/
Author: Фукс Д.Б. Рохлин В.А.
Tags: математика математический анализ геометрия высшая математика топология
Year: 1977
Text
ВА.Рохлин, Д.Б. Фукс
НАЧАЛЬНЫЙ КУРС ТОПОЛОГИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГЛАВЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1977
Книга возникла из лекционных курсов, читавшихся авторами в Ленинградском
и Московском университетах и содержавших систематическое изложение основ
современной топологии. Она охватывает следующие разделы этих курсов: основы
общей топологии, симплициальные и клеточные пространства, элементарную
часть дифференциальной топологии, расслоения и гомотопические группы.
Книга рассчитана на студентов-математиков и -физиков университетов и
пединститутов, а также на аспирантов и научных работников в области
математики и смежных областях.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Теоретико-множественные термины и обозначения, употребляемые в этой 9
книге, но не являющиеся общепринятыми
ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия 13
1. Топология A3). 2. Метрика A6). 3. Подпространства A7). 4.
Непрерывные отображения A9) 5. Аксиомы отделимости B3). 6.
Аксиомы счетности B6). 7. Компактность B8).
§ 2. Конструкции 33
1. Суммы C3). 2. Произведения C3). 3. Факторизация C7). 4.
Склеивание D0). 5. Проективные пространства D4). 6. Более
специальные конструкции D7). 7. Пространства непрерывных
отображений E1). 8. Случай пространств с отмеченной точкой E4). 9.
Упражнения E9).
§ 3. Гомотопии 60
1. Общие определения F0). 2. Пути F4). 3. Связность и А-связ-ность
F5). 4. Локальные свойства F9). 5. Пары Борсука G0). 6. Корсы G3).
7. Гомотопические свойства топологических конструкций G5). 8.
Упражнения (81).
ГЛАВА 2
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Клеточные пространства и их топологические свойства 82
1. Основные понятия (82). 2. Склеивание клеточных пространств из
шаров (87). 3. Канонические клеточные разбиения сфер, шаров и
проективных пространств (88). 4. Дальнейшие топологические
свойства клеточных пространств (89). 5. Клеточные конструкции (94).
6. Упражнения (98).
§ 2. Симплициальные пространства 98
1. Евклидовы симплексы (98), 2. Симплициальные пространства и
симплициальные отображения A01). 3. Симплициальные схемы A04).
4. Полиэдры A06). 5. Симплициальные конструкции A07). 6. Звезды.
Линки. Регулярные окрестности A13). 7. Симплициальная
аппроксимация непрерывного отображения A17), 8. Упражнения
A18),
§ 3. Гомотопические свойства клеточных пространств 119
1. Клеточные пары A19). 2. Клеточная аппроксимация непрерывного
отображения A21). 3. Клеточные ^-связные пары A25). 4.
Симплициальная аппроксимация клеточных пространств A29). 5.
Упражнения A30).
ГЛАВА 3
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Основные понятия 131
1. Топологические многообразия A31). 2. Дифференциальные
структуры A39). 3. Ориентации A48). 4. Многообразия касательных
векторов A53). 5. Вложения, погружения и субмерсии A59). 6.
Комплексные структуры A63). 7. Упражнения A68).
§ 2. Многообразия Штифеля и Грассмана 168
1. Многообразия Штифеля A68). 2. Многообразия Грассмана A74). 3.
Некоторые многообразия Штифеля и Грассмана малых размерностей
A81). 4. Упражнения A82).
§ 3. Отступление: три теоремы анализа 183
1. Аппроксимация функций многочленами A83). 2. Особые
значенияA86). 3. Невырожденные критические точки A90).
§ 4. Вложения. Погружения. Сглаживания. Аппроксимации 193
1. Пространства гладких отображений A93). 2. Простейшие теоремы
вложения A96). 3. Трансверсализации и трубки A97). 4. Сглаживание
отображений в замкнутом случае B00). 5. Гладкое склеивание
многообразий B03). 6. Сглаживание отображений при наличии края
B08). 7. Приведение отображений в общее положение B13). 8.
Отображения, трансверсальные к подмногообразию B18). 9.
Повышение класса гладкости многообразия B21). 10. Аппроксимация
отображений вложениями и погружениями B26). 11. Упражнения
B29).
§ 5. Простейшие структурные теоремы 231
1. Функции Морса B31). 2. Кобордизмы и хирургия B35). 3.
Двумерные многообразия B45). 4. Упражнения B53).
ГЛАВА 4
РАССЛОЕНИЯ
§ 1. Расслоения без групповой структуры 254
1. Общие определения B54). 2. Локально тривиальные расслоения
B56). 3. Рацслоения Серра B58). 4. Расслоения пространств
отображений B81). 5. Упражнения B64)-.
§ 2. Отступление: топологические группы и группы преобразований 264
1. Топологические группы B64). 2. Группы гомеоморфизмов B69). 3.
Действие B72). 4. Упражнения B83).
§ 3. Расслоения с групповой структурой 283
1. Пространства с F-структурой B83). 2. Расслоения Стинрода B85).
3. Ассоциированные расслоения B90). 4. Расслоения Эресмана —
Фельдбау B94). 5. Упражнения B96).
§ 4. Классификация расслоений Стинрода 297
1. Расслоения Стинрода и гомотопии B97). 2. Универсальные
расслоения C01). 3. Расслоение Милнора C04). 4. Сужение
структурной группы C07). 5. Упражнения C08).
§ 5. Векторные расслоения 308
1. Общие определения C08). 2. Конструкции C15). 3. Классические
универсальные векторные расслоения C21). 4. Важнейшие сужения
структурной группы C27). 5. Упражнения C29).
§ 6. Гладкие расслоения 330
1. Основные понятия C30). 2. Сглаживания и аппроксимации C33). 3.
Гладкие векторные расслоения C37). 4. Касательные и нормальные
расслоения C43). 5. Степени C48). 6. Упражнения C55).
ГЛАВА 5
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 1. Общая теория 357
1. Абсолютные гомотопические группы C57). 2. Отступление:
ансамбли C61). 3. Ансамбли гомотопических групп топологического
пространства C63). 4. Относительные гомотопические группы C67).
5. Отступление: последовательности групп и гомоморфизмов и п-
последовательности C72). 6. Гомотопическая последовательность
пары C79). 7. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения
Серра C83). 8. Гомотопическая последовательность расслоения Серра
C86). 9. Воздействие других структур C91). 10. Другие описания
гомотопических групп C96). 11. Аддиционные теоремы D00). 12.
Упражнения D02).
§ 2. Гомотопические группы сфер и классических многообразий 403
1. Надстройка в гомотопических группах сфер D03). 2. Простейшие
гомотопические группы сфер D08). 3. Композиционное умножение
D12). 4. Информация: гомотопические группы сфер D14). 5.
Гомотопические группы проективных пространств и линз D16). 6.
Гомотопические группы классических групп D18). 7. Гомотопические
группы многообразий и пространств Щтифеля D19). 8.
Гомотопические группы многообразий и пространств Грассмана
D20). 9. Упражнения D21).
§ 3. Гомотопические группы клеточных пространств 422
1. Гомотопические группы одномерного клеточного пространства
D22). 2. Эффект приклеивания шаров D23). 3. Фундаментальная
группа клеточного пространства D25). 4. Гомотопические группы
компактных поверхностей D28). 5. Гомотопические группы букетов
D30). 6. Гомотопические группы ^-связной клеточной пары D32). 7.
Пространство с заданными гомотопическими группами D35). 8.
Восемь поучительных примеров D36). 9. Упражнения D38).
§ 4. Слабая гомотопическая эквивалентность 439
1. Основные понятия D39). 2. Отношение к конструкциям D44). 3.
Клеточная аппроксимация топологического пространства D48). 4.
Упражнения D53). -.-'.-
§ 5. уУмножение Уайтхеда : 454
1. Класс wd (m, п) D54). 2. Определение и простейшие свойства
произведения Уайтхеда D57). 3. Применения D59). 4. Упражнения
D61 ).
§ 6. Продолжение теории расслоений 461
1. Слабая гомотопическая эквивалентность и расслоения
СтинродаD61). 2. Теория накрытий D63). 3. Ориентации D72). 4.
Некоторые расслоения над сферами D74). 5. Упражнения D75).
Цитированная литература 478
Указатель терминов 479
Указатель обозначений 486
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Аксиомы счетности 26
Аналитическое многообразие 14
— отображение 143
Ансамбль гомотопических групп,
364, 369
слоев верхний 385
нижний 385
тотального пространства
нижний 395
групп 361
— индуцированный 362
— канонический простой 363
— простой 363
Аппроксимация клеточная 121, 448
— симплициальная 117, 129
Ассоциированное расслоение
291
— сечение 256, 293
Атлас 140
— голоморфный 165
— полный 140
База 14, 254
— в точке 15
Барицентрические координаты 99
Барицентрическое подразделение 108
Биголоморфное отображение 163,
165
Бинарная группа додекаэдра или
икосаэдра 282
куба или октаэдра 282
тетраэдра 282
Борсука пара 70
Букет 55
Бутылка Клейна 247
Бэра пространство 213
Ван Кампена подгруппа
426
Вектор касательный 154
Векторное поле 157, 315
нулевое 315
— расслоение вещественное 309
комплексное 313
ориентированное 311
Верхнее многообразие Грассмана 175
— пространство Грассмана 321
Верхний ансамбль гомотопических
групп слоев 385
Вершина евклидова симплекса
98
— конуса 48, 56
— надстройки 48, 56
Вещественное векторное расслоение
309
(ЕГ-расслоение 337
— проективное пространство 45, 47
Взаимно однозначный фактор 11
Вложение голоморфное 166
— дифференциальное 159
— клеточное 87
— правильное 159
— топологическое 22
Внешняя точка 14
Внутреннее действие 274
Внутренность 14
Внутренняя точка 14, 131, 141
— часть 14, 131, 141
Всюду плотное множество 14
Выделяемое множество 23
Главное расслоение 289
Гладкое многообразие 147
— отображение 143
Голоморфное вложение 166
— отображение 163,165
Голоморфность 348
Голоморфный атлас 165
Гомеоморфизм 21
— отмеченный (F-структуры) .284
Гомоморфизм ансамбля в ансамбль
362
— индуцированный непрерывным
отображением 361, 367
— присоединенный к действию 272
— топологической группы в
топологическую группу 266
Гомотопическая группа 358
относительная 367
— последовательность главного
расслоения 396
пары 380
расслоения 388
тройки 383
— эквивалентность 62
слабая 439, 443, 461
Гомотопический класс 61
— тип 62
Гомотопия 60
— обратная (другой гомотопии) 60
постоянная 60
— прямолинейная 61
— свободная 61, 363
— связанная 61
— слоистая 383
Граница 14
— сфероида 368
Граничная точка 14
Грань 98
Грассмана многообразие 174
верхнее 175
кватернионное 180
комплексное 179
некомпактное 181
— пространство 321
верхнее 321
комплексное 321
— расслоение 324
Грассмана — Плюккера координаты
179
Группа гомотопическая 358
относительная 367
— додекаэдра или икосаэдра 282
бинарная 282
— куба или октаэдра 282
бинарная 282
— накрытия 464
— ортогональная 271
— полная линейная 271
Группа симплектическая 271
— специальная ортогональная 271
унитарная 271
— стабильная 408
— структурная 286
— тетраэдра 282
бинарная 282
— топологическая 264
— унитарная 271
— фундаментальная 359
Групповое действие 274
Действие 272
— групповое 274
— индуцированное 273
— левое 273
внутреннее 274
каноническое 274
— непрерывное .275
— правое 273
внутреннее 274
каноническое 274
— сопряженное 274
— топологически эффективное 294
— транзитивное 272
— эффективное 272
Деформационная ретракция
63
Деформационный ретракт 63
Джойн 48, 56
— клеточный 97
— симплициальный 112
Диагональ 12
Диагональное отображение 12
Диаметр 17
Дискретная топология 13
Диффеоморфизм 139, 144
— обращающий ориентацию 151
— сохраняющий ориентацию
151
Дифференциал 156
Дифференциальная структура
140
Дифференциальное вложение
159
— многообразие 147
Додекаэдра или икосаэдра группа 282
бинарная 282
Дополнение ортогональное
(подрасслоения) 317
Евклидов симплекс 98
упорядоченный 99
Евклидова метрика (в векторном
расслоении) 311
Евклидово расслоение 310
ориентированное 311
— (ЕГ-расслоение 337
Единицы компонента 265
Единичный симплекс 100
Замкнутая клетка 82
Замкнутое многообразие 135,
147
— множество 13
— отображение 20
— покрытие 16
— разбиение 39
Замкнутый путь 64
Замыкание 11
Звезда 113
— барицентрическая 116
— открытая 113
Значение критическое 161
Изоморфизм расслоений 255
Иммерсия 159
Инвариантное множество 273
Индекс критической точки 190,
232
— перестройки 244
— пристройки 243
— стандартного элементарного
кобордизма 235
— элементарного кобордизма 238
Индуктивно склеенное клеточное
пространство 88
Индуцированное действие 273
— расслоение 265
Индуцированный ансамбль
362
— гомоморфизм 361, 367
Кайма 203
Канонический простой ансамбль
363
Карта 140
— комплексная 164
Касательное расслоение 344
Касательный вектор 154
Кватернионное многообразие
Грассмана 180
Штифеля 172
— проективное пространство
46,47
Класс гомотопический 61
—^-гомотопический 61
Классифицирующее пространство
303
Клейна бутылка 247
Клетка 82
— замкнутая 82
Клеточная аппроксимация 121, 448
— пара 85
— топология 83
— триада 85
— тройка 85
— эквивалентность 87
Клеточное вложение 87
— ослабление топологии 83
— отображение 86
— произведение 95
— пространство 83
индуктивно склеенное 88
— разбиение 82
оснащенное 82
— тензорное произведение
97
Клеточный джойн 97
Кобордизм 231
— стандартный тривиальный 235
элементарный 235
— тривиальный 238
— элементарный 238
Компактно открытая топология
51
Компактное пространство 28
Комплекснфикация 320
Комплескная карта 164
— оболочка (расслоения) 320
— структура 165
Комплексное векторное расслоение
313
/-расслоение 337
— многообразие 165
Грассмана 179
Штифеля 171
— проективное пространство 45, 47
— пространство Грассмана 321
Компонента (топологического
пространства) 66
— единицы 265
Конус 47, 56
— отображения 50
Координаты барицентрические 99
— Грассмана — Плюккера 179
— локальные 141
— однородные 45, 46
Коразмерность 145
Короткая последовательность 373
Корректирующее отображение 256
Коре 74
Краевая точка 131, 141
Край 131,141
Крендель 247
Критическая точка 190
невырожденная 190
Критическое значение 161
Круг с вывернутой ручкой
247
Куба или октаэдра группа 282
бинарная 282
Левое внутреннее действие 274
— действие 273
— каноническое действие
274
Лента Мебиуса 246
Линза 281
Линк 114
— барицентрический 116
Локально евклидово пространство
131
— компактное пространство 32
— конечное покрытие 16
— связное пространство 69
— стягиваемое пространство 69
— тривиальное расслоение 255
Локальное представление
отображения 143
Локальные координаты 141
Мебиуса лента 246
Метризуемое пространство
17
Метрика 16
— евклидова (в векторном
расслоении) 311
— риманова 345
Метрическая окрестность
17
— топология 17
Метрическое пространство 16
Микроодносвязное
пространство 468
Милнора расслоение 304
Многообразие 135
— аналитическое 147
— гладкое 147
— Грассмана 174
верхнее 175
кватернионное 180
комплексное 179
некомпактное 181
— дифференциальное 147
— замкнутое 135, 147
— касательных векторов тотальное
155
— класса (ЗГ147
— комплексного происхождения 168
— комплексное 165
— ориентированное 149
— открытое 135
— параллелизуемое 157
— стабильно параллелизуемое 344
— топологическое 135
— Штифеля 169
вещественное 169
кватернионное 172
комплексное 171
некомпактное 173
Множество всюду плотное 14
— выделяемое 23
— замкнутое 13
— инвариантное 273
— насыщенное 11
— нигде не плотное 14
— ограниченное 17
— открытое 13
— плотное 14
Модельные поверхности 247
Морса функция 232
правильная 232
стандартная 235
Надстройка 48, 56, 319, 403
Накрывающее отображение 258
— пространство 257
Накрытие 257
— в узком смысле 257
широком смысле 257
— ориентирующее 474
—' подчиненное 464
— регулярное 467
— универсальное 469
Насыщение 11
Насыщенное множество 11
Некомпактное многообразие
Грассмана 181
Штифеля 173
Непрерывное действие
275
— отображение 19
Неравенство треугольника 16
Неэффективности ядро 272
Нигде не плотное множество 14
Нижний ансамбль гомотопических
групп слоев 385
тотального пространства
395
Нормальная трансверсализация 198
— ^-трансверсализация 334
Нормальное пространство 23
— расслоение 345
Носитель карты 140
— топологического симплекса 100
Оболочка комплексная (расслоения)
320
Образующая джойна 48
— конуса 47, 56
— надстройки 48
— цилиндра отображения 50
Обратный путь 64
— сфероид 357
Объединение (топологических
пространств) 41
Овеществление 313
Ограниченное множество 17
Однородное пространство
277
Однородные координаты 45,
46
Односвязное пространство
68
Окаймление 203
— двустороннее 205
Окрестностный ретракт 73
Окрестность 13, 14
— метрическая 17
— правильная 119
— регулярная 116
Орбита 272
Ориентация 149,312
Ориентированное векторное
расслоение 311
— евклидово расслоение 311
— многообразие 149
Ориентирующее накрытие 474
Ортогональная группа 271
Ортогональное дополнение
(подрасслоения) 317
Ослабление топологии
клеточное 83
Оснащенное клеточное
разбиение 82
Основание джойна 48
— конуса 47
—~ надстройки 48
— цилиндра отображения 50
Остов 85
Открытая звезда 113
— трубка 198
Открытое многообразие 135
— множество 13
— отображение 20
— покрытие 16
— разбиение 40
Открытый шар 16
Отмеченный гомеоморфизм (F-
структуры) 284
Относительная гомотопическая
группа 367
— топология 17
Отображение аналитическое 143
— биголоморфное 163, 165
— гладкое 143
— голоморфное 163, 165
— гомотопически обратное (другому
отображению) 62
— диагональное 12
— замкнутое 20
— класса (ЭГ139, 143
— клеточное 86
— корректирующее 256
— линейное (векторного расслоения
в векторное расслоение) 314
— накрывающее 258
— непрерывное 19
в точке 20
— открытое 20
— послойное 255
— приклеивающее 85
— присоединенное 255
— расслоения в расслоение 254
— симплициальное 99, 104
монотонное 104
— тангенциальное 345
— трансверсальное 215
— факторное 38
— характеристическое 82
симплициальное 103
тотальное 82
— Хопфа 47
Пара Борсука 70
— клеточная 85
— простая 369
— топологическая 18
— ^-связная 68
— г-простая 369
Паракомпактное пространство 33
Параллелизуемое многообразие 157
Перенос 362
Перестройка 244
Петля 64
Плотное множество 14
Поверхности модельные 247
Погружение 40, 159
Подгруппа ван Кампена 426
— стационарная 275
Подпространство 18, 85, 103,
144, 276
— полное 103
— правильное 145
Подразделение барицентрическое
108
Подрасслоение 316
Подсхема 105
Подчинение 464
Подчиненное накрытие 464
Покрытие замкнутое 16
~ локально конечное 16
открытое 16
— фундаментальнее 18
Поле векторное 157, 315
нулевое 315
— реперное 315
Полиэдр 106
Полная линейная группа 271
Полное подпространство 103
Последовательность гомотопическая
главного расслоения 396
пары 380
расслоения 388
тройки 383
— групп и гомоморфизмов 372
— короткая 373
— расщепляющаяся 373
— точная 372
Послойное отображение 235
Правильная окрестность 119
— трубка 198
Правильное вложение 159
— индуцирование 331
— подпространство 145
Правое внутреннее действие 274
— действие 273
— каноническое действие 274
— G-пространство 273
Предбаза 15
— в точке 15
Предел 42, 43
Приклеивание 44
Приклеивающее отображение
85
Прикосновения точка 14
Присоединенное отображение
255
— расслоение 263
Пристройка 243
Проективная плоскость Кэли 46
Проективное пространство
вещественное 45, 47
кватернионное 46, 47
комплексное 46, 47
Проекция 10, 12, 254
Произведение гомотопий
60
— действий 273
— клеточное 95
— ориентации 152
— отображений 12
— прямое (топологических групп)
267
— путей 64
— расслоений 254
— симплициальное 109
— сфероидов 357
— тензорное 55
клеточное 97
— топологических пространств 34
— Уайтхеда 457
Простое пространство 365
Простой ансамбль 363
Пространство Бэра 213
— Грассмана321
верхнее 321
комплексное 321
— групповое 264
— классифицирующее 303
— клеточное 83
— компактное 28
— локально евклидово 131
компактное 32
связное 69
в точке 69
стягиваемое 69
в точке 69
— метризуемое 17
— метрическое 16
— микроодносвязное 468
— накрывающее 257
— нормальное 23
— однородное 277
— односвязное 68
— орбит 276
— паракомпактное 33
— проективное вещественное 45, 47
Пространство проективное
кватернионное 46, 47
комплексное 46, 47
— простое 365
— регулярное 23
риманово 345
— связное 65
— сепарабельное 26
— сильно локально стягиваемое 69
в точке 69
— симллициальное 101
упорядоченное 102
— стягиваемое 62
— топологическое 13
— тотальное (расслоения) 254
— хаусдорфово 23
— Штифеля 326
— ^-связное 67
— г-простое 365
Прямое произведение
(топологических групп) 267
Прямолинейная гомотопия
61
Путь 64
— замкнутый 64
— обратный (другому пути) 64
Разбиение замкнутое 39
— клеточное 82
оснащенное 82
— открытое 40
Расслоение 254
— ассоциированное 291
— векторное вещественное
309
комплексное 313
— главное 289
— гладкое 330
— Грассмана 324
— евклидово 3 ГО
— индуцированное 255
— касательное 344
— класса (ЗГ 330
— локально (топологически)
тривиальное 256
— Мил нора 304
— нормальное 345
— ориентированное векторное 311
евклидово 311
— присоединенное 263
— Серра 258
— слабо ассоциированное 293
— сопряженное 313
— стандартное тривиальное 256
— Стинрода 286
— (топологически) тривиальное 256
— универсальное 302
— Хопфа332
— Эресмана — Фельдбау 294
— эомитово 313
— ^-универсальное 304
Расстояние 16,17
Расширение группы 273, 287
Расщепляющаяся
последовательность 373
— тт-последовательность 377
Регулярная окрестность 116
Регулярное накрытие 467
— пространство 23
Реперное поле 315
Ретракт 22
— деформационный 63
— окрестностный 73
— строгий деформационный
63
Ретракция 22
— деформационная 62
— строгая деформационная 62
Римансдеа метрика 345
Риманово пространство
345
Свободная гомотопия 61, 363
Связанная гомотопия 61
Связное пространство 65
Сепарабельное пространство
26
Серра расслоение 258
— условие 258
усиленное 261
Сечение 254
— ассоциированное 256, 293
Сильно локально стягиваемое
пространство 69
Симплекс евклидов 98
упорядоченный 99
— единичный 100
— топологический 100
упорядоченный 100
Симплектическая группа 271
Симплициальная аппроксимация 117,
129
— схема 104
симплициального пространства
105
упорядоченная 106
Симплициальное отображение 99,
104
монотонное 104
— произведение 109
— пространство 101
упорядоченное 102
— характеристическое
отображение 103
Симплициальный джойн 112
— цилиндр отображения 112
Склеивание 40
Слабая гомотопическая
эквивалентность 439, 443, 461
— топология 83
Слабо ассоциированное расслоение
293
Слоистая гомотопия 383
Слой 34, 254
— стандартный 285
Сокращение отображения 10
Сопряженное расслоение 313
Специальная ортогональная
группа 271
— унитарная группа 271
Стабильная группа (гомотопическая)
408
— эквивалентность (расслоений) 317
Стабильно параллелизуемое
многообразие 344
— тривиальное расслоение 318
Стандартная функция Морса 243
Стандартное тривиальное расслоение
250
Стандартный слой 285
— тривиальный кобордизм 243 •
— элементарный кобордизм
243
Стационарная подгруппа 275
Степень отображения 348
в точке 348
Стинрода расслоение 286
Строгая деформационная ретракция
63
Строгий деформационный ретракт 63
Структурная группа 285
Стягиваемое пространство 62
Субмерсия 161
Сужение группы 273, 307
— расслоения 254
Сумма множеств П
— отображений 11
— расслоений 318
— топологических пространств
33
Сфера 16
— с пленками и дырами 247
— с ручками и дырами 247
Сфероид 357, 367
— обратный (другому сфероиду) 357
— фундаментальный (сферы или
шара) 396
Схема Симплициальная 104
Счетности аксиомы 26
Тангенциальное отображение
344
Тензорное произведение 55
клеточное 97
Тетраэдра группа 282
бинарная 282
Тип гомотопический 62
Топологическая группа
264
— пара 16
— тройка 18
Топологически тривиальное
расслоение 256
— эффективное действие
294
Топологическое вложение 22
— многообразие 135
— пространство 13
Топология 13
— дискретная 13
— клеточная 83
— компактно-открытая 151
— метрическая 17
— относительная 17
— слабая 83
— тривиальная 13
Тор 247
Тотальное многообразие касательных
векторов 155
— пространство (расслоения) 254
— характеристическое
отображение 82
Точка 13
— внешняя 14
— внутренняя 14, 131, 141
— граничная 14
— краевая 131, 141
— критическая 190
невырожденная 190
— прикосновения 14
Точная последовательность 372
— тт-последовательность 376
Транзитивное действие 272
Трансверсализация 198
— нормальная 198
Трансверсальное отображение
215,218
Треугольника неравенство 16
Триада 19
— клеточная 85
Триангуляция 101
Тривиализация (расслоения)
256
Тривиальная топология 13
Тривиальное расслоение 256
стандартное 256
Тривиальный кобордизм 238
стандратный 235
Тройка клеточная 85
— топологическая 18
Трубка 198
— открытая 198
— правильная 198
Уайтхеда произведение 455
Удвоение 135, 205
Универсальное накрытие 469
— расслоение 302
Унитарная группа 271
Упорядоченная симплициальная
схема 106
Упорядоченное симплициальное
пространство 102
Упорядоченный евклидов симплекс
99
— топологический симплекс
100
Урысона функция 25
Условие Серра 258
усиленное 261
Фактор взаимно однозначный
11
Факторное отображение 38
Факторпространство 37, 265
Факторрасслоение 317
Фактортопология 37
Фильтрация 43
Фундаментальное покрытие 18
Фундаментальный сфероид 396
Функции, независимые в точке
145
Функция Морса 232
правильная 232
стандартная 235
— Урысона 25
Характеристическое отображение 82
симплициальное 103
тотальное 82
Характеристический
гомеоморфизм 100
Хаусдорфово пространство 23
Хопфа отображение 47
— расслоение 332
Центр букета 55
— джойна (пространств с
отмеченными точками) 56
— евклидова симплекса 99
— тензорного произведения
55
Цилиндр 34
— отображения 50
симплициальный 112
Число листов накрытия 257
Шар 16
— открытый 16
Штифеля многообразие 169
кватернионное 172
комплексное 171
некомпактное 172
— пространство 326
Эквивалентность гомотопическая 62
слабая 439, 443, 461
— клеточная 87
— расслоений 255
стабильная 317
Элементарный кобордизм
238
стандартный 235
Эресмана — Фельдбау расслоение
294
Эрмитово расслоение 313
— (ЭГ -расслоение 337
Эффективизация 272
Эффективное действие
272
— (ЭГ -пространство 275
Ядро неэффективности 272
>4-гомотопия 61
(ЭГ -атлас 140
(ЭГ -вложение 159
(ЭГ -изоморфизм 331
(ЭГ -многообразие 147
(ЭГ -отображение 139, 331
ОТ -подпространство 145
(ЭГ -пространство 140.
(ЭГ -расслоение 330
— вещественное векторное 337
— евклидово 337
— комплексное векторное 337
— эрмитово 337
(ЭГ -структура 140
(ЭГ -топология 193
(ЭГ -эквивалентность 331
е~г -пространство 141
G"r -расслоение 330
F-изоморфизм 2S5, 286
F-отображение 284
F-расслоениё 286
— в слабом смысле 285
— локально F-тривиальное 286
— F-тривиальное 286
G-отображение 273, 276
G-пространство 275
— правое 273
G-пространство эффективное
275
G-структура 284
G-эквивалентность 286
Я-пространство 393
^-связная пара 68
^-связное пространство 67
^-универсальное расслоение
304
^-эквивалентность 442, 461
r-простое пространство 363
PF-F-изоморфизм 286
PF-F-отображение 285
PF-F-расслоение 285
PF-F-эквивалентность 286
у-отображение 273, 276
%-трансверсализация 334
— нормальная 334
тт-последовательность 376
— расщепляющаяся 377
— точная 376
ф-базис (касательного, пространства)
154
ф-координаты (касательного вектора)
154
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой обработку части большого
лекционного курса, который мы читали в нескольких вариантах
в Ленинградском и Московском университетах. В курсе изла-
излагались начала основных разделов топологии: теории гомологии,
теории гомотопий, теории расслоений и топологии многообразий.
Рамки курса довольно точно, определялись установившимся тер-
термином элементарная топология, главное значение которого
состоит в том, что применяемый аппарат не слишком сложен.
В.книгу вошли те главы курса, в которых алгебра играет
подчиненную роль. Более алгебраизированные части курса мы
предполагаем опубликовать в виде отдельной книги.
Переработка лекций в книгу оказалась связанной с обыч-
обычными в таких случаях приобретениями и потерями: тщательность
изложения повысилась в ущерб наглядности, геометрические
описания заменились формулами, требующими расшифровки,
и т. п. Все же нам кажется, что книга сохранила главные каче-
качества нашего лекционного курса: его элементарность, система-
систематичность и учебный характер. Предполагаемая подготовка
читателя ограничивается стандартными сведениями из теории
множеств, алгебры и анализа, которыми студенты-математики
овладевают за первые полтора года обучения. Изложение со-
сопровождается примерами и упражнениями. Мы надеемся, что
книга сможет служить учебником топологии.
Наиболее существенное отличие книги от соответствующей
части нашего лекционного курса заключается в расположении
материала: в книге он излагается значительно более последо-
последовательно. По нашим наблюдениям слишком последовательное
лекционное изложение элементарной топологии скучновато и
менее эффективно, чем перемешивание геометрии с алгеброй
и с приложениями. Это замечание кажется нам уместным как
предостережение преподавателю, который пожелал бы восполь-
воспользоваться нашей книгой как руководством. Впрочем, и читать ее
совсем не обязательно подряд; читатель, который захочет по-
поскорее добраться до гомотопических групп или любой другой
главы, легко сможет это сделать. *
g ПРЕДИСЛОВИЕ
В терминологии и обозначениях мы старались придерживаться
имеющихся стандартов и позволили себе лишь несколько давно
назревших реформ. Например, у нас нет «симплициальных
комплексов» и «CW-комплексов», а есть симплициальные про-
пространства и клеточные пространства; нет «корасслоений», а есть
пары Борсука; нет «косых произведений», а есть расслоения
Стинрода. Один термин мы даже употребляем в необщеприня-
необщепринятом значении: у нас связность означает то, что обычно назы-
называют линейной связностью (то, что обычно называют связностью,
у нас никак не называется). Далее, мы избегали нестандарт-
нестандартных обозначений для стандартных объектов. Впрочем, в боль-
большинстве случаев наши обозначения являются просто сокра-
сокращениями соответствующих терминов и понятны сами собой;
например, рг есть проекция, in — включение, dim — размер-
размерность, ske —остов, bs — база и т. п.
Топология нуждается в очень точном теоретико-множест-
теоретико-множественном языке, что заставило нас уделить этому языку особое
внимание: см. стр. 9 — 12. Подчеркнем, что там помещен только
перечень терминов и обозначений и что сам предмет предпо-
предполагается известным.
Сведений, относящихся к истории топологии, в книге очень
мало. Мы не стали та^же следовать традиции, согласно кото-
которой некоторым теоремам присваиваются имена их действитель-
действительных или мнимых авторов. Зато мы охотно пользуемся именами
тШгологов в терминологии и обозначениях.
Организация текста и система ссылок могут быть кратко
описаны следующим образом. Каждая глава разбита на пара-
параграфы, параграфы разбиты на пункты, пункты — на подпункты.
У глав, параграфов и пунктов есть номера и названия, у под-
подпунктов — только номера; иногда несколько подпунктов одного
пункта снабжаются общим заголовком. Факты, сообщаемые
без доказательства, называются информацией и отделяются этим
словом от остального текста. При ссылках на параграф, пункт
или подпункт той же главы указание на эту главу опускается,
и подобным же образом сокращаются ссылки внутри парагра-
параграфов и пунктов. Примеры: записи § 1.2 (параграф 2 главы 1),
п. 1.2.3. (пункт 3 параграфа 2 главы 1) и 1.2.3.4 (подпункт 4
пункта 3 параграфа 2 главы 1) сокращаются в главе 1 до § 2,
п. 2.3 и 2.3.4; вторая из этих записей сокращается в § 1.2 до
п. 3; третья запись сокращается в § 1.2 и п. 1.2.3 до 3.4 и 4.
Авторы
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ТЕРМИНЫ
И ОБОЗНАЧЕНИЯ,
УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ В ЭТОЙ КНИГЕ,
НО НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ОБЩЕПРИНЯТЫМИ
Математики обходятся удивительно скромной системой теоре-
теоретико-множественных терминов и обозначений. Последние
можно грубо разделить на три группы. В первую входят термины
и обозначения, получившие всеобщее признание. Термины и
обозначения второй группы известны столь же широко, но
могут пониматься по-разному или варьироваться. Третья группа
состоит из менее употребительных терминов и обозначений.
То, что входит в первую группу, не требует объяснений.
Например, обозначения X{JY, X (]Y и Хх X • • • X Хп для объеди-
объединения, пересечения и произведения множеств или обозначения
/: X->Y, Im/ и /|л: A->Y для отображения, его образа него
сужения все понимают одинаково. То же относится к записи
jtel или к словам взаимно однозначное отображение и отоб-
отображение на.
О том, как мы будем пользоваться терминами и обозна-
обозначениями второй группы, уже стоит сказать несколько слов.
Пустое множество будет обозначаться символом 0. Запись
X cz Y имеет у нас широкий смысл, т. е. не исключает равенства
X = Y. То же относится к термину счетное множество: так мы
называем множество, которое счетно бесконечно или конечно.
Тождественное отображение множества X обозначается через
idZ, а если из контекста ясно, каково X, — просто через id.
Обратимым мы называем отображение, которое обладает обрат-
обратным, т'. е. является одновременно взаимно однозначным отображе-
отображением и отображением на. Запись {х^Х\...} обозначает часть
множества X, составленную из тех х, которые удовлетворяют
условию, стоящему на месте многоточия. Семейство {X \
есть отображение множества М на множество объектов ц
с цеМ, определяемое формулой цу—>Х^.
Наша главная цель здесь — перечислить нужные нам термины
. я обозначения третьей группы. Это и делается ниже.^
Ю ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Отображения
Если А — подмножество множества X, то включение А
в X может рассматриваться как отображение, определяемое
формулой х\-*х. Обозначение: in: A->X. Если А и X не
вызывают сомнения, то эта запись может быть сокращена до in.
Если А — подмножество множества X, а В — подмножество
множества Y, то всякому отображению /: Х->?, такому, что
f(A)czB, отвечает отображение ab/: A-+В, определяемое фор-
формулой x*—>f(x) и называемое сокращением отображения f на
А, В. В случаях, когда Л и В не 'вызывают сомнения, вместо
ab/: А->В можно писать ab/. Если B — Y, то ab/ есть обыч-
обычное сужение отображения / на А.
Под отображением последовательности {X, Аи ... , Ап),
где Аи ..., Ап—подмножества множества X, в последователь-
последовательность (Y, Ви ..., Вп), где Ви ..., Вп — подмножества мно-
множества Y, мы понимаем такую последовательность ото-
отображений !
(ф: X-+Y, ф,: Ах->Ви ..., ср„: Ап->Вп),
что ф(=аЬф. Обозначение:
(ф. Ф1 Ф«): (X, А, ..., An)->(Y, Bu ..., Вп).
Если подмножества Аь ..., Ап, Bh ..., Вга фиксированы,
то отображение / = (ф, Фь ..., Фга) и его первая компонента ф
определяют друг друга и различием между ними часто прене-
пренебрегают; например, запись /: (X, Ait ..., /4„)->(У, В{ Вп)
может означать также, что f есть отображение множества
X в Y, такое, что f(A{)czBu---> f{An)c:Bn. Желая точно
передать взаимоотношения между f и ф, мы пишем:
Запись rel id будет иногда сокращаться до rel.
Факторизация
Фактормножество множества X по его разбиению f обоз-
обозначается через Z/f. Отображение Х->Х/), относящее каждой
точке содержащий ее элемент разбиения, называется проек-
проекцией и обозначается через рг. Подмножества множества X,
составленные из целых элементов разбиения, называются насы-
насыщенными. Наименьшее насыщенное множество, содержащее под-
подмножество А множества X [т. е. рг~' (рг(Л))], называется на-
насыщением множества А,
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
\\
Если (, t — разбиения множеств X, Y, то всякому отобра-
отображению /: X-+Y, отображающему элементы разбиения f в эле-
элементы разбиения t, отвечает отображение Xtf->Y/t, относящее
элементу А разбиения f элемент разбиения t, содержащий f(A).
Это отображение обозначается через fact /. В частности, оно
определено, если t есть разбиение на отдельные точки, а /
постоянно на элементах разбиения )'; таким образом, всякому ото-
отображению /: X-+Y, постоянному на элементах разбиения f мно-
множества X, отвечает отображение fact/: X/$->Y.
Разбиение множества X на непустые прообразы точек, опре-
определяемое отображением /: X-+Y, обозначается через zer(/).
Соответствующее отображение fact/: X/zer(f)->Y взаимно од-
однозначно и называется взаимно однозначным фактором отобра-
отображения /.
Суммы
Суммой семейства множеств {X(l}(lsM называется объедине-
объединение непересекающихся копий множеств Х^, т. е. множество
пар (хц, ц) таких, что х^ есть элемент множества Х^. Обо-
Обозначение: LJ№sM^. Отображение множества Iv(vsM) в
LJueM^n' определяемое формулой лп—>{х, v), обозначается че-
через inv.
Так как отображения inv взаимно однозначны и образы
inv(Xv) попарно не пересекаются и покрывают U Х^, то для
всякого семейства множеств {Y^}, индексированного тем же
множеством М, и всякого семейства отображений {/^ Х^->
Y }аеМ существует одно и только одно отображение /: и^ц->
LJ Уц> удовлетворяющее соотношениям f ° inv = inv ° /v. Оно
называется суммой отображений /^ и обозначается
Если М состоит из чисел 1
U/ц пишут
ххи...ихп и
че-
п., то наряду с
Произведения
Произведение Х{Х. ... X Хп естественно отображается на
сомножитель Xt по правилу
\Х\, . . ., Хп) I *• Х{.
Это отображение называется i-й проекцией и обозначается
через рг,.
12 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Если имеются отображения /у. Х]-»-К1 /„: Xn->Yn, то
возникает отображение произведения Хх X ... X Хп в произве-
произведение У\ X • • • X Уп> определяемое правилом
(*,, ..., хп)ь-s-(f[(*,), .... /„(*„)).
Это отображение называется произведением отображений fu ...,
fn и обозначается через fl X • • • X fn>
Через (Х*, где \ — разбиение множества X, a t — разбиение
множества Y, обозначается разбиение произведения X\Y на
множества вида А Х#, где А —элемент разбиения [, а В- эле-
элемент разбиения t.
Множество X естественно отображается в свой квадрат X X X
по правилу х >—^(х,х). Это отображение называется диагональ-
диагональным и обозначается через diag, а подмножество diag(Z) мно-
множества Х~Х.Х называется диагональю последнего.
ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Топология
/. Говорят, что в множестве X определена топологическая
структура, или просто топология, если в X отмечен класс под-
подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их
объединение и вместе с каждым конечным набором множеств —
их пересечение. Множество, снабженное топологической струк-
структурой, называется топологическим пространством, его элемен-
элементы — точками, а множества отмеченного класса—открытыми
множествами.
Набор множеств, подлежащих объединению или пересе-
пересечению, может быть и пустым. Объединение пустого набора
множеств есть' 0, пересечение пустого набора подмножеств
множества X — все X. Таким образом, 0 и X — открытые
множества.
Примерами топологических структур могут служить триви-
тривиальная топология, в которой открыты только множества 0 и
X, и дискретная топология, в которой открыты все подмноже-
подмножества множества Х- Если X содержит более одного элемента,
то имеются и другие топологии. Например, множество X, со-
состоящее из двух элементов а, Ъ, допускает кроме двух ука-
указанных еще гдве топологизации: при одной открытыми будут
множества 0, а, X, при другой — множества 0, Ь, X. Более
серьезные примеры появятся позже.
2. Подмножество топологического пространства называется
замкнутым, если его дополнение открыто. Класс замкнутых
множеств содержит вместе с каждым набором множеств их
пересечение и вместе с каждым конечным набором множеств —
их объединение, и для всякого класса подмножеств множе-
множества X, обладающего этими свойствами, в X существует един-
единственная топология, по отношению к которой он является клас-
классом всех замкнутых множеств.
3. Окрестностью точки топологического пространства назы-
называется всякое открытое множество, содержащее эту точку.
14 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. 1
Окрестностью подмножества топологического пространства
называется всякое открытое множество, содержащее это под-
подмножество.
Производные понятия
4. Среди открытых множеств, содержащихся в заданном
подмножестве А топологического пространства X, есть наи-
наибольшее: это объединение всех таких множеств. Оно называется
внутренней частью или внутренностью множества А и обозна-
обозначается через Int А или, подробнее, Intx А Подобным же образом
среди всех замкнутых множеств, содержащих А, есть наимень-
наименьшее: пересечение всех таких множеств. Оно называется замы-
замыканием множества А и обозначается через С1Л или, подробнее,
С1ХА Разность СЫЧ Int Л может быть представлена как пере-
пересечение замкнутых множеств С1А и X \ Int А и потому зам-
замкнута. Она называется границей множества А и обозначается через
Ft А или, подробнее, FrxA Заметим, что X \ Int А = С1 (X \ А)
и что множества А и Х\А имеют одну и ту же границу.
5. По отношению к множеству А точки множеств Int A,
С1 A, Ft А и Х\С1 A = Int (X\ А) называются, соответственно,
внутренними точками, точками прикосновения, граничными
точками и внешними точками. Более непосредственно они
описываются на языке окрестностей. Точка будет внутренней,
если она обладает окрестностью, целиком лежащей в А; точкой
прикосновения, если всякая ее окрестность пересекается с А;
граничной, если всякая ее окрестность пересекается как с А,
так и с X \ А; внешней, если она обладает окрестностью, не
пересекающейся с А
Ясно, что множество открыто тогда и только тогда, когда оно
совпадает со своей внутренней частью, т. е. состоит из одних
внутренних точек, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно
совпадает со своим замыканием, т. е. содержит все свои гра-
граничные точки.
6. Подмножество А топологического пространства X назы-
называется плотным в X или всюду плотным, если С1А = X, т. е.
если А пересекается со всеми непустыми открытыми мно-
множествами. Множество Л называется нигде не плотным, если
множество Х\С1А всюду плотно.
Базы и предбазы
7. Базой топологического пространства называется такая
совокупность открытых множеств, что всякое открытое мно-
множество представимо как объединение множеств, взятых из этой
совокупности. Эквивалентная формулировка: совокупность Г
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 15
открытых множеств есть база, если для всякого открытого
множества U и всякой точки д;е(/ существует такое мно-
множество УеГ, что х eF c:U.
База полностью определяет топологию: открыты в точности
те множества, которые представляются как объединения эле-
элементов базы.
8. Следующее предложение служит основой стандартного
метода внесения топологии в множество. Пусть Г — некоторая
совокупность подмножеств множества X. Для существования
в X топологии с базой Г необходимо и достаточно, чтобы пере-
пересечение любого конечного набора множеств из Г представлялось
как объединение множеств из Г.
Необходимость следует из того, что пересечение конечного
набора множеств из базы открыто. Достаточность следует из
того очевидного факта, что класс подмножеств множества
X, представимых как объединения множеств из Г, удовлетво-
удовлетворяет требованиям определения 1.
9. Предыдущее предложение допускает полезную перефор-
переформулировку: для существования в X топологии с базой Г необ-
необходимо и достаточно, чтобы множества из Г покрывали X и
чтобы для любых двух множеств U, УеГ « любой точки х<=
U(]V нашлось такое множество We Г, что х<= W cz U(] V.
10. Совокупность подмножеств топологического простран-
пространства называется его предбазой, если пересечения конечных
наборов множеств этой совокупности составляют его базу.
Из 8 следует, что для любой совокупности Г подмножеств
множества X в X существует единственная топология с пред-
предбазой Г.
11. Базой в точке х топологического пространства X на-
называется, такая совокупность окрестностей точки х, что всякая
окрестность точки х содержит окрестность из этой совокуп-
совокупности. Предбазой в точке х называется совокупность мно-
множеств, пересечения конечных наборов которых составляют базу
в точке х.
Покрытия
12. Покрытия, с которыми нам придется иметь дело, будут,
как правило, покрытиями топологического пространства его
подмножествами или покрытиями подмножества топологичес-
топологического пространства другими подмножествами этого простран-
пространства. Желая подчеркнуть, что рассматриваемое покрытие под-
подмножества А топологического пространства X составлено из
подмножеств пространства X, которые могут не лежать в А,
мы будем называть его покрытием множества А в X.
Говорят, что покрытие Г вписано в покрытие Л, если каждое
множество из Г содержится в некотором4 множестве из А.
16 ' ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Покрытие называется локально конечным, если каждая точ-
точка пространства обладает окрестностью, пересекающейся лишь
с конечным числом элементов покрытия.
Покрытие называется открытым, если оно состоит из откры-
открытых множеств, и замкнутым, если оно состоит из замкнутых
множеств.
13. Во всякое открытое покрытие топологического простран-
пространства X можно вписать покрытие, составленное из множеств за-
заданной базы пространства X.
Такое покрытие составляют, например, множества базы,
содержащиеся в множествах заданного покрытия.
2. Метрика
/. Неотрицательная вещественная функция р, определенная
на квадрате XX X множества X, называется метрикой в X,
если выполнены три условия: р(х, у) = 0 тогда и только тогда,
когда х = у; р(х, у) = р{у, х) для любых jcjgI; p(x, z)^
Р (х> У) + Р (У, z) для любых х, у, z e X. Множество, снабжен-
снабженное метрикой, называется метрическим пространством. В ка-
качестве стандартного обозначения метрики будет использоваться
символ dist.
Значения метрики называются расстояниями, а неравенство,
входящее в ее определение, называется неравенством треуголь-
треугольника.
2. Фундаментальным примером метрического пространства
служит стандартное /г-мерное евклидово пространство R"(n^Q),
т. е. множество тг-членных вещественных числовых последова-
последовательностей {xi}1, в котором расстояние между последователь-
последовательностями {х^п и {r/;}" определяется как [Е"(хг — угJ]1/2. Пря-
Прямую R1 отождествляют с .полем вещественных чисел, которое
обозначается через R.
Если заменить гс-членные последовательности {xi}" беско-
бесконечными последовательностями {х^, подчиненными условию
2Г*?<оо, написав в формуле для расстояния БГ вместо Б",
то получится определение стандартного гильбертова простран-
пространства /2.
3. Шаром с центром х0 е X и радиусом г > 0 в метрическом
пространстве X называется множество-тех xel, у которых
dist(x0, x)^.r. Если вместо ^ написать <, то получится опре-
определение открытого шара, а если написать =, то получится
определение сферы. Единичный шар и единичная сфера про-
пространства R", т.е. шар и сфера с центром @, ..., 0) и ра-
радиусом 1, называются просто п-мерным шаром и (п— \)-мерной
$ 1] ' ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 17
сферой и обозначаются через Dn и 5""'. В частности, D° есть
точка, 5° — пара точек, S~\ = 0. Кроме того, мы полагаем
D" = 0 при п < — 1 и 5" = 0 при п < — 2.
4. Расстоянием между множествами А и В называется число
inf*sAу<=в dis\(x, у); обозначение: Dist(^, В). В частности, если
а — точка, то Dist(a, B) = infye=Bdist (а, у).
Диаметром множества А называется число supx A&\si(x, у);
обозначение: diamA Множества конечного диаметра называются
ограниченными.
Метрическая топология,
5. Неравенство треугольника показывает, что если открытый
шар с центром х0 и радиусом г содержит точку хи то он со-
содержит открытый шар с центром хх и радиусом г— dist(jc0, x{)j
Следовательно, в любом метрическом пространстве пересечение
двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой неко-
некоторый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме
того, открытые шары покрывают пространство, то они составляют
базу некоторой топологии (см. 1.9). Тем самым метрическое
пространство делается топологическим.
Описанная топология называется метрической. В дальнейшем
мы без всяких оговорок будем рассматривать метрические про-
пространства как топологические, имея в виду метрическую топо-
топологию. В частности, это относится к пространствам Rn и /2.
Топологическое пространство, топология которого является
метрической по отношению к некоторой метрике, называется
метризуемым.
6. Открытые шары с центром в данной точке метрического
пространства составляют, очевидно, базу в этой точке. Часть
этой базы, составленная из шаров радиусов 1/п(п = 1,2, ...),
также является базой.
7. Метрической окрестностью радиуса г>0 множества А
в метрическом пространстве X называется множество точек хе!
с Dist (Л, х) < г. Так как это — объединение открытых шаров
радиуса г с центрами в точках множества А, то это — открытое
множество, т. е. действительно окрестность множества А.
3. Подпространства
/. В этом пункте изучается относительная топология, пре-
превращающая каждое подмножество А топологического простран-
пространства X в самостоятельное топологическое пространство. Эта топо-
топология определяется тем, что ее открытыми множествами являются
пересечения вида А Л В, где В — открытое подмножество
18 . ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Г
пространства X. Требования определения 1.1 здесь удовлетво-
удовлетворяются очевидным образом. Ясно также, что замкнутыми мно-
множествами этой топологии являются в точности пересечения
вида А(]В, где В — замкнутое подмножество пространства X.
Подмножества пространства X, наделенные относительной топо-
топологией, называются его подпространствами.
Пара (X, А), составленная из топологического пространства X
и его подпространства А, называется топологической парой.
Тройка (X, А, В), составленная из топологического простран-
пространства X и его подпространств А, В, таких, что В а А, называется
топологической тройкой.
2. Множество, лежащее в подпространстве А пространства X
и открытое или замкнутое в X, будет, очевидно, таким же и в А.
Если А открыто, то всякое открытое в А множество открыто
и в X. Если А замкнуто, то всякое замкнутое в А множество
замкнуто и в X. Во всех случаях, если B<=AczX, то -С1АВ =
(С1ХВ)ПА
Ясно, что если Г — база (предбаза) пространства X, то мно-
множества А П В с Be Г составляют базу (предбазу) пространства А.
Относительная топология, как это прямо следует из ее опре-
определения, транзитивна: если В — подмножество подпростран-
подпространства А пространства X, то топологии, индуцированные в В
включениями jB сг Л и ВаХ, совпадают.
3. Если X — метрические пространство и А — множество в X,
то сужение функции dist на А\А, очевидно, представляет
собой метрику в А. Благодаря этому, каждое подмножество
метрического пространства само оказывается метрическим про-
пространством. Ясно, что метрическая топология последнего совпа-
совпадает с относительной топологией, индуцированной в нем метри-
метрической топологией объемлющего пространства.
4. Построения этого пункта радикально расширяют запас
нетривиальных примеров топологических пространств: теперь он
охватывает все подмножества пространств Rn и 12- В частности,
топологическими пространствами являются шары и сферы про-
пространства R". Здесь мы укажем еще только на кубы простран-
пространства R", определяемые неравенствами вида at <! х1 ^ щ -4- а
(г.= 1, ..., п), где аь ..., ап, а — вещественные числа и а>'0.
Если а] = ... =ап = 0 и а=1, то куб называется единичным
и обозначается через /". Единичный отрезок /' обозначается
также через /. ¦ .
Фундаментальные покрытия
5. Покрытие Г пространства X называется фундаментальным,
если всякое множество, пересечение которого с каждым мно-
множеством йеГ открыто в В, само открыто."Равносильное уело-
' 4 и - основные л онятия 19
вие: всякое множество- в X, пересечение которого с каждым
множеством ВеГ замкнуто в В, само замкнуто.
Очевидно, что покрытие, в которое может быть вписано
фундаментальное покрытие, само фундаментально.
6. Все открытые покрытия, а также все конечные и локально
конечные замкнутые покрытия фундаментальны.
¦Случаи открытого покрытия и конечного замкнутого покрытия
очевидны. Пусть Г — локально конечное замкнутое покрытие
пространства- X. Составим из открытых множеств, пересе-
пересекающихся лишь с конечным числом элементов покрытия Г,
какое-нибудь покрытие А пространства X. Так как А — фунда-
фундаментальное покрытие, то фундаментальность Г будет доказана,
если мы установим фундаментальность покрытий множеств ?/еД
их пересечениями U(] В с В е Г. А эта фундаментальность
прямо следует из конечности и замкнутости указанных покрытий.
7. Тройка вида {X, А, В), где X — топологическое простран-
пространство, а Л и В — его подмножества, составляющие его фунда-
фундаментальное покрытие, называется триадой. Так, пространство X
составляет со своими подмножествами А, В триаду, если МЛ (J
IntB = Z, а также если А\}В — Х и множеств'а Л, В замкнуты.
4. Непрерывные отображения
/. Отображение топологического пространства X в тополо-
топологическое пространство Y называется непрерывным, если прообраз
любого открытого подмножества пространства У является откры-
открытым подмножеством пространства X. Равносильное условие: про-
прообразы замкнутых множеств замкнуты.
Отображение f: (X, Аи ..., An)-+(Y, Ви ..., Вп), где Ль ...,
Ап — подмножества пространства X, а Ви ..., Вп — под-
подмножества пространства Y, называется непрерывным, если не-
непрерывно отображение abs/: X->Y.
Полезное замечание: для непрерывности отображения X->Y
достаточно, чтобы были открыты прообразы множеств некоторой
предбазы пространства Y.
2. Очевидно, что если отображения /: X->Y и g: Y-+Z
непрерывны, то и их композиция g° f: X-+Z непрерывна. Ясно
также, что тождественное отображение idX: X-+X непрерывно
для всякого топологического пространства X.
Из определения относительной топологии видно, что если
отображение /: X->F непрерывно и А, В — такие "множества
в X, Y, что f (А) с В, то и отображение ab/: А->В непрерывно.
В частности, сужение / \А: А -> Y непрерывного отображений
/: X->Y на любое подмножество А пространства X непрерывно.
Например, включение подпространства в пространство есть не-
непрерывное отображение.
20 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Если сокращение abf отображения f: X->Y определено на
•всем X, то его непрерывность, очевидно, не только следует из
непрерывности отображения f, но и влечет за собой непре-
непрерывность отображения f. В частности, отображение /: X—>Y
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно отображе-
отображение abf: X-*f{X).
3. Ясно, что если Г — фундаментальное покрытие простран-
пространства X, то непрерывность отображения f: X->Y следует из
непрерывности сужений f \А с ЛеГ. Равносильная формули-
формулировка: пусть Г — фундаментальное покрытие пространства X, и
пусть для каждого множества ЛеГ задано непрерывное ото-
отображение fA: A->Y, причем fA(x) = fB(x), если х<=А ("| В {А, ВеГ);
тогда отображение /: X-+Y, определяемое формулой
f(x) = fA(x) при х.(=А (ЛеГ),
непрерывно.
4. Непрерывное отображение называется открытым, если
образы открытых множеств открыты, и замкнутым, если образы
замкнутых множеств замкнуты.
Очевидно, композиция открытых отображений открыта, а
композиция замкнутых отображений замкнута.
Укажем на полезное достаточное условие открытости: непре-
непрерывное отображение /: X—>Y заведомо открыто, если для
каждой точки i/gF существуют такая ее окрестность Uy и такое
непрерывное отображение gy: Uy -> X, что композиция f ° gy
совпадает с in: Uy-+Y. Доказательство: в этом случае f(A) =
Uу^уёу'ЧА) Для всякого подмножества А пространства X.
Непрерывность в точке
5. Отображение f: X—>Y называется непрерывным в точке
ле1, если для всякой окрестности V точки f(x) существует
такая окрестность U точки х, что f(U)c:V.
Это определение также допускает переформулировку, исполь-
использующую меньший запас открытых множеств. Предположим, что
отображение /: X-+Y задано вместе с некоторой базой Л
в точке х^.Х и некоторой предбазой Е в точке f(x)eF. Ясно,
что для непрерывности отображения f в точке х необходимо и
достаточно, чтобы каждая окрестность КеЕ содержала образ
некоторой окрестности УеД.
В случае, когда X и Y — метрические пространства, а Л и Е
составлены из открытых шаров с центрами в точках х и f{x),
последнее предложение приводит к популярной в анализе число-
числовой формулировке: отображение /: X^-Y непрерывно в точке
х е X, если для всякого положительного е существует такое
$ 1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 21
положительное б, что образ любой точки i'eI, "удаленной
от х менее чем на 6, удален от f(x) менее чем на е.
6. Отображение f: X—>-Г непрерывно тогда и только тогда,
когда оно непрерывно в каждой точке.
Доказательство. Если отображение / непрерывно и
-У — окрестность точки / {х), то /"' (V) есть окрестность точки х
и f(f-l(V))<=V.
Если отображение f непрерывно в каждой точке и V — откры-
открытое множество в Y, то каждая точка множества f~l (V) является
внутренней, так как обладает окрестностью, отображающейся в V.
Гомеоморфизмы и вложения
7. Из непрерывности обратимого отображения /: X-+Y не
следует непрерывность обратного отображения f: Y->X. На-
Например, отображение, обратное тождественному отображению
множества, наделенного дискретной топологией, на то же мно-
множество, наделенное другой топологией, не является непре-
непрерывным.
Обратимое отображение /, такое, что оба отображения / и /~*
непрерывны, называется гомеоморфизмом. Если существует го-
гомеоморфизм X —> F, то говорят, что пространство Y гомеоморфно
пространству X.
Ясно, что тождественное преобразование пространства есть
гомеоморфизм, что отображение, обратное гомеоморфизму, есть
гомеоморфизм и что композиция двух гомеоморфизмов есть го-
гомеоморфизм. Следовательно, гомеоморфность есть эквивалент-
эквивалентность.
8 (Примеры). Открытый шар IntD" гомеоморфен R". Стандарт-
Стандартный гомеоморфизм Rn^-lntDn определяется формулой
2x arctg (dist @, х))/п dist @, х), если х Ф О,
( 2x
I, 0,
V 1 .i..^-
I 0 если
Куб /" гомеоморфен шару D", его внутренняя часть Int/"
гомеоморфна IntD", а его граница Fr/" гомеоморфна Fr.Dn,
т.е. Sn~l. Стандартные гомеоморфизмы Dn—>-In, IntD"—>-Int/",
FrD"->-Fr/rt осуществляются сдвигом на вектор (ort,+\ .. +ortrt)/2,
где через ortb ..., ortn обозначены векторы A, 0 0), ...,
@, ..., 0,1), с последующим центральным проектированием.
Проколотая (т. е. лишенная одной точки) сфера S" гомео-
гомеоморфна R". Гомеоморфизм R" —> S" \ ortt может быть скомпони-
рован из гомеоморфизма {хи ..., хп}>—*{6, хи...,хп} про-
пространства R" на подпространство пространства Rn+1 и
стереографической проекции, т. е. центральной проекции этого
подпространства на S"\orti из точки ortj.
22 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА П"Л. 1
9. Отображение f: X —>Y называется вложением или, по-
подробнее, топологическим вложением, если ab/: X—>f(X) есть
гомеоморфизм. Например, включение подпространства в про-
пространство является вложением.
Ретракции
10. Ретракцией называется непрерывное отображение про-
пространства на подпространство, совпадающее на этом подпро-
подпространстве с тождественным отображением. Подмножество, на
которое пространство может быть ретрагировано, называется
его ретрактом.
Любая точка топологического пространства является его
ретрактом. Пара точек может уже не быть ретрактом. Например,
отрезок не ретрагируется на свою границу: ретракция была бы
непрерывной вещественной функцией на этом отрезке, прини-
принимающей два значения, но не принимающей промежуточных зна-
значений.
11. Подмножество А топологического пространства X в том
и только том случае является его ретрактом, если всякое непре-
непрерывное отображение А -> Y продолжается до непрерывного ото-
отображения X->Y, каково бы ни было топологическое простран-
пространство Y.
Доказательство. Если р: X->А — ретракция и f: A-*¦
Y — непрерывное отображение, то композиция fop продолжает /
на X.
Если всякое непрерывное отображение A->Y продолжается
до непрерывного отображения X-+Y, то тождественное ото-
отображение Л->Л продолжается до непрерывного отображения
Х-*-А, которое и будет ретракцией.
Числовые функции
12. Известная теорема анализа о непрерывности функций,
к которым приводят арифметические действия над непрерывными
функциями, верна, очевидно, для числовых функций, опреде-
определенных на любом топологическом пространстве. То же относится
к теореме 6 непрерывности предела равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций.
13. Если X — метрическое пространство и А — множество в X,
то функция X-*-Rt определяемая формулой х н-э-Dist (x, А), не-
непрерывна.
Доказательство. Если х, уеX, zeА, то Dist(x. A)^
distOc, zXdistfo у) + dist (г/, z). Следовательно, Dist (л 4)<
dist(*>, у) + Dist (у, А) для любых х, i/el, и так как
равноправны, то | Disi (*< Л) — Dist (у, 4)|<dist(.*, у).
. $ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 23
14. Подмножество А топологического пространства X назы-
называется выделяемым, если существует такая непрерывная функция
f: Х->I, что f {х) = 0 при хе А и f (х) > 0 при xg Х\А. Всякая
такая функция называется выделяющей множество А.
Очевидно, что выделяемые множества замкнуты. Ясно также,
что замкнутые подмножества метрического пространства выде-
выделяемы: замкнутое подмножество А метрического пространства
выделяется, например, функцией xH-^min(l, Dist(x, A)).
5. Аксиомы отделимости
/. В этом и двух следующих пунктах формулируются до-
дополнительные ограничения, часто накладываемые на топологи-
топологическую структуру и приближающие свойства топологического про-
пространства к привычным свойствам подмножеств пространств R".
2. Известно более десятка «аксиом отделимости». Нам по-
потребуются следующие четыре:
TV Для любых двух различных точек a, b существует окрест-
окрестность точки а, не содержащая Ь. Равносильные формулировки:
точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты.
Т2. Любые две различные точки обладают непересекающимися
окрестностями.
Т3. У любой точки и любого не содержащего ее замкнутого
множества есть непересекающиеся окрестности. Равносильная
формулировка: любая окрестность любой точки содержит замы-
замыкание некоторой окрестности этой точки.
Т4. У любых двух непересекающихся замкнутых множеств
есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка:
каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание
некоторой окрестности этого множества. Другая равносильная
формулировка: для любого конечного набора попарно непересе-
непересекающихся замкнутых множеств существуют ^окрестности этих
множеств с попарно непересекающимися замыканиями. -
3. Аксиома Ti следует из аксиомы Т2, но не следует, как
показывают очевидные примеры, из аксиом Т3 и Т4.
Пространства, для которых выполнена аксиома Т2, называются
хаусдорфовыми, пространства, для которых выполнены акси-
аксиомы Tj и Т3, — регулярными, а пространства, для которых вы-
выполнены аксиомы 1*! и Т4, — нормальными. Из нормальности
следует регулярность, из регулярности — хаусдорфовость.
4. Ясно, что подпространство -хаусдорфова пространства
хаусдорфово, что подпространство регулярного пространства
регулярно и что замкнутое подпространство нормального про-
пространства нормально.
Информация. Незамкнутое подпространство нормального
пространства йожет не быть нормальным; см. [U].
24 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Г
5. Ретракт хаусдорфова пространства есть замкнутое мно-
множество.
Доказательство. Пусть А — ретракт хаусдорфова про-
пространства X, и пусть р: Х-+А — ретракция и b — точка, не
лежащая в Л. В силу хаусдорфовости X и непрерывности р
точки Ъ, р{Ь) обладают непересекающимися окрестностями U, V
с p(U)czV, и из этого включения следует, что р{х)^=х, если
д;е[/, т. е. что U не пересекается с А. Таким образом, точка,
не лежащая в А, является внешней для А.
6. Метрические пространства нормальны.
Доказательство. Что метрические пространства удовле-
удовлетворяют аксиоме Ть очевидно; проверим Т4. Пусть А, В — непере-
непересекающиеся замкнутые подмножества метрического пространства.
Положим U = {x\ Dist (х, А) < Dist (х, В)}, V = {х | Dist (x, В) <
Dist(x, А)}. Так как Dist (лг, A), Dist (л, В) непрерывно зави-
зависят от х (см. 4.13), то U, V — открытые множества, и ясно, что
U(\V = 0 и AczU, Bel/.
Функции Урысона
7 (Лемма). Пусть А, В — замкнутые' подмножества топо-
топологического пространства X, Г — совокупность всех окрестно-
окрестностей множества А, не пересекающихся с В, и A — множество
двоично рациональных чисел отрезка I {т.е. чисел вида пг/2ч
с неотрицательными целыми m, q и-с т.^24). Если X нор-
нормально, то существует такое отображение ф: Д->Г, что
С1 ф (/¦]) сг ф (г2) при гх<г2. A)
Доказательство. Положим фA) =Х\В и возьмем
в качестве ф@) какую-нибудь окрестность множества А, лежа-
лежащую вместе со своим замыканием в Х\В (вторая формули-
формулировка аксиомы Т4). Если значения ф(г) уже определены с соблю-
соблюдением условия <A) для чисел г = т/2'еД с q — n, то это
определение можно продолжить с сохранением свойства A) на
числа г=ш/2л+'еА: в качестве ф(г) для г = т/2"+'еД с не-
нечетным m = 2k + 1 можно взять любое открытое множество,
содержащее С1ф(&/2") и лежащее вместе со своим замыканием
в ф((/е + 1)/2"). Эта индукция и приводит к отображению
ф: А->Г со свойством A).
8. Для любых двух непересекающихся замкнутых подмно-
подмножеств А, В нормального пространства X существует непре-
непрерывная функция Х->'1, равная 0 на А и 1 на В.
Доказательство. Пользуясь предыдущей леммой^и ее
обозначениями, определим функцию f; Х->1 формулой
inf {г | ф (г) Э х}, если х z
1, если х*
§ 1] , ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 25
Ясно, что эта функция равна 0 на Л и 1 на В. Чтобы доказать
ее непрерывность, заметим, что промежутки [0, г), (г, 1] с г е Л
составляют предбазу_отрезка / и что f~"'([0, г)) = \ir'<rff{f'), а
./~'([0, г])= ПГ'>гф(О' Последнее пересечение, в силу вклю-
включений A), совпадает -с ПГ'>ГС1ер(г')> так что f~l((r, 1])==
X\f~1{[0, г]) = Х\ Пг'>гС1ф(г'). Таким образом, проме-
промежутки [0, г), {г, 1] имеют открытые прообразы, и, значит, функ-
функция / непрерывна.
9. Непрерывная функция X ¦-*¦!, равная 0 на множестве
АаХ и 1 на множестве ВаХ, называется функцией Урысона
пары А, В.
Функция Урысона пары А, В может обращаться в нуль и
вне А, однако, если множество А выделяемо, то формула
х<—* min(f (х) + g{x), 1), где / — какая-нибудь функция Урысона
пары А, В, a g — выделяющая функция, позволяет получить
и функцию Урысона пары А, В, положительную вне А.
Нетрудно заметить, что доказательство теоремы 8 не исполь-
использует аксиомы Ть так что эта теорема верна для любого Т4-про-
странства. Очевидно, верно и обратное: если для любых двух
непересекающихся замкнутых подмножеств пространства X суще-
существует функция Урысона, то X удовлетворяет аксиоме Т4.
Заметим, наконец, что теорему 8 можно слегка усилить,
компилируя функцию Урысона с линейным преобразованием
t*-^-a-\-(b — a)t, где a, b — произвольные вещественные числа.
Композиция будет непрерывной функцией, отображающей X
в отрезок [а, Ь] и равной а на Л и b на В.
Теоремы продолжения
10 (Лемма). Пусть F — замкнутое подмножество топологи-
топологического пространства X и ф: F—>R — непрерывная функция,
ограниченная по абсолютной величине числом L > 0. Если
X нормально, то существует такая непрерывная функция
¦ф: X-+R, что
| о]) (х) К L/3 при jeJ,
H>(*)-<p(*)K2L/3 при xsF. B)
Доказательство. Подмножества множества F, опре-
определяемые неравенствами ф(лг)з^ — L/3, ф (х);> L/3, замкнуты
в F, а значит и в X, и не пересекаются. Следовательно, суще-
существует непрерывная функция -ф; X—>[—L/3, Z/3], равная — L/3
на первом множестве и L/3 на втором (см. 9), и ясно, что она
удовлетворяет условиям B).
26 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
11. Если А —замкнутое подмножество нормального простран-
пространства X, то всякую непрерывную функцию A-+R можно про-
продолжить до непрерывной функции X-+R. В этой формулировке
прямая R может быть заменена отрезком.
Покажем сначала, что всякое непрерывное отображение f
множества А в отрезок продолжается до некоторого непре-
непрерывного отображения g пространства X в этот отрезок. Можно,
очевидно, считать, что речь идет об отрезке [—1, 1]. Функция g
определяется как сумма ряда непрерывных функций gk: X->R,
подчиненных условиям
|?*(*)К2*-73\ если х<=Х, C)
|41* если хе=А. D)
Функции gk строятся индуктивно: в качестве gQ мы берем нуль
и, предполагая функции g0, ..., gn построенными и удовле-
удовлетворяющими неравенствам C) и D) с k^.n, определяем gn+l
как результат применения предыдущей леммы к функции ер —
f-SSte/L) с F = A и L = B/3)". Из C) следует, что ряд
^о'gk равномерно сходится на X, так что его сумма непрерывна
(см. 4.12), а из D)— что g\A = f.
Обращаясь к доказательству первой части теоремы, заменим
прямую R гомеоморфным ей открытым интервалом (—1, 1). В силу
доказанного, для заданной непрерывной функции /: А—>(—1, 1)
во всяком случае существует такая непрерывная функция g:
Х-*[—\, 1], что g(x) = f(x) дляхе А Положим В = g-1 (— 1)U
g~1{l). Множества В я А замкнуты и не пересекаются, так
что у пары В, А есть функция Урысона. Умножив ее на g, мы
и получим требуемое продолжение Х~*(—1,1) функции /.
12. Если А — замкнутое подмножество нормального про-
пространства X, то всякое непрерывное отображение Л—>R" можно
продолжить до непрерывного отображения X -*¦ Rn. В этой фор-
формулировке пространство R" может быть заменено кубом.
Для доказательства достаточно применить теорему 11 к коор-
координатным функциям предложенного отображения.
6. Аксиомы счетности
1. Второй аксиомой счетности называется предположение, что
пространство обладает счетной базой. Первой аксиомой счет-
счетности называется предположение, что пространство обладает
счетной базой в каждой точке. Пространство называется сепа-
рабельным, если оно обладает счетным всюду плотным множе-
множеством.
2. Из второй аксиомы счетности следуют первая аксиома
счетности и сепарабельность. Для метрических пространств
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 27
первая аксиома счетности выполнена всегда, а вторая аксиома
счетности равносильна сепарабельности.
Что первая аксиома счетности следует из второй — очевидно,
что она выполнена для метрических пространств — видно из 2.6.
Чтобы построить в пространстве со счетной базой счетное всюду
плотное множество, достаточно взять по точке в каждом мно-
множестве счетной базы. Счетную базу в сепарабельном метриче-
метрическом пространстве можно составить из открытых шаров с цен-
центрами в точках счетного всюду плотного множества и радиу-
радиусами \\п (п= 1, 2, ...).
3. Пространства R" и 12 сепарабельны и, следовательно, обла-
обладают счетной базой.
В R" счетное всюду плотное множество составляют, например,
последовательности {х^ с рациональными xt, в /2 — финитные
(т. е. обладающие лишь конечным числом ненулевых членов)
последовательности {х^ с рациональными х{.
4. Подпространство пространства со счетной базой обладает
счетной базой. В частности, все подпространства пространств R"
и 12 обладают счетной базой.
Действительно, счетная база пространства высекает счетную
базу в каждом его подпространстве; см. 3.2.
5. В сепарабельном пространстве всякая совокупность по-
попарно непересекающихся открытых множеств счетна.
Действительно, взяв в каждом множестве такой совокуп-
совокупности по точке какого-нибудь счетного всюду плотного множе-
множества S, мы получим взаимло однозначное отображение этой
совокупности в S.
6. Очевидно, что при непрерывном отображении одного топо-
топологического пространства на другое всюду плотное множество
переходит во всюду плотное множество. Ясно также, что при
открытом отображении одного топологического пространства на
другое база переходит в базу, а база в точке — в базу в образе
этой точки. Следовательно, образ сепарабельного пространства
при непрерывном отображении есть сепарабельное пространство,
и образ пространства, удовлетворяющего первой или второй
аксиоме счетности, при открытом отображении удовлетворяет
той же аксиоме счетности.
7. Регулярное пространство со счетной базой нормально.
Доказательство. Пусть А, В — непересекающиеся зам-
замкнутые подмножества регулярного пространства X со счетной
базой. Согласно второй формулировке аксиомы Т3, каждая
точка каждого из множеств А, В обладает окрестностью, за-
замыкание которой не пересекается с другим множеством. Полу-
Получающиеся таким образом открытые покрытия множеств А, В
можно считать счетными, так как их можно заменить вписанными
28 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, I
в них покрытиями, составленными из множеств счетной базы
(см. 1.13). Занумеруем их в последовательности Ult U2, ...;
VUV2, ...и положим flfn = Un\ ИГ1 CIV lt Vn^VnWJtClUt.
Множества U = [)? U'n, V = UVV'n открыты и, очевидно, не
пересекаются, и так как Cl Ut (~| В — 0, С1Vt П А — 0, то V =э А,,
V=>B.
Теоремы вложения и метризации
8. Регулярное пространство со счетной базой вкладывается в 12.
Доказательство. Пусть X— регулярное пространство
со счетной базой Г. Занумеруем пары (U, V) с [/еГ, 7еГ
иСШсК в последовательность (?/ь Vi), (U2, V2), ... и опре-
определим отображение f: Х->12 формулой f (x) = {k~iq>k(x)}l , где
Фй — какая-нибудь функция Урысона пары СШ&, X\Vk (см. 7).
Если хФу, то (в силу регулярности пространства X) суще-
существует такое k, что хе(/4, a г/eJfWV Таким образом, ото-
отображение / взаимно однозначно. Мы покажем, что / есть вло-
вложение.
Так как функции (pfe непрерывны, то для заданных х0 е X,
е > 0 и п существует такая окрестность U точки х0, что
2" (¦ | <pfe (лс) — фА(\) |/&J < е2/2, если xeU. Выбрав п под усло-
условием 2^°+]&~2 < е2/2, мы видим, что dist (/(х0), /(*))<е. Следо-
Следовательно, отображение / непрерывно.
Обозначим через g отображение, обратное отображению
ab/: X->f(X), и найдем для заданной точки yQ^f(X) и задан-
заданной окрестности U точки g (у0) такое п, что g{y0) е [/„, Vп cz U.
Если y<=f(X) и dist(i/0, г/Х 1/«, то, очевидно, |ф„(§(г/)) —
<рп(ё(Уо))\< 1; Так как ф„{g(у0)) = 0, то последнее неравенство
равносильно неравенству Ф„(^(у))< 1, из которого следует, что
g(y)^Vn. Таким образом, если y^f(X) и dist {у0, у) < 1/я,
то g(y)^U. Следовательно, отображение g непрерывно.
9. Топологическое пространство со счетной базой метризуемо
тогда и только тогда, когда оно регулярно.
Необходимость этого условия содержится в 5.6, достаточ-
достаточность — в 8.
7. Компактность
/. Топологическое пространство называется компактным, если
всякое его открытое покрытие содержит конечное покрытие.
Например, конечное множество, наделенное произвольной топо-
топологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дис-
дискретной топологией, не компактно.
Ясно, что подпространство топологического пространства X
компактно в том и только том случае, если всякое его откры-
открытое покрытие в X содержит конечное покрытие.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 29
2. Замкнутое. подмножество компактного пространства ком-
компактно.
Доказательство. Пусть А — замкнутое подмножество
компактного пространства X и А — его покрытие в X. При-
Присоединим к Л множество X \ А, выделим из полученного откры-
открытого покрытия пространства X конечное покрытие и удалим из
последнего множество Х\Л, если оно еще не удалено. Ясно,
что мы получим конечное покрытие множества А, содержа-
содержащееся в А.
3. В хаусдорфовом пространстве у любых двух непересекаю-
непересекающихся компактных множеств имеются непересекающиеся окрест-
окрестности.
Доказательство. Пусть А, В — предложенные множе-
множества. Если В — точка, то мы фиксируем для каждой точки
х е. А непересекающиеся окрестности Ux, Vx точек х, В и выде-
выделяем из возникшего покрытия множества А окрестностями Ux
конечное покрытие UXl, ..., Ux ; множества U? UX{ и [}iVx.
будут тогда непересекающимися окрестностями множества А
и точки В. В общем случае мы фиксируем для каждой точки
хеВ непересекающиеся открестности Ux, Vx множества А и
точки х и выделяем из возникшего покрытия множества В
окрестностями Vx конечное покрытие Vx , ..., Vx ; множества
1 S —
flf Uxv Ui VXi будут тогда непересекающимися окрестностями
множеств А, В.
4. ^Компактное подмножество хаусдорфова пространства зам-
замкнуто.
Действительно, из 3 следует, что в хаусдорфовом простран-
пространстве точка, не принадлежащая компактному множеству, обла-
обладает окрестностью, не пересекающейся с этим множеством.
5. Компактное хаусдорфово пространство нормально.
Это следует из 2 и 3.
Компактность и фундаментальные покрытия
6. Если А — компактное подмножество 1х-пространетва X,
то всякое счетное фундаментальное покрытие пространства X
содержит конечное покрытие множества А.
Доказательство. Пусть Ui, U2, ...—предложенное по-
покрытие. Если А не покрывается ни одним из множеств |_)Г#/»
то мы можем выбрать в каждом из множеств А \ \jTUt по
точке, и ясно, что выбранные точки составят бесконечное мно-
множество, пересекающееся с каждым из множеств Ui по конечному
множеству. Из конечности этих пересечений следует, что ука-
указанное, множество и все его подмножества замкнуты; таким
30 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ЦГЛ, I
образом, оно компактно (см. 2) и дискретно одновременно, что
противоречит его бесконечности.
7. Условие счетности в теореме 6 существенно. Например,
покрытие отрезка всевозможными счетными подмножествами
фундаментально, но не обладает счетным подпокрытием.
Компактность и отображения
8. Образ компактного пространства при непрерывном ото-
отображении компактен.
Доказательство. Пусть / — непрерывное отображение
компактного пространства X на топологическое пространство Y
и А— открытое покрытие пространства Y. Множества /"' (V)
с КеА составляют открытое покрытие пространства X, и ясно,
что если Uu ..., Us — его подпокрытие, то / (?А), ..., f(Us)
есть подпокрытие покрытия А.
9. Непрерывное отображение компактного пространства в
хаусдорфово пространство замкнуто.
Это следует из 2, 8 и 4.
10. Обратимое непрерывное отображение компактного про-
пространства на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм.
Взаимно однозначное непрерывное отображение компактного про-
пространства в хаусдорфово пространство есть вложение.
Это следует из предложения 9 и того очевидного факта, что
обратимое замкнутое отображение есть гомеоморфизм.
Компактность и метрика
//. Компактное подмножество метрического пространства при
любом положительном е может быть покрыто конечным числом
открытых шаров радиуса г.
Такое покрытие можно выделить из любого покрытия, со-
составленного из открытых шаров радиуса е.
12. Компактное метрическое пространство обладает счетной
базой.
Чтобы получить такую базу, достаточно построить для
каждого натурального п конечное покрытие, составленное из
открытых шаров радиуса I/ft, и объединить эти покрытия.
13. Компактное метрическое пространство ограничено.
Это следует из 11.
14. Если X — компактное топологическое пространство, то
всякая непрерывная функция X -> R ограничена и обладает наи-
наибольшим и наименьшим значением.
Доказательство. Ограниченность образа пространства X
в R следует из 8 и 13. Из 9 следует, что этот образ замкнут,
а из его замкнутости следует, что он содержит свои точки
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 31
прикосновения, среди которых находятся его нижняя грань и
его верхняя грань.
15. Пусть А и В — непересекающиеся подмножества метриче-
метрического пространства. Если А компактно, а В замкнуто, то
Dist (Л, В)>0.
Доказательство. Так как А компактно и Dist(л:, В)
непрерывно зависит отхеЛ (см. 4.13), то существует точка аеЛ
с Dist (a, В) ^nf*^ Dist (л:, В) = Dist (Л, В) (см. 14). Так как В
замкнуто и афВ, то Dist (а, В)>0. Таким образом, Dist (Л, В)>0.
16. Пусть f — непрерывное отображение метрического прост-
пространства X в топологическое пространство Y и А — открытое
покрытие пространства Y. Если X компактно, то существует
такое положительное е, что, каково бы ни было множество Аа X
с диаметром, меньшим е, множество f (А) содержится в некото-
некотором множестве из А.
Достаточно показать, что при некотором положительном е
любые две точки х, yel с dist(х, у) < е лежат в одном мно-
множестве покрытия r = f~'(A)- Окружим каждую точку хе!
шаром, лежащим в одном из множеств покрытия Г, обозначим
через 0х открытый концентрический шар вдвое меньшего ради-
радиуса и выделим из покрытия пространства X шарами Ux конеч-
конечное покрытие UXl, ..., UXs. Пусть е,-— радиус шара UX[ и
е —наименьшее из чисел е,-. Если х, ye! и dist (л, у) < е, то
dist (хи х) < si и dist (xh у) < dist {xt, x) + dist {х, у) < 2е,- при
некотором i, так что х и у лежат в одном множестве покрытия Г.
Компактность в евклидовом пространстве
17. Кубы пространства R" компактны.
Доказательство. Куб пространства ^очевидным обра-
образом делится на 2" кубов вдвое меньших размеров, и если неко-
некоторое покрытие Г исходного куба открытыми множествами про-
пространства R" не содержит конечного покрытия, то тем же
свойством оно будет обладать и как покрытие одного из мень-
меньших кубов. Повторяя это рассуждение, мы построим убывающую
последовательность кубов Qb Q2, ..., каждый из которых вдвое
больше следующего и ни один из которых не покрывается ко-
конечным набором множеств из Г. Однако общая точка этих кубов
покрывается некоторым множеством из Г, а с ней должны покры-
покрываться этим множеством w кубы Qk с достаточно большими k.
18. Подмножество пространства R" компактно в том и только
том случае, если оно ограничено и замкнуто.
Необходимость этих условий содержится в 13 и 4. Достаточ-
Достаточность следует из 17 и 2, поскольку ограниченное подмножество
пространства R" содержится в некотором кубе.
32 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Локальная компактность
19. Топологическое пространство называется локально ком-
компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с ком-
компактным замыканием.
Очевидно, компактные пространства локально компактны.
Важнейшими примерами локально компактных некомпактных
пространств служат пространства R" с п > 0.
20. Замкнутые подмножества локально компактного прост-
пространства локально компактны.
Действительно, если а — точка замкнутого подмножества А
локально компактного пространства X и U — окрестность точки а
в X с компактным замыканием C\XU, то U[\ А есть окрестность
точки а в Л с компактным замыканием C\A{U[\ А). [Компакт-
[Компактность замыкания QXA{U\]A) следует из его замкнутости в C\XU
(см. 2), которая является следствием его замкнутости в X.]
21. Открытые подмножества хаусдорфова локально компакт-
компактного пространства локально компактны.
Доказательство. Пусть а — точка открытого подмно-
подмножества А хаусдорфова локально компактного пространства X,
и пусть U — окрестность точки а в X с компактным замыка-
замыканием C\XU. Так как пространство С\х U регулярно (см. 5), то а
обладает в нем окрестностью V с Clcu и V с: U ("| А. Мы покажем,
что V есть окрестность точки а в А с компактным замыка-
замыканием Cl^V.
Что множество V открыто в А, вытекает из его открытости
в U П А, которая является следствием его открытости в Clz U.
Чтобы установить компактность множества Cl^V, заметим, что
замыкание ClcixuV компактно (см. 2) и лежит в U[\ А. Из этого
следует, что оно совпадает с замыканием QuoaV и что послед-
последнее замкнуто в А (см. 4), а из этой замкнутости следует, что
CIV CI
22. Пусть U — окрестность точки а локально компактного
пространства X. Если X хаусдорфово, то а обладает окрест-
окрестностью, замыкание которой компактно и содержится в U.
Доказательство. Так как пространство U локально ком-
компактно (см. 21), то а обладает в нем окрестностью с компактным
замыканием; пусть V — такая окрестность. Так как множество U
открыто, то множество V открыто в X. Так как замыкание
множества V в U компактно, а пространство X хаусдорфово,
то замыкание множества V в U замкнуто в X (см. 4) и потому
совпадает с замыканием множества V в X. Таким образом,
V — требуемая окрестность.
23. Хаусдорфовы локально компактные пространства регу-
регулярны.
Это следует из 22.
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 33
Информация: паракомпактность с-
24. Хаусдорфово пространство называется паракомпактным,
если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально
конечное открытое покрытие. К числу паракомпактных прост-
пространств принадлежат компактные хаусдорфовы пространства
(что очевидно) и все метрические пространства. Замкнутые под-
подмножества паракомпактных пространств паракомпактны. Все
паракомпактные пространства нормальны. Подробности см. в [11].
Можно показать, что паракомпактное пространство, которое
покрывается метризуемыми открытыми множествами, метри-
зуемо; см. [13].
§ 2. КОНСТРУКЦИИ
1. Суммы
1. Сумма LJusm-^h семейства топологических пространств
{Хц| sM становится топологическим пространством, если объя-
объявить открытыми те ее подмножества, прообразы которых при
всех отображениях inv: XV->U X^ открыты. Равносильное опре-
определение: в и!ц замкнуты те множества, прообразы которых
при всех отображениях inv замкнуты. Ясно, что каждое из ото-
отображений inv: Xv—> 1_1Хц является вложением и что образы
inv(Xv) одновременно открыты и замкнуты в U Хц.
Если {Yy} — другое семейство топологических пространств,
индексированное тем же множеством М, и f^: X^-^Y^ — непре-
непрерывные отображения, то отображение U/ц: U Х^ -> U Y^, оче-
очевидно, также непрерывно.
2. Если все пространства Х^ удовлетворяют одной из
аксиом Ть Т2, Т3, Т4, то их сумма удовлетворяет той же аксиоме;
то же относится к первой аксиоме счетности, а также к локаль-
локальной компактности и метризуемости [если пространства Хц метри-
зованы, то пространство UX^ может быть метризовано форму-
формулами: dist(inv(x), inV'(*')) = 1, если v^v' или v = v', dist(x, х')^\;
dist (inv (л:), inv(x')) = dist(A:, х'), если dist (л:, х') < 1]. Если каждое
из пространств Хц обладает счетной базой и множество М счетно,
то и сумма обладает счетной базой; то же относится к сепа-
сепарабельности. Наконец, если каждое из пространств компактно
и множество М конечно, то сумма компактна.
2. Произведения
1. Пусть Хи ..., ^ — топологические пространства. Снабдим
множество Xi X • • • X Хп топологией, приняв за базу совокуп-
совокупность всех множеств U{ X • • • X Un <= Xi X ¦ • • X Хп, где
9 R А Рпхлин П U (bvKf
34 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Т
Uх,¦¦*.., Un— открытые множества в Хг Хп. Условия пред-
предложения 1.1.8 здесь выполнены в силу формулы (f/'X • • • Х^я) П
(?/? X • • ¦ X Un) = (fA П UT) X • •. X (U'n П Un). Полученное то-
топологическое пространство называется произведением пространств
Х\, . . ., Хп.
Ясно, что если Л1( ..., Л„— подпространства пространств
Х\, .... Хп, то топология произведения А\ X • • • X Л„ совпадает
с топологией, индуцированной включением Ах X ••• ХЛ„с:
Xi X • • • X Хп.
Некоторые произведения нами, по существу, уже рассматри-
рассматривались. Так, R" есть произведение п экземпляров прямой R, /"
есть произведение п экземпляров отрезка /.
Произведение топологического пространства X на / назы-
называется цилиндром над X.
2. Перемножение пространств коммутативно и ассоциативно:
имеются очевидные канонические гомеоморфизмы Х\ХХ2->
Х2ХХХ и (Х1ХХ2)ХХ3^Х1Х(Х2ХХ3). В том же смысле
U.X ••• X*«-i)X*,, = *iX ••• ХХп.
Кроме того, перемножение дистрибутивно по отношению
к суммированию: имеется очевидный канонический гомеомор-
гомеоморфизм X X(UVifSuYli)-+Uvau{X XYJ.
3. Если множества Ль ..., Л„ открыты в Х\, ..., Хп, то
множество А = AiX • • • X Ап открыто в Х\ X ¦ • • X Хп- Если
Аъ ..., Ап замкнуты, то А замкнуто. Во всех случаях С1Л =
смх с1л
„
Первое прямо следует из определения топологии в Хг X ••• ХХп,
второе является следствием третьего; докажем третье. Точка
(хи ..., хп) sJfi X ••• ХХп тогда и только тогда является
точкой прикосновения множества Л, когда пересечение любой
базисной окрестности U{ X • • • XUn этой точки с Л непусто,
т. е. когда пересечения любых окрестностей Uu ..., Un точек
Х\, ..., хп с множествами Ль ..., Л„ непусты, т. е. когда
%х хп — точки прикосновения множеств Аи ..., Л„. Таким
образом, С1Л = С1Л1Х ... ХС1Л„.
4. Очевидно, что проекции рг2: Х\ X • • • XXn^*-Xt непрерывны
и открыты для любых топологических пространств Х\, ..., Хп.
Множества вида *° X ... X *?_, X Xt X х\+х X ... X х°п
c^el. (/ Ф i) называются слоями произведения Х{ X • • • X Хп.
Ясно, что сужение проекции piy. XiX ••• X'Xn->Xt на слой
х°{Х ... Xrf^XXiXrf^X ••• Хх?п есть гомеоморфизм. Таким
образом, слои канонически гомеоморфны сомножителям.
Всякому отображению f: Y-*XiX ••• X Хп, где Y,
Хи ..., Хп — какие угодно множества, отвечают отображения
рг/ of: Y->Xt, и'для произвольно заданных отображений f{: Y-*Xt
существует одно и только одно отображение f: Y -> Х\ X • • • X Хп
$ 2] КОНСТРУКЦИИ 35
срг;°/==/г. Очевидно, что если Y, Хи ..., А„ — топологические
пространства, то отображение / непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывны все отображения рг2°/.
Из последнего, в частности, вытекает, что отображение
diag: Х^-ХХХ непрерывно для всякого топологического про-
пространства X. Заметим, что (как это очевидно) диагональ diag(Z)
замкнута в точности тогда, когда пространство X хаусдорфово.
5. Ясно, что произведение f} X ••¦ X fn'' Xi X ... ХХп-*
Yx X • • • X Yn непрерывных отображений f{: X\-+Yu . . .,
fn' Xn->Yn непрерывно. Ясно также, что если отображения
/i, • • ¦. fn открыты, то произведение /i X • ¦ • X fn открыто.
6. Если X — метрическое пространство, то, очевидно,
j dist (jCj, x'2) — dist(jc,, х2) | < dist (х[, я,) -f dist (х2, х2) для любых
точек х{, х9, л^, х'2 из X. Это неравенство показывает, что
dist: IXI-*R есть непрерывная функция. Заметим, что послед-
последний факт не мог быть сформулирован в п. 1.2, поскольку там
множество X X X не было еще топологизировано.
Свойства произведения
7. Произведение Т^-пространств есть Тгпространство. Произ-
Произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово. Произведение
регулярных пространств регулярно.
Первое и второе очевидно; покажем, что произведение
Т3-пространств Х[ Хп есть Т3-пространство. Пусть U — ок-
окрестность точки (хи ..., хп) в Х\ X • • • X Хп. Найдем для точек
хи ..., хп сначала такие окрестности Uu ..., Un, что U\ X •• •
~X_UnczU, и затем такие окрестности V\, ..., Va, что ClV'jc:
Ui ClVnczUn. Так как С1(У, X . •. X KJ-C1 К, X ...
ХС1К„ (см. 3), то С1(У,Х ... XVn)aU.
Информация. Произведение нормальных пространств
может не быть нормальным; см. A4].
8. Если Su ..., Sn — всюду плотные подмножества прост-
пространств Хи ..., Хп, то, очевидно, множество Si X • • • Х5„ всюду
плотно в XiX. • • ¦ У\Хп. Следовательно, произведение сепара-
бельных пространств сепарабельно.
Если Г], ..., Г„ — базы пространств Xlt ..., Хп, то мно-
множества ?/[ X •¦• X^n c U\ e Г! G„еГ„ составляют базу
пространства Х\ X ••• У\Хп. Следовательно, произведение про-
пространств со счетной базой обладает счетной базой.
Если Гь ..., Г„ — базы пространств Хи ..., Хп в точках
*\ хп, то множества С/, X •. • X Un с Ux e Г] [/„еГ„
составляют базу пространства Xi X • • • X ^« в точке (лгь ..., хп).
Следовательно, произведение пространств, удовлетворяющих
первой аксиоме счетностщ удовлетворяет первой аксиоме
счетности.
86 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ< 1
9. Произведение метризуемых пространств метризуемо.
Более того, если пространства Х\ Хп метризованы, то
произведение Х\ X • • • X Хп метризуется канонически формулой
dlst((*„..., хп), «,..., <)) = K-.(dist(*i. x'jff2.
10. Произведение компактных-прост ранет в компактно.
Доказательство достаточно провести для случая двух прост-
пространств. Пусть X, Y—компактные пространства и Г — открытое
покрытие пространства ХУ^У. Впишем в Г какое-нибудь покры-
покрытие Д, составленное из открытых множеств вида . U X V
(см. 1.1.13). Так как слой хУ^У гомеоморфны Y, a Y компактно,
то для каждой точки х е X можно указать конечный набор
Ах = {Ui {х) X Vi (*)}"Jf, составляющий часть покрытия Д и
покрывающий х X Y (см. 1.7.2), причем можно считать, что
каждое из множеств Ut (x) содержит х. Так как множества
Ux — П^ Ut {х) открыты и покрывают X, а X компактно, то X
покрывается некоторым конечным набором UXl, ..., UXm, и ясно,
что A/ = Ujl1Ax- есть покрытие пространства X X Y. Заменив
каждое из множеств этого покрытия содержащим его элементом
покрытия Г, мы и получим конечное подпокрытие покрытия Г.
}/. Произведение локально компактных пространств локально
компактно.
Доказательство. Если Uu ..., Un — окрестности точек
Xi^Xi, ..., ^е1„, то Ui X ••• X Un есть окрестность точки
(*i хп) в Xi X ••• X Хп, замыкание CI (f/j X ¦ • • X Un) кото-
которой совпадает с ClUi X ••• ХСШ„ (см. 3) и потому компактно
вместе с Clt/j С1 ?/„ (см. 10).
Применение: способ построения
непрерывных отображений
12. Нижеследующее предложение 14 позволяет устанавливать
непрерывность отображений в некоторых ситуациях, сходных
с ситуацией теоремы 1.4.3, когда последняя неприменима.
13 (Лемма). Пусть отображение f: X\Q—>Z непрерывно и
переводит слой х0 X Q в точку. Если пространство Q компактно,
то для всякой окрестности W точки f (х0 X Q) существует такая
окрестность U точки х0, что f (U X.Q) czW.
Доказательство. Фиксируем для каждой точки q eQ
такую окрестность Uq точки х0 и такую окрестность Vq точки qt
что f {Uq X Vq) с W. Если пространство Q компактно, то оно
покрывается конечным набором V4i Vq , и мы полагаем
14. Пусть X, Y, Z, Q — топологические пространства, А — под-
подмножество пространства X, В — замкнутое подмножество про-
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 3/
странства Y и f: Xy(Q->Z, g: Y->X — такие непрерывные
отображения, что множества f (х X Q) с х е А одноточечны и
g (В) сг А. Если Q компактно, то для всякого непрерывного ото-
отображения <р: Y\B->Q отображение h: Y~>Z, определяемое
формулой
Г f(g(y), 4>(y)) при yz=Y\B,
~~\f(g(y)XQ) при у<=В,
непрерывно.
Доказательство. Непрерывность h в точках множества
Y\B очевидна; проверим ее в точке у е В. В силу леммы 13,
для всякой окрестности W точки h (у) существует окрестность U
точки g(у) с f(Uy(Q)czW. Из последнего включения следует,
что h (g~l (U)) сг W, и остается заметить, что g~] {U) есть окрест-
окрестность точки у.
Информация
15. Произведение топологических пространств допускает есте-
естественное определение и тогда, когда число сомножителей беско-
бесконечно; при этом произведение компактных пространств остается
компактным. Подробности см. в [3].
3. Факторизация
1. Фактормножество X/} топологического пространства X по
любому его разбиению f обладает естественной топологией:
множество открыто, если открыт его прообраз при отображении
рг: Х—>Х/\. Равносильная формулировка: множество замкнуто,
если его прообраз при отображении рг: Х-+Х1\ замкнут. Эта
естественная топология называется фактортопологией, и мно-
множество Х/\, наделенное фактортопологией, называется фактор-
пространством пространства X по разбиению f.
Ясно, что отображение рг: Х->Х/\ непрерывно.
В специальном случае, когда все элементы разбиения (,
кроме одного элемента, А, являются точками, пространство Х/\
называется факторпространством пространства X по А и обозна-
обозначается через Х/А.
2. Из определения фактортопологии следует, что каковы бы
ни были топологические пространства X, Y, их разбиения f, t
и непрерывное отображение f: X-+Y, отображающее элементы
разбиения f в элементы разбиения t, отображение fact/: Xj\->
Y/t непрерывно. Действительно, если U — открытое множество
в Y/t, то множество f ~l (pr (t/)) открыто в X, из чего следует,
ввиду равенства /"'(pr(f/)) = pr~1 ((fact/)"'(?/)), что множе-
множество (fact f)~' (t/) открыто в X/f.
8а ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И~Л< 1
Если t — разбиение на отдельные точки, то Y/t — Y, a pr: Y->
Yjt есть тождественное отображение. В этом случае сопоста-
сопоставление ft—>factf определяет взаимно однозначное соответст-
соответствие между непрерывными отображениями X —>Y, постоянны-
постоянными на элементах разбиения (, и непрерывными отображениями
X/\->Y.
3. Из сказанного, в частности, следует, что если отображе-
отображение f: X--*-Y непрерывно, то его взаимно однозначный фактор
fact f: Z/zer (f) —> F также непрерывен. Верно и обратное: вся-
всякое отображение / топологического пространства X в тополо-
топологическое пространство Y представляется как сквозное отобра-
„ Р' ,,, ... fact f
жение л—>Xjz&v(f) *-Y, и потому из непрерывности fact f
следует непрерывность f.
4. Непрерывное отображение, взаимно однозначный фактор
которого является гомеоморфизмом, называется факторным.
Равносильное определение: отображение f топологического про-
пространства X в топологическое пространство Y факторно, если
f(X) = Y и прообраз f~l {В) множества В открыт тогда и только
тогда, когда открыто В. Другое равносильное определение по-
получится, если заменить в этой формулировке открытые множе-
множества замкнутыми.
Очевидно, что композиция двух факторных отображений
факторна и что взаимно однозначное факторное отображение
есть гомеоморфизм. Ясно также, что если отображение f фак-
факторно и композиция g°f непрерывна, то отображение g непре-
непрерывно, и что если f непрерывно и композиция g°f факторна,
то g факторно.
Основной класс факторных отображений составляют проек-
проекции на факторпространства. Грубым достаточным условием
факторности отображения /: X —>У с f(X)=Y является его
открытость или замкнутость.
5. Факторизация транзитивна: если f —разбиение простран-
пространства X и f — разбиение пространства A"/f, то факторпростран-
ство (Xj\)l)' канонически гомеоморфно Xjt, где t — разбиение
пространства X на прообразы элементов разбиения Г при про-
проекции X—*-X/S- Канонический гомеоморфизм определяется как
взаимно однозначный фактор сквозной проекции X—>Xtf—>
(.ЛГ/О/Г; что последний действительно является гомеоморфиз-
miom, следует из его факторности (см. 4).
6. Если множества А, В составляют фундаментальное покры-
покрытие пространства X, то отображение
fact [in: A-*X\: AJA[)B-+X/B
есть гомеоморфизм.
§ 2] КОНСТРУКЦИИ Й9
Для доказательства достаточно установить, что если U —
открытое подмножество факторпространства А/А(]В, то множе-
множество V = [рг. X-> XjB]~l (fact in (С/)) открыто в X. А это следует
из равенств
V\)A = \pr. А-+А/АП В]-1 {U),_
0, если pr(A(]B)<?U.
Свойства факторпространства
7. Очевидно, что факторпространство X/} в том и только
том случае удовлетворяет аксиоме Ть если элементы разбие-
разбиения f замкнуты, и в том и только том случае хаусдорфово,
если у любых двух различных элементов разбиения f есть не-
непересекающиеся насыщенные окрестности. Если заменить в по-
последнем условии один из элементов разбиения f насыщенным
замкнутым множеством, то получится условие, эквивалентное
аксиоме Т3 для Xft, а если заменить оба элемента разбиения (
насыщенными замкнутыми множествами, то получится условие,
эквивалентное аксиоме Т4 для ХЦ.
Ясно также, что ХЦ в том и только том случае обладает
счетной базой, если в X есть такая счетная совокупность от-
открытых насыщенных множеств, что всякое насыщенное открытое
множество представляется как объединение некоторого набора
множеств этой совокупности.
Из 1.6.6 следует, что факторпространство сепарабельного
пространства сепарабельно.
Из 1.7.8 следует, что факторпространство компактного про-
пространства компактно.
Случай замкнутых разбиений
8. Разбиение f пространства X называется замкнутым, если
pr: X~>X/i есть замкнутое отображение. Равносильное условие:
насыщение любого замкнутого множества замкнуто.
Ясно, что разбиение с единственным неодноточечным элемен-
элементом замкнуто, если этот элемент является замкнутым мно-
множеством.
9. Факторпространство Т ^-пространства по замкнутому раз-
разбиению есть Т'^пространство. Факторпространство нормального
пространства по замкнутому разбиению нормально.
Первое очевидно, и нужно лишь доказать, что если f — зам-
замкнутое разбиение Т4-пространства X, то X/) есть Т4-пространство.
Пусть Fi, F2 — непересекающиеся насыщенные замкнутые мно-
40 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ, 1
жества в X. Так как X нормально, то Fu F2 обладают не-
непересекающимися окрестностями. Так как разбиение f замкнуто,
то насыщения дополнений этих окрестностей замкнуты, и ясно,
что дополнения этих насыщений представляют собой непере-
непересекающиеся насыщенные окрестности множеств Fx, F2-
Случай открытых разбиений
10. Разбиение f пространства X называется открытым, если
рг: Х->Х/1 есть открытое отображение. Равносильное условие:
насыщения открытых множеств открыты.
Если f—открытое разбиение и А — насыщенное множе-
множество, то насыщение множества Int.4 открыто и, следовательно,
совпадает с Int^, переход же к дополнениям показывает, что
насыщение множества С1Л совпадает с С1Л. Таким образом, в
случае открытого разбиения внутренняя часть и замыкание на-
насыщенного множества являются насыщенными множествами.
Из 1.6.6 следует, что факторпространство пространства,
удовлетворяющего первой или второй аксиоме счетности, по
открытому разбиению удовлетворяет той же аксиоме счет-
счетности.
11. Если f — открытое разбиение пространства X и t— откры-
открытое разбиение пространства Y, то пространство (Z/f) X 070
канонически гомеоморфно факторпространству (ХХУ)/(ТХ0-
Канонический гомеоморфизм определяется как взаимно одно-
однозначный фактор отображения prXpr: XX.Y-+ (J/f)X 07 0;
что этот фактор действительно является гомеоморфизмом, сле-
следует из открытости отображения ргХрг (см. 2.5).
4. Склеивание
1. Склеиванием мы называем составную операцию над топо-
топологическими пространствами-, представляющую собой компози-
композицию суммирования и факторизации. Точнее, если {Ху} и—
семейство топологических пространств и [—разбиение про-
пространства X = U Хр,, то мы говорим, что факторпространство J/f
получается из пространств Ху. склеиванием по f. Сквозное ото-
отображение
называется v-м погружением и обозначается через immv Ясно,
что множества imnin(^) составляют фундаментальное покрытие
пространства Xft и что отображение f пространства X/) в какое
угодно топологическое пространство непрерывно тогда и только
тогда, когда непрерывны все композиции f о i
§ 2] * КОНСТРУКЦИИ 4{
Объединение
2. Пусть {Хц} м — семейство топологических простра-нств.
Предположим, что каждой паре (ц, ц')^МХМ отнесено не-
некоторое множество Ащц с!,, и что, кроме того, с каждой
парой (ц, ц') е М X М сопоставлено некоторое обратимое ото-
отображение Ф(Ш,: Ат,-^А^, причем: (i) AWIL = XVL и 4>w = idXfl
для любого (isM; (ii) Ф^(^,П У = ^Иу и Ди-
Диаграмма
п л
1 i>i^'jt»
коммутативна для любых ц, ц', fi" s М. Обозначим для х е LJ Хц
через ВЛ подмножество пространства LJ X», составленное из
точек in^((fv^{x)) с ЛГAэх Различные множества Вх попарно
не пересекаются и составляют разбиение пространства LJ Х^.
Соответствующее факторпространство называется объединением
пространств Х^ по отображениям <рЦ|Л,.
Ясно, что эта конструкция представляет собой специальный
случай склеивания, а,именно, случай, когда все погруженияimm^
взаимно однозначны. Ясно также, что если все ср , — гомеомор-
гомеоморфизмы и, кроме того, все Ат' открыты или все Aw замкнуты,
то все ншпц являются вложениями.
В общем случае объединение ^-пространств является, оче-
очевидно, Тгпространством.
3. Конструкция объединения часто применяется в ситуации,
когда пространства Х^ являются подмножествами некоторого
множества X и составляют его покрытие, а Ат, и фда, опре-
определяются формулами А , = X П X „ ф|Л|Л/ = 1с1. В этой ситуации
условия 2(i), 2 (ii) выполняются автоматически и объединение
пространств Ху, может быть описаио просто как X, наделенное
топологией, в которой множество С открыто (замкнуто) тогда
и только тогда, когда при каяСдом ц е М пересечение С (] Хц
открыто (замкнуто) в Хц.
Заслуживает внимания специальный случай, когда топология
в множествах Х& индуцируется какой-нибудь топологией, уже
име ощейся в X; наша конструкция определяет тогда в X новую
топологию. Ясно, что множества, открытые (замкнутые) в старой.
42 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
топологии, открыты (замкнуты) и в новой топологии. Ясно
также, что если все пересечения Хц П Х^ открыты в своих мно-
множествах Хц (наделенных исходной топологией), то новая топо-
топология в X индуцирует в каждом Х^ прежнюю топологию; то же
верно, если все пересечения Хц П Х^' замкнуты в своих Л"ц.
Пределы и фильтрации
4. Пусть Xq, X\, ... — топологические пространства и
Фо: Х0-+Хи Фь Х\ —>Х2, ••• —вложения. Положим
<Pft_i ° • • • ° 4V (Хк,), если к' < k,
Хк, если k'^k;
' ab^fe_j0 ... оф^Л, если k' < k,
Ц>кк, = \ idJfe, если k'=*k,
ГаЬ(ф^ , о ... офУР1, если k' > k.
Очевидно, что условия 2 (i) и 2 (ii) выполнены, так что опре-
определено объединение пространств Хк. Это объединение называется
пределом последов'ательности {Xk, ф/j}, или, короче, пределом
последовательности {Хк}, и обозначается через \\m{Xk, q>k) или
Одно из специфических свойств конструкции предела со-
состоит в том, что все отображения immj.: Xk—>\imXk являются
вложениями. Доказательство: всякое замкнутое подмножество А
пространства Xk является прообразом при отображении imm^
некоторого замкнутого подмножества пространства \\mXk, на-
например, прообразом множества
viLiimm*' (Cljr*' (ф*'-' ° • • • ° ** щ-
Ясно, что если при каждом k множество q>k(Xk) открыто
в Xk+i, то все множества immkiXk) открыты в Нт(^, ф^),
а если при каждом k множество q>k{Xk) замкнуто в Xk+i, то
все множества imm4(Zft) замкнуты в lim(XA, ф&).
Если {X'k, ц>к: X'k->X'k+1} — другая последовательность топо-
топологических пространств и вложений и для каждого k задано
непрерывное отображение fk: Xk~>X'k, причем все диаграммы
v fk v
Л/г > Ак
коммутативны, то формула f (imnift {x)) = imrrifc (f^ (xj) опреде-
§ 21 КОНСТРУКЦИИ '43
ляет непрерывное отображение f: lim(Xft, Фй)-*¦ Hm (Z^, q>Q;
см. 3.2. Это отображение называется пределом последователь-
последовательности f\, f2, • • • и обозначается через lirn fk.
5. Если Xq, X\, ... являются Т'^пространствами, то всякое
компактное подмножество пространства lim Xk содержится в од-
одном из множеств imm^Zfc.
Это следует из 1.7.6.
6. Если пространства Хо, Х\, ... нормальны и при каждом k
множество q>k(Xk) замкнуто в Xk+i, то пространство \\m(Xk, qpj.)
нормально.
Доказательство. Поскольку мы уже знаем, что \im(Xk,q>k)
есть Трпространство (см. 2), достаточно установить, что у любой
пары непересекающихся замкнутых подмножедтв А, В этого
пространства есть функция Урысона (см. 1.5.9). А для этого
достаточно построить такую последовательность функций fk:
immkiXk)-*-!, что fk есть функция Урысона пары А [\ immk (Xk),
B[\\mmk(Xk) и что fk+l l,mmft (^ft) = /*¦
В качестве f0 можно взять произвольную функцию Урысона
пары ЛГ|1тто(^о), Bf]immo{XQ). Функция fk+l: immA+i (Xk+i)->/
строится по функции fk как продолл<ение функции gk: [imm4 (Xk)]
U [Л Г) immk+l(Xk+i)] U [В Л immA+1(ZA+i)]->/, определяемой
формулой
{fk (х), если х е immj. (Xk),
О, если д:е ^nimmft+i(ZA+1),
1, если JtGfinimmHi(Ii+1)
(см. 1.5.11). Что функции gk непрерывны, следует из замкну-
замкнутости множеств \mmk(Xk), А П ш\тк+\ (Xk+\), Bf\ immA+1 (Xk+{)
(см. 1.4.3), которая вытекает из замкнутости множеств <рк(Х/с),
Л)
7. Последовательность Хо, Х\, • ¦ • подмножеств топологи-
топологического пространства X называется его фильтрацией, если, во-
первых, Хо cr Xi a ... и, во-вторых, множества Хк составляют
фундаментальное покрытие пространства X.
В силу первого условия определены включения in: Xk-*Xk+\
и предел \\m(Xk, in), второе же условие, очевидно, равносильно
требованию, чтобы отображение X-+\\va(Xk, in), совпадающее
на Xk с imnift: Z*—>lirn(jfft, in), было гомеоморфизмом. Этот
канонический гомеоморфизм позволяет отождествить \\vn(Xk, in)
с X.
Прикл еив ан ие
8. Пусть Х\, Х2 — топологические пространства, С — под-
подмножество пространства Х\ и ср: С —>¦ Х2 — непрерывное отобра-
отображение. Обозначим через f разбиение суммы Х\ U Х% на точки
Ф1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Т
множеств int (Xi \ С) и in2 (Х2 \ ф (С)) и множества irij (ф~! (х)) \j
ш2(л;) с хеф(С), Факторпространство ftU^)/f обозначается
через ^Уф^; говорят, что оно получается приклеиванием про-
пространства Х\ к пространству Х2 посредством ф.
Ясно, что эта конструкция представляет собой специаль-
специальный случай склеивания и что imm2: X2->X2\]q,Xi есть вло-
вложение.
Если Х2—точка, то Х2иф^и канонически гомеоморфно фактор-
пространству Xi/C. Канонический гомеоморфизм Х\/С —>• Х211ФХ\
определяется как fact[immi: Xi^>Xz\}<fXx].
9. Если пространства Xit X2 нормальны и множество С зам-
замкнуто, то пространство Л0ф^и нормально.
Доказательство. Поскольку мы уже знаем, что Х211ФХ\
есть Тгпространство (см. 2), достаточно установить, что у любой
пары непересекающихся замкнутых подмножеств А, В простран-
пространства Х2[\уХ\ есть функция Урысона. Пусть f2: Z2—>/—функ-
Z2—>/—функция Урысона пары imm~' (Л), imm~'(fi). Определим функцию
g: С U [immj (A)] |J [immp1 EI—>/ формулой
f2 (ф (х)), если j;sC,
0, если х е immp1 (A),
1, если х €
и продолжим ее до какой-нибудь непрерывной функции f^. Xy -> /
(см. 1.5.11). Ясно, что функция Х2{]щХ\—>1, определяемая
формулой
( fi(x), если y = imm1{x) [xg!,],
\ h(x), если y = imm2{x) [xel2l,
является функцией Урысона пары А, В.
5. Проективные пространства
/. В этом пункте описываются вещественные, комплексные,
кватернионные и кэлиевы проективные пространства. Они могут
рассматриваться как примеры, иллюстрирующие определения
предыдущих пунктов, но важны и сами по себе.
Поле комплексных чисел будет обозначаться через С, тело
кватернионов — через Н, алгебра чисел Кэли — через Са. Соот-
Соответствующие n-мерные пространства, т. е. n-кратные произве-
произведения СХ ... ХС, НХ ... ХН, СаХ ... ХСа, будут обо-
обозначаться через С", Н", Са". Поскольку комплексное число
есть пара вещественных чисел, кватернион — четверка веще-
вещественных чисел, а число Кэли — восьмерка вещественных чисел,
g 2] КОНСТРУКЦИИ 45
С", Н", Са" естественно отождествляются с R2n, Rin, R8n и,
в частности, обладают естественной метрикой и топологией.
Векторные операции в С", Н", Са" (сложение и левое и пра-
правое умножение на скаляры) непрерывны в этой топологии.
2. Вещественное проективное пространство размерности п
определяется как факторпространство сферы S" по ее разбие-
разбиению на пары диаметрально противоположных точек. Обозна-
Обозначение: RPn. Это пространство может быть описано равносиль-
равносильным образом как факторпространство шара D" по разбиению,
элементами которого служат внутренние точки шара и пары
диаметрально противоположных точек его границы Sn~l. Кано-
Каноническим гомеоморфизмом, позволяющим отождествить эти
факторпространства, служит fact/, где f — отображение шара
Dn в S", определяемое формулой {хи ..., хп)*->(хи ..., хп,
V1-*?- ••• -О-
Точки пространства RP11 находятся также в естественном
взаимно однозначном соответствии с прямыми пространства
Rn+l, проходящими через точку 0 = @, ..., 0) [паре точек х,
— ieS" отвечает прямая, проходящая через х и — х]. Мно-
Множество всех таких прямых, наделенное угловой метрикой (рас-
(расстояние между двумя прямыми есть угол между ними, не пре-
превышающий л/2), является метрическим пространством, и ясно,
что указанное естественное отображение пространства RPn на
это пространство есть гомеоморфизм. Это дает третье описа-
описание пространства RPn. Четвертое, координатное описание полу-
получится, если заметить, что прямая, проходящая через 0, опре-
определяется каждой своей ненулевой точкой и что координаты
любых двух ненулевых точек такой прямой пропорциональны.
Это позволяет интерпретировать точки пространства RP11 как
классы пропорциональных ненулевых вещественных последова-
последовательностей (лгь ..., х„+1); точка, определяемая последователь-
последовательностью (#i, ..., х,п+1), обозначается через {хх : ... : хп+1), и числа
хи ..., xn+i называются ее однородными координатами. Топо-
Топология пространства RP" описывается в однородных координа-
координатах очевидным образом.
3. Все изложенные описания пространства RPn естественно
переносятся на комплексный случай и приводят к четырем рав-
равносильным описаниям п-мерного комплексного проективного про-
пространства СРп. Первое описание: СРп есть факторпространство
единичной сферы S2n+l пространства С"+1 по ее разбиению на
окружности, высекаемые (комплексными) прямыми простран-
пространства Ся+1, проходящими через точку 0. Второе описание: СРп
есть факторпространство единичного шара D2n пространства С"
по разбиению, элементами которого служат внутренние точки
46 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. г
шара и окружности, высекаемые на его границе S2" прямыми
пространства С", проходящими через точку 0; каноническим
гомеоморфизмом, позволяющим отождествить это факторпро-
странство с предыдущим, служит fact/, где f — отображение
шара D2n в S2n+l, определяемое формулой {хи ..., x2n)i—*¦
(xt, ..., х2п, <\j\—x\ — ... —х\п, О). Третье описание: СР"
есть множество прямых пространства С"+1, проходящих через 0,
топологизированное угловой метрикой. Четвертое описание:
СРп есть пространство классов (комплексно) пропорциональных
ненулевых комплексных последовательностей (хи ..., хп+1).
Обозначение {хх '. ... : xn+i), введенное в 2, также перено-
переносится на комплексный случай, и числа хх, ..., хп+х, как и
в вещественном случае, называются однородными координа-
координатами точки (*!: ... : хп+х).
4. Поскольку тело кватернионов не коммутативно, в про-
пространствах И" приходится различать левые и правые прямые.
После того как выбраны те или другие, все, сказанное в 3,
автоматически переносится на кватернионный случай, и мы
получаем четыре эквивалентных описания соответствующего
(левого или правого) п-мерного кватернионного проективного
пространства ИР". Так как антиавтоморфизм мультипликатив-
мультипликативной группы тела Н, определяемый формулой х^-^х~1, перево-
переводит левые прямые в правые, то правое пространство HP" кано-
канонически гомеоморфно левому.
В дальнейшем мы всегда будем рассматривать Н" как левое
векторное пространство и, в соответствии с этим, будем пони-
понимать под HP" левое проективное пространство.
5. Из-за неассоциативности алгебры Кэли в пространстве Са"
вообще не удается удовлетворительно определить прямые, если
п > 2. В плоскости Кэли Са2 прямая, проходящая через точку
@, 0), может быть определена как множество {(л:ь x2)\x2 = cxi}
ссе Са, и, кроме того, имеется вертикальная координатная
прямая {(хь х2) 1*1 = 0}. Ясно, что эти прямые являются восьми-
восьмимерными подпространствами, если Са2 рассматривается как R16,
и что каждая тачка плоскости Са2, отличная от @, 0), принад-
принадлежит в точности одной из них. Со сферой S15 эти прямые
пересекаются по семимерным сферам, и мы можем определить
проективную прямую Кэли СаР' как факторпространство сферы
S15 по разбиению на эти семимерные сферы. Имеются, конечно,
и три другие описания этой проективной прямой, повторяющие
с очевидными изменениями сказанное в 2, 3, 4. Кроме того,
мы получаем возможность определить проективную плоскость
Кэли СаР2 как факторпространство шара D16 по разбиению,
элементами которого служат внутренние точки этого шара и
только что описанные семимерные сферы. Дать для проектив-
$ 2] КОНСТРУКЦИИ . 47
ной плоскости СаР2 другие описания в духе 2, 3, 4 уже не
удается. Проективные пространства Кэли старших размерностей
не определяются.
6. Пространства RP1, СР1, HP1, СаР1 канонически гомео-
морфны сферам S[, S2, S4, S8. Гомеоморфизм RPl-+S1 перево-
переводит прямую i;i=Ob ortb а прямую х2 = схх в точку проколо-
проколотой сферы S1 \ orti, отвечающую числу с при гомеоморфизме
R'->S] \ ortb который описан в 1.4.8. Гомеоморфизмы CP'->S2,
НР'-*54, СаР1 —>S8 определяются так же с заменой гомеомор-
гомеоморфизма RI->5'\orti гомеоморфизмами С1 = R2-»S2\ort,, H1 =
R4-*S4\ort,, Ca' = R8->S8\ortI.
7. Каноническое вложение пространства Rk в R*+1, относя-
относящее точке (х\, ..., xk) точку {хи ..., х&, 0), позволяет отожде-
отождествить Rk с подпространством xk+l=0 пространства Rft+I и
может, таким образом, рассматриваться как включение. Оно
индуцирует включения Dk->Dk+l, Sk~[->Sk, RPk~l-+RPk и
подобным же образом включения Ck->Ck+l, Hft->Hfe+1 инду-
индуцируют включения CPk-l->CPk, HP*-1 -*¦ HPfe.
Положим
RP°° = Hm RPfe, CP°° = lim CPk, HP00 = lim HPft.
Точки пространств R°°, C°° и Н°° естественно отождествляются
с вещественными, комплексными и кватернионными финитными
последовательностями {%}, . Сфера 5°° содержится в шаре D°°,
а шар D°° — в пространстве R00. Проективные пространства
RP°°, CP°°, НР°° получаются из сферы 5°° и шара D°° посред-
посредством факторизации, которые являются пределами факториза-
факторизации, описанных в 2, 3, 4.
8. Предыдущие описания пространств СРп и НРге, а также
пространства СаР1, как факторпространств сфер, определя-
определяют проекции S2n+I-> СР", 54"+3->-НР" и S15-*CaP\ играющие
особую роль, Они называются отображениями Хопфа. Среди
них важнейшими являются отображения S3 -*¦ СР1 = S2,
S7 -> HP1 = 54, S15 -»• CaP1 = S8.
6. Более специальные конструкции
1. Пусть X — топологическое пространство. Факторпростран-
ство {ХХ1)/(ХХ0) называется конусом над X и обозначается
через сопХ. Точка рг(ХХО) называется вершиной конуса,
множество pr(Z X 1) — основанием конуса, каждое из множеств
Рг(*Х/) с х е X — образующей конуса. Основание связано
с X каноническим гомеоморфизмом, и обычно его отождест-
48 >- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
вляют с X. Образующие связаны очевидными каноническими
гомеоморфизмами с /.
Каждому отображению f пространства X в другое тополо-
топологическое пространство, У, отвечает отображение fact (f X id /):
con Z ~»conF, непрерывное, если непрерывно f. Оно обозна-
обозначается через con/.
2. Факторпространство произведения ХУ.1 по разбиению,
элементами которого служат множества X X 0 и X X 1 и точки
множества {X X/) \ [{X X 0)[]{Х X 0L называется надстройкой
над X и обозначается через suX. Точки pr(ZXO), pr(JXl)
называются вершинами надстройки, множество рг(ХХA/2))
называется ее основанием, множества рг(л;Х/) с iel назы-
называются ее образующими. Основание связано очевидным кано-
каноническим гомеоморфизмом cl, а каждая из образующих—с/.
Каждому отображению f: X-+Y отвечает отображение
fact (f X id/): suJ->-su7, непрерывное, если непрерывно /. Оно
обозначается через stif.
Заметим, что надстройка suJf может быть равносильным
образом описана как conXjX.
3. Пусть Х{, Х2 — топологические пространства. Факторпро-
Факторпространство произведения Х\ X Х2 X I по разбиению, элементами
которого служат множества хх X Х2 X 0 (с хг е Хг) и ZjX^-Xl
(с х2<=Х2) и точки множества {Хг X Х2 Х-0 \ [Ui X Х2 X 0) U
(Xi X Хг X 1)], называется джойном пространств Хи Х2 и обо-
обозначается через Х\ * Х2. Множества pr (Xj Х-^гХ 0), ргЦ\Х
Х2 X 1) называются основаниями джойна, а множества ргО^Х
х2 X /) с xl^Xu х2^Х2 — образующими джойна. Основания
связаны с Хи Х2 очевидными каноническими гомеоморфизмами,
и обычно их отождествляют с Хи Х2. Образующие связаны
очевидными каноническими гомеоморфизмами с /.
Каждой паре отображений /V Xi-^-Y{, \г: X2-*Y2 отвечает
отображение fact (^ X f2 X id/): Xi* X2-+Yl*Yi, непрерывное,
если непрерывны fl и f2. Оно обозначается через f i * f2.
Операция * коммутативна: имеется очевидный канониче-
канонический гомеоморфизм Xi* Х2—*- Х2* Х\.
Заметим, что джойн Х\ * Х2 может быть равносильным обра-
образом определен как (Xi U Х2)иф(Хх ХХ2Х/), где ср — отображе-
отображение произведения Zi X ^2 X @ U 1) В ZiU^2 С Ф (*Ь Х2> 0) =
Ш) {х{), (р{хи х2, \) = in2{x2). Ясно также, что факторпростран-
факторпространство джойна Х\ * Х2 по его разбиению на основания Х\, Х.2 и
точки дополнения (Xt * Х2) \ {Х\ U Х2) совпадает с надстройкой
su (*, X Х2). ' ,
4. Итерированный джойн (... (Ц\ * Х2) * Х3) ¦ ¦ ¦) * Хп кано-
канонически вкладывается в произведение con Хх X • • • X con Xn.
Вложение обозначается через jc или, подробнее, ]cxv...,x и
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 49
определяется индуктивно: при п = 1 оно переводит хх е Х\
в pr(xi, 1)есопХь при больших п задается формулой
jcjr, лгп(рг(дс, хп, 0)==(A —Ojcjr, *„_,(*), рг(хя, 0).
где х е(... ((^! * Х2) * JQ • •.) *Хп-и хп s Х„ и ^е/, а произ-
произведение точки пространства conjfiX ... ХсопХ„-] на 1—/
определяется правилом (I — 0(рг(*ь *i), .... pr(*n-r, ^-i)) =
(рг(х„ A-0*,), •¦•> pr(*«-i, (l-0^-i))-
Образом вложения \c-xv...,xn, очевидно, служит множество
{(рг (я,,*,), ..., vr(xn,tn)) e conJf,X'... X con Xn И, + ...+/„
= 1},что позволяет отождествить итерированный джойн (.. .((Xi
*Л)*^з) •••)*^'п с этим множеством.
5. Операция * ассоциативна в обычном смысле: джойн
(Xi * Х2) * Х3 канонически гомеоморфен Xi*(X2* Х3)- Канониче-
Канонический гомеоморфизм Х\ * (Х2 * Х3) -»- {Xi * Х2) * ^з определяется
как композиция канонического гомеоморфизма Х{ * (Z2 * X?) ->¦
(Z2 * Х3) * Xi и соответствующего сокращения канонического
гомеоморфизма con Х2 X con Х3 X con Xi ->con X\ X con X2 X
3
Вследствие ассоциативности операции * для любых тополо-
топологических пространств Xi,..., Xn определен кратный джойн
Х\ * ... * Хп.
6. Произведение con Х\ X ... X con Xa канонически гомео-
морфно con (Xi* ... * ZJ.
Канонический гомеоморфизм соп(Х]* ... * Л"„)-» con Zj X • • •
XconZn определяется формулой
pr(jcji х„(Рг(л:ь ti) рг(дс„, Q), ^н->
(pr(xb «,/тах^ь ..., У), ..., pr(*n, Un/max(tu ..., /„))).
7. Пространства conSm, su Sm канонически гомеоморфны
Канонические гомеоморфизмы con5m->Z)m+1, suSm->-S'"+l
определяются формулами
рг((л;ь ..., xm+i), t)b^{txx txm+i),
), t) t-> (xt sin я^, ...,
S. Джойн X * D° канонически гомеоморфен конусу con X.
Джойн X * S° канонически гомеоморфен надстройке suX. Джойн
X * Sh канонически гомеоморфен кратной надстройке su4+l X;
в частности, джойн Sm'*Sm2 канонически гомеоморфен sm'+m'+l.
Канонический гомеоморфизм X*Z)°-*conX определяется
формулой рг(х, 0, ^) н->рг (л;, /). Канонический гомеоморфизм
X5°X определяется формулами рт{х, 1, /) •—^рг(л;, A-И)/2),'
50' ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
рг{х, — 1, t)>—>vr(x, A—^/2). Канонический гомеоморфизм
X *Sk-+suk+> X определяется как сквозное отображение
X*Sk-*snX*Sk-1-* ... ->sukX*S°^s\ik+1 X,
в котором последняя стрелка обозначает канонический гомео-
гомеоморфизм, а r-я стрелка с r^.k обозначает сквозной канониче-
канонический гомеоморфизм
sur-> X * S&-r+1 -* sur-i X * suSft-r ->
stf-1 X * S*-r * S° -> su'-1 X * S° * SA-r -> sur X * S*-r.
9. Комбинируя канонические гомеоморфизмы, построенные
в 6 — 8, мы получаем сквозные гомеоморфизмы
5m' * ... * Sm« -* S"' * .. . * Sm«-2 * Sm«-'+m«+1 -* ...
cm, о'п2+ ... +тп+п—2 oml+ ... +mre+i— 1
-! X ... '
>m' * ... * Dm« ->
cons'"'-1* ... •conSm»-1->S'"«-I*D0* ... * Smn~'* D°
con(Sm'-! * D° * ... *Sm«-i-1*?>°*Sm«-1)-*
con Smi~' X con D° X ... X con Sm«-'~' X con /У X con S'"'»" -
Таким образом, джойн Smi * ... * Sm« канонически гомеомор-
фен Sm'+ ••• +m«+"-1j произведение Dm'X ¦¦¦ XDm" канонически
гомеоморфно /)mi+•"+m« и джойн Dm'* ... * D"*n канонически
гомеоморфен /jOTi+-+««+»-'.
Цилиндр и конус отображения-
70. Пусть f: Zj -> Х2 — непрерывное отображение. Результат
приклеивания произведения Х\ X I к Х2 по отображению X, X 1
-+Х2, определяемому формулой (х, \)>—>f(x), называется ци-
цилиндром отображения f и обозначается через Cyl f. Множества
imrrii {Xx X 0) и imm2(Z2) называются нижним и верхним осно-
основанием цилиндра Cyl f, а множества immj (xXI) с xgI] — его
образующими. Основания связаны с Х\, Х2 очевидными кано-
каноническими гомеоморфизмами, и обычно их отождествляют
с Х\, X}, а образующие связаны очевидными каноническими
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 51
гомеоморфизмами с /. Кроме того, имеется каноническая рет-
ретракция rtf: Cylf—>Х2> определяемая на immi(ZiX/) формулой
rtf(imml(x,t)) = imml(x, I) [=f{x)], и ясно, что сквозное ото-
отображение Х\—>- Cyl f—>- Х2 совпадает с f.
Если Х2 = Х1 и f = idXl, то пространство Cyl f канонически
гомеоморфно цилиндру Ji X / над Xt.
11. Конусом непрерывного отображения f: Х\->Х2 назы-
называется пространство J2UfConZi. Обозначение: Conf (его не
следует смешивать с con/ из 1). Равносильное определение:
C/ Cl//J
7. Пространства непрерывных отображений
1. Множество всех непрерывных отображений топологиче-
топологического пространства X в топологическое пространство Y обозна-
обозначается через ^{Х, Y). Множество отображений ф е f (I, Y),
удовлетворяющих условиям ф(Л) сг Ви . . ., <р(Л„) сг Вп, где
А\, ..., Ап — заданные подмножества пространства X, а Вь ...,
Вп — заданные подмножества пространства Y, обозначается
через ^(Х, Аи ..., Ап; Y, Ви ..., Вп). Его можно интерпре-
интерпретировать как множество всех непрерывных отображений
(X, Аи .... An)^(Y, В, Вп).
Мы наделяем множество *€ {X, Y) колшактно-открытой топо-
топологией: так называется топология с предбазой, составленной
из множеств вида & (X, A; Y, В), где А компактно, а В открыто.
Вместе с ЯП (X, Y) топологическими пространствами становятся
и все множества ^{Х, Ах, ..., Ап; Y, Ви ..., Вп).
Если Y — точка, то ^(Х, Y) — также точка. Если X диск-
дискретно и состоит из точек хи ..., хп, то ^{Х, Y) канонически
гомеоморфно я-кратному произведению УХ ••• X Y; канониче-
канонический гомеоморфизм определяется формулой <р н-> (ф (х{), ..., ф (хп)).
Каждой паре непрерывных отображений /: X'—>Х, g: Y—>Y'
отвечает отображение ft (X, Y)->'§'(X', Y\ определяемое фор-
формулой ф |—*¦ g о ф о /. Ясно, что это отображение непрерывно; оно
обозначается через ^{f, g).
2. Если пространство Y хаусдорфово, то пространство
*& (X, Y) также хаусдорфово.
Действительно, если ф, г|) е ^ (X, Y) и ф ф г|5, то существует
х е X с ф (х) Ф ф (х), и ясно, что если U, V — непересекающиеся
окрестности точек <р(я), ${*), то ^(Х, х; Y, U), ^{X, x; Y, V)—
непересекающиеся окрестности точек ф, -ф.
3. Если пространство X компактно, а пространстве Y метри-
зуемо, то пространство Я? (X, Y) метризуемо. Если пространство
Y метризовано, то пространство 93 (X, Y) метризуется формулой
distfo, i|>) = sup^^^ dist (ф (jc), {))
53 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Г
Доказательство. Если фе^(X, У), то множество ф{X)
покрывается конечным числом шаров Uu ..., Us сколь угодно
малого радиуса е (см. 1.7.11), и ясно, что-W — [f^ft {X, ф" (t/,-);
У, Ui) есть окрестность точки ф, содержащаяся в шаре ра-
радиуса 2е с центром ф. Таким образом, всякий шар содержит
некоторую окрестность своего центра.
С другой стороны, если А — компактное подмножество про-
пространства X, В— открытое подмножество пространства У и
q>(A)czB, то множество 9$ (X, A; Y, В) содержит шар радиуса
Dist(9(i4), Y\B) с центром ф (см. 1.7.15). Таким образом, вся-
всякая окрестность точки ф, взятая из предбазы, указанной в 1,
содержит некоторый шар с центром ф.
4. Для любых топологических пространств X, Уь ..., Yn
пространство 'S'iXfYiX, ... X.Yn) канонически гомеоморфнп
V(X, У,)Х ... X*(X, Yn).
Канонический гомеоморфизм ^(X.FiX ---XY nj^-'e' (X ,Y i)X ...
X V {X, Yn) относит точке ф точку (рг^ф, ..., рг„оф) [ср. 2.4].
5. Если ^ — замкнутое разбиение компактного хаусдорфова
пространства X, то <& (рг, id У): V Щ\, Y)^<F(X, Y) есть вло-
вложение для всякого топологического пространства У.
Достаточно доказать, что если А — компактное подмножест-
подмножество пространства X/f, а В — открытое подмножество простран-
пространства Y, то множество <8 (pr, id Y) [ff {XJU A; Y, В)] открыто в
^(рг, \AY)Y& [ХЦ, У)]. Так как пространство X/f хаусдорфово
(см. 3.9), то множество А замкнуто, и с ним замкнуто и, зна-
значит, компактно множество рг"*1 (Л). Следовательно, множество
W (X,pr~l{A);Y,B) открыто в ^ {X, У), и остается заметить,
что «?(pr, idK)[ff(*/f, Л; У, B)]=W(X, pr (Л); У, B)(]W(pr,
dY)[V{/Y]
Отображения XXY-+Z и X-*V(y,Z)
6. Пусть X, Y, Z — топологические пространства. Если ото-
отображение ф: X X У -*¦ Z непрерывно, то формула [qT (x)\ (у) =
(f(x, у) определяет непрерывное отображение ф~: X~>'e'{Y, Z).
Если отображение а|з: Х-*.^ (Y, Z) непрерывно и пространство У
хаусдорфово и локально компактно, то формула а|)~ (х, у) =
[Ф (х)] iy) определяет непрерывное отображение i!p~: XXY'->Z.
Чтобы доказать первое, достаточно построить для заданной
точки х0еX, заданного компактного множества ВсУ и задан-
заданного открытого множества CaZ такую окрестность U точки х0,
что ф"(U)с ^(У, В; Z, С). Фиксируем для каждой точки г/еВ
такие окрестности Uy, Vy точек х0, у, что <p(UyXVy)c:Ct
и выделим из набора {Vy}yeB конечное покрытие Vyi, ..., Vys
множества В. Ясно, что U— П*=1^ есть окрестность точки" х0
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 53
и ф (U X В) с: U?=i Ф (t/j/; X ^у;) <^ С. и остается заметить, что
включение ф (У X В) с С равносильно включению ф~ (U) с;
«ЧУ, 5; Z, С).
Чтобы доказать второе, найдем для заданной точки {х0, у0) е
X X У и заданной окрестности W точки "ф" (лг0, у0) окрестность V
точки г/о с компактным замыканием С1 V, содержащимся
в Ж-Ко)] W) [см. 1.7.22], и затем окрестность U точки х0
с о|з (?/) с= Ч? (У, C1 К; Z, №). Ясно, что ?/ X V — окрестность точки
(дс0, г/о) и что f(i/XV)cf.
7. Отображение <&{XXY, Z)-^<&{X, W (Y, Z)), определяемое
формулой фн->ф" (см. 6), непрерывно для любых топологиче-
топологических пространств X, Y, Z. Если пространство Y хаусдорфово
и локально компактно, то это отображение является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, и обратный гомеоморфизм определяется формулой ^i—^¦'ф".
Непрерывность отображения ф>—=*Ф~ следует из того, что
при этом отображении прообраз множества Ч? (X, А; Я$ (Y, Z),
<&{Y, В; Z, С)) совпадает с <F(XXY, AXB; Z, С). Предположим,
что Y хаусдорфово и локально компактно, и найдем для задан-
заданной точки а|50 е 'F (X, W (Y, Z)), заданного компактного под-
подмножества Q пространства XXY, заданной окрестности W
множества $о (Q) и заданной точки ^sQ такую окрестность
Uq-X Уч точки q, что множество Cl Vq компактно и ¦§" (Uq X
C\Vq)<^W. Так как множество Q компактно, то оно покры-
покрывается конечным набором множеств Uq^XVq^, ..., U4sXVq ,
и мы полагаем
Т= r\U^(X' pr(Q)nCU7?.; ®>(У, Z), <F(Y, Cl К,.; Z, W)).
Ясно, что Т есть окрестность точки -фо и что образ этой окрест-
окрестности при отображении -ф>-^"ф~ содержится в 4?(XXY, Q; Z, W).
Таким образом, отображение о|з i—»а|зЛ непрерывно; взаимная
обратность отображений фн-^ф" и -ф i—э- -ф" очевидна.
Неожиданное применение
8. Пусть f: X^-X' — факторное отображение. Если простран-
пространство Y хаусдорфово и локально компактно, то отображение
f X id Y: XXY-^X'XY факторно.
При доказательстве можно считать, что X' = X/zer{f), a f
есть проекция X —>X/zer\f). Рассмотрим проекцию pr: XXY->
(X X Y)/(zer(f) X zer(idУ)). Отображение рГ: I^^^.UX
У)/(гег (f) X zer (id У))) постоянно на элементах разбиения zer(f),
так что возникают непрерывные отображения fact pr": X' —>
V(Y, (XXY)/(zer(f)Xzer(idY))) и (factprT: X' X Y^(X X
У)/(гег(/)Х zer (id У)), и ясно, что второе из них обратно взаимно
однозначному фактору отображения f X id: ХХУ^-^'ХУ.
84 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. f
Таким образом, взаимно однозначный фактор отображения
/ X id является гомеоморфизмом.
9. Пусть f: X—>Х' и g: Y—>-Yf — факторные отображения.
Если X' и Y хаусдорфовы и локально компактны, то отображе-
отображение fXg: XXY^X'XY' факторно.
Действительно, fXg представляется как сквозное отображение
а композиция двух факторных отображений факторна.
8. Случай пространств с отмеченной точкой
/. В последующем важную роль будут играть топологиче-
топологические пространства, наделенные простейшей дополнительной
. структурой — отмеченной точкой (т. е. топологические пары
(X, х0), где х0 — точка). Применительно к таким пространствам
конструкции, описанные в предыдущих пунктах, естественно
модифицируются. Для одних конструкций модификация сво-
сводится к тому, что получающееся пространство наделяется отме-
отмеченной точкой: например, факторпространство пространства
с отмеченной точкой х0 обладает естественной отмеченной
точкой рг(лг0), произведение пространств с отмеченными точ-
точками хь ..., хп обладает естественной отмеченной точкой
(хи ..., хп), а пространство непрерывных отображений про-
пространства X в пространство Y с отмеченной точкой у0 и все
его подпространства, содержащие постоянное отображение
const: X—*Y со значением у0, обладают естественной отмечен-
отмеченной точкой const. Другие конструкции, например, суммирование,
надстройка и джойн, модифицируются более серьезно.
Эти более серьезные модификации описываются ниже. По-
Попутно вводится новая конструкция — тензорное перемножение
пространств с отмеченной точкой. В каждом случае из про-
пространств с отмеченной точкой получаются пространства с отме-
отмеченной точкой и из отображений, переводящих отмеченную
точку в отмеченную, — отображения, переводящие отмеченную
точку в отмеченную. Заметим, что и отображения fact/, W{f, g)
и fi X • • • X fn переводят отмеченную точку в отмеченную,
если этим свойством обладают исходные отображения.
В качестве общего обозначения для отмеченной точки мы
используем символ Ьр.
Букеты и тензорные произведения
2. Нижеследующая конструкция заменяет для пространств
с отмеченной точкой конструкцию суммы.
Пусть {-^nL^M — семейство топологических пространств
с отмеченными точками х^. Факторпространство суммы и^ем-Хц
§ 2] . КОНСТРУКЦИИ 55
по подмножеству, составленному из точек т^(л:д), называется
букетом пространств Х^ и обозначается через Ум.ем(Хц, х^).
Если множество М состоит из чисел 1, ..., п, то пишут также
(Хи *i)V ••• V (Хп, хп). Точка pr ° inv (xv) <= V {Х^, хA) не за-
зависит от v, 'называется центром букета V (-Х^, хд) и прини-
принимается за его отмеченную точку.
Очевидно, букет V (Х^, х^) есть объединение пространств Хд
(см. 4.2), так что имеются вложения immv: Xv-> V (Х^, х^). Специ-
Специфическими для букета являются отображения prv: VCXW, x^-^-X^,
определяемые формулой
... Г xv, если v' ф v,
prv (immv' (x)) = <
x, если v = v.
Ясно, что prv ° immv = id Xv и что prv ° imnv == const, если
vVv.
Если М индексирует еще семейство пространств Y^ с отме-
отмеченными точками у^ и семейство непрерывных отображений
fn: Хц^Уцу таких, что /д(*д) = г/ц, то возникает непрерывное
отображение fact (LJ fp): V (Х^, xj)-* V (Уд, у»)- Оно обозна-
обозначается через V /ц.
5. Пусть Хи ..., ^ — пространства с отмеченными точками
Х\, ..., хп. Формулы х*-*-(х, х2, . . ., хп) [хе!|], .'. ., xi—*-
{хи ..., хп~и х) [ieXj определяют канонические вложения
X, -* X, X ••• X Х„, ..., Хп -+ Хх X ... ХХп, обозначаемые
через inb ..., inn, а формула хн-^(рг, (х), .... рг„(л:)) опре-
определяет каноническое вложение (Хи х{)\/ ... V (Хп, хп)->
Xi X • • • X ^и- Последнее позволяет считать букет (Хи х{) V • • •
V {Хп, хп) подпространством произведения Х\ X • • • X Хп, и ясно,
что вложение in,-: X(-^XtX ••• Х^л есть композиция вложе-
вложения imm?: Xt -> (Хь Xj) V • •. V (-^n, *n) и включения (Хь х,) V • • •
V(Xn, дгп)-»-^ X .•• X Хп, а проекция pr(: {Хь хг) V •. •
V (Х„, дг„)-> Xj есть сужение проекции ргг: X] X • • • X Хп—>- Х{.
Факторпространство {Хг X . • • X Хп)/[(Хи хх) V . • • V (Хп, хп)]
называется тензорным произведением пространств Хи ..., Хп
и обозначается через (Xb*i)® ... ®{Хп,хп). Точка рг [(ХьхО V • ••
У {Хп, хп)] ^{Хи Xi)® ¦•¦ ®(Хп, хп) называется центром тен-
тензорного произведения (Хи х{)® • ¦ ¦ ® (Хп, хп) и принимается
за его отмеченную точку.
Тензорное перемножение пространств коммутативно и ассо-
ассоциативно: имеются очевидные канонические гомеоморфизмы
(*ь *i)©(*2. x2)-+(ХЪ х2)®{Хи *,) и (Хи Xi)®[(X2, x2)®(X3, х3),
^]-*[(Xi,x1)®(X2,x2), Ър]®(Х3, х3); в том же смысле [(J)
® tfn-i, хп-1),Ър)®{Хп, хп)^{Хи xi)® ... ®{Хп, хп).
56 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Если Уь ..., У„ — другие топологические пространства с от-
отмеченными точками и /у. X\-+Yu ..., /у. Xn^>Yn — непрерыв-
непрерывные отображения, переводящие отмеченную точку в отмеченную
точку, то возникает непрерывное отображение fact (А X ¦ • • X fn)'
(Хи xt)® ... ®(Хп, xn)-+{Yu г/0© ... ®(Yn, уп). Оно обозна-
обозначается через А© ... 0/я-
Конусы, надстройки, джойны
4. Конус над пространством X с отмеченной точкой х0 опре-
определяется как факторпространство обычного конуса сопХ по
образующей рг(л;0Х/)- Обозначение: соп(Х, х0). Образ указан-
указанной образующей при проекции conX —> con{X, х0) называется
вершиной конуса соп(Х, х0) и принимается за его отмеченную
точку. Образ основания конуса con X при проекции сопХ—>
соп(Х, х0) называется основанием конуса соп(Х, х0); эта проек-
проекция гомеоморфно отображает первое основание на второе и,
поскольку первое' основание отождествлено с X, позволяет
отождествить с X и второе основание.
Если У — пространство с отмеченной точкой уй и /: X—>Y —
непрерывное отображение, переводящее хй в г/0, то возникает
непрерывное отображение fact con/: con(X, jc0)-> con (У, y0),
обозначаемое и просто через con/.
Равносильным образом конус соп(Х, х0) может быть описан
как факторпространство цилиндра Х\1 по {X X 0) U (*о X /),
т. е. как {X, Хо)®{1, 0).
5. Надстройка над пространством X с отмеченной точкой х0
определяется как факторпространство обычной надстройки suX
по образующей рг(л;0ХЛ- Обозначение: su(X, хй). Образ ука-
указанной образующей при проекции suX—*su(X, x0) называется
вершиной надстройки su(X, x0) и принимается за ее отмечен-
отмеченную точку.
Если У — пространство с отмеченной точкой у0 и /: X -> У —
отображение, переводящее х0 в у0, то возникает непрерывное
отображение fact su /: su {X, х0) -> su (У, у0), обозначаемое и просто
через su/.
Равносильным образом надстройка su(J, x0) может быть
описана как факторпространство цилиндра IX/ по (XX
@ U 1)) U (х0ХП, т. е. как (X, xo)®(I/(O U 1), bp) = (Jf, х0)® (S\ ortt).
Другое равносильное описание: su(X, x0) = con(X, хо)/Х. .
6. Джойн пространств Хь Х2 с отмеченными точками хи х2
определяется как факторпространство обычного джойна Xi*X2
по образующей рг(х1'Хх2'Х1). Обозначение: {Хи х{) * (Х2, х2).
Образ указанной образующей при проекции X] *Х2^>{Хи Х\)*
(Х2, х2) называется центром джойна {Хь x^*(Xi, x2) и прини-
принимается за его отмеченную точку.
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 57
Если У'и Y2— пространства с отмеченными точками уи у2
и f\. X\-*-Y\, f2: X2-^-Y2— непрерывные отображения, переводя-
переводящие хи х2 в уь у2, то возникает непрерывное отображение
fact(fi*f2): (Xu Xi)*(X2, x2)->(Yu z/i) * (Y2, y2), обозначаемое
и просто через f j * f2.
7. Для любых пространств Хи Х2 с отмеченными точками хи
х2 букет (su(Jb Xi), bp) V (su(X2, x2), bp) канонически гомеомор-
фен su ((Xu Xx) V (X2, x2), bp).
Канонический гомеоморфизм su((Xi, Xi) V (X2, x2), bp) ->
(su (Xj, Xi), bp) V (su (X2, x2), bp) определяется формулой
рг(ишП((л;), t)>—> imnii (pr(x, /)) [x e Xt\ i=\, 2].
5. Пространства con(Sm, orti), su (Sm, ortj), (Sm, ort,) * (Sn, ortj)
канонически гомеоморфны Dm+\ Sm+\ Sm+n+l.
Канонический гомеоморфизм con(Sm, ort1)^Z/I+1 опреде-
определяется формулой pr((*i, ..., Xm+i), t)i~>(tXi + (l —/), tx2, ..., tXm+x).
Канонический гомеоморфизм su(Sm, ort!)—>Sm+1 отображает
образующую, проходящую через точку x^Sm, на лежащую
в sm+i окружность с центром (ort! + x)/2 (которая вырождается
в точку orti, если x = ort1); при изменении t от 0 до 1 образ
точки pr(x, t) равномерно перемещается по указанной окруж-
окружности, отправляясь от точки orti и попадая сначала в полу-
полупространство xm+i^0 (см. рис. 1).
Канонический гомеоморфизм (Sm, orti)-*(Sn, orti)->Sm+n+1
на основаниях Sm, Sn определяется формулами
(X\, . . ., Xm
CXj + 1 x2 Уз" xm+i Уз" n Уз"A — Xi)\
\^ 4 . 2 ' ' ' '' 2 ' ' ' ' '' ' 4 /'
(Xu ..., Xn+i)^-
Ci + 1 n п Х2УЗ~ -Уп+1УЗ~ УЗ"(Х] - 1)
4 , и, . . ., U, g • • • • > 2 ' 4
а образующую, соединяющую точки j;gSm, / g S", отобра-
отображает линейно по отношению к длинам на дугу большой окруж-
окружности, соединяющую образы этих точек (см. рис. 2).
9. Поскольку con(Sm, ort,) = (Sm, orti)©(/, 0) [см. 4] и
su(Sm, ort,) = (Sm, orti)®(S1, orti) [cm. 5], гомеоморфизмы
con(Sm, ort{)^Dm+ и su(Sm, ort1)^Sm+1, определенные в 8,
приводят при «^1 к каноническим гомеоморфизмам
Sn = (S'.ort,)© ... ®(S\ ort,),
0(S', ort,)©(/, 0),
58
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 1
которые позволяют определить отображения
.id® ... ®id®pr: Dn = (Sl, ort,)® ... ©(S1,
(S\ ort,)® ... ®
(pr© ... ®pr®id/)opr: /n = /X
G/@U 1), bp)® ...
, 0)
Эти отображения будут обозначаться через DS и ID. Ясно,
что DS гомеоморфно отображает IntZ)" на S"\orti и пере-
переводит FrDn в ortj, a /D гомеоморфно отображает Int/" на IntZ)"
и Int Г на S"~1-
. ortj и переводит Fr/"\Int/n в ortj.
?рвое основание
Рис. 1 (т = 2).
второе основание
Рис. 2(т = 0, « = 1).
Так как отображение DS замкнуто (см. 1.7.9), то его взаимно
однозначный фактор fact DS: Dn/Sn~l —>-S" является гомеомор-
физмом. Таким образом, при
канонически гомеоморфно Sn.
/
1 факторпространство DnIS
р
Отображения (X, xo)®{Y,
, у0; Z, z0)
10. Пусть X, Y, Z — топологические пространства с отмечен-
отмеченными точками х0, г/о, 2о- Вели отображение ф: {X, xo)®(F, yo)~>Z
непрерывно и переводит отмеченную точку в отмеченную точку,
то формула [<pw(*)] {у) = ф(рг (х, у)) определяет непрерывное
отображение cpw: X -> Ф (Y, y0; Z, z0), переводящее отмеченную
точку в отмеченную точку. Если отображение г|з: X—>*&{Y, у0; Z, г0)
непрерывно и переводит отмеченную точку в отмеченную точку,
а пространство Y хаусдорфово и локально компактно, то фор-
формула а|)^(рг(х, у)) = [0р(х)](у) определяет непрерывное отображе-
отображение г|з^: (X, Xo)®(Y, yo)->Z, переводящее отмеченную точку
в отмеченную точку.
§ 2] конструкции 59
Действительно,
ф- = аЬ[(Форг: XXY^Z)-],
г|Г о (рг: X X Y - (X, х0) © (Г, г/0)) =
foo(in:>(K, y0;Z,z0)-»«? (У, Z))]~
(см. 7.6).
Л. Отображение &((Х, xo)®(Y, у0), bp; Z, г0)->^(X, х0;
W (У, у0; Z, z0), const), определяемое формулой фн-^-ф^ {см. 10),
непрерывно для любых топологических пространств X, Y, Z с
отмеченными точками х0, у0, z0. Если X,- Y хаусдорфовы.
и компактны, то это отображение является гомеоморфизмом
и обратный гомеоморфизм определяется формулой -фн->'фг\
Непрерывность отображения ф н-*¦ ф4-1 следует из того, что
при этом отображении прообраз множества *&(х, А, х0; ^(Y, y0;
Z, z0), <& (Y, В, у0; Z, С, z0), const) совпадает с <&((Х, xo)®{Y, y0),
рг(ЛХ^), bp; Z, С, г0). Предположим, что пространства X, Y
хаусдорфовы и компактны, и рассмотрим отображение ^(рг,
idZ):V{(X,Xo)®(y,yo),Z)->V(XXY,Z). В силу 7.5, это
отображение является вложением, из чего следует, ввиду ком-
коммутативности диаграммы
<в (X, хо\ <8 (Y, у0; Z, г„), const) -> <& ((X, х0) 0 (Г, у0), bp; Z, г0)
& (X, W (Y, Z)) —> , <&(ХХУ, Z),
в которой горизонтальные стрелки обозначают отображения
¦ф i—s- "ф', 'i^-^il)", а вертикальные стрелки — сквозные ото-
отображения
V(X,Xo; V(Y,y0; Z, z0), const) -^
Ъ{Х, <&{Y, у0; Z, г0)) VKldX-m\ <<g (X, V(Y, Z)),
V{(X, xQ)®(Y, y0), bp;Z, z0)^
Ъ ((X, ль) © (Y, y0), Z) g(Pr'idZ>> W(XXY,Z),
что отображение -ф ¦—^-ф^ непрерывно. Взаимная обратность
отображений фн-^-ф^ и 'фь-^'ф^ очевидна.
9. Упражнения
1. Доказать, что для всякого топологического пространства X
и всякого компактного топологического пространства У отобра-
отображение pri: XXY^-X замкнуто.
2. Доказать, что подмножество сферы S", определяемое
в стандартных координатах пространства R"+I неравенством
44 ^ь гомеоморфно S* XDn~k+i.
gO ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
3. Пусть М, Х^ и фда, обозначают то же, что в 4.2, и пусть
X — объединение пространств Хц, определяемое гомеоморфиз-
гомеоморфизмами <р ,. Доказать, что отображения типй: Х^ —>Х являются
топологическими вложениями, если М состоит из двух элемен-
элементов, и могут не быть топологическими вложениями, если М
состоит из трех элементов.
4. Доказать, что при и^=1 пространства ^(/,0, 1;S", ortb
ort2) и ¦<?(/, 0, 1; Sn, ortb ortj) гомеоморфны.
5. Обозначим через Т множество всевозможных веществен-
вещественных последовательностей {*г}Г> топологизированное предбазой,
составленной из множеств вида [{xi}^°|a < xs < &}, и через S —
факторпространство пространства Т \ 0 (где 0 = {xt = 0}^°) по его
разбиению на лучи, т. е. на множества вида
0 < t < оо
с {х?|°° е Г \ 0. Показать, что Т метризуемо, a S регулярно,
но обладает той, особенностью, что всякая непрерывная функ-
функция S—?R постоянна.
§ 3. ГОМОТОПИИ
1. Общие определения
/. Непрерывное отображение /': X->Y называется гомотоп-
гомотопным непрерывному отображению f: X ->У, если существует такое
непрерывное отображение F: XXI->Y, что F {x, 0) = f (х),
F(x, 1) = /'(х)для iel Всякое такое отображение F называется
гомотопией, связывающей / с f. Говорят также, что F есть
гомотопия отображения f.
Гомотопию F: X~X,I-^-Y часто истолковывают как семейство
непрерывных отображений f<: X-+Y, связанных с F соотноше-
соотношением ft(х) == F(x, t) [O^^^l]. Согласно 2.7.6, из непрерыв-
непрерывности F следует, что это семейство непрерывно как отображение
отрезка / в <&{X,Y), а если пространство X хаусдорфово и
локально компактно, то непрерывность этого семейства равно-
равносильна непрерывности отображения F.
Ясно, что постоянная гомотопия F, определяемая по непрерыв-
непрерывному отображению /: X -> Y формулой F (х, /) = / (х), связывает f
с /; что если гомотопия F связывает / с /', то обратная гомо-
гомотопия F'', определяемая формулой F' (л;, /) = F (х, 1—t), связы-
связывает /' с f; и что если гомотопия F связывает f с /', а гомо-
гомотопия F' связывает /' с \", то их произведение F", определяемое
формулой
( F (x, 2t)
при. /< 1/2,
1) при
§ 3] ' ГОМОТОПИИ " 61
представляет собой гомотопию, связывающую / с f". Таким
образом, гомотопность есть эквивалентность. Классы, на которые
она разбивает множество ^{Х, Y), называются гомотопиче-
гомотопическими классами. Множество этих классов обозначается через
n(X,Y).
2. Примером гомотопии может служить прямолинейная го-
мотопия. Пусть f и f — непрерывные отображения простран-
пространства X в подпространство Y пространства R". Если для любой
точки Jtel отрезок, соединяющий f (х) с f'(x), целиком лежит
в Y, то формула F(x,t) = {l—t)f(x)-\-tf'{x) определяет гомо-
гомотопию, связывающую f с /'. Такая гомотопия и называется
прямолинейной.
Очевидно, что любые два отображения любого простран-
пространства в R" или Dn прямолинейно гомотопны.
3. Если отображения f, f: X^-Y гомотопны, то отображения
gofah, gof'oh: X'->Y' гомотопны для любых непрерывных
отображений g: Y->Y', h: X'-+X.
Действительно, если F: X~X.I->Y— гомотопия, связываю-
связывающая f с /', то g о F ° {h X id /) есть гомотопия, связывающая
g°f°h с gof'oh.
4. Из 3 следует, что отображение <&(f, g): V(X, Y)^<F{X',Yf),
индуцированное непрерывными отображениями f: Xf-*X,
g: Y->Y', переводит гомотопические классы в гомотопические
классы. Возникающее отображение factf (f, g): a{X,Y)-+n{X',Y')
обозначается через n{f, g). Из 3 следует, что оно определяется
гомотопическими классами отображений /, g.
Связанные гомотопии
5. Пусть А — подмножество пространства X. Гомотопия
F- XX.I-+Y называется связанной на А, или, короче, А-гомо-
топией, если F (x, t) = F {x, 0) при хе/1,*е/. Два отображения,
которые можно соединить Л-гомотопией, называются А-гомо-
топными. Очевидно, Л-гомотопные отображения совпадают
на А.
Как и обычная гомотопность, Л-гомотопность является экви-
эквивалентностью. Классы, на которые она разбивает множество
непрерывных отображений Х-*У\ совпадающих на Л с данным
отображением /: Л->У, называются А-гомотопическими клас-
классами или, подробнее, гомотопическими классами непрерывных
продолжений на X отображения f. Множество этих классов
обозначается через л{Х, A; f).
Заметим, что прямолинейная гомотопия, соединяющая f с g
(см. 2), связана на множестве, где / и g совпадают.
.. Если хотят подчеркнуть, что та или иная гомотопия является
не связанной, а обычной, ее называют свободной.
62 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Гомотопическая эквивалентность пространств
6. Непрерывное отображение g: Y-+X называется гомото-
гомотопически обратным непрерывному отображению f: X^-Y, если
композиция g°f гомотопна тождественному отображению idX,
а композиция fog гомотопна тождественному отображению id Y.
Непрерывное отображение, обладающее гомотопически обрат-
обратным, называется гомотопической эквивалентностью. Если суще-
существует гомотопическая эквивалентность X—>Y, то простран-
пространство У называется гомотопически эквивалентным пространству X,
Ясно, что тождественное отображение есть гомотопическая
эквивалентность, что отображение, гомотопически обратное го-
гомотопической эквивалентности, есть гомотопическая эквивалент-
эквивалентность и что композиция двух гомотопических эквивалентностей
есть гомотопическая эквивалентность. Следовательно, гомото-
гомотопическая эквивалентность, как отношение между топологиче-
топологическими пространствами, есть эквивалентность. Классы, на ко-
которые она разбивает топологические пространства, называются
гомотопическими типами.
Очевидно, гомеоморфизм есть гомотопическая эквивалент-
эквивалентность.
7. Если одно из непрерывных отображений f: X^-Y, g: Y->Z
и их композиция g ° f: X -> Z являются гомотопическими экви-
валентностями, то и другое есть гомотопическая эквивалентность.
Действительно, если h — отображение, гомотопически обрат-
обратное g°f, то из того, что f — гомотопическая эквивалентность,
следует, что отображение f ° h гомотопически обратно g, а из
того, что g — гомотопическая эквивалентность, следует, что ото-
отображение hog гомотопически обратно f.
8. Множество п(Х, Y) гомотопически инвариантно: если
g: Y —> У и f: X' —> X — гомотопические эквивалентности, то
n(f, Я)'- п{Х, Y)-*-n(X', Y') есть обратимое отображение.
Действительно, если /' — отображение, гомотопически обрат-
обратное f, и g' — отображение, гомотопически обратное g, то ото-
отображение n(f, g') обратно 3t(f, g).
Стягиваемые пространства
9. Пространство X называется стягиваемым, если тожде-
тождественное отображение id X гомотопно постоянному отображению.
Примерами стягиваемых пространств могут служить евкли-
евклидовы пространства R" и шары Dn (см. 2).
10. Пространство стягиваемо в том и только том случае,
если оно гомотопически эквивалентно точке.
.Доказательство. Если отображение idZ гомотопно
постоянному отображению ф, то отображение /: D°-+X со зна-
§ 3] ГОМОТОПИИ 63
чением <р{Х) и отображение g: X-*Z)° гомотопически взаимно
обратны, так как f°g = (fngof = idD0.
Если /: D°^-X я g: X -> D° — гомотопически взаимно обрат-
обратные отображения, то отображение id X гомотопно постоянному
отображению fog.
11. Если пространство X стягиваемо, то всякие два непре-
непрерывных отображения любого топологического пространства в X
гомотопны. В частности, отображение id X гомотопно в этом
случае любому постоянному отображению X —*¦ X.
Это следует из 10 и 8.
Деформационные ретракции
12. Ретракция р топологического пространства X на его под-
подпространство Л (см. 1.4.10) называется деформационной {строгой
р in
деформационной), если сквозное отображение X —>¦ Л —> X
гомотопно id X (Л-гомотопно id X). Если пространство X допу-
допускает деформационную ретракцию на А, то А называется его
деформационным ретрактом. Если пространство X допускает
строгую деформационную ретракцию на А, то А называется его
строгим деформационным ретрактом.
Ясно, что если р: Х-> А — деформационная ретракция, то р
и включение А->Х являются гомотопилески взаимно обратными
гомотопическими эквивалентностями. Ясно также, что простран-
пространство, допускающее деформационную ретракцию на свою точку,
стягиваемо и что любая точка стягиваемого пространства
является его деформационным ретрактом.
Относительные гомотопии
13. Пусть X — пространство с отмеченной последователь-
последовательностью подмножеств Ль ..., Ап и Y — пространство с отме-
отмеченной последовательностью подмножеств Ви ..., Вп. Ото-
Отображение F: (XXI, Л, X /,-..., AnXI)^(Y, Bu...,Bn) назы-
называется гомотопией, связывающей непрерывные отображения
f, /': {X, Аи ..., Ап) -> (Y, Ви ..., Вп), если abs F есть гомотопия,
связывающая отображения abs f, abs f. Очевидно, в этом случае
ababs/7: AtXI—>Bt есть гомотопия, связывающая отображения
ab abs f, ababs f: A{—>Bt. Ясно также, что гомотопность, опре-
определяемая гомотопиями (XX/, АХ/, ••., ЛяХ/)-»-(У, Ви ..., Вп),
является эквивалентностью. Множество гомотопических классов,
на которые она разбивает множество УЗ (X, А\ Л„; Y,В\ Вп),
^обозначается через п{Х, Аь ..., Л„; Y, В{ Вп). Соответствую-
Соответствующим образом переносится на относительный случай определение
отображения n(f, g), данное в 4.
64 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, 1
Непрерывное отображение g: (Y, Ви ..., Вп)->(Х, А\, ..., Ап)
называется гомотопически обратным непрерывному отображению
f: {X, Аи ..., Л„)-*(У, Ви ..., Вп), если композиция g°f гомо-
гомотопна rel id X; а композиция fog гомотопна rel id Y. Непрерыв-
Непрерывное отображение, обладающее гомотопически обратным, назы-
называется гомотопической эквивалентностью. Последовательности
{X, Аь • • •, Ап), (Y, Ви ..., Вп), которые можно связать гомото-
гомотопической эквивалентностью, называются гомотопически экви-
эквивалентными. Предложения 7 и 8 переносятся на относительный
случай дословно.
14. Сказанное в 13 охватывает, в частности, случай, когда X,
Y — пространства с отмеченными точками (в этом случае Ль В} —
точки, п=\ и гомотопии, определенные в 13, совпадают с го-
мотопиями, связанными в точке Ai). Кроме того, на простран-
пространства с отмеченной точкой очевидным образом переносятся опре-
определение стягиваемости, данное в 9 (гомотопия между idX и
постоянным отображением должна быть связанной в отмеченной
точке), и обе теоремы 10, 11, а также определения деформа-
деформационной ретракции и деформационного ретракта, данные в 12
(в X и в А должна быть отмечена одна и та же точка, и го-
гомотопия между сквозным отображением X—> А—-*¦ X и idX
должна быть связанной в этой точке), и сопровождающие их
замечания. Что касается понятия строгой деформационной ре-
ретракции, то введение отмеченной точки ничего в нем не меняет.
2. Пути
1. Путем в топологическом пространстве X называется не-
непрерывное отображение отрезка / в X. Точки s@) и s(l) назы-
называются началом и концом пути s. Если s@) = s(l), то путь s
называется замкнутым. Замкнутые пути называются иначе пет-
петлями.
Путь, определяемый по пути s формулой /h-»-sA —t), назы-
называется обратным пути s и обозначается через s~l. Путь, опре-
определяемый по путям si, s2 с s1(l) = s2@) формулой
st Bt), если 1^ 1/2,
s2{2t— 1), если t^l/2,
называется произведением путей 5Ь s2 и обозначается через S\S2.
Ясно, что (s~I)~'=s и (sis2)~i =S2~isT1.
2. Поскольку / = Д°Х/, путь в X может рассматриваться
как гомотопия отображения D°^X, и ясно, что при такой ин-
интерпретации путей обратный путь превращается в обратную
гомотопию, а произведение путей — в произведение гомо-
топий.
§ <?1 гомотопии 65
С другой стороны, гомотопия, связывающая непрерывные
отображения /, /': X->F, определяет путь в Ч?{Х, Y), соеди-
соединяющий f с /', и при этом опять-таки обратной гомотопии отве-
отвечает обратный путь, а произведению гомотопии — произведение
путей. Если пространство X хаусдорфово и локально компактно,
то гомотопия между непрерывными отображениями f, /': X^-Y
может быть даже определена как путь в Ч?{Х, Y), соединяю-
соединяющий f с /'.
3. Будучи непрерывными отображениями, пути сами могут
испытывать гомотопии. К сожалению, общепринятая термино-
терминология, относящаяся к этим гомотопиям, не вполне согласуется
с определениями (тоже общепринятыми) п. 1. Именно, в при-
применении к путям гомотопия и гомотопность всегда означают
(О U 1)-гомотопикэ (т. е. гомотопию, связанную на концах от-
отрезка /) и (О U 1)-гомотопность. Кроме того, если речь идет
о петлях, то свободная гомотопия всегда означает обычную
свободную гомотопию, в процессе которой петля остается пе-
петлей (т.е. такое непрерывное отображение F: iy^I^-X, что
F(Q,l) = F(l,t) при всяком /е/).
3. Связность и fc-связность
1. Свойства топологических пространств, изучаемые в этом
пункте, представляют собой ослабленные варианты стягивае-
стягиваемости в абсолютном случае и ослабленные варианты деформа-
деформационной ретрагируемости в относительном случае.
Связность
2. Топологическое пространство называется связным, если
любые две его точки могут быть соединены путем. Равносильная
формулировка: пространство X связно, если множество n(D°,X)
содержит не более одного элемента; см. 2.2.
Так как множество n{D°, X) гомотопически инвариантно
(см. 1.8), то связность есть гомотопически инвариантное свой-
свойство. В частности, стягиваемые пространства связны. Например,
пространства R" и Dn связны при любом п.
Сфера Sn с п > 0 также связна: любые две ее точки можно
соединить путем уже в Sn \р, где р — третья точка (напомним,
что пространство Sn\p гомеоморфно R"). Сфера S0 не связна:
путь, соединяющий —1 с 1, был бы непрерывной вещественной
функцией на отрезке [0, 1], принимающей два значения, но не
•принимающей промежуточных значений.
Из подмножеств прямой R связны только промежутки: пустое
множество, точки, интервалы (конечные и бесконечные), полу-
полуинтервалы (конечные и бесконечные) и отрезки. Действительно,
66 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
если а, р — точные грани связного подмножества А прямой R,
то А содержит интервал (а, Р).
3. В случае произвольного топологического пространства X
соединимость путем представляет собой отношение между-точ-
между-точками, обладающее всеми свойствами эквивалентности. Подмно-
Подмножества, на которые эта эквивалентность разбивает простран-
пространство X, являются его максимальными связными подмножествами
и называются его компонентами. Множество компонент может
быть очевидным образом отождествлено с n{D°, X). Мы будем
обозначать его через compX.
Непрерывному отображению f: X—>Y отвечает отображение
fact f = я (id DQ, f): comp X—>¦ comp F, не меняющееся при замене
отображения f гомотопным отображением и обратимое, если
f — гомотопическая эквивалентность (см. 1.4 и 1.8). Ясно также,
что если f (X) = Y, то -fact f (comp X) = comp Y; в частности, образ
связного пространства при непрерывном отображении связен.
4. Если пространство X представимо как объединение своих
связных подмножеств Аи А2 с А1(]А2ф0, то X связно.
Действительно, компонента пространства X, содержащая
точку xo^Aif\A2, содержит А\ и А2, т. е. содержит все X.
5. Если пространство X разбито на открытые подмножества,
то всякое его связное подмножество содержится в одном из эле-
элементов разбиения. В частности, подмножество связного про-
пространства, открытое и замкнутое одновременно, либо пусто, либо
совпадает со всем пространством X.
Доказательство. Пусть А — связное подмножество про-
пространства X и U — элемент разбиения, пересекающийся с А.
Так как отображение f: X->S°, переводящее U в 1, a X\U
в —1, непрерывно, то множество /(Л) связно. Следовательно,
/ (Л) = 1 и А а U.
k-c вязность
6. Для непрерывного отображения f: Sr —>X с г^О следую-
следующие условия равносильны:
(i) f гомотопно постоянному отображению;
(ii) / может быть продолжено до непрерывного отображения
Dr+l^X;
(Hi) композиции foDS+, f°DS-.: D' ~>X, где DS+, DS- — вло-
вложения шара Dr в Sr, определяемые формулами
DS+ (д,, ...,*,) = (*„..., xr, л/1-х\- ... -x%
DS_ (x, *,) = (*„..., xr, - Vl-*?- ... -**
ST~l-гомотопны;
(iv) / orti-гомотопно постоянному отображению.
§ 3] ГОМОТОПИИ 67
Доказательство будет проведено по схеме:
A1)
II у
(i)=#>(ii). Действительно, гомотопия F: SrX!->X, связы-
связывающая / с постоянным отображением, переводит верхнее осно-
основание цилиндра Sry(.I в одну точку; следовательно, F разла-
разлагается в композицию отображения Sr y^I-^-Dr+\ определяемого
формулой ((*,, ..., xr+l), /)h->(*jA —t) xr+l(l— /)), и не-
некоторого непрерывного отображения g: Dr+1—>-X (см. 2.3.4 и
1.7.9), и ясно, что glsr = f.
(ii.)=#>(iii) и (ii)=#(iv). Действительно, если g: Dr+1 ^> X — не-
непрерывное продолжение отображения f, то формулы
)^g{xv..., х„ (\-
)^g(t + (l -t)xlt (l-t)x2,
определяют 5г~'-гомотопию DrX^I^>-X, связывающую f°DS+
с foDS~, и ortproMOTonnro SrX/->X, связывающую f с по-
постоянным отображением.
(iii)=#>(ii). Действительно, 5г~'-гомотопия F: Dry(I~>X,
связывающая f°DS+ с f°DS-, переводит каждую образующую
цилиндра Sr~l X/ в одну точку; следовательно, F разлагается в
композицию отображения Dr X /->Dr+1, определяемой формулой
((*,, . ..,xr), t)^(Xl xr, {It - \)л/\-х\- ... -xf), и не-
некоторого непрерывного отображения g: Dr+l^X (см. 2.3.4 и
1.7.9), и ясно, что g\sr = f.
Импликация (iv) =#>(i) очевидна.
7. Непустое пространство X называется k-связным @^ k ^ оо),
если всякое непрерывное отображение Sr-^X cr^ft гомотопно
постоянному отображению, т. е. удовлетворяет условию 6(i).
В силу теоремы 6 эта формулировка равносильна трем анало-
аналогичным формулировкам, получающимся из нее при замене
условия 6(i) условиями 6 (и), 6(ш), 6(iv). Так как, кроме того,
для любых непрерывных отображений fu f2: Dr-^-X, совпадаю-
совпадающих на Sr~\ существует непрерывное отображение /: Sr-*J
с / ° DS+ = fi, f ° DS- = f2, то непустое пространство X ^-связно
68 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ, 1
в том и только том случае, если любые непрерывные отобра-
отображения /i, f2: Dr —>Х с r^.k, совпадающие на Sr~l, S'~'-ro-
мотопны.
Очевидно, для непустых пространств О-связность есть не
что иное, как связность. 1-связность обычно называют одно-
односвязностью; для' 0-связных пространств она равносильна тре-
требованию, чтобы любые два пути с общими концами были гомо-
гомотопны между собой.
Из гомотопической инвариантности множеств n(S', X) сле-
следует, что пространство, гомотопически эквивалентное ^-связ-
^-связному пространству, fe-связно. В частности, стягиваемые про-
пространства ОО-СВЯЗНЫ.
Относительный случай
8. Для непрерывного отображения f: (//', Sr~1)~>(X, A)
с г > 0 следующие условия равносильны:
(i) / гомотопно постоянному отображению;
(и) отображение abs/ Sr~l-гомотопно отображению, перево-
переводящему Dr в подмножество множества А.
Доказательство. (i)=>(ii). Если F: (Z/X Л Sr~'X/)->
(X, А) — гомотопия, связывающая f с постоянным отображением,
то формула
( F (лг/dist @, ^), 2 A — dist @, х))),
(xyt)>->< если dist@, x)>B — t)/2,
I F{2xJ{2 - t), t), если dist @, x)<B -1I2,
определяет 5г~'-гомотопию Dry^l^>-X, связывающую abs/
с отображением, переводящим DT в подмножество множества А.
(ii)=^(i). Если G: Dry(.I^X — гомотопия, связанная на Sr~l
и соединяющая abs / с отображением, переводящим D' в под-
подмножество множества А, то rel/7: (Z)rX/. Sr~' X.l)-*(X, A),
где F — отображение цилиндра Dr X l в Х, определяемое фор-
формулой
F((xi xr),t) =
( G ((xu ..., xr), 2(), если t < 1/2,
( G(BXl(l-t), ..., 2xT(\-t)), 1), если />1/2,
есть гомотопия, связывающая / с постоянным отображением.
9. Пара {X, А) называется k-связной (О^&^оо), если,
каково бы ни было непрерывное отображение f: (Z/, Sr~')->-(X, A)
cr^i, отображение absf Sr~'-гомотопно отображению с обра-
образом, содержащимся в А.
гомотопии
69
Ясно, что пара {X, А) 0-связна в том и только том случае,
если каждая компонента пространства X пересекается с А
При к > 0 пара (X, А) й-связна в том и только том случае,
если всякое непрерывное отображение /: (Z)r, Sr~l)—>(X, A)
с г ^ k гомотопно постоянному; см. 8.
Пара, гомотопически эквивалентная ^-связной паре, оче-
очевидно, fe-связна. Из этого, в частности, следует, что если
А — строгий деформационный ретракт пространства X, то пара
(X, А) оо-связна; действительно, она гомотопически эквивалентна
паре (X, X). Как выяснится позже, пара (X, А) оо-связна уже
в случае, когда А — деформационный ретракт пространства X,
и даже в случае, когда включение А-+Х является гомотопи-
гомотопической эквивалентностью; см. 5.1.6.5.
4. Локальные свойства
1. Топологическое пространство X называется локально
стягиваемым в точке х0 е X, если всякая окрестность U' этой
точки содержит такую ее окрестность V, что включение V-+U
гомотопно постоянному отображению, переводящему V в х0.
Топологическое пространство X называется локально стягиваемым,
если оно локально стягиваемо в каждой своей точке.
Если заменить в этих определениях гомотопность д;0-гомо-
топностыо, то получатся определения сильной локальной стя-
стягиваемости пространства X в точке х0 и сильной локальной
стягиваемости пространства X.
Примерами сильно локально стягиваемых пространств могут
служит* R", Dn и S".
2. Топологическое пространство X называется локально
связным в точке х0 е X, если всякая окрестность U точки хй
содержит такую окрестность V этой точки, что любые две
точки, лежащие в V, можно соединить путем в U. Топологи-
Топологическое пространство называется локально связным, если оно
локально связно в каждой своей точке.
Ясно, что локальная связность следует из локальной стяги-
стягиваемости. Примером связного пространства, которое не является
локально связным, может служить часть плоскости R2, состав-
составленная из прямых ШуХу + ЩХ2 — 0 с целыми nti, tn2.
3. Пространство локально связно в том и только том случае,
если компоненты открытых множеств открыты. В частности,
любая окрестность любой точки локально связного пространства
содержит связную окрестность этой точки.
Доказательство. Если х0 — точка компоненты А от-
открытого подмножества U локально связного пространства X,
то U содержит такую окрестность V точки #0, что любые две
70 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
точки из V могут быть соединены путем в U. Следовательно,
V а А и, таким образом, xo^lntA. Этим доказано, что
в локально связном пространстве компоненты открытых мно-
множеств открыты, обратное же очевидно.
5. Пары Борсука
1. Топологическая пара {X, А) называется парой Борсука,
если, каковы бы ни были топологическое пространство Y, не-
непрерывное отображение /: X—>Y и гомотопия F: AXI^-Y
отображения f\A, существует гомотопия XX/—* У отобра-
отображения f, продолжающая F.
Ясно, что если (X, А, В) — топологическая тройка и (X, А),
{А, В) — пары Борсука, то и (X, В) — пара Борсука.
2. Для того чтобы топологическая пара (X, А) была парой
Борсука, необходимо, а в случае, когда А замкнуто, и доста-
достаточно, чтобы множество (X X 0) U (Л X I) было ретрактом
цилиндра XXI-
Доказательство необходимости. Всякая гомотопия
отображения in: X — X Х.0->(Х X 0) U (Л X I), продолжающая
гомотопию in: Л X / ->(Х X 0) (J (Л X /), является ретракцией
цилиндра XXI на (* X 0) U (ЛX/)¦
Доказательство достаточности. Если р: X X I-*¦
(X X 0) U (Л X /) — ретракция, то каковы бы ни были тополо-
топологическое пространство Y, непрерывное отображение /: Х->У
и гомотопия F: AXI-+Y сужения f\A, сквозное отображение
р о
ХХ1-^(ХХ0)[)(АХ1)—*У, где G определяется формулой
F(x,t), если х<=А,
есть гомотопия отображения f, продолжающая F (непрерыв-
(непрерывность G следует из 1.3.6 и 1.4.3).
5. Существенным дополнением к теореме 2 служит тот факт,
что если пространство X хаусдорфово, то замкнутость множе-
множества А автоматически следует из ретрагируемости цилиндра XXI
на {X X 0) U {А X /)• Для доказательства достаточно заметить,
что из указанной ретрагируемости следует замкнутость множе-
множества (XXO)U(^X/) в XXI (см. 1.5.5) и что А есть прообраз
этого множества при отображении X^XXI, определяемом
формулой хн^(х, 1).
4. Если множества А, В составляют замкнутое покрытие
пространства X и (А, А Л В) — пара Борсука, то {X, В) — тоже
пара Борсука.
§ 3] ГОМОТОПИИ 71
Это следует из 2, поскольку любая ретракция р: А X / ->
[Л X 0] U [{А П В) X /] определяет по формуле
р (*,/), если хе=Л,
^ ^ если х е В)
некоторую ретракцию X X / —* (X X 0) U (В X /)•
5. Если (X, А) — пара Борсука с замкнутым А, то (Z X X,
ZX А) есть пара Борсука для всякого топологического прост-
пространства Z.
Доказательство. Если р — ретракция цилиндра XX/
на (X X 0) [J(АX /), то idZXp есть ретракция цилиндра
(ZXX)XI = ZX(XXI) на {(Z XX)X0]\)l(Z X A)X I} = ZX
()!
Пары Борсука и деформационные ретракции
6. Если (X, А) — пара Борсука и включение А -> X является
гомотопической, эквивалентностью, то А есть деформационный
ретракт пространства X.
Доказательство. Пусть л: X—>А — отображение, гомс-
топически обратное включению А->Х. Продолжим гомотопию,
связывающую отображение л\А = по[п: Л-> А с id Л, до гомо-
топии отображения л* и обозначим через р ретракцию прост-
пространства X на А, с которой последняя гомотопия связывает я.
Так как сквозное отображение X—*¦ А—*¦ X гомотопно idX,
р in
то и сквозное отображение X—*¦ А—*¦ X гомотопно idX, и,
таким образом, р есть деформационная ретракция.
7. Если А — деформационный ретракт пространства X и
(X X I, (X X 0) U (Л X /) U (X X 1)) - пара Борсука, то А есть
строгий деформационный ретракт пространства X.
Доказательство. Пусть р: X—>-Л — деформационная
ретракция и /: X X I-> X — гомотопия, связывающая id X со
сквозным отображением X—*¦ А—*-Х. Определим гомотопию
g: [(X X 0) U (А X I) U (X X 1)] X / -> X формулой
!х, если tl =0,
f(x,{l—t2)h), если хеЛ,
f(p(*), I —12), если ti = l,
и продолжим ее до какой-нибудь гомотопии G: (ХХЛХ^->-Х
отображения f: X X / -> X. Ясно, что формула (х, t) н-> G ((x, t), 1)
определяет Л-гомотопию XXI-+Х, связывающую idX с in°p.
72 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.1
8. Если {X, А) — пара Борсука и В — деформационный ретракт
пространства А, то отображение rel: (X, В) -> (X, А) является
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Продолжим гомотопию, связываю-,
щую id Л с композицией деформационной ретракции Л—*В и
включения В->А, до некоторой гомотопии G отображения id X.
Ясно, что отображение (X, А)->(Х, В), определяемое формулой
х>—>G(x, 1), гомотопически обратно rel.
Локальные характеристики пар Борсука
9. Если {X, А) — пара Борсука с нормальным X, то, каковы
бы ни были топологическое пространство Y, непрерывное ото-
отображение f: X-*Y и гомотопия F сужения f \A, для всякой
окрестности U множества А существует (X \ Щ-гомотопия ото-
отображения f, продолжающая F.
Доказательство. Если G — гомотопия отображения /,
продолжающая F, то формула (х, t) >—> G{x, tq>(x)), где ср — какая-
нибудь функция Урысона пары X\U, А, определяет (X\U)-
гомотопию отображения /, продолжающую F.
10. Для того чтобы топологическая пара (X, А) была парой
Борсука, необходимо, а в случае, когда X нормально и А выде-
выделяемо {в частности, когда X метризуемо и А замкнуто), и до-
достаточно, чтобы существовала окрестность U множества А,
для которой включение U—>X А-гомотопно отображению, пере-
переводящему U в А.
Доказательство необходимости. Если a: JX/->
(JXO)U(^X/) — ретракция, то множество U, составленное
из точек ieI e а(х, 1)еЛХ@, 1]> открыто, и сквозное ото-
отображение
UXI^XXI -^(ХХ0)\)(АХ1)^ХХ1 ^ X
является Л-гомотопией и связывает включение U-> X с отобра-
отображением, переводящим U в А.
Доказательство достаточности. Пусть F: UXI-*
X — такая Л-гомотопия, что F {х, 0) = х и F (х, 1)еЛ при любом
хе(/, и пусть ф: X—>1 — функция Урысона пары A, X\U,
выделяющая А (см. 1.5.9). Формула
(
F{x,mm(l/q>{x),l)), если x€eU\A,
x, если хеЛ,
определяет некоторое отображение G: U X / ~*" X, и из теоремы
2.2.14 следует, что G непрерывно. Вместе с G непрерывно
§ 3] ГОМОТОПИИ 73
отображение Н: X X / -*¦ X X /, определяемое формулой
(G (х, max @, t - <р (*))), max @, / - ф (*))),
Н (х, t) = s если хе[/,
(х, 0), если i;el\(/,
и ясно, что Я(*Х/) = (*Х0)и(ЛХ/) и что ab Я: J X / ~>
(X X 0) U (Л X /) есть ретракция.
//. Пусть {X, А) — такая топологическая пара, что А — дефор-
деформационный ретракт некоторой своей окрестности. Если X нор-
нормально и А выделяемо {в частности, если X метризуемо и А
замкнуто), то (X, А) есть пара Борсука.
Это следует из 10.
12. Если {X, А) — пара Борсука, то для всякой окрестности V
множества А существует такая его окрестность W, что W сг V
и включение W —> V А-гомотопно отображению, переводя-
переводящему W в А.
Доказательство. В силу 10, существуют такая окрест-
окрестность U множества А и такая Л-гомотопия F: U%I-^-X, что
F{x, 0) = х и F{х, 1)еЛ при любом xeil, а в силу 2.2.13
каждая точка х множества А обладает в U такой окрест-
окрестностью Wx, что F{WXX1)<=V. Положим W = \}X^AWX. Ясно,
что WczV и F (IF X /) <= V и что ab F: W X / -> V есть Л-гомо-
топия, связывающая включение If->1/ с отображением, пере-
переводящим W в А.
13. Если топологическое пространство составляет со своей
точкой пару Борсука, то оно сильно локально стягиваемо в этой
точке. Если нормальное пространство сильно локально стяги-
стягиваемо в выделяемой точке, то оно составляет с ней пару Борсука.
Это следует из 12 и 10.
6. Корсы
1. Подмножество топологического пространства называется
его окрестностным ретрактом, если оно являемся ретрактом
некоторой своей окрестности.
Очевидными примерами окрестностных ретрактов служат
ретракты и открытые множества.
2. Если А — окрестностный ретракт пространства X и В —
окрестностный ретракт пространства А, то В есть окрестностный
ретракт пространства X.
Действительно, если р: U-+А — окрестностная ретракция
для Л в А и а: V—>В — окрестностная ретракция для В в Л,
то o°(p\w): W -> В, где W = р~1 {V), есть окрестностная рет-
ретракция для В в X.
74 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, i
3. Топологическое пространство называется кор,сом, если
оно компактно и вкладывается в евклидово пространство (не-
(некоторой размерности) в качестве окрестностного ретракта.
Слово коре составлено из начальных букв слов компактный
окрестностный ретракт сферы.
Очевидными примерами корсов служат шары Dn и сфе-
сферы S".
4. Компактный окрестностный ретракт корса есть коре.
Это следует из 2.
5. При любом вложении корса в нормальное пространство
образ является окрестностным ретрактом.
Доказательство. Пусть f — вложение корса X в нор-
нормальное пространство Y и g: ЛГ—> R" — такое вложение, что
g{X) — окрестностный ретракт пространства R". Пусть, далее,
/, = [ab f: X-±f (X)}, gl = [ab g: X -> g(X)} и p: V -> g(Х)-окрест-
ностная ретракция. Так как множество f(X) замкнуто (см. 1.7.9),
то отображение g°f\'1'- f(X)—>R" продолжается до некоторого
непрерывного отображения h: У—>Rra (см. 1.5.12), и ясно, что
U = h~[ (V)9 есть окрестность множества f(X), a f^gf'op»
[abh: U -> V] — ретракция этой окрестности на f (X).
6. Для всякого компактного окрестностного ретракта X
пространства R" существует такое положительное е, что любые
непрерывные отображения f, g любого пространства Y в X с
dist(f(y),g{y))<E для всех y^Y
гомотопны. Гомотопию можно сделать связанной на множестве,
где fug совпадают.
Доказательство. Пусть ст: U-+X — окрестностная ре-
ретракция. Мы покажем, что за е можно принять расстояние
между множествами X и Rn\U (которое положительно в силу
1.7.1Б).
Пусть /, g: Y -> X — непрерывные отображения с dist(f(y),
g(y))<e, для всех у^*?. Очевидно, отрезок, соединяющий f (у)
с g(y), лежит в U, какова бы ни была точка y^Y. Следова-
г- 1/ f V "П Г Г 17 & V [П Т,
тельно, сквозные отображения У—*¦ X—*¦ и, Y—*¦ X—>¦ и со-
соединяются прямолинейной гомотопией F: Y "X.I-*-U, и ясно,
что гомотопия o°F: Y X / —>• X соединяет / с g и связана на
множестве, где /, g совпадают.
7. Если А — окрестностный ретракт корса X, то (X, А) —
пара Борсука.
Доказательство. Пусть а: U—>А — окрестностная ре-
ретракция. Считая пространство, X окрестностным ретрактом про-
пространства R", найдем для него е, указанное в 6, и обозначим
через V окрестность множества А в X, составленную из точек
§ 3] ГОМОТОПИИ 75
xet/, для которых dist(x, ст(л;))<е, и через ф сквозное ото-
отображение
Очевидно, dist (ф (х), х) < е, если xeF, и q>(x) = х, если х е Л;
следовательно, включение V—>Х Л-гомотопно ф, и поскольку
фA7) = Л, остается применить теорему 5.10.
5. Корсы сильно локально стягиваемы.
Это следует из 5, 7 и 5.13.
Информация
9. Теорема 8 может быть обращена: всякое локально стя-
стягиваемое компактное подпространство евклидова пространства
является его окрестностным ретрактом. Доказательство см. в [14].
7. Гомотопические свойства топологических конструкций
1. В этом пункте устанавливается гомотопическая инва-
инвариантность некоторых из конструкций, описанных в § 2, и изу-
изучаются гомотопические свойства пространств, к которым они
приводят.
Произведения
2. Очевидно, непрерывные отображения /, g: Y —> Х\ X ¦ • • X Хп
гомотопны в том и только том случае, если отображения pr,- ° /,
рг,- ° g: Y—>Xi гомотопны при любом i (ср. 2.2.4). Из этого,
в частности, следует, что пространство Х\ X • ¦ • X Хп й-связно
в том и только том случае, если fe-связны все пространства
ХД0<?:<оо).
Ясно/также, что если отображения gx: X\—>Yi,..., gn: Xn—>Y n
гомотопны отображениям \х\ Х1->Т1) ..., /„; Xn-*Yn, то ото-
отображение gi X ... Xgn- XjX ••• ХХп^ У,Х ---ХУп гомотопно
отображению f, X ... X In- Xi X ¦ ¦ ¦ XXn-+YlX ... X Yn, и что
если /,, ..., fn — гомотопические эквивалентности, то и
fiX • ¦ ¦ X fn — гомотопическая эквивалентность.
3. Если А — деформационный ретракт (строгий деформа-
деформационный ретракт) пространства X, то, очевидно, произведение
А X Y является при любом Y деформационным ретрактом (стро,-
гим деформационным ретрактом) произведения XXY- В част-
частности, если X стягиваемо, то слои хXY произведения ХХУ
являются деформационными ретрактами этого произведения.
76 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Факторизация
4. Поскольку проекция Х—>Х/\ непрерывно бтображает X
на Х(), факторпространство связного пространства связно
(см. 3.3). Ясно также, что для связности факторпространства Х/А
пространства X по его подпространству А достаточно уже
О-связности пары (X, А) и что если компоненты пространства X
открыты, то О-связность пары (X, А) следует из связности
факторпространства Х/А.
Как мы увидим в дальнейшем, ни ^-связность с k > О, ни
стягиваемость при факторизации, вообще говоря, не сохра-
сохраняется.
5. Пусть f, t — разбиения пространств X, У. Если отображе-
отображения ft: X —> У составляют гомотопию и отображают эле-
элементы разбиения f в элементы разбиения t, то отображения
fact /(: Х/\ -> Y/t также составляют гомотопию.
Нужно доказать, что отображение G: (Х/\) X / -*¦ Y/i, опре-
определяемое формулой G(x, t) = (fact ft) (x), непрерывно. Для этого
достаточно заметить (см. 2.3.4), что сквозное отображение
XXI >¦ (Х/0 X / —*¦ Y/t непрерывно, а отображение pr X id /
факторно; первое следует из коммутативности диаграммы
где F определяется формулой F (x, t) = ft (x), второе — из тео-
теоремы 2.7.8.
6. Если отображения f, /': (X, A)->(Y, В) гомотопны, то ото-
отображения relfactf, relfactf': (Х/А, рг(Л))->-(У/В, рг (В)) также
гомотопны. Если f — гомотопическая эквивалентность, то и
rel fact f — гомотопическая эквивалентность.
Первое следует из 5, второе — из первого: если отображение
g: (У, ?)->(J, А) гомотопически обратно /, то отображение
rel fact g: (Y/B, рт(В))-+(Х/А, рг(Л)) гомотопически обратно
rel fact /.
7. Если (X, А) — пара Борсука и А стягиваемо, то rel pr: {X, А) -*
(Х/А, рг(Л)) есть гомотопическая эквивалентность.
Доказательство. Пусть F: АУ^1~*А — гомотопия, свя-
связывающая id Л с постоянным отображением, и G: X ~Х.1 -* X —
гомотопия отображения id X,' продолжающая F. Так как ото-
отображение g, с которым G связывает id JfC, постоянно на А, то
определено отображение factg: X/A-+X, и так как, очевидно,
fact g(pr(A)) cz А, то определено и отображение rel fact g: (Х/А,
рт{А))->-{Х, А). Покажем, что последнее гомотопически обратно
s s] гомотопии 77
relpr. Для этого рассмотрим гомотопии rel G: (X X Л АХ/)-»
(X, А) и rel fact G: ((Х/А)Х1, рг(Л) X/)^U/A, рг(А)). Первая
из них связывает отображения rel id X, relg: (j, Л)->(Х, А),
вторая связывает отображения rel id (X/A), rel fact g: (Х/Л,рг(Л))->
(X/A, рг(Л)), и ясно, что [relg:(J, A)->(X, A)] = [rel fact g: (J/Л,
pr(A))-^(J, А)] о [relpr: (J, A)->(X/A, рг(Л))] и [relfactg: (X/A,
pr (Л))->(Х/Л, pr (Л))]=[ге1рг: (X, A)->(X/A, рг(Л))] о [rel fact g: (X/A,
pr(A))-(J, Л)].
Приклеивания
8. Если (Хи С) —пара Борсука и отображения <р, ф': С^-Х2
гомотопны, то пространства Х^^Х^ Х„{} ,Х{ гомотопически
эквивалентны; более того, они могут быть связаны такой гомо-
гомотопической эквивалентностью f: X2\J9Xl->X4\J9' Xv что диа-
диаграмма
A)
коммутативна.
Доказательство. Пусть Ф: С X / -* Х2 — гомотопия, свя-
связывающая ф с ф', и а — ретракция цилиндра А^Х^ на
(X, X 0) U (С X /)• Определим отображения h: (Х{ X 0) U (С X /) ->
Х2иф^Р A': (J1X0)U(CX/)->^2U<p^1 формулами
,(х), если /=0,
' imm2°ф(х, t), если ieC,
:), если r = U,
Ф(х, 1 — t), если, ieC,
и отображения /: X2[} Xt —*-X2[)v,Xi,g: X2[)v,Xl -> X,i[}<fXl фор-
формулами
(x) = h' о a (x, 1), / ° imm2 (x) = imm2 (x),
(x) = /i°a(x, 1), g ° imm2 (x) = imm2 (x).
Очевидно, что эти отображения непрерывны и что диаграмма A)
коммутативна. Ясно также, что отображение (X, ифЛ^) X /-»
X2Um-^i> определяемое формулами
,(х), /)h-»Aoaoi|)(a(*, 0, 0.
' -*¦ imm2 (x),^" '
78
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ГГЛ. t
где г|) — отображение произведения (Х{ X /) X I в Х\ X 1> опре-
определяемое формулой т1р((х, и), t) = (x, max@, t — u)), представляет
собой гомотопию, соединяющую id(X2U<p^,) с g°f. Таким об-
образом, композиция g°f гомотопна id^U^Z,), и подобным же
образом композиция f°g гомотопна id(АГ2иф- ^j)-
9 (Лемма). Если f: Y-+Y', /': У'->У — гомотопически взаимно
обратные отображения, то для всякой гомотопии F: Y XI->Y,
связывающей id F с f ° /, существует такая гомотопия F'\ ''
связывающая id Y' с f ° f, что отображения
l(YХ0)и(УХЩ-гомотопны.
Доказательство. Пусть G: Y' XI-+Y' — какая-нибудь
гомотопия, связывающая id Y' с f°f, и -F' — произведение трех
Рис. 3.
Рис. 4.
гомотопии: G, / °F °{f Xid /) и гомотопии, обратной гомотопии
Go(f X id/)°(f/X id/). Разобьем квадрат /2 на 8 частей, как
показано на рис. 3 (точки Аи А2, А3, Л4 имеют абсциссы 0, 1/2,
3/4, 1 и ординату 0, точки В{ В6— абсциссы 0, 1/8,
1/4, 1/2, 3/4, 1 и ординату 1/2, точки Сь С2 — абсциссы О,
] и ординату 1), и определим аффинные отображ-ения cti:
Р-^Ри а2: Р^Р2 условиями: а, @, 0) = 53, а1A,0) = б4,
а, (О, 1) = Л2, 02@, 0)=--В5, а2A,0) = В4, «2@, 1) = Л4. Опреде-
Определим, далее, для i/ef отображение фу: /2—>У7 условиями:
t2), /,)), ФЛ«2иь t2)) = G(foF(y, t2), /,);
если 0</<1/2, то фу(/, O) = G(f{y), 2/); сужение фу |Q по-
постоянно на отрезках прямых, параллельных прямой Л2В2; суже-
сужение фу |Q2 постоянно на отрезках прямых, проходящих через
точку Д; сужение ф^ |Qi постоянно на вертикальных отрезках;
§ з] ГОМОТОПИИ 79
сужение Фу Iq постоянно на отрезках прямых, параллельных
прямой С]В5; сужение фу |Qs постоянно на отрезках прямых, про-
проходящих через точку ZJ; сужение <$у L постоянно на верти-
вертикальных отрезках (отрезки постоянства отображения q>y пока-
показаны на рис. 4). Ясно, что формула ((у, t{), t2)l~^(py(tl, /2)
определяет [(Y X 0) U (Y X 1)]-гомотопию (У X/) X I-+Y', связы-
связывающую foF с F'o(fXidl).
10. Пусть {X, С) — пара Борсука с замкнутым С и ср: С —> Y —
непрерывное отображение. Если f: У ->У — гомотопическая экви-
эквивалентность, то
fact (id* U f): У\)9Х-+У'имХ
также есть гомотопическая эквивалентность.
Доказательство. Фиксируем: (i) отображение f: У-+У,
гомотопически обратное f; (ii) гомотопию F: Y X I —*-У, связы-
связывающую id К с f'°f; (iii) гомотопию F': Y"X I-+Yf, связываю-
связывающую id У с f о Г, вместе с [{Y X 0) U {Y X 1)]-гомотопией G: (Y X /)
X/ -> У, связывающей / о F с F' ° (f X id /) [см. 9]; (iv) ретракцию
р: X X / ->• (X X 0) U (С X /)• Определим, далее, отображения
g: (XX0)[j(CXI)^Y[JvX, g': [(X X 0) U (С X /)] X / -* У Uf0(fX
формулами
( imm! (x), если ^ = 0,
g кх> 0 = | imm о р ^ф ^ ^ если х е с.
, . fimmiW, если ^1=
g {{х, h), t2) -=
и отображение /г: У {Jf04,X -> У иф X формулами
h (immi (x)) = gop(x, 1), /г (imm2 (г/')) = imm2 (Г (//'))•
Ясно, что формулы
Н (imm! (х), 0 = g о р (*, ^), Я (imm2 (г/), t) = imm2
определяют гомотопию Я: (Y \J9 J) XI ~* Y иф X, связывающую
id(rU<pX) с h о fact (id X U f), а формулы
Я; (imm, (x), t) = g' (p {x, t), 1), Я; (imm2 (y% t) = imm2 (F' {yf, ()),
Щ (imm, (x), t) = g' (p (x, 1), /), Я^ (imm2 (/), /) = imm2 (f ° /' (/))
определяют гомотопии Щ, Н'2: (У' Ufo(pX) X / -^ У Uf0(pX, произве-
произведение которых связывает id(F'Uf0(pX) с fact (id X U /) ° ^- Таким
образом, отображение /г гомотопически обратно fact (id J LJ/)•
80 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Более специальные конструкции
//. Конус сопХ стягиваем при любом X. Надстройка suZ
связна "при любом X. Джойн Xi*X2 связен при любых Хи Х2.
Стягиваемость конуса очевидна. Связность надстройки сле-
следует из того, что она является факторпространством конуса.
Связность джойна следует из того, что любые две точки
рг(хр ху /), рг(х|, х'2, /')е= Х{* Х2 [(*р х2, t), (х\, х2, t') е= Х{ X
Х2 X 1~] соединяются путем, определяемым формулой
( рг(хь х2, Зт A — /) + t), если ts^1/3,
т ^ j рг (х[, х2, 2 — Зт), если 1/3 < т < 2/3,
[ рг(д:р 4» ^'(Зт — 2)), если т>2/3.
/2. Очевидное применение теоремы 5 показывает, что если
отображения /, g: X—>У гомотопны, то отображения suf,
sug: suZ->suF также гомотопны. Из этого обычным образом
следует, что если / — гомотопическая эквивалентность, то и
su f — гомотопическая эквивалентность.
Очевидное применение теоремы 5 показывает еще, что если
отображения f !,§]•. Х\ -+Y\ гомотопны и отображения f2, g^'- X2-*Y2
гомотопны, то отображения f, * f2, g{ * g2: Xt * X2 -+ Yt * У2 также
гомотопны. Из этого обычным образом следует, что если
f1; /2 — гомотопические эквивалентности, то и fi*f2 — гомото-.
пическая эквивалентность.
13. Ясно, что отображение rt f цилиндра Cyl f отображения
f: Xi—>X2 на J2 (см. 2.6.10) является строгой деформационной
ретракцией. Таким образом, Х2 — строгий деформационный
ретракт пространства Cyl/.'
Включение Xi->Cyl/ в том и только том случае является
гомотопической эквивалентностью, если/ — гомотопическая экви-
эквивалентность. Действительно, сквозное отображение Xt—*¦
Cyl/—*¦ Х2 совпадает с /, a rt/ есть гомотопическая эквива-
эквивалентность.
Случай пространств с отмеченной точкой
14. Сказанное в 2, 3, 6, 7, 10, 11 и 12 очевидным образом пе-
переносится на случай пространств с отмеченной точкой. Добавим,
что теоремы, аналогичные 12, верны для букетов и тензорных
произведений: если отображения f^, g^: (X^, x^ —>¦ (У^, у^) гомо-
гомотопны при каждом ц, то и отображения Уц/ц, VA: {Уц{Х^, х^),
Ьр) —> (V^.(^м.» г/ц), Ьр) гомотопны, а если каждое из отображе-
отображений /д является гомотопической эквивалентностью, то и Ум/Й
§ 3] ГОМОТОПИИ 81
есть гомотопическая эквивалентность; если отображения f,,
g,: {Xi, х,)-*-(Уь у{) гомотопны и отображения f2, g2: (X2, x2)->
(Y2, У1) гомотопны, то и отображения /|©/2, g{®g2: ({Хи х,)©
(Х2, х2), Ьр)-+((ГЬ У\)®(У2, Уч), Ьр) гомотопны, а если /,, ^ — го-
гомотопические эквивалентности, то и /i©/2 есть гомотопическая
эквив алентность.
8. Упражнения
1. Доказать, что сфера S°° стягиваема.
2. Доказать, что если (X, А) — пара Борсука и пространство X
стягиваемо, то факторпространство Х/А гомотопически эквива-
эквивалентно suA
3. Доказать, что если произведение двух топологических
пространств гомеоморфно надстройке над каким-нибудь топо-
топологическим пространством, то либо оба сомножителя стяги-
стягиваемы, либо один из них сводится к точке.
4. Доказать, .что если f: Xj—>J2 — гомотопическая эквива-
эквивалентность, то Х\ есть строгий деформационный ретракт про-
пространства Cyl f.
5. Доказать, что если топологическое пространство X
составляет со своей отмеченной точкой х пару Борсука, то
проекция suX —>su(X, x) является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью.
6. Доказать, что для всякого связного топологического про-
пространства X и любых его точек х, у часть пространства
^' A', 0; X, х), составленная из путей, проходящих через точку у,
стягиваема.
ГЛАВА 2
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
1. Основные понятия
1. Разбиение f топологического пространства X называется
клеточным, если на множестве элементов этого разбиения
определена такая функция d с неотрицательными целыми зна-
значениями, что для каждого элемента е разбиения f существует
непрерывное отображение Dd(e) ->Ic двумя свойствами: (i) оно
гомеоморфно отображает lntDdie) на е; (п) оно отображает
5<?(е)-1 в объединение элементов разбиения [, на которых d при-
принимает значения-, меньшие d(e).
Элементы клеточного разбиения называются клетками, а их
замыкания — замкнутыми клетками. Число d(e) называется раз-
размерностью клетки е и обычно обозначается через dim e. Всякое
непрерывное отображение Dd{e) -> X со свойствами (i), (ii) на-
называется характеристическим для е; в качестве стандартного
обозначения для такого отображения будет употребляться
символ chae.
Очевидно, chae(Z)dlme) cr С\е, а если X — хаусдорфово про-
пространство, то chae(Z)dime) = C\e. В частности, замкнутые клетки
клеточного разбиения хаусдорфова пространства компактны.
Ясно также, что, какова бы ни была клетка е, в хаусдорфовом
случае разность Cl e \ e покрывается клетками меньшей размер-
размерности.
2. Клеточное разбиение называется оснащенным, если для
каждой его клетки фиксировано характеристическое отобра-
отображение. Семейство {chae: Ddlme-> X}, возникающее при таком
фиксировании, называется оснащением разбиения, а отобра-
отображение
cha: Uee
определяемое соотношениями cha ° ine = chae, — тотальным ха-
характеристическим отображением.
3. Согласно общим определениям главы 1 (см. 1.2.4.3), по-
покрытие пространства X замкнутыми клетками клеточного раз-
§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 83
биения f определяет в X вторую топологию. Запас замкнутых
множеств этой топологии описывается правилом: множество
замкнуто, если его пересечения с замкнутыми клетками раз-
разбиения f замкнуты в исходной топологии. Эта вторая топология
называется слабой или клеточной, и переход к ней называется
клеточным ослаблением топологии. Ослабление топологии может
только увеличить запас открытых и замкнутых множеств и,
в частности, оставляет хаусдорфово пространство хаусдорфовым.
Во всех случаях оно не меняет топологии замкнутых клеток и,
таким образом, оставляет разбиение \ клеточным, сохраняя
характеристические отображения.
В случае, когда пространство X хаусдорфово, а разбиение f
снабжено оснащением {chae}, клеточная топология допускает
эффективное описание через тотальное характеристическое
отображение cha: множество А открыто (замкнуто), если открыт
(замкнут) его прообраз сЬа~'{А). Другими словами, клеточная
топология совпадает с топологией, перенесенной в X взаимно
однозначным фактором отображения cha из факторпространства
суммы Uesx/|Ddlme по разбиению zer(cha). Равносильность
этого описания клеточной топологии первоначальному следует
из замкнутости отображений chae (см. 1.1.7.9).
4. Клеточным пространством называется хаусдорфово топо-
топологическое пространство, наделенное клеточным разбиением
с двумя свойствами: (С) замкнутая клетка пересекается лишь
с конечным числом клеток; (W) замкнутые клетки составляют
фундаментальное покрытие пространства. Условие (W), оче-
очевидно, означает, что топология пространства совпадает с кле-
клеточной топологией. Обозначения (С) и (W) общеприняты и
происходят от английских терминов clos.ure finiteness и weak
topology.
Ясно, что свойство (С) сохраняется при клеточном ослаб-
ослаблении топологии. Поэтому хаусдорфово пространство, наделенное
клеточным разбиением со свойством (С), становится после кле-
клеточного ослабления топологии клеточным пространством.
Терминологию, относящуюся к клеточным разбиениям, при-
принято применять и к клеточным пространствам. В частности,
клеточное пространство может быть конечным, счетным и осна-
оснащенным. Конечность клеточного пространства означает, таким
образом, не конечность числа точек, а конечность числа клеток.
Размерностью клеточного пространства называется верхняя
граница размерностей его клеток; для пустого пространства
(которое не исключается из числа клеточных пространств) она
считается равной —1. Размерность клеточного пространства X,
конечная или бесконечная, обозначается через dim X.
Множество r-мерных клеток клеточного пространства будет
обозначаться через l^X
84 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. 2
5. Простейшими клеточными пространствами являются дис-
дискретные пространства, разбитые на нульмерные клетки (от-
(отдельные точки). Ясно, что таковы все нульмерные клеточные
пространства: разбиение хаусдорфова пространства с недис-
недискретной топологией на нульмерные клетки не удовлетворяет
условию (W).
Примером клеточного разбиения, удовлетворяющего усло-
условию (W), но не удовлетворяющего условию (С), может служить
разбиение шара Dn с п > 1 на я-мерную клетку intD'1 и нуль-
нульмерные клетки, покрывающие сферу S".
Локально конечный случай
6. В согласии с общим определением, данным в 1.1.1.12,
клеточное разбиение называется локально конечным, если
каждая точка пространства обладает окрестностью, пересекаю-
пересекающейся лишь с конечным числом клеток. Равносильное условие:
каждая точка обладает окрестностью, пересекающейся лишь
с конечным числом замкнутых клеток.
Ясно, что всякое компактное подмножество пространства,
наделенного локально конечным клеточным разбиением, обла-
обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом
клеток. Из этого следует, что локально конечное клеточное
разбиение хаусдорфова пространства удовлетворяет условию (С).
Что касается условия (W), то, в силу теоремы 1.1.3.6, оно вы-
выполнено вообще для всякого локально конечного клеточного
разбиения. Таким образом, хаусдорфово пространство, наде-
наделенное конечным или локально конечным клеточным разбиением,
является клеточным пространством.
7. Клеточное пространство локально конечно в том и только
том случае, если каждая клетка пересекается лишь с конечным
числом замкнутых клеток.
Доказательство. Если клеточное пространство локально
конечно, то замыкание любой клетки обладает окрестностью,
пересекающейся лишь с конечным числом клеток (см. 6), и
ясно, что такая окрестность, а с ней и взятая клетка, не пере-
пересекается с замыканиями других клеток.
Если каждая клетка клеточного пространства пересекается
лишь с конечным числом замкнутых клеток, то, как это сле-
следует из аксиом (С) и (W), объединение любого набора зам-
замкнутых клеток замкнуто. Следовательно, дополнение объеди-
объединения всех замкнутых клеток, не пересекающихся с произвольно
взятой клеткой е, является в этом случае окрестностью клетки е.
А так как это дополнение не может пересекаться с замкнутыми
клетками, которые не пересекаются с е, то оно пересекается
лишь с конечным числом замкнутых клеток.
itj i] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 85
Подпростр анства
8 (Лемма). Если подмножество клеточного пространства со-
содержит вместе с каждой точкой замыкание ее клетки, то всякая
часть этого подмножества, пересекающаяся с содержащимися
в нем замкнутыми клетками по замкнутым множествам, зам-
замкнута.
Действительно, если В — такая часть и е — произвольная
клетка, то пересечение В(]С1е представляется как LIz-iK^f]
С1е,)ПС1е], где еи ..., es — все клетки из подмножества,
пересекающиеся с С1 е, и потому замкнуто.
9. Подмножества клеточного пространства, содержащие
вместе с каждой точкой замыкание ее клетки, называются под-
подпространствами этого клеточного пространства. Они являются
клеточными пространствами: клеточное разбиение пространства
индуцирует в каждом из них клеточное разбиение, удовлетво-
удовлетворяющее, в силу леммы 8, условию (W) и очевидным образом
удовлетворяющее условию (С).
Другое следствие леммы 8 состоит в том, что подпростран-
подпространства клеточного пространства замкнуты. Заметим еще, что
объединение и пересечение любой совокупности подпространств
являются подпространствами и что всякое покрытие клеточного
пространства подпространствами фундаментально.
Пара, составленная из клеточного пространства и его под-
подпространства, называется клеточной парой. Подобным же об-
образом определяются клеточная тройка и клеточная триада.
Предостережение: замкнутая клетка может не быть подпро-
подпространством. Пример доставляет букет (?)', 0) V {S2, orti), раз-
разбитый на четыре клетки: нульмерные клетки imni! (—1) и
imm1(l), одномерную клетку imm^Int/I) и двумерную клетку
imm2E2 \ ortj). Ясно, что это — клеточное пространство и что
замыкание двумерной клетки задевает одномерную клетку, но
не содержит ее.
10. Важнейшими подпространствами клеточного простран-
пространства X являются его остовы skeeX, ske^ определяемые
формулой sker J —Udime<re. Все они непусты, если непусто X
(поскольку наличие клетки положительной размерности влечет
за собой наличие клетки меньшей размерности); по формальным
соображениям- к ним присоединяют пустой остов ske_, X и
остов skeooX = X. Ясно, что {ske,.X}о<г<«> есть фильтрация про-
пространства X.
Заметим, что всякое отображение Ddlme-^-X, характеристи-
характеристическое для клетки е, отображает Sdime-' в skedime_iX (это уже
было фактически сказано в 1). Если X наделено оснащением
{chae}, то отображение abcha,,: Sdlme~1-+skedime-i X называется
приклеивающим для е и обозначается через atte.
86 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
//. Всякая клетка клеточного пространства содержится в ко-
конечном подпространстве.
Доказательство проводится индукцией по размерности клетки.
Нульмерная клетка сама является подпространством. Если
е — клетка положительной размерности, то множество С\е\е
покрывается конечным числом клеток меньших размерностей,
и ясно, что объединение конечных подпространств, содержащих
эти клетки, и самой клетки е есть конечное подпространство,
содержащее е.
Компактные подмножества
12. Компактное подмножество клеточного пространства пере-
пересекается лишь с конечным числом клеток.
Доказательство. Во всяком подмножестве клеточного
пространства содержится часть, пересекающаяся по одной точке
с каждой клеткой, с которой пересекается подмножество. По-
Поскольку такая часть пересекается с любой замкнутой клеткой
по конечному множеству, она замкнута вместе со всеми своими
частями и потому дискретна, а если исходное подмножество
компактно, то она еще и компактна и, следовательно, конечна.
13. Компактное подмножество клеточного пространства со-
содержится в конечном подпространстве.
Таким подпространством является объединение конечных
подпространств, содержащих клетки, с которыми пересекается
подмножество.
14. Компактное подмножество локально конечного клеточ-
клеточного пространства содержится во внутренней части конечного
подпространства.
Действительно, такое подмножество обладает окрестностью,
пересекающейся лишь с конечным числом клеток (ср. 6), и
объединение конечных подпространств, содержащих эти клетки,
является конечным подпространством, содержащим указанную
окрестность.
Клеточные отображения
15. Отображение клеточного пространства X в* клеточное
пространство Y называется клеточным, если оно непрерывно и
при любом г отображает остов sker X в остов skerF.
Ясно, что клеточное отображение переводит каждую нуль-
нульмерную клетку в нульмерную клетку. Клетка положительной
размерности может и не отображаться клеточным отображением
в одну клетку; например, тождественное отображение отрезка/I,
разбитого на нульмерные клетки —1,1 и одномерную клетку
(—1, 1), в тот же отрезок, разбитый на нульмерные клетки —1,
О, 1 и одномерные клетки (—1, 0), @, 1), отображает одно-
§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 87
мерную клетку на объединение нульмерной клетки и двух
одномерных клеток.
16. Клеточное отображение называется клеточной эквива-
эквивалентностью, если оно обратимо и обратное отображение также
клеточно. Равносильная формулировка: клеточная эквивалент-
эквивалентность есть гомеоморфизм, в точности переводящий одно кле-
клеточное разбиение в другое. Два клеточных пространства, ко-
которые можно связать клеточной эквивалентностью, называются
клеточно эквивалентными. Два оснащенных клеточных про-
пространства, которые можно связать клеточной эквивалентностью,
переводящей одно оснащение в другое, называются оснащенно
эквивалентными.
Отображение / клеточного пространства X в клеточное про-
пространство Y называется клеточным вложением, если f(X) есть
подпространство пространства Y (в смысле 9) и ab/: X —*¦ f (X)
есть клеточная эквивалентность.
Предостережение: клеточный гомеоморфизм может не быть
клеточной эквивалентностью. Пример—гомеоморфизм, опи-
описанный в 15.
2. Склеивание клеточных пространств из шаров
/. При г ^гО остов skerX оснащенного клеточного простран-
пространства X канонически гомеоморфен пространству (sker_! X) Up
(Ue<=Mr{De = Dr)y где Mr = cell,X, а ф есть отображение
пространства 1_1еем {Se = Sr~[) в ske,.-^, определенное фор-
мулой (p°ine = atte (eeMr),
Каноническим гомеоморфизмом (sker_! X)U<p (UeeM,. A>)-*
sker X служит взаимно однозначный фактор отображения
(sker_j X) U (UesM A>) -> sker X, определяемого включением
sker_i X—>sker X и отображениями ab chae: De—>-skerJ.
2. Уже данное в 1:3 описание слабой топологии через то-
тотальное характеристическое отображение показывает, что всякое
клеточное пространство можно склеить, притом не слишком
грубым способом, из шаров. Теорема 1 разлагает это склеива-
склеивание в последовательность приклеиваний: r-е приклеивание
превращает sker_1X в skerX (/¦ = (), 1, ...). и X определя-
определяется по последовательности {skerJ} формулой X = limskerJ
(см.1.10).
Следующая формализация преобразует это описание кле-
клеточных пространств в полезный индуктивный метод их по-
построения. Заметим, прежде всего, что если к топологическому
пространству А, наделенному оснащенным клеточным разбие-
разбиением, все клетки которого имеют размерности, меньшие q,
приклеить сумму ^-мерных шаров ицем(?)ц = -09) посредством
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
какого-нибудь непрерывного отображения <р:
то получится пространство, наделенное очевидным оснащенным
клеточным разбиением, все клетки которого имеют размерности,
меньшие q-\-l. Это пространство удовлетворяет условию (W),
если А удовлетворяет условию (W), и из теоремы 1.2.4.9 сле-
следует, что оно нормально, если А нормально, а из теоремы 1.12 —
что оно удовлетворяет условию (С), если А клеточно; таким
образом, если А — нормальное оснащенное клеточное простран-
пространство, то и A Uq>(I_V<=mAi) ~ нормальное оснащенное клеточное
пространство. Эти замечания и лежат в основе нашего индук-
индуктивного построения. Мы начинаем -с д = 0, т. е. с пустого А,
и на г-и шаге приклеиваем к уже имеющемуся нормальному
оснащенному клеточному пространству Хг~, с dimXr_1^// —1
пространство |_1ц<=м (Z>n = Dr) посредством непрерывного ото-
отображения фг: 1_1цем С$ц. = Sr~')->Xr-i. Результатом r-го шага
является нормальное оснащенное клеточное пространство X, =
Хг-\ 11Фг(иц.Оц) с dimXr^r, а результатом всего процесса —
последовательность J-i = 0, Xo, Хи ... с естественными кле-
клеточными вложениями Xr-*Xr+i и предельным пространством
X = limXr. Последнее нормально, в силу теоремы 1.2.4.6, и
обладает очевидным клеточным разбиением со свойствами (С)
и (W). Таким образом, X — нормальное оснащенное клеточное
пространство. Ясно, что skerX = Xr.
Мы называем X индуктивно склеенным клеточным простран-
пространством. Из изложенного следует, что всякое оснащенное кле-
клеточное пространство оснащенно эквивалентно индуктивно
склеенному клеточному пространству.
3 (Следствие). Всякое клеточное пространство нормально.
3. Канонические клеточные разбиения сфер, шаров
и проективных пространств
1. Сферы, шары и проективные пространства обладают ка-
каноническими оснащенными клеточными разбиениями, которые
делают их клеточными пространствами. Эти оснащенные кле-
клеточные разбиения и описываются в настоящем пункте. Тот
факт, что они удовлетворяют условиям (С) и (W), во всех слу-
случаях очевиден.
2. Каноническое клеточное разбиение сферы Sn с 0<я < оо
состоит из нульмерной клетки ortj и л-мерной клетки Sn \ ort^
За каноническое характеристическое отображение для клетки
Srt\ort, принимается.DS: Dn->Sn.
3. Каноническое клеточное разбиение шара D" с 1 <л < оо
состоит из нульмерной клетки ort,, (л — 1)-мерной клетки
5"~' \ ortj и и-мерной клетки IntD". За каноническое характе-
К } 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 89
ристическое отображение для клетки Sn~i \ ort! принимается
сквозное отображение
а для клетки IntZ)" — тождественное отображение idD".
4. Каноническое клеточное разбиение вещественного про-
проективного пространства RPn (O^n^loo) состоит из клеток
er = RPr \RPr~[ с dimer = r, где 0<г<я при п < оо и
0^г<оо при л = оо. За каноническое характеристическое
отображение для ег принимается сквозное отображение
где рг отвечает факторизации, описанной в 1.2.5.2.
Ясно, что atte/. есть pr: Sr~'->RPr~' и что sker RPn = RPr,
если г ^ л.
5. Каноническое клеточное разбиение комплексного про-
проективного пространства СР" (О^я^оо) состоит из клеток
ег=--СРг\ СРГ~[ с dimer = 2r, где 0<r<tt при п < оо И
0^г<оо при п = оо. За каноническое характеристическое
отображение для ег принимается сквозное отображение
Ясно, что sker СРп — CPlrl2], если г<2л.
Подобным же образом определяются канонические оснащен-
оснащенные клеточные разбиения пространств ИРп (О^я^оо) и СаР"
(О^«^2). Разбиение пространства h\Pn состоит из клеток
er = h\Pr \НРГ~] с dim<?r = 4r, где 0^г<л при п < оо и
0^г<оо при я = оо, а разбиение пространства СаР" — из
клеток ет = СаРг \ СаРг~' с О^г^л, где dimer = 8r.
4. Дальнейшие топологические свойства клеточных
пространств
/. В этом пункте устанавливаются связи между такими
свойствами клеточного пространства, как компактность, ло-
локальная компактность, сепарабельность, существование счетной
базы и метризуемость, и такими свойствами его клеточного
раз-биения, как конечность, счетность и локальная конечность.
Попутно доказывается, что конечные клеточные пространства
являются корсами. Кроме того, рассматриваются условия связ-
связности клеточного пространства и его разбиение на компо-
компоненты.
90 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
Компактность и локальная компактность
2. Клеточное пространство компактно в том и только том
случае, если оно конечно. ¦,
Необходимость этого условия следует из 1.12, достаточность —
из того, что конечное клеточное пространство покрывается ко-
конечным числом замкнутых клеток.
3. Клеточное пространство локально компактно в том и
только том случае, если оно локально конечно.
Это условие необходимо, так как окрестность точки, име-
имеющая компактное замыкание, пересекается, в силу теоремы 1.12,
лишь с конечным числом клеток. Оно достаточно, так как
замыкание окрестности, пересекающейся лишь с конечным числом
клеток, содержится в объединении замыканий этих клеток.
Теоремы вложения
4. Конечное клеточное пространство вкладывается в евкли-
евклидово пространство достаточно высокой размерности.
Это доказывается следующей конструкцией, позволяющей
построить для конечного клеточного пространства X размер-
размерности га^О по вложению /': ske^-^X —>R4 некоторое вложение
J:X-*Rq+n+i (начало индукции тривиально, поскольку кле-
клеточное пространство размерности —1 пусто). Оснастим X и за-
занумеруем все n-мерные клетки в последовательность еь ..., es.
Определим, далее, отображения <рь ..., qy Dn-*Rq+n+l фор-
формулой
Ф*(г/i, •••, Уп)="
@, ..., 0, //,,..., «/„_,, yn + 2k, 1),
если p = V^+ ••• +У2п<1/2>
...,0, ? i*=i.,.g- + 2*f l),
если р ^ 1/2,
и положим
( 1 (х), если х г sken_, X,
' ~~\<fk (у), если х е= Cl ek и х — cha^ (г/).
Последняя формула определяет непрерывное отображение
/: X-*Rq+n+l (см. 1.1.4.3), и так как в плоскости г/1=0, ...,
§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 91
^ = 0, г/9+п+1 = 1 нет прямых, параллельных R4, то это отобра-
отображение взаимно однозначно. Следовательно, оно является вло-
вложением (см. 1.1.7.10).
5. Конечное клеточное пространство есть коре.
Доказательство является продолжением предыдущего и тоже
проводится индукцией по п. Мы покажем, что R4 UI (X) есть
окрестностный ретракт пространства Rq+n+l. Этого достаточно,
так как из того, что j{sken-iX) — окрестностный ретракт лро-
странства Rq, очевидным образом следует, что J{X) — окрест-
окрестностный ретракт пространства R4U^W-
Положим Ак — щ (Int Dn) и Вк = Ак Л {(х, xq+n+i) \
Xg+n+i^ О- Так как множества Аи . .., As замкнуты в R174 \
Ufe=i Ф^ ("S) и попарно не пересекаются, то они обладают в
Р<?+п+1\ U*_^A(S"~') попарно непересекающимися окрестно-
окрестностями ?/ь ..., Us, и ясно, что последние открыты и в R<?+'1+'.
Так как, далее, множества Аи . . ., As гомеоморфны R", то тож-
тождественные отображения Ах —> Л, As—> As продолжаются
до некоторых непрерывных отображений i^: UX-*AU ...,
^s- Us^-As (CM- 1.1.5.12). Положим
^-{xGf/J dist (x, Цк (х)) < Dist (x, R")},
V = {x^ Rq+n+l | Dist (x, R") < 1/2}
и обозначим через а|з ортогональную проекцию F->R9. Ясно,
что W = V \JVi(j ... U V s есть окрестность множества R* U J(X)
в К174"™4 и что'множества
[(ULi Fr Vk) fl Cl V Л W] \ Ul=1 Ф* (S"-1)
не пересекаются и замкнуты в У\ U^^^C-S"): гДе Y =*
(и*.,С1 Vft)flCI VflW- Пусть /: Г\ U*_, ФАEЯ-') ->/- какая-
нибудь функция Урысона пары A). Обозначим для у е С1 ВА,
zeR' через м&2 путь пространства *R4\)J{X), определяемый
как произведение прямолинейного пути, соединяющего у с
Ч^Ср* ' (y)/dist @, ф^"' (г/))), и прямолинейного пути, соединяю-
соединяющего фДфдГ1 («/)|dist @, ф^'(у))) с 2, и определим отображение
a: (uL1C
формулой а (у, г, t) = uyz(t). В силу 1.2.2.14, отображение
92 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
x: Y-^-R^lJliX), определяемое формулой
<У(Ы*)> *(*). fix))
х при х е U^i ФА (S"~ ),
непрерывно. С ним, в силу 1.1.4.3, непрерывно и отображение
W -+R'l\}J(X)> определяемое формулой
при xz=ClVk[)(W\V),
^{х) при xz=W\\}UxVk,
х (х) при JtelT,
и ясно, что оно является ретракцией.
Связность. Компоненты
6. Компоненты клеточного пространства являются открытыми
подпространствами.
Доказательство. Замкнутая клетка связна как образ
шара при характеристическом отображении; следовательно, ком-
компонента клеточного пространства содержит вместе с каждой
точкой замыкание ее клетки, т е. является подпространством.
Дополнение компоненты есть объединение остальных компонент
и потому также является подпространством; следовательно, оно
замкнуто, т. е. компонента открыта.
7. Если г~^\, то r-й остов компоненты клеточного простран-
пространства является компонентой его r-го остова. В частности, клеточ-
клеточное пространство связно тогда и только тогда, когда связен
его первый остов.
Доказательство. Если А — компонента клеточного про-
пространства X, то, очевидно, sker А = А Г) sker X при любом г, и
ясно, что если В — другая компонента пространства X, то sker A
и sker В лежат в разных компонентах пространства skerX.
Таким образом, нужно лишь показать, что остовы sker А с rj>l
связны, или, если угодно, что остовы sker_Y с rj>l связны
у связного X. А это делается очевидным, если заметить, что
построение индуктивно склеенного клеточного пространства,
описанное в 2.2, не может привести к связному пространству,
если одно из пространств X, с г^1 несвязно.
8. Связное локально конечное клеточное пространство счетно.
Доказательство. Отметим в рассматриваемом связном
локально конечном клеточном пространстве X какую-нибудь
точку х0 и обозначим через Ат множество точек, которые можно
соединить с х0 путем, задевающим не более т клеток. Так как
$ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 93
путь может задеть лишь конечное число клеток (см. 1.12), то
X — \Sm~\Am, и ясно, что множества Ат составлены из целых
клеток; таким образом, достаточно установить, что число клеток-,
входящих в Ат, конечно при любом т.
Это проверяется индукцией по т. Ясно, что замыкание ка-
каждой клетки из Ат+1 пересекается с замыканием некоторой
клетки из Ат, а из локальной конечности пространства X сле-
следует, что замыкание клетки из Ат (как и любое компактное
подмножество пространства X) пересекается лишь с конечным
числом замкнутых клеток. Поэтому из конечности числа клеток,
составляющих Ат, следует конечность числа клеток, составляю-
составляющих Ат+Ь и остается заметить, что А\ есть клетка.
Аксиомы счетности и метризуемость
9. Клеточное пространство сепарабельно в том и только том
случае, если оно счетно.
Доказательство. Счетное всюду плотное подмножество
счетного клеточного пространства можно получить, объединив
счетные всюду плотные подмножества его клеток.
Счетность сепарабельного клеточного пространства следует
из того, что каждая его точка содержится в конечном подпро-
подпространстве (см. 1.11): объединение конечных подпространств, со-
содержащих точки счетного всюду плотного множества, является
счетным подпространством и совпадает со всем пространством.
10 (Лемма). Если у клеточного пространства X имеется
в точке х0 счетная база, то эта база содержит окрестность
точки х0, пересекающуюся лишь с конечным числом клеток про-
пространства X.
Пусть это не так. Занумеруем элементы базы в последова-
последовательность Uu U2, ... и построим в Х\х0 (пользуясь очевидной
индукцией) последовательность Х\, х2, ... с двумя свойствами:
0) xt e Ui, (ii) если / Ф \, то xt и xt лежат в разных клетках.
Так как каждая замкнутая клетка содержит лишь конечное
число точек х{, то множество, составленное из всех точек xh
замкнуто, и его дополнение является окрестностью точки х0.
А это невозможно, поскольку указанное дополнение не содержит
ни одной из окрестностей С/ь U2, ...
11. Для того чтобы клеточное пространство удовлетворяло
первой аксиоме счетности, необходимо и достаточно, чтобы оно
было локально конечным.
Необходимость следует из леммы 10. Чтобы доказать достаточ-
достаточность, заметим, что, в силу теоремы 1.14, каждая точка локаль-
локально конечного клеточного пространства обладает окрестностью,
содержащейся в конечном подпространстве. В силу теоремы 4,
такое подпространство, а с ним и указанная окрестность,
94 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
удовлетворяет первой аксиоме счетности, и ясно, что счетная
база этой окрестности во взятой точке будет счетной базой
пространства в этой точке.
12. Для того чтобы клеточное пространство обладало счет-
счетной базой, необходимо и достаточно, чтобы, оно было счетным
и локально конечным.
Необходимость следует из 9 и 11. Чтобы доказать доста-
достаточность, фиксируем для каждой замкнутой клетки окрестность,
содержащуюся в конечном подпространстве (см. 1.14). Из тео-
теоремы 4 следует, что эти окрестности удовлетворяют второй
аксиоме счетности, и ясно, что объединение их счетных баз
является счетной базой пространства.
13. Для того чтобы клеточное пространство было метризуе-
мым, необходимо и достаточно, чтобы оно было локально ко-
конечным.
Необходимость следует из 11. Метризуемость связного ло-
локально конечного клеточного пространства следует из теорем 8,
12, 2.3 и 1.1.6.9. Метризуемость произвольного локально конеч-
конечного клеточного пространства следует из метризуемости его ком-
компонент, поскольку оно гомеоморфно их сумме (см. 6 и 1.2.1.2).
5. Клеточные конструкции
1. Применительно к клеточным пространствам конструкции,
описанные в § 1.2, естественно модифицируются. Для одних
конструкций модификация заключается в том, что получающееся
пространство наделяется клеточным разбиением и делается
клеточным; очевидным примером служит сумма пространств.
У других конструкций, например у произведения, модификация
затрагивает и топологию получающегося пространства.
Ниже описываются важнейшие модификации обоих типов.
Подчеркнем, что в применении к оснащенным клеточным про-
пространствам все они дают оснащенные клеточные пространства.
Клеточное произведение
2. Произведение Х\ X Х2 топологяческих пространств Хи Х2,
наделенных клеточными разбиениями fb B, обладает есте-
естественным клеточным разбиением, именно, разбиением f, X h
с dim(e[ X е2) — dim^ + dim e2. Характеристическим отображе-
отображением для ех X е2 может служить композиция канонического
гомеоморфизма ?)dime>+dim ег -* Ddimi> X Ddim е' (см. 1.2.6.9)
с произведением ch-ae, X chae2: Ddim ex X DAim ег -> J, X Х2 произ-
произвольных характеристических отображений chae,: Dulmei-*X\,
chae!: Z)dim et->X2- В случае, когда разбиения fb f2 оснащены,
это дает каноническое оснащение для ft X h-
§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 95
Если разбиения fi, f2 обладают свойством (С), то разбиение
fi X h, очевидно, также обладает свойством (С). В противо-
противоположность этому условие (W) может не выполняться для
разбиения h X B даже в случае, когда Хи Х2 —клеточные про-
пространства; см. упражнение 6.6. Клеточное пространство, в кото-
которое превращается произведение клеточных пространств Х\, Х2
после клеточного ослабления топологии, называется их клеточ-
клеточным произведением и обозначается через XiXc-^V
Заметим, что клеточное ослабление топологии не меняет
топологии компактных частей пространства Xi^X2. Действи-
Действительно, компактное подмножество пространства Х\ X Х2 имеет
компактные образы при проекциях XiX X2->XU Х1ХХ2—>- Х2
и потому покрывается конечным числом клеток.
3. Если пространство Х\ локально конечно, то Х\У^СХ2 =
Х\ X Х2 для всякого клеточного пространства Х2.
Доказательство. Пусть cha1, cha2 — тотальные характе-
характеристические отображения, отвечающие каким-нибудь оснаще-
оснащениям клеточных разбиений f1} f2 пространств Хь Х2. Очевидно,
тотальное характеристическое отображение, соответствующее
разбиению h X B. представляется как сквозное отображение
[_J ?)dim (eiXes) _^. [_] (?)dim et y^ ?)dim ег\ =
(U Z)dlm g0 X (U ?>dim g0 Cha'XCha> X1 X X2, B)
где левая стрелка обозначает сумму канонических гомеомор-
гомеоморфизмов ?)dIm (ei X ег)-у ?)dim е, )< Ddime\ ПОСКОЛЬКУ разбиеНИЯ (,
и f2 удовлетворяют условию (W), отображения cha' и cha2 фак-
факторны (см. 1.3), а так как пространства U Diim ег и Z, локально
компактны (см. 4.3), то факторно и отображение cha1 X cha2
(см. 1.2.7.9). С ним факторно и сквозное отображение B), и,
таким образом, разбиение f; X B удовлетворяет условию (W).
4 (Информация). Если каждая точка каждого из клеточных
пространств Хи Х2 обладает окрестностью, пересекающейся лишь
со счетным числом клеток, то Х{ Х.сХ2 = Xi X X%- Доказатель-
Доказательство имеется в [6].
Приклеивание
5. Пусть Х\, Хч — клеточные пространства, С — подпростран-
подпространство пространства Х\ и ер: С—>Х2 — клеточное отображение. Со-
Согласно 1.2.4.8, определено топологическое пространство Х2\]ЧХХ
и из 2.3 и 1.2.4.9 следует, что оно нормально. Разобьем его
на множества imm^! и imm2e2, где в\ пробегает все клетки
из J, \ С, а е2 —все клетки из Х2, и положим dim (imirii ex) =
dimeb dim(imm2e2) = dime2. Это — клеточное разбиение: харак-
характеристическим отображением для йшпг е,- может служить ком-
композиция произвольного характеристического отображения chae
96 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
с imrrij. Ясно, что замыкание клетки immiei пересекается только
с клетками вида imniieb где б[ — клетка из Xi, пересекаю-
пересекающаяся с Clt?!, и с клетками вида imm2e2, где е2— клетка из Х%,
пересекающаяся с q^Cl^DC). Ясно также, что , замыкание
клетки imm2e2 пересекается только с клетками вида imm2e2,
где е2 — клетка из Х2, пересекающаяся с С1е2. Следовательно,
построенное разбиение удовлетворяет условию (С). Оно удовле-
удовлетворяет и условию (W), так как из замкнутости пересечений
подмножества F пространства Х2\]чХу с замкнутыми клетками
следует, в силу формулы
imm-1 (F) Л С1 е2 = imm^F f] Cl (imm2 e2)),
замкнутость множества imm^HF), а в силу формулы
если
— замкнутость множества imm~l(F). Таким образом, мы сделали
-^Ucp^i клеточным пространством. Ясно, что imm2(X2) есть
подпространство этого пространства и что imm2 есть клеточное
вложение, a immj — клеточное отображение.
Если Х2 = О°, то отображение ср: С—>Х2 клеточно, какова бы
ни была клеточная пара (Хь С), и X2\J<S)Xi = Xi/C. Таким обра-
образом, предыдущее определение делает факторпространство кле-
клеточного пространства по его подпространству клеточным про-
пространством.
Предел
6. Пусть Xq, Х\, ... —клеточные пространства и ф0: Xq—>Xu
Фр Х\-*Хч, ...—клеточные вложения. Согласно 1.2.4.4, опре-
определено топологическое пространство lim(Jfe, (pfe), и из 2.3 и 1.2.4.6
следует, что оно нормально. Разобьем его на множества вида
immfteft, где ek — клетка из Xk\^k-i(Xk-i), a 6 = 0, 1, ..., и.
положим dim (inim^ ek) = d\mek. Это — клеточное разбиение:
характеристическим отображением для iramfeefe может служить
композиция произвольного характеристического отображения
chaeft с imnu. Оно, очевидно, удовлетворяет условиям (С) и (W)
и, таким образом, делает \\т{Хь, Ф&) клеточным пространством.
Ясно, что immft — клеточные вложения.
Заметим, что это определение предела содержит в себе пре-
предельную конструкцию, которой мы пользовались в п. 2 для
склеивания клеточных пространств из шаров.
§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ' 97
Более специальные конструкции
7. Поскольку разбиение отрезка / на клетки 0, 1, Int./ де-
делает его конечным клеточным пространством, цилиндр X XI
является клеточным пространством для всякого клеточного про-
пространства X; см. 2 и 3. Так как основания такого цилиндра
являются его подпространствами в смысле 1.9, то факторизация,
превращающая его в сопХ, и повторная факторизация, пре-
превращающая сопХ в su X, укладываются в схему определения 5,
и, таким образом, конус и надстройка над клеточным простран-
пространством тоже являются клеточными пространствами.
Если /: Х{ —>¦ Х2 — клеточное отображение, то приклеивания,
превращающие XiX.1 в Cylf и сопХ) в Con/, также уклады-
укладываются в схему определения 5. Таким образом, цилиндр и конус
клеточного отображения являются клеточными пространствами.
8. Мы определяем клеточный джойн Xi*cX2 клеточных про-
пространств Хи Х2 формулой
J, *с Х2 = (X, U Х2) иф [(Xi Хс Х2) X /],
где ф—отображение объединения [(Xi Хс Х2) X 0] U [№ Хс Х2) X11
в Х\ U Х2, определяемое формулами ф(л:ь х2, 0) = щ(х1),
ф(*ь х2, I).= in2(x2); ср. 1.2.6.3. Поскольку ф — клеточное ото-
отображение, Х\*СХ2 — клеточное пространство.
Если Х\ локально конечно, то, в силу 3, Х]*СХ2 совпадает
как топологическое пространство с Х\ * Х2. В общем случае
клеточное разбиение пространства X. *СХ2, очевидно, является
клеточным и для Х{ * Х2, так что Xi *с Х2 получается из Х\ * Х2
клеточным ослаблением топологии. Ясно, что последнее не ме-
меняет топологию компактных частей пространства Х\ * Х2; ср. 2.
Случай пространств с отмеченной точкой
9. Если X — клеточное пространство с отмеченной нульмер-
нульмерной клеткой хй, то конус con (А', х0) и надстройка su(X, хй)
получаются из конуса сопХ и надстройки suX факторизацией
по подпространству и, таким образом, являются клеточными
пространствами. Подобным же образом, букет семейства кле-
клеточных пространств с отмеченными нульмерными клетками
получается из суммы этих пространств факторизацией по под-
подпространству и является благодаря этому клеточным простран-
пространством.
Наконец, мы определяем клеточное тензорное произведение
клеточных пространств Хь Х2 с отмеченными нульмерными
клетками хи х2 как факторпространство (Ху XcX2)/[(Xi X^U
{х\ X Х2)] и их клеточный джойн как факторпространство
{Хг *cX2)j{xi * х2). Это — клеточные пространства, обозначаемые
98 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА {ГЛ, 2
через (Хи i!|)®cD х2), (Хи хх) *С(Х2, х2). Если Х\ локально
конечно, то они совпадают как топологические пространства
с (Хъ хг)®(Х2, x2), (Х\, X]) * (Х2, х2); в общем же случае их кле-
клеточное разбиение является клеточным и для (Хи Xi)®(X2, x2),
(Xit ху) * (Х2, х2), так что они получаются из (Х\, Xi)®(X2, x2),
{Xi, Xi)*(Xn, х2) клеточным ослаблением топологии. Ясно, что
последнее не меняет топологии компактных частей пространств
{Хи xl)®{X2, х2), (Хи хг)*(Х2, х2у
6. Упражнения
1. Доказать, что для любого клеточного пространства X и
любой его точки х существуют такое клеточное пространство Y
и такой клеточный гомеоморфизм /: X->Y, что f(x)eske0F.
2. Доказать,-что сфера S°° и шар D°° гомеоморфны клеточ-
клеточным пространствам.
3. Доказать, что всякое связное локально конечное клеточ-
клеточное пространство допускает топологическое вложение в R°°.
4. Доказать, что всякое связное конечномерное локально
конечное клеточное пространство может быть вложено в R4
с достаточно большим q.
5. Доказать, что всякое конечное клеточное пространство
допускает клеточное вложение в клеточное пространство, гомео-
морфное шару D4 с достаточно большим q.
6. Рассматривая букет В= V«eR {It = /, 0) как клеточное
пространство (см. 5.9), доказать, что отображение id: ВХс^-*
В X В не является гомеоморфизмом.
§ 2. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Евклидовы симплексы
/. Пусть А — подмножество пространства R", составленное
из г + 1 точек (г^О), не лежащих ни в какой (г—1)-мерной
плоскости. Выпуклая оболочка множества А (наименьшее вы-
выпуклое множество, содержащее А) называется евклидовым сим-
симплексом, натянутым на А, и обозначается через Esi А. Точки
множества А называются вершинами симплекса Esi А, а число
г — его размерностью.
Ясно, что точка симплекса Esi Л в том и только том слу-
случае является его вершиной, если он не содержит невырожден-
невырожденного отрезка с серединой в этой точке. Таким образом, мно-
множество А определяется множеством Esi Л.
Симплексы, натянутые на подмножества множества А, на-
называются гранями симплекса Esi Л. Очевидно, Esi A{ П Esi A2 =
Esi (Ai fl Л2) для любых Ль Л2с:Л.
$ 2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99
Грани, натянутые на два взаимно дополнительные подмно-
подмножества множества А, называются противоположными. Если Ль
А2 — такие подмножества, то формула
рг (хи х2, 01—^ A — 0*i + tx2 [хх <= Esi Л,, х2 е Esi A2, t e/]
определяет гомеоморфизм джойна Esi A{ * Esi A2 на Esi А. Таким
образом, евклидов симплекс канонически гомеоморфен джойну
любой пары своих противоположных граней.
Поскольку шар Dr канонически гомеоморфен джойну D" * D4
с p-\-q = r — 1 (см. 1.2.6.9), очевидная индукция показывает,
что каждое из пространств Esi A, Dr гомеоморфно джойну
г + 1 точек. Таким образом, r-мерный евклидов симплекс го-
гомеоморфен DT.
Очевидно, граница симплекса Esi Л в определяемой им
r-мерной плоскости совпадает с объединением его (г—^-мер-
(г—^-мерных граней. Обычно эту границу и ее дополнение в Esi Л на-
называют просто границей и внутренностью симплекса Esi Л.
2. Симплекс Esi Л можно эквивалентным образом описать
как множество сумм Еа1=л^аЯ, где ta — неотрицательные веще-
вещественные числа с суммой 1. Так как А не лежит в {г — ^-мер-
^-мерной плоскости, то числа ta однозначно определяются точкой
x — 2,a<=Ataa; число (а называется а-й барицентрической коорди-
координатой этой точки и обозначается через Ьага(х).
Очевидно, грань Esi В симплекса Esi Л определяется в бари-
барицентрических координатах симплекса Esi Л ур авнениями Ъата(х)=0
с а е А\В. Ясно также, что если х е Esi В, то координаты
Ъата(х) с вей, вычисленные в Esi Л, совпадают с координа-
координатами Ъата{х), вычисленными в Esi В.
Точка симплекса Esi Л, все барицентрические координаты
которой равны между собой, т. е. равны 1/(г + 1), называется
его центром.
3. Отображение симплекса Esi Л в симплекс Esi В назы-
называется симплициальным, если оно аффинно и отображает Л
в В. Ясно, что такое отображение симплициально отображает
каждую грань первого симплекса на некоторую грань второго
симплекса и отображает внутренность первого симплекса на
внутренность симплекса, служащего его образом.
Очевидно, всякое отображение А-*В единственным образом
продолжается до симплициального отображения Esi Л—> Esi В.
Если отображение А->В взаимно однозначно, то его симпли-
циальное продолжение Esi Л -> Esi В является вложением, а если
отображение Л —>¦ В обратимо, то его симплициальное продолже-
продолжение Esi Л -> Esi В является гомеоморфизмом.
4. Симплекс Esi Л называется упорядоченным, если упорядо-
упорядочено множество Л. Поскольку подмножества упорядоченного
100 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
множества обладают естественным порядком, грани упорядо-
упорядоченного симплекса являются упорядоченными симплексами.
Если Esi В— другой упорядоченный симплекс той же раз-
размерности г, то порядок, имеющийся в А и В, определяет обра-
обратимое отображение А-±В и, тем самым, симплициальный
гомеоморфизм Esi A -> Esi В. Таким образом, все упорядоченные
евклидовы симплексы одной размерности канонически симпли-
циально гомеоморфны между собой.
5. Симплекс, натянутый на точки ortj ortr+I простран-
пространства Rr+I, называется единичным и обозначается через Т. Он
удобен тем, что барицентрические координаты его точек сов-
совпадают с их обычными координатами в Rr+i. Указанный поря-
порядок его вершин делает его упорядоченным, и, таким образом,
всякий упорядоченный евклидов симплекс размерности г кано-
канонически симплициально гомеоморфен Тг.
Заметим, что в случае упорядоченного симплекса Esi А го-
гомеоморфизм EsiA->Dr, указанный в 1, делается каноническим.
Канонический гомеоморфизм Tr -> Dr будет обозначаться через
TD, а обратный гомеоморфизм — через DT. Ясно, что TD ото-
отображает границу симплекса Тг на Sr~l, а его внутренность —
на IntD'.
Топологические симплексы
6. Топологическое пространство X называется упорядочен-
упорядоченным топологическим симплексом размерности г, если оно наде-
наделено гомеоморфизмом Тг —*¦ X; последний называется характе-
характеристическим гомеоморфизмом симплекса, множество же X иногда
называют носителем симплекса. Например, упорядоченные евкли-
евклидовы симплексы размерности г и шар DT являются упорядочен-
упорядоченными топологическими симплексами размерности г; см. 5.
Стандартный способ уничтожения порядка заключается
в одновременном введении всех возможных порядков. В соот-
соответствии с этим мы называем топологическое пространство X
топологическим симплексом размерности г, если оно наделено
(г+1)! гомеоморфизмами ТГ-->Х, переходящими друг в друга
при симплициальных гомеоморфизмах Тг-^-Тг. Термины харак-
характеристический гомеоморфизм и носитель употребляются и в этой
ситуации, только вместо одного характеристического гомеомор-
гомеоморфизма имеется {г + 1)! равноправных характеристических го-
гомеоморфизмов. Примерами топологических симплексов могут
служить евклидовы симплексы.
Если X — топологический симплекс (упорядоченный тополо-
.гический симплекс) размерности г, a Y — топологическое про-
пространство, то всякий гомеоморфизм X—>¦ Y превращает У в топо-
топологический симплекс (упорядоченный топологический симплекс)
§ 2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА \Q\
размерности г. Благодаря этому, топологическое пространство,
на которое гомеоморфно отображен евклидов симплекс (упоря-
(упорядоченный евклидов симплекс) размерности г, становится топо-
топологическим симплексом (упорядоченным топологическим сим-
симплексом) размерности г.
Для топологических симплексов очевидным образом опреде-
определяются вершины, грани, граница, внутренность, барицентриче-
барицентрические координаты, центр и симплициальные отображения. Грани
топологического симплекса являются топологическими симплек-
симплексами, грани упорядоченного топологического еимплекса — упо-
упорядоченными топологическими симплексами. Как и евклидов
симплекс, топологический симплекс делается упорядоченным при
фиксировании порядка вершин.
2. Симплициальные пространства и симплициальные
отображения
/. Триангуляцией множества называется его покрытие топо-
топологическими симплексами, удовлетворяющее трем условиям:
(i) грани любого симплекса покрытия являются симплексами
покрытия; (И) если один симплекс покрытия покрыт другим
симплексом покрытия, то первый является гранью второго;
(ш) пересечение носителей двух перекрывающихся симплексов
покрытия является носителем некоторого симплекса покрытия.
Множество, наделенное триангуляцией, называется симплициаль-
ным пространством. Симплексы триангуляции называются сим-
симплексами пространства, а нульмерные симплексы — вершинами.
Наименьший из симплексов триангуляции, содержащих точку л:,
обозначается через %\х.
Согласно 1.2.4.3, триангуляция множества делает его топо-
топологическим пространством, а согласно 1.2.4.1, носители симплек-
симплексов триангуляции составляют фундаментальное покрытие этого
пространства. Так как пересечения симплексов триангуляции
замкнуты в каждом из них, то симплексы триангуляции, рас-
рассматриваемые как подпространства этого пространства, сохра-
сохраняют свою топологию (см. 1.2.4.2).
Если а — вершина симплициального пространства X, то у то-
точек симплексов с вершиной а имеется а-я барицентрическая
координата bara (см. 1.2 и 1.6), и мы получим непрерывную
функцию bara: X-*-R, если положим Ъага{х) — 0 для точек
ieZ, не принадлежащих симплексам с вершиной а. Эта функ-
функция называется а-й барицентрической функцией. Ясно, что для
любых двух различных точек х, у симплициального простран-
пространства существует такая вершина а, что Ъага{х) Ф bara(y). Сле-
Следовательно, симплициальное пространство является хаусдор-
фовым.
102 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
В случае, когда множество X, наделяемое триангуляцией,
уже имеет топологию, полезно знать, при каких условиях топо-
топология, определяемая триангуляцией, совпадает с первоначаль-
первоначальной. Очевидное необходимое и достаточное условие состоит
в том, что топология симплексов триангуляции совпадает с от-
относительной топологией, индуцируемой первоначальной тополо-
топологией пространства X, и носители этих симплексов составляют
по отношению к первоначальной топологии фундаментальное
покрытие. Если это условие выполнено, то триангуляция назы-
называется триангуляцией первоначального топологического про-
пространства X. Например, покрытие топологического симплекса,
составленное из всех его граней, является его триангуляцией.
Симплициальное пространство называется упорядоченным,
если его симплексы упорядочены и при этом грани каждого сим-
симплекса упорядочены в согласии с упорядочением самого сим-
симплекса. Последнее условие выполняется, например, если порядок
в симплексах индуцирован каким-нибудь упорядочением мно-
множества всех вершин пространства, из чего видно, что симпли-
симплициальное пространство всегда можно упорядочить.
2. Следующий класс симплициальных пространств является
фундаментальным. Обозначим для произвольного непустого
множества Л через Si Л .множество всевозможных неотрица-
неотрицательных финитных функций ф: Л->К с 2ае=лф(й) = 1 и усло-
условимся отождествлять множества Si В, отвечающие подмноже-
подмножествам множества Л, с подмножествами множества Si Л, считая
функции из Si В равными 0 на А\В. Если А конечно и со-
состоит из г + 1 элементов, то Si Л в естественном смысле яв-
является топологическим симплексом: это подмножество (г-\-I)-
мерного евклидова пространства всех функций Л->К, и (г + 1)!
упорядочениям множества Л отвечают (г + 1)! гомеоморфизмов
Тг —>- Si Л, относящих точке {хи ..., хг+1) функцию со значе-
значениями хи ..., хг+{ и переходящих друг в друга при симпли-
симплициальных гомеоморфизмах ТГ->ТГ. В общем случае, Si Л по-
покрывается топологическими симплексами Si В, отвечающими
всевозможным конечным подмножествам множества Л, и ясно,
что это — триангуляция множества Si Л. Таким образом, Si Л
есть симплициальное пространство. Оно называется симплексом,
натянутым на А. Его упорядочение эквивалентно упорядочению
множества Л.
3. Внутренности симплексов симплициального пространства X
составляют разбиение множества X, и ясно, что это разбиение
делается клеточным, если определить размерность внутрен-
внутренности е симплекса «формулой dim e — dims: характеристи-
характеристическим отображением для е может служить сквозное отобра-
отображение n_ m ,
dl ^ ~dlm s Ф> "^
§ 2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА JQ3
где ф — какой-нибудь характеристический гомеоморфизм сим-
симплекса s. Поскольку условия (С) и (W) выполняются здесь оче-
очевидным образом, а хаусдорфовость симплициального простран-
пространства уже была установлена, мы видим, что это клеточное раз-
разбиение превращает X в клеточное пространство. Таким образом,
симплициальное пространство, разбитое на внутренности своих
симплексов, является клеточным пространством.
Поскольку у r-мерного симплекса имеется (г + 1)! характе-
характеристических гомеоморфизмов, формула A) выделяет из всех
отображений, характеристических для r-мерной клетки симпли-
симплициального пространства, (г+1I привилегированных отображе-
отображений. Эти привилегированные характеристические отображения
называются симплщиальными и являются топологическими вло-
вложениями. Фиксирование одного из них равносильно упорядоче-
упорядочению симплекса s, так что упорядоченное симплициальное про-
пространство обладает каноническим оснащением.
Ясно, что остов skerX симплициального пространства X
совпадает с объединением симплексов, размерность которых
не превышает г, и что dim (sker X) = г, если r<dimX. В част-
частности, ske0X есть множество вершин пространства X. Конеч-
Конечность этого множества является, очевидно, необходимым и
достаточным условием конечности пространства X. Для локаль-
локальной конечности симплициального пространства, как это следует
из 1.1.7, необходимо и достаточно, чтобы каждая вершина при-
принадлежала лишь конечному числу симплексов. '
Подпространства
4. Подпространствами симплициального пространства назы-
называются его подмножества, составленные из целых симплексов
триангуляции. Они обладают естественной триангуляцией и
являются, таким образом, симплициальными пространствами.
Подпространства упорядоченного симплициального пространства
являются упорядоченными симплициальными пространствами.
Очевидно, подмножество симплициального пространства в том
и только том случае является его подпространством, если это —
подпространство в клеточном смысле.
Подпространство симплициального пространства называется
полным, если его пересечение с носителем любого симплекса
пространства является носителем некоторого симплекса простран-
пространства или пусто. Равносильная формулировка: подпространство
полно, если оно содержит все симплексы, вершины которых
в нем лежат.
Ясно, что симплексы симплициального пространства — пол-
полные подпространства. Полными подпространствами простран-
пространства Si Л являются пространства Si В с В с: А и только они.
J04 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
Симплициальные отображения
5. Отображение симплициального пространства X в симпли-
циальное пространство Y называется симплициальным, если оно
симплициально отображает каждый симплекс пространства X
в некоторый симплекс пространства Y. Ясно, что такое отобра-
отображение является клеточным и отображает X на подпространство
пространства У.
Следующие факты также очевидны. Если симплициальное
отображение обратимо, то это — гомеоморфизм и обратное
отображение симплициально. Взаимно однозначное симплици-
симплициальное отображение является топологическим вложением. Сим-
Симплициальное отображение f: X~>Y определяется индуцирован-
индуцированным отображением abf: skeoX->skeoy множества вершин про-
пространства X в множество вершин пространства Y. Отображение
ske0X—>skeoy в том и только том случае продолжается до
симплициального отображения X—*-Y, если оно переводит вер-
вершины каждого симплекса пространства X в вершины некото-
некоторого симплекса пространства У. Взаимная однозначность сим-
симплициального отображения f: X->Y -равносильна взаимной
однозначности отображения abf: ske0X—>-ske0F, его обрати-
обратимость— обратимости отображения abf: ske0X-*ske07.
Симплициальные пространства, которые можно связать сим-
симплициальным гомеоморфизмом, называются симплициально гомео-
морфными.
6. • Симплициальное отображение f упорядоченного симпли-
симплициального пространства X в упорядоченное симплициальное
пространство У называется монотонным, если f{a)^f(b) для
любых двух вершин а, Ъ пространства X, принадлежащих одному
симплексу и таких, что а^Ь.
Симплициальное отображение одного симплициального про-
пространства в другое всегда можно сделать монотонным, упоря-
упорядочив надлежащим образом эти пространства. Более того, если
X — симплициальное пространство, a Y — упорядоченное симпли-
симплициальное пространство, то симплициальное отображение f: X->Y
можно сделать монотонным, упорядочив надлежащим образом X:
достаточно как-нибудь упорядочить прообраз каждой вершины
пространства Y и определить порядок в симплексах простран-
пространства X правилом: а<^Ь, если fiaj-^fib) или f(a) — f(b) и а<^Ь
в Г1 {f (а)).
'$. Симплициальные схемы
/. Симплициальной схемой называется пара, первым элемен-
элементом которой служит множество, а вторым — покрытие этого
множества конечными подмножествами, содержащее вместе
с каждым множеством все его части.
$ 2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ю5
Отображением симплициальной схемы {М, S) в симплициальную
схему {М', S') называется такая пара отображений ср: М->М',
Ф: S-+S', что Ф(Л) = ф(Л) для Ле5. В силу последнего усло-
условия, отображение (ер, Ф) схемы (М, S) в схему (M't S') опре-
определяется отображением ф, и ясно, что отображение ф: М-+М'
в том и только том случае определяет отображение схемы (М, S)
в схему (М', S'), если ф(Л)е5' для yleS. Если отображения ф
и Ф обратимы (т.е. ф обратимо и Q){S) — S'), то отображе-
отображение (ф, Ф) называется изоморфизмом. Симплициальные схемы,
которые можно связать изоморфизмом, называются изоморфными.
Симплициальная схема (М, S) называется подсхемой симпли-
симплициальной схемы (М/, 5'), если М cz М/ и 5 с 5'. Подсхема (М, S)
называется полкой, если S содержит все множества из S', лежа-
лежащие в М.
2. Симплициальная схема, составленная из нульмерного
'остова симплициального пространства X и покрытия этого остова
нульмерными остовами симплексов пространства X, называется
схемой пространства X и обозначается через sh X. Например,
схема пространства Si Л (см. 2.2) состоит из множества А и его
покрытия всеми конечными подмножествами.
Поскольку отображение abf: ske0X->- ske0X', индуцирован-
индуцированное симплициальным отображением f: Х~> X', переводит нуль-
нульмерный остов любого симплекса пространства X в нульмерный
остов некоторого симплекса пространства X'', оно определяет
отображение схемы shX в схему shX'; последнее называется
схемой отображения f и обозначается через sh f. Из сказанного
в 2.5 следует, что симплициальное отображение определяется
своей схемой, что всякое отображение схемы симплициального
пространства X в схему симплициального пространства X'
является схемой некоторого симплициального отображения про-
пространства X в пространство X' и что симплициальное ото-
отображение обратимо в том и только том случае, если его схема
является изоморфизмом. В частности, симплициальные простран-
пространства X, X' в том и только том случае симплициально гомео-
морфны, если схемы sh X, sh X' изоморфны.
3. Если X — подпространство симплициального простран-
пространства X', то очевидно, shX есть подсхема схемы shX', полная
одновременно с X. Ясно также, что всякая подсхема схемы
симплициального пространства является схемой некоторого его
подпространства.
Рассмотрим, в частности, для произвольно взятой симпли-
симплициальной схемы (М, S) симплекс SiM. Очевидно, (М, S) есть
подсхема схемы shSiM; следовательно, (М, S) есть схема неко-
некоторого подпространства пространства SiM и, таким образом,
всякая симплициальная схема является схемой некоторого сим-
симплициального пространства. Беря в качестве {М, S) схему произ-
106 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
вольно заданного симплициального пространства, мы видим,
кроме того, что всякое симплициальное пространство X симпли-
симплициально вкладывается в Siske0X.
4. Симплициальная схема (М, S) называется упорядоченной,
если множества из S упорядочены и упорядочение каждого из
этих множеств согласовано с упорядочением его подмножеств.
Отображение (ф, Ф) упорядоченной симплициальной схемы (М, S)
в упорядоченную симплициальную схему {М', S') называется
монотонным, если из a <J b следует ф(а)^фF). Таким образом,
упорядочить схему симплициального пространства — значит упо-
упорядочить это пространство, и схема симплициального отображе-
отображения одного упорядоченного симплициального пространства в дру-
другое монотонна тогда и только тогда, когда монотонно это
отображение.
4. Полиэдры
/. Полиэдром называется подмножество евклидова простран-
пространства, наделенное конечной триангуляцией, все симплексы кото-
которой евклидовы. Простейшим примером полиэдра служит евкли-
евклидов симплекс.
Ясно, что подпространства полиэдра являются полиэдрами.
Так как симплициальное пространство симплициально вклады-
вкладывается в симплекс, натянутый на его нульмерный остов (см. 3.3),
и так как этот симплекс симплициально гомеоморфен Тч~1, если
пространство конечно и содержит q вершин, то конечное сим-
симплициальное пространство симплициально вкладывается в евкли-
евклидов симплекс с тем же числом вершин. Таким образом, всякое
конечное симплициальное пространство симплициально гомео-
морфно полиэдру.
2. Конечное симплициальное пространство размерности п симп-
симплициально гомеоморфно полиэдру, лежащему в RM+I.
Доказательство. Так как конечное симплициальное про-
пространство размерности п симплициально вкладывается в skenTcl
с достаточно большим q (см. 1), то достаточно построить для
произвольно заданных q я п линейное отображение /: R9+1-»-R2"+1,
взаимно однозначное на ske^f7.
Если q ^.2п, то в качестве / можно взять включение
Rq+l ->R"n+i. При q > In мы определяем / формулой
и нужно лишь показать, что если точки х = (хь ..., xq+\),
х' = (х\,..., x'q+x} лежат в ske^f9 и f(x)~f(x'), то х=х'.
Так как каждая из этих точек лежит в л-мерной грани симп-
симплекса Тч, то как среди чисел хх, ..., л^+ь так и среди чисел
§21 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ. ПРОСТРАНСТВА 107
х?{, ..., x'q+l не более п-\-\ отличных от нуля. Следовательно,
среди чисел х[ — х\, ..., xq+l — x'(/+i не более 2п + 2 отличных
от нуля, т. е. существуют такие натуральные числа ]'и ..., j2n+2,
что /, < ... < /2л+2 < 2G + 1 и X/ = х'{ при /?=/,, ..., ;2л+2.'
Так как tjt\x, = Ъ1±\х, (= 1) и S^,1/'*/ = 2/±/А/ при / = 1, ...,
2и + 1, то Srtj2 /г(л:/г — x'jr) = 0 при i = 0, .. ., 2и + 1, и так как
определитель матрицы O'^V=2n+I'r=2ra+2 отличен от нуля, то
х, =х'. при г=1, ..., 2п + 2. Следовательно, х — х'.
'г 'г
^..(Информация). При любом п существуют л-мерные полиэдры,
топологически не вкладывающиеся в R2n. Примером может слу-
служить skenT2n+2; доказательство см. в [10].
5. Симплициальные конструкции
/. Многие из топологических и клеточных конструкций,
описанных в § 1.2 и п. 1.5, могут быть дополнены параллель-
параллельными конструкциями, перерабатывающими симплициальные про-
пространства в симплициальные пространства. Простейшими при-
примерами служат операции U и V: сумма симплициальных
пространств и букет симплициальных пространств с отмечен-
отмеченными вершинами в очевидном смысле являются симплициаль-
ными пространствами. • Важнейшие из более сложных симпли-
симплициальных конструкций рассматриваются ниже. На первое место
поставлена конструкция барицентрического подразделения, поз-
позволяющая измельчать триангуляции и не имеющая аналогов
в § 1.2 и п. 1.5.
2. (Лемма). Пусть Г — фундаментальное покрытие топологи-
топологического пространства X триангулированными подпространствами.
Если для любых Д беГ пересечение Af\ В является полным
подпространством каждого из пространств А, В (рассматриваемых
как симплициальные пространства) и получает от А и В одну
и ту же триангуляцию, то X обладает одной и только одной
триангуляцией, в которой элементы покрытия Г являются под-
подпространствами в симплициальном смысле.
Такой триангуляцией является объединение триангуляции
элементов покрытия Г. Что это объединение удовлетворяет
условиям (i), (ii), (iii) из 2.1, устанавливается очевидной про-
проверкой [полнота пересечений нужна для (iii)]. Единственность
также очевидна.
Барицентрическое подразделение
3. Нижеследующая конструкция относит каждому симпли-
циальному пространству X некоторое симплициальное простран-
пространство Ъ&Х, совпадающее с X как топологическое пространство,
108 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
но имеющее более мелкую триангуляцию, которая называется
барицентрическим подразделением исходной.
Пусть сначала X — евклидов симплекс. Рассмотрим для
произвольной нумерации а0, ..., аг вершин симплекса X мно-
множество
{х е X I ЬаЧ (х) < bara, (*)<...< barar (x)}. B)
Ясно, что B) есть евклидов симплекс с вершинами в центрах
симплексов Esi Ао, ..., Esi Ar, где At — множество, составленное
из точек а0, ..., ait и что симплексы B), отвечающие всевоз-
всевозможным нумерациям вершин симплекса X, составляют вместе
со своими гранями триангуляцию пространства X. Это и есть
барицентрическое подразделение стандартной триангуляции сим-
симплекса X, превращающее его в ЬаХ. Очевидно, эта конструк-
конструкция такова, что если X — грань симплекса X', то включение
ЪаХ~>ЪаХ' является симплициальным вложением.
Барицентрическое подразделение стандартной триангуляции
топологического симплекса X мы определяем как образ бари-
барицентрического подразделения стандартной триангуляции еди-
единичного симплекса Тг с r = dimX при симплициальном гомео-
гомеоморфизме ТГ—>Х. Ясно, что это определение корректно, т. е.
что получающаяся триангуляция пространства X не зависит от
выбора симплициального гомеоморфизма ТТ—>Х среди {г-\-\)\
имеющихся.
Пусть, наконец, X — произвольное симплициальное простран-
пространство. Очевидная проверка показывает, что покрытие прост-
пространства X его симплексами, триангулированными по преды-
предыдущему рецепту, удовлетворяет условиям леммы 2. Триангуляция
пространства X, доставляемая этой леммой, и называется бари-
барицентрическим подразделением исходной триангуляции.
Заметим, что барицентрическое подразделение оставляет
конечное симплициальное пространство конечным, а локально
конечное симплициальное пространство —локально конечным.
Столь же очевидно, что если X — полиэдр, то ЬаХ — тоже
полиэдр.
4. Ясно, что множество вершин пространства ЪаХ есть
в точности множество центров симплексов пространства X и
что центры симплексов $ь ..., sm пространства X в том и
только том случае служат вершинами симплекса простран-
пространства ЪаХ, если симплексы sb ..., sm составляют при надле-
надлежащей нумерации возрастающую последовательность. Это поз-
позволяет совсем коротко описать барицентрическое подразделение
на языке схем: если shX = (М, S), то sh baX = (S, ba S), где ba 5-
есть совокупность тех конечных частей множества S, которые
упорядочиваются включением. Вместе с тем пространство ЪаХ
оказывается канонически упорядоченным: вершина akbX
§ 2] . СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ю9
предшествует вершине a'eskeobaX, если симплекс (простран-
(пространства X) с центром а содержится в симплексе с центром а'.
Из изложенного описания схемы пространства ЪаХ, в част-
частности, следует, что если X — подпространство пространства X'',
то ЪаХ есть полное подпространство пространства ЪаХ'; дейст-
действительно, shbaX есть, очевидно, полная подсхема схемы
shbaZ'.
Для симплициального отображения /: Х^-Х' отображение
/: ЪаХ—>Ъ&Х', вообще говоря, не является симплициальным
(простейший пример: Х = Т2, Х' = Т\ f (orti) = ortb f (ort2) =
f (ort3) = ort2), однако отображение sh f: shX->shX'естественно
индуцирует отображение sh baX—>shba X' и, тем самым, сим-
плициальное отображение ЪаХ —>ЪаХ'. Последнее обозначается
через baf и, очевидно, всегда является монотонным.
5. Если X — полиэдр, то наибольший из диаметров симплексов
полиэдра Ьа X не превосходит наибольшего из диаметров сим-
симплексов полиэдра X, умноженного на п/{п-\-\), где n = dimX.
Достаточно показать, что если X — евклидов симплекс с вер-
вершинами а0, ..., аг, то диаметр симплекса B) не превосходит
[r/(r + l)]diamZ. Рассмотрим для этого часть X' симплекса X,
выделяемую неравенством bara (x) J> 1/(г + !)¦ Это — евклидов
симплекс, получающийся из X сжатием к вершине аГ с коэф-
коэффициентом г/(г + 1); следовательно, diam X' < [r/{r + 1)] diam X,
и остается заметить, что X' содержит симплекс B).
6. (Следствие). Для всякого полиэдра X и любого е > 0 суще-
существует такое натуральное ш, что диаметры всех симплексов
полиэдра Ъа X меньше е.
Симплициальное произведение
7. Клеточное произведение XjXc^2 симплициальных прост-
пространств Хи Х2 с dim^X) и dimX2>0, очевидно,.не обладает
триангуляцией, внутренности симплексов которой были бы произ-
произведениями внутренностей симплексов пространств Хи Х2- Мы
покажем, однако, что оно триангулируемо, и укажем конструкцию,
триангулирующую его канонически, если пространства Xlt X2
упорядочены. Симплициальное пространство, в которое эта
конструкция превращает ^Хс^г, называется симплициаль-
ным произведением пространств Хи Х2 и обозначается через
XiXsX?.
Пусть сначала Х\ — евклидов симплекс в Rm с вершинами
а0, ..., aq и Х2 — евклидов симплекс в R" с вершинами bQ) ..., br.
Положим для х1^Х1, х2^.Х2
/
р; (х2) = EQ bar6; (х2)
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
и занумеруем числа ao(xi), ..., а^-^х,), РоЫ, •••,
в неубывающую последовательность \\{хи х2), ...,
Обозначим, далее, через Жчг множество всех ^-элементных под-
подмножеств множества, составленного из чисел 1, ..., q + r, и
через s(\i), где [i<=Mqr, множество точек (хи х2)^ ХХУ,Х2, для
которых каждое из чисел ур(хи х2) с рец равно одному из
чисел щ{х{), ..., aq-i{xi). Очевидная проверка показывает, что
q + г + 1 точек
(а0, Ьо), ..., (а0) 6/,-i);
(а,, &/,_,), ..., (аь &/г_2);
C)
(а</-ь &/,_,-(?-!)), ¦•-, (а„-и blq-qy,
(aq, blq-q), ..., (aq, br),
где /ь ..., jq — числа из ц, занумерованные в порядке возра-
возрастания, не лежат ни в какой (q-\-r — 1)-мерной плоскости, и
что для (хь х2) es(n,)
где /o = O,
Кроме того,
q
E
fc=0
p p
p-0
и Yp+i (^1. X2> — YpUi, x2)^0. Следовательно, множество s(jx)
содержится в евклидовом симплексе, натянутом на точки C),
а так как оно, очевидно, выпукло и содержит точки C), то оно
совпадает с указанным симплексом. Ясно, что множества s([i)
покрывают Х{ X Х2 и что пересечение s(^ii) П s (^i2) совпадает
для любых ць ii2^Mqr с евклидовым симплексом, натянутым
на общие вершины симплексов s((X)), s(jx2). Из этого следует,
что симплексы s(n) составляют вместе со своими гранями три-
триангуляцию произведения Хх X Х2. Эта триангуляция и превра-
превращает XiX^2 в XiXsX2. Она, очевидно, такова, что если Хи
Х2 — грани упорядоченных евклидовых симплексов Х\, Х2, то
включение Х\ Xs-fo—>-Xi Xs^2 является симплициальным вло-
вложением.
§2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА - Ц1
Чтобы определить симплициальное произведение упорядочен-
упорядоченных топологических симплексов Х\, Х2, мы строим предыдущим
способом триангуляцию произведения единичных симплексов Тч,
Тг с q = dimXl, r = dimX2 и переносим ее в Х\ X Х2 посредст-
посредством произведения Г'Х^-^^Х^г канонических симплициаль-
ных гомеоморфизмов Тч—>-Хи Тт —>Х2. Перенесенная триангу-
триангуляция и превращает Х\ X Х2 в Х\У^%Хч.
Пусть, наконец, Хи Х2— произвольные упорядоченные сим-
плициальные пространства. Очевидная проверка показывает,
что покрытие пространства XiXc^2 протриангулированными
по предыдущему рецепту произведениями Sj X s2, где st — сим-
симплекс из Х\, a s2 — симплекс из Х2, удовлетворяет условиям
леммы 2. Триангуляция пространства XiXc^2> доставляемая
этой леммой, и превращает Х\ ХсХг в XiXsX2.
Заметим, что каждая клетка пространства Х\У^^Х2 пред-
представляется как объединение конечного числа клеток простран-
пространства XiXsX2, имеющих ту же или меньшую размерность.
В частности, отображение id: X\ Хс Х2~>Х\ ХэХг является кле-
клеточным.
8. Очевидно, конструкция симплициального произведения
такова, что если f,: Х1->Х\, /2: Х2—>Х'2 — монотонные симпли-
циальные отображения, то /( X f2: Xi Xs X2 -> Х\ Xs X'2 — симпли-
симплициальное отображение. Ясно также, что если Хь Х2 — подпро-
подпространства упорядоченных симплициальных пространств Х[, Х2,
то Х\ XsX2 — подпространство пространства J^Xs^2-
В заключение опишем симплициальное произведение на
языке схем. Пусть shXi = (Ml,Sl) и sh Х2 = (Мъ S2). Тогда
sh (Xi Xs X2) = (Mi X М-г, S), где S — совокупность множеств
A cz My X Щ с двумя свойствами: (i) рг, (А) е Su рг2(Л) е S2;
(ii) если (а2, з2)еД (а\, а'}) е А и а{^а\, то а2<а2.
Предел
9. Пусть Хо, Хи...—симплициальные пространства и
Фо: Xq—>X{, ф): Xi~>X2, ...—симплициальные вложения. Рас-
Рассмотрим покрытие пространства Пт(Хь ф^) множествами вида
immk(sk), где s^ —симплекс из Xk {k — 0, 1, ...). Мы можем
сделать эти множества топологическими симплексами, взяв
в качестве характеристических гомеоморфизмов композиции
характеристических гомеоморфизмов T6imSk-> sk с гомеомор-
гомеоморb {)
рр ф р
физмами ab immfe: sk —>• шгщ, {sk), и ясно, что это превратит
указанное покрытие в триангуляцию пространства lim(Jb фй).
Таким образом, lim(Xft, ф^) есть симплициальное пространство.
Как клеточное пространство, оно, очевидно, совпадает с пре-
112 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, 2
делом, определенным в 1.5.6. Ясно также, что отображения imm^
являются симплициальными вложениями.
Если пространства Х&. упорядочены, а вложения ф^ моно-
монотонны, то пространство \irn(Xk, q>k) обладает очевидным поряд-
порядком и вложения immj. монотонны.
Джойн, конус и надстройка
10. Если Х\, Х2 — топологические симплексы, то джойн Х{ * Х2
в естественном смысле является топологическим симплексом:
характеристическими гомеоморфизмами служат отображения
вида
di di l т т ф!*Фг v v
где Ти Т2 — противоположные грани симплекса
с dimJi = dim X\, dimr2 = dimX2, а фь ф2 — симплициальные
гомеоморфизмы (равенство fdlmX'+dlmX2+l = Т\ *Т2 означает сим-
симплициальный гомеоморфизм, установленный в l.l). Это позво-
позволяет наделить канонической триангуляцией клеточный джойн
Xi *с Х2 произвольных симплициальных пространств Хи Х2: ее
симплексами служат образы симплексов пространств Х\, Х2 при
включениях Xi-+X[*cX2, X2->X\*CX2 и образы симплексов
Si*s2, где S] — симплекс из Х\, a s2 — симплекс из Х2, при вло-
вложении in*in: s; *Si->X\ *c X->. Получающееся симплициальное
пространство называется симплициальным джойном пространств
Х\, X и обозначается через Xt*sX2- Как клеточное простран-
пространство оно совпадает с Х\ *с Х2.
Если shXi = (Afb Si), sh X2 = {М2, S2), то, очевидно,
sh(Ji *s X2) = (M| UM-2, S), где S — совокупность непустых под-
подмножеств множества М{\_1М2, у которых прообраз при отобра-
отображении in^ M1->Al1LJAf2 принадлежит Si или пуст, а прообраз
при отображении in2: М2 ->¦ Mt LJ М2 принадлежит S2 или пуст.
Поскольку для всякого топологического пространства
(см. 1.2.6.8), изложенная конструкция, в частности, делает
симплициальными пространствами конус и надстройку над лю-
любым симплициальным пространством.
Симплициальный цилиндр
11. Эта конструкция, предполагает заданным монотонное
симплициальное отображение /: Х\->Х2 и относит ему некото-
некоторое симплициальное пространство Scyl f, называемое его симпли-
симплициальным цилиндром. Симплициальный цилиндр не гомеоморфен,
§2] СИМПЛИЦИАЛЬПЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЦЗ
вообще говоря, -обычному цилиндру Cyl/ отображения f
(см. 4.6.6.10), но обладает близкими свойствами.
Для описания пространства Scyl / наиболее удобен язык схем.
Пусть shZ1=(/M1, Si), shZ2 = (^2, S2) и shf = (cp, Ф). Мы опре-
определяем Scylf формулой sh Scylf = {M\\_\M2, S), где S — сово-
совокупность таких множеств A<z:Ml\jMv что: (i) множество in-'(Л)
принадлежит St или пусто; (ii) множество фПп (Л)) U inj1 (Л)
принадлежит S2; (iii) если множество in, (Л) непусто, то мно-
множество in (Л) принадлежит O(S,); (iv) если а^'т-^А),
a2ein7'(^)> то а2^<р(аЛ. Отображения т1? in2 определяют
некоторые отображения, sh X[—>sh Scyl f, sh X2—>-sh Scyl f и с ними
симплициальные вложения Х1 —*¦ Scyl f, Х2-> Scylf; образы этих
вложений называются основаниями цилиндра Scyl f (нижним и
верхним) и могут быть отождествлены с Х\, Х2. Кроме того,
отображение Мц X @ U \)->М\ LJM2, переводящее (a, 0) в inj (a)
и (a, 1) в 1п2оф(а), определяет некоторое отображение
sh(Ji Xs /) -> sh Scyl f и с ним симплициальное отображение
Ari Xs/-> Scyl/. Ясно, что это симплициальное отображение
составляет с включением Х2 —* Scyl f непрерывное отображе-
отображение (Zi.X ^)LJX2-> Scyl / и что последнее определяет некоторое
непрерывное отображение cscf: Cyl / —> Scylf. Яснхз также, что
esc / (Cyl /) = Scyl / и что каноническая ретракция rt /: Cyl f —* Х2
(см. 1.2.6.10) постоянна на элементах разбиения zer (cscf), а ка-
каноническая Х2-гомотопия, связывающая id (Cyl /) со сквозным
отображением Cylf-^>X2— ^-Cylf, постоянна на элементах
разбиения zer(cscf)Xzer(id/). Благодаря этому, rtf определяет
строгую деформационную ретракцию Scylf—*Х2, и ясно, что
композиция включения ^ —>• Scyl f с этой ретракцией есть f.
Таким образом, включение J2-*Scylf всегда является гомото-
гомотопической эквивалентностью, а включение jfi —> Scyl / является
гомотопической эквивалентностью в том и только том случае,
если f — гомотопическая эквивалентность.
6. Звезды. Линки. Регулярные окрестности
1. Звездой симплекса s симплициального пространства X на-
называется объединение симплексов пространства X, содержа-
содержащих s. Обозначения: Sts, St(s, X). Очевидно, что это —под-
—подпространство пространства X.
Открытой звездой симплекса s называется объединение
внутренностей симплексов, содержащих s. Обозначения: sts,
st (s, X). Ясно, что это — открытое множество, определяемое
неравенствами
barflo (*) > 0 bara? (х) > 0,
где а0 aq — вершины симплекса s, и что Clsts = Sts.
114 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.2
Липком симплекса s называется объединение симплексов
из Sts, не пересекающихся с s. Обозначения: Iks, IkE, X).
Это — подпространство пространств X и St s.
Следующие факты очевидны. Если s — грань симплекса s', то
Sts'czSts, sts'csts, Iks'с: Iks. •
Если а0, ..., ая — вершины, не лежащие в одном симплексе, то
пересечение n?=osta; пусто, а если оо, ..., aq — вершины сим-
симплекса 5, то
П stui = sts.
Если X — подпространство пространства X', то для всякого
симплекса s из I
st(s, *) = st(s, Г)П*.
а если X — полное подпространство, то и
St (s, X) = St (s, X') П X, Ik (s, X) = Ik (s, X') П X.
Наконец, если s' — симплекс из lk(s, X), a s" — наименьший
симплекс, содержащий s и s', то
lk(s', lk(s, J)) = lk(s", X).
2. Звезды, открытые звезды и линки определяются также
для точек симплициального пространства, а именно, звезда
St jc = St (дс, X), открытая звезда st* = st(*, X) и линк lkx =
1к(х, X) точки х определяются формулами
Stx=Stsix, stx = stsix, Ik x — St si x \ st si x.
Очевидно, six есть окрестность точки x, a lkx = Fr Stx = Frst x.
Кроме того, звезда Six гомеоморфна конусу над линком Ikx;
имеется даже канонический гомеоморфизм conlkx-* Stx: он
определяется формулой
рг (у, t) ^ ф (A - 0 ф-i {х) + /Ф (у)),
где у^\кх, /е/ и ф — какой-нибудь характеристический го-
'меоморфизм какого-нибудь симплекса, содержащего хну.
Предостережение: lkx совпадает с Ik si л; только в случае,
когда х — вершина.
Если s' — симплекс из lk(s, X), то, согласно 1.1 и 5.10,
джойн s * s' канонически симплициально гомеоморфен наимень-
наименьшему симплексу пространства X, содержащему 5 и s', и ясно,
что вместе эти симплициальные гомеоморфизмы составляют
симплициальный гомеоморфизм между джойном s*lk(s, X) и
§2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ц5
звездой St (s, X). Это значит, что звезда St (х, X) любой точки х
пространства X канонически симплициально гомеоморфна
джойну six * Ik (six, X), и ясно, что этот симплициальный го-
гомеоморфизм отображает джойн границы симплекса six и линка
Ik (si л:, X) на lk(x, X). Так как, далее, граница симплекса six
гомеоморфна сфере SdimsU~', а джойн sdlrasU~' * lk(six, X) го-
меоморфен надстройке sudimsi;4k(six, X), то линк lk(x, X)
гомеоморфен sudimsi;4k(six, X).
Гомотопическая инвариантность линка точки
3- (Лемма). Пусть А, В — ретракты топологического простран-
пространства Y. Если включения i: Л—>F, /: В —>Y гомотопны некоторым
отображениям f: A^Y, g: B->Y c f (А) с В, g{B)^A, то А, В
гомотопически эквивалентны.
Взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями
Л->В, В->А могут служить сужения о\А, р \в произвольно
взятых ретракций a: Y^B, p: Y-> А. Действительно, а|л —croj,
р1в = Р°/. и так как композиция pojoctoi гомотопна отобра-
отображению р° j° о° f = p° f, которое, в свою очередь, гомотопно
р о i =. id Л, то композиция р\в°о\А гомотопна id Л. Подобным же
образом, композиция ст|лор1в гомотопна idfi.
4. Пусть Т\, Т2 — подпространства топологического простран-
пространства X, каждое из которых наделено конечной триангуляцией.
Если точка хое1 является внутренней для Т{ и Т2, то линки
lk(x0, Т\), 1к(х0, Т2) гомотопически эквивалентны.
Доказательство. Обозначим через Ft гомотопию
St(x0, Ti)y^ I-*X, связывающую включение St(x0, Tt)-*X с по-
постоянным отображением, переводящим St(x0, Тг) в х0, и прямо-
прямолинейную в каждом симплексе из St(x0, Tt), и положим C{{t) =
Fi{St(x0, Tt) X t) [1= 1,2]. Так как множества st(x0, T{), st(x0, T2)
открыты, а множества St(x0, Tx), St(x0, T2) компактны, то су-
существуют такие е>0 и б > 0, что Ct (г) с St (х0, Т2), C2(e)cz
St (х0, Тх) и С! (б) cz С2 (е), С2(б) с= d (е). Так как, далее,
С] (е) \ х0 — ретракт пространства St(x0, Tl)\x0, а С2(е)\х0 —
ретракт пространства St(x0, Г2)\х0, то С,(е)\х0 и С2(е)\х0 —
ретракты пространства Y — [St (х0, Тг) П St (х0, Т2)} \ х0. Наконец,
формулы
(у, t)^>Fx(y, fi*/e), (у, t)^F2(y, в</е)
определяют гомотопии (Ci(e)\xo)y(I-+Y, (С2(е) \х0) X I-^-Y,
связывающие включения C1(e)\x0->F, C2(e)\x0-^-F с ото-
отображениями, образы которых содержатся, соответственно,
в С2(е)\х0, С[(е)\х0. Таким образом, С2(е) \х0 гомотопически
эквивалентно С{ (е) \ х0 (см. 3), и остается заметить, что С{ (е) \ х0
гомотопически эквивалентно lk(x0, Т{), а С2(е) \х0 гомотопически
эквивалентно lk(x0, Г2).
116 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, 2
Регулярные окрестности
5. Регулярной окрестностью подпространства А симплици-
симплициального пространства X называется окрестность, составленная
из всех открытых звезд st(a, 1)саеЛ, или, что то же, из всех
открытых звезд st(a, I) с ае эке^Л.
Если подпространство А полно, то оно является деформаци-
деформационным ретрактом своей регулярной окрестности. Имеется даже
каноническая Л-гомотопия h: U"X.I—>•?/, связывающая тожде-
тождественное отображение регулярной окрестности U полного под-
подпространства А с композицией ретракции U—>¦ А и включе-
включения A—>U: она определяется формулой
'1 — t У bar, (x)\ bar (х)
, beske!~ , если а е ske0 Л,
bara(h(x, /)) = •{ *~ъЛ? АЪа1ь{х)
га (х), если a s ske0 X \ ske0 A.
Из сказанного, в частности, следует, что всякое подпро-
подпространство симплициального пространства X является деформа-
деформационным ретрактом своей регулярной окрестности в Ъа X (см. 5.4).
Барицентрические звезды
и барицентрические линки
6. Барицентрической звездой симплекса s симплициального
пространства X называется объединение симплексов простран-
пространства ЬаХ, у которых первая вершина находится в центре
симплекса s. Обозначения: bsts, bst(s, X)- Равносильное опи-
описание: bsts есть множество точек Jtel, для которых
Ъага{х) — Ъагь{х), если а, 6 esf)ske0X,
barfl {x) > barb {х), если aesfl ske0 X, b e {X \ s) f] ske0 X.
Очевидно, барицентрические звезды симплексов простран-
пространства X покрывают X и являются подпространствами простран-
пространства ЪаХ. Ясно также, что bst s Ф bst s', если s^s', и что
bsts с: bsts', если sids'.
7. Объединение симплексов барицентрической звезды bst s,
не содержащих центра симплекса s, называется барицентри-
барицентрическим линком симплекса и обозначается через blks. Ясно, что
звезда bsts симплициально гомеоморфна конусу над blks и что
прямолинейное проектирование из центра симплекса s гомео-
морфно отображает blks на линк Iks симплекса s в X (последний
гомеоморфизм делается симплициальным после барицентри-
барицентрического подразделения линка Iks). Таким образом, пара
(bsts, blks) гомеоморфна паре (conIks, Iks).
§2] СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ш
7. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения
1. Симплициальное отображение g симплициального простран-
пространства X в симплициальное пространство Y называется симпли-
симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения /: X —> Y,
если g (x) e si / {х) для любой точки х е X.
Симплициальная аппроксимация отображения f: X->Y кано-
канонически гомотопна f: каноническая гомотопия X'X.I-^-Y, соеди-
соединяющая отображение f с его симплициальной аппроксимацией g,
аффинно отображает каждую образующую хXI цилиндра IX/
на прямолинейный отрезок (возможно, вырожденный), соеди-
соединяющий f (х) с g(x). Очевидно, эта гомотопия связана на мно-
множестве точек х е X, в которых g(x) = f{x).
2. Симплициальное отображение g: X —>Y в том и только том
случае является симплициальной аппроксимацией непрерывного
отобраоюения f: X->Y, если f (sta)cr stg(а) для любой вершины а
пространства X.
Доказательство. Предположим сначала, что g — сим-
симплициальная аппроксимация отображения /. Пусть xesta.
Так как g(x)^sif (х), отображение g симплициально и х лежит
внутри симплекса с вершиной а, то g{x)- лежит внутри симплекса
с вершиной g(a) [см. 1.3]. Следовательно, g(a) есть вершина
симплекса si f {х) и f {x) e st g(a).
Предположим теперь, что f(sta)czstg(a) для любой вершиныа
пространства X. Пусть х е X. Если а0, ..., aq — вершины
симплекса six, то х е f|?=o st a,- и, следовательно,
/(x)ef(fl star-)c: fl f№a,)cz fl stg(a,).
1 = 0 i = 0 i = 0
Таким образом, точки g{aQ), ..., g{aq) принадлежат к числу
вершин симплекса sif(x), и так как g(x) лежит в симплексе
с вершинами g{a0), ..., g(aq), то g (х) <= si f (x).
3. Непрерывное отображение f симплициального простран-
пространства X в симплициальное пространство Y в том и только том
случае обладает симплициальной аппроксимацией, если для любой
вершины а пространства X существует такая вершина b про-
пространства Y, что f{sta)czstb.
Необходимость этого условия прямо следует из 2; чтобы
доказать его достаточность, фиксируем отображение ср: skeoX-»
ske0F, такое, что / (st a) cz st ср (а) для любой вершины aeske0X.
Если аа, ..., aq—вершины одного симплекса пространства X,
то пересечение f)?-ofeta« непусто и с ним, в силу включений
П stcp(a,):=> П /(sta,)=3f(fi sto,),
t-0 i . i-0
1]8 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.2
непусто пересечение nf=o st ф (а^), вследствие чего вершины
ф(а0), ..., ф(а?) принадлежат одному симплексу пространства Y
(см. 6.1). Поэтому ф продолжается до симплициального ото-
отображения X-+Y (см. 2.5), и из 2 следует, что это отобра-
отображение является симплициальной аппроксимацией отображе-
отображения f.
4. Для любого непрерывного отображения f конечного симпли-
симплициального пространства X в симплициальное пространство Y
существует такое ш, что отображение f: bamX—>-Y обладает
симплициальной аппроксимацией.
При доказательстве X можно считать полиэдром; см. 4.1.
Так как открытые звезды вершин составляют открытое покрытие
пространства Y, то существует такое положительное е, что,
каково бы ни было подмножество А пространства X с diam A < е,
множество [(Л) содержится в одной из этих открытых звезд
(см. 1.1.7.16). Пусть m столь велико, что диаметры симплексов
пространства bam X меньше е/2 (см. 5.6). Тогда диаметр звезды
любой вершины этого пространства меньше е и, в силу 3,
отображение f: ba.mX~>Y обладает симплициальной аппрокси-
аппроксимацией.
8. Упражнения
1. Пусть X — симплициальное пространство. Доказать, что
формула
dist (jc, у) = [ Z (Ьагй0/)-Ьагй(*)J]1/2
определяет в X метрику и что топология, определяемая этой
метрикой, в том и только том случае совпадает с исходной,
если X локально конечно.
2. Доказать, что для всякого полиэдра X cz Rn существует
триангуляция пространства R", составленная из евклидовых
симплексов, по отношению к которой X является подпростран-
подпространством в симгОшциальном смысле.
3. Доказать, что связное локально конечное симплициальное
пространство размерности п симплициально вкладывается в про-
пространство R2"+1, триангулированное евклидовыми симплек-
симплексами.
4. Пусть / — непрерывное отображение одного симплициаль-
симплициального пространства в другое. Доказать, что существует новая
триангуляция первого пространства с двумя'свойствам и: каждый
ее симплекс содержится в некотором симплексе прежней три-
триангуляции; по отношению к новой триангуляции / обладает
симплициальной аппроксимацией.
§3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 119
§ 3. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
I. Клеточные пары
1. Пусть X — оснащенное клеточное пространство и А— его
подпространство. Обозначим через h0 функцию A\Jske0X -+I,
равную 0 на Л и 1 на (Л U ske0 J) \ Л, и определим индуктивно
последовательность функций hr: A{Jsker X->I (r = l, 2, ...)
формулой
hr-\(x), если х е Л U sker-jX,
1 — x[l — hr-x (att*(#))], если х = сЪ.ае{ху),
где е е cellr X \ cellr Л, те/, yeS'"'. Так как функции /гг
непрерывны и продолжают друг друга, то они определяют не-
некоторую непрерывную функцию Х^>1. Последняя называется
характеристической функцией пары {X, А), а окрестность под-
подпространства Л, составленная из всех точек, в которых харак-
характеристическая функция меньше 1, называется правильной ок-
окрестностью этого подпространства.
Ясно, что характеристическая функция пары (X, А) обра-
обращается в нуль в точности на Л. Таким образом, подпростран-
подпространство клеточного пространства выделяемо. ч
Если пространство X симплициально, то характеристическую
функцию можно построить по симплициальному оснащению, и
ясно, что она не зависит от выбора такого оснащения. Пра-
Правильная окрестность подпространства Л совпадает в этом слу-
случае с его регулярной окрестностью в Ьа X.
2. Подпространство оснащенного клеточного пространства
является строгим деформационным ретрактом своей правильной
окрестности.
Доказательство. Пусть U — правильная окрестность
подпространства Л оснащенного клеточного пространства X.
Так как произведения (Л U sker .Y) X / покрывают цилиндр XX.I
и являются его подпространствами, то они составляют его фун-
фундаментальное покрытие, и потому их пересечения с цилиндром
U X /, т. е. цилиндры Ur X /, где Ur = U П (Л U sker X), состав-
составляют фундаментальное покрытие цилиндра ?/Х/- Обозначим
через Go постоянную гомотопию включения А-*Хп определим
гомотопии Fr: Ur~XI->U с r^l формулой
если х е Ur-U
, ((A —t)x + t) у), если х = chae (ту).
120 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
где е е cellrX \ cell. A, te@, I], yeSM, и затем гомотопии
Gr: C/rX/-*-t^ с r^l формулой.
х, если d^.t ^2~г,
Qr(x,t) = \ Fr(x,2rt—\), если 2""<^<2~r+1,
?r_1(Fr(x, 1), t), если 2~л+1<^^1.
Гомотопии Gr продолжают друг друга и определяют Л-гомото-
пию UXI—^U, соединяющую id U с отображением, которое
переводит U в Л. Сокращение этого отображения до отобра-
отображения ?/->Л и будет строгой деформационной ретракцией.
3. Клеточная пара есть пара Борсука.
Это следует из 2 и 1.3.5.11, поскольку клеточные простран-
пространства нормальны и их подпространства выделяемы.
4. Если (X, А) — клеточная пара и включение А-*Х является
гомотопической эквивалентностью, то А есть строгий деформа-
деформационный ретракт пространства X.
Для доказательства мы применяем к паре {X, А) теоремы 3
и 1.3.5.6, затем применяем к паре (XXI, UX0)U^X/)U
(X X П) теорему 3 и, наконец, применяем к паре (X, А) тео-
теорему 1.3.5.7.
Клеточные пары и й-связность
5. Пусть k — неотрицательное целое число или оо. Если
(X, А) — такая клеточная пара, что размерность любой клетки
из X \ А не превосходит k, и (Y, В) — произвольная k-связная
топологическая пара, то всякое непрерывное отобраоюение f: X—*Y
с f(A)czB А-гомотопно отображению, переводящему X в под-
подмножество множества В. В частности, всякое непрерывное ото-
отображение k-мерного клеточного пространства в k-связное топо-
топологическое пространство гомотопно постоянному отображению.
Доказательство. Мы построим последовательность
продолжающих друг друга Л-гомотопий {Fr: (A[}skerX) X
I->Y}™=_1 со свойствами: (i) Fr(x, O) — f(x), если х е А [) вкеД;
(ii) /v@4Usker;OX(l — 2~г~1)) cz В; (iii) Fr(x, t) не зависит
от t при t^l— 2~r~1. Отображение F: XXI-+Y, совпадаю-
совпадающее на {A\JskerX)XI с Fr-i, будет тогда Л-гомотопией, свя-
.зывающей / с отображением, переводящим X в подмножество
множества В.
Построение является индуктивным. Определим /7_1 как по-
постоянную гомотопию отображения / \А и предположим, что про-
продолжающие друг друга гомотопии F_x, ..., F , со свойствами
(i), (ii), (iii) уже имеются. Если q > k, то Л (J ske, X = X, и мы
5 31 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 121
полагаем Fq = Fq~\\ предположим, что -q^k. Поскольку
{{A U ske? X) X /, Dllske,_,J0X/)—"пара Борсука (см. 3), су-
существует такая гомотопия G отображения fl^Uske x, что
С|(лизке?_Лх/ = ^-ьитак как ^-iC^Uske,-,X)X(l-2~q))<=
В, то для любой клетки е «= cell^Z \ cell,, А отображение
he: Dq-^Y, определенное формулой he(y) = G(chae(y), \—2~ч),
отображает S4 в В. В силу ^-связности пары (У, В), из этого
следует, что для всякой клетки е е cell, X \ cell,, А существует
S'-^-roMOToiiHH He: DqX.I~>Y, связывающая he с отображе-
отображением, образ которого лежит в В, и мы полагаем
Fq (х, 0 =
Fq-Лх, t), если J6 ^Uske^-!^,
G(x, t), если 0</<1 —2~",
если x = chae(y) и 1 - 2"?</< 1 - 2~"~\
Не(у, 1), если x = chae(tj) и 1 — 2~д~1 </ < 1.
Очевидная' проверка показывает, что отображение Fq непре-
непрерывно, продолжает Fq-l и удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii)
с г = q.
6. Пусть k — неотрицательное целое число или оо. Если кле-
клеточная пара (X, А) k-связна и размерность любой клетки из
X \ А не превосходит k, то А есть строгий деформационный
ретракт пространства X. В частности, k-связное k-мерное кле-
клеточное пространство стягиваемо.
Действительно, отображение id X Л-гомотопно (в силу 5)
некоторому отображению g: X-+X с g {X) с: А, так что
abg: X^-A есть строгая деформационная ретракция.
2. Клеточная аппроксимация непрерывного отображения
/ (Лемма). Пусть Х = A U,>[|Juc=m (D^ = Dh+X)~], где А-то-
пологическое пространство, а <р — непрерывное отображение
пространства Uh.='m(Sh = S&) в А. Пусть, далее, f — непрерыв-
непрерывное отображение шара Dr+] в X, такое, что f(Sr) содержится
s Л' = imm2 {А). Тогда:
(I) если r < k, то f ST-гомотопно такому отображению g,
что g (Dr+1) c= A';
122 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
(II) если г — k, то f S'-гомотопно такому отображению g,
что существуют аффинные вложения аь ..., as: D +> -> Dk+1
с четырьмя свойствами: (i) образы й?(=аг(/) +1) представляют
собой попарно непересекающиеся шары, лежащие в lntDk+l;
(ii) каждая из композиций g ° а,- совпадает с одним из сквозных
отображений •
D —»- UvemDv—>А; A)
(iii) множество g(p +1 \ и*_, Intd() содержится в A'; (iv) гари
^ ^ 1 точка шара dt с наибольшим значением первой коорди-
координаты совпадает с аг (ort]) и отрезок, соединяющий эту точку
с ortb целиком лежит в Dk+X \ (Jj=1 Int dt (i=l, ..., s).
(Часть этой леммы, относящаяся к случаю г < k, означает,
что пара (X, А') /г-связна. Только эта часть и используется
в настоящем параграфе; часть, относящаяся к случаю r — k,
нужна для § 5.3.)
Доказательство. Обозначим сквозное отображение A)
через /гй и фиксируем в Dk+X какой-нибудь (&+1)-мерный ев.
клидов симплекс и, а в Int а —какой-нибудь (й-f 1)-мерный
симплекс т триангуляции Ьа2 а. Множества h^ (Int а) составляют
вместе с Х\ЦлемАц(тО открытое покрытие пространства X, и
потому существует столь мелкая триангуляция шара Dr+\ что
образ любого ее симплекса при отображении f лежит в одном
из множеств этого покрытия (см. 2.5.6 и 1.1.7.16). Обозначим
через Кц объединение симплексов, образы которых содержатся
в Ац (Int а), и через L — объединение симплексов, образы кото-
которых содержатся в X \ и^Ац (х). Очевидно, что множества К^
попарно не пересекаются, что среди них имеется лишь конеч-
конечное число непустых, что К^ и L являются подпространствами
симплициального пространства Dr+l и что L(J(\JllKll) = Dr+i.
Применим к сквозным отображениям
K^hM!^!Cb,'a B)
теорему 2.7.4. В силу этой теоремы существует такое т, что
отображения B) допускают после замены пространств Кп про-
пространствами ЪатКц симплициальную аппроксимацию. Обозна-
Обозначим через Fp каноническую гомотопию, связывающую отобра-
отображение B) с указанной симплициальной аппроксимацией. По-
Поскольку х не является гранью никакого другого симплекса,
Fp {{L П Д"ц) X 0 не пересекается с Intx, и потому гомотопии F^
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ]23
определяют некоторую гомотопию F: (^fl(Un^n))X/ -*¦ Х\
U^A^Intx). В силу 1.3 и 1.3.5.9, гомотопию F можно продол-
продолжить до некоторой гомотопии • G: L X / ->¦ X \ D^h^ (Int т) отоб-
отображения abf: L-> Z \ Un^y, (Int т), связанной на B = Dr+l\
[jlif~ (Ац (Int т)), и ясно, что сквозные отображения
составляют В-гомотопию отображения f. Последняя соединяет /
с таким отображением f:: Dr+l-*X, что при любом р, сквозное
отображение
симплициально и hn(x) a f, (К^) cz /г^(о). Поскольку В zd Sr, отоб-
отображение fi 5г-гомотопно f, и наша лемма будет доказана, если
мы докажем (I) и (II) для f{ вместо /.
Возьмем в Intir какой-нибудь шар б и обозначим через а|)
гомеоморфизм шара б на Dk+i, определяемый формулой i|5(x) =
(х — а)/р, где а — центр шара б, а р — его радиус, и через Ч1"
отображение цилиндра Dk+lyCI в Dk+i, определяемое фор-
формулой
где t0— наибольшее из чисел т отрезка [0, t] с (х — та)/A —
тA —р))бИ +1. Ясно, что отображения pt: X->X, определяе-
определяемые формулой
если х е Л',
(х), /), если хе /гДм Dk+l),
составляют Л'-гомотопию отображения id X, что р\ {X \ 11(^F))
cz А' и что pi о /гц = h^ ° "ф. Если г <С k, то fi(Dr+I)cz
^\ицАц(б), и в этом случае для завершения доказательства
достаточно заметить, что формула (у, i)*->pt(h\(y)) определяет
5Г-гомотопию, связывающую fi с отображением, образ которого
лежит в Л'. Если г = й, то f-I A1^^F)) распадается на попарно
непересекающиеся эллипсоиды бь ..., bs, каждый из которых
аффинно отображается посредством /i на одно из множеств
/гдF). Пусть {qt} — такая 5й-гомотопия отображения id?)fe+I,
что: прообразы ^l==q~l F^ являются шарами; отображения
ab^: dt—*-6t аффинны; при й]>1 точка шара d(- с наибольшим
значением первой координаты переводится отображением fi°qi
124 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
в одну из точек /г^Сф (orti)) и отрезок,, соединяющий эту
точку с ortb целиком лежит в Dk+X \ U;s_, Int dt. Ясно, что фор-
формула {у, t)i->(fi°qt(y), t) определяет 5г-гомотопию, которая
связывает /i с некоторым отображением g, удовлетворяющим
условиям (i) — (iv).
2. Клеточная пара (X, А), у которой A z^ skeft X, k-связна
(О^й^оо). В частности, клеточное пространство с одноточеч-
одноточечным k-м остовом k-связно.
Доказательство. Поскольку при всяком непрерывном
отображении шара в X образ шара содержится в одном из
остовов skerX, достаточно установить й-связность всех пар
(A\JskerX, А) с г > k. А она очевидным образом следует из
^-связности пар ^Uske?+i X, A{jskeqX) с q^k, которая прямо
утверждается леммой 1 (см. 1.2.1).
3 (Следствия). Сфера Sn (п—\)-связна («^ 1). Простран-
Пространства СРп односвязны (О^п^оо). Пространства ИРп 3-связны
(О^п^оо). Пространство СаР2 7-связно.
4. Всякое непрерывное отображение клеточного пространства
в клеточное пространство гомотопно клеточному отображению.
Непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточ-
клеточное пространство Y, клеточное на подпространстве А простран-
пространства X, А-гомотопно клеточному отображению.
¦ Доказательство. Мы построим по непрерывному ото-
отображению f: X->Y, клеточному на А, такую последователь-
последовательность отображений {fr: X->F}^_, и такую последовательность
гомотопий {F/. X ~X.I->Y}™=Q, что: (i) /_, =/; (ii) отображение fr
клеточно на A{jskerX; (Hi) гомотопия Fr соединяет fr-x с fr и
связана на /4Usker_] X. Ясно, что формула
FT(x, 2-2г+1A-0)>
если 1-2"г<^<1-2""г~',
, 1), если хе A\jskerX и ^ = 1,
определит тогда Л-гомотопию, связывающую / с клеточным
отображением.
Построение проводится индуктивно. Если fr и Fr с г < k
имеются и удовлетворяют условиям (i) — (iii), то, в силу 2
и 1.5, существует (skeA А изке/г-1/?)-гомотопия, связывающая
f&-i lSi5e х с отображением, образ которого лежит в skeftF.
Вместе с постоянной гомотопией отображения fk-i |ди8ке х эта
гомотопия определяет некоторую (A UskeA_,X)-roMOTonHio ото-
отображения f/t-i \A[Jske x, продолжающуюся, в силу 1.3, до неко-
некоторой {A (Jskeft-iX)-roMOTonHH отображения fk-x. Последнюю
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 125
мы и принимаем за Fk, а отображение, с которым она связы-
связывает ffe_j, —за fk.
5. Гомотопные клеточные отображения клеточно гомотопны.
Более того, если клеточные отображения f, g: X -> Y А-гомо-
топны и А — подпространство пространства X, то Д g клеточно
А-гомотопны.
Действительно, Л-гомотопия, связывающая f с g, есть не-
непрерывное отображение цилиндра XXI в К, клеточное на
(X X (О U 1)) U(^X I), и, в силу теоремы 4, это отображение
[(X X (О U 1)) U (А X /)]-гомотопно клеточному отображению.
3. Клеточные й-связные пары
1. Всякая k-связная клеточная пара (O^fe^oo) гомотопи-
чески эквивалентна некоторой клеточной паре {Y, В) с Bzz
ske* Y.
Доказательство. Пусть {X, А) — клеточная /г-связная
пара. Если й = оо, то, согласно 1.6, А есть строгий деформа-
деформационный ретракт пространства X, так что пара {X, А) гомото-
пически эквивалентна паре {X, X); предположим, что й<оо.
Можно считать, что Л^ээке^-! X: общий случай сводится
к этому специальному случаю индукцией по k, поскольку при
k^l fe-связная пара* {k — 1)-связна, а условие Лгээке-^ бес-
бессодержательно. Согласно 1.5 и 2.5, включение ske^X-*X может
быть связано некоторой клеточной skefe Л-гомотопией f: (ske^ X)X
I ~> X с отображением, образ которого содержится в Л. Опре-
Определим отображение F: (skefc J)X/></-*• X формулой F{x, t\, t2)=
f(x, /j) и положим
С = ((skefe X) X / X 0) U ((skeft X) X @ U 1) X /) U ((skefc A) X / X /),
Ясно, что С, D — подпространства клеточного пространства
(skeft X) X / X / и что отображение F клеточно. Мы определяем
Y и В формулами
Y = XUp I с «skeA X) XI X /), В = (imm2 (Л)) U (imm, (D)).
Согласно 1.5.5, пространство Y является клеточным, и ясно,
что В есть его подпространство, содержащее ske^F. Чтобы
доказать, что пара (X, Л) гомотопически эквивалентна паре
(F, В), заметим, что imm2(A) есть строгий деформационный
ретракт пространства В, a imm2(^) — строгий деформационный
ретракт пространства Y: гомотопия ВХI —> В, соединяющая
id В с ретракцией В-мтт2(Л) и связанная на тгт2(Л), опре-
определяется формулами
, tu l),t)i-*'imml(x, ttu 1) [x€=skekX\ t, ti^I],-
(imm2 (x), t) <—»> imm2 (x) [x&A, t s /],
126 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
а гомотопия Yy^I-*Y, соединяющая id У с ретракцией Y->imm2{X)
и связанная на imm2(X), — формулами
(imm! (х, /,, /2), /) i-> imm, (х, /ь //2) [* е= ske*. Z; /, /,, /2 е= /],
(imm2 (x), /) f—?> imm2 (x) [j;eX, / е /].
Следовательно, пара (F, нпт2(Л)) гомотопически эквивалентна
как паре (Y, В) [см. 1.3.5.8], так и паре (imm2(X), imm2(A)), и
остается заметить, что пара (imm2(X), imm2G4)) гомеоморфна
паре (X, А).
2. Всякое k-связное клеточное пространство @ ^ k ^ оо) го-
гомотопически, эквивалентно клеточному пространству с одното-
одноточечным k-м остовом.
Доказательство. Пусть X — клеточное ^-связное про-
пространство. Отметим в X нульмерную клетку х0, заменим пару
{X, х0) гомотопически эквивалентной ей клеточной парой (X, А)
с A^skekX (см. 1) и положим Y = X/A. Так как А стягиваемо,
то Y гомотопически эквивалентно X (см. 1.3.7.7 и 1.3), и ясно,
что ske^ Y есть точка.
3. Теорема 2 ничего не говорит о размерности простран-
пространства У', которым она заменяет заданное пространство X, однако
из ее доказательства видно, что Y всегда можно выбрать под
условием dim F^max (dimX, k-\-2). Наша ближайшая цель —
показать, что при k = 0 последнее неравенство можно заменить
неравенством dim Y ^. dim X (см. 6).
4 (Лемма). Пусть Y — топологическое пространство и
{Fft}ft°=o — его фундаментальное покрытие, такое, что Y k PiYt — 0
при k —1>\. Если при каждом k !> 1 пересечение Yk--lf]Yk
является строгим деформационным ретрактом пространства Yk,
то Yo есть строгий деформационный ретракт пространства Y.
Доказательство. Если Fh: Yk X / -*¦ Y k — гомотопия, свя-
связанная на Yk-if\Yh и соединяющая id Yk с отображением, пере-
переводящим Yk в FA_, П Yk, то формула
(У,
у, если y^Yk и 0</<2 \
-.. Fk(x, 1) ..., 1), 2'/-
если i/eFi и 2~г</<2""'+1
определяет г/0-гомотопию Y \ I ->Y, которая соединяет id У
с отображением, переводящим Y в у0.
5. Во всяком связном клеточном пространстве имеется стя-
стягиваемое одномерное подпространство, содержащее все нульмер-
нульмерные клетки.
Доказательство. Отметим в заданном связном клеточ-
клеточном пространстве X какую-нибудь нульмерную клетку х0 и
§ 3J ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА J27
обозначим через Ak множество нульмерных клеток, которые
можно соединить с х0 путем /—*-skejZ, задевающим не более k
одномерных клеток. Так как пространство ske^ связно
(см. 1.4.7) и путь может задеть лишь конечное число клеток,
то \j^=QAk = skeuX. Фиксируем для каждой нульмерной клетки
л;е4\Л4_| с /г|>1 замкнутую одномерную клетку с{х), сое-
соединяющую х с какой-нибудь клеткой из Лй_1\Л)е_2, и положим
если
U с {у), если k > О,
4\Ak-i
и У = иГ=о *V Ясно, что У есть одномерное подпространство
пространства X, содержащее skeoj, и что покрытие {Yk} про-
пространства У удовлетворяет условиям леммы 4. Таким обра-
образом, YQ есть строгий деформационный ретракт пространства Y,
т. е. У стягиваемо.
5. Всякое связное клеточное пространство гомотопически экви-
эквивалентно клеточному пространству той же или меньшей размер-
размерности с единственной нульмерной клеткой. В частности, всякое
связное одномерное клеточное пространство гомотопически экви-
эквивалентно букету окружностей.
Это следует из 5, 1.3 и 1.3.7.7.
Применения к к"»л е т о ч н ы м конструкциям
7. Если клеточное пространство X k-связно, то простран-
пространства su X и su {X, х0), где х0 — нульмерная клетка, (k + I)-связны.
Доказательство состоит из трех замечаний. Первое: по-
поскольку пространства suX и su(J, xQ) гомотопически эквива-
эквивалентны (см. 1.4.5, 1.3.6.8 и 1.3.7.7), (k + 1)-связность каждого
из них влечет за собой {k + 1)-связность другого. Второе:
в силу 2 и 1.3.7.12, (k-\- 1)-связность пространства su(X,x0) доста-
достаточно установить для случая, когда skekX=x0. Третье: в ука-
указанном случае (&+ 1)-связность пространства su(j?, x0) следует
из теоремы 2, поскольку остов skeft+1su(^, x0) является одно-
одноточечным вместе с ske^X.
8. Если клеточное пространство Х\ кгсвязно, а клеточное
пространство Х2 к2-связно, то тензорные произведения (X], #0®
{Х2, х2) и (Xi, х{)®с(Х2, х2), где Ху, х2 — нульмерные клетки,
(Й] + k2 + \)-СвЯЗНЫ.
Доказательство состоит из трех замечаний. Первое: по-
поскольку топология пространства {Х\, х{)®{Х2, х2) совпадает на
его компактных частях с топологией пространства (Х1г х{)®с{Х2, х2),
(kx + k2 + 1)-связность каждого из них влечет за (
128 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 2
связность другого. Второе: ъ силу 1 и 1.3.7.12, (kx + k2 + 1)-
связность пространства (Хи х{) ®с(^2. х2) достаточно установить
для случая, когда skeftX,= xv skekX2 = xr Третье: в указан-
указанном случае (k{ + k2 + 1)-связность пространства (Хи х{) ®С(Х2, х2)
следует из теоремы 2, поскольку оетов skeft+fto+I ((Z,, л:,) 0с ( J2, х^\
является одноточечным вместе с skeft Xl и skeA X2.
9 (Лемма). Для любых клеточных пространств Xit X2 с от-
отмеченными нульмерными клетками хь х2 клеточный джойн
(Xi, x1)*c(X2, х2) гомотопически эквивалентен su((Xi, xx) 0С
{Х2, х2), Ьр).
Доказательство. В силу своих определений, простран-
пространства (Хи Xi)«c(X2, x2), su((Jb х,) ®С(Х2, х2), Ьр) получаются по-
повторной факторизацией из пространства (JYiXcX2)X/, и ясно,
что проекция (Х\ Хс^г) X /—>su((Jb х^®с(Х1, х2), Ьр) постоянна
на элементах разбиения zer (pr: (Xi Хс^г) Х^~* (^ь^О *с(Х2,х2)).
Возникающее отображение
/ = fact[pr: U,Xc^2)X/->Ub'JC,)*cU2, *2)]:
*0 ®cU2. Jf2), bp)-*>(Xb Xi)*a(X2, x2)
факторно (см. 1.2.3.4), и так как единственным неодноточечным
элементом разбиения zer(/) является множество f~'(bp), то
su((Xi, Х!)®С{Х2, х2), Ър) = [{Хи ^i)*c(^2,,^2)]/f~'!(bp). Наконец,
f~I(bp) = [№, л:1)*с(^2> ^2>] U [(^i, *i)*c(^2. *2)]. и так как это
объединение стягиваемо, то факторпространство [{Хи хг)*а
(Х2, x2)]/f~l(bp) гомотопически эквивалентно (Хи х{)*с(Х2, х2).
10. Если клеточнде пространство Х\ k^-связно, а клеточное
пространство Х2 ^-связно, то джойны Х\ * Х2, ^i *CX2 и (Х\, х^)*
(Х2, х2), (Х\, x{)*z{X2, х2), где хь х2 — нульмерные клетки,, {kx-\-
&2 + 2)-СвЯЗНЫ.
Доказательство состоит из четырех замечаний. Первое: по-
поскольку пространство (Хи ^i)*c(^2> x2) получается из простран-
пространства Xi*cX2 факторизацией по стягиваемому подпространству
(одномерной замкнутой клетке Ху*х2), эти пространства гомо-
гомотопически эквивалентны. Второе: поскольку топология простран-
пространства Х\ *с Х2 совпадает на его компактных частях с топологией
пространства Xi * X2, (k\ -\- k2-\- 2)-связность каждого из этих
пространств влечет за собой (&i + k2 -\- 2)-связность другого.
Третье: подобным же образом (ky + k2 -\- 2)-связность каждого
из пространств (Xit xl)*(X2, x2), (Xu Xi)*c(X2, x2) влечет за
собой (^! + k2 + 2)-связность другого. Четвертое: (ki + k2 + 2)-
связность пространства (Х\, Xi)*c(X2, x2) прямо следует из
9, 8 и 7.
§ 3] - ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 129
4. Симплициальная аппроксимация клеточных пространств
/ (Лемма). Пусть X, Y — клеточные пространства и {Хг}^0,
{Уг}^о — их фильтрации, составленные из подпространств. Пусть,
далее, /: X->Y — клеточное отображение с f (XT) czYr@^.r < с»).
Если ab f: Xr -+Yr — гомотопические эквивалентности, то и f —
гомотопическая эквивалентность.
Доказательство. Так как пространства Zr = Cyl(ab/:
Xr —> Yr) являются подпространствами пространства Z =
Cyl/ в клеточном смысле и удовлетворяют условиям ZrczZr+l,
\j^'s=0Zr = Z, то они составляют фильтрацию пространства Z
(см. 1.1.9), и потому образ любого непрерывного отображения
Dk->Z содержится в одном из множеств Zr (см. 1.2.4.5). Из
этого следует, что если все пары (Zr, ХГ) оо-связны, то и пара
(Z, X) оо-связна, и остается заметить, что оо-связность пары
{Zr, Xr) равносильна тому, что abf: Xr->Yr — гомотопическая
эквивалентность, а оо-связность пары (Z, X) равносильна тому,
что f — гомотопическая эквивалентность (см. 1.3, 1.6, 1.3.3.9 и
1.3.7.13).
2. Для всякого клеточного пространства X существует гомо-
топически эквивалентное ему симплициальное пространство той
же размерности, конечное, если X конечно, и счетное, если X
счетно.
Для доказательства мы построим последовательность сим-
плициальных пространств {Yr}™=0, последовательность симпли-
циальных вложений {ir: Yr->Yr+i}™=0 и последовательность кле-
клеточных гомотопических эквивалентностей (fr: skerX—>F,.}^
с четырьмя свойствами: (i)fr\sks_ix.==h—\°fr-i> (ii)dimFr =
dimskerX; (iii) если пространство skerX конечно, то и про-
пространство Yr конечно, если sker X счетно, то и Yr счетно: (iv)
если sker X = sker_! X, то Yr = Yr—{ и ir-i = iclKr_1. Этим будут
определены симплициальное пространство lim(Fr, ir) размер-
размерности dimX, конечное или- счетное вместе с X, и клеточное
отображение /: X-*lim{Yn ir) cf\skeX = immr°f, и лемма 1
показывает, что последнее, будет гомотопической эквивалент-
эквивалентностью.
Определим YQ и f0 как ske0^ и idske0^ и предположим, что
при / < q симплициальные пространства Yr, клеточные гомо-
гомотопические эквивалентности fr и симплициальные вложения ir~x
имеются и удовлетворяют условиям (i) — (iv). Согласно 1.2.1,
мы можем представить ske9 X как (ske,_iZ) UqA> где А =
U6Scel! x(Z)e=Z)<?), а ф — непрерывное отображение пространства
130 КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА flTJI, 2
S = Uesceii x{^e~^''~i) B s^%-i^' построим для А триангуля-
цию, по отношению к которой 2 является полным подпростран-
подпространством, а отображение /?_!°ф: 2->У?-1 обладает некоторой
симплициальнои аппроксимацией g: I,-+Yq-b и упорядочим Y q-x
и 2 так, чтобы отображение g стало монотонным. Применяя
последовательно теорему 1.3.7.10, теорему 1.3.7.8 и снова тео-
теорему 1.3.7.10, мы получим три гомотопические эквивалентности:
гомотопическую эквивалентность skeqX->Yq-i\jf _,ocpA, совпа-
совпадающую на ske?_i X с fq—i, гомотопическую эквивалентность
Yq~i Uf _,офА^-^-1 Ug А, тождественную на Yq~\, и гомотопиче-
гомотопическую эквивалентность Yq-i U^A->(Scyl g) Uin A c in = [in: 2->
Scylg] (cm. 2.5.11), совпадающую на Yq-\ с включением Y q-x ->
Scyl g. Мы определяем У? как (Scylg')Uin^, f9 как композицию
трех указанных гомотопических эквивалентностей и /4_i как
сквозное вложение Yq-x -* Scyl g—>-Yq. Триангуляция простран-
пространства А вместе' с триангуляцией цилиндра Scyl ^ определяют
триангуляцию пространства Yq (см. 2.5.2), и ясно, что вложе-
вложение iq-i симплициально и что Yq', fq и iq-\ удовлетворяют усло-
условиям (i) — (iv) с г = q.
3. Если X — конечное клеточное пространство, a Y — счетное
клеточное пространство, то множество я {X, Y) счетно.
Доказательство. В силу теорем 2 и 1.3.1.8, достаточно
рассмотреть случай, когда X и Y — симплициальные простран-
пространства. А в этом случае, в силу теоремы 2.7.4, мощность множе-
множества п(Х, Y) не превосходит мощности множества всех симпли-
циальных отображений ЪггпX-*Y{m = 0, 1, ...), которое, оче-
очевидно, счетно.
5. Упражнения
1. Доказать, что если клеточные пространства Хи Х2 гомо-
гомотопически эквивалентны клеточным пространствам Х[, Х'ч, то
пространство XiXc^2 гомотопически эквивалентно простран-
пространству ZiXc^i а пространство X\*zXi гомотопически эквива-
эквивалентно пространству X'\*cX'i-
2. Доказать, что всякое клеточное пространство гомотопиче-
гомотопически эквивалентно локально конечному клеточному пространству.
3. Доказать, что всякая клеточная пара гомотопически эквива-
эквивалентна симплициальнои паре, а всякая конечная клеточная пара
гомотопически эквивалентна конечной симплициальнои паре.
4. Доказать, что не существует клеточного пространства,
гомотопически эквивалентного подпространству прямой, состав-
составленному из точки 0 и точек \/п с «=1,2, ...
ГЛАВА 3
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Топологические многообразия
/. Эта глава содержит элементарное введение в дифферен-
дифференциальную топологию. Ее основными объектами являются гладкие
многообразия, определяемые в следующем пункте и предста-
представляющие собой (так же, как клеточные и симплициальные
пространства) топологические пространства с дополнительной
структурой. Топологические многообразия, которым посвящен
настоящий пункт, занимают промежуточное положение между
гладкими многообразиями и топологическими пространствами
и еще не несут дополнительной структуры.
Локально евклидовы пространства
2. Топологическое пространство называется локально евкли-
евклидовым пространством размерности п, если каждая его точка
обладает окрестностью, гомеоморфной пространству R" или
полупространству Ri пространства R", составленному из точек
(хи ..., хп) с Х\ ^0. Полупространство R1 определено при га|> 1;
при « —0 мы его не определяем. Благодаря последнему обстоя-
обстоятельству определение локально евклидова пространства размер-
размерности 0 означает, что это — топологическое пространство,
каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной R0,
т. е. дискретное пространство.
Точки локально евклидова пространства, обладающие окрест-
окрестностью, гомеоморфной R", называются внутренними, остальные
точки — краевыми. Внутренние точки составляют внутреннюю
часть локально евклидова пространства, краевые точки — его
край. Внутренняя часть локально евклидова пространства X
будет обозначаться через intJ, край —через дХ. (Различие
между обозначениями int и Int вместе с контекстом должно
исключить смешение этих внутренних точек и этой внутренней
части с внутренними точками и внутренней частью множества
в топологическом пространстве.) Внутренняя часть есть, оче-
132 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ' [ГЛ. 3
видно, всюду плотное открытое множество, край — замкнутое
множество.
Ясно, что топологическое пространство является локально
евклидовым пространством размерности п уже в случае, когда
каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной откры-
открытому подмножеству одного из пространств Rra, R1. Из этого
следует, что открытое подмножество локально евклидова про-
пространства размерности п есть локально евклидово пространство
размерности п\ в частности, внутренняя часть локально евкли-
евклидова пространства размерности п есть локально евклидово
пространство размерности п без края. Ясно также, что внутрен-
внутренняя часть и край открытого подмножества U локально евкли-
евклидова пространства X определяются формулами int U = U П int X,
dU = U[}dX.
Так как локально евклидово пространство локально связно,
то его компоненты являются открытыми множествами (см. 1.3.4.3),
из чего следует, что они и замкнуты.
Очевидными примерами локально евклидовых пространств
размерности п служат пространства Rn, R", Sn, Dn. Ясно, что
dRn—0 и dSn= 0. Ясно также, что все краевые точки полу-
полупространства R1 лежат в граничной гиперплоскости R", со-
составленной из точек (хи ..., хп) с Х\ = 0, а все краевые точки
шара Dn — в граничной сфере Sn~l.
3. Из гомеоморфности произведения R"" X R простран-
пространству Rra'+ следует, что если Хи Х2 — локально евклидовы
пространства размерностей щ, щ без края, то Х\ X Х2 есть
локально евклидово пространство размерности щ + п2 без края,
и, вообще, если Хи ..., Xs — локально евклидовы пространства
размерностей щ, ..., ns без края, то Х\ X ••• X Xs есть ло-
локально евклидово пространство размерности п{+ ... +п5без
края. Чтобы охватить локально евклидовы пространства с краем,
заметим, что формула ((ж,, ..:, хп), (г/„ ..., г/J) н-> (х{, ...,хщ,
У\> ¦•' Уп)> определяющая канонический гомеоморфизм R Хч
R-*R+"!, определяет при «, > 0 и гомеоморфизм Rl!XR->
R"J+ra2 и что формула ((*„ ..., хя), {у{, ..., yn))^{yv .... уПг,
Х\, ..., хп) определяет при щ> 0 гомеоморфизм R"'XR- ->R"'+ra2,
ф (() ( )){2 \ \
, , ) р р щ рф X
а формула ((*,,...,*„,), (у{, ..., уп))^^{-2х1у1, х\ —у
х2, ..., хп, у2, ..., уп^ определяет при п, > 0, п2 > 0 гомео-
гомеоморфизм R X R- ->R-+. Таким образом, каждое из произ-
произведений Rl'X R"!, R X R-, R- X R- гомеоморфно R+n\ и, сле-
следовательно, если Xi, X2 — какие угодно локально евклидовы
пространства размерностей щ, щ,, то ZjX-^2 есть локально
1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 133 \
евклидово пространство размерности п{ + Щ, и, вообще, если
Хь ..-, Xs — какие угодно локально евклидовы пространства
размерностей щ, ..., ns, то Xi X • • • X Ха есть локально евкли-
евклидово пространство размерности пх + ... + tis.
4. Определения, данные в 2, порождают два нетривиальных
вопроса.
Первый вопрос состоит в том, может ли непустое топологи-
топологическое пространство быть одновременно -локально евклидовым
пространством размерности п и локально евклидовым простран-
пространством размерности п', если п' ф п. Как будет доказано в главе 4,
ответ отрицателен (см. 4.6.5.10). Этот ответ очевиден, если
п = 1, п' > 1 или п' = 1, п > 1 [всякое непуетое открытое под-
подмножество одномерного локально евклидова пространства де-
делается несвязным после удаления двух надлежащим образом
выбранных точек (например, двух точек, принадлежащих откры-
открытой части этого подмножества, гомеоморфной R1), тогда как
непустое локально евклидово пространство размерности п' > 1
обладает непустым открытым подмножеством, которое не де-
делается несвязным после удаления двух точек (например, откры-
открытым подмножеством, гомеоморфным R" )], и уж совсем очевиден,
если /г = 0 или /г' = 0, но при /г>1, п' > 1 доказательство
требует техники, которая будет развита лишь в дальнейшем.
Второй вопрос может быть сформулирован как проблема'
более эффективного определения внутренних и краевых точек,
которое позволило бы их фактически распознавать. Например,
для полупространства Rt мы установили пока лишь очевидное
включение <5IR!1 с: R"~' (см. 2), которое оставляет возможным
как равенство dR" =R"~\ так и равенство 3R1 — 0 (других
возможностей, очевидно, нет). В главе 4 будет доказано, что
dRi = R"~' (см. 4.6.5.12). Это равенство очевидно при«=1
(если бы точка 0 обладала в Rl окрестностью, гомеоморфной R ,
то удаление точки 0 сделало бы эту окрестность несвязной,
что в действительности не происходит ни с одной связной
окрестностью точки 0 в Rl_), а при п > 1 опять-таки требует
технических средств, которыми мы еще не располагаем. Оно
удовлетворительно решает и общую проблему распознавания
внутренних и краевых точек: из него следует, что точка х
п-мерного локально евклидова пространства X, обладающая
окрестностью U с гомеоморфизмом C/->R1, в том и только том
случае является краевой для U и, значит, для X, если она пере-
переводится этим гомеоморфизмом в точку гиперплоскости R"~\
Для Dn эта теорема дает: dDn — Sn~x. Заметим, что из гипо-
гипотетического равенства dRl = 0 столь же очевидным образом
134 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
следует равенство дХ = 0 для всякого /г-мерного локально
евклидова пространства X.
5. Всего осторожнее было бы совсем не пользоваться тео-
теоремами, сформулированными в 4, т. е. теоремой о размерности
и равенством dR-=R?~I, пока они не доказаны. С теоремой
о размерности мы так и поступим, если не считать незначи-
незначительного замечания в 2.3, равенством же dR!L = R?~1 мы уже
успели воспользоваться и будем пользоваться до его доказа-
доказательства еще в 7 и в 2.6, 2.7. Никаких других применений
этих теорем или их следствий до их доказательства не будет.
6. Край локально евклидова пространства размерности п
есть локально евклидово пространство размерности п— 1 без края.
Действительно, если [/ — окрестность краевой точки локально
евклидова пространства X, гомеоморфная WL, то край dU
является окрестностью этой точки в дХ, так как совпадает
с U{]dX, и гомеоморфен Rn~\ так как <3R!L = Rf~I (здесь равен-
равенство <3R"=R"~' не требует ссылки на. главу 4, поскольку
альтернативное равенство <3R!L = 0 невозможно из-за непустоты
края дХ).
7. Для любых локально евклидовых пространств Хи ..., Xs
int(Z,X ... XXa) = miXlX ••¦ XintXs,
XX2X ¦¦¦ XXS)[) ... U(*iX ••• Х^нХОД
. Доказательство достаточно провести Для s = 2. Пусть хи
х2 — точки из Хи Х2, и пусть ф] — гомеоморфизм окрестности Ux
точки х{ на R"' или R"' и ор2 — гомеоморфизм окрестности U2
точки х2 на R или R12. Тогда qp[ X Фг есть гомеоморфизм
окрестности UiXU2 точки (хи х2) на одно из произведений
Rra'XR, Rra'XR-, RI'XR, R-XR-, а композиция этого
гомеоморфизма с соответствующим гомеоморфизмом из 3
является гомеоморфизмом окрестности UXXU2 на Rra'+ или
Rra,+. обозначим эту композицию через ор и рассмотрим четыре
имеющиеся возможности. Если ф,(?/1) = Яп', qp2(C2) = Rra\ то
ф(^1 X U2) = R"'+ra2, так что все три точки хь х2, {хи х2) являются
внутренними. Если ф, ((/,) = Rra', ф2 (f/2) = R, то ф (f/, X U2) =
R11+"J'и включение ф(^ь л:2) е R"'4" эквивалентно включению
Ф2 (х2) sR"!" , так что. точка (х{, х2) является внутренней или
краевой одновременно с х2, в то время как ху есть внутренняя
точка. Подобным же образом, если фl(f/1) = Rl1, ф2(U2) = R,
то точка {xlt x2) является внутренней или краевой одновременно
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 135
с хъ в то время как х2 есть внутренняя точка. Наконец, если
ф1 (f/,) = R™', q>2(t/2) = R^ то ?(f/1Xf/2)=:R-+ra2 и включение
ff{xi, x2)sR"'+th~1 имеет место тогда и только тогда, когда
qPj (х{) е R"' или ф2 (х2) е R"!~', так что точка (х{, х2) является
краевой тогда и только тогда, когда одна из точек хь х2
является краевой. Таким образом, во всех случаях точка (хи х2)
является внутренней, если хи х2 — внутренние точки, и краевой,
если Xi или х2 — краевая точка.
8. Локально евклидово пространство связно в том и только
том случае, если связна его внутренняя часть.
Достаточность этого условия очевидна; докажем его необхо-
необходимость. Пусть X — связное /г-мерное локально евклидово про-
пространство, Л — компонента множества int X и В — объединение
остальных компонент множества int X. Так как множества С1 А,
С1 В замкнуты и покрывают X, а X связно, то пересечение
С1 А П С1 В непусто, если В непусто, и ясно, что С1 Л П С1 В с: дХ;
пусть х — точка этого пересечения u U — ее окрестность, гомео-
морфная R1. Так как множество intRl связно, то гомеоморф-
ное ему множество U П int X = int U тоже связно, что при
непустом В невозможно. Следовательно, В пусто и int X связно.
9._ Топологическое пространство X\jin. дХ^х X, построенное
по локально евклидову пространству X, называется удвоением
последнего и обозначается через dopp X. Очевидно, удвоение
локально евклидова пространства размерности п есть локально
евклидово пространство размерности п без края.
В дальнейшем мы будем отождествлять imrri) (X) с X, ото-
отображение ab imm2: X -> imm2 (X) будем обозначать через сор,
a imm2(Z) — через сорХ. Заметим, что X и сор X замкнуты
в doppZ.
Многообразия
10. Локально евклидово пространство называется топологи-
топологическим многообразием или, короче, многообразием, если оно
хаусдорфово и обладает счетной базой. Многообразие назы-
называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края,
и открытым, если оно не имеет компактных компонент.
Сопоставляя сказанное в 2, 3, 6 и 9 с соответствующими
свойствами хаусдорфовых пространств, пространств со счетной
базой и компактных пространств, мы видим, что: открытое под-
подмножество /г-мерного многообразия есть «-мерное многообра-
многообразие; внутренняя часть /г-мерного многообразия есть /г-мерное
многообразие без края;.край /г-мерного многообразия есть (п — 1)-
мерное многообразие без края; край компактного многообра-
многообразия есть замкнутое многообразие; произведение многообразий
136 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, 3
размерностей «ь ..., ns есть многообразие размерности пх + • •.
-\-ns; удвоение «-мерного многообразия есть «-мерное многообра-
многообразие без края; удвоение компактного многообразия есть замкну-
замкнутое многообразие.
Так как компоненты многообразия составляют его открытое
покрытие, то их число конечно в компактном случае и счетно
в общем случае (см. 1.1.6.5).
Пространства Rn, Rl, Sn и Dn, рассматривавшиеся выше
в качестве примеров локально евклидовых пространств, оче-
очевидно, являются многообразиями.
11. Многообразия локально компактны.
Доказательство. Пусть" л: — точка «-мерного много-
многообразия X. Фиксируем гомеоморфизм ор окрестности U точки х
на R" или R1 и окрестность V точки ф(х) в q>{U) с компактным
замыканием С1V и положим U' = y~l(V). Ясно, что U' есть
окрестность точки х в X, содержащаяся в qp~' (C1V), и что
множество ф~'(С1У) компактно. Из этого мы последовательно
выводим, что множество ф~'(С1 V) замкнуто, что оно содержит
вместе с окрестностью U' ее замыкание С1 V и что последнее
компактно.
12. Многообразия метризуемы.
Действительно, из хаусдорфовости и локальной компакт-
компактности следует регулярность (см. 1.1.7.23), а из регулярности
и второй аксиомы счетности следует метризуемость (см. 1.1.6.9).
13. Следующий пример показывает, что при «^1 локально
евклидово пространство размерности « со счетной базой мо-
может не быть хаусдорфовым. Положим Jf = Rra U? Rra, где / =
[in: R"\R* ->Rra]. Ясно, что Хестъ «-мерное локально евкли-
евклидово пространство со счетной базой и что при «^1 точки
(x), imm2(#) не имеют в X непересекающихся окрестно-
окрестно1
)
стей, если хе R?".
14 (Информация). При «!>1 связное хаусдорфово локально
евклидово пространство размерности « может не иметь счетной
базы. Двумерный пример имеется в [5], одномерный — в [11]
(стр. 255), примеры старших размерностей получаются из этих
примеров умножением на евклидовы пространства.
Одномерные многообразия
15. Связное нульмерное многообразие, очевидно, есть точка.
Нижеследующие теоремы. 17, 19 дают топологическую класси-
классификацию связных одномерных многообразий. Двумерный случай
будет рассмотрен в § 5 (см. п. 5.3). Топологическая класси-
классификация многообразий более высоких размерностей предста-
представляет собой уже очень трудную задачу.
S 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 137
16 (Лемма). Если связное хаусдорфоео пространство пред-
представляется как объединение двух своих открытых подмножеств,
гомеоморфных R1, то оно гомеоморфно R1 или S1.
Доказательство. Пусть X — U [} V -•- указанное предста-
представление и op: U-+R1, op: F-^R1 — гомеоморфизмы. Исключим
из рассмотрения тривиальные случаи V cV и V <zzU, в кото-
которых X гомеоморфно R1, и изучим множества cp(Uf\V)}ity{U[} V).
Так как пересечение UflV открыто в U и в V, то множе-
множества ф (U П V) и op (U П V) открыты в R1 и их компоненты являются
интервалами. Среди этих интервалов нет конечных; действи-
действительно, если бы, например, множество q>{U()V) обладало
конечной компонентой (а, Ь), то множество q>~l((a, b)) было бы
одновременно замкнуто в V (как пересечение компактного
и, значит, замкнутого множества ф-'(|а> Ь\) с К) и открыто
в V, из чего следовало бы, что 1/=ф~1((а, b))czU. Кроме
того, ф {U П V) ф R1, так как иначе U cz V, и ар (U {] V) Ф R1, так
как иначе V cz U. Таким образом, не исключены лишь два
случая: (i) каждое из множеств q>{Uf}V), ty(U[)V) представляет
собой открытую полупрямую; (и) каждое из множеств <p(U[}V),
ty(U()V) состоит из двух непересекающихся открытых полу-
полупрямых.
г Так как ф и' г|> допускают умножение на —1, то можно
считать, что в случае (i) множество q>(U f\V) имеет вид (— оо, а),
а множество ty(Uf}V) — вид (b, оо). Рассмотрим сквозное ото-
отображение
(_оо, a) = <p{Uf)V)a-^-Lur\V -^*(U[)V) = {b, oo).
Так как оно взаимно однозначно и непрерывно, то оно моно-
монотонно, и ясно, что оно возрастает (если бы оно убывало, то
точки ф~'(я) и ар (Ь) не имели бы в X непересекающихся
окрестностей). Поэтому X = о|з~' ((— оо, ^ (-^о)]) U ф~' ([ф(-^о)> °°)),
где х0 — какая-нибудь точка из U(]V, откуда видно, что в слу-
случае (i) X гомеоморфно R1.
В случае (И) «р(?/ПК) = (-оо, ах)U(fh, oo), ^{U(]V) =
(—оо, bi)\]{b2, оо) с некоторыми аи а2, bx, b2 {а\<аъ b{<b2)
и можно считать, что сквозной гомеоморфизм
отображает (— оо, ах) на (Ь2, °о), а (а2, оо) на (— оо, 6,). Обе
функции (—оо, ai)-*(&2, °°), (а2, °°)~*(—°°> ^i)> служащие
сокращениями этого сквозного гомеоморфизма, возрастают
(если бы, например, первая убывала, то точки; qf1 (а{) и -ф ' (Ь2)
не имели бы в X непересекающихся окрестностей), и потому
X = ар"' ([ар (х2), ар (л:,)]) U ф"' ([ф (*\), Ф (х2)]), где хх — какая-нибудь
138 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
точка из ф ((— оо, cti)) = а|Г' ((b2, oo)), а х2 — какая-нибудь точка
из ф {{а2, оо)) = г|з~' ((—°°,pi)). Следовательно, в случае (и)
X гомеоморфно S1..
17. Компактное связное одномерное многообразие гомео-
гомеоморфно S1 или D1.
Доказательство. Предположим сначала, что много-
многообразие замкнуто. Тогда оно покрывается конечным числом
открытых подмножеств, гомеоморфных R1, и эти подмножества
можно занумеровать в последовательность ?/1( ..., Us со связ-
связными объединениями Vk = Ui[} ... \}Uk. В силу леммы 16,
первое из множеств Vu ..., Vs, не гомеоморфных R1, гомео-
гомеоморфно S1, и так как это множество открыто и замкнуто, то
оно совпадает со всем многообразием, которое оказывается,
таким образом, гомеоморфным S1.
Пусть теперь многообразие имеет непустой край. Тогда его
удвоение является замкнутым связным одномерным многообра-
многообразием и, следовательно, гомеоморфно S1, а само оно гомеоморфно
части окружности. Так как эта часть связна, замкнута, не-
непуста, отлична от всей окружности и не сводится к точке,
то она гомеоморфна ?>'.
18 (Лемма). Если топологическое пространство предста-
представляется как объединение неубывающей последовательности своих
открытых подмножеств, гомеоморфных R1, то оно гомеоморфно R1.
Доказательство. Пусть Х = [}У{— указанное представ-
представление. Очевидно, всякий гомеоморфизм множества V\ на ин-
интервал (а, Ь) продолжается до некоторого гомеоморфизма мно-
множества Vi+i на один из интервалов (а, Ь), (а— 1, b), (a, b + 1),
(а—1, Ъ -j- 1). Это позволяет индуктивно построить такую по-
последовательность интервалов Аь Д2, ... и такую последова-
последовательность гомеоморфизмов qv. Vt —>¦ Л], ф2: У2—*"^2, •••) что
Фг = аЬф,+!, и ясно, что отображение пространства X на
интервал [J Аг-, совпадающее на Vt с q>it является гомеомор-
гомеоморфизмом.
19. Некомпактное связное одномерное многообразие гомео-
гомеоморфно R1 или Rl_.
Доказательство. Предположим сначала, что многооб-
многообразие не имеет края. Тогда оно покрывается счетным числом
открытых подмножеств, гомеоморфных R1, и эти подмножества
можно занумеровать в последовательность Uu U2, ... со связ-
связными объединениями Ux U • • • \}Uk- Все эти объединения гомео-
морфны R1, так как первое из них, не гомеоморфное^1, было
бы, в силу леммы 16," гомеоморфно S' и совпало бы, вслед-
вследствие своей открытости и замкнутости, со всем многообразием.
Таким образом, к последнему применима лемма 18, и оно
гомеоморфно R1. ч .
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . 139
Пусть теперь многообразие имеет непустой край. Тогда его
удвоение является некомпактным связным одномерным много-
многообразием без края и, следовательно, гомеоморфно R1, а само
оно гомеоморфно части прямой. Так как эта часть связна,
замкнута, некомпактна и отлична от всей прямой, то она
гомеоморфна RL.
2. Дифференциальные структуры
/. Напомним, что вещественная функция, определенная на
открытом подмножестве пространства R", называется функцией
класса (&'', если она имеет непрерывные частные производные
всех порядков, не превосходящих >. Подразумевается, что
О ^ г ^ оо и что класс с&° состоит из всех непрерывных функ-
функций, а класс "iP00 — из функций с непрерывными частными про-
производными всех порядков. В дополнение к этому мы называем
вещественно аналитические функции функциями класса с€а.
Удобно считать, что а>оо; все перечисленные классы охваты-
охватываются тогда неравенствами О^г^а.
Эти определения очевидным образом переносятся на веще-
вещественные функции, заданные на открытом подмножестве полу-
полупространства Rl: дифференцирование по первой координате
в точках граничной гиперплоскости R"" понимается как диф-
дифференцирование слева, а аналитичность — как аналитическая
продолжимость на множество, открытое в R". Мы распростра-
распространяем их, далее, на отображения открытого подмножества про-
пространства R" или полупространства R1 в любое подмножество
пространства Rq: такое отображение называется отображением
класса ^г или, короче, ^-отображением, если его координатные
функции принадлежат классу сёт.
2. Отображение открытого подмножества пространства R"
или полупространства R1 в открытое подмножество простран-
пространства Rp или полупространства R- называется диффеоморфизмом,
если оно обратимо и оба отображения /, f~x принадлежат
классу4 "8". Множества, которые можно связать диффеомор-
диффеоморфизмом, называются диффеоморфными.
Следующие факты содержатся в хорошо известных общих
теоремах дифференциального исчисления:
(i) Если открытое подмножество пространства Rp или полу-
полупространства R- диффеоморфно открытому подмножеству про-
пространства R" или полупространства R1, то р = /г.
(И) Открытое подмножество полупространства R", диффео-
морфное открытому подмножеству пространства Rra, открыто в Rn.
(Hi) Диффеоморфизм, обратный диффеоморфизму класса W,
принадлежит классу <&т.
140 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ (ГЛ. 3
f-cтруктуры и W-nространства
5. Нижеследующие определения предполагают заданным не-
некоторое множество X.
Картой размерности п в X называется обратимое отображение
подмножества множества X на открытое подмножество про-
пространства R" или полупространства R1. Отображаемое множе-
множество называется носителем карты ор и обозначается через supp <p.
Карты ф, г|> называются W'-согласованными (О^г^а), если
множество ф (supp ф П supp op) открыто в 1тф, множество
¦ф (supp ф П supp ар) открыто в Imop и взаимно обратные сквозные
отображения
, аЬф зЬф .
Ф (supp ф П supp -ф) >- supp ф П supp г|) > op (supp ф П supp г|>),
гр (supp ф П supp ар) > supp ф П supp ар v ф (supp ф П supp ар)
принадлежат классу W (т. е. являются ^'-диффеоморфизмами,
при г^1 и гомеоморфизмами при г = 0). Заметим, что это
условие выполнено тривиальным образом, если множества supp ф,
supp i|> не пересекаются; если же они пересекаются, то, в силу 2 (i),
из ^'-согласованности карт ф, г|> следует равенство их размер-
размерностей, а согласно 1.4, это равенство следует и нз их ^-со-
^-согласованности.
Совокупность карт называется п-мерным ^-атласом множе-
множества X, • если эти карты покрывают X, /г-мерны и попарно
¦^'-согласованы. Два <(?'-атласа множества X называются
^'-эквивалентными, если все их карты попарно ^'-согласованы.
Очевидно, ^'-эквивалентность является эквивалентностью;
классы, на которые она разбивает «-мерные ^'-атласы множе-
множества X, называются п-мерными (ё"'-структурами, ^'-структуры
с г > 0 называются дифференциальными структурами.
Ясно, что при 0^7^г всякий n-мерный W-атлас является
«-мерным ^'-атласом и ^"-эквивалентные ^""-атласы ^-экви-
^-эквивалентны. Вследствие этого при 0 ^<7^ г всякая «-мерная
^'-структура единственным образом расширяется до некоторой
¦^-структуры.
У каждой ^'-структуры есть наибольший атлас, представ-
представляющий собой объединение всех е,е атласов. Он называется
полным атласом структуры, а его карты называются картами
структуры. При переходе от ^'-структуры к ее ^-расширению
полный атлас также расширяется.
4. Множество, наделенное «-мерной ^'-структурой, назы-
называется п-мерным ^-пространством. Карты и атласы структуры
называются картами и атласами пространства. Полный атлас
¦«^пространства X обозначается через Al
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 141
Координатные функции карты ф ^-пространства X назы-
называются координатами в supp qp, а также локальными координа-
координатами в X. ,
^'-пространство, в которое превращается ^"-пространство X
при расширении его "^-структуры до ^'-структуры (Ot^q^r),
обозначается через WqX.
^""-пространства с r^q называются также ^>q-простран-
^>q-пространствами.
Примером «-мерного ^""-пространства может служить любое
открытое подмножество X пространства Rra или полупростран-
полупространства R" с ^'-структурой, определяемой атласом, составленным
из единственной карты id: X—>Х. В частности, каково бы ни
было г, карты id Rn и id Ri делают R" и R" га-мерными f'"'Про-
f'"'Пространствами.
5. Локально евклидово пространство размерности п обладает
очевидной га-мерной ^"-структурой, полный атлас которой со-
состоит из всевозможных гомеоморфизмов U —> U', где U — от-
открытое подмножество пространства, a U' — открытое множество
в Rn или R1. С другой стороны, конструкция объединения
топологических пространств (см. 1.2.4.3), примененная к пол-
полному атласу-га-мерного ^"-пространства, делает последнее ло-
локально евклидовым пространством размерности п, и ясно, что
этот переход обратен предыдущему. Таким образом, ^"-про-
^"-пространство есть не что иное, как локально евклидово простран-
пространство.
Поскольку дифференциальная структура единственным обра-
образом расширяется до ^"-структуры, ^^-пространство с г>0
также является локально евклидовым пространством. Более
непосредственно его топология может быть описана как топо-
топология объединения, построенного по любому атласу структуры.
6. Очевидно, каждую точку га-мерного ^^-пространства можно
покрыть картой ор Пространства X с Im(p/ = R" или R!l. Точки,
для которых реализуется первая возможность, называются
внутренними и составляют всюду плотное открытое множество,
называемое внутренней частью пространства X. Остальные
точки называются краевыми и составляют замкнутое множество,
называемое краем пространства X. Внутренняя часть обозна-
обозначается через intX, край — через дХ. Эти обозначения согла-
согласуются с обозначениями, введенными в 1.2, поскольку при г = 0
определения внутренних и краевых точек, данные там и здесь,
совпадают.
При г > 0 проблема распознавания внутренних и краевых
точек удовлетворительно решается предложением 2 (и): из него
очевидным образом следует, что при г > 0 точка х га-мерного
^-пространства, покрытая картой ф этого пространства, в том
142 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ. 3
и только том случае является краевой, если ImqpciR" и
Ф (х) е R""; в частности, если R1 рассматривается как ^-про-
^-пространство с г > 0, то dR"=Rit~1. Напомним, что то же утвер-
утверждалось в 1.4 для г = 0 и что доказательство было отложено
до главы 4.
Это описание краевых точек показывает, что внутренняя
часть и край '©'-пространства не меняются, когда его 'ш -струк-
-структура расширяется до '©"'-структуры с любым q, меньшим г;
другими словами, если 0 ^ q ^ г, то int {c&qX) = int X и д {WX) =
дХ. Подчеркнем, что равенства Ы(<&°Х) = ЫX, д{<&°Х) = дХ
доказаны нами со ссылкой на 1.4, т. е. со ссылкой на главу 4,
тогда как равенства int(ФХ) = intX, д{%'чХ) = дХ с q>0
такой ссылки не требуют.
Из равенства дХ = <ЭС©°Х), в частности, следует, что тео-
теорема 1.8 верна и для '©'-пространств с г > 0, т. е. что '^''-про-
'^''-пространство связно в том и только том случае, если связна его
внутренняя часть. Впрочем, этот '©'-вариант теоремы 1.8 может
быть доказан простым повторением доказательства теоремы 1.8'
и, таким образом, не требует ссылки на главу 4.
7. Если А — открытое подмножество я-мерного ^"'-простран-
^"'-пространства X, то карты пространства X, носители которых лежат в А,
составляют я-мерный '©'-атлас множества А и вследствие этого
определяют в А я-мерную '©"'-структуру. Таким образом, от-
открытое подмножество /г-мерного '©"-пространства есть я-мерное
'©'-пространство. В частности, внутренняя часть и-мерного
^""-пространства есть n-мерное ^'-пространство без края. Ясно,
что и при г >0 внутренняя часть и край открытого подмноже-
подмножества U ^"-пространства X определяются формулами intU =
U(]intX, dU = U(]dX.
Если ф — карта я-мерного ^""-пространства X, то отображе-
отображение аЬф: дХ f| supp ф —> ф (дХ П supp ф) представляет собой
(п—Г)-мерную карту в дХ. Карты этого вида составляют
'©"'-атлас множества дХ и вследствие этого определяют в дХ
^'-структуру. Таким образом, край /г-мерного '©"-пространства
есть (я—1)-мерное '©"-пространство без края.
Если ф! — карта '©"'-пространства Xi с 1тф1 = К'г' или R" и
ф2 — карта '©'"-пространства Х2 с 1тф2 = Рга2, то композиция
гомеоморфизма ф] Хф2 с одним из гомеоморфизмов R"' X R"!->
Rn>+n\ ип2Х§<щ->$п-+п\ определенных в 1.3, представляет
собой («] +)-мерную карту в Х\ Х-^2- Если дХ2 = 0, то карты
этого вида составляют '©"'"-атлас множества Х\ X Х2 с г =
min(rb г2) и вследствие этого -определяют в Х{ X ^2 '©"-струк-
'©"-структуру. Таким образом, произведение '©'''-пространства Х\ pas-
мерности щ на '©'''-пространство Х2 размерности щ, с дХ2 — 0
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 143
есть ^'-пространство размерности щ + п2, где г — меньшее из
чисел Г\, г2. Вообще, произведение W'-, ..., "^'«-пространств
Х1г . . ., Xs размерностей щ, ..., ns, среди которых все или все,
кроме одного, не имеют края, есть ^'-пространство размерно-
размерности «i+ ••• + ns, где г — меньшее из чисел гь ..., rs. При
этом int (Xi X • • • X Xs) = int Xi X • • • X i°t Xs, a если все про-
пространства Xi, ..., Xs, кроме Xlt не имеют края, то <3(ZiX •••
X Xs) = X, X • • • X -Х-,-1 X dXt X Xi+i X ... X Xs; обе формулы
содержатся в 1.7, если г = 0, и очевидны, если г > 0.
Ясно, что при расширении ^'-структуры ^-пространства X
до ^-структуры индуцированные ^'-структуры в открытых
подмножествах пространства X и в его крае дХ тоже расши-
расширяются до ^"-структур и что ^"(XiX •¦¦ XXJ^WXiX ...
X ^4XS. В частности, топология, определяемая указанными
индуцированными ^'-структурами, совпадает с относительной
топологией, а произведение <?>Г1-, . . ., ^""«-пространств Х\,,. .., Xs,
рассматриваемое как топологическое пространство, совпадает
с произведением пространств Хи ..., Xs, рассматриваемых как
топологические пространства.
Гладкие отображения
8. Непрерывное отображение f ^^-пространства X в <ff>r-
пространство Y называется отображением класса ^т или 9&т-ото-
9&т-отображением., если для любой карты ор пространства X и любой
карты г|> пространства Y сквозное отображение
Ф (supp ф П Г1 (supp г|))) >¦ supp ф П Г1 (supp ф) -^—>
suppi|>—>• Imop
принадлежит классу If (см. 1). Сквозные отображения этого
вида называются локальными представлениями отображения f.
Обозначение: 1ос(ф, ty)f. Очевидно, что для принадлежности
непрерывного отображения f ^^'-пространства X в <^>>'-про-
<^>>'-пространство У классу ^" достаточно, чтобы этому классу при-
принадлежали локальные представления отображения f, построен-
построенные по картам какого-нибудь атласа пространства X и какого-
нибудь атласа пространства Y.
Заметим, что это общее определение ^'-отображения со-
содержит в себе определение, данное в 1. Как и там, отобра-
отображение класса Ч?0 есть просто непрерывное отображение. Ото-
Отображения класса (&1 называются гладкими, отображения класса
<&а — аналитическими.
Ясно, что композиция двух ^'-отображений есть ^'-отобра-
^'-отображение. Включение А—>Х, где А—открытое подмножество или
144 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
край '^'-пространства X, есть ^-отображение. Сокращение
А->В ^'-отображения X-+Y, где А — открытое подмножество
или край пространства X, а В —открытое подмножество или
край пространства Y, есть "^'-отображение.
9. Отображение f ^'-пространства X в ^'-пространство Y
называется диффеоморфизмом, если оно обратимо и оба ото-
отображения /, /~' являются гладкими. Пространство Y называется
диффеоморфным пространству X, если существует диффеомор-
диффеоморфизм X—>У, и %"-диффеоморфным пространству X, если суще-
существует ^"-диффеоморфизм X->Y.
Очевидно, тождественное отображение ^^'-пространства
с г^1 есть ^"-диффеоморфизм. Ясно также, что композиция
двух ^"-диффеоморфизмов есть ^'-.диффеоморфизм, и из 2 (iii)
следует, что отображение, обратное ^"-диффеоморфизму, есть
^'-диффесГморфизм. Таким образом, *<?'-диффеоморфность есть
эквивалентность.
Из 2 (i) следует, что непустые диффеоморфные пространства
имеют одну и ту же размерность.
10. Если fi:-Xi ->YU ..., fm: Xm^-Ym — отображения класса 93'
с r^l, причем не более чем одно из пространств Хи ..., Хт
имеет край и не более чем одно из пространств Yu ..., Ym
имеет край, то /, X •.. X fm: Xl X • • • XXm-^YlX ...XYm
есть, очевидно, отображение класса W. Если flt ..., fm — диф-
диффеоморфизмы, то и /[X ••• X fm — диффеоморфизм.
Канонический гомеоморфизм Х\У( Х2-*- Х2У\ Х\ является
f'-диффеоморфизмом для любых ^'-пространств Хи Х2 с г^ 1,
одно из которых не имеет края. Канонические гомеоморфизмы
(X, X • • • X *„-,) X Хт -» X, X ¦ • • X Хт и X, Х\Хг Х...ХХт)-+
Х\Х ¦ • • X Хт являются ^"-диффеоморфизмами для любых
^"-пространств Хи ..., Хт с г>1, из которых не более чем
одно имеет край.
Подпространства
11. Подмножество А я-мерного ^'-пространства I с г^1
называется его k-мерным подпространством, если каждая точка
из А покрывается такой картой <р пространства X, что пара
Aтф, ф (А П supp ф)) совпадает с одной, из пар (R", R ), (Rn, R_),
(R-, R-). Очевидно, что при fe>0 это условие эквивалентно
условию: каждая точка из А покрывается такой картой ф про-
пространства X, что ф(Л Пзиррф) = 1тфП R* или 1тфГ^--
' Рассмотрим для А-мерного подпространства А «-мерного
^"¦-пространства'X отображения аЬф: ЛПзиррф-^-ф(ЛПзиррф),
отвечающие всевозможным картам ф пространства X с ф(-4П
suppф) = ImфПR* или ГШфПР-- Каждое такое отображение
§ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 145
представляет собой fe-мерную карту в А, вместе же они со-
составляют ^-мерный *<Р'-атлас множества А. Определяемая этим
атласом ^""-структура делает А fe-мерным ^"-пространством.
Топология этого ^'-пространства совпадает, очевидно, *с отно-
относительной топологией.
При расширении ^'-структуры пространства до ^-струк-
туры с q~^\ подпространства остаются подпространствами.
Подпространства пространства <&ЧХ называются ^-подпро-
^-подпространствами исходного ^-пространства X.
Разность между размерностью пространства и размерностью
подпространства называется коразмерностью последнего.
Очевидными подпространствами ^'-пространства (с г^1)
являются его открытые подмножества, в частности, его внут-
внутренняя часть и его компоненты. Предостережение: край ^""-про-
^""-пространства, если он не пуст, не является подпространством.
Ясно, что если подпространство А ^'-пространства X имеет
коразмерность 0, то- int A — Int А П intX.
Подпространство "^'-пространства называется правильным,
если оно замкнуто как подмножество и его край содержится
в крае пространства. Заметим, что правильное подпространство
коразмерности 0 всегда составлено из целых компонент про-
пространства.
12. Определение подпространства, данное в 11, неявно со-
содержит в себе употребительный способ задания подпространств
уравнениями и неравенствами. Именно, согласно второму ва-
варианту указанного определения, подмножество А «-мерного
¦^'-пространства cr^l в том и только том случае является его
подпространством положительной размерности k, если у каждой
точки из А есть окрестность U с координатами фь ..., ор„,
в которой пересечение А П U определяется уравнениями qpfe+I (x) =
О, ..., ф„(*) = 0 или уравнениями <pk+l(x) = 0, ..., q>n(x) = 0 и
неравенством cpi(je)s^O.
Очевидное неудобство этой формулировки, рассматриваемой
как способ задания подпространств, состоит в том, что она за-
заранее предполагает функции фь ..., ф„ локальными координа-
координатами. Следующее применение теоремы о неявных функциях
делает ее более эффективной.
Условимся называть вещественные функции f\, ..., fm
класса ®", определенные в некоторой окрестности Uo точки хй
^'-пространства X с г^1, независимыми в точке х0, если
для некоторой карты ф пространства X, покрывающей х0,
функции §¦), ..., gm: ф (U0 Г) supp ф) -»• R, определяемые фор-
формулой gt(y)= fi(y~l (у)), имеют в точке ф(*0) линейно не-
независимые градиенты. Из теоремы о неявных функциях следует,
что: -(i) если ^'-функции /ь ..., fm независимы во внутренней
точке хй ^"-пространства X, то они включаются в окрестности
146 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ. 3
точки х0 в систему координат; (И) если ^'-функции fu ..., fm
независимы в краевой точке х0 ^""-пространства X и функция ft
отрицательна во внутренних точках и равна нулю в краевых
точках* то функции fb ..., fm включаются в окрестности
точки х0 в систему координат с первой координатой fj. Сопо-
Сопоставляя это с предыдущим координатным описанием подпро-
подпространства ^"-пространства, мы видим, что подмножество А
/г-мерного ^"-пространства X является его подпространством
поло'жи/гельной размерности k, если: (i) каждая точка xQ мно-
множества А, внутренняя для X, обладает окрестностью U,
в которой пересечение А Л U определяется уравнениями щ+1(х) =
О, ..., ф„ (х) = О, где ф&+1, . . ., ф„ — некоторые ^"-функции, не-
независимые в точке х0, или уравнениями <$k+\ М — 0> •••,
Ф„(*) = 0 и неравенством фДхХО, где срь _фй+ь ..., ф„ —не-
—некоторые ^""-функции, независимые в точке хй; (ii) каждая точка х0
множества А, краевая для X, обладает окрестностью U, в кото-
которой пересечение int Xf\U определяется неравенством ф] {х) < 0,
пересечение дХ Л U—уравнением ф] (л:) = 0, а пересечение А П U —
уравнениями <pk+\{x) = 0, ..., ф„(л:) = 0, где фь щ+1, ..., ф„—
некоторые ^'-функции, независимые в точке х0.
13. Из определения подпространства очевидным образом сле-
следует, что внутренняя часть int А подпространства А ^'-про-
^'-пространства X содержится во внутренней части intZ простран-
пространства X и что пересеченил dAf\mtX и dAfldX открыты в дА,
т. е. состоят из целых компонент края дА. Ясно также, что
int Л есть подпространство каждого из пространств X, intZ и
что dA(]intX есть по'дпространство пространства X. В част-
частности, если А — правильное подпространство пространства X,
то дА — А[\дХ и int Л есть правильное подпространство про-
пространства intZ, а дА — правильное подпространство простран-
пространства дХ.
Включение подпространства ^'-пространства X в X есть,
очевидно, ^"-отображение. Сокращение А-+В ^'-отображения
X->Y, где Л—подпространство пространства X, а В — под-
подпространство пространства Y, есть ^'-отображение.
Если Аи ..., As — подпространства ^"-пространств Х\, ..., Xs,
причем не более чем одно из пространств Х\, ¦ ¦ ., Xs имеет край
и не более чем одно из пространств Аь ..., As имеет край, то
-^i X • • • X As есть подпространство пространства Х\ X • • • X Xs,
правильное, если Аи ..., As правильны. Например, слои произ-
произведения Хх X • • • X Xs являются его правильными подпростран-
подпространствами.
Из описания подпространств, данного в 12, следует, что
подпространство подпространства ^"-пространства X является
подпространством пространства X; в частности, правильное
подпространство правильного подпространства ^'-простран-
f J] . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ • 147
ства X является правильным подпространством пространства X.
Из этого же описания подпространств следует, что правильное
подпространство ^'-пространства X, лежащее в правильном
подпространстве А пространства X, является правильным под-
подпространством пространства А.
W-w ногообразия
14. ^""-пространство называется ^-многообразием или много-
многообразием класса с&', если оно является топологическим много-
многообразием, т. е. хаусдорфово и обладает счетной базой. Много-
Многообразие класса W0 есть не что иное, как топологическое
многообразие; см. 5. Многообразия классов '&"' с г^з 1 назы-
называются гладкими, а также дифференциальными. Многообразия
класса <&а называются аналитическими.
Поскольку ^'-структура определяется своим атласом, пред-
представляют интерес свойства атласа ^'-пространства, гарантирую-
гарантирующие хаусдорфовость и существование счетной базы. Мы огра-
ограничимся двумя очевидными формулировками: если каждая пара
точек пространства покрывается картой атласа или двумя не-
неперекрывающимися картами атласа, то пространство хаусдор-
хаусдорфово; если атлас счетен, то пространство обладает счетной
базой.
Хаусдорфовость и существование счетной базы не нуждаются
в проверке, если дифференциальная структура вводится в мно-
множестве, которое уже является топологическим многообразием,
причем вводится таким образом, что определяемая ею топо-
топология совпадает с имеющейся. Если дифференциальная струк-
структура вводится посредством атласа {фа}, то для совпадения
указанных топологий необходимо и достаточно, чтобы множества
suppqpa были открытыми, а отображения ора были гомеоморфиз-
гомеоморфизмами; см. 5.
Гладкое многообразие называется замкнутым, если оно ком-
компактно и не имеет края; ср. 1.10. Предостережение: пока ра-
равенство дХ = дС^°Х) не доказано (см. 6), не следует смешивать
замкнутость гладкого многообразия X с замкнутостью топо-
топологического многообразия W°X.
15. Сопоставляя сказанное в 7 и 11 с соответствующими
свойствами хаусдорфовых пространств, пространств со счетной
базой и компактных пространств, мы видим, что: открытое под-
подмножество я-мерного ^'-многообразия есть /г-мерное ^"-много-
^"-многообразие; внутренняя часть /г-мерного ^'-многообразия есть
я-мерное ^'-многообразие без края; край /г-мерного ^-много-
^-многообразия есть (п—1)-мерное ^'-многообразие без края; край
компактного ^'-многообразия есть замкнутое ^'-многообразие;
произведение ^'-многообразий размерностей щ, ..., «,, среди
148 ¦ ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
которых все или все, кроме одного, не имеют края, есть ^-много-
^-многообразие размерности п{ + ... + ns; подпространство ^-много-
^-многообразия есть ^-многообразие.
Подпространства гладкого многообразия называются его под-
подмногообразиями, правильные подпространства — правильными
подмногообразиями.
16. Фундаментальными примерами «-мерных ^-многообразий
с г>1 служат опять таки пространства Rn и R1 (см. 4). Не-
Неограниченный, запас дальнейших примеров ^-многообразий
доставляют подмногообразия этих -пространств. Простейшими
являются подмногообразия пространства Rn, задаваемые единой
системой уравнений q>k+i{x) — 0, ..., ф„(д:)=0, где щ+и ..., ф„—
функции класса V, определенные на открытом подмножестве
пространства R" и имеющие на множестве своих общих нулей
линейно независимые градиенты; к этой системе может быть
еще присоединено неравенство фД^ХО, где ф[ — функция
класса <&г, определенная в окрестности указанного множества
общих нулей и, имеющая в тех точках этого множества, в кото-,
рых она обращается в нуль, градиент, линейно независимый
от градиентов функций щ+х, ..., ф„. Например, сфера S"
определяется в стандартных координатах уравнением х* + •¦•
-+- х2п — 1=0, а шар Dn — неравенством х\ + ... + х\ — 1^0;
это позволяет утверждать, что они являются подмногообразиями
пространства к" и, в частности, делает их ^"-многообразиями.
Ясно, что R' с К« и S' с k < п — правильные подмного-
подмногообразия многообразия R", a Rl и D ck^n — его неправильные
подмногообразия, и что Rl с k^.n есть правильное подмного-
подмногообразие многообразия R", Sk с k^n — правильное подмного-
подмногообразие многообразия Sn и Dk с k^.n — правильное подмного-
подмногообразие многообразия Dn.
17. В заключение заметим, что всякое вещественное векторное
пространство размерности п обладает при любом г (О^г^а)
естественной ^"'-структурой, делающей его /г-мерным ^-много-
^-многообразием; эта структура определяется линейными картами, т. е.
линейными отображениями на Rra. '
3. Ориентации
/. Мы будем обозначать через CatlZ атлас ^^многообра-
^^многообразия X, составленный из всех его карт со связными носителями.
Если ф, ар —две карты гладкого многообразия X, то через
7(ф, а|з) будет обозначаться якобиан отображения 1ос(ф, )i&
т. е. сквозного отображения
Ф (supp ф П supp of)а Ф > supp фЛ supp if —-»- Ф (sup"p ф A supp
§ 11 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 149
Ориентацией гладкого многообразия X называется функция
Catl X —> S°, значения которой на любых двух перекрываю-
перекрывающихся картах ф, \р из Catl X получаются друг из друга умно-
умножением на [sign /(ф, а|з)] (у), где у — произвольная точка из
<p(supp фП suppi|>) [функция sign/^, г|>) должна быть, таким
образом, постоянной на ф^ирр ф П SUPP 'Ф)]- Гладкое много-
многообразие, наделенное ориентацией, называется ориентированным.
Гладкое многообразие, обладающее ориентацией, называется
ориентируемым.
Ясно, что ориентация Catl X -* S° определяется своими зна-
значениями на картах произвольно взятого податласа атласа Catl X
и что всякая функция, отображающая податлас атласа Catl X
в S° с соблюдением предыдущего условия согласованности
[значения на картах ф, г|э получаются друг из друга умножением
на [sign 7(ф, Щ{у), если у е ф(эирр фП suppap)], продолжается
до ориентации Catl X~>S°.
При расширении ^"'-структуры ^'-многообразия X до <вч-
структуры с q < г атлас Catl X делается податласом атласа
Catl^X. Если <7^1, то это устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между ориентациями многообразий X и fflX.
2. Каждой ориентации ©: CatlZ->S° отвечает противо-
противоположная ориентация —©. Таким образом, непустое ориенти-
ориентируемое многообразие имеет по крайней мере две ориентации.
Каковы бы ни были две ориентации многообразия X, мно-
множество, покрытое картами, на которых они совпадают, и мно-
множество, покрытое картами, на которых они не совпадают, от-
открыты, покрывают X и не пересекаются, т. е. состоят из целых
компонент многообразия X. Следовательно, ориентация связного
многообразия определяется своим значением на одной карте,
и связное гладкое ориентируемое многообразие имеет ровно
две ориентации, а s-компонентное гладкое ориентируемое много-
многообразие имеет 2s ориентации. '
Стандартный способ задания ориентации связного гладкого
многообразия состоит в указании карты, на которой она поло-
положительна. Например, R" обладает естественной ориентацией,
положительной на карте idR".
3. Так как у точки нульмерного многообразия X есть только
одна покрывающая ее карта из CatlZ, то нульмерные много-
многообразия ориентируемы и, более того, обладают естественной
ориентацией, тождественно равной +1. Как выяснится в даль-
дальнейшем (см. 5.3.1, 5.6.3.4), одномерные гладкие многообразия
также ориентируемы, многообразие же размерности ^2 может
быть как ориентируемым, так и неориентируемым.
Эффективные достаточные условия ориентируемости гладкого
многообразия произвольной размерности будут указаны в главе 5
(см. п. 5.6.3). Наиболее грубым из них является односвязность.
150 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
4. Если А— открытое подмножество гладкого многообра-
многообразия X, то Catl A cz Catl X, вследствие чего всякая ориентация
многообразия X сужается до ориентации многообразия А;
в частности, из ориентируемости X следует ориентируемость А.
Если при этом А пересекается с каждой компонентой много-
многообразия X, то ориентация многообразия X определяется инду-
индуцированной ориентацией многообразия А.
В случае А = т\.Х можно утверждать больше: не только
всякая ориентация многообразия X сужается до ориентации
многообразия intZ и определяется последней, но и всякая
ориентация многообразия intZ расширяется до ориентации
многообразия X. Действительно, так как из связности откры-
открытого подмножества U многообразия X следует связность int(/ =
U[\intX (см. 2.6 и 2.7), то сокращение аЬф: эиррф f) int Z->•
ф(suppфnintZ) любой карты ф из Catl X принадлежит Catl(intZ),
что позволяет продолжить ориентацию ©: Catl (int X)->S° до
ориентации Catl Z->S° формулой фь-^ш(аЬф). Таким обра-
образом, сопоставление с ориентацией Catl Z—>S° ее сужения
Catl (intZ) ->5° устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между ориентациями гладкого многообразия X и ориен-
тациями его внутренней части intZ. В частности, из ориенти-
ориентируемости intZ следует ориентируемость X.
Согласно 2.7, каждой карте ф гладкого многообразия X
отвечает карта аЬф: зиррфП^-»фEиррфП^) его края дХ,
и ясно, что каждая карта из Catl дХ представляется как ab ф
с (peCatlX и что формула аЬф>—5»со(ф) корректно определяет
по каждой ориентации ©: Catl X -> SQ многообразия X некото-
некоторую ориентацию Catl 3X-+S0 его края дХ; в частности, из
ориентируемости X следует ориентируемость дХ. Если все ком-
компоненты многообразия X имеют край, то ориентация многообра-
многообразия X определяется индуцированной ориентацией многообра-
многообразия дХ.
Из подмногообразий ориентированного гладкого 'многообра-
'многообразия X только подмногообразия коразмерности 0 получают от X
определенную ориентацию. Последняя уже была описана для
открытых подмножеств многообразия X; индуцированная ориен-
ориентация произвольного подмногообразия А коразмерности 0 опре-
определяется ориентацией его внутренней части int Л, которая от-
открыта в Z. В частности, из ориентируемости Z следует ориен-
ориентируемость А. Если А пересекается со всеми компонентами
многообразия X, то ориентация многообразия X определяется
индуцированной ориентацией многообразия А.
Поскольку многообразие R" обладает естественной ориента-
ориентацией, получают определенную ориентацию и его w-мерные лод-
многообразия. В частности, шар Dn обладает естественной
ориентацией, и вместе с ним оказывается ориентированным его
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ J51
край S". Предостережение: ориентация сферы S°, получаю-
получающаяся из этого определения при я—1, отличается от канони-
канонической ориентации, которой S0 обладает как многообразие раз-
размерности 0 (см. 3). .
Ориентации и диффеоморфизмы
5. Всякий диффеоморфизм f: X~>Y устанавливает взаимно
однозначное соответствие между ориентациями многообразий
X и Y. Если оба многообразия ориентированы и / переводит
первую ориентацию во вторую (в ориентацию, противоположную
второй), то говорят, что / сохраняет (обращает) ориентацию.
Узнать, сохраняет ли диффеоморфизм /: X—>Y ориентацию,
можно по его локальным представлениям, а если X и Y связны—
по одному локальному представлению. Именно, пусть ах, ©г —
ориентации этих связных многообразий, ф —карта из Catl X,
¦ф — карта из Catl У и х — точка из supp ф П /~'(suppij)); ясно,
что / сохраняет ориентацию, если знак якобиана отображения
1ос(ф, ф)/ в точке ф(л:) совпадает со знаком произведения
&х (ф) (ду (а[)), и обращает ориентацию в противном случае.
6. Специальный интерес представляет случай, когда X совпа-
совпадает с У и связно. Очевидно, в этом случае диффеоморфизм,
сохраняющий (обращающий) ориентацию при некотором ее вы-
выборе, сохраняет (обращает) ориентацию и при всяком другом
ее выборе; таким образом, в этом случае можно говорить о со-
сохранении (обращении) ориентации, не фиксируя ориентации.
В частности, всякий (авто)диффеоморфизм связного ориенти-
ориентируемого гладкого многообразия либо сохраняет ориентацию,
либо обращает ее.
В качестве примера рассмотрим невырожденное линейное
преобразование /: Rra—>-R". Ясно, что оно является диффеомор-
диффеоморфизмом и что оно сохраняет ориентацию, если det/>0, и
обращает ориентацию, если det / < 0. Если / — ортогональное
преобразование, то определены сокращения ab/: Dn-+Dn и
ab f: Sn~l -> Sn~l; это — диффеоморфизмы, сохраняющие ориента-
ориентацию, если det / = 1, и обращающие ориентацию, если det / =—1
(сфера S0 считается ориентированной как 3D1). Если f опре-
определяется формулой f{x) — — х, то det /=(— 1)"; этот диффео-
диффеоморфизм, и с ним антиподальное отображение ab f: Sn~[ ->Sra~',
сохраняет ориентацию при четном п и обращает ориентацию
при нечетном п.
Ориентации и перемножение многообразий
7. Согласно. 2.7, произведение qpj X • • • X <Ps карт фь . . ., ф5
гладких многообразий Х\, ..., Xs размерностей щ, ..., ns без
края может рассматриваться, .после канонического отождествле-
152 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
ния R"'X ••• Х^ = ^|+'"+ [определяемого формулой
(\XIU • • • > ХЫ1)> • • •> \xslt • • • > Xsns)) ' * (-*lli ¦ • •> xint> • • •» xsU • • ¦ >
•^s» )]» как карта произведения Xl X • • • X Xs. Определим для
ориентации. соь ..., cos многообразий Хи ..., Xs отображе-
отображение совокупности карт Ф] X • • -X Ф$ с q'lSGatlA'i, ..., ф^еСаМ Xs
в S0 формулой ф, X ¦ • • X Фа1—^«i (фО • • • «Лфз)- Ясно, что эта
совокупность является податласом атласа Catl(Zi X ••• X^s)
и что это отображение удовлетворяет условию согласованности
значений, выставленному в 1; следовательно, оно продолжается
до ориентации многообразия Х\ X ••¦ X Xs. Последняя назы-
называется произведением ориентации соь ..., cos. Она определяется
также для случая, когда одно из многообразий Хи ..., Xs
имеет край, а именно, индуцируется в этом случае ориентацией
своей внутренней части intZ(X ¦'• X intХя. .Таким образом,
произведение ориентированных гладких многообразий (из кото-
которых не более чем одно имеет край) ориентировано, и произве-
произведение ориентируемых гладких многообразий ориентируемо.
Заметим, что и из ориентируемости произведениях^-. .X-^s
следует ориентируемость сомножителей Хь ..., Xs. Доказа-
Доказательство: если со — ориентация произведения и фь ..., ф;-ь
Ф/+ь ..., <Ps — как-либо фиксированные карты из Catl (intZj), ...,
Catl (int Xt-i), Catl (int Xi+l), ..., Catl (int Xs), то функция
Catl (int Xi)-+S°, определяемая формулой ф-->ш(ф!Х • • -Хфг-iX
фХфг+iX ••• X 4>s), является ориентацией многообразия
MXi.
8. Если Х\, Х2 — ориентированные гладкие многообразия
размерностей щ, п2, одно из которых не имеет края, то кано-
канонический диффеоморфизм Х\ X Х2-*Х2Х Х\ сохраняет ориен-
ориентацию при четном П\п2 и обращает при нечетном щп2.
Доказательство. Пусть ф) — карта из Catl (int X\) с
1тф1=К"' и ф2 —карта из Catl (int Х2) с 1тф2 = Я"г. Ясно, что
карта ф] X Ф2 принадлежит Catl (int (Xi X Х2)), а карта Ф2 X Ф1
принадлежит Catl (int {X2 X -^i)), и что отвечающее этим картам
локальное представление R"+^.|Rrai+ra2 канонического диффео-
диффеоморфизма Xi X Х2 -*¦ Х2 X -^i определяется формулой (хь ...,
xnl+n,)i—^{xn,+], •¦-, Хп,.+п°, х\, •••> хп). Следовательно, якобиан
этого локального представления равен (—1)""!.
9. Если Xi, ..., Xs — ориентированные гладкие многообразия
размерностей щ, ..., ns, из которых только одно, а именно Хи
имеет край, то каноническая ориентация произведения Х\ X ...
X Xt-i X дХ{ X Xi + l X . • • X Xs и ориентация, которую оно
получает как д{Х{У. ... X Xs), различаются множителем
+ +
§ I] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 153
Доказательство. Ясно, что указанные ориентации со-
совпадают, если / = К Случай i > 1 сводится к случаю /= 1 диф-
диффеоморфизмами
-^1 X • • • X Xs~*%i X Xi X • • • X Xi-i X %i+i X • • -X Xs,
х,х ... x^-iXa^x^+iX ... xxs-+
dXiXXtX ... xxt-.xxc^x ... xxs,
первый из которых определяется как произведение канонического
диффеоморфизма (X, X ... X X,--i) X Xt -> Xt X (Xt X.. • X Xt-{)
на id(Zi+1X •¦• X Xs), а второй — как произведение канони-
канонического диффеоморфизма {Хг X ¦ ¦ • X Xt-i) X dXi->dXt X {Xi X
... XXt-i) на id(Z;+1X ••• XXS). Множитель (-l)ni+---+"«-i
возникает вследствие того, что первый диффеоморфизм сохра-
сохраняет (обращает) ориентацию, если произведение («i + ...+«(-i)n/
четно (нечетно), а второй — если произведение {п{ + .. . +
щ-1){щ — 1) четно (нечетно); см. 8.
Ориентации в векторном случае
10. Поскольку вещественные векторные пространства являются
гладкими многообразиями (см. 2.17), они охватываются опреде-
определением ориентации, данным в 1. С другой стороны, имеется
широко известное чисто векторное определение ориентации
вещественного векторного пространства, согласно которому
ориентация есть отображение множества всех базисов простран-
пространства в S° такое, что его значения на двух базисах совпадают
тогда и только тогда, когда определитель матрицы перехода
от одного базиса к другому положителен. Это векторное опре-
определение очевидным образом согласуется с определением, дан-
данным в 1, и часто бывает более удобным.
В частности, оно делает очевидным следующее замечание.
Пусть / — линейное отображение вещественного векторного
пространства V на другое вещественное векторное простран-
пространство. Если мы фиксируем в V подпространство V, изоморфно
отображающееся посредством f на Im f, то V представится
как прямая сумма пространств Imf и Kerf, вследствие чего
ориентация любых двух из трех пространств V, Im/, Ker/
будет определять ориентацию третьего. Наше замечание со-
состоит в том, что эта связь между ориентациями пространств V,
Imf, Kerf не зависит от выбора V и, таким образом, опреде-
определяется отображением f.
4. Многообразие касательных векторов
/. Пусть X — многообразие класса Я? с г^1.и размер-
размерности п. Мы будем обозначать через AtlxX, где х — точка
из X, часть полного атласа Atl X, составленную из карт, по-
154 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
крывающих л;,. Если Ф, ф — карты из Atl^ X, то в точке ф (ж)
определен дифференциал диффеоморфизма
1ос (ф, ф) id: ф (supp ф П supp ф) -> ф (supp ф f) supp ф)
[линейное отображение R"->R", матрицей которого служит
якобиева матрица отображения 1ос(ф, \|>)id в точке q>{x)]. Этот
дифференциал будет обозначаться через dx(q>, г|з).
Рассмотрим вещественное векторное пространство всевоз-
всевозможных отображений множества Atl^Z в R" (с естественными
операциями). Очевидно, отображения v: Atl^ Z-> R", удовле-
удовлетворяющие для любых карт ф, •феАН^Х соотношению v {¦$>) —
^х(Ф> г1')у(ф). составляют подпространство- этого векторного
пространства, т. е. сами образуют вещественное векторное
пространство. Последнее называется касательным к X в точке х
и обозначается через TangxX, а отображения, которые его
составляют, называются касательными векторами на X в
точке х.
Ясно, что касательный вектор определяется своим значением
на произвольно взятой карте из Atlx X и что для любой карты
(jpeAtl^X и любого вектора «eR" существует вектор ueTangx X
с у(ф) = «. Следовательно, "отображение ф^: Tangx X -> Ik",
определяемое по карте q>^AtlxX формулой Ф#(у) = у(ф),
обратимо. Так как это отображение, кроме того, линей-но,
то оно является линейным изоморфизмом, и, в частности,
dim Tang* X = п. Базис пространства TangxZ, в который изо-
изоморфизм фф1 переводит канонический базис ort; ort^ про-
пространства R'1, называется qi-базисом. Координаты вектора v <=
TangxZ относительно ф-базиса совпадают с обычными коор-
координатами вектора у (ф) и называются q>-координат а ми вектора v.
2. Объединение U^-^Tang^Z, т. е. множество всех каса-
касательных векторов на X, обозначается через TangZ. Отображе-
Отображение TangJ->Z, переводящее TangxZ в х, называется проек-
проекцией и обозначается через рг. Таким образом, рг~'(х) —
Tang**.
Множество TangZ обладает естественной топологией, де-
делающей его топологическим многообразием, а при г^2 —
и естественной дифференциальной структурой. Эти структуры
могут быть списаны следующим образом. Определим по карте ф
многообразия X отображение tr^: pr^'(supp ф) -> Im ф X R"
формулой 1пф(у) = (ф о рг (у), Фф(у)). Обычное отождествление
R" X R" = R2", делающее Im ф X R" открытым подмножеством
R9fJ . rr - •'iri
или полупространства к!, позволяет рассма-
рассматривать tnq) как 2п-мерную карту в TangX, и ясно, что
§ I] • ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 155
если 1)з — другая карта многообразия X, то сквозное отобра-
отображение
Ф (supp ф П supp Ф) X R" =
. чч ab(tnqp)-'
tn ф (pr-I (supp ф) П pr^' (supp ф)) >-
рГ-' (supp ф) П РГ-1 (supp -ф) :
tn ij3 (pr-1 (supp ф) П pr-' (supp г!?)) = ^ (supp ф П supp ijj) X R" A)
определяется формулой (а, ы)>—*-Aос(ф, яр) id (a), ^ф-1(а)(ф, i|>)«)
или, что то же, координатной формулой (аь . .., ап; щ, . . ., ип) н-э-
(Ьи ..., bn; vu ..., vn), где
B)
a lu ..., /„ — координатные функции отображения 1ос(ф, -ф) id.
[Di обозначает дифференцирование по г-й координате.] Фор-
Формулы B) показывают, что карты tn<p, tn op ^"'-согласованы
(мы полагаем (F°°~1 =(&>со, Wa~' =^а), и очевидно, что карты
tnqp с ф <= Atl X покрывают TangZ; таким образом, карты {пф
с ф <= Atl X составляют ^"'-атлас множества TangZ. Этот
атлас обладает счетным податласом (так как AtlZ обладает
счетным податласом) и содержит для любых двух векторов
из TangZ покрывающую их карту или покрывающую их пару
непересекающихся карт (так как Atl X содержит для любых
двух точек из X покрывающую их карту или покрывающую
их пару неперекрывающихся карт). Таким образом, он делает
TangZ <S>r~'-многообразием размерности 2п. Последнее назы-
называется тотальным многообразием касательных векторов много-
многообразия X.
Очевидно, проекция TangX->X, включения TangxZ->TangZ
и естественное отображение X —> Tang X, относящее точке х е X
нуль пространства TangxZ, являются ^"'-отображениями.
Формулы B) показывают, что при г^г2 якобиан сквозного
отображения A) в точке (а, и) равен квадрату якобиана ото-
отображения 1ос(ф, -ф) id в точке а. Из этого следует, что при
г ^=2 многообразие TangZ всегда ориентируемо и даже обла-
обладает канонической ориентацией, положительной на картах тпф
Заметим еще,- что для любых двух гладких многообразий
Х\, Х2 с дХ2= 0 и любых точек Xi^Xu ^el2 между про-
пространствами Tangu ^(Xi XX) и Tangx X,©Tangx Xo имеется
156 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ' [ГЛ. 3
естественный векторный изоморфизм и что изоморфизмы, отве-
отвечающие всевозможным парам (xlf x2), составляют ди'ффеомор-
физм между многообразиями ТагщСХ^Х-Хг) и TangZjXTangХ2.
Дифференциал гладкого отображения
3. Пусть f — отображение класса Wr m-мерного 1&>г-мтго-
образия X в «-мерное ^'-многообразие У аг>1. Обозначим
для точки jgIh карт ф е Atl^Z, ф е Atlf<X)F через й?Л/;ф,1|>)
дифференциал отображения 1ос(ф, ty)f в точке ф(л;) [линейное
отображение Rm^-R", матрицей которого служит якобиева
матрица отображения 1ос(ф, ф) / в точке <р(х)]. Если ф', г|/—
любые другие карты из AtUZ, Atlf{X)Y, то dx{f; ф', г|/) =
df(X){^, ty')°dx(f) ф, ^)odx{q>\ ф), из чего следует, в силу
равенств б?х(ф', ф) = Ф#° (<Р#)"', dfix)(^> ?) = Ф* ° %К что
-(^'%y^°dx(f; ф', ^') о ф^ = г)^1 о й?я(f; Ф, ф)оф#, т. е. что линей-
линейное отображение г)? о dx (/; ф, т|)) о ф#: TangxZ->Tangf (X)F не1
зависит от выбора карт ф, г|). Это линейное отображение назы-
называется дифференциалом отображения f в точке х и обозначается
через dxf, а отображение тотального многообразия Tang'Z
в тотальное многообразие Tang Г, совпадающее на Tang^X'
с dxf, называется дифференциалом отображения /-и обозначается
через df. Очевидно, возникающая диаграмма
TangZ Д-Tang Г
X -!+> Y
коммутативна.
Если обозначить координатные функции отображения
1ос(ф, г)?)/ через /,, ..., /„, то локальное представление
1осAпф, tflty)df дифференциала df определится координатной
формулой (аи ..., ат; ии ..., ит)н-*(Ьъ ..., bn; vu .... vn), где
йу = /,(аь ..., ат), 1
« \ / = 1, ..., п.
f/= la Dili (.аи ••¦, ат)щ, J
Таким образом, df принадлежит классу <&*"*. '
Ясно, что d{h°f) — dh°df для всякого гладкого отображе-
отображения h многообразия Y в третье гладкое многообразие и что
df = id (Tang X), если Y = X и f = id X. Ясна также, что
если / — диффеоморфизм, то df есть диффеоморфизм при г ^2
и гомеоморфизм при г = 1.
§ 1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ J57
В с,лучае, когда X есть открытое подмножество простран-
пространства Rm или полупространства R-, a Y — открытое подмноже-
подмножество пространства R" или полупространства R-, в каждой
точке iel, кроме дифференциала dj: Tang^X—^-Tang^ (Я)У,
имеется классический дифференциал отображения f, опреде-
ляемыи как линейное отображение к —>к , матрицей которого
служит якобиева матрица отображения f в точке х. Ясно,
что dxf превращается в этот классический дифференциал при
отождествлении пространства Tang^X с Rm и пространства
Tangf{x)Y с R", осуществляемом линейными изоморфизмами
(id*)#: TangxX->Rm и (idУ)ф: Tangf(X)Y ->Rrt.
4. Если А — подмногообразие или край гладкого многообра-
многообразия X, то дифференциал dxin: Tangx A-^-Tang.* X включения
А -> X, очевидно, является мономорфизмом в каждой точке хеЛ.
Это позволяет отождествить касательные пространства Tangx A
с подпространствами dx in (Tang,, Л) касательных пространств
Tang^Z, a Tang Л —с din (Tang Л).
Если А — подмногообразие пространства R", то к отожде-
отождествлению Tangx Л = dx in (Tangx Л) присоединяется отождествле-
отождествление Tangx R" = R", осуществляемое каноническим линейным
изоморфизмом (idR")#: Tang^R^^-R", так что касательное про-
пространство Tang^ оказывается подпространством простран-
пространства R". Это подпространство нетрудно указать явно, если Л
определяется в окрестности точки х независимыми функциями
фй+ь ••¦> Фя по схеме 2Л2: оно состоит из векторов простран-
пространства R", ортогональныхn—kвекторам grad<Pft+1 (лг), ..., gradq>n(x).
Например, Tang^S" есть подпространство пространства R",
составленное из векторов, ортогональных х.
Векторные поля
5. Векторным полем на гладком многообразии X называется
непрерывное отображение X—>-TangX, относящее каждой точке
многообразия X касательный вектор в -этой точке. Тривиаль-
Тривиальный пример доставляет нулевое векторное поле, значением
которого в каждой точке л:еХ служит нуль пространства
TangxX (ср. 2).
Гладкое многообразие X размерности п и класса <<Р>г+! на-
называется Ф'-параллелизуемым, если существуют такие вектор-
векторные поля fb ..., fn: X-^-TangX класса <ё'г, что векторы
fi(х), .,., fn(x) составляют для каждой точки хе! базис про-
пространства Tang^X Например, пространство R" (рассматривае-
(рассматриваемое как ^-многообразие) ^-параллелизуемо и параллели-
зуется векторными полями, относящими*точке xeR" (id R")-6a-
зис пространства Tang^R".
' 158 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ {ГЛ. 3
^-параллелизуемость называется просто параллелизуемостью.
Как будет показано в главе 4 (см. 4.6.4.3), из параллелизуе-
параллелизуемости компактного '«^''^'-многообразия с л^оо следует его
^-параллелизуемость.
Информация. Из параллелизуемости <<?>г+1-многообра-
зия следует его ^-параллелизуемость и в некомпактном
случае, а также при г— а.
6. Если гладкое многообразие X параллелизуется вектор-
векторными полями /ь ..., /„: X~->TangX класса W, то формула
{х,{уъ ..., yn))*-*yji(x)+ ¦¦¦ +yJn(x) определяет ^-диффео-
^-диффеоморфизм произведения X X R" на TangX; действительно, фор-
формула уь--Мрг(у), (г/ь ..., уп)), где уи ..., уп — координаты
вектора о относительно базиса f\(pr(v)), ..., fn(pv(v)) про-
пространства Tangpr(a)Z, определяет обратное отображение
TangZ->-X X R", и ясно, что оба отображения принадлежат
классу <S>r. Таким образом, тотальное многообразие касательных
векторов Wг-параллелизуемого п-мерного гладкого многообразия X
W-диффеоморфно произведению X X R"-
Из этого замечания, в частности, следует, что ^'-паралле-
лизуемое гладкое многообразие ориентируемо. Действительно,
многообразие TangZ ориентируемо для всякого ^-многообра-
^-многообразия I сг>2 (см. 2), а из ориентируемости произведения X X R"
следует ориентируемость X (см. 3.7). ч
7 (Примеры). При нечетном п на сфере S" существуют век-
векторные поля, нигде не обращающиеся в нуль. Таково, например,
векторное поле, относящее точке х = {хи ..., ^tl)GS° вектор
(Уъ---,Уп+1) пространства R"+1 с y2k-l = — x2k, y2k=x2k-1
(k~l,..., (я+1)/2), рассматриваемый как вектор из Tangx5"
(см. 4). "
Заметим, что то же поле можно определить более компакт-
компактной комплексной формулой x^-^xi, рассматривая Rn+l как
С(/г+1)/2. Если п.+ 1 делится на 4, то R"+1 можно рассматривать
как H("+1)^, и формулы х*~^хог\2, х*—s*?ort3, х*—5»Arort4 (ort2,
ort3, ort4 рассматриваются как мнимые кватернионные единицы)
определяют на S" три векторных поля, линейно независимых
в каждой точке. Если п + 1 делится на 8, то R"+l можно рас-
рассматривать как Са("+0/8, и формулы л;i—^л:ort2, ..., xi—^xoTt^
(ort2, . . ., ort8 рассматриваются как мнимые единицы Кэли) опре-
определяют на S" семь векторных полей, линейно независимых в ка-
каждой точке. Поскольку все перечисленные поля аналитичны,
эта конструкция, в частности, обнаруживает, что сферы S1, S3
и S7 ^-параллелизуемы.
Информация. При пфО, 1, 3, 7 сфера Sn непараллели-
зуема. Доказательство имеется в [1] и в [2].
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 159
5. Вложения, погружения и субмерсии
1. Отображение / гладкого многообразия X в гладкое мно-
многообразие Y называется ^-вложением, если f(X) есть ^-под-
^-подмногообразие многообразия Y и abf: X^-f{X) есть <<РЛ-диффео-
<<РЛ-диффеоморфизм. Примером может служить включение подмногообразия
^''-многообразия в это многообразие. Поскольку всякое ото-
отображение /: X-+Y представляется как композиция своего со-
сокращения ab/: X-^-f(X) и включения f(X)->Y, ^-вложение
действительно принадлежит классу 9>?г как отображение.
ЧР'-вложения называются иначе дифференциальными вложе-
вложениями. Как это следует из доказываемой ниже теоремы 3, диф-
дифференциальное вложение, принадлежащее классу W, является
^-вложением. Ясно также, что дифференциальные вложения
являются топологическими вложениями. Последние называют
иногда ^-вложениями.
Дифференциальное вложение /: X—>Y называется правиль-
правильным, если f(X) есть правильное подмногообразие многообра-
многообразия Y. Примером может служить включение правильного под-
подмногообразия гладкого многообразия в это многообразие. Ясно,
что если dimX = dimF, Y связно, а X непусто, то всякое пра-
правильное дифференциальное вложение X—>Y является диффео-
диффеоморфизмом.
Очевидно, для всякого ^-вложения /: X—>-F и любой
точки JteJ существуют такие карты (peAtlj^rI, o|>eAtlf {K)9!?rY,
что 1ос(ф, ij))f совпадает с одним из включений Rm->R", R™-*-R",
R!!->R1, где m = dimX, n = dimF, причем вторая возможность
исключается, если / правильно.
Погружения
2. Гладкое отображение f гладкого многообразия X в глад-
гладкое многообразие Y называется погружением или иммерсией,
если: (i) dj: Tang^Z -*rTangf{x) У есть мономорфизм для любой
точки .iel; (ii) (df)'1 (Tang dY) a Tang дХ.
Заметим, что из условия (i) следует неравенство dimZ^dimY,
а из условия (ii) — включение f (int X) с: int Y, и что условие (ii)
выполняется автоматически, если Y не имеет края.
Ясно, что композиция двух погружений является погруже-
погружением.
Примерами погружений могут служить дифференциальные
вложения.
3. Если f: X ->У — погружение класса W, то каждая точка
многообразия X обладает окрестностью, на которой f является
W-вложением.
160 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка много-
многообразия X; положим dimX = m, dim У — п, фиксируем какие-
нибудь карты ф е Atl^X, ф eAtl/^ Y и обозначим через 1и ...,/„
координатные функции отображения 1ос(ф, а|з)/. В силу усло-
условия 2(i), ранг якобиевой матрицы отображения 1ос(ф, ф)/, вы-
вычисленной в точке ф(.Ко), равен т, а условие 2(ii) позволяет
считать отличным от нуля минор М этой матрицы, составлен-
составленный из первых т строк. [Если f (xo)^intY, то условие 2 (И) не
нужно/ неравенства М=?0 можно добиться, перенумеровывая
локальные координаты фь ..., ф„, отвечающие карте ф, т. е.
переставляя строки матрицы. Если f(xo)^dY, то из 2 (и) сле-
следует, что все элементы первой строки матрицы, начиная со вто-
второго, равны нулю; это позволяет добиться неравенства МфО
перенумерацией координат ф2, ..., ф„-] Из теоремы о неявных
функциях следует, что существуют такая окрестность W точки
M>i(/(*о))> • • •, Фт(/(*о))) в Rm и такое ^-вложение h: W—>1тф,
что при i = Г, ..., т
МЫ/(*о)), .-., Ф
к {hi (г/ь ..., ут), ..., hm (г/,, . .., ут)) = г/,- [(г/,, ..., г/т) е 1Г],
где Аь ..., /гт — координатные функции отображения h. Ясно,
что: N — <p~l(h(W)) есть окрестность точки х0; f(N) определяется
в г))""' (У X К"") уравнениями ф, — I, (/г, (ф,, ..., ф„), ...,
hm(tyi> • • •> Фот)) —0 и, возможно, неравенством hi{^u . .., г]5т)^0
и является, вследствие этого, ^-подмногообразием многообра-
многообразия Y; сквозное отображение
в котором вторая стрелка обозначает сокращение ортогональной
проекции R"->R'n, принадлежит" классу <S'r и обратно отобра-
отображению ab/: N—>f(N). Таким образом, f \N есть Фг-вложение.
4 (Следствие). Если погружение класса W является тополо-
топологическим вложением, то оно является Я?т-вложением. В частности,
взаимно однозначное Ч?т-погружение компактного многообразия
является ^-вложением.
5. Пусть f: X ->У — гладкое отображение с {df)~l (Tang dY) cz
Tang (ЭХ и А — компактное подмножество многообразия X. Если
f |А взаимно однозначно и в точках х <= А дифференциал dxf не
вырождается, то на некоторой окрестности множества А отобра-
отображение f является дифференциальным вложением; в частности,
если в предыдущих условиях dim X = dim У и f(dX)czdY, то f
диффеоморфно отображает некоторую окрестность множества А
на некоторую окрестность множества f{A).
§ I] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 161
Доказательство. Фиксируем для каждой точки х е Л
окрестность Ux, на которой / является ^'-вложением (см. 3),
и покроем Л конечным числом таких окрестностей, скажем,
окрестностями UX{, ..., UXs. Поскольку множество Y X Y \ diagF
открыто в Y X.Y (см. 1.2.2.4), его /Прообраз W при отобра-
отображении /X/: XX,X->YXY также открыт, из взаимной же
однозначности отображения f на А следует, что 'множество
W U [и*=1 (Ux. X Ux{)\ содержит множество А X Л и, таким обра-
образом, является его окрестностью. Метризуем X (см. 1.1.12) и по
нему XXX (см. 1.2.2.9) и положим
B = {xf=X\ Dist (Л, х) < Dist {(X XX)\W,AX A)/2}.
Так как В открыто и содержит А (см. 1.1.7.15), то и пересечение
fifl (llj=, ?Лсг) открыто и содержит Л, а так как Л компактно,
то у Л есть окрестность U с компактным замыканием, лежащая
в этом пересечении. Кроме того, В X В с= W, из чего видно,
что / взаимно однозначно на В. Следовательно, /|сш есть то-
топологическое вложение, a f \и — дифференциальное вложение
(см. 4).
Субмерсии
6. Гладкое отображение f гладкого многообразия X в
гладкое многообразие Y называется субмерсией, если (i) dxf:
Tang^X->Tangf (x) Y есть эпиморфизм для любой точки iei;
(ii) dxf (Tangxc5Z) =.Tangf(x)Y для любой точки х едХ П /"' (int Y);
(iii) пересечение дХ П /"' (int Y) состоит из целых компонент
многообразия дХ.
Заметим, что из условия (i) следует неравенство dimX^dimF
и что условия (ii), (iii) выполняются автоматически, если X не
имеет края.
В качестве примеров рассмотрим гладкие вещественные
функции f: X—>R. Как в обычном анализе, точка iel и
соответствующее значение f(x) называются критическими для /,
если dxf = 0. Ясно, что f в том и только том случае является
субмерсией, если ни одна из функций /, / \дХ не имеет крити-
критических .точек.
Дальнейшими примерами субмерсии могут служить проекции
произведения двух гладких многообразий (одно из которых не
имеет края) на сомножители.
7. Отображение f гладкого многообразия X размерности m
й гладкое многообразие Y размерности п в том и только том
случае является субмерсией класса Я?г, если для любой точки
«el существуют такие карты ф е Atl^ЯЗТХ, ф е Atl<8"У
6 В. А, Рохлин, Д. Б. Фукс
162 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
что: f (supp ф) cr supp ф; пара (Im ф, Im ф) совпадает с одной из
трех пар (Rm, Rn), (R_; Rn), (R_, Rl), причем во всех трех слу-
случаях ф {х) = 0 и -ф (f (*)) = О! соответствующее локальное пред-
представление 1ос(ф, г|>)/ может быть описано в первом случае как
проекция произведения R" X Rm~n на первый сомножитель, во
втором случае — как проекция произведения R"l~n X R" на второй
сомножитель и в третьем случае — как проекция произведения
R" X Rm~n на первый сомножитель.
Достаточность этого условия очевидна; докажем его необ-
необходимость. Пусть ф1, ф1 — какие-нибудь карты из Atl* X, Atlf (X) Y
с / (supp ф') = supp ф1 и с ф'(л:) = 0, гр1 (f (л:)) = 0; обозначим
через ф', .. ., ф^ и -г|з{, . . ., г|з^ соответствующие координатные
функции и через /,, ..., /„ — координатные функции отображения
1ос(ф', -ф1) /• Мы будем различать три случая: JC<=intX, f (x) &
intY; x<^.dX,<f{x)<=intY; f(x)edY. Условие 6(i) означает, что
ранг якобиевой матрицы отображения 1ос(ф', ty)f, вычисленной
в точке 0, во всех трех случаях равен п, а условие 6(П) — что
во втором случае этот ранг не понизится, если мы вычеркнем
из матрицы первый столбец. Таким образом, можно считать,
что в первом и третьем случае отличен от нуля минор матрицы,
составленный из первых п столбцов, а во втором случае —
минор, составленный из последних п столбцов. Кроме того,
в третьем случае точка 0 является граничной для 1гпф' в Rm
и функция 1\ обращается в нуль на ф1 (дХ П 1тф1) вблизи этой
точки: первое следует из того, что функция /ь будучи неполо-
неположительной, имеет в точке 0 равное нулю значение и отличный
от нуля градиент, после чего второе следует из 6(iii).
Переход от Карт <р', -фJ K нужным нам картам ф, -ф совер-
совершается через промежуточные карты ф2 eAtlx<?% ф2 е Atlf (Л>У.
В первом и третьем случае ф2 определяется как карта, локаль-
локальными координатами которой служат сужения функций 1± °ф', ...,
^"Ф1, Фп+ь ¦ • •> Фт на достаточно малую окрестность U2 точки х,
а а|з2 — как ab ф1: V2 -> а|з' [V2), где V2 — f {U2). Во втором случае ф2
и 1|з2 определяются так же, только функции /^ф1 4°ф'>
ЧРп+it • • ¦. Ф« заменяются функциями ф|, ..., ф^_„, lx °<р', ...,1п°<р'.
Во всех случаях / (U2) = V2, и ясно, что в первом и третьем
случае отображение 1ос(ф2, а|з2)/ определяется в новых локаль-
локальных координатах ф2, ..., ф^; г|J, ..., \\>1 формулами гр^ = ф|,
..., ¦ф2=ф2, а во втором случае — формулами Ф2 = г1з2п_/г+1,
..., ф| = ty2m. Фиксируем положительное е и определим в U2, V2
множества U, V неравенствами )ф|I < е (t = 1, ..., m), |г|з2| < е,
(/ = 1 /г). Ясно, что при достаточно малом е карты ф, if
$ Ц ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 163
с supp ф = U, supp ф = V и с локальными координатами
- I Г,
«)
обладают всеми требуемыми свойствами.
8 (Следствия). Если f: X-+Y' — субмерсия, то f (intX)cr intY,
Г1(дУ)адХ и отображения abf: intX->intF, abf: f~l(dY)->dY
¦ являются субмерсиями.
Если f: X->Y — субмерсия класса W, то /"' (у) есть пра-
правильное (S" -подмногообразие многообразия X при у е int Y и пра-
правильное ^'-подмногообразие многообразия дХ при у е 0Y.
Субмерсия есть открытое отображение.
Композиция двух субмерсий есть субмерсия.
9. W-отображение f: X —>-У со свойством 6(т) в том и только
¦ том случае является субмерсией, если для любой точки ха^ X
существуют такая окрестность V точки f (x0) и такое ^-отобра-
^-отображение g: V-+X, что f{g(y)) = y при y<=V и g (f (хй)) ¦= х0.
Достаточность этого условия очевидна, необходимость сле-
следует из 7.
10. Пусть f: X^Y — субмерсия класса *8Т с f(X) = Y и h —
отображение многообразия Y в третье гладкое многообразие.
Если композиция h°f принадлежит классу <8"", го h также при-
принадлежит классу W.
Доказательство. В силу 9, для каждой точки много-
многообразия Y можно найти такую окрестность V и такое ^-ото-
^-отображение g: V->X, что f°g = [in: V ->У], и из этого равенства
следует, что h \v = (h о f) о g.
6. Комплексные структуры
/. Напомним, что отображение открытого подмножества
пространства Ст в подмножество пространства С" называется
голоморфным, если его координатные функции голоморфны, и
биголоморфным, если оно обратимо и как оно, так и обратное
отображение голоморфно. В последнем случае, конечно, пг = п;
ср. 2.2.
Если Ст и С" рассматриваются как R2m и R2n, то голоморф-
голоморфные отображения превращаются в ^-отображения, а биголо-
морфные отображения — в ^-диффеоморфизмы. Условиями,
необходимыми и достаточными для того, чтобы гладкое ото-
отображение открытого подмножества пространства R2 в подмно-
подмножество пространства R2" было голоморфным по отношению"
164 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
к комплексным структурам, определяемым в R2m и R2" отожде-
отождествлениями R2m = Cm, R2" = С", являются условия Коши — Ри-
мана, и ясно, что отображение, обратное диффеоморфизму,
удовлетворяющему условиям Коши —Римана, также удовле-
удовлетворяет условиям Коши — Римана. Следовательно, голоморфный
диффеоморфизм есть биголоморфное отображение.
2. Если голоморфное отображение одного подмножества про-
пространства С" в другое имеет в некоторой точке невырожденный
дифференциал, то оно сохраняет это свойство и как ^-отоб-
^-отображение и потому диффеоморфно отображает некоторую
окрестность указанной точки на ее образ. Следовательно, голо-
голоморфное отображение, имеющее в некоторой точке отличный от
нуля якобиан, биголоморфно отображает окрестность этой точки
на ее образ.
Эта формулировка представляет собой точный аналог веще-
вещественной теоремы о локальном обращении гладкого отображе-
отображения, из которой мы ее вывели, и совершенно так же в комплекс-
комплексную область переносится более общая теорема вещественного-
анализа — теорема о неявных функциях. Пусть/ — голоморфное
отображение открытого подмножества А пространства Ст X С"
в С , переводящее точку (z°, w°) e А в 0 и имеющее в этой
точке отличный от нуля якобиан по второму аргументу. Ком-
Комплексная теорема о неявных функциях утверждает, что суще-
существуют такая окрестность U точки 2° в С, такая окрестность
V точки »° в С" и такое голоморфное отображение g: U-+V,
что Vy^VcA и отображение f\uxv переводит в нуль в точно-
точности график отображения g.
3. Линейное преобразование пространства С" является ли-
линейным и как преобразование пространства R2", что относит
каждой комплексной п X «-матрице С некоторую вещественную
2п X 2«-матрицу R. Если С — Л + iB и z — х + iy — разложения
матрицы С и вектора г е С" на вещественную и мнимую части,
то Cz = (Ax — By) + i(Bx + Ay), так что R = [q ~Ва\ Из этой
формулы, в частности, следует, что
det/? = |detC|2;
действительно, если прибавить к первой (блочной) строке ма-
матрицы R вторую, умноженную на i, а затем ко второму столбцу
первый, умноженный на —г, то R превратится в матрицу
ГС 0]
v- Комплексные многообразия
4. Комплексной картой размерности п в множестве X назы-
называется обратимое отображение подмножества множества X на
открытое подмножество пространства С". Комплексные карты ф, ф
§ Ц ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 165
называются согласованными, если множество qp(supp(p(] suppij?)
[supp определяется так же, как в вещественном случае] открыто
в 1тф, множество ty (supp ф П supp if) открыто в Imij) и взаимно
обратные сквозные отображения
ф (supp ф П supp $) ^-> supp ф П supp г|5 —>¦ ф (supp ф П supp ф),
¦ф(эирр ф П supp ¦ф) *¦ supp ф П supp ф >• ф (supp ф П supp г)?)
голоморфны. Из согласованности перекрывающихся карт раз-
размерностей т, п следует, что m = n.
Совокупность комплексных карт называется п-мерным голо-
голоморфным атласом множества X, если эти карты покрывают X,
n-мерны и попарно согласованы. Два голоморфных атласа на-
называются голоморфно эквивалентными, если все их карты по-
попарно согласованы. Совокупность всех «-мерных голоморфных
атласов множества X распадается на непересекающиеся классы
голоморфно эквивалентных голоморфных атласов. Эти классы
называются п-мерными комплексными структурами на X.
5. Комплексная карта размерности п может рассматриваться
как 2д-мерная вещественная карта, т. е. 2«-мерная карта
в смысле 2.3. При этом согласованные комплексные карты
превращаются в ^"-согласованные вещественные карты, голо-
голоморфные атласы — в ^"-атласы и голоморфно эквивалентные
атласы — в ^"-эквивалентные ^-атласы. Таким образом,
«-мерная комплексная структура на множестве X индуцирует
'2«-мерную ^"-структуру на X. Важнейшим является случай,
когда эта ^"-структура делает X многообразием, т. е. когда
определяемая ею топология является хаусдорфовой и имеет
счетную базу. Множество X, наделенное /г-мерной комплексной
структурой с этим свойством, называется комплексным много-
многообразием размерности п.
Полный атлас комплексного многообразия X, т. е. совокуп-
совокупность всех карт всех атласов его комплексной структуры, обо-
обозначается через Atl X.
6. Непрерывное отображение f комплексного многообразия X
в комплексное многообразие Y называется голоморфным, если
все его локальные представления, т. е. отображения ^
/~' (suppi|)))—*¦ ImiJ3, определяемые по картам феА^Х, p
формулой jci—^ф(^(ф-1 (х))), голоморфны. Отображение/: X—>Y
называется биголоморфным, если оно голоморфно и обратимо
и обратное отображение также голоморфно. Комплексные
многообразия, которые можно связать биголоморфным отобра-
отображением, называются биголоморфно эквивалентными.
Если комплексные многообразия рассматриваются как
'^''-многообразия, то голоморфные отображения превращаются
166 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ. 3
в "^"-отображения, а биголоморфные отображения — в ^"-диф-
^"-диффеоморфизмы.
7.- Подмножество А- комплексного многообразия X размер-
размерности га называется его k-мерным подмногообразием, если ка-
каждая точка х^А покрывается такой картой cpeAtlX, что
(p(supp фП А) — 1тфП С*. Построенные по картам феАМХ
карты ab ф". supp ф П А -» Im ф П С* составляют fe-мерный голо-
голоморфный атлас множества А, превращающий А в комплексное
многообразие.
Определение независимости функций, данное в 2.12, имеет
смысл и в комплексном случае, и из теоремы о неявных функ-
функциях следует, что подмножество А комплексного многообразия X
размерности п тогда и только тогда является его ^-мерным
подмногообразием, когда для каждой точки л:оеЛ существуют
такая ее окрестность U в X и такие голоморфные функции
Фй+!, ..., ф„: U—уС, независимые в точке х0, что пересечение
Af\U определяется в U уравнениями фй+1(х) = 0, ..., q>n(x) = O;
ср. 2.12.
Если комплексное многообразие X рассматривается как
¦^-многообразие, то подмногообразия остаются подмногообра-
подмногообразиями, а ^-структура, которую они получают от X, совпадает
с ^-структурой, индуцированной их собственной комплексной
структурой.
Если А — подмногообразие комплексного многообразия X, то
включение А-* X есть голоморфное отображение.
Отображение f комплексного многообразия X в комплексное
многообразие Y называется голоморфным вложением, если
ab f: X->f(X) есть биголоморфное отображение многообразия X
на подмногообразие многообразия Y. Так как в этом случае /
есть композиция биголоморфного отображения X —> f (X) и вклю-
включения f(X) ->¦ Y, то голоморфное вложение является голоморфным
отображением.
8. Если Хи ..., Xs — комплексные многообразия размер-
размерностей пи . .., ns, то произведения q>i X • • • X Ф« карт ф(- е Atl X{
составляют {щ + ... + «^-мерный голоморфный атлас мно-
множества А'! X ¦ ¦ • X Xs, делающий это множество комплексным
многообразием размерности щ-\- ... + ns. Рассматриваемое
как ^-многообразие, последнее совпадает с произведением
многообразий Хь ..., Xs, рассматриваемых как ^-много-
^-многообразия.
9. Определения касательных векторов, касательных вектор-
векторных пространств, тотального многообразия касательных векторов
и дифференциала отображения (см, п. 4) дословно переносятся
на комплексный случай. Пространство Tang^X, касательное
к га-мерному комплексному многообразию X в точке х, есть
.j i] оеновньш понятия 167
«-мерное комплексное векторное пространство, тотальное мно-
многообразие Tang X есть 2д-мерное комплексное многообразие,
проекция TangX->X есть голоморфное отображение. Диффе-
Дифференциал dxf голоморфного отображения f: X->F в точке jel
есть линейное отображение векторного пространства Tangx X
в векторное пространство Tangf^F, дифференциал df — голо-
голоморфное отображение многообразия TangZ в Tang Г.
Касательные пространства Tang^X и тотальное многообра-
многообразие Tang X, рассматриваемые как вещественные векторные про-
пространства и ^-многообразие, совпадают с касательными про-
пространствами и тотальным многообразием касательных векторов
многообразия X, рассматриваемого как ^"-многообразие. Диф-
Дифференциал голоморфного отображения /, рассматриваемый как
^-отображение, совпадает с дифференциалом отображения /,
рассматриваемого как ^-отображение.
10. Первыми примерами комплексных многообразий служат
сами пространства С". Неограниченный запас дальнейших при-
примеров можно получить, определяя системами уравнений под-.
многообразия этих пространств; ср. 2.16. Оказывается, однако,
что этим способом невозможно построить компактное много-
многообразие положительной размерности: всякое компактное подмно-
подмногообразие пространства С" нульмерно.
Чтобы убедиться в этом, достаточно установить, что на
связном компактном многообразии единственными голоморф-
голоморфными функциями являются постоянные. -Последнее нетрудно
вывести из известной теоремы анализа, утверждающей, что
функция, голоморфная на открытом подмножестве комплексной
прямой С и имеющая значение, наибольшее по абсолют-
абсолютной величине, постоянна. Пусть X — связное комплексное
многообразие, f: Х—>С — голоморфная функция и с — значение
этой" функции, наибольшее по абсолютной величине. Если
хе! — такая точка, что f(x) = c, то для любой карты ф из
AtlX с эиррфэл;, lmcp = lntD2dimX и любой точки г/евиррф
комплексные числа г, для которых точка A—г) ф (х) + гф (г/)
лежит в 1тф, составляют открытый круг с центрам 0 и ра-
радиусом, большим 1, а формула zi—э-f (ф~'(A —z) ф (л;) -+- ztp (у)))
определяет на этом круге голоморфную функцию, которая.
имеет в точке 0 наибольшее по абсолютной величине значение.
Поскольку такая функция должна быть постоянной, мы видим,
полагая 2 = 0 и 2=1, что f{y) = c; следовательно, множество
f~ (с) открыто, и.так как оно замкнуто и непусто, то оно со-
совпадает с X.
Примеры компактных комплексных многообразий появятся
в § 2.
168 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Многообразия комплексного происхождения
//. Многообразия класса %?а, возникающие при овещест-
овеществлении комплексных многообразий, как это описано в 5, на-
называются многообразиями комплексного происхождения.
Ясно, что многообразия комплексного происхождения четно-
мерны и не имеют края. Они ориентируемы, и если комплексная
структура известна, то они получают каноническую ориентацию,
именно, ориентацию, положительную на овеществленных связных
картах полного атласа комплексной структуры (что условие
согласованности, выставленное в 3.1, здесь выполнено, следует
из 3). Очевидно также, что произведение многообразий ком-
комплексного происхождения "есть многообразие комплексного про-
происхождения.
7. Упражнения
/. Доказать, что замкнутое гладкое многообразие размер-
размерности п > 0 не погружается в R".
2. Доказать, что уравнение г\ + ... + 22 = 1 определяет
в С" подмногообразие, ^а-диффеоморфное TangS".
3. Доказать, что отображение f: S2->R*, определяемое фор-
формулой f(x:,, х2, х3) = (х\ — х\, xxxv xtx3, x2x3), является погруже-
погружением и что f(S2) есть подмногообразие пространства R4, го-
меоморфное RP2.
4. Доказать, что если одно из чисел щ, ..., ns нечетно и
s> 1,' то многообразие Sn' X ¦•¦ X5"s параллелизуемо.
§ 2. МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА ,^.?
1. Многообразия Штифеля
/. Мы будем обозначать через RV (n, k) или, короче,
V(п, k), где 0<^<«, множество линейных изометрических
отображений пространства Rk в R". Такое отображение опре-
определяется образами векторов ortj, ..., ortfeQ*R*, т. е.- ортонор-
мированным й-репером пространства R". Координаты векторов
этого репера составляют матрицу отображения, содержащую
п строк и k столбцов. Таким образом, V {п, k) можно интер-
интерпретировать как множество ортонормированных fe-реперов про-
пространства R" или как множество п X ^-матриц ||t»s<||, таких, что
1о,|О,/ = *1/ (l<t</<fe)-. v A)
Будем рассматривать матрицу || vsi || как точку простран-
пространства Rnk, занумеровав лексикографически ее элементы. Тогда
§ 2] МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 169
V (п, k) станет подмножеством пространства R"*, определяемым
уравнениями A). Как показывает короткое вычисление, на
этом подмножестве градиенты левых частей уравнений A) от-
отличны от нуля и попарно ортогональны. Таким образом,
V (п, k) есть [nk — k(k+ 1)/2]-мерное ^-подмногообразие про-
пространства Rnk, не имеющее края (см. 1.2.12). Оно называется
многообразием Штифеля.
Очевидно, V (п, 0) есть точка, V {п, 1) —сфера Sn~r, V{n, 2) —
подмногообразие многообразия TangS", составленное из век-
векторов длины 1. •
2. Точками многообразия V (п, п) являются ортогональные
преобразования пространства R" или ортогональные матрицы
порядка п, и обычно его обозначают через О («). Компониро-
вание преобразований (перемножение матриц) делает О (п)
группой. Подгруппа этой группы, составленная из матриц
с определителем +1, обозначается через SO{n). Множества
SO (п) и O(n)\SO(n) открыты в 0{п) и, таким образом,
являются ^-многообразиями. Они ^-диффеоморфны: диффео-
диффеоморфизм устанавливается умножением на любую матрицу
из О (п) \ SO (n). Кроме того, многообразие SO (n) канонически
^-диффеоморфно V {п, п—1):, диффеоморфизм приписывает
к матрице из V (п, п— 1) столбец, превращающий ее в матри-
матрицу из SO(n), т. е. достраивает ортонормированный (п — 1)-
репер пространства Rn до положительного ортонормированного
п-репера.
Заметим, что 50 B)== V B, 1) = S' и что групповая струк-
структура на SO B) совпадает с групповой структурой на окруж-
окружности S1, рассматриваемой как мультипликативная группа
комплексных чисел с абсолютной величиной 1.
3. Включение R"->Rra+? определяет ^-вложение V (п, k) ->
V(n + q, k), относящее отображению q>: Rft->R" сквозное ото-
отображение R*—*¦ R"—*-Rn+q. Имеется также каноническое
^-вложение V (п, k) -> V (п + q, k-\-q), относящее отображению
ф: Rft -> Rn отображение
^t R" X R" = Rn+?.
Наконец, . включение Rk~q —> Rk определяет Ч^-субмерсию
V (n, k) -> V {n, k — q), относящую отображению ф: Rft ->¦ R"
сквозное отображение Rk~4—*¦ Rk—*-R", т. е. реперу (vu ..., vk)
репер {vx vk-q). Что это субмерсия, нетрудно вывести из
теоремы 1.5.9, явно указав для заданного репера (и°, ..., w°)e
V {п, Щ требуемые этой теоремой окрестность V репера
170
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. 3
(у1, ..., v'l-q) в V(п, k — q) и ^-отображение g: V -*¦
V (п, k): в качестве V можно взять множество таких реперов
) V(' k )
vk-q) из V(n,' k — q), что векторы
vk-
)
(!,, kq) (,q), р , k
v\_ +!>•••. vl линейно-независимы, а в качестве g(vt, ..., vk_q)
для (оь ..., vk-q)<^V — репер, получаемый из репера (аь ...,
vk- > v\-q+v '•¦•' fft)-стандартной ортогонализацией. Добавим,
что подмногообразие многообразия У («, k), служащее прооб-
прообразом произвольно взятого репера (w°, ..., v\_) ^V (n, k — q)
при этой субмерсии, состоит из всех реперов вида (oj, . . ., у^_
vk-q+u ..., vk), где (Pft-?+i, ..., vk) — ортонормированный <?-р'е-
пер (п — k-\- ^-мерного подпространства пространства R", орто-
ортогонального векторам v°, ..., v°k_q, и, в частности, диффеоморфно
V(n-k + q,q).
4. Из уравнений A) видно, что множество V (п, k) ограни-
ограничено и замкнуто в R"k. Таким образом, многообразия V (п, k)
компактны.
Многообразие V (п, п—l) = SO(n) связно: всякая матрица
S { ()' где
р (, ) )
из^SO {n) представляется в виде сы(ф[ фг)с~'
COS ф]
sin ф1
— Sin ф]
COS ф]
COS фг
sin фг
— sin фг
COS фг
о
о
1
(с фь ..., фгеР), а с — ортогональная матрица^ и, благодаря
этому, соединяется с единичной матрицей путем t>—>
си{{\ — Офь ¦•¦> A—0Фг)с~'. Так как многообразия V (п, k)
с k<n—1 являются непрерывными образами многообразия
"V(n, п—1) [см. 3], то они также связны. Многообразие
V (п, п) = 0(п) с п > 0 состоит из двух компонент: 50 (п) и
О {п) \ SO (n).
Комплексный случай
5. Через CV(n, k), где 0^.k^n, мы обозначаем множество
линейных изометрических отображений пространства Cft в С"
или, что то же, множество ортонормированных fe-реперов про-
пространства С", или, что то же, множество комплексных nY^k-
g 2J МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 171
. матриц || vsi ||, таких, что
s=l
Эти уравнения определяют CV (n, k) как подмножество про-
пространства С" =R2nk, Разделив в них вещественные и мнимые
части, мы получим k2 вещественных уравнений, у которых
градиенты левых частей отличны от нуля и попарно ортого-
ортогональны на CV (n, k). Таким образом, CV (n, k) есть Bnk — k2)-
мерное ^-подмдогообразие пространства R2"*, не имеющее
края. Оно называется комплексным многообразием Штифеля.
Предостережение: многообразие CV (n, k) не является ком-
комплексным многообразием в смысле 1.6.5. Предыдущее опреде-
определение не наделяет его комплексной структурой, и, более того,
его нельзя наделить в общем случае комплексной структурой,,
так как при нечетном k оно нечетномерно.
Очевидно, CV (п, 0) есть точка, a CV (п, 1) — сфера S2n~K
¦Точками многообразия CV (п, п) являются унитарные преоб-
преобразования пространства С", и обычно его обозначают через
U(n). Как и О(п), U(п) является группой с групповой опера-
операцией о. Подгруппа этой группы, составленная из матриц
с определителем 1, обозначается через SU (п) и представляет
собой ^-подмногообразие многообразия U(n), канонически
диффеоморфное CV (п, п—1); ср. 2.
Многообразие U (п) канонически диффеоморфно SUWX.S1:
диффеоморфизм относит паре {и, z)^SU(ri)X,Sl матрицу,
в которую матрица и превращается после умножения элементов
ее первой строки на z. Предостережение: этот диффеоморфизм
не является групповым изоморфизмом между прямым произве-
произведением групп SU(n), S! и группой U (п).
Так же, как в вещественном случае, определяются ^"-вло-
^"-вложения CV (n, k) -+ CV {n + q, k), CV {n, k)->CV(n + q, k + q)
и ^а-субмерсия CV (n, k)^CV {n, k — q). Кроме того, тот факт,
что линейное изометрическое отображение пространства С6
в С" может рассматриваться как линейное изометрическое
отображение пространства R2k в JR2", определяет ^-вложение
CV {n, k) -+ RV Bn, 2k).
Многообразия CV (n, k) компактны. Все они связны: много-
многообразие СУ (п, п) = U (п) связно, поскольку всякая унитарная
матрица представляется в виде сы(ф,,..., Фп)с~', где ы(фь ..., ф„) —
диагональная матрица с диагональными элементами е'ч\ ...,
е'ф/г (фь-.-, ф„е!3), ас —унитарная матрица, и, благодаря этому,
соединяется с единичной матрицей путем ^—>си({\ — /)фь ¦ ¦ •.
A — t)cpn)c-'; многообразия CV (n, k) с k < n связны как не-
непрерывные образы многообразия CV (п, п).
172 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, 3
Кватернионный случай
6. Сказанное в 5 можно почти дословно повторить, заменив
поле комплексных чисел телом кватернионов. (Напомним, что Нп
рассматривается как левое векторное пространство — см. 1.2.5.4;
таким образом, линейное отображение Hfe->iT понимается как
отображение, линейное слева, а скалярное произведение векто-
векторов («,, ..., ип), (vi, ..., vn) определяется как S"=i«,y,-.) Так
получаются: ^-многообразие HV{n, k) [O^fe^n] размерности
^nk — {2k2 — k) без края, называемое кватернионным многообра-
многообразием Штифеля; ^-вложения HV {n, k) -> HV (n + q, k), HV {n, k)->
HV(n + q, k + q)n HV{n, k)-+CVBn,2k); ^"-субмерсия HV (n, k)->
HV (я, k - q).
' Очевидно, HV (n, 0) есть точка, a H" («, 1) —сфера S4"-'.
Многообразие HV (n, n) обычно обозначают через Sp(n); его
точками являются линейные изометрические преобразования
пространства Н", и компонирование этих преобразований
делает Sp{n) группой.
Все многообразия HV (n, k) компактны и связны. Поскольку
доказательство связности, повторяющее сказанное в 4 и 5,
использует нормальную форму матриц из Sp{n), которая не
может считаться столь общеизвестной, как нормальная форма
матриц из SO(n) или U(n), добавим, что в главе 5 эта связ-
связность будет установлена другим способом (см. 5.2.7.4).
Некомпактные Многообразия Штифеля
7. Мы обозначаем через RV{n, k) или, короче, V' {п, k), где
0^/г^п, множество линейных мономорфизмов Rft->Rn или,
что то же, множество невырожденных /г-репёров пространства R",
или, что то же, множество вещественных «X fe-матриц ранга ,&.
Ясно, что это множество открыто в пространстве R"* всех
вещественных «X ^-матриц. Таким образом*, V'{n, k) есть
^"-многообразие размерности nk, содержащее V {п, k) в качестве4
подмногообразия.
Обозначим через Т (k, R) или, короче, T(k) множество веще-
вещественных верхних треугольных матриц порядка k с положитель-
положительными диагональными элементами. Очевидно, это множество
открыто в пространстве R*(*+o/2 всех верхних треугольных матриц
порядка k и диффеоморфно R*(s+o/2_ Если применить к невы-
невырожденному fe-penepy пространства R" стандартный процесс
ортогонализации, то матрица этого репера представится в виде и/,
где и е V {п, k), a t еГA), и ясно, что такое представление един-
единственно й определяет диффеоморфизм V'(n, k)^>V(n, k)\T(k),
переводящий V(п, k) в~слой V{п, k)XE, где Е — единичная
§ 2] МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 173
матрица. Таким образом, многообразие V(п, k) ^фф
морфно V (п, к) X Rft <ft+1>/2 и V (п, k) является его строгим дефор-
деформационным ретрактом. В частности, многообразия V (п, k)
с k < п связны, a V'{n, n) состоит из двух компонент.
Очевидно, V'(п, 0) есть точка, a V'(n, 1) совпадает с R"\0.
Многообразие V'(n, n) обычно обозначают через GL(n, R); его
точками являются невырожденные линейные преобразования
пространства R" или невырожденные матрицы порядка п, и ком-
понирование преобразований (перемножение матриц) делает его
группой. Подгруппа этой группы, составленная из матриц
с положительным определителем, обозначается через GL+ (n, R).
Множества GL+(n, R) и GL(n, R)\GL+(n, R) открыты в GL(n, R)
и ^-диффеоморфны SO(n) X R"("+1)/2; они и являются компо-
компонентами многообразия GL(n, R).
Если отнести линейному мономорфизму qp: Rft-*R" сквозные
отображения Rft -U R" -X Rn+", Rft+" -^> Rfe X R" ^i R" X R' -^
Rn+q и pfe-^J^pfcJfV^ то получатся ^"-вложения V'(п, /г)-*
V'{n + q, k), V'{n, k)-*V'(n+q, k + q) и ^а-субмерсия V'{n,k)->
V'(n, k-q); cp. 3. .
8. Через CV'(n, k), где 0^.k^.n, мы обозначим множество
линейных мономорфизмов Cft->C" или, что то же, множество
невырожденных fe-реперов пространства С", или, что то же,
множество комплексных «X ^-матриц ранга к. Ясно, что это
множество открыто в пространстве Cnk всех комплексных
«Х^-матриц. Таким образом, CV {n, k) есть ^"-многообразие
размерности 2nk, содержащее CV (n, k) в качестве подмного-
подмногообразия.
Повторяя с очевидными изменениями сказанное в 7, мы
получаем ^-диффеоморфизм CV'(n, k)->CV(n, k)XT(k, С),
где T(k, С) — многообразие комплексных верхних треугольных
матриц порядка k с положительными диагональными элементами.
Очевидно, T(k, С) ^а-диффеоморфно Rk\ и, таким образом,
CV'(n, k) ^а-диффеоморфно CV(n, k)XRk'- В частности, все
многообразия CV'{n, k) связны. CV(n, 0) есть точка, CV {п, 1)
совпадает с С"\0. Многообразие CV' (п, п) обычно обозначают
через GL(n, С); оно состоит из невырожденных линейных пре-
преобразований пространства С" и является группой с групповой
операцией о. Имеются также естественные ^"-вложения
CV'{n, k)^CV'{n + q, k), CV'(n, k)-+CV'(n + q,k + q) и есте-
естественная ^а-субмерсия CV{n, k)->CV(n, k — q).
9. Заменяя в предыдущих определениях поля К и С телом Н,
мы получаем таким же образом 4«&-мс,рное ^-многообразие
HV(tt, k), состоящее из линейных мо/юморфизмов Hft-»H",
«'"-диффеоморфизм HV'(n, k)->W{n, k'jX^2kl~k, ^"-вложения
174 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
W {n, k) -> W (л. + q, k), HV'{n, k) -> W{n + q, k + q) и «"Чуб-
мерсию f\V'(n, k)-*W{n, k — q). Очевидно, HV(n, 0) есть точка,
a HV{n, 1) совпадает с Н"\0. Многообразие W {n, n) состоит
из невырожденных1 линейных преобразований пространства И",
является группой с групповой операцией ° и обычно обозна-
обозначается через GL (п, И).
2. Многообразия Грассмана
/. Мы обозначаем через RG(n, k) или, короче, G(n, k), где
0<fe<!ra, множество й-мерных плоскостей пространства R",
проходящих через 0. Если у — такая плоскость, то через Gу
обозначается совокупность плоскостей из G(n, k), проектирую-
проектирующихся на y без вырождения. Фиксируем в у ортонормированный
базис е — [в], ..., вь) и дополним его репером е = {еь .. ., гп-к)
до ортонормированного базиса пространства R". Если у' е Uy,
то в у' имеется единственный репер щ, ..., uk, проектирующийся
в е, и, разлагая его по векторам еь ..., е^, еь ..., an-k, мы
получаем
n-k
Щ = et + 2 cisEs (i=\, ..., k; cis e R).
Этим определено некоторое отображение ср(е, е) множества Uy
в пространство Rft(»-&> вещественных k X (п— й)-матриц, и ясно,
что это отображение обратимо и что отображения ф(е, е) со
всевозможными е и е составляют ^-атлас множества G(h, k).
Так как, очевидно, любые две плоскости из G{n, k) содержатся
в некотором множестве C/Y> то топология, определяемая атла-
атласом {ф(е, г)}, является хаусдорфовой. Так как, далее, этот атлас
обладает конечными податласами, например, податласом, соста-
составленным из карт ф (е, е), у которых' реперы е, е являются под-
реперами стандартного репера ortj, ..., ortrt пространства R",
то указанная топология обладает счетной базой. Таким образом,
атлас {ф(е, е)} делает G(n, k) ^"-многообразием размерности
k{n—k). Оно называется многообразием Грассмана.
Очевидно, G(n, 0) и G(n, n) являются точками, a G(n, 1)
совпадает как множество я как топологическое пространство
vC RP". Последнее означает, что мы наделили пространство R/5"
¦^"-структурой, согласованной с его топологией и делающей его
^"-многообразием размерности п— 1. Заметим, что эта ^"-струк-
^"-структура -допускает удобное прямое описание в однородных коорди-
координатах: указанйый выше конечный атлас многообразия G(n, k)
состоит при k — \ из я карт q^: ?/i-*-Rn~',-..., Ф„: ?/-„->R",
§ 2] . МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 176
определяемых в однородных координатах формулами
Ul = {{xl: ... :хп)\х(Ф0),
Ф,- ((*,: ... :хп)) = (xi/xt, ..., х^хи *i+i/*,, ..., xjx{).
Ясно также, что эта ^-структура делает канонический гомео-
гомеоморфизм RPl->Sl (см. 1.2.5.6) ^"-диффеоморфизмом.
2. Определение многообразия G (n, k) допускает очевидную
модификацию, состоящую в том, что неориентированные пло-
плоскости заменяются ориентированными. Подробнее: множество
G (n, k) заменяется множеством G+(n, k) всех ориентированных
fe-мерных плоскостей пространства Rn, проходящих через 0;
модифицированное ?/у определяется как множество плоскостей
из G+(n, k), проектирующихся на плоскость у е G+ {п, k)
без вырождения и с сохранением ориентации; отображения
ф(е, г): Uy->Rk ("-ft> определяются так же, как в 1, и, как и
там, составляют ^"-атлас, обладающий конечными податласами;
хаусдорфовость топологии, определяемой атласом {ф (е, е)}, сле-
следует из того, что любые две точки множества G+ (n, к) покры-
покрываются множеством вида Uv\JUy, где у — плоскость, отличаю-
отличающаяся от у лишь ориентацией (очевидно, Uy[)Uy = 0). Полу-
Получающееся k(n—/г)-мерное ^-многообразие называется верхним
многообразием Грассмана.
Многообразия G+ (п, 0) и G+ (п, п) канонически гомеоморфны
сфере S0, а многообразие G+ (п, 1) канонически диффеоморфно
сфере S"~l: диффеоморфизм относит точке xeS" ориентиро-
ориентированную прямую, определяемую парой точек 0, х.
3. Если отнести каждой плоскости y^G{n, k) ее ортого-
ортогональное дополнение у1, то получится отображение многообра-
многообразия G (n, k) на G(n, п—k), являющееся, очевидно, ^а-диффео-
морфизмом. Так же определяется ^"-диффеоморфизм G+ {п, k)->
G+(n, n—k): ориентация ортогонального дополнения у1 плос-
плоскости у определяется ориентацией плоскости у по классическому
-правилу, согласно которому базис плоскости ух, представляющий
ее ориентацию, будучи приписан справа к базису плоскости у,
представляющему ее ориентацию, должен дать базис простран-
пространства R", представляющий его каноническую ориентацию
(ср. 1.3.10). В частности, G(n,n-l) = RPn~l, a G+(n,n-l)=Sn~J.
Включение R^-^R"7 порождает очевидные ^-вложения
G(n, k)-*¦ G{n-\- q, k) и G+(n, k)->G+(n-\- q, k). Кроме того,
формула у I—*¦ у X R4 определяет ^"-вложения G (n, k)-+G(n-\- q,
k + q) и G+(n, k).->G+(n + q, k + q) [ориентация произведения
VXR' определяется ориентациями сомножителей — см. 1.3.7].
'Эти вложения составляют с предыдущими диффеоморфизмами
176 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, 3
коммутативные диаграммы
G(n, k) -> G(n+q,k) G+{n,k) -> G+(n + q,k)
•if ^ ' ¦if \
G (n, n — k) -> G (n + q, n — k-Y q), G+ (n, n — k) -> G+ (n + q, n — k -f q).
Если отнести каждой ориентированной плоскости ее же,
лишенную ориентации, то получится отображение G+(n, &)—>
G(n, k), являющееся, очевидно, ^"-сумберсией. Прообраз любой
точки многообразия G(n, k) при этой субмерсии состоит из двух
точек. При k=\ она совпадает с проекцией S"~I->R/)"~1.
Если отнести каждому реперу из V (п, k) натянутую на него
ориентированную плоскость, то получится ^"-отображение
V {п, k)->G+{n, k). Оно также является субмерсией, что нетрудно
вывести из теоремы 1.5.9, явно указав для заданного репера
ti°eF(n, k) требуемую этой теоремой окрестность V ориенти-
ориентированной плоскости y°> натянутой на и0, и отображение
g: V—>V (n, k): в качестве V можно взять Uy« (см. 3), а в ка-
качестве g{y) для у ^V — репер, в который превращается v° после
ортогонального проектирования на у и стандартной ортогонали-
зац-ии'. Прообраз ориентированной плоскости у е G+ (n, k) при
этой субмерсии состоит из всех положительных ортонормирован-
ных ^-реперов плоскости <у и, в частности, диффеоморфен SO(k).
Является субмерсией и отображение многообразия V (п, к)
на G(n, k), относящее реперу натянутую на него неориентиро-
неориентированную плоскость. Эта субмерсия совпадает с композицией двух
предыдущих. При ней прообраз плоскости yeG(ft, k) состоит
из всех ортонормированных реперов плоскости у и, в частности,
диффеоморфен О {к).
Наконец, являются субмерсиями отображение V(п, k)—>
G+(n, k), относящее каждому реперу натянутую на него ориен-
ориентированную плоскость, и отображение V'(n, k)-^-G(n, k), отно-
относящее каждому реперу натянутую на него плоскость. Прообразы
точек из G+(n, k) и G(n, k) при этих отображениях диффео-
морфны, соответственно, GL+(k, R) и GL(k, R).
4. Поскольку многообразия G(n, k) и G+ (п, k) являются
непрерывными образами многообразия V (п, k), они компактны
и, за исключением G+ (n, 0) и G+ {n, п), связны.
q-, Среди многообразий G{n, k) [с k ф 0, п] имеются как ориен-
ориентируемые, так и неориентируемые: многообразие G(n, k) с k=?0,
п ориентируемо, если п четно, и неориентируемо, если п нечетно.
Для доказательства мы воспользуемся атласом, составленным
из карт ф(е, е), у которых е и е являются взаимно дополни-
дополнительными подреперами стандартного базиса пространства R"
с унаследованным от этого базиса порядком векторов (ср. 1).
Обозначим номера векторов репера е в этом базисе через
/i(e) jk{e) [I </i(e) < ... < 4(е)^«] и назовем две. карты
— ССТ
§2] МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 177
атласа, ф(е, е) и ф(е', е'), смежными, если существует такое /,
что Jt{e')=sJi{e)±l и jp(е') = \р(е) при р Ф I. Ясно, что при
k Ф 0, п смежные карты всегда существуют и что любые две
карты атласа можно соединить конечной цепочкой карт атласа,
в которой каждые две соседние карты являются смежными.
Ясно также, что если cis и c'is — координатные функции смежных
карт ф(е, е) и ф(е', е') с Ji{ef) = ji(e) + 1, то координата с[т
с m = ji — /+1 не обращается в нуль в точках, покрываемых
обеими картами, и принимает на множестве таких точек все
остальные вещественные значения. Несложное вычисление пока-
показывает, что
{CisClm - CimCls) СТт> еСЛИ * ^ l> S ^ т>
с,пст1. если / = /, эфиг,
если 1ф1, s = т,
если i = I, s = m,
так что якобиан /(ф(е, е), ср(е', е')) [см. 1.3.1] равен (— \)п cj?.
При нечетном п он принимает в точках, покрываемых обеими
картами, как положительные, так и отрицательные значения,
из чего уже следует, что если п нечетно, то многообразие G(n, k)
неориентируемо. Если же п четно, то формула ф (е, e)t—>
(— \)к [;>(е)+ ••¦+/ft(e)] определяет отображение рассматриваемого
атласа в S0, удовлетворяющее условию согласованности, выстав-
выставленному в 1.3.1: для смежных карт эта согласованность оче-
очевидна, для несмежных карт следует из согласованности смежных
карт. Таким образом, при четном п многообразие G(n, k) ориен-
ориентируемо.
5. Нижеследующие конструкции определяют ^"-вложения
многообразий G(n, k) и G+(n, k) в евклидовы пространства.
Начнем с G+(n, k). Обозначим для матрицы nel"(fi, k)
через Mi ...ik{v) старший минор, составленный из строк с номе-
номерами н, ..., ik, и положим ¦Nii...tk(v) = Mil...{k{v)/\i(v), где
(i (о) — положительный квадратный корень из суммы квадратов
всех старших миноров. Функции Л/^^...^: V'{n, k)->R, очевидно,
аналогичны, и если реперы v1, »2е1;'(/г, k) лежат в одной
6-мерной плоскости и одинаково ее ориентируют, то Nti... ik (vl) =
ск
Nil...tk(v2). Следовательно, отображение N: V {п, к) -*¦ R п
с координатными функциями Nii...lk представляется как ком-
композиция канонической субмерсии V' (п, k) -*¦ G+ (n, k), определен-
* с*
ной в 3, и некоторого ^"-отображения g+: G+(n, k)-^Rn
(см. 1.5.10). Мы покажем, что g+ есть ^
178
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. 3
В силу теоремы 1.5.4, для этого достаточно установить, что
отображение g+ взаимно однозначно и является погружением.
Взаимная однозначность отображения g+ означает, что если
v1, ч!еГ(п, k) и N (v1) = N(v2), то пХ2?-матрица, составлен-
составленная из матриц vl и v2, написанных рядом, имеет ранг k; по-
последнее же вытекает из того факта, что у указанной п X 2&-
матрицы всякий (k + 1) X {k + 1)-минор с k столбцами из vl и
одним столбцом из v2 равен нулю (этот факт устанавливается
разложением по столбцу из v2). Чтобы доказать, что ^ — по-
погружение, достаточно доказать, что дифференциал d g+ имеет
в каждой точке уо^6'+(п, k) ранг k{n—k); для этого, оче-
очевидно, достаточно доказать, что дифференциал dv^N имеет
в каждой точке воеУ'(п, k) ранг, не меньший k(n—k), по-
последнее же будет доказано, если мы установим, что дифферен-
циал dVaM, где М — отображение многообразия У (я, k) в R "
с координатными функциями Mii...ik, имеет в каждой точке
v0 е V' {п, k) ранг, не меньший k{n — k)-\-l. Пусть А — какая-
нибудь ^Х й-подматрица матрицы »еУ'(я, k), не вырождаю-
вырождающаяся при v — v0, и vinf, — элемент этой матрицы, у которого
алгебраическое дополнение, скажем, а, отлично от"нуля при
v = v0. Отметим миноры М^...^ матрицы v, имеющие с Л по
крайней мере k—1 общих строк, и рассмотрим подматрицу
якобиевой матрицы отображения М, составленную из производ-
производных отмеченных миноров по элементам матрицы и, не входя-
входящим в Л, и по viai0. Это—квадратная матрица порядка
k{n — k)-\-\, имеющая вблизи точки v0, при надлежащей ну-
нумерации строк и столбцов, вид
(A
f) ,
')"' det
0
0
A
0
Vde
0
tA ...
1 0
0'
(Л*) det
A
0
Pi
a
где t обозначает транспонирование. Ее определитель равен
a(dei A){n~k)ik~l) и, таким образом, отличен of нуля.
Обращаясь к G(n, k), составим композицию вложения g+
с отображением q: R "^R "\ " /' , определяемым формулой
xCk~lXCk> ХСк]'
п п п/
§2] МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 179
Ясно, что сужение q \ ck является "^-погружением и что
R л\о
q(x) = q(y) тогда и только тогда, когда х = ±.у- Сопоставляя
это с тем очевидным фактом, что g+ {у') — — g+ (у), е-сли пло-
плоскости у, у' е G+ (га, k) геометрически совпадают, но разли-
различаются ориентациями, мы видим, что q°g+ есть ^"-погруже-
ние многообразия G+(n, k) в R "^ " ¦'' и что q оg+ (y')=qо g+(y)
тогда и только тогда, когда у и у' совпадают или различаются
лишь ориентациями. Таким образом, определено отображение
fact(g ° g+): G{n, k)->R пУ- п }i , и оно является ^-вложе-
нием.
6 (Информация). Координатные функции gf __{ отображе-
ck
ния g+: G+(n, k)—*Rn удовлетворяют соотношениям
k
8tt... ^... /fc - s5,^... /»_,//?;... /,_,**/*+, - /*=0>
ck
Рассматриваемые как уравнения относительно координат в R "'
ck
эти соотношения определяют в R " подмножество, в точности
совпадающее с g+(G+(n, ?)). Подробности см. в [9].
Числа gf { (у) называются координатами Грассмана —
Плюккера ориентированной плоскости Y-
Комплексный и кватернионный случаи
7. Комплексная модификация определения многообразия
RG (n, k) сводится к замене fe-мерных плоскостей простран-
пространства R", проходящих через 0, fe-мерными плоскостями про-
пространства С", проходящими через 0. Результатом модификации
является комплексное многообразие CG (n, k) размерности
2k{n—k), называемое комплексным многообразием Грассмана.
Очевидно, CG(га, 0) и CG(ra, n) являются точками, a CG(n, 1)
совпадает как топологическое пространство с СРп~\ Послед-
Последнее означает, что мы наделили пространство СР" комплекс-
комплексной Структурой, согласованной с его топологией и делающей
его комплексным многообразием, размерности га— 1. Эта струк-
структура описывается в однородных координатах так же, как
"^-структура многообразия RPn~l, и делает канонический го-
гомеоморфизм CPl^>S2 (см. 1.2.5.6) ^"-диффеоморфизмом.
Комплексные аналоги CG(n, k)->CG(n, n—k), CG(ra, k)-+
CG (n + q, k), CG (n, k) -> CG (n +.q,k + q), CV (я, k) -+ CG (я, k)
и CV'(n, k)-+CG(n, k) отображений G(n, k) -+ G {n, n — k),
180 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Ь(п, k)-+G(n + q, k), G(n, k)^G(n + q,k + q), V (n, k)-+G(n, k)
и V'{n, k)-*G{n, k), определенных в З, очевидны; первый из
них является биголоморфным отображением, второй и третий
являются голоморфными вложениями, а четвертый и пятый
являются ^-субмерсиями. Укажем еще на ^"-вложения
CG(n, k)-+G+{2n, 2k), определяемые тем, что при овеществле-
овеществлении, превращающем С" в R2", /г-мерные плоскости делаются
ориентированными 2&-мерными плоскостями.
Поскольку многообразие CG (n, k) является непрерывным
образом многообразия CV (n, k), оно компактно и связно. Ясно
с2к
также, что оно аналитически вкладывается в R 2п: композиция
только что описанного вложения CG(n, k)-+ G+Bn, 2k) и к'ано-
C2k
нического вложения G+ Bп, 2k) -> R 2" является ^"-вложением.
8. Заменяя в этих определениях комплексные числа кватер-
кватернионами, мы получим связное компактное 4k (п — &)-мерное
^"-многообразие HG(«,. k), называемое кватернионным многооб-
многообразием Грассмана. При k = 0, n оно сводится к точке, при
k = l, п—1 топологически совпадает с кзатернионным проек-
проективным пространством HP"'1. Благодаря последнему обстоятель-
обстоятельству, HP" оказывается ^"-многообразием, а канонический
гомеоморфизм HP'->S4 оказывается ^"-диффеоморфизмом.
Кватернионные аналоги отображений, указанных в 3 и 7,
являются ^"-отображениями; в частности, имеется канониче-
каноническое ^"-вложение HG(n, k)-*G+Dn, 4k). Компонируя это вло-
жение с каноническим вложением G+Dn, 4fe)->-R 4", мы полу-
получим «""-вложение HG(n, k)->RCin.
9. Отображения
S2n~l = CV (л, lO
S4"-1 = НУ (п, 1) -> HG (п, 1) = HP",
содержащиеся среди канонических отображений, определенных
в 7 и 8, совпадают, очевидно, с соответствующими отображе-
отображениями Хопфа (см. 1.2.5.8). В частности, последние являются
«"'-субмерсиями. Является ^"-субмерсией и отображение Хопфа
SI5->S8, что непосредственно видно из определяющей его фор-
формулы.
Некомпактные многообразия Грассмана
10. Множество всех ^-мерных плоскостей пространства R",
как проходящих, так и не проходящих через 0, мы будем обо-
обозначать через RG'(n, k) или, короче, G'(n, k) [0^,k^n]. Оче-
§ 2] МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 181
видно, что для всякой плоскости y'^G'(n, k) в R"+I имеется
единственная (k~\- 1)-мерная плоскость у, проходящая через 0 и
через (fe-мерную) плоскость, получающуюся из у' сдвигом на
- вектор ortn+I. Ясно также, что формула y'>—*Y определяет
взаимно однозначное отображение множества G'(n, k) в G{n-\- 1,
k -\- 1) с открытым образом. Это позволяет считать G' (n, k)
открытым подмножеством многообразия G(n+1, k -f- 1) и,
в частности, делает G'(n, k) {k + \){п — &)-мерным ^а-много-
образием. Последнее называется некомпактным многообрази-
многообразием Грассмана.
Многообразие G' (n, k) естественно отображается на G(n, k):
плоскости /еС(л, к) отвечает параллельная ей плоскость
YeG(/i, k). Очевидное применение теоремы 1.5.9 показывает,
что это отображение является ^"-субмерсией (в качестве тре-
требуемой теоремой 1.5.9 окрестности V плоскости у в G{n, k)
можно взять все G{n, k), а в качестве g — отображение, отно-
относящее плоскости из G(n, k) параллельную ей плоскость, про-
проходящую через произвольно фиксированную точку плоскости у').
Прообраз плоскости y^G(n, k) при этой субмерсии состоит
из всех ^-мерных плоскостей пространства R", параллельных у,
и канонически диффеоморфен ортогональному дополнению ух
плоскости y (через каждую точку плоскости ух проходит един-
единственная fe-мерная плоскость, параллельная у).
Ориентированный, комплексный и кватерннонный варианты
этих определений очевидны.
3. Некоторые многообразия Штифеля и Грассмана
малых размерностей
1. Многообразие SOC) канонически ^"-диффеоморфно RP3.
Чтобы описать этот диффеоморфизм, обозначим через shi
отображение пространства R3 на R?, переводящее (уи уг, у3)
в @, уи Уг, Уз)- Канонический ^-диффеоморфизм RP3->SO{3)
относит прямой из RP3, проходящей через точку л;е|?\0,
преобразование ф: R3->R3, определяемое кватернионной фор-
формулой q>(y) = shi~1(xshi(y)x~l). Обратный диффеоморфизм
SOC)->RP3 относит преобразованию q>; R3-*R3 прямую, со-
составленную из кватернионов вида
q — shi (ф (orti)) q ort2 — shi (ф (ort2)) q ort3 — shi (ф (ort3)) q ort4,
где q — произвольный кватернион, a ort2, ort^, ort4 рассматри-
рассматриваются как кватернионные единицы. Что кватернионы этого
вида заполняют в точности прямую и что построенные отобра-
отображения RP3-> SO C), SO C)->R^3 взаимно обратны, проверяется
автоматически.
182 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ . 1ГЛ. 3
2. Многообразие RV D, 2) канонически ^"-диффеоморфно
S3 X S2. ' .
Канонический ^"-диффеоморфизм SJ X S2 -»¦ RV D, 2) пере-
переводит пару (л:, i/JeS'X^ в репер {л:, л: shi (г/)}.
3. Многообразие SO D) канонически W-диффеоморфно S3 X
SO C).
Канонический ^""-диффеоморфизм S3 X SO C) -> 50 D) опре-
определяется кватернионной формулой (я, {у, г}) >—»• {л:, х shi {у),
xshi(z)} (в которой точки многообразий S0C) и 50D) интер-
интерпретируются как реперы).
4. Многообразие G+ D, 2) канонически ¦ <&а-диффеоморфно
52 X S2.
Канонический ^"-диффеоморфизм G+D, 2)->52XS2 относит
ориентированной плоскости, натянутой на репер {х, у} е FD, 2),
пару (shi~'(•*#"')>. shi^^)). Обратный диффеоморфизм от-
относит паре (и, »)eS2X52 двумерную плоскость, заполняемую
кватернионами вида shi (u)q -\- q shi (о), где q — произвольный
кватернион. Что пара (shi (xy~l), shi~'(x""'y)) определяется
ориентированной плоскостью, натянутой на репер {х, у}, что
кватернионы вида shi («) q -\- q shi (о) заполняют в точности дву-
двумерную плоскость и что построенные отображения G+{4, 2)->
52 X 52, 52X52-*G+D, 2) взаимно обратны, проверяется авто-
автоматически.
4. Упражнения
/. Однородный многочлен от п-\-\ переменных с вещест-
вещественными (комплексными) коэффициентами называется неособым,
если в R"+1 \ 0 (в C"+I \ О) его частные производные не обра-
обращаются в нуль одновременно. Показать, что проекция R"+1 \ О-*
RPn (проекция Сл+1 \ 0 -*¦ СРп) переводит множество нулей та-
такого многочлена, отличных от 0, в подмногообразий многооб-
многообразия RP" (многообразия СРп).
2. Показать, что подмногообразие проективной плоскости
RP2, определяемое уравнением р(хь х2, х3) = 0, где р—неосо-
р—неособый однородный многочлен степени k с вещественными коэф-
коэффициентами, в том и только том случае обладает ориентируе-
ориентируемой окрестностью, если k четно. (См. 1.)
3. Показать, что подмногообразие проективной плоскости
RP2; определяемое уравнением р{х\, х2, дс3) = 0, где р — неосо-
неособый однородный многочлен степени 3 с вещественными коэф-
коэффициентами, гомеоморфно либо S1, ли^о 5'LJ5', причем обе
возможности реализуются.
4. Показать, что уравнение х\ + х\ + х\ = 0 определяет в СР2
подмногообразие, гомеоморфное S2.
ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА
183
5. Показать, что уравнение х\ + х\ -+- х\ = 0 определяет в СР2
подмногообразие, гомеоморфное S'XS1.
6. Показать, что уравнение х\ + х\ -+• х\ ¦+• rjj = 0 определяет
в СР3 подмногообразие, гомеоморфное S2X52.
7. Показать, что RG(rc, 6) допускает ^-вложение в RP п~\
a CG(tt, k) допускает голоморфное вложение в СР "~ .
8. Показать, что многообразие RV (8, k) ^"-диффеоморфно
S7 X RV G, k — 1) [1 < к < 8], а многообразие СУ D, k) %
феоморфно S7XCFC, k—\) [1<A><4].
9. Положим, в согласии со схемой 1.2.4.2, Xi = X2 =
(J * о* Л I .!• >^ ¦ Л — '¦'¦ {j4 о& Д — >^ ¦¦ I. Л ¦¦ l(ii 11 \ г*~ (f~^ а 2 I .
^1з = Лз = ^32 = {(#ь «/г) е Са21 ух Ф 0} и определим отображе-
отображения ф^,: Ат, -> А^ формулами 9^= id, ф12 (^, у2) = ф21 (г/1; г/2) =
(у2у~\ yf1), Ф13(^!, У2}===(Уг1' У\У11)- Проверить, что Х^, А ,
и фда, удовлетворяют требованиям определения 1.2.4.2, так что
определено соответствующее объединение, и показать, что это
объединение гомеоморфно СаР2. Показать, далее, что отобра-
отображения (abimm^): imm^ (Са2) -> Са2 = R16 составляют ^"-атлас
этого объединения, делающий его ^"-многообразием.
§ 3. ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА
1. Аппроксимация функций многочленами
/. Цель настоящего параграфа — сформулировать и дока-
доказать три теоремы анализа, именно, теоремы 4, 2.3 и 3.3. Они
разнородны по характеру и собраны здесь потому, что все три
потребуются нам в этой главе и ни одна из трех не входит
в традиционный курс анализа.
Основная теорема настоящего пункта, т. е. теорема 4, вы-
выводится из леммы 3. Лемма 2 нужна для доказательства
леммы 3. *
2 (Лемма). Для любого положительного 6, меньшего 1,
в
Iim — [(\-t2)kdt = l.
fe-»oo "ft _J&
где
i
ак= \<X-ffdt. A)
-i
184 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Это — очевидное следствие неравенств
*-• •
первое из которых, опять-таки, очевидно, а второе получается
из оценок:
е 1
ak~ \ A - О* Л = 2 J A - *2)*Л < 2A - б)A - 62)\
8/2
-6/2
5 (Лемма). Существует такая последовательность {pk: 9? (In,
R)-»(^(IR", R)}™=1, чго: (i) pft(/) есгб многочлен для любых
f e "?? (/", R) и fe; (ii) если f обращается в 0 на Fr /", то после-
последовательность {Рй (/)!/«} равномерно сходится к /; (Ш) еслн /
обращается в 0 на Frln и имеет непрерывную частную произ-
производную DJ, то
Доказательство. Мы полагаем для / е ^G", R)
[Pk(f)](Xl, .-, Хп) =
B)
где uk определяется формулой A). Что это многочлен — оче-
очевидно. Проверим свойства (ii), (ш).
Чтобы проверить (ii), продолжим функцию / на R", полагая
/(л:) = 0 при ieR"\f, и обозначим через М наибольшее
значение абсолютной величины функции /. Найдем, далее, по
произвольно заданному положительному - е такое положитель-
положительное 6, меньшее 1, что )/(*',, ..., aQ — f (*,, ..., хп)\ < е/2,
если | х\ — х11 <! 6, .'.., | х'п — хп) ^ &, и затем такое К, что при
[о
(см. 2). Мы покажем, что если лге/" и k > К, то | [рк (/)] {х) —
f(x)\<*.
8 3] ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА 185
Представим [pk (f)] (x) — / {х) в виде
заменим подынтегральную функцию ее абсолютной величиной,
произведем в полученном интеграле замену переменных
(/ь ..., tn)t-^{ti—xb ..., tn — xn), расширим новую область
интегрирования, т. е. куб [— хи 1 — х{\ X • • • X [— хп, 1 — хп],
до куба [—1, 1]" = [—1, 1] X ••• X [—г-1. 1] и разобьем новый
интеграл на два интеграла, распространенных на куб [—6, б]п
и его дополнение [—1, 1]"\[—б, б]"; мы получим:
4г ^ \f(ti+xu...,tn
4
4 ^
4 [-S.6]"
1 - Г
Д, ( J
ft r t цИ ч г я ятЯ
1~"Ь 1J \ [—о, о]
«ЛПО-
Первое слагаемое меньше е/2, так как | /(/, +хь ..., ;„ 4-^п) —
/(ь .••. *п)\<Ф при (/ь .... tn)^[-6,6)n и
Второе слагаемое также меньше е/2, так как
f» + *n)-f(*i, •••> *»I<2М и
^Г J ПО-^Л,...^-
'килм-и|пн
J
А 1-е, в]"
Та^им образом, [ [рк (f I {х) — f (x) |< е.
186 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Чтобы проверить (ш), вставим Dtf вместо f в определение B)
и применим к правой части «интегрирование по частям по t{».
Мы получим
(*„„.,*„) =
.-{tj-Xjffdti ... dtn, C)
и так как
П П
ПИ—It —x f\k = — ТТ [1 — it- — х Y]k
д
at,
то правая часть формулы C) равна [Dipk(f)]{xu ..., хп).
4. Пусть X — компактное множество в R" и f — веществен-
вещественная функция, определенная и принадлежащая классу с&г в не-
некоторой окрестности множества X. Если rs^oo, то для всякого
положительного е и всякого целого s, не превосходящего г, суще-
существует такой многочлен g: R"-»R, что при любых неотрица-
неотрицательных целых s{, ..., sn с sx +
max
xsX
i-D;> ...D'nf{x)\<B.
Доказательство. Можно, очевидно, считать, что X cz
Int/". Пусть U — упомянутая окрестность множества X и
Р: R"->R — какая-нибудь Ф""-функция, равная нулю на D" и 1
вне концентрического шара радиуса 2. Обозначим для у е
(/"\ ?/) U Fr/" через d(y) шар радиуса Dist(z/, X)/4 с центром у,
покроем множество (/" \ ?/) U Fr/" конечным числом открытых
шаров lntd(y), скажем, шарами lntd(yx), ..., Intd(ys), и опре-
определим функцию h: In->R формулой
UРD{У ~ ys)/D'1St {у*' Х))' еСЛИ У G U'
0, если у ф.и.
Эта функция принадлежит классу ^Г, совпадает с / на X и
обращается в 0 в окрестности множества Fr/", из чего видно,
что в качестве g можно взять рк (h) с рк из леммы 3 с до-
достаточно большим к.
2, Особые значения
1. В этом.пункте предполагаются заданными открытое под-
подмножество U пространства R" и ^""-отображение /: U->Rq
с <7^1. Часть множества U, составленная из точек, в которых
якобиева матрица отображения f имеет ранг, меньший <?., обо-
§3] ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА 187
значается через F. Цель пункта — доказать теорему 3, которая
нужна для следующего параграфа (см. 4.7.4).
Нам потребуются еще два обозначения: через fj будет обо-
обозначаться /-я координатная функция отображения / (/ = 1, ..., а),
через Fs— множество точек из U, в которых все частные про-
производные функций fj, имеющие порядки 1, ..., s, обращаются
в 0. Ясно, что множества Fs замкнуты в U и что F^F{zd
F2r> ...
2 (Лемма). Если s>(n/q)—1, то образ f(C) любой ком-
компактной части С множества Fs нигде не плотен.
Достаточно доказать, что для всякого лежащего в U куба Q
пространства R" множество f(Cf|Q) нигде не плотно. Дей-
Действительно, С можно покрыть' конечным числом таких кубов,
а объединение конечного числа нигде не плотных множеств
нигде не плотно.
Пусть а — ребро куба Q. Разделим Q стандартным образом
на тп кубиков с ребрами а/т (т — произвольное натуральное
число) и рассмотрим кубик Q', пересекающийся с С. Из тео-
теоремы Тейлора, примененной к функциям f{> и ограниченности
на Q их частных производных порядка s + 1 следует суще-
существование такой постоянной Ь, что для любых х е Fs(IQ, у eQ
uist(f(x),f(y))^b[dist(x, y)]s+l.
Поскольку диаметр кубика Q' равен a^Jn/m, это неравенство
показывает, что множество f{Q') содержится в шаре радиуса
&(ад/'п/т) ¦ Стало быть, f{Qr) содержится в кубе простран-
пространства Rq с ребром 2b(as/n/m) , a f{C[]Q) — в объединении
самое большее т" таких кубов. Объем каждого из них равен
\_2Ь (а V'п/т) J , а сумма их объемов не превосходит
где с не зависит от т, и, следовательно, сходится к 0 при
/п->°о. Это исключает существование у множества f(Cf]Q)
внутренних точек, а поскольку последнее замкнуто, отсутствие
у него внутренних точек означает, что оно нигде не плотно.
5. Образ /(С) любой компактной части С множества F ни-
нигде не плотен.
Доказательство проводится индукцией по п. Так как при
/1 = 0 доказывать нечего, достаточно установить, что теорема
верна при п = & + 1, если она верна при n — k.
¦ Начнем со специального случая: пусть F1 = 0. Поскольку
множество С компактно, достаточно найти для его произвольно
взятой точки х такую окрестность V в U, что множество f{Cf\V)
нигде не плотно. Будем считать, что Dk+1fq{x) ф 0 (этого
188 гладкие многообразия [гл. з
всегда можно добиться перенумерацией координат в R +| и R9),
и рассмотрим отображение g: ?/-»-Rfe+1, определяемое формулой
у = (уи ..., Ук+\)*-* (г/и .. •, yk, fq
Его якобиан не обращается в 0 в точке х (он равен Dk-t-\fq),
так что g ^°°-диффеоморфно отображает некоторую окрест-
окрестность W точки х на некоторую окрестность точки g(x). Ока-
Оказывается, что в качестве V можно взять любую окрестность
точки х с компактным замыканием, лежащим в W. Чтобы
установить это, обозначим через h сквозное отображение
Оно переводит каждую точку из g(W) в точку с такой же
последней координатой и, в частности, при любом веществен-
вещественном и допускает сокращение до отображения
которое, после стандартного отождествления левой части с ее
ортогональной проекцией на Rk и правой части с ее ортого-
ортогональной проекцией на Rq~\ превращается в некоторое ^""-ото-
бражение hu открытого подмножества пространства Rk в R'*.
Ясно, что якобиеву матрицу отображения hu в точке (уи ..., ук)
можно получить из якобиевой матрицы отображения к в точке
{У\, •••> Уьи), вычеркнув последнюю строку и последний стол-
столбец, и что вычеркиваемая строка имеет вид 0 ... О 1. Следо-
Следовательно, ранг первой матрицы меньше q—1 тогда и только
тогда, когда ранг второй матрицы меньше q, т. е. когда
{уи •••> Уь, u)^g(F[)W). Применяя к отображениям hu индук-
индуктивное предположение, мы заключаем из этого, что множество
h{g{C(\C\V)) пересекается с каждой гиперплоскостью R^'Xw
по нигде не плотному в ней множеству. Но в таком случае
множество h(g(C f] Cl V)) не имеет внутренних точек в Rq, и
остается заметить, что оно замкнуто и совпадает с f (С f) Cl V),
Рассмотрим теперь второй специальный случай: CcFs и
Fs+\ — 0 (при некотором s). Опять-таки, достаточно найти для
произвольно взятой точки х из С такую окрестность V в U,
что множество f{C(]V) нигде не плотно. Пусть ср — такая про-
производная порядка s одной из функций ft, что одна из произ-
производных Di<$, скажем, Db+№, не обращается в точке л: в 0. Рас-
Рассмотрим отображение g: C/->Rfc+1, определяемое формулой
(У\, •••. Ук,
Его якобиан не обращается в 0 в точке х (он равен
§ 3] ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА 189
так что g ^""-диффеоморфно отображает некоторую окрест-
окрестность W точки х на окрестность точки g{x). Мы покажем,
пользуясь сквозным отображением
a (w\ (ab 8) , ур abf> $ч D\
что в качестве V можно взять любую окрестность точки х
с компактным замыканием, лежащим в W. Для этого заметим,
что g(C)czRk, и сузим отображение D) до отображения
h: g(W)f]Rk->-Rq. Ясно, что все производные координатных
функций отображения h, имеющие порядки, не превосходящие s,
обращаются в 0 на g{Cf]W). Из этого следует, в силу индук-
индуктивного предположения, что компактные части множества
g(C{]W) переводятся отображением h в нигде не плотные
множества, и остается заметить, что g{C[}C\V) есть компакт-
компактная часть множества g(C[\W), a h(g(Cf] C1V)) совпадает
с f(Cf]ClV).
Обратимся, наконец, к общему случаю. В силу леммы 2,
множество f(Cf]Fr) нигде не плотно при некотором г, и мы
проведем доказательство индукцией по г, т. е. покажем, что
если множество /(СПFr) нигде не плотно, то при г = 1 множе-
множество /(С) нигде не плотно, а при г > 1 множество f(Cf|Fr_,)
нигде не плотно. Пусть G — непустое открытое множество в R4.
Поскольку множество СП^Г компактно, а множество f(C(]Fr)
нигде не плотно, у Cf]Fr есть в R" такая окрестность N, что
замыкание С1 ./V компактно и содержится в U, а множество
f(ClN) не покрывает G. Заменим отображение / его сужением
на U\Fr, а множество С — множеством
( C\N, если г = \,
C'={{C\Fr)\N, если г>1.
Возникшая ситуация охватывается уже проведенной частью
доказательства (а именно, первым специальным случаем, если
г= 1, и вторым специальным случаем, если г > 1), из чего мы
заключаем, что множество /(С) не покрывает G\f{C\N).
Следовательно, при г — \ множество f(C) не покрывает G,
а при г > 1 множество f(C[]Fr-i) не покрывает G, что и за-
завершает доказательство, поскольку множества /(С) и f(C{]Fr-i)
замкнуты.
4 (Информация), ^""-гладкость отображения / является в тео-
теореме 3 излишне сильным условием: на самом деле изложенное
доказательство использует лишь принадлежность f классу <&г
с г = 2 + max(n — q, 0). Более внимательный анализ показывает,
что это г можно уменьшить еще на 1 (см., например, [21]),
однако дальнейшее уменьшение г уже невозможно (для q = 1
это доказано в [23], случай q > 1 легко сводится к случаю q = 1).
190 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
3. Невырожденные критические точки
1. Критическая точка у вещественной функции f, опреде-
определенной на открытом подмножестве пространства R" и принад-
принадлежащей классу W2, называется невырожденной, если в этой
точке второй дифференциал функции / (рассматриваемый как
квадратичная форма) имеет ранг п. Индекс второго дифферен-
дифференциала (число отрицательных . квадратов в диагональном пред-
представлении формы) называется индексом точки у и обозначается,
через indfy.
Заметим, что если ср — диффеоморфизм класса 'ё'2 открытого
подмножества U пространства R" на другое его открытое под-
подмножество иг/ — невырожденная критическая точка функции
f:-U-*R, то ф(г/) есть невырожденная критическая точка функ-
функции /°ф~': q>(?/)->-R и indf -1 ф(у) == indf у. То и другое верно
также в более общем1 случае, когда ф принадлежит классу "§",
если функция /°Ф~' принадлежит классу сё'2.
Рассмотрим функцию R->R, определяемую формулой
(х„ ...,xn)^-xf- ... -4 + 4+,+ ••• +4 + с, E)
где с— вещественное число @^.k^n). Она имеет единствен-
единственную критическую точку, именно 0, и ясно, что это — невырож-
невырожденная точка индекса k. Главная цель настоящего пункта —
показать, что в надлежащим образом выбранной системе коор-
координат всякая достаточно гладкая функция имеет вблизи невы-
невырожденной критической точки вид E).
2 (Лемма). Пусть V — открытый шар в R" с центром О
и f: V -> R — функция класса Фг с f @) — 0. Тогда существуют
такие (S'r~i-функции fu ..., fn: V->R, что для всякой точки
х~{х{ хп) из V
t. F)
Для доказательства достаточно положить
1
Равенство F) следует из равенства
i-l
3. Пусть у — невырожденная критическая точка функции f,
определенной и принадлежащей классу V щ открытом под-
§3] ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА " 191
множестве пространства R". Если т~^Ъ, то существует такой
диффеоморфизм ф некоторой окрестности U точки у на некото-
некоторую окрестность V точки 0, что сужение f \ц представляется
как сквозное отображение U—*-V—*• R с A> = indfz/M c = f(y).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай г/ = 0,
/(г/)==0. Согласно 2, в некоторой окрестности точки О
с ^"'-функциями fj. Прямое дифференцирование показывает,
что DJ (х) = ft (х) + t xfrfi (х), так что f{@) - ... = fn @) = 0.
Снова применяя лемму 2, мы видим, что в некоторой окрест-
окрестности Vo точки 0
п
fi(x)=Ttxtf{i(x) (i=l п)
с ^"^функциями fn и, таким образом, для ^еУ0
п
/W = /E gn(x)xixt,
где gii(x) = [fil(x) + fH(x)]/2. Очевидно, gt,@) = DtD,f{0)B.
Дальнейшие построения следуют стандартному приведению
квадратичной формы к каноническому виду линейными преоб-
преобразованиями. Мы построим для р=0, ..., п окрестности Vр,
Wp точки 0 в .R", диффеоморфизмы фр: Wp—>~Vp класса (ё>г~2
и функции gpl}: Vp->R класса Фг~2 с /, j = p + I, ...,«, такие,
что: (i) WpCzVp-u (ii) фр@) = 0; (iii) сквозное отображение
s !•*•¦
представляется формулой вида
*ь^±*2± ... ±д;2+ ? ^gpl(x)xixl; — G)
(lv) gpj = gpr Этим доказательство' будет доведено до конца:
в качестве V можно будет взять
192 _ ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
в качестве ф — сквозной диффеоморфизм
аЬф, ab ф,
где я — надлежащая перестановка стандартных координат в R",^
и в качестве U — множество ф~'(К).
Окрестность Vo у нас уже имеется. Положим Wo = Vo,
% = idVo> Sj/==Su и допустим, что Vp, Wp, фр и gfy со свой-
свойствами (i), (ii), (iii), (iv) при p^q построены. Ясно, что 0 есть
невырожденная критическая точка функции G) с р — ц; следо-
следовательно, матрица G = || g^. @)|rt _ невырождена, и суще-
существует такая невырожденная вещественная (п — q) X (п — ^-мат-
^-матрица А, что левый верхний элемент матрицы A'GA отличен
от 0. Обозначим через / линейное преобразование простран-
ТЕ (Л
Lo АУ
ства R с матрицей I Л, где Е — единичная g X ^-матрица.
Композиция диффеоморфизма ab/: Г1 {Vq)->Vq и функции C)
представляется в виде
п
х^ ± х\ ± ... ± х\ + ^ Z+i hu {x)xtx,
с hij^hji и hq+Uq+l{0)^0, и мы вводим в рассмотрение
часть L множества /""' (Vq), составленную из точек, в которых
hq+\.q+i не обращается в 0 и имеет тот же знак, что и
hq+uq+\@), а затем определяем отображение 1|з: L-*R" фор-
формулой ф(д:) = (д:1 xq,l^\hq+Uq+l{x)\, xq+2, ..., хп), где
hs,q+\(x)
Как показывают несложные вычисления, якобиан отображения ч|э
в точке 0 отличен от 0. Следовательно, сокращение этого ото-
отображения на некоторую окрестность М точки 0 и ее образ ty(M)
является ^"^диффеоморфизмом, и очевидная проверка пока-
показывает, что множества Vq+l = -ф (М) и Wq+X = 1{M), отображение
Фд+1: Wq+i-*Vq+u определяемое формулой фд+1 (л:) = -ф(Г1 (л;)),
и функции gqtp'- Vq+1—>R, определяемые формулой
Su W-«//W kq+uq+i(x)
обладают свойствами (i), (ii), (iii), (iv).
^ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 193
§ 4. ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ.
АППРОКСИМАЦИИ
1. Пространства гладких отображений
1. Пусть X, X' — многообразия класса *©>г (O^r^a). Мы
обозначаем через ^(Х, X') множество всех "©'-отображений
X-> X' и при г^оо наделяем "©''{X, X') ^-топологией, которая
делает (S'r{X, X') топологическим пространством и определяется
следующим образом. Зададимся какими-нибудь картами qpe
kt\X, q/eAtlX', какой-нибудь последовательностью неотри-
неотрицательных целых чисел г\, ..., гп с п — dim X и Г\ + • ¦ • + rn^r,
каким-нибудь компактным подмножеством А множества Imqp
и каким-нибудь открытым подмножеством А' пространства R"
с n' = dimX' и рассмотрим подмножество множества ^Т{Х, X'),
составленное из отображений f, у которых
[?»?... ?»^1ос(Ф, <p')f]{A)<=A'.
Такие подмножества составляют предбазу '©''-топологии в
«"U, К').
. Ясно, что ^°(Х, Х') = <8{Х, X'), а ^"-топология есть просто
компактно-открытая топология (см. 1.2.7.1). Ясно также, что
при s<r включение %?Г(Х, X')->(SS{X, X') является непре-
непрерывным отображением. Как это прямо следует из определения
^-топологии, все пространства ^(Х, X') регулярны. Заметим
еще, что множества, замкнутые (открытые) в ^{Х, X'), — это
в точности множества, замкнутые (открытые) во всех ^-топо-
логиях с конечными г.
Каждой паре '©"'-отображений /: Y-*-X, f: X'->Y' отвечает
отображение ^Г(Х, Х')->'&"' (Y', Y'), определяемое формулой
gt-^fogof и обозначаемое через ^r(f, fr). Ясно, что Ф°({, f') =
V{f,f) [см. 1.2.7.1], что «?'(/, n = ab«?s(f, f) при s<r и
что отображение '?"'(/, f) непрерывно, если г^оо.
Перечислим некоторые важные для дальнейшего подмно-
подмножества множества WiX, X'). Множества '©"'-вложений, "©""-по-
"©""-погружений, '©''-субмерсий и "©^-диффеоморфизмов Х->Х' обо-
обозначаются через ЕтЪг(Х, X'), Immr(X, X'), Subm'U, X') и
DiUr(X, X') [1<г<а]. Множество '©''-отображений f: X-+X',
у которых f(dX)czdX' и dxf (Tangx X) «^ Tang f{x) (dXf), если
х^дХ, обозначается через ^%(X, X'). Вместо Diff(J, X)
обычно пишут DifFX.
Очевидно, что при l^r^oo отображение пространства
1S!a(X, X') в WidX, дХ'), определяемое формулой fi-^ab/, и
отображение пространства "©""(Х, X") в I©"'~1 (Tang X, TangJ')»
определяемое формулой /1—* df, непрерывны.
7 В. А. Рохлин. Л. В. *vkc л*"
194 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ , ' [ГЛ. 3
2. Если X компактно, то множество lmmr(X, Xf) открыто
в ЪТ{Х, X') [1<г<оо].
Мы должны указать для заданного ^'-погружения /0: Х-+Х'
его окрестность в ^"'{Х, X'), составленную из погружений.
Фиксируем для каждой точки х из X такие карты ф^-eAtl^X,
qp^eAtlX', что f0 (supp фж) с= supp ф^ и 1ос (фх, ф^) f совпадает
с одним из включений Rre->R"', R_->R"', Rl->R1' (см. 1.5.3
и 1.5.1; здесь n = dimX, n' = d\mX'). Покроем, далее, X ко-
конечным числом множеств Ux = q>~1 (lntDn), скажем, множествами
UXl UXs, и обозначим через 'Ui часть пространства
%?г(X, X'), составленную из отображений /, у которых
/ (Cl Uх \ с supp <p'x и верхний «X д-минор якобиевой матрицы
отображения 1осАрх-, ф^.)/ не обращается в нуль нигде на Dn.
Пересечение 41^ П ... П °Ms и будет требуемой окрестностью
отображения /0.
3. Если X компактно, а X' не имеет края, то множество
SuWU, X') открыто в <&Г{Х, X') [1<г<оо].
Мы должны указать для заданной "й^-субмерсии f0: X-+X'
ее окрестность в сё'г{Х, X'), составленную из субмерсий.
Фиксируем для каждой точки х из X такие карты (fx^AUxX,
q>'x е Atl X', что /0 (supp ф^.) с supp q>x и loc (фх, ф^) /0 совпадает
с одной из ортогональных проекций R^-^R™', Rl-»-Rn (см. 1.5.7).
Покроем, далее, X конечным числом множеств Ux = (f>xl (lntDn),
скажем, множествами Ux , ..., UXg, и обозначим через 'Ui часть
пространства сё'г(Х, X'), составленную из отображений f,
у которых / (Cl Ux \ c= supp q>x и левый д'Х«'"Минор якобиевой
матрицы отображения 1ос(фх , ф^)/ не обращается в нуль
нигде на D". Пересечение Шх П ... Л 'Us и будет требуемой
окрестностью отображения /0.
¦ 4. Если X компактно, то множество Eml/Ц, Х') открыто
в <&Г{Х, X') [1<г<оо].
Доказательство. В силу теорем 2 и 1.5.4, достаточно
указать для заданного ^'-вложения /0: Х->Х' его окрест-ность
в ^Г{Х, X'), составленную из взаимно однозначных отображе-
отображений. Фиксируем для каждой точки х из X такие карты
•фявЕАН^, ф; е= Atl Г, что f0 (supp фх) с= supp ф; и 1ос(«рж, ф^) /
совпадает с одним из включений Rn-»-Rn', Rl->-Rn', R" ^-Rl'
(см. 1.5.1). Покроем, далее, X конечным числом множеств
Ux=!=({)~1 (IntD"), скажем, множествами UXi UXs, и обозначим
через Щ\ часть пространства сё'г{Х, X'), составленную, из таких
отображений /, что / (Cl Ux\c supp цх и все главные миноры
5 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ* АППРОКСИМАЦИИ 195
симметризованной верхней п X «-части якобиевой матрицы ото-
отображения 1ос(фх , Фх)/> вычисленной в точках шара Dn, по-
положительны, (Главные миноры —левые верхние миноры; Сим-
метризованная матрица — ее полусумма, с транспонированной
матрицей.) Обозначим, наконец, через °U часть пространства
Я!>Т{Х, X'), составленную из отображений, у которых прообраз
каждой точки содержится в одном из множеств UX{. Мы по-
покажем, что пересечение Т = B/1 П • • • П °MS Л *и является тре-
требуемой окрестностью отображения f0. Поскольку включение
foef очевидно и столь же очевидно, что все множества <2/г
открыты, достаточно показать, что: (i) множество °U открыто;
(п) отображения из <2/г взаимно однозначны на Ux..
Чтобы доказать (i), заметим, что 'U есть прообраз мно-
множества
V = V(XXX, (ХХХ)\ \}t{UXtXUX{);
Г XX', (X'XX')\diag(X'))
при непрерывном отображении Vr{X, X')-*V(XXX; X'XX'),
определяемом формулой / ь-»¦ f X f- Так как множество
(ХХХ)\ U i (UXlXUXi) компактно, а множество(X'XX')\diag(X')
открыто в Х'ХХ' '(см. 1.2.2.4), то V открыто в 9{ХХХ,-
Х'ХХ') и °U открыто в Vr(X, X').
Чтобы доказать (И), обозначим для f^.cUi и двух произ-
произвольно взятых различных точек у, z^Ux. через s функцию
"
I->R, относящую точке t^I вычисленное в R" скалярное
произведение вектора v = фх B) — <рх,(у) на вектор
Обозначим, далее, через J(u) симметризованную верхнюю
я X я-часть якобиевой матрицы отображения 1осЛрл-, фМ/,
вычисленной в точке uelntD", и через qt — билинейную форму
RraXR"-*R с матрицей J(i\ — t)q>x_(y) + tyx.(z)\. Функция s
является гладкой, и ее производная в точке t равна qt(v, v),
а это число (в силу определения lit) заведомо положительно.
Так как, кроме того, s@) = 0, то s(l)>0, т. e. f{y)=?f(z).
5. Если X компактно, то множество правильных %?г-вложений
Х->Х' открыто в <ё"э(Х, X') [1<г<оо].
Это следует из 4, поскольку указанное множество совпадает
cEvabr{.X,X')[\<erd{X,X').
6. Если X компактно, то множество Diffr(Z, X') открыто
в ЩХ,Х') [1<г<оо].
Это следует из б (см. 1.5.1).
196 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
2. Простейшие теоремы вложения
/. Компактное многообразие класса с@>г с 1 ^ г ^ °о допу-
допускает %?т-вложение в евклидово пространство достаточно вы-
высокой размерности.
Доказательство. Пусть п — размерность подлежащего
вложению многообразия X и a: Rn->I — функция класса <ёт,
равная 1 на Dn, меньшая 1 вне D" и равная 0 вне концентри-
концентрического шара радиуса 2. Фиксируем для каждой точки х из
X карту фх е Atl* X с Im фх = R" или R" и фх (х) = О и опре-
определим отображение jx: X -> R X R" формулой
. ( (а (ф* ({/)), «(ф* (у)) Ф* (г/)), если ye=suppcpx,
1х (У) — | (Oj 0^ если уе=х\ supp фх.
Покроем, далее, X конечным числом множеств Ux^=q>~](IntDn),
скажем, множествами UXl Ux, и определим отображение
/: Z->(RX.R")X ••• X(RXR")-Rs(ri+i) формулой j(y) =
(jx iy), •••> ix (У))- ^то отображение принадлежит классу W
и взаимно однозначно, так как из включения y&UXi следует,
.что ix.iy')^* !х.(у)> если у'Фу. [Последнее видно из того, что
если у''ф.иХ1, то а(фх-4(#'))< 1, тогда как а(фХ/ (у)) — 1, а если
y's=Ux., то а(фх.(/))фх.(г/') = фх.(г//)=^фх.(.г/) = а(фх.(^))ф;е.(^).]
Кроме того, / является погружением, так как /' является по-
погружением на UX{ (вторая компонента X->Rra отображения jx.
совпадает на Ux. с фЖ/). Следовательно, / есть ^'-вложение
(см. 1.5.4).
Дополнение в случае непустого края
2 (Лемма). На всяком компактном многообразии X класса
с&>г с l^r^oo существует {вещественная) с&г-фунщия h,
обращающаяся в 0 на дХ, положительная на int X и не имею-
имеющая критических точек на дХ.
Доказательство. Пусть a: R"—>/ — функция класса Vr
с п = й\тХ, равная 1 на Z)" и 0 вне концентрического шара
радиуса 2. Фиксируем для каждой точки х^дХ карту q>x e
AtlxX, у которой 1тфя==К" и фж(х) = 0, и определим функции
/*) §х'- X—>R формулами
_ Г
— |
1, если
— Р(ф* (*/))> если
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ- АППРОКСИМАЦИИ 197
где р —функция на R", определяемая формулой р(^ *„) —
^а^ь ..., tn). Покрыв дХ конечным числом множеств Ux =
Ф~' (Int Dn), скажем, множествами 1ГХ, /.-, UXs, и положив
(y) flfXi(y) + igXi(y),
1=1 ' i=\ l
мы и получим требуемую функцию h: X-+R. Действительно:
h обращается в 0 на дХ, так как fx обращается в 0 на Ux
и все gx. обращаются в 0 на дХ; h положительна на intX,
так как все fx., gx. неотрицательны и gXi положительна на
int X всюду, где fx. обращается в 0; h не имеет критических
точек на дХ, так как 2gx. не имеет критических точек на дХ
[у локального представления loc (q>x,, id R) gXf функции gx.,
т. е. у композиции (g,.\ \°Ч>~1, производная по первой
xk
координате отрицательна на Dn[\R"~l при k~i и неположитель-
неположительна на Dn[]R^~i при любом k], a nfx. обращается в 0 на []UX..
3. Компактное многообразие- класса (&>г с 1 ^ г ^ оо допу-
допускает правильное (ё""-вложение в евклидово полупространство
достаточно высокой размерности.
Таково вложение в R!+l = RL X R*7, определяемое формулой
*i—>(— h(x), i(x)\ где / — какое-нибудь ^'-вложение в Rq
(см. 1), a h — функция из 2.
Информация
4. В формулировках 1, 3 условие компактности и условие
г-фа могут быть отброшены: всякое гладкое многообразие
класса (&>г, как компактное, так и некомпактное, как с г^оо,
так и с г —а, допускает ^'-вложение в евклидово простран-
пространство, и всякое гладкое многообразие класса с&^'', компактное
или некомпактное, как с г^оо, так и с г —а, допускает пра-
правильное ^'-вложение в евклидово полупространство. Доказа-
Доказательства имеются в [22], [8].
Заметим, что исключение из теорем 1, 3 случая г = а вы-
вызвано его несравненно большей трудностью. В дальнейшем это
исключение скажется на ряде формулировок: ср., например,
4.2, 5.3, 6.5, 4.6.2.7.
3. Трансверсализации и трубки
/. В этом пункте изучается структура окрестности образа
замкнутого гладкого многообразия, • дифференциально вложен-
вложенного в евклидово пространство. Результаты содержатся в
198 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ " [ГЛ. 3
теоремах 4, 5, 7 и служат технической основой остающейся
части параграфа.
2. Пусть / — дифференциальное вложение гладкого замкну-
замкнутого «-мерного многообразия в R9. Трансверсализацией вло-
вложения / называется такое непрерывное отображение х: Х-*
G(q, q — n), что для каждой точки хеХ плоскость х(х) транс-
версальна плоскости dxj (TangxX) [т. е. пересекается с ней
в единственной точке]. Фундаментальным примером служит
нормальная трансверсализация, относящая точке х&Х соответ-
соответствующую нормальную плоскость [т. е. ортогональное допол-
дополнение плоскости dxj (TangxX) в Rq]; если / принадлежит
классу '&'', то нормальная трансверсализация принадлежит,
очевидно, классу <$т~х (ср. 1.4.2).
С трансверсализацией т: X-*-G(q, q — 'n) вложения /: X->Rg
естественно ассоциируется отображение т~~: X-+G'(q, q — n),
относящее точке х плоскость /' (лг) + т (jc) [которая проходит
через j(х) параллельно х{х)]. Шар и сфера этой плоскости
с центром j(х) и радиусом р обозначаются через dx{x, p) и
sx(x, p). Объединения \jxex-dx{x, p) и \Jx&x[dx(x, p)\sT0*:, р)]
называются трубкой и открытой трубкой радиуса р трансвер-
сализации т и обозначаются через TubTp и tubTp.
Трубка TubTp называется правильной, если при некотором
а > р: (i) открытые шары dx(x, o)\sx(x, а) попарно не пересе-
пересекаются и составляемая ими открытая трубка tub.tor является
окрестностью множества j (X) в R9; (ii) отображение этой
окрестности на X, переводящее dx(x, o)\sx(x, а) в х, является
гладким. Сужения указанного отображения на TubTp и tubTp
(не зависящие, очевидно, от выбора а) называются проекциями
и обозначаются через ргт.
Ясно, что если трубка TubTp правильна, то все трубки
TubTp' с р'< р также правильны.
Предостережение: нормальная трансверсализация может не
обладать правильной трубкой и даже трубкой с непересекаю-
непересекающимися шарами dx(x, p); см. упражнение 11.4.
3. Нижеследующая конструкция позволяет представить пра-
правильную трубку как образ некоторой ее идеальной модели и
нужна для доказательства теорем 4 и 5. Обозначим через Tut
подмножество произведения X X R9, составленное из пар (х, t),
у которых 1ет(Д и через Титр и tuTp с р > 0 — части мно-
множества Тит, на которых dist@, О^р и dist(O, t)<p. Обозначим,
далее, через nat отображение множества Tut в R9, определяемое
формулой nat (x, t) = j{x)-\-t. Очевидна, nat изометрически на-
накладывает каждую плоскость jcX^(jc) на соответствующую
плоскость j{x)'{-x(x) и отображает Титр в точности на TubTpt
a tuTp —на tubTp. Ясно также, что nat взаимно однозначно
на Tutp тогда и только тогда, когда шары <?,(х,-р) попарно
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 199
не пересекаются, а на tuTp — когда открытые шары dx{x, p)\
sx{x, p) попарно не пересекаются. В первом случае nat пере-
переводит сужение проекции pr^ X XRq-*X на Титр в проекцию
prt: -TubTp-> X, во втором случае — сужение проекции рг( на
tuTp в проекцию prT: tubtp->Z.
Нас будут интересовать только гладкие трансверсализации т.
Если / и т принадлежат классу W с г^1, то X X R4 есть
'«^''-многообразие, Тит — его правильное (/-мерное подмного-
подмногообразие (без края) и nat — отображение класса '&"'. В этом
случае Титр есть компактное (/-мерное подмногообразие много-
многообразия Tut с int(TuTp) = tuTр, а сужение проекции рп: IX
R4-*X на любое из многообразий Tut, TuTp, tuTp является:
^'-субмерсией.
4. Пусть I их принадлежат классу ^г Ь г^1. Если трубка
TubT р правильна, то она является Ф''-подмногообразием про-
пространства Rq с int (TubT p) = tubT p, a prT: TubT p -> X есть
^'-субмерсия.
Доказательство. Пусть or—число, большее р и удовле-
удовлетворяющее условиям (i), (ii) из 2. Согласно 3, отображение
abnat: tut or-> tubTor обратимо, и ясно, что обратное отобра-
отображение abnat: tubT or-> tuT or описывается формулой г/i—>(ргт(г/),
у — i°prT(y)). Эта формула показывает, что abnat—гладкое
отображение; таким образом, abnat есть ^'-диффеоморфизм
и устанавливаемые свойства трубки TubTp и проекции
ргт: TubTp—>Х являются следствиями свойств их моделей Тцтр
и abpiv TuTp—>X, установленных в 3.
5. Всякая гладкая трансверсализация обладает правильной
трубкой.
Доказательство. Пусть т — гладкая трансверсализация
вложения /: X—>Rg. Трансверсальность плоскостей х{х),
dx/(Tang* J) означает, что дифференциал d{x, t) nat не вырож-
вырождается, если ^ = 0, и потому nat диффеоморфно отображает
некоторую окрестность U множества X X 0 в Тит на некоторую
окрестность множества j{X) [см. 1.5.5]. Ясно, что если Титр с; U,
то TubTp есть правильная трубка трансверсализации т.
6 (Лемма). Пусть X, X'— замкнутые ^>г-многообразия
с l^r^oo. Если X' допускает <&''-вложение в евклидово про-
пространство с ^'-трансверсализацией, то множество ^Г{Х, X')
плотно в ^{Х,Х').
Доказательство. Фиксируем "^-вложение /: X-+R4
и ^'-вложение /': X'-+Rq' с ^-трансверсализацией %'; доста-
достаточно показать, что для всякого непрерывного отображения
f: X-+X' и всякого положительного е существует ^""-отобра-
^""-отображение §: X -> X' с
maxx в х dist (/' о / (х), j'°g{x))<z
200 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ (ГЛ. 3
(см. 1.2.7.3). Построим правильную трубку Tutv р' с р'<! е/2,
обозначим через б меньшее из чисел е/2, Dist (/' {Xr), Rq \tutv р')
и заметим, что б>0 (см. 1.1.7.15). Согласно 1.1.5.12, сквозное
отображение
продолжается до непрерывного отображения ft: W^+R4 ; в силу
же теоремы 3.1.4, существует покоординатно полиномиальное
отображение g^. R'-^R*, такое, что
max* е= х dist (/, ° / (л;), g, ° / (л;)) < б.
Последнее неравенство показывает, что gi ° j (X) с: tubT' р', и
ясно, что формула g (х) = ptv {gi ° j'(х)) определяет требуемое
отображение g: X-+X'.
7. Всякое ^-вложение замкнутого С8>г-многообразия с 1 ^
г^а в евклидово пространство обладает ^-трансверсализацией.
При г = а, оо такова нормальная трансверсализация. При
1<><°о существование нормальной трансверсализации обе-
обеспечивает непустоту множества трансверсализации заданного
^'-вложения X-+Rq, и так как это множество открыто в ^(Х,
G(q,q — dimX)) [что очевидно], достаточно установить плот-
плотность множества (&т (X, G{q, q — dim X)) в f (X, G (q, q — dim X)).
Но эта плотность следует из леммы 6, поскольку G{q, q — dim X)
аналитически вкладывается в евклидово пространство (см. 2.2.5).
4. Сглаживание отображений в замкнутом случае
/. Мы обращаемся к главному предмету настоящего параг-
параграфа— аппроксимации отображений одного гладкого много-
многообразия в другое отображениями, которые более регулярны
в том или ином отношении, например, обладают большей
гладкостью или являются вложениями или погружениями.
В этом пункте аппроксимации повышают лишь гладкость
отображения, не улучшая других его качеств, причем рассма-
рассматривается наиболее простой случай замкнутых многообразий.
2. Если г^оо, то. для любых замкнутых <&**'-многообра-
<&**'-многообразий X, X' множество ^Т{Х,Х') плотно в ^S{X,X') с любым
s <г. То же верно при г = а, если X и X' допускают ЯИа-вло-
жения в евклидово пространство.
Мы должны показать, что в ^{Х, X') заданная окрест-
окрестность Ш заданного отображения / содержит ^-отображение.
Фиксируем ^"'-вложения /: X->Rq, j': X'->Rq', их ^-транс-
^-трансверсализации т, %' и правильные трубки TubTp, Tutvp' и рас-
рассмотрим отображение
Vs (ab /, piv): 9s(Tub, (p/2), tub,' p') -* 9s (X, Х%
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ, АППРОКСИМАЦИИ 201
где ab/ = [ab/: X-*¦ Tub,(р/2)] (см. 1.1). Поскольку оно пере-
переводит ^-отображения в '^"'-отображения, достаточно устано-
установить, что прообраз У множества Ш пересекается с ^f (Tub,(р/2),
tubT' р'). Но множество Т открыто и содержит сужение на
TubT(p/2) сквозного отображения
tub.p-^X-^r^Mvp', ' A)
причем образ этого сужения компактен и потому находится на
положительном расстоянии от R*7 \tubf р'. Следовательно,
существует такое' положительное е, что если у координатных
функций отображения g e (e's(TubT (p/2), Rq ) частные произ-
производные порядков 0,1, ..., s отличаются в точках множества
TubT(p/2) от частных производных координатных функций ото-
отображения A) меньше чем на е, то g(TubT(p/2)) cr tubT' р' и
[abg: TubT (р/2)-»¦ tubt' p'] e Т. Применяя к координатным
функциям отображения A) теорему 3.1.4, мы видим, что суще-
существует покоординатно полиномиальное отображение g с этим
свойством частных производных, из- чего и следует непустота
пересечения Т Л«"" (TubT (p/2), tubt'р')-
3. Сопоставляя теорему 2 с теоремами 1.2, 1.3, 1.4 и 1.6,
мы видим, что при г^оо и l^s<r для любых замкнутых
'«^''-многообразий X, X' множество Immr(X, X') плотно в
ImmsU, X'), множество SuWtf, X') плотно в Subms(J, X'),
множество ЕтЪг(Х,Х') плотно в Embs{X, X') и множество
Diffr(X, X') плотно в Diiis{X,X'). То же верно при г = а,
если X и X' допускают ^"-вложения в евклидово пространство.
4 (Следствие). Если два замкнутых ЯИ>Г-многообразия с 1^
г <; оо диффеоморфны, то они <&т-диффеоморфны. То же верно
при г = а, если они допускают <&а-вложения в евклидово про-
пространство.
5 (Информация). Из гомеоморфности замкнутых ^-много-
^-многообразий не следует их диффеоморфность. Исторически первым
примером были ^"-многообразия, гомеоморфные, но не диф-
феоморфные сфере S7; см. [15].
Дополнения к теореме 2
6. Если г^оо, то множество ^Г{Х, X') плотно в ^S{X, X')
с s < г и в более общем случае, когда X — замкнутое <$*fr-много-
<$*fr-многообразие, а X' — открытое подмножество некоторого замкнутого
(&>г-многообразия Y. То же верно при г = а, если X и Y допу-
допускают сё'а-вложения в евклидово пространство.
Доказательство сводится к очевидному замечанию, что
отображение
«"(id, in): Vя(X, X')-+VS{X, Y)
202 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, 3
является топологическим вложением с открытым образом и
переводит ^Г(Х, X') в пересечение этого образа с "S"'(X, Y). Так
как <&Т{Х, Y) плотно в C8S(X,Y), указанное пересечение плотно
в этом образе, а «"(X, X') плотно в ЯГ{Х, X').
7 (Лемма). У всякой пары непересекающихся замкнутых
подмножеств замкнутого '^''-многообразия с г^оо есть функция
Ррысона класса '&т.
Доказательство. Пусть ф: Х—>1 — какая-нибудь функ-
функция Урысона предложенной пары А, В. В силу теоремы 6,
существует ^-функция -ф; X-+R с maxXf=jt| ty(x) — q>(x) | < 1/3,
и ясно, что если Я: R-*/ —функция класса ^г с Х{у) — О при
у ^ 1/3 и Я, (у) = 1 при у ^ 2/3, то Я, о "ф есть ^-функция Уры-
Урысона пары А, В.
8. Пусть X, X' —замкнутые (ё>>^многообразия и А —замк-
—замкнутое множество в X. Если 0^s<r^°°, то часть простран-
пространства <&s (X, X'), составленная из сёг-продолжений заданного
отображения <р: А->Х', плотна в части этого пространства,
составленной из продолжений отображения <р, принадлежащих
классу сёт в окрестности множества А {каждое в своей).
Мы должны показать, что в 'ё'ЦХ, X') заданная окрест-
окрестность °и заданного отображения f, продолжающего ср и при-
принадлежащего классу ^г в некоторой окрестности U мдоже-
ства А, содержит ^-продолжение отображения ф. Фиксируем
^'-вложение"/': X-*R4', его ^-трансверсализацию %' и пра-
правильную трубку Tubt'p' и обозначим через У часть простран-
пространства WS(X, X'), составленную из отображений g, у которых
max, е х diet (Г о / (*), у о g (х)) < Dist (f (X), Rq' \ ЫЬХ> р')-
Ясно, что множество У открыто и что для лю"бых geF, ш!
отрезок с концами j'°f{x), }'°g{x) содержится в tutv p'.
Построим какую-нибудь ^'-функцию Урысона ч|э пары A, X\U
(см. 7)-и рассмотрим отображение Ф: У->С&!1(Х, X'), перево-
переводящее g в отображение
х н-> piv @ - Ф (*)) /' о f (х) + ф (х) У о g (х)).
Прямая проверка показывает, что Ф непрерывно, и очевидно,
что Ф (/) = /. Из этих свойств Ф следует, что множество Ф ((U)
открыто и непусто, ^осле чего из теоремы 2 следует, что оно
содержит ^-отображения. Остается заметить, что Ф переводит
^-отображения в ^-продолжения отображения ф.
9.- Пусть X, X' — замкнутые <&>г-многообразия, А —под-
—подмногообразие многообразия X, замкнутое как самостоятельное
многообразие, и ф: А -> X' — отображение класса <&''. Если О <!
s<r^oo, то часть пространства <S'S(X,X/), составленная из
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 203
*&"-продолжений отображения ф, плотна в части этого простран-
пространства, составленной из всех сё"'-продолжений отображения ф.
Мы должны показать, что в ^S{X, X') заданная окрест-
окрестность °и заданного продолжения отображения ф содержит
^'-продолжение отображения ф. Фиксируем: "^'-вложения
/: X-+W и /': X'-*Rq; ^'-трансверсализацию т вложения
j \A: A-+Rq и ^'-трансверсализацию %' вложения /'; правильные
трубки TubTp и TubT'р'. Обозначим, далее, через Т часть
пространства %?S{X, X'), составленную из отображений g,
у которых
max* е А dist (/' о ф (*), у ° g {х)) < Dist (/' {Xr), Rq' \ tulv р').
Ясно, что множество Т открыто и содержит все ^-продолже-
^-продолжения отображения ф на X. Построим какую-нибудь ^'-функцию
Урысона пары X \ /~'(tubTp), А и рассмотрим отображение
Ф: y-^-^s{X, X'), переводящее отображение g в отображение
\' og°prT (/(*))]). если /(л;)еТиЬтр,
g{x), если /(A:)^tubtp.
Очевидно, что Ф непр-ерывно и что Ф (g) = g, если g продол-
продолжает ф. Из этих свойств Ф следует, что множество Ф {<%)
открыто и непусто, после чего из теоремы 2 следует, что оно
содержит "^'-отображение. Остается заметить, что Ф переводит
^'-отображения в ^'-продолжения отображения ф.
5. Гладкое склеивание многообразий
1. Главная задача этого пункта — подготовить распростра-
распространение основных аппроксимационных теорем предыдущего пункта,
т. е. теорем 4.2 — 4.4, в их неаналитической части на компакт-
компактные многообразия с краем. Основное средство распростране-
распространения— гладкое удвоение гладких компактных многообразий,
делающее их замкнутыми. Нам будет удобно определить и
изучить сразу более общую операцию, нужную также для
других целей — гладкое склеивание гладких компактных много-
многообразий. Начать придется с изучения структуры гладкого ком-
компактного многообразия вблизи края.
Окай мление
2. Окаймлением компактного ^'-многообразия X @ ^ г ^ а)
называется ^'-вложение цилиндра дХ XI в X, переводящее
(л:, 0) в х для каждой точки х^дХ. Образ цилиндра дХХ1
при окаймлении называется каймой.
204 ' ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ !ГЛ. 3
В случае гладкого X (г ^ 1) окаймление является диффе-
дифференциальным вложением, а кайма — подмногообразием кораз-
коразмерности 0. Край последнего состоит из дХ и диффеоморф-
ного дХ подмногообразия многообразия intX.
3. При 1 ^ г ^ оо всякое компактное <&''-многообразие допу-
допускает окаймление.
Доказательство. Пусть X — предложенное многообразие.
Фиксируем правильное ^'-вложение /: X -> RI (см. 2.3), ^-транс-
версализацию т сквозного вложения дХ—*¦ RI—*¦ R4 и пра-
правильную трубку TubTp и рассмотрим отображение ф: /"' (tubT р)-»
дХ X RL. определяемое формулой х>—»(ргт (/(*)), ji(x)), где
/i—первая координатная функция вложения /. Из правиль-
правильности / следует, что дифференциал dx(p не вырождается, если
х^дХ, и, таким образом, ф диффеоморфно отображает неко-
некоторую окрестность края дХ на некоторую окрестность множе-
множества дХ X 0 (см. 1.5.5). Пусть е — столь малое положительное
число, что произведение дХ X I— е, 0] содержится в указанной
окрестности; ясно, что формула {х, t)>—^ф~'(л;, — el) определяет
окаймление многообразия X.
4 (Информация). Компактные топологические многообразия
(г = 0) и компактные аналитические многообразия (г = а) также
допускают окаймление. Случай г = 0 рассмотрен в [4].
Склеивание
5. Пусть X, X' — компактные д-мерные ^-многообразия
с г2>1 и С, С — подмногообразия их краев дХ, дХ'', состав-
составленные из целых компонент этих краев. Предположим, что С
и С диффеоморфны и наделены "^-диффеоморфизмом ф: С->С,
и приклеим X к X' посредством сквозного отображения
С—*¦ С—*¦ X' (см. 1.2.4.8). Полученное пространство У —
X'XSinoyX, очевидно, является компактным д-мерным тополо-
топологическим многообразием, и оказывается, что если X и X'
наделены окаймлениями, то Y обладает естественной ^-струк-
^-структурой, делающей и его окаймленным ^-многообразием. Эта
^-структура задается атласом, составленным из карт атласов
Ай{Х\С) и At\{Xf\C) [мы считаем X и X' частями много-
многообразия Y] и карт W, определяемых по картам ф е Atl С и
окаймлениям k: дХ XI->Х, k'\ dX"X.I-*Xr формулами
supp ? = k (supp ф X [0, 1)) U V (supp ф X Ю, 1)),
X R == R")- Попар-
§ 41 ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 205
ная ^-согласованность этих карт очевидна, естественное окай-
окаймление получающегося ^-многообразия Y составляется из
сохранившихся частей окаймлений k, k'. Говорят, что ф склеи-
склеивает Y из X и X'. Ясно, что дУ = (дХ\С)[)(дХ'\С) и что X,
X' и С расположены в Y как подмногообразия. Части окай-
окаймлений k, k'', примыкающие к С, С', составляют двустороннее
окаймление многообразия С eY, т. е. ^'-вложение СХ[—1,1]—>У
такое, что (г, 0)»\5"Z.
Если X' = X, С = С — дХ и ф = id, то склеивание назы-
называется удвоением и У обозначается через doppX. Это согла-
согласуется с 1.1.9 в том смысле, что (ё>0(йоррХ) = dopp С&°Х).
Заметим, что если X и X' ориентированы и ф переводит
индуцированную ориентацию многообразия С в индуцированную
ориентацию многообразия С (см. 1.3.4), то У ориентируемо и
может быть наделено канонической ориентацией. Последняя
определяется тем, что индуцирует в X исходную ориентацию,
а в X' — ориентацию, противоположную исходной. В частности,
если X ориентировано, то и doppZ ориентировано.
Как показывают простейшие примеры, ^-структура много-
многообразия Y зависит не только от ^-структур многообразий X,
X' и от диффеоморфизма ф, но и от окаймлений k, k'. Наша
ближайшая цель — показать, что при г фа последняя зависи-
зависимость исчезает, если Y рассматривается с точностью до ^-диф-
феоморфности.
6 (Лемма). Пусть X, X' —замкнутые <&>г-многообразия
с I ^.r^oo uf: ХХ[ — 1, 1]->Х'Х[—1. 1] — такое отображение,
что f(IXI-l,0])crX(-l,0] и f(XX[0, 1])с=ГХ[0, I).
Если abf: 1ХН,0]->ГХН,0] и ab/: X X [0, 1]->Х'Х
[0, 1) — дифференциальные вложения класса ^г, а abf: XX0-»
X' X 0 — диффеоморфизм, то существует *&'-вложение g: X X
[-1, 1]->*'Х[-1, 1], совпадающее с f на {X X[~U — 1/2])U
(Х)и(ХХ[ЩЦ)(Х[и0}) !(ХХ[10])
g(X[,]) f{])
В нижеследующем доказательстве через fu f2 обозначаются
сквозные отображения
Предположим сначала, что при некотором положительном е
отображение fi постоянно на каждом множестве *Х[—е, е]
с х^Х. В этом случае мы фиксируем такие положительные
206 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
числа б, TJ, что 6^min(e, 1/2) и для любой точки х^Х про-
производная функции t ь—> f2 (х, t) не меньше г| на промежутках
[— б, 0), @, б], а затем строим такую ^-функцию а: [— б, б] ->/,
что а@ = 0 при UK6/4 и а@ = 1 при \t\^6/2. [Существо-
[Существование таких бит) следует из непрерывности функций X X
[0, 1]->R, XX [—1. 0]->R, относящих точке (л;, 0 производную
функции tH->f2(^ т) в точке t (при ? = 0 у первой функции
берется производная справа, а у второй слева), и положитель-
положительности каждой из этих функций на X X 0. В силу компакт-
компактности X эти функции ограничены снизу положительной посто-
постоянной на ХХ0 и на произведении XX [—6, б] с некоторым
положительным б.] Как показывает прямая проверка, отобра-
отображение g: IX[-1, 1]->Х'Х[—1, 1]) определяемое формулой
(/i (•*¦> t), A—a(?))r\t-\-a(t) f2(x,tj), если )/|^б,
/ (л:, t), если | f1 > б,
является требуемым.
В общем случае мы фиксируем такое положительное еь не
превосходящее 1/2, что отображение q>t: X-+X', определяемое
формулой (pt{x) = /[ (х, t), является диффеоморфизмом при
|/|^6i. [Существование такого ег следует, из непрерывной за-
зависимости Фг от t в ^-топологии, того факта, что ф есть
диффеоморфизм (напомним, что abf: X X 0 -> X' X 0 — диффео-
диффеоморфизм), и открытости множества Diif(X, X') в ffliX, X')
(см. 1.6).] Пусть у: [—еь ej] ->-R — неубывающая ^""-функция,
такая, что y{t) = O при |^Kej/4 и y\{t) — t при \t\^Bi/2.
Определим отображение f~: XX [—1> H-^-X'Xl—1» 1] фор-
формулой
/(ФГ1 °Фу«)(*)> 0' если 1^1 ^ei>
/(л;, 0. если |i l^ej.
Оно удовлетворяет условиям, наложенным в формулировке
доказываемой леммы на f, а также дополнительному условию,
при котором лемма уже доказана (сквозное отображение
постоянно на множествах х X [—е, е] с г^щг^А). Соответствую-
Соответствующее отображение g и будет требуемым, поскольку f совпадает
на AХИ, -l/2])U(XX0)UUX[l/2, 1]) с f.
7. Пусть Х\, Х\, Xz, Х'ч — окаймленные ^-Многообразия
с l^r^oo, и пусть Си С'\, G2, Ci — части их краев, соста-
составленные из целых компонент, и ф,: С, —>¦ С', ф2: С2-*С'2 — диффео-
диффеоморфизмы класса 9>?г. Если существуют ^-диффеоморфизмы
5 4) ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 207
F: Xi->X2, F': Х\->Х2, такие, что F(C,) = C2, F'{C\) = C'2 и
диаграмма
L\ —*¦ t>i
abf
jabF Ja
коммутативна, то многообразия Yx и Y2, получающиеся при
склеивании Х{ с Х\ по ф, и Х2 с Х'2 по ф2, ffl"-диффеоморфны;
более того, существует такой ^'-диффеоморфизм G: Yt -> У2,
(X\) = Xq, u(ai) = A2, u(Ci) = L2 u lab u: Ci—>• C2| =
[abF: Cl-*C2].
Доказательство. Пусть 1г; С] X [— 1, 1]-*Уь h' QX
[—1, 1] —>Y2 — двусторонние окаймления. Обозначим через Я
отображение Yi~->Y2, определяемое формулами Н\х = [in: X2—>
Y2] ° F, Н | ' = [in: X'2-*Y'^ о F', найдем такое положительное е,
что Я о 1Х (С] X [— е, е]) <= 4(^2 X (— 1. О), и применим лемму 6
к отображению f: Cj X [—1, lj-*C2X[—1. 1], определяемому
формулой f(z,t) — l2~~l(Hol1(z,Et)). В силу этой леммы суще-
существует ^'-вложение g: С{ X [—1, 1]—>-С2Х [—1> Ч> совпадаю-
совпадающее с f на (С,Х[-1, -l/2])U(C,X0)U(C,X[l/2, 1]) и такое,
что g{CiX [— 1, 0]) = /(С!Х[— 1, 0]), ^(CjXIO, 1]) = /(C, X
[0, 1]). Ясно, что формула
Н(у), если у 9fe/, (С, X [-в, в]),
k°g(z,t/e), если y = lx{z,t) с ZiSC,, fe=[—в, е],
определяет требуемый ^-диффеоморфизм Guyj-* Fa-
Разрезание
8. Пусть Y — многообразие класса <&г с \ <^г^.оо и X, X' —
покрывающие его компактные подмногообразия той же размер-
размерности. Если С = X П X' — часть каждого из краев дХ, дХ', со-
составленная из его целых компонент, то существует такое ^'-вло-
^'-вложение I: С X [— 1, 1 ] —*• Y, что l(z, 0) = z для любой точки z^C
и l(CX[—U 0))c:intZ, /(CX@, l])c=intr.
Доказательство. Фиксируем ^-вложение /: У-э-К9,
^'-трансверсализацию х вложения j\c:C-*-Rq и правильную
трубку TubTp и рассмотрим отображение ф: C-*-Sq~\ относя-
относящее точке геС единичный касательный вектор к /(У) в точке
/(г), лежащий в x(z) и направленный'в сторону X'. Это ото-
отображение непрерывно (принадлежит классу с&г~1)т, и в силу
теоремы 4.2 существует такое ^-отображение ф^ C-*Sq~[,
208 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
что скалярное произведение (ф (г), ф, (г)) положительно на С.
Рассмотрим отображение ty: tubTp->CXR, определяемое фор-
формулой -ф(z) — (prt(z), {z — j°prx(z), (fi(z)}). Оно принадлежит
классу Я?г, и если геС, то дифференциал
dj(z$: Tang/(z) (tubt р) -> TangBi 0) (С X R) = (Tang2 С) © R
изоморфно отображает Tang/(z)/(C) на TangzС и переводит
вектор ф(г) в (ц>(г), ф,(г))еК. Сверх того, Tang/B)/(C) и ф(г)
содержатся в Tang/(Z)/(K), так что d/(z)i|j эпиморфно отображает
Tang/(z)/A0 на Tang(z_ 0) (С X R)- Поскольку dimTang/B)/ (Г) =
dimTang(z0)(CXR), мы видим, что d/B)a|> lTang/(z)/m, т. е.
di(z)(§ l/(v)ntub p)> есть изоморфизм. В силу теоремы 1.5.5, из
этого следует, что ^ф 1/(У)ГИиь р диффеоморфно отображает неко-
некоторую окрестность множества /(С) на некоторую окрестность
множества СХО. Пусть е — столь малое положительное число,
что произведение С X [— е, е] содержится в указанной окрест-
окрестности; ясно, что формула /(z,/)==/~1(iJ)~1(z, е/)) определяет
требуемое вложение /: СХ[-1, 1]->У.
9 (Следствие). Пусть Y — многообразие класса <8Т с 1 ^
г <! оо « X, X' — покрывающие его компактные подмногообразия
той же размерности. Если X П X' — часть каждого из краев дХ,
дХг, составленная из его целых компонент, то \АХ и \АХ' со-
составляют <ё''-диффеоморфизм многообразия Y на многообразие,
склеенное из надлежащим образом окаймленных многообразий
X,' X' посредством id(X[\X').
Простейшее применение
10. Компактные гладкие многообразия являются корсажи.
В замкнутом случае это следует из теорем 2.1, 3.7 и 3.5,
поскольку образ гладкого многообразия при дифференциальном
вложении в евклидово пространство является ретрактом вну-
внутренней части правильной трубки гладкой трансверсализации
вложения. Незамкнутый случай сводится к замкнутому теоре-
теоремой 1.3.6.4; действительно, компактное гладкое многообразие
обладает, согласно 5, замкнутым гладким удвоением и является,
очевидно, его" ретрактом.
6. Сглаживание отображений при наличии" края
1. Основные предложения этого пункта — теоремы 5 и 9,
обобщающие теорему 4.2. Лемма 2 нужна для доказательства
леммы 3, лемма 3 — для доказательства леммы 4, лемма 4 — для
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 209
доказательства теоремы 5,- леммы 7, 8 — для доказательства
теоремы 9.
2 (Лемма). Если функция f: RL —> R принадлежит классу "S""
с г < оо, то функция g: R->R, определяемая формулой
f(x) при
а(х)='
.i/"(—kx) при х^О,
также принадлежит классу <&т.
Нужно проверить, что при s ^ r
? (_ \)k+s C*tlksDsf @) = D'f @), '
т. е. проверить тождество E/i=_i (—1) Cr+lks = 0. Но оно де-
делается очевидным, если заметить, что его левая часть есть не
что иное, как «(г + 1)-я разность» целочисленной функции k*-^-ks,
вычисленная при k = — 1.
3 (Лемма). Пусть X — окаймленное сё>г-многообразие. Если
1^г<оо, то всякая функция из сё" (X, R) продолжается до
функции из <g"'(doppX, R).
Доказательство. Фиксируем двустороннее окаймление
/: дХУ<[— 1, l]^-doppZ многообразия дХ в doppX (см. 5.5) и
такую ^'-функцию a: R—>/, что а@=1 при f^O и а@ = 0
при t ^ 1/г. Если функция /: X -> R принадлежит классу С8Т,
то функция g: doppX-*R, определяемая формулами
g(x) = 0, если x?=dowX\{X{)l{dXX[0, 1/r])),
g (х) = / (л:), если лб][,
*(/(*, 0)==
a@Z(-l)fe^!f(/(y, -/г0), если ^е5Х, 0</<1/г,
продолжает /, и прямая проверка, основанная на лемме 2,
показывает, что g принадлежит классу (&г.
4 (Лемма). Пусть X — окаймленное сё>>г-многообразие и X' —
замкнутое ^>г-многообразие. Если 0<г<оо, то всякое ото-
отображение из ^Г(Х, X') продолжается до отображения из
^(doppX, X').
Доказательство. При г = 0 это очевидно. Пусть г > 0,
и пусть f<z=%r{X, X'). Фиксируем ^'-вложение j'.\ X'-+Rq',
его ^-трансверсализацию %' и правильную трубку Tubt'р'.
В силу леммы 3, координатные функции композиции ']' ° f про-
продолжаются до ^'-функций doppZ-^-R, т. е. j'°f продолжается
210 - ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ, 3
до некоторого "^'-отображения g: doppX—^W . Обозначим
через U окрестность края дХ в X, составленную из точек х,
у которых
dist (/' ° f (x), g (cop (*))) < Dist (/' (Г), R"' \ tub,' р'),
и построим для пары X, cop(X\U) "?"-функцию Урысона
ф: doppX—>/. Ясно, что для любой точки х^Х отрезок с кон-
концами j'°f(x), §(сор(л;)) лежит в tubT'р' и что формулы
Ji(x) = j'of(x), если х^Х,
h(сор (*)) = \' о f (x), если Jtel\(/,
h (сор (*)) = A - ф (сор (х))) g (cop (*)) + ф (сор (х)))' о f (х),
если х е Cl U,
определяют ^'-отображение h: dopp X -> Rq с /z(dopp X) с= tubT' p'^
продолжающее /' о /. Сквозное отображение
dopp X -^ tubT' p'
и служит "^'-продолжением отображения / на doppZ.-
5. Пусть X, X' — компактные <&>''-многообразия, причем X'
замкнуто. Если. 0^s<r^oo) то: (i) множество ^Т{Х, X')
плотно в ^S(Z, X'); (и) для всякого ^-отображения ф: дХ-*Х'
часть пространства <&S{X, Xr), составленная из '^''-продолжений
отображения ф, плотна в части этого пространства, составлен-
составленной из сё"^-продолжений отображения ф.
Доказательство. Отображение
^s(in: X-xioppX, idr): Vs(doppX,%')-+Vs(X, X')
переводит "^'-отображения в "^'-отображения, и, в силу леммы 4,
его образ исчерпывает C8S{X, X'). Поэтому (i) следует из плот-
плотности множества ^'(doppX, Xr) в "^(doppZ, X') [см. 4.2],
a (ii) — из плотности множества "^'-продолжений отображения ф
в части пространства "<Ps(dopp X, X'), составленной из "^-про-
"^-продолжений отображения ф (см. 4.9).
6 (Следствие). Пусть X, X'— замкнутые ^>т-многообразия
с l^r^oo. Если два отображения из Я2Т (X, X') гомотопны,
то они могут быть соединены %'-гомотопией ХУС.1-+Х'.
7 (Лемма). Для любых компактных (&>г-многообразий Х,Х'
с 1 ^г^оо отображение VdiX, Х')-*^т(дХ, дХ'), определяемое
формулой f н-*- ab /, является открытым.
Доказательство. Непрерывность этого отображения уже
была констатирована в 1.1. Чтобы установить его открытость,
остается, согласно 1.1.4.4, указать для заданного f e Wg (X, X')
такую окрестность 11 отображения ab/: дХ-^-дХ' в V(дХ,дХ)
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 211
и такое непрерывное отображение Ф: cU-+'$"d{X, X'), что
O(abf) = / и [ab(<D(g)): dX^dX']=g для любого gf=<il.
Фиксируем окаймления k: дХ X /-> X и k'\ дХ' X.I-+X', ^'-вло-
^'-вложение /': дХ'->R4'', его ^'-трансверсализацию %' и правиль-
правильную трубку Tutv p'. Построим, далее, такую ^'-функцию
а: / -> /, что а {t) = 1 при 0 < t < 1/3 и а @ = 0 при 2/3 < / < 1,
фиксируем такое положительное е, что f(k(dXy,[0, е])) с=
,к'{дХг XI), и обозначим через fb /2 сквозные отображения
Мы определяем 11 "как множество таких g^W(dX, дХ'), что
max,a w dist (f»/ (^), у' о g (у)) < Dist (/' (ах'), R9' \ tubT^ p'),
а Ф формулами
[Ф («)](«)-/(*), если x<=X\k(dXX[0,e]),
[Ф (Я)] (k {у, t)) = k' (prt- (f (f, (j/, 0) +
a № 1Г (f (У)) -i'°g (У)]), h [У, t)), если уедХ, t e= [0, e].
Что ^ и Ф обладают нужными свойствами, проверяется авто-
автоматически.
8 (Лемма). Пусть X, X' — компактные <&>г-многообразия.
Если l^r^oo, то множество сквозных отображений X—*•
X'—>doppX' с f &^гд{Х, X') открыто в части пространства
^r(X, dopp X'), составленной из отображений, продолжающих
отображения дХ-*дХ'.
Доказательство. Пусть fQ s ^ (X, X'). Обозначим сквоз-
сквозное отображение Х-^->Хг—>doppX' через g0 и фиксируем
окаймление k: dXy^I.^-X многообразия X и двустороннее
окаймление V: дХ'У^[— 1,1]—>doppX' многообразия dX'BdoppX'.
Фиксируем, далее, такие положительные б, т\, что: (i) go{k(dX X
[0, 6]))с=Г(дХ'Х(— 1, 1)); 00 для любой точки уе=дХ произ-
производная функции [0, б]->[— 1, 1], определенной формулой
[рг2: dXX[-U 1]-^[-1, Ц](Г1(ёо°к(у, /))), B)
всюду меньше — т). [Существование таких бит] следует из не-
непрерывности функции дХ X [0. l]-»-R, относящей точке (у, t)
производную функции, определяемой формулой B), в точке t,
и отрицательности этой функции на дХ X 0. В силу компакт-
компактности дХ, эта функция ограничена сверху отрицательной*
212 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
постоянной на дХ X 0 и на произведении дХУ( [0, б] с некоторым
положительным б.] Ясно, что ^-отображения g: J->dopp^',
обладающие свойствами (i), (ii) с g вместо g0 и такие, что
g{X \ k {дХ X [0, б)» с= int Xе, составляют в <&r {X, dopp X') от-
открытое множество. Остается заметить, что пересечение этого
множества с частью пространства <&Т{Х, doppX'), составленной
из отображений, продолжающих отображения дХ-+дХ', пред-
представляет собой окрестность отображения g0 в множестве сквоз-
сквозных отображений X-U X'-^>doppX' с f<=<$rd{X, X').
9. Пусть X, X' — компактные сё>г-многообразия. Если 1 ^
s<r^oo, то: (i) множество ^{Х, X') плотно в ^%(Х, X')\
(ii) часть пространства 9&% (X, X'), составленная из Ч?г-продол-
Ч?г-продолжений заданного отображения ф из <ё" (дХ, дХ'), плотна в части
этого пространства, составленной из ^-продолжений отобра-
отображения ф.
Доказательство. Лемма 7 и теорема 4.2 (примененная
к многообразиям дХ, дХ') показывают, что в <&1{Х, X') отобра-
отображения g с [abg: дХ-^-дХ'] е Ч?г(дХ, дХ') составляют всюду-
плотное множество. Таким образом, (i) следует из (ii), и нам
достаточно доказать (ii).
Пусть / — продолжение отображения ф, принадлежащее
^д{Х, X'), и '?/-—его окрестность в ^з{Х, X'); мы должны
показать, что Ш содержит ^"'-продолжение отображения <р.
В силу 8, в C&IS{X, doppZ') у сквозного отображения X—*¦
X'—>doppZ' имеется такая окрестность Т, что если ?е7и
g(dX)<=dX', то g(X)czX' и [ab g: X->X'\^<U. Поэтому нам
достаточно найти ^-продолжение отображения ф в У, а такое
продолжение существует в силу 5.
10. Сопоставляя теоремы 5 и 9 с теоремами 1.2 —1.6, мы
видим, что при l^s<r^oo: для любого компактного
'^'^''-многообразия А' и любого замкнутого '^^''-многообразия X'
множество Imm'"(X, Xr) плотно в \mvas{X, X'), множество
Subm'U, X') плотно в Subms(X, X') и множество ЕтаЪ'(Х, X')
плотно в Embs(X, X'); для любых компактных ^^'-многообра-
зий X, X' множество правильных вложений из ^{Х, X') плотно в
множестве правильных вложений из <S'S (X, X') и множество
Diff(J, X') плотно в Т>Ш5(Х, Хг).
11 (Следствие). Если два компактных <&>Г-многообразия
с I^f^oo диффеоморфны, то они W-диффеоморфны.
12 (Информация). Теоремы 5 и 9, подобно теореме 4.2,
верны и при г —а (ср. 2.4). Мы обошли этот случай ввиду его
трудности.
Теоремы 4.2 и 5, 9 (вместе со своими "^"-вариантами) сохра-
сохраняют силу и'для некомпактных X, X''. Однако это обобщение
§ 4) ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 213
представляет лишь ограниченный интерес; например, его недо-
недостаточно для того, чтобы отбросить в формулировке 11 усло-
условие компактности, хотя это и возможно. Адекватное перенесе-
перенесение теорем 4.2 и 5, 9 на некомпактный случай связано с более
сильными топологиями, чем ^'-топологии, определенные в 1.1,
и требует более сильных аналитических средств, чем тео-
теорема 3.1.4. '
7. Приведение отображений в общее положение
/. Главной в этом пункте является его заключительная
теорема 7, служащая основой значительной части дальнейшего.
Подчеркнем, что она формулируется и доказывается только
в ^""-ситуации. В п. 9 мы дополним ее формулировкой, охва-
охватывающей ^""-отображения с конечными г (см. 9.10).
Техническая часть пункта состоит из теоремы 2, устанавли-
устанавливающей важнейшее топологическое свойство пространств сё'г(Х,
X'), и теоремы 4, которая представляет собой единственное
нужное нам следствие теоремы 3.2.3.
Чтобы разгрузить формулировки теорем 2 и 3, мы даем
специальное название пространствам, в которых пересечение
любого счетного набора всюду плотных открытых множеств
всюду плотно: мы будем называть их пространствами Бэра.
Технические теоремы
2. %?Г{Х, X') есть пространство Бэра для любых 4?>г-много-
4?>г-многообразий X, X' с О^г^оо.
Мы должны доказать, что для любых всюду плотных откры-
,тых подмножеств °ИХ, Ч1Ъ ... пространства ^Г{Х, X') и любого
его открытого подмножества W пересечение ^Tl (ЛГ=1 ^)
непусто. Пусть {ф;}^,, {^J^Li— занумерованные атласы много-
многообразия X, такие, что при каждом i множество Ki = Cl supp т|зг
компактно и содержится в suppqp*, причем i|5; = abcp?, и пусть
{q3/}"! , {¦ф^}°° —занумерованные атласы многообразия X', такие,
что при каждом / множество К] = Cl supp ^ содержится в supp <p^,
причем г|^ = abq/. Мы построим такие ^'-отображения f{: X->X',
f2: X—>Х', ..., такие открытые подмножества Ти Т2, ... про-
пространства С&Г{Х, X') и такие натуральные числа п{\), «B), ...,
что: (i) ft е= Тс, (и) если i>2, то Tt <~ Г?_,; (Hi) Cl Tt c= W[\ Ш,;
(iv) ft (Kt) <= U/if supp г|з^; (v) если s < i и t < n (s), то
f((ffenfr1(*O)<=suPPc& (vi) еслй i>2' s^1 и. (<п^'
то частные производные координатных функций локальных
214 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ. 3
представлений 1ос (ф5, ф^) ft, 1ос(ф5, <pj)f,_,, имеющие порядки
s^min(r, / — 2), различаются в точках множества ф,(^С,Л/7' (^0)
меньше, чем на 2~'. Этого и достаточно: в силу (v) и (vi) для
любых s,4 с t^.n(s) последовательность
равномерно сходится вместе с частными производными поряд-
порядков <> на фДэирр t|5sn f7' (SUPP 'Ф*)) к некоторому ^-отойра-
жению
Sst- Ф5 (supp ф, П f;' (supp ip't)) -> Im q?
сквозные отображения
supp фв Г) /71 (supp ^) i
Ф5 (supp г|53 П /7' (SUPP *<
составляют некоторое ^""-отображение g: X-*-X' [что множества
supp ^A/7'(SUPP ^) П0КРывают X, следует из (iv), а что ото-
отображения gsi согласованы на пересечениях этих множеств —
очевидно]; отображение g является пределом последователь-
последовательности fu f2, ... [в <&Г{Х, Х% и из (i), (И), (ш) следует, что g
принадлежит пересечению %°(](f\°°^leUi).
Построение проводится индуктивно. В качестве /j мы берем
какой-нибудь элемент пересечения W^\ШЪ в качестве ^ — ка-
какую-нибудь окрестность отображения \х [в ^r(X, X')] cC\Txcz
W{\°ll\ (напомним, что пространство ФГ{Х, X') регулярно —
см. 1.1). Предположим, что для некоторого k~^2 отображения
fi<='&T{X, X'), открытые множества Угс:^г(Х, X') и натураль-
натуральные числа n(i) с i <. k уже имеются и обладают свойствами
(i) — (vi). Обозначим через *§ множество таких ^-отображений
g: X^-Xr, что при s<&— I, ()
и частные производные координатных функций локальных пред-
представлений 1ос (ф^, ф^) g, loc (ф5, ф'() fk_v имеющие порядки
<min(r, k— 2), различаются в точках множества ys{Ks Г) /J1 {К))
меньше, • чем на 2~к. Очевидно, множество Ъ открыто и со-
содержит fk-i- Следовательно, оно пересекается с Ук-ь а так как ^*
всюду плотно, то и с Tk-iO^k- Мы принимаем за Tk какое-
нибудь непустое открытое множество с С17* ^Л^П^
§41 ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ- АППРОКСИМАЦИИ 215
за fk — какой-нибудь элемент множества Тк и за л (^ — какое-
нибудь натуральное число с fk(Kk)<^ U"Jf supp г|^. Что эти Tk,
fft, n,(k) обладают свойствами (i) — (vi) с г = &, очевидно.
3. Топологические многообразия являются пространствами
Бэра.
^Это — специальный случай теоремы 2, поскольку топологиче-
топологическое многообразие X может рассматриваться как ^(D0, X).
4. Пусть X, X' — многообразия класса W00 или <Wa. Если ото-
отображение f: X-+X' принадлежит классу с&°°, то образ f (F) мно-
множества F тех точек х из X, в которых dxf (Tangx X) ф Tangf (x) X',
представляется как объединение счетного числа нигде не плотных
множеств.
Доказательство. Пусть Ф, Ф'— какие-нибудь счетные
атласы многообразий X, X'. Представим для каждой пары
(ф, ф')еФХ Ф' множество supp ф П f~l (supp ф') как объединение
последовательности компактных множеств К\ (ф, ф'), К2{<$, ф')> • • •
и обозначим через С{ (ф, ф') множество точек х из /Сг(ф, ф')>
для которых якобиева матрица отображения 1ос(ф, ф')/ имеет
в точке ф(ж) ранг, меньший dim X'. В силу теоремы 3.2.3, каждое
из множеств f (Ct (ф, ф')) нигде не плотно, и ясно, что f (F) есть
объединение этих множеств.
Основная теорема
5. Пусть X], Х2, X' — гладкие многообразия и Аи А2 — под-
подмножества многообразий Xi, X2- Говорят, что гладкие ото-
отображения /у. Х\^*Х', f2- X2-*-X' трансверсальны {друг к другу)
на Аи А2, если для любых точек хх ^4 х2 е А2 с f\(x1)^^f2{x2)
векторное пространство Tangf (Xl)X' порождается своими подпро-
подпространствами dxj, (Tang^ J,), dxf2 (Tang^ J2), причем в случае,
когда точка хх является краевой, Tang^jj'порождается уже под-
подпространствами dxfl (Tang^ dZ,), dxJ2(TangxJc^), в случае, когда
точка х0 является краевой, — подпространствами dxj} (TangJCi ХЛ,
dxj2 (Tang^ дХ^, а в случае, когда обе точки xv x2 являются крае-
краевыми, — подпространствами d^f^Tang^dXX dxf2(TangxdX2).
Отображения f,: X{-^X', f2: X2-*rX', трансверсальные на Xv X2,
называются просто трансверсальными.
Сделаем три очевидных замечания. Первое: если dimXi +
dimZ2<dimX, то трансверсальность отображений fu f2 на Аи
А2 означает,- что /д{А{) и f2(A2) не пересекаются. Второе: если
отображения f.u f2 трансверсальны на множествах А{, А2, то
_они трансверсальны и на некоторых окрестностях этих множеств.
Третье: если Хи Х2, X' принадлежат классу <в>т с l^r^oo
и Аи-А2 компактны, то для всякого' отображения /2 из ^""(Хг, X')
216 - ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
множество таких отображений /j из ^г{Хи X'), что fu f2 транс-
версальны на Ль Л2, открыто в С8Г {Х\, X').
6 (Лемма). Пусть Хи Х2 — многообразия класса У?00 или ^а.
Если отображения /\: Zi—>-R" , /2: X^-^R" принадлежат классу ft00,
то в R" есть такое всюду плотное множество V, что для всякого
вектора oeF отображение Х\ —*¦ R4 , определяемое формулой
Х\ и-> f[ (л;,) + v, транс вер сально к f2.
Доказательство. В качестве V можно взять множество
точек v из R", удовлетворяющих условию: ни для одного из
четырех отображений mtXiXintX2-*-R4', intX{ XдХ2~>R"',
дХ\ X int Х2 -»¦ R4 ,, дХ\ X дХ2 -> R4 , определяемых формулой
(хи х2)>-> f2{x2) — fi{x{), v не является образом точки, в которой
дифференциал этого отображения имеет ранг, меньший q'.
Трансверсальность отображений ххн-*• f(x{) + v с aeF к f2
очевидна. Плотность множества V в R* следует из теорем 4 и 3.
7. Пусть Х\, Х2, X' — многообразия класса (ё>с° или с&а, при-
причем X' не имеет края. Если отображение f2: X2^X' принад-
принадлежит классу <&°°, то часть пространства ^(Xi, X'), составлен-
составленная из отображений, трансверсальных к /2, является пересече-
пересечением счетного числа всюду плотных открытых множеств.
Доказательство. Обозначим для подмножества А{ много-
многообразия Х{ и подмножества А2 многообразия Х2 через #~(Л,, А2)
множество ^"-отображений f,: Х{ -^> X't таких, что /ь f2 транс-
версальны на Д, А2. Ясно, что если Аи А2 компактны, то мно-
множество 3" {Аъ А2) открыто в ^""(Х], X'); мы покажем, что
если Аи Л2 компактны, то множество &~(Аи Л2) плотно
в ^(Xi, X'). Этих двух фактов достаточно: Хг можно пред-
представить как объединение последовательности компактных мно-
множеств /Сц, ^12) ••., а Х2 — как объединение последовательности
компактных множеств К2\, Кц, ¦¦-, после чего интересующая
нас часть пространства <S'ao{X\, X') [т. е. @~{Хи Х2)] предста-
представится как пересечение множеств #" (Кц, K2j)-.
Итак, пусть Аь А2 компактны, и пусть 11 — окрестность
[в <ё'а{Х\, X')} произвольно взятого ^""-отображения g{. X\-*Xr',
мы должны построить отображение, принадлежащее к^"(Ль Л2)
и 41. Построение состоит из двух частей: сначала мы сократим 41
до некоторой окрестности У отображения gu имеющей более
специальный вид, а затем построим отображение, принадлежа-
принадлежащее 0-(Л,, Л2) и Г.
s Положим dimXi = qi, dim^^^, AimX' = q'. Конструкция
окрестности Т начинается с того, что для каждой точйи л;'е/2(Л2)
фиксируется карта у'х,^к\\х,Х' с Imq/., — R4 и <$'х, (х') = 0. После
этого мы находим для каждой точки х2 е Л2 такую карту
фг^е Atl^X2, что: 1тц>2Хг = ид2 или R^2; ф2^ (х2) = 0; множество
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ* АППРОКСИМАЦИИ 217
Clsuppф2ж>компактно и f2(Clsuppy2xj сг[ф^ы]~! (intD"). Затем
мы покрываем Л2 конечным числом множеств ф^' (intD*')»
скажем, множествами ю (int ?>^), ..., %rl (int D), и обо-
значаем карту ф^ .х . короче через ty'jt а карту <р2х через -ф2/.
Затем мы находим для каждой точки xt e Д такую карту
q>jx^At\xXv что: Imф,^ = R'1 или R^; ф1л. (л:,) = 0; множество
С1зиррф1д;1 компактно и его образ gj(Cl эиррф1д.) содержится
при любом /=1, ..., 1ъ одном из множеств X' \ f2 (Cl supp r|52/),
[¦ф;] (int D^). Наконец, мы покрываем Ах конечным числом
множеств ф^1 (int Dq>), скажем, множествами ф,^.1 (int D4), ...,
Ф~' (intD'7'), и обозначаем карту фи через tyH. Множество Т
определяется как часть множества 41, составленная из такик
отображений hx: Xi~>X', что /?i(Cl supp ¦фи-) cj' \ f2 (Cl supp i]^/),
если ^(Clsupp^j^^crX'X/g^lsupp^/), и ft, (Cl supp ^и)с:
Г\(Ч>;)~! (Int D4'), если g, (Cl supp г|;и) czZ'\(^)"' (int D?')-
Что У есть окрестность отображения gi в ?МAЬ ^-оче-
^-очевидно.
Обращаясь к заключительной части построения, занумеруем
как-нибудь пары (г, /) с /=1, ..., k и /^l, ..., /в последо-
последовательность (гь /О, ..., (im, jm) [m = kl\. Мы сконструируем
индуктивно такие отображения /г?, ..., h™: X\—>-X/, что: (i)
h\^T; (ii) если r<s, то отображения h\, f2 трансверсальны
на of (iI7'). 'Фу' (Dqi). Отображение /if и будет принадлежать
пересечению @~{Аи А2)[\Т.
Положим /г° = f, и допустим, что отображения A'cs</<«
уже имеются й обладают свойствами (t), (ii). Если отображе-
отображения h\~\ f2 трансверсальны на -ф (/)"'). %f (^. т0 мы пола-
полагаем А| ^/г^. В противном случае множество /г^Чф^1 (D"'))
содержится в ^^~'(d'7') и, согласно лемме 6, в R" имеется
такое всюду плотное множество V, что если v e V, то сквозное
отображение
1ос
трансверсально отображению 1ос А|J, , ^ ") /2: Imt|J, ->R9 . По-
Построим какую-нибудь ^""-функцию a: R^-»-R, равную 1 на D4
и 0 вне концентрического шара 2D4 радиуса 2, и определим
218 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
для aeR' отображение g0: Х\->Х' формулой
,), если д;,еА
если х,е(Af-1) (supply.
Ясно, что go = h[~1, что g0 принадлежит классу <&со для любой
точки osR''h что отображение пространства R*' в 1го0(Z,, X'),
определяемое формулой v>—> g0, непрерывно. Следовательно,
в R4 имеется открытое множество U, содержащее 0 и такое,
что если ре(/, то отображение g0 принадлежит Т и отображе-
отображения gv, f2 трансверсальны на множествах ¦ф^1 (D4'), г|)~' (Dq')
с г < t. С другой стороны, из определения множества V видно,
что если v €= V, то отображения gv, f2 трансверсальны на
¦ф (D?1), ¦ф (pqi). Таким образом, мы можем принять за h\
отображение gv с любым v e
8. Отображения, трансверсальные к подмногообразию
/. Теорема 7.7 наиболее часто применяется в ситуации,
когда Х2 есть подмногообразие многообразия X', a f2 — включе-
включение. В этой ситуации мы будем пользоваться более сжатой
терминологией, именно, вместо того, чтобы говорить, что ото-
отображение ft: Xi^-X' трансверсалыю включению- in: X2-*-Xr,
будем говорить, что оно транс ее реально к Х2- Теорема 7.7
утверждает, что если Х{ и X' принадлежат классу <<РСО или &а
и X' не имеет края, то множество отображений из <&СХ'{Х\,Х'),
трансверсальных к Х2, плотно в '(<?'ОО(ХЬ X').
Особого внимания заслуживает еще более специальная ситуа-
ситуация, когда оба многообразия Х\, Х2 являются подмногообра-
подмногообразиями многообразия X'', а оба отображения /ь f2 — включе-
включениями. Если включения in: X\-*-X', in: X2-+X' трансверсальны,
говорят, что сами подмногообразия Хи Х2 трансверсальны.
Сопоставление теоремы 7.7 с 1.4 показывает, что, каковы бы ни
были подмногообразия Хи Х2 замкнутого ЯЗ0"- или ^-многообра-
^-многообразия, X', всякая окрестность включения in: Хх—*¦ X' в (ё>а>(Хи X)
содержит вложения, трансверсальные к Х2. Последнее утвержде-
утверждение часто высказывают более геометрично и более вольно: два
подмногоо&разия можно сделать трансверсальными сколь угбдно
малым шевелением любого из них.
^ К этим специальным ситуациям применимо, конечно, и упо-
упоминавшееся в 7.1 <ё><""-дополнение к теореме 7.7 (теорема 9Л0).
\
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 219
I
Заметим, что приведение двух подмногообразий в общее положе-
положение достигается на этом пути шевелением уже обоих подмного-
подмногообразий. ,
2. Пусть Хи X'— многообразия класса с^>т A^г<1а)
с dimZi = <7ь dimX' — q'uX2 — подмногообразие многообразия X'
с dim Х2 = q2- Пусть, далее, fx: Xt -*¦ X' — отображение класса <&г,
транс ее реальное к Х2 и такое, что fl(dXl)f]dX2czdX'. Тогда:
Xl2 = fj (X2) есть (<?, + q2 — q'yмерное W-подмногообразие много-
многообразия Х{ с дХ12 = f~ (дХ9у, это подмногообразие правильно,
если Х2 правильно; линейный гомоморфизм
"factrfj,: Tang^Z./Tang^^^Tang^^r/Tang^,,^ C)
является изоморфизмом для каждой точки Х\ е Xi2.
(Подразумевается, что подмногообразие отрицательной раз-
размерности — пустое множество.)
Доказательство. Второе утверждение является очевид-
очевидным дополнением к первому, третье делается очевидным, если
заметить, что факторпространства, стоящие в формуле C) слева
и справа от стрелки, имеют одну и ту же размерность. .Остается
проверить справедливость первого утверждения. Мы сделаем
это по схеме 1.2.12.
¦ Рассмотрим сначала для точки хх е Xi2 возможные распо-
расположения точки f\ (xi). Включение f i {x{) e int Х2 П дХ' исключено,
поскольку int Jl2 П <Э^Г' = 0 {Х2 — подмногообразие многообра-
многообразия X'). Включение f\ {х\) е дХ2 П дХ' исключено, если Х\ е int X\,
поскольку оно противоречило бы трансверсальности \\ к Х2
[если XjeintZi и fl(xi)^dX2[\dX/, то каждое из пространств
Imd^f,, Tangf(Xi)dX2 содержится в Tangf(XiNX' и эти простран-
пространства не могут порождать Tangf(Je) J']. Включение f l (х^ е д Х2 П
intZ' исключено, если Х\^дХи поскольку fl(dXi)()dX2czdX\
Таким образом, остаются четыре возможности: (i) *ieint.Xy,
fi (xi) e int X2 П int X'\ (ii). xx e int Xu f г (л;,) е= дХ2 f] int X'\ (iii)
^(' ) f{)f
Фиксируем карту ф' из Atl/, (Xi{eTXr, переводящую тройку
(ррф', J2flsupp9', fi{xi)) в одну из троек (R4', Rq\ 0), (Rq\
Rq2, О), (RI\ RI!, О), обозначим через ф', ..., ф^,"соответствую-
щие локальные координаты и рассмотрим функции ¦фь ...,
%'• К1 (SUPP ф')""*" R> определяемые формулой ^t (х) == ф^ (fi {x)).
Пересечение X^flff'(SUPP?O определяется в случаях (i), (iii)
и (iv) уравнениями ty4l+i(x) — Q ф?,(#) = 0, а в случае (ii)—
этими уравнениями и неравенством ¦ф1 (х) < 0. Покажем, что
в случаях (i), (iii) и (iv) эти уравнения, а в случае (ii) эти
220 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
уравнения и это неравенство, удовлетворяют условиям неза-
независимости, выставленным в 1.2.12.
В случае (i) нужно установить независимость в' точке хх
функций г|з?2+1, ..., tyq,; эта. независимость следует из равенства
dim("|f=lft+1Ker(fi?jei'ify)=<7' — q2, которое, в свою очередь, является
следствием очевидного включения dxjx (jL, +] Ker dxty.) с:
Тап?м*Л и Равенства Trfngfi(jei)Г = Imdj*+ Tang^^,
входящего в определение трансверсальности. В случае (п) нужно
установить независимость в точке хх функций ¦$,, i|) +1, . .., -ф ,;
доказательство повторяет предыдущее с заменой равенства
Tangfi ы X' = Im djl + Tangfi ы Х2 равенством Tangfi (л) Г =
Imrf^f,+Tangfi(j;i)(9Z2. Наконец, в случаях (iii), (iv) нужно
установить существование "^-функции -ф: f~l (эиррф')—>-R, обра-
обращающейся в 0 на дХ1 П fj"' (supp9'), отрицательной на IntXiO
/^'(эиррф') и такой, что функции ¦$, ^пЛ1, ..., ^^ независимы
в точке х{; это существование равносильно независимости
в точке хх сужений функций tyqi+l, •¦-, ^ на дХ{ П fj"' EиРРФ').
последняя же доказывается так же, как в случае (i), с заме-
заменой равенства Tangf {х) X' = Im dx f, + Tangf {x) X2 равенством
Tang, w Г = Ira dXi (/', |Mi) + Tang,' ы J2.
3 (Следствие). Пусть X\, X2 — трансверсальные подмногообра-
подмногообразия гладкого многообразия X', причем Хх правильно. Тогда
Х\ П Х2 есть (dim Xx -f dim X2 — dim X')-мерное под многообразие
многообразия X', притом правильное, если Х2 правильно.
Простейшие применения '
4. Пусть А — замкнутое подмножество замкнутого (ё>г-мно-
(ё>г-многообразия X и U — окрестность множества А. Если l^r^oo,
то в U имеется компактное подмногообразие В коразмерности 0,
содержащее А в своей внутренней части.
Доказательство. Пусть ф: Z—>•/—какая-нибудь ^-функ-
ция Урысона пары А, X \ U (см. 4.7) и с — число из интервала
@, 1), не являющееся критическим значением функции ф (см. 1).
Положим ? = ф-' ([0, с]). Это — прообраз подмногообразия
(—оо, с] прямой R при сквозном ^""-отображении X—>/—> R,'
трансверсальном к (—оо, с], и потому — подмногообразие ко-
коразмерности 0 (см. 2). Что В замкнуто как подмножество, что
А с Int В и что BczU, прямо следует из конструкции В.
5. Всякий коре гомеоморфен ретракту ориентируемого замк-
замкнутого ^^-многообразия. v
% 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 221
Доказательство. Пусть / — вложение корса X в S4
с достаточно большим q и U — окрестность множества j(X),
ретрагирующаяся на него. В силу теоремы 4, в U имеется ком-
компактное подмногообразие, содержащее j(X), и ясно, что удвое-
удвоение этого подмногообразия ретрагируется на j{X).
9. Повышение класса гладкости многообразия
1. Главное содержание этого пункта составляют теоремы 6
и 8. Леммы 2, 3, 4, 5 нужны для доказательства теоремы 6,
лемма 7 позволяет вывести теорему 8 из теоремы 6.
2 (Лемма). Пусть X, X' — многообразия класса <&>г с 1 ^
г^оо, причем, X компактно, а X' не имеет края. Пусть, далее,
А' — подмногообразие многообразия X'', замкнутое как самостоя-
самостоятельное многообразие, f: X -> X' — транс вер сальное к А' <&*-ото-
<&*-отображение с f (дХ) cz X' \ А' и р: X —> f~l (A') — ретракция, являю-
являющаяся <&г-субмерсией. Тогда в ^'{Х, X') существует такая
окрестность Ш отображения f, что если g^il, то: (i) g транс-
версально к A'; (ii) g {дХ) с X' \ A'; (Hi) p \g-\ {A): g-'iA')-*
fl (Л') есть субмерсия.
Доказательство. Мы определяем 11 как пересечение
трех открытых множеств: Л1и <U2, <иъ. Первое, eUu есть мно-
множество отображений из ^Т{Х, X'), трансверсальных к А'. Вто-
Второе, Щ2, есть множество таких отображений ge.c&r{X, X'),
что g{dX) cz X' \ А'. Третье, Но,, есть множество таких отобра-
отображений §Efr(I, Xr), что для любой точки x^g~l(Af) подпро-
подпространства KerdxP и {dxg)~x (TanggW Л') пространства l&ngxX
пересекаются в единственной точке 0.
Что множество CU{ открыто, мы уже знаем (см. 7.5). Откры-
Открытость множества €/2 следует из компактности множества дХ
и открытости множества X' \ А''. Открытость множества <U3
мы установим, дав ему другое описание. Для этого фиксируем
какое-нибудь '^"'-вложение у: X^-W и обозначим через С часть
многообразия TangX, составленную из таких векторов и, что
dp(u) = 0 и (dj{u), dj{u))=\. Ясно, что °Иг совпадает с мно-
множеством отображений §е?гA, X'), для которых dg{C)czz
Tang X' \ Tang А'. Открытость последнего вытекает из компакт-
компактности множества С, открытости множества Tang X' \ Tang A'
(в TangZ') и непрерывности отображения пространства ^Г(Х, X')
в <&г~1 (TangZ, TangJ'). относящего каждому отображению
из ^(Х, X') его дифференциал (см. -1.1).
Таким образом, множество %t -открыто, и ясно,' что
, f еШ и что для ге<М выполнены требования (i), (ii).
Что выполнено и (iii), нетрудно установить: из включения
222 ^ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, 3
g^cUi следует, что g~x(A') есть правильное подмногообра-
подмногообразие многообразия X (см. 8.2); благодаря включению g&tl2
это подмногообразие содержится в intX, и потому замкнуто
как самостоятельное многообразие; наконец, из включения
g е Щъ следует, что дифференциал dx (р |g_i (Л,}) является не-
невырожденным для любой точки х е g-1 (А').
3 (Лемма). Пусть X, X' — замкнутые гладкие многообразия
одной размерности и f: X -*¦ X' — субмерсия. Если многообра-
многообразие X' связно и прообраз некоторой его точки состоит из одной
точки, то f есть диффеоморфизм.
Достаточно установить обратимость f. Положим A' = f(X)
и обозначим через В' множество точек многообразия X', у ко-
которых прообраз состоит более чем из одной точки. Множе-
Множество А' открыло, так как отображение f, будучи субмерсией,
открыто (см. 1.5.8). Множество В' также открыто: если f(x\) =
f(x2) = xf и х2фхи то х1г х2 обладают в X непересекающимися
окрестностями Uu U2, на которых f является дифференциаль-
дифференциальным вложением, и f {U\) Л / (U2) есть окрестность точки х', со-
содержащаяся в В'. С другой стороны, множества А'', В' зам-
замкнуты: первое потому, что X компактно, второе потому, что
если Ub ..., Us — такие покрывающие X открытые множества,
что сужения f \v. являются дифференциальными вложениями, то
а множества f(X\Ut) замкнуты. Так как, наконец, X' связно,
А' непусто и В' не совпадает с X'', то А' = Х' и В/=0,
т. е. f обратимо.
4 (Лемма). Пусть'. X — компактное Ч?''-подмногообразие про-
пространства R17 с l^r^oo; U — его окрестность в W; X' — от-
открытое подмножество замкнутого ^"-многообразия, допускаю-
допускающего (ё"*-вложение в евклидово пространство. Если f — отобра-
отображение из <S'r{U, X'), то всякая окрестность в ^Г{Х, X') сужения
f \х содержит сужение некоторого отображения из Фа{Ц, X').
Доказательство. Сначала мы предположим, что само
X' — замкнутое ^"-многообразие. Обозначим через <U заданную
окрестность сужения f \х в сё"'(X, X') и фиксируем ^'-вложе-
ние '}': X'->R4', его ^"-трансверсализацию %' и правильную
трубку Tubt'p'. Так как отображение ^r(id, prT'): "8" (X, tutvp')-*
сё'г{Х, X') непрерывно, то прообраз множества 'U при этом
отображении открыт, и он непуст, поскольку он содержит ком-
композицию [ab/': Хг —> tubT' p'] ° /. Поэтому из теоремы 3.1.4 сле-
следует, что существует покоординатно полиномиальное отобра-
отображение g; &-ИиЬгр', сужение которого на X принадлежит
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 223
этому прообразу, и ясно, что композиция ргт' о g является тре-
требуемым отображением из <Fa(U, X').
Общий случай сводится к рассмотренному: если X' — откры-
открытое подмножество замкнутого ^"-многообразия У, то отобра-
отображение
^r(id, in).A Vr'(X, X')->^r{X, Y)
является топологическим вложением с открытым образом и
отображает %?а(Х, X') на пересечение этого образа с &а{Х, Y)
[ср. 4.6].
5 (Лемма). Для всякого компактного q-мерного W-подмно-
W-подмногообразия X 'пространства R4 с 1 ^ г ^ а и всякого компакт-
компактного подмножества А пространства R4 множество <ё"'-вложений.
f: X->R", таких, что f{lntX)zD А, открыто в <&r{X, R").
(В настоящем пункте эта лемма используется только для
случая, когда А — точка. В полной общности она нужна для
следующего пункта.)
Доказательство. Предположим сначала, что А — шар
пространства R4. Пусть сиг — центр и радиус этого шара, и
пусть f: X-+R4 — вложение класса fer с f(lntX)^D А. Обозна-
Обозначим через °И множество таких ^'-вложений g: X-+R4, что для
любой точки х ^ X
dist (f (x), g (x)) < min (r, Dist (f (Fr X), A)).
Поскольку 41 открыто в ^r{X, R.4) [см. 1.4] и содержит f, до-
достаточно показать, что если g е Щ, то g (Int X) zd А. Но если
ge'W, то пересечение g(FvX)f]A пусто, так что множества
g(X)(]A, g(Int X)[)A совпадают, ив то же время первое из
этих множеств замкнуто в *4, а второе открыто в А. Кроме
того, множество g{\niX){]A содержит g(f~[ {с)) [поскольку
dist {g (f~[ (с)), с) < г] и, таким образом, непусто. Следовательно,
g{lnlX)UA = A, т. е. g(\rAX)=>A.
К рассмотренному случаю очевидным образом сводится бо-
более общий случай, когда А — объединение конечного числа
шаров. Остается заметить, что в самом общем случае для лю-
любого ^'-вложения f: X -> R4 с f (Int X) => А существует конечное
число шаров, объединение которых содержит А и содержится
в f{lniX).
6. Для всякого замкнутого ЯЗТ-многообразия X с 1 ^ г ^ оо
существует ^"-подмногообразие евклидова пространства, <ё'г-диф-
феоморфное X.
Доказательство достаточно провести для связного X. Фикси- •
руем ^-вложение /: X-+R", его '^"'-трансверсализацию т и
правильную трубку TubTp и рассмотрим отображение f: TubTp-*
G' (q, n = dim X), относящее точке у e Tub^ p плоскость у — j °
Prt(j/) + (*°Т?тч(у))Х [которая проходит через точку у — hргх{у)
224 V ' ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
ортогонально торгт (г/)]. Ясно, что f трансверсально к G(q,n)
[уже сужения отображения /на прообразы pr~'(*) точек хе!
трансверсальны к G(q, n)] и что f~l(G(q, n)) = j(X). Отметим
в X какую-нибудь точку х0 и обозначим через V часть много-
многообразия G' (q, n), составленную из плоскостей, трансверсальных
к %{х0) [т. е. пересекающихся ct(jc0) по одной точке], и через я
отображение множества Vbx(xq), относящее каждой плоскости
из V точку ее пересечения с х(х0). В силу леммы 2, сужение
/ |Tub @/^ обладает в <Fr (TubT (р/2), G'(q, n)) такой окрестно-
окрестностью °и, что если ge'M, то g трансверсально к G(q, п), образ
g (д TubT (р/2)) содержится в G'{q, n)\G(q,n) и abprT:
g~l {G'{q, n))->-X есть субмерсия. Далее, в силу леммы 5,
множество ^"-вложений ф: dx(x0, р/2) -> х(х0) с ф(Int dx (xQ, р/2))э О
открыто в <S'r(dx(x0, р/2), т (*„)), и вследствие этого ЛТиьт (р/2)
обладает в ^(Tub^p^), G'(q, п)) такой окрестностью Т, что
если g е= Т, то g {dx {х0, р/2)) сг V и п ° [ab g: dT (д;0, р/2) -* F] есть
^-вложение с образом, содержащим 0. Так как G' (q, n) есть
открытое подмножество замкнутого ^-многообразия, допуска-
допускающего ^"-вложение в евклидово пространство (см. 2.2.10), то из
леммы 4 следует существование ^-отображения h: tubtp->
G'{q,n), сужение которого на Tubt(p/2) принадлежит Ш {\Т,
Положим У == Г/г lTub (р/г)]1 {G(q, n)). В силу теоремы 8.2, У есть
^"-многообразие, и остается заметить, что prT|K: Y -> X есть
диффеоморфизм. Последнее вытекает из леммы 3. Что условия
этой леммы выполнены, видно из включения h |Tub - /2) е <М П У:
что ргт \у есть субмерсия, показывает включение h |Tub @/2)e^,
а что прообраз (ргт |к)~' {х0) состоит из одной точки — включе-
включение П 1тиЪт (р/2) ^ Т-
7 (Лемма). Пусть X — замкнутое ^-многообразие с l^ir^^o
и А, В — его компактные подмногообразия, причем A cr int В и
dim В = dim J. Если В наделено ^^-структурой, суживающей
его <ё>'-структуру, то для любого замкнутого Ф*'-многообразия X'
часть пространства <&Г{Х, X'), составленная из отображений,
продолжающих отображения из <<Р°° (А, X'), плотна в <ёт (X, X').
Доказательство. Мы должны показать, что в W(X, X')
заданная окрестность <Ы заданного отображения f содержит
отображение, продолжающее отображение из <ёса (А, Хг). Фикси-
Фиксируем ^""-вложение \'\ X'-^R4', его ^""-трансверсализацию %
и правильную трубку TubT'p' и обозначим через Т часть про-
пространства ^Г(В, X'), составленную из отображений g, у кото-
которых max^s dist (Г о f (х), }' {g (*))) < DIst (/' {Xf), Rf \ tubv p').
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ, АППРОКСИМАЦИИ 225
Ясно, что множество У открыто и что для любых ge/
отрезок с концами i'°f(x), }'{g(x)) содержится в tub^p'. Фикси-
Фиксируем окрестность U множества дВ в В cCl U(]A=0, построим
^"""-функцию Урысона ф: В->1 пары Cl U, А и рассмотрим
отображение Ф: У-+'&"'(X, X'), переводящее g в отображение
f(x) при хе=Х\В,
ргХ' (A - ф (х)) /' о f {х) + Ф {х) /' (g (x))) при х г В.
Очевидно, что Ф непрерывно и что Ф (f \в) = f. Из этих
свойств Ф следует, что множество Ф~' {<U) открыто и непусто,
после чего из теоремы 6.5 следует, что оно содержит ^""-ото-
бражения. Остается заметить, что Ф переводит ^"-отображе-
ния в отображения, продолжающие отображения из ^"(Д X').
8. Всякое компактное ^-многообразие с 1^г<оо <&г-диф-
феоморфно ^-многообразию. Более того, если X — компактное
^-многообразие с 1^г<оо, у — многообразие класса ft00 и
г|э: У -» дX — диффеоморфизм класса &', то существуют ^-мно-
^-многообразие X' и ЯЗ1'-диффеоморфизм ф: X -> X', такие, что сквоз-
сквозное отображение *
является ^-диффеоморфизмом.
Доказательство. Композиция ^""-диффеоморфизма \|з X
id: УХ [—It 1] ->-дХ X [— 1, 1] с произвольным двусторонним
^"-окаймлением дХ X I— I, l]->doppJ представляет собой
"^'-вложение У X [—1> 1]->dopp J. Поскольку У X [—1, 1] —мно-
—многообразие класса Ф°°, образ В этого вложения получает
^-структуру, суживающую индуцированную ^'-структуру, и
ясно, что дХ с= int В. В силу теоремы 6, существует замкнутое
^"-многообразие Z с ^""-диффеоморфизмом doppZ->Z, а из
леммы 7 и теоремы 1.6 следует, что этот ^^диффеоморфизм
можно выбрать принадлежащим классу Ф" «а дХ. Образ мно-
многообразия X при выбранном таким образом диффеоморфизме
мы принимаем за X', а сокращение этого диффеоморфизма до
диффеоморфизма многообразия X на X' — за ф. Что эти X'
и ф обладают нужными свойствами — очевидно. v
9 (Информация). Теоремы 6 и 8 могут быть значительно
усилены: они верны и для некомпактных многообразий, и в тео-
теореме 8 вместо оо можно написать а. Однако в этих теоремах
нельзя отбросить условие г ^1: существуют замкнутые тополо-
топологические многообразия, не гомеоморфные гладким многообра-
многообразиям. Первый пример такого рода был указан в [12].
226 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Применение: дополнение к теореме 7.7
10. Пусть Х\, Х2, X' — компактные многообразия класса v?
с 1^г<оо. Если X' замкнуто, то часть произведения С&Г{Х1,
Х')У,сё'г(Х2, X'), составленная из транс вер сальных пар (fb f2),
всюду плотна.
Доказательство. В силу теоремы 8 существуют ^""-мно-
гообразия Уь У2, У с ^'-диффеоморфизмами У{->Х\, У2^-Х2,
Y'->X', вследствие чего достаточно доказать, что трансвер-
сальные пары составляют всюду плотное множество в ^'(Уь
У')Х ^г^Уъ У)- Но из теоремы 7.7 следует, что такие пары
составляют всюду плотное множество в <&ео{Хи У) X (&ж(Уг> У)>
а из теоремы 6.5 — что это произведение всюду плотно
в У'О'ьПХГЦ'г, У')-
10. Аппроксимация отображений
вложениями и погружениями
1. В этом пункте завершается выполнение программы, на-
намеченной в 4.1. Его главное содержание составляют теоремы
4 и 5. Технической основой служит лемма 3, из которой можно
извлечь и много других следствий; см., в частности, 11.11,
11.12 и 11.13.
Вспомогательные многообразия
2. Пусть X — замкнутое rt-мерное ^^'-многообразие с 1 ^
г^а.и /: X->W — вложение класса^'. Пусть, далее, m — на-
натуральное число, не превосходящее q. Нам потребуются две
конструкции.
Первая конструкция: мы обозначаем через Аихь или, под-
подробнее, Auxi(/;m), часть произведения Tang X X G {о, гп), сос-
составленную из таких пар {и, у), что (dj {и), rf/(«))=l й с?/(ы)еу,
и через auxj—отображение множества Auxj в G'{q, m), опреде-
определяемое формулой аих^м, у) = /(рг(ы)) + Y> где рг=[рг. TangX—>
X]. Множество Aux, является [2п— \-\-{т— \){q — /и)]-мерным
подмногообразием произведения Tang X X G (<7, гп) [оно служит
прообразом подмногообразия S"~- X G(q, tn) произведения R'X
G'(q, m) при отображении произведения TangXXG(<7, m)
в R'XG' {q, tn), определяемом формулой {и, у) v—*¦ {dj (и),
dj(u)-\-y)\ это отображение трансверсально к S4~xy^G{q, tn)].
Отображение auxj принадлежит классу (&г~1, и его образ со-
состоит из тех m-мерных плоскостей пространства R4, которые
содержат прямые, касающиеся j(X).
Вторая конструкция: мы обозначаем через Аих2, или,
подробнее, Аих2 (/; т), часть произведения XX,XX>G((]t tn),
§ 43 ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ, СГЛАЖИВАНИЯ, АППРОКСИМАЦИИ 227
составленную из таких троек (х, х\ у), что хф-х' и /(*') — j{x)^\,
и через аих2 —отображение множества Аих2 в G'{q, m), опре-
определяемое формулой аих2(х, х/, y) = /W + Y- Множество Аих2
является [2л + (аи—1)(<7 —/и)]-мерным подмногообразием про-
произведения X X X X G {q, m) [оно служит прообразом подмного-
подмногообразия G(q, m) многообразия G'(q, m) при отображении про-
произведения ((X X X) \ diag {X)) X G (<7> т) в G' {q, m), определяемом
формулой (х, х'', y)l—^-j{x') — / (jc) -+- \; это отображение транс-
версально к G(q, m)]. Отображение аих2 принадлежит классу *&*,
и его образ состоит из тех m-мерных плоскостей пространства R",
которые пересекают j(X) более чем в одной точке.
Основные теоремы
5 (Лемма). Пусть X — замкнутое п-мерное 4?>г-многообразие
с 1 <1 г <1 оо и /: X -*¦ R* — вложение класса <ё'г, наделенное
<?г-трансверсализацией х: X ->G(q, q — п) с правильной трубкой
TubTp. Тогда существуют такая окрестность 41 отображения т~:
X-*-G'(q, q — ri) [см. 3.2] в пространстве <ё'г (X, G'(q, q — п)) и
такое непрерывное отображение Ф: ^/-->Diff X, что для всякого
отображения g^aU: (i) [/°Ф(g)](x) eg(х) при хе X; (п) ото-
отображение tg: X-^-G (q, q — n), определяемое формулой xg (x) =
g (x) — [/ о ф (g)] (x), является трансверсализацией вложения
jo<$(g): X->R"; (iii) некоторая правильная трубка этой транс-
версалшации содержит трубку TubT(p/2).
Доказательство. Обозначим для gе$?*(X, G'(q, q — п))
через hg отображение трубки Tubxp в R4, относящее точке
г/еТиЬтр ее образ при ортогональном проектировании на
плоскость g(prT(y)). Очевидно, g^—^-hg есть непрерывное ото-
отображение пространства ^r{X, Gr(q, q — п)) в <5"'(TubTp, R*),
и ясно, что если§- = т'4', Tohg = [\n: TubTp-*-R9]; следовательно,
у т~" есть в 1ST (X, G' (q, q — п)) такая окрестность Т, что если
g&T, то hg — вложение класса (?г и hg (tubT p) zd TubT (p/2)
[см. 9.5]. Обозначим для gef через ig сквозное отображение
X _!^>Tub.(p/2) (abft,gr'>fej' (Tub. (p/2)) —% Tub, p -^> X
Очевидная проверка показывает, что g*->ig есть непрерывное
отображение окрестности Т в <&Т{Х, X) и что г-г— = id. Стало быть>
у g имеется в Т такая окрестность Ш, что если g^°U, то ig
есть диффеоморфизм, и мы полагаем Ф(#) = С1. Что Ф не-
непрерывно и что ?/иФ удовлетворяют условиям (i), (ii), (iii) —
очевидно.- - 1
4. Если X — компактное п-мерное 4?>г-многообразие с 1 ^
г^оо и Хг — замкнутое п' мерное 4?>г-многообразие, то при n'
228 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
множество Immr(X, X') плотно в ^Г(Х, X'), а при п'
множество ЕхпЪг{Х, X') плотно в ^Г{Х, X').
Доказательство достаточно провести для случая, когда г=оо:
случай г < оо сводится к случаю л = оо теоремами 9.6 и 4.2.
Пусть / — отображение из ^{Х, X') и Ш — его окрестность.
Мы должны доказать, что если ri ~^2п, то °11 содержит погру-
погружение, а если га'^2п+1, то °Ы содержит дифференциальное
вложение.
Фиксируем ^""-вложения /: X->R", /': X'-+R"' и определим
вложение /': X'->R"'+q = R"' X R* формулой /'М = (|'(Д0).
Фиксируем, далее, "ё^-трансверсализацию т' вложения /' и пра-
правильную трубку Tubt/p'. Ясно, что при любом />0 формула
Jt(x) = (jf(f(x)), tj{x)) определяет ^-вложение Jt: X-+R"'+q. Вы-
Выберем е столь малым, чтобы образ JB(X) лежал в TubT/(p72), и
обозначим /е короче через /. В силу леммы 3 (примененной к
многообразию X'', вложению /', трансверсализации х' и трубке
ТиЬт/р') существуют такая окрестность 41' отображения (т')"в
^(Х', G {q' + q, q' + q — n')) и такое непрерывное отображение
Ф': <U'->D\irxr, что для g'e=<U': (i)[/'оф'(g')l (x') e g'(О
при x'&X';{\i) отображение %'gr. X' -> G {qf + ?,?' + q — п'), оп-
определяемое формулой • Tg' (xf) == g' (x') — [/' ° Ф' {g')] (x), является
трансверсализацией вложения /°Ф'(?'); (iii) некоторая пра-
правильная трубка этой трансверсализации содержит TubX'(p'/2).
Рассмотрим отображение ХУ: <U'-*-W°°{X, X'), определяемое
формулой [4f/(g/)](x)==prl.//(/(A;)). Оно непрерывно и перево-
переводит т' в f, вследствие чего множество OF7) {°U) открыто в
^(Х', G' {q' + q, q' + q — n')) и непусто. ..В силу теоремы 7.7 из
этого следует, что (W)~l.(<№) содержит некоторое отображение h,
трансверсальное к отображениям aux,: Auxj (/; (f -\-q — п')->
G'{q' + q, q' + q-n') и aux2: Aux2(/; <f + q-rt)-+ G'{q' + q,
q' + q — n'). Мы покажем, что XV (h) есть погружение, если
п'^2п, и дифференциальное вложение, если п'^>2п+ 1. Этим
доказательство будет завершено, поскольку W (h) e CU.
Неравенство п' ^ 2п равносильно неравенству dim X' +
dimAuX](/; qf-{-q — п') <dimG'(q'+ q, q' + q — n'), и потому
при n'^2rt трансверсальность отображений aux,, h означает,
что h{X') не пересекается с Imaux,, т. е. что ни одна из пло-
плоскостей h(x/) с /el' не содержит прямой, касающейся J{X).
Последнее, в свою очередь, означает, что для любой точки
у е J(X) дифференциал d„(piy [ Л сужения prt/ |/(X) является
мономорфизмом, т. е. что это сужение, и с ним отображение
^'{h), является погружением.
Неравенство л'^2л+1 равносильно неравенству dimX' +
dimAuxa(/5 q' -\-q — n') < dim G'(q' + q, q'-\-q — n'), и потому
§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ* СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 229
при л'^2л+ 1 трансверсальность отображений aux2, h означает,
что h {X') не пересекается с Im aux2, т. е. что ни одна из пло-
плоскостей h{xf) с х'^Х' не пересекает J(X) более чем в одной
точке. Последнее, в свою очередь, означает, что сужение ргт/
взаимно однозначно. С ним взаимно однозначно и отображение
W (/г), а так как это — погружение, то это — дифференциальное
вложение (см. 1.5.4).
Вложения и погружения
в евклидовы простр" а н с т в а
5. Всякое компактное п-мерное ^'-многообразие с 1 ^г^оо
допускает &-погружение в R2" и ^г-вложение в R2"+1.
Это следует из теоремы 4 (в качестве X следует взять
заданное многообразие, а в качестве X' — сначала сферу- S2n,
затем сферу S2rt+1; мы оставляем в стороне тривиальный слу-
случай л = 0).
6 (Информация). В действительности всякое л-мерное 9?>г-
многообразие с г~^\ допускает при п~^\ ^-вложение в R2"
и при л^2 ^-погружение в R2rt~'. Если п положительно и не
является степенью двойки, то всякое /г-мерное ^>г-многообразие
с г^1 допускает &- вложение в R2", тогда как при любом
n = 2s с s^O существуют замкнутые гладкие л-мерные много-
многообразия, не допускающие и топологического вложения в Ft"
(таково, например, RPn). Всякое л-мерное ^""-многообразие
с г^ 1, не имеющее замкнутых компонент, допускает ^-вложе-
^-вложение в R2". Всякое ориентируемое л-мерное ^''-многообразие
с г^1 и пф\,А допускает ^-вложение в R2". [Допускает
ли гладкое замкнутое ориентируемое четырехмерное многообра-
многообразие дифференциальное вложение в R7 — неизвестно; топологи-
топологическое вложение всегда возможно.]
Дальнейшую информацию, подробности и литературные
указания можно найти в [20] и [18].
11. Упражнения
/. Показать, что для любых "^^'-многообразий X, X' о 0 ^
схэ пространство ^Г(Х, X') обладает счетной базой.
2. Показать, что если X — компактное ^^-многообразие8
1^г<[оо и!' — какое угодно "^'-многообразие, то множество
SubmrU, X^n&aiX, X') открыто в <Га(Х, X').
3. Показать, что всякое компактное топологическое много-
многообразие является корсом. (Ср. 5.10.)
23ft ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ, S
4. Примем за X гладкое одномерное подмногообразие пло-
плоскости К2, замкнутое как самостоятельное многообразие и содер-
содержащее график функции x>-^>-x?sm{l/x) на интервале @, 1), и за т
нормальную трансверсализацию включения X->R2. Показать,
что при любом р отрезок dx (@, 0), р) пересекает отрезок dx (x, р)
с некоторым х Ф @, 0). [Ср. 3.2.]
5. Пусть X — компактное ^""-многообразие с l^r^oo ni —
его подмногообразие. Показать, что при надлежащем выборе
окаймления многообразия X объединение A U сор (А) является
подмногообразием многообразия doppX.
6. Пусть X, Y — компактные ^'-многообразия с l^r^oo.
Показать, что: (i) произведение X X Y обладает ^""-структурой,
индуцирующей на int^X^ и XXintY обычную ^""-структуру;
(ii) ^'-многообразие, в которое X X Y превращается '«Р'-струк-
турой с этими свойствами, единственно с точностью до диф-
диффеоморфизма.
7. Пусть Х\, Х2, X — компактные "^""-многообразия, и пусть
f2 e "<?"(X2, X'). Показать,' что подмножество пространства
WgiXx, X'), составленное из отображений, трансверсальных к /2,
плотно в этом пространстве.
8. Пусть Х\, Xit X' и f2 обозначают то же, что в 7. Пока-
Показать, что, каково бы ни было ^-отображение qp: дХ\ -*• дХ',
трансверсальное к ab/г- дХ^-^-дХ', часть пространства
'S'd'iXi, X'), составленная из продолжений отображения <р,
трансверсальных к f2, плотна в части пространства 4?% (Х\, X'),
составленной из продолжений отображения ф.
9. Пусть X, X' — компактные ^^'-многообразия с 1 ^г^оо,
и пусть ф: дХ -* дХ' — погружение класса Фг. Показать, что
если dimX'^2dimX, то часть пространства ^rg{X, X'), состав-
составленная из ^'-погружений, продолжающих Ф, плотна в части
пространства ^{Х, Хг), составленной из продолжений ото-
отображения ф.
10. Пусть X, Хг — компактные "ё^'-многообразия с 1 ^г^оо,
и пусть ф: дХ^-дХ' — вложение класса сёг. Показать, что если
dim Х'^ 2 dim X + 1, то часть пространства ^Гд(Х, X'), состав-
составленная из ^'-вложений, продолжающих ф, плотна в части
пространства ^д(Х, X'), составленной из продолжений отобра-
отображения ф. [В частности, всякое компактное л-мерное "ё^'-много-
образие допускает правильное вложение в ZJn+1.]
//. Пусть X, ^' — замкнутые ^'-многообразия с 1 ^г^оо.
Показать, что множество ^'-отображений /: Х->Х', у которых
Tangf u)X' = ImdXi f -f Im dXj f для любых двух различных
хи х2^Х с }{xi) = f(x2), плотно в ^'{Х, X').
- S 61 ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 231
12. Пусть X, X' — замкнутые ^'"-многообразия с 1 ^г^оо.
Показать, что если dimX'= 2 dimX — 1, то множество Я2Г-
отображений f: Х->Х', у которых ранг дифференциала dxf
равен й\тХ во всех точках j;el кроме их конечного числа,
где этот ранг равен dimX — 1, плотно в ^Т{Х, X').
13. Пусть X, J?'— замкнутые ^^-многообразия с 1 ^г^схэ.
Показать, что если 2 dim X' > 3 dim X, то множество <5"'-ото-
бражений /: Х->Х', у которых прообразы точек не более чем
двуточечны, плотно в ^Т{Х, Хг).
§ б. ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
1. Функции Морса
/. Центральная теорема этого параграфа — теорема 2.10.
Ее главное содержание состоит в том, что всякое компактное
/г-мерное ^""-многообразие может быть получено из пустого
n-мерного многообразия конечным числом весьма стандартных
операций, так называемых пристроек.- Весь настоящий пункт и
предшествующая теореме 2.10 часть п. 2 посвящены, по существу,
подготовке к ее формулировке и доказательству, а остаток п. 2 —
ее следствиям. Она же позволит нам произвести в п. 3 эффек-
эффективное перечисление компактных гладких многообразий раз-
размерности 2.
То обстоятельство, что, в отличие от предыдущих парагра-
параграфов, мы почти всегда ограничиваемся здесь 'е -случаем, не
должно вызвать удивление: теоремы о сглаживании диффеомор-
диффеоморфизмов и многообразий (т.е. теоремы 4.4.4, 4.6.11 и 4.9.6,
4.9.8) показывают, что замена класса Ф00 любым классом (вт
с 1<>'<оо ничего не изменила бы в результатах излагаемой
теории.
Кобордизмы и функции Морса
2. Компактное "^""-многообразие X называется кобордизмом,
если многообразие 'дХ разбито на две части, дйХ и д\Х, состо-
состоящие из его целых компонент. Эти части называются началом
и концом кобордизма X. Каждая из них может быть пустой.
Пустота обеих означает, что X замкнуто, вообще же число
способов, которыми компактное ^""-многообразие X можно сде-
сделать кобордизмом, равно 21, где / — число компонент края дХ.
Среди этих кобордизаций всегда имеется одна без начала
(д(Д = 0, diX = dX) и одна без конца (доХ = дХ, д{Х = 0).
Два кобордизма X, X' называются диффеоморфными, если
существует такой диффеоморфизм (и, значит, существует такой
^""-диффеоморфизм) /:¦*-> Г, что / {д0Х) = дХ'1{дХ) дХ'
232 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Если X, X'— кобордизмы с диффеоморфными д{Х, д0Х' и
ф: diX—*-d0X' — диффеоморфизм класса (<Р°°, то многообразие У,
получающееся после склеивания как-либо окаймленных много-
многообразий X, X' по ф, в естественном смысле является кобордиз-
мом: мы полагаем д0У =[д0Х, dlY = dlX'. Говорят, что Y получается
из X, X' склеиванием по ф. Если кобордизмы X, X' ориенти-
ориентированы и ф обращает ориентацию (ориентации многообразий
д{Х, дйХ' индуцируются ориентациями многообразий X, X' —
см. 1.3.4), то мы наделяем У ориентацией, определяемой требо-
требованием, чтобы оба вложения X—>Y, X'-*-Y сохраняли ориен-
ориентацию. Предостережение: это определение ориентации склеен-
склеенного кобордизма не согласуется с определением ориентации
склеенного многообразия, данным в 4.5.5.
Замкнутые гладкие многообразия Vo, У\ называются кобор-
дантными, если существует кобордизм с началом, диффеоморф-
ным Vu, и концом, диффеоморфным ]/г. Если Уо и V] ориен-
ориентированы и существует ориентированный кобордизм X с диф-
диффеоморфизмами Vo—>д0Х, Vi—*-diX, один из которых сохраняет
ориентацию, а другой обращает, то говорят, что Vo, V\ ориен-
ориентированно кобордантны. Очевидно, что кобордантность и ориен-
ориентированная кобордантность рефлексивны и симметричны, а
возможность склеивания кобордизмов показывает, что эти отно-
отношения и транзитивны, т. е. являются эквивалентностями.
3. Критическая точка х ^-функции /: Z->R, где X — много-
многообразие класса W**2, называется невырожденной, если для неко-
некоторой (и, значит, для любой) карты ф е Atl* ^2Х точка ф (х)
является невырожденной критической точкой функции (J lsupp(p) °
<р~': 1тф—»-R (см. 3.3.1). Соответствующий индекс также не
зависит от выбора карты ф (см. 3.3.1); он называется индексом
точки х по отношению к f.
^""-функция f: X->R, где X — кобордизм, называется
функцией Морса, если: Imfczl; 1~1{0)=д0Х и f1 {\) = diX; все
критические точки функции / содержатся в intX и невырождены.
Функция Морса называется правильной, если ее значения
в различных критических точках различны.
Локальная структура функций Морса
4. Пусть X — кобордизм размерности п. Если /: X —> R —
функция Морса, то для любой точки х е X существует такая
карта q>^AUxX с ф(х) = 0, что сужение /18иррф совпадает со
сквозным отображением
где правая стрелка обозначает функцию
§ S] ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 233
если х е д0X, функцию
Hi *
если х е д[Х, функцию
если х лежит в intX, но не является критической точкой функ-
функции f, и функцию
(ti,..., tn)^f{x)-U- ...-4 + 4+1+ ... +/«>
если х — критическая точка индекса k.
В первых трех случаях для доказательства достаточно заме-
заметить, что функция X—>R, определяемая формулой уь—fi
f(x), если ш int X\Jd{X, и формулой y-^ — fiy), если * <=
включается в окрестности точки х в систему координат
(см. 1.2.12). В четвертом случае мы можем сослаться на тео-
теорему 3.3.3.
5 (Следствие). Множество критических точек функции Морса
конечно.
Теорема существования
6 (Лемма). Для любой ^-функции f: D"->R существует
такое открытое всюду плотное подмножество А пространства Rn,
что если а е А, то функция Dn~*-R, определяемая формулой
x^f(x)-(a, x), A)
не имеет вырожденных критических точек.
Доказательство. Рассмотрим отображение grad/: Dn->R
с координатными функциями DJ, ..., DJ. В качестве А можно
взять Rn \ [grad /] {F), где F—множество таких точек xeD",
что ранг дифференциала dj-grad/ меньше п. Что это множество
плотно, следует из теоремы 4.7.4, что оно открыто, очевидно.
Ясно также, что если х е D" — критическая точка функции A),
то [grad /] {х) = а и матрица вторых частных производных функ-
функции A) в точке х совпадает с матрицей дифференциала dx(gradf)
по отношению к стандартным координатам в Tang*/)" и TangaR";
следовательно, если аеА, то эта матрица вторых частных
производных невырождена.
7. На всяком кобордизме существует правильная функция
Морса.
Сначала мы покажем, что если на кобордизме X существует
какая-нибудь функция Морса, то на X существует и правиль-
правильная функция Морса. Пусть хх, ..., хт — критические точки
функции Морса f: X-+R и Uu .,., Um — попарно непересекаю-
непересекающиеся окрестности этих точек в int X. Пусть, далее, Vu .. .,Vm —
234 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ. 3
такие окрестности точек х ,хт, чтоС1 VtczUi, .. .,С1 VmczUm,
и Ф1»--м Фт — какие-нибудь функции Урысона пар (X \ 0и
CIV^), ..., (X\Um, Cl Vm), принадлежащие классу (?>°°. [Суще-
[Существование таких функций Урысона следует из теоремы 4.7,
которая делается применимой к нашей ситуации после удвоения
многообразия X.] Ясно, что если 8j, ..., em достаточно близки
к нулю, то функция, определенная на X формулой * !—¦> f (ж) +
е1Ф1 М + • • • + еотфот (х), как и f, является функцией Морса и
не имеет критических точек, кроме хи ..., хт. Ее значения
в точках хи ..., хт равны fC*i) + ei, ..,, f(xm)-\-em, и надле-
надлежащий подбор чисел еь ..., гт делает эти значения попарно
различными.
Покажем теперь, что на X существует функция Морса.
Фиксируем окаймление k: дХХ.1-+Х и ^""-функцию |3: /-»¦/,
равную 1 на отрезке [0, 1/2] и 0 в окрестности точки 1, и опре-
определим функцию g: X-+R формулами
g(х) = Y> если xe=X\k(dXX[0, 1)),
g (k (z, /)) = -1 + -1 (/ — 1) p (/), если z e d0X, t <~ /,
g(k{z, /)) = l + l(i_/)p(/), если zediX, /e/.
Ясно, что g принадлежит.классу сё>°°, отображает X в /, д0Х в О
и дхХ в 1 и не имеет критических точек в k {дХ X @, 1/2]).
Построим такие карты фь ..., ф8 из AtlX, что 1тф!= ...=
Im q>s = Rn, гдел=сПт X, и множестваф~' (intZ)"), ..., ф (intD")
покрывают X \ k {дХ X [0, 1/2)). Построим, далее, ^"-функцию
a: R"->/, равную 1 на Dn и 0 вне концентрического шара 2D"
радиуса 2. Мы сконструируем индуктивно такие функции*
§о. • • •. Ss' X-*-R, что gl совпадает с g в окрестности края дХ,
отображает intX в Int/, не имеет критических точек в &(<ЭХХ
[0, 1/2]) и не имеет вырожденных критических точек в \j{j=ml ф~' (D").
Функция gs и будет функцией Морса на X.
Положим go = g и допустим, что при некотором k^l
функции gt с i < k имеются и обладают перечисленными свой-
свойствами. Формула
gh_x (х), если х е X \ q>^ BD%
gk-i (x) — (а, фй (х)) а о фй (х),
если х е supp ф4,
определяет для любой точки aeR" "^""-функцию ha: X-*• R,
совпадающую с gk-i в окрестности множества дХ и совпадаю-
совпадающую с gk-\ на всем X, если а = 0. Очевидно, у точки 0 есть
в R" такая окрестность U, что если aet/, то ha не имеет
§ 8! ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 235
критических точек в k (дХ X [0, 1/2]), не имеет вырожденных
критических точек в U/Г,1 Ф/ Ф") и отображает intjf в Int/.
В силу леммы 6, в U можно найти такое а, что па не имеет
вырожденных критических точек и в ф^1 (Dn), и такую функ-
функцию ha мы принимаем за gk.
2. Кобордизмы и хирургия
1. Этот пункт посвящен специальным операциям над кобор-
дизмами — пристройкам и перестройкам. Пристройки уже
•упоминались в 1.1. Перестройки проще пристроек, но и воз-
возможности их более ограничены: мы определяем их только для
замкнутого случая, и с их помощью можно получить из зам-
замкнутого ^""-многообразия лишь кобордантные ему многооб-
многообразия.
Стандартные кобордизмы
2. Мы определяем стандартные кобордизмы двух родов:
стандартные тривиальные кобордизмы и стандартные элементар-
элементарные кобордизмы индекса k. На каждом стандартном кобордизме
имеется стандартная функция Морса.
Стандартный тривиальный кобордизм определяется по про-
произвольному замкнутому ^""-многообразию V. Это — просто
цилиндр V XI с «Э0(УХ/) = У ХО и d!(KX/) = VX 1. Соот-
Соответствующая стандартная функция Морса определяется фор-
формулой (v, t)*—>t и не имеет критических точек.
Стандартный элементарный кобордизм индекса k опреде-
определяется по произвольному замкнутому (п—1)-мерному ^""-мно-
гообразию V с «^ k и произвольному ^""-вложению qp: 5й X
?>"-*->- V и обозначается через Е1 {V, ф). С точностью до гомеомор-
гомеоморфизма это (V X Л U<s,l(DkXDn~k), где 9i —отображение произведе-
произведения S* X Dn~k в V X /, задаваемое формулой q)j {х, у) = (q> (x,
у), 1). Чтобы, определить Е1(К, ф) как ^"-многообразие, обоз-
обозначим через Е(п, k) множество
и через el — гомеоморфизм пересечения Е {п, k) П [К" \ (R* X
Int (i- Dn-k))] на цилиндр <p(sk~l X (Dn~h \ Int(^- Dn~k))) XI,
задаваемый формулой .
/У+ ... +ti, {tk+u .... tn)), ¦
236
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. 3
Как топологическое пространство, Е1(У, ф) представляет собой
результат склеивания цилиндра \V \y\Sk~l X Int(-g- Dn~ jJjX/
с E (n, k) по гомеоморфизму el (см. рис. 5). "^""-структура
в El {V, ф) определяется атласом, составленным из каких-
нибудь атласов «'"-многообразий [V \ ф (s6 X (у ?>""*))] X /
\
А, Аг А3 Af
Аг Ав
6,AS AeBs
¦ Рис. Б (п = 2, k = \).
и Е{п, ^)fl(R*X Int ?)""*) [последние рассматриваются как
части пространства Е1(К, ф)]. Начало «5OE1(V, ф) составляется
из множеств
конец diEl(V, ф) — из множеств
[F \ Ф (S*-1 X Int A Я"
XI,
Стандартная функция Морса составляется из функций
[V \ф(S*-1 X Int (f Dn~k))]XI-+R,E{n,k)-+ R, определяв-
§ 5] ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 237
мых формулами (о, /) i-э- /, (f, /„) *-* 8 (-^- — /? — ... —1\ +
... + й); она имеет единственную критическую точку
(«, &), и индекс этой точки равен k. Обозначение стан-
стандартной функции Морса: то.
Фундаментальное свойство всех стандартных кобордизмов,
построенных по V, состоит в том, что начало каждого из них
канонически ^""-диффеоморфно V: в случае стандартного три-
тривиального кобордизма диффеоморфизм определяется формулой
v |—» (а, 0), в случае кобордизма Е1(У, ср) — составляется из ото-
отображения
определяемого формулой v *—> (v, 0), и отображения
i, .... tn)^E(n, k)\-i\- ...-
определяемого формулой
+ 4+1 + ••• + ^n > /fc+l, •••, tn\.
/ft
3. Конструкция стандартного элементарного кобордизма
наиболее проста в случаях, когда индекс k равен 0 или п.
Если k = 0, то ф вкладывает в V пустое множество, Е («', k)
есть шар -rDn и гомеоморфизм el связывает пустые множе-
множества. В этом случае подобное растяжение шара Е(п, k) [с ко-
коэффициентом 4] превращает Е1(У, <р) в сумму (УХ/)и/)".
с д0 [{V X /) U Dn] = in, {V X 0), а, [(V X /) U Я"] = (V X 1) U S"-1,
а стандартную функцию Морса — в функцию, составленную
из функций VXI->R, Dn-+R, определяемых формулами
Если k — n, то ф вкладывает в К сферу S" ', образом
этого вложения служит одна из компонент многообразия V
(см. 1.5,1), Е(п, k) снова есть шар -jDn и гомеоморфизм el
снова связывает пустые множества. В этом случае подобное
238 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
растяжение шара Е(п, k) превращает E1(F, ф) в сумму
([(П])
а стандартную, функцию Морса — в функцию, составленную
из функций [у \фE"~')]Х/->К. D"->R, определяемых фор-
формулами (о, t)^t, (tu ..., /„)•-»-A-й- ... -tl)/2.
Заметим еще, что k = 0 и k = n— единственные значения
индекса, при которых стандартный элементарный кобордизм
может иметь связный край, причем в случае k = 0 край связен
тогда и только тогда, когда исходное многообразие V пусто,
а в случае k = n— тогда и только тогда, когда ф является
диффеоморфизмом. Согласно предыдущему, в обеих ситуациях
кобордизм диффеоморфен шару Dn.
Тривиальные кобордизмы
и элементарные кобордизмы
4. Кобордизм называется тривиальным, если он диффео-
диффеоморфен стандартному тривиальному кобордизму. Кобордизм
называется элементарным кобордизмом индекса k, если он диф-
диффеоморфен стандартному элементарному кобордизму индекса k.
Из этих определений видно, что если X — тривиальный
кобордизм, то многообразия даХ, д\Х диффеоморфны, и что
на тривиальном кобордизме существует функция Морса без
критических точек, а на элементарном кобордизме индекса
k — функция Морса с критической точкой индекса k и без
других критических точек.
5 (Лемма). Пусть X, X' — такие кобордизмы, что много-
многообразия diX, д0Х' диффеоморфны. Если кобордизм X' тривиален,
то кобордизм, получающийся из X, X' склеиванием по произ-
произвольному ЯЗ™-диффеоморфизму diX—>-d0X' (и произвольным
окаймлениям многообразий X, X'), диффеоморфен X.
В силу теоремы 4.5.9, достаточно построить для заданного
^""-диффеоморфизма ф: д{Х->д0Х' такие ^""-вложения j:~X—>X,
/': х'->х, что /шиу'(Л = *. 1(Х)пПх') Пдх) Г(')
и сквозной диффеоморфизм
совпадает с <р-1. Фиксируем для этого: окаймление k: дХ У.;
такой «""-диффеоморфизм f: Х'^д0Х'Х1, что /(*') = (*', 0)
для любой точки х' ед0Х'; возрастающую ^""-функцию а: /->/,
такую, что <х@ = A/2) + (//3) при КЗ/4 и «(/) = / при />7/8.
§ SI ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 239
Определим, далее, функцию р: /->/ формулой р@ = A—/)/2
и положим
/ (х) = х, если x<=X\k (дхХ X [0,' 1)),
/ (k (z, t)) = k(z,a (/)), если z s дгХ, t e /;
Прямая проверка показывает, что / и ']' обладают нужными
свойствами.
6. Кобордизм, на котором существует функция Морса без
критических точек, тривиален.
Доказательство. Пусть f: X —>R — функция Морса без
критических точек. Согласно 1.5.8 (или, если угодно, 4.8.2),
прообраз /~'@ каждой точки t интервала @, 1) является пра-
правильным подмногообразием кобордизма X, и очевидно, что этот
прообраз замкнут как самостоятельное многообразие (прооб-
(прообразы f~1(O) = doX, f~l (l) = diX также представляют собой замк-
замкнутые многообразия). Из теорем 4.5.3 и 4.5.8 следует, что при
любом /е/ у f~} (t) есть окрестность Ut с некоторой ^""-суб-
мерсией щ: Ut->/~' (t), тождественной на /"' (t). Определим
для /е/ отображение Ft: Ut-^-f~\t)y^l формулой Ft(x) =
(щ (х), f (x)). Ясно,-что Ft принадлежит классу Ф°°, что диф-
дифференциал dxFt не вырождается, если х е f~[ (/), и что Ft
диффеоморфно отображает f~l [t) на f~' (t) X t. Следовательно, Ft
является ^""-вложением на некоторой окрестности множества
f~l (t) [см. 1.5.5], т. е. диффеоморфно отображает прообраз FT1 (A^)
некоторой окрестности А, точки t (в /) на /~'(/)ХА<. Пусть m
столь велико, что каждый из отрезков, на которые / разбивается
точками 1//и, ..., (пг — 1)//и, содержится в одном из множеств Af.
Тогда все кобордизмы /"'([(/—l)//n, i/m]) с dof~l ([(г— 1)/ш,
i/m]) = Г1 (V - !)/«). dj~l ([(i - \)lm, i/m]) = /"' (i/m) триви-
тривиальны, и из леммы 5 следует, что и весь кобордизм X три-
тривиален.
7. Если на кобордизме X существует функция Морса с един-
единственной критической точкой и эта критическая точка имеет
' индекс k, то X есть элементарный кобордизм индекса k.
Мы начнем доказательство, которое довольно длинно, с. по-
построения некоторого вспомогательного кобордизма У. Фиксируем
функцию Морса /: A'->R, имеющую единственную критическую-
точку индекса k, скажем, х, и не имеющую других критических
точек. В силу теоремы 1.4, существует карта' ф е Atl* X
с ф(х) = 0, такая, что сужение f Isuppq) совпадает с композицией
240 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
отображения ф и функции Imqp-»-R, определяемой формулой
Ясно, что множество 1пкр содержит часть пространства R",
определяемую в стандартных координатах неравенствами
/1+1+ ...
с некоторым положительным е. Обозначим эту часть через А
и положим
в = 4n(R*x(R"~*\lnt D Dn-k))).
Как топологическое пространство, Y представляет собой резуль-
результат склеивания подмножества
многообразия X с произведением Sk~l \2Dn~kУ.I по гомео-
гомеоморфизму
Ф (В) -> S*-1 X [BDn~k) \ Ш A Dn~k)\ X /,
определяемому формулой
«г1 d,.... Q^( ^М==, (tk+u .... tn),
VV<?++|
ГМы пользуемся здесь неравенствами -yjr < f(x) < 1 — -у^-, ко-
которые являются очевидными следствиями включения Aczlmф.]
"^""-структура в Y определяется атласом, составленным из
каких-нибудь атласов ^""-многообразий f"' Г / {х) —%¦, f (x) +
^¦])\С1ф~'(^\В) и S*-'XIntBZ)"-ft)X/. Начало d0Y
составляется из множеств
и S* X 2D" * X 0, а конец dxY — из множеств
и Sft-'X2?>"~ftXl.
§ 5i ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 24 i
Составим из функций
определяемых формулами у t—> ^г Г-^- —J- f (г/) — f (я)J, (и, v, ()*-*¦ t
[aeSw, о е= Int BDn~fc), le/], функцию g: Y ->R. Как по-
показывает очевидная проверка, g есть функция Морса без кри-
критических точек. (Из этого следует, в силу теоремы 6, что
кобордизм Y тривиален, однако его тривиальность не будет
прямо использована в дальнейшем.) Рассмотрим, далее, сквоз-
сквозное вложение
о X -О ¦> S X D X / *"
S* X Int BDn~k) XI^Y
и его сокращение ф: 5й X D"~ft->g~' A/2). Мы покажем, и
этим доказательство теоремы будет завершено, что кобордизм X
диффеоморфен El {g-1 {1/2), яр).
В качестве предварительного шага мы построим такое поло-
положительное б, меньшее -^, и такой ^""-диффеоморфизм
что для любых и е Sk~\ v e= Dn~k, t e [-^ — б, -g- +'б]
В силу теоремы 4.5.8, при некотором положительном т|, мень-
меньшем -j, существует ^""-субмерсия я: S ((¦j — 'n» Y + ^l)"*
^"'("о")' тождественная на Я (у)- Фиксируем ^""-функ-
цию a: R"~* -> R, равную 1 на Dn~k и 0 вне 2Dn~k, и опреде-
определим новую ^""-субмерсию р: 8~l^(j2~'t\> Г+ Ti)) "^"^~l (y)
формулой
{я (г/), если г/ ^ S* X Int BD"~*) X /,
n(u,v, 1 + (/_1)A_а(и))),
если у = {и, v, t), где aeSM,os 2?>"~ft, f е /.
242 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Определим, далее, отображение G: ?Г'((у — Л. у + Л ))-*..
формулой G(y) = (9(y), g{y)). По-
По) X
скольку G диффеоморфно отображает g-1 (~^j на g~' (-j) Xy
и дифференциал dyG не вырождается, если у е g-1 f-jj , то
существует такое положительное б, меньшее х\, что сужение
отображения G на ?~'(ly —S, y + 6 J является ^""-вложе-
нием, и ясно, что в качестве Н можно взять
Чтобы доказать, наконец, диффеоморфность кобордизмов X
и El fg-1 Гу1, ф), мы разрезаем каждый из них на три ко-
бордизма: X на кобордизмы /"' ЦО, /(ж) |-J^, /""' ^/ (х) 1-,
'w+-?-]).r1([/w+TL. 1]). аШ(*~1(т)-+) нак°-
бордизмы то-'([о, Y])' т0"'([т~5> ? + 6])'
то-1 My+ 6, 1 J. В каждой 'из этих троек первый и третий
кобордизмы тривиальны в силу теоремы б и, значит, второй
кобордизм диффеоморфен целому кобордизму. Таким образом,
нам достаточно построить диффеоморфизм
а такой диффеоморфизм можно составить из сквозного отобра-
отображения
(«- (т.
ab Я
(X \ф (Rfe X mtDn~k)) n Г ([/ W -^-. f W + Щ
и отображения
E(n,.k)Пmo-1 ( [1 - 6, | + б] ) ^
определяемого формулой (/ь ..., /„)>-»-ф-1(е'1» •••» e'n)-
§ 5] ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 243
8 (Следствие). Если на п-мерном кобордизме со связным
краем существует функция Морса с единственной критической
точкой, то этот кобордизм диффеоморфен Dn.
Пристройки
9. Пусть X — кобордизм размерности п и ф: Sft~'X ?>""*->
д\Х — вложение класса W00. Склеивание кобордизма X и эле-
элементарного кобордизма Е1(дД,ф) по каноническому диффео-
диффеоморфизму д{Х-*дйЕ\(д{Х, ф) (см. 2) называется пристройкой
индекса k.
Пристройка индекса 0 есть, с точностью до диффеомор-
диффеоморфизма, переход от X к X\JDn, причем новая компонента края,
т. е. in2(S"~'), присоединяется к д\Х, а пристройка индекса п —
склеивание кобордизма X и шара Dn по некоторому диффео-
диффеоморфизму одной из компонент многообразия д\Х на Sn~\
10. С точностью до диффеоморфизма всякий кобордизм X
может быть получен из стандартного тривиального коодрдизма
д0Х X / конечным числом пристроек. Какова бы ни была пра-
правильная функция Морса f: X—>R, пристройки можно выбрать
так, чтобы их число не превосходило числа критических точек
функции f.
Это доказывается,,, индукцией по числу критических точек
функции /. В случае, когда критических точек нет, достаточно
применить теорему 6. Если / имеет m^l критических точек,
то мы находим в интервале @, 1) такое с, что одно из крити-
критических значений функции / больше с, а остальные меньше с, и
разрезаем X на два кобордизма: /"'([О, с]) и f~* ([с, 1]). На
первом из них существует правильная функция Морса cm — 1
критическими точками, именно, функция х\—>f(x)/c. На втором
существует функция Морса с единственной критической точкой,
именно, функция x*—*-{f(x) — с)/A-*с). Остается заметить, что,
в силу теоремы 7, второй коёордизм элементарен.
//. Замкнутое п-мерное ^^-многообразие, на котором су-
существует функция Морса с двумя критическими точками, гомео-
морфно сфере Sn. .
Доказательство. Заметим, оставляя в стороне три-
тривиальный случай п == 0, что функция Морса с двумя критическими
точками правильна (эти точки должны быть точкой минимума
и точкой максимума). Поэтому, из теоремы 10 следует, что рас-
рассматриваемое многообразие можно получить из пустого много-
многообразия двумя пристройками. Ясно, что первая пристройка
имеет индекс 0, а вторая — индекс п, и, таким образом, мно-
многообразие является результатом склеивания двух экземпляров
шара Dn по, диффеоморфизму сферы Sn~l.
244 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Гомотопическое следствие
12 (Лемма). Кобордизм El (V, ф) гомотопически эквивалентен
V\JfDk, где f — отображение сферы Sk~l в V, определяемое фор-
формулой f(y) = q>(y, 0); более того, существует гомотопическая
эквивалентность V U/ Dk—>E1(K, ф), совпадающая на V с вклю-
включением У[=<Э0Е1(У, ф)]-»-Е1(У, ф).
Такую гомотопическую эквивалентность можно составить
из указанного включения и вложения Dk-*E\(V, ф), относящего
точке x^D* точку х/4^Е(п, k). Для доказательства доста-
достаточно заметить, что составленное так отображение V\JfDk—>
E1(V, ф) является топологическим вложением, а его образ —
строгим деформационным ретрактом пространства Е1(К, ф).
13. Всякое компактное п-мерное гладкое многообразие гомо-
гомотопически эквивалентно конечному клеточному пространству раз-
размерности ^.п.
Доказательство. Согласно сказанному в 1.2, мы мо-
можем считать предложенное многообразие кобордизмом с пустым
началом. Поэтому нужно лишь доказать, что если «-мерный
кобордизм гомотопически эквивалентен конечному клеточному
пространству размерности г?^«, то он сохраняет это свойство
после любой пристройки; см. 10. Но из леммы 12 следует, что
пристройка индекса k к кобордизму X производит тот же го-
гомотопический эффект, что приклеивание к X шара Dk по не-
некоторому вложению f: S ~'—>Х. Заменим кобордизм X гомо-
гомотопически эквивалентным ему конечным клеточным простран-
пространством Y размерности ^« и отображение / его композицией
с гомотопической эквивалентностью X-+Y, а затем заменим
эту композицию гомотопным ей клеточным отображением
g: Sk~1->Y (см. 2.3.2.4). Из теоремы 1.3.7.8 следует, что ко-
кобордизм, получившийся после пристройки, гомотопически экви-
эквивалентен пространству У \Jg Dk, которое является, согласно
2.1.5.5, конечным клеточным пространством размерности ^«.
' Перестройки
14. Пусть V — замкнутое «-мерное ^"-многообразие и
ф: Sh~l X?>"~*+1 -> V — вложение класса <&°°. Фиксируем какие-
нибудь окаймления многообразий V \фE*~1 XInt?>"~A+1) и
Dky^Sn~k и склеим их по диффеоморфизму аЬф: Sh~1y^Sn~k-+
Ф (Sft-I X Sn~k) края второго на край первого. Говорят, что
склеенное многообразие получается из V перестройкой по вло-
вложению ф. Число k называется индексом перестройки.
% g ПРОСТЕЙЦШЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 245
15. Если кобордизм X' получается из кобордизма X в резуль-
результате пристройки, производимой по вложению qp: Sk~] X.Dn~k->¦
diX, то diX' получается из diX в результате перестройки, про-
производимой по тому же вложению q>: 5 ""' X ?>"~ -*д\Х.
Доказательство. Поскольку д^Х' = д\El (д\Х, ср), наше
утверждение означает, что д\ Е1 {дхХ, ф) получается из Ь{Х пере-
перестройкой, производимой по ф. Напомним, что Е1 {д^Х, ф) есть резуль-
результат склеивания пространств \дхХ \q> (Sk~l X Int (tj Dn~k))\ X/
и Е(п, k) no el (см. 2). Очевидно, множества [д\Х \y{Sk~l X
IntZ)"~*)]Xl и Е{п, fe)f]diEl {дхХ, ф) являются компактными
(«— 1)-мерными подмногообразиями многообразия дх El (diX, ф),
покрывают его и пересекаются по своему общему краю. Рас-
Рассмотрим отображения
рг,: Ш \ФEЙ-'ХЫ /)""*)] X 1^<3,
второе из которых определяется формулой
Ясно, что ф — диффеоморфизм класса ®>со и что ргх (гр~! (z,, z2)) =
<p(Zi, z2), если ZjeS*, 22eS""*. Обращаясь к теореме
4.5.9, мы видим, что многообразие д1Е\{д1Х, ф) действительно
является результатом склеивания многообразий diX\(p\Sk~1 X
Int?>n~fc) и ^XS""* по аЬФ.
16 (Следствие). Каков бы ни был кобордизм X, многообра-
многообразие дгХ может быть получено из д0Х конечным числом пере-
перестроек. В частности, край любого компактного ^-многообразия
можно получить из пустого многообразия конечным числом пере-
перестроек.
3. Двумерные многообразия
/. Теория, построенная в двух предыдущих пунктах, представ-
представляет собой в первую очередь попытку как-то обозреть и перечи-
перечислить компактные гладкие многообразия заданной размерности.
Для серьезных применений она нуждается в дальнейшем разви-
развитии, но в простейших ситуациях уже теорема 2.10 оказывается
достаточно эффективной. Например, в одномерном случае всякий
стандартный кобордизм является суммой отрезков, из чего
следует, в силу теоремы 2.10, что всякое компактное одномер-
одномерное гладкое многообразие диффеоморфно сумме нескольких
246 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1ГЛ, I
отрезков и окружностей. Предостережение: хотя эта дифферен-
дифференциальная классификация совпадает с топологической классифи-
классификацией, содержащейся в 1.1.17, она имеет совсем другой смысл.
[Добавим, что и в некомпактном случае (который из-за своей
относительной сложности не рассматривается в нашем курсе
сколько-нибудь систематически) дифференциальная классифи-
классификация одномерных многообразий совпадает с топологической;
см. 4.1.]
Настоящий пункт посвящен дифференциальной классификации
двумерных компактных гладких многообразий, для которой
также достаточно теоремы 2.10. Мы начнем с того, что соста-
составим список модельных многообразий (роль которых в одномер-
одномерном случае играли окружность и отрезок), а затем докажем,
что всякое связное двумерное компактное гладкое многообразие
диффеоморфно одному из модельных. Модельные многообра-
многообразия попарно не диффеоморфны и не гомеоморфны, однако это
будет доказано только в главе 5 (см. 5.3.4.3); здесь мы лишь
подготовим геометрическую часть доказательства, указав для зам-
замкнутых модельных многообразий канонические оснащенные кле-
клеточные разбиения, а для незамкнутых модельных многообра-
многообразий— гомотопически эквивалентные им букеты окружностей.
Как и при только что произведенной классификации одномер-
одномерных гладких многообразий, мы не будем заботиться о классе
гладкости (ср. 1.1).
Модельные поверхности
2. Начнем с элементарных модельных поверхностей — сфер
с дырами и ленты Мебиуса.
Сфера с / дырами—это сфера S2, из которой удалены внут-
внутренние части / попарно непересекающихся сферических сегмен-
сегментов; ее край представляет собой
сумму / окружностей и получает от
нее определенную ориентацию. Сфе-
Сфера с одной дырой диффеоморфна ZJ,
сфера с двумя дырами — цилиндру
S'XD1; последний мы будем назы-
называть ручкой.
! Лентой Мебиуса называется под-
многообразие пространства R3, за-
р s метаемое отрезком длины 1, который
скользит своей серединой по окруж-
окружности S1, оставаясь нормальным к ней и равномерно поворачи-
поворачиваясь на суммарный угол я (см. рис. 6). Это — неориентируемое
компактное подмногообразие пространства R3 с краем, диф-.
феоморфным S1.
§ g простейшие структурные теоремы 247
Список всех модельных поверхностей состоит из пустого дву-
двумерного многообразия, Сфер с ручками и дырами и сфер с плен-
пленками и дырами.
Сфера с g ручками и I дырами (g^O, /j^O) определяется
как результат склеивания сферы с 2g-\-l дырами и суммы g
ручек по сохраняющему ориентацию диффеоморфизму края
суммы ручек на объединение 2g компонент края сферы с дырами.
Это — компактное ориентированное гладкое двумерное много-
многообразие, определяемое числами g, l с точностью до сохраняю-
сохраняющего ориентацию диффеоморфизма и "имеющее край, диффеомор-
фный сумме / окружностей. При g = 0, / = 0 оно совпадает с S2,
при g = 0, 1=1 диффеоморфно D2, при g=\, 1 = 0 диффеомор-
фно S1 X S1 и называется тором, при g = 2, 1 = 0 называется
Рис. 7. Рис. 8.
кренделем. При любых g и / оно очевидным образом диффе-
дифференциально вкладывается в R3; стандартное вложение с g = 3,
1 = 2 показано на рис. 7.
Сфера с h пленками и / дырами (Л^О, /^0) определяется
как результат склеивания сферы с h + / дырами и суммы h
лент Мебиуса по диффеоморфизму края суммы лент на объеди-
объединение h компонент края сферы с дырами. Это — компактное
гладкое двумерное многообразие, определяемое числами h, I
с точностью до диффеоморфизма и имеющее край, диффеомор-
фный сумме h окружностей; оно ориентируемо только при
Л = 0. При Л=1, 1 = 0 это многообразие диффеоморфно RP2,
при h = 1, 1= 1 — ленте Мебиуса, при h = 2, 1 = 0 оно называ-
называется бутылкой Клейна и известно своим погружением в R3, изо-
изображенном на рис. 8, при й = 2, /=1 оно называется кругом
с вывернутой ручкой и изображено на рис. 9 слева (правый
рис. 9 показывает, что склеивание круга с вывернутой ручкой
и обыкновенного круга по диффеоморфизму, связывающему
края, действительно дает бутылку Клейна).
248 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3
Подчеркнем, что в нашем списке модельных поверхностей
пленки не встречаются с ручками, т. е. что мы не включили
в него сферу с дырами, часть которых заклеена ручками, а
Рис. 9.
часть лентами Мебиуса. Как будет показано в 3, при /z^l сфера
с g ручками, h пленками и / дырами диффеоморфна сфере
с 2g + h пленками и I дырами.
Вспомогательные предложения
3 (Лемма). Пусть Хи Х2 — компактные гладкие многообразия,
Ф — диффеоморфизм компоненты края многообразия Хг на ком-
компоненту края многообразия Х\ и X — результат склеивания X,
с Х2 по ф. Тогда: (i) если Х\ диффеоморфно сфере с g{ руч-
ручками и /j дырами, а Х2 — сфере с g2 ручками и /2 дырами, то X
диффеоморфно сфере с gj + g2 ручками и /j + h — 2 дырами; (ii)
если Х\ диффеоморфно сфере с пк пленками и 1\ дырами, а Хг—
сфере с h2 пленками и 12 дырами, то X диффеоморфно сфере
с h\-\~h2 пленками и 1\-\-12 — 2 дырами; (ш) если Х\ диффеомор-
диффеоморфно сфере с gx ручками и 1\ дырами, а Х2 — сфере'с h2 > О
пленками и 12 дырами, то X диффеоморфно сфере с 2gl + h2
пленками и 1\-\-12 — 2 дырами.
Доказательства требует только случай (iii), в котором X
диффеоморфно, очевидно, сфере с gx ручками, п2 пленками и
U + к — 2 дырами.
Предположим сначала, что g, = l, /z2=l и l\-\-l2 — 2 = 1.
ТогЧа X диффеоморфно ленте Мебиуса с ручкой, изображенной
на рис. 10 слева. Последняя, очевидно, диффеоморфна ленте
Мебиуса с вывернутой ручкой, изображенной на рис. 10 справа,
и потому разрезается на сферу с пленкой и двумя дырами и
круг с вывернутой ручкой. Согласно (ii), из этого следует, что X
диффеоморфно сфере с тремя пленками и дырой.
§51
ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
249
В общем случае мы применяем индукцию по g,. При g\=0
доказывать нечего. Если gi > 0, то X можно склеить из сферы
с ё\ — 1 ручками, п2— 1 пленками и lx -f-l2— 1 дырами и сферы
с одной ручкой, одной пленкой и одной дырой. Второе много-
многообразие, согласно уже доказанному, диффеоморфно сфере
с тремя пленками и дырой, вследствие чего X диффеоморфно
сфере с g, — 1 ручками, п2-\-2 пленками и 1{-\-12 — 2 дырами
и, значит, сфере с 2gi-\-h2 пленками и 1{-\-12 — 2 дырами.
Рис. 10.
4 (Лемма). Пусть X — связное компактное гладкое двумерное
многообразие и X' — результат приклеивания к X ручка по диф-
диффеоморфизму ее края на объединение двух компонент края
многообразия X. Тогда: (i) если X диффеоморфно сфере с g
ручками и I дырами, то X' диффеоморфно сфере с g + 1 ручка-
ручками и 1—2 дырами или сфере с 2g + 2 пленками и 1 — 2 дырами; (ii)
если X диффеоморфно сфере с h пленками и I дырами, то X'
диффеоморфно сфере с h + 2 пленками и I — 2 дырами.
Это следует из леммы 3, так как X' в обоих случаях разре-
разрезается на два многообразия, первое из которых отличается от X
только тем, что у него на одну дыру меньше, а второе диф-
диффеоморфно сфере с ручкой и дырой или кругу с вывернутой
.ручкой.
5. Пусть X], Х2 — компактные гладкие многообразия и ц> —
диффеоморфизм непустой части края дХ2, составленной из его
целых компонент, на часть края дХ\, составленную из его целых
компонент. Пусть, далее, X — многообразие, склеенное из Х\ и Х2
посредством ф. Если каждое из многообразий Х\, Х2 диффео-
диффеоморфно одной из модельных поверхностей, то и X диффеоморфно
одной из модельных поверхностей.
Это следует из лемм 3 и 4, поскольку склеивание посред-
посредством ф равносильно склеиванию по сокращенному диффео-
диффеоморфизму одной компоненты края дХ2 на соответствуюшую
компоненту края дХ\ с последующим приклеиванием ручек,
число которых равно половине числа остальных подлежащих
отождествлению компонент краев дХ\, дХ%.
250
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. 3
Основная теорема
6. Всякое связное компактное гладкое двумерное многообра-
многообразие диффеоморфно одной из модельных поверхностей. .
В силу теорем 2.10 и 5, достаточно установить, что компо-
компоненты элементарных двумерных кобордизмов диффеоморфны
модельным поверхностям. А это нетрудно проверить прямым
перебором имеющихся возможностей, если вспомнить, что одно-
одномерное замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно сумме
нескольких окружностей.
Именно: элементарный ко-
бордизм индекса 0, построен-
построенный по сумме m окружно-
окружностей, диффеоморфен сумме
m сфер с двумя дырами и
сферы с дырой; элементарный
кобордизм индекса 2, по-
построенный по сумме m
окружностей (и дифферен-
дифференциальному вложению ок-
окружности в эту сумму),
диффеоморфен сумме пг—1
сфер с двумя дырами и
сферы с дырой; элементарный
кобордизм индекса 1, пост-
построенный по сумме m окруж-
окружностей и дифференциальному
вложению произведения
S0 X D1 в эту сумму, диффео-
диффеоморфен либо сумме m — 2
сфер с двумя дырами и сферы с тремя дырами, либо сумме
m — 1 сфер с двумя дырами и сферы с тремя дырами, либо
сумме m — 1 сфер с двумя дырами и сферы с пленкой и двумя
дырами (при пг = 2 эти три случая показаны на рис. 11).
7 (Информация). Всякое связное компактное двумерное то-
топологическое многообразие гомеоморфно одной из модельных
поверхностей.
Клеточные разбиения замкнутых
модельных поверхностей
8. Замкнутые модельные поверхности обладают стандарт-
стандартными оснащенными клеточными разбиениями, обобщающими
каноническое двухклеточное разбиение сферы S2, каноническое
трехклеточное разбиение проективной плоскости RP2 и кано-
каноническое четырехклеточное разбиедие тора S'X<S'. Каждое из
этих стандартных разбиений,. кроме бесклеточного разбиения
Рис. 11.
|'Б] ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 251
пустой модельной поверхности, содержит единственную нуль-
нульмерную клетку и единственную двумерную клетку, число же
одномерных клеток равно в случае сферы с g ручками 2g,
а в случае сферы с h пленками h. Таким образом, одномер-
одномерный остов представляет собой в случае Сферы с g ручками
букет 2g окружностей, а в случае сферы с h пленками букет h
окружностей, и описание всего оснащенного клеточного разбие-
разбиения сводится к описанию приклеивающего отображения, отве-
отвечающего двумерной клетке, т. е. некоторого отображения окруж-
окружности S1 в указанный букет.
Оставляя в стороне уже рассмотренные значения g = 0,1
и h = 0,1, будем представлять себе S1 в случае сферы с g
ручками как контур правильного 4§-угольника с последова-
последовательно занумерованными сторонами
о„ 6,, а\, Ь\ ag, bg, a'g, b'g,
а в случае сферы с h пленками как контур правильного 2/г-уголь-
ника с последовательно занумерованными сторонами
В обоих случаях мы факторизуем S1 посредством отождествле-
отождествления каждой нештрихованной стороны с одноименной штрихо-
штрихованной стороной, причем at отождествляется с а[ и bi с Ь\
посредством отражения в прямой (относительно которой они
симметричны), а с( отождествляется с с'г посредством поворота
многоугольника (вокруг центра). В обоих случаях факторпро-
странство является букетом окружностей: в первом случае
букетом 2g окружностей, во втором случае букетом h окруж-
окружностей. Проекция окружности S1 на это факторпространство
и есть приклеивающее отображение.
Конечно, нужно еще убедиться в том, что построенные
клеточные пространства гомеоморфны нашим модельным по-
поверхностям. Разрежем наш 4^-угольник диагоналями, отсекаю-
отсекающими четверки at, bt, a'v b'p на g-угольник и g пятиугольников и
наш 2/г-угольник— диагоналями, отсекающими пары сг с\, на
А-угольник и h треугольников (см. рис. . 12). Предписанные
отождествления сторон а(., а\ и b{, b't приводят к отождествле-
отождествлению вершин ^-угольника в одну точку, что дает сферу с g
круговыми отверстиями, и к отождествлению сторон пятиуголь-
пятиугольников, превращающему каждый из них в тор с круговым
отверстием; приклеив эти продырявленные торы к продырявлен-
продырявленной сфере, чтобы восстановить то, что было разрушено
вспомогательными (диагональными) разрезами, мы.и получим,
С точностью до гомеоморфизма, сферу с g ручками. Точно
252
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. 3
так же, предписанные отождествления сторон сг с{ приводят
к отождествлению вершин /г-угольника в одну точку, что дает
сферу с h круговыми отверстиями, и к отождествлению сторон
треугольников, превращающему каждый из них в ленту Меби-
Мебиуса; приклеив эти ленты к продырявленной сфере, мы получим,
Рис.
с точностью до гомеоморфизма, сферу с h пленками. [Предосте-
[Предостережение: края предыдущих круговых отверстий (в сфере) имеют
общую точку, а при g = 2 и h = 2 даже совпадают.]
Гомотопическая структура незамкнутых
модельных поверхностей
9. Сфера с g ручками и I дырами гомотопически эквива-
эквивалентна букету 2g + / -*• 1 окружностей. Сфера с h пленками
и I дырами гомотопически эквивалентна букету h +1 — 1 окру-
окружностей.
Для доказательства заметим, что описанное в 8 приклеива-
приклеивание 4?-угольника к букету 2g окружностей приведет, с точно-
точностью до гомеоморфизма, к сфере с g ручками и / дырами,
если мы предварительно удалим из внутренности 4?-угольника
внутренности лежащих в ней / попарно непересекающихся
кружков. Расположим эти кружки так, чтобы любая прямая,
проходящая через первую вершину (ortj), пересекала не более
одного кружка, и обозначим через А множество, составленное
из: (i) контура 4^-угольника; (ii) 21 — 2 касательных отрезков,
проведенных из первой вершины к / — 1 кружкам; (iii) внешних
дуг границ этих кружков с концами в точках касания. Ясно,
что А — строгий деформационный ретракт продырявленного 4g-
угольника. Соответствующая строгая деформационная ретракция
превращается после проектирования 4&-угольника на сферу с g
ручками в строгую деформационную ретракцию продырявленной
.сферы с g ручками на образ множества А, а этот образ,
очевидно, гомеоморфен букету 2g -\-1 — 1 окружностей. _
§ 5] ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 253
Для сферы с h пленками и / дырами доказательство прово-
проводится дословно так же, только наш 4§-угольник заменяется 2А-
угольником.
4. Упражнения
/. Показать, что всякое некомпактное связное гладкое одно-
одномерное многообразие диффеоморфно прямой или полупрямой
(ср. 3.1).
2. Показать, что подмногообразие комплексной проективной
плоскости СР2, определяемое в однородных координатах урав-
уравнением zf + zf -(- z? — 0, диффеоморфно сфере с (от—l)(m—2)/2
ручками (ср. 2.4.4 и 2.4.5).
3. Показать, что часть произведения СР1 X СР1, составлен-
составленная из точек ((z, : z2), (ад, : ш2)) с z\ (ад? + ад?) = z\ (ад? — ад?), диф-
феоморфна сфере с {p — \){q— 1) ручками.
4. Показать, что всякое трехмерное связное замкнутое
ориентируемое гладкое многообразие можно получить, склеивая
два экземпляра тела с ручками по некоторому диффеоморфизму
его края. (Тело с ручками — часть пространства R3, ограни-
ограничиваемая стандартно вложенной в R3 сферой с ручками.)
5. Показать, что многообразие, которое получается при
склеивании двух экземпляров полнотория 5'Х^2 по диф-
диффеоморфизму его края Sl X 51, задаваемому комплексной
формулой (zp 22)ь-э-{z^z\, z<\zf), где а, Ъ, с, d — целые числа с
ad — be = ± 1, диффеоморфно 53 при а = 0, диффеоморфно 52Х
51 при а== ±1 и диффеоморфно RP3 при а =±2.
6. Показать, что на всяком связном замкнутом ^""-много-
образии существует правильная функция Морса с единственным
локальным минимумом и единственным локальным максимумом.
7. Показать, что на всяком связном кобордизме X с непу-
непустыми д0Х, д{Х существует правильная функция Морса без
локальных максимумов и локальных минимумов в int X.
8. Показать, что на всяком кобордизме существует такая
правильная функция Морса /, что если Х\ — ее критическая точка
индекса kx и х2 — ее критическая точка индекса k2, большего
ku то f(xi)>f(x1).
9. Показать, что если на кобордизме X существует функция
Морса без критических точек индекса 1 и многообразие д0Х
ориентируемо, то кобордизм X ориентируем и всякая ориентация
многообразия д0-^ индуцируется некоторой ориентацией кобор-
дизма X,
Г Л А В А 4
РАССЛОЕНИЯ
§ 1. РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ
1. Общие определения
1. Расслоением называется тройка вида (Т, р, В), где Т и В —
топологические пространства, ар — непрерывное отображение
первого пространства во второе. Пространство Т называется
тотальным пространством расслоения (Т, р, В), пространство В —
его базой, а отображение р — его проекцией. Тотальное про-
пространство расслоения | будет обозначаться через tl|, база —
через bs|, проекция — через рг|.
Прообраз рг|~'(Ь) точки ftebsg называется слоем расслое-
расслоения | над точкой Ъ.
Сечением расслоения | называется такое непрерывное отобра-
отображение s:bsg-»-tl?, что pr|°s = idbsg. Два сечения расслое-
расслоения g называются гомотопными, если они могут быть связаны
гомотопией, составленной из сечений, т. е. такой гомотопией
h: bs|X/->tl|, что рг|°/г совпадает с р^: bs|X/^bsg.
Сужением расслоения % на подпространство В базы bs|
называется расслоение с базой В, тотальным пространством
рг?~'(^) и проекцией abprg. Оно обозначается через ||в.
Произведением расслоений %и |2 называется расслоение
с тотальным пространством tig] Xtl|2. базой bs^ X bs|2 и про-
проекцией priiXprl2- Оно обозначается через |, X 1г- Его слой
над точкой FЬ Ь2) совпадает с произведением слоев prg'
l
lB)
2. Отображением расслоения ?' в расслоение | называется
всякая пара непрерывных отображений F: tlg'->tl|, /: b'
bs| с коммутативной'диаграммой
A)
§ I] РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ 256
Если ф = (/7,/) — такая пара, то мы пишем <р: |'-*|, F = tl<p,
/ = bs<p.
Отображение ф: ?,'—>% называется изоморфизмом, если 1;1ф
и Ьэф — гомеоморфизмы, и эквивалентностью, если, кроме того,
bs? = bsg' и bs ф = id bs ^. Расслоения., которые можно связать
изоморфизмом (эквивалентностью), называются- изоморфными
(эквивалентными).
Отображение ф: |''-*| называется включением, если tlf и
Ьэф —включения. Например, включения in: pr|~'(?)->tlg,
in: B->bs| составляют (для всякого подмножества В простран-
пространства bs'?) включение расслоения ||в в |.
3. Из коммутативности диаграммы A) следует, что отобра-
отображение F является послойным, т. е. отображает каждый слой
расслоения |' в некоторый слой расслоения |. Ясно также,
что если pr |'(tl|/) = bs?', то для всякого послойного отобра-
отображения F: tl|'->tl| существует одно и только одно отображе-
отображение /: bs|'->bs? с коммутативной диаграммой A), а если
отображение рг?' факторно, то из непрерывности F следует
непрерывность /. Таким образом, если |' — расслоение с фактор-
факторной проекцией, то для всякого непрерывного послойного отобра-
отображения F: tl|'->-tl| существует одно и только одно непрерывное
отображение ф: |'->| с tlq> = F.
4. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства В в базу расслоения |. Расслоение, базой которого
служит В, тотальным пространством — подпространство произ-
произведения 5Xtl|, составленное из точек (Ь, х) с /F) = pr|(x),
а проекцией — сужение отображения pr^ fiXtl^->fi на указан-
указанное подпространство, называется расслоением, индуцированным
расслоением | посредством f, и обозначается через /'?.
Ясно, что сужение отображения pr2". BXtl|->tl| на -tl(/1)
гомеоморфно отображает слой расслоения f% над любой точ-
точкой 6ebs(f'|) на слой расслоения | над точкой f{b) и состав-
составляет с / отображение расслоения f% в |. Это отображение
расслоения /'| в | называется присоединенным к f и обозна-
обозначается через ad/.
Следующие формулировки также не нуждаются в доказа-
доказательствах или пояснениях. Если / — гомеоморфизм, то присо-
присоединенное отображение ad/: /'?-»¦? является изоморфизмом,
а если / = idbs|, — эквивалентностью. Если / — включение,
то отображение ad/: /'?->! устанавливает эквивалентность
между t% и ||в. Наконец, каковы бы ни были непрерывные
отображения /: B-»-bs?, g: B'—>B, расслоение if°g)% канони-
канонически эквивалентно расслоению g'(f%).
5. Если ф — отображение расслоения %' в расслоение .|, то
формула ?<—*(рг?'(*), 11 ф(л:)) определяет непрерывное отобра-
отображение пространства tl|' в tl ((bs ф)' g), и ясно, что это непргрыв-
256 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ. 4
ное отображение составляет с idbs|' отображение расслоения |'
в (bscp)!|. Мы обозначаем последнее отображение через соггф;
говорят, что оно корректирует ф. Очевидно, ad (bs ф) ° согг ф = ф.
2. Локально тривиальные расслоения
/. Очевидным примером расслоения с заданной базой В и
слоями, гомеоморфными заданному пространству F, служит
стандартное тривиальное расслоение (SX-F, ргь В). Его слоями
служат слои 6X-F произведения BX.F, которые даже канони-
канонически гомеоморфны F.
Заметим, что сечения В—*-B~XF стандартного тривиального
расслоения с базой В и слоем F находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии с непрерывными отображе-
отображениями B-+F: отображению f: B~*F отвечает сечение s: B-*
BXf. определяемое формулой s{b) = (b, f{b)). Говорят, что
/ и s ассоциированы друг с другом.
2. Расслоение | называется тривиальным или, подробнее,
топологически тривиальным, если оно эквивалентно стандарт-
стандартному тривиальному расслоению. Всякая эквивалентность между
стандартным тривиальным расслоением и | называется тривиали-
зацией расслоения |.
Расслоение | называется локально тривиальным или, под-
подробнее, локально топологически тривиальным, если каждая
точка его базы обладает такой окрестностью 0, что сужение
Wu тривиально.
Так как проекция произведения на сомножитель — открытое
отображение, то проекция тривиального и, значит, проекция
локально тривиального расслоения являются открытыми ото-
отображениями.
Очевидная проверка показывает, что произведение двух
тривиальных расслоений является тривиальным расслоением,
а произведение двух локально тривиальных расслоений —
локально тривиальным расслоением. Ясно также, что расслоение,
индуцированное тривиальным расслоением, тривиально, а рас-
расслоение, индуцированное локально тривиальным расслоением,
локально тривиально. Кроме того, если f: B->bsg — постоянное
отображение, то индуцированное расслоение f% тривиально при
любом |.
3. Как и слои стандартного тривиального расслоения, слои
тривиального расслоения гомеоморфны между собой, однако
в нестандартном случае гомеоморфизм уже не является кано-
каноническим. Слои локально тривиального расслоения также
гомеоморфны между собой, если база расслоения связна; дейст-
действительно, множество точек базы со слоями, гомеоморфными
заданному слою, открыто, и такие множества составляют
§ 1] РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ 257
разбиение базы (см. 1.3.3.5). С другой стороны, пример рас-
расслоения {{В XF)U {Br X Л. рг, U рг,, В U В'), где В, F, В', F' -
произвольные топологические пространства, показывает, что
слои локально тривиального расслоения, лежащие над точками
разных компонент базы, не обязаны быть гомеоморфными.
Вместе с тем мы видим, что локально тривиальное расслоение
может не быть тривиальным.
Нетривиальное локально тривиальное расслоение может
иметь и связную базу; см. 5 и 6.
Накрытия
4. Локально тривиальное расслоение называется накрытием
в широком смысле, если его слои являются дискретными про-
пространствами. В этом случае тотальное пространство обычно
называют накрывающим. Очевидно, у каждой точки накрыва-
накрывающего пространства есть окрестность, гомеоморфно отобра-
отображающаяся проекцией на свой образ в базе.
Накрытие в широком смысле называется накрытием в узком
смысле или просто накрытием, если накрывающее пространство
и база связны и непусты. Согласно 3, все слои накрытия имеют
одну и ту же мощность; она называется числом листов накрытия.
5. Накрытие с числом листов, большим единицы, нетривиально.
Действительно, тотальное пространство тривиального рас-
расслоения гомеоморфно произведению базы на слой и потому не
может быть связным, если слой дискретен и состоит более чем
из одной точки.
6 (Примеры). Расслоение с тотальным пространством и базой
51 и проекцией helm: S1—*-S', определяемой комплексной форму-
формулой he]m(z) = zm, представляет собой при тфО |т|-листное
накрытие. Расслоение с тотальным пространством'R, базой 51
и проекцией hel: R->S', определяемой формулой hel (л:) = е2яг*,
является счетнолистным накрытием.
Расслоение с тотальным пространством G+ (п, k) и базой
G (п., k), проекцией которого служит субмерсия, указанная
в 3.2.2.3, является при k ф О, п двулистным накрытием. В част-
частности, таково расслоение {Sn, рг, RP") с л ^ 1.
В заключение покажем, что при любом натуральном h сферу
с h пленками можно двулистно накрыть сферой с h — 1 ручками
(см. п. 3.5.3). В случае А=1 такое накрытие у нас уже есть:
это {S2, pr, RP2). В общем случае его можно построить из h
экземпляров накрытия (S2, pr, RP2). Сузим для этого один
экземпляр до накрытия над проективной плоскостью с h—1
дырами, а остальные h — 1 экземпляров до накрытий над
проективной плоскостью- с одной дырой (т. е. над лентой Ме-
Мебиуса), и склеим базы суженных h накрытий в сферу с h плен-
258 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
ками посредством диффеоморфизмов между краями дыр. Это
склеивание можно накрыть склеиванием тотальных пространств,
одно из которых представляет собой сферу с А — 1 парами
антиподальных дыр, а каждое из h—1 остальных — сферу
с парой антиподальных дыр, т. е. цилиндр над окружностью.
(Для каждого из этих h—1 цилиндров имеются два накрыва-
накрывающих приклеивания; можно воспользоваться любым из них.)
Поскольку заклеивание пары дыр цилиндром означает ее за-
замену ручкой, в результате действительно получится двулистное
накрытие сферы с h пленками сферой с h — 1 ручками.
3. Расслоения Серра
1. Расслоение | называется расслоением Серра, если оно
удовлетворяет условию Серра: для всякого натурального г
и любых непрерывных отображений /: /r->bs|, jf^: Г~{->t\%,
таких, что pr|°/^ = /|/r_i, существует такое непрерывное ото-
отображение Г: -/r-^tl|, что рг|°Г = / и ГГ7г-1 = /о". [Куб Г1
отождествляется с гранью куба F, определяемой равенством
нулю-последней координаты; см. 1.2.5.7.]
Соотношение рг|°/~ = /, входящее в условие Серра, яв-
является фундаментальным в теории расслоений* причем отобра-
отображаемым пространством не всегда служит куб. Отображение
/~: X -> tl |, связанное этим соотношением с отображением /: X -*¦
bs |, называется при любых | и X накрывающим по отноше-
отношению к /.
Очевидная проверка показывает, что произведение двух рас-
расслоений Серра и расслоение, индуцированное расслоением Серра,
являются расслоениями Серра.
2. Примерами расслоений, не удовлетворяющих условию
Серра, могут служить расслоения (/, р, I) с р {х) = х/2 и с р (х) =
4л: A — х). У первого из них отображения /~ с p°f~=f и
r\jr-i=fo не существует, если r = \, / = id/, /0~@) = 0,
а у второго —если г = 2, f определяется формулой !{хих^ =
4^A — *i)(l — х2) и /0~ = id/.
Заметим, что у первого расслоения имеются как непустые,
так и пустые слои, а у второго один слой связен, а остальные
несвязны. Как выяснится в дальнейшем (см. 5.4.3.6), уже эти
особенности расслоения несовместимы с условием Серра, если
база связна.
Локальность условия Серра
5. Если каждая точка базы расслоения |" обладает такой
окрестностью U, что сужение ?,\и является расслоением Серра,
то \ есть расслоение Серра.
§ 1] РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ 259
Доказательство. Пусть /: /" —>bs|, f~: /"~'->tl|— та-
такие непрерывные отображения, что pr?°/0" = /|/n_i. Так как
пространство bs| покрывается открытыми множествами, на ко-
которых сужение расслоения | удовлетворяет условию Серра, то
из теоремы 1.1.7.16 следует существование такого натураль-
натурального N, что любой куб с ребром 1/N, лежащий в /", отображается
посредством / в одно из таких множеств. Разобьем /" на Nn
кубов с ребрами 1/N, занумеруем их лексикографически в по-
последовательность Qj QNn и положим Wt =ln~l U (U |_j Q/).
Q'i = Qi{]W._v Ясно, что Ia-l = WQczWl(= ... czWtln = In, и
очевидный перебор имеющихся возможностей показывает, что
пара (QpQ'i) гомеоморфна паре (/",/"""'). Допустим, что .для
некоторого натурального i, не превосходящего Nn, имеется ото-
отображение /,""_,: tt^_,->tl!-, такое, что рг?°/Г_, =/к(-_! и
/Г-1 U-i = /<Г» и положим gt = f |^ и g~ = /Г_, |Q,. Так как суже-
сужение 11 удовлетворяет условию Серра, то существует такое не-
'f(Qi)
прерывное отображение g-Г; Qt-*t\l, что рг|оg~ == g., g~ =
g~r Так как, далее, отображения f^_, и g^ совпадают на
^/_1 П Q; = Qi> то они составляют некоторое непрерывное ото-
отображение /7": l^,- = 'l^;_1UQi->tU, и ясно, что рг|о// = /1 и
/Г|/«-1==/1(Г- ^то позволяет применить индукцию по /, начав
с г — 0. В результате мы получим отображение f~~ = f~^n
с рг?°Г = / и Г|/П-1 =/0".
Условие Серра и локальная тривиальность
4. Локально тривиальное расслоение является расслоением
Серра.
В силу теоремы 3, доказательство достаточно провести для
расслоения (В X F, рГь В), где В и .F — произвольные тополо-
топологические пространства. Пусть f: 1п->В~к f~: In~l -> В X F —
такие отображения, что prj °/^ =/|/n-i- Определим отображе-
отображение f: In-*BXF формулой Г(*,, ..., xn) = (f(xl хп),
pr2of~(jc,, ..., *„_,)). Очевидно, ргх о f ~ = f и fr|/n_i = f~.
5. Следующий пример показывает, что расслоение Серра
может не быть локально тривиальным. Пусть Т — треугольник
в R2 с вершинами @,0), @,1), A,0) и ри р2 — его отображения
в I, определяемые формулами Piixltx2) = xu Pi{xi,х2) = х2. Рас-
260 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ, 4
слоение {Т,ри1) не является локально тривиальным, так как
слой над точкой 0 не гомеоморфен слою над точкой 1, хотя'
база связна. Однако оно удовлетворяет условию Серра: если
отображения /: /"-»-/, /~: /""'-> Г непрерывные р, °/~ =/|/n_i,
то отображение р: /"->Г, определяемое формулой р {хи ...,
непрерывно, накрывает / и совпадает с /~ на /""'.
Этот пример показывает также, что расслоение Серра со
связной базой может иметь негомеоморфные слои. В действи-
действительности слои расслоения Серра со связной базой могут не
быть даже гомотопически эквивалентными и эквивалентны лишь
в некотором ослабленном смысле (см. 5.4.4.3 и 5.4.3.6).
Теорема о накрывающей гомотопии
6. Если | — расслоение Серра и (X, А) — клеточная пара, то
для всякого непрерывного отображения /~: X->tl?, всякой го-
гомотопии F: X X / -*¦ bs | отображения рг| ° р и всякой гомотопии
G: АХ>1->tl? отображения р|л, накрывающей F\4X!, сущест-
существует гомотопия отображения f~, накрывающая F и продолжа-
продолжающая G.
Доказательство. Будем считать пространство X осна-
оснащенным и предположим, что при некотором г^О имеется гомо-
гомотопия F~_{ G4llsker_i;iQX/-»-tl| отображения PUUsker_[X, на-
накрывающая F\(A{}ske _ Х)хГ Если е — клетка из X \ А с dime = r,
то формула фе (х, t) — F (chae (x), t) определяет непрерывное ото-
отображение фе: Ът XI -*¦ bs |, а формула
P(chae(x)), если / = 0,
F~_!(chae(*), 0, если xe=Sr~\
— непрерывное отображение ф~е: (Dr X0) U (Sr~' X /)—>-tl|, и
ясно, что пара (Dry,I, (Z/X О) иEг~'Х^)) гомеоморфна паре
(Г+1» /г) и что рг|°Фо7е = фе|A)гхо)иEг-1х/); следовательно, су-
существует непрерывное отображение ф^: Dry(.I~*tl%, накрыва-
накрывающее ф? и продолжающее ф~в. Так как ф7(л;>0==-^Г-1^с'1ае(л:)>0>
если х е 5Г~', то отображения ф7, отвечающие всевозможным
r-мерным клеткам из Z\ А, определяют вместе с F~_t некоторое
непрерывное отображение F~: (A \j sker X) X / -*¦ tl |, и ясно,
что Dr ? о Р — Pi и F~\ — р .^то по-
hiu vic,°rr -1 jDUskerX)X/ rr [(Л Usker_1 X) X / 'м1 Jl "
зволяет применить индукцию по г, положив FZx = G; мы полу-
-{
I 1] РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ 261
чаем последовательность продолжающих друг друга гомотопий
{F~: (A LJskerX)X^->tl|}^=_1, которые и составляют гомото-
пию отображения /~, накрывающую F и продолжающую G.
7. Пусть X — клеточное пространство и /~: X->tl| —яе-
прерывное отображение. Если | — расслоение Серра, то всякая
гомотопия отображения pr|°f~ накрывается гомотопией отобра-
отображения f~~.
Эта формулировка представляет собой абсолютный вариант
теоремы 6 и получается из последней при А — 0. Заметим,
что при Х = 1п она сводится к условию Серра с г= «+ 1.
Случай накрытия
§. Пусть | — накрытие в широком смысле, X — связное топо-
топологическое пространство и f,g: X—>tl? — непрерывные отобра-
отображения. Если pr|°/ = pr|°g и f совпадает с g в некоторой точке,
то f = g.
Доказательство. Поскольку множество {х е X \ f (x) ф
g {x)} открыто, а его дополнение непусто, достаточно уста-
установить, что это дополнение открыто, т. е. что если /(л:0) =
g(x0), то точка х0 обладает окрестностью, на которой / совпа-
совпадает с g. Пусть V — окрестность точки f(x^, гомеоморфно
отображающаяся посредством рг| на prgOO (см- 2.4), и U —
такая окрестность точки х0, что f(U)czV и g(U)czV. Так как
prt(f(x)) = pTl(g{x)) для любой точки xel, то f(x) = g{x)
для x^U.
9. Пусть | — накрытие в широком смысле, X — связное кле-
клеточное пространство с отмеченной нульмерной клеткой х0 и
f,g: X -*• tl | — непрерывные отображения. Если отображения
рг|°/, рг!°? х0-гомотопны и f(xo) = g(xo), то отображения /, g
х0-гомотопны.
Доказательство. В силу теоремы 6, лг0-гомотопия, свя-
связывающая рг?°/ с рг!0^, накрывается л:0-гомотопией отобра-
отображения /, а в силу предложения 8, отображение, с которым
последняя связывает /, совпадает с g.
4. Расслоения пространств отображений
/. Говорят, что расслоение | удовлетворяет усиленному
условию Серра, если для всякого топологического простран-
пространства X, всякого непрерывного отображения /~: X—>tl| и вся-
всякой гомотопий F отображения рг|°/~ существует гомотопия
отображения /~, накрывающая F.
Если заменить в этом условии X кубом произвольной раз-
размерности, то оно превратится в обычное условие Серра, а если
ограничиться в нем клеточными X, то оно сделается эквивалент-
эквивалентным обычному условию Серра; см 3.7.
262 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ. 4
2. Пусть (X, А) — пара Борсука и Y — топологическое про-
пространство. Если X хаусдорфоео и локально компактно, то рас-
расслоение i&iX, Y), ^(in.id), 9 (A, Y)) удовлетворяет усиленному
условию Серра.
Доказательство. Пусть Z— топологическое простран-
пространство,/~: Z-^CX, У) — непрерывное отображение и F: ZX/-V
%? (A, Y) — гомотопия отображения 9S (in, id) ° f~. Поскольку X ха-
усдорфово и локально компактно, отображения g~: Z X X->
Y, G: ZXAy.I-^>-Y, определяемые формулами g~~ (z, х) =
1Г(г)]{х), G{z,x,t) = [F{z,t)](x), непрерывны (см. 1.2.7.6), и ясно,
что G есть гомотопия отображения g~\ZxA- Так как (ZX^,
ZX^) — пара Борсука (см. 1.3.5.5 и 1.3.5.3), то G продолжается
до некоторой гомотопии G~ отображения g~, и ясно, что фор-
формула [F~(z, t)](x) = G^(z, x, t) определяет гомотопию F~: ZX
/—>9Z'(X, Y) отображения /~, накрывающую F.
3. Слои расслоения со связной базой, удовлетворяющего
усиленному условию Серра, попарно гомотопически эквива-
эквивалентны. ¦
Доказательство. Пусть | — рассматриваемое расслое-
расслоение и s — какой-нибудь путь, соединяющий заданные точки
базы. Положил F0 = vrl~l{s{0)), /^ = pr ?Г'(«0)) и рассмотрим
-смотопии /0: F0X / —>bsg, Jx: F,X^-*bs| сквозных отображений
определяемые формулами J0(x,t) = s(t),Jl(x,f) = s-1(t). Со-
Согласно усиленному условию Серра, они накрываются некоторыми
гомотопиями /~: F0X/->tlg, /J": F, X / —> tl g, отображений
in:'F0-Hl|, in: Fi-*tU, и так как /~ (Fo X l)ci?,, /~(F, X 1)<=
FU) то возникают отображения fo' FQ^>-F\, /i: /71->/:'o, определяе-
определяемые формулами /0 (л:) = /~ (x, 1), f! (*) = /~ (лг, 1). Мы покажем,
что отображение ./i о/о гомотопно idF0. Ввиду симметрии си-
ситуации, этим будет доказано также, что /o°/i гомотопно id.Fi.
Определим отображение /: Foy<, I-^-tlZ, формулой
/~ {х, 20, если * < 1/2,
/~(/0(лг), 2t-l), если <>1/2,
и гомотопию Я: (Fo X /) X / -*¦ bs | отображения рг | ° / формулой
Я (л:, /, т) = s (A — т) A.— 11 — Ut |)).. Согласно усиленному усло-
условию Серра, Я накрывается некоторой гомотопией Н~\ (Fo X Л X
/->tl? отображения /, и так как A—т)A — |1—2/! [) = 0 при
х = 1 и при t = 0, I, то Н~- ((Fo X @ U 1)) X /) U Я~ ((Fo X7) X 1) с
$ 1] РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ 2бЗ
Fo. Благодаря этому, формула
Г Я~((*,0), 30, если *<1/3,
#(*, 0е] /Г((*,3/—1), 1), если 1/3</<2/3,
1 Я"" ((*, 1), 3 — 3/), если t > 2/3,
определяет некоторую гомотопию К.: FQy<, I —>Fa, и так как
К(х, 0) = Н~({х, 0), 0) = /(x, O)=/~(jc, 0) = х, а К(х, 1) =
H~{(x,l),O) = j(x,l) = J~(fo(x),l) = fl(fo(x)), то эта гомото-
пия связывает idF0 с /i°/0.
4. Для любых точек х0, %,; х'о, х[ связного топологического
пространства X пространства 92A, 0, 1; X, х0, хх) и ^(/,0,1".
Х,х'0,х\) гомотопически эквивалентны.
Доказательство. Пространства. ^(/, 0, 1; X, х0, хх) и
,0, 1; X, х'0,х[") являются слоями расслоения (^(/, X), ^(in, id),
OU 1), X)), лежащими над точками {х0, х{) и (Хд, х^) его базы
94@ U 1)> %) = ^Х^, и потому их гомотопическая эквивалент-
эквивалентность следует из теорем 2 и 3.
Присоединенное расслоение Серра
5. Обозначим для произвольного расслоения | через ad |
расслоение с той же базой, тотальным пространством которого
служит подпространство произведения tlgX^CA bs?), состав-
составленное из пар (х, s) с s@) = pr | (л;), а проекцией — отображе-
отображение (л:, s)i—>s(l). Это расслоение называется присоединенным к |.
Заметим, что тотальное пространство tl ad ?, гомотопически
эквивалентно tl |: гомотопически взаимно обратные гомотопи-
гомотопические эквивалентности tl?->tladg, tl ad |->tl| определяются
формулами х нн» (х, их), (х, s) i—> х, где их — постоянный путь в
bs4 с началом ртЦх). Действительно, композиция первого отоб-
отображения со вторым есть id tl |, а композиция второго с пер-
первым связывается с id(tlad?) гомотопией ({х, s), t) ь-> (х, Sf), где
s^ —путь в bs 1, определяемый формулой st(x) = s(tx).
6. Расслоение ad | удовлетворяет усиленному условию Серра,
каково бы ни было расслоение |.
Доказательство. Пусть Z — топологическое простран-
пространство, /~: Z->tl ad | — непрерывное отображение и F: ZX.I-*
bs ad | (= bs |) — гомотопия отображения рг ad % ° f~. Обозначим
через gu g2 сквозные отображения
264 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
и определим гомотопию g: Z У^1~*-^A, bs |) формулой
если т< 1/(
г / Л1 м -
[В(г, Щ(х) | /7BТA+0_1)) если х>
Очевидная проверка показывает, что отображение F~: ZY^I-*
tl ad g, определяемое формулой F~(z, t) = (gi(z), g(z, t)), является
гомотопией отображения /~ и накрывает F.
5. Упражнения
/. Показать, что при любом g^ 1 сферу с g ручками можно
накрыть сферой с 2g—1 ручками.
2. Показать, что при любом п^ 1 сферу с h пленками можно
накрыть сферой с 2/г — 2 пленками.
3. Показать, что при любом «^1 пространство ^{Sl,orix;
R Рп, A :0: ...: 0)) гомеоморфно V {S1, ort,; 5", ort,) X 5°.
4. Показать, что расслоение с тотальным пространством
^G, 0; 5", orti), базой 5" и проекцией si—>s(l) локально три-
тривиально (ср. П2.9.4).
§ 2. ОТСТУПЛЕНИЕ: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1. Топологические группы
1. Множество G называется топологической группой или
групповым пространством, если оно наделено как топологиче-
топологической, так и групповой структурой, причем групповые операции,
т. е. отображения GXG->G и G-*-G, определенные формулами
{ё, ЛI—>gh и gt—^g*1, непрерывны. Очевидно, непрерывность
этих двух отображений эквивалентна непрерывности одного ото-
отображения GXG -> G, определенного формулой {g, h)*—>g~lh.
В силу определения топологии в G X G непрерывность ото-
отображения {g, h)*—>gh'B точке {g0, h0) означает, что для-всякой
окрестности W точки gah0 существуют окрестности U, V точек
g0, h0 с UV czW, а непрерывность отображения {g, к)*—> g~[h
в точке (gb, по) —что для всякой окрестности W точки go~'Ao
существуют окрестности U, V точек g0, hQ с U~lV czW.
Очевидно, всякую группу можно сделать топологической
группой, наделив ее дискретной топологией.
2. Из непрерывности групповых операций следует, что левые
и правые сдвиги, производимые элементами группы G (т. е.
отображения G->G, определенные формулами g>—*ag, g^—^-gd),
и отображение g*—> g~* являются гомеоморфизмами группового
§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 265
пространства G. В частности, если В — открытое или замкнутое
подмножество группового пространства G, то таковы же мно-
множество В~1 и множества gB, Bg с любым geG.
Заметим еще, что если множество В открыто, то множества
АВ и ВА открыты, каково бы ни было множество А. Действи-
Действительно, АВ= [)atsAaB, BA= \Ja!=ABa.
Подгруппы и факторизация
3. Если подмножество топологической группы G является ее
подгруппой в алгебраическом смысле, то оно получает от G как
топологическую, так и групповую структуру, и ясно, что груп-
групповая операция остается при этом непрерывной. Возникающая
топологическая группа называется подгруппой исходной тополо-
топологической группы G.
Подгруппа топологической группы называется нормальной,
если она нормальна в алгебраическом смысле. Как и в обыкно-
обыкновенной теории групп, нормальные подгруппы называют иначе
нормальными делителями.
Примером нормальной подгруппы топологической группы G,
не имеющим аналога в обыкновенной теории групп, может
служить компонента единицы, т. е. компонента пространства G,
содержащая единицу еа группы G. Что это — подгруппа, оче-
очевидно: если и и v — пути в G, соединяющие еа с g и h, то
путь t<—*-u(t)~lv{t) соединяет eQ с g~xh. Что эта подгруппа
нормальна, следует из того, что внутренние автоморфизмы
группы G являются гомеоморфизмами и переводят еа в еа.
Очевидно также, что смежные классы по этой нормальной
подгруппе совпадают с компонентами пространства G, а соот-
соответствующая факторгруппа совпадает, как множество, с comp G.
4. Если подгруппа топологической группы открыта, то она
и замкнута.
Действительно, дополнение открытой подгруппы представляет
собой объединение левых смежных классов, каждый из которых
открыт согласно 2, и потому открыто.
5. Разбиение топологической группы G на левые смежные
классы по подгруппе Я обозначается через zer(G, Я), а соот-
соответствующее факторпространство называется ф акт орпрост ранет-
вом по Я и обозначается через G/H. Правое факторпростран-
факторпространство нам не понадобится.
Фундаментальное топологическое свойство разбиения
zer(G, Я) и проекции G->GjH состоит в том, что они открыты.
Для доказательства достаточно заметить, что насыщение мно-
множества В относительно разбиения zer(G, Я) совпадает с про-
произведением ВН, которое открыто вместе с Н (см. 2).
266 РАССЛОЕНИЯ {ГЛ. 4
6. Факторпространство топологической группы по замкнутой
подгруппе регулярно. В частности, групповое пространство
с замкнутой единицей регулярно.
Доказательство. Аксиома Т[ для G/ff является след-
следствием замкнутости смежных классов gH (см. 2). Чтобы дока-
доказать Т3 для G/H, достаточно построить по заданной насыщен-
насыщенной относительно-zer(G, Я) окрестности U заданного смежного
класса g0H такую его насыщенную окрестность V, что С1 V с: U.
Действительно, этим для произвольной точки рг(g0) простран-
пространства G/H и ее произвольной окрестности рг (U) будет построена
такая ее окрестность рг (V), что Cl pr (V) cz pr (С/); последнее
включение является следствием включения рг (V) С: pr (C1 V) и
замкнутости множества pr(ClF), которая следует из замкнутости
и насыщенности множества C1V (насыщенность множества C1V
следует из открытости разбиения zer(G, Я) — см. 1.2.3.10).
Так как e~^gu — g0, то у точек еа, g0 есть такие окрестности
W, Wo, что W~lWoczU. Положим V = W0H. Если g<=ClV, то
множество Wg, будучи окрестностью точки g, пересекается
с V, т. е. существуют такие точки ше^,»ое Wo, Ae Я, что
wg = weh. Последнее соотношение показывает, что g = w~1woh,
и этим доказывает включение CWczV, поскольку w~lwoh^
W~lW0HczUH = U.
7. Если Я — нормальная подгруппа топологической группы G,
то, согласно обыкновенной теории групп, фактормножество G/H
обладает групповой структурой. Покажем, что отображение
{G/H)y<i(G/H)^G/H, определяемое формулой {х, у) ь-э- х~ 1у,
непрерывно.
Для этого заметим, что композиция г|з: GX.G-^G/H отобра-
отображения Gy<,G->G, определенного формулой (g,h)<—> g~lh, и
проекции G-* G/H постоянна на элементах разбиения zer(G, Я) X
zer(G, Я) и что отображение (х, у)^->х~1у является композицией
отображения (G/H) X {G/H) -> (G X G)/(zer (G, Я) X zer (G, Я)),
обратного взаимно однозначному фактору отображения рг X рг:
GXG^(G/H) X (G/H), и отображения facti|>: (G X G)/(zer(G, Я)Х
zer(G, H))^-G/H. Так как разбиение zer(G, Я) открыто, то
указанный взаимно однозначный фактор является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом (см. 1.2.3.11), откуда и следует непрерывность отображе-
отображения (х, y)t->x~ly.
Таким образом, G/Я — топологическая группа. Она назы-
называется факторгруппой исходной топологической группы G по Я.
Гомоморфизмы
8. Отображение f: G -> G' одной топологической группы
в другую называется гомоморфизмом, если оно является алгеб-
алгебраическим гомоморфизмом и, кроме того, непрерывно,
$ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРВОВРАЗОВАНИЙ 2б7
• Как и в обыкновенной теории групп, ядро Кег/ опреде-
определяется как прообраз единицы группы G'. Гомоморфизм /
называется Мономорфизмом, если он взаимно однозначен, т. е.
если ядро Кег / сводится к единице группы G, и эпиморфизмом,
если образ Im/ совпадает с G'. Примером мономорфизма может
служить включение подгруппы в топологическую группу, при-
примером эпиморфизма—проекция топологической группы на фактор-
факторгруппу.
Гомоморфизм называется изоморфизмом, если он обратим
и обратное отображение также является гомоморфизмом. Дру-
Другими словами, изоморфизм одной топологической группы на
другую есть отображение, являющееся одновременно алгебраи-
алгебраическим изоморфизмом и гомеоморфизмом.
9. Если /— гомоморфизм топологической группы G в тополо-
топологическую группу G', то: (i) образ Im/ является подгруппой
группы G'\ а сокращение ab/: G—>Im/— эпиморфизмам; (ii) ядро
Кег/ является нормальной подгруппой группы G, а взаимно
однозначный фактор fact/: G/Ker/—>G'— мономорфизмом.
Это предложение отличается от соответствующего предло-
предложения обыкновенной теории групп только тем, что констати-
констатирует еще непрерывность отображений ab/ и fact/.
10. Эпиморфизм f: G->Gr в том и только том случае отк-
открыт, если его взаимно однозначный фактор fact/: G/Ker/->G'
является изоморфизмом.
Необходимость этого условия очевидна, достаточность сле-
следует из открытости проекции G—> G/Ker/.
//. Эпиморфизм компактной топологической группы на топо-
топологическую группу с замкнутой единицей открыт.
Доказательство. Пусть /: G-+G'— указанный эпимор-
эпиморфизм. Из компактности пространства G следует компактность
пространства G/Ker /, а из замкнутости единицы в G' — хаусдор-
хаусдорфовость пространства G' (см. 6). После этого из обратимости
И непрерывности отображения fact/: G/Ker/—vG' следует, что
оно является гомеоморфизмом (см. 1.1.7.10), и, наконец, из
10 — что отображение / открыто.
Прямое произведение
12. Пусть Gi, G2 — топологические группы. В обыкновенной
теории групп произведение Gi X G2 множеств Gu G2 наделяется
групповой структурой, а в топологии — топологической струк-
структурой (см. 1.2.2.1). Ясно, что эти структуры согласованы
в смысле 1, т. е. что групповые операции непрерывны. Таким
образом, Gi X G2 — топологическая группа. Она называется пря-
прямым произведением исходных топологических групп Gu G2.
268 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ. 4
Это перемножение коммутативно и ассоциативно: имеются
очевидные канонические изоморфизмы GiXG2—> G2XG] и
(G, XG2) X G3 -* G, X (G2 X G3).
Заметим, что вложения in^ G,-^-G1XG2, in2: G2^>GxY,G2,
определяемые формулами *i >—»• (хь ео2), *2 *—*• (eoi, x2), являются
мономорфизмами в смысле 8, а проекции pri: GiXG2->-Gb
pr2: Gi XG2->G2 — открытыми эпиморфизмами, и что Кегрг1 =
in2(G2),Ker pr2 = ini (Gi). В силу теоремы 10 из этого следует,
что отображения fact pri: (Gi X G2)/in2(G2)—*Gb factpr2: (Gi X
G2)/ini (Gi)-»-G2 являются изоморфизмами.
13. Говорят, что топологическая группа G распадается
в прямое произведение своих подгрупп Gb G2, если отображение
GiXG2->-G, определяемое формулой (gu g2)*-^'gig2, является
изоморфизмом в смысле 8. В последнем случае G обычно
отождествляют с Gi~)<_G2 посредством этого изоморфизма.
Напомним, что в обыкновенной теории групп соответствующее
определение формулируется точно так же, только под изоморфиз-
изоморфизмом понимается алгебраический изоморфизм. Там для распа-
распадения группы G в прямое произведение подгрупп Gu G2 необ-
необходимо и достаточно, чтобы G\ и G2 порождали G, пересекались
по еа и были нормальными подгруппами; следовательно, если
эти условия выполнены в нашей ситуации, то отображение
{§и §2)>—>Sig2 является алгебраическим изоморфизмом. Ясно,
что это отображение непрерывно, однако очевидные примеры
показывают, что обратный алгебраический изоморфизм может
не быть непрерывным. С другой стороны, непрерывность этого
обратного алгебраического изоморфизма обеспечена, если
пространство G компактно и хаусдорфово; таким образом,
компактная хаусдорфова топологическая группа, распадающаяся
в прямое произведение своих подгрупп алгебраически, распа-
распадается в прямое произведение этих подгрупп и в смысле
предыдущего определения.
Простейшиепримеры
14. Вещественная прямая R со сложением в качестве груп-
групповой операции является топологической группой. То же отно-
относится к пространству R". Очевидно, R" = R X • • • X R (« сомно-
сомножителей; произведение понимается в смысле 12).
15. Проколотая вещественная прямая R* = R \ 0 с умножением
в качестве групповой операции также является топологической
группой. Ее подгруппа R^_, составленная из положительных
вещественных чисел, изоморфна R:'изоморфизм устанавливается
показательной функцией с произвольным положительным основа-
основанием, отличным от 1. Другой очевидной подгруппой является 5°,
и ясно, что R* = 5pXR+-
§ 21 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 269
Проколотая комплексная прямая С* = С\0 и проколотая
кватернионная прямая Н* = Н\0 с умножением в качестве
групповой операции тоже являются топологическими группами.
Первая содержит в качестве подгруппы S1, вторая —S3, и ясно,
что С*=5'ХК;, a H* = S3XR*+-
16. Отображение hel: R->S' (см. 1.2.6) представляет собой
открытый эпиморфизм. Его ядром служит подгруппа Z группы R,
составленная из целых чисел. Таким образом, факторгруппа
R/Z изоморфна S1.
Отображение hel X ... X hel: R" -> (S1)" = Sl X ¦ • • X S1 так-
также представляет собой открытый эпиморфизм. Его ядром слу-
служит целочисленная решетка Z X • • • X Z = Z" пространства R".
Таким образом, факторгруппа R/Z" изоморфна (S1)n.
17. Подгруппа группы S3, составленная из вещественных
кватернионов (т. е. из кватернионов (хь х2, х3, х4) с х2 = х3 —
дг4 = 0), есть 5°. Эта подгруппа нормальна, и факторгруппа S3/S0
совпадает, как топологическое пространство, с RP3.
Подгруппа группы S3, составленная из комплексных кватер-
кватернионов (т. е. из кватернионов (хи х2, х3, х4) с х3 = х4 = 0), есть S1.
Эта подгруппа не является нормальной. Факторпространство
S3/S' канонически гомеоморфно S2: канонический гомеоморфизм
S3/S'-»52 определяется как взаимно однозначный фактор ото-
отображения Хопфа S3->S2 [очевидно, zer(S3, S]) = zer (S3->S2)].
2. Группы гомеоморфизмов
1. Согласно 1.1.4.7, гомеоморфизмы топологического прост-
пространства X составляют подгруппу группы SymmX всех обрати-
обратимых преобразований множества X, т. е. образуют группу с о
в качестве групповой операции. Эта группа обозначается
через TopJ.
Мы топологизируем ТорХ двумя способами. Первая тополо-
топология индуцирована включением Тор X с: ^ {X, X) (см. 1.2.7.1),
т. е. определяется предбазой, составленной из множеств
ПЪ(К, 0) = <&(Х, К; X, О) П ТорХ с компактным К и откры-
открытым О. Вторая топология определяется предбазой, составленной
из множеств U, U~l, где U — множество, открытое в первой
топологии, или, что то же, предбазой, составленной из мно-
множеств Nb(/C, О), [Nb(/C, О)].
2 (Лемма). Если пространство X хаусдорфово и локально
компактно, то отображение (g, A)»—>gh непрерывно в обеих топо-
топологиях.
Доказательство. Если gh <= Nb {К, О), то h (К) с: g—' (О)
и, в силу 1.1.7.22, каждая точка множества п(К) обладает
окрестностью с компактным замыканием, лежащим в g (О).
Пусть О' —объединение конечного числа таких окрестностей,
270 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
покрывающее h{K). Ясно, что множество С10' компактно
и что g e Nb (C1О', О), h e= Nb (К, О'), Nb (C1 О', О) Nb (К, О') с=
ЫЬ(К, О).
Если gh e [Nb (К, О)] \ то h~lg ' e Nb (К, О) и, согласно
уже доказанному, существуют такие множества U, V с: Тор X,
открытые в первой топологии, что h~l^V, g~l e [/, VU cz
КЪ{К, О). Ясно, что get/, АёГ', [Г1]/ с= [Nb(/(, О)].
3. Если пространство X хаусдорфово и локально компактно,
то группа Тор X, топологизированная вторым способом, является
топологической группой.
Это следует из 2 и того очевидного факта, что отображе-
отображение g I—> g~l непрерывно во второй топологии.
4. Если пространство X хаусдорфово и компактно, то вторая
топология совпадает с первой.
Это следует из очевидной формулы [Nb(/C, О)] = Nb(Z \ О,
Х\К).
5. Если пространство X дискретно, то вторая топология
совпадает с первой.
Это следует из очевидной формулы
[Nb(K, О)Г'= U Г П
geNb(/C. О) Lx
П
geNb(/C. О) LxeK
и конечности компактных множеств в X.
6 (Лемма). Пусть g — гомеоморфизм пространства R" и
К, V — множества в R", причем К и С1V компактны, а V
открыто. Если g~1(K)<=^V, то у g есть в 9?(Rn, R") такая
окрестность Ш, что ЬГХ {К) cz V для всякого гомеоморфизма
h из Ш. .
Доказательство. Положим е = Dist {К, R" \ g(V)) и оп-
определим Ш как множество таких непрерывных отображений
h: R"-»-R", что dist (g (х), h {х))< е/2, если х е С1 V. Откры-
Открытость этого множества очевидна, и нужно лишь проверить,
что если h — гомеоморфизм из Ш и r/s/C, то h~x (у) е V.
Мы покажем, что противоположное включение h~l (у) е R" \ V,
или, что то же, включение г/е Rra \h (V), будучи присоединено
к включениям h e °ll, у е К, приводит к противоречию.
Так как g-1(y)^V, то dist (у ^ g(g~> (у)), h(g~} (г/)))<е/2,
и это - неравенство сохранит силу, если мы заменим в нем
h(e~1(y)) любой точкой отрезка с началом у и концом h{g~l(y)).
Пусть z — точка этого отрезка, лежащая в ?rh{V) [такая
точка существует, поскольку у е R" \ h (V), a h {g~' (у)) е h (V);
например, в качестве z можно взять нижнюю грань части
отрезка, лежащей в h(У)]. Так как zgCI/j(V), то /г (г) е= С1V
и, следовательно, dist (#(/*"' (z)), h(h~] (г)) =,z) < е/2. Вместе
§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 271
с неравенством dist (г/, z) < е/2 это дает: dist (г/, g(h~l (z))) < е.
С другой стороны, так как z^h(V), то g(h~l {z))^Rn\g(V) и,
следовательно, dist (у, g (h~i (z))) ^ e.
7. Если X — евклидово пространство, то вторая топология
совпадает с первой.
Достаточно доказать, что у всякого гомеоморфизма g
с r'sNb(/(, О) есть в ^(Х, X) такая окрестность Щ, что
/г е Nb(/C, О), если h — гомеоморфизм из °U. А это делается
прямым следствием леммы 6. если взять в качестве V какое-
нибудь открытое множество с компактным замыканием, содер-
содержащее g~ (К) и содержащееся в О.
Группы диффеоморфизмов
8. Пусть X — многообразие класса <<Р>Г с l^r^oo. Согла-
Согласно 3.1.2.9, множество его ^-диффеоморфизмов, т. е. DiffX,
является группой сов качестве групповой операции, а в 3.4.1.1
это множество было топологизи'ровано. Очевидная проверка
показывает, что операция о непрерывна в этой топологии,
в компактном же случае непрерывна и операция /t—s-/-1. Таким
образом, в компактном случае Dilf X есть топологическая
группа. Чтобы сделать эту группу топологической в общем
случае, достаточно модифицировать топологию так же, как
в 1: составить предбазу новой топологии из множеств, откры-
открытых в старой топологии, и их образов при отображении f^—>f~l.
Как и там, вторая топология совпадает с первой, если X
компактно.
Ясно, что как в компактном, так и в некомпактном случае
включение DiffrX->TopX является мономорфизмом в смы-
смысле 1.8, и то же относится к включениям DiffrX~>DiffsXcs<r,
Классические группы
9. Аналитические многообразия О(п), SO{n), U{n), SU(n),
Sp {n), а также GL (n, R), GL+ (n, R), GL (n, C), GL (n, H), опреде-
определенные в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.2, 3.2.1.5— 3.2.1.9) и там же наде-
наделенные групповой структурой, являются, очевидно, топологиче-
топологическими группами. Группа О(п) называется ортогональной, группа
SO(n) — специальной ортогональной, группа U(n) — унитарной,
группа SU{n) — специальной унитарной, группа Sp (п) — симплек-
тической. Группы GL{n, R), GL{n, С), GL(n, H) называются пол-
полными линейными группами. Ясно, что 50 (п) — компонента
единицы группы О («), a GL+ (n, R) — компонента единицы груп-
группы GL(n, R).
10. Ясно, что топологическая группа GL {n, R) является под-
подгруппой топологической группы TopR" в смысле 1.3. В том
272 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
же смысле являются подгруппами топологической группы Top Rn
и топологические группы О (п), SO (п) и GL+ (п, R).
Подобным же образом, топологическая группа GL(n,C)
и ее подгруппы U (я), SU (п) являются подгруппами топологи-
топологической группы Тор С", а топологическая группа GL (п, Н) и ее
подгруппа Sp (я) являются подгруппами топологической группы
Тор И1.
Заметим еще, что и включения U (n) czSO Bn), Sp(n) с
SU Bл), GL (п, С) с GL+ Bл, R), GL {п, Н) a GL Bп, С) являются
включениями подгруппы в группу в смысле 1.3.
3. Действие
1. Действием группы G в множестве X называется отображе-
отображение G~XX->X с двумя свойствами: (i) (еа, х) ь—> х; (ii) если
{gi,x)>->xl, {g2,x1)<-^x2, то (g2gu x)*->x2. Образ пары (g,x)
обычно обозначают через gx, что придает условиям (i), (ii) вид
еах = х, g2 {giX) = (gogi) x.
Отображение Х—>Х, определяемое по элементу g группы G
формулой хь-ъ-gx, называется преобразованием, производимым
элементом g. Из (i), (ii) следует, что это отображение обра-
обратимо (обратным является преобразование, производимое элемен-
элементом g~l) и что возникающее таким образом отображение группы
G в Symm^ есть гомоморфизм. Мы называем этот гомомор-
гомоморфизм присоединенным к действию. Ясно, что он определяет
действие и что всякий гомоморфизм h:.G~* SymmZ присоединен
к некоторому действию [именно, к действию (g, x) ^-ъ^ (h (g)) (x)].
Таким образом, действие группы G в X может быть интерпре-
интерпретировано как ее гомоморфизм в Symm X.
В первую очередь нас будет интересовать случай, когда
присоединенный гомоморфизм является мономорфизмом. Дей-
Действие называется в этом случае эффективным, а в общем случае
ядро присоединенного гомоморфизма называется ядром неэффек-
неэффективности действия. Если К — это ядро, то присоединенный
гомоморфизм представляется как композиция проекции G-+GJK
и мономорфизма G//(—>¦ SymmZ, а само действие — как компо-
композиция отображения prXidZ: G~^X->{G/K)'XiX и эффектив-
эффективного действия (G//()>< X ->Х. Переход от действия GX.X-+X
к действию (Gjk)XX-+ X называется эффективизацией.
Подмножество множества X, на которое действие GX,X->X
отображает множество G X х, «называется орбитой точки х.
Ясно, что орбиты двух точек либо не пересекаются, либо совпа-
совпадают; таким образом, орбиты составляют разбиение множе-
множества X. В случае, когда имеется только одна орбита, действие
называется транзитивным. В общем случае множество орбит
обозначается через X/G.
§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 273
Если h: Gt~>G — групповой гомоморфизм, то композиция
отображения h X id X: G, X X ~* G X X с действием группы G
в X представляет собой действие группы Gx в X. Говорят,
что последнее индуцируется исходным действием посредством h.
Присоединенный к нему гомоморфизм представляет собой,
очевидно, композицию гомоморфизма h с гомоморфизмом, присо-
присоединенным к исходному действию. Ясно, что действие, индуци-
индуцированное эффективным действием посредством мономорфизма,
эффективно, а действие, индуцированное транзитивным дей-
действием посредством эпиморфизма, транзитивно.
Если G{ — подгруппа группы G и к — включение, то говорят,
что индуцированное действие получается из исходного суже-
сужением группы G до Gu а исходное из индуцированного — расши-
расширением группы Gy до G. Из предыдущего следует, что при
сужении группы эффективное действие остается эффективным,
и ясно, что при расширении группы транзитивное действие
остается транзитивным.
Подмножество Xi множества X называется инвариантным
относительно действия G^X —>X, если оно насыщено относи-
относительно разбиения на орбиты. В этом случае возникает сужен-
суженное действие GXIi->l|. Ясно, что если последнее эффективно,
то и исходное действие GXI-+X эффективно.
Произведением действий Gx X X\->-X\, G2X Х2->Х2 называется
действие (G, XG2) X № X.X2)-*-Xi X Х2, определяемое форму-
формулой .(gi, g2)(xu x2) = (glxl, g2x2). Ясно, что произведение эффек-
эффективных действий эффективно, а произведение транзитивных
действий транзитивно.
Отображение / множества X, в котором действует группа G,
в множество X', в котором также действует группа G, назы-
называется G-отображением, если f{gx) — gf{x) для любых g e G,
х е X. В более общей ситуации, когда в X действует группа G,
а в X' — группа G', и имеется гомоморфизм у: G-+G', отобра-
отображение f: Х-*Х', такое, что / (gx) = у (g) f {x) для любых g^G,
ieJ, называется у-отображением.
Действия группы G в множествах Х,Х' называются экви-
эквивалентными, если эти множества можно связать обратимым G-
отображением.
2. Действие, определенное в 1, подробнее называется левым
действием — в отличие от правого действия, которое опреде-
определяется как отображение X X G->X, такое, что: (i) (х, еа) н-» х;
(ii) если (x,gx)>->xu {xug2)*->x2, то (х, g{g2) \->х2. В случае
правого действия пишут не gx, a xg, условия (i), (ii) принимают
для него вид xeG = x, (xgx) g2 — xg\g2, а присоединенный гомо-
гомоморфизм превращается в присоединенный антигомоморфизм;
в остальном все сказанное в 1 можно повторить для правого
действия дословно.
274 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ.-4
Очевидно, формула xg = g~[x превращает левое действие
в правое, а формула gx = xg~[ превращает правое действие
в левое. Эти действия называются сопряженными друг с другом.
-В дальнейшем термин действие означает левое действие,
если только контекст не указывает прямо, что речь идет о пра-
правом действии.
3. Если преобразования, производимые элементами группы G,
действующей в X слева или справа, принадлежат подгруппе Н
группы SymmZ, то действие (правое действие) может быть
интерпретировано и как гомоморфизм (антигомоморфизм)
группы G в Я. В этом случае говорят, что G действует в X
(действует в X справа) посредством преобразований из Н.
Группу Я не всегда указывают прямо. Например, если X —
топологическое пространство и Н = Тор X, то говорят просто,
что G действует в X (действует в X справа) посредством гомео-
гомеоморфизмов, а если X — группа и Я — группа автоморфизмов
группы X, то говорят, что G действует в X (действует в X справа)
посредством автоморфизмов; само действие (правое действие)
называется в последнем случае групповым.
В качестве важных специальных примеров рассмотрим дей-
действия G X G—> G, определяемые формулами (g, х) \—> gx, (g, x) ь-*¦
gxg~l, и правые действия G X.G —>G, определяемые формулами
(g, х) ь-» xg, {g, x)*—*- g~lxg (все произведения имеют групповой
смысл). Первое называется левым каноническим действием, вто-
второе— левым внутренним действием, третье — правым канониче-
каноническим действием, четвертое — правым внутренним действием. Оче-
Очевидно, канонические действия эффективны и транзитивны,
а внутренние действия являются групповыми.
Заметим, что после сужения левого канонического действия
GXG-+G до действия GjXG-^-G, где Gt — подгруппа груп-
группы G, орбиты становятся смежными классами по Gx. Таким обра-
образом, два смысла, которые имеет в этом случае обозначение G/Gx
(обычный теоретико-групповой и введенный в 1), совпадают.
4. Следующее обобщение левого канонического действия
имеет уже общее значение. Пусть G[ — подгруппа группы G.
Поскольку левый сдвиг переводит левый смежный класс в левый
смежный класс, формула (g, x)>—>gx определяет некоторое ото-
отображение GX(G/Gi)->G/Gu и ясно, что последнее является
действием. Это действие называется каноническим действием
группы G в G/G{. Оно транзитивно, и его ядро неэффективности
совпадает с пересечением всех подгрупп группы G, сопряжен-
сопряженных с G,. Проекция G-^-GIGi является, очевидно, G-отображе-
нием по отношению к левому каноническому действию груп-
группы G в G и ее каноническому действию в GjG\.
Оказывается, что всякое транзитивное действие группы G
эквивалентно ее каноническому действию в некотором фактор-
§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 275
множестве G/G{. Подробнее: пусть G*X.X->X— транзитивное
действие, и пусть хх — произвольно фиксированная точка мно-
множества X; тогда прообраз точки хх при отображении f: G~>X,
определяемом формулой f(g) = gxu является подгруппой
¦ группы G, прообразы других точек множества X при отобра-
отображении / являются левыми смежными классами по этой под-
подгруппе, а взаимно однозначный фактор fact/: G/Gl->X ото-
отображения f является G-отображением. Все это проверяется
автоматически.
У подгруппы Gi есть специальное название: она называется
стационарной подгруппой, принадлежащей точке Х\. Очевидно,
точке gxx принадлежит стационарная подгруппа gGxg~l. Таким
образом, стационарные подгруппы, возникающие при транзи-
транзитивном действии группы G, в точности заполняют один из клас-
классов ее сопряженных подгрупп.
Непрерывное действие
5. Непрерывным действием топологической группы G в топо-
топологическом пространстве X называется непрерывное отображе-
отображение G X X —>Х, являющееся действием в смысле 1.
Ясно, что в случае непрерывного действия преобразования,
производимые элементами действующей группы, являются гомео-
гомеоморфизмами. Это значит, что гомоморфизм, присоединенный
к непрерывному действию G^X-^X, может быть сокращен
до алгебраического гомоморфизма группы G в ТорХ. Согласно
1.2.7.6, последний гомоморфизм непрерывен в первой топологии
группы Тор X (см. 2.1), а если пространство X хаусдорфово
и локально компактно, то существование у присоединенного
гомоморфизма непрерывного в этой топологии сокращения G -»•
Тор X даже эквивалентно непрерывности действия. Очевидно
также, что алгебраический гомоморфизм G—>-ТорХ, непрерыв-
непрерывный в одной из двух топологий группы TopJ, непрерывен
и в другой, а согласно 2.3, в случае, когда X хаусдорфово
и локально компактно, Тор X является во второй топологии
топологической грулпой. Таким образом, если X хаусдорфово
и локально компактно, то непрерывное действие топологической
группы G в X может быть определено как гомоморфизм G ->
Тор X, понимаемый в смысле 1.8.
Заметим, что дискретная группа, действующая посредством
гомеоморфизмов, всегда действует непрерывно. Это позволяет
рассматривать действия нетопологизированных групп, действу-
действующих посредством гомеоморфизмов, как непрерывные действия.
6. Топологическое пространство, наделенное непрерывным
действием группы G, называется G-пространством. G-простран-
ство с эффективным действием группы 6 называется эффективным
276 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ.'4
G-пространством. В общем случае эффективизация превращает
G-пространство в эффективное (С/Д^-пространство, где К —
ядро неэффективности.
Множество X/G является в случае непрерывного действия
GX.X-*X топологическим пространством (факторпространст-
вом пространства X) и называется пространством орбит. Так
как насыщением любого подмножества А пространства X отно-
относительно разбиения на орбиты служит объединение множеств gA
с g e О, то разбиение на орбиты всегда открыто, а если группа
G конечна, то это разбиение и замкнуто. В частности, прост-
пространство X/G обладает счетной базой вместе с X, а если группа G
конечна, то оно и нормально вместе с X; см. 1.2.3.10 и 1.2.3.9.
Добавим, что разбиение на орбиты замкнуто и в случае, когда
пространство X компактно и хаусдорфово, а группа G ком-
компактна; действительно, действие GXX-+X является в этом
случае замкнутым отображением, и так как оно переводит про-
произведение бХЛ в насыщение множества А, то из замкнутости
множества А следует при указанных условиях замкнутость его
насыщения.
Сужение топологической группы G до ее подгруппы G[
очевидным образом превращает G-пространство в Gi-простран-
ство. Инвариантные подмножества G-пространства в очевидном
смысле являются G-пространствами; они называются его под-
подпространствами. В столь же очевидном смысле произведение
двух непрерывных действий является непрерывным действием,
так что произведение Gj-пространства на С2-пространство есть
{Gi X G2)-npocTpaHCTBo.
G-отображения и ^отображения определяются для непре-
непрерывных действий заново: G-отображением G-пространства
в G-пространство называется непрерывное отображение, явля-
являющееся G-отображением в смысле 1, а ^-отображением
G-пространства в G'-пространство — непрерывное отображение,
являющееся 7"от°бражением в смысле 1; при этом предпола-
предполагается, что у есть гомоморфизм в смысле 1.8. Два непрерыв-
непрерывных действия группы G называются эквивалентными, если соот-
соответствующие G-пространства можно связать G-гомеоморфизмом.
Специальные действия, рассмотренные в 3, — левое канони-
каноническое действие и левое внутреннее действие — в случае топо-
топологической группы G непрерывны.
Заметим, что здесь, как и в 3, обозначение G/G{ имеет два
смысла (факторпространство группы по подгруппе и простран-
пространство орбит) и что эти смыслы опять совпадают.
7. Непрерывно и каноническое действие группы G в ее
факторпространстве GjGx по произвольной подгруппе Gx. Для
доказательства рассмотрим композицию я|э: Gy^G^>G/Gi ото-
отображения G X G -> G, определяемого формулой (g;h) i—> gh, и про-
2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 277
екции G-yG/Gi. Очевидно, эта композиция постоянна на эле-
элементах разбиения zer (G, еа) X zer (G, Gt) и интересующее нас
действие GXiG/G^-^G/Gi является композицией отображения
G X (G/G,) -> (G X G)/(zer(G, e0) X zer (G, Gj)), обратного взаимно
однозначному фактору отображения idGXpr; GXG->GX
(G/G0, и отображения fact if: (G X G)/(zer(G, eG) X zer(G, G^)-»-
G/G!- Так как разбиения zer(G, eG) и zer(G, Gj) открыты, то
указанный взаимно однозначный фактор является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом (см. 1.2.3.11), из чего и следует непрерывность нашего
действия.
G-пространство, в которое факторпространство GjG\ превра-
превращается каноническим действием G X (G/Gi)->G/Gi, называется
однородным пространством.
Установленная в 4 эквивалентность произвольного транзи-
транзитивного действия G X X->Х каноническому действию группы G
в ее фактормножестве по стационарной подгруппе G\ перено-
переносится на случай непрерывного действия не полностью: хотя
в этом случае отображение /: G->X, определяемое формулой
f{g) = gXi, и его взаимно однозначный фактор fact f: GjG\~>X
непрерывны, отображение (fact /)~\ как показывают очевидные
примеры, может не быть непрерывным. Однако непрерывность
отображения (factf)" обеспечена, если пространство G компакт-
компактно, а пространство X хаусдорфово, и, таким образом, транзи-
транзитивное непрерывное действие компактной топологической группы
в хаусдорфовом пространстве с отмеченной точкой канонически
эквивалентно ее каноническому действию в факторпространстве
по стационарной подгруппе, принадлежащей этой точке.
8. Непрерывное действие G~X X -*¦ X называется свободным,
если отображение G~>X, определяемое формулой g^-^gx,
является вложением для каждой точки iel
Ясно, что свободное действие эффективно. Очевидно также,
что сужение группы G до ее подгруппы и сужение G-простран-
ства до его подпространства оставляют' свободное действие
свободным и что произведение двух свободных действий есть
свободное действие. Каноническое действие Gy(G -> G свободно,
каноническое действие G~X.{G/Gi)->G/Gl не свободно, если
Gx ф еа.
Рассмотрим для свободного действия GX-X—>Х расслоение
(X, рг, X/G). Если каждая точка пространства X обладает
окрестностью, которая отображается преобразованиями, произво-
производимыми элементами группы G, на попарно непересекающиеся
множества (в частности, если группа G конечна и пространство X
хаусдорфово), то образ такой окрестности при проекции X-+X/G
открыт и сужение расслоения (X, pr, X/G) на этот образ пред-
представляет собой тривиальное расслоение с дискретными слоями.
278 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Таким образом, в этом случае (X, рг, X/G) есть накрытие
в широком смысле.
9. Непрерывным правым действием топологической
группы G в топологическом пространстве X называется непре-
непрерывное отображение XXG-+G, являющееся правым действием
в смысле 2.
Все определения и факты, изложенные в 5, 6 и 8, очевидным
обра: ом переносятся на правые действия. В частности, тополо-
топологическое пространство, наделенное непрерывным правым дей-
действием, называется правым G-пространством. Мы не называем
правое G-пространство просто G-пространством; этот краткий
термин всегда означает левое G-пространство.
Примеры
10. Тождественный гомоморфизм Тор X-> Тор X определяет
для всякого топологического пространства X эффективное дей-
действие группы Тор X в X и с ним эффективное действие в X любой
подгруппы этой группы. Если X хаусдорфово и локально ком-
компактно, то Тор X есть топологическая группа и все эти действия
непрерывны. В частности, группы GL (n, R), GL+ (п, R), О («),
SO (я) эффективно и непрерывно действуют в Rn, группы GL(n, С),
U{n), SU(n)-B Сп и группы GL(n, И), 5р(и)-в IT.
Если г^оо, то включение DiffZ ->Top X определяет для
всякого ^^-многообразия X эффективное и непрерывное дей-
действие группы DiffJ в X.
11. Поскольку сфера Sn~1 инвариантна относительно действия
группы О (п) в R", последняя непрерывно действует в Sn~l вместе
со своей подгруппой SO(n). Подобным же образом, группы U (п)
и SU(n), как подгруппы группы 0{2п), непрерывно действуют
в S2n~\ a Sp{n), как подгруппа группы О {An), непрерывно дей-
действует в 54га~'. Все эти действия эффективны и, если не считать
тривиальных случаев, именно, действий 50 A) X S°-+S° и
SU(l)XS1-->S1, транзитивны.
Для действий 0(я)Х5"ч->Г', SO(n) X Sn~l ->Sn~l ста-
стационарные подгруппы, ассоциированные с ortn, совпадают
с 0(п - 1), SO(n - 1); для действий U(n)XS2n~l -> S2n~l, SU (n) X
S2n~l -^¦S2n~1 стационарные подгруппы, ассоциированные с ort2n,
совпадают с U(п— 1), SU(n— 1); для действия 5р(и)Х54га~ —>
Sin~l стационарная подгруппа, ассоциированная с ort4re,
совпадает с Sp(n— 1). Соответствующие гомеоморфизмы
0(п)/0(п-1)->Г', SO(n)/SO(n-l)->Sn-\ U(n)/U(n-l)-+
S2n~\ SU {n)/SU (n~l)-> S2n~\ >Sp {n)/Sp(n - 1) -> S4"~' (cm. 7)
совпадают с взаимно ^однозначными факторами субмерсий
$ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 279
V(n, п) [ = 0(п)\ -* V(n, 1) [«S"], V(n, n— 1)->У(п, 1),
CV(n,n)-*CV(n,l), CV(n, n-l)->CV(n, 1), HV(n,n)-+
НУ (и, 1), определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.3, 3.2.1.5, 3.2.1.6),
Если сузить группы О (и), U{n), Sp(n) (с я^1) до подгрупп,
состоящих из скалярных матриц, и произвести обычное ото-
отождествление этих подгрупп с S°, S1, S3, то возникнут непрерыв-
непрерывные действия S° X S'1-> Sn~\ S1 X S2n~l-> Sm~\ 53X54"-1->
Sin~l, Эти действия свободны, и факторпространства SK~7s°>
jS , S jS совпадают с RP. , CP , HP
Заметим еще, что и шары Dn, D2n, Din инвариантны отно-
относительно действия групп О(п), U (n), Sp{n) в R", С", Н" и что
вследствие этого группы О (я), SO (n) непрерывно действуют в D",
группы U{n), SUiti) непрерывно действуют в D2n и группа Sp{n)
непрерывно действует в D4n. Все эти действия эффективны.
12. В многообразии У (и, k) непрерывно действуют слева
группы О (я), SO{n) и справа группы О (?), SO{k): левые дей-
действия определяются формулой (g, v) i—s* g»ti[geO(«) или
SO (я), tie У (я, k)\ g и v интерпретируются как отображения],
правые — формулой (v, g) *-^ v ° g. Подобным же образом,
в СУ (я, k) непрерывно действуют слева группы U(n), SU (я)
и справа группы ?/(&), SU{k), а в НУ {п, k) непрерывно дей-
действует слева группа Sp(n) и справа группа Sp{k).
Все левые действия эффективны, если k?=0. Нетранзитивными
среди них являются только действия SO (я) XV (п, п) -> V (п, п)
и SU(п) X CV (n, n)->CV{n, n) с tt^l. Стационарные под-
подгруппы групп О (я), SO (п) совпадают для точки (х{, ..., %)н^
(О, .'. ., О, хи ..., xk) многообразия У (п, k) (последнее рассмат-
рассматривается как множество линейных изометрических отображений
Rfe -> Rn) с О (я — k), SO [п. — k), стационарные подгруппы групп
U(n), SU (я) и Sp(n) совпадают для точек {хи ..., хй)н->
(О, ..., О, хи ..., х^ многообразий СУ (п, k) и НУ (я, k) с
U(n — k), SU(n-k) и Sp{n — k), а соответствующие гомео-
гомеоморфизмы О (я)/О (п — k) -> V (п, k), SO (n)/SO (n — k)->V (n, k),
U{n)/U{n— k) -> CV {n, k), SU{n)/SU{n -k) -> CV{n, k),
Sp (n)/Sp(n—k)^>-UV (я, k) совпадают с взаимно однозначны-
однозначными факторами отображений О (я)—>V {n, k), SO{n)^V{n, k),
U(n)^ СУ (я, k), SU(n)->CV (n, k), Sp(n)-+HV{n, k), опре-
определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.3, 3.2.1.5, 3.2.1.6). При ? = 1 эти
действия превращаются в действия, указанные в 11.
Все правые действия свободны. Факторпространства У {п,
k)/O(k), У (я, k)/SO(k), СУ (я, k)/U(k), HV{n, k)/Sp{k) кано-
канонически гомеоморфны многообразиям G(n, k), G+{n, k), CG{n, k),
HG(n, k); каноническими гомеоморфизмами служат взаимно
однозначные факторы отображений У (я, k)->G(n, k), V {n, k)-*
280 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
G+(n, k), CV(n, k)->CG{n, k), HV(n, k)-+W{n, k), опреде-
определенных в п. 3.2.2 (см. 3.2.2.3, 3.2.2.7, 3.2.2.8).
13. Те же формулы {g, v)*->gov и (v, g)l—>v°g определяют
левые действия групп GL(n, R), GL+(n, R) в V'(n, k), группы
GL(n, С) в CV'(n, k) и группы GL(n, И) в HV (n, k), а также
правые действия групп GL(k, R), GL+[k, R) в V'(n, k), группы
GL{k, С) в CV'(h, k) и группы GL(k, H) в W {n, k).
Все левые действия эффективны и, за исключением действия
GL+(n, R)XV'{n, я) -> V' (я, *я), транзитивны. Стационарные
подгруппы групп GL (я, R), GL (л, С), GL (л, Н) совпадают для
точек (хь ..., л^)>—КО, ..., 0, хи ..., xk) многообразий V(п, к),
CV (я, jfe), НУ {п, k) с GL (л - й, R), GL (л - Л, С), GL {n - k, H),
а соответствующие канонические гомеоморфизмы GL(n, R)/GL(n—
k, R)->V'{n, k), GL(n, Q/GL(n-k, C)^>CV'{n, k), GL{n,
H)/GL(n — k,. Н)->НУ (л, k) — с взаимно однозначными факто-
факторами отображений GL(n, R)->F'(«, k), GL (n, C) -> CV {n, k),
GL(n, H)->HK'(n, Л), определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.7, 3.2.1.8,
3.2.1.9). Стационарная подгруппа группы GL+{n, R) совпадает
для точки (хи ..., xk) ь-s» @, ..., 0, хь ..., хк) многообразия
V'(n, k) с GL+(n-k, R).
Все правые действия свободны. Факторпространства V (п,
k)/GL(k, R), Г (л, k)IGL+{k, R), О'(л, k)/GL{k, С), W{n,
k)jGL(k, Н) канонически гомеоморфны G (я, й), G+(n, k),
CG (л, /г), гЮ(я, ft); каноническими гомеоморфизмами служат
взаимно однозначные факторы отображений Vr {n, k)-*G(n, k),
V'(n, k)-*G+(n, k), CV'{n, k)->CG{n, k), HV'(n, k)->HG{n, k),
определенных в п. 3.2.2 (см. 3.2.2.3, 3.2.2.7, 3.2.2.8).
14. В многообразиях С(л, k), G+(n, k) очевидным образом
непрерывно действуют (слева) группа GL(n, R) и ее подгруппы
GL+{n, R), О (и), SO{n). В многообразии CG{n, k) непрерывно
действуют группа GL(n, С) и ее подгруппы U(n), SU{n). В мно-
многообразии HG(n, k) непрерывно действуют группа GL(n, И) и
ее подгруппа Sp{n). Действия групп О (я), SO(n) в многообра-
многообразиях С+(л, k) с нечетным k эффективны. Ядра неэффективности
действий GL(n, R)XG+(n, k)-+G+{n, k),GL+{n, R)XG+(n, k)-*
G+ {n, k) с нечетным k состоят из скалярных' матриц с положи-
положительными диагональными элементами. У остальных действий,
если не считать тривиальных случаев k — О и k = n, ядра не-
неэффективности состоят из всех скалярных матриц, имеющихся
в действующей группе. Не транзитивны только действия GL(n,
R)XG+(n, 0)->G+(n, 0), GL+(n, R)XG+(n, 0)-+G+(n, 0),
O(/i)XG+(/i,0)-»G+(n,0), SO{n)XG+{n,0)-+G+(n,0), GL+(n,
R)XG+(n, ra)->G+(n, n), SO(n)XG+ (я, rc)->G+ (я, я). Если
выбрать в каждом из многообразий G(n, k), G+(n, k), CG{n, k)
и НО(я, k) в качестве отмеченной точки плоскость х1 = 0, ...,
xn-h = 0, наделив ее в случае G+(n, k) естественной ориента-
§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 281
цией, то для действий группы GL(n, R) в G(n, k), группы
GL (л, R) в G+ (л, k), группы GL (л, С) в CG (л, &) и. группы
GL(n, H) в HG(n, k) стационарными будут подгруппы матриц
VA C1
Lo ву
вида I „ , где А и В — невырожденные квадратные матрицы
порядков л — кик, а С — произвольная (л—k) X /г-матрица,
причем в случае G+ (л, /г) матрица В содержится в GL+ (k, R).
При сужении действующих групп эти стационарные под-
подгруппы суживаются до пересечения перечисленных подгрупп
с новыми действующими группами. В частности, для дей-
действий группы О (л) в G (л, k) и в G+ (л, k), действия группы
50 (л) в G+ (л, k), действия группы U (л) в CG (л к) и действия
группы Sp (л) в HG (n, k) стационарными подгруппами служат
образы мономорфизмов O(n—k)XO{k)->O(n), О (л—k)XSO(k)->
О (л), SO(n-k)XSO(k)-+SO(n), U(n-k)XU(k)->U(n), Sp(n-k)X
Sp(k)->Sp(n), определяемых матричной формулой (А, В) н^-
Г Л 0
R I. Отождествление этих произведений с их образами
приводит к каноническим гомеоморфизмам:
O(n)/[O(n-k)XO(k)]-+G(n, к),
О (л)/[О (n-k)X SO (k)] — G+ (л, Л),
SO (л)/[50 (n-k)X SO (k)] — G+ (л, /г),
С/ (я)/[?/ (л - k) X U (k)] -> CG (л, Л),
Sp (n)/[Sp (n-k)X Sp {k)\ -> HG (л, Л).
75. Пусть т; /ь ...,/„ — взаимно простые натуральные числа.
Комплексная формула
где k — целое число, а (гь ..., гга) — точка сферы S2ri~l, опре-
определяет действие ZXS2"" —>S2n~1 с ядром неэффективности mZ,
превращающееся после эффективизации в свободное действие
группы Zm = Z/mZ в S2n~[. Факторпространство S2n~l/Zm обо-
обозначается через L{m; 1Ь ..., 1п) и называется линзой.
Имеются также бесконечные линзы L (т; /ь 12, .. .) со взаимно
простыми т; 1и 12, ... Линза L(m; lu /2, .. .) определяется как
факторпространство S°°/Zm, порождаемое свободным действием,
которое получается при эффективизации действия
{ft, (zIt z2> ...)) ь-s- (z1eai'w>'m, z2e2
группы Z в S°°. Эквивалентное описание:
L(m; lu /2, ...) =
lim(L(m; /j /„), in: L{m; lu ..., ire)
282 РАССЛОЕНИЯ !ГЛ. 4
Бесконечная линза L(nr, 1, 1, ...) обозначается короче через
L(m).
Согласно 8, тройки (S2n \ pr, L(tn; lx, ..., /„)) и (S°°, pr,
L(tn; lu 12, ...)) являются накрытиями.
16. Формула (у, х)*-*-уху-\ где х — кватернион, а «/ — ква-
кватернион с нормой 1, определяет непрерывное действие 53Х
R4->R\ Пространство Щ мнимых кватернионов инвариантно
относительно этого действия; таким образом, последнее про-
пространство, а с ним и R3, оказывается ^-пространством. [Ото-
[Отождествление R3 с R3 осуществляется отображением shi: R3->R3;
см. З.2.З.1.] Ядром неэффективности указанного действия
$3X,R3->R3 служит, очевидно, S0; ясно также, что возникаю-
возникающее эффективное действие факторгруппы S3/S° = RP3 в R3 пре-
превращается при каноническом отождествлении пространства RP3
с 50C) [см. 3.2.3.1] в стандартное действие группы 50C) в R3
(см. 11).
17. Пусть Р — правильный выпуклый многогранник в R3 (тет-
(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр или икосаэдр) с центром 0.
Обозначим через GP подгруппу группы SO C), составленную
из вращений, переводящих Р в Р, и через G~~P — прообраз
группы GP при проекции S3->-50C) [см. 16]. Ясно, что GP
и G^P не меняются при переходе от Р к двойственному много-
многограннику и заменяются сопряженными подгруппами групп 50 C),
S3 при замене Р любым одноименным правильным выпуклым
многогранником с центром 0. Таким образом, в 50 C) есть
ровно три класса сопряженных подгрупп GP, а в 53 — ровно
три класса сопряженных подгрупп G~P. Первые называются
группами тетраэдра, группами куба или октаэдра и группами
додекаэдра или икосаэдра, вторые — бинарными группами тет-
тетраэдра, бинарными группами куба или октаэдра и бинарными
группами додекаэдра или икосаэдра.
Если отнести каждому вращению из GP образ отмеченного
ориентированного ребра многогранника Р, то возникнет обра-
обратимое отображение группы GP на множество ориентированных
ребер многогранника Р. Таким образом, порядок группы GP
равен удвоенному числу ребер многогранника Р, т. е. 8 в слу-
случае тетраэдра, 24 в случае куба или октаэдра и 60 в случае
додекаэдра или икосаэдра. Для соответствующих бинарных
групп G~~P эти порядки равны 16, 48 и 120.
Групповые факторпространства SO C)/GP, S3/G~P предста-
представляют собой пространства орбит свободных действий, индуци-
индуцированных левыми каноническими действиями групп 50 C),
S3 посредством включений GP->SOC), G~P-+S, и потому
тройки (SO C), pr, SO C)/GP), (S3, pr, S3/G~~P) являются накры-
накрытиями (см. 8). В очевидном смысле SO C)/GP = S3/G~P.
S 3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 283
4. Упражнения
/. Показать, что если X — гладкое многообразие, то вторая
топология в Тор X совпадает с первой.
2. Показать, что если X — подмножество прямой R, соста-
составленное из 0 и точек 2"cnsZ, то вторая топология в Тор^
отлична от первой.
3. Показать, что канонический диффеоморфизм SUB)->S3
(см. 3.2.1.5) является групповым изоморфизмом.
4. Показать, что линзы L(m; lu ..., 4), L(m; l[, ..., 1'к) го-
меоморфны, если при каждом / сумма h + l'i или разность
U — 1\ кратна т.
5. Показать, что подмногообразие TangiRP2 многообразия
TangRP2, составленное из единичных касательных векторов
(т. е. векторов, служащих образами единичных касательных
векторов при отображении dpr: TangS2—>TangRP2), гомео-
морфнй линзе LD; I, 1).
6. Рассмотрим действие группы Z2 в многообразии V C, 2)
единичных касательных векторов сферы S2, при котором нену-
ненулевой элемент группы Z2 переводит касательный вектор v в —v.
Показать, что факторпространство V C, 2)/Z2 гомеоморфно
LD; 1, 1).
7. Рассмотрим действие группы Z2 в Tang[ RP2 (см. 5), при
котором ненулевой элемент группы Z2 переводит вектор v
в —v. Показать, что факторпространство Tang, RP2JZ2 гомео-
гомеоморфно факторпространству S3/H, где Н — подгруппа группы 53,
составленная из кватернионов ± ortb ± ort2, ± ort3, ± ort4.
8. Рассмотрим действие группы Z2 в СР2, при котором не-
ненулевой элемент группы Z2 переводит точку (z, : z2 '¦ z3) в (z^. z2: z3).
Показать, что факторпространство CP2/Z2 гомеоморфно S4.
9. Рассмотрим действие группы Z2 в СР1 X СР1, при кото-
котором ненулевой элемент группы Z2 переводит точку (B] : z2),
(ш>) : иJ)) в ((zi : z2), (w\ '. w2)). Показать, что факторпространство
(СР1 X CP')/Z2 гомеоморфно 54.
10. Рассмотрим действие группы Z2 в S2 X S2, при котором
ненулевой элемент группы Z2 переводит точку (х, у) в (у, х).
Показать, что факторпространство E2X52)/Z2 гомеоморфно СР2.
§ 3. РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ
1. Пространства с .F-структурой
/. У расслоений, с которыми чаще всего приходится иметь
дело, слои не просто являются топологическими простран-
пространствами, но обладают естественной дополнительной структурой,
например, представляют собой векторные, евклидовы или
284 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
эрмитовы пространства. В настоящем параграфе эта дополни-
дополнительная стуктура включается в теорию расслоений.
Мы начнем с точного описания структур нужного типа и
их систематического внедрения в основные определения тео-
теории, данные в § 1 (см. пп. 1.1, 1.2).
2. Пусть G — топологическая группа и F — эффективное
G-пространство. Говорят, что на топологическом пространстве W
определена F-структура, если задано такое непустое множе-
множество А гомеоморфизмов F —> W, что, каков бы ни был гомео-
гомеоморфизм аеА, гомеоморфизм 0: F-+W тогда и только тогда
принадлежит А, когда р~'°а есть преобразование, производи-
производимое некоторым элементом группы G. Гомеоморфизмы из А на-
называются отмеченными.
Каждый отмеченный гомеоморфизм очевидным образом пе-
переносит действие группы G из F в W. Если G — коммутатив-
коммутативная группа, то возникающее действие GXW —> W не зависит
от выбора переносящего гомеоморфизма, так что в этом слу-
случае F-структура сводится к действию группы G. Если группа G
не коммутативна, то F-структура не определяет никакого ка-
канонического действия этой группы в W.
Заметим, что само пространство F обладает канонической
/^-структурой, отмеченными гомеоморфизмами которой являются
преобразования, производимые элементами группы G.
В простейшем случае, когда G — тривиальная группа, про-
пространство с F-структурой есть просто топологическое простран-
пространство, канонически гомеоморфное F.
3 (Примеры). Если G — GL (n, R), a F есть R" с обычным дей-
действием этой группы, то пространство с F-структурой есть не что
иное, как вещественное n-мерное векторное пространство. Фик-
Фиксация отмеченного гомеоморфизма означает выбор базиса.
Если G — одна из групп GL+ (п, R), О (и), SO (и), a F есть R"
с обычным действием этой группы, то пространство с F-струк-
турой есть, соответственно, ориентированное n-мерное вещест-
вещественное векторное пространство, и-мерное евклидово простран-
пространство, ориентированное и-мерное евклидово пространство. Если
G — одна из групп. GL(n, С), U{n), a F есть Сп с обычным
действием этой группы, то пространство с F-структурой есть
соответственно и-мерное комплексное векторное пространство
и «-мерное эрмитово пространство.
Если G = DiWX, где X—многообразие класса ®"" (ls^r^a),
a F есть X с обычным действием этой группы, то простран-
пространство с F-структурой есть ^-многообразие, Фг-диффеоморфное X.
Если G = Тор X, где X — локально компактное хаусдорфово
пространство, a F есть X с обычным действием этой группы,
то пространство с F-структурой есть топологическое простран-
пространство, гомеоморфное X.
§ 3J РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 285
Если G— группа всех симплициальных гомеоморфизмов
единичного симплекса Тп, a F — симплекс Тп с обычным дей-
действием этой группы, то пространство с F-структурой есть топо-
топологический симплекс размерности га.
4. Гомеоморфизм одного пространства с F-структурой на
другое, переводящий множество отмеченных гомеоморфизмов
в множество отмеченных гомеоморфизмов, называется изомор-
изоморфизмом или, подробнее, F-изоморфизмом.
В каждом из предыдущих примеров F-изоморфизмы соста-
составляют хорошо известный класс отображений: в первом и в пятом
примере это линейные изоморфизмы, в третьем и в шестом —
линейные изометрические изоморфизмы, в четвертом — сохраняю-
сохраняющие ориентацию линейные изометрические изоморфизмы, в седь-
седьмом — ^""-диффеоморфизмы, в восьмом — гомеоморфизмы, в де-
девятом— симплициальные гомеоморфизмы.
5. Произведение пространства W с F-структурой на про-
пространство W с F'-структурой в очевидном смысле является
пространством с F X F'-структурой (см. 2.3.6): отмеченными
считаются гомеоморфизмы F~XF' ->W X.W вида аХ«'> где а,
а' — отмеченные гомеоморфизмы.
Если GpnpocTpaHCTBo F{ получено из G-пространства F
в результате сужения группы G до Gu то обратный переход
от Fi к F превращает каждое пространство Wx с /^-структурой
в некоторое пространство W с, F-структурой: топологически W
совпадает с W\, а новые отмеченные гомеоморфизмы опреде-
определяются как композиции преобразований, производимых элемен-
элементами группы G, со старыми отмеченными гомеоморфизмами.
Говорят, что W получается из W\ в результате расширения
группы G[ до G.
2. Расслоения Стинрода
1. Пусть G — топологическая группа и F — эффективное
G-пространство. Расслоение | называется F-расслоением в сла-
слабом смысле или W-F-расслоением, если все его слои наделены
F-структурой. В этом случае F называется стандартным слоем
расслоения |, a G — его структурной группой. Множество всех
отмеченных гомеоморфизмов пространства F на эти слои обо-
обозначается через /)#(?)• Группа G естественно действует в DH (%)
справа по правилу [ag] (у) = a (gy) [ае/)Я(|), g^G, y^F].
Расслоение /'|, индуцированное l^-F-расслоением | посред-
посредством отображения /: B->bs|, в очевидном смысле является
B^-F-расслоением: F-структура вносится в его слои гомеомор-
гомеоморфизмами abtlad: pr /'Г' (&) ->ргГ* (/(&)) [ЬевВ].
Отображение f l^F-расслоения | в lF-F-расслоение ц назы-
называется W-F-отображением, если отображения abtl/ слоев рас-
расслоения | в слои расслоения ч\ являются изоморфизмами
286 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
(см. 1.4). ^-^-отображение, являющееся изоморфизмом (экви-
(эквивалентностью) в чисто топологическом смысле (т. е. в смысле
1.1.2), называется W-F-изоморфизмом (W-F-эквивалентностью).
Два и^-^-расслоения, которые могут быть связаны И^-^-изомор-
физмом (UP-F-эквивалентностью), называются W-F-изоморфными
{W-F-эквивалентными).
Каждому ^-/^-отображению /: |->ti отвечает отображение
DH{f): DH(g)->DH{r\), относящее гомеоморфизму a: /?->-рг|~1(&)
сквозной гомеоморфизм F —*¦ рг |~' (Ь) >¦ pr r\~1 (bs f {b)).
Ясно, что DH(f) есть G-отображение по отношению к есте-
естественным правым действиям группы G в DH (|) и DH (ц).
Стандартное тривиальное расслоение (В X F, ргь В), где
В — произвольное топологическое пространство, в очевидном
смысле является ^-/^-расслоением: F-структура вносится в его
слои гомеоморфизмами F ->b~X.F, которые определяются фор-
формулой у\—>ф, у). Действуя по схеме п. 1.2, мы называем
W-^-расслоения, ^-/^-эквивалентные таким ^-/^-расслоениям,
W-F-тривиальными ^-/^-расслоениями.
2. Расслоение | называется F-расслоением в сильном смысле
или, короче, F-расслоением, если, во-первых, оно является W-F-
расслоением и, во-вторых, множество DH{Q наделено топологией.
Расслоение f'|, индуцированное /^-расслоением | посредством
отображения f: 5-^-bsg, в очевидном смысле является /^рас-
/^расслоением: тополог из ация множества DH(f[?,) производится
взаимно однозначным отображением DH (/'!)-> В ~X,DH(?), ко-
которое определяется формулой си—Ирг/1 ? (a (F)), [DH (ad /)] (а)).
Отображение / /^-расслоения | в F-расслоение т^ называется
F-отображением, если оно является W-F-отображением и, сверх
того, отображение DH(f) непрерывно, /^-отображение / назы-
называется F-изоморфизмом (F-эквивалентностью), если оно является
изоморфизмом (эквивалентностью) в чисто топологическом
смысле и DH (/) есть гомеоморфизм.
Стандартное тривиальное расслоение (В X F, рГь Щ, где
В — произвольное топологическое пространство, в очевидном
смысле является /^-расслоением: F-структура в его слоях уже
была описана в 1, а тоцологизация множества DH(B~X,F, ргьВ)
производится обратимым отображением В X G -> DH {В X F,
ргь В), которое относит паре (b, g) гомеоморфизм F -^-6Х F,
определяемый формулой у н^ (b, gy). Мы называем /^-расслоения,
F-эквивалентные таким /^-расслоениям, F-тривиальными, а саму
эквивалентность называем F-тривиализацией.
3. F-расслоение | называется локально F-тривиальным, если
каждая точка его базы обладает такой окрестностью U, что
сужение | \ц /^-тривиально. Локально ^-тривиальные расслоения
называются F-расслоениями Стинрода.
f 3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 287
Расслоения Стинрода будут играть в дальнейшем основную
роль. Этим определяется и значение /^-расслоений. F-расслоения
в слабом смысле потребуются нам только как вспомогательные.
Заметим, что в случае расслоения Стинрода каноническое
правое действие структурной группы в пространстве отмеченных
гомеоморфизмов непрерывно и свободно. В стандартном три-
тривиальном случае это очевидно, общий случай сводится к этому
специальному случаю.
4. Расслоение /'?, индуцированное /-"-расслоением Стинрода
посредством отображения /: 5->bs|, является F-расслоением
Стинрода: оно является /^-расслоением согласно 2, а его ло-
локальная F-тривиальность следует из того очевидного факта, что
оно F-тривиально, если | F-тривиально. Ясно, что отображение
ad f: /l|->-| является /^-отображением, что каноническая экви-
эквивалентность (id bs|)>|—>¦? и канонические эквивалентности вида
?'(/'?) ~~*~(f ° ё)[1 (см- 1-1.4) являются F-эквивалентностями и
что для всякого /^-отображения h расслоения | в другое рас-
расслоение Стинрода корректирующее отображение соггЛ является
/•¦-отображением.
Произведение ^-расслоения Стинрода | на /-"-расслоение
Стинрода |' в очевидном смысле является F X /""-расслоением
Стинрода: F X /^'-структура в его слоях определяется правилом,
указанным в 1.5; топологизация множества Dff(gXE') произ-
производится обратимым отображением DH(?)XDH(I')—*-DH(|XSO,
которое определяется формулой (а, а') н-*¦ а X а'; локальная
F X F'-тривиальность получающегося F X F'-расслоения следует
из того, что оно F X /"-тривиально, если % /^-тривиально,
а \' F'-тривиально.
Если Gi-пространство Fx получается из эффективного G-npo-
странства F в результате сужения группы G до Gb то обратный
переход от F{ к F превращает каждое /^-расслоение Стин-
Стинрода |i в некоторое /^-расслоение Стинрода |: топологически |
совпадает с %,\\ F-структура в слоях определяется правилом,
указанным в 1.5; топологизация множества DH(Q производится
с помощью действия группы Gj b^GX DH fa), определяемого
через правое каноническое действие группы Gx в DH(%i) [см. 1]
по правилу gx (g, а) ь-*¦ (gig, сГ^), обратимым отображением
(G X DH (^,i))/Gi —*¦ DH(^), относящим орбите пары (g, а) гомео-
гомеоморфизм y>-^a(gy); локальная F-тривиалыюсть получающегося
/^-расслоения следует из того, что оно F-тривиально,. если |t
/^-тривиально. Это преобразование /^ррасслоений в F-pac-
слоения называется расширением структурной группы. Ясно,
что оно превращает /^-отображения в /^-отображения и /71-экви-
валентности в ^-эквивалентности.
. 5. F-расслоение Стинрода с тривиальной структурной группой
F-тривиально.
288 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Доказательство. Пусть | — расслоение Стинрода со
стандартным слоем F и тривиальной структурной группой, и
пусть Г — такое открытое покрытие пространства bs|, что все
расслоения % \и с U <=. Г /-"-тривиальны. Положим T]=(bsgX/\
ргь bsg). Ясно, что /•'-тривиализация "(\\и->\\и единственна для
каждого f/еГ и что вместе F-тривиализации ц\и~>\\и со"
ставляют F-тривиализацию т^ —>- g.
Теоремы об F-oтображениях
6. Пусть \, g' — расслоения Стинрода со стандартным слоем F,
В— топологическое пространство и р: В ->bs| — факторное ото-
отображение {см. 1.2.3.4). Если х: tlg->tlg', Р: bsg—>bsg'— такие
отображения, что (т ° tl ad р, р о р) есть F-отображение расслое-
расслоения р% в g', то (т, Р) есть F-отображение расслоения g в g'.
Заслуживает проверки только непрерывность отображе-
отображений р, т и DH(t,$). Непрерывность р прямо следует из непре-
непрерывности композиции Р°р и факторности р (см. 1.2.3.4). Непре-
Непрерывность т и D#(t, P) достаточно установить в случае, когда
|, g'— стандартные тривиальные /-"-расслоения. В этом случае
х описывается формулой т(й, #) = @F), <р (&)«/), где <р — неко-
некоторое отображение пространства bs| в структурную группу
G, а отображения DH{% ° tl ad p, P°p): DH(р'1) -у DH<?),
DH(x, p): Z)# (?)-> Z)# (|')> после преобразования топологизи-
рующими гомеоморфизмами BXG—>DH{p%), bs|, X G-+DH (?),
Ьэ^ХС-^ДЯ^') (см. 2) в отображения SXG-^bsi'XG,
bs^X G->bs^'X G, описываются формулами (Ь, g")'—^(аР(^),
(форF))^), F, g")"—з» (р F), cp(b)g). Первая формула показывает,
что отображение ср о р непрерывно, из его непрерывности и фак-
торности р следует, что ср непрерывно, а из непрерывности ср
следует непрерывность т и DH (т, Р).
7. Пусть |, |' — расслоения Стинрода со стандартным слоем
F и р: bs | -> bs I' — непрерывное отображение. Если т: tl|->
tl I' — такое отображение, что для каждого элемента U неко-
некоторого фундаментального покрытия пространства bs| сужения
х |pr.-i (у)» Р 1У составляют F-отображение расслоения ||у е |',
го (т, Р) еегб F-отображение расслоения | в |'.
Это следует из 6: в качестве р мы берем pr: LJ?/ert/->bs |,
где Г — предложенное покрытие.
8. Если F-расслоения Стинрода |, |' имеют общую базу, то
всякое F-отображение f: | -> |' с bs / = id bs | является F-экви-
валентностью.
Доказательства требует только непрерывность отображений
tl/, DH(f)~\ причем эту непрерывность достаточно устано-
установить для случая, когда | — стандартное тривиальное F-pac-
слоение и ?' = |. В этом случае отображения tl/, tl/1": bs|X
3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 289
7—>bsgXf описываются формулами
(Ь, у)*-*{Ь,Ъ (Ь) у) [Ь е= bs g, */ <= F],
где ф, ф — некоторые отображения пространства bsg в струк-
структурную группу G, а отображелия DH (J), DH(f)~l, после пре-
преобразования топологизирующим гомеоморфизмом bs|XG->
DH (I) в отображения bsgX G->bsg X G, описываются фор-
формулами
(Р, g) r-* (b, Ф F) g), (й„ я) --> (Ь, Ц> F) г) [й е bs |, g e G].
Ясно, что i|)(&)== [ф(б)], и, таким образом, непрерывность DH(f)
последовательно влечет за собой непрерывность ф, непрерыв-
непрерывность я|э и непрерывность tl/, DH(f)~l.
9 (Следствие). Корректирующее отображение согг/ является:
F'-эквивалентностью для всякого F-отображения f одного F-pac-
слоения Стинрода в другое.
Главные расслоения
10. Расслоение Стинрода называется главным, если его
стандартным слоем служит его структурная группа G, кано-
канонически действующая в • себе слева (см. 2.3.6). Мы позволим
себе обозначать это G-пространство просто через G и в соот-
соответствии с этим будем называть главные расслоения со струк-
структурной группой G G-расслоениями Стинрода.
Фундаментальное свойство главных расслоений состоит в том,
что у них пространство отмеченных гомеоморфизмов совпадает
с тотальным пространством. Точнее, если | — главное расслоение,
то отображение ?)#(?)->tig, определенное формулой <хн—s*a(eG),
является гомеоморфизмом. В стандартном тривиальном случае
это очевидно общий случай сводится к стандартному триви-
тривиальному случаю.
Отождествление пространства /)Я(|) с tig, производимое
гомеоморфизмом а>—>а(еа), превращает естественное правое
действие группы G в DH(l) (см. 1) в ее свободное правое дей-
действие'в tig. Это свободное правое действие группы G в tig
нетрудно описать и прямо: ясно, что его орбиты совпадают со
слоями расслоения g, а само оно совпадает на каждом слое
с правым каноническим действием, перенесенным в этот слой
из G отмеченными гомеоморфизмами.
11,. Это .построение свободного правого действия группы G
в тотальном пространстве главного расслоения со структурной
группой G допускает следующее частичное обращение. Пусть
топологическая группа G действует справа в топологическом
290 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ. 4
пространстве X, и пусть это действие непрерывно и свободно.
Рассмотрим расслоение (X, pr, X/G). Его слои (орбиты) обла-
обладают естественной G-структурой: отмеченные гомеоморфизмы
G->pi—"F) [be X/G] определяются формулой g*-^xg с is
pr~' (b). Поскольку разным х отвечают разные гомеоморфизмы
g^—^xg, мы получаем одновременно обратимое отображение
пространства X на множество отмеченных гомеоморфизмов,
что топологизирует это множество. Таким образом, (X, pr, X/G)
есть G-расслоение.
Мы назвали эту конструкцию частичным обращением пре-
предыдущей, потому что в применении к правому действию tl g X
G--И1?, построенному в 10, она дает g. Точнее, взаимно одно-
однозначный фактор проекции рг| отображает tlt/G на bs g и со-
составляет с id (tig) G-изоморфизм расслоения (tl|, pr, tlg/G) на g.
12. Если G-расслоение {X, pr, X/G), определяемое свободным
правым действием группы G, обладает сечением, то оно G-три-
виально. В частности, G-расслоение Стинрода, обладающее сече-
сечением, G-тривиально.
Действительно, если s: X/G-+X— сечение, то отображение
f: (I/G X С, ргь X/G)->(X, pr, X/G), определяемое формулой
tlf{b,g) = s(b)g, является G-тривиализацией расслоения (X,
pr, X/G).
13 (Следствие). Если G-расслоение (Х, pr, X/G), определяемое
свободным правым действием группы G, топологически триви-
тривиально, то оно G-тривиально. Если оно локально топологически
тривиально, то оно локально G-тривиально, т. е. является G-pac-
слоением Стинрода.
3. Ассоциированные расслоения
1. Пусть G — топологическая группа и F, F'— эффективные
G-пространства. Нижеследующая конструкция относит каждому
/•"-расслоению Стинрода g некоторое /^'-расслоение Стинрода
с той же базой.
Определим правое действие группы G в ^Я(^)Х/7' по ее
каноническому правому действию в DH (|) [см. 2.3] формулой
g (а, у) = (ag, g~ly) [jeG, а е DH (g), i/ef] и обозначим через
g' расслоение с тотальным пространством {DH (|) X F')/G, ба-
базой bsg и проекцией, относящей- орбите пары (а, у) е DH (|) X F'
точку рг?(а (F)). Слои этого расслоения обладают естественной
^'-структурой: отмеченные гомеоморфизмы F' ^(prg')" (b)
определяются формулой у >—> рг (а, у), где а — гомеоморфизм
из DH(l) с a(/r) = prg~1 (b). Поскольку разным а отвечают
разные гомеоморфизмы у f—»¦ pr (a, у), мы получаем одновре-
одновременно обратимое отображение пространства DH (g) на множе-
множество DH{%'), что топологизирует это множество и делает g'
§ 3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 291
^'-расслоением. Наконец, очевидно, что сужение g' \ц F'-три-
виально для всякого множества U, для которого сужение g |у
F-тривиально, из чего следует, что расслоение g' локально
F'-тривиально, т. е. является /-"-расслоением Стинрода. Оно
называется ассоциированным с F и обозначается через
asso (g, F').
2. К. этому описанию конструкции asso мы присоединим
четыре замечания.
(i) Отображение пространства tig в [DH(g)X F)/G, отно-
относящее точке xetlg орбиту, составленную из пар (а, у) е
/)#(?) X ^ с а(у) = х, очевидно, является гомеоморфизмом и
составляет с idbsg /^-эквивалентность между g и asso(g, F).
Таким образом, расслоение asso(g, F) канонически F-эквива-
лентно g.
(ii) Обратимое отображение DH (g) -> DH (asso (g, F')), по-
посредством которого мы топологизировали Z)#(asso(g, F')),
является G-отображением по отношению к каноническим пра-
правым действиям группы G в DH (g) и DH (asso (g, /•")). Вслед-
Вследствие этого для всякого эффективного G-пространства F"
произведение указанного обратимого отображения на id/7"
является G-отображением по отношению к правым действиям
группы G в DH (g) X F" и DH (asso (g, F')) X F", определяемым
формулой g (а, у) — {ag, g~ly), и ясно, что возникающий гомео-
гомеоморфизм (DH Ц) X F")IG -> (?)Я (asso (g, Л) X F")JG составляет
с idbs?, ^"-эквивалентность между asso(g, F") и asso(asso(g,
F'), F"). Таким образом, расслоение asso (asso (g, f), F") кано-
канонически F"-эквивалентно asso(g, F").
(iii) Расслоение asso (g, G), т. е. главное расслоение, ассоци-
ассоциированное с g, канонически G-изоморфно G-расслоению {DHfe),
pr, DH (Q/G), определяемому каноническим правым действием
группы G в DH (g) [см. 2.11]. Канонический G-изоморфизм
(DH (g), pr, DH (Q/G) -* asso {I, G) определяется гомеоморфизмом
DH (g) -> A)Я (g) X G)/G, относящим отмеченному гомеомор-
гомеоморфизму а орбиту пары (a, eG).
(iv) Если F' — подпространство G-пространства F" (см. 2.3.6),
то (DH{l)XF')/G есть часть пространства {DH{?)XF")/G и
включение {DH{QXF')/G-^(DH(l)XF")IG составляет с idbsg
включение расслоения asso (g, F') в asso (g, F"). При этом
DH (asso (g, F')) состоит в точности из отображений вида
aba: F'-+a{F') с a e DH (asso (g, /="')).
Поведение при отображениях
<?. Пусть, как и выше, F и F' — эффективные G-простран-
G-пространства, и пусть g, ч) — расслоения Стинрода со стандартным
слоем F и f: |->11 — произвольное ^-отображение. Определим
292 " РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
отображение asso (f, F')\ asso(g, F')-* asso ft, F') формулами
bs asso (f, F') = bs f,
tlassotf, F') =
[fact (DH (f) X id F'): (DH&X F')jG -> (DH ft) X П/G].
Ясно, что asso (f,Fr) есть F'-отображение, и притом F'-изомор-
физм (^-эквивалентность), если / есть F-изоморфизм (F-экви-
валентность). Ясно также, что диаграммы
| -> asso (|, F) asso (|, F") -> asso (asso (|, F'), F")
if lasso (f, F) ' lasso tf, F") . I asso (asso (f, F'), F")
\ V V У
т] -> asso (t), i7), asso (tj, F") -> asso (asso (т], F'), F"),
(DH (I), vr,DH (l)/G) -* asso (|,- G)
I (ОЯ (f), fact ОЯ (f)) ! asso (f, O)
), pr, DH <n)/G) -+ asso ft, G),
где F7' — произвольное эффективное G-пространство, а горизон-
горизонтальные стрелки обозначают последовательно канонические
F-эквивалентности из 2(i) и 2(ii) и канонические F-изоморфизмы
из 2(Ш), коммутативны.-
4. Операция asso перестановочна с операцией индуциро-
индуцирования. Точнее: для всякого F-расслоения Стинрода | и всякого
непрерывного отображения h: В—*bs? отображение
corr [asso(ad h, F')]: asso (h%, F') ->h1 asso (|, F')
является F'-эквивалентностью; см. 2.9.
Операция asso перестановочна также с расширением струк-
структурной группы. Точнее: пусть F\, F\ — эффективные Gj-простран-
ства, получающиеся ,из F, F' при сужении группы G до ее
подгруппы Gj; если Frpac^oeHne Стинрода \х превращается
расширением группы G, до G в \, то отображение
fact (in X id F'\. (DH (U X FO/G, -> (DH (I) X F')/G
с in=[in: DH (^) —> DH (?,)] определяет F'-эквивалентность
между расслоением, получающимся из asso(|j, F'A при расши-
расширении группы G] до G, и asso (|, F').
Слабо ассоциированные расслоения
5. Конструкция, описанная в 1, очевидным образом рас-
распространяется на случай, когда G действует в F' неэффек-
неэффективно: к ней добавляется в качестве предварительного шага
эффективизация этого действия, превращающая F' в некоторое
§ 3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 293
G/ZC-пространство F~, где К.— ядро неэффективности. Таким
образом, расслоение asso(g, F') определено для любого F-pac-
слоения Стинрода g и любого G-пространства F' и представляет
собой в общем случае расслоение Стинрода со структурной
группой G//C и стандартным слоем F~. Оно называется слабо
ассоциированным с g.
Это расширение конструкции asso сохраняет и отображение
asso(f, F'), определенное в 3, превращая его'В F'~-отображение.
Свойства конструкции, перечисленные в 2, 3, 4, модифируются
очевидным образом; например, каноническая Р'-эквнвалент-
ность asso (g, F")-+ asso (asso (?, F'), F") превращается в случае
неэффективного F" (и эффективного /•") в F'L -эквивалентность.
Сечения, ассоциированные с ^-отображениями
6. Пусть g, g' — расслоения Стинрода со структурной груп-
группой G и стандартным слоем F я f: bsg->bsg'— непрерывное
отображение. Нижеследующая конструкция устанавливает
взаимно однозначное соответствие между F-отображениями
/г: |->|' с bs h — f и сечениями некоторого специально скон-
сконструированного расслоения Fibr(g, g'; /).
Обозначим через Gx группу G, наделенную действием
группы GXG, которое задается правилом (g{, g2)g=z g{gg^1
(это действие, вообще говоря, не эффективно), и положим
Fibr(g,g'; /) = asso (diag'(gX Ю, Gx),
где diag = [diag: bsg->-bsgX bsg], a asso понимается в смысле 5.
Ясно, что для всякого F-отображения h с bs/z = / и любой
точки bebsg сквозной гомеоморфизм
F -U pr ri {Ь) ^ (рг g')-1 (/ (b)) (abtUdfr,' (рг /Г)"' ф (F)) ^ F,
где аеОЙЙ), prg(a(F)) = b и ре?Я(/Г), pr/'Г-
представляет собой преобразование, производимое элементом
группы G. Обозначив этот элемент через g{a, P), мы замечаем,
что g(agv pg2) = gig(a, P)g-' для любых gv g2^G [имеется
в виду каноническое правое действие группы G в DHfe) и
DH (f'g')]- И3 этого следует, что при правом действии группы
Gy^G в DH (g X f 'I') X Gx, построенном по схеме 1, орбита
пары (а X Р, g(a, P)) не зависит от выбора аир, если hub
фиксированы. Относя эту орбиту точке b при фиксированном h,
мы получаем непрерывное отображение пространства bsg
в (Z)#(gX/'!OXGx)/(GXG), иясно, что это — сечение расслоения
Fibr (g, g'; f). Оно называется ассоциированным- с h и обозна-
обозначается через hx. Сопоставление h*-^-hx и представляет собой
обратимое отображение множества F-отображений h: |—>!'
294 ' РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
с bsA = / на множество сечений расслоения Fibr(|, ?'; {): обрат-
обратное отображение относит сечению s: bs|->tlFibr(g, |'; f) F-ото-
бражение h: ?->?', определяемое формулой
tl h (x) = tl ad f(fix(gx (a; '(x)))),
где xetlg, ax
S° pr?(x).
Заметим, что если bsg' = bs? и /==idbs|, то F-отображение
h: %-+¦? с bs h = f есть не что иное, как F-эквивалентность
(см. 2.8). Таким образом, в случае, когда ? и |' имеют общую
базу, описанная конструкция устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между F-эквивалентностями |—>|' и сечениями
расслоения Fibr(?, %'; idbs?).
4. Расслоения Эресмана — Фельдбау
/. Расслоением Эресмана — Фельдбау называется IF-F-pac-
слоение, которое локально W-F-тривиально; последнее означает,
что каждая точка базы обладает окрестностью, над которой
расслоение W-F-тривиально.
Теория расслоений Эресмана — Фельдбау представляет собой
вариант теории расслоений с групповой структурой, более
простой, чем теория расслоений Стинрода (в нем меньше
структур), и менее содержательный (в нем нет ассоциирован-
ассоциированных расслоений). Последнее обстоятельство почти лишает ее
самостоятельной ценности; ее значение состоит в том, что для
широкого класса стандартных слоев, охватывающего наиболее
важные случаи, она оказывается эквивалентной теории. рас-
расслоений Стинрода и, таким образом, позволяет упростить эту
теорию.
Случай топологически эффективного действия
2. Эффективное непрерывное действие Gy(X-+ X называется
топологически эффективным, если всякое отображение /: Y ->G,
где У—произвольное топологическое пространство, с непре-
непрерывным сквозным отображением
YXX^GXX^X A)
непрерывно. Само G-пространство X также называется в этом
случае топологически эффективным.
Ясно, что при сужении группы топологически эффективное
действие остается топологически эффективным и что G-прост- -
ранство, обладающее топологически эффективным подпростран-
подпространством, топологически эффективно.
Очевидными примерами топологически эффективных действий
служат свободные действия; в частности, левое каноническое
§ 3] РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ 295
действие топологической группы всегда топологически эффек-
эффективно. Другие столь же очевидные примеры доставляют обычные
действия группы GL(n, R)h ее подгрупп в R™.
Для топологической эффективности G-пространства Х необ-
необходима, а если X хаусдорфово и локально компактно, то и
достаточно, чтобы отображение с: G -> ^(Х, X), относящее каж-
каждому элементу группы G производимое им преобразование,
было топологическим вложением; необходимость этого условия
очевидна (нужно положить Y==c(G), / = [(abc)~': c(G)->G\)>
а если оно выполнено, то непрерывность отображения f:Y->G
f С
равносильна непрерывности сквозного отображения У—*-G—*¦
& (X, X), которая следует, в случае хаусдорфова локально ком-
компактного X, из непрерывности сквозного отображения A) в силу
теоремы 1.2.7.6. В частности: если группа G компактна, то
всякое эффективное хаусдорфово локально компактное G-прост-
ранство топологически эффективно (см. 1.1.7.10 и 1.2.7.2); если
пространство X хаусдорфово и компактно, а также если оно
дискретно, то обычное действие группы Тор X в X топологи-
топологически эффективно (см. 2.2.4 и 2.2.5); обычное действие группы
TopR" в R" топологически эффективно (см. 2.2.7).
3. Если стандартный слой F топологически эффективен, то
всякое W-F-отображение {всякий W-F-изоморфизм, всякая W-F-
эквивалентность) одного F-расслоения Стинрода в другое явля-
является F-отображением (F-изоморфизмом, F-эквивалентностью).
В доказательстве нуждается только непрерывность отобра-
отображения DH(f), отвечающего W-F-отображению /: ?->?' одного
F-расслоения Стинрода в другое, причем эту непрерывность
достаточно установить для случая, когда |, |' — стандартные
тривиальные расслоения. В этом случае tlg = bs?X^> tl§' =
bs I' X F и tl / имеет вид (b, у) н-> (bs f (b), q> (b) у), где ф — неко-
некоторое отображение пространства bs| в структурную группу G,
а отображение bs?X G->bs|' X G, в которое DH(f) преобра-
преобразуется каноническими гомеоморфизмами bs ?,X.G-*DH(l), bs|'X
G-*DH(l') [см. 2.2], определяется формулой (b, g) н-^ (bs f (b),
q>(b)g). Из непрерывности tl f следует непрерывность компози-
композиции pr2°tl/: bs?XF->F, которая совпадает со сквозным ото-
отображением bs^XF^-GX^-*/7, где правая стрелка обозна-
обозначает действие. Поскольку это действие топологически эффек-
эффективно, ф непрерывно, и с ним непрерывно DH(f).
4. Расслоение Эресмана — Фельдбау с'топологически эффек-
эффективным стандартным слоем единственным образом превращается
топологизацией множества отмеченных гомеоморфизмов в рас-
расслоение Стинрода.
Единственность такой топологизации следует из теоремы 3;
докажем ее существование. Пусть | — расслоение Эресмана —
296 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Фельдбау с топологически эффективным стандартным слоем F,
Покроем bs % открытыми множествами, над которыми |
W-F-тривиально, фиксируем для каждого множества U из этого
покрытия lF-F-эквивалентность hu\ (UX,F, ргь ?/)->?|и и
топологизируем множества DH (Цц) отображениями DH(hv):
DH{UXF, prb U) -> DH (Ци). Мы получим покрытие мно-
множества DH (Q топологизированными множествами DЯ(||y), и
из теоремы 3 следует, что топологизации согласованы на пере-
пересечениях, как того требует конструкция 1.2.4.3. Топология
в DH(l), доставляемая этой конструкцией, и делает | рас-
расслоением Стинрода.
Локально тривиальные расслоения
как расслоения Эресмана — Фельдбау
5. Если F — локально компактное хаусдорфово пространство,
наделенное обычным действием группы Top F, то W-F-расслоение
Эресмана — Фельдбау есть не что иное, как локально триви-
тривиальное расслоение со слоями, гомеоморфными F. Таким образом,
обычные локально тривиальные расслоения с гомеоморфными
между собой локально компактными хаусдорфовыми слоями
могут рассматриваться как расслоения Эресмана — Фельдбау
и в этом смысле обладают неявной групповой структурой. Если
слои компактны, дискретны или гомеоморфны R", то они могут
рассматриваться и как расслоения Стинрода. Заметим, что
к этому классу расслоений относятся все накрытия в широком
смысле со связной базой.
5. Упражнения
1. Показать, что все эффективные действия, перечисленные
в 2.3.11, 2.3.12, 2.3.13 и 2.3.14, топологически эффективны.
2. Показать, что, каково бы ни было ^'-многообразие поло-
положительной размерности с г^1, обычное действие группы
Diffr X вХ топологически неэффективно.
3. Будем рассматривать R как Z-пространство с действием
(п, t)\—^t-\-n (neZ, leR) и расширим это действие до опре-
определяемого той же формулой действия аддитивной группы R,
рассматриваемой как дискретная. Показать, что расслоение, полу-
получающееся из asso((R, hel, S'), R) указанным расширением струк-
структурной группы, нетривиально как расслоение Стинрода, но
тривиально как расслоение Эресмана — Фельдбау. (Ср. 4.3.)
4. Пусть G — связная топологическая группа, F — эффектив-
эффективное G-пространство и \ — нетривиальное F- расслоение Стинрода
с односвязной базой. Обозначим через G группу G, наделенную
дискретной топологией, через F6 — пространство F, рассматри-
$ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИИ СТИНРОДА 297
ваемое как G. -пространство, и через % — расслоение |, рассмат-
рассматриваемое как И^-Т^-расслоение. Показать, что никакая тополо-
гизация множества отмеченных гомеоморфизмов расслоения |6
не делает его ^-расслоением Стинрода. (Ср. 4.4.)
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА
1. Расслоения Стинрода и гомотопии
1. Мы обращаемся к проблеме классификации расслоений
Стинрода с заданным стандартным слоем F и заданной клеточ-
клеточной базой В относительно F-эквивалентности. В этом параграфе
нашим главным достижением будет построение канонического
взаимно однознанного соответствия между классами ^-эквива-
^-эквивалентных расслоений над В и гомотопическими классами ото-
отображений пространства В в некоторое специально сконструиро-
сконструированное пространство, зависящее только от структурной группы.
Это построение сводит указанную классификационную проблему
к задаче обыкновенной теории гомотопии.
Леммы об F-тривиальных расслоениях
2. Пусть % — расслоение Стинрода со стандартным слоем F
и Ви В2 — замкнутые подмножества базы bs |, такие, что В{ [} В2 =
bs| и Bxf\B2 есть ретракт пространства В2. Если сужения
||в , ||в F-тривиальны, то и \ F-тривиально.
Доказательство. Фиксируем ретракцию р: B2-*Bif\B2
и F-тривиализации
fti: r\l = (BlXF, ргь Bi)-*l\Bi, h2: 42 = (B2XF,pru B2)^%\Bi
и обозначим через f сквозную F-эквивалентность
id abft, (ab ft,)~'^
¦42 1в,ПВ2 *" ^l 1в!ПВ2 *"Ь 'В,ПВ2 *"Т12 1в1пВ/
Очевидно, tlf описывается формулой {b, y)^—^(b, <p(b)y)
[b e Bi П S2, у e F], где ф — некоторое отображение пересече-
пересечения В\ П В2 в структурную группу G, a DH (f), после пре-
преобразования каноническим гомеоморфизмом (S[ f) ^ X G-*
DH (r\2 |BinBJ в отображение Ej fl fi2) X G -> Ej П fl2) X G, описы-
описывается формулой (&, g)'->(&, фF)^) [6еВ,П52> g^Gj. Таким
образом, непрерывность DH(f) влечет за собой непрерывность qp
и с ней непрерывность отображения В2 X F -*" ^2 X F', опреде-
определяемого формулой (Ь, г/I—*¦(?>, ф°р(&)^). Последнее составляет
с id?2 некоторую /^-эквивалентность /': Ц2^>ц2, и очевидное
298 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
равенство f = [abf: П21в1Паа "*" "Hz U.nsJ показывает, что сквоз-
сквозные F -отображения
Н' * I Ш -г f' '' fl !П с,
совпадают над Bi П B2. В силу 3.2.7 из этого следует, что они
составляют f-отображение расслоения (B'X.F, pr1( В), в ?, в
силу .же 3.2.8 последнее является ^-эквивалентностью.
3. Всякое F-pacслоение Стинрода с базой In F-тривиально.
Доказательство. Пусть ц — произвольное F-расслоение
Стинрода с bsT] = /n. Найдем такое натуральное N, что ц
F-тривиально над любым лежащим в /" кубом с ребром 1/N,
разобьем /" обычным образом на Nn таких кубов, занумеруем
эти кубы лексикографически в последовательность Qp ..., QNn
и положим Wl = \Sl,lQj. Индукция показывает, что х\ F-три-
виально над каждым из множеств W v ..., WNn: переход от W\
к Wi+l осуществляется на основании леммы 2, примененной
к | = л \wi+l> ^1 ^= W{, B2 — Qi+i- Таким образом, ц F-тривиально
над WNnLr.
4. Пусть |ь |2 — расслоения Стинрода с общим стандартным
слоем F и общей базой В, и пусть А — ретракт пространства В.
Если |i, ?2 F-тривиальны, то для всякой F-эквивалентности
h'- li и-*Ыл существует такая F-эквивалентность К: |i->|2i что
[ЬЛ' \\] h
Доказательство достаточно провести для случая, когда ^
есть стандартное тривиальное /'-расслоение (ВХ/7, РГ], В) и
|2 = ii. Пусть р: В->Л — ретракция. Очевидно, tl h описывается
формулой {а, у)*—?~(а, ф(а)г/) [а^А, yef], где ф — некоторое
отображение множества А в структурную группу G, a DH(h),
после преобразования каноническим гомеоморфизмом ЛХб->
DH(Ii\a) 1=DH{12\A)] в отображение AXG-+AXG, описы-
описывается формулой {a, g)у—>(а, ф(a)g) [ae= A, ge G]. Таким обра-
образом, непрерывность DH{h) влечет за собой непрерывность ф
и с ней непрерывность отображения В X F -> В Х4^, опреде-
определяемого формулой (Ь, у) н-> (Ь, ф о р (Ь) у). Последнее и составляет
с id В F-эквивалентность h': ?i->|2> продолжающую h.
Гомотопическая инвариантность
индуцированного расслоения
5. .Пусть ? — расслоение Стинрода со стандартным слоем F
и /ь 1% — непрерывные отображения клеточного пространства X
в bsg. Если /], /2 гомотопны, то расслоения /'|, /]| F-эквиеа-
ленТны; более того, если flt f2 А-гомотопны, где А — подпро-
§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА 299
странство пространства X в клеточном смысле, то существует
F-эквивалентность /{?->?]?, тождественная на f\l\A.
Доказательство. Фиксируем Л-гомотопию Я: XX/-*
bs|, соединяющую f, с /„, и положим ^ =(/{!) X (/, id/,/),
%2 = Н%. Ясно, что iiUxo)'U(AX/) = i2laxo)u(Ax/) и что канони-
канонический гомеоморфизм Х~*ХУ(\ превращает lilXxl, h\xxi
в /J1, /-?• Поэтому нам достаточно построить F-эквивалентность
|i -*" 1г» тождественную над (X X 0) U (Л X /)•
Мы получим ее как предел продолжающих друг друга
F-эквивалентностей ht: |, |С{ -> g2 |Cf, где С, = (J X 0) U (Л X /) U
($Ы{ХХ,1)- Отображение Л-1 определяется как тождественное,
F-эквивалентность fti+1 строится по F-эквивалентности ht сле-
следующим образом. Будем считать пространство X оснащенным
и обозначим для е ecelli+1 X \celli+1 Л через ge определяемую
^-эквивалентностью ht F-эквивалентность между расслоением
где
ab (chae X id I) = [ab (cha, X id I): (Dt+1 X 0) U {Sl XI)~> Ct],
и расслоением
[ab(chaeX id/)]'(i2 |c.)= [(cha^X id/)'У l(D'+'xo)u(s'x/)-
В силу леммы 3, расслоения (chaeX id ILu (chaeX id/)'|2
F-тривиальны, и так как (D'+l XO) UE' X/) есть ретракт ци-
цилиндра Di+ly,I, то лемма 4 позволяет продолжить ge до не-
некоторой F-эквивалентности g^: (chae X id /)' li -^- (chae X id /)' ^2-
Замечая, что отображение tlg^ постоянно на элементах раз-
разбиения zer (tl ad (chae X id/)), и применяя теорему 3.2.6 (с В =
Dr+lXI и. р = [ab (chae X id/): Dr+l X/-*-CleX/]), мы видцм,
что сквозное F-отображение
g7 ab ad (cha.Xid/)
(chaeXid/)'g, -(cha.Xid/I^ -1- +h\aexi'
определяет F-отображение ^ Icux/""*^2'cux/' И И3 теоРемы 3.2.8
следует, что последнее является F-эквивалентностью. Мы обо-
обозначаем эту F-эквивалентность через he и замечаем, что для
любых клеток ,е{, е2 еЕсе11г+1 X \се11г+1 Л отображения t\hei,
tlhei совпадают над (С1 ех X /) П (С1 e<i X 1) и что для любой
клетки ее се11г+1Х \celli+j Л отображение t\he совпадает над
(CleX-ОПСг с i\ht. Поскольку множества С; и CleX/ с ее
се11г+1 X \cellf+1 Л составляют фундаментальное покрытие про-
пространства Ci+U из этого следует, в силу 3.2.7, что отображе-
отображения А; и А, с еесе11<+1Х ЧсеП^Л составляют F-отображение
300 РАССЛОЕНИЯ (ГЛ. 4
ii ic/+1 -^Jci+'i" Его мы и принимаем за hi+i. Ясно, что оно
продолжает hi, и из 3.2.7 следует, что hT+i также есть F-oto-
бражение.
Остается установить, что последовательность {Н{: Ыс,-*"
?г 1еЛ сходится к F-эквивалентности |t—>\2- Для этого доста-
достаточно заметить, что множества С,- составляют фундаменталь-
фундаментальное покрытие пространства X X Л и применить теорему 3.2.7
к последовательностям {hi} и {ЯГ1}-
Множества Stee (В, F)
6. Мы обозначаем- через Stee (В, F) множество классов
^-эквивалентных F-расслоений Стинрода над В. Ниже рассма-
рассматриваются отображения, которым это множество пбдвергается
под действием конструкций индуцирования, расширения струк-
структурной группы и ассоциирования.
Для всякого непрерывного отображения /: В'—> В сопоста-
сопоставление |i—*¦/'! определяет отображение
/>: Stee (В, F) -> Stee (В', F).
Теорема 5 показывает, что в случае клеточного В' отображе-
отображение р определяется гомотопическим классом отображения /.
Из этого следует, что если оба пространства В, В' клеточны
и f — гомотопическая эквивалентность, то отображение /' об-
обратимо.
Расширение структурной группы, превращающее Grnpo-
странство Ft в эффективное G-пространство F, определяет для
любого топологического пространства В отображение
ext: Stee (В, F{) -> Stee (В, F).
Это отображение естественно в том смысле, что диаграмма
Stee (В, F,) -^l Stee (В, F)
> и
Stee (В', Л) -^ Stee (В', F)
коммутативна, как это очевидно, для всякого непрерывного ото-
отображения /: В1-^-В.
Если F' — другое эффективное G-пространство, то сопоста-
сопоставление ^ н-^>-asso (|, F') определяет для любого топологического
пространства В отображение
asso: Stee (В, F)-*> Stee (В, F').
§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА 301
¦ /
Это отображение обратимо [обратным отображением служит
asso: Stee (В, F') -> Stee (В, F)] и естественно в том смысле, что
диаграмма
Stee (В, F)^Stee(S, F')
V V
Stee (В', F)^ Stee (В', F'Y
коммутативна для всякого непрерывного отображения /: В' ->В;
см. 3.3.4'.
Кроме того, диаграмма
asso
Stee (В, F,) —i- Stee (В, F[)
lext lext A)
Y У
Stee (В, F)^^ Stee (B, F')
коммутативна для .любого топологического пространства. В,
любых эффективных Gf-пространств F\, F[ и любых эффек-
эффективных G-пространств F, F', получающихся из Fi, F\ расщи-
рением структурной группы; см. 3.3.5.
2. Универсальные расслоения
1. Пусть F — эффективное G-пространство. Из теоремы 1.5
следует, что для всякого F-расслоения Стинрода | и всякого
клеточного пространства В' сопоставление с непрерывным ото-
отображением /: S->bs| расслоения f% определяет отображение
я (В, bs ?) -> Stee (В, F). Мы будем обозначать это отображение
через induz (В, |).
Ясно, что диаграмма
П{В,С) ^-^ ^ Stee (ДЯ
коммутативна для всякого ¦ топологического пространства С
и всякого , непрерывного отображения g: С—>bs|, и чтр
302 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
диаграмма
induz (В, a$go(g,F')) _ . >.
я (Д bsO " ** Slee(B,F)
induz (Д ?)
коммутативна для любого эффективного G-пространства F'.
2. F-расслоение Стинрода Z, называется универсальным., если
отображение induz (В, ?) обратимо для всякого клеточного
пространства В. Другими словами, F-расслоение Стинрода ?
называется универсальным, если: (i) для всякого F-расслоения
Стинрода | с клеточной базой существует такое непрерывное
отображение /: bs|^bsg, что расслоение />? /^-эквивалентно ?;
(ii) всякие два непрерывных отображения f\, f2 клеточного про-
пространства в bsg с ^-эквивалентными расслоениями /{?, /^
гомотопны.
Заметим, что условие (i) эквивалентно условию (Г): для
всякого расслоения Стинрода 1 с клеточной базой существует
F-отображение |—>¦?,. Доказательство: если /: bs|-*bs^ и
§'• %~*flZ — непрерывное отображение и F-эквивалентность,
то ad f°g: |->g есть /^-отображение; наоборот, если h: ?->?
есть F-отображение, то corr/i: ?—>{bsh)'?, есть f-эквивалент-
ность (см. 3.2.9).
Подобным же образом условие (ii) эквивалентно условию
(ii'): для всякого F-расслоения Стинрода I с клеточной базой
и любых- ^-отображений h0, hx: ?,->1 отображения bsA0, bsAj
гомотопны. Действительно, если |, hQ и hi обладают указан-
указанными свойствами, то каждое из расслоений (bs/io)'S. (bsA^'g
F-эквивалентно % и из (ii) следует, что отображения bsA0, bs/jj
гомотопны; наоборот, если /0, U — непрерывные отображения
клеточного пространства в bs| и h: /^->¦/]'? — какая-нибудь
/^-эквивалентность, то fo = bsadf0, /] = bs (ad /.] ° h) и из (ii')
следует, что /0, fx гомотопны.
Заметим еще, что условия (i'), (ii') [и, значит, условия (i),
(ii)] являются следствиями условия: для всякого f-расслоения |
с клеточной базой и всякого подпространства А этой базы
любое F-отображение Цд->? продолжается до ^-отображе-
ния |—>-$. Чтобы вывести из этого условия (i'), достаточно
положить Л = 0. Чтобы вывести из него (ii'), достаточно при-
применить его к F-расслоению % X (J, id /, /), взяв в качестве под-
подпространства базы bs(|X(/, id/, /)) = bs|X/, с которого про-
§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА 303
изводится продолжение, объединение (bs | X 0)U(bs|X 1) и
определив подлежащее продолжению отображение g: (| X
(/, ^/, /))l(bs6xo)u<b.exi>-»>? Формулами
hsg{b, O) = bsfto(b), bsgF, l)
tl g (x, 0) = tl ho (x), tlg(x,l) = tl hx (x) [x €= tl |].
3. Расслоение, индуцированное универсальным расслоением
посредством гомотопической эквивалентности, универсально.
Действительно, если ? — универсальное F-расслоение и
f: В—»bs?— гомотопическая эквивалентность, то отображе-
отображение induz(B, /'?) совпадает для любого клеточного простран-
пространства В с композицией induz(fi, ?)°я(/, id В) [см. 1] и потому
обратимо.
4. Если F-расслоения ?, ?' универсальны и пространства
bs ?, bs ?' являются клеточными, то отабражение bs g: bs ? -> bs ?'
является гомотопической эквивалентностью для всякого F-oto-
бражения g: ?->?'.
Доказательство. Фиксируем встречное ^-отображение
g': ? ->?. Так как композиции g'° g: ?->?, g ° g': ?'->?'
являются ^-отображениями, то из условия 2(ii') следует, что
отображение bs g' ° bs g = bs (g' ° g-) гомотопно id (bs ?), а отобра-
отображение hsg°hsg'= hs{g°g') гомотопно id(bs?').
5. Расслоение, ассоциированное с универсальным, универ-
универсально.
Действительно, если ? — универсальное F-расслоение и F' —
другое эффективное G-пространство, то отображение induz(B,
asso(?, F')) совпадаер для любого клеточного пространства В
с композицией отображений induz(B, ?) и asso: Stee(B, F)->
Stee(B, F') [см. 1] и потому обратимо.
Классифицирующие пространства
6. Теорема 5 показывает, что база универсального расслое-
расслоения со структурной группой G одновременно служит базой
универсальных расслоений со структурной группой G и все-
всевозможными стандартными слоями и в этом смысле не зависит
от стандартного слоя. Она называется классифицирующим про-
пространством группы G.
Из теоремы 3 следует, чтр пространство, гомотопически
эквивалентное классифицирующему пространству группы G,
также является . классифицирующим пространством группы G.
Из теоремы 4 следует, что если два клеточных пространства
являются классифицирующими, для G, то они гомотопически
эквивалентны.
304 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4 .
^-универсальные расслоения
7. /^расслоение Стинрбда ? называется k-универсальным,
если отображение induz(B, Q: л(В, bs?)-* SteeE, F) отобра-
отображает я (В, bs?) на все множество Siee(fi, F) для всякого кле-
клеточного пространства В размерности ^.k и взаимно однозначно
для всякого клеточного пространства В размерности ^.k—1.
Другими словами, F-расслоение Стинрода ? называется fe-уни-
версальным, если, во-первых, для всякого F-расслоения Стин-
Стинрода ? с клеточной базой размерности ^.k существует такое
непрерывное отображение f: bsg—>bst,, что расслоение f%
/^-эквивалентно ?, и, во-вторых, всякие два непрерывных ото-
отображения f0, fi клеточного пространства размерности ^.k—1
в bs? с F-эквивалентными расслоениями f^, f[? гомотопны.
Эквивалентные условия: для всякого /^-расслоения Стинрода |
с клеточной базой размерности ^.k существует /^-отображение
|->?; для всякого /^-расслоения Стинрода | с клеточной базой
размерности ^.k—1 и любых F-отображений g0, g^. 1,-^-t,
отображения bsg0, bsg! гомотопны.
В этих формулировках k считается натуральным числом;
в дополнение к ним универсальные расслоения иногда называют
оо-ушверсальными. Очевидно, /г-универсальное расслоение /-уни-
/-универсально, если 1-^.k. Из теорем 2.3.2.4 и 2.3.2.5 следует, что
при l^k сужение /г-универсального расслоения с 'клеточной
базой на подпространство базы, содержащее 1-й остов, /-уни-
/-универсально.
На fe-универсальные расслоения очевидным образом- перено-
переносятся теоремы 3 и 5: расслоение, индуцированное /е-универ-
сальным расслоением посредством гомотопической эквивалент-
эквивалентности, ^-универсально, и расслоение, ассоциированное с /г-уни-
версальным расслоением, /г-универсально.
3. Расслоение Милнора
/. Нижеследующая конструкция относит каждой топологи-
топологической группе G некоторое главное расслоение со структурной
группой G, называемое G-расслоением Милнора и обозначаемое
через Mi G. В 2 — 6 будет показано, что Mi G есть универ-
универсальное G-расслоение.
Обозначим через TG(k) джойн k экземпляров группы G.
Пространство TG(k) естественно вкладывается в TG{k-\-\)
[в качестве основания джойна TG(k)*G = TG{k + 1)], благодаря
чему определен предел TG = \\mTG(k). Правое действие группы
G в G, относящее элементу g группы G преобразование g,i—*
g~lgi, индуцирует свободное непрерывное правое действие этой
группы в TG(k), и, поскольку включения TG(k)~*TG(k + 1)
§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА 305
являются относительно этого действия G-отображениями, та-
такое же действие возникает в TG. Таким образом, определено
G-расслоение (TG, pr, TG/G). Это и есть Mi G.
Если G: — подгруппа группы G, то определены включения
in* ... *in: TG{{k)->TG{k) (k=\, 2,...), где in = [in: Gx-+G],
и ясно, что они являются in-отображениями. Кроме того, они
согласованысвложениямиГО(/г)-*ГО(/г+1), TGi(k)->-TG1(k+ 1),
так что определено предельное отображение TGX->TG (см. 1.2.4.4).
Оно тоже является in-отображением и составляет с индуци-
индуцируемым им отображением TG\IG\ -> TG/G отображение Mi Gi -*¦
Mi G, являющееся, очевидно, (in, т)-отображением. Таким обра-
образом, включению Gi—^-G отвечает (in, т)-отображение Mi G[->Mi G.
Локальная тривиальность расслоения MiG
2. Нам будет удобно отождествить пространство TG(k)
с канонически гомеоморфным ему подмножеством произведения
conGX ••• XconG (k сомножителей), составленным из точек
{pr (gh *<)}?=, с *,+ ...+ /ft = 1 (см. \.2.6.4; здесь рг = [рг: GX/
-*conG]). После такого отождествления точки пространства TG
представятся как последовательности (pr(gb /,)}д=! с 2^ = 1,
финитные в том смысле, что у них все tt, кроме конечного
числа, равны нулю, а описанное в 1 правое действие группы G
в TG будет задаваться формулой {pr(gb ti)}g = {pr{g-lg{, tt)}.
3. Расслоение Mi G локально G-тривиально.
Открытое покрытие, над элементами которого расслоение MiG
G-тривиально, составляют множества pr Mi G(t/,), prMiG(f/2),...,
где Us — совокупность последовательностей {pr^,-, t{)} с 4=^,0,
а G-триви ализация pr Mi G(?/5)XG->pr Mi G~'(pr MiG (?/,))[=?/,]
относит точке (х, g) последовательность {pr(gb ^)}, определяемую
условиями prMiG{pr(gb гг)}^=х, gs = g.
Универсальность расслоения MiG
4. Расслоение Mi G универсально.
Согласно 2.2, достаточно показать, что, каковы бы ни были
G-расслоение \ с клеточной базой и подпространство А этой
базы, всякое G-отображение f- ?|л—*MiG продолжается до
G-отображения |->MiG. -*
Сначала мы рассмотрим случай, когда bs| = Z)r+1 (с неко-
некоторым г), a A==Sr. В этом случае расслоение | G-тривиально
(см. 1.3), что позволяет считать его стандартным G-тривиальным
G-расслоением (/)г+| X G, рГ], Dr+l) и определить требуемое
продолжение h: ?->MiG явной формулой: мы обозначаем
¦ через k наименьшее из чисел s с. TG (s) zd tl / (Sr X eQ) и через с&
306 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
сквозное отображение
Sr X G^U TG (k) -^conGX • ¦¦ XconG^X con G
(/= 1 k), после чего определяем отображение ф: Z)r+1XG->
fG(fe+l) формулой
где y^Sr, fe/, a pr=[pr: G X /->conG], и полагаем tlA =
[in: fG(fe + l)->rG]oi|,.
Общий случай сводится к этому специальному случаю.
Будем считать пространство bs| оснащенным и предположим,
что уже имеется G-отображение hr: |1лизке bsg —> Mi G, продол-
продолжающее f. В силу уже доказанного, для каждой клетки
eecellr+]bsg \ cellr+1 A G-отображение
fe = K° ad [ab chae: Sr -> A [} sker bs |]: chai | \sr -> Mi G
продолжается до некоторого G-отображения gg: cha^l ->MiG,
и ясно, что отображение tlge постоянно на элементах раз-
разбиения zer (tl ad chae). Применяя теорему 3.2.6 (с B = Dr+l и
p = [abchae: Dr+l -> Cl e]), мы видим, что ge определяет G-ото-
G-отображение ||clfi->MiG. Мы обозначаем это отображение
через he и замечаем, что для любых клеток еь e2ecelWibs|\
cellr+I А отображения i\hen tlhe.2 совпадают над Cleif]C\e2 и
что для любой клетки eecellr+1 bs| \ cellr+I А отображение t\he
совпадает над С\е{] (A\J skerbs|) с t\hr. Из этой согласованности
следует, что отображения hr и he с eecellr+1 bs| \ cellr+1 A
составляют некоторое G-отображение Лг+[:||лизке bS|->-MiG,
продолжающее hr (см. 3.2.7). Этим индуктивно построена по-
последовательность Shs: ?l4Uske bs|->MiG|°° с /г_! = /, соста-
составленная из продолжающих друг друга G-отображений, и так
как множества Лизкег+1Ьз| составляют фундаментальное по-
покрытие пространства bsg, то, опять-таки в силу 3.2.7, отобра-
отображения hs составляют G-отображение §->MiG, продолжающее/.
О.б е щ а н и е
5. База расслоения Mi G не является клеточным простран-
пространством, однако в следующей главе будет показано, что для
всякой топологической группы G существуют и универсальные
G-расслоения с клеточной базой; см. 5.6.1.4. Из этого будет
следовать, согласно 2.7, что для всякой топологической группы G
и всякого натурального k -существуют ^-универсальные G-рас-
G-расслоения с клеточной базой размерности <^&.
§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА 307
4. Сужение структурной группы
/. Говорят, что расслоение Стинрода |i со структурной
группой G, и стандартным слоем F} получается из расслоения
Стинрода | со структурной группой G и стандартным слоем F
сужением группы G до Gb если | получается из |] расширением
группы Gx до G; см. 3.2.4.
В то время как расширение структурной группы расслоения
Стинрода представляет собой корректно определенную операцию,
сужение структурной группы до ее заданной подгруппы, как
мы увидим, осуществимо далеко не для всякого расслоения
Стинрода, а в тех случаях, когда осуществимо, может приво-
приводить к расслоениям, не эквивалентным над суженной группой.
Другими словами, отображение
ext: Stee(B, f,)-¦• Stee (Я, F), B)
определенное в 1.6, может иметь образ, меньший Stee(S, F),
и может не быть взаимно однозначным.
Заметим, что теоретико-множественные свойства отображе-
отображения B) определяются тройкой В, G, Gb т. е. останутся теми же,
если мы, не меняя В, G и Gu заменим F другим эффективным
G-пространством, a F, — соответствующим Огпространством.
Это видно из диаграммы A).
2. Напомним, что в клеточном случае Stee(fi, F) можно
интерпретировать как множество гомотопических классов не-
непрерывных отображений пространства В в классифицирующее
пространство структурной группы. Ниже на том же гомотопи-
гомотопическом языке описывается отображение B).
Пусть G, G, и F, Fx обозначают то же, что в 1, и пусть
?> ti — универсальные расслоения со стандартными слоями F, Ft.
Назовем непрерывное отображение ф: bs?i->bs? классифици-
классифицирующим, если расслоение г|з'? F-экв и валентно расслоению, полу-
получающемуся из ?i расширением группы G, до G. Из определения
универсального расслоения следует, что такое отображение
существует, если база bs?i является клеточной, и оно заведомо
существует, если ? = MiG, ?i = MiG1 (см. 3.1). Наше основное
утверждение состоит в том, что при таком ф диаграмма
pxt
Stee(fl, Fi) »-.Stee(B, F)
tlnduz(B, U |induz(B, О C)
коммутативна для любого клеточного пространства В.
Доказательство. Композиция induz(fi, ?)°n(id В,
переводит гомотопический класс отображения f\. fi->bs
308 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
в класс-расслоения (ф ° /[)' S, а композиция ext о induz (В, ?,) —
в класс расслоения; получающегося из f'?( расширением группы
Gj до G. Так как расширение структурной группы перестано-
перестановочно с индуцированием (см. 1.6), то последний класс содержит
расслоение f} ($%), и остается заметить, что f\ (¦ф|?) = (г|з° /,)'?•
3. Из коммутативности диаграммы C) и обратимости ее
вертикальных отображений следует, что induz (В, ?]) взаимно
однозначно отображает множество гомотопических классов ото-
отображений fi->bs?i, композиция которых с -ф гомотопна задан-
заданному отображению f: B-+bsZ,, на множество классов /^-экви-
/^-эквивалентных F^расслоений, получающихся из f% сужением группы
G до Gj. В частности, F-расслоение Стинрода ?, с клеточной
базой в том и только том случае допускает сужение группы G
до Gu если отображение bsg->bs?, посредством которого инду-
индуцируется расслоение, ^-эквивалентное ?, гомотопно композиции
непрерывного отображения bs?,-^- bs5i с г|з.
5. Упражнения
/. Обозначим для топологической группы G и натурального
числа к через Mi(G, k) сужение расслоения Mi G на TG(k)jG,
т. е. расслоение (TG(k), pr, TG(k)/G). Показать, что Mi(G, k)
есть (k—1)-универсальное G-расслоение.
2. Показать, что расслоение MiZ2 изоморфно (S°°, pr, RP°°),
а расслоение Mi(Z2, k) [см. 1] изоморфно (Sk~\ pr, RP*")-
3. Показать, что расслоение MiS1 изоморфно (S°°, pr, CP°°),
а расслоение Mi(S', k) изоморфно E2*, pr, CPk~l).
4. Рассмотрим для компактного n-мерного ^-многообра-
^-многообразия 1с 1 <> ^оо правое действие группы DiffX в Embr(Z, R4),
определяемое формулой (/, ф)н->/ о ф [/ е Embr (X, R4), ф е Diffr X],
и ее предельное правое действие в lim(Embr (X, R4),
ab^r(idX, in): Embr(X, R?)^Embr(X, Rq+l)).
Показать, что (limEmbr(X, R"), pr, [limEmbr(Z, R?)]/DiffX)
есть универсальное DiffX-расслоение и что если q^2n+l,
то (EmV {X, R"), pr, Embr(X, R^/DiffA') есть (q - 2n - ^-уни-
^-универсальное DifFA'-расслоение.
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
1. Общие определения
/. Главный предмет настоящего параграфа — расслоения
Стинрода, у которых стандартным слоем является простран-
пространство4!?", наделенное обычвым действием одной из групп GL{n, R),
GL+{n, R), O(n), SO{ti), или пространство С", наделенное обыч-
обычным действием одной из групп GL{n, С), ?/(«).
§ 5] ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ¦ 309
Поскольку все перечисленные стандартные слои топологи-
топологически эффективны, указанные расслоения можно определить
также как расслоения Эресмана — Фельдбау с этими стан-
стандартными слоями (см. п. 3.4). Пользуясь этим, мы совершенно
игнорируем на протяжении всего параграфа топологию в мно-
множествах отмеченных гомеоморфизмов.
Чтобы облегчить изложение, мы вводим для перечисленных
стандартных слоев специальные обозначения: GLRn, GL+Rn,
ORn, SORn и GLCn, UCn.
- Стандартный слой GLRn
2. Расслоения Стинрода со стандартным слоем GLRn назы-
называются вещественными векторными расслоениями размерности п.
Поскольку пространство с GLR"-cTpyKTypoft есть п-мерное
вещественное векторное пространство (см. 3.1.3), W-GLRn-pac-
слоение есть просто расслоение, слои которого являются п-мер-
ными вещественными векторными пространствами. Ясно также,
что и^-б^^-эквивалентность между и^-<3?К"-расслоениями есть
послойно линейная эквивалентность. Таким образом, веще-
вещественное векторное расслоение размерности п есть расслоение,
слои которого являются n-мерными вещественными векторными
пространствами и которое локально тривиально в естественном
векторном смысле: у каждой точки базы есть окрестность U,
над которой расслоение послойно линейно эквивалентно рас-
расслоению (С/ X R", ргь U).
3. Расслоение |, слои которого являются п-мерными веще-
вещественными векторными пространствами, в том и только том
случае Шляется вещественным векторным расслоением размер-
размерности -п (т. е. локально тривиально в предыдущем векторном
смысле), если: (i) оно локально топологически тривиально;
(ii) имеющиеся в tig частичные векторные операции-, т. е. ото-
отображения
RXtl|-»tU,
{(*„ х2)е= tig,X tl g| prg(*,) = prg(x2)} -* tlg,
определяемые формулами (Я,, x)t—>Kx, (xu x2) >-¦*¦ xx -f- x2, не-
непрерывны.
^Необходимость этих условий очевидна; докажем их доста-
достаточность. Пусть 60 — точка базы bs|. Фиксируем какой-нибудь
базис vu ..., vn пр'остранства pr |-I (&0), окрестность U точки Ьо
с топологически тривиальным сужением ? |у и тривиализацию
h: ((/XR". рГь U)-*-l,\u этого сужения и определим послойно
линейное отображение /г': (U X R", prb U) -* I формулой
tl К ф, ortt) = tlh (б,.рг, о tl Л~' (щ)), где pr, ^ [pr2: U X R" -> R"l
310 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Фиксируем, далее, непересекающиеся окрестности /( и JV мно-
множества pr2°tl/i~1otl/j'F0X5") и точки pr.otl/r'otlft'C&o, 0)
bR" и обозначим через V окрестность точки Ьо, составленную
из точек 6 s С/ с tl h' (b X Sn~l) cr tl/z (b X К), i\h'(b, 0) cz
tl h(bX,N). Ясно, что множество tl/z' (b X S") не содержит
точки tlh'(b, 0), если 6еУ; таким образом, отображение
abft': (F X R", рГь ^)->||к послойно невырождено. Это позво-
позволяет применить к нему теорему 3.2.8, приняв за F простран-
пространство R", рассматриваемое как Тор ^-пространство (расслоения
(V X R"» рГь V) и g \v рассматриваются как F-расслоения Стин-
рода — см. 3.4.5). Из указанной теоремы следует, что ab W -есть
эквивалентность в топологическом смысле, чем доказательство
и завершается, поскольку ab/г' послойно линейно.
Стандартный слой OR"
4. Расслоения Стинрода со стандартным слоем OR" назы-
называются евклидовыми расслоениями размерности п.
Поскольку пространство . с ОК"-структурой есть «-мерное
евклидово пространство, и7-ОК"-расслоение есть просто рас-
расслоение, слои которого являются п-мерными евклидовыми про-
пространствами. Ясно также, что 1^-ОР"-эквивалентность между
ЦР-ОК^-расслоениями есть послойно ортогональная эквивалент-
эквивалентность. Таким образом, евклидово расслоение размерности п
есть расслоение, слои которого являются «-мерными евклидо-
евклидовыми пространствами и которое локально тривиально в естест-
естественном евклидовом смысле: у каждой точки базы есть окрест-
окрестность U, над которой расслоение послойно ортогонально
эквивалентно расслоению (C/XR". Ргь ^)-
5. Расслоение |, слои которого являются п-мерными евкли-
евклидовыми пространствами, в том и только том случае является
евклидовым расслоением размерности п {т. е. локально три-
тривиально в евклидовом смысле), если оно удовлетворяет усло-
условиям (i), (ii) из 3 и условию (ш): функция tl|->R, относящая
вектору его длину, непрерывна.
Необходимость этих условий очевидна; докажем их доста-
достаточность. В силу теоремы 3, из (i) и (ii) следует, что у каждой
точки базы bs| есть окрестность U, над которой | допускает
послойно линейную тривиализацию h: (Uy,Rn, prj, ?/)-»• lit/.
Пусть Vi(b), ..., »„(&)—-базис пространства рг?-'(й) с b €= U,
получающийся стандартной ортогонализацией из базиса
tlh(b, ortj), ..., tl/zF, ortj. Из (iii) следует, что векторы vt{b)
непрерывно зависят от Ь, и ясна, что послойно линейное ото-
отображение h'\ (Uy.Rn, pjb ?/)-*¦?!?/> определенное формулой
tlh'(b, ort,)== vt(b) (i—f, ..., п)„ является послойно ортого-
ортогональной тривиализацией расслоения | \ц.
§ 51 ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ¦ 311
6. Ввиду включения О (я) с: GL («, R), каждому «-мерному
евклидову расслоению | отвечает единственное «-мерное вещест-
вещественное векторное расслоение %', в которое g превращается рас-
расширением структурной группы. Теорема 5 позволяет интерпре-
интерпретировать сужение структурной группы, превращающее ?' в ?,
как наделение расслоения g' дополнительной структурой: евкли-
евклидовыми метриками в слоях с длиной, непрерывной на tig'. Эта
дополнительная структура называется евклидовой метрикой в ?'.
Стандартные слои GL+Rn и SORn
7. Расслоения Стинрода со стандартным слоем GL+Rn называ-
называются ориентированными векторными расслоениями размерности п.
Расслоения Стинрода со стандартным слоем 50 R" называются
ориентированными евклидовыми расслоениями размерности п.
Так как пространство с GL+R"-cTpyKTypofi есть ориентиро-
ориентированное «-мерное векторное пространство, а пространство
• с SOR"-CTpyKTypofi — ориентированное «-мерное евклидово про-
пространство, то lF-GL+R''-расслоение есть расслоение, слои кото-
которого являются ориентированными n-мерныйи векторными про-
пространствами, а ЦР-ЗОР^-расслоение есть расслоение, слои которого
являются ориентированными n-мерными евклидовыми простран-
пространствами. Ясно также, что ИР-бЬ+И^-эквивалентность между
и7-С?+Р"-расслоениями есть послойно сохраняющая ориентацию
послойно линейная эквивалентность, а 1^-5ОК"-эквивалентность
между 1^-5ОР"-расслоениями есть послойно сохраняющая ориен-
ориентацию послойно ортогональная эквивалентность. Таким-образом,
ориентированное векторное расслоение размерности « есть рас-
расслоение, слои которого являются ориентированными п-мерными
векторными пространствами и которое локально тривиально
в том смысле, что у каждой точки базы есть окрестность, над
которой расслоение допускает послойно сохраняющую ориента-
ориентацию послойно линейную тривиализацию; ориентированное евкли-
евклидово расслоение размерности « есть расслоение, слои которого
являются ориентированными «-мерными евклидовыми простран-
пространствами и которое локально тривиально в том смысле, что
у каждой точки базы есть окрестность, над которой расслоение
допускает послойно сохраняющую ориентацию послойно орто-
ортогональную тривиализацию.
8. Чтобы модифицировать применительно к ориентирован-
ориентированному случаю теорему 3, заметим, что ориентация, имеющаяся
у каждого слоя ориентированного векторного расслоения g раз-
размерности п, отображает множество невырожденных «-реперов
этого слоя в 5°. Вместе невырожденные «-реперы слоев соста-
составляют тотальное пространство ассоциированного расслоения
asso(|, V(n, п)) [подразумевается, что GL+(n, R) действует
в V''(и, «) обычным образом —см. 2.3.13], а ориентации слоев —
312 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
функцию, отображающую это пространство в S0. Ориентиро-
Ориентированный вариант теоремы 3 утверждает, что расслоение |, слои
которого являются «-мерными вещественными векторными про-
пространствами, в том и только том случае является ориентиро-
ориентированным вещественным векторным расслоением размерности п,
если оно удовлетворяет условиям (i), (ii) из 3 и условию (iv):
функция tlasso(g, V'{n, «))-> 5°, составленная из ориентации
слоев расслоения \, непрерывна.
Подобным же образом модифицируется теорема 5. Ориен-
Ориентация, имеющаяся у каждого слоя ориентированного евклидова
расслоения \ размерности п, отображает множество ортонорми-
рованных «-реперов этого слоя в S0, и вместе ортонормиро-
вэнные «-реперы слоев составляют тотальное пространство
ассоциированного расслоения asso(|, V (n, п)), а ориентации
слоев — функцию, отображающую это тотальное пространство
в 5°. Ориентированный вариант теоремы 5 утверждает, что
расслоение |, слои которого являются ориентированными п-мер-
ными евклидовыми пространствами, в том и только том случае
является ориентированным евклидовым расслоением размер-
размерности п, если оно удовлетворяет условиям (i), (ii) из 3, усло-
условию (ш) из 5 и условию (v): функция tlasso(|, V {n, n))->S°,
составленная из ориентации слоев расслоения ?, непрерывна.
9. Ввиду включения GL+(n, R)czGL(n, R), каждому ориен-
ориентированному вещественному векторному расслоению | размер-
размерности п отвечает единственное вещественное векторное рас-
расслоение |' размерности п, в которое | превращается расширением
структурной группы. Сказанное в 8 позволяет интерпретиро-
интерпретировать сужение структурной группы, превращающее |' в |, как
наделение расслоения %' ориентациями слоев, составляющими
непрерывное отабражение тотального пространства главного
расслоения asso(|', V {п, п) = GL(n, R)) в 5°. Эта дополнительная
структура называется ориентацией, расслоения |.
Подобным же образом, ввиду включения 50 (п) сг О (п),
каждому ориентированному евклидову расслоению | размер-
размерности п отвечает единственное евклидово расслоение ?' раз-
размерности п, в которое |превращается расширением структурной
группы, и сужение структурной группы, превращающее \' в |,
может быть интерпретировано как наделение расслоения \'
ориентацией, т. е. ориентациями слоев, составляющими непре-
непрерывное отображение тотального пространства главногб рас-
расслоения asso {%', V (п, п) = 0 (п)) в 5°.
Вещественные векторные и евклидовы расслоения, обладаю-
обладающие ориентацией, называются ориентируемыми. Так как каждую
ориентацию можно заменить противоположной ориентацией,
умножив ее на,—1, то ориентируемое расслоение обладает по
крайней мере двумя ориентациями.
§ 5] ' ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 313
Стандартные слои GLC" и UC
10. Расслоения Стинрода со стандартным слоем GZ.C" на-
называются комплексными векторными расслоениями размерности п.
Расслоения Стинрода со стандартным слоем UCn называются
эрмитовыми расслоениями размерности п.
На комплексные векторные расслоения дословно переносится
все, сказанное в 2 и 3 о вещественных векторных расслоениях,
а на эрмитовы расслоения — все, сказанное в 4, 5 и 6 об евкли-
евклидовых расслоениях. В частности: U?-GZ.C"-pa«yioeHHe есть рас-
расслоение, слои которого являются «-мерными комплексными
векторными пространствами, 1^-?/С"-расслоение есть расслоение,
слои которого являются га-мерными эрмитовыми пространствами;
и?-О?С"-эквивалентность между ИР-ОКС^-расслоениями есть по-
послойно линейная эквивалентность, 1^-(/С"-эквивалентность между
и?-?/С"-расслоениями есть послойно унитарная эквивалентность;
локальная №-О?С"-тривиальность~ и?-О?С"-рассЛоения эквива-
эквивалентна локальной топологической тривиальности, усиленной не-
непрерывностью векторных операций; локальная ил/-?/С"-тривиаль-
ность W-UC"- расслоения эквивалентна локальной топологической
тривиальности, усиленной непрерывностью векторных операций
и длины; сужение структурной группы, превращающее комп-
комплексное векторное расслоение g' в эрмитово расслоение g, может
быть интерпретировано как наделение расслоения g' эрмитовой
метрикой, т. е. эрмитовой метрикой в слоях с длиной, непре-
непрерывной на tig'.
11. Каждому «-мерному комплексному векторному расслое-
расслоению g отвечает «-мерное комплексное векторное расслоение conj g,
получающееся.из g при замене каждого отмеченного гомеомор-
гомеоморфизма а композицией а о conj, где conj—обычное сопряжение
в Сп. Расслоение conjg называется сопряженным с g.
Эта конструкция применима и к эрмитовым расслоениям и
превращает их в эрмитовы же расслоения. Таким образом,
каждому га-мерному эрмитову расслоению g отвечает сопряжен-
сопряженное эрмитово расслоение conj g.
12. Расширение структурной группы, определяемое включе-
включением GL{n, C)czGLBn, R), превращает комплексные векторные
расслоения размерности га в вещественные векторные расслое-
расслоения размерности 2ге. Расширение ' структурной группы, опреде-
определяемое включением U(n)czOBn), превращает эрмитовы рас-
расслоения размерности п в евклидовы расслоения размерности 2п.
В обоих случаях расширение структурной группы называется
овеществлением. Результат овеществления расслоения g обозна-
обозначается через Rg.
Напомним, что дополнительная структура, превращающая
2«-мерное вещественное векторное пространство в /1-мерное
314 РАССЛОЕНИЯ * [ГЛ. 4
комплексное векторное пространство, может быть описана как
линейное преобразование с квадратом —id («умножение на i»),
а дополнительная структура, превращающая 2/г-мерное евкли-
евклидово пространство в «-мерное эрмитово пространство, — как
ортогональное преобразование с квадратом — id. В соответ-
соответствии с этим, дополнительная структура, отличающая «-мерное
комплексное векторное расслоение g от R|, может быть описана
как О/.К2"-эквивалентность /: R|->R| с /2 =— id(R|) (минус
следует понимать послойно), дополнительная структура, отли-
отличающая «-мерное эрмитово расслоение g от Rg, — как ОК2"-экви-
валентность /: Rg—>Щ с /2 =— id(Rg) и сужение структурной
группы, превращающее Rg в g, — как наделение расслоения Rg
одной из таких эквивалентностей.
Ясно, что R(conjg) = R? для всякого комплексного век-
векторного или эрмитова расслоения g и что переход от g к
conj | может быть описан на предыдущем языке как переход
от/ к — /.
13. Поскольку группа GL(n, С) содержится не только
в GLBn, R), но и в GL+Bn, R), а группа U («) содержится не
только в О Bп), но и в SO B«), овеществление комплексного
векторного или эрмитова расслоения размерности « можно осу-
осуществить в два приема, расширив сначала GL{n, С) до
GL+ Bn, R) или U (п) до SO Bга), а потом GL+ Bn, R) до GL{2n, R)
или SO {2п) до О Bга). Таким образом, как в комплексном век-
векторном случае, так и в эрмитовом случае расслоение g наде-
наделяет Rg канонической ориентацией.
Отображения
14. Отображение одного вещественного или комплексного
векторного расслоения в другое называется линейным, если оно
послойно линейно. Линейные отображения, которые послойно
невырождены, называются линейными мономорфизмами. По-
Послойно изометрические послойно линейные отображения одного
евклидова расслоения в другое называются ортогональными мо-
мономорфизмами. Послойно изометрические послойно линейные
отображения одного эрмитова расслоения в другое называются
унитарными мономорфизмами.
Заметим, что линейный мономорфизм «-мерного векторного
расслоения в «-мерное же векторное расслоение есть не что
иное, как СШ"-отображение в вещественном случае и GZ.C"-oto-
бражение в комплексном случае. Подобным же образом, орто-
ортогональный мономорфизм одного «-мерного евклидова расслое-
расслоения в другое есть не что иное, как ОР"-отображение, а унитарный
мономорфизм одного «-мерного эрмитова расслоения в другое —
не что иное, как ?/С"-отображение.
§ 51 ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 315
Векторные поля
15. Сечения векторных расслоений "называются векторными
полями. Это наввание прилагается как к вещественным, так
и к комплексным векторным расслоениям, а также к евклидо-
евклидовым и эрмитовым расслоениям и к ориентированным расслое-
расслоениям обоих типов.
Последовательность, составленная из k векторных полей,
называется k-реперным полем. Вырождение репера поля назы-
называется особенностью этого поля. Не имеющее особенностей
/г-реперное поле в «-мерном векторном расслоении может быть
интерпретировано как сечение ассоциированного расслоения со
слоем RV (n, k) или CV («, k), а ортонормированное й-реперное
поле в «-мерном евклидовом или эрмитовом расслоении — как
сечение ассоциированного расслоения со слоем RV (n, k) или
CV («, k) [во всех случаях имеется в виду обычное действие
структурной группы].
Всякое векторное расслоение обладает нулевым векторным
полем, относящим каждой точке базы нуль соответствующего
слоя. Сечение, не обращающееся в нуль, как мы увидим, имеется
не у всякого векторного расслоения. Существование у «-мер-
«-мерного вещественного (комплексного) векторного расслоения «-ре-
перного поля без особенностей эквивалентно б/.К^-тривиаль-
ности @/,С"-тривиальности) этого расслоения, и всякое такое
поле представляет собой его С1Р"-тривиализацию (С1С"-тривиа-
лизацию). Подобным же образом, в случае «-мерного евклидова
(эрмитова) расслоения /г-реперное поле, составленное из орто-
ортонормированных реперов, представляет собой ?Ж"-тривиализацию
(?/С"-тривиализацию), а в случае ориентированного «-мерного
вещественного векторного расслоения (ориентированного «-мер-
«-мерного евклидова расслоения) «-реперное поле, составленное из
невырожденных (ортонормированных) реперов, на которых ори-
ориентации слоев положительны, представляет собой GL+R"-Tpn-
виализацию EОР"-тривиализацию).
2. Конструкции
/. В этом пункте рассматриваются конструкции, которые
будут в дальнейшем применяться к векторным,, евклидовым и
эрмитовым расслоениям и которые не охватываются общей тео-
теорией расслоений Стинрода, изложенной в § 3.
Подрасслоени я
2. Пусть | — вещественное векторное расслоение размер-
размерности п и g — сечение слабо ассоциированного с | расслоения
asso(g, RG(n, k)) [подразумевается, что GL(n, R) действует
316 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ.4
в RG{n, k) обычным образом], т. е. непрерывная функция, от-
отмечающая в каждом слое расслоения ? fe-мерное подпростран-
подпространство этого слоя. Обозначим через %\8 расслоение (Г, рг|1г, bs|)j
где Т — объединение выделенных подпространств. Поскольку
слоями этого расслоения служат выделенные подпространства,
оно является б/-Кй-расслоением, и ясно, что оно локально
О/.1?А-тривиально. [Если ?— стандартное тривиальное расслое-
расслоение (SXR", ргь В) и для точки Ь0^В фиксирован линейный
гомеоморфизм /: R*->g{b0), то для сужения расслоения ||g на
достаточно малую окрестность U точки Ьо имеется даже стан-
стандартная СИ^-тривиализация h: {Uy,Rk, ргь U)->(? |g) \ц: она
определяется формулой tlh(b, v) = $rb(b, l(v)), где рг6 —ортого-
—ортогональное проектирование слоя b X R" на его подпространство
g{b).] Таким образом, ||g есть вещественное векторное рас-
расслоение размерности k. Оно называется подрасслоением рас-
расслоения \, ассоциированным с g.
3. Подобным же образом определяются подрасслоения евкли-
евклидовых, комплексных векторных и эрмитовых расслоений. В евкли-
евклидовом случае RG (n, k) становится О (га)-пространством, g остается
сечением расслоения asso(|, RG(n, k)) и подрасслоение ||g ока-
оказывается евклидовым расслоением (его локальная ОКА-тривиаль-
ность следует из его локальной послойно линейной тривиаль-
тривиальности, установленной в 2, и непрерывности длины; см. 1.5).
В комплексном векторном случае сказанное в 2 повторяется
дословно с заменой буквы R буквой С [в частности, GL{n,R)-
пространство RG{n, k) заменяется GL(n, С)-пространством
CG{n, k)] и подрасслоение | \g оказывается комплексным вектор-
векторным расслоением. В эрмитовом случае CG(n,k) становится
U(^-пространством и подрасслоение ||g оказывается эрмитовым
расслоением (его локальная ?/СА-тривиальность следует из его
локальной послойно линейной тривиальности и непрерывности
длины — см. 1.10).
4. Ясно, что включение \\g—>\ является линейным мономор-
мономорфизмом в обоих векторных случаях, ортогональным мономор-
мономорфизмом в евклидовом случае и унитарным мономорфизмом
в эрмитовом случае. Наоборот, каждому линейному, ортого-
ортогональному или унитарному мономорфизму/: |i'->| с bs|1 = bsg
и bs/ = id отвечает подрасслоение расслоения |, ассоциирован-
ассоциированное с сечением ?i—И1/(рг|ГЧ^)) расслоения asso(|, RG(n, dira^))
или asso(|, CG(n, dim|i)). Это подрасслоение называется обра-
образом мономорфизма f и обозначается через Imf. Из теоремы
3.2.8 следует, что ab f: ?t -> Im f есть бШ"-эквивалентность
в вещественном векторном -случае, О1С"-эквивалентность в ком-
§ 5] ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ~ 317
плексном векторном случае, ОК"-эквивалентность в евклидовом
случае и ?/С"-эквивалентность в эрмитовом случае.
Заметим, что для корректирующего отображения corrf: |j->
(bs/I^, которое является линейным, ортогональным или унитар-
унитарным мономорфизмом вместе с f (см. 3.2.4), условие bscorr/ = id
выполнено всегда. Таким образом, Im corrf имеется у всякого
линейного, ортогонального или унитарного мономорфизма /.
Ортогональные дополнения и факторрасслоения
5. Если | — евклидово или эрмитово расслоение размер-
размерности п, то каждому сечению g расслоения asso(|, RG(n, k))
[asso(|, CG(n, k))] отвечает ортогональное сечение gx расслоения
asso(|, RG{n, n — k)) [asso(?, CG(n, n — k))], относящее точке
frebsg ортогональное дополнение подпространства g(b) слоя
pr?~'(b). Вследствие этого каждому /г-мерному подрасслоению
il=?lg евклидова или эрмитова расслоения | размерности п от-
отвечает (п — /г)-мерное подрасслоение 11 i. Оно называется орто-
ортогональным дополнением подрасслоеният) и обозначается через к\х.
6. У подрасслоения векторного расслоения нет ортогональ-
ортогонального дополнения, но есть факторрасслоение. Пусть х\ — подрас-
подрасслоение размерности k вещественного или комплексного вектор-
векторного расслоения | размерности п. Рассмотрим расслоение
(Т, fact pr g, bsg), где Т — факторпространство пространства
tig по его разбиению на множества вида х-\- ргц*1 (Ь) с хе
рг?~' (Ь). Слоями этого расслоения служат факторпространства
pr?rl (&)/pi"n~'(&), что делает его GLRn~k- или О1С"~*-расслое-
нием. Оно называется факторрасслоением расслоения ? по х\ и
обозначается через g/r).
Связь этой конструкции с предыдущей состоит в том, что
она применима также в евклидовом и эрмитовом случае и дает
в этих случаях тот же результат, что и предыдущая. Более
точно: в евклидовом случае факторпространство рг?~' (бургтГ1 (Ь)
представляет собой (п—/г)-мерное евклидово прострайство, так
что g/т] есть ОК"~'!-расслоение> и отображение /г: ,цх-+?/ц,
определяемое формулой tl h{x) = pr (х), где pr = [pr: tl I -> tl (g/n)j,
является О^~*-эквивалентностью; в эрмитовом случае фактор-
пространство prg {byprri (b) представляет собой (« — ^-мер-
^-мерное эрмитово пространство, так что %jx\ есть ?/С"~А-расслоение,
и h есть UC"~ -эквивалентность. Таким образом, факторрас-
факторрасслоение евклидова расслоения g по его подрасслоению ц есть
евклидово расслоение размерности dim| — dimT), а факторрас-
факторрасслоение эрмитов'а расслоения g по его подрасслоению ц есть
эрмитово расслоение размерности dim | —dim t).
318 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Из этого нетрудно вывести, что факторрасслоение вектор-
векторного расслоения | по его подрасслоению г\ есть векторное рас-
расслоение размерности dim!;— dimr]. Действительно, доказатель-
доказательства требует только локальная послойно линейная тривиальность
расслоения Цц со стандартным тривиальным |, а она следует
из предыдущего, поскольку такое | можно считать евклидовым
в вещественном случае и эрмитовым в комплексном случае.
7. Так как в вещественном векторном и евклидовом случае
ориентация каждого из трех пространств рг ?"'(?), ргrj~! (Ь),
рг ?~' F)/ргт]~' F) определяется ориентациями двух других (см.
3.1.3.10), то в этих случаях ориентируемость двух из трех рас-
расслоений I, г\, Цг\ влечет за собой ориентируемость третьего и
ориентации двух канонически определяют ориентацию третьего.
Суммы расслоений
8. Говорят, что векторное расслоение | распадается в сумму
своих подрасслоений |ь |2. если каждый его слой рг|~'F) рас-
распадается в прямую сумму своих подпространств рг|Г'(Ь)>
рг|Г'(^)- Говорят, что евклидово или эрмитово расслоение ?
распадается в сумму своих подрасслоений §,, |2, если каждый
его слой рг ?"'(&) распадается в ортогональную сумму своих
подпространств рг|Г'(*), ргЦ^)-
В евклидовом и эрмитовом случае всякое подрасслоение ?t
расслоения \ расщепляет | в сумму подрасслоений |, и %f.
В п. 4 мы покажем, что для всякого векторного расслоения |
с клеточной базой и всякого его подрасслоения существует такое
его подрасслоение |2, чт0 I распадается в сумму подрасслое-
подрасслоений %х и |2; см. 4.2.
Если векторное расслоение \ распадается в сумму своих
подрасслоений |ь -|2, то факторрасслоение %fcx канонически
Qipuimb. Или б^СA1т?2-эквивалентно |2: каноническая эквива-
эквивалентность h: ё,2 —>- ё/^i определяется формулой tl h {x) = рг {х), где
pr=[pr: tl |—>t\ (|/ii)]. Такая же эквивалентность имеется
в евклидовом и эрмитовом случае с О или U вместо GL (фак-
(фактически она была установлена в 6).
9. Следующая конструкция позволяет обратить предыдущее
определение и, в частности, восстановить расслоение по под-
расслоениям, в сумму которых оно распадается.
Если |[, \i — вещественные векторные расслоения размерно-
размерностей щ, «2 с общей базой, то liX|2 есть расслоение Стинрода
с базой bs^Xbsg] и структурной группойGL{щ, R)X,GL(ti2, R),
и ту же структурную группу имеет расслоение diagHli X ?2) с
базой bs|1( индуцированное расслоением |i XI2 посредством ото-
§ 5] ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 319
бражения diag: bs^ —>bsgt X bs?i- Расширение этой группы
до GLim+fh, R) превращает diag'(?i X 1г) в вещественное
векторное расслоение размерности «, + «2. которое назы-
называется суммой расслоений |ь |2 и обозначается через ?i©|2.
Так же определяется и обозначается сумма двух расслоений
с общей базой в евклидовом, комплексном векторном и эрми-
эрмитовом случаях [в евклидовом случае группа О («О X О (я2) рас-
расширяется до 0{щ +«2). B комплексном векторном случае группа
GL(nu C)XGL(rt2, С) расширяется до GL («, + п2, С), в эрми-
эрмитовом случае группа U {щ)У,{] (п2) расширяется до и{щ-\-п2);
сумма евклидовых расслоений есть евклидово расслоение, сумма
комплексных векторных расслоений есть комплексное векторное
расслоение, сумма эрмитовых расслоений есть эрмитово рас-
расслоение]. Во всех случаях bs (^ © |2) = bs %x (=bs?2) и
№{1\®Ы~Х {b) — vrlTl {b)®vrl2X {Ь), причем в евклидовом и
эрмитовом случаях последняя сумма является ортогональной.
Эти равенства определяют тождественные на базе линейные,
ортогональные или унитарные мономорфизмы ?i->ii©?2> h~*
h®h, отождествляющие расслоения |ь ?2 с подрасслоениями
расслоения ?i©g2 и расщепляющие li©|2 B сумму этих подрас-
слоений.
Заметим, что эти отождествления позволяют построить фак-
торрасслоения (?i©i2)/?i, (ii©l2)/l2> а канонические эквивалент-
эквивалентности, указанные в 8, позволяют считать, что (|i©|2)/ii ==l2,
(li ® 1,2I1,2 — li- В частности, в вещественном векторном и евкли-
евклидовом случаях ориентируемость двух из трех расслоений %и |2,
Ei©l2 влечет за собой ориентируемость третьего и ориентации
двух канонически определяют ориентацию третьего.
Заметим еще, что расслоение |©? ориентируемо и обладает
канонической ориентацией, каково бы ни было вещественное
векторное или евклидово расслоение |. Эта каноническая ориен-
ориентация определяется в каждом слое ориентациями слагаемых,
выбранными произвольно, но одинаково.
10. Сумма вещественного векторного или евклидова рас-
расслоения | и одномерного стандартного тривиального GZ.R1- или
OR'-расслоения (bs?XR, prj, bs^) называется надстройкой над\
и обозначается через sug. Так же называется и обозначается
сумма комплексного векторного или эрмитова расслоения ? и
стандартного вЮ-йли f/C'-тривиального расслоения (bs|XC,
рг„ bsg).
Вещественные векторные расслоения |ь g2 с общей базой,
для которых существуют такие ku k2, что dim^ + kx == dim|2 + k2
и расслоения su*1 |ь sufe2|2 б1РA1т^+й'-эквивалентны, называются
стабильно эквивалентными. Так же (с ORdlm&i+*', GLCdim|l+fel и
f/Qdimi.+ft, вместо дщытъ+ь) определяется стабильная эквива-
эквивалентность в евклидовом, комплексном векторном и эрмитовом
320 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ< 4'
случае. Расслоение, стабильно эквивалентное стандартному три-
тривиальному, называется стабильно тривиальным.
Заметим, что в вещественном и евклидовом случае ориен-
ориентируемость одного из расслоений ?, sui влечет за собой ориен-
ориентируемость другого и ориентация одного канонически опреде-
определяет ориентацию другого; см. 9.
К омплексификация
И. Рассмотрим для вещественного векторного расслоения %
размерности п отображение /: ?©|->|©|, определяемое фор-
формулой tig (я, «/) = (—г/, х) [х, у — точки одного слоя расслоения g].
Ясно, что / есть О/.К2"-эквивалентность и что /2 = — id. Таким
образом, / превращает g©g в комплексное векторное расслое-
расслоение размерности п (см. 1.12). Это комплексное векторное рас-
расслоение называется комплексной оболочкой расслоения g и обо-
обозначается через Cg.
Если ? — евклидово расслоение размерности п; то та же кон-
конструкция превращает ?©| в эрмитово расслоение размерности п.
Оно также называется комплексной оболочкой, расслоения g и
также обозначается через Cg.
В обоих случаях переход от | к С? называется комплекси-
фикацией. Ясно, что в обоих случаях RCg = g©g.
12. Каждое из расслоений RC|, ?©?, входящих в последнее
равенство, обладает канонической ориентацией; см. 1.13 и 9.
Оказывается, что эти ориентации совпадают, если я=зО, 1 mod 4,
и противоположны, если п = 2,3 mod 4.
Для доказательства фиксируем в произвольно взятом слое
рг|~'(Ь) расслоения ? какой-нибудь базис (ортонормированный
базис) оь ..., vn. Каноническая ориентация слоя рг|~ F) X
рг|~' (Ь) расслоения RQ; равна +1 на базисе (оь 0), @, vx), ...,
ivn> 0). @. vn) этого слоя, каноническая ориентация слоя рг^" F)Х
рг|~'(?) расслоения |©§ равна +1 на базисе (oh 0) (о„, 0),
@, У]), ..., @, vn) этого слоя, и остается заметить, что переход
от одного базиса к другому осуществляется п(п— 1)/2 переста-
перестановками соседних векторов и что это число четно, -если п = 0,
1 mod 4, и нечетно, если я = 2,3 mod 4.
13. Отображение conj: C|-»conj C|, определяемое формулой
tlconj(x, y) = (x, —у), является ОЬСп-эквивалентностью для вся-
всякого вещественного векторного расслоения | размерности п и
иСп-эквивалентностью для всякого евклидова расслоения \ раз-,
мерности п. -
Действительно, эквивалентности /ь /2: ?©|—>\®%, превра-
превращающие | © | в С? и conj C|, определяются формулами tl I\ (х, у)=
(~у,х), /2 = — /ь так-то /2 о conj = conj о/,. -
§ 8] ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 321
14. Отображение К: |©conj | —*-CR?, определяемое форму-
формулой tl К (х, у) = (-j (х + у), ^ (tl I (у) — tl / (х)) J , где I — экви-
эквивалентность, превращающая R| в ?, является GLCn-эквивалент-
GLCn-эквивалентностью для всякого комплексного векторного расслоения ? раз-
мерности п и UСп-эквивалентностью для всякого эрмитова рас-
расслоения | размерности п.
Действительно, эквивалентности /ь /2: R|©R? -> Rs©R|,
превращающие Rg©R| в g©conjg и CR?, определяются фор-
формулами tl /, (x, y) = (i\I(x), — til (у)), tl /2(jc, г/) ={— у, х), так
что 12° К = К° 1\-
3. Классические универсальные векторные расслоения
/. Главная ценность конструкции п. 4.3 заключается в том,
что она устанавливает существование универсального G-pac-
слоения для совершенно произвольной топологической группы G.
Для групп GL(n,R), GL+(n,R), O(n), SO{n), GL{n,C), U (n)
имеются более удобные классические конструкции, которые и
излагаются в настоящем пункте.
Пространства Грассмана
2. Положим
G (оо, п) — lim (G (m, n), in: G (m, n) ~> G (m -f 1, «)),
G+ (схз, «) = lim (G+ (m, «), in: G+ (m, n) -> G+ (m + 1, «)),
CG(oo,«) = lim(CG(m, n), in: CG (m, n) ~> CG(m + 1, n)).
G(oo,n) состоит из всевозможных «-мерных плоскостей про-
пространства R°°, проходящих через 0, и называется п-м (вещест-
(вещественным) пространством Грассмана, G+ (оо, п) состоит из всевоз-
всевозможных ориентированных «-мерных плоскостей пространства R°°,
проходящих через 0, и называется п-м верхним простран-
пространством Грассмана, CG(oo,n) состоит из всевозможных «-мерных
плоскостей пространства С°°, проходящих через 0, и называется
п-м комплексным пространством Грассмана.
Ясно, что канонические отображения G+(m, n)^G(m, «),
CG(m, n)->G{2m, 2«), CG(m, «)->G+Bm, 2n), G(m,n)~>G(m + q,
n + q), G+{m, «)->G+(m + ^, n + q), CG(m, n) -¦> CG(m + g, n + q)
(cm. 3.2.2.3 и 3.2.2.7) составляют при любом « отображения
G+ (оо, п) -> G(oo, n), CG (оо, п) -> G(co, 2«), CG(co, «)-> G+ (со, 2«),
G(oo, «)->G(oo, n + q), G+ (оо, «)-» G+ (оо, п + q), CG(oo,«)->
CG (oo, n + ^), из которых первое (как и каноническое ото-
отображение G + (m, n) —r G (т, п) с т < оо) является проекцией
двулистного накрытия, второе представляет собой композицию
11 В. А. Рохлин, Д. Б, Фукс
322 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
первого и третьего и все, кроме первого, являются вложе-
вложениями.
3. Пространства Грассмана обладают естественными клеточ-
клеточными разбиениями, которые мы теперь и опишем.
Начнем с G(oo,n). Обозначим через О„ совокупность все-
всевозможных целочисленных последовательностей со = {соA), ...,
©(и)} с (o(i)^O и условимся присоединять к каждой последо-
последовательности со е Qn еще член со @) = 0. Обозначим, далее, через
е(со) часть пространства G(oo,n), составленную из (проходящих
через 0 «-мерных) плоскостей пространства R°°, пересекающихся
с каждым Rm по подпространству, размерность которого равна
наибольшему из целых s с со (s)-j-s J> m. Мы покажем, что мно-
множества е(со) составляют клеточное разбиение пространства
G(oo,ti) с dime(co) = d(co), где d(co) = co(l) + ... +©(«).
Для доказательства нужно построить характеристические
отображения chae(A)): Dd{-a) -> G(ooyn). Фиксируем со и обозначим
через г (и, v), где и, v — точки сферы sa>(n)+n~1 с и + v ф 0, пре-
преобразование из 50 (со (и) + п), переводящее ивой оставляющее
на месте векторы пространства R»w+") ортогональные и и у. Обо-
Обозначим, далее, через Я,- со(/)-мерную полусферу, составленную
из точек {хи ..., xa{i)+i)^Sa>U)+i~1, у которых xaU)+l = 0 при
/=1, ..., г+1, a x<s>(i)+i ^0> и рассмотрим отображение
ф: Я! X ••• X^«~>G(oo> «), относящее последовательности
(и] «„) плоскость, определяемую «-репером
"Ь Kortro(,)+ь «О] (Ы2), ...,
«О о ... о Г (ortm („-!) + („-!), «„-])](«„) A)
(который, очевидно, является ортонормированным). Ясно, что
оно непрерывно и отображает int^X ••• У(.Нп) в е(<о),
а д (Hi X • • • X #п) — в объединение множеств е (со') с d (©') <
d (со). Кроме того, его сокращение ab ф: iht (Я! X • • • X Нп) -> е (со)
является гомеоморфизмом: обратное отображение относит пло-
плоскости у^е(&) последовательность
Mi)o ... о г
где иь ..., vn — векторы, составляющие ортогональный базис
плоскости y и выбранные так, что v{ лежит в половине xa^)+i > 0
сферы saW+l~' (этими условиями они определяются однозначно).
Следовательно, в качестве chae(o)) можно взять сквозное ото-
отображение
6Ш ->?>ШA)Х • • • X Efw -> Я, X • • • X На Л G (оо, я),
§ 5) . ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 323
где левая стрелка обозначает канонический гомеоморфизм, ука-
указанный в 1.2.6.9, а средняя — произведение гомеоморфизмов
?fM-*Hh определяемых формулой
• • •> ха>B)> 0, ... О,
Клеточное разбиение пространства G+(oo, n) содержит вдвое
больше клеток, чем клеточное разбиение пространства G(oo,n),
а именно, над каждой клеткой е(со) лежат две клетки из G+(oo,n),
гомеоморфно отображаемые на е(со) проекцией G+(oo,/г)->
G(oo,n): клетка е+(со), плоскости которой ориентированы так,
что ориентация положительна на описанном выше базисе
»i, ..., »„, и клетка е_(со), плоскости которой ориентированы
противоположно. Характеристические отображения строятся для
этих клеток так же, как для клеток е (со), только под плоскостью,
определяемой репером A), теперь понимается ориентированная
плоскость [ее ориентация положительна на репере A) в случае
клетки е+(со) и отрицательна в случае клетки е_(со)].
Клеточное разбиение пространства CG(oo,n) состоит из кле-
клеток Се (со) с со е Qn, которые определяются так же, как клетки
е(со), с заменой пространств R°° и Rm пространствами С°° и Ст.
Размерность клетки Се (со) равна 2<2(со), и отображения спасем
являются точными комплексно-эрмитовыми аналогами отобра-
отображений спае(Ш).
4. Так как построенные разбиения содержат лишь конечное
число клеток каждой размерности, то они обладают свой-
свойством (С). Они обладают и свойством (W), так как каждое
из многообразий G(m, n), G+(m, n), CG(tn,n), составляющих
фундаментальные покрытия пространств G(oo, n), G+(oo, n),
CG(oo, n), покрывается конечным числом клеток. Наконец,
из теоремы 1.2.4.6 следует, что пространства G(oo, п.), G+(oo, n),
CG(oo, n) нормальны. Таким образом, построенные клеточные
разбиения делают G(oo, n), G+(oo, n), CG(oo, n) клеточными
пространствами.
Ясно, что многообразия G(m,n), G+(m,n), CG(m,n) являются
подпространствами пространств G(oo, n), G+(oo, n), CG(oo,«)
в клеточном смысле. Таким образом, они тоже оказываются
клеточными пространствами.
5. Заметим, что канонические вложения
G(oo, n)->C(oo, n + q), G+(oo, л)-*-(?4.(оо, n + q),
CG(oo, tt)-*CG(oo, n + q)
324 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
(см. 2) являются клеточными вложениями. Образ первого из них
содержит skenG(oo, я + q), образ второго — skeraG+ (oo, n-\-q),
образ третьего — ske2n+i CG(oo, n-\-q).
Столь же очевидны включения G(tn, n) гэ skem-nG(oo, n),
G+(m, n)=>skem-nG+(oo, n), CG(m, n) гэ ske2m-2fl+1 CG(oo, «).
Расслоения Грассмана
6. Пусть 0^«^m^oo и п<оо. Обозначим через Т{т,п),
Т+(т, п), СТ(т, п) подмножества' произведений G(m, n) X R"\
G+(m, «) X Rm. CG (m, n) X Cm, составленные из точек (у, х)
с х&у, и рассмотрим расслоения
{Т(т, п), pr, G(m, п)), {Т+{т, п), рг, G+{tn, n)),
(СТ(т,п), рг, CG(m,n))
с pr(v, a:) = y- Слои первого расслоения в очевидном смысле
являются евклидовыми пространствами, слои второго — ориенти-
ориентированными евклидовыми пространствами, слои третьего — эрми-
эрмитовыми пространствами, и столь же очевидно, что первое рас-
расслоение локально ЭД^-ОК^-тривиально и, следовательно, является
евклидовым, второе локально 1^-5ОК"-тривиально и, следова-
следовательно, является ориентированным евклидовым и третье локально
1^-?/С"-тривиально и, следовательно, является эрмитовым. Мы
обозначаем их через Gra(m, O(n)), Gra(m,SO (n)), Gra(m, U(п)),
а расслоения, в которые они превращаются расширением
групп О(п), SO(n), U(n) до GL(n,'R), GL+(n, R), GL{n, С),-
через Gra(m, GL(n, R)), Gra(m, GL+{n, R)), Gra(/n, GL(n, C)).
Расслоения всех шести серий называются расслоениями Грас-
Грассмана. При т='оо их обозначения сокращаются до GraO(n),
Gra 50 («), Gra U («), Gra GL {n, R), Gra GL+ (n, R), Gra GL (n, C).
Заметим, что Gra(m, 0{n)) с m < oo есть подрасслоение
стандартного тривиального расслоения (G{m, n)S\Rm, prb
G(tn, n))- (рассматриваемого как евклидово расслоение), ассо-
ассоциированное с диагональным сечением v'—*" (Y» y) расслоения
(G(m, n)XG(m, n), prb G(m, n)). To же верно с очевидными
модификациями для остальных пяти серий.
7. Расслоения GraG с G = GL(n, R), GL+{n, R), О (л), SO (л),
GL(n, С), U(п) универсальны.
Доказательства для разных G различаются лишь очевид-
очевидными деталями и очень близки к доказательству теоремы 4.3.4.
Мы ограничимся группой GL(n, R). Согласно 4.2.2, достаточно
показать, что, каковы бы ни были вещественное векторное
расслоение | размерности п с клеточной базой и подпростран-
подпространство А этой базы, всякое О/.К"-отображение g: ё U -»• Gra GL (n, R)
продолжается до О/,К"-отображения |->GraGL(/?, R).
§ 5) ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 325
Сначала мы рассмотрим случай, когда bs| = ?)r+1 (с неко-
некоторым г), a A = Sr. В этом случае расслоение ? GLR"-tphbh-
ально, что позволяет считать его стандартным тривиальным
расслоением (Dr+I X R", pfi, Dr+l) и определить требуемое про-
продолжение f: g-> Gra GL (я, R) явной формулой: мы обозначаем
через gi сквозное отображение
5rXR"-^ tl Gra GL (n, R) -Д- G(oo, n) X R°°— R°°,
определяем отображение /^ flr+'XR"->-R°° формулой
fi (ty, (*i, ..., xn)) =
tg\(y, (xu ..., xn)) + -y/l — t2 @, ..., 0, xu ..., xn, 0, ...),
m
где y^Sr, /s/, a m есть „наименьшее из чисел s с Rs zd
g,(SrX5), и полагаем tl / (г/, *) = (/, (г/ X R"), h(y, x)).
Общий случай сводится к этому специальному случаю.
Будем считать пространство bsg оснащенным и предположим,
что уже имеется С1Ргг-отображение fr: \ |лизке bs|-»GraGL(ra, R),
продолжающее g1. В силу уже доказанного, для каждой клетки
е е cellr+i bsg \ cellr+1 Л О1К"-отображение
ge = д. о ad [ab chae: 5r -> Л U sker bs ?]: cha' | |sr-^ Gra GL{n, R)
продолжается до некоторого О/.Р"-отображения he: cha^|-*
Gra GL(n, R), и ясно, что отображение tlhe постоянно на эле-,
ментах разбиения zer (tl ad chae). Применяя теорему 3.2.6
(с B = Dr+l и j0 = [abchae: Dr+1-*C1 e]), мы видим, что !ie
определяет О1Й"-отображение § |С1 е -»• Gra GL (n, R). Мы обо-
обозначаем это отображение через fe и замечаем, что для "любых
клеток еи е2 s cellr+I bs ? \ ce.llr+I А отображения tlfg, tl fe
совпадают над Cl ei f| Cl e2 и что для любой клетки ее
cellr+1 bs^ \cellr+i А отображение tlfe совпадает над Clef]
(j4 U sker bs |) с tlfr. Из этой согласованности следует, что ото-
брах<ения fr и fe с е е cellr+I bs| \ cellr+i А составляют неко-
некоторое О?К"-отображение fr+l: ||лизке [ bs% -> Gra GL(n, R), про-
продолжающее fr; см. 3.2.7. Тем самым индуктивно построена
последовательность (fs: |1Л1)зке bs 5 -> Gra GL (n, Щ"_{ с f_l = g,
члены которой — продолжающие друг друга О/,К"-отображения.
Отображения fs и составляют" ОЬР"-отображение g-»Gra GL(n, R),
продолжающее g.
8. Расслоения Gra(m, GL(n, R)), Gra(m, GL+(n, R)\ Gra(m,
О (rij), Gra (m, 50 («)) (m — п)-универсальны. Расслоения Gra (m,
GL(n, C)), Gra(m, i/(rt)) Bm — 2« + 1)-универсальны.
Это следует из 7 (см. 5 и 4.2.7).
326 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Ассоциированные главные расслоения
9. При т < оо тотальными пространствами главных расслое-
расслоений, ассоциированных с расслоениями Грассмана
Gra(m, GL(n, R)), Gra(m, GL+{n, R)), Gra(m, GL(n, Q);
Qra (m, О (n)), Gra {in, SO (ft)), Gra (m, U (ft)),
служат, очевидно, F' (m, ft), F' (m, ft), CV (m, n); V (m, n), V (m, ti),
CV (m, ft), а проекциями — отображения из 3.2.2.3 и 3.2.2.7
V(т, n)—*-Q(m, ft), F'(m, ft)->G+ (m, ft),
Cn, n)->CG(m, ft); B)
(m, n)-^-G (m, n), V (m, n) -> G+ (m, ft),
CF(m, ft)-^CG(m, ft). ..
To же верно при m = oo, если V'(oo, «), CF'(oo, ti), F(oo, «),
CF(°o, «) понимаются как lim (F'(m, ft), in), lim(CF/(m, ft), in),
Hm(V(m, ft), in), lim(CF(m, «.), in), а проекции B), C) с т =
oo — как составленные из проекций B), C) с т < оо. Простран-
Пространства F'(oo, n), CF'C00. n)> F(oo, и), CF(oo, ti) называются про-
пространствами Штифеля.
Ясно, что канонические правые действия структурных групп
в рассматриваемых тотальных пространствах (см. 3.2.10) при
m < оо совпадают с правыми действиями, описанными в 2.3.12 и
2.3.13, а при т —оо составлены из последних.
Расслоения asso(GraO(l), 0A)) и asso(Graf/(l), U(\))
10. Главное расслоение, ассоциированное с Gra 0A), О (^-изо-
(^-изоморфно расслоению Mi 0A). Главное расслоение, ассоциирован-
ассоциированное с Graf/A), U A)-изоморфно МШA).
Для доказательства достаточно указать какой-нибудь О (^-го-
(^-гомеоморфизм tl Mi О A)-И1 asso(Gra О A), 0A)), рассматривая
tlMiO(l) и tlasso(GraO(l), O(l)) = V(oo, 1) с: R°° как пра-
правые О A)-пространства, и какой-нибудь ?/A)-гомеоморфизм
tlMi?/(l)->tlasso(Gra?/<-l), ?/(l)), рассматривая tlMi?/(l) и
tlasso(Graf/(l), f/(l)) = CF(oo, lJcrC00. как правые {/(^-про-
{/(^-пространства; см. 4.3.1.9 и 3.2.10. То и другое осуществляется фор-
формулой
Г { /^7}Г
смысл левой части этой формулы объяснен в 4,3.2, в пра-
правой же части элементы gt группы 0A) или U(\) рассматри-
рассматриваются как числа (имеются в виду включения 0(l) = 5°crR)
?/(l) = S'c:C).
§ 51 ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 327
4. Важнейшие сужения структурной группы
/. Расслоения Грассмана позволяют применить к проблемам
сужения структурной группы, которые рассматривались в п. 1,
схему п. 4.4. Это и делается в настоящем пункте. Напомним,
что сужения, отвечающие включениям
О (л) с GL (л, R), SO (л) с: GL+ (л, R), U (п) <= GL (п, С), D)
означают введение евклидовой или эрмитовой метрики, суже-
сужения, отвечающие включениям
GL+ (л, R) с GL (л, R), 50 (л) с О (я), E)
— введение ориентации, и сужения, отвечающие включениям
GL (л, С) cz GL Bл, R), U(n)<=0 Bл), F)
— введение комплексной структуры. Мы укажем для каждого
из включений D), E), F) каноническое классифицирующее ото-
отображение и извлечем из этого наиболее очевидные следствия.
Кроме того, мы сделаем то же для включений
GL (n -s,R)cz GL (л, R), GL+ (л -s, R) cz GL+ (л, R),
GL (n - s, C) <= GL (л, С), G)
О (л - s) <= О (л), 50 (л - s) с: SO (n), U (л - s) cr U (л). (8)
Сужения структурной группы, отвечающие этим шести вклю-
включениям, могут быть интерпретированы как представление задан-
заданного расслоения размерности п в виде s-кратной надстройки
над {п — s)-MepHbiM расслоением.
2. Для включений D) намеченная программа осуществляется
совсем просто. Расслоения Gra GL {n, R) и Gra О (л) имеют
одну и ту же базу G (оо, л), расслоения . Gra GL+ (л, R) и
GraSO{n)—одну и ту же базу G+{oo,'n) и расслоения GraGZ.(л, С)
и Graf)(л) — одну и ту ж# базу CG(oo, n), и ясно, что во всех
трех случаях тождественное отображение базы является класси-
классифицирующим. Следовательно, отображения
ext: Stee(B, OR")-*Stee(?, GLRn),
ext: Stee(fl, SOR") -> Stee (B, GL+Rn),
exf: Stee(B, ?/C")->Stee(B, GLC")
обратимы для всякого клеточного пространства В; см. 4.4.2.
В частности, всякое вещественное векторное расслоение с кле-
клеточной базой обладает евклидовой метрикой и всякое комплекс-
комплексное векторное расслоение с клеточной базой обладает эрмито-
эрмитовой метрикой..
В качестве следствия мы получаем теорему, уже сформули-
сформулированную в 2.8: для всякого векторного расслоения \ с клеточ-
328 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
ной базой и всякого его подрасслоения |i существует такое
его подрасслоение ?2> чт0 I распадается в сумму подрасслое-
ний |i и |2-
3. Столь же очевидно, что проекция G+ (оо, ti) -> G (оо, п)
является классифицирующим отображением для обоих включе-
включений E), а включение CG (оо, п) -> G (оо, 2«) — классифицирующим
отображением для обоих включений F). Однако гомотопические
свойства этих классифицирующих отображений уже достаточно
сложны. К первому из них мы вернемся в § 5.6, где в нашем
распоряжении будет больше средств.
4. Для включений G) и (8) также имеются очевидные класси-
классифицирующие отображения: для обоих левых включений это
каноническое вложение G(oo, п— s)->G(oo, ti), для обоих сред-
средних включений—каноническое вложение G+ (оо, n—s)->G+ (оо, п),
для обоих правых включений — каноническое вложение CG(oo,
п — s)—*CG(oo, ti) (см. 3.2). Отождествив посредством этих
вложений• пространства G (оо, п — s), G+(oo,« — s), CG(oo,n— s)
с их образами, мы можем написать, согласно 3.5:
G (оо, п — s) гэ ske^-,, G (оо, «), G+ (оо, п — s) zd sken_s G+ (оо, п),
CG(oo, n — s) zd ske2n-2s+i CG (оо, ti).
Первое включение показывает, что пара (G(oo,«), G(oo, n — s))
(п. — 5)-связна (см. 2.3.2.2), из чего следует (в силу теорем
2.3.2.4 и 2.3.2.5), что отображение я (id, in): я(В, G(oo,« — s))->
п(В, G(oo, ti)) обратимо для всякого клеточного пространства В
с dim В < п — s и отображает я (В, G (оо, п — s)) на я (В, G (оо, «))
для всякого клеточного пространства В с dim В = п — s. Таким
образом, отображения
ext: Stee(fi, GLRn~s)-> Stee(fi, GLR"),
ext: Stee(fl, OR"~s)-*Stee(S, OR")
обратимы для всякого клеточного пространства В с dim В < я — s
и имеют своими образами Stee(S, GLRn), Stee(S, OR") для
всякого клеточного пространства В с dimS = ra — s. Совер-
Совершенно так же из включения G+ (оо, п — s)zd sken_sG+ (оо, п)
следует, что отображения
ext: Stee(B, GL+R"~S) -* Stee (в, GL+Rn),
ext: Stee(B, SORn~s)-+Stee(B, SORn)
обратимы для всякого клеточного пространства В с dim В < п — s
и имеют своими образами Stee(S, GL^R"), Stee (В, SORn) для
всякого клеточного пространства В с dim В =/г — s, а из вклю-
§ 5] ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 329
чения CG(oo, n —s)zDske2n-2s+iCG{oo, n) следует, что ото-
отображения
ext: Stee(fl, GLCn~s)-^ Stee(B, GLCn),
ext: Stee(s, ?/C~s)-»>Stee(fl, UCn)
обратимы для всякого клеточного пространства В с ^
2(n — s) и имеют своими образами Stee(S, GLC4), Stee(B,UCn)
для всякого клеточного пространства В с dimB = 2n — 2s+1.
Таким образом: всякое вещественное (комплексное) векторное
расслоение размерности п с клеточной базой размерности^.п — s
(размерности ^2« — 2s+1) G/^"-эквивалентно (О/.С"-эквива-
лентно) s-кратной надстройке над расслоением размерности
п — s; если у двух вещественных (комплексных) векторных рас-
расслоений размерности п — s с клеточной базой размерности
< п — s (размерности < 2га — 2s + 1) s-кратные надстройки
б?К'г-эквивалентны (GLC-эквивалентны), то сами эти расслое-
расслоения 0/.11<'г~8-эквивалентны @/.С"~5-эквивалентны).
5. Упражнения
/. Показать, что для всякого вещественного векторного рас-
расслоения ?, размерности п расслоение asso(|, R" \ 0) эквивалентно
(в смысле 1.1.2) расслоению, тотальным пространством которого
служит дополнение образа нулевого сечения в tig, а проекцией —
сужение проекции рг|.
Показать, что для всякого евклидова расслоения | размер-
размерности п расслоения asso(|, Dn) и asso(|, Sn~ ) эквивалентны
расслоениям, тотальными пространствами которых служат части
пространства tig, составленные из векторов длины ^1 и век-
векторов длины 1, а проекциями — сужения проекции рг|.
2. Показать, что для всякого вещественного [комплексного]
векторного расслоения| размерности п расслоение asso (|, V (n, k))
[расслоение asso(|, CV (n, k))] эквивалентно расслоению, то-
тотальным пространством которого служит часть /г-кр-атного про-
произведения tl |X • • • X tl|, составленная из таких последова-
последовательностей (хи .'.., Xk)r что рг^лг,)— ... =prl(jcfe) и векторы
Х\, ..., xk линейно независимы, а проекцией — сужение сквоз-
сквозного отображения
Показать, что для всякого евклидова [эрмитова] расслоения %
размерности п расслоение asso(|, V (n, k))- [расслоение
asso(|, CV (n, k))} эквивалентно расслоению, тотальным прост-
пространством которого служит часть /г-кратного произведения
330 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
tl|X • • • X tl?, составленная из таких последовательностей
(*,, ..., xk), что рг|(х,)= ••• =рт1{хк) и векторы хь .,., xk
составляют ортонормированный репер, а проекцией — сужение
сквозного отображения
3. Рассмотрим пространства Г, S из упражнения 1.2.9.5 и
определим правое действие группы GL+(l, R) в Г\0 формулой
{{x.t}, t)^{txi). Очевидно, (T\0)/GL+(l, R) = S. Показать, что
GL+{\, Корасслоение, определяемое этим действием, локально
тривиально, но не тривиально, и что ассоциированное одномер-
одномерное ориентированное вещественное векторное расслоение не
может быть наделено евклидовой метрикой.
§ 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ
1. Основные понятия
1. Пусть l^r^a. Расслоение | называется расслоением
класса cSr или ^-расслоением,, если пространства tig, bsg
являются ^'-многообразиями и для каждой точки простран-
пространства bs \ существуют такая ее окрестность U, такое "^-много-
"^-многообразие F, не имеющее края, когда U его имеет, и такой
^-диффеоморфизм h: U X F-^prlf1 (?/), что pr|(A(&, x)) = b
при любых be U, ieF. Расслоения классов Фв с s^r назы-
называются расслоениями класса <&>г или ^^-расслоениями. Рас-
Расслоения класса (ё1>х называются гладкими.
Если | — расслоение класса ЯП*, то рг ё, есть, очевидно,
^""-субмерсия; в частности, слои гладкого расслоения являются
правильными подмногообразиями тотального многообразия tl|
(см. 3.1.5.8). Ясно также, что слои над точками одной компо-
компоненты базы ^-расслоения попарно ^""-диффеоморфны. Если
база связна и имеет край, то слои не имеют края и
dtl!=pr!~' (<3bs|), если же база не имеет края, то д\\\ =
Ibebsi dpri" (b); в первом случае сужение (dtl|, abpr|,
dbs|) расслоения g на 5bs| является ^-расслоением, во вто-
втором случае (dtlg, abpr|, bs g) есть ^'-расслоение.
Произведение двух ^""-расслоений, у одного из которых то-
тотальное пространство и база не имеют края, является, оче-
очевидно, ^""-расслоением.
Сужение ^-расслоения на правильное подмногообразие
базы в очевидном смысле является ^-расслоением.
Если I — расслоение класса 'ё"', В — многообразие класса 9*"
и /: В -> bs I — отображение класса Ч?'', такое, что слои рг |~' (/ F))
5 61 ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 331
с бедВ не имеют края, то индуцированное расслоение ft
также в очевидном смысле является ^'-расслоением. Индуци-
Индуцирования этого типа мы будем называть правильными. Например,
расслоение in1!;, где in — включение правильного подмногообра-
подмногообразия или края базы ^'-расслоения | в эту базу, всегда инду-
индуцировано правильно, и ясно, что оно совпадает, как ^""-рас-
^""-расслоение, с соответствующим сужением расслоения |.
2. Пусть O^s^г. Отображение q> одного ^'-расслоения
в другое называется ^-отображением, если tlqp и bsqp принад-
принадлежат классу Я?*1, и ^-изоморфизмом, если tlqp и bsqp являются
¦^"-диффеоморфизмами при s^l и гомеоморфизмами при s==0.
^-изоморфизм, являющийся эквивалентностью, называется
^^эквивалентностью.
^'-расслоение ?, ^-эквивалентное стандартному тривиаль-
тривиальному расслоению (bs|X^, ргь bs |), где F — многообразие
класса <&>т (не имеющее края, если bsS, имеет край), назы-
называется ^-тривиальным. Ясно, что локально всякое ^'-расслое-
^'-расслоение является ^'-тривиальным, т. е. что каждая точка базы
такого расслоения обладает окрестностью, над которой оно
^"-тривиально; в частности, всякое гладкое расслоение ло-
локально топологически тривиально.
Заметим, что если расслоение f'S, правильно индуцировано
^'-расслоением \ посредством ^'-отображения f, то ad f: f g->• S,
есть ^"-отображение. Ясно также, что если отображение qp
&**'-расслоения |' в ^'-расслоение | принадлежит классу 'й"
и расслоение (bsqp)'| индуцировано правильно, то отображе-
отображение corrqp: |' —>(bs<p)' | тоже принадлежит классу "g3'.
Гладкие расслоения и с'убмерсии
3. Если г^.оо и f — субмерсия класса 92Т компактного
^-многообразия X в ^-многообразие Y, причем /"' (dY) = дХ,
то {X, f, Y) есть ^-расслоение. То же верно при г — а, если X
допускает <&"*-вложение в евклидово пространство.
(Дополнение к этой теореме см. в 6.1.)
Доказательство достаточно провести для случая, когда
f{X) = Y; действительно, в общем случае множество f (X)
открыто (см. 3.1.5.8) и замкнуто (см. 1.1.7.9), т. е. состоит из
целых компонент многообразия У. Мы покажем, что для каж-
каждой точки г/о пространства Y существует такая ее окрестность U,
такое замкнутое ^"-многообразие F и такой ^'-диффеоморфизм
А: UXF^-ГЧи), что f(h{y,x)) = y при любых уе= U, xe=F.
В силу 3.1.5.8 (или, если угодно, 3.4.8.2) f~! (г/0) есть пра-
правильное подмногообразие многообразия X, если yoeiniY, и
332 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
правильное подмногообразие многообразия дХ, если г/0 е dY,
и в обоих .случаях это подмногообразие замкнуто как само-
самостоятельное многообразие. Положим F — f~l(y0), фиксируем
"^-вложение /: X -> Rq, ЧРг-трансверсализацию т вложения
j\F: F-*Rq и правильную трубку TubTp и рассмотрим отобра-
отображение
Ф: Г' (tubTp)-*F ХЛ
определенное формулой ф (х) = (f (х), ргт (/(*))). Очевидно, что: ф
принадлежит классу (Sr; ф(д(/~' (tubT p))) cr <Э (К X F); Ф взаимно
однозначно на F; дифференциал dxq> не вырождается, если xeF.
Ввиду компактности /, из этого следует, что ф диффеоморфно
отображает некоторую окрестность множества F на некоторую
окрестность множества ф (f) = г/в X ^ (см. 3.1.5.5), и опять-таки
ввиду компактности множества F, последняя окрестность со-
содержит множество вида V X F, где V — окрестность точки у0
(в Y). Пусть U — такая меньшая окрестность точки у0, что
j(r'(U)) cr tub,p. Тогда ф-'^Х/^ГЧр), и ясно, что в ка-
качестве h можно взять (аЬф): U X F -> f ~! (L^).
4 (Примеры). Расслоения (F («, &), pr, G(n, k)), (V (п, k), pr,
О+(я, /г)), (CF(«, /г), pr, CG(n, k)), (HV (n, k), pr, HG(«, *)),
проекциями которых служат субмерсии, определенные в п. 3.2.2,
являются главными ^"-расслоениями со структурными группами
О {k), SO (k), U {k), Sp{k). Расслоения {V (n, k), pr, V {n, k — q)),
(CV(n, k), pr, CV(n, k-q)), (W{n, k), pr, HV(n, k-q)),
проекциями которых служат субмерсии, определенные в п. 3.2.1,
являются ^"-расслоениями Стинрода со структурными группами
O(n—k + q), U(n—k+q), Sp(n—k-\-q) и стандартными
слоями V {п — k + q, q), CV (n— k + q, q), f\V (n — k + q, q) [в ко-
которых указанные группы действуют канонически — см. 2.3.12].
Являются главными 'У'-расслоениями и накрытия (R, hel, S'),
(S\ helm, S1), (G+(n, k), pr, G(n, k)), определенные в 4.1.2.6.
Заметим, что среди перечисленных главных ^"-расслоений
находятся расслоения (S3, pr, S2) и (S7, pr, S4), проекциями
которых служат субмерсии Хопфа (см. 3.2.2.9). Эти расслоения
называются расслоениями Хопфа. Субмерсия Хопфа S]5->SS
также определяет ^"-расслоение, называемое расслоением Хопфа
(последнее не наделено специальной групповой структурой); его
слои диффеоморфны S7.
Гладкие расслоения как расслоения Стинрода
5. Пусть F — многообразие класса *&г с г~^\. Согласно 2.3.10,
F есть эффективное Diff/^-пространство, так что всякое 9"-рас-
слоение | со слоями, 'У'-диффеоморфными F, является W-F-pас-
слоением (см. 3.1.3 и 3.2.1), и ясно, что такое | локально
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 333
W-F-тривпалъно, т. е. является расслоением Эресмана — Фельд-
бау. Схема, позволившая нам в п. 3.4 превращать расслоения
Эресмана — Фельдбау в расслоения Стинрода, здесь, однако,
неприменима: если dim/:'>0, то естественное действие группы
Diffr F в F топологически не эффективно, поскольку включение
DiffгF ->& (F, F) не является в этом случае топологическим
вложением (см. 3.4.2 и ср. 3.5.2). Тем не менее, множество DH{\)
обладает естественной топологией: оно топологизируется своим
взаимно однозначным отображением в ЯЗ''(/•', tig), относящим
каждому диффеоморфизму а из DH (g) его композицию с вклю-
включением слоя a{F) в tig. Если вторая топология в Diff"/7 совпа-
совпадает с первой (см. 2.2.8), в частности, если F компактно, то
эта топологизация множества DH (g) делает, очевидно, g f-pac-
слоением Стинрода.
Описанные неявные групповые структуры в гладких расслое-
расслоениях полезно сравнить с неявными групповыми структурами
в локально тривиальных расслоениях (см. 3.4.5). Мы ограничимся
указанием на два осложнения, возникающих в дифференциаль-
дифференциальной ситуации: не всякое /•'-расслоение Стинрода можно сделать
гладким — хотя бы уже потому, что база может не быть мно-
многообразием; /•'-отображение одного ^-расслоения со слоями,
диффеоморфными F, в другое, как показывают очевидные при-
примеры, может не быть ^'-отображением.
2. Сглаживания и аппроксимации
/. Настоящий пункт близок по своему характеру к § 3.4: здесь
для гладких расслоений проделывается часть работы, выполнен-
выполненной там для гладких многообразий. Часть эта довольно зна-
значительна, однако некоторые вопросы не рассматриваются вовсе.
Ради краткости, мы всюду ограничиваемся замкнутым случаем;
несколько дополнений, относящихся к более общим компактным
ситуациям, можно найти в п. 6 (см. 6.2—6.5).
Нам потребуются два обозначения, предполагающих, что
O^s^r: через Secsg, где | — расслоение класса W, будет
обозначаться множество его ^-сечений; через ^(g, g'), где
|, %' — расслоения класса <&>'', будет обозначаться множество
^"-отображений |->1'. При вФа оба множества естественно
топологизируются: первое как часть пространства ^(bsg, tl?),
второе как часть произведения fs(tl?, tl g') X ^ (hs g, bs %').
g-трансверсализации и трубки
2. Наша ближайшая цель — модифицировать применительно
к задачам настоящего пункта определения и теоремы п. 3.4.3.
Начнем с трансверсализаций. Пусть | —гладкое расслоение
с замкнутым tig и /': tlg-^R* — дифференциальное вложение.
334 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Непрерывное отображение т: tl%-> G(q, q — п), где « == dim tl ? —
dimbs|, называется %-трансверсажзацией вложения /, если су-
сужение т|рг5_1( является для каждой точки у е Y трансверса-
лизацией вложения /lpr|-i(y). Фундаментальным примером слу-
служит нормальная %-трансверсализация, относящая точке jeetll
ортогональное дополнение плоскости djj(Tangx pr|-I (рг|(л:)))
в Rq. Наш ^-вариант теоремы 3.4.3.7 утверждает, что если ? и /
принадлежат классу <ё'г (I ^.г ^.а), то / обладает |-трансверса-
лизацией класса V. Доказательство является очевидной моди-
модификацией доказательства теоремы 3.4.3.7.
Обратимся к трубкам. Пусть т — произвольная |-трансверса-
лизация вложения /. Мы определяем трубку TubT p и открытую
трубку tubTp как подмножества произведения bs?XR4 формулами
TubxP= U рг?(*)Х<М*. р),
*etl?
tubT p = U рг ? (*) X (dx (х, р) \ 5Т (х, р)),
xstii
где d%(x, р) и sx{x, р) — шар и сфера плоскости i(x)-{-x(x)
с центром /'(л;) и радиусом р; иначе говоря,
TubTp= U ?/XTubTi р,
tubTp= U yXtubxi 1 р
Трубка TubTp называется правильной, если: при некотором cr> p
множества рг | (х) X (^т (*, cr) \ sT (x, о)) попарно не пересекаются;
составляемая ими открытая трубка tubT0 является открытым
подмножеством произведения bs|XR9'> отображение ЫЪ%а->\Yg,
переводящее pr?(x)X (d%{x, 0)\st(a;, а)) в х, является гладким.
Сужения этого отображения на TubTp и tubxp (не зависящие
от выбора о) называются проекциями и обозначаются через ргт.
Если |, / и х принадлежат классу *$' с г^1, то: правильная
трубка существует; всякая правильная трубка TubTp является
подмногообразием произведения bs|XR? с внутренней частью
tubTp; prT: TubTp->tlg есть 9""-субмерсия. Доказательство по-
получается очевидной модификацией доказательств теорем 3.4.3.4
и 3.4.3.5. Модификация затрагивает и конструкцию 3.4.3.3: мо-
модель Тит определяется теперь как подмножество произведения
tl|XRa, составленное из точек (х, t) c/gt(jc), a nat отобра-
отображает TuT в bs|X^9 и определяется формулой nat(x, 0 =
(prSW, j(x) + t).
Основные теоремы
3. Если г<:оо, то для любых <$>т-расслоений |, %' с замкну-
замкнутыми тотальными многообразиями tl|, tl|' и замкнутыми базами
bs|, bs I' множество ФгA, 1') плотно в f (|, 1') при любом s <г.
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 335
То же верно при г = а, если tig, tl|', bsg, bsg' допускают
^-вложение в евклидово пространство.
Доказательство. Фиксируем ^-вложение /': tig' —>R"',
его g'-трансверсализацию %' класса <ёг и правильную трубку
TubT' р'. Очевидно, подмножество °Ы пространства 9^(tl g, tl gO X
4Ps(bsg, bsg'), составленное из таких пар (F: tlg->tlg', f: bs E,—>¦
bsg'), что (f (pr 1 (*)), /'(F(x)))stubT' p' для любой точки x из tig,
открыто и содержит 9й (g, g')- Определим для пары (/•", f) из °U
отображение O(F, f): tig-*tig' формулой
Ясно, что (Ф(Л f), ^^^(g, g') и что отображение XV: Щ->
^(g, g'), определяемое формулой W(F, /) = (Ф(/Г, f), f), является
ретракцией и переводит <U f| (^г (tl g, tl g') X ^r (bs g, bs g'))
в <T(g, g')- Поскольку «""(tlS, tl g') X ^r (bs g, bsg') плотно
в «"(tU, tlgOX^s(bsg, bsg') [cm. 3.4.4.2], из существования
такой ретракции следует, что ^r(g, g') плотно в "в A, g').
4. Если г^оо, го (?ля любых Ф>1"-расслоений g, g' с замкну-
замкнутыми tig, tig', bsg, bsg', любого W'-отображения f: bsg-->-bsg'
и любого s < г часть пространства ЯИТ (g, g'), составленная из
отображений q> с bs ф = /, плотна в части пространства 9>?s (g, g'),
составленной из отображений <р с bs ф = f. То же верно при г = а,
если tl g ц tl g' допускают ^"-вложение в евклидово простран-
пространство.
Доказательство. Обозначим через ЗГ часть простран-
пространства ^s(tlg, tig'), составленную из отображений вида tl ф
с q)Gfs(^, g'), Ьэф = /. Мы должны установить, что пересе-
пересечение ^Ti^d, I') плотно в Sr.
Фиксируем ^-вложение /': tlg'-^-R"', его g'-трансверсализа-
цию т' класса V и правильную трубку ТиЬт' р'. Очевидно, под-
подмножество Ш пространства 9^(tig, tig'), составленное из таких
отображений F: tig-* tig', что (/(prg(x)), ]' {F (x))) e tirtv p' для
любой точки х из tig, открыто и содержит 9". Ясно также, что
отображение множества °Ы в @~, относящее отображению F ^Ш
отображение
¦prx'(f(prl(*)),
является ретракцией и переводит ^О^Ц! |, tl g') в
ЗГ П «"" (tl g, tl %'). Поскольку в" (tl g, tl Ю плотно в Vs (tl g, tl g'), из
существования такой ретракции следует, что ^"П^г(|> V)
плотно в 9".
5. Если г^оо, то для любых <ё>>г-расслоений |, g' с замкну-
замкнутыми tl g, tl g', bs g, bs g' множество ^-изоморфизмов g -> g'
плотно при 0 < s < г в части пространства ^(g, gO, составленной
336 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
«з ^-изоморфизмов, а множество ^-эквивалентностей плотно
при О < s < г в части пространства W (g, g'), составленной из
^-эквивалентностей. Если г = а, то первое верно при условии,
что tl g, tl g', bs |, bs I' допускают ^"-вложение в евклидово про-
пространство, а второе — при условии, что tl g, tl g' допускают
^"-вложение в евклидово пространство.
Это следует из 3, 4 и 3.4.1.6.
б (Следствия). Если два (ё>''-расслоения с замкнутыми то-
тотальными многообразиями и базами ^-изоморфны, причем г^оо(
то они 95"-изоморфны. То же верно при г — а, если тотальные
многообразия и базы допускают ^"-вложение в евклидово про-
пространство.
Если два ($>1'-расслоения с замкнутыми тотальными многообра-
многообразиями ^-эквивалентны, причем r<Joo, то они ^-эквивалентны.
То же верно при г — а, если тотальные многообразия допускают
^а-вложение в евклидово пространство.
7. Если г^оо, то для всякого (ё>>1-расслоения g с замкну-
замкнутыми tl ? м bs ? множество Secr 5 плотно при любом s < г в Secs|.
То же верно при г — а, если tl ? и bs ?, допускают ^-вложение
в евклидово пространство.
Это следует из теоремы 4, примененной к расслоениям ? и
(bsg, id, bs|) и отображению idbs|.
8. Всякое <&>1'-расслоение | с замкнутыми tig и bsS, ^-изо-
^-изоморфно сёа-расслоению, тотальное многообразие и база которого
допускают ^"-вложение в евклидово пространство.
Доказательство. Согласно 3.4.9.6, существуют ^-мно-
^-многообразия Т, В, которые допускают ^-вложения в евклидово
пространство и могут быть связаны с tig, bs?, ^-диффеомор-
^-диффеоморфизмами F: f->tlg, f: 5->bsg. Фиксируем ^"-вложение /: tig—>
Rq, его g-трансверсализацию т класса 9%"' и правильную трубку
TubTp и обозначим через 'Ы часть пространства W(T, В), со-
составленную из субмерсий р: Т—>В, у которых образ сквозного
отображения
у, diag^ T\yj (f°P)X(/of) ? bs fi \/ p3fl
содержится в tubTp. Ясно, что: °1С открыто и содержит f ~! о рг| о F;
отображение Ф: <Ы->'%'Г(Т, tig), переводящее ge'M в отобра-
отображение х*-^prx(q>°g(x), jof (х)), непрерывно; ф(/~' ° prg о F) = F.
Поскольку F есть ^-диффеоморфизм, композиция f^'oprgof
обладает в V(T, В) такой окрестностью Т iziaU, что O(g) есть
^-диффеоморфизм, если gef. Фиксируем в Т какие-нибудь
^"-отображение h. Из теоремы 1.3 следует, что (Г, h, В) есть
^-расслоение, и ясно, что Ф(/г) составляет с f ^-изоморфизм
расслоения (Т, /г, В) в |. .
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 337
3. Гладкие векторные расслоения
1. Обыкновенно гладкость встречается в расслоениях не
сама по себе, а в переплетении с другими структурами, чаще
всего с групповыми структурами стинродовского тица. В по-
подобных случаях роль гладкости аналогична роли топологии
в изложенной выше теории расслоений Стинрода (§§ 3, 4), и
естественно попытаться развить эту аналогию до полноценной
теории гладких расслоений Стинрода.
К сожалению, подобная программа слишком обширна для
нашего курса. Мы ограничимся основными сведениями о гладких
векторных расслоениях, которые представляют в этом круге
вопросов наибольший интерес и могут быть изложены значи-
значительно менее громоздко, чем общая теория.
Заметим, что нижеследующие теоремы о сглаживаниях и
аппроксимациях (теоремы 8—12) не получаются без дополни-
дополнительных ухищрений из предложений предыдущего пункта, по-
поскольку слои векторного расслоения, положительной размер-
размерности не компактны. Мы предпочли дать этим теоремам не-
несложные прямые доказательства, так что настоящий пункт
независим от предыдущего.
Основные понятия
2. Расслоение | называется п-мерным вещественным век-
векторным 'ё"'-расслоением (l^r^a), если оно одновременно
является fi-мерным вещественным векторным расслоением и
^-расслоением, причем эти структуры согласованы в том
смысле, что сужение расслоения | на достаточно малую окрест-
окрестность любой точки его базы 'У-С/^-тривиально, т. е. может
быть связано со стандартным тривиальным расслоением
9"'-С?1Р'г-эквивалентностыо СУ-б/Л^-эквивалентность есть GLFi"-
эквивалентность, которая одновременно является и ^-эквива-
^-эквивалентностью). Подобным же образом определяются евклидовы
^г-расслоения, комплексные векторные '^'''-расслоения и эрми-
эрмитовы сё"'-расслоения.
Перемножение и индуцирование (в частности, сужение) век-
векторных, евклидовых и эрмитовых ^'-расслоений, приводит
к таким же расслоениям, если выполнены условия, выставленные
в соответствующих определениях пункта 1 (см. 1.1, 1.2).
Заметим еще, что на векторные, евклидовы и эрмитовы
"^'-расслоения переносятся с очевидными модификациями
в формулировках и доказательствах теоремы 3.2.8 и 3.2.9. Мы
ограничимся формулировкой ^г-С?Я"-варианта теоремы 3.2.9:
338 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ, 4
если компонента bsf ^'-Си^-отображения f одного
расслоения в другое удовлетворяет условиям, выставленным
в 1.2 при определении ^-индуцирования, то корректирующее
отображение corr f является ^'-С/Л^-эквивалентностью.
3. Прямые описания векторных, евклидовых и эрмитовых
расслоений, данные в п. 5.1, также обладают очевидными
^"'-аналогами (l^r^a). ^'-аналог теоремы 5.1.3 утверждает,
что ^'-расслоение, слои которого являются «-мерными веще-
вещественными векторными пространствами, в том и только том
случае является «-мерным вещественным векторным ^г-рас-
слоением, если частичные векторные операции, указанные
в 5.1.3, являются 'У-отображениями. ^'-аналог теоремы 5.1.5
утверждает, что 'У-расслоение, слои которого являются «-мер-
«-мерными евклидовыми пространствами, в том и только том случае
является «-мерным евклидовым ^'-расслоением, если классу 9"
принадлежат указанные.частичные операции и метрика (квадрат
длины вектора, рассматриваемый как функция на тотальном
многообразии расслоения). В частности, сделать вещественное
векторное ^'-расслоение евклидовым ^'-расслоением— значит
ввести в нем евклидову 9"-метрику. Соответствующие ком-
комплексное формулировки (т. е. ^"-аналоги теорем из 5.1.10)
таковы же, только евклидовы расслоения и евклидова метрика
заменяются эрмитовыми расслоениями и эрмитовой метрикой.
Гладкие расслоения Грассмана
4. Фундаментальными примерами гладких векторных, глад-
гладких евклидовых и гладких эрмитовых расслоений служат рас-
расслоения Грассмана, определенные в 5.4.6, с т < оо. Имен-
Именно, если 0<«<т<оо, то Gra(m, GL(n, R)) в очевидном
смысле является вещественным векторным ^-расслоением,
Gra (m, GL(п, С)) — комплексным векторным ^-расслоением,
Gra(m, О(п)) — евклидовым ^"-расслоением, Gra(m, {/(га)) —
эрмитовым ^-расслоением. Напомним, что все они имеют раз-
размерность «. Третье расслоение отличается от первого только
наличием евклидовой ^"-метрики, четвертое от второго — на-
наличием эрмитовой ^"-метрики.
Нижеследующая теорема 5 может рассматриваться как
ослабленный ^""-аналог (с г фа) части предложения 5.4.8, от-
относящейся к расслоениям Gra(m, GL{n, R)) и Gra(m, GL{n, С)).
5. Пусть | — вещественное или комплексное векторное ^-рас-
^-расслоение размерности п с компактной базой. Если г фа, го при
некотором ш существует такое ffi-отображение f: bsg-^-G(m, n)
в вещественном случае и f: bsg-*CG(m, «) в комплексном
случае, что | Ч?т-ОШп-эквивалентно /'Gra(m, GL(n, R)) в веще-
6] гладкие расслоения 339
ственном случае и ffi-GLC''-эквивалентно f'Gra(m, GL(n, С))
в комплексном случае.
Комплексный случай отличается от вещественного лишь
очевидными деталями, и мы ограничимся вещественным слу-
случаем. Найдем для каждой точки 6ebs? карту i^eAtl^bsE, с
tMsupp 4>ft> 6) = (R', 0) или (R'l, 0) [Z = dimbs?],
такую, что сужение Slsupp4, 9""-С1Рге-тривиально, и фиксируем
xb: (supp фй X Rra, ргь
Покроем, далее, bs Ё. конечным числом множеств г|)~' \Dl), ска-
скажем, множествами ^~l(Dl), ..., i|)~! (Dl), и фиксируем ^-функ-
^-функцию a: R'->R, равную 1 на D1 и 0 вне ID1. Определим, на-
наконец, отображения Ни ..., Hs: tlg->R" формулой
(\. (рг \{х))) рг2 о tl т^.1 (дс),
если xepr|~
О, если Ar^pri'
где pr2 = [pr2: suppi|)SiXR"->R"]» и отображение Я: tl|->R"X
... XR" = R™ формулой Н(х) = {Н1{х), ..., Hs{x)). Очевидно,
Н есть ^-отображение и сужения Я| ri(W с Ь^Ы\ являются
линейными мономорфизмами. Мы полагаем m==s« и опреде-
определяем отображение f: bs|->G(m, n) формулой f (b) = Я(рг|~'F)).
Чтобы установить '?'r-GLR'г-эквивaлeнтнocть расслоений | и
f'Gra(m, GL(«, R)), нужно лишь построить <g""-GLR"-OTo-
бражение <р: |->Gra(m, GL(n, R)) с bsqp = f (см. 2), а для
этого достаточно определить отображение tlф: tl^->tlGra(m,
GL (n, R)) формулой tl ф (х) = (f (pr | (x)), H (х)) [напомним, что
tlGra(m, GL(n, R)) есть часть произведения G(m)«)XR'".
составленная из пар {у, у) с у^у].
Применение
6. Если 1 ^г^оо, то всякое вещественное векторное ^-рас-
^-расслоение с компактной базой обладает евклидовой метрикой
класса ^т и всякое комплексное векторное ^-расслоение
с компактной базой обладает эрмитовой метрикой класса '?"'.
340 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Это следует из теоремы 5, поскольку расслоения Gra(m,
GL(n, R)) обладают евклидовой метрикой класса <ва, а рас-
расслоения Gra (m, GL (ft, С)) — эрмитовой метрикой класса W.
Сглаживания и аппроксимации
7. В нижеследующих теоремах 8 и 10 через Ls(l, |'; /),
где |, |'— вещественные или комплексные <1?>г-расслоения и
r^s^O, a f — отображение класса Vs многообразия bs|'
в многообразие bs|, обозначается множество линейных 9""-ото-
бражений ф: |'-*^ с bs<p = /. При s=?a это множество
обладает естественной топологией как часть пространства
«*(!', I).
Если dim| = dim|/ = «, bs? = bs?' и / = id, то Ls{\, g'; f)
содержит в качестве подмножества совокупность всех <S's-GLRa-
эквивалентностей |'->| в вещественном случае и совокупность
всех ^-бК^-эквивалентностей l'->| в комплексном случае.
В обоих случаях это подмножество, очевидно, открыто при
любом s Ф а.
Заметим, что среди пространств Ls(|, I'; f) находятся все
пространства Secs'| (см. 2.1). Точнее: Secs? канонически гомео-
морфно Ls(l, \r; /), где |' — стандартное тривиальное расслоение
(bs| X-R> ргь bs|), a / —idbs?; канонический гомеоморфизм
LS{1, i'; f)->Secs| относит отображению ф: |'->| сечение
b^tl<p(b, 1).
8. Пусть |, \' — вещественные или комплексные векторные
W>r-расслоения с компактными базами. Если O^s < r^oo, то
для всякого Ф-отображения f: bs %' -*• bs % множество Lr(|, |'; /)
плотно в Ls (%, I'; f).
Комплексная ситуация отличается от вещественной лишь
очевидными деталями, и мы ограничимся вещественной. В силу
теоремы 5 можно считать, что Е = g1 Gra (m, GL (n, R)) и
i' = g'' Gra (tn't GL{n', R)), где g и g' — некоторые ^""-отобра-
жения баз bs| и bs 1' в G(m, п) и G{m', n'). Тогда tig можно
отождествить с ^-подмногообразием произведения bs|XR"\
составленным из пар (Ь, у), у которых y = g{b), a tig' —с ^"'-под-
^"'-подмногообразием произведения bsg'XR"*. составленным из пар
(fr'> У')> У которых у' ¦=g'{b'). Ортогональные проектирования
пространства Rm на его подпространства g{b) с 6sbs| соста-
составляют некоторое ^-отображение р'- bs| X R -> tl E, а ортого-
ортогональные проектирования пространства Rm на его подпростран-
подпространства g'(b') с ft'ebsl' — некоторое ^-отображение p'lbsE'X
Rm ->tl|'. Обозначим через А евклидово пространство всех
§ 6) ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 341
линейных отображений Rm'->[R'* (т. е вещественных т X т'-
матриц — ср. 3.2.1.1 или 3.2.1.7) и рассмотрим отображения
Ф: LS{1, Г; /)->^s(bsr. A),
определяемые формулами
*')} (У') = [pr2: bs I X Rm -* Rm] (tl Ф 0 р' F', у')\
y') = p{f{b'),
[(peLs(E, I'; f), ftebs^', i/'eR', /iefs(bs^, Л)]. Отображе-
Отображение *F (как, впрочем, и Ф) непрерывно и переводит ^-отобра-
^-отображения в ^'-отображения. Кроме того, х? оф = idLs(?, \'\ /),
так что *F отображает <^ (bs |', Л) на V(|, ?'; /). Из этих
фактов и плотности множества fr(bs|', Л) в 9й(bs^, Л) [см.
3.4.6.5] следует плотность множества //(?, |'; /) в L*(|, |'; /).
[Пояснение: теорема 3.4.6.5 применяется после дополнения про-
пространства А точкой до сферы; ср. 3.4.4.2 и 3.4.4.6.]
9. Пусть \ — вещественное или комплексное векторное рас-
расслоение с компактной базой. Если 0 ^ s < г ^ оо, то множество
Secrg плотно в SecJ?.
Это следует из теоремы 8, поскольку Secr|== Z/(?, |'; idbsg),
где i' = (bs&XR, prb bs|), a Sec^ = IS {%, |'; id bsg); см. 7.
/0. Пусть \, \' — вещественные {комплексные) векторные
^-расслоения размерности п с общей компактной базой. Если
0^s<r^oo, то множество Ч^-йЬ^-эквивалентностей \f —>g
{множество <er-GL?,n-эквивалент ноет ей ?'->•?) плотно в подмно-
оюеетве пространства Ls (|, |'; id), составленном из Vs-GLRn-aKeu-
' валентностей {из ^-пЬС^-эквивалентностей).
Это следует из теоремы 8 ввиду открытости указанного
подмножества пространства Z-S(g, ?'; id).
И (Следствие). Если вещественные векторные ^-расслоения
размерности п с компактной базой и г ф a GLRn-эквивалентны,
'то они (%>г-О,?1п-эквивалентны. Если комплексные векторные
^-расслоения размерности п с компактной базой и гфа GLC'1-
эквивалентны, то они %?г-СЬСп-эквивалентны.
12. Если базой вещественного {комплексного) векторного рас-
расслоения \ размерности п служит компактное ^-многообразие
с l^r^oo, го | GLRn-9KeueaAeHTH0 {ОЬСп-эквивалентно) ве-
вещественному {комплексному) векторному ^-расслоению. Если
базой вещественного {комплексного) векторного Ф-расслоения ?
размерности п служит компактное &-многообразие с \<^s <
г<оо, то I cSlS-GLRn-эквивалентно {<&*!-ОЬСп-эквивалентно) вещест-
вещественному {комплексному) векторному ^-расслоению.
342 РАССЛОЕНИЯ (ГЛ. 4
Комплексная ситуация отличается от вещественной лишь
очевидными деталями, и мы ограничимся вещественной. Если
g — вещественное векторное расслоение размерности п, базой
которого служит компактное ^-многообразие, то, согласно
5.3.8 и 3.5.2.13, | О?К"-эквивалентно при достаточно большом
т расслоению flGra(m, GL(n, R)), где f — некоторое непре-
непрерывное отображение базы bs| в G(m, n). Если | — вещественное
векторное ^-расслоение размерности п с компактной базой,
то, в силу теоремы 5, | ^-СШ^эквивалентно при достаточно
большом т расслоению f'Gra(m, GL(n, R)), где f — некоторое
9^-отображение базы bs Ё, в G(m, n). В обоих случаях f гомо-
гомотопно некоторому ^-отображению g: bs|->G(m, n) [см. 3.4.6.5,
1.3.6.6и 3.4.5.10], так что| С1Ря-эквивалентно g1 Gra(m, GL(n, R))
[см. 4.1.5]. В первом случае доказательство этим и заканчи-
заканчивается, во втором случае остается добавить, что, в силу 11,
| и ^^К^-эквивалентно g[Gra(m, GL{n, Щ).
Конструкции
13. Мы заключим этот пункт кратким пересмотром кон-
конструкций, описанных в § 5.
^-подрасслоением (вещественного, или комплексного) век-
векторного ^-расслоения | называется его подрасслоение в смысле
5.2.2 или 5.2.3, у которого тотальное пространство является
¦^-подмногообразием многообразия tig; ясно, что это — век-
векторное ^-расслоение. Подобным же образом определяются
^-под расслоения евклидовых ^-расслоений и эрмитовых
¦У-расслоений. ^-подрасслоения Фг-расслоений называются
просто подрасслоениями.
Согласно 5.2.5, в евклидовом и эрмитовом случае всякое
подрасслоение г\ расслоения | обладает ортогональным допол-
дополнением г]-1, и ясно, что: ц1- является ^-подрасслоением вместе
с г\; каноническая эквивалентность между ц1- и факторрас-
слоением ?/п (см. 5.2.6) делает и Цц евклидовым или эрмитовым
^^расслоением (превращаясь в ^-эквивалентность). Благодаря
последнему в векторных случаях (вещественном и комплексном)
факторрасслоение g/т} делается векторным ^"-расслоением после
введения ^-метрики (евклидовой или эрмитовой); ее выбор не
влияет, очевидно, на результат, однако, следует помнить, что
ее существование было установлено нами лишь при условии,
что база компактна и s^a (см. 6).
Если вещественные векторные ^""-расслоения |ь g2 имеют
общую базу без края, то конструкция суммы ?i©l2» изложенная
в 5.2.9, очевидным образом делает ее вещественным векторным
^-расслоением. Затруднение, возникающее при наличии края
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 343
(и состоящее в том, что произведение |j XI2 не определено
как ^-расслоение), можно обойти, воспользовавшись . фор-
формулами
¦tl fei © ga) = tl ((pr g,)' ga),
pr (|i © h) — pr {h ° pr ((pr SiI Ы;
в условиях 5.2.9 эти формулы равносильны данному там опре-
определению суммы ^1©^2> в нынешних же наших условиях они
равносильны предыдущему определению, если края нет, и рас-
распространяют его на случай, когда край есть. То же можно
повторить в комплексной векторной, евклидовой и эрмитовой
ситуации. В частности, сказанное относится к надстройкам
(см. 5.2.10).
^-варианты других конструкций, описанных в § 5, и связи
между ними уже вполне очевидны. В частности: сопряжение
(см. 5.1.11) оставляет комплексное векторное ^'-расслоение
комплексным векторным 9"-расслоением, а эрмитово ^-рас-
^-расслоение — эрмитовым ^'-расслоением; овеществление (см. 5.1.12)
делает комплексное векторное 9"-расслоение вещественным
векторным ^'-расслоением, а эрмитово ^"-расслоение — евкли-
евклидовым ^'-расслоением; комплексификация (см. 5.2.11) делает
вещественное векторное 9"-расслоение комплексным векторным
^'-расслоением, а евклидово ^'-расслоение — эрмитовым Я? -рас-
-расслоением; в ^'-вариантах теорем 5.2.13 и 5.2.14 эквивалент-
эквивалентности conj и К делаются ^'-эквивалентностями.
4. Касательные и нормальные расслоения
1. Основные понятия настоящего пункта, указанные в его
названии, по существу, были использованы нами еще в главе 3.
Однако только теперь, располагая общим понятием гладкого
векторного расслоения, мы можем дать им полноценное
определение и рассмотреть их с правильной общей точки
зрения.
Касательные расслоения
2. Напомним, что в главе 3 для каждого многообразия X
класса <ёт с г ^ 1 были определены вещественные векторные
пространства TangjcXOte X), ^'^'-многообразие TangX и про-
проекция pr: TangX—>X (см. 3.1.4.1 и 3.1.4.2). Сопоставляя эти
344 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
определения с общими определениями, данными в 5.1.2 и 3.2,
мы видим, что (TangX, pr, X) есть вещественное векторное
расслоение размерности dimX, а при г ^2 — вещественное
векторное ^"'-расслоение размерности dimX. Оно называется
касательным расслоением многообразия X и обозначается через
tangX.
Точно так же, сопоставляя определение дифференциала
df: Tang X-+ Tang Y ^'-отображения f:X-*Y (см. 3.1.4.3)
с общими определениями, данными в 5.1.14 и 3.2, мы видим,
что (df, f) есть линейное <Sr~'-отображение расслоения tangX
в tangF. Если / — диффеоморфизм класса W, то (df, f) —
линейный изоморфизм класса С8Г~Х-
3. Мы дважды определяли векторное поле: один раз для
гладких многообразий (см. 3.1.4.5), другой раз для векторных,
евклидовых и эрмитовых расслоений (см. 5.1.15). Теперь мы
видим, что второе определение обобщало первое: векторное
поле на гладком многообразии X есть не что иное, как #век-
торное поле в касательном расслоении tangX. В частности,
параллелизуемость гладкого многообразия X размерности п
означает С1Кге-тривиальность расслоения tangX, а ^-парал-
^-параллелизуемость X есть <?"-С?Кге-тривиальность расслоения tang X.
Сопоставляя это с теоремой 3.11, мы видим, что паралле-
лизуемое компактное ^-многообразие с г^оо ^"""'-паралле-
лизуемо.
Гладкое многообразие, касательное расслоение которого ста-
стабильно тривиально, называется стабильно параллелизуемым.
Из сказанного в 5.4.4 и теоремы 3.5.2.13 следует, что если ком-
компактное многообразие стабильно параллелизуемо, то стабилиза-
стабилизация наступает уже на первом шаге, т. е. что из стабильной
параллелизуемости многообразия X размерности п следует
СШга+'-тривиальность расслоения sutangX.
4. Напомним, что, какова бы ни была точка х гладкого
многообразия X, каждая карта qpsAtlxX определяет ф-базис
в касательном пространстве Tang^Z, причем матрицей перехода
от ф-базиса к г|>базису служит якобиева матрица отображения
1ос(ф, -ф) id, вычисленная в точке ц>(х). Из этого следует, что
значения любой ориентации многообразия X (на картах из Catl X)
корректно переносятся на базисы пространств TangxX, наделяя
ориентацией расслоение tang X. Ясно, что этот переход обратим,
так что ориентации гладкого многообразия X и его касательного
расслоения tangZ находятся в естественном взаимно однознач-
однозначном соответствии. В частности, многообразие X ориентируемо
тогда и только тогда, ко'гда ориентируемо расслоение tangX,
и касательное расслоение ориентированного гладкого много-
многообразия размерности п есть GL+R"-pac^oeHHe.
§ 6] ¦ ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 345
Мы уже знаем, что параллелизуемые многообразия ори-
ориентируемы (см. 3.1.4.6 и 3). Теперь мы можем добавить
к этому, что и стабильно параллелизуемые многообразия ори-
ориентируемы.
5. Привлекательной особенностью касательных расслоений
является естественность, с которой они индуцируются расслое-
расслоениями Грассмана'. Именно, если / — погружение класса V (на-
(например, 'У-вложение) многообразия X в Rq, то dj отображает
каждое касательное пространство TangxX на «-мерную плоскость
пространства^4, проходящую через 0, так что возникает неко-
некоторое отображение t: X~>G(q, я), и ясно, что tangX есть
(с точностью до корректирующей ^"'-СШ^-эквивалентности)
не что иное, как t'Gva(q, GL(n, R)). [Это очевидное наблюдение
в действительности старше теории расслоений и было одним
из стимулов к ее созданию.] Если X ориентировано, то сказан-
сказанное можно обогатить, заменив многообразие G(q, n) много-
многообразием G+ (q, n), стандартный слой GLRn — стандартным слоем
GL+Rn и расслоение Gra (q, GL(n, R)) —.расслоением Gra(q,
GL+(n, R)). Во всех случаях t называется тангенциальным ото-
отображением. Если j — вложение и ориентации отсутствуют, то t
совпадает с композицией нормальной трансверсализации X ->
G (q, q — п) и канонического диффеоморфизма G(q, q — n)->
G{q, n) [см. 3.2.2.3].
6. Гладкое многообразие, касательное расслоение которого
наделено евклидовой метрикой, называется римановым простран-
пространством. Метрику в этом случае обычно тоже называют римановой.
Ее класс, очевидно, не может быть выше (&>r~i, если X принад-
принадлежит классу W, и из теоремы 3.6 следует, что на всяком ком-
компактном ^^многообразии с l^r^oo действительно суще-
существует риманова метрика класса Яг>г~ . Последнее заключение
получается, впрочем, и из теоремы 3.4.2.1.
Касательное расслоение риманова пространства принято
рассматривать не как векторное, а как евклидово. Если метрика
принадлежит классу W* с s^l, то оно является евклидовым
^"¦'-расслоением..
ч. Нормальные расслоения
7. Исходные данные, по которым определяется нормальное
расслоение, — гладкие многообразия X, X' и погружение /: Х-* X'.
Наиболее важен случай, когда / — вложение. В нижеследующих
определениях « = dimX, «/ = dimX/.
Начнем с простейшей ситуации: X — подмногообразие рима-
риманова пространства X' и / — включение. Обычные отождествле-
346 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
ния делают tangX подрасслоением расслоения tangX'l^, и,
согласно 5.2.5, у tangX есть в tangX'lx ортогональное допол-
дополнение (tangX). Это ортогональное дополнение представляет
собой евклидово расслоение размерности п'—п с базой X и
называется нормальным для X. Обозначение: normX. Если X
и X' принадлежат классу ^>г с г^2, а риманова метрика —
классу ^г~\ то normZ есть евклидово ^'"'-расслоение; см. 3.13-
Во всех случаях сумма tangXQnormX канонически OR"-экви-
OR"-эквивалентна сужению tangX' \х, а если X я X' принадлежат к классу
св^г с г ^2, то эта эквивалентность принадлежит классу <Sr~x.
Чтобы определить нормальное расслоение для произвольного
погружения /: Х-+Х', притом в отсутствие римановой метрики,
приходится заменить суженное расслоение tang X' \х индуци-
индуцированным расслоением j'tangX', а переход к ортогональному
дополнению — факторизацией. Это значит, что нормальное рас-
расслоение norm/ погружения / гладкого многообразия X в гладкое
многообразие Xf определяется формулой
norm/ = /'tang Z7lmcorr(^/. /)•
Это — вещественное векторное расслоение размерности пг — п
с базой X. Сумма tangX©norm/ канонически GLR"-эквива-
GLR"-эквивалентна индуцированному расслоению j'tangX'. О классах глад-
гладкости расслоения norm/ и указанной канонической эквивалент-
эквивалентности /'tangX'-^tangX©norm/ мы можем, к сожалению, утвер-
утверждать меньше: если X' компактно или диффеоморфно открытому
подмножеству компактного многообразия, а / принадлежит клас-
клас9$'' ^^
су 9$', причем 2^г^оо, то norm / есть вещественное векторное
расслоение класса сё>>г~\ а каноническая эквивалентность
/'tangX'~>tangX©norm/ принадлежит классу <ё>г~1. Эти ограни-
ограничения вызваны, конечно, отсутствием у нас теорем, гаранти-
гарантирующих существование римановой метрики в некомпактной и
в аналитической ситуации.
Если / — включение, то вместо norm/ можно писать normX.
Заметим еще, что, как это видно из определения нормаль-
нормального расслоения norm /, ориентируемость двух из трех рассло-
расслоений /'tangX', tangZ, norm/ влечет за собой ориентируемость
третьего и ориентации двух канонически определяют ориента-
ориентацию третьего; см. 5.2.7. Сопоставляя это со сказанным в 4,
мы видим, что если многообразие X' ориентируемо, то ориен-
ориентируемость расслоения norm / равносильна ориентируемости
многообразия X, а если многообразие X' ориентировано, то
ориентации многообразия X и расслоения norm/ канонически
определяют друг друга.
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 347
8. Введение касательных и нормальных расслоений позволяет
лучше сформулировать основную теорему п. 3.4.8, т. е. теорему
3.4.8.2, и существенно ее дополнить.
Усовершенствование формулировки относится к третьей части
теоремы 3.4.8.2, согласно которой рассматриваемые в ней линей-
линейные гомоморфизмы factdXjfi являются изоморфизмами. Теперь
мы можем сказать, что, собранные вместе, они составляют с ото-
отображением abfj: Х12-+Х2 линейный изоморфизм нормального
расслоения многообразия Х\2 в нормальное расслоение много-
многообразия Х2 (первое нормальное расслоение берется в Хь второе —
в X'). Если многообразие X' компактно и 2^г^оо, то этот
линейный изоморфизм normXi2->-normX2 принадлежит клас-
классу «?'-'.
Дополнение относится к ориентациям и состоит в том, что
если в условиях теоремы 3.4.8.2 многообразия Хи X', Х2 ори-
ориентируемы, то и многообразие Xi2 ориентируемо, а если Хи X'',
Х2 ориентированы, то они канонически ориентируют Х12; это —
результат очевидного сопоставления сказанного в 4 и в 7.
В частности, в условиях теоремы 3.4.8.3 из ориентируемости
многообразий X' и Хи Х2 следует ориентируемость многообра-
многообразия Xif\X2, а ориентации многообразий X' и Хи Х2 канони-
канонически ориентируют Х1(]Х2-
9. Компактное гладкое многообразие размерности п в том и
только том случае стабильно параллелизуемо, если оно допускает
дифференциальное вложение с GLRq~n''-тривиальным нормальным
расслоением в некоторое Rq.
Достаточность этого условия следует из GLR^-эквивалент-
ности суммы tang X © norm /, где / — указанное вложение, рас-
расслоению /' tang Rq. Чтобы установить его необходимость, начнем
с какого-нибудь дифференциального вложения j: X—^-R4 и
рассмотрим сквозное вложение X—*-Rq—>.p?+re+fe( где ? столь
велико, что надстройка suKtangX GLRn+ -тривиальна (ср. 3).
Нормальным расслоением этого сквозного вложения служит над-
надстройка su"+fe rtorm/, а она СШ'^-тривиальна, так как GLRq+k-
эквивалентна расслоению
norm / © sufe tang X = sufe (norm / © tang X) — suft (/' tang Rq).
Комплексный случай
10. Основные определения этого пункта, т. е. определения
касательного расслоения tangX, римановой метрики и нормаль-
нормальных расслоений normX, norm/, дословно переносятся на комп-
комплексные многообразия. Расслоения становятся комплексными,
348 РАССЛОЕНИЯ ГГЛ. 4
риманова метрика заменяется эрмитовой, а / предполагается
голоморфным погружением (т. е. локально должно быть голо-
голоморфным вложением). Если /: Х-+Хг— голоморфное отобра-
отображение, то (df, f) есть линейное отображение расслоения tangX'
в tang X'. Определение и свойства тангенциального отображения
сохраняются, однако оно делается менее универсальным (см.
3.1.6.10). Наконец, овеществление комплексного многообразия
(см. 3.1.6.9) приводит к овеществлению его касательного рас-
расслоения (см. 5.1.12 и 3.13) и превращает эрмитову метрику
в риманову.
Нельзя не заметить эклектичности этих определений. Непос-
Непоследовательность заключается в том, что понятие дифференциаль-
дифференциальной структуры, лежащее в основе нашей теории гладких век-
векторных расслоений, является специфически вещественным даже
в случае комплексных векторных расслоений, тогда как каса-
касательные и нормальные расслоения обладают в комплексной
ситуации дополнительной комплексно-дифференциальной струк-
структурой, так называемой голоморфностью. К сожалению, теория
голоморфных векторных расслоений выходит за рамки нашего
курса.
5. Степени
1. Этот пункт содержит применение простейших фактов
дифференциальной топологии в теории гомотопий. Именно, мы
определим для каждого непрерывного отображения /: (X, дХ)->-
(Y, 0Y), где X — ориентированное гладкое компактное много-
многообразие, a Y — связное ориентированное гладкое компактное
многообразие той же размерности, целое число, не меняющееся
при гомотопий отображения /. Это число называется степенью
отображения f и обозначается через degf.
Хотя степень deg/ является глобальной характеристикой
отображения f, которое, к тому же, предполагается всего лишь
непрерывным, наш подход к ней будет инфинитезимальным:
сначала мы предположим, что / принадлежит множеству
'FiX, дХ; Y, dY)(]ctfl(X, Y) и что в intF отмечена точка у,
к которой f трансверсально. Рассмотрим множество f~] (у).
Оно состоит из конечного числа точек, каждая из которых
обладает окрестностью, диффеоморфно отображающейся по-
посредством / на некоторую окрестность точки у (см. 3.4.8.2 и
3.1.5.5), и каждый из возникающих таким образом диффеомор-
диффеоморфизмов сохраняет или обращает ориентацию, если окрестности
ориентированы в согласии с ориентациями X и Y (см. 4.8).
Разность между числом точек из f~i (у), для которых ориен-
ориентация сохраняется, и числом точек, для которых она обра-
обращается, называется степенью отображения f в точке у и обо-
§ 6) ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 349
значается через degj,/. Популярная более короткая формули-
формулировка: degy f есть алгебраическое число прообразов точки у.
Предположение, что точка у является внутренней для У,
чрезвычайно существенно в этом определении степени degyf,
однако последнее можно дословно повторить для краевой
точки у, если предположить, что f принадлежит множеству
Фа(Х,У)Г\Ф{X, MX;Y, iatY) и что сокращение ab/: дХ->дУ
трансверсально к у. Получающаяся степень degyf, очевидно,
совпадает в этом случае со степенью deg^abf: f~l-(Z)->Z~\,
где Z — компонента многообразия дУ, содержащая у.
Заметим еще, что если степень определена для точки у
[т. е. у е= int Y, f е= <в (X, дХ; У, дУ) П «" {X, У) и f трансверсально
кг/ или ye=dY, f евФ1а{Х, Y)f\V{X, ЫХ; У,ЫУ) и abf: дХ^дУ
трансверсально к у], то она определена и для любой точки у'
некоторой окрестности точки у (в У) и deg^' f — deg^ /.
2 (Лемма). Пусть X, У — ориентированные компактные
с&°0-многообразия одной размерности, причем У связно, и
g, h — отображения из Я™ (X, У) Л ^ (X, int X; У, int Y). Пусть,
далее, у, г — такие точки в У, что определены степени degy g,
degzh {см. 1). Если отображения
relg, rel/г: {X, дХ)-^ {У, дУ)
гомотопны, то deg2 h — degj, g.
Доказательство. Оставим в стороне тривиальный слу-
случай dim У = 0 и предположим сначала, что h = g. Согласно 1,
точки у, г обладают такими окрестностями U, V, что если
y'e=U, z' <=V, то degy'g = degy g, degz' g = deg? g. Ясно также,
что точки у, z можно соединить путем, который является
^""-вложением отрезка / в У, и из теорем 3.4.1.4 и 3.4.7.7
следует, что существует путь s: /—>\ntY с s@)e(/, sA)gF,
который также является ^""-вложением и, сверх того, транс-
версален g. Рассмотрим прообраз g~l(s(I)). Это — ориентиро-
ориентированное компактное одномерное ^""-подмногообразие много-
многообразия X с краем g-1 (s@)) U g~l (s(l)) [см. 3.4.8.2 и 4.8], и
ясно, что
degs @) g = degs @) ab g, degs A) g - degs A) ab g,
где ahg = [ahg: g-1 (s(I))-+ s(I)]. Но вклад точки из g~'s(l)
в степень deg5(oabg равен значению ориентации, полученной
этой точкой, как компонентой края, от g-^stf)), а вклад точки
H3g~'(s@)) в степень degs(о) ahg противоположен значению ориен-
ориентации, полученной этой точкой, как компонентой края, от g~* (s (/)).
Следовательно, degsA)g — degs@)g есть разность между числом
350 РАССЛОЕНИЯ 1ГЛ. 4
точек края многообразия g-1 (s(I)), получающих от g-l(s(Ij)
ориентацию + 1, и числом точек, получающих от g~l(s(I))
ориентацию —1, а эта разность равна 0, поскольку каждая
компонента многообразия g~i{s{l)). диффеоморфна S1 или D1
(см. 3.5.3.1).
Отбросим теперь предположение, что h = g, но допустим,
что Y замкнуто. Тогда и X замкнуто, и из гомотопности ото-
отображений g, h следует, что они могут быть связаны некоторой
^""-гомотопией F (см. 3.4.6.6). Ясно, что отображение Ф: ХУ,1~>
Y X I, определяемое формулой Ф(х, t) = {F(x, t), t), принадлежит
пересечению
€AХ/, УХ/)П#(*ХЛ mt(XXI); YXI, int (УХО),
и так как отображения аЬФ: X X 0->F X 0,
Y X 1 превращаются после отождествлений X X 0, X X 1 с X
и 7X0, У XI с Y в g, h, то deg(y, 0) Ф = degy g и degB>0Ф =
deg2/i. Но, в силу уже доказанного, degB_ I)O = deg( ^ Ф,
и, таким образом, deg2 h = degy g.
Наконец, если F имеет край, то мы находим в какой-нибудь
компоненте Z этого края точку у', к которой трансверсально
сокращение ah g: dX-+dY, и какую-нибудь точку г'', к которой
трансверсально сокращение ab/г: dX-*dY. Согласно уже дока-
доказанному,
gj, g = degj,- g, deg2 /г = degz- /г,
а согласно 1,
degy'g=degy'[atg: g~^{Z)-*Z\,\
Ho
deg/ [ab g: g~x (Z) -+ Z] = deg,- [ab /г: /г (Z) -* Z]; A)
действительно, /г (Z) = g~' (Z), поскольку relg, rel/г гомотопны,
и потому равенство A) является следствием только что дока-
доказанной части леммы.
5 (Лемма). Для любых компактных ^°°-многообразий X, Y
множество %% (X, Y) (] <в (X, int X; Y, int Y) плотно в & (X, дХ;
Y, dY).
Доказательство. Построим удвоения doppZ, doppF
с двусторонними окаймлениями k: дХ X Dl -> dopp X, I: dY X
Dl -> dopp У и фиксируем ^""-вложение /: dopp Y -> R?, ^"'-транс-
версализацию т сужения у \ду и правильную трубку Tubxp.
'§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 351
Достаточно найти для заданного отображения f из W(X,dX;
Y,dY) и заданного положительного г такое отображение g
из ^а (X, Y) П «? (X, int Z; Y, int К), что dist (/ (/ (*)), у (g (*))) < 8
для любой точки igI Чтобы найти такое g, мы последова-
последовательно построим три вспомогательных отображения /гь А2,
h3: dopp X-> doppF.
Отображение /г, строится совсем просто: мы полагаем
Ai (*) = /(*), А! (сор (х)) = op (f (дс)) И4
Чтобы построить 1ц., фиксируем такое положительное б,
меньшее 1, что: (i) dist (/ ° / (г, /), / ° I (г, t')) < в/4, если \t — f \<8
[г е= dY; t, t' e D1]; (ii) dist (/(Л, (* (г, /))), /(A, (k (z, t')))) < г/4, еы.и
| / —/'| < б [ге^К; /, fefl1]; (iii) для любой точки г из 0Y
шар с центром j(z) и радиусом б содержится в TubTp и образ
этого шара при отображении /°prT: TubTp->R? содержится
в шаре с центром ;(г) и радиусом е/4. [Существование такого б
следует из непрерывности отображений /, k, I, hi и pi\.J Фик-
Фиксируем, далее, такое ^""-отображение <р: dX—>dY, что dist(/(ф(z)),'
/°/B))<б для любой точки z из &ЗГ (существование такого ф
следует из 3.4.4.2), и определим отображение ф^: dX->dY с /е/
формулой ф*(*) = ргт W(ф(*))_+ A — 0/° f (x))- Фиксируем, на-
наконец, такую "^""-функцию a: R->R, что а(^) = 0, если U|^l/3,
и a(t)=l, если |/|^2/3, и определим отображения kxi X—>X,
/]: К->К формулами
Г ki {k (z, 0) = /г (г, A-6)^ + 6), если 2Gai,iG/,
\ jfe,(x) = x, если xe=X\k{dXXI),
( lx(l{z,t)) = l(z, A-бН + б), если 2S<9F, / e/,
i !,(«/) = у, если i/ey\f(drx/)-
Ясно, что kt и /( — топологические вложения. Мы определяем /г2
формулами
/г2(/г(z, 0) = /(Фв,ад (г), /), если гей!, |/1 < б,
и) ,1, ( г(Ь-ЧЫ\ если
h2 (сор (х)) = сор [lifik '()))) )
}
, )
Ясно, что: AjjS^Cdopp^, int J, 5Z; doppF, intF, аУ); dist(/°/г,(дс),
/ о /г2(х)) < е/2 для любой точки л: е dopp X; сужение отобра-
отображения h2 на k (дХ X [— б/З, б/З]) принадлежит классу |?'°°; если
ге<ЗХ, то
Im *' (^ I* (ах х [- 4, {• ] )) ^
352 ¦ РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
Наконец, в качестве h3 мы берем какое-нибудь ^"-отобра-
жение многообразия dopp X в doppK, совпадающее с /i2 на
k (дХ X [— б/б, 6/6]) и обладающее следующими свойствами:
ha(X\k (дХ X [0, 6/6])) с= int У; h3(cop (X\k (дХ X [0, 6/6]))) с:
сор (int У); dist (/ ° h3 (x), / о h2 (х)) < е/2 для любой точки jel
[Существование такого h3 следует из теоремы 3.4.4.8.] Ясно,
что h3(X)czY.
Нужное нам отображение g определяется по h3 формулой
g = [ab/z3: X->Y]. Что g обладает .нужными свойствами, оче-
очевидно.
4. Пусть (как в 1) X,Y — ориентированные гладкие ком-
компактные многообразия одной размерности, причем Y связно,
и пусть / — отображение из W(X,dX; Y,dY). Сузим дифферен-
дифференциальные структуры многообразий X, У до ^""-структур (см.
3.4.9.8) и найдем в <&% (X, Y)f]W (X, int X; Y, int У) отображение g,
столь близкое к / в ^-смысле, что отображения /, g: X->Y
и ab/, abg: dX-*dY гомотопны (см. 3, 3.4.5.10, 1.3.6.6). Из
леммы 2 следует, что степень degy g, вычисленная в произволь-
произвольной внутренней точке у многообразия Y, к которой g трансвер-
сально, не зависит ни от выбора g, ни от выбора у, а из
3.4.6.10 и 3.4.1.6 следует, что degy g не зависит и от способа
сужения дифференциальных структур многообразий X, Y (в силу
указанных теорем ^""-многообразия, получающиеся из компакт-
компактного гладкого многообразия двумя сужениями дифференциаль-
дифференциальной структуры, могут быть связаны ^""-диффеоморфизмом,
сколь угодно близким в ??0-смысле к тождественному диффео-
диффеоморфизму). Это число и называется степенью отображения /.
Обозначение: deg f.
Основные свойства степени являются очевидными следствиями
ее определения и лемм 2, 3. Вот эти свойства: (i) если отобра-
отображения /, /': (X, ЗХ)-> (К, dY) гомотопны, то deg/' = deg/ (это
следует' из леммы 2); (и) степень сквозного отображения
{X,dX)~I+(Y,dY)-J+{Z,dZ) равна deg f deg g (это прямо выво-
выводится из определения степени); (iii) степень тождественного
отображения равна 1 (очевидно); (iv) если f: (X, дХ) —>{Y, dY) —
гомотопическая эквивалентность, то deg/ = ±l (доказатель-
(доказательство: если g — гомотопически обратное отображение, то
deg/degg = deg(g°/) = degid(X, дХ)= 1); (v) если при ото-
отображении /: (X,dX)-*{Y,dY) образ многообразия X не по-
покрывает Y, то deg f = 0 (действительно, f допускает
скояь угодно точную аппроксимацию отображением из
<&7{X,Y)n'&{X,mtX; F, int К) с тем же свойством); (vi) если
Z — какая угодно компонента края многообразия У, то
deg[/: (X, <ЭХ)^(У, дУ)] = deg[ab/: f~!(-Z)^Z] (это следует из
§ 61 ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 353
сказанного в 1) и, в частности, deg/ = 0, если X замкнуто,
а У не замкнуто.
В качестве примеров рассмотрим отображения f'.'{Dn, Sn~l)-+
(Dn,Sn~1) и abf: Sn~l-^Sn~1 с п>2, определяемые ортого-
ортогональной пХ «-матрицей v. Очевидно, deg / =-- deg ab f = det v,
т. e. deg / = deg ab f = 1, если v e SO (n), и deg f = deg ab f = — 1,
если v ^ О (n)\SO (n). Так, степень антиподального преобразо-
преобразования сферы S" (определяемого формулой ху-> — х) равна 1,
если п четно, и —1, если п нечетно.
Неориентированный случай
5. Сказанное в 1, 2, 4 можно повторить, отбросив ориен-
ориентации и заменив целые числа вычетами по модулю 2. Это по-
позволяет определить степень deg/eZ2 для любого непрерывного
отображения /: (X, dX)->(Y, ЗУ), где X — гладкое_компактное
многообразие, а У — связное гладкое компактное многообразие
(ориентируемость не требуется). Все свойства целочисленной
степени, перечисленные в 4, сохраняются. В ориентированном
случае, когда определены обе ¦ степени (целочисленная и мо-
модульная), отсутствие различия в обозначении обычно не при-
приводит к недоразумениям благодаря контексту.
Применения
6. Замкнутое гладкое многообразие положительной размер-
размерности нестягиваемо.
В несвязном случае это очевидно, в связном же случае
степень тождественного отображения такого многообразия
равна 1, тогда как степень отображения, переводящего его
в его точку, равна 0. (Имеются в виду степени из Z2, опре-
определенные в 5.)
7. Если пф т, то сфера Sn гомотопически не эквивалентна
сфере Sm.
.Действительно, если m < n, то всякое непрерывное отобра-
отображение сферы Sm в Sn гомотопно постоянному (см. 2.3.2.3 и
2.3.1.6), тогда как отображение id: Sn->Sn не гомотопно по-
постоянному (см. 6). .
8. Край непустого компактного гладкого многообразия не
является его ретрактом.
Доказательство достаточно провести для связного компакт-
компактного гладкого многообразия X с непустым краем. Пусть р: X —>
дХ — ретракция и . Z — какая-нибудь компонента края дХ.
Рассмотрим сквозное отображение X—>дХ—*-Х. Поскольку
его образ не покрывает X, его степень равна 0 (см. 4 и 5).
12 В. А, Рохлин, Д, Б, Фукс
354 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
С другой стороны, эта степень совпадает со степенью отобра-
отображения ab(inop);- Z->Z, которое является тождественным, и
потому равна 1.
9. Всякое непрерывное отображение Dn->Dn имеет непо-
неподвижную точку.
Доказательство. Непрерывное отображение f: Dn->Dn
без неподвижных точек порождало бы ретракцию Dn -> S"~ ,
относящую точке х ее проекцию на Sa~l из точки f (х). Между
тем, существование ретракции Dn—>Sn~ противоречит теореме 8.
10. Если локально евклидово пространство размерности пг
гомеоморф но локально евклидову пространству размерности п,
то п = пг.
(Ср. 3.1.1.4.)
Доказательство. Поскольку точку пространства Rq
можно окружить в Rq евклидовым симплексом размерности q,
каждая точка локально евклидова пространства размерности q
является внутренней для конечно триангулированного под-
подмножества, в котором ее линк гомеоморфен S4"'. Но теорема
2.2.6.4 утверждает, что этот линк гомотопически инвариантен,
а между тем сферы Sm~l и 5" гомотопически не эквива-
эквивалентны, если пфт (см. 7).
11. Теорема 10 позволяет лучше понять не только опреде-
определение локально евклидова пространства, но и определение
клеточного пространства. Именно, она показывает, что размер-
размерность клетки однозначно определяется этой клеткой, вследствие
чего размерностная функция, внесенная нами в определение
клеточного разбиения как дополнительный элемент его струк-
структуры, в действительности определяется самим разбиением.
12. Край полупространства R1 есть к"~ .
(Ср. 3.1.1.4.)
Для доказательства достаточно установить, что в R1
у точки 0 нет окрестности, гомеоморфной R"; см. 3.1.1.4.
Если бы такая окрестность существовала, то точка 0 была
бы внутренней для конечно триангулированного подмножества,
в котором ее линк был бы гомеоморфен S"" (ср. доказатель-
доказательство теоремы 10). С другой стороны, точка 0 является внут-
внутренней для конечно триангулированного подмножества, в ко-
котором ее линк гомеоморфен Dn~l: таким подмножеством
является любой «-мерный евклидов симплекс, лежащий в IR1
и содержащий 0 внутри одной из своих (п—1)-мерных граней.
Поскольку сфера Sn~l нестягиваема (см. 6), а шар Dn~l стяги-
стягиваем, мы приходим к противоречию с теоремой 2.2.6.4.
§ 6] ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 355
6. Упражнения
/. Доказать, что если г<1оо и f — субмерсия класса 92Т
компактного ^'-многообразия X в замкнутое ^'-многообразие Y,
то (X, f,\Y) есть ^'-расслоение. (Вместе с теоремой 1.3 эта
теорема показывает, что если г ^ оо и / — субмерсия класса "й""
компактного ^'-многообразия X в ^'-многообразие F, то (X, f, Y)
всегда есть ^'-расслоение.)
2. Пусть Is^r^co, и пусть | — расслоение класса Wr
с замкнутой базой. Доказать существование такого окаймления
k: atl|X/ -*-tI|, что А(гХ/)с1ргГ'(рг|B)) для любой
точки z е= д tl 1.
3. Пусть l^r^oo, и пусть | — такое ^'-расслоение, что
dtlg = pr|~' (<9bs|). Доказать существование таких окаймлений
k: с? bs | X/->bs|, /: <3tl| X /-*-tl|, что диаграмма
atiixz-^tu
[abpr 1 X id/ Ipr I
д bs | X / -^ bs |
коммутативна.
•^. Показать, что если г<1°о, то для всякого ^^''-рас-
^^''-расслоения ? с компактными tl| и bs E, множество Secr| плотно
при любом s<r в Secs|. (Это — обобщение теоремы 2.7
с г ф а.)
5. Показать, что всякое <5!>г-расслоение | с компактными tl|
и bs I, ^'-изоморфно ^""-расслоению. (Ср. 2.8.)
6. Показать, что расслоение sutangRP" W-GLRn+[-экви-
W-GLRn+[-эквивалентно сумме п+1 копий расслоения Gra(n+1, GL A, R)),
а расслоение sutangCP" <&"г-О1С'г+1-эквивалентно сумме и+1
копий расслоения Gra(«+ I, GL(l, С)).
7. Показать, что нормальное расслоение ^"-вложения
G.(m, n)->G(m+ 1, /г), описанного в 3.2.2.3, cS>a-GLRn-3KBHBa.-
лентно расслоению Gra(m, GL(n, R)), а нормальное расслоение
^"-вложения CG(m, п) —.> CG (от + 1, п), описанного в 3.2.2.7,
|3?а-О?Сг-эквивалентно расслоению Gra(OT, GL(n, С)).
8. Пусть рь . . ., рп+1 — однородные комплексные многочлены
степени m от п + 1 переменных, обращающиеся одновременно
в 0 только в точке 0. Показать, что отображение СР —>СРп,
определяемое формулой
(zi: ... : г„+1) i-> (pi (zu ..., zn+l): ... : pn+l {zu ..., zn+l)),
имеет степень tn.
356 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4
9. Показать, что при я^1 всякое непрерывное отображение
сферы S" в себя со степенью, отличной от (— l)n+1, имеет не-
неподвижную точку.
10. Показать, что при п~^\ всякое непрерывное отображе-
отображение сферы Sn в себя, имеющее нечетную степень, переводит
некоторую пару антиподальных точек в пару антиподальных
точек.
Ц, Показать, что при нечетном п > 1 степень всякого не-
непрерывного отображения сферы S" в RPn четна.
12. Пусть / — симплициальное отображение двумерного стан-
стандартного симплекса на одномерный стандартный симплекс.
Показать, что симплициальный цилиндр Scyl/ не гомеомор-
фен Cylf.
ГЛАВА 5
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1. Абсолютные гомотопические группы
1. Пусть (X, х0) — пространство с отмеченной точкой иг —
неотрицательное целое число. Условимся обозначать множе-
множество ^(/г, Fr V\ X, х0) всех непрерывных отображений пары
(Г, Fr/r) в пару (X, х0) короче через Sphr(X, x0), а множество
их гомотопических классов [т. е. n(Ir,FrIr; X, х0)] — через
пг(Х, х0). Элементы множества Sphr(X, х0) называются г-мер-
ными сфероидами пространства X с началом х0. .
При г > 0 мы определяем произведение фф сфероидов ф, i|>e
Sphr(X, x0) как сфероид из Sphr(X, х0), задаваемый формулой
- /фB/ь/2 tr), если (><*,< 1/2,
ъ к tr)=={ iKa.-l. /, tr), если 1/2<*,<1, A)
и сфероид ф~', обратный сфероиду ф eSphr(X, х0), — как сфе-
сфероид из Sphr(jf, х0), задаваемый формулой Ф~'(^ь h> ¦••> tr) —
фA —ti, t2, ..., tr). Ясно, что если сфероид ф] гомотопен ф,
а сфероид г|)| гомотопен \|), то сфероид ф^! гомотопен ф\|з. Сле-
Следовательно, формула A) определяет умножение в пг(Х, х0).
Оказ.ывается, что это умножение ассоциативно, что гомотопиче-
гомотопический класс постоянного сфероида const {отображающего Г в х0)
служит для него двусторонней единицей и что гомотопические
классы сфероидов ф, ф~' взаимно обратны.
Первое утверждение означает, что для любых сфероидов
Ф, -ф, xs=Sphr(X, х0) произведения (фф)% и фСфх) гомотопны; и
действительно, формула
если
,-/-1, /2, .... /г), если i±L</)<l±i, B)
t + 2
если —J-
358 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
определяет гомотопию 1ГУA—>Х, связывающую (фф)% с
Второе утверждение означает, что для любого сфероида ф е
Sphr(X, x0) произведения ф (const) и (const) ф гомотопны ф; и
действительно, формулы
f ф(т^Т' ^> •••> *г)>
если
xQ, если —ъ—^м^
f Xo, если " ^J ^ ' ~'
ф(-7+Т— '** 4'
если —g—
определяют гомотопии, связывающие ф (const) и (const) ф с ф.
Третье утверждение означает, что произведения ФФ~' и Ф~'ф
гомотопны const; и действительно, формула
((/,, и, ..., tr), о»-»
^ 1 — t
фB/ь /2 О, если
<p(l-f, /2, ...-, /г), если -L_J-</1<lill, E)
фB-2/ь /2, ...,/г), если -Ц^-<*1<1,
определяет гомотопию, связывающую ФФ~' с const. /
Превращенное таким образом в группу множество пг (X, х0)
с г > 0 называется г-мерной гомотопической группой простран-
пространства X в точке х0.
Если г > 0, то всякий r-мерный сфероид отображает Г
в компоненту Хо пространства X, содержащую точку хй. Таким
образом, при г>0 группа пг(Х, х0) канонически изоморфна
пг{Х0, х0).
Из теоремы 2.3.4.3 -следует, что если X — счетное клеточное
пространство, то все множества пг(Х, х0) счетны.
Случай г = 0
2. Поскольку /° — точка, a Fr/°=0, Spho(X, xo) можно
отождествить с X, а щ{Х, х0) — с множеством сотрХ ком-
компонент пространства X. Множество яо(Х, хп) не обладает есте-
f И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 359
ственной групповой структурой, а обладает лишь отмеченным
элементом, который, как и в старших размерностях, называется
единицей: это гомотопический класс сфероида const, т. е. ком-
компонента пространства X, содержащая точку х0.
Чтобы сделать формулировки, относящиеся к случаям г > О
и г = 0, единообразными, мы будем называть множество щ(Х, х0)
нульмерной гомотопической группой пространства X в точке х0
и распространим на множества с отмеченным элементом и их
отображения групповую терминологию. В частности, под пря-
прямым произведением мы будем понимать обычное произведение,
под гомоморфизмом — отображение, переводящее отмеченный
элемент в отмеченный элемент,- под ядром гомоморфизма —
прообраз отмеченного элемента и под изоморфизмом — обра-
обратимый гомоморфизм.
Случай г = 1
3. Одномерные сфероиды — не что иное, как замкнутые пути,
и определения умножения, обращения и гомотопии сфероидов,
данные в 1, согласуются с определениями умножения, обраще-
обращения и гомотопии путей, данными в 1.3.2.1 и 1.3.2.3. Одномер-
Одномерная гомотопическая группа называется иначе фундаментальной
группой. Она была определена на несколько десятилетий раньше,
чем старшие гомотопические группы, и, как мы увидим, зани-
занимает среди гомотопических групп особое положение.
4. Ясно, что при г = 1 гомотопии B) — E) имеют смысл
не только в случае, когда ф, ф, % -~г петли с общим началом,
но при единственном условии, что это — пути, для которых
определены рассматриваемые произведения. Как и в случае
петель, гомотопический класс произведения определяется гомо-
гомотопическими классами сомножителей, так что можно перемно-
перемножать гомотопические классы путей, если начало путей второго
класса совпадает с концом путей первого класса. Это умноже-
умножение ассоциативно,, класс постоянного пути служит левой еди-
единицей для классов путей с тем же началом и правой единицей
для классов путей- с тем же концом, и классы путей s, s~l
взаимно обратны в том смысле, что их произведение, взятое
в любом порядке, равно соответствующей единице.
Случ а й г>1
v
5. При г > 1 группа лг (X, х0) коммутативна.
Это означает, что для любых сфероидов ф, ij)eSphr(X, x0)
с г>1 произведения фф и фф гомотопны. И действительно,
произведение трех последовательных гомотопии IrX.I->Xi
360
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1ГЛ. 5
определяемых формулами
@ь h> h> •••> tr)> О1—*"
Ч>B/,-1,-A+0'2-/,'з, ..
Хо
i f 4 i \ л, г»
Ч) 12' 13> •••> tr)> */
если
если
в остальных случаях;
i—1, 24— 1, /3 tr), если —
i,
' 2
Хо
@Ь <2, <з, ..-, О,0
фB/,-1, B-0^2, /з,
в остальных случаях;
tr), если
•b{2tuB-t)t2+t-l,ta, ...,tr), если 0
в остальных случаях,
У////Л
f
f
f
Y
Первая
гомотопия
вЪорая
, ваматопия
Рис. 13 (г = 2).
третья .
еомотапия
связывает qnj) с ijxp. [Эти гомотопии иллюстрируются рис. 13,
на котором заштрихованные части отображаются в точку х0.]
Поведение при непрерывных отображениях
6. Если f: (X, х0) -> (X', *6) — непрерывное отображение од-
одного пространства с отмеченной точкой в другое, то каждому
сфероиду ф: (Г, Fr Ir) -* (X, дс^) отвечает сфероид / о <р; (/г, Fr /r)->
(Хй,'Хъ), так что возникает отображение /ф= f#r: Spnr(^> ^о)~*
Sph,^', x'o). Ясно, что /ф переводит гомотопные сфероицы в
гомотопные и постоянный сфероид в постоянный и что /#/.(ф11>) =
/#г (ф) ^#г (Ф) ПРИ г > °- Следовательно, f#г определяет для
каждого г^О некоторый гомоморфизм пг(Х, х0) -+nr(Xf, xq).
§ 1] ' ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 361
Он называется гомоморфизмом, индуцированным отображением f,
и обозначается через /^ или, подробнее, ftr.
. 7. Для любых непрерывных отображений f: (X, xo)->(Y, у0),
g- (Y, Уо) -*1 (z> zo) « любого г > О
(а о f) = о- о f ,
?сли f = id (X, л:0), то ftr = id nr (X, x0).
Доказательство: (go /)#r = g-#r e f#r и [id (X, xo)]#r =
idSphr(X, jco).
8. Если отображения: f, f: (X, xQ)—>-(Y, y0) гомотопны, то
f'v = ftr при любом г. Если f: (X, xo)->-(Y, г/0) — гомотопическая
эквивалентность, то ftr — изоморфизмы.
Первое следует из гомотопности сфероидов /°ф, Г°Ф для
всякого сфероида q> e Sphr(Z, x0). Второе следует из равенств
g,r ° f*r =• (8 ° f)*r = id, f.r°gtr = (f°g)tr = i<l, где g — какое-ни-
какое-нибудь отображение, гомотопически обратное f (см. 7).
Мультипликационная теорема
9. Для любых пространств с отмеченной точкой (X, х0),
(У, г/о) н при любом г гомотопическая группа пг (X X Y, (х0, г/0))
канонически изоморфна прямому произведению пг (X, х0) X
nr(Y, г/0): канонический изоморфизм пг(ХУСХ, (х0, yQ))-+nr(X, xo)X
nr (Y, Уо) определяется формулой си—^¦(pri«(a),. pr2. (a)). Если
(X', Хо), (Y\ г/о) — другие пространства с отмеченной точкой и
f: (X, xo)->(Xf, x'o), g: (Y, yo)->(Y', y'Q) — непрерывные отобра-
отображения, то диаграмма
яг (X X Y, (х0, г/0)) -* яг (X, Хо) X nr (Y, у0)
Ufxg), и*х«*
пг (Г X Г, (х0, у0)) -> ял (Г, х0) X пг (Г, /0),
г<3е горизонтальные стрелки — канонические изоморфизмы, ком-
коммутативна.
Проверка очевидна.
2. Отступление: ансамбли
/. Говорят, что на топологическом пространстве X задан
ансамбль групп, если каждой точке хЩХ отнесена некоторая
группа Gx и каждому, пути s: I^-X отнесен некоторый гомо-
гомоморфизм Ts: Gs (о) —>-Gs(o, причем выполнены три условия:
• (J) если Si@) = s(l), то TSSl = TSloTsi
362 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. S
(И) если s — постоянный путь, то Т„ — тождественный авто-
автоморфизм;
(ш) если пути s, Si гомотопны, то Г$ —Г^.
_ Условие (ш) показывает, что вместо Ts можно писать Та,
где о — гомотопический класс пути s. Кроме того, из условий
(i) — (iii) следует, что все гомоморфизмы Ts (Ta) являются изо-
изоморфизмами и Т'1 =Ts-i (Т'1 = 7'a-i); действительно, согласно
1.4, пути ssr~\ s~ls гомотопны постоянным, так что Ts-i °TS=*
Изоморфизм Ts называется переносом вдоль s.
2. Если, в частности, s — петля с началом х, или, что то же,
а — элемент фундаментальной группы щ(Х, х), то Ts — Ta есть
автоморфизм группы Gx. Вместе с условиями 1 (i), I (ii) это
показывает, что формула сг*-^>Г0 определяет правое групповое
действие группы щ (X, х) в Gx.
Каждому пути s: I—*¦ X отвечает естественный изоморфизм
^s: щ (X, s @)) -> Я[ (X, s A)), определяемый формулой /sco = a"W,
где а — гомотопический класс пути s, и обозначаемый также
через ta. Очевидная проверка показывает, что Ts: Gs@)->Gs(d
есть /о-отображение (см. 4.2.3.1).
3. Пусть (X, {Gx}, {Ts}), (X', {G'x>}, {T's'}) - ансамбли групп,
заданные на пространствах X, X', и пусть f: X-*X' — непре-
непрерывное отображение. Предположим, что для каждой точки
х е X задан гомоморфизм hx: Gx-*Gf(X). Говорят, что гомо-
гомоморфизмы hx составляют с / гомоморфизм первого ансамбля
во второй, если hs{i)°Ts = Tf os°hS@) для любого пути s: I-+X.
Гомоморфизм (f, {hx}) называется изоморфизмом, если f — го-
гомеоморфизм и все hx — изоморфизмы, и эквивалентностью, если,
сверх того, Х' — Х и f — idX.
Если (X', {G'X'}, {Ts}) — ансамбль групп и / — непрерывное
отображение пространства X в X', то на X возникает индуци-
индуцированный ансамбль (X, {Gx}, {Ts}), в котором Gx определяется
как Gf{x), а Ts — как Tf0S. Ясно, что-(f, {id Gx}) есть гомомор-
гомоморфизм индуцированного ансамбля в исходный.
4. Ансамбли групп (X, {Gx}, {Ts}) и {X, {G'x}, {Т'3>}), задан-
заданные на связном пространстве X с отмеченной точкой х0, экви-
эквивалентны в том и только том случае, если определяемые ими
действия группы щ (X, хй) в GXo и G'Xo изоморфны в том смысле,
что существует групповой изоморфизм GXa->G'4, являющийся
пг {X, х0)-отобрешением.
Что изоморфность действий группы п^Х, х0)- в GXa и G'Xs>
следует из эквивалентностей определяющих их ансамблей — оче-
очевидно. Чтобы доказать -обратное, фиксируем щ {X, ^-изомор-
^-изоморфизм h: GXa-+GXa и выберем для каждой точки х^Х какой-
нибудь путь sx с началом х0 и концом х. Очевидная проверка
§ 11 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 363
показывает, что (id X, {hx}) с hx = T'sx°h°T7^ есть эквивалент-
эквивалентность перЕОго ансамбля на второй.
5. Ансамбль групп, заданный на топологическом простран-
пространстве X, называется простым, если он эквивалентен канониче-
каноническому простому ансамблю {X, {Gx}, {Ts}), у которого все
группы Gx совпадают с некоторой группой G, а все го-
гомоморфизмы Ts — с тождественным автоморфизмом этой
группы.
Из теоремы 4 следует, что ансамбль групп, заданный на
связном топологическом пространстве А' с отмеченной точкой х0,
прост в том и только том случае, если определяемое им дей-
действие группы щ {X, х0) в GXo является тождественным. В частно-
частности, он заведомо прост, если группа щ {X, х0) тривиальна,
а также если составляющие его группы изоморфны Z2.
6. Все, изложенное в этом пункте, очевидным образом пе-
переносится с ансамблей групп на ансамбли, составленные из
других алгебраических образований, например, из векторных
пространств или колец.
В этом параграфе нам встретятся, кроме ансамблей групп,
ансамбли множеств с единицей (отмеченным элементом).
3. Ансамбли гомотопических групп
топологического пространства
1. Сфероиды фое Sphr (X, xQ), <pi e Sphr(X, *,) называются
свободно гомотопными, если отображения absqp0, absqv. V -> X
могут быть соединены гомотопией, составленной из сфероидов.
Подробнее: сфероиды ф0, qpi свободно гомотопны, если суще-
существует непрерывное отображение h: F~X.I —*• X, постоянное на
каждом из множеств Fr Г X t (t s /) и такое, что h (у, 0) =
ФоО/)> h(y, 1) = Ф1 (//) для всякого |/ef.
Существенным элементом такой гомотопии h является путь,
описываемый началом сфероида, т. е. определяемый формулой
/н-> /z(Fr/r X 0- Говорят, что h есть свободная гомотопия, сое-
соединяющая сфероиды ф0, ф] вдоль этого пути.
2. Всякий сфероид с началом х0 допускает свободную гомо-
топию вдоль любого пути с началом х0. Свободные гомотопии
гомотопных сфероидов вдоль гомотопных путей приводят к гомо-
гомотопным сфероидам.
Чтобы осуществить свободную гомотопию заданного сфе-
сфероида ф е Sphr(J, х0) вдоль заданного пути s с началом х0,
достаточно как-нибудь продолжить гомотопию постоянного ото-
отображения ф|Рг/, определенную формулой (у, t) i—* s (/) [у е Fr Ir,
<е/], до гомотопии отображения ф: 1Г->Х. (Существование
такого продолжения следует из 2.3.1.3.)
с
;364 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 5
Чтобы установить гомотопность сфероидов фр ф{, в кото-
которые гомотопные сфероиды ф0, <р'о переводятся свободными гомо-
топиями h, h': 1ГУ,1-*Х вдоль гомотопных путей s, s', мы
фиксируем какие-нибудь гомотопии f: Гу^1-*Х и g'. /></->X,
соединяющие if0 с (fj и s с /, а определяем подмножество К.
куба /г+2 = /гХ^Х/ и отображение Н: К->Х формулами
К = FrRr+2/r+2 \ [(lntR,+1,/+1) X 1],
/ {у, и), если о = 0,
g(a, о), если г/е FrRr/r;.
Н(у, и, v) = < t . . п
Vi" ' ' /г(#, у), если ы = 0,
), если и= 1
(где г/е/г, не/, се/). Существует гомеоморфизм ?: /гX
/ —>/С такой, что k(y, и) —(у, и, 1) при (у, и) е Fr (Г X /): та-
таков, например, гомеоморфизм, обратный гомеоморфизму fe^ /C-»
/*" X Л определенному формулой
*i (г/, и, о) = (г/о, у) + у A + о) (# — ^о, и — у),
где г/о — (ortj + ... + ortr)/2. Ясно, что Я о/г: Iry_I->X есть
гомотопия, связывающая ф, с ф^.
3. В силу предыдущей теоремы, свободные гомотопии вдоль
пути s: 1-+X определяют при любом г^О некоторое отобра-
отображение Ts: лг (X, s@)) -> пг (X, s(l)). В силу той же теоремы ото-
отображения Ts обладают свойством 2.1 (iii), и очевидно, что они
обладают также свойствами 2.1 (i) и 2.1 (и) и являются гомо-
гомоморфизмами. Возникающий ансамбль (X, {пг (X, х)}, {Ts}) пред-
представляет собой при г^ 1 ансамбль групп, а при г = 0 ансамбль
множеств с отмеченным элементом, и называется ансамблем
r-мерных гомотопических групп пространства X. В частности,
при любых х^Х и г^1 имеется естественное правое группо-
групповое .действие группы щ (X, х) в пГ(Х, х).
4. При г = 1 изоморфизм Ts действует по формуле Г5со =
a~'toa, где а — гомотопический класс пути s (г. е. совпадает с изо-
изоморфизмом tg из 2.2). В частности, правое действие группы
щ{Х, х) в ni(X,x) есть внутреннее правое действие.
Доказательство. Возьмем в классе со какую-нибудь
петлю w и определим путь st: I -> X с t е / формулой st (у) =?
s (ty) и петлю wt формулой wt = (sjlw) st. Поскольку s0 — постоян-
постоянный1 путь, петля w0 принадлежит классу со, и свободная гомото-
гомотопия / Х^ -> X, определяемая формулой (г/, t)ь-> wt (у), соединяет ее.
вдоль s с петлей Wi — (s~lw)s, принадлежащей классу о~1®о.
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 365
5. Из 3 следует, что в случае связного пространства X все
гомотопические группы пг{Х,х0) изоморфны между собой при
любом г. Для г = 1 это следует уже из 2.2.
Пространство X называется r-простым, если оно связно и
ансамбль его r-мерных гомотопических групп является простым.
В этом случае группы пг{Х, х) не только изоморфны, но и свя-
связаны каноническим сквозным изоморфизмом, позволяющим ото-
отождествить их в одну группу пг (X) — гомотопическую группу
пространства Х- без отмеченной точки, элементами которой
являются классы свободно гомотопных сфероидов. Пространство,
г-простое при любом г, называется простым.
Если пространство X не является r-простым, то изомор-
изоморфизмы-?^ не позволяют отождествить группы пг(Х,х) с разными х.
В этом случае о группе пг(Х) пространства X можно говорить
только как об абстрактной группе.
Очевидно, ансамбль нульмерных гомотопических групп то-
топологического пространства всегда является простым, а в случае,
когда пространство связно, вырождается в ансамбль одното-
одноточечных множеств.
Из 4 следует, что пространство в том и только том случае
1-просто, если оно связно и его фундаментальная группа ком-
коммутативна (см. 2.5).
6. Согласно 1.6, всякое непрерывное отображение f про-
пространства X в-пространство X' определяет в каждой точке isX
некоторый гомоморфизм f* = (ft)x: nr (X, х) ~+<яг (X', / (х)). Ясно,
что если h — свободная гомотопия, соединяющая сфероиды ф0, <Pi
вдоль пути s, то / о h есть свободная гомотопия, соединяющая сфе-
сфероиды / о <р0, / о <р, вдоль пути / о s, так что (f,)s0) ° Ts = Ffos ° (f*)S(oy
Таким образом, при любом г^О индуцированные гомоморфизмы
(Кг)х составляют с / гомоморфизм ансамбля r-мерных гомбто-
пических групп пространства X в ансамбль r-мерных гомотопи-
гомотопических групп пространства X'.
Заслуживают упоминания три специальных случая: прост-
пространство X r-просто, пространство X' r-просто, оба простран-
пространства X, X' r-просты. В первом случае гомоморфизмы {ftr)x ото-
отображают в группы nr{X', f (х)) одну и ту же группу пг(Х) и
диаграмма
«АХ)
366 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ . !ГЛ. 5
коммутативна для всякого пути s: /-—>¦ X. Во втором случае
гомоморфизмы (ftr)x отображают группы лг{Х, х) в одну и ту же-
группу пг(Х') и для всякого пути s: I-*¦ X коммутативна диа-
диаграмма
В третьем случае ансамбли r-мерных гомотопических групп
пространств X, X' сводятся к группам пг(Х),' пг(Х'), а гомо-
гомоморфизмы (ftr)x — к одному гомоморфизму fty. nr(X)^>nr(X').
7. Если f: X-*¦ X' — гомотопическая эквивалентность, то все
индуцированные гомоморфизмы (ft)x: пг(Х, х)-+лг {X', f (х))
являются изоморфизмами.
Доказательство. Пусть ffl.Xf->X — отображение, гомо-
топически обратное /. Если Я: XX/ -*¦ X — гомотопия, связываю-
связывающая f'°f с ИХ, то для любого сфероида tpeSphr(X, x) отобра-
отображение Ir\I -> X, определенное формулой {у, t) ь—> И (ф (у), I), пред-
представляет собой свободную гомотопию, соединяющую ф со сферои-
сфероидом /' о / о ф eSphr (X,f'°f (x)) вдоль пути s, определенного форму-
формулой s(t)—H(x,t). Следовательно, гомоморфизм (K)fw°(f*)x —
{(f/°f)*)x'-nr(Ki,x)~>%r(X,f/°f{x)) совпадает с переносом Ts и,
в частности, является изоморфизмом, a (/*)f(t) есть эпиморфизм.
С другой стороны, из того, что аналогичная композиция (ft)f,of.x) °
(ft)f{x) является изоморфизмом, следует, что (f«)fW есть моно-
мономорфизм. Таким образом, (K)fiX) есть изоморфизм И1 (ft)x =
\(f»)fM'\~i °TS также есть изоморфизм.
8. Тривиальность гомотопических групп ,пг(Х,х0) с r^.k
(O^Lk < оо) в отмеченной точке х0 эквивалентна k-связности про-
пространства X. Тривиальность всех гомотопических групп пг (X, хй)
эквивалентна оо-связности пространства X.
Что у fe-связного пространства X указанные гомотопические
группы тривиальны, видно из прямого сопоставления опреде-
определения гомотопических групп пг(Х, х0) с определением fe-связности
[см. КЗ.3.7; в 1.3.3.6 пару (Dr+1, Sr) можно заменить гомео-
морфной ей парой (/г+1, Fr/r+')]. Обратное следует из того же
сопоставления, поскольку'тривиальность гомотопических групп
пг(Х,х0) с r^Lk влечет за собой, согласно 1.2 и 5, тривиаль-
тривиальность гомотопических групп*пг (X, х) с r^k во всех точках
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 367
4. Относительные гомотопические группы
1. Положим /"' = FrRr/r \ IntRr_i/r~' и для произвольной
топологической пары (X, А) с отмеченной точкой х0 е А и про-
произвольного натурального г множество ^(/г, Fr/r, /r~'; X, А, х0)
всех непрерывных отображений тройки (/г, Fr/r, /г~') в тройку
(X, А, х0) обозначим короче через Sphr(X, А, х0). Элементы мно-
множества Sphr(X, А, х0) называются r-мерными сфероидами пары
(X, Л) с началом х0. Множество п{Г, Frf, Г~х; X, А, х0) их го-
гомотопических классов обозначается короче через яг(Х, А, х0).
Заметим, что всякий сфероид ф е Sph>.(X, А, х0) с q>(Ir)cA
гомотопен постоянному сфероиду. Имеется стандартная гомо-
топия Г У( I -+ X, связывающая такой сфероид с постоянным:
она определяется формулой
((/i tr-lt tr), t) ^->ф(tu ..., tr-i, A — t)tr + t).
Одномерный сфероид пары (X, А) с началом ха есть, оче-
очевидно, путь с началом в А и концом х0. Предостережение:
гомотопия такого сфероида, будучи связанной в точке 1, не
обязана быть связана в т.очке 0, если А не сводится к х0.
При г^2 формула A) определяет в Sphr(X, А, х0) умножение,
которое переносится в яг (X, А, х0) и превращает пг(Х, А, х0)
с г^2 в группу. Единицей, этой группы служит гомотопический
класс постоянного сфероида, и класс сфероида ф~', опреде-
определяемого формулой ф~' {t\, U, ..., tT) = фA — t\, t2 tr), обратен
классу сфероида ф. Все это доказывается так же, как в абсо-
абсолют-ном случае.
Группа пг(Х, А, х0) с г ^2 называется r-мерной гомотопиче-
гомотопической группой пары (X, А) в точке х0. Одномерная гомотопиче-
гомотопическая группа пары (X, А) в точке х0 определяется как множество
я^Х, А, х0) с единицей (отмеченным "элементом): ею служит го-
гомотопический класс постоянного сфероида.
Если А = х0, то щ (X, А, х0) совпадает с пг (X, х0) [т. е. пг (X,
аг0> хй) и пг{Х,хй) совпадают как группы при г>2 и как мно-
множества с отмеченным элементом при г = 1].
При г > 1 группа лг(Х, А, х0) канонически изоморфна группе
яг (Хо, Д), х0), где Хо и А, — компоненты пространств X и А,
содержащие х0.
При г > 2 группа пг(Х, А,-х0) коммутативна. Доказательство
представляет собой очевидную модификацию доказательства
теоремы 1.5.
2. Всякому непрерывному отображению /: {X, А, х0) —>
X', А', х'о) отвечает при г^1 индуцированный гомоморфизм
\ ¦'• ЯГ(Х, А, хЛ->пг(Х', А', х'Л, определяемый также, как в
368 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
абсолютном случае, и совпадающий при А = х0, А' = х'о с абсолют-
абсолютным индуцированным гомоморфизмом /»: лг (JT, х0) -> пг (X', х'о).
Как и в абсолютном случае,- (g°f)t = gt°f, и id^ = id. Если f
и /' гомотопны, то f't = /*, если / — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, то /» — изоморфизм. '
Граничный гомоморфизм
3. Сокращение abqp: (f~\ FrIr~l)->(A, x0) сфероида фе
Sphr(X, А, х0) является сфероидом из Sphr-i{A, x0) и в этом
качестве называется границей сфероида ф и обозначается через <Эф.
Возникающее отображение д: Sphr(X, A, xo)->Sphr_i(i4, х0), оче-
очевидно, переводит гомотопные сфероиды в гомотопные и постоян-
постоянный сфероид — в постоянный. Следовательно, оно определяет
при любом r^sl некоторый гомоморфизм пг(Х, A, xQ) ->nr-i(A, хй).
Этот гомоморфизм называется граничным и также обозначается
через д.
Каково бы ни было непрерывное отображение fi (X, А, хо)~>
{X'', А', х^), диаграмма
лг {X, А, х0) -^ я,_, (А, х0)
If, l(abf)»
коммутативна при любом г^ 1. Для доказательства достаточно
заметить, что коммутативна уже аналогичная диаграмма, в ко-
которой вместо я всюду стоит Sph, а вместо /„ и (аЬ/)„ стоят /^
и (ab/)#.
Ансамбли гомотопических групп
топологической пары
4. Сфероиды фое Sphr (X, A, xQ), cp, e Sphr(Z, A, xt) пары (X, А)
называются свободно гомотопными, если они, рассматриваемые
как отображения пары (/г, Fr/') в пару (X, А), могут быть сое-
соединены гомотопией, составленной из сфероидов пары (X, А),
т. е. если существует отобр-ажение h: IrX.I -> X с h (Fr /rX/) d A,
постоянное на каждом из множеств Т~х X? {t e/) и такое, что
hiy> 0)= Фоiy)> h{y, 1) == Ф1 (г/) при любом у&1г. Говорят, что h
есть свободная гомотопйя, соединяющая <f0 с ф] вдоль пути -
Всякий сфероид пары {X, А) с началом хй допускает свобод-
свободную гомотоцию вдоль любого пути пространства А с началом *0,
§ 1] " ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 369
и свободные гомотопии гомотопных сфероидов вдоль гомотопных
путей\про.странства А всегда приводятк гомотопным сфероидам.
Доказательство отличается от доказательства теоремы 3.2 в двух
пунктах: в первой части доказательства мы начинаем с отобра-
отображения аЬф: /Г-/->Л (вместо ф lFr/r) и продолжаем его гомо-
топию, определенную формулой (y,t)>—>s(t), сначала до гомо-
гомотопии отображения abqp: Fr Г -> Л, а затем до гомотопии
отображения ср: Г —> X] во второй части мы вместо g: / X ^ -*• X
пишем g: /X /-> А
В силу этой теоремы, свободные гомотопии вдоль пути
s: I-> А определяют (при любом г^1) некоторое отображение
Ts: nr(X, A, s@))-*пг(Х, A, s(l)). Как и в абсолютном случае,
отображения Ts являются гомоморфизмами и обладают свой-
свойствами 2.1 (i), 2.1 (И) и 2.1 (ш), так что на А возникает ансамбль
(А, {лг (X, А, х)}, {Ts}), представляющий собой при г ^2 ансамбль
групп, а при г = 1 ансамбль множеств с отмеченным элементом.
Он называется ансамблем r-мерных гомотопических групп пары
(X, А). В частности, при любых isi и г^1 имеется есте-
естественное правое действие группы щ(А,х) в пг{Х, А, х), груп-
групповое, если г > 1, и оставляющее »а месте единицу, если г = 1.
Из существования описанного ансамбля следует, что при
любом г^1 все r-мерные гомотопические группы яг(Х, А, х)
пары (X, А) со связным-Л изоморфны между собой.
Пара {X, А) со связным Л называется r-простой, если
ансамбль ее r-мерных гомотопических групп является простым.
В этом случае все гомотопические группы пГ {X, А, х) с х е Л
могут быть отождествлены в r-мерную гомотопическую группу
пг (X, А) пары (X, А) без отмеченной точки, элементами которой
являются классы свободно гомотопных сфероидов. Пара, г-про-
стая при любом г~^\, называется простой. Например, простран-
пространство с отмеченной точкой является простой парой.
5. Очевидно, что для любой пары (X, А) и любого пути
s; I -> Л диаграмма
коммутативна. Хаким образом, граничные гомоморфизмы
д=дх: nr(X, A, x)-*nr-i{A, х) составляют с id Л гомоморфизм
ансамбля r-мерных гомотопических групп пары (X, А) в ансамбль
(г — 1)-мерных гомотопических групп пространства Л.
Каково бы ни было непрерывное отображение f:-(X. A)^>
{Х'г А'), гомоморфизмы : /,=(f»)^: nr(Xf A, x)->nr{X/, A , /(*))
370 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
составляют с / гомоморфизм ансамбля r-мерных гомотопиче-
гомотопических групп пары (X, Л) в ансамбль r-мерных гомотопических
групп па-ры (X', А'). Как и в 3.6, укажем на три специальных
случая: пара (X, А) r-проста, пара (X', А') r-проста, обе пары
{X, А), (X', А') r-просты. В двух первых случаях пути s: I -> A
порождают коммутативные диаграммы, аналогичные диаграммам
из 3.6, в третьем случае ансамбли r-мерных гомотопических
групп пар (X, А), (X', Л') сводятся к группам пг(Х, А), пг(Х', А'),
а гомоморфизмы (ft)x — к одному гомоморфизму /„: л, (X, А) —>¦
пг [X', А').
Если / — гомотопическая эквивалентность, то все гомомор-
гомоморфизмы (ft)x являются изоморфизмами. Это устанавливается
так же, как в абсолютном случае (см. 3.7).
6. Пусть (X, А) — пара с отмеченной точкой х0 е А. Если про-
пространства X, А связны, то тривиальность всех гомотопических
групп лг(Х, А, хв) эквивалентна оо-связности пары {X, А), а три-
тривиальность гомотопических групп пг(Х, А, х0) с i^r^k экви-
эквивалентна ее k-связности.
Доказательство повторяет с очевидными изменениями дока-
доказательство предложения 3.8 (ссылка на 1.3.3.7 заменяется ссыл-
ссылкой на 1.3.3.9).
Группа Л2(Х, А, х0)
7. Если а, ре%A, А, х0), то a-'fia — ГааР-
Доказательство (другое доказательство будет дано
в п. 10). Доказываемое утверждение означает, что для любых
сфероидов ф, г]з е Sph2 {X, А, х0) сфероид г]з. можно соединить
со сфероидом ф-'г|5ф свободной гомотопией вдоль петли <Эф.
Такую гомотопию составляют отображения %t; Р -> X (/е=/),
определяемые следующим образом. Положим fW)~~m—
t—-5- и разобьем Р на восемь кусков, -показанных на
рис. 14, где Ах (/), A2(t), A3(t), A4(t) имеют абсциссы f(t), Ц\,
1— (t/2), I —fit), a B,(t), B2{t), B3(t), B4(t) лежат над ними на
высоте 1 — fit). Пусть, далее, а{: Qi{t)—>P, a2: Q2{t)->P,
<*з' Qzit)-^I2 — аффинные отображения, определяемые условиями
а, (Л, @) = (/, 0), а, (А2 (/)) = @, 0), а, (В, (t)) = (/, 1),
а2 (Л (/)) = @,0), а2 (А3 (/)) = A,0), а2 (В2 (/)) = @,1), ¦
а3 (Л3 (/)) = @, 0), а3 (Л4 (/)) = (/, 0), а3 (В3 (/)) = @, 1). "
Мы полагаем
и продолжаем полученное непрерывное отображение ,Qi(/)U
Q2U) '0Яз(!)—>Х сначала до отображения UjQ^O"*-^ так> чтобы
ОБЩА^ ТЕОРИЯ
371
оно было постоянно на горизонталях в Q^tWUQsW и на верти-
вертикалях в Qti(/)UQ7@. а затем на Q$(t) так, чтобы оно было по-
постоянно на горизонталях. (Последнее возможно, поскольку уже
имеющееся отображение Uj Qi (t) ~* X постоянно на отрезке
A,At)
@,0) A,®
A4(t)(W
Рис. 14.
[/?,(/), B4(t)] и принимает одинаковые значения в точках отрез-
отрезков [S] (/), @, 1)], [В4@, U> О], лежащих на одной высоте.) Не-
Непрерывность отображения /2 X / —> X, составленного из построен-
построенных отображений Xt' 12~>Х, следует из его очевидной непре-
непрерывности на каждом из восьми многогранников {Jt<=] {Qi @X0-
Действие груп-пы щ {X, х0) в щ(Х, А, х0)
8. Если w — сфероид из Sph](X, А, х0) и s — петля из
Sph)(X, х0), то определено произведение ws, и ясно, что это —
сфероид из Sphj (X, А, х0) и что его класс определяется клас-
классами сфероидов w, s; таким образом, для & ев кг (X, А, х0) и
о е= Л] (X, х0) определено произведение шст. Пользуясь снова го-
мотопиями из 1.1, мы видим, что со (tier') = (ша) а' и соеЯ: (х, Ха) = ю
для любых иен, (X, А, х0) и сг, сг' е щ (X, х0), т. е. что фор-
формула (со, ст)ь-*сост определяет правое действие группы Я[ {X, х0)
в Hi (X, А, х0).
Если А == х0, то это действие совпадает, очевидно, с кано-
каноническим правым действием группы ni(X,~xJ). Столь же оче-
очевидно, что в общем случае для всякого пути s: /—>Л перенос
Ts: пх{Х, A, s @))-> я, (X, A, s{\)) является [TlD0S: ni(X, s@))->
372 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. S
Я| (X, 5A))]-отображением, т. е. что Ts @0) == Ts («>) Tinos (<х) для
любых а^щ{Х, s@)), fi)Sn[(Z, Л, s@)). Ясно также, что для
всякого непрерывного отображения f?\(X, Л, *0) -> (if', Л', х^)
гомоморфизм /Ч nz (X, Л, де0) —»- я, (л , Л', л^) является
[/: nL(X, х0)->¦ Я[(Z', Хд)]-отображением, т. е. что f^(aa) =
/»(ffl)/* (ff) Для любых со <= «1 (Z, Л, х0), aeit|(I, x0). В приме-
применении к отображению rel = [in: (X, ха, хй)^(Х, А, х0)] послед-
последнее означает, что для любых a, aeit) (X, х0)
(ге1„ а) а = rel, («кг).
9. Для любых аея! (X, А, х0) и а е Л[ (Л, х0)
= © (in, 0),
г<Эе in = [in: (Л, хо)->(Х, х0)].
Доказательство. Пусть w, s — сфероиды классов со, а.
Определим путь sf: I ->• Л с t е / формулой sf (г/) = s (/г/) и по-
положим wt = w (in о S;). Поскольку s0 — постоянный путь, сфе-
сфероид w0 гомотопен w, и ясно, что свободная гомотопия /X I -*Х,
определенная формулой {у, f)*—*-Wt{y), соединяет w0 с w{ =
w (in о s) вдоль s.
5. Отступление: последовательности групп и гомоморфизмов
и я-последовательности
1. Последовательностью групп и гомоморфизмов называется
конечная или бесконечная в одну или обе стороны последова-
последовательность групп, в которой каждые две соседние группы Gt,
Gt+i связаны гомоморфизмом Gt-*-Gi+l.
Гомоморфизмом последовательности групп и гомоморфизмов
{G(, ht: G(-»G,+I} в последовательность групп и гомоморфиз-
гомоморфизмов {G'i, h'i\ G'i—>G'i+l}, занумерованных тем же множеством
целых чисел, называется такая последовательность гомоморфиз-
гомоморфизмов {#,•: Gi-^-G'i), что диаграмма
G
l+i ¦
h'l-\
коммутативна. Гомоморфизм, составленный из изоморфизмов,
называется изоморфизмом.
2. Последовательность групп и гомоморфизмов {Gu пг} на-
называется точной, если в каждой группе Gi, кроме начальной и
конечной, ядро Кег/гг гомоморфизма ht совпадает с образом
Im/г,-, гомоморфизма ht-i.
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ . 373
Следующие предложения, очевидно, справедливы для любой
точной последовательности {Gi, ht}.
(i) Если Gi — внутренний (не начальный и не конечный) член
.последовательности, то тривиальность гомоморфизма hi-x экви-
эквивалентна мономорфности ht, а тривиальность ht — эпиморф-
ности ht-{, так что тривиальность обоих гомоморфизмов /гг_ь
hi эквивалентна тривиальности группы Gt.
(И) Если Gi и Gi+\ — внутренние члены последовательности,
то тривиальность гомоморфизмов ht-i и hi+\ эквивалентна тому,
что ht — изоморфизм.
(ш) В частности, из тривиальности групп Gt-\, Gi+l следует
тривиальность группы Gt, а из тривиальности групп G,-i, Gi+2
следует, что h{ — изоморфизм.
f ?
3. Точные последовательности вида \->F—>G —>#—>1 на-
называются короткими A обозначает тривиальную группу). При-
Примером может служить последовательность 1 ->F—> G—*-G/F -> 1,
где F — нормальная подгруппа группы G. Это — универсальный
пример: всякая короткая точная последовательность канони-
канонически изоморфна последовательности такого вида, а именно,
^ f ?
точная последовательность 1-+F—*¦ G—>Н~>\ отображается
на последовательность 1->Im /-^> G—>G/Im/->1 изоморфиз-
изоморфизмом {idl, abf: F->Imf, idG, h*->vr{g-l{h)), id 1>.
Расщепление
4. Говорят, что последовательность групп и гомоморфизмов
{Gt, ht} расщепляется в члене Ga справа гомоморфизмом
& Ga+l-*-Ga, если hao?,*=idGa+u и что это расщепление нор-
нормально, если, сверх того, Im? — нормальная подгруппа группы Ga.
Говорят, что последовательность {Gt, ht} расщепляется
в'члене Ga слева гомоморфизмом ?: Ga-^-Ga_b если t°ha-l =
idGa_,.
5 (Лемма). Пусть А, В — группы и a: A->B, p: B-+A —
гомоморфизмы. Если Imp — нормальная подгруппа группы А и
a°p = idB, ro.A= KeraX Imp.
Доказательство. Всякий элемент а группы А предста-
представляется в виде [a(P°a(a))~!] (p°a(a)), и ясно, что первый со-
сомножитель содержится в Kera, а второй — в Imp. Если же
asKerafllmP, то а{а) = ев и существует 6еВ с р(й) = а,
так что Ь — а ° р (Ь) = а {а) = ев и а == р (Ь) = еА.
6. Если точная последовательность {Gt, ht} нормально рас-
расщепляется справа в члене Ga и расщепляется справа в члене
Ga_3j то она расщепляется -слева в члене Gau Gas* Ga_j X Ga+1.
Подробнее: в указанных условиях ha-i есть мономорфизм,
374 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. д
a ha — эпиморфизм, и Ga распадается в прямое произведение
подгруппы Imfta_i и некоторой подгруппы, изоморфно отобра-
отображающейся на Ga+1 посредством па; при этом всякий расщепляю-
расщепляющий справа гомоморфизм ?: Ga+I->Ga является мономорфиз-
мономорфизмом, и если он расщепляет нормально, то прямым дополнением
подгруппы lmha-i может служить Im?.
Доказательство. Равенство Ga=imfta_i X Im? следует
из леммы 5 .и точности последовательности {G{, hi}. Что ha —
эпиморфизм, а ? — мономорфизм, следует из соотношения
ha° ?, = id Ga+1. Из расщепляемое™ последовательности {Gh ht]
справа в члене Ga_3 следует, что и /ia_3 — эпиморфизм, после
чего из ее точности следует, что ha-2 — тривиальный гомомор-
гомоморфизм, а ha-y — мономорфизм. Наконец, в качестве левого рас-
расщепляющего в члене Go можно взять гомоморфизм, обратный
/za_i на \mha-x и равный единице на Im?.
7. Если точная последовательность {G{, /г,-} расщепляется
слева в членах Ga и Ga+3, то она нормально расщепляется
справа в члене Ga и Ga ^ Ga~l X Ga+i- Подробнее: в указанных
условиях На-\всть мономорфизм, a ha — эпиморфизм, и Ga рас-
распадается в прямое произведение подгруппы Im/гц-! и некоторой
подгруппы, изоморфно отображающейся на Ga+I посредством !га;
при этом всякий расщепляющий слева гомоморфизм ?: Ga^ Ga-l
является эпиморфизмом, и прямым дополнением подгруппы Im Aa_1
может служить Кег?.
Доказательство. Равенство Ga = lmha-i X Ker ^ следует
из леммы 5. Что./?a_i — мономорфизм, а ? — эпиморфизм, сле-
следует из равенства t,o ha-i = idGa-l. Из расщепляемости после-
последовательности {G;, h(} слева в члене Ga+3 и ее точности сле-
следует, что па — эпиморфизм. В качестве правого нормально
расщепляющего в члене Ga можно взять сквозной гомомор-
гомоморфизм Ga+1 == GJKer ha — GJlmha-x = (Imha-x X Ker ?)/Im ha-x =
Kerg-^Ga.
8. Для точной последовательности \-> F—*¦ G — > H -> 1 /сак
левая расщепляемость, так и нормальная правая расщепляемость
в члене G эквивалентна существованию у Im f = Ker g прямого
дополнения.
Это следует из леммы 5.
5-л е м м а
9. Если
а, —*¦ О2 —*¦ и3 —>¦ G4 —> ь5
j
G/
§ Щ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 375
— гомоморфизм точной последовательности в точную последо-
последовательность, причем ф] — эпиморфизм, ф2 и ф4 — изоморфизмы,
а ф5 — мономорфизм, то Ф3 — изоморфизм.
Докажем сначала, что ф3 есть мономорфизм. Пусть «
Тогда ф4°/г3(а) = /гзОфз(а) = ес', и, следовательно, h3(a) = G,
4 4
т. е. а <= Кег/г3 = 1ш/г2. Пусть a = h2{b), 6sG2; поскольку
/г2°ф2F) = Фз0Л2F) = ф3(а) = е0', существует с <= G, с /г/,(с) =
Ф2 F), и, значит, существует d e Gj с Л[ ° ф, (с?) = ф2 (Ь). С другой
стороны, /ij о ф1 (d) = ф2 ° /i, (rf), и потому ф2 F) = ф2 о й1 (d). Следо-
Следовательно, b = hl{d) и а = A2o/iI(d) = eG.
Теперь докажем, что ф3 есть эпиморфизм. Пусть asGJ. Тогда
Ф5°/г4оф-!о/^(а)=/^о/г^(а)==ее', и, следовательно, А4оф-iо/г^(а) =
есЕ. т- е- Ф4-1о/гз(а)еКег/г4 = 1т/13. Пусть ф-1оА^(а) = А3F),
Ь 6= G3; поскольку А; (а (Фз (б))) = (ф4 о <p-i о h'3 (a)) (AJ о % (Ь))-1 =
% ((ЧL~1 ° К («)) (Лз (&))~') = eQ>, существует ct=G'2 с h'2 (с) =
а(ф3(^))~'» и, значит, существует rfeG, с h'2°%{d) = a(cp3(b))~l.
С другой стороны, А2°ф.Дй?) = ф3о A2(d), и потому а (<р3 (б)) =
Ф3°/г2(^). Таким образом, a = op3(h2\d)b).
л-п оследовательности
УС. В ближайших пунктах нам придется иметь дело с так
называемыми гомотопическими последовательностями, которые
представляют собой весьма громоздкие образования, близкие
к последовательностям групп и гомоморфизмов, но наделенные
рядом специфических структур и свойств. Эти последователь-
последовательности возникают в различных геометрических ситуациях, но
алгебраически родственны. В остающейся части этого пункта
мы занимаемся их предварительным чисто алгебраическим опи-
описанием и изучением.
11. Бесконечная влево последовательность
тт -2и тт _ik rr -1^ тт -Ь. тт _?!*. п -lU гт -^ тт (R\
.. . П7 —> П6—> П5 —>• П4 —> П3 —*¦ 112 —*• Hi —*¦ По, (о)
в которой:
По, П[, П2 — множества с единицей (отмеченным элементом),
П3, П4, П5 —группы,
П6, П7, ... — коммутативные группы,
9о> Рь Рг — гомоморфизмы в смысле 1.2,
р3, р4, ... —групповые гомоморфизмы,
376 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
называется ^-последовательностью, если заданы:
правое групповое действие группы П3 в группах П34 с &!>2,
правое групповое действие группы П4 в группах П3б+1 с &^2,
правое групповое действие группы П4 в группах П3й-1 с k~^ 2,
правое действие группы П3 в множестве П2,
такие, что:
(i) p3fe с k^2 есть р3-гомоморфизм;
(ii) p3fe+i с k~^2 есть П4-гомоморфизм;
(ш) рз&—i с /г ^2 есть П4-гомоморфизм по отношению к пра-
правому групповому действию группы П4 в Пзь которое ин-
индуцируется имеющимся действием группы П3 в Пзк по-
посредством гомоморфизма р3;
(iv) p4 есть П4-гомоморфизм по отношению к внутреннему
правому действию группы П4;
(v) преобразование группы П5, производимое образом р4(а)
элемента а группы Г15, есть внутренний автоморфизм
рн-хх-'ра;
(vi) на р2(П3) преобразование множества П2, производимое
элементом а группы П3) определяется формулой р2 (а) о =
Р2 (<»<*)¦
Гомоморфизмом я-последовательности {П,-, рЛП=0 в л-после-
довательность {Щ, р^°° называется последовательность гомо-
гомоморфизмов {/г/. П^-^П^00 , такая, что: p'i°hi+l = ht °p; при лю-
любом г^О; hik, A3ft+1, A3ft_j с ^^2 являются (соответственно)
ho,-, /г4-, /г4-гомоморфизмами; /г2 (со)/г3 (а) =/г2 (соа) при любых
со е П2, аеП3. Изоморфизм определяется как гомоморфизм,
составленный из изоморфизмов.
12. Среди условий (i) — (vi), входящих в определение л-по-
следовательности, два, именно (iv) и (v), относятся к р4. Из (iv)
следует, что если П4 действует в П5 тождественно, то Im p4 со-
содержится в центре группы П4. Из (v) следует, что если Г14 дей-
действует в П5 тождественно, то группа П5 коммутативна, что
обратное верно, если р4 — эпиморфизм, и что в общем случае
Кегр4 содержится в центре группы П5.
13. Мы называем ^-последовательность F) точной, если
Kerp; = Impi+i при любом /^0 и, кроме того, прообразы эле-
элементов множества П] при отображении pi совпадают с орби-
орбитами действия группы П3 в П2.
Если л-последовательность F) точна, то, очевидно, при любом
i^Q тривиальность гомоморфизма рг эквивалентна эпи-
морфности Р(+ь а тривиальность ядра Кегрг эквивалентна три-
тривиальности гомоморфизма pf+1. В общем случае при г^З
тривиальность ядра Кегр? означает взаимную однозначность
§ 1J ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 3 77
гомоморфизма р(, поскольку он является групповым. Тривиаль-
Тривиальность ядра Кегр2 также означает взаимную однозначность
отображения р2: если р2(а) = р2(Р), то р2(сф~1) = р2(а)(Г| =
P2(P)P"'5=P2(PP) = P2(en,) [см. условие (vi) в 11] и а = р. Из
тривиальности ядра Кегр0 не следует взаимная однозначность
отображения р0, и" то же относится к отображению рь однако
в случае точной я-последовательности F) взаимная однознач-
однозначность отображения pi гарантирована, если группа П3 три-
тривиальна ил'и ее действие в П2 является тождественным.
Из сказанного следует, что в случае точной я-последова-
тельности F) при /^1 тривиальность рг и р(+2 эквивалентна
обратимости р,-+1 и из тривиальности Пг и 11(+2 следует три-
тривиальность Пг-+ь а из тривиальности П(-_! и Пг+2 — обрати-
обратимость pi (ср. 2).
14. Пусть F) — точная п-последовательность. Если действие
группы П4 в 112, индуцированное действием группы П3 посред-
посредством гомоморфизма р3, тождественно, то Im p3 есть нормальная
подгруппа группы П3. Обратное верно, если р2 — эпиморфизм.
Доказательство. Пусть П4 действует в П2 тождест-
тождественно. Если а е ГГ4, |ieri3, то р2 ф) р3 (а) = р2 (Р), и потому
()()[]2
[см. условие (vi) в 11], так что рр3(а){Г' <= Kerp2 = Imp3. Таким
образом, Imp3 — нормальная подгруппа группы П3.
Пусть р2 — эпиморфизм и 1трз — нормальная подгруппа
группы П3. Если аеП,, v"e П2, то существует р е р3 с р2ф) — У,
и так как Рр3(а,)р~' е Imp3 = Kerp2) то \'Рз (а) = Рг (Р) Рз (а) =
р2 (рр3 (а)) = р2 (ppja) (Г'р) = р2 (рр3 (а) р'1) Р = еп;Р = P2'(%s) P =
P2(P)==Y [см. опять-таки условие (vi) в 11]. Таким образом,
П4 действует в П2 тождественно.
15. Всякая последовательность коммутативных групп и
групповых гомоморфизмов вида F) может рассматриваться
как я-последовательность, в которой действия группы П3 в груп-
группах Пзй с k"^2 и действия группы П4 в группах П36+1 и П3й-1
с k ^ 2 тождественны, а действие группы П3 в группе П2 опре-
определяется формулой (off = (op2(a) [а?П2, аеП3]. Ясно, что при
этом последовательности, точные в смысле 2, оказываются точ-
точными и как л-последовательности, а гомоморфизмы в смысле 1 —
гомоморфизмами в смысле 1Ь
Расщепление я-последов ательностей
16. Говорят, что ^-последовательность F) расщепляется
в члене По справа гомоморфизмом ¦?: Па-1—>ПО) если Pa-i0^3
idno_b и что это расщепление нормально, если а = 0, 1, 2 или
878 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Im? — нормальная подгруппа группы Па. Говорят, что л-после-
довательность F) расщепляется в члене Г1а слева гомоморфиз-
гомоморфизмом ?: Но->Па+1, если ? ° pa = id Па+1- (Гомоморфизм понимается
как групповой, если это имеет смысл, и как гомоморфизм мно-
множества с единицей в множество с единицей в противном случае.)
17. В членах П„ с a ^ 5 правое расщепление л-последова-
тельности F) всегда нормально. В члене. П4 правое расщепление
также нормально, если последовательность точна и П4 действует
в П5 тождественно.
Поскольку группы П„ с a > 5 коммутативны, требуют вни-
внимания только члены П5 и П4. Пусть ^-последовательность F)
расщепляется в члене П5 справа гомоморфизмом ?: П4-*-П5.
Если а, ре П3, то
pap = [К (р4 (р-1))] [С (Р4 (Р)) «Р"] =
[$ (р4 (Р)) ар] [pg (р4 (р-1))] = S (р4 (Р)) а? (р4 (р-1));
перестановка сомножителей возможна, поскольку Р?(р4(р~'))
принадлежит, как это следует из равенства p4°? = idll4, ядру
гомоморфизма р4 и, значит, центру группы П5 (см. 12). Это
представление произведения Pap показывает, что если aelm?,
то Pap" elm ? при любом реП5.
Пусть ^-последовательность F) точна и расщепляется в
члене П4 справа гомоморфизмом ?: П3-*П4, и пусть П4 дей-
действует в П5 тождественно. Если а, ре П4, то
Pap = [К (р3 (Р~!)I [? (рз (р)) ар] =
Ь (р3 (Р)) ар] [& (рз (Р))] = 5 (р3 (Р)) а.1 (р3 (р-1));
перестановка сомножителей возможна, поскольку р?(рз(Р~'))»
как это следует из равенства р3 ° ?, = id 1I3, принадлежит Кег р3 =
Imp4 и, значит, центру группы П4 (см. 12). Это представление
произведения pap показывает, что если aelmg, то pap~'e
Im? при любом р е П4.
18. Пусть л-последовательность F) точна, нормально рас-
расщепляется справа в члене Па и расщепляется справа в члене
Па+3. Если а>4, то, в силу 6, последовательность F) рас-
расщепляется в члене Па также слева и Па распадается в -произ-
-произведение подгруппы, канонически изоморфной Па+Ь и под-
подгруппы, изоморфной Пц-!. При а= 1, 2, 3 последовательность F)
тоже расщепляется слева в члене Па (доказательство повторяет
аргументы из 6), но, как показывают очевидные примеры, изо-
изоморфизм na^IIa+iXna_i может не иметь места.
Пусть теперь л-последовательность F) точна и расщепляется
слева в членах П„, Па_3. Если а^6, то, в силу 7, последова-
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 379
тельность F) нормально расщепляется справа в члене Па и Па
распадается в произведение подгруппы, канонически изоморф-
изоморфной Па+ь и подгруппы, изоморфной Па-1. Все это верно, как
показывает дословное повторение аргументов из 7, и при а =
4, 5; при а = 3 можно утверждать лишь, что последователь-
последовательность расщепляется справа в члене Па.
В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с ситуацией,
когда ^-последовательность точна и расщепляется в каждом
третьем члене. Из предыдущего следует, что если я-последо-
вательность F) точна и нормально расщепляется справа в чле-
членах П,-0+зй с ij + 3/s^l, то она расщепляется в этих членах и
слева, а если она ^точна и расщепляется слева в членах ГТ,:0+3й,
то в членах Пго+зй; с i0 -+- 3ft ^ 3 она, расщепляется справа,
а в членах Yli0+3k с io-\-3k^4 она нормально расщепляется
справа.
я-в а р и а н т 5-л е м м ы
19. Пусть {Пг, pj°°_ , [П,, pj}0^ — точные л-последователь-
ности, и пусть {hf. П/->П/}°10 — гомоморфизм первой во вто-
вторую. Если /га-ь ha+l — изоморфизмы и Кег/га-2 = епа_2, 1т/га+2 =
Па+"> т° Кег па = вц и Im ha = Па {так что ha есть групповой
изоморфизм, если а^З).
При а^5 это содержится в 9, при а = 2, 3, 4 доказывается
так же.
6. Гомотопическая последовательность пары
1. Пусть (X, А) — топологическая пара с отмеченной точкой
^еА Согласно пп. 1, 4, при г^О определены гомотопические
группы лг (X, х0) и яг (А, х0), а при г ^ 1 определена гомотопи-
гомотопическая группа лг (X, А, х0). Кроме того, согласно 4.3, опреде-
определены гомоморфизмы д: лг(Х, А, хо)—>лг-1(А, х0). Мы присоеди-
присоединяем к ним гомоморфизмы т„: лг (А, хо)-+л,г (X, лг0), rel/. кг (X, х0)-*
лг(Х, A, xQ), индуцированные включениями in: A->X, rel: {X,
х0, хо)~*(Х, А, хо).~ Эти три серии гомотопических групп и три
серии гомоморфизмов объединяются в бесконечную влево по-
последовательность
... —> л2 {А, х0) > л2 (X, х0) > л2 (X, А, х0) —> щ {А, х0) >¦
я, (X, х0) -^W щ {X, А, х0) -^ л0 {А, х0) -^> я0 (X, х0), G)
в которой все члены, кроме шести последних, — коммутатив-
коммутативные группы, все члены, кроме трех последних, — группы, а три
последних — множества с единицей, и все отображения, кроме
трех последних, — групповые гомоморфизмы, а три последних —
380 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
гомоморфизмы множества с единицей в множество с единицей.
Согласно 3.3 и 4.4, определены правые групповые действия
группы щ (X, х0) в группах лг (X, х0) и группы я, (А, х0) в груп-
группах яг(А, дсо) и nr(X, A, Xq). Гомоморфизмы in,, rel», д согла-
согласованы с этими действиями, как того требует определение 5.11
(см. 3.6, 4.5 и 3.4), и a~1Pq = 713aP для любых а, рея2A,Л,х0)
[см. 4.7]. Кроме того, согласно 4.8 и 4.9, определено правое
действие группы щ(Х, х0) в щ{Х, А, х0), такое, что rel,(со) о =
rel,(©cr) для любых со, а^п^Х, хй). Таким образом, G) есть
^-последовательность. Она называется гомотопической последо-
последовательностью пары (X, А) с отмеченной точкой х0.
2. Последовательность G) точна.
Доказательство состоит в очевидной прямой проверке шести
включений Im in, с: Ker rel,, Ker rel» с: Im in»; Im rel» cz Ker d,
Ker д cz Im rel»; ImdcKerin», Ker in» crlmd и того факта, что
для элементов a, р множества л^Х, А, х0) в том и только том
случае существует а^л^Х, х0) с acr = p, если da = c?p.
3. Для любого пути s: I -*¦ А вертикальные изоморфизмы
...яг(А,в @)) -%,пг (X, s @)) -!%я, (X, A, s @)) -?> я,-, (A, s @)) ...
V-
...ЛГ(А,8 A)) -%-пг (X, s A)) -I!!V яг (X, A, s A)) -U я,-, (A, s A)) ...
составляют изоморфизм первой последовательности на вторую.
Коммутативность первого квадрата была установлена в 3.6,
коммутативность второго и третьего — в 4.5. Согласованность
вертикальных гомоморфизмов с действиями фундаментальных
групп сводится к свойству 2.1 (i) ансамблей (А, {лг(А, х)}, {Ts}),
(X, {л,(Х, х)}, {Ts}), (А, {лг(Х, А, х)}, {Ts}) и равенству Ts(aa) =
Ts (со) Tinas (о) [ст^Я!^, s @)), © е Я; (X, A, s@))], установленному
в 4.8.
4. Вертикальные гомоморфизмы
... я, (А, х0) °*> пг (X, х0) -ге V пт (X, А, х0) —>- я,—1 (А, х0) ...
I (а Ь f )* If» If* |(abf)* (g\
/ .i i\ in» / „/ is rel» /„/ r r\ д j i t\
... Пг у A , Xo) >- Пг {Л , Xo) *- Пг \Л , A , Xo) >- Пг_ i ^ Л , Хй J . . .,
индуцированные непрерывным отображением f: (X, A, xo)->
{X', A', Xq), составляют гомоморфизм первой последовательности
во вторую.
Коммутативность первых двух квадратов следует из 1.7 и
4.2. Коммутативность третьего квадрата была установлена в 4.3,
а согласованность вертикальных гомоморфизмов с действиями
фундаментальных групп — в 3.6, 4.5 и 4.8.
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 381
Важнейшие специальные случаи
5. Если X оо-связно, то все гомоморфизмы д: яг(Х, А, хй)->
яг-х(А, х0) являются изоморфизмами. Если X 6-связно и k < оо,
то гомоморфизмы д: nr(X, A, xo)->nr~i(A, x0) с r^.k являются
изоморфизмами, а д: лк+х{Х, A, xo)->nk(A, x0) есть эпиморфизм.
В обоих случаях верно и обратное, если X связно.
Если пространство А оо-связно, то все гомоморфизмы
ге1„: лг (X, х0) —> лг (X, А, х0) являются изоморфизмами. Если А
/г-связно и k < со, то гомоморфизмы rel,: nr{X, хо)-+лг{Х, А, х0)
cr^fe являются изоморфизмами, а ге1„: itfe+1(J, хо)->яй+1 (X,
А, хй) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное,
если одно из пространств X, А связно.
Если пара (X, А) оо-связна, то все гомоморфизмы in»: лг(А,
хо)-^-лг(Х, х0) являются изоморфизмами. Если пара (X, А)
^-связна и k < оо, то гомоморфизмы in*: nr(A, хо)->пг(Х, х0)
с г < k являются изоморфизмами, a in*: nk(A, xo)-*nk{X, x0)
есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное (без до-
дополнительных условий). В частности, если in: А -> X — гомото-
гомотопическая эквивалентность, то пара {X, А) оо-связна (см. 3.7 и
ср. 1.3.3.9).
6. Если А — ретракт пространства X, то последователь-
последовательность 7 (расщепляется слева в членах лт (X, х0). Расщепляю-
Расщепляющими могут служить гомоморфизмы р„: пг (X, х0) -> пг (А, х0),
индуцированные любой ретракцией р: X-+А.
Доказательство. Так как p°in = id.4, то p*oint =
id nr [A, x0).
7. Если {X, х0) стягивается в {А, х0), т. е. отображение id X
хй-гомотопно некоторому отображению к: Х->Х' с hX)czA, то
последовательность G) расщепляется справа в членах пг(А, ха).
Расщепляющими могут служить гомоморфизмы (ab/г)^: nr(X,xQ)—*¦
лг (А, х0).
Доказательство. Композиция in ° ab h х0-гомотопна
id X, и потому in^ о (ab h\ = id яг (X, х0).
8. Если {А, х0) стягивается по (X, х0) в точку х0, т. е. вклю-
включение А —> X х0-гомотопно постоянному отображению, то после-
последовательность G) расщепляется справа в членах nr{X, A, xQ).
Расщепляющими могут служить гомоморфизмы nr (A, xQ) ->
atf+l(X, А, х0), индуцированные отображениями yr; Sphr(^, xo)->
Sphr+l(X, А, х0), которые определяются формулой hv(<p)](^i> •••»
tr+i) — h(cp(tu ..., tr), tr+i) [фе Sphr(^, x0)] no любой х0-гомото-
nuu h: A X / -> X, соединяющей in: Л -> X с постоянным отобра-
отображением.
Это следует из очевидного равенства д° vr = id Sphr(A, x0).
9. Нижеследующие замечания относятся уже не к самим
гомотопическим последовательностям пар, а к гомоморфизму (8),
382 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ' [ГЛ. 5
индуцированному отображением /: (X, А, лг0) —> (X', Л', х'й) пары
с отмеченной точкой в пару с отмеченной точкой..
Из л-варианта 5-леммы (см. 5.19) следует, что: если все
гомоморфизмы (ab f )„: яг(Л, хо)-*пг(А', Хц) сг>0я все гомо-
гомоморфизмы f,: лг(Х, А, хо)-+яг(Х', Л', х'о) с г^ V являются изо-
изоморфизмами, то и все гомоморфизмы /„: лг(Х, хо)—>яг(Х', x'q)
с г ^ 1 являются изоморфизмами; если все гомоморфизмы
/»: лг(Х, х-о)-> лг (X', x'q) с г~^\ и все гомоморфизмы Д: лг (X,
A, xo)-*nr(X', Af, Xq) с r^l являются изоморфизмами, то и
все гомоморфизмы (ab/)»: nr(A, xo)—>nr(A', x"\ cr^l являются
изоморфизмами; если все гомоморфизмы /„: зхДХ, х0)-> лДХ'.х')
са>0и все гомоморфизмы (abf)*: "г (Л, -tfl) ->яг(Л', дго) с г^О
являются изоморфизмами, то все гомоморфизмы /„: лг (X, А,хо)->
лг (Х\ А', x'q) с г ^г 2 являются изоморфизмами, а /„: Л; (X, А, х0) -*
Л\{ХГ, A', x'q) есть эпиморфизм с нулевым ядром.
В последнем случае отображение /„: nt (X, А, х0) -> j(i (A-/, Л', Xg)
не обязано быть взаимно однозначным; см. 3.8.8. Можно,
однако, утверждать, что оно взаимно однозначно (и, значит,
является изоморфизмом), если предположить дополнительно,
что все гомоморфизмы (ab/)„: я, (Л, х) —> я{ (Л'", / (х)) с хе/1
являются эпиморфизмами. Действительно, пусть (оь й2ел|A,
Л, х0) и /, (g>i) =/»(ю2), и пусть шь w% — сфероиды классов соь <а2.
Так как /„(wj) = Д, ((о2), то точки /°te;i(l), f°w2(l) могут быть
соединены путем s': I-> А', таким, что петля
((f°a>,)([in: A'->X']os'))(fow2Tl (9)
гомотопна постоянной петле. Поскольку (ab/)*• л-л(А, хо)—>
яо(Л',л-о) — изоморфизм, a (ab/)%: n{{A, w{ (П) —>пх {А', /(^,A))) —
эпиморфизм, точки W] A), w2(l) могут быть соединены таким
путем s: I -> А, что путь ab/°s: I—> А' гомотопен sf. При таком
выборе s петля
(a>,([in: A->X]°s))w7l A0)
переводится отображением / в петлю, гомотопную петле' (9) и,
значит, постоянной петле. Так как /„: п: {X, л;0)—> л, (X', х'о) —
изоморфизм, из этого следует, что петля A0) также гомотопна
постоянной петле, т. е. что сфероиды wlt w2 гомотопны.
Гомотопическая последовательность тройки
10. Пусть (X, А, В) — топологическая тройка с отмеченной
точкой хоеВ. Согласно п. 4, при г~^\ определены гомотопи-
гомотопические группы яг(Х, А,. х0), лг(Х, В, х0), яг{А, В, х0) и гомомор-
гомоморфизмы in»: лг(А, В, хо)->лг(Х, В, х0), reis: лг(Х, В, х0) ~>
пг(Х, А, х0), индуцированные включениями in: (Л, В)^>(Х, В),
Tel: (X, В)^-(Х, А). При г ^2 мы определяем еще гомоморфизм
§ 11 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 383
д: пг(Х, Л, хо)-*яг_1 (Л, В, хй) как композицию граничного гомо-
М' рфизма пг(Х, А, х0) -> яг-\ {А, х0) и гомоморфизма яг_! (А, хо)->
л,. ! (А, В, х0), индуцированного включением (А, х0, хй) ->(Л, В, х0).
Эта три серии гомотопических групп и три серии гомоморфиз-
гомоморфизмов объединяются в бесконечную влево последовательность
... -Л я2 (А, В, х0) -IX щ (X, В, л-0)
я, (Л, Б, х0) ^> я, (X, S, *„) -^ я, U, Л,
которая, как и G), является it-последовательностью: правые
групповые действия группы п2(Х, А, х0) в группах пг(Х, А, х0)
и правые групповые действия группы я2(Х, В, х0) в группах
пг (Л, В, А'о), лг (X, В, ха) индуцируются действиями групп
П\(А,хй) и лх(В,хй) посредством гомоморфизмов д: п2(Х, А, хй)->
ni(A,xa), д: щ {X, В, х0) -> ях (В, х0), а правое действие группы
щ(Х, А, х0)- в ni(A, В, х0) индуцируется действием группы
щ{А, х0) посредством гомоморфизма д: л2(Х, А, хо)->я1(Л, х0);
что выполнены условия, налагаемые определением 5.11, следует
из 4.4, 4.5, 4.7, 4.8. Эта последовательность называется гомо-
гомотопической последовательностью тройки {X, А, В) с отмеченной
точкой х0.
Последовательность A1) точна; ср. 2. Для любого пути
s: 1~>В переносы nr{X, A, s@)) ->nr (X, A, s(l)), лг(Х, B,s(Q))->
пг(Х, В, s(l)), nr{A, В, s{0))->nr(A, В, s(l)) составляют изо-
изоморфизм гомотопической "последовательности тройки (X, А, В)
с отмеченной точкой s @) на гомотопическую последователь-
последовательность тройки (X, А, В) с отмеченной точкой s(l); ср. 3. Для
любого непрерывного отображения f тройки {X, А, В) с отме-
отмеченной точкой i,eS в тройку (Х\ А', В') с отмеченной точ-
точкой х'о ен В' гомоморфизмы f_: nr(X, А, ха)->пг(Х', А', х'о),
/,: яг(Х, В, xo)->nr(X',B',xi), abf,: пг (А, В, хй)^пг{А', В', х'о)
составляют гомоморфизм гомотопической последовательности
первой тройки в гомотопическую последовательность второй
тройки; ср. 4.
7. Ансамбли гомотопических групп слоев
расслоения Серра
1. Пусть \ — расслоение Серра, Fo, F{ — его слои и хй, хх —,
точки в Fo, Ft. Сфероиды ф0 е Sphr (Fo, x0), qpt s Sphr(Fb xx)
называются слоисто гомотопными, если сфероиды [in: Fo—>
tl |] о Фо е Sphr (tl I, x0), [in: Fx -> tig] о ф, е Sphr (tl g, xx) могут
быть соединены свободной гомотопией, составленной из сферо-
сфероидов пространства tig, отображающих 1Г в слои расслоения |,
т. е. если существует отображение A: Iry^I~>t\%, постоянное
на каждом из множеств Fr/rX^ с /е/ и такое, что h{y, 0) =
Фо(^). h (у> 1) = Ф1 (t/) при у е /г и отображение рг|°/г посто-
384 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
янно на каждом" из множеств IryCt с /е/. Говорят, что h
есть слоистая гомотопия, соединяющая ф0 с cpj вдоль пути
t^h(FrlrXt)
2., Всякий сфероид слоя Fu с началом х0 допускает слоистую
гомотопию вдоль любого пути пространства tl|, начинающегося
в х0. Слоистые гомотопии гомотопных сфероидов вдоль гомотоп-
гомотопных путей пространства tl % всегда приводят к гомотопным
сфероидам. Слоистые гомотопии свободно гомотопных сфероидов
вдоль путей, накрывающих гомотопные пути пространства tl |,
приводят к свободно гомотопным сфероидам.
Доказательство. Пусть s: /->tl? — путь с началом й0,
и пусть ф е Sphr(.Fo, x0). Определим гомотопии Я: /rX/->bs|,
G: Fr/rX/-*tU формулами Н{у, t) = prl»s{t), G{y,t) = s(t).
Поскольку Я {у, 0) = рг | (ф (у)) при у <= Г и G (у, 0) = ф (у) при
z/eFr/r, существует гомотопия Я": /г X / —^- tl ?,, накрываю-
накрывающая Я и такая, что Н~ (у, t) — G (у, /) при у е Fr Ir и Н~~ {у, 0) =
ф(г/) при |/е/' (см. 4.1.3.6). Ясно, что Я~ — слоистая гомото-
гомотопия сфероида ф вдоль s.
Чтобы доказать вторую часть теоремы, достаточно устано-
установить, что сфероиды ф, i|5eSphr(.F0, x0), слоисто гомотопные
вдоль петли s: 7->-Щ, гомотопной постоянной петле, гомотопны
в обычном смысле. Фиксируем слоистую гомотопию Ф: /ГХ^-*
tl?, связывающую ф с if> вдоль s, и гомотопию h: /Х^~*^|.
связывающую s с постоянной петлей, и определим отобра-
отображение Г: /r+1-*tl| и гомотопии Я: /r+1X/->bs?, G: Fr/r+lX
/ -> tl I формулами Г (ti, • ¦ ¦, tr+i) -= Ф {(tu . . ., tr), tr+l),
H((tu ..., tr+l), 0 ()
Поскольку Я (у, 0) = рг|(Г0/)) при yef+1 и
при j/eFr/r+l, существует гомотопия Я": /г X / ~* tl ?, накры-
накрывающая Я и такая, что Н~ (у, t) = G(y, t) при i/SFr/' и
^"(У. О) = ф(г/) при у^Г. Ясно, что формула ЛР((^, ..., tr), t) =
Я" ((^, ..., tr, t), 1) определяет гомотопию Л?: /гХ/->?(,, свя-
связывающую (в обычном смысле) сфероиды ф, г|5.
Докажем последнюю часть 'теоремы. Пусть сфероиды фое
Sphr(.F0, x0), toG SphrCFo, г/о) соединяются со сфероидами
Ф^^рИД-Рь xt), г|5[ е Sphr(Fi, у\) слоя Fj слоистыми гомото-
пиями вдоль путей и, v: 7-*tlg, таких, что пути рг?°«,
prg°u: /-*bs| гомотопны. Пусть, далее, ф0 соединяется с -ф0
свободной гомотопией вдоль пути w- I->F0. Последнее озна-
означает, что ф0 соединяется с г|з0 слоистой гомотопией вдоль пути
wo — [in: F0->tll]°w, и ясно, что петля prlo(u-]{wav)): /—>bs|
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 385
гомотопна постоянной, так что путь и~'(wov) гомотопен неко-
некоторому пути W\- /->tlg с wi(l)cFi (см. 4.1.3.6). В силу первой
части доказываемой теоремы, ф[ допускает слоистую гомотопию
вдоль W\, а, в силу ее второй части, сфероид, к которому при-
приводит эта гомотопия, гомотопен сфероиду "ф, [с которым ф)
-соединяется слоистой гомотопией вдоль пути u~1(wov)]. Таким
образом, ух соединяется с г|3] слоистой гомотопией вдоль пути,
проходящего в F\, т. е. сфероиды фь if>i свободно гомотопны.
3. В силу теоремы 2, слоистые гомотопии вдоль пути
s: /->tlg определяют (при любом г^О) некоторое отображение
Ts: nr(F0, s@))^nr(Fus(\)), где Fo = prl (prg(s(O))), F, =
prg '(Prl(sO)))- Эти отображения, очевидно, являются гомо-
гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (i), 2.1 (ii), 2.1 (iii), так
что на tig возникает ансамбль (tl?, {яДрг^1 (pr|(x)), х)}, {Ts}),
представляющий собой при л^1 ансамбль групп, а при г —О
ансамбль множеств с отмеченным элементом. Он называется
верхним ансамблем r-мерных гомотопических групп слоев рас-
расслоения g. В частности, при любых xetlg и rj^l имеется
естественное правое групповое действие группы Jtj(tlg, x)
в лг(рг1~{(ргЦх)), х).
Ясно, что сужение этого ансамбля на любой слой расслоения |
совпадает с ансамблем r-мерных гомотопических групп этого слоя.
Ясно также, что гомоморфизмы т„: пг (рг|-1 (рг|(л:)), х)-*лг (tl %, х)
составляют с отображением id 11E, гомоморфизм этого ансамбля в
ансамбль /--мерных гомотопических групп пространства tl \.
4. Если слои расслоения \ /-просты, то для каждой точки
6ebsg все гомотопические группы яДрг^ (й), х) с xeprg~'F)
могут быть отождествлены в гомотопическую группу яг(рг^~' (&))
[см. 3.5]. Определим в этом случае для пути s: /-*bsg ото-
отображение Ts: яг(рг|~' (s @))) ->яг(рг I" (s A))) как перенос
Ts-: яг(ргГ'(«@Ж s~(O))-*nr(pr Г'(«(О), s~ (I)) вдоль ка-
какого-нибудь пути s : /->tl|, накрывающего s; что Ts не зависит
от выбора s~, следует из 2. Отображения Ts, очевидно,
являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (i),
2.1 (ii) и 2.1 (iii), так что на bsg возникает ансамбль (bs|,
{пг (рг 1~! (Ь))}, {Ts}), представляющий собой при г~^\ ансамбль
групп, а при г = 0 ансамбль одноточечных множеств. Он на-
называется нижним ансамблем r-мерных гомотопических групп-
слоев расслоения |. В частности, при г ^ 1 для каждой точки
bebs? имеется естественное правое групповое действие группы
я, (bsg, b) в я,(ргГ'F))-
Ясно, что ансамбль, индуцированный этим ансамблем на
tig посредством проекции prg, есть не что иное, как верхний
ансамбль, определенный в 3.
386 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
5. Если ф — отображение расслоения Серра | в расслоение
Серра g1( то гомоморфизмы abtlqp,: яг (рг g~' (рг g(x)), х) ->
яг (prgj (prg, (Иф(л:)), tl ф 0е))) [*^tlg] составляют с tlq> гомо-
гомоморфизм верхнего ансамбля /--мерных' гомотопических групп
слоев расслоения g в верхний ансамбль "/--мерных гомотопиче-
гомотопических групп слоев расслоения gi. Если при этом слои расслое-
расслоений g, g, просты, то гомоморфизмы аЫ1<р„: яг(рг g-1 (&))->
яг(рг|~'(bs ф(й))) [6ebsg] составляют с Ьэф гомоморфизм
нижнего ансамбля r-мерных гомотопических групп слоев рас-
расслоения g в нижний ансамбль r-мерных гомотопических групп
слоев расслоения |i.
8. Гомотопическая последовательность расслоения Серра
1 (Лемма). Если g — расслоение Серра с отмеченной точ-
точкой ,i*oetlg и В — подмножество базы bsg, содержащее точку
Ьо = рг?(А'о), то гомоморфизм prg»: nr(tl|, prg~!(fi), x0)-^>
nr(bsg, S, bQ), в частности, гомоморфизм рг|4: я,-(tig, prg~'F0), л;0)->
яг(Ьз^, 60), является изоморфизмом при любом г^Л.
Доказательство эпиморфности рг gt. Пусть ф е
Sphr(bsg, S, йо). Определим отображение /~: /r~1->tll и гомо-
топии Н: Г~1 X / -> bs |, G: Fr /Л~' X /-* tig формулами
(")
) о ^
G(Fr/r 'х/) = х0. Поскольку Н(у, 0) = ртЦГ{у)) при уеГ1
и G {у, 0) = /" {у) при t/eFr Г", существует гомотопия
Я": /г~' X /->tlg, накрывающая . Я и совпадающая с G на
Frf-'X/ (см. 4.1.3.6). Формула ${tu ..., tr) == Г {(tu ..., t^),
1—tr) определяет сфероид a|jeSphr(tlg, prg ' (В), х0), и ясно,
что ргь#(\|з) = ф.
Доказательство мономорфности prg,,. Пусть фе
Sphr(tlg, prg-'(S), х0), и пусть сфероид prg#(i|3)eSphr(bsg, B,b0)
гомотопен постоянному сфероиду. Фиксируем гомотоцию Ф: 1Г X
/->bsg, соединяющую сфероид рг g^if) с постоянным сфероидом,
и определим отображение f~' /r-»tlg и гомотопии Я: /ГХ
/bs g, G: Fr/rX/->tl | формулами Г (П = *о, Я((<,,..., /г), /) =
( 10 )
У(*и ...,tr-u l~t) при ^г = 0,
х0 при (f„ ..., tr) e Fr Г, *г ^ 0.
Поскольку Н(у, Q) = Vrl(f~~ (у)) при г/е/г и G(y, 0) — f~ (у)
при y^Frf, существует гомотопия Я": /гX / —> tl g, накрываю-
t! ' ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 887
щая Н и совпадающая с G на Fr/'X^- Ясно, что формула
W({tu .... tr), t) = H~~{{tu .... tr-u t), \ — tT) определяет гомото-
пию х?: ГXI->tih,, соединяющую "ф с постоянным сфероидом.
Действие группы щ (bs \, Ьо) в comp (Fo)
2. Пусть | — расслоение Серра с отмеченной точкой 60ebs|.
Положим /го==рг|~1 (^о) и определим правое действие группы
jii(bs|, b0) в множестве comp(Fo), приняв для С<= comp (Fo),
ffeni(bsi, 60) за Cff компоненту пространства Fo, содержащую
начала путей, кончающихся в С и накрывающих петли класса а.
Корректность этого описания Со следует из леммы 1: путь,
кончающийся в С и накрывающий петлю класса а, может быть
интерпретирован как сфероид пары (tl |, Fo) с началом в С,
переводящийся отображением рг ?ф в петлю класса а, и если
s, <= Spht (tl I, Fo, Xi), s2 e Sph] (tl |, Fo, x2) — два таких сфероида
и w — путь в С, соединяющий Х\ с х2, то петли pr L, (stw\
рг | и (s2) гомотопны, из чего следует, в силу леммы 1, гомо-
гомотопность сфероидов SiW, So e Sph! (tl |, Fo, x2) и с ней совпа-
совпадение компонент пространства Fo, в которых лежат точки
si@), s2@). Что это —правое действие, очевидно.
Это действие согласовано с действием фундаментальной
группы пространства tig в гомотопических группах слоев (см. 7.3)
в том смысле, что С рг |„ (а) = ТаС для любых Сесотр(/?0) =
no(Fo, х0), ае л, (tl \, х0) с любым xQ^F0. Ясно также, что
если / — отображение расслоения | в другое расслоение
Серра, |', то
fact ab tl f: comp (Fo) -> comp (pr l'~l (bs / (b0))),
где ab tl f = [ab tlf: F0->prl'~[ (bs f(b0))], есть [bsf.: n,(bsg, йо)->
ni(bs|', bsf F0))]-отображение.
5. ?слы С g corap (Fo) и toeC, то принадлежащая к С ста-
стационарная подгруппа группы, jtj (bs 1, й0) [см. 4.2.3.4] совпадает
с образом гомоморфизма рг|„: Ji^tlg, л:0) —> axj (bs ^, 60).
Действительно, равенство Со = С означает, что в tl ? имеется
путь с началом и концом в С, накрывающий петлю класса о,
а если такой путь существует, то, очевидно, существует и
петля с началом х0, накрывающая петлю класса а.
Построение последовательности
4. Пусть | — расслоение Серра с отмеченной точкой xoetlE-
Положим Ьо = рг М^о),- ^о~Рг|~ (Ьо) и преобразуем гомотопи-
гомотопическую последовательность пары (tl |, Fo) с отмеченной точкой х0
посредством леммы 1, заменив при каждом г^1 гомотопиче-
3g8 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
скую группу яг (tl g, .Fo, х0) гомотопической группой nr (bs g, Ьо),
гомоморфизм rel»: я,, (tig, х0) -> nr (tl g, Fo, *о) его композицией
с изоморфизмом рг|,: яг(tig, Fo> *<>)->я,.(bsg, Ьо) и гомомор-
гомоморфизм д: яг (tl g, ^о, Хо) -> я,-, (Fo, *o) — композицией Д'=
^"(prl,): nr(bs|, b0) -+ nr-i{F0, x0). Поскольку компози-
композиция включения rel: (tig, х0, xo)->(tlg, Ль хо) и проекции
prg: (tig, Fo, #0)-+(bsg, Ьо, Ьо) есть не что иное, как проекция
prg: (tig, ль, xo)->(bsg, Ьо, Ьо), композиция [prgt: Jir(tlg, FQ, xo)-+
rtr(bsg, Ьо)] о rel, есть не что иное, как prg,: я,.(tig, xo)—>nr(bsl, b0).
Если приписать справа к получившейся последовательности
гомотопическую группу no(bsg, Ь0)и гомоморфизм рг|„: (l)
jto(bsg, Ьо), то мы придем к последовательности
Xq)-^4-л2(tlg, х0)^Л-n2(bsg, Ьо) —>-
Я1 (Fo, XQ) —+ Jt, (tl g, *0) >¦ Я1 (bs g, Ьо) —
g, b0). A2)
Согласно 3.3, 7.3 и 2, определены правые групповые действия
группы jti(bsg, Ьо) в группах nr(bsg, b0) и группы Jti(tlg, x0)
в группах nr(tlg, х0) и nr{F0, х0) и действие группы Ji[(bsg, Ьо)
в множестве яо^о, х0)- Гомоморфизмы in», рг|„, Л согласованы
с этими действиями, как того требует определение 5.11 (см.
3.6, 4.5, 7.3 и 2), и, таким образом, A2) есть я-последователь-
вость. Она называется гомотопической последовательностью
расслоения g с отмеченной точкой х0.
5. Последовательность A2) точна.
Это следует из точности гомотопической последовательности
пары (tig, Fo) и двух очевидных дополнительных фактов: ядро
гомоморфизма prg%: no(tlg, x0)—>-no(bsg, Ьо) совпадает с образом
гомоморфизма in*: no(Fu, х0) —>¦ щ(tl g, х0); два элемента а, р
множества яо(^о, х0) в том и только том случае переводятся
друг в друга некоторым элементом группы n^bsg, Ьо), если
in.(a)='in,(P).
6. Для любого отображения f расслоения g в другое рас-
расслоение Серра, g', вертикальные гомоморфизмы
in^ pri* A
... nr{F0, Хо) —>¦ лг (tl|, jc0) —>¦ nr(bsl, 60) —*nr-i (Fo, x0) ...
l(abtlf), Itlf» I bs f* l(abtlf)*
/
... яг (Fo> jc0) —> я, (tl | , x0) —>nr (bs i , b0) —»¦ яг_] (Fo, xQ) ...,
где x'o = tl f (x0), bg = bsf(b0), /7o = Prl/~1(bo). составляют гомо-
гомоморфизм первой последовательности во вторую.
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 389
Коммутативность первых двух квадратов следует из 1.7,
коммутативность третьего — из 4.2 и 4.3, согласованность вер-
вертикальных гомоморфизмов с действиями фундаментальных
групп была установлена в 3.6, 4.5, 7.5 и 2.
Важнейшие специальные случаи
7. Если пространство tig оо-связно, то все гомоморфизмы
Л: згг (bs |, bQ)-*nr-l(FQl x0) являются изоморфизмами. Если про-
пространство tig й-связно и k<oot то гомоморфизмы A: jir(bs?, bo)—>
nr-x(F0, х0) с r^Lk являются изоморфизмами, a A: n;ft+1(bsg, b0)—>
nk(FOl x0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное,
если пространство tig связно.
Если пространство bs с, оо-связно, то все гомоморфизмы
in,: ttr(Fo, х0)—>я, (tig, x0) являются изоморфизмами. Если про-
пространство bs | ^-связно и k < оо, то гомоморфизмы ш„:
яг (Fo, xo)-> я,-(tig, х0) с r^k являются изоморфизмами, a in^:
nk+\ (Fo, хо)->%+i (tig, x0) есть эпиморфизм. В обоих случаях
верно и обратное, если пространство bsg связно.
Если пространство Fo оо-связно, то все гомоморфизмы
рг?„: Jtr(tl|, xo)—>nr(bsl,, b0) являются изоморфизмами. Если
пространство Fo fe-связно и k < оо, то гомоморфизмы
рг?*: лг(^1|, х0) -> лг (bs |, 60) с г ^L k являются изомор-
изоморфизмами, a prgt: яА+1 (tl|, x0)—>nfe+i (bs |, 60) есть эпиморфизм.
В обоих случаях верно и обратное (без дополнительных
условий).
8. Если | обладает сечением, переводящим Ьо в х0, то после-
последовательность A2) расщепляется справа в членах Jtr(tl|, x0).
Расщепляющими могут служить гомоморфизмы st: nr(bsl, bQ)—>
Jtr(tl|, x0), индуцированные любым сечением s: (bs|, 60)~>(tlg, x0).
Доказательство. Так как prg°s = idbs|, то pr|tos,,,=
id лг (bs I, b0).
9. Если Fq — ретракт пространства tl |, то последователь-
последовательность A2) расщепляется слева в членах я,.(tig, x0). Расщепляю-
Расщепляющими могут служить гомоморфизмы р„: лг (tl |, х0) —> nr (Fu, xQ),
индуцированные любой ретракцией р: tig—>Fo.
Доказательство. Так как p°m — idFQ, то psoin4 =
id nr (Fo, x0).
10. Если включение in: F0->tl| хй-гомотопно постоянному
отображению, то последовательность A2) расщепляется справа
в членах jir(bsg, Ьй). Расщепляющими могут служить гомомор-
гомоморфизмы nr (Fo, xo)~^nr+i (bs I,, b0), индуцируемые отображениями
у/. Sphr(F0, xo)->Sphr+1(bsg, 60). которые определяются фор-
формулой [у, (ф)] (ti tr+l) = pr g о h (ф [tu ,.., tr), tr+l) [Ф s
Sphr {Fo, x0)] no любой х0-гомотопии h; FoX^-^tll, соединяю-
соединяющей in с постоянным отображением.
390 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Для доказательства достаточно для каждого сфероида фе
Sph^Fo, *о) указать сфероид i|>eSphr+1 (tig, Fo, х0) с dty = <p,
рг !# (i|>) = Yr (ф)> Таков, например, сфероид, определяемый фор-
формулой Я|5(/ь ..., tr+l) = h(<t>(tu ¦••> Ъ), tr+l).
11. Если проекция prg х0-гомотопна постоянному отображе-
отображению, то последовательность A2) расщепляется слева в членах
nr (Fo, x0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы
nr(FQ, хо)~>лг+1 (bs 1, b0), индуцируемые отображениями у/.
Sphr(-F0, xo)->-Sphr+[ (bsf, й0), которые определяются формулой
hv(<p)](^> ••¦> tr+i) = h((f)(tl tr), tr+i) no любой х0-гомотопии
h: tl|X/->bs|, соединяющей prg с постоянным отображе-
отображением.
Достаточно доказать, что для любого сфероида i|>s
Sphr+i(tlg, Fo, xq) сфероиды yr°d(ty), prg#(a|>)eSphr+1 (bsg, b0)
гомотопны. Требуемая гомотопия определяется формулой
Ши .... tr+l), t)^h(q(tu ..., tr, ttr+l), A-0/r+i)-
12. Если l — накрытие в широком смысле, то prg,,: я,, (tig, хо)->
jrr(bsg, b0) есть изоморфизм при л^2 и мономорфизм при г—\.
Если g — накрытие в узком смысле, то, сверх того, отображение
fact А: щ (bs |, bo)/lm pr gs —> Fo, определяемое отображением
A: Ki(bs|, 60)-*" яо (^"о. Л:о) = /;'о. обратимо.
Это следует из точности гомотопической последовательности
расслоения g и того факта, что nr (Fo, х0) — 0 при г > 0 и
я0 (tl g, x0) == 0, если g — накрытие в узком смысле.
13. Пусть / — отображение расслоения Серра g с отмечен-
отмеченной точкой х0 е tl | в расслоение Серра %' с отмеченной точкой
^oStlg'. Из предложений 6 и 5.19 следует, что: если все
гомоморфизмы bs/»: nr(bsg, bQ)->яг (bs?', 6(j) с г > 1 и все
гомоморфизмы (ab tl /)%: лг (FQ = prg (pr g(x0)), x0) ~~> %r (f'q =
prg'^1 (prg' (x'q)), x'o) cr^O являются изоморфизмами, то и все
гомоморфизмы tl /,: nr(tig, xQ)~>лг(tig', x'Q) с л^г1 являются
изоморфизмами; если все гомоморфизмы tl/t: я,, (tig, х0) —>
nr(tlg', х'о) с г>0 и все гомоморфизмы (abtl/)»: Jtr (Fo, х0)->
2tr(Fc, x'o) сг>0 являются изоморфизмами, то и все гомомор-
гомоморфизмы -bs/,: Jtr(bsg, bQ) -> nr (bs g', b'o) с r^l являются изомор-
изоморфизмами; если все гомоморфизмы bs/»: Jtr(bsg, й0)—>nr(bs|', 6q)
сг>0и все гомоморфизмы tl /»: яг (tl g, xo) -> лг (tl g', jcJ) cr>0
являются изоморфизмами, то все гомоморфизмы (ab tl /)„: nr(F0,
xQ) —> nr (F'n, x'o) с r~^ 1 являются изоморфизмами, a (ab tl /)»: na {Fo,
xQ) -> щ {F'a, x'o) есть эпиморфизм с нулевым ядром.
Заметим, что в последнем случае и отображение (abtl/)»: no(Fo,
х0) —>¦ л0 (F'q, х'о) является изоморфизмом, если все гомоморфизмы
tlf,: Jts(tig, x)-^-n,(tlg', tl/(x)) с x^.Fq являются эпиморфизмами.
Действительно, пусть хи х2 — такие точки слоя Fo, что точки
tlf(xi), tl/(x2) лежат в одной компоненте слоя F'o, и пусть
§ 1] ч ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 391
s': I->F'O— путь, соединяющий t\f(x{) с t\f(x2). Так как
(tl /)„: n0 (tl I, х0) -*¦ п0 (tl I', 4) — изоморфизм, a (tl /)„: щ (tl g, хх) ->
Я) (tig', tl/(xj))— эпиморфизм, то Х], х2 можно соединить таким
путем s: /—>tlg, что путь tl f ° s: /->tl|' гомотопен пути
[in: Fq—>tl|'] °s'. При таком выборе s петля pr|'°tlf°s гомо-
гомотопна постоянной петле, а так как bs f^:' П) (bs |, &0) -> Я; (bs S,',
b'o)— изоморфизм, то и петля' prg°s гомотопна постоянной
петле. Применяя теорему 4.1.3.6 к отображению s, произволь-
произвольной гомотопии, связывающей петлю pr?°s с постоянной петлей,
и постоянной гомотопии отображения s |Fr r мы получаем гомо-
топию, связывающую s с путем, соединяющим Х\ с х2 и прохо-
проходящим в Fo.
9. Воздействие других структур
1. В этом пункте рассматриваются простейшие свойства
гомотопических групп, вытекающие из наличия в пространстве
дополнительных структур группового типа, согласованных
с топологией. Важнейшим из этих свойств является простота.
Случай группового пространства
2. Если X — групповое пространство, то для всякого пути
s: I -* X перенос пг (X, s @))-> пГ (X, s (I)) совпадает при любом
г ^ 0 с изоморфизмом, который индуцируется левым сдвигом
на И1)]И0)Г'-
Имеется даже каноническая свободная гомотопия Г X / —*• X,
соединяющая сфероид <р е= Sphr (X, s @)) с [s A)] [s (О)] ф вдоль s:
она определяется формулой {{tu... ,tr), t)>—>{s(t)][s{0)]~1 q>{tb ..., ir).
3 (Следствие). Компоненты группового пространства являются
простыми пространствами. В частности, фундаментальные группы
компонент группового пространства коммутативны.
4. В случае группового пространства X в множествах
Sphr(X, e = ex), кроме умножения, определенного в 1.1, имеется
умножение, определяемое умножением в X [произведение сфе-
сфероидов ф, г(з s Sphr(Z, е) задается формулой г/1—s- ф (t/) -ф (г/)],
причем это второе умножение имеет смысл и при г = 0, когда
первое отсутствует. Ясно, что новое умножение делает множе-
множество Sphr(X, e) при любом'л^О группой, что сфероиды, гомо-
гомотопные постоянному, составляют нормальную подгруппу этой
груйпы и что соответствующая факторгруппа совпадает как
множество с пг(Х, е). При л = 0 возникающая группа щ(Х,е)
совпадает с факторгруппой Х/Хо, где Хо — компонента единицы,
а при г^\ новая групповая структура в пг(Х, е) совпадает
с прежней: для любых двух сфероидов ф, iji e Sphr(X, e)
392 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ ГЛ. 5
гомотошш 1ТУ,1-+Х, определяемая формулой
((/„ ..., tr),t)*-*
соединяет прежнее произведение этих сфероидов с новым.
Добавим, что умножение, имеющееся в X, делает группой
и множество \JxsXS])hr(X, х) всех r-мерных сфероидов про-
пространства X. Сфероиды, гомотопные постоянным, составляют
в ней нормальную подгруппу с факторгруппой, канонически
изоморфной при г^1 группе пг(Х,е).
5. Поскольку каждый внутренний автоморфизм топологиче-
топологической группы X индуцирует автоморфизмы групп яг (X, е), внут-
внутреннее правое действие группы X определяет ее правое груп-
групповое действие во всех группах пг{Х, ё). Преобразования,
производимые элементами подгруппы Хй (см. 4), оказываются
при этом тождественными: если w. I-+X — путь, соединяющий е
\ с х, то для любого сфероида <р е Sphr (X, е) формула {y,t)*—>
[w(()]"] ф (у) w (t) определяет гомотопию ГУ^1->Х, связываю-
связывающую ф со сфероидом у f—> x~lq> [y)x. Таким образом, в груп-
группах пг (X, ё) имеется естественное правое групповое действие
группы по(Х,е) /
Случай однородного пространства
6. Пусть G — топологическая группа и Н — ее связная под-
подгруппа. Если (G, рг, X = G/H) — расслоение Серра, то для
всякого пути s: I—> X перенос nr(X, s @)) —>¦ яг (X, s(l)) совпа-
совпадает при любом г ^ 0 с изоморфизмом, индуцируемым лю-
любым преобразованием пространства X, производимым (при
каноническом действии) элементом группы G и переводящим
s@) в s(l).
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент
группы G с gs@) = s{\), и пусть s~: I—> G — какой-нибудь путь,
накрывающий s. Так как точки s"(l) и gs" @) лежат в одном
смежном классе группы G по Н и так как смежные классы
по связной подгруппе связны, то эти точки можно соединить
в их смежном классе некоторым путем w. Формула
((/„ .... *г), •/)>-> [s, @] [в,@)Г'ф (Л, .... Q,
где s, = s' w, определяет для любого сфероида q> e Sphr (X, s @))
свободную гомотопию Ir~X,I-*-X, связывающуюф с [si A)] [si @)]~2 ф
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 393
вдоль пути, гомотопного s (именно, вдоль произведения пути s
на постоянный путь).
7 (Следствие). Если Н — связная подгруппа топологической
группы G и (G, рг, GJH) — расслоение Серра, то компоненты
пространства G/H являются простыми пространствами. В част-
частности, фундаментальные группы компонент такого пространства
коммутативны.
8. Условие серровости расслоения (G, pr, G/H), содержащееся
в формулировках теорем 6, 7, в дальнейшем будет выполняться
автоматически: группа G и факторпространство GjH всегда
будут замкнутыми гладкими многообразиями, а проекция
G -> GJH будет субмерсией, так что серровость расслоения
будет следствием теорем 4.6.1.3 и 4.1.3.4.
Случай Я-пространства
9. Топологическое пространство X с отмеченной точкой е
называется Н-пространством, если определено такое непрерыв-
непрерывное отображение [х: X X X —> X, что ц(е,е) = е и отображения
Х-*Х, определенные формулами х^ ц(е, х) и х-—>ц(х,е),
е-гомотопны id X. Отображение [х называется умножением,
е — единицей. Вместо ц(х, у) обычно пишут ху.
//-пространство X называется гомотопически ассоциативным,
если гомотопны отображения X XX X X ^> X, определенные
формулами (xh x2, x3) i—> {xiX2)x3, (xu x2, x3)r--^-xl(x2xi), и гомото-
гомотопически коммутативным, если гомотопны отображения X X X --> X,
определенные формулами (хи х2)*—>х^х2, (хи х2)>-^х2х1.
Непрерывное отображение v Я-пространства X в X назы-
называется гомотопическим обращением, если отображения X -> X,
определенные формулами х*—*-х\{х) и х*-*\(х)х, гомотопны
постоянному отображению, переводящему X в е. Вместо v(x)
обычно пишут х~1.
Первыми примерами //-пространств служат топологические
группы. Топологическая группа (рассматриваемая как Я-про-
странство) гомотопически ассоциативна и обладает гомотопи-
гомотопическим обращением, а коммутативная топологическая группа
гомотопически коммутативна.
10. Другой важный класс //-пространств составляют про-
пространства сфероидов. Для всякого топологического простран-
пространства X с отмеченной точкой х0 множества Sphr(Z, х0) с г^1,
топологизированные как подмножества пространства ^(/г, X)
и наделенные постоянным сфероидом в качестве отмеченной
точки и обычным умножением, являются Я-пространствами:
отображение фн-^ (const) ср соединяется с отображением
id Sphr (X, х0) const-гомотопией Sphr(X, x0) X /->• Sphr(X, x0);
определяемой формулой (ф, t) *—^ щ, где щ — сфероид,
394 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
значение которого в точке (tu ..., tr)^IT равно правой
части формулы C), а отображение <pi—*cp (const) соеди-
соединяется с отображением idSphr(X, х0) const-гомотопией, которая
определяется точно так же по формуле D). //-пространства
Sphr(X,x0) гомотопически ассоциативны и обладают гомотопи-
гомотопическим обращением при r^l и гомотопически коммутативны
при г ^2; гомотопии, нужные для доказательства этих фактов,
также получаются из формул п. 1.
Подобным же образом, для всякой топологической пары (X, А)
с отмеченной точкой xQ множества Sphr(X, А, х0) с г^2
являются гомотопически ассоциативными Я-пространствами,
обладающими гомотопическим обращением. При г^З они
гомотопически коммутативны.
11. Связное Н-прост ранет во является простым и, в частно-
частности, имеет коммутативную фундаментальную группу.
Доказательство. Если X — связное Я-пространство.
с единицей е, то формула (у, t) ь-=» s (/) qp (у) определяет для
сфероида <peSphr(X, е) с любым г и петли s e Sphj (X, e)
свободную гомотопию Г X/ -*Х, соединяющую сфероид у у—>
еф (у), гомотопный <р, с тем же сфероидом у i—> eqp (у) вдоль
петли /н->s{t)e, гомотопной s. Таким образом, группа л,{(Х, е)
действует в группах лг(Х,е) тождественно.
12. На Я-пространство X с единицей е очевидным образом
переносится второе описание гомотопических групп лг(Х,е),
данное в 4 для группового случая. Хотя умножение, получаемое
множествами Sphr(X, e) от X, не делает их в общем случае
группами, в пг(Х,е) оно определяет умножение, совпадающее
при г^1 с обычным. Множество щ(Х,е) оказывается при
этом группой, если X гомотопически ассоциативно и обладает
гомотопическим обращением.
Ансамбли гомотопических групп
тотального пространства главного расслоения
13 (Лемма). Пусть | — главное расслоение со структурной
группой G и и, v: 7->tl| — пути с рг?°« = рг?° и. Если
go, g\ —такие элементы группы G, что H@)go = v @), u(l)gl =
v(l) [имеется в виду каноническое правое действие группы G
в tl| — см. 4.3.2.10], то диаграмма
' 1 '[
MtlE,«@))JiJil.(tlS,
в которой вертикальные стрелки обозначают изоморфизмы,
§ T) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 395
индуцированные преобразованиями xt-^*xgQ, x*->xgb коммута-
коммутативна.
Доказательство. Напомним, Что каноническое правое
действие tl|XG-^-tlg является свободным и что его траек-
траектории совпадают со слоями расслоения |. Поскольку точки и (t),
v (t) лежат в одном слое, для каждого t e / существует один
и только один элемент g(t) группы G с u{t}g(t) = v(t). Таким
образом, если /г: /rX/->-tl§ — свободная гомотопия, соеди-
соединяющая сфероид ф0 е Sphr (tl g, и @)) с некоторым сфероидом
Ф! е S.phr(tl|, «A)) вдоль и, то формула (у, t)t—>h(y, t)g(t)
определяет свободную гомотопию, соединяющую сфероид
У *—* Фо(у)go со сфероидом y^-^ffi{y)gi вдоль v.
14. Преобразования, производимые в тотальном пространстве
главного расслоения \ элементами его структурной группы при
каноническом правом действии, связывают для любой точки
Ь ebsg и любого г^О гомотопические группы nr(tlg, x) с is
prg~'(&) каноническим сквозным изоморфизмом, позволяющим
отождествить их. Результат отождествления (представляющий
собой группу при г > 0 и множество с единицей при г = 0)
называется r-мерной гомотопической группой пространства tl|
над Ь и обозначается через лг (tl |, b).
Определим 'для пути s: / -> bs | отображение Ts: яг (tl |, s @)) -¦•
пГ (tl|, s A)) как перенос 7V: лг (tl |, s" @)) ->nr (tl|, s~ A)) вдоль
какого-нибудь пути s", накрывающего s; корректность этого
определения следует из леммы 13. Отображения Ts, очевидно,
являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (i), 2.1 (ii)
и 2.1 (iii), так что на bs? возникает ансамбль (bs|, {лхг (tl ?,, ?»)},
{Ts}). Он называется нижним ансамблем г-мерных гомотопиче-
гомотопических групп тотального пространства расслоения \.
Ясно, что ансамбль, индуцированный этим ансамблем на
til посредством проекции рг|, совпадает с обычным ансамблем
r-мерных гомотопических групп пространства tig.
Если ф: G-->G' — мономорфизм, то всякое ф-отображение
G-расслоения Стинрода в G'-расслоение Стинрода очевидным
образом индуцирует при любом г гомоморфизм нижнего ан-
ансамбля r-мерных гомотопических групп тотального пространства
первого расслоения в такой же ансамбль второго расслоения.
Гомотопическая последовательность главного
расслоения
15. Пусть | — главное расслоение с отмеченной точкой jcoetl|.
Если заменить в последовательности A2) слой /^ с отмеченной
точкой х0 канонически гомеоморфной ему структурной группой G
с отмеченной точкой е — еа (подразумевается гомеоморфизм
) и приписать к этой последовательности справа 1, то
396 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. S
получится последовательность
... щ (G, е) ^ я2 (tl %, х0)Р-^ я2 (bs I, К) -^ щ (G, е) -^ ^
jij (tl?, л;0)^ щ (bs |, b0) —¦> я0 (G, e) -^
Напомним, что я0 (G, g) есть группа (см. 4) и что группа щ {G, ё)
коммутативна (см. 3). Очевидная проверка показывает, что
гомоморфизм A: jt^bsl, b0) —> п0 (G, ё) является групповым.
Группа Jto(G, e) действует справа в группах nr(G,e) [см. 5],
а группа я, (bs |, 60) — в группах nr (bs |, Ьо) [см. 3.3] и пт (tl |, ^о) =
Jtr (tl |, 60) [см. 14]. Каноническое правое действие группы G
в tig индуцирует ее правое действие в no(tl|, Jc0) = comp(tl|)
и благодаря этому правое действие группы no(G, ё) в no(tl|, x0).
[Мы рассматриваем nQ(G, e) как факторгруппу группы G по
компоненте единицы — см. 4; эта компонента- действует
в ito(tl|, x0) тождественно.] Ясно, наконец, что гомоморфизмы
¦in,,, pr?s, Д согласованы с этими действиями, как того требует
определение 5.11. Таким образом, A3) естья-последовательность.
Она называется гомотопической последовательностью G-расслое-
ния \ с отмеченной точкой х0.
Ясно, что рг?„: щ(tlI, х0) ->л0(bs|, b0) есть эпиморфизм* и
что разбиение множества no(tlg,jco) на орбиты действу группы
no(G,e) совпадает с zer(prg»). Таким образом, последователь-
последовательность A3) точна.
Ясно также, что если <р: G'->G — мономорфизм, то всякое
ф-отображение f главного расслоения |' со структурной груп-
группой G' и отмеченной точкой x'0&t\\' в главное расслоение %
со структурной группой G и отмеченной точкой х0 е tl |, такое,
что tl/(jto)=*o, индуцирует гомоморфизм гомотопической по-
последовательности первого главного расслоения в гомотопиче-
гомотопическую последовательность второго.
10. Другие описания гомотопических групп
1. Сфероид DS о ID <ё= Sphr (Sr, ort,) [см. 1.2.8.9] называется
фундаментальным сфероидом сферы ST и обозначается через IS,
а определяемый им элемент группы nr(Sr, ortj обозначается.
через sphr. Сфероид ID e Sphr (Dr, Sr~\ ort,) называется фун-
фундаментальным сфероидом шара Dr, а определяемый им элемент
гомотопической группы nr(Dr, Sr~\ ortj) обозначается через kugr.
Ясно, что d(ID) = IS и, следовательно, d(kugr) = sph,—к
2. Обозначим через SphP(X, д:0) множество всех непрерыв-
непрерывных отображений пространства с отмеченной точкой (Sr, ortj)
§ I] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ S97
в пространство с отмеченной точкой (X, jc0) и определим ото-
отображение IS*: Sph9(X, xo)-+Sphr(X,xo) формулой IS* (q>)=(p ° IS.
Ясно, что это отображение обратимо, и из 1.3.7.6 следует, что
отображения ф, г|з е Sph?(X, х$) гомотопны тогда и только
тогда, когда гомотопны сфероиды IS*(q>), /S (г|з). Таким обра-
образом, мы получим эквивалентное описание множества яг{Х,х0),
если заменим наши кубические сфероиды и их гомотопии
сферическими сфероидами из Sph?(X, x0) и их гомотетиями.
Очевидно, тождественный сфероид idSr принадлежит классу
sphr. Ясно также, что элемент группы пг{Х, х0), определенный
сфероидом f: (Sr, ort[) —> (JT, x0), совпадает с ^(sph,-).
При r^l отображение IS* переносит в SphP(Z, xQ) и
умножение, имеющееся в Sphr {X, х0). Возникающее в Spb, (X, хй)
умножение нетрудно описать и непосредственно: произведение
сфероидов ф, г|з: (Sr, ort1)==(S1, ortj)® ... ®{Sl, ort()->-(X, x0)
есть сфероид фг|з: (Sr, ort,) = (S1, ortj® ... ®{S', ort{)-^-(X, x0),
определяемый формулой
f Ф (у\> Уг> • • •' Уг)> если ^m У\
^ * аг/ ( г|з(г/^, у2, ..., уг), если ипг/,
где у{, ..., г/г — комплексные числа, равные 1 по абсолютной
величине, a im — мнимая часть. Это умножение индуцирует
в пг(Х,хй) умножение, совпадающее с уже имеющимся. Гомо-
Гомотопические свойства умножения в SphP (X, х0) можно изучить
прямо на основании формулы A4), что дает независимое опи-
описание гомотопических групп яг{Х, х0) на языке сферических
сфероидов.
Особенно просто описывается на языке сферических сферо-
сфероидов сфероид ф" = (/5*) ([/5*(ф)] ), обратный сфероиду
1? (X, х0): он определяется формулой ф"' (х,, х2, х3, ..., хг+1)=
2, ъ > г+1)
3. Обозначим через Spblp(X,mA, x0) множество всех непре-
непрерывных отображений тройки (Dr, S*", ort!) в тройку (X, А, х0)
и определим отображение ID*: Sph9{X, А, х0) -> Sphr (X, А, х0)
формулой ID (ф) = ф о ID. Это отображение обратимо, и
из 1.3.7.6 следует, что отображения ф, i|peSphp(X, A, x0) го-
гомотопны тогда и только тогда, когда гомотошш сфероиды
Л)*(ф), Я)*(г|>). При г^2 отображение ID* переносит из
Sphr(Z, А, х0) в SphP(X, А, х0) и умножение. Возникающее
в Sph^ (X, А, х0) умножение легко описать и непосредственно:
для отображений ф, г|з: (Dr, ort1) = EI, ort^® ... ©(S1, ortf) ®
398 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 8
(/, 1)—>(Х, х0) формула A4), в которой уи ..., цг-х— комп-
комплексные числа, равные 1 по абсолютной величине, а уг<^1, оп-
определяет отображение фг|з: (Dr, ог^)-> (X, х0), принадлежащее
Sph?(X, А, хс) при ф, i|3eSph?(X, А, х0). Сфероид ф~' =
) обратный сфероиду Фе5рп?(Х, А, х0),
определяется, как и ¦ в абсолютном случае, формулой
Ч>~ (х\> Х2, хз> • • • > хг+\) —ф(*1> — Х2> хг-> • • •> хг+\)-
Таким образом, замена кубических сфероидов шаровыми
приводит к адекватному ¦описанию гомотопических групп
¦пг(Х, А, х0).
Очевидно, тождественный сфероид idDr принадлежит классу
kugf. Ясно также, что элемент группы яг{Х, А, х0), определен-
определенный сфероидом f: (р', Sr~\ orti)->-(X A, x0), совпадает с /„(kugr).
В отличие от кубических множеств Sphr(Z, хй, хй), Sphr (X, хй),
множества SphP(X, х0, х0) и Sph?(X, x0) не тождественны,
а лишь связаны каноническим обратимым отображением
(//)*)"'о (/S*): SphP(X, х0) -»¦ Sphp (X, х0, х0), которое может
быть более непосредственно описано формулой ф >—> ф ° DS.
Граница ду шарового сфероида фе5рЬ?(Х, А, х0) опреде-
определяется как сферический сфероид [из Sph?Li {А, хо)~\ формулой
Eф = [аЬф: (Sr~\ ortj) -* (Л, х0)]. Очевидно, IS* о д = д о ID*,
так что это определение границы сфероида приводит к тому же
граничному гомоморфизму д: лг(Х, A, xQ)—>-nr—i(A,x0), что и
определение кубической теории.
4. Всякому непрерывному отображению f: (X, д:0) -> (X', х'^
или /: [X, А, хЛ ~> (Х\ А', х'^ отвечает отображение
/#: Sphp(^, xo)->Sphp(r, <), соответственно, f#: Sph°(X, A,
л:0) -> Sph^ (X', А', х'о}, определяемое формулой /# (ф) = / ° Ф-
Очевидно, IS* о /# = /# о is* и ID* ° /# = f# ° ID*, так что эти
отображения /„ приводят к тем же индуцированным гомомор-
гомоморфизмам ft: яг(Х, хо)->пг(Х', х'о), f\ лг{Х, А,хо)-->пг(Хг, А', х'о),
что и определения кубической теории.
Свободная гомотопия, связывающая сфероиды ф0е5рЬ^(Х,х0),
Ф1 е Sphp(X, x^ вдоль пути s: 1->Х, определяется как обыч-
обычная гомотопия Sry^I->X, связывающая отображения ф0, Ф1 и
переводящая (ortb /) в s(t) при любом t. Если h — такая гомо-
гомотопия, то, очевидно, h ° (IS X id /) есть свободная гомотопия,
связывающая сфероиды IS*_(ф0) е Sphr {X, х0), IS* (ф,) е Sphr(X, xx)
вдоль того же пути s, так что сферические гомотопии вдоль s
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 399
приводят к тому же изоморфизму Ts: лг(Х, хо)—>пг(Х, ху), что
и кубические. Все это очевидным образом переносится на отно-
относительный случай.
Другое доказательство теоремы 4.7
5. Введение шаровых сфероидов и гомотопическая последо-
последовательность пары позволяют дать второе доказательство тео-
теоремы 4.7, менее непосредственное, зато свободное от громоздких
формул.
Сначала мы рассматриваем модельный случай: X = (D2, ortj) V
(D2, ort)); A — (Sl, orts) V (S1, ort,); хй — центр обоих букетов;
а = immIt(kug2), р = imrn^ (kug2). Так как д(а-'Ра) =
(да)~1(д&)(да) = Таадр (см. 3.4) и Тдад$ = дТда$ (см. 4.5), то
д{а~1$а) = дТда$, а так как, кроме того, пространство X стя-
стягиваемо, то д — изоморфизм (см. 6.5). Таким образом, а-1ра=Гаар.
В общем случае мы фиксируем какие-нибудь сфероиды
Ф, iJiG Sphp-(J, А, х0) классов а, р и определяем отображение
f: (ф2, ortav^2, ert,), (Sl, ort,)V(SI, ort,))-*^, Л) форму-
формулами f (imml (x)) = q>(x), f (imm2 (x)) = if {x) с JteB3. Так как
/i | /i то
a = (/ о immi), (kug2), p = (/ ° immz), (kug2),
и потому
a-'pa =Д,(ртт„ (kug2)]~! [imrn2, (kug2)] [imm,, (kug2)]) =
Сфероиды в пространствах сфероидов
6. Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0. Каждая
из формул
ь ..., ir)]{uu ..., us) = q>(ti, ..., tr, щ, ..., us),
(/,, . .., tr)\ («i, ..., ms) = ф («i, ..., us, tu ..., Q
относит сфероиду q>eSphr+s(X, x0) r-мерный сфероид г|з про-
пространства Sphs(Z, х0) [см. 9.10],«в котором отмечен постоянный сфе-
сфероид. Это приводит к двум отображениям Cub, Buc: Sphr+S (X, xo)->
Sphr(Sphs(J, x0), const), которые, очевидно, обратимы и, как и
обратные отображения, переводят гомотопные сфероиды в го-
гомотопные. При г >0 умножение, имеющееся в Sphr+s(X, x0),
переводится отображением Cub в обычное умножение
в Sphr(Sphs(X, лс0), const) [умножение сфероидов], при s >0
умножение в Sphr+s(J, x0) переводится отображением Вис в умно-
умножение, возникающее в Sphr(Sphs(X- ха), const) благодаря тому,
400' ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ, 5
что Sphs(J, Xq) есть Я-пространство с единицей const (см. 9.11
и 9.10). Следовательно, при r + s>0 отображения Cub, Buc
определяют • групповые изоморфизмы cub, buc: nr+s{X, x0)-*
nr(Sphs{X, x0), const) [групповая структура в Jto(Sphs(^. *o)> const)
с s>0 описана в 9.12]. Таким образом, группа пг{Х, х0) может
быть описана как nr_?(Sph^(X, x0), const) с произвольным q<^r.
Заметим, что изоморфизм cub: яг(Х, хо)~> зхг х (Sphj (X, х0),
const) входит в гомотопическую последовательность расслоения
Серра
! = (#(/, 0; X, х0), abV([in: Fr/-»¦/], id),
X = V(FrI,O;X,Xo)),
слой которого над точкой х0 есть Sph) (X, я0), в качестве гомо-
гомоморфизма А: пг(Х, хй)—> лг_! (Sphi(X, хй), const). Что | — рас-
расслоение Серра, следует из 4.1.4.2.
11. Аддиционные теоремы
/. Пусть du ..., dm —попарно непересекающиеся шары про-
пространства Rr, лежащие в Dr, и g — сфероид из Sph?(Z, А, х0),
отображающий множество С —If \ [jf^lntd. в А. Обозначим
через Т[ отображение шара Dr в Dr, определяемое формулой
%{(у) = (центр dt) + (радиус dt)y. Если отрезки, соединяющие
точки Ti(orti), ..., tm(ort[) с ortb лежат в С, то при г>2
где у и у, — элементы групп пг{Х, А, х0) и лг(Х, A, g°
представляемые сфероидами g и g°TiSSphP(X, Л, go^i)),
a st — путь в А, определяемый формулой s,- (t) = g (A — t) x{ (ortj) +
/orti). To же верно при г = 2, если нумерация dx dm есте-
естественна, т. е. каждый из 2-реперов Tj(ort)) — ortb т;+1(ой]) —
ortj определяет естественную ориентацию плоскости R2.
Доказательство проводится индукцией по пг. Мы предпошлем
ей два замечания, в которых через /; обозначается (прямоли-
(прямолинейный) путь в С, определяемый формулой /? (t) = A — t) xt (ortj) +
tortx.
Первое замечание: при заданных шарах du ..., dm доказа-
доказательство достаточно провести для случая, когда (X, А, х0) —
(Dr, С, orti), g = relidDr и Sj = ^. Действительно, гомомор-
гомоморфизм gt: nr(Dr, С, orti) ~> лг (X, А, х0) переводит класс сфероида
rel id/У в y. а класс сфероида xt, перенесенный вдоль 1и в Ts.y(.
Второе замечание: при заданном пг доказательство доста-
достаточно провести для стандартного набора шаров du ..., dm,
а именно, для шаров радиуса 1/2т с центрами m ~~ ort2>
§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ' 401
ftt — 3 i 3 — tn I 1 — nt . TT -. -.
—— ort2, ..., —^—ort2, —— ort2. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим наряду с указанными стандартными шарами и со-
соответствующими С, %{, 1{ произвольно взятые шары d\, ..., d'm,
удовлетворяющие условиям теоремы, и соответствующие им
С, х\, 1\. Очевидно, существует такое непрерывное отображе-
отображение /г: Dr—>Dr, 5Г~'-гомотопное тождественному, что h(С)с:С,
h°xl = x'l, ho^ — l^. Ясно также, что для такого h гомомор-
гомоморфизм rel /г„: лг (Dr, С, ort^ -> яг {Dr, С, orti) переводит класс
сфероида \ADr в класс сфероида id Z)r, а классы сфероидов ть
перенесенные вдоль путей tp в классы сфероидов х\, перенесен-
перенесенные вдоль путей I'.. %ц
Обратимся к индукции. Случаи т = 0, 1 тривиальны; рас-
рассмотрим случай т = 2. Наши замечания позволяют считать, что
(X, A, xo) = (Dr, С, ortj), g = id и что шары du d2 стандартны
(имеют радиус 1/4 и центры ort2/2, — ort2/2). Обозначим через рф
поворот шара Dr на угол ф вокруг подпространства, опреде-
определяемого уравнениями лг1=х2 = 0, и рассмотрим гомотопии
Dr~X_I->Dr, определяемые формулами
• (У, 0^[A+0ря№(у)у/
(У, t) ^ [A + t) p_ пф (у) + 2 огу/4
(jgD'./g/). Эти гомотопии могут рассматриваться как сво-
свободные гомотопии сфероидов пары (Dr, С) и в этом качестве
связывают т,, т2 с некоторыми сфероидами 0Ь а2 с началом 0.
Обозначим пути, вдоль которых производятся эти гомотопии,
через «j, и2. Ясно, что каждый из путей u~4v и~Ч2 гомотопен
прямолинейному пути /, соединяющему 0 с orti. Следовательно,
произведение классов сфероидов ть т2, перенесенных в точку ortx
вдоль путей 1и /2, совпадает с произведением классов сферо-
сфероидов 0Ь 02, перенесенных в точку ort] вдоль /, т. е. с классом
произведения сфероидов <т,, а2, перенесенным в точку ort]
вдоль I. Остается заметить, что произведение 0!02 может быть
связано с id/У свободной гомотопией вдоль /, например, пря-
прямолинейной гомотопией.
Пусть, наконец, т^З. Как и при т = 2, мы будем считать,
что {X, A, xo) = (Dr, С, ort,), g = id и что шары du ..., dm стан-
/ , т т — 1 , /п — 3,
дартны (имеют радиус 1/2т и центры ort2, ort2,...,
~ т ort2, — ort2). Введем в рассмотрение шар d радиуса
ftl til J
Ъ\1т с центром ort2 (охватывающий шары &т-\ и dm)y
отображение х: Dr->Dr, определяемое формулой т(г/) =
402 - ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
(центр d) + (радиус d)y, и прямолинейные пути I, и и v, сое-
соединяющие т(оГ^) С Ort,, Tm-j^Ortj) С r(orti) И Tm (ortj) Cj(ort,).
Обозначим, далее, через б элемент группы яД/)г, С, T(orti)),
определяемый сфероидом т. Очевидно, произведения к/, vl го-
гомотопны путям lm-\, tjp, и потому
Применяя доказываемую теорему сначала к случаю двух со-
сомножителей, а затем к случаю т — 1 сомножителей, мы видим,
что
Tu\m-xTvym^b, " A7)
(В первом случае индуктивное предположение применяется
к (X, A, xo) = (D\ С, <_, (ort,)), g = x и шарам T-'(rf ),
i~x{dm), а во втором случае к (X, A, xo) = {Dr, С, ort]), g = id
и шарам du ..., dm-2, d.) Из A6), A7), A8) следует A5).
2. Пусть- X = \im(Xk, q>k), причем все Хъ. являются Тгпро-
странствами, и пусть iel, х0^Хо, ^?4 ... — такие точки,
что imrrift (xk) = х. Если при некотором г все гомоморфизмы
(фДг: nr(Xk, xb)-^ar{Xk+i, *k+i) являются изоморфизмами, то
при этом г все гомоморфизмы (imm^)^: nr(Xk, xk)->nT(X, x)
также являются изоморфизмами.
Для доказательства заметим, что, в силу теоремы 1.2.4.5,
всякий сфероид Г ~>Х представляется как композиция некото-
некоторого сфероида Ir~*Xi с достаточно большим / и вложения
imm/, а всякая гомотопия 1ГУA->Х — как композиция некото-
некоторой гомотопии Г XI -^Х{ с достаточно большим / и вложе-
вложения imm/. Это замечание делает эпиморфность и мономорф-
ность гомоморфизмов (immft)sr следствиями эпиморфности и
мономорфности композиций
)„: яг {Хк, хк) -»> лг (Xh xt).
12. Упражнения
-1. Пусть X — топологическое пространство с отмеченной
точкой х0 и G — произвольная группа, наделенная правым груп-
групповым действием группы ях (X, хй). Показать, что существует
ансамбль групп {X, {Gx}, {Ts}) с GXo = G\ определяющий это дей-"
ствие. ¦
2. Показать, что если X — счетное клеточное пространство,
А — его подпространство в клеточном смысле и х0 — точка иэ А,
то группы пГ (X, А, х0) счетны.
3. Пусть (X, А) — топологическая пара с отмеченной точкой
д:ое А, такая, что группы пг(Х, х0), пг(А, х0) конечнопорождены
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 403
(). Показать, что если X односвязно, то и группы
пг(Х, А, х0) конечнопорождены (г ^2).
4. Показать, что если база накрытия fe-проста, то и его то-
тотальное пространство ^-просто.
5. Показать, что при г > 0, s > 0 гомоморфизмы
cub, buc: nr+s{X, xo)~>nr(Sphs(X, xQ), const)
различаются лишь множителем, идейно, множителем (— l)rs.
§ 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
И КЛАССИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
I. Надстройка в гомотопических группах сфер
/. Надстройкой над сфероидом ср из Sphr (X, хй) называется
сфероид из Sphr+1(su(J, x0), bp), определяемый формулой
(*,, ..., *,.+,) ь->рг(<р(*ь ..., tr), tr+l), где рг = [рг: X X / ->
su(X, x0)]. Обозначение: su ф. Как показывает очевидная про-
проверка, надстройки над гомотопными сфероидами гомотопны,
надстройка над произведением двух сфероидов положительной
размерности совпадает с произведением надстроек над этими сфе-
сфероидами и надстройка над постоянным сфероидом есть постоян-
постоянный сфероид. Следовательно, сопоставление фн->эиф определяет
при любом г ^г 0 гомоморфизм яг(Х, хо)-> лг+1 (su(X, х0), Ьр).,
Этот гомоморфизм также называется надстройкой и обозна-
обозначается через su.
Напомним, что мы уже дважды, в 1.2.6.2 и в 1.2.8.5, опре-
определяли надстройку над непрерывным отображением: в 1.2.6.2
это была надстройка над отображением пространства в про-
пространство, в 1.2.8.5 — надстройка над отображением простран-
пространства с отмеченной точкой в пространство с отмеченной точкой.
Нынешнее третье определение, более специальное, относится
к отображениям пары (Ir, Fr/r) в пространство с отмеченной
точкой и не пересекается с предыдущими. Вместе с тем, оно
согласовано со вторым определением в том смысле, что полу-
получается из него при переходе от сферических сфероидов к куби-
кубическим. Подробнее: сфероиды из Sph?(X, x0), будучи отобра-
отображениями пространства с отмеченной точкой в пространство
с отмеченной точкой, обладают надстройкой в смысле 1.2.8.5,
и диаграмма
SphP {X, ха) --^ Sph?+1 (su {X, *ь), bp)
\lS* :
Sphr(X, x0)-^ Sjhr+1(su(J, xo),bp)
коммутативна.
404 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Сделаем еще два очевидных замечания. Первое: если f —
непрерывное отображение пространства с отмеченной точкой
(X, х0) в пространство с отмеченной точкой (F, г/0), то диа-
диаграмма
яг{Х, xo)-^+nr+l{su{X, х0), Ьр)
лг {Y, у0) -^> nr+1 (su {Y, у0), Ьр)
(где suf понимается в смысле 1.2.8.5) коммутативна при любом
г>0. Второе: поскольку (su(Sra, ortj), bp) = (Srt+1, orti), в при-
применении к сферам наша конструкция дает гомоморфизм nr(Sn,
orti)-» лг+1 (Sn+[r ortj). Главная теорема настоящего пункта,
теорема 4, посвящена именно последнему гомоморфизму.
2. Другое описание гомоморфизма su: яг(Х, *0)->nr+1(su(X,
лг0), Ьр) доставляет отображение 1р: {X, Xo)->Sph! (su(Z, д;0), Ьр),
определяемое формулой [1р (х)] @ = {х, t). Именно, всякий сфе-
сфероид ф е Sphr (X, х0) переходит, как показывает автоматиче-
автоматическая проверка, при сквозном отображении
Sphr(X, х0)—> Sphr(Sphj (su(Z, x0), bp), const) -^>
Sphr+1(su(J, xo), Ьр)
(см. 1.10.6) в эиф, так что гомоморфизм su: яг(Х, х0)-+
nr+l (su (X, х0), Ьр) можно определить формулой su = cub<>lpt.
Еще одно описание гомоморфизма su возникает из интер-
интерпретации надстройки su(J, xQ) как факторпространства конуса
соп(Х, х0) по основанию (которое отождествляется с X). Именно,
каков бы ни был сфероид феЭрЬДХ, х0), сфероид из
Sphr4i(con(X, х0), X, х0), определяемый формулой {tu ..., tr+1)
1—*" (ф (^i, •••. tr), tr+x), переходит при отображении prfr:
Sphr+, (соп(Х, хй), X, х0) -> Sphr+) (su (X, х0), Ьр), где pr =
[pr: con (X, x0) -> su (X, xQ)], в эиф, а при отображении д:
Sphr+1 (con(Z, xQ), X, xo)->Sphr(J, x0) в ф, так что su: nr(X, xo)->
nr+l(su(X, xQ), bp) совпадает со сквозным гомоморфизмом
пг(Х, хо)^~>яг+1{сдп(Х, хй), X, xQ)-^> nr+l{su(X, x0), bp)
(обратимость гомоморфизма д: лг+1(соп(Х, л:0), X, хо)~>яг(Х, xQ)
следует из стягиваемости конуса; см. 1-6.5).
Если, например, (X, xo) = (S?, drtj), то con (X, xo) = Dn+l,
s,u{X,xa) = Sn+\ a pr = DS.
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 405
Теорема о надстройке
3 (Лемма). Пусть К, L — замкнутые непересекающиеся под-
подмножества куба I, такие, что К покрывается конечным числом
k-мерных плоскостей, a L — конечным числом t-мерных плоско-
плоскостей, и что К Л Fr Г <= Г X [0, 1/2), L Л Fr Im <= Im~x X A/2, 1].
Если k-\-l^.m — 2, то существует такая Fr Гп-гомотопия
F: Imy,I —>Im, что: (i) составляющие F отображения Im ->• Im
являются гомеоморфизмами, и обратные им отображения также
составляют гомотопию; (и) F связывает id Im с отображением
Г-+Г, отображающим К в Г~х X [0, 1/2], a L в Г~1Х[\12, 1].
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
L cz Im~l X [1/2, 1]. Так как прямые, пересекающиеся и с К и
с L, заполняют множество, покрываемое конечным числом пло-
плоскостей размерности k + / + 1 ^^—1, то в множестве Int /"""'X
@, 1/2) можно найти точку а, не лежащую ни на одной из этих
прямых. Спроектируем из а множества К, L на Frlm. Образы
будут непересекающимися замкнутыми подмножествами мно-
множества Fr/m, и мы можем построить для них функцию Уры-
сона Fr Im->I, скажем, а. Фиксируем такое положительное в,
что подобие с центром а и коэффициентом е втягивает куб I
в Im~l X [0, 1/2], а подобие с центром а и коэффициентом
1/A — е) не выводит пересечение К Л (/"*""' X [1/2, 1]) за пределы
куба Im, и обозначим, во-первых, для xeFr/m через q>x ли-
неиныи путь /->/ , ведущий нз а в х, и, во-вторых, для / из
(—1, 1) через i])( гомеоморфизм /->/, линейно отображающий
[0, A+0/2] на [0, A-/)/2] и [A+0/2, 1] на [A-0/2, 1]. Фор-
мула
F (фх (и), 0 == Фх ° ^< A-е) а (х) («),
где xeFr/, a t, ве/, доставляет, очевидно, требуемую го-
гомотопию F.
Чтобы свести все к этому специальному случаю, достаточно
в общем случае построить Fr/т-гомотопию F: /mX /->/'" со
свойством (i), соединяющую id/m с отображением, которое ото-
отображает L в /m~IX[l/2, 1]. Такую гомотопию можно опреде-
определить по произвольному числу б из интервала @, 1), удовлетво-
удовлетворяющему условию L с:1т~1 X [A — б)/2, 1], формулой
где х е= Im~x и f, не/.
4. Гомоморфизм su: ^(S", orti)->nr+1(S"+I, ortj) является
изоморфизмом при г*?^2п — 2 и эпиморфизмом при г = 2п — 1.
406 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ, 8
;
Доказательство эпиморфности su при г^2« — 1.
Мы должны доказать, что для всякого сфероида ф е
Sphr+I (Sn+l, ortj) существует такой сфероид ijpeSph^S'1, ortj,
что сфероид su чф гомотопен ф.
Доказательство совсем просто,, если ф(/гХ[0, 1/2]) содер-
содержится в верхней половине сферы Sn+1 (где последняя коорди-
координата хп+2 неотрицательна)., а ф(/гХ[1/2, 1]) —в нижней поло-
половине сферы 5n+1 (где последняя координата хп+2 неположи-
неположительна). В этом случае ф(/гХ0/2)) содержится в пересечении
указанных полусфер, т. е. в S", и нужный сфероид i|p доста-
доставляется формулой
ф(*„ ..., /г) = ф(/ь ..., tr, 1/2),
а гомотопия, связывающая ф с sui|3,— формулой
, .... tr, т=т) при Ц
рг (ф(<1, ..., tr, у), ^r+i) при
где pr = [pr: Sn X / -> su (Sn, ort,)].
К этому случаю легко сводится более общий случай, когда
множество Ф~'(°г*п+2) содержится в /гХ[0, 1/2), а множество
Ф~'(—ortrt+2) — в /гХA/2, 1]. Именно, мы фиксируем такое
е > 0, что для любой точки у из /гХ[1/2, 1] последняя коор-
координата точки ф(г/) не превосходит 1—е и для любой точки у
из /ГХ[0, 1/2] последняя координата точки q>(y) не меньше,
чем — A —е), и затем определяем отображение h: (Sn+i, ort^—>
(Sn+i, ort,) формулой
h(xu ..., xn+2) =
если \xn+2 |^ 1 — e,
xn+l,
если 1х„+2|< 1 —6.
[Это отображение натягивает полярные шапки сферы S"^1, вы-
выделяемые неравенствами хп+2^1—е, хп+2^. — (I — е), на верх-
верхнюю и нижнюю полусферы^ а остающийся экваториальный пояс
стягивает на экватор 5".] Ясно, что отображение h ofti-гомо-
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 407
топно id Sn+l (гомотопия равномерно перемещает каждую точку
xeSn+1 к h(x) вдоль кратчайшей дуги большого круга) и что
композиция h о ф отображает Г X [0, 1/2] в верхнюю полусферу,
а /гХ[1/2, 1] —в нижнюю полусферу.
Наконец, в самом общем случае мы строим триангуляцию
сферы Sn+l, в которой ortt — вершина, a ог1„+2, — ortra+2 —
внутренние точки симплексов размерности п-\~1, и затем пря-
прямолинейную триангуляцию куба /", обеспечивающую существо-
существование симплициалыюй аппроксимации отображения ф. Если
Ф! — такая аппроксимация, то, очевидно, множества К =
Ф (ortn+2), L = ф,-' (— ortn+2) удовлетворяют условиям леммы 3
с т = г + 1 и k = l = r — п [причем пересечения /CnFr/r+1,
Lf|Fr/r+1 даже пусты]; пусть G: Ir+i X I-> Ir+1—гомотопия,
составленная из гомеоморфизмов, обратных гомеоморфизмам,
составляющим гомотопию F леммы 3. Ясно, что ф] есть сфе-
сфероид, гомотопный ф, и остается заметить, что гомотопия
q>,orelG: (/r+IX/, Fr/r+1X/)-»-(Sn+I, ort,) связывает Ф, со
сфероидом, у которого прообраз точки ortra+2 содержится в /ГХ
[0, 1/2), а^прообраз точки — ortra+2 в /гХA/2, 1].
Доказательство мо homo p фности su при г^2га + 2.
Мы должны доказать, что сфероид i|>: {Г, Fr Ir) -> {Sn, orti)
с надстройкой suif: (Г*1, FrIr+l) -* (Sn+l, ort,), гомотопной посто-
постоянному сфероиду, сам гомотопен постоянному сфероиду.
Пусть Ф: (/r+1X/, Fr/r+IX/)~>(s"+1, ort,) - гомотопия,
связывающая su-ф с постоянным сфероидом. Триангулируем
сферу Sn+1 так, чтобы экватор 5" сделался ее подпростран-
подпространством в симплициальном смысле, точка ort! стала вершиной,
а точки ortrt+2, — ortrt+2 стали внутренними точками симплек-
симплексов размерности я+ 1. Затем мы прямолинейно триангулируем
куб /г+1Х/ = /гХ/Х/ так, чтобы множество /гХ0/2)Х0
сделалось подпространством в симплициальном смысле и ото-
отображение Ф стало симплициально аппроксимируемым. Если
Ф, — его симплициальная аппроксимация, то Ф} {Г X0/2)X0)c:S"
и формула г|з, (у) = Ф] (у, 1/2, 0) определяет сфероид г|з,: (Г,
Fr /г) —> (Sn, otti), гомотопный г|з. Рассмотрим отображение
perm: /г+2—>/г+2, определяемое формулой регт(/ь ..., tr+2) =
(/„ .... tr, tr+2, tr+l). Множества /С = регт(ФГ' (ortn+2)), L =
perm (Ф1 ' (— ortra+2)), очевидно, удовлетворяют условиям
леммы 3 с m = f+2, k = t = r — n+l. Пусть G: /r+2X/->
/r+2 — гомотопия, составленная из гомеоморфизмов, обратных
гомеоморфизмам, составляющим гомотопию F леммы 3, и пусть
р: S"+1 \ (о1Ч„+2 U (-—ortn+2)) -> _Sn — ретракция. Очевидная
408 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ, 5
проверка показывает, что формула
(у, 0->p(<DiopermoG(y, /, 1/2), I)
(где (у, t, 1/2) е Г+2 — V X / X /) определяет гомотопию Ir~KI->
Sn, связывающую ijpi с постоянным сфероидом.
Серии {nn+k(Sn, ortO)
5. Главное содержание теоремы 4 состоит в том, что каждая
из серий
... nr(Sn, ort,)-^,^1, ort,)-^^+2(S"+2, ort,)-^ ....
на которые надстройка разбивает гомотопические группы сфер,
стабилизируется. Подробнее: в k-ih серии {лп+к (Sn, ortj)} группы
пп+к(Sn, ortj) с п~^к-\-2 связаны сквозным изоморфизмом,
который устанавливается надстройкой. Этот канонический изо-
изоморфизм позволяет отождествить группы nn+k(Sn, ort^ с и^
к + 2 в одну группу. Последняя называется стабильной груп-
группой серии {nn+k{Sn, orti)} и обозначается через Stab(fe).
2. Простейшие гомотопические группы сфер
/. Группы nr{Sn) с г <п тривиальны. В частности, StabF)=0,
если к < 0.
Это следует из 2.3.2.2 и 1.3.8.
Гомотопические группы окружности
2. Группы rtr(S') с г> 1 тривиальны, n1(SI, ortj) есть беско-
бесконечная циклическая группа с образующей sph^
Для доказательства мы воспользуемся накрытием (R, he 1, S1)
[см. 4.1.2.6]. Сначала заметим, что hel (O) = ort,, a heP1 (orti)=Z.
Так как прямая R стягиваема, то ее гомотопичеюкие группы
тривиальны, из чего уже следует, согласно 1.8.12, что группы
лгE', ortj cr> 1 тривиальны, а отображение A: nI(S', ortj) —>
jto(Z, 0) = Z обратимо. Кроме того, (R, hel, Sl) в очевидном
смысле есть главное расслоение со структурной группой Z,
из чего следует, что А — групповой гомоморфизм (см. 1.9.15).
Таким образом, А — групповой изоморфизм, и остается заме-
заметить, что Д (sphj) = — 1.
3. Изложенное доказательство представляет вычисление го-
гомотопических групп окружности как молниеносное применение
общей теории к накрытию (R, hel, S1). Такое изложение есте-
естественно, поскольку общая теория уже построена, однако зама-
замаскировывает тот факт, что в* действительности вычисление сое-
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 409
сем просто. Поскольку фундаментальная группа окружности
занимает, как исторически, так и по существу, особое поло-
положение, мы не пожалеем еще нескольких строк и перескажем
доказательство равенства Jti(S', ortt)-=Z элементарно, обнажив
те несложные извлечения из общей теории, которые действи-
действительно используются. Их два: у всякого пути в У с началом
ortj есть накрывающий путь в R с началом 0; два пути в R
с началом 0, накрывающие гомотопные пути, имеют общий
конец. (Ср. 6.2.1.)
Рассмотрим для этого степени фундаментальной петли
IS: I-*S[ (с естественным порядком перемножения), обозначим
ради краткости п-ю степень через и„(яе2) и введем в рассмо-
рассмотрение пути Un'. /->R с началом 0, накрывающие петли ип.
Ясно, что Un(l) — n, из чего следует, что петли м„ попарно
не гомотопны. Кроме того, какова бы ни была петля и: I-+S1
с началом ortb накрывающий путь и~: /t>R с началом 0 ве-
ведет в целую точку, из чего следует, что он гомотопен одному
из путей ип, а петля и гомотопна одной из петель ип. Но это
значит, что классы петель ип, т. е. классы (sph,)" cseZ, по-
попарно различны и исчерпывают группу Jti(S', orti).
Следствия
4. Пара (D2, S') проста, гомотопические группы nr(ZJ, S1)
с гф2 тривиальны, я2(/J, S1, ort1) есть бесконечная цикличе-
циклическая группа с образующей kug2.
Все это следует из теоремы 2 и стягиваемости диска D2,
в силу которой гомоморфизм д: яг(О2, S1, orti)~>3tr_j(S1, orti)
является изоморфизмом при любом г 2^1 (см. 1.6.5).
5. Из 1 и 2 .следует, что все сферы S" с п^\ являются
простыми пространствами. Подобным же образом из 1 и 4 сле-
следует, что все пары (Dn, S") с п^2 являются простыми па-
парами.
В частности, какова бы ни была точка y^Sn с п^1,
группа nn(Sn, у) может быть отождествлена с nn(Sn, orti), и,
-какова бы ни была точка i/eS" с п^2, группа nn(Dn,
Sn~\ у) может быть отождествлена с пп(рп, Sn~\ ortO- Вслед-
Вследствие этого при г~^\ непрерывное отображение f сферы Sr
в топологическое пространство X определяет элемент группы
лг {X, х) для каждой точки х из f (Sr), а не только для х =
/(orti), и, подобным же образом, при г^2 непрерывное ото*-
бражение / пары (//, Sr~l) в топологическую пару (X, А) опре-
определяет элемент группы яг(Х, А, х) .для каждой точки ie
f{Sr~l), а не только для x = /(orti).
410 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ . [ГЛ. S
Группы яп (S")
6. При всяком п ^ 1 надстройка su: яп {Sn, ort]) ->
я„+1 (S"+l, ortj) является изоморфизмом и переводит sphn в
h
Доказательство. Теорема 1.4 прямо утверждает, что
su: nn(Sn, orti) ->• п-п+1 (Srt+1, ortj) есть изоморфизм при п^2
и эпиморфизм при м= 1. Что и этот эпиморфизм является изо-
изоморфизмом, можно вывести из гомотопических свойств рас-
расслоения Хопфа (S3, рг, S2) [см. 4.6.1.4]: отрезок его гомотопи-
гомотопической последовательности
п2 (S3) == 0 -> щ (S2) -> щ (S1) -> я, (S3) = 0
(см. 1) показывает, что n2(S2)^ it^S1), и этим исключает суще-
существование у su: ni(Sl, ortj) -> я2 {S2, ort]) нетривиального ядра,
поскольку jt1(S1) = Z (см. 2). Что su(sphra) = sphn+1 — очевидно.
7. Если п^1, то nn(Sn, ort,) есть бесконечная циклическая
группа с образующей sphra. В частности, Stab @) = Z.
При п=\ эта теорема дублирует часть теоремы 2, при
п> 1 следует из 2 и 6.
8 (Следствие). Если я^2, то пп(Вп, Sn~\ orti) есть беско-
бесконечная циклическая группа с образующей kugn.
9. При я!>1 теорема 7 устанавливает канонический изо-
изоморфизм nn(Sn)—>Z и, в частности, сопоставляет с каждым
непрерывным отображением f: Sn->Sn целое число. Нетрудно
убедиться в том, что последнее совпадает со степенью degf,
определенной в п. 4.6.5. Это следует из трех очевидных фактов:
deg (su /) = deg f; класс ^spri, представляется сфероидом he\k
(см. 4.1.2.6); deg (hey = fe.
Точно так же при я^2 теорема 8 устанавливает, канони-
канонический изоморфизм nn\Dn, S"")—>Z и, в частности, сопоста-
сопоставляет с каждым непрерывным отображением /: (Z)rt, S")-»-
(/)", S"~i) целое число, которое совпадает со степенью deg f,
определенной в п. 4.6.5.
Дальнейшие сведения,
доставляемые расслоениями Хопфа
10. При г^З гомоморфизм pi\: яг(S3)->яг(S2), индуциро-
индуцированный отображением Хопфа pr: S*->S2, является изоморфиз-
изоморфизмом. В частности, группа Jt3(S2) канонически изоморфна Z и
порождается классом pr%(sph3), т. е. классом самого отображе-
отображения Хопфа.
Это видно из отрезка
nr (S1) = 0 -> л, (S3) -> пг E2) -> яг_! (S1) "*= 0
§2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 411
гомотопической последовательности расслоения Хопфа (S3,
pr, S2).
//. При любом г^1 гомоморфизм рг„: ягE7)->nr(S4), инду-
индуцированный отображением Хопфа рг: S7—>S4, изоморфно ото-
отображает группу Jtr(S7) на подгруппу группы nr{SA), обладаю-
обладающую прямым дополнением, изоморфным пг-\{!Р). В частности,
ji7(S4) = Z©n6(S3).
Это следует из теоремы 1.8.10, примененной к расслоению
Хопфа (S7, рг, 54).
12. При любом г~^\ гомоморфизм prt: nr (S15)-> nr (S8),v ин-
индуцированный отображением Хопфа pr: S15 -> Ss, изоморфно ото-
отображает группу nr E15) на подгруппу группы лг (S8), обладаю-
обладающую прямым дополнением, изоморфным nr-i{S7). В частности,
(S&)Z(S7)
(
Это следует из теоремы 1.8.10, примененной к расслоению
Хопфа (S15, pr, S8).
13. Сквозные отображения лг-1 (S1)—>ягE2)—>nr_1(SI),
яг_, (S3) -^> лг (S4) ~^> яг_, (S3^, яг_, (S7) -^ яг (S8) -Д. яг_, (S7),
в которых гомоморфизмы А отвечают расслоениям Хопфа, сов-
совпадают при любом г^1 с idnr-i (S1), idnr_)(S3), id^-^S7).
Доказательство. Будем понимать под q одно из чисел
2, 4, 8 и рассмотрим отображение Dq->S2g~\ определяемое
формулой
(xv . . ., xq)^{xv ..., xq, *J\-x\- ... -x*, 0, ..., 0).
Его сужение на Sg~l есть, очевидно, включение Sq~ —>Sq~,
а его композиция с отображением Хопфа pr: S2q~[ -+S4 — ото-
отображение DS: Dg~>Sq; следовательно, диаграмма
в которой вертикальный гомоморфизм индуцируется релятиви-
релятивизацией указанного отображения Dg-*-S2q~\ коммутативна.
Далее, rel prs и нижний гомоморфизм д являются изоморфиз-
изоморфизмами (см. 1.8.1 и 1.6.5), и из этой коммутативности следует, что
сквозной гомоморфизм
412 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 5
совпадает с idnr(S'7). Остается заметить, что композиция двух
первых гомоморфизмов есть su (см. 1.2), а композиция двух
последних есть А (см. 1.8.4).
14. Из 13 и 1.8.7 следует, что гомоморфизмы su: я5E3)->
пв (S4) и su: Я13 (S7) —*¦ пн (S8) являются изоморфизмами, т. е. что
в сериях {nn+2(Sn)} и {я„+6E")} [как и в серии {nn{Sn)}] стаби-
стабилизация наступает по крайней мере на шаг раньше, чем это
гарантирует теорема 1.4.
3. Композиционное умножение
/. Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0. Для лю-
любых сфероидов ф е Sphp^Z, х0), i|> ^ Sph^ (Sp, ortj композиция
Ф о г|з: (Sq, oTti)->(X, х0) представляет собой сфероид из Sph^ (X, х0),
и гомотопический класс последнего определяется гомотопиче-
гомотопическими классами сфероидов ф, а|з. Благодаря этому, для любых
классов а е пр (X, хй), pen^S') определена их композиция
а о E е nq(X, х0). Равносильное определение: а°р есть ф„(C), где
Ф — сфероид класса а.
Ясно, что: если а<=яр(Х, х0), то a°sphp=a; если оеяДХ, х0),
Р «= пЙ {Sp), ^блг (S17), то а о (р о Y) = (а о р) о Y; если а е яр {X, х0),
Р«= лчEр), то f4(a ° Р) = (/»(а)) о р для всякого непрерывного отобра-
отображения / пространства X в другое пространство; если а?=лр(Х,х0),
Рея, (Sp), то su(a°P)==sua° sup. Ясно также, что если as
пр{Х,х0) и рь & €= я? (SO, то 0°$, + p2) = a°Pi + а°Рг [в част-
частности, а о & sphp = ka для любых а е яр (Z, x0), й е Z]. Это свой-
свойство принято называть правой дистрибутивностью — в отличие
от левой дистрибутивности, которая состоит в том, что если аи
а2 е пр (X, ха) и $<^nq(Sp), то (at + a2)°P^=a1 ° p + a2 ° р. Левая
дистрибутивность имеет место далеко не всегда; см.# 2 и 5,
а также 9.1.
2. Для любых аи а2^ лр(Х, х0) и fi^nq-l{Sp~l)
suf5 = ai °suP + a2°sup. A)
В частности, для любого Р <= nq-l(SpZ1) и любого целого k
(k sphp) о su р =г= k su p.
Доказательство. Фиксируем сфероиды фь ^app^ 0)
и ф е Sphp-i(SB~', orti), представляющие ab a2 и р, и обозна-
обозначим проекции рг: S"'1 XI~>svl(Sp~\ ort,) = Sp, pr: S'^X/-*
suCs', orti) = S'? через р1( р2. Согласно своему определению
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 413
(см. 1.10.2), класс щ-^-щ представляется сфероидом
Г Ф1 ° Pi (x, 2/) при
Pi(x,t)^ (ф20р1(ХJ/_1) при 1/2</<1,
а класс sup — сфероидом Р2(х, t)*-"> Pi(ty(x), t) [см. 1.1], из чего
следует, что обе части равенства A) представляются сфероидом
<Pi°PiA>(*), 20 при 0</<1/2,
<b°Pi№(x).2t-\) при 1/2</<1.
Кольцо Stab
3 (Лемма). Пусть k, I — неотрицательные целые числа и
п — натуральное число. Если aenn+J(S"), ft ^.nn+l(Sn), то
su* a о su"+* p — (— \)ы surt p о sun+/ a.
Доказательство. Фиксируем сфероиды ф <= Sph?U(S",
orti), г|з <= Sph?+;E", ortj) классов a, p и обозначим для неотри-
неотрицательных целых чисел р, q через perm(/7, q) гомеоморфизм
SP+« = (SP, ort,)©(S', ort^iS4, ог
переставляющий сомножители (равенства обозначают канони-
канонические гомеоморфизмы — см. 1.2.8.9). Как показывает прямая
проверка, композиции
su" ф о perm {n, n + k)° surt+* -ф о perm (п. + k, n + /): S2!l+k+l -> Sn,
perm (n, n) о su" ф ° perm (д, n + /) ° su"+/ -ф: 52/t+;i+z -> S"
совпадают, и так как degperm(/7, ?) = (— 1)р9, из этого совпа-
совпадения следует, что
su" a о [(_ !)-<»+*> sph2n+fe] о Su«+A р = [(- lf+k)("+/) sPh2fl+fe+/] =
[(-if sphj о Su" р о [(_!)»<»+'> Sph2n+;] о sure+'a.
Пользуясь обеими дистрибутивностями (правой и левой — см. 1
и 2), нетрудно привести это равенство к виду
и остается заметить, что [п (п + k) + (я + /г) (п + 0] — [я2 +
и (и + /)] = &/ mod 2.
4. Положим Stab = ©~=0 Stab (k) и отождествим группы
Stab (&) с их образами при естественных вложениях Stab (&) —>
Stab. Операция ° превращает Stab в кольцо: если a^nn+k(Sn),
(+s), то su(a°P) = sua°sup (см. 1), что. делает
414 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ:. 5
операцию ° корректно определенной как дистрибутивное умно-
умножение элементов из Stab (k) на элементы из Stab (/) со значе-
значениями в Stab{k + l) (см. 1 и 2) и позволяет бидистрибутивно
продолжить ее до перемножения элементов множества Stab
со значениями в Stab. Из 1, 2 и 3 следует, что кольцо Stab
ассоциативно, обладает единицей sph = sphi = sph2 = . .. и косо-
коммутативно в том смысле, что если а е Stab {k), |3eStab(/),
то р°а = (— l)ft/a°p.
Применение
5 (Лемма). Композиция (—sph2)°pr,(sph3), где рг — хопфов-
ское отображение сферы S3 в S2, совпадает с рг4 (sph3).
Это следует из коммутативности диаграммы
I РГ РГ
у V
в которой горизонтальные отображения определяются форму-
формулами {хь хъ х3, хА)>—*{хи —х2, х3, —х4), (хь хъ хъ)ь->(хъ —х2, х3)
и представляют собой сфероиды классов sph3, — sph2.
6. Группа Stab A) содержит не более двух элементов.
Поскольку группа n4(S3) уже стабильна, a su: эт3 (S2) -> щ(S3)
есть эпиморфизм (см. 1.4), достаточно показать, что Kersu со-
содержит удвоенную образующую 2[pr: S3 -> S2]* (sph3) группы
я3E2) (см. 2.10). Доказательство: так как
2 pr, (sph3) = pr, (sph3) + pr, (sph3) =
sph2 ° ргДврПз) + (— sph2) о pr»(sph3)
(см. 5), то
su B рг„ (sph3)) = sph3 о su (pr, (sph3)) + (— sph3) ° su (prs (sph3))
(cm. 1), и остается заметить, что правая часть последнего ра-
равенства есть 0 в силу 2.
4. Информация: гомотопические группы сфер
1. Долгое время изучение и вычисление гомотопических групп
сфер находилось в центре внимания топологов. Надеялись, что
с этой задачей удастся справиться и что к ней в значительной
степени сведутся другие, более сложные, задачи теории гомо-
топий. В обоих направлениях действительно удалось получить
глубокие результаты, однаколервоначальные надежды не оправ-
оправдались: постепенно выяснилось, что с гомотопической точки зрения
сфера является не элементарным, а скорее сложным составным
§2]
СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
415
объектом. С другой стороны, добытая информация о гомотопи-
гомотопических группах сфер нашла применения, которых не ожидали,—
прежде всего в дифференциальной топологии.
Ниже излагается некоторая (довольно незначительная) часть
этой информации: в 2 общего характера, в 3 — табличного
характера. Более полные сведения, а также ссылки на доказа-
доказательства, можно найти в [7].
2. Из групп nr (Sn) с г > п бесконечны только группы
лш-\{32т) с т=\, 2, ... Каждая из этих бесконечных групп
изоморфна прямой сумме Z© (конечная группа).
При нечетном простом р порядок группы Stab Bm(р — 1) — 1)
с т— 1, 2, . . ., р — 1 делится на р, но не делится на р2, и по-
порядок группы Stab (k) с k < 2р (р — 1) — 1 не делится на р, если
кф — Imod2(p —1).
3. Среди вычисленных групп nr(Sn) находятся все группы
nn+k (Sn) с k < 23 и все группы Stab {k) с k < 33. Группы nn+k {Sn)
с д^2 и 1^/г^7 собраны в таблице:
\. k
п ^ч.
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Z
z2
2
Z2
Z2
z2
3
z2
Zl2
z © zu
4
z12
z2
Z2@Z2
z2
0
5
z2
Z2
z2 © z2
z2
z
0
6
z2
• z3
Z2 © Z24
z2
z2
z2
z2
7
z3
z15
Z15
/.30
Zj20
Z © Z120
Z240
В нижеследующей таблице, где рг всегда обозначает одно
из отображений Хопфа S3^>S2, S7-->S\ Sl5->S8, указаны обра-
образующие групп Stab (к) с /г = 1 7:
416
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[ГЛ. 5
Группы
Stab(l) = n4E3)[^Z2]
StabB) = ne(S4)[s=Z2]
Stab C) = jt8(S5)[~ Z24]
StabD) = jtlo(S6)[=O]
Stab E) = jt12(S7)[= 0]
Stab F) = яиE8)[^ Z2]
Stab G) = nle(S»)[ss Z240]
Образующие
su(pr,(sph3))
su2(pr,(sph3))t
su(pr,(sph7))
su4(prt(sph7)) =
su(pr,(sph15))
su3(prt(sph3))
su7(pr.(sph7))
Добавим к этому, что
su3 (pr, (sph3)) о su4 (pr. (sphs)) ° su5 (pr, (sph3)) = 12 su (pr, (sph7)),
su7 (pr, (sph3)) о su6 (pr, (sph7)) о su9 (pr, (sph7)) = 120 su (pr, (sphI5)).
Вместе с предыдущей таблицей эти соотношения дают полное
описание части @?=1Stab(&) кольца Stab.
Группы Stab (k) с k = 8 15 собраны в таблице:
к
8
9
10
11
Stab(fe)
Z2©Z2
z2 © z2 e z2
z2
Zgo4
к
12
13
14
15
Stab (к)
0
z3
Z6©Z2
Z480 © Z2
5. Гомотопические группы
проективных пространств и линз
/. При 2</г<оо группа щ {RPn, A : 0 : 0 : ...)) состоит из
двух элементов и порождается классом петли rp: I-+RP11, опре-
определяемой формулой гр (/) == (cos nt: sinnt'. 0 : 0 : ...), а гомото-
гомотопическая группа nr(RPn, A:0:0: ...)) с гф\ изоморфна nr(S")
[в частности, тривиальна, если га = оо], причем изоморфизм инду-
индуцируется проекцией Sn ~> RP". Пространство RPn просто при не-
нечетном п и не является п-простым при четном п.
(Случай и=1 был рассмотрен в 2.2.)
Доказательство. Все, относящееся к самим группам
nr(RPn, (I :0 :0: ...)), следует из теоремы 1.8.12, примененной
к накрытию (Sn, pr, RPn). l-простота пространства RP" следует
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 417
из коммутативности его фундаментальной группы. Рассмотрим
автоморфизм Ггр: nr{RPn, A:0:0: ...))->nr{RPn, A:0:0: ...))
с г^2. Пусть гр" — путь с началом ortb накрывающий гр. Из
очевидной коммутативности диаграммы
следует, что преобразование 7гр тождественно или нет вместе
с композицией (—idS")t ° Тгр~~, которая сводится, после ото-
отождествления nr(Sn, — orti) = nr (Sn, orti) = nr (Sn) [см. 2.5],
к (—idS")»: 5tr(Srt)-H>-5tr(Sn). Остается заметить, что если п не-
нечетно, то отображение — id Sn гомотопно id Sn, так что авто-
автоморфизм (—idS"),: лг (Sn) -> nr (S") является тождественным при
любом г, а если /г четно, то [(— id S")%: nn (Sn) -> лп {Sn)] —
- id nn(Sn).
2. При 1 ^ n < oo группа n2 {CPn, A:0:0: .. .)) изоморфна Z
и порождается классом сфероида in: S2 = С/31 -> CPrt, а гомо-
гомотопическая группа пГ (СРп, A : 0 : 0 : ...)) с гф2 изоморфна
nr(S2n+l) [в частности, тривиальна, если н. = оо], причем изомор-
изоморфизм индуцируется проекцией S2n+l -> СРп.
(При п=\ эта теорема дублирует теорему 2.10.)
Здесь два утверждения: что т„: л2(СР\ (I'. 0'. 0'¦ ...))->
п2(СРп, A:0:0: . . .)) есть изоморфизм и что pr»: nr{S2n+[, orti)->
nr {CPn, A:0:0: . . .)) с г ф 2 есть изоморфизм. Первое следует
из 3-связности пары {СРп, СР1) [см. 2.3.2.2 и 2.1.3.5], второе
получается из гомотопической последовательности расслоения
(S2n+1, pr, ePn) и теоремы 2.2.
3. При 1 ^ п ^ оо ы любом г ^ 1 гомоморфизм, индуциро-
индуцированный проекцией S4n+3 —> HP", изоморфно отображает группу
nr(Sin+3) на подгруппу группы, nr(JtiPn, A:0:0: ...)), обладаю-
обладающую прямым дополнением, изоморфным nr-i{S3). В частности,
при r^sl группа яг(НР°°, A :0-: 0: ...)) изоморфна nr_,(S3).
(При г—1 эта теорема дублирует теорему 2.11.)
Для доказательства достаточно применить теорему 1.8.10
к расслоению (S4n+3, pr, UPn).
4. Линзы L(m; lit ..., ln) и L(m; lb l2, ...) просты. Группы
iti(L(m; l\, • • •> ln)) u Щ {L{m; lb l2, ...)) изоморфны Zm. Группы
nr(L(m; l\, ..., /„)) er>2 изоморфны nr(S2n~]), причем изомор-
изоморфизм индуцируется проекций S2n~l—>L(m; h,..., 1^1- Группы
nr{L(m; lu l2, ...)) с г^2 тривиальны.
Доказательство очевидным образом обобщает начало доказа-
доказательства теоремы 1.
418 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. й
6. Гомотопические группы классических групп
/. Гомоморфизм включения nr(SO(n))-*nr(SO(n-\-1)) является
изоморфизмом при г ^.п — 2 и эпиморфизмом при г — п — 1.
Группа л{ (SO (/г)) изоморфна Z при п = 2 и Z2 при п^З и
порождается классом включения S1 = SO B) ~>SO (n). Группа
n2(SO(n)) тривиальна при любом п. Группа яэE0(и)) тривиальна
при пк^.2, изоморфна Z при я = 3, изоморфна Z@Z при п = А
и изоморфна факторгруппе группы Z©Z no циклической под-
подгруппе при п^Ъ.
Доказательство. Тривиальность групп я2 (SO B)),
n3(SOB)), я2EОC)), я2E0D)) и изоморфности я, (SO B)) s* Z,
щ {SO C))^Z2, я3 (SO C))sZ, я3 (SO D)) ^Z©Z являются след-
следствиями равенств SOB) = S\ SOC) = RP3, SO D) = RP3 X S3
(см. 3.2.1.2, 3.2.3.1 и 3.2.3.3) и теорем 2.2, 2.7, 5.1. Остальное
получается из гомотопической последовательности расслоения
{SO (п + 1), pr, S"), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой
id е SO (л+1).
2. Гомоморфизм включения nr(U(n))->nr{U(n-\- 1)) является
изоморфизмом при г ^ 2и — 1 ы эпиморфизмом при г = 2«. Ярм
п^1 группа п{(и(п)) изоморфна Z u порождается классом
включения S1 = U (I) ->U(n). Группа n2(U (п)) тривиальна при
любом п. Группа n:i(U(\)) тривиальна, группа ns(U{n)) с п^2
изоморфна Z. Гомоморфизм включения щ (U {п)) -> щ (SO Bn))
является эпиморфизмом при любом п.
Это получается из равенств [in: t/(l)->SO B)] = id, f/B) =
S1 X S3 и гомотопической последовательности расслоения (t/(/z+l),
pr, S2n+1), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой id e t/(«+ 1).
3. Гомоморфизм включения nr(Sp(n))->nr(Sp(n + 1)) является
изоморфизмом при г^4/г + 1 и эпиморфизмом при г = 4« + 2.
5 частности, при г ^ 5 м любом п ^ 1 группа nr (Sp (n)) изо-
изоморфна nr (Sp A) = S3).
Это видно из гомотопической последовательности расслоения
(Sp(/z + 1), pr, S4n+3), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой
id <=Sp (/г + 1).
Стабилизация
4. Теоремы 1 —3 показывают, что при любом г ^ 1 каждая
из серий групп
nr (SO A)) -> nr (SO B)) -* щ (SO C)) ->...,
яЛ?/A)) ->-яДС/B)) ->яг(С/C)) ->...,
яг (Sp A)) -> я, (Sp B)) -> яг (Sp C)) - ...
стабилизируется: первая — начиная с я,. (SO (г + 2)), .вторая — на-
начиная с nr(U([(r + 2)/2])), третья —начиная с nr(Sp([(r +2)/4])).
СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
419
Группы лг (SO (п)) с п > г + 2, nr(U (я)) с п > [(г + 2)/2] и яг (Sp («))
с га^[(г + 2)/4] называются стабильными и обозначаются через
ягE0), nr(U) и лгEр). Согласно теореме 1, n,(SO)^Z, n2(SO)=0,
ячEО) ^ (Z©Z)/(iiHiuiH4ecKaH подгруппа). Согласно теореме 2,
щ ([/) = Z, я2 (^) = 0, я^ (?/) е* Z. Согласно теореме 3, я, Eр) = О,
Z
(p) , 3p)
Обозначения nr{SO), nr{U), nr{Sp) имеют и прямой смысл:
это обычные r-мерные гомотопические группы предельных про-
пространств SO = limSO(rt), U = l\mU(n), Sp = \imSp(n) (см. 1.11.2).
Информация
5. Группы nr (SO), nr(U), nr(Sp) полностью вычислены. Именно,
при г^1 имеются канонические изоморфизмы лг (SO) ~>nr+s(SO),
nr(Sp)—>Tir+s(Sp), nr{U) ->7tr+2(U), начальные же восемь гомо-
гомотопических групп пространств SO и Sp и две начальные гомо-
гомотопические группы пространства U даются таблицами:
г
nr(SO)
nr(Sp)
1
z2
0
2
0
0
3
z
z
4
0
z2
5
0
z2
6
0
0
7
z
z
8
z2
0
r
nr(U)
1
z
2
0
Доказательства можно найти в [17].
Известны и многие нестабильные гомотопические группы
многообразий SO(n), U(n), Sp(n); например, n2n(U(n)) = Zn\,
^4n+2(Sp(n))^Zm+l)t при четном n, nin+2(Sp(n)) s* Z2[BП+01] при
нечетном п. Подробности и ссылки на доказательства имеются
в [7].
7. Гомотопические группы
многообразий и пространств Штифеля
/ (Лемма). Если k < п, то: многообразие V (п, k) просто;
гомоморфизм включения nr(V (n, k))-*nr(V («+ 1, k-\-l)) яв-
является изоморфизмом при г < п — \ и эпиморфизмом при г = п— 1;
он является изоморфизмом и при г — п—1, если п нечетно
и k = \.
Все многообразия CV (n, k) и HV (n, k) просты. Гомоморфизм
включения nr(CV(n, k)) -> пГ (CV (n + 1, k + 1)) является изо-
изоморфизмом при г <2п и эпиморфизмом при г = 2га. Гомомор-
Гомоморфизм включения nr(HV(n, k))-*¦ nr (t\V (n + 1, &+1)) является
изоморфизмом при г < An + 2 и эпиморфизмом при г = An + 2.
420 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 5
Простота следует из того, что V (п, к) — SO (n)/SO (п — k),
СУ (я,- k) = U(n)/U(n — k), W{n, k)*=Sp{n)ISpin—k) (cm.
4.2.3.12 и 1.9.7). Остальное получается из гомотопических по-
последовательностей расслоений (У in + 1, k -4- 1), pr, Sn), (СУ (я-j-l,
k + \), pr, S2n+1), (НУ(я+1, k + 1), pr, Sto+3), описанных в
4.6.1.4, с включениями R*->Rn, C*->Cft, H*-*H" в качестве
отмеченных точек. В вещественном случае мы пользуемся до-
дополнительно тем фактом, что при нечетном п расслоение
(У (я-f 1, 2), pr, Sn) обладает сечением (см. 3.1.4.7), благодаря
чему при нечетном п и k = 1 первая из указанных гомотопи-
гомотопических последовательностей расщепляется справа в членах
яг(У(л+ 1, k+ 1)) (см. 1.8.8).
2. При k < п многообразие V (п, k) (n — k — \)-связно. Группа
iV (n, k)) с 0 < т < п циклична и порождается классом
k
))
включения Sn~k — V in — k -4- 1, 1) —> У (я, /г); она бесконечна,
если п — /г четно, а также если k — l.
Это следует из леммы 1: если г < п — k, то яг(У(я, /г)) ss
nr(V(n-l, k-l))e* ... s*nr(V(n-k+l, l)) = nr(Sn-k) = 0,
в последовательности же nn-k(Sn~ ) = я„_й(У(я — & + 1, 1))-*
я„-й (У (я — k + 2, 2))-> ... ->яп_д,(У(я, /г)) все стрелки, кроме
первой, — изоморфизмы, а первая — изоморфизм при четном я—k
и эпиморфизм при нечетном я — А.
3. Многообразие CV in, k) 2 (я — к)-связно. Группа
Щп-2Ы+1 iCV in, k)) изоморфна Z и порождается классом вклю-
включения S2»-2№ = СУ (я - k + 1, 1) -> СУ (я, /г).
Это следует из леммы 1: при г^2я — 2fe + 1 в последова-
последовательности ягE2/г-2*+1) = яг(СУ(я~й + 1, 1)) -^яг (СУ (я — & +
2, 2))-> ... -+яг(СУ(я, й)) все стрелки — изоморфизмы.
4. Многообразие НУ (я, k) Dя — 4/г + 2)-связно. Группа
Ячп-иг+з (НУ (я, k)) изоморфна Z ы порождается классом включе-
включения S4«-«+3 = НУ (я - /г + 1, 1) -* НУ (я, &).
Это следует из леммы 1: при г^4д —4/г + З (даже
при г <! 4д — 4/г + 5) в последовательности яг E4/г-4*+3) =
яг(НУ(я-й+ 1, 1))->яГ(НУ(л —А + 2, 2))-*-... ->я,(Н7(л, *))
все стрелки — изоморфизмы.
5. Пространства У(оо, й) м СУ(°о, й) [еж. 4.5.3.9], а также
пространство НУ (оо, k) = lim (НУ (я, ft), in: Hi/ (я, ft)-»HV (л+1, k))
оо-связны.
Это следует из теорем 2, 3, 4 и 1.11.2.
8. Гомотопические группы
многообразий и пространств Грассмана
1. В этом пункте вычисление важнейших гомотопических
групп многообразий Грассмана б(я, k), G+in, k), CG(n, k),
Win, k) и пространств Грассмана G (oo, k), G+ (oo, k) и CG (oo, k)
§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 421
[см. 4.5.3.2], а также HG(oo, A) = lim(HG(n, k), in: HG(n, k)r>
HG(/z+l, k)) сводится к вычислению гомотопических групп
соответствующих классических групп.
Многообразия и пространства Грассмана рассматриваются
совместно, так что для п допускается и значение оо.
2. Если k> О и 0 < г <п— k, то группа лг (G+ (п, k)) изо-
изоморфна nr-i(SO (k)) и гомоморфизм включения nr(G+(n, k)) ->
nr (G+ [n!', k)) является изоморфизмом для всякого ri > п.
Первое получается из теорем 7.2, 7.5 и гомотопической по-
последовательности расслоения (V(п, k), pr, G+(n, k)), опреде
ленного в 4.6.1.4, с включением R*-*R" в качестве отмеченной
точки. Второе следует из коммутативности диаграммы
nr(G+(n, fe))-^n,
! in» lin*=id
nr(G+(n', k))-^nr^(SO(k))
(cm. 1.8.6).
3. Группа nr(G(n, k)) с 0 < k < n и г~^*2 изоморфна
nr(G+{n, k)). Группа Jti(G(/z, k)) изоморфна Z, если n — 2, k — \,
и Z2( если 0 < k < n и п~^Ъ.
Что nl(GB, 1))^Z, следует из теоремы 2.2, поскольку
многообразие GB, 1) гомеоморфно 51. Остальное следует из
теоремы 1.8.12, примененной к каноническому двулистному на-
накрытию (G+(n, k), pr, G{n, k)).
4. Если 0 < г < 2« — 2/г-|-1> то группа nr(CG(n, k)) изо-
изоморфна nr^.l(U(k)) и гомоморфизм включения nr(CG(n, k))—>
яг (CG (п'', k)) является изоморфизмом для всякого п' > п.
Доказательство повторяет с очевидными изменениями дока-
доказательство теоремы 2.
5. Если 0 < г < An — 4k -f 3, то группа пт (HG (n, k)) изо-
изоморфна nr-i(Sp(k)) и гомоморфизм включения nr(HG(n, k))—>
nr (HG (nf, k)) является изоморфизмом для всякого п' > п.
Доказательство опять повторяет с очевидными изменениями
доказательство теоремы 2.
9. Упражнения
1. Пусть <7 —2, 4, 8, и пусть pr: 52<r~'->S'?— отображение
Хопфа. Показать, что при любом целом k
{k sph?) ° pr%(sph2?_r) «= k2 pr, (sph2?-,).
2. Показать, что при любом натуральном п пространство RP"
{п + 1)-просто.
3. Показать, что пространство G (я, k) с четным п и нечет
ным k просто.
422 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
4. Показать, что пространство G(n, 2) не является 2-простым,
если 3 sjlft^ оо.
5. Показать, что гомоморфизмы включения
nr (SO C)) -> nr (SO D)), nr (SO G)) -> яг E0 (8)),
щ (U A)) -* nr (U B)), nr [U C)) -у nr (U D)),
являются мономорфизмами при любом целом г.
6. Показать, что гомоморфизм л2п-2й+! (СУ (n, k)) —>¦
n2n-2k+\ (V Bя, 2/г — 1)), индуцированный отображением СУ (п., k)
-> У B/г, 2/г — 1), которое относит реперу (и,, . . ., wft) простран-
пространства С репер (оь гуь ..., oft_b г'у^-ь vk) пространства Сп,
рассматриваемого как R2", переводит образующую группы
n2n-2k+i (СУ (п, k)), указанную в 7.3, в образующую группы
(У B/г, 2/е — 1)), указанную в 7.2.
§ 3. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
1. Гомотопические группы
одномерного клеточного пространства
1. В этом пункте вычисляются гомотопические группы букета
В= Vnf=M(S|i = Sl, orti), построенного по произвольному семей-
семейству окружностей {^ц = 51} м. Как обычно, отмеченной точ-
точкой Ьр служит центр букета.
Чтобы укоротить формулы, мы будем обозначать петлю, опре-
определяемую вложением imm^: Sl->B, т. е. петлю imm^o/S: 1~>В,
через «ц, а ее гомотопический класс, т. е. ишпц, (sphj), — через аЙ.
Петли вида (. . . ((t>it>2) г»з) • • • vn-i)vn, где каждый из сомножи-
сомножителей Vi, ..., vn есть одна из петель ый или одна из обратных
петель и~1 и петлям и , и~{ с одним и тем же [д. не разрешается
стоять рядом, называются стандартными. Случай п = 0 не ис-
исключается: считается, что в этом случае произведение пред-
представляет собой постоянную петлю с началом Ьр.
2 (Лемма). Существует накрытие (В~, р, В) с двумя свой-
свойствами: (i) пространство В~ стягиваемо; (п) пути, накрываю-
накрывающие стандартные петли и начинающиеся в некоторой точке х0
слоя F0 = p~l (Ьр), ведут в попарно различные точки слоя FQ,
и Fo исчерпывается концами этих путей.
Доказательство. Условимся обозначать, как обычно,
через GF{M) свободную группу, порожденную множеством М,
наделим GF{M) дискретной топологией и составим букет А =
\/цемA'д = ?I, 0) и произведение ^XGf(M). Обозначим,
далее, через f разбиение этого произведения на пары (imm^l), g),
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 423
^— I), g\i) с цеМ, g<=G.F(M) и точки, не входящие ни
в одну из этих пар, и через р сквозное отображение
В.
Очевидная проверка показывает, что это отображение постоянно
на элементах разбиения f, и мы полагаем
В~ = [Л X GF (М)]/[, р = [fact р: В~ -+ В], xft = рг (а0, е),
где а0 — центр букета A, e — eGF(U), a pr = [pr: A X Gf(M)->?"].
Ясно, что (В~, р, В) есть накрытие, что Ро — рг (а0 X GF (M)) и
что xoeFo.
Стягиваемость пространства В" следует из леммы 2.3.3.4:
условиям этой леммы удовлетворяют подпространства рг (Л X
[GFn(M)\Gfn_i(M)]) пространства ?\ где GFn(M) — часть
группы GF (M), составленная из слов длины ^п. Путь, накры-
накрывающий стандартную петлю (... [u^u^J ...) «^ [е,,..., е„ = ±1]
и начинающийся в точке х0, ведет в точку pr(a0, g) с g —
[д.^'ц.22 . . . \л&пп- Что концы таких путей попарно различны и
исчерпывают Fo — очевидно.
3. Группы пг (В) с г > 1 тривиальны, щ (В, Ьр) есть свободная
группа со свободными образующими immn* (sph;).
Доказательство основано на лемме 2 и использует ее обо-
обозначения. Так как пространство В~ стягиваемо, то все его
гомотопические группы тривиальны и, следовательно, группы
пг(В) с г > 1 тривиальны, а отображение Л: Я[ (В, bp)~>na(F0, x0)
обратимо (см. 1.8.12). Сопоставляя эту обратимость со свой-
свойством (и) накрытия (В~, р, В), мы видим, что гомотопические
классы стандартных петель попарно различны и исчерпывают
группу Я! (В, Ьр), а это и значит, что щ (В, Ьр) есть свободная
группа со свободными образующими imm^* (sphi).
4. Фундаментальная группа связного одномерного клеточного
пространства свободна', его остальные гомотопические группы
тривиальны.
Это следует из теоремы 3, поскольку связное одномерное
клеточное пространство гомотопически эквивалентно букету
окружностей (см. 2.3.3.6).
2. Эффект приклеивания шаров
/. Пусть Х = лиф[и"^м(?)ц = ?)й+1)], где Л — связное то-
топологическое пространство и <р — непрерывное отображение
пространства 1_1цемEц = 5й) в А (ср. 2.3.2.1). Пусть, далее,
х0 — точка в Л. В этом пункте указывается система образующих
группы як+1{Х, А, х0) [?;>!].
424 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Заметим, что гомотопические группы лг(Х, А) с r^k три-
тривиальны (см. 2.3.2.1), а группы пг (X, А) с г > k + 1 предста-
представляют собой уже значительно более трудный предмет: в про-
простейшем, случае, когд-а А — точка, а семейство {D^} состоит из
единственного шара, пг (X, А) есть nr{S +1).
В нижеследующей теореме 2 через f^ обозначается сквозное
отображение
, inu lmm.
и через а^ — элемент группы nk + l(X, A, f^(ortj)), определяемый
сфероидом у (Dk+1, S\ ort,)-*•(*, A, f^orU)).
2. Пусть w^: I -> A — какие-нибудь пути, соединяющие точки
fn(ortj) с xQ. Если k^l, то группа nk+l{X, Л, х0) порождается
над п{ (А, х0) классами рд = Tw a^ [т. е. порождается в обычном
смысле классами TJfr^ с соеЯ[(Л, хй)].
Мы должны показать, что всякий элемент р группы
nk+l(X, А, х0) допускает представление вида
Р = П [Г», (^t)fl (|*, е М, со, е я, (А, х0)). A)
В силу леммы 2.3.2.1, существуют такой сфероид ge
Sph^+l(X, А, х0) класса р и такие подобия аи . . ., ат шара Dk+I
на лежащие внутри него попарно не пересекающиеся шары
d\, . . ., dm, что: точка шара di с наибольшим значением первой
координаты совпадает с at (ortj); отрезок, соединяющий эту
точку с ortb лежит в С = Dk+X \ [}T=i Int dt; сквозное отобра-
отображение
совпадает с некоторым f^.; g(C)c:A. Очевидно, X, А, х0, g и
du ..., dm удовлетворяют условиям теоремы 1.11.1, если шары
du ..., dm занумерованы надлежащим образом, так что в ее
обозначениях у = U'lLiTs- {уд- В нашем случае Y—P. a Y, =«*.';
последнее равенство получается из того, что ад. и у( опреде-
определены как элементы группы jtft+1(X, A, ^(ort])), представленные
сфероидами /д. и ga^t, которые переводятся друг в друга
взаимно обратными ортогональными преобразованиями or1 о abx.,
(аЬт^Г'оа* шара Dk+l. Таким образом, р = П?=1Г5. (а^.1), и,
чтобы представить правую часть в виде A), остается обозна-
обозначить через со, класс петли w~lsr
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 425
3 (Следствие). В условиях теоремы 2 гомоморфизм вклю-
включения пг(А, хо)-+пг(Х, хо\ является изоморфизмом'при r^k — 1
и эпиморфизмом при г = k. Ядро этого эпиморфизма поро-
порождается над щ (Л, х0) классами д^ = Tw {да^} [т. е. классами
приклеивающих сфероидов df^, перенесенными в точку х0].
4. Пусть (X, А) — клеточная пара с отмеченной точкой хоеЛ.
Если пространство А связно и содержит остов skeft^ с k^l,
то гомотопические группы пг(Х, А) с r^.k тривиальны, а группа
nh+i(X, A, xQ) порождается над щ(А, х0) как-либо перенесенными
в точку х0 классами характеристических отображений, отвечаю-
отвечающих (k-\- \)-мерным клеткам из Х\А {и рассматриваемых как
сфероиды); гомоморфизм включения пг(А, х0)—>пг(Х, х0) является
изоморфизмом при r^.k—1 и эпиморфизмом при г — k; ядро
последнего эпиморфизма порождается "над п{ (А, х0) как-либо
перенесенными в точку х0 классами приклеивающих сфероидов,
отвечающих (k-\- \)-мерным клеткам из Х\А.
Все это содержится в 1, 2, 3, если X \ A cr skefe+1 X. Общий
случай сводится к этому специальному случаю теоремой 2.3.2.4.
3. Фундаментальная группа клеточного пространства
/. В этом пункте мы указываем эффективную схему вычи-
вычисления фундаментальной группы клеточного пространства с
единственной нульмерной клеткой. Последнее условие не яв-
является существенным ограничением, поскольку в важнейших
случаях оно выполняется и поскольку всякое связное клеточное
пространство можно превратить несложной факторизацией в
гомотопически эквивалентное пространство, для которого оно
выполнено (см. п. 2.3.3). Распространение схемы на произволь-
произвольные клеточные пространства не представляет труда, но услож-
усложняет формулировки.
2. Пусть X — клеточное пространство с единственной нуль-
нульмерной клеткой Xq. Поскольку она является единственной и для
остова ske, X, последний клеточно гомеоморфен букету окруж-
окружностей. Следовательно, щ (skej X, х0) есть свободная группа,
порожденная гомотопическими классами характеристических
петель, т. е. характеристических отображений, отвечающих
одномерным клеткам (см 1.3).
Согласно 2.4, гомоморфизм in»: я^эке^, хо)-*щ(Х, х0) яв-
является эпиморфизмом и его ядро порождается над щ (ske, X, х0)
как-либо перенесенными в точку х0 гомотопическими классами
приклеивающих отображений, отвечающих двумерным клеткам.
Поскольку в нашем случае группа л, (ske, X, х0) действует как
группа внутренних автоморфизмов, это значит, что Kerin» есть
"наименьшая нормальная подгруппа группы щ(Х, х0), содержа-
содержащая указанные гомотопические классы, а фундаментальная
426 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 5
группа щ (X, х0), которую мы ' хотим вычислить, канонически
изоморфна факторгруппе группы щ (skej X, х0) по этой нормаль-
нормальной подгруппе.
3, Из сказанного следует, что для вычисления группы
щ {X, Хо) достаточно знать одномерный остов пространства X и
приклеивающие отображения, отвечающие двумерным клеткам.
По этим данным можно составить систему образующих и со-
соотношений группы щ (X, х0): каждой одномерной клетке отве-
отвечает* образующая, именно, класс соответствующей характери-
характеристической петли, и каждой двумерной клетке — соотношение,
именно, равенство единице слова, которое представляет через
образующие класс соответствующего приклеивающего отобра-
отображения, перенесенный в точку х0. Совсем коротко можно ска-
сказать, что систему образующих группы щ (X, х0) составляют одно-
одномерные клетки пространства X, а систему соотношений — дву-
двумерные клетки.
Заметим, что система соотношений (в отличие от системы
образующих) является не вполне канонической: она зависит от
выбора путей переноса, так что левые части соотношений опре-
определены лишь с точностью до сопряженности.
4 (Следствие). Фундаментальная группа конечного связного
клеточного пространства может быть задана конечной системой
образующих и соотношений.
Аддиционная теорема
5. Если А, В — подпространства топологического простран-
пространства X с включениями
и х0 — точка, лежащая в А{]В, то формула а * $~>Ц (а) /'(р)
определяет гомоморфизм я, (А, х0) * щ (В, xo)~>nt (X, х0) [* обозна-
обозначает свободное перемножение] с ядром, содержащим все эле-
элементы вида /„F) * jt F-1) [6 е л, (Л П В, х0)]. Следовательно, она
определяет и ^гомоморфизм
[я, {А, х0) * я, {В, xo)]/vk {X, А, В, х0) -> щ (X, х0), B)
где vk(X, А, В, х0) — наименьшая нормальная подгруппа груп-
группы я, (А, х0) * л, (В, ха), содержащая указанные элементы (она
называется подгруппой ван Кампена). Гомоморфизм B) является
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 427
естественным в том смысле, что диаграмма
[я, (А, х0) * я, [В, хо)]/ук(Х, А, В, х0) -> я, (X, х0)
I I
[щ(А\ х'0)*щ(В', <)]/ук(Г, А', В', х'0)-+щ(Г, х'й),
порожденная непрерывным отображением че-тверки {X, А, В, #0)
в аналогичную четверку (X', А', В', х'Л, всегда коммутативна.
6. Пусть (X, А, В) — клеточная триада (т. е. X — клеточное
пространство, а А, В — его подпространства с А[)В = Х) и
х0 — точка, лежащая в D = А[\В. Если А, В и D связны, то
гомоморфизм B) является изоморфизмом.
Доказательство. Предположим сначала, что х0 — един-
единственная нульмерная клетка пространства X. Согласно 3, фун-
фундаментальная группа каждого из пространств X, А, В, D в
точке х0 задается системой образующих, отвечающих одномер-
одномерным клеткам, и соотношений, отвечающих двумерным клеткам,
так что система образующих и соотношений группы Я) (X, х0)
и система образующих и соотношений группы щ {D, х0) являются
объединением и пересечением системы образующих и соотно-
соотношений группы я, (Л, х0) с системой образующих и соотношений
группы я, (В, х0), а гомоморфизмы /«, /« и К, ji из 5 тождест-
тождественны на образующих. Систему образующих и соотношений
группы п1 (А, х0) * п1 (В, х0) также можно составить из систем
образующих и соотношений групп щ {А, х0), щ{В, х0), только
образующие, отвечающие клеткам из D, придется считать дважды.
При таком выборе образующих и соотношений гомоморфизм
я, (Л, х0) * я, (В, хо)->л1 (X, х0), определяемый формулой а * р i—>-
t*(a)i*(|3), тоже будет тождественным на образующих и его
ядро будет порождаться отождествлениями образующих, отве-
отвечающих клеткам из D, что и завершает доказательство в рас-
рассматриваемом случае.
Общий случай сводится к этому специальному случаю пере-
переносом начала в пределах D из точки х0 в какую-нибудь нуль-
нульмерную клетку еа и заменой четверки (X, А, В, е0) гомотопически
эквивалентной ей четверкой (X'', А', В', е'о) с Af\JB' = X' и с
единственной нульмерной клеткой е'о. Замену можно осущест-
осуществить факторизацией пространства X в два приема: сначала
X факторизуется по стягиваемому одномерному подпростран-
подпространству пространства D, содержащему все нульмерные клетки
пространства.- D (си. 2.3.3.5 и 1.3.7.7 и ср. 2.3.3.6), а затем
полученное факторпространство факторизуется по объединению
(букету) таких же одномерных подпространств профакторизо-
ванных пространств А, В.
428 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
7 (Следствие). Если А, В — клеточные пространства с отме-
отмеченными нульмерными клетками а, Ь, то щ ((Л, а) V (В, b), bp)
?* щ (А, а) * щ {В, Ь).
4. Гомотопические группы компактных поверхностей
/. Напомним, что сфера с ручками или пленками и хотя бы
одной дырой гомотопически эквивалентна букету окружностей,
причем число окружностей равно 2g-\-l — 1 в случае g ручек
и / дыр и h +1 — 1 в случае h пленок и / дыр (см. 3.5.3.9).
Следовательно, фундаментальная группа такой поверхности
свободна, причем число образующих равно, соответственно,
2g-\-l^-\ и h-\-l—1, а старшие гомотопические группы три-
тривиальны; см. 1.3.
Ниже мы занимаемся гомотопическими группами замкнутых
поверхностей, т. е. сфер с ручками или пленками без дыр.
Сначала мы вычисляем фундаментальные группы (пользуясь
клеточными разбиениями, указанными в п. 3.5.3, и теоремой 3.3),
а затем справляемся (при помощи несложного приема) со стар-
старшими гомотопическими группами, исключив из рассмотрения
сферу и проективную плоскость. Гомотопические группы двух
последних поверхностей рассматривались в предыдущем пара-
параграфе (см. 2.2.7, 2.2.10, 2.4.3 и 2.5.1), и нам нечего добавить к
сказанному там.
Фундаментальные группы
замкнутых поверхностей
2. Клеточное разбиение сферы с g ручками, построенное в
3.5.3.8, содержит одну нульмерную клетку е0, 2g одномерных
клеток аь Ьи ..., ag, bg и одну двумерную клетку, причем при-
приклеивающее отображение, отвечающее последней, переводит
ort] как раз в е0. Гомотопический класс этого отображения
(рассматриваемого как петля) представляется через образую-
образующие аь Pi, ..., а^., р^ фундаментальной группы одномерного ос-
остова поверхности, отвечающие клеткам аи Ьи ..., ag, bg,
словом
Таким образом, фундаментальная группа поверхности в точке е0
может быть описана как группа с образующими аи Ьи ..., ag, bg
и соотношением
Клеточное разбиение сферы с h пленками, построенное в
3.5.3.8, содержит одну нульмерную клетку е0, h одномерных
§31
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
'429
клеток си ..., ch и одну двумерную клетку. Повторяя с оче-
очевидными изменениями предыдущее рассуждение, мы видим, что
фундаментальная группа поверхности в точке е0 может быть
описана как группа с образующими с\, ..., сп и соотношением
с&х ... chch=l.
3. Важно заметить, что группы, вычисленные в 2, попарно
не изоморфны. (Для доказательства достаточно прокоммутиро-
вать их: коммутирование превращает фундаментальную группу
сферы с g ручками в свободную абелеву группу ранга 2g, a
фундаментальную группу сферы с h пленками — в прямую сумму
свободной абелевой группы ранга h — 1 и группы порядка 2.)
В частности, замкнутые модельные поверхности попарно не
гомеоморфны.
Из этого нетрудно вывести, что и все компактные модель-
модельные поверхности попарно не гомеоморфны: достаточно заклеить
дыры кругами. Что число дыр топологически инвариантно,
следует из его совпадения с числом компонент края (см. 3.1.1.4
и 4.6.5.12).
Старшие гомотопические группы
и г^2, то
4. Пусть Р — сфера с g ручками. Если
пг(Р) = 0.
Доказательство. Поверхность Р очевидным образом
накрывается бесконечной гирляндой Р~~, получающейся из про-
произведения S'XR после удаления открытых кружков с центрами
Рис.
(ortb 2k) [k = 0, ±1, ...] и приклеивания вместо каждого из
них сферы eg—1 ручками и одной дырой (см. рис. 15). Обоз-
Обозначим через Рп конечную гирлянду, получающуюся таким же
способом из произведения S1 X [—2и—1, 2п-\- 1]. Очевидно,
Рп есть сфера с B/z+l)(g—1) ручками и двумя дырами, так
что лг (Рп) == 0 при г > 2 (см. 1). Так как P"=lim (Рп , in: Pn-+Pu+ \),
439 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 5
то и пг(Р~) — О при г ^ 2 (см. 1.11.2). Следовательно, и яг(Р) = О
при г>2 (см. 1.8.12).
5. Пусть Р — сфера с h пленками. Если h ^2 и г ^2, то
щ(Р) = 0.
Это следует из 4, поскольку Р накрывается сферой с h — 1
ручками (см. 4.1.2.6). "
5. Гомотопические группы букетов
/. Мы предполагаем заданным семейство {(Х^, х^)} е м
Tj-пространств с отмеченной точкой. Рассмотрим букет
fi:==: V|ieM(A'n, х„). Ясно, что фор'мула Imm ({а^ е м) =
^ueM'mmiu(an) определяет при г ^2 гомоморфизм Imra:
®аежпг№у х&)~*пг{В, Ьр), естественный в том смысле, что
если В'— V^eM,(^,, л^,) — другой букет Т,-пространств,
а: М' —>М — произвольное отображение и f ,: (X',, х'Л—>
(•^а (ц')> ха (а')) — непрерывные отображения, то диаграмма
О)
в которой левая вертикальная стрелка обозначает гомоморфизм
а правая вертикальная стрелка — гомоморфизм, индуцированный
отображением В'-* В, которое определяется формулой
imm , (у'Л i—=* imma, ,. ° f , (у'„Л \у'„, s .ДГ , ц' е М'1, коммута-
коммутативна.
2 (Лемма). Для любого аеяг(В, Ьр) [г^\] существует
такое конечное множество М'с: М, что: prllis(a) = 0, если
цеМ\М'; а принадлежит образу гомоморфизма nr(B', bp)->
пг (В, Ьр), индуцированного естественным вложением букета В' =
Для доказательства достаточно заметить, что у всякого сфе-
сфероида qpeSphrE, bp) множество <р(/г) покрывается конечным
числом множеств imm|i(JT|i). [Последнее вытекает из компакт-
компактности множества cp(/f) и замкнутости одноточечных множеств
в пространствах Х^. если взять в каисдом непустом пересече-
пересечении ф (/г) П imm^ (Хц \ Ху) по^ точке, то получится множество,
которое одновременно дискретно и компактно и потому конечно.]
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 431
3. Определим при г ^2 отображение Рг: лг{В, Ьр)->
©и в млг (*ц» *ц) формулой Pr(a) = {pr(it(a)}(isM; (корректность
этого определения следует из 2). Ясно, что Рг — гомоморфизм
и что диаграмма C) остается коммутативной после замены стре-
стрелок *- стрелками ¦«—. Если множество М конечно, то, оче-
очевидно, Рг совпадает с композицией гомоморфизма nr(B, bp)—>
"/•(Хцем^ц' {*»})' индуцированного включением 5-^ХиеМ*ц
(см. 1.2.8.3), и канонического изоморфизма лг(Хц е м-^ц> {хц})~^
©^мяДЛу^) tCM- 1.1.9].
4. Композиция Рг о Imm совпадает с тождественным автомор-
автоморфизмом группы © ияг(Х , л; ). В частности, Рг есгб эпимор-
эпиморфизм, Imm—мономорфизм и nr(B, bp)=KerPr©Im Imm.
Доказательство. Так как pr(ioimmM, = idX^ и prv°
immll{Xll) = x4 при v ф ц., то для любых а^еяД!,,, л^)
Рг о Imm ({а^ е м) = Рг
5. Пусть пары (Х^, хй) клеточны, и пусть m й ^(це М) —
такие натуральные числа, что k^-\- kv~^m при v ф [д. « для
каждого ц.
я8 (Хц, Хц) = 0 «ри 1 <: s ^ й^,.
?слг^ 2 ^ г ^ т, то гомоморфизмы
Imm: ©Aв м яг (Z^ xj -> пг (В, Ьр),
Рг: яг(В,Ьр)->©„ем«гК.^)
являются изоморфизмами.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда М
конечно. В силу теоремы 2.3.3.2 и естественности гомомор-
гомоморфизма Imm (см. 1), можно считать, что остовы ske& X сводятся
к точкам х^, и ясно, что в этом случае В содержит остов
skem+1Z клеточного произведения X пространств Х^. В силу
теоремы 2.3.2.2 из этого следует, что ш„: пг(В, Ьр)->яг(Х, Ьр)
есть изоморфизм при г^.пг, а согласно 1.1.9, композиция
т„°1тт: © е м цг (Х^, х\ —> пг (X, Ьр) является изоморфизмом
при любом г. Следовательно, Imm есть изоморфизм, если r^
В общем случае, в силу 2, для любого аея,(й, Ьр) с ^
существует такой конечный подбукет Вг = Уц^л/^-, х
букета В, что а принадлежит образу гомоморфизма лг(В', Ьр)
432 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
пг(В, Ьр), индуцированного естественным вложением В'-*-В-
Согласно 1, этот гомоморфизм включается в соответствующую
коммутативную диаграмму
ItntTl
©
©
(i e= M'
', Ьр)
и так как верхний гомоморфизм Imm, в силу уже доказанного,
является изоморфизмом, то а принадлежит и образу нашего
(нижнего) гомоморфизма Imm. Таким образом, последний
является эпиморфизмом, что в соединении с теоремой 4 пока-
показывает, что наш.и Imm и Рг — изоморфизмы. .
6 (Следствие). Пусть В — букет п-мерных сфер, построенный
по семейству {{Sil = Sn, ortj)} M. Если п^2, то группы яг(В)
с г < п тривиальны, а пп (В, Ьр) есть свободная абелева группа
со свободными образующими imm^,, (sphfl).
6. Гомотопические группы Л-связной клеточной пары
1 (Алгебраическая лемма). Если в коммутативной диаграмме
составленной из групп и гомоморфизмов, а, р, y — эпиморфизмы
и Кег р с: a (Ker y). то б — эпиморфизм и Кег|3 = а(Кег у),
K (K)
v()
Доказательство. Эпиморфность б следует из эпиморф-
ности а и C и коммутативности диаграммы, и из той же ком-
коммутативности следуют включения a(Ker у) cz Kerp, у {Кет а) ст.
Кегб. Докажем включение Кег б сг у (Кег а). Пусть deKerS.
Если d = y(a), то (опять-таки в силу коммутативности диа-
диаграммы) a(a)eKerp и, следовательно, a (a) e a (Кег y), так что
существует с е Кег Y с a(c) = a(a). Последнее равенство пока-
показывает, что ас~'е Кег а и, таким образом, d = y(a) = y(ac~1)^
Y(Kera).
2. Пусть (X, А) — клеточная пара с отмеченной точкой х0 е А.
Если А связно и пГ(Х, А) —0 при r^.k, то рг„: nk+l(X, A, xQ)—>
nk+\(X/A, рг(хо)) есть эпиморфизм и при k~^\ ядро Кегрг„ есть
наименьшая подгруппа группы як+1(Х, А, х0), содержащая все
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 433
частные (Тд&)а-] с <х<= nk+l (X, А, х0), а е щ (А, х0). При k =
ситуация описывается коммутативной диаграммой
D)
в которой abs рг„ и ге1„ — также эпиморфизмы и ^er(abspr<i) есть
наименьшая нормальная подгруппа группы Я] (X, х0), содержащая
Ker ге1„ = Im in,.
Доказательство для случая k^\. Предположим,
сначала, что Х\Л состоит из одних (k + 1)-мерных клеток,
так что Х/А — букет (k + 1)-мерных сфер. Перенесем для каж-
каждой клетки е с X \ А гомотопический класс отвечающего ей
характеристического отображения, рассматриваемого как сфе-
сфероид пары {X, А), в точку ха, обозначим полученный элемент
группы nk+i(X, А, х0) через ае и положим pe = prt(ae). Согласно
теореме 2.4, классы Т^е с оеяДЛ.Хо). составляют систему
образующих группы як+1(Х, А, х0), а согласно теореме 5.6,
классы ре составляют систему независимых образующих абеле-
вой группы nk+l {Х/А, рг(х0)). Кроме того, очевидно, рг, {Тоа) =
рг, (а) для любых а е я4+1 (X, А, х0), оея, (А, х0), и этих дан-
данных достаточно, чтобы довести в рассматриваемой ситуации
доказательство до конца. Эпиморфность рг„ следует- из того,
что классы Ре==рг, (ае) порождают группу nk+1(X/A, pr(jc0))-
Включение (T^cOa e Ker рг„ следует из равенства рг„(Гаа) =
рг, (а). Покажем, что частные (Г^а порождают Кегрг„.
Если k> 1 и класс I = П(е, 0) (Гаае)л (е> ст) (с целыми Х{е, о), от-
отличными от нуля лишь в конечном числе) принадлежит Кегрг„,
то 2„А (е, а) = 0 для каждой клетки е (так как 2е[2стА(е, а)]рй =
pr:t(a) = 0), и, следовательно, | = П(е,О)[G'аав)а(ГТ(в'0Г). При
й=1 это рассуждение проходит только после коммутирования
группы %+1 (X, А, х0) и доказывает лишь, что всякий элемент
ядра Кегрг„ получается из произведения предыдущего вида
умножением на несколько коммутаторов; но поскольку в щ{Х,
А, х0) коммутатор у~[ Ьуб*1 представляется как (Тдуд)Ь~1 (см.
1.4.7), мы опять получаем для | требуемое разложение по
частным GVz)a~\ •
В общей ситуации мы можем сделать пару {X, А) й-связной,
отбросив компоненты пространства X, не содержащие х0 (см.
1..4.6), и затем заменить ее гомотопически эквивалентной ей
парой (X', А') с skekX' cz А' (см. 2.3.3.1); таким образом, можно
считать, что skekXczA. Положим Y = A\jskek+iX и рассмотрим
434 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 6
диаграмму
nk+1 {Y, А, х0) -^ пк+{ (X, А, х0)
nk+l {Y/A, рг (*о)) '-^nk+i {X/А, рг {х0)).
Она коммутативна, и I, i', р'— эпимор'физмы: эпиморфность I
следует из включения skeft+1 X a Y, эпиморфность i' — из вклю-
включения ske^-H {XIA) cz Y/A, эпиморфность р' — из уже доказанной
части теоремы. Покажем, что эта диаграмма удовлетворяет и
последнему условию леммы 1: Ker i' cz p' (Ker i).
Каждая клетка размерности k + 2 из (XIА) \ (YjA) является
образом некоторой клетки е из X \Y при отображении рг,
а отвечающее ей приклеивающее отображение представляется
как рг°ф, где ф — приклеивающее отображение, отвечающее е.
В силу теоремы 2.4, из этого следует, что Ker i' cz рг„ (Ker inj,
где т, = [ш,: nk+l{Y, xo)-+nk+l{X, х0)] и рг„ = [рг„: nk+l{Y, x0)-*
nk+x{YjA, рг(х0))]. А так как диаграмма
rel.
lreI*
, A, xo) —> nk'+l (X, A, x0)
коммутативна и pr:t = p'o [rel: nk+\ (Y, xo)~>nk+l (Y, A, x0)], то
рг„(Кегт„)с:р'(Кегг), и, значит, Ker i' cz p' (Ker /).
Применяя лемму 1, мы видим, что р —эпиморфизм и Кегр =
г(Кегр'), а согласно уже доказанной части теоремы, Ker p'
порождается частными (Гса) а сае %+! (Y, Л, хй), а е щ (А, хй).
Поскольку i((Taa) a~l) = [Ta(i(a))](i(a))~l и i — эпиморфизм, из
этого следует, что Кегр порождается частными (Гаа)а~' с ае
nk+l(X, A, xQ), оея,(Л, хд).
Доказательство для случая k = 0. Коммутативность
диаграммы D) очевидна, эпиморфность rel^ следует из связ-
связности Л, и нужно лишь установить, что abspr, — эпиморфизм
с указанным ядром. Если хй — единственная нульмерная клетка
пространства X, то это следует из 3.3, так как указанную там
систему образующих и соотношений группы щ {XIА, рг(х0))
можно получить из указанной там же системы образующих
и соотношений группы п{{Х,хй) вычеркиванием одномерных и
двумерных клеток пространства А. Общий случай сводится
к этому специальному случаю переносом начала (в пределах Л)
в какую-нибудь нульмерную клетку е0 и заменой тройки {X,
А, е0) гомотопически эквивалентной ей тройкой {X', А', е'й) с един-
единственной нульмерной клеткой е'о. Замену можно осуществить
§ 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 435
факторизацией пространства X в два приема: сначала X фак-
факторизуется по стягиваемому одномерному подпространству
пространства А, содержащему все нульмерные клетки прост-
пространства А, затем полученное факторпространство факторизуется
по своему стягиваемому одномерному подпространству, содер-
содержащему все нульмерные клетки (ср. доказательство теоремы 3.6).
3. Факторпространство клеточного пространства X по его
односвязному подпространству А в том и только том случае
k-связно (О^&^оо), если k-связна пара (X, А). Если это
условие выполнено при некотором k < °o, то гомоморфизм
pr*: nk+i {X, А, х0) -> %+1 {XIA, pr(jc0)) является изоморфизмом.
Вторая часть этой теоремы — очевидное следствие теорем 2
и 1.4.6. Первая часть выводится из второй индукцией по k.
Заметим, что для вывода ^-связности пространства Х/А из
/г-связности пары (X, А) достаточно уже теорем 2.3.3.1 и 2.3.2.2.
4. Если клеточное пространство X с отмеченной нульмерной
клеткой х0 k-связно, то гомоморфизм su: nk+l(X, х0) ->
"a+2(su(^> *o). bp) является изоморфизмом.
Это следует из 3 (см. 2.1.2).
7. Пространство с заданными гомотопическими группами
1 (Лемма). Пусть л— группа и п — натуральное число. Если
группа л абелева или п~=\, то существует связног клеточное
пространство X, у которого группы лг(Х) с гфп тривиальны,
а пп(Х)^л.
Доказательство. Мы построим индуктивно такие связ-
связные клеточные пространства Хо, Х1г ... с отмеченными точ-
точками х0, хи,... и такие клеточные вложения <р0: XQ->Xi, q>i: X\ ->
Хг, • • •, переводящие отмеченные точки в отмеченные точки,
что: (i) группы лг{Хк, х^) с г <п я с п <г <^.п-\- k тривиальны;
(ii) группа лп{Хк, xk) изоморфна л; (ш) фь: nn(Xk,xk)-+
nn(Xk+i, Xk+i) есть изоморфизм. Пространство X = lira{Xk, ф^)
будет тогда требуемым (см. 2.1..5.6 и 1.11.2).
Чтобы построить Хо и х0, представим л как факторгрулпу
F/F', где F — свободная группа, если п = 1, и свободная абелева
группа, если п>\. Пусть В, В' — букеты я-мерных сфер
с nn(B,bp) = F, лп{В', bp) = f (см. 1.3 и 5.6) и /: (В', Ьр)->
(S, Ьр)— такое непрерывное отображение, что /*: лп(В\ Ьр)->
лп(В, Ьр) совпадает с включением F' —> F (такое отображение
можно составить из сфероидов, представляющих ълп{В, bp) = .F
какие-нибудь свободные образующие группы F') Заменим в Вг
каждую сферу ограничиваемым ею шаром и примем за Хо
результат приклеивания полученного букета шаров к В посред-
посредством /. Из теорем 1.3, 5.6 и 2.3 следует, что Хо и хй =
(bp) [= imm2 (bp)] удовлетворяют условиям (i), (ii) с А = 0.
436 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Пусть при некотором i ^ 1 Xk и xk с k < i и фй с k < г — 1
уже построены, причем Jffe и xfe удовлетворяют условиям (i), (ii),
а фА удовлетворяет условию (Hi). Представим пп+1(Х{-и Xt-x)
как факторгруппу свободной абелевой группы, скажем, G, и
построим такой букет (п + /)-мерных сфер, скажем, С, и такое
непрерывное отображение g: (С, Ьр)->(Хг_ь х{-х), что гомо-
гомоморфизм g*: я„+г(С, Ьр)->я„+/(Х;-1, xi-\) совпадает с проекцией
G->Jin+i (Xi-i, Xi-i). [Существование таких С и g устанавли-
устанавливается так же, как выше было установлено существование В' и /,
только ссылка на теорему 1.3 здесь не нужна.] Заменим, далее,
в С каждую сферу ограничиваемым ею шаром и определим Х{
как результат приклеивания полученного букета шаров к С по-
посредством g. Положим, наконец, х( = imm2(xt-+i) и Фг-i — imm2.
Что Xt и xt удовлетворяют условиям (i), (ii) с k = i, а фг-_)
удовлетворяет условию (ш) с k = i— 1, следует из 2.3.
2. Каковы бы ни были группа я, и абелевы группы л2, я3, ...,
существует связное клеточное пространство X с пг {X) ^ лг (г =
1,2,...).
Доказательство. Пусть Хи Х2, • • • — такие связные кле-
клеточные пространства с отмеченными нульмерными клет-
клетками Х\, х2, ..., что группы яг(Хк) с г ф k тривиальны и nk{Xk)
?ё nk (см. 1). Определим индуктивно клеточные пространства
Yo, Yu ... формулами Уо = /)°, Yk+l = YkXcXk+i и клеточные
вложения if>4: FA-*Ffe+1 формулой tyk(y) — (y<Xk+\)- Из теорем
1.1.9 и 1.11.2 следует, что пространство X = lim{Yk,tyk) обладает
требуемыми-свойствами.
8. Восемь поучительных примеров
1. При г>1 r-мерная гомотопическая группа связного
конечного клеточного пространства может не быть конечно
порожденной (ср. 3.4). Простой пример доставляет букет (Sr, ort])
V (S1, ort^, r-мерная гомотопическая группа которого при г > 1
является свободной абелевой группой бесконечного ранга.
Последнее видно из того, что (Sr, ortj) V (S1, ortj) накрывается
пространством, гомотопически эквивалентным бесконечному
букету r-мерных сфер, именно, прямой, к которой в каж-
каждой целой точке прикреплен одной точкой экземпляр сфе-
сферы Sr.
Информация. Гомотопические группы конечного клеточ-
клеточного пространства с конечной фундаментальной группой конечно
порождены. Доказательство имеется в [19].
2. В условиях теоремы 1.6.6 подгруппа Ker rel% = Im in,
группы п1 {X, х0) может не быть нормальной (ср. 1.5.14). Пример:
X — букет двух окружностей, А — первая окружность, хи —
центр букета, р переводит вторую окружность в х0.
S 3] ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 437
5. В условиях теоремы 1.6.7 правое расщепление гомотопи-
гомотопической последовательности пары (X, А) в члене л, (X, х0) может
не быть нормальным (ср. 1.5.17). Пример: X={D2, ort,) V(S', orti),
^=(Sl, ort,) V (S1, orti), xQ — центр обоих букетов, h=[\mm2: S'->
Х]о[рт2: X-*S'].
4. При любом k ^0 существуют /г-связные пары {X, А)
со связным А, не являющиеся (k + 1)-простыми; более того,
в условиях теоремы 6.2 при любом k^Q эпиморфизм pry.
nk+\ (X, А, х<^-*Пк+\{Х/А, рг(х0)) может не быть, изоморфизмом.
Пример: X = (Sh+l, ort,) V (S\ ort,), A = imm2(s0[cp. 1 и 3].
5. Двумерная гомотопическая группа пары (X, А) со связным
А может не быть коммутативной даже в случае, когда группа
Я[(Л) коммутативна, а пространство X односвязно. Простейший
пример: A = S' X Sl, x0 = (ort1, orti), X получается из Л при-
приклеиванием двух экземпляров диска D2 посредством отобра-
отображений S1 —> А, определенных формулами у—>{у, ortj), г/ ¦—?^
(ort,, #). Здесь я,(Л) = /©7, я2(Л) = 0, я, (X) = 0, n2(X)^Z
{X гомотопически эквивалентно сфере S2), так что возникает
точная последовательность
A,x0)-1»Z®Z-^0, ¦ E)
из которой, в частности, видно, что д — эпиморфизм. Если бы
группа п2(Х, А, х0) была коммутативной, то, в силу 1.4.7, груп-
группа Я! (А, х0) действовала бы в ней тождественно, а тогда из
теоремы 2.2 следовало бы неравенство гапкя2 (X, А, хо)^2, про-
противоречащее точности последовательности E).
6. Гомоморфизм рг„: п3{Х, А, хо)-*п3{Х/А, рг(х0)) может не
быть для простой 1-связной пары {X, А) уже и эпиморфизмом.
Пример: X—D2, A = Sl, JC0 = orti. Здесь я/(Х, А) — 0 при г ф 2,
a n3(X/A)^Z (пространство Х/А гомеоморфно S2).
7. При любом k^2 существуют (k—1)-связные, но не
/г-связные клеточные пары (Х,А) со связными X, А и стягива-
стягиваемым факторпространством Х/А. Чтобы указать пример, обозна-
обозначим через о и а элементы групп я, ((S1, ort,) V (S\ orti), bp),
nk({Sl, ort,)V(Sft, ortj), bp), определяемые сфероидами immi". S1 ->
(S1, orti) V {Sk, ort,), iram2: Sk^{S[, ort,) V (S*, ort,), и приклеим
к (S1, ort,) V {Sk, ort,) шар Dk+l посредством какого-нибудь
сфероида Sh-*{Sl, ort,) V (Sk, ort,) класса 2а — Таа. Получив-
Получившееся клеточное пространство и есть X, А же определяется
как окружность ske,X. Факторпространство Х/А может быть
описано как результат приклеивания шара D +1 к Sh посред-
посредством отображения Sk->-Sk, гомотопного тождественному, из
чего и следует, что оно стягиваема (см. 1.3.7.8). Поскольку
связность пространств X, А и (k — 1)-связность пары {X, А) очеви-
438 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
дны, нужно лишь установить нетривиальность группы щ(Х).
Согласно 1, nk((Sl, orti) V (Sk, ortO, bp) есть свободная абелева
группа со свободными образующими ап = Таа (n = 0, ± 1,...),
а пк(Х) получается из nk((S\ orti) V (Sk, orti), bp) факториза-
факторизацией по подгруппе, порожденной элементами 2а„ — ап+\ (см. 6.2).
Следовательно, группа пк(Х) изоморфна аддитивной группе
двоично рациональных чисел.
8. Гомоморфизм ft: n,(J, A, jco)-> n^ (Х\ А', х'о), индуцирован-
индуцированный отображением /: (X, А, хо)->(Х', А', х'о), может не быть
изоморфизмом даже в случае, когда все гомоморфизмы
/»: пг(%> хо)~~*лг(%'> х'о) и все гомоморфизмы (аЬ/)„: яг(Л, яо)->
лг(Л', Xq) являются изоморфизмами. Пример: X=X/=(S1, ortj) V
(/, 0), A = imm1(ort2)Uimm2(l), A/ = imm1(S1)Uimm2(l), xQ = x'0=
imm2(l), / = relidjf.
9. Упражнения
1. Рассмотрим часть пространства С2, определяемую уравне-
уравнением хрх=х12, где р, q — взаимно простые целые числа, и пересе-
пересечем ее со сферой S3. Показать, что фундаментальная группа
дополнения этого пересечения в S3 изоморфна группе с обра-
образующими щ, а2, которые свя-
связаны соотношением ctf = a'.
(Описанные пересечения
диффеоморфны окружности,
лежат на содержащемся в S3
торе U, | = V2/2, | х21 = л/2/2 и
называются торическими уз а-
ми. На рис. 16 торический узел
и несущий его тор представле-
представлены лежащими в R3 = S3\bp.)
Рис. 16 (р = 2, <7 = 3). 2. Рассмотрим подмногооб-
подмногообразие многообразия СР2, опре-
определяемое уравнением х? -\- х? + xf = 0 с натуральным /п
(ср. 3.5.4.2). Показать, что фундаментальная группа дополне-
дополнения этого подмногообразия изоморфна Zm.
3. Рассмотрим подмногообразие многообразия касательных
векторов сферы с g ручками, составленное из ненулевых век-
векторов. Показать, что фундаментальная группа этого подмно-
подмногообразия изоморфна группе с образующими аи ..., ag, bu ...,
bg, d, которые связаны соотношениями
. bxd~dbu..., bgd = dbg.
§ 4] . СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 439
4. Рассмотрим подмногообразие многообразия касательных
векторов сферы с h пленками, составленное из ненулевых век-
векторов. Показать, что фундаментальная группа этого подмного-
подмногообразия изоморфна группе с образующими си ..., ch, d, кото-
которые связаны соотношениями
5. Показать, что для всякой группы я, которая может быть
задана конечным числом образующих и соотношений, сущест-
существует гладкое замкнутое четырехмерное многообразие с фунда-
фундаментальной группой, изоморфной п.
6. Показать, что всякое замкнутое гладкое ориентируемое
многообразие ориентируемо кобордантно односвязному.
7. Показать, что группа п2 {X, A, xQt) из примера 8.5 изо-
изоморфна группе с образующими а, Ь, с, которые связаны соот-
соотношениями ас — са, bc = cbt аЬа~1Ь~{ = с.
§4. СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
1. Основные понятия
1. Непрерывное отображение / топологического пространства
X в топологическое пространство Y называется слабой гомото-
гомотопической эквивалентностью, если гомоморфизм /„: пг(Х,х)—>-
nr(Y,f{x)) является изоморфизмом при любых г^О и х е X.
Это название оправдывается двумя фактами: гомотопическая
эквивалентность всегда является слабой гомотопической экви-
эквивалентностью; обратное неверно. Первый факт был установлен
в 1.3.7, по поводу второго см. 3.5.
Очевидно, композиция двух слабых гомотопических эквива-
лентностей есть слабая гомотопическая эквивалентность.
2. Если f: X->Y — слабая гомотопическая эквивалентность,
то для любой клеточной пары (К, L) и любых непрерывных
отображений <р: К—>Y, ty: L-+X с /°'ф = Ф^ существует такое
непрерывное отображение %: К~>Х, что хк = 'Ф « композиция
/ о X L-гомотопна ср. Верно и обратное; более того: если /: X—>
Y — непрерывное отображение и для любых непрерывных отобра-
отображений <р: Dr->Y, о|з: Sr~l -> X (г!>0) с f°i|) = cp|5r-i существует
такое непрерывное отображение %: Dr->X, что %\sr-i = ty и ком-
композиция f о % Sr~'[-гомотопна <р, то f есть слабая гомотопическая
эквивалентность.
Чтобы доказать первую часть, рассмотрим цилиндр Cyl/
(см. 1.2.6.10). В силу теоремы 2.3.1.3 существует гомотопия
Ф: /СХ/->-Су1/ сквозного отображения К -ф->7-^ Cyl /.такая,
440 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
что Ф(г, t) = imrri! (гН2). 1 .— t) при ге! и любом /е/. Так
как rt/°[in: X—>Cyl/] = / и/ — слабая гомотопическая экви-
эквивалентность, a rt/ — гомотопическая эквивалентность, то in —
слабая гомотопическая эквивалентность, и, значит, in,: nr(X,x)
-> яг(Су1/, х)— изоморфизм при любых г ^ 0. и jel
Следовательно, пара (Cyl X, X) оо-связна (см.1.6.5), и так как
Ф(?Х1)с1, то существует L-гомотопия Чг: K~X,I—>Cy\f
такая, что W(х, 0) = Ф(х, 1) при любом хе/( и что ^Р(/(Х 1)
а X (см.2.3.1.6). Определим отображение %: К-*Х, положив
X(x) = 4F(x, 1). Ясно, что xli=== "Ф и что произведение гомотопий
rt / о ф и rt/o^F является Z-гомотопией, связьшающей / »x с ср.
Доказательство второй части состоит из доказательства
эпиморфности и доказательства мономорфности отображения
/„: пг(X, х)~> лг(Y, f{x)) при любых Jtel и г^О. Доказатель-
Доказательство эпиморфности: положим i})(Sr~I) = A: и возьмем в качестве
Ф какой-нибудь сфероид (?) . Sr~1)—>{Y, f (х)) произвольно за-
заданного класса р из nr (Y, f (х)); возникающий сфероид %: (Dr,
Sr~l)-+{X,x) определяет некоторый класс аеягA,х), и ясно,
что /„ (а) = р. Доказательство мономорфности: пусть а е пг (X, х)
и /*(а) = 0; возьмем в качестве а|э какой-нибудь сфероид клас-
класса а, а в качестве <р какое-нибудь отображение шара Dr+i в Y
с .фIs =/°'Ф; возникающее отображение %•" Dr+l~~*X продолжа-
продолжает ф, и потому а = 0.
3. Если f: X->Y — слабая гомотопическая эквивалентность,
то для всякого клеточного пространства М отображение
л (id,/): л (М, X) -> я (М, F) обратимо.
Доказательство. Что для всякого реп(/И, F) сущест-
существует а е я (/И, ,?) с [я (id, f)] (а) = Р, следует из первой части те-
теоремы 2: достаточно положить /<" = AI, Z, === 0 и принять за <р
любое отображение класса р. Из той же первой части теоремы 2
следует, что для любых непрерывных отображений <р0, фр М-+Х
гомотопность композиций f о ф0) f ° ф[ влечет за собой гомо-
гомотопность самих Фо, Ф1." в качестве /С и L нужно взять М X / и
(MXO)U(-MXOi в качестве ф —отображение (/ИХ0I) (М X 1)-»-
Jf, определенное формулами (х, 0) >-^-фа (х), (х, l)v—>ф](л:), а в
качестве а|э ¦—гомотопию Л1Х^—>^> соединяющую /°Ф0 с /°Ф1-
Случай клеточных пространств
4. Если пространства X, Y клеточны, то всякая слабая гомо-
гомотопическая эквивалентность X-+Y является гомотопической эк-
эквивалентностью.
Доказательство. Пусть /: X—>Y—слабая гомотопиче-
гомотопическая эквивалентность. Согласно 3, отображение я (id,/): n{Y, X)^>
n(Y, Y) обратимо, и, следовательно, существует непрерывное
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 441
отображение g: Y-+X, класс которого переводится отображе-
отображением я (id, /) в класс отображения id. Последнее означает, что
композиция fog гомотопна id Y, и остается показать, что ком-
композиция gof гомотопна id А". А это следует, из обратимости
отображения jt(id,/): п{Х, X) -> п(Х, Y), поскольку это отображение
переводит (в силу гомотопности отображений f°g°f и {) классы
отображений gof и id X в один и тот же класс.
5. Теорема 4 утверждает, что связные клеточные простран-
пространства X, Y гомотопически эквивалентны, если существует непре-
непрерывное отображение X->Y, индуцирующее изоморфизмы гомо-
гомотопических групп, но отнюдь не утверждает, что они гомото-
гомотопически эквивалентны, если их гомотопические группы просто
изоморфны. Как показывают несложные примеры, это и невер-
неверно. Положим X = SPX'RPq, Y = S"X^PP, и пусть \<p<q.
В силу 2.5.1 и 1.1.9, пг (X) ~ nr (Y) при любом г; покажем, что
X и Y гомотопически не эквивалентны. Очевидно, отображение
prp Sp X RPq->S" индуцирует изоморфизм группы np(sPX. RP4)
на np(Sp); мы покажем, что не существует непрерывного ото-
отображения f: S4 X RPP —>SP, индуцирующего изоморфизм груп-
группы яр(Sq X RPP) на np(Sp). Если бы такое f существовало, то
сквозное отображение
*^ (ort" t sq ^
t sq x
индуцировало бы автоморфизм группы np{Sp); между тем (в си-
силу 2.3.2.4) всякое непрерывное отображение RPP —>SP гомотопно
отображению, переводящему RP°~l в ortb вследствие чего ото-
отображение A) гомотопно композиции сквозной проекции Sp —>
RPP -±RP'?/RPn~1 = SP с некоторым непрерывным отображением
SP->SP и не может иметь степень ±1, поскольку указанная сквоз-
сквозная проекция имеет степень 0 при четном р и степень 2 при
нечетном р.
Следующий пример демонстрирует тот же феномен в одно-
связной ситуации. Положим X = S3X CP°°, Y = S2. В силу 2.2.10,
2.5.2 и 1.1.9, nr(X)^nr(Y) при любом г; между тем эти про-
пространства гомотопически не эквивалентны, поскольку отобра-
отображение рГ]Г S3X 'СР°°->S3 не гомотопно постоянному отобра-
отображению (оно индуцирует изоморфизм группы п3 (S3X, CP°°) =
Z в jt3(S3) = Z), а всякое непрерывное отображение 82—>8^
гомотопно постоянному отображению.
6. Топологическое пространство называется гомотопически
полноценным, если оно гомотопически эквивалентно клеточно-
клеточному пространству. Из теоремы 4 следует, что если пространства
X, Y гомотопически полноценны, то всякая слабая гомотопиче-
442 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 5
екая эквивалентность X—>Y является гомотопической эквива-
эквивалентностью.
Из теоремы 3.5.2.13 следует, что все компактные гладкие
многообразия гомотопически полноценны.
Пример гомотопически неполноценного пространства был ука-
указан в 2.3.5.4. Это пространство несвязно; пример связного
(даже оо - связного) гомотопически неполноценного пространства
имеется ниже в 4.1.
Информация. Все корсы — гомотопически полноценные
пространства. Все топологические многообразия (как компактные,
так и некомпактные)—гомотопически полноценные пространства.
Произведение двух гомотопически полноценных пространств
является гомотопически полноценным пространством. Если
Y — гомотопически полноценное пространство, то пространство
^{X,Y) гомотопически полноценно для любого компактного
пространства X. Если Y гомотопически эквивалентно счетному
клеточному пространству, то^Х, F) гомотопически эквива-
эквивалентно счетному клеточному пространству для любого ком-
компактного пространства X со счетной базой. Доказательства име-
имеются в [16].
^-эквивалентность
7. Непрерывное отображение / топологического простран-
пространства X в топологическое пространство Y называется к-эк-
вавалентноетью, если для любого jel гомоморфизм /#:
лг(Х, х)^>лг (Y, f (x)) является изоморфизмом при r<k и эпи-
эпиморфизмом при г = k. Здесь k — неотрицательное целое число;
слабую гомотопическую эквивалентность называют иногда
оо-эквивалентностью.
Очевидно, композиция двух й-эквивалентностей есть fe-экви-
валентность.
8. Если f: X-^-Y есть k-эквивалентность, то для любой
клеточной пары (К, L) с К \ L cz skeft К' и любых непрерывных
отображений <р: /С->У', 'ф: L-+X с /оо|э = ф|? существует такое
непрерывное отображение %: К^-Х, что xL — of и композиция
f °% L-гомотопна <р. Верно и обратное; более того: если f: X ->7—
непрерывное отображение и для любых непрерывных отображений
<р: Dr—*У, я)): Sr~ —>Х cO<!r<!&u / о о|з = ф!,,,._) существует
такое непрерывное отображение %: Dr->X, что х!5г-1 = 'ф и
композиция f°i Sr~ -гомотопна ср, то f есть k-эквивалентность.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 2 с оче-
очевидными изменениями: в его 'первой части пара (Cyl/, X) теперь
/г-связна, во второй части при доказательстве эпиморфности
нужно предположить, что r^k, а при доказательстве моно-
морфности — что г < k.
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 443
9. Если /: X^-Y есть k-эквивалентность, то отображение
л (id, /): n(M,X)->n(M,Y) обратимо для любого клеточного
пространства М с dim M < k и имеет своим образом все
множество л (М, Y) для любого клеточного пространства М
с dimM = k.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 3 с заме-
заменой ссылок на теорему 2 ссылками на теорему 8.
10. Если X — клеточное пространство с dim X < k, a Y — кле-
клеточное пространство с dimf^k, то всякая k-эквивалентность
X —>¦ Y является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 4, только
ссылка на теорему 3 заменяется ссылкой на теорему 9.
Относительный случай
. 11. Отображение f топологической пары (X, А) в топологи-
топологическую пару (У, В) называется слабой гомотопической эквива-
эквивалентностью, если отображения abs"f: X —> Y и ab / (= ab abs /): А ->
В являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.
Заметим, что если /: (X., A)^-(Y, В) — слабая гомотопическая
эквивалентность, то гомоморфизм /*: щ(X, A, x)—^nr {Y, В, f(x))
является изоморфизмом при любых г^1 и же Л; для доказа-
доказательства достаточно применить 5-лемму (см. 1.5.19) к гомомор-
гомоморфизму гомотопической последовательности пары (X, А) в гомо-
гомотопическую последовательность пары (Y, В), индуцированному
отображением f. Другое следствие той же 5-леммы: если
/: {X, А Ф 0)-> (F, В) — такое непрерывное отображение, что
одно из отображений abs/: X—>Y, ab/: A->S — слабая гомо-
гомотопическая эквивалентность и в,се гомоморфизмы /*: пг {X, А, х)—>
nr{Y,B,f{x)),f*: no{X,x)^no(X,f(x)),{^f)^ no(A, х)^щ(В, f(x))
с г^1 и х е А — изоморфизмы, то / — слабая гомотопическая
эквивалентность.
12. Если /: (X, А) —> (F, В) — слабая гомотопическая эквива-
эквивалентность, то для всякой клеточной пары (М, N) отображение
я (id, /): п{М, N; X, А)-*я(М, N; Y, В) обратимо.
Доказательство. Покажем сначала, что всякое непре-
непрерывное отображение <р: (М, N)—> {Y, В) гомотопно композиции
некоторого непрерывного отображения (М, N) —> (X, А) с /.
В силу 2, существует непрерывное отображение а|э: N —> А,
композиция которого с ab/: A-* В гомотопна abqp: N-^-B.
В силу 2.3.1.3 гомотопия, связывающая abqp с ab/oojj, продол-
продолжается до гомотопии отображения <р, так что существует го-
гомотопное ф отображение <р': (М, N)-*¦ (Y, В) с аЬ<р' = аЬ/°а|э.
Наконец, опять в силу 2, существует непрерывное отображение
%:.М-^Х, продолжающее -ф и такое, что композиция f°%
#-гомотопна ф'. Ясно, что %{N)czB и что отображения /°%,
ф: {М, N) -> {Y, В) гомотопны.
444 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 5
Остается показать, что для непрерывных отображений
Фо. Ф1* (М, N)->{X, А) гомотопность композиций /°ф0, /°<Pi
влечет за собой гомотопность самих ф0, Фь Пусть Ф: (MX
/, N X /) —*¦ {Y, В) — гомотопия, связывающая /°Фо с /°<Pi.
В силу 2, существует такая гомотопия W: Ny(I->A, связы-
связывающая аЬф0: N—> А с аЬф^ N —> А, что композиция ab / ° *Р
[(Л/'Х 0I)(Л/ X 1)]-гомотопна отображению аЬФ: NX.I-+B.
В силу 2.3.1.3, [(N X 0) U (N X 1)]-гомотопия, связывающая аЬФ
с ab/oW, продолжается до [(М X 0) U Ш X 1)]-гомотопии ото-
отображения Ф; следовательно, существует такая гомотопия
Ф': (М X h N X I) -> (У, 5), связывающая f ° ф0 с / ° фь что
[аЬФ': Л/Х^-*^] = abf о Ч;. Наконец, опять-таки в силу 2,
существует такое непрерывное отображение X: My^I-*К,
продолжающее 4х, что Х(х, 0) = <p0(je), X(x, l) = q>l(x) при любом
х е М, а это и есть гомотопия, связывающая ф0 с ф].
/3. Если пары (X, A), (Y, В) клеточны, то всякая слабая
гомотопическая эквивалентность {X, A)—>(Y, В) является гомо-
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 4 с заме-
заменой ссылки на теорему 3 ссылкой на теорему 12.
2. Отношение к конструкциям
1. Многие из операций^производимых над отображениями
и описанных в § 1.2, * переводят слабые гомотопические экёи-
валентности в слабые гомотопические эквивалентности. Ясно,
например, что для любого семейства слабых гомотопических
эквивалентностей {/^: Х^ ->Х^еМ отображение U^: U^X^-*
U X' является слабой гомотопической эквивалентностью и что
для любых слабых гомотопических эквивалентностей f\\ X]—>
Х\, .... fn: Х„->Х; отображение/,X...X/ra: X, X . •. X Хп->
Х[ X ••• X Х'п является слабой гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью. Ясно также, что предел последовательности слабых гомо-
гомотопических эквивалентностей есть слабая гомотопическая экви-
эквивалентность.
Аналогичные теоремы, относящиеся к другим конструкциям,
требуют дополнительных аргументов или верны лишь при допол-
дополнительных предположениях. Им и посвящена остающаяся часть
этого пункта.
2. Пусть f — такое отображение триады (Х,А,В) в триаду
{X', А', В'), что ab f: А -> А', аЬ /: В -> В', ab /: А П В -> A' f] В' -
слабые гомотопические . эквивалентности. Если Int A U Int В — X
и Int A' U Int В' = X', то absf: X-+X' — также слабая гомотопи-
гомотопическая, эквивалентность.
Доказательство. В силу теоремы 1.2, достаточно для
заданных непрерывных отображений ф: DT->X', o|>: Sr~[->X
§ 4] " СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 445
с f о о|з = ф |sr_j построить такое непрерывное отображение
X: Dr-+X, что xlsr-i = ty и композиция /°х S'-'-гомотопна ф.
Очевидно, множества
U = [ф-1 (Int А') П Int Dr] U o|5-! (Int A),
V = [ф-1 (Int S') П Int /У] U ф-1 (Int В)
открыты и покрывают /У. Следовательно, существует такое
положительное е, что всякое лежащее в /У множество с диа-
диаметром, меньшим е, содержится в U или в V. Триангулируем
Sr~l так, чтобы диаметры всех симплексов триангуляции были
меньше е, и продолжим ее с сохранением этого свойства на /У.
Пусть К — объединение симплексов, лежащих в U, и L — объе-
объединение симплексов, лежащих в V. Ясно, что /Си L — под-
подпространства шара /У в симплициальном смысле и что
¦$(K()Sr~l)<=:lntA, ^(Lf\Sr~1)czlntB, <p (к) cz Int A', q>{L)cz
Int В'. В силу теоремы 1.2, существует такое непрерывное ото-
отображение Хо: Kf\L-*A[\B, что %o\KULUSr~i == ab-ф и компози-
композиция отображений %а и abf: A{\B-> A' {]Br (/СП-^ Л Sr~I)"r0M0"
топна отображению аЬф:/СПZ.-> Л'П-8'. В силу 2.3.1.3, (/СП
L П 5г~1)-гомотопию, соединяющую abф: /СП L-*-Af Л Вг с ab/ ох0,
можно продолжить до (Л"Л5г~!)-гомотопии отображения аЬф:
/С->Л' и до (L Л5г~')-гомотопии отображения аЬф: L-+B'; две
последние гомотопии составляют 5г~'-гомотопию, соединяющую
Ф с таким отображением ф': Dr-> Хг, что ф'| кп!. = (/1 лпв)°Хо
и ф'(/С) с= Л',. ф'A) czB'. Наконец, опять-таки в силу теоре-
теоремы 1.2, существуют непрерывные отображения х^ К-*А,
Х2: L-+B, такие, 4TOXo = abXi, Хо = аЬХ2И композиция отобра-
отображения Xi с abf: А->А' (/СП^)-гомотопна аЬф': /С-^-Л', а ком-
композиция отображения %2 с abf: B-+B' (КЛ?)-гомотопнааЬф':
L->B'. Вместе Xi и %2 составляют требуемое отображение х:.
Dr->X.
3. Пусть (X, С), (X', С) — пары Борсука, Y, Y' — топологи-
топологические пространства, ф: C-*Y, ц>'\ С ->Y' — непрерывные ото-
отображения и f: (X,C)-+(X',C), g: Y-+Y' —такие непрерывные
отображения, что ?<>ф = ф'оаЬ^ Если f, g — слабые гомотопи-
гомотопические эквивалентности, то отображение F: YU ф X-+Y' U ф/ X'',
определенное формулами
¦f,
" также является слабой гомотопической эквивалентностью.
[immi:
[imm2:
X-*Y\
Y-+Y{
U?X] = [immi:
J? X] = [imm2:
X'-+\
Y'->}
Уф' Л J
446 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Доказательство. Склеим X, Y и СXЛ отождествив каж-
каждую точку (с, 0) из С X / с точкой с из X и каждую точку (с, 1)
из С XI с точкой ф(с) из Y. Получившееся пространство мы
обозначим через Z, а погружения inim;: X^-Z, imm2: Y—>Z,
imm3: С УС.1 ->Z, во избежание путаницы, через а, р, у. Прежде
всего мы покажем, что отображение h: Z->Y[}4X, определенное
формулами
является гомотопической эквивалентностью. Для этого про-
продолжим гомотопию у: Cy(I->Z до гомотопии Г: X X, I ~> Z
отображения а и определим отображение k: Y [} X-> Z форму-
формулами k (immi (x)) = Г (х, 1) [jel], &°imm2:=p. Формулы
Я^тгп!
#'(imm2
КЫх),
К (Р {у),
(х),
(У),
t) =
t) =
t) = h{T{x,t))
t) = imm2 {у)
= Г (х, t)
= $(y)
при
при
при
при
х е
У*
х е
у е
= Х, t
= Y, t
= Х, t
= Y, t
e/,
e/,
e/,
/C(Y (с, 0, и) = Y (с, /и — и + О при с<=С, t^I, u^.1
определяют гомотопии Я: {Y[}(fX)XI-+Y{}(l>X, К: ZXI >Z,
соединяющие h°k с id(Y{J<s>X) и k°h с idZ, и, таким образом,
отображение k гомотопически обратно h.
Повторим все построение, заменив нештрихованные объекты
X, С, Y, ф, ... штрихованными. Мы получим пространство Z',
отображения a': X'-+Z', 0': Y'-^Z', у': С X / -> Z' и гомото-
гомотопическую эквивалентность /г': Y'Х)^ X'-*¦ Z'. Пусть G: Z-> Z' —
отображение, определяемое формулами G °a = u' ° f, G° P=j3' о gt
G о у = v'° (ab/ X id/). Ясно, что оно отображает триаду
(Z,aWUv(CX[0,l/2]), P(y)UY(CX/)) в триаду (Z',a'(X')[j
y'(Cr X [0,1/2]), Р'(Г) U Y'(C" X /)), причем выполнены все условия
теоремы 2. Применяя последнюю, мы видим, что G — слабая
гомотопическая эквивалентность, после чего из коммутативности
диаграммы
\]
й
z -^ г
следует, что F—слабая гомотопическая эквивалентность.
4. Пусть f — отображение триады (X, А, В) в триаду {X', А', В'),
такое, что ab/: A->A', ab/: B-+B' и ab/: A(]B-> A' ft В' —
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 447
слабые гомотопические эквивалентности. Если (А, А (] В),
(А', А'(]В') — пары Борсука, то и abs/: Х-+Х' — слабая гомо-
гомотопическая эквивалентность.
Это следует из теоремы 3, поскольку X=B\]in A, Х'—В'{].пА',
где в первом равенстве in = [in: Af\B ->В], а во втором in =
[in: Л'f)fi'-*?']•
5. Если {X, А), [X', А') - пары Борсука и f: {X, А) -* {Г, А') —
слабая гомотопическая эквивалентность, то fact/: Х/А-^-Х'/А'—
тоже слабая гомотопическая эквивалентность.
Для доказательства достаточно применить теорему 3 к слу-
случаю 7 = ?>°, Г = ?>°.
6. Если /: X—>Х' — слабая гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, то и suf: suX->suX'— слабая гомотопическая эквива-
эквивалентность.
Для доказательства достаточно применить теорему 5 к ото-
отображению relcon/: (con X, Х)^*{сопХ', X').
7. Если f: X~>X', g: Y->У— слабые гомотопические экви-
эквивалентности, то и f * g: X*Y'-> X'* У— слабая гомотопическая
эквивалентность.
Доказательство. Обозначим через А, В образы множеств
X X Y X [0, 2/3], X X Y X [1/3, 1] при проекции XXYXI->X*Y
и через А', В' - образы множеств X' X У X [0, 2/3], X' X У X
[1/3, 1] при проекции X' X Y' X / -> X' * У. Ясно, что f*g ото-
отображает А в Л' и В в В' и что отображение rel (f*"g): {X * Y,
A, B)->(Z'*Y', A', В') удовлетворяет условиям теоремы 2. Из
нее и следует, что f*g — слабая гомотопическая эквивалент-
эквивалентность.
8. Если-f: X-+Y — слабая гомотопическая эквивалентность
и К — локально конечное клеточное пространство, то ^(id,f):
'ё' (К, Х)->^ (К, Y) — слабая гомотопическая эквивалентность.
Достаточно доказать, что для любых непрерывных отобра-
отображений ф: Dr->W(K,Y), -ф: &~1^ЩК,Х) с У (id, /) о-ф = <р |sr_,
существует такое непрерывное отображение %: Dr —> *€ (К, X), что
xLr_i=iJ3 и композиция <^(jd,/)ox Sr~l-гомотопна <р (см. 1.2).
Рассмотрим отображения <р": DrX,K—>Y и а|з~: Sr~ X К -^X
(см. 1.2.7.6 и 2.1.4.3). Они непрерывны, и f °а|э~ =Ф~ |sr-ix^
что позволяет применить к ним первую часть теоремы 1.2. Стало
быть, существуют такое непрерывное отображение a: DrXK~*X
и такая (Sr~' X Ю-гомотопия Л: (О'ХЮХ/-*Y, что a|sr-ixK =
ф" и А связывает ф" с f°a. Обозначим через Н композицию
канонического гомеоморфизма (Z/ X I) X K->{Dr ХЮХ^ с h.
Мы полагаем % = оГ (см. снова 1.2.7.6). Ясно, что х lsr-i = "Ф
и что #~ есть Зг~'-гомотопия, связывающая ф с ^ (id, f) ° %.
448 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 5
9. Пусть пространства Х^ и X' составляют со своими отме-
отмеченными точками х^ и х'^ пары Борсука. Если /д: (Х^, xj—>
-*¦ (Х'^, х') — слабые гомотопические эквивалентности, то Vja:
VpiXp, xj-* \/ц(Х', x'J — тоже слабая гомотопическая эквива-
эквивалентность.
Это следует из 5.
3. Клеточная аппроксимация топологического пространства
1. Клеточной аппроксимацией топологического пространства X
называется всякая пара (/(, <р), составленная из клеточного
пространства К и слабой гомотопической эквивалентности
<р: К-+Х.
Пример: если X — хаусдорфово пространство, наделенное
клеточным разбиением, таким, что каждое компактное подмно-
подмножество пространства X пересекается лишь с конечным числом
клеток, то клеточное пространство, полученное из X после
клеточного ослабления топологии, составляет с id X клеточную
аппроксимацию пространства X. В частности, если Хь . . ., Хп —
клеточные пространства, то (Xi Xc • • • Xc^n. id) есть клеточная
аппроксимация пространства XtX • • • У.Хп, a (Xi*c. . . *сХп, id) —
клеточная аппроксимация пространства Xi* .. . * Хп.
2. Всякое топологическое пространство обладает клеточной
аппроксимацией.
Доказательство. Поскольку клеточные аппроксимации
компонент топологического пространства очевидным образом
составляют клеточную аппроксимацию всего пространства, а слу-
случай пустого пространства тривиален, можно ограничиться слу-
случаем, когда предложенное пространство X связно и непусто.
Пусть х0 — какая-нибудь его точка. Мы построим такие связные
клеточные пространства Kot К\, ... с отмеченными нульмер-
нульмерными клетками у0, уи ....такие непрерывные отображения
Ф<: (К.1,уд-*(.Х,хй) [г = 0, 1, ... ] и такие клеточные вложения
Л*: (Kt_v &_,)->(#„ у{) [/==1,2, ... ], что ф. есть /-эквивалент-
/-эквивалентность и ф. от). =ф/_1. Пара (lim/C., limfj будет тогда клеточной
аппроксимацией пространства X (см. 1.11.2).
Построение проводится индуктивно. Положим Ко = D°,
yo = D0,(pQ(Ko)=:x0 и допустим, что К,, Уь i\i, ф2 с 1<г уже
построены и обладают всеми перечисленными свойствами.
Фиксируем для каждого элемента а группы пг(Х, х0) сфероид
/а: Sr->J класса а и для каждого элемента Р ядра N гомо-
гомоморфизма (фг_!),: яг_, {Кг-и Уг-\)->Лг-\ (X, х0) сфероид gp: S^1 -»•
Kr-\ классами непрерывное отображение /гр: Dr->X с h^\sr-\ =
Фг-i ° ё$- Отображения fa, g^, h9 определяют непрерывные
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 449
отображения
f 8 Зг)
g: Useiv(Ss = Sr1)->
Положим
*r=[(*,-iUg(UBeJVZ>B)). imm2(^-.)]V[(Vaejlr(X,.,o)(SaI bp)), bp]
и определим цг как сквозное отображение
кг 1тгпг is ii/ii г\ \ Ьпт,
Аг-1 ¦> Лг-lUg (U^)
Фг: Kr->X — как отображение, составленное из фг-ь h и f, и уг
как цг(уг~{). Применяя теоремы 3.2.3 и 3.5.5, мы видим, что фг
есть r-эквивалентность, и ясно, что фг °i)r = фг-ь а % есть
клеточное вложение.
3. Если (К, ф), (Л", ф') — клеточные аппроксимации топологи-
топологических пространств X, X', то для всякого непрерывного отобра-
отображения f: X—> X' существует такое непрерывное отображение
g: К —> К', что диаграмма
гомотопически коммутативна (т. е. отображения / ° Ф, q/ ° g го-
гомотопны). Гомотопический класс отображения g определяется
этим условием однозначно.
Доказательство. Отображение л (id, ф'): п(К, К')-+
jx (/С, X') обратимо (см. 1.3),- и потому в я (/С, К') имеется один
и только один элемент, переводимый отображением jx (id, cp')
в класс отображения / ° ф.
4. Для любых клеточных аппроксимаций (К, ф), {К', ф')
одного и того же топологического пространства существует го-
гомотопическая эквивалентность g: К.-*К.'', такая, что композиция
ф' оg гомотопна ф.
Чтобы получить требуемое отображение g, мы применяем
теорему 3 к случаю, когда X' = X и f==idX. Гомотопически
обратное отображение gf получается таким же образом, если
поменять ролями, (Л", ф') и (К, ф); что композиции g°gf, g'° g
гомотопны тождественным отображениям, следует опять-таки
из теоремы 3.
450 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Слабая гомотопическая эквивалентность
как отношение
5. Д»:а топологических пространства называются слабо го-
мотопически эквивалентными, если они обладают клеточными
аппроксимациями (К, ф), (L, о|з) с K = L. Очевидно, это отно-
отношение является эквивалентностью в обычном смысле.
Если для пространств X, У существует слабая гомотопи-
гомотопическая эквивалентность /: X —>Y, то X и Y слабо гомотопически
эквивалентны; действительно, если (К, ф) — клеточная аппрокси-
аппроксимация пространства X, то (К, / ° ф) есть клеточная аппроксима-
аппроксимация пространства Y. Обратное неверно: можно указать слабо
гомотопически эквивалентные пространства X, Y, для которых
не существует ни слабой гомотопической эквивалентности X —>Y,
ни слабой гомотопической эквивалентности Y->X. Пример
имеется ниже в 4.2.
Если два пространства гомотопически эквивалентны, то они,
конечно, и слабо гомотопически эквивалентны. Обратное не-
неверно; например, всякое топологическое пространство слабо
гомотопически эквивалентно клеточному (см. 2), но не всякое
топологическое пространство гомотопически эквивалентно кле-
клеточному (см. 1.6). С другой стороны, как это следует из
теоремы 1.4, в клеточном случае слабо гомотопически эквива-
эквивалентные пространства гомотопически эквивалентны.
Слабая гомотопическая эквивалентность
слоев расслоения Серра
6. Любые два слоя расслоения Серра со связной базой слабо
гомотопически эквивалентны.
Доказательство. Пусть g — расслоение Серра со связной
базой и &о. Ъх—точки базы. Фиксируем путь s: /-»bsg, соеди-
соединяющий Ьй с Ъи и клеточную аппроксимацию {К, ф) слоя pr ?~' [bQ).
Отображение / =[in: pr|~' (b0)—>t\ |] <хр и гомотопия F: /СХ
/—>-bsg, определенная формулой F(x, t) = s{t), удовлетворяют
соотношению F (х, 0) = рг | о /" (х) [х е i(], так что существует не-
некоторая гомотопия F~: /CX/-*"tlg отображения /~, накры-
накрывающая F (см. 4.1.3.6). Определим отображение if: К—>prg~' {bt)
формулой лен-> F~ (х, 1) и покажем, что о|з — слабая гомотопи-
гомотопическая эквивалентность.
Для этого заметим, что, каковы бы ни были точка хе/(
и сфероид ?e=Sphr(/C, x), формула {у, t)>-*-F~ {g(y), t) опре-
определяет слоистую гомотопию (см. 1.7.1) между сфероидами ф# (g),
г|э и {g) в доль пути s: / —> tl g, задаваемого формулой t н-э-
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ .451
F" (§¦ (ortj), t). Стало быть, диаграмма
(перенос Г5 определен в 1.7.3) коммутативна, и так как Г5 —
изоморфизм, то обратимость <р% влечет за собой обратимость а^.
Клеточная аппроксимация топологической пары
7. Клеточной аппроксимацией топологической пары (X, А)
* называется всякая пара [(/С, L), <р], составленная из клеточной
пары (К, L) и слабой гомотопической эквивалентности <р: (К, L)->
(X, А).
В случае, когда А и L — точки, клеточная аппроксимация
[(К, L), ф] пары {X, А) называется клеточной аппроксимацией
пространства X с отмеченной точкой.
8. Всякая топологическая пара {X, А) обладает клеточной
аппроксимацией. Более того, для всякой клеточной аппроксима-
аппроксимации (L, о|з) подпространства А существует такая клеточная ап-
аппроксимация [{К, Ц, ф] пары (X, А), что а|з = ab <p.
Доказательство. Пусть (М, %) — клеточная аппрокси-
аппроксимация пространства X (см. 2) и g: L-+M — такое клеточное
отображение, что композиция %°g гомотопна [in: A—>X]°ip
(см. 3 и 2.3.2.4). Положим /С = Су 1 / и определим ф как реля-
релятивизацию отображения К~>Х, составленного из % и какой-нибудь
гомотопии L~X,I ->Х, связывающей [in: А-> X] ° г|> с % о g. Ясно,
что ф — слабая гомотопическая эквивалентность и что ab ф = -ф.
9. Если [{К, Ц, ф], [{К', L'), <р'] — клеточные аппроксимации
топологических пар (X, А), {X', А'), то для всякого непрерывного
отображения /: (X, A)—>(Xf, А') существует и единственно с точ-
точностью до гомотопии такое непрерывное отображение g: (К, L)—>
(/(', L'), что диаграмма
(К, L)-?>(K', L')
(Х,А)^->(Х', А')
гомотопически коммутативна. Для любых клеточных аппрокси-
аппроксимаций [(К, L), ф], [(#'» ^0» ф'] одной и той же топологической
пары существует такая гомотопическая эквивалентность g:
(К, L) -> {К', L'), что композиция ф' ° g гомотопна ф.
Доказательство повторяет доказательства теорем 3 и 4,
только ссылка на 1.3 заменяется ссылкой на 1.12.
452 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
Клеточная аппроксимация и конструкции
10. Ясно, что если (К^, Ф^)— клеточные аппроксимации про-
пространств ^((ieM), то (и^л/Сц, Ыц^мФц) есть клеточная
аппроксимация пространства пцем-Хц- Из теоремы 2.9 сле-
следует, что если пространства Х^ составляют со своими отме-
отмеченными точками л^'пары Борсука и [(/СA, у^), фц]— их кле-
клеточные аппроксимации, то [Х/ц(/Ср., У у), V^J есть клеточная
аппроксимация букета \/^{Х^, х^).
Если (/Сь фО, ..., (/?„, ф„) — клеточные аппроксимации про-
пространств Xi, ..., Х„, то, как это следует из сказанного в 2.1
и 1, (/Ci Хс • • • Xc-Krti Ф1 X • • • X Фа* есть клеточная аппроксима-
аппроксимация произведения Хх X • • • X ^п- В тех же условиях, как это
следует из 2.7 и сказанного в 1, {К\ *с • • • *с Дп, Ф1 * • • • X * фв)
есть клеточная аппроксимация пространства Хх * ... * ^„;
в частности, если (/С, ф) — клеточная аппроксимация простран-
пространства X, то (sn/v, эиф) есть клеточная аппроксимация про-
пространства suX.
Если [(/С, I), ф] — клеточная аппроксимация пары Борсука
{X, А), то (K/L, factф: K/L^-X/А) есть клеточная аппроксимация
пространства XJA. Это следует из 2.5.
Применение: обобщение теорем 3.3.6, 3.5.5 и 3.6.2.
// (Лемма). Если {X, А, В) — такая триада, что intA и Intfi
покрывают X или (А, А Л В) — пара Борсука, то существуют
такая клеточная триада (К, L, Щ и такое отображение /: {К,
L, М)->(Х, А, В),- что отображения abs/: K->X, ab/: Ь^-А,
ahf: M->B, ab f: L f) M->A[\ В являются слабыми гомотопи-
гомотопическими эквивалент ноет ями.
Доказательство. Согласно 2, пространство А[\В обла-
обладает клеточной аппроксимацией, скажем, (Л^, х). а согласно 8,
последняя продолжается до некоторых клеточных аппроксимаций
[(//, N), ф], [(ЛГ, N), ф] пар (А, А[\В), (В, А[\В). Приклеим
к V U М' цилиндр Л^ X I посредством отображения (A^XO)U
(Af X I)"*"L U M, составленного из отображений (х, 0)i—^ in! (x),
(x, l)i—>in2(^), и обозначим полученное клеточное пространство
через К- Отождествим, далее, N X /, L\ M' с их образами в К,
положим L = (N X /) U L', M = (N X 1)\}М.' и составим отобра-
отображение /: (К, L, М)—>{Х, А, В) из сквозных отображений
Ясно, что IntL\]Int M = К и что abf: L-+A, ab f: M->B и
§ 4] СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 453
ahf: Lf\M—>Af]B — слабые гомотопические эквивалентности.
Следовательно, и abs/: K—>X — Слабая гомотопическая эквива-
эквивалентность (см. 2.2 и 2.4).
12. Гомоморфизм
, xQ)*nl(B, xQ)]/vk(X, А, В, Xo)-*ni(X, х0), B)
определенный в 3.3.5, является изоморфизмом не только для
клеточной триады {X, А, В) со связными А, В и А{]В (как это
утверждает теорема 3.3.6), но и для всякой триады {X, А, В)
со связными А, В и А Л В, у которой Int А и Int В покрывают X
или (А, А П В) есть пара Борсука. Это следует из 3.3.6 и
леммы 11, поскольку гомоморфизм B) является естественным.
В частности, фундаментальная группа букета двух про-
пространств канонически изоморфна свободному произведению
фундаментальных групп этих пространств при единственном
условии, что одно из них составляет со своей отмеченной точкой
пару Борсука (ср. 3.3.7).
13. В теореме 3.5.5 требование клеточности пар (Х^, х^)
можно ослабить до требования, чтобы они были парами Борсука.
Это следует из теоремы 8, сказанного о букетах в 10 и комму-
коммутативности диаграммы C) из 3.5.1.
14. Теорема 3.6.2 и ее следствие 3.6.3 верны не только для
клеточных пар, но и для произвольных пар Борсука. Это сле-
следует из теоремы 8 и сказанного о факторизации в 10.
4. Упражнения
1. Рассмотрим объединение графика функции хн—>sin(l/.v)
на промежутке 0 < лг^ 1/я и четырехзвенной ломаной с после-
последовательными вершинами A/я, 0), A/я, 2), (— 1, 2), (—1, 0)-,
(О, 0). Показать, что это объединение оо-связно, но не явля-
является гомотопически полноценным. (Ср. 1.6.)
2. Обозначим через А подмножество прямой R, составленное
из 0 и точек 2" с neZ (ср. 4.2.4.2). Показать, что простран-
пространства X = Z\J(AXSl), К = ЛиBХ5') слабо гомотопически
эквивалентны, но что не существует ни слабой гомотопической
эквивалентности X-*-Y, ни слабой гомотопической эквивалент-
эквивалентности Y-+X. (Ср. 3.5.)
3. Примем за X часть пространства R3, составленную из
отрезка / и последовательности отрезков с концами nort2r
ortj + ort3/n («= 1,2, ...). Показать, что {X, (хи х2, х3)>—> хь I)
есть расслоение Серра и что слои этого расслоения не все
гомотопически эквивалентны между собой.
4. Пусть X, Y — топологические пространства с отмеченными
точками- х0, г/0 и Z — локально конечное клеточное пространство
454 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
с отмеченной нульмерной клеткой z0. Показать, что если /:
X~>Y — слабая гомотопическая эквивалентность и / {х0) = у0, то
aW(id, /): W(Z, z0; X, х0)->^4Z, zol У, Уч) есть слабая гомо-
гомотопическая эквивалентность. (Ср. 2.8.)
§ 5. УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДА
1. Класс wd (m, п)
1. В этом параграфе определяется и частично изучается
операция над элементами гомотопических групп, обобщающая
в известном смысле действие фундаментальной группы в гомо-
гомотопических группах. Определение предполагает заданной пару
натуральных чисел т, п.
Настоящий пункт посвящен очень конкретной предвари-
предварительной конструкции. Напомним (см. 2.1.3.2 и 2.1.5.2), что кле-
клеточное разбиение произведения Sm X Sn, определяемое стандарт-
стандартными двухклеточными разбиениями сфер Sm, Sn, состоит из
четырех клеток, старшая из которых имеет размерность т-\-п,
а три другие составляют букет (Sm, ort,) V (Sn, ort^. Этот букет
мы будем обозначать через В(т, п) или, короче, В. Стандартное
характеристическое отображение, отвечающее (т -f- «)-мерной
клетке, представляет собой композицию канонического гомеомор-
гомеоморфизма Dm+n->Dn X Da (см. 1.2.6.9) и отображения DS X -OS-
Оно отображает сферу Sm+n~l в В и точку (ortj + ortm+1)/V 2
в bp = (ort,, ortO и определяет благодаря этому некоторый эле-
элемент группы лт+п (Sm X Sn, В, bp) [см. 2.2.5]. Мы обозначаем
этот элемент через Wd (т, п) или, короче, Wd, а элемент d(Wd)
группы пт+п-х{.В, bp), т. е. класс приклеивающего сфероида
Sm+"-i -> В, —через wd (in, n) или, короче, wd.
Нам потребуются еще два обозначения: гомеоморфизм
В (т, п)-+В(п, т), переставляющий Sm и Sn, будет обозначаться
через я, произведение сфероидов immb imm2: (Sn, ог^)-*
{В{т, п), bp) при т = п — через ц,.
2. Порядок класса wd равен сю.
Достаточно установить, что порядок класса Wd равен оо и что
д: nm+n(SnXSn, В, bp)->«„+„_!(В, bp)
есть мономорфизм. Первое следует из того, что гомоморфизм
Sm X Sn, В, Ьр)->Ят+„ ((Sm X Sn)/B = Sm+n, pr (bp)) =Z
переводит Wd в образующую правой группы. Второе следует из
точности гомотопической последовательности пары (Sm X 5", В)
с отмеченной тачкой bp, поскольку т„: ят+п(В, bp) -*¦
лт+„ (Sm X Sn, bp) есть эпиморфизм (см. 3.5.4).
§ 5] УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДА ' 455
3. Изоморфизм я,: пт+п-\(В(т, п), Ър)-*лт+п-1(В(п, пг), Ьр)
переводит wd (m, п) в (—l)mrtwd(n, пг).
Это следует из коммутативности диаграммы
Qtn+n—l Qtn+П — 1
В (m, /г) -^*В [n, m),
в которой вертикальные стрелки обозначают сфероиды из 1,
представляющие wd (m, п) и wd (п, пг), а верхнее горизонталь-
горизонтальное отображение определяется формулой (хь ..., хт+п) —¦>
(хт+и ..., хт+п, хи ..., хт). [Степень последнего отображения
равна (-1)тп.]
4. Если т=\, то
wd (m, n) = imm;. (sphn) \Тыт1,^щ) imm2. (sphn)]"'.
В частности, wd(l, l) = a2a,a~1aj~1, где через a,, a2 обозначены
(как в п. 3.1) элементы immf,(sphi), кпгпг, (sphj) группы
я, (ВA, 1), Ьр).
Доказательство. Согласно 1, wd(l, n) представляется
сфероидом Sn -> ВA, п), определяемым формулой
DS(V2" JCi) при |^ |< 1/д/2"»
1 imm2 ° DS (V2 \х2 хп+1)) при | л:, | > 1/V2".
Этот сфероид гомотопен, очевидно, произведению сфероида
(Xi, . . ., Xn+i) I >
f bp при *!
2^
imm2 ° Z)S (V2 fe. • • •, *»+i)) при Xj > 1/V2~
и сфероида, получающегося из сфероида
imm2 о DS (V2 (л2. • • •, xn+ij) при ^ < — 1/У2",
Ьр при хх > — 1/V2"
переносом вдоль пути fi—^imm^ Z)SA —2/). Остается заметить,
что сфероид A) принадлежит классу imm2.(sphn), сфероид B) —
классу ^ттг^зрЬл)], а путь — классу immi»(sphj).
456 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
5. Класс wd (т, n) принадлежит ядру каждого из трех гомо-
гомоморфизмов
pTi«: nm+n-i{B, bp)->Jtm+B-i(S"\ orti),
pr2«: nm+n-i(B, Ьр)->ят+„_1 {Sn, orti),
in»: nm+»-i(fi, bp)^Ttm+n_!(SmXS", bp).
Для третьего гомоморфизма это следует из точности гомо-
гомотопической последовательности пары EmXSft, В) с отмеченной
точкой bp, для первого и второго — из равенств [рг^ В->5т]==
[рг,: SmXSn^Sm]° in, [pr2: B-*Stt] = [pr2: 5m X Srt -> Srt] = in.
6. Гомоморфизм (id Sm V ц)*: ят+„_! (Б (т, я), bp)->
"m+«-i(Em, orti)V (B(rt, «), bp), bp) переводит wd(/n, и) в
[(id Sm* V immO, (wd (m, «))] [(id Sm V imm2)t (wd (m, я))].
Доказательство. При m—l, а также при «=1 это
следует из 4 и 3; пусть /л > 1 и и> 1. Так как букет (Sm,
ortj) V (^ («, «), bp) односвязен, а произведение Sm$(B(n, n)
получается из него после добавления двух {ш + п)-мерных клеток
с приклеивающими сфероидами sm+n~l ~*{Sm, orti)y(B(n, n), bp)
классов (idSm V imm1),,(wd (m, n)), (id Sm V imm2)% (wd (m, n)), то
ядро гомоморфизма
in»: nm+n-x{{Sm, ort,)V(B(«, n), bp), bp)->
(SBXB(«, n), bp)
порождается указанными классами. Это ядро содержит и класс
(idSn W yi)t{wd(m, «)), поскольку wd(m, n) принадлежит ядру
гомоморфизма, индуцированного включением В{пг, п) -> Sm X 5"
(см. 5), a id Sm V ц есть сокращение отображения id Sm X 1^: 5mX
S"^-SmXfi(«, n). Следовательно,
(id Sm V ц). (wd (m, я)) = - • ,
[(id Sm V imm,). (wd (m, n))]fel [(id S V imm2), (wd (m, n))]kl C)
e feb fe2 e Z, и остается показать, что &1 = fe2—1-
Очевидно, композиции (id Sm Vpr,) ° (idSm V ц) и (idSm V pr2)=
(idSmVM')' гДе Ргь pr2 —проекции букета В{п, п) на Sn, гомо-
гомотопны id B\m, «), композиции (idSm V priH(id5m V immi) и
(id Sm V pr2) ° (id Sm V imm2) совпадают с idB(m, n), а компози-
композиции (id Sm V pri) о (id S V imm2) и (id Sm V pr2) о (id Sm V imm,)
совпадают со сквозным отображением B(tn, a)—>Sm *- B{m, n).
Действуя на обе части равенства C) гомоморфизмами (idSmVpri)*,
(idSmVpr2)»H применяя предложение 5, мы получаем равенства
wd(m, «) = wd(m, n)k\ wd(m, n) = wd(m, h)k\ из которых и
следует, в силу 2, что k\ = \, k2=l.
§ 5] УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДА 457
7. Класс wd {m, п) принадлежит ядру гомоморфизма
su: nm+n-x{B(m, n), bp) -> itm+n(su(B(m, я), bp) = B(m+l,
л+1), bp).
Доказательство. Согласно 2.1.1, диаграмма
Ят+n-i (Sm, orti) ч Ящ+n-i (S (m, я), bp) >¦ nm+n-i (Sn, orti)
|su jsu jsu
РП. РГ2»
, orti) -« nm+n(B(m+ 1, я+ 1, bp) *-nm+ft(S , orti)
коммутативна. "Из этой коммутативности и предложения 5 сле-
следует, что su(wd(m, и)) принадлежит ядру каждого из гомо-
гомоморфизмов pru, ргг», т. е. ядру составленного из них гомомор-
гомоморфизма
пт+а(В{т+\, л+1), bp)->itm+n{Sn+1, orOejw.Cs, ort,),
и остается вспомнить, что последний является изоморфизмом
(см. 3.5.5).
2. Определение и простейшие свойства
произведения Уайтхеда
1. Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0, и пусть
а, р —элементы групп пт(Х, х0), лп(Х, х0). Очевидно, гомото-
гомотопический класс отображения h: (В, bp)-»-(X, xQ), составленного
из каких-нибудь сфероидов (Sm, orU)->(X, x0), (Sn, orti)->(X, хй)
классов а, Р, не зависит от выбора этих сфероидов. Следова-
Следовательно, элемент Л„ (wd (m, л)) группы nm+n-i(X, x0) определяется
классами а, Р; он называется произведением Уайтхеда этих
классов и обозначается через [а, E].
Заметим, что, в силу этого определения, сам класс wd (m, п)
оказывается произведением Уайтхеда классов сфероидов
шип,: (Sm, ort,)-*(В, bp), imm2: (Sn, ort,)->(B, bp), т.е. что
wd (m, «) = [immi»(sphm), imm2.(sphrt)].
Ясно, что /„([a, P]) = [f»(a), f%(p)] для любых aeitm(I, хй),
рея„A, д;0) и любого непрерывного отображения /: (X, хо)~*
(У, г/о). Ясно также, что Ts{[a, p]) = [7>i, Ts$] для любых ae
nm (X, х0), реп„ (X, х0) и любого пути s: I -> X с началом х0.
2. Если аеяв(Х, х0), р е пп{Х,-х0), то [р, а] = (- 1)тге[а, р].
Действительно, если отображение h: (В, Ър)—>(Х, х0) со-
составлено из сфероидов (Sm, ort,)->-(Z, x0), {Sn, ort,)-^^, x0)
классов a, f5, т&
[р, a] = (Л о я), (wd (л, /п)) = М«. М («, m))) =
A,((-l)mnwd(m, «)) = (-irn[«,P]
(см. 1.3).
15 В. А'. Рохлин, Д, Б, Фукс
458 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
3. Если аел,л (X, х0) и рь р2 е я« (X, х0) с п > 1, то [а, 0, + Р2]=
[а, Pi] + lct, р2]. ?сш аь %еятA, %)ст>1 «реп,A, *0),
то [а,+а2) р] = [а„ Р] + [а2, р].
В силу 2, достаточно доказать первое. Рассмотрим отобра-
отображение
h: ((Sm, orU)\/(B(n, n), bp), bp) —(X, *0)
составленное из каких-нибудь сфероидов /: (Sm, ort,) -> (J, x0)
и gi, ^2= E", ort,)^-(J, ^0) классов а и р,, р2. Отображение
{B{m, n), bp)->(Z, x0), составленное из сфероидов /, gu совпа-
совпадает, очевидно, с композицией /z°(id S V imni]), отображение,
составленное из сфероидов /, g2, —с ho(idSm \/ imm2), и ото-
отображение, составленное из f и произведения сфероидов gu g2,
— с h о (id Sm V f-i). Следовательно,
[a, P, + P2] = К ° (id Sm V (i), (wd (/n, n)) =
ht ((id Sm V imm,), (wd {tn, n)) + (id 5'" V imm2), (wd (m, «))) =
(Л о (id Sm V immj^Jwd {m, tij) + (Л ° (id Sm V imm2)), (wd (tn, n)) =
[a, p,] + [a, ft,].
аея|A, jc0), а реп„(Х, х0) с любым иГ>1, го
[а, р] = РG'ар)~1. В частности, если а, р е л, (Z, х0), то [а, Р] =
рар^'а.
Это следует из 1.4.
5. Произведение [а, р] классов аеяя(Х, яо)> рея„(Х, jc0)
всегда принадлежит ядру гомоморфизма su: nm+n-i(X, ^o)~>
nm+n(su(X, хй), bp).
Это следует из 1.7.
5. Для любых а е лот(X, jc0), рея„(F, г/0) произведение
[immi«(a), imm2«(p)] принадлежит ядру каждого из трех гомо-
гомоморфизмов:
, xo)V(Y, y0), Ър)^пт+п_1(Х, х0),
^0)V(F, y0), bp)-^nm+n_i(Y, y0).
in,: nn+n-{((X, xo)V(Y, у0), Ьр)-^ят+„_, (XX Y, bp).
Это следует из 1.5.
7. Умножение Уайтхеда, вообще говоря, не ассоциативно.
Это видно уже из 4: если обозначить (как в п. 3.1)
через аь а2, а3 элементы immi.(sphi), imm2.(sphi), imm3.(sphi)
группы ^((S1, ort^VCS1, ortOV^S1, ort,), bp), то окажется,
что [[a,, a2], a3] = a3a2a1a^1a|-Ia-1a1a2af1a-1, a [a,, [a2, a3]] =
= a3a2a3"la2"IaIa2a3a~Ia~1af'. Другой пример имеется ниже в 4.2.
§ 5] . УМНОЖЕНИЕ УАИТХЕДА 459
Случай #-п ространства
8. Если X есть Н-прост ранет во, то [а, р] = О для любых хо^Х
и а?лв(Х, х0), реппA, х0).
(Это обобщает теорему 1.9.11.)
Достаточно рассмотреть случай, когда х0 — единица. Пусть
f: (Sm, ort])->(X, x0), g: {Sn, ort,)->(X, x0) — сфероиды классов
a, p. Определим отображение h: (Sm X Sn, Ър)-*{Х, х0) форму-
формулой h(x, y) = f(x)g{y) и сфероиды /ь- (Sm, ort,)->(X, x0),
g{: (Sn, ortO-^X, x0) формулами /, {y)=. f {y)x0, giiy) = g{y)x0.
Ясно, что сфероиды /,, gi гомотопны сфероидам /, g и что
отображение {В, Ьр) -> (X, х0), составленное из fi и gu совпа-
совпадает с h\B = h°[in: B->SmXSn]; следовательно, [a, Р] =
(h о in), (wd (m, n)) = ht ° in» (wd (m, n)), и так как in, (wd (m, n)) = 0,
то [a, p] = 0.
3. Применения
/. Пусть X, Y — пространства с отмеченными точками х0, у0
и k, I — неотрицательные целые числа. Если X k-связно, Y 1-связно
и (X, х0), (Y, г/0) — пары Борсука, то ядро гомоморфизма
in,: %+/+I {{X, xQ) V (У, г/о), Ьр) -> яА+/+1 (X X У, Ьр)
порождается, как подгруппа отображаемой группы, произведе-
произведениями [imm,»(a), imm2*(P)] с аеяН1(Х, х0), реяг+,G, у0).
(Ср. 3.5.5 и 4.3.13.)
Доказательство. Что все такие произведения содер-
содержатся в Ker ins, следует из 2.6; покажем, что они порождают
Ker in%. В силу 4.2.1, 4.2.9 и 2.3.3.2, можно ограничиться слу-
случаем, когда (X, х0), (У, г/о) — клеточные пары и skekX — x0,
ske/ Y = г/о- В этом случае sk.eA+/+1 (X X Y) cr (X, л0) V (Y, у0) и
классы приклеивающих отображений (k + / + 2)-мерных клеток
из (X X Y) \ [(X, х0) V {Y, г/0)] являются, как это прямо следует
из определения 2Л, произведениями Уайтхеда классов харак-
характеристических отображений, отвечающих (k -\- 1)-мерным клет-
клеткам из imrtii (X) на классы характеристических отображений,
отвечающих (/+ 1)-мерным клеткам из imm2(F). Следовательно:
если k>0 и / > 0, то Ker in, порождается классами [immi*(a),
imm2i(P)] с ae%(I,ij) и Рел(+1(К, г/0) [см. 3.2.4]; если
k > 0, а 1 = 0, то Ker т„ порождается классами
^imm2* (о) [immi* (a), imm2* (P)]
с аб%A,^) и р, а е п, (У, у0) [см. 3.2.4]; если ^ = 0,
а / > 0, то Ker in, порождается классами
Timmj. (о) [immi, (a), imm2* (P)]
16*
460 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 5
с а, в^щ(Х, х0) и ре я;+1 (У, у0) [см. 3.2.4]; если k = l — 0,
то Ker in, порождается классами
o?) lmm2, (a^) [immi* (a), imm2. (P)]
с a, 0h ..., aq e щ {X, x0) и p, cot ..., л, е я, (У, z/0) [см. п. 3.3].
Остается заметить, что для любых а, аЕя, {X, х0), р е
я,+1(У, г/о) с / > 0
riram,. (о) [immi* (a), imm2* (Р)] =
— [immi» (a), imm2* (Р)] + [immi* (cur), immj. (p)],
для любых aejj+i(I, л;0), р, яея^У, г/0) с k>0
7'imm^(a)[immi«(a), imm2*(P)] =
— [immi» (a), imm2* (a)] + [immi» (a), imm2. (per)],
для любых а, вел| (X, x0) и р, со е Я] (У, г/0)
ГAтт„о)Aгага2,м)[1тт1*а, imm2*p] = [immi» cr, imm^coP]-' [immi* ста,
imm:« cdP] [immi* ста, imm2*cu]~' [immi» a, imm2*cD]
(cm. 2.4).
2. При любом четном натуральном п класс [sphn, sphn] имеет
в 3t2re-i(Sn) порядок оо. В частности, группы it^-i (S2*) с k^l
бесконечны.
(Ср. пп. 2.2 и 2.4.)
Доказательство. Так как
ц, [sphn, sphj = [ц, (sphn), ц, (sphrt)] =
(sphn) + imm2* (sphn), immi* (sphn) + imm2* (sphn)] =
(sphn), immi»(sphn)] + [imm2*.(sph/l)> imm2» (sphrt)]+
2 [immi* (sphn), imm2* (sphn)] =
i» [sphn, sph«] + imm2* [sphrt, sphn] + 2 wd (n, n),
то
2 wd (n, n) = nJsphn, sphj — immi*[sphn, sphrt] — imm:*[sphn, sphn].
Если бы класс [sphn, sphj был элементом конечного порядка,
то класс wd(«, n), вопреки 1.2, также был бы элементом ко-
конечного порядка.
3. При любом четном натуральном п ядро гомоморфизма
su: я2"„-1 (Sn)->n2n{Sn+l) бесконечно.
Это следует из 2 и 2.5.
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ 461
4. Упражнения
/. Вычислить трехмерную гомотопическую группу букета
двумерных сфер.
2. Показать, что
[fcp],Y]=?4a,lP,Y]],
если
l, 2), bp),
р = у = imm2, (sph2) с= я2 (В A, 2), Ьр).
3. Показать, что для любых а е лт (X, х0), 0 ея„ (X, х0),
уеярAд0) с m > 1, /г > 1, р > 1
(- 1Г" [ [а, Й, Y] + (- Dmn[ [Р, Y], а] + (- 1)яр [ [у, а], р] = 0.
§ 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ
1. Слабая гомотопическая эквивалентность
и расслоения Стинрода
/. Расслоения Стинрода |ь |2 с одним и тем же стандарт-
стандартным слоем F называются k-эквивалентными, если существуют
такое клеточное пространство В и такие ^-эквивалентности
Ф,: B-^-bsgj, ф2: B->bs|2, что расслоения ф'1,, ф'|2 f-эквива-
лентны. В этом определении О^^^оо. Важнейшим является
случай & = оо. Расслоения Стинрода, которые оо-эквивалентны,
называются также слабо гомотопически эквивалентными.
Ясно, что расслоение, индуцированное расслоением Стин-
Стинрода посредством ^-эквивалентности, fe-эквивалентно этому рас-
расслоению. Ясно также, что базы слабо гомотопически экви-
эквивалентных расслоений Стинрода слабо гомотопически эквива-
эквивалентны, и применение леммы 1.5.19 показывает, что то же верно
для их тотальных пространств (лемма 1.5.19 применяется к го-
гомоморфизмам гомотопических последовательностей расслоений
ф|!р ф2'|2 е гомотопические последовательности расслоений |ь 12,
индуцированным отображениями ad ф^ ф{|1->|1, а<1ф2: Ф2|2-*!,).
2. Пусть t,i и ?,2 — расслоения Стинрода с одним и тем же
стандартным слоем F. Если расслоение %х универсально, то рас-
расслоение ?2 универсально тогда и только тогда, когда оно слабо
гомотопически эквивалентно ^.
Докажем сначала достаточность этого условия, т. е. пока-
покажем, что для всякого расслоения Стинрода | со стандартным
слоем F и клеточной базой, всякого подпространства (в кле-
клеточном смысле) В пространства bs| и всякого непрерывного
отображения ф: ?-»bs?2 с индуцированным расслоением ф'?2,
462 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
/•¦-эквивалентным | |в, существует такое непрерывное отображе"
ние -ф: bsg—>-bs?2, что г|з|в = ф и расслоение я|э'?2 f-эквива-
лентно | (см. 4.4.2.2). Согласно 1, существуют такое клеточ-
клеточное пространство К и такие слабые гомотопические эквива-
эквивалентности /р /С —^- bsg; и /2: /C->bs^,, что расслоения /,'?, и /2'?2
F-эквивалентны, а согласно 4.1.2, существует такое непрерыв-
непрерывное отображение g: В ->/С, что композиция /2 о g- гомотопна ф. В
возникающей цепочке F-расслоений (/, ° g-)!?, = g]- (/,'?,), g!(/,!?2) =
(/2 ° g)%i, ф'^2, 11в соседние расслоения f-эквивалентны, и потому
расслоение {f\°g)'t,\ ^-эквивалентно \\в. Так как расслоение ^
универсально, то существует такое непрерывное отображение
h: bs|-->bs?i, что /г|в —fi ° g и расслоение /г!?2 F-зквивалентно |
(см. опять 4.4.2.2). Поскольку / есть слабая гомотопическая эк-
эквивалентность, существует такое непрерывное отображение
k: bs ?->/(, что k\B = g и композиция f\°k гомотопна h
(см. 4.1.2). Сужение отображения /, ° k: bs | —> bs g2 на В совпа-
совпадает с /2 ° g и, значит, гомотопно ф; следовательно, существует
гомотопное fi°k отображение -ф: bs|->bsg2, совпадающее с ф
на В. Так как в цепочке ty%, (/2 ° Щ2 = & (Ш> *4/'Si) =
(/i°^)!Si» ^!?ь I соседние расслоения ^-эквивалентны, то рас-
расслоение ty<?,2 ^-эквивалентно |.
Вывод слабой гомотопической эквивалентности расслоений ^
и Сг из их универсальности опирается на дойаз'анную часть тео-
теоремы. Пусть (К, фО, (К, Фг) — клеточные аппроксимации баз рас-
расслоений Е,и ?,2- Так как расслоения ф^,. Ф;?т слабо гомото-
пически эквивалентны, то они универсальны, и, следова-
следовательно, пространства Ки К2 гомотопически эквивалентны
(см. 4.4.2.4).
3 (Следствие). Если два пространства являются классифици-
классифицирующими для одной и той же топологической группы, то они
слабо гомотопически эквивалентны.
4. Для всякой топологической группы G существует универ-
универсальное G-расслоение с клеточной базой.
Это следует из 4.4.3.4, 4.3.2 и 2.
5. Главное расслоение универсально в том и только'
том случае, если его тотальное пространство оо-связно.
Доказательство. Пусть сначала | — универсальное G-
расслоение. В силу 2, g слабо гомотопически экви-
эквивалентно Mi G, а так как пространство tl Mi G оо-связно (см.
2.3.3.10, 4.2.7 и 1.11.2), то и пространство tl| оо-связно (см. 1).
Пусть теперь | — такое G-расслоение Стинрода, что простран-
пространство tl | оо-связно. Фиксируем какую-нибудь клеточную аппрок-
аппроксимацию (К, ф) пространства bs| и рассмотрим G-расслоение
ф'|. Так как расслоение Mi G универсально, то q>% G-экви-
валентно расслоению, индуцированному расслоением Mi G по-
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 463
средством некоторого непрерывного отображения г|з: /С—>bs MiG.
Поскольку пространства tl Mi G и tl (ф'|) оо-связны, а вместе с
tl(qp!g) оо-связно и пространство tl (i|)'Mi G), применение леммы
1.5.19 показывает, что -ф есть слабая гомотопическая эквивалент-
эквивалентность (лемма 1.5.19 применяется к гомоморфизму гомотопиче-
гомотопической последовательности расслоения t|)!Mi G в гомотопическую
последовательность расслоения MiG, индуцированному отобра-
отображением ad г|з: i|3!Mi G—> Mi G). Таким образом, расслоениеg слабо
гомотопически эквивалентно Mi G и, следовательно, универ-
универсально (см. 2).
6. Если X — классифицирующее пространство топологической
группы G, то при любом г ^э= 1 группа лг{Х) изоморфна nr-\{G).
Действительно, в силу теоремы 5 гомоморфизмы А из го-
гомотопической последовательности универсального G-расслоения
с базой X являются изоморфизмами (см. 1.8.7).
7. Теоремы 2 и 5 переносятся на ^-универсальные расслое-
расслоения: если одно из двух расслоений Стинрода с одним и тем же
стандартным слоем ^-универсально, то другое ^-универсально
в том и только том случае, если оно ^-эквивалентно первому;
главное расслоение ^-универсально в том и только
том случае, если его тотальное пространство fe-связно. Дока-
Доказательства представляют собой очевидную модификацию дока-
доказательств теорем 2 и 5.
Применение: универсальные главные
расслоения для Z и Zm
8. Расслоение (R, hel, Sl) является универсальным Z-расслое-
нием. Расслоение (S°°, pr, L (ш)) является универсальным Zm-
расслоением.
Это следует из 5 ввиду оо-связности пространств R и S°°,
2. Теория накрытий
1. Главное содержание этого пункта — весьма эффективное
перечисление накрытий связного непатологического пространства,
дополненное условием эквивалентности двух заданных накрытий.
Инструментом служит фундаментальная группа. Изложение
очень элементарно и фактически использует из всей теории рас-
расслоений только две теоремы, предполагающие заданным накры-
накрытие | с отмеченной точкой jtetlg: (i) всякий путь в bsg с на-
началом рг|(;с) обладает одним и только одним накрывающим
путем (в tl|) с началом х; (и) если два пути в bsg с началом
prg(x) гомотопны, то накрывающие пути (в tig) также гомотопны
и, в частности, имеют общий конец. (Эти теоремы являются
очевидными следствиями теорем 4.1.3.6 и 4.1.3.8.) Правда,
464 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
в действительности мы ссылаемся кое-где и на другие факты тео-
теории расслоений (например, на теорему 1.8.12), однако все они
легко выводятся из (i) и (И).
В основе теории накрытий лежит определение группы накры-
накрытия. Напомним, что, согласно 1.8.12, гомоморфизм рг*:
п{ (tl g,х) ->я, (bsg, pr|(х)) является, мономорфизмом для любого
накрытия | с отмеченной точкой xetlg. Образ этого мономор-
мономорфизма называется группой накрытия g с отмеченной точкой х
и обозначается через gr|(х).
2. Если prg(X]) = prg(^o) и s — путь в tig, соединяющий х0
с Х\, то grg(^i)^or[grg(x0)] 0, где а—класс петли pr|°s. В част-
частности, если ргё,(хх) = prg(x0), го grg(x0) н grg(*O сопряжены
в Я] (bs g, jc0). Верно и обратное: группами gr g (x) с я e
pr |~' (prg(Ato)) исчерпываются подгруппы группы я, (bsg,
prg(*o))> сопряженные с grg(x0).
Действительно, grg(^) = prg, (Я; (tig, *i)) = prg»° ГЛя, (tig,
JC0)) = ?V So, ° РГ %, (Я, (tl |, *„)) = Грг |os (gr g Uo)) = <T [gr g (*„)] 0-1,
и эти же равенства показывают, что для любого элемента о
группы Я! (bsg, prg(^o)) группа cr[grg(x0)] а совпадает с
grg(s(l)), где s —путь в tig с началом ха, накрывающий какую-
нибудь петлю класса о.
Иерархия накрытий
5. Накрытие g с отмеченной точкой х0 е tl g называется под-
подчиненным накрытию g' с отмеченной точкой х'о е tl g', если
bsg' = bsg и существует такое отображение qp: g/->g, что
bscp = idbs| и tl ф (Xq) = х0. Отображение <р называется в этом
случае подчинением.
Ясно, что если qp: g'->g — подчинение, то (tig', tlф, tig)
ееть накрытие.
4. Если подчинение существует, то оно единственно.
Доказательство. Пусть ф, г|) — подчинения накрытия |
с отмеченной точкой xQ накрытию g с отмеченной точкой х'о,
и пусть х' — произвольная точка пространства tl g'. Если путь
s: /-^-tl|' соединяет х'о с х', то пути tlqpos, tl "ф о s простран-
пространства tig накрывают один и тот же путь prg'°s базы bsg и
начинаются в одной и той же точке. Следовательно, tlij>°s =
tl ф о s иг tl -ф {/) = tl i> ° s A) = tl ф о s A) = tl ф (*')¦
5. Если два накрытия с отмеченной точкой подчинены друг
другу, то подчинения являются взаимно обратными эквивалент-
ностями.
Доказательство. Пусть ф: g'->g, ф': g-*¦ g' — подчине-
подчинения. Тогда и ф'о ф: g'^-g', ф ° ф': g —> g — подчинения, из чего
следует, в силу 4, что ф'оф = 1с^', фоф' = ](^.
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ 465
6 (Лемма). Пусть |, |' — такие накрытия с общей базой и
отмеченными точками xoetlg, x'Q(=t\l', что рг|'(л:^) = pr|(jc0)
и gr ?'(X) cr gr ? (jc0). Если пути s[, s'2: /->tl ?' начинаются
в точке х'о и имеют общий конец, то пути в tl ?, накрывающие
рг|' о s', pr|' о Sj ы начинающиеся в точке х0, также имеют об-
общий конец.
Доказательство. Пусть su s2 — пути в tl| с началом х0,
накрывающие pr \' ° s[, pr \' ° s'r Класс петли (рг %' ° s[) (pr %'
о s'2y принадлежит gr|'(^), а следовательно и gi*| (х0),
и потому путь в tl | с началом *0, накрывающий указанную
петлю, замкнут. Этот замкнутый путь представляется как про-
произведение пути, накрывающего pr!-' ° s[, и пути, накрывающего
(pr|'° sQ, причем первый сомножитель начинается в точке ха
и потому совпадает с su а второй кончается в точке х0 и по-
потому совпадает с s~K Таким образом, s[t s2 имеют общий конец.
7. Пусть |, |' — такие накрытия с общей базой и отмечен-
отмеченными точками jcoetl?, x'0^tl%', что pr|' (jc^) = pr 1{х0). Тогда:
если I подчинено |', то gr |'(^) cz gr |(х0); если gr|'(^)cr
_gr|(x0) и база bs| локально связна, то | подчинено %'.
Первое очевидно; докажем второе. Отнесем точке jc'etl|'
общий конец путей в tl |, начинающихся в точке х0 и накры-
накрывающих пути вида рг|'о«', где ы' — путь в tl |', соединяю-
соединяющий х'о с х' (см. 6). Этим определено некоторое отображение
F: tll'-^-tll, удовлетворяющее соотношению pr|°F = pr|', и
нужно лишь показать, что оно непрерывно. Пусть х' — точка
в \\\' и U — окрестность точки F {х')\ мы укажем такую окрест-
окрестность U' точки х', что F {U') cz U.
Для этого найдем в bs | такую окрестность W точки рг|'(л:')>
что некоторые окрестности V, V точек х', F {х') гомеоморфно
проектируются на W посредством рг|', рг|. Поскольку прост-
пространство Ьз| локально связно, W можно уменьшить до такой
окрестности W\ точки рг|'(л:'). что pr|'(x') соединяется с лю-
любой точкой из W{ путем, проходящим в W. Положим V' = V'D
(prl')~l(Wi), Vi = V f]prl~l(W!) и примем за U' пересечение
V'i П (pr IT1 (рг I (С/)). Очевидно, х' е С/'; покажем, что F (С/') с= U.
Пусть i/'e[/'. Так как abprg': V -> IF — гомеоморфизм,
то я' можно соединить с у' некоторым путем vr: /—>-tl!', про-
проходящим в F'. Определим путь v: /->tl| формулой
фиксируем путь «': /->tl|/, соединяющий л:д с л:', и рассмот-
рассмотрим путь и: /—>tl|, соединяющий х0 с F{x) и накрывающий
466 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
путь рг|' о и'. Ясно, что путь u'v' соединяет х'о с у', а путь uv
накрывает путь рг|'о(г/г/) и начинается в точке х0. Следова-
Следовательно, uv(l)=F(y'), и, значит, F {y')—v A)=(рг | |к)~' (prg'(z/))<=
УЛргГ'(РгГ(?/О)с:?/.
8 (Следствие). Накрытия |, |' с общей локально связной ба-
базой эквивалентны в том и только том случае, если для некото-
некоторых точек х0 <= tl |, х'о е tl I' с рг I' (х'о) = рг | (х0) группы gr ?, (*0),
gr?'(*o) сопряжены в nf (bsg, pr| (#0))-
Группа автоморфизмов накрытия
5. Как и автоморфизмы (автоэквивалентности) любого рас-
расслоения |, автоморфизмы накрытия | составляют группу Autg.
Ее структура описывается нижеследующей теоремой 10, в ко-
которой х0 обозначает, как обычно, точку, отмеченную в tig.
Кроме того, в 10 употребляются два новых обозначения. Пер-
Первое: через ev обозначается отображение группы Autg в слой
рг|~' (рг|(х0)), определяемое формулой ev(cp) = tl ср(л:0). Второе:
через Reg обозначается множество таких точек х из рг|~ (|(х0)),
что gr|(лг) = gr|(xQ). Из 2 следует, что прообраз множества Reg
при отображении A: Mbsl, pr l(x0)) -^rco(pr g (pr|(x0)), *о) =
рг|~' (рг I (х0)) совпадает с нормализатором Ni^grl'^o)) группы
gr|(x0) в n,(bs|, рг|(л:0)). [Напомним, что нормализатором Nr (H)
подгруппы Н заданной группы G называется часть группы G,
составленная из таких g, что gHg~l=H; это — подгруппа
группы G, содержащая Н в качестве своей нормальной подгруп-
подгруппы.] Таким образом, А индуцирует обратимое отображение
fact abA: Nr(gr|(xo))/grl-(xo)->Reg.
10. Отображение ev взаимно однозначно, его образ ev(Autg)
содержится в Reg, и сквозное отображение
ab ev
Aut| *
является антигомоморфизмом. Если база bsg локально связна,
то ev(Autg) = Reg, так что группа Autg антиизоморфна группе
Nr (gr|(xo))/grg(A'o). Если, сверх того., накрытие | регулярно, то
Nr(grg(x0)) совпадает с xti(bsg, pr%{xQ)), так что группа Autg
антиизоморфна Jtj (bsg, pr|(xo))/gr|(xo).
Доказательство. Так как всякий автоморфизм ср е Aut ^
может рассматриваться как подчинение накрытия % с отмечен-
отмеченной точкой t\q>(x0) накрытию g с отмеченной точкой я0, то вза-
взаимная однозначность отображения ev прямо следует из 5. По-
Подобным же образом включение ev (Aut |) с Reg следует из пер-
первой части теоремы 7, а равенство ev(Autg) = Reg (в случае
локально связной базы) — из второй части теоремы 7. Наконец,
.антигомоморфность отображения (factabA) о abev очевидна.
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ
Регулярные накрытия
467
рг
//. Накрытие \ называется регулярным, если для некоторой
точки *oetl| подгруппа gr|(x0) группы rti(bs?, рг| (д:0)) явля-
является нормальной. Из 2 следует, что в этом случае gr|(x) бу-
будет нормальной подгруппой группы iti(bs|, prf(x)) для любой
точки х е tig.
Если накрытие | регулярно, то, как это видно из 2, для
любой точки 6ebs? группы gr|(je) с jcepr|~'F) совпадают.
Заметим,что все двулистные накрытия регулярны (подгруппа
индекса 2 всегда нормальна). Дальнейшими примерами регу-
регулярных накрытий могут служить
накрытия (R, hel, S1) и E1, helmi 51)
[см. 4.1.2.6], а также накрытия
(S*-1, pr, L(m; lu ..., /„)) [см.
4.2.3.15] и (S3, pr, S3/G~P) где Р —
тетраэдр, куб или додекаэдр [см.
4.2.3.17]. Пример нерегулярного на-
накрытия показан на рис. 17 (где две
точки, обозначенные через А, как
и две точки, обозначенные через В,
считаются отождествленными); не-
нерегулярность этого накрытия сле-
следует из нижеследующей теоремы 12.
12. Накрытие | в том и только
том случае является регулярным,
если для некоторой точки xoetl|, p
любой, петли s: /—>tl| с началом х0 ис'
и любой точки х<= рг^"' (рг|(х0)) путь, накрывающий петлю
рг| о s и начинающийся в точке х, замкнут.
Действительно, последнее условие означает, что всякий эле-
элемент группы gr^(x0) принадлежит и любой группе gr|(x)
с xeprg"" (pr|(jc0)), из чего следует, что любая подгруппа
группы nl (bs |, рг | (х0)), сопряженная с gr | {х0), совпадает с gr | (я0)
[см. 2].
У-?. Накрытие | в гол « только том случае регулярно, если оно
эквивалентно главному расслоению. Структурная группа такого
расслоения дискретна и изоморфна G = ni(bs|, pr?(*o))/gri (*<>)»
и всякие два G-расслоения Стинрода, которым эквивалентно |,
G-эквивалентны между собой.
Доказательство. В силу 4.3.2.10 и 4.3.2.11, \ "в том
и только том случае эквивалентно (/-расслоению Стинрода, если
в tl| можно определить непрерывное свободное правое дейст-
действие группы G, траектории которого совпадают со слоями, так
что, в частности, группа G должна быть дискретной. Преобра-
468 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ (ГЛ. 5
зования пространства tig, определяемые таким действием, оп-
определяют автоморфизмы накрытия |, согласно же 9 такое дейст-
действие возможно лишь в случае, когда | регулярно и группа G
антиизоморфна Autg, т. е. изоморфна ji^bsg, pr |(xo))/gr ? (*0).
Существование накрытий
14. Топологическое пространство X называется микроодно-
связным, если у каждой точки tel есть такая окрестность U,
что гомоморфизм in,: щ (U, х) —> п{ (X, х) тривиален.
Класс микроодносвязных пространств содержит, очевидно,
все односвязные пространства и все локально стягиваемые про-
пространства [в числе последних все локально евклидовы прост-
пространства и все корсы (см. 1.3.6.8), в частности, все клеточные
пространства (см. 2.1.4.5)].
15. Пространство, обладающее односвязным накрывающим,
микроодносвязно.
Действительно, если | — накрытие с односвязным накры-
накрывающим tl | и Ь — точка базы bs \, то гомоморфизм in,: nx (U, Ь) ->
Jti (bs ?,, &) тривиален для любой окрестности U точки Ъ
с тривиальным сужением \ \и.
16. Если пространство В связно, локально связно и микро-
микроодносвязно, то для всякой его точки Ьй и всякой подгруппы я
группы щ (В, bQ) существует такое накрытие | с отмеченной
точкой Arostl|, что bs| = fi, pr|(jco) = &o и gr !¦ (*о) ^Я-
Доказательство. Профакторизуем множество Я? (/, 0;
В, Ьо), отождествив каждые два пути su s2 с общим концом,
у которых класс петли Sj's содержится в л, и обозначим
фактормножество через Е. Обозначим, далее, через Nb (?/, V; s),
где U — открытое множество в В, V — открытое множество в U,
as — путь в В с s@) = b0, s{\) e V, подмножество множества Е,
составленное из точек, представляемых путями вида say cw{I)czU,
w(l) s V. Множества Nb(f/, V; s) удовлетворяют условиям пред-
предложения 1.1.1.9 и, следовательно, составляют базу некоторой
топологии. [Мы оставляем в стороне отношение этой топологии
к фактортопологии, определяемой в Е топологией пространства
^G, 0; В, Ьо).] Ясно, что отображение р: ?->В, относящее
точке из Е общий конец представляющих ее путей, непрерывно
и, более того, открыто. Мы полагаем | = (?, р, В) и опреде-
определяем х0 как точку пространства Е, представляемую постоян-
постоянным путем. Очевидно, р (х0) = Ьо; покажем, что | есть накры-
накрытие и что grg(*:0) — я.
Сначала мы докажем, что | — накрытие в широком смысле.
Пусть Ъ — произвольная точка пространства В. Найдем такую
окрестность U точки Ь, что гомоморфизм включения xti (?/, Ь)->
Я1 (В, Ь) тривиален, ~я в ней такую окрестность V точки Ь,
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 469
что b соединяется с любой точкой из V путем, проходящим в U.
Мы покажем, что | \v есть тривиальное расслоение с дискретным
слоем.
Для этого соединим Ьо с b каким-нибудь путем s: I -> В и
фиксируем для каждого смежного класса аея, (В, Ь0)/п петлю иа:
I —у В, представляющую какой-нибудь элемент этого смеж-
смежного класса. Множества Nb(f/, V; uas) открыты и попарно не
пересекаются [если пути (uas) w и (uas) wx с w (I) a U, wx (I) c: U
определяют одну и ту же точку пространства Е, то а = аь так
как петля ((иа$)да) ((t^s)©,), и с ней гомотопная ей петля
waua,'' принадлежит классу из я]. Они покрывают р~] (V) [вся-
[всякий путь s', соединяющий Ьо с точкой из V, гомотопен пути
вида (us) w, где и — петля и w (/) с: U, например, пути
(((s'w1) s~')s)w, где w — какой-нибудь путь в U, соединяющий b
с s'(l)]. Наконец, отображения abp: Nb(f/, V; uas)-^V открыты
вместе ери обратимы [если пути (uas)w, (uas)wi с w(I)aU,
W\ (I) cz U имеют общий конец, то они гомотопны], т. е. являются
гомеоморфизмами. Таким образом, сужение \\v действительно
является тривиальным расслоением с дискретным слоем.
Остается доказать, что Е связно и что путь в ? с нача-
началом х0, накрывающий петлю класса а из Я] (В, Ьо), замкнут
тогда и только тогда, когда аея, Обозначим для пути
s: I -> В с началом bQ через s~ путь в Е, относящий числу
/е/ точку пространства Е, которая представляется путем
т*—>s(/t). Ясно, что s~~ .соединяет х0 с точкой пространства Е,
представляемой путем s, и накрывает s. Из этого следует,
во-первых, что всякая точка из Е соединяется путем с х0 и,
во-вторых, что конец пути с началом х0, накрывающего петлю
с началом Ьо, совпадаете точкой пространства Е, которая пред-
представляется этой петлей. Первое показывает, что пространство Е
связно, -а второе показывает, что конец пути с началом х0, на-
накрывающего петлю с началом Ьо, тогда и только тогда совпадает
с х0, когда гомотопический класс этой петли принадлежит п.
17. Предыдущая теорема завершает теорию накрытий с фик-
фиксированной базой. Вместе с теоремой 7 она устанавливает взаимно
однозначное соответствие между классами эквивалентных на-
накрытий, над связным локально связным микроодносвязным про-
пространством В с отмеченной точкой Ьо и классами сопряжен-
сопряженных подгрупп группы щ (В, Ьо). Оно переводит иерархию накры-
накрытий в о0ычную теоретико-множественную иерархию подгрупп,
причем нормальные подгруппы соответствуют регулярным накры-
накрытиям. Тривиальной подгруппе отвечает накрытие с односвязным
накрывающим. Поскольку последнему накрытию подчинены все ос-
остальные, его называют универсальным. (Предостережение: не сле-
следует смешивать эту универсальность с универсальностью в теории
470 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
расслоений Стинрода. Впрочем, среди универсальных расслое-
расслоений Стинрода имеются универсальные накрытия: таковы универ-
универсальные главные расслоения, отвечающие дискретным группам;
см. 1.5 и ср. 18.)
Применение: классифицирующие пространства
дискретных групп
18. Для того чтобы связное топологическое пространство X
было классифицирующим пространством дискретной группы л,
необходимо, а если X локально связно и микроодносвязно, то
и достаточно, чтобы группы пг(Х) с г^2 были тривиальными,
а группа щ {X) была изоморфна л.
Необходимость следует из 1.5, 13 и 1.9.15. Достаточность
следует из 16, 1.8.12 и 1.5.
Накрывающие отображения
19. Пусть I, |' — накрытия с отмеченными точками х0 е tl g,
XgGEtl!-' и /: (bs|', pr^'(^))->(bs|, pr § (*0)) — непрерывное
отображение. Тогда включение f (gr|'(^)) c= gr| (jc0) является
необходимым, а в случае, когда база bsg' локально связна, и
достаточным условием существования отображения qp: |' —> \
с tl ф ^Xq)== лг0. Если такое отображение ср существует, то оно
единственно.
Доказательство. Что существование такого отображе-
отображения влечет за собой включение / (gr!'^)) с: gr?(*0), видно из
коммутативности диаграммы
я,
rt,(bsg', рг|'Ю) ^.(bsg, рг|(дс0))
(см. 1.8.6). Докажем обратное. Рассмотрим расслоение /!1 и ото-
отображение ad/: /4—>?. Пусть z/J —точка слоя (pr/l|)~1(pr|/(xS)),
такая, что tl ad / (у'А = х0. Пусть, далее, У — комцонента
пространства tl(/'|), содержащая y'Q, и р' — сужение отображе-
отображения prf~| на У. Ясно, что (У, р'', bs |') — накрытие, что tl ad /
составляет с / отображение этого накрытия в | и что отобра-
отображение tl ad / \y> взаимно однозначно на каждом слое этого
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 471
накрытия. Так как в диаграмме
«i (У', Уо) -^ я, (bs I', pr I' (х'о)) -^> п0 ((Р'Г' (рг Г (^)), ^)
lab tl ad f» If» lab tl ad f»
pr ?» Д _,
Я1 (tl |, *„) >¦ я, (bs g. pr 1 (*0)) —*¦ я0 (pr | (pr I (x0)). *0)
строки точны, а левый вертикальный гомоморфизм является
мономорфизмом, то /~] (Im (pr S,^)) = Im p' и, значит, Imp'zD
gr|'(-*Q. Из этого следует, ввиду локальной связности про-
пространства bs!-', что накрытие (У,//, bs|') с отмеченной точкой у'-,
подчинено накрытию %' с отмеченной точкой х'о. Если г|/ — под-
подчинение, то композиция (tl ad / \у) ° tl г|/ составляет с f требуе-
требуемое отображение ф.
Докажем, наконец, единственность ф. Пусть ф^ |'—>|—
другое отображение с tl ф1 (х'Л = х0. Тогда для любой точки
х' е tl |' и любого пути s': 7->tlg', соединяющего^ с х', пути
tl ф о s'', tl ф) о s' накрывают путь / ° pr |' ° s' и начинаются
в точке я0. Следовательно, в этих условиях tl ф ° s' = tl ф] ° s'
и, значит, tl ф(х') = tl фо s'(l) = tl фх °s'(l) = t^, {x').
20. Пусть | — накрытие с от меченной точкой х0 е tl |, и пусть
Y — локально связное пространство с отмеченной точкой у0 и
/: (У, г/0) —> (bs |, prg(x0)) — непрерывное отображение. Если
/„(я, (У, Уо)) ^ gr?(xo) Iе частности, если У односеязно], то сг/-
ществует отображение F: (У, г/0) ->¦ (tl I, ^o)> накрывающее f.
(Ср. 4.1.3.8.)
Для доказательства достаточно применить теорему 19 к на-
накрытиям I и |' = (У, id, У).
Накрытия и дополнительные структуры
21. Существует важный общий принцип, согласно которому
дополнительная структура, определенная в базе накрытия,
естественно поднимается при благоприятных условиях в накры-
накрывающее пространство. Мы заключим наше изложение теории
накрытий применением этого принципа к трем структурам: диф-
дифференциальной, клеточной а симплициальной. Дальнейшие при-
применения имеются в упражнениях 5.10, .5.11.
В случае дифференциальной структуры мы с самого начала
ограничимся многообразиями, т. е. предположим, что база bs |
накрытия | является ^'-многообразием A<г<а) и что число
листов накрытия счетно. Каждая карта ф «= Atl bs |, над кото-
которой | .является тривиальным расслоением, обладает в tl |
копиями, покрывающими множество pr|~' (supp ф), и ясно-, что
472 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
все вместе такие копии составляют *<Рг-атлас пространства tl |.
Этот атлас наделяет пространство tl| "(Р'-структурой и делает его
^"'-многообразие. Фундаментальное свойство поднятой ^'-стру-
^'-структуры, определяющее ее единственным образом, состоит в том,
что относительно нее проекция рг ? является ^'-субмерсией,
т. е. накрытие | является ^'-расслоением. Добавим, что из
ориентируемости bs| следует ориентируемость tl |.
Подъем клеточной структуры производится аналогично, только
для подъема клеток и характеристических отображений прихо-
приходится пользоваться теоремой 20. В итоге тотальное пространство
накрытия с клеточной базой оказывается клеточным простран-
пространством (оснащенным, если оснащена база), а проекция — клеточ-
клеточным отображением.
Подъем симплициальной структуры, может рассматриваться
как специальный случай подъема клеточной структуры. Тоталь-
Тотальное пространство накрытия с симплициальной базой оказывается
симплициальным пространством (упорядоченным, если упоря-
упорядочена база), а проекция — симплициальным отображением.
22. Во всех трех рассмотренных ситуациях поднятая струк-
структура инвариантна относительно автоморфизмов накрытия, и ясно,
что, по крайней мере в случае регулярного накрытия |, всякая
дифференциальная или клеточная структура, определенная в tl |
и инвариантная относительно автоморфизмов накрытия, может
быть спущена в bs|, т. е. получена как результат подъема (для
симплициальной структуры последнее делается верным после
двукратного барицентрического подразделения). Например,
линзы и факторпространства сферы S3 по бинарным группам
тетраэдра, куба и додекаэдра (см. 4.2.3.17) накрываются сфе-
сферами регулярно (см. 4.3.2.11 и 13) и, таким образом, являются
^"-многообразиями.
Заметим, что предыдущее условие инвариантности структуры
относительно автоморфизмов накрытия | заведомо выполнено,
если | является ^'-расслоением и речь идет о 9"-структуре,
имеющейся в tl ?,. В этом случае спущенная 9"-структура, оче-
очевидно, совпадает с имеющейся в bs |. Именно так обстоит дело,
например, со всеми накрытиями, описанными в 4.1.2.6, в ча-
частности, с накрытиями (R, hel, S1), (S1, helm, S1) и (Sn, pr, RPn).
S. Ориентации
1. В настоящем пункте техника предыдущего пункта приме-
применяется к проблемам ориентируемости, рассмотренным в §§3.1
и 4.5 (см. пп. 3.1.3 и 4.5.1, 4.5'.4). Мы будем следовать схеме
п. 4.5.1, которая применима к расслоениям над какими-угодно
пространствами, тогда как схема п. 4.5.4 позволяет получить
те же результаты лишь для расслоений в клеточкой Оазой.
§ 6| ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 473
2. Пусть ?— вещественное векторное расслоение размер-
размерности п. Рассмотрим ассоциированное главное расслоение
asso(|, GL(n, R)) и профакторизуем его тотальное пространство
tl asso (|, GL (n, R)) по правому действию группы GL+ (n, R),
возникающему при сужении канонического правого действия
группы GL{n, R) в tlasso(|, GL{n, R)) [см. 4.3.2.10]. Простран-
Пространство орбит этого действия группы GL+ (п, R) обозначается через
bs+|. Оно служит тотальным пространством расслоения с базой
bs| и проекцией fact pr asso (g, GL(n, R)). Ясно, что это рас-
расслоение является двулистным накрытием в широком смысле.
Оно обозначается через ог|.
Точки пространства bs+ | очевидным образом интерпретиру-
интерпретируются как пары (л;, е), где х — точка пространства bs |, a e —
ориентация слоя рг|~'(д:). Это позволяет интерпретировать
одновременное ориентирование слоев расслоения | как отобра-
отображение s: bs§—>bs+|, такое, что pror!°s = idbs|, и ясно, что
согласованность этих ориентации в смысле 4.5.1.8 есть не что
иное, как непрерывность отображения s. Таким образом, ориен-
ориентации расслоения | оказываются сечениями расслоения ог|.
Важнейшие следствия: A) расслоение | ориентируемо в том
и только том случае, если ог?— тривиальное расслоение;
(ii) расслоение | заведомо ориентируемо, если база bs| ло-
локально связна и фундаментальные группы ее компонент не
имеют подгрупп индекса 2 (последнее условие выполнено, на-
например, если компоненты односвязны); (Hi) если расслоение |
ориентируемо, то число его ориентации совпадает с числом
отображений comp bs |->5° (в частности, если число компонент
конечно и равно т, то число ориентации равно 2т).
3. В дополнение к предыдущему построению мы сделаем
следующее замечание. Рассмотрим для вещественного вектор-
векторного расслоения | расслоение |+с базой bs+I, индуцированное
расслоением % посредством проекции ргог?. Наше замечание
заключается в том, что расслоение ?+ обладает канонической
ориентацией. Именно, ориентация его слоя рг !+'(*, е), где
х — точка базы bs|, a e — ориентация слоя рг|~'(*)> опреде-
определяется как ориентация е, перенесенная в prg+'(x, e) изомор-
изоморфизмом
abtlad(prorg): рг|+'(*, в)->ргГ'(*);
что эти ориентации согласованы в смысле 4.5.1.8, очевидно.
Случай гладких многообразий
4. Поскольку ориентировать гладкое многообразие —значит
ориентировать его касательное расслоение (см. 4.6.4.4), ска-
сказанное в 2 применимо к ориентируемости и ориентациям
474 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 5
гладких многообразий. В частности: гладкое многообразие X
ориентируемо в том и только том случае, если расслоение
or tang X (двулистное накрытие в широком смысле с базой X)
тривиально; гладкое многообразие заведомо ориентируемо,
если фундаментальные группы его компонент не имеют под-
подгрупп индекса 2 (например, если все компоненты односвязны).
Добавим, что, согласно 2.21, пространство tlortangj
является гладким многообразием, и из 3 следует, что оно
обладает канонической ориентацией. Если X связно и неориен-
тируемо, то or tang X есть (двулистное) накрытие в узком
смысле; это накрытие называют ориентирующим.
4. Некоторые расслоения над сферами
/. Настоящий пункт содержит простейшие сведения об
ориентированных вещественных векторных расслоениях и о ком-
комплексных векторных расслоениях над сферами малых размер-
размерностей. Эти сведения, с одной стороны, представляют само-
самостоятельный интерес, с другой стороны, иллюстрируют общую
теорию.
Напомним, что классы б/.+К'1-эквивалентных О?+К"-расслое-
ний над клеточной базой находятся в естественном взаимно
однозначном соответствии с гомотопическими классами непре-
непрерывных отображений этой базы в G+(oo, n), а классы GLCn-
эквивалентных б/.С'-расслоений над клеточной базой — в есте-
естественном взаимно однозначном соответствии с гомотопическими
классам! непрерывных отображений этой базы в CG(oo, n);
см. 4.5.3.7. Если базой служит сфера Sr с г^1, то, ввиду
простоты пространств G+ (oo, п) и CG(oo, n), указанные гомо-
гомотопические классы могут быть отождествлены с элементами
групп nr(G+(oo> n)) и nr(CG(oot n)), последние же канонически
изоморфны группам nr—x (SO (п)) и nr_!(f/(n)) [см. 2.8.2 и 2.8.4].
Таким образом, классы С/,+Кг'-эквивалентных ОЬ+К^-расслоений
над Sr с г^1 находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии с элементами группы nr—\ (SO (n)), а классы GLCn-
эквивалентных О/.С^-расслоений над Sr с г^1 —в естественном
взаимно однозначном соответствии с элементами группы
nr—i(U(n)). Поскольку группы яг_, (SO (n)) и nr-x (U (п)) с несколь-
несколькими начальными значениями г нам известны [см. п. 2.6], это
дает классификацию соответствующих расслоений. Она и изла-
излагается здесь в самых грубых чертах. Некоторые дополнения
имеются в упражнениях 5.14—5.19.
Стоит заметить, что этот метод применим в значительно
более общей ситуации. Пусть G — топологическая группа и Р —
эффективное G-пространство. Согласно общей теории расслое-
расслоений (см. п. 4.4.2), элементы множества Stee (Sq, F) находятся
§ 6] ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 475
в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами
множества n(S", X), где X — произвольное классифицирующее
пространство группы G. Если X g-просто (например, если группа G
связна), то n(S4, X) не отличается от nq(X), а при q^\—от
n,_,(G) [см. 1.6].
Ориентированный вещественный случай
2. Так как группы тс0 (SQ(n,)) тривиальны, то при любом
натуральном п всякое С/.+К^-расслоение над окружностью S1
р
Так как группа jti (SO A)) тривиальна, группа л, (SO B)) изо-
изоморфна Z, а группа щ (SO (га)) сп^З изоморфна Z2, то: всякое
GL+R'-расслоение над сферой S2 GL+R'-тривиально; число по-
попарно С1+К2-неэквивалентных О1+К2-расслоений над S2 счетно
бесконечно; при я^З число попарно С?+К'1~неэквивалентных
О1+Р'г-расслоений над S2 равно 2.
Так как группы я2 (SO (га)) тривиальны, то при любом нату-
натуральном п всякое б/.+И^-расслоение над сферой Si GL+Rn-
тривиально.
Так как группы jt3(S0A)) и it3(SOB)) тривиальны, а группа
jt3(SO(ra)) с л^гЗ счетно бесконечна, то: всякое GL+R'-расслоение
над сферой S4 GL+R'-тривиально; всякое GL+R2-pac^oeHHe
над S4 GL+R2-тpивиaльнo; при п^З число попарно GL+R"-
неэквивалентных С?+к"-расслоений над S4 счетно бесконечно.
Комплексный случай
3. Так как группы no(U(n)) тривиальны, то при любом
натуральном га всякое С/.С"-расслоение над S1 C1С"-тривиально.
Так как группа щ(и(п)) с п^\ изоморфна Z, то при
любом натуральном га число попарно GL (^"-неэквивалентных
GL С^-расслоений над S2 счетно бесконечно.
Так как группы я, (U (п)) тривиальны, то при любом натураль-
натуральном га всякое О/Х'1-расслоение над 53 ОЬС"-тривиально.
Так как группа я2(?/A)) тривиальна, а группа щA/(п))
с га^2 изоморфна Z, то: всякое GLC-расслоение йад S4
GLC'-тривиально; при п^2 число попарно С/.С^-неэквивалент-
ных бЬС^-расслоений над S4 счетно бесконечно.
5. Упражнения
/. Показать, что гладкое компактное двумерное многообрг
зие нельзя нетождественно накрыть кругом D2.
2. Показать, что гладкое компактное двумерное многооб-
многообразие нельзя накрыть полуплоскостью Ri.
476 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [ГЛ. 8
3. Показать, что сфера с g~ ручками в том и только том
случае способна m-листно накрыть сферу с g ручками, если
(«~-1) = т(?-1). [Ср. 4.1.5.1.]
4. Показать, что сфера с А" пленками в том и только том
случае способна m-листно накрыть сферу с А пленками, если
(А~ —2) = т(А-2). [Ср. 4.1.5.2.]
5. Показать, что сфера с g ручками в том и только том
случае способна /n-листно накрыть сферу с А пленками, если
т четно и g— I =m(h — 2)/2.
6. Показать, что топологическое пространство в том и только
том случае способно нетождественно накрыть бутылку Клейна,
если оно гомеоморфно бутылке Клейна, внутренней части ленты
Мебиуса или одному из произведений R.X R> R-X 5', S1 X 51.
7. Показать, что для всякой группы щ и любых абелевых
групп %, я3, ..., наделенных правым групповым действием
группы тсь существуют такое клеточное пространство X с отме-
отмеченной точкой х0 и такой изоморфизм /: л{ -> пх (X, х0), что
группы щ{Х, х0), п3{Х, х0), ... /-изоморфны группам щ, щ, ...
8. Показать, что если база накрытия | является п-мерным
локально евклидовым пространством, то tig есть п-мерное
локально евклидово пространство с краем pr|~'(dbsi).
9. Показать, что накрывающее локально конечного клеточ-
клеточного пространства локально конечно (см. 2.21).
10. Пусть база накрытия | является топологической группой.
Показать, что, какова бы ни была точка х слоя рг|~'(еь3|),
пространство tl| обладает одной и только одной групповой
структурой, делающей tig топологической группой с единицей х,
а рг| — гомоморфизмом.
11. Показать, что если в базе конечнолистного накрытия
можно определить транзитивное действие связной компактной
топологической группы, то и в тотальном пространстве этого
накрытия может быть определено транзитивное действие связ-
связной компактной топологической группы.
12. Показать, что если у двулистного накрытия ? база
является неориентируемым гладким многообразием, а тотальное
пространство ориентируемо, то | эквивалентно ориентирующему
накрытию многообразия bs ?.
13. Показать, что если неориентируемое гладкое много-
многообразие X накрывается ориентируемым многообразием, то и
tl or tang X накрывается этим ориентируемым многообразием.
14. Показать, что: (i) при любом натуральном п существует
и единственно с точностью до О/,К"-эквивалентности GLR"-He-
тривиальное бШ^-расслоение над окружностью S\ причем в
случае га=1 его тотальное пространство гомеоморфно внут-
внутренней части ленты Мебиуса; (п) число попарно» GLR2-He-
эквивалентных GLR2-pacMoeHHfi над 52 счетно бесконечно;
8 61 ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ 477
(Ш) при га!>3 число попарно б/^-неэквивалентных GLRn-
расслоений над 52 равно 2; (iv) при любом натуральном га
всякое G/^"-расслоение над 53 GLR''-тривиально; (v) всякое
GLR2-pacaioeHHe над S4 б/Л^-тривиально; (vi) при п^З число
попарно б/^-неэквивалентных б/^-расслоений над S4 счетно
бесконечно.
15. Показать, что при г ^2 всякое GLR'-расслоение над
Sr GLR'-тривиально.
16. Показать, что при г^З: всякое СЬР2-расслоение над
S' С/<Р2-тривиально; всякое GL+R2-paccлoeниe над Sr GL+R2-
тривиально; всякое GLC'-расслоение над Sr GLC'-тривиально.
17. Показать, что два с2,+Р2-расслоения над52 в том и только
том случае делаются эквивалентными после расширения струк-
структурной группы GL+ B, R) до GL B, R), если соответствующие
элементы группы л, E0B)) [см. 4.1] совпадают или взаимно
обратны.
18. Показать, что для всякого нетривиального (Ж2-рассло-
ения | с базой 52 пространство tl asso(|, S1) гомеоморфно одной
из линз L(m; 1, 1) [подразумевается каноническое действие
группы 0B) в S1].
19. Показать, что при п~^2 число попарно С/.С™-неэквива-
лентных б^С-расслоений над 55 не превосходит 2.
Информация. Это число равно 2, если га = 2, и 1, если
п> 2.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Д d a m s J. F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one,
Ann. Math. 72, № 1 A960), 20—104; русский перевод: Математика 5, № 4
A961), 3—86.
2. Adams J. F., Atiyah M. F., /(-theory and the Hopf invariant, Quart.
J. Math. 17, № 65 A966), 31—38.
3. Бур баки Н., Общая топология. Основные структуры, Физматгиз, 1958.
4. Brown M., Locally flat imbeddirigs of topological manifolds, Ann. Math.
75, № 2 A962), 331—341.
5. Calabi E., Rosen licht M., Complex-analytic manifold without coun-
countable base, Proc. Amer. Math. Soc. 4 A954), 335—340.
6. Dowker С. Н., Topology of metric complexes, Amer. J. Math. 74 A952),
555—577.
7. Фукс Д. Б., Гомотопическая топология, в сб. «Алгебра. Топология. Гео-
Геометрия» из серии «Итоги науки», ВИНИТИ, 1971, стр. 71 —122.
8. Grauert H., On Levi's problem and the imbedding of-real analytic ma-
manifolds, Ann. Math. 68 A958), 460—472; русский перевод: Математика 4,
№ 3 A960), 29—40.
9. Ход ж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, т. 1; ИЛ, 1954.
10. Kampen E. R., van, Komplexe in Euklidischen Raumen, Abh. Math. Sem.
Hamburg Univ. 9 A932), 72—78, 152—153.
11. Келли Дж., Общая топология, «Наука», 1968.
12. Kervaire M., A manifold which does not admit any differentiable struc-
structure, Comment. Math. Helv. 34 A960), 257—270.
13. Куратовский К., Топология, т. 1, «Мир», 1966.
14. К у р а т о в с к и й К., Топология, т. 2, «Мир», 1969.
15. Milnor J., On manifolds, homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math. 64,
№ 2 A956), 399—405; русский перевод: Математика, 1, № 3 A957),
35—42.
16. Milnor J., On spaces having the homotopy type of CW-complex, Trans.
Amer. Math. Soc, 90, № 2 A959), 272—280.
17. Милн op Дж , Теория Морса, «Мир», 1965.
18. Рохлин В. А., Вложение неориентируемых трехмерных многообразий в
пятимерное евклидово пространство, ДАН СССР 160, № 3 A965), 549—551.
19. Serre J.-P., Groupes d'homotopie et classes de groupes abeliens, Ann.
Math. 58, № 2 A953), 258—294; русский перевод: сб. «Расслоенные про-
пространства», ИЛ, 1958, стр. 124—162
20. S m a I e S., A survey of some recent development in differential topolo-
topology, Bull. Amer. Math. Soc. 69, № 2 A963), 131—145; русский перевод:
УМН 19, № 1 A964), 125—138.
21. Стернберг С, Лекции по дифференциальной геометрии, «Мир», М.,
1970. • .
22. Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. Math. 37 A936), 645—680.
23. W h i t n e у Н., A function not constant on a connected set of critical
points, Duke math. J. 1 A935), 514—517.
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Аксиомы счетности 26
Аналитическое многообразие 14.'
— отображение 143
Ансамбль гомотопических групп, 364, 369
слоев верхний 385
нижний 385
тотального пространства нижний
395
¦— групп 361
— индуцированный 362
— канонический простой 363
— простой 363
Аппроксимация клеточная 121, 448
— симплицнальная 117, 129
Ассоциированное расслоение 291
— сечение 256, 293
Атлас 140
— голоморфный 165
— полный 140
База 14, 254
— в точке 15
Барицентрические координаты 99
Барицентрическое подразделение 108
Биголоморфное отображение 163, 165
Бинарная группа додекаэдра или икоса-
икосаэдра 282
куба или октаэдра 282
тетраэдра 282
Борсука пара 70
Букет 55
Бутылка Клейна 247
Бэра пространство 213
Ван Кампена подгруппа 426
Вектор касательный 154
Векторное поле 157, 315
— — нулевое 315
— расслоение вещественное 309
комплексное 313
— — ориентированное 311
Верхнее многообразие Грассмана 175
— пространство Грассмаиа 321
Верхний ансамбль гомотопических групп
слоев 385
Вершина евклидова симплекса 98
— конуса 48, 56
— надстройки 48, 56
Вещественное векторное расслоение 309
й"г-расслоение 337
— проективное пространство 45, 47
Взаимно однозначный фактор 11
Вложение голоморфное 166 4
— дифференциальное 159
— клеточное 87
— правильное 159
— топологическое 22
Внешняя точка 14
Внутреннее действие 274
Внутренность 14 •
>тобра-
Виутренняя точка 14, 131, 141
— часть 14, 131, 141
Всюду плотное множество 14
Выделяемое множество 23
Главное расслоение 289
Гладкое многообразие 147
— отображение 143
Голоморфное вложение 166
— отображение 163, 165
Голоморфность 348
Голоморфный атлас 165
Гомеоморфизм 21
— отмеченный (^-структуры) .284
Гомоморфизм ансамбля в ансамбль 362
— индуцированный непрерывным отоб
жением 361, 367
— присоединенный к действию 272
— топологической группы в топологиче-
топологическую группу 266
Гомотопическая группа 358
относительная 367
— последовательность главного расслое-
расслоения 396
• пары 380
расслоения 388
тройки 383
— эквивалентность 62
слабая 439, 443, 461
Гомотопический класс 61
— тип 62
Гомотопия 60
— обратная (другой гомотопии) 60
¦— постоянная 60
— прямолинейная 61
— свободная 61, 363
— связанная 61
— слоистая 383
Граница 14
— сфероида 368
Граничная точка 14
Грань 98
Грассмана многообразие 174
верхнее 175
кватерниоиное 180
— — комплексное 179
некомпактное 181
— пространство 321
верхнее 321
комплексное 321
— расслоение 324
Грассмаиа — Плюккера координаты 179
Группа гомотопическая 358
— — относительная 367
— додекаэдра или икосаэдра 282
бинарная 282
— куба или октаэдра 282
— — — — бинарная 282
— накрытия 464
— ортогональная 271
— полная линейная 271
480
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Группа симплектическая 271
— специальная ортогональная 271
унитарная 271
— стабильная 408
— структурная 286
— тетраэдра 282
бинарная 282
— топологическая 264
— унитарная 271
— фундаментальная 359
Групповое действие 274
Действие 272
— групповое 274
— индуцированное 273
— левое 273
внутреннее 274
каноническое 274
— непрерывное .275
— правое 273
внутреннее 274
каноническое 274
— сопряженное 274
— топологически эффективное 294
— транзитивное 272
— эффективное 272
Деформационная ретракция 63
Деформационный ретракт 63
Джойн 48, 56
— клеточный 97
— снмплициальный 112
Диагональ 12
Диагональное отображение 12
Диаметр 17
Дискретная топология 13
Диффеоморфизм 139, 144
— обращающий ориентацию 151
— сохраняющий ориентацию 151
Дифференциал 156
Дифференциальная структура 140
Дифференциальное вложение 159
— многообразие 147
Додекаэдра или икосаэдра группа 282
— — бинарная 282
Дополнение ортогональное (подрасслоения)
317
Евклидов симплекс 98
— — упорядоченный 99
Евклидова метрика (в векторном расслое-
расслоении) 311
Евклидово расслоение 310
— — ориентированное 311
— '? -расслоение 337
Единицы компонента 265
Единичный симплекс 100
Замкнутая клетка 82
Замкнутое многообразие 135, 147
— множество 13
— отображение 20
— покрытие 16
— разбиение 39
Замкнутый путь 64
Замыкание 11
Звезда 113
— барицентрическая 116
— открытая 113
Значение критическое 161
Изоморфизм расслоений 255
Иммерсия 159
Инвариантное множество 273
Индекс критической точки 190, 232
— перестройки 244
— пристройки 243
— стандартного элементарного кобордизма
235
— элементарного кобордизма 238
Индуктивно склеенное клеточное простран-
пространство 88
Индуцированное действие 273
— расслоение 265
Индуцированный ансамбль 362
— гомоморфизм 361, 367
Кайма 203
Канонический простой ансамбль 363
Карта 140
- — комплексная 164
Касательное расслоение 344
Касательный вектор 154
Кватернионное многообразие Грассмгна 180
Штифеля 172
— проективное пространство 46, 47
Класс гомотопический 61
— Л-гомотопический 61
Классифицирующее пространство 303
Клейна бутылка 247
Клетка 82
— замкнутая 82
Клеточная аппроксимация 121, 448
— пара 85
— топология 83
— триада 85
— тройка 85
— эквивалентность 87
Клеточное вложение 87
— ослабление топологии 83
— отображение 86
— произведение 95
— пространство 83
индуктивно склеенное 88
— разбиение 82
оснащенное 82
— тензорное произведение 97
Клеточный джойн 97
Кобордизм 231
— стандартный тривиальный 235
элементарный 235
— тривиальный 238
— элементарный 238
Компактно открытая топология 51
Компактное пространство 28
Комплексифнкация 320
Комплескная карта 164
— оболочка (расслоения) 320
— структура 165
Комплексное векторное расслоение 313
й" -расслоение 337
— многообразие 165
Грассмана 179
Штифеля 171
— проективное пространство 45, 47
— пространство Грассмаиа 321
Компонента. (топологического простран-
пространства) 66
— единицы 265
Коиус 47, 56
— отображения 50
Координаты барицентрические 99
— Грассмана — Плюккера 179
— локальные 141
— однородные 45, 46
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
481
Коразмерность 145
Короткая последовательность 373
Корректирующее отображение 256
Коре 74
Краевая точка 131, 141
Край 131, 141
Крендель 247
Критическая точка 190
— — невырожденная 190
Критическое значение 161
Круг с вывернутой ручкой 247
Куба или октаэдра группа 282
— бинарная 282
Левое внутреннее действие 274
— действие 273
— каноническое действие 274
Лента Мебиуса 246
Линза 281
Линк 114
— барицентрический 116
Локально евклидово пространство 131
— компактное пространство 32
— конечное покрытие 16
— связное пространство 69
— стягиваемое пространство 69
— тривиальное расслоение 255
Локальное представление отображения 143
Локальные координаты 141
Мебиуса лента 246
Метризуемое пространство 17
Метрика 16
— евклидова (в векторном расслоении) 311
— риманова 345
Метрическая окрестность 17
— топология 17
Метрическое пространство 16
Микроодносвязное пространство 468
Милнора расслоение 304
Многообразие 135
— аналитическое 147
— гладкое 147
— Грассмана 174
— — верхнее 175
— — кватерниоиное 180
комплексное 179
некомпактное 181
— дифференциальное 147
— замкнутое 135, 147
— касательных векторов тотальное 155
— класса "€ 147
— комплексного происхождения 168
— комплексное 165
— ориентированное 149
— открытое 135
— параллелизуемое 157
— стабильно параллелизуемое 344
— топологическое 135
— Штифеля 169
вещественное 169
— — кватернионное 172
комплексное 171
некомпактное 173
Множество всюду плотное 14
— выделяемое 23
— замкнутое 13
— инвариантное 273
— насыщенное 11
<— нигде не плотное 14
— ограниченное 17
— открытое 13
— плотное 14
Модельные поверхности 247
Морса функция 232
— — правильная 232
стандартная 235
Надстройка 48, 56, 319, 403
Накрывающее отображение 258
— пространство 257
Накрытие 257
— в узком смысле 257
¦ широком смысле 257
— ориентирующее 474
— подчиненное 464
— регулярное 467
— универсальное 469
Насыщение 11
Насыщенное множество 11
Некомпактное многообразие Грассмана 181
Штифеля 173
Непрерывное действие 275
— отображение 19
Неравенство треугольника 16
Неэффективности ядро 272
Нигде не плотное множество 14
Нижний ансамбль гомотопических групп
слоев 385
тотального пространства 395
Нормальная трансверсализация 198
— g-трансверсализация 334
Нормальное пространство 23
— расслоение 345
Носитель карты 140
— топологического симплекса 100
Оболочка комплексная (расслоения) 320
Образующая джойна 48
— конуса 47, 56
— надстройки 48
— цилиндра отображения 50
Обратный путь 64
— сфероид 357
Объединение (топологических пространств)
41
Овеществление 313
Ограниченное множество 17
Однородное пространство 277
Однородные координаты 45, 46
Односвязное пространство 68
Окаймление 203
— двустороннее 205
Окрестиостный ретракт 73
Окрестность 13, 14
— метрическая 17
— правильная 119
— регулярная 116
Орбита 272
Ориентация 149, 312
Ориентированное векторное расслоение 311
— евклидово расслоение 311
— многообразие 149
Ориентирующее накрытие 474
Ортогональная группа 271
Ортогональное дополнение (подрасслоения)
317
Ослабление топологии клеточное 83
Оснащенное клеточное разбиение 82
Основание джойна 48
— конуса 47
— надстройки 48
— цилиндра отображения 50
Остов 85
Открытая звезда 113
— трубка 198
482
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Открытое многообразие 135
— множество 13
¦— отображение 20
— покрытие 16
— разбиение 40
Открытый шар 16
Отмеченный гомеоморфизм (F-структуры)
284
Относительная гомотопическая группа 367
— топология 17
Отображение аналитическое 143
— биголоморфное 163, 165
— гладкое 143
— голоморфное 163, 165
— гомотопическн обратное (другому ото-
отображению) 62
— диагональное 12
— замкнутое 20
— класса %Т 139, 143
— клеточное 86
— корректирующее 256
— линейное (векторного расслоения в век-
векторное расслоение) 314
— накрывающее 258
— непрерывное 19
в точке 20
— открытое 20
— послойное 255
— приклеивающее 85
— присоединенное 255
— расслоения в расслоение 254
— снмплицнальиое 99, 104
— — монотонное 104
— тангенциальное 345
— трансверсальное 215
— факторное 38
— характеристическое 82
снмплициальное 103
— — тотальное 82
— Хопфа 47
Пара Борсука 70
— клеточная 85
— простая 369
— топологическая 18
— ^-связная 68
— г-простая 369
Паракомпактное пространство 33
Параллелизуемое многообразие 157
Перенос 362
Перестройка 244
Петля 64
Плотное множество 14
Поверхности модельные 247
Погружение 40, 159
Подгруппа ван Кампена 426
— стационарная 275
Подпространство 18, 85, 103, 144, 276
— полное 103
— правильное 145
Подразделение барицентрическое 108
Подрасслоение 316
Подсхема 105
Подчинение 464
Подчиненное накрытие 464
Покрытие замкнутое 16
— локально конечное 16
•— открытое 16
— фундаментальнее 18
Поле векторное 157, 315
нулевое 315
— репериое 315
Полиэдр 106
Полная линейная группа 271
Полное подпространство 103
Последовательность гомотопическая глав-
главного расслоения 396
пары 380
1 ¦ расслоения 388
тройки 383
— групп и гомоморфизмов 372
— короткая 373
— расщепляющаяся 373
— точная 372
Послойное отображение 235
Правильная окрестность 119
— трубка 198
Правильное вложение 159
— индуцирование 331
— подпространство 145
Правое внутреннее действие 274
— действие 273
— каноническое действие 274
— G-пространство 273
Предбаза 15
— в точке 15
Предел 42, 43
Приклеивание 44
Приклеивающее отображение 85
Прикосновения точка 14
Присоединенное отображение 255
— расслоение 263
Пристройка 243
Проективная плоскость Кэли 46
Проективное пространство вещественное 45,
47
— — кватернионное 46, 47
комплексное 46, 47
Проекция 10, 12, 254
Произведение гомотопий 60
— действий 273
— клеточное 95
— ориентации 152
— отображений 12
— прямое (топологических групп) 267
— путей 64
— расслоений 254
— симплициальное 109
— сфероидов 357
— тензорное 55
— — клеточное 97
— топологических пространств 34
— Уайтхеда 457
Простое пространство 365
Простой ансамбль 363
Пространство Бэра 213
— Грассмана 321
верхнее 321
комплексное 321
— групповое 264
— классифицирующее 303
— клеточное 83
— компактное 28
— локально евклидово 131
— — компактное 32
связное 69
в точке 69 >
стягиваемое 69
— — — в точке 69
— метризуемое 17
— метрическое 16
— микроодносвязное 468
— накрывающее 257
— нормальное 23
— однородное 277
— односвязное 68
— орбит 276
— паракомпактное 33
— проективное вещественное 45, 47
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
483
Пространство проективное кватернионное
46, 47
комплексное 46, 47
— простое 365
— регулярное 23
— рнманово 345
— связное 65
— сепарабельное 26
— сильно локально стягиваемое 69
в точке 69
— симплициальное 101
— — упорядоченное 102
— стягиваемое 62
— топологическое 13
— тотальное (расслоения) 254
— хаусдорфово 23
— Штифеля 326
— А-связное 67
— г-простое 365
Прямое произведение (топологических
групп) 267
Прямолинейная гомотопия 61
Путь 64
— замкнутый 64
— обратный (другому пути) 64
Разбиение замкнутое 39
— клеточное 82
— — оснащенное 82
— открытое 40
Расслоение 254
— ассоциированное 291
— векторное вещественное 309
комплексное 313
— главное 289
— гладкое 330
— Грассмана 324
— евклидово 310
— индуцированное 255
—¦ касательное 344
— класса tr 330
— локально (топологически) тривиальное
256
— Милнора 304
— нормальное 345
— ориентированное векторное 311
евклидово 311
— присоединенное 263
— Серра 258
— слабо ассоциированное 293
— сопряженное 313
— стандартное тривиальное 256
— Стинрода 286
— (топологически) тривиальное 256
— универсальное 302
— Хопфа ,332
— Эресмаиа — Фельдбау 294
— чомитово ЗИ
— ^-универсальное 304
Расстояние 16, 17
Расширение группы 273, 287
Расщепляющаяся последовательность 373
—' я-последовательность 377
Регулярная окрестность 116
, Регулярное накрытие 467
— пространство 23
¦Реперное поле 315
Ретракт 22
— дефопмационный 63
— окрестностный 73
— строгий деформационный 63
Ретракция 22
— деформационная 62
— строгая деформационная 62
Римансдаа метрика 345
Римапово пространство 345
Свободная гомотопия 61, 363
Связанная гомотопия 61
Связное пространство 65
Сепарабельное пространство 26
Серра расслоение 258
— условие 258
усиленное 261
Сечение 254
— ассоциированное 256, 293
Сильно локально стягиваемое пространство
69
Симплекс евклидов 98
— — упорядоченный 99
— единичный 100
— топологический 100
упорядоченный 100
Симплектическая группа 271
Симплициальная аппроксимация 117, 129
— схема 104
— — симплициального пространства 105
упорядоченная 106
Снмплициальное отображение 99, 104
монотонное 104
— произведение 109
— пространство 101
— — упорядоченное 102
— характеристическое отображение 103
Симплициальный джойи 112
— цилиндр отображения 112
Склеивание 40
Слабая гомотопическая эквявалентиость
439, 443, 461
— топология 83
Слабо ассоциированное расслоение 293
Слоистая гомотопия 383
Слой 34, 254
— стандартный 285
Сокращение отображения 10
Сопряженное расслоение 313
Специальная ортогональная группа 271
— унитарная группа 271
Стабильная группа (гомотопическая) 408
— эквивалентность (расслоении) 317
Стабильно параллелизуемо? многообразие
344
— тривиальное расслоение 318
Стандартная функция Морса 243
Стандартное тривиальное расслоение 250
Стандартный слой 285
— тривиальный коборднзм 243 •
— элементарный кобордизм 243
Стационарная подгруппа 275
Степень отображения 348
-в точке 348
Стинрода расслоение 286
Строгая деформационная ретракция 63
Строгий деформационный ретракт 63
Структурная группа- 285
Стягиваемое пространство 62
Субмерсия 161
Сужение группы 273, 307
— расслоения 254
Сумма множеств 11
— отображений 11
— расслоений 318
— топологических пространств 33
Сфера 16
— с пленками и дырами 247
— с ручками и дырами 247
Сфероид 357, 367
— обратный (другому сфероиду) 357
— фундаментальный (сферы или шара) 396
Схема симплицнальная 104
Счетности аксиомы 26
484
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Тангенциальное отображение 344
Тензорное произведение 55
— — клеточное 97
Тетраэдра группа 282
бинарная 282
Тип гомотопический 62
Топологическая группа 264
— пара 16
— тройка 18
Топологически тривиальное расслоение 256
— эффективное действие 294
Топологическое вложение 22
— многообразие 135
— пространство 13
Топология 13
— дискретная 13
— клеточная 83
— компактно-открытая 151
— метрическая 17
— относительная 17
— слабая 83
— тривиальная 13
Тор 247
Тотальное многообразие касательных век-
векторов 155
— пространство (расслоения) 254
— характеристическое отображение 82
Точка 13
— внешняя 14
— внутренняя 14, 131, 141
— граничная 14
— краевая 131, 141
— критическая 190
невырожденная 190
— прикосновения 14
Точная последовательность 372
— ^-последовательность 376
Транзитивное действие 272
Трансверсализация 198
— нормальная 198
Траисверсальное отображение 215, 218
Треугольника неравенство 16
Триада 19
— клеточная 85
Триангуляция 101
Тривиализация (расслоения) 256
Тривиальная топология 13
Тривиальное расслоение 256
стандартное 256
Тривиальный кобордизм 238
стандратный 235
Тройка клеточная 85
— топологическая 18
Трубка 198
— открытая 198
— правильная 198
Уайтхеда произведение 455
Удвоение 135, 205
Универсальное накрытие 469
— расслоение 302
Унитарная группа 271
Упорядоченная симплициальиая схема 106
Упорядоченное симплициальиое простран-
пространство 102
Упорядоченный евклидов симплекс 99
— топологический симплекс 100
Урысона функция 25
Условие Серра 258
— — усиленное 261
Фактор взаимно однозначный 11
Факторное отображение 38
Факторпростраиство 37, 265
Факторрасслоение 317
Фактортопология 37
Фильтрация 43
Фундаментальное покрытие 18
Фундаментальный сфероид 396
Функции, независимые в точке 145
Функция Морса 232
— — правильная 232
стандартная 235
— Урысона 25
Характеристическое отображение 82
симплициальное 103
тотальное 82
Характеристический гомеоморфизм 100
Хаусдорфово пространство 23
Хопфа отображение 47
— расслоение 332
Центр букета 55
— джойна (пространств с отмеченными
точками) 56
— евклидова симплекса 99
— тензорного произведения 55
Цилиндр 34
— отображения 50
— — симплицнальиый 112
Число листов иакрытия 257
Шар 16
— открытый 16
Штифеля многообразие 169
кватерииоиное 172
комплексное 171
некомпактное 172
— пространство 326
Эквивалентность гомотопическая 62
слабая 439, 443, 461
— клеточная 87
— расслоений 255
— — стабильная 317
Элементарный кобордизм 238
стандартный 235
Эресмана — Фельдбау расслоение 294
Эрмитово расслоение 313
— ^ -расслоение 337
Эффективизация 272
Эффективное действие 272
— ?" -пространство 275
Ядро неэффективности 272
<4-гомотопия 61
% -атлас 140
^ -вложение 159
^-изоморфизм 331
^-многообразие 147
f -отображение 139, 331
f -подпространство 145
^-пространство 140
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
485
f -расслоение 330
— вещественное векторное 337
— евклидово 337
— комплексное векторное 337
— эрмитово 337
*€ -структура НС
У -топология 193
% -эквивалентность 331
%^г -пространство 141
X ^г -расслоение 330
F-изоморфизм 285, 286
F-отображенне 284
F-расслоение 286
— в- слабом смысле 285
— локально F-тривиальное 286
— /'-тривиальное 286
О-отображение 273, 276
G-простраиство 275
— правое 273
О-пространство эффективное 275
О-структура 284
G-эквивалеитность 286
//-пространство 393
А-связная пара 68
А-связное пространство 67
А-уииверсальиое расслоение 304
ft-эквивалеитность 442, 461
r-простое пространство 365
И^-изоморфизм 286
И^-^-отображение 285
и^-^-расслоение 285
Н^-^-эквивалеитность 286
¦у-отображение 273, 276
1-трансверсализация 334
— нормальная 334
л-последовательиость 376
— расщепляющаяся 377
— точная 376
ф-базис (касательного, пространства) 154
ф-координаты (касательного вектора) 154
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ab-
abs -
ad-
asso
-10
- 10
-255,
-291
300
Atl -
Atl,
att-
Aut-
Aux
aux -
ba-
bar -
blk-
bp-
bs-
bst-
Buc-
buc -
C-
9$ —
cn-
9" —
- 140
— 153
-85
-466
-226
-226,
¦107,
-99,
-116
¦54
254
- 116
-399
-400
44
5i
-44
¦ 139,
193, 387
ff**r
W g —
c*-
?a-
Can-
CaP1
CaP2
Catl
cell-
CG(r
- 141
- 193
-47
269
-44
-44
-46
-46
-148
-83
i, k)~
CG(oo, ft).
cha -
Cl-
-82
14
comp — 66
Con:
-51
263
, 292,
227
109
101
141,
- 179
-321
con ¦
conj
-48, 56
-313
const — 54
cop •
corr
CPn
CPX
CSC -
Cub
cub ¦
CV{
CV{
cv
CVf
Cyl
C|-
d —
d —
Dt-
Dn-
dx —
D°°-
dx(x
deg-
DH ¦
diag
Diff
Dist
dist ¦
dopp
DS-
DS-
DS+
DT -
eQ —
El-
el —
Emb;
Esi -
ev —
- 135
-256
-45
'-47
- 113
— 399
-400
n, ft)- 170
[oo, ft)-326
(«, k) — 173
(oo, ft)-326
-50
-320
156
131, 141, 368
- 155
-17
¦ 154, 156
-47
, p) - 198
-348
-285, 286
— 12
-193
- 17
- 16
i — 135, 205
-58
— 66
-66
- 100
265
236
237
r- 193
-98
466
ext — 300
fact— 11
Fibr - 293
Fr-14
G(n, ft)— 174
G(oo, я) —321
G'{n, k)— 180
G+(n, ft)— 175
G+(oo, я)-321
GF — 422
GL(n, C)— 173
GL(n, H)— 174
GL(n, R) — 173
GL+(n, R)— 173
GL+Rn - 309
GLCn - 309
GLRn — 309
gr — 464
Gra - 324
grad — 233
H-44
IT-44
t-P-44
H* - 269
hel — 257
helm - 257
HG (n, ft) - 180
UPn - 46
HP00 - 47
. W (n, ft)— 172
W'{n, ft)— 173
/- 18
Г-18
ID —58
id —9
ID* — 397
Imm — 430
imm — 40
Immr — 193
in-10
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ 487
inv-ll RP°°-47 tu—198
ind —190 rt —51 Tub—198
induz-301 RV(n,k)—l68 tub-198
Int-14 RV'(n, fe) — 172 t/ — 419
int—131,141 5"-17 ?/(«)—171
IS - 396 S°° - 47 f/C" - 309
IS* - 397 sz (x, p) - 198 V (n, k) - 168
/(Ф, ib)-148 Scyl-112 V(oo, *)-326
jc - 48 Sec' - 333 F' (oo, k) - 326
kug-396 sh-105 vk-426
L —281 282 shi—181 Wd — 454
lim-42, 43 Si-102 wd - 454
Ik—114 si—101 Z —269
loc-143 ske-85 ZOT-281
In —404 SO — 419 zer— 11, 265
Mi-304, 308 SO (л)-169 A - 388
mo - 237 SORn - 309 я - 61
nat--i98 Sp-419 лг - 358, 367
Nb — 269, 468 Sp{n) — 172 ~ (напр. ф^) —52
norm —346 Sph —357, 367 ~ (напр. ф")—52
O(n)—169 sph —396 w (напр. ф^) — 58
OR11 - 309 sph0 - 396, 397 ? (напР- ^ ~ 58
or-473 St— 113 (напр. Vх, Г)—
ort-21 st — 113 175, 317
perm —413 Stab —413 ' (напр. /') — 255
Pr-431 . Stee-300 # (напр./#) —154,
Pr~ 10 su—48,56,319,403 360,398
Pr*-12 SU(n)—l7l x (напр. hx G*)—
pr,- 198 Subm'- 193 293 '
РП - 254 supp _ но (напр. f j _ да!
?» ,fi Symm-269 0_9
d«_47 (напр. Л')-178 U-ll
R*_268 Г -361, 363, 369, X-9, 254 '
R»_n2 385 *-48, 56
Г — 100 V — 55
КГ1-132 Tang-154 ©—55,56
R+ —268 tang —344 ©—319
RE —313 TD-100 U.-44
Reg - 466 TG - 304 Xc — 95
rel- 10 tl —254 *c-97, 98
RG(n,k)-l74 tn-154 ®c-98
RG' (л, й) — 180 Top - 269 Xs - 109
RP"-45 Tu-198 *.—112