Министерство образования Российской Федерации
Новосибирский государственный технический университет
В.В.Вечеславов
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ
Утверждено Редакционно-издательским Советом
в качестве учебного пособия
Новосибирск,

УДК 537.8:539.12
Рецензенты: Д.В. Пестриков, д-р физ.-мат. наук, проф.
Е.Б. Левичев, канд. физ.-мат. наук, доц.
Работа подготовлена на кафедре электрофизических установок и ускорителей
Редактор Т.П.Петроченко
Вечеславов В.В.
Электродинамика заряженных частиц
в стационарных полях
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - с. 91
На базе принципа наименьшего действия выводятся релятивистские уравнения
движения заряженной частицы в стационарных полях. Построены траектории ча-
частицы в однородных полях и полях с симметрией врашения. Рассмотрены элементы
фокусирующих систем и их свойства. Обсуждаются теорема Лиувилля и вопросы
формирования потоков невзаимодействующих частиц, вводятся понятия эмиттанса
потока и аксептанса канала. Подробно рассмотрен случай периодического канала.
Изложены основные эффекты пространственного заряда в потоках взаимодействую-
взаимодействующих частиц: закон трех вторых, изменение потенциала пространства и образование
виртуальных катодов.
Предназначено для студентов ФТФ третьего года обучения.
©Новосибирский государ-
государственный технический
университет, 2002

Предисловие
Предлагаемое учебное пособие по курсу "Электродинамика заряженных частиц",
который автор читает студентам физико-технического факультета НГТУ третьего
года обучения, содержит наиболее важные вопросы динамики частиц в стационарных
электромагнитных полях.
Пособие состоит из пяти глав.
В первой главе на базе принципа наименьшего действия выводятся основные ре-
релятивистские уравнения движения и исследуется динамика одной частицы в одно-
однородном поле. Здесь же обсуждается аналогия между движением заряженных частиц
и распространением света.
Вторая глава посвящена полям с симметрией вращения. Приводится обусловлен-
обусловленный этой симметрией интеграл движения (теорема Буша), и динамические уравнения
переписываются в параксиальном приближении. Для электростатического случая
выясняются законы подобия траекторий. Обсуждается движение в слабонеоднород-
слабонеоднородном магнитном поле, особенности которого иллюстрируются на примере ловушки с
магнитными пробками Будкера.
В третьей главе описываются основные элементы фокусирующих систем и их
свойства. Классические линзы и зеркала с симметрией вращения составляют основу
так называемой слабой фокусировки. Возможности последней весьма ограничены,
что побудило Будкера предложить оригинальную параболическую линзу, в которой
фокусировка обеспечивается главными составляющими скорости частицы и индук-
индукции магнитного поля. Здесь же подробно описываются линзы без вращательной
симметрии (квадрупольные и с числом пар полюсов больше двух), обеспечивающие
сильную фокусировку частиц.
В четвертой главе обсуждаются теорема Лиувилля и вопросы формирования по-
потоков невзаимодействующих частиц. Вводятся важные понятия эмиттанса пучка
и аксептанса канала, рассказывается о проблемах построения огибающих потока и
согласования потока с периодическим каналом.
Пятая глава посвящена основным эффектам пространственного заряда в коллек-
коллективах взаимодействующих частиц: закону "трех вторых", расплыванию свободных
потоков, изменению потенциала пространства, образованию виртуальных катодов.
Рассмотрено формирование интенсивных потоков магнитным полем с полностью или
частично экранированным катодом. Обсуждается проблема согласования потока,
имеющего конечные ток и эмиттанс с периодическим квадрупольным каналом.
В пособии всюду речь идет о стационарных полях. Таких полей в строгом смы-
смысле этого слова в природе не бывает, и понимать это надо так: в течение времени,
которое частицы проводят в поле и мы их наблюдаем само поле не успевает заметно
измениться. Это позволит нам с единых позиций исследовать процессы, фактическая
длительность которых может составлять от долей микросекунды до многих часов.
Автор глубоко благодарен Л.Ф.Хайло за большую помощь при подготовке руко-
рукописи данного пособия.

Глава 1. Поведение заряженных частиц в электромагнитном поле
1.1. Принцип наименьшего действия
При исследовании эволюции любой динамической системы возможны два подхо-
подхода, которые связаны либо с векторной механикой Ньютона, либо с аналитической
механикой. В первом случае выявляются все силы, действующие на каждую части-
частицу, для чего связи разрываются и заменяются силами. После этого при заданных
начальных условиях движение однозначно определяется из решения системы урав-
уравнений
-—— — t к , к = 1,2... К,
где К — число частиц в системе.
В аналитической механике динамическое действие силы описывается кинетиче-
кинетической энергией всей системы Г, а вместо силы принимается полная потенциальная
энергия U. Эти две скалярные функции действительно содержат в себе всю ин-
информацию о прошлом и будущем динамической системы любой степени сложности.
Чтобы получить эту информацию, надо положить эти функции в основу некото-
некоторого фундаментального принципа, описание которого дается ниже. Отметим, что
для свободных частиц оба подхода равнозначны, но в сложных системах аналити-
аналитическая механика имеет серьезные практические преимущества. Кроме того, с ней
связаны многие современные понятия и представления, и потому мы будем широко
пользоваться ее методами. Материал этого параграфа следует монографии [1].
Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы, движение которой
будем изучать в системе обобщенных координат х = (х\,Х2, ■ ■ ■, £дг) (такая систе-
система называется конфигурационным пространством). Составим скалярную функцию
Лагранжа (лагранжиан) в виде разности кинетической и потенциальной энергий
системы:
Г G v f\ — TV-г 7\ — ТКт А
где x = (ii,x2,.. •, i/v) — вектор скорости. Пусть в достаточно близкие моменты
времени t\ и %ъ система находится в точках х^1' и х^2' конфигурационного простран-
пространства, а между этими двумя положениями она движется но определенной траектории
x(t). Введем новую динамическую величину, называемую действием:
Г*2
S = Г L(x(t),£{t),t)dt.
Основой аналитической механики является принадлежащий в окончательной фор-
формулировке Гамильтону принцип наименьшего действия: между начальным ti^x^
и конечным t2,x^ состояниями система движется так, чтобы обеспечить минимум
интеграла действия S.
Если x(t) есть то движение, которое реализуется в природе и обеспечивает мини-
минимум действия, то любое другое движение x(t) + 5x(l), Sx(ti) = &r(t2) = 0 приведет к

возрастанию действия S на некоторую величину AS:
AS = ft2[L(x(t) + 8x(t), 2(t) + 62, t) - L(x(t), Щ,
В соответствии с принципом Гамильтона первая вариация 8S должна обратиться в
нуль. Это условие дает
N
0Ь
ddL dL \ . , rbNfddL dL
Л = -
Л
п=1 ^п
Здесь интеграл взят по частям (мы приняли vn = дЬ/дхп ,. </un = <5ж„), первый член в
предпоследнем равенстве исчезает, так как начало и конец тректории не варьируются
8хп(и) = 8xn{t2) = 0.
Поскольку все вариации 8хп, п = 1,2... N независимы, для обращения в нуль
интеграла должен обратиться в нуль каждый член суммы, что дает систему диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка вида
решение которой при заданных начальных условиях хп@) — хп0, хп@) = хп0 одно-
однозначно определяет траекторию.
Входящие в A.1) уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода, а
величины
Рп = ^т-, ^я=я~, n = l,2,...iV A.2)
охп охп
являются обобщенными импульсами и обобщенными силами. С их помощью каждое
уравнение системы A.1) можно представить в ньютоновой форме:
ИР
—- = Fn, n = l,2,...N. A.3)
at
Часто из самого вида функции Лагранжа можно извлечь ценную информацию о
динамической системе. Предположим, например, что одна из координат (пусть это
будет Xi) не входит в лагранжиан Ь(х2, х$,... х^, х, t) (такие координаты называют-
называются циклическими). Согласно A.3), отвечающий этой координате импульс Р\ будет
интегралом движения dPi/dt = 0, Pi(x,x,t) = const. Отсюда ясно, что при выборе
системы координат следует стремиться к тому, чтобы число циклических коорди-
координат оказалось максимальным. Если все координаты удалось сделать циклическими,
то появляется полный набор N интегралов движения. Такие системы называются
полностью интегрируемыми, но они являются исключительными и типичная дина-
динамическая лагранжева система оказывается, как правило, неинтегрируемой.

Рассмотрим подробнее случай, когда время t оказывается циклической коорди-
координатой L(xjx) и построим полную производную этого лагранжиана по времени. С
учетом A.1) имеем
[^~T + ШГ&) ~ ti \ndidb + Хпдъ) "
f ±(8±\±Г Px
dt £
Объединяя правую и левую части находим интеграл движения
dl
N
nin - L(x, x)
Ln=i
Л"
= 0 , J^ Pnxn - L(x, x) = H = T + U = const, A.4)
n=l
которым оказывается полная энергия системы (при выводе A.4) мы учли равенства
L = T-U*J%=1Pnxn=2T).
Для консервативных систем принцип Гамильтона можно переписать в виде
SS = S L{x(t),x(t),t)dt = 5 [4£Pnxn-n)dt = S Y,pndxn = 0, A.5)
Jti Jil \n=l / JS(l) n=l
поскольку вариация константы (в данном случае Н) равна нулю. Соотношение A.5)
носит название принципа Мопертюи, и исторически оно появилось раньше принципа
Гамильтона.
1.2. Основные уравнения движения
Введеиая в предыдущем параграфе функция Лагранжа была представлена в виде
разности кинетической и потенциальной энергий системы. Такое представление не
является универсальным, и лагранжиан для одиночной релятивистской частицы во
внешнем стационарном поле имеет вид
A.6)
Здесь mo, q, v, r — масса покоя, заряд, скорость частицы и ее радиус-вектор, А(г)
— магнитный векторный потенциал внешнего магнитного поля, U(r) — потенциал
внешнего электрического поля; с -— скорость света. Выражение A.6) получено в
[2], где также приведено его обоснование. Заметим, что в частном случае нереля-
нерелятивистской частицы и < с и d осутствие магнитного поля А = 0 мы вновь воз-
возвращаемся к лагранжиану в виде разности кинетической и потенциальной энергий
L(r,v) — rnov2/2 — qU(f) (появляющаяся при этом постоянная — тос2 может быть
отброшена).

Убедимся прежде всего в том, что выражение A.6) правильно описывает движе-
движение частицы в стационарном поле. Перепишем A.1) в векторной форме
ddL 3L
0 (L7)
где обобщенный импульс согласно A.2)
?> dL mov -* _
р - = +qA-p
8V ф 2/2
и р - обычный механический импульс. Обобщенная сила равна
ri T
— = у L = q V (А • v) - q V U = q[v X [у X А]] + q(v ■ у)А + qE ,
здесь использовано векторное тождество
[v х [v х А]] = s7(A-v)-(v- v)A-
В последнее соотношение входит оператор набла V, с помощью которого записыва-
записываются дифференциальные операции первого порядка, например
Ё = - у U = -grad t/, B = vxA = rotA, у • -^ = div В = 0.
Описание использования оператора у в различных криволинейных системах коор-
координат имеется, в частности, в книге [3].
Нам понадобятся выражения для полных производных по времени векторного
магнитного потенциала и скалярного электростатического потенциала, измеренные
вдоль траектории частицы v{r) (их вывод имеется в [2])
dA дА _ . ? dU dU ,_ . r, , .
+ CM C)* (i.8)
В стационарном поле частные производные по времени не возникают и можно поло-
положить d/dt = 0.
Подстановка всех найденных выражений в A.7) и введение индукции магнитного
поля В = V х А дают
— (р + qA) = -^ + q(v ■ у)А = qE + q[v X В] + q{v-Sj)A.
Учитывая A.8), получаем правильное уравнение Ньютона для одной частицы
Q = qE + q[vxB], A.9)
правая часть которого называется силой Лоренца.

Напомним некоторые релятивистские соотношения. Для механического импульса
имеем
^ 0, A.10)
ф-r^jc2
где т — релятивистская масса; £ — полная энергия частицы; 0 = v/c — вектор ее
относительной скорости. Квадрат энергии покоя есть релятивистский инвариант
£q = £2 — (р • р)с2 — const,
дифференцирование которого по времени с учетом A.10) позволяет найти скорость
изменения полной энергии частицы
d£ _ dp
~dt ~V"dt '
Умножая уравнение A.9) скалярно слева на вектор скорости частицы и, находим
_ dp d£ _ £ %
v ■ — = — = qv • Ь + qv • [v x B\.
dt dt
Заметим, что второй член справа равен нулю (векторы v и [v x В] взаимно перпен-
перпендикулярны) и потому стационарное магнитное поле никакого вклада в изменение
энергии частицы не дает (его роль сводится к искривлению траекторий). Последнее
соотношение с учетом формулы A.8) для скорости изменения электростатического
потенциала вдоль траектории частицы позволяет найти релятивистский закон со-
сохранения энергии
— (£ + qU) = 0 ,
dt
где W = тоС2A/л/1 — (З2 — 1) — кинетическая энергия и принято, что частица поко-
покоится в точке с U = 0.
Основными частицами, с которыми нам придется иметь дело, являются электрон
и протон. Их заряды противоположны по знаку и равны е = 1.603 • 10~19 Кул но
величине, энергии покоя 511.00 КэВ для электрона и 938.28 МэВ для протона.
Большим преимуществом аналитической механики является возможность легко
получать уравнения движения в любой криволинейной системе координат, для чего
следует записать в этой системе входящие и A.6) величины и, А , U и провести со-
соответствующее дифференцирование. Практически, однако, удобно поступить иначе.
Запишем уравнения движения A.1), используя только первый член Lq лагранжиана
A.6) (он описывдет движение свободной частицы и потому называется "инерциаль-
ным"), а затем прибавим к правой части компоненты обобщенной силы.
В декартовой системе Х\ = х, Х2 = у, #з = z инерциальный член имеет вид Lq —
—rriQC2-J\ — (х2 + у2 + z2)/c2, в него входят только компоненты скорости и не входят
координаты и потому второе слагаемое в A.1) "не работает" дЬо/дхп = 0. Поскольку
8

обобщенная сила записывается как F — qE + q[v x В], окончательно в декартовых
координатах получаем
A.13а)
- (-i) = qEx + q(yB, - zBy) ,
Jt
It (&*)= qEz
№ - хВг),
AЛЗс)
где €/с2 = т — релятивистская масса.
Перейдем к цилиндрической системе координат xi = r,x2 — а,х3 — z. Квадрат
скорости можно найти, поделив квадрат элемента дуги dl2 — dr2 -f r2da2 + dz2 на dt2,
что позволяет найти инерциальную часть лагранжиана
o = -тос■ \ /1
г2
г2 + r2a
2a2
Поскольку теперь Lo содержит координату г, то в левой части уравнения появляет-
появляется "сила" dLo/dr, в данном случае это центробежная сила. Все такого рода "силы"
оказываются записаны в лагранжиане через его зависимость от координат, при диф-
дифференцировании они выявляются автоматически и их не обязательно (как в методе
Ньютона) знать заранее.
Используя при вычислении обобщенной силы запись векторного произведения в
цилиндрической системе координат (гЬ, с?о, -?о - координатные орты)
[
получаем полную систему уравнений
е .
Го «О 20
г га z
Вг Ва Вг
lit
lit (irS = qE
AЛ4Ь)
A.14c)
Появление множителя 1/г в левой части уравнения A.14Ь) связано с тем, что вто-
вторая координата а есть угол и отвечающая ей компонента обобщенной силы есть на
самом деле момент силы и мы поделили обе части уравнения на г. Напомним, что в
уравнениях A.13),A.14) компоненты векторов поля могут быть любыми функциями
координат, но не зависят от времени. Мы вернемся к системам A.13),A.14) позже,
а сейчас обсудим одну интересную аналогию.

1.3. Аналогия между движением заряженных частиц
и распространением света
Полная энергия частицы, движущейся в стационарном поле, остается постоянной,
и потому можно использовать вариационный принцип Моиертюи A.5) для консер-
консервативных систем с лагранжианом вида A.6). В векторной форме имеем
Р • dr = 0 ,
где г
рии.
радиус-вектор частицы; х^ и
начальная и конечная точки траекто-
Иродвижение частицы по траектории удобно измерять длиной s. отсчитанной
вдоль этой траектории от некоторого начала, при этом значениям х^ и ж^2' отвечают
величины si и«2 соответственно. Пусть sq — орт скорости частицы, тогда изменение
положения частицы па величину ds изменяет радиус-вектор частицы на dr = $0 ds и
мы получаем
;Г
Г
s0)
По своей форме этоп ghbywbg, выполняющийся на истинной траектории частицы,
аналогичен принципу Ферма геометрической оптики: луч света в среде с перемен-
переменным показателем преломления n(s) проходит между точками S\ и s2 по траектории,
обеспечивающей минимальное время:
'•Г
n{s)
ds = 0.
Заметим, что из принципа Ферма могут быть получены все соотношения геометри-
геометрической оптики, в том числе законы отражения и преломления света.
Электронно-оптический показатель преломления, записанный в виде
п, —
q(A • s0)
A.15)
состоит из двух слагаемых, обусловленных наличием электрического и магнитного
полей. Магнитное поле делает среду анизотропной: скалярное произведение А • s0
зависит от направления скорости частицы. Если магнитного поля нет, то среда
оказывается изотропной с показателем преломления
пе =
mov
— тос-
W
W
где W — —qll > 0 -— кинетическая энергия частицы. Заметим, что при отсутствии
магнитного поля и в нерелятивистском случае W <^С £0 этот показатель пропорцио-
пропорционален корню из потенциала пе ~ mocJ2W/£o ~ л/U.
10

Пример 1. Имеются расположенные близко друг к другу металлические сет-
сетки, которые разделяют две области с постоянными, но разными потенциалами Ui
и (/г (рис. 1.1). Выше и ниже сеток напряженность электрического поля Е = О
и траектории частиц прямолинейны, но в пространстве между сетками Е ф 0 и
траектории испытывают излом вследствие изменения вертикальной составляющей
импульса. Условие сохранения горизонтальной составляющей импульса дает
sin a.\
sin «2
откуда находим
sin i
A.16)
последнее равенство относится к нерелятивистскому случаю. В этом выражении мы
узнаем закон Спеллиуса ••■ закон преломления светового луча па границе двух сред
с разными показателями преломления rai и п^.
Рис. 1.1. Преломление релятивистского электронного пучка при прохождении
через потенциальный барьер (а) и использование закона A.16) для построения
траектории частицы (б)
Формула A.16) используется в тех случаях, когда надо найти траекторию части-
частицы в поле, заданном системой эквипотенциальных линий, которые рассматриваются
как ряд областей с постоянными потенциалами (см рис. 1.1). /Считается, что изме-
изменение потенциала происходит скачком на границах, которые на небольших участках
принимаются плоскими и излом траектории определяется по правилу A.16) с учетом
или без учета релятивизма (метод ломаной или метод плоского конденсатора)
Оптико-механическая аналогия открывает отличную от методов электродинами-
электродинамики возможность в решении различных задач движения заряженных частиц средства-
средствами геометрической оптики. Не случайно в электронной оптике существуют линзы,
призмы, зеркала, микроскопы, спектрометры и пр. Накопленный веками опыт све-
световой оптики существенно здесь помог. Первое время электронная оптика пыталась
буквально копировать световую: чтобы иметь скачкообразные изменения показателя
преломления, потенциалы подавали на сеточки, выдавленные в форме чечевицы. Но
11

редкие сеточки формировали плохое поле, а густые перехватывали заметную долю
тока, горели, газили и от этой практики пришлось полностью отказаться.
В настоящее время электронно-оптическая среда использует поля, созданные ис-
источниками, расположенными вне пучка частиц. Эти поля всегда плавные и непре-
непрерывные, поскольку квадрат показателя преломления должен удовлетворять урав-
уравнению Лапласа \/2п2е ~ SJ2U — 0. В световой оптике показатели преломления для
различных прозрачных сред отличаются всего в несколько раз, в то время как вели-
величина электронно-оптического показателя может изменяться в очень широких преде-
пределах. Взамодействие частиц друг с другом в потоках высокой интенсивности также
нарушает аналогию.
В заключене этого раздела заметим, что в световой оптике мощным средством со-
создания качественных объективов является комбинация собирающих и рассеивающих
линз, у которых коэффициенты аберрации имеют разные знаки. Но в электронной
оптике с симметрией вращения все линзы только собирающие, рассеивающих нет и
этот путь ослабления аберраций закрыт (см. главу 3 )
1.4. Движение частицы в однородных стационарных полях
Применим систему уравнений A.13) для анализа общего случая движения нере-
нерелятивистского (£/с2 « €q/c2 = тпо) электрона при одновременном воздействии ста-
стационарных однородных электрического Е и магнитного В полей. Полагая q = — е,
обозначая отношение заряда к массе покоя через r\ = e/mQ и направляя оси декар-
декартовой системы координат, как показано на рис. 1.2, получаем
, Еу = 0, Ея = Есоав, Вх = Ву = 0, Bz = В.
Система A.13) принимает при этом вид
х = -г)(Ех + By), y = rjBx, z = ~riEz. A.17)
После первого интегрирования имеем
х = -r){Ext + By) + d , y = riBx + C2, i = -r}Ezt + Cz. A.18)
Подставляя выражение у из A.18) в первое уравнение A.17), находим
( ^ ;|) 0. A.19)
Введем новую переменную
Е С
которая отличается от х сдвигом на постоянную величину, тогда уравнение A.17)
примет вид уравнения гармонического осциллятора
| + и& = О
12

с частотой шс = г\В, которая называется циклотронной частотой. Решение послед-
последнего уравнения имеет вид £(t) = Rs'm(ojct + ф), где И,ф --- новые постоянные ин-
интегрирования. Возвращаемся в нем к прежней переменной и тем самым получаем
решение x(t). Это позволяет найти y(t) из первого уравнения A.18). Интегрируя
третье уравнение A.18), получаем z(i). Полное решение задачи имеет вид
x(t) = flsin(u/c< + <£)-
- -Rcos(u>ct + ф)
ЦЕХ С2
-\
A.20)
z(t) =
+
+ С4.
Шесть постоянных интегрирования Ci, C2, C3, C4, R, ф определяются по начальным
условиям х0, уо, z0, х0, уо, i0.
У
Рис. 1.3. Траектория электрона в
однородном магнитном поле
Рис. 1.2. Траектория электрона в
однородных электрическом и
магнитном полях
Анализ решения A.20) показывает, что движение электрона можно представить
как результат наложения двух движений. Первое из них есть движение по пара-
параболе, лежащей в плоскости Xi = —(rjE^ + Ci)/u)c = const, второе — равномерное
вращение по кругу радиуса R в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю
(оси z). Истинная траектория - сложная спираль, образуемая движением по кругу,
центр которого перемещается по параболе (рис. 1.2). Рассмотрим некоторые частные
случаи.
Пример 2. Движение в однородном магнитном поле.
Из системы A.18) находим
x(t) = Rsm{ojct + ф) , y(t) = -Rcos(u>ct
z(t) = C3t
13

Центр круга перемещается по прямой, параллельной оси г, и траектория есть вин-
винтовая линия с постоянным шагом (рис. 1.3). Радиус круга (его называют ларморов-
ским радиусом) равен R = ух% -\- уЦшс = v±./u;c, период обращения по окружности
Т = 2nR/v±_ = 2ж/шс не зависит от vx, шаг спирали (циклотронная длина волны)
равен Ас = T'zq = 2~kv\\Iu}c. Эти результаты следуют из того факта, что сила Лорен-
Лоренца уравновешивается центробежной силой qv±B — mv\j R. Заметим, что поскольку
энергия частицы остается неизменной, эти результаты справедливы и для реляти-
релятивистского случая.
То обстоятельство, что период обращения не зависит от i>i, но зависит от по-
поля В, приводит к эффекту так называемой "фокусировки однородным магнитным
полем". Пусть электронно-лучевая трубка помещена в параллельное ее оси одно-
однородное магнитное поле В и пушка, расположенная внутри трубки на расстоянии D
от экрана, испускает электроны с различными поперечными скоростями v±_ <С v\\
(рис. 1.4). Можно подобрать величину В так, чтобы через время Т — 2irmo/qB
электроны сфокусировались в точку на экране, т.е. чтобы выполнялось равенство
D = Tv\\. Именно таким путем в свое время было проведено первое точное измерение
отношения заряда к массе для электрона.
Рис. 1.4. Фокусировка в однородном продольном магнитном поле:
(а) — вид сбоку; (б) — вид вдоль оси
Если v\\ — О, vx. = v, то частица движется в плоскости, перпендикулярной к
вектору В (равновесная частица в ускорителе) и R = mvjqB или rnv — р = qBR.
Величину BR называют "жесткостью" частицы
Последнее выражение предполагает, что индукция измеряется в гауссах, радиус —
в сантиметрах и энергия — в электронвольтах.
Формула A.21) позволяет проводить оценку ларморовского радиуса частицы,
если магнитное поле В задано. Попробуем, например, оценить радиус орбиты про-
протонного синхрофазотрона на энергию W — 30 ГэВ, находящегося в Женеве (ЦЕРН).
Здесь W > £о « 1 ГэВ, /3 « 1 и потому формула упрощается R w W/300B. По-
Полагая В — 10 000 гс, находим R ~ 100 м (на самом деле с учетом прямолинейных
промежутков R — ПО м).
Оценим также ларморовский радиус электрона с энергией W — 50 КэВ, дви-
движущегося в магнитном поле Земли Яф и 0.5 Гс. Здесь W «С £о = 511 КэВ,
C и фЩЁо w 0.45 и мы находим R яз y/2WS0/300B@ « 15м.
14

Как мы выяснили, движение в однородном магнитном поле оказывается доста-
достаточно простым. Спрашивается, что изменится, если поле сделать слегка неодно-
неоднородным ? Ответ на этот "простой" вопрос оказывается совсем непростым, и мы
рассмотрим его в разделе 2.6.
Пример 3. Движение в однородном электрическом поле.
Направим ось х вдоль Е. Мы знаем, что траектория будет лежать в некоторой
плоскости, пусть это будет плоскость ху (принимаем z0 — z0 — 0, что исключает
г-движение). Начальное положение частицы в начале координат х0 = у0 — 0, и в
начальный момент времени t = 0 скорости равны (х0 = 0, у0 -ф 00. Решая систему
A.17), находим
и движение оказывается инфинитным по обеим координатам. Его нельзя получить
предельным переходом В —>■ 0 из A.20). Наличие сколь угодно слабого, но конечного
магнитного поля качественно меняет движение, превращая его из инфинитного в
финитное по одной из координат.
Из этих соотношений исключаем время и получаем известный из школьного курса
физики результат
Ф 2
Рассмотрим ту же ситуацию, но с учетом релятивизма [2]. Для этого следует
вернуться к системе A.13), поскольку массу уже нельзя выносить за знак диффе-
дифференцирования. Имеем (рх@) = 0, ру@) = ру0):
рх = qE, ру = 0 , рх= qEt, ру = руо .
Из соотношения A.10) следует равенство v = c2p/S, которое дает
dx c2qEt dy с2ру0
\j£q + с2Ьдо + {чЕ1J\ dt
После интегрирования получаем
qE
Уравнение траектории определяется после исключения из последних соотношений
времени
qEy
_ \1о + Руо
х — — en
qE
В нерелятивстском пределе (и < с), разлагая последнее равенство по степеням 1/с с
точностью до константы вновь получаем классическую параболу.
Пример 4. Движение в параллельных электрическом и магнитном полях.
15

Траектория совпадает с A.18), где надо принять Ех = О, EZ — Е. Частица
вращается вокруг оси z по окружности неизменного радиуса R — v±/uc и ускоряется
(или замедляется) ао оси z.
Пример 5. Движение в перпендикулярных полях Е ± В.
Пусть х0 = уо = z0 = 0 и начальное положение частицы совпадает с началом
координат (рис. 1.5). Поскольку z-движение никак не связано с другими степеня-
степенями свободы, исключим его из рассмотрения, приняв z0 — 0. Оставшиеся четыре
постоянные интегрирования определяются из условий
R sin ф — —
0 , — R cos ф+ ■— = 0 , х0 — Ru>c cos ф.
-
щ = Ruc sin ф .
Уравнения траектории принимают вид
x(t) =(У°
^\ (cosuct - 1) + ^
Рис. 1.5. Траектории заряженной частицы в скрещенных электрическом и
магнитном полях — трохоиды (а - в); траектория электрона (циклоида) для
случая, когда катод помещен в начало координат (г))
Траектории такого типа называются трохоидами. Если катить без проскальзы-
проскальзывания окружность по прямой, то точка на окружности опишет циклоиду, точка на
большем радиусе — удлиненную циклоиду, а на меньшем ■•- укороченную. Все они
при zq — 0 лежат в плоскости х, у и широко применяются во многих приборах СВЧ,
их вид определяется величиной и направлением начальной скорости (см. рис. 1.5).
Помещая в начало координат катод х0 — J/o = 0 и вводя обозначение р = r\EjuJc.
получаем циклоиду, образованную окружностью радиуса р. Высота арки циклоиды
2/>, длина 27г/> и период по времени 2тг/и;с.
x(t) — p(coswct —
y(t) = p(s\nujct — wct) .
16

Отметим, чти при х0 = 0 и у0 = —Е/ В электрическая и магнитная силы точно
равны и противоположны по знаку и частица с такими параметрами идет строго
вдоль оси у, "не замечая" этих полей. Это обстоятельство используется при созда-
создании на базе скрещенных полей монохроматоров скоростей.
17

Глава 2. Поля с аксиальной симметрией
2.1. Аксиально-симметричное электростатическое поле
В электродинамике заряженных частиц поля с симметрией вращения играют
почти ту же роль, какая в световой оптике принадлежит преломляющим средам,
образованным поверхностями вращения с общей осью. Ниже будет показано, что
в таких полях параксиальный (близкий к оси) пучок электронов дает правильное
электронно-оптическое изображение, т.е. такое устройство представляет собой лин-
линзу. При описании этих полей более других подходит цилиндрическая система коор-
координат (r,a,z) с осью г, направленной вдоль оси симметрии.
Электростатическое аксиально-симметричное поле создается электродами, явля-
являющимися поверхностями вращения, на которые подаются определенные потенциалы
(напомним, что потенциал катода всегда равен нулю). В силу указанной симметрии
потенциал не зависит от угловой координаты а и может быть найден из уравнения
Лапласа
2тг дЮ idU d2U п /п ч
Or2 r Or dz2
Решение будем искать в виде ряда
V{r,z) = Uo(z) + U2(z)r2 + U4(z)r4 + ...,
в котором все нечетные степени г отсутствуют, поскольку все нечетные производ-
производные потенциала д +1U/dr2 +1 , к = 1,2,. .., на оси симметрии должны обращаться в
нуль.
Подставляя этот ряд в B.1), имеем
Uq(z) + U'l(z)r2 + U'^zy + ... + 2U2{z) + UU^zy2 + ... + 2U2(z) + 4U4(z)r2 = 0 .
Группируя коэффициенты при одинаковых степенях г и приравнивая их нулю, на-
находим
II" II" U"
п — ° TI — 2 л — 4
£/2--т, U<--—> U6---.
Подставляя эти выражения в B.1), получим
где верхний индекс в скобках означает номер производной по z. Видно, что распре-
распределению потенциала на оси системы (и его производным) принадлежит особая роль,
и потому мы введем для него специальное обозначение UQ(z) — Ф(г). С учетом этого
соглашения окончательно находим
U(r,z) = Ф0(*) - ^Мг2 + ...= £ ^ФBп)^) (Г-) • B.2а)
1 п=0 \П-) V//
18

Для составляющих напряженности электрического поля имеем
2n-l
, B.26)
(-i)
п+1
2п
Ряды B.2) выглядят вполне благополучно и порождают иллюзию, что с их помо-
помощью можно надежно вычислять потенциал в любой точке вне оси. Дело в том, что
эти ряды оказываются некорректными и означает это следующее. Если потенциал
на оси и нужное количество его производных известны точно, то ряды также дают
точное решение. Но если, как это обычно бывает, эти данные известны приближен-
приближенно, то ошибка максимально быстро (экспоненциально) нарастает по мере удаления
от оси. На практике эти ряды дают приемлемые результаты лишь недалеко от оси.
К счастью, этого оказывается достаточно, так как по другим соображениям далеко
от оси отходить не требуется.
Выясним некоторые особенности строения аксиально-симметричного поля вблизи
оси, для чего возмем на этой оси произвольную точку zq и представим потенциал в
малой ее окрестности рядом Тейлора с точностью до квадратичных членов включи-
включительно
U(r,
+ о =
+
Id2U 2
2 dz2 '
2 <9г2
Oz I Oz* OrOz Or
где все производные вычисляются в точке zq {г — £ = 0).
Поскольку мы ищем уравнение эквипотенциа-
эквипотенциали, то U(r,zQ + £) = Ф(г0) = const и они вза-
взаимно уничтожаются. Третий и четвертый чле-
члены последнего выражения обращаются в ну-
нули, поскольку содержат нечетную производную
по г на оси. Учитывая что согласно B.2Ь)
d2U/дг2 — — Ф"/2 получаем уравнение эквипо-
эквипотенциали в окрестности точки zq
которая оказывается 1'иперболоидом вращения.
Рассмотрим особый случай Ф'(го) = 0. В этой
седловой точке уравнение эквипотенциали
Рис, 2.1. Эквипотенциали
линзы с симметрией
вращения
принимает вид
т.е. гиперболоиды вырождаются в два конуса с углом 54° 44' при вершине. Все
сказанное иллюстрирует рис. 2.1, на котором приведена картина эквипотенциалей
19

электростатической линзы с симметрией вращения.
2.2. Аксиально-симметричное магнитное поле
Магнитные поля с симметрией вращения создаются совокупностями круговых
витков (катушками), плоскости которых перпендикулярны к оси z. Плотность тока
в этом случае имеет единственную отличную от нуля азимутальную составляющую
5а = 5 EГ — 8Z = 0). Поскольку векторный магнитный потенциал свои векторные
качества получает от тока (это следует из соотношения \/2А — —/ло5), у него так-
также отлична от нуля только азимутальная составляющая Аа — А (Аг — Az — 0).
Поскольку В = rot А, то для компонент индукции имеем
Л Л 1 Л
Вг = -■«-, Bz = - — (rA), Ba = 0. B.3)
OZ Г ОГ
Чтобы продвинуться дальше, нам необходимо найти уравнение, которому удовле-
удовлетворяет магнитный потенциал А. С этой целью воспользуемся равенством rot Б =
/j,qS и применим его к области поля, где токов нет (fo, Qo, zq — координатные орты)
rotS =
fo/r a0 zo/r
д/дг 0 д/dz
Вг 0 R
= 0.
Раскрывая этот определитель, находим, что для обращения его в нуль необходимо
обеспечить равенство
дВг dBz _
dz дг
Подставляя в него зависимости компонент индукции от магнитного потенциала B.3),
получаем искомое уравнение
д2А \дА А 82А п
дг2 г дг г2 dz2 y '
Обращаем внимание на тот факт, что оно не совпадает с уравнением Лапласа в
цилиндрических координатах.
Далее мы действуем по аналогии со случаем электростатического потенциала, т.е.
ищем решение в виде ряда
Л(г, z) = fo(z) + h{z)r + f2(z)r2 + /з(г)г3 + fA{z)rA + f5(z)r5 + ... B.5)
В этой записи содержатся лишние члены, которые не удовлетворяют условию сим-
симметрии. Чтобы их выявить, запишем с помощью этого ряда выражение для Bz из
B.3)
Bz{r, z) = ^ + 2Л + Зг/2 + 4г2/з + • • • ■
г
Условие симметрии требует, чтобы все нечетные производные Bz(r,z) на оси z (т.е.
при г = 0) обращались в нуль. Это заставляет нас выкинуть из B.5) все четные
20

члены и принять fi(z) = B0(z)/2, где B0(z) = Bz(r = 0, z) есть индукция на оси z.
Окончательно имеем
г, z) =
f3(z)r3
Подставляя это выражение в уравнение B.4), собирая и приравнивая нулю коэффи-
коэффициенты при одинаковых степенях г находим рекуррентные соотношения, позволяю-
позволяющие выразить все члены ряда через индукцию на оси и ее производные:
Jz) J)
а
Окончательно для магнитного потенциала и компонент индукции получаем
?B)/
,2,
Мг г) - ёмг _ £Шгз
22-4
B.6a)
B.66)
B.6c)
Все сказанное относительно некорректности рядов B.2) предыдущего раздела отно-
относится также к рядам B.6).
Примеры реальных распределений магнитных полей с симметрией вращения для
свободных и армированных железом катушек даны на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Распределение индукции на оси магнитных катушек с различными
конструкциями экранов
21

2.3. Уравнения движения и теорема Буша
Теперь, когда мы располагаем выражениями для компонент всех векторов поля
с аксиальной симметрией, можем написать для этого случая полную систему урав-
уравнений. Для нерелятивистского электрона (q = — е, г) = е/т0) после вынесения за
знак дифференциала массы покоя система A.14) принимает вид
г = га2 — r]Er — TjraBz , B.7а)
y B.7b)
z = -r]Ez + riraBr. B.7c)
Компоненты векторов поля являются функциями координат вида B.2),B.7). Важно
сразу же подчеркнуть, что уравнение B.7Ь) связано только с магнитным полем, и
мы начнем с его анализа.
Пусть имеется некоторая электронная траектория. Вращая ее вокруг оси г, по-
получим некоторую поверхность вращения (рис. 2.3). Магнитный поток, пронизываю-
пронизывающий проходящее через точку (г, г) траектории поперечное сечение этой поверхности
описывается так:
1 д
Г Г 1 д
,г) = 2тг/ BJr,z)rdr = 2тг / - —
Jo Jo г or
Полученное равенство помогает понять физический смысл магнитного потенциала в
аксиально-симметричном поле.
По мере продвижения электрона вдоль по своей траектории r(z) этот поток из-
изменяется со скоростью, описываемой уравнением
ЛФ <9Ф. ЭФ. о (гд{гА) .ЭА\
dt дг dz \r дг dz J
где мы использовали соотношения B.3). С учетом последнего равенства из уравнения
B.7Ь) находим
d d
откуда немедленно следует интеграл движения
JL
2тг
г2а - ~-У(г, z) - г2а - rjrA(r, z) = Ca = const. B.8)
г1 г
Из B.8) находим
г2 2тгг2 г1 г
Соотношение B.8) можно получить прямо из лагранжиана системы, который для
нашего случая имеет вид (см. A.6))
L — — тос2\11 + qA(r, z)ra — qU{r,z).
22

Поскольку а — координата циклическая, отвечающий ей импульс есть величина
постоянная
^а = ^^трт + ЯгЛ(г, z) = C* = const. B.10)
Если отказаться от релятивизма, учесть знак заряда и поделить все на массу, то
B.10) точно перейдет в B.8). Хотя результат B.10) получен намного быстрее и
проще, нам кажется, что неформальный подход Буша помогает лучше разобраться
с механизмом возникновения этого важного интеграла движения.
Поверхность,образованная
вращением электронной
/траектории вокруг оси
Силовые линии
магнитного поля
Рис. 2.3. К выводу теоремы Буша
Знание интегралов движения можно использовать двояко. Во-первых, с их по-
помощью можно понизить порядок исходной системы уравнений B.7) и тем самым
облегчить ее анализ (см. разд. 2.3). Этот прием использовался в основном в доком-
докомпьютерную эпоху, когда вычисления проводились почти "вручную". С появлени-
появлением компьютеров понижение порядка системы перестало быть актуальным, и сейчас
предпочитают проводить численный счет с полной системой уравнений, а с помощью
интеграла B.8) (или B.10)) контролировать точность вычислений.
В некоторых случаях, однако, знания лишь одной постоянной Буша B.8) до-
достаточно, чтобы составить полное представление о динамике частицы. Рассмотрим
пример такого рода.
Пример 1. Частица стартует в точке (ro,2o) вне магнитного поля со скоростью
v, параллельной оси г, а затем входит в однородное аксиально-симметричное поле В
(распространенный случай пушки с экранированным катодом). Будем считать, что
переходная зона от нулевого поля к однородному достаточно узка и радиус частицы
не успевает в ней заметно измениться. Поскольку слева от переходной зоны частица
не имеет закрутки и находится вне поля, постоянная Буша согласно B.8) равна нулю
Са — 0. Непосредственно справа от зоны перехода появляется а, которую надо найти
из равенства B.9):
4
23

г/
\ /
у
Рис. 2.4. Проникновение частицы в однородное магнитное поле
Частота <*>£ называется ларморовой, ее приобретает любая частица независимо от
ее начального радиуса г0. Поясним ее происхождение. Магнитные силовые линии
замкнуты и, чтобы собраться в параллельное оси z однородное ноле, они должны
проникнуть в него радиалыю в зоне перехода (рис. 2.4). От взаимодействия этой
радиальной компоненты поля и продольной скорости частицы возникает попереч-
поперечная сила и частица ускоряется в поперечном направлении. Следовательно, в зону
однородности она входит с поперечной скоростью их = П)^'£ = гои;с/2 (будем считать
v± < v, чтобы избежать пробочного эффекта, см. разд. 2.6), ее ларморовский ра-
радиус равен Н = v±/uc = ro/2. Один раз за период вращения Г = 2тг/ыс траектория
касается оси z.
Знания постоянной Буша нам хватило для достаточно полного исследования ди-
динамики. Но при изучении движения в однородном поле (см. разд. 1.4) было по-
показано, что частица движется по ларморовской окружности вокруг силовой линии
с циклотронной частотой ыс, а в нашем примере эта частота оказалась вдвое ниже.
Это противоречие кажущееся, и дело здесь в разных системах отсчета. В разде-
разделе 1.4 речь шла о скорости изменения центрального угла ф, а в нашем примере -
угла а (см.рис.2.4). Дифференцируя равенство треугольника 2а + ф = тг, находим
= loc/2.
2.4. Параксиальные уравнения движения
Чтобы продвинуться дальше в анализе системы уравнений B.7), мы вынуждены
ограничить себя так называемыми условиями паракешлъпости и считать справед-
справедливыми следующие два утверждения:
1) частица движется настолько близко к оси г, что главными в уравнениях движе-
движения оказываются линейные по г и г члены;
2) наклон траектории к оси z настолько мал, что в выражении v2 = г2 + r2a2 + z2
первые два слагаемые малы по сравнению с третьим, т.е. и2 и z2.
Просматривая с этой точки зрения разложения B.2),B.6), находим, что для обес-
24

печения параксиального приближения достаточно принять
Er{r,z)
Bz(r, z) a B0(z),
■г,
B.11)
Удобно также использовать координату z в качестве независимой переменной.
Поскольку в рассматриваемом приближении v = z, для перехода от производной по
времени к производной по z надо использовать равенство
da
da
dt dz
где а — произвольная переменная, точка означает дифференцирование по времени,
а штрих — по координате.
Начнем с третьего уравнения системы B.7с), которое становится независимым от
других:
d_ /V
Iz~ \ 2
dz '
= 0, v(z) =
. B.12)
В последнем выражении учтено соглашение, что v = 0 при Ф(-г) = 0.
Вместо второго уравнения B.7Ь) будем рассматривать следствие из него •- урав-
уравнение B.9):
/ Са Г]
a va + B{z)
интегрирование которого дает
B.13)
В общем случае (Са ф 0) этот интеграл зависит от радиальной координаты, которая
заранее неизвестна. Но если Са = 0, то угловое движение вычисляется до конца
B.14)
Первое уравнение B.7а) оказывается в параксиальном приближении основным:
Поделив обе части на и2 = 2r}$[z) и учитывая равенство v'/v = Ф'{
окончательно
2Ф(г)
2Са
= 0.
), получаем
B.15)
25

Если постоянная Буша Са не равна нулю, то это уравнение даже в параксиаль-
параксиальном приближении оказывается нелинейным, что в сильной степени затрудняет его
анализ. Но Са ф О только тогда, когда пушка находится в магнитном поле. Мы
рассмотрим этот случай в разд. 5.5, а пока примем Са = 0:
B.16)
2Ф(г) Щг)
Ситуация, как видно, кардинально изменилась, и мы получили линейное уравнение
второго порядка с переменными коэффициентами. Отметим внешнее сходство B.16)
с известным уравнением осциллятора в среде с трением
х + "*х + и>2х — 0 •
Это дает основание предположить (позже мы это подтвердим), что в B.16) коэффи-
коэффициент при г' отвечает за ускорение или замедление, а при г — за фокусировку.
Нетрудно проверить, что B.16) можно переписать в форме, которой мы будем
неоднократно пользоваться:
+
= 0.
B.17)
Если сделать замену зависимой переменной r(z) = /э(г)Ф1/'4(г), то уравнение B.16)
примет вид
2
= 0.
B.18)
Это представление удобно тем, что не содержит вторую производную распределения
потенциала на оси, обычно определяемую экспериментально.
Итак, движение электрона в параксиальном приближении описывается двумя
функциями — радиальной r(z) и угловой a(z). Часто рассматривают одно ради-
радиальное движение, но при этом необходимо помнить, что проходящая через ось z и
мгновенное положение электрона плоскость все время поворачивается на угол ot{z).
Рассмотрим частные случаи.
Пример 2. Частица влетает в магнитное поле из области, где магнитного поля
нет. Потенциал постоянен и равен Фо- Угловое движение находится сразу из B.14)
B.19)
B.20)
Как видно, угол поворота зависит от индукции линейно, а фокусирующая сила -—
квадратично. Это позволяет за счет смены знака симметричного распределения
а радиальное определяется уравнением
26

Bq{z) получить нулевой угол поворота изображения, что не отразится на фокуси-
фокусировке.
Пример 3. Электростатическое иоле. Углового движения не возникает, а ради-
радиальное определяется уравнением
2Ф(г)
Анализу этого уравнения будет посвящен разд. 3.1, а пока отметим три закона
подобия, которые хорошо видны из B.21):
1. Изменение всех потенциалов в р раз не изменяет траектории частиц, но изменяет
их скорость в yjp раз.
2. Если изменить размеры системы в / раз, то траектории, сохраняя подобие,
увеличатся в / раз. Скорость частиц изменится в \Д.
3. Изменение отношения заряда к массе в п раз не изменяет траекторию. Скорость
частиц изменится в у/п.
Законам подобия в науке принадлежит важная роль, поскольку они открывают
широкие возможности для всякого рода моделирования. Интересно выяснить, что
происходит с этими тремя законами в релятивистском случае ? Ответу на этот во-
вопрос посвящен следующий раздел.
2.5. Релятивистский случай
Релятивистское радиальное движение в аксиально-симметричном случае описы-
описывается уравнением A.14а). Для электрона q = — е в электростатическом поле имеем
Будем измерять все потенциалы в единицах Ue = moc2/e, тогда
US v I \/V»B + Ф)
Ue £о с v 1 + 0
Переходя к z в качестве независимой переменной, B.22) перепишем в виде
Переносим все члены налево и делим на /?7:
Pi И 1 Ur
Вводим новый относительный потенциал
, ^272 0B + ^») дф" дф дф
27

и с его помощью получим равенство
(PiI
Уравнение B.24) принимает окончательную форму
Нерелятивистское уравнение B.21) с учетом первого равенства B.11) перепишется в
виде
Ф'(г) дФ(г) 1
2Ф(г) дг 2Ф(г)
Сравнивая его с B.25), убеждаемся, что они подобны. Возвращаясь к размерным
переменным, получаем
1 +
*(*)
еФ(£)_
"^ 9™^2
2тос
B.26)
Таким образом, траектория релятивистской частицы с массой т = -y(z)mo, дви-
движущейся в аксиально-симметричном поле с потенциалом на оси Ф(г), совпадает с
траекторией нерелятивстской частицы массы т0 и зарядом е, движущейся в поле
с потенциалом на оси B.26). Это утверждение носит название теоремы Богуслав-
Богуславского A922 г.) и открывает широкие возможности моделирования релятивистских
траекторий.
Анализ уравнений B.25),B.26) показывает, что из трех законов подобия (см.
раздю 2.4) сохраняется только второй, касающийся изменения размеров системы.
Два других сливаются в один: если в р раз увеличить потенциалы и в р раз умень-
уменьшить отношение заряда к массе, то траектории не изменяются. Интересно отметить,
что в ультрарелятивистской области G 3> 1, ф* « ф2/2) все три нерелятивистских
закона вновь становятся справедливыми.
2.6. Слабонеоднородное магнитное поле. Ловушка Будкера
При движении частицы в магнитном поле имеется естественный масштаб длины -
ларморовский радиус R и поле можно считать слабонеоднородным, если выполнено
условие адиабатичности
*J££»i<l. B.27)
п
Поле обладает вращательной симметрией относительно оси z. Пусть частица дви-
движется в сторону усиления поля, где силовые линии сходятся. Нетрудно показать,
что при этом возникает перпендикулярная к плоскости ларморовской окружности
сила Лоренца, которая стремится вытолкнуть частицу из области сильного в область
слабого поля (рис. 2.5). Это обстоятельство, как будет показано ниже, качественно
меняет динамику по сравнению со случаем однородного поля.
28

Рис. 2.5. Отражение частицы от области более сильного магнитного ноля (а) и
происхождение силы, тормозящей частицу в неоднородном магнитном поле (б)
Рис. 2.6. Ловушка с магнитными пробками
Движущаяся по ларморовской окружности заряженная частица эквивалентна
магнитному диполю с моментом, равным произведению тока на площадь окружно-
окружности:
=ls -
rnv,
2В В '
где uj., W\. - перпендикулярные к полю скорость и кинетическая энергия частицы.
Действующая на диполь с моментом fx сила Fz = —^dB/dz совершает работу
Fzdz = —fxdB — dW\\, которая изменяет поступательную энергию частицы. Но по-
поскольку полная энергия частицы W = W\\ + ~Wx. = const является абсолютным инва-
инвариантом движения, поперечная энергия должна измениться на такую же величину,
но с противоположным знаком. Это дает соотношение
dWL = -dWn =
откуда и получается окончательный результат
в
V- =
в
= const.
B.28)
Магнитный момент частицы оказывается адиабатическим инвариантом и сохраня-
сохраняется тем точнее, чем лучше выполняется критерий B.27).
Одно из основных направлений в исследованиях по управляемому термоядерно-
термоядерному синтезу в нашей стране связано с использованием для длительного удержания
частиц так называемых открытых ловушек с магнитными пробками, предложенных
29

Будкером. Схема такой ловушки показана на рис. 2.6. (Когда была снята завеса
строгой секретности с работ по термоядерному синтезу выяснилось, что подобное от-
открытие было независимо сделано американским физиком Постом). Учитывая, что
uj. = v sin а и v — const, гда а — угол, образованный вектором скорости и силовой
линией, равенство B.28) можно переписать как
sin2 a
В
= const.
Минимальная индукция Во имеет место в медианной плоскости ловушки, а макси-
максимальная Вт — в магнитных пробках, и последнее равенство дает
sm a0 sin am
7Wr = n=r- > sm Qo ~
где величина Вт/Во называется пробочным отношением. Если выполнено условие
sin c*o >
то частицы оказываются запертыми в ловушке, попеременно отражаясь от магнит-
магнитных пробок.
Динамика частиц в магнитной ловушке оказывается очень сложной, и мы не
станем ее рассматривать (это будет сделано в курсе физики плазмы), но об одном
поразительном факте надо упомянуть. Не прошло и десяти лет после изобретения
Будкера, как ловушки с магнитными пробками были обнаружены в магнитном поле
Земли - это так называемые радиационные пояса, их открытие связывают с имена-
именами Ван Лллона и Всрпова A958 г.) Счетчики заряженных частиц, установленные на
советских и американских спутниках, фиксировали резкое (на несколько порядков)
усиление скорости счета при заходах в эти пояса. Земля есть гигантский линей-
линейный магнит, силовые линии которого сгущаются в области полюсов, что и создает в
околоземном пространстве конфигурацию кольцевой магнитной ловушки с пробка-
пробками (рис. 2.7). Малая величина магнитного поля при этом с лихвой компенсируется
огромными размерами, так что критерий адиабатичности B.27) оказывается выпол-
выполненным. Правдоподобные оценки показывают, что радиационные пояса населены
протонами и электронами с энергией порядка 1 МэВ (ларморовские радиусы около
10 км и 300 м соответственно). Механизм их заполнения во многом еще не ясен
и уж совсем непонятно, почему образовались два пояса, а не один широкий. Для
подтверждения возникших предположений в августе 1958 г. на высоте 480 км от Зем-
Земли над южной частью Атлантического океана американский спутник "Эксплорер-4"
выполнил ядерный взрыв малой мощности. Заряженные продукты распада коротко-
живущих бета-активных ядер должны были заполнить ловушку, что и произошло.
Искусственный кольцевой радиационный пояс образовался вокруг всей Земли че-
через несколько часов после взрыва, а на его исчезновение потребовалось несколько
месяцев.
30

Рис. 2.7. Расположение естественных радиационных поясов Земли: цифры
соответствуют темпу счета приборов, измеряющих интенсивность радиации;
жирная точка на горизонтальной оси указывает место ядерного взрыва,
выполненного для создания временного искусственного радиационного пояса
В заключение отметим, что радиационные пояса, вполне возможно, являются
специфической привилегией Земли. На сегодня известно, что у Луны, Венеры и
Марса их нет.
31

Глава 3. Элементы фокусирующих систем и их свойства
3.1. Электростатические линзы и зеркала
В разд. 2.4 получено уравнение движения электрона в параксиальном приближе-
приближении B.21). Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка,
любое его решение является линейной комбинацией двух линейно независимых ре-
решений H\(z) и R2(z) этого же уравнения. Зададим их следующими начальными
условиями:
Линейная независимость R\{z) и R2(z) обеспечивается линейной независимостью на-
начальных условий. Мы предполагаем также, что азимутальная скорость у электронов
отсутствует и траектория есть плоская кривая.
Произвольное решение B.21), заданное начальными условиями г@) = г0, г'@) =
г'п, может быть записано в виде
r(z) - r0
r0 R2(z), r'(z) = r0 R\{z) + r0 R'2(z).
C.2)
z=b
Рис. 3.1. Получение оптического изображения в параксиальных полях
Пусть z = b — первая отличная от z = 0 точка, где R2(b) = 0. В этой точке име-
имеем r(b) = Го Ri{b) независимо от величины г0. Это значит, что точка г(Ь) есть образ
точки го и все лучи, выходящие из го под различными углами г0, вновь соберутся в
точке r(b) (рис. 3.1). Величина Ri(b) = гь/гц есть линейное увеличение линзы, оди-
одинаковое для любых г0. Таким образом, аксиально-симметричное электростатическое
поле для параксиальных электронных лучей является неискажающей линзой. Этот
факт является прямым следствием линейности уравнения движения B.21). Можно
добавить в систему магнитное поле, учесть релятивизм, но если движение описыва-
описывается линейным дифференциальным уравнением, то мы имеем дело с неискажающей
линзой. Необходимо, однако, помнить, что параксиальные уравнения всегда прибли-
приближенные и пользоваться ими можно, если траектория не отходит от оси на расстояние,
больше некоторого r(z) < rg. Но для того, чтобы найти эту границу гд, надо выйти
из параксиального приближения и провести рассмотрение в следующем порядке те-
теории возмущений, что сделать не так просто. Мы кратко коснемся этого вопроса в
разд. 3.3.
32

Несколько слов о терминах. Как видно из уравнения B.21), частица взаимодей-
взаимодействует с полем только в тех областях, где Ф" ф 0. Если этот участок занимает по оси
z сравнительно мало места, то мы называем его линзой. Если же он достаточно про-
протяженный или повторяющийся, то говорят о системе линз, фокусирующем канале,
ускорительной трубке и т.д.
В световой геометрической оптике, как известно, существует способ построения
изображений без вычисления каждый раз заново траекторий световых лучей. Этот
способ применим и в электронной оптике.
s
Рис. 3.2. Кардинальные элементы линзы
В толстой оптической линзе (или в центрированной системе линз) для построения
изображения необходимо знать четыре кардинальных элемента: два главных фокуса
Fi и F? и две главные точки #i и #2 (проходящие через них плоскости называются
главными плоскостями). На рис. 3.2 построено изображение, если кардинальные
элементы известны (слева пространство предметов, справа - изображений). Указан-
Указанные на рисунке отрезки /i и /г называются фокусными расстояниями или фокусами.
Из подобия треугольников в предметном пространстве находим fi/p = d^j{di + с?г)>
а из подобия треугольников в пространстве изображений — /г/<7 = d\/(di + с?2)-
Складывая их, получаем так называемое основное соотношение линзы
Р
C.3)
Рис. 3.3. Определение кардинальных элементов электростатической линзы
33

Кардинальные элементы толстой электростатической линзы определяются расче-
расчетом или на электронно-оптической скамье с помощью нахождения траекторий двух
лучей, падающих на линзу из бесконечности параллельно оси z с разных сторон (рис.
3.3). Обращаем внимание на "перехлест" главных точек Н\ и #2, что характерно для
электростатических линз.
В некоторых случаях область Az, занятая полем, невелика и линзу можно счи-
считать "тонкой" (более правильно считать линзу тонкой, если выполнено условие /j, /2
Az). Радиальный размер траектории г0 в пределах линзы не успевает заметно изме-
измениться и однократное интегрироззание уравнения B.17) при Во = О
дает (рис. 3.4)
где
r0 fZ2 Ф"
'I
= tga =
—
Р
r'(^) = -tg/3 = --
Рис. 3.4. Схема тонкой линзы
После сокращения на rQ получаем
/ф(
Р 4
Интеграл можно взять по частям, полагая и = 1/л/ф и off = Ф":
2 ф"
*
\/Ф
1 «
2 Л,
Ф
/2
фЗ/2
1 f°° Ф'2
2У-со
В последнем выражении мы учли, что Ф' = 0 не только на краях, но и вне линзы, и
распространили интегрирование на всю вещественную ось.
Из основного соотношения линзы C.3) следует, что р = /i при q — оо. и q = /2
при р — со. Отсюда находим выражения для обратных фокусных расстояний
1
1 р Ф'2(^)
C.4)
34

Последнее выражение в C.4) показывает, что как потенциал, так и его производная
входят в четных степенях и оба фокуса могут быть только положительными, а линзы
с симметрией вращения - только собирающими. Это, как отмечалось, ликвидирует
широко используемую в световой оптике возможность создания высококачественных
объективов за счет комбинации собирающих и рассеивающих линз.
Отношение двух фокусов
Л
h
есть отношение электронно-оптических показателей преломления сред слева и справа
от линзы (разд. 1.3), которые, как правило, различны. Заметим, что для стеклян-
стеклянной линзы в воздушной среде оба фокусных расстояния равны, поскольку равны
показатели преломления.
Ниже приводятся некоторые типы электростатических линз.
Пример 1. Рассмотрим прикатодную линзу-диафрагму (рис. 3.5). Строго гово-
говоря, это не есть линза, и формула C.4) может ие выполняться, поскольку ни справа
ни слева от нее нет областей с постоянным потенциалом, а есть поля с нанряжен-
ностями Е\ и Ei. Найдем фокусное расстояние диафрагмы по первой формуле в
C.4)
фф>
JD
Ц'Ц, Ц"О
|| II I I I I
{11 I, I -• ■
> £'
*-г
Рис. 3.5. Линза-диафрагма и различные режимы ее работы
Видно, что при |Ь\| > \Ei\ диафрагма дефокусирует пучок. Примыкающие к
диафрагме однородные поля ограничивают практическую ценность одиночных линз-
диафрагм, но они широко используются как составные части иммерсионных и оди-
одиночных линз. Заметим, что если в диафрагме сделать не отверстие диаметром D, а
35

щель той же ширины, то такая линза станет вдвое сильнее
, 2/Уд
что часто используется в линейных ускорителях.
C.6)
Пример 2. Иммерсионные линзы имеют разные (постоянные) потенциалы слева
и справа и используются тогда, когда помимо фокусировки необходимо еще изменить
энергию частиц. На рис. 3.6 приведены примеры таких линз. Распределение потен-
потенциала иммерсионой линзы, составленной, например, из двух цилиндров одинакового
диаметра D со щелью между ними s«5 неплохо описывается формулой
-th B.639^-
D
что позволяет проинтегрировать параксиальные уравнения B.21) и найти карди-
кардинальные элементы линзы как функции отношения Vij\J\. Обширные справки такого
рода как по иммерсионным, так и по одиночным (см. ниже) линзам содержатся во
многих книгах (например в [4]).
LAJ
Рис. 3.6. Примеры иммерсионных линз с различными формами электродов и
неравными потенциалами
-еда-
Рис. 3.7. Примеры одиночных линз
Пример 3. У одиночной линзы потенциалы предметного пространства и про-
пространства изображений постоянны и равны между собой (рис. 3.7). Она напоминает
36

световую стеклянную линзу в воздушной среде, поскольку показатели преломления
справа и слева у нее одинаковы.
кр
кр
Рис. 3.8. Одиночные трехэлектродные линзы
Рассмотрим подробнее трехэлектродную линзу (рис.3.8). На графиках показаны
распределения потенциалов (кривые i), их первых и вторых производных (соответ-
(соответственно кривые 2,3). Мы уже знаем, что величина потенциала определяет скорость
частицы B.12), первая производная отвечает за ускорение (или замедление), а вто-
вторая — за фокусировку C.4). Кривая Ф"(г) дважды меняет знак в пределах линзы.
Как можно убедиться, площади положительной и отрицательной областей строго
равны, и потому области фокусировки и дефокусировки также оказываются равны.
Но, как видно из рисунка, в области фокусировки скорость частиц меньше, чем в
области дефокусировки. Частица (и это общее правило) находится в области фоку-
фокусировки дольше, чем в области дефокусировки, что и обеспечивает общий результат
в пользу фокусировки. Это же рассмотрение показывает, что результирующий фо-
фокусирующий эффект, являясь разностью двух близких величин, мал. Отсюда общее
название всех устройств, составленных из классических линз с симметрией вращения
—"слабая фокусировка".
Любую иммерсионную или одиночную линзу легко превратить в зеркало, подав
на один из электродов отрицательный (при отрицательном заряде частицы) потен-
потенциал. Зеркала используются гораздо реже линз, они служат для резкого изменения
хода траектории и обеспечивают изображение того же качества, что и линзы.
3.2. Магнитные линзы
В примере 1 разд. 2.4 выписаны уравнения движения для частицы, стартующей
вне магнитного поля, где все определяется распределением индукции Bq(z) на оси
системы. Самой простой магнитной линзой является катушка из W витков с то-
током /. Если поперечные размеры катушки малы по сравнению с ее радиусом R, то
37

распределение индукции на оси и обратное фокусное расстояние даются формулами
I
uv ; 2(г2 + i?2K/2 ' / 256ФОД '
где Фо —■ потенциал пространства. Но гораздо чаще применяются катушки с железом
(см. рис. 2.2), для которых редко удается подобрать аккуратную формулу для Bq(z).
Исходя из уравнения B.20), считая линзу тонкой и действуя точно так же, как
при выводе формулы C.4) в электростатическом случае, находим обратное фокусное
расстояние тонкой магнитной линзы
Если потенциал выразить в вольтах, индукцию ~- в гауссах и фокусное расстояние
— в метрах, то для электрона имеем
= / Bi(z)dz, * = ^/ B0{z)dz.
J Фо J-oo л/Фо J-oo
Определение кардинальных элементов толстой магнитной линзы совпадает с описан-
описанным в этом разделе случаем электростатических линз.
3.2. Параболическая линза Будкера
Вернемся к уравнению радиального движения A.14а) в цилиндрических коорди-
координатах
IT ("ТМ 2r = 1Er + 4r&Bz - qzBa .
at \c2 J с1
В случае классических аксиально-симметричных линз Ва = 0 и на фокусировку
работают те члены, которые остались. Оба они весьма слабые: электрическая сила
Ег обращается в нуль на оси z B.11), индукция магнитного поля Во, хотя и может
быть значительной, но работает в паре с очень слабой азимутальной компонентой
скорости га. Было ясно, что с использованием таких устройств нельзя реализовать
задуманную в Институте ядерной физики широкомасштабную программу но физике
частиц высоких энергий. Возник вопрос, нельзя ли придумать устройство, а котором
на фокусировку работало бы последнее, в приведенном выше уравнении (подчеркну-
(подчеркнутое) слагаемое ? Поскольку в него уже входит самая сильная компонента скорости
частицы z, необходимо как-то создать сильное азимутальное поле. Эта задача и
была решена Будкером в 1961 г.
Линза Будкера включает два параболоида вращения z — ат2, выточенные из
единого куска металла и имеющие общую шейку, к которым по периметру кольца
подводится ток. Единственная компонента магнитного поля - азимутальная ■— за-
зажата в кольцевое пространство между наружными поверхностями параболоидов и
токоподводящей шиной (на рис. 3.9 показана крестиками и точками). Рассмотрим
динамику частиц в такой линзе.
38

\
\г
■ у"
¥ !
if
Рис. 3.9. Линза Будкера: (а) - оптический элемент — сдвоенный параболоид
вращения; (б) схема линзы: 2- "безаберрационный" профиль, 3 - токоподвод, ^ -
траектория частицы
Уравнение движения имеет вид (см. выражение A.14а))
d (£ :
2тгг
Переходя к г как к независимой переменной и учитывая i « с, g = -е, получаем
c/2r
1 А"
2тг£ г г
В приближении тонкой линзы имеем
dr
Tz
dr
Tz
П
—
p
ri _ К г*
q ri JZl
d
где /;* dz % 2ar;2 — путь частицы внутри линзы. Используя это выражение, нахо-
находим, что фокусное расстояние не зависит от г/ и равно
Если измерять энергию в электронвольтах, ток — в амперах и размеры — в
метрах, то для фокусного расстояния линзы Будкера имеем
£
120 la
санти-
сантиC.8)
Так, одна из^первых линз для частиц с энергией 8 =130 МэВ имела параметр парабо-
параболы a = 1 см 1 и фокусное расстояние / = 9 см при токе / =120 КА. Параболическая
оптическая часть линзы была размером с грецкий орех.
При создании этой линзы Будкеру удалось преодолеть чисто технические и ин-
инженерные трудности, которые практически всем сотрудникам казались совершенно
непреодолимыми.
39

Первым возник вопрос о выборе материала линзы. Вначале был взят бериллий,
но этот металл ядовит и изготовление таких линз потребовало выполнения очень
тяжелых и дорогих мер безопасности. После ряда испытаний он был заменен алю-
алюминием.
Почти сразу же возникли прочностные проблемы. Как известно, зажатое в огра-
ограниченной части пространства магнитное поле давит на стенки. Если давление из-
измерять в атмосферах, а индукцию — в гауссах, то имеет место приближенная фор-
формула р = (В/5000J, согласно которой давление внутри линзы при В = 100 КГс,
например, имеет величину 400 атм. (!). Поскольку электронам приходится прохо-
проходить через стенки параболоидов, то толщина этих стенок не должна превышать 0.2
мм. Совместить эти числа казалось невозможным, но удалось разработать специаль-
специальное импульсное питание линзы с длительностью импульса порядка десятых долей
микросекунды, после чего линзы из аллюминия стали выдерживають сотни тысяч
импульсов при давлении около 500 атм.
3.3. Аберрации линз с симметрией вращения
Теорию, ограниченную рассмотрением только параксиальных лучей, называют
теорией первого порядка. Реально условия параксиальности почти никогда не вы-
выполняются и это приводит к тому, что пучок нельзя сфокусировать в точку, т.е.
всегда имеет место кроссовер. Вычисление искажений изображения (аберраций) до-
довольно громоздко, и потому мы ограничимся лишь качествепным разбором основных
эффектов.
Для нерелятивистской частицы, рожденной вне магнитного поля (о = 0) и дви-
движущейся в аксиально-симметричном электростатическом поле уравнения движения
имеют вид (см. систему уравнений A.14))
г = -г]Ег, z = -rjEz . C.9)
Для перехода к независимой переменной z учтем следующую цепочку равенств
v d dz d v d
Переписывая с их помощью первое из уравнений C.9), получаем точное нереляти-
нерелятивистское и свободное от условий параксиальности уравнение радиального движения
2U(r,z)
где Er, Ez — функции координат, даваемые рядами B.2),B.6). Если оборвать эти
ряды на членах B.11), которые входят в уравнения линейно, то мы получим уже
известные нам параксиальные уравнения B.13),B.15). Но здесь мы рассмотрим за-
задачу получения уравнений третьего порядка, для чего учтем в разложениях члены
третьего порядка включительно
ф" фD) ф"
40

и, подставив их в предыдущее уравнение, запишем
, ф'
2Ф
фC)'
4Ф7
/2
Ф" Г , (Ф"
+ Т—г 1+Г
4Ф
фD)'
/2
4Ф 8Ф"
= 0. (ЗЛО)
Рис. 3.10. Пример сферической
аберрации
Полученное уравнение существенно нели-
нелинейное и именно его анализ позволяет опре-
определить границу гд применимости паракси-
параксиального приближения, о которой шла речь в
разделе 3.1. Очевидно, что параксиалышос
приближение становится непригодным, как
только начинают существенно проявлять се-
себя нелинейные поправки в квадратных скоб-
скобках. Все аберрации можно разделить на хро-
хроматические и геометрические.
Хроматические аберрации связаны с тем,
что скорость частиц в потоке не является ве-
величиной строго постоянной и потому изобра-
изображение всюду размыто и окрашено и пучок
даже в параксиальном приближении нельзя
сфокусировать в точку. Это обусловлено нестабильностью источников питания, те-
тепловым разбросом скоростей в термокатоде, взаимодействием частиц с остаточным
газом и друг с другом и т.д. Основные способы устранения этих аберраций заключа-
заключаются в использовании низкотемпературных термокатодов и стабилизации источни-
источников питания.
Геометрические аберрации имеют место даже для монохроматичного пучка. Са-
Самая существенная из них — так называемая сферическая, не исчезающая даже для
точечного иточника, расположенного на оси линзы. Это есть прямое следствие зави-
зависимости радиальной силы от радиального размера пучка в линзе (вторая квадратная
скобка в C.10)). Во всех линзах, электростатических и магнитных, периферийные
частицы фокусируются ближе к линзе (рис. 3.10). В световой оптике с этим бо-
борются подбором стекол с различной дисперсией и комбинацией собирающих и рас-
рассеивающих линз, у которых многие аберрации имеют разные знаки. Мы знаем,
что в электронной оптике, использующей линзы с симметрией вращения нет рассе-
рассеивающих линз и этот путь закрыт. Наиболее радикальными средствами борьбы со
многими видами геометрических аберраций являются уменьшение рабочей аперту-
апертуры г (в световой оптике этому соответстсвует диафрагмирование) и использование
слабых длиннофокусных линз. Магнитные линзы имеют те же аберрации, что и
электростатические и еще большое количество своих собственных.
Специальные исследования показали, что в линзах с симметрией вращения за
счет подбора профилей электродов нельзя получить линзу с нулевой сферической
аберрацией, но существует профиль, который дает минимальную ее величину.
41

3.4. Квадрупольные линзы
Рассмотренные выше классические линзы с вращательной симметрией характе-
характеризуются тем, что напряженности их полей в рабочей области образуют малые углы
со скоростями частиц. В 1952 г. Курантом, Снайдером и Ливипгстоном предло-
предложен принципиально другой тип устройств, у которых силовые линии идут поперек
пучка, что весьма существенно усиливает воздействие поля на частицу. Это было
достигнуто за счет полного отказа от симметрии вращения. Наибольшее распростра-
распространение получили квадрупольные линзы (число пар полюсов равно двум), которые мы
рассмотрим в основном на примере магнитных линз.
Поперечное сечение магнитного квадруполя приведено на рис. 3.11,а. Из каче-
качественный анализ фокусирующих сил (рис. 3.11,6) следует, что частица испытывает
фокусировку по а: и дефокусировку по у. Если поменять полюса, то по х будет иметь
место дефокусировка, а по у — фокусировка. Принципиально важным оказалось
установление того факта, что два стоящих рядом и повернутые на 90о квадруполя
при определенных условиях могут обеспечить глобальную фокусировку (этот факт
носит название принципа жесткой или сильной фокусировки).
Введем на плоскости ху комплексную переменную w = х -\- гу = г е!^, тогда
комлексный магнитный потенциал квадруполя в рабочей зоне будет аналитической
функцией и потому может быть представлен своим рядом Тейлора
W(w) = A(w)
оо оо
= £ akwk = £ ак rk eik4> = W{r, ф),
где Л — векторный магнитный потенциал (который, однако, имеет единственную
отличную от нуля компоненту А = Az) и Т -— скалярный магнитный потенциал.
Этот ряд
У
Рис. 3.11. Схемы квадрупольной магнитной линзы (а) и фокусирующих сил (б)
содержит лишние члены, которые не удовлетворяют квадрупольной симметрии
и их следует с самого начала исключить. При повороте квадруполя на половину
окружности он переходит сам в себя W(r, ф + п) = W(r, ф) и этому условию удовле-
удовлетворяют значения к = 2,4,6, 8,10,... При повороте квадруполя на четверть окруж-
окружности северный полюс переходит в юж!Йый и наоборот \¥{г,ф + тг/2) = —\У(г,ф) и
42

обоим типам симметрии удовлетворяют значения к = 2,6,10,... Окончательно по-
получаем
оо
W(X, y)=Y, fl2Bm+l) (X + г yJBm+1) = Л(Х, у) + if(X, У) . C.11)
т=0
Комплексный потенциал есть функция аналитическая, и этим объясняется уста-
установленный выше факт противоположных знаков фокусировки по х и у. Аналитиче-
Аналитическая функция не может в области своей аналитичности иметь абсолютный максимум
или абсолютный минимум (принцип максимума модуля), и если по одной степени
свободы образуется потенциальная ямка, то по другой - потенциальная горка (сед-
(седло).
Найдем из C.11) компоненты вектора индукции
Вх = ~ = ~ = -2а2 у - Qa6y(bx4 - 10х2у2 + у4) - ... ,
ох ду
дЛ
дх
== -2а2 х - 6а6х(ж4 - Юх V + 5у4) -
C.12)
Из этих представлений видно, что все члены, кроме первого, являются нежела-
нежелательными нелинейными составляющими (их называют гармониками). Коэффициен-
Коэффициенты высоких гармоник а6, аю, • •. зависят только от формы полюсов линзы. В отличие
от случая аксиальной симметрии, существует форма полюса, обеспечивающая чисто
линейное поле. Введем величину G = — 2а2, которая называется градиентом поля
линзы и измеряется в гауссах на сантиметр (Гс/см) или в теслах на метр (Тл/м).
Если потенциал линзы квадратичный W — Gw2/2, то профиль идеального полю-
полюса, который находится из условия J-{x,y) ~ xy = const, оказывается гиперболой.
К сожалению, реализовать такой полюс нельзя, поскольку он не оставляет места
для размещения обмотки и ярма для замыкания магнитного потока. Па практике
оборванную гиперболу стараются аппроксимировать какой-либо подходящей кривой
или многоугольником.
Рис. 3.12. Схема электростатической квадрупольной линзы
43

Для идеальной (или близкой к ней) линзы имеем
видно, что индукция в центре линзы равна нулю и линейно по г нарастает в любом
направлении.
Прежде чем двигаться дальше, обсудим ситуацию с электростатическими ква-
друпольными линзами. Такую линзу можно создать, подав на электроды гипер-
гиперболической формы (ж2 - у2) =]const (силы теперь параллельны колю) потенциалы
СА = U + ДГ/, U2 = U- AU (см. рис. 3.12 ). Градиент Ge = 2Ы//<Р измеряется в
вольтах на метр квадратный (В/м2) или в вольтах на сантиметр квадратный (В/см2).
Если электростатическая и магнитная линзы создают одну и ту же действующую на
частицу силу, то их градиенты связаны соотношением Ge[B/cM2]=300/?G[rc/cM], где
/? = v/c. Отсюда четко видно, что при фокусировке тяжелых частиц или частиц низ-
низкой энергии (/? <С 1) электростатические линзы имеют неоспоримое преимущество.
Кроме того, они легкие, их можно точнее изготовить.
На рис. 3.13 приведена фотография ускорительной трубки с электростатиче-
электростатическими квадруполями, на которой в ИЯФ в 1967 г. получен поток частиц (смесь
^+) Н£ > #з") с импульсным током более 60 мА при частоте 50 Гц, энергии 1.2 МэВ
и средней мощностью около 10 КВт. Но поскольку нас далее будет интересовать фи-
физика частиц высоких энергий (/? ~ 1), где используются исключительно магнитные
линзы, к ним мы и возвращаемся.
/ 2 3
Рис. 3.13. Ускорительная трубка с электростатическими квадрупольными
линзами-Л - изолятор, 2- наружные металлические кольца, 3- внутренние
металлические кольца, 4 -*корпус линзы, 5 - экран
44

Уравнения движения заряженной частицы в произвольном постоянном магнит-
магнитном поле B(x,y,z) получим как частный случай системы A.13), исключив из нее
электростатическое поле:
(| у) = Я{*ВХ - хВг), C.136)
Jt (^) = ^iBv - Ув-) • (ЗЛЗс)
Перейдем к z как к независимой переменной, для чего воспользуемся соотноше-
соотношениями
г,2 = ж2 + у2 + г2 = г2 A + х'2 + у"), - = г— = -
Jl+x'2 + y'2dz-
Окончательно получаем точные релятивистские уравнения частицы с импульсом р —
Sv/c2 в произвольном магнитном поле
х" = У\+х>2 + у>2 [y'Bz - A+ х'2)Ву + х'у'Вх] ,
у" = -Vl+s/2 + y'2 [ж'^ - С1 + У'2)^ + х'у'Ву] ■ C-14)
В общем случае решение этой системы можно получить лишь численными методами
и для анализа траекторий частиц в магнитном идеальном квадруполе мы ограни-
ограничимся параксиальным приближением
уравнения траекторий оказываются линейны и не связаны:
x" + X(z)x = O, y"-x(*)y = O. C.15)
В этих уравнениях фигурирует отвечающая за фокусировку величина (ее называют
жесткостью квадруполя)
^ ^(-")n' (ЗЛ6)
Предполагается, что энергия измеряется в электронвольтах (эВ), заряд — в элек-
электронах (э) и градиент — в теслах на метр (Тл/м). В C.15) подтверждается обнару-
обнаруженный ранее из качественного анализа факт различных знаков фокусировки по х
и у. Заметим попутно, что для электростатического квадруполя
Xe{z) = £^Ge{zh
45

G
и Хе имеет ту же размерность [м 2], если градиент измерять в вольтах на метр
квадратный.
Реальный квадруполь имеет ограни-
ограниченную протяженность и распределе-
распределение градиента по оси г, как показа-
показано на. рис. 3.14. Обычно это распре-
распределение заменяют эквивалентным по
площади прямоугольником, которо-
му отвечает эффективная длина лин-
линзы L/. Рассмотрим одиночную ква-
друпольную линзу с градиентом G =
const и х > 0, она обеспечивает фо-
фокусировку по а; и дефокусировку
по у. Входные координаты частицы обозначим через х0, х'а , у0, у'о. В соответствии
с уравнениями движения C.16) в пределах линзы (г < L{) имеем
Рис. 3.14. Распределение градиента
х
(г) = хо
x'{z) = -х0
)
Каждое из этих выражений есть линейное преобразование входных величин. Удоб-
Удобным инструментом для представления линейных преобразований является матрич-
матричная алгебра. Запишем полученные выше результаты перехода из точки 0 в точку
z <= Li в матричной форме: для ж-движения (фокусировка)
x\
для у-движения (дефокусировка)
= М
cos
sinD/x2r)/v/x
{
Хо
C.17)
У\
Уо
Уо
Уо
C.18)
Элементом ускоряющей системы может быть также пустой промежуток длиной Zo,
его матрицу нетрудно получить из матрицы любой линзы, устремляя в ней х к нулю:
О 1
C.19)
Рассмотрим оптическую систему, составленную из трех промежутков и двух линз.
Принято линзы обозначать по их действию на. .г-движение, поэтому формула данной
системы ОФОДО (О — пустой промежуток, Ф — фокусировка, Д — дефокусировка).
Результирующие матрицы по х и у имеют вид
Мх = М0°3 М£2 Мо°2
Му -
Мо°3 ,
46

и мы обращаем внимание на то, что эти матрицы расположены справа налево в том
порядке, в каком их встречает частица (вначале она проходит первый промежуток,
затем — первую линзу и т.д.). Заметим также, что детерминант матриц C.17),C.18)
и любых их комбинаций всегда строго равен. единице detM = 1. Объяснение этого
факта дано в разд. 4.2.
с
а
—
—и -
i
!
"+ г-
/+ -1
Рис. 3.15. Определение фокусных расстояний и положения фокальных плоскостей
квадрунольной линзы: а - для ^-движения; б - для у-движения
Полезно найти оптические элементы линзы, чтобы избежать необходимости вся-
всякий раз заново вычислять траектории. Так как поле линзы симметрично относитель-
относительно ее середины, нам достаточно знания одной траектории, например, приходящей из
бесконечности параллельно оси слева (х0 — 1 , х'о — Одрис. 3.15). В собирающей
плоскости находим
хь = cos
1
Х'ь:
1 -X,
Для рассеивающей плоскости аналогично получаем
Уь = ch(v/xL/), у'ь = y/xsh.(y/x Li),
1
I
h =
th
Если фокусные расстояния линзы заметно больше ее длины /+,|/
линзу можно считать слабой и тонкой и принять /+ = |/~| — /
C.20)
C.21)
> Li, то
= h~ «
47

0. Матрица тонкой линзы длины 1ц равна
М±=( l U
C.22)
Подчеркнем, что знак минус при 1// относится к случаю фокусировки, а плюс -
дефокусировки.
Простейшей системой, способной сфокусировать пучок в обеих плоскостях явля-
является квадрупольный дублет ФОД (рис. 3.16), составленный из двух тонких линз,
разделенным пустым промежутком длины d:
1 0\( I d
1//2 10 1
d
где фокусные расстояния равны
.1 _ J__I d
Г С Г I
0
1
1 0
I
1-dh d \
-l/fx l+d/f2)'
1 + dfi d \
-1/Л 1-d/h '
/ 2 Л/2
1 1
/v h fx hh '
/ZZZtPZ???^
Рис. 3.16. Астигматичное изображение потока, полученное с помощью дублета
В общем случае fx^fyn дублет дает астигматичное ирображение пучка (см. рис.
3.16). Астигматизм, который в световой оптике и в случае аксиальной симметрии
считается аберрацией, является характерным для квадруполей и к аберрациям уже
не причисляется. Если взять обе линзы одинаковыми Д = /2, то изображение станет
стигматичным.
48

ф
Рис. 3.17.
Квадрупольный дублет траектории (кривая 2).
Можно показать, что и в общем случае двух "толстых"
повернутых на 90° линз имеются условия, при которых
фокусировка по обеим степеням свободы сохраняется
(рис. 3.17). Силы пропорциональны расстоянию от оси
линзы, и нетрудно видеть, что фокусирующий участок
частица проходит всегда на большем расстоянии,
чем дефокусирующий, что и обеспечивает "победу"
фокусировке (принцип жесткой фокусировки — кри-
кривая 1). На этом же рисунке показано, как излишне
сильная фокусировка может привести к неустойчивой
Рассмотрим другие типы линз. Открытие принципа жесткой фокусировки дало
мощный импульс к поиску и разработке различных модификаций квадрупольных
линз. Известно, что в ускорителях пучок довольно быстро принимает эллиптиче-
эллиптическую форму с вертикальной полуосью, заметно меньшей горизонтальной, и попе-
поперечное сечение классического квадруполя используется очень плохо. В этом случае
весьма удобными оказываются линзы с некруговой апертурой, предложенные Па-
новским (рис. 3.18). Несмотря на прямоугольную апертуру, такие линзы создают в
центре точное квадрупольное поле. Если N1 - - ампервитки и s —- площадь обмотки
на один полюс, то градиент квадруполя равен G = 2fiONI/Bbc - s) [Тл/м].
Наряду с квадруполями в сегоднящних ускорительных установках широко ис-
используются линзы с числом пар полюсов Р больше двух. Это сексту поли (Р = 3)
и октуполи (Р = 4). Комплексный потенциал, например, идеального сексту поля
можно записать в виде W ~ GV3/3 (см. разд. 3.4), откуда для компонент индукции
находим
= 2Gxy,
Ву =
- у2).
ттттттж
Рис. 3.18. Прямоугольная линза Пановского: 1 - магнитное ярмо, 2~ обмотка
Характерной особенностью всех линз с Р > 2 является нелинейная зависимость
компонент поля (а значит, и фокусирующих сил) от расстояния до оси линзы. Одно
из главных назначений таких линз - компенсировать нелинейность, внесенную в
канал реальными квадруполями.
49

Глава 4. Формирование потоков невзаимодействующих частиц
4.1. Теорема Лиувилля
На практике чаще всего возникает задача формирования потоков заряженных
частиц, а вычисление отдельных траекторий требуется редко. Хотя эти траектории
и впредь будут играть определенную роль, необходимо познакомиться с описанием
свойств коллективов частиц. Отложим на время учет кулоновского взаимодействия
между частицами самого потока, т.е. будем считать плотность заряда пренебрежимо
малой.
При выводе основных уравнений движения в разд. 1.1 использован тот факт, что
вся информация о динамической системе содержится в функции Лагранжа L(x, x, t),
а применение к ней принципа наименьшего действия привело нас к уравнениям A.1).
Существует другая скалярная функция — функция Гамильтона, которая также
может быть положена в основу аналитической механики. Эту функцию (мы стал-
сталкивались с ее частным случаем в формуле A.4)) можно представить так:
N
Н(х, Р t) = У^ Рпхп — L(x х t) D.1)
n=l
где надо заменить скорости на обобщенные импульсы. Это можно сделать с помощью
системы уравнений (см. формулу A.2))
_ L(xj,t)
in- ^^ , n_l,2,...7V,
которая в принципе позволяет найти все обобщенные скорости как функции обоб-
обобщенных координат, импульсов и времени хп — xn(x,P,t).
Рассматривая левую часть D.1) как функцию координат, импульсов и времени,
имеем
АИ - V4 A V^ АР А
71=1 п >г=1 п
Дифференцируя правую часть того же равенства D.1), с учетом A.1) и A.2) полу-
получаем
N /V N /)г N f)T fir
— » t fiг -Х- л r /7t » •* пт
N IV or
> xndPn — > —— dxn —— at
n=\ n=l dxn 6t
Сравнивая два последних равенства, находим
dll ■ дН дН дЬ
50

Уравнения D.2) в силу их простоты и симметрии называются каноническими урав-
уравнениями Гамильтона. Они образуют систему 2N уравнений первого порядка, экви-
эквивалентную уравнениям Лагранжа A.1). Любая пара переменных хп , Рп называется
канонически сопряженной парой.
Вернемся к релятивистскому лагранжиану частицы в стационарном поле A.6) и
получим эквивалентный ему гамильтониан
L(f.v) = —moc2ul + qA(r) ■ v — qU(r),
V <r
где обобщенный импульс есть
^ dL
С другой стороны, для гамильтониаина согласно D.1) имеем уравнение
_<9L rnoc2
H L
D'3)
которое надо записать через обобщенный импульс Р по формуле D.3). С помощью
D.3) нетрудно проверить равенство
/Я - qU\2 22 ,л ;s\2
V с ) = m2c +(p-^) >
откуда находим
H(r, P) = c\jm\c2 + [P- qA(r)}2 + qU{r). D.4)
Важно подчеркнуть, что входящие в лагранжиан скорости хп являются точными
производными соответствующих координат хп, поэтому переменные (х„, хп) зависи-
зависимы. В методе Гамильтона канонически сопряженные величины хп , Рп оказываются
независимы и полностью равноправны, что при рассмотрении общих вопросов ме-
механики имеет серьезные преимущества. В первую очередь это связано с понятием
фазового пространства и теоремой Лиувилля.
Состояние динамической системы с N степенями свободы в каждый момент вре-
времени определяется заданием N обобщенных координат и TV обобщенных импульсов.
Поскольку они независимы и равноправны, можно считать это указанием точки в
2ЛГ-мерном декартовом пространстве (Гиббс назвал его фазовым пространством, а
его точки - представляющими точками). Для невзаимодействующих частиц N — 3 и
фазовое пространство оказывается шестимерным. Эволюции динамической системы
в реальном пространстве-времени отвечает фазовая траектория, представляющая
эту систему в фазовом пространстве.
Предположим, что вдоль оси z в стационарном поле распространяется сгусток
заряженных частиц. Каждой такой частице соответствует точка (г = x,y,z, P —
Рх, Ру, Pz), представляющая ее в фазовом пространстве, а все частицы представлены
51

в данный момент времени шестимерным фазовым объемом Vp. Пусть элемент фа-
фазового объема dVp, содержащий точку фазовой траектории (г,Р), представляет dQ
настиг;. Введем понятия фазовой плотности
np(r, P) = um-rrr ' dVv -> °' D-5)
и фазовой скорости
vP(r, P) = (i, y, i, P,, Py, Pz) = (?, P), D.6)
с помощью которых можно определить плотность тока представляющих частиц
Шестимерный фазовый объем jv npdVp, представляющий рассматриваемый сгу-
сгусток, заключен в пятимерную поверхность £. Поскольку представляющие точки не
рождаются и не погибают, изменение этого объема во времени может происходить
только за счет их прохождения через поверхность Е:
— / пр dVp - - / 8Р dt = - / div (vp np) dVp ,
(мы использовали здесь известную теорему Отроградского - Гаусса о связи пото-
потока вектора через поверхность с интегралом дивергенции этого вектора по объему).
Отсюда следует соотношение
-—■ + div (vp np) = 0, D.7)
которое есть уравнение непрерывности, отражающее факт неутшчтожимости частиц.
Раскроем стоящее под знаком дивергенции выражение
div (vp np) = vp grad np + пр div vp = vp grad np . D.8)
Последнее равенство учитывает то обстоятельство, что дивергенция фазовой скоро-
скорости в любой гамильтоиовой системе тождественно равна нулю. Действительно, в
силу уравнений Гамильтона D.2) находим
dWи - — 'г + —Р = — (—) + ~ (~) =0 f4 9)
C1VUp д/ дР дг\др) дР\ дг)~ ' ['}
Этот факт позволяет превратить уравнение непрерывности D.7) в уравнение Лиу-
вилля
Cm г,
Но это выражение есть полная производная по времени фазовой плотности, измеря-
измеряемой вдоль фазовой траектории (см. формулы A.8)). Ее равенство нулю означает
-кг- + {vp • v) ftp = -77- = 0 , np — const, Vp - const, D.11)
52

Соотношения D.11) составляют содержание теоремы Лиувилля: фазовый объем
гамильтоновой системы является абсолютным инвариантом. Этот закон сохранения,
как и закон постоянства энергии в изолированной системе, один из важнейших за-
законов физики. Из теоремы Лиувилля, в частности, следует, что всякое уменьшение
частиц по координатам (сжатие пучка) вызывает увеличение разброса по импульсам
и наоборот.
Важно подчеркнуть, что гамильтоновость - единственное требование, необходи-
необходимое и достаточное для справедливости теоремы Лиувилля. Гамильтоновой будет
система, подверженная действию любых сил (в том числе зависящих от времени и
нелинейных), кроме диссипативных. Диссиптивные силы возникают при наличии
в системе трения, потерь энергии на излучение, соударения с другими телами и за-
зависят от проекции скорости на направление силы. Их учет потребовал бы введения
в потенциальную часть гамильтониана производных от своих переменных (коорди-
(координат), которых в гамильтониане быть не должно. Диссипативные силы отсутствуют в
потенциальных полях, где силы вообще не зависят от скоростей. Зависящая от ско-
скорости сила Лоренца q[v x В] не является диссицативной, поскольку скорость здесь
перпендикулярна к силе.
4.2. Поперечный фазовый объем и проблема согласования
В теореме Лиувилля речь идет о сохранении величины полного шестимерного
фазового объема пучка и ничего не говорится о поведении его проекций, например,
на плоскости ж, ж' или у,у'. Однако в том важном частном случае, когда движения
по степеням свободы независимы, утверждение теоремы оказывается справедливым
для каждого подпространства отдельно. Именно с такой ситуацией мы сталкиваемся
при исследовании параксиального движения в квадрупольном канале. Это движе-
движение описывается уравнениями C.15)) и нетрудно проверить, что они могут быть
получены из гамильтониана
Н( ~)-р2* + р2у ( \х2 ~ У2
г/) 2 2
здесь обобщенные импульсы совпадают с обычными и мы использовали для них
маленькие буквы рх = ж', ру = у'. В этом гамильтониане отсутствуют перекрестные
члены, например жу, рхру.^ ж2р^,..., которые связывают друг с другом различные
степени свободы.
Рассмотрим ж-движение (у-движение исследуется аналогично). Двумерным фа-
фазовым объемом пучка в плоскости канонических переменных ж, рх называют вели-
величину
Vpx =
ТТГПоС
1 Г
— / dxdpx, D.12)
ПпС J
где интеграл берется по всей занятой представляющими точками площади и измеря-
измеряется в [м-рад] или [см-мрад]. Часто в качестве меры фазового объема используется
деленная на тг площадь, занятая представляющими точками на плоскости ж, х' и
53

называемая эмиттансом пучка
7Г
£х = — dx dx'.
4.13
В отличие от фазового объема эмиттанс не остается постоянным при изменении энер-
энергии частиц и эти две характеристики связаны соотношением
£х = -£-. D.14)
PI
Объясняется это тем, что эмиттанс определен на плоскости переменных, которые
не являются канонически сопряженными, но на практике пользоваться им удобнее,
поскольку измерять угол х' траектории проще, чем ее импульс.
х'
Рис. 4.1. Схемы потоков невзаимодействующих частиц (слева) и их эмиттансы:
(а,6} - потоки с нулевым эмиттансом; (в) - ноток с конечным эмиттансом; (г) -
линза на пути потока с конечным эмиттансом A-3 - сечения потока)
Прежде чем привести примеры двумерных эмиттансов, ответим на поставленный
в разд. 3.4 вопрос о том, почему определитель матриц C.17),C.19) и любых их комби-
комбинаций равен единице. Пусть матрица переводит точку х0, х'о плоскости х, х' в точку
2'i, х\ той же плоскости. Тогда малая окрестность первой точки перейдет в малую
окрестность второй точки. Определитель матрицы есть, как известно, отношение
площадей этого преобразования и в силу теоремы Лиувилля равен единице.
На рис. 4.1 а, б" показаны два потока с нулевым эмиттансом, не подверженные
действию внешних сил. Во втором случае эмиттанс, оставаясь нулевым, испытывает
преобразование вдоль оси z. Третий пример рис. 4.1 в относится к пучку с конечным
эмиттансом, величина которого строго постоянна в любом сечении. Подчеркнем еще
54

х0-
В
раз, что поток состоит из невзаимодействующих частиц, траектория каждой из кото-
которых есть прямая линия. Однако огибающая потока выглядит так, как будто внутри
него действуют расталкивающие силы. В сечении 2 поток имеет минимальный раз-
размер х0 (кроссовер) и угол касательной к огибающей равен нулю. Последний пример
рис. 4.1 г показывает, что происходит с потоком (и его эмиттансом), на пути кото-
которого поставлена тонкая линза с переменным фокусным расстоянием. Поскольку в
тонкой линзе радиальный размер измениться не успевает (а угол меняется скачком
на величину Ах' = — ££,//), правая и левая границы рисунка равны хь- Линза не
действует на проходящую через ее центр траекторию, поэтому все эллипсы проходят
через точки х = 0, х'о — ±а. Этот пример показывает также, что линза может суще-
существенно изменять форму эмиттанса (но не его площадь!), что оказывается полезным
при решении проблемы согласования потока с каналом.
Откуда берется конечный фазовый объем ?
, Основная причина - неупорядоченный раз-
п *s£- x' брос скоростей частиц по всем трем степе-
^^"^ ням свободы, связанный с их тепловым дви-
! жением. Если продольной тепловой компо-
компонентой скорости почти всегда можно прене-
пренебречь (она на несколько порядков меньше ре-
регулярной составляющей), то поперечные те-
тепловые компоненты могут существенно вли-
влиять на поведение потока. Именно их присут-
присутствие не позволяет собрать в точечный фокус
даже поток с нулевой интенсивностью.
Поскольку всегда есть составляющая тепловых скоростей направленных наружу,
поток расплывается при свободном дрейфе, т.е. неупорядоченный тепловой разброс
скоростей частиц проявляет себя как дефокусирующий фактор (см. разд. 5.3).
Важно подчеркнуть, что величина фазового объема определяется обстоятель-
обстоятельствами рождения входящих в поток частиц и их взаимодействием с другими телами.
Так, если поток электронов создается термокатодом с температурой 1000° С ( ~ 0.1
эВ), то тепловой разброс весьма мал и в большинстве случаев фазовый объем можно
считать равным нулю. Картина резко изменится, если поток электронов с тем же
током извлечь из плазменного источника с электронной температурой Те ~ 10... 100
эВ. Практически совершенно необходимо учитывать фазовый объем потоков ионов,
получаемых, как правило, именно из плазменных источников.
Одной из причин увеличения фазового объема может стать взаимодействие пото-
потока заряженных частиц с веществом (сеткой, фольгой, ионами остаточного газа). Как
отмечалось, это диссипативные процессы многократного рассеяния, нарушающие те-
теорему Лиувилля. На рис. 4.2 схематически показано, как это происходит. Частицы
в среднем рассеиваются на некоторый угол (поперечный размер потока практически
не изменяется), что и приводит к появлению конечного фазового объема. Именно
такой эффект имеет место при прохождении частиц через стенки линзы Будкера (см.
разд. 3.3). С другой стороны, как отмечалось, при отсутствии диссипации любые
линзы и каналы могут лишь менять форму эмиттанса, но не его величину.
Рис. 4.2. Увеличение эмиттанса
вследствие рассеяния на мишени
55

Рис. 4.3. Отношения аксептанса канала (круг) и эмиттанса потока: заштрихованая
область - доля прошедших канал частиц
Рассмотрим некий канал транспортировки и формирования потока заряженных
частиц и изучим его пропускные возможности по поперечным степеням свободы.
С этой целью будем подавать на его вход частицы со всевозможными значениями
жо, х'о. Одни из них пройдут канал, другие погибнут в нем. Представляющие точ-
точки прошедших частиц заполнят на плоскости х, х' некоторую область Дх, которая
носит название аксептанса канала по х (рассмотрение по у проводится аналогич-
аналогично). Пока не ставя задачу понять, как связан аксептанс канала с его устройством,
выясним, как соотносятся аксептанс канала с эмиттансом инжектируемого в этот ка-
канал потока (рис. 4.3). Видно, что пропустить поток через канал без потерь можно,
лишь обеспечив неравенство £х С Лх, где эмиттанс и аксептанс рассматриваются как
множества точек. Обеспечение этого неравенства составляет содержание так назы-
называемой проблемы согласования потока с каналом. Для ее решения часто приходится
между инжектором и каналом размещать специальную систему (набор линз) с един-
единственной целью - согласовать формы эмиттанса потока и аксептанса канала. Таким
образом, аксептанс есть максимально возможный эмиттанс пропускаемого каналом
согласованного потока.
4.3. Движение частицы в периодических полях
При исследовании поведения заряженных частиц в длинных каналах, составлен-
составленных из многих линз, наибольший интерес представляют не траектории отдельных
частиц, а огибающие потока, поскольку именно они определяют размеры потока в
каждой точке канала. Огибающие, в свою очередь, определяются действующими в
канале силами, а также величиной и формой фазовых объемов.
Прямая задача заключается в построении огибающих по заданным условиям на
входе в канал и известным характеристикам канала. Важной является также обрат-
обратная задача: для заданного канала определить и обеспечить оптимальные (это поня-
понятие будет уточнено ниже) условия входа в него потока. В общем случае решение
этих задач может быть выполнено либо путем перемножения матриц элементов ка-
канала, либо численно. Существует, однако, распространенный класс каналов, пове-
поведение потока в которых может быть установлено аналитически. Это периодические
каналы, в которых фокусирующие силы изменяются периодически вдоль оси z с
пространственным периодом Sq, много меньшем длины канала. Будучи собраны в
56

многочисленный коллектив, линзы обнаруживают свойства, которые отсутствуют у
каждой из них в отдельности.
Пусть имеется длинный канал, составленный из аксиально-симметричных элек-
электростатических и магнитных линз, поля которых периодичны с пространственным
периодом So. Параксиальную траекторию частицы в таком канале, если рассматри-
рассматривать его как сложную линзу, можно получить с помощью уравнения B.18), которое
с учетом периодичности канала можно записать в виде
Это линейное уравнение второго порядка, не содержащее первой производной с пе-
периодическим коэффициентом Q(z + So) = Q(z). Уравнение с такими свойствами
называется уравнением Хилла.
So ,
ФОДО
\ Д
д
Ф
ф
Д
ф
: |ф/2( д |ф/2|
л
|ФОД
I Д I ф Iфофдод
|ф/2| Д |Ф/2| ТРИПЛЕТЫ
Рис. 4.4. Периодические каналы с жесткой фокусировкой
Рассмотрим жесткофокусирующий канал, составленный из квадруполей и пустых
промежутков. Достаточно описать одну из периодически повторяющихся структур,
например (напоминаем, что в формулах линза указывается по ее действию на х-
движение) ФД, ФОДО, ФОФДОД и т.д (рис. 4.4). Траектория частицы в паракси-
параксиальном приближении описывается двумя независимыми уравнениями C.15):
х" + X(z)x = 0 , у" - х(*)У = 0 ,
+ So) =
каждое из которых также оказывается уравнением Хилла.
В следующем разделе это уравнение будет изучено подробно, а сейчас мы рассмо-
рассмотрим один пример, имеющий самостоятельное значение и позволяющий обнаружить
все особенности поведения заряженной частицы в периодической структуре.
Пример. Аксиально-симметричный канал составлен из магнитных линз с сину-
синусоидальным распределением индукции на оси B0(z) = Bm cosBnz/So). Используя
уравнение B.20), получаем
8Ф0
16Ф0
-f cos
о J
г = U
57

Это хорошо изученный частный случай уравнения Хилла — уравнение Матье,
рое можно переписать в стандартной форме:
r"+B^J(a + 2bcos4-^)r = 0.
\Ьо / \ Ьо )
кото-
Рис. 4.5. Диаграмма устойчивых
(заштрихованы) и неустойчивых
областей уравнения Матье
D.15)
Периодический коэффициент в D.15) зави-
зависит от двух параметров (а, 6), которые и
определют характер решения — устойчивое
(амплитуда колебаний конечна) или неогра-
неограниченно растущее. Плоскость параметров
уравнения Матье а, Ь (рис. 4.5) оказывает-
оказывается разбита на чередующиеся области устой-
устойчивых (заштрихованы) и неустойчивых обла-
областей, число которых бесконечно. Движение
описывается двумя частотами: средней ча-
частотой колебаний системы ша = 27г л/а/So и
частотой изменения параметра иоь = 4тг /So.
Обращает на себя внимание тот факт, что все
области неустойчивости начинаются в точ-
точках а = п2, где п — целое число. Объясняет-
Объясняется это тем, что именно тогда, когда средняя
частота движения кратна половине частоты
изменения параметра в системе возбуждает-
возбуждается параметрический резонанс:
п
2
27Г
п Атт
а = 77
а = п
Для канала, с синусоидальной индукцией имеет место дополнительное условие
которому на рисунке отвечает прямая линия. Если плавно увеличивать от нуля ам-
амплитуду индукции Вт. то система будет поочередно переходить из устойчивой обла-
области в неустойчивую и наоборот. В неустойчивых зонах параметрический резонанс
связывает две внутренние степени свободы системы и создает условия для эффек-
эффективного обмена энергии между ними. В рассмотренном случае магнитного канала
радиальная координата раскачивается за счет гораздо более сильного продольного
движения.
58

4.4. Уравнения Хилла и функции Флоке
Уравнение Хилла является линейным уравнением второго порядка.
x" + Q{z)x = 0, Q{z + So) = Q(z). D.16)
Это значит, что любое его решение может быть представлено как линейная комби-
комбинация двух заранее выбранных действительных или комплексных линейно незави-
независимых решений, образующих фундаментальную пару (см. разд. 3.1). В принципе
любые два линейно независимых решения годятся для образования такой пары, но
далеко не каждая оказывается удобной в работе. В простом случае гармонического
осциллятора ж"+си2 х — 0 в качестве действительной фундаментальной пары исполь-
используют обычно sin сиг, cos сиг, а для комплексной пары берут функцию cos сиг + г sin сиг
и ей комплексно-сопряженную. Можно показать [5], что любой другой выбор фун-
фундаментальной пары приводит к решениям, где и амплитуда и фаза сложно зависят
от г, распознать в нем простое гармоническое колебание нелегко.
Первый относящийся к уравнению D.16) вопрос связан с выбором для него наибо-
наиболее удобной фундаментальной пары. В качестве действительной фундаментальной
пары выбираем решения D.16) u[z). v(z) с начальными условиями и@) = 1, и'@) =
О, v@) = 0, v'(Q) = 1. Для линейной независимости решений надо, чтобы опре-
определитель Вронского был отличен от нуля, а поскольку D.16) не содержит первой
производной но х, он оказывается постоянным и не зависит от г:
Wd = ( u"W *> ) = ( J ° ) = 1. D.17)
В качестве комплексной пары возмем два комплексно-сопряженных решения —
£(г) = u(z) + iv(z) = cr(z) е"^ и £*(г) = u(z) — iv(z) = a(z) e~%^z\ Вронскиан для
комплексных решений
W=( ?Д 17Д ] = [ l l.]=-2i. D.18)
\ r \ Zi F (ZI I \ 1 ? /
С помощью комплексной пары общее решение D.16) можно представить в виде
x{z) = С £ (г) + С* C(z) = Ах a{z) cos [ф(г) + В),
где Л, в — произвольные постоянные, определяемые ртчальными условиями.
Рассмотрим решение х = сге1'*, найдем его первую и вторую производные
х' = (а +{ф'а) eli>, х" = (а" + 2гф' а! + гф" а - ф'2 а) е'ф ,
подставим их в уравнение D.16) и выделим действительную
a" + Q{z)a-~ = Q D.19)
59

и мнимую части
ф"сг + 2ф'а' = 0.
Интегрирование последнего уравнения
Ф\г) = J^ D.20)
показывает, что фаза решения полностью определяется его модулем и главным ока-
оказывается модульное уравнение D.19). Как находить начальные условия сг(О), сг'(О)
и как решать это нелинейное уравнение, мы обсудим позже (см. разд. 4.5), а сейчас
обратим внимание на тот факт, что при выводе D.19) никак не использовалась пери-
периодичность коэффициента Q(z + So) — Q(z). Между тем это важное обстоятельство
должно помочь в поиске наболее удобной фундаментальной пары.
С помощью введенных выше действительных функций u(z), v(z) образуем ком-
комплексные функции 4>i(z) = Au(z) + Bv(z) и 4>2{z) — A"u(z) + В*v(z) и попробуем
выбрать комплексные постоянные А, В так, чтобы выполнялось условие
Фг(г + So) = Xi фг(г), <j>2(z + So) = А2 <h{z), D.21)
где Ai, A2 — некоторые постоянные.
Уравнение Хилла D.16) инвариантно относительно замены независимой перемен-
переменной вида z —> z -f So, и это качество должны наследовать решения. Иными словами,
если f(z) есть решение, то и f(z + So) - тоже и (как любое решение) есть линейная
комбинация действительной фундаментальной пары. Применим это к функциям
u(z + So), v(z + So):
u(z + So) — an u(z) + «2i v(z), v(z + So) = aJ2 u(z) + a-22 v(z).
Полагая 2 = 0, нетрудно проверить, что входящие в эти выражения коэффициенты
есть элементы матрицы перехода из начала в конец периода:
) = М@|5о) = ( i(Sq°\ fq°\ ) . D.22)
V «21 0,22 J V U (^°) V (S°> J
Используя эти разложения и учитывая D.21), находим
ф(г + So) = A u[z + S0) + B v(z + So) =
= (Aan + Ba)u(z) + {A a + Ваи)«(г) = AXu{z) + В Xv(z)
Собирая вместе члены при u(z) и v(z) получаем систему двух уравнений, корни
которой есть искомые постоянные Ai, A2:
А (ап - А) + В а21 = 0 , Aai2 + В (а22 - А) = 0.'
Условие разрешимости этой системы сводится к равенству нулю ее определителя,
что приводит к уравнению
А2 + (au + a22) A + (an a22 - ап a21) = А2 + (an + a22) A + 1 = 0 , D.23)
60

где учтено равенство единице определителя матрицы перехода на период D.22) или,
что то же самое, действительного вронскиана системы D.17).
Обозначим аи + а2г = 2cos/i, Л = е*м, где /л есть так называемый характери-
характеристический показатель уравнения Хилла. Корни D.23) по теореме Виета должны
удовлетворять следующим равенствам: Aj А2 = 1 и Ах + Аг = действительному чи-
числу. Следовательно, оба корня могут быть либо действительными, либо комплексно-
сопряженными, причем в обоих случаях Ai = А = е|д, А2 = 1/А = е~гд. Таким
образом, существует единственная пара линейно независимых решений уравнения
Хилла, удовлетворяющая условиям фх(г + So) — ещ ф\(г), ф2(г + SQ) — е~щ ф?(г),.
Это утверждение является теоремой Флоке, а сами функции фг(г), ф2(г) - функци-
функциями Флоке. Именно они оказываются той фундаментальной парой, через которую
наиболее просто выражаются решения уравнения Хилла:
x{z + NS0) = С,фх(г + NSo) + С2ф2{г + NS0) = С^ф^г) + C2\~N ф2{г).
Видно, что если |А| ф 1, то при /V -> оо это решение неограниченно растет и траек-
траектория оказывается неустойчивой.
Если выполнено условие
1/ аи + Й22 u(So) + v'(So) , .
-1 < cos ц = = < 1, D.24)
то движение оказывается устойчивым. Внутри области устойчивости функции Фло-
Флоке удобно представить в виде
Ш = *(*) = Р(г) еад , Ш = Ф'(*) = й(*) е~Щг), D-25)
и общее решение записывается так:
х(г) = Ах p(z) cos [u(z) + в]. D.26)
По теореме Флоке имеем
p(z + So)eia(z+s^ = p(z)e^+aW, p(z + So) = p(z), /i = u{z + So) - U(z),
т.е. модуль функции Флоке есть функция периодическая с периодом структуры So,
а характеристический показатель ц - набег фазы колебаний на этом период. Умест-
Уместно заметить, что p(z + So) = p(z) — единственное периодическое (с периодом So)
решение модульного уравнения D.19) и по этому признаку может быть фактически
найдено (см. разд. 5.6). Чтобы выделить это периодическое решение из остальной
массы £ = сгехр1ф непериодичехких решений D.19), мы и ввели для него специальное
обозначение.
61

В целом движение D.26) является ко-
колебательным и характеризуется двумя
периодами: амплитуда модулирована с
периодом структуры So, а период са-
самого колебания равен Sk — 2тг So/fi
(рис.4.6, где jjl = тг/4, Sk = 8 50).
Скорость изменения фазы определяет-
определяется через модуль уравнением D.20), что
позволяет дать однозначное определе-
определение характеристического показателя
- L
dz
D.27)
12 3 4 5 6 7 8 9
и точно указать, в какой области устой-
устойчивости находится система. Дадим
схему решения практической задачи
построения функции Флоке для урав-
уравнения Хилла D.16).
Рис. 4.6. Модуль функции Флоке p(z)
и периодическая траектория x(z)
1. Находим два решения u(z), v(z) с начальными условиями и@) = 1, м'@) =
0, и@) = 0, г)'@) = 1 на интервале 0 < z < So-
2. Определяем cos/i = [u(So)-\-v'(So)]/2, если |cos/i| < 1, то движение устойчиво.
3. Представим функцию Флоке в виде линейной комбинации найденной в п.1
действительной пары ф(г) = ф@) u(z) + ф'@) v(z) и воспользуемся ее свойством
о) = егм ф@) = ф@) u(S0) + Ф'@) v(So). Это дает возможность записать
\u(z)
'(Ъ) = Щ [е^ - u(So)} , ф{г) =
v(So)
Величину 0@) будем считать действительным числом и найдем ее из условия нор-
нормировки комлексного вронскиана D.18)
Wc = ф@) ф*'@) - ф\0) фт{0) =
Окончательно получаем
- -2г
v(S0)
sin/i
\
v(So)
sin ft
u(z)
v'(So) - u(S0)
2v(S0)
v(z)\ , Ьпф(г)
sm/л
v(S0)
p(z) =
D.28)
62

Величина набега фазы на период определяется по формуле D.27). В жесткофо-
кусирующем канале движение описывается двумя координатами — х и у, поэтому
определение функций Флоке необходимо проводить для каждой степени свободы не-
независимо.
-1
Рис. 4.7. Первые три области устойчивости для канала ФД
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Рис. 4.8. Функции Флоке: 1 - для
i = 0.47, 2-ц = 1.Ь7 ъЗ- ц= 2.25
В качестве примера найдем зоны устой-
устойчивости для простого канала с форму-
формулой периода ФД. Уравнения движения
— это C.15), набеги фаз по г и у оди-
одинаковы:
cos /лхл = -Sp (М~ М+) — cos К ch К,
где М+, М~ — матрицы C.17),C.18);
К = y/xSo/2, х = qG/p; G — гради-
градиент линзы. Поведение cos \x представле-
представлено на рис. 4.7 и первым трем устойчи-
вым зонам отвечают следующие интер-
интервалы К:
О < К < 1.87, 4.70 <К< 4.74,
7.849 < К < 7.851.
Эти цифры показывают, что размеры устойчивых областей весьма быстро умень-
уменьшаются, что исключает возможность их практического использования. Более того,
из-за очень сильной модуляции колебаний (см. формулу D.26) и рис. 4.8) и ужесто-
ужесточения допусков сегодня в ускорительной технике можно считать освоенной только
половину (р, < 7г/2) первой области устойчивости.
63

4.5. Поток частиц в периодическом канале
При движении частиц в канале наибольший интерес представляет расчет огиба-
огибающих пучка. Здесь, как отмечалось, возникают две задачи:
1) по заданным на входе в канал размеру и углу огибающей построить огибающую
в канале и
2) для данного канала найти размер и угол огибающей на входе, обеспечивающие
оптимальное прохождение потоком канала.
Ниже мы рассмотрим обе эти задачи в терминах ж-движения (у-движение и
аксиально-симметричный случай исследуются аналогично с очевидной заменой обо-
обозначений).
Как было показано в разд. 4.4, траектория частицы может быть записана через
модуль и фазу фундаментальной пары решений уравнения D.16) в виде
x(z) = Ах a{z) cos \ф(г) + в], x\z) = Ах a\z) cos [ф{г) + в]
Ах
Ф)
sm \w\z\
здесь учтено равенство D.20) и постоянные Ах, в определяются по входным в канал
значениям х@). х'@).
Исключим из уравнений траектории зависимость от в и получим выражение для
интеграла движения Ах
+
1
x\z) - 2a{z) a\z) x(z) x\z) + a\z) x'\z),
D.29)
которое является уравнением эллипса. Это означает, что все частицы с одним и тем
же значением интеграла Ах располагаются на эллипсе (его удобно назвать фазовым
эллипсом канала) независимо от величины входной фазы 0. По мере продвижения
частиц по каналу этот эллипс изменяет форму, но остается эллипсом. Частицы,
имеющие Ах < Ах, все время остаются внутри рассмотренного эллипса.
Пусть на вход в канал (z = 0) подается поток
частиц, эмиттанс которого на плоскости х, х'
имеет вид (рис. 4.9)
7* х2 + 2 ах х х' + (Зх х' = £х.
D.30)
х В D.30) фигурируют четыре параметра, а
для задания эллипса достаточно трех, и по-
потому имеет место дополнительное равенство
Ъ Рх - ах2 = 1. D.31)
Рис. 4.9. Эллиптический Выберем теперь входящее в уравнение траек-
эмиттанс потока тории и фазового эллипса канала комплекс-
комплексное решение £(z) = cr(z) ег^х> так, чтобы на входе в канал граница фазового объема
64

потока и фазовый эллипс совпали:
D.33)
Так как всем частицам, лежащим на границе фазового объема потока и границе
фазового эллипса канала, соответствует одно и то же значение интеграла Ах, они
будут совпадать не только на входе, но и всюду в канале.
. Д i
I In
wA
III «IV
1 Д j
а
IV
в
Рис. 4.10. Огибающие согласованного потока в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях (а), сечения потока (б) и эллипсы Флоке (в)
Траектория частицы имеет вид x(z) = Ах &(z) cos \ф{%) + 0], и при любом значе-
значении z максимально удалены от оси потока те частицы, для которых cos [ф(г) 4- в] = 1.
Это значит, что огибающая потока имеет вид
t(z) , D.34)
где <т(г) есть решение модульного уравнения D.19) с начальными условиями <т@), <х'@)
из D.33). Используя D.19) и D.34), напишем уравнение для огибающей потока
г" д. О(у\ г х П
гх@) =
D.35)
65

Подчеркнем, что наличие конечного эмиттанса приводит к тому, что уравнение для
огибающей D.35) не совпадает с уравнением для траектории какой-либо частицы
D.16). В этом случае гипотеза о том, что стартовавшая крайней частица остается
крайней всюду в канале, не проходит.
Выражения D.35) дают решение задачи о построении огибающей потока в канале
по заданным условиям на его входе.
Рассмотрим задачу об оптимальном прохождении канала потоком. Обычно изве-
известен максимальный отведенный под поток поперечный размер канала а0. Посколь-
Поскольку, согласно D.34) rx(z) = л/£^<х(;г), то гГ)тах = \/£Ecrmax и отсюда можно найти
максимальный пропускаемый данным каналом эмиттанс при заданных условиях на
входе:
f^V. D.36)
Эта величина очень сильно зависит от формы эмиттанса потока на входе в канал.
Располагая перед каналом специальную систему согласования, можно приготовить
поток к наилучшему прохождению канала. К чему же надо стремиться ? В работе
[5] показано, что в длинном периодическом канале из всех возможных профилей оги-
огибающих наименьший максимум обеспечивает модуль функции Флоке ртах < Огпах-
Это значит, что если на входе в канал граница эллиптического эмиттанса ориенти-
ориентирована так, что выполняются условия <т@) — />@), с'@) = /э'@), то эмиттанс пропус-
пропускаемого потока максимален и равен аксептансу канала £r,max — Лх = (ао//>тахJ-
Для реализации такого потока надо, чтобы в уравнении границы эмиттанса на
входе D.30) имели место равенства
Ъ = Л0) + ~щ , «* = -р@) р'@), /Зх = Р2@). D.37)
Ориентированный по этим коэффициентам эллипс называется эллипсом Флоке ка-
канала, а поток — согласованным. Огибающие согласованного потока, в силу свойств
функции Флоке, оказываются периодическими с периодом структуры (рис. 4.10).
Предварительная подготовка потока ко входу в канал — согласование — выгодно
в двух отношениях. С его помощью можно либо при заданном размере канала прове-
провести поток с максимальным эмиттансом, либо обеспечить минимальный размер кана-
канала для потока с заданным эмиттаисом. Поскольку преобразованию подлежат четыре
параметра — ^@), r'x@), ry@), r'y(Q), минимальное число квадрупольных линз в со-
согласующей цепочке равно четырем.
Заметим, что величина фазового объема Vkx — Р У Лх называется пропускной
способностью канала по координате х.
4.6. Параметры Твисса. Эффективный эмиттанс потока
В предыдущем разделе мы могли наблюдать, как уходило на задний план поня-
понятие траектории отдельной частицы, а вместо этого появлялись понятия огибающей
потока и динамики эмиттансов. Оказалось, что нам достаточно знать поведение
трех коэффициентов yx(z), <Xx{z), 0x{z), чтобы получить подробную информацию о
66

форме потока. Американский физик Твисс разработал теорию, позволяющую непо-
непосредственно прослеживать динамику этих коэффициентов.
Пусть матрица перехода траектории из точки z\ в точку г2 имеет вид
M(Zl\z2)
С S
С S'
Тогда коэффициенты эмиттанса преобразуются по закону
-2CS S2
CS' + C'S -SS'
-2CS" S'2
D.38)
Заметим, что эти коэффициенты в любой точке канала связаны с функцией Фло-
ке соотношениями D.37). Посмотрим теперь, какую цену приходится платить за
неполноценное согласование потока с каналом. Пусть на фазовой плоскости (рис.
4.11,а) показан эмиттанс (заштрихован) несогласованного с каналом потока. Чтобы
пропустить его без потерь, мы должны вписать его в эллипс Флоке канала, кото-
который в этом случае следует назвать эффективным эмиттансом потока. Видно, что
он может весьма сильно превышать реальный эмиттанс, что подтверждает важность
проблемы согласования.
X'
Рис. 4.11. Увеличение эффективного эмиттанса: вследствие несогласованности
потока с каналом (а) и действия нелинейных сил (б)
Другой источник превышения эффективного эмиттанса над реальным — дей-
действие нелинейных сил. Рассмотрим поток с неизменной энергией, чтобы не учиты-
учитывать разницу в изменении эмиттанса, возникающую из-за ускорения или замедления
потока D.14). После прохождения канала эмиттанс сохранит эллиптическую форму,
только если в канале действуют линейные силы. Но если силы нелинейны, то раз-
различные участки эллипса будут деформироваться различно.и эмиттанс приобретет
форму, похожую на кляксу (рис. 4.12,6). Если нелилейные силы действуют дли-
длительно, то эмиттанс (сохраняя величину) станет похож на клубок ниток. Но если
мы хотим не терять частицы, то следует все, что получилось от эмиттанса, погрузить
в эллипс Флоке канала, который вновь следует считать эффективным эмиттансом
пучка.
67

Глава 5. Формирование потоков взаимодействующих частиц
5.1. Основные соотношения. Закон трех вторых
Рассматривая в предыдущих разделах движение заряженных частиц, мы не при-
принимали во внимание их взаимодействие друг с другом. Это допустимо, если плот-
плотность пространственного заряда в любой точке потока достаточно мала. Однако
саму оценку этой малости можно получить лишь в рамках более общей теории, где
взаимодействие частиц учитывается.
Теория одной частицы позволила найти траекторию частицы, определить пара-
параметры линз и ответить на вопрос об устойчивости частицы в канале. Учет конечной
величины фазового объема пучка как меры неупорядоченного разброса тепловых
скоростей частиц явился существенным отходом от этой теории, что дало возмож-
возможность рассмотреть поведение огибающих, определить размеры пучка и найти опти-
оптимальные условия входа в канал.
Дальнейшее принципиальное уточнение теории связано с учетом кулоновских сил
взаимодействия между частицами потока. Это необходимо, в частности, для ре-
решения практически важных задач о расплывании потоков и предельных токах в
различных устройствах. Обычный подход состоит в том, что суперпозицию полей
дискретных образующих поток частиц заменяют полем непрерывно распределенного
пространственного заряда, а затем рассматривают движение одной частицы во внеш-
внешних полях и в поле этого заряда. Обычной практикой здесь становится метод после-
последовательных приближений. Делается предположение о начальном распределении
заряда потока, и вычисляются траектории частиц. Это распределение уточняется,
и процесс продолжается до тех пор, пока не станет самосогласованным: принятое
распределение заряда подтверждается расчетом. Заметим, что к потокам с боль-
большой плотностью тока термин "фокусировка" применять избегают и говорят об их
формировании.
Наличие пространственного заряда в потоке вызывает следующие основные эф-
эффекты:
1. расширение свободных от внешних полей потоков вследствии действия кулонов-
кулоновских сил отталкивания,
2. изменение потенциала пространства, вызванное присутствием в нем объемного
заряда,
3. ограничение предельных токов в приборах, обусловленное образованием так
называемых виртуальных катодов.
Рассмотрим стационарный поток заряженных частиц, распространяющийся в не-
некоторой системе, содержащей эмиттер с нулевым потенциалом. Если частицы поки-
покидают эмиттер с нулевыми скоростями (а это значит, что напряженность электриче-
электрического поля па эмиттере равна нулю), то в нерелятивистском приближении движение
описывается системой уравнений
— = —Е, й\\ Е = —, 5 = pv .
at т0 е0
68

Не меняя сорта частиц и сохраняя подобие, изменим потенциалы всех электродов в
Хи раз и все размеры в Xi раз. Первым будем считать состояние до изменения и
вторым — после него. Анализ размерностей позволяет выразить вторые величины
через первые:
Е2 = Хи Х2 Ei, V2 = Хц щ , Р2 — Хи X~l pi, 52 = Хц Л^ 5i.
Вычисляя интеграл от плотностей тока по поперечному сечению потоков в сход-
сходственных точках, переходим к полным токам обоих состояний /2 = Xj2 /j. Учиты-
Учитывая, что Хц — U2/U1, получаем
.3/2
г,3/2
и2
= const.
E.1)
Выраженная этим соотношением величина имеет размерность (А/В3/2), называется
первеансом системы и не зависит от режима ее работы. Первеанс является мерой
интенсивности потока —- важной эксплуатационной характеристикой. Поскольку эта
очень малая величина, для измерений чаще используется микропервеанс PIL = 106 Р.
Пушки телевизоров, например, имеют микропервеанс порядка нескольких сотых,
и эффектами пространственного заряда в них можно пренебречь. Микропервеанс
рекордных по интенсивности источников электронов достигает нескольких единиц.
Первеанс зависит от заряда и массы частицы, если источник с q\,rtii и первеансом
Pi перевести на работу с q2, m2, то первеанс изменится: Р2 = (m1/m2I''2 D2/qi) Pi-
Закон E.1), который связывает между собой ток и напряжение в потоках заря-
заряженных частиц, называется "законом трех вторых". Он играет для потоков заря-
заряженных частиц ту же роль, что и закон Ома I/U = const для электрических цепей.
Но закон Ома выполняется автоматически, в то время как для справедливости за-
закона трех вторых нужно, чтобы напряженность электрического поля на эмиттере
была равна нулю. Это условие может выполняться в самых разных геометриях, но
продемонстрировать его проще всего на примере плоского диода (рис. 5.1).
р.м , ,
Существуют два режима работы плоского
диода. Первый — ограничение тока но эмис-
эмиссии катода. Это означает, что катод недо-
грет или истощен и эмиссия электронов яв-
явно недостаточна. Напряженность электриче-
электрического поля на катоде не равна нулю, режима
трех вторых нет. Во втором режиме эмиссия
не мешает установиться закону трех вторых,
плотность тока ограничена объемным заря-
зарядом, поле на катоде равно нулю. Заметим,
что этот режим устойчив и если в силу флук-
Рис. 5.1. Распределение туации количество электронов станет больше
плотности заряда р и потенциала или меньше, то соотвествующее отклонение
и в плоском диоде в режиме трех поля на эмиттере от нуля автоматически вы-
вторых (кривые 1,2 правит ситуацию,
соответственно)
69

Движение является одномерным и описывается уравнением Пуассона
U" = -— = -
Умножая обе части на U' и интегрируя, находим последовательно уравнения
25 /--\ Л U'2 25
±(Ч1
dz \ 2
vU = const = 0 ,
где при вычислении постоянной в последнем равенстве мы учли, что на катоде и
потенциал, и поле равны нулю. Дальнейшее интегрирование этого уравнения позво-
позволяет найти распределение потенциала вдоль диода
dU
45 \
1/2
dz
I0**-
1/2
2/3
Из распределения потенциала находим плотность тока диода в режиме трех вторых
t = U
гЗ/2
E.2)
Последнее выражение называется формулой Чайльда — Ленгмюра.
При рассмотрении эффектов пространсгвеного заряда часто заметно упрощает
записи введение системы относительных единиц. Мы вводим следующие единицы
измерений для потенциала Ug, тока Ig и первеанса Ре соответственно
параметр
Ue = mQc2/q
Ie - 47reomQc3/\q\
Рв = 4тгео(д/т0I/2
ед.изм.
В
А
л/в3/2
электроны
-5.11 х 105
1.7 х 104
-46.6 х 10'6
протоны
9.38 х 108
3.14 х 107
1.09 х 1(Гб
Потенциалы, токи и первеансы, измеренные в этих единицах будем обозначать бу-
буквами
Ф) = -
*/(*)
где знак минус в первом выражении обеспечивает заряду любого знака движение в
положительном относительном потенциале. Для релятивистских факторов в этих
обозначаниях имеем
7 =
\ по B 4- </?)
-2 = ^- i
= Vv B
E.3)
5.2. Действие сил пространственного заряда
Рассмотрим распространяющийся вдоль оси z и параллельно ей сгусток заряжен-
заряженных частиц эллиптического сечения с полуосями гх, гу и током / (рис. 5.2). Введем

ряд упрощающих предположений, допустимость которых предстоит проверить после
решения задачи.
Пусть скорости всех частиц вдоль оси z одина-
одинаковы v = const, а плотность тока и плотность
заряда распределены равномерно по сечению
пучка. Введем движущуюся вместе с части-
частицами вдоль оси z и неподвижную относитель-
относительно центра тяжести сгустка систему координат
xci Ус, zc, так называемую с-систему. В этой си-
системе наблюдатель увидит чисто электростати-
электростатическое поле с потенциалом Uc{xc, yc, zc) и век-
векторным магнитным потенциалом Ас = 0. Из-
Измеренные им значения в с-системе мы пересчи-
пересчитаем в лабораторные величины, которые будем
снабжать индексами к (кулоновский).
По формулам релятивистских преобразований
между физическими величинами обеих систем
имеются следующие общие соотношения G, C •
релятивистские относительные энергия и ско-
скорость) [2]:
Рис. 5.2. Сгусток
релятивистских частиц,
распростроняющийся вдоль
оси z
Ак± = А
с±
= 7 Ul + ^l
Ёк]\ = Ёе\\, EkL = 7Dх - v х Вс1), Вщ = Всц, Bfcl = 7 [Ве\. + ^
К этому списку надо добавить преобразование координат
Учитывая, что Ас = 0, находим
Отсюда определяем собственные ноля сгустка
dUc dUk „
-7
дхс дх ' ь
дАк2 C dUk
дис _ дик _ _ди1
дус ду dzc
Вкх =
Вку - -
ЭА
кя
C dUk
1~дх~)
аик
— 0.
ду " с ду ' ~ку дх
Теперь мы в состоянии вычислить силу Лоренца F = q (Ek + v x Вк) а лабораторной
системе координат
dUk
q_dUk
72 ду '
71

qOUk
ду 7 ду 7 oz 7
По сравнению со случаем электростатики сила кулоновского расталкивания осла-
ослабляется в 72 Раз- Это происходит от взаимодействия движущихся зарядов с ими же
созданным магнитным полем. Возникающая при этом сила препятствует кулонов-
скому расталкиванию и называется силой магнитного самостягивания пучка.
Для вычисления внутреннего потенциала сгустка вновь обратимся к с-системе,
где возникает чисто статическая задача отыскания потенциала равномерно заряже-
ного цилиндра эллиптического сечения. Вот ее решение [5]:
UC(XC, Ус) =
Рс
— Г
ус,
+ const.
Возвращаясь в лабораторию, находим
ТТ ( \ FT '™
4е0
9
гх + г
-(ж2 -у2) + const.
На самом деле полуоси эллипса гх, гу медленно меняются. Считая, что это изменение
происходит на длинах, много больших самих полуосей и выражая плотность заряда
через ток, получаем окончательно
Uk(x, yZ) = —
еотг vrx(z)ry(z)
rx(z) +r{z)y
у2)
+ const. E.6)
Добавим этот потенциал в лагранжиан A.6), что позволит нам решать стационарные
задачи с учетом сил пространственного заряда
L{r, v) = -moc\l -— + qA{r) ■ V - qU(f) - \ Uk(r).
E.7)
с 7
5.3. Расплывание потоков под действием сил пространственного заряда
В качестве первой такой задачи рассмотрим расплывание потока кругового се-
сечения в свободном от внешних полей пространстве. Примем, что поток не меняет
потенциала пространства Uq, его фазовый объем равен нулю и потому справедлива
гипотеза крайней частицы D.35). Для круглого пучка электронов лагранжиан E.7)
имеет вид ^__
2'- i -г ' " -г -«■ е I r
L — —тос
1 -
9 1 1
с2 4ne0j-uib
где гь — огибающая пучка. Ограничиваясь параксиальным приближением «й»2)
переходя к z как к независимой переменной и используя относителиые единицы из
приведенной таблицы для граничной частицы гь последовательно находим
el I
£~i2 2тгепг>3'
7
2J 1
о ло
V
^0 B
E.8)
72

последнее выражение получено в нерелятивистском приближении.
Обозначим через го начальное значение огибаю-
огибающей потока (рис. 5.3) и введем новые независи-
независимую £ = z (л/2 V)l/2/r0 и зависимую R = rb/r0
переменные. Уравнение E.8) и начальные усло-
условия примут вид
?" — П
1 ~2Л-°'
Рис. 5.3. Сходящийся поток (штрихом обозначена производная по £)• Умно-
взаимодействующих частиц в жая это уравнение на R' и интегрируя, находим
свободном пространстве.
In R = R'2 -R'o2, R = е-"? с** = Rmln cR'2,
где Rm[n = exp( — R'o ) — минимальный размер потока в кроссовере, при котором
R' = 0. Обозначим и — R' и продифференцируем равенство
R = е~яо2 еи2 ->■ и = 2и e~R'°2 е — .
Интегрирование последнего выражения дает окончательный результат
е du, E.9)
где знак верхнего предела совпадает со знаком R\ т.е. пока поток сходится, берется
знак минус.
R
На рис. 5.4 приведены зависимости /?(£) для
различных значений R'@) < 0. При R'(Q) =
—0.92 кроссовер удален от входа £ = 0 на
максимальное расстояние, равное £cr,max =
1.08. С помощью этих величин можно ре-
решить следующую задачу. Дан отрезок трубы
диаметром D и длиной L (рис. 5.5). Найти
максимальный ток, который можно пропу-
Рис. 5.4. Положение кроссовера стить через эту трубу и указать условия для
при различных значениях его реализации (ТИПИчная задача согласова-
R'= -0.5,-0.92-2.0 ыияу
(кривые 1-3 соответственно)
Максимальный ток - это ток, при котором величине z = LJ2 отвечает макси-
максимальное значение <fCr,inax=1.08 и выполняется условие на входе R'@) = -0.92 при
го = D/2. Отсюда равенство
L 2
0.5
1.5
2.0
73

раскрывая которое находим
Jmax = 0.827 (-
па* = 38.5 • 10'6 (-) • £/03/2,
где второе выражение написано для электронов.
Удобно за начало отсчета брать состояние крос-
кроссовера ^mjn, зависимость Я(£) в этом случае на-
называется универсальной кривой расплывания
(на рис. 5.6 она представлена кривой Г).
Мы уже знаем, что наличие конечного эмит-
танса пучка также приводит к расплыванию по-
потока (см. разд. 4.2). Если в уравнении D.35)
убрать фокусировку Q(z) — 0 и добавить си-
силу кулоновского расталкивания Т/(л/2гь), то в
Рис. 5.5. Определение тех Же ИСХ°ДНЫХ тъ, z ж преобразованных R, £
максимального тока через переменных оба расталкивающих эффекта опи-
е- сываются уравнениями
отрезок трубы Jir
" - Р £ „ 1 Ку
Гь~уДгь + г% ~* ~2Я+Я3'
где введен дополнительный коэффициент фазового объема Ку = £г2/\\f2V'г2 • )
и £г есть эмиттанс пучка. На рис. 5.6 приведены также универсальные кривые с
Kv ф 0.
ю
8
б
4
Г, /К, mi:
/rhtB
Bm
А
V
N
i
Ы
У
\
Рис. 5.6. Универсальные кривые
расплывания интенсивного потока из
состояния кроссовера: Ку =0,1,3
(кривые 1-3 соответственно)
Обсудим справедливость допущений, которые были сделаны в начале этого раз-
раздела относительно постоянства аксиальной скорости частиц и эквипотенциальности
Рис. 5.7. Изменение потенциала
пространства, вызванного
присутствием интенсивного потока
74

пространства. Для определенности будем считать, что пучок радиуса Гь находится
в трубе радиуса г0, на которой поддерживается потенциал £/0 (рис. 5.7). Применяя
теорему Гаусса к цилиндрической поверхности единичной длины, внутри пучка име-
имеем 2ттг(-ди/дг) = -7гг2 рк/е0, вне пучка — 2тгг (-dU/dr) = -п rlpk/e0. Отсюда
находим потенциалы внутри пучка и между пучком и трубой
"-' у v ; " : '-'/ А ' ^^ III til 7 "-* ^ " О ' ; ' U / л J. J.J. | \s \J •
4 £о ^ £о Го
При г = гь эти выражения совпадают, что определяет Um-m. Это позволяет найти
— J = —^ 1 + 2 In —
относительные провисания потенциалов внутри пучка и внутри трубы (здесь учтено
рк =
E.10)
Видно, что провисание сильно зависит от того, какую долю трубы занимает пучок.
Если принять гь ~ г0, то при вполне приличных микропервеансах Рм « 3 падение
потенциала составит менее пяти процентов (а скорости - половину от этой цифры),
что оправдывает принятые выше упрощения.
5.4. Образование виртуальных катодов и предельный ток
Эффект изменения потенциала пространства, исследованный в предыдущем раз-
разделе оказался второстепенным и мы им пренебрегли. Однако при больших плотно-
плотностях токов в пучках
! 5 I
f/n U =0
1 О ZV
А
Рис. 5.8. Схема исследования интенсивного нотока в пространстве дрейфа (а);
распределение потенциала в пространстве дрейфа до и после образования
виртуального катода (б); отражение части тока от виртуального катода (е)
ограниченных размеров провисание потенциала может быть весьма значительным
и достигать нуля. Это означает образование виртуального катода и, как правило,
75

нарушение работы прибора. Действие пространственного заряда сильно зависит от
граничных условий и геометрии устройства. Мы рассмотрим две противоположные
геометрии — бесконечно широкий и длинный узкий цилиндрический потоки. Схема
прибора дана на рис. 5.8а. Потенциал сетки Ug = var регулирует плотность тока
электронов, поступающих затем в пространство дрейфа 0 < z < I. Считаем, что
скорость электронов и плотность тока не зависят от перпендикулярных к плоскости
рисунка координат, и задача оказывается одномерной. Распределение потенциала
U(z) в пространстве дрейфа определяется уравнением Пуассона
U"(z) =
£o
£/(*)
Умножая это уравнение на U' и интегрируя, получим
46 г~ 45
U'2 -
vU — const = —
So у/Ц
Второе интегрирование дает
и%=
=и
=o
mm
mm'
ю 5
Рис. 5.9. Зависимость минимального потенциала от приведенной плотности тока
(а) и доля плотности тока ^ до и после образования виртуального катода (б)
Фиксируем точку z = 0, U = С/о (вход в пространство дрейфа) и выносим С/ = С/о
из-под корня
1 + 2
4'
где 5 =
измеряется в долях плотности тока нормального диода (формула E.2))
76

График Um[n/Uo как функция 8 дан на рис. 5.9й. Особый интерес здесь пред-
представляет точка В при 8 = 8, где касательная вертикальна. При переходе через эту
точку режим резко меняется: потенциал скачком надает до нуля, образуется вир-
виртуальный катод (ВК) (см. рис. 5.86) и часть электронов начинает возвращаться к
электроду 2 = 0 (см. рис. 5.8е). При дальнейшем увеличении плотности тока режим
с ВК остается. Если теперь уменьшать плотность тока, то режим ВК исчезнет (снова
скачком) только в точке 8 = 4, т.е. имеет место эффект электронного гистерезиса.
В диапазоне 4 < 8 < 8 возможен режим как с ВК, так и без него (см. рис. 5.96).
Рассмотрим подробнее работу прибора после образования ВК (см. рис. 5.8е). В
точке В непосредственно перед образованием ВК распределение имеет вид кривой 1
с Um\n/Uo — 0.25 при z = 1/2; малейшее увеличение 8 приводит к скачкообразному
образованию ВК, и распределение потенциала принимает вид кривой 2 рис. 5.86,
причем координата ВК Zjj=a = zvc < 1/2. Объясняется это так. Справа от ВК обра-
образуется нормальный диод с напряжением Ua (см. рис. 5.8в), расстоянием (/ — zvc) и
подчиняющийся закону трех вторых 52 = 12/A — zvcJ. Слева от ВК также появля-
появляется нормальный диод, в котором текут встречные токи 8 и <5>i. Но распределение
потенциала зависит от объемной плотностью зарядов действующей электростати-
электростатически, и от направления их движения в первом приближении не зависит, отсюда
28 — 82 = (l/zvcJ. Уравнение для определения координаты виртуального катода
имеет вид
/ / \2 / / \2
E.11)
Например, при 8 = 6 координата ВК равна zvc = 0.31, 8\ = 3.9, 82 = 2.1. Можно
показать, что чем глубже в область ВК мы продвигаемся, тем ближе ко входу в
область дрейфа располагается виртуальный катод.
При 8VC > 8, как мы выяснили, работа без ВК невозможна. Найдем отвечающую
этому порогу плотность тока
О9 Т1^^2
SvC = S8d = ~ eo yfinUT = 18.64 ■ 10 -£-,
где последнее равенство написано для электронов и имеет размерность ампер на
сантиметр в квадрате (А/см2).
Разберем теперь противоположный случай с тонким и длинным цилиндрическим
потоком. Извлекаемый управляющей сеткой ток поступает в канал радиуса го с по-
потенциалом Uo, а чтобы он не оседал на стенках, вся система погружена в сильное
аксиально-симметричное магнитное поле, и траектории при этом оказываются па-
параллельны оси z (рис. 5.10). Будем считать также, что радиус потока практически
равен радиусу трубы. Поперечное распределение потенциала подчиняется уравне-
уравнению Пуассона
"(r)U-«., f
= 0.
77

Введем относительный радиус р = г/г0, относительный потенциал ф(р) — U(p)/Um-m
и новую независимую переменную
и в этих переменных получим универсальное уравнение
±
dp
= 0.
p=0
Заметим, что величина (£2 ф 2^2)р-\ = {2\f2V)p=i — //(тг£о \/Щ
ональна току пучка.
в
ик=о
I-
2rn
Э,
\
х
пропорци-
пропорциРис. 5.10. Схема потока в длинном канале с внешним магнитным полем
Результаты численного анализа в виде графиков U(r)/Um\n в зависимости от
(£) приведены на рис. 5.11а, отношение и Um-m/U0 как функция (£2 ф~3/2)р=1 ~ /
показано на рис. 5.115.
ю
mm
■
■
■
■
/
1
/
/
/
t
Umn/Ut
10
о
0.8
0.6
0.4
0.2
■ >
■
■
ч
\
s
\
\
\
)
12
О 02 0.4 0.6 0.8 1.0 12 1.4 1.6 1.8 20
а б
Рис. 5.1 J. Зависимость потенциала пучка в долях минимального потенциала (д) и
зависимость минимального потенциала от тока пучка б
78

Из последнего графика видно, что при (£2 ф 3^2)p=i = 1.963 и U(p)/Um[n = 0.174
скачком образуется виртуальный катод и имеет место электронный гистерезис. От-
Отсюда легко найти предельный ток, выше которого работа без виртуального катода
невозможна:
vc
Ivc = 1.963 7г e0 y^f/03/2 = 32.4 ■ 1(Г6 Ul12, E.12)
(последнее равенство относится к электронам).
Картины образования и разрушения ВК для обеих рассмотренных геометрий ка-
качественно совпадают. А что показывает эксперимент? В целом описанные здесь
явления скачкообразного возникновения ВК и электронного гистерезиса подтвер-
подтверждаются, но процесс носит весьма неспокойный характер и сопровождается мощ-
мощными СВЧ колебаниями. Эти колебания тем сильнее, чем глубже в области ВК
находится система.
Как уже отмечалось, в основе механизма ВК лежат электростатические явления.
Это навело американского физика Пирса на мысль скомпенсировать электронную
компоненту ионной и снять проблему ВК. Однако полностью снять эту проблему не
удалось, помещали возникающие при этом плазменные неустойчивости, но предель-
предельные по ВК пороги при наличии ионной компенсации возрастают примерно в 5-6 раз.
5.5. Формирование интенсивных потоков магнитным полем
На рис. 5.12 показана аксиально-симметричная система, в которой распростра-
распространяется поток заряженных частиц. На эту систему наложено магнитное поле с одной
особенностью: начиная с некоторой координаты zc это поле становится однородным
B(z > zc) — Вс~ const. Мы исследуем два случая:
1) катод экранирован от магнитного поля
2) катод находится в магнитном поле.
В разделе 2.3 было показано, что в аксиально-симметричном магнитном иоле
действует закон сохранения, называемый теоремой Буша: вдоль траектории части-
частицы выполняется соотношение г2 0 — 7] Ф(г, z)j2iv = Са — const F — азимутальная
координата). Здесь Ф(г, z) имеет смысл потока магнитного поля сквозь окружность
радиуса г с центром на оси в точке z, где г находится на траектории. Если частица
стартует с катода на радиусе rct с нулевой азимутальной скоростью, то в паракси-
параксиальном приближении
1 -
B
et
B0(z)
E.13)
где Bct — поле на катоде и B0(z) — поле вдоль оси системы. Движение одной
частицы описывается при этом уравнением B.15), в котором при отсутствии элек-
электрического поля надо положить Ф(^) = Фо = const.
Примем, что поток имеет пулевой фазовый объем. Это, согласно D.35), позво-
позволит рассматривать только траекторию крайней частицы гь. Добавив к B.15) силу
79

кулоновского расталкивания, получаем уравнение для огибающей потока
1 -
'mm
E.14)
Здесь Uты, как будет показано ниже, есть потенциал на оси пучка. Напомним, что
решение этого уравнения гь{г) есть проекция огибающей на плоскость (г, z), которая
вращается вокруг оси z с угловой скоростью в.
Рис. 5.12. Схема формирования интенсивного потока магнитным полем: катод
экранирован от магнитного поля (кривая 1), катод находится в магнитном поле
(кривая 2)
Введем следующие обозначения
гь и -. B0{s)
а =
гЬ0
где Гьо — масштаб длины, который нам еще предстоит определить. Входящие в E.15)
величины аи А' носят названия параметра магнитного поля и параметра катодных
условий соответственно.
Используя E.15), перепишем уравнение E.14)
<PR
ds2
R —
а К
V
= 0,
которое в зоне однородности z > zc принимает вид
V
d2R n а К
+ aR-
ds2
R? х/2Д
80
= 0.
E.16)

Видно, что в этой зоне возможен режим движения с постоянным радиусом R — 1,
если выполнено условие
а A-#■)--?== О
а —
V
E.17)
Раскрывая это равенство согласно E.15), находим
rl =
V
- 0.690
E.18)
В последнем выражении использованы единицы измерений: миллиметры, амперы,
вольты, тесла (мм, А, В, Тл). Равенство E.18) показывает, что в зоне однородного
поля интенсивный поток может распространяться не расширяясь, в форме цилиндра
постоянного радиуса. Для реализации этого режима надо так организовать динами-
динамику в переходной зоне, чтобы обеспечить гь = П>о и г'ь = 0 на входе в однородное поле
при z = zc. Величину этого равновесного радиуса гЬ(у мы и примем в E.15) за единицу
длины. Из E.18) видно, что равновесный режим возможен при любых условиях на
катоде К < 1. Мы начнем рассмотрение со случая экранированного катода К = О,
который называется режимом Бриллюэна.
Магнитное поле на катоде отсутствует. При К = 0 (рис. 5.12, кривая 1 в
распределении индукции) равновесный радиус гс = гв при прочих равных условиях
получает наименьшее значение. Из теоремы Буша E.13) следует, что при Bct = 0 в
зоне однородности Вс = Вв все частицы потока независимо от их радиуса приобре-
приобретают угловую скорость в — г] Дв/2 = Сох, т.е. весь поток вращается как твердое тело
вокруг оси z.
-еЕр - сила расталкивания
Сила Лоренца
-evBB
V -азимутальая
скорость
Н-)вв
Рис. 5.13. Баланс сил в потоке
Бриллюэна
Анализ баланса сил показывает, что
В ЛЮб°Й Т°ЧКв П°Т°Ка НаПРаВЛеННаЯ К
центру сила Лоренца точно уравнове-
уравновешивает направленные от центра куло-
новскую и центробежную силы (рис.
5.13):
:——\-rnr (—7Г-) -еВвг
or V 2 / V
г] В в
= 0,
Отсюда dU/дг — 77 Вв г/4 и мы можем
найти распределение потенциала вну-
внутри пучка
-^4^- EЛ9)
Плотность заряда в потоке определяется из уравнения Пуассона
1 д ( dU\ еот] d2
р = —en - -^- г —- = BR = const.
в
E.20)
81

Чтобы найти распределение плотности тока, надо знать продольные скорости частиц
в потоке vz. Для любой частицы имеем
= 2г, ^/min + Щ^ - (г ^) = 2r?£/min = const, E.21)
т.е. все электроны потока имеют одинаковую скорость поступательного движения
vz = \j2rjUir^xw что и оправдывает появление £/mjn в уравнении E.14). Потенци-
Потенциал внутри потока изменяется по параболе E.19), но по мере отхода от оси растет
также линейная скорость вращения и энергия вращения точно компенсирует разни-
разницу между полной энергией (определяемой потенциалом) и энергией поступательного
движения.
Из постоянства плотности заряда р и поступательпой скорости vz следует также
постоянство плотности тока по сечению потока 8 = pvz = const. Полный ток в
потоке Бриллюэпа равен
3/2
/^ E.22)
В это выражение входит значение £/mjn которое нам неизвестно, и его необходимо
выразить через доступные прямому измерению величины.
Пусть поток Бриллюэна радиуса гд находится внутри трубы радиуса г0 > г в с
потенциалом Uo. Распределение потенциала внутри пучка дается формулой E.19).
Аналогично тому, как это сделано в конце разд. 5.2 (см. рис. 5.7), с помощью
теоремы Гаусса найдем распределение потенциала между пучком и трубой
r<ro) V»^^КЩы.
2 7Г €q л/2 Г] Vmin Г А Г
При г = г в выражение E.19) и последнее выражение должны совпадать, что позво-
позволяет найти ^'т]п в виде
Г°1
—J '
г в
и мы можем переписать выражение E.22) для тока через известные величины
г\
V2 8
E.24)
гв'
Так как и потенциал на оси E.23) и токE.24) зависят только от комбинации пере-
переменных С =: "Л В% гв/%; существует значение бриллюэновского поля, которое обеспе-
обеспечивает максимальный ток при заданных величинах Uo и г в- Дифференцируя E.24)
по £, находим
4
8 3 v
82

где Вв отвечает максимальному току. Допустим, что поток практически заполняет
трубу г в ~ го, тогда
^ ^f^ U»'2 = 2ЬЛ.Ю-ЧТ, E.25)
где при получении числовых величин использовались единицы: сантиметры, ам-
амперы, вольты, гауссы (см, А, В, Гс). Нам уже известно одно ограничение тока в
цилиндрическом потоке, вызванное образованием виртуального катода. Сравнивая
выражения E.12) и E.25), убеждаемся, что режим с максимальным током Бриллю-
эна наступает раньше и режим ВК этому не мешает. Заметим попутно, что при мак-
максимальном токе потенциал на оси Um-m = f/0/3 и вращательная скорость граничной
частицы в \/2 раз больше общей для всех частиц потока скорости поступательного
движения.
Итак, поток Бриллюэна в зоне однородного поля имеет следующие свойства:
1. Постоянный радиус г в = const
2. Аксиальная скорость частиц, плотность объемного заряда и плотность тока
одинаковы в любой точке потока.
3. Поток вращается как целое вокруг оси z с угловой скоростью в — г/ Вв/2
4. В каждой точке потока сила Лоренца точно компенсирует центробежную и
кулоновскую силы
5. На входе в зону однородного поля необходимо обеспечить условия
r(zc) = гв, r'(zc) = О
Кроме того, фазовый объем потока предполагается равным нулю и в нем отсут-
отсутствуют ионы остаточного газа.
Перечисленного достаточно, чтобы понять, что режим Бриллюэна нигде и нико-
никогда не мог быть получен. Реальные потоки всегда пульсируют и имеют поля выше
Вв- Вместе с тем, представление о потоке Бриллюэна и связанных с ним понятиях
оказывается весьма важным и полезным. Как указано в [6], оно играет примерно ту
же роль, что понятие идеального газа в термодинамике. Перейдем к рассмотрению
более реальных небриллюэновских потоков.
Поля выше бриллюэновских и частично экранированный катод. По-
Посмотрим, что будет с потоком, рассчитанным на бриллюэновское иоле В в, если его
поместить в более сильное поле Вс > Вв- Граничная частица пересечет больше чем
надо силовых линий, сила Лоренца окажется больше требуемой, и появятся пуль-
пульсации потока вокруг гьо < гв, но не превышающие г в- Поток в зоне однородности
станет пульсирующим, но все пульсации будут направлены внутрь пучка. Кроме то-
того, в более сильном магнитном поле стабильность потока возрастает и он становится
намного более устойчивым по сравнению с хрупким бриллюэновским режимом.
83

При наличии поля на катоде Bct ф 0 свойства потока заметно меняются. Особен-
Особенно эффективным оказывается случай так называемого магнитного сопровождения,
когда силовые линии магнитного поля в области катода пушки совпадают с траек-
траекториями электронов. При этом магнитное поле не действует на "правильные" элек-
электроны, но эффективно подавляет отклонившиеся вбок. Стабильность потока в зоне
пушки сильно возрастает. У входа в анод линза-диафрагма несколько расфокусиру-
расфокусирует поток, он пересечет силовые линии магнитного поля и приобретет азимутальные
скорости. При дальнейшем движении сила Лоренца растет, где-то она становится
равной центробежной и кулоновской силам. Если начиная с этого места сделать поле
однородным, то далее можно получить режим с постоянным радиусом E.18).
Предположим, имеются два потока с одинаковыми параметрами гю, /, (/rajn и
первый находится в режиме Бриллюэна, а второй — имеет поле на катоде Bct ф О,
К ф 0. Поле в однородной зоне у первого потока Вв, а у второго Вс — Вв/A — К) >
Вв. Если электроны обоих потоков получают одинаковые поперечные возмущения,
то в более сильном поле они будут подавлены более эффективно. При наличии поля
на катоде возрастает стабильность потока не только в зоне пушки, ио и в области
однородного поля.
Рассмотрим теперь некоторые особенности режимов с частично экранированным
катодом. Пусть поле в зоне однородности равно Вс = Вв вне зависимости от си-
ситуации на катоде. Из E.18) следует, что при прочих равных условиях отноше-
отношение равновесных радиусов в случаях отсутствия и наличия поля на катоде равно
г'в/гьо = 1 — К. Раскроем это равенство и умножим его на величину (тг Вс турJ = Ф^,
которая есть магнитное потокосцепление в однородной зоне:
где Фв = тгВсг\ — потокосцепление в однородной зоне в режиме Бриллюэна, а
фс4 = 7г Bct r2t — потокосцепление на катоде:
АФ = Фс*
\
Ф
В
+ -у ■ E.26)
Полученная величина АФ определяет ту долю потокосцепления, которую должна
обеспечить переходная зона.
Выше отмечалось, что для реализации рановесного режима необходимо в одно-
однородную зону (г = zc) войти с соблюдением условий R = 1, R' = 0 (см.E.15),E.16)).
Допустим, мы ошиблись и на самом деле при г = zc имеем R = I + Sq, R' = S'o, где обе
ошибки малы. Принимая в первом порядке 1/Д « 1 — 6, 1/R3 « 1 — 3 8 и линеаризуя
уравнение E.16), находим
, „ „ vl -f A') 8 = 0 -> 8(s) = Ao cos I \Ja
$v 2
84

Из выражения для Ао видно, что при К ф О амплитуда ощибки меньше, чем при
А' = 0.
Движение одной частицы в однородном магнитном поле Вс было рассмотрено
в примере 1 разд. 1.4. Там было показано, что циклотронная длина волны (шаг
ларморовской спирали) равна Ас = 2ttvz/loc = 4 тг y\Jj{\fTr\ Bc). Для потока, как
это следует из E.27), длина волны равна Хь = 2тг гьо/у2а A + К). Выражая r&0
через а из E.15) и деля на Ас, находим
Ас"
При К = 1 получаем Afe = Ас, а для потока Бриллюэна — К = 0 и Хь = \/2 Ас.
Угловая скорость частиц потока также может быть приближенно выражена через
параметр катодных уловий (см.E.13)):
17 ВД
1 -
В,
ct
B{z) \n
1 - v^ М
гь J
E.27)
Найдем угол 0д , на который провернется поток
за один период пульсации Aj,:
E.28)
Для потока Бриллюэна 0д = \/2 7г, (рис. 5.14).
Проведенное рассмотрение показывает, что сред-
средняя вращательная скорость электронов при ча-
частично экранированном катоде значительно мень-
меньше, чем в режиме Бриллюэна (рис. 5.15). На вра-
вращательную степень свободы приходится меньшая
доля энергии, вследствие провисания потенциала
поступательная скорость внутренних электронов
будет меньше, чем наружных и поток оказывает-
оказывается неламинарным.
Поток с магнитным полем на катоде (Bct ф 0) оказывается существенно более
стабильным чем поток Бриллюэна и обладает следующими свойствами:
Рис. 5.14. Проекция
электронной траектории на
плоскость г, в для потока
Бриллюэна {К = 0)
1. Выходящий из пушки электронный поток имеет резко очерченные границы
за счет подавления тепловых скоростей электронов магнитным полем Особенно
благоприятно сказывается магнитное сопровождение -- совмещение в пределах
пушки магнитных силовых линий с ходом траекторий электронов
2. Наличие поля на катоде делает прибор менее чувствительным к погрешно-
погрешностям величин питающих напряжений и сборки
85

3. Можно получить поток со значительной сходимостью при большой плотно-
плотности
4. Сформированный поток менее чувствителен к изменению пространственного
заряда, вызванного присутствием ионов
ЛГ=0.16, В/ВВ = 1.О9
А>0.36, 5/6^ = 1.25
Л>0.89, В/Вв --
h-в
Рис. 5.15. Проекции электронных траекторий на плоскость г, в для потоков с
частично экранированным катодом (К ф 0).
Эти преимущества оправдывают более сложный по сравнению с бриллюэновским
случаем расчет таких систем и более высокие магнитные поля. В аккуратных расче-
расчетах приходится также учитывать неламинарность потока и неравномерное распре-
распределение плотности тока по сечению пучка.
5.6. Интенсивный поток частиц с конечным эмиттансом в периодиче-
периодическом канале
В разд. 4.5 мы рассмотрели поведение потока низкой интенсивности в периоди-
периодическом канале и, в частности, проблему его согласования с каналом. В этом разде-
разделе решим аналогичную задачу в отношении интенсивного потока, что представляет
определенный практическия интерес.
Рассмотрим периодический слабофокусирующий канал, на вход которого посту-
поступает поток с током / и эмиттансом £г = -уг г2 + 2 аг г г' + А- г' . Уравнение для огиба-
огибающей такого потока при нулевом токе мы получили ранее в форме D.35). Добавив
86

к нему кулоновскую силу (для круглого пучка она найдена при выводе уравнения.
E.8)), получаем
0 @) ^ £@) = -ам/5 E.29)
V ^
где гь — огибающая пучка и J = I/ 1е ток в относительных единицах. Решение E.29)
с указанными начальными условиями может быть выполнено только численно и даст
в общем случае несогласованного потока непериодическую огибающую r(z).
Существует, как мы знаем, режим согласованного потока (см. разд. 4.5), когда
возможности канала используются максимально.
Будем считать набег фазы на период So малым (/j,q <S 1), тогда модуль функции
Флоке будет слабо отклоняться от постоянной (ро,тах & Ро min ~< Р° >)• Это позво-
позволяет провести рассмотрение в так называемом гладком приближении, т.е. усредняя
движение на каждом периоде структуры [5]. Уравнение траектории в этом прибли-
приближении имеет вид г"+ {ц0/SqJ г — О, а уравнение огибающей гь = R(\ +q), q{z + S0) =
q(z) <£. 1 низкоинтенсивного согласованного потока Sr = Аг позволяет получить
оценку силы фокусировки
R" А
где использовано равенство D.27) /io = /0S° dz/p2 — So/ < p2 >, а параметры канала
для низкоинтенсивного потока ("холодного" канала) снабжены нулевыми индекса-
индексами. Последняя оценка предполагает R" и 0.
Из уравнения для огибающей интенсивного пучка E.29) в гладком приближении
с учетом оценки E.30) можно найти максимальный пропускаемый каналом ток
с-2 \ оз з о:
R2 R2) 2 <pi>' v Vkri
где вместо эмиттанса и аксеитанса введены фазовый объем потока Vr = /3 7 Sr и про-
пропускная способность канала Vkr = (З'уЛг, соответственно. Заменяя размер огибаю-
огибающей R на радиус канала ао, несколько уточняя вычисления и переходя к размерным
единицам, получаем окончательно
/max
= Ie -тг-тг 1 - r-j- . E.31)
Эта зависимость /max = f(Vr) назывется пропускной характеристикой канала, она
приведена на рис. 5.16. Мы нашли эту характеристику, используя функции Флоке
холодного канала, что оказалось достаточно. Но чтобы реализовать режим /щах,
надо найти функции Флоке для канала с током. С этой целью вернемся от уравнения
для огибающей E.29) к модульному уравнению типа D.19) с помощью обратной
замены гь(г) = \/S^ a(z):
с" + Q(z)a - -3 - ^з^- = а" + Q(z)a - ~ - ^ —^ - = 0 , E.32)
а3 /537 tro v a3 Vr Jep I &
87

которое отличается от D.19) наличием члена с током. Периодическое (с периодом
структуры p(z + So) — p{z)) решение этого уравнения и будет функцией Флоке
нагруженного канала, по начальным значениям р@), р'{0) которой с помощью со-
соотношений D.37) выполняется согласование интенсивного потока. Процесс поиска
периодического решения уравнения D.19) оказывается чувствительным к выбору
начального значения функции p(z), и для ее нахождения удобно поступить следу-
следующим образом. Примем вначале ток пучка равным нулю и по описанной в разд.
4.5 регулярной процедуре найдем функцию Флоке po(z) холодного канала, которая
фигурирует в формуле E.31). Положив ток равным малой доле его истинного зна-
значения, найдем для него p(z) уже как периодическое решение D.19), которое должно
оказаться близким к pa{z). Постепенно увеличивая значение тока, приходим в кон-
конце концов к его окончательному значению и находим для него p(z), что позволяет
использовать фурмулы согласования D.37).
В последнем уравнении появился новый
параметр, с которым мы до сих пор
не сталкивались - фазовая плотность
тока Sph = I/Vr (единица измерения
мА/см-мрад). Ее важность стала по-
понятна только после того, как была по-
получена зависимость E.31): именно ве-
величина tgct = 8-ph определяет положе-
положение рабочей точки на пропускной ха-
1.0 Vrivkr рактеристике канала. Низкие значения
8ph (несколько десятков мА/см-мрад)
были причиной малых токов в ранних
Рис. 5.16. Зависимость максимального ускорителях протонов. Сегодня достиг-
тока канала от фазового объема
согласованного потока
нуты значения 5ph « 1000 мА/см-мрад
и фазовая плотность тока является
одной из важнейших характеристик эмиттера частиц. На практике оказалось до-
достаточно обеспечить условие Vr ~ \4Г/3, когда ток пучка приближается к 90% от
максимальной величины.
Для квадрупольного периодического канала мы ограничимся случаем равных
эмиттансов £х = £у = 8. Зависимость E.31) сохраняет свою силу, а функции Флоке
надо находить, рассматривая два связанных уравнения
1
= 0,
= 0.
E.33)
Функциями Флоке нагруженного канала являются периодические решения системы
E.33) px(z + SQ) = px(z), py(z + So) = Py{z), Для поиска которых также годится
описанная выше схема последовательных приближений.

Литература
1. Голдстейн Г. Классическая механика.— М.: Наука,1975. —• 416 с.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — 504 с.
3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисле-
исчисления. — М.: Высшая школа, 1966. ••- 252 с.
4. Кельман В.М., Явор С.Я.. Электронная оптика. -~ М.: Изд. АН СССР, 1963.
— 362 с.
5. Капчинский И.М.. Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика ча-
частиц. — М.: Атомиздат, 1982. — 310 с.
6. Алямовский И.В.. Электронные пучки и электронные пушки. —М.: Сов.Радио,
1966. — 456 с.
7. Зинченко II.С. Курс лекций по электронной оптике. —Харьков: Изд-во Харь-
Харьковского ун-та, 1961. 240 с.
8. Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю.. Движение заряженных частиц в электриче-
электрических и магнитных полях. — М.: Наука, 1972. 224 с.
9. Бенфорд А.. Транспортировка пучков заряженных частиц. - М. Атомиздат,
1969. 240 с.
89

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Поведение заряженных частиц в электромагнитном поле 4
1.1. Принцип наименьшего действия 4
1.2. Основные уравнения движения 6
1.3. Аналогия между движением заряженных частиц и распространением света .10
1.4. Движение частицы в однородных стационарных полях 12
Глава 2. Поля с аксиальной симметрией 18
2.1. Аксиально-симметричное электростатическое поле 18
2.2. Аксиально-симметричное магнитное поле 20
2.3. Уравнения движения и теорема Буша 22
2.4. Параксиальные уравнения движения 24
2.5. Релятивистский случай 27
2.6. Слабонеоднородное магнитное поле. Ловушка Будкера 28
Глава 3. Элементы фокусирующих систем и их свойства 32
3.1. Электростатические линзы и зеркала 32
3.2. Магнитные линзы 37
3.3. Параболическая линза Будкера 38
3.4. Аберрации линз с симметрией вращения 40
3.5. Квадрупольные линзы 42
Глава 4. Формирование потоков невзаимодействующих частиц 50
4.1. Теорема Лиувилля 50
4.2. Поперечный фазовый объем и проблема согласования потока 53
4.3. Движение частицы в периодических полях 56
4.4. Уравнение Хилла и функции Флоке 69
4.5. Поток частиц в периодическом канале 64
4.6. Параметры Твисса. Эффективный эмиттанс потока 66
Глава 5. Формирование потоков взаимодействующих частиц 68
5.1. Основные соотношения. Закон трех вторых 68
5.2. Действие сил пространственного заряда 70
5.3. Расплывание интенсивных потоков в свободном пространстве 72
5.4. Образование виртуальных катодов и предельный ток 75
5.5. Формирование интенсивных потоков магнитным полем 79
5.6. Интенсивный поток с конечным эмиттансом в периодическом канале 86
Литература 89
90

Министерство образования Российской Федерации
Новосибирский государственный технический университет
В.В. ВЕЧЕСЛАВОВ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ
Учебное пособие
Работа подготовлена на кафедре
электрофизических установок и ускорителей
Рецензенты Д.В. Пестриков, д-р физ.-мат, проф.
Е.Б. Левичев, канд. физ.-мат. наук, доц.
Редактор Т.П. Петроченко
Подписано в печать 9.12.2002 г.
Формат 60x90 1/16 Объем 5.7 печ.л., 3.8 уч.-изд.л.