие в классические (трехмерной формы) уравне-
уравнения электродинамики. К таким 4-векторам относятся векторы
плотности тока /«, потенциала поля Аа и др.
17.1. 4-вектор плотности тока /«. Закон сохранения заряда.
Одним из основных положений электродинамики является утверж-
утверждение факта инвариантности величины заряды при преобразова-
преобразованиях координат, соответствующих переходу от одной инерциальной
системы к другой. Поэтому закон сохранения заряда
•$?- +divpiT=O A7.1)
dt
справедлив во всех ИСО.
Придадим этому закону релятивистски-инвариантную форму.
Для этого введем 4-вектор плотности тока
h= («*>, Р«5, A7.2)
составляющие которого равны:
/о = %>, y'i = рих, /2 = риу, /3 = puz.
Плотность заряда р измерена в системе отсчета /С, относительно
которой он имеет скорость и. Через вектор j* A7.2) закон сохра-
сохранения заряда A7.1) можно записать в виде равенства нулю четы-
четырехмерной дивергенции:
jf=0. A7.3)
?о дх*
С помощью оператора
этот закон можно записать в форме:
V.-/« = 0. A7.3)
Компоненты 4-вектора при переходе от ИСО К к системе К' пре-
°бразуются по формулам вида A6.17). Предположим, что в систе-
ме К' заряд покоится (и'=0)\ тогда:
219

/о' == ^ро, /V = /У = /У = О,
где ро — плотность заряда в системе, где он покоится. По опреде.
лению ро есть скаляр преобразований Лоренца. Относительно си.
стемы К заряд движется со скоростью и. В соответствии е форму,
лами A6.17), учитывая, что преобразование координат обратное
будем иметь:
ifii цр0
Г '
/2 = 0, /з = 0, p=JL-. A7 4)
с
По определению A7.2) имеем: jo = icp9 j\ = pux = ри. Сравни-
Сравнивая это с выражениями A7.4), заключаем, что
р0
A7.5)
При движении объема dV0 в направлении оси Ох со скоростью и
он сокращается по закону
--^-. A7.6)
Из A7.5) и A7.6) следует инвариантность заряда
dq — pdV = podW
Это подтверждает и эксперимент. В соответствии с выражением
A7.5) компоненты /« A7.2) принимают вид:
/о = ро^о, /i = ро"ь /г = Ро^2, /з = ро^з A7 7)
или
/а = ро"а. A7.8)
Таким образом 4-вектор плотности тока представлен через скаляр
и 4-вектор скорости и*. Закон A7.3) сохранения заряда во всех
ИСО связан со скалярным характером этой величины.
17.2. 4-вектор потенциал ЛУ. Ковариантная форма уравнений
поля в потенциалах. Уравнения Максвелла с помощью потенциа-
—V
лов Аи ф (§ 4) приводятся к уравнениям Даламбера:
л<р - 4- 5-=-—р=-i«*
с2 ot2 eo
220

A7Л0)
Здесь учтено, что воЦо = • Потенциалы А и ф связаны калибро-
0Очным условием Лоренца
Уравнения A7*9) — A7.11) эквивалентны системе уравнений Мак-
Максвелла и практически без изменений могут быть записаны в реля-
релятивистски-инвариантной форме. Умножим на — уравнение A7.9),
с
тогда правые части уравнений A7.9) и A7.10) содержат компо-
компоненты 4-вектора плотности тока /«, следовательно, и левые части
этих уравнений содержат компоненты 4-вектора
A7.12)
называемого четырехмерным потенциалом электромагнитного по-
поля. Его пространственная часть совпадает с векторным потенциа-
потенциалом Л, а временная пропорциональна скалярному потенциалу:
i
с
С помощью векторов /а и Аа уравнения поля в потенциалах
A7.9)—A7.10) принимают вид:
A7.13)
где а=0, 1, 2, 3; ?—релятивистски-инвариантный оператор Да-
ламбера. Калибровочное условие A7.11) через 4-вектор Аа при-
принимает вид:
2-?-0 A7.14)
а=0 а
или
V.-i4«=0.
Т^ким образом, полная система уравнений для потенциалов
A7.9) — A7.11) представлена в релятивистски инвариантной фор-
Ме A7.13)—A7.14), а это означает, что во всех инерциальных
системах отсчета законы электродинамики имеют одинаковый вид.
и потенциалы А и ф, а также векторы поля ? и Б не являются
221

•4.
инвариантами, поэтому электрическое поле Е в одной системе
является полем электромагнитным в другой системе.
-+¦
17.3. Преобразование скалярного ф и векторного А потенциа*
лов электромагнитного поля при переходе от одной И СО к другой
-> *
Оба потенциала <р и А входят в 4-вектор A7.12):
Воспользуемся формулами преобразования компонент 4-вектора
Аа A6.17). Для Aq = — ф' имеем:
с
з
— у' = ^а*$А$ = а°оА°
— Ах
с < i (p—VoAx
Отсюда следует искомое выражение для потенциала ф' в системе
К:
Аналогично найдем выражение для составляющих векторного по-
потенциала:
А/ = Л,' = ф Ао + * Ах =
С2~
V0
Таким образом, выражения для потенциалов ф' и А' поля в систе-
системе К! следуют из общих формул преобразования компонент 4-век-
тора A6.17).
222

17.4. Тензор электромагнитного поля. Тензорная форма урав-
нений Максвелла. Уравнения поля в потенциалах ковариантны,
ит они справедливы в любой ИСО и в трехмерной форме.
разумеется векторы Ё и В при переходе от одной системы К к
-ругой К' изменяются. Их пересчет можно выполнить следующим
образом. Рассмотрим совокупность величин, составляющих анти-
антисимметричный тензор II ранга:
дА» дАа
^ = ~? > A7.15)
дха дхр
где а, Р = 0, 1, 2, 3; А* , А$ —компоненты 4-вектора потенциала
Аа, х*> х$ — компоненты 4 вектора га.
Используя формулы связи
В = rot Л, ? = — Уф —
дА
dt
можно найти все элементы тензора Fap. Расположим их в виде
таблицы так, что индекс а указывает номер строки, р — номер
столбца. Имеем:
О —Ех -^Еу +-Ег
A7.16)
с
с
i
Ех
¦Еу
Ег
0
-Bz
By
Вг
0
-вх
-By
вх
0
Тензор F<$ A7.16) называется тензором электромагнитного поля.
В нем объединены электрические и магнитные характеристики по-
поля, то есть содержится полное его описание. Все уравнения Макс-
Максвелла записываются через этот тензор в ковариантной форме.
В частности, первые два уравнения Максвелла
= — -22. div В = О
dt
с помощью тензора Fap записываются в форме:
A7.17)
223

где ос, 0, у = О, 1, 2, 3 и все различные. Другие два уравнения
Максвелла
rot В = |Ло7 + eo|io — > div ^ = — Р
dt 8o
принимают вид:
3 *р
1т* - *'- <»•»>
Уравнения A7.17) и A7.18) содержат описание электромагнитно*
го поля с помощью одной тензорной характеристики Fa$. Это под.
черкивает единство поля и условность его деления на электриче-
электрическое и магнитное. Ковариантность этих уравнений показывает
релятивистскую природу электромагнитного поля и основных
законов электродинамики. Открывается простой путь преобразо-
преобразования векторов поля В и Е при переходе от одной системы К к
другой К'.
17.5. Преобразование векторов поля при переходе от одной
инерциальной системы к другой. Инварианты поля. Каждая со-
составляющая векторов поля В и Е входит в тензор Fap? соответ-
соответствуя определенному элементу. Например: Ех = — Fob так как
i
F0{ = — Ех\ Вх = F2z и т. д. Используя общее правило преобра-
с
зования компонент тензора A6.23), имеем:
j
7.5=0
Давая соответствующие значения индексам а и р в пределах от
нуля до трех и используя матрицу коэффициентов аа$ A6.14),
получим:
* = ?*, ?>х = #х,
?/ = ?у-"иоВг ; Д/ = с2 ; A7.20)
Ez =
R V° F
Ez +1»0 By r> / c2
= 5г =
1/1- —
К с2
224.

формулы обратного преобразования получаем обращением знаки
vo'
л = ?* , XJjc = Dx ,
Л"
*
с2
В/ + -г-?/
?/ Г» / * • О
i — V^By гъ С2
=г ; йг =
формулы A7.21) часто удобнее, чем A7.20) г так как систему К'
жестко связывают с движущимся объектом и её скорость относи-
относительно системы К ра-вна vQy a не наоборот (—vo)y как йрн исполь-
использовании формул A7.20). Из^ формул A7.20) и A7.21) виден отно-
относительный характер разделения поля на электрическое и магнит-
магнитное.
Поле является предельно релятивистским объектом материаль-
материального мира. В релятивистской физике важное значение имеют не
относительные, а абсолютные величины — инварианты (скаляры)
преобразований Лоренца. Из формул преобразования векторов
поля следуют два инварианта электромагнитного поля:
д»—-Lfi»^ (В'J— — (Я'J = inv, A) A7.22)
с2 с2
= (В* • 1') = inv. B) A7.23)
Из первого инварианта следует, что если в системе К: В = — ?,
с
то и в системе К' также В' = — Е'.Из второго инварианта сле-
с
дует, что если в системе К векторы В и Е ортогональны, то и в
системе К' также В' JLE'. Из этих инвариантов следует сохране-
сохранение углов между векторами В и Е и соотношения между их моду-
модулями.
17.6. Эффект Доплера* Явление изменения частоты волны в за-
зависимости от скорости движения источника в системе наблюда-
т^ля составляет эффект Доплера для света. Электромагнитное
п°ле является предельно релятивистским объектом, поэтому мно-
15НШ 225

гие явлений и эффекты, связанные с полем, имеют релятивистскую
природу. Таковым является и эффект Доплера. Исследуем его,
используя преобразования Лоренца для 4-векторов и инварианты^
образованные из них.
Плоская электромагнитная волна в пустоте имеет инвариант-
инвариантную скорость распространения во всех инерциальных системах
отсчета, равную с. На основании инвариантов A7.22) и A7.23)
заключаем, что в любой ИСО сохраняется перпендикулярность
—> —>
векторов В и ? и соотношение между их модулями Е = сВ. Одно-
фазность колебаний векторов В и ? во всех ИСО свидетельствует
о том, что фаза ф = k • г—со/ является скаляром преобразований
Лоренца, а входящие в нее волновой вектор /гд частота колеба-
колебаний со преобразуются при переходе от одной ИСО к другой. Изме-
Изменение частоты со представляет собой эффект Доплера, а изменение
—>>
направления волнового вектора k — аберрацию. Очевидно, что оба
явления определяются относительной скоростью источника и при-
приемника излучения. По-прежнему рассмотрим две системы К и К\
оси Ох и Охг которых параллельны скорости vQ системы К' отно-
относительно К. Пусть источник волн покоится в системе /(', а плоская
волна распространяется в направлении единичного вектора п> об-
образующего угол v с осью Ох. Волновой вектор имеет вид:
?=—/Г. A7.24)
с
Скаляр ф = k r — со/ можно представить как произведение 4-век-
4-векторов
ф = &а*а,
где
Пользуясь формулами A6.17) для преобразования 4-вектора
з
и матрицей преобразований Лоренца A6.14), получим для времен-
временной составляющей волнового вектора выражение:
ь iVo ь
A7.25)
226

0з рисунки 17.1 видно, 4fo k{ = kx = knx — &cosv. Если учесть
вЫражение A7.24) и подставить сюда k0 = -i-2-, Ло' == JL? , полу-
получим правило преобразования частоты:
(Oil— Л^
\ с У
(О =
Обозначим через соо частоту света в системе, где источник покоит-
покоится и назовем её собственной частотой. Частота со, измеренная в
системе, относительно которой источник движется, выражается
через собственную частоту следующей формулой:
A7.26)
1 —
С
ГДе tt* = cosv, v — угол между направлением распространения
—>
света п и осью Ох системы К (рис. 17.1). Если направление луча
п совпадает с направлением движения источника, то м* = ±1.
Это соответствует известному из классической оптики эффекту
Доплера:
л/ \
который подтвержден экспериментально. Если направление луча
п перпендикулярно направлению движения источника, то пх =
= cosv = 0. В этом случае имеем поперечный эффект Доплера
Это эффект второго порядка малости по величине (—^-Л Он обус-
обусловлен наличием релятивистского множителя 1/ i — f—) в фор-
227

мул их преобразования 4-вектора ka и отражает чисто релятивист,
ский эффект замедления времени движущегося излучателя. Попе,
речный эффект Доплера подтвержден опытами Айвса.
17.7. Аберрация света. Это явление изменения направления
света, вызванное относительным движением источника и прием-
ника света, можно рассматривать, как следствие преобразований
Лоренца. Напомним, что из классической формулы сложения ско-
скоростей следует выражение для угла аберрации р (рис. 17.2):
A7.27)
tgp= -2L.
Эта формула справедлива при и0 <С с. В релятивистском случае
связь пх и Пх или углов v и v' найдём как следствие преобразо-
преобразования компонент волнового 4-вектора ka. Запишем сначала фор-
формулу преобразования для компоненты k\i
Из нее следует:
?'cosv'=
с2
v0 ш
k cos v — — —
c c
/-
Учитывая, что со = ck, получим:
@
COS V
— I
C I
V
c2
Подставим сюда значение частоты из формулы эффекта Доплера
A7.26), получим:
cos v —
cos v' =
1 Vo
1 — COS V
С
Исаользу» преобразование для компоненты /г/, аналогично полу-
получим:
22а

sin v —
/1 v°2
1 — cos v
Так как нас интересует зависимость угла v, измеряемого в систе-
системе, относительно которой источник движется, от угла v', то приме-
применим формулы обратного преобразования, которые отличаются от
приведенных выше выражений для cosv' и sinv' знаком перед Vo.
Деля второе выражение на первое, получим:
tgv= 1 ?-. A7.28)
+
С
Эта общая формула для аберрации. В случае, когда свет распро-
распространяется перпендикулярно направлению движения, то есть v' =
= 270° (см. рис. 17.2), имеем:
Так как —tgv' = otgp, то получим:
= .22
A7.29)
l/l—^
V с*
Эта релятивистская формула аберрации соответствует классиче-
классической формуле A7.28).
Упражнения
17.1. В неподвижной ИСО заряды покоятся. Привести выра-
выражения 4-вектора плотности тока относительно системы К', движу-
движущейся равномерно со скоростью v вдоль оси Ох системы К в об-
общем случае и в нерелятивистском приближении.
17.2. Показать, что поле, электрическое в одной ИСО, является
электромагнитным в другой системе.
17.3. Получите формулы преобразования векторов поля при
нерелятивистских скоростях движения.
17.4. Приведите формулы преобразования векторов поля A7.20)
к векторной форме.
17.5. Покажите, что В' Е' — В • Е = inv.
17.6. Покажите, что В2 - Е2 = 1В'J - IE'J = inv.

Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте проблему инвариантности основных урав,
нений электродинамики относительно преобразования координат
при переходе от одной ИСО к другой.
2. На чем основана четырехмерная интерпретация преобразо.
ваний Лоренца?
3. В чем отличие пространства — времени от евклидова про.
странства?
4. Назовите величины, являющиеся инвариантами преобразо-
преобразований Лоренца.
5. Приведите определение 4-вектора плотности тока.
6. Как записывается закон сохранения заряда в релятивистски
инвариантной форме?
7. Что означает инвариантность электрического заряда.
8. Докажите инвариантность 4-оператора Даламбера.
9. Докажите векторный характер оператора Va •
10. Докажите, что четыре величины— ср, AXi Ay, Az образуют
4-вектор.
11. Исходя из формул A6.17), найдите формулы преобразова-
преобразования плотности заряда и тока.
12. Почему скалярный и векторный потенциалы объединены в
одну величину?
13. Получите формулы преобразования скалярного и векторно-
векторного потенциалов.
14. Приведите определение и свойства тензорных величин.
15. Покажите, что совокупность величин A7.15) образует тен-
тензор II ранга.
16. Разбейте все величины, встречающиеся в этом параграфе
на скаляры, векторы и тензоры.
17. Получите все элементы тензора электромагнитного поля
Fap A7.16).
18. Приведите уравнения Максвелла в тензорной форме.
19. Что можно сказать об инвариантности величины ^о?
20. Покажите на примере вывод формул преобразования ком-
компонент векторов поля.
21. Приведите и охарактеризуйте инварианты электромагнит-
электромагнитного поля.
22. Как должны соотноситься между собой векторы Е и /?, что-
чтобы электрическое или магнитное поле нельзя было исключить ни-
никаким выбором системы отсчета?
230

23. Покажите, что если invA) Ф О, a invB) = 0, то можно найти
такую систему, в которой одно из полей равно нулю.
24. Дайте определение и приведите примеры проявления эф-
эффекта Доплера.
25. Докажите инвариантность плоской волны.
26. Охарактеризуйте связь эффекта Доплера с инвариантностью
плоской волны.
27. Что такое аберрация света? Приведите примеры наблюде-
наблюдения этого явления.
28. Как связано явление аберрации света с преобразованиями
Лоренца для волнового вектора ka ?
§ 18. ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА.
ПОТЕНЦИАЛЫ ЛЬЕНАРА—ВИХЕРТА
18.1. Постановка задачи. Сформулированные методы реляти-
релятивистской электродинамики позволяют исследовать поле системы
произвольно движущихся зарядов. Такая система создает в окру-
окружающем пространстве электромагнитное поле, потенциалы кото-
которого имеют характер запаздывающих потенциалов (см. § 4). Важ-
Важным примером применения формул запаздывающих потенциалов
является случай одиночного точечного заряда, совершающего
произвольное движение. Этот частный случай системы позволяет
выяснить особенности электромагнитного поля, создаваемого не-
нестационарным движением.
Пусть заряд е движется произвольно по траектории
относительно неподвижной системы К. Определим поле этого за-
заряда в произвольной точке Р в момент времени t. Так как электро-
электромагнитное возмущение от заряда е распространяется со скоростью
света, то потенциалы А и ср, а следовательно, и векторы поля Е и
В в точке Р в момент времени t определяются положением и ско-
скоростью заряда в момент t0, более ранний, чем t. Сигнал от
заряда до точки Р идет согласно уравнению
CT = c(t-to)=R(to), A8.1)
где x=t—to — время прохождения сигнала от заряда до точки
наблюдения. Заметим, что R = cx=inv. Введем 4-вектор
#а= (ior, R), A8.2)
где R = r — г0. На основании A8.1) заключаем, что
231

f.2 = 0, A8.3)
так как это равенство выражает квадрат светоподобного интерва-
ла между событиями испускания поля зарядом е и его приходом в
точку Р.
18.2. 4-вектор потенциала в системе К заряда. Поле заряда в
любой системе характеризуется потенциалами А и ф. В системе
К', связанной с зарядом е, потенциалы известны, так как электро-
электромагнитное поле в этой системе тождественно кулоновскому полю
точечного заряда:
<р' = — — , Л' = 0.
4лво R'
Учитывая, что R = сх — R' = с%' — inv, 4-вектор потенциала Ла'
в системе заряда имеет вид:
/ \ С 4Л80 R
18.3. 4-вектор потенциала в системе наблюдателя. Будем ис-
искать потенциал Ла в произвольной системе К, где находится
наблюдатель в точке Р9 в таком виде, чтобы он явно отражал
зависимость поля от положения заряда е и его скорости. Для
этого воспользуемся снова системой К' заряда, в которой 4-вектор
скорости известен:
tt.'~(fc, 0).
4-вектор потенциала Аа' через и* можно представить в виде:
' I l 1 е л\ I ей
а = ( , 0 ) =
\ с 4яе0 R 1 4я80 c2R
Инвариантную величину R можно представить через скалярное
произведение 4-векторов #а и и%:
R = сх = - -L У R*ua =— J- V R*'ua'. A8.5)
с ш* с ***
Потенциал Ла' с учетом A8.5) принимает вид:
,_ _J *»«'

Очевидно такая же зависимость потенциала Аа от /?« и ил имеет
место и в системе К:
Напомним, что в этой системе
1С
v
V* -. / ф
R% = (ict,
у —вектор скорости движения заряда относительно неподвижной
системы К.
18.4. Потенциалы Льенара— Вихерта. Выразим скалярное про-
з
изведение 2 ^aW« через трехмерное расстояние R и время т:
0
с2х . R • v R • v — Rc
K С2
C2
Подставим это выражение в A8.7), получим:
А -
4яе0 c{R • v—Rc)
Выделяя временную компоненту Ло, получим:
4ле0 \c(R • v—R -с) c(R • v—Rc) J
При i>=0, что соответствует системе К'9 выражение A8.8) совпа-
совпадает с А л\ Решению A8.8) соответствуют скалярный ф и вектор-
-¦•
нЬ1й А потенциалы электромагнитного поля:
фG,0 = -* ^ ,
4яео (Я — R • Р). я

A{7t t) = -i Л1. . Ji». JL?. , A8
4ле0 c(R—R - §) t_ R_ 4л (R—R • p) f__ R_
с с
где J= -H-, tf = cT, to = t ?- =^~т.
Таким образом, потенциалы электромагнитного поля А и ср в про.
извольной точке в момент времени t определяются состоянием за-
ряда, то есть его скоростью v и положением R в момент времени
t0, более ранний, чем t. Заметим, что потенциалы связаны соотно-
соотношением:
Выражения A8.9) называются потенциалами Льенара—Вихерта.
Они характеризуют поле точечного заряда в самом общем виде —
при произвольном значении скорости и характере движения.
18.5. Поле движущегося заряда. Векторы электромагнитного
поля связаны с потенциалами формулами:
Ж= — grad ф — —; ~B = rotAy A8.10)
dt
причем скалярный и векторный потенциалы задаются формулами
A8.9), которые для удобства запишем в более краткой форме:
(); a (\, A8.11)
4лво \ S )-.' 4п \ S !' V
где введены новые обозначения:
x = t--*-; S(x)=/?(x) -
С С
В формулах A8.10) производные берутся по координатам г точки
наблюдения и времени наблюдения t. Между тем, потенциалы А
и ф зависят от г и t сложным образом. В соответствии с A8.10)
они являются функциями величины т, которая в свою очередь за-
висит от г и t. Для напряженности электрического поля Е в соот-
соответствии с A8.9) получаем формулу:
gradS+ J*-[JJL*L е- d^L). A8.12)
4л80 52 б 4я \ S2 dt S dt *
234

для индукции В с помощью формулы векторного анализа C4)
flj получим:
4л S 4л L S
4я о 4я о2
Таким образом, вычисление напряженностей поля сводится к вы-
вычислению величин , —2-, gradS, rot v.
dt dt
18.6. Вычисление производных. Учитывая сложный характер
зависимости потенциалов от г и t через т, следует писать:
д = d dx
Для нахождения —— воспользуемся определением x — t Ф .
Дифференцируя по
откуда следует
Воспользовавшись
dx
получаем:
Следовательно,
и
/, получим:
dt ~ ~
dx
dt
тождеством:
->
dx
dR _
dx
дх
dt
1 —
d 1
cR
с dx
1
dx
dt
1 dR(x)
1 R
R
1
~v-R
cR
d
dx
X
dx
R
S
R
S
9
d
dx
A8.14)
A8.15)
235

Теперь для — и —^- имеем:
dt dt
~dT dt d/ S at \ с /
__/?_ ( dR v . R v dR ] R I v-R . vR v2 ).
"" S \ дт ^ с дх / SV/?"^^ с У1
du _ ^^ dt R ^
d/ " (?t d/ ~ S
Получим выражение для rot v.
rot ^_ ^^ ^>y == dvz (hdv^ dx__ _ ^ dx
dy dz dx dy dx dz dy
— vy -dx- = grad^T • vz — grad2x • vy = [gradr, v]x.
dz
Другие составляющие ротора имеют аналогичный вид, поэтому
rotu= [gradx, t?]. A8.16)
Вычислим теперь gfadS. Так как S=5(/?, т), то
gradS= (gradS)t+ — gradr,
дх
(grad S) x = grad^ ( R- -2±) = J? S-f
\ с I R с
так как при дифференцировании по /? при постоянном т вектор
остается постоянным. Таким образом,
-*• —*¦
grad 5 = -5 + — gradr =
= JL _ Л _ A^ + Ы _ -EL) grad т.
Для gradx имеем:
grad т = grad f/ — —) == grad R =
23$

Отсюда находим:
1 (grad/?)., R 1
gradx =
c - JL 2!L Rc У dR
с дт с дт
С учетом A8.14) получаем:
gradr = - -*-. A8.17)
cS
Окончательно:
BradS={-|---^+l^+iL~--T-L-|- A818>
С С
18.7. Векторы поля произвольно движущегося точечного заря-
заряда. Подставляя в A8.12) значения производных из п. 18.6, прихо-
приходим к выражению для Е:
где
^ её~ ^-Р2) (-4- -?)• A8Л9)
3 \ R /
Аналогично для магнитного поля получаем:
?JJLfir L ?, gradS]. A8.20>
ц0 4л cS2 4л52
Учитывая A8.18) и сравнивая с ?, можно убедиться, что
Н =[?е0?] = [R4p\
с R R
П821)
формулах для Е A8.19) и Н A8.21) величины v и R следует
ать в момент времени т. При этом /?(т) —расстояние от поло-
Жения заряда до точки наблюдения в момейт времени т; R(t) —
Расстояние от положения заряда до точки наблюдения в момент
вРемени L За время t—т возмущение электромагнитного поля
пР°ходит расстояние /?(т). Из A8.21) следует, что вектор напря-
237

женности магнитного поля всегда перпендикулярен радиусу —век.
тору /?. Электрический вектор имеет еще и радиальную состав,
ляющую:
Электрическое поле ?, создаваемое зарядом, распадается на дВе
части. Первая Ех зависит от скорости v заряда, вторая Е2 — от его
ускорения v. В случае равномерного движения, вторая часть от-
отсутствует. Величина Ех на больших расстояниях от заряда убы-
убывает пропорционально . Из выражения A8.19) следует, что
поле Ех всегда имеет радиальную составляющую. При v<^c, как
легко видеть:
то есть совпадает с кулоновским полем заряда.
Второе слагаемое поля ? всегда перпендикулярно радиусу-
вектору R(t)> to есть имеет характер поперечного поля. Оно пер-
перпендикулярно также ускорению заряда v. На больших расстоя-
ниях от заряда поле Е2 убывает как —.
R
Таким образом, на больших расстояниях Е « Е2. Магнитное
поле движущегося заряда согласно A8.21) всегда перпендикуляр-
—>
но к электрическому полю и к радиусу — вектору R. Оно также
может быть представлено двумя слагаемыми:
f} {1822)
(R-t)[v,R].
Н\ зависит от скорости v и убывает с расстоянием как -^~. Вто-
Второе слагаемое зависит от ускорения v. Непосредственная проверка
показывает, что
А = [&А1 A8.23)
238

причем оба вектора Н2 и D2 перпендикулярны к R. Взяв от обеих
частей A8.23) модули и учитывая, что еоц-о = —, получим:
с
yToE2 = iVoH2. A8.24)
jTo означает* что для векторов поля, зависящих от ускорений, су-
существует взаимосвязь, характерная для электромагнитной волны.
Это поле имеет характер сферической волны, испускаемой заря-
зарядом. Первое поле, связанное со скоростью, представляет собой
электростатическое поле, движущееся вместе с зарядом, а второе
поле, обусловленное ускорением, является полем излучения. На
большом расстоянии от заряда оно является преобладающим,, так
как убывает с расстоянием медленнее, чем первое.
Таким образом, потенциалы Льенара—Вихерта позволяют ис-
исследовать электромагнитное поле заряда, если известно его дви-
движение.
18.8. Заключение. Потенциалы Льенара—Вихерта получены
нами ранее классическим методом без привлечения 4-векторов
(см, § 4, п. 4.13). Эти потенциалы сохраняют вид при произволь-
произвольном движении заряда. Это означает, что они представлены в ре-
релятивистски-инвариантной форме. Решение уравнений электромаг-
электромагнитного поля в виде запаздывающих потенциалов имеет важное
принципиальное значение. Оно отвечает определенной системе пред-
представлений о характере причинной связи, отличном от представле-
представлений классической механики.
Как известно, в классической механике предполагается, что
ускорение материальной точки в данный момент времени полно-
полностью определяется силой, действующей на нее в тот же момент
времени. Сила эта в свою очередь зависит от положения других
материальных точек, находящихся на конечном расстоянии от рас-
рассматриваемой. Изменение положения одной из точек в некоторый
момент времени вызывает одновременное изменение величины си-
силы. Иначе, скорость распространения взаимодействия в простран-
пространстве считается в классической механике бесконечной, В теории
электромагнитного поля ситуация в корне меняется. Если изме-
Нить положение зарядов, находящихся на расстоянии R от точки
наблюдения, то потенциал в ней изменится через время %' = _ ,
с
в течение которого возмущение электромагнитного поля, переда-
Ваясь от точки к точке с конечной скоростью, равной скорости
света с, прошло в пространстве путь R. Пространство, в котором
239

происходит распространение электромагнитных возмущений, ущ
не является пустым пространством классической механики. Он0
заполнено реальным электромагнитным полем, обладающим опр^,
деленными физическими свойствами. Таким образом, бесконечно
большая скорость распространения взаимодействия и дальнодей,
ствие в классической механике заменяется конечной скоростью
распространения взаимодействия и близкодействием в теории
электромагнитного поля. Заметим, что скорость распространения
электромагнитных взаимодействий с велика, поэтому часто на
практике ее можно считать бесконечно большой, тогда представ,
ления классической механики не отвергаются как неверные, а со-
храняются как приближенные, имеющие ограниченную область
применимости.
Задачи и упражнения
1-8.1. Заряд е движется со скоростью и, сравнимой со скоростью
света. Выписать потенциалы электромагнитного поля заряда в си-
системе К\ связанной с зарядом, а также в ИСО /С, относительно
которой заряд имеет скорость v.
—> —>
18.2. Вычислить векторы Е и В электромагнитного поля равно-
равномерно движущегося заряда.
18.3. Покажите, что величина R—c% является инвариантом пре-
преобразований Лоренца.
18.4. Получите потенциалы Льенара—Вихерта дая паля равно-
равномерно движущегося заряда.
18.5. Вычислите векторы поля Е и В равномерно движущегося
заряда.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи, решение которой приво-
приводит к запаздывающим потенциалам.
2. Как изменяется постановка задачи для случая точечного
заряда?
3. В чем заключается релятивистский метод определения по-
потенциалов поля движущегося заряда?
4. В чем сходство и различие потенциалов Льенара—Вихертя
для равномерного и произвольного движения заряда?
5. Охарактеризуйте поле равномерно движущегося заряда.
6. Проанализируйте электромагнитное поле нестационарно
движущегося заряда.
7. В чем отличие характера причинно-следственной связи явле-
явлений в электродинамике от классической механики?

Решения задач
1.1. В случае переменных токов на основании A.6) имеем:
div7= - — Ф 0.
dt
—>
Следовательно, линии вектора / начинаются и заканчиваются в
тех точках, где изменяется плотность заряда р. Плотность тока /
связана с движением зарядов соотношением A.3): / = ри, где v —
скорость движения зарядов. Поэтому вектор / называют плотно-
плотностью тока проводимости.
1.2. Заменим в правой части выражения A.5) поток вектора /
через замкнутую поверхность S объемным интегралом по теореме
Гаусса, получим:
__А_ { 9dV=: f divTdV.
Эр соотношение справедливо при любом объеме V, следовательно,
в каждой точке пространства имеет место соотношение:
—|е. =div?; A.6')
идентичное A.6). Обратный переход: умножим A.6') на элемент
объема dV и проинтегрируем по объему V. Получим:
В правой части этого соотношения по теореме Гаусса перейдем к
интегралу по поверхности S, охватывающей неподвижный объ-
объем V. Получим:
?L UdV= H.dS. A.5)
dt J J
dt J
1.3. Проинтегрируем выражение —2- = — div/ по -объему.
Полу
чим:
ш—1136

Правую часть преобразуем с помощью теоремы Остроградского-
Гаусса. Получим:
at J /
Это соотношение перепишем в виде:
-2SL +/ = 0.
dt
Это искомая интегральная форма закона сохранения заряда. Здесь
q = $pdV—количество электричества, содержащегося в произ-
—> ->
вольном объеме V, J = Ф / • dS — сила тока, выходящего из объ-
ема V, ограниченного замкнутой поверхностью S.
1.4. Используя выражение A.2) и подставляя вместо dS выра-
выражение элемента площади поверхности сферы в сферических коор-
координатах г, а, 9, найдем:
5 О
В соответствии с законом сохранения заряда A.5) получим:
"*¦ -— ^ pdV = а или — = —а. Интегрируя, найдем закон изме-
dt J dt
нения заряда: q = q0—at. Следовательно, заряд вытекает из сферы
со скоростью а.
1.5. Экспериментально установлено, что конденсатор не являет-
является препятствием для переменного тока, поэтому говорят, что меж-
между его обкладками «течет» ток смещения. Для его математиче-
математического описания продифференцируем по времени обе части четвер-
четвертого уравнения Максвелла, записанного в виде: p = eodiv?. По-
Получим: —2- = 8odiv . Так как координаты и время являются
dt dt
независимыми переменными, то порядок дифференцирования по
ним можно менять. Подставим это выражение в уравнение нераз-
неразрывности A.6), получим div(,eo + \ = 0, а это значит, что
\ dt I
линии вектора, стоящего в скобках, всегда замкнуты. Слагаемое
dE
/смещ — 6о
dt
242

назывйют плотностью тока смещения. Его размерность совпадает
с размерностью плотности тока проводимости /, хотя природа его
другая. Плотность тока смещения, есть величина, пропорциональ-
ная скорости изменения электрического поля Е в данной точке
пространства. Ток смещения не характеризуется направленным
движением каких-либо зарядов, но он создает магнитное поле, как
й соответствующий ему по равенству (>|<) ток проводимости. Это
явление дополняет связь между электрическим и магнитным поля-
полями, которую выражает закон электромагнитной индукции.
1.6. При протекании между обкладками конденсатора перемен-
переменного тока / заряд q на каждой его пластине изменяется, причем
/ = —?- . Если площадь обкладок конденсатора равна S, то мо-
dt
дуль напряженности Е связан с зарядом соотношением: Е =—— .
Дифференцируя зтр выражение по времени /, получим:
_ дЕ _J_ dq _ J _ . _.
/смещ - е0 — - s — —— - /пров - /.
1.7. Электрическая составляющая силы Лоренца, действующей
на заряд dq = pdV равна: dF3Jl = EpdV. Магнитная составляющая
этой силы определяется формулой: dFM = pdV[v, В]. Так как
/ = qv, то магнитная составляющая dFM силы, действующей на
объем dVy представится в виде: dFM= [/, B]dV. Плотность силы
Лоренца / на основании первого и последнего выражений равна:
/= = р? + [/, В], что совпадает с выражением (Г.8).
dV
1.8. Для линейного проводника можно принять, что ток / свя-
зан с плотностью тока / и сечением проводника S соотношением:
' == jS. Введем вектор элемента длины проводника d/, параллель-
параллельный вектору плотности тока /. Тогда можно записать: Jdl = jdV
(Рис. 1.1). Используя выражение для силы dFM из упражнения 1.7,
бУдем иметь: dFM — [/, B]dV = J[dl, В]. Эта сила называется
силой Ампера.
1.9. Действительно, из условия div? = 0 при Е = —gradcp сле-
: Дф = 0, а из условия: votE = 0 при ? = гоМ следует:
243

= 0. Оба эти уравнения имеют только нулевые решения:
Ф ж 0, А&& 0, так как всюду р = 0 и / = 0, то есть ни одна точка
пространства не выделена как источник поля. В этом случае име-
имеем всюду ? = 0, 5 = 0.
—> ¦—> -т» -*?•
1.10. Представим вектор ? в виде суммы: Е = Ех + ?2 и пусть
rotifi — 0, div/fi Ф 0 и rot?2 Ф 0, div?2 = 0. Тогда условие зада-
чи удовлетворено; первое слагаемое поля является потенциаль-
потенциальным: Е\ = —gradcp. Второе слагаемое поле является соленоидаль-
ным: ?2 = rot Л.
1.11. В электростатическом поле потенциал <р связан с напря-
напряженностью Е соотношением: Е = —Уф, где
дх ду * дг
— векторный дифференциальный оператор Гамильтона. Вычислим
rot?, получим:
rot? = [V, ?] = [V, Уф] ш* 0.
Условие потенциальности тождественно выполняется, следователь-
следовательно, электростатическое поле потенциально.
1.12. Представим вектор индукции В в виде: B=rotj4=[V, A]
и вычислим divB. Получим:
divi?= (V • В) = (V, [V, А]) =е 0.
Условие соленоидальности тождественно выполняется во всем про-
пространстве. Следовательно, магнитное поле вихревое, векторные ли-
линии В замкнуты.
1.13. Для потенциального поля должно выполняться условие:
§ Е • dl = 0. Заданное поле расположено в плоскости хОу. Выбе-
рем в этой плоскости прямоугольный контур интегрирования со
сторонами, параллельными координатным осям и вершинами:
Л1@, 0), А2(хи 0), Л3(*ь j/i), Л4@, ух). Вычислим циркуляцию
векторного поля:
244
§ ? . dl= § (Ех dx + Еу dy) == JXEX dx + ]1ЕУ dy +
& & 0 0

J Eydy = O+ f C^!2 — 3y)dy + J
о
— Уз
= 0.
поля
Циркуляция поля равна нулю, следовательно, заданное электриче-
электрическое поле потенциально. Вычислим его потенциал ф. Так как он
связан с напряженностью Е соотношением Е = —gradcp, то имеем:
Г Е • dl= ф0—ф. Отсюда находим: ф = фо — J Edl = фо —
о о
— J Exdx — J Цу dy — фо — Зх2у -+- уъу где фо — потенциал
в начале координат. Так как в начале координат напряженность
? = 0 (поле отсутствует), то можно принять фо—0. Тогда полу-
получим:
Ф = */3 — Зх2у.
—>¦ -¦ —>•
1.14. Умножим в уравнении A) векторы Я, / и D на соответ-
соответствующие коэффициенты . A, i, d\ аеличину — заменим через
с
о. Получим:
^rot Н = 4я t& 7+ УЗД l/
У4яе0
Сокращая на У4я^о, получим уравнение в искомой форме B).
1.15. Из общего курса [2, 3] известно, что для значений векто-
векторов D п Е поля точечного заряда q{ в вакууме имеем: D = ——,
4яг2
? = —^—. Заряд q2, помещенный в поле Еу испытывает действие
4леог2
силы, определяемой законом Кулона. Её величина равна:
m. A)
Известны [3] также значения векторов Н и В магнитного поля
прямого тока Jx в вакууме: Н = —1- ; В = ii2-L . Параллельный
2пг 2пг
т°ку /j прямой ток /г в проводнике длины I испытывает со сторо-
НЬ1 поля В силу: F = J2[dl, В], величина которой равна:
245

так как dl Л.В.
Используя выражения для силы взаимодействия зарядов A)
и силы взаимодействия двух параллельных токов B), определим
постоянные е0 и р,о.
Пусть <7i = Й2 = 1 Кл., г = 1 м. На основании A) находим;
р — // С другой стороны в гауссовой системе эта же сила
4лео
равна F = ^-^-. В этой системе г== 100 см, qx = Цч = 10 с СГСЕ
единиц, где с = 3 • 108 м/с.
Таким образом имеем: F = с2 • 10-2ДИн = с2 • 10~7 Я. Сравни-
Сравнивая это значение силы с вычисленным в системе СИ, получим:
С2. ю-7 я = -L- i^iil.
4лео (мJ
Отсюда находим:
е0 = -^- • Ю7^^ = 8,854 - 10~12 i^Lli = 8,854 . 102 —. C)
4дс2 Н • м2 Н • м2 м w
Аналогично определим магнитную постоянную р,о. В выражении
B)"полагаем J\ = J2 = 1 А; г =ь= / = 1 м; находим F = -^2- Ц.
2я
Теперь вычислим эту силу в гауссовой системе: F = —2—.
Здесь с измерено в м/с. Положим /==г; /1=/2=10 с СГСЭ еди-
единиц. Получаем: F = 2 • 10~2дин = 2 • 10~7Я. Сравнивая это с пре-
предыдущим выражением Z7 в системе СИ, находим:
Цо = 4я • 10-7^ 1,256 - Ю-6 — = 1,256 • Ю-6 — . D)
А2 м
При вычислении размерностей ео и (л,0, мы использовали таблицу
размерностей основных физических величин. Из выражений для
е0 C) и [Ао D) следует, что еомю = , где с — скорость света в
вакууме.
1.16. Используя определение градиента, получим:
д* 7 I dR ~l -
^ >A:2 + f/2+z2 R
1.17. Представим скалярное произведение векторов через его
компоненты и используем определение градиента. Получим:
246

grad(p • г) = grad(p* • x + py • у + рг ¦ z) =
дх ду oz
1.18. Используем определение градиента и учтем, что функция
Uг) является сложной функцией переменных х, у, z. Будем иметь:
лм df дг ~* t df дг -* , df дг ~t
дг дх дг ду дг дг
df , df T
дг дг г
"* df
Вектор gradф (г) равен по величине производной —^- и направ-
дг
лен вдоль радиуса-вектора точки с координатами ху у, z.
1.19. По определению имеем:
ду дг
= Bх2—5у2I+ (Зуг + 3z2— Юд:уO
Подставляя координаты точек Mi и ЛЬ получим:
(grad(f)Mt = 0; (grad q>)ж> = -з1 + 5/ + 24"й.
1.20. iHa основании определения производной поля по направ-
направлению G) имеем:
ф)„.^-=-(^) •cosa + /-^)
^ M \ дх /ль \ ду /м.
)
дг /М,
1.21. Представим rot rot А через оператор Гамильтона V:
rot rot Л = [V [V, А]]. Раскроем двойное векторное произведение
E), получим: rot rot A — V(V, A) — 2(V, V) = grad dh^ — АЛ,
отсюда следует утверждение, что graddh^ = rot rot A + ДЛ.
1.22. Используя оператор Гамильтона V, получим:
div grad <p = V (Уф) = У2ф = Дф.
1.23. Через оператор V это выражение имеет вид: У[У,Л]яеО,
как векторы V и [V, Л] ортогональны.
247

1.24. Запишем выражение div [?, В] через оператор V; индек.
сами В и Е обозначим вектор, на который действует дифференцн.
альный векторный оператор V:
, В] = V[? В] = V?[?, В]
Сделаем циклические перестановки векторов, получим:
div[?, В] = B[V*,~?] - VB[B, ?] =
= B[V?, ?] — ?[Vb, ~S] = В rot if—?rot В,
что и требовалось доказать.
1.25. Если поле А(х, yt z) потенциально, то его ротор равен ну-
лю, следовательно, (rotА)х = 0, (rotA)y = 0, (го1Л()г = 0. Непо-
Непосредственным вычислением убеждаемся, что:
ду dz z2 г2
(rot ль - -*k-^t =-з *?+з ^- - о,
дг dx г2 г2
=0.
дх ду z z
-*• -*•
Следовательно, rot4==0, поэтому векторное поле А потенциаль-
потенциальное.
1.26. Покажем, что функция ф = —- удовлетворяет уравнению
/v
Лапласа:
Пусть точка 0 — начало координат, тогда:
JL/_L\= J-(JA **-= fL
dx \ R J dR\RJdx R*
dR x
dx ~ R
dx* \ R ) dx \ R3 I R3 dx \ R*
R* dR\R3)dx R* R' ' R R* R*
248

диалогичны выражения для -^- (-j-\ и -—¦ (~\ .
Следовательно:
W-Ц- - + з х2+у2+* = о
\ R ) R* R*
2Л. Если между двумя произвольными точками проводника
существует разность потенциалов, то между этими точками суще-
существует электричерное поле, приводящее в движение заряды. Раз-
Разность потенциалов между двумя точками численно равна работе
поля по перемещению единичного положительного заряда из одной
точки в другую. Чтобы получить закон Ома в дифференциальной
форме применим ^звестный из общего курса закон Ома для уча-
участка цепи к бесконечно малому цилиндру, мысленно выделенному
в проводнике. Вдоль оси цилиндра течет ток AJ=j% AS, где AS —
площадь основание цилиндра, \% —составляющая вектора плотно-
плотности тока вдоль оси цилиндра. Ввиду малости цилиндра можно
—>
принять, что внутри него всюду поле Е постоянно. Разность потен-
потенциалов между основаниями цилиндра равна: Дф=?х А/, где Ez —
составляющая вектора напряженности Е вдоль оси цилиндра. За-
Закон Ома для бесконечно малого участка цилиндрического провод-
проводника можно записать в виде: Д<р=Д/ • R = /\AS --, где у —
Y AS
удельная проводимость проводника. Приравнивая два выражения
для Дф, получим выражение /\ = v^. Так как направление оси
цилиндра выбрано произвольно, то последнее соотношение спра-
справедливо для проекций векторов / и Е на произвольное направле-
направление. Следовательно, имеет место векторное уравнение:
7=т? B.4)
называемое законом Ома в дифференциальной форме. Все входя-
входящие в это уравнение величины относятся к одной и той же точке
пространства. Это одно из основных материальных уравнений, до-
дополняющих систему уравнений электромагнитного поля (§ 2).
Получим теперь выражение закона Джоуля—Ленца в диффе-
дифференциальной форме. Количество теплоты, выделяющееся в единицу
времени в проводнике с сопротивлением R при силе тока / по за-
закону Джоуля—Ленца равно: Q=PR. Применим этот закон к бес-
бесконечно малому цилиндрическому проводнику, ось которого совпа-
совпадает с направлением тока /, получаем: Q = (/ASJ . Учтем,
д/. AS 5= Д V — об>ем выделенного цилиндра; —— = q —
№

количество теплоты, выделенной в единице объема за единицу
времени. Тогда получим:—^— =q= -+—. Так как J = yEy То
->¦ ->
выражение для q можно представить в виде: q = уЕ2 = j Е. Эт0
и есть выражение закона Джоуля—Ленца в дифференциальной
форме.
2;2. Представим левую часть уравнения B.9) в виде:
?инд = j'j?. di
Поток магнитной индукции Ф по определению равен:
ф = j В dS.
Выражение B.9) в этих обозначениях принимает вид:
(Х)Е -dl = — \ В -dS.
J fit V
at s
Это соотношение справедливо для любого замкнутого контура,
мысленно проведенного в пространстве: изменение магнитной ин-
индукции всегда порождает электрическое поле. Наличие проводя-
проводящего контура иозврляет обнаружить это поле по возникшему в
контуре току. Применим к левой части последнего выражения
теорему Стокса, учтем, что поверхность S неподвижна, получим:
Так как поверхность S произвольна, то в каждой точке простран-
пространства имеем:
rot? = — — . B.5а)
dt
2.3. Применим к обеим частям уравнения Максвелла B.5а)
операцию дивергенции, получим: div rot ?" = —div —. Диверген-
dt
ция ротора тождественно равна нулю, так как
div rot ?= V[V?] =0.
250

Тогда в силу независимости переменных (координат и времени)
будем иметь: —- divB = 0, что выражает независимость divB от
времени. Значит djvB постоянна независимо от значений В, в том
числе и при В — 0. В последнем случае она равна нулю. Следо-
вательно, div? = 0 всегда. А это означает, что линии вектора В
замкнуты.
2.4. Представим закон полного тока в дифференциальной фор-
форме. Очевидно полный ток 7, охватываемый контуром L, равен:
где 5 — поверхность, натянутая на контур L. Запишем закон пол-
полного тока в виде:
-* —> -+¦ —>
В dl = |Xo J / do.
L
Левую часть этого выражения заменим по теореме Стокса, полу-
получим:
J (rot В — \x0J)dS=-0.
S
Так как поверхность S произвольна, то приходим к дифференци-
дифференциальному соотношению, справедливому для произвольных токов:
rot В =
Ранее (§ 1) отмечалось, что магнитное поле создается не только
током проводимости, но и током смещения. Следовательно, под /
следует понимать сумму двух слагаемых: тока проводимости /МР
A.3) и тока смещения /Смещ A.3'); тогда приходим к уравнению:
rot В = цо( /пр + е0 — )
или, опуская индекс в /Пр, получим:
rot В'= ^о J+ ^оео -^ • B.5с)
251

Это искомое обобщение закона полного тока: вихревое магнитно^
поле создается током проводимости / = pt/ и переменным электрц.
ЧеСКИМ ПОЛеМ (/смещ).
2.5. Электростатическая теорема Гаусса для зарядов, распре.
деленных в объеме V с плотностью р, устанавливает связь:
е0 v
Левую часть этого выражения преобразуем с помощью теоремы
Остроградского—Гаусса D4), получим:
pdV
во v
ИЛИ
Это равенство справедливо при произвольном выборе объема ин-
интегрирования V. В этом случае подинтегральная функция тожде-
тождественно равна нулю. Следовательно, приходим к уравнению Макс-
Максвелла B.5)
div Е = —р.
2.6. Каждый из зарядов, расположенных в вершинах квадрата,
создает поле, напряженность которого в центре равна: Ех ^=? —,
Ь2
?2 _ -JL f ?3 = __!. f ?4 — _?. # Сила, действующая на единичный
Ь2 Ь2 Ь2
положительный заряд, помещенный в центре квадрата, равна на-
напряженности суммарного поля в этой точке. В соответствии с
принципом суперпозиции находим: Е = У\ Ei =—- е, где е —
единичный вектор, направленный по диагонали АС.
2.7. Сб стороны зарядов, расположенных в вершинах на каж-
е2
дый заряд (е) действуют равные силы величины F = . В силу
принципа суперпозиции равнодействующая этих сил равна:
¦=-=- уз:
а2
252

Направление этой силы изображено на рисунке. Чтобы система
зарядов находилась в равновесии, необходимо поместить в центре
такой положительный заряд Q, чтобы сила притяжения зарядов
t^-e) и Q численно была равна /?, а по направлению противопо-
противоположна ей. Это условие равновесия имеет йид:
(а/уЗJ а2 а2
Отсюда находим величину положительного заряда Q ==-—-.
П
Заметим, что равновесие этой системы четырех зарядов неустой-
неустойчивое.
2.8. Элемент поверхности dS = R • dR • dQ (см. рисунок) несет
заряд dQ ess adS. Он создает поле с напряженностью в точке М9
определяемой выражением:
7ft 1_ dQ 7 _ RadRdQ "г
~ 4ле0 г2 г 4лео(#2+а2) г
Вклад в результирующее поле дает только нормальная к поверх-
поверхности составляющая:
.« ,п a RadRdQ
а?± a= dE cos а = j—j-jj .
Касательные составляющие в силу симметрии задачи компенсиру-
компенсируются.
Поле, создаваемое всей заряженной плоскостью, на основании
принципа суперпозиции характеризуется напряженностью:
? _ ?С% о RadRdQ
4лео(#2+а2K/2 2ео
Здесь использована подстановка: y=za2+R2.
2.9. Пользуясь тождеством div rot H зв 0, получим на основе
первого из заданных уравнений:
div Г+div — =0.
dt
как переменные координаты и время являются независимыми,
во втором слагаемом поменяем порядок дифференцирования:
div/+ — divD = 0.
dt
2&3

Используй закон сохранений заряда (второе из заданных уравне.
ний) приведем последнее уравнение к виду:
— (divD —р) =0,
dt
откуда следует, что
div/?=p + /(.vf у, г).
Чтобы получить требуемое уравнение divZ) = р, надо потребовать,
чтобы в электрическом поле не было других источников, кроме
свободных зарядов. Иначе: надо потребовать, чтобы в вакууме, где
р = 0 выполнялось бы соотношение: divZ) = 0. Тогда f(x, //, 2)==sO
и из последнего уравнения получаем искомое: <JivD = p, где р —
плотность свободных зарядов.
2.10. Поле Е центрально-симметричное, то есть на повервдоаи
сферы r=const всюду ?=const. Поток вектора Е равен:
N = §Е*. dS = §EdS = E • 5сф = — 4- • 4яг2 = JL.
s s 4л80- г2 е0
Здесь учтено, что Е || dS.
2.11. Однородное поле характеризуется напряженностью Е(х,
у, z) = const. Выберем в качестве замкнутой поверхности поверх-
ность параллелепипеда с гранями, параллельными и перпендику-
перпендикулярными вектору Е. Результирующий поток складывается из пото-
потоков через грани параллелепипеда. Отличные от нуля слагаемые
потока равны по величине и противоположны по знаку, поэтому
результирующий поток равен нулю.
2.12. Используя определение потока вектора, теорему Остро-
Остроградского—Гаусса и второе уравнение Максвелла, найдем:
ф = § В .dS=Jdi
s v
2.13. Общий случай предполагает, что в третьем уравнении
Максвелла B.5с) отличны от нуля оба слагаемых:
—^ ~* /ър
rot В = цо/ + М'оео . (*)
dt
—у
Запишем циркуляцию вектора В, воспользуемся формулой Стокса,
подставим значение rot В из уравнения Максвелла (>Ю, получим:
254

В . dl = l rot S -dS = l (jxo7+ Ново -|П dS ==
= |ю J? • rfS + |iOeo — J ? • dS ф 0.
—»»
2.14. Представим циркуляцию вектора В по теореме Стокса,
учтем, что ротор постоянного вектора В равен нулю; получим:
$2f.rff= JrotB . rfS.
3.1. Запишем очевидное тождество:
Возьмем полный дифференциал левой и правой части; получим:
2ErdEr = 2prdpr
отсюда следует, что dEr = —— dpr. Подставим сюда выражения
¦С/
г». тс2 ти
для Ег = ' рг == ^_ , получим:
с2
или после подстановки выражений ддя dEr и dpr получим требуе-
требуемое тождество:
v
3.2. При наличии сторонних сил дифференциальная форма за-
кона Ома принимает вид:
°тсюда выразим ?:'
255

подставим это в теорему Пойтинга, получим:
-=:-Х- —/?CT-fdivFI, и/ш:
dt у
2. =s/?—/?CT-fdivIl.
dt
Это и есть обобщение теоремы Пойтинга C.15) на случай, когда
есть сторонние силы.
3.3. Как известно [3], магнитное поле прямого тока, протекаю,
щего по цилиндрическому проводнику радиуса г характеризуется
индукцией
2nR 2R х ]
где R — расстояние точки поля с индукцией В от оси проводника;
/?>г. Линии индукции представляют собой окружности, плоскости
которых перпендикулярны оси проводника. Пусть на изображен-
изображенном участке проводника сторонних сил нет (гст = 0). Из закона
Ома: / = у(? + ?ст) следует, что /1| ? и ? =— /. Следовательно
у
на поверхности проводника / и Е JLB. Поток энергии электромаг-
электромагнитного поля, который выделится в проводнике в виде тепла ха-
характеризует вектюр П = [?„В], направленный внутрь провод-
ника по нормали к его поверхности. Величина вектора П равна
П = —/V. Следовательно, через поверхность проводника энергия
втекает внутрь из окружающего пространства в количестве
W = $ П dS = П • 2nd = -L /2Г . 2nd = -i- j*V = Q,
s 2y y
где V — объем выделенного участка проводника, Q — джоулево
тепло, выделяемое в объеме V за одну секунду. Эта энергия №
втекает в проводник из окружающего пространства, куда она по-
поступает из тех участков, где работают сторонние э.д. с. Действи-
Действительно, при ?ст = 0 имеем: Е = / — ?ст. Тогда:
у
П = JL [?, В] = ^L [I в] - J- [?- В].
Первое слагаемое характеризует поток энергии внутрь проводника,
второе слагаемое характеризует поток энергии из проводника на-
266

ружу. taKHM образом, выделяющаяся из одних участков цепи р
рия возвращается в другие участки, чтобы выделиться в форме
тепла.
3.4. Пусть волна падает нормально на поверхность S. За время
д/ она передает ей импульс
AG = gAV = gScAt,
воздействуя на нее с силой
F= -22. =gS.c.
dt
Используя определение давления, как силы, действующей на еди-
единицу площади, получим:
P==JL =cg.
—>
Теперь используем связь плотности импульса g с вектором Умо-
ва — Пойтинга П, учтем, что в электромагнитной волне в вакууме
A3.23) в каждый момент времени имеет место соотношение:
Ум*
и что с= " ' * Произведем вычисления:
с ц0
1 УеоИо ^ 1 е0 Цо Е2 + В2 ___
c\io 2 сцо
P2J- В2 1 д2
8о С** Т* -——" 8о ^ + ——- . ft*
V^ono rrz^- й «= ю.
2
Таким образом, установлено, что p=cg=w.
3.5. Используя определения требуемых величин, найдем:
w = -
—ft-7);
Ho H
l7-1136 257

В] =-^- Ео Во cos2 (со/ — ft. Г);
?*= -51 =-I— ?0 Во cos2 @^—1-7).
с cji0
Вся энергия электромагнитного поля переносится в потоке, если
w = w. Тогда имеем:
\ 2 2|л
Перепишем это выражение в виде:
Ео2 — 2?о Во • с + В02 с2 = 0.
Здесь учтено, что ео^о = •
с2
Решая квадратное уравнение, находим:
Ео = сВо.
При таком соотношении между амплитудами полей ? и В вся
энергия переносится волной со скоростью с.
—у —v
3.6. Если U — скорость перемещения провода с током, Ut• =
-> —>
= vi—U — скорость свободного заряда ei относительно провода, то
плотность мощности силы Лоренца можно представить как сумму:
, et й Й, В]) = —— S {ei(U[lfu В] +
+ и1[ Z/, я]} = t/ [ J в ] + Т [ и; я] . о.
Первое слагаемое характеризует видимую работу магнитного поля
над проводом с током; второе слагаемое характеризует невидимую
работу по смещению зарядов в проводе, или работу вихревого
электрического поля.
3.7. Правило Ленца отражено в первом уравнении Максвелла
знаком минус. Интегральная форма этого уравнения
г — I Я — <*ф
синд — •'инд • А — —
at
говорит о том, что индукционный ток имеет такое направление, что
его магнитное поле противонаправлено причине его порождающей.
Если бы правило Ленца было бы неверным, то ток индукции был
бы направлен так, что взаимодействуя с магнитным полем, обес-
обеспечил бы дальнейший свой рост, а значит и неограниченный рост
258

сВязанной с ним энергии & противоречии с законом ее сохранения.
Поясним это на примере. Пусть положительное направление нор-
нормали совпадает с направлением магнитной индукции (см. рису-
рисунок). Тогда магнитный поток Ф сквозь контур будет положитель-
положительным. Положительное направление тока / определяется выбором
нормали п. Если магнитное поле увеличивается, то есть > О,
dt
10 в соответствии с правилом Ленца ?ИНд < 0, а следовательно, и
индукционный ток /инд < 0, то есть он направлен противоположно
выбранному положительному направлению.
3.8. Приравняем работу Л, совершаемую магнитным полем то-
тока / над магнитным зарядом т при его медленном обносе вокруг
тока и работу А\ возникающей при этом э. д. с. индукции:
A = m$Bdl = A' = $Синд • /dt == /Ф = m\ioj,
где Ф = \iQtn — магнитный поток полюса /п, отсюда и следует за-
закон Ампера (>(<).
4.1. Для .одномерного случая волновое уравнение принимает
вид:
dx2 с2 dt2
Вычислим производные от функции: S = f (t —
\ с ,
дх dv дх с dv с
d2S d I dS\ d I 1
dx2 dx \ dxA dx \ с dv
d2S d
• sssz
dt2 dt
dv \ с dv. ) dx :2 dv2 '
dS \ d ( dS dv \ д / dS \ *
dt )~~ dt [ dv dt I dt \ dv )
d ( dS \ dv d2S
dv~ \ dv / dt ~ dv2
Подставляя найденные производные в волновое уравнение (>(<),
Убеждаемся, что оно тождественно удовлетворяется. Следователь-
ур
Но> функция 5 = f (t ?-) является его решением.
259

4.2. Если источник поля dV расположен в точке г0, то потен.
циалы А и ф, созданного им поля, удовлетворяют уравнению Пуас.
соиа в точке г = г0 и Лапласа всюду при г Ф г0. С помощью
б-функции (см. П.II) эти уравнения можно записать так:
Аф = q б (г — г0); ЛЛ = —(л0 ? у б (г — г0),
ее
где
6G-7.) = (
I 0 при г Ф г0.
Поле точечного источника сферически симметрично. Учитывая тож-
тождество F.П.Н): Л (-т~) =—4яв(г/), где r' = r — r0, утверждаем,
что —j— является решением уравнения Лапласа Л f^—^—j = 0 всю-
ду, кроме точки г' = 0. Поэтому решения приведенных уравнений
для потенциалов А и ф имеют вид:
— } JL. = — q — — -?^
i Цо qv _ jip
4я
4.3. Подставим скалярный потенциал ф D.42) в уравнение
D.16) и произведем дифференцирование под интегралом, учтем
сферическую симметрию решения D.42); получим
4яе0 V[ г'
— Vp . -. .
r' r'c2 dt2 J
Интеграл во втором слагаемом в соответствии с тождеством
1 "*¦
F.П.П) равен р(г). Следовательно, первый интеграл должен
ео
быть тождественно равным нулю. Вычислим все три слагаемых
под интегралом:
260

r'c r'c с \f)\ rV
r'c
2) 2V-i-Vp = 2 ('- ^2р(-2.)=2 i-;
' r' F \ r'2 / r' v \ cr' ) cr'*
3) _J^^P_=^J_p.
; r'c2 dt* r'c* V
Нетрудно убедиться, что сумма трех слагаемых равна нулю.
Следовательно, подстановка ф D.42) в уравнение Даламбера обра-
обратила его в тождество, а потому функция ф D.42) является его
решением.
4.4. Движение заряда стационарное. Потенциалы создаваемого
им ноля ф и А определяются как сферически симметричные реше-
решения уравнения Пуассона функциями D.38):
4яе0 г • 4я г
для каждого момента времени t, соответствующего мгновенному
значению г'. Выберем начало координат на траектории заряда
(см. рис.). Из рисунка видно, что г'= г — vt. Напряженность Е
и индукция В определяются потенциалами с помощью формул
D.1) и D.2):
4ле0 г'* г'
= roiA= ™\ ll
4я L r' J 4я
Нз сравнения векторов Е и В следует связь:
261

4.5. Выражение для потенциала ф D.44) при обозначениях
принятых на рисунке 4.5, запишем в виде:
ф('
=7*- 1 .
4лео у г
V
По мере-удаления точки наблюдения P(r, t) от системы зарядов
Vo будем иметь: r0 <с rr\ r' « г, так как размеры системы гораздо
меньше расстояния до точки наблюдения, в которой определяется
поле. При этом условии можно принять, что запаздывание от всех
элементов dV0 одинаково: т = —. Одинаковое для всех dVo зна-
с
чение г можно вынести за знак интеграла. Под знаком интеграла
останется суммарный заряд q, заключенный в объеме Vd который
имеет конечное значение в любой момент времени. Выражение для
скалярного потенциала ф принимает вид:
4лео f
¦(-т)
с
характеризующий сферическую волну, идущую от точечного источ-
источника. Таким образом при r-voo потенциал ф убывает как —.
г
Из решения следует, что на больших расстояниях любая конечная
система зарядов проявляет себя как точечный источник, и ее элек-
электромагнитное поле существует в виде сферической волны с ампли-
амплитудой, пропорциональной — .
г
—У ->
4.6. Запишем выражение вектора Е через потенциалы А и ф
Е — —grad ф .
Циркуляция вектора Е равна:
di=— cfi Vcp • dl — (f) A dl =
dt й
дФ
262

Здесь мы использовали теорему Стокса и выражение вектора ин-
индукции магнитного поля Ъ через векторный потенциал А.
Таким образом, циркуляция электростатической составляющей
вектора Е равна нулю, а вихревой составляющей равна э. д. с.
индукции.
4.7. Работа в общем случае равна:
P = JF.d7=J q(E+ [vf В]) .d7 = J%?.drT
i i i
-> —>¦
так как магнитное поле работы не совершает (v\\dr). Представим
~> -*
В через потенциалы А и <р:
дА .
тогда для работы Р получаем выражение:
где / = qr.
5.1. Напряженность поля, создаваемого элементом dl длины
нити, равна dE = k ——. Из рисунка следует: dl = rda, r = ¦
г2 cos a
Тогда имеем:
—>•
5.2. Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипа-
раллелен) г и является функцией только г. Применим теорему
Гаусса к поверхности цилиндра единичной высоты, получим:
2пгЕе = — х,
= 0, г<ау
где а —радиус цилиндра. Из этих выраженией находим:
263

2яге0 г г2
-*•
Скачок вектора ? при переходе через заряженную поверхность
цилиндра равен:
ео е0
—>
5.3. Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипа-
раллелен) R и является функцией только R. Применим теорему
Гаусса к сфере радиуса /?. Получим:
Ei• ¦ 4л/?2 = 0,
Из этих выражений находим: Ее = k -t—R; Ei == 0. Скачок век-
тора ? при переходе через заряженную поверхность сферы равен
Ев — Ej sss 0; q = 4jta2a.
«о
5.4. Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипа-
—¦¦
раллелен) R и является функцией только /?. Применим теорему
Гаусса к поверхности сферы радиуса /?. Получим:
±Ее • 4nR2 == -L ± шх3р = -2- ,
Во 3 во
±?« • 4nR2 = — - яЛ3р = -L 51 ? ,
е0 3 во а3
где <7 = —яа3р. Из этих выражений находим: Ee = k—R>
3 А
?f as k -^- . /?. Заметим, что при переходе через сферическую по-
верхность вектор Е изменяется непрерывно, то есть при R = а
имеем:
Ев = k 3- = Ei.
2
5.5. Воспользуемся выражениями для напряженностей Ее и
полученными в предыдущей задаче.
2G4

Потенциал ф произвольной точки Р поля определяется выра-
Р-+ -у ее ->
рением: ф=ф<х>— J Е • dS. При условии фоо = 0 имеем: ф = \Е • dS,
где путь 5 интегрирования произвольный. Выберем в качестве пу-
пути интегрирования радиус-вектор точки Р. Тогда для точек поля
вне шара получим: фе = J к — dR — k -^-,что совпадает с потен-
р R2 R
циалом поля точечного заряда, расположенного в центре. На по-
поверхности шара фе = ф0 = &-2-. Для потенциала внутри шара
а
R
имеем: ф, = фо — \EidR. Подставляя сюда значение <ро, выраже-
а
ние для Ei через плотность заряда р и интегрируя, найдем:
3
Подставляя г = а в выражения для уе и ф,, убеждаемся, что они
совпадают с ф0. Следовательно, потенциал ф при переходе через
поверхность шара изменяется непрерывно.
5.6. В силу симметрии задачи потенциал зависит только от г —
расстояния точки поля от центра шара. При ф* = ф*(/*) уравнение
Пуассона для поля внутри шара принимает вид B7):
дф*=-т |— (rt~L-)=— — р-
г2 дг \ дг I е0
Интегрируя его, найдем:
ео 6 г
Вне шара потенциал фе удовлетворяет уравнению Лапласа:
Афе = ( Г
г2 дг \ дг
*•>
Интегрируя, находим: <ре = V D. Определим постоянные инте-
г
грирования. Чтобы фоо=0, надо положить D = 0. Чтобы внутри
щара потенциал всюду имел конечное значение, надо положить
4 = 0. Постоянные В и С определяются из условий непрерывности
Ф и —^- на поверхности шара. Получим два уравнения:
дг
ео 6 а Зео а2
265

Из которых находим: С = -—-- = kq, В= — kq. Подставляя
найденные коэффициенты, найдем ф, и ф*>, полученные в решении
задачи 5.5.
5.7. Общий заряд q проводника задан. Постоянный потенциал
бесконечного проводника может быть принят равным нулю. Эти
условия однозначно определяют решение задачи. Воспользуемся
методом изображений [1], в соответствии с которым на продолже-
продолжении перпендикуляра, опущенного из q на поверхность проводника,
на расстоянии d от этой поверхности поместим заряд qr = —q, a
проводник мысленнр уберем. Плоскость, совпадавшая ранее с по-
поверхностью проводника, будет обладать требуемым потенциалом
Ф=0, так как все ее точки равно отстоят от двух равных по вели-
величине и противоположных по знаку зарядов q и —q. Следовательно
поле совокупности этих з&рядов в правом полупространстве удов-
удовлетворяет условиям задачи и в силу однозначности тождественно
с искомым полем заряда q и зарядов, индуцированных им на по-
поверхности бесконечного проводника. Таким образом для правого
полупространства задача свелась к определению поля двух точеч-
точечных зарядов +q и -т-^. Определим теперь потенциал ф поля в про-
произвольной точке ?Р. Введем цилиндрическую систему координат
так, что ось Oz проходит через заряды —q и q, а плоскость z=0
совпадает с поверхностью проводника. Очевидно, что потенциал <р
в точке &* равен:
где
— расстояния точки $* (г, г) от зарядов +q и —qf (см. рис.)-
Чтобы найти плотность а индуцированных зарядов, воспользуемся
выражением E.2); учтем, что поле внутри проводника равно нулю;
вне проводника поле нормально к его поверхности. Тогда на осно-
основании E.2) имеем: Е2 = — =— а. Выполняя дифферен-
дг
8o
цирование ф A) по г и полагая z = 0, лолучим уравнение:
k S— ss 5— , откуда находим: а = ~— , где R — расстояние
R* во 2лЯ3
элемента поверхности проводника до заряда q.
266

Полный заряд, индуцированный на проводнике, равен —q\ в
9том можно убедиться непосредственным интегрированием. Дей-
Действительно, элемент dS площади заряженной плоской поверхности
равен
где г = d tg a, dr = R da, R — d , .
cos а
Индуцированный на ней заряд равен dq' = odS. Полный инду-
индуцированный на поверхности проводника заряд равен:
d • sin a • d • cos3 a
cos a • cos a • ds
2 2
==s—q f sin a cos a • da = ^- f sin 2a
2 3
К 1С
*— -2- . 4 \' sin 2adBa) = ?cos 2а
= 0—q . 1 = _q.
Таким образом, мы показали, что общий заряд, индуцированный
на поверхности проводника, равен —q.
—> —>
5.8. Используя связь напряженности Е с потенциалом <р: Е =
= —Уф, для напряженности поля диполя будем иметь:
Р . 3(р • г)
Г.
г3 г5
учли, что V(p • г)=р, если р=const (упр. 1.17).

5.9. С помощью формулы E.21) и рисунка 5.2 имеем:
Р = Я\ ' Пп.+ Ь • r02 = q(roi—7O2) = ?/.
Значение р не зависит от выбора точки 0. Электронейтральная
система может рассматриваться как совокупность диполей с мо.
ментами pi, не зависящими от выбора начала 0. Электрический
момент системы р =^2 р, также не будет зависеть от выбора точ-
ки 0.
5.10. Совмещая начало координат с центром симметрии, на
основании E.21) получаем:
5.11. Выберем ось Oz вдоль вектора р. С помощью формул
E.22) и E.13) имеем:
,(,, в) =*
с- дф * 2р cos 0 # г- 1_ ^Ф
Г ~ дг ~ г3 * 8 ~ г дв
Здесь использовано выражение градиента в сферических коорди-
координатах A0). Линии напряженности поля диполя изображены на
рисунке 5.3.
6.1. Воспользуемся дэумя формулами векторного анализа A7)
и B3) П.1:
div (ф • a) = ф div a + a grad ф. B3)
Применим A7) к функции:
;pg (
Г3 Г3 \ Г J
ПрИхМеним B3) к последнему выражению, полагая а = р, ф = —-
Получим:
г3 \ I
268

Таким образом, имееМ:
111 =div,(j!-\ ^div"
г3 \ г ) г
0одставим это в F.3), получим:
, С divP ,w , Г i. / Р \ „;
v r v V г )
рассмотрим общий случай, когда в объеме V распределен заряд
с объемной плотностью р(#, у, z) и в области V есть заряженные
поверхности Sif на которых вектор ?, а следовательно и Р—еохЕ
изменяется скачком. Окружим Sx замкнутой поверхностью 5/ и
применим теорему Гаусса к последнему интегралу по объему V:
Будем S/ стягивать к S\. Первый интеграл стремится к нулю, так
как в области между S и S/ всюду Р непрерывен. Второй инте-
интеграл при Si/->S1 сводится к двукратному обходу S! с одной и
другой стороны. Тогда имеем:
\uiwJ±.)dV=
Обозначим:
— diV P ==* рсвяз.
— {Р2п—Pih) =* —DiV P = Освяз.
Тогда будем иметь:
рсвяз dV .
(аН-асвяз)
что совпадает с F.4).
6.2. Свободные и связанные заряды одинаково являются источ-
источниками поля; поэтому: div?= — (р + рсвяз). Установлено, что
е0
Рсвяз = —divP, где Р = еохЯ — вектор поляризации. Тогда имеем:
diveo? = p—6oxdiv?, или diveo?(l + x) = р, откуда следует:
=г р, чгго и следовало показать.
269

6.3. Вектор индукции D определяется пЛотностыд свободных
зарядов р. В вакууме: D = ео?, потенциал поля фо =• CdV
е0
В среде: D = еое?, потенциал поля равен ф = — С -—. Сравни.
вая фо и ф, заключаем, что при заполнении поля средой потенциал
уменьшается в е раз.
6.4. Используя граничное условие B.26) для касательной к
границе раздела двух сред составляющей вектора ?, заключаем,
что
Ех = Е2,
то есть напряженность поля в щели (ри ' .3) равна напряженно-
напряженности поля в диэлектрике. Этим можно воспользоваться для ее изме-
измерения.
Если щель прорезана перпендикулярно силовым линиям (рис.
6.4), то применяя граничное условие B.18) для нормальной со-
ставляющей индукции D, заключаем, что
D2 = Db
Если щель заполнена воздухом (ei = l), то D{ = ео?ь D2 = еовг^.
Из условия равенства D\ и D2 на границе находим:
?, = J— D2.
6.5. Расположим плоскопараллельную пластину из диэлектрика
перпендикулярно вектору индукции D электростатического поля в
вакууме (см. рис.). Вследствие поляризации на пластине возник-
возникнут поверхностные связанные заряды, создающие пополнительное
поле. Воспользуемся граничным условием B.18) для нормальной
составляющей вектора D: г0Е2 = D, где D = еоеЕг. Отсюда сле-
дует, что Ei = --, то есть внутри пластины поле ослабло в е раз.
8
Воспользуемся формулой F.8), которую для пластины запишем в
виде: ео^г = eo^i + Р, откуда следует зависимость напряженности
поля в диэлектрике от вектора поляризации Р: Ei — Е2— .
27а.

6.6. Умножим скалярно равенство F.1') на г и разделив его
г2, получим:
р.7
рсвяз = —-
6.7. В соответствии с общим решением уравнения Пуассона
E.7) потенциал поля связанных зарядов равен:
V Г
Подставляя в это выражение вместо р(г) плотность связанных за-
рядов из решения предыдущей задачи, получим: ф = k J dV.
r v г3
6.8. В соответствии с выражением F.5) рСвяз Ф 0 только при
условии, что Р Ф const, а зависит от координат: Р = Р(г), что и
означает неоднородную поляризацию диэлектрика.
6.9. При однородной поляризации диэлектрика Р = const и
р = 0 всюду в диэлектрике, кроме границы. На границе раздела
двух сред выражение F.5) принимает вид:
СГсвяз = Р\п — Р2п Ф 0.
6.10. Потенциал поля вне шара найден как сферически симмет-
симметричное решение уравнения Лапласа в п. 6.8:
ф= (cxr+ -^-
Постоянные С\ и Сг определяются из граничных условий. Вдали
от шара поле невозмущенное: ?|г-*оо = ?о, отсюда следует, что
ф|г->оо = —Eq • г; С\ = —Eq.
Потенциал проводящего шара должен быть конечной постоянной
величиной. На поверхности шара
ф ±= (da + -Sl) cos0 = const.
\ а2 I
Отсюда следует, что
da + — = 0, С2 = —da3 = Боа*.
a2
Потенциал поля определяется выражением:
Ф = ?о(—г + -?- j cos в.
271

&тому потенциалу соответствуют компоненты вектора ? 8 сфери-
сферических координатах:
дг
?„=__! _g_ -?,(.*.-Л sill в,
? = ?0
На поверхности шара (г=а) поле Е нормально к его поверх-
поверхности. При 6 = 0 и 0 = rt: ? = ?max = 3?0. При 6 = — поле
Е = ?min = 0. Определим плотность зарядов на поверхности ша-
шара, используя пограничное условие B.18): а = D\n — А*л. Внутри
шара D2n = 0; DYn = eoEr = З'ео?о cos 6. Поэтому имеем: а =
= 3eo?ocos9. Заметим, что эти результаты могли быть получены
из решения задачи в п. 6.8, полагая е==оо.
6.11. Графики зависимости Е(г) и ф(г) имеют вид, изображен-
изображенный на рисунке.
6.12. Выберем ось Ох перпендикулярно заряженной плос-
плоскости, а по оси ординат отложим зйаченйй ?. Так как работа
поля А = ^?jc>0, то ?>0 при х>0 и ?<;0 при х<0. Вычислим
?, используя граничное условие B.19); так как Ех = —?, ?2 = ?,
то имеем 2? = — или Е = —2- . Используя связь напряженности
с потенциалом: ?= ?fc?, найдем ф = ф0 — Ех Яря х > 0;
ф шв ф0 + Ех при х < 0.
6.13. Воспользуемся принципом суперпозиции для полей от за-
заряженных сфер. Изобразим сначала графики зависимости Е\(г),
Ф1(г); затем Е2(г), фг^) и« произведем сложение их.
6.14. Поле заряженной нити обладает осевой симметрией:
DR = D(R), Dz = Dq =0. Применим теорему Остроградского —
Гаусса к поверхности цилиндра высотой Н и радиуса /?, ось кото-
которого совпадает с заряженной нитью. Учитывая, что поток через
основание цилиндра равен нулю, получим:
D • 2nRH = XH; D= —*-
2nR
272

Учитывая связь D с Е уравнением F.8): D — еогЕ, находим
пряженность поля:
г i
D _ X
е0 е2 2яеО82#
Поверхностную плотность связанных зарядов на поверхности опре-
определим на основании уравнения F.5):
(Усвяз = —
где Р — вектор поляризации, связанный с напряженностью поля
Е уравнением F.7): Р==еох?, где х = е—1. Для плотности свя-
связанных зарядов получаем:
_ еох / si—I е2—1 \ % /J 1_
2ne0Ri \ 81 е2 / 2л/?1 \ е2 г\
6.15. Поле заряженного цилиндра осесимметричное. Аналогич-
Аналогично предыдущей задаче по теореме Остроградского—Гаусса нахо-
находим:
2naoHt R>a.
Напряженность поля E—ER равна:
0, R<a
, R>a.
Плотность связанных зарядов найдем из уравнения F.5):
Рсвяз == —div Р.
йектор поляризации Р = гокЕ = ео(е—-1)? имеет единственную
вставляющую Р*. Используя формулу A9.П.1) для дивергенции
в Цилиндрических координатах, найдем:
R OR R OR \ е /
l8-ll36 273

6.16. Поле Е нормально к заряженной плоскости. Применим
теорему Остроградского—Гаусса к поверхности цилиндра, основа-
основания которого параллельны заряженной плоскости и находятся п0
разные стороны на равных расстояних от неё. Получим:
а
2D -S = aS; D
2
Напряженность поля Е равна:
?JU».
2е0 2ее0
6.17. Поле обладает центральной симметрией, следовательно,
для составляющих вектора индукции D имеем: DR = D(R)}
?)8=Da=0. Применим теорему Остроградского—Гаусса к по-
поверхности сферы, концентричной поверхности шара, получим:
D . 4nR2 = q.
Внутри сферы (/?<а) заряд q = 0, поэтому D = ? = 0, Внутри
сферы (r^a) q=Q> поэтому
Поверхностную плотность связанных зарядов определим на осно-
основании уравнения F.5): Рщ—Ръп — о\ Подставляя вместо Рп его
выражение через Е: Рп = ео(е—\)Еп и учитывая, что внутри шара
Р1 = 0, получим:
Можно для определения плотности аг воспользоваться соотноше-
соотношением F.15):
о + о' =
где следует принять Ещ = 0, Е2п = —
4яа28
6.18. Поле обладает сферической симметрией. Уравнение Лап-
Лапласа Аф = 0 в сферических координатах примет вид B7.П.1):
интегрируя, находим: ф = + С2. Вне шара (г>а) примем*.
г
ф! = L + С2; внутри шара (r<a): ф2 = 2- + С4.
г г
274

Постоянные интегрирований определяются из граничных условий.
Условие <pi|r-*oo = 0 дает Сг=0; требование конечности потенциа-
потенциала Фг внутри шара дает Сз=0. Постоянные С\ и С\ определим из
граничных условий на поверхности шара г = a: q>i == <p2 и
р2п — Dm = а, из которых находим: d = —ft -2—; С4 = /е — .
га
Здесь учтено, что Dn = еогЕп = вое —2-; ft = -JL ; ft —
dr
4яе0
Окончательно потенциалы принимают вид:
ф1 = ft Л- , г>а
ег
ф2 = ft JL., г<а.
еа
Этим потенциалам соответствуют векторы напряженности поля:
-> ->
Е\ = Ег = k "" ; ?2====0»
г ег2 г
6.19. Напряженность поля:
Е =
ег*
г<а.
Отсюда следует, что потенциал:
ф =а
г
k . -±- + С2,
гг
Постоянные определяются из граничных условий: непрерывности
потенциала на границах г=а и r=b и условия фоо=0. В резуль-
результате получим: С3=0; С2= -^fl ——V
Емкость конденсатора равна:
еа
ебо
1+ -f- (е-1)
О
18*
275

6.20. Напряженность поля между обкладками конденсатора:
Тогда разность потенциалов равна:
ф| Ср2 ==
6i Ki 82
Емкость равна:
ei R\ e2 /?o
7.1. Жесткая система зарядов с механической точки зрения по-
подобна твердому телу. Система сил, действующих на жесткую си-
систему, сводится к равнодействующей силы, действующих на отдель-
-»• -*•
ные заряды: F = 2 qtEi. Если размеры системы позволяют моде-
i
-> -¦¦-¦¦
лировать её как точечную, то имеем: F = Е(г0) 2 ци
7.2. Силы, действующие в электростатическом поле, потенци-
альные, поэтому имеем: F = —grad U = gradp • Е(г). Так как р
-> -*>
от г не зависит, a rot? = 0, то, учитывая тождество D1) П.1, по-
лучим: F= (pV)?(r). Отсюда следует, что сила F отлична от
нуля только при Е = Е(г), то есть в неоднородном поле.
7.3. Из механики известно, что произвольная система сил, дей-
ствующих на твердое тело, сводится к силе F = 2 Fi и паре с мо-
—> —> —> —>
ментом М = 2Mf. Векторы F иМ называются соответственно
главным вектором и главным моментом системы. В плане анали-
аналитической механики величина М является обобщенной потенциаль-
потенциальной силой. Выберем в качестве обобщенной координаты угол Э
между векторами р и Е. Тогда имеем:
М = — -2У-=*Л- (p.fcosO) =— p?sin9.
Сопоставляя это выражение с моментом М для одиночного диполя
в однородном электрическом поле, получим:
м=Ср,~е].
276

Отсюда следует направление вектора М. Главный вектор F в одно-
однородном поле, как показано в предыдущей задаче, равен нулю.
Если поле неоднородно, та совокупность сил, действующих на за-
ряды, приводится к моменту М = [р, Е] и силе F = (pV)?. Ве-
Величина силы определяется ориентацией вектора р и разностью
значений напряженности в точках расположения зарядов.
7.4. Напряженность поля точечного заряда определяется вы-
выражением E.9):
Е — ь J-L
J-j —— fV •
Г2 Г
Используя выражение G.8), найдем энергию:
-¦> ->
U = — kq ?-1- = —kq •?- cos 9.
Используя выражение для момента М из предыдущей задачи, най-
найдем:
Й= [?,?]= ft-L[pf 7];
М = — fe J^-psine.
Сила F определяется через энергию U:
) q 3qp.
г3 J г3 г4
7.5. Воспользуемся формулами для напряженности поля вне и
внутри шара, полученными в решении задачи 5.4. Запишем их в
виде:
?e=-L i_; r>a
4ле0 г2
Ei = pr;
Зео
Применяя формулу G.16) для энергии, получаем:
2 QJ V Зео
) ; ft.
4ле0 г2 / 5а 4яе0
977

7.6. Выбирая начало координат в точке расположения первого
заряда, имеем для напряженности его поля значение:
г2 г
Определяя силу, действующую на заряд q^ со стороны поля, нахо.
дим работу:
А = \ k ЯхЯ2 dr = k ЯхЯ2
v f^ Т
т
Это выражение работы совпадает с формулой G.10) энергии си-
систему двух точечных зарядов. Сопоставляя работу А с выраже-
выражением энергии G.11), получаем известное выражение для потен-
потенциала поля заряда q\\ ф1 = k -^- . Отсюда следует целесообраз-
ность нормировки потенциала: энергия точечного заряда q$x
равна работе по удалению заряда q% в бесконечность только при
условии, что ф1=0 при г->-оо.
7.7. Формула G.15) предполагает, что внутри области V есть
заряженная поверхность S\ с плотностью заряда а (см. рис.). Вос-
Воспользуемся тождеством B3) П.1, полагая А(х, у, z) ===? D, учтем,
-> -*- —>
что divD = р; Е = —Уф. Имеем:
РФ ф DE.
Тогда:
J
Jpp ^
Второй интеграл правой части уравнения заменим по теории Гаус-
Гаусса поверхностным интегралом, выделив поверхностью S/ из обла-
области V заряженную поверхность Si, на которой вектор D терпит
разрыв, получим:
2 v
— (j)
2 /
Интеграл по поверхности S области V обращается в нуль, если
поле охватывает все пространство. Второй интеграл в пределе
278

Si'-^Si совпадает с интегралом по заряженной поверхности Si
для двух её сторон, отличающихся направлением нормалей. Теперь
имеем:
— Г pcpdV = — VblldV + — \ y{DlN—D2N)dS =
2 vJ 2 kj 2 i
1 г
2 J
Здесь использовано граничное условие B.18). Из последнего вы-
выражения окончательно имеем:
JP 1
^ydV+ jacpdS
где индекс 1 при S{ опущен.
7.8. Сила F, действующая со стороны электрического поля на
1вердое тело, равна равнодействующей всех сил, действующих на
свободные и связанные заряды, входящие в вещество тела:
В диэлектрике заряды жестко связаны. Поэтому можно применить
формулу G.9) для жесткой нейтральной системы зарядов:
F= (pV)E,
где р — дипольный момент системы, а Е — напряженность поля.
Дипольный момент элемента объема dV поляризованного диэлек-
диэлектрика на основании F.1) равен: dp = PdVt
где Р — вектор поляризации вещества. Тогда для силы, действую-
действующей на элемент объема, получим:
dF= (PV)EdV.
Учитывая материальное уравнение F.2), имеем:
С помощью тождества D1) П.1, в котором примем А = В = Е и
уравнения поля: votE = 0 найдем, что (?V)? = — grad?2. Тогда
Для силы f = получим:
dV
f = -2SL grad?2. G.23)
279

Из G.23) следует, что сила / не совпадает с направлением сило-
силовых линий Е и направлена в сторону возрастания модуля напря-
напряженности поля, поэтому диэлектрик как бы втягивается в поле.
7.9. Если проводник помещен в электрическое поле* то его за-
заряды собираются на поверхности, поэтому поле действует на по-
поверхность проводника. Напряженность поля на поверхности про-
проводника выражается формулой F.18):
Выделим на поверхности проводника малую пло*щадку dS с заря-
дом adS. На этот заряд действует сила dF=?'crdS, где Е'=Е—?";
? — напряженность поля всех зарядов, Е" — напряженность поля
заряда odS. Мысленно вырежем площадку из поверхности провод-
проводника, исключив этим поле её заряда Е" из общего поля Е. Тогда
в данном м^сте границы скачка напряженности Е' не будет» (см.
рис.). Внутри проводника поле равно нулю, то есть ?=Л'+?"=0,
отсюда следует Ег =* —Е"'. Следовательно, снаружи при наличии
площадки напряженность поля равна: ?=?/+?//=2?/, ?'= — ?.
-¦»
Теперь для силы dF, действующей на площадку dSy имеем:
Для плотности ^илы получаем:
Тпов= d? — q2 д
dS 2eeo
С помощью уравнения F.18) для модуля плотности силы получаем
выражение, совпадающее с плотностью энергии электрического
поля у поверхности проводника:
* еео?2
/пов = —-— = ^эл.
7.10. Воспользуемся результатами решения задачи 5.4. Для
поля внутри и вне заряженного по объему шара радиуса а имеем
выражения:
Ei=±<Ln
е а8
= -* L; г>а.
8 Г2
280

Энергия поля, заполненного диэлектриком выражается формулой
G.^8). Область V для данной задачи распадается на две: внутри
щара Vi и вне его. Поэтому формула G.18) для энергии поля за-
заряженного шара принимает вид:
учитывая, что объем шара радиуса г равен V= —яг3, находим
0 = 4nr2dr. Подставляя значения ?,• и Ее, получим:
4 1
где q = — nazp — общий заряд шара: k = .
3 4ле0
7.11. Пусть заряд q расположен на ос^ Oz на расстоянии а от
поверхности хоу проводника, занимающего полупространство
2<0. Поверхность проводника в рассматриваемом случае являет-
является эквипотенциальной поверхностью (см. 6.9). Любая поверхность
будет эквипотенциальной, если симметрично относительно неё рас-
расположить два заряда q и —q. Следовательно, заданный заряд q
и проводник в левом полупространстве с индуцированными на его
поверхности зарядами создает в правом полупространстве такое
же поле, как упомянутые выше два заряда.
Это утверждение выражает метод «изображений»: проводник
с наведенным поверхностным зарядом создает в правом полупро-
полупространстве такое же поле, как точечный заряд —q> расположенный
в точке, где находилось бы изображение заряда q, если бы поверх-
поверхность проводника была зеркальной (см. рис.). Таким образом в
решении задачи устраняем проводник, поместив в точку @, 0, —а)
заряд —q. Введем цилиндрическую систему координат с осью Ог,
проходящей через оба заряда и запишем потенциал поля в произ-
произвольной точке области 0
Этому потенциалу соответствует напряженность
? _ f kq(a—z) , Ьд(а+г) )
2 \ (r2+a2+z2—2flzK/2 (r2-Hi*+z2+2azK/2 J*
281

На поверхности проводника 2=0 напряженность равна
п 2hqa
to = —
(r2+a2K/2
Внутри проводника поле равно нулю F.16), поэтому на основании
F.17) при е=1 имеем: Ео = -2— , откуда находим плотность на-
веденных зарядов:
2kqaeo
О =
(г2+а2K/2
7.12. Распространим метод изображений на случай границы
раздела «вакуум-диэлектрик» и будем рассматривать её как «полу-
«полупроницаемую» для поля. Продолжая оптическую аналогию, примем,
что часть поля на границе 2=0 «отражается», а часть проходит
в диэлектрик. Отраженное поле может быть описано как порож-
порожденное зарядом q'—Aq, находящимся в точке z = —а, зеркально
симметричной точке z=a (рис. 7.9). Поле в диэлектрике (г^О)
порождается реальным зарядом, расположенным в точке z=а, но
ослаблено диэлектриком. Теперь границу раздела двух сред мыс-
мысленно устраним, а её влияние на поле в вакууме (г^О) учтем
«зарядом-изображением» q'=Aq, расположенным в точке z = —-а,
а в диэлектрике B^0)—коэффициентом В, характеризующим
ослабление поля заряда q вследствие частичной проницаемости
границы.
На основании этой модели запишем потенциалы поля:
ф2G) =
Коэффициенты А и В определим, используя граничные условия
непрерывности потенциала ф и скачка его нормальной к границе
производной:
дг
V2
дг
2 = 0
Заметим, что ф1 и фг являются сложными функциями 2; при
г\ = г2. Граничные условия приводятся к двум уравнениям:
1-Л=еЯ; \+А=В%
282

откуда находим:
А= 1-
1 + е е+1
Окончательно потенциалы ф1 и фг принимают вид:
kq , 1-е kq
Г\ 1 + е г%
2 kq
Фг = -— — ; ^
1+е г{
Это решение допускает следующую интерпретацию с точки зрения
принципа суперпозиции: поле в вакууме (г^О) есть результат
наложения заданного поля точечного заряда q и поля заряда
а' = -?И- <7, противоположного по знаку q (см. рис.) и располо-
е+2
женного в области z<0 в точке z = —а. Поле в диэлектрике то-
топологически идентично полю заряда q, оно лишь ослаблено полу-
полупроницаемой границей (связанными зарядами диэлектрика).
Рассмотрим предельные случаи. При е=1, когда диэлектрик
устранен, и все пространство поля занято вакуумом, получаем
ф! = <р2 = _?-, что соответствует потенциалу поля точечного за-
заряда в безграничном пустом пространстве. При е = оо получаем:
kq kq . n
ф1 = , ф2 = U.
Г\ Г2
Это соответствует решению предыдущей задачи о нахождении поля
точечного заряда в вакууме, когда область г^О занята проводни-
проводником.
7.13. Поле зарядов, индуцированных точечным зарядом q на
бесконечной проводящей поверхности в соответствии с методом
изображений эквивалентно полю заряда —q> расположенного зер-
зеркально симметрично заряду q. Сила притяжения заряда q прово-
проводящей поверхностью равна силе притяжения зарядов q и —q,
находящихся на расстоянии 2а: F = k — .
7.14. Воспользуемся результатом решения задачи 6.18. На осно-
основании G.15) для энергии шара получим:
W = -L f pvdV = ф • — f pdV = — wq = k -?-
2 J 2 Г 2 ^ 2га
283

Этот же результат следует из формулы G.18):
W = -L f ece?W = ii Г е0е?2г2^ = Л -21-
2 J 2 flJ 2еа
здесь k = .
4ле0
7.15. На основании G.18) с учетом результата, полученного в
задаче 7.10, энергия шара равна:
W= i-
\ 5e / 2a \ 5e
a
Этот же результат можно получить с помощью формулы:
7.16. Обозначим моменты диполей через р\ и рг, а вектор, иду-
идущий от центра первого диполя к центру второго — через Г\2. Энер-
Энергия взаимодействия диполей на основании G.8) равна:
W{2 = —Р2Е12У
->
где ?12 — напряженность поля, создаваемого первым диполем в
месте нахождения второго, определяемая формулой E.13):
Г12
Искомая работа равна энергии, которой обладают параллельные
диполи, то есть
А = Wl2= Pl'P2 (I—3cos26).
a3
284

8.1. Токи в проводниках можно считать линейными, так как
обычно поперечные сечения проводников малы в сравнении с их
длиной. Элемент линейного тока (см. упр. 1.8) выражается фор-
формулой:
В соответствии с формулой (8.7) для индукции В поля линейного
тока получаем выражение:
(г'K ' 4n
В дифференциальной форме это выражение имеет вид известного
из курса общей физики закона Био-Савара:
8.2. На основании формулы (8.15) имеем:
Так как — [r0, dl] = dSt а контур плоский, то имеем:
8.3. Движущемуся заряду соответствует ток
г е е • v
7 2яг
и магнитный момент
* ~ 2зтг ~ 2
Это равно орбитальному магнитному моменту электрона. Момент
импульса электрона равен mvr. Отношение магнитного момента к
механическому равно постоянной величине , которая для элек-
2т
трона называется гиромагнитным отношением.
8.4. Пусть Oz — ось симметрии соленоида (см. рис.). В соответ-
соответствии с симметрией распределения тока заключаем, что вектор
—v
Индукции В не зависит от координаты z и угла поворота относи-
Тельно оси Oz. Циркуляция вектора В по любому контуру типа
285

(а) равна нулю. Следовательно, индукция поля вне Соленоида рав.
на нулю в соответствии с формулой (8.8). Вычисление циркуляции
по контуру типа (Ь) дает:
1В
откуда следует: В = |л0/ во всех точках соленоида. Для соленоида
с числом витков п на единицу длины и силой тока / получаем:
В =
8.5. В соответствии с законом Био-Савара (см. решение зад
8.1) для индукции поля прямого тока имеем выражение:
Я3
из которого заключаем, что векторы dl, R и В образуют право-
винтовую систему (см. рис.). Абсолютная величина вектора ZJ
равна
B = f/ [Rdl.sln(di.% 9
Из рисунка следует: R = —~ , dlsin(dl, R) = АА' = R • da.
Подставляя эти соотношения в выражение для индукции, найдем:
J R J r r 2nr
1С 1С
Из этого выражения следует, что индукция поля В постоянна на
поверхностях коаксиальных цилиндров п = const с осью, совпа-
совпадающей с прямолинейным таком /. В любой плоскости, перпенди-
перпендикулярной току, картина линий индукции одинакова, представляет
собой совокупность концентрических окружностей г = С/ с цент-
центром на оси тока. Заметим, что индукция поля прямого тока убы-
убывает по мере удаления от него.
8.6. Используем выражение (8.4) вектора индукции В через
потенциал А и учтем свойства векторного дифференциального опе-
оператора Гамильтона V:
= гоМ = f [V [Щ] = JL
286

—У
Индексы т и г при V указывают векторы, которые следует диф-
дифференцировать. Чтобы это сделать в первом слагаемом, сделаем
циклическую перестановку векторов, второе слагаемое представим
тождеством E) П.1, в третьем вычислим V[ ); получим:
* \ г3 /
'В=~~ <? [Vm> m]]+m (V, -7) -г (V,m)} + f
e_L @ + 3m-m)--M_[7, [m?]].
Г3 Г5
Раскрывая двойное векторное произведение и вводя единичный
вектор /г = , для индукции В получаем выражение (8.17):
г
->•-¦>-> -*
7? г Зп(т • п) —т
B = f _—.
9.1. Проинтегрируем уравнение (9.2) по поверхности трубки
тока, образованной линиями тока (см. рис.):
J 1dS + J 'JdS ш* П<*5 == /2-/,.
Левая часть этого выражения по теореме Гаусса приводится к
объемному интегралу от дивергенции вектора /ив соответствии
с уравнением (9.2) равна нулю, откуда следует, что /i=/2. Сила
тока постоянна в любом сечении проводника, совпадающего с
трубкой тока. Заметим, что через боковую поверхность трубки то-
тока заряды не выходят.
9.2. Окружим точку разветвления цепи замкнутой поверхностью
S и проинтегрируем по ней уравнение (9.2); получим:
J 7- dS = /1 + /2+ •>. +/я=0.
s
Выбрав положительное направление токов для всех проводников
в точке разветвления, получим, что алгебраическая сумма токов
в ней равна нулю.
287

§.3. Ранее отмечалось, что расход энергии на джоулево Тепло
в цепи постоянного тока компенсируется работой стороннего поля
внутри источника тока, где в электромагнитную энергию превра,
щается какой-либо другой вид энергии. Рассмотрим механизм пе-
переноса энергии от источника к различным участкам внешней цепи
Выделим в заданном проводнике с током участок внешней цепи
(см. рис.), не содержащий ЭДС. Ток / в проводнике создаёт маг-
магнитное поле с индукцией 5, причем силовые линии вблизи провод,
ника являются концентрическими окружностями. Напряженность
электрического поля Е в соответствии с уравнением (9.2) каса-
тельна к поверхности проводника и направлена вдоль проводника
по току. Найдем поток энергии электромагнитного поля через по-
поверхность— выделенного участка проводника, расположенного в
вакууме. В соответствии с формулой C.13) имеем:
N = [ П • dS = — Г [Ё, В] • d~S.
= — Г [Ё, В]
Так как ?= -^—, В= -^— (см. решение задачи 8.5), векторы
у 2лг
—> —>
Е и В ортогональны, то имеем:
N= fn-dS= [
J J
2nry
s 6 бок
= JjL . 2яг1 = jSJ • — = PR.
2nry yS
Следовательно," поток энергии электромагнитного поля через боко-
боковую поверхность выделенного участка цепи равен джоулевой теп-
теплоте, выделяющейся на этом участке. Вектор П направлен внутрь
проводника по нормали к его боковой поверхности. Следовательно,
вся электромагнитная энергия втекает через боковую поверхность
проводника из окружающего пространства. Она сообщается сво-
свободным зарядам и при взаимодействии их с кристаллической
решеткой происходит ее превращение во внутреннюю энергию,
которая и выделяется в форме джоулева тепла. В это пространство
энергия поступает из тех участков цепи, где работают сторонние
силы. Внутри источника тока вектор напряженности Е направлен
противоположно току /, следовательно, вектор П плотности потока
энергии направлен наружу. Следовательно, энергия источника в
виде электромагнитной вытекает из него в окружающее простран-
288

ство, движется в нем вдоль проводника ко всем участкам, «втекай»
з них, где и потребляется, превращаясь в другие виды энергии.
Переносчиком энергии в цепи является электромагнитное поле.
9.4. В п. 9.1 показано, что на границе раздела двух сред со-
составляющие вектора плотности тока / удовлетворяют условиям:
/ь Yi
—— — , Нп = ]2п-
Нх Y2
Отсюда следует закон преломления линий тока:
tg а2 \^ jln )\J2n) V2
9.5. В случае постоянного тока на внутренней поверхности
проводника /п=0, а следовательно Ещ=0; Dln=0. Вне провод-
проводника в соответствии с граничным условием B.18) имеем:
D2n = 0,
где а—поверхностная плотность свободных зарядов. Так как
-*¦
?1T=Y/; Е2х= Е{х, то Е2х и D2x отличны от нуля. Следователь-
-»• ->
но, векторы Е2 и D2 поля вне проводника с постоянным током не
нормальны к его поверхности.
—>.
9.6. Представим радиус-вектор R произвольной точки оси, в ко-
торой определим индукцию В, в виде: R=\Ro+4 (см. рис.). Напря-
Напряженность поля в этой точке в соответствии с законом (9.24) Био-
Савара равна
Последний интеграл в силу симметрии контура равен нулю (этот
интеграл соответствует нормальной к оси составляющей напряжен-
напряженности поля). Первое слагаемое характеризует напряженность поля
в точках оси кольцевого тока. Она направлена по оси и образует
с током правовинтовую систему. Её величина равна
— <$ (^ • Ц>) д 7/*о \dl—
4я / (/?2+^2K/2 4л(Я2 + ^2K/2 &
Яо2
1I/1 •
289.

Индукция В на основании (9.19) равна
9.7. Если рамка с током мала настолько, что внешнее поле fit
одинаково во всех токах её контура, то магнитный момент равен*
т = J • S. Механический момент на основании (9.33) равен
М = [т, В] = J[Sy B]\ его максимальное значение соответствует
ортогональности векторов S и В. Тогда имеем: М = JSB, откуда
следует: В =J_ .
9.8. Проведем через произвольную точку <Р внутри цилиндра
две меридианальные плоскости, которые выделят на поверхности
цилиндра две узкие полосы шириной dl\ = гхйц> и dl2 = г2йф (см.
рис.). Силы тока в них пропорциональны ширине: dJ\ = kdlx =
= krxdy\ dJ2 = kdl2 = kr2dq>. Каждый из этих токов в соответствии
с законом Био-Савара (9.24) создает магнитное поле вида (8.20):
kd<p
2я
1тт dJ2 kr2dq> kdcp
Cltl 2 — —— —— ——— .
2nr2 2nr2 2n
Эти поля равны по величине и противонаправлены. Следователь-
Следовательно, результирующее поле в произвольной точке внутри цилиндра
равно нулю.
9.9. Уравнения магнитостатического поля (8.1) и (8.2), запи-
записанные через Я, имеют вид:
сНуЯ = 0, A)
rot Я =7- B)
Выберем цилиндрическую систему координат г, г, а. Поверхност-
Поверхностный ток это совокупность нитей тока. Линии индукции магнитного
поля каждой нити тока есть концентрические окружности, плос-
плоскость которых перпендикулярна оси z (оси цилиндра). Это обстоя-
обстоятельство, а также симметрия задачи позволяют считать, что линии
индукции магнитного поля вне цилиндра есть концентрические оси
290

цилиндра окружности, то есть: #2=0, //г=0. Ё силу симметрии
На = На (г). Уравнение A) в цилиндрических координатах
удовлетворено. Уравнение B) для поля внутри цилиндра эквива-
эквивалентно трем скалярным уравнениям:
dz дг
rot, ? =-L U-(rtf.) - ^Ц = 0.
г { дг да J
Так как Яг=Яг=0, то имеем гНа—а и Яа= —, где а = const.
г
Внутри цилиндра а должно равняться нулю, иначе на оси цилинд-
цилиндра (г=0) поле будет бесконечным. Следовательно, внутри цилинд-
цилиндра #i = 0, что соответствует решению предыдущей задачи. Значе-
Значение постоянной а для поля вне цилиндра определим из граничного
условия для Нх B.23):
где R — радиус цилиндра. Отсюда имеем: а= —, а поле вне ци-
цилиндра характеризуется напряженностью Не = Яа= ; r^R.
Это совпадает с магнитным полем линейного тока силы /, проте-
протекающего по оси цилиндра.
9.10. Вследствие симметрии задачи Н = Н(г). Введем цилинд-
цилиндрические координаты г, z, а. Запишем уравнение для rot H в ин-
интегральной форме:
¦ Н . df= J ~JdS = .
В качестве контура интегрирования выберем окружность радиу-
радиуса г. Тогда имеем:
19* 291

Для- внешнего поля (r>r0) имеем:
Не = Я.= ,'_ .
Для поля внутри цилиндра (г<г0) имеем:
тогда напряженность поля равна
Го / 2лг 2л г02
Заметим, что #«— единственная, отличная от нуля, компонента ft.
Действительно, Нг=0 так как ЯЛ_/(г). Из уравнения div#=0
в цилиндрических координатах
дг ! г дг у f r да
дНг л дНа
следует в силу условии: -^— = 0 и —т— = и, что rnr = const.
На оси при г=0 поле конечно, поэтому единственно возможное
значение постоянной дает #г=0.
10.1. В соответствии с соотношением A0.15): В = цоЦ # = мА).
-> -> Г-* в 1
Уравнение A) принимает вид: [V, Во] = \V,— =М'о/. Так
как магнетик однородный (ц = const), то последнее уравнение
приводится к виду:
[V, В]=Щ1о7 ^(П
Это искомое уравнение для индукции. Введем теперь В = [V, А]
в уравнение (Г), получим
д/= —iJtolxT B0
На основании A) и B) заключаем, что при заполнении поля токов
однородным магнетиком индукция В и магнитный потенциал А
возросли в \х раз.
10.2. Электрическое поле в диэлектрике создается свободными
и связанными зарядами. Уравнение Максвелла—Лоренца для на-
пряженности е истинного микрополя имеет вид:
dive= —
е0
292

где р и рсвяз — микроскопические плотности свободных и связан-
связанных зарядов. Усредним это уравнение по физически бесконечно
малому объему диэлектрика; воспользуемся перестановочностью
операций усреднения и дифференцирования, получим:
div(e)= -i- {(p) + (рсвяз)}.
"о
Усредненная напряженность микрополя (е) равна напряженности
Е макроскопического поля; (р) = р — макроскопической плотно-
сти свободных зарядов; (рСвяз) = —divP (см. 6.5), где Р — вектор
поляризации диэлектрика. Тогда из последнего уравнения имеем:
P) =p.
Используя введенный соотношением F.8) вектор индукции D =
= ео? + Р, заключаем, что
div D = р,
то есть индукция поля определяется плотностью свободных заря-
зарядов. В магнетике магнитное поле создается током проводимости
и молекулярными токами. Усреднение уравнений микрополя A0.12)
приводит к уравнению макрополя A0.14), из которого следует,
что напряженность Н определяется плотностью тока проводимо-
проводимости / = р v. Следовательно, вектор Н является аналогом вектору D.
Вектор В = [х0Н + 1 характеризует суммарное поле токов прово-
димости / и молекулярного /МОл = rot /, ему аналогом является
вектор напряженности электрического поля Е.
10.3. В соответствии с граничным условием Rot Я = i при i=0
имеем в средней части щели: Нх' = Нх\ так как Нп' = Нп = 0, то
имеем:
Граничное условие Div В = 0 позволяет заключить, что в средней
части щели Вп' = Вп = \лоНп'; так как Нх' = Н% = 0, то имеем:
н>=±-ъ
Но
в гауссовой системе единиц ^о=1 и Н'=В.
293

10.4. Обозначим
Z=jrot(l-)dV.
Если С = const, то
-» -¦•
C-Z= „
г
Применим формулу D3) П.1, получим:
Z-Z=l div [с, -L-1 dV.
По теореме Гаусса имеем:
Сдвигая поверхность S в бесконечность, полагая функцию / не
имеющей разрыва и стремящейся к нулю не медленнее, чем — t
г
получаем, что С • Z — 0, а так как С — постоянный вектор, то
имеем: Z=0.
Этот же результат следует из формулы Грина 47 П.1 при
10.5. Поле внутри оболочки (O^r^ai) возбуждается током,
текущим по проводу (см. зад. 9.10), причем
Hi = —— г,
2ш22
Не = ,
Вне оболочки магнитное поле отсутствует, так как токи, текущие
по проводу и оболочке вне кабеля возбуждают равные и противо-
противоположно направленные поля. На основании A0.19) собственная
энергия магнитного поля кабеля может быть записана в виде:
Wu = JL LnP.
С другой стороны, принимая относительную магнутную проницае-
проницаемость провода равной единице, на основании C.12) и A0.11) пред-
представим энергию магнитного поля в виде:
294

W = —
цо {f Hi2 ¦ 2nrdr + j'tfe2 • 2nrdr\ I =
2
Но Я
16Я \ 02
/ — длина участка кабеля.
Сравнивая оба выражения для энергии магнитного поля, нахо-
находим
ьн =
8я \ а2
Для самоиндукции единицы длины кабеля имеем:
Ln= JbL(i+4inJ!L
8я \ а2
11.1. Свободные заряды в проводнике, движущемся в постоян-
постоянном магнитном поле вовлекаются проводником в упорядоченное
движение со скоростью движения и проводника. На заряды дей-
действует магнитная составляющая силы Лоренца:
F = q[v,B].
Относя силу к величине заряда, получаем некоторое эффективное
электрическое поле с напряженностью
Следовательно, и в постоянном магнитном поле при движении
проводника в нем возбуждается ЭДС:
?инд= | [у, B]dl. A1.28)
11.2. Если элемент проводника dl сместился за время dt на
отрезок dry то v = —^— и вместо формулы A1.28) получим:
dt
?инд = -jf § [d?, В] - dl =
гДе SeoK — поверхность, описанная в пространстве контуром
тока за время dt. Вычислим поток индукции через замкнутую по-
поверхность тела, образованного поверхностями, стягивающими про-
295

водник в моменты t и t+dt (основания) и описанной проводником
при движении контура (боковой). Так как поток вектора индук>.
ции В равен нулю, то
J B-dS = 0,
5бок
отсюда следует:
— J B.dS= $*B.dS+ J В- dS.
s бок S| S|
Выбирая положительное направление нормалей к поверхностям
как показано на рисунке, и пользуясь выражением для €ИНд!
имеем:
где Ф@—поток индукции через поверхность, стягивающую кон-
контур в момент времени t. При выводе этой формулы для ?ИНд име-
имелось в виду, что поток вектора В через контур проводника изме-
изменяется вследствие движения всего контура, а также его отдельных
частей, то есть изменения формы и размеров контура. Это отра-
отражено в обозначении:
где в отличие от выражения A1.18) использован знак полной про-
производной по времени.
11.3. Совокупность произвольного числа замкнутых линейных
проводников связана в единую систему общим квазистационарным
электромагнитным полем. Изменения магнитного поля порождают
ЭДС индукции и индукционные токи в проводниках, те в свою
очередь влияют на поле и т. д. Эти процессы можно описать с по-
помощью закона Ома A1.22):
Г. D. о.ст дФ/ . j о дг
Jtl\i — ?* — , I — 1, Z, ..., iV,
01
где N — число проводников.
Ток в каждом контуре зависит от изменения токз в нем и в
остальных контурах. Выражая изменение потока индукции по
времени соотношением A1.21), получим:
ЛГ
296

При заданных ?*ст и параметрах /?*, Lt*, а также при заданных
начальных значениях силы тока все токи в контурах могут быть
определены для любого момента времени.
11.4. Для электро- и радиотехники важен случай цепи, содер-
содержащей конденсатор с емкостью С и дроссель с индуктивностью,
точнее с коэффициентом самоиндукции L. Емкость конденсатора С
и индуктивность катушки могут значительно превосходить эти
параметры в другие частях цепи, поэтому эти свойства считаются
сконцентрированными в конденсаторе и дросселе.
По существу цепь конденсатором разорвана, но благодаря уве-
увеличению и уменьшению заряда на обкладках конденсатора это не
мешает возникновению колебаний силы тока в остальной части
цепи. Поэтому цепь уподобляется замкнутому контору. Проинте-
грируем уравнение / = у(Е + ?ст) вдоль всей цепи от одной об-
обкладки конденсатора до другой (см. рис.):
f ()
Интеграл в левой части приводится к произведению JR. Второй
интеграл правой части есть сторонняя ЭДС. Первый интеграл
представим суммой двух слагаемых, используя формулу A1.13):
С ?.<// = —Cgradq>.flM— f M--dl.
Г i Г dt
Вычислим первое слагаемое в правой части:
J grad ф • dl = J rf<p = ф2—ф1 = -2- •
11 С*
где Q — заряд конденсатора, С — его емкость. Учитывая, что гео-
геометрический разрыв цепи конденсатора мал по сравнению с про-
протяженностью цепи, для второго слагаемого имеем:
f a . dTcx -52L = i JL .
J dt dt
Подставим это выражение в A), получим:
JR + L *L + JL =е<\ B)
Дифференцируя B) по времени и учитывая, что —2. = /, оконча-
dt
тельно получаем:
dt
?L +r j!L + J-.j=jL
dt2 dt С dt
297

Это уравнение является исходным для всех расчетов в цепи пере-
переменного тока. С его помощью рассчитывается процесс в колеба-
колебательном контуре, выводится закон Ома для цепи переменного тока
при наличии в ней индуктивности и ёмкости и т. д.
11.5. Возьмем ротор от левой и правой части первого уравне-
уравнения Максвелла, получим
rotrot? = — votB. A)
—>•
Преобразуем левую часть с помощью оператора V:
rotrot? = [V[V?]] = V(V?)— Д? = — Д?,
так как div? = 0 при р=0.
Правая часть уравнения A) в соответствии с третьим уравне-
уравнением Максвелла преобразуется так:
-. JL rot В = —jjto^x rot H =
д ? дЕ
— / = — M-M-oY— -
ot at
Здесь учтено: j = yE. Таким образом, уравнение A) привелось
к виду.
Л? = у\1\ю — .
ot
Аналогично получается уравнение для вектора напряженности Н.
11.6. На основании уравнения A1.29) имеем:
LJ^ + J^/==0.
dt2 С
Характеристическое уравнение
J_ = о
имеет корни:
VLC
Решение исходного уравнения имеет вид:
J = f
298

11.7. Пусть в цепи переменного тока действует ЭДС ?ст =
^еое-ш. Уравнение A1.29) дает основание искать решение для
тОка в виде: / = /oe-fW, получим:
Выделяя вещественную часть, получим:
j во COS (tot—ф) т
11.8. Уравнение A1.29) для этого случая имеет вид:
dt2 dt
Характеристическое уравнение имеет корни: /?i == 0, k2 = ;
R
поэтому решение уравнения для тока имеет вид:
-JLt
J = A + Be L ,
где Л и В — постоянные, определяющиеся из начальных и конеч-
конечных условий задачи. При замыкании цепи /@) = 0 и /(оо) = —,
R
так как при постоянной ЭДС в итоге устанавливается постоянный
ток. Отсюда имеем:
R
При размыкании цепи с установившимся постоянным током
h= -2- имеем /@)=/0 и /(оо)=0. Это дает зависимость
R
/= JL-e L .
R
11.9. В соответствии с уравнением A1.29) имеем:
уравнение допускает решение
299

При замыкании цепи получается кратковременный ток зарядКи
конденсатора источником постоянной ЭДС. В первый момент, пока
конденсатор не заряжен и не создает «противополя», ток ограни.
чивается только сопротивлением цепи и равен -|- . Отсюда имеем-
R
t_
т JL. p RC
j —— ¦——— ^ t
R
Если е=0, то ток может появиться только при заранее заряжен-
заряженном конденсаторе. В этом случае
j e ,
R
где Дф — разность потенциалов на обкладках конденсатора,
Установившийся режим соответствует нулевому току. Поэтому
при размыкании цепи тока не возникает.
11.10. Имеем:
Uj = —/Ф = — / J"B dS = — / J rot A dS ==
= — J§ A .dl = — l
& v
здесь использована связь линейного тока с объемным.
11.11. Разобьем ток /ь на совокупность большого числа ни*ей
dJu каждому dJx соответствует
dUn = — dJ{ • Фи,
где Фц — магнитный поток от всех нитей dl\\ на основании A1.20)
он равен:
Тогда имеем:
dUn = -LnJidJx.
Интегрируя по всем нитям, найдем:
Ы? (И.46)
п
11.12. Если Фц — средний поток через все нити, то имеем:
Un 2 dUn = Ф2 dJu =
2 i
= _ J_ /ф = _ ±. / Г в . dS = — -?- $ A- dl.
2 2 J 2 ^
300

фактор ^ учитывает повторение каждого элемента d!x при сум-
суммировании. Если ток нельзя считать линейным, то, делая замену:
= j dVt получаем
V
11.13. Представим U виде: U=Un + U22+Ux2. Разобьем токи
/, и /2 на совокупности нитей dJ\ каждому току dJ соответствует
dU = — dJ • Ф.
Имеем: ?/п = —2 ((Иц)Ф\; Ф\ на основании A1.20) равен:
Ox = L\\J\. Переходя от суммы к интегралу, получим:
Аналогично имеем:
С22 — —i-22 -— •
Слагаемое Un представим в виде суммы
Ui2 = -L ([/12+ и21) =- -L [S dJ2 • Ф12 + S dh • Ф21] =
явг (L12 /1 /2 + i-21 /2 ^l) = —^12 «^1 h-
Здесь учтена формула A1.20) для потоков:
Ф12 = L12 J\; Ф21 = ?21 /2»
Окончательно имеем:
i/ = - — (!„/!» + L22/22 + 2Ll2JxJ2). A1.33)
11.14. Используя решение задач 11.12 и 11,13, будем иметь:
U=Un + U22+ -L(f/12+(/21)=--L f IJidV-
2 2 J
11.15. Так как проводники неподвижны, то работа 6Л=О, так
как токи постоянны, то еинл = 0 и dWMdiVM = 0. Из закона сохра-
сохранения энергии
(P-Q)dt = 6A + dWUSLrM
301

имеем Q~P> то есть работа сторонйих сил пблйостыо переход^
в тепло.
11.16. Пусть контур Lx не деформируется, то есть Ln = const
В контуре L\ возникает
Запишем закон Ома для контура Lx\
Умножим выражение B) на /i, получим:
Отсюда следует:
nW. C)
С другой стороны, магнитное поле токов /i и /2 характеризуется
потенциальной функцией, связанной с работой &А соотношением:
(
j (in + J22dL22 + 2J{J2dLl2).
Первые два слагаемых правой части равны нулю, т. к. Lu=const,
?22=:const. Тогда имеем:
6A^JxJ2dLl2. D)
Это выражение входит в C); перепишем это выражение с учетом
Отсюда следует, что
6А = —/i»Я, Л_ Д- 1ц d(Ix%) < О,
так как
/,1^0 == 0; d(J^) >0.
Следовательно, работа сил магнитного поля тока /2 отрицательна,
то есть магнитное поле противодействует этому перемещению. Это
правило Ленца.
11.17. Из A1.33) и A1.39) следует, что WM = —U. В соответ-
соответствии с решением задачи 11.14 имеем:
302,

Подставим сюда выражение / из уравнения Максвелла: / = rot H
и воспользуемся формулой 43 П.1:
div[#, A] = A rot H — Я rot Л,
получим:
== _L [ ArotHdV = — f H
2 vJ 2 v}
.*BdV
-i- ф [Я,
Последний интеграл равен нулю, если поверхность интегрирования
удалена в бесконечность. Таким образом имеем:
№м= -L [~BHdV.
2 ,J
13.1. При р=0 и / = 0 уравнения Максвелла для поля в ваку-
вакууме имеют вид:
—> ли —>
^ (I) divfi = 0 B)
dt
rotB=_i_?l C) div? = 0 D)
Возьмем ротор от уравнения A), вместо rot В подставим его зна-
значение из уравнения C), воспользуемся перестановочностью опера-
операций производных по координатам и времени
rotrot?= [V[V?]] = V(V?)— ЛЯ =
T0t2
dt dt \ с2 dt
Учитывая, что (V • В) и (V • Е) в силу уравнений B) и D) рав-
равны нулю, получим волновое уравнение для вектора Е:
Аналогичные операции проделаем для вектора В:
rotrotB = [V[V, В]] = V(V-В) —ЛВ =
id .?> 1 d2B
rOt E = .
c2 dt c2 dt2
303

Из этого соотношения следует волновое уравнение для вектора fi:
Доля поля в однородной среде уравнения Максвелла при р = О,
/ =0 можно записать в виде:
—>
rot? = --^- (I) divfi = 0 B)
dt
rot?f= — — C) diveeo? = O D)
v2 dt
где v = —?— .
Проделаем операции, аналогичные предыдущим:
rot rot F= [V[V?]] = V(V •?)— AE =
dt dt \ v2 dt ) v2 dt2
Отсюда следует волновое уравнение для вектора Е:
0.
v2 dt2
—*•
Аналогично получается волновое уравнение для вектора В:
13.2. Решение волнового уравнения для векторного потенциала
А допустимо в виде плоской волны
A)
причем А удовлетворяет калибровочному условию
=0. B)
Векторы поля связаны с потенциалом А сотношениями:
dt
304

Применяя выражение 35 П.! для ротора сложной функции, поЛу-
чим:
J^) ] J- [аЛо] = -i- [kQt Е].
Хочка над вектором А означает дифференцирование по перемен-
переменной it— -^-J. В силу калибровочного условия B), учитывая
выражение 24 П.1 для дивергенции сложной функдии, получаем:
откуда следует: Ako = O, что в соответствии с выражением C)
дает:
(Б ко) = 0. E)
Из D) следует, что BJ_fe0; из E) следует, что ?"_LA0. Следова-
Следовательно, изменение векторов поля электромагнитной волны проис-
происходит в плоскости, перпендикулярной направлению распростране-
ния волны k0. Такая волна называется поперечной. Из выражений
C) и D) следует, что В = Е.
с
13.3. Свободное от зарядов поле Е удовлетворяет волновому
уравнению
Введем в него заданное поле Е = A (z)ei(ut.
Вычислим производные:
дг2 дг \ dz > dz2
dt
м 136 305

Подставляя эти производные в уравнение A), сокращая йа мно-
множитель eiwt и вводя обозначение k = ^, приходим к уравнению-
Так как корни характеристического уравнения, соответствующего
дифференциальному уравнению A), мнимые (Ь1>2 = ±&?), то ре-
шением этого уравнения является функция:
A (z) = Л о e~ikz + Л о' eik*, B)
где Ло и Ао —постоянные векторы.
Введем функцию Л (г) в выражение заданного поля Е =
= ЛB:)в/ц>^. Получим:
? = /0 е«<«'-**) + Д,7 в'<-'+*«). C)
Первое слагаемое характеризует распространение волны в поло-
положительном направлении оси Oz, второе слагаемое характеризует
волну в противоположном направлении.
13.4. Из сравнения фазы волны F) (см. упр. 13.3) для двух
моментов времени, отстоящих на период:
о)(/0—kz0) = (Oo(t0—T) —k(zo—'k)
следует: соГ = &Я, откуда для скорости распространения волны в
вакууме (к = -А-) получаем:
=c.
Для волн в среде к = J? =» -i!L
В этом случае имеем:
Я й) == CDC
_
Г
13.5. Решение волнового уравнения для векторного потенциала
Л поля в среде
*А =о
dt2
306

Допустимо в виде плоской волШ
где v = -~z — фазовая скорость волны в среде. Далее следует
повторить все выкладки, проведенные для поля в вакууме (см.
упр. 13.2). В результате получим соотношения:
Е = -Х В= — [?>,?]; Л?О = О,
V
из которых следует поперечность плоских волн в среде и связь
амплитуд полей: В = — Е.
V
13.6. Согласно общей формуле A2.3), имеем:
w = -±- (DE + BH).
С помощью равенства A3.23) плотность энергии можно выразить
двумя способами:
w == ©во Е2 = Е D '
и
w= J— =ВН.
Из этих выражений следует вывод о равном вкладе электрической
и магнитной составляющих поля в энергию волны. Плотность по-
потока энергии определяется выражением A2.4)
П=[?, Я].
Учитывая ортогональность йекторов Е~к Я, а тарке соотношение
амплитуд: ?= vB, плотность потока энергии волны можно запи-
записать в нескольких видах:
П= [Ё, Н] =EHko = v
"* ~k
где k0 =. .
k
13.7. Из выражения A3.25) следует, что за время dt в направ-
направлении распространения волны ko переносится через 1 см2 площа-
площади, перпендикулярной вектору П, количество энергии
Udt = wvdt,
20* 307

протекшей через цилиндр высотой vdt: Следовательно, скорость
истечения электромагнитной энергии волны равна её фазовой ско-
скорости V.
14.1. Разложение векторного потенциала А в ряд Тейлора име-
имеет вид:
\
В соответствии с уравнением неразрывности -2?-+div/ = 0 замк-
dt
нутыми являются постоянные токи. Произвольная система замкну-
замкнутых токов в объеме V характеризуется тем, что ток из объема V'
не вытекает. Система постоянных токов может быть разложена
на совокупность нитей тока. Тогда имеем;
так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. От-
Отсюда и следует равенство нулю первого члена в разложении век-
векторного потенциала.
-+>
14.2. При р = const выражение ф A4.4) принимает вид:
14.3. Из A4.8) следует, что вектор индукции В || rot P, а
rotP— [V, P]. Следовательно, rotPJ_P, а поэтому
— —) и
14.4. В соответствии с A4.9) ? = rota, где а = rot P. Так как
ur = йъ — 0, ал = (rot P)a = 0, то вектор Е в сферических коор-
координатах имеет две составляющие ER и Ев, то есть лежит в мери-
дианальной плоскости.
308

14.5. Потенциал поля статического диполя имеет вид:
- ? - /? , Pcos9
Ф~~ Я» ~ R2
Составляющие напряженности электрического поля связаны с q>:
г. / j \ дер «.2 cos 9
Er = — (gradq>)«= — -^~ = kp —^- .
Эти выражения совпадают с выражениями A4.12), если
14.6. N==
=LJl2U f -iisll^i sine
4яс J J Я2
3c
Здесь использовано: dS = /?2sin6d0 • da — элемент площади сфе-
рической поверхности; f sin3Od0 = .
о 3
14.7. N= ф [?, H]dS = i
S о
16яе0 с3
1
Здесь учтены выражения A4.13), A4.18), а также вычисления
предыдущего упражнения. Учитывая связь частоты со с длиной
волны Я:
2яс
получим для мощности излучения другое выражение:
# — JL я3 с Ро2
3 ?о
309

14.8. Полная энергия излучения гармонического осциллятора
за период равна
L ^^
о- 6ле°
f 1+cos2g)(*- -^Ц 9 „
\ L±dt= J?*LJL
бяеоС3 о 2 бяеос3 2
о4 р02Т
sin 2(оп- j
12яе0с3 2со
12яеос3
Средняя за период мощность излучения осциллятора, очевидно,
равна
! ?L
Q 12Я80С3
15.1. В силу инвариантности интервала имеем:
С2 .2.2 /2 „2/2 /2
O12 == с; *12 —• М2 == ^ *12 — М2»
Если оба события в системе К! происходят в одной точке, то
/12 = 0. Следовательно, Si2>0, а это значит, что S\2 — времени-
подобный интервал.
15.2. Если два события в системе К' происходят одновременно,
то ^12=0. Выражение A5.4) принимает вид:
s?i—ЛЬ-/?,=— /?2<о,
означающий, что 5i2 — пространственноподобный интервал.
15.3. Из преобразований Лоренца A5.6) имеем:
A)
Пусть стержень длины / расположен параллельно оси Ох систем
К и К'. Рассмотрим два случая.
310

1. Стержень покоится в системе /С. Тогда его собственная дли-
длина равна:
А* — v0 А* /Оч
Следует положить А/ = 0, так как измерение координат "произ-
"производится одновременно. Тогда из B) имеем:
Ах I
/о =
-¦?¦ /¦-¦?¦
с2
отсюда следует:
/ = 'o/l--^-. A5.7)
2. Пусть теперь стержень покоится в системе К. Тогда его соб-
собственная длина равна
/о = #2 — #Ь C)
В системе /С' его длина равна
i = х2 — Х\ = ' - • V4)
Так как измерения координат в системе К! производятся одновре-
одновременно, то следует положить в выражении A):
= 0.
откуда следует:
? E)
Подставляя E) в D) и учитывая, что Ад: = /о, приходим к урав-
уравнению:
v~
с%
совпадающему с A5.7).
311

15.4. Поместим часы системы К', связанной с движущимся
объектом, в начало координат: х'=0. Тогда в соответствии с
A5.6) имеем:
хГ== x~vot _ =0
с2
откуда следует: х = vot, где / — лабораторное время по часам си-
стемы /С. Подставим это в выражение A5.6) для t. Получим:
t —
г= — =— с2 =t V\~ ™
Uo^ ' °2
Здесь t' равно собственному времени движущегося объекта т, так
как система (и часы её) жестко связаны с ним. Следовательно,
собственное время т и лабораторное t связаны соотношением
A5.11):
15.5. В соответствии с A5.11) имеем:
с2
(dSJ = c2(d02
Отсюда имеем:
* = cdt Vl - — =
Г с2
(
с* \ dt
Так как dS = inV, c=inv, то имеем
15.6. При m=0 из A5.17) имеем:
? = cpr= Tr,
то есть частица имеет кинетическую энергию, пропорциональную
импульсу. Так как
п тс2 rnv
Е = —_ ; рг =
то необходимо принять, что v=c.
312

15.7. В соответствии с A5.15) квадрат 4-вектора р равен
тс
Через энергию Е = тс это выражение примет вид:
Отсюда следует выражение A5.17).
15.8. В классической механике
dt dt
Вектору F соответствуют компоненты:
Fx=Fx, p2=Fyy Fz=FZi
которые можно записать в виде:
Ft= JEL; t=l,2, 3.
dt
Pl=Px, Р2 = Ру, Pz = Pz.
Обобщим понятие силы на четырехмерный мир Минковского и
введем 4-вектор F вида:
Ъ **, dv dp
dx dx
Вектору F соответствуют компоненты:
Ft= *ZL; t = 0, 1,2,3.
dx
Компоненты Ff должны быть определены так, чтобы при
пространственные компоненты 4-вектора F переходили в Fiy то
есть
313

или подробнее:
dt
dt
dt
F ~ dpy
dt
F _ <*P*
Г г —
dt
Отсюда следует выбор пространственных компонент вектора F
в виде:
что отражено в записи формулы A5.21).
Покажем теперь, что временная компонента Fo силы F равна:
F -V
Умножим уравнение A5.19) скалярно на v, получим:
~ dv
mv
dx
F-?.
Представим левую часть этого выражения как ~т~ ('"v")» Учтем>
что (уJ = —с2 = const, получим, что F • v = 0. Представим это
скалярное произведение через трехмерные векторы:
Fo • v0 =
Fo • ic
= 0.
1 —¦
Отсюда следует, что
r0 —
314

Таким образом, связь F с F установлена выражением A5.21):
i F -о" ?
'
-5- V'-
15.9. Уравнение A5.19), соответствующее временной составля-
составляющей (i"=0) 4-вектора F, имеет вид:
(И
с V ^- —
Так как
'
то уравнение A5.197) принимает вид:
d ( icm \ i F - v
Используя определение энергии ? A5.16), представим это выра-
выражение в виде уравнения энергии:
А- тс% « JL = f . v
dt / ^Г dt
У "" "с2
совпадающего с A5.24).
16.1. Во всех примерах используем формулы обратного преоб-
преобразования A6.7)
и условие A6.11) ортогональности преобразования
« 0 При p^=v
315

• В = 2 ЛА. = 2 2«э«Лр 2 Лт«вт = 2 21
= 2 МёЯт= 2^ • Л = А' В' = inv.
2) 2Bss = 22 aks ans в;„= 2hnB'kn=* 2 *„ = inv.
s s k,n s s
3) 2flsMs4/=22 a*saniBkn%apsAp' аи A/ =
s,l s,l k,n p,t
«»» 2 hpbntBknAp • At = 2 B **Л'в**Лр Л/ ]
2^/лХ-Л| = inv.
4) 2 ^в/ • ?*' = В2
2
2 2 ^sdpsB^a^atiBpt = 2 fypb^BfaBpt =* 2 BsiBsi =
16.2. Совокупность величин Dfe образует вектор, если при пере-
переходе к другой системе К' они преобразуются по формулам прямо-
прямого преобразования A6.7):
Dk'=2aktDt, A)
а коэффициенты удовлетворяют условию ортогональности A6.10)
2*,7 Ц
О
В соответствии с определением в системе К' имеем:
/V = 2 D'slk. C)
Представляя величины D'sik C) по формулам вида A6.23) и ис-
используя условия ортогональности, получаем:
°к = 2 2 Vsn Clip ukt Dnpt =
5=/ n,p,t
= 2
n=p,t
316

^то совпадает с формулой A), следовательно величины ?>k обра-
3уК>т вектор.
16.3. Величины Ck образуют вектор, если они преобразуются
00 формулам A6.7)
С*'=2 а*, С,, A)
t
с коэффициентами удовлетворяющими A6.10). В соответствии с
определением в системе К' имеем:
С*' = 2 Д'*/*Л/В/'. B)
Представляя штрихованные величины правой части равенства B)
по соответствующим формулам подобно предыдущему, получим:
Ck = 2 2 ^sndlmuktDmnt 2 а5^тД vBt =
S,f /72,rt,f V,X
= 22 ^4 ^^«v &bt Dmnt A yB^
Это совпадает с выражением A), следовательно Ck — вектор.
17.1. Покоящиеся в системе К заряды характеризуются 4-век-
тором плотности тока
/a= (tepo, 0).
Применим к вектору /« формулы преобразования A6.17). Отно-
Относительно системы К' получим следующие компоненты /«:
1 .
1о = —, /о =
/¦-¦?¦ у'--?
-^ У--?
Лектор плотности тока /« в общем случае имеет вид:
317

сойтйе^вующий неподвижному з&ряДу t плотностью
Ро
Р =
с2
и току с плотностью
В нерелятивистском приближении имеем:
9 — Ро, /' = —р v0.
Наличие тока объясняется движением зарядов относительно систе-
системы К'. Релятивистское возрастание плотности заряда (и тока)
связано с уменьшением размеров движущегося объема, занятого
зарядом.
17.2. Пусть в ИСО /(' имеет место только электрическое поле
Е' (В/=0). Тогда к системе К в соответствии с формулами пре-
преобразования A7.21) есть и электрическое и магнитное поле с со-
составляющими: ЕХ=ЕХ\ Вх=0,
г2
Щ Еиг
Связь между векторами Е и В выражается соотношением:
где vQ — вектор скорости системы К' относительно оси Ох систе-
системы /С. Заметим, что магнитное поле перпендикулярно электриче-
электрическому, а также направлению движения системы. Аналогично, если
в системе К' есть только магнитное поле ?', а Е' = 0, то в систе-
системе Ку кроме магнитного есть и электрическое поле, причем
Таким образом, проявление электромагнитного поля в виде элек-
электрического или магнитного зависит от выбора системы отсчета.
318

17.3. Ё формулах преобразования A7.21) при vo^c можно
пренебречь помимо величины Zi- еще и — Е/ и —?/. 'Это
с2 с2 с2
оправдано малостью магнитной составляющей силы Лоренца
1Л12-?г'\ по сравнению с электрической составляющей qEZi то же
для других проекций. В результате получаем:
Ех=Ех\ ВХ=ВХ\
Ez=Ez'—v0 By\
Из этих формул видно, что относительный характер разделения
поля на электрическое и магнитное сохраняется и при'нереляти-
при'нерелятивистских скоростях движения. Поле магнитное относительно си-
системы К в системе К' характеризуется еще и электрическим век-
вектором:
17.4. Представим векторы поля В и Е в виде суммы двух век-
векторов, один из которых параллелен направлению движения систе-
системы /(', другой перпендикулярен ему:
? = ?„ + ?±, В = Вц + В±\
Из A7.20) имеем: Е\ = Е (; В] =
-f- Ezj + Bzk - -2- Eyk
(By T+ Si) - -U- (?^_?, 7) В x^ -ip [5,, ?J
аналогично для Е'± имеем:
319

(Eyf+ EJt) + v*(B 'gk-B^j ) _ E ±
=
В нерелятивистском приближении эти формулы принимают вид:
?х = ?х + [«,. BJ; Вх-Вх L- К, ?J.
17.5. Воспользуемся результатами предыдущей задачи — фор-
формулами преобразования в векторной форме. Имеем:
В' Б' = (В'± + В\) (Е-х + Е\) = В'Х + В',, Е\ .
Инвариантность второго слагаемого очевидна. Проверим инвари-
инвариантность первого слагаемого:
[?, Ij_] [Do, в j
- -
Инвариантность скалярцого произведения векторов BE доказана.
17.6. Покажем теперь инвариантность выражения: В2— Е2.
с2
-* -»•
Для полей 5 л и ? и инвариантность очевидна. Проверим ее для
составляющих поля В± и ?±. Имеем:
Вх2-2-^-Bi [7Ot ?х] + -у К. Я1]1
320

' vi
Мы учли, что
с'1 с*
18.1. В системе К\ связанной с зарядом, магнитное поле отсут-
отсутствует, а потенциал электрического поля выражается формулой:
1 е ""*"
4ле0 г'
где г' — расстояние от заряда до точки поля с потенциалом <р' в
момент t'.
ИСО К выберем так, чтобы её ось Ох была направлена вдоЛь
вектора скорости заряда v. В этой системе скалярный потенциал
в соответствии с формулами преобразования потенциалов (см.
п. 17.3) имеет вид:
q/ I e
<р =
Так как заряд движется вдоль оси Ох, то для г' имеем выраже-
выражение:
+ (У'J + (г'J = /Jmni +г/2 + 22=,
I/ I -Hi-
г С2
1-т
С2
Выражение для потенциала ср принимает вид:
1 е
У (x-t;
21—1136 321

Так как x=vt, y=0, 2=0 представляют координаты точки, в ко-
которой в момент t находился заряд, то радиус-вектор, проведенный
от заряда к точке наблюдения Р(ху уу z)y можно написать в виде;
J?=T(jc—vt) + ~jy + ~kz
и
/? = У(х— vtJ + y2 + z2.
Упростим выражение для потенциала ф, введя угол if, образуе-
образуемый вектором R и осью Ох. Очевидно, что
x—vt = /?cos ^; у2 + z2 = R2 sin2 ф.
Следовательно,
= г у
Теперь для ф имеем:
cos2 Ъ + [} 7") sin2 * =
1
ф =
| С2 "" Y
—>-
Составляющие векторного потенциала А определим с помощью
формул преобразования компонент 4-вектора Аа, приведенных в
п. 17.3. Помня, что в системе К' магнитное поле отсутствует и пре-
преобразование обратное, получим:
v ф' v I ev
Ах =
-— sin*«
Ay = 0; Az = 0.
В векторной форме можно написать:
А = ср.
18.2. Используем найденные в решении задачи 18.1 потенциа-
потенциалы электромагнитного поля. Векторы Е и В определим по форму-
формулам:
= -grad<p|
322

При вычислении электрического поля Е следует помнить, что в
случае равномерного движения заряда дифференцирование по
времени сводится к дифференцированию по координате х, то есть
dt ~ dx
Действительно, при равномерном движении заряда по оси Ох по-
потенциалы зависят от координат и времени по закону f(x—vt), где
/ — некоторая функция аргумента (х—vt). Для такой функции
всегда имеем:
df _ df d(x—vt) = v df
dt d(x—vt) dt dx
Для составляющих электрического поля Е находим:
Р d(p dAic mmmmm d(pr I v2 dq> _^ 7- v2 \ dq>
X ~ dx dt ~ dx ч с2 dx ~ \ c2 ) дх ~
— 1 (i _ JL ^ -- e(x—vt)
4яе0 \ c2
В векторной форме имеем:
4яе0 V с2
При у<Сс выражение для.поля ? совпадает с полем неподвижного
заряда. Магнитное поле В определим, используя формулу 34 П.1
при v=const.
B=.rot/=rot (— Ф^ = — [v, gradcp] =
\ С2 I С2
l J 4n l J
21* 323

Из выражений для Е и В следует, что поле движущегося заряда
не обладает сферической симметрией.
18.3. Рассмотрим инвариантную величину, равную скалярному
произведению 2«J?a двух 4-векторов. В системе К', связанной с
a
зарядом, и0' = ic, u\ = и2' =* иъ' = 0. Имеем:
2 ил' • Ra = Uq Rq = ic • icx' = — cW = inv.
a
Следовательно, ex' = b. 2 #a'/?a'Является инвариантом, так как
С a
эта величина составлена из двух инвариантных величин 2±ua'Ra'
и с. Следовательно,
R = cx = — 2 uaRa = inv..
С a
18.4. Введем 4-вектор
Ra= {ic{t—т),7—70},
где г — координаты точки наблюдения, г0 — координаты заряда,
т = /—
мулой:
т = /— '~"г°'; связь между компонентами /?« выражается фор-
ИЛИ
С помощью 4-вектора Ra можно ввести 4-потенциал Аа соотно-
соотношением:
4яеоС з
2
Это выражение по форме совпадает с потенциалом Ла' относитель-
относительно инерциальной системы отсчета, связанной с зарядом. В соот-
соответствии с определением 4-вектора скорости щ A6.19) имеем:
з
324

ic
. ' lc \L ) i ' r HI
I / V2 , / V2
'~r°h v
IJj±L_RM\
где ^?(т)—радиус-вектор, проведенный из мгновенного положения
заряда в точку наблюдения в момент времени т. Компонента Ло
имеет вид:
„<„¦
4 л ео с
Отсюда находим:
4лео
Для составляющей Ах имеем:
А = ^ ev'
S25

1__ evx
4лео
Для Ау, Аг выражение аналогичные. Векторный лоденциал А име-
имеет вид:
Между потенциалами А и ф существует соотношение:
Это потенциалы Льенара—Вихерта, сохраняющие свой вид при
любом характере движения заряда (см. п. 4.14).
18.5. Векторы поля для случая равномерного движения заряда
следуют из общего решения A8.19) и A8.22) при v = 0. Однако
полезно в порядке упражнения произвести расчет. Воспользуемся
потенциалами Л и ф, полученными в решении задачи 18.4.
Векторы пояя выражаются через них соотношениями:
?^= —grad ф — — , /f = rot Л.
dt
Используя обозначение S = R —, получаем следующие выра-
выражения:
4яео S2 4я S2 dt
JB = JiSL -1_ rot "и" Й2- — grad 5 X ~v.
4я S 4я S2
Подставим в формулу для Е значения gradS и , вычисленные
dt
в п. 18.6, учтем, что равномерном движении и = 0, получим:
~Е =
c2S c*S
326

) (^(
c2S 1 4лео52 [\R с I c2S \ R
+ <LiL(J? v )\= e [Л v—) (i R'v2 1
cS \ R с ;| 4лео52 \ /? с М c*S
i "v -R\ _ e I R 'v \ I c2S—Rv2+R- 7c \_
cS i 4лео52 \ R ~ с I \ c*S I
= e (JL jl.') E- Rv2 1 *•*
_ a / R ~v\ ( n __ 'R-'v ._ R -v2 i ^-^^
4iteo53 V/? cM с с* с /
4iteo53
eR
R с
1
Здесь учтено, что -^- =
4я 4ле0с2
—> —V
Аналогично вычислим В. Учтем, что rot v = 0, получим:
4nS2 L« с cS
/?Хр Rxv I v • R v2R
R R \ cS " c2S
__ \ioe
~~ 4nS2 R
[-¦ —>• —>¦ —> —> —¦¦
/?Хр Rxv I v • R
R R \ cS "
vXR л , v • R v2R \ === _цое vXR* (c2S-j-"v-R-c—v2R\
R cS c2S ) 4л52 R \ c2S ')
vXR (c . v - R v2R \ _ \xoe 7xR 4y
R \ + с с / 453 /?
&r

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
а. Векторная алгебра
1. Скалярное произведение двух векторов:
A -В = (А,В) =АВсо${А,В) =АхВх + АуВу + AzBz.
2. Проекция вектора на направление, задаваемое единичным
вектором /:
АЛЛ
At = А • I = Ах cos (/, i) + Ау cos (/, /) + Az cos (/, k).
3. Векторное произведение двух векторов:
[А, В] = -~[В, А) =
[А,~В]х = Ау1
i 1 _ _
; \[AtB]\=A.Bsin(A,I);
Вх By Вг
~v —V
\А, B\z ^= Ax By — Ay Bx,
4. Смешанное произведение трех векторов:
А[В,С]=-В[А,С]=В[С, А] =
/\ X Ay t\z
ВХ By BZ
?>дг L>y С,
5. Двойное векторное произведение трех векторов:
[А(В, С]] = В(Л • С) -С (А -В) = -[[В, С], А].
6. Правила дифференцирования векторов:
dt
dt
dt
dA
dt VY 7 ^ dt dt
32S

.2)+1* 41'
в. Векторный анализ
7. —2- = дгаёф- —производная скалярного поля ф по
направлению S.
8. grad ф (х, у, z) = V ф (х, у, z) =
дх ду dz
выражение градиента в декартовых координатах.
9. V = i + / + k векторный дифференциальный
dx dy dz
оператор Гамильтона.
10. gradф(r, 9, а) =
Z +:9 4^а
дг г дв г sin 0 да
выражение градиента в сферических координатах.
11. grad ф (г, 9, а) =
дг dz r да
выражение градиента в цилиндрических координатах.
12. grad^ + tj)) = gradф + grad -ф — градиент суммы.
13. grad (Сф) = С grad ф; С — константа.
14. grad(ф • t|?) = ф grad ф + ф grad ф — градиент произведе-
произведения.
15. grad (У(ф(х, у, z)) = gradф — градиент сложной функ-
дф
Ции.
16. d<f(x, у, z) = grad Ф • d?= J^Ldx+ ^Ldy+ ^dz - пол-
дх ду dz
ный дифференциал скалярного поля.
329

17. gradafl— -Л- = — grad,#,
R
—>
drad, (-Ц - -?- = —grada (-Ц,
grad(b- R) = ~b (T= const),
a, q — конец и начало вектора R.
18. divA(x, y,z)=V-~A(x, y, z) =
dAx . dAy , dAz
дх ду dz
выражение дивергенции векторного поля в декартовых координа-
координатах.
19. div A (r, z, a) =
— г дг \ГЛг> + dz + r да
выражение дивергенции в цилиндрических координатах.
20.
div A (r, 8, a) = J- М- (г*Аг)] + —~ Г^- (sin 9
г2 L ^^ J ^ sin 9 X' <^в
"*" г sin 8 да
— выражение дивергенции в сферических координатах.
21. div(;4 + В) = &ivA + divS?
22. div (С Л) = С div Л.
23. div.q>(*, у, г) /(х, у, z) =
= qxdiv A +A grad%
24. div Л (*р(х, л/, 2)*) = grad9 — дивергенция* сложной
функции.
25. divgrad.p=V4 = A<P= ~+ТТ + ТГ
26. Д = -^- + -^- + — скалярный дифференциал
^Д^ d^8 ^22
оператор Лапласа в декартовых координатах,
зао

r2 dr \ dr I r2Sm6 дд\ дд ) r2sin9 da2
оператор Лапласа в сферических координатах.
28. A=-L ±tr jL\ + JL J?l +JL
r dr \ dr ) r2 da2 dz2
оператор Лапласа в цилиндрических координатах.
29. rotA(x, (/, г) = [V, А] =
дАг
ду dz j \ дг дх ) \ дх ду )
ротор векторного поля в декартовых координатах.
-*- / 1 д(гаа) 1 даг \ -+ даг даг \
+ е* \Т ~г Г 1ST) + е* ~Tz дГ/
ротор векторного поля в цилиндрических координатах.
31. roti4(rfefa)=er[75;
[75;nr
+ ев\——— — (га*) +еа\— — (гае) —-
L г sine да г dr J I г dr K r d9 J
выражение ротора в сферических координатах.
32. rot (А+~В) = rot A + rot В.
33. rotC- A = С rot А.
34. rot<p(*, у, z) А(х, у, z) = у rot A + [gradcp, A].
35. rot А (ф (л:, у, 2:)) =_Г-^1- , grad Ф1
L дф J
ротор сложной функции.
36. divgradV = У2Ф = АФ = ^8L ^SL ?SL
+ +
дх2 ду* dz2
37. rot grad ф = 0.
38. divrot>f=0.
39. rot rot A = grad div A — ДЛ.
40. (A, V)В = Ax -&L + Ay i2- + Л, -i^-
dx dy dz
— выражение оператора (Л, V)B в декартовых координатах.
331

4Г. gradH -5) = (В, V)A + (A, V)B =
= {В, rot Л] + [A, rot 5].
42. rot[l, Б] = (В, V)l— (A %
43. div[i4, В] = В rot A— A rot В.
44. J divAdV= j>A • dS — теорема Остроградского—Гаусса.
V S
45. Jroti4 • dS = j> Adi — теорема Стокса.
46. Г(фУ2ф-ФУ2г|))^= iU— ?-2*-ldS —формула
^ J \ dn dn /
Грина.
—*. —>- —*>
47. f rot^dV= <jj [я, A]dS — формула Грина.
V S
48. /(x) = f(xo) + f'(xo) (x-xo) + ^ (x-xoJ + ...
— разложение функции f(x) в ряд Тейлора по степеням малого'
параметра (jc—*<)).
ПРИЛОЖЕНИЕ II
СИНГУЛЯРНАЯ б-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
! g^j = °° ПРИ ^=°
О при лг^О
J 6(x)dx= 1
а
при а^О^Ь — определение б-функции.
ь
2. J f{xN(x)dx = 0 при
или: §f(xN(x—a)dx-f(a) при
— основное свойство б-функции.
332

3. 6(#, у, z) = 6 (г) = 6x8ydz — трехмерное обобщение б-функ-
ции.
4. $FGNG)d7=F@);
{/7GNG— a) d?=F (а)
— основное свойство трехмерной б-функции.
5. 6G) =—
v ; Bn)
— разложение б-функции в ряд Фурье.
— )=—4я6(г). Это равенство показывает, что всюду,
кроме точки г = О функция — является решением уравнения
г
Лапласа.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ ПОЛЯ
ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ
1. Покажем, что потенциал поля объемных и поверхностных
зарядов равен:
v R s R
где V — область зарядов с объемной плотностью р, 5 — заряжен-
заряженная поверхность с плотностью заряда a, k = .
4леа
2. Потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуассона
Дф = _ _L р. B)
Воспользуемся формулой Грина 46.П.1.
L^, .C)
у / \ дп дп
где S — поверхность, ограничивающая объем V; <р, ф — скалярные
функции, непрерывные вместе с первыми и вторыми производными
внутри V.
22—1136 333

Будем искать потенциал ф в некоторой точке Я, расстояние
которой до элемента dV обозначим через R. Примем в формуле
Грина ф = . D)
R
Учтем, что
= Л (JL) = 0. E)
Внесем B), D) и E) в формулу Грина C), умножим на -^—
4л
получим:
(I R 4л / L дп \ R ) R дп \ w
3. Предположим сначала, что ф и ф'— непрерывны всюду в
области V. Функция \р = непрерывна всюду, кроме точки Я.
R
Так как функция Грина применима к областям пространства, в
которых ф и г|> непрерывны, то точку Р следует исключить из
области интегрирования V. Опишем около точки Р сферу 50 ма-
малого радиуса ?0 и применим формулу Грина к объему V'=V—Vs
заключенному между внешней поверхностью S и поверхностью
сферы So. Имеем:
JL ф \J(L\A*L\s9 G)
/ R 4л 5^SoLY дп \ R ) R дп
где индекс S+So означает, что интеграл берется по поверхности
S и 5о. Рассмотрим интеграл по поверхности So. Внешняя по отно-
отношению к V нормаль к поверхности сферы So направлена к её
центру и противоположна радиусу-вектору R. Поэтому на So
имеем:
дп \ R I dR\ R ) Ro2 '
дп dR
Внесем это в интеграл G) для слагаемого
4л sJo L дп
J+ rfS U;+ (
4я I \ /?o2 Ro dR ) 4я L Ro2 Ro \dR
334

ф, y-^jr) — средние значения ф и -г^- на поверхности сфе-
ры So, J dS = 4я/?о2- Правая часть уравнения равна:
Устремим к нулю радиус R0) стягивая сферу So в точку Р. При
этом /?о (—^-)->-0, ф->!фр. Будем иметь:
,тфр (ds Tp. (8)
.-о 4я I Г дп \ R } R дп \ W У '
Уравнение G) при S(r*-P (Яо->О) принимает вид:
L
J R
фР 4л / L1 дп \ R J R дп
или:
iS, (9)
j R 4я /L /? дя Y дп
где V — вся область, так как при Ro-+0, V-+V. Из (9) следует,
что потенциал ф зависит от —-*- на поверхности о.
дп
4. Предположим, что в области V есть поверхность Su на ко-
которой градиент потенциала меняется скачком. Физический смысл
такого допущения следующий: на поверхности S\ имеются поверх-
поверхностные заряды. Выберем нормаль N к поверхности Si. Проведем
замкнутую поверхность S/, охватывающую S{. Применим форму-
формулу (9) к объему V'y заключенному между S и S/. Поверхностный
интеграл будет содержать два слагаемых:
Будем стягивать S/ к S\. Тогда интеграл /s/ сведется к двукрат-
двукратному интегрированию по S^ один раз по внейшней, другой раз по
внутренней стороне поверхности Si. Тогда будем иметь:
lim J-ф ГJL *l _ ф _д_ I Ml dS =
sS-+sl 4я i,' L /? дп дп \ R }\
4я SJ, L R дп т дп Ji
22* 335

4л li R dn T dn \ R )\s,
Здесь n — нормаль внешняя по отношению к V, то есть
дп \ R All dN \ R )' дп \ R )h dN \ R )
Л Uw )] \дп h \dN ),'
(
\дп
Обозначим ф с внутренней стороны через ерь с внешней — q>2- Вно-
Внося все это в выражение A0), получим:
l Ал /t-[ R дп дп
= _L f (ф2_ф1) JL /_L) dS- J_ f fESL) _(?s_) I J_ds.
Так как по условию q> всюду непрерывно, то (pi=<j>2 и первый ин-
интеграл обращается в нуль. Обозначим:
-La. A2)
е0
Правая часть A1) принимает вид: k j -2— dS. При 5i/->5b V-
и уравнение (9) принимает вид:
S /? ¦ 4я ST L R дп * дп \ R
A3)
Первый член — это потенциал поля объемных зарядов, второй
член — потенциал поля поверхностных зарядов. Если N = п, то
выражение A2) принимает вид: (—^-)—[-JL]— ?- или
\ дп 1% \ дп /\ во
Ещ — Е2п = — а, то есть введенная величина а совпадает с плот-
плотно
ностью поверхностных зарядов.
5. Интеграл по поверхности S в выражении A3) обратится в
нуль, если под V понимать все пространство и принять, что qw-^0,
как или быстрее.
336

Пусть 5 — сфера радиуса R с центром в точке Р. Внешняя
нормаль совпадает с R. Тогда:
дп \ R } dR \ R ) R2
При /?—>~оо интеграл по поверхности стремится к нулю. Решение
принимает вид:
Следовательно, поверхностный интеграл в выражении A3) учиты-
учитывает поле зарядов вне области интегрирования.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Учитывая широкое использование в курсах теоретической фи-
физики абсолютной гауссовой системы единиц и настоятельные реко-
рекомендации к использованию международной системы единиц (СИ),
принятой также в изложении школьного курса, приводим таблицы
основных формул, перевода обозначений и соотношений между
единицами гауссовой системы и СИ.

1. Основные формулы электродинамики в СИ
и в гауссовой системе
Наименование
1
Закон Кулона
Напряженность
поля точечного
заряда
Потенциал поля
точечного заряда
Связь между поля-
поляризацией Р и
напряженностью Е
Связь между Р и
поверхностной
плотностью связан-
связанных ЗарЯДОВ 0связ
Электрическая
индукция
(определение)
Связь между
значениями а
в СИ (аСи)
и в гауссовой
системе (осГс)
Связь между D и Е
Связь между D и Е
в вакууме
D поля точечного
заряда
Теорема Гаусса
для D
СИ
2
1 Я1Я2
4лео eR2
Е l q
t—l —— ——
4лбо eR2
ф = ¦ -
4лбо eR
-> -¦¦
Р = аг0Е
огсвяз = Рп = аъоЕп
~> ->.-¦.
D = ео Е + Р
ОСси ==
г\ г«
4л Л2
Гауссова система
3
с* Я\Я%
V 1
I-* •—
eR2
Ф —¦ ^
Р = аЕ
Освяз = Ot?/j
D = Е + 4яР
= 4л<хгс
D = e?
j>DndS = 4я2<?
338

Продолжение
Емкость плоского
конденсатора
Плотность энергии
электрического
поля
Напряженность
магнитного поля
(определение)
Связь между I и Н
Соотношение между
значениями х в
СИ (хси) и в
гауссовой системе
(Иге)
Связь между В и Н
Связь между В и Н
в вакууме
Закон Био-Савара
Циркуляция
вектора Н
Теорема Гаусса
для В
Закон Ампера
Сила Лоренца
Энергия магнит-
магнитного поля тока
/*>
W =
d
е0еЕ2'
w =
Я=
еЕ2
8я
?=~В_4я7
Мо
Хси = 4лХгс
В = ццо И
= О
F =
/= q[v, Я]
с
— [о, Я]
с
с2 2
339

Прод олже нир
1
Плотность энергии
магнитного поля
Плотность тока
смещения
(определение)
Уравнения Макс-
Максвелла в интеграль-
интегральной форме
Уравнения Макс-
Максвелла в дифферен-
дифференциальной форме
Скорость электро-
электромагнитных волн
2
2
7 - д°
/смещ — Г~~
dt
Ф Е • dl = —
i~dT
rot? ™
dt
div5 = 0
rot Я =7+ —
dt
divD = p
3
/смещ = *"
4л
fltl —
~~s "^7
j)H .dt=
«. iJL. J/^
¦ i Tab
с s d*
rot ?^—
divfi
rot 7/= —
с
1 <^O
divD =
Г2
dP
dt
-a
rfS
->
с 5^
= 0
= 4яр
340

Продол же н ие
1
Соотношение между
амплитудами век-
торов ? и Я в элек-
электромагнитной волне
Вектор Пойтинга
Плотность импуль-
импульса электромагнит-
электромагнитного поля
2
П = [Е, Я]
—>• 1 "*""*"
С8
3
?Ve = i
11= — [Е
г--±- IE
е~4пс 1 '
,Н]
Из вышеприведенной таблицы основных формул следуют пра-
правила перевода обозначений физических величин при переходе от
гауссовой системы к СИ и наоборот.
2. Перевод обозначений физических величин
из абсолютной гауссовой системы единиц
в международную систему СИ
Абсолютная
система
единиц Гаусса
Международная
система единиц
СИ
1
Напряженность электриче-
электрического поля
Магнитная индукция
Электрическая индукция
Напряженность магнитного
поля
Диэлектрическая проницае-
проницаемость
Е
в
D
Я ¦
е
сВ
4п5
4л
с
4ле
Я
341

Продолжение
1
Магнитная проницаемость
Плотность заряда
Сила тока
Скалярный потенциал
электрического поля
Векторный потенциал
магнитного поля
Вектор Пойтинга
Вектор Герца
Емкость
Индуктивность
р
А
П
р
С
L
4л
Ф
сА
U
4лР
4лС
cL
3. Соотношения между единицами международной системы СИ
и единицами абсолютной гауссовой системы
Единицы в системе Единицы в абсо-
СИ лютной системе
Время
Длина
Масса
Сила
Энергия
Мощность
342
1 сек
1 м
1 кг
1 Н
1 Дж
1 Вт
1 сек
102 см
103 г
105 дин
107 эрг
107 эрг/сек

ГТр одолжение
1
Заряд
Напряженность электри-
электрического поля Е
Электрическая индук-
индукция D
Потенциал ф
Емкость С
Сила тока /
Сопротивление
Напряженность магнит-
магнитного поля Н
Магнитная индукция В
Магнитный поток Ф
Индуктивность L
1
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Кл
В/м
Кл/м2
В
Ф
А
Ом
А
м
Тл
Вб
Гн
3-
1
3
3
109 ед. СГСЭ
• Ю-4 ед. СГСЭ
4я • 3 • 105 ед. за-
заряда СГСЭ/см2
1
3
9-
3-
1
9
4я
W
108
109
• Ю-2 ед. СГСЭ
10» см
109 ед. СГСЭ
• Ю-11 ед. СГСЭ
• Ю-3 Э
ГС
МКС
ед. СГСЭ
4. Значения некоторых физических постоянных
Диэлектрическая проницаемость вакуума
е0 = 3,854 • Ю-12 —
м
Магнитная проницаемость вакуума
цо = 4я- Ю-7 —
м
Заряд электрона
е= 1,601 • Ю-19 Кл.
Масса электрона
т = 9,108- 10~31 кг.
343

Постоянная Планка
h = 6,62 • Ю-34
с
Скорость света в вакууме
с = 2,99776 • 108 -11- с* 3 • 108 —
с с
Энергия, соответствующая массе покоя электрона
0,5108 Мэв.
Энергия, соответствующая 1 эв,
1,602 . Ю-19 Дж.

ЛИТЕРАТУРА
1. И. Е. Та мм. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.
2. Д. В. С иву хин. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука, 1983.
3. С. Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1985.
4. А. Н. Матвеев. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980.
5. В. В. Мултановский, А. С. Василевский. Курс теоретической
физики. Классическая электродинамика. М.: Просвещение, 1990.
6. Д. И. П е н н е р, В. А. Угаров. Электродинамика и специальная тео-
теория относительности. М.: Просвещение, 1980.
7. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая шко-
школа, 1986.
8. Я. П. Тер л едкий, Ю. П. Рыбаков. Электродинамика. М.: Высшая
школа, 1990.
9. В. Г. Левич. Курс теоретической физики. Том I. M., 1962.
10. Н. И. Жир нов. Задачник-практикум по электродинамике. М.: Просве-
Просвещение, 1970.
П. Е. Г. Векштейн. Сборник задач по электродинамике. М.: Высшая
школа, 1966.
12. В, И. Левин. Методы математической физики. М.: Учпедгиз, 1960.
13. В. В. Батыгин и И. Н. Топтыгин. Сборник задач по электроди-
электродинамике. М.: Физматгиз, 1962.
14. Л. Г. Гречко, В. И. Суча ков, О. В. То м а се в и ч, А. М. Федор-
чеико. Сборник задач по теоретической физике. М.: Высшая школа, 1984.
15. Дж. Кронин, Д. Гринберг, В. Теле гул. Сборник задач по фи-
физике с решениями. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975,
16. В. Н. Никольский. Теория электромагнитного поля. М.: Высшая
школа, 1964.
345

МАРГАРИТА ФЕДОРОВНА БАРИНОВА,
ЛЮДМИЛА ИВАНОВНА КОСТИЦЫНА,
ЮРИЙ ИВАНОВИЧ ЯЛАМОВ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Учебное пособие
Темплан 1995
Редакторы Толкачева Л. В.
Васильева Т. Е.
Сдано в набор 4.10.199.5 Подписано к печати 12.06.199Ь
Усл. печ. л. 23,5 Уч.-изд. л. 21,75 Тираж 500 Заказ 114°
Цена договорная
Тип. «Нефтяник» Минтопэнерго

РНСУШШ

%
О
2.6
4.2
P(TJ)

6.В
6.1

7.Z

-а
€ФЛ
?.6
- A/°>v
SJ
9.2

10.1
о

112.

У
Шу;г)
Ш
о
и.г
г/ *-
источник
х,х'
\77
ШГочиш
7

-е
Г
К ЗоЭ.2.2
\
и зад. 4.4.
Я
и зоЭ. 5.1.
и зад. 3.8.

И bad. 5. 2
И зад. 6А
Ш/7Ш///////Л
и ъаЬ. 6.5.

Е
а
О
и зад. SAL
а
И ъад.7.7.
П \Е"
ЕЛ ,?"
к ъад. 7.9.

о
о
И Зад. 7.11.
?,=/
*v?
к ъад. 9J2.
Ш
и ъад.ВЛ
k
/7
cm
Т \Е
К зад.9Л

'БОИ
V %
нъаЪ.ИЯ.
HbadJA
I
t
R
L
И ъаЪ. НА.

рис. I
рис.2