ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПрЗЖЕ обозначенного здесь срока
Тип.МЭИ.Зак.	Тир.500000Г
ГИ.Жилейко
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРО-
ДИНАМИКА
Рекомендовано Г осударственным комитетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Радиотехника»
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЭИ	1994
ББК: 22.-ЭЭ6я7-3---
Ж 72
УДК: 537 566(075^
Федеральиая целевая программа книгоиздания России
Рецензенты д-р техн, наук, проф. Ю. А. Бычков, проф. Н. А. Семенов
д-р техн, наук.
Редактор канд. техн, наук Г П. Грудннская
Жилейко Г. И.
Ж 72 Техническая электродинамика.— М.: МЭИ, 1994.— 288 с.: ил.
ISBN 5-7046-0036-0
Издательство
Излагаются основы технического применения электродинамики. Рассмотрены уравнения Максвелла, плоские волны, задачи излучения, волноводы быстрых н медленных волн, электромагнитные резонаторы. Основное внимание уделено физической сути явлений н практическому использованию теории электродинамики в инженерных задачах радиоэлектроники н электротехники при самостоятельной работе студентов.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по радиотехническим, электрофизическим н электротехническим специальностям.
Ил. 132. Библногр.: 9 назв
Ж
22)2090000-013
097(02)-93
КБ-8-716-93
ББК: 22.336я73
ISBr 5-7046-0036-0
© Жнлейко Г. И., 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Электродинамика относится к базовым дисциплинам радиотехнических специальностей вузов, а также составляет часть курса «Теоретические основы электротехники». Для инженеров-радиотехников электродинамика является основой таких инженерных наук, как распространение радиоволн, техника СВЧ, антенные устройства, радиолокация. Название книги «Техническая электродинамика» отображает ее прикладной характер.
Особенность учебного пособия заключается в направленности на самостоятельную работу студента. Поэтому учебный материал содержит большое количество расчетных примеров и делится на установочный (в названиях разделов имеется буква У) и предназначенный для самостоятельной проработки (в названиях разделов имеется буква С). Кроме того, приводятся контрольные вопросы по материалу каждой главы и задачи для самостоятельного решения. Для расширения кругозора студентов имеются дополнения к основному материалу. При самостоятельной учебной работе необходимо письменно выполнять все примеры разделов «Практическое применение теории», отвечать на контрольные вопросы и решать задачи.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время известны четыре взаимодействия между объектами природы: гравитационное, электромагнитное и два ядериых: сильное и слабое. Гравитационные силы управляют движением больших масс вещества, а ядерные взаимодействия устанавливают законы в физике микромира. Электромагнитные взаимодействия определяют свойства электромагнитных полей и электрических зарядов в окружающем нас мире, осуществляют все превращения веществ в химических и биологических процессах, участвуют наряду с ядерными силами в ядерных реакциях. Таким образом, элек
3
тромагнетизм или теория электричества является одним из фундаментальных разделов естествознания.
Законы электромагнетизма лежат в основе теории и практики целого ряда направлений современной науки и техники. В физике законы электромагнетизма описывают явления генерации и распространения электромагнитных колебаний различных частот и мощностей как в звездах, галактиках, туманностях, так и в физических приборах — генераторах и усилителях электромагнитных колебаний и волн. Свойства плазмы, диэлектриков и проводников, электрических разрядов в газах (в частности, шаровой молнии), теория трения и другие разделы физики также основаны на законах электромагнетизма.
В технике теория электричества позволяет изучать и решать проблемы создания систем радиоуправления, радиолокации, радиовещания и телевидения, радионавигации и радиоастрономии. Исследование, конструирование и выпуск электронных приборов и транзисторов, создание специальной технологии электроплавки металлов, высокочастотного нагрева, обработки материалов электронными и ионными пучками и многие другие технические и промышленные задачи также решаются на основе теории электромагнетизма.
Интерес к явлениям электромагнетизма возник в то отдаленное время, когда люди обнаружили механические взаимодействия между наэлектризованными предметами и знали уже о существовании постоянных магнитов. В конце XVIII века Ш. Кулон установил количественные соотношения при взаимодействиях электрических зарядов, а в начале XIX века Г. Эрстэд обнаружил связь электрического тока с намагниченной стрелкой, т. е. с магнитными явлениями. Дальнейшие экспериментальные исследования А. Ампера и М. Фарадея заложили основу новой науки о взаимодействии электрических токов и магнитных полей.
Английский физик Д. Максвелл, дополнив теорию электромагнетизма введением тока смещения, составил дифференциальные уравнения, описывающие электромагнитные явления в макромире и предсказавшие существование электромагнитных волн. В конце XIX века Г. Герц экспериментально подтвердил выводы Максвелла о волнах, а П. Н. Лебедев обнаружил давление света, как волны, тоже предсказанное Максвеллом.
Наконец, А. С. Попов применил на практике электромагнитные волны и заложил основы новой технической науки —
4
радиотехники. С использованием электродинамики была разработана А. Эйнштейном в начале XX века теория относительности, ставшая одной из фундаментальных физических теорий.
В 20—30 годы нашего столетия начинается широкое развитие практической или технической электродинамики, являющейся теоретической основой радиосвязи, распространения радиоволн, освоения новых частотных диапазонов электромагнитных колебаний. Возникновение радиолокации, телевидения, радиоуправления привело к бурному развитию технической электродинамики.
В настоящем пособии изучаются основы теории электромагнетизма и рассматриваются электромагнитные волны в безграничном пространстве, в полупространстве, т, е. при одной границе (задачи отражения и преломления волн, например, в атмосфере Земли), в направляющих системах, т. е. в системах с несколькими границами (вдоль металлических проводов, полос, внутри гладких и гофрированных металлических труб, в диэлектрических стержнях). Изучаются электромагнитные колебания в замкнутых объемах — в электромагнитных резонаторах. Уделено внимание задаче излучения электромагнитных волн. Кроме того, кратко освещены такие вопросы, как распространение волн в анизотропных средах, дифракция волн, взаимодействие колебаний и волн с конвекционными токами (свободными зарядами).
Более подробное изложение изучаемых вопросов приводится в учебных пособиях [1...5].
1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1.	ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ (У)
Электродинамика — часть электромагнетизма, в которой изучаются взаимодействия переменных во времени электромагнитных полей и электрических токов. Объектом электродинамики будем называть часть пространства, где находятся изучаемые поля и токи.
Рассмотрим электромагнитные явления, установленные опытным путем и составляющие физическую основу электродинамики
а)	Электрические заряды. Электрический заряд определяется атомными частицами — электронами, протонами, а также ионами. Заряды условно различаются по знаку: у электрона отрицательный заряд, у протона — положительный. Между зарядами существует силовое взаимодействие — притяжение разноименных зарядов и отталкивание одноименных; это взаимодействие трактуется как наличие у зарядов электрического поля, а заряды являются его источниками. В природе соблюдается закон сохранения зарядов: заряды ие уничтожаются и не возникают вновь (в части пространства может иметь место взаимная компенсация полей зарядов противоположных знаков).
б)	Постоянные магниты. Магнитные заряды в природе не обнаружены. Между постоянными магнитами существует взаимодействие— притяжение разноименных и отталкивание одноименных полюсов магнита, составляющее понятие магнитного поля.
в)	Электрические и магнитные поля. Электрические и магнитные поля являются силовыми и описываются векторами и линиями поля. Линии постоянного во времени электрического поля начинаются и заканчиваются иа электрических зарядах. Положительным направлением линий электрического поля условно принято направление от положительного заряда к отрицательному. Линии магнитного поля ввиду отсутствия магнитных зарядов всегда замкнуты.
6
Пояснение 1.1.1. В частных случаях для упрощения картины физических явлений считается, что линии электрического или магнитного поля подходят из бесконечности к изучаемому в электродинамике объекту или уходят в бесконечность от объекта.
г)	Движущиеся заряды как электрический ток. Изменение величины заряда (или скопления зарядов) во времени в какой-либо части пространства сопровождается перемещением заряда, что выявляется в виде электрического тока. Вокруг движущихся зарядов, т. е. вокруг электрического тока, образуется магнитное поле.
д)	Взаимодействие движущихся зарядов и полей. Движение зарядов (заряженных частиц — электронов, протонов, ионов или нх скопления) в электрическом поле сопровождается совершением работы поля над зарядами или зарядов над полем с изменением кинетической энергии заряженной частицы и энергии поля. В магнитном поле изменяется направление движения заряженной частицы (заряда) при неизменной ее кинетической энергии.
е)	Ускоренно движущиеся заряды. При изменении скорости движения заряда, т. е. при наличии ускорения, или, что по сути то же самое, при изменении электрического тока во времени, вокруг заряда или тока возникают электрические и магнитные поля, переменные во времени, отрывающиеся от заряда или от тока и движущиеся самостоятельно в пространстве.
ж)	Связь переменных во времени полей. Изменяющееся но времени электрическое поле проявляет себя в так называемом токе смещения, вокруг которого возникают замкнутые магнитные линии. Изменяющееся во времени магнитное поле создает электрическое поле, линии которого замкнуты.
Важнейшее следствие из свойств зарядов и полей, опи-< анных в пунктах е и ж, состоит в следующем:
изменяющиеся во времени электрические и магнитные поля, образованные изменяющимся во времени электрическим гоком, создают единое электромагнитное поле, главной особенностью которого является движение и перенос энергии. Подобное электромагнитное поле называется электромагнитной волной. В особых условиях электромагнитное поле, переменное во времени, может быть неподвижным в пространстве н образовывать электромагнитные колебания в части пространства, т. е. в ограниченном объеме.
Явление отрыва электромагнитных полей от ускоренно движущихся зарядов или переменных во времени электриче
7
ских токов называется излучением, возбуждением или генерацией электромагнитных колебаний и воли.
В электрорадиотехнике, радиофизике, электрофизике, а также в теоретических основах электротехники, изучаются главным образом различные виды электромагнитных колебаний и волн в различных средах и искусственно созданных системах. Для этого достаточно использовать законы, представленные в пунктах г и ж, и понятия, приведенные в пунктах айв. Вопросы возбуждения электромагнитных колебаний или излучения электромагнитных волн решаются путем формального введения переменных электрических токов (см. пункт г). Как правило, физические задачи образования элек-1ромагиитпых полей при торможении движущихся зарядов (см пункты дне) не изучаются, хотя они лежат в основе излучения электромагнитных колебаний и волн.
Частные задачи постоянных во времени полей и токов, представляющие отдельный интерес, далее будут рассматриваться только как примеры на применение общей теории электродинамики.
Пояснение 1.1.2. Техническая электродинамика всегда рассматривается в приближении так называемой макроскопической электродинамики, при изучении которой соблюдаются следующие условия;
дискретность зарядов не учитывается и считается, что заряд распределен в пространстве непрерывно;
сосредоточенный, в том числе н точечный, заряд есть скопление элементарных зарядов, имеющее геометрический размер значительно меньший чем размер изучаемого объекта технической электродинамики;
дискретность вещества также не учитывается, поэтому размеры изучаемых объектов всегда во много раз больше размеров атомов и молекул;
время изучения объектов технической электродинамики, т. е. макроскопической электродинамики, велико по сравнению с периодами обращения или колебания элементарных зарядов (электронов, протонов) в молекулах и атомах;
величины электрических и магнитных полей усредняются по объему вещества.
Материальность и реальность существования электромагнитных колебаний и воли, т. е. электромагнитного поля, подтверждается опытом всех способов радиосвязи, телевидения, радиолокации, практические основы которых полностью описываются уравнениями электродинамики.
8
Перейдем к краткому изучению электрического и магнитного поля, электрического тока и тока смещения, свойств различных сред, а затем рассмотрим основные теоремы электродинамики и их приложения к теории и практике.
Как электрические, так и магнитные поля удобно описывать двумя характеристиками: силовой и количественной. Силовые характеристики полей определяются их взаимодействиями с зарядами, т. е. заряженными частицами — электроном, протоном и др.; количественная характеристика электрического поля связана с величиной заряда, а магнитная — с током, вызвавшем магнитное поле.
1.2.	ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ (С)
Электрическим полем называется такое состояние части пространства, при котором у внесенной в эту часть пространства заряженной частицы (электрона, 'протона и др.) изменяется кинетическая энергия. В этом проявляется силовое воздействие электрического поля на электрический заряд.
Электрическое поле описывается векторной величиной, которая называется напряженностью электрического поля Е, (В/м), и является в общем случае функцией трех координат и времени. Представление вектора в координатах и координатные системы приведены в приложении П.1. На точечный наряд в таком поле действует электрическая сила F3
F3=?E,	(1.1)
где q — величина данного электрического заряда.
Уравнение (1.1)—следствие закона Кулона — описывает силовую характеристику электрического поля.
Разностью потенциалов U называется величина
U= f Edl.	(1.2)
i
Используя (1.1) и (1.2), получаем механическую работу Л электрической силы F3
4 = f F3dl = O Edl=<?£/. i	i
Здесь dl = d/-lj, 1/ — единичный вектор, направленный по касательной к линии I, скалярное 'произведение Edl есть величина | Е| • |di| -cos (Е, 1г) (рис. 1.1).
9
Рис. 1.1. Скалярное произведение	Рис. 1.2. Плоское элек-
Г.(11ж» Ed/li	грнческое поле
Пояснение 1.2.1. В простейшем случае, когда между двумя параллельными заряженными металлическими плоскостями (рис. 1.2), имеется поле Е, разность потенциалов U примет внд
d	d
fEdl = f| Е|-| dl| cos (Е, \i)=Ed.
b	b
Линия l направлена перпендикулярно к плоскостям.
В потенциальном электрическом поле интеграл (1.2), взятый по замкнутой линии (контуру), равен нулю. Напряженность электрического поля является градиентом потенциала поля
Е=—grad U.
Для количественной характеристики электрического поля вводится вектор электрической индукции (или электрического смещения)
D=EaE=eeoE,
(1.3)
описывающий электрическое поле в веществе и определяемый только электрическим зарядом q. Размерность вектора D — Кл/м2; Еа — абсолютная диэлектрическая проницаемость характеризует вещество, в котором существует поле Е; е— относительная диэлектрическая проницаемость, а ео= = (1/36л) 10~9 Ф/м — электрическая постоянная.
10
1.3.	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ (С)
Магнитным полем называется такое состояние части пространства, при котором у введенной в эту часть пространства движущейся заряженной частицы — электрона, протона и других, не изменяется кинетическая энергия, а изменяется юлько направление движения.
Магнитное поле описывается векторной величиной В, Тл, называемой магнитной индукцией.
Магнитная сила FM определяется как
FM=?[vB],	(1.4)
где v — вектор скорости движущегося заряда q. Вектор силы I „ перпендикулярен вектору v. Работа магнитной силы FM по направлению движения заряда / (т. е. по направлению вектора скорости v) равна нулю, а именно
/1= |FMdl=<7f [vB]dl=0.
При этом энергия движущегося заряда не изменяется, а и (меняется направление его движения. Уравнение (1.4) описывает силовую характеристику магнитного поля.
Пояснение 1.3.1. Известно, что провод с током, т. е. с движущимися in ряда ми, перемещается в магнитном поле. Перемещение происходит за счет магнитной силы, действующей через заряды на провод. Это явление лежит в основе действия всех электромоторов и также выражает силовую характеристику магнитного поля.
Для количественной характеристики магнитных явлений вводится еще одна векторная величина — напряженность магии гного поля Н, связанная с магнитной индукцией В, через абсолютную магнитную проницаемость вещества ра=цро, где |i — относительная магнитная проницаемость, цо=4п10-7, Гн/м— магнитная постоянная
B=|iaH.	(1.5)
Вектор напряженности магнитного поля Н определяется электрическим током /, А/м, вызвавшем магнитное поле. Абсолютная магнитная проницаемость представляет собой магнитную характеристику среды.
1.4.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ. ТОК ПЕРЕНОСА
И ТОК СМЕЩЕНИЯ (С)
Электрическим током / называется явление переноса (перемещения) в пространстве электрических зарядов. Такое перемещение свободных зарядов в средах называется током переноса или током проводимости. В частном случае ток проводимости, обусловленный движением свободных зарядов (электронов, протонов) в вакууме, а также движением ионов в электролитах, называется конвекционным током. Среда, в которой перемещаются свободные заряды, наделяется свойством проводимости. Электрический ток характеризуется векторной величиной, называемой плотностью тока J. Соотношение, определяющее связь / с J, имеет вид
/=Jjds,	(1.6)
S
где ds=ds-ln, ds — элементарная площадка или элемент поверхности, через которую протекает ток /; 1„ —единичная нормаль к элементарной площадке. Скалярное произведение Jds (рис. 1.3) вычисляется как | J( • (ds| -cos(J, ln).
Из электротехники известно, что ток проводимости / связан с напряжением в цепи U и ее сопротивлением R законом Ома
I=U/R.	(1.7)
Если к элементарному проводнику (рис. 1.4), имеющему форму куба с длиной ребра А/, приложено напряжение U, то используя (1.2, 1.6, 1.7), можно записать
Jdsl, = E —lz,
R
где ds= (А/)2 — площадь грани, или
J = E//?AZ=.<tE.	(1-8)
Формула (1.8) представляет закон Ома в дифференциальной форме и определяет вектор плотности тока J через вектор напряженности электрического поля Е и удельную проводимость вещества и.
Вокруг токов переноса (т. е. тока проводимости, конвекционного тока) возникают замкнутые линии магнитного поля. Это есть важнейшая характеристика электрического тока.
12
Рис 1.3. Скалярное произведение Jds-=Jdsln
Рис. 1.4. К выводу закона Ома в дифференциальной форме
Однако, как показывают эксперименты, наблюдается и другое физическое явление, при котором также возникает магнитное поле. Оно заключается в том, что вокруг линий и меняющегося во времени электрического поля Е—E(f) возникают замкнутые линии магнитного поля, также изменяющегося во времени. Поэтому вводится понятие электрического тока смещения /См, определяемого как
(1.9)
где вектор плотности тока смещения
ЭР dt
J,

дЕ dt *
(МО)
В любой среде могут существовать как токи проводимости, так и токи смещения.
I В. ОБМЕН ЭНЕРГИЕЙ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
И ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ (У)
В результате силового взаимодействия электрического поля и заряда возникает работа поля над зарядом. Рассмотрим подробнее этот фундаментальный закон природы. Из закона
13
Ньютона ma—F, где tn — масса тела, a=dv/d/=d2z/d/2— ускорение, z=zlZ) v—вектор скорости, t — время, z — координата движущегося тела, используя (1.1), получаем
=	(1.11)
Здесь т — масса заряда q. Умножив скалярно обе части уравнения на v, получим vm(dv/d/) =<?Ev. Введем v и т под знак дифференцирования по времени, тогда
_,Ev.
di 2
Так как mv2/2=Wg кинетическая энергия движущегося заряда, то
“- = ?Ev-	(1.12)
Полученное уравнение показывает, что кинетическая энергия, а, значит, и скорость движущегося в электрическом поле заряда, в зависимости от направления векторов электрического поля Е и скорости заряда v, увеличивается или уменьшается.
Пусть в частном случае заряд движется вдоль оси z. Знаки векторов опустим. Так как q=It и v=zft, где / — ток проводимости, то qv=Itzlt=Iz. Тогда мощность тока проводимости P—dWgldt можно выразить следующей формулой:
IzE—lU.
Здесь zE=U — разность потенциалов (или на практике электрическое напряжение), а произведение IU — известная из электротехники мощность тока проводимости.
Преобразуем уравнение (1.11) по другому. Примем, что движение заряда происходит вдоль оси z в электрическом поле E=E'1Z, опустим знаки у векторов и представим производную по времени в левой части в виде
do	do dz	do	.. do1
----------	= V	= г/, —---- di--------------------------dz di-dz-dz
Тогда (1.11) примет вид (d/dz) (mv2/2) =qE или dWg/dz=qE и получаем одно из основных уравнений физики
Wg=q fEdz=qU,	(1.13)
14
указывающее на то, что кинетическая энергия Wg движущегося в электрическом поле заряда q равна величине заряда, умноженной на разность потенциалов U, пройденную зарядом в поле Е.
Пояснение 1.5.1. Формула (1.13) справедлива, если разность потенциалов U выражается более общей формулой (1.2).
Продифференцировав по времени (1.13), получим ту же формулу для мощности тока, т. е.
р	IU.
di di
Уравнения (1.12) и (1.13) одинаковы по сути, имеют принципиальное значение и описывают два фундаментальных физических явления. Если электрическое поле Е, в котором движется заряд (заряд как группа электронов, протонов или других заряженных частиц) таково (см. (1.12)), что скорость заряда уменьшается, то это означает увеличение энергии электрического поля за счет уменьшения кинетической энергии заряда. Такое явление лежит в основе процессов возбуждения или генерации электромагнитных волн в виде света, рентгеновского излучения и радиоизлучений в звездах, галактиках и др., а также нашло широкое применение в деятельности человека.
Если в электрическом поле скорость и, следовательно, кинетическая энергия заряда увеличиваются за счет энергии поля, то происходит ускорение зарядов. Это явление также присуще процессам во вселенной и используется в науке и технике для создания физических и технических приборов — ускорителей заряженных частиц. Подобные приборы служат для изучения строения вещества, получения ионизирующих излучений в промышленности, химии, медицине и др. Их изучение составляет специальный раздел технической физики и здесь не рассматривается.
Необходимо подчеркнуть, что описанное явление возбуждения электромагнитного поля лежит в основе всех задач по генерации электромагнитной энергии различных видов, в том числе радиоволн и колебаний во всех радиотехнических и электронных приборах, в которых электромагнитное поле возбуждается движущимися зарядами или в частных случаях током, протекающим в проводниках, т. е. током проводимости I.
15
Особо укажем на то, что явление проводимости в проводящих средах, обусловленное наличием подвижных зарядов в таких средах, приводит к обязательному явлению передачи энергии поля зарядам, т. е. к потерям энергии поля на увеличение кинетической энергии зарядов с последующим преобразованием этой энергии в тепло из-за столкновений свободных зарядов с молекулами и атомами среды.
1.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕД (С)
В любой среде (веществе) существуют как связанные заряды в нейтральных атомах и молекулах, так и свободные заряды в виде электронов и ионов. Преобладание тех или иных зарядов и наличие магнитных моментов частиц определяет электрический и магнитный характер среды. При наличии внешнего электрического поля возникает перераспределение связанных зарядов в нейтральных атомах и молекулах — возникает поляризация среды. Изменение суммарного электрического поля внутри среды описывается введением абсолютной диэлектрической проницаемости еа. Свободные заряды под действием электрического поля начинают двигаться — возникает электрический ток переноса зарядов, а среда приобретает свойства проводимости.
Внешнее магнитное поле ориентирует хаотически направленные магнитные моменты частиц, поэтому происходят изменения магнитных свойств среды, и в уравнения поля вводится понятие абсолютной магнитной проницаемости ра.
В общем случае электрическая и магнитная проницаемости и проводимость среды являются функциями координат. Такие среды называются неоднородными. Характеристики сред могут зависеть от частоты колебаний поля, а в нелинейных средах — от величин полей. Имеются среды, называемые анизотропными, характеристики которых различны в разных направлениях.
Далее в книге рассматриваются только однородные, линейные, изотропные среды, т. е. среды, у которых еа, ра и а не зависят ни от координат, ни от величин полей и направлений векторов поля.
Введем понятия идеального проводника, полагая, что ст= = оо, внутри которого не могут существовать переменные электромагнитные поля, и идеального диэлектрика, у которого о=0.
16
Пояснение 1.6.1. Так как в любой среде могут протекать токи проводимости конечной величины, то используя закон Ома в дифференциальной форме (1.8), запишем E=J/a и при о=оо, получаем, что Е=0. Как будет показано далее, для переменных во времени полей при Е=0 обязательно Н=0.
Принято, что в вакууме е=1, ц=1 и еа=е0, ра = ро- Тогда электрическая и магнитная постоянные связаны равенством
(1.14)
где с=3-108, м/с — скорость света.
Определение величин относительных электрической и магнитной проинцаемостей и проводимости среды в зависимости от вида и строения атомов и молекул на основе представлений классической физики здесь ие приводится. Эти вопросы рассматриваются в курсах физики, а также в *[1—5].
Значения е, р и о для некоторых веществ приведены в габлнце.
Среда	е	и	о, 1/0м-м
Воздух	1	1	0
Почва			
сухая	4	1	ю-»
влажная	10	1	ю-2
Вода			
пресная	80	1	ю-»
морская	80	1	4
Серебро	—	1	6,1-107
Медь	—	1	5,7-107
Сталь	—	400	1-Ю7
1.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 1 (С)
Пример 1.1. Определение мощности электрического тока. Исходя из понятия механической работы электрической силы Г, (см. (1.1) и (1.2)) механическая работа равна A=qU. Известно, что заряд численно равен значению тока I за единицу времени t, поэтому
A = IUt.
2-79	17
Мощность Р тока при разности потенциалов U описывается известной формулой электротехники
P=AH=IU.	(1.15)
Сравните этот пример с материалом раздела 1.5.
Пример 1.2. Определение плотности конвекционного тока (тока свободных зарядов). Так как по определению ток проводимости равен
/ =	— Aq у
di dz d/ dz *
то можно вычислить плотность тока J=I/S, где 5 — поверхность, через которую протекает ток J, введя
где d<7/Sdz=d<7/d V и dV — элемент объема V, a d<7/dV=p — объемная плотность заряда и v — скорость движения объемной плотности заряда. Более общую формулу для плотности конвекционного тока получим, используя векторы J и v:
JK=pv.	(1.16)
Пример 1.3. Взаимное расположение векторов плотности тока проводимости J и напряженности магнитного поля Н на поверхности проводника. Направление линий Н в проводнике круглого сечения (рис. 1.5) определяется в соответствии с направлением тока по правилу буравчика. Выделяя вблизи поверхности проводника части сечения 1—2 и 3—4 приходим в пределе к случаю когда можно считать, что на поверхности
Рис. 1.5. Взаимное расположение векторов плотности тока проводимости J и напряженности магнитного поля Н иа поверхности проводника
X X X X X X
J
18
проводника вектор Н перпендикулярен вектору плотности тока проводимости J, т. е.
HJ_J.
Вводя нормаль к поверхности, получим
J=[lnH],	(1.17)
Пример 1.4. Выражение кинетической энергии движущегося заряда через конвекционный ток. Заряд q можно представить как группу (совокупность) зарядов в объеме V с объемной плотностью зарядов р. Исходя из этого, формулу (1.12) запишем в виде
= pVEv.
<И г
На основании формулы (1.16) получаем уравнение
^=JKEV,
dt *
совпадающее с известным из электротехники соотношением
P=IU,
гпк как P=dWg/dt, I=JS1Z, (7=EAzl2, если z — координата движения зарядов конвекционного тока и v=vzlz.
Пример 1.5. Измерение энергии движущихся электронов в электронвольтах (эВ). Используя формулу (1.13), запишем < оотношеиие для одного электрона е, прошедшего разность потенциалов 1 В:
1Г9, эВ = 1е-1 В.
Подобное измерение энергии электрона в электронвольтах удобно в различных приложениях как то: определение энергии ионизации молекул и работы выхода электрона из металла три нагреве последнего, указание на основную характеристику ускорителя заряженных частиц и др.
Пример 1.6. Движение электронов и протонов в ближайшем к Земле космосе. При помощи спутников экспериментально определено, что вокруг Земли существуют потоки заряженных частиц — электронов и протонов. Эти частицы поступают в околоземное пространство из дальнего космоса: от Солнца, планет, от нашей и других галактик, от звезд.
Земля является гигантским магнитом, в поле которого траектории движущихся электронов и протонов определяются 2*	19
магнитной силой (см. (1.4)). В результате долгого движения вокруг Земли по искривленным, почти замкнутым, траекториям потоки многих частиц образуют конвекционные токи в околоземном пространстве. Заряженные частицы собираются вблизи полюсов Земли и обуславливают возникновение северных сияний при столкновении с атомами газов в верхних слоях атмосферы.
Пример 1.7. Изменение электромагнитных характеристик сред в присутствии магнитного поля. Ферромагнетик — это среда с резко проявляющимися магнитными свойствами. При наложении на такое вещество внешнего магнитного поля под влиянием магнитной силы изменяется магнитная проницаемость ферромагнетика, а у вещества образуются особые свойства, представляющие интерес для технических применений (см. дополнения к гл. 1 и 6).
Подобные явления возникают и в плазме, т. е. в среде, в которой существуют свободные заряды — электроны и ионы. Диэлектрическая постоянная такой среды зависит от концентрации зарядов в ней, а также от величины внешнего магнитного поля при его наличии. Законы этих изменений определяются электрической и магнитной силами (см. (1.1) и (1.4)). Свойства плазмы в магнитном поле используются в ряде физических приложений, например, в термоядерных установках, а при распространении радиоволн определяют возможности различных видов радиосвязи.
Пример 1.8. Экранирование от электромагнитных полей. Ввиду того, что в идеальном проводнике отсутствует электрическое поле (см. пояснение 1.6.1) возможно осуществить экранирование хорошим проводником технических устройств от посторонних электромагнитных толей. На практике это свойство хорошего проводника применяется при конструировании электро- и радиоаппаратуры.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.1.	Охарактеризуйте статические и динамические электромагнитные явления. Дайте определение электрического и магяитного полей
1.2.	Почему электрические и магнитные поля являются векторными величинами?
1.3.	Какими величинами описываются электрические и магнитные поля и какова их физическая сущность?
1.4.	Опишите поведение лниий векторов электрического и магнитного полей.
20
1.5.	Как связаны вектор напряженности электрического поля Е с век гором электрической индукции D, вектор напряженности магнитного поля II с вектором магнитной индукции В? В чем смысл таких связей?
1.6.	Дайте определение тока проводимости и тока смещения. В чем различие и сходство этих токов?
1.7.	Напишите формулы для векторов плотностей токов проводимости и смещения и для токов проводимости и смещения.
1.8.	Дайте определение понятиям идеальный проводник и идеальный диэлектрик.
1.9.	Расскажите о процессе обмена энергиями между движущимися трядами и электромагнитным полем.
1.10.	Сделайте вывод формуы для мощности электрического тока.
111.	Какова связь скорости света с электрической и магнитной постоянными?
1.12.	Опишите принцип излучения электромагнитных колебаний
1	13. Опишите виды сред, существующих в природе. Какими величинами характеризуются среды?
УПРАЖНЕНИЯ
1.1	Распишите формулу Е=—grad U н получите связь U с Е для плоского поля (рис. 1.2) в виде U=Ed, где d=xs—х, и xj = 0, x2 = d, Е-=Е1Ж.
d
dU	С
Ответ: Е —----;—, 17=— I £dx=—Ed.
dx	J
о
1.2.	Определите плотность тока смещения JCH. если напряженность электрического поля Е изменяется по закону E = Emcos<i>7.
Ответ: JCM=—eawEm sin (at.
1.3.	Определите амплитуду тока в проводах, подключенных к плоскому воздушному конденсатору в виде двух металлических пластин (рнс. 12) размерами 10X10 см и расстоянием между пластинами 4 см. Ток и проводах 1т равен току смещения /см в конденсаторе, частота колебаний напряжения, приложенного к конденсатору, равна промышленной частоте 50 Гц, амплитуда напряжения 60 кВ.
Ответ: так как еа = е01 то /т = /см~4,17 мА.
1.4	Определите напряжение U. которое приложено к стальному проводу сечением !|i мм! и длиной 1 см, если ток в проводе равен 10 А. Полагаем, что в проводе U=Ed.
Ответ: 17=0,1 В.
1.5.	Напишите формулу для плотности мощности в проводящей среде За объем среды примите параллелепипед с основанием 5 и высотой I.
Ответ: P=JE, так как P=(JS)-(El) и S/=V (см. (1.15)).
21
ДОПОЛНЕНИЕ. НЕОДНОРОДНЫЕ, АНИЗОТРОПНЫЕ
И НЕЛИНЕЙНЫЕ СРЕДЫ (С)
Неоднородные среды. Примерами неоднородных сред могут служить все естественные среды: атмосфера Земли, вода морей и океанов, почва. Искусственные среды, созданные человеком (например, стены различных строений и др.), в большинстве случаев имеют резкие границы изменений характеристик и поэтому обычно не относятся к неоднородным средам.
Математическая запись характеристик неоднородных сред следующая:
e.=A(x,y,z), р,=/2(х, y.z), c=f3(x, у,г).
При исследовании таких сред стремятся уменьшить число независимых переменных до одной-двух.
В радиотехнике неоднородной средой, имеющей большое практическое значение, является атмосфера Земли, в которой распространяются радиоволны. Возможность и надежность радиосвязи есть главная и основная задача радиовещания, телевидения, радиолокации, радиотелеметрии, связи со спутниками и др. В атмосфере Земли, в верхней ее части — ионосфере, с высотой изменяются диэлектрическая проницаемость е> и проводимость о. Эти вопросы подробно рассматриваются в дисциплине «Распространение радиоволн».
Рассмотрим пример образования неоднородной среды в иоиосфере, содержащей свободные электроны, которые изменяют электрическое поле в среде. Это изменение можно выразить математически, рассматривая вектор электрической индукции, определяемой в физике как
D=eoE+P.	(1-18)
где P=e7V,l—момент поляризации единицы объема среды, изменяющий полное поле в среде, е — заряд электрона, Л\ — электронная плотность или совокупный заряд в единице объема, I — смещение электрона от равновесного положения. Электронная плотность N, изменяется в пространстве, т. е. но координатам. Там же изменяется момент поляризации, величина которого может быть записана как Р=Л,Е. Тогда формула (1.18) примет вид
D = e0E+^E=(e0+ME.	19)
где k, — k,(N3}—диэлектрическая восприимчивость среды.
Так как N,=N,(x, у, г), то А,=й.(х, у, г) и
0 = ео(!4-Лэ,)Е = е.Е,	(120)
где е. = е.(х, у, г).
22
Можно показать, что в линейном режиме при синусоидальном изменении поля Е во времени смещение I пропорционально амплитуде поля Ет и определяется уравнением движения заряда в электрическом поле (см. (11)):
d*l
ma«=F, или /п9-^-= — еЕ,	(1.21)
где т, — масса электрона, t— время. Поэтому и введена связь РсЕ в пиле Р=£ЭЕ.
Анизотропные среды. Математическая запись свойства таких сред имеет вид (сравните с формулами (1.3) и (1.5))
Dy = fy хЕ х~\~£у у Е у-^-Ъу gE zt Вух=^1уХНх^-\1ууЕtf	(1.22)
Eg = EixEx~^~£gyEy-$~&tzEt, В г	у -f-yltrE я
ИЛИ
О=11е.||Е и В = ||ц.1|Н,	(1.23)
где |1еа)1 и ||ра|1—тензоры абсолютных диэлектрической и магнитной про-пицаемостей. Смысл формул (1.22) состоит в том, что, например, составляющая Dx зависит ие только от составляющей Ех, ио и от составляющих Еу и Ег. В частных случаях формулы (1.22) могут быть проще.
Рассмотрим причины, вызывающие подобные вязи между составляющими вектора D и составляющими вектора Е. Исходя из понятия момеи-гл поляризации среды (1.18)
Р==еМ31 = <?1,	(1.24)
можно сделать следующий выйод. Когда среда (например, иоиосфера) находится в магнитном поле, то движение электронов в присутствии элек-гричсского и магнитного полей усложняется. Такое движение описывается более общим уравнением (см. (1.1) и (1.4))
d*1	/ dl \
eE~4irH)-	(L25)
В этом случае момент поляризации Р будет различным в разных иниравлеииях в пространстве Следовательно, и диэлектрическая проии-ппемость еа среды (см. (1.20)) будет зависеть от иаправлеиия. Формула (1.3) превратится в формулы (1.22)).
Аналогично проявляются магнитные свойства магиитоактивиого веществ— ферромагнетика, помещенного в магнитное поле. Можно записать формулу (1,.5) в виде
Н = В/р0-лМ,	(1.26)
23
где M = nm — намагниченность вещества, m=i'AS— элементарный магнитный момент молекулы или атома с элементом тока I, п — число молекул или атомов в единице объема. Полагая, что М—&мН, можно записать или
В=роН-}-|1о^мН = Цо(1+^м) Н = раН,	(1.27)
где р.а = р.0( 1 -Мм). kK — магнитная восприимчивость вещества.
Поведение элементарных магнитных моментов m зависит от наличия внешнего магнитного поля Н. Следовательно, kK и ца зависят от внешнего поля Н, т. е. значение ра зависит от направления наблюдения в пространстве. Магнитные моменты атома и молекулы m являются векторными суммами собственно магнитного момента атома в молекуле и собственного магнитного момента внешнего электрона атома, выраженного в квантово-механическом понятии спииа электрона. Классическая физика, которая здесь используется, ие может достаточно полно описать кваитово-механнческие явления в ферромагнетиках, но приближенное описание процессов дает вполне удовлетворительное согласие с опытом.
Нелинейные среды. Рассмотренные связи векторов В с Н и D с Е через скаляры ц. и е» или тензоры ||ра|1 и НеЛ являются линейными. В действительности, эти связи из-за сложности физических явлений в большей или меиьшей степени нелинейны, что математически отражено зависимостью проиицаемостей от величии полей. Нелинейные процессы достаточно сложны, здесь ие рассматриваются и являются вопросами специальных научных исследований.
2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
2.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
В главе 2 будет определяться количественная связь электрических и магнитных полей с зарядами и токами исходя из следующих опытных данных:
токи проводимости и смещения образуют замкнутые линии магнитного поля, окружающие линии токов;
изменение во времени магнитного поля порождает электрическое поле, линии которого замкнуты;
полное число линий электрической индукции, исходящих из заряда, зависит только от величины заряда;
линии магнитной индукции всегда замкнуты.
24'
На основе этих четырех физических представлений, являющихся постулатами, образуются четыре основных теоремы или закона электродинамики.
2.2.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ (У)
Закон полного тока. Пусть в пространстве имеются токи проводимости I и токи смещения /см. Проведем замкнутую линию, окружающую токи (рис. 2.1), и запишем уравнение
$Hdi=2Z + s/CM,	(2.1)
где Н — вектор напряженности магнитного поля; dl = d/-lz— ориентированный элемент длины линии I; Нdl = | Н | dZ 11/1X A<'os (Н, 1/); знак суммы S означает суммирование всех токов, охватываемых линией /. Согласно (1.6) и (1.9) получаем коп полного тока
j Hdl =J Jds + ea l	s
f dE , 1-----ds,
J dt
s
(2.2)
i де S — поверхность, ограниченная линией l или опирающаяся на I, J = aE — плотность тока проводимости [см. (1.6)... ...(1.8)]. Очень важно, что уравнения (2.1) и (2.2) определяют не только качественную, но и количественную связь напряженности магнитного поля с током.
Закон электромагнитной индукции. Экспериментально установлено, что в замкнутом витке провода индуцируется
Рис. 2.1. Закон полного тока
Пунктир — линия напряженности магнитного поли Н
25
ЭДС, когда внутри витка существует изменяющееся магнитное поле (рис. 2.2), т. е.
6-____”.
dt
где <§—ЭДС в витке, Ф — магнитный поток через поверхность витка. Последнее равенство известно как закон электромагнитной индукции Фарадея. Далее, следуя Максвеллу, уберем виток провода, мысленно проведем в пространстве замкнутою линию / — замкнутый контур /, который пронизывается переменным во времени магнитным полем. Тогда закон электромагнитной индукции можно записать в виде
(2.3)
где Е — напряженность индуцированного электрического поля на контуре I; В=|хаН — переменная во времени магнитная индукция; S — поверхность, ограниченная контуром /. Интеграл в левой части формулы есть циркуляция вектора Е по замкнутому контуру /, а в правой — поток вектора В через поверхность S, т. е. магнитный поток
Ф = J Bds. s
Здесь установлено чрезвычайно важное обстоятельство: линии электрического поля будут замкнутыми, если электрическое поле образовано переменным во времени магнитным полем. Такое индуцированное поле называется вихревым или соленоидальным и является переменным во времени.
Рис. 2.2. Электромагнитная индукция
Сплошная линия — линии напряженности электрического поля Е
26
Рис. 2.3. Теорема Гаусса
и - несколько сосредоточенных зарядов; б — непрерывное распределение i;iрядов в объеме
Теорема Гаусса. Связь величины электрических зарядов с электрическим полем записывается в следующем виде:
$Dds=£<7,	(2.4)
5
где левая часть уравнения есть поток вектора электрической индукции D=eaE через замкнутую поверхность S, а правая — сумма всех зарядов, находящихся внутри поверхности S (рис. 2.3).
В общем случае считается, что заряды распределены по какому-то объему, охваченному поверхностью 5. Введем удельную плотность заряда р, являющуюся функцией координат. Тогда теорема Гаусса примет вид
ф Dds - f pdV. S	V
(2.5)
Существенно отметить, что формулы (2.4) и (2.5) отображают и качественную и количественную связи электрического поля с зарядом.
Для однородной среды, т. е. при ea=const, уравнение (2.5) может быть записано и так:
s	“к
27
Рис. 2.4. Закон неразрывности линий магнитного поля
Закон неразрывности (непрерывности) линий магнитной индукции. Так как магнитных зарядов в природе не существует, то линии магнитной индукции должны быть замкнуты. Это можно выразить математическим соотношением (рис. 2.4)
c|)Bds = O.	(2.6)
S
Так как В=цаН и при независимости |1а от координат, уравнение (2.6) упрощается. Тогда
(f Hds=O. s
2.3.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 2 (С)
Уравнения электродинамики в интегральной форме (2.2), (2.3), (2.5) и (2.6) описывают все явления электромагнетизма и широко применяются на практике в следующих направлениях:
определение электрических полей, потенциалов и емкостей в линиях передач электрического тока, высоковольтных аппаратах, радиоприборах и других устройствах с целью правильного конструирования (например, для избежания электрических пробоев и вредных колебательных электрических процессов, либо для расчетов колебательных контуров радиопередатчиков, радиоприемников и специальных электроаппаратов);
нахождение магнитных полей н индуктивностей в различных электро-и радиоприборах, характеристик желательных (или нежелательных) электрических колебаний в иих. При больших токах и сильных магнитных полях возникает необходимость оценки механических сил, действующих на проводники с током.
Общие методы расчетов достаточно сложны, и им посвящены специальные разделы электро- и радиотехники. В приводимых далее примерах рассматриваются расчеты простейшего вида, имеющие однако принципиальный характер.
Пример 2.1. Электрическое поле заряженных плоскостей. Применим теорему Гаусса (2.5) к плоскому электрическому полю (рис. 1.2). Для вычисления интеграла (2.5) поверхность S должна быть выбрана так, чтобы вектор электрического поля Е, а, следовательно, и вектор электрического сме-
28
щення D, не зависели бы от координат. Тогда Е или D можно вынести за знак интеграла. Такой поверхностью является поверхность параллелепипеда, охватывающая одну из пластин. Грань параллелепипеда должна быть параллельна пластине. Из (2.5) следует, что
J Dds = DS, DS =q, Е = q/ea S,	(2.7)
s
где q — полный заряд пластины. Если к пластине приложено напряжение V и E=U)d, то получаем связь U с q в виде
Uld=qlEaS.	(2.8)
Пример 2.2. Электрическое поле заряженного цилиндра и коаксиальной линии. Предположим, что существует бесконечно протяженный металлический цилиндр с зарядом qi на единицу длины (рис. 2.5 а). Тогда для вычисления интеграла в левой части формулы (2.5) следует взять поверхность S в виде цилиндрического пояска единичной длины А/=1, элемент площади которого равен ds=A(rd<p. Используя цилиндрическую систему координат (см. приложение П.1), видим,
Рис. 2.5. Металлический заряженный цилиндр
« — общий вид; б — коаксиальная линия; в — элемент поверхности в поперечной плоскости ds=rd<pdr
29
что в электрическом поле существует только одна составляю-
щая Е=ЕГ1Г и D=Drlr=en£rlr. Тогда Drrd<pdZ=Dr2nrA/ s
и опуская AZ=1, получим
Dr2nr=q или ET=q!2nre,&.	(2.9)
Потенциал U в пространстве запишем выражением
(7= f Edl = (" £"r dr = —-—In (гI а),	(2.10)
V J	2лба
где а — радиус цилиндра. Отметим, что знаки у Ег и U в (2.9) и (2.10) зависят от знака заряда q. Формула (2.10) получается более определенной, если одиночный металлический цилиндр окружен коаксиальной металлической трубой с радиусом b (рис. 2.56). Такая система проводников называется коаксиальной линией или коаксиальным кабелем и служит для передачи электрической энергии.
Разность потенциалов или напряжение между внутренним цилиндром и трубой определяется как
и^-3—\п(Ыа).	(2.11)
На основании (2.9) и (2.10) связь U с Ег примет вид
Пример 2.3. Электрическое поле шаровидного скопления зарядов. Пусть имеется шар с радиусом а с полным зарядом Q и относительной диэлектрической проницаемостью, равной ег (рис. 2.6). Воспользуемся сферической системой координат (см. приложение П.1), центр которой совпадает с центром шара. Тогда поле Е в силу симметрии будет иметь только одну составляющую Е=ЕГ!Г, а нормаль к поверхности S совпадает с ортом 1Г.
Используем уравнение (2.4), в котором D=eaE=ea£rlr, ds=;dslr. Для пространства вне шара, т. е. г^а, интеграл в (2.4) представим как
Ф D|ds = DrI / lrlfds=Drl5=iDr|4nir2 s	s
и окончательно
Dri = Q/4nr2, Erl —^/4яел\га.
(2-13)
30
Рис. 2.6. Поле шаровидного скопления зарядов
п — области пространства: / — вие шара; II — внутри шара (индексы / и 2 соответственно); б — Dr=f(r)
Для определения поля внутри шара используются те же соотношения, только заряд уменьшается пропорционально объему, занимаемому зарядом в г3/а3 раз, т. е.
Dr2=Qr/4na3, £’r2==Qr/4nEa2O3.
При г—а получаем Dri=Dr2.
Потенциал U вне шара определяется путем интегрирования уравнения (2.13) как
t/= f Edl = jEr dr ==Q/4neal г.	(2.14)
I	г
При этом полагается, что в бесконечности потенциал равен нулю.
Примечание. Формулы (2.13) и (2.14) пригодны для нахождения поля Е и потенциала U в пространстве вне заряженного металлического шара с зарядом Q и радиусом а. При этом r^a, a eai равно еа среды вне шара.
Пример 2.4. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. По цилиндрическому проводу радиусом а течет постоянный ток / (рис. 2.7). Найдем зависимости изменения напряженности магнитного поля внутри провода и вне его.
В пространстве вне провода примем H = Hi и согласно дЕ
(2.2), где J = oE, а =0, имеем
j Н^1 = Jjds. i	s
31
в
Рис. 2.7. Магнитное поле вокруг линейного тока
о линейный проводник с током /; б — сечение проводника, перпендикулярного рисунку; в — зависимость напряженности магнитного поля от радиуса г к
Здесь Н|	//ф! 1ф, J—ДЪ, dl=d/l/, I — окружность с центром
на оси z, 1ф и h — единичные векторы в цилиндрической системе координат (см. приложение П.1). Ввиду симметрии, поле одинаково на окружности I, и поэтому можно записать
Hidl = A/,|d/cos (1,1/) =#,,rd<p,
так как cos (1,1/) = 1, dZ=rd<p, то, переходя от интеграла по I к интегралу по <р, получим
2п
J Hidl=iJ //,ird<p=//,i2nr i	о
или
H9i — J Jds/2nr=//2nr, S
где I=na2Jz и радиус r^a.
Внутри провода при магнитное поле вычисляется по тем же формулам. Одиако теперь окружность I, проводимая внутри провода, охватывает не весь ток /, а только его часть пропорциональную отношению лг2/па2, т. е. lz=(r2/a2)I или Hvi2nr= (r2/a2)I. Следовательно, поле Н=Н2 внутри провода принимает вид
А/ф2=/г/2па2.	(2.16)
При г=а поля /7Ф1 = Я,2. С помощью (2.15) можно определять напряженность магнитного поля в коаксиальной линии (рис. 2.5).
(2.15)
Рис. 2.8. Тороидальный соленоид
тороидального соленоида.
Пример 2.5. Магнитное поле
Пусть на стальное кольцо с квадратным сечением (сторона квадрата h, внутренний радиус кольца R) плотно намотан провод, полное число витков которого N (рис. 2.8).
По проводу течет ток /. Определим магнитное поле внутри кольца-тороида.
Ток в обмотке образует внутри тороида магнитное поле с напряженностью Н, которое определяется по закону полного юка (2.1). Так как в тороиде есть только токи проводимости, ю /см=0. Необходимо учесть, что поле Н образуется токами всех W витков. Тогда формула (2.1) примет вид ф Hdl=A7, i
где линию I следует представить в виде окружности, охватывающей все витки провода и проходящей внутри тороида. Ее элемент равен d/=rd<p, где r^R и r<lR-\-h. Окончательно получаем
2Л
J Hdl= J Hrd<p=Hr2n, Hr2n=Nl и i	о
H—NII2nr, R^r^R+h.	(2.17)
Пример 2.6. Расчет высоковольтных устройств на электрическую прочность. При превышении некоторой величины напряжения в любом электро- и радиоустройстве происходит электрический пробой воздуха или диэлектрика, окружающих токонесущие металлические элементы. Так, молния есть природное явление пробоя воздуха, а искрение неисправных электропроводов — технический вариант того же процесса. Электрическая прочность элементов радиоприборов есть важнейшее условие их надежности. Экспериментально установлено, что в чистом сухом воздухе электрический пробой происходит при напряженности электрического поля, равной ЕпРОб=30 кВ/см. Принято, что на практике предельно допус-
3—79	33
32
тимое значение напряженности электрического поля в воздухе равно £П=Ю кВ/см. В диэлектриках ЕпРоб обычно в несколько раз выше.
Пусть к двум металлическим пластинам (см. рис. 1.2), расстояние между которыми d=10 см, приложено напряжение 100 кВ. Тогда напряженность поля будет равна E=\Uld— —10 кВ/см и оказывается предельной. Такая же величина напряженности электрического поля получается в воздушном зазоре между пластинами, если зазор равен 0,1 мм, и приложено напряжение 100 В. Такие по величине зазоры и напряжения используются в микроэлектронной аппаратуре.
Пример 2.7. Понижение электрической прочности зазора при частичном введении диэлектрика. Если для повышения электрической прочности воздушный промежуток (см. пример 2.6) частично заполнить диэлектриком (рис. 2.9), то получится следующее. Так как в диэлектрике и воздухе напряженности поля Е разные, то приложенное напряжение V имеет вид
Edl = E1d1+E,dg. i
Вектор электрического смещения D одинаков в диэлектрике и воздухе, так как обусловлен одним и тем же по величине
Рис. 2.9. Система из двух металлических пластин с диэлектриком между ними
зарядом (см. (2.4)) Z>1=iO2 или Е\Ъ\=Е2 так как для воздуха е2=1.
Полагая, что dt-\-d2—d и di=imd2, где т изменяется от нуля до бесконечности, получим напряженность электрического поля в воздушной части зазора
£, »-L</n+1)e«. (2.18) d m-t-Bi
Пусть m»l и m^>ei. т. е. толщина диэлектрика di во много раз больше воздушного зазора d2, тогда
E2—t(U/d) 8i =ЕбДеь
где E(>R.= Uld напряженность электрического поля в отсутствии диэлектрика.
34
Последнее выражение показывает, что при частичном заполнении воздушного зазора диэлектриком напряженность электрического поля в воздушном зазоре резко увеличивается. Так, для данных примера 2.6 при ei=4, 62=1, dt=d2, г. е. т=1, ^=^4-^2 получаем (см. (2.18))—Е2=16 кВ/см, что превышает допустимую величину £„=10 кВ/см. Таким образом, частичное введение диэлектрика в воздушный зазор резко снижает его электрическую прочность.
По этой причине диэлектрики, улучшающие изоляцию в электрорадиоприборах с высокой напряженностью электрического поля, подвергаются специальной Обработке. Для этого из диэлектрика удаляются пузырьки воздуха, в которых попытается напряженность поля Е и может произойти электрический пробой.
Пример 2.8. Расчет радиусов кривизны высоковольтных элементов. Будем считать, что высоковольтный элемент представляет собой часть сферической поверхности. Тогда, используя (2.13) и (2.14) и примечание в примере 2.3, найдем, что на поверхности сферы радиусом г—а и при потенциале сферы U (т. е. напряжении между высоковольтным элементом и, например, землей) напряженность электрического поля Е будет равна Е=и/а. Если в высоковольтной установке необходимо получить потенциал 5 МВ, то минимальный радиус шара при Е„= 10 кВ/см= 106 В/м должен быть amin = U/E„ = 5 м.
Оценим минимальные размеры радиусов закруглений токонесущих элементов в радиоаппаратуре с напряжением порядка 103 В и fn=10 кВ/см= 10-103-102 В/м. Имеем rmin= ==Ю3/106=1 мм.
Таким образом, в радио- и электроаппаратуре с напряжением порядка 103 В и выше (т. е. в сравнительно мощных устройствах) токоведущие элементы должны быть конструктивно выполнены с учетом возможности возникновения электрических пробоев. В пыльном и влажном воздухе значение предельной напряженности электрического поля Е„ снижается.
Пример 2.9. Расчеты емкостей. Проводники в радио- и электроустройствах образуют электрические емкости, определяющие в подавляющем большинстве случаев характеристики этих устройств. Электрическая емкость есть отношение заряда к потенциалу C—iQ/U, тогда для двух пластин (2.8) емкость определяется как
C=eaS/d,
(2.19)
35
3»
(2.20)
где S — площадь одной пластины; d — расстояние между пластинами.
Емкость на единицу длины коаксиальной линии (2.11) имеет вид
С = 2д1Ва -ln(fe/a)
Емкость уединенного металлического шара с радиусом а, находящегося в воздухе с еа=ео, определим по формуле (2.14). Тогда
С=4ле0а.	(2.21)
Последняя формула представляет практический интерес, так как определяет минимальную емкость металлического шара или сферы. Если радиус шара а=1 м, то С— = 4л (1/36л) IO-9-1 = 111 пФ, и емкость уединенного шара, выраженная в пикофарадах примерно равна величине радиуса шара или сферы в сантиметрах. По этой формуле можно оценивать минимальные емкости металлических конструкций, имеющих форму близкую к кубу с диагональю, равной диаметру сферы, описывающей этот куб. Когда около конструкции имеются еще проводники, общая емкость системы увеличивается.
Пример 2.10. Вычисления индуктивностей. Индуктивность проводника определяется как отношение потокосцепления магнитных линий к току, образующего эти линии L=4///, где потокосцепление Чг= J /НФ зависит от функцции / связи тока / с потоком магнитной индукции Ф= f Bds на поверхности 5, s
через которую протекает ток I. В частном случае через поверхность S могут протекать N токов /.
Определим индуктивность одиночного прямого проводника радиусом а (рис. 2.7). Для этого выделим вне проводника элементарную площадку ds=ldr, лежащую в плоскости г, г и длиной I вдоль оси г. Элементарный поток магнитной индукции НФ через эту площадку (вне провода обычно pa = po) определяется выражением
НФ — Bldr—цоН Idr,
где напряженность магнитного поля И вие провода вычисляется по формуле (2.15). Элемент потока НФ сцеплен с полным током /, и поэтому функция связи / с потоком Ф/=1.
36
Тогда
т=рФ_]-;0^^_^,п(г/11),
а
а при //а» 1 и г<с/ можно пользоваться приближенной формулой
L = -^L In (//а).	(2.22)
2л
Определим индуктивность тороида (см. пример 2.5). Магнитный поток в сердечнике тороида охватывает Д' витков, и потокосцепление Чг равно МФ. Поток Ф через поперечное сече вис тороида определяется как Ф= f Bds= J |ia//ds, где ds= s s
= /idr, H—NI/Zw с условием /?^r^/?4-ft (2.17). Тогда f=~N и
K4h
J 2л г 2л 111 R R
a
L - in (1 h/R).	(2.23)
2л
Г< ли радиус тороида R^>h и число витков на единицу длины есть Л72л/?—/Vo=const, то, поделив правую часть формулы (2.23) на длину 2л/? с учетом того, что In(1-|-/г//?)\h^n»h/R (см. разд. 13.2), получим удельную (т. е. на единицу длины) индуктивность тороида
£0=цаМ02/12
с радиусом, стремящимся к бесконечности, т. е. удельную индуктивность соленоида бесконечной длины.
Пример 2.11. Расчет магнитопровода с зазором. Пользуясь законом непрерывности линии индукции магнитного поля, определим количественную связь напряженностей магнитных полей в зазоре сердечника магнитопровода Hi и в самом маг-пнтопроводе Н2 (рис. 2.10). Магнитопровод выполнен из материала с Ц1>1. Используя формулу (2.6), имеем
<f> Bds = Ф (Hi ра1—Н, р,а) ds = 0
S	S
37
Рис. 2.10. Магнитопровод с зазором
и, полагая, что поля Н| и Н2 не изменяются по сечению сердечника S и существуют только в сердечнике и в зазоре сердечника, получим
Н 1 Ца 1S—Н 2PaiS = 0.
Так как gat = pogt и ца2=(ьо, то /7 ipi —Н2.
Величина ампер-витков обмотки сердечника, необходимая для соз-
дания в зазоре индукции В2, определяется из закона полного тока (см. уравнения (2.1) и (2.17)) для обмотки с током / и числом витков 7V как
Н, (2nR—l2) +H2l2=IN или
IN =
Так как L = N®/I=NB2S/I, то
— 1)
(2.24)
Если в (2.23) а в (2.24) Z2=0, то эти формулы принимают одинаковый вид.
Пример 2.12. Экспериментальная проверка уравнения электромагнитной индукции. Рассмотрим прибор для получения быстро движущихся электронов — бетатрон (рис. 2.11). Прибор представляет собой согнутую в кольцо стеклянную трубку, из которой выкачан воздух. В трубку вводятся электроны.
Рис. 2.11. Экспериментальная проверка образования в пространстве замкнутых линий электрического поля вокруг линий переменного во времени магнитного поля (закон электромагнитной индукции)
38
Груба-кольцо помещена в переменное во времени магнитное поле с индукцией В, вызывающее индуцированное электрическое поле Е. Это поле приводит в движение электроны в трубке и увеличивает их кинетическую энергию (и скорость). Энергия электронов, выраженная в электрон-вольтах, определяется уравнением (2.3), левая часть которого есть индуцированная ЭДС. Разность (потенциалов, пройденная электроном, соответствует его работе или энергии. Электроны движутся по трубке согласно уравнению (1.4). Можно так подобрать величины В и v, что электроны будут двигаться по окружности I.
2.4. О ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ в интегральной форме <с)
Уравнения в интегральной форме описывают все явления >лектродинамики. Однако их применение в расчетах полей ограничено. Это объясняется тем, что значения искомых полей находятся под знаком интеграла и могут быть вычислены только при простых и известных зависимостях полей, плотностей токов и зарядов, от координат. Так, если при вычислении поля Н вокруг тока / (пример 2.4, рис. 2.7) линия I не является окружностью (или ее центр не совпадает с центром круга сечения 'провода), то интеграл в (2.1) или (2.2) нельзя даже записать в явном виде, так как функция Н от I неизвестна. То же самое следует сказать и о вычислении поля в (адаче о шаре (пример 2.3, рис. 2.6): если нарушится центральная симметрия задачи, то интеграл (2.4) или (2.5) также не может быть записан в явном виде. В общих случаях, т. е. при неизвестных распределениях полей, токов и зарядов расчеты проводятся численными методами с использованием ЭВМ. Кроме того, уравнения в интегральной форме не могут описать электромагнитные волны.
И все же уравнения электродинамики в интегральной форме можно применять в сложных задачах, в которых или соблюдаются условия симметрии, или интегралы могут быть вычислены. В качестве примеров укажем на расчет резонансной частоты в тороидальном резонаторе и задачу о рамочной антенне в поле плоской волны.
Важно отметить, что уравнения в интегральной форме необходимо применять в теории -при определении граничных условий для векторов поля.
39
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
2.1.	Расскажите о физической сущности уравнений электродинамики в интегральной форме: законов полного тока, электромагнитной индукции, теоремы Гаусса и закона неразрывности линий магнитного поля.
2.2	Расскажите о потоке электрической индукции и магнитном потоке. Как они определяются?
2.3.	Чем отличается общий закон электромагнитной индукции, установленный Максвеллом, от закона Фарадея?
2.4.	Чем отличаются электрические поля в формулах (2.3) н (2.5)?
2.5.	Что такое объемная плотность заряда?
2	6 Почему магнитные линии непрерывны в пространстве?
2.7.	Почему уравнения электродинамики в интегральной форме имеют ограниченное применение?
УПРАЖНЕНИЯ
2.1.	К двум металлическим дискам радиусами R=10cm приложено переменное напряжение —10 кВ с частотой 50 Гц. Расстояние между дисками I см. Определите напряженность магнитного поля между дисками и вие дисков как функцию радиуса г. Краевыми эффектами пренебречь, т. е. считать, что поле Е существует только между дисками, где находится керамика с е=4.
Ответ: внутри дисков при 0-Cr-^R ... W=!/e-10-2 г, К/м, вие дисков при r^R ... W=s/»-10“4(l/r), А/м.
2.2.	Определите какую энергию в электрон-вольтах (эВ) (см. пример 1.5), численно равную разности потенциалов в вольтах, приобретут электроны в бетатроне (пример 2.12), если индукция В магнитного поля равна 1,5 Тл. радиус окружности в вакуумной трубке-кольце, по которой движутся электроны, равен 1 м, частота изменения магнитного поля 50 Гц и электроны совершают 100 оборотов. Индукция магнитного поля В распределена равномерно по площади круга.
Ответ: 11= 15-ЮЪг2» 150 кВ.
2.3.	Определите заряд иа металлическом шаре радиусом 1 м, если напряженность электрического поля на поверхности шара равна Е„= = 30 кВ/см, т. е. максимальному значению, прн котором не происходит электрический пробой воздуха.
Ответ: Q = 1/9.10 s КлйЮ-4 Кл=0,1 мКл.
40
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
3.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Так как уравнения электродинамики в интегральной форме не позволяют изучать многие электромагнитные явления (см. разд. 2.4), то возникла необходимость разработки таких соотношений между полями, токами и зарядами, которые позволяли бы исследовать любые электродинамические процессы. Оказалось, что математическое преобразование интегральных уравнений в дифференциальные удовлетворяет поставленной цели. Получающиеся уравнения, называемые уравнениями Максвелла, относятся к фундаментальным уравнениям физики. При математическом преобразовании интегральных уравнений используются теоремы Стокса и Остроградского—Гаусса, а в уравнениях Максвелла используются такие понятия векторного анализа, как дивергенция и ротор векторного поля (см. приложения П.2 и П.З).
Уравнения Максвелла описывают (поведение полей, токов и зарядов в трехмерном пространстве. При их решении появляются постоянные, определяемые при некоторых значениях независимых переменных.
Соотношения между векторами поля, токами и зарядами на границах областей пространства определяют эти постоянные в решениях уравнений Максвелла и называются граничными условиями.
Пояснение 3.1.1. Граничные условия электродинамики аналогичны начальным условиям, используемым в обыкновенных дифференциальных уравнениях.
3.2.	УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ) (У)
Первое уравнение Максвелла. Уравнение полного тока
(2.2)
S	S
41
на основании теоремы Стокса (см. приложение П.2) может быть записано так:
JrotHds-fjds+j^.
S	S	S
ds.
Так как в полученном уравнении поверхность интегрирования выбрана 'произвольно и одна и та же во всех интегралах, то можно перейти от интегральной формы соотношений к дифференциальной. Иными словами, уравнение будет удовлетворяться при равенстве подинтегральных функций, т. е.
rotH - J + ~	(3.1)
dt
Соотношение (3.1) называется первым уравнением Максвелла и может быть расписано более подробно (см. (1.3) и (1.8)) как
rot Н = оЕ + еа —	(3.2)
dt
В декартовой системе координат (3.2) примет вид
(дНг дНД. .(дНх дНД. (дНу дНД
In а Рх ’ а -1	» ( з з I *2 ----
\ ду дг )	\ дг дх ]	\ дх ду }
= [°ЕХ + еа h+ (сЕу + еа 1,+
аЕг+еа-^)1г.	(3.3)
dr /
Векторное уравнение (3.3) состоит из трех скалярных уравнений для каждой проекции на оси х, у и z. Этими скалярными уравнениями пользуются при решении задач электродинамики в декартовой системе координат.
Уравнение (3.1) или (3.2) показывает, что около каждой линии вектора шлотности тока проводимости J и вектора плот-5D
ности тока смещения JCM= “77 имеется линия напряженности 01
магнитного поля Н, описываемая дифференциальной операцией rot Н.
Пояснение 3.2.1. Уравнения (3.1) и (3.2) позволяют более широко описывать соотношения между полями и токами и, в частности, в упрощенном, приближенном виде. Пусть в электрическом поле имеется только одна составляющая, например, £х, тогда в магнитном поле могут быть
42
только составляющие Hv и Нх (см. (3.3)), так как ни правая, ни левая части уравнения ие содержат составляющих по осям у и г. Подобные приближения значительно облегчают решения практических задач электродинамики. На таких упрощениях строится, например, широко применяемая теория плоских воли (см. пример 3.3, разд. 5.8, 5.10 и главы 6 и 7). Заметим, что в таких случаях не приходится говорить о том, что вокруг линий токов существуют замкнутые линии поля Н: линии поля Н могут простираться из «минус» в «плюс» бесконечность (как и линии поля Е). См. к этому пояснение 1.1.1.
Второе уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции (2.3) можно представить иначе, вводя частную производную то времени под знак интеграла по поверхности в силу независимости S от /:
(j)Edl = —f-^-ds.
На основании теоремы Стокса (см. приложение П.2) изменим левую часть последнего уравнения и запишем
f rot Eds = — ds.
J	i dt
s	s
Полученное интегральное соотношение при одной и той же произвольной поверхности S удовлетворяется при равенстве подинтегральных функций. Таким образом образуется второе уравнение Максвелла
rot Е =------
dt
(3.4)
или
rotE=-p.-^-. dt
(3.5)
Смысл полученного уравнения заключается в том, что возле линий переменного во времени магнитного поля возникают линии электрического поля, тоже изменяющегося во времени. В декартовой системе координат (3.5) запишется так:
/ dEz	дЕц\ ।	. / dEx	dEz\	। . / dEy d£x\	। _
\ dy dz J *	\ dz	dx /	y \ dx dy J	г
dHr .	дНу .	ЭНг .	д,
= —	И.-т/Ь —	(3.6)
Ot	Ol	01
43
К уравнениям (3.5) и (3.6) полностью относится пояснение 3.2.1.
Третье уравнение Максвелла. Используем теорему Гаусса
<j) Dds = J pdV, s v
заменим левый интеграл по теореме Остроградского—Гаусса (см. приложение П.З)
JdivDdV= fpdV
V	V
и перейдем к дифференциальному соотношению, имея в виду, что интегрирование в обоих интегралах ведется по одному и тому же объему V, т. е.
divD=p.	(3.7)
Для изотропной среды, в которой ea=const (3.7) изменится на
div Е=р/еа.	(3.8)
Уравнение (3.7) или (3.8) называется третьим уравнением Максвелла. Смысл его заключаетсяв том, что каждый элементарный заряд является источником электрического поля (см. пояснение 3.2.1 и 1.1). В декартовой системе координат (3.8) имеет вид
~ = Р/еэ-	(3.9)
дх ду дг
Четвертое уравнение Максвелла. Применяя к интегральному уравнению закона непрерывности линий магнитной индукции (2.6)
Bds =0
s
теорему Остроградского—Гаусса (см. приложение П.З), получим
J div BdV =0.
v
44
Записанное в дифференциальной форме последнее соотношение, носит название четвертого уравнения Максвелла
div В=0	(3.10)
или при независимости ца от координат
divH = 0.	(3.11)
Выражение (3.10) указывает на отсутствие магнитных зарядов. Уравнение (3.11) в декартовой системе координат имеет вид
+	(3.12)
дх ду дг
К уравнениям (3.10)... (3.12) можно отнести все, что сказано в пояснениях 3.2.1 и 1.1.1.
3.3. СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА (С)
Рассматривая первое (3.2) и второе (3.5) уравнения Макс-
велла rot Н = <тЕ+еа----, rot Е=—ца —— отметим их важ-
dt	dt
нейшее свойство: если поля изменяются во времени, то между ними существует тесная связь, т. е. одно поле не может существовать без другого. Более того, имеет место явление «поддержки» одного поля другим. Действительно, изменяющееся во времени поле Е вызывает изменение в пространстве поля Н (см. (3.2)), которое, также изменяясь во времени, вызывает согласно (3.5) изменение поля Е и в пространстве и во времени.
Частным случаем является неизменность полей во времени. При этом уравнения (3.2) и (3.5) упрощаются: rotH = oE, rot Е=0 и описывают стационарное электромагнитное поле.
Если к тому же проводимость среды равна нулю, то 'приходим к полной независимости полей друг от друга, т. е. к магнитостатике и электростатике rotH = 0, rot Е=0.
В рассмотренных случаях третье и четвертое уравнения Максвелла остаются в силе: divE=p/ea, divH = 0.
Пояснение 3.3.1. Электрические поля во втором и третьем уравнениях Максвелла различны по своему характеру: в уравнении (3.4) поле Е вихревое — линии Е замкнуты; в уравнении (3.7) поле Е потенциальное, образованное электрическими зарядами.
45
3.4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДАХ (У)
В общем случае поля, токи и заряды являются функциями четырех независимых переменных — трех координат и времени. Исключение любой переменной позволило бы упростить исследование и решение задач электродинамики. Это возможно сделать, если считать, что изменение полей, токов и зарядов во времени происходит по гармоническому закону, т. е. по закону cos ы/ (или sin со/) с какой-то одной частотой. Подобные зависимости электромагнитных процессов от времени встречаются наиболее часто, а сложные временные изменения полей, токов и зарядов могут быть всегда 'представлены (при линейных преобразованиях) как сумма простых одночастотных зависимостей.
Метод комплексных амплитуд. Косинусоидальную функцию времени
u = U„, cos (со/Ч-ф),
где и — мгновенное значение функции, Um — ее амплитуда, ы/+<р — полная фаза в радианах; <р— начальная фаза; о>= =2nf — круговая частота, можно записать в следующих видах:
u=Um Ree«“'+”, u=.Re Umе^е’“(, u=Ret7e>“‘.
Величина C=Ume^ называется комплексной амплитудой. Эти записи основаны на формуле Эйлера
ej|f=cos(p-|-/sin ср
и являются представлением косинусоидальных функций в комплексных амплитудах.
Пояснение 3.4.1. Используя формулу Эйлера, можно записать следующие соотношения (звездочной обозначены комплексно-сопряженные величины) :
и=Чг(О+и) или u=1Z1(t/me/(“'+’’,+l/me“/<“'+4”)
и далее
и = '/2[1/,м cos(<о/-Нр) +jUт sin(<о/+<р) +t/m cos(tof+<p) —
—jUm sin(<o/+<p)J =Um C0s(<d/-Hp).
46
Если амплитуда функции и ее начальная фаза зависят от координат (например, от х, у, г), то запись функции будет такой
и (х, у, z) — Um (х, у, z) cos	4-<р (х, у, z) ],
а ее представление в комплексных амплитудах ничем не отличается от приведенных выше, т. е.
и(х, у, z) = Re Um(x, у, г) е	^е'"'= Re (х, у, z)e’“‘.
Можно говорить, что косинусоидальной функции соответствует комплексная показательная функция
й = Um е>(“'+” = Um еi’ е>< = Г е>',
в которой Um=Um(x, у, z) и <р=ср(х, у, z), а физическое значение функции отображается в ее действительной части.
Аналогично можно представить векторную функцию, зависящую от координат и времени как
А=Amxlxcos ((о/4-фх) +Amizl»cos (co/4-<jpv) + 4-Am2l2cos ((1>/+ф2),
где составляющие вектора Awx, Ату, Amz и их начальные фазы <рх, Фи, <рг есть в общем случае функции координат. Этот же вектор записывается в комплексных амплитудах
A=Re[A е^’х А ту I у е А» А mzl z е>’«]е>'	(3.13)
или
А=Re [Л1х+Л1 Н-ЛЬ]ej“'=Re А е>“‘,
ГДе Ах— Ату1Хе^х, Ау — A myC^v, Az —
Величина А=Лх1х4-4/1и-|-х4212 называется комплексной амплитудой вектора А. Если начальные фазы составляющих вектора А одинаковы, т. е. <f>x=<p1/=q>z=<p, то последние формулы упрощаются
А = [Amx 1 я4-А ту 1 У+Аmilz] cos (со/Ч- <р) = Am cos (at 4-ср),
A=Re[Amxlx4-Ami,l1,4-^mzlz]e>’e>“< =
= ReAmej’e>’ = ReAe>‘,	(3.14)
A=Am ej”.
47
Векторы электромагнитного поля и плотности тока проводимости, а также объемная плотность заряда принимают следующий вид:
E=Re(Ee>‘), J = Re(je>“f),
(3.15)
H = Re(Hej“‘)> p=Re(pe>‘),
где E, H, J, p — комплексные амплитуды соответствующих величин (см. (3.13)).
•Так как уравнения Максвелла содержат производные векторов по времени, то необходимо рассмотреть, каковы их выражения, если векторы записываются в комплексных амплитудах. Возьмем из (3.15) соотношение E=Re(Ee->“') и продифференцируем его по времени t. Здесь Ё — комплексная амплитуда зависит только от координат и не зависит от времени, а первая производная от eJ'“', как производная показательной функции
д  .
—	ela‘ = jat.	(3.16)
dt
Видно, что производная по времени от величин, записанных в комплексных амплитудах, представляет собой умножение на величину /со.
Полная запись производной будет иметь вид
—	= Л- Re (Ёе'“') = Re (-7- Ёе'“/>) = Re f Ё — e'w/1,
dt dt	\ dt J \ dt j
где операции выделения действительной части и дифференцирования можно поменять местами. Окончательно
-	~ = Re(E/we'“') = EmRe(/<o[cosco/+/ sin св/]) = —coEm since/ dt
и, конечно, совпадает с производной, взятой от величины E=Emcosco/.
Из последних формул следует, что умножение какой-либо величины на /со (т. е. ее дифференцирование) соответствует сдвигу ее во времени по отношению к первоначальному значению на фазу л/2.
В дальнейшем потребуется вторая производная по времени от величии, представленных в комплексных амплитудах. Получим ее с учетом (3.16), т. е.
~ е'"' =	(/со е'“') =/со (/со е/и><)= — со» е'“'
и тогда
= ‘Ь Re = Re (77sЁ е'“' )= -w’Re №
otl dt*	\ dt* /
48
В тригонометрической форме последняя формула имеет вид
й’Е <)-
- — Е,п cos bit = — <o»E„i cos со/.
дР дР
(3.17)
Уравнения Максвелла в комплексных амплитудах. Запишем уравнения Максвелла в комплексных амплитудах. Первое уравнение Максвелла (3.1) будет записано так:
rot Re (Не'“') — Re (j&ut) +Re (D/coe*"').
В левой части допустимо операцию взятия ротора (т. е. дифференцирования по координатам), ввести после отделения вещественной части, т. е.
rot Re (He’“f) = Re (rot Hej“') и тогда
Re (rot He}'“') =Re (je’"f) +Re (D/coe’"').
Далее, опуская знак Re, имеем
rot He,ut=je-'^+jcoDej"'
и, сокращая на множитель е'ш(, получаем первое уравнение Максвелла в комплексных амплитудах
rotH=J+/<oD.	(3.18)
Аналогично преобразуются уравнения (3.5), (3.8) и (3.11).
Первое уравнение Максвелла в комплексных амплитудах можно представить в более удобной форме.
Комплексная диэлектрическая проницаемость. Запишем первое уравнение Максвелла (3.18) в комплексных амплитудах, введя величины J = oE и D=eaE, а именно
rot'H= (о+/И£а) Ё, или
rotH=/coeaE.	(3.18а)
Величина
еэ = Еа—/о/<0	(3.19)
называется комплексной диэлектрической проницаемостью и является функцией частоты со. В правой части уравнения (3.18) первое слагаемое J = oE определяет плотность тока проводимости, второе соеаЁ — плотность тока смещения. Если
4—79
49
(DEa^o, то токи смещения преобладают, а уравнения (3.18) или (3.18а) принимает вид rot Н=/соеаЁ.
Этот случай соответствует или малой величине проводимости о или большим частотам <о колебаний.
Если (oea<<J, то преобладают токи проводимости. Это может быть или при большом значении проводимости о или на малых частотах со. Тогда (3.18) или (3.18 а) будут такими: rotH=oE. Выделяется случай, когда (оеа=о, а соответствующая частота называется граничной частотой
(Огр— (1/Еа-
(3.19а)
На граничной частоте плотности токов проводимости и смещения равны.
Сводка уравнений Максвелла в комплексных амплитудах. Запишем уравнения Максвелла в комплексных амплитудах для однородных сред
rotH=j(oeaE (a), rot Ё=—/(оцаН (б),
(3.20)
div Ё=р/еа (в), divH=0 (г).
Соотношения (3.20 а)... (3.20г) есть линейные дифференциальные уравнения первого порядка, в которых амплитуды полей Е и Н и плотности заряда р являются функциями только координат, а временная зависимость вида cos wt учтена при переходе записи уравнений в комплексных амплитудах. Для исследования и решения задач электродинамики векторные уравнения (3.20 а, б) использовать нельзя. Поэтому их необходимо превратить в скалярные. Это осуществляется путем записи векторных уравнений; в проекциях. Тогда вместо уравнений (3.20 а)... (3.20г) получаем восемь скалярных: из векторных уравнений (3.20 а, б) образуется шесть скалярных, а уравнения (3.20 в, г) сами являются скалярными. Запишем их в декартовой системе координат:
дНг дНу . ~ --------К =/о>еаЕ, ду дг
дНх дг
дНг . - с — = / w еяЕи, дх
(3.21)
дНу дх
дНх . ~ с —Г =/®еаЕ; ду
50
дЁг дЁу _		—
йу	дг	
дЁх	дЁг		—Wa Ни,
dz	дх	
дЁу	дЁх _	—/“ р-ян„
dx	ду	
дЁх	4- дЕ* 4-	дЕг 
дх		,	Р/Са. дг
дН x t д 'ну дх ду дг
(3.22)
(3 23)
(3.24)
Вид уравнений (3.20)... (3.24) в других системах координат изменяется, но принцип построения остается тот же (см. приложения П.2 и П.З). Важно помнить, что хотя в уравнениях (3.20)... (3.24) нет зависимостей от времени, в действительности поля, токи и заряды изменяются во времени по гармоническому закону cosw/ или ReeJ“(. Эту зависимость необходимо вводить при переходе от комплексных амплитуд к мгновенным значениям полей, токов и зарядов.
В уравнениях (3.20)... (3.24) величины еа=еа—/<т/(о (см. (3.19)) и ца описывают характеристики среды, в которой исследуются поля Е и Н.
3.5. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ (У)
Граничные условия представляют собой соотношения между значениями векторов электромагнитного поля или их производных по координатам на каких-либо выбранных поверхностях (границах) части пространства. Поверхности или границы разделяют две произвольные среды (рис. 3.1).
Любой вектор поля в произвольной точке на границе двух сред может быть разложен на две составляющие: нормальную (перпендикулярную) и тангенциальную (касательную) к границе (рис. 3.16). Граничные условия удобно рассматривать отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих векторов поля. На свойства сред никакие ограничения не накладываются. Для определения граничных условий используются уравнения электродинамики в интегральной форме. Дифференциальные уравнения (уравнения Максвелла)
4*
51
Рис. 3.1. Линии электрического и магнитного полей на границе двух сред и — общий вид; б — разложение вектора Е на нормальную Еп и тангенциальную £т составляющие в каждой точке границы
применять нельзя, так как на границе происходят скачки характеристик сред, что приводит к скачкам значений векторов поля и неопределенности при вычислениях производных векторов на границе сред.
Пояснение 3.5.1. Расширим понятие идеального проводника, введенное в пояснении 1.6.1. Так как в среде с проводимостью о=оо электрическое поле Е равно нулю, то из второго уравнения Максвелла (3.20 б) получаем соотношение 0=—/<ораН, означающее, что при переменных во времени процессах (т. е. при <о=#=0) поле Н и В=цаН должны быть равны нулю.
Везде далее, если не оговорено особо, считается, что любые металлические поверхности являются поверхностями идеального проводника.
3.6. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЮЛЯ (У)
Граничные условия для тангенциальных составляющих. Пусть вблизи границы двух сред в плоскости, перпендикулярной к поверхности раздела, выделен прямоугольный замкнутый контур abed (рис. 3.2а). Контур пронизывается магнитным полем с индукцией В, а в пространстве возникает инду-
52
Рис. 3.2. Граничные условия для векторов электрического поля а — для тангенциальных составляющих; б — для нормальных составляющих
цированное электрическое поле Е согласно закону электромагнитной индукции (см. уравнение (2.3))
В первой среде образуется поле Еь а во второй — Е2. Обходя контур по изображенной на рис. 3.2 а стрелке, запишем левую часть уравнения (2.3) в виде
j Edl = j Edl 4- J Edl + jEdl 4- j I	a	b	c	d
Edl.
Длина контура M=ad=bc и его высота kh=ab=dc выбираются малыми, т. е. такими, чтобы на контуре электрическое поле Е было бы неизменным. Тогда в последнем уравнении второй и четвертый интегралы упростятся (см. ориентацию единичного вектора 1,)
/Ы!
----Е11,Д/, jEdl- + Е11ТД/,
первый и третий интегралы можно представить так:
JEdl
ДЛ	Л	.ДА
= J Edl и J Edl •= J
О	с	О
Edl,
53
а правая часть уравнения (2.3) сведется к виду
— f-^ds= - — Д/Д/i. J dt	dt
Устремим Д/г к нулю, т. е. будем рассматривать поле Е на границе. При этом первый и третий интегралы и правая часть уравнения станут равными нулю, а второй и четвертый интегралы образуют равенство
Е,1ТД/—Е21,Л/=0.
Сокращая на Д/ и переходя от скалярных произведений Е|1Т и Е21т к проекциям векторов Ej и Е2 на направление 1„ получим граничное условие для тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на границе двух произвольных сред
Ет1 = Ет2.	(3.25)
Отметим важный случай, когда первая среда — диэлектрик, а вторая — идеальный проводник. Так как в идеальном проводнике электрического поля нет, т. е. Е2=0, то El2=0 и и Е\| = 0, а в общей записи
Ех |о=ос = 0.	(3.26)
Граничные условия для нормальных составляющих. Выделим на границе двух сред малый цилиндр объемом V (рис. 3.2 6), в котором имеется распределенный заряд с объемной плотностью р, создающим поле электрической индукции D. Применим теорему Гаусса (см. уравнение (2.5))
J Dds = [ pdV.
s v
Если в первой среде электрическая индукция Dlt а во второй D2, то
J DJnds-Ь J Ddi — J D,lnds= f pdV.
AS	AS	V
Полагая, что размеры цилиндра малы, т. е. что вектор D неизменен на поверхностях ДЕ и Ец цилиндра, из последнего уравнения имеем
D, 1 „ ДЕ+Е5Ц—D21 n\S = Vp.
54
Устремим высоту цилиндра Д/i к нулю. Тогда площадь боковой поверхности Su=0 и объем цилиндра К=0. Получаем граничное условие для нормальных составляющих вектора 1)=С1„ в виде
£>П1 = £>П2.	(3.27)
Однако если на границе раздела есть поверхностный заряд с поверхностной плотностью рПОв, то (3.27) примет более общий вид граничного условия для нормальных составляющих электрического поля
Z?ni—Dn2—(JnoB-	(3.28)
В частном случае, когда вторая среда идеальный проводник, в котором поле равно нулю, граничное условие (3.28) упрощается. Тогда
Dn |о=оо=рПов.	(3.29)
п описывает наличие электрического поля над заряженной металлической поверхностью. Линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхности идеального проводника.
3.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (У)
Граничные условия для тангенциальных составляющих. Образуем малый замкнутый контур L в плоскости, перпендикулярной поверхности раздела двух сред (рис. 3.3). Контур
Рис. 3.3. Граничные условия для векторов магнитного поля
и — для тангенциальных составляющих; б — для нормальных составляющих
55
пронизывается электрическим током, образующим магнитные поля Н, и Н2. Применим закон полного тока (2.2)
J Hdl = J (J + JCM) ds i s
и, поступая так же, как при определении граничных условий для тангенциальных составляющих электрического поля, запишем
b	d
j Hdl—Н21Т Д/ 4- J Hdl + Hi 11Д/ = (J + JCM) Д/Дй. а	с
Устремив высоту контура Mi=ab=cd к нулю, получим граничное условие для тангенциальных составляющих магнитного поля H=7Ylt:
Ян=/Л2.	(3.30)
В более общем случае вводится понятие поверхностного тока с плотностью ЛПов- Тогда (3.30) примет вид JnoB=/noBlt
/Ут|—/712=/пов,	(3.31)
где линии Нх перпендикулярны линиям 7пОв (см. пример 1.3).
Если вторая среда идеальный проводник и электромагнитные поля изменяются во времени, то переменное магнитное поле в идеальном проводнике будет равно нулю. Тогда граничное условие (3.31) упрощается, так как /7,2=0:
| о=оо==:/пов>	(3.32)
и также линии Нх перпендикулярны линиям /пов (см. (1.17)).
Формальное введение понятия поверхностного тока не имеет физического смысла, но в практических приложениях грани- чое условие (3.32) может в приближении описать ряд вал. 1ых явлений.
Граничные условия для нормальных составляющих. Выделим на границе двух сред малый цилиндр объемом V (рис. 3.3 б). В первой среде есть поле Вь во второй—В2. Применяя закон неразрывности линий магнитной индукции (см. уравнение (2.6)), считая, что величина вектора В неизменна на поверхностях ДХ и Хц, имеем
Bi 1П ДХ + J Bds-Ва 1„ ДХ = 0.
56
Если высоту цилиндра устремить-к нулю, то £ц=0, и получаем граничное условие для нормальных составляющих вектора магнитной индукции В, т. е.
Вп\ — ВП2.
(3.33)
В частном случае, когда вторая среда является идеальным проводником, а поля изменяются во времени, во второй среде иоле отсутствует (см. пояснение 3.5.1) и
В,, |о=оо=0.
(3.34)
3.«. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА ПРОСТЕЙШИЕ. ПРИМЕРЫ (С)
Используя уравнения Максвелла, можно описать распространение радиоволн в космосе и атмосфере, возбуждение электромагнитных волн антенными устройствами, движение волн в специальных устройствах — волноводах; колебания электромагнитных полей в ограниченных объемах — резонаторах и другие физические явления. Введение зависимостей диэлектрической и магнитной проницаемостей от частоты и координат позволяет изучать распространение и существование электромагнитных колебаний в низкотемпературной плазме, термоядерных установках, магнитоактивных средах — ферритах, неоднородных слоистых средах (в морском льде, над поверхностью моря и суши и др.). Уравнения Максвелла с конвекционными токами (токи свободных электронов в вакууме) составляют основ) электроники с ее многочисленными техни-
ческими приложениями.
Для применения уравнений Максвелла в задачах науки и техники необходимо рассмотреть их три основных преобразования: составление баланса энергии (или мощности) электромагнитного 'поля, вывод закона сохранения заряда (или \равнения непрерывности тока) и получение волновых уравнений электродинамики.
Рассмотрим для иллюстрации простейшие случаи применения уравнений Максвелла.
Пример 3.1. Определение магнитного поля прямолинейного тока. Обратимся к примеру 2.4, в котором исследуется магнитное поле постоянного тока в цилиндрическом проводе. Первое уравнение Максвелла (3.1) при условии =0 (ток dt
57
постоянный) позволяет записать (3.1) для пространства вне проводника (г^а)
rot Hi=0,	(3.35)
и внутри проводника (г^а)
rot H2=J.	(3.36)
Уравнение Максвелла (3.1) в цилиндрической системе координат (см. приложение П.2) имеет вид
(-L	1 4-	1 - .
\ г dtp дг ) г ' \ дг дг } * '
+ (- -(rHJ- 1 S 1г = Л1г+ЛЬ+А1г, (3.37) \ г дг	г /
Так как ток течет вдоль проводника, то вектор плотности тока J имеет только одну составляющую Л, а /г=/ф=0. В силу осевой симметрии изменения поля Н по координате <р равно нулю, т. е.
^-0, ®£_0.
dtp	dtp
Принимается, что проводник бесконечен вдоль оси z и из-
менения тока по z нет, поэтому —— =0,—0. На основа-дг дг
нии сказанного уравнение (3.35) для пространства вне проводника примет вид
— 4-(гЯФ,)=0,	(3,38)
г дг
а для пространства внутри проводника уравнение (3.36) запишется как
ЛХ(Гяф2)=/г.	(3.39)
г дг
Интеграл уравнения (3.38) запишется как гН^ = С\ или Н^\==Сх/г, г^а. Уравнение (3.39)-Л. (гНч2)=1гг имеет реше-дг
ние в виде
rHv2=xl2 Jzr2+C2, О^г^а.
Постоянная С2 определяется из условия г=0, тогда должно быть С2=0. Следовательно,
Н,2=1/2Лг.
58
Постоянная Ct определяется из граничных условий равенства тангенциальных составляющих поля Н на границе двух сред (см. (3.30)) — Н„21г=а или CJa—xl2Jza и С^’/гЛа2. Окончательно, вводя 1г—11ла2, где I — ток в проводе,
/7ф| =	= — | ,
2г 2лг|г>а
rj ^zr I?
/7^2 — --- *== —---
2 2л а1
0<r<(z
Полученные формулы для Hvi и Нч2 совпадают с результатами примера 2.4. Можно сделать вывод о том, что решать эту шдачу с помощью уравнений Максвелла нецелесообразно, гак как она решается проще методом интегрального закона полного тока, как и показано в примере 2.4.
Пример 3.2. Определение электрического поля шаровидного скопления зарядов. Обратимся к примеру 2.3. Используя третье уравнение Максвелла (3.8) для пространства вне шара г^а, имеем
div Е]=0,
(3.40)
и для пространства внутри шара divE2=p/ea.	(3 41)
Распишем уравнение (3.8) в сферической системе координат (см. приложение П.З)
(t*Er) +—— — (EesinO)H---------—- — =-Е-.
г* [ dr j г sin0 [дп	J г sinn dtp еа
(3.42)
В силу центральной симметрии производные от составляю-д	„ д	„
щих электрического поля —=0 и —=0, и тогда уравнение «Др	Й0
(3.40) примет вид — Г— (r2Eri)l = 0, а решение запишется га , [ dr J
как r2Ert = Ct или Еи= —I
Г* |г>а
Уравнение (3.41) — Г— (г2Ег2)1— или <?(г2Ег2) = —	имеет
г2 I дг ] еа	е„
решение г*Ел2 = —-—гэ + С2, где при г —0 должно быть Зеа,
С, = 0. Тогда Ег2 - —I .
Зеal 1г<а
59
Постоянная С| определяется из граничных условий равенства нормальных составляющих поля D на границе двух сред (см. (3.27)) как Dri=Drz\r=a, т. е. eaiEri=ea2Er2 или eaiCJa2= = ра/3, откуда С( = ра3/3еа|. Окончательно, вводя р = = Q/ (4/3) ла3, получаем
Eri=—^— = —9-1	, fr2 = _^=_9r_l
Зеа1г’ 4леа1г’|г>а	Зеа1 4л еи1и8 |о<г<о
Сравнивая пример 2.3 с примером 3.2, можно сделать вывод о том, что применение теоремы Гаусса упрощает решение задач такого типа.
Пример 3.3. Уравнения Максвелла для простейшего вида электромагнитного поля. Если электромагнитное поле очень простое (см. пояснения 1.1.1 и 3.2.1) и содержит только две составляющие: электрическую Е = £Х1Х и магнитную Н = = Ну\у, то первое (3.3) и второе (3.6) уравнения Максвелла соответственно примут вид
дНу дг
дНу । дх
1
и
дЕх , дЕх ,	дН у,
дг v ду г ‘ а dt v
В левых частях уравнений вторые слагаемые равны нулю, так как составляющие поля по г в правых частых уравнений отсутствуют. Поэтому
дНу „ , дЕх дЕх .. дНу
—	—=оЕх4-еа—-,
дг	dt dz	dt
и Ех и Ну являются функциями только координаты г и времени /. Если поля изменяются во времени по гармоничному закону, то можно перейти к записям в комплексных амплитудах (см. (3.21).. .(3.22)). Уравнения еще более упрощаются, т. е.
~  дЁх
—^=—i">ellEx, —— = —fwp.Wj,.
дг	дг
Напомним, что в последних уравнениях комплексные амплитуды Ёх и Йу от времени не зависят.
Пояснение 3.8.1. Электромагнитное поле, имеющее только две составляющие Ех и Ну таково, что линии полей Е и Н простираются по координатам х и у от —оо до 4-оо и не зависят от х н у. В силу простоты
60
подобное поле изучается очень широко и будет рассмотрено в разд. 5.8, 5.10, в примерах 5.1—5.3 и главах 6 и 7. Необходимо указать, что такое поле является лишь приближением действительно существующих полей, что и отображено в пояснениях 3.21 н 1.1.1.
3.9. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
В РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА (С)
Подчеркнем еще раз, что всегда при решении задач электродинамики необходимо иметь сведения о соотношениях между нормальными и тангенциальными составляющими полей на границах областей пространства, где рассматриваются электромагнитные поля.
Пример 3.4. Составляющие электромагнитного поля на внутренней поверхности металлической прямоугольной трубы. Электромагнитное поле внутри трубы (рис. 3.4) может иметь сложную конфигурацию. Но, так как принято, что металл является идеальным проводником, то в точках А и Б (рис. 3.4 а), лежащих на внутренней поверхности трубы, граничные условия описываются равенствами (3.26), (3.29), (3.32) и '(3.34).
Тогда в точке А:
Ех— может существовать как нормальная составляющая поля Е на проводнике (см. (3.29); Ev=0, Et=0 — как тангенциальные составляющие поля Е на металле (см. 3.26), Н.х=0—как нормальная составляющая поля Н на металле (см. (3.34), Ну,Нг — могут существовать как тангенциальные составляющие поля Н на металле (см. (3.32)). В точке Б (соображения аналогичные): Ех—Ъ, Е„— существует, Е2=0,
Рис. 3.4. Граничные условия на поверхности идеального проводника а — металлическая полость; б — металлический шар
61
/у.г — Существует, Hv=0, Нг — существует. Легко определить, что в углах трубы все составляющие поля кроме Нг равны нулю.
Пример 3.5. Составляющие электромагнитного поля на поверхности металлического шара. Если на шар падает произвольная электромагнитная волна (рис. 3.46), то независимо от того, где на шаре расположена точка О, в этой точке соблюдаются следующие условия (используем сферическую систему координат, см. приложение П.1):
Ег — существует как нормальная составляющая поля Е на металле (см. (3.29)), Ее = 0, Еф=0— как тангенциальные составляющие поля Е на металле (см. (3.26)), Нг=0 — как нормальная составляющая поля Н на металле (см. (3.34)), /Уе и /У» — существуют как тангенциальные составляющие поля на металле (см. (3.32)).
Пример 3.6. Граничные условия для векторов электрического поля в плоском конденсаторе со слоистым диэлектриком (рис. 3.5). Считается, что в конденсаторе существует плоское электрическое поле Е=£212. Тогда в любой точке линии z на основании (3.27) и (3.29) вектор электрического смещения D=£)2l2=const. На левой пластине Ец—рЛОв, на правой —Dz2=—рпов, а на границе диэлектриков Dzl=Dz2.
Составляющие вектора напряженности электрического поля связаны соотношением eiEzi = s2Ez2.
Рис. 3.5. Применение граничных условий на границе двух диэлектриков
а — две диэлектрические пластины; б — диэлектрический шар
62
Рис. 3.6. Граничные условия на поверхности металлического цилиндра (провода)
«— на идеальном проводнике есть только £„; б — иа реальном проводнике есть Е„ и £_; U — разность потенциалов в проводнике, возникающая из-за наличия £т
Пример 3.7. Граничные условия для векторов электрического поля на поверхности заряженного диэлектрического шара (рис. 3.5 6). Используя (3.27), запишем, что при г=а радиальные составляющие вектора поля D на границе двух сред равны £>и=£>г2|г=а, или etEri = е2Ег2|г=а.
Пример 3.8. Простейшее электромагнитное поле и граничные условия. Рассмотренные в примере 3.3 поля не ограничены никакими поверхностями, так как составляющие поля простираются из «минус» в «плюс» бесконечность. Поэтому граничных условий нет.
Пример 3.9. Граничные условия на реальном проводнике. Так как идеальных проводников не существует, то на поверхности реального проводника (любого металла) электрическое поле имеет и тангенциальную Ех и нормальную составляющие Еп. Вследствие этого линии поля Е подходят к проводнику не под прямым углом (рис. 3.6). Всегда Ех<^Еп, и поэтому принято считать,, что £,«О, кроме тех случаев, когда рассматриваются задачи о потерях энергии на металлических поверхностях.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
3.1. Опишите принципы получения дифференциальных уравнений электродинамики. Какие математические операции применяются?
32.	Расскажите о физической сущности уравнений Максвелла
3.3.	В чем отличие и сходство уравнений электродинамики в интегральной и дифференциальной формах?
63
3.4.	Напншите уравнения Максвелла в проекциях.
3.5.	Расскажите о свойствах уравнений Максвелла.
3.6.	Опишите частные случаи уравнений Максвелла.
3.7.	Что такое метод комплексных амплитуд и зачем он применяется в электродинамике?
3.8.	Напишите наиболее простой вид временной зависимости полей, токов и зарядов и объясните процесс изменения вектора во времени.
3.9.	Представьте полную и сокращенную формы записи векторов поля в комплексных амплитудах.
3.10.	Напишите первую и вторую производные любой величины, записанной в комплексных амплитудах.
3.1,	1. Напишите уравнения Максвелла в комплексных амплитудах. Объясните в чем их отличие от обычной записи.
3.12.	Объясните смысл введения комплексной диэлектрической проницаемости.
3.13.	Рассмотрите уравнения (3.21).. .(3.24) и объясните, почему из четырех векторных уравнений Максвелла образуется восемь скалярных уравнений.
3.14.	Почему возникают произвольные постоянные при решениях уравнений Максвелла?
3.15.	Что такое граничные условия и для каких целей они применяются?
3.16.	Как можно представить векторы поля на границе двух сред?
3.17.	Почему нельзя применять уравнения Максвелла для определения граничных условий?
3.18.	Накладываются ли какие-нибудь ограничения на свойства сред при определении граничных условий? Расскажите о математическом принципе исследования граничных условий.
3.19.	Перечислите граничные условия для тангенциальных и нормальных составляющих полей. Укажите иа частные случаи.
3.20.	Каковы граничные условия на поверхности идеального проводника? В чем особенности граничных условий на поверхности реального проводника?
3.21.	Расскажите о поверхностном токе. Какая единица измерения плотности поверхности тока?
УПРАЖНЕНИЯ
3.1.	Определите поля Е и Н в углах внутри металлической трубы прямоугольного сечения (рис. 3.4).
Ответ: Et—0, Ех = 0, Ев=0, Нх = 0, Hv — 0, Нг может существовать, но эта одна составляющая ие определяет никакого реального поля внутри трубы.
64
3.2.	Определите составляющие полей Е и Н на внутренней поверхности металлической трубы кругового сечения.
Ответ: £г¥=0. Е1==0. Е^ — 0. Н,—0. Д?=#0. Н,#=0.
3.3.	Напишите граничные условия на левой и правой металлических пластинах конденсатора (рис. 3.5). Поверхностная плотность заряда рПо».
Ответ: О», —pnOB. D„,2——рг,о.: знаки у рПо. зависят от вида заряда.
3.4.	Напишите граничные условия на внутреннем н внешнем проводниках коаксиальной линии (рис. 2.8).
Ответ: £г=#=0. Е,=0. £t=0. Wr=0, Н^О, Н,=^0.
ДОПОЛНЕНИЕ. КОМПЛЕКСНАЯ МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ
ДВОЙСТВЕННОСТЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Комплексная магнитная проницаемость. Если в среде имеются потерн ия перемагничивание, то аналогично введению комплексной диэлектрической проницаемости е. (с.м. разд. 3.4) абсолютную магнитную проницаемость можно представить в виде комплексной величины
р.=М.'+/|1."
н записать второе уравнение Максвелла в комплексных амплитудах
rot Ё=—/шц.Н.
(3.43)
Перестановочная двойственность уравнений Максвелла. Рассмотрим первое и второе уравнения Максвелла в комплексных амплитудах, учтя комплексность ц, (см. (3.43)):
rot Н=/(|)в.Ё. rot Ё=—/о)р,Н.
(3.44)
Если в уравнениях (3.44) сделать замену Е на И. е, на —р, или Н на Е. у, на —еа. то уравнения формально переходят одно в другое. Эта особенность уравнений Максвелла позволяет упростить решения некоторых задач.
5—79
65
4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
4.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Опытным путем доказано, что электромагнитное поле, как материальная среда, является носителем энергии. Следовательно, в поле должен соблюдаться закон сохранения энергии как в конечном объеме пространства, так и в каждой его точке. Смысл закона сохранения энергии для электромагнитного поля в конечном объеме заключается в том, что должен соблюдаться баланс между притекающей в этот объем и выходящей из объема энергией. В балансе необходимо учитывать энергию, расходующуюся в веществе этого объема на необратимые тепловые потери.
Электромагнитное поле возбуждается каким-либо источником неэлектромагнитного происхождения, а энергия поля может отбираться поглощающим устройством. Энергия источника или поглотителя должна учитываться в балансе энергии электромагнитного поля.
Математическая сущность уравнения баланса энергии или мощности поля состоит в таком преобразовании уравнений Максвелла, при котором получается уравнение, содержащее произведения величин полей или квадраты значений одного из полей или произведения плотности тока на электрическое поле. Полученные уравнения должны содержать характеристики источников или поглотителей энергии электромагнитного поля.
4.2.	БАЛАНС ЭНЕРГИИ ДЛЯ .МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ПОЛЯ. ВЕКТОР ПОИНТИНГА (У)
Рассмотрим энергетические соотношения в электромагнитном поле, имея в виду выражения для плотностей энергий электрического и магнитного полей соответственно:
te>3=ED/2, к>м=НВ/2.
Умножим обе части первого уравнения Максвелла (3.1) скалярно на вектор Е, т. е.
ErotH =xJE-f-—Е,
dt
66
а члены второго уравнения (3.4) на Н, т. е.
HrotE = —— Н. dt
Вычтем из левой и правой частей второго полученного уравнения соответствующие части первого
HrotE — ErotH = — — Н— JE — — Е. dt	dt
Левая часть последнего уравнения равна дивергенции векторного произведения [ЕН], а в правой части заменим производные от функции на производные от квадрата функции
dB н	dH Н , На а нн 7 Ра дН* __ д ВН
dt	dt ” 2 dt = 2 dt dt 2
В результате получим дифференциальное уравнение баланса энергии поля в точке или дифференциальную теорему Пойнтинга
div[EH]= —JE —	(4.1)
Проанализируем соотношение (4.1). Левая часть (4.1) указывает на наличие источника или стока вектора [ЕН] в точке. Первое слагаемое в правой части соответствует плотности мощности потерь поля на тепло, так как JE==oEE = = оЕ2, а второе — определяет изменение плотности энергии поля и»=а>э+и1м во времени. Тепловые потери мощности оЕ2 необратимы, и поэтому первое слагаемое правой части всегда имеет отрицательный знак. Изменение энергии во времени может быть и положительным и отрицательным.
Если —оЕ2—— <0, то div[EH]<0 и имеет место сток dt
вектора [ЕН] в точку, т. е. в точке энергия идет на покрытие потерь и возрастает по величине (энергия «втекает» в точку). Энергия может вытекать из точки (уменьшаться в точке), но потери энергии на тепло могут быть больше, чем ее уменьшение, и неравенство сохранится в виде —оЕ2+-^ <0.
При —оЕ2—— >0 энергия в точке уменьшается, тогда dt
div [ЕН]>0, и в точке имеется избыток энергии, а вектор [ЕН] имеет в точке источник.
б*
67
Введем новый вектор П, называемый вектором Пойнтинга
П=[ЕН],
единица измерения которого (Вольт/метр) X (Ампер/метр) — Вт/м2 показывает, что вектор П определяет плотность потока мощности поля. Проинтегрировав (4.1) по некоторому объему V, получим уравнение баланса энергии поля в объеме
Jdivn<U/ = —Jo£adV—J-y dV. V	V	V
Так как объем V ограничен поверхностью S, то согласно теореме Остроградского—Гаусса (см. приложение П.З) имеем
'^Hds = — РП0Т—(4.2) s
где интеграл в левой части есть поток вектора П через поверхность S, Рпот—aE2dV — мощность потерь электромаг-
нитной энергии в объеме V; W — изменяющаяся во времени полная энергия поля в объеме У.
Уравнение (4.2) описывает баланс энергии поля в объеме (рис. 4.1) и называется интегральной теоремой Пойнтинга.
Если правая часть (4.2) положительна, т. е. -—Лют->0
Рис. 4.1. Иллюстрация интегральной теоремы Пойнтинга а — излучение энергии; б — поглощение и накопление энергии
68
UW	I n I low I
с условием —— <0 и Рпот <-----------, то имеет место изл\-
ot	( dt 1
чение электромагнитной энергии из объема (рис. 4.1 а). Если _ ^nz
же правая часть отрицательна, т. е. —Р11ОТ— — <0, то происходит поглощение и накопление энергии в объеме (рис. 4.1 б).
Отметим, что в уравнении (4.2) еще нет источников электромагнитной энергии, их введем далее.
4.3.	БАЛАНС ЭНЕРГИИ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ
АМПЛИТУД ПОЛЯ (С)
Запишем векторное произведение полей [ЕН] в тригоно метрической форме
[Е cos(w/4-<pi) Н cos (о^+фг)] =
— '/2[ЕН] [cos (ф|—фг) 4-cos(2<о1’4-ф|Н-ф2)]
Правая часть полученного выражения может быть представлена в виде
>/2 Re[EH] + '/. Re[EH]e^“'
и является суммой активной и колеблющейся плотностей мощности. Звездочкой отмечена комплексно сопряженная ве личина.
Пояснение 4.3.1. Формулы из пояснения 3.4.1 применимы и для векторных функций с произвольными начальными фазами составляющих векторов, т е. можно записать, что
Е=1/2(Ёе'“'+Е*е->“<), H = l/2(HeJ"'+He->“')
Тогда, подставлйя эти соотношения в векторное произведение (ЕН] . получим последнюю формулу.
Будем далее считать, что активная часть вектора Пойнтинга
n = */2Re[EH],	(4.3)
а колеблющаяся
nK=»/2Re[EH]e>2“».
69
Интегральную теорему Пойнтинга в комплексных амплитудах для активной части вектора Пойнтинга запишем в виде
(fnds = —Рпот.	(4.4)
s
Важно отметить, что в среднем за период колебаний энергия поля идет на компенсацию потерь в среде, т. е на джоулево тепло. Здесь вектор П направлен внутрь объема V, ограниченного поверхностью S. Если записать соотношение, подобное (4.4), для полного вектора Пойнтинга (с его активной и колеблющейся частями), то колеблющаяся энергия поля будет при усреднении за период равна нулю и аналогична реактивной энергии в электрических цепях.
4.4.	УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА С ИСТОЧНИКАМИ электромагнитной энергии.
сторонние ТОКИ И ПОЛЯ (У)
Электромагнитное поле в каком-либо объеме среды образуется источниками энергии, которые считаются не связанными с полями и токами в данном объеме. В общем случае в объеме .могут быть не только источники энергии, но и ее поглотители.
Источники и поглотители электромагнитной энергии математически записываются в виде электрических и магнитных полей, токов проводимости и смещения, электрических зарядов, вид которых, т. е. зависимости от координат, выявляется только лишь в конкретных задачах. Называются эти источники и поглотители общим термином «сторонние токи и поля», а также «сторонние силы».
Необходимо напомнить, что физическая сущность обмена энергией между электромагнитным полем и сторонним током или полем состоит в взаимодействии поля со свободными зарядами в проводниках или с конвекционным током (см. разд. 1.5).
Примеры некоторых сторонних токов и полей приведены на рис 4.2 и имеют вид тока проводимости в проводе — антенна радиопередатчика как источник электромагнитных волн и антенна радиоприемника как поглотитель электромагнитной энергии (рис. 4.2о), магнитного потока в витке провода с током — рамочная антенна как источник или поглотитель электромагнитных волн (рис. 4.26), магнитного поля, образованного током смещения щели в металлической поверхно-
70
Рис. 4.2. Сторонние токи и поля в виде
а — тока проводимости; б, в — магнитного поля; г — электронного потока
сти — щелевая антенна (рис. 4.2в), конвекционного тока в виде электронного пучка, возбуждающего электромагнитное поле или поглощающего энергию поля (рис. 4.2г).
В уравнениях Максвелла со сторонними токами и полями вид сторонних токов н полей не раскрывается и вводятся лишь обозначения; JCT.3 — вектор плотности стороннего электрического тока (или стороннего электрического поля) и Jct.m — вектор стороннего магнитного поля, называемый часто вектором плотности стороннего магнитного тока, хотя, как известно, магнитных токов (и магнитных зарядов) в природе не имеется. С этими обозначениями уравнения (3.20) примут вид уравнений Максвелла со сторонними токами и полями:
rot H=/<DeaE4-jcT.3, div Ё=р/Еа.
(45)
rot Ё==—/ЫЦаН—Jct.m, divH = 0.
Часто уравнения (4.5) называют просто уравнениями Максвелла со сторонними токами, не указывая на то, что Jct.m есть по сути стороннее магнитное поле.
71
В частных случаях может быть или jCTB=0, или jCTH=0.
Имеем в виду, что JtT.3 = Re JCT.3 е>', JCTM=Re JCt.m eJ“'.
4.5.	БАЛАНС ЭНЕРГИИ СО СТОРОННИМИ
ТОКАМИ И ПОЛЯМИ (С)
Запишем без выводов теорему Пойнтинга (см. уравнение (4.2)) со сторонними токами и полями как
3W
пот dt
где Р1Т — обобщенная мощность сторонних токов или полей, положительная в случае излучающих токов или полей и отрицательная, если сторонние токи или поля поглощают энергию исследуемого поля.
В комплексных амплитудах теорема Пойнтинга для активной мощности будет иметь вид (рис. 4.3)
J Hds = - Р„ог ± Р„,
S
(4.6)
где П = '/2 Re[EH].
Рис. 4.3. Интегральная теорема Пойнтинга в комплексных амплитудах со сторонними токами
а — излучение (Рст>0): б — поглощение (Рс,<0) энергии
72
4.6.	СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ (С)
Выделим некоторый объем V (рис. 4.4). в котором движется электромагнитная энергия. Через боковые стенки энергия не распространяется, т. е. нормальные составляющие вектора Пойнтинга на боковых стенках равны нулю.
Если энергия AIV проходит вдоль объема расстояние А/ за время А/, то скорость ее движения равна
.. А/ ~ 1)П1---
д/-*о А/
Количество энергии AIV' в
Рис. 4.4. Определение скорости распространения электромагнитной энергии
объеме определяется как
ДГ = AZ J uris, s
где w— объемная плотность электромагнитной энергии, S — площадь, через которую протекает энергия. Правую часть последней формулы упрощенно запишем в виде MwS=Vw (рис. 4.4). Кроме того, энергию А№ можно выразить так:
AIT =AZ f nds, s
где f nds=P — мощность, протекающая через площадку S.
Тогда ДЦ7—д/р.
Приравнивая полученные выражения для AVT, имеем
— Нт дт—о
А/
Г nds s
J S
Если по площади S вектор Пойнтинга П и векторы Е и Н не изменяются, то
уэ=П/ьу.
(4.7)
73
4.7.	УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ТОКА.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА (У)
Если к первому уравнению Максвелла (3.1) применить операцию дивергенции
div rot Н = div J -J- div
dt
то вследствие того, что дивергенция ротора тождественно равна нулю (см. приложение П.4), получим уравнение непрерывности тока
div(J-f-JCM) =0,
так как JCM=<5D/dL Равенство нулю дивергенции какого-либо вектора означает, что линии этого вектора неразрывны. На этом основании линии вектора J-|-Jcm непрерывны, т. е. линии вектора плотности тока проводимости J переходят в линии вектора плотности тока смещения JCM. Уравнение непрерывности тока может быть записано в виде закона сохранения заряда
div J = — —(4.8) dt	'	'
так как согласно третьему уравнению Максвелла (см. (3.7)) divD = p. Последнее уравнение показывает, что в любой точке, где есть переменный во времени элементарный заряд, возникает элементарный ток.
Закон сохранения заряда в интегральной форме является математическим выражением физического определения тока. Проинтегрируем обе части уравнения (4.8) по объему V
J div JdV = г
левый интеграл по объему заменим по теореме Остроградского—Гаусса (см. приложение П.З) интегралом по поверхности S, охватывающей объем V,
S	V
Левая часть полученного уравнения содержит ток 7, втекающий или вытекающий через поверхность S, правая — характеризует изменение полного заряда Q во времени /==—
74
Таким образом последнее уравнение есть математическая запись определения электрического тока как результата изменения количества электричества (т. е. заряда) во времени.
4.8.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 4 (С)
Пример 4.1. Вектор Пойнтинга электромагнитного поля, движущегося в металлической трубе прямоугольного сечения (рис. 4.5). Пусть в трубе распространяется вдоль оси z электромагнитная волна, несущая электромагнитную энергию. Подобная труба называется волноводом и будет подробно исследована в гл. 10. Вектор Пойнтинга определяется на внутренней поверхности трубы и на поверхности левого и правого открытых концов трубы. Для поверхности левого сечения трубы формулу (4.3) следует записать в виде (знаки векторов можно опустить)
Дг — 4" '/г Re ДпоперДпопер,
где ЕПопер=1'Дх2+Др2 и ДПопер=УДх2+Д1/2 — поперечные составляющие векторов Е и Н, плюс показывает, что вектор n = /7zlz направлен из объема.
Поток вектора Пойнтинга через это же сечение трубы будет равен
Р. = + f П, ds = + J f dx dy.	(4.9)
S	0 0
Рис. 4.5. Электродинамическая система в виде волновода — металлической трубы прямоугольного сечения (стенки трубы заштрихованы)
75
Такие формулы для вектора Пойнтинга и потока мощности следует записать и для правого сечения трубы. Однако знак Пг должен быть отрицательный: вектор П=/721г направлен внутрь объема. На внутренней поверхности трубы вектор Пойнтинга запишется как Пвн.пов= 7г Re[£t//t], и во всех точках равен нулю. Это соответствует граничному условию: тангенциальная составляющая вектора Е на идеальном проводнике равна нулю (см. (3.26)). Такой же вывод можно сделать, исходя из физических соображений отсутствия полей в металле стенок трубы, если идеальным проводником считать металл. Поэтому полагается, что из внутренней части трубы электромагнитная энергия в ее стенки не поступает.
В действительности, реальный металл имеет конечную проводимость о, поэтому £,=#-0 и Пвн.повт^О. Следовательно, существует поток электромагнитной энергии, направленный в стенки волновода и определяющий потери электромагнитной энергии в волноводе.
Легко видеть, что мощность потерь в стенках равна Рпот = — Рп—Рл, где Рл определяется (4.9), а Рп — поток мощности в правом конце трубы.
Пример 4.2. Электрическая цепь, состоящая из источника и потребителя (рис. 4.6). Вектор Пойнтинга в любой точке пространства вокруг проводов будет направлен от источника к потребителю и описывает поток мощности, текущий от генератора в нагрузку.
Пример 4.3. Вектор Пойнтинга и поток мощности постоянного тока в коаксиальной линии. Обращаясь к примерам 2.2,
Вид в сечении А-А
Рис. 4.6. Вектор Пойнтинга для электрической цепи (направлен в любой точке пространства от источника Г к потребителю R)
П — провод, соединяющий генератор Г и нагрузку R; точки пространства 1 и 2 — произвольные
76
2.4 и рис. 2.5, видим, что составляющие поля в линии описываются формулами
Ег =---------, Нч = 1!2пг.
г In (6/a)	’	'
Вектор Пойнтинга направлен по координате г и вычисляется как
/7, = ErHv =
Ul 2nr* In (b/o)
(4.10)
Поток мощности внутри коаксиальной линии определяется как
Ь 2п
Р " J П, ds — J j nt rdr d<f>, S	at
где элемент поверхности в поперечной плоскости ds = rdrd<f (в полярной системе координат). Далее
ь
Р = - UIQn— [ — = ——— 1П (Ыа) = UL	(4.11)
2л In (b/a) Jr In (6/e) a
Пример 4.4. Вектор Пойнтинга в статических полях (рис.
4.7). Составим выражение для вектора Пойнтинга П = [ЕН].
Рис. 4.7. Вектор Пойнтинга в статических полях заряженного конденсатора н постоянного магнита
Рис. 4.8. Непрерывность линий тока на границе металлическая пластина—диэлектрик (соблюдается соотношение div(J-|-Jc) =0
77
Так как поля статические, их энергия во времени постоянна. Поэтому, хотя вектор Пойнтинга формально и можно записать. но ввиду того, что изменения энергии поля нет, вектор П не отражает никакого движения энергии.
Пример 4.5. Непрерывность линий тока. Иллюстрацией к уравнению 4.8 служит рис. 4.8. Здесь ток проводимости на поверхности металлической пластины конденсатора переходит в ток смещения между пластинами.
Пример 4.6. Изменение распределения зарядов в проводящих средах. В средах с некоторой проводимостью не может существовать сконцентрированный в каких-либо точках объемный заряд. Рассмотрим, как изменится распределение зарядов в таких средах. Используем уравнение сохранения заряда (см. разд. 4.7), в котором раскроем значение плотности тока J = oE (см. (1.8))
divoE = ^2-или odivE= ио divE=p/e. представляет собой уравнение Максвелла (см. (3.8)). Тогда получим дифференциальное уравнение для изменяющейся во времени объемной плотности заряда
(о/е.)р=—^-.или <?р/р=—(o/ea)dt dt
Решим это уравнение как
1п р=—(o/eaH+const! или p==const2
Постоянная const2 определяется при /=0, когда р=ро. Окончательно имеем формулу
р=рое-(<’/’.,,>
показывающую, как убывает плотность заряда в произвольной точке проводящей среды со временем.
Так, в стекле, у которого о=10~12 См/м, е=4, плотность зарядов уменьшится до 1% за 164 с, а у воды (о=0,1 См/м, е = 81) за 3,3 -10-8 с.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1.	Объясните смысл закона сохранения энергии в объеме и точке, где имеются электромагнитные поля.
4.2.	Каков принцип математического построения уравнения баланса мощности из уравнений Максвелла?
78
4.3.	Что описывает вектор Пойнтинга и в каких единицах он измеряется? Что показывает направление вектора Пойнтинга? Каков физический смысл потока вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность?
4.4.	Объясните интегральную и дифференциальную теоремы Пойнтинга. Каков физический смысл положительного или отрицательного потока вектора Пойнтинга?
4.5.	Напишите и объясните формулу активной части вектора Пойн-тинга для векторов поля в комплексных амплитудах. Почему исчезло слагаемое dWIdt при переходе от уравнения (4.2) к (4.4)?
4.6.	Расскажите о сторонних токах, приведите примеры.
4.7.	Напишите уравнения Максвелла со сторонними токами.
4.8.	Напишите и объясните смысл теоремы Пойнтинга для комплексных амплитуд поля со сторонними токами.
4.9.	Расскажите о законе сохранения заряда и об уравнении непрерывности тока.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1.	Напишите вектор Пойнтинга для простейшего поля, рассмотренного в примере 3.3
Ответ: П; = '/2Re E*HV.
4.2.	Рассмотрев пример 4.1, можно сказать, что из всего потока мощности Р, входящего в волновод (рис. 4.2). часть расходуется иа тепловые потери в стейках. Этот процесс можно записать в виде уравнения
где z— направление движения энергии поля; а — коэффициент, показывающий какая часть мощности Р теряется в стейках волновода. Решите приведенное уравнение и определите постоянную интегрирования.
Ответ: Р=Рое~а‘, где Ро — поток мощности при z — 0.
ДОПОЛНЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
И ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА СО СТОРОННИМИ
КОНВЕКЦИОННЫМИ ТОКАМИ
Уравнения Максвелла со сторонними конвекционными токами. Пусть конвекционный ток с плотностью JK = pv (см. пример 1.2) существует в виде направленного потока электронов, движущихся в вакууме только по осн г. Тогда первое и второе уравнение Максвелла со сторонними токами (4.5) запишутся следующим образом:
79
rot H=/o>e0E-|-pv,
(4.12) rot E=—/о>ц0Н,
где плотность стороннего тока JCT, представлена в виде pv. Пусть поток электронов имеет вид бесконечного цилиндра.
Так как ¥=0,1,. го задача симметрична относительно осн г. Записав уравнения (4.12) в цилиндрической системе координат (см. приложение П. I), получаем (обычно плотность конвекционного тока pv значительно больше плотности тока смешения <ое0Е)
г -дг
дЁг дЁг \	
(4.13)
Уравнения (4.13) показывают, что, если сторонний ток с плотностью ре, изменяется во времени, то вокруг тока возникают концентрические замкнутые линии магнитного поля Я,, так же изменяющегося во времени. Магнитное поле Й9 создает при этом замкнутые линии электрического поля с составляющими Ёг и Ё,. Вектор Пойнтинга П образуется из Ё, и Й9. Если конвекционный ток постоянен во времени, то Й9 тоже нс изменяется со временем. Так как при этом частота ы равна нулю во вторых уравнениях систем (4.12) и (4.13). то электрическое поле не возникает.
Свободные электроны подвергаются воздействиям полей согласно уравнению движения (1.25). Потому в уравнениях (4.12) и (4.13) плотность зарядов р и их скорость иг зависят от полей £,. Ёг и Й9. Исследование таких полей и их связей с уравнением движения получается весьма сложным и составляет предмет саерхвысокочастотной (СВЧ) электроники.
Теорема Пойнтинга со сторонними конвекционными токами. Обратимся к разделу 4.2, предусмотрим, что поля и токн существуют в вакууме, и введем во все уравнения вместо плотности тока проводимости J = oE плотность конвекционного тока JK = pv (см. пример 1.2). Тогда уравнение (4.1) запишется в виде
div|EHJ=-JK
РЕ \
2 /
или, вводя вектор Пойнтинга и плотность электромагнитной энергии:
div П=—JKE—•
80
Нз примера 1.4 следует, что изменение плотности кинетической энергии заряда	будет _1	= J«E, поэтому уравнение баланса мошно-
V At
сти поля в точке в присутствии конвекционных токов можно записать так:
dw
div П4------ =
dt
1 dlF* t
V At
Это уравнение описывает пропесс обмена энергией между полем и движущимися зарядами (см. разд. 1.5)
5. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
5.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Важнейшее свойство уравнений Максвелла (см. разд. 3.3), заключающееся в том, что изменение одного толя во времени вызывает изменение другого поля по координатам, и тоже изменяющегося во времени, позволяет предположить, что в пространстве существует движение полей (рис. 5.1).
Математическое преобразование уравнений Максвелла показывает, что изменяющиеся во времени электромагнитные поля образуют волновой процесс. Это преобразование состоит в переходе от дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Максвелла) к дифференциальным уравнениям второго порядка, содержащим вторые производные по координатам и времени. Такие уравнения, называющиеся волновыми (см. приложение П.5), описывают электромагнитные волны.
Рис. 5.1. Образование движения электромагнитного поля в пространстве г — направление движения
6—79	81
Физическое явление распространения электромагнитных колебаний в пространстве или в части пространства, сопровождающееся переносом электромагнитной энергии, называется электромагнитной волной.
Изучение электромагнитных волн проводится в двух направлениях:
исследование волн в пространстве и в какой-либо электродинамической системе без источников колебания, т. е. собственных волн в системе. Для этого используются уравнения Максвелла без сторонних полей и токов (3.2) и (3.5); ввиду практической важности эти задачи составляют содержание глав 6, 7, 9, 10 и 12;
рассмотрение процесса возбуждения волн в электродинамической системе или излучения волн в пространстве; исследования проводятся по уравнениям Максвелла со сторонними токами (4.5).
5.2.	ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛЕЙ (У)
Обратимся к первым двум уравнениям Максвелла (3.2) и (3.5) rot Н = аЕ4-еа-^-, rot Е=—ра-^-.
Применим к первому уравнению еще раз операцию взятия ротора:
rot rot Н = rot foE + еа
введем эту операцию после дифференцирования по времени и получим, представляя rot rot Н = grad div Н—V2H, где V2— операция взятия вторых производных по координатам (см. приложение П.4), a divH=0 (см. разд. 3.2)
у’Н= —a rot Е—еа	rot Е.
v	dt
В последнем уравнении заменим rot Е на его значение из второго уравнения Максвелла (3.5) и окончательно имеем
V’H — ар.а—----еа ——— == 0.	(5.1)
Ot	Ui*
Это есть волновое уравнение для вектора Н, так как в нем содержатся вторые производные по координатам — первый член V2H и вторая производная по времени (см. приложение
82
П.5). Второй член в левой части уравнения определяет уменьшение величины поля со временем.
Проделав подобную операцию со вторым уравнением Максвелла, получим такое же волновое уравнение для вектора Е:
V2E — он. -37- —еа !*• 4^- = grad div Е,	(5.2)
ut	О?
где grad div Е= — grad div еаЕ= — grad р (см. разд. 3.2).
Если проводимость среды о равна нулю и в среде зарядов нет, т. е. р=0, то волновые уравнения упрощаются и принимают вид
V,H-Bat*a-^r=0.	(5.3)
V’E-Bal*a-^=0.	(5.4)
Волновые уравнения (5.1).. (5.4) составляют фундаментальный вывод теории электромагнетизма Максвелла: изменение во времени электрических и магнитных полей приводит к возникновению волнового процесса, волнового движения или волны электромагнитного поля. При этом осуществляется перенос энергии поля в пространстве. Движение поля называется также распространением волны.
Решения волновых уравнений представляются в периодических функциях расстояния и времени. Если поля изменяются по синусоидальному закону во времени, то распространение волны, например, по радиусу г (рис. 5.1) описывается косинусоидальной (или синусоидальной) функцией двух переменных г и /, т. е.
Е, Н со cos(b)/—yr), где (D=2nf, f—частота колебаний поля, у — постоянная, характеризующая распространение волны.
5.3.	ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНЫХ
АМПЛИТУДАХ (С)
Применив к уравнениям (3.20 а) и (3.20 6) такие же математические операции, как приведенные в разделе 5.2 и, полагая р=0, получим волновые уравнения в комплексных
6*
83
амплитудах или волновые уравнения для электромагнитных полей с одной частотой колебаний поля (для так называемых монохроматических полей)
V2H+<i)2eapaH=0,	(5.5)
V2E-|-(o2eapaE=0,	(5.6)
где величины еа—еа—jo/ы (см. (3.19)) и ра характеризуют среду, в которой распространяются волны. Уравнения (5.5) и (5.6) относятся к уравнениям типа Гельмгольца. Эти уравнения не содержат переменной I, что разумеется упрощает решение задач.
Уравнения (5.5) и (5.6) можно получить из волновых уравнений (5.1) и (5.2), используя соотношения (3.15)... ...(3.17).
Пояснение (5.3.1). Уравнения (5.5), (5.6), как и любые векторные уравнения, непосредственно использовать нельзя. Записав (5.5), (5.6) в проекциях (см., например, разд. 3.4, уравнения (3.21).. .(3.24)) можно по лучить шесть скалярных уравнений, которые и используются для решения задач
При изучении волн, распространяющихся в каких-либо частях пространства, необходимо выяснить какие системы координат следует применять в практических задачах. Для этого целесообразно обратиться к задачам возбуждения или излучения волн (к уравнениям Максвелла со сторонними токами (4.5)), и, рассмотрев виды токов, применяемых иа практике, определить систему координат, в которой целесообразно исследовать волну.
5.4.	ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СТОРОННИМИ ТОКАМИ И ПОЛЯМИ. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (У)
Применив операцию взятия ротора к первому и второму уравнениям Максвелла со сторонними токами в комплексных амплитудах (см. (4.5))
rot Н=/(1>еаЁ-Ь^ст.э и rot Ё=—/шцвН—JC1M	(5.7)
получим дифференциальные уравнения второго порядка
rot rot Н = /(08а rot Ё-J-Tot Jct.s И
rot rot Ё = —/(I)ga rot Н—rot Jei.M-	(5.8)
84
Рис. 5.2. Разрыв функции плотности тока J в пространстве
участки аб и вг — J—О; точки б и в — скачки плотности тока, участок бв — .1—const
Поступая так же, как и в разд. 5.2, придем к уравнениям (5.5) и (5.6), но с правой частью. Однако уравнения (5.8) имеют существенный недостаток, который заключается в том, что в правой части уравнений к функции сторонних токов применяется операция ротора. В ряде случаев сторонние токи изменяются скач
ком в пространстве (например,
ток в проводе (рис. 5.2) и т. п.), и взятие ротора, т. е. диф-
ференцирования по координатам, приводит к появлению в правых частях уравнений (5.8) бесконечностей, значительно
усложняющих их решение.
Во избежание указанных трудностей — взятия ротора в правых частях уравнений (5.8), введем новые функции, заменяющие векторы магнитного и электрического полей:
Н -= —— rot Аэ и Ё =----------4- rot Ам,
На	еа
(5.9)
которые называются электрическим Аэ и магнитным Ам векторными потенциалами.
Тогда уравнения Максвелла (5.7) принимают вид
rot rot Аэ—/(ОеараЁ = PaJcT.3 И Tot TOt Ам—/юСаЦаН — EaJcT.M. '
(5.10)
Для упрощения уравнений (5.10) вводятся дополнительные связи векторных потенциалов Аэ и Ам с полями Е и Н.
Рассмотрим такую связь на примере, когда JCT.M=0. Выражая во втором уравнении (5.7) значение поля Н через Аэ, получим:
rot Ё=—/corotAs или rot (Ё4-/ь)Аэ) =0.
85
Так как ротор градиента всегда равен нулю, то можно ввести новую потенциальную функцию 1/3, называемую электродинамическим скалярным потенциалом.
Ё4-/<оАэ=—grad 0э.	(5.11)
Подставив (5.11) в (5.10), получим
Tot rot Ад — /<0Еара grad (7э-Г'Г028араАэ*~Ца^ст.э*
Так как операция взятия двойного ротора от вектора равна (см. приложение П.4) rot rot А3=grad div Аэ—V2A3, то последнее уравнение примет вид
^^Аэ-Т-ОЗ^ваЦаАэ — /'СОваЦа grad s-j-gfad div Аэ-|Ла«1сг.э-
Объединим два первых слагаемых в правой части. Так как потенциалы А, и U3 вводились без связи между собой, то можно положить, что
grad(/wea|iar3+div Аэ) =0.	(5.12)
Математическая операция, соответствующая уравнению (5.12), называется калибровкой потенциалов Аэ и
Пояснение 5.4.1. Векторный потенциал Аэ был введен только через значение его ротора (см. (5.9)). Но вектор и векторное поле определены полностью тогда, когда известны не только ротор вектора, но и его дивергенция. Калибровка в виде (5.12) и доопределяет вектор Аэ через дивергенцию divA,=—1ые.ацаи, и поэтому правомочна и, более того, необходима.
Окончательно получаем уравнение для векторного потенциала
Х72Аэ4-Г1>2еарг Аэ=—ЦаЛт.э,	(5.13)
которое называется векторным неоднородным уравнением Гельмгольца. Решив уравнение (5.13) для А», поле Н определяем по первой формуле из (5.9), а поле Ё из уравнений (5.11) и (5.12):
Ё =» —J----(grad div А, + со*Га ра А).	(5.14)
/шеа Ря
Поле Ё также можно определить через поле Н из первого уравнения Максвелла в комплексных амплитудах (3.20 а) как
Ё = —rot Н “ —----------rot rot Аэ.	(5.15)
/<оеа	f®ea
86
При возбуждении полей магнитными сторонними полями, в нашей записи токами JCT.M, введя магнитный векторный потенциал Ам (см. (5.9)), проделав математические преобразования, аналогичные приведенным выше, получим неоднородное уравнение Гельмгольца для Ам в виде
V2AM + (O2paeaAM==—CaJcT.M.	(5.16)
Поле Е определим по второй формуле из (5.9), а поле Н по формуле
Н = —з-----(grad div Аы4-ш»Гара Au)	(5.17)
/<оеа Ра
или из второго уравнения Максвелла в комплексных амплитудах (3.20 6)
Н  —-----rot rot А„.	(5.18)
/®еа ма
Уравнения (5.13) и (5.16) имеют следующие преимущества пер.ед уравнениями (5.8):
сторонние токи и поля JC1.3 и Jct.m не подвергаются операции взятия ротора, т. е. дифференцирования по координатам. Это позволяет не применять особые приемы решений при скачках токов в пространстве;
левые части уравнений являются простыми зависимостями от сторонних токов. Если, например, сторонние токи имеют только одно направление в пространстве, что наблюдается во многих случаях, то левые части уравнений упрощаются: векторные потенциалы Аэ и Ам имеют тоже одно направление;
на практике возбуждение полей одновременно сторонними токами JcT-э И Jct.m Встречается редко, Т. е. Jct.3=#=0 и Jcr.M = 0, либо Jct.s—0 и Jct.m-А0;
уравнения (5.13) и (5.16) при j ст.э —"0 И Jct.m =0 облегчают описание полей и волн в цилиндрических и сферических координатных системах. Действительно, векторные потенциалы могут иметь только одну составляющую, как бы соответствующую возбуждению полей сторонним током простой конфигурации;
в монохроматических полях использовать электродинамический потенциал не требуется: достаточно применить только векторные потенциалы Аэ или Ам (см. (5.9), (5.15), (5.18)).
87
Пояснение 5.4.1. Решения уравнений (5.13) и (5.16) приводятся в курсах математической физики; здесь же мы рассмотрим применение этих уравнений для описания волн в сферической н цилиндрической системах координат.
5.5.	ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНАХ (С)
Электромагнитные волны могут быть двух видов: волны в неограниченном или свободном пространстве и волны в электродинамических системах. Свойства волн основываются на следующих двух постулатах: источник электромагнитных волн имеет конечные размеры, и мощность источника ограничена.
Рассмотрим электромагнитную волну, которая возбуждается сторонним током, протекающим в конечном объеме (рис. 5.3). Для этого случая целесообразно применить сферическую систему координат, а волну назвать сферической. Основным свойством такой электромагнитной волны является движение энергии от сторонних токов в свободное пространство. Плотность энергии определяется вектором Пойнтинга, который направлен по радиусу г. Величина вектора Пойнтинга умень-
шается с удалением от токов координатам 0 и <р.
Jc,.3 и изменяется по угловым
Рис. 5.3. Сторонний ток в конечном объеме V. возбуждающий сферическую электромагнитную волну
Рис. 5.4. Протяженный сторонний ток в цилиндрической системе координат
88
Рис 5.5. Применение декартовой системы
координат для волн
а — сферической; б — цилиндрической
Если сторонний ток имеет бесконечную протяженность по какому-то направлению, то поле излученной этим током электромагнитной волны исследуется в цилиндрической системе координат (рис. 5 4). Такая волна называется цилинд-рической и распространяется от оси z в свободное пространство по радиусу г. Вектор Пойнтинга направлен по радиусу г, уменьшается с увеличением радиуса и может изменяться по углу <р. Существуют волны в ограниченной части пространства, например, в цилиндрической металлической трубе или в диэлектрическом цилиндрическом стержне. Здесь волна распространяется вдоль оси системы, т. е. по координате г. При этом возбуждающий сторонний ток может быть ограничен по протяженности.
Если сферическую или цилиндрическую волну рассматривать в свободном пространстве на большом расстоянии от возбуждающего стороннего тока (рис. 5.5), то возможно в приближении воспользоваться декартовой системой координат х, у, z и считать, что волна распространяется, например, вдоль оси г, совпадающей с радиусом г.
Декартову систему координат необходимо использовать при распространении волн в части пространства, ограниченной плоскостями раздела, как то: по металлической трубе прямоугольного сечения или в диэлектрической пластине.
Пояснение 5.5.1. В каждой из рассмотренных систем координат записи и решения волновых уравнении (5.1).. .(5.4) и уравнений Гельмгольца (5.5), (5.6), (5.13) и (5.16) имеют следующие особенности. Оператор взятия двойного ротора (см. разд. 5.2) (см. приложение П.4)
rot rot = grad div-—V2,	(5.19)
89
где только лишь для декартовой системы координат справедливо равенство
д2 д2 д2
' дх2 ду2 дг2
В цилиндрической и сферической системах д2	д2	д2	д2	д2	д2
Л2#:----- । --- I ---- Vs #=--------1----+-----
дг2	д<р«	дг2	dr2	dtp2	<Э02
(5.20)
(5-21)
В связи с этим, при изучении волн в цилиндрической и сферической системах координат оператор V2 необходимо определять по формуле (5.19).
Задачи излучения или возбуждения волн решаются с помощью неоднородных уравнений Гельмгольца для векторных потенциалов Аэ или Ам (5.13) и (5.16), а задачи распространения волн могут быть исследованы прямо по уравнениям для полей (5.5) и (5.6).
В некоторых случаях и в задачах распространения волн предпочтительнее пользоваться уравнениями для потенциалов (5.13) и (5.16), положив Jct.s и равными нулю.
Пояснение 5.5.2. Указанные классы задач математически описываются следующим образом. Исследования распространения волн определяются решениями однородных уравнений Гельмгольца, т. е. общими решениями уравнений. Явления излучений волн соответствуют частным решениям неоднородных уравнений Гельмгольца. Полное решение — сумма общего и частного решений
5.6.	ВОЛНЫ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (У)
Рассмотрим элементарную электромагнитную волну, которая может быть возбуждена простейшим сторонним электрическим током, направленным вдоль линии I (рис. 5.6).
Ток сосредоточен в центре сферической системы координат. Плотность тока
JcT.3 Г ст.эЪ
и не зависит от координат при зависимости от времени вида Jct.s=Лт.эт>1е-'и'. Такой ток может быть назван элементарным. Тогда из уравнения (5.13) следует, что электрический векторный потенциал в пространстве вдали от тока имеет только такую же составляющую Аэ=/11/. Орт 1/ выражается че
90
рез координаты 0 и г как (рис. 5.6)
l(=lrCOS 0—le sin 0, поэтому
Аэ=Л1гсоз0—Л1« sin 0.
(5.22)
Таким образом, Аэ имеет две составляющие Л9г= = Лсоз0 и Лэв = Л5т0, где А зависит только от радиуса. В силу симметрии зависимости от <р нет. Будем рассматривать однородное уравнение Гельмгольца (5.13), т. е. опустим вопросы возбуждения, положив Jct.3 = 0 (см. пояснение 5.5.2). Вместо V2A, -|-+ ы2еаАэ = 0 имеем (см. (5.22))
Рис. 5.6. Векторы поли простейшей сферической волны
V2G4cos01r—Я sin 01 е) +р2 (Л cos 01,— A sin 01«) =0, (5.23) где введена величина p2=w2eapa, характеризующая среду, в которой распространяется волна. Уравнение (5.23) описывает простейшую волну в сферической системе координат.
В (5.23) операция V2A3 должна быть представлена в соответствии с формулами (5.19)... (5.21) только как V2A3= = graddivA9—rot rot А9, и тогда уравнение (5.23) примет вид
grad div Л(1гсоз0—le sin в)—rot rot ЛХ
X (1г cos 0—1е sin 0) +Р2Л (lrcos0—1в sin 0) =0.
Так как в полученном векторном уравнении третье слагаемое имеет только г- и 0-составляющие, то приходим к двум скалярным уравнениям:
gradrdiv Л (lrcos9—le sin 0)—rot-rot ЛХ
X (IrCosO—1е sin 0) +р2Л cos 0 = 0,	(5.24)
91
gradediv Д (lrcos0—le sin 6)—roterot ДХ
X (lrcos0—1B sin 0)—p2A sin 0 = 0.
Здесь индексы г и 0 у ротора и градиента означают, что у этих векторов должны использоваться только г- и 0-составляющие. Используя формулы для ротора, дивергенции и градиента в сферической системе координат (см. приложения П.1, П.З), имея в виду, что <3/<5<р=О, так как изменений векторного потенциала А, по координате <р нет, из каждого уравнения системы (5.24) получим одно и то же уравнение
-('А>.	^/-4= 0,
(5.25)
решение которого имеет вид г А = С, е ^'4- С2е~ &
или
где С| и С-2 — постоянные. Область значений г=0 из рассмотрения исключается.
В методе комплексных амплитуд временной множитель ej"' опускался, поэтому введя его, получим
/ (ы/—₽г)	/(ш< + ₽г)
А-С, ---------+ С2--------
В тригонометрической записи имеем
А _	cos (tor—Рг) । cos Н+Рг)
(5-26)
(5.27)
Формула (5.27) описывает волновой процесс (см. разд. 5.2): множитель cos(<o/—₽г)/г определяет сферическую волну, которая распространяется в положительном направлении радиуса г от начала координат до r = oo, a cos(to/+₽r)/r — волну, движущуюся из бесконечности в начало координат. Вторая волна физически нереальна и не рассматривается.
92
Поэтому полагаем С4=0 и соответственно, Сг=0. Тогда запишем сферическую волну в виде
A = Ccos(<o/—рг)/г или	Д = Ce/(“,-tlr> / г,
где С — постоянная. Опуская временную часть в последней формуле, получим
Л = Се“^7 г.
Полную запись векторного потенциала Аэ с учетом (5.22) представим как
е—/₽г
А, = Д1/ = С^—— (cos 81,— sin Ole).	(5,28)
Напряженность магнитного поля Н определим из формул (5.9)
В	г	I \
Н = jC -к- sin е ---(1 — j	1 v.	(5.29)
Иа r \ (Jr /
На большом расстоянии от начала координат, когда |₽г| » 1. выражение для Н упрощается
Н = jC-5-sin 6	Sin 61	(5.30)
Ре	Г	г
где Йп,— постоянная Напряженность электрического поля Ё найдем, используя первое уравнение Максвелла (3.20а)
Ё -----rotH,
/<оеа
или на основании формул приложения П.2
•	в»	»—/₽'	. Р—/0г
Е ~ jC —------sin 0?----1„ = Ет  ----sin 61 е,	(5.31)
WEa ра
где Ёт— постоянная. Формулы (5.30), (5.31) описывают поле сферической элементарной электромагнитной волны при достаточном удалении от стороннего электрического тока простейшего вида — элементарного тока с плотностью JtT э (рис. 5.6).
93
Особенность полей Е и Н:
уменьшение величин полей с расстоянием обратно пропорционально радиусу;
зависимость полей от угла 0, при которой их величина равна нулю в направлении вектора плотности тока JCT.», т. е. вдоль орта 1/, когда угол 0 = 0 или 0=л;
поля определены с точностью до постоянной С, так как задача возбуждения не рассматривалась (постоянную С определим в гл 8) В тригонометрической форме поля, представляемые формулами (5.30) и (5.31), примут следующий вид:
cos(<of—fr)	cos(<0f-pr)
Н — Нт	—“ sin	Е — Em -	sin vIq•
Пояснение 5.6.1. Если рассматривается задача с несколькими токами и токи зависят от координат, то возбуждаемые поля имеют более сложный вид. Исследование таких полей составляет теорию антенн.
5.7.	ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (У)
Для изучения волн в цилиндрической системе координат удобно пользоваться уравнениями Гельмгольца (5.13) или (5.16). Обратимся к уравнению (5.13). Считаем, что электромагнитные поля образуются сторонним электрическим током, имеющим только одну составляющую, направленную вдоль оси г, т. е. JtT.3=/cT.slt (рис. 5.4). Тогда векторный электрический потенциал А, имеет также только одну составляющую Аэ=Л712. Оператор V2 запишем в цилиндрической системе координат (см. приложение П.4), а уравнение (5.13) рассмотрим без стороннего тока, т. е. найдем его общее решение (см. пояснение 5.5.2).
1 di , 1 d* А» , d* Ае  s л г\ /с — — (г—±	+ и 1‘яЕЛ=0-	(5.32)
г дг \ дг г* dq>’ dz*
Метод решения для уравнений, подобных (5.32), называемый методом разделения переменных Фурье, состоит в том, что искомую функцию Л2 представляем в виде произведения трех функций

94
причем R = R(r), Ф=Ф(ср) и Z=Z(z)—функции только г, <р и z соответственно. Умножая каждый член уравнения (5.32) на г2 и поделив на 7?<DZ, получим
R дг \ дг Г
1 дгФ Ф
. / 1 d2Z .	\	_
4-1----------f- со2 еа р.а г* = 0.
1 \ Z дг2 ' г )
(5.33)
Уравнение (5.33) описывает волны, распространяющиеся или вдоль координаты z или по радиусу г
Рассмотрим волну, которая распространяется вдоль оси z по закону Re еи"'“п) = cos (ы/—уг). Тогда все составляющие полей, векторный потенциал и функции будут изменяться вдоль z по такому же закону. Подставив это выражение в (5.33) и, опуская временную часть, получим:
L-Л- (г ) I 1 д2ф R дг \ дг ) Ф dy2
+ (— 72 + «>* еа На) = 0.
(5.34)
В уравнении (5.34) первое и третье слагаемые являются функциями только г, второе зависит только от ср. Поэтому переменные разделяются, и образуются два уравнения, связанные между собой постоянной разделения а:
1 дг Ф
Ф дф1
и
Г
0	/	\ 1 О О ;
г- (г— 4-g2 г2 = 4-а, dr \ dr J
(5.35)
(5.36)
где g2=co2eapa—у2 или 02—у2. Уравнения (5.35) и (5.36) описывают волны вдоль оси z в электродинамических системах.
сечение которых представляет круг
при
Если нет изменений полей по угловой координате ср, т. е. — =0 и а —0, и, если со2еара=у2, т. е. при g2=0, то дер
приходим к простейшей волне в цилиндрических системах, описываемой уравнением
г д ( dR \ n dR	.
--------Г------I — 0 или г------ = const.
R дг \, дг /	дг
(5.37)
Цилиндрическая волна, распространяющаяся по радиусу г, образуется при условии, что поля не изменяются по z Тогда из (5.33) имеем
г____д_
R дг
I д*Ф
Ф дф2
4- ы2 г. г2 = 0.
95
Здесь переменные разделяются и образуются два уравнения с постоянной разделения Ь:
1 а*Ф
Ф д<р»
— Ь, ^^(г-^') + (02еа(лаГ!гг Ь. R дг \ дг /
Если к тому же нет изменения полей по координате <р, т. е. при 6 = 0, то приходим к простейшему уравнению цилиндрической волны, распространяющейся в пространстве вдоль радиуса г
[f + to2 еа ра Rr 0. дг \ дг /
(5.38)
Цилиндрическая волна, описываемая уравнением (5.38), кратко рассмотрена в дополнении к гл. 5.
5.8.	ВОЛНЫ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (У)
Исследуя волны, будем использовать уравнения Гельмгольца непосредственно для полей Е и Н, не используя векторные потенциалы, т. е. не ориентируясь на вопросы возбуждения волн.
Обратимся к уравнениям (5.5) и (5.6) и распишем их по координатам:
V2/?.v 1 л+„4- \72Йг 1 г+р2 (Йх 1 л +
+Я(/1(/+/?гЦ)=0,	(5.39)
V2£.v IV+V2£w 1 „4- V2£21 л 4-p2 (Ёх 1 x 4-=0.
Развернув оператор ^72=д2/дх2-1-д2/ду2-\-д2/дг2. запишем (5.39) для каждой составляющей Н и Е
д*Нх дЧ1х , дЙ1х , 5s; дх2 + ду2 + дг2 1 ‘ Г‘
4.	+	+ Ж = 0
дх2	ду2	‘	дг2 1 • v
д'2Нг ।	d2Hz	j	д2Н2 t 02 и	л
d‘ i * । -L д	= 0
дх- +	ду"-	Н	дг2 +  х	1
(5.40)
96
+	-0
дх- + ду* dz* '	— u>
&Ёг д*Ё2 д*Ёг	n
где p2=(o2eapa и ea=ea—/о/ю, (см. (3 19)) описывают свойства среды, в которой изучаются поля Е и Н. Это есть скалярные уравнения Гельмгольца, описывающие волну в среде или электродинамической системе в декартовой системе координат. Уравнения Гельмгольца (5 40) самые простые из всех рассмотренных в предыдущих разделах, и поэтому находят широкое применение. Изучим их подробнее.
Пусть электромагнитная волна распространяется вдоль одной из координат; примем, что всегда для определенности это будет координата г. Тогда любая составляющая векторов Е и Н в системе уравнений (5.40) может быть представлена в виде (см. разд. 5.2)
М=М (х, у) cos (<о/—yz)
или в комплексных амплитудах
М = Re М (х, у) eiw-'z).
Опустив знак Re и множитель е'"', составляющие волны везде далее будем записывать в виде
Я=М(х,у)ег*г,	(5.41)
где комплексные амплитуды составляющих полей .1/(х, у) есть искомые неизвестные функции только поперечных координат х и у. Величина у называется постоянной распространения или коэффициентом распространения волны и так же является неизвестной, но одинаковой для всех составляющих величиной.
Решение системы уравнений (5.40) состоит в отыскании функций ЛУ(х, у) и величины у, т. е. определения полей Е и Н как функций координат х и у и особенностей движения волны по оси г.
Подставим выражение (5.41) в любое из уравнений (5.40) и получим более простой вид уравнений для каждой составляющей полей Е и Н
+ WjO __	(х> у) +7?ам(Хг у} = 0
7—79
97
или
д'М£У) + ^,y) +в'М (х. у) = О,	(5.42)
где введено g2=p2—у2- Тогда коэффициент распространения
Т = Кр2—ga = Ко2 е. pa — g\	(5.43)
Математическое решение уравнения (5.42) определяет функции М(х,у), а граничные условия позволяют определить величину g и, следовательно, у. Заметим, что при решении системы (5.40) величины амплитуд полей определить нельзя, так как в указанных уравнениях нет сторонних токов, и задача возбуждения полей не исследуется. Рассмотрим два частных, но весьма важных для практики случая.
1. Пусть комплексные амплитуды ЛУ(х, у) не зависят от х и у. Тогда производные в уравнении (5.42) равны нулю и g2=0, или (см. (5.43))
Т = р = V и>* еа ра	(5.44)
и формула (5.41) примет вид
Ate“/vz = Ме~& = Ме“' \	(5.45)
где 7ЙГ—const, a p2=<d2£apa. Формула (5.45) описывает простейшую волну в декартовой системе координат, составляющие которой не зависят от поперечных координат х и у. Уравнения Максвелла для такой волны были описаны в примере 3.3, а ее изучению посвящены примеры 5.1...5.3 и глава 6.
2. Примем, ЧТО <Т=0, Еа = £а и Р2 = Р2 = <B2Ea|1а (СМ. (3.19)). Тогда коэффициент распространения
у=У<д2Еаца--g2 = yp2-g2	(5.46)
В этом случае комплексные амплитуды Л/ — функции х и у. Таким решением пользуются для исследований волн в различных прямоугольных направляющих системах.
Покажем, что для любого из уравнений системы (5.40), записанного в виде (примем для упрощения, что Р=Р)
+	+	+	_ 0>	(5.47)
98
можно найти решение в синусоидальных и косинусоидальных функциях от переменных х, у, z. Здесь также, как в разделе 5.7, применяется метод разделения переменных или метод Фурье, т. е. искомая функция Л/ представляется как произведение трех функций, т. е.
iCf—XYZ,
причем X есть функция только х, Y — только у, Z — только z. Тогда, подставляя произведение XYZ в уравнение (5.47), получим
YZ-^- +XZ^- + XY^- + R2XYZ = 0 дх*	ду*	дг* г
или, поделив на XYZ
+_L	+_L + p- = o.
X dx* Y dy* Z дг* r
Так как функции X, Y и Z взаимно не зависимы, а их сумма равна постоянной величине 02, то каждое из трех первых слагаемых левой части последнего уравнения должно равняться произвольной постоянной. Поэтому записываем
1	I d*Y	. 1 д* Z
-------= а,--------=о,----------
X дх*	Y ду* Z дг*
что приводит к соотношению a+6-f-c-f-P2=0, в котором одна, две или три постоянных а, Ь и с должны быть меньше нуля, так как р2>0. Таким образом, получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:
^L — aX = O, ^X—bY = O, -^J- — cZ = O, (5.49) дх*	ду*	дг*
имеющих решения как в обычных, так и гиперболических синусах и косинусах. Если, например, а<0, &<0, с<0, то общее решение будет иметь следующий вид:
Kf=XYZ= (Ci sinVax-|-C2C0syax)X
X (С3 sinyfr y cosyfr у) (C5 sinyc z-f-Cecosyc z).	(5.50)
Если постоянные a>0 и fe>0, то c<0, то решения для X и У представляются в гиперболических синусоидальных и косинусоидальных функциях.
7*	99
5.9.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН (С)
Любая электромагнитная волна характеризуется: частотой колебаний поля и длиной волны; направлением движения, совпадающим с направлением переноса энергии;
видом поверхности одинаковых фаз колебаний поля — видом фронта волны;
скоростью перемещения (движения) фазы волны — фазовой скоростью;
скоростью перемещения (движения) группы волн разных частот, передающих информацию—групповой скоростью;
скоростью движения энергии;
изменением амплитуд полей вследствие ослабления поля из-за потерь электромагнитной энергии или особой конфигурации поля в цилиндрических и сферических волнах;
ориентацией в пространстве вектора напряженности электрического поля Е волны — поляризации волны.
Направление движения (переноса) электромагнитной энергии в волне в каждой точке пространства соответствует направлению вектора Пойнтинга, который перпендикулярен фронту волны.
В силу линейности сред и электродинамических систем, в которых распространяются волны, можно производить сложение отдельных волн одной и той же частоты.
Далее для описаний характеристик волн будем ориентироваться на формулу (5.41).
Постоянная распространения. Представим постоянную рас-I—=---------------------
пространения •у=У(1)2еара—g2 (см. (5.43)) в виде комплексной величины Y=±P±/a, так как комплексная проницаемость равна Еа=€а—/о/ю, см. (3.19). Тогда (5.41) запишем как
l/==.V/(x, г/)е±Оге±,Рг	(5.51)
или в мгновенных значениях, вводя величину w/ и взяв действительную часть,
М = М (х, «/)e±a*cos((o/±0z).	(5.51а)
Выражения (5.51) и (5.51а) представляют собой более полные записи формулы (5.41). Множитель е±аг описывает изменение амплитуды поля, происходящее из-за потерь электромагнитной энергии на нагрев среды. Это хорошо известные омические потери, возникающие из-за токов проводимо
100
сти в среде. Так как отсчет z ведется от нуля к положительным значениям г, то у показателя экспоненты берется знак минус, а экспонента называется множителем ослабления поля и всегда имеет вид е~аг. Коэффициент « определяет уменьшение амплитуды волны и называется коэффициентом ослабления, а сам процесс — затуханием колебаний поля. Если в среде нет токов проводимости, т. е. о=0, ea=ta, то потерь энергии волны на нагрев среды нет, н тогда а=0, е '1г=1, а у действительная величина.
Коэффициент р называется фазовым коэффициентом, так как описывает изменение фазы волны. При z2>0 запишем фазу волны как <р=<о(—pz.
Значения коэффициентов аир различны для воли в различных средах и системах и определяются для каждого конкретного случая отдельно. Исходя из сказанного, постоянная распространения у будет иметь вид
у = р—/а.	(5.52)
Итак, формулы для составляющих волны в декартовой системе координат можно представить как
Xf = Xf(x,y)e-aze*‘,-,'!>	(5.53)
или без временной час-ти
Х1 = Xf (х, у) е~аг е~^.	(5.54)
При малом значении а, когда uz<g.\, множитель e*“'ft 1 и
Xf — Xf (х, у) е-^2.	(5.55)
Фазовая скорость волны и длина волны. Рассмотрим, что представляет собой фаза волны
<р = u>t——&-zY	(5.56)
\ и /
При изменении фазы по координате z вводится понятие скорости движения фазы, т. е. фазовой скорости с'ф. Тогда в последнем уравнении необходимо записать, что t—(^l(a)z= =t—z/Цф и далее р/ю= 1/с'ф, откуда фазовый коэффициент р определяется формулой
Р==(1)/цф.	(5.57)
Длиной волны X называется расстояние между ближайшими фронтами волны, имеющими одинаковые фазы. Очевидно, что при изменении фазы на 2л расстояние должно измениться на X, т. е.
101
ы!—fiz—2л=ы/—p(z+X),	(5.58)
откуда Х=2л/р или Р=2л/Л.
Приравняв (5.57) к (5.58), получим соотношение (справедливо для волны в среде или системе)
f=u<j,/X=inv.	(5.59)
Пояснение 5.9.1. Частота колебаний волны неизменна (инварнаитна) во всех точках рассматриваемой неподвижной среды или системы и задается внешним источником волн (сторонним током).
Групповая скорость. Передача любой информации может осуществляться только сложным электромагнитным колебанием, содержащим или несколько отдельных колебаний с разными амплитудами и частотами или имеющим непрерывный спектр амплитуд и частот. Такое колебание, несущее информацию, состоит из группы волн, которая перемещается в пространстве с групповой скоростью. Колебание с одной частотой (монохроматическое колебание) информации не передает. Найдем уравнение для определения групповой скорости. Пусть имеется колебание с информацией, передаваемое волной на основной частоте <о0 с отклонениями частоты ±Д<о. Колебаний может быть несколько с разными частотами. Представим произвольную составляющую поля волны в виде (5.53) с той разницей, что и амплитуда поля волны и фазовый коэффициент зависят от частоты, т. е. будут нести информацию. Считаем, что потери электромагнитной энергии волны на тепло, выделяемое в среде, малы, т. е. az<^ 1 и
Итак, (5.53) примет вид
Л7 (ш) = Мт (ю)
где ЛУш(<о) и р(<о)—функции частоты ш. Считаем, что «= —о)о±Лы,	Разложим функцию Л/(со) в ряд Тейлора
вокруг wo по степеням отклонения частоты Д<о
102
Выделим действительную часть
М (со) —М cos б cos(wo/—Рог) =Л? cos (<оо/—Poz) 	(5.60)
Получилось модулированное колебание в виде волны, описываемое множителем cos(<oo/—Poz) с несущей частотой соо и амплитудой №. Амплитуда № зависит от производных dAljn/dco и dp/doi: итод знаком квадратного корня первое слагаемое указывает на зависимость амплитуды от функции Л?т(со), второе — от функции P(w). Производные d.l/m/dco и dp/dco берутся в точке w=coo.
Отметим, что передаваемая электромагнитной волной информация содержится в амплитуде №, которая является носителем огибающей колебания cos(o>o/—Poz).
Можно считать, что произведение (Ды/Л/що) (d.Wra/dw) всегда значительно меньше единицы, тогда (5.60) примет вид
Л4 («>) = Л4 „ад 1/ 1 + До2//-— zYcos6cos(a>0/—рог), (5.61)
Г	\ <J(D /
где tg6=A<o(/—(dp/dco)z). Разность /—(dp/dco)г указывает на то, что возникает движение или распространение вдоль оси z огибающей колебания, передающей информацию. Образование и движение огибающей происходит только при Лсо=/=0, т. е. когда существует группа волн, частоты которых лежат в диапазоне соо±Дсо. Огибающая колебаний распространяется со скоростью этой группы волн, которая и является групповой скоростью. Ясно, что разность необходимо записать в виде
(5.62)
/— (dp/dco) z=/—zlvrv.
Тогда получим формулу для определения групповой скорости волны в любой среде или электродинамической системе:
dco сф
Дисперсия. Зависимость фазовой скорости волны от частоты колебание! поля называется дисперсией. Естественные среды и электродинамические системы, в которых имеет место дисперсия, называются диспергирующими.
Связь фазовой и групповой скоростей. Подставим в (5.62) продифференцированную по <о величину р=<о/иф (см. (5.57)). В результате получим v* ф
иФ
РФ
u,D =-------------------=----------------------=-----------:------. (5.63)
»ф— со(дИфДко)	\—^bз|Vф)(dVф/d^^>)	1— p(dtfy/d<o)
103
Из (5.63) видно, что в диспергирующих средах и системах групповая скорость волны не равна фазовой. Если дисперсии нет, т. е. фазовая скорость не зависит от частоты колебаний поля, то
<1Сф
—— =0 и огр = оф.
0(0
(5.64)
При малой дисперсии, т. е. если 0 (сН’ф/Ско) 1, из (5.63) следует
(5.65)
Скорость переноса энергии волны. Скорость переноса энергии в волне может быть определена путем исследования вектора Пойнтинга и в большинстве случаев равна групповой скорости волны (см. разд. 4.6).
Изменение амплитуд поля волны. Амплитуды поля волны уменьшаются в двух случаях:
при потерях электромагнитной энергии на нагрев среды, что отражено введением множителя ослабления еа-;
во всех реальных волнах в свободном пространстве, расходящихся от источника.
5.10.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 5 (С)
Пример 5.1. Уравнения Гельмгольца для простейшей электромагнитной волны. Обратимся к примеру 3.3 и пояснению 1.1.1, где рассматривалось простейшее электромагнитное поле с двумя составляющими Е = ЕХ1Х и Н = Запишем волновые уравнения (5.3) и (5.4) для этого поля, считая, что изменения полей во времени происходят по закону cos(i>/, т. е. Ev = fxo cos го/ и НV—Hvocosa>t. Имея в виду, что Ед и Ни функции только г, можно записать первые слагаемые левых частей уравнений (5.3) и (5.4) в виде
oz£
v2E = v’£xb=—
v V	дг4
104
В уравнениях (5.3) и (5.4) возьмем вторые производные по времени от cosco/, сократим на cosco/, и придем к простейшим уравнениям Гельмгольца для Ну и Ех:
^+«OS«aHa^0 = 0, dzs
^ + «>ЧраЕч = 0.
дг*
Уравнения (5.66) представляют собой частные виды второго и четвертого уравнений системы (5.40) при 02 = 02 = = ыУеара.
Пример 5.2. Решения уравнений Гельмгольца для простейшей волны. Уравнения Гельмгольца (5.66), приведенные в примере 5.1, имеют хорошо известные решения в синусоидальных и косинусоидальных функциях от z (см. (5.47)... ...(5.50))
Ех0=С\ sin 0z+C2cos 0г и 7/f,o=C3sin 0г-|-С4 cos 0z, где 0=(oVeaPa, а С2, С3, С<— произвольные постоянные. Так как полные решения для полей Ех и Ну должны зависеть и от времени t в виде E.v=£.vocos wt и Hv=Hu0cos со/, то Ех — (C| sin 0z + С2 cos 0z) cos со/ и Ну — (C3sin0z-|-4- С4 cos 0z) cos со/. Используя тригонометрические формулы произведений синусов на косинусы и косинусов на косинусы, получаем
Ех=—С5 sin (со/—02) +Cfi sin (со/ф-Р^) +
-f-Cy COS (со/—0z) -j-Cfj COS (co/-J-02) ,
Hy==—Cg sin (co/—02) -f-Cto sin (co/~T0z) Ц-
+ C1I COS (co/—02) +C|2 COS (co/4-02) ,
где C5...C12—произвольные постоянные. Эти формулы указывают на существование четырех одинаковых волн, но бегущих в противоположных направлениях: в сторону положительных значений z при со/—02 и отрицательных z при со/4-0Z. Обычно используется только одна волна с составляющими £Л = С7 cos (со/—0z), Ну=Сц cos (со/—02).
Пример 5.3. Решения уравнений Гельмгольца путем применения метода комплексных амплитуд. Вернемся к примерам 5.1 и 5.2. Положим, что зависимость полей от времени будет выражена как
£.v=Re£xoe’w', £I7=Re^e>“f
(5.66)
105
или, опуская знак Re,
£x=£xOvat, Йу=Йу0^.
Решения уравнений Гельмгольца (5.66) в комплексных амплитудах имеет вид (см. (5.45))
Яго=б1е-^г+б2е+^, #у0=£3е-*!г+Сче+*’г.
Введя зависимость от /, получим £T==^v0ej“«==6ie^“‘-₽z>+C?2ej(“'+liz), Йу=Йу0е^=^С3е^1-^+С^{+е1:\ где Ct... С4 — произвольные 'постоянные. Последние выражения указывают на существование двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях. Оставляя одну волну, бегущую в сторону положительных значений г,
Йу=С3е^^)
и возвращаясь к записи со знаком Re, приходим к тем же уравнениям, что и в примере 5.2:
£’x=Re6'ieJ'(“'_₽2) = Ci cos(ы/—0z),
Ну—Re t?2ei(“/_₽2)=С2 cos (ait—0z).
Пример 5.4. Физическая необходимость изменения полей Е и Н по угловой координате 0 в простейшей сферической волне. Используем основное положение электромагнитной волны — наличие вектора Пойнтинга П, образованного взаимоперпендикулярными векторами полей Е и Н. Положим, что в уравнении (5.5) напряженность магнитного поля Н имеет только одну составляющую //Ф (рис. 5.6). Примем, что поля не зависят от угловых координат 0 и ф, а изменяются только по радиусу г (см. разд. 5.6)). Тогда
Н=ДФ1Ф, Й^Й^г),
и уравнение (5.5), имея в виду (5.19)... (5.21), примет вид
TOtqTOt #Ф1Ф—02ДФ1Ф=О,
где индекс <р у ротора означает, что используется только его ф-я составляющая, а 02=<о2еара. Далее (см. приложение П.2)
rot ЯФ1Ф= — — (гЯф)]1е
г L J
106
или
rot* 7 41T(r^ 1,e 1 = ~1 T
I r or [ or J J r dr
Окончательно (5.5) сводится к уравнению, идентичному уравнению (5.25),
-^-(г//ф)+р»(гЯф) = О,
общее решение которого известно (см. разд. 5.6):
гй,=Ct е ^+б2е+^.
Поля электромагнитной сферической волны, распространяющейся от центра сферы, т. е. при С2=0, можно выразить так:
• е~&г	6	 е~/Рг
HV=C-------, Ев = -£-С~------
Г	г
(08а
Положив H = /Zele, сделаем такие же 'преобразования с уравнением (5.5). В результате получим
- е—	~ 6 e~/^r
Я0 = С?----, Е^^ — С-У---------
т	о7а т
Условия независимости полей от угловых координат 6 и <р описывают волну от источника, т. е. от стороннего тока, излучающего одинаково во всех направлениях. Покажем, что, хотя полученные выражения и удовлетворяют уравнениям (5.5) и (5.6), они не соответствуют полностью физической картине полей волны. Составляющая //ф, независящая от угловой координаты 0, должна быть неизменна как в самой точке 0=0, т. е. на линии /, так и в её окрестности (рис. 5.6). Поскольку линии вектора Н = ЯФ1Ф всегда замкнуты, то при переходе по линии 0 через точку 0 = 0, поле Нц должно обязательно перейти через значение, равное нулю. В свою очередь, составляющая Ёв в точке 0=0 должна также стать равной нулю: при движении вдоль линии 0 при r=const и <p=const поле Ев, при переходе через точку 0 = 0, меняет направление, т. е. переходит через нуль.
Таким образом, поля /7Ф и Ев обязательно должны быть функциями угла 0, а от угла <р могут не зависеть. Иными словами, источник электромагнитных волн (радиоволн), иэ-
107
лучающин одинаково во всех направлениях физически не осуществим.
Пример 5.5. Предельная полоса частот и максимальная длина пути распространения сигнала в диспергирующих средах и системах. Диспергирующие среды и системы представляют интерес при решении задач радиотехники вследствие ограничений ширины спектра передаваемого информационного сообщения (радиосигнала или просто сигнала) на какое-либо расстояние. Для обеспечения верной передачи информации частотный спектр, амплитуды и фазы составляющих спектра не должны изменяться. Но в диспергирующих средах этого достичь нельзя вследствие разных групповых скоростей волн (см. (5.62), (5.63)). На пути движения сигнала соотношения между фазами колебаний будут изменяться и тем больше, чем длиннее путь движения сигнала. Поэтому можно оценить допустимые ширину спектра сигнала и длину пути его распространения.
Пусть ширина спектра сигнала A<d=<i>i—<о2 (но < (Ы|+w2) /2), а длина пути его распространения L. Тогда разницу во времени при прохождении длины L колебаний с частотами он и <.>2 запишем так:
уу _ L L	цгр»~frpi £ _ £ Ацгр
°Гр1	иГр2	°Гр1 игр1	игр
где принято, что сгр = (г?грi+vrp2)/2. Величину At'tp определим как
dvrn
А»гр= -Г£'Д<“’ (1(0
где ck'rp/dw определяется по формуле (5.63) или, если дисперсия мала, то по (5.65). Окончательно получим
M =	(5.67)
Исходя из конкретных данных задачи о допустимых искажениях сигнала, передаваемого волной, можно определить величину AL Тогда формула (5.67) позволяет определить либо допустимую длину пути сигнала L или ширину полосы частот сигнала, или, если возможно, максимальное значение производной durp/d<o. Последнее может быть осуществлено только в искусственных электродинамических системах.
108
Пример 5.6. Волновые неоднородные уравнения (уравнения Даламбера). Введем в уравнения Максвелла (3.1) и (3.5) сторонние токи, поля и заряды, т. е. запишем J и р+рст. Выразим поля Н и Е через векторные потенциалы Аэ и Ам (см. (5.9)) и используем электродинамические скалярные потенциалы 1)э и (7М (см. (5.11)). Проведем калибровку потенциалов аналогично тому, как сделано в уравнении (5.12). В результате получим неоднородные (т. е. с правой частью) волновые уравнения или уравнения Даламбера (см. приложение П.5):
V2A3-P.ea-^- =-M->+Jct.),	(5.68)
oi-
d4J~
paea —— (p + pCT)/ea.	(5.69;
Рассмотрим частные случаи применения уравнении (5.67) и (5.68).
1. Если поля, токи и заряды изменяются во времени по закону cos to/=Re е’"‘, то уравнение (5.68) сводится к уравнению (5.13), а уравнение (5.69) использовать нет необходимости (см. разд. 5.4));
2. Если поля, токи и заряды неизменны во времени, то уравнения (5.67) и (5.68) описывают стационарные магнитные явления, магнитостатику и электростатику. Так, уравнение (5.67) используется в задачах об определении магнитных полей по заданным постоянным тока и представляется в виде
V2A3=-paJ,
где J — плотность заданного тока. Если J = 0, то переходим к задачам магнитостатики. Уравнение (5.68) для (7, становится уравнением Пуассона
V2i7=—р/еа,
где <7 — обычный электрический потенциал, р— заданное распределение зарядов. При р=0 уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Важно отметить, что уравнение (5.11) теперь примет вид Е=—grad t/, так как го=0, т. е.
— =0.
dt
109
Пример 5.7. Запаздывающие потенциалы. Неоднородные волновые уравнения (5.67), (5.68) имеют частные решения в виде
Аэ ~ fi (i—r/v), U3~f2 (t—r/v),	(5.70)
где fi и f2 — периодические функции от аргумента t—rjv, г — расстояние от стороннего тока до точки наблюдения и V— 1/Уцаба — скорость распространения электромагнитного возмущения, возникшего от изменяющегося во времени стороннего тока. Принципиальный смысл решений заключается в том, что возмущение от тока распространяется в пространстве с конечной скоростью V, определяемой характеристиками среды ра и еа. Это электромагнитное возмущение достигает точки наблюдения через время t'—rlv или, можно сказать, запаздывает на время t'. Поэтому потенциалы Аэ и U3 называются запаздывающими потенциалами электромагнитного поля. При синусоидальных изменениях полей и токов во времени решения (5.70) представляются в виде волн, движущихся с конечной фазовой скоростью (см. разд. 5.6, 5.9 и пример 5.2):
Аэ ~ cos (со/—-0г) =cos to (t—r/v$),
Пэ ~ cos (со/—0г) =cos ы (t—Г/Цф) , где иф — фазовая скорость волны.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
5.1	Опишите на основании уравнений Максвелла процесс возникновения электромагнитной волны.
5.2.	Дайте определение электромагнитной волны.
5.3.	Опишите математические преобразования уравнений Максвелла, приводящие их к волновым уравнениям.
5.4	Расскажите о свойствах волновых уравнений.
5.5	Как преобразовать волновые уравнения в уравнения Гельмгольца. В чем их отличие и преимущество перед волновыми уравнениями?
5.6.	Объясните смысл введения векторных и скалярных потенциалов.
5.7	Опишите особенности элементарных сферических и цилиндрических волн. Как проводится решение уравнений методом Фурье?
5.8	Объясните необходимость более подробного изучения волн в декартовой системе координат. Какие функции описывают распределение полей?
59	Объясните формулу для выражения любой составляющей электромагнитной волны в декартовой системе координат, записанной в комплекс-110
ных амплитудах. Почему зависимости полей от координат имеют косинусоидальный вид?
5.10.	Напишите и объясните формулы решений уравнения для любой составляющей волны в декартовой системе координат при принятой косинусоидальной зависимости от t и г.
5.11.	Какие два частных случая рассматриваются при решениях урав нения (5.42)?
5.12.	Перечислите характеристики электромагнитной волны.
5.13.	Как записывается формула для постоянной распространения волны?
5.14.	Что описывает коэффициент ослабления поля?
5.15.	Что такое фазовый коэффициент?
5.16.	Дайте определения фазовой скорости и длины волны колебаний поля.
5.17.	Расскажите о групповой скорости. Как она определяется?
5.18.	Что такое дисперсия?
УПРАЖНЕНИЯ
5.1.	Образуйте из волновых уравнений (5.1) и (5.2) уравнения Гельм гольца (5.5) и (5.6), полагая, что свободных зарядов нет, т. е. ilix Е = 0
5.2.	Напишите уравнения Гельмгольца (5.5) и (5.6) для диэлектрика (при а=0) и вакуума (при е=1, р=1).
5.3.	Подставьте формулу (5.41) в любое уравнение системы (5 40) и получите уравнение (5.42).
5.4.	Подставьте постоянную распространения 7=±Р±/а в формулу (5.41) и получите выражение вида М = М0(х, y)e~at cos(a>t—0z) Нарисуйте качественную зависимость мгновенного распределения M —	при
какнх-то заданных а, р и <о. Проанализируйте вид этих зависимостей при изменении а от 0 до a=at и неизменных 0 и со.
ДОПОЛНЕНИЕ. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Волны в неоднородных средах. Исследование распространения электромагнитных воли в неоднородных средах (т. е. в средах с изменяющимися в пространстве относительными диэлектрической е и магнитной р проницаемостями и проводимостью а) достаточно сложно и здесь не рассматривается. Рассмотрим упрощенную задачу, имеющую важное практическое значение для изучения процессов распространения радиоволн в атмосфере и ионосфере. Принимается, что p = l=const, а еа есть функция
111
одной переменной z, вдоль которой распространяется волна. Используется декартова система координат. Тогда уравнения Максвелла в комплексных амплитудах запишутся в виде
rot Н=/соеаЕ и го1Ё=—/<ороН,
Применяя ко второму уравнению операцию ротора и подставляя в его правую часть первое уравнение, имеем
rot rot Е=/<оеа (г) (—/<ор.о) Е = to2ea (г) р0Е
или, раскрывая левую часть (см. приложение П.2), получаем уравнение Гельмгольца, т. е. волновое уравнение в комплексных амплитудах с переменным коэффициентом
V2E4-(o2ea(z)poE = grad div Ё.	(5.71)
Если рассмотреть простейшую волну, имеющую только две составляющие Ё = Е.т1х и	(см. примеры 5.1...5.3), то уравнение (5.71)
упрощается. Так как Ёх и изменяются только по z, то (см. приложения П 1 и П.З)
/ дЁх \
grad div E=grad I ---- I = 0
\ dx j
ввиду того, что <)Exldx=0. Уравнение (5.71) упростится и примет вид
д2 Ёх
' л ~ + и2 еа (г) Но Ех=0, иг2
Полученное уравнение общего интеграла при произвольной зависимости
га (г) не имеет и требует особого подхода к его решению.
Простейшая цилиндрическая волна в пространстве. Обратимся к уравнению (5.38). которое распишем в более удобном виде
д2 R	I dR ~
-ГГ+— —+₽2Я=о, дг2	г дг
(5.72)
где R = AZ, р2 = о>2еара. Видно, что это уравнение является частным слу-д	d
чаем уравнения (5.32) при——=0 и ——=0. Приближенное решение dtp	dz
уравнения (5.72) при больших радиусах (т. е. на значительных расстояниях от стороннего тока JC1,), имеет вид (временную часть нс записываем)
Г
112
л
Рис. 5.7. Эффект Доплера
а — источник электромагнитных волн (И) и наблюдатель (Н) неподвижны fn=fH; б—наблюдатель движется к источнику	в —наблюда-
тель движется от источника
Соответственно в том же приближении поля определятся как (введена временная часть в виде at)
„ г cos(w<—₽г)	cos(w/—₽г)
— С2
Важно отметить, что амплитуды полей цилиндрической волны уменьшаются обратно пропорционально квадратному корню из радиуса.
Эффект Доплера. Как указывалось в пояснении 5.9.1 частота колебаний поля волны неизменна в любой точке неподвижной среды или электродинамической системы. Однако, если наблюдатель (приемник электромагнитной волны) движется относительно источника волн или источник волн перемещается относительно наблюдателя, то частота колебаний поля, регистрируемая наблюдателем, изменяется в зависимости от направления движения (рис. 5.7). Действительно, при движении наблюдателя к источнику, наблюдатель чаще пересекает фронты волны, и кажущаяся наблюдателю частота колебаний увеличивается и наоборот. Это явление называется эффектом Допплера, обнаруживается в природе в виде уменьшения частоты колебаний светового излучения удаляющихся от Земли галактик («красное смещение» спектра излучения) и используется в науке и технике, например, в радиолокации движущихся объектов, при исследовании траекторий движения космических аппаратов и др.
6.	ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
6.1.	ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ (У)
Простейшие решения уравнений Максвелла и Гельмгольца в декартовой системе координат для векторов поля Е и Н состоят в предположении независимости полей волны от
8—79
113
Рис. 6.1. Электромагнитная волна в пространстве
поперечных координат х и у (см. разд. 5.5, 5.8, 5.9, пример 3.3, поясн. 1.1.1). Поэтому необходимо определить условия, при которых указанное упрощение имеет место, и выяснить физическую достоверность существования такой волны.
Реальная волна на больших расстояниях от источника может рассматриваться как сферическая (рис. 6.1). Будем далее приближенно считать часть сферы фронта волны плоскостью, а сферическую волну назовем плоской волной. Условие, при котором это приближение справедливо, формулируется следующим образом: приращение амплитуды поля на расстоянии, равном длине волны X, много меньше значения самой амплитуды поля. Тогда используя формулу (5.31), запишем неравенство
d£ dr
d J
dr r
« 1/r.
X < | Ё | или >.
Окончательно получаем условие замены части фронта сферической волны частью плоскости, или условие приближенной замены в ограниченном пространстве сферической волны плоской волной в виде гЗ>Х.
Это же условие справедливо и при замене любой реальной волны плоской.
Из сказанного следует, что плоская волна существует как бы на ограниченной поверхности и является приближенным описанием реальной волны.
114
Математическая запись плоской волны в виде формулы (5.45) отличается простотой и является решением обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида (5.49) без применения граничных условий, так как поля волны рассматриваются в неограниченном пространстве.
Пояснение 6.1.1. Все дальнейшие исследования плоских волн в общих чертах относятся и к реальным волнам при выполнении условий их замены на плоские.
6.2.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ (У)
Определение плоской волны. Плоская электромагнитная волна (рис. 6.2) имеет только две взаимно перпендикулярные составляющие электромагнитного поля Е и Н, лежащие в плоскости фронта, неизменные по величине по всему фронту и изменяющиеся только вдоль направления распространения волны. Плоская волна носит также название поперечной волны или волны типа ТЕМ или Т. Следовательно, рассматриваются волны в декартовой системе координат при условии неизменности полей по координатам х и у (см. разд. 5.8).
8*
115
Дифференциальные уравнения плоской волны. Согласно рис. 6.2 составляющие волны Ех и Ну неизменны по х и у, т. е.
дЕх  дЕх	дНу  дНу _q
дх	ду	дх	ду
Тогда из волновых уравнений в комплексных амплитудах (уравнений Гельмгольца) (5.40) получаем дифференциальные уравнения плоской волны (см. разд. 5.8, 5.9)
(6 1) дг'*
±уЙи = 0,	(6.2)
где комплексные амплитуды полей Ёх и Йу — функции только координаты г, р2=<о2цаеа, еа=еа—/о/ы (см. разд. 3.4).
С учетом (5.44) р = у, поэтому у также будет комплексной величиной.
Вектор Пойнтинга. Используя формулу (4.3), можно определить, что вектор Пойнтинга имеет только одну составляющую, направленную вдоль оси г, т. е. в сторону движения волны
Пг = 1/^еЁхНу.	(6.3)
Формулы для составляющих поля волны. Уравнения (6.1) и (6.2) имеют общие решения в виде (5.45) с заменой
Р на у:
Йж=С1е->п4-С2е+>11,	(6.4)
Йу=С3е^+С4е+^.	(6.5)
и состоящие из суммы двух частных решений с постоянными Ci и С2, С3 и б4.
Перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям полей
Ех= С5 cos (at—yz) +С6 cos (wt-j-yz),	(6.6)
Ну — С7 cos (at—yz) -)-С8 cos (at-|-yz).	(6.7)
Каждое из выражений (6.4)... (6.7) представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Знак величины yz определяет направление
116
движения волны. Для исследований оставляем только одну волну (т. е. используем одно из частных решений дифференциального уравнения), движущуюся в сторону положительных значений г. В результате получаем формулы для составляющих волны, которыми будем пользоваться:
fx=C5cos (cot—yz) или Ёх—(Ле-’17,	(6.8)
Hv—Ci cos (со/—yz) или Йу=Сзе~1и.	(6.9)
Для описания свойств плоских волн необходимо найти фазовую и групповую скорости волны, коэффициент ослабления, соотношение между амплитудами Ct и б3 полей Ех и Ну, называемое волновым сопротивлением И' и вектор Пойнтинга.
Первые три величины определяются путем исследования постоянной распространения волны у, а вектор Пойнтинга и волновое сопротивление — из выражений (6.8), (6.9).
Фазовый коэффициент и коэффициент ослабления. Распишем в выражении (5.44) для у величину е., (см. (3.19)) и составим равенство «и "1/ га|1—/ — )ра=р—ja, позволяю
шее определить аир. Выполнив алгебраические преобразования, получим
а = о)]Ла1Ч/2 /_
? = “>1Чра/2	1 + /1 4- (о/ше.)2 •
(6.10)
(6.Н)
С помощью формул (6.10), (6.11) можно полностью описать изменение фазы волны через фазовый коэффициент р и уменьшение ее амплитуды через коэффициент ослабления а в средах с разными еа, ра и о.
В соотношения (6.10) и (6.11) введем вместо величины 1/Veopo скорость света с (см. (1.10)) и тогда
Уеара=УеороУер=Уер/с.	(612)
Если записать отношения модулей плотностей тока проводимости J=аЕ и тока смещения /см = в>еаЕ,
///см = сЕ/Ма Е —
117
то формулы (6.10), (6.11) примут вид
а = (ш/с) К- 14-/14- (J/JCM)2,	(6.13)
₽ = (ф/с) У^/2 V1 4- /1 +(//4м)2.	(6.14)
Фазовая и групповая скорости. Длина волны. Используя выражения (5.57) и (5.58), (6.11), (6.12) получим формулы для фазовой скорости иф и длины волны колебаний поля Л:
ц.=	.	'----------- <6л5>
/е.и/2И 14- У14-(а/фва)а
X =__________ с	•	(6-16)
/ У^аУ 1 4- /14- (S/W Ёа)а
Из формул (6.15), (6.16) видно, что в проводящих средах, где о=/=0, фазовая скорость волны зависит от частоты колебаний, а это означает существование дисперсии в таких средах. Тогда групповая скорость будет определяться по формуле (5.63).
Волновое сопротивление. Запишем формулу для волнового сопротивления
W=£X/6V	(6.17)
и используя выражения (6.8), (6.9), получим
U7 = Cie~/W = суС3.	(6.18)
Сз е—,vz
Связь между амплитудами Ех и Ну определим из второго уравнения Максвелла (3.20 6) rot Е=—/<ораН, чему соответствует уравнение (см. приложение П.2)	=—/<opa7/.
Продифференцируем выражение для Ёх 'по г (см. (6.8)) и введем значение Йу из формулы (6.9): —/у<?1е~>п = = —/<ораСзе_^г. Так как 7=10!^ еара, то используя последнее соотношение из (6.18), получим
tV=(?i/6?3=(0|Ta/y=pa/ea.	(6.19)
Раскроем в (6.19) значение комплексной диэлектрической проницаемости (см. (3.19))
Г = 1/~------(6.19а)
V ea(14-a//wea) r V Ц-(а/<оеа)“
118
Из (6.19а) видно, что из-за наличия проводимости в среде волновое сопротивление становится комплексной величиной. Это ведет к возникновению сдвига фаз между амплитудами полей Ёх и Йу в волне.
Запишем выражение (6.19а) в тригонометрической форме
1
V 14-(о/ыеа)2
е'*.
(6.20)
где ф= ’/г arc tg (о/а»еа).
Часто в практических приложениях вводится понятие тангенса угла потерь Д в виде
tg Д = а/<оеа.
6.3.	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНЫХ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ (С)
Напомним, что идеальными диэлектриками являются среды, у которых проводимость о принята равной нулю. С учетом этого из формул (6.10), (6.11), (6.15), (6.16) и (6.20) получим соответственно
<1 = 0; 0=toVeapa= (<о/с)Уец;
1'Ф = Ргр=с/Уер1; Х.=с//Уер;
Ч7 = УИа/еа =|Уро/ееУр/е, ф = 0.
Рассмотрим частные случаи.
Плоская волна в вакууме. Относительная диэлектрическая е и магнитная р. проницаемости в вакууме и в воздухе равны единице. Постоянная распространения у=₽—/а при а=0 определяется как
у = Р=(»Уеоро=®/с==Л.	(6.21)
С учетом того, что с= 1/У₽оРо, фазовая скорость волны
Рф=с,	(6.22)
а длина волны
Х=с//=Ло.	(6-23)
119
Здесь введены величины /г=<о/с=2л/'Ло и — длина волны электромагнитных колебаний, распространяющихся в вакууме или воздухе и в безграничном пространстве в виде плоской волны.
Волновое сопротивление
(6.24)
или с численной подстановкой ео= (1/36 л) 10~9 Ф/м и р0= ==4л • 10-7 Гн/м
1Г0= 120л«377 Ом.
Составляющие плоской волны на основании (6.8), (6.9), (6.21) и (6.24) примут вид
Ёх= ГоСе->Аг,
(6.25) Йу=Се^.
В формулах (6.25) принято, что С=Сз (см. (6.19)) и C, = F0C.
Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям полей, т. е. вводя зависимость от времени cos«>/ = — ejwt^ получим
£\ = W0C cos («>/—kz),
(6.26) HU=C cos (<о/—kz).
Амплитудный множитель С не определяется, так как процесс возбуждения волны не рассматривается.
На рис. 6.3 а 'приведено мгновенное распределение полей плоской волны по координате z при условии /=/|=const.
В формулах (6.25) можно обозначить Ётх — и Йту=Ётх1№0, тогда
Ёх=Ё„1Хе-^, Йу=Йтуе~^.	(6.27)
В большинстве случаев величины (?, Ётх и Йту являются действительными и записываются в виде С, Етх и Нту.
Вектор Пойнтинга (см. (4.3) и (6.3))
Пг = '/2 Е.„х e~ih2Hmy е=>/2 EmxHmv,	(6.28)
а поток вектора Пойнтинга через поверхность S фронта волны, т. е. через бесконечную плоскость, равный потоку мощности или просто мощности волны, определяется как
Р = J/7zdz==ao.	(6.29)
S
120
Рис. 6.3. Мгновенное распределение напряженностей полей плоской волны при / = const. распространяющейся в вакууме (о); идеальном диэлектрике (б)
Это указывает на невозможность существования плоской волны в безграничном пространстве, т. е. согласуется с тем приближением, которое выполнено в разд. 6.1.
Для оценки потока мощности плоской волны следует использовать не бесконечный фронт волны, а его часть, и тогда интеграл (6.29) будет конечным.
В дальнейшем будет применяться понятие — волна в свободном пространстве, означающее, что речь идет о плоской волне в вакууме, т. е. при еа=ео, Ца = Цо, о=0, W—Wo, у= = k, А=Ао.
Плоская волна в идеальном диэлектрике. В идеальном диэлектрике е>1, ц^1, поэтому из формул (6.10), (6.11), (6.15), (6.16) и (6.20) получаем
а=0; р=ЛУе|л=2л/К; Оф=игР=с/'УЕр;
А=Ао/Уер; W — Woj/h/e.
Составляющие плоской волны запишутся аналогично (6.25) и (6.27) как
Ёх= WCe~}tl, fiy=Ce~itz или
Ёх=Етх e-jpz, Йу=Нту ет*.
где Етх= ХЁНту-
Отличие свойств волны в диэлектрике от свойств волны в вакууме (или в воздухе) состоит в уменьшении фазовой скорости и длины волны в Уец раз и изменении величины вол
121
нового сопротивления W. Мгновенное распределение поля по 2 приведено на рис. 6.3 б.
Скорость распространения энергии волны. Обратимся к разделу 4.6. Изменим формулу для вектора Пойнтинга (6.28) следующим образом:
/- “	____ I
— V» — Va Етх Vеа/Ра — Va Етх еа---------— ws V3i
W	/вара
где ьуэ — объемная плотность энергии электрического поля, равная объемной плотности энергии магнитного поля w= = (1/2)Н2туца, а иэ—иТр=иф=с/1/ец есть скорость распространения энергии, равная групповой и фазовой скоростям. Полученная формула совпадает с формулой (4 7)
6.4.	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В РЕАЛЬНЫХ СРЕДАХ (С)
Реальные среды имеют проводимость, отличную от нуля. Такие среды называются проводящими, а также поглощающими или средами с потерями и подразделяются на плохо проводящие и проводники. Их характеристики зависят от частоты колебаний поля волны (см. формулы (6.10)... (6.20).
Плоские волны в плохо проводящих средах. К плохо проводящим средам или неидеальным диэлектрикам относим среды, для которых соблюдается неравенство
о/шЕа	1.	(6.30)
Это может быть либо при малой величине проводимости о, либо на высоких частотах, когда преобладают токи смещения (см. (6.13) и (6.14)). Используя неравенство (6.30), внутренний корень в формулах (6.10) и (6.11), разложим в ряд и ограничимся двумя первыми членами (см. разд. 13.2)
У1 + (о/<1)Е а ) 2 ~ 1 + ’/2 (о/ШЕа ) 2.
Тогда коэффициент ослабления
а=1/Г|Аа/еа -у’
(6.31)
(6.32)
122
а фазовый коэффициент запишем в виде
Для практических расчетов можно считать, что ₽«®Уеаца.	(6.34)
Фазовая скорость и длина волны вычисляется из выражений
сф ~ ——------------------ ~ C/V8(1,
/ец[1+>/,(в/ыеа)а]
X ~	Х0//е(х.
/фи + 1/в(з/<оеа)2]
(6.35)
(6.36)
Групповая скорость определяется по формуле (5.63) с учетом (6.33) так:
Можно полагать, что
(6.37)
Upp
Скорость движения энергии волны равна групповой скорости.
Волновое сопротивление определяется по формуле (6.20) как
IV х, П7=Ура/еа = Ц7оУр/Е.
(6.38)
Составляющие поля волны запишутся в виде (см. (6.8), (6.9))
£x=Emx^-aze-^z,
(6.39)
Йи=Нту e~az е~^2
или для мгновенных значений полей (вводим временной множитель Re e’“‘=cos <о/)
Ех—Етх e~az cos (о/—pz),
(6.40)
Hv= Нту е-“» cos (wf—pz),
123
еяили Ну,отн.ед
Рис. 6.4. Мгновенное распределение напряженностей полей плоской волны, распростра-яющейся в реальной (проводящей) среде
где Emx=WHmv, а а и ₽ определяются формулами (6.32) и (6.34) соответственно. Мгновенное, т. е. при f=const=0, распределение полей по координате г согласно уравнениям (6.40) показано на рис. 6.4.
Вектор Пойнтинга (см. (4.3) и (6.39))
n, = 72Re Ё*Н,= Ч^Н2,пуе-2а1 = '/2	.
Плоские волны в проводниках. К проводникам или металлоподобным средам относятся среды, для которых соблюдается условие
а/юеа»1.	(6-41)
В таких средах токи проводимости значительно больше токов смещения. Следует указать на то, что у всех металлов неравенство (6.41) соблюдается очень хорошо вплоть до самых высоких частот колебаний, применяемых в радиотехнике.
Используя (6.41) в формулах (6.10), (6.11), (6.15) и (6.16), получим
a=P=Vco)iao/2,	(642)
Оф = У2(1)/(piao),	(6.43)
Л = 2у2л/У<вцао.	(6.44)
124
Групповая скорость здесь не определяется, так как затухание волны велико (см. разд. 5.9). Заметим, что формулы (6.42)... (6.44) не содержат диэлектрическую проницаемость. Это и указывает на то, что данная среда имеет выраженные свойства проводника.
Волновое сопротивление будет комплексной величиной
(см. (6.20))
UZ’=VUaW/ay/=Vpa<d/'O(l/y2+/V2) =
=Ура<1)/ое^я/4=и7е^я/4,	(6.45)
указывающей на то, что в волне между составляющими Ед и Hv имеется сдвиг фаз, равный ф=л/4:
ЁХ=^ЙУ= №ЙУ е>я/4=Ураы/оЙг1/ е’"'4	(6 46)
или в тригонометрической форме записи
Ex = #vVpa<i>/oCOS((o/—Pz + n/4).	(6.47)
Составляющие поля волны в комплексных амплитудах (см. (6.8), (6.9), (6.18), (6.45) примут вид
Ёх=Етх e~az e-«fc-n/4>,	(6.48)
Йи=Hmv e~az e~itz,	(6.49)
где Emx=WHmv.
Мгновенное распределение поля Hv такое же, как и на рис. 6.4. Вид зависимости Ех от z не отличается от зависимости Wv(z), но сама кривая Ex(z) опережает Ну(г) на угол ф=л/4. Активная составляющая вектора Пойнтинга запишется как (см. (4.3), (6.48), (6.49))
£1
Пг = l/iWHmye~‘iaz cos п/4 = */, е~2аг cos л/4.	(6.50)
Пояснение 6.4.1. Рассмотрим несколько подробнее свойства волн в металлах, т. е. в очень хороших проводниках, у которых о= (1.. .6)  10тсм/м. Обратимся к формуле для фазовой скорости Пф (6.43) и запишем отношение Пф/с, учитывая, что c=l/VeoPo.
— = /2/р /<оео/б =	!0-s Vf/iio.	(6.61)
с	3
125
Из формулы (6.51) следует, что оф/с«:1. Длина волны будет равна к — = (10Vi0)}W^ и значительно меньше, чем Ло. Определим величину мо-
—2л
дуля волнового сопротивления |lF|=lF= / На «о/а = —— 10-s / pf/a, ____________________________________________________
которое также меньше чем 1Г0. Коэффициент ослабления а=2л}10-10-4Х
Х}рМ, при г —"К получаем, что аХ = 2л, и волна резко затухает.
6.5.	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ ПОЛЯ В МЕТАЛЛ.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ТОКА (С)
В металлах амплитуды полей изменяются как
е-az — е-/“цао/2 г _ е~2п /10-10-‘ Гц/а г
В практических приложениях принято считать, что поле волны проникает в металл только на ту глубину z=d, на которой поле ослабляется в е раз (рис. 6.5). Тогда последняя формула примет вид e-ad=e_1, из которого определяется глубина проникновения поля
d= 1/а=У2/(1)|Ла<т= 104/2лУ10Ур/о.
(6.52)
Рис. 6.5. Глубина проникновения поля в металл
Показано изменение амплитуды поля, пропорциональное е_“’
126
Оценим величину d для меди, у которой ц=1, ст=5,7Х Х-107 1/0м-м (для других металлов оценки будут примерно такими же). Получим d»;l/15yf, где d—выражено в метрах (м), f — в герцах (Гц).
Запишем отношение глубины проникновения поля к длине волны колебаний в вакууме
d/Xo»2,2-lO-loyf
Тогда при /=10 кГц, т. е. для Хо—30 км, d/Ao=2,2-10~8, а при f=106 МГц, т. е. для Zo=O,3 мм d/Ao=2,2-10~4.
Из примеров хорошо видно, что электромагнитное поле на всех применяемых в радиотехнике частотах проникает в медь и в любой другой металл на весьма малую по сравнению с длиной волны колебаний поля величину. Поэтому на практике под поверхностным током, который был введен в граничных условиях (см. разд. 3.7) можно понимать ток, текущий в проводнике на глубине проникновения поля в металл (см. к этому пример 6.7).
Это свойство электромагнитного поля используется для экранирования радиотехнических аппаратов от нежелательных влияний посторонних полей на аппарат и излучений аппаратом собственных полей, которые являются электрической помехой для других радио- и 'электроустройств.
6.6.	ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН (С)
Расположение или ориентация вектора электрического поля Е в пространстве определяет поляризацию волны, а движение во времени конца вектора Е — вид поляризации. Например, если конец вектора плоской волны скользит по прямой линии, т. е. вектор Е расположен в любой момент времени в одной и той же плоскости, то такая поляризация называется линейной или плоской. Плоскость, проходящая через координатную линию г, вдоль которой движется волна, и вектор Е, называется плоскостью поляризации. Так, у плоской волны (рис. 6.2) вектор Е=ЕЖ1Ж и ось z находятся в плоскости хог, которая и есть плоскость поляризации.
Если сложить в пространстве две плоских волны, каждая с линейной поляризацией, у которых векторы Е (и, соответственно, Н) перпендикулярны между собой (рис. 6.6) и син-фазны во времени
Ei cos (<о/—kz)  lv+Ez cos (w/—kz) 1ж = E cos (<ot—kz),
127
Рис. 6.6. Вектор электрического поля Е плоской волны, являющейся суммой векторов Е, н Е2 двух плоских синфазных волн. Поляризация суммарной волны линейная
то получим тоже плоскую волну с линейной поляризацией. Плоскость поляризации проходит через вектор Е и линию z. У этой волны конец суммарного вектора Е движется по прямой линии.
Если между векторами и Е%\х есть сдвиг во времени, то суммарный вектор Е бегущей волны вращается с частотой си вокруг оси z, двигаясь вдоль нее. Конец вектора Е движется в пространстве по спирали, а проекция этой спирали на плоскость уох является эллипсом. Плотность поляризации вращается вокруг оси г, и, если смотреть вдоль оси г, то конец суммарного вектора описывает тот же эллипс (рис. 6.7). Такая поляризация называется эллиптической. При равенстве амплитуд полей волн Е\ = Е2 эллипс
Рис. 6 7 Сложение векторов Ej и Е2 двух несинфазных плоских волн а— £,=3 отн. ед.; £2=2 отн. ед.; б — £, = £2=1.5 оти. ед.; поляриза пня суммарной плоской волны эллиптическая
128
Рис. 6.8. Представление вектора Е плоской волны в виде суммы двух векторов Ел и Еп, вращающихся в противоположные стороны
вырождается в окружность, а поляризация называется круговой. Направление вращения суммарного вектора и плоскости поляризации зависит от знака временного сдвига фаз между векторами волн. Если при наблюдении вдоль распространения волны суммарный вектор Е вращается по часовой стрелке, то такая поляризация называется правой круговой. В случае левой круговой поляризации суммарный вектор Е вращается <против часовой стрелки. Спираль, по которой скользит конец суммарного вектора Е, движется вдоль оси г с фазовой скоростью волны в данной среде. Любая линейно поляризованная плоская волна может быть представлена в виде суммы двух волн, одна из которых имеет правую, другая левую поляризации (рис. 6.8) Это свойство волн проистекает из того, что колеблющийся во времени вектор можно разложить на два вектора, вращающихся в противоположных направлениях с частотой, равной частоте колебаний основного вектора.
Пояснение 6.6.1. Поляризованными могут быть ие только плоские волны, ио и волны, излучаемые антенными системами Заметим, что тепловое (инфракрасное) излучение и световые волны не имеют выраженной поляризации, так как излучаются хаотически расположенными элементарными излучателями-атомами. Однако световое излучение лазеров поляризовано.
6.7.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 6 (С)
Пример 6.1. Мгновенное распределение напряженности полей Е и Н плоской волны. Обратимся к формулам (6.8) и
9—79
129
(6.9), в которых постоянные Ct=Emx и Съ—Нту можно вычислить как
Ё=Етхе~^, й=Нтуе-^, Emx=WHmy, W=We^.
Считая, что волны распространяются в среде с у=р=—/а, где аир определяются 'по формулам (6.10) и (6.11), 'получим зависимости полей от г при каких-то значениях аир, зависящих в свою очередь от параметров среды еа, ца и о:
Ё=Emxe~az	й=Нтуе-а* е~^.
Взяв действительную часть Re e_-'₽z=cos pz получим функции от z, описывающие мгновенные распределения полей по координате z с точностью до амплитудного множителя (см. рис. 6.4) £'-~e_“zcos(pz—л/4), И ~ е~“г cos pz.
Отметим, что полученное распределение поля не может быть зарегистрировано приборами, так как измерения любым прибором производятся в течение некоторого времени, обычно гораздо большего, чем период колебания поля. Поэтому приборы могут регистрировать только уменьшение амплитуды поля с ростом координаты г, т. е. приборы показывают зависимость
Е или И ~ e~“z.
Пример. 6.2. Связь между электрической и магнитной энергиями в волне. Рассмотрим формулу (6.19 а)
пде Чт=агс tg(o/(i)Ea) и ф=(1/2)Чг. Далее можно записать
Плотность электрической энергии 1Шэ=ъаЕ212 связана в плоской волне с плотностью магнитной энергии шм = ца№/2 соотношением ЁХ=№ЙУ. Поэтому
№э=Еа£х2/2=£а (Я„Г)2/2= (еа/ца) №2шы
130
или
w9 — —г== ^М-
V1 + (а/<оеа)2
Для проводника <т/(ОЕа»1, следовательно,
w3— (®еа/о)ьум и ny3<wM,
т. е. в волне, распространяющейся в проводнике, преобладает магнитная энергия.
Пример 6.3. Фазовая скорость волны иф и длина волны колебаний поля X. в диэлектрике. Пусть имеется диэлектрик с параметрами е=4 и ц=1. На основании (6.15) и (6.16) получим
с>ф/с= 1/Уе=О,5, 1До= l/V«=0,5,
т. е. фазовая скорость и длина волны в данном диэлектрике уменьшились в 2 раза. Подчеркнем, что при этом частота колебаний толя неизменна (см. формулу (5.59)), т. е.
/=иФ/Х,=сДо.
Пример 6.4. Оценка расстояния, на котором можно считать сферическую волну плоской. Условие гЗ>Хо, которое запишем как 10/.о, где Zo=c/f=3-108/f, приводит к следующему:
радиоволна длинноволнового диапазона с частотой f— = 150 кГц, или с Хо=2ООО м может считаться плоской на расстоянии г^20 км;
радиоволна коротковолнового диапазона с частотой /= = 15 МГц или с Zo=20 м считается плоской при г^200 м;
радиоволна сантиметрового диапазона с частотой f= —15-103 МГц или с Ло=2 см будет плоской при г^20 см.
Пример 6.5. Оценка расстояния, на котором могут быть приняты сигналы от источника. Пусть точечный источник радиоволн имеет мощность 1 Вт. Минимальное значение напряженности электрического 'поля, необходимое для радиоприемника равно 5 мкВ/м. Определим расстояние, на котором может быть принят сигнал от источника. Считаем для упрощения, что радиоволны излучаются равномерно во все стороны от источника, т. е. напряженности полей не изменяются по угловым координатам <р и 6. На большом расстоянии R от источника часть фронта сферической волны заменим фронтом плоской волны (см. разд. 6.1). Тогда в каж
9*
131
дой точке фронта плоской волны (см. (6.28)) Пг=х17ЁхЙу— = '/2 E2mxWo- Мощность источника Р можно определить как замкнутый интеграл от Пг по поверхности сферы, окружающей источник, с центром в источнике Р— <^/7zds=4n/?2/7n s
где 5 — площадь сферы с радиусом /?. Из этих формул вычисляем расстояние
R = ]//2Д-103 км. г	тх
Пример 6.6. Коэффициент ослабления поля волны а как функция частоты колебаний поля. Используя формулу (6.10), имеем
а = со Vea р.а/2 V— 1 -J- 1 + (о/соеа)я.
Введем граничную частоту согр=о/еа (см. (3.19)), обозначим <,)/(1)гр — х и получим
а = (а//2) Vx VУ -х.	(6.53)
На малых (низких) частотах, т. е. при х<§;1 или <о<Ссогр (достаточно, чтобы х<^0,1)
ап-, — (о/У2)Уца/еаух,
при х=1, т. е. при со=согр
агр= (о/У2)Ура/еа |ЛУ2—1,
и на высоких частотах при %5>1, т. е. при ш^>юГр (достаточно, чтобы х^Ю)
авч = о/у2(Ура/еа) (1/У2),
Из формул видно, что коэффициент ослабления в области частот со(огр прямо пропорционален проводимости среды и не зависит от частоты колебаний поля. На частотах <о<С<огр коэффициент ослабления уменьшается с уменьшением частоты.
Используя полученные формулы, определим частоту колебаний поля, на которой возможно осуществлять радиосвязь с подводной лодкой, погруженной в море на глубину 20 м. У морской воды удельная проводимость ст=4 См/м, относительная диэлектрическая проницаемость е=80.
Задача сводится к расчету коэффициента ослабления а, при котором на расстоянии 20 м напряженность поля Е
132
уменьшится не более, например, чем в 1000 раз. Из формулы, описывающей изменения амплитуды поля, Ех=Етх^аг (см. 6.48), определим коэффициент ослабления а=атах при zt=20 м:
£’x/£’mx=e-an»xzi=10-3, тогда amaxZ,— 6,9 и атах=0,345.
Из формулы (6.53) хорошо видно, что допустимая величина Отах может быть получена только на низких частотах, т. е. при х<С1: amax=aH4 = 119 Vх, т. е. х=8,4-10~® и <»=-=8,4-10~® ®Гр=8,4-10-6а/еа, откуда по заданным величинам с и е определяем рабочую частоту, которая оказывается равной /=7,56 кГц. Осуществить дальнюю радиосвязь на такой низкой радиочастоте практически невозможно. Если допустить, что поле волны ослабляется в 10® раз, то рабочая частота повысится до 30,2 кГц, но и на такой частоте обеспе чить связь с подлодкой чрезвычайно сложно.
Пример 6.7. Определение характеристик волн, распространяющихся в металле, на разных частотах радиодиапазона. Пусть металлом будет медь, параметры которой о=5,7Х ХЮ7 (Ом-м)-1 и р,= 1. Пусть частота колебаний поля волны соответствует длине волны в вакууме Хо = 1 мм, т. е. f= = 3-1011 Гц = 300 ГГц. Тогда (см. пояснение 6.4.1) иф/с= = 0,76-10-3, Х=0,76-10-6 м, 0=8,2-10® 1/м, №=0,2 Ом и на расстоянии, равном длине волны X, поле уменьшится в е“* раз, т. е. в е®-3=545 раз или до 0,0018 первоначальной величины.
Пусть длина волны колебаний в вакууме будет равна 1000 м, т. е. /=3-105 Гц, при этом иф/с=0,76-10 6, к— = 0,76-10~3м, а = 8,2-Ю3 (1/м), № = 2-10-4 Ом, е-“к = =0,0018, т. е. поле на глубине z=X=0,76 мм уменьшается до 0,0018 первоначального значения. Таким образом, волна практически не проникает в металл и токи проводимости, возбуждаемые волной, текут как бы по поверхности металла. Именно это обстоятельство имелось в виду, когда рассматривалось граничное условие 7/,=/Пов на поверхности идеального проводника (см. формулу (3.32)).
Пример 6.8. Рамочная проволочная антенна в поле плоской волны (рис. 6.9). Определим расположение плоскости рамки относительно векторов поля и вектора Пойнтинга волны, при котором в рамке будет наводиться максимальная ЭДС. Пусть волна распространяется в воздухе, т. е. ца = |Ло, еа = е0, '0=0. В этой задаче уравнения Максвелла применять нецелесообразно и следует непосредственно использо-
133
Рис. 6.9. Рамочная антенна в поле плоской волны / — рамка из провода со стороной
вать закон электромагнитной индукции (см. разд. 2.2). Максимум ЭДС в рамке образуется, когда плоскость рамки расположена перпендикулярно вектору магнитного поля волны Hyly, т. е. в плоскости хог. Итак, <g ——дф/dt, где Ф — магнитный поток, пронизывающий рамку и создающий ЭДС: Ф= [ Bds или Ф=»р.о f Huds, a Hv=ExfWo (см. (6.25)). Рас-s	s
пишем интеграл по поверхности 5 плоскости рамки. Выражая Ех из формулы (6.25), имеем
[ Hyds = J J (Ex/W0)e-^dxdz=Ex/W0^ J e-^dxdz. S	x г	X t
Установим пределы интегрирования от 0 до а, т. е. по длине стороны рамки, и учтем, что Ёх (а также Йу) не изменяется по координатам х и у: плоскость хоу есть плоскость фронта плоской волны. Тогда
а а	а
$ = — Но f f dxdz = --	f е-/*г dz.
dt r WB J J	dt ITo I
0 0	0
134
Интеграл в последней формуле имеет вид
f dz —----------— е_/*г I =-----—	— 1).
J	ik I /л
о	0
Заменив k на 2л/Х0, получим Ла=2л(а/Ао). Считаем, что сторона рамки значительно меньше длины волны Хо, и тогда, разложив в ряд е--’2я<а/х<’)« 1—/2л(а/Хо) (см. разд. 13.2), получим
—	(1—/2л (a/xu)— 1) = а.
12п/к„
Окончательно имеем, вводя временной множитель е'"( и беря производную по /, <§ = —jn0u>a2Exeja,/W0 или <g == = ]x0d)a2Ex/W0 sin со/ так как Re/ej”t =—sin со/.
Из полученной формулы можно определить размер стороны рамки при заданных параметрах волны и необходимой амплитуде ЭДС в рамке.
Опустив sin со/, имеем
а=У <g Wo/[iqwEх.
Если, например, <g =0,01 В, Ех=1 мВ/м и Хо= 100 м, т. е /=3 МГц, то а=10У5/л, м, и действительно с<СХо- Уменьшить размер стороны рамки а можно путем увеличения числа ее витков пропорционально квадрату отношения сторон рамки: M=a2/ai2, где N— число витков рамки, at — уменьшенный размер стороны.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
6.1.	Вспомните определение сферической волны, объясните построение вектора Пойнтинга и полей Е и Н.
6.2.	Опишите переход от сферической волны к плоской.
6.3.	Дайте определение плоской волны. Почему используется плоская волна, в чем простота ее математического описания. Почему плоская волна не может существовать в действительности?
6.4.	Расскажите о дифференциальных уравнениях плоской волны. Каковы их решения?
6.5.	Как образуется вектор Пойнтинга в плоской волне н чему он равен?
6.6.	Почему в исследованиях плоских воли отсутствуют граничные условия?
135
6.7.	Расскажите о постоянной распространения, коэффициенте ослабления и фазовом коэффициенте. Объясните формулы для этих величии.
6.8.	Рассмотрите и объясните формулы для фазовой и групповой скорости и длины волны.
6.9.	Что такое волновое сопротивление? К чему приводит комплексный характер волнового сопротивления?
6.10.	Опишите особенности распространения плоских воли в вакууме и диэлектрике. Чем отличаются волны в диэлектрике от воли в вакууме? Что подразумевается под понятием свободного пространства?
6.11.	Почему поля плоской волны определяются с точностью до постоянного амплитудного множителя?
6.12.	Как определяется скорость распространения энергии в плоской волне?
6.13	Опишите особенности распространения плоских воли в проводящих средах Каковы фазовая скорость, длина волны, коэффициент ослабления и фазовый коэффициент волны?
6.14.	Напишите формулу для вектора Пойнтинга в проводящих средах.
6.15.	Нарисуйте мгновенное распределение полей по координате движения волны.
6.16.	Почему в формулах, определяющих характеристики волны в проводниках отсутствует абсолютная диэлектрическая проницаемость?
6.17.	Рассмотрите формулу для волнового сопротивления н выявите ее особенности. Как образуется сдвиг фаз в волне между полямн Е и Н?
6.18.	Что такое глубина проникновения поля в металл?
6.19.	Расскажите о поляризации воли. Что такое линейная эллиптическая и круговая поляризации?
УПРАЖНЕНИЯ
6.1.	Определите на каком расстоянии от источника электромагнитных волн, частота колебаний которых 500 кГц, можно считать волну плоской Среда — воздух с е=1-
Ответ: при г ^6 км.
6.2.	На основании формул (6.15), (6.16) получите приближенные формулы для фазовой скорости Оф и длины волны колебаний поля X при малой проводимости среды, т. е. при a/wea«^l.
6.3.	Рассчитайте расстояния, на которые распространяются радиоволны в средах с параметрами:
1)	лед, песок е=4, о=10~5 См/м;
136
2)	сухая почва е=4, о=10-4 См/м;
3)	влажная почва е=20, а=10-2 См/м;
4)	морская вода е=80, о=4 См/м, при условии, что среды имеют характер диэлектрика, т. е. а/ыеа<?С1.
Положим, что a/toea=O,l. Допускаем, что при распространении волны напряженность поля Е уменьшится в 1000 раз.
Ответ: 1) г=7,34 км; 2) г = 734 м; 3) г= 14,75 м; 4) г = 8,25 см.
6.4.	Определите максимальный сдвиг фаз между векторами Е и Н в волне, распространяющейся в проводнике, т. е. при о/соеа»1.
Ответ: ф= (l/2)arc tg(o/toea) ~ 45°.
6.5.	В радиоаппарате протекают токи с частотами /,= 100 Гц (ток низкой частоты) и /2=1 МГц (ток высокой частоты). Аппарат необходимо заэкранировать так, чтобы электро-магнитное поле вне аппарата уменьшалось бы в 1-000 раз по сравнению с полем в аппарате. Определите вид экранирующего материала н толщину экрана.
Ответ: для экранирования тока низкой частоты необходимо использовать стальной экран толщиной 5,5 мм, если у стали р = 400; токи высокой частоты экранируются и подавно.
6.6.	Получите приближенную формулу для ав<|, приведенную в примере 6.3, из формулы (6.10).
ДОПОЛНЕНИЕ. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Рассмотрим качественно распространение плоских волн в анизотропных средствах двух видов: в плазме и феррите, находящихся в магнитном поле. Подробнее см. [2.. .4].
Плоская волна в плазме в присутствии магнитного поля. Плазмой называется такое состояние вещества, когда атомы или молекулы существуют в виде положительно или отрицательно заряженных ионов, заряд которых скомпенсирован облаком свободных электронов или положительных ионов. Диэлектрическая проницаемость плазмы зависит от момента поляризации единицы объема среды (см. (1.18. . (1.20)), который определяется движением электронов плазмы (см. (1.21)). Если плазма помещена в постоянное магнитное поле, а такое явление имеет место в ионосфере, то диэлектрическая постоянная плазмы-ионосферы определяется уже значительно сложнее. Рассмотрим, почему это происходит.
Пусть постоянное магнитное поле Но направлено вдоль оси г декартовой системы координат. Тогда движение электронов плазмы, определяющее момент поляризации, будет иметь следующие особенности.
137
1.	Если электроны движутся вдоль линий магнитного поля (т. е. вдоль оси z), то магнитное поле иа движение электронов не влияет, так как (см. (1.25))
d2 1	Г dl
/Пэ'^'=еЕ-Ф,,[’^"’ Н°
где l=elz — координата и направление движения электрона, Но= ==Н01г и поэтому векторное произведение равно нулю;
2.	Если электроны движутся поперек линий магнитного поля Но, т. е. по координатам х или у, то магнитное поле оказывает существенное влияние на их траектории.
Из изложенного следует:
если плоская волна (рис. 6.10п) движется вдоль оси г перпендикулярно линиям постоянного магнитного поля UqIh и вектор Е=Е11Х направлен вдоль линий поля //0Ь, то на движение электронов под действием электрического поля волны Ех магнитное поле Но влияния ие оказывает, и диэлектрическая проницаемость определяется только характеристиками плазмы;
если в плоской волне вектор Е=£„1и перпендикулярен линиям постоянного поля Но=/7о1х (рис. 6.10 6), то электроны движутся в плос-
Рис. 6.10. Плоская волна в плазме в присутствии постоянного магнитного поля Но
а — нет влияния поля Нв; б — образуются две волны с разными постоянными распространения; в — плоскость поляризации поворачивается с увеличением z (эффект Фарадея); иа рисунках бив показано условное движение электронов в поле Но.
138
кости zoy и изменяют электрическое поле волны Е; диэлектрическая проницаемость изменяется, линейная поляризация волны превращается в эллиптическую. При этом образуются две волны с разными постоянными распространения;
если плоская волна движется вдоль линий постоянного магнитного поля Н0=Я1г, т. е. по координате z (рис. 6.10в), то иа ее движение поле Но оказывает существенное влияние.
Представим электрический вектор Е волны в виде двух составляющих Ел и Еп вращающихся в разные стороны (рнс. 6.8), т. е. разложим волну с линейной поляризацией на две волны с круговыми поляризациями. Электрическое поле волны, у которой вращение вектора совпадает с вращением электронов в магнитном поле Но, увеличивается, у другой волны уменьшается. В результате этого вектор Е изменяет свое положение в пространстве. Плоскость поляризации вектора Е составляет угол по отношению к плоскости xoz, увеличивающейся с ростом г. Вращение плоскости поляризации в магнитном поле называется эффектом Фарадея.
Диэлектрическая проницаемость плазмы становится неодинаковой в различных направлениях, и связь иапряжеииости электрического поля волны Е с электрической индукцией D усложняется (см. (1..22)).
Плоские волны в намагниченном феррите. Феррит есть диэлектрик, содержащий окислы железа, в котором проявляются магнитные квантово-механические свойства электронов в атомах железа. Эти магнитные свойства описываются с помощью вектора намагниченности М (см. (1.26)). В ненамагничеииом феррите векторы М направлены в различные стороны, и результирующий вектор М среды равен нулю. У намагниченного феррита векторы М направлены вдоль линий постоянного магнитного поля. Установление направлений векторов намагиичеиности М для каждого электрона происходит с частотой <ог гиромагнитного резонанса, определяемой из формулы (1.4) для силы вращения заряда в магнитном поле F=е [vB0] =cpo[vHoJ и являющейся центростремительной силой.
Так как при вращательном движении центростремительная сила равна Fu=mwrtit то, опуская в предыдущей формуле обозначения векторного произведеиня, запишем тыrv=en0vHo. Из последнего равенства получим круговую частоту врашеиия электрона в магнитном поле
е
“г =—//о = 7л104 Но,	(6.54)
т
называемую гиромагнитной частотой.
Рассмотрим часть пространства, заполненного ферритом. К ферриту приложено постоянное магнитное поле с напряженностью Но. В феррите распространяется плоская электромагнитная волна с напряженностью
139
Рис. 6.11. Плоская волна в намагниченном феррите
«--нет влияния постоянного магнитного поля Hq; б — возникают две волны с разными постоянными распространения; в—возникает поворот плоскости поляризации (эффект Фарадея)
магнитного поля Н, значительно меньшей напряженности постоянного поля Нк.
Взаимодействие поля Н волны с намагниченным ферритом возникнет при условии, что вектор Н волны будет перпендикулярен вектору поля Но. При этом вектор М начинает вращаться с угловой частотой <ог (см (6 54)) вокруг линий поля Но. Так же, как и для плазмы в магнитном поле, можно представить три случая распространения волн в феррите:
если плоская волна распространяется перпендикулярно линиям постоянного магнитного поля Но (рис. 6.11а), и вектор Н волны параллелен вектору Ни, то волна ие претерпевает изменений. При этом намагниченный феррит ведет себя как диэлектрик;
если у такой же волны вектор Н перпендикулярен вектору Но (рис. 6.116), то вектор Н волны изменяет направление вектора намагниченности М феррита. В результате вектор Н изменяет свое положение в пространстве, а у волны линейная поляризация превращается в эллипти ческую. В феррите возникают две волны с разными постоянными рас простраиеиия;
если волна распространяется вдоль линий постоянного магнитного поля Но (рис 6.11 в), то вектор Н волны, перпендикулярный вектору 140
намагниченности М=ЛЫХ изменяет ориентацию вектора М. Образовавшиеся у вектора М составляющие Мх и Mv вращаются в одну н ту же сторону с частотой <ог (см. (6.53)). Представим вектор Н волны в виде двух составляющих Нх н Н„, вращающихся в разные стороны (см. рис. (6.8)). Тогда образуются суммарные составляющие НХ±МХ и НУ±МУ, имеющие разную величину. В результате вектор Н, состоящий из этих суммарных составляющих, изменяет свое положение в пространстве, а плоскость поляризации волны поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Поворот плоскости поляризации волны называется эффектом Фарадея в намагиичеииом феррите. Магнитная проницаемость феррита становится неодинаковой в разных направлениях в пространстве, а векторы Н и В имеют более сложную связь, определяемую формулами (1.22).
7.	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД. МОЩНОСТЬ ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
7.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (У)
Так как безграничного пространства в природе не существует, то поэтому необходимо исследовать физические явления на границе между средами, через которую проходят электромагнитные волны. Установлено, что волна частично отражается от границы и частично проходит из одной среды в другую. Для упрощения исследований используется приближение плоской волны, а реальную волну (т. е. неплоскую) представляют в виде суммы плоских волн, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды, фазы и направления движения. Для каждой из этих плоских волн задача решается отдельно, а затем в силу линейности процессов результирующий эффект определяется суммированием.
Задачи по изучению явлений отражения и преломления волн по своей сложности должны быть разделены на два класса: отражение и преломление волн на бесконечно протяженной плоской границе между двумя средами — сравнительно простые задачи, позволяющие решить многочисленные практически вопросы. И отражение и преломление волн при конечных границах между двумя средами — несравненно более сложные задачи, решаемые приближенно, но также
141
представляющие практический интерес. Первый класс задач будет рассмотрен в разд. 7.1... 7.5, краткие сведения о задачах второго класса приводятся в разд. 7.6.
Постановка задачи первого класса заключается в следующем. Пусть на горизонтально расположенную плоскость — границу между произвольными средами, падает плоская волна, представляемая отдельными лучами (рис. 7.1а). При этом образуются отраженная и преломленная волны. По физическим соображениям вектор Пойнтинга в падающей волне направлен к границе, в отраженной и преломленной— от границы между средами (рис. 7.16). Граница считается плоской в том случае, когда радиус кривизны поверхности раздела значительно больше длины волны колебаний поля падающей волны. Плоскостью падения называется плоскость, проходящая через нормаль к границе между средами и вектор Пойнтинга падающей волны. Различаются два вида поляризации волны: перпендикулярная, при которой вектор Е падающей волны перпендикулярен
Лучи	Лучи
повающей	отражений
волны	волны	I' 1П
Рис. 7.1. Отражение и преломление плоской волны на границе двух сред а — общая картина; б — выделение для исследования трех лучей; <р и <(„, — углы падения и отражения волн; српР — угол преломления, 1 п — нормаль к границе между средами; П—Ill—П2 — векторы Пойнтинга падающей, отраженной и преломленной воли; I—lt—li — направления движений воли
142
плоскости падения (параллелен горизонтальной плоскости) и параллельная поляризация, когда вектор Е параллелен плоскости падения (лежит в вертикальной 'плоскости). Плоскую волну можно представить как сумму двух плоских волн указанных поляризаций. Поляризация волн одинакова и неизменна вблизи границы между средами.
Необходимо указать на то, что, если при исследовании плоских волн (см. гл. 6) не использовались граничные условия, то задачи отражения и шреломления волн полностью решаются на их основе.
Рассмотрим связь между собой углов падения <р, отражения <рОтр и преломления <рПР. На основании рис. 7.16 запишем выражения для комплексных составляющих векторов поля волн, движущихся по направлениям лучей: падающей волны Ле-^1', отраженной — Be_J’T1Z1 и преломленной Ce~j’2Z*; где А, В к С — амплитудные множители составляющих векторов полей, у! и у2— постоянные распространения волн в первой и второй средах, /, lt и Z2— оси, показывающие направления движения волн. Амплитудные множители описывают количественные соотношения между интенсивностями полей и отличаются между собой только постоянными коэффициентами. Коэффициенты зависят от вида поля, составляющие которого взяты для исследования.
Для произвольной точки сходимости лучей на границе между средами, т. е. при z=0, граничные условия одни и те же для любого значения х (рис. 7.16). Поэтому можно записать
Де~/У'1 + Be_/vi'i = Се-А’2'*.	(7.1)
Так как постоянная распространения у для плоской волны записывается в виде у = р—/а (см. (5.52)), то уравнение (7.1) можно представить как
Д е-/₽>' + Bje-ZP* '* = Сг
где Д = Ае~а'1, Bi = Ве-“«'«, С = С1е-а>,’,а <хъ а2, Pi и Р2 определяются формулами (6.10), (6.11) для первой и второй среды.
Перейдем в (7.1) к координатам х и z, спроектировав I, /i и /2 на оси х и z:
Д g—/Pi(xsin<p+zcosq>) _|_ fi1C-/P1(Jtsin'₽OTp-zcos’,OTp) m
= Ct e-/₽,(Jtsi n<₽np+ZC0S4>npJ.	(7.1a)
143
Полученное уравнение при z==0 не должно зависеть от координаты х. Это возможно только при условии, что волновые множители равны между собой, т. е.
g—/Pixsintp_ g-“/Pixs*n<PoTP — g /PiXs>nQ>np
Тогда для каждого значения х
Pix sin <р == PiX sin <ротР = ₽2* sin <рпр.
Последнее уравнение распадается на
51Пф —ЭШфотр ИЛИ ф==фотр, что означает известное из оптики условие равенства углов падения и отражения, и
Pi sin <р = j32 sin фПр, откуда получается закон Снеллиуса или закон синусов sin ф/sin <рпр=р2/Р1.	(7.2)
Введем понятия коэффициента отражения
(7.3а) и коэффициента преломления или 'прохождения волны
Т=Ёг/Ё,	(7.36)
где Е, £| и £2— амплитуды электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн; коэффициенты R и Т 'могут иметь положительные и отрицательные значения. В общем случае величины, определяемые формулами (7.1)... ... (7.3), комплексные.
7.2.	ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА (С)
Пусть из вакуума или диэлектрика падает по нормали на поверхность идеального проводника плоская волна (рис. 7.2 а). Так как в идеальном проводнике отсутствуют электромагнитные поля (см. пояснения 1.6.1 и 3.5.1), то падающая электромагнитная волна полностью отражается от границы. Для этого случая используются граничные условия для тангенциальных составляющих векторов Е и Н.
Граничное условие для Ех на поверхности идеального проводника для падающей и отраженной волн запишем в виде Е+Е,=0, так как £т=0 (см. разд. 3.6) и, следова-
144
£ Н
Н, Е, -ж .
Рис. 7.2. Отражение плоской волны от границы диэлектрик—идеальный проводник
а — падающая; б — отраженная волны; в — общая картина явления
тельно, Е=—Е|. Вектор Пойнтинга падающей П=[ЕН1 волны равен вектору Пойнтинга отраженной П,—— [Е,Н1] волны с противоположным знаком. Тогда [ЕН] = [Е,Н,] и Н = Н|. Векторы Н и Н| направлены в одну сторону и тангенциальную составляющую поля Н, на поверхности идеального проводника запишем как
Нх=Н-\-Нх=2Н.
(7.4)
Ясно, что коэффициент отражения R=\, а преломления Т=0.
7.3.	ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ МЕТАЛЛА (С)
Полная задача об отражении и преломлении плоских волн на границе хорошо проводящей среды, в частности, металла, достаточно сложна и здесь не рассматривается. Рассмотрим только те элементы теории, на основе которых можно получить расчетные формулы для определения мощности потерь электромагнитных волн и колебаний в электродинамических системах с проводниками.
Пусть из диэлектрика или вакуума (ц=1, е^1) на поверхность металла падает плоская волна. Тогда, обращаясь
10—73
145
к уравнению (7.2), используя формулы (6.11) и (6.43), найдем
s*n ф  с Паа °* _ з. 108 На °а~ Ю~7 j sin Фпр ех У^2ь>	yr6i У~(
или
фЗ>фпр.
(7-5)
(7-6)
<р„р — углы падения и преломления вол-
В формуле (7.5) ф и
ны, с — скорость света, цЭ2 и аг — абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость второй среды, т. е. металла, Ei — относительная диэлектрическая проницаемость первой среды (диэлектрика), (o—2nf, f — частота колебаний поля.
На практике угол преломления фпр во много раз меньше угла падения ф. Это означает, что независимо от величины угла падения в металле преломленная ется почти перпендикулярно к границе
волна распространя-между средами (рис.
Рис. 7.3. Углы падения электрик—металл
146
7.4.	МОЩНОСТЬ ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ, ПАДАЮЩЕЙ НА ПОВЕРХНОСТЬ МЕТАЛЛА (У)
Пусть из диэлектрика или вакуума на поверхность проводника (металла) под любым углом <р и, в частности, при <р«л/2 падает плоская волна (рис. 7.4). Мощность преломленной волны определяет ту часть мощности падающей волны, которая расходуется на нагрев проводящей среды — металла, и является мощностью потерь энергии падающей волны.
Удельная мощность волны в проводящей среде при z=0 определяется вектором Пойнтинга, который направлен по оси z в металл (см. (4.3), (6.46)... (6.50), рис. 7.4), как
Я, = >/, Re Ёх Ну = >/2 Нгу Re IT,
где RerV=ypa(o/2o. Тогда
Пг = 11^'\/'^г-Н'у,	(7.7)
Г Z3
а мощность потерь на поверхности S, иа которую падает волна.
/’пот = Х/8^Л
(7.8)
Рнс. 7.4. Преломленная волна в проводнике (металле)
10'
147
Здесь напряженность магнитного поля Ну при г—0 есть тангенциальная составляющая Нх2. По граничным условиям (см. разд. 3.7) //т1 = Ят2. Следовательно, формулу (7.8) необходимо записать так:

(7.9)
где Нх— тангенциальная составляющая поля Н на поверхности металла. Так как для металлов условие (6.41) соблюдается очень хорошо, то можно считать, что Нх на поверхности металла приближенно равно Нх на поверхности идеального проводника, т. е.
Я.м«//,иД.пр.	(7.10)
Тогда граничное условие для Ех на поверхности проводника (металла), называемое граничным условием Леонтовича, примет вид
EX = W2HX,	(7.11)
где 1Г2— волновое сопротивление второй среды, т. е. металла, а Нх — тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля на его поверхности в предположении, что металл является как бы идеальным проводником.
Подобное предположение значительно облегчает практические расчеты, так как Нх на идеальном проводнике всегда можно определить.
7.5.	ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ
ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ (С)
Поставим задачу об определении коэффициента отражения R как функции угла падения волны и параметров обоих диэлектриков. Для этого запишем граничные условия в точке схождения лучей на границе между двумя диэлектриками. Используем формулы разд. 6.3 и (7.1). Направление векторов полей Ё и Н произвольное, согласованное, разумеется, с вектором Пойнтинга (см. (4.3)).
Волна с параллельной поляризацией. Запишем граничные условия для тангенциальных составляющих полей Е и Н в каждой точке границы между средами (см. рис. 7.5 а и формулы (3.25) и (3.30)): Ех}=Ех2, что соответствует
Fcosq:—£| cos <j)=£2cos <рПр;	(732)
НхХ — Нх2 или Н-\-Н1 = Н2.	(7.13)
148
Рис. 7.5. Отражение и преломление плоских волн на границе двух диэлектриков
а — параллельная; б — перпендикулярная поляризации
Отметим, что уравнения (7.12) и (7.13) соответствуют уравнению (7.1), в котором >l=£cos<p, В=—Eicosq, С= =£,2cosq)np, а волновые множители отсутствуют, так как они равны между собой.
Используя (7.2), (7.12), (7.13) соотношения W=EIH и у=(1)Уеа|1а, путем алгебраических преобразований получаем формулу для коэффициента отражения (считается, что ц1 = = 1*2 = 1)

еа cos q>—'Кех Уеа—et sin8 <р es cos	Вх V е(—ex sin8 <р
(7.14)
Коэффициент преломления 7ц определяется из уравнения (7.12) путем деления обеих частей уравнения на Ё2: cos<p— —/?(| cos ф= Тп cos фПр или
(1—/?u)sin<pnp
7 ц =----------------
cos фпр
Здесь 7?ц соответствует (7.14), a cos<pnp определяется из (7.2). Проанализируем формулу (7.14). Коэффициент отражения может быть равным нулю (/?ц=0), если соблюдается условие б2СО5ф=Уе|Уе2—е181п2ф. При этом вся энергия падающей волны переходит в энергию преломленной. Это есть
149
явление полного преломления (прохождения). Соответствующий угол падения волны ф называется углом полного преломления фп.пр или, как в оптике, углом Брюстера
S1n	(7.15)
Коэффициент отражения может быть равен единице (/?и—1). Это есть условие полного отражения. Угол полного отражения фп.отр находится из соотношения е2=£| sin2<p=0 или
sin фп.отр=Уе2/е1	(7.16)
и существует при фп.Отр>агсsinVe2/ei. если е2<£|.
Волна с перпендикулярной поляризацией. Используя те же граничные условия и формулы, получаем (см. рис. 7.5 6)
/Д1 = //,2 или Hcos<p—Hi coscp=H2cosq>np;
Etl = Et2 или £4-£)=£2.	(7.17)
Из этих соотношений получаем формулу для коэффициента отражения
Я _ е* cos	~ 61 sini! т	(7 18)
ех cos ф+Уе2—£1 sin2 ф
Здесь полное преломление возможно только при £| = е2.
Угол полного отражения определяется как
sin фп.отр — Уе2/£(	(7*19)
и существует при фп.отР>агсsinVe2/ei, если е2<£1. На основании (7.17) коэффициент преломления 1\=EJE вычисляется по формуле
7± = 1+/?х-
7.6.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВБЛИЗИ
ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ НИЗКИХ (НЧ), ВЫСОКИХ (ВЧ) И СВЕРХВЫСОКИХ (СВЧ) ЧАСТОТ (У)
Полученные в разд. 7.2... 7.5 уравнения и формулы справедливы для случая неограниченной поверхности раздела двух сред. В реальных условиях поверхность раздела всегда ограничена и, более того, поверхностей раздела может быть
150
Рис. 7.6. Распространение плоской волны вдоль плоскости раздела
а — общая картина явления; б — мгновенное (т. е. при / = const) распределение поля Е вдоль оси z (то же для поля Н)
несколько. Поэтому необходимо определить возможности использования развитой теории для 'практических применений или указать на необходимость разработки иных уравнений и формул. Для этого удобно оценить изменения величин полей и их фаз на границах между средами.
Пусть плоская электромагнитная волна падает под углом л/2 на границу между двумя произвольными средами (рис. 7.6 а). Можно считать, что волна движется (распространяется) вдоль границы раздела по оси г. Напомним, что закон распространения (движения) волны (см. разд. 5.8) описывается множителем cos (щ/—pz). Зафиксируем время t=t\, выделим на пути движения волны точки 1 и 2 (рис. 7.6 6) и определим изменение напряженности поля Е между точками, полагая для упрощения /1=0. Тогда
Ег — Et — E cos (— Pzj) — Е cos (— pz2) =
= — 2E sin В	sin
2	2
Если zi»z2, то (zi-+-z2)/2«z, z,—z2=—Az, sinpAz/2^ «pAz/2 и
Ei—E2«pAzsin pz.
Так как р=2лД, получаем
Ei — Et = 2л sin pz Л
151
или
AE~Az/X.	(7.20)
Формула (7.20) показывает, что отличие напряженности «поля в двух близких точках зависит от отношения расстояния между точками к длине волны колебаний поля. Величина рДг есть разность фаз <р колебаний поля Е между точками 1 и 2. При малом отношении Az/X<^C I разность фаз поля мала или приближенно в точках 1 и 2 одна и та же фаза поля
Дф = <Р1-<₽а~2л-^-	(7.21)
Легко видеть, что при малом отношении Az/X в точках 1 и 2 напряженности поля Е примерно одинаковы.
Все изложенное выше справедливо отнести к полю Н и к плотности тока, который образуется во второй среде, если вторая среда — проводник.
При большом расстоянии между точками 1 и 2, т. е. при Az/X>l, для определения разности Et—Е? необходимо использовать исходную формулу.
Рассмотрим ограниченное пространство с размерами L\, L2 и L3 (рис. 7.7), на которое падает плоская волна. Назовем такое пространство телом с параметрами еа, р.а и о. На границах тела нарушается непрерывность граничных усло-
Рис. 7.7. Паление плоской волны на ограниченный объем среды Непрерывность границ нарушается на ребрах А и Б, на углах В
152
вий, например, на ребрах А и Б, поэтому математические выкладки предыдущих разделов нельзя применить к рассматриваемому случаю. Установим критерии, при которых возможно применять формулы разделов 7.1...7.5.
Если размеры тела £ь L2 и £з значительно меньше длины волны, т. е. Л2<^Х и Лз<О, то тело не оказывает влияния на волну; амплитуда и фаза волны практически неизменны на теле, что следует из соотношений (7.20) и (7.21). Формулы разд. 7.1...7.5 не применяются. Если размеры тела сравнимы с длиной волны, то в этом случае анализ явлений резко усложняется и составляет теорию дифракции. Формулы разд. 7.1...7.5 непригодны. При условии, что размеры тела значительно больше длины волны, теория разд. 7.1...7.5 применима, а явления отражения и преломления волн сходны с законами оптики. Отметим частные случаи распространения электромагнитных волн вблизи тел особой конфигурации. Пусть тело представляет собой удлиненный проводник (провод). Тогда при условии, что длина провода
L<^K	(7.22)
приходим к электротехническим и радиотехническим цепям низких частот (НЧ), (рис. 7.8 а). В таких цепях величины полей возле провода, тока в проводе и их фазы практически одинаковы во всех точках провода в данный момент времени. В этих случаях расчеты цепей проводятся по законам электротехники.
Пояснение 7.6.1. В электротехнических цепях условие (7.22) должно распространяться и на размеры элементов цепи, т. е. размеры коиденса-
Рис. 7.8. Электрические цепи
а иизкнх частот (НЧ); б — сверхвысоких (СВЧ) частот; пунктир — мгновенное распределение тока (и соответственно полей Е и Н) по проводу I
153
торов, резисторов и катушек индуктивности должны быть малыми по сравнению с длиной волны колебаний тока или напряжения в цепн.
По мере уменьшения длины волны колебаний поля X (рис. 7.8 6) получаем неравенства
и £<СХ.	(7.23)
Такие цепи называются цепями сверхвысоких частот (СВЧ). Методы их расчетов совершенно отличны от расчетов низкочастотных электротехнических цепей, основываются на методах электродинамики и составляют научную область, называемую «Техника СВЧ».
Цепи или устройства СВЧ создаются из отдельных отрезков проводников и диэлектриков и имеют сложную конфигурацию: два или более близколежащие 'провода, две металлические пластины с диэлектриком между ними, металлическая труба, металлические полости, свернутый в спираль провод и др. Обычно в таких системах геометрические размеры сравнимы с длиной волны.
7.7.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 7 (С)
Пример 7.1. Частный вид формулы (7.9) для мощности потерь. Пусть плоская электромагнитная волна 'падает по нормали из воздуха (или вакуума) на плоскую металлическую поверхность. Обратимся к формуле (7.9). Интеграл \ H2xds =H$S, так как металлическая поверхность 5 совпа-s
дает с фронтом плоской волны, на котором поля неизменны по величине. На основании выводов разд. 7.2 имеем Н,=2Н или Hx=2EIWo, так как для 'плоской волны в вакууме Е= = W0H (см. разд. 6.3). Тогда формула (7.9) примет вид
/}пот = 1/2 1/ -^-Я?5 = 2|/ ^(E/WrfS. г 2(3	у 2(3
Пример 7.2. Коэффициент отражения от проводника. Если плоская волна падает из воздуха по нормали к плоской металлической поверхности (см. разд. 7.2), то коэффициент отражения (7.3 а) может быть записан в виде R= — Ei/E=ynjn, так как всегда мощность или плотность мощности, т. е. вектор Пойнтинга, пропорциональны квадрату амплитуды поля волны. Из закона сохранения энергии
154
следует, что плотности мощностей или значения векторов Пойнтинга составляют уравнение
/71 —П—Ппот,
где плотность мощности потерь /7ПОт определяется формулой (7.7). Так как мощность потерь на металле мала то сравнению с мощностью падающей волны, то
Ппот П
— 1—77пот/2/7.
Подставив значение /7ПОТ из (7.7) и вектор Пойнтинга падающей плоской волны П из (6.28), используя (6.25) и (6.24), получим
раы (2Н)2	1 . /“ pato
2а H2W0^	Wt V 2а ’
где ра и о — параметры металла, a W7o=120n, Ом — волновое сопротивление свободного пространства.
Пример 7.3. Отражение и преломление волны на границе воздух—вода. Для воздуха Bi = l, pi = l, Oi=0; для воды е2==81, р2=1, 02=0. Определим коэффициенты отражения и преломления для следующих случаев:
падающая волна направлена то нормали к границе раздела, т. е. угол падения <р=0; в результате
угол падения равен углу Брюстера, т. е. sin <рп.пр = =У81782» 1—1/162: тогда
/?„ =0,	при перпендикулярной поляризации
7'в^= 1,	угол Брюстера не существует;
падающая волна распространяется вдоль границы раздела, т. е. угол падения равен л/2; при этом
7?к— 1, Л= О,
R±=—1, 7\= 0.
Отрицательные значения коэффициентов отражения означают, что тервоначально принятые направления векторов Е| должны быть изменены на 180°.
155
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
7.1.	Опишите схему процесса отражения и преломления плоских волн на границе раздела двух сред.
7.2.	Дайте определение углам падения, отражения и преломления.
7.3.	Определите виды поляризации волн.
7.4.	Объясните методику построения векторов поля и векторов Пойн-тиига для падающей, отраженной н преломленной воли.
7.5.	Запишите закон синусов для углов падения и преломления.
7.6.	Объясните физическую сущность явления полного отражения волны от поверхности идеального проводника и расскажите о применении граничных условий.
7.7.	Почему угол преломления при падении волны на проводник значительно меньше угла падения?
7.8.	Какое явление характеризует преломленная волна, движущаяся из диэлектрика в проводник?
7.9.	Как определяется мощность потерь электромагнитной волны на поверхности проводника?
УПРАЖНЕНИЯ
7.1.	Определите угол преломления волны, падающей иа металлы с о=4-106.. .5-107 См/м и ц=1...400 иа частотах f= I03.. .10-10* МГц
Ответ: sin <рпр = (УЮ/6)  10~3 sin <р при о=4-106См/м, ц=1, /= = 10* МГц, с увеличением о и уменьшении ц и f, угол преломления уменьшается.
7.2.	Определите мощность потерь, выделяемую плоской электромагнитной волной с напряженностью электромагнитного поля 30 В/см н Хо= = 10 см, падающей перпендикулярно из вакуума иа стальную плиту, площадь 1 м! (ц=400, о=107См/м).
Ответ: (50у30/л) Вт «50}'3 Вт.
7.3.	На какой глубине стальной плиты (см. упражнение 7.2) выделяется основная мощность потерь электромагнитной энергии (используйте материал разд. 6.5)?
Ответ: <7=У10/4 л мкм«0,25 мкм.
7.4	Определите коэффициенты отражения и преломления волны, движущейся из воды (ei=81, О|»0) в воздух.
Ответ: при <р=0.. ./?й==—0,8, 7^ =1,8,
/?±=0,8. 7^=1,8.
156
при <р„.Пр=У1/82, <Рп.отр=}'1/81,
при ф=л/2.. J?N = —1, 7’и=0, /?±=—1, 7\=0.
7.5.	Определите коэффициент отражения волны от стальной плиты (характеристики волны и параметры стали даны в упражнении 7.2. а расчетная формула приведена в примере 7.3).
Ответ: /?=1-(1/у30)-IO-3«0,99982.
ДОПОЛНЕНИЕ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ.
РЕФРАКЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН
Поверхностные волны. Рассмотрим физические явления, происходящие на границе между двумя диэлектриками при углах падения, больших чем угол полного отражения фл.Отр (см. формулы (7.16) и (7.19)). Так как для диэлектриков 0=<оУеаца и рЯ| = ца2, то формула (7.2) для угла преломления флр примет внд
sin <p„p=sin срУЕ1/е2,
где <р — угол падения волны.
Подставим в последнюю формулу значение синуса угла падения при полном отражении sin <p=sin <рл.л,р— I'ej/ei, обозначив получающийся угол преломления ср'лр как
sin «р'лр=sin <рп.ОтрУв1/е2= I и <р'лР=я/2.	(7.24)
Всегда может быть, что <р больше угла <рл.Отр. Тогда из (7.24) следует, что sin<pnp>l. Такое неравенство может удовлетворяться только при условии, что значение угла преломления <р"пр станет комплексной величиной, т. е.
<р"Лр=<р'лр-Нв=Л/2+/6-
Тогда
sin ф"лр= sin(я/2+/0) =cos /0 = ch в,
cos (p"„p=cos(n/2+/0) =—sin /0 = —/ sh 0.	(7.25)
Преломленная волна с введением (7.25) может быть представлена так (см. (7.1а))
-/Yi(xsin<p;p + «.s»;p)	-/Y,«he -Y,«h6
Cg е	— е	е >	v. *t>)
157
где — комплексная амплитуда любой составляющей преломленной волны 12=ыУеа2Но- Рассмотрев волну, описанную формулой (7.26), сделаем следующие выводы:
преломленная волна распространяется вдоль координаты х, т. е. вдоль границы между диэлектриками, по закону e~/’v’*che, соответствующему cos (at—-(2xch6) ;
амплитуда преломленной волны уменьшается с увеличением координаты z по закону е v«2Sh0. максимальное значение соответствует z—0. Такая волна называется поверхностной электромагнитной волной. Определим ее фазовую скорость, которая определяется из фазового коэффициента p2=Y2ch0 (см. (7.26)):
СО	1	Рф. о
Иф. Пон = "Т- =	.... .	=	„ •
₽ Уеа1НосЬ6 che откуда видно, что фазовая скорость поверхностной волны Оф.по„ всегда меньше фазовой скорости 0ф.о обычной волны в данной среде, так как гиперболический косинус всегда больше единицы.
Рефракция волн. Явления отражения и преломления электромагнитных волн рассматривались на границе двух сред при условии скачкообразного изменения их параметров. Однако существуют важные практические задачи о преломлении волны на размытой границе двух сред. К ним относится задача о распространении радиоволн в атмосфере Земли, где параметры атмосферы (диэлектрическая проницаемость, проводимость) плавно изменяются с высотой, а также вдоль поверхности. Две среды с размытыми границами между ними могут рассматриваться как одна неоднородная среда. Математическое описание распространения волн в неоднородных средах приведено в дополнеинн к главе 5. Здесь приведем приближенное исследование вопроса о плавном преломлении волны при прохождении ею нерезкой границы между средами. Плавное преломление волны выражается в искривлении пути движения волны, называемое рефракцией. Размытую границу изменения еа можно представить в виде тонких слоев с дискретными еа (рис. 7.9). Проведя расчеты преломления волн на каждом слое по формулам разд. 7.5, можно построить общую картину искривления, т. е. рефракции лучв. Чем больше число слоев и меньше нх толщина, тем точнее построение.
Явление рефракции в атмосфере играет важную роль при определении истинной траектории движения волны и ограничивает возможность точного наведеиня луча радиоволны от передатчика к приемнику прн определении направления к какому-либо объекту в радиолокации и радионавигации.
Дифракция волн. Эксперименты с облучением тел электромагнитными волнами (например, светом) показывают, что волны как бы огибают
158
Рис. 7.9. Рефракция волны в атмосфере
а — передатчик; аб— направление луча волны; ав — искривленный луч; прием радиосигнала в точке в указывает на неверное направление вг на передатчик
тело, не образуя четкой границы тени. Это явление называется дифракцией и играет важную роль в теории антенн, радиолокации, распростра нення радиоволн в неоднородных средах. Можно различать дифракцию двух видов: на теле, находящемся в поле волны, и на отверстии в экране, на который падает волна. В большинстве случаев тело или экран являются проводящей средой — металлом, считающимся идеальным проводником.
Задачи днфракции первого вида состоят в определении электромагнитного поля, когда на пути движения волны имеется тело, размеры которого сравнимы с длиной волны. В разделе 7.6 были определены приближения, используемые при изучении явлений падения, отражения и преломления волн на телах. Этими приближениями и определяются методы решения задач дифракции. Рассмотрим их еще раз с учетом специфики теории днфракцнн. Задачи дифракции второго вида по сути дела сходны с задачами первого.
Если размеры тела илн отверстия в экране (рис. 7.10) во много раз больше длины волны то можно использовать метод, илн; как говорят, приближение геометрической оптики, т. е. считать, что волна состоит из отдельных лучей. Лучн не огибают препятствие в виде тела нлн проходят через отверстие в экране, образуя четкую границу тени. Примером этого метода являются законы оптики. В этом случае нельзя объяснить появления размытых границ тени. При размерах тела близких
159
C	zT
Рис. 7.10. Приближение геометрической оптики в теории дифракции
а — дифракция иа теле Т; б — дифракция на отверстии в экране Э; Л—-лучи волны
к длине волны, применяется уточнение метода (или приближения) геометрической оптики, состоящее во введении фиктивных вторичных или элементарных излучателей (рис. 7.11). Вторичные излучатели находятся на теле или в плоскости отверстия в экране и образуют свое поле излучения (вторичное поле), существующее за телом или за краем отверстия. Вследствие этого граница тени становится размытой. Недостаток подобного приближения, называемого методом физической оптики или принципом Гюйгенса—Френеля, состоит в том, что расположение фиктивных источников задается достаточно произвольно, исходя из предполагаемой примерной картины электромагнитного поля на теле или в отверстии.
Точное решение задач дифракции возможно провести лишь в немногих случаях, когда тело, на которое падает волна, имеет простую форму сферы, бесконечного цилиндра, клина (рис. 7.1Й). В этом случае реше-
Рис. 7.11. Метод физической оптики или принцип Гюйгенса—Френеля И — вторичные или фиктивные источники электромагнитных волн
160
Рис. 7.12. Точное решение задачи дифракции иа сфере
£i и Ht — первичное поле; £2 и Нг — отраженное или рассеянное поле; сумма £i4-£2 и Wi-f-Z/j — общее поле
ние проводится по следующему плану: в пространстве вокруг тела записываются поле падающей волны, называемое первичным полем и поле отраженной от тела волны (вторичное или рассеянное поле) в виде бесконечной суммы сферических или цилиндрических волн, если отражающее тело имеет форму сферы нли цилиндра соответственно. Далее рассматриваются граничные условия на поверхности тела, а в каждой точке пространства определяется суммарное поле. Расчеты проводятся на ЭВМ.
8.	ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
8.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Экспериментально установлено, что текущий по проводу переменный электрический ток (ток проводимости) образует в пространстве вокруг провода движущиеся электромагнитные поля. Известно, что, если в металлической поверхности имеется отверстие, то возникшие в отверстии токи смещения будут возбуждать электромагнитные волны. Наконец, показано, что при изменении скорости электронов, движущихся в вакууме, также возникают электромагнитные волны. Таким образом, встает общая задача возбуждения или излучения электромагнитных колебаний н волн. Все перечисленные токи являются сторонними токами (см. разд. 4.4).
Пояснение 8.1.1. Необходимо еще раз подчеркнуть, что образование, т. е. возбуждение или излучение электромагнитного поля обусловлено только уменьшением кинетической энергии зарядов конвекционного тока в генераторе электрических колебаний (см. разд. 1.5). А кинетическая энергия зарядов поддерживается неэлектромагнитнымн силами.
11—79
161
Из всего круга вопросов излучения будем рассматривать только задачи, связанные с возбуждением волн антенными устройствами, которые состоят из отдельных проводников с токами проводимости и токами смещения между проводниками.
Исследования вопросов излучения разделяются на две части: общетеоретическая, где рассматриваются неоднородные уравнения Гельмгольца, полученные из уравнений Максвелла со сторонними токами и полями (см. разд. 5.1... 5.6), и конкретное применение теории для простейшего излучателя, называемого «диполем Герца».
8.2.	НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (У)
Уравнение Гельмгольца (5.13) решается строго аналитически, что показывается в курсах математической физики. В разд. 5.6 были получены уравнения, описывающие поля, возбужденные элементом тока. Для тока, распределенного в объеме и зависящего от координат, необходимо получить интегральное представление решения уравнения (5.13). Рассмотрим такое решение, используя метод суперпозиции ввиду линейности исходных уравнений Максвелла и всех математических операций. Как показано в разд. 5.6, каждому элементу стороннего электрического тока соответствует сферическая волна, описываемая векторным потенциалом (5.28)
1„	(8.1)
г
где С — постоянная, г — текущий радиус, 1/ — направляющий единичный вектор. Пусть излучение происходит в вакууме или воздухе, тогда фазовый коэффициент р=& = = (о/с=2л/Хо (с — скорость света, Хо— длина волны колебаний в свободном пространстве (см. разд. 6.3)).
Рассматривая в уравнении (5.13) второе слагаемое в левой части, необходимо считать, что формулы (5.28) или (8.1) описывают пропорциональную зависимость Аэ от Лст.э. т. е.
j
Аэ “ JCT е г
(8.2)
162
Так как сторонний ток существует не только в точке, а в элементе объема dV, то (8.2) надо записать так:
е—
dA, — JCT, —— d V.	(8.3)
Здесь г — расстояние от каждой точки элемента объема dV= г2 sin 0drd0d<p (см. приложение П.1) с плотностью тока Jcr.a до точки наблюдения.
Если в объеме V имеются сторонние токи, то векторный потенциал Аэ в любой точке наблюдения запишется как интеграл то объему V. Тогда (8.3) примет вид
A9 = ^-fjCTe^-^dV, 4л J г
(8.4)
где 1/4 л — нормировочный множитель, полученный из строгого решения, a JCT.S является функцией координат г, 0 и <р. С помощью уравнения (8.4) решаются задачи излучения электромагнитных волн, т. е. исследования и расчеты антенн.
Подобное уравнение может быть получено и для задач излучения магнитным сторонним током Jct.m (см. разд. 4.4).
8.3.	элементарный электрический излучатель (ДИПОЛЬ ГЕРЦА) (У)
Рассмотрим простейшее решение уравнения (8.4), при котором удается легко вычислить интеграл. Пусть генератор создает сторонний электрический ток JCT.S в отрезке тонкого провода / малой длины, находящегося в свободном пространстве (рис. 8.1). Примем, что /САо- Тогда плотность тока в отрезке провода будет постоянна по его длине и сечению (см. разд. 7.6). Элемент объема с плотностью тока Лст.э равен dV=Sd/, где S — сечение провода. Пусть точка наблюдения находится на большом расстоянии от отрезка провода так, что 1<^г. Поэтому можно считать, что расстояние г примерно одинаково от точки наблюдения до любой точки провода. Следовательно, множители, зависящие от г, можно вынести за знак интеграла, так как элемент dV теперь не связан зависимостью с г и
Аэ= e~/fcrfjCT.SdZ.
4л г •}
и
163
Рис. 8.1. Элементарный электрический излучатель (диполь Герца)
а — схема; б — излучатель и точка наблюдения О; в — к вычислению тока в излучателе (сечеиие провода показано сильно увеличенным, всегда радиус провода во много раз меньше его длины)
Вводя ориентацию тока JCt.sS = /1/, где 1/ — единичный вектор, направленный вдоль провода, имеем
А. = -^^ 1,.	(8.5)
4л г
Решение получено, поля Е и Н определяются по первой формуле из (5.9) и по первому уравнению Максвелла (3.20 6)
Н = -— rotA„ Е = —— rotH = —— rot rot Аэ. 1*0	/®8о	/®80Ц0
Проделав необходимые дифференциальные операции, получим три составляющих поля:
Ее - —-— (1 + jkr—k* г») е~/*' sin 6, /4лй>е0 г*
Ёг = -о - — (1 + jkr) e-/»'cos 6, /2л(дв0Га
Н* — ——(1 4- ikr) sin 6, 4лг*
164
где в — угол между осью проводника и радиусом, т. е. между 1/ и г. Заметим, что выражение для Й„ совпадает с (5.29), а составляющие поля Ёв и Ёт могут быть получены из первого уравнения Максвелла (3.20 а).
Рассматривая полученные формулы, можно сделать следующие выводы:
поля изменяются по радиусу г и углу 0; от координаты <р поля не зависят, в этом проявляется осевая симметрия полей в плоскости, перпендикулярной оси диполя, магнитное поле Н? образует замкнутые линии вокруг тока /, электрическое поле £в параллельно линиям тока / при 0=л/2,
интенсивность полей зависит от произведения 11, называемого моментом диполя;
ток проводимости диполя / переходит в пространстве вокруг диполя в ток смещения согласно уравнению непрерывности тока (см. разд. 4.7 и пример 4.5);
зависимость полей от радиуса г имеет сложный характер и ее надо исследовать отдельно.
Если точка наблюдения находится вблизи диполя и соблюдается условие kr<^l или то множитель e~>krxl. Это указывает на отсутствие у полей явно выраженных волновых свойств. У электромагнитного поля энергия, движущаяся от диполя в пространство, невелика по сравнению с энергией, совершающей колебательное движение возле диполя (колеблющаяся энергия, см. разд. 4.3). В полях преобладают составляющие, пропорциональные 1/г3 и 1/г2. Эта часть пространства вблизи диполя называется ближней зоной или зоной индукции, т. е. зоной непосредственного наведения поля.
Если точка наблюдения выбрана далеко от стороннего тока, т. е. от диполя, то kr^l или г^>Хо, и в этой части пространства существует бегущая от диполя электромагнитная волна, описываемая множителем e_-’hr, полная запись которого с введением временного множителя е’"‘ имеет вид или в тригонометрической форме cos (и/—kr). Это пространство называется дальней или волновой зоной диполя. Поля в волновой зоне имеют следующий вид:
= ------------S,n6>
2Хл	т
165
it p—/kr
^ = -~-------sin 6,	(8.6)
ZAo Г it p—/*r
= VC°S6’
где W(l—Vno/eo= 120 л, Ом, 0 — угол между радиусом г и ортом 1/. Мгновенное распределение полей по радиусу г рассмотрено в примере 8.1. Две первые формулы из системы (8.6) идентичны с формулами (5.30) и (5.31). Таким образом, диполь Герца является практической реализацией элементарного тока.
В волновой зоне диполя электрическое поле в пространстве представляется в виде замкнутых линий (рис. 8.2) с максимальной напряженностью поля в области углов 0=л/2, т. е. в плоскости, перпендикулярной оси диполя. В этой же плоскости максимально и магнитное поле. Волна поля движется по радиальному направлению г и имеет поперечные составляющие Ёв и Н^, которые в свою очередь образуют вектор Пойнтинга П=/7Г1Г (см. (4.3)), т. е.
Пг = */а Re Де = 7« (//Ао И’ sin“ б.	(8.7)
Рис. 8.2. Поля электрического элементарного излучателя
а — электрическое поле (симметрично относительно оси диполя); б — магнитное поле (вид по оси диполя); в — упрощенное изображение полей
166
Диполь
Рис. 8.3. Определение сопротивления излучения R мзл ДИПОЛЯ
а — от генератора в диполь передается мощность излучения Ри>л; б — эквивалентная схема
Вычислим поток мощности от диполя, равный интегралу по сфере от Пг и называемый мощностью излучения
Ртл = фПг ds =	г)* w0 J JГ2Sin3G dT dG,
s	bo
где ds=r2 sin 0d<pd0. После интегрирования получаем
/5Изл = 1/ал1Г0(/7/Ма-	(8-8)
Можно говорить о том, что генератор электромагнитной мощности, отдающий в активную нагрузку мощность, равную Ризл (рис. 8.3 а), подключен в точках А—Б к активному сопротивлению (рис. 8.3 6), которое называется сопротивлением излучения Ризл. Тогда
РНзл=7а/’/?Иэл	(8.9)
или
Ризл = 2/Зл^0(/Д0)2.	(8-10)
Сопротивление излучения характеризует нагрузку излучателя на генератор и определяет тип генератора, его кпд.
Для волновой зоны вводится понятие характеристики направленности излучателя, которая ‘показывает изменение величины электрического и магнитного полей по углам 0 и <р при r=const, т. е.
Гв,Я9=/,(0) и £в,//Ф=/2(ф).	(8.11)
167
Рис. 8.4. Диаграммы направленности излучении
диполя в плоскостям
а — вертикальная; б — горизонтальная (вид вдоль оси диполя)
Изображение характеристики направленности на рисунке называется диаграммой направленности (рис. 8.4). Легко видеть, что fi = sin 0, f2=const (см. формулы (8.6)).
Сопротивление излучения и характеристика направленности являются важнейшими показателями качества любой антенны.
8.4.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МАГНИТНЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ.
РЕАЛЬНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ (С)
Элементарный магнитный излучатель представляет собой виток провода с переменным током (рис. 8.5). Размеры витка значительно меньше длины волны колебаний тока. Сторонним током здесь является магнитное поле, образованное витком. Введем в уравнение Максвелла (4.5) выражение для магнитного векторного потенциала Ам (см. (5.9)) и проделаем математические преобразования, аналогичные приведенным в разд. 5.4. В результате получим неоднородное векторное уравнение Гельмгольца для Ам вида (5.16). Решение полученного уравнения подобно решению уравнения для электрического векторного потенциала. Для дальней зоны излучателя будут справедливы следующие формулы:
/с	о—/*г	/ч	ikr
Ev = -!±Woe-----sin6’	----sin0-
A»0	T	Ao	f
где 1 — ток в проводе витка, S — площадь витка. Из формул видно, что у полей магнитного излучателя ориентация век-
168
Рис. 8.5. Элементарный магнитный излучатель в виде витка провода с током
плоскость витка лежит в плоскости уог, координаты х, у, г даны для лучшей ориентации; для анализа излучателя применяется сферическая система координат
Рис. 8.6. Щелевой излучатель
169
торов иная чем в электрическом (см. (8.6), рис. 8.2 и рис. 8.5). Однако диаграммы направленности такие же, как и электрического излучателя.
К магнитным излучателям относится щелевой излучатель, представляющий собой узкую щель, прорезанную в металлической поверхности (рис. 8.6). К середине щели подводится переменное напряжение, возбуждающее в щели токи смещения. Возникающее вокруг токов смещения магнитное поле Н является сторонним полем или магнитным сторонним током (см. разд. 4.4).
Реальные излучатели или антенны отличаются от элементарных излучателей тем, что их геометрические размеры сравнимы с длиной волны, либо вблизи излучателя находятся проводящие поверхности или другие излучатели. В обоих случаях вычисления векторных потенциалов с помощью формулы (8.4) усложняются. Задачи такого типа составляют теорию антенн.
8.5.	ВТОРИЧНЫЕ (ФИКТИВНЫЕ) ИСТОЧНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТ ГЮЙГЕНСА (С)
Для расчетов излучателей, представляющих собой боль
шие по сравнению с длиной тия в металлическом экране,
волны различного вида отверс-для задач дифракции используется метод вторичных (фиктивных) или эквивалентных источников. Метод заключается в том; что каждая точка фронта волны на поверхности отверстия заменяется фиктивным элементарным источником сферической волны (рис. 8.7). Полное поле вне отверстия в произвольной точке А является суммой полей вторичных источников. Особенность каждого фиктивного источника состоит в том, что его излучение направлено вперед от
Рнс. 8.7. Вторичные источники (ВИ) на отверстии в металлическом экране
170
Рис. 8.8. Элемент Гюйгенса
1 — электрическое поле £э диполя, расположенного вдоль оси у, 2 — электрическое поле £„ круговой рамки, расположенной в плоскости ху. Поле в направлении А равно нулю, в направлении Б — максимально
фронта волны. Такой источник можно построить из элементарных электрического (диаполя) и магнитного (рамки) излучателей (см. разд. 8.3 и 8.4), поля которых при сложении образуют в пространстве направленное излучение (рис. 8.8). Подобный излучатель называется элементом Гюйгенса и рассматривается в теории антенн.
8.6.	ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ (У)
При исследовании различных излучателей возникает вопрос являются ли одинаковыми характеристики антенн в режиме излучения и приема электромагнитных волн. Чтобы ответить на него, следует рассмотреть принцип (или теорему) взаимности, основанный на лемме Лоренца.
Пусть в изотропном пространстве имеются два источника электромагнитного поля с плотностями сторонних электрических токов Jct.si и Jct.32- Эти сторонние токи создают соответственно поля Б,, Н] и Ё2, Н2, которые описываются уравнениями Максвелла
rot Н1=/(йеаЁ1+Лст.э1, rot Ё( = —/<О|ХаН1, rot H2:=/(0eaE2_|-JcT.32> rot E2=—/<£>РаН2.
(8.12)
(8.13)
171
Умножив скалярно первое уравнение из системы (8.12) на Ё2, а второе из системы (8.13) на Нь вычтем первое из второго:
Ё2 rot Hi—Hi rot Ё2=/юЕаЁ1Е2+Лст.э1Е2+/<йИаН1Н2.	(8.14)
Затем умножив скалярно первое уравнение системы (8.13) на Ёь а второе из системы (8.12) на Н2, снова вычтем одно из другого:
Ё) rot Н2—H2rot Ё| = /(ОЕаЁ2Ё|4-Лст.э2Ё|4-/ыраН1Н2.	(8.15)
Левые части уравнений (8.14), (8.15) представляют собой дивергенции векторных 'произведений соответствующих векторов. Если из (8.14) почленно вычесть (8.15), то имеем соотношение
div[E|H2]—div [ E2Hi] =JCt.siE2—ЛСт.а2Ё|,	(8.16)
называемое леммой Лоренца.
Проинтегрировав (8.16) по объему V и применив к левой части полученного уравнения теорему Гаусса (см. приложение П.З), получим
{IE1HJl-[E2H1))ds=	(8.17)
s	v
Уравнение (8.17) — интегральное представление леммы Лоренца.
Если распространить интегрирование в формулах (8.17) по всему пространству, то поверхность S будет стремиться к бесконечности. Так как мощности источников конечны, поля Ёь Нь Ё2 и Н2 стремятся в бесконечности к нулю, поэтому левый интеграл в (8.17) исчезнет. Но в каких-то частях объема V величины сторонних токов jtT.st и Лст.эг отличны от нуля, и тогда можно записать, что
0= f JcjEjdV- Jj^ExdV, V.	г.
где У2 — части объема V. Далее имеем
( JcT»iE,dV= f Je^dV.	(8.18)
v.	i*.
172
Здесь E| — электрическое поле, созданное сторонним током Jct.,i в объеме У2, а Ё2—поле, созданное сторонним током Jct.32 в объеме Vt. Уравнение (8.18) представляет собой принцип или теорему взаимности. Рассмотрим частный случай, когда объемы Vt и V2 представляют собой цилиндры длиной /1 и /2 и сечениями St, S2. Если плотности токов в сечениях постоянны, /|=/2 и S|=S2, то
1ст.э1 Ё2=1ст,э2Ё|.	(8.19)
Соотношение (8.19) показывает, что при одинаковых по геометрическим размерам источниках излучения и одинаковых токах в них взаимные поля, создаваемые источниками, равны. Иначе говоря, передающая антенна может работать как приемная, при этом ее характеристики остаются неизменными.
Для анизотропных сред принцип взаимности неприменим.
8.7.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 8 (С)
Пример 8.1. Мгновенные распределения составляющих поля Ё» и Йч в дальней зоне диполя. Обратимся к формулам (8.6) и представим составляющие полей Ёе и Й, в тригонометрической форме. Взяв действительную часть от е~-'/1г и вводя величину со/, получим
Ев = JL Wo	sin 6,	sln е.
2\>	г	2Х0 г
Мгновенные распределения полей £в и Я, от г при t — =const имеют одинаковый вид (рис. 8.9 а). При изменяющемся времени, т. е. при волновом процессе, периодическая кривая внутри огибающей будет непрерывно перемещаться (рис. 8.9 6). Любой измерительный прибор (например, измеритель напряженности электрического поля Е), помещаемый в разные точки вдоль радиуса, зафиксирует изменение амплитуды поля Ев согласно закону изменения огибающей в виде 1/г (рис. 8.9в).
Пример 8.2. Сопротивление излучения диполя Герца. В теории элементарного излучателя — диполя Герца принято, что (см. разд. 8.3). Пусть /=0,1 7.0, тогда из формулы (8.10) следует, что сопротивление излучения /?Нзл=7,9 Ом. Это сопротивление является нагрузкой для высокочастотного
173
Рис. 8.9. Изменение полей диполя в дальней зоне излучения
а — мгновенное распределение при /=const; б — в разные моменты времени t|, /2, /3; в—изменение амплитуд полей
генератора, питающего энергией диполь. Для некоторых антенн /?изл еще меньше.
Пример 8.3. Антенна радиовещательной радиостанции как диполь Герца. Антенна длинноволновой радиостанции представляет собой металлическую башню высотой порядка 100 м. Считаем, что антенна является диполем Герца. Пусть длина волны колебаний радиостанции равна 2000 м, тогда сопротивление излучения антенны на основании формулы (8.10) будет равно /?Изл=1,97 Ом и значительно меньше рассчитанного в примере 8.2.
При мощности излучения радиостанции РИзл=500 кВт (это не очень большая мощность) амплитуда тока в антенне-башне
/«710 А.
Этот ток не должен вызывать падения напряжения на паразитных сопротивлениях в антенне и системе подводки энергии к антенне. Поэтому сопротивление контактов и самих элементов антенны должно быть значительно меньше 1,97 Ом, что обеспечить в громоздкой металлической конструкции антенны-башни и в системах подвода энергии к антенне затрудительно.
Пример 8.4. Ориентация диполя Герца на спутнике. На спутнике, летящем на высоте 100 км, расположена антенна в виде элементарного электрического излучателя (диполя Герца). Напряженность электрического поля у поверхности
174
Земли в точках непосредственно под спутником и на расстоянии 1000 км одна и та же (рис. 8.10). Определить возможные ориентации диполя на спутнике. Принять для упрощения, что Земля плоская.
Воспользуемся понятием диаграммы направленности излучения диполя (см. (8.11) и рис. 8.4). Если ось диполя расположена параллельно поверхности Земли, то в плоскости, перпендикулярной оси диполя, интенсивность поля одинакова во всех направлениях (см. (8.6)), так как зависимости от <р нет. При этом условия задачи не выполняются: в точке, отстоящей на 1000 км, напряженность поля будет значительно меньше, чем в точке под спутником. В случае, когда ось диполя расположена в вертикальной плоскости, интенсивность полей при r=const определяется величиной sinO (см. (8.6)). Можно составить пропорцию, определяющую заданные условия Ее|=£в2 (см. рис. 8.10), т. е.
sin 8|/г=sin 02/Л
и, имея в виду, что 01+02+0з=л, получаем решение
01=л/2 и 02=агс sin/г/у/т24-/2.
Пример 8.5. Определение угла полного преломления на основании теории диполя Герца. Исходя из граничных условий в разд. 7.5 было показано, что угол полного преломления при падении плоской параллельно поляризованной вол-
Рис. 8.10. Ориентация диполя на спутнике
175
ны на границу между двумя диэлектриками определяется из соотношения (7.15)
sinq>nnp=/ е8/(ех + е3).
Покажем, что это соотношение может быть объяснено теорией диполя Герца. В результате колебаний молекул и атомов диэлектрика под действием электрического поля падающей волны возникает вторичное электромагнитное поле, которое и составляет отраженную волну. Колеблющиеся молекулы и атомы диэлектрика как бы переизлучают энергию падающей волны в энергию отраженной и представляют собой элементарные излучатели, подчиняющиеся законам теории диполя Герца (рис. 8.11). Тогда при параллельной поляризации волны (см. разд. 7.1) оси молекул-диполей расположены в плоскости падения. Из формул (8.6) и характеристик направленности (8.11) следует, что вдоль оси диполи не излучают, т. е. по направлению АБ излучения нет. Если при каком-то угле падения направление АБ совпадает
Рис. 8.11. Образование угла полного преломления при падении параллельно поляризованной плоской волны
АБ — ось молекул-диполей, вдоль которой излучения нет
176
Рис. 8.12. Отсутствие угла полного преломления при горизонтальной поляризации волны
ось диполя перпендикулярна рисунку
с направлением отраженной волны, то отражения от диэлектрика не будет. Тогда можем записать, что
фотр+фпр —я/2, фетр —ф-
Но из закона синусов, т. е. формулы (7.2), в которой для рассматриваемого случая р=<оУеар. и р, = ро, sin ф/sin фпр = =Уе2/Е1 следует, что
sin (л/2—ф)/sin ф=со5 ф/sin ф=Уб|/е2.
После простых преобразований получим формулу (7.15).
При перпендикулярной поляризации угла полного преломления нет: оси диполей-молекул перпендикулярны плоскости падения (рис. 8.12) и в соответствии с диаграммой направленности, т. е. с формулами (8.6) и (8.7), излучают одинаково по всем направлениям в плоскости падения вне зависимости от угла ф.
12—79
177
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
8.1.	Опишите эксперименты, указывающие на наличие излучения электромагнитных волн.
8.2	Какие уравнения и математические операции используются при исследованиях задач излучения?
8	3. Расскажите о математических преобразованиях, которые применяются для получения неоднородного уравнения Гельмгольца для электрического векторного потенциала (см. разд. 5.4 и 5.6)).
8.4.	Опишите процесс решения уравнения Гельмгольца для электрического векторного потенциала и объясните полученную формулу.
8	5. Что такое элементарный электрический излучатель (диполь Герца)? Почему удается легко вычислить в формуле (8.4) интеграл, описывающий решение уравнения Гельмгольца для электрического векторного потенциала?
8	6 Опишите свойства полей диполя Герца. Рассмотрите общие формулы и формулы для полей в дальней зоне.
8.7.	Объясните понятия мощности и сопротивления излучения.
8.8.	Расскажите о характеристиках н диаграммах направленности элементарного электрического излучателя.
8.9.	Что такое магнитный излучатель, в чем отличие и в чем сходство с элементарным электрическим излучателем?
8.10.	Чем поля диполя в дальней зоне отличаются от полей сферической волны, рассмотренной в примере 5.4?
8.11.	Укажите отличия и сходство поля диполя в дальней зоне с полем плоской волны.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1	Запишите уравнение (8.4) в тригонометрической форме
„	.	С ,	cos((rt( kr)
Ответ: Аэ =---- 1 JCT а----------d V.
4л J	г
8.2.	Нарисуйте расположение вектора А, в пространстве для элементарного электрического излучателя. Используйте формулу (8.5). Представьте ее в тригонометрической форме и объясните.
Ответ: вектор А, в любой точке пространства параллелен оси диполя. а величина амплитуды А, уменьшается пропорционально 1/г.
8.3.	Получите нз общих формул для составляющих полей диполя формулы (8.6) для полей в дальней зоне. Запишите их в тригонометрической форме. Укажите независимые переменные. Сколько нх?
178
8.4.	Определите мощность источника электромагнитных волн, питающего диполь I ерца, если необходимо получить на поверхности Луны электрическое поле напряженностью 10 мкВ/м. Расстояние принять ран ным 400 тыс. км. Какова должна быть ориентация диполя по отношению к Луне?
Ответ: Р„,,= 178 кВт.
ДОПОЛНЕНИЕ. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН КОНВЕКЦИОННЫМ ТОКОМ ИЗЛУЧЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОННАЯ АНТЕННА ИЗЛУЧЕНИЕ ВАВИЛОВА-ЧЕРЕНКОВА
Возбуждение электромагнитных волн и колебаний конвекционным током. Введем конвекционный ток с плотностью JK = pv (см пример 1.2) в уравнения Максвелла
ЗЕ	дН
rot H = JK+et——. rotE=—ца—. at	dt
Так как конвекционный ток может протекать только в вакууме, то р, = ц0 и е, = е0. Образуем волновое уравнение для вектора Е (см. разд. 5.2)
д2 Е
totrotE=-H0^--e0—.
где rot rot E = grad div E—V2E (см. приложение П.4). Теперь grad div E = = gradp/e0 ввиду того, что конвекционный ток представляет собой группу движущихся зарядов, т. е.
д2 Е	dJK	р
V’ Е—Цо е„ ——• -=	—— + grad----
UL	01	Eq
Здесь V2 — оператор, описывающий изменение поля Е по координатам.
Не изучая подробно полученное волновое уравнение, рассмотрим его качественно. Электрическое поле Е, зависящее от времени и координат, определяется правой частью уравнения, содержащей плотность конвекционного тока и градиент распределения зарядов в пространстве. Если J„ = 0 и р = 0. то уравнение описывает собственные волны илн колебания электромагнитного поля в данной части пространства. При наличии движущихся зарядов амплитуда поля Е может уменьшаться или увеличиваться в зависимости от характеристик тока, т. е. от знака производной OJJdt. Пусть v = o,b. тогда, опуская знаки векторов, запишем, что uJh/Ot = f>dc,li)t=(>u2z/ut2. Отсюда хорошо видно, что возбуждение электромагнитного поля происходит при ускорении зарядов илн при d2z!dt2. На это и было указано в разд. 1.1, как на одно из фундаментальных свойств полей и заряженных частиц
12*
179
Рнс. 8.13. Конвекционный ток н электромагнитное поде
а — при длительном взаимодействии с волной; б — при локальном взаимодействии на длине Ла. ограниченной металлическими плоскостями / и 2
В поле волны возникает составляющая электрического поля, совпадающая с направлением движения зарядов (рнс. 8.13), и волна уже ие будет плоской волной. Если заряды движутся вдоль осн г, то у волны необходимо наличие /^-составляющей поля Е. Поле изменяется как обычно по косинусоидальному закону во времени, поэтому волну запишем как
Е-~ cqs(io/—[}z) = Re е~,(в'-в1>~ Re e~j>'.
При этом волновое уравнение для составляющей Е, приме? вид
V’£+₽S£,=/(A).
где р=ш/оф — постоянная распространения волны Е последнем уравнении плотность конвекционного тока тоже должна изменяться во времени / н по координате г по косинусоидальному закону
Л ~ cos (со/—p,z) ~Ree-*,*,
где введено по аналогии с волной {}, = <о/о», а о, — скорость электронов конвекционного тока.
Эффективное взаимодействие движущегося тока и бегущего полк иа каком-то значительном расстоянии вдоль координаты z может осуществляться только тогда, когда фазовая скорость волны поля Оф и скорость электронов v, будут равны. Но фазовая скорость волны в вакууме равна скорости света (см. разд. 6.3). У электронов, как у всяких материальных тел, скорость движения всегда меньше скорости света. Поэтому возникает необходимость в создании таких электродинамических систем, в которых фазовая скорость волны будет меньше скорости света. Применение
180
диэлектриков, замедляющих фазовую скорость волны (см. разд. 6.3), недопустимо, так как свободные электроны конвекционного тока могут двн гаться только в вакууме.
Помимо длительного взаимодействия тока и поля волны может про исходить излучение или возбуждение колебаний конвекционным током в малом объеме пространства. Это происходит в особых электродинамических системах, у которых электромагнитное поле сосредоточено на ма лом расстоянии \г в виде электромагнитных колебаний Такие электродинамические системы называются электромагнитными резонаторами.
Процесс возбуждения электромагнитных волн и колебаний конвекционным током обратим и при соответствующих условиях энергия может передаваться от поля к электронам тока. Тогда осуществляется ускорение зарядов.
Излучение зарядов, движущихся в магнитном поле. Так как движущийся ускоренно заряд излучает (см. разд 1.1), то при вращательном движении зарядов в магнитном поле, т. е. при движении с ускорением, будет возникать электромагнитное излучение. Подобное явление лежит в основе излучений в космических объектах: около звезд, представляю щих собой магниты, в межзвездном ионизированном газе, находящемся в магнитном поле и др. В технических устройствах таких, как ускорители электронов (бетатрон, см. пример 2.12) возникающее излучение нарушает работу прибора. В специальном излучателе—магнитном ондуляторе (рнс. 8.14). состоящем из ряда последовательно расположенных по-
Рис. 8.14. Излучатель электромагнитных колебаний — магнитный ондулятор
181
стоянных магнитов, между полюсами которых пролетает электронный пучок, электроны излучают полезные электромагнитные колебания
Электронная антенна. Если на космическом аппарате—спутнике установить источник электронов, то возможно получить излучение электромагнитных колебаний при движении электронов в магнитном поле Земли или в магнитном поле специального магнита, установленного на спутнике. Спутник движется в космосе, т е. практически в вакуумном про странстве. Вводя какую-либо модуляцию интенсивности тока электронов, можно получить излучатель радиоволн, имеющий ряд преимуществ по сравнению с обычными антеннами, устанавливаемыми на спутнике. Такой излучатель называется электронной антенной.
Излучение Вавилова—Черенкова. Если движущийся поток электронов направить вдоль диэлектрика, го при определенных условиях в диэлектрике возникает электромагнитное поле в виде волны Это поле имеет характер наведенного или индуцированного, а явление называется излучением Вавилова—Черенкова и используется в физических исследованиях.
9. НАПРАВЛЯЕМЫЕ ВОЛНЫ
8.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Известно, что электромагнитные волны могут распространяться вдоль проводящих поверхностей, проводов, диэлектрических стержней внутри металлических труб, между слоями ионизированного газа в ионосфере. Электромагнитные волны, распространяющиеся в определенном направлении, носят название направляемых волн. Электродинамические системы, в которых распространяются такие волны являются направляющими системами или структурами. Они называются также передающими линиями или волноводными системами (волноводами). Простейшая направляющая система может быть представлена в виде двух проводящих плоскостей, между которыми распространяется волна (рис. 9.1). Практически применяемыми направляющими системами являются полосковые линии различного вида (рис. 9.2), коаксиальная линия (рис. 9.3), двухпроводная и однопроводная линии (рис. 9.4), трубчатые полые металлические волноводы с гладкими стенками прямоугольного и круглого сечений (рис. 9.5), диэлектрические волноводы, представляющие собой длинный диэлектрический стержень или диэлектриче-
182
Рис. 9.1. Электромагнитная волна между проводящими плоскостями
а — вектор Е перпендикулярен; б — параллелен плоскостям
Металл
Рис. 9.2. Полосковые линии различного вида
и— две металлические полосы, разделенные диэлектриком; б — металлическая плоскость, покрытая диэлектриком н металлическая полоса; в — две металлические плоскости, покрывающие диэлектрик, внутри которого помещена металлическая полоса; г — система координат для полосковой линнн
183
b
Рис. 9.3. Коаксиальная линия
Рис. 9.4. Передающие лннии
а — двухпроводная; б — однопроводная
Рис. 9.5. Трубчатые металлические волноводы а — прямоугольного; б — круглого сечений
184
скую нить круглого, прямоугольного или иного сечения (рис. 9.6).
Для изменений свойств волноводов и передающих линий вид поперечного сечения усложняется. Так, в трубчатые полые металлические волноводы вводится диэлектрик или устанавливается ряд металлических пластин, 'перпендикулярных оси волновода и не перекрывающих полностью сечение волновода. Такие пластины называются диафрагмами, а волноводы— диафрагмированными. Если однопроводиую линию свернуть в спираль, то получим спиральный волновод, обладающий иными свойствами, чем однопроводиая линия.
Для описания распространения волн в направляющих системах необходимо определить следующее:
возможности (или условия) распространения волн;
фазовую скорость волны и ее зависимость от частоты, т. е. дисперсию;
групповую скорость волны и ее зависимость от частоты; картину распределения полей Е и Н в системе;
соотношения между амплитудами поперечных составляющих векторов полей Е и Н, т. е. волновое сопротивление;
поток мощности поля;
коэффициент ослабления волны из-за потерь электромагнитной мощности в металлических частях системы и в неидеальном диэлектрике, который может находиться в системе.
Для исследований направляющих систем используются уравнения Гельмгольца для полей Е и Н (см. (5.5) и (5.6)) и граничные условия (см. разд. 3.5...3.7). Могут применяться уравнения Гельмгольца для векторных потенциалов (5.13) и (5.16).
Рис. 9.6. Диэлектрические волноводы
с — прямоугольного; б — круглого сечений; в — двухслойная диэлектрическая линия (волновод)
185
Принцип образования волн и использование граничных условий в направляющих системах изучим на примере распространения волн между проводящими (металлическими) плоскостями. Практически построить подобную систему невозможно, однако достаточно хорошее приближение осуществляется в так называемых полосковых линиях.
9.2.	ВОЛНЫ МЕЖДУ ПРОВОДЯЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ (С)
Если на пути движения плоской волны расположить перпендикулярно линиям электрического поля Е проводящие плоскости (рис. 9.1), то в образовавшейся системе граничные условия не нарушаются и между плоскостями будет распространяться электромагнитная волна, идентичная плоской волне.
В случае, когда проводящие плоскости расположены параллельно линиям Е (см. рис. 9.1), то для удовлетворения граничных условий необходимо, чтобы величины полей Ех и Ну изменялись от нуля при у=—у\, до максимума при у=0 и уменьшались до нуля при у=+у. Линии напряженности магнитного поля Н должны быть замкнутыми, поэтому линия Н лежит в плоскости xz. Волна значительно отличается от плоской, ее структуру и особенности можно определить, решая уравнения Гельмгольца.
Наконец, если объединить оба указанных выше случая, т. е. соединить четыре плоскости так, чтобы получилась металлическая труба прямоугольного сечения (см. рис. 9.5), то получим прямоугольный металлический волновод.
9.3.	ПОЛОСКОВАЯ, ДВУХПРОВОДНАЯ
И КОАКСИАЛЬНАЯ ЛИНИИ (С)
Реальным приближением электродинамической системы с плоской волной и двумя проводящими плоскостями, перпендикулярными линиям электрического поля, является полосковая линия, представляющая собой две металлические ленты, разделенные слоем диэлектрика (см. рис. 9.2 а). Существуют полосковые линии различного вида. В настоящее время полосковые линии широко применяются благодаря простоте конструкции и удобству использования.
Анализ полей в полосковых линиях в общем случае затруднителен. Если ширина полосок значительно больше рас
186
стояния между ними, то поле сосредоточено между полосками и сходно с полем плоской волны. Для приближенного исследования используются простейшие уравнения Гельмгольца (см. примеры 5.1...5.3, разд. 6.2 и пример 9.1).
Двухпроводную линию (см. рис. 9.4) можно рассматривать как частный случай полосковой линии, а однопроводную— как частный случай двухпроводной. Расчеты таких линий проводятся по методам анализа цепей с распределенными параметрами.
Между проводниками коаксиальной линии (см. рис. 9.3) и примеры 2.2, 2.4 и 4.3) приложено переменное напряжение, создающее электромагнитную волну, движущуюся вдоль линии. Частота колебаний поля волны в линии может изменяться от нуля (постоянный ток) до тысяч МГц. Поэтому коаксиальные линии находят разнообразное применение в электротехнической, электронной и радиотехнической аппаратуре.
Определение полей осуществляется из простейшего решения уравнения Гельмгольца для векторного потенциала Аэ в цилиндрической системе координат (см. уравнение (5.37)) г(dR/dr) =С|, где R = AZ, г — текущий радиус. Интегрирование (5.37) дает
R=j4z=С| 1п г-j-C2.
Так как Н= (1/р.а) rot Аэ (см. (5.9)) и Аэ = Лг1г, то в нашем случае (см. приложение П.2)
дАж \ ,	,, С, 1
—-[Цили Н<р =--------
дг )	г
Электрическое поле определим из первого уравнения Максвелла (3.20 а) rotH = /toeaE, считая, что в линии между проводниками находится диэлектрик, т. е. еа=еа,
Ё= —----------1, + — ~ (гЙ,) 1,
ju>ea дг	г дг
Так как при получении уравнения (5.37) принято, что все величины изменяются вдоль z по закону e~-i1'2 (см (5.33)... ... (5.37)), то
Ни =	— •
<леа На г
187
Выражения для Ёт и Л, совпадают с точностью до постоянного множителя с формулами (2.12) и (2.15), которые были получены из уравнений электродинамики в интегральной форме.
9.4.	ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ТРУБЧАТЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ (У)
В практических приложениях используются трубчатые полые металлические волноводы с прямоугольным и круглым сечениями (см. рис. 9.5). Свойства этих волноводов по сути дела одинаковы, а отличие состоит лишь в форме записи математических уравнений. Далее будем изучать распространение волн в прямоугольных металлических волноводах путем рассмотрения уравнений Гельмгольца в пространстве внутри волновода. Считаем, что стенки волновода сделаны из идеального проводника. При расчете потерь электромагнитной энергии в стенках волновода будем учитывать их конечную проводимость. Полагаем, что волноводы заполнены воздухом.
Уравнение Гельмгольца для прямоугольного волновода. Для изучения волн, распространяющихся внутри прямоугольных волноводов (в том числе и для диафрагмированных) применяются уравнения Гельмгольца (5.40), в которых Еа = е0, так как у воздуха проводимость равна нулю, ра=рс и р=й (см. (6.21)). В волноводе вдоль координаты г распространяется электромагнитная волна, все составляющие которой изменяются по закону бегущей волны
cos (со/—ftz) — Re e^’,‘~ft*).	(9.1)
Здесь в отличие от плоской волны обозначение фазового коэффициента р заменено на h и
й —<о/иф,	(9.2)
где с’ф —фазовая скорость волны в волноводе. На основании (5.58) фазовый коэффициент й можно представить как
й —2л/лв,	(9.2а)
где Хв — длина волны колебаний в волноводе.
Опуская временную часть записи волнового процесса (9.1), получим
cos (—йг) = Re e~jhi.
188
Следовательно, все операторы вторых производных по г в уравнениях (5.40)
~~ =	(9-3)
Тогда, например, первое уравнение системы (5.40) примет вид
+“ГТ ~ h* Нх + **	= °.
дх1 ду'
Аналогично можно записать все уравнения системы (5.40). Введем обозначение
gr2 = ^_A2	(9.4)
и назовем величину g— поперечным фазовым коэффициентом. Перепишем систему (5.40) для волновода с прямоугольным сечением следующим образом:
дх*	 &нх ду'	+ g2H.v = 0,		
д' Йу дх*	. д'Ну ду'	+ «*//* = 0,	л	(9-5)
д' Нг дх*	. д'Нг ду'	+ <№ = 0,		
д' Ё„ дх'	, д'Ёя ду*			
д* Ёу дх'	д*Ёу ду'	+ g*Ev = 0,		(9-6)
д' Ёг дх'	, д'Ёг ду'	+ g2Ez = 0.		
Так как все уравнения систем (9.5), (9.6) содержат одну и ту же величину g2, то для исследования прямоугольного волновода можно использовать любые уравнения из этих систем.
Решение уравнений Гельмгольца для прямоугольного волновода. Прежде, чем перейти к решениям уравнений систем (9.5), (9.6), остановимся на следующем. При принятом условии распространения волн по закону (9.1) уравнения Максвелла (3.21), (3.22) дают возможность определять по-
189
перечные составляющие поля через продольные. Так как для всех составляющих поля волны у- =jh, то из (3.21), (3.22) путем алгебраических преобразований получаем систему уравнений
i g2
F —________L
v	е'г
Нх = -!-(
g2 V
ду дНг
дх
(9.7)
h^-дх
h^-ду
дЁг ду
/ дЁг , . дНг — I <оео —— h  * I ° дх ду
Схема применения уравнений (9.5)... (9.7):
решаются уравнения для составляющих Ёг или Й, из систем (9.5), (9.6);
в полученном решении определяются постоянные и поперечный фазовый! коэффициент g по граничным условиям (часто при этом удобно использовать систему (9.7));
для построения картин поля ищутся все составляющие полей по уравнениям системы (9.7). Далее находятся фазовая Цф и групповая иГр скорости, длина волны в волноводе Zb, поток электромагнитной мощности Р, коэффициент ослабления а и волновое сопротивление W.
9.5.	ВИДЫ ВОЛН В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ (У)
Два типа волн в волноводах. Можно показать из уравнений Максвелла, что в трубчатых полых металлических волноводах как с гладкими стенками, так и с диафрагмами, могут существовать волны двух типов:
волна электрического типа или волна типа Е, в электрическом поле которой обязательно есть составляющая поля Et, а в магнитном поле отсутствует составляющая Нг\
волна магнитного типа или волна типа Н, в магнитном поле которой есть составляющая поля Hz, а в электрическом поле нет составляющей Ег.
Это утверждение можно 'проиллюстрировать примерами возбуждения волн в прямоугольном волноводе элементар-
но
Рис. 9.7. Возбуждение элементарными волн в прямоугольных волноводах а — волна типа Н, б - волна типа Е
излучателями (диполями Герца)
ным электрическим излучателем (см. разд. 8.4). Картина полей излучателя (см. рис. 8.2), переносится в общих чертах на картину поля волны в волноводе (рис. 9.7). Из-за наличия металлических стенок волновода картина поля элементарного излучателя в волноводе будет деформироваться.
Если в волновод ввести несколько элементарных излучателей, то поле волны будет более сложным.
В уравнениях системы (9.7) для волн электрического типа надо положить Йг=0, а для волн магнитного типа — Й.-=0.
Эти соображения справедливы для возбуждения волн в цилиндрическом волноводе и в других волноводных системах.
В некоторых направляющих структурах (например, в спиральных волноводах, в диэлектрических волноводах или линиях) могут существовать так называемые гибридные волны, у которых имеются и Ez и Hz составляющие. Обозначаются гибридные волны как волны типа ЕН.
Волноводы быстрых и медленных волн. Так как к=ы/с и Л=(о/Гф (см. (6.21) и (9.2)), формулу (9.4) представим в виде
g2= (<1)/C)2—(ш/Оф)2.
Укажем на то, что это соотношение, как и (9.4), справедливо для любой направляющей системы или структуры. Тог
191
да можно выделить два вида волн и соответственно направляющих систем (волноводов):
быстрые (волноводы быстрых волн), когда фазовая скорость волны больше скорости света в данной системе иф>с;
медленные (волноводы медленных волн или замедляющие системы), если Цф<с.
8,6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ (С)
В каждой направляющей системе передается мощность электромагнитного поля, часть которой теряется на потери, вызванные нагревом металлических частей системы, а также диэлектриков, используемых в системе. При исследованиях энергетических соотношений учитывается конечность проводимости металла системы (о=/=оо) и наличие малой проводимости диэлектрика (оС(оеа), см, разд. 6.4.
Поток электромагнитной мощности. Определив составляющие полей в системе, найдем поток вектора Пойнтинга через площадь 5 поперечного сечения любой направляющей системы вдоль ее длины, т. е. координаты г (см. разд. 4.3 и пример 4.1) как
Р=[/7г(к: П, = >/,КеЕпЛп,	(9.8)
s
где Пг— продольная составляющая вектора Пойнтинга. Е„ и Н„ — поперечные составляющие полей Е и Н. Частные случаи расчетов по этим формулам приведены в примерах 9.1, 9.2 и в разд. 10.6.
Уравнение баланса мощности. Для произвольного сечения любой направляющей системы (рис. 9.8) можно записать следующее условие: уменьшение потока мощности ДР на элементе длины системы Дг равно величине потерь электромагнитной энергии Рпот на этом же элементе, т. е. в дифференциальной форме
В силу независимости параметров металла и диэлектрика направляющей системы от самой мощности Р можно записать, что мощность потерь Рпот является частью потока мощности Р, т. е. РПот = 2аР, где а—коэффициент ослабления
192
dP
dz
Рис. 9.8. Баланс мощности в произвольной направляющей системе или структуре
z — продольная координата системы, вдоль которой распространяется волна
<поля в волноводе, а коэффициент 2 введен для удобства. Тогда получим уравнение баланса мощности
— =— 2аР,	(9.9)
dz
решение которого имеет вид
P=const е-2аг, где постоянная определяется из условия, что при г=0... ...Р=Р0
Р=Рое~2а*.	(9.10)
Часто на практике 2az<Cl, поэтому
Р»Р0(1—2az).	(9.11)
Так как поток мощности всегда можно выразить через квадрат амплитуды любой составляющей электрического или магнитного поля
Р~Е2илиР~№,	(9.12)
то Е=Еое-аг, Н = Ное~а!. Если az«Cl, то Е»Е0(1—az), НхНо(1—az).
Коэффициент ослабления поля. Так как 2аР=РпОт, то получаем общую формулу для а, справедливую для любой направляющей
а=РпОт/2Р,	(9.13)
где РПот определяются для каждой конкретной направляющей системы, основываясь на материале разд. 7.4.
13—79
193
9.7.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 9 (С)
Пример 9.1. Приближенное рассмотрение электромагнитной волны в полосковой линии. Примем, что ширина полосок а значительно больше расстояния между полосками b (рис. 9.3 г). Линии электрического поля начинаются на одной из полосок и заканчиваются на другой. Линии магнитного поля перпендикулярны линиям электрического поля. Считаем приближенно, что поля Е и Н не изменяются по осям х и у. Тогда уравнения Гельмгольца (5.40), пригодные для всех задач в декартовой системе координат, сводятся к виду д Их +(1)2бара#г=0, дЕ— -|-io2EaUa£j/=0. При этом дг2	дг2
принято, что еа = еа, т. е. проводимость о диэлектрика внутри линии равна нулю. Полученные уравнения описывают волну, движущуюся вдоль оси г, и исходную с плоской волной (см. разд. 6.2 и 6.3), но ограниченную в пространстве х=0—а, у—0—Ь, т. е.
Hx=Hx0cos ((at—pz) или Йх=Йхое~'\
Ey=Eil0cos(wt—pz) или Ёу=Ёуое~Р!,
где р=(1)Уеаца и EyolHxO=W. Вектор Пойнтинга
£2
n^rl2H2x0W = Й2-^-
поток мощности по сечению полосковой линии
Р=аЬП, = -^^-
2 W
Пример 9.2. Коаксиальная линия, к проводникам которой приложено переменное напряжение w = cos (о/. Поля в линии определяются формулами (2.12) и (2.15) и изменяются (см. разд. 9.3) во времени и по координате z по закону бегущей волны cos ((£>7—pz) =Re е;(“‘_₽г) или в сокращенной записи как e~j₽2
г In (Ь/а) ~ г0 г
нч =
2лг
=//ф0
е-/'3г
Г
где р = о)/г'ф= (ы/с)Уре, ц и е — относительные магнитная и диэлектрическая постоянная материала между проводниками линии. На практике обычно р = 1, а е>1. Так же, как и
194

для плоских волн (см. разд. 6.2) введем понятие волнового сопротивления W, и используя второе уравнение Максвелла, записанное в цилиндрических координатах (см. приложение П.2),
rot Ё = —/«>р.а Н или	p Н; и — /0 Ег0 = е =
дг	г
= —/‘«ВаПфО----—,
г
получим
uz = A = ^_==i/	— u/0_!_ - 120л _L.
0	' еа	у е
Тогда можно определить входное сопротивление коаксиальной линии
₽„=И, =	*1=60 ЛИ,
2л /Т	|/Ле
Вектор Пойнтинга и мощность, передаваемая по линии (см. пример 4.3 и формулу (4.3)), вычисляются как
n i/2Re[EH] или Пг = '/s Re Ёг Н н Пг.^'/2 - У"1	;
ф	2лг2 In (b'a)
P = f/7ads или Р= I I Пг rdqdr, так как ds — dl dr = rdtpdr s	г ф
И
b 2Л
P = f f	=^l/sUtfl Jrn,
a 6
где t/m и Im — амплитуды приложенного напряжения и тока в линии.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
9.1.	Дайте определение направляемых волн.
9.2.	Перечислите виды направляющих электродинамических систем
9.3.	Изложите особенности распространения волн между идеально проводящими плоскостями при перпендикулярном и параллельном расположении плоскостей к вектору Е
13*	195
9.4.	Расскажите о полосковой линии. Рассмотрите поля, вектор Пойнтинга и поток мощности в линии такого типа.
9.5.	Рассмотрите поля, вектор Пойитннга н поток мощности в коаксиальной линии, пользуясь формулами из примеров 2.4 и 4.3.
9.6.	Объясните процесс получения уравнений систем (9.5) и (9.6).
9	7. Объясните особенности уравнений Максвелла при условии, что поля распространяются вдоль одной из декартовых координат в виде волны, т. е. по закону е 1Ьг.
9.8.	Расскажите о типах волн в волноводах. Рассмотрите процесс возбуждения воли элементарным электрическим излучателем.
9.9	Что такое быстрые и медленные волны?
9.10.	Составьте и решите уравнение баланса мощности в направляющей системе. Объясните полученное решение.
9.11.	Что показывает коэффициент ослабления волны и как ои определяется?
УПРАЖНЕНИЯ
9	1. Нарисуйте мгновенное распределение полей Е„ и Н, в полосковой линии вдоль координаты г распространения волны (вдоль самой линии) и по координатам х и у, ограничиваясь пределами х=0...в и у = = 0 Ь.
9.2.	Нарисуйте мгновенное распределение полей Е, н fl* коаксиальной линии:
вдоль линии;
по радиусу г в пределах от а до Ь:
по углу <j> (используйте систему координат E,=fi(y) и H*=f2(<f))
ДОПОЛНЕНИЕ. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ
Металлическая труба, имеющая в поперечном сечении круг, является направляющей системой, называемой цилиндрическим волноводом (см. рис. 9.5 6) Свойства подобного волновода в принципе ничем не отличаются от свойств прямоугольного, который подробно изучается в гл. 10 и поэтому не рассматриваются Обратимся только к уравнению Гельмгольца для векторного потенциала, записанному в цилиндрической системе координат (см. уравнение (5.34)) как
— JL( 1 д*ф I
R dr \ dr / Ф дф*
(<o‘ |4 ea—T‘) r* =0.
где функции R(r) и ф(<р) составляют векторный потенциал ИГ»=/?Ф Считаем, что внутри волновода находится воздух, т. е. р» = Ро. е. = е0 и <1>2Цово=Ая (см. разд. 6.3). Постоянную распространения волны вдоль
196
координаты z обозначим в соответствии с (9.1), (9.2) как -у2=Л2, где Л = <о/Цф, Оф — фазовая скорость волны в волноводе. Запишем также к2—h2=g2. Полное решение уравнения (5.34) представляется в цилиндрических функциях или функциях Бесселя
A, = /?ф = const Jn(gr)cos ntp,	(9.14)
где Ju(gr)—функция Бесселя порядка п от аргумента gr, а п = (), 1. 2.3. .. — показывает сколько раз изменяются поля по углу q. Кроме этого, п2 = (1/Ф) (<?2Ф/д<р2). Если п=0, то имеем волну простейшего вида, не изменяющуюся по углу <р. Картины полей некоторых волн приведены в гл. 10. Составляющие полей в волноводе определяются из уравнений (5.14), (5.15), записанных в цилиндрической системе координат (см. приложение П.2) путем введения в них формулы (9.14).
Необходимо указать на то, что свойства цилиндрического волновода также могут быть исследованы без применения векторного потенциала непосредственно по уравнениям Гельмгольца (5.5) и (5.6) для полей Е и Н. Для цилиндрических волноводов справедливы уравнения, аналогичные уравнениям (9.7), которые позволяют определять составляющие полей Е и Н через их продольные составляющие Ег и Н, для волн типа Е и Н соответственно.
10. МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
10.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (У)
Трубчатые полые металлические прямоугольные волноводы с гладкими стенками (рис. 10.1) относятся к волноводам быстрых волн. В таких волноводах Оф>с, k>h и g2>0 (см.
Рис. 10.1. Прямоугольный волновод
а — широкая: б — узкая стенки волновода
197
формулы (9.2), (9.4)). При исследованиях полагается, что волновод бесконечен по длине (т. е. по координате z) и размеры сечения волновода а и b неизменны по всей длине. По волноводу распространяется волна, у которой все составляющие полей изменяются по закону Re е’(и/~/1г) = =cos(o>/—/гг).Для изучения свойств волновода применяются дифференциальные уравнения систем (9.5), (9.6) и (9.7), из которых определяются условия распространения волн и находятся картины поля внутри волновода. Полагается при этом, что металл стенок волновода идеальный проводник. При исследовании энергетических соотношений в волноводе учитывается конечная проводимость стенок волновода. Рассматриваются отдельно волны электрического и магнитного типов. Напомним, что принципы исследований прямоугольных волноводов полностью приложимы к цилиндрическим.
10.2.	ВОЛНЫ МАГНИТНОГО ТИПА (ВОЛНЫ ТИПА Н) (У)
Волны типа И не имеют составляющей Ег, т. е. в системе уравнений (9.6) отсутствует последнее уравнение. Первой задачей является определение поперечного фазового коэффициента g. Для этого воспользуемся уравнением для Йг из системы (9.5)
дх* ду*
и решим его как линейное уравнение второго 'порядка в частных производных методом разделения переменных (см. уравнения (5.47)... (5.50)). Полагая
Йг = ХУ,	(10.1)
где Х = Х(х)—функция только от х, Y—Y(y)—функция только от у, запишем уравнение для Йг в виде
Y _|_ X — 4- g*XY = 0 дх* ду* ®
или
_L^+_L^ + g.==o.
X дх* Y ду* ®
(Ю.2)
Уравнение (10.2) удовлетворяется только при условии, что первое и второе слагаемые в левой части являются постоянными величинами. Действительно, первое слагаемое со-
198
У
Рис. 10.2. Граничные условия в прямоугольном волноводе для различных типов воли
а — тип Н; б — тип Е
держит функции, зависящие только от х, а второе — только от у. Если оба слагаемых были бы переменными величинами, т. е. изменялись произвольно и независимо друг от друга, их сумма не была бы равна постоянной величине g2. Следовательно, необходимо написать
I д* X „ 1 дг Y 2	„	2 . 2	,,п
-7тг = -&’^ = ^ + «г-	(,0-3)
Л дх-	Y ду*
Запись постоянных в виде —g.v2 и —gy2 сделана для удобства дальнейших математических преобразований. Вторая степень упрощает вид формул для 'полей (см. уравнения (5.48)... (5.50)). Решения уравнений (10.3) хорошо известны и имеют вид
Х = Сх singxx+C2cosgxx, У=С3 sin gvy+C4cosgvy,
где Ci, С2, С3 н С4, gx и gy — постоянные, подлежащие определению. Общее решение для Йг будет следующим (см. (Ю.1)):
Й: = (С, singxx+C2cosg.vx) (С3 singly+С4cosgvy). (10.4)
Для определения постоянных необходимо использовать граничные условия равенства нулю тангенциальных (касательных) составляющих электрического поля волны на поверхности идеального проводника, т. е. на внутренней поверхности волновода (рис. 10.2). Исходя из этого, запишем граничные условия для составляющей электрического поля Ёу. Из
199
второго уравнения системы (9.7), имея в виду, что Е2=0 и, используя (10.4), получим
(Ci gx cos gx х—Ct gx sin gx x) X g2
X(C3singuy-\-Ctcosguy).	(10.5)
Применим граничное условие E,=0 на внутренней поверхности боковых стенок волновода (рис. 10.2 а): Ev=0 при х=0. Тогда (10.5) запишется в виде
1	(ci gx) (С3 sin gv у + С4 cos gv у) = 0.	(10.6)
Полученное уравнение удовлетворяется в трех случаях.
Если C3=Ct = 0, то составляющая Йг=0 (см. (10.4)), и равны нулю все остальные составляющие поля (см. (9.7)), т. е. поля в волноводе нет. Такое решение непригодно. При gx—0 составляющая Йг неизменна по координате х, и составляющие Ёу и Йг равны нулю (см. (9.7)). Этот случай также непригоден. Следовательно, третье условие С^О является единственно приемлемым решением уравнения (10.6).
Запишем далее Ev=0 при х=а. Имеем
/ -nJ2- (— Сг gx sin gx а) (С, sin gvу + Ct cosgv у) = 0.	(10.7)
g2
Если теперь положить Сг=0, то в волноводе будет отсутствовать составляющая поля Йг (см. (10.4). Тогда из (9.7) следует, что в волноводе полей нет (Ег=0, так как рассматриваем волну типа И). Ясно, что подобное условие неприемлемо. Поэтому должно быть singxa=0, что осуществляется при gxa = mn, где т=0,1,2,..., и тогда получаем
gx—mn/a.	(10.8)
Следовательно, составляющая Й: будет такой (см. (10.4)):
Нг = С2 cos — л- (С3 sin gy у	cos gv у).	(10.9)
a
Аналогичные рассуждения проведем для составляющей Ёх. Из первого уравнения системы (9.7) с учетом (10.4) и (10.9) следует
£х =• —/	Ct cos — х (Cs gu cos gy у—Ct gy sin gy y),
g	a
200
где должно быть Ех—0 при у=0 (рис. 10.2 g). Это возможно, если Сз=О. Величины С2 и gy не могут быть равными нулю (см. предыдущие рассуждения). Наконец, Ех— 0 при у=Ь, что удовлетворяется, если singv/> = 0 или gvb — nn, где п=0. 1.2,..., тогда
gy=nnlb.	(10.10)
Окончательно составляющая поля Йт (см. (10.4)) примет вид
Яг = Я10СО8 ——-XCOS —У,	(10 11)
а	о
где Йл=С2С<— амплитудный множитель, который зависит от условий возбуждения полей и не может быть определен в изучаемой здесь задаче. Остальные составляющие поля волны можно найти из уравнений системы (9.7). Поперечный фазовый коэффициент (см. (10.3), (10.8) и (10.10))
g = K(m л/а)1 4- (пп /Ь)\	(10.12)
где т—0, 1,2,..., п=0, 1,2...
Фазовый коэффициент на основании (9.4) и (10.12) запишется как
h — j А2—|(тл/а)2 4- (лл/fc)2],	(10.13)
где k==tinlc, о> = 2л/, с — скорость света, а и b — размеры сечения волновода.
Рассмотрим величины т=0, 1,2... и п=0, 1,2... На основании (10.11) и (9.7) видно, что тип определяют периодичность изменения составляющих полей в поперечном сечении волновода. Другими словами, тип определяют вид (и сложность) картины электромагнитного поля различных волн в волноводе. Сразу можно установить, что, если одновременно тип равны нулю, то в волноводе не будет поля, так как (см. 9.7) Йх=0, Йу=0, Ёх=0, Ёу=0. Но по отдельности тип могут быть равными нулю. Величины т и п называются индексами волны, а волна типа Н записывается так: Нт„ (читается «волна типа аш эм эн»). Индексы имеют цифровое выражение, например, Н\0 (читается «волна типа аш один нуль»), Н12 (читается «волна типа аш один два»).
201
10.3.	ВОЛНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТИПА
(ВОЛНЫ ТИПА Е) (У)
У волны типа Е продольная составляющая Йг—0, и в системе (9.5) отсутствует третье уравнение. Для исследования удобно воспользоваться уравнением для Е2 из системы (9.6)
+	+	=	(10.14)
дх2 ду2
Решим его тем же методом разделения переменных, т. е положим Ez=X(x) Y(у) (см. (10.1)). На основании (10.2). (10.3) и (10.4) запишем его в виде
Ёг— (Cl sin gxx+C2 cos gxx) (C3 sin gyy+
+C4 cos •	(10.15)
К последнему уравнению легко применить граничное условие Ет=0 на поверхности проводника, т. е. на стенках волновода (см. рис. 10.2 6). Записываем Ег=0 при х —0, тогда должно быть С2—0. Далее Ёг=0 при х—а, что возможно, если singxn=0 или gxa — mn, где т=0, 1,2,.. .. откуда
gx=mzila.	(10.16)
Аналогично: EZ=Q при t/=0. Это выполняется, если С4=0; также Д=0, >при у—Ь, что ведет к singI/fe=0 или g„b—nn, где п=0,1,2,... и
gv—nnlb.	(10.17)
Теперь (10.15) примет вид
Ёг = E20sin-^xsin-^- у.	(10.18)
а	b
где Ег0=С|С3 — амплитудный множитель, величина которого не определена, так как не рассматривается задача о возбуждении волновода.
Остальные составляющие полей определяются или из уравнений Максвелла (3.21), (3.22), либо из уравнений системы (9.7).
Важно отметить, что (10.16) совпадает с (10.8). а (10.17) с (10.10), и поперечный фазовый коэффициент для волны типа Е равен поперечному фазовому коэффициенту для волны типа Н (см. (10.12))
g- У(тл/а)*+ (nn/bf.
202
Однако здесь индексы волны т и я не могут быть равны нулю. Действительно, при т=0 из (10.18) следует, что Ё2=0. В этом случае поле также равно нулю. Поэтому для волн типа Е т= 1,2,3,..., п= 1,2, 3,...
Волна обозначается как Етп, а с цифровыми индексами, например, £ц (читается «волна типа е один один»).
Фазовый коэффициент волны h определяется по той же формуле (10.13), как и для волн типа Н.
10.4.	УСЛОВИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН.
КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА. ОСНОВНАЯ ВОЛНА (У)
Фазовый коэффициент /г—ю/Цф=2л/Лв, определяемый выражением (10.13) h—^jk2—g2 дает возможность исследовать условия распространения волн в любом волноводе. Для прямоугольного волновода поперечный фазовый коэффициент g известен (см. (10.12)), а величина fe=ft>/c=2n/Xo задается.
Соотношение (10.13) называется характеристическим уравнением прямоугольного волновода. Аналогичное уравнение может быть получено и для цилиндрических волноводов.
Условия распространения волн в волноводах. Распространение по волноводу волны описывается величиной e~ihz, в которой основную роль играет фазовый коэффициент h. Рассмотрим условия, при которых волна будет существовать, воспользуемся формулой (10.13), из которой следуют три частных случая определения фазового коэффициента h:
[ (тл/а)2+ (пл/6)2] фазовый коэффициент h является действительной величиной (волна существует в волноводе) ;
k2— [ (тя/а)2+ (пл/b)2] фазовый коэффициент /г=0 (распространение волн прекращается);
&2< [ {тл/а)2+ (пл/b)2] фазовый коэффициент h оказывается мнимой величиной и множитель бегущей волны становится равным e-hz (волнового процесса в волноводе нет, а амплитуда колебаний поля в волноводе уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону).
Критическая частота. Частота колебаний поля, при которой прекращается распространение волны в волноводе с заданными размерами сечения а и ft и индексами тип, называется критической частотой. Критическая частота ft>Kp определяется из условия h—Q (см. (10.12) и (10.13))
Акр “ К[тл/а)2 4- (пл/6)а или Акр = g,
203
где Акр = (окр/с, что приводит к формуле
“ир =	(тп/а)2+ (пп/b)3 или wKp/c = g.
(10.19)
Соответствующая ей критическая длина волны колебаний в свободном .пространстве (имеем в виду, что ЛкР=2л/Хокр или Икр/ с=2л/Аокр)
^онр =
2_______
/(т/о)2 + («/*)2
(10.20)
Запишем условия распространения волн в волноводах. Волна распространяется, если
Ц)^>СОкр ИЛИ Хо*<Хокр,
волна не распространяется, если
ш<1<0кр или Хо>А.окр-
(1021)
(10.22)
Соотношения (10.21) и (10.22) справедливы для любых волноводов, если известны й>Кр или кокр-
Выбор оптимальных индексов волн и типа волны прямоугольного волновода. Рассматривая формулу (10.19), можно сделать следующий вывод: для того, чтобы выполнялось условие распространения волны (10.21) при заданных размерах сечения волновода а и b необходимо выбирать индексы волны т и п наименьших значений. Следовательно, если требуется осуществить распространение в волноводе волны только одного типа, то следует выбрать индексы т=1, а п=0. Эти индексы соответствуют волне типа Ню с критической длиной волны 1окрн10 = 2о. Тогда должно быть (см. (Ю.21))
Ло<С2а.	(10.23)
Одновременно для всех остальных типов волн — Н20, HOi, Ян, Ец и т. д. должны соблюдаться условия (см. (10.22))
Ао>Аокр-	(10.23 а)
Неравенства (10.23) и (10.23 а) позволяют рассчитать предельные размеры сечения а и Ь, обеспечивающие существование в волноводе только одной волны типа Ню. Волна такого типа имеет самую низкую критическую частоту (или самую большую критическую длину волны). При этом раз
204
меры сечения волновода получаются наименьшими. Волна типа Hw является основной волной прямоугольного волновода. Все остальные волны называются волнами высших типов и обычно на практике не используются. Отметим, что для основной волны максимальный размер сечения волновода примерно равен длине волны распространяющихся колебаний (см. формулу (10.23)).
Основная волна Н10 прямоугольного волновода. Если т—1 и п—0, то Локр=2а. На основании (9.7) составляющие поля примут вид
= Нгисо5— и
Ht sin “ хе/|Ш'— а
Ёу — Ёи„ sin — Ла‘,
(10.24)
а Ёх—0 н Йи=0. Здесь учтен множитель	описываю-
щий волну в волноводе. Амплитудные коэффициенты Й,о и Йх0 выражаются через один из них путем использования уравнений Максвелла (3.21) и (3.22). Зададимся, например, величиной напряженности электрического поля и из третьего уравнения системы (3.22) найдем, что
Нг6-]-?-Еуи.	(10.25)
Из первого уравнения системы (3.22) следует, что
/Ло=-----(10.26)
Величина напряженности поля Ёуц остается произвольной постоянной и может быть определена, если известны условия возбуждения волны или величина потока мощности.
Мгновенная картина поля волны Hi0 может быть точно построена по уравнениям (10.24)... (10.26), а приближенно — по граничным условиям с ориентировкой на уравнения (10.24). При построении картины полей надо помнить следующее (см. гл. 3):
205
на металлической поверхности стен волновода тангенциальная составляющая поля Е равна нулю, и линии поля Е направлены перпендикулярно поверхности;
линии магнитного поля всегда замкнуты и являются касательными к поверхности металла.
Картины поля волны Н10 показаны на рис. 10.3. Там же приведены картины токов проводимости на внутренних поверхностях волновода, переходящие в токи смещения в соответствии с законом непрерывности линий тока (см. разд. 4.7). Линии токов проводимости на стенках перпендикуляр-
Рис. 10.3. Основная волна Нщ прямоугольного волновода
и — мгновенные картины полей и б — токов проводимости на внутренних поверхностях стенок волновода, переходящих в токи смещения в областях х = а/2
206
Рис. 10.4. Мгновенные картины полей простейшей волны типа С,,
Сечение Б л
а.
ны линиям магнитного поля, касательным к поверхностям стенок (см. пример 1.3) Для сравнения на рис. 10 4 показаны картины поля волны £ц.
10.5.	ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ДЛИНА ВОЛНЫ.
ДИСПЕРСИЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ (С)
Имея в виду, что все предыдущие исследования процессов в прямоугольных волноводах в принципе приложимы к цилиндрическим, рассмотрим явление дисперсии волн в любом металлическом трубчатом волноводе с гладкими ,стен-камн. Для этого необходимо найти зависимости фазовой скорости и длины волны в волноводе от частоты колебаний поля.
Фазовая скорость и длина волны в волноводе. Имея в виду, что /1 = (,)/иф характеристическое уравнение (10.13) может быть записано и так (ем. (10.19) и (10.20)):
—=—KI Нр/®)’ = — I
Сф с	с
откуда фазовая скорость волн в волноводе
Ч» ..А —	(Ю.27)
> 1-/<о)’ V1- (Ч/Хокр)’
207
где с —скорость света, <(»кр— критическая частота, лОкР— критическая длина волны колебаний поля в свободном (неограниченном) пространстве. Другая запись характеристического уравнения (10.13) имеет вид (помним, что й==2л/Хв. k — 'lnl’ko и Акр=2л/ХокР (см. (10.19) и (10.20))
2л/Хв =Г(2л/Хо)’-(2л/Хв1ф)\
что дает возможность определить длину волны в волноводе.
/.. =....-°-----=-------Ц	(10.28)
» I-(«„p/ю)’	К1-(Хо/Х.окр)‘
Существенно, что формулы (10.27) и (10.28) справедливы для любого металлического трубчатого волновода, в котором найдены критическая частота или критическая длина волны. На рис. 10.5 о показаны зависимости и лв от частоты.
Из формулы (10.27) и рисунка видно, что в трубчатых металлических волноводах, наполненных воздухом, фазовая скорость волны больше скорости света. Это явление не противоречит принципу специальной теории относительности о предельной скорости материальных частиц и энергии, равной скорости света: фазовая скорость не описывает процесс пе-
Рпс 10.5. Зависимости фазовой скорости Сф длины волны колебаний поля в волноводе и групповой скорости f, Р от частоты
208
реноса частиц или энергии, а характеризует движение фазы волнового процесса.
Формула ро.28) показывает, что длина волны в трубчатых металлических волноводах больше длины волны колебаний поля в свободном пространстве.
Очень важно отметить, что подставив (10.27) и (10.28) в (5.59), получим (см. далее пример 10.7)
/=Оф/Лв = с/Х0.
Групповая скорость. Используя общее определение групповой скорости (см. (5.62)), запишем, что в волноводах t'rp= = l/(d/i/dw), где по сравнению с (5.62) обозначено h вместо р.
Для трубчатых металлических волноводов (см. (10.13), (10.27))
_ _®_ I f | _/ Икр у
чГр с К \ <о )
и, взяв производную от Л по (о, приходим к выражению
",р = с /1 — (ицр/и,)».	(10.29)
Зависимость игр от ы приведена на рис. 10.5 6, из которого видно, что всегда цГр<с, т. е. нарушения принципа теории относительности нет: скорость передачи информации меньше скорости света.
Из формул (10.27) и (10.29) получается соотношение
ифигр = С2.
Зависимость групповой скорости от частоты, являющаяся следствием дисперсии волн в трубчатых металлических волноводах, вызывает искажения широкополосных радиосигналов, передаваемых в виде волн по волноводам.
10.6.	ПОТОК МОЩНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТ
ОСЛАБЛЕНИЯ ПОЛЯ. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (С)
Определение потока мощности Р, протекающего по любому волноводу, состоит в вычислении интеграла от вектора Пойнтинга (см. (9.8)) по сечению волновода. Покажем это на примере прямоугольного волновода с волной Я|0. Поток мощности (рис. 10.6)
а b *
Р - [ пг ds = l/s Re f [ Ёи Нх dx dy,	(10.30)
s	b b
14—79
209
Рис. 10.6. Вычисление потока мощности в прямоугольном волноводе
где с учетом (10.24)... (10.26)
Ёи — sin — хе а
(10.31)
Л
Н.
Еий sin — x,e~ih*. а
Знак минус =/7212. Тогда (10.3а))
у Нх определяет
при положительном значении Ev
направление вектора П = (см. рис.
(10.32)
Р = bh E'io f sina— xdx
2юЦо J a
0
или, имея в виду, что /г = ь>/Оф= (со/с)У1—((ДкР/(о)г (см. (10.13). c=l/Veojio. интеграл равен '!3а,
£1 _____________
P~l/tab-~ /1-Кр/о>)’.
"0
Зависимость Р от <о приведена на рис. 10.7, из которого видно, что при щ—ь>кр поток мощности равен нулю. Это же условие соответствует прекращению распространения волны по волноводу.
Выражение потока мощности Р через величину максимальной напряженности электрического поля EvU в волноводе имеет определенный практический смысл: максимальная передаваемая по волноводу мощность ограничивается величиной напряженности электрического поля, при которой на-
210
Рис. 10.7. Зависимость потока мощности в волноводе от частоты колебаний поля
р
ступает электрический пробой воздуха. Обычно ЕПред = = 30 кВ/см.
Коэффициент ослабления поля волны определяется по формуле (9.13), где мощность потерь Рпо1 находится для волноводов с воздушным заполнением из (7.9), а Р — из (9.8) или в частном случае — из (10.32).
Как пример, приведем формулу для коэффициента ослабления в прямоугольном волноводе с волной Z/ю в виде

<>14	1 + (2Ь/а) (ыкр/и>)*
2з bW0 /1 - (<oKp/w)>
(10.33)
где ца = цц0 — абсолютная магнитная проницаемость материала стенок волновода; о—проводимость металла стенок; 1^0= 120л, Ом — волновое сопротивление свободного пространства. На рис. 10.8 приведена зависимость aHl0 от <>, из которой видно, что при ь» = (1>кр коэффициент ослабления стремится к бесконечности. Подобные зависимости а от <> характерны для волн всех типов в трубчатых волноводах, кроме волн некоторых типов в цилиндрических волноводах.
Рис. 10.8. Типичный вид зависимости коэффициента ослабления от частоты колебаний поля волны 14*
Волновые сопротивления волноводов. Для характеристик волновода, как линий передач, вводится понятие волнового сопротивления W (см. разд. 6.2)
W - ЕП/ЯП-^Е'Х4- E*lVH*K+H*.
На примере прямоугольного волновода с учетом (10.31) можно записать
W = Ёи/Нх = <оцо/Л = р0 с//1 —(сонр/<в)’ =
(10.34)
где IF0 = 120л, Ом,— волновое сопротивление свободного пространства. Отметим, что по формуле (10.34) можно определить IF для любых волноводов с волнами магнитного типа, если известна критическая частота wKp волны в волноводе. Для всех волн электрического типа
(«кр/<о)2.	(10.35)
Исходя из понятия волнового сопротивления, определяются возможности последовательного соединения волноводов (см. дополнение к гл. 10).
10.7.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГЛАВЫ 10 (С)
Пример 10.1. Определение размеров поперечного сечения прямоугольного волновода. Будем считать, что по волноводу должна передаваться волна только одного типа с частотой колебаний /=3000 МГц (>.о=Ю см).
Условие распространения волны только одного типа может быть выполнено, если в волноводе распространяется основная волна //io- Тогда (см. (10.23)) следует, что
>,0<2а или п>Хо/2.
Но при этом волны высших типов существовать не должны (см. (10.22)). Поэтому для волны типа //20. т. е. при /л = 2 и п=0, из (10.20) получаем
Аокрн,, =а и при Хо>Хокрн„ должно быть а<Х.о.
Для волны Нм (ш=0, л=1) аналогично:
\>крН«в2Ь, > А,о Кр и b <С \>/2.
212
Можно подсчитать, что при полученных неравенствах волны высших типов тем более не смогут распространяться. Окончательно, размеры сечения волновода лежат в пределах
7.о/2<о<Л0 или 5 см<а<10 см,
6<7.о/2 или fe<5 см.
Выбор конкретных размеров зависит от других требований к волноводу таких, как величина передаваемой мощности, допустимая дисперсия (см. разд. 10.5, 10.6 и примеры 10.2 и 10.3).
Пример 10.2. Полоса передаваемых частот, длина волновода и искажения сигнала. Одним из важных вопросов является определение допустимой полосы частот сигнала и длины волновода (см. пример 5.5). В особенности эго важно в задачах распространения коротких импульсных радиосигналов. Известно, что для неискаженной передачи импульсов нужно обеспечить прохождение через какую-либо систему колебаний с полосой частот не менее (рис. 10.9)
Д<о=2/т,
где т — длительность импульса.
Тогда формула (5.67) примет вид
__ 4л£ dt/rp
то2 doj Гр
Так как
<forp хс (мкр/м)1
Л- 2л у’
то
Д/ = 2Z-Z° (“крМ» (1-(а)„р/а>)>)3'?
213
где L — длина волновода, Хр—длина волны колебаний в свободном пространстве, с=310®м/с, <1)кр/<1)=ЛоАокр. Формула пригодна для любого волновода с известным значением (0кР. С ее помощью определяются допустимые длина волновода и длительность импульса, а также выбирается критическая частота волны в волноводе. Пусть в волноводе распространяется волна типа //10 с Ло=Юсм. Передается импульс длительностью т=0,05 мкс=5-10-8 с. Размер широкой стенки волновода а —7 см и, следовательно, ХокР=2а= = 14 см, длина волновода £ = 50 м. При этих данных разность времени прихода к концу волновода волн с колебаниями, частоты которых равны крайним частотам спектра импульса, составляет 0,33-10-8 с. Это время сравнимо с длительностью передаваемого импульса. Импульс значительно исказится.
Пример 10.3. Определение максимальной величины передаваемой мощности волны по волноводу. Пусть рабочая частота /=3000 МГц (Хо= 10 см) и £Пред = 30 кВ/см.
В примере 10.1 были найдены 'предельные размеры сечения волновода: 5 см<а-< 10 см, ft<5 см. Резонно взять в данной задаче а = 9,9 см и ft = 4,9 см. Тогда из (10.32) получается (Локри,, — 2а — 19,8 см, см. (10.20))
Рт.д = 25,4 МВт.
Пример 10.4. Определение скорости движения потока энергии is. Решим эту задачу, исходя из соотношений разд. 4.6. Преобразуем формулу для вектора Пойнтинга электромагнитной волны в волноводе (см. формулу (10.31))
П, = '/г Re (Ё„ Нх) =	sin1 — х,
а
где /г=(о/г,'ф= (<о/с)У1—(<йкр/со)2 (см. (10.27)). Помня, что с = 1/Уеор.о и */2 Е2и0е0 sin2(n/a)x плотность электрической энергии w3, имеем (см. (10.29))
Л	/1- (окр/о)2	с	г-— ----—,
----=---------------= —— у 1 — Кр»’ = c|1q----------------с ро
= % С V1 ~(®hp/®)’ = So "гр
и далее
/71 —
214
Риг. 10.10. Образование волны в цилиндрическом волноводе путем изменения (деформации) сечения прямоугольного волновода
Полученная формула показывает, что энергия электромагнитного поля с плотностью w3 движется со скоростью оэ, равной групповой скорости волны цГр.
Пример 10.5. Оценка величины коэффициента ослабления поля в прямоугольном волноводе. Пусть размеры сечения волновода а=9,9 см, 6 = 4,9 см (см. пример 10.3), рабочая частота /=3000 МГц, волновод изготовлен из меди с параметрами ц=1, о=5,7-Ю7 1 См/м. Тогда на основании (10.38) найдем величину коэффициента ослабления
ан ,	2 • 10“3, 1/м.
Это значение коэффициента ослабления типично для практически применяемых волноводов. При небольшой высоте сечения волновода 6, а также при <о«ыКр (см. 10.38), значение коэффициента ослабления может быть много больше вычисленного.
Пример 10.6. Образование волн в цилиндрических волноводах. Не рассматривая уравнений поля в цилиндрических волноводах, покажем как приближенно построить картины поля путем последовательной деформации сечения прямоугольного волновода, соблюдая граничные условия на металлической поверхности волновода £, = 0 и Нп — 0 (рис. 10.10). Отметим следующую закономерность: основная волна прямоугольного волновода //io превращается в основную волну
215
Рис. 10.11. Принцип неизменности частоты колебаний электромагнитного поля в сложней электродинамической системе
_ Свободное ^пространство
-Ра =Л>
цилиндрического волновода 7/ц, где первый индекс — число вариаций поля по углу <р, второй — по радиусу г.
Пример 10.7. Частота колебаний электромагнитного поля в сложной электродинамической системе. Согласно формуле (5.59) всегда существует соотношение
f = t'*/Z = inv, справедливое в любой неподвижной электродинамической системе и означающее неизменность (инвариантность) частоты колебаний поля в любой точке системы или среды (рис. 10.11). Частота задается только внешним (сторонним) генератором поля.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
10	1. Дайте определение прямоугольного волновода.
10.2	Почему при исследовании свойств волновода можно использовать уравнения Гельмгольца для продольных составляющих полей?
10.3	Рассмотрите решение уравнений Гельмгольца для волн типа Н и типа /?. В чем заключается метод разделения переменных?
10.4.	Объясните зачем и как применяются >раничные условия в волноводе.
10.5.	Что показывают индексы волн и как с их помощью читаются типы волн?
106.	Рассмотрите характеристическое уравнение волновода и запишите условия распространения волн в волноводе.
10.7.	Что такое критическая частота, какова ее формула?
10.8.	Расскажите о выборе оптимальных индексов воли.
216
10.9.	Рассмотрите составляющие полей, картины поля и токов в стенках волновода для основной волны в прямоугольном волноводе.
10.10.	Получите и проанализируйте формулы для фазовой и групповой скоростей волны. Каковы особенности значений этих скоростей?
10.11.	Что такое дисперсия и каково ее влияние на распространение волн в волноводах?
10.12.	Как определяются вектор Пойнтинга и поток мощности в волноводе?
10.13.	Проанализируйте формулу для потока мощности волны Я|о.
10.14.	Составьте, решите и проанализируйте уравнение для баланса мощности в волноводе.
10.15.	Как вводится мощность потерь в уравнение баланса мощности?
10.16.	Как определяется коэффициент ослабления поля волны?
10.17.	Проанализируйте формулу для коэффициента ослабления волны Htv.
10.18.	Как определяется волновое сопротивление волноводов и чему оно равно для воли магнитного и электрического типов?
УПРАЖНЕНИЯ
10.1.	Напишите формулу для продольных составляющих полей Й, (см. формулу (10.11) и £, (см. (10.18)) в полной тригонометрической форме.
тл	пл
Ответ: Нг = Яг0 cos--х cos---и cos (w—hz),
a	b
тл	пл
Ег = Ет sin---х «in---у cos (со/—hz).
a	b
10.2.	Напишите формулу для поперечной составляющей электрического поля основной волны Я,о (см. (10.24)) для условий аХШкр.
Ответ: Ёу — Еув (sin—x|e—^*cosci/.
\ в /
10.3.	Определите значения критических длин воли для волновода с размерами сечения а и Ъ—а!2 (рассмотрите шесть типов воли).
Ответ: волна HiB: Х.Окр=2п, волна НВ\-.	волна Нт: X0KP=a,
волна Нт\ Л(1кр=о/2, волна Н\, и волны £ц: ZoKp=2n/V5.
10.4.	Определите какие типы воли могут распространяться в волноводе с размерами сечения а=10 см и Ь=5 см на частоте 5000 МГц.
Ответ: Волны типов Я|0, Я0|, Яг0, Яц, £ц, Я3|.
217
10.5.	Напишите формулу для составляющей Н, волны типа Н1е (см. (10.24)) в тригонометрическом виде, учитывая множитель j в формуле (10.25).
/(at-hri 1-/П/2
Ответ: так как ) = е,л'2. то Нг —------Е^соз —хе
ашр.о	а
л	л
илн п г =------Еие cos — х sin (со/ —Яг).
асоц0	а
10.6.	Установлено, что фазовая скорость волны типа /710 в волноводе равна 1,5с (с — скорость света). Ширина сечения волновода а = = 10 см. Какая частота колебаний у передаваемой по волноводу волны?
Ответ: (=2010 МГц.
10.7.	Преобразуйте формулу (10.32) для максимальной передаваемой мощности при условии распространения волны типа и при Епред — 30 КВ/СМ.
Ответ: принимая, что а=7.0 и Я = Х0/2, получим
Е-п _
Р=Ч» X2 	 Й-^/гЛ,,)4 ~ 1500/ЗХ2, МВт,
где Хо в м.
10.8.	При измерении установлено, что в волноводе с волной типа Hit иа расстеянии 2 м амплитуда поля Еу уменьшилась на 20%. Велико ли это уменьшение и за счет чего оно могло произойти?
Ответ: e-as = EIZ/£Iz0 и е-аг»1—az, откуда а = 0,1 1/м, что значительно больше обычной величины коэффициента ослабления ass0.001 1/м (см. пример 10.5): увеличение а вероятнее всего произошло из-за близости со к соКр (см. формулу (10.38)).
10.9.	Пользуясь картинами мгновенных распределений полей в волноводе иа основной волне /71с (рис. 10.2a), нарисуйте мгновенное распределение вектора Пойнтинга в волноводе.
Ответ: так как составляющая вектора Пойнтинга Пг определяется произведением ЕУНХ, то по поперечному сечению А—А его распределение будет иметь следующий вид: при х=0 и х—а вектор Пойнтинга равен нулю, при х=а/2 — значение максимальное; вдоль оси z величина вектора Пойнтинга изменяется как cos2 Яг с максимумом в сечении А—/1 н равенством нулю в сечении Б—Б (см. также формулы (10.24)).
218
ДОПОЛНЕНИЕ. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ.
СОЕДИНЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ. ОТКРЫТЫЙ ВОЛНОВОД
КАК АНТЕННА. П- И Н-ОБРАЗНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
Возбуждение волн в волноводах. Введение в волновод электромагнитной мощности и, следовательно, возбуждение илн образование поля в волноводе, производится путем связи внутренней области волновода с внешним источником электромагнитных колебаний. Колебания поступают в волновод через элементы связи, которыми могут быть: электрический диполь в виде отрезка провода (так называемый «штырь связи»), магнитный диполь в виде петли провода, отверстие в металлической стейке волновода, совмещенное с отверстием в стенке другого волновода (рис. 10.12).
При использовании электрического диполя ток диполя вызывает электрическое поле в волноводе, и энергия через поле диполя перекачивается в волновод. Диполь размещается в волноводе таким образом, чтобы в месте его расположения существовало электрическое поле волновода. Такая связь называется электрической. Ток диполя является сторонним электрическим током (см. разд. 4.4).
При использовании магнитного диполя его магнитное поле взаимодействует с магнитным полем волновода, и энергия передается в волновод. Магнитный диполь в виде петли провода располагается в волноводе так, чтобы магнитное поле волны в волноводе пронизывало петлю провода. Подобная связь называется магнитной, а магнитное поле петли является сторонним полем (см. разд. 4.4).
Рис. 10.12. Элемешы связи волновода с источником или потребителем ••пергии волны
а — электрическая связь через штырь связи /; б—магнитная связь через петлю связи 3; в ~ связь через отверстия в стенках двух волноводов: 2,4— кабели (коаксиальные линии), связывающие волновод с источником или потребителем электромагнитной энергии
219
Рис. 10.13. Схемы возбуждения поля илн отбора мощности в волноводах а, в, г — электрическая связь в прямоугольном волноводе, в полосковой линии, в цилиндрическом волноводе; б — магнитная связь с основной волной прямоугольного волновода
Связь при помощи отверстия можно рассматривать как связь магнитных полей токов в стейках обоих волноводов.
Все сказанное можно полностью отнести к процессу отбора мощности из волновода. Примеры схем возбуждения волновода илн отбора мощности из волновода приведены иа рис. 10.13. Теория и практика возбуждения волноводов подробно рассматриваются в дисциплине «Техника СВЧ».
Соединение волноводов. На практике часто возникает необходимость в соединении двух волноводов разных видов. Основным критерием возможности их соединения является равенство их волновых сопротивлений (см. разд. 10.6). Но из формул (10 39), (10.40) видно, что волноводы с волнами типов Е и Н имеют различные волновые сопротивления и поэтому непосредственно соединены быть ие могут. Для соединения таких волноводов необходимо согласовать их волновые сопротивления с помощью согласующих элементов (рис. 10.14). Наиболее легко соединяются два прямоугольных волновода с волнами Н1В, имеющие разную высоту стенок b и одинаковую ширину стенок а. Такие волноводы обладают одинаковыми волновыми сопротивлениями, так как имеют одинаковые Ыкр (см. формулу (10.20)). Соединение прямоугольного и цилиндрического волноводов с основными волнами также несложно. Возмож-
220
Рис. 10.14. Соединения волноводов
а — два прямоугольных волновода с волнами //to; б — прямоугольный и цилиндрический волноводы с основными типами волн; в — прямоугольный волновод с волной Н10 н цилиндрический с простейшей волной £оь г — прямоугольный вол иовод с волной Яю и коаксиальная линия; пунктиром обведены элементы согласования волноводов
ны соединения волноводов с изменением типа волны (рис. 10.14 в), соединение волноводов с коаксиальной линией (рис. 10.14г). Во всех случаях необходимо использовать элементы согласования либо в виде плавных переходов от одного сечения к другому (рис. 10.14 о, б), либо специальных узлов согласования.
Открытый волновод как антенна. Если волновод обрывается на какой-то длине, то нз его открытого конца излучается электромагнитная энергия в свободное пространство. Можно условно сказать, что волновод «соединяется» со свободным пространством. Для лучшего согласования волновода со свободным пространством в месте обрыва волновода устанавливается согласующее устройство в виде рупора (рис. 10.15)). Образуется рупорная антенна. Ее расчет производится путем использования метода вторичных источников (см. разд. 8.5). Вторичные источники располагаются на фронте волны, вид которого задается приближенно, исходя нз граничных условий: линии поля Е перпендикулярны поверхностям рупора.
221
Рис. 10.15. Рупорная антенна в виде открытого прямоугольного волновода
а — общий вид; б — вторичные источники на фронте / волны в рупоре
П- и Н-образиые волноводы. На практике часто требуется уменьшить критическую частоту основного типа волны, не изменяя величии критических частот высших типов. Для этого сеченне волновода преобразуется так, как показано иа рис. 10.16, а волноводы называются П- и Н-об-разными. Изменение сечеиия приводит к тому, что благодаря выступам
Рис. 10.16. Волновод со сложным сечением а — П-образный; б — Н-образный
в волноводе как бы увеличивается погонная емкость волновода, и для волны Ню критическая частота понижается Волны высших типов испытывают меньшее влияние выступов, и их критические частоты почти не изменяются. Таким образом, частотный диапазон между критическими частотами основной волны Н1е и воли высших типов увеличивается. Расчет П- н Н-образных волноводов можно произвести приближенно.
222
11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
11.1.	ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РЕЗОНАТОРАХ (У)
Электромагнитным резонатором называется электродинамическая система с переменными во времени электромагнитными полями, которые существуют только на определенных частотах и характеризуются резонансными свойствами.
Электромагнитные резонаторы позволяют создать колебательные системы на частотах выше 100 МГц, на которых обыкновенные колебательные контуры не могут удовлетворительно работать.
Рассмотрим образование резонатора из колебательного контура, содержащего сосредоточенные индуктивность и емкость.
Для повышения резонансной частоты требуется уменьшать величину индуктивности и емкости контура. Это достигается сведением катушки индуктивности сначала к одному полувитку провода (рис. 11.1а), затем к параллельному присоединению к нему ряда полувитков и превращении проводов в ленты (рис. 11.16). В конечном счете ленты, соприкасаясь между собой, образуют сплошную металлическую оболочку (рис. 11.1 в). Конденсатор колебательного контура состоит из металлических дисков, при раздвижении которых емкость контура уменьшается.
Электромагнитный резонатор, как и обычный колебательный контур, характеризуется двумя основными параметрами: резонансной частотой юр и добротностью Q.
Электромагнитные резонаторы используются в качестве фильтров различного назначения в радиотехнической аппа-
Рис. 11.1. Образование электромагнитного резонатора (замкнутой металлической резонансной полости) из колебательного контура, содержащего сосредоточенные индуктивность L и емкость С
223
Рис. 11.2. Виды электромагнитных резонаторов
а — замкнутые (прямоугольный, цилиндрический, тороидальный и коаксиальный); б — открытые в виде двух металлических пластин; в — диэлектрический
ратуре, работающей в диапазоне сверхвысоких частот: для выделения полезного радиосигнала, как нагрузка в усилителях, как элементы измерителей частоты. В электронике СВЧ и в лазерной технике резонаторы являются основными устройствами в генераторах и усилителях электромагнитных колебаний. Широко используются резонаторы в физической аппаратуре при исследованиях свойств веществ на СВЧ, в ускорителях заряженных частиц и др.
Электромагнитные резонаторы можно условно разделить на три основных вида; металлические (замкнутые и открытые) и диэлектрические.
В замкнутых резонаторах (рис. 11.2 а) электромагнитное поле находится внутри металлической оболочки и не рассеивается в пространство. Легко видеть, что замкнутые прямоугольный, цилиндрический и коаксиальный резонаторы образованы из отрезков волноводов и линий.
У открытых резонаторов (рис. 11.2 6) <при условии, что размер пластин много больше длины волны колебаний, электромагнитное поле почти не рассеивается.
В диэлектрических резонаторах поле (рис. II.2в) сосредоточено в диэлектрике.
224
11.2.	РЕЗОНАНСНАЯ ЧАСТОТА ТИПЫ КОЛЕБАНИИ (У)
Резонансная частота резонатора произвольной формы определяется только приближенно. Если резонатор создан на основе волновода с известной критической частотой <окр (см. разд. 10.4), то резонансная частота резонатора определяется точно. Рассмотрим, как это сделать.
Пусть имеется волновод произвольного сечения. Выделим вдоль продольной оси z волновода отрезок длиной I и поставим на концах этого отрезка металлические пластины, перпендикулярные оси г. Получился металлический резонатор (рис. 11.3). В волноводе существовала бегущая электромагнитная волна, каждая составляющая электромагнитного поля которой описывается соотношением М=Мт cos (tat—hz) или в комплексных амплитудах
где й=(о/иф —фазовая постоянная волны в данном волноводе, а> — круговая частота, Оф— фазовая скорость волны.
Прн установке металлических пластин в волноводе нарушаются условия существования бегущей волны: на отрезке волновода из-за отражений от пластин образуются две бегущие в противоположные стороны волны, которые в сумме дают стоячую волну. В волноводе образуется электромагнитное поле, неподвижное по отношению к отрезку волновода и обладающее резонансными свойствами. Это явление можно выразить в следующей записи:
Л?ст=Л4е ^4-/?Afe+>hI,	(11.1)
Рис. 11.3. Образование из произвольного волновода резонатора длиной I установкой металлических пластни в точках Zi и z2
15—79
225
где — амплитуда стоячей волны, R— коэффициент отражения волны от металлической пластины. Полагая, что металл пластин является идеальным проводником, можно считать, что /?±1. Знак «плюс» или «минус» выбирается в зависимости от того, какая составляющая электрического или магнитного поля находится на отражающих пластинах, т. е. от граничных условий на них. Пусть /? = + 1, тогда (11.1) примет вид
МСТ=М (е->Лг+е+>Лг) =2М cos hz,
так как (e~J'hz-4-e+->h2)/2=cos hz. Множитель cos Az описывает распределение поля стоячей волны на отрезке I волновода, превращенном в резонатор. Условие резонанса для колебаний электромагнитного поля выполняется, если при г=/
cos/i/=±l.	(П.2)
Соотношение (11.2) удовлетворяется тогда, когда
М = -^-/ = рл, р = 0, 1, 2, 3....
t-ф
Подобное же условие получается и при /?=—1.
Введем в последней формуле вместо ы резонансную частоту
(1)р/Оф = рл//
и, так как для любого волновода Уф—c/fl— (<йкр/о>)2, то можно записать
рп с
% = — г_______________ •
1 У 1—(«йкрМрУ
Отсюда получаем формулу
<»₽ - /< + с9(рл//)а,	(11.3)
которая позволяет определять резонансную частоту ыр при известных критической частоте <вКр данного волновода, длине резонатора I и величине р~0, 1,2,3... Величина р, определяясь граничными условиями, 'показывает, сколько полуволн поля укладывается по длине резонатора I, аналогична значениям индексов волны тип для прямоугольных волноводов (см. разд. 10.2 и 10.3) и является третьим индексом, определяющим изменение поля вдоль резонатора.
Исходя из сказанного, укажем на запись типов колебаний в резонаторах. Так же, как и для волноводов, указыва
226
ется тип колебания в резонаторах: колебание типа Е, когда в поле резонатора имеется составляющая Ег и отсутствует составляющая Нг (поле Н находится только в поперечной плоскости) и колебание типа Н, если в поле резонатора есть составляющая Нг и нет составляющей Ег и поле Е находится только в поперечной плоскости. Например, вид колебания поля в прямоугольных резонаторах записываются следующим образом:
колебание типа HiOl (читается «колебание типа аш один ноль один»),
колебание типа Eii2 (читается «колебание типа е один один два»).
Пояснение 11.2.1. Электромагнитный резонатор, как колебательная система СВЧ, отличается от обычного колебательного контура с сосредоточенными параметрами наличием бесконечного ряда резонансных час тот, которые описываются бесконечным числом индексов m=0,1, 2, 3,..., п=0. 1.2,3__ р=0. 1,2,3,...
Нулевые значения индексов следует выбирать так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям для данного типа колебаний (сравните с выбором индексов тип для прямоугольных волноводов (см. разд. 10.2 и 10.3).
Так как сор—2л/Р=2л (с/Лор) и (Окр=г2л/кр==2л (с/Хокр), то из (11.3) получается формула для длины волны при резонансе
Ч =	2	—•	(t 1.4)
Можно говорить о том, что металлические пластины, установленные перпендикулярно оси z волновода, являются торцевыми стенками резонатора.
11.3. ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРОВ (У)
Электромагнитный резонатор, как колебательная система, характеризуется количеством накопленной энергии и энергией потерь. Наиболее удобно оценивать величину этих параметров через добротность колебательной системы Q, вычисляемой как отношение
15*
227
где tFHaK — накопленная (нли запасенная) энергия в определенный момент времени, a W'nor.n — средняя величина энергии потерь в системе за период колебания, для которого определялась накопленная энергия. Так как энергия это мощность, умноженная на время, то за период колебания Т
И^ПОТ.П == ТР пот,
и тогда получим формулу для определения собственной добротности резонаторов
(П.5) “пот
Пояснение 11.3.1. Необходимо помнить, что в резонаторе, как в любом колебательном контуре, внешний источник мощности (генератор) образует поля и токи путем покрытия мощности потерь Р„от.
Применим формулу (11.5) к замкнутым объемным металлическим резонаторам, заполненным воздухом. Накопленная электромагнитная энергия в резонаторе
rMll- [+ dV, v \	2	2	/
где ео=Ю~9/36л, Ф/м, ро=4л-10-7, Гн/м, V— объем резонатора, Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей в какой-то момент времени. Поскольку 1^„ак в формуле (11.5) вычисляется для резонансной системы, то
= */. «о JI Ёт„ I’d V = »/, р0 f I Hm„ Г dV, (11.6) V	V
где Ётах и Нтлх — максимальные значения векторов напряженностей полей в резонаторе, причем, когда Е=Етах, то Н=0 или Н=Нтах и Е=0: в любом колебательном контуре происходит переход энергии из электрической в магнитную и наоборот.
Мощность потерь в резонаторе в общем случае складывается из потерь в металле стенок резонатора, потерь в диэлектрике, имеющемся в резонаторе, потерь на излучение при наличии отверстий в стенках резонатора.
Если считать, что резонатор наполнен воздухом и стенки не имеют отверстий, то потери будут определяться только токами проводимости в стенках. Тогда мощность потерь
228
РПот в стенках резонатора определяется по формуле (7.9), записанной для условия, что <i>=cop, т. е.
(Н.7)
где ца = рро— абсолютная магнитная проницаемость, о — удельная 'проводимость металла стенок резонатора, — тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля на стенках резонатора, 5 — поверхность всех его стенок.
Подставляя формулы (11.6) и (11.7) в (11.5), получим
Но flHmal|2dV
<? = *•>₽—--------------- (П-8)
Ир На J | Нт |* ds
Из (11.8) можно сделать следующие выводы:
1) добротность любого резонатора не зависит от напряженностей полей, так как амплитудные множители в выражениях для Нтах и Нт выносятся из-под интегралов и сокращаются;
2) добротность резонатора пропорциональна отношению объемного интеграла к поверхностному и характеризуется примерным отношением V/S и максимальна для сферического резонатора.
11.4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР (С)
Резонансные частоты прямоугольного металлического резонатора (рис. 11.2 а) определяются формулой (11.3), в которую надо подставить выражение для критической частоты Икр прямоугольного волновода (см. (10.19))
1»р = с V(тп/а)* + {пзЧЬ? + {рпЩ2,	(11.9)
а длина волны колебаний при резонансе будет равна 7.0р= = с//р=2лс/(1)р или (см. (11.4))
К*-	(11-Ю1
/(m/a)a + («/b)s + (P/04
Из бесконечного числа резонансных колебаний (см. пояснение 11.2.1) прямоугольного резонатора с размерами a, b, I рассмотрим колебание, которое образуется на базе основной
223
волны прямоугольного волновода (см. разд. 10.4). У этой волны Ыкр—сл/а и А.0кр=2а.
Пусть по длине резонатора поле будет изменяться один раз, т. е. возьмем р=\. Тогда получим основной тип колебания прямоугольного резонатора, которое записывается как //юн Резонансная частота и длина волны, исходя из (11.9) и (11.10), вычисляются как
ь>р=сУ (л/а)2+ (л//)2, Лор=2а//Уй2+/2, а добротность
ДЦаЫр______аЫ(а«+/2)_____
2	а/(а2 + Р)+26(а»+/») '
Отметим, что резонансная частота резонатора не зависит от размера Ь, так как второй индекс в записи колебания Afioi равен нулю.
Пояснение 11.4.1. Рассматривая формулу (11.11) для АОр легко видеть, что длина волны колебаний основного типа при резонансе примерно равна максимальному размеру резонатора. Так, при о=3 см /=4 см, ^ор = 4,8 см.
(Н.П)
(11.12)
Рис. 11.4. Картина полей в прямоугольном металлическом резонаторе с колебаниями основного типа Н101
230
Рис. 11.5. Картина токов при колебаниях типа Н1В1
токи проводимости / на внутренней ходят в токи смещения /с„
поверхности стенок резонатора пере-
УА
Рис. 11.6. Условность классификации резонаторе
типа
колебании в прямоугольном
п — колебание £ц0; б — колебание Н011
231
Рис. 11.7. Прямоугольный резонатор
о — с удаленной ториевой стенкой (незамкнутый резонатор); б — нз отрезка полосковой линии
Пояснение 11.4.2. Рассматривая прямоугольные резонаторы, необходимо отметить условность классификации типов колебаний. Речь идет о следующем. Если, не изменяя вида поля в резонаторе с колебанием типа Нio,, повернуть его так, чтобы линии Е были направлены вдоль оси г (рис. 11.6а), то получим колебание типа £ио. Если же повернуть резонатор так, как показано на рнс. 11.7 6, то получим колебание Н011. Для определенности всегда имеется в виду, что прямоугольный резонатор располагается так, как показано на рис. 11.4.
Рассмотрим некоторые модификации прямоугольного резонатора. Возможно изъять у резонатора одну из закорачивающих торцевых металлических пластин-стенок (рис. 11.7 а). Резонатор используется в измерительной технике, в некоторых волноводных устройствах.
Если удалить боковые стенки, то получим резонатор, как бы сделанный из согнутой полосы металла (рис. 11.7 6), т. е. из отрезка полосковой линии. Резонатор при а^>Ь применяется как составная часть волновода медленных волн.
11.5. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ, ТОРОИДАЛЬНЫЙ
И КОАКСИАЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (С)
Цилиндрический резонатор образуется из отрезка цилиндрического волновода (рис. 11.8а). Простейшим видом колебания является колебание типа Е, при котором поля не изменяются по углу <р и по длине /, а по радиусу изменяются только один раз. Запись такого колебания имеет вид Е010:
232
Рис. 11.8. Цилиндрический металлический резонатор
а — общий вид; б — простейший тип колебаний £окь в — колебание типа £вп’. г — колебание типа НОи
первый индекс указывает на неизменность поля по <р, второй — на изменение по г, третий — на неизменность по г (рис. 11.86). Длина волны при резонансе определяется по формуле
Лор= 2ла/2,405= 2,61 а.
где а — радиус резонатора, и примерно равна диаметру резонатора (см. пояснение 11.4.1). Добротность резонатора находится по соотношению
О =|/ <Ор al
ЧЕ,,‘ V 2	а+1
Хорошо видно, что длина волны при резонансе не зависит от длины резонатора, а добротность зависит.
При колебаниях этого типа в резонаторе имеется всего две составляющих поля Ег и Hv, изменяющиеся только по радиусу г (и, конечно, во времени).
Для тороидального резонатора (рис. 11.9) резонансную частоту и добротность можно вычислить только приближенно. Если расстояние между внутренними выступами мало, то допустимо считать, что такой резонатор подобен обычному
233
колебательному контуру с емкостью между выступами, где сосредоточено
Область поля Е
Т электрическое поле. Роль индуктивности играют стенкн резонатора. Такое приближение допустимо 77 только для резонанса на основном типе колебаний, т. е. на самой низшей ча-стоте, на которой обычно и работают тороидальные резонаторы. При основном типе колебаний поля не
Рис. 11.9. Тороидальный резонатор изменяются НИ ПО ф, НИ по Z.
Коаксиальный замкнутый резонатор (рис. 11.10 а) представляет собой отрезок коаксиальной линии и обычно работает на основном типе колебаний. При этом в резонаторе существует радиальное электрическое поле ЕТ между внутренним и внешним проводником и магнитное поле Нч., охватывающее внутренний проводник. Длина волны при резонансе для основного колебания определяется по формуле (П-4) и для резонатора без диэлектрика составляет (см. пояснение 11.4.1) Лор=2/, так как в коаксиальной линии Лв=Хо= =v>/c, а р= 1 потому, что вдоль резонатора укладывается одна полуволна. Для высших типов колебаний р=2,3,... Если резонатор разомкнут на одном из концов (рис. 11.10 6), то длина волны при резонансе Л0р==4/. Добротности коаксиальных резонаторов ниже, чем прямоугольных и цилиндрических, так как у них больше металлическая поверхность, где
Емкостная часть \ резонатора
Рис. 11.10. Коаксиальные резонаторы а — замкнутый; б — незамкнутый
234
протекают токи, образующие потери энергии. Однако в конструктивном отношении коаксиальные резонаторы часто удобнее прямоугольных и цилиндрических.
11.6. ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ (С)
Появление резонаторов позволило значительно повысить резонансные частоты колебательных контуров. Однако дальнейшее укорочение длины волны колебаний (менее 1—2 см), требующееся для решения задач современной техники, выполнить с помощью рассмотренных резонаторов практически невозможно. Причины этого следующие.
Во-первых, при повышении резонансной частоты геометрические размеры резонаторов уменьшаются. Если для упрощения рассмотреть прямоугольный резонатор в виде куба, то из формулы (11.11) следует, что ребро куба будет равно а=ХоРУ2. В миллиметровом диапазоне качественное изготовление такого резонатора становится весьма затруднительным.
Во-вторых, добротность резонатора уменьшается при уменьшении длины волны, что видно из (11.12). Для резонатора кубической формы с использованием последней формулы можно записать, что
Q=constVAop-	(11.13)
Реальная величина добротности будет сильнее уменьшаться при малых Лор, так как шероховатость стенок резонатора будет влиять больше. Элементы связи и настройки также будут вносить большие потери. По формуле (11.13) можно оценить изменение Q при изменении АОр. Если ZOp уменьшается от 10 с.м до 1 мм, то расчетная добротность уменьшится в 10 раз, а реальная станет еще в три-четыре раза меньше.
При дальнейшем укорочении длины волны выполнить резонатор чрезвычайно трудно, а для волн менее 0,5—0,3 мм вообще невозможно.
На первый взгляд, выход из создавшегося положения как будто бы имеется, если переходить к резонаторам, работающим на высших типах колебаний, т. е. с индексами т, п, р значительно больше единицы. Действительно, из формулы (11.11) следует, что, если для упрощения рассуждений считать, что а = Ь = 1 и т—п=р, то ребро резонатора-куба бу
235
дет a=constmAop и при больших т ребро может быть достаточно большого размера и при малых ХОр. Например, если индекс т порядка 100—200, то при ЛоР=0,3 мм размер куба-резонатора получается (приемлемым. Однако требования к качеству обработки металла стенок, соблюдение размеров, выполнение элементов связи и настройки остаются такими же, как и для резонатора, изготовленного для работы на основном типе колебаний, т. е. с индексами т=1, п=0 и р= = 1. Но главное заключается в том, что при работе на колебаниях высших типов резонатор фактически перестает быть фильтрующим элементом, т. е. колебательным контуром с резонансными свойствами. Это происходит по следующей причине. Известно, что полоса пропускания любого резонансного контура определяется как
2A(o=fc>p/Q.	(11.14)
Запишем для резонатора-куба резонансные частоты колебаний двух ближайших типов: для одного с индексами т— ==п=р, а для ближайшего с индексами т—п, р — т-\-\, т. е.
(ор х = const • т, шр ( =• const • т	1 + ~~	(11.15)
Если
Wp2—(Ор|=2А(1>,	(П-16)
то резонансные кривые этих колебаний перекрываются, и фильтрующее действие резонатора исчезает: резонатор примерно одинаково пропускает весь спектр частот вблизи (oPi И С0р2-
Необходимо отметить, что производить настройку резонатора, работающего на колебаниях высших типов, крайне сложно.
Используя (11.14) и (11.16), запишем, что
ЛИ- - 1 4- 1/Q.
®и
и, вводя в последнюю формулу значения резонансных частот из (11.15), получим предельное значение индекса т, а именно
mnP=Q/3.
236
Рис. 11.11. Открытые резонаторы а — из двух металлических плоскостей; б — конфокальный
Считая, что реальная добротность резонатора на волнах порядка 0,3 мм не более 50 определяем, что тцрх 17. Сопоставляя полученные данные, можно сделать следующий вывод: использовать резонаторы с колебаниями высших типов на волнах короче 0,2—0,1 мм нецелесообразно.
От указанных недостатков свободны гак называемые открытые резонаторы, состоящие только из двух металлических плоскостей, между которыми существует электромагнитное поле в виде стоячих волн (рис. 11.11). Резонатор работает на колебаниях очень высоких типов, но из-за отсутствия боковых стенок отражения волн от них нет. Вследствие этого расстояния по оси частот между соседними резонансными частотами оказываются значительно большими, чем в полностью замкнутых резонаторах. Размеры плоскостей на несколько 'порядков больше длины волны, а расстояние между ними оценивается соотношением
L = m^-, 2
где т — целое число значительно больше единицы, лор-—резонансная длина волны. Расстояние L должно быть выдержано с весьма малой погрешностью, не превышающей долей Лор.
Металлические плоскости открытого резонатора могут быть заменены на металлические поверхности-зеркала сферического профиля с фокусными расстояниями, равными половине расстояния между зеркалами. Такие резонаторы на
237
зываются конфокальными и имеют лучшие характеристики, чем резонаторы с плоскими зеркалами.
Добротности открытых резонаторов определяются потерями на поверхностях зеркал и излучением энергии за пределы резонатора. Однако значения добротностей достаточно высоки, что следует из соотношения (11.8): металлическая поверхность S. где имеются потери всегда меньше в открытом резонаторе, а объем V, где сосредоточено поле, больше, чем в замкнутом резонаторе. Добротности открытых резонаторов достигают сотен тысяч и миллионов. Используются открытые резонаторы в лазерах на электромагнитных колебаниях светового диапазона волн.
11.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ
ГЛАВЫ 11 (С)
Пример 11.1. Мощность внешнего генератора и накопленная электромагнитная энергия резонатора. Поле в резонаторе образуется при покрытии мощностью внешнего генератора Р,е„ мощности потерь в резонаторе РПОт. Поэтому, используя формулу (11.5) И приняв, ЧТО Рпот—Рген, ПОЛуЧИМ
W,HaK = P,.eHQ/<oP.	(11.17)
Рассмотрим формулу (11.17) в приложении к обычному колебательному контуру со сосредоточенными индуктивностью L и емкостью С. Так как в контуре W„aK — U2C/2 и Рпо, =/к2/?/2, где U — напряжение на конденсаторе, /к — ток в контуре, R— сопротивление потерь в контуре, то, учитывая, что для контура Q—\/wpCR и 1/<оРС=р— характеристическое сопротивление контура при резонансе, формула (11.17) примет известный из теории цепей вид U—lKp. Но так как fB = IQ, где 1 — ток, питающий контур, имея в виду, что U/I = RP— сопротивление контура три резонансе, получим видоизмененную формулу (11.17) /?p=pQ.
Пример 11.2. Связь параметров резонатора с параметрами волновода, из которого образован резонатор. Пусть замкнутый объемный резонатор образован из отрезка волновода, у которого длина волны и критическая длина волны /,окР. Из формулы hl=pn (см. (11.2)), имея в виду, что h= =2л/1в. получим /=р(Хв/2). Из этого соотношения видно, что при резонансе по длине резонатора укладывается целое число полуволн Лв/2. Если в последней формуле раскрыть значение лв, то получим связь длины резонатора с длиной
238
волны при резонансе и критической длиной волны в волноводе
2 __ 1 j Р^ор 
V1—(^ор/^о КР)’
Последняя формула представляет собой видоизмененную формулу (11.3).
Пример 11.3. Составляющие поля прямоугольного резонатора с типом колебаний /7|01- Поля резонатора определяются из формул для полей волновода, из которого образован резонатор. Для волны типа Н10 прямоугольного волновода составляющие поля выражаются формулами (10.24)... (10.26). Для упрощения записей математических преобразований временной множитель eJ"' опускаем. При определении составляющих поля резонатора используем формулу (11.1). Составляющая поля запишется так:
Ёи = Eyo sin — х (е ~iht + а
При z=0 и г=/ составляющая Еу равна нулю в силу граничных условий Е, = 0 на поверхности идеального проводника. Следовательно, в последней формуле hl—pn,aR —— 1, тогда
Ёи — Еv0 sin —х (e~ihl — е*'ъ/) — — iEy0 sin — sin hl, a	a
так как (e+>w—e_>w)/2/=sin Л/. Имея в виду, что при р=1 величина h равна л/, получаем
Ёи — — i2Eva sin — х sin — v. a I
Аналогично для составляющей
г » Ci Л Г?	Л	• Я
пг = 2----ЕиУ cos — х sin — г.
awp0	а I
Составляющая Йх представляется несколько иначе, а именно
Нх =------— Еу 0 sin — х + /?е+/Л’).
(0|Х0	а
Здесь при г=0 и z—l составляющая Йх напряженности магнитного поля не обращается в нуль, так как является ка
239
сательной к идеальному проводнику. Поэтому hl=pn, a R = = 4*1. и
И* «=• — 2—- Еип sin — xcos — г. ющ	а	I
Обозначим Ёо~—i^Eyo и запишем окончательно составляющие поля прямоугольного резонатора с колебанием основного типа Hioi (введем временной множитель е;'“() в виде
Еу Ёо sin—х sin — ze/m',
Ht = j-^-E0cOi^ awp Цо	a
xsin — хе'®*, /
Hx = — f —-— £. s in — x cos — ze'®', /o>p p,	a	I
где |£0|—амплитуда электрического поля в центре резонатора, т. е. при х=а12. и г=//2.
Пример 11.4. Расчет прямоугольного резонатора на резонансную волну >.ор=1О см. В резонаторе существует основное колебание, и пусть размер ребер одинаков. Материал стенок—медь, у которой ц=1, о=6107 См/м.
Имеем а — b — l, тогда из (11-11) следует, что ХоР=У2о и а = 1,\ см. По формуле (11.12) определяем величину добротности
л т/	20-10*.
V 2	3
Если высоту резонатора b уменьшить до 1 см, т. е. в 7,1 раз, го л.Ор не изменится, а добротность уменьшится в 2,7 раза. Реальная добротность резонатора меньше расчетной в два-три раза из-за неидеальной обработки металла стенок резонатора (шероховатость поверхности), влияния на резонатор внешней электрической схемы, наличие элементов настройки резонатора.
Пример 11.5. Входное сопротивление или импеданс резонатора из отрезка полосковой линии (рис. 11.7 6). Считаем, что ширина резонатора а значительно больше его высоты Ь и длины волны колебаний поля в резонаторе. Тогда можно полагать, что в резонаторе иа основном (простейшем) типе колебаний существует только две составляющие поля Еу и Нх, которые изменяются только по координате г. Для элек
240
трического поля резонатора с воздушной средой, т. е. при в—1, р=1 и а=0, векторное уравнение Гельмгольца (см. разд. 5.3 и 5.4) имеет вид
V2E+/j2E=0.
Так как E=fivlv, Ёх=0, £t=0, д/дх=О и д/ду—О, то для Еи векторное уравнение Гельмгольца упростится до одного скалярного уравнения
-^- + **^ = 0,
Л*	и
где А=<1)/с=2лАо — фазовый коэффициент волны в свободном пространстве. Решение этого уравнения запишется так:
Ёи=С\ sin fez+C2cos kz.
Применяя граничное условие £,=0 на поверхности идеального проводника, т. е. при z=0 (рис. 11.7 6) получим С2=0 и Ey=C\$\nkz. Из второго уравнения Максвелла rot Ё=—/<оцоН, записанного для воздушной среды с 8=1, р=1 и о=0 находим вектор магнитного поля. Так как магнитное поле содержит только одну составляющую Йх. а электрическое — только составляющую Ёу, то
 дЁу
или
Нх = — / —— Ci cos kz.
Тогда импеданс резонатора (входное сопротивление) W при г=1 запишем как
W —	= / МИо Ct sin |	=• /1 / — tg kl —
Hx k 6?! cos kz |g»=i	1 [ e0
—/IT0tg2n—(11.18)
имеет индуктивный характер при tgW>0 или емкостной при tgW<0. Резонансы наступают при tgft/=oo или при tgfc/=O, параллельный или последовательный соответственно. Резонансные частоты определяются из условия kl=rnnl2, где т= 1,2,3... Если т=\, то длина волны при резонансе Хор = 4/.
16—79
4241
Пример 11.6. Вывод формулы для добротности тороидального резонатора. Используем общее выражение для добротности резонаторов (11.8), которое подробно и распишем. Магнитное поле в резонаторе (рис. 11.9) определяется нз уравнений электродинамики в интегральной форме (см. разд. 2.4). Числитель формулы (11.8), соответствующий накопленной электромагнитной энергии в резонаторе (см. (11.6)), запишется как
Но [ I Нш„ Г dV = р0 П Н„аж |* Azr dr dtp V	V
или
Ро f I Нга« Г dzr dr d<p = [ dz [ dq> J | Hm„ |’ rdr, V	b 0 a
так как магнитное поле Hmax не зависит от г и <р. Напряженность магнитного поля Н1Пах=^1, определяется по закону полного тока (см. разд. 2.2)
(£> Hdl = 1, 2лгН<, = Ц Н^—,
где 1 — ток, протекающий по выступам резонатора вдоль оси z. Тогда окончательно числитель (11.8) примет вид
PoflHjdV =	f A- = ±£21£-ln(ft/a).
’	2л J г 2л
V	а
Интеграл в знаменателе формулы (11.8) можно расписать в виде суммы трех интегралов, соответствующих поверхности выступов, внутренней поверхности резонатора и поверхностям днищ резонатора как
хГ f|^|’ds1+ (|//,|’dst + 2 fltfj’dsa I s.	S,	&
Вычислим каждый интеграл отдельно. Значение Йх различно для каждого интеграла, но определяется по одной и той же формуле Йх=Й<1=112лг для различных значений радиуса г.
242
Для 'первого интеграла элемент поверхности выступа равен площади элементарного кольца длиной 2па и высотой dz, т. е. ds1=2nadz. Тогда первый интеграл берется при г=а в пределах от z=0 до z=D—d.
(I//, Г dsr = l*(D — d)/2na.
&
Второй интеграл определяется при г=Ь, но в пределах от z=0 до z=D (здесь dsi=2n6dz) как
( |//,|’<fcs = /«D/2nft. s.
В третьем интеграле элемент поверхности днища (см. рис. 11.9) ds3=rdrd<p, а пределы интегрирования берутся от г=а до г=Ь и от <р=0 до <р=2л, следовательно,
2 f|/7,rdss = — In (b/a). Л
Если считать, что стенки резонатора изготовлены не из ферромагнетика, т. е. ра=|хо, то получим формулу для добротности тороидального резонатора
Q-2
/зц0 о>р abD In (b/a)
~2	b (D—d)+2ab In (b/a) '
Пример 11.7. Колебательные контуры на сверхвысоких частотах. Определим максимальную резонансную частоту колебательного контура (рис. 11.1а), состоящего из воздушного конденсатора (площадь пластины 1 см2, расстояние между пластинами 0,5 см) и индуктивности, представляющей собой полувиток шровода длиной 5 см и радиусом 0,5 мм. Емкость конденсатора определяется по формуле (см. пример 2.9) C=eoS/d=0,177 пкФ. В примечании к примеру 2.9 сказано, что величина емкости в пикофарадах конструкции, по форме близкой к кубу или шару, не может быть меньше величины радиуса шара в сантиметрах, описывающего эту конструкцию. Емкость увеличивается, если около конструкции находятся другие проводники. Рассматриваемый конденсатор, как конструкция, имеет диагональ порядка 1 см, по
16»	243
этому его емкость не может быть меиее 1 пкФ. Поскольку колебательный контур, содержащий конденсатор, находится в радиотехническом приборе, то реальная емкость контура будет не меньше 4 пкФ.
Индуктивность колебательного контура определится из (2.45), если считать, что //а =100:
£= ±а11п(//а)4,610-в Гн. 2л
Тогда максимальная резонансная частота контура
/в =----Цгт = 372 МГц или л,.) = 80,6 см.
2л/ЛС
При замене провода на ленту (рис. 11.16) уменьшается индуктивность и несколько уменьшается длина резонансном волны. Однако добротность таких контуров невелика и не удовлетворяет практическим потребностям. Создать мощные радиопередатчики с подобными колебательными контурами невозможно, так как элементы связи и собственно генератор значительно увеличивают емкость колебательного контура, чем еще более уменьшают его добротность. Поэтому в радиотехнических устройствах (радиопередатчиках и радиоприемниках), работающих на волнах, длина которых меньше 1 м, т. е. на частотах выше 300 МГц, применяются резонаторы.
Пример 11.8. Получение сверхвысоковольтных электромагнитных колебаний. С помощью резонаторов можно получать высоковольтные электромагнитные колебания, которые используются для ускорения электронов в экспериментах в атомной и ядерной физике, для получения жесткого рентгеновского излучения и др. Рассмотрим прямоугольный резонатор, работающий на основном типе колебаний, поля которого были определены в примере 11.3. Нас будет интересовать составляющая электрического поля £,,osin -xsln-z а I при х=а/2 и z=//2, т. е. Ёу=ЕУь в центре резонатора. Поля в резонаторе определяются мощностью внешнего генератора Рген (источника колебаний), идущей на покрытие потерь в резонаторе РПот (см. разд. 11.3 и пример 11.1). Используем формулу (11.13), левую часть которой в соответствии с (11.6) запишем в виде
244
a b I
» — — Ч p Е» Г 11 У e E« J j* J Jo sin* — x lin* * V	000
X fdx dy dz = e0 £*0 I	4
В формулу (11.13) введем Q (см. (11.12)) ври a—I, b = a/2 и т=1, л=0, р = 1 и тогда
pt а*	Р ге11 « / орв Юр а
*а «0 ' =ж 	I /		’
У 8 Ф₽ У 2	4
где для меди а=5,7-107 См/м.
Если резонатор питается мощностью Ргеи= 1 МВт, то при длине резонансной волиы 4 м напряженность поля
£„0=4,44-10®, В/м, а разность потенциалов (напряжение) между основаниями резонатора достигнет величины
U~EVeb=Eyo	-^- = 1,57, МВ.
2	2/2
Проверим возможность работы подобного резонатора, если внутри его находится воздух. Напряженность поля £„0 равна 44,4 кВ/см, что превышает предельно допустимую величину 30 кВ/см, при которой еще не возникает электрический пробой воздуха (см. пример 2.6). Поэтому в высоковольтных резонаторах внутри обеспечивается вакуум.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
11.1.	Дайте определение понятия «электромагнитный резонатор»
11.2.	Как образуется электромагнитный резонатор из обычного колебательного контура?
11.3.	Опишите резонаторы различных видов.
11.4.	Как определяются резонансные частоты резонаторов, образованных из отрезка волновода?
11.5.	Сколько в резонаторе резонансных частот?
11.6.	Какова роль граничных условий при определении резонансной частоты резонатора?
11.7.	Какова приближенная связь размеров резонатора с длиной волны при резонансе?
245
118	Расскажите о типах колебаний в резонаторах.
11.9.	Что такое добротность резонатора, как оиа определяется и от чего зависит.
11.10	Что такое прямоугольный резонатор; опишите формулы для резонансных частот и добротности. Расскажите про основной вид колебания. Какие существуют модификации прямоугольных резонаторов.?
11.11.	Расскажите о цилиндрическом, тороидальном и коаксиальном резонаторах и их модификациях.
11.12.	В чем трудности использования резонаторов иа миллиметровых и более коротких волнах.
11.13.	Что такое открытые резонаторы, каковы нх особенности и где они используются?
УПРАЖНЕНИЯ
Н.1. Путем использования в формуле (11.3) граничных условий найдите формулы для резонансных частот резонатора, образованного из прямоугольного волновода с простейшими волнами типа Н н Е (см. разд. 10.2 и 10.3).
Ответ: для колебаний типа Н. а>Р=У(л/а),-)-(л/6),4-(п//)^, при р=1; для колебаний типа Е: шр=Ч(п/а)s4-(я/£)при р=0.
11.2. Определите зависимость добротности прямоугольного резонатора от резонансной частоты на основном типе колебаний.
Ответ: приняв, что 6 = £а и l = vn, где £ н v — численные коэффициенты vj>l получим Q=const/y/p.
11.3. Рассчитайте добротность цилиндрического резонатора с резонансной волной 4 м, изготовленного из меди (а=5,7-107 См/м и р=>1).
Ответ: полагая, что длина резонатора l = va при v<l, получим Q= = 105(v/( 14-v)) при v = 0,5 имеем Q«67-I0’. Добротность реального резонатора примерно в два-три раза меньше.
ДОПОЛНЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ И НАСТРОЙКА
РЕЗОНАТОРОВ
Возбуждение резонаторов. Любой резонатор должен быть электрически связан или с генератором колебаний или с какой-либо нагрузкой Элементы связи резонаторов точно такие же. как н у волноводов (см. разд 10.10). Схемы связи представлены иа рис. 11.12. Отметим особый вид возбуждения резонаторов электронным пучком в электронных приборах СВЧ (см. дополнение к гл. 8) Электронный пучок проходит в ре-
246
Рис. 11.12. Схемы возбуждения резонаторов
с помощью штыря: а — колебания основного типа //1Р1 в прямоугольном резонаторе; б — колебания £ою в цилиндрическом резонаторе;
с помощью петли: в — колебания Н101 в прямоугольном резонаторе; г — основного колебания в тороидальном резонаторе
зонаторе в области с интенсивным электрическим полем. Так. в цилиндрическом резонаторе с колебанием Е01е электроны должны двигаться по осн z, в тороидальном резонаторе (рис. 11.9), тоже по оси г. Электронный пучок можно представить как конвекционный ток, который возбуждает поле в резонаторе.
Энергия может отбираться от поля резонатора, тогда электроны пучка будут ускоряться (см. пример 11.8).
Настройка резонаторов. Как любой колебательный контур электро- • магнитный резонатор настраивается на определенную частоту. Настройка может быть грубой, когда частота колебаний изменяется на 5 10%. Прн настройке резонатора в пределах менее 1—2% от резонансной частоты следует говорить о подстройке частоты резонатора.
Сущность любой настройки резонатора заключается в изменении его объема, т. е. геометрических размеров. Это хорошо видно из формул (11.3), (11.9). Прн грубой настройке изменяется длина резонатора с помощью передвижной стенки, называемой поршнем (рис. II.13 л. б) или перемещением одной части резонатора относительно другой (рнс.
Рис 11.13. Настройка резонаторов
а — при помощи поршня в прямоугольном резонаторе с колебанием Wioi; б — то же, с бесконтактным поршнем; в — путем навинчивания части ци лнндрического резонатора (колебания типа £оп илн Won); г —то же. в коаксиальном резонаторе; д — изменением длины цилиндрического резонатора способом введения отрезка гофрированной металлизированной стенки
Рис. 11.14. Подстройка резонаторов
а. б — плунжером или настроечным винтом (а — колебание Н101, б — колебание £е10), в. г—путем прогиба стенки резонатора (в — колебание Wioi. г — колебание £Сц)
248
Основной задачей прн выполнении устройств настройки резонаторов является получение хорошего электрического контакта между поршнем и стенкой в передвижной части резонатора. Прн плохом электрическом контакте возрастают потери электромагнитной энергии, и добротность резонатора уменьшается. Оказывается удобным сделать бесконтактный поршень, когда вместо трущегося контакта между поршнем и стенкой осуществляется емкостная связь. Потери энергии в этом случае невелики, и добротность резонатора почти не меняется.
Подстройка резонаторов осуществляется более простыми способами (рис. 11.14), но в принципе так же изменяющими объем или размер резонатора. Объем или размер резонатора изменяются незначительно. Подстройка путем прогиба стенки резонатора не изменяет его добротности и позволяет очень точно производить подстройку.
12. ВОЛНОВОДЫ МЕДЛЕННЫХ ВОЛН
12.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОДОВ
МЕДЛЕННЫХ ВОЛН (У)
Электромагнитная волна, фазовая скорость которой меньше скорости света в данной электродинамической системе называется медленной (см. разд. 9.1 и 9.4). Электродинамические направляющие системы (волноводы), в которых фазовая скорость электромагнитной волны меньше скорости света, называются замедляющими структурами. Медленные электромагнитные волны используются в антенной технике, в некоторых системах передачи миллиметровых радиоволн, и главным образом, в электронике СВЧ, когда требуется осуществить синхронное движение и взаимодействие потока электронов с электромагнитной волной и получить усиление радиосигналов. В таких системах у электромагнитной волны фазовая скорость, как и скорость у движущихся электронов, должна быть меньше скорости света.
Напомним, что фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в диэлектрике, меньше фазовой скорости волны, движущейся в вакууме, (см. разд. 6.3). Следовательно, можно создать волноводную систему с диэлектриком и получить в пей медленную волну. Оказывается, что могут быть осуществлены и чисто металлические волноводы усложненной формы (диафрагмированные волноводы), в которых также образуется медленная волна.
249
Рассмотрим математическое решение задачи о возникновении медленной электромагнитной волны типа Е в специальном волноводе, и покажем, что подобная волна в обычном трубчатом волноводе с гладкими металлическими стенками существовать не может. В процессе исследования будут найдены такие граничные условия, изменяющие вид стенок волновода, при которых возможно получить медленную волну.
Как и обычно, для любых электродинамических систем исследование начинается с изучения волновых уравнений, записанных для комплексных амплитуд электромагнитного поля внутри волновода, т. е. с уравнения Гельмгольца для амплитуд полей ЁиН (9.1)... (9.6) и (10.14). Если в волноводе распространяется медленная волна типа Е у которой фазовая скорость оф— меньше скорости света с, то формула (9.4) для поперечного фазового коэффициента g примет вид k2—h2=— g2,	(12.1)
где k—mlc, /1=(1)/иф — фазовые коэффициенты волн, распространяющихся в свободном пространстве и волноводе. Удобное для исследования уравнение (10.14) превратится в
ff«Ez=o	(12.2)
Лс2 ду* Б
и решается методом разделения переменных (см. разд. 10.3), т. е. путем представления Ёг=Х (x)Y (у),
da XY . d2 XY .	„ d* X . Y02 Y - Yv n
----------------J? Ar — О или Y---------)- Л-----g2 XY
дх* dy* ь	dx* dy*
Поделив на ХУ, имеем
_!_2А+_!_	(12.3)
X дх* У ду* *
Уравнение (12.3) удовлетворяется только тогда, когда первое и второе слагаемые будут постоянными величинами.
Полагая
1 д' X .	1 d*Y .
X dx*	Y ду*
получим p2+q2=g2-
Из (12.4) следуют уравнения
ргХ = 0,	—</2 У =0,
дх*	дуг
(12.4)
250
имеющие решения в гиперболических синусах и косинусах
Х=С{ shpx+C2chpx, Y=C3shqy+C2chqy.
Продольная составляющая электрического поля Й2 запишется в виде (сравните с формулой (10.15))
Ёг= (С, shpx-(-C2chpx) (С3 sh<7t/+C4 ch <?(/).	(12.5)
Сравнивая (12.5) с (10.15) видим, что продольная составляющая электрического поля Ёг в медленной волне не обращается в нуль на всех стенках волновода и, следовательно, стенки волновода не могут быть <металлическими. Действительно, из (12.5) следует, что, если при х=0 и у—0 стенки волновода металлические, то в силу граничных условий £2= =7?,=0 (рис. 12.1), т. е. Ёг==С2-С4=0 и постоянные С2 и С4 тождественно равняются нулю. Тогда
£z = C|C3sh рх shqy,
но нн при каких х>0 и у>0 уже не может стать равным нулю. Следовательно, .при х=а и у=Ь металлических стенок быть ие может, а на поверхностях волновода при х=« и у—Ь должны существовать тангенциальные составляющие электрического поля (рис. 12.2). Такие поверхности называются импедансными поверхностями, так как их характеристики удобно описываются отношениями Ёг!Йх=№п при у—Ь и Ёг/Йу при х—а, назы
ваемыми импедансами при х—а и у=Ь. Импедансные поверхности могут располагаться и на нижнем основании волновода, т. е. при 1/=0 и на левой боковой стенке при х=0. Внутри волновода и иа поверхностях при х—а и кроме Ег, имеются составляющие электрического поля Ёх, Ёу и магнитного Йх иЙу (Яг=0, так как рассматривается волна типа £).
Рнс. 12.1. Граничные условия на стенках прямоугольного волновода с медленной волной типа Е
251
Рис. 12.2. Распределение составляющей £а в волноводе с медленной волной типа Е
Импедансные поверхности могут быть образованы слоем диэлектрика или рядом отрезков полосковой линии, закоро ценных на конце (см. пример 11.5 и рис. 11.7 6) и открытых внутрь волновода (рис. 12.3). Волновод с рядом отрезков полосковой линии называется гребенчатым или диафрагмированным волноводом (диафрагмами являются стенки полосковой линии).
Аналогичные рассуждения могут быть проведены для цилиндрического волновода, у которого металлическая поверхность покрывается слоем диэлектрика (рис. 12.4п). Вместо диэлектрика могут быть установлены цилиндрические резонаторы с отверстиями в днищах. Волноводы последнего вида получили большое распространение в мощных электронных
₽нс. 12.3. Импедансные поверхности
а — слой диэлектрика; б — ряд резонаторов из отрезков полосковых линий; координата поверхности y=d
252
(5=оо
Рнс, 12.4. Цилиндрические волноводы медленных волн а — с диэлектриком; б — диафрагмированный
приборах СВЧ и также называются диафрагмированными волноводами, в которых диафрагмой является днище резонатора с отверстием (рис. 12.4 6).
12.2. ДВУХПЛОСКОСТНОЙ волновод
С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНОЙ (У)
Двухплоскостной волновод с импедансной диэлектрической (поверхностью представляет собой две металлические плоскости, па одной из которых помещена импедансная поверхность в виде слоя диэлектрика (рис. 12.5). Такую волноводную систему можно рассматривать как прямоугольный волновод с импедансной поверхностью па нижнем основании (рис. 12.1) без боковых стенок. Размер по оси х стремится к бесконечности (на практике достаточно, чтобы ширина стенки а была бы значительно больше длины волны колебаний поля Хо).
Двухплоскостной волновод с диэлектрической пластиной рассматриваем как сложную электродинамическую систему, в которой электромагнитная волна распространяется в двух областях одновременно, и характеристики волны определяются параметрами обеих областей. Для исследований таких электродинамических систем с двумя (и больше) областями применяется способ «сшивания решений», при котором общее решение задачи определяется частными решениями в
253
Рнс. 12.5. Двухплоскостной волновод с диэлектрической пластиной
отдельных областях с соблюдениями граничных условий на границе областей для каждого частного решения.
Итак, в двухплоскостном волноводе с диэлектрической пластиной имеем две области: первая определяется условием O^y^d (d— толщина диэлектрика), вторая — d^tj^D (D — расстояние между металлическими плоскостями). В обеих областях одновременно распространяется вдоль оси z одна и та же электромагнитная волна типа Е. Самая простая волна типа Е содержит составляющие Ег, Еу и Нх, изменяющиеся по координатам г и у и неизменные по координате х, так как волновод считается бесконечным по оси х. Распространение волны по системе описывается выражением е~}Лг, где /г==1<й/Пф==2л/1. — фазовый коэффициент волны (фазовая постоянная или волновое число).
Определим уравнения, связывающие между собой фазовую скорость Уф, расстояния d и D и относительную диэлек
254
трическую проницаемость е при известной частоте колебаний поля <1)=2л/.
В первой области при	т. е. в диэлектрике, урав-
нение Гельмгольца для вектора электрического поля Е| имеет вид
V2E,+p2E,=0	(12.6)
или
дх2 ду2
+ о
дх2
(12.7)
где р = Уе£ и k-mlc — фазовые коэффициенты распространения волн в диэлектрике и в свободном пространстве, с — скорость света.
Так как в силу бесконечности системы по оси х произ-д	д2
водная — =0, ------ ==—Л2, то (12.7) примет вид
0,	(12.8)
ду*
где gf2—h2—$2=h2—А2Е=.<1>2(1/Оф2—е/с2) для медленных волн меньше нуля. Но, так как волновод заполнен диэлектриком не полностью, то фазовая скорость волны в нем должна быть больше фазовой скорости волны в сплошном диэлектрике, т. е. Цф>с/Уе. Поэтому здесь gt2>0, g2 — =k2e—h2. Решение уравнения (12.8) известно
Ё» = С, sin g,y+C2cos gty.
(12.9)
где Ci и С2 — произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий. Из рис. 12.5 видим, что Ёг\ = =0 при i/=0, и тогда обязательно должно быть С2=0 и, следовательно, уравнение (12.9) примет вид
Ёц — С\ sing,*/.
(12.10)
Нам понадобится составляющая напряженности магнитного поля Йх\, чтобы определить импеданс Ёг\/Йх\ на границе >при y=d. Из первого уравнения Максвелла rot Н| = /<оеаЕ| для нашего случая, когда H| = HT|1.V, H4Z| = 0, E|=Ew,lu-t-+^1L, имеем — -\X1~ — Ёа.
255
Интегрируя последнее выражение, получим
Hxl = i^-Clcosgly + Ci.	(12.11)
gi
Постоянная С5 должна равняться нулю, так как в нашей задаче постоянных составляющих поля нет.
Тогда импеданс при y—d с учетом (12.10) и (12.11) вычисляется как
=	(12.12)
Во второй области при d^.y^.D, т. е. вне диэлектрика вместо (12.6) надо записать
V2E2+£E2=0,	(12.13)
где k=<&lc — фазовый коэффициент волны в свободном пространстве. В векторном уравнении (12.13) используем только уравнение для составляющей Ё!2 и с теми же условиями _1_=0и—=—Л2. В результате имеем уравнение, анало-
гичное (12.8), а именно
(12.14)
ду2
где для медленной волны
g22— (ш/г'ф)2— (ta/c)2—h2—k2.
Уравнение (12.14) имеет решение в гиперболических синусах и косинусах, т. е.
Ё!2 = Св sh giy+C7 ch g2y.
Используя граничное условие Ez2=0 при y=D, выразим постоянную Св через постоянную С7 и получим
Ёг2=С8 (ch g2y—cth g2D - sh g2y)	(12.15)
Составляющая магнитного поля Йх2 находится так же, как было сделано выше для получения формулы (12.11), т. е.
- —/ — С, (sh gt у —cth g2 D • ch g2 y).	(12.16)
St
256
(12.17)
Импеданс при y=d будет определяться формулой уу_____Ёгг ____j 8г cth ga d—cth ga D
HXi “ee l-cthgsD cthg2d _*L_ th Я, (D-d). <1*0
Применим метод сшивания решений. Для этого приравняем выражения импедансов (12.12) и (12.17)
— gi tg gi d - gj th g. (D—d) 8
(12.18)
ИЛИ
—	tgK^e-h2 d = Vh* — kath Vh* - ft®(D—d).
8
Так как g| = У^2е—h2 = k^e— {c/v$)2 =ЛУ(с/иф)2—1, то
— j/e—/natg2n—— /e—m‘ =
8	Xq
= Уm*— 1 th Уm3— 1 (D—d).
И g2 — ih2—k2 =
(12.19)
где tn=clv<b — коэффициент замедления фазовой скорости волны, Хо — длина волны колебаний поля в свободном пространстве, е — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, d — толщина диэлектрика, D — расстояние между металлическими плоскостями.
Уравнение (12.19) определяет связь между величинами Цф, d, D и е й называется характеристическим уравнением двухплоскостного волновода с диэлектрической пластиной. Уравнение (12.19) дисперсионное, так как в нем отражена зависимость фазовой скорости волны в системе от частоты колебаний поля. Уравнения (12.18) или (12.19) трансцедентные и решаются численно путем подбора величин сф, d, D и е (рис. 12.6). Важнейшая особенность уравнений (12.18) или (12.19) состоит в том, что они удовлетворяются только при положительном значении тангенса в левых частях ввиду того, что гиперболический тангенс при положительном аргументе всегда больше нуля и меньше единицы. Следовательно, в рассматриваемом волноводе волны распространяются только при определенных соотношениях между величинами d, D, е
17—79
257
Рис. 12.6. Графическое решение характеристического уравнения (12.18) Полосы рабочих частот: 0... <0Ь <о2 • -. <о3, <04 ... <05; в полосах частот <О|... <02, <0з... <04 волновод не работает; точки А, Б, В ... — рабочие значения частот при некоторых gi, g2, d и D
и Ао (или со). Можно сказать иначе: в волноводе с данными D, d и е волны существуют только на определенных частотах, и волновод является полосовым фильтром (рис. 12.6). На рис. 12.7 представлена эпюра зависимости Ёг от у, описываемая формулами (12.10) и (12.15).
Рис. 12.7. Изменение продольной составляющей электрического поля Ёг по координате у
258
12.3. ГРЕБЕНЧАТЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД (С)
Рассмотрим волноводное устройство с медленной волной типа Е, состоящее из двух металлических плоскостей, на одной из которых образована импедансная поверхность в виде ряда металлических полос, т. е. отрезков полосковых линий. Полосы, называемые диафрагмами, расположены перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 12.8а). Волновод называется гребенчатым или диафрагмированным.
Считаем, что волновод безграничен по оси х, (достаточно, чтобы ширина волновода по х была значительно больше длины волны Хо). Волновод состоит из двух областей: первая область 0^y^.d, вторая	В первой области,
состоящей из ряда закороченных отрезков полосковой линии (см. пример 11.5 и рис. 11.7), электромагнитные колебания возбуждаются движущейся во второй области электромагнитной волной. В первой области физической волны, распространяющейся по оси г, нет, а есть явление непрерывного, поочередного возбуждения отрезков линии, которое можно представить как волновой процесс или электромагнитную волну, движущуюся так же, как и волна в первой области, вдоль оси z. На границе первой и второй областей необходимо соблюдение граничных условий, т. е. должно быть
Рис. 12.8. Гребенчатый двухплоскостной металлический волновод а — общий вид; б — распределение составляющей Ег по координате у
17*
259
Ёг\~Ёгй, Йх\=Йх2 или, как указывалось в разд. 12.1, 12.2, необходимо осуществить равенство импедансов
Ёп/йхх = ЁЛ1НХ1 при y — d.
Заметим, что приведенное равенство граничных условий, т. е. импедансов, является приближенным, так как во второй области поля волны изменяются по z как e~ihI, (т. е. как cosftz), а в первой области поля в каждом отдельном резонаторе по координате г неизменны (см. разд. 13.4). Ограничимся этим приближением, считая, что во второй области при d^y^iD распространяется одна волна с составляющими поля и импедансом, выраженными формулами (12.15)... ...(12.17) (см. разд. 12.2). В первой области при в каждом отрезке линии существует одно основное колебание (см. пример 11.5 и рис. 11.7), составляющие которого не изменяются по г.
Применим метод сшивания решений для получения характеристического уравнения волновода. Для этого прирав ияем импеданс второй области при y—d. (см. (12.17)) к входному сопротивлению отрезка полосковой линии (см. (11.18)). Это допустимо, если стенки отрезков линии, т. е. диафрагмы, бесконечно тонкие, а расстояние между стенками значительно меньше длины волны, т. е. (рис. 12.8 а). Получаем тогда
jW0 lgkd^j-^-ihgt(D-d). сое©
Так как 1Го==Уцо/ео,	—1=(о>/с)Ут8—1, с=1/Уеоро.
то получаем характеристическое уравнение гребенчатого (диафрагмированного) волновода
tg 2л — =	th2лКт537!,	(12.20)
2-0	л©
где m=dv$— коэффициент замедления. Уравнение (12.20), аналогично уравнению (12.19), связывает между собой величины т — c/v$, D. d, ко и также может называться дисперсионным, так как определяет зависимость Цф от 2.0. Решения уравнения тоже периодические, а волновод является полосовым фильтром, что может быть проиллюстрировано тем же рис. 12.6. Зависимость Ёг от у представлена иа рис. 12.86.
260
При большом замедлении волны, т. е. при из (12.20) следует
tg 2л —— — т th 2л р~- т. х0
Если далее 2л (D—d)m/Xo3>l, то гиперболический тангенс близок к единице (см. разд. 13.2) и tg2n (d/Xo) =т. При больших т=с/Цф»1 аргумент тангенса стремится к л/2, откуда
d«X0/4,	(12.21)
и получаем предельную длину закороченного отрезка полосковой линии, при которой прекращается распространение волны в данной системе.
При малом замедлении, когда т«1, формула (12.20) превращается в более простую (гиперболический тангенс . . о d п D—d при малом аргументе равен аргументу) tg2n---«2л------х
Хо	Х^
x(m« —1), и, так как тангенс малой величины может быть заменен своим аргументом (см. разд. 13.2), то2л—— 2л Р а~ (т*—1), Xj	Хв
откуда, полагая, что т2—1 — (m-f-1) (яг—1)й2(т—1) получим
d/D«2(m—1).
(12.22)
Последнее соотношение означает, что при малых замедлениях волны длины отрезков закороченных полосковых линий должны быть невелики.
12.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ
ГЛАВЫ 12 (С)
Пример 12.1. Двухплоскостной волновод с диэлектриком, занимающим все пространство между пластинами. При D—d (рис. 12.5) из уравнения (12.17) следует, что возможен случай, когда 7?22=0. Тогда_из (12.19) получаем соотношение е—т2=0 или ^ф/с=1/Уе, означающее, что в таком волноводе простейшая волна аналогична плоской волне, распространяющейся между двумя металлическими плоскостями с диэлектриком между ними (см. разд. 6.3, 9.2). Полосковая линия есть практическое воплощение рассмотренной системы.
261
Пример 12.2. Двухплоскостной волновод без верхней металлической плоскости. На рис. 12.9 показана электродинамическая система «диэлектрическая пластина на металлической плоскости». В такой системе также может распространяться медленная электромагнитная волна. Для получения характеристического уравнения такой системы достаточно в характеристическом уравнении (12.18) или (12.19) двухплоскостного волновода с диэлектрической пластиной принять D=oo. Тогда в силу того, что гиперболический тангенс при увеличении аргумента стремится к единице, получаем
— gitgg.d-g,,	(12.23)
В
где gt = k^e—т'2, m-c/v^, gt-k^m2—1, fe —ы/с=2л/А0.
Задача решения характеристического уравнения (12.23) состоит в нахождении относительной диэлектрической постоянной е и толщины диэлектрика d, исходя из заданного коэффициента замедления волны m—dv$. Уравнение (12.23) удобно записать в виде
=	^=l-.tgA/e-/n*d.	(12.24)
Отсюда можно определить значения е по заданному т, т. е. выбрать диэлектрик и найти его толщину d. Найдем изменение напряженности полей в пространстве над пластиной. Из формулы (12.15) при О—>-оо следует, что
- С, (ch g, у — sh g, у) — С, e~w.
Аналогично получим выражение для Йх2 из (12.16). Напряженности полей при удалении от диэлектрической пластины
262
Рис. 12.9. Диэлектрическая пластина на идеально проводящей плоскости
а — общий вид; б — распределение составляющей поля Ег в пластине н над пластиной
Рис. 12.10. Диэлектрическая пластина в свободном пространстве
а — общий вид; б, в — распределения составляющей поля Ег в пластине
уменьшаются по экспоненциальному закону тем резче, чем больше замедление волны т:
е—giv — е—(глух»)
При т > (2... 3)	« e“(2nmw)A«.
Пример 12.3. Диэлектрические волноводы. Если в рассмотренной в примере 12.2 волноводной системе удалить металлическую плоскость, то .получим волновод медленных волн в виде уединенной диэлектрической пластины (рис. 12.10), называемый диэлектрическим волноводом.
При синусоидальном распределении составляющей поля Ez по толщине диэлектрика характеристическое уравнение диэлектрического волновода такое же. как и (12.23).
При косинусоидальном распределении Ёг(у) по толщине диэлектрика характеристическое уравнение имеет вид
(l/e)gi ctg gtd=— g2.
В диэлектрическом волноводе могут распространяться волны более сложных типов. Диэлектрическая пластина может быть превращена в диэлектрический цилиндр кругового или эллиптического сечения. Диэлектрические" волноводы применяются в технике СВЧ. Диэлектрические цилиндры используются в качестве антенных устройств.
Пример 12.4. Гребенчатая замедляющая структура. Если в гребенчатом волноводе (рис. 12.8) удалить верхнюю ме
263
таллическую плоскость, то получим волноводную систему медленных воли, называемую гребенчатой замедляющей структурой (рис. 12.11). Характеристическое уравнение получается из (12.20) при стремлении D к бесконечности. При этом гиперболический тангенс будет равен единице, и характеристическое уравнение примет вид
tg2л — /т’ — 1
^0
где т —с/Пф.
или	— —— arctgy т*—1,
2 л
Расчет по характеристическому уравнению размера d при заданном замедлении крайне прост. Из формулы (12.25) следует, что гребенчатая замедляющая структура представляет собой полосовой фильтр с
2л—— =(0ч- —)	лл.
полосами пропускания где п«0, 1,2, 3...
или
4 X.
fn 1 \ , 1
(Он—н—л» \	4/2
где п — 0, 1, 2, 3....
Гребенчатая замедляющая структура применяется в электронных приборах СВЧ миллиметрового диапазона воли для замедления фазовой скорости электромагнитной волны до значений, соответствующих скорости электронов, взаимодействующих с волной и отдающих последней свою энергию.
Рис. 12.11. Гребенчатая замедляющая структура
а — схема структуры; б — распределение составляющей поля Ег по координате у
264
Сечение A
Сечение S
Рис. 12 12. Картины лелей в дифрагмированном цилиндрическом волноводе с Медленной волной типа Е
а—сечение волновода вдоль оси z: б — зависимость Е, от радиуса волновода г; в — поля в двух сечениях
Гребенчатая структура используется также в антенной технике в виде излучателя электромагнитных волн.
Пример 12.5. Цилиндрический диафрагмированный волновод. Такой волновод представляет собой как бы сверну тую прямоугольную гребенчатую структуру, описанную в примере 12.4 (рис. 12.12). В волноводе имеется продольное поле Ег, а линии магнитного поля //» замыкаются сами на себя. Все, что было сказано в разд. 12.3 о представлении полей в гребенчатом волноводе, введения понятия импедансов, получение характеристических уравнении целиком относится и к этому волноводу. Однако в цилиндрическом диафрагмированном волноводе с волной типа Е расчеты волновода имеют меньшие погрешности, так как линии магнитного поля представляют собой окружности, и поэтому отпадает принятое в прямоугольном волноводе приближение о бесконечной по оси х длине магнитных линий Йх.
Цилиндрические диафрагмированные волноводы являются основным устройством в волноводных ускорителях электронов— электрофизических приборах, предназначенных для получения электронов со скоростями, близкими к скорости света. Такие приборы используются как в ядерной физике, так и для практических целей: облучения веществ, получения гамма-лучей, в медицине и др. Применяются подобные волноводы в мощных лампах бегущей волны — электронных приборах для генерации колебаний сверхвысоких частот.
Пример 12.6. Спиральная замедляющая структура. Спиральный волновод (замедляющая структура) медленных
265
Рис. 12.13. Спиральный волновод с медленной волной типа Е а — общий вид; б — распределение поля Ег по радиусу г
волн представляет собой спираль из провода (рис. 12.13). Медленная волна движется вдоль оси г. Можно считать, что фазовая скорость волны вдоль оси z меньше скорости распространения тока по проводу спирали: путь тока по проводу спирали больше пути волны вдоль спирали. Замедление волны в первом приближении определяется углом намотки спирали ф по формуле
Оф/С = 51Пф,
который может быть определен как tgi|)= (f/2)/2a = //4a.
Спиральные волноводы медленных волн могут быть различных модификаций: спираль в волноводе, двойная спираль и др.
Спиральные замедляющие структуры нашли широкое применение в лампах бегущей волны малой и средней мощности, а также используются в качестве спиральных антенн.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
12 1. Дайте определение понятия медленной электромагнитной волне ,12.2. Опншнте математические операции, которые проводятся с уравнением Гельмгольца для продольной составляющей электрического поля медленной электромагнитной волны типа Е
12 3 Каков вид решения уравнения Гельмгольца для составляющей Ёг медленной волны?
266
12.4.	Опишите применение граничных условий для составляющей Ё, медленной волны.
12.5.	Почему в гладком металлическом волноводе не может существовать медленная волна?
12.6.	Что такое импедансная поверхность и какие виды импедансных поверхностей существуют?
12	7. Перечислите виды волноводов медленных волн.
12 8 Опишите двухплоскостной волновод с диэлектрической пластиной. Расскажите о методе «сшивания» решений. Какая главная особенность волны в такой системе? Опишите ход решения задачи для получения и сшивания решений и выводе характеристического уравнения. В чем его особенности? Рассмотрите частные случаи. Расскажите о диэлектрических волноводах.
12.9.	Расскажите о гребенчатом волноводе медленных волн. Каково характеристическое уравнение, его частные случаи?
12.10.	Как образуется цилиндрический диафрагмированный волновод и спиральная замедляющая структура?
УПРАЖНЕНИЯ
12.1.	Напишите формулу (12.5) для продольной составляющей электрического поля Ёг в виде, показывающим наличие волнового процесса.
Ответ: Ё2 = С sh рх sh qy cos((o6—hz), где Л = <о/Оф и Оф<с. В соответствии с .граничными условиями принято, что С2=0, С(е=0 и С=С1С3.
12.2.	Оцените величину относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика в волноводе медленных волн с диэлектрической пластиной при больших замедлениях фазовой скорости волны (пусть щ== =с/1.ф=10).
Ответ: характеристические уравнения (см. (12.19), (12.24)) содержат множитель }'е—тг, где т=с/»ф. При ш=с/оф = 10 величина е должна быть больше 100. Подобные диэлектрики являются весьма редкими веществами.
12.3.	Определите высоту полосок в гребенчатом волноводе при больших замедлениях фазовой скорости волны (пусть m =	—10).
Ответ: при щ = с/оф=10 аргументы тангенса (см. (1:2.20)) и косинуса (см. (12.25)) равны приблизительно 1,47. Тогда rf/A0« 0,234. Задачи L2.2 и 12.3 одинаковы, но практическое решение оказалось проще в 12.3.
267
ДОПОЛНЕНИЕ. ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Особо интересное н важное в практическом отношении применение диэлектрических волноводов нашло в так называемых волокон но опти ческих системах или световодах. В них передаются электромагнитные колебания с частотами видимого света. Такие диэлектрические волноводы работают на высшнх типах волн, причем индексы т и п достигают десятков и сотен тысяч единиц Основной технической задачей в освоении световодов является получение прозрачного для света диэлектрика, имеющего малое затухание световых волн. Особенностью световода яв ляется возможность передачи световых сигналов по искривленным тра екториям вследствие того, что диэлектрическая нить, представляющая световод, легко изгибается по длине. Световоды используются в двух основных направлениях: для передачи информации и для исследований по лостей каких либо объектов (диагностика внутренних органов человека и труднодоступных частей машин и аппаратов путем одновременного осве шения и наблюдения полостей через изгибаемый световод). При пере даче информации по световоду в виде световых сигналов ширина полосы частот может быть очень большой. При этом помехоустойчивость све довода, как передающей информацию линии, весьма высока Сечение све товодной нити в ряде случаев делается двухслойным (см. рнс. 9.7 в), а световод в виде волоконно-оптической системы может состоять из мно । нх отдельных нитей.
13. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ в электродинамике
13.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (С)
Главным направлением практического приложения технической электродинамики является получение формул, используя которые можно рассчитать и спроектировать какое-либо устройство с заданными параметрами: волновод, антенну, резонатор, усилитель, генератор СВЧ и др. Непосредственно расчеты устройств рассматриваются в соответствующих учебных дисциплинах. В этой главе кратко освещены задачи электродинамики, которые требуют в той или иной степени применения численных методов с дальнейшим использованием ЭВМ. Сами численные методы, а также выбор языка программирования, вопросы отладки программ и т. п.
268
здесь не обсуждаются. Уделено внимание начальным сведениям о приближенных вычислениях как первому шагу в вычислительной технике, применяемой для анализа уравнений и формул и практических расчетов по ним.
Исходя из сказанного, расчетные методы в технической электродинамике разделим условно на два направления:
математическое преобразование уравнений с целью их упрощения и использования для анализа несложных электродинамических процессов; этот вид расчетных методов сводится к приближенным вычислениям функций в уравнениях и формулах;
применение численных методов с использованием ЭВМ; здесь рассчитываются электродинамические устройства и исследуются сложные электродинамические явления.
Более подробно численные методы, применяемые в электродинамике, изложены в [3].
13.2.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ. РЕШАЕМЫЕ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ (С)
Уравнения и формулы электродинамики, представленные определенной функцией, можно упростить, разложив функции в ряд и сохранив один-два члена ряда. Разложение можно считать вполне удовлетворительным, если значение последующего члена ряда меньше величины предыдущего в 10 раз. Приведем формулы разложения в ряд некоторых функций, которые использовались в предыдущих главах:
- 1 + X + X2 + X3 + ... 1±Ж	|х|<	С1,	(13.1)
yi ± х= 1 ±—	-ла + ... 2	8“	|х|<		(13.2)
1	Xs . X* sin X = X		... 3!	51	|х|<	с °°»	(13.3)
у 3	у4 COSX — 1	1	...	|х|«	00»	(13.4)
2!	41 .	Xs	хь shx-x + — + — + ... 31	5!	|х|<	С 30 >	(13.5)
уЗ	у4 chx= 1 + — +— + ... 2!	4!	|х|<	с	(13.6)
269
tgXr=X+-	x’	2	. 		X* + 3	15	|x|<—, 2	(13.7)
CtgX ——- X	I 3	45	J	0 < | x | < n,	(13.8)
thx-Jt —	— x8 + —x8- ... 3	15	К | сч V 4	(13.9)
cth № — Н X	+ ... 3	45	0< [x| < л,	(13.10)
еЛ - 1 + — 11	- + — + 21	И<°°.	(13.11)
In (1 + x) —	X* . Xs X		... 2	3	-1 <x <1.	(13.12)
Обычно в приведенных выше формулах сохраняются одни член ряда в (13.3), (13.5), (13.7), (13.10), (13.12) и два члена ряда в (13.1), (13.2), (13.4), (13.6), (13.11). При этом условие, когда последующий член ряда меньше предыдущего в 10 раз, хорошо соблюдается во всех формулах при х^ ^0,1, а в некоторых случаях и при х^0,4.
К сложным задачам электродинамики, в которых применяются численные методы и используются ЭВМ, целесообразно отнести:
построение картин электромагнитных 'полей по полученным уравнениям;
решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, описывающих волны в неоднородных средах и направляющих системах; решение нелинейных дифференциальных уравнений, которые образуются при изучении взаимодействия зарядов с полем и воли в нелинейных средах;
определение постоянных распространения воли из характеристических уравнений в сложных волноводных системах;
исследования и расчеты электродинамических устройств, имеющих разветвленную в пространстве геометрическую структуру;
исследования возбуждения электромагнитных полей;
изучение дифракции волн.
270
13.3.	ПОСТРОЕНИЕ КАРТИН ПОЛЯ, РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ (С)
Построение картин электромагнитного поля преследует цель точного описания мгновенного распределения в пространстве линий электрического и магнитного полей, зависимости которых от координат получены из аналитических решений уравнений Гельмгольца и представлены в явном виде. К таким построениям относятся:
мгновенное распределение полей плоской волны при сильном ослаблении поля в проводниках вследствие потерь электромагнитной энергии (см. разд. 6.4);
мгновенное распределение полей бегущей волны в волноводах и резонаторах, в особенности для воли и колебаний высших типов (см. разд. 10.4, 11.4).
Заметим, что решение перечисленных задач с помощью ЭВМ ведет лишь к упрощению расчетной и графической работы и не всегда требуется на практике. При качественном анализе картин поля, например, в учебных целях, приближенное, даже весьма грубое, представление полей является удовлетворительным.
Мгновенное распределение полей плоской волны вдоль координаты ее распространения определяется уравнениями (6.40) и для расчетов на ЭВМ должно быть представлено в виде
£отн = e~“z cos pz, Hot,i=e~“z cos (pz-j-ф),
где ЕОт„=Ех/Етх и НОтК=гНу1Нту — относительные величины.
Коэффициенты ослабления а и фазы 0 волны определяются по формулам (6.10), (6.11).
Примеры расчетов мгновенных распределений полей • плоской волны в проводящей среде, проведенных на ЭВМ, представлены на рис. 13.1. Данные для расчетов следующие: удельная проводимость среды о=10"3 См/м относительная диэлектрическая проницаемость е=3,1, следовательно, ыГр== = о/еа~36-106 рад/с.
Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами описывают распространение электромагнитных волн в средах с изменяющимися параметрами, например, в ионосфере или в различных волноводах с изменяющимися геометрическими размерами поперечного сечения, в так назы-
271
Рис. 13.1. Мгновенное распределение составляющей плоской волны, распространяющейся в проводящей среде
а — на граничной частоте wrpi б— иа частоте w = 0.1 юГр
ваемых неоднородных или нерегулярных волноводах. Волновое уравнение в комплексных амплитудах или уравнение Гельмгольца для плоской волны (ом. дополнение к гл. 5) в среде с изменяющимися параметрами — диэлектрической проницаемостью еа, имеет вид
+р»(г)£х = О.
(13.13)
где Ех — составляющая электрического поля, г — координата движения волны, р2(г)—переменный коэффициент, зависящий от z и задаваемый параметрами среды. При произвольной зависимости коэффициента р2(г) от z решение этого уравнения производится на ЭВМ.
Однако при определенных видах р2 (г) таких как
P2(z) = (azm+bz~2),
где а и b — постоянные, т — целое число (и некоторые дробные числа) решения уравнения (13.13) выражается в аналитической форме
E,-.EMV~zZn\^ у т+2
(13.14)
272
где Z„ — функция Бесселя порядка	от аргумен-
ту- 2
m4~3
та —9 • Решения вида (13.14) могут служить для проверки численных расчетов уравнения (13.13), проведенных иа ЭВМ, коррекции программ.
Уравнения электродинамики становятся нелинейными, если параметры среды еа, ца и о зависят от величин полей.
В этих случаях преобразование уравнений Максвелла в волновые уравнения значительно усложняется, а получающиеся уравнения даже при малых нелинейностях решаются на ЭВМ.
Нелинейные уравнения образуются также вследствие того, что заряды взаимодействуют с синусоидальным во времени и в пространстве полем электромагнитной волны в плазме, в волноводе медленных волн нли с колебанием поля в резонаторе (см. дополнения к гл. 8). Более того, в любом случае конвекционный ток, взаимодействующий с полем, нелинейно зависит от электрического поля, определяющего движение зарядов в конвекционном токе. Действительно, плотность конвекционного тока J=pv зависит от скорости электронов, пусть для простоты у=ог1„ Скорость электронов связана с электрическим полем уравнением движения (1.11), из которого получается формула
где U =j Ez dZ— разность потенциалов, пройденная электро-
ном с зарядом е на расстоянии г. Тогда
v, =
Л-Р
и получаем нелинейную связь плотности конвекционного тока Jz с разностью потенциалов U, т. е. с напряженностью электрического поля Е. Вводя последнюю формулу в уравнение Гельмгольца для векторного потенциала А» (см. (5.13)) получаем нелинейное уравнение для z-й составляю щей векторного потенциала
vMai + AMte=: — рвр
1/ 2— U. г m
18—79
273
Полученное нелинейное уравнение является одним из основных для исследований процессов взаимодействия электронов и поля в усилителях и генераторах СВЧ колебаний.
Рассматривая последнее уравнение, необходимо сделать важный вывод о том, что решение возможно получить только при условии согласования значения величины электрического поля как с этим уравнением, так и с уравнением движения (1.11): электрическое поле Ег входит и в уравнение для векторного потенциала Аэг, т. е. в уравнение поля, и в уравнение движения. Подобные задачи называются самосогласованными и решаются на ЭВМ.
Определение постоянных распространения волн в волноводах осуществляется путем решения характеристических уравнений, например (10.13) для обычного прямоугольного волновода, для волновода медленных волн с диэлектриком (см. (12.19)) и для волновода с медленной волной, образованного рядом резонаторов из полосковых линий (см. (12.20)).
Если характеристическое уравнение (10.13) решается элементарно: по заданным размерам а и b сечения волновода и индексам тип определяется фазовый коэффициент Л=ы/иф, то уравнения (12.19) и (12.20) уже являются транс-цедентными, хотя и весьма простыми. Но для других типов волноводов медленных волн — диэлектрических, диафрагмированных цилиндрических, спиральных (см. разд. 12.4) характеристические уравнения оказываются также трансцендентными и сложными для решения. Исследования таких уравнений, определение условий существования волн и расчеты волноводов производятся на ЭВМ.
13.4.	СЛОЖНЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ И ВОЗБУЖДЕНИЯ ПОЛЕЙ (С)
Для определений электромагнитных полей и условий существования колебаний и волн в сложных электродинамических системах решения уравнений Максвелла и волновых уравнений (в том числе и для постоянных во времени полей) представляются в функциональных рядах — в тригонометрических функциях, функциях Бесселя и др. Нередко приходится учитывать десятки членов ряда. Обычно представления решений в функциональных рядах используются в методе частичных областей, в которых исследуемая протяженная в пространстве электродинамическая система, имеющая раз-
274
Рис. 13.2. Электродинамические системы с двумя областями I и II и — металлический стержень с ребрами (замедляющая структура, ребристая антенна); б — Н-образный волновод с диэлектриком
личную геометрию в разных частях пространства, разбивается на несколько более простых объектов или областей (см. рис. 12.8, 13.2, 13.3). Поля в ‘простых областях представляются в виде функциональных рядов, а на границах областей составляющие полей приравниваются (метод «сшивания» решений). Примером этому может служить задача о составлении характеристического уравнения в прямоугольном или цилиндрическом волноводе с дифрагмами, т. е. в волноводе медленных волн (см. разд. 12.3). Оказывается, что представление поля только одной волной недостаточно для практиче-
Рис. 13.3. Схема сложной электродинамической системы с несколькими областями 1... V
18*
275
ски важных расчетов, и необходимо поля и в волноводе и в резонаторах представлять в рядах и учитывать достаточно много членов ряда. Решение получающегося при этом характеристического уравнения возможно только иа ЭВМ.
Задачи дифракции и возбуждения полей сложными по составу источниками изучаются по уравнениям разд. 5.4, 8.2. Их решения иллюстрируются в упрощенном виде уравнением
H=rot/— f J„,—— dvY \4я i! r J
(13.15)
которое получается из уравнений (5.9) и (8.4). В (13.15) сторонним током Jct.3 является вторичный (фиктивный) источник (см. разд. 8.5), связанный с искомым долем Н. Поэтому в ряде случаев уравнение (13.15) может быть сведено к интегральному уравнению, которое решается на ЭВМ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ СКАЛЯРНОГО
И ВЕКТОРНОГО ПОЛЕЙ
В электродинамике величины полей и плотностей токов описываются векторами, которые являются функциями координат (рис. П.1) и време ни (рис. П.2) и называются физическими векторами. Совокупность векторов в пространстве составляет векторное поле.
Примечание. Представление комплексных величин, величин синусоидально изменяющихся во времени (в электротехнике), а также различных векторных диаграмм с помощью векторов к физическим векторам не имеет отношения.
Наиболее распространенными системами координат являются декартова, цилиндрическая и сферическая (рис. П.З). В этих системах элементарные орты (1х, 1Ж. Ь). (1,. 1ф, 1z), (1г, 1е, 1ф) перпендикулярны (ортогональны) между собой.
Математические операции иад векторами можно выполнять, если векторы представлены в проекциях на осн координат (рис. П.4).
В декартовой системе вектор, зависящий от координат (х, у, г) записывается так:
А(х, у, г) =А„(х. у, z) 1х+Ав(л, у, г)	у, г)!,,
Рис. П.1. Вектор А как функция координат
277
Рис. П.2. Вектор А как функция времени
а — А/ (/) =А^(0 Ь+AJV) 1,+А J(/) 1,; б - А/(/) =Л J, (/) 1х+Ав/2(П 1»+ +Az/a(0 L
где каждая нз проекций Ах, А», А, в общем случае является функцией трех координат. Проекции вектора называются также составляющими вектора. В цилиндрической и сферической системах вектор записывается аналогично
А (г, <р, г) = А г (г, <р, z) 1 г+Аф (г, ф1 г) 1ф+А, (г, ф, 2) 1„
А (г, 0, ф) = А, (г, 0, ф) 1,4-А в (г, 0, ф) 1 в4-Аф (г. О, ф) 1ф,
где А, — проекция иа ось г, Ав— проекция иа касательную к координатной линии 0, Аф — проекция иа касательную к координатной линии ф. Каждая нз проекций вектора есть функции трех координат (г.
Рис. П.З. Системы координат
61—приращения координатных линий; а — декартова; б — цилиндрическая
278
Рис. П.4. Проекции вектора А (вектор
лежит в плоскости рисунка)
а — декартовы координаты х, г\ б — частный случай сферических координат г, 6
ф, z) и (г, 0,ф) В цилиндрической и сферической системах координат отсчет нуля угловой координаты ф устанавливается произвольно.
Поле скалярных величии задается функцией трех координат, характеризуется величиной и направлением максимального изменения значений поля, называемой градиентом скалярного поля. Градиент является вектором В декартовой системе координат градиент имеет вид
dU . dU	dU
grad t/= — 1x+ — 11,-f- —- I, ox оу	дг
в цилиндрической
dU grad t/=—— |г-|-дг
1 dU	dU
r dtf	дг
в сферической
dU grad U — dr
1 dU
<эе
1__ dU t
rsin0 дф *’
П.2. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Теорема Стокса связывает циркуляцию вектора (линейный интеграл от вектора по замкнутому контуру) с потоком ротора вектора через поверхность, опирающуюся иа этот контур, т. е.
Ф Adi = | rot Ads. i s
279
Выражение ротора декартовая
дА„ \
ду /
в системах координат:
—(r°t* А) 1*4-(rot;/ А) 1р4" (r°t* А) 1*,
Ь =
цилиндрическая
rot А =
/ I дАг
У г дер
ЙЛф \ I дАг IT И+hr
i / d("M	дАг
г l dr	dq>
сферическая
1	/ д	<Ь% \
rot А«=----— I ——— (sin 0А„)—--- ] 1Г4-
rsinO \ д0 v vt d<f )
1 d('Ae) r dr
/ 1 dAr	d(rAv)
’ sin 0 дф dr
1 dAr \ г Э0 )
П.З. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО—ГАУССА.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Теорема Остроградского—Гаусса описывает взаимосвязь потока вектора через замкнутую поверхность с интегралом от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой замкнутой поверхностью
f Ads = j div AdV. s v
Выражение дивергенции декартовая
в системах координат:
div А —
дАх дАу
——-дх ду
дАг дг
цилиндрическая
1 д divA=-------— (гАг)4
г or
1 дА9
г dif
дАг дг
сферическая
div А = —-— (г* Аг) + ——т—(sin0A0)4-———	.
г3 dr	г sin 0 dO ' е' г sin 0 э<р
280
Ос ba О
Рис. П.5. Примеры зависимостей векторов от координат о — А—5{/1х, т. е. Ах = 5у; б—В=5х1«, т. е. Вх=5х
Пример П.1. Пусть вектор А имеет одну составляющую А»«=5р (рис. П.5 о), тогда
ф Adi — Ах(0) ос-4-0 с6—Ъу-Ьа+Оао— -5 2-3 = —30, i
Здесь rot г А=—5, divA= —А* „р.
дх
Пример П.2. Пусть вектор В имеет одну составляющую S„ = 5x (рис.
П.5 6), тогда
(|)Bdl=0, rotB=—-^- = 0, divB=——^- = 5. ду	дх
Пример П.З. Пусть вектор С имеет одну составляющую C«=5xi/. тогда
rotzC=—— — 5х, divC= —бу. ду	дх *
Пример П.4. Если вектор D имеет одну составляющую = = 5х-}-5у, то
rot,D=—5, divD=5
281
П.4. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Так как операции взятия ротора, дивергенции и градиента являются дифференциальными операциями первого порядка, то можно еще раз произвести дифференцирование по координатам и получить следующие векторные дифференциальные операции второго порядка:
1)	rot rot A«=grad div A—V*A,
где оператор V2 показывает, что вектор А дважды дифференцируется по координатам. В декартовых координатах
. д2 д2 д2
V* >-----у------4------
дх2 ду2 т <?*2
В других системах координат оператор V2 имеет более сложный вид и должен определяться из предыдущей формулы как
V2A = grad div A—rot rot А;
2)	всегда
divrotA=0 и rot grad 17=0;
3)	векторная величина grad div А образуется путем последовательного использования формул для div А и градиента;
4)	дивергенция градиента также может быть получена из тех же формул.
Примечаине. Операции вида rot div, div div н grad grad не существуют, так как не может быть ротора н дивергенции скалярной вс личины и градиента вектора.
П.5. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейное дифференциальное уравнение, содержащее вторые производные по координате х и времени t
д2 М д2 М
	— const	— 0, дх2-----------dt2
называемое волновым уравнением, имеет решение в периодических функциях f, и f2 от аргумента t±x/v
M=ft (t—xfv)+f2(t+x/v),
где t,= l/]/const — скорость перемещения по координате х фазы функций ft и f2. Полученное уравнение описывает волновой процесс или волну, движущуюся по оси х. Функция fi определяет движение волны в сторону положительных значений х, а функция f2—сторону отрицательных.
282
Обычно используется только функция и
x/v).
В отличие от рассмотренного уравнения для М и его решения, в которых независимой переменной, кроме времени t, является только одна переменная координата х, в электродинамике рассматриваются векторные волновые уравнения с тремя независимыми переменными — координатами х. I/. г. Тогда волновое уравнение принимает вид (N вектор поля Е иля Н)
где V2 — оператор двойного дифференцирования по координатам х, у, г. Уравнение описывает волну, движущуюся в пространстве, а вектор N зависит в общем случае от трех координат и времени.
Дифференциальное уравнение для N называется однородным уравнением Даламбера, если правая часть равна нулю, и неоднородным, если правая часть содержит функцию от х, у. z, t. Однородное уравнение описывает свойства волн в данной области пространстве, а неоднородное позволяет изучать задачи образования или возбуждения волн: правая часть уравнения определяет амплитуды полей волны.
Уравнение Даламбера, записанное для комплексных амплитуд полей, т. е. при
N = N (х. у, z)eJwl
превращается в уравнение Гельмгольца или для нашего случая, в волновое уравнение в комплексных амплитудах
V2N : <o2-^“N=0,
где —(о2= (jw)(до), так как де>а,/д1=]и>е>а1.
Для решений и исследований векторные уравнения Даламбера и Гельмгольца должны быть записаны в проекциях, имея в виду, что оператор V2. примененный к вектору, не изменяет векторного смысла уравнений, т. е.
V2E = V2(£xlx+£'vIv+£'zh)=V2£xb+V2£1(l1,+V2£,l,,
для вектора Н аналогично
283
П.6. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Представление комплексных величин и тригонометрических функций соответствует
e/x4-e_/J(	е/х—е—
е' = cos х+/ sin х; cos х=-------%----» sin х =-----jj----•
Общая запись комплексной величины с модулем Ух2-}-#2 н аргументом <р имеет вид
z=x4-/# = }'x2-|-#2(cos <р+/ sin ф), где ф=агс tg—-|-2£л,	£=0,1,2,
Если р=}'х24-у2—модуль комплексной величины z, то
Гиперболические функции запишем как
ех— е~*	е*е*— е~*
sh х =-к-. ch х =-л-, th х = —-—:
z	2	е + е
ЛИТЕРАТУРА
1.	Баскаков С. И. Основы электродинамики. М.: Сов. радио, 1973. 248 с.
2.	Вольман В. И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1971. 487 с.
3.	Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 544 с.
4.	Семенов Н. А. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1973. 480 с.
5.	Федоров Н. Н. Основы электродннамнкн. М.: Высш, школа, 1980. 399 с.
6.	Жилейко Г. И. Векторный анализ, дифференциальные уравнения н специальные функции в электродинамике. М.: Моск, энерг. ин-т, 1988. 56 с.
7.	Справочник по теоретическим основам радиоэлектроникн/Под. ред Б. X. Кривицкого: Т. 1. М.: Энергия, 1977. 504 с.
8.	Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля: Справочн. пособие. М.: Высш. шк„ 1989. 271 с.
9.	Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радио-волн*/Под ред С. И Баскакова. М.: Высш, школа, 1981. 208 с
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	............. 3
Введение	.	  3
1.	Основные понятия	электродинамики	...	6
1Д Физические основы электродинамики	(У)	6
1.2.	Электрическое поле (С)	...	9
1.3.	Магнитное поле	(С) ........	11
1.4.	Электрические токи. Ток переноса и ток смещения (С)	12
1.5.	Обмен энергией между электромагнитным полем и движущимися зарядами (У)............................................   13
1.6.	Электрические и магнитные характеристики сред (С)	16
1.7.	Практическое приложение теории главы 1 (С)	17
Контрольные вопросы	20
Упражнения ....	.................21
Дополнение. Неоднородные, анизотропные и нелинейные среды (С)	.	.................... 22
2.	Уравнения электродинамики в интегральной форме	24
2.1.	Общие положения (У)	.............. 24
2.2.	Интегральные теоремы электродинамики	(У)	25
2.3.	Практические приложения	теории	главы 2	(С)..................28
2.4.	О применимости уравнений электродинамики в интегральной
форме (С).................... .....	39
Контрольные вопросы	40
Упражнения .	.	...	40
3.	Дифференциальные уравнения электродинамики. Граничные условия .........................................................  41
3.1.	Общие положения (У).....................................»	41
3.2	Уравнения Максвелла (дифференциальные уравнения электродинамики) (У)...............................................   41,
3.3.	Свойства уравнений Максвелла (С)	...	45
3.4.	Уравнения Максвелла в комплексных амплитудах (У) .	46
3.5.	Общие сведения о граничных условиях (У) ...	.51
3.6.	Граничные условия для векторов электрического поля (У) .	52
3.7.	Граничные условия для векторов магнитного поля (У)	55
3.8.	Практическое применение уравнений Максвелла. Простейшие примеры (С)...................................................  57
3.9	Практическое применение граничных условий в решениях уравнений Максвелла	(С) ....	  61
Контрольные вопросы	 63
Упражнения.................................................. 64
Дополнение. Комплексная магнитная проницаемость. Перестановочная двойственность уравнений Максвелла .	.	65
285
4.	Законы сохранения в электродинамике	.	....	66
4.1.	Общие положения (У).........................................66
4.2.	Баланс энергии для мгновенных значений поля. Вектор Пойнтинга (У)	ее
4.3.	Баланс энергии для комплексных амплитуд поля (С)	69
4.4.	Уравнения Максвелла с источниками электромагнитной энергии.
Сторонние токи и поля (У)................................... 70
4.5.	Баланс энергии со сторонними токами и полями (С)	72
4.6.	Скорость распространения электромагнитной энергии	(С)	73
4.7.	Уравнение непрерывности тока. Закон сохранения заряда (У)	74
4.8.	Практическое применение теории главы 4 (С) .	.	75
Контрольные вопросы	  78
Упражнения .	.	.	.	79
Дополнение. Уравнения Максвелла и теорема Пойнтинга со сторонними конвекционными токами .	...	79
5.	Волновые уравнения и электромагнитные волны .	81
5.1.	Общие положения (У).........................................81
5.2.	Волновые уравнения для произвольно изменяющихся во времени полей (У)..................................... ...	82
5.3.	Волновые уравнения в комплексных амплитудах (С)	83
5.4.	Волновые уравнения со сторонними токами и полями. Потенциалы электромагнитного поля (У)	84
5.5.	Общие	понятия об электромагнитных волнах	(С)	88
5.6.	Волны	в	сферической системе координат (У)	90
5.7.	Волны	в	цилиндрической системе координат	(У)	94
5.8.	Волны	в	декартовой системе координат (У)	96
5.9.	Характеристики электромагнитных воли (С) .	100
5.10.	Практическое приложение теории главы 5 (С)	104
Контрольные	вопросы	................................ 40
Упражнения..................................................111
Дополнение. Волновые уравнения в неоднородных средах. Цилиндрические	волны в	пространстве. Эффект Допплера	111
6.	Плоские электромагнитные	волны .............................113
6.1.	Физическая модель плоской волны (У)	ИЗ
6.2.	Характеристики плоской волны (У).......................... 115
6.3.	Плоские волны в идеальных диэлектрических	средах (С)	119
6.4.	Плоские волны в реальных средах (С)........................122
6.5.	Глубина проникновения поля в металл. Практическое понятие поверхностного тока (С)	126
6.6.	Поляризация плоских волн (С).............................. 127
6.7.	Практическое применение теории главы	6	(С)	129
Контрольные вопросы ....................................... 135
Упражнения................................................. 136
Дополнение. Плоские волны	в	анизотропных ередах	137
7.	Отражение н преломление плоских волн на границе двух сред.
Мощность потерь электромагнитной	энергии...................141
7.1.	Постановка задачи (У)......................................141
7.2.	Падение плоской волны на поверхность идеального проводника (С)	,	.	.......................... .144
286
7.3.	Падение плоской волны на поверхность металла (С)	145
7.4.	Мощность потерь электромагнитной волны, падающей на поверхность металла (У)...........................................147
7.5.	Падение плоской волны на границу двух диэлектриков (С)	148
7.6.	Электромагнитные волны вблизи ограниченных поверхностей раздела. Электрические цепи низких (НЧ), высоких (ВЧ) и сверхвысоких	(СВЧ) частот (У).............................. 150
7.7.	Практическое	приложение теории главы 7 (С)	154
Контрольные	вопросы ...................................... 176
Упражнения...................................................156
Дополнение. Поверхностные волны. Рефракция и дифракция волн	  157
8.	Излучение электромагнитных волн .	 161
8.1.	Основные положения (У).................................161
8.2.	Неоднородное уравнение Гельмгольца для электрического векторного потенциала в сферической системе координат (У)	162
8.3.	Элементарный электрический излучатель (диполь Герца)	(У)	163
8.4.	Элементарный магнитный излучатель. Реальные излучатели	(С)	168
8.5.	Вторичные (фиктивные) источники излучения. Элемент Гюйгенса (С)	....	170
8.6.	Принцип взаимности (У)..................................... 171
8.7.	Практическое применение теории главы 8 (С)	173
Контрольные вопросы .	....	178
Упражнения .	.	.......................178
Дополнение. Возбуждение волн конвекционным током. Излучение в магнитном поле. Электронная антенна. Излучение Вавилова—Черенкова	......	179
9.	Направляемые волны	182
9.1.	Общие положения (У)........................................ 182
9.2.	Волны между проводящими	плоскостями (С)	186
9.3.	Полосковая двухпроводная и коаксиальная линии (С)	186
9.4.	Общие понятия о трубчатых металлических волноводах (У)	188
9.5.	Виды волн в направляющих системах (У)...................... 190
9.6.	Энергетические соотношения в направляющих системах (С)	192
9.7.	Практическое применение теории главы 9 (С)	194
Контрольные вопросы .................. .	195
Упражнения.................................................. 196
Дополнение Цилиндрические металлические волноводы .	196 '
10.	Металлические прямоугольные	волноводы	197
10.1.	Общие положения (У)....................................... 197
10.2.	Волны магнитного типа (волны типа Н) (У)	198
10.3.	Волны электрического типа	(волны	типа Е) (У)	202
10.4.	Условия распространения волн. Критическая частота. Основная волна (У)	 203
10.5.	Фазовая скорость и длина волны. Дисперсия и групповая скорость (С)	207
10.6.	Поток мощности и коэффициент ослабления поля. Волновое сопротивление (С)	209
10.7.	Практическое применение теории главы 10 (С)	.	212
287
Контрольные вопросы . .	.........................216
Упражнения................................................217
Дополнение. Возбуждение волн в волноводах. Соединение волноводов. Открытый волновод как антенна. П- и Н-образные волноводы...............................................   219
11.	Электромагнитные резонаторы .	....................223
11.1.	Поийтие об электромагнитных	резонаторах	(У)	223
1Е2.	Резонансная частота. Типы колебаний (У)	...	225
11.3.	Добротность резонаторов (У)..............................227
11.4.	Прямоугольный металлический	резонатор (С)...............229
11.5.	Цилиндрический, тороидальный и коаксиальный металлические резонаторы (С) .	.	 232
11.6.	Открытые резонаторы (С)	235
11.7.	Практическое приложение теории главы 11 (С)	238
Контрольные вопросы .	245
Упражнения................................................246
Дополнение. Возбуждение и настройка резонаторов	246
12.	Волноводы медленных волн	....	249
12.1.	Основные свойства волноводов медленных волн (У)	249
12.2.	Двухплоскостной волновод с диэлектрической пластиной (У)	253
12.3.	Гребенчатый металлический волновод (С) .....	259
12.4.	Практическое приложение теории главы 12 (С)	261
Контрольные вопросы.................................... .	266
Упражнения................................................267
Дополнение. Волоконно-оптические системы..................268
13.	Вычислительная техника и применение ЭВМ в электродинамике 268
13.1.	Общие положения (С)......................................268
13.2.	Приближенные вычисления. Задачи электродинамики, решаемые численными методами (С)	.......................269
13.3.	Построение картин поля, решение дифференциальных уравнений и определение постоянных распространения (С)	271
13.4.	Сложные электродинамические устройства. Задачи дифракции и возбуждения полей (С)	.............274
Приложения
П.1. Векторы и координатные системы. Характеристики скалярного
и векторного полей ...	.........................277
П.2. Теорема Стокса. Ротор векторного поля........................279
П.З. Теорема	Остроградского—Гаусса.	Дивергенция векторного
поля ........................................”.	289
П.4.	Векторные операции второго порядка	282
П.5.	Волновые уравнения......................................... 282
П.6.	Некоторые математические формулы	284
Литература ' .	.....	.	284
Учебное пособие
ЖИЛЕЙКО Георгий Иванович
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор издательства Е. А. Улановская Художественный редактор А. Ю. Землеруб Технический редактор 3. Н. Ратникова Корректор В. В. Сомова
ИБ № 33
ЛР № 020528 от 23.04.92 г.
Сдано в набор 24.05.93 Подписано в печать 22.09.94 Формат 60Х84*/1б Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 16,74 Усл. кр.-отт. 16,99 Уч.-изд. л. 14,13
Тираж 1000 экз. Зак. Ns 79	С-013
Издательство МЭИ, 105835 ГСП, Москва Е-250,
Красноказарменная ул., д. 14
Типография издательства МЭИ, 105835, ГСП, Москва Е-250,
Красноказарменная ул., д. 13