Электродинамика с магнитным зарядом - Стражев В.И., Томильчик Л.М.

Глава 1. Магнитные источники в развитии теории электромагнетизма
§ 2. Магнитные заряды в электродинамике Максвелла
2.2. О формулировке электродинамики при использовании магнитных источников
§ 3. Об использовании модели магнитного заряда при решении конкретных задач теории электромагнетизма
3.2. О принципе двойственности
3.3. Принцип эквивалентности
3.4. Макроскопическая электродинамика движущихся сред
Глава 2. Дуальная симметрия свободного электромагнитного поля
§ 3. Двухпотенциальное описание электромагнитного поля
3.2. Дуальные и ларморовские преобразования полей
4.3. Групповая структура теории свободных безмассовых полей
4.4. О ларморовской инвариантности бозонных полей
Глава 3. Дуальная симметрия однозарядовой электродинамики
1.2. Дуальная симметрия и эквивалентность двух форм электродинамики
1.3. Дуальная инвариантность и проблема несоответствия между числом независимых компонент полевого тензора и тензора энергии-импульса
§ 2. О возможности наблюдения магнитного заряда у известных заряженных частиц
§ 3. Об аксиоматической формулировке классической электродинамики
3.2. Дуально симметричная' формулировка и вариационный принцип
§ 4. Дуальная симметрия макроскопической электродинамики
4.2. О физической природе принципов эквивалентности и двойственности в макроскопической электродинамике
§ 5. Дуальная симметрия квантовой электродинамики
§ 6. Полевая теория частиц с двумя зарядами
6.2. Закон преобразования гамильтониана относительно дуальной группы
Глава 4. Галилеевски инвариантная формулировка электродинамики
§ 2. Электромагнитная теория в галилеевски ковариантиой форме
2.2. Электрический предел электродинамики
2.4. Уравнения движения для дуально заряженных частиц
§ 3. Общая формулировка галилеевски инвариантной электродинамики
§ 4. О физическом содержании галилеевски инвариантной электродинамики
4.3. Галилеевски инвариантный электромагнетизм и волновые уравнения
§ 2. Классическая теория магнитного заряда
2.2. Сингулярные потенциалы и «вето Дирака»
2.3. Симметричная формулировка в полевом подходе
§ 3. Квантовомеханическое взаимодействие
§ 4. Динамические симметрии систем, содержащих магнитный заряд
$4.3. Группа O_{4,2} как группа динамической симметрии$
5.2. Калибровочная инвариантность теории
§ 7. Квантовая электродинамика с магнитными зарядами в формализме Мандельстама
§ 8. Дискретные симметрии электромагнитных взаимодействий
8.2. Дискретные преобразования в дуально симметричной электродинамике
8.3. Структура дискретных преобразований при наличии магнитного заряда
Глава 6. Свойства монополя Дирака и его экспериментальный поиск
3.4. Оценки сечения рождения монополя по экспериментальным данным
§ 4. Возможные объяснения отрицательных результатов поиска монополей Дирака
§ 2. Условие зарядового квантования и группа пространственных вращений
2.3. Тождество Якоби в теории магнитного заряда
§ 3. Сингулярные потенциалы и эффективная градиентная инвариантность теории
§ 4. О различии между условиями зарядового квантования Дирака и Швингера
§ 5. Возможна ли теория магнитного заряда без условия зарядового квантования?
§ 6. Запрет на существование мопополя и квантование заряда без условия Дирака-Швингера
6 2. О квантовании электрического заряда
Глава 8. Физические приложения теории магнитного заряда
§ 2. Дуальная симметрия и магнитный заряд в калибровочных теориях
§ 3. Дуальная симметрия электродинамики без магнитных зарядов
Приложение Б. Об условии лоенц-инвариаптности квантовой теории
Приложение В. Неуниверсальность отношения g/e в задаче Кеплера π оценка величины магнитного заряда
Приложение Г. О дифференцировании сингулярных потенциалов
Приложение Д. О квантовании по методу Пайерлса
Приложение Е. Вычисление момента количества движения электромагнитного поля, создаваемого статической е–g-парой
Author: Стражев В.И. Томильчик Л.М.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика электромагнетизм электродинамика теоретическая физика физика элементарных частиц
Year: 1975
Similar
Квантовая теория поля
Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля
Гравитация, нейтрино и Вселенная
Квантовая теория поля в двух словах
Text
                    В. И. СТРАЖЕВ, Л. М. ТОМИЛЬЧИК
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С МАГНИТНЫМ
ЗАРЯДОМ
Редантор
академик АН БССР
Ф. И. Федоров
ИЗДАТЕЛЬСТВО „НАУКА И ТЕХНИКА"
МИНСК 1975

530.1
С 83
УДК 539.12:530.145
С т р а ж е в В. И., Т о м и л ь ч и к Л. М. Электродинамика
с магнитным зарядом, Минск, «Наука и техника», 1975, 336 с.
Книга представляет собой первое в научной литературе
систематическое изложение проблемы магнитного заряда и
дуальной симметрии в электродинамике. Рассмотрены
вопросы, связанные с использованием магнитного заряда в
развитии теории электромагнетизма, а также дано обстоятельное
изложение проблемы монополя Дирака. Работа содержит
анализ дуальной симметрии электродинамики, с которой тесно
связан известный принцип двойственности. Исследована
классическая и квантовая электродинамика в дуально
симметричном виде, не предполагающая существования моиополя
Дирака. Материал книги во многом основан на оригинальных
результатах авторов.
Рассчитана на специалистов в области электродинамики и
физики элементарных частиц, а также на широкий круг
научных работников, занимающихся теоретической физикой.
Книга, несомненно, окажется полезной преподавателям,
аспирантам и студентам физико-математических факультетов.
Таблиц 5. Иллюстраций 13. Библиография — 420
названий.
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук
А. 	Г. ХАТКЕВИЧ,
кандидат физико-математических наук
Р. А. ВЛАСОВ
20407—082
С 92—76
М316—75
© Издательство «Наука и техника», 1975.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Обозначения 9
Введение 10
1
глава
Магнитные источники в развитии теории электромагнетизма . 13
§ 1. Магнитные источники в электродинамике
дальнодействия 14
§ 2. Магнитные заряды в электродинамике Максвелла . . 18
2.1. Дуальная симметрия уравнений Максвелла (18)
2.2. О формулировке электродинамики при использовании
магнитных источников (20)
§ 3. Об использовании модели магнитного заряда при решении
конкретных задач теории электромагнетизма .... 24
3.1. Магнитостатика (25). 3.2. О принципе
двойственности (26). 3.3. Принцип эквивалентности (26). 3.4.
Макроскопическая электродинамика движущихся сред (28)
§ 4. О системах единиц электродинамики 29
2
глава
Дуальная симметрия свободного электромагнитного поля . 32
§ 1. Классическое поле 32
§ 2. Квантованное поле 38
§ 3. Двухпотенциальное описание электромагнитного поля 41
3.1. Двухпотенциальная формулировка. Потенциалы
Герца (41). 3.2. Дуальные и ларморовские преобразования
полей (43)
§ 4. Дуальная симметрия как частный случай киральной (vs)
симметрии безмассовых полей 45
4.1. Полевая теория безмассовых частиц (45). 4.2. Группа
киральных преобразований (48). 4.3. Групповая структура
теории свободных безмассовых полей (51). 4.4. О лармо-
ровской инвариантности бозонных полей (53)
3

3
глава
Дуальная симметрия однозарядовой электродинамики ... 56
§ 1. Дуально симметричная формулировка классической
однозарядовой электродинамики 58
1.1. О физических основаниях дуальной симметрии (58).
1.2. Дуальная симметрия и эквивалентность двух форм
электродинамики (60). 1.3. Дуальная инвариантность и
проблема несоответствия между числом независимых
компонент полевого тензора и тензора энергии-импульса (61)
§ 2. О возможности наблюдения магнитного заряда у
известных заряженных частиц 64
§ 3. Об аксиоматической формулировке классической
электродинамики 70
3.1. Два типа источников и дуальная симметрия (70).
3.2. Дуально симметричная' формулировка и вариационный
принцип (77)
§ 4. Дуальная симметрия макроскопической электродинамики 79
4.1. Дуально симметричная формулировка
макроскопической электродинамики (79). 4.2. О физической природе
принципов эквивалентности и двойственности в
макроскопической электродинамике (82)
§ 5. Дуальная симметрия квантовой электродинамики . . 84
§ 6. Полевая теория частиц с двумя зарядами 93
6.1. Полевые уравнения в представлении Гайзенберга (93).
6.2. Закон преобразования гамильтониана относительно
дуальной группы (95). 6.3. Лагранжева формулировка
теории (97)
4
глава
Галилеевски инвариантная формулировка электродинамики 101
§ 1. Галилеевская относительность в полевой теории . . . 101
§ 2. Электромагнитная теория в галилеевски ковариаптпой
форме .103
2.1. Постановка задачи (103). 2.2. Электрический предел
электродинамики (105). 2.3. Магнитный предел
электродинамики (107). 2.4. Уравнения движения для дуально
заряженных частиц (110)
§ 3. Общая формулировка галилеевски инвариантной
электродинамики . 112
§ 4. О фи'зическом содержании галилеевски инвариантной
электродинамики 116
4.1. «Релятивистские» аспекты электродинамики
Максвелла (116). 4.2. О системах единиц измерения (119). 4.3.
Галилеевски инвариантный электромагнетизм и волновые
уравнения (121)
4

5
глава
Монополь Дирака 122
§ 1. Классическая теория взаимодействия электрических и
магнитных зарядов 122
§ 2. Классическая теория магнитного заряда . . . . . 128
2.1. Вариационный принцип (128). 2.2. Сингулярные
потенциалы и «вето Дирака» (134). 2.3. Симметричная
формулировка в полевом подходе (139)
§ 3. Квантовомеханическое взаимодействие 142
3.1. Подход Дирака (142). 3.2. Квантовая теория
е—g-рассеяния (149)
§ 4. Динамические симметрии систем, содержащих магнитный
заряд 153
4.1. Система из двух дуально заряженных частиц
(нерелятивистский случай) (155). 4.2. Система из двух дуально
заряженных частиц (релятивистское рассмотрение) (158).
4.3. 	Группа 04,2 как группа динамической симметрии (163)
§ 5. Квантовая теория 171
5.1. Полевой подход (171). 5.2. Калибровочная
инвариантность теории (176)
§ 6. 5-матрица в теории монополя Дирака 179
§ 7. Квантовая электродинамика с магнитными зарядами в
формализме Мандельстама 186
§ 8. Дискретные симметрии электромагнитных взаимодействий 198
8.1. Р и Г-инвариантность теории магнитного заряда (198).
8.2. 	Дискретные преобразования в дуально симметричной
электродинамике (200). 8.3. Структура дискретных
преобразований при наличии магнитного заряда (202)
6
глава
Свойства монополя Дирака и его экспериментальный поиск 208
§ 1. Свойства монополя Дирака 208
§ 2. Оценки сечения рождения монополя 213
§ 3. Эксперимент 217
3.1. 	Поиск на ускорителях (217). 3.2 Поиск в космических
лучах (218). 3.3. Поиск в веществе (222). 3 4. Оценки
сечения рождения монополя по экспериментальным
данным (223)
§ 4. Возможные объяснения отрицательных результатов поиска
монополей Дирака 226
7
глава
Условие зарядового квантования 234
§ 1. Феноменологический вывод условия зарядового
квантования 234
1.1. 	Полуклассический подход (234). 1.2.
Квантовомеханический подход (236)
5

§ 2. Условие зарядового квантования и группа
пространственных вращений 238
2.1. Вращательная инвариантность гамильтониана
е—^-взаимодействия (238). 2.2. Алгебраическое рассмотрение (248).
2.3. 	Тождество Якоби в теории магнитного заряда (251)
§ 3. Сингулярные потенциалы и эффективная градиентная
инвариантность теории 254
§ 4. О различии между условиями зарядового квантования
Дирака и Швпнгера 263
§ 5. Возможна ли теория магнитного заряда без условия
зарядового квантования? 268
§ 6. Запрет на существование монополя и квантование заряда
без условия Дирака—Швингера 271
6.1.0 теоретическом обосновании отсутствия магнитного
заряда (271). 6 2. О квантовании электрического
заряда (273)
8
глава
Физические приложения теории магнитного заряда 276
§ 1. Магнитный заряд и составные модели адронов . . . 276
1.1. Модель Швингера (277). 1.2. Модель Барута (282)
§ 2. Дуальная симметрия и магнитный заряд в калибровочных
теориях 285
2.1. Геометродинамика (285). 2.2. Монопсль в
калибровочных теориях (287)
§ 3. Дуальная симметрия электродинамики без магнитных
зарядов 290
3.1. Электродинамика с ларморовскими источниками (290).
3.2. Тахионы и монополи (292)
Заключение 295
Приложение А. Полубесконечный соленоид как модель
точечного магнитного заряда . . . 298
П р ил о ж е н и е Б. Об условии лоренц-инвариаптности
квантовой теории 301
Приложение В. Неуниверсальность отношения g/e в
задаче Кеплера н оценка величины
магнитного заряда 302
II р и л о ж ение Г. О дифференцировании сингулярных
потенциалов 307
Приложение Д. О квантовании по методу Пайерлса 310
Приложение Е. Вычисление момента количества
движения электромагнитного поля,
создаваемого статической е—g-парой 313
Литература 316
Предметный указатель 331

ПРЕДИСЛОВИЕ
По-видимому, большинство людей еще со школьной
скамьи выносит твердую уверенность в том, что
существование магнитных зарядов противоречит законам
природы. Однако одно из основных правил, действующих в
современной физике, гласит, что в отсутствие закона,
запрещающего реализацию некоторого события, оно
непременно происходит с той или иной степенью
вероятности.
Дирак еще ,в 1931 году как раз и показал, что
возможность существования магнитно заряженных частиц
(монополей) не противоречит ни одному из фундаментальных
физических принципов. С тех пор проблеме монополя
Дирака посвящено много теоретических и
экспериментальных работ, число которых непрерывно возрастает.
Экспериментальный поиск частиц со свойствами,
предсказанными Дираком, пока не дал положительного
результата. Однако уже теперь ясно, что сама проблема
магнитного заряда вовсе не сводится к вопросу о
возможности существования в природе еще одной новой частицы.
Существование монополя как частицы в
значительной степени гипотетично. Тем не менее проблема
монополя имеет прямое отношение к реальности,
поскольку затрагивает один из элементов фундамента
современной физики — электродинамику.
К настоящему времени по проблеме магнитного заряда
в электродинамике накопился большой материал. Он
охватывает широкий круг специфических вопросов, которые
нуждаются в систематизированном изложении. В нашу
задачу входило представить имеющиеся идеи и
результаты (часть из которых принадлежит авторам монографии)
в концентрированном и обозримом виде. Мы старались
изложить материал в такой форме, чтобы
заинтересованный читатель смог не только ознакомиться со всеми
7

изученными аспектами обсуждаемой проблемы, по и
принять участие в ее дальнейшей разработке.
Проблематика теории магнитного заряда фактически
охватывает весьма широкий круг специальных вопросов
и далеко не исчерпывается различными аспектами
теории монополя Дирака, хотя последняя и занимает здесь
одно из центральных мест. Мы постарались отразить это
и в самой структуре монографии. Анализ дираковской
концепции магнитного заряда начинается лишь в пятой
главе. Материал первых четырех глав (и даже § 1, 2 и
8 гл. 5) в чисто логическом плане совершенно независим
от идеи монополя и поэтому может быть изложен без
обращения к каким-либо специфическим положениям
теории Дирака.
Поскольку обсуждаемая в монографии проблема так
или иначе затрагивает довольно широкий круг смежных
вопросов, список литературы пришлось довольно сильно
расширить за счет ссылок на работы, которые хотя и не
относятся непосредственно к проблеме магнитного
заряда, но необходимы для понимания ряда ее сторон. Для
удобства читателя эта часть библиографии выделена в
оидельный описок. Нумерация ссылок сквозная, но
литература подразделена по главам. Основная литература
подразделена, кроме того, и по тематическому признаку.
Основу практически исчерпывающей библиографии по
проблеме магнитного заряда составляет список
литературы, содержащийся в обзоре авторов (ЭЧАЯ, т. 4, выи.
1, 	1973). Он дополнен ссылками на работы,
опубликованные (или вышедшие в виде препринтов) до февраля
1975 г.
Авторы искренне признательны коллективу
лаборатории теоретической физики Института физики АН БССР
и особенно руководителю лаборатории Ф. И. Федорову
за многочисленные стимулирующие дискуссии по
обсуждаемым в монографии вопросам, а также за постоянную
помощь и поддержку в процессе написания и подготовки
книги к печати.
Минскt февраль 1975 г.
В. 	Я. СТРАЖЕВ,
Л. М. ТОМИЛЬЧИК

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Используется следующая метрика в пространстве Минковского:
gn = g22 = g33 = g44 = 1 ... Греческие индексы принимают значения
от 1 до 4, латинские — от 1 до 3.
Определение трехмерного вектора: а = {av а2, я3};
четырехмерный вектор: {а= (а, а4}, а4 = ш0.
shin— полностью антисимметричный единичный псевдотензор
третьего ранга, е12з = 1.
6nvP а — четырехмерный псевдотензор Леви-Чивита, е1234 = — i.
Тензор электромагнитного поля F : Fki = ekin Нп, F±h=
1 ~ ~
дуальный тензор: = — е^ро FPo, Fki = — &hin En, F^k=iHht
F ij,v — F (iv
Дифференциальные операторы: д =д/дх , □ =д д , Д=дьд&,
V = {di> д2, д3}. ни и и
Обозначения интегрирования: J dx = J d3x = JJJ dx1dx2dx3, J d*x=
= JJJJ dx1dx2dx3dx0.
Дельта-функции: б {x) = 6 (r) = б {xx) 6 (*2) 6 (*3), 64 (л:) = 6 (xx) x
X б (x2) 6 (x3) 6 (*0).
разрывные функции:
D-функция: D= l/4ax Jr|.
Знак * используется для обозначения комплексного, а знак + —
эрмитова сопряжения.
Операция усреднения (по времени, объему, состоянию)
обозначается чертой над усредняемыми величинами.
Скалярное умножение двух трехмерных векторов обозначается
ab, векторное — axb.
При рассмотрении микроскопической электродинамики
(классической и квантовой) используется система единиц Хевисайда —
Лоренца (рационализированная система единиц Гаусса), а при
обсуждении вопросов, связанных с макроскопической
электродинамикой, — рационализированная система единиц MKSQ.
Во всех случаях, где это не связано с потерей наглядности,
полагаем h = c= 1. В отдельных местах в формулах сохраняются
h и с,

ВВЕДЕНИЕ
Известно, что на ранней стадии развития
электромагнетизма магнитные источники фигурировали в теории
наравне с электрическими. Так, например, закон
взаимодействия магнитных полюсов был сформулирован
практически одновременно с законом Кулона для точечных
электрических зарядов. Большое сходство в описании
электрических и магнитных явлений в течение
длительного времени играло эвристическую роль в поисках связи
между этими явлениями и в попытках создать
объединенную теорию электромагнетизма.
Положение радикально изменилось с появлением
амперовской гипотезы молекулярных токов, согласно
которой для объяснения магнитных эффектов нет
необходимости вводить специальные источники, а все
наблюдаемые проявления магнетизма могут быть полностью
объяснены движением электрических зарядов. Идея о
«вторичном» характере магнетизма прочно утвердилась
в физике. Она 'получила широкую экспериментальную
базу и нашла адекватное теоретическое воплощение как в
макроскопической электродинамике, так и в уравнениях
Максвелла—Лоренца. Соленоидальный характер
магнитного поля (divH=0) обеспечил возможность
непротиворечивой лагранжевой и гамильтоновой формулировки
электродинамики, что в свою очередь позволило получить
ее квантовомеханическое обобщение. На уровне
квантовой теории некоторые проблемы возникли при описании
собственного (спинового) магнетизма микрочастиц, но
выяснилось, что для их разрешения достаточно
ограничиться введением в качестве источников элементарных
магнитных диполей (взаимодействие Паули).
Магнитный заряд сохранился лишь в некоторых чисто
технических разделах электродинамики в качестве
величины, хотя и чрезвычайно удобной для практических
рас10

четов, но с физической точки зрения вспомогательной и
по существу фиктивной.
Между тем уравнения Максвелла для свободного поля
обладают настолько явной симметрией относительно
электрических и магнитных полевых величин (остаются
инвариантными при одновременной замене Е-^Н,
Н-+—Е, см. гл. 2), что отсутствие такой симметрии в
электродинамике с источниками начинает
восприниматься если не как дефект теории, то во всяком случае как
факт, который нуждается в объяснении. Однако эти
вопросы практически не привлекали внимания
исследователей вплоть до появления знаменитой работы Дирака
1931 года [117], где путем тонких рассуждений,
основанных на использовании идеи калибровочной
инвариантности, было показано, что существование отдельных
магнитных полюсов — монополей не противоречит
фундаментальным принципам квантовой теории, если только
численные величины электрического е и магнитного g
зарядов не независимы, а связаны следующим
соотношением (см. гл. 5 и 7):
Pic
еЁ ~ п —~— > п — 0, ± 1, + 2, . . .
Отсюда сразу вытекают два важных вывода. Во-первых,
если существует некоторое фиксированное численное
значение go, то допустимая величина электрического заряда
оказывается целым кратным некоторого минимального
значения eQ = hc/2gQ. Тем самым получает теоретическое
объяснение наблюдаемый опытный факт квантованности
электрического заряда, т. е. кратности электрического
заряда любой заряженной системы электрическому заряду
электрона. Во-вторых, если отождествить е0 с
эмпирически наблюдаемой величиной элементарного
электрического заряда (е2о /Ас^ 1/137), то для минимального
магнитного заряда получается фиксированное численное
значение go ~ 68,5 е0. Иными словами, теория Дирака
позволяет сделать определенные количественные
предсказания. Именно эта величина магнитного заряда явилась
основным ориентиром в последующих экспериментальных
поисках монополя Дирака, которые пока закончились
безрезультатно. Но с выводом об отсутствии в природе
магнитных зарядов не следует спешить. И в постановке
И

экспериментов, и в теории монополя Дирака еще много
неясного (см. гл. 6).
Хотя концепция Дирака на первый взгляд и
восстановила «права гражданства» магнитного заряда в
электродинамике, тем не менее симметрии между
электрическими и магнитными источниками добиться не удалось.
Это видно уже из простого сравнения численных величин
обоих зарядов: если одна из них велика, то вторая мала
и наоборот. Но особенно отчетливо эта асимметрия
проявляется в структуре теории. При одновременном наличии
электрических и магнитных источников получить
уравнения поля и уравнения движения из вариационного
принципа удается лишь ценой использования переменных,
имеющих нефизический характер. Эти трудности были
выявлены уже в работе Дирака [137] и по существу
остаются неразрешенными до сих пор (см. гл. 5 и 7).
Появление дираковской концепции магнитного
монополя оказало стимулирующее воздействие на развитие
проблемы магнитного заряда в целом. При этом
выяснилось, что здесь имеется целый ряд физически
содержательных аспектов, которые могут быть исследованы
совершенно независимо от идеи монополя. Наибольший
интерес с этой точки зрения представляет развитие
проблемы дуальной симметрии электродинамики (см. гл. 2).
Здесь довольно парадоксальным образом оказалось,
что распространение симметрии полевых уравнений
относительно электрических и магнитных величин также к на
уравнения с источниками вовсе не требует введения
новых частиц типа монополя Дирака. С современной
электродинамикой может быть полностью согласовано
представление о том, что каждая из существующих
заряженных частиц одновременно несет как электрический е,
так и магнитный g заряды (дуально заряженные частицы,
гл. 3). Если только отношение gje одинаково у всех без
исключения частиц, то наблюдаемый магнитный заряд
отсутствует, и электродинамика приобретает
стандартную однозарядовую форму. Следует подчеркнуть, что
вопросы, связанные с дуальной симметрией
электродинамики, остаются пока практически неизвестными
большинству физиков, несмотря на принципиальный характер
этих вопросов и очевидную связь с реальной физической
проблемой измеримости полевых величин и зарядов в
классической электродинамике.

1
глава
МАГНИТНЫЕ ИСТОЧНИКИ
В РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
Отцом науки об электричестве и магнетизме принято
считать английского ученого Гильберта, обширные
исследования которого были изложены в знаменитой книге
«Magnete» (1600 г.) [1]. Первооткрывателем закона
взаимодействия между магнитными полюсами был, по-
видимо-му, Джон Митчелл (1750 г.) (см. [2]).
Поставленный им опыт предвосхитил широко известные
исследования Кулона, которые привели к формулировке закона,
носящего его имя, как для электрических зарядов, так и
для отдельных магнитных полюсов. Кулон был первым,
кто отметил в явном виде невозможность разделения
северного и южного полюсов магнита. Ему же
принадлежит гипотеза о том, что любой магнит состоит из
множества надлежащим образом ориентированных элементар--
ных магнитиков.
Полная формальная аналогия в описании электро- и
магнитостатических эффектов притяжения и
отталкивания на протяжении многих лет служила побудительным
мотивом для поисков связи между электричеством и
магнетизмом (см., например, [2—5]).
В 1820 г. представлениям о возможном
существовании наряду с электрическим также и магнитного флюида
был нанесен тяжелый удар. Ампер, основываясь на
опытах Эрстеда по исследованию действия проводника с
током на магнитную стрелку, установил наличие
взаимодействия между проводниками с электрическим током.
В отличие от предложенных ранее вариантов
истолкования опытов Эрстеда он выдвинул гипотезу о том, что не
проводник, по которому течет ток, становится магнитом,
а магнит представляет совокупность замкнутых токов. На
основании установленной им эквивалентности малого
плоского контура тока элементарному магнитному
диполю он вывел закон Кулона для магнитостатического
взаи13

модействия полюсов магнита исходя из закона Био—Са-
вара—Лапласа для взаимодействия между токами.
И все же до конца XIX века магнитные заряды и токи
рассматривались не только как вспомогательные понятия,
вводимые для удобства математических расчетов
(например, метод двойного магнитного слоя Ампера), но и как
физические величины, теоретически равнозначные
электрическим источникам. В основном такое положение было
обусловлено тем, что еще не были известны
индивидуальные носители электрического заряда, первый из
которых — электрон был открыт только в 1897 г.
§ 1. Магнитные источники
в электродинамике дальнодействия
Наиболее последовательными сторонниками введения
магнитных источников в электродинамику были
Хевисайд и Герц (см. [6, 7]).
Для истории развития теории электромагнетизма
особенно большой интерес представляет работа Герца [7а]
(см. также [2, 8]), где был дан своеобразный вывод
теории Максвелла, основанный на представлениях
электродинамики Вебера—Неймана, которая базировалась, как
известно, на идее дальнодействия. Существенная
особенность этого вывода — использование представления о
магнитных источниках. Как отмечает Герц, идея Ампера
в истолковании опытов Эрстеда заключалась в том, что
существует только один вид магнитных сил и для
взаимодействия магнитов, и для взаимодействия замкнутых
круговых токов, т. е. магнитостатическая и
магнитодинамическая силы тождественны.
Для лучшего понимания хода рассуждений Герца мы
пока будем сохранять терминологию, употреблявшуюся
в то -время. Фактически здесь говорится о том, что
магнитное поле, порождаемое током, во всех отношениях
представляет собой величину той же природы, что и поле,
создаваемое магнитом.
Хотя такое предположение явно не формулируется, а
только подразумевается, фактически здесь постулируется
некоторое утверждение, которое можно назвать
принципом единства физических сил [7а].
Если состояние намагниченности некоторого магнита
изменяется со временем, то этот процесс будет приводить
14

к появлению электрической силы. Следовательно, между
двумя кольцевыми токами возникает дополнительная
электрическая сила, если величина тока изменяется.
Герц выдвинул предположение, что эта сила по своей
природе идентична силе, обусловленной взаимодействием
между электрическими зарядами, т. е. принцип
тождественности электростатической и электродинамической
силы. Но в электродинамике Вебера—Неймана закон
взаимодействия между замкнутыми токами не учитывал
возможности изменения интенсивности'тока. Необходимо
было, следовательно, найти соответствующую поправку
и дополнить электродинамику дальнодействия в этом
пункте.
Предположим, что существует система электрических
токов в пустом пространстве. В соответствии с
электродинамикой Вебера—Неймана векторный потенциал Ае
электрического тока удовлетворяет уравнению
AAe = -je (1.1)
и магнитная сила Не есть
Не = rot Ае, (1.2а)
в то время как электрическая сила Ее в любой точке поля
возникает при изменении интенсивности токов:
Е* = -^Г- <‘-3а)
Здесь Герц вводит понятие магнитного тока, предполагая
при этом, что электродинамика с магнитными источниками
описывается соотношениями, вполне аналогичными (1.1) —
(1.3а):
AAg = -jg, (1.4)
Eg = _r°tAg’ (1*5)
где \g — магнитный векторный потенциал, а индекс g у
величин Е и Н означает, что они порождены магнитным
током jg. Электрическое взаимодействие, возникающее
между двумя круговыми электрическими токами в
результате изменения интенсивности тока, вследствие
принципа единства сил эквивалентно взаимодействию между
двумя замкнутыми круговыми магнитными токами.
15

Появление дополнительного электрического
взаимодействия можно представить как следствие того, что в
рассматриваемой системе наряду с электрическим
имеется также и магнитный ток, интенсивность которого
подобрана так, чтобы удовлетворялось условие
Ее = Еg. (1.6)
Из (1.3а), (1.5), (1.6) находим связь между потенциалами
Ае и А •
д д , Г \edV .. _
(1'7)
Но электрическая сила зависит от времени, что может
быть учтено как изменение магнитного тока, которое в
свою очередь должно приводить дополнительно к
изменяющейся магнитной силе и т. д. Таким образом,
необходимо вычислить бесконечный ряд поправок к магнитной и
электрической силам и суммы этих поправок считать
истинными значениями магнитной и электрической сил.
Рассматривая исходные значения электрической Ее и
магнитной силы Не, задаваемые потенциалом Ае, в
качестве первого приближения, во втором приближении
находим:
Н<2> =He + Hg = rotA<2>, (1.26)
где
А» (1.8)
и выражение для электрической силы определяется через
потенциал А(2>:
Е*2) = -^г- (1-3б)
Эта система не является, разумеется, окончательной.
Чтобы уточнить выражение для электрических и магнитных
сил и векторных потенциалов, необходимо повторить
описанную процедуру. Вновь вводя в рассмотрение
магнитный ток, но уже применительно к системе (1.26) и
(1.36), и проводя аналогичные рассуждения, запишем:
р(2) р(2)
ш^е — E'g 9
16

так что
Я-"* J-Т^'
Н'3' = Н<2) + Н^2) = rot А<3>, Ее3> =
<3) _ н<2> _U н<2> = rot А<3\ Е<3> =
где
А(3) = А'2) — -^-J-^—dV = Г -i-dV —
£~Я rd^+^-JJj fdV.dV.dV,, (1.9)
и использовано определение потенциала Ае через
электрический ток Ае = —dV, вытекающее из уравнения (1.1).
Аналогичным путем можно найти явный вид поправок всех
последующих приближений. Окончательное выражение для
электрического потенциала Ае представляет бесконечный
сходящийся ряд [7а], а сам вектор-потенциал, как нетрудно
убедиться, удовлетворяет теперь уже не уравнению (1.1), а
неоднородному уравнению Даламбера
па=аа—£-а=-^ (1л°)
дг
которое эквивалентно следующему уравнению:
ЯР
rotH = —|- je, (1.11а)
at
д\
 в то время как соотношения Н = rot А, Е = дают
dt
вторую пару уравнений
rotE=— (1.116)
dt
Аналогичная процедура, разумеется, может быть
повторена и для «магнитного» потенциала \ё. В результате мы
получим уравнения Максвелла в присутствии источников
магнитного типа.
На эту работу Герца в свое время обратил внимание
Планк [9], поскольку она примечательна тем, что исходя
из представления о дальнодействии, совершенно чуждого
2 	Зак. 670 1 7

подходу Максвелла—Фарадея, можно благодаря
условию симметрии теории относительно электрических и
магнитных источников и дополнительному физическому
требованию единства сил прийти к максвелловской
системе уравнений *). Разумеется, не следует думать, что
подобное расширение непротиворечиво с точки зрения
электродинамики дальнодействия. Как было показано
позже (см. [2]), в ряде случаев предсказания
электродинамики Вебера—Неймана находились в противоречии с
выводами, вытекающими из теории Максвелла.
В заключение необходимо подчеркнуть, что
использование магнитных токов при выводе уравнений Максвелла
по способу Герца не является, как может показаться,
чисто вспомогательным приемом. Как будет показано в
гл. 4, электродинамика Вебера—Неймана фактически
представляет собой один из двух возможных вариантов
галилеевски инвариантной электродинамики.
§ 2. Магнитные заряды в электродинамике Максвелла
2.1. 	Дуальная симметрия уравнений Максвелла. При
наличии источников обоих типов уравнения Максвелла
имеют следующий вид:
дЕ
r0t Н = + ,е’ div Е = ре’
ot
(1.12)
«*Е— V divH = pg.
*) Здесь нам хотелось бы сделать одно замечание
историко-методологического характера. Хорошо известно, что тот способ, на основе
которого Максвелл смог получить уравнения электромагнитного поля,
идейно никак не связан с предшествующими теоретическими
работами в области электромагнетизма. «Создается впечатление о глубокой
ошибочности и ненужности большого числа работ, составляющих
важнейшую часть общей научной деятельности на протяжении почти
целого века» [8]. Это обстоятельство побудило И. С. Шапиро [10]
заметить, что в аналогичном положении могут оказаться и современные
теоретические разработки в фундаментальных направлениях. Работа
Герца представляет собой интересное свидетельство того, что разрыв
между электродинамикой Максвелла и домаксвелловскими
теоретическими схемами, возможно, не столь значителен, как принято думать.
Во всяком случае, эта работа показывает, что в принципе можно
было бы прийти к уравнениям Максвелла, отталкиваясь от
предшествующих теоретических разработок в этой области.
18

Выбор знака при магнитном токе обусловливается
требованием закона сохранения магнитного заряда, т. е.
магнитные источники должны удовлетворять обычному
уравнению непрерывности:
divi*+ 1^ = 0- <1ЛЗ)
Ot
Выделение общепринятой в настоящее время системы
уравнений, описывающих классическое электромагнитное
поле, из всей совокупности уравнений, предложенных
Максвеллом, было проведено Хевисайдом в 1885 г. Эта
работа существенно базировалась на использовании
магнитных источников, при котором «электрическая и
магнитная стороны электромагнетизма симметрично
представлены и связаны» [6а]. Именно Хевисайд впервые
обратил внимание на симметрию между электрическими
и магнитными величинами, присущую уравнениям
Максвелла (см. [11] и цитированную там литературу).
Фитцджеральд [12] в своей рецензии на работы
Хевисайда писал в то время (см. также [11]): «Дуализм
электричества и магнетизма является старым и
известным фактом. Закон обратных квадратов применим к
обоим. Каждая задача в одном имеет соответственного
двойника в другом. Хевисайд распространил это на весь
электромагнетизм. Допущением возможности магнитной
проводимости он сделал все уравнения симметричными.
Каждый математик может оценить значение и изящество
этого».
Несколько позже Лармор [13] (см. также [14]) дал
этой симметрии математическую формулировку, указав,
что уравнения Максвелла для свободного
электромагнитного поля инвариантны относительно следующих
преобразований:
Е^±Н, Н-^ + Е, (1.14)
которые получили названиепреобразований Лармора, или
преобразований дуальности. Распространяя эти
преобразования также и на источники, нетрудно видеть, что
уравнения (1.12) инвариантны относительно следующей
совокупности преобразований:
^— Н> Н-^ + Е, je—^zhjg> jg + je>
pe^±pg, Pg-^ + Pe- (115)
2
19

Именно стремление распространить инвариантность
уравнений Максвелла для свободного электромагнитного поля
относительно преобразований Лармора на случай
наличия источников является одним из основных мотивов
введения магнитных зарядов. Используя требование
симметрии относительно преобразования (1.15), можно
написать помимо обычного выражения для плотности
силы Лоренца
fe — Ре^ + \е * ^ (1.16а)
также и выражение для ее «магнитного» аналога
fg = pgH-)gxE. (1.166)
К выражению для плотности «магнитной» силы Лоренца
(1.166) можно также прийти исходя из закона Кулона
для магнитных зарядов и преобразований Лоренца для
электромагнитных полевых величин.
В макроскопической электродинамике преобразования
Лармора (1.14) лежат в основе широко используемого
принципа двойственности, отражающего симметрию
уравнений электродинамики относительно электрических и
магнитных величин:
Е^±Н, Н-> + Е, B^=FD, D^±B; pe-+±pg,
Je — jg> Pg Pe> Jg Je> 8 -4-*- [X, (1.17)
где e, \x — электрическая и магнитная проницаемость
среды. Иногда его еще называют принципом
двойственности Лармора—Пистолькорса. Пистолькорс [15]
впервые ввел преобразования (1.17) в практику расчета
антенных устройств специальных типов.
Этот принцип находит широкое практическое
применение в радиофизике для расчета электрических и
магнитных антенн (см., напр., [16, 17]), в теории волноводов
(см., напр., [16]), оказывается весьма полезным в теории
оптических свойств кристаллов [18], при решении ряда
задач электродинамики движущихся сред [19].
Интересно также отметить, что в основе расчета Герцем поля,
создаваемого витком с током (магнитный вибратор
Герца), фактически лежало использование преобразований
(1.17) 	(см. [7в]).
2.2. 	О формулировке электродинамики при
использовании магнитных источников. Введение магнитных
источ20

ников в уравнения Максвелла оказывается весьма полез*
ным с методической точки зрения, поскольку позволяет
глубже понять операциональный смысл всех полевых
величин и различие в их определении.
Рассмотрим, следуя [20], некоторые аспекты
формулировки электродинамики с помощью понятия магнитного
заряда. Запишем выражения для силы Лоренца,
действующей на частицы, несущие соответственно
электрический и магнитный заряды (в отличие от уравнений (1.16)
уравнения (1.18) учитывают влияние среды):
Fe = e(E + ve X В), (1.18а)
Fg = £(H-vg х D). (1.186)
Уравнения связи имеют вид
D = б0Е + Р, (1.19а)
В = |а0Н + М, (1.196)
где Р — электрическая поляризация среды; М — вектор
намагниченности среды. Значения Р и М могут быть
определены путем измерения крутящего момента G,
испытываемого в однородном поле элементом среды, имеющим
объем AV:
G = (Р AF) х Е (1.20а)
И G = (MAV) X Н. (1.206)
Электрическое поле в некоторой инерциальной
системе отсчета может быть определено через силу,
действующую на единичный пробный заряд е, покоящийся в этой
системе. Электрическое поле в вакууме задается через
посредство силы, действующей на микроскопическое
пробное тело, в то время как поле в среде определяется
силой, которую испытывает движущееся в ней
макроскопическое пробное тело при усреднении по
микроскопическим неоднородностям среды. Но значение поля Е не
меняется при переходе от вакуума к среде и наоборот: оно
всегда соответствует силе, действующей на единичный
пробный заряд, покоящийся в той инерциальной системе,
где определяется Е. Аналогично величина Н —
напряженность магнитного поля — по определению есть сила,
действующая на пробный магнитный заряд,
находящийся в покое. Следует иметь в виду, что сила, действующая
на пробный магнитный заряд, определяет не вектор
маг21

нитной индукции В, а вектор напряженности Н. Из
(1.18а) видно, что вектор В определяется через силу,
действующую на движущийся пробный электрический заряд.
Понятийный смысл всех четырех векторов: Е, Н, В, D —
не зависит от того, определены они в среде или вакууме, и
не изменяется при переходе от микроскопического
пробного тела в вакууме к пробному телу в среде. При
введении магнитных источников и определении полей через их
действие на пробные заряды отпадает необходимость в
специальном определении D и Н в среде. Если
определение полей основано на уравнениях движения, то
установление источников полей должно быть основано на
уравнениях Максвелла плюс уравнения связи (1.19).
Электрические заряды являются источниками
безвихревой части вектора электрического смещения D, в то время
как магнитные заряды служат источниками безвихревой
части магнитной индукции, и соответственно
электрические токи обусловливают соленоидальную часть вектора
напряженности магнитного поля Н, магнитные токи —
соленоидальную часть вектора напряженности
электрического поля Е. Это находится в соответствии с обычными
соотношениями, вытекающими из уравнений Максвелла
и записанными здесь для медленно движущихся зарядов:
D--!—" в- 1 ег
3
4я е0г3 4я |х0г
н = 1 з (eve X г), Е = 1 (gvg X г).
4я|10г3 4яе0г3
(1.21)
*0'
Известный эксперимент Фарадея, устанавливающий
появление электрических токов в катушке при перемещении
магнитного бруска вдоль ее оси, можно интерпретировать
как эффект появления электрического поля,
обусловленного движущимися магнитными зарядами, а не как
следствие изменения магнитного потока через катушку.
Расчеты при этом оказываются более прямыми и простыми.
Величину dB/dt можно рассматривать в таком подходе в
качестве тока смещения магнитных зарядов, подобно тому
как dD/dt выступает в роли тока смещения электрических
зарядов.
Можно отметить интересную симметрию в
определении полевых величин: поле Е генерируется магнитным
зарядом в движении и определяется электрическим заря-
22

дом в покое; поле В генерируется покоящимся магнитным
зарядом и детектируется электрическим зарядом,
находящимся в движении; поле Н генерируется движущимся
электрическим зарядом, но детектируется магнитным
зарядом, находящимся в покое; поле D генерируется
электрическим зарядом в состоянии покоя и
детектируется движущимся магнитным зарядом. Если теперь
принять, что магнитно заряженные частицы отсутствуют, то
становится вполне ясным, почему векторы Е и В должны
рассматриваться при формулировке электродинамики в
качестве основных, а векторы Н, D — в качестве
вспомогательных понятий: мы будем иметь пробные
электрически заряженные частицы и не будем иметь магнитно
заряженных частиц.
Несуществование магнитных зарядов требует также
отсутствия градиентной компоненты у вектора В, а
ненулевая соленоидальная компонента В обязана своим
происхождением тем источникам, которые порождают вектор
Н, 	а также намагниченности, описываемой вектором М.
Покажем теперь, как понятие магнитного тока может
быть использовано для получения релятивистских
преобразований полевых векторов.
Известно, что между силой F, действующей на частицу
и измеренной в лабораторной системе, и силой F',
измеренной в системе, где частица покоится, имеет место
следующая связь:
F|l = F'n» Fj. = Г1, у = (1 -vT'/2, (1-22)
где F и и F j_— параллельные и перпендикулярные
составляющие силы по отношению к вектору скорости движения
частицы v. Рассмотрим силы, действующие на заряды е
и g в системе покоя и в системе (штрихованной),
движущейся относительно нее со скоростью v вдоль оси х.
Отметим, что в силу закона сохранения заряда все
наблюдатели будут измерять одно и то же значение зарядов
ей g. Запишем:
К = еЕ', Fg = gH', (1.23)
Fe = e(E + vxB), Fg = g(H — v X D). (1.24)
Из (1.22)—(1.24) следует
Е'ц = Б,,, Е'± = v (E± + v X В), (1.25a)
В'| = В и, Hi = v(Hx—v X D). (1.256)
23

Используя уравнения связи (1.19) в вакууме и полагая Р =
= М = 0, находим закон преобразования векторов D, В:
D|| = D и, Dl = у (Dj. + 80(i0 V х Н), (1.26а)
В || = В и, В'х = у (Вх — e0|i0 v X Е). (1.266)
Учитывая, что ео[яо= 1/с2 есть инвариантная величина, и
требуя сохранения определений полевых векторов как в
вакууме, так и в среде при преобразованиях (1.25) и
(1.26), приходим к условию, согласно которому
уравнения (1.26) должны быть справедливы как для вакуума,
так и для среды. Применяя (1.26) к (1.19), находим
80Т (Е± + vXB)-fPj_ = Y (е0Е± + Рх + 8оИч>v * Н), (1.27)
откуда
р± = У (р± — eov X (В — кДО),
(1.28а)
и, следовательно, можем записать
р± = V(pi.— 8ov X М)-
(1.286)
Подобным же образом получаем
Ml = у(М± + M-0v X Р),
(1.29)
РII = Р ||, М и = МII.
(1.30)
Итак, мы видим, что использование магнитных
зарядов в формулировке электродинамики позволяет дать
четкое определение полевых векторов как в вакууме, так
и в среде, а также дает возможность развить простой
подход к формулировке релятивистских преобразований
полевых векторов М, Р, В, D *). Введение магнитных
источников оказывается также весьма удобным при
рассмотрении законов сохранения [21].
§ 3. Об использовании модели магнитного заряда
при решении конкретных задач теории электромагнетизма
Обсудим теперь некоторые приложения понятия
магнитного заряда, которые носят более «технический»
характер.
*) Для приведения уравнений в соответствие с чаще всего
используемым формализмом, где В = [Хо(Н + М), необходимо заменить
в (1.29) М на ц0Н.
24

3.1. 	Магнитостатика. Известно, что понятие магнитных
зарядов широко использовалось при описании
магнитостатических явлений. В этом случае имеется полная
внешняя аналогия с электростатикой, что и является
основным доводом в пользу такого построения теории.
Полевые уравнения для двух указанных случаев имеют вид
Разумеется, можно построить магнитостатику и на
основе амперовского подхода, для которого уравнения поля
имеют вид *)
Во многих случаях простая и наглядная формулировка
задач магнитостатики достигается путем введения
магнитных зарядов. При этом, разумеется, исходят из
предположения о том, что свободных магнитных зарядов не
существует. Определяющую роль в таком подходе играет
возможность заменять во многих случаях систему
круговых замкнутых токов эквивалентным понятием
магнитного полюса. Эту возможность интересно проанализировать
на примере полубесконечного бесконечно тонкого
соленоида. Такой анализ имеет определенное значение и для
интерпретации соотношений теории монополя Дирака
(см. гл. 5 и 7). Как можно убедиться (см. [24] и
приложение А), выражение для магнитного поля, создаваемого
таким соленоидом в произвольной точке пространства,
находящейся на расстоянии г от конца соленоида, имеет
вид
где 5 — площадь поперечного сечения соленоида; i — ток,
текущий в соленоиде, п — число витков на единицу
длины. Отсюда видно, что магнитное поле полубесконечного
бесконечно тонкого соленоида эквивалентно полю
точечного магнитного заряда, помещенного в ту точку, где
находится конец соленоида. Можно показать также (см.
*) Весьма обстоятельный сравнительный анализ двух подходов
к рассмотрению магнитостатики содержится в работах [22] (см.
также [23]).
rotH = 0, divH = pg,
rot Е = 0, div Е = рв.
(1.31а)
(1.316)
rotН = je, divH = 0.
(1.32)
25

приложение A), что два полубескоиечиых бесконечно
тонких соленоида взаимодействуют между собой с силой,
которая обратно пропорциональна квадрату расстояния
между двумя ближайшими полюсами соленоидов и
действует вдоль линии, соединяющей эти полюса.
3.2. О принципе двойственности. Мы уже отмечали
роль принципа двойственности в решении ряда задач
макроскопической электродинамики. Преобразования
(1.17) 	используются также и при решении задачи о
взаимодействии магнитно заряженной частицы (монополя
Дирака) со средой [182—200]. Предполагается, что оно
может быть получено из решения аналогичной задачи для
электрически заряженной частицы. Однако использовать
симметрию, зафиксированную в преобразованиях (1.17),
при этом следует с большой осторожностью. Эти
преобразования включают в себя связь между электрической
е и магнитной (л проницаемостями среды, которые
являются физически неравноправными величинами. Известно,
что при достаточно больших частотах электромагнитного
излучения понятие магнитной проницаемости теряет свой
смысл (см., напр., [25]), и, как указано в [26, 197],
непосредственное использование преобразований (1.17) (или
связанных с ними физических моделей *)) может привести
(и иногда приводит) к неправильным выводам.
В то же время, исходя из результатов непосредственно
проведенных расчетов, можно сформулировать
следующее феноменологическое правило использования
преобразований (1.17) [197]. Эти преобразования должны
применяться только к решению задачи, полученному без
учета дисперсии; зависимость же е и от частоты должна
вводиться после применения этих преобразований. Мы
еще вернемся к вопросу о формулировке принципа
двойственности в макроскопической однозарядовой
электродинамике и его физическому обоснованию в гл. 3 (см. также
[200]), а пока перейдем к обсуждению еще одного
принципа — принципа эквивалентности.
3.3. Принцип эквивалентности. В 1882 г. Кирхгофом
была дана математическая формулировка принципа
*) Конкретно в [26] имеется в виду установление взаимного
соответствия между решениями задач об излучении в среде магнитного
дипольного момента электрически заряженной частицы и «истинного»
магнитного диполя, образованного магнитными зарядами.
26

Гюйгенса—Френе.ля. Однако формула Кирхгофа не
учитывает поляризации волнового поля. Уточнение формулы
Кирхгофа применительно к задачам дифракции
электромагнитных волн заключается в учете векторного
характера вторичных источников Гюйгенса, что было сделано
Коттлером [27]. Эту задачу выполняет также принцип
эквивалентности, сформулированный Лявом [28] в 1901 г.
к доказанный затем Щелкуновым [29]: «...поле в
свободной от источников области V, ограниченной
поверхностью Sj может быть произведено электрическими и
магнитными токами, распределенными по этой
поверхности, и в этом смысле действительные источники поля
можно заменить «эквивалентными» поверхностными токами»
(см. также [30, 31]). Плотности поверхностных токов
определяются формулами
где Е, Н — поле на поверхности 5, создаваемое
действительными источниками Q; п — нормаль к поверхности 5,
направленная внутрь области V. Согласно принципу
эквивалентности, на поверхности 5 тангенциальные и
нормальные составляющие векторов Е, Н, В, D претерпевают
разрыв, что возможно лишь при введении наряду с
электрическими зарядами и токами также и магнитных.
Аналитически принцип эквивалентности формулируется в
виде следующих граничных условий *):
Принцип Гюйгенса—Френеля представляет собой аналог
принципа эквивалентности, справедливый для любого
волнового процесса. Таким образом, для
электромагнитного поля принцип эквивалентности, как физический
принцип, включает в себя принцип Гюйгенса. Принцип
эквивалентности находит широкое применение в
радиофизике, особенно в теории антенн (см., напр., [15—17]).
*) В работах Левашева и Воронцова [19, 32] дана лоренц-кова-
риантная формулировка принципов эквивалентности и
двойственности в релятивистской электродинамике.
je = n X Н, jg = — П X Е,
(1.33)
nD = р<пов), n X Н = j<n0B),
п х Е = - j<n0B), пВ = р'пов).
(1.34)
27

Как справедливо отмечено в [32а], «важное значение
и широкая применимость в макроскопической
электродинамике принципов эквивалентности и двойственности
позволяют думать, что они в границах своей применимости
представляют некоторые фундаментальные принципы».
Но поскольку, как отмечается во всех учебниках и
монографиях, рассматривающих указанные выше принципы,
свободных магнитных зарядов в природе не существует,
физическая основа применения здесь магнитных
источников остается нераскрытой. Это в свою очередь ставит под
сомнение фундаментальность данных принципов, так как
их формулировка требует введения величин, хотя и
удобных в математическом плане, но все же фиктивных. К об-/
суждению этих вопросов мы еще вернемся в § 3 гл. 3.
3.4. 	Макроскопическая электродинамика движущихся
сред. Следует упомянуть также и о формулировке
электродинамики движущихся сред, основанной на введении
«истинных» магнитных диполей в среде. Известно, что
можно дать три независимые формулировки
электродинамики покоящихся сплошных сред: 1) в подходе Минков-
ского (см., напр., [33]), 2) в широко использующемся
амперовском подходе [23, 25] и 3) в подходе Чью [34,
35], которые эквивалентны с точки зрения проверяемых
на эксперименте предсказаний. При рассмотрении
движущейся среды к ним необходимо добавить и
формулировку Баффи (см. [35]), которая для покоящейся среды
совпадает с амперовской *). Различия между ними
заключаются в выборе моделей среды (в частности, в
объяснении явления намагниченности). Так, например, при
формулировке законов электромагнетизма в движущейся
среде Чью принимает два постулата:
1. В отсутствие вещества необходимы только две
полевые величины (электрического и магнитного типов).
2. Материальные тела (поляризованные,
намагниченные), если они движутся и деформируются, вносят вклад
в электромагнитное поле как источники этих полей, т. е.
как заряды и токи (включая заряды и токи магнитного
типа, если это необходимо), и действие этих зарядов и
токов эквивалентно действию, к которому бы они приводили
в свободном пространстве.
*) В монографии [35] содержится обзор этих формулировок и
проведено их сравнение.
28

В формулировке Чью уравнения Максвелла для
движущейся поляризованной и намагниченной среды имеют
вид
rot Е = — ц0 (ц0М) — rot ((А0М X V), (1.35а)
ot ot
rot Н = е0 -Щ- + + rot (Р X v) + j'CBo6) , (1.356)
dt dt
e0divE = —divP + р(своб>, (x0divH = —div(|x0M). (1.36)
В монографиях [34, 35] показана эффективность этой
формулировки при изучении и вычислении эффектов,
связанных с движущимися средами. Отметим также
использование магнитных источников при решении вопросов,
связанных с вычислением электромагнитных эффектов
во вращающихся системах отсчета (см., напр., [36—38]),
и ряда других задач электродинамики (см. [39]).
§ 4. О системах единиц электродинамики
В предыдущих параграфах использовались две
системы единиц: система единиц Хевисайда—Лоренца
(рационализированная система единиц Гаусса) и
рационализированная система единиц MKSQ.
Первая из названных систем весьма удобна при
рассмотрении микроскопической электродинамики
(классической и квантовой) и анализе дуальной симметрии
электродинамики как для свободного поля, так и в
присутствии источников. Обсуждение вопросов, связанных с
использованием макроскопической электродинамики,
более естественно проводить на базе системы MKSQ *>.
Присутствие магнитных источников в уравнениях Максвелла
позволяет с более общей точки зрения подойти к
проблеме выбора единиц измерения в электродинамике. Обычно
в соответствии с подходом Ампера размерность
магнитного заряда выражается через размерность
электрического заряда (это и есть система единиц типа MKSQ). Но
последнее, разумеется, не обязательно, и мы имеем право
ввести дополнительную физическую размерность —
раз*) Детальное обсуждение вопросов, связанных с выбором
определенной системы единиц измерения в электродинамике, содержится
в монографии Джексона [40].
29

мерность магнитного заряда Р. Система из 5 единиц
MKSQP называется системой единиц Кона (см. [41, 42]).
В системе единиц Кона **> макроскопические
уравнения Максвелла в вакууме записываются в виде
(1.37)
выражения для силы Лоренца для электрического и
магнитного зарядов имеют обычный вид и справедливы
соотношения D = e0E, В = цоН. Здесь Z — некоторое
действительное число и Г — размерная константа, так что
T=Q/PM/ceK, (1.38)
где Q — размерность электрического заряда; Р —
размерность магнитного заряда. Полевые векторы Е, Н, D, В и
величины во, ц.0 характеризуются следующими
размерностями:
[£] = н/к, [Я] = н/Р,
[D] - к/м2, [Б] = Р/м\
 [е'] = к2/дж-м, [|х'] = Р2/дж-м2,
[£ • D] = н/мг - дж/м*, [НВ\ = н/м2 = дж/м\
 Г
Вектор Пойнтинга имеет вид S = — Е х В и характери-
Z
зуется обычной размерностью (дж/м2-сек). Волновое
уравнение (например, для вектора Е), вытекающее из уравнений
(1.37), запишется в следующем виде:
/ - д2Е
е0 Цо = — Г2 rot rot Е = Г2ДЕ. (1.39)
дР
Из (1.39) видно, что скорость света с связана с ео, цо
соотношением
(е^)1/2=1 (1.40)
**) Наше изложение ближе подходу Кона [41]. Определение
векторов Н, В у Зоммерфельда [42] соответствует нашему определению
векторов В, Н.
30

и размерность произведения е0^0 есть
[£о Ы = Q2/P2 = Г2 (сек/м)2. (1.41)
Если положить Z = 1, Г = 1, то, согласно (1.38),
магнитный заряд будет иметь размерность
[Р] = к-м-секГ1, (1.42)
что соответствует утверждению Ампера, и мы
возвращаемся к системе единиц MKSQ. Отметим, что в
зависимости от того, полагаем ли мы Z= \ или Z = 4n> получаем
либо рационализированную систему единиц, либо
обычную. Если положить Т = с, то произведение ео Мо,
согласно (1.40), должно быть отвлеченным числом. Выбор
ео = 1, |io = l и Z= 1 означает переход к
рационализированной системе единиц Гаусса. При этом электрический
и магнитный заряды, как видно из (1.38), имеют одну и
ту же размерность и соответственно это положение
справедливо и по отношению к полевым векторам Е, Н, В, D.
Система единиц Гаусса представляет собой объединение
двух систем единиц: электростатической и
электромагнитной. Как было показано Герцем еще в 1887 г. [7]
(см. также [8]), для описания явлений в присутствии
только электрических зарядов наиболее удобна
электростатическая система единиц, в то время как в присутствии
магнитных зарядов — электромагнитная.
Мы видим, таким образом, что понятие магнитного
заряда не только сыграло заметную эвристическую роль
в истории развития теории электромагнитных явлений, но
и оказалось весьма полезным при решении ряда
практических задач из различных областей электродинамики.
Хотя представление об индивидуальных носителях
магнетизма в конечном счете было исключено из теории,
симметрия уравнений электродинамики относительно
электрических и магнитных величин осталась и до сих пор
служит реальной математической базой для успешного
практического использования модели магнитного заряда.
Поэтому возникает задача. детального исследования
этой дуальной симметрии, внутренне присущей
электродинамике, подробного анализа ее возможного
физического смысла и тех экспериментально наблюдаемых
следствий, к которым существование подобной симметрии
может привести.

2
глава
ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
То обстоятельство, что векторы электрической и
магнитной напряженности входят в уравнения Максвелла
симметричным образом, было замечено еще Хевисайдом
[6]. Однако в течение долгого времени эта симметрия
по существу оставалась вне поля зрения теоретиков.
Лишь в самые последние годы было проведено
систематическое исследование этой симметрии как в
классической, так и в квантовой теории, а также выяснена ее
связь с общими свойствами симметрии безмассовых
полей.
§ 1. Классическое поле
Уравнения Максвелла для свободного поля
инвариантны не только относительно преобразований Лармора:
Е-^Н, Н-* Е, (2.1)
но допускают более общие преобразования симметрии:
Е Е cos 0 + Н sin 0,
(2.2а)
Н — Е sin 0 + Н cos 0,
которые носят название дуальных преобразований. Здесь
0 	— произвольный непрерывный параметр (O^0^2jt).
Преобразования Лармора являются частным случаем
дуальных преобразований при 0 = jt/2. Обобщение лармо-
ровых преобразований впервые рассматривалось Райни-
чем [43] и независимо Мизнером и Уилером [45, 46].
Для линейно поляризованной волны, где |Е| = |Н| и
EJ_H, преобразованиям (2.2а) соответствует поворот
плоскости поляризации на угол 0 относительно
направления распространения этой волны.
32

Дуальная симметрия уравнений для свободного
электромагнитного поля наиболее наглядно видна при записи
их в тензорном виде:
<VVV = 0, dvF„v = 0. (2.3)
Дуальные преобразования (2.2а) применительно к
тензорам и запишутся в виде
Fuv cos 0 + Ку sin 0>
(2.26)
^nv — ^UV sm 0 + Fnv C0S 0-
Тензор энергии-импульса для свободного
электромагнитного поля
TVv = (V«v - - J FU ) (2.4a)
инвариантен относительно дуальных преобразований (2.26).
Проще всего в этом убедиться, используя запись в
дуально симметричном виде:
7Vv= y(V«v + £.A*). (2.46)
учитывая, что _L = р р F F
J 2 Hv1 °Ф 1 ixa1 av 1 iia1 av
Два известных лоренц-инварианта электромагнитного
поля
I\ = (Е2 — Н2) = F% и /2 = 2ЕН = Fj^
не являются дуальными инвариантами и преобразуются
следующим образом:
Flv cos 20 + sin 20>
(2.5)
— Flv sin 20 + F^ cos 20.
Из лоренц-инвариантов электромагнитного поля можно
составить дуально инвариантную величину
Р= !\ + И), <2-6>
которая представляет собой квадрат плотности четырех-
импульса электромагнитного поля:
Р=— (Е2 + Н2)2 — (Е X Н)2=^2—Р2.
4
3 	Зак. 670 32

Уравнения Максвелла (2.3), как известно, можно
получить из вариационного принципа, используя следующее
выражение для лагранжиана:
# = (2-7)
4
определяя тензор Fчерез потенциалы А^ обычным
образом, так что
^uv = diA — (2.8)
и варьируя плотность лагранжиана по потенциалам (см.,
напр., [301, 302]). Для получения закона сохранения
необходимо, согласно теореме Нетер (см. [302—304]), чтобы
вариация действия обращалась в нуль. Дуальные
преобразования лагранжиана удовлетворяют этому условию.
Действительно, выражение F^F^ носит характер дивергенции,
а именно:
(^A^V Ai) Wv)
—алл = д* (КЛ)> (2-9)
поскольку из определения (2.8) следует, что 0, и
поэтому член вида F^F^ в лагранжиане (2.7) не влияет на
вариацию действия. Умножение Fm F^ на множитель cos 20
также не влияет на вариацию действия, поскольку он не
зависит от координат или переменных системы.
Для получения соответствующих законов сохранения
достаточно ограничиться инфинитезимальными
преобразованиями по параметру 0. Тогда находим
—4 + - 4- П* - дц (Л О 60, (2.10)
ограничиваясь членами первого порядка по 60.
Теорема Нетер [303] приводит в этом случае к
следующему закону сохранения:
4l^A)H + 6£i“H (2И)
где = Л„ F^v60.
Чтобы получить окончательное выражение для
сохраняющейся величины, необходимо определить закон
34

преобразования потенциалов при дуальных
преобразованиях полевого тензора />v- Из (2.26) и (2.8) нетрудно
видеть, что возможно следующее определение вариации
Aw.: 6Л^ = 5М>60, где В^ — псевдовекторный потенциал,
задаваемый следующим образом:
д,вч (2.12)
Потенциал В^ всегда может быть введен для
свободного электромагнитного поля в целях симметричного
описания. Дуальный ток D^ запишется в следующем виде
[53]:
(2.13)
Используя уравнения Максвелла и определения (2.8) и
(2.12), нетрудно убедиться, что для DiX выполняется закон
сохранения дц0^=0 и D,x является четырехмерным
вектором относительно лоренцевых преобразований. В то же
время вектор D^ не инвариантен относительно
градиентных преобразований потенциалов А^ и В^:
Ai \ + Ъ
(2.14)
Для свободного поля физически значимыми являются
только трансверсально поляризованные волны, что проще
всего учесть путем использования кулоновской
калибровки для потенциалов
Л4 = В4 = 0, divA = divB = 0. (2.15)
В этом случае компоненты вектора Dц в трехмерных
обозначениях запишутся:
D = Ex А + Н ХВ,
D4 = iD0 = i (НА — ЕВ). (2Л6^
Для выяснения физического смысла дуального тока
рассмотрим монохроматическую плоскую волну
произвольной поляризации, распространяющуюся вдоль оси
х. Векторные потенциалы такой волны удобно записать в
комплексной форме
A = A°exp{t(kr — (ot), B = B°exp{i(kr— (of)}. (2.17)

Здесь А0, В0 — некоторые постоянные комплексные
векторы. Для плоской волны существует следующая связь
между напряженностями и векторными потенциалами:
Е = —t(kxB), H = i(kxA), Н = n х Е, (2.18)
, со
где к = — п и п — единичныи вектор в направлении рас-
с
пространения волны.
Рассчитывая усредненные по времени компоненты D, D0
(учитывая, что Re A Re В = ~-Re(AB*) [301], где А и В —
комплексные величины) и принимая во внимание
соотношения (2.18), можем убедиться, что отличными от нуля
являются лишь компоненты D0 и Dx, равные
D0 = Dx = {m(AlK0-AU7)b
(2.19)
DV = DZ = 0.
Для линейно поляризованной волны А°у и А°г —
действительные величины и Z)0, Dx также обращаются в нуль. Для
правополяризованной волны = iA°z (см. [18]) и имеем
D0 = DX = 2со|А|2>0. (2.20)
Для левополяризованной волны А°у = — iA°z, так что
D0 = DX = — 2со|А|2<0. (2.21)
Непосредственно из вида D следует, что дуальный ток
отражает наличие спина у электромагнитного поля *).
Действительно, теорема Нетер приводит к следующему
выражению для вектора спина S (см., напр., [302, 304]):
S 	= J Е X АЛ. (2.22)
Вектор ЕХА представляет собой лишь одно из слагаемых
в выражении (2.16) для дуального вектора D. Вектор
ЕХА не является дуальным инвариантом и не может
образовывать четырехмерного вектора совместно с
выра*) При этом не следует забывать, что пока речь идет о
классической теории. К тому же для безмассовой частицы физически значимой
величиной является не спин, а спиральность, т. е. проекция спина на
импульс безмассовой частицы (см., напр., [305, 306]).
36

жениями ЕА или НА с выполнением уравнения
неразрывности.
Свободное электромагнитное поле можно описывать
дуальным образом (см. [19]), т. е. исходить из
лагранжиана
Х = (2.23)
и Fбудет определен через потенциал Вй. В этом случае
вектор спина имел бы вид
SD = J Н X В d3x. (2.24)
Дуальный вектор D в кулоновской калибровке для
потенциалов является, следовательно, линейной
комбинацией векторов ЕХА и НХВ. Из этого рассмотрения
может быть сделан вывод, что существование вектора D^
обусловлено дуально симметричной структурой
уравнений Максвелла и отражает поляризационные свойства,
присущие электромагнитному полю [53].
На классическом уровне сохранение вектора Dц
можно рассматривать как сохранение ориентации
образованной векторами Е, Н плоскости поляризации для
свободного электромагнитного поля.
Из уравнений Максвелла вытекает возможность задания
Е, Н через потенциалы А, В следующим образом: Е =
= — А, Н = — В. Для плоской монохроматической волны
эти соотношения примут вид Ё = со2А, Н = со2В.
Подставляя в (2.16) вместо А и В величины со“2Ё, ссГ2Н, приходим
к следующей форме закона сохранения: —-— (ЕН—НЕ) +
dt
+ div(EXE + H хН) = 0.
Наличие такой сохраняющейся величины впервые было
отмечено в работе [307] (см. также [49]). Компоненты,
характеризующие эту величину, не образуют, однако, четы-
рехвектора. Стремясь записать это выражение
релятивистски инвариантным образом, Липкин [307] пришел к тензору
третьего ранга р, названному им «цильхом»: Z^vP =
= F^0dv F0р -f F^d^FPa. Последний имеет 9 независимых
компонент, 5 из которых совпадают с компонентами
тензора энергии-импульса. Обсуждению физического смысла
этого тензора и аналогичных ему тензоров большей
размерности посвящен целый ряд работ [308—311]. Отметим, что,
3.7

применяя к D^ операции дифференцирования, свертывания
с тензором еЙЛ1аз и комбинируя алгебраическим путем
соответствующие выражения, можно получить сохраняющийся
тензор произвольного ранга.
§ 2. Квантованное поле
В квантовом случае операторы полей и потенциалов
следующим образом выражаются через операторы
рождения и уничтожения линейно поляризованных фотонов
bk. %, bix (см., напр., [312]):
Е = iQTxn 2 (Т)1/2 ('bkX e<kX ~ Ь^к e<W>
k; *,=1,2 2
Н = КГ'/2 2 (2со)—1/2 (ЬкЛ eikx - btx e~ikx) (k x ew),
k\ K=\ ,2
A = Q-|/2 2 (2coibk,yelkx +'bt,%e-ikx) e,(%), (2.25)
k; X=\,2
B = t£2~1/2 2 0)1 (2(o)_1/2 {bk.%. eikx — bt,% e~‘kx) (k Xe!X)).
k\ X=\ .2
Из стандартных перестановочных соотношений для операто-
ров ЬкЛ, Ь^х
\bk.x, bt>,vl = «**'би;; [6*д, 6*'.х'] = [^х, btx’) = 0 (2.26)
следуют канонические перестановочные соотношения для
полей Е, Н и потенциалов А, В:
i [Eh (х), Я, (г/)] = — гМп^~ 6 (х — у),
°Уп
[Eh{x), Et(y)] = [Hk(x), Я,(г/)] = О,
i [Ah (х), В, (г/)] = гЫп^~ D (х —у),
дуп
i [Ah (х), Я, (г/)] = i [Bh (х), Я, (у)] = (2.27)
= бАгб(х—у)— д D(x — у),
<?*„ <3г/,
i [Ah (х), Я, (г/)] = I [£к (х), £, (г/)] = О,
где D (х) = 1/4я |х|.
Отметим, что в принципе нет необходимости в
соотношениях (2.27) налагать условие трансверсальности на
38

поля, поскольку продольная часть полей коммутирует с
операторами трансверсальных составляющих поля, так
как является с-числовой функцией, не зависящей от
времени, и поэтому может быть опущена.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что
дуальные преобразования (2.3) генерируются следующим
унитарным оператором U(d):
U (0) = ехр | ~ J <Рх (АН — ВЕ)| , (2.28)
где величина (АН—ЕВ) соответствует четвертой
компоненте сохраняющегося тока /)ц. В результате можем
записать, что
UEU'1 = Е cos 0 + Н sin 0,
(2.29)
UHU'1 = — Е sin 0 + Н cos 0.
Преобразования (2.29) оставляют инвариантными
уравнения Максвелла и перестановочные соотношения (2.27).
При проверке соотношений (2.29) необходимо учесть,
что справедливы следующие перестановочные
соотношения:
[DQj Е (*)] = Н (*), [D Н (х)] = -Е (*),
(2.30)
[D0> А(х)] = В(дс), [D0, В (х)] = - А (ж).
При доказательстве перестановочных соотношений (2.30)
следует принять во внимание, что интегралы по
бесконечно удаленной поверхности от полей Е, Н и потенциалов
А, В обращаются в нуль.
Дуальные преобразования электромагнитного поля
соответствуют однопараметрической группе симметрии
JJ\. В силу абелевости группы U\ все ее неприводимые
представления одномерны и унитарны и имеют вид ein0,
где п принимает положительные и отрицательные
целочисленные значения. Рассмотрение дуальных
преобразований для Е, Н соответствует двумерному приводимому
представлению дуальной группы Uu являющемуся
прямой суммой одномерных представлений e~iQ и eiQ,
реализующихся на полях F±=E±iH.
Используя определения (2.25), нетрудно получить
также явный вид компонент дуального тока в импульсном
представлении:
39

где bh (R) = -L=- (bk,i — ibk,i), bh(L)= -^фкл + 1Ьк,2) —
у 2 у 2
операторы уничтожения право- и левополяризованных
фотонов (соответственно и для операторов рождения); =
= y=jjT (ei + ie2)> eL = (ei — *ег) — соответствующие
векторы поляризации. Из (2.31) видно, что оператор
дуальных преобразований пропорционален разности между числом
лево- и правополяризованных фотонов и является эрмитовой
величиной.
По-видимому, впервые на связь между сохранением
разности (N(R) —N(L)) для свободного
электромагнитного поля и его дуальной симметрией было указано в
работе [49].
В качестве базиса для неприводимых представлений
дуальной группы можно выбрать спиральные состояния
|^>, где
I x> = bt т о >, 1—Х> = bt (L) 10 >. (2.32)
Если предполагать инвариантность вакуума относительно
дуальных преобразований
г/ (0) |о > = | о >, (2.зз)
что эквивалентно утверждению, что состояние
^Соответствует нулевому собственному значению генератора D:
D|0> = 0, (2.34)
то
U (0) | X > = ехр (Щ | X > . (2.35)
В этом нетрудно убедиться, поскольку из (2.25) и (2.29)
вытекает определенный закон преобразований операторов
bh(R), bk(L)f bk,\y bk,2 относительно дуальных
преобразований U (0):
U(Q)bt(L)U-H^=e~a>bt(L),
U(Q)bt(R)U-1(Q) = eiebt(R),
40

Щ0)М^-че) = е['Ч(Ь),
U(Q)bh(R)U-'(Q) = e~i(>bh(R),
и (Q)bk, 1 t/_1(9) = —bk,2 sin0 + bk, 1 COS0,
(2 37}
t/ (9) &Л.2 ^_1 (9) = bk,\ sin 0 + h,2 COS 0. v ■ ;
В квантовой теории дуальная симметрия уравнений
Максвелла означает невозможность экспериментального
определения относительной фазы лево- и правополяризо-
ваниого света.
§ 3. Двухпотенциальное описание электромагнитного поля
3.1. 	Двухпотенциальная формулировка. Потенциалы
Герца. Обсудим теперь способ введения второго
потенциала, отличный от рассмотренного в § 1. Решение
уравнений Максвелла как в присутствии источников, так и без
них можно искать в следующем виде:
где
(2.38)
(2.39)
Определение (2.38) соответствует введению двух
независимых потенциалов, что в принципе должно
приводить к увеличению числа степеней свободы
электромагнитного поля. Для свободного поля, однако, этого можно
избежать. Дело в том, что наряду с обычными
градиентными преобразованиями потенциалов ц
М -+М + д Л(х),
(2.40)
Н" (Х)
определение (2.38) допускает и преобразования следующего
вида [138]*):
+ N^N^ + Nl (2.41)
Преобразования (2.40) можно рассматривать как частный
случай (2.41).
41

где Л4°, №ц должны удовлетворять условию «нулевого»
поля:
(2.42)
Из (2.42) следует также, что потенциалы М0^ N\\
подчиняются следующим уравнениям:
В отсутствие источников поля при соответствующем выборе
калибровки можно строить теорию либо с помощью
потенциала М^(№Ц/ = —Л^), либо на основе потенциала Л^(Мд =
= —Ми) или использовать оба потенциала
Модновременно.
При наличии только одного типа источников решение
уравнений Максвелла в виде (2.38) также не связано с
увеличением числа степеней свободы для описания поля,
так как и в этом случае возможно путем использования
преобразований (2.41) перейти к рассмотрению только
одного топа потенциала (Mvi в присутствии электрических
и Nix в присутствии магнитных источников).
Смысл преобразований (2.41) можно раскрыть, вводя
в рассмотрение электрический и магнитный потенциалы
Герца [313—315]. В релятивистски ковариантной форме
связь между потенциалами MjX, Nй и потенциалами Герца
Пе, П£ имеет вид
Полевой тензор F^ —A^v через тензор Герца HKiX
выразится следующим образом:
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
так что
(2.47)
42

Из уравнения (2.46) видно, что f|iv инвариантен
относительно следующего калибровочного преобразования тензора
Герца:
+ Хцу> (2-48)
где X|aV — произвольная тензорная функция,
удовлетворяющая условию
□ 	Xuv = 0- (2.49)
Величины Мц, в (2.41) могут быть отождествлены с
3vx|Ltv и dv%uv соответственно. Условие (2.44) идентично при
этом условию (2.49).
Градиентные преобразования (2.40) соответствуют
частному случаю преобразований (2.48) для потенциалов
Герца Пе и П#, что подробно обсуждено в работе [313].
Таким образом, преобразования (2.41) и в общем случае
введения двух потенциалов N)X. можно
интерпретировать в терминах потенциалов Герца. Введение тензора
Герца #м,v позволяет определить две векторные величины
Мц и Np, (см. (2.44)). В силу присущего тензору Герца
класса преобразований (2.48) векторы и не
определены однозначно, а только с точностью до преобразований
(2.41) 	[77].
3.2. 	Дуальные и ларморовские преобразования полей.
Дуальным преобразованиям тензоров F^, F^
соответствуют два возможных типа преобразований полей F^v и F^v
[53]:
FjUC1 cos 0 -|- F$N) sin 0,
(2.50)
ЗГ> -> - CW) s>n 0 -I- F$N) cos 0
F$N) F^N) cos 0 + F$M) sin 0,
(2.51)
F$M> _ _ F$N) sin 0 + F%M> cos 0.
Из инвариантности лагранжиана
</> _ (/>M I U>N — _i pM pM J_ pN pN (о K<)\
 oC —oC Tot — , Г |AV i Г UV 1 LIV \L.OL)
4 4
относительно преобразований (2.51) немедленно следует
закон сохранения для величины
43

K = F»vNv-F%vMv. (2.53)
Отметим, что выражение для лагранжиана = Fпри
4
использовании определения (2.38) может быть записано
следующим образом:
it = - 4 ^ + дц (8uvP0 ар Ма Nv). (2.54)
1 rf
Из (2.54) видно, что лагранжиан 3? =— несв°Дим
к сумме лагранжианов 9?м и 3?N. Лагранжиан (2.52)
описывает два независимых безмассовых векторных поля
максвелловского типа. Симметрия в последнем случае
полностью эквивалентна симметрии, возникающей при
рассмотрении двух типов частиц, подчиняющихся одной
и той же статистике, удовлетворяющих одним и тем же
уравнениям и имеющим вырождение по значению массы
(см. [316]). Преобразования (2.51) в отличие от
дуальных преобразований (2.50) назовем лар'моровс.ки.ми. Если
дуальные преобразования (2.50) соответствуют
симметрии поляризационного пространства полей (Ем, Нм) и
(EN, HN), то преобразования (2.51) обусловлены
увеличением члена степенен свободы рассматриваемой системы
(см. далее также п. 4 § 4).
Если при получении тензора энергии-импульса для
свободного поля исходить из лагранжиана (2.52) и
определения полевого тензора F^v через потенциалы М^, Nц
(2.38), то в результате придем к следующему выражению:
7\iv =7\iv -\- Af^p FvP S^v^po^Pa* (2-55)
Нетрудно проверить, что, вводя условие
дрм^ = д& р-аДр, (2.56)
т-l iVf r?N
устанавливающее связь между полями r^v и мы
вернемся вновь к хорошо известному выражению для
тензора энергии-импульса свободного электромагнитного поля
(см. [317]).
44

§ 4. Дуальная симметрия как частный случай
киральной (уб) симметрии безмассовых полей
При изучении дуальной симметрии естественно
возникает вопрос о ее связи с внутренними (непространствен-
иыми) симметриями полевой теории безмассовых частиц.
Так, например, уже достаточно давно была отмечена
аналогия между дуальными преобразованиями
комплексных полей F±=EzhtH:
exp (=F /6) (2.57)
и у5-преобразованиями нейтринного поля [46, 47, 54]:
г|) ехр (%б) г|?, ехр (— *0уб) гр, (2.58)
которые в случае вейлевского двухкомпонентного нейтрино
запишутся в виде [318, 319]:
ехр (10) г|?, -ф ^ ехр (— 10) г|). (2.59)
Эта аналогия послужила основой для постановки
Уилером [46] вопроса о том, существует ли какая-нибудь
глубокая связь между этими двумя преобразованиями.
Можно расширить постановку задачи и выяснить,
существует ли для полевой теории безмассовых частиц одно-
шараметрическая группа симметрии, частными случаями
которой являются дуальные преобразования
электромагнитного поля и 75-преобразования нейтринного поля.
Оказывается, такая группа действительно существует
[57, 58]. Перейдем к более подробному рассмотрению
этого вопроса.
4.1. 	Полевая теория безмассовых частиц.
Предварительно кратко изложим формулировку теории
безмассовых полей на основе подхода, развитого в работах Вайн-
берга [320—322]. Исходным пунктом этого подхода
является установление трансформационных свойств
состояний безмассовых частиц относительно преобразований
группы Лоренца. Этот вопрос был впервые рассмотрен
Вигнером [323, 324], и его решение основано на изучении
«малой» группы Лоренца. Вигнер определяет «малую»
группу как подгруппу группы Лоренца, состоящую из
всех преобразований собственной группы Лоренца,
оставляющих инвариантным 4-вектор (в рассматриваемом
случае 4-вектор импульса безмассовой частицы)
= k*. (2.60)
45

Для безмассовои частицы, движущейся вдоль осп г с
энергией к, имеем: kl = k2 = 0, k3 = k° = k. Частица может
иметь несколько спиновых состояний, которые обозначим
|К>. Как показано в [323], для безмассовой частицы
«малая» группа является трехпараметрической и ее
генераторы удовлетворяют следующим перестановочным
соотношениям (см. также [305, 321]):
[«/3, Lj = ib2, [«/3, L2] = — 0^1$ l^it ^2] = (2.61)
Алгебра этой группы изоморфна алгебре группы
движений евклидовой плоскости Е2, соответствующей
вращениям и сдвигам в двумерном евклидовом пространстве.
Как отметил Вигнер [324], этот интересный результат
пока не имеет удовлетворительного физического
объяснения.
Генераторы Lv L2, J3 следующим образом связаны с
генераторами группы Лоренца Jk и Kk (Jh = ehlnJin, Kk=Jkv
где —матрица генераторов собственной группы Лоренца):
= К\ — L2 = Ji* (2.62)
Можно найти все представления «малой» группы путем
отыскания представлений алгебры Ли этой группы. Но
для того чтобы состояния \К> образовывали конечный
набор базисных состояний, необходимо ввести условие
Lt\K) =Ь2\К) =0, (2.63)
которое означает переход к рассмотрению фактор-группы
«малой» группы. Это ограничение необходимо для
исключения состояний, описывающих частицы с «непрерывным»
спином ([321, 323]). Если идентифицировать состояния
\Х> как состояния с определенным значением спираль-
ности
J3\X)=X\X), (2.64)
то все физически допустимые неприводимые
представления «малой» группы являются одномерными
I/ [Я] | Я > = exp {HQ [/?]} I X > , (2.65)
где U [/?] — унитарный оператор, соответствующий
преобразованиям R»v малой группы, и 0 — некоторая вещественная
функция R^v
Исходя из (2.65), можно найти, как преобразуются
состояния частицы \р, А,) с произвольным импульсом р и спи-
46

ральностью % относительно общих лоренцевых
преобразований Л%, отображаемых в гильбертовом пространстве
векторов состояний унитарной матрицей U [Л].
Как показал Вайнберг [321], полевые операторы
безмассовых частиц, которые можно сопоставить с
состоянием |р, Х>, вследствие ограничения (2.63)
преобразуются только по представлениям (7ь jz) собственной
группы Лоренца, удовлетворяющим условию
к — U = (2-66)
Представлениями наименьшей размерности являются
представления (0, /) и (j, 0). Полевые операторы <р(х),
%(х)> которые преобразуются по этим представлениям,
записываются через операторы рождения и уничтожения
безмассовых частиц следующим образом:
% (х) = (2л)—3/2 I d3p (2 |р|)'~i/2D^4 [R(p)J х
Х{а(р, —j)eipx + b*(р, j)e~‘Px),
la (*) = (2я)—3/2 I d*p (2 lpiy-''ЧЪ [R(p)] X (2,67)
X {a (p, j) e{Px -f fe* (p, — j) e~lPx}.
Операторы ф, % удовлетворяют каноническим
перестановочным соотношениям:
[Фа (*), ф$ (г/)]± = tJW (— idx) А(х — у),
[Ха (*), it (у)]± = (- »,) А (X - у), (2’68)
где ± означает коммутатор или антикоммутатор и л0,а< =
= \2p\2iD(a^_j [# (р)] D^lRip)] , па,а- = |2р|2/‘ £>#}[*(£)] X
X [£ (p)j и D{J.\h — неунитарные (2/+1)х(2/+1)-
мерные матрицы, соответствующие преобразованиям Лоренца
в представлениях (/, 0) и (0, /) соответственно; R(р) —
оператор вращения, совмещающий ось г с единичным
вектором р = р/|р|. Для чисто пространственных поворотов R (р)
матрицы D, D* совпадают, и их вид задается хорошо
известным (2/ + 1)-мерным унитарным представлением обычной
группы вращений. Функция А (х — у) имеет вид
А (*) — — i (2я)“31 {е“>* - е~,рх}=—(2п)-16 (хихц )е (х).
(2.69)
47

Для истинно нейтральных частиц оператор античастицы
Ъ(р, /) следует положить равным а(р, /), и в этом случае
полевой оператор ср пропорционален полевому оператору %+.
Из (2.67) следует, что операторы ср, % удовлетворяют не
только уравнению Клейна—Гордона
□ 	ф = о, Пх = 0, (2.70)
но также следующим долевым уравнениям:
J J(/)v — / -^-|ф(х) = о,
j J(/)v + / x W = о. ^l'1V>
где JU) — спиновые матрицы в соответствующем
неприводимом представлении.
Легко убедиться, что при выборе / = 1/2, 1 уравнения
(2.71) 	представляют собой уравнения Вейля для лево- и
правополяризованного нейтрино и уравнения Максвелла
соответственно, записанные для комплексных векторов
Е±Ш.
4.2. 	Группа киральных преобразований. После этого
краткого введения в полевую теорию безмассовых частиц
рассмотрим вопрос о роли и месте дуальной симметрии
электромагнитного поля в общем ряду свойств
симметрии безмассовых полей.
Определим следующий закон преобразования
оператора безмассового поля относительно некоторой
однопараметрической группы Uj [57, 58]:
U (0) *а (х) и-' (0) = ехр {2i (/ - /')} *а (*), (2.72)
где (л:) преобразуется по неприводимым представлениям
(/, ;') собственной группы Лоренца, подчиняющимся условию
(2.66). Абстрактная группа Ux состоит из элементов е£д,
которым в квантовой теории сопоставляется оператор ешд, где
D — генератор преобразований группы. Вследствие ei2n = 1
собственные значения генератора D могут равняться только
целым числам.
Назовем группу преобразований (2.72) группой
киральных преобразований для безмассовых полей. Из (2.72)
следует, что
[D, iM*)] = 2(/-m0(*). (2.73)
48

Как видно из определения преобразований киральиой
группы U1, они коммутируют с преобразованиями
собственной группы Лоренца, не связаны с преобразованиями
пространственно-временных координат и являются
каноническими, оставляя инвариантными перестановочные
соотношения (2.68) и уравнения движения (2.70).
Объединяя ф и х в одно представление, т. е. переходя
к 2 (2/-f-1)-формализму, преобразования (2.72) для
представления (0, /) ® (/, 0) запишем в следующем виде:
и (0) г|> (х) и-1 (0) = exp {2i/y,0} Ц> (х), (2.74)
, ( <Р ^ ( 0 1 \ т
где г|) = | ,75= и I — единичная матрица в
I X ! V — 1 0 /
соответствующем представлении.
Как нетрудно видеть, частными случаями
преобразований (2.74) при /=1/2, 1 являются преобразования
нейтринного поля (2.59) и дуальные преобразования
электромагнитного поля (2.57).
Итак, 75-преобразования нейтринного поля и дуальные
преобразования электромагнитного поля соответствуют
двум неприводимым представлениям группы киральных
преобразований U\ и имеют, следовательно, одну
физическую основу. Киральная симметрия безмассового поля
физически выражается в невозможности
экспериментального определения относительного фазового сдвига между
право- и левополяризованными состояниями безмассовой
частицы.
Киральные преобразования полей ср, % внешне
аналогичны обычным калибровочным преобразованиям
полевых операторов. Но между ними существует
принципиальное различие: определение калибровочных
преобразований не зависит в отличие от киральных преобразований
(2.72) 	от вида неприводимого представления собственной
группы Лоренца, по которому преобразуются полевые
операторы. Генератор калибровочных преобразований
второго рода связывается в квантовой теории поля с
оператором суперотбора (оператор электрического, барион-
ного и т. д. зарядов, см. [319]), в то время как генератор
киральных преобразований отражает поляризационные
свойства безмассовых частиц.
Из (2.67) и (2.72) следуют определенные
трансформационные свойства операторов рождения и уничтожения
4 Зак. 670
49

безмассовых частиц относительно киральных
преобразований:
U (0) а (/, р)и-*ф) = exp (2ijQ)a(jy р),
и (9) ь (/, р) и-1 (0) = ехр (- 2Щ Ъ (/, р), (2.75)
U (0)а+ (/> p)U-'(Q) = exp(-2ijQ)a+(j, р),
f/(0)&+(/\ р) и~г (0) = exp (2t’/0) Ь+ (/, р).
Спиральные состояния |р, X) реализуют неприводимые
представления киральной группы
£/ (0) | р, X > = ехр (2&0) | р, А, > , (2.76)
и, 	следовательно,
D\p, X) = 2Х\р, X) .
Отметим, что преобразования (2.75) и (2.76) могут быть
взяты и в качестве исходного определения
преобразований киральной группы.
Определения (2.75) имеют прямое отношение к
проблеме построения нейтринной теории фотонов, которая
рассматривает фотон как составную частицу. В работах
[326, 327] была показана внутренняя противоречивость
предложенных вариантов этой теории (теорема Прайса).
В основе доказательства фактически лежали
преобразования (2.75). Теорема Прайса может быть
сформулирована в следующем виде: статистические свойства
составного фотона несовместимы с киральной симметрией
нейтринного и электромагнитного полей [57].
Если безмассовая частица и обладает некоторым
квантовым числом (например, нейтрино — лептонным), мы
тем не менее можем считать ее истинно нейтральной,
связывая квантовое число со значением спиральности
частицы (см., напр., [322]). В наиболее интересном для
нас случае нейтрино установлена 'полная физическая
эквивалентность подхода Вейля (см. [318]) и Майорана
(см. [328]) к описанию нейтрино [329—331] *\
 Включение электромагнитного и гравитационного
взаимодействия нейтрино не изменяет изложенных выше
Математически эта эквивалентность выражается в унитарной
эквивалентности гамильтонианов в вейлевском и майорановском
случаях и является следствием инвариантности теории нейтринного поля
относительно 3-параметрической группы Гюрсея—Паули (см. [318]).
50

выводов [331]. Следовательно, можно говорить в общем
случае о киральной (уб) симметрии полевой теории
нейтральных безмассовых частиц. Для описания истинно
нейтральных безмассовых частиц всегда можно перейти к
использованию эрмитовых полевых операторов, которые
не могут быть объектом фазовых преобразований, но
могут быть подвергнуты киральным преобразованиям.
Интересно отметить, что в майорановской формулировке
нейтрино векторный ток тождественно
обращается в нуль. Но противоречия с законом сохранения числа леп-
тонов не возникает, поскольку лептонным калибровочным
преобразованиям вейлевского нейтрино могут быть
сопоставлены ^-преобразования майорановского нейтрино,
инвариантность теории относительно которых связана с сохранением
аксиального тока jj?)5 = i^YnYs^*
4.3. 	Групповая структура теории свободных безмассо-
вых полей. Для объединения релятивистской и киральной
симметрии необходимо классифицировать полевые
величины по неприводимым представлениям 11-параметриче-
ской группы, включающей помимо преобразований
Лоренца и пространственно-временных сдвигов также ки-
ральные преобразования [57] (см. также [50, 51]).
Для этой цели достаточно рассмотреть 7-параметри-
ческую группу, содержащую наряду с собственной
группой Лоренца киральную группу, и затем дополнить ее
пространственно-временными сдвигами. Преобразования
полученной группы описываются обычными формулами
для пространственно-временных преобразований:
ехр (т ^1 ехр (—Т
= D&Jt) [Л-1] г|></,'/‘) (Ах), (2.77)
ехр (ЦД) ^а‘,/2) (х) ехр (— iaj*^ = ^1,и) (х + а), (2.78)
где /(xv, Р\к — генераторы группы Пуанкаре, и формулой
(2.72). Генератор киральных преобразований по
отношению к неприводимым представлениям 11-параметрической
группы 1 играет роль оператора Казимира, который
различает представления по знаку спиральности.
Инварианты киральных преобразований, как нетрудно видеть
из (2.72), преобразуются по симметричным
представлениям собственной группы Лоренца. Однако ни вектор-
4=
51

потенциал электромагнитного поля А^ ни тензор R^v Для
гравитационного поля не являются инвариантами
киральных преобразований, поскольку представления (1/2, 1/2)
и (1, 1) не удовлетворяют условию (2.66) и должны быть
исключены. Киральная группа в силу своего задания
определена только на физических состояниях безмассовых
частиц. Но рассмотрение и вектор-потенциала А^ и
тензора R^iv связано с использованием нефизических состояний
безмассовых частиц, характеризуемых значениями спи-
ральности, отличными от Я.
Существование киральной (75) симметрии можно
рассматривать как проявление в полевой теории той
аксиальной симметрии относительно направления импульса,
которая присуща собственно безмассовой частице. Но
при этом надо учитывать как вращения вокруг оси, так и
отражение в проходящих через ось плоскостях (см.
[306]). Минимальное расширение абстрактной группы Ui
заключается в переходе к группе Ui0sAut U\f которая
представляет собой полупрямое произведение группы Ui
на грушпу ее внешних автоморфизмов (см., напр., [333]).
Единственным внешним автоморфизмом для абстрактной
группы Uj является переход от элемента eiQ к e~ie, что
реализуется циклической группой второго порядка Z2=
= (1, Со), Съ=1 1. Для генератора киральности операция
внешнего автоморфизма запишется следующим образом:
с° 1
D D' = CD DCd = —D. (2.79)
Из определения преобразований группы Ui
непосредственно следует, что в спиральном базисе |р, Х>
собственные значения генератора D пропорциональны
собственным значениям оператора спиральности. Отсюда и из
определения (2.79) следует, что действие оператора CD
связано с изменением спиральности безмассовой частицы.
Требование инвариантности теории относительно
преобразования полей ф(Х), %(х) под действием оператора Св,
приводящего к изменению знака спиральности, может
быть удовлетворено только при следующем определении
оператора CD:
CD = СР, (2.80)
где СР — оператор комбинированной четности (С —
оператор зарядового сопряжения, Р — оператор простраист-
52

венной инверсии). В работе [333] было выдвинуто пред*
положение о том, что внешние автоморфизмы группы
внутренней симметрии являются операторами
симметрии. С этой точки зрения инвариантность теории
безмассовых частиц относительно операции комбинированной
четности есть следствие закона сохранения киральности,
которому соответствует группа симметрии Uu и оператор
СР может быть отнесен к операторам внутренней
симметрии теооии безмассовых частиц.
4.4. 	О ларморовской инвариантности бозонных полей.
Предположим теперь, что векторные поля, описываемые
тензорами и и соответственно потенциалами М^ и Л^,
обладают массой покоя (тм = mN)y отличной от нуля.
Полевые уравнения примут в этом случае следующий вид
(предполагается, что для обоих потенциалов справедливо условие
Лоренца):
^ ^9 8 П
д^-т^ = О,
где Fопределены в соответствии с (2.38). Нетрудно
видеть, что уравнения (2.81) по-прежнему инвариантны
относительно преобразований, связывающих между собой
полевые тензоры F^v, и потенциалы N^. Но эта
инвариантность предполагает использование именно
преобразований вида (2.51) (ларморовских преобразований), но не
преобразований вида (2.50) (собственно дуальные
преобразования). Уравнения (2.81) эквивалентны следующим двум
системам уравнений:
dv£nv — пРМ^ = 0, (2.82а)
F^ = d^Mv-dwM^
<Vvv- mW, = 0,
^v = <yvv-dA,
(2.83а)
которые описывают соответственно векторное и псевдовектор-
ное поля. Уравнения (2.82а) и (2.83а) могут быть записаны
в следующем виде [44]:
(Pf^ + fcoH = 0, (2.826)
(-p£Vb W = o,
53

II
(Pjfo + *o)4> = °. (2.836)
(_pjfo + *0) *+ = (),
где матрицы {$м и (5^ удовлетворяют алгебре Даффина—Кем-
мера:
РАРр + hVvh = e^vPp + 6pvP,. (2-84)
г|)+ = г|)*7?4; R^ = 2(5^—I; г|) является 16-рядной волновой
функцией и (5м = Г0р^Г0, где Г0 — 16-рядная унитарная эр-
митовская матрица.
Если уравнения (2.826) описывают смесь векторного
и псевдоскалярного полей, то уравнения (2.836) — смесь
псевдовекторного и скалярного полей, и волновая
функция г|) преобразуется по приводимому 16-рядному
представлению алгебры (2.84) *). Но, как впервые было
показано в работах [44], волновые уравнения векторного поля
общего типа (2.81) описываются уже антикоммутативной
алгеброй матриц, т. е. уравнениям (2.81) соответствуют
следующие матричные уравнения:
(I\dv + k0) -ф (х) = 0, (2 85)
(-Г[с>, + £0И+ (х) = О,
где
г, = Рц + Р^ = Р,-г0рцг0>
Г/v + rvr„ — 2/6^v,
ГГ -I- Г г =0
1 ц О ' о1 ц
и \|)+ = г|)*Т?4Л1) = —ty*R[N). Дискретный вариант ларморов-
ских преобразований (2.51) осуществляется здесь матрицей
Тб = ^5?5* Уравнения (2.85) и соответствующие
перестановочные соотношения инвариантны относительно следующих
преобразований:
г|>-m|)L = V5i|), г|>+->-а|Гк'=^75.
В уравнения (2.85) могут быть включены и источники
(ларморовски сопряженные). В работах [44] проведено
И:) В отличие от уравнений (2.82а), (2.83а) уравнения (2.826),
(2.836) включают в себя скалярные и псевдоскалярные члены. Но
можно говорить об эквивалентности этих уравнений, так как все
свойства, установленные для системы уравнений (б), справедливы
и для системы (а).
54

широкое изучение теории бозонов, основанной на
использовании сопряженных приводимых представлений
алгебры Кеммера (16X16), связанных ларморовскими
преобразованиями.
Ларморовская инвариантность, как уже было
отмечено ранее, предполагает в отличие от дуальной
инвариантности увеличение числа степеней свободы для
рассматриваемого поля *). Проведенное выше обсуждение
показывает также, что наряду с магнитными источниками могут
быть введены в рассмотрение и ларморовские источники.
Существенное отличие последних заключается в том, что
они (противоположно магнитным) не взаимодействуют с
электрическими источниками электромагнитного поля
(см. далее § 4 гл. 8). В заключение этого параграфа
сделаем некоторые общие замечания, касающиеся проблемы
симметрии теории с безмассовыми частицами.
Известно, что три безмассовые частицы (нейтрино,
фотон и гравитон) играют существенную роль в наших
представлениях о слабом, электромагнитном и
гравитационном взаимодействиях. Разумеется, в принципе
допустимо, что все частицы обладают некоторой конечной массой
покоя, поскольку экспериментально может быть
определен лишь верхний предел значения массы частиц, которые
в теории считаются безмассовыми. Однако вопрос о тех
приближениях, в которых можно пренебрегать массой
покоя частиц, представляется с современной точки зрения
весьма важным. Это обусловливает дополнительный
интерес к теории безмассовых частиц и к исследованию
присущих ей симметрий, в том числе внутренних, которые во
многом определяют форму теории, включающей
взаимодействие с безмассовыми частицами.
Как мы увидим далее (гл. 4), галилеевской электродинамике
в присутствии источников двух типов присуща именно ларморовская,
по не дуальная инвариантность.

3
глава
ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
ОДНОЗАРЯДОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Для того чтобы сохранить дуальную симметрию
уравнений Максвелла и в присутствии источников поля,
необходимо ввести наряду с электрическими также и
магнитные заряды. Тогда помимо дуальных преобразований для
полей (2.26) естественно возникают аналогичные
преобразования для токов:
/?)# -> /'tif) cos 0 + /{f> sin 0,
iify -► — № sin 0 + ile:1 cos 0,
где jjx\ — четырехмерные плотности электрического и
магнитного токов соответственно.
Однако уравнения движения электрически и магнитно
заряженных пробных частиц (uv, vv—четырехскорости)
= (3-2)
at
(3-3)
не инвариантны относительно преобразований (2.26) и (3.1).
Согласование симметрии уравнений Максвелла
<VVv = /^. = /Г (3-4)
и уравнений движения может быть достигнуто только
путем введения в теорию представления о дуально
заряженных частицах, т. е. частицах, которые несут
одновременно как электрический, так и магнитный заряды.
Выражение для плотности силы Лоренца, действующей на
дуально заряженные частицы, исходя из (3.2) и (3.3),
нужно записать следующим образом:
/v’=^v+№v- (3.5)
56

Здесь индекс i обозначает £-й тип дуально заряженной
частицы, обладающей электрическим ех и магнитным gt
зарядами. При этом токи и /{f) в уравнениях Максвелла
(3.4) имеют вид
/?’ = 2/!я, ли=2й'. <3-6)
k к
где суммирование производится по различным типам
дуально заряженных частиц, и
j ixk — J S (X X/г) U^kdt,
= Я* 16 (* — **) Hkdt. ^3'7^
Уравнения Максвелла (3.4) и выражение для
плотности силы Лоренца (3.5) будут инвариантны относительно
преобразований (2.26) и (3.1), записанных для /-го типа
дуально заряженных частиц *).
При подобном обобщении уравнений поля и уравнений
движения, с одной стороны, симметрия уравнений
свободного поля сохраняется и для уравнений с источниками, а с
другой — симметрия уравнений движения соответствует
симметрии полевых уравнений.
На первый взгляд уравнения электродинамики,
обладающие столь высокой дуальной симметрией, не могут
иметь никакого отношения к реальности. Действительно,
трудно представить себе, чтобы носителями магнитного
заряда могли быть не только некоторые гипотетические
частицы, но также известные заряженные частицы. И все
же оказывается, что подобное представление вовсе не
противоречит существующим экспериментальным фактам,
а дуально симметричная формулировка электродинамики
возможна и без введения новых частиц типа монополя
Дирака. Такая возможность отмечена уже достаточно
давно (см. [59]), но и сегодня остается практически
неизвестной большинству специалистов в области
электродинамики.
В настоящей главе будут детально обсуждены
различные аспекты этой проблемы.
*) Поскольку мы рассматриваем именно частицы, а не
заряженную непрерывную среду, то всегда справедливо определение (3.7).
Поэтому вместо дуальных преобразований для токов
достаточно рассматривать только дуальные преобразования для
зарядов е, g.
57

§ 1. Дуально симметричная формулировка
классической однозарядовой электродинамики
1.1. 	О физических основаниях дуальной симметрии.
Пусть заряженные частицы определенного типа несут
помимо электрического заряда е также магнитный заряд g
и описываются уравнениями классической
электродинамики. Тогда вся информация о поведении таких частиц и
их взаимодействиях должна быть заключена в полевых
уравнениях вида (3.4) и соответствующем выражении для
силы Лоренца. В целях наглядности запишем уравнения
поля, а также уравнения движения для пробных частиц в
трехмерной форме:
дЕ
rot Н — = el div Е = ер, (3.8а)
dt
dt'
rotE + = — gj, div H = gp, (3.86)
dp =eEH-ffH + fvxH — g'vXE,
dt
dt
Здесь J — плотность тока частиц; p — плотность числа
частиц; р — вектор импульса пробной частицы; Е — ее
энергия; v — скорость.
Теперь необходимо выяснить, можно ли измерить
заряды ей g, если они создают поле в соответствии с
уравнениями (3.8), а реагируют на него так, как
предписывается уравнениями (3.9).
Прежде всего принципиально измеримыми
являются лишь эффекты взаимодействия полей и зарядов,
а не сами поля и заряды по отдельности. Поле может
быть определено лишь путем воздействия на заряженное
пробное тело, а заряд любой частицы в свою очередь
идентифицируется только с помощью поля.
Как известно, с экспериментальной точки зрения
основой для определения электрического (магнитного) поля
является измерение той компоненты силы, которая
параллельна (перпендикулярна) скорости заряженного
пробного тела. Однако если для этой цели
ис58

пользуются уравнения (3.9), то речь идет о величине
f3JI = £E-fg-H в первом случае и величине fMarn = vX(eH—
gE) — во втором. Иными словами, измеренными могут
быть не произведения зарядов е, g на поля Е, Н по
отдельности, а лишь их определенные линейные
комбинации. С другой стороны, мы вправе считать, что
электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца имеют
обычную структуру: f3ji = q£, fMam = ^vX^. Тогда
величины $ и 4t будут выступать соответственно как
электрическое и магнитное поля, определенные по отношению к
эффективному электрическому пробному заряду q.
Условие взаимной согласованности этих двух способов
описания требует выполнения следующих соотношений:
<7<? = eE + gH, q-ft = —gE-еН, (3.10)
где связь между q} е и g еще подлежит определению.
Уравнения движения (3.9) при этом приобретают
стандартную однозарядовую форму:
= q~$ -\-q\y?k,
(3.11)
dE -►
=qyg.
dt
Чтобы обладать всеми свойствами электрического заряда,
эффективный заряд q обязан не только выступать в роли
пробного заряда, но и служить электрическим источником
обычного максвелловского поля. Умножая (3.8а) на e(g),
а (3.86) на —g(e), а затем складывая и вычитая
почленно полученные уравнения, придем, используя (3.10), к
следующей системе уравнений:
rot 9d — —— = q J, div = qp,
dt
- 	d^t -
rot S H = 0, div 9£ = 0
dt
(3.12)
при условии
q2 = ег + g2. (3.13)
Уравнения (3.12) совершенно идентичны по форме
обычным уравнениям Максвелла и в совокупности с
59

(3.11) 	образуют электродинамику Максвелла—Лоренца
для частиц с электрическим зарядом q *>.
Таким образом, от электродинамики дуально
заряженных частиц с помощью линейного преобразования
полевых компонент всегда можно перейти к обычной
максвелловской электродинамике с одним эффективным зарядом.
Обе эти формы фактически эквивалентны в том смысле,
что экспериментально невозможно установить различие
между результатами расчета физических эффектов,
проводимого на базе уравнений (3.8), (3.9), с одной стороны,
и уравнений (3.12), (3.11) — с другой, если отождествить
эффективный заряд q= (e2Jrg2)1^2 с наблюдаемым
электрическим зарядом [59—69].
1.2. 	Дуальная симметрия и эквивалентность двух
форм электродинамики. Поскольку система уравнений
(3.8), (3.9) полностью симметрична относительно
дуальных преобразований как для полей
Е' = Е cos 0 + Н sin 0,
Н' = —Esin0 + Hcos0,
так и для зарядов
е' = е cos 0 + g sin 0,
g' = — e sin 0 + g cos 0,
то наблюдаемые эффекты в системе дуально заряженных
частиц, описываемой этими уравнениями, вообще
«нечувствительны» к выбору определения параметра 0. Так как
рассматриваются дуально заряженные частицы одного
типа, допустим, что для них отношение g/e имеет
одинаковое значение. Тогда можно ввести следующее
определение:
tge = gie. (3.14)
На угол 0 при этом фактически не налагается никаких
ограничений, поскольку в рамках классической теории
заряды е и g не фиксированы, а являются
вспомогательными величинами, заменяющими некоторый групповой
*) Очевидно, с равным основанием можно было бы назвать
эффективный заряд q магнитным. Тогда нам пришлось бы определить
поле <§ как «магнитное», а поле Ж — как «электрическое», а
найденные уравнения однозарядовой электродинамики описывали бы
частицы с эффективным магнитным зарядом. В такой системе
отсутствовали бы «электрические» источники.
60

параметр (e = qcosQ, ^ = <7 sin0, q2 = e2Jrg2). С учетом
определения (3.14) соотношения (3.10) представляют собой
дуальный поворот следующего вида:
в = e/qE + g/qH = cos0E+ sin0H, ^
9i = — g/qE + elqH = — sin 0E + cos 0H,
или в четырехмерной записи:
= elq + glqp»v = cos QF^ + sin 0^v, ^ ^
&v»= — £IqFixv + elq = — sin QF^ + cos 0^v.
Резюмируем сказанное. В силу инвариантности
полевых уравнений и уравнений движения относительно
дуальных преобразований (2.26), (3.1) вопрос об
определении параметра 0 и фиксации его значения есть вопрос
соглашения, а не экспериментального выбора. Если
рассмотреть совокупность дуально заряженных частиц и
предположить, что для каждой из них отношение g/e
имеет одно и то же (не фиксированное!) значение, то
параметр 0 можно связать с этим отношением, определив его,
например, в соответствии с (3.14). Тогда путем дуального
поворота (3.15) приходим к уравнениям Максвелла с
одним типом источников
dv^Vv = ^» 5v^’nv = ° (3.16а)
и к обычному выражению для силы Лоренца, действующей
на пробный заряд q:
/v = ?V^v = ^v. (3.166)
I
где q= (e2-\-g2)2 . Это означает, что электродинамика
дуально заряженных частиц, обладающих одинаковым
отношением g/e, физически эквивалентна обычной
однозарядовой электродинамике.
1.3. Дуальная инвариантность и проблема
несоответствия между числом независимых компонент полевого
тензора и тензора энергии-импульса. Дуально
симметричная формулировка электродинамики позволяет
естествен61

но разрешить вопрос о несоответствии между числом
независимых компонент тензора энергии-импульса Т^ и
полевого тензора F^v [45, 46, 61].
Существует два различных способа теоретического
описания экспериментально наблюдаемых проявлений
электромагнитного поля. Во-первых, можно исходить
непосредственно из уравнений Максвелла—Лоренца и
использовать в качестве основных величин шесть
независимых компонент /Vv, во-вторых, можно пользоваться
эквивалентной физической информацией, которая
содержится в тензоре энергии-импульса поля 7Vv, хотя число
независимых компонент тензоров F^v и 7\lv различно.
В самом деле, все шестнадцать компонент Т^
представляют собой билинейные комбинации составляющих
электромагнитного поля Ей Е% Еъ\ Ни Н2, #3. Условие
симметричности по индексам (л, v сокращает это число
до десяти. Но, кроме того, имеется еще пять соотношений,
связывающих между собой компоненты тензора 7\IV
[61]:
Поэтому у тензора энергии-импульса свободного
электромагнитного поля остается только пять независимых
компонент.
Итак, все наблюдаемые эффекты можно получить как
исходя из пяти компонент Т^9 так и из уравнений
Максвелла—Лоренца для шести независимых переменных. Благодаря
различию в числе используемых компонент не существует
однозначного соответствия между T^v и уравнениями
Максвелла— Лоренца, т. е., исходя из уравнений поля, мы
можем однозначно восстановить Т^, тогда как обратное,
вообще говоря, неверно. Действительно, исходя из заданного
вида 7\v = FmFav——1-^/^, можно на равных основаниях
4
62

выбрать в качестве полевого тензора как величину /^lv, так
и следующую комбинацию: FцУ = cos 0 Fuv -f sin 0 F^, где
0 — произвольный непрерывный параметр. Иными словами,
задание тензора энергии-импульса определяет полевые
компоненты лишь с точностью до дуального поворота. Поэтому
для равноправного использования всех шести полевых
компонент необходимо некоторое дополнительное условие,
которое в стандартной формулировке классической
электродинамики до сих пор в явном виде не вводилось. Если
постулировать отсутствие магнитных зарядов, то уравнения поля с
источниками уже не инвариантны относительно замены F^v->
= cos QF^ + sin 0?^, и все компоненты Fможно
рассматривать как независимые. Однако при этом
невозможно восстановить дуальную симметрию в электродинамике с
источниками, не привлекая магнитный заряд в качестве
наблюдаемого объекта.
Поэтому предпочтительнее предположить, что все
известные частицы дуально заряжены, и одновременно
ввести условие, согласно которому отношение g/e
одинаково для всех частиц. В этом случае, как мы видели выше,
устанавливается взаимно однозначное соответствие
между однозарядовой и дуально симметричной
формулировками электродинамики. Все наблюдаемые эффекты мы
можем интерпретировать при этом как в терминах полей
—^ —►
Е, 	Н, так и на основе использования величин 8, «5^, но
неоднозначность в определении Е, Н уже не будет иметь
—► —►
места для векторов 8, Ж
Подобный путь решения проблемы слишком
радикален в том смысле, что фактически снимает вопрос о
возможности существования наблюдаемого магнитного
заряда даже в дуально симметричной электродинамике.
В действительности можно ограничиться введением более
слабого условия: наблюдаемый заряд электрона есть
чисто электрический (эффективный!) заряд q= (e2-\-g2)2
(см. [69, 76], а также следующий параграф этой главы).
Такое условие соответствует определенному выбору
определения (но не численного значения!) параметра 0 в
дуальных преобразованиях: tg0=(gr/e, где е и g —
электрическая и магнитная составляющие наблюдаемого
эффективного заряда электрона q. Использование электрона в
63

качестве «эталонной» частицы также дает возможность
перехода к однозарядовой формулировке и достаточно
для восстановления равноправности всех шести полевых
компонент. К тому же при этом, как будет показано ниже,
проблема наблюдаемости магнитного заряда в дуально
симметричной электродинамике не снимается, а лишь
переформулируется и становится экспериментально
верифицируемой.
В общем виде скрытую симметрию, присущую
однозарядовой электродинамике, можно выразить, введя з
электродинамику следующий принцип: все наблюдаемые
в классической электродинамике суть инварианты
дуальных преобразований. Таковы эффективный заряд,
дуально симметричная сила Лоренца и компоненты тензора
энергии-импульса (но не полевые величины!). В связи с
этим уместно вспомнить Зоммерфельда [334], который
еще в 1928 г. отмечал, что компоненты тензора энергии-
импульса имеют более непосредственное отношение к
физической реальности, чем полевые величины, и
более фундаментален, чем уравнения Максвелла.
§ 2. О возможности наблюдения магнитного заряда
у известных заряженных частиц
Пусть имеется несколько типов дуально заряженных
частиц. Соответствующие уравнения имеют в этом
случае вид
ал, = 2 еЛ > dvFw = 2 gku1 > (з-18а)
k k
fv = F\xv + ghu»Fiav (3.19a)
Уравнения (3.18a) и (3.19a) по-прежнему
инвариантны относительно дуальных преобразований полей и
источников каждого типа. В силу произвольности
параметра 0 определим его в следующем виде:
0 	= 0j = arctg
где el9 gt—электрический и магнитный заряды частицы /-го
типа. В результате дуального преобразования перейдем к
следующей системе уравнений:
= ЯрЪ + 2 е'ь и»> (3*18б)
кф1
64

Величины el и gk играют роль электрического и магнитного
зарядов частицы типа k относительно частицы типа /, когда
заряд последней выбран по определению в качестве
эффективного электрического.
Из анализа уравнений (3.18), (3.19) и соотношений
(3.20) 	видно, что если отношение электрического и
магнитного зарядов g/e (включая знак) есть величина
универсальная для всех дуально заряженных частиц, то
величина абсолютного магнитного заряда у известных
частиц, рассматриваемых как дуально заряженные,
является ненаблюдаемой величиной.
Если, например, имеется только два типа дуально
заряженных частиц и между значениями зарядов этих
частиц установлена следующая связь:
gjel = —ejgt, (3.21)
то путем дуальных преобразований, выбирая 0 в виде
0=0! = arctg gi/e{ или 0 = 02=—arctg e^gi, приходим к
уравнениям электродинамики, описывающим частицы,
обладающие только электрическим (эффективным) или
только магнитным (эффективным) зарядами.
о. Зэк. 670
66
где
(3.196)
(3.20)

Проведенный анализ позволяет сделать следующие
выводы.
1. Вопрос о том, существует ли магнитный заряд и
насколько обосновано его введение в электродинамику
соображениями дуальной симметрии уравнений, должен
ставиться таким образом. Все частицы следует априори
рассматривать как дуально заряженные. Для частиц
каждого выделенного типа наблюдаемым может
являться лишь эффективный заряд. Как только достигнуто
соглашение, что одна из частиц («базисная») имеет,
например, только электрический (эффективный!) заряд,
вопрос должен формулироваться так: какими
электрическим и магнитным зарядами обладает каждая новая
частица по отношению к «базисной»?
2. Универсальность отношения g/e играет в
электродинамике дуально заряженных частиц критическую роль:
если это отношение одинаково для всех частиц без
исключения, наблюдаемый магнитный заряд отсутствует.
3. Если рассматривать все известные частицы как
дуально заряженные, то вопрос о том, обладают ли они
относительным магнитным зарядом (т. е. насколько
различна у них величина отношения g/e), доступен прямой
экспериментальной проверке, для которой достаточно
измерить электрический и магнитный заряды .протона,
нейтрона и мюона относительно электрона [60, 62].
Возможность такой проверки следует из результатов
работы [335], основанной на идеях Вигнера [336], ко-,
торый заметил, что, с одной стороны, мы можем
определить заряд (электрический, барионный, лептонный и,
разумеется, магнитный) как некоторую простую
аддитивную величину, сохраняющуюся в любой известной
реакции (симметрийный аспект понятия заряда). В этом
смысле мы имеем право ввести абсолютный закон
сохранения. С другой стороны, понятие заряда имеет и
динамический аспект, который в данном случае выражается
в том, что, рассматривая взаимодействие одной из
частиц, обладающей указанным аддитивным свойством, с
внешним электромагнитным полем, мы может
характеризовать это взаимодействие также некоторой
универсальной величиной, называемой зарядом (см. также
[337, 338]).
Исходя только из первого определения, невозможно
измерить относительные заряды различных частиц, к
66

примеру протона и электрона, ввиду отсутствия
процессов типа р-*е+ + п°. В общем случае это обстоятельство
выражается в том, что, используя только сохранение
заряда, можно было бы понимать под электрическим Q,
магнитным G, барионным В и лептонным L зарядами
следующие комбинации:
Qk — aiQh Н- bxGh c1Bh
Gk = a2Qk + b2Gh + c2Bk -f d2Lh,
Bk = a3^h
Lk = a^Qk + bfik + c^Bh + d^Lh,
где ciy, by, cVj dv — произвольные коэффициенты,
ограниченные только условием неравенства нулю детерминанта.
Поскольку, однако, электрический и магнитный заряды
являются в отличие от барионного и лептонного
константами взаимодействия дуально заряженной частицы с
электромагнитным полем, то эту неопределенность можно
свести к следующей:
Qk = aiQh + bfiv
Gk — &2Q11 4" b2Gh.
Предполагая аналогичную неопределенность и в
выборе полевых компонент электромагнитного поля (что
непосредственно следует из уравнений Максвелла) и
требуя инвариантности тензора энергии-импульса
относительно соответствующих подстановок для полевых
компонент
Е' = ах Е -f bx Н,
Н' = а2Е + £>2Н,
придем к следующим ограничениям на коэффициенты а, b:
axb2 — a2b1 = 1, b2 = av bx= — а2, откуда возможен выбор
ах = cos 0, bx = sin 0.
Используя электрон в качестве «базисной» частицы,
т. е. полагая его эффективный заряд чисто
электрическим, можно связать (эффективный) магнитный заряд
только с тремя «базисными» частицами. Если по
определению имеем ge- =0, то из реакций типа
5*
67

Р + Р-+Р + Р + У,
Y-^+ + P~>
n^p + e~ -f ve
следует, что gv = 0, = —gll+, gp — gn = gVe-
Для наглядности приведем табл. 1 (см. [62]).
Таблица 1
Магнитный заряд элементарных частиц
Частица
V
я*
К0
е+
Р'
1
п°
2+
Магнитный
заряд
0
0
0
0
~~ёР
-*П
gP
Частица
Л°
я+
К+
v*i
g
Магнитный
заряд
Вр~%п
%р &п
&р~&п
2gfn— ёр
Мы видим, что установление нижнего предела для
наблюдаемого магнитного заряда протона и нейтрона
означает одновременно и установление
соответствующего предела для всех известных заряженных частиц (за
исключением р^и v^).
Теперь предположим, что электрон, протон и
нейтрон— дуально заряженные частицы с различным
отношением g/e. Пусть далее наблюдаемый заряд электрона
есть эффективный чисто электрический заряд (как это
обычно предполагается). Тогда, согласно (3.20), протон
и нейтрон будут обладать магнитным зарядом. С такой
точки зрения любая электронейтральная система,
содержащая электроны, протоны и нейтроны, оказывается
магнитно заряженной (поскольку магнитный заряд
электрона равен нулю по определению). Это должно
приводить к наблюдаемым эффектам в макроскопических
масштабах, в частности к появлению радиальной
составляющей у магнитного поля Земли и Солнца:
и ^ Npgy + Nngn .
1 л земли ~ ^ 1 си>
АЗ
68

Н ж Npgp + Nngn j
“солнца ^ d2 ^ 1
A,
с
где величина g выражается в электромагнитных
единицах. Для Земли NpttNn, а для Солнца преобладают
протоны: Np—NnttlOb?. Поскольку эта составляющая
не превышает 1 гс, верхний предел величины магнитного
заряда протона и нейтрона может быть установлен с
большой точностью. Соответствующие оценки таковы
[60, 62, 71]:
8Р. ёп< 10-35CGSM,
или в единицах электрического заряда
gP> gn<W-**qe-.
В работе [215] с помощью чувствительного
сверхпроводящего квантового интерферометра была
произведена непосредственная оценка величины зарядов gv и gn>
которая дала следующие результаты:
gp, gn< 10-24 <7*--
6 Ci
Измерение величины gk = k (gl/el — gJeh) не дает
4i
абсолютного значения для разности gl/el—gh/eh, так как
эта разность не инвариантна относительно дуальных
преобразований, но позволяет дать оценку величины Qt_k =
= arctg gxlex — arctg gk/ek, связанной с возможностью
отклонения отношения g1/el от gk/ek. Отсюда следует, что чем
меньше разность gjei — gk/ek> тем меньше величина Qt_k =
1 	gk
= arctg —— и тем меньше величина магнитного заряда gk-
gk
Из приведенных данных вытекает, что sin (0е — 0р),
sin (0е — 0n) < 1 для протона и нейтрона, и поэтому речь
идет фактически об оценке самой величины разности
отношений gje у электрона, протона и нейтрона, т. е. об
экспериментальной проверке универсальности отношения для этих
частиц.
Приведем также предварительные оценки величины
магнитного заряда мюона (см. [214])
Ян- < 10 bqe-

Неуниверсальность отношения g/e для различных
типов частиц должна проявляться и в эффектах
взаимодействия элементарных частиц (таких, как рассеяние и
энергетические спектры связанных состояний). Отсюда в
принципе можно также получить численные оценки
величины наблюдаемого магнитного заряда у различных
частиц.
Безусловно, оценки, основанные на
спектроскопических данных, не могут конкурировать с результатами
макроскопических измерений для систем, состоящих из
стабильных частиц. Однако для нестабильных
образований подобные оценки могут дать достаточно точную
величину магнитного заряда (см. приложение В), которая
во всех случаях оказывается весьма малой.
Таким образом, имеющаяся совокупность
экспериментальных данных с большой точностью
свидетельствует о справедливости условия g/e=>univ для всех
известных частиц. . Следовательно, возможность перехода от
электродинамики дуально заряженных частиц к
электродинамике с одним эффективным зарядом можно
считать достаточно надежно обоснованной.
§ 3. Об аксиоматической формулировке
классической электродинамики
3.1. 	Два типа источников и дуальная симметрия. Как
будет видно в дальнейшем (см. гл. 5), построение
электродинамики в присутствии магнитных зарядов на
основе принципа наименьшего действия сопряжено со
значительными трудностями. Поэтому вполне оправданы
попытки такого анализа основ классической
электродинамики, в рамках которого можно было бы обосновать
связь между характерными чертами ее современной
формы (локальностью, линейностью, однозарядовостью,
наличием лишь одного типа наблюдаемого заряда) без
использования принципа наименьшего действия.
Интересна в этом отношении аксиоматическая модель Боппа
[339], основанная на использовании уравнения
неразрывности для тока при получении уравнений Максвелла.
Однако им берется лишь одно из возможных линейно
независимых решений уравнений неразрывности, в силу
чего можно сформулировать лишь одну пару уравнений
поля, а для получения полной системы уравнений
Макс70

велла приходится вводить в число постулатов принцип
наименьшего действия. Это не вполне последовательно
(что отмечается самим автором), поскольку задание
лагранжиана системы делает излишней какую бы то ни
было дополнительную аксиоматику. В такой схеме
фактически снимается проблема второго заряда, т. е. его
отсутствие не обосновывается, а просто констатируется,
поскольку асимметрия между электрическими и
магнитными величинами фиксируется в постулатах.
Использование этой асимметрии априори вообще
характерно для существующих аксиоматических схем
классической электродинамики.
Покажем, как на базе простой аксиоматики,
использующей принцип дуальной инвариантности, можно
построить модель классической электродинамики,
полностью симметричную относительно источников, но
исключающую возможность введения второго (магнитного)
заряда в качестве наблюдаемого объекта [73]. При этом
в отличие от схемы Боппа вариационный принцип не
используется ни на одном из этапов вывода.
Будем исходить из обычного для любой схемы
классической электродинамики предположения, что для
пробных тел справедливы ньютоновская механика
движущихся масс и связанные с ней алгоритмы
идеализации. Сила в определенном классе экспериментов
пропорциональна некоторой «силовой характеристике» е
участвующих в этих опытах пробных тел, умноженной на
некоторую векторную функцию, зависящую от их
пространственно-временной конфигурации, т. е.
F = ef(x, /, v, .. .).
Таким образом, мы можем определить заряд е пробного
тела через силовое воздействие других тел. Производя
обычную ньютоновскую идеализацию типа пробное
тело-нматериальная точка-^система материальных то-
чек-^сплошная среда, предположим, что выполняются
следующие постулаты.
I. Аддитивность заряда, т. е. сумма зарядов в двух
объемах, равна заряду в объединенном объеме.
II. Сохранение заряда, т. е. всегда существует
некоторый объем, внутри которого заряд остается
постоянным.
71

Законы движения относятся к движущимся пробным
телам, которые по определению рассматриваются как не
обладающие атомистической структурой. Тогда на
основании постулата II и при учете содержащегося в
формализме ньютоновой механики перехода к
дифференциально малым объемам можем ввести величины типа
плотности заряда
р (х, t) = lim -бе ^~
6К--0 оК
и плотности тока
•/а ,• SeW
J (х> t) = lim —v,
6v~>0 6l7
где v — скорость пробных тел. После этого содержание
постулатов I и II исчерпывается заданием уравнения
неразрывности
Ф(х> 0_ _|_ j ^ ц = (3.22)
dt
Поставим следующую задачу: ввести некоторые
векторные поля Е и Н, в отличие от р и j не связанные с
веществом таким образом, чтобы тождественно
удовлетворить (3.22). Частные линейно независимые решения
(имеются в виду только локальные решения уравнения
(3.22)) имеют вид
дЕ
jx = rot Н — , Pl = div Е, (3.23а)
dt
j, = rot Е —, р2 = div Н, (3.236)
dt
дЕ
j3 = — rot Н —, Рз = div Е, (3.23в)
dt
U = — rot Е — р4 = div Н. (3.23г)
dt
Из вида частных решений вытекает, что между ними
существует два типа связей:
ji“>j4, Pl р4; j4 р4->- pil Е —> Н,
при (А)
j3->j2; р3—^рх; }з> Рг“^Рз ' Е,
72

j34=*:j4, p3^±p4
при E^H.
(В)
Преобразование (В) является чисто дискретным, в то
время как (А) может быть рассмотрено как частный
случай непрерывных преобразований.
В самом деле, если представить преобразование (А)
в плоскости (Е, Н) как частный случай поворота
(например, на я/2), то (В) есть произведение поворота на этот
же угол плюс отражение одной из осей, что, разумеется,
несводимо к какому бы то ни было непрерывному
'преобразованию.
На основании отмеченных свойств симметрии
решений уравнения неразрывности (3.22) система (3.23)
разделяется на две подсистемы:
Если вектору Е придать смысл электрической
(магнитной) напряженности, а вектору Н — магнитной
(электрической) напряженности, то системы уравнений (3.24),
(3.25) 	можно отождествить с уравнениями Максвелла,
содержащими два типа источников. В дальнейшем
ограничимся рассмотрением системы (3.24), которая
инвариантна относительно непрерывных преобразований —
преобразований дуальности
Аналогичные соотношения имеют место для токов ji и j*4
и плотностей зарядов -pi и р4.
Для восстановления полной однозначности и
доопределения полученной системы необходимо построить
выражение для плотности силы Лоренца. Поскольку общий
dt
(3.24)
dt
j2 = rot Е ^5-, p2 = div H,
dt
(3.25)
j3 = — rot H , p3 = div E.
dt
E = E' cos ф + H' sin ф,
H = — E' sin ф -f H' cos ф.
(3.26)
73

вид этого выражения определяется динамической
конфигурацией зарядов и их величиной, а сама сила должна
в свою очередь определять характер взаимодействия
между зарядами, представим ее как некоторую
векторную функцию векторов Е, Н, ji и j4 и скаляров pi и р4. Ее
конкретная форма определяется следующими
постулатами.
III. Плотность силы билинейна по
электромагнитному полю и полевым компонентам источников.
IV. Плотность силы является инвариантом дуальных
преобразований.
Это позволяет записать выражение для плотности
силы в следующей форме:
f =рхЕ + р4Н + hXE— j4xH. (3.27)
Исходя из вида выражения для плотности силы (3.27)
и уравнений поля (3.24), придем (см., например, [21, 40])
к отождествлению величины —(Е2+Н2) с плотностью
2
энергии поля, ЕхН — с плотностью импульса поля.
Легко видеть, что эти величины являются инвариантами
дуальных преобразований.
Таким образом, мы построили аксиоматическую
модель классической электродинамики, обладающей
дуальной симметрией и включающей два типа источников —
электрический и магнитный токи. В силу того что все
наблюдаемые эффекты можно рассчитать, исходя из
уравнений (3.24) и уравнений движения (3.27),
инвариантных относительно дуальных преобразований,
наблюдаемые величины являются дуальными инвариантами.
При рассмотрении взаимодействия
электромагнитного поля с источниками удобно исходить из представления
о точечных зарядах. Уравнение неразрывности
справедливо и для точечных зарядов, если их описывать с
привлечением 6-функций [301]. В общем случае каждая
частица (имеются в виду частицы, не тождественные
между собой) может обладать собственными значениями
зарядов, т. е.
Pi = Qh& {г rk (s)} + Qfi {г rz (s)} + ...,
J'l = Qkrk8 (r — (s)} + Qffi (r — r, (s)} + . .
P4 = <Jh6 {r — rh (s)} + Gfi {r — r, (s)} + ...,
h = Ghrffi(г гй (s)} + 0;Г[б(r — r, (s)} + ..
74

где индексы к и / характеризуют различные типы
частиц *). Выражение для силы Лоренца для каждого типа
частиц имеет вид
Fft = Qh Е + Gk Н + j? х Н — fk х Е.
Оно инвариантно относительно дуальных преобразований
(А) и соответствующих преобразований для
зарядов Q, G.
Введем следующий постулат.
V. 	Отношение зарядов частиц G/Q есть величина
универсальная, т. е. G/Q = Gk/Qk = GjQi = univ.
Из инвариантности уравнений (3.24) и (3.27)
следует, что параметр ср не связан с наблюдаемыми
эффектами. Поэтому систему уравнений (3.24) и (3.27),
воспользовавшись постулатом V и произвольностью
выбора параметра <р, представим в традиционной форме
rot 9{ = j, div в = р,
dt
rot в = о, div 11 = О,
dt
(3.28)
где
f = P^ + jX:#, (3.29)
j = р v, р2 = pi -1- pi ф - arctg g/e,
g = Е cos ф -f Н sin ф, 91 = — Е sin ф + Н cos ф. (3.30)
Из приведенного рассмотрения еще раз можно
видеть, что магнитный заряд в уравнениях Максвелла
отсутствует не из-за невозможности его введения, а из-за
универсальности отношения g/e для известных частии.
В этом состоит принципиальное отличие
предложенного аксиоматического подхода к построению
классической электродинамики от ранее имевшихся. Здесь
существенно сохранение дуальной симметрии, которая
присуща уравнениям Максвелла для свободного поля и в
присутствии источников. Такая возможность не находит-
*) Для простоты мы рассматриваем систему, содержащую не
более одной частицы каждого типа.
75

Ся в противоречии с наблюдаемым ныне одниto типом
заряда, который в соответствии с постулатом V можно
рассматривать как эффективный. Существующая форма
записи уравнений электродинамики соответствует,
следовательно, определенному выбору дуальной
«калибровки».
Исходя из (3.30), можно рассматривать полевые
величины как функции не только от
пространственно-временных переменных, но и от некоторого непрерывного
непространственного параметра 0. Тогда к
формулировке двух взаимно дуально сопряженных систем
уравнений можно прийти исходя из системы
в) _ *5(х,,, е)> г*(х,(, е) = _^(х> ^ 0К
зе зе
где 0 — некоторый непрерывный параметр, k = ±\, путем
применения к ней полного набора дифференциальных
операций первого порядка по
пространственно-временным переменным, шереводящим вектор в вектор (rot,
d/dt) и вектор в скаляр (div), с (последующим
образованием из полученных выражений всех допустимых
линейных комбинаций. Токи в полученных системах
удовлетворяют уравнению непрерывности (3.22).
Таким образом, удается построить аксиоматическую
модель классической электродинамики на основе
представления о физических источниках, используя
симметрию системы решений уравнения (3.22) и не прибегая
к принципу наименьшего действия, причем указанная
выше возможность построения аксиоматики исходя из
полевых величин позволяет говорить о достаточной
замкнутости предлагаемой модели.
В такой модели второй заряд — фиктивная величина,
возникающая вследствие произвола в выборе
определения фазы дуального преобразования (наименования
заряда).
Используемый прием получения полевых уравнений в виде
решения уравнения неразрывности для сплошных
материальных сред восходит к методу Эйнштейна [340]
(сопоставление величины R^ Rg^ с Т^, удовлетворяющим
уравнению неразрывности). Появление второй пары уравнений
нуждается в дальнейшем анализе. Можно отметить интерес-
76

ную аналогию с записью уравнения Дирака в двух формах
(см., напр., [341]):
(Y А + т) г|) = О,
(yA — m) я|> = 0.
Здесь так же, как и для системы (3.24) и (3.25) без
источников, переход от одной системы к другой
возможен при —t при неизменности полевых величин.
3.2. 	Дуально симметричная формулировка и
вариационный принцип. В качестве интеграла действия выберем
следующее выражение [67, 113]:
S 	= — Г tnds -)- j* d^xqVyC^ —— ^ d*x (dpCv
(3.31)
Здесь для получения уравнений движения и полевых
уравнений необходимо производить варьирование по
переменным частиц и потенциалу Сй, который определяем
следующим образом:
д^-д^ = — (eF„ + gFJ, (3.32)
где
q2 = + g2.
В результате приходим к правильному выражению
для уравнений движения, описывающих взаимодействие
дуально заряженной частицы с электромагнитным полем:
Фу
dt
— <VVv “t- sVvv (з.зз)
(3.34)
и к следующим полевым уравнениям:
<?у у (eF^ + gFJ = /*,
dv — (eF^—gF^) = 0,
<7
из которых следуют уравнения Максвелла. При такой
формулировке принципа наименьшего действия
эквивалентность двух описаний электромагнетизма очевидна.
Если определить
a(1cv-Vv = ^v> (3-35)
77

то в результате варьирования мы получим уравнения
Максвелла с полевым тензором &и уравнения движения для
частиц с зарядом q.
Возможно использование двухпотенциального
подхода и в соответствии с определениями (2.38). Запишем
интеграл действия в следующем виде:
s = — J mds + Jdi J- J (F^:+F^v) .
(3.36)
Проводя варьирование, получаем уравнения Максвелла
д F = \е
UVl JIV
(3.37)
Vmv = it
и выражение для силы Лоренца в виде
К = Ь (d»Mv - dvMJ + j% (d^N, - djtj, (3.38)
которое не согласуется с выражением для силы Лоренца (3.33)
при определении тензоров F^v, F^ через потенциалы
N^. Но в записи через потенциалы уравнения
Максвелла имеют вид
dvMtiv = dvM^v = о, = d^Mv — dvM^
(3.39)
dvN^ = /*, <ty^v = 0, A^v = d^Nv — dvN^,
и отсюда справедливо следующее условие:
gM^ = eN^ или = eNp (3.40)
с учетом которого выражение для силы Лоренца (3.38)
сводится к (3.33) [65, 75, 113].
Условие (3.40) появляется следующим образом. Из (2.38)
и (3.32) получаем, что
= g/q^iivpod Qp<5>
q
(З-41)
F^y glQ (a,Cv <3VC^) -)- 6/^8^vpgc)pCa-
Вводя обозначения e/^C(i= Мц, = A^, получаем onpe.
деления (2.38), и условие (3.40) выполняется тождественно.
78

§ 4. Дуальная симметрия
макроскопической электродинамики
4.1. 	Дуально симметричная формулировка
макроскопической электродинамики. Если предположить, что
электрон является дуально заряженной частицей, то
уравнения электродинамики Максвелла—Лоренца примут
следующий вид:
,, де , #
rot h = \- Р(v>
dt
l dh
rote = p%,
dt
(3.42)
div e = pe,
div h = p£.
Для того чтобы перейти к макроскопической
электродинамике, следует произвести усреднение уравнений по
четырехмерному объему. Поскольку операции усреднения
и дифференцирования взаимно перестановочны, можно
записать __
div е = div е = ре — р е = Рпров ~Ь Рполяр = Рпров div Ре,
_ (3-43)
div h = div Ь = p« = p'« = рпров + Рполяр = Рпров — div Mg,
где p®te|B — плотность свободных зарядов в среде; р^яр —
плотность зарядов поляризации и
div Ре = Рполяр-
(3-44)
divMg= Р®0ляр-
Производя усреднение уравнений (3.42), получаем

dh .g , ам,
jnpoB + f + rot Pg. (3.456)
dt dt
Для записи уравнений (3.45) сделано предположение, что
макроскопический ток проводимости je, jg вызывается
движением свободных зарядов, а также изменением поляриза-
dPe(g)
ции среды —^— , rotMe(g), как электрической, так и
магнитной, а поляризуемость (намагниченность) вещества может
создаваться замкнутыми круговыми токами (см., напр., [342,
343]): _
p«v = rot Ме,
(3.46)
(3.47)
(3.48а)
p^v = rot Pg.
Вводя обозначения
e = eg + eg = Eg -f- Eg,
h = he + hg = He + He,
запишем уравнения Максвелла в среде:
rot Н = у, div D = ре,
dt
rotE = — , div В = рг,
dt
где
D = Dg -f- Dg = E -f- Pe — rot Mg,
B = Be + Bg = H + Pg + rotMe
Dg = Ee + Ре, Dg = Eg — rot Mg, Ве = Ее + rot Me,
Bg = Hg + Pg.
Выражение для силы Лоренца будет иметь вид
f = р*Е + р«Н + }‘ х В — J* х D. (3.50а)
Уравнения Максвелла (3.48), выражение для силы
Лоренца (3.50а), плотности энергии поля W = — (ED + НВ)
2
(3.49)

и вектора Пойнтинга инвариантны относительно следующих
дуальных преобразований:
D D cos 0 + В sin 0,
(3.51)
В — D sin 0 + В cos 0
и аналогичных преобразований для векторов Е, Н, токов Iе,
Jg и плотностей зарядов ре, ре.
Приведем также выражение для уравнений Максвелла
(3.48а) и силы Лоренца (3.50а) в тензорной записи:
flAv =
(3.486)
0Av= Jl’
fv = JlF,v + JlH^. (3.506)
Здесь Dh = iHM, Hh = — ehlnHln, Bh = iFhi, Eh=ehlnFin.
Для лагранжиана, обеспечивающего дуально
симметричную формулировку макроскопической электродинамики,
выберем следующее выражение:
•б = — ^ + s/qF^) (a,cv — dvc^)+ ^сй+£ча »>
(3.52)
где
У = рч q = (е2 + g*),/a
и
duCv - = — (eFw + 8Н„). (3.53)
Я
Путем обычной процедуры варьирования по потенциалу
С(1 и переменным частиц получаем
dv — (еН„у + gF^) = Jl (3.54)
Я
Из (3.53) следует
д*— (еК-8Н**) = 0. (3.55)
Я
6. Зак. 670 51

Нетрудно убедиться, что система уравнений (3.54) и
(3.55) 	полностью эквивалентна системе уравнений (3.48)*>.
Уравнения движения (3.50) также могут быть получены из
лагранжиана (3.52).
Таким образом, макроскопическая электродинамика
допускает дуально симметричную формулировку,
которая содержит в себе электродинамику сплошных сред
как в подходе Чью [34] ('см. гл. 1), так и в амперовском
подходе. Уравнения Максвелла в формулировке Ампера
получаются здесь простым исключением всех величин с
индексом g. Полагая j*, р£ равными нулю, приходим к
формулировке Чью (см. здесь также [344]).
Введение магнитных источников при исследовании
ряда вопросов электродинамики эквивалентно
рассмотрению известных частиц в качестве дуально заряженных.
4.2. 	О физической природе принципов
эквивалентности и двойственности в макроскопической
электродинамике. Принципы эквивалентности и двойственности
значительно упрощают решение целого ряда
электродинамических задач. Формулировка указанных принципов
возможна только при введении магнитных зарядов и
токов. Но отсутствие на опыте свободных магнитных
зарядов приводит к тому, что физическое содержание
понятия магнитных источников и, следовательно, значение
рассматриваемых принципов в электродинамике
остаются нераскрытыми.
Эквивалентность двух формулировок
макроскопической электродинамики заключается в возможности
перехода от системы уравнений (3.48а) к следующей системе:
rotH div D = p?,
rot Ё -1—-rj?— = 0, div В = 0,
f = pflfe + J" X B,
где
D = D cos 0 + В sin 0 = — (eD + gB),
Я
Учитываем, что возможен переход от ре, ре к зарядам е, g,
где е— JpedV и g= §pgdV.
(3.48в)
(3.50в)
82

—D sin 0 4- В cos 0 =— (еЪ — gD),
Я
(3.56)
E cos 0 4- H sin 0 = — (eE + gH),
q
— 	E sin 0+H cos 0= — (eH — gE),
Я
0 = arctgg/e, q = (e2 + g2)l/2. (3.57a)
В силу произвольности выбора параметра 0 можем
определить его следующим образом:
0 = — arctg e/g. (3.576)
Такой выбор соответствует переходу к электродинамике с
магнитными (эффективными) зарядами р = (e2jrg2)Xf2.
Преобразования
D -> В, В-> —D, Е-> Н, Н-> —Е,
g-+ — e, e-+g (3.58)
являются частным случаем 'дуальных преобразований (при
0 	= я/2). Применительно к полям В, D, Н, Ё эти
преобразования соответствуют переходу от дуального
калибровочного условия (3.57а) к условию (3.576), что ведет к
следующим преобразованиям:
D->B, В-> — D, Ё->Н, Н-> —Ё, q-+p, (3.59)
которые называются в однозарядовой электродинамике
преобразованиями двойственности.
В свою очередь формулировка принципа
эквивалентности основана на возможности перехода от уравнений
Максвелла (3.48в) к уравнениям дуально симметричным.
Дуально симметричная формулировка электродинамики
позволяет рассматривать электрические и магнитные
источники поля на равной основе.
Таким образом, принципы эквивалентности и
двойственности непосредственно заложены в структуре
электродинамики и отражают ее фундаментальное свойство:
возможность формулировки однозарядовой
макроскопической электродинамики в дуально симметричном ви-
Ае [200].
В =
Н =
Н =
83

§ 5. Дуальная симметрия квантовой электродинамики
Рассмотрим дуально симметричную формулировку
квантовой электродинамики [79]. В ее основе лежит
подход Вайнберга [322] к построению квантовой теории
фотонов. Этот подход позволяет наиболее ясно показать
связь дуальной симметрии электромагнитных явлений с
их пространственно-временной симметрией.
Предварительно остановимся на существующих в
литературе способах получения уравнений Максвелла.
Иногда исходят из требования инвариантности
лагранжиана, записанного для свободных заряженных
частиц относительно локальных преобразований полей
(теория компенсирующих полей (см. [345])):
г|) (х) ->* г|) (х) ехр {ieA (х)}. (3.60)
Это требование будет выполнено при замене производных от
операторов заряженных полей на «удлиненную»
производную
^ (дц — ieAj я|>, (3.61)
где поле А^ допускает градиентные преобразования
+ ^мД*
При этом выражение, стоящее справа в соотношении
д£ ^ .д£ /Q „
ie \J), (3.62)
дА^ д (д^)
представляет собой определение сохраняющегося
электрического тока. Добавляя в лагранжиан член,
описывающий свободное поле и удовлетворяющий условию
калибровочной инвариантности, из (3.62) получим
уравнения Максвелла.
В ряде работ [346, 347] уравнения Максвелла
«выводятся» из условий, необходимых для того, чтобы
классическое векторное поле описывало безмассовую частицу
с единичным спином. Но при этом по-прежнему
приходится прибегать к введению лагранжиана.
Основное возражение против такого подхода состоит
в том (см., напр., [322]), что без предварительного
знания уравнений Максвелла нет никаких оснований для
использования калибровочных преобразований в
качестве исходного принципа; определение спина поля не имеет
84

фундаментального значения в отсутствие связи зТоГО
поля с одночастичными состояниями, соответствующими
определенным представлениям неоднородной группы
Лоренца, которые имеют физический смысл.
Вайнбергом было показано, что отправным пунктом
для построения квантовой теории фотонов могут быть не
уравнения Максвелла, а лоренц-инвариантная
S-матрица, рассчитанная по правилам фейнман-дайсоновской
теории возмущений. Предполагается, что S-матрица
задается в виде
оо + 00
s = у-Чг ^■■■н'(3-63)
п=0 П*
где Н' (t) — гамильтониан взаимодействия в представлении
взаимодействия
Н' (t) = ехр (*#/) Я' ехр (—*#/), (3.64)
Hf — гамильтониан для свободных частиц, Н' —
гамильтониан взаимодействия.
Как уже отмечалось в § 3 гл. 2, допустимыми
неприводимыми представлениями группы Лоренца (/ь j2) для
фотонного поля будут
/1 — /а = ± 1 •
Представлениями низшей размерности являются (0, 1) и
(1, 0). Неприводимые поля, преобразующиеся по этим
представлениям, имеют соответственно следующий вид:
Ftv = (2п)-УЧ j d3p (21 р |->/2 {p/v (р) — pve± (р)}х
X {а (р, +/) ёР,х + а+ (р, +j)e~lPx}. (3.65)
Алгебраические свойства полей F±v позволяют записать их
в следующем виде:
F± = емп (Еп ± i№n). Ft= ±i (Eh ± iHh) (3.66)
Поляризационные векторы ev± определяются следующим
образом:
4(Р) = Rl(P)el, (3.67)

оператор вращения, совмещающий ось г с
направлением р.
Из того, что р^е»_ = 0, следует d^F^y = 0, так что
rot (Е ± tH) = ± i (Ё ± /Н), div (Е ± tH) = 0 (3.68а)
или rot Е = — , div Е = О,
dt
(3.686)
дЕ
rot Н = , div Н = О,
dt
т. е. приходим к уравнениям Максвелла, если отождествить
Е и Н со свободным электрическим и магнитным полями
соответственно.
Относительно произвольных неоднородных преобразований
Лоренца x'v = Av*v + аР поля F±v преобразуются как
тензоры
U (A, a) F± (х) U-1 (Л, а) = A^Ff (Ах + а). (3.69)
Использование только фотонных полей F±v для
построения гамильтониана взаимодействия недостаточно, поскольку
коэффициенты при операторах а(р, +/) стремятся к нулю
при /?->-0, что приводит к отсутствию кулоновского
взаимодействия в противоречии с опытом. Эту трудность можно
преодолеть, переходя к потенциалам так что
F^ = d^A\-d^±t (3.70)
однако эти потенциалы носят нетензорный характер, имеют
вид
At = (2я)-3/2 j д?р (2 | р |Г1/2 е$ (р) {а (р, ± /) +
+ (— 1У а+ (р, + /) е-‘р-х) (3.71)
и преобразуются относительно однородной группы Лоренца
следующим образом:
U (А) А^ (х) и-' (А) = A; Av (Ах) + с^Ф* (х, А), (3.72)
где Ф* — некоторая функция координат х и лоренцевых
преобразований А (см. [348]).
Возможно одновременное использование либо
потенциалов А^., либо эрмитовых операторов А^, В^\
 86

лц= (Л+ + Л-)// 2,
(3.73)
В» = i(A~-Ai)/V2 .
Вайнберг [322] ограничился использованием только
потенциала А^ и показал, что выбор гамильтониана Я' (t) в виде
Я'(0 = -j d3xAh(x, t) Л (х, 0 +
+ у J d3xd3yJ% (х, t)D(x — у) Jo (у, t) (3.74)
при условии, что Jец есть четырехмерный вектор и
сохраняется как в представлении взаимодействия, так и в гайзен-
берговом представлении, т. е.
дЛ = °>
(3.75)
[H'(t)f ] = 0,
обеспечивает лоренц-инвариантность S-матрицы.
Рассмотрим более общий случай [79], когда в
гамильтониан взаимодействия Я' (t) входят как Атак и А^,
связанные с токами J^y
+ ,3.76)
Mf ’ * адг '
Если просуммировать по всем порядкам теории возмущений,
то матричные элементы для рождения или уничтожения
реальных или виртуальных безмассовых частиц определяются
токами в гайзенберговском представлении
Л±,(Н) = ехр (iHt) j£ (0) ехр (— iHt). (3.77)
Из требования эрмитовости гамильтониана следует, что
Jt = л*.
Появление двух токов в гамильтониане означает, что
константа взаимодействия частицы с право- и
левовинтовой частью электромагнитного поля различна.
Исследуем трансформационные свойства внутренних фотонных
лийий для гамильтониана вида
87

H' (t) = i j d3x{jf (x, t) At (x, f)—Jk (x, i) AJ (x, t)}.
(3.78)
Исходя из вида потенциалов At, Л/Г, нетрудно убедиться,
что пространственно-временные пропагаторы для этих полей
обращаются в нуль:
< 01 Т (Лц (х), Л+(*/)}|0> =
= < ОI Т {А» (х), 4Г (г/)} | о > =0. (3.79)
Возможны два типа эрмитовых пропагаторов:
(*- у) = < о IТ {At (х) Л7 (у) + Л* (X) Л+ (у)} 10 > ,
(3.80)
(х - у) = 1 < 01Т {А+ (X) Л7 (у) - А» (X) Л+ (у)} 10 > .
Поскольку мы предполагаем у частицы два типа заряда,
то во втором порядке теории возмущений соответствующие
матричные элементы запишутся следующим образом:
Jii (х) (х у) Jv (у) -|- JIX (х) D(AV (х у) j~ (у), (3.81а)
J+ (x)D^ (х - у) К (У) + (х) Dw (x-y)J+ (у). (3.816)
Используя (3.71), можно убедиться, что пропагатор (х—
— 	у) имеет следующий вид:
Dnv (х — У) = (2пГ3 j d3P (21 P'J)~1/2 ^±et (P) ev (P) X
X {0 (x — у) + 0 (у — х) (3.82а)
(q) = i' j* dixe~i,,~x <С Т (А^ Av -(- А^ Л^~) ]>0 =
= (?) бу (д) = n,v (д)
q2 — is q2 — ie
Выбирая q = k, где k — единичный вектор в z-направлении,
получаем ef = 1/j/2 , е* = ± i/V2 ,=6^=0 и ПП=П22=1,
П33=П44=0. Поэтому можно записать
n„v = 2±е* -е$*= g^+n^+n^ —%qv,
(3.83)
% = {0, 0, 0, i}, q^= (q, i}
88

или, определяй вектор qй согласно соотношению
% = + % (IЧI — Чй))!\ ЧI- (3-84)
можно выразить через вектор q^.
^)XV ёц\ | ^ |2 (Mv nv%)
г~ ЯуЯ* + -pr W (3-85а)
I q I2 I q I2
Для q = k (3.85) согласуется с (3.83). Но это
справедливо и для любых q, так как ПЙУ (q) связан с (k)
вращением R^yiq), которое переводит k в q:
n,v(7) = R»*(q)Rvt (<7)ПаР(Л). (3.856)
В результате пропагатор D^v может быть записан в виде
суммы трех членов
(я) = Dlv (q) + (Ф + (q)- (3.82в)
Первый член — обычный ковариантный тензорный
пропагатор, он получается при использовании индефинитной
метрики; второй член нековариантен, но пропорционален q^ или
qv, что дает нуль при умножении на сохраняющийся ток;
третий член нековариантен и приводит к следующему про-
пагатору в координатном представлении:
(2л)"4 J diqei^x~y'> = б (*4 — г/4) D (х — у) /угу)
(3.82г)
который может быть сокращен добавлением к Я' (t)
известного кулоновского взаимодействия
Я;ул = -j j d3xd3y {Jt (х, t)D{\— у) Л (у, 0 +
+ Jo (х, t)D(x — у) (у, ^)}- (3-86)
Гамильтониан взаимодействия Н = Н' (t) + #кул
соответствует выбору кулоновской калибровки.
89

Функция Грина в кулоновской калибровке имеет вид
I (»•?)—?*
+ (4f=7i 4 ■ <3.87)
9s
что приводит к диаграммной технике, отличающейся от ко-
вариантной фейнмановской только видом пропагаторов у-
кванта. Возникающие же здесь диаграммы топологически
тождественны обычным фейнмановским.
Рассмотрим теперь пропагатор
(* — У) = (2л)_3/2 j d3P (2 (Р |)_1 (/?) х
x{0(* — у)Мх~у) + 0 (г/— х)ё^у~х'}, (3.88а)
где
Q^v (р) = tS± (±) в* (p)-ef (р), (3.89)
или в импульсном представлении
(я) = i f d*xe-w*-y> D (х - у) = - .
J (я—Ie) I q I
(3.886)
Используя (3.67), видим, что Q12 = —Q21 = 1 и все
остальные компоненты равны нулю, так что Q^v можно записать
в следующем виде:
a»vfo) = • (З.90)
I ч I
Отсюда пропагатор D^v имеет вид
D {q) = . # (3 88b)
Яг—ie | q I
Это выражение нековариантно и не может быть разбито в
отличие от пропагатора (3.80) на ковариантную и нековари-
антную локальную часть, которую можно сократить
добавлением локального ковариантного члена к Н' (t) (см. [289,
322]).
Исходя из характера преобразований А± (см. [348])
относительно группы Лоренца, можно показать, следуя
90

Вайнбергу [322], что для обеспечения лоренц-инвариант-
ности S-матричных элементов с внешними фотонными
линиями достаточны (и необходимы по меньшей мере на
световом конусе в импульсном пространстве) следующие
Условия (3.91), (3.92) справедливы в нашем подходе, и
поэтому для доказательства лоренц-инвариантности
S-матрицы в целом необходимо показать, что
рассмотрение внутренних фотонных линий не нарушает лоренц-
инвариантности. При этом для распространения лоренц-
инвариантности на S-матричные элементы в целом (см.
[349, 350]) достаточно рассмотреть только матричные
элементы во втором порядке теории возмущений.
Если рассматривать взаимодействия между
частицами одного и того же типа, то в силу взаимного
сокращения двух членов в (3.81) требование
лоренц-инвариантности не будет нарушено. Оно будет нарушаться при
взаимодействии между частицами различных типов,
обладающих различными константами связи с
электромагнитным полем.
Следовательно, лоренц-инвариантность требует
универсальности е+у е_ для всех типов частиц (допустимо, чтобы
ё^_ = пе^_, е_ = пе_). При этом возможно получение лоренц-
инвариантной S-матрицы с гамильтонианом вида H=H'(t)+
митовых операторов
(3.91)
(3.92)
(3.93)
Гамильтониан перепишется следующим образом:

+ Y j* dsxd3y {Je0 (x, t)D(x— y) Jo (y, t) +
+ (x, t)D(x— y) Jg (y, 0}- (3.94)
Требование универсальности эквивалентно требованию
универсальности отношения g/e
g/e = univ. (3.95)
Таким образом, мы показали возможность
построения лоренц-инвариантной S-матрицы для частиц,
обладающих двумя типами зарядов при g/e = univ.
Использование кулоновской калибровки связано с
тем, что мы отталкивались не от полевой теории,
основанной на лагранжиане, а исходили из групповых
свойств, допускающих лишь определенные
представления группы Лоренца. Однако отличие D^v от ковариант-
ной функции Грина всегда можно устранить
калибровочным преобразованием. Например, с помощью
преобразования
а'н = \
 можно перейти от радиационной калибровки к обычной
диаграммной технике в калибровке Ландау.
Построение S-матрицы в кулоновской калибровке,
необходимость которой следует из ограничения
представлениями (1,0) и (0, 1), соответствует требованию о
выполнении явной инвариантности относительно
трехмерной группы вращений. Следовательно, сочетание
требования лоренц-инвариантности с требованием явной
Оз-инвариантности допускает рассмотрение дуально
заряженных частиц при универсальности отношения g/e.
Из этого факта может быть сделан определенный
вывод: не существует лоренц-инвариантной теории
магнитного заряда при произвольных значениях магнитного и
электрического зарядов.
Условие g/e = univ является, по-видимому,
простейшим ограничением возможных значений этих зарядов.
Явная инвариантность относительно 03 присуща
структуре электродинамики с одним типом источников.
Сохранение этого свойства — основная причина
эквивалентности двух формулировок электродинамики. Оно
же делает невозможным лоренц-инвариантное
рассмот92

рение дуально заряженных частиц с произвольным
отношением g/e вне зависимости от того, появляется ли
дополнительное условие, ограничивающее значения g и е.
Здесь, по-видимому, возможны два варианта
построения теории: либо отказ от явной инвариантности
относительно группы 03, что и производится в теории с Dirac
string (см. § 5 гл. 5), либо увеличение числа степеней
свободы для электромагнитного поля при сохранении
этой инвариантности (см., напр., [141]).
В первом случае, хотя явная инвариантность
относительно группы 03 отсутствует, теория в целом 03-инва-
риантна и лоренц-инвариантна за счет использования
условия зарядового квантования. Можно, однако,
выдвинуть определенные возражения против такого подхода
(см. гл. 7).
Во втором случае на квантовом уровне мы столкнемся
с выводом Швингера [351] о том, что увеличение числа
степеней свободы для электромагнитного поля нарушает
требование положительности энергии. Насколько этот
вывод применим к электродинамике с двумя типами
источников, пока остается неясным.
§ 6. Полевая теория частиц с двумя зарядами
6.1. 	Полевые уравнения в представлении Гайзенбер-
га. Вайнбергом [322] было показано следующее: пусть
поле Ф(х) подчиняется следующим перестановочным
соотношениям и уравнениям
[Фп (х, 0. Фт (у, 01 = 0. [фп (*. 0. К (у. 01 = о,
(3.96а)
[Фп(х, 0. Фт(У, 01 = г'Фтп (х—У)-
□Фп(х) = 0 (3.966)
и гамильтониан взаимодействия H'{t) не содержит
производных от Фп выше первого порядка. Тогда можно доказать,
что ФhH) — поле в гайзенберговом представлении
ф[Н)(х, t) = U(t)<t>n(x, о«/_1(0.
U (t) = ехр (— iHt) ехр (— iHft)
03

удовлетворяет полевому уравнению
□ Ф(пИ) (х, 0 = — j d3yq>nm (х — у) (у, t), (3.97)
где
г(^) о(И) д ЫН)
** т — *->т ,
(3.98а)
S^ = U(t)SmU-Ht),
И
5„П1 = — , (3.986)
дфт "т а(с?,Фт)
где —плотность гамильтониана, Н= j d3x:K.
Потенциалы а£, или А^ В ц удовлетворяют условиям
(3.96), и гамильтониан Н (3.94) не содержит производных
от потенциалов.
В результате для потенциалов A(kH) В[И) можем записать
□ а[И) = - Л(Н) - аАа, j d*yD (х - у) Ji{H),
(3.99а)
□ BiH) = - Л(Н) - dhdl j d3yD (x - у) J?H).
Однако для полного учета взаимодействия между зарядами
необходимо включить еще кулоновское взаимодействие, т. е.
ввести четвертые компоненты для А[н\ В[Н):
Л4 = iA0 = i J d3yD (x — у) Je0{H) (у, t),
(3.100)
Вt = iB0 = i j d3yD (x - у) Л(И) (у, О-
Поля А{0Н) и В[И) удовлетворяют уравнению Пуассона
A A{oH)(x) = -JeoiH)(x),
(3.101)
АВ{0Н) (х) = — Д{Н) (х).
Условие (3.101) и закон сохранения тока позволяют
записать (3.99а) в виде
□ А{Н) (х) = - Л(Н) (х) + d,dhA[H) (х),
(3.996)
UBiH) {х) = - 4{Н) (х) + д,дкВ(4Н) (х).
94

Специфическая форма уравнений (3.99) связана с
выполнением кулоновской калибровки для A{kH) и B{kH).
Уравнения (3.99) можем переписать в виде
dAV W = $Н) (*)> dvFW (*) = К(Н) (х)
при
/?("> _ д А{Н) — д А{и) — £ д В{Н)
(3.102)
£(Я) _ Л П<И) Л I с Л
г liv — I ^vap^a^P *
Формально это выражение совпадает с определением F^,
F^v через два независимых потенциала. Однако в нашем
случае потенциалы A\fi) и В|1Я) по определению
характеризуют одно и то же поле, что видно из (3.70)—(3.73), так
что увеличения числа степеней свободы не происходит.
Иначе это можно объяснить тем, что два потенциала описывают
поле излучения, где даже при задании выражения типа
(3.102) 	и соответствующем выборе калибровки мы всегда
будем иметь для каждого заданного значения импульса лишь
два фотона.
Таким образом, мы показали, что в рамках
S-матричного подхода можно прийти к квантовой теории
фотонов, где и в присутствии источников имеет место
дуальная симметрия.
6.2. 	Закон преобразования гамильтониана
относительно дуальной группы. Действие унитарного оператора
U(0) на начальные и конечные состояния свободных
частиц сводится к умножению на мультипликативный
фазовый множитель. Имеет место следующая теорема
[352]: пусть U — унитарное преобразование,
оставляющее инвариантными с точностью до мультипликативного
фазового множителя начальные и конечные состояния
для некоторого процесса. Тогда два гамильтониана
взаимодействия— Явз и Явз =UHB3U~1 — ведут к одной и
той же вероятности перехода для процессов. Эта теорема
не есть простое выражение унитарной эквивалентности
двух теорий, что тривиально. Вероятности перехода
рассчитываются между теми же состояниями для каждого
Я и Я', а не для унитарно трансформированных
состояний. S-матрица, рассчитанная из Явз, связывается с
S-матрицей для Явз следующим образом:
S' = USU-K
95

Если | а > и | b > — два любых | in > -состояния, тогда имеем
<a|S'|fc>= < а| 6/SC/-1 \Ь} = г|0г]* (a\S\b) ,
(3.103)
[/ 11 а > = л* | а > , U 1\Ь) г\* \Ь) .
В результате унитарного преобразования
£/(0) = expjy 0 j* d3x (Н • А — Е • В) j
можем перейти к гамильтониану Я', где
Н' = — j* d3x{Ah (х, 0 J'k (х, t) + Bh (х, t) J'ke (х, 0} +
+ ± j &xd*y {/0е (х, /)D(x- у) (у, t) +
-f Уое(х, t)D{\~ y)f0e(y, t)}, (3.104)
e’ = e cos 0 — g sin 0,
(3.105)
g' = e sin 0 + g cos 0.
В силу произвольности выбора параметра 0 можем
определить его следующим образом:
0 = — arctg g/e, (3.106)
в результате унитарного преобразования с 0 (3.106)
приходим к гамильтониану вида
Я' =- J d3x(Ak(x, t)Jqk(x, 0} +
+ ~ J d3xd3y П (х, f) D (х у) Л (У, t), (3.107)
где q = {е2 + g2}l/2 в силу того, что
g' = 0, — е sin 0 = g cos 0.
Таким образом, при соответствующем определении
параметра дуального преобразования 0 можно перейти
к теории, описывающей частицу с одним эффективным
зарядом q.
96

6.3. 	Лагранжева формулировка теории [76]. Исходя
из потенциалов А и В в кулоновской калибровке, т. е.
предполагая условие
dhAl = dkBTk=0, (3.108)
запишем для лагранжиана следующее выражение:
J2 = - у зиЯдГ - у дЛ +
+ 4 а1 + Л в1 —L у? а-vs -
4
- -1 4 А-У0г + f (УЛ + т) 109)
4
т т
Чтобы получить уравнения для потенциалов 4 и
нужно искать условный экстремум лагранжиана L =^d*x£,
т. е. необходимо найти безусловный минимум выражения
U = J d*x (£ -f Х'дпАп + к"дпВтп)у где к лагранжиану £ в
соответствии с методом множителей Лагранжа добавлены
члены Х'дпАтп, Х”дпВ^ и X', X" — вспомогательные поля.
Варьирование полей Аг, Вг и V, X" приводит к следующим
уравнениям:
ПАтт = -Jem -dJJ, дтАТт = 0.
(3.110)
UBl = -J% -дтг, дтВТт = 0.
Действуя на первое и второе уравнения оператором Ьтп —
— 	A-1dmdn, исключаем вспомогательные поля X' (х) и X” (х).
В результате находим
□ Ат = (б А гдтд ) Jn,
(3.111)
ПВТт = -фтп-А-'дтдп)Л
Производя варьирование по \j), приходим к следующему
уравнению:
(Y А + т) V = ieyh^Al + igyh^Bk —
^ Y4 №41) ~ ~ №“Vf). (3-112)
7. Зак. 670 97

Исходя из лагранжиана (3.109), с помощью процедуры
канонического квантования получим одновременные
перестановочные соотношения
[Al(x), aJ («/)]_ = о,
Ak (х),
дА] (у) 1 =
ду* \-
= (блг —А Ч^)б(х-у),
[В1 (х), в! (*/)]_ = о,
Bk (х),
дВ! (у) ]
ду4 ' J-
=(3.113)
= (8hi—А_чаг)б(х-У),
№ (*)> ^ («/)]+ = 0, [г|) (х), ^ (г/)]+ = у46 (х — у),
[г|) (х), Ак (г/)] = [г|) (х), BTk (г/)] = О,
г|) (х),
дА\(у)
dyi
]-[
дВ1(у)
dyt
(3.114)
= О,
которые могут быть дополнены перестановочным
соотношением
i [А\{х), $ («/)]_ = BhlndnD(x — у) = ешА~1дпб(х — у).
^ j1 т т
Поля Е , Н определены через потенциалы А , В
следующим образом:
Е' = - вА
Нт =
dt
дй1
dt
— rot В1,
+ rot А7
(3.115)
Уравнения (3.111), (3.112) совместно с
перестановочными соотношениями (3.113) и (3.114) и определением
(3.115) представляют собой формулировку дуально
симметричной электродинамики в калибровке излучения.
Уравнения (3.111), (3.112) и перестановочные
соотношения (3.113) можно записать формально ковариантно,
используя произвольный положительный времениподоб-
ный вектор % (см., напр., [353]).
Система уравнений и перестановочных соотношений
лоренц-инвариантна, что гарантируется возможностью
взятия в качестве любого времениподобного вектора.
98

Исходя из лагранжиана (3.109), можно получить
выражение для канонического тензора энергии-импульса
7Vv и тензора момента количества движения М^9.
Швингер [351] установил, что выполнение
канонических перестановочных соотношений (см. приложение Б):
[7^44 (*), Ти (у)] = - I (Tih (х) + Tih (у)) dhb (х - у) (3.116)
гарантирует лоренц-инвариантность теории. При этом,
конечно, должно выполняться требование вращательной
инвариантности — операторы импульса и момента
количества движения должны удовлетворять следующим
перестановочным соотношениям:
[Ph. Pl\ = °> lPh> JlJ = hlPm — KmPb
Уы> Jmj = bhnJTnl + blmJnk—8hmJni—$lnJmk> (3.117)
Рь = * J d3xTih, Jkl = i j* cPx (xkTu x{Tik).
Для можем записать следующее выражение:
Ти = Y {(ЕТг + (НГ)2} + Цуи (дк - ieAl - igBl) ф +
+ тОД> + y ^ (3-118)
где EL = — уФе, HL = — уф^ характеризуют кулоновские
поля электрического и магнитного зарядов.
Фе (х) = j d3x'D (х — х') Je0 (х'),
(3.119)
Ф8 (х) = Jd3x'D (х — х') Л (х').
Компоненты Tih имеют вид
т*ь=(Е X H)fc + ^4 (dh — ieAl — lSBl) +
+ {(VX (3.120)
4
Нетрудно проверить, что выполняются следующие
соотношения:
7* 99

— i IE (*). T44 Ш = — н (у) X V6 (x — y) — je (y)6 (x—y).
(3.121)
— 	i[H(x), T44 (у)] = E (у) X уб (x—у) — Jg (у) 6 (x—y),
т. e. уравнения движения для E, H. При таком выборе
Т44 и Г4ь удовлетворяется условие (3.116), проверка
выполнения которого значительно упрощается, если учесть,
что оно верно для случая е = 0 или g = 0.
До сих пор мы не касались вопроса о том, существуют
ли ограничения на численное значение е и g, фактически
рассматривая полевую теорию для одного типа дуально
заряженных частиц. Если мы предположим теперь, что
лагранжиан (3.109) записан для общего случая, это не
изменит структуру Г44 и Т4&. Необходимо лишь
произвести суммирование по различным типам частиц и
использовать соответствующие индексы.
Рассмотрим теперь выполнение условия (3.116).
В его правой части появится дополнительный член,
имеющий нелокальный характер:
(еаёъ — ebga) Чы^пР (х — *')■ (3-122)
Лоренц-инвариантность теории при сохранении
структуры Г44, Tik требует выполнения условия
&ь№ь>
которое означает универсальность отношения g/e.

4
глава
ГАЛИЛЕЕВСКИ ИНВАРИАНТНАЯ
ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Вопрос о том, существует ли непротиворечивая и
физически содержательная нерелятивисткая теория
классического электромагнетизма, кажется на первый
взгляд парадоксальным, если вспомнить, что именно
трудности нерелятивистского описания
электромагнитных явлений обусловили появление теории
относительности. Но реальный парадокс заключается, по-видимому, в
том, что фактически отсутствует строгое и
недвусмысленное понимание «релятивистских» аспектов
электромагнетизма (см. [84, 85]). И, как мы увидим далее,
достаточно удовлетворительное решение этого вопроса может
быть достигнуто только путем введения в теорию наряду
с электрическими также и магнитных источников.
Исследование галилеевски инвариантной теории
электромагнетизма не только представляет интерес с
методической точки зрения, но имеет также практическое
применение к вопросам электродинамики движущихся сред
(см. [35]). Остановимся вначале на определении группы
Галилея и дадим краткую сводку свойств этой группы.
§ 1. Галилеевская относительность в полевой теории
Десятипараметрическая группа Галилея описывает
следующие пространственно-временные преобразования:
x->x'=/?x + v/ + a, t-+t'=t + bt (4.1)
где R — ортогональная матрица, определяющая
пространственное вращение; v — постоянный вектор,
соответствующий собственно преобразованию Галилея; а —
постоянный вектор сдвига начала координат в
пространстве; Ъ — постоянная, характеризующая сдвиг начала
отсчета времени.
101

Пространственно-временные производные при чисто
галилеевских преобразованиях имеют следующий закон
преобразования (см., напр., [354]):
1 д 1 д , 1 , /.04
— 	^7 = — ^7 н vv, v =V- (4-2)
с dt с ot с
Обычные преобразования 4-вектора (А, Л4) относительно
специальных преобразований Лоренца
А\ = у 1 (i4x-f- *РЛ4), А2 = А2, Л3 = А3>
(4.3)
А^у-НА.-фАг)
допускают два различных галилеевских предела, а именно:
Ao = A0,A'=A-~vA0, (4.4)
С
А0 = А0 — vA, А'= А. (4.5)
С
Уравнения (4.4) справедливы при условии, что v/с 1
и \А\ < Л0, т. е. 4-вектор является «глубоко времениподоб-
ным». Отметим, что галилеевские преобразования простран-
ственно-временных интервалов
с At' = с At,
А г’ = А г — vAt
справедливы только при условии, если А г с At.
Преобразования (4.5) должны использоваться в случае, если v/c « 1
и |А| > А0, т. е. для «глубоко пространственно-подобных»
4-векторов.
В литературе в последнее время широко обсуждается
вопрос о формулировке теории поля, инвариантной
относительно группы Галилея, а не группы Пуанкаре (см.,
напр., [355] и приведенную там литературу). Одна из
причин заключается в том, что многие эффекты, которые
традиционно считаются чисто релятивистскими, могут
быть объяснены уже на уровне галилеевски инвариантной
теории (например, понятие спина!). Но с точки зрения
перехода к более широкой группе
пространственно-временных преобразований группа Галилея, несмотря на то
что ее структура сложнее, чем структура группы
Пуанка102

ре, более удобна для проведения такого обобщения.
Рассмотрение галилеевской относительности, опирающееся
на строгий теоретико-групповой подход, позволяет также
дать корректный анализ нерелятивистского
приближения, достаточного для описания широкого класса
явлений.
§ 2. Электромагнитная теория
в галилеевски ковариантной форме
2.1. 	Постановка задачи. При анализе галилеевской
электродинамики мы будем интересоваться в первую
очередь следующими аспектами поднятой проблемы: а)
каков галилеевский предел (если он существует)
уравнений Максвелла и выражения для силы Лоренца или,
иными словами, какие электромагнитные эффекты могут
быть рассмотрены в качестве нерелятивистских, а какие
возникают только при релятивистском рассмотрении;
б) как преобразуются электрические и магнитные поля
при галилеевских преобразованиях; в) какие явления
электромагнетизма могут быть описаны в рамках
галилеевски инвариантной теории; г) каковы уравнения
движения для дуально заряженных частиц в этой теории.
В работах [84] отмечено, что существует не один, а
два различных и хорошо определенных галилеевских
предела классического электромагнетизма. Первый
предел соответствует физической ситуации, когда
доминируют электрические эффекты (|E|^>c_1j,i0|H| —
электрический предел). Второй предел характеризуется
преобладанием магнитных эффектов (|х0|Н|3>с|Е| — магнитный
предел).
С формальной точки зрения наличие двух предельных
ситуаций обусловлено возможностью существования двух
типов «галилеевских 4-векторов» (см. (4.4) и (4.5)).
Поэтому допустимы два галилеевских описания вектора
тока (j, ср). «Электрический» предел соответствует
ситуации, когда c|p|^>|j|; «магнитный» предел — ситуации,
когда c|p|<C|j|. Если бы существовал только один тип заряда
(электрического или магнитного) — положительный или
отрицательный, то физически допустимым был бы только
электрический предел. Существование двух типов
заряда приводит к тому, что плотность тока |j| во многих
случаях может быть значительно больше, чем плотность
заряда с|р|. В частности, это обычная ситуация на
макро103

скопическом уровне (например, здесь возможно, что
р = 0, j^O), так что оба предела представляют
физический интерес.
На первый взгляд кажется, что можно легко
получить галилеевский предел теории электромагнетизма
путем устремления скорости света с к оо в уравнениях
Максвелла. Но такой подход может привести (и
приводит) к ошибочному результату. Это объясняется тем, что
выводы начинают зависеть от того, в какой системе
единиц были записаны исходные уравнения (см. далее § 4).
В последующем нам понадобится знание закона
преобразования 4-вектора тока и векторов электрического
Е и магнитного Н полей относительно лоренцевых
преобразований. Приведем здесь их явный вид:
», = JH|v_ + |н _ JHv^ _ ^ (у xE)j =
+ (4.6)
V2,
Е'= + yWe- + H-o(VXH)] =
Y-1{E + fi0(vXH)}+(l-V-1) (4-7)
(4.8)
j'= j + (v г— 0 (jVi Y xvp,
= Y 1 P г (Jv) , Y = (1—^2/c2)—1/2
c2
В качестве исходных рассмотрим уравнения Максвелла
и выражение для силы Лоренца, записанные для дуально
заряженных частиц в системе единиц MKSQ*>:
<ЗЕ
rot; И = е° + divE = e-!pq, (4.9)
rot Е = — ц.0 — — jg, div Н = fx-Jp g,
В этой главе нам удобнее использовать для обозначения
электрического заряда не букву е, а букву q.
104

F. 	— j d3x (pq.E -f pg.H -|- xH e0jg. X E), (4.10)
где pq. (pg.) — плотность электрического (магнитного) заряда,
P<z = 2 = 2 ^ = 2 ^ = 2
i i i i
Уравнения Максвелла (4.9) можно решить, введя два
независимых потенциала (см. § 2 гл. 2 и § 2 гл. 3):
<ЗМ
dt
(4.11)
Е = — grad ф rot N = Eq+ Eg,
dN_
dt
dm
dt
dN
, (i0 H = rot М. Система уравнений (4.9) распадается
Нон = — grad Ф — + rot М = (Нг+ нз) |а0,
где Eq = — grad ф , Eg= —rot N41 0Hg = —grad Ф
dt
в этом случае на две следующие системы:
«ЭЕ,
rot tiq = е0 -f je, div Е9 = е-'рд
ан.
rot Ед= — [х0 , div Нд= 0
rotHg= ео > divEg=0,
ан„
rotEg=-H0 jв, divHg=(i-V
(4.12)
(4.13)
dt
2.2. 	Электрический предел электродинамики. При
рассмотрении дуально заряженных частиц в случае
электрического предела предполагается выполнение следующих
условий:
с|рП»|>Г|. |ЯГ|»Ф0|ЯГ|.
(4.14)
|£Й«^о|4е)|.
105

Здесь индекс е означает электрический предел, в
котором рассматриваются полевые векторы и источники.
Уравнения Максвелла и выражение для силы Лоренца в
этом пределе имеют следующий вид:
■лр (б)
rotH^' = е0 —+ j(e), divE^e)= е0 !Р(«)>
(4.15а)
rot Еде) — 0, divH<e)=0
и
rot Hg > = 0, div Ege) = О,
(4.156)
рлл(е)
rot Ef = - Ио ^ fieh div Н<*> = (xo-'pf,)-
а также
f = j d»r {pfoE<«> + pfe)H<0 +
+ WwXH<e)-6oj!e)XE<e)}, (4.16)
где E<«)= Eg’+E^’, = Hg’+H^’ инвариантны относи-
тельно галилеевских преобразований полей и источников:
Е;<е) = Е<*\ H;<e)=H<e)-s0vXE<e),
Egе) =Е<*> + ^v X н<е), Hgе) =Н<е), (4.17а)
p$g)=p?<f>, j;?{g)=j(if)-v-p(i))
и галилеевских преобразований пространственно-временных
производных (4.2).
Галилеевские преобразования полей (4.17)
получаются из лоренцевых преобразований (4.7), записанных для
каждого типа полей при использовании условий (4.14).
Из (4.17) следует, что изменение электрического
(магнитного) поля Eg(Hg) приводит к появлению магнитного
(электрического) поля Hg(Eg), в то время как
изменяющееся со временем магнитное (электрическое) поле
Hq(Eg) не индуцирует электрического (магнитного) поля
Е,(Нв). Это означает, что в уравнениях (4.12) и (4.13)
будут отсутствовать члены дНq/dt и dEg/dt
соответственно.
106

Уравнение неразрывности
-—jjf-—l~ div j* = 0 (4.18)
галилеевски инвариантно в этом пределе, и ток j описывает
движение изолированных дуально заряженных частиц со
скоростями, значительно меньшими скорости света.
Поля Е^\ Н^\ Eg \ Hge) могут быть выражены через
потенциалы
Е<е> = - grad q><*>, Н f = rot М(е),
(4.19)
Е<е) = — rot N(e), Но Н^е> = — grad Ф(е),
которые трансформируются при галилеевских
преобразованиях следующим образом:
<р'(?)= т(0, М'<г> = М(е>— e0H0v(p'e>,
(4.20)
ф'(0= ф(0_ vN«, N'W=N(e>.
Объединяя две системы уравнений Максвелла — (4.15а) и
(4.156), получаем:
rot Н<0 = е0 + iU, div Е<*> = е->р’е),
(4.15в)
J(*)> UiV И1'"/= P0 ’^(в)
rotE<«>=— Ho -737 j(*). divH<e> = H^’p
и соответственно для галилеевских преобразований полей
находим:
E'M = EW^HovxH^\
 (4.176)
Н'(*)=Н<«>— e0vXEJ'’.
Члены типа j^xH^ и jfe) х Н^е) исключены из выражения
для силы (4.16), поскольку они галилеевски неинвариантны.
Таким образом, в этом пределе существует магнитное
(электрическое) поле Нд (Eg), но оно не оказывает никакого
воздействия на электрические (магнитные) заряды.
2.3. 	Магнитный предел электродинамики. В магнитном
пределе имеем:
107

C|p?m)l«|j?m)l, |E<m)| «ф0|Н'т)|,
(4.21)
c|p?»)l«li?»)l, |4Ш)1 »ф0|нГ)1.
откуда в соответствии с (4.5) находим:
Р'Де)=Р^ (4.22)
Путем рассуждений, аналогичных проведенным для
электрического предела, можно убедиться, что галилеевские
преобразования полей имеют следующий вид:
Е'<">=Е(")+н УХИГ.
(4.23)
H'<m)=H(m)_eoV><E(m)_
Уравнения Максвелла и выражение для силы Лоренца,
инвариантные относительно преобразований (4.2), (4.22) и
(4.23), запишутся в этом пределе для суперпозиции полей
E(m)=E<m)+E<m)> Н(т)=нГ+Н‘т) следующим образом:
rot Н(т) = е0^- + j U, divE(m)= е-'р?т),
(4.24)
rotE<"' —|10 div Hlm) =
И
f = J dSr {P(m)Eg’!)+pfm)Him)-|-
+ MU X H(m) - e0jfm) X E(m)}. (4.25)
Нетрудно доказать, что выражение для силы Лоренца
галилеевски инвариантно:
f'-f=e0[x0 j d3r {(vj(m,) Egm) -f X (v X Egm>) +
+ (vjfm)) H<m) + jfm) x (vxH<m))} =
=e0|x0 j d3r (v (jmEf’)+ v (jfm)H'm))} =
= eoh> j d3r {(у X H^m) Egm)) -f jlH^m)} =
= Vo J d3r (y (H<m) xE<m>)+ (НГУ X Ef>) +
108

+(tf«)Hr))> = «^C d3r {Hjm)(v XEgm)+ jfm))}=0. (4.26)
d
При доказательстве использованы уравнения Максвелла (4.24)
и принято во внимание, что интеграл по поверхности от
выражения E$g) xHg7<7) исчезает, так как поле на
бесконечности равно нулю.
В магнитном пределе, как видно из (4.25), отсутствует
кулоновское взаимодействие зарядов.
Из уравнений (4.22) или (4.24) следует, что в
магнитном пределе плотность тока удовлетворяет условию
div j^<^)= О,
т. е. разрешены только постоянные токи, и,
следовательно, ток j не связан с движением заряженных частиц,
поскольку в этом случае условие dp/dt=^=0 уже не имеет
места.
Применительно к электрически заряженным частицам
магнитный предел соответствует феноменологической
магнитостатике и может быть использован на макроскопическом
уровне в ситуациях, когда вследствие взаимной
нейтрализации положительных и отрицательных зарядов преобладают
магнитные явления. В магнитном пределе электрическое
(магнитное) поле Едт) (Н^т)) не оказывает никакого
воздействия на электрические (магнитные) источники поля.
Поля Egm), H^m), Едт\ Н^т) определяются через
потенциалы следующим образом:
E‘m)= - grad Ф<т> - М-о H<m)= rot М(т),
(4'27)
Egm) = — rotN(m\ h>H£n)= — grad(D<m) ^ ’
и 4-потенциалы (ф(т), сМ(т)) и (Ф<т), cN<т>) образуют 4-
векторы типа (4.5) и (4.4) соответственно:
ф'<т> = ф — vM(m), M'(m)=M(m),
(4.28)
ф,(т)=ф(т), уф(т>
В связи с отсутствием в этом пределе уравнения
непрерывности для источников изменение заряда AQ,
обусловлен109

ное переходом к другой системе отсчета, равно нулю.
Действительно, из (4.22) и (4.24) следует, что
Таким образом, в галилеевски инвариантной теории
закон сохранения заряда выполняется глобально (Q,
G = const), но локальный закон сохранения отсутствует,
поскольку р и j не удовлетворяют уравнению
неразрывности. Следовательно, галилеевская относительность в
отличие от эйнштейновской совместима с существованием
нелокальных законов сохранения. Поэтому требование
выполнения локального закона сохранения, которое
может быть использовано для обоснования введения тока
смещения в максвелловскую электродинамику (см. [84]),
приводит к релятивистской формулировке
электромагнетизма. Из (4.29) следует также, что вариация заряда в
заданном объеме не связана с протеканием тока через
границу, т. е. в магнитном пределе, как уже отмечалось,
ток нельзя связать с движением заряженных частиц.
2.4. 	Уравнения движения для дуально заряженных
частиц. Рассмотрим в электрическом пределе движение
дуально заряженной частицы с зарядами еи g{ в поле,
создаваемом частицей с зарядами е2, g2- В соответствии
с (4.16) запишем:
В системе отсчета, связанной с частицей 2, поля Н', Е'
имеют вид
U-Vi
т1 ~ТГ~ = Qi^2 +
at
+ IWiX Е2— e0<7iVi ХН,
(4.30а)
110

В лабораторной системе отсчета в соответствии с (4.15)
находим:
W „ угХг
С2 —
4 	яе0г3 4яг3
и(*> ft* , „ v2Xr
"2 = — + q 2
4я(10г3 4яг3
где v2— скорость частицы 2. Подставляя значения полей
Eie), в (4.30а), получаем следующее галилеевски
инвариантное уравнение движения [85]:
т —= х
dt 4 п
х / Ш+gigt .r + (Vi_V2)xr] _ (4.30б)
\ г3 г3 /
Примечательно, что уравнение (4.306) может быть
получено в галилеевски инвариантной теории на основе
полевого рассмотрения.
Уравнение движения частицы 2 в поле частицы 1
получается путем замены в (4.306) индекса 1 на индекс 2
для всех величин и подстановки г->—г:
™ dy2 1
dt An
X
х (v.-vOxrl . (4.31)
Галилеевская инвариантность электродинамики
согласуется с третьим законом Ньютона, требующим,
чтобы выполнялось условие
щ -^Г+т*^Г=°- <4-32)
at at
Уравнения движения (4.30) и (4.31) удовлетворяют
этому соотношению. Если ввести условие
универсальности gllql=g2lq2l то взаимодействие между дуально
заряженными частицами будет носить чисто кулоновский
характер, что присуще именно галилеевски инвариантной
электродинамике электрически заряженных частиц в
111

электрическом пределе. В магнитном пределе уравнение
движения для отдельных заряженных частиц невозможно
записать без введения дополнительных предположений.
В следующем параграфе мы рассмотрим объединение
двух описанных выше формулировок галилеевской
электродинамики.
Полевые уравнения и выражения для силы в двух
вариантах галилеевски инвариантной электродинамики
сохраняют форму при следующих преобразованиях:
e0E^s)-> e0E^s) cos 0 + M0Hf sin 0,
e0Eg<s)-> e0Eg > cos 0 + ц0Н<5) sin 0,
(4.33)
H0H<SU — e0Eg> sin 0 + ^0H<S) cos 0,
li0H*(s)-v — e0E<s) sin 0 + ^0H<S) cos 0
и соответствующих преобразованиях для источников рг',
и j?, jX Под индексом 5 в (4.33) понимаются индексы
е или т в зависимости от рассматриваемого предела.
Преобразования этого типа соответствуют ларморов-
ской симметрии галилеевски инвариантной теории
электромагнетизма.
§ 3. Общая формулировка
галилеевски инвариантной электродинамики
Можно дать формулировку галилеевской
электродинамики, в которой одновременно рассматриваются два типа
электрических и магнитных источников: (р^}, j^), (р^, j* )
и (р\ту J(m))’ (р?ту Jfm))— и соответственно два типа
электромагнитного поля для каждого из источников. Для
простоты рассмотрим, следуя работе Ле Беллака и Леви-Ле-
блонда [84], только электрические источники.
Полагая p?, j? равными нулю и исключая из
уравнений (4.15) — (4.17) и (4.23) — (4.25) все величины с
индексом g и опуская индекс q у полевых величин, мы ino-
лучим галилеевски инвариантные электрический и
магнитный пределы электродинамики в присутствии только
электрических зарядов.
В описанной выше объединенной формулировке
используется следующее выражение для силы:
112

f— j* d?r{p\e)Eg H'oj(w) XH^m)+ P(e)EдШ) -f
+ l^oile) XHj ) p\m)Ege)-\- fX0j(m) XH«}, (4.34)
где поля и источники удовлетворяют соответствующим
полевым уравнениям в электрическом и магнитном
пределах.
Из (4.34) следует, что допускается взаимодействие поля
Ндв) с током j (m) и поля Едт) с источниками р\е). В
выражении (4.34) отсутствуют члены p(m)E^m) и j^xH^,
которые нарушают его галилеевскую инвариантность.
Доказательство галилеевской инвариантности первых четырех членов
в (4.34) не представляет труда. Для доказательства
инвариантности оставшихся членов необходимо использовать
(4.15а) и (4.22):
f'— f=—■60^0 { d3r {(yj(m)) Е?е> + J'bn) x (v X E£°)} =
=—e0ivj dzr (j(m)E^) = e0|i0u \ d3ry((flm) j4{m)) = 0. (4.35)
Предположим, что электрические токи в проводниках
соответствуют j(W)-THny, в то время как изолированные
заряды ,являются величинами р^-типа. В этом случае теория
может описать следующие экспериментальные факты.
1. Существование кулоновского взаимодействия
между точечными зарядами.
2. Наличие взаимодействия между токами и
магнитами.
3. Существование индуцированных токов. При этом
необходимо, однако, ввести следующее уравнение (закон
Ома):
j?m) = <т(Е<Г>+ Е*т>), (4.36)
чтобы получить индуцированный ток, поскольку
изменяющееся со временем поле Ндт) приводит к появлению
электрического поля Едт)у которое не действует на заряды.
Уравнение (4.36) не нарушает галилеевской
инвариантности даже с учетом (4.15а) и (4.22), (4.23), так как
предполагается, что оно справедливо только в системе
отсчета, где проводящая среда покоится.
4. Воздействие движущихся электрических зарядов
на,магниты и токи, что объясняет эксперимент Роуланда,
§, Зак. 670
из

5. Существование спин-орбитальной связи: магнитный
момент при движении со скоростью v в электростатическом
поле взаимодействует с магнитным полем Н^е)= —80vxE^.
6. Существование свободных полей.
Из (4.15) и (4.24) следует, что для полей
справедливо уравнение (при р, j=0):
AF = 0, (4.37)
где F = (Ед\ Н{де)\ Е{qm\ Н{дт)), которое наряду с
«монохроматическими волнами», постоянными во всем
пространстве, допускает решения следующего вида:
| Е<е) = 0, Е<т) = Е(0) ехр {Ш),
| Н<е) = Н(0) ехр (Ш), Н<т) = О,
где Е(0), Н(0) — однородные поля. Эти решения можно
рассматривать как волны с бесконечно большой скоростью, так
как они имеют бесконечную длину волны и конечную
частоту. Такие волны способны обеспечить мгновенное
действие на расстоянии, поскольку поля ¥1де) и Едт) воздействуют
на «истинные» заряды р^ и токи Цт) соответственно.
Таким образом, галилеевски инвариантная теория
может объяснить результаты экспериментов Герца, так
же как и некоторые другие эффекты электромагнитного
излучения, при описании которых можно отвлечься от
конечности скорости распространения взаимодействия
( т. е. пренебречь эффектами запаздывания). В
объединенной формулировке теории уже несправедлив третий
закон Ньютона, что обусловлено появлением у поля
импульса. Действительно, используя известные методы,
можно убедиться, что выражение для плотности энергии
поля имеет вид
и = А (Е'е))2+ ^ (н^)2. (4-39)
Предполагая, что выражение (4.39) справедливо и для
полей, переменных во времени, запишем теорему Пойнтинга:
+ Ef'jfo + E<m) iU + V-S=0; (4.40)
dt
которая удовлетворяется при выборе вектора Пойнтинга
в следующем виде:
S 	= E<e)xH<m)+E<m)xH<e). (4.41)
114

Используя обычную процедуру, можно убедиться, что для
импульса поля Р справедливо следующее определение:
Р = е0(х0Е<е>хНГ).
(4.42)
И, как нетрудно показать, выражение i-\-dp/dt, где
f—плотность силы (4.34), равно дивергенции от некоторой диадной
величины*).
В отличие от максвелловской электродинамики в
рассматриваемом пределе не существует связи между
импульсом поля Р и вектором Пойнтинга S: плотность
энергии и импульса поля галилеевски инвариантны по
отдельности. Это несколько неожиданно, так как можно
было бы предполагать, что они должны
трансформироваться в соответствии с одним из галилеевских пределов
лоренцевых преобразований этих величин. Следует
помнить, однако, что рассматриваемая теория является
комбинацией двух пределов, и в принципе нет оснований
ожидать наличия корректных трансформационных
свойств у всех величин
Убедиться в нарушении третьего закона Ньютона проще
всего, если рассмотреть взаимодействие электрического
заряда q, движущегося перпендикулярно линейному
проводнику с током, с этим проводником. На заряд в соответствии
с (4.34) будет действовать сила F = q\x0v xHjm)> в то время
как полная сила, действующая на проводник, равна нулю
(крутящий момент, конечно, отличен от нуля). Этот пример
показывает, что в целом третий закон Ньютона совместим
с галилеевской инвариантностью, но не обязателен в ней.
Как отмечено в [84], можно рассматривать такие
варианты теории, где вводится только один тип поля для
каждого из типов источников, но два вида токов. В таком
«улучшенном» электрическом пределе можно выбрать в
качестве исходной следующую систему уравнений:
*) Диадой называется тензор, 'компоненты которого имеют вид
Tki=cthbt, где а, b — некоторые векторы.
divH(e)=ji-1p«)
(4.43)
115

f = J d3r (pfe)E + P?e)H+ bJU X Ege>—H0jfe) X H'e) +
+ P‘m)E(e)+ pfm)H<e) + fi0j?m) XHW - e0j(m) X E(e>). (4.44)
Соответственно основу улучшенного магнитного предела
образуют уравнения вида
rotE(m)= Но —f j(m>, divE(m) = e5-,(p»f)+p»m))I
(4.45)
AF И)
rot H(m) = £0 —i h j(m), divH<m)=H^’(Pfm) + Pf„)
f= j d3r{p«E<m) + HoJ'w xH(m)+ W';,xH(m) +
+ pfm)H('n) - ejfo X E(m) - e0jfm) x E<"!)}. (4.46)
Мы не будем, однако, обсуждать здесь, какие
конкретные электромагнитные эффекты могут быть описаны
такой системой уравнений, отсылая заинтересованного
читателя к работе [178].
§ 4. О физическом содержании галилеевски
инвариантной электродинамики
4.1. 	«Релятивистские» аспекты электродинамики
Максвелла. Если взять за основу электрический предел, то,
казалось бы, можно сделать вывод, что взаимодействие
между однотипными токами является чисто
релятивистским эффектом, если рассматривать ток как движение
заряженных частиц. Но в магнитном пределе можно
построить такую феноменологическую галилеевски
инвариантную теорию, где эти эффекты могут быть описаны.
Если использовать объединенную теорию, то к чисто
релятивистским эффектам придется отнести, например,
работу конденсатора в цепи переменного тока. Причина
заключается в том, что величины j (т)И j fm) представляют
собой стационарные токи и поэтому связь между
интенсивностью тока / в проводнике и изменением со временем
полного заряда в конденсаторе dQ/dt, dG/dt отсутствует,
что делает невозможной запись уравнения,
характеризующего работу конденсатора. Можно, конечно,
возразить против вывода о том, что поведение конденсатора
116

есть чисто релятивистский эффект, так как в принципе
допустимы и электрические токи j(e)-THna. Правда, при
этом придется отказаться от взаимодействия токов, что
делает такой подход малопривлекательным.
Положение заметно меняется, если ввести в галилеев-
ски инвариантную электродинамику помимо
электрических также и магнитные источники. Из полевых
уравнений и уравнений движения в двух галилеевских пределах
видно, что электрические и магнитные поля, создаваемые
электрическими и магнитными источниками
соответственно, различны по своим физическим проявлениям. В
максвелловской электродинамике движение электрического
заряда q в магнитном поле покоящегося магнитного
заряда будет описано полностью эквивалентным образом,
если магнитное поле создается электрическим током по-
лубесконечного бесконечно тонкого соленоида.
Взаимодействие двух полубесконечных тонких длинных
соленоидов ничем не отличается от взаимодействия двух
точечных магнитных зарядов (см. приложение А). Но и
в электрическом, и в магнитном пределах эта
эквивалентность отсутствует. Неразличимость по физическим
проявлениям электрических и магнитных полей, создаваемых
электрическими зарядами, и соответствующих полей,
порожденных магнитными зарядами, можно
рассматривать в качестве существенно релятивистского аспекта
максвелловской электродинамики [85]. Введение в
галилеевски инвариантную электродинамику принципа
экспериментальной неразличимости полей, созданных
различными типами источников, требует симметрии полной
системы полевых уравнений и уравнений движения
относительно следующих подстановок (проводимых не
обязательно одновременно):
Е^Е,, Hq*±Hg. (4.47)
Такая симметрия может быть достигнута только при
описании электромагнетизма на основе уравнений
Максвелла (4.9) и выражения для силы Лоренца (4.10).
Релятивизация галилеевской электродинамики достигается
переходом во всех ее уравнениях от полей Eg, Eg, Н5, Hg к
полям E = Eq-\-Eg и Н = Н5+Н^ (или снятием индексов
q и g у всех полевых величин).
Если представить себе, что электродинамика
первоначально была бы сформулирована на основе
галилеев117

ской относительности, то введение указанного принципа
может служить для релятивистского рассмотрения
электромагнетизма. Эта программа допускает реализацию и
в отсутствие монополя Дирака, поскольку однозарядовая
максвелловская электродинамика может быть
сформулирована в дуально симметричном виде (см. гл. 3).
При снятии индексов q и g у полевых величин
преобразования (4.15) суть обычные дуальные преобразования
электродинамики. Г алилеевские преобразования для
полей переходят при этом в следующие соотношения:
Е' = Е + ji0vXH, Н' = Н — e0v х Е, (4.48)
которые вытекают из обычных лоренцевых
преобразований в пределе малых скоростей движения заряженных
частиц (квазирелятивистский случай).
Преобразования (4.48) не соответствуют ни одному из
галилеевских пределов максвелловской электродинамики
и не образуют группы, поскольку повторное их
применение не приводит к преобразованию того же типа. По
мнению авторов работы [84], преобразования (4.48) не
имеют поэтому определенного физического смысла и
нужно избегать их употребления. Однако совместное
рассмотрение преобразований (4.48), уравнений
Максвелла (4.9) и выражения для силы Лоренца (4.10) есть не
что иное, как релятивизация галилеевского
электромагнетизма, позволяющая учесть эффекты первого
порядка по v/c и придающая конкретный физический смысл
преобразованиям (4.48).
Требование единства физических сил, использованное
в работе Герца (см. § 2 гл. 1), где уравнения Максвелла
были получены из электродинамики с
дальнодействием *), может быть истолковано как условие
экспериментальной неразличимости полей, создаваемых
электрическими и магнитными токами. Поэтому результаты работы
Герца можно интерпретировать как релятивизацию
галилеевски инвариантной электродинамики.
В галилеевском электромагнетизме несовместимыми
оказываются три следующих требования: 1)
галилеевская инвариантность; 2) выполнение уравнения
неразрывности div j+dp/d/ = 0; 3) наличие взаимодействия
между токами. В электрическом пределе справедливы
*) Электродинамика с дальнодействием во многих отношениях
эквивалентна «улучшенному» магнитному пределу.
118

первые два требования, в магнитном — первое и третье
Как следует из сказанного, рассмотрение уравнения
неразрывности еще не означает релятивистского подхода
к электромагнетизму. Например, аксиоматическое
построение электродинамики (§ 3 гл.З) использует также
единство электромагнитного поля, что и является
релятивистским аспектом теории.
4.2. 	О системах единиц измерения. Может показаться
странным, что как в электрическом, так и в магнитном
пределах в уравнения входят одновременно константы
8о и (но. Известно, что в системе MKSQ первоначально
независимые константы ео и jjlo связаны соотношением
e0|io=l/с2- Но если ео и (л0 заданы одновременно, то тем
самым определена и скорость света, что находится в
полном противоречии с понятием галилеевской
относительности.
В случае когда е0 и |л0 одновременно имеют конечное
значение, уравнения Максвелла не могут иметь
нерелятивистского предела (с->-оо). В то же время уравнение
д2
поля (4.37) не содержит члена ео|ло—, благодаря которо-
дг
му устанавливается связь между ео|Ао и скоростью света.
С физической точки зрения это положение объясняется
тем, что в электродинамике Максвелла связь между
значениями е0 и (л0 устанавливается на основании закона
Кулона, амперовского взаимодействия токов и уравнения
неразрывности для источников тюля (см., например,
[40]). Но в каждом из галилеевских пределов
электродинамики одновременное существование этих законов
невозможно. Добавление взаимодействия между
электрическими и магнитными зарядами не меняет положения,
поскольку в рассмотрение вводится дополнительная
размерность: размерность магнитного заряда.
Более удобной для анализа галилеевского предела
электродинамики Максвелла в присутствии магнитного
заряда была бы запись исходных уравнений в системе
Кона, содержащей пять основных единиц измерения (см.
§ 4 гл. 1). Переход от системы Кона к системе MKSQ
предполагает, например, что в максвелловской
электродинамике кулоновское взаимодействие между точечными
магнитными зарядами может быть описано как
«магнитное» взаимодействие двух бесконечно малых круговых
контуров с электрическим током. Но это уже
несправед119

ливо ни в магнитном, ни в электрическом галилеевских
пределах максвелловской электродинамики, поскольку
магнитные поля, создаваемые этими двумя типами
физических объектов, уже не эквивалентны.
Отсюда следует также вывод, что как в электрическом,
так и в магнитном пределах мы можем задавать поля Е^е) и
Eg\ Н<е) и Hg° в физически различных единицах измерения.
Аналогичное утверждение справедливо также и по
отношению к полям Еq™g) и Hfjg) и источникам ри p(jf\
Например, в электрическом пределе можно перейти к полям
Й<е)=е^Н<е>. (4.49)
и мы получим уравнения для каждого типа источников,
которые зависят только от е0 или (л0.
Таким образом, одновременное присутствие е0 и |j,0 в
уравнениях (4.15) — (4.17) и (4.23)—(4.25) носит условный
характер*). Нетрудно видеть также, как можно получить
системы уравнений (4.15) и (4.24) при исследовании
предельного перехода с—>-оо. Для перехода к электрическому
пределу необходимо записать уравнения (4.12) в СГСЕ-системе,
а уравнения (4.13)—в СГСМ-системе. Это эквивалентно
тому, что в первом случае мы выразим константу |^0 через
е0(|^0= 1/е0с2), а во втором случае—константу е0 через |ш0
(е0= l/fx0c2), запишем уравнения для полей E{qe), Wqe\ Ege) ,
Hg} и используем затем предельный переход с оо.
Переход к уравнениям в магнитном пределе можно
осуществить на основе аналогичной предельной
процедуры при записи уравнений (4.12) в системе СГСМ, а
уравнений (4.13) —в СГСЕ-системе.
В общем же случае получение галилеевски
инвариантной теории электромагнетизма па основе применения
предельного перехода с-^оо к уравнениям Максвелла,
записанным в системе единиц, включающей скорость света
в определение используемых единиц,— внутренне
противоречивая операция. В работе [86], например, был
получен вывод о несовместимости понятия магнитного заряда
с галилеевской инвариантностью. Но этот вывод является
следствием неравноправного использования системы
единиц СГСМ для исходной системы уравнений Максвелла.
*) Имеется в виду, что их значения не связаны соотношением
8о |.10=1 /с2.
120

В результате для одной и той же дуально заряженной
частицы для р4 и j фактически рассматривались
физически различные пределы (4.14) и (4.21) (см. [85]).
4.3. 	Галилеевски инвариантный электромагнетизм и
волновые уравнения. Как показано в [84а], безмассовая
частица со спином 1 описывается 6-компонентной
волновой функцией, которой можно сопоставить пару векторов
(К, L), удовлетворяющих волновым уравнениям:
rot L = — —, rot к = о,
dt
(4.50)
divL = 0, div К = 0,
которые инвариантны относительно следующих галилеевских
преобразований:
L'=L — vxK> К'= К- (4.51)
Эти уравнения получены в работе [84а] на основе
общего теоретико-группового подхода, развитого Баргма-
ном и Вигнером [356]. Как нетрудно видеть, наличие двух
галилеевских пределов электродинамики не противоречит
существованию только одного типа соответствующего
волнового уравнения, поскольку поля L, К еще
нуждаются в физической идентификации. Если принять
определение
L = > K = |VC„ (4.52)
то уравнения (4.50) будут описывать магнитный
(электрический) предел электродинамики, который
соответствует полям, создаваемым только электрическими
(магнитными) зарядами. Полагая
L = К = — (4-53)
получим электрический (магнитный) предел
электродинамики, соответствующий полям, обусловленным
электрическими (магнитными) источниками.

5
глава
МОНОПОЛЬ ДИРАКА
До сих пор, обсуждая различные аспекты проблемы
магнитного заряда, мы совершенно не касались вопроса о
монополе.
Перейдем теперь к непосредственному рассмотрению
дираковской концепции магнитного заряда, которая в
настоящее время прочно утвердилась в теоретической
физике и продолжает интенсивно развиваться. Начнем с
анализа классической картины взаимодействия
электрических и магнитных зарядов. Такой способ изложения
обладает, по нашему мнению, тем преимуществом, что
позволяет в простой и наглядной форме уяснить
происхождение ряда характерных особенностей современной
квантовой теории магнитного заряда.
§ 1. Классическая теория взаимодействия
электрических и магнитных зарядов
Пусть мы имеем в своем распоряжении частицы,
которые несут магнитный заряд.
Возникает вопрос о том, как будет выглядеть картина
их взаимодействия. Разумеется, если имеются только
магнитные заряды, все эффекты будут полностью идентичны
тем эффектам, которые возникают при взаимодействии
электрически заряженных частиц. Достаточно лишь
заменить повсюду термин «электрический» на термин
«магнитный» и наоборот. Новые особенности обнаруживаются
при анализе взаимодействия между электрическими
зарядами, с одной стороны, и магнитными — с другой (см.
[87—98]). Для краткости будем в дальнейшем называть
его е — ^-взаимодействием.
Специфические черты е — g'-взаимодействия,
обусловленные главным образом его нецентральным характером,
отчетливо проявляются уже на классическом уровне.
По122

этому мы начнем анализ этого взаимодеиствия с
рассмотрения в рамках обычной ньютоновской механики. Прежде
всего, проблема взаимодействия двух частиц, одна из
которых несет электрический, а вторая — магнитный
заряд, сводится к задаче о движении электрически
(магнитно) заряженной частицы с приведенной массой в
центрально симметричном магнитном (электрическом) поле.
Для определенности будем рассматривать движение
электрического заряда. Уравнение движения для этого
случая имеет ввд
dv eg /с 1Ч
т — = 2— г X v, (5.1)
dt 4пг3
где е — электрический заряд; g — магнитный заряд; пг —
приведенная масса; г — относительное расстояние. Из
(5.1) видно, что кинетическая энергия l/2/nv2 (или, что то
же, абсолютная величина скорости |v|), а также
абсолютная величина орбитального момента |L| представляют
собой интегралы движения. В то же время угловой
момент L = rXp не является сохраняющейся величиной.
В самом деле, для производной dL/dt с учетом уравнения
движения (5.1) находим:
dL dv eg /
— 	= rxm — = 2—. rx(rxv) =
dt dt 4яг3
_ eS „М - es d
4яг3 in dt
Отсюда видим, что в роли сохраняющегося углового
момента выступает величина
J =г хр — — . (5.3)
4я г
Существование такого интеграла движения для
центрально симметричного магнитного поля было отмечено еще
Пуанкаре [87]. Сохранение в рассматриваемой задаче
вектора J (5.3) (а не L) означает, что движение не
является плоским. Чтобы определить характер движения,
найдем скалярное произведение Jr, где г = г/г. Используя
(5.3), получим Jr = —eg/4n, т. е. радиус-вектор
движущейся частицы образует фиксированный угол с
направлением J. Следовательно, траектория лежит на поверхности
123

кругового конуса с углом раствора г]) (рис. 1),
определяемым из соотношения
ctg'J) = . (5.4)
4я L
Однако если рассмотреть вращающуюся плоскость,
нормальную по отношению к направлению L и
проходящую через оба заряда, то в этой плоскости заряд всегда
движется по прямой с постоянной скоростью v. Поэтому,
Рис. 1. Движение электрически заряженной частицы в центрально
симметричном магнитном поле
обозначая через а прицельное расстояние, находим
следующее соотношение:
г = (iv2t2 + а2)1/2. (5.5)
Движение заряда будет охарактеризовано полностью, если
определить угловую скорость вращения плоскости, для чего
достаточно определить движение конца единичного радиуса-
вектора г = г/г.
Используя тождества

перепишем (5.3) в следующей форме:
(J х г) ) = 0. (5.7)
Отсюда получаем:
(5.8)
Из (5.8) видно, что движение конца единичного радиуса-
вектора есть вращение относительно начала с угловой
скоростью
Абсолютная величина со связана с углом раствора конуса
следующим соотношением:
Интересная особенность рассматриваемого движения —
существование минимального расстояния, на которое частица
может приблизиться к центру — эффект «магнитного зеркала»
Выясним теперь, как модифицируется уравнение
движения (5.1) в релятивистском случае. Заменяя в (5.1) обычный
со(оо) = ^^
(5.10)
(см. [91]).
mv
импульс на р =
/i-р* ’
, получим следующее уравнение
движения:
Умножая скалярно на v, находим:
или после интегрирования по частям:
d I 1 \
 Отсюда получаем v2= const, и, следовательно, уравнение

(5.11) можно переписать в виде
т W = —Ъ rxv’ <5'12)
которое отличается от (5.1) лишь постоянным множителем
у 1—р2 (ПрИ заданНой начальной скорости) перед
выражением для силы.
Зная классические траектории, можно найти выражение
для сечения рассеяния на основе обычного метода,
использующего связь между прицельным параметром а и углом
рассеяния 0:
da da / dcos0 \_1 /r 104
= a = a I . (5.13)
dQ d cos 0 \ da j
Используя (5.10), можно получить следующее соотношение
между углом рассеяния и прицельным расстоянием:
Л mv2a2
cos 0 = ; х
(imva)2-\-
m
1
ХС05(2л1 + /^_)Т)—<^4;>; <5.14)
\ I \ mva / J J
которое с учетом L2= (mva)2 и (5.4) может быть записано
в виде
cos 0 = — cos2 г|) — sin2 г|) cos —| . (5.15)
\ sin г|) /
Исходя из (5.13) с помощью (5.14) и учитывая (5.15), после
несложных преобразований приходим к следующему
выражению для дифференциального сечения рассеяния:
da _ eg sin гр
X
X
dQ Anmv cos4 г|)
2 sin г|) 11 —cos ( M —я sin ^ П
sin г|э ] j \ sin г|)
126
(5.16)

Вводя обозначение у = {1 + (eg/4nL)2}l/2 = n/2sin г|),
можно записать (5.16) в несколько иной форме:
X {2 sin у — у sin 2у} Ч (5.17)
(5.17)
При этом связь между углом рассеяния и переменной у
примет вид
Представляет интерес рассмотреть выражение для
сечения рассеяния в двух предельных случаях: очень малых
углов рассеяния (т. е. sin 0 ~ 0, cos 0^1) и углов, близких
к я (в частности, рассеяние назад).
В первом случае прицельные расстояния велики, т. е.
L^eg/Ап, у^- я/2, и движение становится почти плоским.
0 я
Из (5.18) получаем cos —— . Следовательно, имеет
2 2у
0 	0
место: (2у/п)2— 1 = cos2 — 1 = — sin2 — . Кроме того,
Я
sin2 у -> sin2 — -> 1, sin 2у sin я -> 0. Поэтому
выражение (5.17) для сечения рассеяния принимает квазирезерфор-
довский вид:
При больших углах рассеяния в сечении возникают
особенности. Из (5.17) видно, что оно неограниченно растет
всегда, когда выполнены следующие условия:
Например, из (5.20) вытекает условие у = kn, где k= ±1,
±2, ... Выражение (5.18) показывает, что в этом случае
Q
cos — = 0, т. е. 0 = я и рассеяние происходит в точности
0 я
cos — = sin v.
2 2у
(5.18)
(5.19)
sin у = 0.
tg Y = V-
(5.20)
(5.21)
2
127

Назад. С другой стороны, параметр у связан с углом
раствора конуса г);. Поэтому (5.20) выполняется для всех
(а значит, для всех значений прицельного параметра),
удовлетворяющих условию
sin^ = W' (5'22)
Следовательно, существует бесконечный набор углов
раствора конуса, при которых рассеяние будет происходить
в точности назад. Подобным же образом заряд
навивается на поверхность конуса тем чаще, чем меньше 'ф, и
может рассеиваться на один и тот же полярный угол (не
равный я, но достаточно большой) для целого набора
траекторий. Поэтому сечение е—g’-рассеяния имеет в
области больших углов особенности с точкой сгущения
при 0 = я, которые образуются вследствие того, что
угол 0 является осциллирующей функцией агх. Можно
показать, что эти особенности интегрируемы (см. [124,
125, 198]) в отличие, например, от той сингулярности
сечения резерфордовского рассеяния, которая существует
при 0 = 0. Подобное поведение сечения не имеет
прецедента в механике обычного потенциального рассеяния. Не
существует такого класса гладких потенциалов, как
сингулярных, так и несингулярных, которые давали бы какие-
либо особенности в рассеянии назад.
§ 2. Классическая теория магнитного заряда
2.1. 	Вариационный принцип. Для непосредственного
квантовомеханического обобщения классической теории
ее следует сформулировать в рамках принципа
наименьшего действия. Но лагранжева формулировка
классической электродинамики требует введения
электромагнитных потенциалов. Уравнения Максвелла и уравнения
движения электродинамики без магнитных зарядов
получаются из интеграла действия
S = —^mds—~ J d^xF^F^ + J d'xj^
путем обычной вариационной процедуры на основе
определения
^У=^Л-3Л» (5-23)
128

или в трехмерных обозначениях:
ВА
Е = — — — grad ф, (5.24)
dt
Н = rot А. (5.25)
Уравнение движения пробного заряда имеет вид
= е I— grad ф — + v х rot а) = е {Е + v х Н}.
dt [ dt j
Из определения (5.25) следует, что
div Н = div rot А = О, (5.26)
в то время как в присутствии магнитных зарядов
div Н = g8 (г) Ф 0.
Следовательно, сохранить определение (5.25) в теории
магнитного заряда невозможно. Уравнения движения для
электрически заряженной частицы можно переписать в
следующем виде *>:
= {е (Ee+ Е,) + ev X (Не+ Н,)>, (5.27а)
где We, Ее — электромагнитное поле, создаваемое
электрическими зарядами и токами; Eg, Hg —
электромагнитное поле магнитных зарядов и токов. Аналогичное
уравнение движения для магнитно заряженной частицы имеет
вид
dpa
~dT={g (Не+ Н*) - gv X (Ее+ Е,)>. (5.276)
Задание уравнений движения для электрически и
магнитно заряженных частиц в виде (5.27) наводит на
мысль о возможности использования двухпотенциальной
формулировки (см. § 3 гл. 2), в рамках которой имели бы
место следующие определения полей через потенциалы:
:|) Такое объединение полей характерно именно для
электродинамики Максвелла—Лоренца. В галилеевски инвариантной теории
это уже невозможно (см. гл. 4).
9 Зак 670 129

E = Ee+ Eg= — grad <pM — rot N,
Ee= — grad <pM , Eg= — rot N,
H = He+ Hg=— grad Фдг + rot M,
He= rot M, Hg = — grad фд, —
(5.28)
dt
или в тензорной записи:
fuv= rfv-Kv = д^-дуМ»- е^радрк0,
F'ilv=F^!v + envpo^p^o-
При таком определении уравнения Максвелла
<VVv i^} ы
получаются из интеграла действия следующего вида:
5 = j <РхХ = -±- j d4C+^"v) +
+ J dH Ц\,М^ + Ц NJ — j* meds — j* mgds (5.29a)
при варьировании по потенциалам М^ ^ и переменным
частиц. Однако при этом выражения для силы Лоренца
fs _ \е Рм fS __ :ё pN
IV —Jll1 jit v > lv — JH1 JLtv
не согласуются с определениями (5.27). Используя лорен-
цеву калибровку для потенциалов (д^М^ = 6^^= 0),
находим на основе полевых уравнений и определений (5.28):
ПМ^-Ц, DN^-il (5.30)
Таким образом, использование лагранжиана (5.29а)
приводит к двум совершенно изолированным группам
уравнений, одна из которых относится к электродинамике с
электрическими зарядами без монополей, а вторая — к
электродинамике с магнитными зарядами без
электрических. Поскольку, как следует из (5.30), в этом случае
полностью отсутствует взаимодействие между
электрическими зарядами и монополями, лагранжиан вида (5.29а)
130

не может быть использован для описания реального
магнетизма. Чтобы ввести такое взаимодействие, необходимо
добавить к лагранжиану некоторые дополнительные чле-
.(е) а г •Q
ны, учитывающие связь между величинами /м. —Nvl и /м,—
—MVi соответственно, причем эта связь должна приводить
к уравнениям (5.27а) и (5.276) или (в тензорной записи)
к уравнениям
К =/Vvv= ы - ^v), (5.31а)
П = ИК = И(р^ + ~Ф- (5-316)
Единственный способ ввести подобное взаимодействие,
которое имело бы структуру ток — поле, состоит в том,
чтобы отыскать некоторый вектор А^, построенный из
компонент псевдовектора А^, а также псевдовектор М^
построенный из компонент вектора Af^, и ввести в лагранжиан
дополнительные скалярные члены вида и /£ М^. Однако
ввести величины М^ и Nn, приводящие к нужному
выражению для силы Лоренца при сохранении локальности
лагранжиана, можно только при отсутствии источников.
В самом деле, пусть взаимодействие точечного
электрического заряда с потенциалами и имеет стандартный
вид
5ВЗ= [^(/^+/;м,). (5.32)
Варьируя (5.32) по координатам заряженной частицы
обычным образом, получим:
бsB3=j^{^Mv-avM,+^v-w/>v. (5.33)
Чтобы выражение в фигурных скобках можно было
отождествить с полем F^, следует положить
<ЭД- <ЗА= (5-34)
Это соотношение можно переписать также в следующем
виде:
= — «мнАДг (5-35)
Взяв дивергенцию от обеих частей равенств (5.34) и (5.35)
и учитывая условие Лоренца cyVu= 0, находим:
□ А^= 0, □ iV„= О,
9* 131

т. е. величины и Nц должны удовлетворять однородному
уравнению Даламбера и, следовательно, условие (5.35) в
принципе не может быть выполнено при одновременном
наличии электрических и магнитных зарядов.
Итак, можно утверждать, что в рамках локального и
линейного лагранжиана при использовании определения
(5.28) невозможно добавить к интегралу действия (5.29а)
такие члены, которые приводили бы к правильному
выражению для силы Лоренца и не находились бы в прямом
противоречии с уравнениями (5.30) [102]. При отказе от
условия локальности лагранжиана такие члены могут
быть найдены. Следуя Рорлиху [105], определим
потенциалы и^в следующем виде (см. также [357, 358]):
о
Ма (х) = Г F& (z) -р- dri, (5.36)
<4 дг\
 0
ВД= Г?«э(2) dTb (5-37)
J дх^ дц
— оо
где зависит от полевой координаты х и параметра г], так
что
2*(*. °) = V
г^(х, т|)^^_во—пространственно-подобная бесконечность.
Путем прямого вычисления можно показать, что
о
dllMv-dvMtl=F^‘v+ Г*| -р- х
J *1 dxv
— 	оо
X ®aflva/o (2) = F“ + 7^, (5.38)
ох^
о
дХ-дЛ= р&- -р- х
J дц дхч
—оо
х -р- ea|3va/a (г) = Kv ~ V (5.39)
132

Переходя к рассмотрению общего случая дуально
заряженных частиц, нетрудно убедиться, что из интеграла действия
5 = — 2 j +
i
+ 21*»+ /?"»+/?*»> <529б>
i
вытекает следующее выражение для силы Лоренца:
П = Q /е; ^У+ % т,- # v (5.40)
Если ввести ограничения на пути интегрирования в (5.36) и
(5.37), т. е. предположить, что на них не могут находиться
дуально заряженные частицы с иным отношением, чем gje^
мы придем к правильному выражению для силы Лоренца:
f — iei р 4_ i&i р
поскольку дополнительные члены в (5.40) взаимно сократятся.
Аналогичные ограничения необходимо вводить и при
получении выражения для силы Лоренца, действующей на
дуально заряженные частицы с иными значениями
зарядов е, g. В общем виде это ограничение можно
сформулировать следующим образом: пути интегрирования в (5.38)
и (5.39) не соединяют дуально заряженные частицы с
разным отношением g/e [113] *\
 Для получения полевых уравнений к лагранжиану в (5.296)
необходимо добавить член — 1/4 (F^+Fftl), так что полный
интеграл действия примет вид
С _ 1 /ПМ2 I pN\
~ — \Г JLL “V I М-V/
4
- 2 *»+/?"»+£'1 •
i
При варьировании по Мц мы получим уравнение .
Но одновременно следует варьировать и по поскольку
F^v является функцией и Мц, как видно из (5.28) и (5.36),
*' Если рассмотреть взаимодействие электрических и магнитных
зарядов, то это ограничение эквивалентно предположению, что на
пути интегрирования в (5.38) не могут находиться магнитные заряды,
а на пути в (5.39) —электрические заряды.
133

а выражение F^VF^V можно переписать как —F^VF^V. В
результате варьирования по М^ приходим к следующему
уравнению:
-/М'>
т. е. ко второй паре уравнений Максвелла, но с
неправильным знаком. Аналогичные результаты получатся и при
варьировании по и Л/д. Разумеется, можно добиться
получения корректного выражения для полевых уравнений,
но при этом не удается получить уравнения движения
необходимого вида.
Таким образом, использование двухпотенциального
формализма на основе определения (5.28) не позволяет
построить интеграл действия, из которого следовали бы
одновременно как полевые уравнения, так и правильное
выражение для силы Лоренца в теории магнитного
заряда.
2.2. 	Сингулярные потенциалы и «вето Дирака». Дирак
[137] решает эту проблему, изменяя определение (5.23)
и соответственно (5.25). Предложенное решение
основывается на следующих соображениях: задание магнитного
поля через потенциал (H = rotA) предполагает, что
полный поток через любую замкнутую поверхность всегда
равен 0. Это противоречит интегральной теореме Гаусса,
которая требует, чтобы поток был равен величине g. где
g — общий магнитный заряд внутри замкнутой
поверхности. Для устранения указанного противоречия
достаточно, однако, чтобы на любой односвязной замкнутой
поверхности, окружающей магнитный заряд, существовала
хотя бы одна точка, в которой поле не может быть
представлено через потенциал. Поэтому возникает
непрерывная совокупность точек, образующих некоторую линию, и
определение (5.25) должно быть изменено следующим
образом:
rot А = Н + Ну, (5.41)
где Н = (г)т(г), divH = g8(r); f(г) —функ-
4я г3
ция, равная нулю везде, за исключением кривой L, и
имеющая на ней дельтаобразную сингулярность; т (г) —
касательный вектор к кривой L.
134

Для покоящегося магнитного заряда векторный потей -
циал можно записать в следующем виде:
А (х, L) = — j* ( d xL X v« ) > (5-42)
L
где L — линия сингулярности («нить Дирака») для
векторного потенциала, начинающаяся в —оо и кончающаяся
на магнитном заряде (в начале координат).
В частности, если интегрирование производится вдоль
прямой, направление которой задается единичным
вектором п, потенциал (5.42) может быть записан в следующем
виде:
А (х) = ——п Х„г . (5.43)
4nr г — nr
Если вектор п направлен вдоль отрицательной оси г,
получаем:
А - g ~У А = g х
4 	п г (г -f- т) у 4я г (г + г)
Аг = 0, г = (х2 + у2 + г2у/2,
или в полярных координатах АГ = Л0 = О, Лф = tg 0/2.
4яг
Видно, что потенциал А сингулярен вдоль прямой z = —г
(т. е. при 0 = я).
Вычисление ротора от этого потенциала с помощью
стандартных правил дифференцирования не является
вполне корректной операцией, поскольку вблизи линии
сингулярности производные в обычном смысле не
определены. Правильный результат можно получить,
рассматривая потенциал (5.43) как обобщенную функцию (см.
приложение Г). В этом случае находим (см. также [145,
298]):
rot А = — g grad f—\ + 4gn0 (nr) 6 [r2— (nr)2], (5.44а)
4я \ г j
или, выбирая ось z вдоль вектора п:
rot А = ^-g grad ( —) + n gB (z) б (x) б (у). (5.446)
4я \ г /
135

Очевидно, магнитное поле, обусловленное потенциалом
(5.43), есть поле, создаваемое полубесконечным
бесконечно тонким прямым соленоидом или полубесконечным
бесконечно тонким магнитом, ось которого направлена
вдоль п, а конец помещен в начало координат.
Действительно, векторный потенциал (5.4) может быть
получен путем перехода к пределу в выражении для
потенциала, создаваемого цепочкой последовательно
скрепленных друг с другом диполей [119], а именно:
Физическое магнитное поле определяется выражением
Поле Н/ является фиктивным и порождает сингулярный
магнитный поток вдоль «нити Дирака».
Если в соответствии с определением (5.45) подставить
значение поля Н в уравнение движения электрически
заряженной частицы в магнитном поле неподвижного
монополя, то выражение для силы Лоренца будет содержать
нефизический член, связанный с фиктивным полем Н;:
Как отмечает Вентцель [145], исключение влияния
фиктивного сингулярного поля особенно важно для
правильной физической интерпретации теории, в противном
случае мы имели бы дело не с монополем, а с бесконечно
длинным диполем или соленоидом. Такой цели можно
достигнуть, если сформулировать, следуя Дираку [137],
специальный принцип, согласно которому линия
сингулярности никогда не проходит через точку, в которой в
данный момент времени находится электрически
заряженная частица («вето Дирака»),
о
Н = rot А — Ну,
(5.45)
где Н/ — поле, имеющее следующие компоненты:
Hf =Hf = 0,
•х Ту 9
7*
136

Нетрудно видеть, что введение «вето Дирака»
действительно позволяет построить внутренне
непротиворечивую классическую теорию магнитного заряда.
Прежде всего, при этом из выражения для силы
Лоренца автоматически исключаются нефизические
сингулярные добавки, поскольку в тех точках, где Н/^=0,
плотность тока (j~ev) тождественно обращается в 0.
Кроме того, таким путем обеспечивается
калибровочная инвариантность теории. В самом деле, фиктивный
характер поля Н/ означает, что физические выводы из
теории не должны зависеть от выбора линии
сингулярности. Но это возможно лишь в том случае, если изменение
потенциала (5.42), вызываемое переходом между двумя
произвольными линиями сингулярности, имеющими
общую конечную точку, представляет собой градиентное
преобразование:
А (х, L2) — А (х, Lj) = ~ grad Л (х),
4 я
где Л(х) —некоторая функция точки. Необходимо
заметить, что в общем случае переход от одной линии
сингулярности к другой не сопровождается градиентным
преобразованием потенциала (см. также § 5 настоящей главы
и § 3 гл. 7). Но если исключить точки пространства, через
которые проходят кривые L{ и L2, то разность R = A(x,
L2) — А(х, Lx) имеет ротор, равный нулю, и поэтому
может быть представлена в виде градиента некоторой
функции А(х). Нетрудно видеть, что физическое поле Н не
изменяется при переходе от одной линии сингулярности к
другой, т. е.
Н (х, L2)=H(x, LJ,
где Н (х, Lx) = rot А (х, Lx) — Н, (Lx), Н (х, L2) = rot А (х,
Lj-Hf (LJ-
Наибо лее важным результатом использования «вето
Дирака» является возможность сформулировать с его
помощью вариационный принцип. Классическая теория
магнитного заряда базируется у Дирака на следующем
интеграле действия:
S 	= — J meds — } mgds + — - j- JF^F^x, (5.46)
ГДв
= dpAv — + 5^, (5.47)
137

lv — полевая величина, являющаяся функцией
динамических переменных координат и импульсов «нити
Дирака», отличная от нуля только в точках расположения нити
и удовлетворяющая следующему уравнению:
= it *
Предполагается, что взаимодействие между
монополем и электромагнитным полем описывается третьим
членом в (5.46) , поскольку F^Vj как видно из (5.47), является
функцией как потенциала, так и переменных нити.
Поскольку магнитный заряд является исходной точкой линии
сингулярности, а местоположение последней является
функцией поля, то тем самым поле оказывает
воздействие и на движение магнитного заряда. Варьируя по
переменным нити и предполагая выполнение «вето Дирака»,
можно получить правильное уравнение движения для
заряженных частиц. Однако для переменных нити принцип
наименьшего действия не приводит к уравнениям
движения в полном соответствии с нефизической природой этих
переменных.
Мы не будем подробно останавливаться на
конкретных деталях подхода Дирака, поскольку все относящиеся
сюда вопросы с исчерпывающей ясностью изложены в
его оригинальной работе [137].
Важно подчеркнуть, что лагранжева формулировка
теории магнитного заряда оказывается возможной только
при введении дополнительного условия, которое не
вытекает непосредственно из вариационного принципа.
По мнению Розенбаума [107], это условие находится
в противоречии с выражением для силы Лоренца, если
считать, что специальная теория относительности и закол
Кулона справедливы на всех расстояниях. Розенбаум
показал, что получение корректного уравнения движения
предполагает выполнение следующего условия *>:
= о (5.48)
для произвольной точки и при выборе любого значения
индексов. Соотношение (5.48) может быть удовлетворено,
например, если в каждой пространственно-временной точке
один из токов (/ц или /{;) равен нулю, т. е. электрические
Отметим, однако, что в работе [ИЗ] содержится критика
вывода этого соотношения.
138

и магнитные заряды никогда не попадают в одну и ту же
точку. Это условие очевидным образом выполняется, если
принять «вето Дирака».
Однако любые ограничения на движение частиц в
последовательной классической теории могут возникать
лишь как следствие существования некоторого
динамического механизма. Для согласования «вето Дирака» с
уравнениями движения электрически заряженных
пробных частиц необходимо, чтобы подобный механизм был
обусловлен исключительно действием силы Лоренца.
В классической картине е—^-взаимодействия действие
такого механизма проявляется в виде эффекта
«магнитного зеркала». Но такой эффект очевидным образом
отсутствует, если электрический заряд обладает нулевым
начальным значением углового момента (движется вдоль
магнитной силовой линии). При этом взаимодействие
вообще не возникает, и через некоторое время заряд
окажется в той же точке, что и монополь, так что условие
(5.48) окажется нарушенным.
Можно сказать, что «вето Дирака» носит «не вполне
классический» характер. В задаче о классическом е—g'-
взаимодействии оно имеет смысл, вполне аналогичный
условию, исключающему падение на центр (состояния с
нулевым орбитальным моментом) в полуклассической
теории атома. Интересно, что в обоих случаях введение
какого-либо специального постулата оказывается
излишним, если учесть ограничения на характер
классического движения, вносимые соотношениями
неопределенностей.
2.3. 	Симметричная формулировка в полевом подходе.
В теории Дирака исходными являются механические
представления, в то время как с точки зрения
перспективы последующего перехода к вторично квантованной
схеме удобнее базироваться на полевой концепции.
Кроме того, схема, предложенная Дираком, обладает
определенной асимметрией в описании электрически
заряженных и магнитно заряженных частиц и не может быть
непосредственно распространена на случай дуально
заряженных частиц.
Классическая теория монополя, развитая в работе
[108] на основе теории монополя Дирака, построенной
Швингером [142], обладает той особенностью, что в ней
нить не закреплена за каким-либо типом заряда (электрн-
139

ческим или магнитным). Следуя работе [ 106], в качестве
интеграла действия выберем следующее выражение:
5 = - YI (аЛ - *Л) Vх + 7 -
- 2 W А + 2 I + lV\) d*x. (5.49)
i 	i
Здесь векторный потенциал рассматривается как
заданная функция полевых величин F , так что
К w = -1 (*')hп (* - *') (5*5°)
и hn — функция, характеризующая линию сингулярности,
удовлетворяющая следующему дифференциальному
уравнению:
— dvhvn (х — х') = 8 (х — х')
и подчиняющаяся условию:
hl(x — x') = —ti(x'—x). (5.51)
Независимое варьирование по /^lv, Av и переменным частиц
дает следующие уравнения:
dvFw = H’ (5-52)
= дА — дА — I dix'^vpJp (х’) К (х — х'), (5.53а)
fv = (<Э,А - dvAJ + jl‘(djv - dv AJ. (5.54)
Исходя из определения (5.50) можем записать, что
Ъ = дЛ - дА + K*'W/p (*') К (х-х'). (5.536)
Если предположить, что линия сингулярности никогда ье
связывает дуально заряженные частицы с различным
отношением g/e, то в этом случае ори учете условия (5.51)
уравнение (5.54) есть правильное уравнение движения.
Действительно, применительно к уравнению движения
для частиц этого типа имеем
— 	аА = Fixv + (х') hn (х — х% (5.55а)
d^Av — av \ — j- d*x' е^ра/рг (x1) han (x — x'), (5.556)
140

и дополнительные члены при подстановке (5.55а) и
(5.556) в (5.54) взаимно сокращаются. Отметим, что при
универсальности отношения g/e не требуется введения
дополнительных предположений для получения силы Ло-
ренца.
Яном [108] было показано, что определяя
нелокальный интеграл действия посредством предельных
процедур *), удается устранить выделенное местоположение
линии сингулярности и восстановить эквивалентность
всех точек пространства — времени без исключения.
Однако необходимым условием самосогласованности такого
подхода является выполнение классического условия
квантования**); eg = 2n nkc или eugi—eigk = 2nnkikc, где
I? — константа с размерностью действия; л, пм = 0, ±1,
±2, ... Исходя из метода построения интеграла действия
с сингулярными потенциалами можно провести
аналогичную процедуру и в случае двухпотенциального
формализма [116]. В этом случае от определений (5.28) мы
переходим к следующему заданию полевых тензоров
через посредство вариационной процедуры:
JVv = ^Afv 8|iVpo^p^(j = F nv F m-v
-LfL^^wrt(2), (5,56)
J dii dxv дх^
—оо
- 	ЗА -I- ^радрм0 = F&. + F“v +
+ Г dr, рррграуйЦ(г), (5.57)
J дц dxv дх^
—DO
и для получения непротиворечивых уравнений движения
необходимо вводить ограничения на выбор пути
интегрирования в (5.57), эквивалентные сформулированному
выше. Если ввести определение
о
\ = М„- (F^ppdx], (5.58а)
J дх^ д-ц
См. § 5, где эти процедуры используются в квантовой теории.
**) в [114], однако, приведены аргументы против возможности
получения условия зарядового квантования в классической теории.
141

о
\ = + [p^(z)fa-p-dT\, (5.586)
J дх^ дг\
 ОО
то при соответствующем задании функции г^(х, т]) мы от
(5.56) и (5.57) переходим к определению (5.53).
Следует отметить, что отсутствие в последнем случае
увеличения члена степеней свободы для
электромагнитного поля объясняется тем, что оба потенциала
выражаются через один и тот же полевой тензор.
§ 3. Квантовомеханическое взаимодействие
Известно, что наличие лагранжевой формулировки
некоторой классической теории обычно является
достаточным для проведения соответствующего
квантовомеханического обобщения. Однако в рассматриваемом случае
ситуация усложняется вследствие сингулярного
характера используемого потенциала. Необходимо принять
некоторые меры предосторожности, чтобы исключить влияние
линии сингулярности на физические наблюдаемые
эффекты. Именно этой цели служит специальный запрет («вето
Дирака»), исключающий возможность попадания
электрического заряда на линию сингулярности.
Подобный запрет в классической теории выглядит несколько
необычно, однако его введение необходимо, как мы
видели в предыдущем параграфе, для лагранжевой
формулировки классической теории с магнитным зарядом.
Можно ожидать, что эта специфическая черта теории
обязательно должна сохраниться и при ее
квантовомеханическом обобщении, тем более что в квантовой теории
для описания подобной ситуации существует
естественный способ выражения: условие существования у
волновой функции узловых особенностей (обращение функции
в 0 для некоторого множества значений ее аргументов).
Именно это требование в сочетании с идеей
калибровочного поля позволило Дираку построить первый
самосогласованный вариант квантовой теории
е—^-взаимодействия и установить необходимое условие для
непротиворечивого введения в теорию понятия магнитного заряда.
3.1. 	Подход Дирака. Как известно, исходным пунктом
всех калибровочных теорий является произвол в выборе
фазы вектора состояния частицы (или системы) х),
142

возникающий вследствие того, что физический смысл
имеет не само множество состояний частицы {-ф (X)}, а
лишь определенные билинейные комбинации следующего
вида:
^тп 0Фт> "Фn) Htymtyjidx» (5.59)
Числа атп в соответствии со стандартными
квантовомеханическими правилами представляют собой амплитуды
вероятностей перехода между состояниями o|)n и -фт, а
величины Ртп = \йтп\2 уже имеют непосредственный
физический смысл. Поэтому интеграл (5.59) обязан иметь
определенный модуль.
Между тем сами комплексные функции которые
можно записать в форме
t|> (х) = А (х) ехр {t‘P (х)}, (5.60)
где А(х) и |3(Y) — некоторые вещественные функции,
определяются уравнениями квантовой теории лишь с
точностью до постоянного множителя вида eia (а —
непрерывный вещественный параметр), если все
нормированы на 1. Это означает, что фаза каждой из этих функций
в любой точке может быть изменена на произвольное
число, т. е. функция |3(х') в выражении (5.60) в каждой
фиксированной точке не имеет определенного значения.
Следовательно, подынтегральное выражение в формуле
(5.59) также не обязано иметь определенную фазу.
Однако разность фаз в любых двух точках пространства
должна быть строго определена. В противном случае модуль
Own в (5.59) не будет иметь определенного значения *\
Представим себе теперь, что мы выделили в пространстве
две точки, соединили их некоторой кривой и
рассматриваем изменение фазы, которое возникает при перемещении
вдоль этой кривой.
Величина приращения фазы подынтегрального
выражения в (5.59) не может зависеть от конкретной формы
кривой, иначе мы пришли бы к противоречию с условием
однозначности физических следствий теории. В частности,
*) Это становится очевидным, если вспомнить правила сложения
комплексных чисел. Так, если ai = |a1|(cos9i+t’sin9i), а2=|а2|(со$ф2+
+ tsiiHp2), то a=|a|(cos(p+tsin(p) =i(|ai|cos<pi+M соф2) -M(!ai|sin<pi +
+ a2sincp2) и, следовательно, \а\2 = (Rea)2+(Ima)2 = \йх\2+\а2\2+
+2|ail|a2| cos((p!—ф2). Поэтому если в сумме a = ai + a2 нужно
определить лишь модуль \а\, то фаза каждого из слагаемых может быть
произвольной, но разность ф!—ф2 должна быть определена
однозначно.
143

если совместить начальную и конечную точки кривой, т. е.
рассмотреть замкнутый контур, то разность фаз в
подынтегральном выражении станет просто равной нулю.
Однако приращение фазы любой функции при
комплексном сопряжении меняет знак. Отсюда получаем
важный вывод: изменение фазы, возникающее при обходе
вдоль замкнутой кривой, должно быть одинаковым для
всего множества волновых функций системы.
Иными словами, приращение фазы ^-функции вдоль
замкнутого контура не зависит от специфики конкретного
состояния рассматриваемой системы, а представляет
собой нечто такое, что имеет общее значение для всей
системы в целом. Именно это обстоятельство и наводит на
мысль об использовании неоднозначности фазы волновой
функции в целях динамического описания системы путем
включения взаимодействия в фазу.
Чтобы выяснить, каким способом может быть
произведено такое включение, представим функцию ty(x) в
следующем виде:
г|) = г|/ ехр {/р (л:)},
где я|/ — функция с фиксированной фазой, а вся
неопределенность фазы сосредоточена в функции |3(У).
Хотя |3(Х) не имеет определенного значения в любой
фиксированной точке х, эта неопределенность не
распространяется на ее производные xii = d^/dxlli,\ которые
обладают определенной величиной в каждой точке.
Поэтому бесконечно малое приращение фазы может быть
выражено следующим образом:
afp = VV
Однако конечное приращение фазы вдоль некоторой
кривой fd^ = fni,ldxll зависит от выбора пути
интегрирования, поскольку общие соображения, связанные с
условием однозначности наблюдаемых величин, требуют,
чтобы функцией точки была разность фаз произведения двух
функций, но не каждой функции по отдельности.
Следовательно, фаза $(х) в общем случае является неинтегри-
руемой, причем условие неинтегрируемости имеет вид
дк^дхчфдкч/дх^.
*) Неопределенность р(х) носит характер р' (х) = р(*) +а, где
а — числовой параметр, а не функция точки. Поэтому д^'/дх^=
= д$/дху.>
144

Изменение фазы, возникающее при обходе вдоль
замкнутой кривой, теперь также не равно 0, а
выражается на основании теоремы Стокса через поток тензора
ду,К\Х—сквозь поверхность, натянутую на эту кривую:
= <5-61)
где 5 — произвольная поверхность, натянутая на контур
интегрирования. Теперь видно, что производные =
= Xfx могут быть связаны с составляющими
вектора-потенциала электромагнитного поля.
В самом деле, пусть ty(x) в (5.60) описывает
свободную частицу. Тогда, действуя на функцию \|) оператором
. д
импульса —i , получаем:
дх„
. дг|) .« / . д
— i —1 = el$ — i —
* (_ ‘к+
Если произвести следующее отождествление
А = —х, А0= х0, (5.62)
е е
то \|/ будет удовлетворять уравнению для частицы с
зарядом е, движущейся в электромагнитном поле, которое
описывается потенциалом А^. Поскольку Flxv = dv,Av—
—дуАц, то разность фаз, возникающая при обходе по
замкнутому контуру, определяется потоком тензора
электромагнитного поля сквозь произвольную двумерную
поверхность, ограниченную этим контуром:
ДР = j VV (5-63)
S
Вследствие независимости величины Д|5 от конкретного
выбора поверхности должно иметь место равенство ^F^ds^^
Si
= J F^ds^, которое приводит к обращению в 0 интеграла
S2
по замкнутой поверхности s = sx — s2:
ffA = о- (5-64)
•0, Зак. 670
145

Это условие в обычной электродинамике выполняется
автоматически, поскольку ^F^ds^ = jd^^dV^ = 0
благодаря отсутствию источников во второй паре уравнений
Максвелла (dv/^v = 0).
Мы, по существу, пока рассматриваем хорошо
известную схему, в рамках которой электромагнитное поле
выступает в качестве компенсирующего поля. Поскольку
этот подход широко освещен в ряде обзоров и монографий
(см., напр., [345]), столь подробное рассмотрение может
показаться излишним. Однако, по нашему мнению, такая
детализация в данном случае оправдана, поскольку
обычное рассмотрение носит несколько формальный характер
и оставляет в стороне некоторые нюансы, связанные с той
ролью, которую играет неоднозначность фазы. Между
тем именно последовательный учет всех этих тонкостей
составляет ядро рассуждений Дирака.
Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что
фаза любого комплексного числа принципиально
определена с точностью до величины 2яп, где п — любое целое
число (положительное или отрицательное). Поэтому
изменение фазы, возникающее вследствие обхода по
замкнутой кривой, для различных волновых функций
фактически может отличаться на число, кратное 2я.
Отсюда разность фаз будет определяться не
выражением (5.63), а более общим соотношением
др = 2т + е$ F^ds^, п = 0, ±1, ±2, ... (5.65)
S
Если не налагать никаких дополнительных ограничений
на поведение векторов состояния, наличие
неопределенного слагаемого в (5.65) несовместимо с фундаментальным
требованием непрерывности волновой функции. В самом
деле, если функция удовлетворяет
квантовомеханическому волновому уравнению, а контур интегрирования очень
мал, то изменение фазы также должно быть малым.
Поэтому мерой бесконечно малого изменения фазы может
быть только бесконечно малый поток 6Ф = fF^ds^ и
наличие в (5.65) слагаемого 2яд, которое не зависит от
контура интегрирования и не исчезает в 'пределе Ss—ИЗ,
недопустимо.
Имеется, однако, один исключительный случай, когда
эти соображения теряют силу, хотя волновая функция
146

по-прежнему остается непрерывной. Это происходит
тогда, когда волновая функция принимает нулевые значения,
так как в узловых точках фаза не определена. Здесь мы
подходим к центральному пункту всей дираковской
концепции.
Поскольку волновая функция комплексна: ty(x) =
= Re\|)(х)-\-Ит^(х), условие означает появление
двух уравнений: =0, 1т\р(х) =0, которые с
геометрической точки зрения задают некоторую линию в
трехмерном пространстве (линию узлов) *). Если теперь
рассмотреть такое состояние электрически заряженной
частицы, которое описывается волновой функцией,
обладающей узловой линией, то соображения непрерывности уже
не позволяют исключить в (5.65) член 2пп при условии,
что бесконечно малый контур охватывает линию узлов.
Более того, число п будет служить характеристикой этой
линии и определяться порядком ее нуля (см. [256]). Знак
этого числа может быть связан с направлением обхода.
При наличии нескольких линий сингулярности
выражение (5.65) для изменения фазы примет следующий вид:
N
Д{$ = 2я 2 + eJHds, (5.66)
i=i
где суммирование идет по всем узловым линиям, а
интегрирование — по всей пронизываемой ими поверхности.
Поскольку выбор поверхности, натянутой на данный
замкнутый контур, как и раньше, ничем не ограничен, мы
приходим к следующему условию:
N
2п 2 п. + ерт d s = 0, (5.67)
i=l
где ицтеграл берется по произвольной замкнутой
поверхности, а суммирование ведется по всем узловым линиям,
пересекающим ее. Теперь уже полный поток магнитного
поля сквозь такую поверхность не обязательно равен 0,
как это было в отсутствие узловых линий. Если некоторая
узловая линия полностью пронизывает замкнутую поверх-
Для простоты будем рассматривать волновую функцию в
трехмерном пространстве. Переход к четырем измерениям вносит
некоторые усложнения (вместо узловых линий возникают двумерные
уздовые поверхности (см. [137, 145])), но не влияет на
окончательный результат.
147

ность, то ее вклад в сумму Ел* равен 0, поскольку она пе-
с
ресечет поверхность дважды в противоположных
направлениях (напомним, что знак числа rii зависит от того,
входит линия внутрь поверхности или выходит изнутри
ее). Поэтому ненулевое значение Ел* возможно лишь при
с
условии, когда внутри замкнутой поверхности
заканчивается хотя бы одна узловая линия. Эта сумма должна
иметь одну и ту же величину для всех волновых функций
заряженной частицы и не может зависеть от выбора
замкнутой поверхности. Но в таком случае «свободный»
конец узловой линии представляет в теории сингулярную
точку магнитного поля, воздействующего на
электрический заряд. Подобный физический объект должен быть
интерпретирован как изолированный магнитный полюс-
монополь.
Если обозначить полный магнитный поток,
создаваемый одной сингулярной точкой, через g, где g — величина
магнитного заряда, расположенного в этой точке, то из
(5.67) получаем следующее соотношение:
eg = 2ппу п — О, ±1, ±2, ... , (5.68)
связывающее между собой допустимые численные
значения электрического и магнитного зарядов.
Соотношение (5.68) не устанавливает конкретной
численной величины ни для электрического, ни для
магнитного зарядов, но требует, чтобы между этими
величинами существовала определенная количественная связь.
Примечательной особенностью найденного
соотношения является то, что оно представляет собой условие
зарядового квантования: если задана некоторая
минимальная величина электрического заряда eo = 2n/go (или
магнитного заряда go = 2n/eo), то допустимыми значениями
электрического (магнитного) заряда являются лишь
целые кратные этой минимальной величины. В этом смысле
существование монополя позволяет дать теоретическое
обоснование одному из фундаментальных эмпирических
фактов современной физики — наблюдаемой на
опыте дискретности электрического заряда. Подобное
обстоятельство — одна из наиболее привлекательных сторон
дираковской теории монополя.
Важно подчеркнуть, что условие зарядового
квантования у Дирака выступает как необходимое условие
су148

ществования волновых функций, описывающих движение
электрического заряда в поле монополя.
Отметим также, что теория Дирака устанавливает
лишь те свойства магнитного монополя и особенности его
взаимодействия с электрическими зарядами,
существование которых совместимо с основными принципами
квантовомеханического описания. Однако она ничего не говорит
о тех способах, на основе которых такие «концевые точки
линий узлов волновых функций электрического заряда»
могли бы быть реализованы экспериментально. Здесь
необходимо привлекать дополнительные соображения
(подробнее см. гл. 6).
В гл. 7 будет детально рассмотрен вопрос о
математической корректности дираковского вывода условия (5.68).
Пока же просто примем его в качестве строгого
количественного результата квантовомеханической теории
магнитного заряда.
3.2. 	Квантовая теория е—g-рассеяния. Анализ
проблемы е—g-взаимодействия, если речь идет о
взаимодействии «чисто» электрического и «чисто» магнитного зарядов,
фактически сводится к исследованию состояний
непрерывного спектра, поскольку в такой системе связанные
состояния не возникают ни при каких комбинациях знаков
е и g ни в релятивистском, ни в нерелятивистском
случаях. Поэтому изучение е—g-взаимодействия есть прежде
всего исследование е—g-рассеяния.
Отсутствие связанных состояний в нерелятивистской
картине е—g-взаимодействия было отмечено еще в работе
Дирака 1931 г. [117] и строго доказано Таммом [118]
(см. также [119, 240]). Аналогичный результат в рамках
релятивистского рассмотрения получен впервые Бандере
[121] и Хариш-Чандра [122]. Заметим, что для системы,
состоящей из двух дуально заряженных частиц,
дискретный спектр уже воз-можен (см. § 4 этой главы).
Нецентральный характер е—g-взаимодействия
приводит к появлению специфических черт в нерелятивистской
картине рассеяния, которые, в свою очередь, сильно
затрудняют релятивизацию теории.
Рассмотрим вначале следствия некоторых
минимальных физических требований, которые должны
выполняться в квантовой теории е—g-рассеяния.
Определим связь между прицельным параметром а и
углом рассеяния в импульсном приближении для малых углов
149

(больших параметров соударения). Используя выражение для
0,0 А л
классической силы Лоренца f (г, v) = —-— v X г, где г =
4пг2
= г/г, находим для передачи импульса:
00
Ар ^ Г dt f (y0t Н-а, v0) = v0 x a, (5.69)
J 4na
— 	oo
Л A
где v0—начальная скорость; a = a/a; v0 = vQ/vQ.
Пусть направление конечного импульса в сферической
системе определяется углами 0 и ср, а начальный импульс
p0 = mv0 направлен вдоль оси z. Тогда из (5.69) для 0<С 1
(малые углы рассеяния) находим приближенное
выражение:
а^ — ^-ф, (5.70)
4я0р
•V
где ф — единичный вектор в направлении азимутального
угла в правой системе координат.
Мы видим, что уже в классической картине
е—^-рассеяния существует зависимость прицельного параметра
от угла <р, чему соответствует появление азимутальной
зависимости в квантовомеханической амплитуде рассеяния.
Если рассмотреть обычными методами квантовой
механики рассеяние электрически заряженной частицы с нулевым
спином (падающая волна = eikr = eik*2) на бесспиновом
монополе, то должно иметь место стандартное
асимптотическое выражение для рассеянной волны:
pikr
^=—/(9, Ф), (5-71)
Г
где /(0, ф) = |/|е1‘а — амплитуда рассеяния; а — фаза
рассеянной волны.
Построив падающий волновой пакет, можно прийти
к следующему соотношению между параметром
соударения этого пакета и углом рассеяния (см. [125]):
а = (Vft°0-L (5-72)
где V/t — градиент по начальному импульсу; индекс J_
означает, что речь идет о составляющей вектора,
ортогональной к.
150

Выражение (5.72) можно переписать в сферической
системе координат. Тогда получим:
a={k'-k.(kk')}-L-^--;—1— fi. (5.73)
k dcosB k sin 0 аф
Найденное соотношение следует сопоставить с (5.70) для
0<1, что приведет к следующему выражению для фазы
а, справедливому асимптотически в области малых углов
рассеяния:
ф. (5-74)
Подобная зависимость амплитуды рассеяния от
азимутального угла является, на первый взгляд, весьма
странной и противоречит требованию сохранения
углового момента в рассеянии. В самом деле, в обычной 03-ин-
вариантной теории начальное и конечное состояния бес-
спиновых частиц описываются только импульсами
взаимодействующих частиц. Поэтому амплитуда рассеяния
f=<s\T\i> содержит зависимость лишь от = cos 0
и к2.
Между тем, согласно (5.74), амплитуда е—g-рассся-
пия зависит еще от ф, т. е. возникает дополнительный
множитель, определяемый величиной, которая заведомо
не сводится к импульсам. Из (5.74) видно, что речь идет
о 	величине типа углового момента. Тогда соображения
вращательной инвариантности требуют, чтобы матричные
элементы <т'\Т\т> с разными проекциями этого
момента на ось г зависели от ф следующим образом: а= (га—
т')ф, причем пг—га' должно быть в любом случае целым
числом.
Отсюда, сопоставляя с (5.74), находим
2eg = 4лп, п = 0, ± 1, ±2, ... ,
т. е. условие зарядового квантования Дирака.
Следует подчеркнуть, что угловой момент s = eg/4n,
появляющийся в е—g-взаимодействии, не может быть
приписан ни одной из частиц в отдельности, а должен
быть связан с обеими частицами. Это обстоятельство, как
мы увидим ниже, порождает серьезные проблемы при
релятивистском обобщении теории. С другой стороны,
существование дополнительного углового момента может
151

быть эффективно использовано в дионных составных
моделях адронов (см. § 1 гл. 8).
Проведенный упрощенный анализ показывает, что в
приближении малых углов рассеяния и в предположении
Оз-инвариантности амплитуды рассеяния, во-первых,
должно выполняться условие зарядового квантования
Дирака и, во-вторых, начальное и конечное состояния не
могут быть представлены просто в виде произведения
волновых функций электрического заряда и монополя,
движущихся свободно. Необходимо, кроме того, еще
добавочный множитель, соответствующий
дополнительному угловому моменту (extra spin — по терминологии
Голдхабера [125]).
В действительности ограничение малыми углами не
является существенным, и эти выводы полностью
подтверждаются строгим квантовомеханическим расчетом
амплитуды е—g’-рассеяния. Мы не будем воспроизводить
его здесь, отсылая читателя к обстоятельной статье
Голдхабера [125]. Приведем лишь выражение для
амплитуды рассеяния, соответствующее малым углам рассеяния:
/ (9, Ф) = (— 0 ехр ф) —'— sin'2 , (5.75)
4л \ 4я J 2 mv 2
из которого видно, что сечение в этом приближении
действительно имеет квазирезерфордовский характер, чго
находится в соответствии с полученным в § 1 этой главы
классическим результатом.
Цванцигером [126] было показано, что |ои1>-состоя-
ния не преобразуются как произведе я состояний
свободных частиц и при рассеянии двух дуально заряженных
частиц. Кроме того, при вращениях амплитуда для бес-
спиновых частиц ведет себя как helicity-flip-амплитуда,
соответствующая состояниям с перевернутой спираль-
ностью. Такое положение возникает вследствие того, что
величина jjl (равная либо eg, либо е{g2—e2g\ в
зависимости от того, рассматриваются два «чистых» заряда или
дуально заряженные частицы) входит во все
соотношения в качестве проекции некоторого дополнительного
углового момента, который не принадлежит ни одной из
частиц в отдельности и отличен от нуля даже при
бесконечно большом расстоянии между частицами. Такой
результат есть следствие того, что угловой момент поля,
152

образуемого статической парой е—g} не зависит от
расстояния между зарядами (см. также приложение Е).
Существование extra spin’a в е—g'-взаимодействии
порождает ряд трудностей при переходе к релятивистской
квантовой теории, т. е. такой теории, которая могла бы
последовательно описывать процессы рождения и
аннигиляции с участием магнитно заряженных частиц. Эти
трудности обсуждены в упомянутой статье Голдхабера
[125]. Здесь мы вкратце остановимся лишь на одной,
которая весьма характерна для всей проблемы в целом.
Известно, что обычная теория S-матрицы (см.,
например, [305]) в число своих основных постулатов,
помимо требований лоренц-инвариантности, унитарности,
аналитичности, включает также условие кроссинг-симметрии.
Применительно к задаче о е—g-рассеянии последний
постулат означает, что амплитуду для реакции типа
e + g^-e + g (5.76а
можно аналитически продолжить для получения реакции
в перекрестном канале:
e + e-^g + g. (5.766)
Обычные правила аналитического продолжения
сформулированы для таких задач, в которых каждой частице
можно приписать определенный спин. Однако если
«перекрестная» реакция (5.766) может быть отнесена к
обычному типу, то в исходной «прямой» реакции (5.76а)
имеется дополнительный момент количества движения.
Поэтому кинематика прямой и перекрестной реакций в
рассматриваемом случае существенно различна и обычное
требование кроссинг-симметрии по меньшей мере нужда*
ется в модификации (см. также обсуждение в работах
Цванцигера [152, 157]).
§ 4. Динамические симметрии систем,
содержащих магнитный заряд
В последние годы в связи с успехами
теоретико-группового подхода в физике элементарных частиц вновь
возродился интерес к изучению таких динамических
систем, которые обладают симметрией более высокой, чем
их геометрическая симметрия (см., напр., [359, 360]).
Классическим примером является нерелятивистская
водо153

родоподобная система, гамильтониан которой
инвариантен не только относительно группы чисто
«геометрических» преобразований 03 (здесь масса равна 1):
[Я, Lk] = 0, (5.77)
[Lk, Lj\ = i&klnLn, (5.78)
где L — оператор углового момента, Н=р2/2 — а/г, но и
содержит элементы, которые не сводятся к
геометрическим. В этом случае существует дополнительный
векторный интеграл движения (вектор Рунге—Ленца)
A = Lxp—-аг, (5.79)
компоненты которого удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[Я, Ак] = 0, (5.80)
[Ah, Al) = i(-2H)eklaLnt (5.81)
ILk, Aj\ = izhlnAn. (5.82)
Из (5.78), (5.81) и (5.82) видно, что шесть операторов
1 _
Lh и Nh = (— 2Н) 2Ah при условии Я < 0 образуют
алгебру группы четырехмерных вращений. Поэтому для
дискретного спектра собственные функции гамильтониана,
принадлежащие фиксированному значению энергии (определенному
значению главного квантового числа п), образуют не
представление группы 03, а представление ^°Лее ШИР°“
кой группы 04. Выделение «диагональных» представлений вида
D(/, /) из числа всех возможных представлений D(/1, /2) группы
04 происходит благодаря условию ортогональности LA = 0.
Состояния, принадлежащие непрерывному спектру
{Н>0), образуют, как известно, представления
некомпактной группы Оз}1, изоморфной группе Лоренца (см.,
напр., [361]). Здесь реализуются бесконечномерные
унитарные представления основной серии Z)(/n, р) (т—целое
число; р — вещественное число), причем не все, а лишь
те, для которых т = 0 (параметр р связан с
энергией: р=У2/Е). Волновые функции сплошного спектра с
данным значением Е принадлежат, следовательно,
представлению D(0, р) группы Лоренца. Таким образом,
нерелятивистская кеплерова проблема представляет собой
нетривиальный пример физически содержательной
задачи, где полная группа симметрии включает элементы, не
154

относящиеся к геометрическим преобразованиям. В таких
случаях, следуя Вигнеру [362], говорят о «динамической
симметрии» системы.
Это понятие содержит еще один важный аспект,
который также проще всего продемонстрировать на примере
водородоподобной системы. Так, в случае дискретного
спектра можно поставить вопрос о существовании такой
группы, которая объединяла бы все собственные функции
гамильтониана в одно неприводимое представление
(«группа неинвариантности», см. [363]). Ясно, что такая
группа некомпактна, поскольку речь идет о
бесконечномерном унитарном представлении. Кроме того, в числе
ее элементов есть и такие, которые не коммутируют с
гамильтонианом, а действуют как операторы,
повышающие и понижающие индекс энергетических уровней
(отсюда и термин «группа неинвариантности»).
Простейшим некомпактным расширением группы О\
является группа де-Ситтера 04,ь И действительно, можно
показать (см. [364]), что все состояния дискретного
спектра водородоподобной системы объединяются в одно
неприводимое представление группы 04>\.
Однако для рассматриваемой системы группа
неинвариантности 04,1 не единственна. В этой роли может
выступать, например, конформная группа 04,2 (см. [365]).
Понятие динамической симметрии распространяется и на
случай релятивистских систем (см. [360] и цитированную
там литературу).
Наличие магнитного заряда вносит в проблему
Кеплера (как нерелятивистскую, так и релятивистскую)
некоторые специфические черты, анализ которых, с одной
стороны, интересен сам по себе, а с другой — позволяет
глубже понять особенности динамической симметрии
обычной водородоподобной системы.
4.1. 	Система из двух дуально заряженных частиц
(нерелятивистский случай). В нерелятивистском приближении
динамика пары частиц с массами т1 и т2 и зарядами q, =
= {ei> £1}’ #2 = {е2> £2} соответственно описывается
гамильтонианом следующего вида:
Я = -^-{р1-(Л>(г1-г2)Г+
2т1
+ {Р2 - HD (г2 - г,)}2 - , (5.83)
2 т2 \h~h I
155

где
— e2gi)/4n, а = (ехег + gxg^\4л, (5.84)
р(г) = (™)(ГХП>
г {г2 — (гп)2}
Выражение (5.85) для D (г) соответствует бесконечной линии
сингулярности. Путем стандартной замены переменных г =
тххх + ^2г2
= г2 — 1*!, R= —— — можно выделить гамильтониан
т1 + т2
относительного движения
Нг = Т~~±- (5-86)
2т г
Здесь т = —1Jh^h—^ f __ | —г , и введен0 обозначение
тх + т2
л = р — fxD. (5.87)
Нетрудно убедиться в справедливости следующих
перестановочных соотношений (см. также § 2 гл. 7):
l*k> *;] = О,
[Пк, Я,] = — , (5.88)
Г
[пА, xt] = i8hl.
Как известно, для е — g’-взаимодействия обычный
орбитальный угловой момент L = г х р не является интегралом
движения (см. § 1 этой главы). Сохраняющейся величиной в
eS " т-г
классическом случае является вектор j = г х р —г. По-
4 к
этому естественно рассматривать здесь в качестве оператора
углового момента следующую величину:
j = г х тс—(bir. (5.89)
Используя соотношения (5.88), можно получить
перестановочные соотношения для компонент оператора (5.89):
[/л. /Л = iekJn’ (5-90)
[/ft> Н] = О, (5.91)
[/ft> *j] = i%inxn> (5.92)
[/й. ni\ = i\innn- (5-93)
156

Отсюда видно, что оператор (5.89) действительно обладает
всеми свойствами углового момента*).
Вводя генератор трансляций в радиальном направлении
1 «->• -> -ч
яг = —(г я + я г), (5.94)
можно переписать гамильтониан (5.86) в следующей форме:
Нг = J- П2Г + -Ц- (Р - ^ —“ . (5.95)
2т 2тг г
Если, следуя Цванцигеру [126], рассматривать не оператор
(5.95), а так называемый «ассоциированный» гамильтониан
На = Hr -f (i2/2mr2, отличающийся от Нг лишь добавлением
«центробежного» члена, то придем к следующему
выражению:
На = ~~ пг + /2 —— • (5.96)
2т 2 тг2 г
Оператор На имеет в точности ту же форму что и
гамильтониан обычной нерелятивистской кеплеровой задачи. Более
того, в этом случае существует оператор А, обладающий
всеми алгебраическими свойствами вектора Рунге — Ленца:
А = (я х j — j X я) — <хг. (5.97)
2т
Поэтому справедливы следующие соотношения:
[/*, На) = [Ah, На] = О, (5.98)
[jh’ /J ^hlnin’
[Ak, Аь\ = i (— 2Ham~1) eklnjn, (5.99)
[/ft» A) — ^kln^n'
jA = Aj = afi, (5.100)
A2~a2 = 2Hatn1 (j2 — [x2 + 1), (5.101)
которые показывают, что ассоциированный гамильтониан
обладает симметрией 04. Существенное отличие от обычной
*) Используя перестановочные соотношения (5.88), (5.90) и
(5.92), можно показать, что для параметра jut допустимы лишь целые
и полуцелые значения (подробнее см. § 2 гл. 7).
157

кеплеровой задачи состоит в том, что угловой момент j и
вектор Рунге—Ленца А в этом случае не ортогональны.
Последнее обстоятельство приводит к тому, что собственные
функции ассоциированной задачи реализуют все
представления группы 04, имеющие вид D(ju /2), где Д, /2 = О,
1/2, 1, 3/2, ... , но вследствие jA=^=0 имеет место |jt —
/г! ^ М- (В обычной кулоновской задаче возникает огра-
п— 1 ч
ничение: = /2 = —-—, где п — главное квантовое число).
На основании соотношения (5.101) с помощью (5.99), (5.100)
путем обычной процедуры можно получить выражение для
собственных значений гамильтониана На:
En = —— та2— , (5.102)
2 №
где N = |[а| + 1, ||ы| + 2, ... , т. е. главное квантовое число
кроме целых может принимать также и полуцелые значения.
При заданном N возможны следующие значения углового
момента:
/ = И> N+ !> И+ 2, , N— 1.
Цванцигером было также показано, что состояние
непрерывного спектра ассопиированного гамильтониана
реализуют представления ЩЫ, р) главной -серии группы 03)
И здесь происходит снятие тех ограничений (ц = 0),
которые существуют для непрерывного спектра обычной
кеплеровой задачи.
Хотя, как это отмечалось и самим Цванцигером, для
введения дополнительного центробежного потенциала нет
никаких физических оснований, тем не менее
рассмотрение ассоциированной задачи все же имеет смысл,
поскольку она выступает как естественное обобщение обычной
кулоновской проблемы. Представляется довольно
неожиданным и удивительным, что, казалось бы,
исключительные свойства чисто кулоновского взаимодействия
(симметрия Ол для связанных состояний и 03,i для состояний
рассеяния) могут быть сохранены в присутствии сил,
зависящих от скорости.
4.2. 	Система из двух дуально заряженных частиц
(релятивистское рассмотрение).
4.2а. Напомним вначале некоторые характерные
особенности обычной релятивистской кулоновской задачи.
158

Прежде всего, «случайное» вырождение и высокая
симметрия 04, существующие в нерелятивистском
приближении, здесь исчезают. Остается лишь симметрия 03,
соответствующая инвариантности относительно группы
пространственных вращений. Физическая причина такого
понижения симметрии может быть легко объяснена с
позиций классической механики: вследствие релятивистской
прецессии орбиты перестают быть замкнутыми (вектор
Рунге—Ленца, направленный вдоль большой полуоси
нерелятивистской орбиты, теперь уже не сохраняется).
Более того, вследствие сохранения углового момента по
мере уменьшения расстояния орбиты начинают
приобретать спиральный характер. Вторая особенность состоит
в том, что в качестве генераторов группы симметрии Оъ
выступают уже не компоненты орбитального момента
L = гХр, а составляющие полного момента,
включающего спин:
1 	= гхр+-^о, (5.103)
здесь а — матрицы Паули.
Для диагонализации дираковского гамильтониана
HD = рхар + Рзт — — . (5.104)
г
где ah, pk (&= 1, 2, 3)—обычные 4x4 матрицы Дирака;
а0 = е2^ 1/137; Z — заряд ядра; т—масса частицы,
удобно ввести оператор
= р3 (gtL —1), (5.105)
который коммутирует с HD. Операторы /2 и К2 связаны
соотношением /2 = К2, — 1/4. Поэтому оператор К имеет
следующие собственные значения: |/С| = / + 1/2, где /(/ +1) =
= < j |/2|/ > . В сферических координатах уравнение Дирака
принимает вид
-> / .д РзК — 1 , ,
Р10Г ( ~~~ 1~дгГ 1 I РзШ _
159

откуда особенно ясно видно, что оператор К выступает в роли
абсолютной величины углового момента. Удобнее
отыскивать не собственные значения Но, а диагонализировать
«квадрированный» гамильтониан с собственными значениями
х2 = Е2 — т2, который в сферических координатах имеет вид
Отсюда вытекает (см., напр., [366]) известное выражение
для собственных значений энергии релятивистской
кулоновской задачи
Е - т {1 + «oZ2 [nr + (|£|2 — alzy/'2 Г2}-1/2, (5.109)
где пг — радиальное квантовое число, а |&|=■/-(-1/2 —
собственное значение оператора К- Из (5.109) видно, что
должно быть \ЩФ0 и во всяком случае \Ц>аоZ. В
противном случае энергия становится комплексной, а
радиальные волновые функции — сингулярными в нуле.
Условие aoZ<^l соответствует случаю, когда спиральные
орбиты отсутствуют. Поскольку ао~ 1/137<С1, это
условие автоматически выполняется для всех стабильных
атомных систем (с Z<l/ao). В дальнейшем мы увидим,
что наличие магнитного заряда существенно изменяет
ситуацию именно в этом пункте. Интересно отметить,
что нерелятивистское вырождение и соответственно
симметрия О4 могут быть восстановлены и в релятивистском
случае путем замены оператора Г, определяемого
выражением (5.108), оператором G следующего вида (см.
В результате возникает так называемый «симметричный»
гамильтониан, который отличается от Но из уравнения (5.106)
лишь добавлением члена Hjs:
Г (Г — 1) 2а0ZE
о '
г2 дг
(5.107)
где
г = Р.* + iagZp^r,
Г2= К2 - a%Z\
 (5.108)
[368]):
+ i‘aoZPiaT-
(5.110)
—>
2
— 1 . (5.111)
160

В такой задаче нерелятивйстскай прецессия теряется, ёоз*
никает сохраняющийся вектор типа вектора Рунге — Ленца
4.26. Переход к случаю двух дуально заряженных
частиц меняет исходные релятивистские уравнения в двух
пунктах. Во-первых, в дираковском гамильтониане необхо-
димо произвести стандартную замену р л = р — (xD, где
D определяется формулой (5.85). В результате получаем
(в сферических координатах) следующее выражение для
оператора энергии:
Во-вторых, оператор углового момента j, определяемый
выражением (5.89), не коммутирует с Но. Нетрудно
убедиться, однако, в справедливости следующих перестановочных
соотношений:
Поэтому сохраняющийся момент количества движения для
дираковского гамильтониана (5.114) объединяет угловой мо-
„ 1
мент j = г х л — |лг и спиновыи угловой момент — сг:
С учетом этих различий можно воспользоваться схемой,
вполне аналогичной той, которая была изложена в 4,2а.
Интеграл движения типа (5,105), имеющий ключевое значение для
Все относящиеся сюда подробности можно найти в
превосходной статье Веррондо и Макинтоша [129]. Там же содержится
обширный перечень литературы по этому вопросу.
11. Зак. 670 161
А = (т2 — £*),/2 LqZE г + (L х р — р X L)J , (5.112)
а собственные значения энергии равны •)
(5.113)
2
(5.115)

всей схемы, в рассматриваемом случае должен быть выбран
в следующем виде:
Keg = PsM»- X Л) + 1}. (5.116)
Справедливы также соотношения
j2 = (г х л — (jtr)2 = (г х л)2 + ц2,
J2 = i2 + ?j + 4 ’
4
К% = (г х п)2 + p3Keg — [шг,
из которых следует равенство
./* = /& +ц* 1, (5.117)
непосредственно обобщающее связь между оператором К2
и квадратом углового момента, вытекающую из выражения
(5.105).
Если ввести теперь оператор Teg, аналогичный оператору
Г, задаваемому выражением (5.108)!
reg = Рз Keg + ЮРхОГ, (5.118)
то, как можно убедиться, он будет играть роЛь, формально
идентичную той, которую выполняет оператор Г в случае
обычной кулоновской задачи. В частности, он диагонализи-
руется одновременно с квадрированным оператором #og(2).
Поскольку имеет место равенство
Ге6 = J2 + ц2 — а2,
4
собственные значения оператора Teg определяются
выражением
V2 = j (1 + !) + — ц2 — + -J j —ц2 — а\
 (5.119)
В результате собственные значения энергии для
дискретного спектра выражаются следующим образом:
162

E = m
2
Сравнивая это выражение с формулой (5.109) для обычной
релятивистской кеплеровой задачи, мы видим, что с
формальной точки зрения единственным отличием является то, что
в рассматриваемом случае вместо числа \k\ =/+ 1/2 стоит
величина и = {(/ + 1/2)2 — \х2}2 . Однако это, на первый
взгляд небольшое, различие приводит к весьма
существенным следствиям.
Прежде всего, при афО, безусловно, должно
выполняться условие /+1/2>||д,|, которое означает, что в
рассматриваемой системе невозможны 5-состояния. Кроме
того, легко видеть, что случай /+ 1/2 = |ц,| является
критическим, поскольку он приводит к комплексным
значениям энергии при любом афО (а не только при ос-И, как
в предыдущем случае). Поэтому сингулярные в нуле
решения (спиральные орбиты) для дуально заряженных
частиц будут иметь место для любого ненулевого
значения а. Заметим, что при /+ l/2 = |j.i| рассмотренной схемой
решения и ее результатами следует пользоваться с
большой осторожностью, поскольку матрица Keg в этом
случае является особенной (не имеет обратной).
Мы видим, что в целом между обычной
релятивистской кулоновской задачей и задачей о взаимодействии
двух дуально заряженных частиц имеется значительное
формальное сходство, которое выражается в аналогии
между алгебраическими свойствами соответствующих
операторов. Поэтому неудивительно, что и в присутствии
магнитного заряда можно восстановить симметрию О4
путем введения операторов, обобщающих выражения
(5.110) 	и (5.111). Единственное с точки зрения симметрии
задачи различие будет заключаться в размерностях
представлений О4, которые будут реализоваться в обоих
случаях.
4.3. 	Группа 04) 2 как группа динамической симметрии.
4.3а. Начнем с рассмотрения обычной
нерелятивистской кеплеровой задачи, поскольку на этом примере
проще всего проследить основные математические идеи и
методы аппарата теории динамических симметрий. К
тому же и релятивистское и дуальное обобщения, как по
отдельности, так и в сочетании, не приводят к сколько-
163

нибудь серьезному усложнению по сравнению с этим
относительно простым случаем.
В своем изложении мы будем следовать работе [131].
Ограничимся для простоты случаем дискретного спектра.
Введем три эрмитовых оператора следующего вида:
Г„=^{/-Р2 + г},
(5.121)
Г4= j{rp2~r},
Т = гр — i,
где г и р — соответственно операторы координаты и им-
пульса, которые удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[Г0, Г4] = iT, [Г4, Т] = -iTQ, [Т, Г0] = 1*Г4, (5.122)
т. е. являются генераторами алгебры, изоморфной
алгебре некомпактной группы 02, i *>. Инвариантный оператор
этой алгебры — оператор Казимира — выражается через
генераторы следующим образом **);
Q\=Tl-Tl-T\=L\ (5.123)
где L = г х р — оператор углового момента. Учитывая, что
Я = —р2 — —, находим соотношение Я — Е = — /— х
2т г г [2т
X (Г0 + Г4) — Е (Г0 — Г4) — а|. Отсюда получаем, что
задача об отыскании собственных функций и собственных
значений оператора Я будет решена, если известны решения
уравнения
ОФ = 0, (5.124)
*) Если бы правые части всех трех соотношений (5.122) имели
одинаковый знак, мы имели бы дело с алгеброй компактной группы
трехмерных вращений Оз.
**) Напомним, что оператор Казимира второго порядка для
алгебры, заданной генераторами Ха , удовлетворяющими
перестановочным соотношениям [Ха , Хр ] = Ху (С^р — структурные
Константы алгебры), определяется следующим образом: Q2 = ga$Xa Х$ , где
8аP = Cav Cvp (см > напР’ t389!)- В нашем слУчае Sa0= (1. -1,-1}.
откуда и следует выражение (5.123).
164

где
Й = г (Я - Е) = i- (г0 + Г4) - Е (Г0 - Г4)—а. (5.125)
Пусть решение (5.124) ищется в следующем виде:
Ф = ехр (/0Г)Ф,
где Ф — собственные состояния оператора Г0; 0 — числовой
вещественный параметр. Если выбрать 0 следующим обра-
Е + (2т)-1 -
зом: thu = —-—, то (5.124) сведется к уравнению
Е — (2т) 1
2 Е \ !/2 \
 Г0— а|Ф = 0. (5.126)
Если Е < 0, то Г0Ф = пФ (п — пока не обязательно целое!
(см. ниже)), и мы получаем
Еп=-—.*-ш (5.127)
2 	п2 ’
Квадратично интегрируемые решения уравнения (5.124)
имеют вид
ф = — ехр (iQT) |п > , (5.128)
п
где |п> — базис дискретных унитарных неприводимых
представлений D+группы 02, i с оператором Казимира
(5.123). Собственные значения Q2 имеют вид А,(М-1)>
причем следует ограничиться отрицательными К.
Поэтому К = — (/+1), и для каждого фиксированного I
возможны следующие значения п: n=l~\~ 1, /+2, ... Если
рассмотрение ведется на чисто групповом языке и алгебра
(5.122) группы 02,1 выступает как заданная абстрактно,
то мы знаем только структуру собственных значений
оператора Казимира (5.123) <A,|Q2|A,> =А,(А,+ 1), но не
можем определить, какие численные значения параметра К
допустимы. Для этого следует ввести дополнительные
операторы, что достигается, если привлечь в качестве
генераторов алгебры компоненты углового момента
L = г X р, (5.129)
165

а также составляющие следующих трех операторных
векторов:
1
А = — {р х L —L х р}— аг,
2
М = {р х L — L х р} + аг, (5.130)
Г = гр.
Как нетрудно убедиться путем прямых вычислений,
двенадцать операторов (5.129) и (5.130) совместно с тремя
операторами (5.122) определяют алгебру группы 04,2,
локально изоморфной группе вращений шестимерного
псевдоевклидова пространства с метрикой {—1, —1, —1,
— 	1, +1, +1}. Как известно (см., напр., [367]), алгебра
Ли группы 04,2 может быть представлена пятнадцатью
компонентами антисимметричного тензора Ьаъ = —
(a, b = 1, 2, 3, 4, 5, 6), которые подчиняются следующим
перестановочным соотношениям:
1^аь> Lcd] = — i (— gbc^ad — Sad^bc + Sac^bd + Sbd^ac)>
Sab = { H- !}•
Операторы (5.121), (5.129), (5.130) удовлетворяют
именно этим правилам коммутации, если произвести
следующую идентификацию:
^ki = ек1п^п> LkQ = Гл,
= At’ ^45 =
Lk б = Mk, L4e = Г4,
^56 = Г'о*
В этой алгебре одновременно могут быть диагонализиро-
ваны три генератора. Выше в качестве генераторов были
выбраны Го, L2, L3. Поэтому состояния Ф в (5.126)
фактически есть состояния |nlm>, причем To\nlm> =n\nlm>.
Заметим, что операторы L и А генерируют в 04,2 ее
компактную подгруппу 04, все элементы которой
коммутативны с Го. Поэтому фиксированное собственное значение
Го определяет состояние, принадлежащее некоторому
представлению компактной группы 04. Из
перестановочных соотношений 03 для компонент Lk (5.129) вытекает,
166

что в выражении для собственных значений L2 = X(X-\-1)
величина X представляет собой целое или полуцелое чис-
ло, а свойство ортогональности TL=0 приводит к
исключению полуцелых значений. Известно (см., напр.,
[367]), что ранг группы 04) 2 равняется трем, поэтому ее
неприводимые представления определяются тремя
операторами Казимира. Однако, поскольку не все генераторы
04) 2 в нашем случае независимы, все три оператора
Казимира имеют фиксированные значения
Поэтому здесь реализуется лишь одно неприводимое
представление 04,2, в котором для каждого /=О, 1, 2, ...
имеем п = 1-(-1, /-|-2, ... (или для каждого п= 1, 2, ... имеем
—1). Энергетические уровни зависят только от
п2, причем собственные состояния являются базисом
04-симметрии, что представляет уже известный нам
результат.
4.36. Рассмотренный метод полностью пригоден для
анализа системы, состоящей из двух дуально заряженных
частиц. Оказывается, что следующий набор операторов:
Q3 = L2 + А2 — М2 — Г2 + Го — II — Т2 = — 3,
Q3 = Q4 = o.
(5.131)
j = Г X Я — (JT,
Kg = -^-{я х j — j X я} — а г,
мeg = -1{Я X j — j X я} + аг, (5.132)
Teg = ™
в сочетании с операторами
(5.133)
167

где я задается выражением (5.87), а, [л —
соотношениями (5.84), также образует алгебру группы 04) 2- Этот факт
более примечателен, чем может показаться на первый
взгляд, поскольку компоненты импульса я не
коммутируют между собой, а удовлетворяют соотношениям
[ль, яг] =ЩШпХпг~ъ. Три оператора (5.133),
представляющие собой обобщение операторов (5.123), генерируют
подгруппу Ог, 1. Ее оператор Казимира имеет следующий
вид:
QeS = (Гое)2 - (rf)2 -1% = j2. (5.134)
Легко видеть, что для «ассоциированного» гамильтониана
На = п2/2т—а/г+|л2/2 тг2 (см. (5.96)) имеет место
соотношение
г (На - Е) = — (Геое + Г?) - Е (Теое - If), (5.135)
2m
вполне аналогичное выражению (5.125). Поэтому все
результаты, полученные в 4.3а, автоматически переносятся
на «ассоциированный» гамильтониан. В частности,
возникают симметрия 04 и формула Бальмера для уровней
энергии На. Единственное отличие, связанное с неортого-
нальностью векторов j и Aeg в (5.132), состоит в том, что
операторы Казимира группы 04j2 имеют теперь значения,
отличные от (5.131), и определяются следующим
образом:
Qe2s — 3 (|л2 — 1),
Qf = 0, (5.136)
Qls = tx2(l-^2).
Поэтому в дискретном спектре «ассоциированного»
гамильтониана En = —ma2/2 N2 будут присутствовать не
только целые, но и полуцелые значения N (ср. с п. 4.1).
Хотя «ассоциированный» гамильтониан обладает
рядом примечательных свойств, тем не менее он отличается
от оператора энергии (5.86), описывающего
взаимодействие двух дуально заряженных частиц. В принципе
введение в (5.86) дополнительного «центробежного»
потенциала вида (jt2/2 mr2 нельзя считать физически
обоснованным. Представляет интерес поэтому исследовать
168

свойства гамильтониана (5.86) без «принудительной» его
симметризации.
Оказывается, эта задача также имеет точное решение,
причем оно может быть найдено на основе
рассмотренного выше метода в терминах «нарушенной» 04)
2-симметрии.
Заметим прежде всего, что три оператора
также образуют алгебру 02>1 с оператором Казимира
Легко видеть, что гамильтониан (5.86) Н = п2/2т — а/г
выражается через операторы (5.137) посредством соотношения,
аналогичного (5.125) и (5.135):
Поэтому можно немедленно воспользоваться описанной выше
схемой решения и записать уравнение, аналогичное (5.126):
откуда для дискретного спектра энергии (Е <С 0) получаем:
п' не равно целому или полуцелому числу, поскольку
штрихованные операторы (5.137) уже не могут быть включены в
группу 04>2 наподобие нештрихованных (5.133). Тем не
менее, спектр Епг (5.141) может быть определен точно, а
соответствующие собственные функции оказываются связанными
Г'ое = ~ (гя2 + г),
г;* = -L (гяз _г)>
Tig = Teg = гя — i
(5.137)
(5.138)
Q'eg = r(H-E) = ~ (Г0ее + Г?е) - Е (Г0'* - Г?е) - а.
2 	m
(5.139)
(5.140)
(5.141)
где п! — спектр собственных значений Г0ее. Здесь, однако,
169

с представлениями группы 04 2. Дело в том, что, хотя
операторы (5.133) и (5.137) образуют две различные алгебры
02>1, каждая из них коммутирует с угловым моментом j =
= г х я — |хг, а их операторы Казимира (5.134) и (5.138)
связаны соотношением
Поэтому величину |х2 можно рассматривать как параметр,
нарушающий симметрию (для ц,2 = О мы возвращаемся к
результатам п.4.За). Однако теперь можно определить
собственные значения j2 из представлений 04>2 (алгебра (5.132),
(5.133)), а спектр Т'0ее и Т\ее — из величины Qeg
(представление 02>1). Воспользовавшись выражением (5.138) и
коммутационными соотношениями для момента /, получим:
Следовательно, в ^-представлении группы 02>1 спектр Г0ее
имеет вид
Поэтому выражение (5.141) для собственных значений
энергии можно записать в следующей форме:
В случае (х = 0 получаем обычную формулу Бальмера.
Для фиксированного (хфО возникают так называемые
осцилляторные представления алгебры 04,2, подробно
исследованные в [369]. Они «меют особенно простые
редукционные свойства по отношению к подгруппам Oit 2
Qe g Qeg — И?1
(5.142)
1/2
(5.143)
(5.144)
— 	И2 2 ,
Е,
П
та‘
2
и ok, 1.
170

Подобным же образом в рамках динамической
группы О4,2 может быть получено точное решение
релятивистских уравнений Клейна—Гордона и Дирака для
системы двух дуально заряженных частиц (см. [131]).
§ 5. Квантовая теория
В первоначальном варианте, предложенном Дираком
в 1948 г. [137], квантовая теория монополя основывалась
на использовании нефизических динамических
переменных, описывающих «нити», и носила нелокальный
характер. Стандартная формулировка квантовой теории
исходит из задания лагранжиана, из которого затем путем
обычных процедур получаются уравнения движения и
канонические перестановочные соотношения. Если
лагранжиан является скаляром относительно
преобразований Лоренца, то это обеспечивает и релятивистскую
инвариантность теории. Для квантовой теории дуально
заряженных частиц можно построить лагранжиан,
задание которого позволяет развить теорию [152]. Но, как
это было видно уже в классической теории (§ 2),
подобная процедура сопряжена с большими формальными
трудностями, которые еще более усугубляются в
квантовом случае.
При построении релятивистской квантовой теории
монополя Дирака за основу изложения возьмем подход
Швингера [142] (см. также § 5 гл. 3 и приложение Б),
поскольку требование скалярности лагранжиана можно
заменить более общими предположениями,
совместимыми с принципом наименьшего действия.
5.1. 	Полевой подход. В теории монополя Дирака,
использующей сингулярные потенциалы, соответствующий
оператор плотности энергии будет иметь вид [142]
^44 = (Е2 + Н2) + 2 (tyh У (v — iehA —
* 	к
— 	igh В) 'h + тЛк%}> (5-146)
А = Аг + А„, А- (х) = J d3x'а (х — х') /о (*')>
(5.147)
В = Вг + Ве) Ве (х) = — J d3x'а (х — х') ji (хГ)
171

и г|)й, ij)ft—операторы фермионного поля, описывающие дуально
заряженные частицы с зарядами ek, gk. Векторная функция
а (х — х') определяется уравнениями
rot а (х) = — grad D (х) + hn (х), div а (х) = О,
(5.148)
div hn (х) = — 6(х).
т т
Поперечные векторные потенциалы А , В удовлетворяют
каноническим перестановочным соотношениям (см. § 2 гл. 2).
Справедливы также следующие соотношения:
Е = Ег — grad Фе = — rot Вг — grad Фе,
Фе (Х) = I d3x'D (Х — Х') /0 (*')>
(5.149)
Н = Нг — grad Ф5 = rot Ат — grad
Фв(х) = Sd*x'D(x — x')
где t/o = Чо = /| есть четвертые компоненты
соответствующих плотностей тока je = = * 2^*^ х
k k
XYnlV
Связь между полями Е, Н и потенциалами А, В имеет-
вид
Н (х) = Нг (a:)—v I d3x'D (х —х') /о (х') =
= rot А (х) — S d3x'hn (х — х') /е (х"),
(5.150)
Е (х) = Ет (х) — у | d3x'D (х — х') jo (х') =
= rot В (*) — J d3x'hn (х — х') /«(х').
При переходе к релятивистски ковариантной записи
необходимо ввести четвертые компоненты векторов А, В, которые
задаются следующими соотношениями:
А4 (х) = J d3x!D (х - х') /| + J d3x' a (x-x')j* (*') = М0,
(5.151)
В4 (х) = J d3x'D (х — х') /f — j d3x' а (х — х') \е (х') = iB0.
172

Теперь поля Е, Н могут быть выражены через потенциалы
А, Л4 и В, Б4. Таким образом:
Е (*) = — — grad А0 + i J dsx'hn (х — х') х jg (х'),
(5.152)
[Н (х) = — _ grad B0—i J d3x’ h„ (x — x') x /* (x').
at
Релятивистски ковариантная запись тензоров Fnv и через
потенциалы Адана в § 2.
Компоненты плотности импульса Tik имеют вид
Tik=iEхн+2 № Y(V — ieA — ^ +
I
+ ~ VX(^vA) J • (5.153а)
Преобразуя произведение ЕхН:
(Е X H)ft = Ет dh\T— div (ErAl) + je0\£ +
+ /SBjf + div (Al уфе-федкАт)+йЫ (Вl уФ8-Федкйт) +
+ rot, -L (феуфе-ф8уфе), (5.154)
можно убедиться в справедливости следующего выражения
для полного оператора импульса:
pk = i\ d3x{ErdhAT— 2 ЬуАЬ)- (5-1536)
Если предполагать выполнение стандартных правил
коммутации для фермионных операторов (см., напр., [312]), то
будут иметь место следующие канонические
перестановочные соотношения:
lit (*)» т44 (*')) = — Ц (•*') дк8 (* — х')>
(5.155)
[/? W. Т44 (*')] = — jf (х') dh8 (х — х')
173

и
i [Е (х), Т44 (*')] = — Н (*') хуб (х — х') — j* (*') б (х — х'),
(5.156)
i [Н (л:), Т44 (*')] = Е (*') X уб (х — х') — j® (л:') б (х — х'),
гарантирующие выполнение локальных законов сохранения
зарядов и уравнений движения для векторов Е, Н.
Используя выражения (5.146) и (5.153) и учитывая (5.155),
(5.156), непосредственной проверкой можно убедиться в
выполнении канонических перестановочных соотношений (3.116)
для выбранного вида Т44 и T4fe, что обеспечивает
релятивистскую инвариантность теории.
Для того чтобы удовлетворялись перестановочные
соотношения (5.116), необходимо выполнение следующего
условия:
rot а (х) = — grad D (х).
Это соотношение при выборе векторной функции а(х) в
виде
а (х) = а„ (х) = ~ D (х) х
X
[ nxx пхх ] .. _
, ■ п—=ап(-х) (5Л57)
\ | х | + пх | х | — пх )
удовлетворяется во всех точках, которые не находятся на
бесконечной линии («нити Дирака», линии сингулярности),
проходящей через начало координат в направлении
единичного вектора п. Векторная функция hn, имеющая дельтаоб-
разный характер, при этом имеет вид:
hn (х) = n (п х) бп (х), (5.158)
где 6п (х) — двумерная о-функция в плоскости,
ортогональной п.
Швингер использует бесконечную линию сингулярности^
так что векторная функция hn (х), характеризующая «нить»^
представляет собой разность функций полубесконечной линии
сингулярности и ее зеркального отражения:
174

hn (x) = J {6 (x — s) — 6 (— x — s)} ds, (5.159)
о
где интегрирование проводится вдоль произвольного пути
от начала координат до бесконечности. Если путь
интегрирования выбрать вдоль оси z, получаем:
hz (х) = гг (г) Ь(х) 8 (у). (5.160)
Для полного углового момента с учетом (5.154) имеем:
J = j d3x (х X Tih (х)) = J' d3x (Er (x x v) Аг+Ег X Ar +
+ (xXV+ — 4>i} —
I
— 	y- (eh8i—eigh) j d3xd3x'it>t (*)%(*') X
k,l
X f(x — x')xa(x — x')+ x ~— (x) (x')| =
\ 4я|х—x | J
= J° + jn. (5.161)
За исключением последнего члена в (5.161) компоненты J
соответствуют обычному оператору полного момента
количества движения. Последний член обязан своим
происхождением дополнительному вкладу статических полей
Jo (*) = — j* d3xd3x'j* (х) jo (*') =*
= j d3x (ФеуФ8 - Фгуфе)- (5-162)
Если рассмотреть, как преобразуются компоненты Г44
в результате действия унитарного оператора U (0),
осуществляющего дуальный поворот, то получаем, что
U (0) Г44 (Ег, Нг) U-1 (0) = Г44 (Ег cos 0 + Нг sin 0,
(5.163)
— Е sin 0 “I- Н cos 0).
175

Из вида Н=Ти нетрудно’убедиться, что справедливо
соотношение:
Я (Ег cos 0 -f Нг sin 0, — Ег sin 0 + Нг cos 0; eh, gh) =
=Я (Ег, Нг; ek cos 0 — gh sin 0, eh sin 0 + gh cos 0). (5.164)
Таким образом, не существует эксперимента, который
мог бы детектировать одновременный поворот в
зарядовом пространстве зарядов всех дуально заряженных
частиц. Это утверждение может быть названо, согласно
Цванцигеру [148], теоремой о «киральной
эквивалентности».
Отметим, однако, что коммутационное соотношение
(3.116) не будет выполняться повсюду для данной пары
одновременных точек, соединенных между собой
фиксированной линией сингулярности. Прежде чем обсудить
этот вопрос, рассмотрим необходимость появления в
такой теории условия зарядового квантования.
5.2. 	Калибровочная инвариантность теории.
Вследствие равенства нулю массы фотона необходимо, чтобы
теория была инвариантна относительно калибровочных
преобразований
fft -► = ехР iiehA W + lSk Л (*)} i|> (*), „ „
(5,165)
torHS = exP {— iekA M — tgiA (*)} ц (x).
Кроме того, для физической непротиворечивости теории
необходимо, чтобы изменение местоположения линии
сингулярности не влияло на физические следствия. Это
возможно только в случае, если переход от одной линии
сингулярности к другой является калибровочным
преобразованием типа A'->A+gradA.
Соответствующие преобразования для заряженного
поля имеют вид
% (X) = ехр {ieh j fdx! [А* (х') — Ag {х')} +
ОО
+ j dx’ [в; {X') - Ве (х')]} Ц (X), (5.166)
176

где
| dx' [Ag (*') — Ag (*')] = j dzx'fn,tl (x — x') jfj (x%
00 00
(5.167)
j dx'lB'e(x') — Be(x')1 = — j d3x'fn,n(x — x')je0(x')t
00 00
И
fn'n (X) = j’ *1 K' (X + 'П) - (X + •П)} = - fn-n (- X)-
(5.168)
Преобразование (5.165) обусловлено унитарным
оператором U:
у (х) = и-Ц(х)и, (5.169)
где
и = ехр {i J d3xd3x' [Ц (х) fn,n (х — х') /jf (*') —
-/!WWX-X')/Ж)»- (5-170)
Преобразование (5.170) оставляет инвариантным выражение
для и TAk и не меняет перестановочных соотношений
Для 'tft-
Преобразование, генерируемое унитарным оператором и,
имеет вид
ехр {— ieh j d3x"fnn, (х — х") /g (х") +
+ ighSd3x",nl,(x-x”) j°0(x”)}4(x)X
X ехр {ieh j d3x"fnn, (x — x") /§ (*") —
-iSk\d3x"fnn, (x-x*)'/§(*")> =
= exp {t 2 g, — V e,) fn,n (x — x')} o|> (*')•
/#/г l^k
(5.171)
Здесь необходимо потребовать однозначности
калибровочного преобразования. Выражение fn,n(х — х'), если выбрать
начало координат в х', является разностью криволинейных
интегралов от ал, и ап по пути с конечной точкой х. Если,
однако, непрерывно изменяемый путь интегрирования в
(5.171) пересечет одну из линий сингулярности (п или п'),
VI, Зак, 670 1 77

T0 fnn' (х — х') скачком изменится на величину + 1/2. Это
следует из того, что предел интеграла, взятого по малой
произвольной поверхности, пронизанной линией х = п | х |,
lim J ds rot а = lim (j) dxa = 1— , (5.172)
или эквивалентного криволинейного интеграла по пути,
образующему границу этой малой поверхности, не исчезает и
равен 1/2.
Скачок значения fnn, несуществен, если выполняется
условие зарядового квантования:
ek £ Si — ёк 2 е1 = Аппы< пм = 0. ± + 2> • • • >
Хфк I
(5.173а),
где — целое число. Если использовать потенциал Дирака
то изменение fnn, происходит на величину + 1 и условие
однозначности калибровочного преобразования приводило бы
к обобщенному условию зарядового квантования Дирака:
eh 2 81 — ёк 2 ei = 2тм• (5.1736)
1фк 1фк
Нетрудно видеть, что условие универсальности g!e
удовлетворяется при выборе пш = 0 в правой части.
Предположим [148], что условие (5.173а) или (5.1736)
удовлетворяется при пм= 1 для некоторых дуально
заряженных частиц:
-Р(е,ёг-е^)=\. (5.174)
Ап
Удобно рассматривать здесь электрические и магиитные
заряды частицы как компоненты вектора q= {е} g} в
действительном двумерном линейном векторном зарядовом
пространстве. Условие (5.174) можно переписать тогда в
следующем виде:
~~— Qi X q2 = 1 • (5.175)
An
В двумерном пространстве существует только два
линейно независимых вектора, удовлетворяющих соотношению
178

(5.175). Поэтому любой вектор в двумерном зарядовом
пространстве может быть записан в виде
Чп = + cn2q2. (5.176)
Образуя векторное произведение qn с qx и q2 и используя
(5.175) и (5.176), получим, что сп1 и сп2 должны быть
целыми числами Znl, Zn2 и
Чп = ^ni4i Н Zni, Zn2 = 0, ±1, ± 2, . . . (5.177)
Векторное произведение любой пары векторов имеет,
следовательно, вид
Чт ХЧ7г = Zm2Znl) ~Г“ » (5.178)
4я
так что (5.178) удовлетворяется для любых типи есть
наиболее общая запись условия зарядового квантования,
если существует пара векторов, где векторное
произведение имеет минимальное ненулевое значение.
Используя возможность дуального поворота, можно
ориентировать вектор qi вдоль электрической оси, так что
4i = 0} и .
В этом случае из (5.174) имеем
q2 = {e2, 4я<?-'}.
Поскольку у нас отсутствуют какие-либо
дополнительные ограничения на е% это означает, что рассмотрение
дуально заряженных частиц показывает возможность
существования новой единицы электрического заряда,
отличной от заряда электрона. Это обстоятельство
используется в дионной модели адронов, где адроны
рассматриваются как магнитно нейтральные образования,
состоящие из дуально заряженных частиц — дионов (см. § 1
гл. 8).
§ 6. 5-матрица в теории монополя Дирака
Рассмотрим процедуру построения 5-матрицы для
квантовой электродинамики с монополем Дирака.
Разложение S-матрицы в ряд по параметрам ей g,
которые не являются независимыми и численная
величина одного из которых значительно превышает единицу,
12*
179

вряд ли может быть использовано для проведения каких-
либо расчетов. Но исследование этой возможности
позволяет лучше выявить специфические особенности,
присущие квантовой электродинамике с сингулярными
потенциалами.
Плотность гамильтониана может быть разбита на
две части:
где
(5.180)
и соответствует свободному полю,
и описывает все взаимодействия между дуально заряжен-
L у
ными частицами. В выражении для 9(шз опущены ЕЕ и
н^нг, так как ими можно пренебречь, поскольку интеграл
от них по всему пространству обращается в нуль. Члены
\ ^ = 2 уФе)2’ (HL)2= V°^)2 пРедстав‘
ляют энергию статического кулоновского взаимодействия
между электрическими и магнитными зарядами частиц
соответственно. Эти кулоновские члены, как отмечалось в § 5
гл. 3, обеспечивают сокращение нековариантной части
фотонного пропагатора < 01Т [А£ (я), ATv (у)] | 0 > и < 01 Т х
Х[В1 (х), (у)] | 0 ) , описывающего взаимодействие между
электрическими (магнитными) зарядами посредством транс-
версальных фотонов.
Непосредственное взаимодействие между электрическими
и магнитными зарядами состоит из двух частей: обмена транс-
версальными фотонами (рис. 2), где пропагатор есть
< 0 | Т [Л£ (х), ВJ (у)] | 0 ) , и «мгновенного» взаимодействия
(рис. 3), которое обусловлено взаимодействием между
движущимся электрическим зарядом и покоящимся магнитным
и наоборот.
180
(5.179)
(5.181)

y UM _F д 1 /51034
x k*-(k-4f ^“Лр**-(М)2Г (' }
*£$ Ш {^p —Tlp(T1-^)} (5.184)
* (n-k){k2 — (Ti-kf}
где 81234 = — i\ n = { n, 0} и г] = {0, i} — времениподобный
единичный вектор, введенный для записи (5Л83) и (5.184)
Рис. 2. Диаграмма, описывающая обмен трансверсальным фотоном
Рис. 4. Диаграмма, соответствующая полному матричному элементу
второго порядка
Рис. 3. Диаграмма, описывающая «мгновенное» взаимодействие
Полный вклад в S-матричный элемент порядка eg
перехода между состояниями | / > = | р, s; q, t) и < f \ = ( р\
s'; q'f t' | определяется выражением
(5.182)
и описывается диаграммой (рис. 4), где Dffj соответствует
Ц V
пропагатору полного взаимодействия между электрическим и
магнитным зарядом.
Расчет, проведенный в [150] с использованием подхода,
развитого Швингером [143] при обсуждении перенормировок
в теории монополя Дирака, приводит к следующим
выражениям для пропагаторов *£^v и TD^ :

в формально явно ковариантном виде. Следует обратить
внимание на то, что выражение для *D^ не зависит от kQ,
так как взаимодействие, описываемое этим пропагатором,
носит мгновенный характер. Сумма пропагаторов имеет вид
Нетрудно убедиться, что, когда индексы [х, v принимают
значения 1, 2, 3, имеем:
Кроме того,
Исходя из (5.183) и (5.184) и учитывая антисимметрию
Dj^v по (х и v, можем переписать в следующем виде:
Множитель в (5.1856) описывает распространение
k2, + is
безмассовых фотонов; поляризационный член
является единственным тензором второго ранга, который
может быть построен из двух 4-векторов, используемых в
теории и и содержит полностью антисимметричный тен-
зор e^va(5, необходимый для воспроизведения в
нерелятивистском пределе векторного произведения трехмерных векторов,
входящего в выражение для силы Лоренца
182
(5.1856)
(5.1866)
(5.186а)

Однако любой член в разложении S-матрицы, как
видно из (5.185), содержит зависимость от линии
сингулярности. Поэтому для устранения этой зависимости
необходимо произвести усреднение по всем возможным
направлениям п.
Если рассчитать некоторую наблюдаемую величину F
посредством разложения Фейнмана—Дайсона, то
необходимо записать:
и произвести усреднение для которого лучше всего
воспользоваться следующей формулой [349]:
где вычисление главного значения интеграла относится к
полюсам n-k = 0 пропагатора D+*v-
Законность и корректность разложения S-матрицы по е
и g могут быть поставлены под сомнение, поскольку эти
параметры не независимы и g крайне велико. Взаимосвязь е
и g непосредственно следует из калибровочных
преобразований (5.165). Операторы г|>, умножаются при таком
преобразовании на фазовый множитель ехр | l6g а (п, л'и, что
I 4я )
приводит к умножению всего ряда теории возмущений на
множитель eg. Это обстоятельство проявляется в зависимости
пропагатора D+% от линии сингулярности. Борновский член,
например, может принять любое значение между — оо и
+ оо. Члены любого порядка теории возмущений будут
давать вклад, сравнимый по величине, и поэтому нельзя
ожидать, чтобы какое-либо конечное подмножество таких членов
приводило к хорошему приближению. Здесь не имеется,
однако, в виду борновский член, доминирующий при малых
передачах импульса ввиду существования полюса.
Если и можно было бы рассчитать процессы,
подобные e+g^e-\-g или е + ё-^g + g, то огромные
радиационные поправки могут лишить эти вычисления какого-
183
(5.187]
(5.188)

либо смысла. Конечно, степень доверия к построенной
таким способом теории возмущений значительно
возрастет, если окажется, что она хорошо воспроизводит
классические результаты. Применим, следуя [150], пропага-
г\АВ
тор Zy-j-jLiv к процессу упругого рассеяния электрического
заряда на магнитном (порядка eg) в пределе малых
скоростей и передач импульса. В этом случае существует
квантовомеханический расчет, проделанный Голдхабе-
ром [125] для бесспиновых частиц (см. § 3 настоящей
главы). Предполагая, что выражение (5.185) для пропа-
гатора применимо и в этом случае, запишем матричный
элемент этого процесса в низшем порядке теории воз*
мущений:
«•</>'+ ?'-/>-?) —X
(2л)2 4 p0q0
X (Р + р\ 1 . Wp,nafe|L (Я + Ч\, (5.189а)
k2 + i& nk
где k = р — р' — передача импульса. В системе центра масс
выражение (5.189а) примет вид
&■ <5'189б)
В целях упрощения расчетов можно положить /?2-> 0,
mg-+ оо и
^ 64 ь - Pi) — • <5-189в>
(2я)2 р0 й2пр
Рассмотрим движение электрического заряда вдоль оси z, так
что р = | р | z и рассеяние происходит в плоскости yz, к =
= | р | 0у при 0 С 1- Тогда рхк = | р |20х и
П(кхр) _ 1 (5190)
к2 (пк) | р | 02 п
у
Так как р0 = | р |/V, где v — скорость движения
электрического заряда, то мы получаем в этом пределе
(5ЛМг)
184

Для сравнения Приведем выражения для соответствующего
S-матричного элемента, полученного Голдхабером, и для ку-
лоновского рассеяния электрических зарядов при тех же
условиях (ср. (5.75)):
^ ^ х
X <p + P\« + tf)* — rz!L —!— 6* (р, - р,).
k? е-° (2я)2 | р (* е2 Н1 1>
(5.192)
Если забыть о множителе пх/пу, то выражение (5.189) равно
(5.191), написанному для двух электрических зарядов е и
е' = gvf как и следовало ожидать. Отличие от результата
Голдхабера заключается в множителе njny и фазовом
множителе ехр 12 i .
1 4 я j
Появление дополнительного углового момента s
электромагнитного поля в е — g-рассеянии:
S = Ж. хг~хе = ее ~
4я | — хе | 4я
приводит к тому, что при рассеянии бесспиновых частиц
амплитуда ведет себя как helicity-flip -амплитуда. Поэтому
точная амплитуда должна учитывать фазовый множитель
ехр ( , обусловленный обращением спиральности:
\ 4я )
Д = eg/4n — (— eg)/4n.
Точная амплитуда, рассчитанная по правилам фейнман-дай-
соновской теории возмущений, для этого случая должна
иметь вид
/(0) е‘Д(Р = ^ elgm f(,'m) (0, tp, п). (5.193)
l,m
Величина /(0), равная
f (0) = ^ elgm f-m) (0, ф, п), (5.194)
1,т
185

не зависит от ориентации линии сингулярности и равна
поэтому усредненному значению по п:
f (0) = 2 е1ёШ < 1 е~‘Лф/ (0- Ф. ») I > ■ (5-195)
1,т
Для рассмотренного здесь борновского приближения
необходимо проводить усреднение пх/пу в соответствии с правилом:
2 	л
Пх > ^ | с~*Аф Пх
п„ п„
> = -J— р f dye-'^tgy =
2п J
[ 0 , если А — 0 и нечетное целое, (5.196а)
iA \ если А— четное целое. (5.1966)
Так как правило (5.196) заменяет пх1пу на число, равное
по абсолютному значению 1, то для (5.1966) получается
корректное выражение для сечения. Нулевой результат
для (5.196а) обусловлен тем, что в этом случае
предполагается условие зарядового квантования Дирака и
соответственно дираковский выбор линии сингулярности.
Но пропагатор (5.185) рассчитан для швингеровской
линии сингулярности, которая требует более строгого
условия eg/An — целое и, следовательно, включает в себя и
условие eg!Ап — четное целое.
§ 7. Квантовая электродинамика с магнитными зарядами
в формализме Мандельстама
Как мы видели в предыдущих параграфах, введение
линии сингулярности для потенциала приводит как в
классической, так и в квантовой теории к определенным
трудностям физического и математического характера.
Поэтому в ряде работ были предложены такие
формулировки теории, которые не используют потенциал в
качестве динамической переменной. Наиболее
привлекательным представляется подход к построению теории на
основе беспотенциальной мандельстамовской формулировки
квантовой электродинамики*) (см., напр., [64, 76, 138,
151, 155, 159, 258]).
*) Формулировка Швингера теории магнитного заряда на основе
теории источников изложена в его монографии [1476].
186

В формализме Мандельстама потенциал не является
динамической переменной, а есть вспомогательная
величина, вводимая из соображений математического
удобства. Использование в этом подходе полевых
переменных, зависящих от путей, возможно, более физично, чем
введение в теорию линий сингулярности. Зависимость от
путей можно рассматривать как следствие
искривленности пространства в присутствии электромагнитного поля
(см. [270,271]).
Рассмотрим заряженные спинорные поля Wh(x, Pk),
представляющие частицы с электрическим еь и
магнитным gk зарядами. Здесь л: — координата; Рк —
пространственно подобный путь, простирающийся от —оо до л:.
Уравнения движения имеют вид
тА^ + "Л = °. (5Л97)
и токи J^ определены следующим образом:
«/ц = 2 ^к = ^кУ^кг (5.198)
k k
Зависимость полевого оператора Wh (х, Ph) от пути зададим
соотношениями [159]
№ (*, Pk) = — i №v (2) + ShKv W 'Wh (*. Pk) <V
_ (5.199)
Wh (*. pk) = 1 (z) + (*)] •% (*. pk) <W
где точка означает симметризованность произведения; 6Z —
вариация пути в окрестности точки г\ a^v — малый элемент
поверхности.
Определим градиентно инвариантную производную от
¥ (х, Ph) следующим образом:
ад(х, Ph) = lim ^hix + dx», Pk)—Wh(x, Pk) ^2(Ю
* dx^
где путь Pk получен из Ph посредством добавления dx^ в
(^-направлении. Из (5.199) и (5.200) следует:
5V] \ (х, Ph) = - i [ehF^ (x) + ghFwv (x)] Vh (x, Ph),
(5.201)
<5V] % (x, Ph) = i [ehF^ (x) + gh F„v (x)]’Fft(x,Pfe).
187

При конечной вариации пути имеем:
Yh(x, P'k)=Yk(x, Ph)X
х ехр {— Y f ^hF>lv + 8к^ ^0йл] ' (5'202)
5
Непротиворечивость теории требует, чтобы изменение W не
зависело от частного выбора 2-мерной поверхности 5,
ограниченной контуром P'k — Ph. Если Sx и S2— две такие
поверхности, то для замкнутой 2-мерной поверхности
5 	= —52 имеем:
ехр т [ +8h^ d^v)= ь (5'203)
5
Поскольку 5—произвольная поверхность, то на ней могут
располагаться частицы с любым отношением g/e. Преобразуя
интеграл по поверхности в интеграл по объему и используя
уравнения Максвелла, получаем:
ехр {i J {ehJ% - gkJl) dV^} = 1, (5.204)
V
что приводит к обобщенному условию Дирака:
f (ek^b ёк^v) dV^ = 2ntiy (5.205)
которое в случае, когда JJ%—операторы,
удовлетворяется в операторной форме, если все собственные значения
для выражения слева в (5.205) подчиняются соотношению
ад —W =
где пhi принимает ряд целочисленных значений.
Самосогласованность теории требует, однако, не
только выполнения условия зарядового квантования, но и
введения ограничений на зависимость полевых
операторов от путей. Действительно, рассмотрим тождество
Якоби применительно к соотношению
0а. К, dv]]Vh(x, Ph) =
= *да {ekF^ + ghF^} Wh (x, Ph). (5.206)
188

Для состояний, описываемых волновыми пакетами, тождество
Якоби, используемое при этом как достаточное условие,
требует, чтобы
< q>i I (х> pk) I Фг > < Ф1 \eh (daF„v + dvFail + d„Fav) +
+ I Sk (daFnv + dvF0|i + dJFav) | ф2 > =
= < Фх I (x> Ph) I Фг > < Ф11 <Wp x
X(eh4-gh4)\<?*>=0. (5.207)
Соотношение (5.207) будет выполнено, если ввести
ограничения на возможный выбор путей Рк [159]: в случае, когда
отношение gh/eh не равно gje^ путь Рк, оканчивающийся
на частицах с зарядами eh, gk, может проходить только
через области, где ток равен нулю. JeJ, Jfj— токовые
операторы, действующие на все гайзенберговы состояния:
J^=iet%(x, Рк)у^(х, Pk),
#=№(*, Pk)V^i(x> Pk)
и выражение: «область, где ток равен нулю», относится
к классу гайзенберговых состояний | сра > , для которых все
матричные элементы вида < щт \-Jej | Ф«п > и < cpam | J$\ х
X Фап ) > где | фат > есть m-й член класса | <ра > , равны
нулю, если отношение gk/eh не равно gje^ но Pk = Pv
Предполагая, что ( 9i|/^(ei)|92 > = 0 вдоль путей < фх|
^х(л:, РЛ)|ф2>, если gklek^gileit нетрудно убедиться,
что тождество Якоби оказывается выполненным.
Недостатком теории, предложенной Кабиббо и Феррари
[138], является невыполнение тождества Якоби, чего, однако,
можно было избежать путем введения соответствующих
ограничений: путь Pg (Ре), оканчивающийся на магнитных
(электрических) зарядах, проходит только через область,
где .М)=0.
Для получения замкнутой теории необходимо наряду с
уравнениями движения иметь и перестановочные
соотношения. Уравнения движения и перестановочные соотношения
могут быть получены из лагранжиана при введении
потенциалов. Обратим внимание на то, что возможно
представление выражения ekF^v + gkF^v в виде дивергенции от неко-
189

торого потенциала поскольку dfieafillv(ehFllv+ghFViV)=О
вдоль путей Рк. Введем определения
= длк) - длк)=4- (а+gh~Fj =
4h
= cos Qh + sin 0ft, (5.208)
где 0ft = arctg gk/ek, qk = (e* + g\ )1/2,
aviF<« = 0. (5.209)
Внешне это выглядит как сведение к одному эффективному
электрическому (магнитному) заряду qh = (е\ + gt)]/2-
Однако такое сведение возможно лишь в отсутствие в
данной области пространства частиц с иным отношением
g/e, так что такое истолкование условно.
В работе [64] рассматривался именно случай
универсальности отношения g/e для всех частиц. При этом нет
необходимости во введении ограничений на выбор путей,
возможен переход к одному эффективному заряду для
всех частиц и не возникает условия зарядового
квантования.
Имея в виду (5.208) и учитывая (5.199), можем
записать ^¥k{x, Pk) в виде
Уц (х> Ph) = 'I’ft (*) ехр {— iqh j (tj) d%} , (5.210)
— 	оо
где т|)й (х) — спинорная функция, не зависящая от Ph.
Использование потенциалов Af?'* является математическим
приемом, так как Л<*> не будут входить ни в уравнения
движения, ни в перестановочные соотношения. Уравнения
движения (5.197) могут быть получены из лагранжиана

Теперь, аналогично Мандельетаму [370], мы можем
записать лагранжиан с использованием потенциалов А*':
£=^ 4“[^’ ^ —
— М—2 отОМ>* + #'• (5-212)
k
Величина it определена следующим образом: ^ =
= {д^А^ — дХ'Г в области, где , Jf^ равны
нулю, если g%le% ф gk/eh, и #' = I- (<^v — 5V^)2 в
области, где равны нулю «7^, J* . При этом следует применять
обычную процедуру вывода уравнений движения.
Введенное определение для SB* в явном виде
учитывает необходимость использования дополнительных
ограничений, не содержащихся в вариационном формализме,
при построении интеграла действия в теории монополя
Дирака.
Перестановочные соотношения для полевых величин
можно получить из (5.212), применяя ковариантный
метод Пайерлса [372] (см. приложение Д).
Для получения перестановочных соотношений нельзя
применить обычный канонический подход к лагранжиану
(5.212), поскольку одно из уравнений Максвелла не
содержит производной по времени и является уравнением
связи, а не уравнением движения. Ковариантный метод
Пайерлса [372] применим как к лагранжиану с
уравнениями связи, так и без него.
Чтобы найти соотношения коммутации между ^(л:, Pk)
и другими динамическими переменными, добавим к
лагранжиану (5.212) член с 0е64(л:— x1)x¥h(xli Ph), а именно:
беб4 (x—xj % (хх) ехр {—iqh j ЛцХ*'(l)} . (5.213)
Оператор 0, по определению антикоммутирующий с
Wk, вводится для получения перестановочных соотношений,
согласующихся со статистикой Ферми—Дирака [372].
191

Из дополненного лагранжиана вытекают новые уравнения
движения: _ _
(5u + ЧкА1к)) 'Ми + тк% =
= 0еб4 (х — %) ехр |—iqh j' d%A{^(-r\)} . (5.214a)
— 	oo
(?iAi Чк*) 'tft ~b mk^h = ®• (5.2146)
— 	J£(t) = — №qh { ]' (x — т]) % (x) x
00
*1
xexp[— iqhj dr)^ (*))]} >
(5.215)
dv^ = °-
Последний член в (5.215) получаем путем взятия
функциональной производной от экспоненты по Ajf\
 Предположим, что все полевые переменные не зависят от
времени в области х<хг. Тогда изменение переменных Dw,
обусловленное включением в лагранжиан дополнительного
члена, будет иметь вид
D^(*) = e0V46(* —*i),
(5.216а)
Dm (3FV) = ie0<7h ] (x - r,) Wh (xlt Ph),
P
DVk(^l ~SF%, Wk(x, Ph), ¥,(*, Л). %(x, P,)) = 0.
(5.2166)
При получении (5.216a) используется уравнение (5.214a)>
умноженное слева и справа на ехр \iqh J d^A^ (т|)|. Приме-
оо
няя правило Пайерлса
е[Л, х] = iDAx, (5.217)
получим перестановочные соотношения для функции ¥к:
ГМ*, Ph), 4h(y, Рк)]^у,Цх-у). (5.218)
192

Для получения иных перестановочных соотношений
необходимо повторить описанную процедуру, добавляя к
лагранжиану (5.212) члены, содержащие^, , а не только
как это было ранее.
В результате приходим к следующим одновременным
перестановочным соотношениям [79]:
№*(*» ■Ph). т|(& Ph)h = y^(x — y),
[¥,(*, Ph), ^ (у, Pl)l=[%(x, Р,),
%(У, Л)]+ = 0, (5.218а)
[Ч'ь (*. Ph)> Fn Ш = — ieh J dr]fi3 (ri — y) (x, Ph),
00
(5.2186)
PM*. Pk), Fu(y)] = ieh J dr\l83(r]—y)%(x, Ph),
00
(X> Ph)> ~
=-igh J *1^ (Л “ V) П (*’ pk)< (5.218b)
— 00
PM*. Л*). ^] =
= igh f dr\fi3(r\—y)Wk {x, Ph),
\Fmn (*). FM (У)! = I^4h W- Fu Ш = °.
lF«(x). FmnW = (б!т 81п-^-)бЦх-у),
V dyn dym )
(5.218r)
[¥„(*, Ph), %(*, P,)]+ = [%(x, Ph), %(x, Pt)]+ = 0,
_ _ (5.218д)
[Yh (x, Ph), Vt (x, Pt)]+ = [Vh (x, Ph), (*, Л)]+=0.
Отметим, что первоначально получаются перестановочные
соотношения, которые содержат полевые величины типа
^4?* и #4/\ а именно
13. Зак. 670 ]93

I'M*- pk)> Ш =—iqh f dr];63 (r) — y) (x, Ph),
(5.219)
[Vh(x, Pk),^{y)]= 0,
и соответствующие перестановочные соотношения для
функции Y. Используя определение (5.208), получаем:
[vIrh {х, Pk), shFu (у) + ghFu(y)] ~
= -iqt j dr)tб3 (ri - у) Wh (х, Pk), (5.220а)
ОО
**[**(*. pk)> hW-gkWki*. рн)>р«Ш = о. (5.2206)
Комбинируя (5.220а) и (5.2206), приходим к
перестановочным соотношениям (5.21.86).
При получении (5.218г) учтено, что
Fap]. Интегрирование справа в (5.218) должно проводиться
по путям, определяющим Т и!.
Подчеркнем, что перестановочные соотношения (5.218)
установлены при условии, что /^(i) и Jsjl) равны нулю, если
ёкК Ф Si!ei-
Из перестановочных соотношений следуют дальнейшие
ограничения на пути Ph и Pv Рассмотрим, например,
перестановочное соотношение [^(я, Ph), ^[(х, Рг)]+ — 0. Оно
может быть записано следующим образом:
[Wk(x, Pk), У^х, Я,)]+ =
= [¥„ (х, Ph), 0¥г (x, Pi)]_ = 0, (5.22 la)
так что имеем:
[ехр |—iqh J А™ (л) } >
Ph
У
(5.2216)
или
ехр lqt j Ар (л) dr^ }]_ = 0,
pi
[ J А(л) Л1ц» j (Ч) d% ]_ = °- (5.221в)
194

Выполнение условия (5.221) необходимо для самосогласован-
ности теории. Поскольку мы имеем дело с одновременными
перестановочными соотношениями и пространственно
подобными путями, то без ограничения общности можем перейти
от (5.221в) к выражению
Г f А^(ц)йцт, f^fo)^] =0. (5.221г)
h 'pi
Соотношение (5.221 г) может быть переписано следующим
образом:
f dyIm f dr,; [А™ (л), АЦ) «)L = 0. (5.221Д)
pi
Учитывая, что
[?\? (x), (у)] =
= — (- -’f- (-j- 6’ <*—У) -
qkqi \ 2 \ dx} dxt j
<5-222a»
[rt? (x), m = [Af] (X), All) (y)] -
dxt dyr
- 	— [A!ik) (X), Arl) (y)]-^- [Aik) (x), A{rn (</)] +
dx, dys dxt dys
d--*— lMk) (X), As\y)], (5.2226)
дх, dyr
и приравнивая коэффициенты при д/дх, д/ду в (5.222а) и
(5.2226), получаем:
-2- [Л<*\ А%]~ [4*\ А(/]] =
ду, дут
<*-*)• <5-223а>
2<7 h4i
д ' л(к) Л(П, д гЛ(к) й(1)л
дх} 1 дх„
l&Lsijmn6*(y-x). (5.2236)
195

Соотношения (5.223) удовлетворяются, если выполняется
условие:
Подставляя (5.224) в (5.221д), находим в результате
Выполнение условия (5.221) возможно в двух случаях: либо
путь Ph (Pt) никогда не пересекает путь Рг (Pft), либо ehgx —
— 	etgh = 0, т. е. при gk/ek = gx/ev В этом случае, как и
следовало ожидать, не существует дополнительного
ограничения на выбор пути.
Рассмотрим переход от развитой форму лир )мули-
и ограничения на выбор пути следует, что вдоль пути Pk
выполняется соотношение
у
[A'fe) (х), Ajl)(y)]=
Ш
{«*& J dr\nP (x
Ч) —
P
X
[(5.224)
p
X у T1
(5.22 le)
ровке с двумя независимыми потенциалами
(5.225)
Из уравнений Максвелла
^nv= 2 lehVh (X, Рк)У^к(Х, Ph),
к
= 2 (*• ph) y^h (*. Pk)
k
(5.226)
196

Вдоль пути Pk между потенциалами и Ми, может
быть установлена следующая связь (учитывая (5.208), (5.225)
и (5.226)):
qkAlk) = + &Л + а^Л + аД, (5.227)
где Л, Л —произвольные скалярная и псевдоскалярная
функции соответственно. Для произвольных точек пространства
соотношение (5.227) уже не выполняется, и в этом случае
вместо (5.227) справедливо соотношение
4hAf (х) = ehM» (х) + ghN* (x) +
X X
+ eh f (ri) dr\v — gh J УЙ^(т0^4АЛ+дД- (5.228)
P’(x) P’\x)
При совпадении в (5.228) путей интегрирования F и Pk это
соотношение переходит в (5.227). Вводя обозначения
f (Т|) dr)v,
P’lx)
(5.229)
K = Nn~ f м^(ч)<ч>
P( x)
можем переписать (5.228) следующим образом:
qhA^ = eh\ + ghBll. (5.230)
На основе (5.210) и (5.230) может быть сделан переход к
формулировке, использующей сингулярные потенциалы А^,
Вм, причем эти потенциалы входят как в уравнения
движения, так и в перестановочные соотношения.
Электродинамика дуально заряженных частиц с зарядами
eh, gh (k = 1, 2, ...) и электродинамика частиц с
зарядами ek = eh cos 0 4- gh sin 0, gk = — eh sin Q+gh cos 0, где 0 —
произвольный математический параметр, физически
эквивалентны. В частности, электродинамика «чисто» электрически
и «чисто» магнитно заряженных частиц эквивалентна
электродинамике дуально заряженных частиц двух типов при
условии, что g1!e1 = — e2lg2. Переход от одной формулировки
электродинамики к другой достигается при определенном
197

выборе параметра 0 : 0 =arctg g1/e1 (или 0 = —arctg e2/g2. При
этом А® = — (eiA^ + g\B^ = \, Aj?} = —-— (e2\ +
v?i
+ gzBy) = B^ и в области пространства, свободной от
магнитных (электрических) зарядов, имеем соответственно:
djA,-dX = F^ (5.231а)
или
дЛ-дХ=Ку <5-2316)
Выбор зависимости оператора xF(x, Р) от
электромагнитного поля в соответствии с (5.199) является
единственным, который соответствует формулировке
однозарядовой электродинамики при g = 0, и приводит к этой
формулировке при универсальности отношения gje для
всех дуально заряженных частиц. Поэтому избежать
введения ограничений на выбор пути можно только при
отказе от взаимно дуальной симметричной структуры
уравнений движения для электрически и магнитно
заряженных частиц. Но с точки зрения дуальной симметрии,
которая лежит в основе введения магнитного заряда в
электродинамику, нет оснований для изменения вида
уравнений движения.
§ 8. Дискретные симметрии
электромагнитных взаимодействий
Рассмотрим определение дискретных симметрий
электромагнитных взаимодействий с учетом дуально
симметричной структуры электродинамики.
8.1. 	Р и Г-инвариантность теории магнитного заряда.
Предварительно обсудим вопрос о пространственной
инверсии Р и операции обращения времени Т в теории
магнитного заряда. Если считать магнитный ток полярным
вектором относительно операции пространственного
отражения, то уравнения Максвелла не инвариантны
относительно следующих преобразований электромагнитных
величин:
Р: Е^ —Е, Н^Н, /о-Wo,
(5.232)
1 о -Mo, J —J •
198

Аналогичное утверждение справедливо и по отношению
к Г-операции:
Г:Е + Е, Н + -Н,
№ (5.233)
Jo -> /о, J -> J •
Если предполагать, что ток для магнитных частиц
является аксиальным вектором, то по отношению к операциям
отражения пространственных и временной осей имеем
следующее поведение компонент тока:
Р: И jg f; Т: /Я Ц j* f. (5.234)
В этом случае уравнения Максвелла инвариантны
относительно P-операции, но Г-неинвариантны.
Использование аксиального тока в квантовой теории при условии
сохранения магнитного заряда требует равенства нулю
массы монополя. Проще всего в этом убедиться на
примере спинорных частиц. В этом случае ток имеет вид
И = (5.235)
Поскольку матричные элементы у$ и у^уъ, вычисленные
между спинорами, соответствующими нерелятивистскому
статическому пределу и описывающими массивную
магнитно заряженную частицу, обращаются в нуль,
статический магнитный заряд частицы в этом случае равен нулю.
Но это означает отсутствие классического предела в
теории магнитного заряда и отказ от условия, что
величина магнитного поля монополя обратно
пропорциональна квадрату расстояния.
Пока же заметим, что для полярного магнитного тока
можно формально определить сохраняющиеся
операторы Р, Г-инверсий. Как впервые отметил Рамсей [164], в
присутствии магнитных зарядов СРТ-теорему следует
обобщить введением операции магнитного зарядового
сопряжения М, действующей по определению только на
магнитно заряженные частицы (СРГМ-теорема). Эту
теорему можно записать в следующем виде: (ТМ) • (МС) •
• 	(РМ) = Т'С'Р', где символы Г', Р' обозначают
расширенные определения операций обращения времени,
инверсии пространства, а С — операцию зарядового
сопряжения по обоим зарядам. Уравнения Максвелла
инвариантны при этом относительно операций Р', V. Рассмотрение
операций Р\ Т' эквивалентно используемой в ряде
слу.199

чаев трактовке магнитных зарядов как псевдоскаляров
по отношению к пространственно-временным
отражениям. Но, как нетрудно видеть, определить таким образом
сохраняющиеся операторы Р, Г-инверсии для дуально
заряженных частиц невозможно.
8.2. 	Дискретные преобразования в дуально
симметричной электродинамике. Рассмотрим определение
дискретных симметрий электромагнитных взаимодействий с
учетом дуально симметричной структуры
электродинамики [57, 179].
Сохранение электрического и магнитного зарядов с
групповой точки зрения описывается
однопараметрическими группами калибровочных преобразований полей
заряженных частиц: Ue( 1) и Ug( 1). Следовательно,
теория дуально заряженных частиц в целом должна
обладать группой внутренней симметрии G = t/e(l)0t/g(l),
которая является прямым произведением групп Ue( 1) и
Ug( 1). Минимальным расширением группы G является
переход к группе G'=G®sAut(G), представляющей полу-
прямое произведение рассматриваемой группы и группы
ее внешних автоморфизмов. Внешним автоморфизмам
группы G могут быть сопоставлены сохраняющиеся
операторы дискретных симметрий, имеющие конкретный
физический смысл.
Обозначим элементы группы G через eiQQ, e~i(PG, где Q
и G — операторы электрического и магнитного зарядов
соответственно. Внешние автоморфизмы группы G могут
быть по отношению к операторам Q, G записаны в
следующем виде:
где а, b, с, d — целые числа и
det ( с d ) = 1 L (5'237)
Операторы Q, G принимают только целые значения в
силу условия ei2n=\. Здесь нет противоречия с
возможностью рассмотрения, согласно обобщенному условию
зарядового квантования Дирака, дробных значений
зарядов: е' = е0/п, g'=go/m, где п и т — целые числа.
В последнем случае необходимо использовать элементы
200

группы вида (eineQf, eim(vG'). Если, следовательно,
исходить только из сохранения электрического и магнитного
зарядов, то a priori невозможно отличить Q, G от Q', G'
и система невзаимодействующих дуально заряженных
частиц обладает более широкой группой симметрии, чем
G, а именно: G'= G®sAut (G).
До сих пор мы рассматривали свободные частицы.
Перейдем теперь к обсуждению этой симметрии с
учетом взаимодействия между дуально заряженными
частицами посредством электромагнитного поля. Ограничимся
для простоты только дуально заряженными частицами
со спином 1/2. Возможность сохранения произвола в
выборе электрического и магнитного зарядов предполагает
аналогичный произвол и в выборе электрического и
магнитного полей:
Е-^аЕ + бН, Н^сЕ + сМ (5.238)
и соответственно потенциалов.
Требование инвариантности перестановочных
соотношений для полей Е, Н и плотности гамильтониана Ж
приводит к ограничениям на выбор коэффициентов а, Ь,
с, d: a2+c2=b2 + d2 = ad—bc= 1.
Внешние автоморфизмы, удовлетворяющие этим условиям,
образуют циклическую группу 4-го порядка, состоящую из
следующих элементов: Deg (а = d = 0, 6=1, с = — 1),
D% = Ceg (а = d = — 1, b = с = 0), D% = Dge (a=d=0, b =
= — 1, с = 1), D\g = I (a = d = 1, b = с = 0), которым в
квантовой теории соответствуют операторы, определенные
следующим образом:
Deg(Q, G)D^g = (—G, Q),
Ceg(Q, G) C7gl = (— Q, —G), Dge (Q, G)Dtf=(G, -Q).
(5.239)
Имеющийся произвол в выборе выражений для полей Е,
Н и потенциалов А, В может быть рассмотрен как
частный случай дуальных преобразований (2.3) при 0 =
= ± л/2, jt.
Итак, в качестве операторов дискретных симметрий
системы, состоящей из электромагнитного поля и
дуально заряженных частиц, могут быть рассмотрены
операторы D = DegU(п/2) и C = Ceg'U(п) [57]. Оператор В может
201

быть назван оператором дуального сопряжения в
электродинамике. Подчеркнем, что рассмотрение оператора
D в качестве физического оператора симметрии требует
одновременного существования квартета дуально
заряженных частиц с зарядами {е, g}, {—е, g}, {е, —g},
{—е, —g} и предположения о равенстве их масс.
Очевидно также, что предположение об универсальности
отношения g/e означает отказ от рассмотрения оператора
дуального сопряжения в качестве оператора физической
симметрии. В принципе по той роли, которую играет
оператор D в теории, можно провести разграничение между
дуальной симметрией теории с монополем Дирака и
дуальной симметрией однозарядовой электродинамики.
Как нетрудно видеть, оператор С= CegU (я) по
своему действию эквивалентен оператору зарядового
сопряжения в электродинамике. Отметим здесь же, что
оператор Ceg не есть обычный оператор зарядового
сопряжения, поскольку в силу определения его действие задано
только для заряженного поля. Сохранение зарядовой
четности в электромагнитных взаимодействиях можно
рассматривать, таким образом, как следствие закона
сохранения зарядов е} g и сохранения киральности для
свободного электромагнитного поля. Этот вывод справедлив как
для электродинамики с монополем Дирака, так и в
предположении универсальности отношения g/e.
Если рассматривать зарядовое сопряжение как чисто
«внутреннюю» симметрию, преобразования которой не
затрагивают пространственно-временные координаты, то,
как следует из изложенного, в теории с магнитным
зарядом операции электрического зарядового сопряжения и
магнитного зарядового сопряжения по отдельности не
определены.
8.3. 	Структура дискретных преобразований при
наличии магнитного заряда. Обсудим определение операций
пространственной инверсии и обращения времени [179].
В соответствии с общепринятым определением
электрическое и магнитное поля по отношению к операции
пространственного отражения и обращения времени
преобразуются следующим образом:
Р : Е (х, 0-*- — ’IpEf— х, t),
’ (5.240а)
Н (х, *) + т)рН(-х, t),
202

Т: Е(х, 0^11гЕ(х, -0,
(5.2406)
Н(х, 0 -> Лт-Н (х, —t),
где г)р, г)г характеризуют пространственную и временную
четности электрического и магнитного полей. В то же
время в литературе отмечается [312] неоднозначность
выбора пространственной и временной четности
электрического и магнитного полей (т. е. можно рассматривать
Е как аксиальный, Н как полярный вектор), что
объясняется инвариантностью уравнений Максвелла для
свободного поля относительно преобразований Лармора
E-^ztH, Н^н=Е.
Этим же объясняется и появление фазового
множителя при определении характера преобразования
однофотонного состояния относительно операции
пространственной инверсии (см. [123], гл. 22).
Общепринятая аргументация в пользу определенного
выбора четности полей (Е — вектор, Н — псевдовектор)
основана на введении источников поля, плотность тока
которых является полярным вектором (см., напр., [312]).
Но, как мы увидим, даже определение дискретных
операций Р, Т в электродинамике также должно
учитывать ее дуальную симметрию. Более удобно начать со
случая дуально симметричной формулировки
однозарядовой электродинамики.
Допустимы следующие определения полей Е, Н и
операторов спинорного поля (вновь ограничимся только
спинорными заряженными частицами) относительно
операций пространственной инверсии и обращения
времени *):
Р: Е(х), Н (х), 'ф (х) —
-Е(— х), Н(—х), у41>(— х), I
. Е (— х), — Н(—х), тЖ(— х)> 11
Т: Е (t), Н(0, tHO-»
Е(-9, — н (— о, (— О, I
-Е(—о, Н(—о. ?4Тб^+(-0- 11
*) Мы используем представление Майорана для матриц Дирака
(см. [377]). При зарядовом сопряжении оператор г|) преобразуется
тогда следующим образом: С : 'ф^'ф+.
203

Определениям I, II соответствуют векторный и псевдо-
векторный характеры плотности источников поля
относительно операций Р, Г. Гамильтониан (5.179)
инвариантен относительно СРГ-преобразования 0: Е(х, /), Н(х,
О, ^(х, t)^E{—t, —х), Н( t, —х), v5i|>+(—'(> —■х)> а
также операций РГ, С, но неинвариантен относительно
операций Р, Т в обоих случаях I, II. Неинвариантность
уравнений Максвелла (3.4) относительно операций Р, Т
находится в противоречии с инвариантностью уравнений
Максвелла в присутствии только электрического
(эффективного) заряда. Логически возможными путями выхода
из этого противоречия может служить или отказ от
эквивалентности двух формулировок электродинамики при
g/e = univ, или предположение о том, что в квантовой
электродинамике Р, Г-четности — ненаблюдаемые
величины и говорить об их сохранении и нарушении поэтому
не имеет смысла [65], либо же необходимость при
определении операций дискретных симметрий Р, Т
учитывать внутреннюю дуальную симметрию электродинамики.
Именно последнее предположение и является наиболее
приемлемым выходом. Такая идея хорошо согласуется с
имеющимися в литературе соображениями о
необходимости принимать во внимание внутренние симметрии
теории при определении операций дискретных симметрий
(см., напр., [374, 375]).
Определим операции пространственной инверсии и
обращения времени следующим образом (при
сохранении прежнего закона преобразования для операторов
заряженного поля):
Р': Е (х) г]р {рЕ (— х) — 6Н (— х)},
Н (х) -> — г,р {6Е (— х) -j- PH (— х)}.
Г : Е (0 -> - г]г {РЕ (- 0 - 6Н (-1)},
Н(0->т!г{6Е(-0 + РН(-0},
(5.241а)
(5.2416)
где г)р = ± 1 и лг = + 1, р = ^Tjrfr* б= /+V’ +
+ б2= 1.
Нетрудно убедиться, что уравнения Максвелла инва-
риаитны относительно операций Рх, Г' и гамильтониан
204

коммутирует с операторами Р', Т\ определенными
согласно (5.241).
Таким образом, в дуально симметричной
формулировке электродинамики требование сохранения
пространственной и временной четности приводит к необходимости
переопределения действия операторов пространственной
инверсии и обращения времени по отношению к
электромагнитному полю.
Между операторами Р, Г и Р', V существует простая
связь:
Р' = и (0) PU-1 (0) = и (20) Р,
Г =и(<д)Ти~г(<д) =1/(20) Г,
где U(0) —унитарный оператор, генерирующий
дуальные преобразования, и 0 = arctg g/e. Примечательно, что
не только для свободного электромагнитного поля, но и
в присутствии источников определение операций
пространственной инверсии и обращения времени должно
учитывать дуально симметричную структуру электроди-
намики.
Упомянутое ранее противоречие состоит в сохранении
определения операторов, заданных по отношению к
гамильтониану (3.74), который является частным случаем
гамильтониана (3.94), в дуально симметричной
формулировке электродинамики.
Из определения операторов Р, Т (I, II) следует, что
наблюдаемый электрический (эффективный) заряд в
классическом случае можно считать скаляром либо
псевдоскаляром относительно пространственных и временных
отражений *). В основе сохранения этой неоднозначности
по отношению к источникам поля лежит возможность
построения электродинамики в дуально симметричной
форме.
Следует обратить внимание на то, что наряду с
определениями Р, Т (I, II) необходимо в принципе
рассматривать также следующие определения:
Р:Е(х), Н(х), i|>(x)->-
— 	Е(—х), Н( х), Y4i|>+( х), V
. Е (— х), — Н(— х), х), IV
*) Операторам Р, Т (II), как и следовало ожидать,
соответствуют' операторы CP, СТ (I) (см. здесь также [376]). В обоих случаях
сила Лоренца — векторная величина.
205

T:E(t), H(0, Ч»(0->-
Г
II'
Задание операций Р,Т в виде (I', II') соответствует
электродинамике частиц с эффективным магнитным зарядом
Я = 1/2-
Перейдем к анализу определения операций Р, Т в
электродинамике с монополем Дирака. Как уже отмечалось,
рассмотрение частиц с «чисто» электрическими и «чисто»
магнитными зарядами (эффективными) обусловлено наличием
двух типов дуально заряженных частиц (с зарядами еъ gx
и е2, g2) при условии g1/e1 = — e2/g2. В этом случае
возможно определение сохраняющихся операторов
пространственных и временных отражений следующим образом: для
частиц 1-го типа Р' = 6/ (в) Puu £У_1(0), Т'= U (20) Г1Л1 ;
для частиц 2-го типа Р' = U (2в) Pv лг, Т = U (20) 7> лг,
где Pi,п, Ti.n, Pyjv , Ту,ц' соответствуют определению
операторов Р, Г для I, II, Г, И'-вариантов и 0 = 0Х =
= — arctg gjex или 0 = 02 = arctg g2/e2.
Для дуально заряженных частиц с произвольным
отношением g/e Р, Т сохраняющихся операторов
пространственной инверсии и временных отражений ввести нельзя.
Степень нарушения Р, Т-четности в электромагнитных
взаимодействиях пропорциональна здесь величине £ =
= {elg2—e2gi){ele2-\-g\g2). При g/e = univ £ обращается
в нуль, т. е. динамика взаимодействия при
универсальности отношения gje такова, что интерференция между
скалярными и псевдоскалярными членами отсутствует.
Нарушение Р, Т-четности в электромагнитных
взаимодействиях может быть интерпретировано как отклонение
от универсальности отношения g/e для известных
заряженных частиц.
Требование сохранения Р, Т-четности в
электромагнитных взаимодействиях, следовательно, может явиться
основой для постулата об универсальности отношения
g/e и объяснить отсутствие в природе (запретить
существование) магнитно заряженных частиц (дуально
заряженных частиц с иным отношением g/e по отношению к
известным частицам) (см. [165]).
Итак, определение в электродинамике
пространственной и временной четности (и соответственно операторов
206

пространственной инверсии Р и обращения времени Г)
нуждается в дополнительном анализе при учете ее
дуальной симметрии. Однако Р и Г-четности
электромагнитного поля можно рассматривать как вполне
определенные и сохраняющиеся величины во всех вариантах
формулировки однозарядовой электродинамики.
Фактически свойства полей и электрического заряда
относительно операций симметрии устанавливаются при
отсутствии магнитного заряда. Традиционная
однозарядовая формулировка электродинамики соответствует
лишь определенному выбору дуальной калибровки
0 = —arctg g/e, в согласии с которой находятся варианты
1 и II действия операторов Р, Г.
Эти определения, следовательно, не единственно
возможные по отношению к электромагнитному полю и в
дуально симметричной формулировке электродинамики
должны быть заменены на (5.241).
Проведенное рассмотрение показывает, что физически
непротиворечивое задание Р, Г-операторов должно
определяться по отношению к гамильтониану, инвариантному
относительно пространственной инверсии и обращения
времени (см. здесь [377]). На этом примере также
наглядно видно, как присутствие источников определяет
характер преобразования полей.
Разумеется, с экспериментальной точки зрения
определения I, II и (5.241) для полей Е, Н неразличимы. На
классическом уровне формально это обусловлено инвариантностью
уравнений Максвелла и выражения для силы Лоренца: fv=
= /м- /Vv + / * *Vv относительно дуальных преобразований
для полей и зарядов. Физическое истолкование заключается
в том, что непосредственно наблюдаются в электродинамике
не поля и заряды, а только эффекты взаимодействия,
выражающиеся в изменении энергии частиц.
Выбор векторного характера плотности магнитного
тока означает, что в случае существования монополей
Дирака трансформационные свойства
электромагнитного поля относительно Р, Г-преобразований будут иметь
сложный характер. Однако это вряд ли может служить
дополнительным аргументом против гипотезы монополя
Дирака, поскольку и в однозарядовой электродинамике
характер преобразования полей Е, Н может иметь
далеко не тот вид, который обычно используется и неявно
предполагается единственно возможным.
207

6
глава
СВОЙСТВА МОНОПОЛЯ ДИРАКА
И ЕГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПОИСК
В предыдущих главах мы обсуждали ряд
теоретических аспектов, связанных с введением магнитных зарядов
в электродинамику. Но какими бы привлекательными
чертами ни обладала теория электромагнетизма в
присутствии двух типов источников поля, решающее слово
остается за экспериментом. В этой главе мы рассмотрим
результаты экспериментального поиска магнитно
заряженных частиц и обсудим возможные способы
объяснения того факта, что монополь Дирака до сих пор не
обнаружен на опыте.
§ 1. Свойства монополя Дирака
Из теории магнитного заряда следуют два основных
свойства монополя:
а) величина магнитного заряда может принимать
следующие значения:
g0^68,5 еп, he « 34,25, п = 1 (Дирак [117]) (6.1а)
gm& 137 еп, g2m/4n he « 137, п -= 1 (Швингер [142]) (6.16)
б) поведение монополей в электромагнитном поле
аналогично поведению электрически заряженных частиц
(при соответствующей замене e->g, Е-^Н, Н->—Е).
Теория Дирака-Швингера не дает никаких строгих
предсказаний относительно массы монополя. Часто используется
«каноническая» масса mg = g2/rec2, равная 2,4 тр по Дираку
и 9,6 тр по Швингеру, где ге = е2/тес2, которая
получается из предположения о равенстве классических радиусов
электрона и монополя.
Ограничение на возможную величину массы
монополя можно получить из требования, чтобы вклад в
магнитный момент мюона от виртуального рождения пар
моно208

полей не превышал ошибки эксперимента. Для этого надо
рассчитать диаграмму, изображенную на рис. 5.
В результате нижний предел величины массы
монополя оказался приблизительно равным 3,6 тр (см. [290]).
Но такой результат является, конечно, весьма нестрогим,
поскольку при этом используются методы теории
возмущения при наличии константы связи, много большей К
Если предположить, что кварки — это дуально
заряженные частицы (дионы, см. гл. 8), то в рамках этой
модели возникают следующие ограничения массы дионов:
/72>6 Гэв [259], и масса монополя, образованного из
таких дионов, mg~ 17 Гэв [261].
Если предположить, что монополи являются
пространственно-протяженными частицами с размерами порядка их
классического радиуса rg = g2Jmgc2 [154], то протяженность
монополя динамически должна была бы обеспечиваться
связью с нейтральными мезонами, имеющими массу порядка
r-l = mgc2/137. Эти нейтральные мезоны тогда должны
были бы быть наблюдаемы благодаря взаимодействию с
фотонами. Но в опыте не обнаружено никаких скалярных или
векторных мезонов с массой, меньшей, чем масса р-мезона
и со-мезона, тр ~ тй « 0,750 Гэв. Отсюда для величины
нижнего предела массы монополя получаем значение ~ 137*0,75=
= 100 Гэв [154].
Если идентифицировать со- и р0-мезоны со «структурными
мезонами» монополя, то
8т
mg> ~25 Гэв.
Разумеется, все эти численные значения для массы
монополя имеют весьма приближенный оценочный характер.
М
м
Рис. 5. Диаграмма, описывающая влияние возможного
существования монополей на магнитный момент мюона
14. Зак. 670
209

Из теории не следует никаких ограничений на
величину спина магнитно заряженных частиц и можно
предположить, что аналогично электрически заряженным
частицам монополи Дирака могут быть как фермионами,
так и бозонами.
Из уравнений Максвелла вытекает, что для монополей
справедлив закон сохранения магнитного заряда. Отсюда
следует, что монополи должны рождаться парами (моно-
поль—антимонополь). В случае разлета после рождения
каждая из этих частиц должна быть стабильной (в
отсутствие монополя противоположного знака).
В основе экспериментов по поиску монополя Дирака
наряду с (6.1) лежат следующие предположения.
1. 	Монополи должны оставлять характерные треки в
веществе (трек, оставленный монополем в фотоэмульсии
или кристалле, имеет в отличие от треков электрически
заряженных частиц равномерную плотность вплоть до
очень малых скоростей).
Чтобы это показать, рассмотрим с качественной точки
зрения, следуя [293], процесс соударения монополя с
электрически заряженной частицей, находящейся в
покое. Предполагаем, что энергия монополя достаточно
велика, так что в результате столкновения изменение
этой энергии будет относительно мало.
На покоящийся заряд е действует электрическое поле,
созданное движущимся монополем, и сила равна
F~Vc4%’ М
где р— параметр пролета (расстояние частицы е от
линии движения монополя); v — скорость монополя.
Импульс, переданный частице е, равен
д(б.з)
с 4лр v 4 пс
где t — время соударения, равное примерно 2p/v.
Переданная энергия равняется
Д?2_ 2 е2 g2
2 	т ~ (4п)2т2р2С‘
Е — —L & > (6 4)
— О™ — IЛ ^-r\2m2 n2r2 V v
где т—масса электрически заряженной частицы.
Полные потери энергии монополя при прохождении
через среду, состоящую из электрически заряженных
210

частиц, плотность которых равна п-см~3, можно
определить, умножив Е на 2nrtpdp и проинтегрировав по всем
допустимым значениям параметра соударения р. Для
того чтобы полученное выражение не содержало
логарифмических расходимостей по нижнему и верхнему
пределам интегрирования, необходимо определить имеющую
физический смысл область интегрирования, заключенную
между пределами ртin и ртах. Для полных потерь
энергии монополя на единицу пути в среде получаем формулу
Мы не будем уточнять значения верхнего рт ах и нижнего
pmm пределов интегрирования (см. [183, 184]), так как
это не имеет здесь существенного значения.
Для движения электрически заряженной частицы в
среде аналогичная формула имеет вид
Как отмечено в [293], вывод выражений (6.5) и (6.6) для
потери энергии на ионизацию предполагает, что частицы,
которым передается энергия, свободны. Но в реальной
среде электроны связаны. Однако если интервал
значений параметра выбрать так, чтобы энергия, переданная
электрону, превышала его энергию связи, то формулы
для потери энергии на ионизацию имеют вид (6.5) и (6.6).
Из сравнения формул (6.5) и (6.6) видно одно
существенное отличие ионизационных потерь электрического
и магнитного зарядов в среде: если отвлечься от
логарифмической зависимости (величины Рт ах и Pmin под
знаком логарифма могут зависеть от скорости движения
ионизирующей частицы), то ионизационные потери
электрического заряда обратно пропорциональны квадрату
его скорости, в то время как ионизация, вызываемая
монополем, не зависит от его скорости.
Кроме того, поскольку потери на ионизацию
пропорциональны квадрату заряда, то ионизационные потери
монополя (п= 1 в (6.1а)) в несколько тысяч раз больше
ионизационных потерь электрического заряда (при
релятивистском рассмотрении ионизирующее действие
монортах
E2npdp =
(6.5)
^min
211

поля (g=go) приблизительно эквивалентно ионизации
137
тяжелыми ядрами с электрическим зарядом е [183,
4
184]). Потери энергии монополя в веществе на
ионизацию равны 8 Гэв/г-см2.
2. Монополи могут быть термализованы в веществе.
Замедление монополей до очень малых скоростей
обусловлено большими потерями энергии в веществе (в
частности, посредством механизма ионизации, тормозного
излучения и т. д.) [185, 290].
3. Монополи способны мигрировать в веществе.
Миграция в отсутствие приложенного магнитного поля
обусловлена тепловой диффузией. В присутствии внешнего
магнитного поля Я монополь при прохождении периода
решетки а будет увеличивать энергию на dg0H =
= 4-10~4 Я эв (d = 2 • 10~8 см), и когда приложенное поле
соответствует энергии dgoH^kT, имеет место
«свободная миграция», т. е. монополь может быть вырван из
связанного состояния (см. [209, 290]).
4. Монополь после термализации и, возможно,
мигрирования может магнитостатически связываться в ферро-
и парамагнетиках [199, 203, 209, 290].
5. Монополи не должны быть связаны с атомами и
ядрами в неферромагнитных материалах (см. [196,203]).
6. Монополь может быть извлечен из вещества
достаточно большими магнитными полями (порядка 104 гс
для п= 1 в (6.1а)).
7. После совместного рождения монополь и антимо-
нополь могут быть постепенно разделены и затем
замедлены в веществе без воздействия внешнего магнитного
поля.
8. Предполагается, что в эксперименте
детектируются частицы с одним знаком магнитного заряда.
В силу большой величины магнитного заряда для
экспериментального обнаружения монополя могут быть
использованы и такие чисто классические эффекты
взаимодействия, как их черенковское излучение и переходное
излучение при движении монополя через границу раздела
двух сред.
Интенсивность черенковского излучения моиополя
частоты со на единицу пути при прохождении в веществе
с диэлектрической постоянной 8(со) и магнитной
проницаемостью jut (со) равна [95, 187, 188, 190]:
212

w = —0 (1 ^ (со), v > 6' (6.7)
c2 \ 6 M ^ C00)? / j/e (о) (л (0)
Интенсивность этого излучения примерно в 4700 раз
больше, чем у электрона, летящего с той же скоростью.
Для детектирования монополя может быть
использовано также отличие поляризации черенковского
излучения монополя от той, какую дает электрический заряд
(Е->Н, Н->—Е) [187, 192, 193, 232].
Отношение интенсивности переходного излучения
монополя dwg к интенсивности переходного излучения
электрона dwe дается уравнением (для |5->1) [189, 197]
— ё21е2- (6.8)
dwe
Как показывают расчеты [189, 197], это излучение
также можно использовать для обнаружения монополей.
§ 2. Оценки сечения рождения монополя
Поскольку константа связи монополя с электромагнитным
полем gyh с ж 34,25 крайне велика, то все методы расчета,
обычно применяемые в квантовой теории для вычисления
различных электромагнитных эффектов, производимых
электрически заряженными частицами, в принципе полностью
непригодны.
Но, несмотря на неадекватность обычных методов
теории возмущения, было проведено несколько оценок
сечения рождения пары монополь—антимонополь
протонами (или квантами), сталкивающимися с нуклонами, в
предположении, что монополи взаимодействуют только с
электромагнитным полем. Такого рода оценки
заслуживают внимания и потому, что из эксперимента, в котором
не обнаружены монополи, можно получить только
верхний предел сечения их рождения. Но если этот предел на
несколько порядков меньше теоретической оценки, даже
с точностью 1—2 порядка, можно сделать вывод, что
монополи в исследуемом диапазоне масс не существуют.
Процессы, для которых следует рассчитать сечение,
можно разбить на две группы:
а) 	процессы, обусловленные электромагнитным
взаимодействием между сталкивающимися протонами;
213

б) 	процессы, обусловленные сильным
взаимодействием между двумя сталкивающимися нуклонами.
Возможные классы диаграмм, относящихся к этим
процессам, были подробно проанализированы Кабиббо и
Феррари (см. [290]). При этом можно выделить две
основные фейнмановские диаграммы (рис. 6 и 7).
Рис. 6. Рождение пары монополей вызванное чисто куло-
новским взаимодействием двух сталкивающихся протонов
Рис. 7. Рождение пары монополей виртуальным у-квантом в
результате упругого р—^/-рассеяния
Диаграмма на рис. 6 описывает рождение пары
монополей, вызванное чисто кулоновским взаимодействием
двух сталкивающихся протонов.
Рассматривая все частицы как скалярные, можно
получить следующее выражение для сечения рождения
пары —g-, описываемое диаграммой на рис. 7 (й = с =
Pi
Рг
Яг
= 1) [290]:
1 1 Мр
J, (6.9)
4 (2я)4 т*р £лаб
214

где
rd% d% d3qx d3 q2\F lp(**) ]2f.
&2
2
X
x 6 (p; + p; + q, + q2 — p) 6 (£', + £; +8j + e2—£лаб), (6.10)
Flp (k2) — зарядовый форм-фактор протона; £лаб — полная
энергия падающего протона в лабораторной системе
координат; Е\, £', г19 е2— энергии и pj, р', qv q2—импульсы
четырех частиц в конечном состоянии.
Для диаграммы на рис. 7, описывающей рождение
пары монополей виртуальным 7-квантом при упругом
р—yV-рассеянии, соответствующее выражение имеет
вид [290]
a
(2л)* *р\4п1\4л) р eJ (to* — rrip/"
Л,.^) 1!х
IP'
k2
, dopN d3p\ d3p'2 d3q1 d3q2
d £2 E\ E2 ei e2
X 6 (Pi + P2 + 4i +q 2 — Pi — P2) X
x6(£; + £; + 8l + e2 — Ex-Ег), (6.11)
где dapN/d^l — сечение упругого p—./V-рассеяния; *p—им-
пульс каждого протона и Wq — полная энергия в системе
центра масс,
(О2 = — р”2 = (Рг + qx +q2)2 = (р2 + k)2. (6.12)
При оценке этих сечений обычно приходят к
следующим цифрам: (g = g0) для процесса, показанного на
рис. 6, 0^ 10-31 см2 при mg = mp, ст~10-34 см2 при mg~
= 3 тр\ для процесса, показанного на рис. 7, сг~ 10~32 см2
при mg = mp, 0~1О~34 см2 при mg = 3inP*).
Оценку сечения рождения пары монополей в
столкновении двух протонов можно произвести непосредственно
исходя из выражения для сечения рождения пары е+—е~
[233]. В последнем случае имеем:
*) Обсуждение различного рода допущений, которые фактически
подразумеваются при расчете этих диаграмм, можно найти в работе
[290].
215

<W =<j(pp^pp + e+e )~
1
(iLWAYL(iM\;=
\ he J \tnec ) \ be /
137 F *
^ 2,4 . IO-30 cm2. (6.13)
Для того чтобы описать рождение пары g+—g~, нужно з
(6.13) 	заменить тё на те и один из двух множителей
(e2/hc) на (g2/hc). После этого получим следующее
выражение:
(Tg+g- = а(рр-*рр + g+g~) ЯЙ
т2 \2
Y—У= (—
\mgc I \ he
he j { he , ч _ , ч
которое также может быть записано в виде
(6.14)
аъ=°ё+е =°*+ .
mg
= 2,4- 1СГ30 ( —5-1 см\ (6.15)
>пе \2
/
mg
Но численный результат, вытекающий из выражения
(6.15), еще сильно завышен по ряду причин. Во-первых,
множитель (g2/hc)2, который может рассматриваться как
вероятность виртуальной диссоциации у-кванта на пару
монополей, не может превышать 1 (здесь — 137/4).
Поэтому более подходящей оценкой является (g = go)
а£> = (Л-)\^Ю-*в0. (6.16)
137
Во-вторых, здесь не принята во внимание
электромагнитная структура сталкивающихся протонов. Следуя [233,
296], сечение рождения пары монополей в
р—р-столкновении можно записать в окончательном виде так:
°iv = V Ю-3 |F (<72)l2 = о0Ю-\ (6.17)
При планировании и постановке экспериментов по
поиску монополей Дирака обычно ориентируются
исключительно на их электромагнитные взаимодействия.
216

§ 3. Эксперимент
Экспериментальные поиски магнитных монополей
могут быть двух видов:
1. Поиски на ускорителях через реакцию типа
->/?+/V+g++g“+ все остальное [206, 207, 209, 222, 231,
232].
2. Поиски монополей в естественных условиях:
а) непосредственное детектирование монополей в
космическом излучении [203, 205, 213, 218, 219, 221, 223, 226];
б) поиски магнитных зарядов в веществе на Земле
[204, 211, 214, 215, 217, 227, 229], в метеоритах [210, 212,
228], в лунной породе [224, 225, 228], где они могли быть
рождены в результате взаимодействия космических лучей
с веществом или же непосредственно захвачены
веществом.
3.1. 	Поиск на ускорителях. Все предпринятые попытки
экспериментального обнаружения магнитного заряда
дали отрицательный результат, причем общая тенденция
состоит в прогрессивном уменьшении верхнего предела
сечения рождения для все более массивных монополей.
Так, если первый эксперимент на беватроне в Беркли
(1959 г.) [206] привел к оценке сечения а^Ю-35 см2/нук-
лон для однократно заряженных монополей с массой
порядка протонной, то в Серпухове [222] (1970 г.) получен
следующий верхний предел сечения рождения монополь-
антимонопольных пар: 6^10-43 см2/нуклон для mg^5 тр.
Эксперимент на Брукхевеноком ускорителе [231] привел к
следующему результату: б^Ю-43 см2/нуклон для mg^
^ 13 тр.
Верхние пределы сечений рождения пар магнитно
заряженных частиц в ускорителях приведены в табл. 2.
Рассмотрим определение верхнего предела сечения
рождения монополей для процесса p-\-p-+p-\-p-\-g+-\-g~
на ускорителе (см., напр., [209, 290]). Можно записать
следующее уравнение:
Ng=fNptN<7gV, (6.18)
где Ng — среднее число монополей, которое должно быть
обнаружено, если сечение рождения пар монополей в
протон-протонных или протон-нуклонных столкновениях
равно Gg+g-\ Np — число ускоренных протонов;
t—толщина мишени в г/см2, умноженная на среднее число
прохож217

дений мишени протонами; N—число нуклонов на 1 2
мишени (УУ = 6,0-1023); f—геометрический множитель,
определяющий долю общего числа созданных монополей,
входящих в детектор.
Уравнение (6.18) может быть записано в виде
(6.19)
где 2 = 1/fNptN представляет собой сечение, которое
можно было бы получить_^из (6.18), если бы в каком-то из
экспериментов было Ng = 1. Параметр 2 можно вычислить
для любого эксперимента. Из закона Пуассона следует,
что если наблюденное значение случайной величины Ng
равно нулю, то вероятность того, что эта величина будет
иметь среднее значение Ng, равна ехр(—Ng).
Следовательно, вероятность наблюдения монополя в эксперименте
равна
P = (6.20)
Из (6.20) можно определить верхний предел сечения со
степенью достоверности 95%, если .положить P = il20'
(Xg+g- (95 %)=21n20. (6.21)
3.2. 	Поиск в космических лучах. Примерно так же
обстоит дело и с экспериментами второго типа. Пионерская
Таблица 2
Верхние пределы сечений рождения пар магнитно
заряженных частиц в ускорителях протонов
Энергия
частиц
пучка
ускорителя, Гэв
Число
протонов
в пучке
Максимальная
масса
монополя (в
массах протона)
Значение
определяемого
заряда ( h с/2е)
Сечение
рождения пары
монополей,
см2/нуклон
Литературный
источник
6,3
5 • 1012
Ы
1
2.Ю-Зв
[206]
27,5
4,5-1014
3
От 1 до 12
Ю-39
[207]
25,28
4,5* 101Б
3
1 и 2
6 * 1 о—41
[208]
30
6-1035
3
1
2,Ы0-40
[209]
70
7
От 1 до 12
Ю-42
[222]
400
13
От 1 /30 д о 30
ео
1
О
[2316]
218

Таблица 3
Результаты экспериментов по поиску высокоэнергетических
монополей в космических лучах
Экспериментальный метод
Площадь х
Xвремя,
см2-сек
Значение
определяемого заряда
(Нс/2е)
Максимальная
масса
монополя (в массах
протона)
Детектирование в
атмосфере [203]
1010
От 1 ДО 3
1.3
Детектирование в
атмосфере [213]
6,9-1013
От 1 до 3
7*103
Извлечение из
магнитных пород [211]
3.1012
От 1 до 3
4*103
Извлечение из
океанских осадков [214]
4.1016
От 1/6 до 220
4*104
Извлечение из Мп-конк-
реций [216]
2,8-1014
От 1 до 120
1,3.104
Извлечение из Мп
поверхностных отложений
[217а]
4,9.101?
От 1 до 60
1,3.10*
Поиск треков в
минералах [2176]
2,3.1010
От 2 до оо
2 * 105
Поиск треков в лунной
породе [224]
4,3*1017
От 1 до оо
От 60 до 300
работа Малкуса (1951 г.) [203] дала для сечения
результат а^З-10-35 см2]нуклон, в одном из последних
экспериментов Альвареца и др. [224] по поиску моно-
полей в лунном веществе получен верхний предел
сечения сг^Ю-41 см2/нуклон для тё^5тр и а^Ю-35 см2/ну-
клон для mg « 1 ООО тр (табл. 3).
Присутствие монополей в космическом излучении
может в принципе объясняться двумя причинами: а)
взаимодействие высокоэнергетических частиц *) с ядрами
атомов воздуха в верхних слоях атмосферы
приводит к рождению пары монополей, которые, постепенно
замедляясь, начинают дрейфовать вдоль силовых линий
В настоящее время наблюдались в космических лучах частицы
с энергией 2* 1020 эв, которые могли бы в принципе обусловить
рождение монополей в ядерных взаимодействиях с массой покоя до
106 тР.
219

геомагнитного поля и могут затем быть захвачены
веществом; б) большая часть первичных космических лучей с
энергией, большей чем 1017 эв, состоит из монополей
Дирака [255].
Это предположение было выдвинуто Портером в
качестве возможного объяснения существования
первичного космического излучения с энергией 1018—1020 эв.
Такое излучение требует решения вопроса о механизме
ускорения космических лучей [378, 379] и присутствии
частиц с указанной энергией в Галактике [380, 381].
Открытие пульсаров и их интерпретация как
вращающихся нейтронных звезд могли бы в принципе обеспечить
достаточный механизм ускорения. Но если учесть
потери энергии высокоэнергетическими частицами
вследствие обратного комптон-эффекта на фотонах реликтового
излучения с температурой в 2,7 °К, то эта проблема
оказывается еще далекой от своего разрешения (см. [381]).
При этих обстоятельствах гипотеза о том, что монополи
Дирака — важная компонента первичных космических
лучей, не может быть отвергнута без серьезного
обсуждения.
Портер исходил из того, что монополь, помещенный
в магнитное поле Я, измеряемое в гауссах, приобретает
энергию
1 q7
Е = п 300 ——Н = п 2,055-104Я эв/см, п= 1, 2. (6.22)
Для усредненного галактического поля можно взять
величину
Я~ 3-10-16 гс.
Тогда на расстоянии в один световой год монополь
приобретет энергию
Е = п 5,65 * 101в эя/световой год.
Энергии ~ 1020 эв достигаются посредством описанного
механизма ускорения на расстояниях ~1/10
галактического размера.
Из всех экспериментальных данных, относящихся к
установлению верхнего предела потока монополей,
падающих на Землю или Луну, следует: 1) в составе
космических лучей вплоть до энергий 3• 109 эв нет
высокопроникающей компоненты монополей; это означает, что
220

монополи Дирака нельзя привлечь для решения
проблемы существования космических лучей с энергией,
большей чем 1017 эв\ 2) величина потока космических
монополей, пронизывающего земную поверхность,
^8,4-10-18 слг2-секг1\ это означает, что за всю историю
Земли (4,6-109 лет) через каждую площадку в 2 см2
прошло не более одного монополя; 3) если монополи
внутри Земли распределены равномерно, то их меньше,
чем 1 монополь на 400 ж3.
Интересно упомянуть здесь также о следующей
возможности оценки верхнего предела потока космических
монополей [238]. Монополи Дирака с очень большой
энергией будут терять энергию вследствие монополь-фо-
тонных столкновений (обратный комптон-эффект на
фотонах реликтового излучения). Эти столкновения
приводили бы к генерации высокоэнергетических фотонов.
Интегральная интенсивность 1у вторичных фотонов от
обратного комптоновского рассеяния монополей и
интегральная интенсивность монополей Ig ( в
предположении ее изотропности) связаны соотношением Ig(E(k)) =
= (Xg/R)I (k), где E(k) — энергия фотонов; R = 3 • 1022 см;
R — радиус галактического гало; %g — средний путь в см,
проходимый монополем без столкновений. Из
установленного верхнего предела потока высокоэнергетических
v-квантов можно определить верхний предел потока
монополей. Он оказывается значительно меньше предела
потока монополей, установленного в прямых
экспериментах по поиску монополей.
Обсудим вопрос об установлении верхнего предела
величины сечения рождения монополя в нуклон-нуклон-
ных соударениях из данных по обнаружению монополя
в космических лучах (см. [213]). Первичный
интегральный поток космических лучей аппроксимируется
следующим выражением:
N (Е > Е0) = 1,4 £о~1,67 нуклон/см2-с/перад-сек, (6.23)
и Е0 имеет размерность Гэв/с2.
Сечение взаимодействия каждого из нуклонов
примерно равно 30* 10-27 см2. Но поскольку нуклоны в целом
теряют примерно 40% своей энергии в единичном
процессе взаимодействия, то число «полезных»
взаимодействий, приходящихся на один нуклон, увеличивается.
Поправочный множитель примерно равен отношению
221

длины затухания к усредненному значению длины
свободного пробега космических нуклонов. Из
экспериментальных данных эта величина может быть оценена
числом 1,4. Если оценить общее число нуклонов с
энергией, большей Е, взаимодействие которых может привести
к рождению монополей, как 6,1 -1014 £'“1>67, то с учетом
поправки эта величина может быть оценена как 8,5* 1014Х
Х^"1’67.
В целях упрощения расчетов предполагается модель
рождения при условии постоянства сечения в интервале
от пороговой энергии рождения до бесконечности. На
этой основе может быть установлено следующее
соотношение:
NgINp = orgV/30- Ю"27 см\ (6.24)
где Ng — величина потока монополей и Np — величина
потока нуклонов. .Из (6.24) следует, что <8,Ь10-41х
хЕпорог 1,67 сж2, где ^порог — пороговое значение энергии
для рождения пары монополей в нуклон-нуклонных
взаимодействиях. Из элементарной кинематики следует:
3.3. 	Поиск в веществе. Поиск монополей, которые
могли бы находиться в веществе (табл. 4), основан или
на извлечении их из вещества с помощью сильных
магнитных полей и дальнейшего детектирования или на
обнаружении треков, которые могут оставить монополи в
существующих в естественных условиях твердотельных
детекторах (наподобие слюды и обсидиана —
вулканического стекла), реагирующих только на очень сильно
ионизирующие частицы и обладающих способностью
сохранять в себе треки в течение длительного времени,
либо на установлении концентрации магнитных зарядов в
веществе без их (извлечения. Последний метод [212, 215,
224] привлекателен тем, что он не зависит от характера
специальных теоретических предположений о связи
монополя Дирака с веществом. В его основе лежит
использование обобщенного закона Фарадея, который в
присутствии магнитных зарядов имеет вид
£ = <$ Ed\ =— /« — , (6-25)
трс\
 222

где & —электродвижущая сила. В отсутствие
изменяющегося магнитного потока получаем:
<? = <^Edl = —/'«. (6.26)
Предположим, что в исследуемом веществе содержится
Ng монополей определенного знака.
Если привести в движение (вращение) тело, которое
предположительно содержит монополи, то, регистрируя
величину тока в замкнутом контуре, который обусловлен
эдс ё , пропорциональной числу магнитных зарядов,
можно определить величину магнитного заряда
вещества. Применительно к лунной породе и метеоритному
веществу этот метод был осуществлен Альварецем [212,
224, 228]. Вант-Халл [215] использовал аналогичные
посылки для обнаружения монополя в земном веществе.
3.4. 	Оценки сечения рождения монополя по
экспериментальным данным. Используя имеющиеся
экспериментальные данные, можно попытаться найти ограничения
возможного значения массы монополя и сечения его
рождения в рамках теоретических представлений,
которые либо нечувствительны к большой константе связи,
либо (предположительно) способны дать описание на ее
основе.
Та л и ц а 4
Пределы концентрации монополей в твердых телах
Вещество
Вес
исследуемого
вещества, г
Верхний
предел числа
монополей (моно-
поль/нуклон)
Значение
определяемого
заряда (h cJ2e)
Магнитные породы гор
Адирондак [204]
5-103
8*10-28
От 1 до 3
Конкреции магнитных
пород из Тихого океана
[216]
31 ,5
13.10-26
От 1 до 120
Отложения магнитных
пород в Северной
Атлантике [217а]
7,7 * 103
5,2-10-28
От 1 до 60
Метеоритное железо [212]
Ю2
4-10-26
От 1 до оо
Медь [215]
6,5
6-10-26
От 10-8 до оо
Лунная порода [229]
8,3 • 103
4,8-10-28
От 1 до оо
Океанские осадки [214]
1,5-Ю6
3-ю-31
От 1/6 до 220 j
223

В работе Домогацкого и Железных [235]
оценивалась возможная концентрация реликтовых монополей в
рамках модели горячей вселенной. Концентрация
реликтовых монополей и антимонополей на современном
этапе оказывается функцией сечения аннигиляции —g~~
пары и предполагаемой массы монополя.
Из экспериментальных данных по поиску
высокоэнергетических частиц с энергией ^1018 эв в космическом
излучении можно получить экспериментальную оценку
Рис. 8. Рождение пары g+—g- в р—p-столкновениях посредством
рождения и последующей диссоциации виртуального фотона
верхней границы для величины концентрации монаполей.
Из сравнения теоретической и экспериментальной оценок
вытекают определенные ограничения на массу монополей
и сечения их аннигиляции.
Оказывается, что если (То£<10-25 см2, то масса моно-
поля mg> 105—108 Гэв. Здесь величина ооё связана с
сечением аннигиляции монополя следующим образом:
с
°g+g- = — °оg • Оказывается также, что монополи Ди-
v
рака с массой порядка нескольких гигаэлектронвольт,
которые моглй бы быть обнаружены на ускорителях,
должны иметь сечение аннигиляции сго^Ю-20 см2, но
сечение их рождения должно было быть мало (сг<
<10~35 см2). Однако, как отмечено в [235], эта ситуация
противоречит принципу детального равновесия и
представляется весьма маловероятной.
Ньюмейер и Трефил [2366] отметили, что
дифференциальное сечение рождения g+ — g—-napbi может быть
оценено аналогично тому, как это было сделано для
кварков [382], на основе следующего процесса (см.
рис. 8), который описывает рождение пары g+ — g~ в
р—/7-столкновениях посредством рождения и
последующей диссоциации виртуального фотона.
224

Если предположить, что монополи связаны с
фотонами аналогично электронам (за исключением величины
константы связи), то можно надеяться обойти трудность,
вызванную тем, что разложение в ряд по константе g
расходится.
Дело в том, что экстрафотонный обмен между £+—
g~ можно рассматривать как составную часть сверх-
сильного взаимодействия между g+—g~ в конечном
состоянии. Но поскольку этот процесс можно
приближенно описать в рамках классической электродинамики, то
такой подход будет справедлив во всех порядках по g.
Сечение og+g~ можно записать в виде
где Т — кинетическая энергия падающего протона в
лабораторной системе отсчета; q — масса виртуального
фотона; Уs— полная энергия в системе центра масс;
0 	— функция разлета; D — радиус сферы, внутри
которой возможно рождение пары g+—g~ (в системе центра
масс). Относительное движение пары g+—g~ трактуется
здесь классическим образом.
Вид выражения dag+g’/dq можно установить из данных
по рождению мюонных пар у [л+ при энергии
28,5 Гэв из соображений масштабной инвариантности [383],
так что
Выражение (6.28) было получено как в партонной
модели, так и в рамках модели векторной
доминантности.
Если предположить, что данные по рождению
виртуальных фотонов можно распространить на область
значительно больших энергий, и сравнить полученное
сечение cfg+g- с результатами, вытекающими из
экспериментов Альвареца [224] (см. [236]), то находим, что
возможная масса монополя превышает 100 Гэв.
115. За к. 670 225
Vs —2m
2m.
lg
(6.27)
—— = F (q2/s)/s2.
aq
(6.28)

Если исходить из оценок массы монополя,
проведенных в работах [259, 261], то, учитывая соображения,
развитые в [2366], можно сказать, что возможность
детектирования монополей в качестве свободных частиц
крайне маловероятна.
Разумеется, не следует забывать, что оценки, данные
в [2366], сильно зависят от используемой модели. Но во
всяком случае представляет большой интерес
постановка экспериментов по поиску монополей Дирака
непрямыми методами. Здесь имеются в виду поиски фотонных
ливней, возникающих при р—p-столкновениях. Эти
ливни при определенных обстоятельствах могли бы быть
идентифицированы как продукты аннигиляции g+—g~-
пары (см. здесь [237]).
§ 4. Возможные объяснения отрицательных результатов
поиска монополей Дирака
При отсутствии достаточно надежной оценки массы и
сечения рождения монополя трудно судить, насколько
полученные результаты могут быть истолкованы как
свидетельство против его существования. В принципе для
того, чтобы объяснить отсутствие зарегистрированных
монополей в проведенных экспериментах, можно
выдвинуть целый ряд соображений. Обсудим некоторые из них.
I. Наиболее простым (и одновременно наименее
содержательным) является предположение о том, что
масса магнитно заряженных частиц очень велика и
необходимое для их рождения пороговое значение энергии пока
не достигнуто.
Поскольку теория магнитного заряда не содержит
обоснованных предсказаний относительно возможных
значений массы монополя, ее нижний предел может быть
отодвинут сколь угодно далеко.
II. При оценке результатов экспериментов, в которых
предполагается экстрагировать монополи,
предварительно связанные с веществом, следует учесть, что,
возможно, некоторые особенности процессов захвата монополя
и его поведения в веществе понимаются еще
недостаточно полно.
Обычно считается, что монополи могут быть термали-
зованы в веществе и способны мигрировать и
магнитостатически связываться в ферро- и парамагнетиках.
226

В то же время монополи не должны быть связаны с
атомами или ядрами в неферромагнитных материалах.
Предполагается также, что монополи могут
извлекаться из вещества сильными магнитными полями.
Широко используются результаты Малкуса [203], из
которых следует, что связь монополя в веществе не
превышает нескольких электронвольт.
В большинстве проведенных экспериментов
ориентируются именно на такую картину взаимодействия
монополей с веществом. Гипотеза о возможности э страги-
рования требует некоторых оговорок. Хотя энергия
захвата не ниже, чем предполагается макроскопическим
взаимодействием, она может быть и выше из-за
определенных локальных взаимодействий или поляризации
ядер. Если бы монополь был связан с ядром, он мог бы
быть извлечен вместе с ядром, но мог бы избежать
детектирования вследствие дополнительных потерь энергии,
которые изменили бы пределы области детектирования.
К примеру, для g = go предел массы монополей снизился
бы с 6000тр до 3000тр.
Как показано в работе [196], принципиально
возможно существование сильной связи монополей со
свободными ядрами, имеющими магнитный дипольный момент
(энергия связи может достигать 1 Мэе).
Если это так, то, например, экспериментальные
поиски магнитных зарядов в геологических материалах,
являющихся потенциальными коллекторами монополей,
могут и не обнаружить их присутствия. Следует
отметить, что интерпретация экспериментов, при постановке
которых предполагалось только существование двух
основных признаков монополей [212, 224, 228], также
имеет критический пункт: допущение о том, что в
исследуемом веществе (метеоритном или лунном) содержатся
преимущественно монополи одного знака.
Предсказания, касающиеся специфического
характера ионизационных потерь монополя, кажутся на первый
взгляд весьма убедительными. Однако и они должны, по-
видимому, приниматься с серьезными оговорками. Соле-
ноидальное электрическое поле, окружающее путь
монополя, совместно с его интенсивным радиальным
магнитным полем может (предположительно) приводить к
различным эмульсионным трекам. Кроме того, если
монополи сильно связаны с умеренно тяжелыми ядрами,
227

ионизацию, производимую этой системой, будет трудно
отличить от той, которая принадлежит какому-либо
тяжелому ядру.
III. 	В работе Рудермана и Цванцигера [234] было
дано весьма правдоподобное объяснение наблюдаемому
отсутствию на опыте магнитно заряженных частиц. В
основе объяснения лежит представление о механизме
радиационного затухания, который обусловлен сильным
взаимным притяжением между монополем и
антимонополем в рождающейся паре, что в результате приводит к
потере большей части их кинетической энергии.
Вследствие этого монополь и антимонополь будут сближаться
и затем аннигилировать за весьма малый промежуток
времени. Наблюдаемым результатом таких процессов
будет испускание большого числа фотонов.
Аргументация авторов работы [234] заключается в
следующем.
1. 	Для достаточно больших расстояний и малых
скоростей взаимодействие между g+ и g~ определяется ку-
лоновсюим притяжением V(г) =—g^/Anr, которое,
однако, в 2 * IО4 раз больше силы взаимного притяжения для
электрон-позитронной пары. Поправки к V(г),
обусловленные поляризацией вакуума, могут только понизить
потенциальную энергию при любом фиксированном
расстоянии г. В то же время учет форм-факторов монополей
плюс возможность обмена сильно взаимодействующими
мезонами может качественно модифицировать потенциал
V 	(г) только на расстояниях г^г,0, где
соответствует комптоновской длине волны легчайшего из
адронов. Й для того чтобы вакуум был стабилен
относительно спонтанного рождения пары монополей на
расстояниях, меньших /'о, масса монополя должна
удовлетворять условию
h
10 13 см
(6.29)
2mgc2 — g2J4nr0 = 2mgc2 — g^m^/inhc > 0,
(6.30)
откуда следует
Гэв. (6.31)
228

Как следствие (6.31), рождение пары —g'~, например,
в p-N-столкновениях требует, чтобы протон в
лабораторной системе отсчета имел энергию, превышающую
200 Гэв.
Вследствие большого значения массы монополя его
комптоновская длина волны меньше пионной на
множитель
/ п2 137 .
ro'r8 = J- -j- ■ (6.32)
Таким образом, относительное движение пары g+—g~
на расстоянии г^г0 может быть описано классическим
образом, что совершенно не будет годиться для описания
движения пары е+—е~ на расстоянии классического
радиуса электрона (■—■ 2г0).
2. 	Для того чтобы пара g+—g~ могла быть разделена
после того, как она была рождена в объеме^/*3,
относительная кинетическая энергия должна быть больше, чем
&/4пг0ж20 Гэв, (6.33)
даже если пренебрегать потерями энергии на
дополнительное излучение. Это означает, что относительная
скорость v0 на расстоянии г0 должна удовлетворять
неравенству
(6.34)
которое согласуется с требованием, чтобы для
относительной кинетической энергии выполнялось условие
л п-2
тас
,2
1 |" mgc2
г 4яг0
которое может быть записано в виде
g2 о 1
Y 	—1 — , Y = ■ ~ - (6.36)
4 nr0 mgc2 у 1 —р2
Следовательно, монополь и антимонополь могут
избежать взаимного притяжения и последующей
аннигиляции (при условии, конечно, что масса монополя mg не
превышает значительно нижнего предела (6.31)), только
если их относительные скорости являются релятивист-
229

скими. Но, как будет обсуждено далее, вследствие весьма
большой константы связи между монополями и
фотонами большая часть полученной монополями энергии будет
идти на излучение и поэтому взаимная кинетическая
энергия пары монополей может быть недостаточна для
их разделения.
3. 	Рождение и последующее ускорение пары
монополей будет всегда сопровождаться испусканием большого
числа «мягких» фотонов. Разумеется, рассчитать в целом
спектр излучения или просто энергию, уносимую
фотонами, не представляется возможным вследствие отсутствия
методов расчета для такой константы связи. В то же
время, как станет ясно из дальнейшего, большие потери
энергии имеют место даже при учете «мягких» фотонов.
Но испускание «мягких» фотонов — это чисто
классическое явление, которое может быть точно учтено.
Вероятность того, что пара монополей внезапно
испускается со скоростью v~c без потери энергии,
превышающей Д£, для любого дипольного гамма-кванта
дается приближенно следующим выражением:
получаемым при замене е на g в стандартном
выражении для расчета радиационных поправок (см. напр., [384,
385]). Уравнение (6.37) справедливо, если энергия /ш,
отдаваемая любому из фотонов, меньше, чем
где х = г0/с — время ускорения. Взяв для тё нижнее
предельное значение, допускаемое (6.31), и для ДЕ
значение (6.38), можем убедиться, что вероятность (6.37)
оказывается пренебрежимо малой.
Для пары монополей, рожденной с релятивистскими
скоростями, энергия, теряемая ими на испускание «мягких»
Г 8 ё2т . mgc
ехр In —£-
[ 3 я 4 nhc Д Е
ехр Г — п2137 In mgC
Зя Д Е
[
(6.37)
(6.38)
фотонов, примерно равна g2 —-
—2
mgc2. Но из
230

этого следует, что кинетическая энергия первоначально
релятивистских монополей, с которой они выходят из области
г < г0, должна быть значительно меньшей, чем энергия
сопровождающих их «мягких» фотонов. Как отмечено в [234],
имеются и дополнительные потери энергии на излучение
фотонов, вызванные замедлением монополей в кулоновском
Из приведенного анализа следует, что для разделения
пары g+—g~ необходимо, чтобы в системе центра масс
энергия значительно превышала величину 2mgc2.
Максимальное относительное расстояние, на которое может
быть разнесена пара g+—g~, предполагается ~10-12 см,
и продолжительность промежутка времени перед
сближением на расстояние г^.г0 оказывается ~10-22 сек.
Число испущенных фотонов п при рождении пары
—g~ можно оценить весьма приближенно как равное
по порядку константе связи:
Проведенное обсуждение показывает, что может быть
дано разумное объяснение отсутствию в исследованном
диапазоне энергий каких-либо наблюдаемых
экспериментальных проявлений изолированного монополя Дирака,
даже если он в действительности существует.
IV. 	Рассмотрим вопрос о путях включения сверх-
сильного взаимодействия между монополем и
антимонополем в модель рождения этих частиц [236, 237].
Предполагается, что процесс рождения можно
разделить на три периода (см. рис. 9):
a) столкновение налетающей частицы с мишенью
описывается в системе их центра масс; в результате
рождается тяжелая пара g+—g~ со сверхсильным
взаимодействием; этот процесс описывается некоторой
амплитудой А (pi, /?2), где pi и рг — импульсы частиц, образующих
рожденную пару;
b) рожденные частицы начинают разлетаться, но
вследствие сверхсильного взаимодействия между ними
это может произойти в весьма редких случаях, что
приводит к малой вероятности детектирования рожденных
частиц в качестве свободных;
магнитном поле каждого из них, равные
г2
п
2-m_ = n2.137e
ft С
(6.39)
231

i V
I Л
1 a 1 ь
Рис. 9. Схематическое представление процесса p+p^g+-\-g + все
остальное
с) 	частицы или разлетаются (верхняя диаграмма на
рис. 9) или взаимно притягиваются и аннигилируют
(нижняя диаграмма). В последнем случае они не будут
детектированы.
Полезно ввести функцию разлета 0(р1} р2, г):
л, \_М> К0ГДа g+ и g~ разлетаются,
у \Pv Pvr)— in +
^0, когда gи g не разлетаются, а аннигилируют.
Здесь г — расстояние между g+ и g~ в момент рождения;
рх — импульс g-+; р2 — импульс g~.
Необходимо выбрать теперь модель рождения пары
g+—g~ для описания первого периода и ввести в нее
функцию 0. Но при таком подходе необходимо сделать
ряд предположений. Отметим некоторые из них. Для
того чтобы любая пара g+—g~ характеризовалась
набором векторов pi, р% г, необходимо считать, что допустим
релятивистский классический расчет взаимодействия
между g+—g~ в конечном состоянии. Разбиение
процесса образования пары g+—g~ на две несвязанные части
приводит к пренебрежению процессами, которые в
принципе могут быть реализованы (конкретное уточнение
зависит от выбора модели рождения). Какого-либо
замкнутого аналитического выражения для функции 0 не
су232

ществует, и поэтому необходимо использовать численные
методы решения.
Ньюмейер и Треффил в рамках статистической
модели рождения частиц Хагедорна [236а] (при этом
приходится предполагать, что монополи взаимодействуют с
адронами посредством сильных взаимодействий)
провели оценку влияния сверхсильного взаимодействия на
интенсивность рождения свободной пары g+—g~.
Оказалось, что интенсивность рождения будет по меньшей мере
на два порядка ниже той, которая ожидается без учета
этого взаимодействия.
Сопоставление с экспериментальными данными [222]
приводит к реинтерпретации численного результата для
нижней границы массы монополя: при g = go получается
mg^3,25 Гэв и для g = gm mg^2,25 Гэв.
Поэтому, как отмечено в [222в], лучше
рассматривать полученное значение верхнего предела величины
сечения не как сечение рождения монополей вообще, но
как сечение рождения монополей, которые свободны на
большом удалении от места рождения.

7
глава
УСЛОВИЕ ЗАРЯДОВОГО КВАНТОВАНИЯ
Вопрос о корректности дираковского подхода так или
иначе связан с тем, насколько обоснованным можно
считать условие зарядового квантования. На это условие,
как видно из гл. 6, ориентированы почти все попытки
экспериментального обнаружения магнитного заряда.
Отрицательные результаты экспериментального поиска
монополя Дирака можно истолковать как указание на
то, что существующие теоретические предположения о
монополе Дирака не адекватны истинным свойствам
магнитного заряда. Это означает следующее: либо
квантовая теория магнитного заряда в ее современной форме
некорректна и тем самым условие Дирака — Швингера
необоснованно (см., напр., [111, 298]), либо ожидаемые
классические свойства монополя не могут быть
согласованы с картиной точечного магнитного статического
источника [110, 112, 156, 171 —173], либо, наконец, и то
и другое имеет место одновременно.
Таким образом, возникает необходимость
критического анализа узлового пункта современной теории
монополя Дирака — условия зарядового квантования.
§ 1. Феноменологический вывод
условия зарядового квантования
Рассмотрим некоторые из возможных способов
получения условия зарядового квантования, которые хотя и
не могут претендовать на строгость, но позволяют
составить простое и наглядное представление о
характерных чертах, присущих теории монополя Дирака, и могут
послужить основой для более строгих и
последовательных вариантов вывода этого условия.
1.1. 	Полуклассический подход. Вильсон [241] и Саха
[243] предложили весьма простой *и эффектный вывод
234

соотношения Дирака, основанный на квантовании
проекции углового момента электромагнитного поля,
создаваемого статической парой электрический заряд — моно-
поль.
Для проекции полного углового момента поля на
линию, соединяющую заряд, получается следующая
величина (см. приложение Б):
s= Г д?гх х (Е х Н) = п, (7.1)
J 4 пс
где п = г/г — единичный вектор, направленный вдоль линии,
соединяющей заряды. В соответствии с правилами
квантования момента импульса эта величина может принимать
только целые и полуцелые значения, что сразу же приводит
к условию зарядового квантования.
Аналогичным путем можно получить обобщенное
условие Дирака — Швингера, рассматривая две дуально
заряженные частицы с зарядами е\, gi и e% g2.
Нерелятивистское уравнение, описывающее
взаимодействие двух дуально заряженных частиц, имеет вид
(см. также § 1 гл. 5)
1 / I Ч Г I
т ~гг — — (е1е2 + S1S2) г +
dt 4 п г
+ ~ («1& — eiSi) •v X “Г • (7-2)
4 л г
Умножая векторно левую и правую части (7.2) на г,
находим
Х/т^Л1 = ^lgi ~ГТ^ =
dt 4 лг
т)- (7'3)
Исходя из (7.3) нетрудно убедиться, что в роли
сохраняющегося углового момента при этом выступает следующая
величина:
1 г
J = г х р — — te — е&) , (7.4)
4 	Я Г
где г — вектор относительного расстояния между частицами.
235

А л 1
Проецируя J на г = г/г, находим: Jr =—{е^ч — £А),
4я
откуда, полагая Jr = пЪ. (п — целое или полуцелое),
получаем условие Дирака.
Рассмотрим еще один способ вывода условия
зарядового квантования Дирака, предложенный Калкиным
[245].
Пусть электрический заряд совершает движение по
замкнутой орбите. Пусть далее по замкнутому контуру,
охватывающему траекторию этого заряда, медленно
движется магнитный заряд. Движение его порождает
электрическое поле, интеграл от которого вдоль пути
магнитного заряда определяется на основе обобщенного закона
Фарадея:
ф Edl = —У* , (7.5)
где Ф — величина магнитного потока через
произвольную поверхность, ограниченную траекторией магнитного
заряда; — магнитный ток, проходящий сквозь эту
поверхность.
Электрическое поле Е изменяет импульс р
электрического заряда. Используя (7.5) (умножая на в и
интегрируя по t), получаем
А ф pdl = eAg — еАФ. (7.6)
Если магнитный заряд движется по замкнутому
контуру и возвращается к исходной точке, то Ag равно
просто g и ДФ = 0. Используя эти условия и применяя
правило квантования Бора — Зоммерфельда Д <j> pdl =2jtnh,
имеем
eg = 2 ntihc.
Проводя аналогичные рассуждения для двух дуально
заряженных частиц, получим обобщенное условие
зарядового квантования.
1.2. 	Квактовомеханический подход. Приведенные
выше примеры дают представление о полуклассическом
методе получения условия зарядового квантования. В ряде
работ [250, 251] показано, что к этой цели можно прийти
на основе анализа квантовомеханической картины
движения заряженных частиц в электромагнитном поле.
236

Рассмотрим, йапример, интерференционный опыт, в
котором когерентный пучок электрически заряженных
частиц расщепляется на два, а затем собирается вновь.
(Фактически речь идет об экспериментальной ситуации,
соответствующей эффекту Ааронова — Бома (см., напр.,
[386—388])).
Пусть поверхность S, натянутая на замкнутый контур,
образованный двумя рассматриваемыми путями
движения частиц, пронизывается магнитным потоком Ф(5):
°(S) = 4“ (7-7)
Предположим, что наблюдаемая интерференционная
картина зависит от величины AL = e<3)(S). Очевидно,
изменения в интерференционной картине будут
отсутствовать, если мы имеем дело с единственным
(нераздвоенным) пучком. С другой стороны, это отсутствие может
быть результатом того, что траектория одного из пучков
описывает замкнутую поверхность и возвращается в
исходное положение. Поэтому полный поток (7.7) через
замкнутую поверхность S не должен вызывать никакого
изменения интерференционной картины. Отсюда
возникает следующее условие: AL = eQ)(S) =2пп, где п = О, ±1,
4=2, ... Если считать, что поверхность S представляет
собой сферу радиуса г, в центре которой находится
магнитный заряд, создающий статическое сферически
симметричное поле, то получим соотношение
еФ (S) = einr2H = einr2 —-— = eg = 2пп, (7.8)
4яг2
которое соответствует условию зарядового квантования
Дирака.
Следует, конечно, иметь в виду, что связь между
фазовым сдвигом и величиной еФ(5) при обычном
квантовомеханическом рассмотрении возникает благодаря
использованию обычного определения полевого тензора
через потенциал FVLV = dilAv—dvA, что в свою очередь
необходимо для выполнения соотношения ^>А^х^ =
fF^dS^y,. В случае точечного магнитного источника та-
is
кое определение, как мы уже знаем, не имеет места.
Однако можно привести аргументацию в пользу того,
что условие квантования должно сохраниться независимо
237

от способа задания магнитного поля, если мы не хотим
отказаться от обычной картины поведения электрически
заряженных частиц во внешнем магнитном поле
произвольного вида (подробнее см. [251]).
§ 2. Условие зарядового квантования
и группа пространственных вращений
В предыдущем параграфе соотношение Дирака —
Швингера было получено как следствие квантования
проекции углового момента системы, содержащей
электрически и магнитно заряженные частицы. Хотя сама
процедура вывода носит нестрогий характер, справедливость
окончательного результата может быть подтверждена
путем последовательного теоретико-группового
рассмотрения.
2.1. 	Вращательная инвариантность гамильтониана
е— g -взаимодействия. Первый вывод условия
зарядового квантования на основе групповых соображений
принадлежит Фирцу [240]. Основная идея подхода Фирца
заключается в явном использовании требования,
согласно которому совокупность решений уравнения Шредин-
гера, описывающего движение электрического заряда в
центрально симметричном магнитном поле, должна
образовывать пространство представлений группы
трехмерных вращений. Уравнение Шредингера для этой задачи
запишем в следующем виде (см. также (5.95)):
/ Я2 _| \ (J2 _ ^ = щ (7.9)
[2М г 2Mr2 * 'Г
Здесь яг определяется выражением (5.94), [х = -^—egy ве-
4л
личина J задается соотношением
i = rxn — [xr = rx(p — fxD) — fir, (7.10)
ГДе D = (7.11)
г (г + гп)
п — единичный вектор, направленный вдоль полубеско-
нечной линии сингулярности (что соответствует выбору
вектор-потенциала в форме Дирака). Выполнение
усло238

вия зарядового квантования заранее не предполагается,
т. е. (ы считается пока вещественным непрерывным
параметром.
Как нетрудно убедиться, компоненты вектора (7.10)
во всех точках, не лежащих на линии сингулярности,
удовлетворяют перестановочным соотношениям группы
S03:
Переходя к сферическим координатам и выбирая ось г вдоль
линии сингулярности, получим следующие выражения для
операторов J2, J3 и J± = Jx±iJ2:
Решение (7. 9) можно искать при этом в следующем виде:
где т — собственные значения оператора J3 (на которые пока
не накладывается никаких ограничений, кроме требования
вещественности); Кхтц(0, <p)=^\rmi(cos 0) е‘'("Н-м*)Ф—общие
собственные функции операторов J2 и J3: J2YXmil=XYKmil, J3YXmVL=
=mKxmjA. Уточним теперь постановку задачи. Необходимо
выяснить, при каких условиях множество функций <Рхтц (cos 0) х
хе1 (т + м-) ф реализует пространство унитарных представлений
группы S03. Известно, что помимо выполнения
перестановочных соотношений (7. 12) нужно, чтобы операторы «/±, J3
могли быть заданы в форме конечномерных матриц,
действующих в пространстве функций для чего в свою
очередь необходимо выполнение следующих двух условий:
1. 	Должны существовать интегралы вида (Y xmiLi YXmli) =
| Y%m[j\2dQ (квадратичная интегрируемость функций Yxm[x).
Wh* ~ iekin
[J2, Jh] = 0, [P9H] = 0.
(7.12)
1 d2 2 [if d_
l2 0 дф2 1 + COS0 дф
(7. 13)
J = e±i<p
(7.14)
. d
(7.15)
M 9,ф) = /?(г) 7x^(9, Ф),
(7. 16)
in
239

2. 	Число функций, принадлежащих каждому
фиксированному значению X, должно быть конечным.
Оказывается, что это возможно лишь в случае, если
параметр принимает целые и полуцелые значения.
Докажем справедливость этого утверждения. Прежде
всего заметим, что действие операторов </+ на Yxmix (0, ср)
определяется следующим образом:
J±Y хтц = С±(Х, т) Y хт±1ц? (7-17)
где С±(Х, т)— нормировочные коэффициенты; —
собственные функции оператора J2, принадлежащие
собственному значению X и собственным значениям ш±1
оператора /3 соответственно. Соотношение (7.17)
выражает характеристическое свойство операторов J±
повышать и понижать индекс пг (операторы «сдвига»),
которое является следствием только перестановочных
соотношений (7.12) и не зависит от конкретной реализации
операторов //*. Если на функции Уятм, не налагать
никаких дополнительных ограничений, то путем
последовательного применения операторов сдвига можно,
используя (7.17), получить из одной собственной функции
произвольно большое число решений, соответствующих
фиксированному значению X.
Потребуем теперь, чтобы все решения Y%mil были
нормируемы (условие 1). Тогда, не нарушая общности, можно
считать, что для любых Хит выполняется условие
Vw> = 1. (7.18)
Используя тождественные соотношения
J± Jt = J2 — J23±J3
и взаимную эрмитову сопряженность операторов и
можем записать с учетом (7.18):
(^Ьтц> ^w) = (^тц> {J2 — J3±J3}Y*.m\i) = (^ ~
— 	(m2 + m)}(rw YXmil) = K — (m2 + m). (7.19а)
С другой стороны, используя (7.17), находим:
(У*тц> Хтц) = I £+ (^> т) I2 (YХтТ 1ц> =
= |СТ(^,т)|2. (7.196)
240

Сравнивая (7.19а) и (7.196), получаем выражение для
коэффициентов С± (считая их вещественными):
С± (к, т) = {к — т (т± 1)}1/2 . (7.20)
Нетрудно видеть, что требование нормируемости
ограничивает ряд возможных значений т сверху, т. е. при каждом
фиксированном значении X существует максимальное
значение т. В самом деле, рассмотрим функцию Y\m>^ = w
которая в соответствии со сказанным выше принадлежит
собственному значению X. Путем n-кратного применения
(7.17) с учетом (7.20) получаем:
(Yxni'ix* Yxm'n) = — т(т-1-1)} — (m-\-l) (т+2)} ... —
— 	(т+п) 1)} (Кхт-|-дц, Уа,т+лц)- (7-21)
Из (7.21) видно, что при достаточно больших п
выражение в фигурных скобках (а следовательно, и норма
функции) начнет принимать отрицательные значения.
Поэтому выражение для собственных значений X должно иметь
форму X = l(l + 1), где / = тах {т} (/— пока
произвольное вещественное число!), а собственная функция,
соответствующая максимально возможному при заданном X
значению т, будет удовлетворять уравнению (здесь и в
дальнейшем будем вместо индекса X писать /):
J+Уц» = °- (7-22)
Зная «ключевую» функцию Yu^, можно путем
последовательного применения оператора понижающего индекс
т, получить всю совокупность функций, принадлежащих
собственному значению Х= 1(1+1).
Проделаем эту процедуру, используя явные выражения
(7.14) 	для операторов /±. Переходя к переменной w=cos0
и учитывая действие оператора д/ду на функцию е1‘(т+м-) ф ,
перепишем (7.17) в следующем виде:
Р1т±ъ = т) (- 1) (1 - «2)'/2 ( + -£-+
ти-\- (л
(7-23)
\—и*}г ton-
где
С± (I, т) == {/(/+!) — т (т±\)}1>2 (7.24)
16. Зак. 670
241

Отсюда для определения „ключевой" функции YU)X
получаем дифференциальное уравнение первого порядка
dP
ll\i
[Л,
du
1 — и2
=0,
(7.25)
которое без труда интегрируется в элементарных функциях
(С0— нормировочный коэффициент):
Рщ=Са(\-и)-**Г- (1+и)-тЧ (7.26)
Чтобы определить действие оператора, понижающего
индекс т, удобно воспользоваться очевидным тождеством
dO
du ф = ехр j М du}~du Х
X
/ (и) du
Ф •
(7.27)
В нашем случае f (и) — ти ^ , откуда Гf (и) du =
1 — и2
т-\-\х т—(х
= —In |(1—и) 2 (1+и) 2 } и, следовательно,
J'
т+ц,
m—fi
ехр ± \f(u)du 1 = (1 — и) 2 (1+и) 2
(7.28)
С учетом (7.28) из (7.23) получаем
m-1+Ц
-I
т—\—ц
X
Am_i, = CZ1(/,m)(l-u)
т-\-м
2 (1+И) 2 ЛтЛ- (7-29)
d
(1+и)
т—|х
X— { (1—и)
du
Полагая т = /, учитывая (7.26) и применяя рекуррентное
соотношение I — т раз, находим следующее выражение
для функции р1т\
 _ т+М- т—ц, rfl-m
Plmn =С (1 И) ^ (1+и) -
X {(1 — ы),+ц(1 + ы),~ц},
242
du
l—m X
(7.30)

где С — нормировочный коэффициент, вид которого для
нас в данном случае несуществен.
Воспользуемся теперь условием 2, ограничивающим
количество собственных функций, принадлежащих
фиксированному значению /. Из (7.30) видно, что число
функций Pim\b получаемых путем многократного
дифференцирования выражения (1—u)l^( 1—и)*_*\ будет
конечным в том и только в том случае, если последнее
представляет собой полином. Это означает, что показатели
степени /±ц должны быть целыми числами, что
возможно лишь тогда, .когда / и одновременно целые или по-
луцелые.
В этом случае mmm =—/; число решений,
принадлежащих фиксированному I, Ni = 2l+l, а формула (7.30)
определяет известные полиномы Якоби. При (и = 0 (7.30)
переходит, как и следует ожидать, в выражение для
присоединенных полиномов Ле^кандра (с I — целым).
Таким образом, условие зарядового квантования
возникает как необходимое следствие существования
строгой вращательной симметрии в задаче о движении
электрического заряда в центрально симметричном магнитном
поле.
Однако доказательство Фирца все же не исчерпывает
обсуждаемой проблемы. Мы пока сознательно оставляли
в стороне одно обстоятельство, которое, на первый
взгляд, ставит под сомнение корректность
теоретикогруппового вывода соотношения Дирака — Швингера.
Дело в том, что перестановочные соотношения (7.12) не
выполняются непосредственно в точках, лежащих на
линии сингулярности, а модифицируются следующим
образом (см. приложение В и [152, 298]):
[Jh Jt] = iEhln Jn + ie{r\ln nn + rk (r x n), + r, (n x r)*} x
X 8g0 (rn) 6 {r2 — (rn)2}, (7.31)
Возникает вопрос, правомерна ли проведенная выше
процедура доказательства дискретности параметра jli, если
учесть различие между (7.12) и (7.31). Напомним, что
эта процедура включала два существенных момента:
использование алгебры S03 и анализ поведения
собственных функций. Что касается первого пункта, то здесь
необходимо иметь в виду следующее. Несоответствие
меж1б+
243

ду (7.12) и (7.31) возникает из-за несовместности
уравнений H = rotA и H = gV (4яг)~1. Но они совместны в
любой односвязной области, где divH =0, что достаточно для
получения алгебры Ли группы S03(cm. [247]). Иными
словами, чисто алгебраические свойства операторов Jk,
J2, Я в обоих случаях ,по существу, одинаковы. Но вопрос
об аналитических свойствах решений уравнения (7.9)
нуждается в дополнительном обсуждении на основе
общих принципов квантовой теории. В частности,
необходимо исследовать используемые операторы с точки зрения
их определения на гильбертовом пространстве,
образуемом классом решений уравнения (7.9). Такое
обсуждение было проведено Харстом [246], основные идеи и
результаты которого мы излагаем ниже.
Анализ свойств оператора J2 означает изучение
следующего уравнения:
Область определения D(J2) оператора J2 состоит из
функций, которые квадратично интегрируемы на единичной
сфере, т. е. Н'ФП< °° и ||Л2<ф||<с°°. Для того чтобы
оператор J2 был самосопряженным, необходимо выполнение
следующего условия:
для всех Ф, \|)gD(J2). Кроме того, нужно, чтобы
сопряженный оператор (J2)*, определяемый в соответствии с
соотношением (см., напр., [405])
для всех Ф, gD(J2), не имел в качестве собственных
значений мнимых чисел.
Подставляя в (7.34) явное выражение для J2
(см. (7.26)) и проводя необходимое интегрирование по
частям, получим, что условие (7.34) выполняется, если
J2 (0, ср) = Ал|) (0, ср).
(7.32)
(Ф, J2^) = (РФ, i|>)
(7.33)
(Ф, Рг|)) = ((Р)*Ф,г|))
(7.34)
Jdq>( Ф*(л>ф)
о
ЗФ* (я, ф)
30
г|) (я, ф) sin я —
244

^Sm2e [Ф* (0, 2я) г|) (0, 2л)—Ф* (0, 0) ф (0, 0)1]. (7.35)
1 +COS0 L JJ
Выражения, содержащие sinjt и sin 0, понимаются
как пределы при 0-^л— и 0-ИЗ+ данных соотношений.
Если определить D(J2) как набор функций, которые
дополнительно к условиям, описанным выше, периодичны
по ф с периодом 2я, дважды дифференцируемы и, для
того чтобы интегралы в (7.35) сходились, стремятся к
кулю как первая степень 0, то условие (7.34) будет
выполнено.
Собственными функциями оператора (J2) * являются
функции Ф(0, ф), которые удовлетворяют уравнению
(7.32) и квадратично интегрируемы на единичной сфере,
но в отличие от \р, Ф в (7.35) могут более слабо
стремиться к нулю в точках 0, я.
Общим решением этого уравнения являются функции
где X = l(l+ 1); 2^1 — гипер*геометрическая функция
(см. [399а, 390]). Решения удовлетворяют всем
необходимым условиям только в том случае, если Ф регулярна
при 0 = 0, я (и = ±1). Предположим вначале, что
I—дейф (0, ф)= ф (cos 0)е<тф, где т = 0, ± 1, 2, . . . , и
Ф(ссе)=Ф(В,-(1^(1±^
пг
X
(
245

ствительное и положительное число. Тогда условие
регулярности будет выполнено в следующих случаях:
I. а) если т>2jLt, регулярность обеспечивается тогда
и только тогда, когда 1 = т + р—где р — произвольное
положительное целое число;
б) 	если 2[х>т>0, регулярность обеспечивается тогда
и только тогда, когда / = р + (д,, где р — произвольное
положительное целое число.
II. Если /71 <0, регулярность обеспечивается тогда и
только тогда, когда 1 = р + ц—т, где р — произвольное
положительное целое число.
Если требовать, однако, чтобы собственные значения
сопряженного оператора J2 соответствовали собственным
значениям оператора Казимира группы
пространственных вращений, необходимо, чтобы I, рассматриваемое
как функция квантового числа т, имело для всех
допустимых вариантов I и II один и тот же спектр значений.
Это возможно, как нетрудно видеть, только в том случае,
если параметр \х удовлетворяет соотношению [л+р =
= q—fх (где q — произвольное целое положительное
число) или (—Р + Я)- Иными словами, оператор J2
будет самосопряженным при выполнении условия
зарядового квантования Дирака.
Однако помимо рассмотренного случая вещественных
I 	граничные условия (7.35) допускают и решения для
комплексных значений I, если только т=[2\х] или [2|li +
+ 1], где [2(д,] —наибольшее целое число, меньшее, чем
2(д,. И при этом J2 не является ни самосопряженным, ни
даже существенно самосопряженным оператором *). Но
в силу известных свойств гипергеометрического
уравнения для функции / ( -) (действительность, симмет-
*> Оператор А является самосопряженным (эрмитовым), если
а) для всех ф и \|) в D(A) < ф|Л'ф> = <Лф, г|)>; б) D(A) =D+ (А),
где D(A) —область определения оператора А. Как показано
Нейманом [405], для описания наблюдаемых можно ограничиться
рассмотрением существенно самосопряженных операторов. Для них вместо
условия б) достаточно выполнения следующего условия: D(A)cz
czD(A + ) =£)(Л + + ), и область определения оператора А+ состоит из
набора функций ф, для которых <ф|Л'ф> = <Л+ф|'ф> для всех г|)
из области D(A) (см. также [393, 394]).
246

ричность и однозначность решений для всех комплексных
значений I при т=[2\х] или [2\х+\]) оператор J2 при
введении дополнительных граничных условий,
исключающих нежелательные решения, может быть определен в
качестве самосопряженного оператора и в этом, более
общем, случае (см. [127, 391, 392]). Это означает, что
условие зарядового квантования не может быть
получено только на основе использования общих
квантовомеханических принципов. Необходимо «усилить» эти
принципы условием существования 03-инвариантности для
рассматриваемой системы, т. е. следует потребовать не
только выполнения перестановочных соотношений (7.12)
(а формально соотношения могут быть выполнены и в
рассматриваемом случае), но и интегрируемости алгебры
Ли до совокупности конечных преобразований группы
Ли. Для того чтобы элемент 5 алгебры Ли g являлся
генератором однопараметрической группы 5 (t) группы
Ли G, необходимо, чтобы существовал и сходился
следующий ряд [395, 396]:
S 	(t) = ехр (its) =
~п=о
Это означает, что если S—самосопряженный оператор,
определенный на гильбертовом пространстве Я, то D(s)
является инвариантной областью определения; если ty£D(s), то
sn tygD (s) для всех п и || S (/) || < оо для всех 0 < t < t0 Ф 0.
Необходимое и достаточное условие для выполнения этих
требований состоит в том, чтобы оператор Д (оператор
Нельсона [395])
д = 2*
к
был существенно самосопряженным оператором. Для
группы вращений 503 Д = )2, так что оператор Нельсона
и гамильтониан для рассматриваемой задачи, по
существу, совпадают. Это условие самосопряженности может
быть обеспечено в данном случае, если области
определения D и D* совпадают, т. е. если выполняется условие
зарядового квантования.
Таким образом, компоненты оператора углового
момента (7.10) образуют алгебру 503 и коммутируют с
гамильтонианом во всех точках пространства, за
исклю247

чением нити Дирака. Поэтому необходимо сужение
области определения Я и J2 путем ее ограничения
функциями, убывающими достаточно быстро на нити Дирака.
При этом Я и J2 могут рассматриваться как
самосопряженные операторы, удовлетворяющие перестановочным
соотношениям [Я, J2] = 0.
Поскольку область определения операторов Я, J2 в
гильбертовом пространстве реализуется функциями,
достаточно быстро убывающими на линии сингулярности,
то алгебра Ли группы трехмерных вращений будет
строго выполняться на решениях уравнения (7.32). Но
гамильтониан не является тем не менее вращательно
симметричным, так как операторы J% не могут быть
использованы для получения унитарных представлений группы
вращений. Теорема Нельсона говорит о том, что для
этого необходимо и достаточно, чтобы оператор Нельсона
был существенно самосопряженным оператором для
полной области определения всех генераторов. Если 2\х =
[2jjl] , то это условие выполняется, но при 2\хф[2^] это
уже несправедливо, так как оператор, сопряженный к
оператору Нельсона, имеет собственные значения =И\
Следовательно, условие зарядового квантования может
быть получено только при выполнении требования,
чтобы операторы 1и не только генерировали алгебру Ли
группы 50з, но и приводили к конечным представлениям
группы вращений.
Как показал Цванцигер [152], подход Харста
применим и к теоретико-полевому описанию. Совокупность
операторов 4-импульса Р^ и четырехмерного момента
MV[X может быть расширена по аналогии с
нерелятивистским случаем до набора самосопряженных
операторов, подчиняющихся алгебре Ли группы Пуанкаре.
Требование интегрируемости представлений этой алгебры до
представлений конечных преобразований группы
Пуанкаре вновь приводит к условию зарядового квантования.
2.2. 	Алгебраическое рассмотрение. Как мы видели,
основные проблемы при теоретико-групповом выводе
условия Дирака — Швингера возникают в связи с
необходимостью последовательного учета влияния линии
сингулярности на аналитические свойства собственных
функций задачи. Поэтому представляет интерес получить
условие зарядового квантования в рамках чисто
алгебраического подхода, когда используются только
переста248

новочные соотношения для операторов, соответствующих
рассматриваемой задаче, а сингулярные потенциалы не
фигурируют в явном виде ни на одном из этапов вывода.
Пусть точечный электрический заряд массы М
движется в поле неподвижного монополя. Зададим
оператор энергии в следующем виде:
Я = — я2, (7.37)
2 	М
—►
где кинетический импульс я связан со скоростью обычным
dr
определениемп=М — . Коммутационные соотношения я и
dt
г постулируем в следующей форме:
[xh, х,] = О, [xh, л,] = i8hl, [як, л,] = 1егМпНп, (7.38)
где Н = grr~3l4n — центрально симметричное магнитное по-
ле. Такой выбор оператора энергии и перестановочных
соотношений обеспечивает правильное выражение для силы
в уравнениях движения*):
= i[H, я ] = — — (л х н— Н х я) , (7.39)
dt 2 М ' ’
а также позволяет построить сохраняющийся угловой момент:
А
J = г X я — , (7.40)
4л
компоненты которого удовлетворяют перестановочным
соотношениям
l^k’ = ^kln^n' (7-41)
Перестановочные соотношения (7.41) совместно с
соотношениями коммутации
[Xk> Xl] = xl\ = *еklnXn (7-42)
(xk = xk/r — генераторы единичных сдвигов в импульсном
пространстве) образуют алгебру трехмерной евклидовой
*) Формально те же перестановочные соотношения получаются,
—►
если исходить из канонического импульса р = я+еА, включающего
потенциал.
249

группы £3, а оператор Jr представляет собой один из
операторов Казимира этой алгебры. Собственные числа этого
оператора могут принимать лишь целые и полуцелые
значения, в чем легко убедиться непосредственно, если
воспользоваться следующим простым методом (см. [249]).
Введем наряду с единичным вектором х,
удовлетворяющим (7.42), единичный вектор у, подчиняющийся
следующим условиям:
[•^> у А =^шУп’ \\~yA = \у» у А = о,
“ “ а (7-43)
ху = 0.
Нетрудно видеть, что для трех скалярных величин
К{1) = n(,) J, (7.44)
где п(,) —тройка ортов: п(3) = х, п(2) = у, п(1> = х х у,
справедливы соотношения:
/С<1)2 -h^<2)2 +/<(3>2 = J2, (7.45)
[/C<*>,K<'>] = ieWnK<»>. (7.46)
Из (7.45) и (7.46) видно, что тройка величин (7.44)
образует алгебру S03, откуда сразу же следует выражение для
спектра оператора Jr:
< | Jr | > = < |/С<3) I > = о, ±^-,±1, ±4-- <7-47)
Z Z
С другой стороны, умножая (7.40) скалярно на г, находим
Jr = —[х. (7.48)
Сравнивая (7.48) и (7.47), приходим к условию зарядового
квантования Дирака. Связь между условием зарядового
квантования и группой Е3 подробно исследована в [249].
Аналогичный результат можно получить также,
рассматривая группу подобия 53 [397], которая, помимо
элементов евклидовой группы £3, содержит масштабные
преобразования, генератором которых является оператор
1 -*
D = ~(rn-\-n г) (см. [126]), т. е. условие зарядового
250

квантования как необходимое следствие вращательной
инвариантности теории может быть получено чисто
алгебраическим путем, не связанным с явным введением
линии сингулярности.
Итак, к условию зарядового квантования в рамках
квантовой теории можно прийти по меньшей мере тремя
различными путями: 1) исходя из требования
однозначности фазовых преобразований; 2) используя условие
инвариантности относительно определенной группы
(S03, £3, S3); 3) исходя из условия квантования
магнитного потока. Хотя в каждом из этих подходов
обоснованность процедуры вывода может вызывать
сомнения, однако сам факт существования нескольких
логически независимых способов получения соотношения
Дирака — Швингера служит сильным аргументом в
пользу того, что это соотношение является существенным
элементом теории магнитного заряда.
2.3. Тождество Якоби в теории магнитного заряда.
Обсудим теперь один аспект теории магнитного заряда,
который хотя и связан некоторым образом с вопросами
вращательной инвариантности, но в действительности
имеет принципиальное значение для проблемы само-
согласованности теории в целом. Речь идет о выполнении
тождества Якоби для компонент кинетического импульса
пробной частицы в теории с точечными магнитными
источниками.
С этим вопросом мы, по существу, уже сталкивались
в § 7 гл. 5 при обсуждении электродинамики дуально
заряженных частиц в беспотенциальном мандельстамов-
ском формализме.
Суть возникающей здесь проблемы проще всего
можно уяснить, если воспользоваться известными
соотношениями для операторов кинетических импульсов
электрически заряженных частиц в магнитном поле (см. также
(7.26)): _
[Я^, 3Tj] п* (7*49)
где
я = — ty — еАу (7.50)
Н = rotA. (7.51)
Тождество Якоби применительно к тройке величин пк
означает тождественное обращение в 0 суммы двойных
251

коммутантов вида [я/*, [я/, я?г]] по всем циклическим
перестановкам индексов:
ешК> [лг, яп]] = 0. (7.52)
Если теперь воспользоваться, соотношениями (7.49) и
(7.50), на время «забыв» об определении (7.51), мы
получим для суммы Zkin [я&, [яг, яп]] вместо (7.52)
следующее выражение:
Чы [яг> лЛ = — tedivH. (7.53)
Сравнивая (7.53) и (7.52), приходим к условию: divH =
= 0. Иными словами, можно считать, что отсутствие
точечных магнитных источников в обычной
электродинамике— необходимое условие выполнения тождества
Якоби для кинетических импульсов пробных частиц.
Переход к электродинамике с магнитными зарядами
заметно меняет положение. Если считать, как это
обычно делается, что перестановочные соотношения (7.49)
следует сохранить и для магнитных полей, порожденных
точечными магнитными источниками, то мы вынуждены
будем ввести в правую часть (7.53) б-образную
особенность (divH = g8(r) для магнитного заряда,
покоящегося в начале координат) и, следовательно, столкнемся с
ситуацией, которую можно охарактеризовать как
невыполнение тождества Якоби.
Все сказанное остается полностью в силе и для
четырехмерного случая. Вместо коммутационных
соотношений (7.49) будем иметь выражение [я^, nv]=—ieF^,
откуда после соответствующего суммирования найдем:
8nvpo К> [ПР> = — *едч ( у 8^vpoFpa j = — iedJF^.
Подобное положение, однако, недопустимо, поскольку
означает, что теория не является математически
корректной. Возникает вопрос, можно ли обойти эту
трудность, оставаясь в рамках теории с двумя типами
источников. Для этой цели было предложено трактовать
соотношение вида (7.49) как некоторое операторное
равенство, которое должно удовлетворяться лишь на
определенном классе функций (см. [249]). Это означает, что
должны обращаться в нуль все матричные элементы
вида
W»a. [Я|, (7-54)
252

где г|>а, г[)ь — функции требуемого класса. В
рассматриваемом случае точечного статического источника радиальные
собственные функции оператора (7.37) стремятся к нулю,
во всяком случае, не медленнее, чем rL, где L = —
+ —M-2J (см.[249])*). Видно, чтоЬ>1 для
всех | [х | =#= 0. Поэтому интегралы от произведения таких
функций на б (г) г2 будут обращаться в 0, в силу чего
тождество Якоби окажется выполненным в смысле (7.54) и при
наличии точечного магнитного источника. Заметим, что
в этом случае нет необходимости требовать выполнения
условия зарядового квантования, поскольку нужный темп
убывания радиальных функций обеспечивается при любом
ненулевом значении |х.
Таким образом, «ослабленное» тождество Якоби
(7.54) в принципе восстанавливает самосогласованность
теории. При этом проблема несовместимости
электрических пробных зарядов и магнитных источников
решается менее радикальным образом, чем в «сильном»
варианте, когда такие источники запрещены вообще. В
«слабой» формулировке этот запрет снимается, однако
существует ограничение, согласно которому
электрические пробные заряды не могут находиться в одной
точке с магнитными источниками *4 Возможно, однако, что
и это ограничение все же является слишком сильным.
Оно, безусловно, несущественно, пока мы остаемся в
рамках чисто механической проблемы описания
упругого в — g-взаимодействия, но может привести к
трудностям при построении квантовополевой картины
взаимодействия электрических и магнитных зарядов. Во всяком
случае вопрос о том, совместимо ли «ослабленное»
тождество Якоби с локальным характером взаимодействия
в полевой теории, остается, по существу, открытым и
требует специального исследования.
*) С качественной стороны быстрое убывание радиальных
функций электрического заряда вблизи магнитного кулоновского центра
есть квантовомеханическое проявление эффекта «магнитного
зеркала» (см. § 1 гл. 5).
**) Напомним, что в теории с сингулярными потенциалами
подобный запрет распространяется на линию сингулярности в целом,
а не только на ее концевую точку (магнитный источник).
т

Заметим также, что можно построить классический
вариант алгебраической формулировки, рассмотренной в
2.2, 	если во всех соотношениях заменить коммутанты
классическими скобками Пуассона. В такой схеме
тождество Якоби определено и имеет место соотношение
типа (7.53), т. е. тождество Якоби оказывается
нарушенным уже в классической теории. Для восстановления
математической корректности теории вновь необходимо
(в беспотенциальной формулировке!) использовать
«вето Дирака». Иными словами, проблема согласования
классических уравнений движения электрически
заряженного пробного тела с моделью точечного
магнитного источника остается и в том случае, когда линия
сингулярности вообще не фигурирует в теории.
§ 3. Сингулярные потенциалы
и эффективная градиентная инвариантность теории
Наиболее тонкие вопросы теории магнитного заряда
связаны с требованием градиентной инвариантности.
Характер возникающих здесь проблем проще всего по-
нять, если обратиться к «компенсационной» процедуре
введения электромагнитного поля.
Так, если мы имеем дело с электрически заряженной
частицей в электромагнитном поле с потенциалом А»,
то в лагранжиане возникают члены следующего вида
(для определенности рассматриваем спинорную
заряженную частицу): _
if ~ 'hV — ieAJ Ч>- (7-55)
Если г|) = г|/е‘р(л:), то остается инвариантным относитель-
но фазовых преобразований только в том случае, если
потенциал Ац изменяется следующим образом: Аи А^ -f
4- д$/дх^. Иными словами, в калибровочно-инвариантной
теории для потенциала допустимы лишь градиентные
преобразования.
Пока мы остаемся в рамках обычной однозарядовой
электродинамики, где помимо обычного определения
= U—dvAц на потенциалы не накладывается
никаких ограничений, выполнение этого требования не
встречается ни с какими препятствиями.
Появление магнитного заряда заметно изменяет
ситуацию, поскольку у потенциалов появляется линия
син254

гулярности. Однако наличие такой особенности у
потенциала не должно сказываться на физических
наблюдаемых эффектах. Поэтому теория должна быть
нечувствительной к конкретному выбору линии
сингулярности, т. е. обладать инвариантностью по отношению
к преобразованиям, которые генерируются переходами
между любыми двумя линиями сингулярности.
Если мы хотим одновременно сохранить условие
калибровочной инвариантности теории, возникающее при
этом преобразование потенциалов должно обязательно
носить градиентный характер.
Однако переход от одной линии сингулярности к
другой не является градиентным преобразованием.
Действительно, используя известные формулы
векторного анализа (см., например, [398]), для разности
A(,Li)—A(L2) (Lh L2 — две различные линии
сингулярности) получаем после несложных преобразований
следующее выражение:
А(^) —A (L2) = (J - j ) da х Н (г — а) = $ da х Н (г — а) =
Lt Lt
= J (daxv) xH(r — a) = j у (H(r — a)da) —
a a
— 	J (yH (r — a)) do = yA — g J" 6 (r — a) da, (7.56)
<J a
где мы использовали запись сингулярного потенциала в
виде A = /daXH(r — а); a — поверхность, ограниченная
линией L = Li — Ь2 (плюс линия на бесконечности, если
L\ и Ь2 идут к бесконечности по различным
направлениям), и
Л (г) = Г Н (г — a) da = — у Г -———- . (7.57)
J 4я J |г —а|
a
Таким образом, изменение в векторном потенциале
из-за изменения линии сингулярности является
градиентом почти повсюду за исключением точек, лежащих на
линиях сингулярности. Но это означает, что изменение
сингулярной линии не всегда определяется
калибровочным преобразованием. Обсуждение этого вопроса
удобно начать с получения условия зарядового квантования
в рамках квантовомеханического рассмотрения (см.
255

[288]). Выражение (7.57) имеет простую геометрическую
интерпретацию: с точностью до g— это есть поток через
поверхность сг кулоновского поля, генерируемого
отрицательным единичным зарядом, расположенным в точке
г. Этот поток равен деленной на 4я величине телесного
угла с вершиной в точке г, опирающегося на поверхность
о', т. е., если исключить сингулярный член, изменение
потенциала A(Li) — A(L2) пропорционально градиенту
телесного угла й, опирающегося на контур Lx —L2.
Градиентное преобразование А(Ь{)^А(Ь2) сопровождается
калибровочным преобразованием
квантовомеханического оператора 'ф
\|) \J) ехр {— ieА (г)}. (7.58)
Функция А (г) претерпевает скачок при переходе через
поверхность 0, вследствие чего при ее
дифференцировании возникает дельтообразная особенность, которая
сокращается с сингулярным членом в (7.56), так что
преобразование A(L\)->A(L2) непрерывно всюду, за
исключением линии L\—L2. Из этого обсуждения видно, что
преобразование (7.58) меняет непрерывную функцию \|)
на функцию г|/, имеющую прерывную фазу.
Неопределенность в выборе фазового множителя можно
устранить, если скачок значения egA(r) при переходе через
поверхность а есть целое число, умноженное на 2я.
Чтобы найти возникающее при этом изменение А, нужно
учесть, что телесный угол по одну сторону поверхности
равен 2я, а по другую 2я, так что скачок в
значении А(г) составляет £(2я + 2я)/4я. Таким образом,
условие непрерывности \|) при переходе через о есть в
точности условие зарядового квантования.
Это условие следует также и из того, что если линия
L описывает в пространстве замкнутую поверхность и
возвращается в исходное положение, то происходит
изменение фазы функции, соответствующее полному
телесному углу 4я:
\|) = -ф ехр (— ieg).
Требование однозначности \|) с необходимостью
приводит к условию зарядового квантования.
Чтобы учесть сингулярные добавки, вносимые «нитью
Дирака», следует, как отметил Швингер [142],
рассматривать произведение локальных операторов как предел
произведения, определенного вначале для
несовпадаю256

щих точек. Суть такой процедуры проще всего
проиллюстрировать на примере нерелятивистского
квантовомеханического уравнения.
Запишем уравнение Шредингера:
Учитывая, что А — сингулярный потенциал,
определим Hty следующим образом:
Интегрирование в (7.60) проводится вдоль прямой линии и
предел берется после усреднения вектора е по всем на-
правлениям в пространстве, после чего полагается | е-| —0.
В отсутствие линии сингулярности, т. е. когда потенциал
А является регулярной функцией, приходим
непосредственно вновь к (7.59). Это проверяется посредством
разложения правой части (7.60) по е. Нулевые члены при этом
взаимно сокращаются, первый член разложения исчезает
при усреднении, и второй член приводит к (7.59). Отметим,
8 8 1
что усреднение 1 дает — 8hl.
е2 3
Но если потенциал сингулярен вдоль некоторой
линии и функция 'ф(г) имеет на этой линии
неопределенную фазу, то уравнение (7.60) является значительно
лучшим определением для гамильтониана. Вследствие
условия зарядового квантования экспонента в (7.60)
определяется однозначно, так как если путь
интегрирования пересечет линию сингулярности, то экспонента
изменится на 2яni и экспоненциал останется
неизменным. Гамильтониан Н в операторной форме будет иметь
в таком подходе вид
Н* = ЕЪ Н = - (V _ ie\f. (7.59)
Г
Яг|) = lim —%г- |ф (г) — ехр ^ ie j* Adi j i|) (r — e) j. (7.60)
Г
H = lim
3
11 — exp ^ ie J Adi jj exp (— ipe) =
7-o me2
{1 — exp (ip )
X
17. Зак. 670
257

r-f-8/2
X ехр | ie j exp^-t>_f_jj. (7.61)
г—е/2
Из (7.61) видно, что гамильтониан определяется на классе
функций, не имеющих непрерывного характера. Обращаясь
теперь к квантовой теории поля, отметим (см. [148]), что
при рассмотрении Tiit приходится вводить соотношения
типа
ijj у (у — iekА (х) — ighВ (*)) ^ (х) = lim | ^ | х + -|-j х
-► дс+е/2
Х "“Г" ^ ( х ехр 1 J d*' ^
(7.62)
с описанным выше правилом перехода к пределу.
Невыполнение перестановочных соотношений S03 на линии
сингулярности выражается, например, в том, что
операторы F и G обладают следующими коммутационными
свойствами (см. [142]):
FG = GF ехр (/С),
где
*+е/2
F = % (х + еУ2) th | х j ехр j i J d\x [eh (\T +
x—e/2
+ Ag) -|- (B + B,)] (*i) j ,
G = F(x\ e'),
x+e/2 x'-\-e'/2
c = | dxx J d\\ [ehglh (xx — xj) + etgkh (xj — x^].
x—e/2 x'—e'/2
Это выражение удобно анализировать, если выбрать
линию сингулярности для функции h вдоль полубесконеч-
ной линии, направленной по оси г:
h (х) = hx (х) = — 20 (г) б (х) б (у), (7.63а)
258

или вдоль бесконечной линии такого же направления:
h (х) = h2 (х) = - -i- к (г) б (х) б (у). (7.636)
Численная величина С равна нулю везде, за исключением
случая, когда проекция на координатную плоскость ху век-
тора е, исходящего из точки х, и вектора е , исходящего
из точки х', пересекаются. Это соответствует случаю,
когда х — х' параллельно линии сингулярности h.
В этом случае находим, что
Е1 = ехр (iC) = {— I [ekgfi (г — г') +
+ eighQ i2' — 2)1 sSn (exe'z)], (7.64)
или
Ег = exp (iC) = j -L (ehgt — etgk) sgn (z — z') sgn (exe1 г)|,
(7.65)
Нелокальный вклад от линии сингулярности исчезает и
F коммутирует при этом с G, если Е= 1, и,
следовательно, экспонента принимает значения, кратные 2ш. Но это
условие удовлетворяется при выполнении
соответствующих условий зарядового квантования. В рамках
предельной процедуры выражение, например, для Г4±(х)
запишется
ти(х) = у (Е2 + №)(*) + ^ ^ ^х + -у) 7 егр х
*+е/2
х(х-А)е*р(/ J dxy [ekA fo) + gh В (xx)] j + пгкЩ.
х-в/2 (7.66)
Влияние неградиентного в общем случае характера
преобразований (7.56) несущественно, если в
выражении
ехр
интеграл не зависит от пути интегрирования для всех
точек х. Переход от одной линии сингулярности к другой
применительно к операторному выражению F
заключа17* 259

ется в умножении на следующий операторный
множитель:
ехр { I f dx' [ek (А; - Ag) (/) + gh (В,' - Be) (/)]} =
С
= ехр {/ Jd3x" J ds' (hn— hn) (x'- x") [ej (x") - gkje0 (*")]} ,
где контур с начинается в бесконечности, проходит
последовательно через х—е/2, х-\-г/2 и затем
возвращается в бесконечность. Учет условия зарядового
квантования позволяет показать (см. [142]) полную
тождественность этого оператора с единичным оператором.
При рассмотрении квантовой теории возникает вопрос
о 	том, сохранится ли условие зарядового
квантования по отношению к перенормированным значениям
зарядов. Процесс перенормировки заряда физически
обусловлен поляризацией вакуума. Швингером было
показано, что этот механизм приводит к той же
перенормировке магнитного заряда, что и электрического.
Перенормировочная константа с одна и та же в
обоих случаях, причем выполняется условие:
= S/So = с ^
где во, go — неперенормированные значения зарядов.
Таким образом, анализ предельных переходов
показывает, каким образом использование условия
зарядового квантования позволяет обойти трудности,
связанные с сингулярным характером потенциала.
Рассматривая произведения локальных операторов
поля как пределы соответствующих произведений,
определенных для несовпадающих точек, задавая
предельную процедуру и учитывая условие зарядового
квантования, можно исключить влияние сингулярной добавки в
(7.56) и обеспечить тем самым эффективную
градиентную инвариантность теории.
С учетом этих соображений рассмотрим вопрос о том,
действительно ли неоднозначность в выборе вида
сингулярного потенциала делает неопределенным
минимальное значение числа п (а следовательно, и наблюдаемое
значение величины магнитного заряда) в условии
зарядового квантования. Как было отмечено в [145, 293],
вместо потенциалов типа Дирака и Швингера с равным
правом можно использовать потенциал с произвольным
260

числом линий сингулярности. Например, если за основу
для обобщения выбрать не потенциал Дирака, а
потенциал Швингера, можно записать следующее общее
выражение (см. [252]):
л = (7'67)
4nrk j—d [ г — n.r г + n.r
t=i 1
где п., n£ — единичные векторы, характеризующие
направление полубесконечных i-x линий сингулярности; а., р. —
весовые коэффициенты, удовлетворяющие условию «норми-
k
ровки» ^ (ai + Pi) = k которое необходимо для того, что-
t=i
бы потенциал (7.67) приводил к правильному выражению
для магнитного поля Н = -^- gr3-r. Использование «мно-
4я
госвязного» потенциала вида (7.67) приводит к следующей
ситуации. В условии зарядового квантования тот набор
ненулевых значений, которые может принимать целое число
пу зависит от количества полубесконечных линий
сингулярности, сходящихся в точке и охватываемых контуром
интегрирования. Поскольку число таких линий фактически
произвольно, то делается вывод, что условие зарядового
квантования в действительности никак не фиксирует
минимальной величины магнитного заряда. Поэтому ориентация
экспериментаторов на некоторое фиксированное численное
значение «магнитной» константы связи, по существу, ничем
не оправдана.
Подобная аргументация была бы справедлива, если
бы неградиентный характер преобразования между
любыми двумя фиксированными линиями сингулярности
приводил к неустранимому нарушению калибровочной
инвариантности теории. В действительности, как мы уже
знаем, это не так. Переходу от одной линии
сингулярности к другой можно сопоставить эффективное
градиентное преобразование. Выбирая в качестве L{ и Ь2 в (7.56)
ЛИНИИ Пг И Пг-и ^г-1 И П[-2 И Т. Д. И ПрОВОДЯ СООТВеТСТ-
вующие преобразования 2 (k—1) раз, придем к
следующему потенциалу:
g \ ПХГ ft ПХГ 1 т £Оч
1 	а х р ~ , (7.68)
4 nrk [ г — пг г + пг
261

k k
a = 2“*’ P = 2P“ (7'68)
t=l 1=1
Остаются две равноправные возможности: либо перейти
к потенциалу, предложенному Дираком, либо к
потенциалу вида
являющемуся непосредственным обобщением
потенциала Швингера. Использование потенциалов (7.68) и
(7.69) 	приводит к двум возможным условиям зарядового
квантования. Таким образом в «спектре» условий
зарядового квантования градиентно-инвариантными (т. е. не
зависящими от выбора калибровки) окажутся только
условия Дирака и Швингера, которые и являются тем
самым физически выделенными (см. также [127]).
Мы видим, что путем соответствующего
доопределения произведений полевых операторов трудности,
связанные с неградиентным характером преобразования
сингулярных потенциалов, удается если не разрешить
полностью, то значительно локализовать. Однако, как это
было отмечено еще Швингером [147], определение
произведений сингулярных полевых операторов уже не
вполне однозначная операция. Поэтому нежелательно,
чтобы вопрос о физической корректности теории зависел от
того, какое определение сингулярного произведения
используется в теории. Но если попытаться
переформулировать эту схему на основе теории источников [147] или
на основе мандельстамовской формулировки квантовой
электродинамики, мы вновь приходим к аналогичным
трудностям.
Построение непротиворечивой теории магнитного
заряда в рам'ках подхода Мандельстама требует введения
ограничения на выбор пространственно-подобных путей.
Но, как показано в [159], если попытаться перейти от
этой формулировки к формулировке с потенциалами, то
ограничение на выбор пути обусловливает переход
именно к сингулярным потенциалам. Таким образом, и в
полевой теории условие зарядового квантования Дирака—
Швингера выступает в качестве ключевого пункта само-
ft пхг
Р -7Г-
г + пг
} . (7.69)
т

согласованности теории, обеспечивая ее эффективную
калибровочную инвариантность, и с этой точки зрения
представляет собой необходимый ее элемент.
§ 4. О различии между условиями
зарядового квантования Дирака и Швингера
Как мы видели, условие зарядового квантования,
согласно Дираку, может содержать целые и полуцелые
числа, в то время как у Швингера полуцелые числа
исключены. Таким образом, имеется два различных
условия зарядового квантования. В чем состоит причина
такого различия? Если иметь в виду возможность
экспериментального обнаружения магнитного заряда, то этот
вопрос носит далеко не академический характер,
поскольку исключение полуцелых значений может при
прочих равных условиях поднять порог рождения мо-
иополь-антимонопольной пары в четыре раза
соответственно четырехкратному увеличению «магнитной»
константы связи.
В полевой теории, как мы знаем, формальной
причиной такого различия является разный выбор линий
сингулярности: полубесконечной линии соответствуют как
целые, так и полуцелые значения п\ если же линия
бесконечна, то в условии зарядового квантования остаются
только целые числа Проще всего это
проиллюстрировать, используя явный вид оператора углового момента.
Швингеровскому выбору потенциала соответствует
следующее выражение для оператора J2:
Легко видеть, что переходу от оператора вида (7.13) к
выражению (7.13а) соответствует следующее преобразование
*) В принципе условие Швингера можно получить и при
использовании полубесконечной линии сингулярности (см. [248]), проводя
когда контур интегрирования пересекает линию сингулярности. Но,
как было отмечено в [248], величина интегралов в таких
исключительных ситуациях недостаточно хорошо определена.
(7.13а)
анализ предельных значений криволинейных интегралов типа J Adi,
263

собственных функций: К/тм> (0, ср) = ф).
Поэтому различие в задании оператора J2 при использовании
потенциалов Ad и ksh заключается фактически только в
области его определения. Для потенциала Швингера эта область
состоит из функций Ylmil(Q, ф), периодичных по ф с
периодом 2я, в то время как при дираковском выборе
потенциала используются функции, удовлетворяющие условию
^(тд(9> Ф + 2л) = е2"‘й}//тЛ0’ Ф)-
Обе области совпадают, когда [|а] = |а. Однако
доопределение формального оператора J2 до самосопряженного
в равной мере возможно при использовании обеих
областей определения.
Представляется все же весьма желательным
отыскать какие-либо дополнительные аргументы, в пользу
одной из этих возможностей. Так, Цванцигер в рамках
дуально симметричной теории приходит к
целочисленному условию зарядового квантования [148, 152]. Хотя сам
автор склонен считать этот результат следствием
дуальной симметрии, он, по-видимому, обусловлен
использованием швингеровского формализма.
Более перспективным выглядит направление,
пытающееся связать это различие с требованием вращательной
инвариантности теории. Такие попытки
предпринимались в ряде работ [247, 251, 259], однако все они носят
нестрогий характер.
Строгий анализ, идеи и результаты которого
изложены в § 2 этой главы, показывает, что соображения
503-инвариантности выделяют лишь наборы целых и
полуцелых чисел для величины \i=(eigj—ejgi)/An без
какой-либо дискриминации одного из наборов. В то же
время именно групповые соображения подсказывают, в
каком направлении следует искать возможный источник
различия между двумя известными формами условия
зарядового квантования.
Дело в том, что до сих пор, говоря о вращательной
симметрии е — g-взаимодействия, мы имели в виду
инвариантность гамильтониана (7.9) относительно группы
пространственных поворотов S03. Однако естественно
поставить вопрос о расширении группы симметрии S03
до полной ортогональной группы 03, включающей,
помимо поворотов, также и пространственные отражения.
264

Преобразования инверсии, как известно (см. [389]),
образуют группу GP из двух элементов, один из
которых есть отражение трех пространственных осей Р, а
второй — тождественное преобразование Е. Существует
два неприводимых представления группы GP —
тождественное (положительное) и отрицательное представление.
Группа 03 является прямым произведением группы
поворотов и группы отражения (O3 = SO30GP), и ее
неприводимые представления характеризуются
определенным знаком (dz) относительно преобразования
инверсии Р.
Выше мы фактически показали (см. пп. 1, 2 § 2), что
функции вида
У,т> +Ц (0. Ф) = Ры, +* (cos 0) (7.70а)
где |jut| — целое или полуцелое, образуют базис
пространства представления группы S03, причем для каждого
фиксированного / = ||ы|, |ц|+1, ц + 2,... это представление
неприводимо.
Нетрудно видеть, что эти функции не исчерпывают
все возможные состояния. В зависимости от сочетания
знаков у электрического и магнитного зарядов параметр
\x=eg!An может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Поэтому, наряду с функциями
(7.70), к собственным состояниям оператора J2 должны
принадлежать также и функции следующего вида:
Для явного определения Pim,-\x проще всего обратиться
к процедуре вывода формулы (7.30). Очевидно, дело
сведется к замене —ju в основных рекуррентных
соотношениях (7.23). Если при этом одновременно
изменить знак переменной и, то мы придем к следующему
рекуррентному соотношению:
Сравнивая это выражение с (7.23), видим, что исходные
формулы для получения полиномов Plmi +(А (и) и Plmi _^ (— и)
совершенно идентичны, за исключением добавочного знака
минус у операторов «сдвига» по пг. Поэтому Plmi +ц (и) и
(7.706)
Р
/, Ш± 1, — ц
(—и) = (- 1)2С+‘ (/, m) (1 - м2)1/2 х
265

Pim, -w (—u) совпадают с точностью до числового
множителя. ’ Для определения последнего вспомним, что формула
(7.30) получается в результате I — m-кратного действия
понижающего оператора на ключевую функцию.
Следовательно, имеет место соотношение
Рim> +ц( и). (7.71)
Заметим, что (7.71) выражает известное свойство
симметрии полиномов Якоби по отношению к изменению
знака аргумента (см., напр., [399]).
Таким образом, собственные функции оператора J2,
соответствующие двум возможным знакам параметра
(Lt, могут быть записаны в следующей форме:
Уш, ±„ <4. Ф> = рш. ±„ <«* в) ‘НтШ’- (”°в>
Выясним теперь, при каких условиях из множества
функций вида (7.70в) могут быть выделены совокупности,
каждая из которых образовывала бы базис пространства
неприводимого представления полной ортогональной
группы. Для этого необходимо, однако, обобщить
операцию пространственного отражения. В случае \л¥=0, как
мы видели, при построении состояний с определенной
четностью нельзя ограничиться одним знаком [л, так как
операция г-*—г порождает преобразование
->Pim, -Ли). Поэтому, удваивая пространство состояний
с заданным I, подобно тому как это сделано в [175],
определим действие обобщенного оператора
пространственной инверсии следующим образом:
^Р1т, ±Ц (и) е1(т±^=Р1п1' ±11 (—и) ^’НТм-НФ+я) . (7.72)
Используя определение (7.70в) и соотношение (7.71),
находим на основании (7.72):
±. <0' V) = *РШ. (“) =
= I- V =„ (0. Ф1- (7-73)
Отсюда видно, что состояния с определенным I
обладают определенной четностью в обычном смысле лишь
тогда, когда pt = 0. При этом функции Fzw,±ц(0, ф) переходят
в обычные сферические гармоники.
266

Введем теперь функции
-**>± = 2-1/2 {Ylm> f|i ± F!m, _J, (7.74)
соответственно симметричные и антисимметричные
относительно замены \i*=±—|i. Используя (7.73), находим
действие оператора инверсии на эти функции
"й± = 2—1/2 {(- 1)*"“ Ггт> ± (- 1)/+й Ггт> +ц} =
= ± 2-1/2 (- \)l+il {Ylm> „ ± (- I)’2" Ylmt (7.75)
Полученные соотношения показывают, что возможность
реализации состояний с заданным / и определенной
четкостью решающим образом зависит от того, является ли
параметр \х целым или полуцелым. Для целых \х имеем
(—1)2ц.= 1 и на основании J7.75) находим соотношение
0>Yl& “ц1± = ±1- l)'+ti Yl& “й]±, (7.75а)
из которого видно, что Y\m _й1± — собственные состояния
оператора инверсии. В случае полуцелых fx множитель
(_1)2^ = —1, и (7.75) приводит к следующему
выражению:
g?Yti- -ц]± = ± (- 1)1+» Yfo -МЧ (7.756)
которое показывает, что функции Y\m _й1± определенной
четностью не обладают. Заметим, что при jx = 2п (п —
целое) четность состояний Y\m определяется только
значением I и все функции, симметричные (антисимметричные)
относительно замены — р,, являются четными
(нечетными) при четных (нечетных) I Для нечетных значений |i
ситуация противоположная: симметричные (антисимметричные)
состояния четны (нечетны) при нечетных (четных)
значениях I.
Таким образом, расширение группы S03 до полной
ортогональной группы в рассматриваемом конкретном
случае позволяет различать состояния с целыми (полу-
целыми) значениями |х на основе чисто групповых
соображений. Именно собственные функции углового
момента с заданным I могут образовывать базис пространства
неприводимого представления группы вращений и
отражений только в случае целочисленных Такой
ре*) Конечно, сказанное справедливо только при использовании
определения (7.72), которое, вообще говоря, не является
обязательным.
267

зультат находится в соответствии с известным общим
положением, согласно которому трехмерная группа
вращений и отражений имеет (однозначные) неприводимые
представления нечетной размерности (см. [389]).
Мы видим, что исключение полуцелых значений [х из
условия зарядового квантования оказывается
следствием требования существования состояний с определенной
четностью. Заметим, что такие состояния, как это видно
из (7.74), должны быть равновероятной суперпозицией
состояний с противоположными значениями ku. Если речь
идет о нерелятивистском взаимодействии двух
заданных зарядов ей g (знак \х фиксирован), то таких
состояний заведомо не существует ни для полуцелых, ни
для целых \х. Это означает, что в нерелятивистской
квантовомеханической е — g’-системе состояния с
определенным моментом не являются состояниями с определенной
четностью. Было бы интересно связать это
обстоятельство с вопросом о возможном несохранении четности в
е — ^-взаимодействии.
В заключение заметим, что все сказанное остается
справедливым и для системы из двух дуально
заряженных частиц, если параметр jit определен как jli =
= (eig2—e2gi)/4n.
§ 5. Возможна ли теория магнитного заряда
без условия зарядового квантования?
Если ограничиться полевой теорией магнитного
заряда, то логично поставить вопрос, не отражает ли
условие зарядового квантования только особенность
формализма с сингулярными потенциалами (см., напр., [111,
255, 298]). Но в этом случае вполне естественным
выглядит и вопрос о возможности существования таких
магнитно заряженных частиц, у которых величина
магнитного заряда не подчинялась бы дираковскому
условию зарядового квантования.
Обсудим имеющиеся экспериментальные
предпосылки для такого предположения и возможное теоретическое
описание подобных частиц. С исторической точки зрения
основой для такого рода гипотез (см., напр., [293, 294])
послужили сообщения Эренхафта (см. [202] и
цитированную там литературу) об открытии магнитно
заряженных частиц с величиной заряда, равной или меньшей
268

Заряда электрона. Повторение этих опытов привело,
однако, к отрицательному результату (см., напр., [201,
124]), и к тому же выяснилось, что результаты Эрен-
хафта могут быть объяснены и качественно и
количественно без привлечения понятия магнитного заряда
(см. [124]).
Поиски Фитцем и др. [205] релятивистских магнитно
заряженных частиц с величиной заряда от 1/6 до 1/2
заряда электрона дали отрицательный результат. В
опытах Альвареца и др. [228] могли быть обнаружены
монополи с зарядом до g~0,3 gix с сечением
^10-4° см2/нуклон для mgZ^3mp). В их отсутствие
нижний предел потока космических монополей с энергией
Е= 104 Гэв был установлен как 7V= 10—18 см~2 • сек~1Х
Хстерад~1. В эксперименте Колма и др. [227] могли быть
детектированы монополи с зарядом g до 0,04 go, но
событий, связанных с такими частицами, зарегистрировано
не было. Вант-Халл [215] с помощью
сверхпроводящего квантового интерферометра оценивал магнитный
заряд в веществе, обусловленный захватом магнитно
заряженных частиц, которые в случае их существования
должны присутствовать в космическом излучении.
Точность детектирования заряда составляла около 10-3
заряда электрона. Результат также отрицателен.
Поиски монополей с зарядом от 1 до 10 е на
ускорителе ФИАН привели к отрицательному результату [220].
В эксперименте, проведенном на Брукхевенском
ускорителе [231], могли быть обнаружены частицы с
величиной магнитного заряда g= 1/30 2,3 е. Но такие
частицы в интервале масс до 13 mv отсутствовали.
Домогацкий и Железных [235] в рамках модели горячей
Вселенной оценивали концентрацию реликтовых монополей
и из сравнения с экспериментальными данными по
поиску высокоэнергетических частиц в космических лучах
дали предельные значения массы и сечения аннигиляции
монополей. С точки зрения авторов работы [235] (см.
§ 4 гл. 5) перспективы обнаружения в равной мере
пессимистичны как в отношении монополей Дирака, так и
для магнитно заряженных частиц с g^=gD-
Даже из этого беглого перечня результатов можно
сделать предположение об отсутствии каких-либо
прямых или косвенных указаний на существование магнитно
заряженных частиц с величиной заряда, не
подчиняю269

щейся условию зарядового квантования Дирака. Во
всяком случае, если такие частицы и существуют, их масса
покоя должна быть значительно больше массы покоя
электрона. Но если большое значение массы монополя
Дирака в рамках современных теоретических
представлений качественно согласуется с их огромной константой
связи, то в рассматриваемом случае эта возможность
полностью отсутствует *>.
Ситуация с теоретическим описанием недираковских
монополей еще безрадостней. В рамках современной
электродинамики единственной серьезной альтернативой
использованию сингулярных потенциалов является ман-
дельстамовская формулировка (см. § 7 гл. 5). Но
условием непротиворечивости и этого подхода является, как
мы видели, выполнение условия зарядового
квантования. Поэтому возможность и необходимость
существования таких частиц с теоретической точки зрения
выглядит весьма сомнительной.
Возможны также и следующие соображения [82].
Предположим, что можно построить лоренц-инвари-
антную квантовую теорию, в которой отсутствует
условие, связывающее значения зарядов ей g. Структура
теории в таком случае не должна зависеть от введения
дополнительных ограничений на величину этих зарядов.
Но тогда гамильтониан такой теории при введении
ограничения g/e = const должен быть эквивалентен
гамильтониану (3.94) с точностью до некоторого унитарного
преобразования. Это требование обусловлено принципом
соответствия, поскольку электродинамика дуально
заряженных частиц при g‘/e = const эквивалентна обычной
однозарядовой электродинамике. Но рассмотренная нами
(см. § 5 гл. 3) структура теории при g/e = const не
допускает простого расширения на частицы с произвольными
значениями ей g. Наоборот, если теория магнитного
заряда приводит к связи между значениями
электрического и магнитного зарядов, то из нее как частный случай
должно следовать условие gje = const. Отсюда можно
сделать вывод: не существует лоренц-инвариантной
теории магнитного заряда при произвольных значениях
электрического и магнитного зарядов (см. также [290,
*> С теоретической точки зрения мы столкнулись бы с проблемой,
аналогичной проблеме объяснения различия между массой (л-мезона
и электрона.
270

1426]). И невозможно представить теоретическую
ситуацию, в рамках которой устанавливалась бы связь
типа g = e. Если пытаться осуществить построение
квантовой теории магнитного заряда без условия зарядового
квантования, то это, скорее всего, невозможно без
отказа от классического описания монополя либо без
модификации уравнений Максвелла или (и) уравнений
движения.
§ 6. Запрет на существование монополя
и квантование заряда без условия Дирака—Швингера
Как уже отмечалось, все сколько-нибудь
содержательные варианты теории магнитного заряда так или
иначе включают условие зарядового квантования,
которое приводит к большому значению «магнитной»
константы связи. Однако прогрессивное понижение
получаемой из опыта величины верхнего предела
сечения образования монополей все больше увеличивает
разрыв между теоретическими предсказаниями и
экспериментом. Для объяснения такой ситуации приходится,
как мы видели в предыдущей главе, вводить
специальные, причем не всегда строго обоснованные
предположения относительно механизма процессов с участием
монополей. Подобное положение, конечно,
неудовлетворительно и побуждает искать способы более радикального
решения проблемы. Прежде всего, речь может идти о
формулировке некоторого общего запрета,
возникающего как следствие введения определенных ограничений
на второй ток. Кроме того, идея магнитного заряда во
многом потеряла бы свою привлекательность, если было
бы найдено некоторое альтернативное теоретическое
объяснение факта квантованности электрического
заряда. Эти возможности мы и обсудим ниже.
6.1. 	О теоретическом обосновании отсутствия
магнитного заряда. Один из возможных способов
формулировки общего запрета, исключающего возможность
рождения и экспериментальной регистрации монополей, состоит
в использовании сохранения четности в
электромагнитных взаимодействиях [165]. В самом деле, поведение
уравнений Максвелла по отношению к преобразованию
инверсии при одновременном наличии электрического
и магнитного токов зависит от предполагаемых
271

трансформационных свойств этих токов. Если принять,
как это обычно делается, что ток — вектор, то для
J^ имеются две возможности: либо приписать этому
току свойства псевдовектора, либо считать его вектором.
Обе возможности априори совершенно равноправны, и
ни одной из них нельзя отдать предпочтения. Однако
вторая представляется более привлекательной, поскольку
она естественно связывает экспериментальный факт
отсутствия монополей с сохранением четности. С другой
стороны, степень несохранения четности в
электромагнитных взаимодействиях может быть оценена
независимым путем. Это позволяет установить верхний предел
вероятности появления монополей в нуклон-нуклонных
соударениях, а также в любых процессах, связанных
только с электромагнитным взаимодействием.
Несохранение четности означает наличие в
лагранжиане взаимодействия псевдоскалярной добавки,
которую можно записать в следующей форме: 2>Vs = V^Si,
где g — безразмерный параметр; /^ — вектор тока;
— 	псевдовекторный потенциал. Параметр £,
согласно оценкам Сакса [400], имеет малую величину: £<
<Ю-13. Поскольку I?pS определяет верхний предел
величины псевдоскалярной части лагранжиана
взаимодействия с электромагнитным полем, то, как легко убедиться,
сечение процессов с участием монополей должно
понизиться не менее чем в 1028 раз по сравнению с величиной
сг~10-34 см2/нуклону рассчитанной на основе
использования дираковского значения «магнитной» константы
связи р0^34,25. Такие величины лежат далеко за
пределами возможностей всех проведенных до сих пор
экспериментов, посвященных поиску монополя.
Слабым местом подобной концепции является то, что
предположение о векторном характере магнитного тока
не обязательно. Однако альтернативная гипотеза
относительно характера тока jff* уже делает невозможным
использование сохранения четности в качестве
аргумента против возможности существования монополя.
В работе [48] предпринята попытка отыскать запрет
на существование монополя путем использования
геометрического описания свободного электромагнитного
поля. При таком подходе заранее не предполагается, что
полевой тензор F^v удовлетворяет уравнениям
Максвел272

л а. В качестве одного из исходных постулатов
принимается утверждение, согласно которому Fсодержит всю
информацию об электромагнитном поле. Далее
предлагается интерпретировать тензор поля в качестве
«потенциала» аналогично трактовке метрического тензора в
эйнштейновской теории гравитации. Поскольку для
описания поля можно с равным основанием использовать и
дуально сопряженный тензор должна существовать
группа дуальных преобразований. В силу того что F
не определяется однозначно из геометрических
соображений (см. здесь также [43, 45] и § 1 гл. 8), необходимо
ввести дополнительное условие — выбрать
определенную калибровку для «потенциала» F^v. Очевидно, такая
калибровка должна быть общековариантна. Поэтому она
не может зависеть от выбора геометрии, т. е.
калибровочное условие должно включать в себя только
обычное, но не ковариантное дифференцирование.
Единственным дифференциальным уравнением для Fm
которое удовлетворяет этим условиям, является уравнение
следующего вида:
дсЛу + Vva + dvFa(1 = О,
имеющее тензорный характер. Нетрудно видеть, что это
уравнение несовместимо с существованием магнитного
тока, поскольку по форхме оно эквивалентно второй паре
обычных уравнений Максвелла д$Ра$ = 0. По мнению
автора работы [48], дуальная симметрия имеет чисто
алгебраическое происхождение и не связана с симметрией
дифференциальных уравнений.
Заслуживает упоминания высказанная в работе
[254] мысль о том, что топологическая симметрия,
связанная с определением полевых величин и требующая
отсутствия магнитного заряда, имеет более
фундаментальный характер, чем симметрия уравнений
Максвелла. При этом, однако, необходимо на равных правах
рассматривать как сохранение электрического заряда, так
и сохранение потока электромагнитного поля (в
частности, магнитного потока). Последнее обстоятельство
является критическим пунктом теории.
6.2. 	О квантовании электрического заряда. В
последнее время появились работы [401—405], в которых
содержится интересная попытка использовать для
кванто18. 3а^ (>70
273

вания электрического заряда соображения, связанные со
свойствами компактности калибровочной группы.
Как известно, калибровочные преобразования поля
обладающего зарядом имеют вид
= 'К ехР (‘efca)> (7.76)
где a — числовой параметр. Обычно ограничиваются ин-
финитезимальным рассмотрением (случай бесконечно
малых приращений параметра а). Этого оказывается
достаточно для анализа симметрийных (теорема Нетер —
закон сохранения заряда) и динамических
(компенсирующее поле) аспектов калибровочной инвариантности.
Обсудим теперь, следуя Янгу [401], случай
конечных изменений а. Пусть вначале численные значения
всех электрических зарядов еь (k=l, 2,...)
несоизмеримы между собой (т. е. не имеют наименьшего общего
делителя). Тогда преобразования (7.76) с разными еь
отличны друг от друга для любых вещественных значений
а. Поэтому область изменения группового параметра а
ничем не ограничена и, следовательно, группа
калибровочных преобразований некомпактна.
Положение меняется, если величина каждого из
электрических зарядов ей представляет собой целое кратное
некоторой минимальной единицы заряда е(еи = пие, где
\rik\ = 0, 1, 2, ...). В этом случае преобразования (7.76),
для которых значения а отличаются на величину Да =
= 2п/е, неразличимы:
ехр ( irtke а +
j J=exp {inheа} ехр {ink2n}=exp {inheа}.
Следовательно, изменению параметра а на величину
Да = 2п/е соответствует тождественное преобразование,
т. е. фактически область изменения а ограничена
(0^а^2я/е). Это и означает (по определению)
компактность группы калибровочных преобразований.
Такой подход обеспечивал бы действительное решение
проблемы квантования заряда, если бы существовали
однозначные физические аргументы в пользу компактности
калибровочной группы. Нетрудно видеть, однако, что
подобные аргументы отсутствуют, если оставаться только
в рамках электродинамики. Здесь, как известно,
исходная калибровочная группа является абелевой
(однопа274

раметрической) и нельзя указать такой руководящий
физический принцип, который позволял бы считать эту
группу к тому же еще и компактной.
Значительно лучше обстоит дело в общей теории
компенсирующих полей, где алгебра Ли калибровочной
группы является прямой суммой полупростой (и,
следовательно, компактной) и абелевой алгебр Ли (см.,
напр., [403]). Если предположить, что на этой основе
может быть построена некоторая объединенная теория
электромагнитных и слабых (а в принципе и сильных)
взаимодействий, то в такой теории должна существовать
некоторая общая калибровочная группа с единственной
константой связи, пропорциональной величине
электрического заряда. Здесь абелева подгруппа отсутствует,
калибровочная группа в целом является компактной, что
и обеспечивает квантование электрического заряда.
К сожалению, в настоящее время такая объединенная
теория еще не создана, и поэтому приведенные выше
соображения обладают не большей доказательной силой,
чем выводы из теории магнитного заряда. Из других
«безмонопольных» вариантов теоретического
обоснования факта квантованности электрического заряда можно
упомянуть о попытках связать его с квантованием
магнитного потока в сверхпроводниках [401, 405].
18*

8
глава
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ МАГНИТНОГО ЗАРЯДА
Несмотря на то что монополь Дирака является пока
гипотетической частицей, он постоянно привлекает
внимание теоретиков, которые надеются с его помощью
объяснить или хотя бы связать между собой некоторые
нерешенные проблемы физики элементарных частиц. В гл.
6 	мы познакомились, например, с попыткой объяснить на
этой основе происхождение высокоэнергетической
компоненты космического излучения. В этой главе мы
обсудим другие приложения теории магнитного заряда,
такие, как дионная модель сильно взаимодействующих
частиц и использование магнитного заряда в
калибровочных теориях. Мы рассмотрим также формулировку
дуально симметричной электродинамики, не связанную с
понятием магнитного заряда.
§ 1. Магнитный заряд и составные модели адронов
Согласно подходу, предложенному Швингером [147,
259] и Барутом [260] (см. также [257, 258]), адроны
следует рассматривать как магнитно нейтральные
образования, состоящие из дуально заряженных частиц — ди-
онов *) (электрически и магнитно заряженные кварки).
Эти работы во многом стимулировались стремлением
найти пути разрешения трудностей, внутренне присущих
первоначальным вариантам кварковых моделей, таких,
как противоречие со статистикой Ферми — Дирака,
необходимость вводить дробные значения для величины
элементарных электрических зарядов и т. п. (см. [406]).
В основе подхода как Швингера, так и Барута лежит
обобщенное условие зарядового квантования, допускаю-
В связи с этим, быть может, уместно процитировать
высказывание Дирака из его работы 1948 г.: «Мы можем предположить, что
элементарные частицы с полюсами образуют важную составную
часть протонов».
276

щее существование новой единицы электрического
заряда е', отличной от известной единицы электрического
заряда электрона.
По мнению Швингера [259], дионная модель может
связать воедино по меньшей мере четыре проблемы, до
сих пор рассматривавшиеся раздельно: 1) отсутствие
наблюдаемых на опыте магнитных зарядов; 2)
универсальность значения электрического заряда; 3)
существование схем, которые позволяют классифицировать
элементарные частицы, но требуют дробного значения
электрического заряда, что противоречит предыдущему
пункту; 4) экспериментальное обнаружение явлений,
нарушающих СР-симметрию.
1.1. 	Модель Швингера. В основе дионной модели
адронов, предложенной Швингером, лежит
предположение о том, что в качестве фундаментальных
составляющих обычных адронов следует рассматривать девять
дионов (и девять антидионов). Если дионы подчиняются
статистике Ферми — Дирака, то для построения на их
основе всех барионов необходимо, чтобы дионы могли
обладать по меньшей мере двумя различными
значениями магнитного заряда. В противном случае магнитно
нейтральные образования (заметим, что заряды дионов,
образующих адроны, должны подчиняться следующим
условиям: = где е — заряд электрона, Ygi = 0) мо-
i 	i
гут быть построены одним-единственным способом —
путем образования систем, состоящих из дионов и
антидионов, т. е. такая схема будет содержать только мезоны.
В модели Швингера исключены из рассмотрения
«аномальные» дионы, для которых отношение gle
отрицательно, т. е. если рассматриваются дионы с зарядами
(е\ g')> т0 недопустимы дионы с зарядами —g') или
(—g'). В этом заключается принципиальное отличие
данного подхода от подхода Барута.
Это отличие проявляется в том, что оператор
дуального сопряжения полей и зарядов D не является здесь
оператором симметрии (см. § 8 гл. 5).
В табл. 5 дана классификация дионов по их
квантовым числам [266].
Заряды во и go имеют следующие значения:
ео=-^е’ g0=-~g> (8Л)
277

Таблица S
Электрический и магнитный заряды дионов
Странность
Магнитный аналог странности Sm
0
0
-1
0
du(2e0, 2g0)
di2 (2£0> —go)
<*13 (2e0, —go)
0
^21 ( ео> 2g0)
d'22 ( e0> go)
JX.
CO
T
о
1
OQ
О
—1
^31 ( ео> % go)
^32 ( e0> go)
^33 ( eo> go)
где е — экспериментально наблюдаемая величина
элементарного заряда е21Ы ^ 1/137 и g2/hc ж 36-137. Столь
большое отличие величины магнитного заряда от минимального
значения, вытекающего из условия Дирака, объясняется
тем, что Швингер использует в обобщенном условии
зарядового квантования лишь четные числа ([л = 2я), откуда
следует, что g2/hc«4*137. Комбинации типа дион—антидион
(dd) образуют мезоны. Барионы образуются из трех дионов.
Для дионов допустимы следующие значения магнитных
зарядов: { 2gr0, —g0, —g0}. Легко видеть, что в такой схеме
антибарион (магнитные заряды его составляющих
равны —2go, go, go) является существенно отличной от бари-
она частицей, что, по мысли Швингера, в принципе можно
использовать для интерпретации известных свойств ба-
рионного заряда.
Оценим, следуя Швингеру [259], возможную массу
диона. Гамильтониан, описывающий нерелятивистское
взаимодействие двух достаточно удаленных дионов с
одинаковой массой та, имеет вид
и- 1
2 т
Рг + -—+ (ft** + е&) -у- J . (8.2)
где т = md. Эту систему можно рассматривать как
водородоподобный атом. Как известно, энергетические
уровни такой системы зависят только от главного квантового
числа п = пг -f / -f 1, где I определяется из соотношения
(см. § 4 гл. 5)
^ + 1) = / (/ + 1) — Y? ■ (8-3)
278

Для грубых оценок можно пренебречь тонкой (порядка
egjhc ~ 1) и сверхтонкой (порядка e2/hc ~ 1/137)
структурой. Предполагается, что
gigi = —ё2о■ (8-4)
Отсюда можем записать следующее выражение для
квадрата массы (формула Бора для полной массы):
М2 = (2md)2 [ 1 i- А) . (8.5)
Формула (8.5) справедлива только при условии малости
g*lti2 по сравнению с единицей, что может быть выполнено
только при больших значениях п > п0, где
по — Яо — 2' 137. (8.6)
Если, однако, экстраполировать значение М1 к нулевой
массе, для которой n = nQ, то соседние состояния при п =
= п0 + k, где k = 1, 2, ..., приближенно представляются
выражением
М2 = (2md)21-М k. (8.7)
Из сравнения этой формулы с эмпирически
наблюдаемым спектром масс мезонов можно произвести
следующее отождествление:
(2md)2 = п0т2р, (8.8)
где тр — масса р-мезона (тр» 0,765 Гэв). Если принять
значение магнитного заряда равным 2g0, то nQ должно быть
вчетверо больше. Используя среднее взвешенное этих
значений, так что п0 = 4*137, получаем
1
md = ^ \ т0 ж 6 Гэв. (8.9)
Как показано Ханом и Биденхарном [261], модель
Швингера можно сформулировать в рамках группы
S№)3®S№)3, Волновые функции дионов
трансформируются при этом по представлению (3,3*) этой группы,
279

т. е. дионы являются кварками в электрическом
зарядовом пространстве и антикварками в магнитном
зарядовом пространстве. Следовательно, дионную модель
можно рассматривать в этом случае как физическую
реализацию предложенной ранее [407] группы симметрии
SU&SUз сильных взаимодействий (при этом знаки
зарядов у дионов Швингера необходимо изменить на
противоположные) .
Модель Швингера имеет ряд привлекательных черт:
отсутствие затруднений со статистикой Ферми — Дирака,
объяснение дробных значений электрических зарядов.
Для мезонов модель ведет естественным образом к О-,
I- мультиплетам, предсказывает величину
электромагнитного расщепления масс К-мезонов, в принципе дает
возможность качественного объяснения СР-нарушения.
Последнее обстоятельство является в то же время и
критичным для модели. Если рассчитывать электрический
дипольный момент (£1) нуклонов аналогично тому, как
это делается при расчете магнитных моментов в кварко-
вой модели (см. [406]), то имеем: (£1) нуклон ~
~ghl/nc= 10~~12 е • см, что находится в огромном
несоответствии с установленными экспериментальными
оценками: (£1)нейтрон< Ю-22 е-см. По мнению Швингера
[259] (см. также [239]), это несоответствие можно
устранить путем введения обменного механизма,
осуществляемого промежуточным магнитным бозоном, который
должен быть связан с обычным нейтринным полем и
распадаться на магнитный лептон и нейтрино.
Это предложение можно иллюстрировать
следующими качественными рассуждениями [261]. Предположим,
что обычные методы (см. [408]) применимы для
феноменологического рассмотрения обменных токов.
Электрический дипольный момент можно записать при этом в
следующем виде:
d = -j- j dKrxJ'", (8.10)
где Jm = JK0H -f Jn0JI + Jo6M (конвекционный,
поляризационный и обменный магнитный токи соответственно). Для
количественной оценки влияния этого механизма (по порядку
величины) можно привлечь закон сохранения магнитного за-
ряда pg:
= (the)-1 [Яобм, р,]. (8.11)
280

Строго говоря, уравнение (8.11) не приведет к
ограничению на статический (Е 1) момент. Но в принципе можно
записать, что
•/°бм «^-<Яобм>. (8.12)
he
Предполагается, что поляризационный момент (^ gh/mdc2)
взаимно сокращается с обменным моментом. Отсюда
приходим к следующей оценке:
< Яовм > « « 6 Гае. (8.13)
Можно привести и другие соображения. Например,
можно считать, что поляризационный момент возникает
вследствие шредингеровского «дрожания» диона частоты
®tth/2mdC2. Чтобы «выключить» этот эффект, магнитное
обменное взаимодействие должно быть весьма сильным,
чтобы за время, меньшее чем со-1, магнитный заряд
обменялся так много раз, чтобы его можно было
рассматривать как усредненный магнитный заряд (нулевой) ба-
риона. Но при этом получается совсем другая оценка:
<Н0бм>^>тас2. Отсюда видно, что предсказания дион-
иой модели с количественной стороны носят пока весьма
неопределенный характер (см. также [248]).
Следует отметить, что существует известный
параллелизм между картиной адрон-адронного рассеяния в
дионной модели и характером рассеяния нейтральных
атомов (или позитрония). Если пренебречь
взаимодействием порядка goe/hc и e2/tic по сравнению с go /tic при
расчете матричных элементов адрон-адронных
столкновений, то систему дионов можно рассматривать как
нейтральную систему, составленную из магнитно заряженных
частиц. В адрон-адронных столкновениях существует в
этом случае сила двух типов. Одна из них обусловлена
обменом частиц, а вторая носит характер сил Ван-дер-
Ваальса, которые возникают, как известно, именно при
рассеянии нейтральных атомов.
В работе [269] был проведен анализ влияния дально-
действующей ван-дер-ваальсовой силы на механизм
адрон-адронных столкновений и предложены возможные
способы обнаружения этого эффекта.
Угловое распределение в эксперименте с
неполяризационным пучком нуклонов для рассеяния вперед будет
иметь вид
281

(E, 0) = b^E) sin3^- 9 + b2(E) sin5-^- + • • • +
d£l 2 2
+ C0(E) + С, (E) sin2-i- 0 + C, (£) sin4 -i- 0. (8.14)
Если потенциал для сильных взаимодействий имеет
короткодействующий характер, то в выражении (8.14) останутся
• 1 а
члены только с четным значением sin — 0.
2
Необходима такая точность эксперимента, при которой
можно было бы различить члены sin3 0 и sin4 0.
Область энергий, в которой можно в принципе попытаться
обнаружить этот эффект, лежит сравнительно невысоко
(10 Мэе <£< 1 Гэв).
Следует отметить также модель Чен Кун Чанга [265],
представляющую собой модификацию модели Швингера.
Но на ней мы не будем останавливаться, так как
основные идеи и результаты этой модели можно найти в
монографии [299].
1.2. 	Модель Барута [260, 267, 268]. Согласно
трактовке Барута, протон рассматривается в качестве
релятивистской водородоподобной системы, состоящей из двух
бесспиновых дионов («дионий» — по терминологии
Барута).
Основная идея модели заключается в следующем.
Известно, что для системы, включающей магнитный заряд,
момент количества движения состоит из двух частей
(см. §1,4 гл. 5):
J = г х я — [аг/г. (8.15)
Параметр |Л= {егёг~егёъ) естественн° интерпретировать как
4л
наименьшее значение спина, допускаемое гамильтонианом
системы*) . Из квантования углового момента следует, что
возможные значения спина системы имеют вид ||х|, |(jl| +
*) Правомерность подобной трактовки подтверждается и чисто
групповыми соображениями. Решения кеплеровой задачи для
непрерывного спектра в случае системы из двух дуально заряженных
частиц реализуют, как известно, представления D( fx, р) группы Лоренца,
где параметр \х играет роль наименьшей величины углового момента
системы (см. также § 4 гл. 5).
282

+ 1, | |a| + 2, ... Следовательно, две бесспиновые
частицы могут образовать связанное состояние со спином 1/2,
если электрические и магнитные заряды этих частиц таковы,
что exg2 — gx4 = 1/2 = (2nhc).
Если система в целом магнитно нейтральна и ее
полный заряд есть заряд электрона е, тогда
g2 = —gi = g> е = ег + е2 (8.16)
и
а = -Т- (е1ег — £2)> И = ~Г её- (8-17)
4 я 4jt
Магнитный заряд в основном состоянии со спином 1/2 имеет
137
значение g = е.
2
Электрически и магнитно нейтральный атом,
состоящий из бесспинового диона и антидиона (е=0, g=0,
a = e2-|-g2, |х = 0), должен иметь нулевой спин (т. е. это
модель для я°-мезона), и нейтральная частица со
спином 1/2 (нейтрон) уже не может, следовательно, быть
построена только из двух дионов.
Модель нейтрона здесь такова: рассматривается
связанное состояние диония, обладающее нулевым
значением углового момента с заряженным (—е) бозоном В,
который может распадаться по «слабому» каналу на |utv
(или ev) и т. д. в поле диония. Бозон В не обладает маг-
нитным зарядом и поэтому не участвует в сильных
взаимодействиях. Как показывает Барут [260], эта модель
согласуется с экспериментальными фактами,
относящимися к свойствам нуклонов.
Упомянутая выше релятивистская трактовка диония
понимается не в смысле анализа свойств этой системы
на базе уравнений типа Клейна — Гордона или Дирака,
что в принципе и невозможно из-за крайне сингулярного
характера используемого потенциала, а также наличия
члена а/r2, соответствующего притяжению в уравнении
для радиальной волновой функции. В обычных
выражениях для энергии в уравнении Клейна — Гордона

и уравнении Дирака (см. также § 4 гл. 5)
т г.2
Т/- (8-19)
ггри условии аЗ>1, которое имеет место вследствие
большой величины константы связи, выражение k2—а2
становится отрицательным.
Релятивистское рассмотрение основано здесь на
применении теоретико-групповых методов. Предполагается,
что уравнение, которое описывает протон и его
возбужденные состояния, имеет следующий вид:
Параметры а, (3 в (8.21) выражаются через массы дио-
иов и электрона и безразмерную константу связи.
Операторы представляют собой генераторы группы 04,2;
Примечательной особенностью подхода Барута
является использование аксиального (псевдоскалярного)
магнитного заряда, т. е. относительно операции
пространственного отражения собственные состояния магнитного
заряда преобразуются следующим образом:
Гамильтониан, который описывает дионий, не будет
сохранять четность, если параметр \х рассматривать как
числовой. Но построить теорию с сохранением четности
можно, если удвоить гильбертово пространство состояний
и рассматривать совместно с состоянием \g> состояния
|—g>. В этом случае параметр [х может быть рассмотрен
в качестве дихотомической переменной, и гамильтониан
запишется в следующем виде:
WvP\^ + РГ4 + V) Ч>(/>) = 0. (8.20)
Л* = «Л + агР\х + + «Aiv^v (8-21)
Гг = /-г6, Г4 = /-4б.
Р lg> = l — g> ■
(8.22)
н= Я(ц) 0
0 Я(-,л)
(8.23)
с оператором четности
0 	Р

Диагонализация этой системы ведет к состояниям, которые
являются собственными состояниями оператора четности 0>\
 A± = \g> ± 1-г). (8-25)
собственные значения гамильтониана зависят только от
g2. В этом подходе нет трудностей, связанных с
нарушением четности. Состояния диония являются состояниями
типа (8.25) (см. обсуждение этих вопросов [175, 176]).
В модели Барута удается, например, объяснить ди-
польный магнитный формфактор протона, получить
спектр масс, соответствующий линейно растущим
траекториям Редже и вырождению по четности для барионных
траекторий.
В пользу «дионной» модели говорит возможность ее
довольно широкого согласования с другими
направлениями в физике адронов (модель кварков, полюса Редже,
высшие симметрии, модели со стрингами (см., напр.,
[268, 280, 281]).
В то же время трудно говорить о подходе Швингера и
Барута как о сложившемся направлении в области
составных моделей адронов, поскольку многие из
используемых соображений носят весьма нестрогий и полуин-
туитивный характер. Проблема осложняется к тому же
отсутствием надежных методов расчета наблюдаемых
эффектов в рамках модели, использующей магнитные
заряды с величиной, вытекающей из условия зарядового
квантования.
§ 2. Дуальная симметрия и магнитный заряд
в калибровочных теориях
2.1. 	Геометродинамика. Впервые дуальные
преобразования
Fwv cos ф + F sin ф,
(8.26)
К, sin ф 4- F^ cos ф
были рассмотрены Райничем [43] применительно к про-
блеме геометризации свободного электромагнитного
поля. Спустя много лет Мизнер и Уилер [45, 46]
независимо пришли к ряду результатов, полученных Райничем.
Общее направление объединенного описания гравита-
285

ционного и электромагнитного полей *) получило
название геометродинамики (см. [46]).
Применительно к электромагнитному полю в
уравнениях Эйнштейна
8f-T»v (8-27)
обычно считается, что T^v представляет собой тензор
энергии-импульса свободного электромагнитного поля:
TVv = -у- (V«v + Ка Fа\)' (8.28)
Для того чтобы придать уравнениям Максвелла —
Эйнштейна чисто геометрический смысл, необходимо
выразить полевой тензор F^lv через свернутый тензор кривизны
Ra$- Но в силу дуальной инвариантности уравнений
Максвелла для полной однозначности решения следует
рассматривать параметр ср в (8.26) как функцию
пространственно-временных координат.
При этом возникает следующее определение для ср:
d^v; М- Dv
Ф. = (-,?)'Д>|»., * ■ (8.29)
Мы не будем останавливаться подробнее на анализе
этого направления. Заинтересованный читатель может
детально ознакомиться с ним на основе монографий [46,
272, 273], а также по работам [410—412], развивающим
подход Мизнера и Уилера.
Из работ этого направления следует, кроме того,
отметить предложенный Курсуноглы [276] вариант
обобщенной теории гравитации, существенно опирающийся
на понятие магнитного заряда. Строгое решение
объединенного уравнения для гравитационного и
электромагнитного полей в этой теории приводит к ряду
нетривиальных следствий. Так, каждая частица обладает
здесь магнитным зарядом определенной величины. Сам
магнитный заряд отвечает за массу частицы и связан с
короткодействующим магнитным полем. Отсутствие
свободных магнитных зарядов объясняется тем, что каждый
из них локализован внутри частицы (в своеобразной
*> В принципе речь может идти и о других полях, например
о 	нейтринном [409].
286

микроскопической «черной дыре»). При этом общая
теория относительности и классическая электродинамика в
обычной форме справедливы только на расстояниях
f^Ao=10-34 см. Нулевому значению «минимальной
длины» ко соответствует переход к переделу g"—>-0 в
обобщенной теории.
Интересна также предпринятая в [277] попытка
использовать модель магнитного заряда для интерпретации
частицеподобиых решений уравнений эйнштейновской
единой теории поля.
2.2. 	Монополь в калибровочных теориях. Как
известно, электромагнитное поле можно рассматривать как
частный случай поля Янга — Миллса (см., напр., [345]),
и было бы интересно построить аналог магнитного
заряда для общего калибровочного поля [270—274]. К этой
же идее можно прийти и на основе дионной модели
адронов. Действительно, дионы, помимо магнитного и
электрического зарядов, обладают внутренними
квантовыми числами, соответствующими операторам группы
St/3. Полевая теория, которая могла бы описать эту
внутреннюю симметрию и сохранить при этом
структуру уравнений Максвелла, и является теорией поля
Янга — Миллса. С математической точки зрения поле
Янга — Миллса выступает как такое обобщение
электромагнитного поля, при котором обычная производная
заменяется на ковариантную производную. Рассмотрим
этот подход более подробно, следуя работе [274а].
Известно, что изменение фазы волновой функции,
описывающей движение заряженной частицы в
электромагнитном поле, эквивалентно калибровочному
преобразованию векторного потенциала. Для многокомпонентной
волновой функции \|) *) унитарное преобразование
г|э \|/ = Uty (8.30)
эквивалентно неабелеву калибровочному
преобразованию матричной функции АЗдесь компоненты А^
представляют собой яХя-матрицы, из которых три
эрмитовы, а А4 — антиэрмитова. Величина А^ является
векторным потенциалом неабелевого поля Янга — Миллса.
В данном случае увеличение числа компонент не связано
с пространственно-временными свойствами поля, описывающего эту
частицу.
287

Полевые величины ivv, инвариантные относительно
градиентных преобразований (8.30)
= и-1 F„u, (8.31)
имеют вид
Н" ^ lA\.lt ^vl* (8.32)
Чтобы сохранить ковариантность при введении операции
дифференцирования, необходимо от обычной производной <?tt
перейти к «удлиненной» производной D
= di$ — иА№ (8*33)
Для произвольной матрицы V в пространстве компонент
'ф-функции имеем
= 3^ -U [А„ V]. (8.34)
Последнее выражение является обычным определением кова-
риантной янг-миллсовой производной.
Для поля F^v получаем следующее уравнение:
DkF,„ + DvF4l + = 0. (8.35)
Применительно к полевым величинам поле Янга —
Миллса можно рассматривать как обобщение
максвелловского поля, получающееся путем замены d^ на D
Уравнение (8.35) может быть установлено именно
таким способом. При этом, однако, определение (8.32)
задается дополнительно, а не путем указанной выше
замены в выражении d^Av—дхА^. Это может быть объяснено
тем, что поскольку векторный потенциал сам по себе не
ковариантен относительно преобразований группы
внутренней симметрии, то и применение к нему ковариантной
производной не приведет непосредственно к ковариант-
иому выражению. Соответствующие уравнения могут
быть получены при использовании лагранжиана
й = -ад»> (8-36)
где след берется по пространству компонент гр, и
лагранжиан взаимодействия частицы, описываемой функцией
-ф. с полем /> запишется в следующей форме:
«& = (ед(ед> (8.37)
что приводит к соответствующему оператору импульса
= а, - 1М„, (8.38)
действующему на поле ty.
288

Если обратиться к описанию поля Янга — Миллса в
формализме Мандельстама [413], то эта связь
становится еще более наглядной и уравнения поля Янга —
Миллса приобретают следующий вид:
dv^llv(x, Р) = О,
(8.39)
djk^x, Р) = О,
(х, Р) = д,Л (*, Р) ~ (х, Р) (8.40)
^v(x, Р) = U+ (х, Р) Fllv(x) U(x, Р), U (х, Р) =
= Т ехр j'e j ДД j . (8.41)
—оо
Мы не будем подробно рассматривать примеры
использования описанной техники в конкретных работах.
Ограничимся лишь перечислением результатов и
приведем соответствующие ссылки.
Так, Джозеф [274а] исследовал эту проблему в
рамках алгебраического подхода. Однако поскольку
возникающие здесь нелинейные уравнения для поля Янга —
Миллса с St/3-симметрией не могут быть разрешены,
пришлось ограничиться случаем 5£/2-симметрии, которая
допускает решение в явном виде.
Мюрей [2746], а также Климо и Даукер [274в]
применяют при решении этой задачи формализм
Мандельстама для полей Янга — Миллса. Отметим здесь также
работу [271], в которой рассматривается аналог
магнитного монаполя в гравитации.
В работе Ахариа и Хорваса [156] электрон и моно-
поль рассматриваются как первоначально безмассовые
частицы, заряды которых удовлетворяют условию
Дирака. Механизм Хиггса и идея спонтанного нарушения
симметрии (см. соответствующие обзоры [414—416])
позволяют обеспечить возникновение массы у заряженных
частиц. Однако при этом возникают два типа векторных
частиц: безмассовый «электрический» фотон и
«магнитный» фотон, обладающий массой. И численные значения
электрического и магнитного зарядов оказываются уже
не связанными условием Дирака — Швингера.
Бранд и Винкиарелли [275] исследовали
возможность создания объединенной теории слабых и
электро19. За к. 670
289

магнитных взаимодействий на основе использования
магнитно заряженных частиц.
В ряде работ [278—282] было показано, что
магнитные источники естественно вписываются в структуру
неабелевых калибровочных теорий со спонтанно
нарушенной симметрией (см. [414—417]). Из работ [278, 279,
282] следует, что во всех калибровочных теориях,
где группа Uif связанная с сохранением заряда,
рассматривается как подгруппа большей группы, имеющей
компактную накрывающую группу (типа SU2 или 03),
среди регулярных решений полевых уравнений имеются
решения, соответствующие магнитным источникам.
Примечательно, что полевая теория хиггсовского
типа, содержащая взаимодействие с монополями, можег
быть использована в качестве основы для объяснения не-
наблюдаемости кварков (дионов) в свободном состоянии
[280, 281]. Не исключено, что продолжение
исследований в этом направлении может привести к качественно
новой точке зрения на проблему монополя Дирака в
электродинамике.
§ 3. Дуальная симметрия электродинамики
без магнитных зарядов
Как мы уже знаем (см. гл. 3), дуально симметричная
формулировка электродинамики может быть получена
без монополя Дирака. В этом параграфе мы обсудим
идеи, смысл которых состоит в том, что можно добиться
этой же цели, вообще не привлекая понятия магнитного
заряда.
3.1. 	Электродинамика с ларморовскими источниками.
В § 2 гл. 5 отмечалось, что использование
двухпотенциальной формулировки позволяет построить
лагранжиан, из которого получаются уравнения Максвелла с
двумя типами источников и следующие уравнения
движения:
4 = eiuvAv + Pi«vAv (8-42)
at
Эти уравнения были признаны неприемлемыми,
поскольку они не описывают взаимодействие зарядов ei и
Но в принципе можно взять уравнения движения (8.42)
за основу, определив величину р как «псевдомагнитный»
(или ларморовский) заряд.
290

Если все заряженные частицы обладают, помимо
электрического заряда, также и зарядом р, уравнения
поля приобретают симметричный вид. Если заряды всех
частиц удовлетворяют одному и тому же отношению
е/р = х, то ситуация фактически ничем не отличается от
ранее рассмотренной, и в качестве физического
(наблюдаемого) заряда следует рассматривать величину <7фИз=
= еУ%2+ 1. Если имеются частицы с различным значением
величины ejp, то по отношению к базисной частице они
будут восприниматься как объекты с иным значением
электрического заряда е.
Рассмотрим, следуя [283], пример, когда существует
только три типа заряженных частиц, причем
Из уравнения движения (8.42) следует, что для
отношения запаздывающих сил, действующих на каждую из
частиц со стороны других частиц, можно написать
следующее выражение:
Из (8.44) видно, что частица 3 по отношению к частицам
1 	и 2, которые играют роль детектора, должна вести себя
так, как будто она обладает чисто электрическим
зарядом 93-
След овательно, если выбрать величину q{^;{2) так, чтобы
она была равна, например, заряду электрона, то q3 может
и не выражаться через это значение посредством целого
числа. Если, например, взять
то «наблюдаемый физический» заряд частицы 3 будет
удовлетворять соотношению
(8.43)
(8.45)
(8.46)
1

Эти рассуждения сохраняют свою силу и в квантовой
теории. Таким образом, если рассматривать все
заряженные частицы как дуально заряженные (в принятом
здесь смысле) при универсальности отношения g/e, то
частица с другим отношением g/e будет детектироваться как
частица с иным значением наблюдаемого электрического
заряда. И по чисто электромагнитным взаимодействиям
нельзя было бы отличить, например, кварк от частицы,
отношение зарядов которой удовлетворяет равенству (8.46).
В несколько измененном варианте рассуждения
аналогичного типа были проведены также в работе [284].
3.2. 	Тахионы и монополи. В ряде работ (см. [285—
286]) было предложено интерпретировать электрически
заряженные тахионы (частицы, движущиеся со
скоростью выше скорости света) в качестве монополей.
Авторы работ [286] основываются на развитом ими
обобщении специальной теории относительности на
случай сверхсветовых частиц (тахионов) и инерциальных
систем отсчета, движущихся со скоростью v,
превышающей скорость света.
Основные принципы новой теории заключаются в
следующем.
1. 	Постулируется, что обобщенные преобразования
Лоренца имеют вид (для простоты рассматриваем лорен-
цевский «буст» только вдоль оси х):
х = с (х' cos ф -f с? sin ф), у = (— г]6) у\
 ! , х'
t = с t COS Ф -i Sin ф
V с
1_
где р = tg ф, [0 < ф < 2я], у = j 1 — tg2 ф | 2 , б =
— \f 1 — n C0S(P у | /~T+lg4~
V 11 — tg2 ф | f cos ф | ’ у 11 — tg2 ф I
Преобразования (8.48) образуют новую группу G.
2. 	Формулируется «принцип дуальности», вытекающий
из свойств группы G, согласно которому понятия брадио-
на (обычная частица, и2<с2), тахиона, субсветовой
инерциальной системы 5 и сверхсветовой инерциальной
систе292
, г=(-ц8)г\ (8.48)

мы S не имеют абсолютного значения, а являются
относительными понятиями.
3. Принимается «правило тахионизации»
(следующее из свойств группы G): релятивистские законы
механики и электромагнетизма для тахионов следуют из
соответствующих законов для брадионов в результате
применения к ним обобщенных лоренцевых преобразований.
Из последнего свойства следует, что частицы, которые
являются тахионами по отношению к системе отсчета
6-типа, являются брадионами по отношению к системе
отсчета S-типа, и наоборот.
Из анализа преобразований электромагнитных
полевых величин следует, что преобразования группы G
связывают между собой полевые компоненты следующим
образом:
Ех = Е'А
НХ = Н'Х б, P2sl, (8.49)
Введем далее операцию дуальности
Е -► i'H, Н — — ;Е (8.50)
с соответствующим определением дуального тензора F^\
 К = j- «wpf «р- (8-51>
При таком определении дуальности можно ввести понятие
само дуального тензора /CMV:
^v = ^v + ^v, K^V = KUV, FI1V = /Vv, (8.52)
причем выражение для K^v запишется в следующей форме:
(^v) = (8-53)
( 0 Нг-1Ег -H„ + iEy Hx-iEx
-Hz + iEz 0 Hx-iEs Ну iEy
Ну — iEy -Hx+iEx 0 Hz-iEz
j—Ну -p iEx Ну + iEy —HzJriEz 0
293

Уравнения Максвелла в присутствии двух типов
источников с помощью тензора могут быть записаны в виде
^Av = & + ч‘> ^ = V- (8-54)
где = (ct(s), j(s)).
Из (8.54) следует, что умножение на мнимую
единицу i обращает величины, обусловленные электрическим
током, в величины, обусловленные магнитным током.
Если предположить, что магнитных монополей не
существует, а существуют только электрически
заряженные брадионы и тахионы, уравнения перепишутся в
следующем виде:
= ГА*) - iil Сs),
(8.55)
Уравнения (8.55) эквивалентны следующим уравнениям,
устанавливаемым для обычных инерциальных систем отсчета,
движущихся со скоростью, меньшей скорости света:
div Е = ег (s), div Н = af/ (S),
j \ (8.56)
rot E = — H — jg/vS)> rot H = Ё + je (s).
Из уравнений (8.56) следует, что вклад положительного
электрического заряда, движущегося со скоростью V > с,
эквивалентен вкладу от южного магнитного полюса со
скоростью v = c2/V < с. Отсюда можно сделать вывод, что
«магнитный монополь» по своему проявлению (вклад в
электрическое поле и взаимодействие с ним) есть не что иное,
как электрически заряженный тахион. Если тахион обладает
зарядом р = пе (п — положительные целые числа), то он
ведет себя как монополь, который обладает зарядом g =
= —пе (в рационализированной MKCQ-системе g =
= — neV щДо)-
Тогда имеем
pg = —п2е2 = —п2аЬ, (8.57)
и в общем случае можно записать следующее соотношение:
ер = п aft, (8.58)
которое аналогично условию зарядового квантования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы видели, что современная проблематика теории
магнитного заряда в целом значительно шире проблемы
монополя Дирака. Она включает ряд физически
содержательных аспектов, совершенно независимых от
идеи монополя, которые заслуживают дальнейшего
развития.
Как нам представляется, преимущества представления
однозарядовой электродинамики в дуально симметричном
виде еще полностью не выявлены. Если бы удалось
доказать, что условие универсальности отношения g/e для
дуально заряженных частиц является обязательным, то
дуальная симметрия электродинамики была бы
сохранена и в присутствии только одного типа наблюдаемых
источников, но при этом полностью отсутствовали бы
какие-либо формальные основания для введения монополей.
Потребность в атомарном магнитном заряде отпала бы и
в случае, если бы удалось отыскать независимое от идеи
монополя теоретическое обоснование квантованности
электрического заряда.
Все же центральное место в обсуждаемой проблеме
принадлежит монополю Дирака. Такая частица пока не
найдена на опыте. Хотя можно привести ряд аргументов,
объясняющих причины отрицательного результата
попыток экспериментального обнаружения монополя, тем не
менее необходим тщательный анализ посылок, лежащих в
основе введения магнитного заряда в электродинамику.
Можно наметить следующие направления
исследования.
1. 	Поиск теоретических аргументов, исключающих
возможность непосредственной экспериментальной
регистрации монополей. (Допустимо, например, обусловить
существование магнитного заряда таким его свойством,
которое связывало бы непосредственное детектирование
монополя с необходимостью нарушения какого-либо из
296

хорошо установленных законов сохранения (см., напр.,
[165, 175, 176, 276]).
2. Развитие и усовершенствование существующей
теории Дирака — Швингера.
3. Отыскание возможных путей введения магнитного
заряда в электродинамику на основе исходных посылок,
отличных от существующих.
Обсудим вкратце последние две возможности.
2. 	Непосредственно в теории монополя Дирака имеется
ряд нерешенных вопросов. Так, все еще отсутствует
достаточно убедительная лагранжева формулировка теории
(«вето Дирака» не вытекает из вариационного принципа,
а является дополнительным требованием).
Исключительно важно выяснить, в какой мере условие
зарядового квантования независимо от специфики
формального аппарата монополя Дирака. Для этого
требуется как дальнейший анализ соответствующих вариантов
вывода этого соотношения и возможной связи между
ними, так и поиски иных способов его установления. К тому
же фактически имеется два условия зарядового
квантования, в одном из которых отсутствуют полуцелые числа.
Более того, согласно Швингеру [142], следует
ограничиться только четными числами. В чем истинный смысл
такого ограничения? Если допускать возможность
экспериментальной регистрации магнитного заряда, то этот
вопрос носит далеко не академический характер,
поскольку порог рождения монополя может измениться по
меньшей мере в четыре раза.
Хотя с помощью условия Дирака — Швингера удается
сформулировать внутренне непротиворечивую квантовую
теорию и формально построить лоренц-инвариантную 5-
матрицу, тем не менее здесь пока отсутствует
сколь-нибудь удовлетворительная расчетная схема. Проблема
заключается не только в необходимости создания методов
расчета, пригодных для большой константы связи. Не
менее важно то, что не вполне ясным представляется
механизм электромагнитного взаимодействия между
электрическим и магнитным зарядом. Во всяком случае, такой
механизм может заметно отличаться от обычной картины
фотонного обмена в однозарядовой квантовой
электродинамике.
Наконец, было бы чрезвычайно интересно попытаться
отыскать формулировку теории, свободную от
математи296

ческих аномалий типа «нитей Дирака», или доказать в
общем виде, что этого сделать нельзя.
3. 	Можно отметить некоторые заслуживающие
внимания тенденции в поисках принципиально новых путей
построения теории магнитного заряда. Так. интересна
формулировка теории на основе отказа от классического
описания (или его изменения) монополя (см., напр., [156,
171 —174]). Или, оставаясь в рамках однозарядовой
электродинамики, можно попытаться искать ту или иную
имитацию проявлений магнитного заряда (например,
считать монополем электрически заряженный тахион [285,
286]).
Разумеется, подобные идеи предполагают
радикальный шаг в сторону от предшествующего пути развития
проблемы монополя, но, может быть, именно поэтому ими
нет оснований пренебрегать.
Интересна возможность включения второго типа
источника в теорию калибровочных полей Янга —
Миллса и единую теорию слабых, электромагнитных и
сильных взаимодействий. Первые работы в таком
направлении уже появились (см. [156, 270—282]).
Многообещающими кажутся и попытки связать мо-
нополь с существующими проблемами физики высоких
энергий. Не исключено, что на этом пути может быть
найдена и новая точка зрения на всю проблему магнит-
ного заряда в целом.
Несомненно, однако, то, что анализ возможных
способов модификации существующей формы
электродинамики позволит лучше понять ее структуру и стимулирует
поиск новых математических формулировок теории и
возможных путей ее обобщения.
В заключение авторы книги о магнитном заряде не
могут не повторить вслед за Дираком (и Швингером):
«Было бы удивительно, если бы природа не
использовала эту возможность».

Приложение А
ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫЙ СОЛЕНОИД
КАК МОДЕЛЬ ТОЧЕЧНОГО МАГНИТНОГО ЗАРЯДА [24]
Пусть BCD (рис. 10) — полубесконечный длинный соленоид с
площадью поперечного сечения а; п — число витков на единицу длины;
i — ток, текущий через соленоид. Элемент dx находится на расстоянии
а: от точки В и ему сопоставляется магнитный дипольный момент
iandx.
Плотность магнитного поля в произвольной точке Р,
обусловленную элементом dx, можно разбить на две части(сШг||£Р и dH§ LEP):
1 2cos 0
dHr= —(iandx) ,
4 	л г3
1 j \ siп 0
аНп = — (iandx) .
0 	4л г3
Для того чтобы провести интегрирование, необходимо рассчитать
компоненты магнитного поля dH и dH , rnedH II BP, dH ±BP. Пос-
ll ± II " _L
ле простых вычислений можем записать:
dH = dHr cos (а — 0) + dHQ sin (а — 0),
dH | = dHr sin (a — 0) + dHQ cos (a — 0).
Используя соотношения rsin0=dsina, r cos 0 = * -f d cos a, r2 =
= x2 + d% -f- 2xd cos а, можно выразить все величины через х, а затед!
провести интегрирование. В результате находим
1 1
Я = — (ian) — ,
II 	4л ' d2
Н = 0.
Итак, магнитное поле, создаваемое полубесконечным тонким
соленоидом, эквивалентно полю, создаваемому точечным зарядом,
расположенным в точке. Магнитное поле, обусловленное соленоидом
конечной длины, можно представить как поле, создаваемое двумя
магнитными зарядами (противоположными по знаку), расположенными на
двух концах соленоида.
Магнитное поле соленоида конечной длины может быть получено,
если мысленно отделить от соленоида BCD полубесконечный соленоид
CD. Поле в точке Р, создаваемое соленоидом BCD, равно Нь а обус-
298

ловленное соленоидом CD — Н2. Суперпозиция двух полей и есть поле
конечного соленоида ВС, которое эквивалентно результату сложения
полей, порождаемых магнитными зарядами, расположенными в
концах соленоида.
Рассмотрим теперь взаимодействие между двумя полубесконеч-
ными длинными соленоидами (не обязательно расположенными в
одной плоскости) (рис. И). Один из соленоидов, характеризуемый
площадью поперечного сечения аг плотностью тока i, числом витков
на единицу длины я, находящийся вне плоскости рисунка, может быть
заменен эквивалентным магнитным зарядом, расположенным в
конечной точке соленоида L. Второй соленоид (MN) характеризуется
соответственно значениями a', i', п' и располагается в плоскости рисунка,
взаимодействуя с магнитным полем первого соленоида.
Возьмем элемент ds на расстоянии s от конечной точки М
соленоида MN. Магнитное поле, создаваемое первым соленоидом в точке
расположения элемента ds, есть Я = — (iari) — . Элемент эквива-
4л г2
лентен магнитному слою с дипольным моментом (i'a'n'ds). На него
действует сила, обусловленная полем Н, и крутящий момент. Для
вычисления взаимодействия в целом необходимо проинтегрировать соот-
Рис. 10. К расчету магнитного поля, создаваемого полубесконечным
бесконечно тонким соленоидом
L
Рис. И. К расчету взаимодействия двух полубесконечных бесконечно
тонких соленоидов
299

ветствующие выражения для силы и крутящего момента по объему
соленоида MN в целом.
Выражение для силы имеет вид
F = $idl X Н.
Рассчитаем ^-компоненту силы:
Fx = Ф Мх (dl X Н) * )' id I (Н X пЛ) =
Я( дВх дВи дВ2\
iv X (Н X П,).*= + и— + V —) ,
где X, v — направляющие косинусы ds\ пх, пу, п2 — координатные
орты. Подобные же уравнения могут быть получены для Fy и Fz.
Вводя обозначение rn = ids (пхА n^i + n2v), запишем
выражение для силы, действующей на дипольный момент т в изменяющемся
поле:
F = V(mH).
В нашем случае имеем
dF = у j(i'n'a'ds) ~j cos 0j =
f 1 d cos a — s
_ у i— nn'ii aa'ds
4л r3
1 f d cos a — s )
= — tin ii aa dsv < } ,
4л \ r3 )
d cos a — s
где cos 0 = . Обозначая k= ii'nn'aa', запишем:
r
, d cos a — s
dF = kdsy
В прямоугольной системе координат, где ось х направлена вдоль LM
и начало координат находится в точке М, находим:
. . J d cos a—[(d—х)г + у2] ^2\
 dFx = WSV I (* + ?)'* 1 '
Откуда после дифференцирования получаем:
, , { cos a 3 (d cos a — s)(d — s cos a))
^ я=kds I __ _ _S _Д ,
, , f sin a 3s sin a (d cos a — s) )
= - j .
300

Вводя обозначение | = s — d cos а и учитывая, что г = {(s — d cosa)2-|-
-f- (d sin а)2}1/2 и d£> = ds, можем провести интегрирование по
В результате приходим к следующему выражению:
1 	1
Fy = nn'ii'cia' — , F1t = 0.
* 	4л dJ
Крутящий момент, действующий на элемент соленоида, обладает
только z компонентой
d sin a
d%z = xdF у — ydFx =—kds —-— .
Помимо этого, существует еще крутящий момент, обусловленный
полем, выражение для которого имеет вид
/1 1 \
 тН sin 0 = V п' a'ds — itia — sin 0 =
\4ji /'2 /
sin 0 r sin 0 d sin a
_ —— __ frfe _ frfe — —
г г r3
Сумма этих моментов для произвольного элемента соленоида равна
нулю. Следовательно, два полубескоиечных тонких длинных соленоида
взаимодействуют между собой с силой, которая обратно
пропорциональна квадрату расстояния между их концами.
Приложение Б
ОБ УСЛОВИИ ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТИ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [351]
Как известно, перестановочные соотношения для генераторов
неоднородной группы Лоренца имеют следующий вид:
К Pv1=0' [V P>.1 = 6^v-6bvV
(Б.1)
[J , J ] = б У— б / — б J + б У ,
1 |iv pa vo м,р |na vP vp цо 1 цр va
где операторы pv генерируют пространственно-временные трансляции,
а операторы/^—лоренцевы вращения (Jhi — трехмерные вращения
и /4/i — собственно преобразования Лоренца). Эти операторы связаны
с компонентами плотности тензора энергии-импульса изучаемой
системы:
pk= — i J d3xT4k,
JKl =— i J (Fx (xkT4i — X[T4k), (Б.2)
*^4h = * j d3x (x^T-f- 44) = x±Ph * J d^xXfaT
301

Мы будем иметь непротиворечивую релятивистскую квантовую
теорию рассматриваемых полей, если операторы/jbtvnpv , выраженные
с помощью T^v через фундаментальные динамические переменные
поля, будут удовлетворять с учетом известных правил коммутации"
для полевых компонент геометрическим перестановочным
соотношениям (Б.1).
Перестановочные соотношения, связанные с лоренц-инвариант-
ностью в собственном смысле, имеют вид
[Ти(х), Г44 (*')] = ~idhb (х - x'){Tih (х) + Tih (х’)) (Б. 4)
обеспечивает выполнение соотношений (Б.З).
Интегрируя обе части (Б.4) по d3x' и используя закон сохранения
Отсюда следует, что р4 играет роль генератора временных
трансляций.
Учитывая (Б.4) и (Б.6), можно прямой проверкой убедиться в
справедливости следующих соотношений:
= —i | d3xxh [Г44 (*'), р4] = — j d3xxhdiTi; (х) = ph. (Б.7)
Аналогичным путем можно найти, что перестановочное соотношение
(Б.Зб) также следует из (Б.4). Мы видим, что выполнение
перестановочных соотношений (Б.4) оказывается достаточным для обеспечения
лоренц-инвариантности теории. Это утверждение, как показал Швин-
гер [351], справедливо по отношению к наиболее важному случаю
физических систем — локальным системам.
1. 	В нерелятивистском приближении водородоподобная система из двух
дуально заряженных частиц описывается гамильтонианом следующего
вида (см. §4 гл. 5):
* W4pj — Pk>
Wah> A/1 — Jkl*
Покажем, что выполнение перестановочных соотношений
(Б. За)
(Б.Зб)
(Б.5)
получим
—[7\uM. Pi\ = д4Ти(х).
(Б. 6)
»Pi] = {х*Pk — j* d*xxhTu (x) p4]
Приложение В
НЕУНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ g/e
В ЗАДАЧЕ КЕПЛЕРА
И ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ МАГНИТНОГО ЗАРЯДА [83]
302

Н = ~2ЛГ (р — ^ D (г))'2 ~ ~ * (В1>
гхп
где D (г) = — (п — единичный вектор в направлении линии
г (г — гп)
сингулярности); \l = - lg24п^г > а =" ^ 4д^2~; 6v gl’ 62’
соответственно электрический и магнитный заряды первой и второй
частицы; М — приведенная масса. Условие зарядового квантования здесь
и в дальнейшем не учитывается, а величина jx считается малым
параметром (|х/й С 1). Поэтому будем пренебрегать членами, содержащими
|л2. Направляя ось г вдоль п и переходя к сферическим координатам,
преобразуем гамильтониан (В. 1) к следующей форме: Н = Н0 + Н,
р2 а
где Н0 = ^ — оператор энергии обычной кеплеровой зада-
Lz 1
чи, а величину Н' = ц — —— можно рассматривать как
1*41 Г (1 cos у у
оператор возмущения (Lz — оператор z-компоненты обычного углового
момента). Отыщем поправки первого приближения к энергетическим
уровням. Благодаря специфической форме оператора Н' его
диагональные матричные элементы вычисляются в общем виде и оказываются не
зависящими от / и численного значения т. Действительно, общее
выражение для матричного элемента Нпп имеет следующий вид:
00
Н'пп = 2 а'т ai’m’ J RnlRnl'dr х
1,1',т,т' О
л 2я
X J Р? Pf l ^'"os dQ je-im<?Lzeim'Vdy,
О о
где Rni(r)—обычные радиальные функции кеплеровой задачи; Pf(cos0)—
присоединенные полиномы Лежандра. Интегрирование произведения ра-
00
Г I z \2
диальных функций дает следующий результат: \ RniRnvdr= — X
\ До /
X — ——б//'. Поэтому матричные элементы диагональны по L
2я
Используя далее j* el^m~m ^d(p = 2л6тт', а также известные рекур-
о
рентные соотношения для P^cosG), находим:
я . «(л 2я
"27 ] р“ ^ -Т=^Г J ^ * да-" 8“"'-
О 0 11
(В.2)
303

В итоге приходим к следующему выражению для энергетических
термов водородоподобной системы:
Me2 т и Мс2
Еп=~ 2п* а'+~М (В'3
Каждый из них оказывается расщепленным на три.
Из (В.З) видно, что верхний предел для ji, а следовательно, и для
связанной с величины магнитного заряда g(°bs)=—jj, может быть
г
оценен из экспериментальных данных, поскольку
с Mcibi'3
g{obsK< г Д Е = е
с Маоп3 Д Е п3
Д/7 _ р
Мс2 ос3
где АЕ — наблюдаемое отклонение положения энергетических термов
Мс2
водородоподобной системы от величины Еоп = ^ о а2. Подобное
расщепление в реальных водородоподобных системах отсутствует, поэтому
АЕ заведомо не может быть больше естественной ширины уровня.
Отсюда получаем оценку для верхнего предела величины g(°bs) для
протока, пиона и мюона (при п= 2): gp0l?^< 10-5 е (атом водорода, Д£ ^
^ 4-10—7 эв); <Ю-5 е (пи-мезоатом, Д£^10-4зв [419]);
^10~6е (мю-мезоатом, А£^6,5-10~5 эв [420]). Для улучшения
оценки на основе такого метода следует использовать метастабильиые
уровни. Однако даже в наиболее благоприятном случае для обычных
атомных систем такая оценка намного хуже той, которая получается из
макроскопических измерений. Иначе обстоит дело в случае мезоатомов.
Прямая экспериментальная оценка g(°bs) для пиока до сих пор вообще
не производилась, а оценка на основе спектроскопических
данных имеет тот же порядок, что и найденная другими методами.
Нижний предел величины наблюдаемого магнитного заряда нестабильных
частиц, который в принципе может быть достигнут на основе
использования спектроскопических данных для мезоатомов, естественным
образом ограничен временем жизни таких частиц. Соответствующие
предельные оценки таковы: (g^0ibs))lim<^3,5- Ю-9 е\ (gjl0&s))iim< 4,5-Ю"11 е\
 (g#M)Hm<2,9.10-»e.
2. 	Гамильтониан Клейна—Гордона для системы, состоящей из двух
дуально заряженных частиц, определяется соотношением
нка = (Е + ~ f - Мсг - с2 [Р -1*D (В-4)
Пренебрегая членами, пропорциональными |х2, получим Н2^а = Н°£а +
-j- Н2 , где Н°^а — гамильтониан Клейна—Гордона обычной кеплеровой
задачи, а оператор возмущения Н'1 в сферических координатах имеет
вид
Н'1' = —2с2и — —. (В.5)
г2 (1 — COS 0)
304

Для матричного элемента оператора Я2 , вычисляемого относительно
собственных функций \nlm> оператора Я^с, используя (В.2), а также
известное выражение для интегралов от радиальных функций
уравнения Клейна—Гордона, находим: <nlm\H2 | nlm>=—Р2£, где
пг 21+1
В =ia Цс2—- — ! , (В.6)
рп И 2 (2s + 1), V '
1 	а 1 \2
■--т+К'+т]
1/2
Для отыскания в явном виде поправки первого приближения к
собственным значениям энергии поступим следующим образом. Если
подставить выражение для матричного элемента cnlm j Я2 | nlm> вместо
Я', то оператор Я^2 = Я^с -J- cnlm j Я2 | nlm> будет отличаться
от оператора Я^с обычной кулоновской задачи лишь заменой параметра
Р2 на параметр Р2 = Р2 (1 + 4B/ft2c2), где В определяется формулой
(В.6). Поэтому решение уравнения Клейна—Гордона с оператором Я^
может быть проведено по обычной схеме, в результате чего для
собственных значений Е рассматриваемой задачи получается выражение
( ( 4В \-1 Л—1/2
Е = Мс2 \l+(Za)2K-2 1 +
tfc2
{ ( aZ \2 Л—1/2 4В
которое отличается от Е =МсЧ\ + I —— I J множителем 1+ д2с2
при Я,2. Отсюда находим в первом приближении по |х:
т Me2 (Za)2 2/+1
0 + * И Й [1 + Ь-2 (2а)2Р/2 ** 2s + 1 ’
или с точностью до членов порядка а2:
т Мс2 „ чп
£=£в+^
Мы видим, что поправка к собственным значениям энергии в
рассматриваемом приближении совпадает с (В.З). Как и следовало
ожидать, использование релятивистской теории в бесспнновом случае не
дает качественно новых результатов по сравнению с нерелятивистским
вариантом. Поэтому оценку g(°bs) для к- и /(-мезонов на основе
данных об энергетических уровнях соответствующих мезоатомов можно
проверить, используя результаты, полученные на базе уравнения
Шредингера.
3. 	При использовании дираковского гамильтониана оператор
возмущения запишется в следующем виде (сферические координаты):
1 4- COS 0
= ^ ~ г sin 0 ^2C0S 0 “ aiSin 0)’ * *
20. За к. 670
305

где
где аь а2 — стандартные матрицы Дирака. Расчет поправок первого
приближения к энергетическим уровням обычной релятивистской кеп-
леровой задачи сводится к вычислению матричных элементов типа
< nj'I'm'j I Н' j njlrrij ) , (В. 8)
где |n//mj> —известные биспинорные решения обычной
релятивистской задачи Кеплера. Как можно убедиться, недиагональные по j
матричные элементы (В.8) обращаются в нуль, а для отличных от
нуля матричных элементов получается следующее выражение:
uZ
< П, /, /±1/2, ntj I Н In, /, j ± 1/2, rtij) = т -f— х
N а0
_L
(1 — е2) 2
X 1 • {(N — х)2 — л'2 — 2vn'},
2yN(N — n) u * 1
Г—(У + 1/2) =-(' + 1), если / = / + 1/2,
* \ / + 1/2 = /, если / = I — 1/2,
е = £/£„, Y = {и2 — (2а)3}1/2, N = (и2 - 2п' (|к| - y))U2 ,
п' =n— |х|, (1— е2) =~jf •
Отсюда находим окончательное выражение для поправки первого
приближения к энергетическим уровням релятивистской
водородоподобной системы:
u Me2 0 (N — х)2 — п'2 — 2уп'
АЕ = ± (Za)2 — , (В. 9)
h 2 ' ' у N*(N — x) к
где знаки ± относятся к значениям / = /-Т 1/2 соответственно.
Мы видим, таким образом, что влияние неуниверсальности
отношения g/e в релятивистском (дираковском) случае проявляется в
снятии двукратного вырождения, существующего в обычной задаче при
фиксированных п, т. е. имеет место своеобразная имитация лэмбов-
ского сдвига. Численная величина этого сдвига, согласно (В.9),
определяется следующим выражением:
ц Мс2
mLS= Ь т (Za) +
(Ы — х)2 — п'* — 2и'
гдев1.2 = yN*(N-x) для/ = /+1/2 и / 1/2 соот-
ветственно. Тогда для наблюдаемой величины магнитного заряда
получаем соотношение
*(«*) = — 2 {6E)ls е (в 10)
* е Мс*о?1* (Вх + В2) е- ( J
Отсюда можно получить оценку для g(ol)s), если определить величину
(6£) из экспериментальных данных.
х*о
306

Очевидно, в качестве (&E)Ls не может фигурировать вся
наблюдаемая величина лэмбовского сдвига, так как последняя вполне
удовлетворительно вычисляется в рамках стандартной однозарядовой
электродинамики. За счет неуниверсальности отношения g/e можно
относить ту часть (6E)ls, которая не может быть получена обычным
способом. Известно, что для электронных атомов обычная теория
лэмбовского сдвига дает величину, совпадающую в пределах
экспериментальных погрешностей с наблюдаемым значением разности
энергий. Поэтому для получения численной оценки наблюдаемого
магнитного заряда протона на базе формулы (В. 10) в качестве величины
(бE)Ls следует выбрать среднюю ошибку эксперимента. Так,
например, разность уровней 2sl/24 2р|/2атома водорода определена с
точностью Д£~2,4-10~10 эв. что дает для верхнего предела магнитного
заряда протона gp°bs* ^0,7-10-9 е. Хуже обстоит дело в случае мю-
мезоатомов, где пока отсутствуют данные точных измерений для
простейших систем типа мюонного водорода или гелия. Кроме того,
обычный теоретический расчет для мю-мезоатомов содержит
неопределенность из-за погрешностей в определении спеднеквадратичного радиуса
ядер. В наиболее благоприятном случае Я — мю-мезоатома эта
неопределенность составляет Д£~8,Ы0~5 эв. Очевидно, сравнивать
результаты обычной теории с экспериментом имеет смысл только с
точностью до указанной величины Д£. Отсюда получаем для величины
нижнего предела g[°bsK которая может быть получена из данных по
лэмбовскому сдвигу в мю-мезоатомах: 1 Л . 10~6 е. Из
имеющихся экспериментальных данных для тяжелых мю-мезоатомов
(одно стандартное отклонение ~20 эв, см. [420]) получаем оценку
g(obs) <1(Ь4 е
Приложение Г
О 	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
СИНГУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ [115] *>
Будем рассматривать вектор-потенциал А, определяемый
формулой (5.43), как обобщенную функцию, т. е. сопоставим величине А
линейный непрерывный функционал
(А. ф) = f AydV.
Здесь ф(г)—векторные функции, принадлежащие основному
пространству. Они, как известно, финитны и обладают непрерывными
производными всех порядков (см., напр., [418]). Согласно
определению производной от обобщенной функции величина rot А (которая
также есть обобщенная функция) задается на основе следующего
соотношения:
(rot А, ф)=(А, rot ф) = J A roUp dV, (Г.1)
*) Здесь использована гауссова система единиц.
20*
307

где дифференцирование основных функций ф понимается в обычном
смысле.
В качестве объема интегрирования V' выберем все пространство
за исключением полубесконечного кругового цилиндра с радиусом
основания, равным е (е — малая величина), и полусферы того же
радиуса. Линия сингулярности направлена вдоль оси цилиндра и
заканчивается в центре полусферы (см. рис. 12). Поэтому можно написать:
Г A rot ф dV = lim Г A rot ф dV.
е^о
Воспользовавшись известным тождеством
div (Ах ф) = ф rot А — A rot ф,
учитывая, что внутри области интегрирования справедливо
соотношение Н = rot А = — gr/rB = g grad (1 /г), и преобразуя |* div (А х ф) dV
V'
в интеграл по поверхности, приходим к выражению
J A rot <pdV =— J (А X Ф) dS + g f grad ] ydV, (Г.2)
V' s V' ' r /
где 5 — замкнутая поверхность, охватывающая область
интегрирования VВ рассматриваемом случае 5 = Sx + S2 + S3, где $i — П0‘
верхность сферы большого радиуса, на которой основные функции ф
обращаются в 0; S2 — поверхность полусферы; S3— боковая
поверхность цилиндра. Очевидно, (А’Х ф) dS = 0, поэтому необходимо
вычислить лишь вклад от интегралов по поверхности S2 и Sз-
Нетрудно убедиться, lim (А X ф) = 0. В самом деле, используя выра-
е-*0 а'
•^2
Рис. 12. К вычислению rot А в точках, расположенных на линии
сингулярности
308

жение (5.43) для А и применяя теорему о среднем, находим после
элементарных преобразований
Г/лч.Ллс £(пФ(го))яе g( nn')(n>(ro))ne
|(ДХФ)« = 1 _со,е ■ (Г-3)
5а
где г0 — радиус-вектор точки, расположенной на полусфере; п' =
= го/го — единичный вектор нормали к полусфере; 0 — угол между
направлением внешней нормали к полусфере и направлением линии
сингулярности (cos 0 = пп'). Поскольку для точек полусферы cos 0¥= 1,
знаменатель в (Г.З) конечен и правая часть (Г.З) обращается 0 при
е 0.
Вычислим теперь интеграл по внешней поверхности цилиндра.
Вновь применяя теорему о среднем, находим:
Г (Ахф) dS = J- rn" I 2лeh, (Г.4)
J г г — пг 0
где /г—расстояние, на котором основные функции отличны от’0,
п" — единичный вектор нормали к поверхности цилиндра в точке г =
= П)> Го— радиус-вектор точки, принадлежащей поверхности цилиндра
г2— (пг)2 = е2. В пределе е -► 0 имеем, учитывая г = r0 sin 0:
Г (АХФ) dS = — П^(Го) г0п"2яeh =
J г0 г0—пг0
8 Щ (го) . Л „ . „ ,
— г0 sin 0 2яг0 sm 0 п =
= о - Л /nblllOZJLAn
Г20 1 — COS 0 0 0
sin2 0 о , ч 0
= — 2nght\(p (r0) — — = — 2nghn<p (r0)
1 	— cos 0 1 — cos 0
e+o
= — 2nghn(p (r0) (1 + cos 0) -► — 4nghn<p (r0). (Г.5)
Вводя тэта-функцию согласно обычному определению:
1, nr > 0
0 (nr) = ,
v I 0, nr <0,
можно переписать последнее равенство в следующем виде:
lim Г (АХф) dS = — f 4g0 (пг) 6 [г2 — (nr)2] ncp (г) dV. (Г.6)
*~°s. J
С учетом соотношений (Г.2) и (Г.6) окончательно получаем:
309
(Г.7)

что совпадает с выражением (5.44а). Нетрудно видеть, что определение
(Г.7) согласуется с тождеством div rot А = 0. В самом деле, на
основании известных формул векторного анализа с учетом п = const
находим: div {п0 (пг) б [г2 — (пг)2]} = п grad 0 (пг) б [г2 — (nr)2]-f0 (nr) п х
Xgrad б [г2 — (пг)2] — пг)2], откуда, используя соотношение dd (y)/dy=
=б (у), после простых преобразований приходим к формуле
div rot А = —4 ng6 (г) + 4g6 (пг) б [г2 — (пг)2].
Однако б-функции вида б (г) = б (*) б (у) б (z) и я_1б (пг) б [г2 —
— 	(пг)2] равны между собой в смысле равенства двух обобщенных
функций (т. е. J б (г) / (г) dV = — J б (пг) б [г2 — (пг)2] fdV, где
/(г) — любая достаточно гладкая функция). Поэтому можно считать,
что равенство div rot А = 0 выполняется тождественно.
Приложение Д
О КВАНТОВАНИИ ПО МЕТОДУ ПАЙЕРЛСА
В основу метода квантования, предложенного Пайерлсом [372],
положено новое общековариантное определение скобок Пуассона для
классического поля, которое не требует введения канонических
переменных.
Пусть имеется две системы, одна из которых описывается
интегралом действия S, а вторая — S', причем
S' = S + KA, (Д.1)
где X — бесконечно малый параметр; Л — некоторый функционал от
полевых переменных. Решения модифицированных полевых
уравнений, соответствующих S\ можно записать (в первом порядке по К)
в следующем виде:
Ф« W --= (*) + МЭдФа (*). (Д-2)
где Фа(х) — полевые переменные, удовлетворяющие исходным
полевым уравнениям. Модифицированные решения будут определены
однозначно, если потребовать их идентичности с исходными при
t-+-—оо:
Da Oa(x)lt->—-+0. (Д.З)
Подобно этому «запаздывающему» решению можно определить
«опережающее» решение:
ф« (X) = Фа (х)+*-аАФа (х),
(Д-4)
<7лфа (х) !/_>„-*• 0.
310

предполагает выполнение тождества
eji,vap d$Fy0[t = 0. (Д-9)
Добавим теперь к (Д. 8) член вида Fap (**) и потребуем, чтобы
модифицированное решение удовлетворяло (Д.9). В результате из
модифицированного интеграла действия найдем уравнение
3V V = - бРИ ) 6 (* -
Записывая F^v в форме (Д. 2) и предполагая выполнение граничного
условия (Д.З), имеем:
( д2 а2
dXvgXfi dXfidXfi
д2 д2 \
 где
□Dret (х) = 6 (*)
и Dret (х) обращается в нуль для х < 0.
Проводя аналогичные рассуждения для опережающего случая, из
сопоставления (Д.5) и (Д.7) получаем:
( д2 д2
l^aft(xi)> ^M-v Ml = рац ^ —^av
dxfidxv дхрдхц
311
Исходя из модифицированных решений, можно задать (в первом
порядке по К) приращения DAB, DaB любого функционала В от
полевых переменных. Скобки Пуассона запишем в следующем виде:
{А, В] =DAB-aAB. (Д.5)
При этом функционалы А, В зависят от полевых переменных,
заданных в разные моменты времени.
Для используемого нами класса лагранжианов справедливо не
только равенство (см. [372])
[^a(^i)» Ф|3 (*2)] = * (®a ФрС-^г)}» (Д-^)
но и соотношение
[Л, В] =i{A, В). (Д.7)
В качестве первого примера рассмотрим, следуя [372], случай
электромагнитного поля. Как известно, использование интеграла действия
вида
(Д.8)

^ dxadxv ^Pv dxadxvl \ D x^'
где D(x — A't) = Dret (x — xt) — Dadv (x — xj.
Если, однако, Фа(Х) — спннорное поле ^аМ> то аналогичная
процедура приводит к обычному коммутатору. Чтобы избежать
этого, следуя Пайерлсу [372], необходимо предположить существование
некоторого оператора 0, который изменяет знак при вращении
координатных осей на 2я и антикоммутирует со всеми компонентами
спинорного поля во всех пространственно-временных точках. Но тогда
величина О'фаМ является однозначной и ее можно использовать при
выводе перестановочных соотношений. Применяя правило (Д.6) к
этой величине, получаем:
[в^а (xi)i tp (*2)] = ' {&Фа(*1). tp (*г))- (Д. 10)
Левая часть (ДЛО) может быть записана в виде
Ффа C*i) (*2) (*2) (*i) =
= 0 (ta (xi) 'I’p (хг) + tp (*г) 'Фа W) •
В результате приходим к антикоммутационным соотношениям.
Поскольку скобки Пуассона в правой части (Д.10) также содержат
множитель 0, последний можно опустить.
Рассмотрим еще случай взаимодействующего электромагнитного
и спинорного полей. Интеграл действия имеет вид
S 	= — $d*xq> {?ц (дц— ieA^ + m} г|з — -у j d*x 14*^) • (Д' И)
Если к S добавить член вида %Q 0фа (л;1), то из модифицированного
интеграла действия следуют уравнения
(Yap ~ ieA'v) + m6ap) tp = К 0Saa6 (х - xj,
— 	Ypa — >еУ'У$аА'р + т~^а = °* (Д' 12>
□ + iety'y^' = 0.
Отметим, что для получения физически приемлемого решения
необходимо, чтобы г|)', г|/, А^ были идентичны г)?, если только td1.
При этом -ф' и А^ не должны иметь разрывов при t = tlt так как в
противном случае во втором уравнении (Д. 12) возникал бы
сингулярный член вида б (t — tx), а в третьем уравнении (Д. 12)—член вида
б'(t — tx). Но 'ф имеет разрывный характер. Поэтому рассмотрим
сингулярную часть первого уравнения в (Д. 12)
YaP°atp = 0Saafi (х — (( = + °) ■
где а = 0i|)a (хх). Следовательно,
312

£>a% = вУро6 (•* — *l) (/=/l + °)- (Д-13)
Опережающее решение Daty противоположно по знаку решению (Д. 13)
для t = tx — 0, так что
I0 %(•*!)> 'tp (•*)]= 0VpCTS (AT — ATj)
ИЛИ
[^a (xi> ^i)» (x2* ^i)]+ = (xi — хг)*
Аналогично из второго уравнения в (Д. 12) следует
hMxi> *i). %(x2> *i)]+ = °
и соответствующее соотношение для [ij), \|)]+. Таким же способом
можно найти перестановочные соотношения для A (xlt tx) и А^(х2,
Приложение Е
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ,
СОЗДАВАЕМОГО СТАТИЧЕСКОЙ e—g ПАРОЙ [97]
Пусть монополь расположен в начале координат, а электрический
заряд — на оси z (см. рис. 13). В соответствии с обычным
определением полного момента
количества движения поля запишем
следующее выражение:
L = J* (Е X Н) X rdV, (E.l)
V
где интегрирование проводится
по всему пространству. Вслед-
Рис. 13. К вычислению момента
количества движения,
создаваемого статической е—g-парой
ствие аксиальной симметрии задачи отлична от нуля только
г-компонента L. Переходя к полярным координатам, замечаем, что ( ExН) Хг
не зависит от ф, так что можно рассчитывать эту величину в точке
(г, 0, ф = я/2), г = г1.
Пусть г2 = (а2 + г\ —2агг cos 0)1/2 — расстояние от электрического
заряда до точки Р 0, ф = -Il_j иг)) — угол между векторами Е
313

314
и Н. Тогда
и
Так как sin-ф/а = sin 0/г2, то (Е.З) запишется следующим образом:
В результате выражение (Е.1) примет вид:
Интеграл по 0 может быть найден с применением интегрирования
по частям:

(Е.6)
Если г < а, то из (Е.6) получаем I = 4/3а3. При г > а имеем / =
= 4/Зг3. С учетом последнего результата можно провести
интегрирование по с и в итоге находим:
что соответствует формуле (7.1).

ЛИТЕРАТУРА
К гл. 1
МАГНИТНЫЕ ИСТОЧНИКИ В РАЗВИТИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
1. В. Гильберт. См. русск. перев.; О магните, магнитных
телах и о большом магните — Земле. М., 1956.
2. Е. A. W h i 11 a k e r. A history of the theories of aether and
electricity. N. Y., 1960.
3. П. С. Кудрявцев. История физики, 2-е изд., М., 1956.
4. М. J1 ьоцци. История физики, пер. с итальянск. М., 1970.
5. А. А. Э й х е н в а л ь д. Электричество, 5-е изд. М., 1928.
6. О. Heaviside. Electromagnetic theory. London, 1893;
Electrical papers. London, 1892, v. 1; Phil. Trans. Roy. Soc., 183A, 423,
1893.
7. H. Hertz, a) Ann. d. Phys., 23, 84, 1884 (перепечатка-
H. Hertz, Ces. Werke, Bd. 1. Leipzig, 1895); 6) Ann. d. Phys., 24, 114,
1885 (перепечатка: Ces. Werke, Bd. 1.); в) Ann. d. Phys., 36, 1, 1889
(см. русск. перев. в кн.: Из предыстории радио. М., 1948).
8. А. Т. Г ригорьян, A. Н. Вяльцев. Генрих Герц. М., 1968.
9. М. План к. См. русск. перев. в кн.: Джемс Клерк Максвелл.
М., 1968.
10. И. С. Ш а п и р о. УФН, 108, 319, 1972.
И. А. М. В о г k. Amer. J. Phys., 31, 854, 1963. См. русск. перев.
в кн.: Джемс Клерк Максвелл. М., 1968.
12. G. Н. Fitz-Gerald The Electrician, 11, 1893. Опубликовано
в кн.: J. L а г т о г. The Scientific Writings of the late George Francis
Fitz-Gerald. Dublin, 1902.
13. J. Larmor. Collected papers. London, 1928.
14. B. Backer, E. Copson. Mathem. theory of Huygens
Principle. Oxf, 1939.
15. А. А. Пистолькорс. ЖТФ, 14, 693, 1944.
16. Г. 3. Айзенберг. Антенны ультракоротких волн. М., 1957.
И. 3. К а ц е н е л е н б а у м. Высокочастотная электродинамика. М.,
1966.
17. Л. Д. Гольдштейн, Н. В. Зернов. Электромагнитные
поля и волны. М., 1971.
18. Ф. И. Федоров. Оптика анизотропных сред. Минск, 1958.
19. В. И. Воронцов. Автореф. канд. дис. Минск, 1965.
20. R. Katz. Amer. J. Phys., 30, 41, 1962.
21. Я. И. Френкель. Электродинамика, т. 2. М., 1940.
22 Report of the Coulomb’s law commitiee of the A. A. P. T. The
teaching of electricity and magnetism at the college level. Amer.
J. Phys., 18, № 1—2, 1950.
23. И. E. Там м. Основы теории электричества. М., 1966.
24. Н. S С. С h е n. Amer. J. Phys., 33, 563, 1955.
316

25. Л. Д. Ландау, Е. И. Л и ф ш и ц. Электродинамика
сплошных сред. М., 1957.
26. В. Л. Г и н з б у р г, В. Я. Э й д м а н. ЖЭТФ, 35, 1508, 1958.
27. F. К о 111 е г. Ann. d. Phys., 71, 462, 1923.
28. A. Love. Phil. Trans. Roy. Soc., 197, 1, 1901.
29. S. A. Schelkunoff. Electromagnetic waves. N. Y., 1943.
30. Дж. А. Стрэттон. Теория электромагнетизма, пер. с англ.
М., 1949.
31. А. И. Потехин. Некоторые задачи дифракции
электромагнитных волн. М., 1948.
32^А. Е. Левашев, В. И. Воронцов. Изв. вузов СССР,
физика,!^ 1, 1965; Acta Phys. Polonica, 23, 655, 1963.
33. М. А. Т о н н е л а. Основы электромагнетизма и теории
относительности. М., 1962.
34. R. М. F а п о, L. I. С h u, R. В. Adler. Electromagnetic field,
energy and forces. N. Y., 1960.
35. P. P e n f i e 1 d, H. A. H a и s. Electrodynamics of moving media.
Cambridge, Massachusetts, 1967.
36. L. S с h i f f. Proc. Acad. Sci, 25, 391, 1939.
37. D. L. Webster, R. C. Whitten. Astrophys. and Space Sci.,
24, 	323, 1973.
38. A. E. Левашев, Нгуен Ван Txoa. Изв. АН БССР, сер
физ.-мат. наук, № 5, 79, 1971.
39. С. Miil ler. Foundations of the mathematical theory of
electromagnetic waves. Berlin, 1969.
40. Дж. Джексон. Классическая электродинамика. М., 1965.
41. Е. Cohn. Das elektromagnetische feld. Leipzig, 1900; Zweite
Aufl. Leipzig, 1927.
42. А. Зоммерфельд. Электродинамика. М., 1958; Elektro-
dynamik, 5 Aufl. Leipzig, 1967.
К гл. 2
ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
43. G. Y. R a i n i с h. Trans. Am. Math. Soc., 27, 106, 1925.
44. А. Б. Боргардт. ЖЭТФ, 33, 791, 1957; 34, 1233, 1958; авто-
реф. докт. дис. Минск, 1965.
45. С. Misner, J. A. Wheeler. Ann. of Phys., 2, 523, 1957.
46. Дж. Уилер. Геометродинамика. М., 1962.
47. Т. Т a k а b а у a s i. Compt. Rend., 248, 70, 1959.
48. R. J. P e n n e y. Math. Phys., 5, 1431, 1964.
49. M. G. С a 1 к i n. Amer. J. Phys., 33, 958, 1965.
50. Ю. Б. Py мер, А. И. Фет. ЖЭТФ, 55, 1390, 1968.
51. А. С. Пот у па, В. И. С т р а ж е в. Матер. I республ. конф.
молодых ученых. Минск, 1970.
52. G. М. Levman. Can. J. Phys., 48, 2423, 1970.
53. В. И. С т р а ж е в. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 5,
72, 	1971.
54. А. Б. Пестов. Связь между уравнениями Дирака и
уравнениями Максвелла. Дубна, ОИЯИ, препринт Р2-5798, 1971.
317

55. А. О. В a rut* M .С a r me 11 i, S, Mai in. Ann, of Phys., 77,
452, 1973.
56. Ю. С. M а в p ы ч e в. Изв. вузов СССР, физика, N° 5, 146, 1973.
57. В. И. С т р а ж е в. О внутренних симметриях теории с безмас-
совыми частицами. Минск, препринт Института физики АН БССР,
1975.
58. В. И. С т р а ж е в. ДАН БССР, 19, 1975.
См. также [63, 66, 68, 69, 74, 76, 147, 148, 297].
К гл. 3
ДУАЛЬНО СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
БЕЗ МОНОПОЛЯ ДИРАКА
59. L. Р a g е, N. A d a m. Electrodynamics. N. Y., 1940.
60. Н. Н а г г i s s о n et all. Am. J. Phys., 31, 249, 1963.
61. E. К a t z. Am. J. Phys., 33, 306, 1965.
62. P. G. H. S a n d a r s. Contemp. physics., 7, 419, 1966.
63. H. F г о 1 i с h. Progr. Theor. Phys., 36, 636, 1966.
64. P. В. T e в и к я н. ЖЭТФ, 51, 791, 1966.
65. Р. В. Т е в и к я н. ЖЭТФ, 50, 911, 1966.
66. А. С. П о т у п а, В. И. С т р а ж е в, Л. М. Т о м и л ь ч и к.
Дуальная инвариантность в электродинамике. Минск, препринт
Института физики АН БССР, 1967.
67. К. I. Е р s t е i n. Phys. Rev. Lett., 18, 255, 1967.
68. В. И. С т р а ж е в, Л.М. Т о м и л ь ч и к. Изв. АН БССР, сер.
физ.-мат. наук, № 2, 102, 1968.
69. А. С. Потупа, В. И. С т р а ж е в, Л. М. Т о м и л ь ч и к.
Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 3, 124, 1968.
70. А. С. Потупа, В. И. С т р а ж е в, Л. М. Томильчик.
ДАН БССР, 12, 690, 1968.
71. R. F. Palmer, J. С. Taylor. Nature, 219, 1033, 1968.
72. Г. А. 3 а й ц е в, А. М. С о л у н и н. Изв. вузов СССР, физика,
311, 	53, 1969; Г. А. Зайцев. Изв. вузов СССР, физика, № 12, 19,
1969.
73. А. С. П о т у п а, В. И. С т р а ж е в, Л. М. Т о м и л ь ч и к. Изв.
АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 2, 96, 1970.
74. В. S. Rajput. Indian J. Pure Appl. Phys., 8, 297, 1970;
B. S. R a j p u t, R. N. Singh. Indian J. Pur. Appl. Phys., 8, 439, 1970.
75. Ю. С. Маврычев. Изв. вузов СССР, физика, № 9, 129,
1970.
76. В. И. С т р а ж е в. Магнитный заряд в электродинамике.
Минск, препринт Института физики АН БССР, 1970; Изв. АН БССР,
сер. физ.-мат. наук, № 6, 122, 1970; Автореф. канд. дисс., Минск, 1970.
77. N. Y. Н a n, L. С. В i е d е n h а г n. Nuovo Cim., 2А, 544, 1970.
78. Р. Г. Т а р х а н я н. ДАН АрмССР, 53, 156, 1971.
79. В. И. Страже в. Теоретическая, математическая физика, 13,
200, 1972.
80. В. И. С т р а ж е в. Матер. II республ. конф. молодых ученых.
Минск, 1972.
81. Don Weingarten. Ann. of Phys., 76, 510, 1973.
82. В. S. Rajput, О. P r a k a s h. Indian J. Phys., 47, 641, 1973.
318

bd Ю. C. Б и з а, Л. М. Т о м и л ь ч и к. Изв. АН БССР, сер. физ.-
мат. наук, № 2, 1975.
См. также [109, 113, 146, 147, 148, 159, 160, 179, 200, 259, 260 в, 283,
297].
К гл. 4
ГАЛИЛЕЕВСКИ ИНВАРИАНТНАЯ
ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
84. a) I.-M. L е v y-L е b 1 о n d. Commun. Math. Phys., 6, 286,
1967; б) M. L e В e 11 a с, I.-M. L e v y-L e b 1 о n d. Nuovo Cim., 14B,
217 1973
85. В. И. С т p а ж e в. Intern. J. Theoret. Phys., 13, № 4, 1975.
86. H. В a с r y, J. К u b a r-A n d r e. Intern. J. Theor. Phys., 7, 39,
1973.
См. также [35, 246].
К гл. 5
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
И МАГНИТНОГО ЗАРЯДОВ
1) 	Классическое Описание
87. Н. Р о i п с а г е. Compt. Rend., 123, 930, 1896.
88. J. J. Thomson. Elements of the Mathematical. Theory of
Electricity and Magnetism. London, 1900.
89. G. N a d e a u. Am. J. Phys., 28, 566, 1960.
90. J. R. Lapidus, J. L. Pietenpol. Amer. J. Phys., 28, 17,
1960.
91. Б. Ленарт. Динамика заряженых частиц. М., 1963,
стр. 43—44.
92. F. А 1 s е n a. Acta, cient venezol., 15, 105, 1964.
93. Т. F. Mitchell, J. A. В u r n s. J. Math. Phys., 9, 2016, 1968.
94. A. D. J e 11 e. Amer. Math. Mon., 76, 164, 1969.
95. F. B. Bailey, F. R. Norwood. J. Appl. Phys., 41, 4890,
1970.
96. K. R z a z e w s k i. Acta. Phys. Polon., B2, 707, 1971.
97. E. F. С a r t e r, H. A Cohe n. Am. J. Phys., 41, 994, 1973.
98. А. О. В a rut, H. Becker. Nuovo Cim., 19A, 309, 1974.
99. В. В. Киселев. Изв. вузов СССР, физика № 8, 148,
1974.
100. S. Shanmugadhasan. Can. J. Phys., 30, 218, 1952.
101. E. Durand. Compt. Rend., 242, 1862, 1956; P. Gautier.
Compt. Rend., 245, 45, 1957.
102. JI. М. T о м и л ь ч и к. ДАН БССР, 8, 379, 1964.
103. М. F i е г z. Helv. Phys. Acta, 37, 663, 1964.
104. R. A. Ferrell, J. J. H о p f i e 1 d. Physics., 1, 4, 1964.
105. F. R о h r 1 i с h. Phys. Rev., 150, 1104, 1966.
106. Л. И. Д о p м а н, Ю. И. Окулов. Изв. АН СССР, сер. физ.,
30, 	1590, 1966.
10,7. D. Rosenbaum. Phys. Rev., 140, В804, 1966.
108. 	Т. М. J a n. Phys. Rev., 160, 1182, 1967.
319

109. A. C. Потупа, В. И. С т р а ж е в, Л. М. Т о м и л ь ч и к.
Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 1, 89, 1969.
110. R. L. G a m b 1 i n. J. Math. Phys., 10, 46, 1969.
111. Е. Н. К е г п е г. J. Math. Phys., 11, 39, 1970.
112. D. Т. М i 11 е г. Proc. Cambr. Phil. Soc., 69, 449, 1971.
113. В. И. Страже в. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 1,
106, 	1971.
114. Н. А. С о h е п. Progr. Theor. Phys., 50, 691, 1973.
115. В. И. Т е р е ш е н к о в, Л. М. Т о м и л ь ч и к. Изв. АН БССР,
сер. физ.-мат. наук, № 3, 1975.
116. В. И. Страже в, П. Л. Школьников. Изв. АН БССР,
сер. физ.-мат. наук, № 2, 1975.
См. также [76, 77, 137, 152, 293, 297].
2) 	Квантово-механическое рассмотрение
117*). Р. А. М. Dirac. Proc. Roy. Soc., A133, 60, 1931.
118. И. E. Та мм. Zs. f. Phys., 71, 141, 1931.
119. В. О. G г б п b 1 о m. Zs. f. Phys., 98, 283, 1935.
120. P. J о г d а п. Ann. d. Phys., 32, 66, 1938.
121. P. Banderet. Helv. phys. acta., 19, 503, 1946.
122. Haris h-C h a n d r a. Phys. Rev., 74, 883, 1948.
123. Ф. Кемпфер. Основные положения квантовой механики,
пер. с англ. М., 1967.
124. К. W. Ford, J. A. W h е е 1 е г. Ann. of Phys., 7, 287, 1959.
125 *>. A. S. G о 1 d h a b е г. Phys. Rev., 176* 1489, 1968.
126. D. Zwanziger. Phys. Rev., 176, 1480, 1968.
127. И. В. T ю т и н. Рассеяние электрона на соленоиде. Препринт
ФИАН, № 27, 1974.
См. также [128—136, 139, 140, 145, 150, 157, 171, 172, 184, 186, 196,
198, 	199, 203, 233, 234, 236—238, 240, 246, 249, 250, 269, 291, 296].
3) 	Динамические симметрии
128. Л. М. Томильчик. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук,
№ 4, 1965.
129. М. В е г г о n d о, Н. V. М с ’I n t о s h. J. Math. Phys., 11, 125,
1970.
130. H. V. M c’l n t о s h, A. Cisneros. J. Math. Phys., 11, 896,
1970.
131. А. О. В a r u t, G. Bornzin. J. Math. Phys., 12, 841, 1971.
132. J. В i a 1 у n i с k i-B i r u 1 a. Phys. Rev., D3, 2413, 1971.
133. И. А. Малкин, В. И. Манько. Препринт ФИАН, № 1,
1971.
134. S. Fenenille, A. Grubellier. J. of Phys., Gen. Phys.,
A5, 944, 1972.
135. H. V. M c’l n t о s h. In Group, theory and its applications, vol. 2,
ed by. M. Loebl. London, 1972.
136. А. О. В a rut, G. L. Bornzin. Phys. Rev., D7, 3018, 1973.
Звездочкой отмечены работы, русский перевод которых есть
в об, «Монополь Дирака». М., 1970.
320

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОНОПОЛЯ ДИРАКА
137 *>. P. A. D i г а с. Phys. Rev., 74, 817, 1948.
138. N. Cabibbo, Е. Ferrari. Nuovo Cim., 23, 1147, 1962.
139. D. Zwanziger. Phys. Rev., 137, B647, 1965.
140. S. W e i n b e r g. Phys. Rev., 138, B988, 1965.
141. C. R. H a g e n. Phys. Rev., 140, B304, 1965.
142. J. Sch winger, a) *) Phys. Rev., 144, 1087, 1966; б)
Нобелевская лекция, УФН, 91, 49, 1967.
143. J. Schwinger. Phys. Rev., 151, 1048, 1966; 151, 1055, 1966.
144. Т. M. Ja n. Phys. Rev., 150, 1349, 1966.
145*). G. Wentzel. Progr. Theor. Phys. Suppl., 37—38, 163, 1966.
146. P. В. Тевикян. Nucl. Phys., Bl, 79, 1967.
147. J. Schwinger. a) Phys. Rev., 173, 1536, 1968; б) в кн.:
Теория источников, пер. с англ. М., 1973.
148. D. Zwanziger. Phys. Rev., 176, 1489, 1968.
149. С. А. С о о m b е s. Can. J. Phys., 46, 929, 1968.
150. A. R a b 1. Phys. Rev., 179, 1363, 1969.
151. P. K.Ros s. Phys. Rev., 181, 2055, 1969.
152. D. Zwanziger. Phys. Rev., D3, 880, 1971.
153. J. В i a 1 у n i с k i-B i r u 1 a, Z. В i a 1 у n i с k i-B i r u 1 a. Phys.
Rev., D3, 2410, 1971.
154. С. I. Goebel. In Quanta Essays in theoretical physics
dedicated to G. Wentzel, the Univ. of Chicago Press, 1970.
155. P. V i n с i a r e 11 i. Phys. Rev., D6, 3419, 1972.
156. R. Acharya, Z. Horvath. Lett, al Nuovo Cim., 8, 513, 1973.
157. D. Zwanziger. Phys. Rev., D6, 458, 1972.
158. В. B. Deo, L. F. S i n g h n. Indian J. Phys., 47, 650, 1973.
159. В. И. С т p а ж e в. Lettere al Nuovo Cim., 9, 641, 1974.
160. O. Parkash, B. S. Rajput. Indian J. Phys., 48, 152, 1974.
161. M. Kobayashi. Progr. Theor. Phys., 51, 1636, 1974.
162. A. J e v i с k i, P. S. S e n j a n о v i c. Phys. Rev., Dll, 860, 1975.
163. G. P a r i s i. Phys. Rev., Dll, 970, 1975; M. Greutz. Phys.
Rev., D10, 3696, 1975.
См. также [76, 79, 171—173, 246, 260, 268, 289, 290, 291, 296, 297].
дискретные симметрии
В ТЕОРИИ МАГНИТНОГО ЗАРЯДА
164. N. F. R a m s е у. Phys. Rev., 109, 225, 1958.
165. Л. М. Т о м и л ь ч и к. ЖЭТФ, 44, 160, 1963.
166. N. Pintacuda. Nuovo Cim., 29, 216, 1963.
167. L. J. Sch iff. Am. J. Phys., 32, 812, 1964; см. русск. перев.:
УФН, 86, 756, 1965.
168. N. S t r a x. Am. J. Phys., 32, 615, 1964.
169. N. S t r a x. Am. J. Phys., 33, 102, 1965.
170. P. Mirma n. Am. J. Phys., 34, 70, 1966.
171. A. S a 1 a m. Phys. Lett., 22, 683, 1966.
172. J. G. T а у 1 о r. Phys. Rev. Lett., 18, 713, 1967.
173. J. G. Taylor. In Lectures in Theor. high energy physics, ed.
by H. H. Aly. N. Y., 1960.
174. С. А. С о о m b e s. Can. J. Phys., 47, 71, 1969.
21. Зак. 670
321

175. А. О. В a r u t. Phys. Lett., B38, 97, 1972.
176. А. О. В a ru t. Phys. Lett., B46, 81, 1973.
177. Y. Y a m a g u с h i. J. Phys. Soc. Japan., 31, 1605, 1971.
178. Y. Yamaguchi, J. Phys. Soc. Japan., 32, 316, 1972.
179. В. И. Страж ев, Нгуен вин Куанг. Ядерная физика,
16, 	614, 1972.
180. J. М. L е i n a a s. Nuovo Cim., 15А, 740, 1973.
181. G. R о s е n. Amer. J. Phys., 41, 586, 1973.
См. также [140, 148, 213, 259, 261, 266, 268, 290, 297].
К гл. 6
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОНОПОЛЯ ДИРАКА С ВЕЩЕСТВОМ
182. К. W. F о г d, A. W h е е 1 е г. Phys. Rev., 81, А656, 1951.
183. Н. J. D. Cole. Proc. Cambr. Phil. Soc., 47, 196, 1951.
184. E. В a u e r. Proc. Cambr. Phil. Soc., 47, 777, 1951.
185. R. К a t z, E. P a r n e 11. Phys. Rev., 116, 236, 1959.
186. C. J. Elieser, S. K. Roy. Proc. Cambr. Phil. Soc., 58, 401,
1962.
187. А. А. Коломенский. Вестник МГУ (физика, астрономия),
No. 6, 56, 1962.
188. Б. М. Болотовский, В. С. Воронин. Изв. вузов СССР,
радиофизика, 5, № 5, 1033, 1962.
189. О. С. М е р г е л я н. ДАН АрмССР, 36, 17, 1963.
190. D. R. Tompkins. Phys. Rev., 138, В248, 1965; 140, 443, 1965.
191. В. Г. В е с е л а г о. ЖЭТФ, 52, 1027, 1967.
192. А. Б. Куканов. Оптика и спектроскопия, 24, 614, 1968.
193. А. И. М у х т а р о в, Э. Н. Н и я з о в а. Оптика и
спектроскопия, 26, 379, 1969.
194. А. Б. К У к а н о в, В. Н. Д а в ы д о в. Изв. вузов СССР,
физика, No 6, 114, 1970.
195. S. D. М a j u m d а г, R. Р а 1. Proc. Roy. Soc. London, A316,
525, 1970.
196. D. S i v e r s. Phys. Rev., D2, 2048, 1970.
197. J. Dooher. Phys. Rev., D3, 2652, 1971.
198. В. H. Да выдов, А. Б. Куканов, Ю. Д, Усачев. Вест-
иик МГУ (физика, астрономия), № 3, 310, 1971.
199. В. П. М а р т е м ь я п о в, К. Н. Хакимов. ЖЭТФ, 62, 35,
1972.
200. В. И. С т р а ж е в. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, No I,
1974.
См. также [206, 209, 211, 256, 288, 290, 292, 293].
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПОИСК МОНОПОЛЯ ДИРАКА
201. Е. Т. Benedikt, Н. R. L е n g. Phys. Rev., 71, 454, 1947.
202. F. Ehrenhaft. Acta. Phys. Austriaca, 5, 12, 1951.
203. W. V. R. M a 1 k u s. Phys. Rev., 83, 899, 1951.
204. E. G о t o. J. Phys. Soc. Japan., 10, 1413, 1958.
205. H. C. Fi tz et all. Phys. Rev., Ill, 1406, 1958.
206. H. В r a d n er, W. H. I s b e 11. Phys. Rev., 114, 603, 1959.
322

207. M. F i d е с а г о, G. F i п о с с h i а г о, G. G i а с о m е 11 i. Nun*
vo Cim., 22, 657, 1959.
208. E. A m a 1 d i et all. Nuovo Cim., 28, 773, 1963.
209*). E. M. Purcell et all. Phys. Rev, 129, 2326, 1963.
210. В. А. Петухов, M, H. Якименко. Nucl. Phys., 49, 87,
1963.
211. E. Goto, H. H. Kolm, K. W. Ford. Phys. Rev., 132, 387,
1963.
212. L. W. A 1 v a r e z, R. W. W a 11 (unpublished), described by
Alvarez L. W. in Lawrance Rad. Lab. Phys. Notes. Memo., № 79, 1963.
213. W. С. С a r u t h e r s, R. S t e f a n s ki, R. K. Adair. Phys.
Rev., 149, 1070, 1966.
214. H. H. Kolm. Phys. Today, 20, 69, 1967; Sci. J., 4, 60, 1968.
215. L. Vant-Hull. Phys. Rev., 173, 1412, 1968.
216. R. L. F 1 e i s h e r et all. Phys. Rev., 177, 2029, 1969.
217. R. L. F 1 e i s h e r et all. Phys. Rev., 184, 1393, 1969; R. L. F 1 e i-
sh er et all. Phys. Rev., 184, 1398, 1969.
218. Д. Ерлыкин, В. И. Я к о в л е в. ЖЭТФ, 56, 1849, 1960.
219. А. А. Бурчуладзе и др. Изв. АН СССР, сер. физ., 11,
1817, 1969.
220. В. А. М у р а ш о в а, В. А. П е т у х о в и др. Препринт ФИАН,
№ 56, 1969.
221. В. JI. Д а д ы к и н. Препринт ФИАН, № 117, 1969.
222. И. И. Гуревич и др. Phys. Lett., В31, 394, 1970; ЖЭТФ,
61; 1721, 1971; Phys. Lett., 38В, 524, 1972.
223. R. L. F 1 е i s h е г et all. Radiat Eff., D3, 137, 1970.
224. L. W. A 1 v a r e z et all. Science, 166, 701, 1970.
225. К. H. S с h a 11 e n. Phys. Rev., Dl, 2245, 1970.
226. R. L. F 1 e i s h e r et all. Phys. Rev., D4, 25, 1971.
227. H. H. К о 1 m, E. Villa, A. 0 b i d i a n. Phys. Rev., D4, 1285,
1971.
228. P. H. Eberhard et al. Phys. Rev., D4, 3260, 1971.
229. R. R. R о s s et all. Phys. Rev., D8, 698, 1973.
230. D. E. Barlett, M. D. L a h a n a. Phys. Rev. D6, 1817, 1972.
231. R. A. Jr. Carrigan, F. A. N e z r i с k, B. P. Strauss.
Phys. Rev., D8, 1973; Phys. Rev., DIO, 3867, 1974.
232. В. П. Зрел Ob и др. Препринт, Дубна, ОИЯИ, Р1-7996, 1974.
См. также [6(2, 71, 238, 288, 290, 292, 294, 295, 297, 299, 300].
ОЦЕНКА СЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА РОЖДЕНИЯ МОНОПОЛЕЙ
233. Е. G о t о . Progr. Theoret. Phys., 30, 700, 1963.
234. М. Ruderman, D. Zwanziger. Phys. Rev. Lett., 22, 146,
1969.
235. Г. В. Домогацкий, И. М. Железных. Ядерная физика,
10, 	1238, 1969.
236. a) I. L. Newmeyer, I. S. Т г е f f i 1. Phys. Rev. Lett., 26,
1509, 1971; 6) Phys. Lett., 38B, 524, 1972.
237. I. L. Newmeyer, I. S. T r e f f i 1. Nuovo Cim., 8A, 703, 1972.
238. W. Z. Osborne. Phys. Rev. Lett., 24, 1441, 1970; 25, 324,
1970.
239. R. A. Carrigan, F. A. N e z r i с k. Phys. Rev., D3, 56, 1971.
См. также [290, 291, 296, 297].
323

К гл. 7
УСЛОВИЕ ЗАРЯДОВОГО КВАНТОВАНИЯ
240. М. F i е г z. Helv. Phys. Acta, 17, 27, 1944.
241. Н. A. W i 1 s о n. Phys. Rev., 75, 309, 1949.
242. J. A. E 1 d г i d g e. Phys. Rev., 75, 1614, 1949.
243. M. N. Saha, a) Ind. J. Phys., 10, 145, 1936; 6) Phys. Rev., 75,
1968, 1949.
244. J. S ch winger. In Proc. Third Coral Gables. Conf. Miami,
1966, 	ed. by A. Perlmutter et all. 1966.
245. M. G. С a 1 k i n. Phys. Lett., 28A, 45, 1968.
246. С. A. H u r s t. Ann. of Phys., 50, 51, 1968.
247 *). A. Peres. Phys. Rev., 167, 1443, 1968.
248. B. Zumino. In Theory and phenomenology in particle, ed. by
A. Zichichi. N. Y. 1969, p. 773.
249. H. J. Lip kin, W. I. Weisberger, M. Peskin. Ann. of
Phys., 53, 203, 1969; M. Peskin. Ann. of Phys., 66, 542, 1971.
250. H. E finger, a) Amer. J. Phys., 37, 840, 1969; 6) Physica,
44, 	621, 1969; в) Lettere al. Nuovo Cim., 4 277, 1970; r) O’Connel.
Lettere al. Nuovo Cim., 2, 221, 1969.
251. E. Lubkin. a) Phys. Rev., D2, 2510, 1970; 6) Am. J. Phys.,
39 94 1971.
252.’ В.И.’Стражев. ДАН БССР, 15, 885, 1971.
253. H. А. С о h e n. Found. Phys., 4, 115, 1974.
254. E. I. P о s t. Phys. Rev., D9, 3379, 1974.
См. также [108, 111, 114, 117, 123, 125, 127, 129—136, 138, 158, 287,
289—291, 297, 298].
К гл. 8
МОНОПОЛЬ И АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ,
КОСМИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
255. N. A. Porter. Nuovo Cim., 16, 958, 1960.
256. а) Ю. И. Окулов. Геомагн. и аэрономия, 4, 1002, 1964; б)
4, 	1111, 1964; в) Л. И. Д о р м а н, Ю. И. Окулов. Геомагн. и
аэрономия, 7, 173, 1967; г) Л. И. Д о р м а н, Ю. И. О к у л о в. В сб.:
Космические лучи, N° 7. М., 1965; № 8, М., 1967; Е. N. Parker.
Astroph. J., 160, 383, 1970.
См. также [203, 204, 211, 213, 216—219, 221, 223, 231].
КВАРКИ И МАГНИТНЫЕ ЗАРЯДЫ
257. R. А. С а г г i g a n. Nuovo Cim., 39, 638, 1963.
258. L. J. Schiff. a) Phys. Rev. Lett., 17, 714, 1967; Phys. Rev.,
160, 	1257, 1967; 6) A. Peres. Phys. Rev. Lett., 18, 50, 1967.
259. J. Schwinger. a) Science, 165, 757, 1969; 690, 1969; б) УФН,
103 355 1971
260. А. О. В a r u t. a) Phys. Rev., D3, 1747, 1971; 6) in Proc. Second
Coral Gables Cont. on Fundam Inter., ed. by H. Odabasi and W. E.
Brittin. N. Y., 1970, pp. 199—220; в) in Topics in Modern Physice-Atri-
bute to E. U. Condon. Boulder, 1971.
261. M. Y. Han, L. C. Biedenharn. Phys. Rev. Lett., 24,118,
1970.
324

262. G. R о s e n. Phys. Rev., Dl, 2880, 1970.
263. С. Westenholz. Ann. d. Phys., 25, 337, 1970.
264. A. Bakesigaki, A. Inornate. Lett. al. Nuovo Cim., 2,
697, 1971.
2b5. Chen К u 11 Chang. Phys. Rev,, D5, 950, 1972.
266. S. Y. Ch u. Phys. Rev., D7, 853, 1973
267. a) A. O. Barut. Phys. Rev., DIO, 2709, 1974; б) К. T. Ma-
hanthappa. Phys. Rev., D7, 1028, 1973; D10, 2712, 1974.
268. A. O. Barut. a) Acta. Phys. Austriaca. Suppl. 11, 565, 1973;
6)A. O. Barut, G. L. Bornzin. Nuci. Phys., B81, 477, 1974; в)
H. A r t r u. Nucl. Phys., B85, 442, 1975.
269. T. S a wad a. a) Phys. Lett, B43, 517, 1973; B52, 67, 1974;
6) Nucl. Phys., B71, 82, 1974.
См. также [161 — 163, 280, 281, 283, 284, 297].
МОНОПОЛЬ В ТЕОРИИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
270. R. I. Finkelstein. Rev. Mod. Phys., 36, 632, 1964.
271. I. S D о w k e r, I. G. R о с h e. Proc. Phys. Soc., 92, № 575, 1967.
272. H. В. Мицкевич. Физические поля в общей теории
относительности. М., 1971.
273. Н. П. Коноплева, В. Н. Попов. Калибровочные поля. М.,
1972.
274. a) A. Joseph. Phys. Rev., D5, 313, 1972; б) N. М u г a i.
Progr. Theor. Phys., 47, 678, 1972; в) P. Klim о, I. S. D 0 w k e r. Int.
J. Theor. Phys., 8, 409, 1973; r) N. H. Christ. Phys. Rev. Lett., 34,
355, 	1975; д) R. Kerner. Int. J. Theor. Phys., 12, 177, 1975.
275. R. A. Brand, P. V i n с i a r e 11 i. Lett, al Nuovo Cim., 3, 254,
1972.
276. В. К ti r s u n 0 g 1 u. Phys. Rev., D9, 2723, 1974.
277. G. W. G a f f n e y. Phys. Rev., D10, 374, 1974.
278. G. i’Hoof t. Nucl. Phys., B79, 276, 1974.
279. А. М. П о л я к о в. Письма ЖЭТФ, 20, 430, 1974.
280. L. J. Т a s s i е. Phys. Lett., 46В, 387, 1973; Y. N a m b u. Phys.
Rev., D10, 4262, 1974; P. О 1 e s e n, H. С. T z e. Phys. Lett., 50B, 482,
1974.
281. S. Mandelstam. Phys. Lett., 53B, 476, 1975; G. Venturi.
Nuovo Cim., 26A, 97, 1975; H. С. T z e, Z E z a w a. Phys. Lett., 55B,
63, 	1975.
282. а) Ю. С. T ю п к и н, В. А. Фатеев, А. С. Шварц. Письма
ЖЭТФ, 21, 91, 1975; б) М. И. Монастырский, А. М.
Переломов. Письма ЖЭТФ, 21, 94, 1975; в) J. А г a f u n е, P. G. О.
F г е и n d, С. I. G о е b е 1. J. Math. Phys., 16, 433, 1975.
См. также [161 —163, 268].
ДУАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
БЕЗ МАГНИТНЫХ ЗАРЯДОВ
283. D. L е i t е г. Canad. J. Phys., 48, 279, 1970.
284. Н. S ch i f f. Canad. J. Phys., 50, 1062, 1972.
285. L. P a r k e r. Phys. Rev., 188, 2287, 1969.
286. E. R e с a m i, R. M i g n a n i. a) Rivisita Nuovo Cim., 4, ser. 11,
209, 	1974; 6) Lett. Nuovo Cim., 9, 367, 1974; 9, 479, 1974; 11, 417, 1974.
325

Обзоры и популярные статьи
287. 3. Ферми. Лекции по атомной физике. М., 1952.
288. S. Devons. Sci. Progr., 51, 601, 1963 (см. русск. перев. в
УФН, 85, 755, 1965).
289. В. Z u m i п о. In Strong and Weak Inter. Present Probl., ed by
A. Zichichi. N. Y., 1967.
290. E. Амальди и др. В сб.: Монополь Дирака. М., 1970.
291. Е. Amaldi. In Old and New Problems in Elem. Particles, ed.
by G. Puppi. N. Y., 1968.
‘292. R. L. Fleischer et all. J. Appl. Phys., 41, 958, 1970.
293. Б. М. Болотовский, Ю. Д. Усачев. Вступит, статья
в сб.: Монополь Дирака. М., 1970.
294. a) R. W. F о г d. Scientific American., 203, 6, 1963; б) J. С. Т а-
у 1 о г. Zenith., 6, 14, 1969.
295. Л. М. Т о м и л ь ч и к. В сб.: Международная школа молодых
ученых по физике высоких энергий. Дубна, ОИЯИ, 2-6371, 194, 1972.
296. Е. A m а 1 d i, N. С a b i b b о. In Aspects of quantum Theory, ed.
by A. Salam and E. P. Wigner, deducated to P. A. M. Dirac.
Cambridge, 1972.
297. В. И. Страж ев, Л. М. Т о м и л ь ч и к. а) ЭЧАЯ, 4, 189.
1973; б) Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 2, 1975.
298. Ю. Д. У с а ч е в. ЭЧАЯ, 4, 225, 1973.
299. С. В. В о н с о в с к и й. Магнетизм микрочастиц. М., 1973.
300. В. А. Петухов, Ю. Д. Усачев, М. Н. Якименко.
Природа, № 11, 1973.
Дополнительная литература
К гл. 2
301. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Теория поля. М., 1970.
302. А. А. Богуш, JI. Г. Мороз. Введение в классическую
теорию поля. Минск, 1968.
303. Е. L Н i 11. Rev. Mod. Phys, 23, 253, 1951.
304. H. H. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в. Введение в теорию
квантованных полей. М, 1973.
305. Ю. В. Новожилов. Введение в теорию элементарных
частиц. М., 1972.
306. В. Б. Б е р е с т е ц к и й, Е. М. Л и ф ш и ц, Л. П. П и т а е в-
ский. Релятивистская квантовая теория, ч. 1. М., 1968.
307. D. М. L i р k i п. J. Math. Phys., 5, 696, 1964.
308. Т. А. М о г g а п. J. Math. Phys, 5, 1659, 1964.
309. Т. W. К i b b 1 е. J. Math. Phys, 6, 1022, 1965.
310. И. И. Гольдман, P. В. T e в и к я н. ЖЭТФ, 50, 199, 1966.
311. I. Е. R о s е п. Ann. of Phys, 82, № 1, 1974.
312. А. И. А х и е з е р, В. Б. Б е р е с т е ц к и й. Квантовая
электродинамика. М, 1973.
313. А. N i s b е t. Proc. Roy. Soc, A231, 250, 1955.
314. W. H. Mc’C rea. Proc. Roy. Soc., A240, 1957.
315. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики, 2-е изд. М., 1973.
316. Э. Хейнли, В. Тирринг. Элементарная квантовая теория
поля. М., 1963.
326

317. A. J. J a n i s. Amer. J. Phys., 38, 202, 1970.
318. К. H и ш и д ж и м а. Фундаментальные частицы. М., 1965.
319. С. Ш в е б е р. Введение в теорию квантованных полей. М.,
1964.
320. S. Weinberg. In Lectures on particle and field theory Bran-
deis Summer Institute in theoretical Physics. N. Y., 1964.
321. S. W e i n b e r g. Phys. Rev., 134, B882, 1964.
322. S. W e i n b e r g. Phys. Rev., 138, B988, 1965.
323. E. P. Wigner. Ann. of Mathem., 40, 149, 1939.
324. E. P. Wigner. In Theoretical Physics. Vienna, 1963.
325. Ф. И. Федоров. В сб.: Труды Международной школы по
физике высоких энергий. Дубна, ОИЯИ, 2-6371, 1972; ТМФ, 2, 343,
1970.
326. М. Н. L. Р г у с е. Proc. Roy. Soc., 165, 274, 1938.
327. В. С. Березинский. ЖЭТФ, 51, 1374, 1966.
328. X. Умэдзава. Квантовая теория поля. М., 1958.
329. С. Ryan, S. О k u b о. Suppl. Nuovo Cim., 2, 234, 1964.
330. R. E. Marshak, R i a s и d d i 11, C. Ryan. Theory of weak
interaction in particle Physics. N. Y., 1969.
331. Ю. И. Кобзарев, JI. Б. Окунь. В сб.: Проблемы
теоретической физики, посвящ. И. Е. Тамму. М., 1972.
332. Ф. Гю рши. В сб. Теория групп и элементарные частицы. М.,
1967.
333. Т. D. Kuo. Phys. Rev., D4, 3620, 1971; D4, 3637, 1971.
К гл. 3
334. A. Sommerfeld. Wellenmechanisher Ergaenzungsband,
Atombau und Spektrallinien. Braunschweig, 1928.
335. G. Feinberg, M. Goldhaber. Proc. Natl. Acad. Sci. U. S.,
45, 	1301, 1959.
336. E. P. Wigner. a) Proc. Natl. Acad. Sci. U. S., 38, 449, 1952;
6) Proc. Amer. Phil. Soc., 93, 521, 1949.
337. Дж. Сакура и. В сб.: Элементарные частицы и
компенсирующие поля. М., 1964.
338. Р. Маршак, Э. Сударшан. Введение в физику
элементарных частиц. М., 1962.
339. F. В о р p. Zeit. f. Phys., 169, 45, 1962.
340. А. Эйнштейн. Собр. соч., т. 1. М., 1965, стр. 448.
341. М. А. Марков. Нейтрино. М., 1964.
342. Н. Hoffman. Acta Phys. Aust. аса., 11, 241, 1957.
343. H. Vo 1 z. Phys. Bl., 47, 79, 1961.
344. W. E g g m a n. Proc. IEEE, 53, 1642, 1965.
345. а) Сб.: Элементарные частицы и компенсирующие поля. М.,
1964; б) В. Б. А д а м с к и й. УФН, 74, 609, 1961.
346. W. Е. Т h i г г i n g. Ann. of Phys., 16, 96, 1961.
347. В. И. Огиевецкий,И. В. Полубаринов. Ann. of Phys.,
25, 	358, 1963.
348. S. Weinberg. Phys. Rev., 135, В1049, 1964.
349. J. L. В j о r k e n, S. D. D r e 11. Relativistic quantum theory.
N. Y., 1965.
350. M. J a u с h, F. R о h r 1 i с h. Theory of photons and electrons
A—W., 1955.
327

351. J. Sc h winger. Phys. Rev., 127, 324, 1962; 130, 800, 1963.
352. W. Pauli. Nuovo Cim., 6, 204, 1957; S. Weinberg. Nuovo
Cim., 14, 571, 1959.
353. И. В. Полубаринов. Уравнения квантовой
электродинамики. Р-2421, Дубна, 1965.
К гл. 4
354. а) А. Т г a u t m a n. Commun. Math. Phys, 6, 248, 1967;
б) О. С. И в а н и ц к а я. Обобщенные преобразования Лоренца и их
применение. Минск, 1969.
355. J. М. L е v y-L е b 1 о n cl. In Group theory and its applications,
vol. 2, ed. by E. M. Loebl. N. ^ , 1972.
356. V. Bargmann, E. P. W i g n с r. Proc. Natl. Acad. Sci. U. S,
34, 	211, 1948.
К гл. 5
357. В. S. De W i 11. Phys. Rev, 125, 2189, 1962.
358. F. R о h r 1 i с h, M. J a u с h. Phys. Rev, 139, 476, 1965.
359. И. А. Малкин, В. И. Мань к о. Письма ЖЭТФ, 2, 23, 1965.
360. Э. Б. Аронсон, И. А. Малкин, В. И. Мань ко. ЭЧАЯ, 5,
вып. 1, 1974, стр. 122.
361. В. С. Попов. В сб.: Физика высоких энергий и теория
элементарных частиц. Киев, 1967.
362. Е. В и г н е р. УФН, 83, 729, 1964.
363. М. О. М u k u n d a, L. O’R aifertaigh, Е. С. G. S u d а г-
s h a n. Phys, Lett, 19, 322, 1965.
364 М Y. Han. Nuovo Cim, 42В, 367, 1966.
365. И. А. Малкин, В. И. М а н ь к о. ЯФ, 3, 372, 1966.
366. A. J о s е р h. Rev. Mod. Phys, 39, 829, 1967.
367. С. А. С о u 1 s о n, A. Joseph. Rev. Mod. Phys, 39, 839, 1967.
368. L. Biedenharn, N. V. V. J. S w a m y. Phys. Rev, 133B*
1353, 1964.
369. A. O. Barut, A. Bohm. J. Math. Phys, 11, 2938, 1970.
370. S. Mandelstam. Ann. of Phys, 19, 1, 1961.
371. S. Mandelstam. Phys. Rev, 175, 1580, 1969.
372. R. E. Peierls. Proc. Roy. Soc. (London), A214, 143, 1952.
373. П. Мэтьюс. Релятивистская квантовая теория
взаимодействий элементарных частиц. М, 1959.
374. Т. D. Lee, G. С. Wick. Phys. Rev, 148, 1385, 1966.
375. G. С. Wick. В сб.: Физика высоких энергий и теория
элементарных частиц. Киев, 1967.
376. Е. В н г н е р. Этюды о симметрии. М, 1971.
377. Т. D. Lee. In Fundamental particle physics, ed. by G. Y. O.
Takeda, Yasio Hara, Tokyo, 1968.
К гл. 6
^378. И. Л инд хард. В сб.: Нильс Бор и развитие физики. М,
379. 	В. Л. Гинзбург, В. И. Сыроватский. Происхождение
космических лучей. М, 1963.
328

380. В. JI. Г и н з б у р г. Астроном, журнал, 9, 877, 1966.
381. В. И. С ы р о в а т с к и й, Н. П. Константинов. In
Proceed. of the Intern. Conferense on Cosmic rays, p. 233. Budapest, 1969.
382. J. Scull i, О. T. White. Phys. Rev. Lett., 27, 619, 197).
383. J. U. С h r i s t e n s о n et all. Phys. Rev. Lett, 25, 1523, 1970.
384. M. J a u с h, F. R о h r 1 i с h. Theory of photons and electrons.
N. Y., 1959.
385. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М, 1956.
К гл. 7
386. A. A h а г о п о v, D. В о h in. Phys. Rev, 115, 485, 1959; 123,
1511, 1961.
387. P. Фейнман, P. Л э п т о и, М. Сэндс. Фейимановские
лекции по физике. М, 1965, вып. 5. Н. Ehrlichson. Amer. J. Phys,
38, 	162, 1970; 40, 1707, 1972.
388. H. T. Boyer. Phys. Rev, D8, 1679, 1973; E. Л. Ф e й н б e p г.
УФН, 78, 53, 1962.
389. E. П. В и г н e p. Теория групп. М, 1961.
390. Е. Rose. Elementary theory of angular momentum. N. Y, 1951.
391. H. И. A x и e з e p, И. М. Глазман. Теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве. М, 1966.
392. Э. Ч. Т и т ч м а р ш. Разложения по собственным функциям,
связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М,
1960.
393. R. L. L i b о f f, I. N е b е n z a h 1. H. F 1 e i s с h m a n n. Amer.
J. Phys, 4t, 976, 1973.
394. Дж. фон Нейман. Математические основы квантовой
механики. М, 1964.
395. Е. N е 1 s о n. Ann. Math, 70, 572, 1969.
396. Н. D. Doebner and О. М е 1 s h е i m е г. Nuovo Cim., 49А,
73, 	1967.
397. A. S. Wightman. Rev. Mod. Phys, 34, 851, 1962.
398. Г. К о p н, Т. Корн. Справочник по математике. М, 1968.
399. Г. Бейтмен, А. Эрдейн. Высшие трансцендентные
функции, а) т. I, М., 1973; б) т. И, М, 1974.
400. М. Sachs. Ann. of Phys, 6, 244, 1959.
401. С. N. Y a n g. Phys. Rev, Dl, 2360, 1970.
402. A. P a i s. Phys. Rev, D8, 1844, 1973.
403. N. Georgi, S. L. Glashow. Phvs. Rev. Lett, 32, 438, 1974.
404. D. K. Ross. J. Phys., A, Math. Nucl. Gen., 7, 705, 1974.
405. J. Smatycki. J. Mathem. Phys., 15, 619, 1974.
К гл. 8
406. Я. К о к к e д e. Теория кварков. М, 1971.
407. М. Y. На n, Y. Nambu. Phys. Rev, 139, В1006, 1965.
408. D. В. Lichenberg. Unitary symmetry and elementary
particles. N. Y. and London, 1970.
409. C. D. С о 11 i n s о n, R. Shaw. Intern. J. Theor. Phys, 6, 347,
1972.
410. E. L u b k i n. Ann. of Phys., 23, 233, 1963.
411. В. H. Harr is son. J. Math. Phys, 9, 1744, 1968.
329

412. R. М. M i s l* a. Phys. Rev., D2, 2125, 1970.
413. I. В i a 1 у n i с к i-B i r u 1 a. Bull. Acad. Polon. Sciense, 11, 135,
1963.
414. J. Bernstein. Rev. Mod. Phys, 46, 7, 1974.
415. А. И. Вайнштейн, И. Б. Хриплович. УФН, 112, 685,
1974.
416. В. Б. Берестецкин. В сб.: Элементарные частицы, вып. 1.
М„ 1973.
417. S. Weinberg. Rev. Mod. Phys, 46, 255, 1974.
К приложениям
418. И. М. Г е л ь ф а н д, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции и
действия над ними. М, 1958.
419. Э. Б а р х о п. УФН, 106, 527, 1972.
420. Р. Энгфер, Г. X. Вальтер, X. Ш пой ф л п. ЭЧАЯ, 5,
вып. 2, 382, 1974.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ааронова — Бома эффект 237
Адрон 228, 233, 276, 277
Алгебра Ли абелева 275
группы калибровочной 275
Пуанкаре 248
S03 244
S04,2 166
Атом водородоподобнын 278
Бора формула для полной массы
279
Борновский член 183
Брадион 292—294
Вектор аксиальный 199, 203
— времениподобный 98
— Пойнтинга 81, 114, 115
— поляризационный 85
— полярный 203
— Рунге—Ленца 154, 159, 161
Векторный потенциал 135, 145, 288
Вето Дирака 136, 138, 139, 142, 254,
296
Взаимодействие кулоновское 86,
109, 	113, 158, 180
— магнитное обменное 281
—«мгновенное» 181
— нуклон-нуклонное 222
— Паули 10
— токов, амперовское 119
Гамильтониан «ассоциированный»
157, 	168
— взаимодействия 87, 95
—дираковский 161
— «квадрированный» 160
— относительного движения 156
— «симметричный» 160
Галилеевская инвариантность
теории электромагнетизма 112, 113,
120
— относительность 103, 110
Геометродинамика 285, 286
Группа Галилея 101, 102
— евклидова 250
— калибровочная 274, 275
— кнральных преобразовании 48, 49
— Ли 247
— Лоренца «малая» 45
—«неинвариантности» 155
— Пуанкаре 102, 248
—де-Ситтера 155
Диаграммы Фейнмана 214
Дион (магнитный кварк) 209, 276—
279, 	280—284, 287
— «аномальный» 277
Дионий 282—284
Дипольный магнитный момент ядер
227
— электрический момент нуклона
280
Дирака нить 135, 138, 174, 256, 297
Дуальный поворот 179
Закон Био—Савара—Лапласа 14
— Кулона 119, 138
— Ньютона третий 111, 114, 115
— сохранения абсолютный 66
	 заряда 71
киральности 202
— Фарадея, обобщенный 222, 236
Заряд аксиальный
(псевдоскалярный) 284
— барионный 67, 278
— ларморовский («псевдомагнит-
ный») 290
— лептонный 67
— магнитный элементарных частиц
66, 	68—70
— эффективный 59, 60, 63—67, 70,
76, 	83, 96, 206
Заряда аддитивность 71
— квантование 273, 274
— магнитного размерность 119
—плотность 103
331

Зарядовая четность 202
Зарядовое двумерное
пространство 179
— сопряжение 202, 203
	 магнитное 199
Излучение космическое 219, 224,
276
Инерциальная система
сверхсветовая 292
субсветовая 292
Инвариантность вращательная 99,
264
— градиентная 254, 262
— дуальная 71
— калибровочная 84
	 и вето Дирака 137
(динамические аспекты) 274
эффективная 263
— лоренцева 5-матрицы 85, 91
Интеграл действия 128, 132—134,
140
Дирака 137
нелокальный 141
Калибровка дуальная 76, 207
—кулоновская (излучения,
радиационная) 35, 37, 92, 95, 97, 98
Калибровочные теории 287, 290
Квантованне магнитного потока
275
— электрического заряда 11,
273—275
Квантования правило Бора—Зом-
мерфельда 236
Пайерлса 192
Кварки 280, 285, 292
Кеплерова проблема (задача)
нерелятивистская 154, 163, 282, 304
релятивистская 163, 306
Комптоновская длина волны 228,
229
Кроссинг-симметрия 153
Лагранжева формулировка
электродинамики 128
и вето Дирака 138
Линия сингулярности 135—138,
140, 	142, 147, 156, 176, 183, 186,
239, 	243, 248, 253, 258, 303, 308
— узлов (узловая линия) 147, 148
Лэмбовский сдвиг 306, 307
Магнитная проницаемость 26
«Магнитного зеркала» эффект 125,
139, 	253
Магнитостатика 25
Мезоатомы 304, 305
Мезоны 209, 278, 279
Монополь (монополь Дирака,
магнитный монополь) в
космическом излучении 219, 221
— недираковский 270
— реликтовый 269
Монополя аналог в гравитации 289
—детектирование 213
— комптон-эффект обратный 221
— концентрация в веществе 223
-масса 208, 209, 215, 223, 224,
226, 	229, 233, 270, 289
—переходное излучение 212, 213
— рождение пары 208, 214—217,
219, 	222
— свободная миграция 212
— тепловая диффузия 212
— черенковское излучение 212, 213
Момент крутящий 301
Мюон 66, 69
Мюона магнитный момент 208
Нейтрино 48, 50, 51, 55, 280
Нейтрон 66, 68, 69, 283
Оператор дуального сопряжения
277
— зарядового сопряжения 202
— Казимира 165, 167—170, 246,
250
— Нельсона 247, 248
— обращения времени 205
— пространственной инверсии 205
— «сдвига» 240, 265
— суперотбора 49
— углового момента 154, 156, 157,
161, 	238—240, 247
Поле калибровочное 142
	 общее 287
— магнитное соленоида 25,
298—301
фиктивное 136
— нейтринное 280
(преобразования) 45, 49
— Янга—Миллса 287, 289
Поляризационный момент 281
Потенциал Дирака 178, 261, 262,
264
— магнитный 17
— сингулярный 135, 171, 197
	 в квантовой
электродинамике 180
332

и градиентная
инвариантность 255, 260
— «центробежный» 168
— Швингера 261, 262, 264
Поток магнитный 145—148, 273
сингулярный 136
Преобразования галилеевские 106
— градиентные потенциалов 41, 42
— двойственности 83
— дуальные для полей 32, 33, 39,
43, 	44, 60, 64, 73, 81, 83
комплексных 45, 49
токов (зарядов) 50, 60,
64, 	73, 81, 83
— калибровочные 176, 183, 255, 287
— Лармора 19, 32
в макроскопической
электродинамике 20
— ларморовские 44, 55
Принцип Гюйгенса—Френеля 26,
27
— двойственности 20, 26, 83
— «дуальности» 292
— наименьшего действия
(вариационный принцип) 12, 34, 71, 76,
128, 	138
— эквивалентности 26, 27, 83
Рассеяние адрон-адронное в дион-
ной модели 281
— кулоновское электрических
зарядов 185
— резерфордовское 128
— электрического заряда на
магнитном (е—g-рассеяние) 149,
152, 	153, 185
Рассеяния электрического заряда
на магнитном амплитуда 152
матричный элемент
184, 	185
Редже траектории, растущие
линейно 285
Сечение е—g-рассеяния
классическое 126, 127
Сила Ван-дер-Ваальса 281
— Лоренца 20, 59, 61, 75, 150
	 в двухпотенциальном
формализме 78, 132—134
в макроскопической
электродинамике 80, 81
для дуально заряженных
частиц 56, 58, 64
«магнитная» 20
с нефизической добавкой 136
Симметрия динамическая 155
— дуальная уравнений Максвелла
33, 41, 56
в аксиоматической модели 75
и киральная симметрия 45
и магнитный заряд 66
и условие зарядового
квантования 264
электродинамики квантовой
84
однозарядовой 202, 295
с источниками 63
— кнральная 49, 50, 52
— спонтанно нарушенная 289, 290
Система водородоподобная 155,
302, 	303
Состояния гайзенберговы 189
— спиральные 50
Тахион 292, 293, 297
Тахионизации правило 293
Тензор самодуальный 293
Теорема Гаусса интегральная 134
— «киральной эквивалентности»
176
— Нельсона 248
— Нетер 34, 274
—Пойнтинга 114
— Прайса 50
— Стокса 145
Теория безмассовых полей 45
— возмущений для монополя
183—185, 209, 213
— гравитации, обобщенная 286
— динамических симметрий 163
—источников 186
— калибровочных полей 297
— S-матрицы обычная 153
— фотонов, нейтринная 50
Ток аксиальный 199
— дуальный 35, 36, 39
— магнитный 15, 19, 22, 273
— магнитных частиц 199
Угловой момент количества
движения дополнительный 152, 153
орбитальный 123, 156, 159
полный 159
в теории поля 175
поля статической е—g-пары
235
сохраняющийся 123, 156, 235,
249
333

спиновый 161
Уравнение Даламбера однородное
132
— движения дуально заряженных
частиц 111, 140, 141, 189
пробного заряда 129
— Дирака 77, 159
— Максвелла—Эйнштейна 286
— неразрывности
(непрерывности) 107, 119
— Шредингера для
е—^-взаимодействия 238, 257
— Эйнштейна 286
Условие зарядового квантования
Дирака 11, 148, 151, 152, 236,
237, 	246, 250
обобщенное 188, 236
(соотношение Дирака—
Швингера) 234, 235, 243, 251,
262, 	296
недираковское 269, 270
с произвольным числом
линий сингулярности 261
Швингера 186, 263, 278,
296
— «нулевого» поля 42
—универсальности 111, 178
Фотон 55, 182, 221, 228, 231
— виртуальный 224
— «магнитный» 289
— «электрический» 289
Фотонное поле 85, 86
Фотонные ливни 226
Фотонный (экстра) обмен 225
Хиггса механизм 289
Частица «базисная» 67
— безмассовая 55, 87, 121, 289
— высокоэнергетическая 220, 221,
224
— сверхсветовая 292
Частицы дуально заряженные 56,
93, 	104, 111, 133, 139, 152, 167,
176, 	197, 206, 235, 251, 268, 292,
302
Электродинамика дальнодействия
15, 	118
— дуально симметричная 63, 64,
83, 	207, 276, 290
в калибровке излучения
98
(дискретные симметрии)
200, 	205
макроскопическая 79, 81,
82
— однозарядовая 12, 58, 61, 63,
64, 	83, 198, 207
квантовая 296
Электромагнетизм галилеевский
118
Электрон 14, 66—68, 79, 208, 213,
269, 	277
Якоби полиномы 243, 266
— тождество 188, 189, 251—254

Василий Иванович Стражев,
Лев Митрофанович Томильчик
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С МАГНИТНЫМ ЗАРЯДОМ
Редактор С. М. Михасева
Обложка Б. А. Сусленкова
Художественный редактор Л. И. Усачев
Технический редактор Г. И. Якубовская
Корректор 3. М. Р а й н е с
Печатается по постановлению РИСО АН БССР.
АТ 03082. Сдано в набор 5.V-75 г. Подписано и
печать 8/VIII-75 г. Формат 84Х 108'/з2- Бумага тип.
№ 1. Печ. л. 10,5. Уел. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 16,6.
Изд. зак. 172. Тип. зак. 670. Тираж 2100 экз. Цена
1 р. 79 к. Издательство «Наука и техника». Минск,
Ленинский пр., 68. Типография им. Франциска
(Георгия) Скорины издательства «Наука и техника»
АН БССР и Госкомитета СМ БССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Минск, Ленинский пр., 68.

Стражев В. И., Томильчик JI. М.
С83 Электродинамика с магнитным зарядом. Под
ред. акад. АН БССР Ф. И. Федорова. А1н., «Наука
и техника», 1975.
336 с. с ил.
Книга представляет собой первое в научной литературе
систематическое изложение проблемы магнитного заряда и дуальной симметрии
в электродинамике.
Наряду с теорией монополя Дирака изложена классическая и
квантовая формулировка обычной однозарядовой электродинамики в дуально
симметричном виде, не предполагающая существования монополя
Дирака. Содержащийся в работе материал во многом основан на
оригинальных результатах авторов.—Список лит.: 420 назв.
20407—082
530.1
С
92-76
М316—75