ANNALS OF MATHEMATICS STUDIES
Number 76
CHARACTERISTIC CLASSES
BY
John W. Milnor
AND
James D. Stasheff
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
and
UNIVERSITY OF TOKYO PRESS
Princeton, New Jersey
1974

Дж. Милнор,
Дж. Сташеф
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ
КЛАССЫ
С приложением работы
Дж. Манкрса
«ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ТОПОЛОГИЯ»
Перевод с английского
М. А. ШТАНЬКО
Под редакцией
В. М. БУХШТАБЕРА
С предисловием
М. М. ПОСТНИКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1979

УДК 513.83
Современное изложение важного раздела алгебраической
топологии — теории характеристических классов как аппарата
для изучения гладких многообразий. Оно дополнено переводом
небольшой книги Дж. Манкрса «Элементарная дифференциальная
топология», удачно сочетающейся с основным текстом.
Книга интересна не только топологам, но и специалистам по
дифференциальным уравнениям, динамическим системам, слое-
слоениям, геометрии, группам Ли, а также физикам-теоретикам. Она
доступна студентам старших курсов математических факуль-
факультетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702040000
20203—006
м
04.1@1)—79
6-79
«Characteristic Classes» by J. W. Milnor and
J. D. Stasheff:
© 1974 by Princeton University Press
«Elementary Differential Topology» by J. R. Mun-
kres:
© 1963, 1966 by Princeton University Press
© Составление, перевод на русский язык, «Мир»,
1979

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Характеристические классы — одна из самых центральных
тем современной топологии, и книгу Милнора и Сташефа, ей
посвященную, почти двадцать лет с нетерпением ожидали все
топологи. Еще в 1957 году Дж. Милнор прочитал в Принстоне
курс лекций о характеристических классах и в том же году
записки этих лекций, сделанные Дж. Сташефом, были выпу-
выпущены в виде препринта (их русский перевод опубликован в
сборниках «Математика», 3:4, с. 3—53, и 9:4, с. 3—40). Однако
окончательное издание книги задержалось до 1974 года.
Эта книга, в отличие от других источников, специально по-
посвящена теории характеристических классов. Участие в ней та-
такого превосходного автора, как Дж. Милнор, определило стиль
и характер изложения. Книга предназначена в первую очередь
для начинающих и она не претендует на широту и полноту
охвата темы; ее главная цель — подробное и тщательное изло-
изложение основ теории. И эта цель блестяще достигнута. ¦
Однако теория характеристических классов находится на
стыке целого ряда математических дисциплин, в том числе —
топологии гладких многообразий, теории когомологических опе-
операций и римановой геометрии. Это определяет интерес и значи-
значимость теории, но вместе с тем существенно осложняет ее изуче-
изучение. Чтобы хотя бы частично помочь читателю овладеть этой
теорией в достаточно полном объеме, было решено, с любезного
согласия авторов, дополнить русское издание книги Милнора и
Сташефа переводом небольшой книжки Дж. Манкрса «Элемен-
«Элементарная дифференциальная топология», которая содержит акку-
аккуратное и подробное изложение элементарной (= не использую-
использующей алгебраико-топологических методов) теории гладких много-
многообразий. Манкрс доводит изложение до теоремы Уайтхеда о три-
триангулируемости, в учебной литературе до него не освещавшейся
(если не считать трудно читаемой книги X. Уитни). Это допол-
дополнение будет полезно молодым топологам и независимо от тео-
теории характеристических классов.

6 Предисловие к русскому изданию
В целях сокращения объема при, переводе книги Манкрса
опущен один параграф, мало связанный с остальным ее текс-
текстом, а также удалено предисловие.
Перевод книги Манкрса (как и перевод основного текста)
осуществлен М. А. Штанько, а его редактирование — А. В. Чер-
навским.
М. М. Постников

ПРЕДИСЛОВИЕ
Текст настоящей книги основан главным образом на лекциях,
прочитанных в Принстонском университете в 1957 г. Старший
из авторов приносит извинения за задержку публикации.
Начало теории характеристических классов было положено
в 1935 г. почти одновременно работами ХАССЛЕРА УИТНИ в
Соединенных Штатах и ЭДУАРДА ШТИФЕЛЯ в Швейцарии.
Штифель в своей диссертации, написанной под руководством
Хайнца Хопфа, ввел и изучил некоторые «характеристические»
гомологические классы, определенные при помощи касательного
расслоения гладкого многообразия. Уитни (работавший тогда
в Гарвардском университете) исследовал случай произвольного
расслоения, слоем которого является сфера. Чуть позднее он
изобрел язык теории когомологий, а тем самым и само понятие
характеристического когомологического класса и доказал фун-
фундаментальную теорему о произведении.
В 1942 г. в Московском университете ЛЕВ ПОНТРЯГИН на-
начал изучать гомологии многообразий Грассмана, используя их
клеточное разбиение, предложенное Шарлем Эресманном. На
этом пути ему удалось построить новые важные характеристи-
характеристические классы. (Выдающиеся достижения Понтрягина в мате-
математике тем более замечательны, что в 14 лет он полностью ли-
лишился зрения в результате несчастного случая.)
В 1946 г. в Институте высших научных исследований
ЧЖЕНЬ ШЕН-ШЕНЬ, незадолго до этого приехавший в Прин-
стон из Куньмина (юго-западный Китай), определил характе-
характеристические классы для комплексных векторных расслоений.
Он показал, что в действительности комплексные многообразия
Грассмана имеют когомологическую структуру намного более
простую, чем вещественные многообразия Грассмана. Это при-
привело к значительному прояснению теории вещественных харак-
характеристических классов.
Мы счастливы сообщить, что все четыре творца теории ха-
характеристических классов остаются и по сей день активными
математиками: Уитни — сотрудник Института высших научных

8 Предисловие
исследований в Принстоне, Штифель — директор Института
прикладной математики при Федеральном технологическом ин-
институте в Цюрихе, Понтрягин — заведующий отделом Матема-
Математического института им. В. А. Стеклова в Москве и Чжень —
сотрудник Калифорнийского университета в Беркли.
Эта книга посвящается им.
Джон Милнор
Джеймс Сташеф

§ 1. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Этот параграф содержит краткое введение в теорию гладких
многообразий и их касательных пространств.
Пусть R"— координатное пространство, состоящее из всех
наборов x=(xi, ..., хп) по п вещественных чисел. В частном
случае п = 0 условимся, что R0 состоит из одной-единственной
точки. Само поле вещественных чисел будем обозначать R.
Термин «гладкий» будет у нас означать «дифференцируе-
«дифференцируемый класса С°°». Таким образом, функция, определенная на от-
открытом множестве U cr R", со значениями в R* является глад-
гладкой, если ее частные производные всех порядков существуют и
непрерывны.
Иногда удобно использовать координатное пространство R4,
которое может быть и бесконечномерным. Пусть А — произволь-
произвольное множество индексов и R4— векторное пространство всех
функций х из А в R1. Значение функции х е R4 при а е А бу-
будем обозначать ха и называть а-й координатой вектора х. Ана-
Аналогично для любой функции f: У-^R14 будем а-ю координату
вектора f(y) обозначать fa(у).
Топологию в пространстве RA введем как топологию пря-
прямого произведения А экземпляров пространства R. Любое под-
подмножество М с R4 мы наделяем относительной (индуцирован-
(индуцированной) топологией. Таким образом, отображение /: Y-*MczRA
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна каждая из
ассоциированных функций fo: K-»-R; здесь У — произвольное
топологическое пространство.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для t/cR" отображение f: U-+MczRA
называется гладким, если каждая ассоциированная функция fa:
f/-»-R гладкая. Если отображение f является гладким, то част-
частная производная df/dui может быть определена как гладкое
отображение U -*¦ RA, у которого сс-я координата есть dfa/dui,
t=l, ..., п.
1 Очевидно, наше предыдущее понятие координатного пространства R"
можно получить как частный случай этого более общего понятия, если в ка-
качестве 4 взять множество целых чисел от 1 до п.

10 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Классическими и наиболее известными примерами гладких
многообразий служат кривые и поверхности в координатном
пространстве R3. Обобщая классическое понятие кривой и по-
поверхности, введем следующие «-мерные объекты в координат-
координатном пространстве RA.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество McR14 называется глад-
гладким многообразием размерности п ^ О, если для каждой точки
х е М существует гладкое отображение
h: U->RA,
определенное на некотором открытом подмножестве U с R", та-
такое, что
1) h гомеоморфно отображает U на некоторую открытую
окрестность V точки х в М и
2) для каждой точки u e ?/ матрица [dha{u)/ди/] имеет
ранг п (другими словами, « векторов dh/dui, •¦., дп/дип, вы-
вычисленные в точке и, должны быть линейно независимы).
Образ h(U)=V такого отображения будем называть коор-
координатной окрестностью в М, а тройку (U, V, К) — локальной
параметризацией' многообразия М.
Лемма 1.1. Пусть (U, V, h) и {V, V, h') — две локальные
параметризации многообразия М, такие, что V Л V непусто.
Тогда соответствие
и' .-> /Г1 (h' («'))
определяет гладкое отображение открытого множества
{h')-x{V{\ V')<=l R" в открытое множество h~](V(] V')cz R".
Доказательство. Пусть x — h(u) = h'(U') — произвольная
точка из VflV. Выберем индексы cti, ..., а„еД так, чтобы
п X «-матрица [d/ц/ди/], вычисленная в точке ы, была невырож-
невырожденной. Тогда из теоремы об обратной функции следует, что мы
можем представить щ «„ в виде гладких функций
для и из некоторой окрестности точки п. (см., например, [Уитни,
1957]). Записывая эти равенства в векторной форме
u = f (hul(u), ..., han(u)) и полагая h(u) = h'(u'), получаем, что
функция
и' ^ /Г1 h! (uf) = f (ЛЬ, (и7) Кп («'))
1 Обратное отображение h~l: V-*- U с: R" часто называют локальной
координатной системой или картой для Щ,

§ I. Гладкие многообразия II
является гладкой в некоторой окрестности точки и', чем лемма
и доказана. ¦
Понятие касательного вектора можно ввести следующим об-
образом. Пусть х — фиксированная точка из М и (—е, е) — мно-
множество вещественных чисел t, удовлетворяющих условию
вектор скоростиМ
начало ^~~~ 1_ / dt
коорди1^70
касательное
пространство
DMX
Рис. 1.
—е < t < е. Гладким путем, проходящим через точку х в мно-
многообразии М, называется гладкое отображение
р: (-е, e)->McRA,
определенное на некотором интервале (—е, е) вещественных
чисел, такое, что р@) = х. Вектор скорости такого пути опре-
определяется как вектор
(dpldt) \Ый е R*.
а-я компонента которого равна dpa(O)/dt (см. рис. 1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор oeRA называется касательным
к многообразию М в точке х, если он может быть представлен
как вектор скорости некоторого гладкого пути, проходящего
через х в М. Множество всех таких касательных векторов бу-
будем называть касательным пространством к многообразию М
в точке х и обозначать DMX. (Вектор v можно отождествить с
совокупностью всех путей р, имеющих в данной точке один и
тот же вектор скорости v. Это позволяет дать внутреннее опре-
определение касательного вектора, не зависящее от вложения в И.А.\

12 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
В терминах локальной параметризации (U, V, К), где h(u) =
= х, касательное пространство может быть описано следующим
образом.
Лемма 1.2. Вектор tieR11 является касательным к М в точке
х тогда и только тогда, когда его можно представить в виде
линейной комбинации векторов
dh ,_ч dh ,_*
¦зггМ "^г(ы)-
Таким образом, касательное пространство DM* есть п-мерное
векторное пространство над полем вещественых чисел.
Доказательство непосредственно следует из определений. ¦
Касательное многообразие для М определяется как подпро-
странство
DM a M X RA,
состоящее из всех пар (х, v), где хеМ, veDMx. Из леммы 1.2
легко вытекает, что DM, рассматриваемое как подмножество
в R4X R^ является гладким многообразием размерности 2га.
Рассмотрим теперь два гладких многообразия М с R4 и
NcHB и отображение f: M-+N. Пусть х — точка из М и
(U, V, К) — локальная параметризация многообразия М, причем
х = п(п).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение f называется гладким в точ-
точке х, если композиция'
f°h: U^N<=:HB
является гладким отображением в некоторой окрестности
точки п.
Из леммы 1.1 следует, что это определение не зависит от
выбора локальной параметризации.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение f: M-*-N называется глад-
гладким, если оно гладко в любой точке х е М. Отображение /:
M-+N называется диффеоморфизмом, если оно есть взаимно
однозначное отображение на и если одновременно и f, и обрат-
обратное отображение f~l: N~*~M являются гладкими.
Лемма 1.3. Тождественное отображение всякого многообра-
многообразия М на себя гладко. Далее, композиция двух гладких отобра-
отображений М -«> ЛГ -Ц. М" гладка.
1 Для композиции двух отображений X —*¦ Y —> Z будем использо-
использовать обозначение f»g.

§ I. Гладкие многообразия 13
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1. По-
Подробности мы опускаем. Ш
Любое гладкое в точке х отображение {: M-*-N определяет
линейное отображение Dfx: DMx-^-DN^x) касательных про-
пространств следующим образом. Пусть дан вектор ие DMX. Пред-
Представим его в виде вектора скорости
некоторого гладкого пути p(t), проходящего через точку х, в М
и определим Dfx{v) как вектор скорости
(d{foP)/dt)\M
пути fop: (—е, е)-+ N. Легко видеть, что это определение не за-
зависит от выбора пути р и что Dfx— линейное отображение. На
самом деле в терминах локальной параметризации (U, V, К)
имеет место явная формула
Dfx (? с, dh/дщ) = I Cld (f о h)Jdu,
для любых вещественных чисел С\ сп.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное преобразование Dfx называется
производной или якобианом отображения f в точке х.
Предположим теперь, что отображение f: M-+-N является
гладким всюду. Объединяя все якобианы Dfx, получаем ото-
отображение
Df: DM-+DN,
Лемма 1.4. D есть функтор 1 из категории гладких многооб-
многообразий и гладких отображений в себя.
Другими словами: A) если М — гладкое многообразие,
то DM — гладкое многообразие; B) если f — гладкое отображе-
отображение из М в N, то Df — гладкое отображение из DM в DN;
C) если / — тождественное отображение многообразия М, то
DJ — тождественное отображение многообразия DM, и D) если
композиция fog двух гладких отображений определена, то
D(f°g) = (Df) о (Dg). Все это непосредственно вытекает из опре-
определений. ¦
Немедленным следствием леммы 1.4 является такое утверж-
утверждение: Если f — диффеоморфизм из М в N, то Df — диффеомор-
диффеоморфизм из DM в DN.
1 Определение категории и функтора см., например, в [Эйленберг, Стин-
род, гл. IV].

14 Дж Милнор и Дж. Сташеф
Замечания. Согласно нашим определениям, касательное про-
пространство DR" координатного пространства R" в точке х совпа-
совпадает с самим векторным пространством R". В частности, для лю-
любого вещественного числа и касательное пространство DRU равно
R. Таким образом, если /: М—+И. — гладкая вещественнозначная
функция, то производную Dfx: DMx-+DRf(X) = R можно рассма-
рассматривать как элемент двойственного векторного пространства
Hotn*(DMx, R).
Этот элемент Dfx двойственного пространства, иногда называе-
называемый «полным дифференциалом» функции f в точке х, более тра-
традиционно обозначается через df(x).
Заметим, что справедливо правило Лейбница:
где fg обозначает произведение функций: x>—*-f{x)g(x).
Для любого касательного вектора v e DMX вещественное чи-
число Dfx(v) называется производной вещественнозначной функ-
функции / в точке х по направлению v 1. Если мы зафиксируем пару
(х, v) и разрешим f пробегать векторное пространство С°°(М, R),
образованное всеми вещественнозначными функциями на М, то
получим линейный дифференциальный оператор
X: С°°(М, R) —R,
задаваемый формулой X(f) = Dfx(v). Правило Лейбница в этом
случае принимает вид
Во многих изложениях рассматриваемой теории касательный
вектор (х, v) отождествляют с этим линейным оператором X.
Данные выше определения имеют тот недостаток, что глад-
гладкость многообразия М оказывается зависящей от выбора кон-
конкретного вложения М в координатное пространство. Однако для
каждого гладкого многообразия М существует каноническое вло-
вложение этого многообразия в каноническое для него координат-
координатное пространство.
А именно, для данного многообразия М cz R4 обозначим че-
через F = C°°(M, R) множество всех гладких функций из М в R.
Определим вложение
/: M-*R",
положив ij{x) = f{x). Пусть Mi — образ i(M)cz RF.
1 Правильнее было бы говорить о «дифференциале функции / в точке л
при приращении v». — Прим. pedt

§ 1. Гладкие многообразия 15
Лемма 1.5. Этот образ М\ является гладким многообразием
в Rf, и каноническое отображение i: М-*-Mi есть диффеомор-
диффеоморфизм.
Доказательство непосредственно следует из определений. ¦
Таким образом, любое гладкое многообразие имеет канони-
каноническое вложение в ассоциированное с ним координатное про-
пространство. Это приводит к следующему определению.
Пусть М — некоторое множество и F— совокупность веще-
ственнозначных функций на М, которая разделяет точки (т. е.
для каждой пары различных точек х и у из М существует функ-
функция f~^F, такая, что !(х)ф f{y)). Тогда М может быть отож-
отождествлено со своим образом при каноническом вложении i:
M->Rf.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество F называется структурой глад-
гладкости на М, если подмножество i(M)czHF является гладким
многообразием и если F в точности совпадает с множеством
всех вещественнозначных гладких функций на этом гладком
многообразии 1>2.
Замечание. Это определение гладкости аналогично тому,
которое дано в книге [Номидзу]. С классической точки зрения
«структура гладкости» многообразия задается как совокупность
локальных параметризаций (см., например, [Стинрод, 1951]).
Имеется другой способ определения «структуры гладкости», в
котором используются совокупности гладких функций на откры-
открытых подмножествах (см. [де Рам]). Все эти определения экви-
эквивалентны.
В заключение мы предлагаем читателю три задачи. Первые
две из них будут играть важную роль в последующих пара-
параграфах.
Задача 1.А. Пусть Mi с R* и М2 с RB — гладкие многообра-
многообразия. Показать, что М\ X М2 с: RA X Rs — гладкое многообразие
и что касательное многообразие D(MiX-M2) канонически диф-
феоморфно произведению Г>М\ X DM2. Обратим внимание, что
функция jti—>(fi{x), М*)) из М в AfiX^2 является гладкой
тогда и только тогда, когда одновременно и ft: M-*-M\, и f%:
М-*-Mi являются гладкими.
Задача 1.В. Пусть Рп — множество всех прямых, проходящих
через нуль, в координатном пространстве R"+1. Определим
1 Если выполнено только первое условие, то F можно назвать «бази-
«базисом» для структуры гладкости на М.
2 Таким образом, дано определение гладкого многообразия, не завися-
зависящее от вложения в координатное пространство. — Прим. ред.

16 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
функцию
q\ R"+I \{0}-*Pn,
положив q{x) = H.x (прямая, проходящая через х). Пусть F—
множество всех функций /: P"->R, таких, что композиция f«q
гладка.
a) Показать, что F — структура гладкости на Рп. Получаю-
Получающееся гладкое многообразие называется вещественным проек-
проективным пространством размерности п.
b) Показать, что функции f{/ (Rx) = xtxJYu x\ определяют
диффеоморфизм между Рп и подмногообразием в R<n+1>!, обра-
образованным всеми симметричными (п + l)X(«-f- 1)-матрицами А
со следом 1, удовлетворяющими условию АА = А.
c) Показать, что многообразие Рп компактно и что подмно-
подмножество VczP" открыто тогда и только тогда, когда открыто
l(V)
Задача 1.С. Показать, что для любого гладкого многообра-
многообразия М совокупность F = C°°(M, R) всех гладких вещественно-
значных функций на М представляет собой кольцо, такое, что
любая точка хеМ определяет кольцевой гомоморфизм F-»-R
и, следовательно, определяет максимальный идеал в F. Пока-
Показать, что если многообразие М компактно, то любой максималь-
максимальный идеал кольца F можно получить таким образом при по-
помощи некоторой точки из М. Более общо, показать, что если
существует счетный базис топологии на М, то этим путем может
быть получен любой кольцевой гомоморфизм F-»-R. (Исполь-
(Использовать функцию f ^ 0 из F, для которой каждое множество
f~l [0, с] компактно.) Таким образом, гладкое многообразие М
полностью определяется своим кольцом F. Показать, что для
данной точки х^М всякое R-линейное отображение X: F-»-R,
удовлетворяющее условию X(fg) = X(f)g(x) + f(x)X(g), имеет
вид X(f) — Dfx(v), где v^DMx — некоторый однозначно опре-
определенный вектор.
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Пусть В обозначает фиксированное топологическое простран-
пространство, которое будет называться базисным пространством.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вещественное векторное расслоение % над
базисным пространством (или базой) В состоит из:
1) топологического пространства Е = Е{\), называемого про-
пространством расслоения,
2) непрерывного отображения л: Е-*~В} называемого проек-
проекцией, и

§ 2. Векторные расслоения 17
3) заданной для каждого 6еВ структуры векторного про-
пространства' над вещественными числами в множестве л~'F).
При этом должно удовлетворяться следующее условие ло-
локальной тривиальности: для каждой точки 6еВ существуют
окрестность U с В, целое число п ^ 0 й гомеоморфизм
A: f/XR"->n-'(f/),
такие, что соответствие x>—>h(b, x) определяет изоморфизм век-
векторных пространств R" и к~х (Ь).
Такую пару (U, h) будем называть локальной координатной
системой для % в окрестности точки Ь. Если можно взять U рав-
равным всему базисному пространству, то | называется тривиаль-
тривиальным расслоением.
Векторное пространство n~l(b) называется слоем над Ь. Оно
будет обозначаться Fb или Fb{Q- Заметим, что Fb никогда не
пусто, хотя и может состоять из одной-единственной точки. Раз-
Размерность п слоя Fb, вообще говоря, является (локально посто-
постоянной) функцией от Ъ; однако в большинстве интересных слу-
случаев эта функция постоянна. Тогда говорят, что \ есть п-мерное
векторное расслоение.
Аналогично может быть определено понятие гладкого век-
векторного расслоения. Нужно дополнительно потребовать, чтобы
В и Е были гладкими многообразиями, я было гладким отобра-
отображением и для каждой точки беб существовала локальная ко-
координатная система (U, К), 6е[/, в которой h есть диффео-
диффеоморфизм.
Замечание, гс-мерное векторное расслоение представляет со-
собой весьма специальный пример косого произведения в смысле
Стинрода (см. [Стинрод, 1951]2). В терминологии Стинрода,
n-мерное векторное расслоение — это косое произведение со
слоем R" и полной линейной группой GLn(R) от п переменных
в качестве структурной группы.
Рассмотрим теперь два векторных расслоения \ и г\ над од-
одним и тем же базисным пространством В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что | изоморфно ц (запись:
%^ц), если существует гомеоморфизм
1 Формально эту структуру векторного пространства можно было бы за-
задать, указав подмножество в RXRXEXEXE, состоящее из всех пятеро^
(h, h, ei, е2, е3), где я(еО = я(е2) = ге(е8) и е3 — Uex + t2e2.
2 Или [Хьюзмоллер]. — Прим. ред..

18 Дж. Милнор и Дж Сташеф
пространств расслоений, который изоморфно отображает каж-
каждое векторное пространство /•*(?) на соответствующее вектор-
векторное пространство Fb(r\).
Пример 1. Тривиальное расслоение с пространством расслое-
расслоения В X R"» проекцией n(b, х) = b и структурой векторного про-
пространства в слоях, определяемой формулой
h Ф, *,) + к (Ь, х2) = (й, ttx 1 + t2x2),
будет обозначаться гпв. Заметим, что какое-либо другое «-мер-
«-мерное расслоение над В тривиально тогда и только тогда, когда
оно изоморфно el-
Пример 2. Касательное расслоение \м гладкого многообра-
многообразия М. Пространством расслоения тм является многообразие
DM, состоящее из всех пар (х, v), где хеЛ1и v — касательный
вектор к М в точке х. Проекция
я: DM-+M
задается формулой л{х, v) = x, а структура векторного про-
пространства в слое п"'(^)— формулой
t\ {X, V() + t2 (X, V2) = {X, tiVi + t2V2).
Условие локальной тривиальности проверяется без труда. За-
Заметим, что тм есть пример гладкого векторного расслоения.
Если хм представляет собой тривиальное расслоение, то мно-
многообразие М называется параллелизуемым. Например, пусть
М — открытое подмножество в R". Тогда DM можно отожде-
отождествить cMXR'hM, очевидно, параллелизуемо.
Единичная двумерная сфера S2 с: R3 дает пример многооб-
многообразия, которое не параллелизуемо (см. задачу 2.В). Действи-
Действительно, как мы увидим в § 9, параллелизуемое многообразие
должно иметь нулевую эйлерову характеристику, а у двумерной
сферы эйлерова характеристика равна +2 (см. следствие 9.3
и теорему 11.6).
Пример 3. Нормальное расслоение v гладкого многообразия
М с R" получается следующим образом. Пространство расслое-
расслоения E(v) есть подмножество
состоящее из всех пар (х, v), таких, что вектор v ортогонален
касательному пространству DMX. Проекция я: Е^>-М и струк-
структура векторного пространства в слоях п~1(х) определяются
точно так же, как и в примерах 1 и 2, формулами л{х, v) = x,

§ 2. Векторные расслоения 19
и ti(x, vi)+ t2(x, v2) — (x, tivi + /2^2). Доказательство того,что v
удовлетворяет условию локальной тривиальности, мы отложим
до§3 (см. 3.4).
Пример 4. Вещественное проективное пространство Рп мо-
может быть определено как множество всех неупорядоченных пар
{х,—х}, где х пробегает единичную сферу S" с: Rn+1; оно на-
наделяется топологией факторпространства сферы S".'
Пусть Е (у1п) — подмножество в Рп X R"+1. состоящее из
всех пар ({±x},v), в которых вектор v кратен вектору х.
Определим проекцию я: ?(\^)->-Я", полагая п({±.х), v) = {±x}.
Тогда слой пгх({±х}) можно отождествить с прямой, проходя-
проходящей через х и —х в R"+1. Каждая такая прямая несет обычную
структуру векторного пространства. Получившееся одномерное
векторное расслоение Y^ называется каноническим линейным
расслоением над Рп.
Доказательство того, что расслоение у1п локально-триви-
локально-тривиально. Пусть U с Sn — открытое множество, настолько малое,
что оно не содержит никакой пары антиподальных точек, и
пусть U\ — образ U в Рп. Тогда гомеоморфизм
задается формулой
h({±x},() = ({±x},tx)
для каждой пары (х, t)^Uy,R. Очевидно, (U\,h) есть ло-
локальная координатная система, поэтому расслоение у1п локаль-
локально-тривиально.
Теорема 2.1. Расслоение у1п над Рп не тривиально ни при ка-
каком п ^ 1.
Этот факт мы докажем, изучив сечения расслоения \\.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сечением векторного расслоения | с ба-
базисным пространством В называется всякое непрерывное ото-
отображение
s: В-*Е{Ъ),
которое переводит точку b e В в соответствующий слой Fb (I).
Сечение называется всюду ненулевым, если для каждой точ-
точки Ь вектор s(b) в Fb{\) ненулевой.
1 Иначе пространство Р" может быть определено как множество пря-
прямых, проходящих через начало координат в R"+l (см. задачу 1.В). Это при-
приводит к тому же самому, поскольку любая такая прямая высекает на S"
две антиподальные точки.

20 Дж Милнор и Дж. Сташеф
(Сечение касательного расслоения к гладкому многообразию
М обычно называют векторным полем на М.)
Очевидно, тривиальное одномерное расслоение обладает
всюду ненулевым сечением. Покажем, что расслоение у1п не
имеет таких сечений. Пусть
s:
— произвольное сечение. Композиция
переводит точку
Ясно, что t(x) есть непрерывная вещественнозначная функция
от х и
в некоторую пару
Так как пространство Sn связно, то из теоремы о промежуточ-
промежуточном значении следует, что t(xo) = O для некоторой точки х0.
Ш
¦(*-*)
Рис. 2.
Следовательно, s({±xo}) = ({±*o}, 0). Доказательство завер-
завершено. В
Интересно рассмотреть более подробно пространство Е(y^)
для случая л = 1. В этом случае каждую точку е =({±х},и)
из Е (у1Л можно записать в виде
e=({±(cos6, sin6)}, /(cose, sin в)),
0 ^ 8 ^ я, leR. Такое представление однозначно, за исклю-
исключением того, что для каждого / пары ({± (cos 0, sinO)}, /(cos 0,
sinO)) и ({± (cos я, sin я)},—/(cos я, sin я)) соответствуют од-
одной и той же точке. Другими словами, пространство ?"(yJ) mo-

§ 2. Векторные расслоения 21
же1 быть получено из полосы [0, я] X R в (9, t -плоскости
отождествлением левой границы [0]XR с правой границей
[я]ХЯ при помощи соответствия @, t)i—>(я,—/). Таким обра-
образом, Е (y{) есть открытый лист Мёбиуса (см. рис. 2).
Это описание дает другое доказательство того, что расслое-
расслоение у\ нетривиально, так как лист Мёбиуса, конечно, не гомео-
морфен цилиндру Р1 X R-
Рассмотрим теперь некоторую конечную совокупность
{si, ..., Sn} сечений произвольного векторного расслоения |.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сечения s\, ..., sn называются всюду не-
независимыми, если для каждой точки be В векторы Si{b), ...
..., Sn(b) линейно независимы,
Теорема 2.2. п-мерное расслоение g тривиально тогда и толь-
только тогда, когда | допускает п всюду независимых сечений
S], ..., Sn-
Доказательство опирается на следующий основной результат.
Лемма 2.3. Пусть | и г\ — векторные расслоения над В и
f: ?(|)->?(ti) — непрерывное отображение, которое изоморфно
переводит каждое векторное пространство Fb(l) в соответ-
соответствующее векторное пространство /Мл)- Тогда f является го-
гомеоморфизмом и, следовательно, | изоморфно г\.
Доказательство. Для заданной точки 6о е В выберем ло-
локальные координатные системы (U,g) для | и (V, h) для ц,
где bo e U П V. Нам надо показать, что композиция
есть гомеоморфизм. Положим
h-'ifigib, x))) = (b, у).
Очевидно, вектор у = (у1 уп) можно представить в виде
Уй=Т. fn(b)xIt
где [ft/(b)] — невырожденная вещественная матрица, элементы
fu(b) которой непрерывно зависят от Ь. Обозначим через
[Fn{b)] обратную матрицу. Ясно, что
b, y) = (b, x),
где
xt=IlFit{b)yt.

22 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Так как матричные элементы Fji(b) непрерывно зависят от
матрицы [fa(b)], то они непрерывно зависят от Ь. Таким обра-
образом, отображение g-1 °f~l°h непрерывно, чем и завершается
доказательство леммы 2.3. В
Доказательство теоремы 2.2. Пусть si, ..., sn — всюду не-
независимые сечения. Зададим отображение
/: BXR"->?
формулой
f(b) (b) + ... +xnsn(b).
Очевидно, f является непрерывным и изоморфно отображает
каждый слой тривиального расслоения е? на соответствующий
Рис 3.
слой I. Следовательно, f есть изоморфизм расслоений и потому
расслоение | тривиально.
Обратно, предположим, что g — тривиальное расслоение с
координатной системой (B,h). Определим сечение s,-, положив
= h(b, @, .... О, 1, 0, .... 0))е/>ь(Б)
A стоит на i-u месте). Ясно, что сечения si, ..., sn всюду не-
независимы. Доказательство завершено. ¦
Примеры. Касательное расслоение к окружности 51 с R2
допускает всюду ненулевое сечение s(x), показанное на
рис. 3. (Стрелки идут от х <= 51 к х + и, где s(x) = (x,v) =
— ((хиХг), {—Х2,х\)). Значит, 51 параллелизуемо. Аналогично,
трехмерная сфера 53 с R4 допускает три всюду независимых
векторных поля St(x) = (x,Si(x)), где
*1 W == (— Х2, Хи — Х\, Х$)>
h (х) = (— дс3. х4, хи — х2),
*3 W = (— *4. — Х3, Х2, Xi).

§ 2. Векторные расслоения 23
Поэтому многообразие 53 параллелизуемо. (Эти формулы воз-
возникают из формул умножения кватернионов в R4, см. [Стин-
род, 1951, п. 8.5].)
Евклидовы векторные расслоения
Для многих целей важно изучать векторные расслоения, у
которых каждый слой имеет структуру евклидова векторного
пространства.
Напомним, что вещественнозначная функция |л на конеч-
конечномерном векторном пространстве V называется квадратичной,
если она может быть представлена в виде
и (»)=Ем»)/и»),
где все /,• и // — линейные функции на У. Каждая квадратич-
квадратичная функция определяет симметричное билинейное спаривание
v, w ь-» v • w из V X V в R, где
v • w = j (\i (v + w) — ц (о) — ц (©)).
Заметим, что v-v = \i{v). Квадратичная функция ц называется
положительно определенной, если ц(у)>0 для всех v ф 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Евклидовым векторным пространством
называется вещественное векторное пространство V вместе с
положительно определенной квадратичной функцией
ц: F — R.
Вещественное число v-w называется скалярным произведением
векторов о и до. Чисдо v -v = ц(у) обозначается также через \v\2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Евклидовым векторным расслоением на-
называется вещественное векторное расслоение | вместе с непре-
непрерывной функцией
I*:
такой, что ограничение ц на каждый слой расслоения | яв-
является положительно определенной квадратичной функцией.
Сама функция |л называется евклидовой метрикой на векторном
расслоении |.
В случае касательного расслоения гм гладкого многообра-
многообразия евклидова метрика
ц: ZM-+R
называется римановой метрикой, а М вместе с \i—римановым
многообразием. (Обычно требуют, чтобы (i было гладкой функ-

24 Дж. Малнор и Дж. Сташеф
цией. Для римановой метрики часто употребляют обозначение
И = ds2.)
Замечание. В терминологии Стинрода евклидова метрика на
| задает редукцию структурной группы расслоения § от полной
линейной группы к ортогональной группе (см. [Стинрод, 1951,
п. 12.9]).
Примеры. На тривиальном расслоении eg можно задать
евклидову метрику
Так как касательное расслоение к R" тривиально, то R" как
гладкое многообразие допускает стандартную риманову мет-
метрику ц. Для любого гладкого многообразия М с: R" компози-
композиция
превращает М в риманово многообразие.
Априори существует два различных понятия тривиальности
для евклидовых векторных расслоений; однако следующая
лемма показывает, что они совпадают.
Лемма 2.4. Пусть § — тривиальное векторное расслоение
размерности п над Виц — произвольная евклидова метрика
на |. Тогда существует п сечений s\, ..., sn расслоения g, ко-
которые являются нормированными и ортогональными в том
смысле, что
st (b) • S/ F) = 6ц (символ Кронекера)
для каждого b e В.
Таким образом, расслоение | тривиально и как евклидово
векторное расслоение. (См. задачу 2.Е ниже.)
Доказательство. Пусть s[, ..., s'n — любые п сечений, ко-
которые всюду независимы. Применяя процесс Грама — Шмид-
Шмидта ' к векторам s[(b) s'n(b), мы получим ортонормирован-
ный базис si(b), ..., sn(b) для Fb(l). Получающиеся таким
образом функции su ..., sn от b, очевидно, непрерывны, чем
и завершается доказательство. В
В заключение параграфа шесть задач для читателя.
Задача 2.А. Показать, что единичная сфера 5" нечетной раз-
размерности допускает всюду ненулевое векторное поле. Пока-
\ См. любое руководство по линейной алгебре.

§ 2.. Векторные расслоения 25
зать, что нормальное расслоение к 5" с R"+1 тривиально для
всех п.
Задача 2.В. Пусть сфера 5" допускает всюду ненулевое век-
векторное поле. Показать, что тогда тождественное отображение
сферы 5" гомотопно антиподальному отображению. Показать,
что антиподальное отображение сферы 5" четной размерности
гомотопно отражению г(х\ xn+i) = (—*ь *а, • ••> xn+i) и,
следовательно, имеет степень —1 (см. [Эйленберг, Стинрод]).
Комбинируя эти факты, показать, что многообразие 5я не па-
раллелизуемо для четных п ^ 2.
Задача 2.С. Теорема существования евклидовой метрики.
Используя разбиение единицы, показать, что любое векторное
расслоение над паракомпактной базой может быть наделено
евклидовой метрикой. (См. § 5.8 или [Келли].)
Задача 2.D. Линия Александрова L (иногда называемая
также «длинной линией») есть гладкое связное одномерное
многообразие, которое не паракомпактно (см. [Кнезер]). Пока-
Показать, что L не может быть наделено римановой метрикой.
Задача 2.Е. Теорема об изометрии. Пусть ц и jj/ — две раз-
различные евклидовы метрики на одном и том же векторном рас-
расслоении |. Доказать, что существует гомеоморфизм /: Е(?)->-
-+Е(%), изоморфно переводящий каждый слой в себя, так что
композиция ц°}: ?(?)-> R равна \i'. [Указание. Использовать
тот факт, что любую положительно определенную матрицу А
можно однозначно представить в виде квадрата положительно
определенной матрицы л/А. Разложение в степенной ряд
±-
справедливо при условии, что собственные числа матрицы
tl + X лежат между 0 и It. Это показывает, что функция
А н-э- -\/А является гладкой.]
Задача 2.F. Как и в задаче 1.С, пусть F — алгебра гладких
вещественнозначных функций на М. Для каждой точки х е М
обозначим через Irx+l идеал всех функций из F, производные
которых порядка ^г равны нулю в точке х. Элемент фактор-
алгебры F/Irx+ называется r-джетом вещественнозначной функ-
функции в точке х (см. [Эресманн, 1952]). Построить локально-
тривиальное «расслоение алгебр» s4-§ над М с типичным слоем
рИ7\

26 Док. Милнор и Дж. Сташеф
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ИЗ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ НОВЫХ РАССЛОЕНИЙ
В этом параграфе будет описано несколько основных кон-
конструкций, связанных с векторными расслоениями.
(a) Ограничение расслоения на подмножество базисного про-
пространства. Пусть % — векторное расслоение с проекцией я: Е —*
-+Ви В — некоторое подмножество базисного пространства В.
Полагая Е = я-1 (Б) и обозначая через
й: Ё->В
ограничение проекции я на Е, мы получим новое векторное
расслоение, которое будем обозначать ЦБ и называть ограни-
ограничением расслоения ? на Б. Каждый слой Fb(%\E) равен соот-
соответствующему слою Fb{l) и имеет ту же самую структуру
векторного пространства.
Например, если М — гладкое многообразие и U — открытое
подмножество в М, то касательное расслоение хи равно хм \ U.
Имеется следующая более общая конструкция.
(b) Индуцированные расслоения. Пусть ? — то же, что и
выше, и Si — произвольное топологическое пространство. Для
заданного отображения /: В\ -*¦ В можно построить индуциро-
индуцированное расслоение /*| над В и Пространство Е\ индуцирован-
индуцированного расслоения f*% есть подмножество Е\ с: В\ X Е, состоящее
из всех пар (Ь, е), таких, что
Проекция ni: E\-+B\ определяется равенством щ(Ь,е)=Ь. Та-
Таким образом, имеет место коммутативная диаграмма
в,-Us
где f(b,e)—e. Структура векторного пространства в слоея~1F)
задается формулой
h (b, *i) + k (b, e2) = ф, /,
Таким образом, f изоморфно отображает каждое векторное
пространство Fb(f*l) на векторное пространство ff(&)(i).
Пусть (U,h)—какая-либо локальная координатная система
расслоения |. Положим Ui — f-l{U) и определим отображение

§ 3. Построение новых расслоений 27
формулой hi(b,x) — (b,h(J(b),x)). Тогда (?Л,Л|) будет, оче-
очевидно, локальной координатной системой расслоения f*%. Это
доказывает, что индуцированное расслоение f*l локально три-
тривиально. (Отсюда, в частности, следует, что если расслоение |
тривиально, то и индуцированное расслоение /*? тривиально.)
Замечание. Можно показать, что, если ? — гладкое вектор-
векторное расслоение и / — гладкое отображение, то Е\—гладкое
подмногообразие в В\ X Е, и поэтому /*| также является глад-
гладким векторным расслоением.
Рассмотренная выше коммутативная диаграмма наводит на
мысль ввести следующее априори более общее понятие. Пусть
Ъ, и г) — векторные расслоения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Послойным отображением г\ в ? назы-
называется непрерывное отображение
g:
которое изоморфно переводит каждое векторное пространство
Рь(г\) в одно из векторных пространств /v(g).
Ясно, что, если положить g(b)=b', то получающееся ото-
отображение
непрерывно.
Лемма 3.1. Пусть g: Е(г\)-уЕA) — послойное отображение
и g: B(r\)-*- ВA) — соответствующее отображение базисных
пространств. Тогда расслоение г\ изоморфно индуцированному
расслоению ?*|.
Доказательство. Определим отображение А: Е (г\)->-Е (g*Q
формулой
где я — проекция расслоения г\. Так как h является непрерыв-
непрерывным и изоморфно отображает каждый слой Fu(t]) на соответ-
соответствующий слой Fb(g*l), то из леммы 2.3 следует, что А — изо-
изоморфизм. ¦
(с) Прямое произведение. Пусть gi и |г — два векторных рас-
расслоения с проекциями я<: Ei-*-Bt, i— 1,2. Прямым произведе-
произведением |i X ?2 называется расслоение с пространством Еу X Е2
и проекцией
щХл2: Е1ХЕ2-^В1ХВ2,
где каждый слой

28 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
наделен очевидной структурой векторного пространства. Ясно,
что расслоение l\ X h локально тривиально.
Например, если М = Mi X М2 — произведение гладких мно-
многообразий, то касательное расслоение хм изоморфно прямому
произведению тМ| X %2 (ср. с задачей 1.А).
(d) Сумма Уитни. Рассмотрим два расслоения |ь |2 над од-
одним и тем же базисным пространством В. Обозначим через
d: B-+BXB
диагональное вложение. Индуцированное расслоение d*(?i X
X ?2) над базисным пространством В называется суммой
Уитни расслоений ?i и ?2 и обозначается 1\ ф |2. Заметим, что
каждый слой Fb(h ©?2) канонически изоморфен прямой сум-
сумме Fb(h)@Fb(h)-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим два векторных расслоения |
и т] над одним и тем же базисным пространством В, удовлет-
удовлетворяющих условию ?(|)с Е(ц). Расслоение I называется под-
расслоением расслоения ц (запись: ? с: г\), если каждый слой
Fb(l) является векторным подпространством соответствующего
слоя Fb{i\).
Лемма 3.2. Пусть \\ и |г — подрасслоения расслоения г\, та-
такие, что каждое векторное пространство /7г,(л) равно прямой
сумме подпространств Fb(h) " ^МЫ- Тогда и\ изоморфно
сумме Уитни gi ф |2.
Доказательство. Определим отображение /: E(l)
-+Е(г]) формулой fF; ei, e2)= ei + ег. Тогда из леммы 2.3 сле-
следует, что / — изоморфизм. Ш
(е) Ортогональное дополнение. Естественно возникает воп-
вопрос, существует ли для данного подрасслоения | с: т] дополни-
дополнительное к нему подрасслоение, такое, что расслоение i\ пред-
представляется как их сумма Уитни? Если расслоение i] снабжено
евклидовой метрикой, то такое дополнительное к | слагаемое
можно построить' следующим образом.
Пусть Fbit1) обозначает подпространство в слое Fb{vi), со-
состоящее из всех векторов v, таких, что v • w = 0 для всех w e
^^(i). и пусть ?(|1)с Е(х\) — объединение пространств
Fb(tL) по всем бе В.
1 В случае когда базисное пространство В — паракомпакт, расслоение г\
всегда может быть наделено евклидовой метрикой (задача 2.С), поэтому
всякое подрасслоенне % с г\ является слагаемым некоторой уитниевской
суммы. Если не требовать, чтобы В было паракомпактным, это уже не так
(можно дать контрпример).

§ 3. Построение новых расслоений 29
Теорема 3.3. Е(%х) является пространством некоторого под-
расслоения I1 сг т], и расслоение г\ изоморфно сумме Уитни
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подрасслоение I1 называется ортого-
ортогональным дополнением подрасслоения % в расслоении т|.
Доказательство. Ясно, что каждое векторное пространство
Fb(f\) есть прямая сумма подпространств Fb(l) и РъЦ1). Та-
Таким образом, задача состоит только в том, чтобы доказать, что
расслоение I1 удовлетворяет условию локальной тривиально-
тривиальности.
Пусть Ьо^В — некоторая точка и U — такая окрестность
этой точки, что расслоения %\U и х\\11 одновременно являются
тривиальными. Выберем ортонормированные сечения s\, .".., sm
расслоения %\V и s'v ..., s'n расслоения r\\U, где m и п — раз-
размерности слоев расслоений g и rj соответственно (см. 2.4). Тогда
m X п-матрица
< Fо)]
имеет ранг т. Перенумеровав, если надо, сечения s^, мы мо-
можем считать, что первые m столбцов матрицы линейно неза-
независимы.
Пусть V с U — открытое множество, состоящее из всех то-
точек Ь, для которых первые m столбцов матрицы \st (b) • s't F)]
линейно независимы. Тогда п сечений
Sm+\ Sn
расслоения r\\U будут линейно независимы в любой точке из
V. (Действительно, линейная зависимость в какой-нибудь точ-
точке b e V означала бы, что некоторая ненулевая линейная ком-
комбинация векторов S\(b), .... sm(b) является также линейной
комбинацией векторов s'm+l(b), ..., s'n(b) и, следовательно, ор-
ортогональна векторам в[(й), ..., s'm(b).) Применяя процесс орто-
гонализации Грамма — Шмидта к этому набору сечений, полу-
получаем ортонормированные сечения si, ..., sm, sm+u •-., sn рас-
расслоения т] | V.
Далее, формула
h (Ь, X) = .KiSm+i (Ь) + ... -f Xn-mSn (Ь)
задает локальную координатную систему
h\ VXRn~m-*E(lL)
расслоения |х. Тождество
/г (е) = (пе, (е • sm+l (яе), .... е • sn (ne)))

30 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
показывает, что отображение h есть гомеоморфизм, чем и за-
завершается доказательство теоремы 3.3. ¦
Для примера рассмотрим гладкие подмногообразия М сг
с: N cz RA и предположим, что N наделено римановой метри-
метрикой. Тогда касательное расслоение хм является подрасслоением
ограничения хы\М. В этом случае ортогональное дополнение
x^cxN\M называется нормальным расслоением v подмного-
подмногообразия М в N. Таким образом, справедливо
Следствие 3.4. Для любого гладкого подмногообразия М
гладкого риманова многообразия N определено нормальное
расслоение v, и
Более общим образом, гладкое отображение {: M-^N глад-
гладких многообразий называется погружением, если якобиан
Dfx:DMx-+DNf
fM
отображает касательное пространство DMX инъективно (т. е.
с нулевым ядром) для каждой точки х е М. [Из теоремы о
Рис. 4.
неявной функции следует, что локально погружение является
вложением многообразия М в N, однако глобально образ М
в N может иметь самопересечения. Типичное погружение ок-
окружности в плоскость показано на рис. 4.]
Предположим, что N — риманово многообразие. Тогда для
каждой точки х е М касательное пространство DNf(X) разби-
разбивается в прямую сумму образа Dfx{DMx) и его ортогонального
дополнения. Соответственно, индуцированное расслоение l*xN
над М разбивается в сумму Уитни подрасслоения, изоморфного
хм, и дополнительного подрасслоения Vf. Итак, имеем
Следствие 3.5. Для любого погружения f: М -* N, где N —
риманово многообразие, существует разложение в сумму Уитни

§ 8. Построение новых расслоений 31
Это расслоение Vf называется нормальным расслоением по-
погружения f.
(/) Непрерывные функторы от векторных пространств и век-
векторных расслоений. Операция взятия прямой суммы, пожалуй,
наиболее важный метод построения из заданных векторных
пространств новых, тем не менее и многие другие подобные
конструкции играют важную роль в дифференциальной геомет-
геометрии. Например, любой паре V, W вещественных векторных про-
пространств можно сопоставить:
1) векторное пространство Hom(V, W) линейных отображе-
отображений из V в W;
2) тензорное произведение ' V ® W;
3) векторное пространство всех симметричных билинейных
отображений из КХ^в W и т. д.
Всякому векторному пространству V можно сопоставить:
4) двойственное векторное пространство Нот(У, R);
5) k-ю внешнюю степень ' Л* У;
6) векторное пространство всех 4-линейных отображений
К: VXVXVXy-^R, удовлетворяющих следующим соотно-
соотношениям симметрии:
K(VU l>2, 03, 04)==К(У3, 04, 01, 02) = — К @1, 02, 04, 0з)
И
02, 03, 04) + /С@1, 04, 02, 0з) + /С@1, 03, 04> 02) = 0.
(Последний пример мог бы показаться искусственным, не будь
он важен в теории римановой кривизны.)
Эти примеры наводят на мысль рассмотреть общее понятие
функтора от нескольких переменных — векторных пространств.
Пусть Т обозначает категорию, состоящую из всех конеч-
конечномерных вещественных векторных пространств и всех изомор-
изоморфизмов между такими пространствами. (Ковариантным2)
функтором Т: ТХ.Т-*-Т называется операция, сопоставляю-
сопоставляющая
1) каждой паре векторных пространств V, W 8У — вектор-
векторное пространство T(V, W)е Т и
2) каждой паре изоморфизмов f: V-*-V, g: W-*-W — изо-
изоморфизм
T(f,g): T(V, Г)-*Г(У, Щ
1 См., например, [Ленг, 1965].
! Различие между ковариантнымн и контравариантными функторами
здесь не важно, так как мы имеем дело только с изоморфизмами.

32 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
так, что
3) Т (ldv, idy) = idr (У m и
4) Т (f, о f2, gl = g2) = Г (fu gl) о T (h, g2).
Такой функтор будем называть непрерывным, если T(f,g) не-
непрерывно зависит от / и g. Это определение имеет смысл, так
как на множестве всех изоморфизмов одного конечномерного
векторного пространства в другое существует естественная то-
топология.
Аналогично определяется понятие непрерывного функтора
7": У X ••• УУ-+У от k переменных. Заметим, что в примерах
1—3 мы имеем непрерывные функторы от двух переменных, и
в примерах 4—6 — непрерывные функторы от одной перемен-
переменной.
Пусть Т-.ТУ. ... У.Т->~Т — непрерывный функтор от k пе-
переменных и li, ..., Ik — векторные расслоения над общим ба-
базисным пространством В. Построим новое векторное расслое-
расслоение над В следующим образом. Для каждой точки b e В по-
положим
Обозначим через Е дизъюнктное объединение векторных про-
пространств Рь и определим отображение л: Е ->¦ В условием
n{Fb)=b.
Теорема 3.6. Существует каноническая топология на мно-
множестве Е, превращающая Е в пространство векторного рас-
расслоения с проекцией л и слоями Fb-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Это расслоение будем обозначать
Т{Ь Ы.
Например, данная конструкция для функтора тензорного
произведения определяет тензорное произведение \® ч\ двух
векторных расслоений, для функтора прямой суммы — сумму
Уитни % ф т) двух расслоений. Для функтора двойственности
VI-* Нот (V, R)
мы получаем функтор
?н-»Нот(|, в1),
сопоставляющий каждому векторному расслоению двойственное
ему векторное расслоение.
Дадим лишь набросок доказательства теоремы 3.6. Пусть
(U,hi), ..., (U,hk) — локальные координатные системы для
расслоений |i ?* соответственно, все с одним и тем же
открытым множеством U. Для каждой точки b e U определим

§ 3. Построение новых расслоений 33
изоморфизм
формулой hib(x) — hi{b, x). Тогда определен изоморфизм
1 \П\Ь, . . ., ПъЬ). .
Соответствие
(b, x)^T(hlb, ...,
задает взаимно однозначное отображение
h: U XT №..... Knk)-+n-l(U).
Утверждение. Существует единственная топология на Е, в
которой каждое такое отображение h является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, а каждое множество n~l(U) — открытым подмножеством
в Е. ¦
Доказательство. Единственность очевидна. Чтобы доказать
существование, достаточно показать, что если две такие «коор-
«координатные системы» (U, К) и (U',hr) перекрываются, то преоб-
преобразование
непрерывно, но это следует из непрерывности функтора Т.
Теперь ясно, что я: Е-+В непрерывно и что получающееся
в результате векторное расслоение Г(|ь ..., Ik) удовлетво-
удовлетворяет условию локальной тривиальности. ¦
Замечание 1. Эту конструкцию можно .следующим образом
описать в терминологии Стинрода. Пусть GLn = GLn{R) обо-
обозначает группу автоморфизмов векторного пространства R".
Тогда Т определяет непрерывный гомоморфизм из произведе-
произведения групп GLnx X • • • X GLrtft в группу GU автоморфизмов век-
векторного пространства Т(r, ..., Rn*). Следовательно, для дан-
данных расслоений |i, ..., ?* над В со структурными группами
GLni, ..., GLnk соответственно существует отвечающее этому
гомоморфизму расслоение Т{\\, ..., |%) со структурной груп-
группой GU и слоем Т (r R *). Дальнейшее обсуждение см.
в [Хирцебрух, 1966, § 3.6].
Замечание 2. Для расслоений %\, ..., %k над различными
базисными пространствами аналогичная конструкция дает век-
векторное расслоение Т{\и ..., Ь) над B(gi)X ... ХВ(Ы со
слоем Т(Fb^ (I,), ..., Fb (|fc)y Это определяет функтор Т в себя
2 Дж. Милнор, Дж. Сташеф

34 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
категории векторных расслоений с морфизмами — послойными
отображениями. Например, взяв функтор прямой суммы ф на
категории У, получаем функтор прямого произведения
для векторных расслоений.
Замечание 3. Если %и ..., %k являются гладкими вектор-
векторными расслоениями, то на расслоении Т{%\, ..., \ь) можно так-
также задать структуру гладкого расслоения. Доказательство ана-
аналогично доказательству теоремы 3.6. При этом надо использо-
использовать тот факт, что изоморфизм T(f\, ..., fk) есть гладкая
функция от изоморфизмов fu ..., fk. (См. [Шевалле].)
Для иллюстрации пусть f: M-+-N — гладкое отображение.
Тогда Нот(хд1, f*rn) будет гладким векторным расслоением
над М. Заметим, что производная Df задает гладкое сечение
этого векторного расслоения.
В качестве другого примера рассмотрим вложение Me N
с нормальным расслоением v, где N — гладкое риманово мно-
многообразие. Тогда «вторая фундаментальная форма» может
быть определена как гладкое симметрическое сечение расслое-
расслоения Hom(tM ®тм, v). (См. [Бишоп и Криттенден], а также за-
задачу 5.В.)
В заключение шесть задач для читателя.
Задача ЗА. Гладкое отображение /: М -*¦ N гладких много-
многообразий называется наложением, если каждый якобиан
Dfx: DMx-+DNfU)
сюръективен (т. е. является отображением на). Построить век-
векторное расслоение щ с базой М и слоем, равным ядру Dfx. По-
Показать, что если М — риманово многообразие, то
Задача З.В. Для данных расслоений 5 cz r\ определить фак-
торрасслоение т]/| и проверить, что оно локально тривиально.
Показать, что если т] имеет евклидову метрику, то
Задача З.С. Более общим образом, пусть 5, т] — произволь-
произвольные векторные расслоения над В и f — сечение расслоения
Нот(|,г]). При условии, что ранг линейного отображения
f(b): Fbto^FbW
локально постоянен как функция от Ь, определить ядро щ с: \
и коядро Vf и доказать, что они суть локально тривиальные
расслоения.

4. Классы Штифеля — Уитни 35
Задача 3.D. Показать, что если векторное расслоение | на-
наделено евклидовой метрикой, то оно изоморфно своему двой-
двойственному расслоению Нот(|, е1).
Задача S.E. Показать, что множество классов изоморфных
друг другу одномерных векторных расслоений над В образует
абелеву группу относительно операции тензорного умножения.
Показать, что данное одномерное расслоение | можно наде-
наделить евклидовой метрикой тогда и только тогда, когда оно
представляет собой элемент порядка <[2 в этой группе.
Задача 3.F. (Ср. [Сван].) Пусть В — тихоновское простран-
пространство1 и R(B) — кольцо непрерывных вещественнозначныхфунк-
вещественнозначныхфункций на В. Для векторного расслоения § над В через S{Q обо-
обозначим R (В) -модуль всех сечений расслоения |.
a) Показать, что 5(| фт!)^5(|)ф5(т]). Далее, показать,
что расслоение § тривиально тогда и только тогда, когда мо-
модуль S(l) свободен.
b) Показать, что если расслоение 1<Ъц тривиально, то 5(|)
есть конечно порожденный проективный модуль2. Обратно, по-
показать, что если Q—конечно порожденный проективный R(B)-
модуль, то Q s* S(%) для некоторого расслоения ?.
c) Показать, что 5 = т] тогда и только тогда, когда 5 (!) 36
)
§ 4. КЛАССЫ ШТИФЕЛЯ — УИТНИ
В этом параграфе мы начнем изучение характеристических
классов, введя четыре аксиомы, которые характеризуют кого-
когомологические классы Штифеля — Уитни векторных расслоений.
Существование и единственность когомологических классов,
удовлетворяющих этим аксиомам, будут установлены в после-
последующих параграфах3.
Выражение Hl(B; G) обозначает /-ю группу сингулярных
когомологий пространства В с коэффициентами в G. Краткий
очерк основных определений и теорем теории сингулярных ко-
когомологий читатель может найти в приложении А. В данном
параграфе группой коэффициентов G всегда будет Z/2, группа
целых чисел по модулю 2.
1 Топологическое пространство называется тихоновским, если оно хаус-
дорфово и для любой точки х и не содержащего ее замкнутого множества А
существует непрерывная вещественнозначная функция, отделяющая х от А
(см. [Келли]).
2 Модуль называется проективным, если он является прямым слагаемым
некоторого свободного модуля (см., например, [Маклейн и Биркгоф]).
3 В § 8 — существование, в § 7 — единственность. — Прим. переа.
2*

36 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
АКСИОМА 1. Для каждого векторного расслоения g суще-
существует последовательность когомологических классов
щ (?) s Н{ (В (&); Z/2), i = О, 1,2,...,
называемых классами Штифеля — Уитни расслоения |. Класс
Wo(l) равен единичному элементу
и классы ш,(|) равны нулю для t больших, чем п, если | есть
n-мерное расслоение.
АКСИОМА 2. Естественность. Если отображение /: В(?)->
-*-B(tj) накрывается некоторым послойным отображением
6-*-т], то
о»» О-Гад (л).
АКСИОМА 3. Теорема Уитни о произведении. Если | и
т] — векторные расслоения над одним и тем же базисным про-
пространством, то
(I® r\) = E ^/ (I)
Например,
ф Л) = О>2 О + Ш, (|) Ш| (Л) + Я% (Л).
(Мы будем опускать символ умножения в когомологиях w вся-
всякий раз, как это будет удобно.)
АКСИОМА 4. Для линейного расслоения' \>| наД окруж-
окружностью Р1 класс Штифеля — Уитни wl (y{) ненулевой.
Замечания. Характеристические гомологические классы для
касательных расслоений гладких многообразий были опреде-
определены Штифелем в 1935 г. [Штифель]. В том же году Уитни
определил классы wt для любого расслоения над симплициаль-
ным разбиением, слоем которого является сфера [Уитни].
(Расслоения на сферы получаются из евклидовых векторных
расслоений, если в пространстве расслоения брать лишь век-
векторы единичной длины.) Теорема Уитни о произведении при-
принадлежит Уитни и У2 [Уитни, 1940, 1941], [У, 1948]. Данное
выше аксиоматическое определение классов Штифеля — Уитни
было предложено Хирцебрухом в работе [Хирцебрух, 1966],
где дано аналогичное определение классов Чженя.
1 См. § 2, пример 4. — Прим. перев.
' Иногда пишут также By. (Полное имя: У Вэнь-цзунь.)—Прим. ред.

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 37
Вовсе не очевидно, что классы о»<(?), удовлетворяющие ука-
указанным четырем аксиомам, могут быть определены. Тем не ме-
менее мы будем предполагать всюду в этом параграфе, что такие
классы существуют, и выведем некоторое число следствий из
этого предположения.
Следствия из приведенных выше четырех аксиом
Из аксиомы 2 непосредственно вытекает
Предложение 1. Если | изоморфно г\, то wi(l)= Wi{x\).
Предложение 2. Если г — тривиальное векторное расслоение,
то о»,(е)==0 для i > 0.
Действительно, если расслоение s тривиально, то существует
послойное отображение е в векторное расслоение над точкой.
Сопоставляя эти факты с теоремой Уитни о произведении,
получаем
Предложение 3. Если расслоение в тривиально, то ш;(е ф
Предложение 4. Если | — некоторое п-мерное расслоение с
евклидовой метрикой, обладающее всюду ненулевым сечением,
то а>„(?) = 0. Бели I обладает k всюду линейно независимыми
сечениями, то
By*-A+i(i) = a>n-A+j(t)«= ••• =»а>„(Ю=-0.
В самом деле, из теоремы 3.3 следует, что в этом случае
расслоение ? разбивается в сумму Уитни е ф е1, где расслое-
расслоение s тривиально, а е,х имеет размерность п — k.
Особенно интересное следствие теоремы Уитни о произведе-
произведении получается в случае, когда сумма Уитни | ф т] тривиальна.
Тогда соотношения
©1 (I) + o>i (г)) = 0,
w2 (I) + Щ A) wx (л) + ш2 (л) = 0,
Щ (I) + W2 (Ю О»! (Л) + Щ A) ПJ (Ц) + W3 (Ц) ¦= О,
могут быть рекуррентно разрешены, так что класс Wi(r\) вы-
выразится в виде полинома от классов Штифеля — Уитни рас-
расслоения 1. Удобно ввести следующий формализм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обозначим через Яп(В,2/2) кольцо всех
формальных бесконечных рядов
а = а0 + ai + а2 + ...,

38 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
где di6№(B;Z/2). Операция умножения в этом кольце
задается формулой {а0 + «i + «2 + ...) (b0 + b\ -f- b2 + • • •) =
= {афо)-\-(а\Ьй-\- aobi) + (a2bo + аф\ -f a0b2)-\~ ... . Это ум-
умножение коммутативно (так как всё делается по модулю 2) и
ассоциативно. Аддитивно кольцо Нп(В; Z/2) представляет со-
собой просто прямое произведение групп Н'(В; Z/2).
Полный класс Штифтеля — Уитни «-мерного расслоения g
над В — это по определению элемент
ш(|) = 1+ ш, (I) + ш2(?) + ... + ш„(Ю + 0 + 0 ...
кольца Нп E;Z/2). Заметим, что теорема Уитни о произве-
произведении может быть теперь выражена простой формулой
Лемма 4.1, Совокупность всех бесконечных рядов
а>= 1 + да, + w2 + ...еЯп(8; Z/2),
начинающихся с единицы, образует коммутативную группу по
умножению.
(Это в точности группа единиц кольца Hn(B;Z/2).)
Доказательство. Обратный к заданному элементу w элемент
w = 1 + ом + о>2 + Щ + ...
можно построить рекуррентно по формуле
Wn = WiWn_i + W2Wn_2+ ••• + Wn_xWx + Wn.
Таким образом, мы получаем
W\ = W\,
w2 = w\ + a/2,
и т. д., что и доказывает нашу лемму. ¦
Иначе обратный элемент w может быть вычислен при по-
помощи разложения в ряд:
— (a», -f w2 + .. .K + — ... =
s=l— ш, + (ау2 — a»s) -j-(—bis

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 39
(где знаки, конечно, не имеют значения). Это приводит к точ-
точному выражению (й + ••• +i*)!/n! ••• i*! для коэффициента
при w^w^2 ... w'kk в разложении до.
Рассмотрим теперь два векторных расслоения I а г\ над од-
одним и тем же базисным пространством. Из леммы 4.1 следует,
что уравнение
может быть однозначно разрешено относительно ш(г|):
wD) = w(t)w(te4).
В частности, если расслоение | @ т) тривиально, то
w(i\) = w{l).
Отметим один важный частный случай:
Лемма 4.2 (теорема двойственности Уитни). Пусть хм— ка-
касательное расслоение многообразия М, лежащего в евклидовом
пространстве, a v — его нормальное расслоение. Тогда
Wi (V) = Wi (tM).
Вычислим теперь классы Штифеля — Уитни в некоторых
частных случаях. При этом нам часто будет удобно использовать
краткое обозначение w(M) для полного класса Штифеля —
Уитни касательного расслоения Хм многообразия М.
Пример 1. Для касательного расслоения х единичной сферы
S" класс w(x) = w(Sn) равен 1. Другими словами, с помощью
классов Штифеля — Уитни расслоение х нельзя отличить от
тривиального расслоения над 5".
Доказательство. Для стандартного вложения 5" с: R"+'
нормальное расслоение v тривиально. Так как w{x)w(v)=l и
w(v)= 1, отсюда следует, что и w{x)= 1.
Другое доказательство (без использования теоремы Уитни
о произведении). Каноническое отображение
f: Sn-+Pn
сферы на проективное пространство является Локальным диф-
диффеоморфизмом. Поэтому индуцированное отображение
Df: DSn-»DPn
касательных расслоений есть послойное отображение. Приме-
Применяя аксиому 2, получаем равенство
rwn(Pn) = wn(Sn),
где гомоморфизм
Г: Нп{Рп; Z/2) -+Hn(Sn; Z/2),

40 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
как хорошо известно, нулевой (см. замечание ниже). Таким
образом, wn{Sn)=0, что и завершает доказательство. ¦
В оставшейся части § 4 мы будем иметь дело с расслое-
расслоениями над проективным пространством Рп. Прежде всего не-
необходимо описать когомологии проективного пространства Рп
с коэффициентами в Z/2.
Лемма 4.3. Группа H!{Pn;Z/2) представляет собой цикли-
циклическую группу порядка 2 для 0 ^ i ?=: п и равна нулю для
ббльших значений i. Далее, если а — ненулевой элемент из
Н1{Рп\2/2), то каждая группа H'(Pn;Z/2) порождается i-крат-
ным ^-произведением а1.
Таким образом, кольцо Н*(Рп\ Z/2) является алгеброй с
единицей над полем Z/2 с одной образующей а и одним соотно-
соотношением ап+1 = 0.
Доказательство читатель может найти в книгах [Хилтон и
Уайли, п. 4.3.3] или [Спеньер]. См. задачи 11.А и 12.С (ср. с 14.4).
Замечание. Эту лемму можно использовать для вычисления
гомоморфизма
Г: Нп (Рп; Z/2) -> Нп (Sn; Z/2)
в случае, когда п > 1. Действительно, элемент f*(an) = (}*a)n
равен нулю, так как f*a e Я1 (Sn; Z/2) = 0.
Пример 2. Полный класс Штифеля — Уитни канонического
линейного расслоения у1п над Рп задается формулой
w (Yj) = 1+о.
Доказательство. Стандартное вложение /: Pl cz Pn, очевид-
очевидно, накрывается послойным отображением расслоения у\ в у1Пт
Следовательно,
Итак, класс w1 (у1п~) не равен нулю, а значит должен быть ра-
равен а. Поскольку по аксиоме 1 остальные классы Штифеля —
Уитни расслоения у1п равны нулю, то это завершает доказатель-
доказательство. ¦
Пример 3. По определению линейное расслоение у\ над Р"
содержится как подрасслоение в тривиальном расслоении e"+I
(см. § 2, пример 4). Обозначим через у1 ортогональное допол-
дополнение к подрасслоению у^ в en+1. (Таким образом, пространство

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 41
Е{ух) расслоения ух состоит из всех пар
где v e Rn+1 — вектор, ортогональный к х.) Тогда
w {у1) = 1 + а + а2 + ... + ап.
Доказательство. Так как расслоение у1п © у1 тривиально, то
Этот пример показывает, что классы Штифеля — Уитни
«-мерного расслоения могут быть ненулевыми во всех размер-
размерностях.
Пример 4. Пусть т — касательное расслоение проективного
пространства Рп.
Лемма 4.4. Касательное расслоение т проективного прост-
пространства Рп изоморфно расслоению Нот (у1п, у1).
Доказательство. Пусть L — прямая, проходящая через на-
начало координат в R"+1 и пересекающая сферу 5" в точках ±х,
и Lx cr Rn+1 — ортогональная к ней «-мерная плоскость. Пусть
далее /: 5"—>Р" — каноническое отображение, f(x)= {±x}. За-
Заметим, что два касательных вектора (х, v) и (—х, —v) в DS"
имеют один и тот же образ при отображении
Df: DSn-+DPn,
индуцированном f (см. рис. 5). Таким образом, касательное
многообразие DP" может быть отождествлено с множеством
всех пар {(х, v),(—х,—v)}, удовлетворяющих условиям
х • х = 1, х • v = 0.
Но каждая такая пара определяет линейное отображение
где
l(x) = v,
и обратно, каждое линейное отображение /: L-уЬ1, где L —
прямая, проходящая через точки ±х (х'Х—1), определяет
вектор v, такой, что x-v = 0. Таким образом, касательное про-
пространство к Р" в точке {±х} канонически изоморфно вектор-
векторному пространству Hom(L, L1). Следовательно, касательное
векторное расслоение tprt канонически изоморфно расслоению

42 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
При помощи этой леммы нельзя непосредственно вычислить
класс w(Pn), так как мы не знаем пока соотношений, связы-
связывающих классы Штифеля — Уитни расслоения Нот (yln, yL) с
классами Штифеля — Уитни расслоений ухп и Vх- Однако это
вычисление может быть проведено следующим образом. Пусть
е1 — тривиальное линейное расслоение над Рп.
Рис. 5
Теорема 4.5. Сумма Уитни т ф е1 изоморфна (л + 1) -крат-
-кратной сумме Уитни у1п ф у\ ф ... ®у1п. Следовательно, полный
класс Штифеля — Уитни проективного пространства Рп равен
-+СГУ
Доказательство. Расслоение Horn (у\, y],) тривиально, так
как оно является линейным расслоением с каноническим всюду
ненулевым сечением. Следовательно,
тфе1 S6 Нот (у?, ух)фНот (у1п, у1п).
Написанное справа расслоение, очевидно, изоморфно расслоению
Нот (vi, Yx©Yi) ^ Нот (у1п, е«+»)
и, следовательно, изоморфно (л + 1)-кратной сумме Уитни
Y^, е»е ... Ф е1) ?< Horn (y^, е!)ф ... фНот(у^, е!).

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 43
Но расслоение Нош (у1п, е1) изоморфно у1п, так как у1п имеет
евклидову метрику (см. задачу 3. D). Это доказывает, что
Используя теперь теорему Уитни о произведении, получаем, что
класс w(i)= w (т фе1) равен
Применение теоремы о биноме завершает доказательство тео-
теоремы 4.5. В
Ниже приводится таблица биномиальных коэффициентов
mod 2, 0 ^ i ^ п + 1, для п ^ 14:
("Г1)
I
1 1
Р1:' 1 0 1
Р2: I 1 V 1
Р3: 1 О О О 1,
Р4: .10 0 11
р5: 10 10 10 1
Ps: I 1 1 I I I 1 1
Р7: 10 0 0 0 0 0 0 1
Р8: 110 0 0 0 0 0 11
р»: 10 10 0 0 0 0 10 1
Р10: 111100001111
р"; 10 0 0 10 0 0 10 0 0 1
р'2: 11001100110011
р13: 101010101010101
р"*: 1111I1111111111
Правую сторону этого треугольника, т. е. ! , . ), можно не
принимать во внимание, так как Hn+l(Pn; Z/2) = 0. Например,
мы имеем
Следствие 4.6 (Штифель). Класс хю(Рп) равен 1 тогда и
только тогда, когда п + 1 является степенью двух. Таким обра-
образом, параллелизуемьши могут быть только следующие проек-
проективные пространства; Р\ Р3, Р7, Р15, ... .

44 Даю. Милнор и Дж. Сташеф
Чуть погодя в теореме 4.7 мы увидим, что Р1, Р3 и Р1 дей-
действительно параллелизуемы. С другой стороны, известно, что
проективные пространства больших размерностей Р15, Р31, ...
не параллелизуемы (см. [Ботт, Милнор], [Кервер, 1958],
[Адаме, I960]).
Доказательство. Из равенства (а + ЬJ = а2 + 62(mod2)
вытекает, что
Следовательно, если п + 1 = 2Г, то
Обратно, если п-\-1==2гпг, где m нечетно, пг> 1, то
так как 2Г < п+ 1. Это завершает доказательство. В
Алгебры с делением
Параллелизуемость проективных пространств тесно связана
с вопросом о существовании вещественных алгебр с делением.
Теорема 4.7 (Штифель). Предположим, что существует би-
билинейная операция умножения'
р: RnXR"->Rn
без делителей нуля. Тогда проективное пространство Рп~1 па-
раллелизуемо и, следовательно, п должно быть степенью чи-
числа 2.
Известно, что такие алгебры с делением существуют для
п=1, 2, 4 и 8, а именно алгебры вещественных чисел, ком-
комплексных чисел, кватернионов и чисел Кэли. Следовательно,
проективные пространства Р1, Р3 и Р7 параллелизуемы. То, что
для п > 8 вещественных алгебр с делением не существует, до-
доказано в работах, указанных выше, где шла речь о непаралле-
непараллелизуемости проективных пространств размерности n ^ 15.
Доказательство. Пусть Ь\ Ьп — стандартный базис век-
векторного пространства R". Заметим, что соответствие
1 Не требуется, чтобы эта операция умножения была ассоциативной или
имела единицу.

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 45
определяет изоморфизм R" на себя. Следовательно, формула
v{ (р (у, Ьх)) = р (у, Ьг)
определяет линейное отображений
такое, что vi(x), ..., vn(x) линейно независимы для хфО, при-
причем vi{x) — х.
Отображения v%(x), ..., Vn{x) определяют п—1 линейно
независимых сечений векторного расслоения
V-> = Hom (Y«-i> ^)-
Действительно, для каждой прямой L, проходящей через начало
координат, определим линейное отображение
следующим образом. Для вектора xeL пусть vi(x) обозначает
образ вектора Vi(x) при ортогональной проекции Rn—*LX. Ясно,
что Pi = 0, а щ, ..., vn всюду линейно независимы. Таким об-
образом, касательное расслоение т п_х является тривиальным рас-
расслоением. Это завершает доказательство теоремы 4.7. В
Погружения
В качестве последнего приложения теоремы 4.5 исследуем
вопрос о том, какие проективные пространства допускают по-
погружение в евклидово пространство данной размерности.
Если многообразие М размерности п может быть погружено
в евклидово пространство R"+ft, то, согласно теореме двойствен-
двойственности Уитни
W( (v) = w{ (M),
двойственные классы Штифеля — Уитни wi(M) равны нулю для
i>k.
В качестве типичного примера рассмотрим проективное про-
пространство Р9. Поскольку
w(P9) = (l +a)w=l +аг + а\
то
w (Р9) = 1 + а2 + а4 + а6.
Таким образом, если Р9 может быть погружено в R9+ft, то k дол-
должно быть не меньше 6.
Еще более эффектный результат получается, когда размер-
размерность проективного пространства Р" является степенью двух.

46 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Если п = 2Г, то
w(Pn) = (l+a)n+1 = l+a + an,
следовательно,
w (Рп) = 1 + а + а" + ... + а"-
Итак, справедлива
Теорема 4.8. Если проективное пространство Р'1* может быть
погружено в R2 +/\ то k не меньше, чем 2Т —\.
С другой стороны, Уитни доказал, что любое гладкое ком-
компактное многообразие размерности п > 1 может быть погру-
погружено в R2"-1 (см. [Уитни, 1944]). Таким образом, теорема 4.8
дает наилучшую возможную оценку.
Заметим, что из теоремы 4.8 следуют также оценки и для
других проективных пространств. Например, поскольку Ръ не
может быть погружено в R14, то и подавно Р9 не может быть
погружено в R14. Мы заново получили известную оценку для Р9
(см. [Джеймс]).
Обширная и красивая теория погружений многообразий
была разработана Смейлом и Хиршем. Интересующегося чита-
читателя отсылаем к работам [Хирш, 1959] и [Смейл, 1959].
Числа Штифеля — Уитни
Теперь мы опишем один полезный инструмент, позволяющий
сравнивать некоторые классы Штифеля — Уитни двух различ-
различных многообразий.
Пусть М — замкнутое, возможно несвязное, гладкое п-мер-
ное многообразие. Поскольку используются гомологии с коэф-
коэффициентами в Z/2, существует единственный фундаментальный
гомологический класс
(см. приложение А). Поэтому для любого когомологического
класса v e Hn(M; Z/2) определен индекс Кронекера
(v, цм) е= Z/2.
Мы будем иногда употреблять для него сокращенное обозначе-
обозначение v[M].
Пусть п, н, ..., тп — неотрицательные целые числа, такие,
что Г\ + 2г2 + ... + tirn = п. Для любого векторного расслое-
расслоения | мы можем образовать моном

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 47
в группе когомологий Нп{В{\), Z/2). В частности, мы можем
сделать это для касательного расслоения iM многообразия М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Соответствующий индекс Кронекера
(wi (хм)'Х • • • wn (хм)п> Vm) или сокращенно ш^1 ... wnn [Af]
(являющийся вычетом по модулю 2) называется числом Шти-
Штифеля — Уитни многообразия М, отвечающим классу w[l ... wrnn
При изучении этих чисел нас будет интересовать вся сово-
совокупность всевозможных чисел Штифеля — Уитни данного много-
многообразия. Таким образом, мы говорим, что два различных много-
многообразия М и М' имеют одинаковые числа Штифеля — Уитни,
если w[l ... wrnn [M\ — w[l ... wrnn \M'} для любого класса до[4 ...
... w? полной размерности п. (См. п. 6.6 и задачу 6.D.)
Для примера попытаемся вычислить числа Штифеля — Уит-
Уитни проективного пространства Рп (чуть ли не единственного
многообразия, для которого мы в данный момент в состоянии
решить эту задачу). Пусть т — касательное расслоение Рп. Если
п четно, то когомологический класс wn(r) = (n -f \)an ненуле-
ненулевой и, следовательно, число Штифеля — Уитни wn [Pn] ненуле-
ненулевое. Аналогично, поскольку Wi(r) = (n + \)а ф 0, то ш"[Р"] фО.
Если п есть степень двух, то ш(т)=1 + « + «", и, значит, в
этом случае все остальные числа Штифеля — Уитни проектив-
проективного пространства Рп равны нулю. В общем случае, даже когда
п не является степенью двух, остальные числа Штифеля — Уит-
Уитни могут быть, конечно, эффективно вычислены в виде произ-
произведения биномиальных коэффициентов.
С другой стороны, если п нечетно, скажем n = 2k — 1, то
да(т) = A + aJk =A -f fl2)*. поэтому ш/(т) = 0 для любого не-
нечетного /. Так как каждый моном полной размерности 2k — 1
должен содержать сомножитель ш/ нечетной размерности /, то
все числа Штифеля — Уитни нечетномерного проективного про-
пространства P2k~l равны нулю. Это дает представление о том, как
много деталей структуры многообразий не улавливает этот ин-
инвариант.
Важность чисел Штифеля — Уитни вытекает из следующей
теоремы и ее обращения.
Теорема 4.9 (Понтрягин). Пусть В — гладкое компактное
{п-\- 1) -мерное многообразие, границей которого является мно-
многообразие М (см. § 17). Тогда все числа Штифеля — Уитни mhq~
гообразия М равны нулю.

48 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Доказательство. Обозначим фундаментальный гомологиче-
гомологический класс пары (В, М) через
\хв е= Ня+1 (В, М);
подразумевается, что группой коэффициентов служит Z/2. Тогда
естественный гомоморфизм
а: Ня+1(В,Щ-+Нп(М)
переводит цв в \хм (см. приложение А). Для любого класса
v e Нп(М) справедливо тождество
(v, дцв) — (до, цв),
где б — естественный гомоморфизм Hn(M)-*-Hn+l(B, M) (мы
здесь не учитываем знаки, так как имеем дело с коэффициен-
коэффициентами в группе Z/2). Рассмотрим ограничение на М касатель-
касательного расслоения тв и в нем подрасслоение хм. Вводя евклидову
метрику на расслоении %в, можно построить векторное поле,
сопоставляющее точке из М единственный направленный на-
наружу нормальный вектор, натянуть на это поле тривиальное ли-
линейное расслоение е1 и получить тем самым, что
Поэтому классы Штифеля—Уитни расслоения хв\М совпадают
с классами Штифеля — Уитни ш/ расслоения хм. Используя точ-
точную последовательность
Я" (В) J-> Hn (M) -!> Нп+1 (В, М),
где i* — гомоморфизм, индуцированный вложением к М-*-В,
получаем,что
и, следовательно,
<а^ ... <«, дцв) = (б Ц« ... а#»), цв) - 0.
Таким образом, все числа Штифеля — Уитни многообразия М
равны нулю. Ш
Обратная теорема, принадлежащая Тому, доказывается мно-
много труднее.
Теорема 4.10 ([Том]). Если все числа Штифеля — Уитни
многообразия М равны нулю, то М является границей некото-
некоторого гладкого компактного многообразия.
Доказательство можно найти в монографии [Стонг].
Например, дизъюнктное объединение двух экземпляров
Многообразия М, у которого, очевидно, рее числа Штифеля —

§ 4. Классы Штифеля — Уитни 49
Уитни нулевые, служит границей цилиндра MX [О, 1]. У нечет-
номерного проективного пространства p2*-i также все числа
Штифеля — Уитни нулевые. Читатель может поразвлекаться,
попытавшись непосредственно доказать, что многообразие Р2*-1
является границей.
Теперь мы введем понятие класса кобордизма.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два гладких замкнутых я-мерных много-
многообразия Mi и М2 принадлежат одному и тому же классу (не-
(неориентированного) кобордизма, если их дизъюнктное объедине-
объединение Mi(]M2 служит границей некоторого гладкого компактного
(п + 1)-мерного многообразия.
Из теорем 4.9 и 4.10 непосредственно вытекает следующее
важное
Следствие 4.11. Два замкнутых п-мерных многообразия при-
принадлежат одному и тому же классу кобордизма тогда и только
тогда, когда все их соответствующие числа Штифеля — Уитни
равны между собой.
В заключение пять задач для читателя.
Задача 4.А. Показать, что классы Штифеля — Уитни пря-
прямого произведения вычисляются по формуле
*|(л)
i-o
Задача 4.В. Доказать следующую теорему Штифеля. Если
л + 1 =2rm, где ш нечетно, то на проективном пространстве Рп
не существует 2Г всюду линейно независимых векторных полей '.
Задача 4.С. Говорят, что многообразие М допускает поле
касательных ^-мерных плоскостей, если его касательное рас-
расслоение имеет подрасслоение размерности k. Показать, что про-
проективное пространство Рп допускает поле касательных одномер-
одномерных плоскостей тогда и только тогда, когда п нечетно. Пока-
Показать, что Р4 и Р6 не допускают поля касательных двумерных
плоскостей.
1 См. [Штифель, 1936], [Стинрод и Уайтхед], [Адзмс, 1962].

50 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Задача 4.D. Показать, что если я-мерное многообразие М
может быть погружено в Rn+X, то каждый класс wi(M) равен
i-кратному w-произведению класса Wi(M) на себя. Показать,
что если проективное пространство Р" может быть погружено
в Rn+I, то число л должно иметь вид 2Г — 1 или 2Г — 2.
Задача 4.Е. Показать, что множество Jfn всех классов не-
неориентированных кобордизмов гладких замкнутых п-мерных
многообразий может быть наделено структурой аддитив-
¦ной группы. Эта группа кобордизмов JPn конечна в силу 4.11
и, очевидно, является модулем над Z/2. Используя многообра-
многообразия Р2У^Р2 и Р4, показать, что Jf\ содержит по крайней мере
четыре различных элемента.
§ 5. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
В классической дифференциальной геометрии встречается
понятие «сферического образа» кривой ЛТ1 cz R*+1. Это образ
кривой М1 при отображении
t\ M1-*Sk,
которое сопоставляет каждой точке кривой единичный касатель-
касательный вектор в этой точке. Аналогично Гаусс определил сфери-
Рис 6.
ческий образ гиперповерхности М*
бражении
h: Mk-*
R*+1 как ее образ при ото-
отокоторое сопоставляет каждой точке гиперповерхности М* нор-
нормальный вектор в этой точке (см. рис. 6 и 7). Для того чтобы
уточнить знак касательного или нормального вектора, надо за-
зафиксировать ориентацию кривой Л!1 или гиперповерхности Мк
(см. § 9). Однако и без введения ориентации можно определить

§ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 51
соответствующее отображение многообразия Мк в вещественное
проективное пространство Рк.
Более общо, пусть М — гладкое многообразие размерности п
в пространстве Rn+*. Тогда каждой точке х многообразия М
можно сопоставить касательное пространство DMX с: R"+* в этой
точке х. Гиперплоскость DMX мы будем рассматривать как точ-
точку некоторого нового топологического пространства Gn(Rn+ft).
MJ
Рис. 7.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многообразием Грассмана Gn(R"+*) на-
называется множество всех n-мерных плоскостей, проходящих че-
через начало координат в пространстве R"+*. В этом множестве
вводится топология факторпространства следующим образом.
Будем называть п-репером в R"+ft всякий набор из п линейно
независимых векторов пространства Rn+*. Совокупность всех
и-реперов в R"+* образует открытое подмножество л-кратного
прямого произведения R"+* X R"+ft X • • • X R"+* и называется
многообразием Штифеля Vn{Rn+k) (см. [Стинрод, п. 7.7]). Су-
Существует каноническое отображение
q: Vn(Rn+k)^Gn(
сопоставляющее каждому л-реперу натянутую на него п-мерную
плоскость. Введем в множестве Gn(Rn+k) фактортопологию: под-
подмножество U cz Gn(Rn+k) открыто тогда и только тогда, когда
открыт его прообраз <7-'(t/)cz Vn(Rn+fc).
С другой стороны, пусть У° (Rn+fe) — подмножество много-
образия Штифеля Vn(R"+ft), состоящее из всех ортонормирован-
ных п-реперов. Тогда Gn(Rn+k) может быть также рассмотрено
как факторпространство пространства V"n (Rn+*). Обе эти кон-
конструкции приводят к одной и той же топологии для многообра'

52 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
зия Грассмана Gn(Rn+k), в чем можно убедиться с помощью
следующей коммутативной диаграммы:
процесс ортогонализации
V°(Rn+!l) С Vn(Rn+k) Грама-Шмидта- ^ v°(R^k)
Здесь <7о — ограничение отображения q на подмножество
ft \ я\_ ) *
Лемма 5.1. Многообразие Грассмана Gn(Rn+ft) является ком-
компактным топологическим многообразием1 размерности nk. Со-
Соответствие Х>—>ХХ, сопоставляющее каждой п-мерной плоско-
плоскости ее ортогональное k-мерное дополнение, определяет гомео-
гомеоморфизм многообразий Gn(Rn+ft) и Ga(R"+*).
Замечание. В случае k= 1 многообразие Грассмана Gi(R"+1)
совпадает с вещественным проективным пространством Рп. Сле-
Следовательно, многообразие Gn(Rn+1) всех n-мерных плоскостей
(п + 1) -мерного пространства канонически гомеоморфно проек-
проективному пространству Рп.
Доказательство. Для того чтобы показать, что Gn(Rn+k) яв-
является хаусдорфовым пространством, достаточно построить для
любых двух точек разделяющую их непрерывную вещественно-
значную функцию. Для фиксированной точки ш е R"+* обозна-
обозначим через pw(X) квадрат евклидова расстояния от этой точки
до гиперплоскости X. Пусть х\, ..., хп — ортонормированный
базис в X. Из равенства
Рш (X) — W • W — (W • XiJ — ... —(W Xnf
видно, что композиция
непрерывна, а значит, и функция pw непрерывна. Пусть теперь
X и У — различные n-мерные плоскости и точка w принадлежит
X, но не принадлежит У. Тогда рш(Х)фрт(У). Это доказывает,
что Gn(Rn+ft) — хаусдорфово пространство.
Множество V°n (R"+ft) ортонормированных я-реперов является
замкнутым ограниченным подмножеством прямого произведе-
1 Топологическим многообразием размерности d называется хаусдорфово
пространство, у которого каждая точка имеет окрестность, гомеоморфиую
евклидову пространству R*

g 8. Многообразия Гроссмана и универсальные расслоения 53
ния R"+* X ••• X R"+* и потому компактно. Следовательно, про-
пространство
также компактно.
Доказательство того, что всякая точка Хо пространства
Gn(R"+ft) имеет окрестность U, гомеоморфную Rnk. Представим
евклидово пространство R"+* в виде прямой суммы XQ®X?
Пусть U — открытое подмножество в Gn(R"+ft), состоящее из
всех n-мерных плоскостей У, таких, что ортогональная проекция
р:
отображает У на Хо (т. е. U состоит из всех У, таких, что
у f) х?¦ = 0). Тогда каждую гиперплоскость У е U можно рас-
рассматривать как график линейного отображения
Г (У): XQ-+X?.
Это определяет взаимно однозначное соответствие
Т: C/->HomUo, ^)aRrt.
Покажем, что Т — гомеоморфизм.
Пусть х\, ..., хп — фиксированный ортонормированный ба-
базис в гиперплоскости Хо. Каждая гиперплоскость У si/ имеет
базис у\ уп, однозначно определяемый требованием
Легко проверить, что n-репер {у\, ..., уп) непрерывно зависит
от У.
Теперь заметим, что имеет место тождество
Так как вектор yt непрерывно зависит от У, то и образ
Т(У)х{ е Х? вектора xt при отображении Т(У) непрерывно за-
зависит от У. Следовательно, линейное отображение Г (У) непре-
непрерывно зависит от У.
С другой стороны, указанное выше равенство показывает,
что п-репер (у\, ..., уп) непрерывно зависит от T(Y) и, следо-
следовательно, что У непрерывно зависит от T(Y). Таким образом,
отображение 71-1 также непрерывно. Это завершает доказатель-
ство того, что Qn(Rn+k) — многообразие.
Доказательство того, что У1 непрерывно зависит от У. Пусть
(xi, ..., Xk) — фиксированный базис в гиперплоскости Х?. Опре-
Определим отображение
fiq-'U ->Vk(Rn+k)

54 Дж Милнор и Дж. Сташеф
следующим образом. Для каждого и-репера (уи ..., yn)^.q~lU
применим процесс ортогонализации Грама — Шмидта к набору
векторов (t/i уп, х\ хц). Тогда получим ортонормиро-
ванный (п + k) -репер (у{, .... у'п+к), в котором у'п+1 у'п+к е
6=УХ. Полагаем f(yl Уп) = (У'п+1> •••• У'п+к)- Нетрудно убе-
убедиться, что диаграмма
коммутативна. Далее, отображение / непрерывно и, следова-
следовательно, qof непрерывно, поэтому соответствие Yt—^Y1 также
должно быть непрерывным. Это завершает доказательство лем-
леммы 5.1. ¦
Каноническое векторное n-мерное расслоение y"(R"+*) наД
многообразием Грассмана Gn(Rn+k) строится следующим обра-
образом. Пространство
((
этого расслоения определяется как множество всех пар '
(п-мерная плоскость в R"+ft, вектор в этой плоскости)-
В множестве Е вводится топология, индуцируемая его вложе-
вложением в Gn(Rn+k)XRn+k. Проекция я: E-+Gn(Rn+fc) определяет-
определяется условием я (л, ж) = Х Структура векторного пространства в
слое над «точкой» IeCn(R"+*) задается формулой ti(X, aji) +
+ t2(X, х2) = (Х, tiXi-{-t2X2). (Заметим, что расслоение 7'(R"+I)
совпадает с линейным расслоением у1п, определенным в при-
примере 4 § 2.)
Лемма 5.2. Построенное выше расслоение v«(R"fft) удовле-
удовлетворяет условию локальной тривиальности.
Доказательство. Пусть U — окрестность точки XoeGn(R"+J),
такая же, как при доказательстве леммы 5.1. Определим коор-
координатный гомеоморфизм
Л: UXXo-+n-lU
следующим образом. Положим h(У, x) = {Y, у), где у — одно-
однозначно определенный вектор в У, переходящий в х при ортого-
1 Здесь, как и всюду в книге, термин «n-мерная плоскость» означает
линейное подпространство размерности п. Таким образом, мы рассматриваем
только те л-мерные плоскости, которые проходят через начало координат.

$ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 55
нальной проекции
р: R -*-Х0.
Тождества
h(Y,x) = (Y,x + T(Y)x)
и
/Г1 (Y, у) = (У, ру)
показывают, что отображения h и hrl непрерывны. Тем самым
лемма доказана. ¦
Для данного гладкого n-мерного многообразия McR"+*
обобщенное гауссово отображение
определяется как отображение, которое ставит в соответствие
каждой точке х^М касательное пространство DMX& Gn(R"+*).
Обобщенное гауссово отображение накрывается послойным ото-
отображением
g: Е(тм)-
где g(x, v) — (DMx, v). Мы будем использовать для этого ото-
отображения сокращенную запись
Ясно, что оба отображения g и g непрерывны.
Не только касательные расслоения, но и большинство дру-
других n-мерных расслоений могут быть отображены в расслоение
yn(Rn+k), если только число k достаточно велико. По этой при-
причине Y"(R"+ft) называют универсальным расслоением. (См. тео-
теоремы 5.6 и 5.7, а также [Стинрод, § 19].)
Лемма 5.3. Для любого п-мерного расслоения | над ком-
компактным базисным пространством В существует послойное ото-
отображение g-*-v"(R"+*)» при условии что k достаточно велико.
Для того чтобы построить послойное отображение f:
i~*"Vn(R'n). достаточно построить отображение
f: ?(!)-Rm,
которое на каждом слое расслоения ? линейно и инъективно
(т. е. имеет нулевое ядро). Требуемое отображение / тогда мо-
можно определить условием
f(s)sr=(f (слой, содержащий вектор е), f (<?))•
Непрерывность отображения f нетрудно проверить, используя
локальную тривиальность расслоения |.

56 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Доказательство. Выберем открытые множества U\ Ur,
покрывающие В и такие, что каждое расслоение || Ui триви-
тривиально. Поскольку базисное пространство В нормально, найдутся
открытые множества V\, .... Vr, покрывающие В и такие, что
ViczUi (см. [Келли]). Здесь Vt обозначает замыкание множе-
множества V{. Аналогично выбираются открытые множества W\,..., Wr,
удовлетворяющие условию Wi с Vt. Пусть
— непрерывная функция, равная 1 на Wi и 0 вне Vi.
Так как расслоение %\Ui тривиально, то существует отобра-
отображение
которое является линейным изоморфизмом на каждом слое.
Определим отображение h\\ ?(|)->Rn формулами
О, если л (е) ф Vlt
,t (л (<?)) ht (е), если л (е) е U{.
Очевидно, h'i непрерывно и линейно на каждом слое. Теперь
определим отображение
положив f (e) — (h[(e), h^ie) h'r(e)). Отображение f также
непрерывно и на каждом слое инъективно. Это завершает дока-
доказательство леммы 5.3. ¦
Бесконечные многообразия Грассмана
Аналогичные рассуждения проходят также в случае, когда
база В паракомпактна и конечномерна (см. задачу 5.Е). Однако
если мы хотим охватить и расслоения с более экзотическими
базисными пространствами, то нужно позволить размерности
евклидова пространства Rn+* бесконечно возрастать, и это при-
приводит к бесконечным многообразиям Грассмана Gn(Rco).
Пусть R00 обозначает векторное пространство, состоящее из
всех бесконечных последовательностей
вещественных чисел, в которых лишь конечное число членов от-
отлично от нуля. (Таким образом, R°° гораздо «меньше», чем про-
пространства с бесконечным числом координат, использовавшиеся
в § 1.) Для любого фиксированного k подпространство в R00,
состоящее из всех последовательностей вида
(*}, Хц, ..., xk, 0, 0, ...),

$ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 57
будем отождествлять с координатным пространством R*.
R1 cz R2 cz R3 с:... и объединение всех Rfc равно R00.
Тогда
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бесконечным многообразием Грассмана
называется множество всех n-мерных линейных подпространств
пространства R°°, наделенно топологией прямого предела'
следующей последовательности многообразий:
Другими словами, подмножество пространства Gn открыто
[соотв. замкнуто] тогда и только тогда, когда его пересечение
с Gn(Rn+k) открыто [соотв. замкнуто] как подмножество в
Gn(Rn+ft) для каждого k. (Это определение имеет смысл, так
как Gn(R°°) равно объединению подмножеств Gn(R"+ft).)
В частности, бесконечное проективное пространство Р°° =
= Gi(R°°) — это прямой предел последовательности P1czP2cz
сЯс ..'. .
Аналогично само R°° может быть наделено топологией пря-
прямого предела последовательности R'cR2c ... .
Универсальное расслоение у"
Каноническое расслоение уп над бесконечным многообра-
многообразием Грассмана Gn строится точно так же, как и в конечномер-
конечномерном случае. А именно, пусть
•—множество всех пар вида
(n-мерная плоскость в R°°, вектор в этой плоскости)
с топологией, индуцированной из прямого произведения. Опре-
Определим проекцию л: E(yn)-*~Gn условием п(Х, х) = Х и введем
структуру векторного пространства в слоях, как и прежде.
Лемма 5.4. Так построенное векторное расслоение у" удовле-
удовлетворяет условию локальной тривиальности.
1 Обычно в алгебраической топологии топологию прямого предела моно-
монотонно возрастающей последовательности пространств называют «слабой»,
причем под слабой топологией понимается та, в которой много открытых
множеств. Такое словоупотребление неудачно, ибо в анализе термин «слабая
топология» используется точно в противоположном смысле. С другой сторо-
стороны, термины «тонкая топология» или «уайтхедовская топология» вполне при-
приемлемы.

58 Дж. Мцлнор и Дж. Сташеф
Доказывается эта лемма по существу так же, как и лем-
лемма 5.2. Однако нужна следующая техническая лемма (см.
[Уайтхед, 1961, п. 18.5]).
Лемма 5.5. Пусть АхаАгс: ... и BicB2c: ... — последо-
последовательности локально компактных пространств с прямыми пре-
пределами А и В соответственно. Тогда топология прямого произве-
произведения на Л X S совпадает с топологией прямого предела после-
последовательности /4iXfiicZ/42X B2cz ....
Доказательство. Пусть множество W открыто в топологии
прямого предела, и пусть (а, Ь)—некоторая точка из W. Пред-
Предположим, что (a, i)E^XBi. Выберем компактные окрестно-
окрестности Kt точки а ъ At vi Li точки b в Bi так, чтобы /С, X h cz W.
Далее, можно (чуть потрудившись) выбрать компактные окре-
окрестности Ki+i множества Ki в Л,+1 и Ц+\ множества L, в fi,+i
так, чтобы Ki+i X ?i+i cr W. Продолжая по индукции, построим
последовательность окрестностей Ki с: Ki+\ с: Ki+2 cr ... с объ-
объединением U и последовательность окрестностей L,- cr L,+i cr
с: Li+2a ... с объединением V. Множества V и U открыты, и
Таким образом, множество W открыто и в топологии прямого
произведения, что и завершает доказательство леммы 5.5. ¦
Доказательство леммы 5.4.Пусть XoCiR00 — фиксированная
п-мерная плоскость и U cz Gn — множество всех л-мерных пло-
плоскостей У, которые проектируются на Хо при ортогональной
проекции р: R00-»-^. Это множество U открыто, потому что для
каждого k пересечение
как мы знаем, открыто. Определим координатное отображение
h: UXXo^n-lU,
как в лемме 5.2. Тогда, согласно этой лемме, отображение
h\Uk"X.X0 непрерывно для каждого k. Используя теперь лем-
лемму 5.5, получаем, что отображение h непрерывно на всем множе-
множестве иу,х0.
Как и прежде, из тождества ft-1 (У, y) = {Y, py) следует не-
непрерывность обратного отображения ft-1. Таким образом, ft —
гомеоморфизм. Это завершает доказательство того, что рас-
расслоение y" локально тривиально. Ш
Следующие две теоремы показывают, что расслоение уп над
Gn является «универсальным» n-мерным расслоением,

§ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 59
Теорема 5.6. Всякое п-мерное расслоение | над паракомпакт-
ной базой допускает послойное отображение \-*-уп.
Два послойных отображения /, g: %-*-yn называются по-
послойно гомотопными, если существует однопараметрическое
семейство послойных отображений
такое, что ho — f, Ai = g и Л непрерывно как функция от двух
переменных | и t, т. е. ассоциированное отображение
h: ?(|)X[0, 1]-*Е(Г)
непрерывно.
Теорема 5.7. Любые два послойных отображения данного
п-мерного расслоения \ в расслоение уп послойно гомотопны.
Паракомпактные пространства
Прежде чем приступать к доказательству теорем 5.6 и 5.7,
дадим обзор определений и основных теорем, касающихся пара-
паракомпактности. Более подробные сведения читатель может найти
в книгах [Келли] или [Дугунджи].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.8. Топологическое пространство В назы-
называется паракомпактным, если оно хаусдорфово и для любого его
открытого покрытия {^а} существует такое открытое покрытие
{Ур}, что
1) покрытие {Ур} вписано в {Ua}, т. е. каждое открытое мно-
множество Ур содержится в некотором Ua,
2) покрытие {Ур} локально конечно, т. е. каждая точка про-
пространства В имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конеч-
конечным числом множеств У р.
Почти все обычно используемые топологические простран-
пространства паракомпактны. Например (см. указанные выше книги):
Теорема А. Стоуна. Всякое метрическое пространство пара-
компактно.
Теорема Мориты. Если регулярное топологическое простран-
пространство является счетным объединением компактных подмножеств,
то оно паракомпактно.
Следствие. Прямой предел последовательности К\ с: /С2 с
cz Кг с: ... компактных пространств паракомпактен. В частйо-
сти, бесконечное многообразие Грассмана Gn паракомпактно.
Действительно, как следует из результатов работы [Уайт-
хед, 1961, п. 18.4], такой прямой предел является регулярным

60 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
пространством. (Читателю не составит особого труда доказать
это самостоятельно.)
Теорема Дьёдонне. Всякое паракомпактное пространство нор-
нормально.
Доказательство теоремы 5.6 основано на следующей лемме.
Лемма 5.9. Для любого расслоения ? над паракомпактной
базой В существует локально конечное счетное покрытие про-
пространства В открытыми множествами U\, ?/2, U3, . •., такими,
что расслоение |] Ui тривиально для каждого i.
Доказательство. Выберем локально конечное открытое по-
покрытие {Va}, такое, что каждое расслоение ?| Va тривиально, и
открытое покрытие {№<*}, такое, что 1Рас:Ка для каждого а
(см. [Келли]). Пусть Ха: В-vR — непрерывная функция, кото-
которая принимает значение 1 на замкнутом множестве Wa и зна-
значение 0 вне открытого множества Va- Для каждого непустого
конечного подмножества S множества индексов {а} обозначим
через U (S) множество всех точек 6еВ, для которых
mln Я,„ (b) > max %а (Ь).
aeS аф S
Пусть Uk — объединение тех множеств UE), для которых S
состоит точно из k элементов. Ясно, что Uk — открытое множе-
множество и что
В —
Действительно, если для данной точки 6еВ ровно k чисел
ha(b) положительны, то Ь е Uk-
Заметим, что если а — элемент множества 5, то
U(S)czVa.
Так как покрытие {Va} локально конечно, то и покрытие {Uk}
локально конечно. Далее, так как расслоение t\Va тривиально,
то и каждое расслоение ?[?/(S) тривиально. Но множество Uk
равно дизъюнктному объединению своих открытых подмножеств
U(S). Следовательно, расслоение %\Uk также тривиально. ¦
Послойное отображение f: ?->y" можно теперь построить
так же, как при доказательстве леммы 5.3 (подробности предо-
предоставляем читателю). Этим завершается доказательство теоре-
теоремы 5.6. ¦
Доказательство теоремы 5.7. Каждое послойное отображе-
отображение f: %-*-yn определяет отображение

§ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 61
ограничение которого на каждый слой расслоения | линейно и
инъективно. Обратно, каждое отображение f определяет послой-
послойное отображение f: %-*-уп по формуле
f(e) = (f (слой, содержащий е), f(e)).
Пусть /, g: ?-*-уп— любые два послойных отображения.
Частный случай. Предположим, что вектор f(e)eR°° не ра-
равен отрицательному кратному вектора ?(е) ни для какого
е ф О, е е Е (|). Тогда формула
fit(e)=(l-t)f(e) + tu(e), 0</<l,
определяет гомотопию между f и g. Чтобы доказать, что ассо-
ассоциированное отображение Я: ?(g)X[0, lJ-^-R00 непрерывно, до-
достаточно показать, что в R00 непрерывны операции векторного
пространства (т. е. сложение векторов и умножение их на ска-
скаляры). Но это легко следует из леммы 5.5. Очевидно, что
tit(e)=?O для любого ненулевого вектора из ?(?)• Следователь-
Следовательно, мы можем определить послойную гомотопию h: ?(?)Х
Х[0, 1]^-?(у") формулой
Л< (е) = (fit (слой, содержащий е), ht (e)).
Чтобы доказать, что отображение h непрерывно, достаточно
показать, что соответствующее отображение базисных про-
пространств
й:
непрерывно. Пусть U — открытое подмножество базисного про-
пространства ВA), такое, что расслоение \\U тривиально, и
s\, ...,.sn — всюду линейно независимые сечения расслоения
|| U. Тогда отображение й|?/Х[0, 1] можно представить в виде
композиции следующих двух отображений:
1) непрерывного отображения Ь, t>—*(fitSi(b), ..., fttsn{b))
произведения t/ X [0,1"| в бесконечное многообразие Штифеля
Vn(R°°)c: R°°X ••• XR°° («сомножителей) и
2) канонической проекции q: Fn(R°°)->- Gn.
Применяя лемму 5.5, заключаем, что проекция q непрерывна.
Поэтому отображение Я непрерывно и, следовательно, послой-
послойная гомотопия h между f и g непрерывна.
Общий случай. Пусть /, g: Ъ-*-уп — два произвольных по-
послойных отображения. Обозначим через
послойное отображение, индуцированное линейным преобразо-
преобразованием R^-^-R00, переводящим г-й базисный вектор в B/—1)-й.

62 пж Ми тор и Дж. Сташеф
Аналогично, обозначим через d?. yn^>-yn послойное отображе-
отображение, индуцированное линейным преобразованием, переводящим
i-й базисный вектор в B/)-й. Теперь заметим, что, используя
конструкцию рассмотренного выше частного случая, можно по-
построить следующие три послойные гомотопии:
f ~ di о / ~ d2 ° g ~ g.
Следовательно, f~g. В
Характеристические классы
вещественных я-мерных расслоений
Используя теоремы 5.6 и 5.7, можно дать общее определение
характеристического класса. Сначала заметим следующее.
Следствие 5.10. Любое n-мерное расслоение | над параком-
пактной базой В определяет единственный гомотопический
класс отображений
Доказательство. Пусть /$: i->Y" — одно из послойных ото-
отображений, существующих по теореме 5.6, и f6 — соответствую-
соответствующее отображение базисных пространств. Единственность гомо-
гомотопического класса отображения fi следует из теоремы 5.7. В
Пусть теперь Л — некоторая область коэффициентов, являю-
являющаяся группой или кольцом, и
ct=Hl(Gn;A)
— некоторый класс когомологий. Тогда расслоение | вместе с
классом с определяют когомологический класс
/|(с)еЯ'(В;А).
Этот класс будет кратко обозначаться сЦ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Класс с(?) называется характеристиче-
характеристическим когомологическим классом расслоения |, определяемым
классом когомологий с.
Заметим, что соответствие |«—-з*с(?) обладает свойством есте-
естественности относительно послойных отображений (ср. с аксио-
аксиомой 2 § 4). Обратно, если
- с О е Я1 (В F); А)
— соответствие, естественное относительно послойных отобра-
отображений, то
2

§ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 63
Таким образом, приведенная конструкция когомологических ха-
характеристических классов является наиболее общей. Коротко
говоря, кольцо всех характеристических когомологических клас-
классов п-мерных расслоений над паракомпактным базисным про-
пространством с кольцом коэффициентов Л канонически изоморфно
кольцу когомологий H*(Gn\ Л).
Эта конструкция придает особое значение задаче вычисле-
вычисления когомологий многообразия Грассмана Gn. В следующих двух
параграфах будет дан метод вычисления когомологий этого мно-
многообразия, по крайней мере для кольца коэффициентов Z/2.
Замечание. Используя «теорему о накрывающей гомотопии»
(см. [Дольд], [Хыозмоллер]), можно усилить следствие 5.10
следующим образом: два п-мерных расслоения | и ц над пара-
компактным пространством В изоморфны тогда и только тогда,
когда отображения f6 и 1Ц из следствия 5.10 гомотопны.
В заключение пять задач для читателя.
Задача 5.А. Показать, что многообразие Грассмана Gn(Rn+k)
может быть следующим образом наделено структурой гладкого
многообразия: функция f: Gn(R"+*)->R принадлежит совокуп-
совокупности F гладких вещественнозначных функций (см. § 1) тогда
и только тогда, когда композиция f»q: Vn(R"+*)->-R является
гладкой функцией.
Задача 5.В. Показать, что касательное расслоение многообра-
многообразия Грассмана Gn(Rn+k) изоморфно расслоению Hom(v'l(R'l+*),
у1), где у1 обозначает ортогональное дополнение к расслоению
yn(Rn+k) в тривиальном расслоении гп+к. Далее, рассмотрим
гладкое многообразие М cz R"+* с нормальным расслоением v.
Показать, что отображение .
Dg: DM^DGn(Rn4i),
индуцированное обобщенным гауссовым отображением g: M-+
->¦ Gn (R"+*), определяет сечение расслоения
Нот (тд,, Нот (тд,, v)) е* Нот (тд, ® хм, v).
(Это сечение называется «второй фундаментальной формой»
многообразия М.)
Задача 5.С. Показать, что многообразие Грассмана Gn(Rm)
диффеоморфно гладкому многообразию всех симметричных
идемпотентных пг X ffi-матриц со следом п. Показать также, что
отображение
(хь ..., xn)r-^XlA ... Л хп

64 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
многообразия Штифеля Vn{Rm) во внешнюю степень A"(Rm)
пространства Rm дает возможность построить гладкое вложение
многообразия Грассмана Gn(Rm) в проективное пространство
Gi(A"(Rm))^^^~'4CM. [Ван дер Варден, 1939, § 7].)
Задача 5.D. Показать, что многообразие Грассмана Gn(Rn+*)
обладает следующим свойством однородности. Для любых двух
я-мерных плоскостей X, У a R"+* существует ортогональный ав-
автоморфизм пространства Rn+*, который переводит X в У.
Дж. Г. К. Уайтхед [Уайтхед Дж. Г. К., 1961] определил угол
а(Х, У) между я-мерными плоскостями X, У как максимум по
всем единичным векторам ле! угла, образуемого вектором х
с плоскостью У. Показать, что а есть метрика на топологиче-
топологическом пространстве Gn(Rn+*) и что
а(Х, Y) = a(X\ Y±).
Задача 5.Е. Пусть | — некоторое «-мерное расслоение над
пространством В.
1) Показать, что векторное расслоение г\ над В, такое, что
расслоение | 0 ri тривиально, существует тогда и только тогда,
когда существует послойное отображение
(для больдшх k). Расслоение |, для которого такое отображе-
отображение существует, будем называть расслоением конечного типа.
2) Предположим теперь, что пространство В нормально. По-
Показать, что расслоение | имеет конечный тип тогда и только
тогда, когда В обладает конечным открытым покрытием
U\, .... Ur, таким, что расслоения ||f/i тривиальны для всех L
3) Показать (используя рассуждения из доказательства
леммы 5.9), что если пространство В паракомпактно и имеет
конечную размерность по покрытиям, то всякое расслоение %
над В имеет конечный тип.
4) Используя классы Штифеля — Уитни, показать, что век-
векторное расслоение у1 над Р°° не является расслоением конеч-
конечного типа.
§ 6. КЛЕТОЧНАЯ СТРУКТУРА МНОГООБРАЗИЙ ГРАССМАНА
В этом параграфе мы опишем данное в [Эресманн] канони-
каноническое клеточное разбиение бесконечного многообразия Грас-
Грассмана Gn(R°°). Каждое конечное многообразие Грассмана
Gn{Rn+k) появляется при этом как конечное подразбиение. Эта
клеточная структура многообразия Грассмана была использо^
вана в [Понтрягин] и в [Чжень] в качестве основы для ш>

§ 6. Клеточная структура многообразий Гроссмана 65
строения теории характеристических классов. За дальнейшими
сведениями читатель может обратиться к этим источникам, а
также к работе [У]. Подробное изложение теории клеточных
разбиеии имеется в книге [Ланделл и Вейнграм]. Многообра-
Многообразия Грассмана впервые появляются в этой книге на стр. 17.
Сначала напомним некоторые определения. Пусть D" обо-
обозначает единичный шар в R", состоящий из всех векторов v, та-
таких что |»|^ 1. Внутренность единичного шара ?>" определяет-
определяется как множество всех векторов v, таких, что |и|< 1. В особом
случае р = 0 будем считать, что шар D" и его внутренность со-
стоят из одной-единственной точки.
Любое пространство, гомеоморфное шару ?)*, называется
замкнутой р-мерной клеткой, а любое пространство, гомеоморф-
гомеоморфное его внутренности, — открытой р-мерной клеткой. Например,
само R" есть открытая р-мерная клетка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1 ([Дж. Г. К. Уайтхед, 1949]). Клеточ-
Клеточное разбиение1 состоит из хаусдорфова пространства К, назы-
называемого пространством разбиения, и семейства {еа} его непере-
непересекающихся подмножеств, покрывающих К и таких, что выпол-
выполнены четыре условия:
1) Каждое еа представляет собой топологическую открытую
клетку размерности л(а)^0, для которой существует непре-
непрерывное отображение
ft Dn(a)-*K,
гомеоморфно отображающее внутренность шара Z)rt(a> на клетку
во.. (Такое отображение f называется характеристическим ото-
отображением для клетки еа.)
2) Каждая точка х; принадлежащая замыканию ёа клетки
еа, но не принадлежащая самой этой клетке, должна лежать
в некоторой клетке ер меньшей размерности.
Если клеточное разбиение конечно, т. е. имеется лишь ко-
конечное число клеток еа, то этих двух условий уже и достаточно.
В общем же случае нужны еще два условия. (Конечным) под-
подразбиением разбиения К называется всякое разбиение, состоя-
состоящее из замкнутого подмножества пространства К и покрываю-
покрывающего это подмножество (конечного) подсемейства клеток еа.
3) Конечность замыкания. Каждая точка пространства К
принадлежит некоторому конечному подразбиению.
4) Топология Уайтхеда. Топология в пространстве К совпа-
совпадает с топологией прямого предела его конечных подразбиений.
Это означает, что подмножество пространства К замкнуто
1 В оригинале используется термин «CflP-complex». Подробное изложение
теории клеточных разбиений имеется в книге [* Постников] (звездочка отсы-
отсылает к списку литературы, добавленной при переводе). — Прим. перев.
3 Дж. Милнор, Дж4 Сташеф

66 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым конеч-
конечным подразбиением замкнуто.
Заметим, что замыкание ёа клетки еа пространства К не обя-
обязано быть клеткой. Например, сферу 5" можно рассматривать
как CW-комплекс с одной 0-мерной клеткой и одной «-мерной
клеткой. В этом случае замыкание n-мерной клетки равно всей
сфере 5".
Теорема Миядзаки утверждает, что любое клеточное разбие-
разбиение есть паракомпактное пространство ([Миядзаки], ср. [Ду-
гунджи]).
Клеточное разбиение многообразия Грассмана Gn(Rm) стро-
строится следующим образом. Напомним, что пространство R со-
содержит подпространства
R0 с: R1 cr R? сг ... cr Rm,
где R* состоит из всех векторов вида v = (vi, ..., Vk, 0, ...,0).
Каждая «-мерная плоскость X cr Rm задает последовательность
целых чисел
О < dim (X Л R1) < dim (X f| R2) < • • • < dim (X f] Rm) = n.
Два соседних числа в этой последовательности различаются не
более чем на 1. Этот факт доказывается при помощи точной
последовательности
Таким образом, в указанной выше последовательности целых
чисел имеется в точности п «скачков».
Символом Шуберта а=(аь ..., ап) называется всякая по-
последовательность целых чисел, удовлетворяющая условию
пг.
Для каждого символа Шуберта а обозначим через е(<т)с:
czGn(Rm) множество всех «-мерных плоскостей X, таких, что
dim {х П R°0 = /, dim (x f| r"'"') = / - 1,
i = \, 2, ..., п. Очевидно, каждая плоскость JfeGn(Rm) при-
принадлежит в точности одному из множеств е(а). Мы увидим
вскоре, что множество е(а) является открытой клеткой1 раз-
размерности d(a) = (ai — 1)-т-(о2 — 2)+ ... 4-(оп — п).
1 Ее замыкание ё(а) называется многообразием Шуберта (ср. [Шу-
[Шуберт]). В обозначениях Чженя и У клетка е(а) индексируется не последо-
последовательностью а = (о"ь ...,оп), а модифицированной последовательностью
(о, — 1, Oi — 2, ..., Оп — п), что во многих случаях более удобно.

§ 6. Клеточная структура многообразий Грассмана 67
Пусть Hk с Rm обозначает открытое полупространство, со-
состоящее из всех векторов вида х=(\\, ..., ?*, 0, ..., 0), где
%k > 0. Заметим, что «-мерная плоскость X принадлежит е(а)
тогда и только тогда, когда она обладает базисом х\ хп,
таким, что
х,е=Я01, .... хяея4
Действительно, если в X имеется такой базис, то из указанной
выше точной последовательности следует, что
dim (х Л R°0 > dim (х Л R°'~')
для t==l, ..., п и поэтому Xse(o). Обратное утверждение
доказывается аналогично. На языке матриц, «-мерная пло-
плоскость X принадлежит е(а) тогда и только тогда, когда ее мож-
можно представить как пространство, натянутое на векторы-строки
некоторой п X m-матрицы [хц] вида
• ... • 10 ... 000 ... 000 ... 0"
• ...*••...• 10 ... 000 ... 0
,*...***...***...*10...0
где в 2-й строке а/-й элемент положителен (скажем, равен 1), а
все последующие равны нулю.
Лемма 6.2. Каждая п-мерная плоскость Хее(а) обладает
единственным ортонормированным базисом (xi, л*, .... хп), та-
таким, что ^еЯ1, ..., *,?//".
Доказательство. Вектор х\ должен принадлежать одномер-
одномерному векторному пространству X Л RCTl и быть единичным. Это
дает только две возможности для выбора вектора х\, а условие,
что его ai-я координата должна быть положительной, оставляет
лишь одну из них. Далее, вектор *2 должен принадлежать дву-
двумерному векторному пространству X Л R°' и быть единичным и
ортогональным к х\. Снова мы получаем только две возможно-
возможности для выбора вектора л*, и условие, что его а2-я координата
должна быть положительной, оставляет лишь одну из них. Про-
Продолжая по индукции, получаем, что, векторы хз, *4, ..., хп так-
также однозначно определены. В
Определение. Пусть е' (а) = Vn (Rm) Л (#"' X ... X Н°я) обо-
обозначает множество всех ортонормированных п-реперов
(*i, ..., хп), таких, что каждый вектор Х{ принадлежит откры-
3*

68 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
тому полупространству Я '. Пусть ё'(а) обозначает множество
всех ортонормированных реперов {х\ xn), таких, что каж-
каждый вектор xi принадлежит замкнутому полупространству Я°'.
Лемма 6.3. Множество ё'(о) представляет собой замкнутую
клетку размерности d{a) = (<3\ — 1) + (а2 — 2)+ ... +(<Гл — «)
с внутренностью е'(а). Далее, q гомеоморфно отображает откры-
открытую клетку е'{а) на е(а).
Таким образом, е(а) действительно является открытой клет-
клеткой размерности d(a), причем отображение
q\e'(a): ё' (о) -* Gn (Щ
служит характеристическим отображением этой клетки.
Доказательство проведем индукцией по п. Для п = 1 множе-
ство ё' (<3\) состоит из всех векторов
таких, что YjX\t= I, jcI(Ji^ 0.Очевидно, что это множество есть
замкнутая полусфера размерности а\ — 1 и, следовательно, го-
гомеоморфно шару D"'.
Для двух данных единичных векторов и, не Rm, таких, что
и ф—v, обозначим через Т(и, v) однозначно определенное
вращение пространства Rm, которое переводит вектор и в век-
вектор v и оставляет на месте все векторы, ортогональные одновре-
одновременно к и и v. Таким образом, Г (и, и) — тождественное отобра-
отображение и T(v, u) — T(u, у)-1. Иначе вращение Т(и, v) может
быть определено формулой
Т(и, v)x = x
x J:v (u + v) + 2(u.x)v.
Действительно, отображение Т(и, v), определенное таким обра-
образом, линейно и действует нужным образом на векторы и, v и
векторы, ортогональные к и и о. Из этой формулы следует, что
1) вектор Т(и, v)x непрерывно зависит от совокупности трех
переменных и, v, x я
2) если и,!/е R\ то Т{и, v)x&s *(modRft).
Пусть bt s Я ' — вектор, у которого ot-я координата рав-
равна 1, а все другие равны нулю. Таким образом, (Ь\, ..., 6л)е
ве'(а). Для любого /z-penepa (xu .... хл)её'(о) рассмотрим
вращение
, xn)oT(bn_u *n_,)o ... oT(bu x{)

§ 6. Клеточная структура многообразий Гроссмана 69
пространства Rm. Это вращение переводит п векторов Ь\, ..,, Ьп
в векторы х\, ..., хп соответственно. В самом деле, каждое из
вращений Т(Ь\, х{), ..., T{bi-\, xi-i) оставляет вектор bt не-
неподвижным, так как brb/ = bi'X/ = 0 для i > ;; вращение
T(bi, xi) переводит bi в хг, и наконец, вращения T(bi+\, Xi+\), ...
..., T(bn, хп) оставляют вектор xi неподвижным.
Для данного целого числа ап+\ > оп обозначим через D мно-
множество всех единичных векторов не Н п+\ таких, что
Ь\ • и = ... == Ьп • и = 0.
Очевидно, D является замкнутой полусферой размерности
On+i — п — 1 и, следовательно, топологически представляет со-
собой замкнутую клетку. Построим гомеоморфизм
А именно, определим f формулой
i хп), ы) = (*1 хп, Ти),
где Т — построенное выше вращение, зависящее от хи ..., х„.
Чтобы доказать, что (п + 1)-репер {х\, .... хп, Ти) действитель-
действительно принадлежит множеству ?'(<xi, ..., оп+\), заметим, что
Xi-Tu = Tbl-Tu = bi-u = 0.
для t'^rt и что
Tu'Tu = wu — \
(ГиеЯ°л+|, так как Ти ев и (mod R^")). Очевидно, что /непре-
/непрерывно отображает множество ё' (аь ..., ап) X D в ё' {о\, ..., on+i).
Аналогичным образом формула
b{)° ... °Т(хп, b
показывает, что обратное отображение f~l определено и непре
рывно.
Итак, множество ё'(о\ <rn+i) гомеоморфно произведе-
произведению ё'(ои ..., on)X,D- Рассуждая по индукции, мы получим,
что каждое множество ё'(а) есть замкнутая клетка размерно-
размерности d(a). Аналогичное рассуждение по индукции показывает,
что каждое множество е'(а) является внутренностью клетки
ё'(а). Действительно, гомеоморфизм
f: ё'(G|, .... on)XD-*-e'(oi оп+х)
отображает произведение е'(о\, ..., оп)X(внутренность D) на
множество e'(ei On+i) ¦
Доказательство того, что отображение
q\e'{p):e'(o)-*e{G)

70 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
— гомеоморфизм. Согласно лемме 6.2, q взаимно однозначно
отображает е'(а) на е(а). С другой стороны, если п-репер
(хи ..., хп) принадлежит «границе» ё'{а)\е'{а), то п-мерная
плоскость X=*q(x\ хп) не принадлежит е(а), ибо хотя бы
один из векторов xi должен лежать на границе R полупрост-
полупространства Я '. Следовательно,
и поэтому X ф е (а).
Пусть теперь Acze'(a) — относительно замкнутое подмноже-
подмножество. Тогда А(\е'(а) = А, причем замыкание А сё'(а) есть ком-
компакт и, значит, q{fi) — замкнутое множество. Из результатов
предыдущего параграфа следует, что q(A)[\e(o) — q(A), поэто-
поэтому q(A)cze(a) представляет собой относительно замкнутое мно-
множество. Таким образом, q гомеоморфно отображает клетку
е'(а) на множество е(а). Ш
Теорема 6.4. Совокупность из I J множеств е(а) образует
клеточное разбиение, пространством которого является много-
многообразие Грассмана Gn(Rm). Аналогично, взяв прямой предел при
пг-*-оо, мы получим бесконечное клеточное разбиение, про-
пространством которого является бесконечное многообразие Грасс-
Грассмана Gn(R°°).
Доказательство. Прежде всего надо показать, что каждая
точка границы клетки е{а) принадлежит некоторой клетке е(х)
меньшей размерности. Так как ё (а)— компакт, то образ qe'(a)
равен ё(о). Следовательно, любая «-мерная плоскость X из гра-
границы ё(а)\е(а) имеет базис (jci, ..., хп), принадлежащий
множеству ё'(о)\е'(о). Очевидно, что векторы хи ..., хп орто-
ортонормировании и^г R°l. Значит, dim (X Л R0/) s>I для каждого
/ и, таким образом, символ Шуберта (ti, .... тя), ассоцииро-
ассоциированный с плоскостью X, должен удовлетворять условиям
Однако, как и выше, хотя бы один из векторов xi должен в'
действительности принадлежать пространству RCT'~ , поэтому
соответствующее целое число т, должно быть строго меньше аи
Следовательно, d(x)< d(a). С учетом леммы 6.3 это завершает
доказательство того, что многообразие Грассмана Gn(Rm) яв-
является конечным клеточным разбиением.
Аналогично доказывается, что бесконечное многообразие
Грассмана Gn(R°°) является клеточным разбиением. Условие ко-
конечности замыкания выполняется здесь, так как каждая «точка»

§ 6. Клеточная структура многообразий Грассмана 71
AeG/i(R°°) принадлежит некоторому конечному подразбиению
Gn(Rm). Наконец, пространство Gn(R'x) по определению имеет
топологию прямого предела. В
Поучительно рассмотреть частный случай п = 1.
Следствие 6.5. Бесконечное проективное пространство Р°° =
= Gi(R°°) есть клеточное разбиение, имеющее по одной г-мер-
ной клетке е (г + 1) для каждого целого г ^ 0. Замыкание
ё (г -f 1) равно конечному проективному пространству Рг.
Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы
6.4. Ш
Теперь подсчитаем количество r-мерных клеток в многообра-
многообразии Грассмана Gn(Rm) для произвольного числа п. Для этого
удобно использовать язык разбиений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.6. Разбиением целого числа г ^ 0 назы-
называется всякая неупорядоченная последовательность ifa ... is
положительных целых чисел, в сумме дающих г. Число разбие-
разбиений числа г обычно обозначается р(г). Следующая таблица
указывает значения р{г) для г ^ 10.
г
Р(Г)
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
7
б
11
7
15
8
22
9
30
10
42
Например, число 4 имеет пять разбиений, а именно: 1111, 112,
22, 1 3 и 4. Число 0 имеет в точности одно разбиение (пустое).
(Как показали Харди и Рамануджан, функция р\г) имеет асим-
асимптотику ехр(я V2r/3)/4rV3 при г-*-оо. Более подробные све-
дения можно найти в [Остманн].)
Каждому символу Шуберта (аи ..., ап) с d(o) = r и ons^m
соответствует разбиение i\i2 ... is числа г, где н, ..., и — по-
последовательность, получаемая из последовательности а\—1, ...
..., аП — п удалением нулей, которые могут иметься в ее на-
начале. Ясно, что
^ ... <I is <; m — п
и s^o. Таким образом:
Следствие 6.7. Число r-мерных клеток многообразия Грасс-
Грассмана Gn(Rm) равно числу разбиений числа г на не более чем п
целых положительных чисел, каждое из которых не больше чем
т — п.

72 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
В частности, если оба числа пят — о не меньше г, то число
r-мерных клеток в Grt(Rm) равно р(г).
Заметим, что это следствие остается верным, если разрешить
т принимать значение + °°-
В заключение пять задач для читателя.
Задача 6.А. Показать, что клеточное разбиение конечно то-
тогда и только тогда, когда его пространство является компак-
компактом.
Задача 6.В. Показать, что для р < k гомоморфизм ограни-
ограничения
есть изоморфизм (при любой области коэффициентов). (См.
описание когомологий клеточного разбиения, данное в прило-
приложении А.)
Задача 6.С. Показать, что соответствие X*—>Я'фХ опреде-
определяет вложение многообразия Грассмана Gn(Rm) в Gn+^R1®
ф Rm)= Gn+1(Rm+1) и что f накрывается послойным отобра-
отображением
Показать, что f переводит r-мерные клетки многообразия Грас-
Грассмана Gn(Rm), соответствующие данному разбиению it ... i,
числа г, в r-мерные клетки многообразия Грассмана G/l+i(Rm+1j,
соответствующие тому же разбиению i\ ... is.
Задача 6.D. Показать, что число различных чисел Шти-
феля — Уитни w\x... wrnn [М] всякого л-мерного многообразия М
равно р(п).
Задача 6.Е. Показать, что число r-мерных клеток многооб-
многообразия Грассмана Gn(R"+*) равно числу r-мерных клеток мно-
многообразия Грассмана G* (&"+*) (или, более того, показать, что
ети два клеточных разбиения в действительности изоморфны).
§ 7. КОЛЬЦО КОГОМОЛОГИЙ Н*@п; Z/2)
В этом параграфе, по-прежнему в предположении, что клас*
сы Штифеля — Уитни существуют, мы вычислим когомологий
по модулю 2 бесконечного многообразия Грассмана Gn =
= Gn(R°°) и докажем теорему единственности классов Шти-
Штифеля— Уитни. Напомним, что каноническое n-мерное расслое-
расслоение над Gn обозначается через у".

'§ 7. Кольцо когомологий H*(Qn; Z/2) 73
Теорема 7.1. Кольцо когомологий H*(Gn; Z/2) является ал-
алгеброй полиномов над полем Z/2, свободно порожденной
классами Штифеля — Уитни ш^т"), .... o>n(Yn).
Для доказательства этой теоремы установим сначала сле-
следующий результат.
Лемма 72. Между элементами wi(yn) нет никаких полино-
шальных соотношений.
Доказательство. Предположим, что существует соотношение
вида p(wi(yn), ..., о>лGл)) —0. гДе Р — полином от п перемен-
переменных с коэффициентами в Z/2. По теореме 5.6 для любого
«-мерного расслоения ? над паракомпактной базой существует
послойное отображение g: | -*¦ уп. Следовательно,
«Мб)=Г (My*)),
где f — отображение базисных пространств, индуцированное g.
Отсюда вытекает, что когомологические классы а?/(|) должны
удовлетворять соответствующему соотношению
Р (вц (I) wn (D) = g*p (ш, (Vя) ш„ (v")) = 0.
Таким образом, чтобы доказать лемму, достаточно найти ка-
какое-нибудь n-мерное расслоение %, между характеристическими
классами te»i(|), .... шя(|) которого нет никаких полиномиаль*
ных соотношений.
Рассмотрим каноническое линейное расслоение v1 над бес-
бесконечным проективным пространством Я". Напомним (см.
лемму 4.3), что Н*(Р°°; Z/2) является алгеброй полиномов над
полем Z/2 с одной образующей а размерности 1 и что полный
класс Штифеля — Уитии w(yl)= 1 + а. Взяв теперь п-кратное
прямое произведение X = Р°° X • • • X Р00, получаем, что его
кольцо когомологий Н*(Х] Z/2) представляет собой алгебру по-
полиномов от п одномерных образующих ai, ..., ап (см. прило-
приложение А, теорему А.6 или [Спеньер]). Здесь образующий эле-
элемент at может быть определен как образ я* (а) при гомомор-
физме, индуцированном проекцией яс X-> Р°° на t-й сомножи-
сомножитель. Рассмотрим /г-кратное прямое произведение
Ясно, что % есть «-мерное расслоение над X = Р°° X ... X Я00
и его полный класс Штифеля — Уитни
равен л-кратному произведению
A+ а)Х. ,.ХA+«)-(!+а|)A +<*)... A +ап).

74 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Другими словами,
Щ (I) = а\ + а2 + ... +ап,
wn (I)
и вообще класс ш*(|) представляется в виде элементарного
симметрического полинома от а\ аП. В учебниках по ал-
алгебре доказывается, что п элементарных симметрических по-
полиномов от п независимых переменных над полем не удовлет-
удовлетворяют никаким полиномиальным соотношениям (см., напри-
например,,! Ленг, 1965] или [Ван дер Варден]). Таким образом, классы
wi(i), ..., дал(?) алгебраически независимы над Z/2, а отсюда,
как отмечалось выше, следует, что классы te»i(v"). ...» wn(yn)
также алгебраически независимы. ¦
Доказательство теоремы 7.1. Мы показали, что алгебра
Н*Fп) над Z/2 содержит подалгебру, являющуюся алгеброй
полиномов над Z/2, свободно порожденной элементами
W\(y"), ..., до,»(у"). Используя соображения, связанные с под-
подсчетом числа образующих, покажем, что в действительности эта
подалгебра совпадает со всей алгеброй H*(Gn).
Напомним (см. следствие 6.7), что число r-мерных клеток
клеточного разбиения Gn равно числу разбиений числа г на не
более чем п целых положительных чисел. Следовательно, ранг
группы Hr(Gn, Z/2) не превосходит этого числа разбиений.
(Действительно, пусть Сг — группа r-коцепей по модулю 2 этого
клеточного разбиения, a Zr :э Вг — соответствующие группы ко-
коциклов, и кограниц. Тогда число r-мерных клеток равно рангу
группы Cr, a
ранг (С) > ранг (Zr) > ранг (Zr/Br) = ранг (Нг).)
С другой стороны, число различных мономов вида
Щ (Yn)ri • ¦ .а»п (упУп в группе Hr(Gn] Z/2) в точности равно числу
разбиений числа г на не более чем п целых положительных
чисел. В самом деле, каждой последовательности гь ..., гп не-
неотрицательных целых чисел, таких, что
г,+ 2г2+ ... +nrn = r,
можно поставить в соответствие разбиение числа г, получаемое
из набора п чисел
удалением нулей, если таковые имеются, и обратно.
Как известно, эти мономы линейно независимы над Z/2, и
поэтому указанные выше неравенства должны быть в действи-

§ 7. Кольцо когомологий H*(Gn; Z/2) 75
тельности равенствами: группа #'(Gn;Z/2) как Z/2-модуль
имеет ранг, равный числу разбиений числа г на не более чем л
целых положительных чисел, и базис этой группы состоит
из всевозможных мономов Wi (vT1 • • • wn (упУп полной раз-
мерности г. Это завершает доказательство теоремы 7.1. И
Между прочим, попутно доказано, что естественный гомо-
гомоморфизм ?*: Я* (<?„)->Я*(Р°°Х ••• У.Р00) изоморфно отобра-
отображает алгебру когомологий H*(Gn) на подалгебру, образован-
образованную всеми полиномами от переменных а\, ..., ап, инвариант-
инвариантными относительно любых перестановок этих п переменных.
Единственность классов Штифеля — Уитни
До сих пор мы еще не доказали, что существуют классы
Штифеля — Уитни ш<(|), удовлетворяющие аксиомам из § 4.
Прежде чем доказывать существование, докажем единствен-
единственность.
Теорема единственности 7.3. Существует не более одного
соответствия | *-*¦ w (?), сопоставляющего каждому векторному
расслоению над паракомпактным базисным пространством по-
последовательность когомологических классов, удовлетворяющих
четырем аксиомам для классов Штифеля — Уитни.
Доказательство. Предположим, что существует два таких
соответствия, скажем 1 >—*¦ до (?) и | *—*¦ w (|). Для канонического
линейного расслоения v| над Р1 имеем
w(vl) = * (y!) — l+a
по аксиомам 1 и 4. Вкладывая у[ в линейное расслоение у1 над
бесконечным проективным пространством P°°, получаем, что
согласно аксиомам 1 и 2. Переходя к n-кратному прямому про-
произведению
находим, что
в силу аксиом 2 и 3. Используя теперь существование послой-
послойного отображения %-*-уп и тот факт, что алгебра H*(Gn) изо-
изоморфно отображается на подалгебру в H'iP^X ... Х^00)»
заключаем, что w (уп) = w (yn).
Для произвольного n-мерного расслоения ti над параком-
пактной базой, взяв какое-нибудь послойное отображение f: x[-*

76 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
¦ у", немедленно получаем, что
Замечание. Используя по существу те же самые рассужде-
рассуждения, нетрудно доказать теорему единственности классов Шти-
феля — Уитни и для существенно меньшей категории гладких
векторных расслоений и их гладких послойных отображений
над паракомпактными гладкими многообразиями. Намного
труднее было бы доказать этот результат, используя только ка-
сательные расслоения многообразий (ср. [Блантон и Швей-
Швейцер]).
В заключение три задачи для читателя. Первые две осно-
основаны на задаче 6.С.
Задача 7.А. Указать в явном виде коциклы в группе
Cr(Gn) & Hr(Gn), соответствующие классам Штифеля — Уитни
Wr\yn).
Задача 7.В. Показать, что алгебра когомологий
#*(Gn(R"+*),Z/2) порождается классами Штифеля — Уитни
Wi, ..., а»л универсального расслоения уп и двойственными
классами хВ\, ..., Wk, подчиненными лишь следующим п + k
определяющим соотношениям:
A + 1»!+ • • • + ОУя) A + Щ + ... + Wk) = 1
(см. [Борель, 1953]).
Задача 7.С. Пусть |т и т)" — векторные расслоения над па-
ракомпактным базисным пространством. Показать, что классы
Штифеля — Уитни тензорного произведения %m ® г\п (или изо-
изоморфного ему расслоения Hom(|m,r\n)) могут быть вычислены
следующим образом. Если размерности слоев тип обе рав*
ны 1, то
d'eV)
В общем случае имеет место универсальная формула вида
W (Г ® П") - Рт. п (Щ (I™) Wm (Г), Щ Ю W» Ю),
где полином рт, п от т + п переменных можно описать так.
Пуеть о\, ..., ат — элементарные симметрические полиномы
от переменных t\ tm п а[ а'п — элементарные симмет-
симметрические полиномы от переменных t\ fn; тогда

§ 8. Существование классов Штифеля — Уитни 77
[Указание. Когомологий произведения Gm X Gn могут быть вы-
вычислены при помощи теоремы Кюннета А.б (приложение А).
Формулу для класса o>(gm(g)Tf) нужно проверить сначала для
частного случая, когда расслоения |т и i\n являются суммами
Уитни линейных расслоений.]
§ 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ КЛАССОВ ШТИФЕЛЯ — УИТНИ
Дадим теперь доказательство существования классов Шти-
Штифеля — Уитни, построив их при помощи известных операций.
Для любого n-мерного расслоения | с пространством рас-
расслоения Е, базисным пространством В и проекцией я обозна-
обозначим через EQ множество ненулевых векторов из ? и через Fo —
множество ненулевых векторов типичного слоя F = n~l(b).
Ясно, что Fo = F П Ео.
Используя теорию сингулярных когомологий и тот или иной
технический прием (например, спектральные последовательно-
последовательности или прием, указанный в § 10), находим, что
, Г 0 для 1фп,
(. Z/2 для t = n,
и
, I ~ для i < п,
Н' (Е, Е0) Z/2) = ¦
(Интуитивно, хотя и нестрого, этот факт можно объяснить
следующим образом. Единичный n-мерный шар является де-
деформационным ретрактом пространства R", а единичная
(«—>!)-мерная сфера — деформационным ретрактом простран-
пространства R" с выколотым нулем (R" \ 0) = R"• Как известно, если
базисное пространство В паракомпактно, то в пространство
расслоения Е можно ввести евклидову метрику. Тогда подмно-
подмножество Е' с: Е, состоящее из всех векторов х^Е, таких, что
х-х ^ 1, будет деформационным ретрактом Е. Аналогично под-
подмножество Е" с: Е, состоящее из всех векторов х е Е, таких,
что х-х— 1, представляет собой деформационный ретракт про-
пространства Ео. Следовательно, Н* (Е1, Е") йё Н* (Е, Ео) . Теперь
предположим, что В есть клеточное разбиение с настолько мел-
мелкими клетками, что ограничение расслоения ? на каждую клет-
клетку с* является тривиальным расслоением. Тогда прообраз
^-мерной клетки с* в Е' будет произведением клеток размерно-
размерностей k и п. Таким образом, пространство ?' может быть полу-
получено из подпространства Е" присоединением клеток размер-
размерностей ^л, по одной (п + k) -мерной клетке на каждую А-мер-
ную клетку базы В. Отсюда следует, что Н{(Е',Е") = 0 для

78 Дж. Милнор и Дж Сташеф
i < п. С меньшей очевидностью отсюда следует также изомор-
изоморфизм Ял+* (?', Е") г* Hk (В).)
Строго и подробно мы докажем в § 10 следующее утверж-
утверждение. Далее, как и выше, рассматриваются когомологии с
коэффициентами в Z/2.
Теорема 8.1. Группа Н1 (Е, Ео) является нулевой для i < п,
а группа Н"(Е,Е0) содержит единственный класс и, такой, что
для каждого слоя F = лг1 {Ь) ограничение
является единственным ненулевым классом в Hn(F,F0). Далее,
соответствие хь->х^>и определяет изоморфизм #*(?)->
-¦ #*+"(?,Ео) для любого k. (Мы назовем класс и фунда-
фундаментальным кого мологиче ским л лас со м.)
С другой стороны, проекция п: ?->В, очевидно, индуцирует
изоморфизм Hk (B)->- Hk (E), так как нулевое сечение задает
вложение базисного пространства В в пространство Е в каче-
качестве деформационного ретракта с ретракцией я.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2. Изоморфизмом Тома ф: Я*(В)->
-> #*+" (Е, Ео) называется композиция двух изоморфизмов
Hk (В) X Hk (Е) -^ Я*+" (Е, Ео).
В дальнейшем мы будем использовать стинродовские квад-
квадраты в Н*(Е,_Ео). Эти операции характеризуются следующими
четырьмя основными свойствами (см. [Стинрод, Эпстейн]). Об-
Областью коэффициентов по-прежнему предполагается Z/2.
A) Для каждой пары пространств Л"г)У и каждой пары
неотрицательных целых чисел п, i определен аддитивный гомо-
гомоморфизм
Sq': Hn(X, Y)^Hn+i(X, Y)
(называемый стинродовским квадратом степени i).
B) Естественность. Если f: (X,Y)-*-(X',Yr)—непрерывное
отображение пар, то Sq' °f* = f*° Sq'.
C) Если a&Hn{X,Y), то Sq°(c)=a, Sq"(a)=aua и
Sq'(a) = 0 для t> п. (Таким образом, наиболее интересны те
стинродовские квадраты, у которых 0 < i < п.)
D) Формула Картана. Для любых а, Ь, для которых 'опре-
'определено a <j b, имеет место тождество
Sq* (a <jb)= E Sq' (a)
t+lk
t+l-k
Используя стинродовские квадраты и изоморфизм Тома, оп-
определим классы Штифеля — Уитни о>/(|)еЯ'E) формулой

§ Н. Существование классов Штифеля — Уитни 79
Тома
Другими словами, ш<(|) — это однозначноопределенный когомо-
когомологический класс в Н'(В), образ которого при изоморфизме
Тома 0(а>,(!)) = (я*о>;(|)) ^ и равен стинродовскому квадрату
'*(l)S'
q*()q
Для многих целей удобно ввести полный стинродовский
квадрат
=a + Sq[(a) + Sq2(a) + ... + Sq"(a),
где a g Я"(Х, F). Заметим, что формулу Картана можно при
этом выразить равенством
Аналогично, соответствующее равенство для стинродовских
квадратов Х-умножения' также становится более простым:
В терминах полного стинродовского квадрата полный класс
Штифеля — Уитни векторного расслоения, очевидно, задается
формулой
Проверка аксиом
Для данного выше определения четыре аксиомы классов
Штифеля — Уитни проверяются следующим образом.
АКСИОМА 1. Из свойств A) и C) стинродовских квадра-
квадратов следует, что о>г(|)е Н'(В), где йУ0(|)= 1 и о>,(|)=0, если
i больше размерности слоя п.
АКСИОМА 2. Любое послойное отображение f: | -*¦ %', оче-
очевидно, индуцирует отображение g: (Е, Е0)-+(Е', Е'о). Далее, из
определения класса и (см. 8.1) следует, что если и' — фунда-
фундаментальный когомологический класс в Я" (Е', Е'о), то класс
g*(u') равен классу и е Нп (Е, Ео). Теперь легко видеть, что
изоморфизмы Тома ф и ф' удовлетворяют условию естествен-
естественности
' В оригинале cross product (крест-произведение); см. приложение А;
Х-умножение называется также внешним когомологическим умножением
(см. [Дольд]). — Прим. перед.

80 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Следовательно, используя свойство B) стинродовских квадра-
квадратов, получаем
рю,<Г)-Ю|<8).
что и требовалось.
АКСИОМА 3. Сначала вычислим классы Штифеля — Уитни
прямого произведения %" = g X V, где %" — расслоение с проек-
проекцией я X "': Е X Ег-*¦ В X В'. Рассмотрим фундаментальные
классы
ut=Hm (Е, Ео) и и' ез Нп (E't EQ
расслоений ? и |'. Так как пространство Ео открыто в Е, а
Е'о открыто в Е', то определено Х-произведение
(см. приложение А). Заметим, что открытое подмножество
(Е X Е'о) U (Ео X Е') в пространстве Е" = Е X Е' расслоения \"
есть в точности множество Е% ненулевых векторов из Е". Мы
утверждаем, что класс и X «' в точности равен фундаменталь-
фундаментальному классу и" е нт+п {Е", Е%). Для того чтобы доказать это,
достаточно показать, что ограничение
равно ненулевому когомологическому классу из Hm+n(F", F")
для любого слоя F" =s» FX F' расслоения \ . Но это ограниче-
ние, очевидно, равно Х-произведению u\(F,FQ) и u'\(F',F'o
и поэтому является ненулевым классом, согласно теореме А.5
приложения А. >
Легко видеть, что изоморфизмы Тома расслоений ?, %' и |"
связаны тождеством
Действительно, если положить а = я*(а)е Н*(Е) и 5 =
= я'*F)е= Н*(Е'), то справедливость этого тождества следует
из равенства
(а X Ъ) ^ (ы X «') = (а ^ и) X Ф w и')-
Здесь мы не обращаем внимания на знаки, так как коэффи-
коэффициенты берутся по модулю 2.
Далее, полный класс Штифеля — Уитни расслоения ?" мо-
может быть вычислен по формуле
Г (о» (!")) = Sq («'О = Sq (« X «О = Sq (и) X Sq («')•
Полагая правую часть равной
t {w (D) X f (to (Г)) = f (ю (I) X »(Г))

§ 8. Существование классов Штифеля — Уитни 81
и применяя затем (Ф")~1 к обеим частям нового равенства, на-
находим, что
Предположим теперь, что | и |' являются расслоениями над
одним и тем же базисным пространством В. «Поднимая» обе
стороны доказанного равенства обратно на В при помощи диа-
диагонального вложения В ->- В X В, получаем требуемую фор-
формулу '
wmi')=w(D^w{i').
АКСИОМА 4. Пусть у\, как обычно, — нетривиальное ли-
линейное расслоение над окружностью Р1. Тогда пространство
векторов длины ^1 в пространстве расслоения Е = Е (у{), оче-
очевидно, является листом Мёбиуса М, ограниченным окруж-
окружностью дМ. Так как М есть деформационный ретракт Е и
дМ — деформационный ретракт Ео, то
Н* (М, дМ)« Н* (Е, Ео).
С другой стороны, если вложить двумерную клетку D2 в про-
проективную плоскость Р2, то замыкание пространства P2\D2 бу-
будет гомеоморфно листу Мёбиуса М. Используя теорему о выре-
вырезании из теории когомологий, получаем, что
Н*{М,
Следовательно, существуют естественные изоморфизмы
Н1 (Е, Ео) -* Н{ (М, дМ)«- Я' (Р2, D2) -> Я' (Р2)
для любого i ф 0. Фундаментальный когомологический класс
иг Я1 (?", Ео), очевидно, ненулевой, поэтому при изоморфизме-
композиции он должен соответствовать образующей а е
^Н1(Р2). Следовательно, класс Sq'(a) = Buu должен соот-
соответствовать классу Sq'(a)= a \j а. Однако аиа^О по лем-
лемме 4.3. Таким образом, класс
должен быть также ненулевым. Это завершает проверку всех
четырех аксиом. ¦
В заключение две задачи для читателя.
Задача 8.А. Из теоремы 7.1 следует, что когомологический
класс Sq* wm(%) можно представить в виде полинома от клас-
1 Здесь используется также тот факт, что когомологическое Х-умно-
жение переходит при диагональном отображении в ^-умножение (см., на-
например, [Дольд]). — Прим. перев.

82 Дж Милнор и Дж. Сташеф
сов Wi(l) wm+it(l). Доказать явную формулу «У
. / k — m\ (k — m\
Sq (wm) = wkwm + y j )wk-iWm+l+ ... +y k Jwowm+k
(где, как обычно, I . J — x(x— 1) ... (x — t+ l)/il\, рассуждая
следующим образом. Показать, что, если формула верна для
расслоения |, то она верна для расслоения | X у1. Таким обра-
образом по индукции она верна для y1 X ... X V1 и, следователь-
следовательно, для всех расслоений |.
Задача 8.В. Показать, что, если ш (?)=/= 1, то наименьшее
п > О, такое, что wn(l)?=0, есть степень двух. (Использовать
тот факт, что I . I нечетно, если х — нечетное кратное числа
k = 2'.)
§ 9. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ И КЛАСС ЭЙЛЕРА
До сих пор в качестве области коэффициентов для групп
когомологий использовалась только группа Z/2. При этом, ко-
конечно, многие интересные структуры выпадают из поля зрения.
Теперь для более тщательного изучения предмета мы возьмем
в качестве группы коэффициентов кольцо целых чисел Z. Од-
Однако для того чтобы сделать это, необходимо ввести в наши
векторные расслоения дополнительную структуру ориентации.
В частности, нам нужна ориентация для того, чтобы построить
фундаментальный когомологический класс «е Нп(Е,Е0) с це-
целыми коэффициентами.
Прежде всего рассмотрим случай одного-единственного век-
торного пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ориентацией вещественного векторного
пространства V размерности п > 0 называется класс эквива-
эквивалентности его (упорядоченных) базисов, причем два базиса
и, vn и Up ..., v'n считаются эквивалентными тогда и
только тогда, когда матрица [а//], определяемая равенствами
v't= Yj anvj» имеет положительный определитель. Очевидно, у
всякого конечномерного векторного пространства V в точности
две различные ориентации. Заметим, что координатное про-
пространство R" обладает канонической ориентацией, задаваемой
его каноническим упорядоченным базисом.
В алгебраической топологии принято определять ориента-
ориентацию симплекса при помощи выбора некоторого упорядочения

§ 9. Ориентированные расслоения и класс Эйлера 83
его вершин. Наше понятие ориентации связано с понятием
ориентации симплекса следующим образом. Пусть 2" — неко-
некоторый n-мерный симплекс, вложенный в га-мерное векторное
пространство V, с упорядоченными вершинами Ло, Ait ..., Л„.
Тогда, взяв вектор, идущий из точки Ло в точку Аи в качестве
первого базисного вектора, вектор, идущий из точки А\ в точку
Л2, — в качестве второго и т. д., мы получим соответствующую
ориентацию векторного пространства V.
Отметим, что выбор ориентации векторного пространства V
соответствует выбору одной из двух возможных образующих
группы сингулярных гомологии Н„ (V, Vo', Z). Действительно,
пусть Л" — стандартный га-мерный симплекс с каноническим
порядком вершин. Выберем некоторое сохраняющее ориента-
ориентацию линейное вложение
а: ДП->У,
которое переводит барицентр симплекса А" в нулевой вектор
(и, следовательно, отображает границу симплекса А" в Vo).
Тогда а будет сингулярным га-мерным симплексом, представ-
представляющим некоторый элемент в группе относительных га-мерных
циклов Zn(V,Vo\Z). Класс гомологии этого цикла а дает от«
меченную образующую \t,v группы гомологии Hn(V,Vo',Z).
Аналогично группа когомологий Hn(V, VV> Z), отвечающая
ориентированному векторному пространству V, имеет отмечен-
отмеченную образующую (которую мы обозначим символом uv), опре-
определяемую равенством <«v, Hv>= +1.
Теперь рассмотрим векторное расслоение I со слоем размер-
размерности п > 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ориентацией расслоения | называется
функция, ставящая в соответствие каждому слою F этого рас-
расслоения некоторую ориентацию и удовлетворяющая следую-
следующему условию локальной согласованности: для любой точки bo
базисного пространства существует локальная координатная
система (N, h), где Ьо^ N н h: NX R"-*¦ я-1 (N), такая, что для
каждого слоя F = n-l(b), b&N, гомоморфизм x>—*h{b,x) яв-
является сохраняющим ориентацию изоморфизмом R" на F. (Или,
эквивалентно, существуют сечения Si, ..., sn: N-t-nr^N), та-
такие, что базис s\(b), ..., sn(b) определяет требуемую ориента-
ориентацию в слое я~' (Ь) для каждой точки b e N.)
В терминах когомологий это означает, что для каждого слоя
F существует отмеченная образующая
uPeHn(F, F0;Z).
Из условия локальной согласованности вытекает, что для лю-
любой точки базисного пространства существуют окрестность N и

84 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
класс когомологий
и <= Нп (я (N), n~l(NH;Z),
такие, что для любого слоя F над N ограничение
u\{F,F0)<=Hn(F, F0;Z)
равно up. Доказательство проводится непосредственно.
В § 10 будет доказан следующий важный результат (ср. о
теоремой 8.1).
Теорема 9.1. Пусть I — ориентированное п-мерное расслое-
расслоение с пространством расслоения Е. Тогда группа когомологий
//'(?, Eq, Z) является нулевой для i < п, а группа Нп(Е, Ео; Z)
содержит один и только один когомологический класс и, огра-
ограничение которого
u\(F,FQ)e=Hn(F,F0;Z)
совпадает с отмеченной образующей uf для любого слоя F рас-
расслоения |. При этом соответствие у •—> y\j и представляет со-
собой изоморфизм группы Hk(E\Z) на группу Hk+n(E,E0\Z) для
любого целого k.
На более техническом языке эта теорема утверждает, что
кольцо H*(E,E0;Z) является свободным Н* (Е; Z) -модулем с
одной образующей и степени п. (В качестве области коэффи-
циентов здесь можно было бы использовать вообще любое
кольцо с единицей.)
Из теоремы 9.1 следует, конечно, что группа когомологий
Hn+k(E, EQ;Z) изоморфна группе когомологий Hk(B,Z) базис-
базисного пространства.
Фактически изоморфизм Тома
ф: H*{B;Z)
может быть определен формулой
точно так же, как в § 8.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы определить новый
важный характеристический класс.
Для данного ориентированного га-мерного расслоения ? вло-
вложением (Е, пустое множество) с: (Е, Ео) индуцируется гомомор-
гомоморфизм ограничения
который мы обозначим через у*—*у\Е. В частности, применяя
этот гомоморфизм к фундаментальному классу us Hn(E,E0]

§ 9. Ориентированные расслоений и класс Эйлера 85
Z), мы получаем новый когомологический класс
и\Е<=Нп(Е-, Z).
Но группа //"(?; Z) канонически изоморфна группе когомоло*
гий Нп(В; Z) базисного пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классом Эйлера ориентированного л-мер-
ного расслоения | называется когомологический класс
e(t)t=Hn(B;Z),
соответствующий классу и\Е при каноническом изоморфизме
я*: //»(fi;Z)-> //»(?; Z).
Мотивировку выбора названия «класс Эйлера» читатель най-
найдет на стр. 110. Укажем некоторые основные свойства класса
Эйлера.
Свойство 9.2 (естественность). Если отображение В -> В'
накрывается послойным отображением I -*¦ %', сохраняющим
ориентацию, то е(|) = f*e(|')-
В частности, если | — тривиальное л-мерное расслоение, то
е(|)= 0. Действительно, в этом случае в качестве расслоения
?' можно взять расслоение над точкой.
Свойство 9.3. Если обратить ориентацию расслоения ?, то
класс Эйлера в A) изменит знак.
Доказательство этих свойств проводится непосредственно. В
Свойство 9.4. Если размерность слоя расслоения ? нечетна,
то е F)+*(?)=» 0.
По этой причине, применяя классы Эйлера, мы будем обыч-
обычно предполагать, что слой имеет четную размерность.
Доказательство. Любое нечетномерное векторное расслое-
расслоение допускает обращающий ориентацию автоморфизм F, i;)i—*¦
»'-*•(&,—v). Поэтому требуемое равенство «(?)=—еA) следует
из 9.3. ¦
Другое доказательство. Изоморфизм Тома <j>(x) = (n?x)^ и,
очевидно, отображает е(|) в когомологический класс
(л*е(?)) ^ и = (и \Е) ^ и ж= и w и.
Другими словами, е(Й = Г'(«^и)- Но из тождества

86 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
видно, что, если размерность п класса и нечетна, то и ^ и имеет
порядок 2. ¦
Свойство 9.5. Естественный гомоморфизм Hn(B;Z)-*-Hn(B;
Z/2) переводит класс Эйлера еA-) в старший класс Штифеля —
Уитни wn(t).
Доказательство. Если мы применим этот гомоморфизм (ин-
(индуцированный эпиморфизмом колец коэффициентов Z -»- Z/2)
к обеим сторонам равенства e(g) == ф~х{и kj и), то, очевидно, це-
целочисленный класс и перейдет в Z/2-когомологический класс и
(описанный в § 8) и поэтому класс и\^и перейдет в Sq"(«).
Следовательно, класс ф*1 (и v^ и) отображается в класс
<P~lSqn(и) =Wn(t). Ш
Несколько важных свойств характеристического класса
wn(i) относятся в равной степени и к классу е(%).
Свойство 9.6. Класс Эйлера суммы. Уитни расслоений I и
?' вычисляется по формуле e(g © ?')= е(|) w e{%'). Анало-
Аналогично класс Эйлера прямого произведения дается формулой
Здесь необходимо отметить, что по определению прямая
сумма F © F' двух ориентированных векторных пространств
наделяется ориентацией, задаваемой при помощи ориентирую-
ориентирующих базисов для F и F', записанных один за другим.
Доказательство. Пусть слои расслоений | и %' имеют раз-
размерности /лига соответственно. С учетом соглашения о знаках,
описанного в приложении А, нетрудно проверить, что фунда-
фундаментальный когомологический класс прямого произведения вы-
выражается формулой
(Ср. с проверкой аксиомы 3 в § 8. Если бы мы использовали
классическое соглашение о знаках, как, например, в [Спеньер],
то знаковый множитель в этой формуле отсутствовал бы.) При-
Применяя гомоморфизм ограничения
Ят+" (Е ХЕ/,(ЕХ f)o) -* #т+" (Е X Е')« Нт+п (В X В*)
к обеим частям последнего равенства, легко получаем, что
причем знаковый множитель может быть опущен, так как в
случае, когда т или п нечетно, в правой части стоит элемент
второго порядка.

§ 9. Ориентированные расслоения и класс Эйлера 87
Теперь предположим, что В = В'. Перенося обе части полу-
полученного равенства на пространство В с помощью диагональ-
диагонального вложения В-+ВХ.В, получаем формулу е(| ©?') =
= еA)^> е(|') для класса Эйлера суммы Уитни. ¦
Замечание. Хотя эта формула очень похожа на соответ-
ствующую формулу w(l © ?') = w(l)^> w(l') для полных клас-
классов Штифеля — Уитни, между ними имеется существенное раз-
различие. Полный класс Штифеля — Уитни ш(?) является едини-
единицей кольца ЯпE; Z/2), и потому можно разрешить написанное
выше равенство относительно о»(?') и представить этот класс в
виде функции от классов шA) и ш(?ф|') (см. лемму 4.1).
Однако класс Эйлера е(|), конечно, не является единицей в
кольце целочисленных когомологий базы В и в действитель-
действительности вполне может оказаться нулем или делителем нуля. По-
Поэтому из уравнения е(| © l')= e(Q \y е{\'), как правило, нель-
нельзя найти класс е(\') как функцию от классов еA) и е(|ф|').
Рассмотрим одно применение свойства 9.6. Пусть г\ — век-
векторное расслоение, для которого 2e(Tj)=/=0. Тогда т| не может
быть представлено в виде суммы Уитни двух ориентированных
нечетномерных векторных расслоений. Например, пусть М —
гладкое компактное многообразие. Предположим, что каса-
касательное расслоение т многообразия М ориентировано и что
е(х)фО. Тогда т не содержит никакого нечетномерного вектор-
векторного подрасслоения. В самом деле, если бы такое подрасслое-
ние | существовало и было ориентируемо, то класс Эйлера
е(т) = е(|)иеA1) должен был бы быть элементом порядка
два в свободной абелевой группе Нп(М; Z) (см. приложе-
приложение А). В случае, когда подрасслоение | неориентируемо, надо
перейти к подходящему двукратному накрытию многообразия
М. Подробности предоставляем читателю.
Свойство 9.7. Если ориентированное векторное расслоение
| допускает всюду ненулевое сечение, то класс Эйлера е(%)
равен нулю.
Доказательство. Пусть s: B-*E0 — сечение, так что компо-
композиция
В _1> Ео а Е -А. В
является тождественным отображением базисного простран-
пространства В. Тогда композиция индуцированных гомоморфизмов
Нп {В) X Я" (?) -»> Нп (?„) X Я" (В)
будет тождественным отображением кольца Я" E). По опреде-
определению гомоморфизм я* отображает класс Эйлера e(Q в огрз-

88 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ничение и\Е. Следовательно, первые два гомоморфизма в этой
композиции отображают класс е{\) в ограничение (и\Е)\Е0,
которое равно нулю, так как композиция
Нп (Е, Ео) -> Нп (Е) -> Нп (Еь)
есть нулевой гомоморфизм. Применяя гомоморфизм s*, полу*
чаем, что е(%) = s* @) = 0. ¦
(Если расслоение | допускает евклидову метрику, то можно
дать другое доказательство. А именно, пусть е — тривиальное
одномерное расслоение, натянутое на сечение s расслоения |.
Тогда
согласно свойству 9.6, но класс е(е) равен нулю по свой-
свойству 9.2.)
В заключение параграфа дадим несколько примеров рас-
расслоений с ненулевым классом Эйлера (см. также § 11 и 15).
Задача 9.А. Напомним, что у" обозначает каноническое га-
мерное расслоение над бесконечным многообразием Грассмана
On(Roc). Показать, что у" ®уп является ориентированным век-
векторным расслоением с w<m(yn ©v")^ 0 и, следовательно,
е (уп ф Y") Ф 0- Показать, что, если п нечетно, то 2е(уп фуя) =
= 0.
Задана 9.В. Рассмотрим комплексное многообразие Грасс-
Грассмана On (С00), состоящее из всех комплексных векторных под-
подпространств комплексной размерности га в бесконечномерном
комплексном координатном пространстве (см. § 14). Поскольку
любое комплексное л-мерное расслоение можно рассматривать
как вещественное ориентированное 2л-мерное расслоение, то
существует каноническое ориентированное 2га-мерное расслое-
расслоение |2я с базой Gn(C0C). Показать, что ограничение расслоения
|2п на вещественное многообразие Грассмана G^R^Jc: ©„(С00)
изоморфно 7"®Yn и> следовательно, еA2п)Ф0. (Замечание.
Фактически группа когомологий H2n(Gn(Coof; Z) является сво-
свободной абелевой группой, а класс е^2")—одной из ее образую-
образующих, см. теорему 14.5 ниже.)
Задача 9.С. Пусть т касательное расслоение га-мерной сфе-
сферы н A a Sn X 5" — антидиагональ, состоящая из всех пар ан-
типодальных единичных векторов. Используя стереографиче-
стереографическую проекцию, показать, что пространство расслоения Е =
= ?(т) канонически гомеоморфно пространству 5ЯХ5"\Д
Применяя этот результат, а также аксиомы вырезания и гомо-

§ 10. Теорема Тома об изоморфизме
топии, показать, что
Н* (?, ?0)» Н* (Sn X S", S" X Sn \ диагональ)« Я* (S" X S", Л) с
(ср. с § 11). Предположим теперь, что п четно. Показать, что
класс Эйлера е(т) = ^-'(« w и) равен дважды взятой обра*
зующей группы Hn(Sn; Z). Вывести отсюда как следствие, что
расслоение т не содержит никакого нетривиального вектор»
ного подрасслоения.
§ 10. ТЕОРЕМА ТОМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
В этом параграфе мы сначала дадим полное доказательство
теоремы Тома об изоморфизме для неориентированного случая
(см. теорему 8.1), а затем укажем изменения в доказательстве,
требующиеся в ориентированном случае (см. теорему 9.1).
В первой половине этого параграфа будет предполагаться, что
областью коэффициентов служит поле Z/2.
Мы начнем с краткого изложения некоторых конструкций,
более подробно описанных в приложении А (см., в частности,
А.5). Пусть R" обозначает множество ненулевых векторов в R".
Для п = 1 группа когомологий #l(R, Ro) изоморфна Z/2. Пусть
е1 — ненулевой элемент этой группы. Тогда для любого тополо-
топологического пространства В соответствие у*—*у"Х.е1, где X — опе-
операция Х-Умножения в когомологиях, задает изоморфизм когомо-
когомологий
Это доказывается при помощи точной когомологической после-
последовательности тройки (В X R, В X Ro, В X R-), где R_ обозна-
обозначает множество отрицательных вещественных чисел.
Пусть теперь В' — открытое подмножество пространства В.
Тогда для каждого когомологического класса у е Hi (В, В')
определено Х-произведение у X в1 и
Используя лемму о пяти гомоморфизмах1, можно показать, что
соответствие у н-» у X е1 определяет изоморфизм
Н>(В',В) ^ Я/+1 (В X R, В' X RU В X Ro).
Отсюда следует по индукции, что л-кратная композиция
уХе1 *-*уХе*Хе1 *-*...*-*уХе1 X ... Хе1
См., например, [Спеньер].

90 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
также определяет изоморфизм (подробности см. в приложе-
приложении А). Полагая
е" = е1Х...Хе1еЯ"(Г, RJJ),
получаем следующий результат.
Лемма 10.1. Для любого топологического пространства В и
любого п ^ 1 соответствие у н-*• уХеп определяет изоморфизм
групп когомологий
Н1 (В) -+ Н1+п (В X R", В X
Теперь напомним утверждение теоремы Тома. Пусть | —
некоторое л-мерное расслоение с проекцией я: Е-*-В.
Теорема об изоморфизме 10.2. Существует один и только
один когомологический класс и е Нп(Е, Ео) с коэффициентами
по модулю 2, ограничение которого на группу когомологий
Я" (F, Fo) является ненулевым для любого слоя F. Далее, соот-
соответствие у-*-у \у и определяет изоморфизм группы когомоло-
когомологий Н'(Е) на группу когомологий Н1+п(Е,Е0) для любого це-
целого j.
В частности, беря . / < 0, видим, что когомологий пары
(Е, Ео) тривиальны в размерностях, меньших чем п.
Доказательство разобьем на четыре случая.
Случай 1. Предположим, что | — тривиальное векторное
расслоение. Тогда Е можно отождествить с произведением
В X R". Поэтому группа когомологий Я" (Е, Ео) = НП(ВХ R"
В X Я") канонически изоморфна группе Н°(В) по лемме 10.1.
Чтобы доказать существование и единственность класса и, до-
достаточно показать, что существует один и только один когомо-
когомологический класс 5еЯ°E), ограничение которого на каждую
точку пространства В является ненулевым. Но очевидно, что
единичный элемент 1 е Я°(В) — это единственный класс, удов-
летворяющий этому условию. Следовательно, класс и суще-
существует и равен 1 X еп.
Далее, так как любой когомологический класс в И! {В X R")
может быть единственным образом записан как Х-произведе-
ние уХ.1, где y^W{B), то в силу леммы 10.1 соответствие
определяет изоморфизм. Это завершает доказательство для
случая 1.
Случай 2. Предположим, что В — объединение двух откры-
открытых множеств В' и В", таких, что утверждение теоремы 10.2

§ tO. Теорема Тома об изоморфизме 91
выполнено для расслоений-ограничений Ъ\В\ %\В" и \\В'[\В".
Введем сокращенные обозначения: Впдля пересечения В'Л В"
и Е', Е" и ? л соответственно для прообразов подмножеств В',
В" и В'[\В" базы В в пространстве расслоения Е = Е(\). Мы
будем использовать следующую точную последовательность
Майера — Вьеториса:
®Н'(Е", Е{)-+Н'(Еп, &)-+...
Об этой последовательности можно прочитать, например, в
книге [Спеньер].
Из принятого предположения следует, что существуют одно-
однозначно определенные когомологические классы и' е Я" (Е/, Ео)
и и" е Нп (Е", Ео), ограничения которых на каждый слой яв-
являются ненулевыми.
Применяя часть теоремы, касающуюся единственности, к
расслоению Ъ[Вп, видим, что классы и' и и" имеют один и тот
же образ в Нп(Еп, Ео). Следовательно, они служат образом
некоторого общего класса неЯ"(Е, Ео). Этот класс однозначно
определен, так как Я" {Еп, Ео) = О.
Теперь рассмотрим последовательность Майера — Вьеториса
....-* Я' (?п)-» Н1 {Е)-*Н! (Е')®Н'(Е") -> Н1 (?п)-> ....
где / + ti = L Отображая эту последовательность в предыду-
предыдущую последовательность Майера — Вьеториса при помощи со-
соответствия у •—> у \j и vl применяя лемму о пяти гомоморфиз-
гомоморфизмах, получаем,что
Н' (Е) -5U. Н1+п {Е, Ео).
Это завершает доказательство для случая 2.
Случай 3. Предположим, что у базисного пространства В
имеется конечное открытое покрытие множествами В\, ..., В*,
такими, что для каждого В, расслоение ЦВ* тривиально. Дока-
Докажем индукцией по числу k, что и в этом случае утверждение
теоремы 10.2 выполнено для расслоения |. Для k = 1 наше
утверждение, конечно, верно. Если k > 1, то мы можем пред-
предположить по индукции, что утверждение теоремы верно для
расслоений %\{ВХ\\ ... U?*-i) и ||(BiU ... UB*-i)flB*. Сле-
Следовательно, используя случай 2, можно провести шаг индук-
индукции, и мы получаем, что доказываемое утверждение верно для
расслоения |.
Общий случай. Пусть С — произвольное компактное под-
подмножество базисного пространства В. Тогда, очевидно, расслое-

92 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ние \\ С удовлетворяет предположениям случая 3. Так как объ*
единение любых двух компактных множеств компактно', то мы
можем взять прямой предел
lim Я, (С)
групп гомологии, где С пробегает множество всех компактных
подмножеств базисного пространства В, и соответствующий об-
обратный предел lim H1 (С) групп когомологий.
Напомним следующий результат.
Лемма 10.3. Естественный гомоморфизм
Н' (В) -»lim Н> (С)
есть изоморфизм. Аналогично группа Н'(Е,Е0) отображается
изоморфно на lim ЯДя (С), я (С)о).
Предостережение. Эти утверждения верны только для слу-
чая, когда группа коэффициентов является полем. Для цело-
целочисленных коэффициентов они заведомо неверны.
Доказательство леммы 10.3. Соответствующее утверждение
для групп гомологии, и именно утверждение, что группа
lim Яу(С) изоморфна группе Я/E), справедливо, очевидно, для
произвольных коэффициентов, так как любая сингулярная цепь
на В содержится в некотором компактном подмножестве про-
пространства В. Аналогично группа lim Я/ (я (С), я~'(С)о) отобра-
отображается изоморфно на группу Я/(?, Ео). Однако, согласно тео-
теореме АЛ приложения А, группа когомологий Ш(В) с коэффи-
коэффициентами в поле Z/2 канонически изоморфна группе
Нот (Я/E); Z/2). Вместе с легко проверяемым изоморфизмом
Нот (Нт Я/ (С); Z/2) -^\лт Нот (Я/ (С); Z/2),
это доказывает лемму 10.3. ¦
В частности, группа когомологий Н"(Е,Ео) отображается
изоморфно на обратный предел групп Я^я-1^), «-•(CJo). Но
каждая из этих последних групп содержит один и только один
класс «с, ограничение которого на каждый слой является нену-
ненулевым. Отсюда немедленно следует, что группа Нп(Е,Е0) со-
1 Здесь мы неявно предполагаем, что базисное пространство В хаусдор-
фово. Это не является необходимым. Доказательство точно так же проходит
для нехаусдорфовых пространств, надо только «компактность» всюду заме-
заменить на «квазикомпактность» (которая характеризуется условием: любое от-
открытое покрытие содержит конечное подпокрытие),

§ 10. Теорема Тома об изоморфизме 93
держит один и только один класс и, ограничение которого на
каждый слой ненулевое.
Рассмотрим теперь гомоморфизм w и: Н1(Е)-*-Н1+п(Е,Е0).
Ясно, что для каждого компактного подмножества С базисного
пространства В имеет место коммутативная диаграмма
Н'(Е)^Н1+п(Е, Ео)
Н< (я (С)) -> Н1+п (я (С), я (С)о)
Переходя к обратному пределу (С пробегает множество всех
компактных подмножеств), получаем, что гомоморфизм v^«
является изоморфизмом. Это завершает доказательство тео-
теоремы 10.2. ¦
Таким образом, мы имеем, наконец, полное доказательство
существования и единственности классов Штифеля — Уитни.
Теперь попытаемся провести аналогичное доказательство в
случае, когда группой коэффициентов служит произвольное
кольцо А. (Конечно, как всегда, предполагается, что Л — ассо-
ассоциативное кольцо с единицей.) Точно такие же, как и выше,
рассуждения показывают, что группа когомологий Нп (Rn, R"; Л)
является свободным Л-модулем с единственной образующей
еп = е\X • • ¦ Xе\ (см. теорему А.5 приложения А).
Пусть | — ориентированное га-мерное расслоение. Тогда в
каждом его слое F мы можем выбрать отмеченную образую-
образующую
uF<=Hn(F,F0; Z)
(см. § 9). Используя канонический кольцевой гомоморфизм
Z->-A, мы получаем соответствующую образующую для груп-
группы H"(F,F0; А), которую также будем обозначать символом tip.
Теорема об изоморфизме 10.4. Существует один и только
один когомологический класс не Нп(Е,Ео; А), ограничение ко'
торого на пару (F, Fo) равно uf для любого слоя F. Далее,
соответствие у>-+у w и изоморфно отображает группу когомо-
когомологий Н>(Е',А) на группу когомологий W+n(E, Eo; А) для лю-
любого целого }.
Если кольцо коэффициентов А является полем, то доказа»
тельство этой теоремы полностью аналогично доказательству
теоремы 10.2. (Провести его во всех деталях предоставляется
читателю.) Также и в случае, когда базисное пространство В
компактно, доказательство снова вполне аналогично доказа-
доказательству теоремы 10.2. (Сходные рассуждения годятся для
любого расслоения | конечного типа, см. задачу 5.Е.)

94 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Трудность распространения результата на общий случай
связана с тем, что лемма 10.3 несправедлива, вообще говоря,
если группа коэффициентов когомологий — не поле. Фактически
обратный предел из леммы 10.3 может вести себя очень плохо.
Однако построение фундаментального класса и проходит без
особых сложностей. Нам понадобится следующая
Лемма 10.5. Группа гомологии Нп-\ (Е, Ео; Z) является ну-
нулевой.
Предположим на некоторое время, что эта лемма доказана.
Тогда из теоремы АЛ приложения А следует, что группа
когомологий Hn(E,E0;Z) канонически изоморфна группе
Нот (//„{?, Ео; Z), Z). Поэтому точно так же, как и в доказа-
доказательстве леммы 10.3, мы получаем, что группа Hn(E,E0;Z)
канонически изоморфна обратному пределу групп
Я" (я (С), «-'(QojZ),
где С пробегает множество всех компактных подмножеств ба-
базисного пространства В. Поскольку теорема 10.4 уже доказана
для векторных расслоений над компактным базисным простран-
пространством С, отсюда следует, что существует однозначно опреде-
ленный когомологический класс и е Нп(Е, Ео; Z).
Замечание. Важно отметить, что для любого кольца Л при
каноническом кольцевом гомоморфизме Z->A фундаменталь-
фундаментальный класс из группы #"(?, E0;Z) переходит в фундаменталь-
ный класс из группы Нп(Е, ?0; А).
Для доказательства того, что взятие ч-'-произведения е
фундаментальным классом и индуцирует изоморфизм когомо-
когомологий, используем следующую формальную конструкцию.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Свободным цепным комплексом над Z
называется последовательность свободных Z-модулей Кп и го-
гомоморфизмов
... ~*Кп —*¦ Кп-\ —*¦ Кп-ч-*....
подчиненных условию д од = 0. Цепным отображением f: K-*К'
степени d называется последовательность гомоморфизмов
Ki -*• K'i+d, удовлетворяющих условию д'of = (—l)df^od.
Лемма 10.6. Пусть f: К-*- К' — некоторое цепное отображе-
отображение, где К и К' — свободные цепные комплексы над Z. Если f
индуцирует изоморфизм когомологий
Г: Я'(Г; А)-*Я*(Я; А)

10. Теорема Тома об изоморфизме 05
для любого поля коэффициентов Л, то f индуцирует изомор-
изоморфизм гомологии и когомологий с произвольной областью коэф-
коэффициентов.
Доказательство. Рассмотрим конус Kf отображения f, т. е.
свободный цепной комплекс, построенный следующим образом.
Положим к{ = Kt-d-i © K'i и зададим граничный гомоморфизм
df: К\ -*¦ К\~\ формулой
а'к x') = ((-if+1dx, f(K) + dV)
(ср. [Спеньер]). Очевидно, что цепной комплекс /С' включается
в короткую точную последовательность
цепных отображений. Далее, граничный гомоморфизм
д*: //<_«_, (Ю-^//,_, (К')
в ассоциированной точной последовательности гомологии сов-
совпадает с /». Таким образом, группы гомологии #»(/(') яв-
являются нулевыми тогда и только тогда, когда f индуцирует
изоморфизм Н,(К)-+ Н,(К') в целочисленных гомологиях.
В нашем случае дано, что / индуцирует изоморфизм когомо-
когомологий Н* (/('; Л)-»- Н* (К; Л) для произвольного поля коэффи-
циентов Л. Используя точную последовательность когомологий,
получаем, что H*(Kf\ Л)=0. Но группа когомологий Hn(Kf;A)
канонически изоморфна группе HomA(Hn(Kf ® Л);Л), согласно
теореме A.I приложения А. Следовательно, векторное простран-
пространство гомологии Hn(Kf ® Л) является нулевым. Действительно,
в противном случае существовало бы нетривиальное Л-линей-
ное отображение этого векторного пространства в поле коэффи-
коэффициентов Л.
В частности, группа рациональных гомологии Hn(Kf ® Q)
нулевая. Значит, для любого цикла | е Zn (Kf) некоторое его
целочисленное кратное будет границей. Поэтому группа цело-
целочисленных гомологии Нп{Ю) может состоять только из элемен-
элементов конечного порядка.
Для доказательства того, что группа Нп{№) нулевая, доста-
достаточно показать, что любой элемент простого порядка равен
нулю. Пусть ?eZn(/(f) — некоторый цикл, представляющий го-
гомологический класс простого порядка р. Тогда
для некоторого элемента хе^+|. Таким образом, к является
Циклом по модулю р. А поскольку группа гомологии
Hn+\(Kf ® Z/p), как известно, нулевая, то мы видим, что х яв-

96 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ляется границей по модулю р, скажем
к = дх,' + рх".
Следовательно, р? = дх равняется рд%", а, значит, ? = да".
Итак, элемент % представляет тривиальный гомологический
класс, и тем самым доказано, что ##(/(f) = 0.
Отсюда легко следует теперь, что комплекс К1 имеет триви-
тривиальные гомологии и когомологии для произвольной области
коэффициентов (см. [Спеньер]). Например, так как группа
Zn-\ (/С'), свободная, то точная последовательность
о -> -гж (/со -*> /сд-*- -гв_, (/СО -»-о
является расщепляющейся и, следовательно, остается точной
после тензорного умножения на произвольную аддитивную
группу Л. Без труда проверяется, что последовательность
также точна, и поэтому //»(/(f ® Л) = 0. Это завершает дока-
доказательство леммы 10.6. ¦
Доказательство теоремы 10.4 проводится теперь следующим
образом. Мы будем использовать операцию гч-умножения. (Оп-
(Определение и основные свойства ^-умножения см. в приложении
А'.) Доказывая теорему 10.4, мы по ходу дела докажем сле-
следующий результат. Предполагается, что кольцом коэффициентов
служит Z.
Следствие 10.7. Соответствие ц н-*- ur\t\ определяет изомор-
изоморфизм целочисленных групп гомологии
Доказательство. Выберем какой-нибудь сингулярный коцикл
zeZ*(?,?ii), представляющий фундаментальный когомологи-
когомологический класс и. Тогда отображение у •—> z r\ у из группы цепей
Cn+i(E,E0) в группу цепей Ct(E) удовлетворяет тождеству
Следовательно, гомоморфизм
zrv C,(E, E0)->Ct(E)
является цепным отображением степени —п. Учитывая тожде-
тождество
(с, гглу) = {с^г, у),
мы видим, что индуцированное коцепное отображение
(z г>)*: С* (Е; А) -+ С (Е, Ео; А)
1 См. также [Дольд]. — Прим, перев.

§ И. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 97
задается соответствием с ь-> c\j г. Здесь Л может быть произ»
вольным кольцом. Если кольцо коэффициентов Л — поле, то
это коцепное отображение индуцирует изоморфизм когомологий
согласно уже доказанному частному случаю теоремы 10.4. Сле-
Следовательно, мы можем применить лемму 10.6 и получить, что
гомоморфизмы
и^: Н,+п(Е,Е0;А)-»Н{(Е;А)
и
^ и: Я' (?; Л) -* Hi+n (Е, ?0; Л)
являются в действительности изоморфизмами для произволь-
произвольного кольца Л. В частности, используя изоморфизм ии:
Н°(Е;А)-*Нп(Е,Ео;А), мы можем убедиться в единственности
фундаментального когомологического класса и с коэффициен-
коэффициентами в кольце Л.
Это завершает доказательство теоремы 10.4 и следствия
10.7 — при условии, что мы сумеем сделать одни пропущенный
выше шаг. А именно, надо еще доказать, что Нп-\{Е,Ёц', Z)=0
(лемма 10.5). ¦
Доказательство леммы 10.5. Предположим сначала, что ба-
базисное пространство В компактно. Тогда, как уже было отме-
отмечено, теорема 10.4 верна независимо от леммы 10.5. Точно так
же и доказательство следствия 10.7 для этого частного случая
проходит без привлечения леммы 10.5. Таким образом, мы мо«
жем свободно использовать следствие 10.7 в этом частном слу-
случае и заключить, что
#„_,(?, E0;Z)JUH_l(E;Z) = 0.
Доказательство для общего случая получается немедленно при
помощи изоморфизма гомологии
ПтЯДя-ЧС), я-'(СH; Z)S+H,(E, Eo; Z),
где С пробегает множество всех компактных подмножеств ба-
базисного пространства В (см. 10.3). ¦
§ 11. НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
Нормальное расслоение
Пусть М = Мп — гладкое многообразие, гладко вложенное
в риманово многообразие А = An+k. Для изучения характери-
характеристических классов нормального расслоения многообразия М в
А нам понадобится следующий геометрический результат.
4 Дж. Милнор, Дж5 Сташеф

98 Дав. Милнор и Дж. Сташеф
Теорема 11.1. (о существовании трубчатой окрестности). Су-
Существует открытая окрестность многообразия м в А, диффео-
морфная пространству нормального расслоения многообразия
М в А при диффеоморфизме, который переводит каждую точку
х из М в нулевой нормальный вектор в этой точке.
Такая окрестность называется открытой трубчатой окрест-
окрестностью многообразия М в А.
Доказательство. Чтобы упростить изложение, проведем до-
доказательство во всех деталях только для того частного случая,
когда многообразие М компактно. Этого частного случая будет
достаточно для почти всех наших применений. Доказательство
для общего случая дано, например, в книге [Ленг, 1962].
Пусть Е обозначает пространство нормального расслоения
v*. Каждому вещественному числу е > 0 поставим в соответ-
соответствие открытое подмножество E(e)czE, состоящее из всех пар
(*, »)б?, таких, что \v\ < е. Здесь х — точка многообразия М,
a v — нормальный вектор к многообразию М в точке х.
(Или, более общим образом, любой гладкой вещественно-
значной функции х ¦—> е (х) > 0 поставим в соответствие откры-
открытое множество ?(е), состоящее из всех пар (х, о)е?, таких,
что |о|<е(л:). Эта более общая конструкция существенна,
когда мы имеем дело с некомпактными многообразиями.)
Мы будем использовать так называемое экспоненциальное
отображение
Ехр: Е(г)-> А,
столь употребительное в римановой геометрии, которое соотно-
соотносит каждой паре (x,v)<=E, где |aj достаточно мало, концевую
точку yA) параметризованной дуги геодезической
Y: [О, 1]->А
длины \v\ с начальной точкой y@), совпадающей с х, и век-
вектором скорости dy/dt\t=o, равным v. Например, если объемлю-
объемлющее риманово многообразие А является евклидовым простран-
пространством, то 7 — это просто отрезок прямой и экспоненциальное
отображение задается формулой Ехр (х, у) = х + и.
Из обычных теорем существования, единственности и глад-
гладкости решения для дифференциальных уравнений следует, что
отображение Ехр(лг, v) определено и является гладким как
функция от (х, v) в некоторой окрестности нулевого сечения
MXOczE (см., например, [Бишоп, Криттенден]). Отсюда лег-
легко следует, что отображение Ехр определено и является глад-
гладким на окрестности Е(е) при достаточно малом е.
Далее, применяя теорему об обратной функции в произволь-
произвольной точке (х, 0) нулевого сечения, мы видим, что некоторая ее

§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 99
открытая окрестность в Е(е) диффеоморфно отображается на
открытое подмножество в А.
Утверждение. Если е достаточно мало, то экспоненциальное
отображение осуществляет диффеоморфизм всего открытого
множества Е(г) на некоторое открытое множество Ne<z:A.
Доказательство в предположении, что многообразие М ком-
компактно. Так как экспоненциальное отображение, ограниченное
на Е(г), является локальным диффеоморфизмом при малых е,
то достаточно установить, что оно взаимно однозначно. Но если
бы это было не так, то для каждого целого i > 0, взяв е = 1/i,
мы получили бы, что в окрестности Я (I/O существуют две раз-
различные точки (ж,, vt) Ф \х\, v't), для которых Exp (xt, v^ =
= Exp (x'v v^). Поскольку многообразие М компактно, отсюда
следовало бы, что существуют сходящиеся подпоследователь-
подпоследовательности {*,,} и {*y, такие, что
lira (хч, vtf) = (х, 0), Hm (*J/f t/lf) = (*', 0).
Очевидно, что предельная точка х = Ехр (х, 0) = lim Exp (xt , vl \
должна была бы совпадать с предельной точкой х'. Но тогда
равенства Exp (xt , vt \ — Exp (x\, v\ \ для достаточно больших
/ противоречили бы тому, что экспоненциальное отображение
является взаимно однозначным отображением в окрестности
точки (х,0).
Таким образом, окрестность Е(г) диффеоморфна своему об-
образу Ne для достаточно малых е. Чтобы завершить доказатель-
доказательство теоремы 11.1, остается заметить, что окрестность Е(г) диф-
диффеоморфна также всему пространству расслоения Е; этот диф-
диффеоморфизм осуществляется, скажем, отображением
(ж, ©I->(ж,
Теперь сделаем дополнительное предположение, что много-
многообразие Меи А является замкнутым как подмножество тополо-
топологического пространства А. Конечно, это предположение авто-
автоматически выполняется, если М — компактное многообразие.
Следствие 11.2. Если многообразие М замкнуто в многообра-
многообразии А, то кольцо когомологий Н* (Е, ?0; Л), ассоциированное
с нормальным расслоением многообразия М в А, канонически
изоморфно кольцу когомологий Н*(А, А\М; Л).
Здесь Л может быть любым кольцом коэффициентов.

100 Дж. Милнор и П.Ж. Сташеф
Доказательство. Так как трубчатая окрестность Ne и допол-
дополнение А \ М являются открытыми подмножествами с объеди-
объединением, равным А, и пересечением, равным Ne \ M, то имеет
место изоморфизм вырезания
Я* (Л, А\М)-> Н* (Ne, NB \ M)
(см., например, [Спеньер]). Следовательно, вложение
Exp: (?(e), ? (еH)-> (We, Ne\M)cz(A, A\M)
индуцирует изоморфизм
Ехр': Я* {А, А\М)-+Н'{Е (е), Е (е)„).
Взяв его композицию с изоморфизмом вырезания
Н*(Е, Ео),
получаем требуемый изоморфизм, который, очевидно, не зави-
зависит от выбора в. Ш
Замечание. Этот изоморфизм Я*(Л, Л \ М)->-Я*(?, Ео) не
зависит даже и от выбора римановой метрики на А. Чтобы при>
дать смысл этому утверждению, надо сначала дать определение
«нормального расслоения», основанное на точной последова-
последовательности
k
которое не зависит от выбора конкретной римановой метрики
на А. (Ср. с задачей З.В). Так как любые две римановы метрики
Но и in могут быть соединены гладким однопараметрическим
семейством римановых метрик A — О^о + Фь то легко видеть,
что соответствующие экспоненциальные отображения гомо-
гомотопны.
В качестве приложения следствия 11.2 получаем, что фунда-
фундаментальный когомологический класс u^Hk(E, Eo; Z/2) соответ-
соответствует каноническому когомологическому классу, который мы
обозначим символом
и'еЯ*(Д A\M\Z/2).
Аналогично, если нормальное расслоение v* ориентируемо, то
любая фиксированная ориентация v* определяет соответствую-
соответствующий класс u'^Hk(A, A \ M; Z) с целочисленными коэффици-
коэффициентами.
Теорема 11.3. Если многообразие М вложено как замкнутое
подмножество в А, то композиция двух гомоморфизмов ограни-
ограничения
Hk (A, A\M)-^Hk (А) -> Я* (М)

§ II. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 101
с коэффициентами по модулю 2 отображает фундаментальный
класс и' в старший класс Штифеля — Уитни Wk(Bk) нормального
расслоения v*.
Аналогично, если расслоение v* ориентировано, то соответ-
соответствующая композиция групп когомологий с целочисленными
коэффициентами отображает фундаментальный класс и' в класс
Эйлера e(\k).
Доказательство. Пусть s: M-*-E — нулевое сечение расслое-
расслоения v*. Оно индуцирует канонический изоморфизм Н*(Е)-*-
-+Н*(М). Заметим прежде, что композиция
#*(?, E0)^Hk{E)^Hk(M)
с коэффициентами по модулю 2 отображает фундаментальный
класс и в класс Штифеля — Уитни a>«(v*) (ср. 9.5). Действи-
Действительно, образ s*(u\E) при изоморфизме Тома
ф: Hk(M)-+H2k(E, Eo)
равен n*s*(u\E)kj и = (и | Е) w и = и \у и = Sqh(и) и, следова-
следовательно, элемент s*(u \ Е) равен j>~xSqk(u)~ Wk(vk).
Далее, заменяя пару (Е, Ео) диффеоморфной парой
(Ne, Ne\ M), получаем, что композиция двух гомоморфизмов
ограничения
Н" (N,, Ne \ М) -> Нк (Ne) -* Hk (M)
отображает класс, соответствующий фундаментальному классу
и, в класс Штифеля — Уитни Wk(vk). Доказываемое утвержде-
утверждение вытекает теперь из рассмотрения коммутативной диаграммы
Я* (Л, А\М)-+Н*{А)
Hh{Nt, Nt\M)-*Hk{M)
Доказательство в ориентированном случае совершенно ана-
аналогично. ¦
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Образ класса и' в группе когомологий
Нк(А) называется двойственным когомологическим классом
подмногообразия MczA коразмерности k. (Ср. с задачей П.С.)
Если этот двойственный класс и'\А является нулевым, то из
этого следует, конечно, что старший класс Штифеля — Уитни (и
соответственно класс Эйлера) нормального расслоения v* дол-
должны равняться нулю. Один частный случай этого утверждения
особенно заслуживает внимания.

102 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Следствие 11.4. Если многообразие М = Мп гладко вложено
как замкнутое подмножество в евклидово пространство Rn+*,
т» ffiifc(v*) = 0. В ориентированном случае e(v*) = 0.
Доказательство. Двойственный класс u'|Rn+ft принадлежит
группе когомологий #*(Rn+*), которая является нулевой. ¦
По теореме двойственности Уитни (лемма 4.2) класс a»u(vft)
равен характеристическому классу до*(тм) касательного рас-
расслоения многообразия М. Поэтому следствие 11.4 можно пере-
переформулировать следующим образом: если ш*(тм)^=0, то много-
многообразие М нельзя гладко вложить как замкнутое подмножество
в евклидово пространство Rn+ft.
Например, если п — степень двух, то вещественное проектив-
проективное пространство Рп не может быть гладко вложено в R2"-1.
(Ср. с теоремой 4.8. Как показал Уитни, любое гладкое я-мер-
ное многообразие, топология которого имеет счетный базис, мо-
можно гладко вложить в евклидово пространство R2" ([Уитни,
1944]). Весьма вероятно, что оно может быть вложено в R2"
как замкнутое подмножество, хотя Уитни и не удалось доказать
этого.)
.Замечание. В утверждении следствия 11.4 существенно то,
что многообразие М не имеет границы и вложено в евклидово
пространство как замкнутое подмножество. Например, откры-
открытый лист Мёбиуса (см. рис. 2) можно, конечно, вложить в R3,
однако нельзя вложить как замкнутое подмножество, посколь-
поскольку ассоциированный класс Штифеля — Уитни Wi(r) является
ненулевым. Точно так же существенно то, что многообразие М
вложено (без самопересечений), а не просто погружено в R"+*.
Например, согласно одной теореме Боя вещественная проектив-
проективная плоскость Р2 может быть погружена в R3 ([Бой]; см. также
[Гильберт и Кон-Фоссен]), однако и здесь двойственный класс
Штифеля — Уитни w\ (т) не равен нулю.
Касательное расслоение
Пусть М — риманово многообразие. Тогда произведение
М X М также имеет структуру риманова многообразия, причем
длина касательного вектора
(«, v) e DMX XDMue*D(MX AQttl „
определяется формулой
а скалярное произведение двух касательных векторов — форму-
формулой
(и, v) • («', i>0 = и • и' + v •»'.

§ П. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 103
Заметим, что диагональное отображение
х ь-> А (х) = (х, х)
дает гладкое вложение многообразия М в качестве замкнутого
подмножества в МХ.М. (Это диагональное вложение является
почти изометрией: оно увеличивает все длины в д/2 раз.)
Лемма 11.5. Нормальное расслоение v", ассоциированное о
диагональным вложением многообразия М в МХ.М, канониче-
канонически изоморфно касательному расслоению М.
Доказательство. Очевидно, что вектор (и, v) e DMX X DMy SS
siD(My(M)lx,x) касателен к подмногообразию А(М) тогда и
только тогда, когда и = v, и нормален к A(Af) тогда и только
тогда, когда и + v = 0. Таким образом, каждому касательному
вектору v e DMX однозначно соответствует нормальный вектор
(— v, v) в D (M X М) (ж, х)- Это соответствие
(х, v) ь-> ((х, х), (— v, v))
диффеоморфно отображает касательное многообразие DM =
= ?(тм) на пространство нормального расслоения ?(v"). ¦
Мы будем особо интересоваться римановыми многообра*
зиями М, у которых касательное расслоение хм ориентировано.
. Лемма 11.6. Ориентация касательного расслоения хм глад-
гладкого многообразия М порождает ориентацию соответствующего
топологического многообразия М, и обратно, ориентация много-
многообразия М порождает ориентацию его касательного расслое-
расслоения хм.
Доказательство. Как определено в приложении А, ориента-
ориентацией топологического многообразия М называется функция, со-
сопоставляющая каждой точке х е М отмеченную образующую цх
бесконечной циклической группы гомологии Н„ (М, М \ х) с це-
целочисленными коэффициентами. Требуется, чтобы эта отмечен-
отмеченная образующая непрерывно зависела от х в том смысле, что
цх соответствует ц^ при изоморфизмах
Нп(М, М\х)+-Нп(М, M\N)-+Hn(M, M\y),
где N — хорошо вложенная n-мерная клеточная окрестность
точки х и у — произвольная точка из N.
Аналогично ориентацию векторного расслоения хм можно за-
задать, сопоставив отмеченную образующую \к'х бесконечной цик-
циклической группы Hn(DMx, DMx\0) каждой точке хеМ. Эти
образующие ц' должны непрерывно зависеть от л; в том смысле,

104 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
что р'х соответствует р'и при изоморфизмах
Нп (DMX, DMX \ 0) -> Нп (DN, DN\(NX 0))«- Нп (DMy, DMy \ 0),
где N обозначает n-мерную клеточную окрестность точки х в
многообразии М н у е N. (Ср. § 9.)
Однако группа гомологии Нп(М, МЧх) канонически изо-
изоморфна группе Нп (DMX, DMX \ 0), в чем можно убедиться, при-
применяя следствие 11.2 к 0-мерному многообразию х, вложенному
в М как замкнутое подмножество с нормальным расслоением
DMX. Нетрудно доказать, что функция ц* непрерывно зависит
от х тогда и только тогда, когда соответствующая функция yfx
непрерывно зависит от х. Действительно, так как эта задача
чисто локальная, то достаточно рассмотреть частный случай,
когда М — евклидово пространство со стандартной метрикой.
Подробности предоставляются читателю. ¦
Обратимся теперь к задаче изучения гомологии и когомоло-
гий многообразия М с коэффициентами в некотором фиксиро-
фиксированном коммутативном кольце Л. Мы будем предполагать, что
либо многообразие М ориентировано, либо A = Z/2. Тогда из
следствия 11.2 вытекает, что существует фундаментальный кого-
когомологический класс'
и' е Я" (MX М, М X М \ Л (Л*))
с коэффициентами в Л. В силу теоремы 11.3 и леммы 11.5 огра*
ничеиие класса и' на диагональное подмногообразие A(M)qlM
равно классу Эйлера
с коэффициентами в кольце Л в ориентированном случае или
классу Штифеля — Уитни
в случае коэффициентов по модулю 2.
Этот когомологический класс и' можно описать более явно
следующим образом. Заметим, что каждая группа когомологий
Нп(м, М \ х) имеет отмеченную образующую их, определяемую
условием
(В случае коэффициентов по модулю 2 образующая их является
единственным ненулевым элементом группы Нп(М, М\х).)
1 Определение класса и' с коэффициентами в Z и Z/2 см. перед теоре-
теоремой 11.3. — Прим, перев.

'§ И. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 105
Определим каноническое вложение
/,: (М, М\х)-+(МХМ, МХМ\А(М)),
полагая }х (у) = (*, у).
Лемма 11.7. Класс и'е=Нп(МХМ, МХМ\Ь(М)) одно-
однозначно характеризуется тем свойством, что его образ j*x (и'))
равен отмеченной образующей их для любой точки х е М.
Доказательство. Из построения когомологического класса и'
(см. теоремы 10.2, 10.4 и следствие 11.2) вытекает, что он мо-
может быть однозначно охарактеризован следующим образом.
Для любой точки х и любой малой окрестности N нуля в каса-
касательном пространстве DMX рассмотрим вложение
(N, N\0)-*(MXM, МХМ\Ь(Щ,
определяемое при помощи экспоненциального отображения по
правилу
v ¦-*¦ (Ехр (х, — v), Ехр Ос, о)).
Тогда индуцированный гомоморфизм когомологий должен ото-
отображать элемент «' в отмеченную образующую модуля
Hn(N, N \ 0)^Hn(DMx, DMx \ 0).
Применение гомотопии v, <•—>(Ехр(х, —tv), Ехр(х, v)),
0 ^ t ^ 1, показывает, что мы можем с равным успехом исполь-
использовать вложение (JV, N \ 0) в (МХМ, МХМ\А{М)), зада-
задаваемое правилом
, Ехр(х, о)).
Но это вложение представляет собой композицию канонического
вложения jx с каноническим вложением
Ехр: (N,N\0)^(M, M\x),
которое использовалось при доказательстве леммы 11.6, откуда
и следует доказываемое утверждение. ¦
Диагональный когомологический класс в Нп(М ХЩ
Мы по-прежнему предполагаем, что либо многообразие М
ориентировано, либо кольцом коэффициентов Л является группа
Z/2, так что определен фундаментальный класс
и' е Я" (М X М, М X М \ Д (Щ).
Заметим, что гомоморфизм ограничения

106 Дж. Милнор и Дж. Сташеф ,
переводит класс и' в когомологический класс и'\МУ.М, «двой-
«двойственный» диагональному подмногообразию в MX М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Этот когомологический класс и'\МХМ
будет кратко обозначаться ы" н называться диагональным кого-
когомологическим классом в Нп{МХМ).
Мы хотим описать более явно диагональный когомологиче-
когомологический класс и". Предварительно докажем лемму, которая выра-
выражает алгебраически тот факт, что класс и" «сосредоточен» иа
диагонали А (М) с М X М.
Лемма 11.8. Для любого когомологического класса аб
е Н* (М) произведение (а X 1) v-> и" равно A X «) ^ «"•
Доказательство. Пусть N, — некоторая трубчатая окрест-
окрестность диагонального подмногообразия A(Af) в МХМ. Очевид-
Очевидно, что А(М) является деформационным ретрактом этой окрест-
окрестности. Определим две проекции
Pi, p2: MX.M-+M
формулами р\(х, у) = х, pt(x, y) = y. Поскольку р\ и р% совпа-
совпадают на А(М), то ограничение pi\Ne гомотопно ограничению
p2|Ne- Таким образом, два когомологических класса р*(а) =
= аХ 1 и pj(fl)«= I Xfl имеют один и тот же образ при гомо-
гомоморфизме ограничения Н'(МХМ)-*Н1(МЯ). Из рассмотрения
коммутативной диаграммы
Н1 (МХМ) > Я' (Nt)
Uj * Lj и' | (ЛГв, Wg\A (.И))
Ht+n (MXM,MXM\A(M))s* Hi+n (Ne, N
вытекает теперь, что (а X 1) ^ и' = A X а) ^ «'. Переходя с по-
помощью гомоморфизма ограничения от класса и' к классу и", по-
получаем наше утверждение. ¦
Мы будем использовать операцию /-умножения'
нр+я (х х У) ® Hq (Y) -> Нр (X)
с коэффициентами в Л. В частном случае, когда X и У —конеч-
—конечные комплексы, а Л — поле, так что
1 В оригинале slant product operation (дословно: операция косого про-
произведения); /-умножение называют также косым гомологическим умноже-
умножением (см. [Дольд]), .-г- Прим. перед..

§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 107
/-умножение определяется очень просто. А именно, рассмотрим
гомоморфизм
Я* (X) ® Я* (У) ® Я, (У) -> Н* (X),
задаваемый формулой а® Ь ® рн->а<&, р>. Подставляя
Н*(ХХ Y) вместо Н*(Х)® H*(Y), получаем искомую операцию
которая записывается так: р ® р i—»• р/р. Эта операция удовле^
творяет тождеству
и характеризуется им. Заметим, что для каждого фиксирован-
фиксированного ре Я, (У) гомоморфизм /я—>р/р является левым Н*(Х)~
линейным отображением в том смысле, что ((аХ О^ Р)/Р =*
= аи (р/р) для любого ае=Н*(Х) иреЯ'(ХХУ).
Определение /-умножения в общем случае можно найти в
книгах [Спеньер] или [Дольд].
Лемма 11.9. Предположим, что многообразие М компактно,
так что определен фундаментальный когомологический класс
цеНп(М). Тогда диагональный когомологический класс и"&.
еЯ"(Л1ХМ) и фундаментальный гомологический класс ц свя-
связаны тождеством u"/\i = 1 е Н°(М).
Мы предполагаем, что облаоть коэффициентов является по-
полем, хотя в ориентированном случае доказательство проходит
на самом деле для любого кольца коэффициентов.
Доказательство. Вычислим для произвольной точки
образ элемента и"/ц при гомоморфизме ограничения Н°{М)
-*Н°(х)&А. Воспользуемся коммутативной диаграммой
Заметим, что левая вертикальная стрелка отображает когомо*
логический класс и" в класс 1 X С (""). где
lx: M-+MXM
обозначает вложение у»->(*, у). Применяя тождество
{аХЬ)/\а = a<J>, ц,>, получаем, что значение (ы"/ц)|л: равно
индексу Кронекера A*х{и"), ц), умноженному на 1 еЯ°(я).
Как указано в приложении А, фундаментальный гомологиче-
гомологический класс ц однозначно характеризуется тем свойством, что

108 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
для каждой точки х е М естественный гомоморфизм
Нп(М)-*Нп(М,М\х)
отображает ц в отмеченную образующую цх. Используя отобра-
отображения
М а (М,М\х)
М X М с (М X М, М X М \ А {М))
где jx также переводит у в (х, у), заключаем на основании
этого определяющего свойства фундаментального класса ц, что
индекс Кронекера (Сх(ц"), ^) = {Гя(и')\М, ц) равен (/'(и'), йх)-
Согласно лемме 11.7, (/'* («'). lO — 1 и> следовательно,
Так как это равенство верно для любой точки х, отсюда, оче-
очевидно, след "/
пыН°(М).
р р д , тюд, ое
видно, следует, что класс и"/ц равен единичному элементу труп-
Н°(М)Ш
Двойственность Пуанкаре и диагональный класс
Пусть М — компактное гладкое многообразие. Мы будем
изучать когомологии многообразия М с коэффициентами в поле
Л, по-прежнему предполагая, что либо многообразие М ориен*
тировано, либо Л = Z/2.
Теорема 11.10 (о двойственности Пуанкаре). Для каждого
базиса Ь\ Ьт векторного пространства когомологии Я* (М)
существует соответствующий двойственный базис bf, ..., bf
для Н*(М), удовлетворяющий тождествам
при i Ф j.
Отсюда следует, что ранг векторного пространства Нк(М)
равен рангу векторного пространства Нп~к(М). Действительно,
если базисный элемент bt имеет размерность k, то двойственный
базисный элемент Ь** должен иметь размерность п — k. Факти^
чески из теоремы следует, что векторное пространство
Нк(М) изоморфно двойственному векторному пространству
НотЛ(//"-*(Л1), Л), причем этот изоморфизм осуществляется
отображением онWta, где Au(&)= <a \j b, ц>. (Другие форму-
формулировки теоремы двойственности Пуанкаре даны в задаче 11.В
и приложении А, а также в книгах [Спеньер], [Дольд].

§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 109
Доказывать теорему 11.10 мы будем одновременно с доказа-
доказательством явной формулы для когомологического класса и" е
<=Нп{МХМ).
Теорема 11.11. Пусть {bi} и {Ь*} те же, что и выше. Тогда
диагональный когомологический класс и" равен
Доказательство [теорем 11.10 и 11.11. Используя формулу
Кюннета
Я* (МХМ)^ Н* (М) <g> Н* (М),
легко проверить, что наш диагональный класс можно предста»
вить в виде суммы г слагаемых
«" = &iXc,+ ... +brXcr,
где d, ..., сг — некоторые вполне определенные когомологиче-
когомологические классы в Н* (М), такие, что
dim Ь{ + dim ct = п.
Применим гомоморфизм /ц к обеим частям тождества
В левой части, используя линейность слева /-умножения, полу-
чаем
((а X 1) ^ «")/Ц = а ^ (и'7ц) = а.
В правой части, подставляя вместо и" сумму ^йуХо/, полу-
получаем
Z(-l)dlmedIm6/(Ь,X (а ^ с,Ш = S (-l)dImadIm6/b,{a vc,, ц).
Следовательно, это последнее выражение должно равняться а.
Подставляя bi вместо а, находим, что коэффициент
при Ь] должен равняться +1, если i — j, и 0, если i#/. Полагая
легко убеждаемся в справедливости доказываемых утверж-
утверждений. ¦

110 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Класс Эйлера и эйлерова характеристика
Эйлерова характеристика конечного клеточного разбиения К
определяется как альтернированная сумма
(-0* rank Я* (/О.
где в качестве области коэффициентов используется какое-ни»
будь поле. Известная теорема утверждает, что эйлерова харак-
характеристика равна альтернированной сумме
Ш(— 0* (число А-мерных клеток)
и, следовательно, не зависит от выбора поля коэффициентов
(см. [Дольд]).
Следствие 11.12. Если М — гладкое компактное ориентиро-
ориентированное многообразие, то индекс Кронекера (е (хм), ц> по рацио-
рациональной или целочисленной областям коэффициентов равен эй-
эйлеровой характеристике %(М). Аналогично для неориентирован-
неориентированного многообразия М число Штифеля—Уитни <шп(тм), ц> =
= до„[А1] равно приведенной по модулю 2 эйлеровой характе-
характеристике % (М).
Доказательство. В силу теоремы 11.3 и леммы 11.5, класс
Эйлера касательного расслоения многообразия М равен
В случае рациональных коэффициентов подставляем вместо и"
его выражение
и получаем равенство
Применяя к обеим его сторонам гомоморфизм < ,ц,>, приходим
к требуемой формуле
Рассуждение для случая коэффициентов по модулю 2 совер-
совершенно аналогично. ¦
Формула У для классов Штифеля — Уитни
Пусть wi ==» ш, (тм) есть t-й класс Штифеля — Уитни каса-
касательного расслоения гладкого многообразия М, или, что то же
самое, (-й класс Штифеля — Уитни нормального расслоения
диагонали в произведении М"Х,М. Применяя формулу Тома

§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 111
(см.§ 8)
Sq' («) = (n*wt) w «
вместе с изоморфизмом
Н*(Е,ЕО)~Н*(ЫВ, Nt\A(M))^H*(MXM, МХМ\А(М))
(следствие 11.2), легко получаем, что
Sq'(«O = (o»i X 1) w и'.
Ограничение на Н*{МХЩ дает формулу
Мы снова будем использовать тот факт, что гомоморфизм
/-умножения
/Р: H*
является Я* (X) -линейным слева для любого элемента р е
eH*(Y). В частности, /-произведение
((Wi X 1) ^ и")/ц
равно
W{ ^i {Urrl\l) = Wi.
(Ср. с доказательством теоремы 11.11.) Так как это произведе-
произведение равно также Sq'(u")/n, то мы приходим к следующему ре-
результату.
Лемма 11.13. Классы Штифеля — Уитни гладкого компакт-
компактного многообразия М определяются формулой
В качестве следствия получаем, что, если два многообразия
Mi и М2 имеют один и тот же гомотопический тип, то их классы
Штифеля — Уитни должны совпадать при соответствии, опреде-
определяемом индуцированным изоморфизмом Н*(М\) & Н*{Mfi. Это
следует из выражения для класса и", данного в теореме 11.11.
В действительности можно, следуя У, дать явный рецбпт вы-
вычисления классов wi, использующий только кольцо когомологий
Н*(М) с коэффициентами по модулю 2 и действие стинродов-
ских квадратов на Н*(М). Рассмотрим аддитивный гомомор-
гомоморфизм
**), ц)
из группы когомолвгий H"-k(M) в Z/2. Привлекая теорему
двойственности Пуанкаре, легко показать, что существует один
и только один когомологический класс

112 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
который удовлетворяет тождеству
для любого х е Hn~k (M). (Фактически, если рассматривать мно-
многообразие М как дизъюнктное объединение его связных компо-
компонент, то, как нетрудно проверить, элемент Vh удовлетворяет бо-
более сильному условию
для любого х^Н"~к(М). Конечно, класс vh равен нулю, если
k > п — k.) Определим полный класс У
... ®Нп(М)
как формальную сумму
V = 1 + У, + 1>2 + ••• + «я-
Ясно, что класс v удовлетворяет тождеству
), ц),
справедливому для любого когомологического класса х, и ха-
характеризуется им. Здесь Sq обозначает полный стинродовский
квадрат Sq° + Sq1 + Sq2 + ... .
Теорема 11.14. (У). Полный класс Штифеля — Уитни w ка-
касательного расслоения хм многообразия М равен Sq(u). Дру-
Другими словами,
Доказательство. Выберем базис {&<•} для mod 2-когомологий
Н*(М) и двойственный базис {bf}, как в теореме 11.10. Тогда
для любого когомологического класса хеЯп(М) имеет место
легко проверяемое тождество
* = Zbi{x^-i bf, ц).
Применяя это тождество к полному классу У v, получаем
v = ? bi (v w bf, ц) = 2>, <Sq (bf), ц>.
Следовательно, класс Sq(y) равен
? Sq (bi) (Sq (bt), \i) = Z (Sq (bt) X Sq (bt))/n = Sq («'0
по теореме 11.11. Таким образом, Sq(y) = t2>, что и утвержда-
утверждалось. ¦
Укажем одно конкретное применение, иллюстрирующее тео-
теорему У. Пусть М — компактное многообразие, кольцо mod 2-ко-

§ II. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 113
гомологии которого порождается одним-единственным элемен-
элементом a&Hk(M), k^l. Таким образом, когомологии Н*(М)
имеют базис {1,а, с2 ат) и размерность многообразия А!
должна быть равной km, где т — некоторое целое число, т ^ 1.
Следствие 11.15. Если многообразие М, такое, как указано
выше, то полный класс Штифеля — Уитни ш(тм) равен
Например, предположениям следствия 11.15, очевидно, удо-
удовлетворяет сфера Sk, для которой m = 1 и w =A -f- aJ= 1.
Им также удовлетворяет вещественное проективное простран-
пространство Pm = Pm(R) с когомологической образующей а в размер-
размерности k = 1 (см. теорему 4.5). В § 14 мы увидим, что этим пред-
предположениям удовлетворяет комплексное проективное простран-
пространство /""(С), которое является многообразием вещественной раз-
размерности 2т с когомологической образующей в размерности
k = 2. Аналогично им удовлетворяет кватернионное проектив-
проективное m-мерное пространство, представляющее собой многообра-
многообразие вещественной размерности Am с когомологической образую-
образующей в размерности k = 4 (см., например, [Спеньер]). Наконец,
этим предположениям удовлетворяет плоскость Кэли, являю-
являющаяся многообразием М вещественной размерности 16 с кого-
когомологической образующей a^Hs(M) и полным классом Шти-
Штифеля—Уитни да = A + аK= 1 + а-\- а2 (см. [Борель, 1950]).
Это по сути дела и все существующие примеры. Действи-
Действительно, как показано в [Адаме, I960], если пространство X
имеет mod 2-когомологии, порожденные одной образующей а е
еЯ'A), k^l, причем а2Ф0, то k может быть только одним
из чисел 1, 2, 4, 8. Далее, если а3 Ф 0, то, как показано в [Адем,
1952], k может быть только одним из чисел 1, 2, 4. Таким обра-
образом, описанные выше многообразия — это единственно возмож-
возможные многообразия, для которых кольцо когомологии с коэф-
коэффициентами в Z/2 является кольцом усеченных полиномов
от одной образующей. (Ср. обсуждение близких вопросов на
стр. 44, 45).
Доказательство следствия 11.15. Действие стинродовских
квадратов на когомологиях Н*(М), очевидно, задается фор-
формулой
Sq (a)*=a + а2,
и поэтому

114 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Отсюда следует, что индекс Кронекера <Sq(a'),fx> равен бино-
биномиальному коэффициенту ( _ . 1 • Применение формулы
<Sq(a'), ц> = <1^аг, ц>
показывает, что коэффициент при элементе ат~1 в выражении
полного класса У v должен быть также равен ( . I. Следо-
вательно,
Заменяя т — i на /, получаем более удобную запись для
класса У v= VI . la'. Следовательно,
w-
Поскольку мы знаем, как вычислять элемент Sq(a>), остается
только провести явное вычисление с биномиальными коэффици-
коэффициентами. Например, если т = 5, то
следовательно,
В общем случае ясно, что необходимые вычисления, которые
нужно выполнить для того, чтобы получить выражение класса
w в виде полинома от а, зависят только от числа m и совсем не
зависят от размерности k элемента а. А это дает нам возмож-
возможность обойтись совсем без вычислений. Действительно, для k—\
мы уже знаем, что вычисления должны приводить к формуле
о)=A + a)m+I (согласно теореме 4.5). Очевидно, что точно та-
такие же вычисления, примененные к образующей а большей раз-
размерности, должны привести к той же самой формуле. ¦
В заключение задачи для читателя.
Задача 11.А. Доказать лемму 4.3 (т. е. вычислить mod2-Ko-
гомологии проективного пространства Рп) индукцией по п, ис-
используя теорему двойственности Пуанкаре 11.10 и следствие 6.5
(о клеточной структуре проективного пространства).
Задача 11.В. Еще одна теорема двойственности Пуанкаре.
Показать, что для компактного многообразия М в случае, когда
область коэффициентов — поле, гомоморфизм
ц"\: к

§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 115
является изоморфизмом. Используя операцию г\-умножения
(см. приложение А), показать, что обратным изоморфизмом
служит отображение
^ц: Hk(M)-»Hn_k(M),
умноженное на (—1)*".
Задача 11.С. Пусть М = Мп и А=Ар — компактные ориен-
ориентированные многообразия и i: M-+A — гладкое вложение. По-
Положим k = р — п. Показать, что изоморфизм двойственности
Пуанкаре
^цл: Hk(A)^Hn(A)
отображает когомологический класс и'\А, «двойственный» к
многообразию М, в гомологический класс (—1)"*/*(m.m). (Мы
предполагаем, что нормальное расслоение v* ориентировано,
так что расслоение тм ф v* ориентированно изоморфно расслое-
расслоению т^|М. При доказательстве использовать следующую ком-
коммутативную диаграмму:
Я* (А, А\М)®Нр {A)+Hk (А, А\М)®Нр (A, A\M)&Hh (N, Л/\ЛГ)®Яр (JV, М\М)
Нк (A) <g> Нр (А) -* Н„ (А)«- Я„ (N)
где N — трубчатая окрестность многообразия М в А.)
Задача 11.D. Доказать, что все числа Штифеля — Уитни лю-
любого трехмерного многообразия равны нулю.
Задача 11.Е. Доказать следующий вариант формулы У.
Пусть
Sq: Hn(M)->Hn(M)
— отображение, обратное кольцевому автоморфизму Sq. Пока-
Показать, что двойственные классы Штифеля — Уитни Wi(%m) опре-
определяются формулой
(Sq(x), |x) = (iiux, ц),
которая имеет место для любого когомологического класса х.
Показать, что wn = 0. Показать, что если п не есть степень
двух, то Шп-\ = 0.
Задача 11.F. Определяя операции Стинрода
Sq': Hk(X)^Hk_t(X)
в mod 2-гомологиях тождеством

116 Дж. Милнор и Док. Сташеф
показать, что
Доказать формулы Sq (ц) = w <~\ ц и Sq (ц) = v r\ ц.
§ 12. ПРЕПЯТСТВИЯ
В первоначальных работах Штифеля и Уитни характеристи-
характеристические классы были определены как препятствия к существова-
существованию некоторых полей линейно независимых векторов. Аккурат-
Аккуратное изложение вопроса с этой точки зрения было дано Стинро-
дом в [Стинрод, 1951, разделы 25.6, 35 и 38]. В общих чертах
соответствующую конструкцию можно изложить следующим об-
образом.
Пусть | — некоторое «-мерное расслоение с базисным про-
пространством В. Для каждого слоя F расслоения | рассмотрим
многообразие Штифеля Vk(F), состоящее из всех fe-реперов в F.
Здесь под k-репером мы понимаем просто набор (v\, .... Vk),
состоящий из k линейно независимых векторов пространства F,
где 1 ^ k ^ п. (Ср. § 5. Стинрод использовал ортонормирован.
ные ^-реперы, однако это видоизменение не влияет на рассуж-
рассуждения.) Эти многообразия Vk(F) можно рассматривать как слои
некоторого нового расслоения, которое мы будем обозначать
V*(|) и называть ассоциированным расслоением на многообра-
многообразии Штифеля над базой В. По определению пространство рао
слоения Vk{%) состоит из всех пар {х, (v\,... ,Vk)), где х—
точка из В, а (v\, ..., о*)— Л-репер в слое Fx над х. Заметим,
что сечение этого расслоения на многообразии Штифеля есть не
что иное, как набор k линейно независимых сечений расслое-
расслоения \.
Теперь предположим, что базисное пространство В является
клеточным разбиением'. Например, если базисное простран-
пространство— гладкое паракомпактное многообразие, то, согласно тео-
теореме Дж. Г. К. Уайтхеда, оно допускает гладкую триангуляцию,
а потому в нем и подавно можно ввести структуру клеточного
разбиения (см. [Манкрс]).
Стинрод показал, что слой Vu(F) является (я — k — ^-связ-
^-связным, так что легко построить сечение расслоения Vk(t) над
(п — k) -остовом базы В. Сечение же над (п — ^+1)-остовом
базы В существует тогда и только тогда, когда равен нулю не-
некоторый вполне определенный примарный препятствующий
1 Стинрод рассматривал только случай конечных клеточных разбиений,
однако полезно и не намного труднее иметь дело с произвольными клеточ-
клеточными разбиениями.

§ 12. Препятствия 117
класс, лежащий в группе
Hn-k+l(B;{nn_kVk(F)}).
Здесь рассматриваются когомологии с локальными коэффици-
коэффициентами. Символ {nn-kVii{F)} используется для обозначения си-
системы локальных коэффициентов (т. е. пучка абелевых групп),
которая сопоставляет каждой точке х е В группу nn-kVk(.Fx).
(В случае п — k = О группа лоХ определяется как группа при-
приведенных сингулярных гомологии Яо(Х; Z).)
Полагая j = п — ?+1, будем использовать для этого при-
прима рного препятствующего класса обозначение
Если j четное и меньше п, то, как показал Стинрод, группа
m~iVn~i+i(F) является циклической порядка 2. Следовательно,
она канонически изоморфна группе Z/2. Если / нечетно или
/ = я, то группа 7ij-iVn-j+i(F) будет бесконечной циклической.
Однако она не будет канонически изоморфна группе Z. Система
локальных коэффициентов {n/-iVn-i+i(F)}, вообще говоря, яв-
является скрученной.
В любом случае существует, конечно, единственный нетриви-
нетривиальный гомоморфизм h группы n/_iVn-/+i(-F) в Z/2. Поэтому мы
можем привести систему коэффициентов по модулю 2 и по-
получить индуцированный когомологический класс /i»0/(|)e
е Hi (В; Z/2).
Теорема 12.1. Описанная выше редукция по модулю 2 пре-
препятствующего класса 0/(?) равна классу Штифеля — Уитни
«Мб)-
Доказательство. Прежде всего рассмотрим универсальное
расслоение уп над многообразием Грассмана Gn = Gn(Rco). Так
как кольцо H*(Gn\ Z/2) является алгеброй полиномов с обра-
образующими W\ (yn) wn (yn), то
где fo — некоторый полином от п переменных. Поскольку и пре-
препятствующий класс и классы Штифеля — Уитни естественны от-
относительно послойных отображений (см. [Стинрод, п. 35.7]), то
для любого «-мерного расслоения | над клеточным разбиением.
Так как /;(а>ь .... wn) — когомологический класс размерно-
размерности / ^ п, то полином // можно, очевидно, однозначно предста-
представить в виде суммы
wn) = f'(wi Wj_i)-\- Щ,

118 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
где /' =¦ /у п — некоторый полином, а коэффициент X = X/, п ра-
равен 0 или 1.
Чтобы вычислить /', рассмотрим я-мерное расслоение ц =
= Y/-1 Ф е"-/+1 над многообразием Грассмана G/_i, где е"-/+1 —
тривиальное расслоение. Поскольку расслоение ц допускает
п — /+ 1 линейно независимых сечений, то препятствующий
класс
должен быть нулем. Следовательно, приведенный по модулю 2
класс
Л.О/ (л) = Y
^Г^ЛУ1) Щ-х (Y'-1)) + О
также равняется нулю. Так как классы Wi(y'-\ ..., wi-i(y!~l)
алгебраически независимы, то это доказывает, что /' = 0. Таким
образом,
для любого «-мерного расслоения |.
Докажем теперь, что коэффициент X = %/,„ равен 1. Сначала
рассмотрим случай / = п. Возьмем в качестве % ограничение y"
универсального расслоения у" на многообразие Грассмана
Gn(Rn+1) всех «-мерных плоскостей в (п+ 1)-мерном простран-
пространстве. Отождествляя Gn(Rn+1) с вещественным проективным про-
пространством Р" (см. замечание к лемме 5.1), можно описать это
расслоение y" следующим образом.
Точке, соответствующей паре антиподальных точек {и, —«}
единичной сферы S", сопоставляется слой, состоящий из всех
векторов v пространства Rn+1, таких, что u-v = 0:
Формула {«, — u}t—>ы0 — (ио-и)и задает сечение расслоения Yp
которое является ненулевым всюду, за исключением одной-един-

§ 12. Препятствия 119
ственной точки {ио, —«о} проективного пространства Рп:
Выбирая точку «о посредине n-мерной клетки проективного про-
пространства Рп (см. следствие 6.5), получаем сечение расслоения
Vl (y") над (п — 1)-остовом, и препятствующий коцикл, очевид-
очевидно, сопоставляет я-мерной клетке образующую циклической
группы
Таким образом, Л#оп (vf) "И= 0 и, следовательно, коэффициент
К, п должен быть равен 1.
Доказательство для случая / < п проводится совершенно
аналогично. Нужно использовать расслоение у{@гп-' над мно-
многообразием Грассмана Q,(Rl+i)& P1 и описание образующей в
группе ji/_iVn-/+i(Rn), данное в [Стинрод, п. 25, 6]. ¦
Замечание. С теорией препятствий тесно связано любопыт-
любопытное описание классов Штифеля— Уитни многообразия М, вы-
высказанное в виде гипотезы Штифелем и впервые доказанное
Уитни. Если выбрать на многообразии М произвольную глад-
гладкую триангуляцию, то сумма всех симплексов первого барицен-
барицентрического подразделения является циклом • по модулю 2, пред-
представляющим гомологический класс w r\ ц,, двойственный по
Пуанкаре полному классу Штифеля — Уитни касательного рас-
расслоения хм. Доказательство этого результата было недавно опу-
опубликовано в работе [Гальперин, Толёдб}.
Пусть нам заданы классы Штифеля — Уитни Wj(l) некото-
некоторого я-мерного расслоения |. В какой мере можно восстановить
по ним препятствующие классы 0/(?)? Если число j = 2i четно
и меньше п, то группа коэффициентов nf-\Vn--i+i(F) имеет по-
порядок 2, и поэтому мы можем, не опасаясь двусмысленности,
написать
о2( (I) = Щ1 (I) для 21 < п.
1 Следует иметь в виду, что под циклом здесь понимается сумма циклов
разных размерностей. — Прим. перев.

120 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Далее, согласно (Стинрод, п. 38.8], класс Озй-Нё) можно пред»
ставить как образ б*<>2*(?), где б* — некоторая надлежащим об-
образом подобранная когомологическая операция. Таким образом,
препятствующие классы о/ (|) для нечетных } или j <. п вполне
определяются классами Штифеля — Уитни расслоения |.
Ниже мы докажем, что старший препятствующий класс оп(?)
может быть отождествлен с классом Эйлера е{%), когда рас-
расслоение | ориентировано. Для доказательства нам понадобятся
две важные конструкции.
Последовательность Гизина для векторных расслоений
Пусть g — некоторое «-мерное расслоение с проекцией я:
Е-+а. Ограничив отображение я на пространство Ео ненулевых
векторов в Е, мы получим ассоциированную проекцию яо: Ео—* В.
Теорема 12.2. Для любого ориентированного п-мерного рас-
слоения | имеет место точная последовательность вида
где группы когомологий берутся с целочисленными коэффици-
коэффициентами.
Символ \j e обозначает здесь гомоморфизм а»—>а^е(|).
Доказательство. Начнем с когомологической точной после-
последовательности
... -*Н'(Е, Е0)-*Н>(Е)-+Н'(Е0)-±+Н'+1(Е, ?„)-> ...
пары (Е, Ео). Используя изоморфизм Тома
^и: Н*-п(Е)-+Н'(Е,Е0)
из § 10, заменим в ней группу W(E, Eo) изоморфной группой
W-n(E). В результате получим точную последовательность
... Я'"" (Е) -1* Я' (Е) -*Н1 (Ео) ->Я'-"+1 (?)->...,
где
Теперь подставим вместо кольца Н*{Е) изоморфное ему кольцо
когомологий Н*(В). Так как когомологический класс и[Е из
группы Нп(Е) соответствует классу Эйлера е(|) в группе пп(В),
то мы придем к требуемой точной последовательности
... -* Н'-п (В) ^1Н' (В) -* Я' (Ео) -> Я'-"+1 (В) — ... ¦
Аналогично для неориентированных расслоений существует
соответствующая точная последовательность с коэффициентами

§ 12. Препятствия 121
по модулю 2, использующая класс wn(l) вместо класса Эйлера
(ср. с доказательством теоремы 11.3). Для примера рассмотрим
скрученное линейное расслоение vi над проективным простран-
пространством Рп. Так как пространство ?0(yJ,) может быть отождеств-
отождествлено с Rn+1 \ О, то оно содержит единичую сферу 5" как дефор-
деформационный ретракт. Таким образом, мы получаем точную после-
последовательность
... -* Я' (Рп) ^ Н> (/>") -* Н' E") -> Н' О") -* ...
с коэффициентами по модулю 2, где ш, = wl (ylny
Более общо, рассмотрим произвольное двукратное накрытие
S —» В. Это значит, что каждая точка пространства V обладает
открытой окрестностью U, прообраз которой состоит из двух от-
открытых дизъюнктных экземпляров U. Тогда мы можем по-
построить одномерное расслоение | над пространством В, про-
пространство расслоения которого получается из прямого произве-
произведения В X R отождествлением каждой пары (х, t) с парой
(л/, —/), где х и х' — две различные точки пространства В, ле-
лежащие над одной и той же точкой пространства В. Очевидно,
что открытое подмножество Ео содержит В как деформацион-
деформационный ретракт. Таким образом, мы доказали следующее утверж-
утверждение.
Следствие 12.3. Для любого двукратного накрытия В-*В
имеет место точная последовательность вида
... +Н{В)ЛН(В)Н(В)+Н(В) ....
где группы когомологий берутся с коэффициентами по моду-
модулю 2 и w\ = wi (I). Ш
Ориентированное универсальное расслоение
Пусть Gn(Rn+k) обозначает многообразие Грассмана, состоя-
состоящее из всех ориентированных n-мерных подпространств {n-\-k)'
мерного пространства. Точно так же, как и в § 5, его можно на-
наделить топологией факторпространства многообразия Штифеля
Vn{Rn+k). Ясно, что <jrn(Rn+ft) является двукратным накрываю-
щим пространством над многообразием Грассмана G^R"*)
всех неориентированных n-мерных подпространств. Легко про-
проверить, что <jfn(Rn+*) представляет собой компактное клеточное
разбиение размерности nk. Переходя к прямому пределу при
&-*оо, получаем бесконечное клеточное разбиение Gn = Cn(R°°).
(Пространства Оп и 0п обычно обозначаются через ВО(п) и
BSO(n) соответственно.)

122 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Универсальное расслоение уп над Gn поднимается до ориенти*
рованного я-мерного расслоения над Gn. Мы. будем обозначать
это универсальное ориентированное расслоение символом yV
Ясно, что для любого ориентированного я-мерного расслоения j
каждое послойное отображение %—*уп однозначно поднимается,
до сохраняющего ориентацию послойного отображения ?,-+уп.
Когомологии пространства Gn с коэффициентами по модулю 2
могут быть вычислены следующим образом (ср. § 7). ;>
Теорема 12.4. Кольцо когомологии H*(Gn; Z/2) является алге-.
брой многочленов над полем Z/2, свободно порожденной класса-,
ми Штифеля — Уитни w2( уп), ..., ш„(у"). ;
В частности, группа Я1 (Gn; Z/2) нулевая. Отсюда следует,
что Wi(yn) = 0 и, значит, wi{l) = O для любого ориентируемого
векторного расслоения | над паракомпактным базисным про-
странством (ср.с гадачей 12.А.)
Доказательство. Согласно следствию 12.3, существует точная
последовательность
...И1'1 (С„) -^ Н1 (Gn) -^ H1 (Gn) -+ Н1 (Gn) -»...,
где с — первый класс Штифеля — Уитни линейного расслоения,
ассоциированного с двукратным накрытием р: Gn-+Gn. Этот
класс с не может быть нулевым. Действительно, если бы он был
нулевым, то из точности последовательности
О -> Я0 @„) -^ Н° @я) -* Я° (Gn) ^ ...
вытекало бы, что пространство €„ имеет две компоненты связ-
связности, а это противоречит тому очевидному факту, что любое
ориентированное я-мерное подпространство в R00 можно непре-
непрерывно деформировать в любое другое ориентированное п-мер-
ное подпространство. Используя теорему 7.1, заключаем, что
с = Wi(yn), и доказательство завершается непосредственным
образом. ¦
Класс Эйлера как препятствие
Теперь в нашем распоряжении имеются все предварительные
конструкции, необходимые для изучения старшего препятствую-
препятствующего класса
ориентированного n-мерного расслоения |. Используя ориента-
ориентацию в слоях F, можно показать, что каждая коэффициентная
группа
n«-iV, (F) = ия_, (F\0)st Hn_y (F \ 0; Z) as Hn (F, F\0;Z)

§ 12. Препятствия 123
канонически изоморфна группе Z. Поэтому следующее утверж-
утверждение имеет смысл.
Теорема 12.5. Если расслоение % является ориентированным
п-мерным расслоением над клеточным разбиением, то препят-
препятствующий класс о„(!) равен классу Эйлера е(|).
Доказательство. Исходя из проекции по1. Е0-*В, образуем
индуцированное расслоение jtJ| над пространством Ео. Ясно, что
это индуцированное расслоение имеет всюду ненулевое сечение,
и поэтому
A) Л^) О
Используя точную последовательность Гизина
Я0 (В) ^4. Я" E) Л. Я" (?¦„)
с целочисленными коэффициентами, заключаем, что
для некоторого элемента Х&Н°(В). Это рассуждение приме
нимо, в частности, к универсальному расслоению уп над Оп. Из
рассмотрения последовательности Гизина
вытекает, что о„ ( y") = ^/»е {\п) для некоторого целого числа %п.
Следовательно, по свойству естественности оп(%) = КеA) для
любого ориентированного «-мерного расслоения | над клеточ-
клеточным разбиением.
Приводя теперь обе стороны этого равенства по модулю 2,
получаем, что
в силу теоремы 12.1 и свойства 9.5. Так как wn( уп)Ф 0, по тео-
теореме 12.4, то отсюда следует, что Л„ нечетно.
Если размерность п нашего расслоения | нечетна, то класс
Эйлера е{%) сам имеет порядок 2, согласно свойству 9.4, и, та-
таким образом, мы получаем, что в этом случае оя(?)= еA)-
Если размерность п четна, то нам надо показать, что Кп =
= +1. Пусть т — касательное расслоение n-мерной сферы, где п
четно. Тогда индекс Кронекера <е(г), ц> равен эйлеровой ха-
характеристике %(Sn)= -j-2 по следствию 11.12. Аналогичным об-
образом справедливо равенство
(см. [Стинрод, п. 39.6]; его легко можно проверить и непосред-
непосредственно, используя векторное поле на сфере S", указанное при

124 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
доказательстве теоремы 12.1). Следовательно, коэффициент %п
должен быть равен +1. И
В заключение задачи.
Задача 12 Л. Доказать, что векторное расслоение | над кле-
клеточным разбиением ориентируемо тогда и только тогда, когда
ш, A) = 0.
Задача 12.В. Используя формулу У (теорема 11.14) и тот
факт, что n2V2(R3) = n2SOC) = 0 [Стинрод], доказать теорему
Штифеля, утверждающую, что любое компактное ориентируе-
ориентируемое трехмерное многообразие параллелизуемо.
Задача 12.С. Применив следствие 12.3, дать другое доказа-
доказательство того, что кольцо когомологий #*(Pn; Z/2) таково, как
указано в 4.3.
Задача 12.D. Показать, что Gn{Kn+k) является гладким ком-
компактным ориентируемым многообразием размерности nk. Пока-
Показать, что отображение, которое сопоставляет я-мерной плоско-
плоскости с ориентированным базисом Ь\, ..., Ъп вектор Ъ\ Л ...
... '/\bn/\b\/\ ... ЛЬп\, осуществляет гладкое вложение
Gn(Rn+k) во внешнюю степень A"R"+*.
§ 13. КОМЛЕКСНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
И КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Часто бывает полезным рассматривать векторные расслое-
расслоения, в которых каждый слой является векторным пространством
над полем комплексных чисел.
Пусть В — некоторое топологическое пространство.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Комплексное векторное расслоение ш
комплексной размерности п над В (или, кратко, комплексное
п-мерное расслоение) состоит из топологического пространства
Е и проекции я: Е-+В, причем в каждом слое л~](Ь) задана
структура комплексного векторного пространства и должно удо-
удовлетворяться следующее
Условие локальной тривиальности. Для каждой точки из В
существует окрестность U, такая, что прообраз я-1 (U) гомео-
морфен прямому произведению U X С" при некотором гомео-
гомеоморфизме, комплексно-линейно отображающем каждый слой
я-1 (Ь) на произведение Ь X С".
Здесь С обозначает координатное пространство, состоящее
из всех наборов по п комплексных чисел, a ft X С" превращает-
превращается в комплексное векторное пространство игнорированием «ко-
«координаты» Ъ,

§ 13. Комплексные векторные расслоения 125
Точно так же, как в § 3, мы можем образовывать из задан-
заданных комплексных векторных расслоений новые комплексные
векторные расслоения, например сумму Уитни, или тензорное
произведение (над С), или индуцированные расслоения.
Один из методов построения комплексного л-мерного рас-
расслоения состоит в том, чтобы для данного вещественного 2л-
мерного расслоения попытаться ввести в каждом его слое до-
дополнительную структуру комплексного векторного простран-
пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексной структурой на вещественном
2л-мерном расслоении % называется непрерывное отображение
пространства расслоения на себя, R-линейно переводящее каж-
каждый слой в себя и такое, что для каждого вектора о?(У
Если на расслоении | задана комплексная структура, то мы
можем превратить каждый слой Fb(Q в комплексное векторное
пространство, полагая
(х + iy) v = xv + J (yv)
для любого комплексного числа х + iy- Условие локальной три-
тривиальности из определения 13.1 легко проверяется, так что рас-
расслоение I действительно становится комплексным векторным
расслоением.
Верно, конечно, и обратное: если нам дано комплексное
п-мерное расслоение ю, то мы можем просто забыть о комплекс-
комплексной структуре и рассматривать каждый слой как вещественное
векторное пространство размерности 2п. Таким образом мы по-
получаем лежащее в основе вещественное 2п-мерное расслоение
соц. Заметим, что это вещественное расслоение cor и первона-
первоначальное комплексное расслоение со оба имеют одно и то же про-
пространство расслоения, одно и то же базисное пространство и
одну и ту же проекцию.
Пожалуй, наиболее важными примерами комплексных век-
векторных расслоений служат касательные расслоения «комплекс-
«комплексных многообразий». Рассмотрим сначала один частный случай.
Пример 13.2. Пусть U — открытое подмножество координат-
координатного пространства С". Тогда касательное расслоение хи с про-
пространством расслоения Di/ = У X С" имеет каноническую ком-
комплексную структуру /о, определяемую формулой
/0(«, ») = («, iv)
для любых и е U и »еС".

126 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Пусть далее /: U-+U' — какое-нибудь гладкое отображение,
где U' с: С также является открытым подмножеством некото-
некоторого комплексного координатного пространства. Можно спро-
спросить, не будет ли ^-линейное отображение Dfu: DUu-+DU'f(u)
в действительности комплексно-линейным для всех и, так что
В случае, когда производная Df является комплексно-линейной,
говорят, что отображение / удовлетворяет условиям (или урав-
уравнениям) Коши — Римана или что f является голоморфным (или
комплексно-аналитическим) отображением. Стандартная тео-
теорема комплексного анализа утверждает, что отображение / мо-
может быть тогда локально представлено в виде суммы сходяще-
сходящегося комплексного ряда (см. [Хёрмандер] или [Ганнинг, Росси]).
Пусть М — гладкое многообразие размерности In. Комплекс-
Комплексную структуру на касательном расслоении многообразия М ино-
иногда называют почти-комплексной структурой на многообра-
многообразии М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.3. Комплексной структурой на много-
многообразии М называется комплексная структура / на касательном
расслоении тм, удовлетворяющая следующему чрезвычайно
сильному условию: каждая точка из М должна обладать откры-
открытой окрестностью, диффеоморфной открытому подмножеству
комплексного пространства Сп при диффеоморфизме h, произ-
производная которого всюду является комплексно-линейной: dh° J =>
= J0odh.
Пара (М, J) называется в этом случае комплексным много-
многообразием комплексной размерности п. Обычно, чтобы не пере-
перегружать обозначения, мы будем использовать для обозначения
комплексного многообразия просто символ М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гладкое отображение f: M-+N комплекс-
комплексных многообразий называется голоморфным, если производная
Df комплексно-линейна, т. е.
Замечания. Фундаментальная теорема Ньюлэндера — Нирен-
берга ([Ньюлэндер, Ниренберг]) утверждает, что гладкая поч-
почти комплексная структура / является «настоящей» комплексной
структурой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет не-
некоторой системе квадратичных дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка. Используя скобки Ли
векторных полей, эти уравнения можно записать так:
[/о, Jw] = / [о, Jw] + / [Jv, w] + [о, w],

§ IS. Комплексные векторные расслоения 127
где v и w — произвольные гладкие векторные поля иа многооб-
многообразии М.
Самая классическая (и часто самая удобная) процедура вве-
введения комплексной структуры на гладком многообразии состоит
в следующем. Задается совокупность диффеоморфизмов
где Ua — открытые подмножества в С", a Va — открытые под-
подмножества, образующие покрытие нашего многообразия, и надо
только проверить, что каждая композиция
Лр1оЛ«: h^iVaOVti^h^iVafWfi)
является голоморфным отображением'.
В заключение несколько задач для читателя.
Задача 13.А. Показать, что комплексная структура /: ?(?)->-
->?(?) на вещественном векторном расслоении автоматически
удовлетворяет комплексному условию локальной тривиальности
из определения 13.1.
Задача 13.В. Показать, что если М — комплексное многооб-
многообразие, то DM также является комплексным многообразием. Ана-
Аналогично, показать, что если отображение f: M-+N голоморфно,
то Df: DM —*¦ DN — также голоморфное отображение.
Задача 13.С. Показать, что если М — компактное комплекс-
комплексное многообразие, то любое голоморфное отображение /: М —>¦ С
является константой.
Задача 13.D. Показать, что проективное пространство Рп{С),
состоящее из всех комплексных прямых, проходящих через на-
чало координат в Cft+1, может быть наделено структурой ком-
комплексного многообразия. (Заметим, что Р1 (С) можно отожде-
отождествить с комплексной прямой С, пополненной одной-единствен-
ной точкой в бесконечности.) Более общо, показать, что про-
пространство Gk(Cn) всех комплексных ^-мерных подпространств,
проходящих через начало координат в С", является комплекс-
комплексным многообразием комплексной размерности k (п — k).
Задача 13.Е. Пусть ^обозначает каноническое комплексное
линейное расслоение над РЯ(С). Таким образом, пространство
расслоения Е{у\^ состоит из всех пар (L, у), где L — комплекс-
комплексная прямая, проходящая через начало координат в С+1, а
1 Примеры, иллюстрирующие взаимоотношение понятий: гладкое ве-
вещественное многообразие, почти-комплексное многообразие и йй
многообразие, — можно найти в книге [*Уэллс]. —• Прим. перев.

128 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
»eL, Показать, что у расслоения у^ нет никаких голоморфных
сечений, отличных от нулевого. Показать, однако, что двои-
ственное расслоение Нотс (у1п, С) имеет по меньшей мере
п + 1 голоморфных сечений, линейно независимых над С.
Задача 13.F. Если М — комплексное п-мерное многообразие,
то вещественное векторное расслоение HomR (Тл1, R) касатель-
касательных ковекторов не обладает никакой естественной комплекс»
ной структурой. Показать, однако, что его комплексификация
HomR (хм, R) ®r С s* HomR (хм, С)
является комплексным 2я-мерным расслоением, которое кано»
нически расщепляется в сумму Уитни
Нотс(тл1, С)®Нотс(тль С).
Здесь Ноте (хм, С) обозначает комплексное векторное простраи-
ство сопряженно-линейных отображений (Л(Ар)=ДА(р)). По-
Показать, что, если U cz С* — открытое множество с координат-
координатными функциями z\ zn: U-+C, то полные дифференциалы
dz\(u) dzn(u) образуют базис пространства Home(DUut С),
a dzi(u), ..., dzn(u) — базис пространства Homc(DUtt, С).
Отсюда следует, что, если /—произвольная гладкая (необя-
(необязательно голоморфная) комплекснозначная функция на U, то
ее полный дифференциал df можно единственным образом за-
записать как линейную комбинацию дифференциалов dz\, ...
..., dzn, dz\, ..., dzn с коэффициентами, которые также яв-
являются гладкими комплекснозначными функциями на U. Эти
коэффициенты принято обозначать через df/dzi, ..., df/dzn,
df/dzi, .... df/din соответственно. Таким образом, полный диф-
дифференциал df может быть однозначно представлен в виде сум-
суммы df -\- df, где df — X (dfldzj) dz\ есть сечение расслоения
Нотс(тль С), a df = Y,(df/dzj) dz} — сечение расслоения Home (хм,
С). Показать, что, если положить г, = X/ + iyi, то производ-
производная df/dzj равна -^ (df/dXj + i df/dyf). Показать, что уравнения
Коши — Римана для функции / можно записать так: df/dz/ — О
или, кратко, df = 0.
3adaua 13.G. Показать, что комплексное векторное про-
пространство, натянутое на дифференциальные операторы
d/dzi, ..., d/dzn в точке г, канонически изоморфно касатель-
касательному пространству ?>?/г.

$ 14. Классы Чженя 129
§ 14. КЛАССЫ ЧЖЕНЯ
Прежде всего докажем следующее утверждение.
Лемма 14.1. Для всякого комплексного векторного расслое-
расслоения со его овеществление cur обладает канонической отмечен-
ной ориентацией.
Применяя эту лемму к частному случаю касательных рас-
расслоений, мы получаем, что любое комплексное многообразие
обладает канонической отмеченной ориентацией. Действитель-
Действительно, согласно лемме 11.6, ориентация касательного расслоения
гладкого многообразия однозначно определяет ориентацию са-
самого многообразия.
Доказательство. Пусть V — произвольное конечномерное
комплексное векторное пространство. Выберем какой-нибудь
базис п\, ..., ап пространства V над С. Тогда векторы Ci, mi,
«2, iu2, ..., an, ian образуют вещественный базис лежащего
в его основе вещественного векторного пространства VR. Этот
упорядоченный базис и определяет искомую отмеченную ориен-
ориентацию пространства Vr. Для того чтобы показать, что эта
ориентация не зависит от выбора комплексного базиса, доста-
достаточно заметить, что полная линейная группа GL(n, С) является
связной. Поэтому мы можем переходить от любого данного
комплексного базиса к любому другому комплексному базису
при помощи непрерывной деформации, которая не изменяет
индуцированной ориентации.
Пусть теперь со — комплексное векторное расслоение. При-
Применяя описанную конструкцию к каждому его слою, получаем
искомую ориентацию вещественного расслоения cor. ¦
В качестве приложения леммы 14.1 заметим, что для лю-
любого комплексного n-мерного расслоения со над базисным про-
пространством В однозначно определен класс Эйлера
Отметим, что, если со' — комплексное m-мерное расслоение
над тем же базисным пространством В, то
Действительно, если а\, ..., а„ — базис для слоя F расслоения
со и Ъ\, ..., bm — базис для соответствующего слоя F' расслое-
расслоения со', то упорядоченный базис аи ia,\, ..., an, ian слоя Fr
вместе с выписанным вслед за ним упорядоченным базисом
b\, ib\, ..., bm, ibm слоя Fr дают упорядоченный базис аи
tfli, .... ian, bu ib\, ..., ibm, определяющий отмеченную ориен'
5 Дж. Мнлнор. Дж. Ста шеф

130 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
тацию слоя (F@F')K. Таким образом, расслоение ?
ориентированно изоморфно расслоению (cu©co')r, откуда
и следует требуемое утверждение.
Эрмитовы метрики
Подобно тому как при изучении вещественных векторных
расслоений важную роль играют евклидовы метрики, для комп-
комплексных расслоений важную роль играют аналогичные эрмито-
эрмитовы метрики. По определению эрмитова метрика на комплекс-
комплексном векторном расслоении со — это евклидова метрика
(см. стр. 23) на овеществленном расслоении coR, удовлетво-
удовлетворяющая тождеству
|*»1Но|.
Нетрудно показать, что для каждой такой эрмитовой метрики
существует одно и только одно комплекснозначное скалярное
произведение
{v, о>>=4<1 v + w р-| v р-| w f) + ~i(\ v + iw р-| v p-l iwf),
определенное для векторов v и w из одного и того же слоя
расслоения со, которое
A) комплексно-линейно по v при фиксированном w;
B) антилинейно по w при фиксированном v (т. е. <w,
)
C) обладает свойством <t>, р>—|р|2.
Два вектора v и w называются ортогональными, если их
скалярное произведение (v, w) равно нулю. Легко проверяется
тождество Эрмита _____
{w, v) = (v, w),
следовательно, вектор v ортогонален к w тогда и только тогда,
когда w ортогонален v.
Если базисное пространство В паракомпактно, то любое
комплексное векторное расслоение над В допускает эрмитову
метрику (ср. с задачей 2.С).
, Построение классов Чженя
Дадим теперь индуктивное определение характеристических
классов комплексных я-мерных расслоений со. Прежде всего
нам нужно построить каноническое (п—1)-мерное расслоение
too над «разрезанным» пространством расслоения Ео. (Как и в
вещественном случае, Eq = Eq((>)) обозначает множество всех

§ 14. Классы Чженя 131
ненулевых векторов в пространстве расслоения Е(а)—Е (©R).)
Точка пространства Ео определяется заданием слоя F расслое-
расслоения со вместе с ненулевым вектором v из этого слоя. Предпо-
Предположим сначала, что на расслоении со задана эрмитова метрика.
Тогда слоем расслоения щ над точкой »е?о является по on-
ределению ортогональное дополнение к вектору v в простран-
пространстве F. Это дополнение есть комплексное векторное простран-
пространство размерности п—1, и эти пространства, очевидно, можно
рассматривать как слои нового векторного расслоения соэ
над Eq.
Иначе, без использования эрмитовой метрики слой расслое-
расслоения ©о над точкой у(#0) может быть определен как фактор-
пространство F/(Cv), где Су — одномерное комплексное под-
подпространство, порожденное вектором v. Ясно, конечно, что при
наличии эрмитовой метрики это факторпространство канони-
канонически изоморфно ортогональному дополнению к вектору v в
пространстве F.
Напомним (см. теорему 12.2), что любое вещественное
ориентированное 2/г-мерное расслоение обладает точной после-
последовательностью Гизина
... -> Н1~2п (В) ^ Н1 (В) -i Н' (Ео) -* Я'-2я+1 (В) -+ ...
в когомологиях с целочисленными коэффициентами. Для i <
<2п—1 группы Я'-2яE) и Н'-2п+1(В) нулевые и, следова-
следовательно, гомоморфизм nl: Н1(В) -*¦ Н1 (Ео) является изоморфизмом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классы Чженя с,(со)е H2i(B; Z) опреде-
определяются при помощи индукции по комплексной размерности п
расслоения со следующим образом. Старший класс Чженя сп(ш)
равен классу Эйлера e(oR). Для I < n полагаем
Выражение справа имеет смысл, так как гомоморфизм я0:
Н2' (В) -> Нп (Ео) есть изоморфизм для i < п. Наконец, для i>n
классы с;(ш) полагаются равными нулю.
Формальная сумма с (со) = 1 + С\ (со) + ... +с„(а>) в кольце
Я11 E; Z) называется полным классом Чженя расслоения ю.
Ясно, что с (со) является единицей (обратимым элементом)
кольца НП(В; Z), так что определен обратный класс
с (о) = 1 - с, (со) + (с, (соJ - с2 (со)) + ...
Лемма 14.2. (Естественность.) Если отображение /: В —> В'
накрывается некоторым послойным отображением комплекс-
комплексного п-мерного расслоения со над В в комплексное п-мерное
расслоение со' над В', то с(а>) = /*c(cu').
5*

132 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Доказательство (индукцией по п). Старший класс Чженя
удовлетворяет свойству естественности ся(о>) = /*с„(<в'), так
как классы Эйлера естественны (см. 9.2). Для того чтобы до-
доказать соответствующее утверждение для младших классов
Чженя, заметим, что послойное отображение ю-э-со' опреде-
определяет отображение
U Eo{n)-+Eo(«f),
которое, очевидно, накрывается послойным отображением
щ-*-е>о расслоений размерности п—1. Поэтому с{(со0) = flct(со?)
по предположению индукции. Используя коммутативную диаг-
диаграмму
Ео (ю) —'-*¦ Ей (о').
В -1* В'
и тождества ct {щ) = njc^ (со), ct (<о?) = п'0*с{ (<в')> где К и я" —
изоморфизмы для i < п, получаем, что с{ (ю) = f*ct (ю'), как и
утверждалось. ¦
Лемма 14.3. Если е* — тривиальное комплексное k-мерное
расслоение над базисным пространством В = В (и), то
Доказательство. Достаточно рассмотреть частный случай
k = 1, так как утверждение для общего случая легко доказы-
доказывается тогда по индукции. Пусть ф=ш®е!. Так как у (п + 1)-
мерного расслоения <р имеется всюду ненулевое сечение, то, со-
согласно свойству 9.7, старший класс Чженя cn+l (<p) = e(qpR) яв-
является нулевым и, следовательно, равен классу cn+i(<n). Пусть
s: В—*• Е0(а> фе1) — очевидным образом определяемое сечение.
Ясно, что отображение s накрывается некоторым послойным
отображением со ->• фо, и поэтому
s*ct (фо) = с, (со),
согласно лемме 14.2. Подставляя n^ct (q>) вместо о(ф0) и ис-
используя соотношение s*on? = id, получаем с*(<р)= Cj(co), что и
требовалось. Ш
Комплексные многообразия Грассмана
Продолжая строить наш комплексный аналог теории веще-
вещественных векторных расслоений, определим комплексное много-
многообразие Грассмана ОП(С"+*) как множество всех комплексных
«-мерных плоскостей, проходящих через начало координат в

§ 14. Классы Чженя 133
комплексном векторном пространстве Сп+к. Точно также как и
в вещественном случае, это множество имеет естественную
структуру гладкого многообразия. В действительности Qn(Cn+k)
имеет естественную структуру комплексно-аналитического мно-
многообразия комплексной размерности nk. Далее, существует ка-
каноническое комплексное «-мерное расслоение над Gn(Cn+k),
которое мы обозначаем через у„ = v"(Cn+fc). По определению
пространство этого расслоения состоит из всех пар (X, v), где
X — комплексная n-мерная плоскость, проходящая через начало
координат в С"+А, и v — вектор, лежащий в X.
В качестве примера рассмотрим частный случай п= 1. Мно-
Многообразие Грассмана G\ (C*+1) известно также как комплексное
проективное пространство Pk(C). Мы хотим вычислить кольцо
когомологий Я*(Р*(С); Z) (ср. с задачей 12.С).
Применяя последовательность Гизина к каноническому ли-
линейному расслоению ¦у'=7|(С*+1) наД Р*(С) и используя тот
факт, что Су (у1) = е (ylR), получаем следующую точную после-
последовательность:
*
...-* Я/+1 (Ео) -> Н1 (Pk (С)) -^ Hl+2 (Р* (С)) -^ Н1+2 (Ео) -> ...
в когомологиях с целыми коэффициентами. Пространство Ео =
= E0(yl(Ck+1)) представляет собой множество всех пар вида
(прямая, проходящая через начало координат в С*+1, ненуле-
ненулевой вектор на этой прямой). Оно может быть отождествлено с
пространством С*+1\0 и, следовательно, имеет гомотопический
тип единичной сферы 52*+I. Таким образом, наша точная по-
последовательность Гизина сводится к точной последовательности
О -¦ Н1 (Pk (С)) ^ Я'+2 (Р* (С)) -> О
для 0 < i < 2k — 2. Поэтому
Я° (Pk (С)) as Я2 (Р* (С)) <* ... s Я2* (Р* (С)) •
Так как пространство Р*(С), очевидно, связно, то отсюда сле-
следует, что каждая группа Я2('(Р*(С)), i ^ k, является бесконеч*
ной циклической, порожденной элементом ci(v')'- Аналогично
Я1 (Р* (С)) е* Я3 (Р* (С)) в ... « Я2* (Р* (С)),
и, используя часть
... -> Я (Р* (С)) -> Я1 (Р* (С)) -* Я1
точной последовательности Гизина, мы видим, что все нечетно-
мерные группы когомологий — нулевые. Итак, мы доказали сле-
следующий результат.

134 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Теорема 14.4. Кольцо когомологий H*(Pk(C);Z) является
кольцом усеченных полиномов, порожденным классом Чженя
с, = ci(yl(Ck+l)) с условием с"+|=0. ¦
Устремим теперь число k к бесконечности. Каноническое
«-мерное расслоение у"(С00) над бесконечным комплексным
многообразием Грассмана Gn(C°°) будет кратко обозначаться
7я. Из теоремы 14.4 следует, что кольцо #*(Gi(C°°)) является
кольцом полиномов, порожденным классом Чженя ci(y')- Более
общим образом, справедлива
Теорема 14.5. Кольцо когомологий #*@„(С°°); Z) является
кольцом полиномов над Z, порожденным классами Чженя
сАу"), .... Сп(уп). Между этими п образующими нет никаких
полиномиальных соотношений.
Доказательство (индукцией по п). Мы можем считать, что
п ^ 2, так как для п = 1 теорема уже установлена. Рассмот-
Рассмотрим точную последовательность Гизина
*
. •.. -> Я' @„) ^ Я'+2п (Gn) -^ Hi+2n (Eo) -+ Я'+1 (GJ ->...
в когомологиях с целыми коэффициентами, ассоциированную
с расслоением уп.
Покажем прежде всего, что кольцо когомологий Н*(Е0)
можно отождествить с кольцом H*(Gn-\). Для этого следую-
следующим образом построим каноническое отображение /: Ео —> Gn-u
По определению точка (X, v) пространства Ео представляет со-
собой л-мерное комплексное подпространство X в С00 вместе с
ненулевым вектором v, лежащим в X. Пусть f(X, v)=X()v^ —
ортогональное дополнение к вектору о в X относительно стан-
стандартной эрмитовой метрики
<(t»i, v2, ...)(wu w2, ...)> = Г
в пространстве С00. Тогда f(X,v) есть однозначно определенное
(л—1)-мерное комплексное подпространство в С00.
Для доказательства того, что отображение / индуцирует
изоморфизм когомологий, удобно перейти к подрасслоению
¦^"(C^jc:-у", состоящему из комплексных «-мерных подпро-
подпространств N-мерного пространства, где N — большое, но конеч-
конечное число. Пусть fft: Е0(уп(Сы))-+ Gn-iiC)—соответствующее
ограничение отображения /. Очевидно, что для любой (п— 1).
мерной плоскости Y из Gn-\ {CN) прообраз
Г»1 (Y) а Е0(у°(с"))
состоит из всех пар (X, v), где чеС — ненулевой вектор, пер-
перпендикулярный к У, и X=Y -f Cv — гиперплоскость, опреде-

§ 14. Классы Чженя 135
ляемая о и У. Таким образом, отображение /w можно отож-
отождествить с проекцией
где со"-п+1 — комплексное векторное расслоение, слой которого
над УеС„-1(С) есть ортогональное дополнение к Y в CN.
Используя последовательность Гизина для этого нового век-
векторного расслоения, получаем, что отображение /лг индуцирует
изоморфизм когомологий в размерностях ^2(N— п). Переходя
к пределу при N ->- оо, убеждаемся, что отображение / инду-
индуцирует изоморфизм когомологий во всех размерностях.
Таким образом, мы можем подставить Gn-\ вместо Ео в по-
последовательности Гизина и получить новую точную последова-
тельность вида
... -> Н' (Оп) -* Я<+2я (Gn) -^ Hi+2n (О„_,) -> Hw (GJ ->...,
где Я = (/Т1п;.
Нам надо показать, что этот гомоморфизм Я ==(/*)"'ло ото-
отображает класс Чженя Ci(yn) в класс Ci(v"~')- Это утверждение
очевидно для i = п, поэтому можно предположить, что i < п.
По определению классов Чженя образ л?сД\я) равен сг(\?)
Но, как легко видеть, отображение /: Eo-*-Gn-i накрывается
некоторым послойным отображением yS -*¦ Уп~1- Поэтому
f*ci(yn~l) = ci(y$) по лемме 14.2 и, следовательно, класс
равен классу Ci(yn~l), что и утверждалось.
Теперь воспользуемся предположением индукции. Так как
кольцо H*(Gn~i) порождается классами Чженя с^у"). ...
..., Сп-\(уп~1), то гомоморфизм X является эпиморфизмом, так
что наша последовательность сводится к короткой точной по-
следовательности
О -> Н1 (Gn) -Лн1+2п (Оя) ^> Н1+2п (Оя_.) -> 0.
Используя эту последовательность, мы докажем при по-
помощи вспомогательной индукции по t, что любой элемент хе
&Hi+2n(Gn) можно единственным способом представить в виде
полинома от классов Чженя Ci(yn), ..., сп(уп). Конечно, образ
К(х) можно единственным способом представить в виде поли-
полинома /?(ci(y"-'). ..., Cn-i(Y"~'))> согласно нашему основному
предположению индукции. Следовательно, элемент х —
— р{с\(уп~1), ..., cn-i(yn-1)) принадлежит ядру гомоморфизма
А, и поэтому может быть представлен в виде произведения
усп(у") для некоторого однозначно определенного элемента

136 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
у е Н1(Оп)- Но у можно однозначно представить в виде поли-
полинома q{c\(yn), .... сп(уп)), согласно нашему вспомогательному
предположению индукции, следовательно,
* = p(ci(Y"), ..-. Cn.dr)) + Cn(^)g(Cl(yn), .... ся(vn)).
Полиномы в правой части этого равенства определены одно»
значно. Действительно, если бы элемент х был представим так-
также в виде
p'(ci(vn) c»-i(y")) + c»(y")^(ci(y") Сп(Уп)),
то, применяя гомоморфизм Я, мы получили бы, что р = р', а
разделив затем разность двух выражений для х на класс
()' ¦
Точно так же, как для вещественных л-мерных расслоений
(см. теорему 5.6), можно доказать следующий результат.
Теорема 14.6, Для любого комплексного п-мерного расслое-
расслоения над паракомпактным базисным пространством существует
послойное отображение в каноническое комплексное п-мерное
расслоение уп = Vя (С00) над Оп = Gn(Co°). ¦
Другими словами, любое комплексное я-мерное расслоение
над паракомпактным базисным пространством В изоморфно
индуцированному расслоению f*(yn) для некоторого отобра*
жения f: B-+ Qn. Фактически точно так же, как и в веществен-
вещественном случае, можно доказать более сильное утверждение, что
два индуцированных расслоения f* (yn) и g* (yn) изоморфны
тогда и только тогда, когда f гомотопно g. По этой причине
расслоение -у" = ТЯ(С°°) называется универсальным комплекс-
комплексным n-мерным расслоением, а его базисное пространство
С (С00) — классифицирующим пространством для комплексных
n-мерных расслоений. (В литературе для обозначения этого
классифицирующего пространства часто используется символ
ВЩп).\
' Теорема о произведении для классов Чженя
Рассмотрим два комплексных векторных расслоения со и ф
над общим паракомпактным базисным пространством 5. Мы
хотим доказать формулу
A4.7) с(со©ф) = с(ш)с(ф),
которая выражает полный класс Чженя суммы Уитни со ф ф
через полные классы Чженя расслоений в и ф. В качестве пер-
первого шага в этом направлении докажем следующую лемму.

§ 14. Классы Чженя 137
Лемма 14.8. Существует один и только один полином
Pm,n = Pm, п \CV •••' Cm> CV '"' Сп)
с целыми коэффициентами от m -\- n независимых переменных,
такой, что для любых комплексных расслоений и и <р размер-
размерности тип соответственно над общим паракомпактным ба-
базисным пространством В справедливо тождество
с(шфф) = рт.„(ci(co) CmH; ci(ф), -.., ся(ф)).
Доказательство. Возьмем в качестве универсальной модели
для пары комплексных векторных расслоений над общим ба-
базисным пространством два векторных расслоения у{" и у" над
пространством Gm X Gn, построенные следующим образом.
Пусть yf = п\ (ут), где щ: Gm X Gn~*- Qm — проекция на первый
сомножитель. Аналогично yt2 — n*2(yn), где Яг: G«XCn-> Gn —
проекция на второй сомножитель. Таким образом, сумму Уитни
,m ©YS можно отождествить с прямым произведением расслое-
расслоений ут X Уп-
Воспользуемся тем фактом, что внешнее когомологическое
Х-умножение
а, Ь и-> аХ*
индуцирует изоморфизм
H*(Gm)®H*(Gn)-*H*(GmXGn)
колец целочисленных когомологий. Действительно, для случая
конечных клеточных разбиений К и L при условии, что Я*A) —
свободная абелева группа, изоморфизм Кюннета
установлен в приложении А. Соответствующее утверждение для
наших бесконечных клеточных разбиений Gm и О„ следует от-
отсюда непосредственно, так как каждый остов пространств Gm
и Gn конечен.
Таким образом, кольцо когомологий H*(Gmy. Gn) является
кольцом полиномов над Z от алгебраически независимых обра-
образующих
Следовательно, полный класс Чженя расслоения y^©Y" может
быть единственным образом представлен в виде полинома
с (УГ © V?) = /V „ (с, (УТ) cm (Yf); с, (Y2"), ...,сп (Y2»)>

138 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Если теперь со — комплексное m-мерное расслоение над В и
Ф — комплексное п-мерное расслоение над 5, то мы можем
выбрать отображения /: В -* Gm и g: В -* Gn, такие, что
Определив отображение h: В -* Gm X On формулой h(b) =
— U{b), g(b)), замечаем, что следующая диаграмма коммута-
коммутативна:
Отсюда вытекает, что
h* (yf) s=g ©, A* (yJ) ^ Ф
и, следовательно,
с (и © ф) = h*c (y? ф yJ) = Pm, „ (с, К •.., cm (ю); с, (Ф), ..., с„ (ф)),
что и требовалось доказать. ¦
Чтобы в явном виде вычислить эти полиномы рт, п, мы про-
проведем индукцию по сумме m + n следующим образом. Примем
индуктивное предположение, что класс с(у?~1(?)у?) равен
A + ех (Y?"') +¦¦•+««.-. (V?-1)) A + «I (Y0 + • • • + ся (YJO).
Рассмотрим два векторных расслоения Yi"®6' и y" наД
Om-i X Gn, где е1 — тривиальное комплексное линейное расслое-
расслоение. По лемме 14.8
Но, согласно лемме 14.3, слагаемое е1 всегда можно игнори-
игнорировать, поэтому справедлива также формула
i
с (Yf ф Y") = с {Ч?~' ®
Используя индуктивное предположение и подставляя перемен-
переменные ci и cj вместо алгебраически независимых элементов ^(y™

§ 14. Классы Чженя 139
и ct(y?), приходим к формуле
Вводя новую переменную ст, получаем, что имеет место срав-
сравнение
/>m,/t(Cl Ст> С'\> •••• О™
= (l+C,+ ...+cm)(l+<+...+<)(modcm)
в кольце полиномов Z[ct cm; с\, ..., ^.Аналогичное ин-
индуктивное рассуждение показывает, что эти два полинома срав-
сравнимы также по модулю с'п. Поскольку кольцо Z[c,, ..., cm;
c'v ..., с^] является областью с однозначным разложением на
множители, отсюда следует, что эти полиномы сравнимы и по
модулю стс'п, т. е.
Рт,п(С1 Cm>C'l Сп) =
для некоторого полинома и. Здесь полином и должен иметь ну-
нулевую размерность и, следовательно, быть целым числом, так
как в противном случае сумма Уитни Yf1® Y" имела бы нену-
ненулевые классы Чженя в размерностях, больших чем 2(т + л).
Но старший класс Чженя ст+я(софф) может быть отож-
отождествлен с классом Эйлера
и, следовательно, равен cm(a>)cn(<p) (см. свойство 9.6 и обсуж-
обсуждение после леммы 14.1). Таким образом, коэффициент и дол-
жен быть нулем, и мы тем самым доказали формулу произведе-
произведения A4.7). ¦
Двойственные и сопряженные расслоения
Пусть со — комплексное векторное расслоение. Сопряженное
расслоение со определяется как комплексное векторное расслое-
расслоение с тем же самым овеществлением
но с «противоположной» комплексной структурой. Таким обра-
образом, тождественное отображение f: Е((а)— Е(ё) является анти-
антилинейным, т. е.
/(М-я/(о)

140 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
для любого комплексного числа X и любого вектора ое?(ш)
(здесь Я обозначает число, комплексно сопряженное с А,).
В частности, f(iv)= —if(v).
Для примера рассмотрим касательное расслоение т1 комп-
комплексного многообразия Р1(С). (Если игнорировать комплекс-
комплексную структуру, то это — в точности касательное расслоение
к двумерной сфере.) Расслоение т1 не изоморфно своему со-
сопряженному расслоению т1. Действительно, изоморфизм т1 ->
-»¦ т1 задавал бы для каждой касательной плоскости к двумер-
двумерной сфере отображение на себя, «обращающее» комплексную
структуру. Очевидно, что каждое такое отображение получает-
получается при помощи отражения относительно некоторой однозначно
определенной прямой в этой касательной плоскости. Однако,
как следует из свойства 9.3, двумерная сфера не допускает не-
непрерывного поля касательных прямых.
Классы Чженя сопряженного расслоения можно вычислить
следующим образом.
Лемма 14.9. Класс Чженя с/,(й) равен классу (—1)*с*(со).
Следовательно, с(й)=1— ci((o) + C2(a)) 1- ... ±сл((о).
Доказательство. Для произвольного слоя F расслоения со
выберем базис v\, ..., vn над С. Тогда базис vi, ivu ..., vn,ivn
лежащего в его основе вещественного векторного пространства
fR определяет отмеченную ориентацию FH. Аналогично базис
v 1, —iv\, ..., vn, —ivn определяет отмеченную ориентацию со-
сопряженного векторного пространства. Таким образом, два
ориентированных вещественных векторных расслоения raR и raR
имеют одну и ту же ориентацию, если п четно, и противопо-
противоположные ориентации, если п нечетно. Отсюда сразу следует,
что старший класс Чженя
равен (—1)пСя(й). Чтобы вычислить класс с*(ш) для k <. п,
напомним, что по определению ck (и) = (я^) ck (и0), где соо —
каноническое (п—1)-мерное расслоение над пространством
ЕосЕ(<а). Легко проверить, что сопряженное расслоение щ
канонически изоморфно расслоению (га) о, поэтому непосред-
непосредственная индукция показывает, что
с*(п) = (-1)*с*Н
для всех k. Ш
С понятием сопряженного расслоения й тесно связано по-
понятие двойственного расслоения Нотс (со, С). По определению

§ 14. Классы Чженя 141
это — комплексное векторное расслоение над тем же базисным
пространством, типичный слой которого является двойствен-
двойственным комплексным пространством Homc (F, С) для соответствую-
соответствующего слоя f расслоения со (ср. с аналогичной конструкцией для
вещественных векторных расслоений в § 3, п. (f)). Для упро-
щения обозначений мы будем обычно опускать индекс С.
Заметим, что, если комплексное векторное расслоение со
обладает эрмитовой метрикой, то его двойственное расслоение
Нот (со, С) канонически изоморфно сопряженному расслоению
й. Действительно, если мы имеем эрмитово скалярное произве-
произведение
<»,, о,) е С
на типичном слое F, линейное по первому переменному и ан-
антилинейное по второму, то соответствие
задает изоморфизм сопряженного векторного пространства Р
с двойственным векторным пространством Hom(F, С).
Касательное расслоение
комплексного проективного пространства
В качестве приложения рассмотрим касательное расслоение
т" проективного пространства РЯ(С).
Теорема 14,10. Полный класс Чженя с(т") равен A + а)п+\
где а — соответствующим образом выбранная образующая груп-
группы когомологий Я2(Р2(С); Z).
В действительности, как мы увидим ниже, элемент а равен
взятой со знаком минус образующей Ci(yl), использованной
в теореме 14.4.
Доказательство. Пусть ¦у1=71(Ся+1)— каноническое линей-
ное расслоение над проективным пространством Рп(С) и <вя—
его ортогональное дополнение, построенное при помощи стан-
стандартной эрмитовой метрики в комплексном пространстве С+1,
так что сумма Уитни 71 Ф <*>" является тривиальным комплекс-
комплексным (п + 1)-мерным расслоением над РЯ(С). Мы утверждаем,
что комплексное векторное расслоение
Нотс(У, ю")
можно отождествить с касательным расслоением т" проектив-
проективного пространства РЯ(С). Действительно, если L — комплекс-
комплексная прямая, проходящая через начало координат Cn+1, и L1 —
ее ортогональное дополнение, то векторное пространство

142 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Hom(L, L1) можно отождествить (комплексно-аналитически)
с окрестностью прямой L в пространстве Р"(С), состоящей из
всех прямых U, которые могут служить графиками линейных
отображений прямой L в пространство L1 (см. леммы 4.4 и 5.1,
а также задачу 5.В). Отсюда легко следует, что касательное
пространство многообразия Р"(С) в точке L можно отождест-
отождествить с пространством Hom(L,L1) и, следовательно, расслоение
т" изоморфно расслоению НотG1,юп).
Добавляя теперь тривиальное расслоение е1 & Нот (у1, у1)
к обеим частям соотношения тп ё* Hom(v', ш"), получаем, что
т"фе' et Horn (y1, ю"ф y1) s Нот (y1, е1 ф ... фе1),
откуда ясно, что расслоение т" ф е1 может быть отождествлено
с суммой Уитни п + 1 экземпляров двойственного расслоения
Нот^1, е1)^ у1. Таким образом, согласно лемме 14.9, полный
класс Чженя с(т")= с(хп ф е1) равен c(y1)"+1 =A —
(y))
Чтобы завершить доказательство, остается положить а
(') ¦
Замечание. Из теоремы 14.10 следует, что старший класс
Чженя сп(хп) равен (п + \)ап. Следовательно, число Эйлера
в [Рп (С)] = сп [Рп (С)] = (сп (хп), ц2п)
равно п+ 1 со знаком sign<a", |л2л>== ±1. Здесь ц2п обозначает
фундаментальный гомологический класс многообразия Р"(С).
Вычисляя это число Эйлера согласно следствию 11.12, полу-
получаем, что оно равно
? (- 1)' ранг Я' (Рп (С)) = п + 1
и, следовательно, знаковый множитель sign<a", (Л2л> в действи-
действительности равен +1- Таким образом, элемент ап в точности сов-
совпадает с образующей группы когомологий Н2л(Р"(С); Z), со-
согласованной с отмеченной ориентацией комплексного многооб-
многообразия Р"(С).
В заключение несколько задач для читателя.
Задача 14.А. Используя лемму 14.9, дать другое доказа-
доказательство того, что касательное расслоение многообразия Р1 (С)
не изоморфно своему сопряженному расслоению.
Задача 14.В. Доказать по индукции, используя свойство 9.5,
что коэффициентный гомоморфизм Н'(В;2)-*Н'(В;2/2) ото-
отображает полный класс Чженя с(ш) в полный класс Штифеля —
Уитни ffi)(coR). Показать, в частности, что нечетномерные клас-
классы Штифеля — Уитни вещественного расслоения ©R равны нулю,

§ 15. Классы Понтрягина 143
Задача 14.С. Пусть Vn-q(Cn) обозначает комплексное много-
многообразие Штифеля, состоящее из всех комплексных (л — q) -ре-
-реперов в комплексном л-мерном пространстве С", где 0 ^ q < л.
Согласно [Стинрод, п. 25.7], это многообразие 2^-связно и
Для данного комплексного л-мерного расслоения ю над кле-
клеточным разбиением В с типичным слоем F построить ассоции-
ассоциированное расслоение Vn-q(®) над В с типичным слоем Vn-q(F).
Показать, что первое препятствие к существованию сечения
расслоения У„_,(ш) равно когомологическому классу из группы
H2"+2(B;{n2q+1Vn_q(F)}),
который можно отождествить с классом Чженя
Задача 14.D. По аналогии с § 6 построить клеточное раз-
разбиение комплексного многообразия Грассмана Gn(C°°) с числом
клеток в размерности 2k, равным числу разбиений числа k
на не более чем п целых положительных чисел.
Показать, что класс Чженя Ck(y") соответствует коциклу,
который принимает значение ±1 на клетке Шуберта, отвечаю-
отвечающей разбиению 11 ... 1 числа k, и нуль — на всех других клет-
клетках. (Ср. с задачей 6.С.)
Задача 14.Е. Показать по аналогии с конструкцией классов
Чженя, что можно определить классы Штифеля — Уитни веще-
вещественных л-мерных расслоений по индукции при помощи фор-
формулы о><A) = (яа)~' wt (|o) для i < л. Старший же класс Шти-
Штифеля— Уитни о>л(?) должен быть построен в соответствии с
процедурой, указанной в § 9 на стр. 85, как mod 2-аналог клас-
класса Эйлера. [При таком подходе возникает некоторая трудность
при доказательстве того, что класс wn-\ (\0) принадлежит об-
образу гомоморфизма щ. Достаточно показать, что ограничение
класса a/n-i(io) на каждый слой Fo равно нулю, или, эквива-
эквивалентно, что для касательного расслоения т (п— 1)-мерной сфе-
сферы класс Штифеля — Уитни wn-\(x) равен нулю (ср. пример 1
на стр. 39). В этом месте существенно, что рассматриваются
коэффициенты по модулю 2, поскольку, вообще говоря, е(х)ф
Ф 0.] Используя эту конструкцию классов Штифеля — Уитни,
проверить аксиомы из § 4 без привлечения квадратов Стин-
рода.
§ 15. КЛАССЫ ПОНТРЯГИНА
Для дальнейшего изучения вещественных векторных рас-
расслоений нам будет нужна следующая конструкция. Пусть V —
вещественное векторное пространство. Тогда тензорное произ-

144 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ведение V <8> С = V <8> RC пространства V на поле комплексных
чисел С представляет собой комплексное векторное простран-
пространство, называемое комплексификацией V. Применяя эту кон-
конструкцию к каждому слою F вещественного n-мерного расслое-
расслоения |, мы получаем комплексное n-мерное расслоение с типич-
типичным слоем F <8> С над тем же базисным пространством. Мы
будем обозначать это новое расслоение \ <8> С и называть комп-
комплексификацией вещественного векторного расслоения 1.
Заметим, что любой элемент комплексного векторного про-
пространства F ® С может быть однозначно записан в виде суммы
х + iy, где х, yef. Используя это разложение в веществен-
вещественную прямую сумму
F ®C
заключаем, что овеществленное векторное расслоение (? ® С) к
канонически изоморфно сумме Уитни | © ?.
Очевидно, что комплексная структура на расслоении ? <8> С
соответствует комплексной структуре
/ (х, у) = (- у, х)
на сумме Уитни ? ф %.
Лемма 15.1. Комплексификация ? ® С вещественного век-
векторного расслоения ? всегда изоморфна своему сопряженному
расслоению I ® С.
Доказательство. Соответствие f: х + iy *~> х — iy определяет
гомеоморфизм пространства расслоения ?(?®С) на себя, ко-
который на каждом слое R-лйнеен и удовлетворяет тождеству
f(( )) f( + )M
Теперь рассмотрим полный класс Чженя
с (| <8> С) = 1 + сх (| ® С) + с2 (I ® С) + ... + сп (| ® С)
этого комплексифицированного n-мерного расслоения. Прирав-
Приравнивая его классу
> С) — + • • • ± с„ (| ® С)
(см. лемму 14.9), получаем, что все нечетномерные классы
Чженя
Cift®C), cs(S®C), ...
являются элементами порядка 2 (см. задачу 15.D).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Игнорируя эти элементы порядка 2, опре-
определим 1-й класс Понтрягина

§ 15. Классы Понтрягина 145
вещественного расслоения ? равным целочисленному когомо-
когомологическому классу
Знак (—1)' вводится здесь для того, чтобы избежать появления
знакового множителя в последующих формулах (см. при-
пример 15.6 и следствие 15.8). Очевидно, что для i > n/2 класс
Piil) нулевой. Полный класс Понтрягина полагается равным
следующей единице кольца НП(В; Z):
Здесь [п/2] обозначает целую часть (наибольшее целое число,
меньшее или равное) п/2.
Лемма 15.2. Классы Понтрягина естественны относительно
послойных отображений. Далее, если е* — тривиальное k-мер'
ное расслоение, то р(| ф е*)= р{1).
Доказательство. Это немедленно следует из лемм 14.2 и
14.3. ¦
Хотелось бы, чтобы по аналогии с другими уже изученными
характеристическими классами и классы Понтрягина удовлет-
удовлетворяли формуле произведения. Здесь, однако, существует неко-
некоторая трудность, связанная с тем, что нечетномерные классы
Чженя расслоения | ® С были нами отброшены, и самое луч-
лучшее, что мы можем получить, это следующее утверждение.
Теорема 15.3. Полный класс Понтрягина р (? ф ц) суммы
Уитни двух вещественных расслоений ? и г\ сравним с произ-
произведением р(%)р{ц) по модулю элементов порядка 2. Другими
словами,
Доказательство. Так как расслоение (^Фл)®С, очевидно,
изоморфно (| <8> С)©(п ® С), то
ск ((!© Л) ® С) = j+S k ct (I <g> С) с, fa <g> С).
Отбрасывая нечетномерные классы Чженя, которые являются
элементами второго порядка, получаем сравнение
по модулю элементов второго порядка. Умножая обе стороны
этого сравнения на коэффициент (—1)* =(—!)'(—1)/, полу*

146 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
чаем требуемую формулу
Пример. Для касательного расслоения т" л-мерной сферы
сумма Уитни т" ® v1 ?* т" © е1 тривиальна, и из леммы 15.2
следует, что полный класс Понтрягина р(т") равен 1.
Таким образом, классы Понтрягина касательного расслое-
расслоения сферы не интересны. Чтобы получить интересные примеры,
рассмотрим комплексные проективные пространства. Но сна*
чала нам надо несколько глубже изучить связь между классами
Понтрягина и классами Чженя.
Мы имеем перед собой ситуацию, которую схематически
можно изобразить следующей диаграммой:
ериентиро-
ванные
рассло-
расслоения
Отправляясь от вещественного n-мерного расслоения §, мы мо-
можем образовать соответствующее комплексное n-мерное рас-
расслоение I ® С. Затем, «забывая» комплексную структуру, мы
получаем лежащее в основе вещественное 2/г-мерное расслое-
расслоение (| <8> C)R с канонической отмеченной ориентацией. Наконец,
«забывая» ориентацию, мы приходим к вещественному 2/г-мер-
ному расслоению, которое можно просто отождествить с сум-
суммой Уитни % ф ?.
Ясно, однако, что указанная процедура представляет собой
замкнутый цикл, и мы можем с одинаковым успехом начать
наши построения с любого другого места. После полного об-
обхода по циклу мы получим новое расслоение того же типа
(комплексное или ориентированное), что и исходное расслое-
расслоение, но удвоенной по сравнению с ним размерности. Предполо-
Предположим, например, что мы начинаем с комплексного расслоения.
Лемма 15.4. Для любого комплексного векторного расслое-
расслоения со комплексификация a>R <8> С его овеществления ©R канони-
канонически изоморфна сумме Уитни ю ф <д.
Доказательство. Напомним, что для любого вещественного
векторного пространства V его комплексификация V ф С кано-

§ IS. Классы Понтрягина 147
нически изоморфна прямой сумме V ф V, которая превращает-
превращается в комплексное векторное пространство введением комплекс-
комплексной структуры / (х, у) = (—г/, х).
Теперь предположим, что V = -FR, где F — типичный слой
некоторого комплексного векторного расслоения. Легко прове-
проверить, что соответствие g: х*—>(х,—ix) определяет комплексно-
линейное отображение F в V © V, т. е. g{ix) = J(g(x)). Ана-
Аналогично соответствие
h: х I—*• {х, ix)
определяет антилинейное отображение F в V ф V. Так как лю-
любая точка (х, у) пространства F ф V = FR <8> С может быть од-
однозначно представлена как сумма
элемента из g(F) и элемента из h(F), то мы видим, что про-
пространство FR ® С канонически изоморфно как комплексное век-
векторное пространство прямой сумме F ф F. Поскольку это верно
для каждого слоя F расслоения ш, то мы получаем требуемый
канонический изоморфизм комплексных векторных расслоений
® Сф ¦
Следствие 15.5. Для любого комплексного п-мерного рас-
расслоения со классы Понтрягина pk (coR) определяются через клас-
классы Чженя ci (ю) по формуле
1—р1 + р2 — +...±Рп =
= A — d + с2 — + ... ± с„) A + ^ + с2 + ... + сп).
Таким образом, класс Понтрягина pk (»R) равен
ck (иJ — 2cft_! (со) cft+i (ю) + — ... ± 2сi (со) c2k-i (и) qp 2c2k (ю).
Доказательство. Это непосредственно следует из леммы 15.4,
если учесть теорему 14.7 и лемму 14.9. ¦
Пример 15.6. Пусть т — касательное расслоение комплекс-
комплексного проективного пространства Р"(С). Так как полный класс
Чженя с(т) равен A + a)n+1 (см. теорему 14.10), то классы
Понтрягина задаются формулой
1 — pi + р2 —\- ... ± Рп =
= A-с, + --.- ±с„)A+с,+ ... +с„) =

M8 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Следовательно, полный класс Понтрягина 1 + pi + ... + рп
равен A + a2)n+l. Другими словами,
для 1 ^ k ^ п/2, а классы Понтрягина более высокой размер-
размерности равны нулю, ибо #4*(P"(C)) = 0 для k > п/2. Мы ис-
используем здесь сокращение Рк(М) для классов Понтрягина
pk (т (M)R) комплексного многообразия М. Таким образом,
р(Р'(С)) = 1,
р(Р2(С))=1+За2,
р(Р3(С))=1+4а2,
=1 + 6а2+15а4,
р (F* (с)) = 1 + 7а2 + 21а4 + 35а6
и т. д. Из этих примеров видно, что классы Понтрягина вполне
могут быть ненулевыми.
Теперь предположим, что мы начинаем с ориентированного
n-мерного расслоения |. Комплексифицируя, а затем овеществ-
овеществляя, мы получаем 2п-мерное расслоение (|<8>C)R с отмеченной
ориентацией (согласно лемме 14.1).
Лемма 15.7. Вещественное 2п-мерное расслоение (| <8> C)R изо-
изоморфно сумме Уитни ? ф ? при изоморфизме, который либо
сохраняет, либо обращает ориентацию, в зависимости от того,
четно или нечетно число п(п— 1)/2.
Доказательство. Пусть v\, ..., vn — упорядоченный базис
типичного слоя F расслоения |. Тогда векторы v\, iv\ vn,
ivn образуют упорядоченный базис, определяющий отмеченную
ориентацию пространства (F ® C)R. Отождествляя это про-
пространство с вещественной прямой суммой F ф iF ?ё F ф F, по-
получаем, что базис v\, ..., vn для F с выписанным следом за
ним базисом iv\, ..., ivn для iF задают тот же, но по-другому
упорядоченный базис для (F <8> C)R. Очевидно, что перестанов-
перестановка, которая переводит один упорядоченный базис в другой,
имеет знак (—i)(«-i)+(«-2)+...+i =(_i)n(»-D/2. ¦
Следствие 15.8. Для всякого ориентированного Ik-мерного
расслоения ? класс Понтрягина рл(|) равен квадрату класса
Эйлера е{\\.

§ 15. Классы Понтрягина 149
Доказательство. По определению класс Понтрягина р&(|) ра-
равен (— \)к с2к (I ® С) = (— 1)& е ((| <8> C)R). Однако, согласно лем-
лемме 15.7 и свойству 9.6, класс Эйлера e((?<8>C)R) равен классу
e{t®l) = e(lf, умноженному на коэффициент (—1J*B*)/2 =
= (-1)*. ¦
Когомологии ориентированного многообразия
Грассмана
Напомним, что Gn = Gn{R°°) обозначает пространство ориен-
ориентированных n-мерных линейных подпространств в R°°. (Обычно
для этого классифицирующего пространства используется обо*
значение BSO(n).) Мы будем изучать когомологии простран-
пространства Gn с коэффициентами в некоторой области целостности
Л, содержащей 'Д. Такой выбор области коэффициентов обес-
обеспечивает избавление от 2-кручения. «Универсальным» приме-
примером такой области Л служит кольцо Z[y2]. Однако наши рас-
рассуждения могут быть с одинаковым успехом проведены и когда
область коэффициентов есть поле рациональных чисел Q или
вообще любое поле характеристики Ф2. Результат будет лишь
чуть сложнее, чем в случае колец//*(Gn(R°°); Z/2), H*(Gn(R°°);
Z/2) и #*(G,,(C°°); Z), которые мы уже вычислили '.
Теорема 15.9. Если Л— область целостности, содержащая
'/г, то кольцо когомологии H*(G2m+\(R°°); Л) является кольцом
полиномов над Л, порожденным классами Понтрягина
Pi(y2m+1), ..., Pm(v2m+1).
Аналогично кольцо когомологии Н* (C2m(R°°)', Л) представ-
представляет собой кольцо полиномов над Л, порожденное классами
Понтрягина Р\(у2т), ..., Pm-i(v2m) u классом Эйлера е(у2гп).
Другими словами, для любого значения п, четного или не-
нечетного, кольцо H*(Gn;A) порождено характеристическими
классами ри ..., р\пп\ и е. Эти образующие подчинены только
следующим соотношениям:
е = 0, если п нечетно,
е2 = рп/2> если п четно
(ср. с 9.4 и 15.8). Относительно соответствующего результата
для целочисленной области коэффициентов см. задачу 15.С.
Доказательство (индукцией по п). Для /г = 1 пространство
Gi(^N), очевидно, гомеоморфно единичной сфере S"-1 и, еле-
1 См. соответственно теоремы 7.1, 12,4 и 14.5 — Прим. перев.

150 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
довательно, имеет когомологии точки в размерностях ^Л/ — 2.
Переходя к пределу при N —> оо, получаем, что пространство
Ci(R°°) имеет когомологии точки во всех размерностях.
Предположим, что утверждение теоремы выполнено для
пространства Gn-\. Точно также как в комплексном случае (см.
теорему 14.5), имеет место точная последовательность
... -> Н' (Gn) ?U л«+» (О„) -X я'+« (&„.,) -> Я'+« E0 -> ...,
где е обозначает класс Эйлера е(\п) и кольцевой гомоморфизм
А = (/*)"' п*0 переводит классы Понтрягина расслоения у" в
классы Понтрягина расслоения у"- Подразумевается, что
кольцом коэффициентов служит Л.
Случай 1. Если п четно, то рассуждения совершенно анало-
аналогичны рассуждениям, примененным при доказательстве теоре-
теоремы 14.5. Данная точная последовательность сводится к корот-
короткой точной последовательности
где группа когомологии пространства <3n-i является кольцом
полиномов, порожденным классами pi, р%, ..., р(П/2)-\. Отсюда
легко следует, что кольцо H*(Gn) есть кольцо полиномов от
требуемых образующих р\ Pw2)-i и е.
Случай 2. Предположим, что п нечетно, скажем п = 2/я + 1.
Тогда класс Эйлера е(\п) с коэффициентами в Л равен нулю,
поэтому наша точная последовательность сводится к короткой
точной последовательности
0 -* Я' (G2m+I) -Л. Н> (G2m) -* Я' (б2т+1) -+ 0.
Следовательно, кольцо H*(Gim+\) можно рассматривать как
подкольцо кольца H*(G2m).
Нам будет удобно ввести сокращенное обозначение А* для
подалгебры полиномов A[pi(y2m) pn(y2m)]c: H*(Gim).
Очевидно, A* d%(H*(G2m+i)). Наша задача — доказать, что на
самом деле здесь имеет место равенство.
Ясно, конечно, что для каждой размерности / справедливо
неравенство
A) ранг А1 < ранг Н1 (G2m+i).
(Здесь под рангом, Л-модуля понимается максимальное число
линейно независимых над Л элементов; см. [Эйленберг, Стин-
Род].)
Используя предположение индукции, легко получаем, что
любой элемент группы H^G^n) может быть однозначно запи-

§ 15. Классы Понтрягина 151
сан в виде суммы а + еа', где а е А1, а' е А1-2. (Здесь е обо-
обозначает класс Эйлера расслоения у2т; е2 — рт.) Из этого раз-
разложения в прямую сумму #/(<32т)= А1!©А'-2я1 вытекает, что
B) ранг Н'F2т) = ргнт Л'+ранг А1'2-
С другой стороны, из рассмотрения указанной выше короткой
точной последовательности видно, что
C) ранг Н> (G2m) = ранг Н1 (G2m+I) + ранг H'~2m (G2m+1).
Комбинируя формулы A) — C), получаем
ранг А1 = ранг Н1 (G2m+1).
Но отсюда следует, что группа Л' в действительности равна
образу A,(#'(<32m+i)). Действительно, в противном случае этот
образ содержал бы сумму а + е (у2™) а'', где а'ФО. Между
этим новым элементом и базисными элементами из А1 не мо-
может существовать никакого линейного соотношения, и поэтому
неравенство A) должно было бы быть строгим, что приводит
к противоречию. ¦
Как обычно, приведем в заключение несколько задач для
читателя.
Задача 15.А. Используя задачу 14.В, доказать, что приве-
приведенный по модулю 2 класс Понтрягина р,-(|) равен квадрату
класса Штифеля — Уитни о>2<A).
Задача 15.В. Показать, что кольцо когомологий Я*(ОЧ(КО°);
Л) является кольцом полиномов над Л, порожденным клас-
классами Понтрягина pi(yn), ..., P[n/2](v")- [Более общо, показать,
что для любого двукратного накрытия 1-»Х с накрывающей
трансляцией t: К -*¦ X группа когомологий Н* (X; Л) может
быть отождествлена с множеством неподвижных точек инволю-
инволюции t*: Н* (Я; Л) -> Я* (X; Л).]
Задача 15.С. Вычислить когомологий коцепного комплекса
#*(G2m+i(R°°); Z/2) относительно дифференциала Sq1. [To есть
вычислить группу ker Sq'/im Sq1. Для этого полезно предста-
представить кольцо когомологий #*(G2m+i(R°°); Z/2) в виде тензор-
тензорного произведения кольца полиномов от образующей W\ и
кольца полиномов от образующих w2i и Sq1 W2i, I ^ i ^ т.]
Доказать, используя точную последовательность Бокштейна
...->H'(;Z)-1+H'(;Z)JUH'(; г/2)Ля'+1(; Z)->...,
где pop = Sq' (см. [Стинрод, Эпстейнс, стр. 2]), что кольцо
//*(G2m+i(R°°); Z) аддитивно расщепляется в прямую сумму

152 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
кольца полиномов Х[ри ¦¦-, Рт] и образа гомоморфизма р. До-
Доказать аналогичное утверждение для многообразий Грассмана
G2m(R°°) и C4R00).
Задача 15.D. Используя предыдущую задачу, доказать, что
нечетномерные классы Чженя расслоения | ® С вычисляются
по формулам
Аналогично доказать, что для ориентированного Bk + 1)-мер<
ного расслоения ?
§ 16. ЧИСЛА ЧЖЕНЯ И ЧИСЛА ПОНТРЯГИНА
По аналогии с числами Штифеля — Уитни компактного мно-
многообразия, введенными в §4, в этом параграфе будут введены
числа Чженя компактного комплексного многообразия и числа
Понтрягина компактного ориентированного многообразия. Все
многообразия предполагаются гладкими.
Разбиения
Напомним, что, согласно определению 6.6, разбиением не-
неотрицательного целого числа k называется всякая неупорядо-
неупорядоченная последовательность / = i\i2 ... и положительных це-
целых чисел, в сумме дающих k. Пусть / = ixi2 ... и — разбие-
разбиение числа k и / = /i /2 ¦ • • js — разбиение числа /. Тогда «объ-
«объединенная» неупорядоченная последовательность
// = iji2 ... Шг ... и
будет разбиением числа k + /. Эта операция композиции двух
разбиений ассоциативна, коммутативна и имеет в качестве еди-
единичного элемента пустое разбиение нуля, которое мы будем
обозначать символом пустого множества 0. (На более техни-
техническом языке, множество всех разбиений всех неотрицатель-
неотрицательных целых чисел можно рассматривать как свободный комму-
коммутативный моноид с образующими 1, 2, 3 )
В множестве всех разбиений можно следующим образом
ввести отношение (частичного) порядка. Измельчением разбие-
разбиения iii2 ... и называется всякое разбиение, которое можно
записать как композицию /i/2 ... Ir, где каждое // является
разбиением числа i/. Если /i/2 ... js — измельчение разбиения
цц ... ir, то, конечно, s ^ г,

§ 16. Числа Чженя и числа Понтрягина 153
Числа Чженя
Пусть Кп — компактное комплексное многообразие комп-
комплексной размерности п. Для каждого разбиения / = i\i2 ... и
числа п определим 1-е число Чженя
как целое число, равное
Здесь хп обозначает касательное расслоение многообразия Кп,
a \i2n — фундаментальный гомологический класс, определяемый
отмеченной ориентацией. Примем соглашение, что С[[Кп] равно
нулю, если / есть разбиение целого числа, отличного от п.
Например, для комплексного проективного пространства
Р»(С)
/+
для любого разбиения Ц2 • •. ir числа п, так как q(t") =
= ( . \а{ и {ап, И2л) = +1. согласно теореме 14.10.
Всякое комплексное одномерное многообразие К} имеет
только одно число Чженя, а именно эйлерову характеристику
]
У комплексных двумерных многообразий К2 существует два
числа Чженя, а именно С\С\[К2] и эйлерова характеристика
Сг[/B]. В общем случае комплексное л-мерное многообразие
имеет р(п) чисел Чженя, где р{п) — число различных разбие-
разбиений числа п (см. определение 6.6). Как мы увидим ниже (см.
теорему 16.7), эти р(п) чисел Чженя линейно независимы, т. е.
между ними нет никаких линейных соотношений, которые вы-
выполнялись бы одновременно для всех комплексных «-мерных
многообразий.
Существует иной подход к классам Чженя, важный во мно-
многих случаях. Заметим, что группа когомологий H2n(Gn(C°°)\ Z)
является свободной абелевой группой ранга р(п). Произведе-
Произведения классов Чженя cil (Yn) ••• c^(y")> где i\ ... ir пробегает
всевозможные разбиения числа п, образуют базис этой груп-
группы. Для каждого комплексного многообразия Кп касательное
расслоение т" «классифицируется» отображением

1S4 Дж. Милнор и Мж. Сташеф
таким, что f* (уп) ^ т". При помощи этого классифицирующего
отображения f фундаментальный гомологический класс цъп
многообразия К" определяет некоторый гомологический класс
Ыигл) в свободной абелевой группе Я2л(С?л(С00); Z) ранга
р(п). Чтобы найти этот класс /»(ti2n), достаточно вычислить
р(п) индексов Кронекера
поскольку всевозможные произведения ct (у") ... ct (y") обра-
образуют базис соответствующей группы когомологий. Но каждый
такой индекс Кронекера равен числу Чжеия
Этот подход показывает, что не обязательно использовать
базис {^(Y") ••• ctr(Vn)} группы Н2п{Gn(С00); Z). Любой дру-
другой базис был бы так же хорош. Позднее мы как раз будем
использовать другой базис этой группы.
Числа Понтрягина
Теперь рассмотрим гладкое компактное ориентированное
многообразие Min. Для каждого разбиения / = й ... i, числа п
определим 7-е число Понтрягина
как целое число, равное
Здесь т4" обозначает касательное расслоение, а щп — фунда-
фундаментальный гомологический класс многообразия Min.
Например, комплексное проективное пространство Р2"(С),
если забыть о его комплексной структуре, представляет собой
компактное ориентированное многообразие вещественной раз-
размерности An. Числа Понтрягина этого многообразия задаются
формулой
что легко проверить, используя пример 15.6.
Заметим, что, если обратить ориентацию многообразия М4",
то классы Понтрягина не изменятся, а фундаментальный гомо-
гомологический класс Ц4п изменит знак. Следовательно, каждое

§ 16. Числа Чженя и числа Понтрягина 155
число Понтрягина
также изменит знак. Таким образом, если логь од«о число Пон-
Понтрягина pi{ ... Р;ДМ4"] отлично от нуля, то у многообразия
Min не существует диффеоморфизма на себя, обращающего
ориентацию.
Например, у комплексного проективного пространства
Р2п(С) не существует диффеоморфизма на себя, обращающего
ориентацию. (С другой стороны, комплексное проективное про-
пространство Р2п+1(С) обладает обращающим ориентацию диф-
диффеоморфизмом, который порождается операцией комплексного
сопряжения.)
Такое поведение чисел Понтрягина прямо противоположно
поведению числа Эйлера е[М2п], остающегося неизменным при
изменении ориентации. Скажем, четномерная сфера S2n, у кото-
которой e[S2n] =5^0, очевидно, допускает диффеоморфизм, обращаю-
обращающий ориентацию.
Далее, если некоторое число Понтрягина р{ ... pt [M4n] не
равно нулю, то, рассуждая точно так же, как в случае теоремы
4.9, мы убеждаемся, что многообразие М4п не может быть гра-
границей никакого гладкого компактного ориентированного
Dп+1)-мерного многообразия с границей (ср. § 17). Напри-
Например, проективное пространство Р2п(С) не может быть ориенти-
ориентированной границей. Более того, дизъюнктное объединение
Р2л(С) + ... +Р2п(С) любого числа экземпляров многообразия
Р2п(С) не может быть ориентированной границей, поскольку /-е
число Понтрягина такого ^-кратного объединения равно /-му
числу Понтрягина самого многообразия Р2п(С), умноженному
на k. И опять это рассуждение не проходит для случая Р2п+'(С).
(Фактически проективное пространство Р2л+1(С) является про-
пространством расслоения над кватернионным проективным про-
пространством со слоем-окружностью и, следовательно, служит гра-
границей ассоциированного расслоения со слоем-диском.)
Соответствующее утверждение для числа Эйлера и в этом
случае неверно. Так, e[S2n] =?0, хотя сфера 52", очевидно, яв-
является границей ориентированного многообразия.
Все эти наблюдения принадлежат Понтрягину.
Симметрические функции
Описываемая ниже классическая алгебраическая техника
даст нам возможность определить некоторые полезные линей-
линейные комбинации чисел Чженя или чисел Понтрягина и работать
с ними.

156 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Пусть t\, ..., U — независимые переменные. Полином
f(ti, ..., tn), скажем с целыми коэффициентами, называется
симметрической функцией, если он инвариантен относительно
всех перестановок переменных t\ tn- Таким образом, сим-
симметрические функции образуют подкольцо
^cZ[/,, .... tn].
Хорошо известная фундаментальная теорема общей алгебры ут-
утверждает, что это подкольцо 91 само является кольцом полино-
полиномов от п алгебраически независимых образующих:
^ = Z[(T, ап],
где Gk = ok(ti, ..., tn) обозначает k-ю элементарную симметри-
симметрическую функцию, однозначно характеризуемую следующим
условием: аи есть однородный полином степени k от переменных
h, .... tn и
(ср. с леммой 7.2).
Если мы превратим кольцо Z[7i, ..., tn) в градуированное
кольцо, полагая, что степень каждой переменной ti равна 1, то,
очевидно, симметрические функции образуют градуированное
подкольцо 9'*=Z[ct\ а„], где каждый полином а*, имеет
степень k. Таким образом, мономы
а, ,
где t'i, ..., и пробегает все разбиения числа k на целые положи-
положительные числа, не превосходящие п, образуют базис аддитив-
аддитивной группы 9"k, состоящей из однородных симметрических поли-
полиномов степени k от переменных U, ..., tn-
Другой и весьма полезный базис может быть построен сле-
следующим образом. Назовем два монома от переменных t\, t2, ...
..., tn эквивалентными, если некоторой перестановкой перемен-
переменных t\, ..., tn один из них преобразуется в другой. Обозначим
через 2'?' • • • fy сумму всех мономов от переменных t\, ..., tr,
эквивалентных моному t"xl ... f/. Используя это обозначение,
мы можем, например, записать ак — 2] t{t2 ... tk.
Лемма 16.1. Полиномы ?/"' ... t°r, где а\ ... аг пробегает
все разбиения числа k длины г ^п, образуют аддитивный ба-
базис группы 9>к однородных симметрических полиномов степени
k от переменных t\, ..., tn.
Доказательство не составляет труда. Ш

§ 16, Числа Чженя и числа Понтрягина 157
Теперь для любого разбиения / = м ... и числа k определим
полином Si от k переменных следующим образом. Выберем
n ^ k, так что элементарные симметрические функции а\, ..., or*
от переменных t\, ..., tn алгебраически независимы, и положим
Sj = s{ t равным однозначно определенному полиному от k
переменных о\, ..., въ., для которого
Этот полином не зависит от п, что легко проверить, вводя до-
дополнительные переменные tn+l = ... ==/„' = 0. В действитель-
действительности, даже если n < k, соответствующее тождество
S/(av ..., <т„, 0, .... 0) = Z'{1 •••*'/
остается верным, что проверяется аналогичными рассужде-
рассуждениями.
Если n^sk, то очевидно, что p{k) полиномов Si(oi <г*)
являются линейно независимыми и образуют базис группы 9*к.
Первые двенадцать таких полиномов выписаны ниже:
is
{
f
I.
S2 К
*"k
«12 (^1,
Sill (<*1
s4(o
s>3(°
S22(a
C, tn ((
° 112 \У
^. ^)
^2, 0*3)
> o, a3)
1» a2> a3- a4)
,, cr2, or3, or4)
,, cr2, a3, <y4)
УU <*2, СГЗ> 04
= 0,
-=0?
1
=
=
=
=
—
-2a2,
— ЗСГ,^ Н
0j02-
- 40202 -
a\a2-
h303)
-303,
<*3>
t-20|
-20|
«1
+ 40,03
~ «Vs
0?
— 404,
+ 404>
+ 4,
04.
Относительно дальнейшей информации см. задачу 16.А, а также
[Ван дер Варден, гл. 26, особенно упражнения] и [Макмахон].
Применение этих понятий к классам Чженя и классам Пон-
Понтрягина вполне аналогично применению их к классам Штифе-
ля — Уитни, данному в § 7. Так, если комплексное n-мерное рас-
расслоение ю разбивается в сумму Уитни r)i ф ... фг)„ линейных
расслоений, то формула

1S8 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
показывает, что класс Чженя сь(ю) может быть отождествлен
с &-й элементарной симметрической функцией Ok(ci(r\i), ...
..., Ci(r\n)). «Универсальный» пример суммы Уитни линейных
расслоений доставляется «-кратным прямым произведением
Y1 X • • • X Y1 наД произведением комплексных проективных
пространств Р°°(С)Х ••• У.Р°°(С). Заметим, что кольцо кого-
мологий этого произведения является кольцом полиномов
Z[a\, ..., ап), где каждая образующая ai имеет степень 2 и
Так как элементарные симметрические функции алгебраически
независимы, то кольцо когомологий Я*(б„(С°°); Z) классифи-
цирующего пространства изоморфно отображается на кольцо
симметрических полиномов (это теорема Бореля [Борель, 1953];
ср. с доказательством леммы 7.2). Таким образом, наш новый
базис для 9"* задает новый базис
{sj(clt ..., cft)}
группы когомологий. H2k(Gn(C°°); Z).
Формула произведения
Пусть ш — комплексное n-мерное расслоение с базисным про-
пространством Вис полным классом Чженя с = 1 + с\ + . • • +сп.
Для любого целого числа А>0 и любого разбиения / числа к
класс когомологий
s,{cb .... ck)e=H2k(B;Z)
будем кратко обозначать символом si(c) или s/(c(co)).
Лемма 16.2 (Том). Характеристический класс si(c((o 0 со'))
суммы Уитни о ф ю' равен . .
X Sj(c((u))sk(c(<u%
//с= /
где суммирование ведется по всем разбиениям J и К, компози-
композиция JK которых равна I.
Например, поскольку разбиение числа k, состоящее из одно-
го-единственного элемента, можно представить в виде компо-
композиции лишь двумя тривиальными способами, то мы получаем
следующий результат.
Следствие 16.3. Характеристический класс sfc(c((o ®ю')) сум-
суммы Уитни ю @ (о' равен s* (с (со)) + sft (с (со')). ¦

§ 16. Числа ЧЬкеня и числа Йонтрягина 169
Доказательство леммы 16.2. Рассмотрим кольцо полиномов
[ti tin] от 2п независимых переменных, и пусть о*, (соотв.
) есть k-я элементарная симметрическая функция от пере-
переменных U, ..., U (соотв. tn+\, .... t2n). Положим
< 2 ?*-*
Ясно, что полином <т? в точности равен &-й элементарной сим-
симметрической функции от переменных h, ..., t^. Мы докажем,
что для каждого разбиения / = t"i ... и числа k справедливо
тождество
в, (of. ..., of) = JC; s, (or,, ors, ...) sK (в[, <,...).
Так как классы ov ..., ok, a\, ..., ^алгебраически независи«
мы (в предположении k ^ п, которое мы можем принять), то
из этого тождества вместе с теоремой о произведении для клас-
классов Чженя легко следует утверждение нашей леммы.
По определению элемент
равен сумме всех мономов, которые могут быть записаны в виде
'» ...tlf, где си, ..., аг —попарно различные целые числа,
заключенные между 1 и 2/г. Для каждого такого монома обо-
обозначим через / (соотв. К) разбиение, образованное теми пока-
показателями iq, ДЛЯ КОТОРЫХ 1 ^ <Xq ^ П (СООТВ. П + 1 ^ Ci,, ^ 2rt).
Сумма всех таких мономов, отвечающих данному разложению
JK = I, равна
Sj (crp сг2, ...,) sK (ff{, o'2, ...).
Поскольку каждое такое разложение встречается, это завер-
завершает доказательство. ¦
Теперь рассмотрим компактное комплексное многообразие
Кп комплексной размерности п. Для каждого разбиения / чис«
ла п характеристическое число
будем обозначать si(c)[Kn] или, кратко, si[Kn]. Это характера
стическое число равно, конечно, некоторой линейной комбина-
комбинации чисел Чженя.

160 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Следствие 16.4. Характеристическое число s/[KmX^nl nP°'
изведения комплексных многообразий равно
где суммирование ведется по всем разбиениям h числа m и /2
числа п, композиция /j/г которых равна I.
Доказательство. Касательное расслоение произведения мно-
многообразий Кт X Ln расщепляется в сумму Уитни
где Hi и яг — проекции на сомножители. Следовательно, харак-
характеристическое число
<s; (т X т'), Ц2т X I-4)
равно
В этой формуле нет знаков, так как все фигурирующие в ней
классы четномерны. ¦
В качестве очевидного частного случая получаем
Следствие 16.5. Для всякого произведения Кт X ?" комплекс-
комплексных многообразий размерностей m, n ф 0 характеристическое
число sm+n\_Kmy,Ln\ равно нулю. ¦
Это следствие указывает на важность характеристических
чисел sm [Km]. Приведем пример, показывающий, что это харак-
характеристическое число не всегда равно нулю.
Пример 16.6. Пусть т — касательное расслоение комплекс-
комплексного проективного пространства Рп(С). Так как с(т) = A+а)п+1,
то &-й класс Чженя с*(т) равен k-й элементарной симметриче-
симметрической функции от п+ 1 экземпляров элемента а. Следовательно,
класс Sk(c\, .... с*) равен сумме п+1 экземпляров элемента
k
Взяв k = n, находим
Таким образом, многообразие Рп(С) нельзя представить в виде
прямого произведения комплексных многообразий.
Совершенно аналогичные формулы верны для классов Пон-
трягина и чисел Понтрягина. Если ? — вещественное векторное
расслоение над базисным пространством В, то для каждого раз*

§ 16. Числа Чженя и числа Понтрягана 161
биения / числа п характеристический класс
«/(Pitt), .... Pn(l))^H4n(B;Z)
кратко обозначается S;(p(|)). Из доказательства леммы 16.2
следует, очевидно, справедливость сравнения
sj(p(l))sK(P(t'))
по модулю элементов порядка 2. Поэтому имеет место соответ-
соответствующее равенство
Sj(p)[MXN]= S s,(p)[M]sK(p)[N]
для характеристических чисел. В частности, эти характеристи-
характеристические числа многообразия MXN равны нулю, если размер-
размерность хотя бы одного из многообразий М или N не делится на 4.
Линейная независимость чисел Чженя
и Понтрягина
Следующий основной результат показывает, что между чис-
числами Чженя не существует никаких линейных соотношений.
Теорема 16.7 (Том). Пусть К}, ..., Кп — комплексные много-
многообразия, такие, что 5*(с)[/С*]=т^О. Тогда р(п)Хр(«) -матрица
чисел Чженя, где h ... и и \\ ... js пробегают множество всех
разбиений числа п, является невырожденной.
Согласно примеру 16.6, мы можем взять, например, К? «=
= Р'(С).
Аналогично справедлива
Теорема 16.8 (Том). Если М*, ..., Min — ориентированные
многообразия, такие, что sk(p) [M*k] ф 0, то р(п)Хр(п)-матрица
чисел Понтрягина, где h ... ir и ]\ ... js пробегают множество
всех разбиений числа п, является невырожденной.
Снова мы можем взять в качестве многообразия М4* ком-
комплексное проективное пространство P2fe(C), так как р(т)=*
= A + а2J*+' и, следовательно,
Дж. Милнор, Дж, Ст*шеф

162 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Рассмотрим сначала один пример. Для комплексной размер-
размерности 2, взяв /СЯ = РЯ(С), мы получаем матрицу
чисел Чженя с определителем, равным —12. Ясно, что такой
лобовой подход, состоящий в непосредственном вычислении
матрицы, бесперспективен в общем случае.
Доказательство теорем 16.7 и 16.8. Вместо самих чисел
Чженя мы можем использовать их линейные комбинации si(c).
В качестве очевидного обобщения следствия 16.4 имеем фор-
формулу
| 8, [К'' X ... X К'"] - ? 8, [*''] ...8, [*'*],
q
где суммирование ведется по всем разбиениям 1\ числа /i, /2
числа /2, ..., 1Ч числа /,, композиция /i/2 ... /„ которых равна /.
Таким образом, характеристическое число s,\K ' X • • • X К^\
равно нулю, если разбиение I = 1\ ... и не является измельче-
измельчением разбиения jx ... )q. В частности, оно равно нулю, если
г <q. Таким образом, если разбиения t'i ... i, и /i ... jq соот-
соответствующим образом упорядочить, то матрица
будет треугольной с нулями всюду выше диагонали. Но каж-
каждый диагональный элемент st ( \_К ' X • • • X К г\ очевидно,
равен произведению
Следовательно, наша матрица не вырождена.
Доказательство теоремы 16.8 совершенно аналогично.
В заключение задачи для читателя.
Задача 16.А. Подставляя — U вместо х в тождество
и затем суммируя по /, доказать формулу Ньютона
+ <J2sn_2 — ... =F orn_iS! ± nan = 0.
При помощи этой формулы можно индуктивно вычислять поли-
полиномы Sn{Ol, ..., Оп).

§ 16. Числа Чженя и кисла Понтрягина 163
Взяв логарифм от обеих частей тождества
(l+f1)...(l+/n)=
доказать формулу Жирара
Sk/k =
= Z <-¦>"* ¦•¦
(-l)kSk/k =
Задача 16.В. Характер Чженя ch(co) комплексного «-мерного
расслоения © определяется как формальная сумма
-1
Показать, что характер Чженя характеризуется свойством ад-
аддитивности
ch (со © со') =» ch (со) + ch (©')
вместе со свойством, что ch^1) равен формальному степенному
ряду exp(ci(ri1)) для любого линейного расслоения тI. Пока-
Показать, что характер Чженя является также мультипликативным:
ch (© ® со') «¦= ch (со) ch (©').
(Как и в задаче 7.С, рассмотреть сначала случай двух линей-
линейных расслоений.)
Задача 16.С. Показать, что, если 21\ ... 2и — разбиение чи-
числа 2k на четные целые положительные числа, то 4?-мерный ха-
характеристический класс s2l 2i (с (©)) комплексного векторного
расслоения © равен характеристическому классу s( t (p (©R))
его овеществления ©R. В качестве примеров проверить, что 4k-
мерный класс S2.-2(c(©)) равен классу pk (©R), и показать, что
характеристическое число s2n(c)[K2n] комплексного 2п-мерного
многообразия равно числу sn(p) [К2п].
Задача 16.D. Показать, что, если комплексное многообразие
Кп комплексно-аналитически вложено в /Ся+| и u^H2(Kn+i\ Z) —
когомологический класс, двойственный подмногообразию /С", то
полный класс Чженя с(Кп) касательного расслоения многооб-
многообразия Кп равен ограничению на К" когомологического класса
—~т—-. Показать, что для любого когомологического класса
х еЯ2л(/("+'; Z) индекс Кронекера <хJ /С", м-2«> равен (хи, [х2л+2>-
(См. определение двойственного когомологического класса и'
в § 11 и задачу 11.С) Используя эти конструкции, вычислить
6*

164 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
полный класс Чженя с (Кп) неособой алгебраической гиперпо-
гиперповерхности Кп степени d в комплексном проективном простран-
пространстве Р"+'(С) и доказать, что характеристическое число sn[Kn]
равно d{n + 2 — dn). (Алгебраической гиперповерхностью сте-
степени d называется множество нулей однородного полинома сте-
степени d.)
Задача 16.Е. Аналогично, доказать, что если Нт, „ — неосо-
неособая гиперповерхность степени A, 1) в произведении Рт(С)Х
У.Рп(С) комплексных проективных пространств, где т, п^2,
то характеристическое число sm+n-i[Hm,n] равно —(т + п)\/
/т\п\. Доказать, используя дизъюнктное объединение гиперпо-
гиперповерхностей, что в каждой размерности п существует комплекс-
комплексное многообразие /С", такое, что sn[Kn] = р, если п + 1 есть сте-
степень простого числа р, или sn[Kn] = 1, если п + 1 не является
степенью простого числа. (Теорема Милнора — Новикова ут-
утверждает, что эти многообразия К1, К2, К3, ... свободно порож-
порождают кольцо, состоящее из всех «классов кобордизма» многооб-
многообразий с комплексной структурой на стабильном касательном
расслоении т 0 е*; см. [Стонг].)
Задача 16.F. Провести соответствующие вычисления для
то<12-характеристических чисел Si(wi, ..., wn)[Mn], где / про-
пробегает множество всех разбиений числа п. Используя веще-
вещественные алгебраические гиперповерхности степени A, 1) в про-
произведении вещественных проективных пространств, доказать,
что существуют многообразия У", такие, что sn(w) [Уп]ф0, если
п + 1 ие является степенью двух. Показать, что для нечетных п
многообразие У" ориентируемо. Пусть, как и в задаче 4.Е, Jfn —
векторное пространство над полем Z/2, состоящее из классов
кобордизма неориентированных «-мерных многообразий. Пока-
Показать, что произведения У ' X • • • X У г. где h ... и пробегает
множество всех разбиений числа п на целые положительные
числа, неимеющие вида 2* — 1, линейно независимы в Jfn. (Со-
(Согласно одной теореме Тома, такие произведения в действитель-
действительности образуют базис векторного пространства Jfn, так что
кольцо кобордизмов Jf% является алгеброй полиномов, свободно
порожденной многообразиями У2, У*, У5, У6, У8 )
§ 17. КОЛЬЦО ОРИЕНТИРОВАННЫХ КОБОРДИЗМОВ П.
В следующих двух параграфах мы определим и изучим коль-
кольцо кобордизмов Тома Q,. Данный параграф содержит основные
определения и некоторые предварительные результаты. Полное
изложение теории кобордизмов читатель может найти в книге
[Стонг].

§ 17. Кольцо ориентированных кобордизмов Q. 185
Гладкие многообразия с границей
Дадим сначала точное определение этого понятия, которое
уже мимоходом использовалось в §§ 4 и 16. В качестве универ-
универсальной модели для многообразия с краем возьмем замкнутое
полупространство Н", состоящее из всех точек (х\, ..., х„) в ев-
евклидовом пространстве R", таких, что х\ ^ 0. Подмножество
X cz RA называется гладким п-мерным многообразием с грани-
границей, если для каждой точки л; е Л" существует гладкое отобра-
отображение
h: U-+KA,
гомеоморфно отображающее некоторое относительно открытое
множество U cz H" на окрестность точки х в X и такое, что
матрица из первых производных [dha/du/] всюду имеет ранг п
(ср. с определением гладкого многообразия в § 1).
Точка хеХ называется внутренней, если существует ло-
локальная параметризация h: U-*-RA многообразия X в точке х,
такая, что множество U является открытым подмножеством в
R" (а не в Ня). Очевидно, что множество внутренних точек об-
образует гладкое «-мерное многообразие, являющееся открытым
подмножеством в X. Множество невнутренних точек образует
гладкое (п—1)-мерное многообразие, являющееся замкнутым
подмножеством в А. Оно называется границей многообразия X
и обозначается через дХ.
Касательное расслоение т" гладкого многообразия X с гра-
границей дХ представляет собой гладкое n-мерное расслоение над
X. Определение его совершенно аналогично тому, которое дано
в примере 2 § 2. Это «-мерное расслоение обладает некоторой
дополнительной структурой, которую можно описать следую-
следующим образом. Если х — граничная точка многообразия X, то
слой DXX содержит (п—1)-мерное подпространство D(dX)x,
состоящее из векторов, касательных к границе. Эта гиперпло-
гиперплоскость Ь(дХ)х разбивает касательное пространство на два от-
открытых подмножества, состоящих соответственно из векторов,
направленных «внутрь» многообразия X и «наружу». По опре-
определению вектор v&DXx, не принадлежащий D(dX)x, направ-
направлен внутрь многообразия X, если v служит вектором скорости
(dp/dt)t=o некоторого гладкого пути
р: [0, е)^Х
с р@) = х. Аналогично, вектор v направлен наружу, если v слу-
служит вектором скорости в точке t = 0 некоторого пути р:
(-г,0]-Хср@) = х.
Теперь предположим, что касательное расслоение т" много-
многообразия X является ориентированным п-мерным расслоением.

166 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Тогда касательное расслоение т"-1 границы дХ имеет следую-
следующую индуцированную ориентацию. Выберем ориентирующий
базис vi, ..., vn в касательном пространстве DXX произвольной
граничной точки х так, чтобы вектор v\ был направлен наружу,
а векторы и2, ..., vn были касательными к границе дХ. Тогда
упорядоченный базис Уг, • • •. vn определяет требуемую ориен-
ориентацию пространства D(dX)x.
[В стоящем особняком случае одномерных многообразий с
границей эту конструкцию надо несколько модифицировать.
А именно, «ориентация» точки х нульмерного многообразия
дХ — это просто выбор знака -И или —1, и мы приписываем
точке х ориентацию +1 или —1 в соответствии с тем, куда ука-
указывает положительное направление в DXX, наружу или внутрь
X.]
Нам понадобится следующее утверждение.
Теорема о цилиндрической окрестности' 17.1. Для всякого
гладкого паракомпактного многообразия с границей X суще-
существует открытая окрестность границы дХ в X, диффеоморфная
произведению дХУ,[0, I).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.
(Точно так же как в теореме 11.1, это утверждение фактически
нужно нам только для того частного случая, когда граница дХ
компактна.) Подробности предоставляются читателю. ¦
Ориентированный кобордизм
Для гладкого ориентированного многообразия М через —М
будем обозначать то же самое многообразие, но взятое с проти*
воположной ориентацией. Символом + будем обозначать опе-
операцию взятия дизъюнктного объединения (называемого также
топологической суммой) гладких многообразий.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два гладких компактных ориентирован-
ориентированных л-мерных многообразия МиМ' называются ориентирован-
ориентированно кобордантными или принадлежащими одному и тому же
классу ориентированного кобордизма, если существует гладкое
компактное ориентированное многообразие X с границей, такое,
что граница дХ, взятая с индуцированной ориентацией, ориен-
ориентированно диффеоморфна многообразию М + (—М').
Лемма 17.2. Отношение ориентированной кобордантности
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
1 В оригинале collar neighborhood (воротниковая окрестность). См. тео
рему 5.9 дополнения. — Прим. перев.

§ 17. Кольцо ориентированных кобордизмов Q, 16?
Доказательство. Дизъюнктное объединение М + (—М), оче-
очевидно, диффеоморфно границе многообразия [0,\]"ХМ при не-
некотором диффеоморфизме, сохраняющем ориентацию. Далее,
если М + (—М')^дХ, то, очевидно, М' + (—М)^д(—X). На-
Наконец, если М + (—М')^дХ и М' + (—М") = <ЗУ, то, исполь-
используя теорему 17.1, можно «склеить» структуры гладкости и ори-
ориентации многообразий X и Y по общей части М' их границы так,
что получится новое гладкое ориентированное многообразие с
границей М -f- (— М").
Подробности мы предоставляем читателю. Ш
Множество пп, состоящее из всех классов ориентированного
кобордизма n-мерных многообразий, очевидно, является абеле-
вой группой относительно операции дизъюнктного объединения
+. Нулевым элементом этой группы служит класс кобордизма
пустого многообразия.
Далее, операция взятия прямого произведения многообразий
М?, Ml ь-э- М? X М" порождает ассоциативную билинейную
операцию умножения
QmXQn->Q
Таким образом, последовательность
групп ориентированных кобордизмов имеет структуру градуиро'
ванного кольца. Это кольцо обладает двусторонним единичным
элементом 1 е Qo. Легко проверить, что прямое произведение
МТХ. Ml изоморфно как ориентированное многообразие много-
многообразию (—\)mn Ml X М™. Следовательно, наше кольцо ориен-
тированных кобордизмов коммутативно в градуированном смы-
смысле.
Числа Понтрягина служат основным инструментом для изу-
изучения этих групп кобордизмов. Как уже отмечалось в § 16,
имеет место следующее утверждение.
Лемма 17.3. (Понтрягин). Если Mik — граница гладкого
компактного ориентированного Dk -f- I) -мерного многообразия,
то любое число Понтрягина pt ... pt [М4*] равно нулю. Щ
Так как, очевидно, справедливо тождество pi[Mi -\- М2] =
= pi [Mi] -f- p, [Af2], то отсюда вытекает
Следствие 17.4. Для каждого разбиения / = i'i ... и числа k
соответствие
определяет гомоморфизм группы кобордизмов Q4* в группу Z.

168 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Применяя теперь теорему 16.8, получаем
Следствие 17.5. Произведения комплексных проективных про-
21 21
странств Р '(С) X • • • XР т(С), где k ... ir пробегает множе-
множество всех разбиений числа k, определяют линейно независимые
элементы группы кобордизмов О4*. Поэтому группа О4а имеет
ранг не меньший, чем число p{k) разбиений числа k. Ш
В § 18 мы докажем, следуя Тому, что этот ранг в точности
равен p(k).
В заключение этого параграфа укажем, не приводя доказа-
тельств, фактическое строение первых нескольких групп ориен-
ориентированных кобордизмов (см. [Уолл, 1960, стр. 309]).
по = Z. Всякое компактное ориентированное 0-мерное много-
многообразие— это просто конечное множество точек, снабженных
знаками, и сумма этих знаков служит полным инвариантом ко-
бордизма.
Q, = о, так как любое компактное одномерное многообразие
является, очевидно, границей.
Q2 = 0, так как любое компактное ориентированное двумер-
двумерное многообразие является границей.
из = 0. В противоположность случаю меньших размерностей
это утверждение, впервые анонсированное Рохлиным [Рохлин],
нетривиально. Насколько нам известно, оно никогда не было
доказано непосредственно1.
Q4 si Z, образующая — класс комплексной проективной пло*
скости Р2(С).
Й5 = Z/2, образующая — класс многообразия УБ из задачи
16.F.
п6 = 0.
Q7 = 0.
образующие — классы многообразий Р4(С) и
Х()
= Z/2©Z/2, образующие — классы многообразий У9 и
Р2(С)
()
= Z/2, образующая — класс многообразия У5 X У5.
Z/2 образующая — класс многообразия У11.
В качестве многообразия У5 (соотв. У9, У11) можно взять не-
неособую гиперповерхность степени A,1) в произведении Р2Х-Р4
(соотв. Р2 X Pst Р* X Р8) вещественных проективных про-
• В работе [*Ликориш] дано элементарное доказательство того, что лю-
любое ориентируемое трехмерное многообразие является краем четырехмерного
многообразия, получающегося приклейкой к границе четырехмерного шара
ручек индекса два. — Прим. перев.

§ 18. Пространства Тома и трансверсальность 169
странств. Используя произведения указанных выше образую-
образующих, легко показать, что все группы кобордизмов больших раз-
размерностей являются ненулевыми.
§ 18. ПРОСТРАНСТВА ТОМА И ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ
В этом параграфе описываются некоторые конструкции, не-
необходимые для фактического вычисления групп кобордизмов.
Мы разовьем теорию настолько, чтобы быть в состоянии вычис-
вычислить строение кольца Q, по модулю кручения.
Пространство Тома
евклидова векторного расслоения
Пусть | — некоторое ^-мерное расслоение с евклидовой мет-
метрикой и AczE(l)—подмножество пространства расслоения, со-
состоящее из всех векторов и, таких, что |и|^ 1. Тогда фактор-
пространство Е(Ъ)/А, получающееся в результате «сжатия>
множества А в одну точку, называется пространством Тома
Г(|) расслоения |. Таким образом, Г(|) имеет отмеченную ба-
базисную точку, обозначаемую to, и дополнение Г(|)\ to состоит
из всех векторов v е ?(?), таких, что \v\ < 1.
Замечание. Если базисное пространство расслоения | ком-
компактно, то пространство Тома Т(%) можно отождествить с одно-
одноточечной компактификацией Александрова пространства В(%).
Действительно, соответствие v *—*¦ f/Vl — I с Р диффеоморфно
отображает Е(%)\А на ?(?), индуцируя требуемый гомеомор-
гомеоморфизм Т(|)->?(|)U оо.
В следующих двух леммах выясняется топологическое строе-
строение пространства Тома Г(?)
Лемма 18.1. Если базисное пространство В является клеточ-
клеточным разбиением, то пространство Тома Г(|) представляет со-
собой (k—I)-связное клеточное разбиение, имеющее помимо ба-
базисной точки to по одной (п ¦+¦ k) -мерной клетке на каждую
п-мерную клетку пространства В.
В частности, если В — конечное разбиение, то Г($) — также
конечное разбиение.
Доказательство. Для каждой открытой n-мерной клетки е9
пространства В прообраз тг-1(еа)(](Е\А) является открытой
клеткой размерности п + k; эти клетки попарно не пересекаются
и покрывают все множество Е \ А й- Т \ /0 Заметим, что клеток
в размерностях от 1 до k — 1 нет.

170 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Пусть D" — замкнутый единичный шар в R", и /: Dn~* В —
характеристическое отображение для клетки еа (см. определе-
определение 6.1). Тогда индуцированное евклидово векторное расслое-
расслоение f*(i) тривиально по теореме о накрывающей гомотопии
[Стинрод, п. 11.6], и поэтому множество векторов длины г^1
в пространстве ?(f*(|)) гомеоморфно произведению Dny.Dk.
Композиция
?>« X Д* <= ? (f (&))->?(|)-> Г (|)
дает теперь требуемое характеристическое отображение для про-
прообраза n~l(ea) в пространстве Тома T(Q. Дальнейшие детали
доказательства предоставляются читателю. Ш
Нам надо вычислить (или по крайней мере оценить) гомо-
гомотопические группы пространства Тома Г(|). В качестве первого
шага на этом пути дадим описание гомологии.
Лемма 18.2. Если | — ориентированное k-мерное расслоение
над В, то каждая группа целочисленных гомологии Hk+\(T(l),
to) канонически изоморфна группе Hi (В).
ДоказдтЕльство. Очевидно, что базисное пространство В
вложено как нулевое сечение в пространство Е \ А ^ Т \ t0.
Пусть Го = Eq/A обозначает дополнение к нулевому сечению
в пространстве Тома Т. Ясно, что пространство То стягиваемо,
и поэтому из точной последовательности тройки (Г, То, t0) сле-
следует, что
Нп(Т, to)**Hn(T, То).
Но несложное рассуждение с применением аксиомы вырезания
показывает, что
Нп{Т, to)~Hn(E, Eo).
Вместе с изоморфизмом Тома
Нп(Е, E0)~Hn_k(B)
(см. теорему 10.7) это завершает доказательство. I
Гомотопические группы по модулю 93
Для того чтобы связать группы гомологии с гомотопическими
группами, мы используем некоторые результаты Серра [Серр].
Пусть W обозначает класс всех конечных абелевых групп. Го-
Гомоморфизм h: A-+B абелевых групп называется ^-изоморфиз-
^-изоморфизмом, если одновременно и ядро /Н@), и коядро B/h(A) при-
принадлежат классу ф.

§ 18. Пространства Тома и трансверсальность 171
Теорема 18.3. Пусть X — конечное (k—I)-связное клеточное
разбиение, k^2. Тогда гомоморфизм Гуревича
является ф-изоморфизмом для г < 2k— 1.
Доказательство. Эта теорема будет установлена путем со-
поставления нескольких результатов Серра. Заметим прежде
всего, что теорема верна для того частного случая, когда X есть
n-мерная сфера Sn, n^k, ибо гомотопические группы nr(Sn)
конечны для г < 2га—1, гфп (см., например, [Спеньер]).
Далее, заметим, что теорема верна также для любого ко-
конечного букета сфер. Действительно, если она верна для двух
(k— 1)-связных комплексов X и У, то, в силу теоремы Кюннета,
она верна для произведения XX У. Поэтому, применяя отно-
относительную теорему Гуревича для пары (XX У, XV У), мы ви-
видим, что nr(XV Y)s*nr(XXY)&nr(X)®nr(Y) при г < 2?—1,
а отсюда легко следует, что теорема верна и для букета X V У.
Наконец, рассмотрим произвольное (k—1)-связное конеч-
конечное клеточное разбиение X. Так как гомотопические группы
лг(Х) конечно порождены [Спеньер], то мы можем выбрать ко-
конечный базис свободной части абелевой группы пг(Х) для каж-
каждого г < 2k. Представляя каждый базисный элемент отображе-
отображением Sr(X—>-, сохраняющим отмеченную точку, соединяем эти
отображения в единое отображение букета сфер
f: S V ... V Srp-*X.
Поскольку для этого букета сфер теорема уже установлена,
мы легко видим, что отображение / индуцирует "^-изоморфизм
гомотопических групп в размерностях, меньших 2k—1, и Ф'-эпи-
морфизм в размерности 2k—1. Следовательно, согласно обоб-
обобщенной теореме Уайтхеда [Спеньер], отображение / также ин-
индуцирует "^-изоморфизм групп гомологии в размерностях мень-
меньших, чем 2k—1. Итак, из того, что теорема верна для букета
сфер, следует, что она верна и для клеточного разбие*
ния X. Ш
Другое доказательство.В [Серр] доказано соответствующее
утверждение для когомотопических групп и групп когомологий.
Отсюда по двойственности Спеньера — Уайтхеда [Спеньер,
Уайтхед] сразу следует справедливость доказываемой тео»
ремы. ¦
Следствие 18.4. Если Т — пространство Тома ориентирован-
ориентированного k-мерного расслоения над конечным клеточным разбив-

172 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
нием В, то для всех размерностей п <. k — 1 имеет место ^-изо-
^-изоморфизм
Доказательство. Это немедленно вытекает из леммы 18.2
и теоремы 18.3. ¦
Теперь покажем, как применить это следствие к вычисле-
вычислению групп кобордизмов.
Регулярные значения и трансверсальность
Пусть М и N — гладкие многообразия размерности тип
соответственно, и пусть f: М -* N — гладкое отображение. Го-
Говорят, что точка у е N является регулярным значением ото-
отображения f или что отображение f трансверсально к у, если
для каждой точки х е /-' (у) индуцированное отображение ка-
касательных пространств
Dfx: DMX-*DNU
есть эпиморфизм. [Более общо, будем говорить, что отображе-
отображение f имеет точку у своим регулярным значением вдоль некото-
некоторого подмножества ХаМ, если это условие удовлетворяется
для любой точки xef-1 (у)П X.] Заметим, что, если многооб-
многообразие М компактно, то множество регулярных значений яв-
является открытым подмножеством многообразия N.
Конечно, если размерность пг меньше, чем п, то указанное
выше условие может выполняться лишь бессодержательным
образом: точка у е N будет регулярным значением отображе-
отображения f, только если множество /-1 (у) пусто. Однако при m ^ п
множество f~l {у) вполне может быть непустым.
Если у — регулярное значение отображения f, то прообраз
f~l(y) является (возможно пустым) гладким многообразием
размерности пг — п. Это утверждение легко следует из теоремы
о неявной функции (см., например, [Грейвс]).
Следующая чрезвычайно полезная теорема принадлежит
Артуру Б. Брауну и (в несколько усиленном варианте) Ар-
Артуру Сарду.
Теорема Брауна. Пусть f: W-*R" — гладкое (т.е. бесконеч-
бесконечно дифференцируемое) отображение, где W — открытое подмно-
подмножество пространства Rm. Тогда множество регулярных значений
отображения f всюду плотно в R".
Различные доказательства можно найти, например, в рабо-
работах [Браун], [Сард], [Стернберг], [Милиор, 1965].

18. Пространства Тома и трансверсальность 173
Из теоремы Брауна легко следует, что для любого гладкого
отображения f: M-+ N множество регулярных значений при
единственном предположении, что у топологии многообразия М
существует счетная база, является счетным пересечением всюду
плотных открытых множеств и, следовательно, всюду плотно в N.
Теперь предположим, что нам дано гладкое подмногообра-
подмногообразие Y cz N размерности п — k. Гладкое отображение f:M-+ N
называется трансверсальным к У, если для любой точки х е
е f~l (У) композиция
DMX -^4 DNU -* DNy/DYy
сюръективно отображает касательное пространство в точке х
в нормальное пространство в точке f(x) = y. [Более общо, f
называется трансверсальным к У вдоль некоторого подмноже-
подмножества X cz M, если это условие выполняется для любой точки
f4Y)X]
f4)]
Используя теорему о неявной функции, можно проверить,
что для трансверсального к У отображения f прообраз f~l{Y)
является (возможно пустим) гладким многообразием размер-
ности m — k.
Если v* — нормальное расслоение подмногообразия Y в N,
то, как нетрудно показать, расслоение над f~l(Y), индуциро-
индуцированное из v* при помощи отображения f, можно отождествить
с нормальным расслоением подмногообразия f~l(Y) в М. От-
Отсюда следует, в частности, что, если v* — ориентированное век-
торное расслоение и М — ориентированное многообразие, то
(~1{Y) также является ориентированным многообразием.
Действительное построение таких трансверсальных отобра-
отображений мы осуществим в два этапа, отправляясь от теоремы
Брауна. Рассмотрим снова открытое множество W czRm и
гладкое отображение /: W -*¦ R*. Предположим, что начало ко-
координат в R* является регулярным значением отображения f
вдоль некоторого относительно замкнутого подмножества
X a W. Пусть К — компактное подмножество в W.
Лемма 18.5. Существует гладкое отображение g: №-»-R*,
которое совпадает с { вне некоторого компактного множества
и имеет начало координат регулярным значением вдоль X U К.
Фактически мы можем выбрать отображение g равномерно
близким к отображению f, т. е. для любого е > 0 можно по-
подобрать g так, чтобы \f(x)— g{x) | < е для всех х.
Доказательство. Используя гладкое разбиение единицы, по*
строим гладкое отображение К: W -*¦ [0,1], принимающее зна«
чение 1 на некоторой окрестности компакта К и обращающееся

174 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
в нуль вне некоторого большего компактного множества К'с
cW. Пусть у — произвольное регулярное значение отображе-
отображения {, такое, что \у\<Св. Тогда отображение g, определяемое
формулой
очевидно,
(a) имеет 0 своим регулярным значением вдоль К.',
(b) совпадает с { вне К';
(c) удовлетворяет неравенству \g{x)—f(x)|<e. Согласно
теореме Брауна, точка у может быть выбрана как угодно близ-
близкой к началу координат 0. Мы утверждаем, что если она вы-
выбрана достаточно близкой к 0, то для отображения g 0 также
будет регулярным значением вдоль пересечения К' Г) %• Дей-
Действительно, выбирая \у\ достаточно малым, мы можем гаран-
гарантировать не только то, что отображение g будет равномерно
близким к f, но и то, что частные производные dgi/dx/ будут
равномерно близки к производным dfi/dx/. Отсюда следует,
что, если отображение f имеет 0 своим регулярным значением
вдоль компактного множества К' Г\Х, то и g также имеет 0
своим регулярным значением вдоль К'Г\Х (см. задачу 18.А).
Вместе с (а) и (Ь) это дает, что точка 0 является регулярным
значением для g вдоль объединения К[]Х, что и требовалось
доказать. ¦
Пусть теперь ? — некоторое гладкое ориентированное ^-мер-
^-мерное расслоение. Его базисное пространство В гладко вложено
как нулевое сечение в пространство расслоения Е{%) и, следо-
следовательно, в пространство Тома Т = T(Q.
Для данного произвольного непрерывного отображения f
сферы Sm в пространство Тома Г мы хотели бы прежде всего
подобрать аппроксимирующее его «гладкое» отображение. Это
намерение не совсем корректно, так как пространство Тома Г
не является многообразием. Однако дополнение к базисной
точке T\t0 имеет, очевидно, структуру гладкого многообразия,
и поэтому нетрудно аппроксимировать отображение f гомотоп-
гомотопным ему отображением /0, которое совпадает с / на множестве
f~I(<o)s=I/o"I(A>) и гладко на всем его дополнении f^l(T\t0). Не-
Необходимая техника описана, например, в [Стинрод, п. 6.7].
Теорема 18.6. Всякое непрерывное отображение f:Sm-»-r(|)
гомотопно некоторому отображению g, гладкому на
g-'(r(g)Vo) и трансверсальному к нулевому сечению В.
Класс ориентированного кобордизма получающегося гладкого
{т — k) -мерного многообразия g-] {В) зависит только от гомо-

§ 18. Пространства Тома и трансверсальность 175
топического класса отображения g. Следовательно, соответ-
соответствие
задает гомоморфизм гомотопической группы ят(Г(|),/о) в
группу ориентированных кобордизмов йт_*.
Доказательство. Как было замечено выше, мы можем сна-
сначала аппроксимировать / отображением /0, гладким всюду на
множестве /<7' (Т \to). Возьмем какое-нибудь покрытие ком-
компактного множества fol(B) открытыми подмножествами W\, ...
..., Wr пространства f^ (T \t0), столь малыми, что каждый
образ
/(У) с Г Я(g)
содержится в некоторой локальной координатной системе
векторного расслоения %. Здесь ?/,- обозначает открытое под-
подмножество базисного пространства В, которое является на-
настолько малым, что расслоение ||?/* тривиально.
Выберем компактные множества Ki cz Wt так, чтобы мно-
множество /<7' (В) содержалось во внутренности объединения
К\ U ... [} Кг. Последовательно изменяя отображение /о на от-
открытых множествах W\, №2, ¦•-, Wr, мы построим последова-
последовательность отображений /i, f2, .. •, fr, удовлетворяющих следую-
щим трем условиям.
A) Каждое отображение/,• гладко на множестве fJl(T\t0)=3
— fa* (^ ^ 'о) и совпадает с /,_i вне некоторого компактного
множества из №,-.
B) Каждое /; трансверсально к В вдоль множества
Я1 U К2 U •.. U Ki.
C) Проекция n(fi(x))^B равна я(/0(дс)) для всех х ев
s/o" (T\t0). При этом мы будем выбирать каждое отображе-
отображение /( «близким» к /,•_! в смысле, который уточним позднее.
Приступим к построению. Предположим по индукции, что
уже выбрано отображение /,_ь удовлетворяющее условиям
A)—C). Из условия C) следует, что /*_] должно переводить
открытое множество Wi в координатную окрестность я-1 (?/)
Используя структуру прямого произведения
введем проекцию р«: tv^Ui)-*- R* на второй сомножитель. Мы
хотим построить новое отображение x>—*fi(x) для всех хе WD

176 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Первая координата п(/,(л;)) уже определена условием C), по-
поэтому иам нужно только выбрать вторую координату р. (/<(*))•
Так как ft-i удовлетворяет условию B), то, как легко ви-
деть, для композиции л;ь->рД/^_,(х)) начало координат про-
пространства R* является регулярным значением вдоль относи-
относительно замкнутого в Wi подмножества (Ki U ... U^f-i) По-
Последовательно, по лемме 18.5, мы можем аппроксимировать эту
композицию отображением из Wi в R*, которое
(a) совпадает с р/ о ft-l вне некоторого компактного подмно-
подмножества множества Wi и
(b) имеет начало координат своим регулярным значением
вдоль (KiU ... [}Ki)PiWi.
Запишем это аппроксимирующее отображение в виде
pt°fi. Ввиду условий A) и C) ясно, что fi{x) определено для
всех х. Кроме того, ясно, что это новое отображение ft будет
удовлетворять условию B).
Таким образом, по индукции мы можем построить отобра-
отображения /i, f2, .... fr, удовлетворяющие условиям A) —C). По-
Положим g = fr. Очевидно, что отображение g трансверсально
к В вдоль компактного множества /Ci U ... U Кг. Если мы смо-
сможем теперь гарантировать, что весь прообраз g-1 (В) содер-
содержится в объединении К\ U • • • U Кг, то мы можем быть уверены,
что g трансверсально к В всюду, что нам и требуется.
Для каждого вектора /еГ\/0^?\Л обозначим через
\t\, 0^|<|< 1, его евклидову норму, так что |^| = 0 тогда и
только тогда, когда /еВ. Удобно положить \to\= 1.
Поскольку множество /Ci U • • • U Кг является окрестностью
множества fg1 (В) в компактном пространстве Sm, то найдется
константа с > 0, такая, что
\h(x)\>c
для всех х ф. К\ U ... U Кг. Предположим, что каждое отобра«
жение ft выбрано настолько близким к ft-u что
для всех х. Тогда, очевидно,
\g(x)-h(x)\<c.
Следовательно, IgMI-^O для хфКг\) ... [)КГ, и весь про-
прообраз g~l (В) должен содержаться в /Ci U • • • 1Жг. Значит, ото-
отображение g трансверсально к В всюду и прообраз g~l(B)
есть гладкое компактное ориентированное (m — k) -мерное мно-
многообразие. Это доказывает первую часть теоремы 18.6.
Пусть теперь мы имеем два гомотопных отображения g и
g' сферы Sm в пространство Тома Т, оба гладкие на прообразе

§ 18. Пространства Тома и трансверсальность 177
T\to и оба трансверсалыше к В. Тогда нетрудно построить
гомотопию
ho: SmX[0, 3]-*7\
гладкую на h^1 (T \t0) и удовлетворяющую следующим усло-
условиям:
ho(x, t) = g(x) при /е=[0, 1],
при /е[2,3].
Поступая точно так же, как и выше, мы можем построить но-
новое отображение h: 5mX[0, 3]-> Г, которое совпадает с h0 вне
некоторого компактного подмножества в SmX@,3) и транс-
версально к В. Построение отображения h можно произвести
индуктивно, проверяя на каждом шаге, что трансверсальность
вдоль множества Sm X[0, l]U5rn X[2,3] не нарушается. Про*
образ /Н (В) при этой новой гомотопии осуществляет ориен-
ориентированный кобордизм между многообразиями g~l (В) и g'~l (В).
Таким образом, класс ориентированного кобордизма многооб-
многообразия g~l(B) зависит только от гомотопического класса ото-
отображения g.
Так как операция сложения в гомотопической группе
nm(T, t0), очевидно, соответствует операции дизъюнктного объ-
объединения многообразий ^~'(^)» т0 соответствие gt—*g~1(B)
определяет гомоморфизм гомотопической группы nm(T, t0) в
группу ориентированных кобордизмов Qm-fe- Ш
Основная теорема
Возьмем в качестве гладкого ориентированного ^-мерного
расслоения, фигурирующего в теореме 18.6, универсальное
ориентированное ^-мерное расслоение yk над <?a(R°°). Следую-
Следующий результат лежит в основе теории Тома.
Теорема Тома. Для k > n -f- 1 гомотопическая группа
яп+/кG"(у*), М универсального пространства Тома канонически
изоморфна группе ориентированных кобордизмов й„. Анало-
Аналогично гомотопическая группа nn+k{T(yk),t0) пространства Тома
универсального неориентированного расслоения канонически
изоморфна группе неориентированных кобордизмов JCn.
Замечание. Том использовал для этих двух универсальных
пространств обозначения MSO(k) и MO(k). Это отвечает стан-
стандартным обозначениям BSO(k) и BO(k) для соответствующих
универсальных базисных пространств.
Чтобы упростить наше изложение, мы не станем доказы-
доказывать всей теоремы Тома, а докажем только следующую ее

178 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
часть. Пусть \lf) = \k(Rk+p) — расслоение ориентированных k-
мерных подпространств (k + р) -мерного пространства.
Лемма 18.7. Если k ^ п и р ^ п, то гомоморфизм
из теоремы 18.6 является эпиморфизмом.
Доказательство. Пусть Мп — произвольное гладкое ком-
компактное ориентированное n-мерное многообразие. Тогда по тео-
теореме Уитни [Уитни, 1944] многообразие Мп может быть вло-
вложено в евклидово пространство R"+*. Согласно теореме 11.1, мы
можем выбрать трубчатую окрестность V многообразия Мп в
пространстве R"+ft, которая диффеоморфна пространству Е(ук)
нормального расслоения v*. Используя гауссово отображение,
получаем отображение
взятие композиции которого с каноническим отображением
Е (у*) ->¦ Т (у*) дает отображение g: [/->Г(у*), трансверсальное
к нулевому сечению В и удовлетворяющее условию g-1(B) =
= Мп.
Далее, продолжим g на одноточечную компактификацию
Rn+* U °° = 5"+*, отображая дополнение Sn+k\U в базисную
точку tfo. Получающееся отображение g: Sn+k->T (y*), оче-
очевидно, задает по правилу, указанному в теореме 18.6, класс ко-
бордизма многообразия Мп. И
Теперь мы можем доказать наш главный результат.
Теорема 18.8. (Том). Группа ориентированных кобордизмов
Й„ конечна для п Ф 0 mod 4, а в случае п = \г является ко-
конечно-порожденной группой ранга, равного числу р(г) разбие-
разбиений числа г.
Доказательство. По лемме 18.7 группа Qn есть гомоморф-
гомоморфный образ гомотопической группы лп+к (Т (у*)) для достаточно
больших k и р, а, согласно следствию 18.4, эта последняя груп-
группа ^-изоморфна группе гомологии Hn(Ck(Rk+p)\ Z). Но, в силу
теоремы 15.9, эта последняя группа является конечной для
rt^feO(mod4) и конечно-порожденной ранга р(г) для п = 4г.
Следовательно, группа пп конечна для n#0(mod4), a Q4?
есть конечно-порожденная группа ранга ^р(г). Но согласно
следствию 17.5, ранг (п^)^ р(г), откуда и следует утвержде-
утверждение теоремы. ¦

19. Мультипликативные последовательности 179
Если мы убьем кручение, тензорно умножив кольцо кобор-
дизмов Q* на поле рациональных чисел Q, то произведения
Р2(>(С)Х..-Х^(С),
где ii ... ir пробегает множество всех разбиений числа k, бу-
будут, очевидно, линейно независимы и, следовательно, будут об-
образовывать базис векторного пространства СЦа ® О. (ср. со след-
следствием 17.5). Отсюда вытекает
Следствие 18.9. Тензорное произведение Q* 0 Q представ-
представляет собой алгебру полиномов над Q с независимыми образую-
образующими Р2(С), Р4(С), Р6(С) ¦
Вот другое непосредственное следствие.
Следствие 18.10. Пусть Мп — гладкое компактное ориенти-
ориентированное многообразие. Некоторое положительное кратное
Мп + ... + Мп многообразия Мп является ориентированной
границей тогда и только тогда, когда каждое число Понтря-
гина pi [Mn] равно нулю.
Действительно, в противном случае в группе Qn существо-
существовало бы слишком много линейно независимых элементов. ¦
Ч. Уолл доказал следующее гораздо более сильное утверж-
утверждение [Уолл]. Многообразие Мп является ориентированной гра-
границей тогда и только тогда, когда все его числа Понтрягина
и все числа Штифеля — Уитни равны нулю. Таким образом,
группа кобордизмов Qn всегда есть прямая сумма некоторого
числа экземпляров группы Z/2 и (если rt = 0mod4) некото-
некоторого числа экземпляров группы Z.
В заключение одна задача для читателя.
Задача 18.А. Предположим, что, как в доказательстве лем-
леммы 18.5, начало координат служит регулярным значением ото-
отображения / вдоль некоторого компактного множества К" а
czWcz Rm. Показать, что, если отображение g равномерно
близко к / и производные dgi/dxj равномерно близки к произ-
водным dfi/dxh то и для отображения g начало координат
является регулярным значением вдоль К".
§ 19. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ТЕОРЕМА О СИГНАТУРЕ
Материал этого параграфа заимствован из книги [Хирцеб-
рух, 1966].
Пусть Л — фиксированное коммутативное кольцо с едини*
цей (обычно это кольцо рациональных чисел). Символом
А* = (А°, А1, А\ ...)

180 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
будем обозначать градуированную Л-алгебру с единицей, ком-
коммутативную в классическом смысле (ху = ух независимо от
того, каковы степени х и у). В большинстве приложений Ап
будет группой когомологий Н4п(В; А).
Каждой такой алгебре А* мы сопоставим коммутативное
кольцо Ап, состоящее из всех формальных сумм по + 0i +
+ «2 + •••. где at s А1 (ср. с определением кольца НП(В;
Z/2) в § 4). Нас будет особенно интересовать мультипилика-
тивная группа единиц кольца Лп, состоящая из всех элементов
вида
с операцией умножения
— 1 + (а, + &,) + (ог + а,6, + 62) +
Рассмотрим последовательность полиномов
с коэффициентами в Л, такую, что, если переменной Xi припи^
сать степень /, то
A) каждый полином Кп(Х\, ..., хп) является однородным
степени п.
Пусть дано кольцо Ап указанного выше вида. Для всякого
элемента as Лп, начинающегося с 1, определим новый элемент
^()Дп, который тоже начинается с 1, по формуле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что полиномы Кп обра-
образуют мультипликативную последовательность, если для всех
Л-алгебр А* и для всех элементов а, Ь е Ап, начинающихся с 1,
выполняется тождество
Пример 1. Для любой заданной константы % е Л полиномы
Кп(х\, ..., хп) = К ха
образуют мультипликативную последовательность, причем
Особый интерес представляют случаи А, = 1 (когда К(а)=а)
и X = —1 (см. лемму 14.9).

§ 19. Мультипликативные последовательности 181
Пример 2. Тождество К(а) = а~1 отвечает мультипликатив-
мультипликативной последовательности
Ki
~ x\ X2>
л3 (xv x2, x3) = x{ -f- 2x^x2 x3,
/C4 (xv xv x3, x4)— x\ — 3x\x2 + 2xxx3 + x\ — xa,
общий член которой имеет вид
л- Z ("t, :::i'-"'- *¦>'¦...(-*>
При помощи этих полиномов можно выразить связь между
классами Понтрягина (соответственно классами Чженя, клас-
классами Штифеля — Уитни) двух векторных расслоений, сумма
Уитни которых является тривиальным расслоением (см.
стр. 37—39).
Пример 3. Полиномы /Сгп+1 = 0 и /C2n(*i х2п) =*
= х2г1 — 2хп_1хп+1+ ... ^12xlx2n_l±2xn образуют мультипли-
мультипликативную последовательность, при помощи которой может быть
выражена связь между классами Чженя комплексного вектор-
векторного расслоения ш и классами Понтрягина его овеществления шц
(см. следствие 15.5).
Следующая лемма дает простую классификацию всех воз-
возможных мультипликативных последовательностей. Пусть Л* —
градуированное кольцо Л|7], где / — независимая переменная
степени 1. Тогда любой элемент кольца Аи, начинающийся с 1,
может быть представлен как формальный степенной ряд
с коэффициентами в Л. В частности, 1 -f- / есть такой элемент.
Лемма 19.1 (Хирцебрух). Для данного формального степен-
степенного ряда f(t) = 1 -f М + М2 + ... с коэффициентами в Л су-
существует одна и только одна мультипликативная последова-
последовательность {Кп} с коэффициентами в Л, удовлетворяющая усло-
условию
или, эквивалентно, условию, что коэффициент прих" в каждом
полиноме Kn(xi хп) равен \п-

182 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эта последовательность {Кп} называется
мультипликативной последовательностью, принадлежащей сте-
пенному ряду f(t).
Примеры. Три мультипликативные последовательности, при-
приведенные выше, принадлежат соответственно степенным рядам
1 + М, 1— t+t2 — ^+ ... , l + t2.
Замечание. Если мультипликативная последовательность
{Кп} принадлежит степенному ряду f(t), то для любой алгебры
А* и любого элемента а\ е А1 выполнено тождество
Конечно, это тождество перестает быть верным, если вместо а\
подставить какой-нибудь элемент степени Ф 1.
Доказательство единственности. Выбрав произвольное поло-
положительное целое число я, возьмем в качестве А* кольцо поли-
полиномов A[t\, ..., tn] от алгебраически независимых переменных
U степени 1 и положим
ог = A+/,)... A+гп)е Л*.
Тогда
K(o)**K(l + U) ••¦ K(\+tn) = f(tl) ...f(tn).
Выделяя однородную часть степени я, заключаем, что поли-
полином Кп(о\, ..., оп) однозначно определен степенным рядом f(t).
Поскольку элементарные симметрические функции аь ..., а„
алгебраически независимы, это доказывает единственность каж-
каждого полинома Кп.
Доказательство существования. Для сокращения записи бу-
будем для всякого разбиения /= и ... и числа п обозначать че-
через i.i произведение %i{ ... %if. Приняв это соглашение, опреде-
определим полиномы Кп формулой
Кп fai. <*2> • • •. оп) = X ^jSj(a, ..., оп),
где сумма берется по всем разбиениям / числа п. Здесь S/ обо-
обозначает полином из леммы 16.1, удовлетворяющий условию
Точно так же, как в лемме 16.2, имеем тождество
Sj(ab)= 2 sH(a)s,(b),
Hll
где суммирование ведется по всем разбиениям Я и /, компози-
композиция HJ которых равняется /. Следовательно,

§ 19. Мультипликативные последовательности 183
равно
Z h Z sH (a) Sj (b) = Z Мя («) M/ (*)•
Но последнее выражение, очевидно, равно K(a)K(b), что и тре-
требовалось доказать. ¦
Теперь рассмотрим некоторую мультипликативную последо-
последовательность полиномов {Кп{х\ хп)} с рациональными ко-
коэффициентами. Пусть Мт — гладкое компактное ориентирован-
ориентированное m-мерное многообразие.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. К-род К[Мт] многообразия Мт полагает-
полагается равным нулю, если размерность т не делится на 4, и равным
рациональному числу
KnlM*»] = (Kn(Pl, -..- Рп), |*4„>,
если т = 4я, где pt обозначает t-й класс Понтрягина касатель-
касательного расслоения многообразия М. Таким образом, JC-род JC[Mm]
есть определенная рациональная линейная комбинация чисел
Понтрягина многообразия Мт.
Лемма 19.2. Для любой мультипликативной последователь-
последовательности {Кп} с рациональными коэффициентами соответствие
Мн->/С[М] определяет кольцевой гомоморфизм кольца кобор-
дизмов Q* в кольцо рациональных чисел Q.
Очевидно, что это соответствие задает гомоморфизм алгебр
a*®Q-»Q.
Доказательство. Ясно, что указанное соответствие аддитив-
аддитивно и что /(-род многообразия, являющегося границей, равен
нулю. Полный класс Понтрягина произведения многообразий
М X М' сравним с классом р X р' по модулю элементов поряд-
порядка 2, поэтому К(р X р') = К(р)Х.К(р') и, следовательно,
(К (р X Р% » X Ю = (- Dmm' (К (Р), ц> <К (рО. Ю-
Поскольку знаковый множитель в этой формуле, конечно, ра-
равен + 1, когда размерности ш, пг' делятся на 4, то мы полу-
получаем, что
К[МХМ']=*К1М]К[М'},
как и требовалось. ¦
Используем эту конструкцию для вычисления одного важ-
важного инварианта гомотопического типа многообразия М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сигнатура а компактного ориентирован-
иого многообразия Мт полагается равной нулю, если размер-

184 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ность m не кратна 4, а если m = 4/г, определяется так. Выберем
базис а\, ..., аг векторного пространства #2*(Л14*; Q), в кото-
котором симметричная матрица
[(a, kj а,, ц>]
диагональна. Тогда сигнатура a(Mik) равна разности числа по-
положительных и числа отрицательных диагональных элементов.
(Другими словами, а есть сигнатура рациональной квадратич-
квадратичной формы ан-»(о^а,ц), ое H2k(Mik; Q).)
Это число а часто называют также индексом многообразия
М, особенно в старых работах.
Лемма /9.3 (Том). Сигнатура обладает следующими тремя
свойствами:
A)
B)
C) если многообразие М является ориентированной грани-
границей, то о(М) — 0.
Доказательство. Утверждение A) тривиально. Утверждение
B) можно доказать, используя изоморфизм Кюннета
Н*(МХМ'; Q)s№(M; Q)®H*(M'; Q), а утверждение C) —
используя теорему двойственности Пуанкаре для многообразий
с границей. Детали можно найти в книгах [Хирцебрух, § 8] или
[Стонг]. ¦
Из свойств A) и C) немедленно следует, что сигнатура мно-
многообразия может быть представлена как линейная функция от
его чисел Понтрягина. Более точно, как показал Хирцебрух,
имеет место следующая теорема.
Теорема о сигнатуре 19.4. Пусть {Lk(p\, ..., р*)}—мульти-
р*)}—мультипликативная последовательность полиномов, принадлежащая
степенному ряду
Тогда сигнатура a(Mik) любого гладкого компактного ориенти-
ориентированного многообразия Mik равна его L-роду L [Mik].
Здесь Bk обозначает k-e число Бернулли (см. приложе-
приложение В):
У*
/42.

§ 19. Мультипликативные последовательности 1Й8
Первые четыре L-полинома выглядят так:
, 1
м = -з Pi»
- 3pf).
Доказательство теоремы о сигнатуре. Так как оба соответ-
соответствия Mt—*>o(M) и My->L[M\ задают гомоморфизм алгебр из
й* ® Q в Q, то достаточно проверить эту теорему на множестве
образующих алгебры Q# ® Q. Согласно следствию 18.9, такую
систему образующих доставляют комплексные проективные про*
странства P2k(C).
Для вычисления сигнатуры многообразия />2*(С) достаточно
заметить, что векторное пространство #2*(Р2*(С); Q) имеет
единственную образующую ak, такую, что
(a* \j а*, (х) = 1
(см. теоремы 14.4 и 14.10). Следовательно, сигнатура а(Р2*(С))
равна + 1.
Теперь вычислим Lk[P2k(C)]. Напомним (см. пример 15.6),
что полный касательный класс Понтрягина р комплексного про-
проективного пространства P2k(C) равен A + а2J*+1. Так как
мультипликативная последовательность {L*} принадлежит сте->
пенному ряду / (t) = л/t /th л/Т, то
L(l+a2
и, следовательно,
Таким образом, L-род (L(p), ц) равен коэффициенту при а2* в
этом степенном ряде.
Если заменить а на комплексную переменную г, то коэффи-
коэффициент при z2k в разложении Тэйлора функции (z/thzJ*+1 мож-
можно вычислить, поделив эту функцию на 2niz2k+l и проинтегриро-
проинтегрировав затем по замкнутому контуру вокруг начала координат.
Подстановка и = th г, для которой
показывает, что интеграл
dz

186 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
равен + 1. Следовательно, L[P2k(C)] = + 1 =а(Я*(С)), а зна-
значит, L[M] = a(M) для всех многообразий М. ¦
Более прямое доказательство теоремы о сигнатуре было
дано Атьёй и Зингером [Атья, Зингер, § 6] как приложение
«теоремы об индексе» для эллиптических дифференциальных
операторов.
Следствие 19.5. L-pod любого многообразия является целым
числом.
Действительно, сигнатура а всегда целое число. Ш
Отсюда следует, например, что число Понтрягина pi [M*]
делится на три, а число 7р2 [М8] — р\ [М8] делится на 45.
Следствие 19.6. L-род L [М] зависит только от ориентирован-
ориентированного гомотопического типа многообразия М.
Действительно, сигнатура а(М), очевидно, инвариантна от-
носительно гомотопической эквивалентности, сохраняющей ори*
ентацию. ¦
Как показано в работе [Кан], L-род и его рациональные
кратные — это единственные рациональные линейные комбина-
комбинации чисел Понтрягина, являющиеся инвариантами ориентиров
ванного гомотопического типа.
Мультипликативные характеристические классы
В оставшейся части параграфа мы очень коротко остано-
остановимся на еще одном применении мультипликативных последо-
последовательностей.
Пусть Л —область целостности, содержащая '/2, и пусть
{Кп} — мультипликативная последовательность с коэффициента-
коэффициентами в Л. Полагая
для любого вещественного векторного расслоения |, мы, оче*
видно, получаем последовательность «характеристических клаС'
сов»
которые естественны относительно послойных отображений и
удовлетворяют формуле произведения

§ 19. Мультипликативные последовательности 187
Здесь предполагается, что &о(|)= 1. [Вводя k (?) = Y> &<(?)> мы
можем, конечно, записать формулу произведения кратко в виде
k(t@)k(t)k()]
)))]
Обратно, если дана последовательность характеристических
классов ?пA), обладающая указанными свойствами, то, как не-
нетрудно показать, kn(Q — Kn(pi(l) рп{1)) для некоторой
однозначно определенной мультипликативной последовательно-
последовательности {Кп} (см. теорему 15.9 и задачу 15.В). При этом не важно,
требуется или нет, чтобы расслоение \ было ориентированным
или ориентируемым.
Для того чтобы точно указать мультипликативную последо-
последовательность, соответствующую заданной последовательности
характеристических классов {kn(l)}, мы поступим следующим
образом. Пусть у1 — каноническое комплексное линейное рас-
расслоение над Р°°(С). Напомним, что
p](Y1R) = a2e^(Poo(C); Z)
(см. теоремы 14.4 и 14.10 и следствие 15.5). Определим фор-
формальный степенной ряд f(t), полагая f{a2) равным k(y\^) =
= ?/гп(\{(). Тогда ясно, что искомая последовательность
{Кп} есть мультипликативная последовательность, принадлежа-
принадлежащая этому степенному ряду.
Для иллюстрации рассмотрим случай A = Z//, где / — фик-
фиксированное нечетное простое число. Пусть
&k: Н*(Х; Z//)->#<+4'* {X; Щ)
— приведенная 1-я степенная операция Стинрода, где г =
= (I — 1)/2 (см. [Стинрод, Эпстейн]. Следуя [У, 1955], опреде-
определим по аналогии с определением классов Штифеля — Уитни,
предложенным Томом (см. § 8), новый характеристический
класс
формулой дпA) = ф~1^>пфЩ, где I — произвольное ориентиро-
ориентированное расслоение. Точно так же, как в § 8, легко проверить,
что классы qn являются естественными и удовлетворяют фор-
формуле произведения. Следовательно,
<7* (!)¦¦= Я™ Ы!) РгпШ
где {Kt} — некоторая однозначно определенная мультипликатив-
мультипликативная последовательность с коэффициентами по модулю /.
Чтобы вычислить эту мультипликативную последователь-
последовательность, достаточно рассмотреть частный случай, когда \ есть век-
векторное расслоение Yr над бесконечным комплексным проектив-
проективным пространством Р°°(С), Пространство Ео ненулевых векто-
векторов в пространстве расслоения ?(YlR) имеет гомологии точки.

188 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Поэтому существует естественный кольцевой изоморфизм
Н* {Е, Ео) ~ Н* (Е, point) ~ Н* (Р00 (С), point).
Фундаментальный когомологический класс ые#2(?, Ео) соот-
соответствует классу
(см. теорему 14.10). Следовательно, элемент ^>1{и)=и1 (см.
[Стинрод, Эпстейн, стр. 76]) соответствует элементу (—а)', и
поэтому
Поскольку элементы $Рк(и) равны нулю для k > 1 по размер-
ностным соображениям, отсюда вытекает, что формальный сте-
степенной ряд f (a2) = 2 Як (Yr) равен 1 -f я2г- Тем самым мы до-
доказали следующую теорему.
Теорема 19.7 (У). Если I = 2г + 1 — нечетное простое чи-
число, то характеристический класс по модулю I
равен Km(pi(V), •••» ргп{%)), где {Ki} — мультипликативная по-
последовательность, принадлежащая степенному ряду f(t) =
= 1 + Г. Ш
Например, для / = 3 мы получаем, что класс qn{\) равен
классу Понтрягина рп{\), приведенному по модулю 3, а для
/ = 5, — что класс qn(Q равен классу р\ — 2рд_,рп+, -\ ... ±
± 2ры, приведенному по модулю 5.
Точно так же, как в mod 2-случае, можно показать, что ха-
рактеристический класс qi{in) касательного расслоения т" ком-
компактного ориентированного многообразия является инвариантом
гомотопического типа (ср. с теоремой 11.14). Фактически
где классы У vi характеризуются тождеством
(&*х, ц) »= <х kj vit (x>
для всех л;е Hn~irl(Mn; Z/l). Отсюда, в частности, следует, что
классы Понтрягина по модулю 3 суть инварианты гомотопиче-
гомотопического типа. Доказательства предоставляем читателю.
Эти характеристические классы qi{\) играют важную роль в
теории расслоений со слоем, гомотопически эквивалентным сфе-
сфере, см. [Милнор, 1968], [Сташеф], [Мэй].
В заключение предлагаем читателю следующие три задачи
(все они взяты из книги [Хирцебрух]).

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 189
Задача 19.А. Пусть {Тп} — мультипликативная последова-
последовательность полиномов, принадлежащая степенному ряду f(t) —
= t/(l—e-'). Род Тодда Т[М] комплексного л-мерного
многообразия определяется как характеристическое число
<Г„(с,, .... сп),ц2„>. Доказать, что Т[РП(С)] = 1 и что {Тп} —
единственная мультипликативная последовательность с этим
свойством.
Задача 19.В. Пусть {Кп} — мультипликативная последова-
последовательность, принадлежащая ряду f{t)=l-{- М + Ы2 + • • • •
Выразим явно зависимость от коэффициентов Я<, положив
AnV^l» •••> Хп) == #/t\K\t Лд, •••, Ал, Х\, •••, Хп),
где kn — полиномы от 2« переменных с целыми коэффициента-
коэффициентами. Рассмотрев случай, когда к\ %п суть элементарные сим-
симметрические функции от я независимых переменных, доказать
свойство симметрии
В частности, показать, что у полинома Kn(xi, ..., хп) коэффи-
коэффициент при х 1 ... xif равен si{... if (Л, Я„).
Задача 19.С. Используя тождество Коши
доказать, что коэффициент при рп в L-полиноме Ln{pi, ..., рп)
равен 22*B2*-1 — l)B*/Bfe) 1=^=0 (см. приложение В).
§ 20. КОМБИНАТОРНЫЕ КЛАССЫ ПОНТРЯГИНА
Для любого триангулированного многообразия Мп Том опре-
определил классы li^H4i(Mn; Q), которые являются комбинатор-
комбинаторными (т. е. кусочно-линейными) инвариантами ([Том, 1958];
см. также [Рохлин, Шварц, 1957]). В случае гладкого многооб-
многообразия, надлежащим образом триангулированного, эти классы
совпадают с классами Хирцебруха Ц(р\, ..., pi) касательного
расслоения тл многообразия М.
Напомним (см. задачу 19.С), что коэффициент при pi у по-
полинома Li(pi, ..., pi) ненулевой. Отсюда следует по индукции,
что уравнения U = Li{p\, .... pi) можно однозначно разрешить
относительно классов Понтрягина pi, выразив их как полиномы
от классов 1\, ..., /(. Например,
р3 = F615/3 + 1755у, - 27/з)/434.

J90 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Следовательно, рациональные классы Понтрягина р/(т")е
е Htl(Mr;Q) суть кусочно-линейные инварианты. Данный на-
раграф посвящен изложению этих результатов.
В 1965 г. С. П. Новиков доказал значительно более сильное
утверждение о том, что рациональные классы Понтрягина яв-
являются топологическими инвариантами ([Новиков, 1966]; см.
также заключение). Мы не можем входить здесь в обсуждение
этого более сильного результата.
Гладкий случай
Для того чтобы мотивировать комбинаторное определение
классов Хирцебруха, предварительно дадим новую интерпрета-
интерпретацию классов Li(pi, ..., pi) гладкого «-мерного многообразия.
При этом вначале будем предполагать, что 4г < (п— 1)/2.
Пусть Мп — гладкое компактное n-мерное многообразие и
f: Mn-*Sn~u — гладкое (т. е. бесконечно дифференцируемое)
отображение.
Лемма 20.1. Существует всюду плотное открытое подмноже-
подмножество сферы Sn~4i, состоящее из точек у, таких, что прообраз
f-'(i/) является гладким 41-мерным многообразием с тривиаль-
тривиальным нормальным расслоением в М".
Доказательство. По теореме Брауна и Сарда (см. § 18) мно-
множество регулярных значений отображения f всюду плотно в
S"-4'. Это множество открыто, так как его дополнение есть об-
образ компактного подмножества многобразия Мп. Но для каж-
каждого регулярного значения у прообраз }~Цу) является гладким
компактным подмногообразием в Мп с тривиальным нормаль-
нормальным расслоением, так как последнее индуцировано из нормаль-
нормального расслоения для точки у в S"-4'. ¦
Теперь предположим, что многообразие Мп ориентировано.
Тогда ориентации на Мп и S"~4' определяют ориентацию на
f~l(y)> если использовать разложение в сумму Уитни
4A())ев4' «|/ч)
(г)) |
Ниже и и Цл обозначают стандартные образующие групп
#*(S*; Z) и Hn(Mn;Z) соответственно, а т" — касательное рас-
расслоение многообразия Мп. Класс Ц{р\(хп), .... р,(т"))е
s Hu(Mn; Q) будем кратко записывать как L;(t").
Лемма 20.2. Для любого гладкого отображения f: Мп —* Sn~u
и любого регулярного значения у индекс Кронекера

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 191
равен сигнатуре а многообразия M4i = f-1(y). В случае
4/<(«—1)/2 класс Li(%n) однозначно характеризуется этим
свойством.
Доказательство. Пусть т4'— касательное расслоение много-
многообразия Mli и /: M4i—*Mn — отображение вложения. Ясно, что j
накрывается послойным отображением т4' © v"-4' ->¦ т". Так как
нормальное расслоение v"-4' тривиально, то класс L,(t4') равен
}*Li{xn). Следовательно, сигнатура
равна <1,(т"), /.(!*«)>¦
Теперь рассмотрим когомологический класс /*(и) е
e#"-4;(M"; Z). Из коммутативной диаграммы
tfn-4>'(s"-4', s"-4i \y) %> я«-4Ч5п-40
Нп~и (Мп, Мп \ М4'") -> Hn~il (Мп)
видно, что этот класс может быть отождествлен с «двойствен-
«двойственным когомологическим классом» (см. стр. 101) подмногообра-
подмногообразия MAi с Мп.
Далее, воспользуемся изоморфизмом двойственности Пуан-
Пуанкаре а>—*-аг^Цп группы Hn~v(Mn) на группу Нц(Мп), опреде-
определяемым при помощи операции гл-умножения (см. стр. 229). Со-
Согласно задаче 11.С, этот изоморфизм переводит двойственный
когомологический класс /*(«) в гомологический класс /(О
Следовательно, сигнатура о(М4')— (Li{in), /*((х4г)> равна
(L{ (т"), Г (и) ^ Ц„> = (L, (т") ^ Г (и), \in).
Это доказывает первую половину леммы.
Чтобы доказать вторую ее половину, применим теорему
Серра [Серр] о когомотопических группах Борсука — Спенье-
ра. Если я < 2k — 1, то множество всех гомотопических
классов отображений /: М" -*¦ Sk образует абелеву группу, обо-
обозначаемую я* {М") и называемую k-k когомотопической группой
многообразия Мп. Серр доказал, что соответствие /*—>/*(«) ин-
индуцирует ^-изоморфизм
(Ср. стр. 170—172. Этот результат двойствен в смысле Спенье-
ра — Уайтхеда теореме 18.3.) В частности, образы /*(") порож-
порождают подгруппу конечного индекса в группе Hk(Mn; Z). Произ-
Произведем теперь подстановку & = п — 4/. Указанное выше размер-
постное ограничение п < 2k—1 принимает тогда вид 4i <
<. (п— 1)/2. Если это ограничение выполнено, то по двойствен-

Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ности Пуанкаре (см. теорему 11.10) рациональный когомологи-
когомологический класс L,(t") однозначно определяется множеством всех
индексов Кронекера (Ц{хп)\^ /*(«), |хп>. ¦
Замечание. Как метод вычисления классов Lt{xn) лемма 20.2,
пожалуй, непригодна. Однако утверждение, что число (Li{xn)\j
\jf*(u), ц„> является целым для любого (/) е я"-4'' Щп), может
оказаться полезным при вычислении когомотопических групп.
Например, для комплексного проективного пространства Рт(С)
полный класс Хирцебруха L (т2т) равен
(a/tha)m+I = 1 + -SdLL a* + бт' + зм-а a4 +
Отсюда следует, что при m#2(mod3) образ гомоморфизма
делится на 3, а если m se 0 (mod 3), то образ
я2т-8 (Рт (С)) -> Я2"8 (Рт (С))
делится на 9, и т. д.
Комбинаторный случай
Введем один класс объектов, с которым удобно работать.
Пусть К — локально-конечное симплициальное разбиение1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разбиение К называется я-мерным рацио-
рациональным гомологическим многообразием, если для каждой точ-
точки х из К локальная гомологическая группа
Ht(K,K\x; Q)
равна нулю для |'#пи изоморфна Q для i = п.
Это условие эквивалентно требованию, что граница звезды
любого симплекса разбиения А^ является рациональной гомоло-
гомологической (п—1)-мерной сферой. Если К—рациональное гомо-
гомологическое «-мерное многообразие, то, как легко проверить,
каждая его компонента есть «простой «-мерный цикл» (см. Эй-
ленберг, Стинрод]). В частности, каждый («—1)-мерный сим-
симплекс из К инцидентен в точности двум я-мерным симплексам.
Такое разбиение К называют ориентированным, если можно так
ввести ориентацию в каждом я-мерном симплексе, чтобы сумма
всех я-мерных симплексов образовывала я-мерный цикл. По
1 Определение симплициального разбиения см. в § 7 дополнения.-»
Прим. перев.

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 193
По определению этот цикл представляет фундаментальный го-
гомологический класс ц,е#п(/С; Z).
Ориентированные рациональные гомологические многообра-
разия удовлетворяют теореме двойственности Пуанкаре с ра-
рациональными коэффициентами (см., например, [Борель, I960]).
Аналогично можно ввести понятие я-мерного гомологическо-
гомологического многообразия с границей. В этом случае граница дК будет
гомологическим (я—1)-мерным многообразием, и ориентация
определяет относительный гомологический класс ц^Нп(К, дК;
Z) и определяется им.
Напомним некоторые стандартные определения. Пусть К —
симплициальное разбиение. Под (прямолинейным) подразделе-
подразделением разбиения К понимается симплициальное разбиение К'
вместе с гомеоморфизмом s: K'~*K, который является линей-
линейным на симплексах, т. е. линейно отображает каждый симплекс
из К' в некоторый симплекс из К- Отображение f: K-+L сим-
плициальных разбиений называется кусочно-линейным, если су-
существует подразделение s: К'-*К, такое, что композиция /°s
линейна на симплексах.
Отображение K^*L называют симплициальным, если оно
линейно на симплексах и переводит каждую вершину из К в
какую-либо вершину из L. Можно показать, что, если комплекс
К компактен, то для любого кусочно-линейного отображения /:
K—*L существуют подразделения s: К'—*К и t: L'—*L, такие,
что композиция t~lofos: К' — L' симплициальна (см., например,
[Рурк, Сандерсон]).
Пусть Ег обозначает границу стандартного (г+ 1)-мерного
симплекса. Наша ключевая лемма состоит в следующем.
Лемма 20.3. Пусть Кп — компактное рациональное гомологи-
гомологическое п-мерное многообразие и f: /C"-»2r — кусочно-линейное
отображение, причем я — г = 4i. Тогда для почти всех ys2'
прообраз f~'(i/) является компактным рациональным гомологи-
гомологическим Ai-мерным многообразием. Если заданы ориентации на
Кп и Ег, то определена индуцированная ориентация гомологи-
гомологического многообразия f~l(y) и сигнатура ст(/-'(г/)) этого ориен-
ориентированного гомологического многообразия не зависит от точки
у для почти всех у.
Здесь слова «для почти всех у» можно понимать так: «за ис-
исключением точек у, принадлежащих некоторому подразбиению
меньшей размерности».
Для этого общего значения сигнатуры а (/-'(«/)) удобно вве-
ввести сокращенное обозначение a(f). (Имеется известная анало-
аналогия между этим определением инварианта a(f) и определения-
7 Дж, Милнор, Дж, Сташеф

194 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ми таких классических гомотопических инвариантов, как «сте-
«степень» или «инвариант Хопфа» отображения /.)
Лемма 20.4. Целое число o(f) зависит только от гомотопи-
гомотопического класса отображения f. Далее, если М < (п — 1) /2, так
что определена когомотопическая группа пг(К"), то соответ-
соответствие (f)*—>o(f) определяет гомоморфизм nr(Kn)-*Z.
Доказательство лемм 20.3 и 20.4 основано на следующей
лемме.
Лемма 20.5. Если f: K-*L — симплициальное отображение и
точка у принадлежит внутренности U некоторого симплекса А
из L, то прообраз /-1(^) гомеоморфен произведению U"Xfl(\
Соответствующее утверждение для всего замкнутого сим-
симплекса, конечно, неверно.
Доказательство. Пусть Ао Аг— вершины симплекса Д
и у = toAo + ... + trAr, где U — положительные числа, в сумме
равные 1. Очевидно, что любая точка л: е/-'(?/) может быть
однозначно представлена в виде суммы
... +srA'r,
где каждая точка А\ является граничной точкой наименьшего
симплекса разбиения К, содержащего точку дс, и f(A'i) = Ai. За-
Заметим, что /(*) = s<y4o+ ... + srAr. Искомый гомеоморфизм
f (U)-*- U X Н (У) определяется теперь формулой
*>-*> (/(*), *<Д+ ... +ЬА!). Ш
Из доказательства леммы 20.5 попутно следует, что /~'(г/)
гомеоморфно /-1 {у') для любых у и у' из U.
Доказательство леммы 20.3. Подразделим разбиения Кп и
2Л так, чтобы отображение / стало симплициальным. Это воз-
возможно, так как разбиение Кп компактно. Предположим, что точ-
точка у принадлежит внутренности U некоторого симплекса Дг
старшей размерности подразделния 2Г. Тогда, согласно лемме
20.5, у множества V X f'1 (у) локальные рациональные гомоло-
гомологические группы такие же, как у некоторого я-мерного много-
многообразия. Поскольку U имеет локальные гомологические группы
H*(U, U \ х) такие же, как у некоторого г-мерного многообра-
многообразия, отсюда легко следует, что у множества /"'(f/) локальные
рациональные гомологические группы такие же, как у некото-
некоторого многообразия размерности п — г = 4i.
В этом множестве f-^iy) может быть задана структура сим-
плициального разбиения. Действительно, произведя дальнейшее
подразделение так, чтобы точка у была вершиной подразделен-

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 198
ного разбиения 2Г, получаем, что /~' (у) является подразбиением
соответствующего подразделения разбиения Кп.
Если заданы ориентации на U и на U X f~l (у), то нетрудно
построить индуцированную ориентацию на /"'(#)> используя,
например, операцию гомологического Х-умножения. Поэтому
определена сигнатура о (/"'(#))• Но, как мы уже отмечали выше,
/-1 (у') гомеоморфно /-1 (у) для всех у' е U. Следовательно,
целочисленная функция o(f~1(y)) не зависит от у для y^U.
Предположим, что / и g— гомотопные кусочио-линейные
отображения разбиения Кп в разбиение 2Г. Возьмем какую-ни-
какую-нибудь кусочно-линейную гомотопию
h: ГХ[0,1]->2',
затем подразделим наши разбиения так, чтобы отображение h
стало симплициальным, и выберем точку у ffi U, как и выше.
Аналогичными рассуждениями можно показать, что множество
h~l(y) будет рациональным гомологическим многообразием с
границей, ограниченным дизъюнктным объединением g~x{y)-\-
+ (—f~l(y))- Так как сигнатура всякой границы равна нулю,
это доказывает, что
для почти всех точек у.
Теперь предположим, что нам даны две различные точки
г/1 и у% сферы 2Г, каждая из которых удовлетворяет условию,
что функция 1/|—>а(/~'(г/)) является постоянной в некоторой
окрестности точки уи Выбрав кусочно-линейный гомеоморфизм
и: Ег—*2Г, гомотопный тождественному и такой, что u(yi) = у2,
получаем, что композиция u°f гомотопна отображению / и, сле-
следовательно, что равенство
выполнено для почти всех точек г е Ег. Бели выбрать точку г
достаточно близкой к уз, то точка иг1 (г) будет достаточно
близка к точке у\ и, следовательно, мы получим
что и требовалось доказать. ¦
Доказательство леммы 20.4. Из доказательства предыду-
предыдущей леммы немедленно следует, что целое число a(f) зависит
только от гомотопического класса отображения /. Покажем, что
соответствие (/)>—» o(f) аддитивно. Напомним, как устроена
групповая операция в когомотопической группе nr(Kn). Если
даны два отображения f, g: /Cn —>- Sr, то мы можем образовать

196 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
из них отображение (f, g): x*—>(f(x), g{x)) разбиения Кп в пря-
прямое произведение 2' X 2Г. При я <. 2г это отображение может
быть продеформировано на подразбиение
2Г V 2Г = BГ X point) U (point X Я) сг 2Г X 2Г,
причем в случае п < 2г—1 получающееся отображение JC"-*-
->SrVSr определено однозначно с точностью до гомотопии.
(Предположение, что (f, g) отображает разбиение Кп в 2Г V 2Г,
эквивалентно предположению, что для любой точки х е Кп
либо /(х), либо g(jc) является отмеченной точкой.) Отображая
теперь Ег X 2Г на Бг при помощи «складывающего отображе-
отображения», которое тождественно на каждом экземпляре разбиения
2Г, мы получаем составное отображение h: Kn -*• 2Г, представ-
представляющее искомую сумму (/) + (g) ¦
Если отображения f и g выбраны в своих гомотопических
классах так, что для всех х либо f{x), либо g(x) есть отмечен-
отмеченная точка, то h определяется просто формулой
( f (x), если / (дс) ф отмеченной точке,
\ g (х), если f (х) = отмеченной точке.
Следовательно, множество h~l{y) является дизъюнктным объ-
объединением множеств /~'(#) и g~l(y) для любой точки у, не
равной отмеченной точке, откуда немедленно следует, что
(h)(f)+()m
Теперь мы можем доказать основной результат этого па-
параграфа. Мы продолжаем предполагать, что конечное симпли-
циальное разбиение Кп есть ориентированное рациональное го-
гомологическое многообразие.
Теорема 20.6. При 4t<(n—1)/2 существует один и только
один когомологический класс
который удовлетворяет тождеству
для любого отображения f: К" -
Ясно, что этот класс U = // (Кп) инвариантен относительно
кусочно-линейных гомеоморфизмов.
Доказательство. Как уже было замечено, гомоморфизм
определенный соответствием (f)*—>f*(u), является ^-изомор-
^-изоморфизмом (см. стр. 191). Отсюда легко следует, что существует

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 197
один и только один гомоморфизм
a': Hn-u{Kn\ Z)->Q,
замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:
1- 1"
Z с Q
Но по теореме двойственности Пуанкаре
о' (х) = (l{ <j х, цп)
для некоторого однозначно определенного рационального кого-
когомологического класса /,-. Ш
Сравним «комбинаторное» и «гладкое» определения. Нам
понадобится следующий важный результат Дж. X. К. Уайтхеда.
Пусть М = М" — гладкое многообразие. Гладкой триангуля-
триангуляцией многообразия М называется всякий гомеоморфизм
t: К->М
(где К — некоторое симплициальное разбиение), такой, что огра-
ограничение t на каждый замкнутый симплекс комплекса К является
гладким отображением всюду максимального ранга.
Теорема Уайтхеда. Любое гладкое паракомпактное много-
многообразие обладает гладкой триангуляцией. Если М — гладкое
паракомпактное многообразие с границей, то любую гладкую
триангуляцию Ко -*¦ дМ можно продолжить до гладкой триан-
триангуляции К-*М, где К — некоторое симплициальное разбиение,
содержащее Ко как подразбиение. Наконец, если faKi-^M и
fo К*-*-М — две различные гладкие триангуляции многообра-
многообразия М, то гомеоморфизм /Г1 о /,: К\ -*¦ Д'г гомотопен некоторому
кусочно-линейному гомеоморфизму из Ki в Kz.
Таким образом, гладкому многообразию М отвечает симпли-
симплициальное разбиение Д', которое определено однозначно с точ-
точностью до кусочно-линейного гомеоморфизма. Доказательства
можно найти в [Уайтхед, 1940] и в дополнении.
Рассмотрим теперь характеристический когомологический
класс U(K). Используя изоморфизм t*: Hil(M)~* Н41(К), полу-
чаем соответствующий класс

198 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
по-прежнему в предположении, что 4i<C(n—1)/2. Этот класс
не зависит от выбора гладкой триангуляции. Действительно,
если ti: Ki-*M — другая гладкая триангуляция, то композиция
t-^t гомотопна некоторому кусочно-линейному гомеоморфизму
и, следовательно,
Этот однозначно определенный рациональный класс мы будем
Кратко обозначать через U(M).
Теорема 20.7. Класс h(M), определенный для гладкого мно-
многообразия при помощи описанной выше комбинаторной про-
процедуры, равен классу Хирцебруха Li(pu .,,, pi) касательного
расслоения многообразия М.
Доказательство. Пусть f• Мп -*• Sr — гладкое отображение.
Мы построим коммутативную с точностью до гомотопии диаг-
диаграмму
где § — кусочно-линейное отображение, a t, s —гладкие триан-
триангуляции, такую, что
о (Г1 (У))-о(g-1 (г))
для у, принадлежащих некоторому непустому открытому мно-
множеству в Sr, и z, принадлежащих некоторому непустому от-
открытому множеству в L". Разбиение U обязано быть кусочно-
линейно гомеоморфным разбиению 2Г. Ввиду леммы 20.2 и тео>
ремы 20.6 отсюда будет следовать наше утверждение.
Пусть уо a Sr — какое-нибудь регулярное значение отобра-
отображения /. Нетрудно проверить, что если В — достаточно малый
Шар с центром в точке уо, то прообраз f~l(B) диффеоморфен
проивведению f-1{y0)X^ при диффеоморфизме, который сохра-
сохраняет проекцию на В. Выберем какие-либо гладкие триангуля-
триангуляции
t2: K2->B.
Тогда гладкая триангуляция
h X hi Kx X /С2->Г' Ы X В а Мп
при ограничении дает гладкую триангуляцию

'§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 199
границы многообразия f~l(yo)X>B, которая по теореме Уайтхеда
продолжается до гладкой триангуляции
К3->МП\внутренность (/"'(у0)XВ),
дополнительной к внутренности многообразия }~1(уо)У(.В об-
области. Полагая Кп = К\ X К2 U ^Сз (и производя, если надо, со*
ответствующее продразделение), мы получим гладкую триан-
триангуляцию t: Кп -*¦ Мп. Аналогично триангуляция U может быть
продолжена до гладкой триангуляции s: Z/ -> Sr.
Далее, проекцию К\ X Кг -> Кг cr Lr можно продолжить до
кусочно-линейного отображения g:Kn^*-Lr таким образом,
чтобы дополнение к разбиению К\ X -Кг отображалось на до-
полнение к разбиению Kz. Легко проверить, что композиция
Sog гомотопна f°t. Более того,
для каждой точки уеВи каждой точки z e Кг, так что сиг-
сигнатура ^(/-'(г/)) равна, очевидно, сигнатуре o(g~1(z)). Ш
До сих пор предполагалось выполненным условие М <
< (я—1)/2. Однако для заданного рационального гомологи-
гомологического многообразия К" мы всегда можем образовать прямое
произведение /С"Х2т, где m достаточно велико. Класс h(Kn)
можно тогда определить как класс, индуцированный классом
U(Kn X 2m) при помощи естественного вложения. Нетрудно по-
показать, что этот новый класс однозначно определен и имеет
нужные свойства. В частности, индекс Кронекера </< (К4'). И')
всегда равен сигнатуре а{К4').
Легко также обобщить все это на случай гомологических
многообразий с границей. Надо только в предыдущих рассуж-
рассуждениях рассматривать относительные когомотопические группы
nn-4i(Kn, дК") и привлечь теорему двойственности Лефшеца.
Некоторые приложения
Начнем с одного примера, который открыли независимо
Том [Том, 1955—56, стр. 81], Тамура [Тамура, 19571 и Симада
[Симада, 1957]. Нам будут нужны две леммы.
Лемма 20.8. Для всякого гладкого векторного расслоения
| с проекцией л:Е—*В касательный класс Понтрягина р(Е) =
= р(тг) пространства расслоения Е(Ъ) равен п*(рA)р(тв))
с точностью до 2-кручения.
Доказательство. Выберем какую-нибудь риманову метрику
на многообразии Е. Тогда касательное расслоение %в, очевидно,
расщепляется в сумму Уитни расслоения, образованного век-

200 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
торами, касательными к слоям |, и расслоения, образованного
векторами, нормальными к слоям |. Утверждение леммы сле-
следует из того, что эти расслоения изоморфны соответственно
() *()Я
Пусть u^H4(S4) обозначает стандартную образующую
группы когомологий.
Лемма 20.9. Существует ориентированное 4-мерное расслое-
расслоение |4 над сферой S4, такое, что pi(?4) =—2м и е(|4) = ы.
Доказательство. Пусть Н обозначает некоммутативное поле
кватернионов. (Буква Н выбрана в честь Уильяма Рауэна Га-
Гамильтона (W. R. Hamilton).) Мы можем построить проективное
пространство Рт(Н) кватернионных прямых, проходящих через
начало координат в кватернионном координатном пространстве
Hm+'. Это — гладкое 4т-мерное многообразие. Существует кано-
каноническое «кватернионно-линейное» расслоение у над Рт(Н), про-
пространством Е(у) которого служит множество всех пар (L,v),
состоящих из кватернионных прямых La Hm+1 и векторов yeL
Пространство единичных векторов из Е(у) может быть отожде-
отождествлено с единичной сферой S4m+S cr Hm+1.
Используя естественные вложения R с= С с: Н, мы получаем,
что для расслоения 7 существуют лежащие в его основе комп-
лексное двумерное расслоение уэ и вещественное четырехмерное
расслоение YR наД тем же базисным пространством Рт(Н). Из
точной последовательности Гизина для \R видно, что кольцо
когомологий Н*(Р*(Н)) с целыми коэффициентами является
кольцом усеченных полиномов, порожденным классом Эйлера
или классом Чженя
Если для краткости обозначить эту когомологическую обра-
образующую через ые#4(Рт(Н)), то полный класс Чженя равен
и, следовательно, полный класс Понтрягина равен
(согласно следствию 15.5). Таким образом, для частного слу-
случая одномерного кватернионного проективного пространства
Я(НM4 мы имеем
как и утверждалось.

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 201
Из этой леммы следует, что для любого целого четного чис-
числа k существует векторное 4-мерное расслоение ? над сферой
S4 с pi (|) = ku. Можно просто взять | = f* (\R), где /*: S4 —> S4 —
какое-нибудь отображение степени —k/2. Это наилучший воз-
возможный результат, поскольку класс Pi(?) не может быть нечет»
ным кратным элемента и, согласно задаче 15.А.
(Для векторных расслоений над сферой Sim соответствую-
соответствующий наилучший возможный результат заключается в том, что
класс Понтрягина pm(l) может быть равен любому кратному
элемента B/п—1)! (н.о. д. (ш + 1, 2))и. Доказательство этого
утверждения основано на теореме о периодичности Ботта (см.
[Ботт, 1958—59]).)
Пример 1. Пусть 1П — гладкое я-мерное расслоение над сфе-
сферой S4. Для удобства будем считать, что n ^ 5. Выбрав ка-
какую-нибудь евклидову метрику, обозначим через E'czE(%n)
множество векторов длины ^1 и через дЕ'— множество век-
векторов длины, равной 1.
Учитывая сделанное выше замечание, мы видим, что
pi{ln) = ku, где k может быть произвольным четным числом1.
Следовательно,
по лемме 20.8. Так как многообразие дЕ' имеет тривиальное
нормальное расслоение в ?(|"), то отсюда следует, что
где и' е Я4 (дЕ') — стандартная образующая, которая соответ-
соответствует элементу и при гомоморфизме
из точной последовательности Гизина для расслоения |".
Поскольку класс Понтрягина pi гладкого многообразия дЕ'
является комбинаторным инвариантом, то и четное число \k\
также будет комбинаторным инвариантом. Таким образом,
варьируя k, мы получаем бесконечное множество гладких мно-
многообразий дЕ' фиксированной размерности п +3 ^ 8, которые
все комбинаторно различны.
С другой стороны, как показали И. М. Джеймс и Дж.
X. К. Уайтхед [Джеймс, Уайтхед], для любого фиксированного
п эти многообразия дЕ' принадлежат лишь конечному числу
(а именно 13) различных гомотопических типов. Следователь-
Следовательно, для любой фиксированной размерности п ^ 8 существуют
два гладких односвязных многообразия, которые имеют один
1 |" = I © е"~4. — Прим. перев.

202 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
и тот же гомотопический тип, однако не являются кусочно-ли'
нейно гомеоморфными. (Размерность 8 может быть легко пони-
понижена до 7.)
Используя теорему Новикова о том, что рациональные клас-
классы Понтрягина являются топологическими инвариантами, полу-
получаем, что эти многообразия не будут даже гомеоморфными',
Совершенно другой пример многообразий, которые имеют
один и тот же гомотопический тип, но не гомеоморфны, по-
появляется при изучении фундаментальной группы, например
трехмерного линзового пространства (см. [Броди], [Чепмэн]).
Наш следующий пример принадлежит Тому ([Том, 1958];
см. также [Милнор, 1956] и [Симада]). Сначала мы должны
усилить лемму 20.9.
Лемма 20.10. Для любых целых чисел k, I, удовлетворяющих
условию k = 2/ (mod 4), существует ориентированное 4-мерное
расслоение | над сферой S4, такое, что pi(Q = ku, e{Q=lu.
(Эти целые числа k и / в действительности определяют
класс изоморфизма расслоения |, так как гомотопическая
группа 714F4) ?En3(SO4) изоморфна Z®Z.J
Доказательство. Напомним, что через бг4 мы обозначаем
пространство ориентированных 4-мерных подпространств в R°°.
Для каждого гомотопического класса (f) в гомотопической
группе Jii{Ci) мы можем образовать когомологический класс
в группе когомологий #4(S4) с целыми коэффициентами, пере-
перенеся универсальное расслоение у4 на четырехмерную сферу и
взяв затем его класс Понтрягина. Это соответствие (f)*~>
1—*-Pi (/*V4) задает аддитивный гомоморфизм группы 114F4) в
группу #4(S4)?*Z, что легко увидеть, если заметить, что
где соответствие
(
есть хорошо известный гомоморфизм Гуревича. Аналогично
класс Эйлера задает аддитивный гомоморфизм
группы п4(йг4) в группу H4(S4)^ Z.
1 Имеется общая формула Сулливана, описывающая^все негомеоморф-
ные замкнутые топологические многообразия размерности л ^ 5, гомотопи-
ческн эквивалентные заданному замкнутому односвязноиу топологическому
многообразию, см. ГСулливан, 1975]. — Прим. перев.
1 См. [Стинрод]. — Прим. ред.

§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 203
Далее, касательное расслоение к сфере S4 изоморфно рас*
слоению /Jy4, а расслоение yr из леммы 20.9 — расслоению /jY4.
для подходящих отображений /i, /2:S4->04. Таким образом,
Взяв соответствующую линейную комбинацию (/) классов (fi)
и (/г) в группе л^б^), мы можем, очевидно, добиться того,
чтобы
где числа k и I удовлетворяют условию k = 21 (mod 4). ¦
Пример 2. В силу леммы 20.10, для любого целого числа
& == 2 (mod 4) существует ориентированное 4-мерное расслое-
расслоение I над S4, такое, что
Используя последовательность Гизина для ?, легко показать,
что пространство дЕ' единичных векторов пространства рас-
расслоения ?(?) имеет гомотопический тип сферы S7. В действие
тельности это многообразие дЕ' гомеоморфно семимерной сфе-
сфере. Как гладкое многообразие, оно может быть получено отож-
отождествлением границ двух экземпляров единичных семимерных
шаров при помощи некоторого подходящего (возможно, экзоти-
экзотического) диффеоморфизма между этими границами (шестимер-
(шестимерными сферами). Этот факт был доказан прямым методом в ра-
работе [Милнор, 1956] и является также следствием обобщенной
гипотезы Пуанкаре, как показано в [Смейл, 1961]. Далее, от-
отправляясь от какой-нибудь гладкой триангуляции граничной
6-мерной сферы и продолжая ее до триангуляции наших двух
«склеенных» 7-мерных шаров, мы легко получаем, что много-
многообразие дЕ' даже комбинаторно эквивалентно 7-мерной сфере'.
Рассмотрим пространство Тома Т = Т(%). Очевидно, что оно
может быть отождествлено с многообразием, полученным из
Е' присоединением некоторого конуса над дЕ'. Выбирая какую-
нибудь гладкую триангуляцию многообразия Е' и учитывая то
обстоятельство, что дЕ' является комбинаторной сферой, ви-
видим, что 71 = Г(|) можно триангулировать как кусочно-линей-
кусочно-линейное многообразие. Это означает, что его можно триангулиро-
триангулировать так, чтобы каждая его точка имела окрестность, кусочно-
линейно гомеоморфную пространству R8.
1 То есть дЕ' кусочно-линейно гомеоморфно 7-мерной сфере, — Прим.
перев.

204 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Согласно лемме 18.1 или лемме 18.2, группы гомологии мно-
многообразия Т — бесконечные циклические в размерностях 0, 4, 8
и нулевые в других размерностях. Таким образом, сигнатура
а(Т) должна быть равна ±1, и, выбирая ориентацию подходя*
щим образом, мы можем считать, что а(Т)= 4-1.
В силу леммы 20.8, касательный класс Понтрягина pi (E')
равен k раз взятой когомологической образующей. Следова-
Следовательно, класс pi {T) равен некоторой образующей, умноженной
на k, и число Понтрягина р\[Т] должно быть равно k2. Тео-
Теорема о сигнатуре дает
откуда следует, что второе число Понтрягина равняется
= D5 + k2)/7.
Здесь k может быть любым целым числом, сравнимым с 2 по
модулю 4. Однако если k Ф ±2 (mod 7), то число D5 ± k2) /7
не будет целым. (Например, при k — Q число р2(Т) не будет
целым.) Так как числа Понтрягина гладких многообразий
должны быть целыми, то мы доказали тем самым следующее
утверждение.
Для k Ф ±2 (mod 7) триангулированное 8-мерное многооб-
многообразие Т — ТA) не обладает гладкой структурой, согласован-
согласованной с заданной триангуляцией.
Отсюда как следствие вытекает, что гладкое 7-мерное мно-
многообразие дЕ' (которое гомеоморфно сфере S7) не диффео-
морфно S7. Действительно, в противном случае на многообра-
многообразии Т, очевидно, можно было бы ввести согласованную гладкую
структуру.
Закончим одной задачей для читателя.
Задача 20.А. Пусть т — касательное расслоение кватернион-
ного проективного пространства Рт(Н) (см. доказательство
леммы 20.9). Используя изоморфизм т ?•= Нотн (y. Vх) веще-
вещественных векторных расслоений, показать, что
T©HomH(Y, Y)^HomH(Y, Hm+1)
и, следовательно, р(%) = (\ -f- ыJт+2/A + 4ы) (см. [Шчарба],.
а также теорему 14.10).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы дадим здесь очень краткий обзор некоторых наиболее
важных результатов в теории характеристических классов, по-
полученных после того, как были прочитаны и записаны лекции,
послужившие основой этой книги. О других результатах чита-
читатель сможет узнать из работ [Хыозмоллер], [Адаме, 1972] и
[Атья] •.
Негладкие многообразия
Теория вещественных векторных расслоений идеально при-
приспособлена для изучения гладких многообразий точно так же,
как теория комплексных векторных расслоений приспособлена
для изучения комплексных многообразий. Если мы имеем дело
с какой-нибудь другой категорией многообразий, то полезно
подыскать подходящий для этой категории тип расслоений. Рас-
смотрим, например, категорию всех кусочно-линейных много-
многообразий и их кусочно-линейных отображений. Подходящий тип
расслоений для этой категории может быть описан следующим
образом. Пусть В — локально-конечное симплициальное разбие-
разбиение. ;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кусочно-линейное п-мерное расслоение
над В состоит из симплициального разбиения Е и кусочно-ли-
кусочно-линейного отображения р: Е—*В, удовлетворяющего следующему
условию локальной тривиальности. Каждая точка базисного
пространства В должна обладать открытой окрестностью U,
такой, что множество p~l(V) кусочно-линейно гомеоморфно
прямому произведению U X R" при гомеоморфизме, который
согласован с проекцией на U. (Открытое множество U имеет
структуру симплициального разбиения по теореме Рунге, см.
[Александров, Хопф].)
Кусочно-линейное касательное расслоение кусочно-линей-
кусочно-линейного «-мерного многообразия М может быть построено следую-
1 См. также ["Кошер, Флойд, 1969], [*Стонг 1973], [*Каруби, 1977],
[*Бухштабер, 1975], [*Бухштабер, 1978] (напоминаем, что звездочка отсы-
отсылает к списку литературы, добавленной при переводе). — Прим, перев.

206 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
щим образом. Согласно теореме Б. Мазура (к сожалению, не-
неопубликованной) ', существует окрестность Е диагонали в про-
изведении М X М, такая, что проекция (х, y)t—>x этой окрест-
окрестности на М является кусочно-линейным я-мерным расслоением.
Кроме того, это расслоение единственно с точностью до изо-
изоморфизма. (По поводу аналогичной теоремы в топологической
категории см. [Кистер].) Если не использовать теорему Мазура,
то можно было бы провести все рассмотрения, основываясь на
менее известном понятии кусочно-линейного микрорасслоения
(см. [Милнор, 1964]).
Кусочно-линейные «-мерные расслоения над В классифици-
классифицируются отображениями базисного пространства В в некоторое
«универсальное базисное пространство» или «классифицирую-
«классифицирующее пространство», которое обозначается BPL(n). Таким об-
образом, теория характеристических классов для кусочно-линей-
кусочно-линейных многообразий сводится к вычислению когомологий
H*(BPL(n)).
Переходя к прямому пределу при га-»-оо, можно2 построить
каноническое отображение
BO-^BPL.
Здесь ВО обозначает стабильное многообразие Грассмана
lim ВО (n) = limGn(KB0). Как показали Хирш и Мазур (см.
[Хирш] 3), относительная гомотопическая группа
nk{BPL, ВО)
изоморфна группе Г*-ь состоящей из всех классов ориентиро-
ориентированного диффеоморфизма скрученных (k—1)-мерных сфер
(т.е. гладких многообразий, полученных склеиванием границ
двух замкнутых (k—1)-мерных шаров). Эта группа тривиаль-
тривиальна для k <? 7 и конечна для всех k (см. [Кервер, Милнор] и
[Серф]). Отсюда следует, что рациональные когомологий
H*(BPL;Q) изоморфны рациональным когомологиям Н*(ВО;
Q), которые представляют собой алгебру полиномов, порож-
порожденную классами Понтрягина (см. § 20). Заметим, однако, что
для когомологий с целочисленными коэффициентами отобра-
отображение Я* {BPL) /torsion -> Н* (ВО) /torsion не является эпимор-
эпиморфизмом (см. условия целочисленности в примере 2 § 20). По
поводу когомологий пространства BPL с другими коэффициен-
коэффициентами см. [Вильямсон] и [Брамфил,.Мадсен, Милграм].
1 См. [*Кюйпер, Лашеф, ч. 1]. — Прим. перев.
8 См. [*Хирш, Мазур]. — Прим. перев.
* А также [*Хирш, Мазур]. — Прим, перев. ,

Заключение 207
Фундаментальная теорема Хирша и Манкрса [Хирш, 1963],
[Манкрс, 1964—1968]' утверждает, что кусочно-линейное мно-
многообразие М обладает согласованной гладкой структурой тогда
и только тогда, когда классифицирующее отображение
M-+BPL
стабильного касательного расслоения многообразия М подни-
поднимается до отображения М -> ВО (ср. [Милнор, 1964]), или,
эквивалентно, тогда и только тогда, когда каждая последова-
последовательность препятствий, лежащих в группах Hk(M\Yk-\), нуле-
нулевая.
Теория топологических n-мерных расслоений и топологиче-
топологических касательных расслоений совершенно аналогична. В этом
случае классифицирующее пространство обозначается ВТОР (п).
Существует каноническое отображение
BPL(n)-+BTOP(n).
Что касается предела при п->оо, то поразительная теорема,
принадлежащая Кёрби и Зибенманну [Кёрби, Зибенманн, 1969]2,
утверждает, что относительная гомотопическая группа
nk (ВТОР, BPL)
является нулевой для k ф 4 и циклической порядка 2 для k =4.
Далее, они показали, что топологическое многообразие М. раз-
размерности ^5 может быть триангулировано как кусочно-линей-
кусочно-линейное многообразие тогда и только тогда, когда классифицирую-
классифицирующее отображение
М-+ВТОР
стабильного касательного расслоения многообразия М подни-
поднимается до отображения
M-+BPL,
или, эквивалентно, тогда и только тогда, когда единственный
топологический характеристический класс в группе
Я4(М; Z/2)
равен нулю.
Из этого, между прочим, следует, что кольцо Н* (ВТОР; А)
топологических характеристических классов изоморфно кольцу
когомологий H*(BPL;A) для любого кольца коэффициентов Л,
содержащего '/г- Отсюда, конечно, вытекает теорема Новикова
о том, что рациональные классы Понтрягина являются тополо-
топологическими инвариантами.
1 См. также [*Хирш, Мазур]. — Прим. перев.
* См. также [*Кёрби, Зибеиманн, 1977]. —Прим. перев.

208 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Еще более широкую категорию «многообразий» доставляет
класс всех пространств Пуанкаре, т. е. клеточных разбиений М,
которые удовлетворяют теореме двойственности Пуанкаре
(с произвольными локальными коэффициентами в неодносвяз-
ном случае) относительно некоторого фундаментального гомо-
гомологического класса ц е Нп {М; Z).
Чтобы изучать такие объекты, мы должны ввести совсем
иной тип расслоений. А именно, будем говорить, что непре-
непрерывное отображение р: Е —*¦ В является расслоением в смысле
Гуревича1 над В или что оно удовлетворяет аксиоме о накры-
накрывающей гомотопии, если для любого пространства X и любого
непрерывного отображения f:X —> Е всякая гомотопия отобра-
отображения р о f может быть накрыта гомотопией отображения / (см.
[Гуревич, 1955], [Дольд, 1963]). Такое расслоение называется
k-сферическим, если каждый слой р~1(Ь) имеет гомотопический
тип А-мерной сферы.
Как показал Спивак, любое односвязное пространство Пуан-
Пуанкаре М допускает по существу единственное сферическое рас-
расслоение Е —> М, обладающее тем свойством, что старший гомо-
гомологический класс в ассоциированном пространстве Тома Т при-
принадлежит образу гомоморфизма Гуревича 2
(см. [Спивак]). Более точно, это расслоение, называемое нор-
нормальным расслоением Спивака комплекса Пуанкаре М, един-
единственно с точностью до стабильной послойной гомотопической
эквивалентности, которую мы не будем здесь определять3.
В работах [Сташеф, 1963], [Сташеф, 1968] доказано, что
такие сферические расслоения над М классифицируются с точ-
точностью до стабильной послойной гомотопической эквивалентно-
эквивалентности отображениями в некоторое классифицирующее простран-
пространство BF. Существуют канонически определенные с точностью до
гомотопии отображения
ВО-* BPL -* ВТОР -> BF.
Как установили Браудер и Хирш [Браудер, Хирш, 1966], одно-
связное пространство Пуанкаре М формальной размерности
п ^ 5 имеет гомотопический тип замкнутого кусочно-линейного
1 В оригинале fibration. (Термину «расслоение» отвечает английское
bundle.)— Прим. перев.
2 Ниже п — размерность фундаментального гомологического класса ком-
комплекса Пуанкаре М, a k — размерность сферического слоя; k — достаточно
большое число. — Прим. перев.
3 См. [*Браудер, 1972]. Теорему существования и единственности расслое-
расслоения Спивака для неодносвязного случая см. в работах [* Уолл, 1967], [* Брау-
Браудер, 1972]. — Прим. nepeet

Заключение 209
многообразия М' тогда и только тогда, когда классифицирую-
классифицирующее отображение М -* BF поднимается до отображения М -*
-+BPL. (Проблема единственности многообразия М', впервые
исследованная Новиковым для гладкого случая [Новиков,
1964], здесь намного сложнее.)
Гомотопическая группа nt(BF) для t^2 изоморфна ста*
бильной (t—1)-й гомотопической группе сфер 3tN+i-i(S") и,
следовательно, всегда конечна. Когомологии классифицирую-
классифицирующего пространства BF изучали Милграм [Милграм, 1970], Мэй
[Мэй, 1972] и другие.
При вычислении когомологии H*(BPL) и H*(BF) приме-
применяются совсем другие технические методы, чем развитые в этой
книге. Вместо того чтобы вычислять эти группы, используя
особые характеристические классы, анализируют гомотопиче-
гомотопический тип в терминах ассоциированных расслоений или в терми-
терминах дополнительных внутренних структур. Например, Сулливан
[Сулливан, 1970] показал, что «по нечетным простым числам»
пространство ВО имеет гомотопический тип слоя расслоения
BPL -> BF.
В работах [Бордман,Фогт, 1968], [Мэй, 1972], [Сигал, 1974]
было показано, что стабильные классифицирующие простран-
пространства BPL, ВТОР и BF все имеют гомотопический тип бесконеч-
бесконечных пространств петель и поэтому для их изучения может быть
привлечена не только алгебра Стинрода, но также и ее гомоло-
гомологический аналог — алгебра Дайера — Лашефа. Хотя классы У
из § 19 и их образы при гомоморфизме Бокштейна по-прежнему
играют важную роль (см. [Милнор, 1968], [Сташеф, 1968]), по-
появились и другие классы, интерпретация которых в терминах
геометрии расслоений пока далеко не ясна (см. [Равенель,
1972]).
Гладкие многообразия
с дополнительной структурой
Помимо негладких многообразий можно еще рассматривать
гладкие многообразия, наделенные некоторой дополнительной
структурой. Например, мы можем потребовать, чтобы «струк-
«структурной группой» касательного расслоения нашего п-мерного
гладкого многообразия (см. [Стинрод], [Хьюзмоллер]) была та
или иная подгруппа общей линейной группы GL(n, R) (или,
эквивалентно, ортогональной группы О (л)). Важный пример
доставляет унитарная группа U(n)c OBn); это приводит к
изучению почти-комплексных многообразий и близко с ними
связанных комплексных многообразий (см. § 13). Другие при-
примеры доставляют специальная унитарная группа SU(n) с: О Bп)
и компактная симплектическая группа Sp(n)a ОDп).

210 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Аналогично можно потребовать, чтобы структурная группа
касательного расслоения сводилась к двукратному накрытию
Spin(л)->SO(n). Обсуждение теорий кобордизмов, ассоцииро-
ассоциированных с различными такими редукциями, см. в книге [Стонг].
Другое направление основано на определении характеристи-
характеристических классов при помощи дифференциальных форм (см. при-
приложение С). Так определяемые классы оказываются особенно
хорошо приспособленными для изучения многообразий с та-
такими дополнительными структурами, как слоение или риманова
метрика. Обращение в нуль этих классов в определенных слу-
случаях дает возможность построить новые характеристические
классы, впервые изученные с других точек зрения в работах
[Чжень, Саймоне] и [Годбийон, Вей]'. Некоторые из этих клас-
классов зависят, например, от конформной структуры риманова мно-
многообразия. Некоторые из характеристических чисел, соответ-
соответствующих новым характеристическим классам, могут прини-
принимать произвольные вещественные значения ([Ботт, 1972],
[Баум], [Тэрстон]), что говорит о большом богатстве таких
структур. В настоящее время эта ветвь теории характеристиче-
характеристических классов находится в стадии очень быстрого и интенсив-
интенсивного развития. Современный обзор работ по этой тематике в
статье [Ботт, Хэфлигер], дальнейшие результаты представлены
в сборнике [Am. Math. Soc. 27] •.
Обобщенные теории когомологии
До сих пор мы обсуждали обобщения, получающиеся, когда
используется обычная теория когомологии, но различные экзо-
экзотические типы расслоений. Совершенно другое обобщение воз-
возникает, если мы используем обычные векторные расслоения, но
зато привлекаем обобщенные когомологии.
По определению обобщенная теория когомологии — это
функтор (X,A)t—*.3@*(X,A) из категории пар пространств в ка-
категорию градуированных аддитивных групп, который удовлет-
удовлетворяет первым шести аксиомам Эйленберга — Стинрода, но не
обязан удовлетворять аксиоме размерности (утверждающей,
что 3$k (точка) = 0 для k ф ОJ.
Первый и наиболее важный пример такой обобщенной тео-
теории когомологии доставляет К-теория.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для любого компактного пространства X
аддитивная группа К°(Х) задается следующими образующими
и соотношениями. Имеется по одной образующей [|] на каждый
1 См. также обзор [*Фукс]. — Прим. перед.
3 Ср. [Дайер]. — Прим. перев.

Заключение 211
класс изоморфных друг другу комплексных векторных рас-
расслоений | над базисным пространством X и по одному соот-
соотношению
на каждую пару комплексных векторных расслоений. Для
т > О группа К~т (X) может быть определена как коядро есте»
ственного эпиморфизма
К0 (Sm ХХ)->К° ((отмеченная точка) X X).
Операция тензорного умножения для комплексных векторных
расслоений порождает операцию умножения
К~т (X) ® К~п (У) -> К~т~п {X X У).
Теорема периодичности Ботта утверждает, что умножение на
стандартную образующую группы К~2 (точка) s* Z дает изомор-
изоморфизм
2
(Это тесно связано с утверждением, что классифицирующее
пространство BU имеет гомотопический тип своего двукратного
пространства петель.)
Кольцо КО*(Х) определяется аналогично, с той лишь разни-
разницей, что вместо комплексных расслоений используются веще-
вещественные. В этом случае имеет место теорема периодичности
Ботта
За иллюстрациями силы методов /С-теории мы отсылаем чита-
читателя к работам [Атья, 1967] и [Адаме, 1962—1972] '.
Аналогично можно определить обобщенную теорию гомоло-
гомологии. Важным примером служат стабильные гомотопические
группы
!!4
где SkX обозначает А-кратную надстройку над пространством
X. Другой пример — группы ориентированных бордизмов Qn{X\
(см. [Коннер, Флойд]2). По определению два отображения
ft Mx-+X, f2: M2-+X
гладких замкнутых компактных ориентированных «-мерных
многообразий Mi, M% в пространство X называются бордант-
ными, если существуют гладкое компактное ориентированное
1 См. также [*Каруби, 1977]. — Прим. перев.
1 См, также [*Коннер, Флойд, 1969], — Прим, перев.

212 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
многообразие N с границей dN = Mi + (—ЛЬ) и отображение
N-+-X, продолжающее отображения f\ и fa. Классы бордизмов
таких отображений образуют группу Qn(X). Заметим, что груп-
группа Qn (точка) есть в точности группа кобордизмов Qn из § 17.
С каждой такой обобщенной теорией гомологии связана соот-
соответствующая обобщенная теория когомологий. См. [Уайтхед
Дж. У., 1962] К
Чтобы изучать характеристические классы со значениями
в обобщенной теории когомологий, например такой, как К*(В),
надо сначала вычислить группу К* от соответствующего класси-
фицирующего пространства. В случае комплексной /С-теории
Атья и Хирцебрух установили изоморфизм между K*(BG) для
компактной группы Ли G и пополненным кольцом ее представ»
лений ([Атья, Хирцебрух]; относительно соответствующих ре-
результатов для /СО-теории см. [Андерсон]).
Точно так же, как при изучении гомологии многообразий,
важную роль играет ориентация многообразия, использующая
классическую теорию гомологии #«(;Z), ее аналог — ориента-
ориентация в /С-теории — играет основную роль в /С-теории многообра-
многообразий (см. [Ши]). Например, Сулливан доказал удивительный ре-
результат, что PL-расслоения — более или менее то же самое, что
и сферические расслоения, снабженные /СО-ориентацией [Сул-
[Сулливан, 1970].
Для любого /С-ориентированного расслоения можно опреде-
определить характеристические классы в /С-теории, используя под-
подход, описанный в § 8 и 19, и соответствующие /С-операции вме-
вместо операций Стинрода. Эта идея была предложена Боттом
[Ботт, 1962] и широко развита Адамсом [Адаме, 1965].
В качестве типичной иллюстрации полезности этих обоб-
обобщенных характеристических классов укажем работу [Андерсон,
Браун, Петерсон] о спинорных кобордизмах. Предположим, что
дано ориентированное односвязное многообразие М с w^{M) =
= 0. Для того чтобы узнать, будет ли многообразие М грани-
границей некоторого ориентированного многообразия с ш2 = О, нуж-
нужно проверить не только то, что все его числа Штифеля — Уитни
и числа Понтрягина равны нулю, но и то, что все его /СО-ха-
/СО-характеристические числа равны нулю.
Коннер и Флойд [Коннер, Флойд, 1966] ввели классы типа
классов Чженя для теории когомологий, соответствующей комп-
комплексным бордизмам. Алгебраический аппарат в этой ситуации
оказался особенно гибким, что привело к быстрому развитию
теории, в которое внесли свой вклад сразу несколько авторов,
в особенности С. П. Новиков (см. [Новиков, 1967], а также
[Адаме, 1967]).
1 А также [Стонг]. — Прим. ред.

ПРИЛОЖЕНИЕ А
СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
В этом приложении будут даны краткие доказательства
ряда теорем из теории сингулярных когомологий, которые ис-
использовались в основном тексте. Чтобы фиксировать обозначе-
обозначения и соглашения о знаках, начнем с основных определений.
Несмотря на это, мы предполагаем у читателя некоторое зна-
знакомство с теорией гомологии и когомологий. В частности, мы
предполагаем, что читатель знаком с теми фундаментальными
свойствами, которые суммированы в аксиомах Эйленберга и
Стинрода [Эйленберг, Стинрод, 1958].
За время, прошедшее с тех пор, как были прочитаны лек-
лекции, послужившие основой этой книги, появилось несколько
руководств, излагающих теорию гомологии и когомологий на
нужном нам уровне, из которых отметим [Хилтон, Уайли,
1966], [Спеньер, 1971] и [Дольд, 1976].
Основные определения
Стандартным п-мерным симплексом называется выпуклое
множество A" a R"+1, состоящее из всех наборов (to, h, ..., tn)
из п + 1 вещественных чисел, таких, что
tt>0, to + t{+ ... +tn=\.
Всякое непрерывное отображение симплекса А" в топологиче-
топологическое пространство X называют сингулярным п-мерным симп-
симплексом в X; i-й гранью сингулярного /г-мерного симплекса
о: А" -*- X называется сингулярный (п — 1) -мерный симплекс
где ф/: А"-1 -*¦ А" — линейное вложение, задаваемое формулой
4fi(t0, ..., tt_\, ti+\, ..., tn) — (to, ..., t{_u 0, ti+i, ..., tn).
Для каждого n ^ 0 группой сингулярных цепей Сп (X; A)
с коэффициентами в коммутативном кольце Л называется сво-
свободный Л-модуль, имеющий по одной образующей [а] для каж-

214 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
дого сингулярного n-мерного симплекса а в пространстве X.
При п < О группа С„ (X; Л) по определению считается нулевой.
Граничный гомоморфизм
d: СЯ(Х; Л)-> <?„_,(*; Л)
определяется формулой
Легко проверяется тождество д о д = 0. Поэтому мы можем
определить n-мерную группу сингулярных гомологии Нп(Х;А)
как фактормодуль Zn(X; А)/Вп(Х; А), где Zn(X; A)—ядро го-
гомоморфизма д: Сп(Х; А)—> Сп-\{Х; А), а Вп(Х; А) — образ гомо-
гомоморфизма д: Cn+i(X; А)-*- Сп(Х; А). Здесь и всюду в этом при-
приложении слово «группа» фактически означает «левый Л-мо-
дуль».
Группа коцепей С"(Х;А) — это по определению двойствен-
двойственный модуль НотА(С„(Х; Л), Л), состоящий из всех Л-линейных
отображений группы Сп(Х; А) в Л. Значение коцепи с на цепи
V будет обозначаться (с,у)еА, Кограница коцепи с^Сп(Х;
А) — это по определению коцепь 8с е Сп+1(Х; Л), значение ко-
которой на каждой (п -f 1)-мерной цепи а определяется тожде-
тождеством
Таким образом, мы получаем соответствующие модули
Нп (X; Л) = Z" {X; А)/Вп (X; А) = (ker 6)/(im 6),
которые называются группами сингулярных когомологий про-
пространства X.
Замечание. Выбор знака в формуле, определяющей коцепь
бс, основан на следующем соглашении. Всякий раз, когда пе-
переставляются два символа размерностей шип, вводится знак
(—\)тп. При этом операторы д и б рассматриваются как имею-
имеющие размерность соответственно —1 и +1. Таким образом,
наше соглашение о знаках такое же, как и в книгах [Маклейн,
1966] и [Дольд, 1976], но отличное от того, которое принято
в книгах [Эйленберг, Стинрод, 1958] и [Спеньер, 1971].
В некоторых случаях, особенно в теории препятствий, важно
рассматривать когомологий с коэффициентами в произвольном
Л-модуле. Однако в этом приложении мы будем рассматривать
лишь когомологий с коэффициентами в самом кольце Л.

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 215
Соотношение
между гомологиями и когомологиями
С этого момента будем предполагать, что Л есть область
главных идеалов (например, кольцо целых чисел или некоторое
поле). Чтобы упростить обозначения, мы будем опускать сим-
символ Л всякий раз, когда это только возможно, например писать
НпХ вместо Н„ (X; Л). Для обозначения полной последователь-
последовательности групп (НоX, Н\Х, Н2Х, ...) часто будет использоваться
сокращенная запись Н*Х.
Теорема АЛ. Предположим, что группа Нп-\Х нулевая или
является свободным А-модулем. Тогда группа НпХ канонически
изоморфна модулю НотЛ(Я„А',Л), состоящему из всех А-ли-
нейных отображений НпХ в А.
Справедливо соответствующее утверждение для пар (X, А).
(См. [Маклейн] или [Спеньер].) Заметим, что предположе-
предположение теоремы всегда удовлетворяется, если Л — поле.
Доказательство. Для заданных элементов х е НпХ и | е
е НпХ определим «индекс Кронекера» <дс, |>е Л следующим
образом. Выберем какой-нибудь представляющей коцикл г е
е ZnX элемента х и какой-нибудь представляющий цикл ? е
е ZnX элемента ? и положим <х, 1} равным <z, ?>s Л. Чита-
Читатель может проверить, что это значение не зависит от выбора
представителей z и ?. Теперь определим гомоморфизм
k: Hn(X)->Homx(HnX, Л),
полагая k(x) A)=<л:, ?>.
Доказательство того, что k есть гомоморфизм на. Прежде
всего заметим, что подмодуль ZnX cz СпХ является прямым сла-
слагаемым. Это следует из того, что фактормодуль
С„ (X)/Zn (X) ~ В„_, (X) cz C_, (X)
является подмодулем свободного модуля и, следовательно, сам
свободен (см., например, [Капланский]1). Следовательно, лю-
любой гомоморфизм ZnX-^A можно продолжить на СпХ.
Пусть / — произвольный элемент модуля Нот^(Н„Х, А).
Композиция
продолжается до гомоморфизма F: СпХ -* А. Так как гомомор-
гомоморфизм F обращается в нуль на границах, то 6F = 0. Пусть х е
> А также [Ленг, 1965, стр. 432]. — Прим. перев.

216 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
е НпХ — класс когомологий коцикла F: Тогда для любого эле-
элемента | е НпХ с представителем ? е ZnX мы имеем
Таким образом, k(x) = f, чем и доказано, что k есть гомомор-
гомоморфизм на.
Доказательство того, что k имеет нулевое ядро. Пусть zq e
е ZnX— такой коцикл, что <z0, ?>= О для всех циклов 5 е
е ZnX Нам надо показать, что zQ является кограницей.
Поскольку коцикл z0 обращается в нуль на циклах, то ком-
композиция zad-u. Bn-iX -+ А однозначно определена. Так как фак-
тормодуль
Z
по предположению свободен, то отсюда следует, что группа
Bn-iX является прямым слагаемым группы 1п-\Х и, следова-
следовательно, прямым слагаемым группы Сп-\Х, Таким образом, гомо-
гомоморфизм год-1 может быть продолжен на Сп-\Х. Пусть
— такое продолжение; тогда
<6/, [а]) = ± (f, д [о]) = ± zod~l (д [а]) = ± (zo, [а]).
Следовательно, коцикл +z0 равен когранице коцепи /, что и
требовалось установить. Ш
Гомологии клеточных разбиений
Пусть К — пространство некоторого клеточного разбиения
(см. определение 6.1) и Кп с: К обозначает п-мерный остов
(т. е. объединение всех клеток размерностей ^п).
Лемма А.2. Относительная группа гомологии Hi(Kn,Kn~1) с
коэффициентами в кольце А равна нулю, если 'гфп, а для
i = n является свободным модулем с одной образующей на
каждую п-мерную клетку разбиения К.
Отсюда вытекает в силу теоремы А.1, что группа когомоло-
когомологий Н1(Кп, /С") также нулевая для i ф п.
Доказательство. Мы предполагаем, что читатель знаком с
тем основным фактом, что группа гомологии Hi(Rn. R"\0)
равна нулю для i ф п и изоморфна Л при i ф п. (См., напри-
например, [Дольд, 1976]; ср. с теоремой А.5 ниже. Так как единич-
единичный шар D" является деформационным ретрактом пространства
R", а единичная сфера S"-1 — деформационным ретрактом про-

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 217
странства Rn\0, то группа гомологии #,-(Rn, R"\0) изоморфна
группе Hi{Dn,S"), которая вычисляется в книгах [Эйленберг,
Стинрод] или [Спеньер].)
Пусть S — дискретное множество, которое состоит из точек
Se, выбранных по одной внутри каждой n-мерной клетки Е раз-
разбиения К- Тогда, как нетрудно видеть, разбиение /С"-1 будет
деформационным ретрактом пространства Kn\S. Используя
точную последовательность тройки (К", K"\S, К"'1), мы полу*
чаем, что
Hi (Кп, /С") & Ht (Кп, Кп \ S).
По аксиоме вырезания эта последняя группа изоморфна группе
Hi{\]E, \J(E\se)), где \JE обозначает дизъюнктное объединение
всех «-мерных клеток разбиения К. Но i-я группа гомологии
такого дизъюнктного объединения открытых подмножеств про-
пространства К", очевидно, является прямой суммой групп гомо-
гомологии Hi(E, E\sE)^ Hi(Rn, R"\0), последняя же группа в раз-
размерности i = п является свободной с одной образующей, а во
всех других размерностях — нулевой. I
Следствие А.З. Группа HiKn равна нулю для i~> n и изо-
изоморфна группе HiK для i < п. Аналогичное утверждение вер-
верно для когомологии.
Доказательство. Для гомологии. Разумеется, HiK° = 0 для
i > 0. Используя точную последовательность
HtKn~x -»> HtKn -> Н, (Кп, К1),
получаем индукцией по п, что Hi(Kn) — 0 для i > п. Если I < п,
то применение аналогичной последовательности дает изомор-
изоморфизм Н{Кп = HiK"+l, и, следовательно, по индукции
Н{Кп es HtKn+l si HtKn+2 «....
Если К — конечномерное разбиение, то это завершает доказа-
доказательство. В общем случае нужно воспользоваться теоремой о
том, что группа #,/С изоморфна прямому пределу при г -*• оо
групп HiKr. Этот факт следует из того, что как любой сингу-
сингулярный симплекс в К содержится в некотором компактном под-
подмножестве этого пространства и, значит, содержится в некото-
некотором К (см. [Уайтхед, 1949], § 5 (D)).
Для когомологии. Аналогичным образом показывается, что
относительная группа Hi (К, Кп), будучи изоморфна группе
Ht(Kn+\ К"), является нулевой для t < п. Следовательно,
Н'(К,/С")==0 для t<« по теореме АЛ, и используя точную
когомологическую последовательность пары (К,Кп\, мы видим,

218 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
что н1 (К) -2U- Н1 (Кп) для 1 < п- Доказательство того, что
Н'(Кп)=0 для /> п, проводится точно так же, как соответ-
соответствующее доказательство для гомологии. ¦
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Свободный модуль Нп{Кп,Кп~х) будем
называть группой п-мерных цепей клеточного разбиения К и
обозначать ФпК — *&п (К; Л). Аналогично модуль
будем называть группой п-мерных коцепей и обозначать ^"/С,
«Граничный» гомоморфизм дп: 'g'n+i/C —»¦ ФпК получается из
точной гомологической последовательности тройки (Кп+1, Ка,
/С1). Аналогично определяется «кограничный» гомоморфизм
K<e"+1K
Теорема А.4. Группа гомологии 2?пК/!%пК цепного комплекса
Ф»К канонически изоморфна группе сингулярных гомологии
НпК. Аналогично, группа когомологий 2?пК/3&пК коцепного
комплекса ^*К канонически изоморфна группе сингулярных
когомологий НпК.
Доказательство. Рассмотрим следующую коммутативную
диаграмму:
О
.1
Горизонтальная строка в этой диаграмме является частью точ«
ной гомологической последовательности тройки (/С", Кп, ^С"),
а вертикальная — частью точной последовательности тройки
(Кп, Л7*, Кп~2\. Из диаграммы следует, очевидно, что
?п/Яп~Нп(Кп+\ /С").
Но ь силу следствия А.З
я„ (кп+\ кп~2) - нпкп+1 ^ нпк.
Доказательство для когомологий совершенно аналогично. ¦

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 219
w-умножение
Для заданных коцепей с s СтХ и с' е СпХ произведение
ее' = с w с' е Ст+пХ определяется следующим образом. Пусть
a: Am+n->X— сингулярный симплекс. Передней т-мерной
гранью симплекса а называется композиция аоат'. Ат-+Х, где
ат(*0, •••» tm) = (t0, .... /m, 0, ..., 0).
Аналогично, задней п-мерной гранью симплекса о называется
композиция а ° рл: А" -> X, где
= @. ..., 0,
Мы определяем произведение ссг = с kj с' тождеством
{сс\ [а]> = (-1Г(С(
Эта операция умножения коцепей билинейна и ассоциативна,
но не коммутативна. Постоянный коцикл 1 е С°Х служит еди*
ничным элементом для этой операции. Легко проверяется фор-
формула
б (ссО = (бс) с' + (-1)т с Fс').
Отсюда вытекает существование соответствующей операции
умножения НтХ ® Н"Х -* Нт+пХ классов когомологии. На уро-
вне когомологии эта операция умножения уже коммутативна с
точностью до знака (см., например, [Спеньер]). Фактически
для элементов а е НтХ, Ъ е НпХ имеет место формула Ьа =
= (—\)mnab. В теории градуированных групп это свойство на-
называют коммутативностью. Таким образом, мы можем сказать
коротко, что когомологии Н* (X) = {Н°Х, НХХ, Н2Х, ,..) обра-
образуют коммутативное градуированное кольцо.
Теперь предположим, что дана пара пространств X гэ А. Если
коцепь с принадлежит подмножеству Ст(Х, А) с СтХ (т. е. если
с[о] = 0 для любого сингулярного симплекса а: Ат-*АаХ) и
если с' е СпХ, то, очевидно, коцепь ее' принадлежит Cm+rt(X, A).
Это дает возможность построить операцию умножения
Нт{Х, А)®НпХ-+Нт+я{Х, А).
Более общим образом, рассмотрим два подмножества A, BczX,
которые удовлетворяют следующему предположению.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Оба множества Л и В являются отно-
относительно открытыми как подмножества объединения А [) В.
Тогда операцию умножения
Нт(Х, А)®Нп(Х, В)->Нт+п(Х, A\JB)

220 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
можно определить следующим образом1. Пусть Сп(Х; А, В) а
cz С'(Х) обозначает пересечение подмодулей С'{Х, А) и С'(Х, В)
модуля С'(Х). Ясно, что для данных коцепей с&Ст(Х, А) и
с' е Сп(Х, В) произведение се' принадлежит пересечению
Ст+п(Х; А, В) = Ст+п(Х, А)[]Ст+п(Х, В).
Очевидно, имеет место короткая точная последовательность ко-
цепных комплексов
0->С*(Х, А[}В)-+С*(Х; /В) -+С(А[)В; А, В)->0.
Но стоящий справа в этой точной последовательности коцепной
комплекс ацикличен (см. [Эйленберг, Стинрод] или [Спеньер]).
Поэтому вложение
С(Х; AUB)-+C*(X; А, В)
индуцирует изоморфизм групп когомологий. Следовательно, мы
получаем операцию v^-умножения со значениями в требуемой
группе когомологий Hm+n(X, A U В).
Когомологий произведения пространств
Пусть R? обозначает дополнение к началу координат в про-
пространстве R". Мы хотим доказать, что для любого простран-
пространства X
НтХ & Нт+п (X X R", X X Ro).
Этот изоморфизм лучше всего описать при помощи операции
когомологического У.-умножения. Предположим, что даны кого-
когомологические классы
ае=Нт(Х,А), be=Hn{Y,B),
где А — открытое подмножество пространства X, а В — открытое
подмножество пространства У. (Если В пусто, то А не обяза-
обязательно должно быть открытым, и наоборот.) Используя проек-
проекции
/>,: (XXY, AXY)-+(X, A),
р2: {XXY,XXB)-+(Y,B),
t ' Возникающие здесь трудности связаны с тем фактом, что
С (X, А) П С1 {X, В) Ф С1 (X, A U В),
так как сингулярный симплекс в X может лежать в A U В и при этом не
лежать ни в Л, ни в В.

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 221
определим ^-произведение (или внешнее когомологическое про-
произведение) а X Ь как когомологический класс
[р\а) (р'2Ь) <= Нт+п (X X Y, (Л X Y) U (X X В))-
Иногда будет удобно использовать для пары (X X У.
(ЛХУ)и(А'ХЯ)) сокращенную запись (X, А)Х{У, В). Заме-
Заметим для примера, что при этом соглашении пару (R*, R") мож-
можно записать в виде n-кратного произведения (R, Ro)X •••
... X(R.R).
Выберем специальную образующую еп свободного модуля
Я" (R", Ro) следующим образом. Пространство R0 = R\0 мо-
может быть представлено как дизъюнктное объединение двух по-
полупрямых R-UR+- Пусть ee#'(R, Ro) — элемент, отвечающий
тождественному элементу 1 е H°R+ при изоморфизме выреза-
вырезания и кограничном изоморфизме:
H°R+?-H°(R0, R_)-^^(R, Ro),
где б — кограничный гомоморфизм из точной последователь-
последовательности тройки (R, Ro, R-). Через е" <= Я" (R", Ro) мы обозначим
n-кратное Х-произведение е X • • • X е.
Теорема А.5. Для любой пары (Х,А), где А — открытое под-
подмножество в X, соответствие а>—>а'Хеп определяет изоморфизм
Нт (X, А) -* Нт+п ((X, А) X (R", R?)).
Доказательство. Прежде всего заметим, что достаточно рас-
рассмотреть случай п=\. Общий случай получается по индукции,
если воспользоваться законом ассоциативности:
Случай 1. Предположим, что п = 1 и что А пусто. Для фикси»
рованного элемента а е НтХ имеем диаграмму
Я° (R+) ч Н° (Ro, R_) '—+ Hl (R, Ro)
|ex \ax |ex
(XXR+) -?- Hm(XXRo, XXR-) -^ Hm+X
которая коммутативна с точностью до знака. Гомоморфизм t* —
это изоморфизм вырезания. Гомоморфизм б' взят из точной ко*
гомологической последовательности тройки (XX R. -^XRo,
ZXR-). Он является изоморфизмом, так как оба пространства
X X R и X X R- содержат в качестве деформационного ретракта
подмножество XX (точка).

222 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Обходя эту диаграмму, мы видим, что элемент оХее
е Hm+l (X X R, X X Ro) есть образ элемента а е НтХ при ком-
композиции изоморфизмов. Этим доказано наше утверждение для
случая 1.
Случай 2. Предположим, что п = 1 и что А непусто. Пусть
zeZ'(R, Ro)—коцикл, представляющий когомологический
класс е. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:
О >¦ Ст (X, А) >¦ Ст (X) >¦ Ст (А) *¦ О
(XX R; XX Ro, AXR)->Cm+1 (XXR, XX R0)->Cm+1 (ЛХЪ >4XRo)->0
Непосредственные рассуждения показывают, что горизонталь-
горизонтальные последовательности являются точными. Далее, все верти»
кальные гомоморфизмы коммутируют с кограничным операто-
оператором:
6(X)
Таким образом, имеет место соответствующая коммутативная
диаграмма групп когомологий
, А)
(см., например, [Спеньер]). Согласно случаю 1, две правые вер-
вертикальные стрелки суть изоморфизмы. Следовательно, по лемме
о пяти гомоморфизмах и левая вертикальная стрелка также
изоморфизм.
Итак, мы доказали теорему А.5 для случая, когда п== 1. Но,
как замечено в начале доказательства, отсюда следует, что она
верна для всех п. Ш
Теперь рассмотрим два пространства X и У. Операция
Х-умножения определяет гомоморфизм
X: Ф HiX®H'Y-+Hn(XXY).
Хотелось бы, конечно, доказать, что гомоморфизм X есть изо-
изоморфизм, но это в общем случае не так. Это не так, например,
если X и У — вещественные проективные плоскости (для кого-
когомологий с целочисленными коэффициентами) или если X и У —
бесконечные дискретные пространства (для когомологий с про-
произвольной областью коэффициентов).
Теорема А.6. Пусть X и Y — такие клеточные разбиения, что
каждая группа когомологий Н'Х является А-модулем без кру-

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 223
чения', а У имеет лишь конечное число клеток в каждой раз-
размерности. Тогда прямая сумма ф HlX®H'Y изоморфно ото-
бражается на Нп(ХХ Y).
Аналогичный результат может быть доказан для пар (X, А)
и (У, В). Утверждения этого типа известны как теоремы Юон-
нета, ибо их прототипом служит теорема, доказанная в 1923 г.
X. Кюннетом. Один более сильный вариант теоремы см. в книге
[Спеньер].
Доказательство. Сначала предположим, что У — конечное
клеточное разбиение. Тогда нашу теорему можно доказать ин-
индукцией по числу клеток разбиения У. Конечно, теорема верна,
если У состоит из одной-единственной точки.
Пусть Е — открытая клетка в У наивысшей размерности и
Y\ = Y \ Е. Предположим по индукции, что гомоморфизм
X': Ф HiX®HlYl-*Hn{XXYl)
i+l-n
является изоморфизмом. Рассмотрим коммутативную с точ-
точностью до знака диаграмму
... -»Hn{XXY)-»Hn(XXYl)-*Hn+1(XXY, XXYJ-* ...
Верхняя строка в этой диаграмме получена из точной последо-
последовательности пары (Y, Yi) при помощи тензорного умножения на
группу когомологии Н1(Х) с последующим взятием прямой сум-
суммы по всем I, }, таким, что i + / = п. Так как модуль Н1Х не
имеет кручения, то эта последовательность остается точной (см.
[Маклейн] [Картан, Эйленберг]).
По предположению X' является изоморфизмом. Используя
теорему А.5 вместе с изоморфизмами
Я; (У, Y{) *- Н' (У, У \ точка)) -> Н1 (Е, Е \ точка)
Hn(XXY, XXY^^H^XXY, XX(Y\точка))
-+Нп(ХХЕ, ХХ(?\ точка)),
мы видим, что X" — также изоморфизм. Следовательно, по
лемме о пяти гомоморфизмах X есть изоморфизм. Этим завер-
завершается доказательство для случая, когда У — конечное разбие-
1 Конечно, это предположение автоматически выполняется, если Л —
поле. Предположение, что X представляет собой клеточное разбиение, не
обязательно, оно принято лишь для упрощения доказательства.

224 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
ние. (Мы даже не использовали предположение, что X является
клеточным разбиением.)
Если разбиение У бесконечно, но каждый его остов Уг коне-
конечен, то приведенные выше рассуждения применимы к произве-
произведениям X X Уг- Однако, как легко вытекает из следствия А.З,
вложения
УГ->У, XXYr-*
индуцируют изоморфизм групп когомологий в размерностях,
меньших г. Таким образом, теорема А.6 верна для п <. г. По-
Поскольку г может быть выбрано сколь угодно большим, это за-
завершает доказательство. ¦
Гомологии многообразий
Мы докажем здесь некоторые предварительные результаты,
которые нам понадобятся при построении фундаментального
гомологического класса многообразия и доказательстве теоремы
двойственности Пуанкаре (см. лемму 11.5).
Пусть М — фиксированное n-мерное многообразие, не обяза-
обязательно компактное. Изучим прежде всего группы Hi(M,M\K),
где К — какое-нибудь компактное подмножество многообразия
М. Если К a L cz M, то естественный гомоморфизм
Ht(M, M\L)-*Hl(M, М\К)
будем обозначать через р*. Образ рк(а) можно представлять
себе как «ограничение» элемента а на подмножество /С.
Лемма А.7. Группы гомологии Hi(M,M\K) являются нуле-
нулевыми для i > п. Гомологический класс аеЯл (М, М\К) равен
нулю тогда и только тогда, когда для любой точки х^К равно
нулю ограничение
Доказательство разобьем на шесть шагов.
Шаг 1. Предположим, что М = R" и К — компактное выпук-
выпуклое подмножество.
Пусть х — точка компакта К и 5 — достаточно большая
(я—1)-мерная сфера с центром в х. Тогда 5 является дефор-
деформационным ретрактом одновременно и Rn \ x и Rn \ К. Отсюда
следует, что
Ht (R\ Rn\K)-^ H, (Rn, Rn \ x)
для всех i, чем доказана справедливость нашей леммы в рас*
сматриваемом случае.

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 225
Шаг 2. Предположим, что К — /Ci U K2, причем известно, что
утверждение леммы выполнено для Ки Кз и /Ci П К2.
Воспользуемся относительной последовательностью Майе-
ра — Вьеториса
... -> Hi+l (M, M \ (Ki U К2)) -^ Ht (М, М \ К)
-*Ht(M, М\К1)®Н1(М, М\К2)-> ....
где гомоморфизм s определяется равенством
(см., например, [Эйленберг, Стинрод] или [Спеньер]). Распо-
Располагая такой последовательностью, легко можно доказать желае-
желаемый результат для нашего случая. Детали предоставляем чи-
читателю.
Опишем вкратце, как строится эта последовательность. Обо-
Обозначим открытое множество М \ Kj через U]. Далее, по анало-
аналогии с рассуждениями на стр. 220 обозначим через Ci(M\ U\, U2)
факторгруппу Ci{M)/{CiUx + dU2), где dU1 + CiU2cz
с Ci(UiU U2) — свободный модуль, порожденный всеми сингу-
сингулярными (-мерными симплексами, которые лежат либо в U\,
либо в Ui. Тогда естественный гомоморфизм
Ct(M; Uи U2)-*C.{M, UiUU2)
индуцирует изоморфизм групп гомологии (ср. с рассуждениями
на стр. 220). Коммутативная диаграмма
позволяет теперь построить короткую точную последователь-
последовательность
Q-+Ct(M, UlUU2)^^C1(M, UWCt(M, UJ-22Z5-
-+Ct(M; Uи U^-уО.
Ассоциированная длинная точная последовательность групп го-
гомологии дает требуемую относительную последовательность
Майера — Вьеториса.
Шаг 3. Подмножество /С с: R" является конечным объедине-
объединением /Ci U • • • U Кт компактных выпуклых подмножеств.
8 Дж, Милнор, Дж. Сташеф

226 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
В этом случае лемма может быть доказана индукцией по
числу г при помощи шагов 1 и 2.
Шаг 4. Пусть К — произвольное компактное подмножество
пространства R".
Для данного элемента аеЯ((Я", Rn \ К) выберем компакт*
ную окрестность N множества К и класс a'E^(R", R" \ N)
так, чтобы рк(сс') = а. Это возможно, ибо мы можем выбрать
такую цепь у е C,R", образ которой по модулю Rra \ /С будет
циклом, представляющим а. Граница этой цепи у имеет «носи-
«носителем» компактное подмножество, не пересекающееся с /С, и
надо только подобрать окрестность N настолько малую, чтобы
она не пересекалась с этим «носителем».
Покроем множество К конечным набором замкнутых шаров
Вх Вг, таких, что BidN и ?»• П К = 0. Если i > n, то
рв и ив (а') = 0 (шаг 3), следовательно, а = 0. Если i = п и
р*(а) = 0 для каждой точки яе/С, то ясно, что рл;(а')=0 для
любой точки х <= В\ U ... U Вг (см. шаг 1). Значит, опять
Рв.и ... [)вг(а') = 0 и поэтому а = 0.
Шаг 5. Пусть компактное подмножество К с М настолько
мало, что имеет окрестность U, гомеоморфную R™.
Так как по аксиоме вырезания имеет место изоморфизм
Я»(Л1, М\ К)еаН,(и, U \ К), то наше утверждение следует в
втом случае из шага 4.
Шаг 6. Компактное подмножество К с М произвольно.
Тогда К •— К\ U ... U Кг, где каждое из подмножеств /С/ до-
достаточно «мало*, как на шаге б. Доказательство получается те*
перь индукцией по числу г с использованием шага 2. Это пол-
полностью завершает доказательство леммы А.7. Ш
Фундаментальный
гомологический класс многообразия
Далее мы будем использовать в качестве области коэффи-
коэффициентов бесконечную циклическую группу Z. Напомним, что для
каждой точки х е М группа гомологии
Н{ (М, M\x;Z)&H, (Rn, R" \ 0; Z)
является бесконечной циклической для / = яи нулевой для
1фп.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Локальной ориентацией цх многообразия
М в точке х называется выбор одной из двух возможных обра-
образующих группы Нп(М, М \ х; Z).

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 227
Заметим, что локальная ориентация цх в точке х определяет
локальную ориентацию \iy для всех у из достаточно малой окре-
окрестности точки х. Более точно, если В — шар с центром в х (от-
(относительно некоторой локальной координатной системы), то
для каждой точки у е В изоморфизмы
Н.(М, M\x)?LH.(M, М\В)-Хн.(М, М\у)
определяют локальную ориентацию \iy.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ориентацией многообразия М называется
функция, сопоставляющая каждой точке х е М локальную ори-
ориентацию цх, которая непрерывно зависит от л: в следующем смы-
смысле: для каждой точки х должны существовать компактная
окрестность N и класс цн^Нп(М, М\ N), такие, что р»(м*) =
= цу для всех у s N.
Пара, состоящая из многообразия и ориентации, называется
ориентированным многообразием.
Теорема А.8. Для любого ориентированного многообразия М
и любого компактного подмножества /С с: М существует один и
только один класс цкеНп(М,М\К), удовлетворяющий усло-
условию рх(цк) = Ц* для каждой точки х^К.
В частности, если многообразие М само является компакт-
компактным, то существует один и только один гомологический класс
Им е Нп (М) с требуемым свойством. Этот класс ц = цм назы-
называется фундаментальным гомологическим классом многообра-
многообразия М.
Доказательство. Единственность класса ц* немедленно вы-
вытекает из леммы А.7. Доказательство существования разобьем
на три шага.
Шаг 1. Если подмножество К содержится в достаточно ма-
малой окрестности некоторой заданной точки, то существование
класса цк следует из определения ориентации.
Шаг 2. Предположим, что К = К\ U /Сг, причем классы цк, и
Икг существуют. Как и в доказательстве леммы А.7, рассмот-
рассмотрим точную последовательность
где
8»

228 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
По теореме единственности, примененной к компакту Ki П Къ
имеем t(nKy®\iKs) = O, следовательно, цк<ф\iKi — s(а) для неко-
торого однозначно определенного элемента а^Нп(М, М \ /С).
Этот элемент а и есть искомый класс ц.#.
Шаг 3. Компактное подмножество К с= М произвольно. То-
гда К = Ki U ••• U Кг, где соответствующие классы цК{ суще-
существуют согласно шагу 1, и класс цк строится при помощи ин-
индукции по числу г. Ш
Замечание 1. Для любой области коэффициентов Л канони-
канонический гомоморфизм Z-+A задает класс в группе Нп(М, М \ К;
Л), который также будет обозначаться ц*. Особенно важен
случай Л = Z/2, так как mod 2-гомологический класс
VKe=Hn(M,M\K;Z/2)
может быть непосредственно построен для любого многообра-
многообразия, без каких бы то ни было предположений об ориентируе-
мости.
Замечание 2. Аналогичные рассмотрения применимы к ори-
ориентированному многообразию М с границей. Для каждого ком-
компактного подмножества К с М существует однозначно опреде-
определенный класс [ик ^Нп(М(М\К)[}дМ), такой, что рх(\1к) = Ц*
для любой точки 'X е К П (М \ дМ). В частности, если многооб-
многообразие М компактно, то существует единственный фундаменталь-
фундаментальный гомологический класс цм^Нп(М, дМ) с требуемым свой-
свойством. Можно показать, что естественный гомоморфизм
д: Нп(М, дМ)-*Нп_1(дМ)
переводит класс цм в фундаментальный гомологический класс
многообразия дМ. (См. [Спеньер].)
Когомологий с компактными носителями
Говорят, что коцепь с s ClM имеет компактный носитель,
если существует компактное множество К с= М, такое, что ко-
коцепь с принадлежит подмодулю С1 (М, М\ K)aCl(M). Дру-
Другими словами, коцепь с должна обращаться в нуль на любом
сингулярном симплексе из М \ К- Коцепи с компактными носи-
носителями образуют подмодуль, который будет обозначаться
С'отрЛГ с: С1М. Группы когомологий соответствующего комплек-
комплекса СсотрМ будут обозначаться Я'отрМ. Непосредственные
рассуждения показывают, что группа HiomvM изоморфна пря«
мому пределу групп Н'(М, М\К), где К пробегает направлен-
направленное множество, состоящее из всех компактных подмножеств

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 229
многообразия М (см. [Спеньер]). Заметим, что, если М ком-
пактно, то н'сотрМ ё* Н М.
В случае когда многообразие М ориентировано, существует
важный гомоморфизм
который будет записываться как а -* а[М] и называться инте-
интегрированием на многообразии М. Если М компактно, то этот го-
гомоморфизм можно задать формулой
а[М] = (а
В общем случае надо выбрать некоторый представитель а'
е Нп(М, М \ К) элемента а и положить
Читателю следует проверить, что это определение не зависит
от выбора К я а'.
-^-умножение
Для любого пространства X и любой области коэффициентов
существует билинейная операция спаривания
^: CiX®CnX-+Cn_iX,
которую можно описать следующим образом. Для каждой ко-
коцепи Ь е С'Х и каждой цепи | е СпХ г>-произведение b r\ \ —
это однозначно определенный элемент в группе цепей Cn-tX, та-
такой, что
A) {a, brsl) = {ab, I)
для всех а е Сп~1Х. Более явно, для каждой образующей fa]
группы цепей СпХ гл-произведение bг\[а] может быть опреде-
определено как произведение элемента кольца, коэффициентов
(—l)''"""^, [задняя /-мерная грань симплекса а])
на сингулярный симплекс
[передняя (и — /)-мерная грань симплекса с]1.
Комбинируя тождество A) со стандартными свойствами
/^-произведения, можно вывести следующие правила;
B) (Ьс)<^1 = Ьъ(сг>®,
C) 1^1-Ь
D)
1 Определение передней и задней граней симплекса см. в пункте
произведение» этого приложения. — Прим, перев.

230 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Из формулы D) следует, что существует соответствующая опе-
операция умножения
Н1(Х)Н(Х)^ Нп_,{Х),
которая также будет обозначаться символом о.
Используя эту операцию, мы можем теперь сформулировать
теорему двойственности для компактных многообразий при про-
произвольной области коэффициентов.
Теорема двойственности Пуанкаре. Если многообразие М
компактно и ориентировано, то соответствие а>—*-аг\цм задает
изоморфизм группы когомологий Н'(М) с группой гомологии
Hn-iM.
Для неориентируемых многообразий теорема двойственности
также верна, но только при условии, что используется область
коэффициентов Z/2.
Доказательство, которое мы проведем, связано с рассмотре-
рассмотрением более общей ситуации и фактически дает более общую
теорему двойственности. А именно заметим, прежде всего, что
для любой пары (X, А) ^-умножение задает спаривание
С(Х, А)®Сп(Х, A)-»Cn_tX
и, следовательно, спаривание
^: Н'(Х, А)®Нп{Х, A)->Hn.tX.
(Более общим образом можно определить спаривание
^: Н'(Х, А)®Нп{Х, A[)B)-*Hn_t(X, В)
для случая, когда А и В открыты в А [)В.) Далее, пусть много-
многообразие М ориентировано, но не обязательно компактно. Опре-
Определим отображение двойственности
D: Н'сотрМ->Нп-1М
следующим образом. Для любого элемента a^H[omvM =
= lim #' (М, М\К) выберем какой-нибудь представитель
а' е Н1 {М, М \ К) и положим
Это определение корректно, так как если KaL, то диаграмма
«в-t*

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологии 231
очевидно, коммутативна. Отметим, что в том частном случае,
когда многообразие М компактно, ?)(а)=*= а г\ цм.
Теорема двойственности А.9. Гомоморфизм D изоморфно
отображает группу когомологии Я?от М на группу гомологии
В случае когда многообразие М компактно, мы получаем,
что гомоморфизм г\цм изоморфно отображает группу Н'М на
группу Hn-iM, как и утверждалось выше.
Доказательство разобьем на пять шагов.
Шаг 1. Предположим, что М = R".
Для любого заданного шара В мы, очевидно, имеем
#n(R", R"\5)?eA, с образующей цв (см. лемму А.7, шаг 1).
Следовательно, #"(R", R" \ B)sz А, согласно теореме А.1, с об*
разующей а, такой, что <а, цв> = 1. Тождество
(la, |1В> = <1, аглцв)
показывает теперь, что элемент а г\ цв является образующей
группы #0Rn ^ Л. Таким образом, гомоморфизм г\ цв И8оморф^
но отображает группу #*(R™, Rn \ В) на группу #,(Rn), застав^
ляя шар В расти и переходя к прямому пределу, мы получаем,
чю гомоморфизм D изоморфно ©тображает Я*отр {R") на
группу Я, (R").
Шаг 2. Предположим, что М = U kj V, причем теорема вер-
верна для открытых множеств U, V и U Л V.
Мы построим коммутативную диаграмму
. . . *¦ Ясотр (U П V) -*¦ Ясотр^ ф Ясотр V ->
... -*+ Я„_, (U П V) -> Hn_t (U) @ Я„_, (V) -* Я„_, (М) -^> ...,
в которой нижняя строчка является последовательностью Май-
ера— Вьеториса (см. [Эйленберг, Стинрод]). Построение этой
нижней последовательности аналогично тому, которое было дано
в доказательстве леммы А.7. Чтобы построить верхнюю точную
последовательность, заметим, что для любых компактов KciU.
и LcV существует относительная последовательность Майе*
ра — Вьеториса ,
^ H1(M, M\K)®H'(M, M\L)-+
, M\KUL)-+ ....

232 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
такая же, как указанная в доказательстве леммы А.7. Согласно
аксиоме вырезания, эту последовательность можно переписать
в виде
Переход к прямому пределу при возрастании К и L дает тре-
требуемую последовательность.
Применяя лемму о пяти гомоморфизмах к получившейся
диаграмме, приходим к утверждению теоремы для рассматри-
рассматриваемого случая.
Шаг 3. Пусть многообразие М является объединением семей-
ства вложенных открытых множеств Ua, для каждого из кото-
которых наша теорема двойственности верна.
Тогда ЯсотрМ = Hm//compf/o и Hn-iM — limHn-iUa. (Оба эти
утверждения легко следуют из того, что любое компактное под-
подмножество многообразия М содержится в некотором Ua.) Но
прямой предел изоморфизмов есть изоморфизм.
Шаг 4. Многообразие М — произвольное открытое подмно-
подмножество в R".
Если М выпукло, то оно гомеоморфно Rn и доказываемое
утверждение имеет место согласно шагу 1. В общем случае вы-
выберем последовательность выпуклых открытых множеств
Vu Vn объединение которых равно М. Применяя шаг 2,
можно по индукции доказать, что теорема верна для каждого
конечного объединения V\ U V2 U ... U Vk. Переходя к прямому
пределу при k—><», мы получаем, что она верна для всего мно-
многообразия М.
Шаг 5. Многообразие М произвольно.
Покроем М открытыми множествами Va, каждое из которых
диффеоморфно открытому подмножеству пространства R", и
выберем какое-нибудь полное (линейное) упорядочение в мно-
множестве индексов. (Если М имеет счетный базис, то в качестве
индексов можно использовать целые положительные числа.) Не-
Непосредственная трансфинитная индукция, использующая шаги
2—4, показывает, что теорема верна для каждого частичного
объединения U Va. Следовательно, согласно шагу 3, она вер-
на для всего многообразия М. Ш
В заключение предлагаем читателю две задачи.
Задана А.1. Для ориентированного многообразия с грани-
границей построить изоморфизм двойственности

Приложение А. Сингулярные гомологии и когомомгии 233
Либо, полагая по определению
(М, дМ) = lim Hl(M, (M\K)UдМ),
построить изоморфизм
Н{сотр(М,дМ)-*Нп_{М.
Задача А.2 (двойственность Александера). Пусть /С — ком-
компактное подмножество сферы S", являющееся ретрактом неко-
некоторой своей окрестности. (Это предположение нужно, посколь-
поскольку мы используем сингулярные когомологии, а не когомологии
Александрова — Чеха.) Показать, что группа когомологии Я'К
изоморфна прямому пределу lim HlU, где U пробегает множе-
множество всех окрестностей компакта К. Показать, что группа кого-
когомологии Hl(Sn, К) изоморфна группе
lim Hl (S", U) е* Я^ошр (Sn \ К) ~ Hn-i (Sn \ К).
Наконец, показать, что для заданных точек х^К и yeS"\/C

ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
его
пор как появилась теорема Хирцебруха о сигнатуре и
"* Пшенная теорема Римана —Роха, для топологов стало
°б° , онять кое-что о числах Бернулли и их теоретико-чис-
полезнЫ» »стваХ в этом приложении будут описаны некоторые
ловых с0
из этих с 2ернуЛЛИ В\, В2, ... могут быть определены как ко-
эффЙ***™ разложения в степенной ряд
tn х
«йгя пои UK я), или, эквивалентно, разложения
(сходяШиися "У ' ' _
z I z _i_-^-z2 — — 244-— z6 — 4-
Эти два
ством
ряда свяваны между собой легко проверяемым тожде-
обозначениях читателю следует иметь в виду, что для
В этиХлНулЛи широко используются и другие обозначения1;
чисел р®ри/ск0ЛЬких первых чисел Бернулли таковы:
значения •"=»*"•
1 „ 1 г. 1 а О п 691
Т' Й4~0"' °5 66 • Дб 730"'
7 R Зв17
были впервые введены Яковом Вернулли, старшим
Эти 4VlC ногО семейства математиков, в работе, опубликован-
из H3Be^gPTH0 в 1713 г. Их можно вычислить, например, дей-
ной посV V вЫП0ЛНЯЯ деление соответствующих степенных ря-
ствителЫ* помощи процедуры, основанной на докавываемой
ДОВ ИЛИ г» 1
ниже ле!^е родственные классические разложения в степенные
^H°rvT быть выведены из указанных выше. Например, тож-
ряды могу1 "
р- ^пример. [*Боревич, Шафаревич, стр. 436]. — Прим. ред.

Приложение В. Числа Бернулли 235
дество
_J _
sh2* ~ th*
приводит к ряду
(см. задачу 19.С), а тождество
th 2x th x
— к ряду
= 22B2-l)f-*-24B4-l)ff-*3 + - ....
С этим рядом тесно связан ввиду равенства th iy = i tg у сле-
следующий ряд:
При помощи этого последнего ряда можно доказать один инте-
интересный теоретико-числовой факт.
Лемма В.1. Для каждого п число 22пB2п— 1) Вп/2п — поло-
положительное целое.
Доказательство. Из приведенного выше разложения Тэй-
лора следует, что число 22пB2п—1)В„/2п равно значению в
нуле B«—1)-й производной от функции tg#. Однако тожде-
тождество
d {tgm y)/dy = m (tg"-1 у + tgm+ly)
вместе с непосредственной индукцией показывают, что Bл—1)-я
производная от функции tg у равна
«по + пщ tg2 у + ... +anntg2ny,
где коэффициенты а«0, ап\, .... апп — некоторые положитель-
положительные целые числа. В частности, значение в нуле равно положи-
положительному целому числу ап0. Ш
Более общим образом, имеет место
Лемма В.2 (Липшица — Сильвестра). Для любого целого чи-
числа k выражение k2n(k2n— l)Bn/2n является целым числом.
Доказательство. Рассмотрим функцию
/ (*) = 1+ ех + е*х + ... + в»» * — (ekx - 1)/(е* - 1).

236 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Заметим, что f@) = ? и что все производные от / в нуле суть
целые числа. Возьмем логарифмическую производную от /;
Используя разложение Тэйлора
ех 1 -х __ 1 /. , х , в, о ва 4 , \
7^~Г~ Х е~х-\ ~~ х\ "*" 2 + 2! * 4! * + "V'
получаем, что
г /^.i ==(«•"" 1) " ~г (« ' ~2Т •*" ' ' ~4Г ~f ••••
Следовательно, Bп—1)-я производная от функции f(x)/f{x)
в нуле равна rt^2"— \)Вп/2п. Непосредственная индукция по-
показывает, что эта производная может быть представлена в виде
полинома от f(x), f'(x), .... Ц2п)(х) с целыми коэффициентами,
поделенного на f(xJn. Если положить х = 0, то это дает равен-
тво
(k2n— l)BJ2n = (целое число)/^2",
что и требовалось доказать. ¦
В следующих двух теоремах содержится более точная тео-
теоретико-числовая информация. Первая из них была доказана
независимо Т. Клаузеном и К. Г. К. фон Штаудтом в 1840 г.
Теорема ВЯ. Рациональное число (—\)пВп сравнимо по
модулю Z с числом X п/р), где суммирование производится по
всем простым р, таким, что р — 1 делит 2п. Следовательно, зна-
знаменатель числа В„, представленного в виде несократимой дроби,
равен произведению всех простых чисел р, таких, что (р—1) |2«.
Таким образом, знаменатель числа В„ всегда «свободен от
квадратов» и делится на 6. Он делится на простое число р > 3
тогда и только тогда, когда п кратно числу (р— 1)/2. Доказа-
Доказательство читатель может найти в книгах [Харди, Райт], § 10,
или [Боревич, Шафаревич].
Вторая теорема была доказана фон Штаудтом в 1845 г.
Теорема В.4. Простое число делит знаменатель числа Вп/п
(представленного в виде несократимой дроби) тогда и только
тогда, когда оно делит знаменатель числа Вп.
Теперь легко вычислить знаменатель числа Вп/п в явном
виде. Для любого простого р, такого, что (р—1)|2«, обозна-
обозначим через рм. наивысшую степень числа р, делящую п. Тогда,
очевидно, р*+х равно наивысшей степени р, делящей знамена-

Приложение В. Числа Бернулли 237
тель числа В„/п. Например, для л =14 условию (р—1) |2/t
удовлетворяют лишь следующие простые числа: 2, 3, 5, 29, и по«
этому знаменатель числа Вц/14 равен 22-3-5-29.
Замечание. Это вычисление интересно для теории гомотопий
ввиду теоремы, утверждающей, что образ стабильного J-rouo-
морфизма
/
является циклической группой порядка, равного знаменателю
числа Вп/Ап (см. [Милнор, Кервер, 1958], [Адаме, 1965] и [Ма-
ховальд]).
Доказательство теоремыВ.4. Пусть р— произвольное простое
число. Если оно делит знаменатель числа Вп, то оно, конечно,
делит и знаменатель В „/п. Если р не делит знаменатель Вп, то
2я =й 0(modp—1) согласно теореме В.З. Выберем какой-нибудь
первообразный корень k по модулю р, т. е. такое число k, что
kr = 1 (mod р) тогда и только тогда, когда г кратно р — 1. Тогда
k2" Ф1 (mod p),
и потому целое число k2n(k2n —1)/2 взаимно просто с р. Сле-
Следовательно, число Вп/п, будучи равным целому числу
k2n(k2n— \)Bn/2n, деленному на k2n(k2n— 1)/2, имеет знамена-
знаменатель, взаимно простой с р. В
Вычислить числитель дроби Вп/п значительно труднее. Для
малых значений п он представлен в следующей таблице:
п
Числитель
дроби Вп/п
«5
1
6
691
7
1
8
3617
9
43 867
10
174 611
и
77 683
12
236 364 091
Замечание. Этот числитель представляет интерес для диффе-
дифференциальной топологии ввиду теоремы о том, что группа, со-
состоящая из всех классов диффеоморфных друг Другу экзотиче-
экзотических D/г— 1)-мерных сфер, ограничивающих параллелизуемые
многообразия, является циклической группой порядка
22п-2B2*-1_ 1) (числитель дроби (ABJn))
для я ^ 2 (см. [Кервер, Милнор, 1963]). Он представляет ин-
интерес и для теории чисел, так как Куммер доказал в 1850 г.
справедливость большой теоремы Ферма для каждого простого
показателя р, который не делит числитель никакой (несократи-

238 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
мой) дроби Вп/п (см. [Боревич, Шафаревич]). Такие простые
числа р называют «регулярными». Наименьшее нерегулярное
простое число равно 37, оно делит числитель 7709321041217 чи-
числа Bi6. Куммер доказал, что если два целых числа тип удо-
удовлетворяют условиям m s= п Ф 0(mod(p—1)/2) для некото-
некоторого нечетного простого р, то р делит числитель числа
Следовательно, для того чтобы проверить регулярность данного
простого р, достаточно рассмотреть числа Бернулли Вп, для ко-
которых 1 ^ п < (р — 1) /2.
Числитель дроби Вп/п нетривиален для всех п>8и очень
быстро растет с ростом п. Чтобы увидеть это, воспользуемся
знаменитой формулой Эйлера
-см. задачу В.4 ниже). Применение формулы Стирлинга
1 <<е
(см. [Артин]) дает неравенства
Вп > 2 Bп)Щ2пГ > 4 (^
(где все три выражения асимптотически равны между собой
при п->оо). Следовательно,
числитель дроби -^ > -^- > -4=(—\ "~Т > 1
п п <\/е \пе/
для всех п > пе = 8.539 ....
Дальнейшие сведения о числах Бернулли можно найти в
книгах [Нильсен] или [Боревич, Шафаревич].
В заключение несколько задач для читателя.
Задача В.1. (Дж. Ф. Адаме). Показать, что если все простые
множители числа п имеют вид 6&+1, то знаменатель дроби
Вп/п равен 6.
Задача В.2 (Дж. Ф. Адаме). Показать, что для заданной
константы N > Iog2Dn) наибольший общий делитель целых
чисел
- 1), 3" C2л - 1), 4N D2л - 1), ...
равен знаменателю дроби Вп/4п.

Приложение В. Числа БернулЖ 239
Задача В.З. Пусть D = d/dt обозначает дифференциальный
оператор ДО1—W@> применяемый к произвольным полино-
полиномам f(t). Показать, что оператор
-2f?J+ ... переводит /(/) в /(/+1), а оператор
eD - 1 2 2!
переводит f(t) в полином
g(o=f(о-|no+4fно-4f/""(')+- ....
который удовлетворяет разностному уравнению
я(/ + 1)-*@-П0.
Используя эти факты, доказать формулу суммирования Эйле-
Эйлера — Маклорена
Г(о) + ГA)+ ... +f'(k-D = g(k)-g(O).
Задача В.4. Для f(t)= tm/m\ соответствующий полином
g (t) = Г/т\ - | tm-ll{m - 1)! + |ir-2/(m - 2)! - + ...
можно назвать m-м полиномом Бернулли pm{t). Показать, что
эти полиномы Бернулли допускают следующее индуктивное
описание: если начать с po(t)=l, то каждый полином pm(t),
т~^\, есть первообразная от полинома pm-\{t), удовлетворяю-
удовлетворяющая условию \ рт @ dt = 0. Применяя интегрирование по час-
о
тям, вычислить по индукции интеграл
1
для k ф 0, т ^ 1 и тем самым установить разложение в рав-
равномерно сходящийся ряд Фурье
к-ФО
для m ^ 2, 0 ^ ^ ^ 1. Подставляя сюда t = 0, получить фор-
мулу Эйлера

ПРИЛОЖЕНИЕ С
СВЯЗНОСТИ, КРИВИЗНА
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
В этом приложении мы наметим в общих чертах подход
Чженя — Вейля к описанию характеристических классов с ве-
вещественными или комплексными коэффициентами в терминах
форм кривизны (см. [Чжень] или [Ботт, Чжень, § 2]). Мы бу-
будем предполагать, что читатель знаком с основами внешнего
дифференциального исчисления и теории когомологий де Рама,
например, в объеме книги [Уорнер] '. Однако наше соглашение
о знаках (см. приложение А) отличается от того, которое при-
принято у Уорнера и других авторов. Ниже мы вернемся к этому
вопросу.
Начнем со случая комплексного векторного расслоения.
Пусть ? — гладкое комплексное n-мерное расслоение над глад*
ким базисным пространством М и
T, С)
— комплексицированное кокасательное (т. е. двойственное к
касательному) расслоение многообразия М. Тогда (комплекс-
(комплексное) тензорное произведение г*с<8>?, также будет комплексным
векторным расслоением над М. Векторное пространство глад-
гладких сечений этого расслоения будем обозначать С°° (тс <8> ?).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Связностью на расслоении % называется
всякое С-линейное отображение
V:
удовлетворяющее формуле Лейбница
для любого сечения s e С°°(?) и любой функции f e С°°(Л1, С).
Образ V(s) называется ковариантной производной сечения s.
Опишем вкратце основные свойства связностей. Заметим
прежде всего, что соответствие sh->V(s) уменьшает носитель.
Это означает, что если сечение s обращается в нуль на некото-
некотором открытом подмножестве UcM, то его образ y(s) также
1 Или [Стернберг]. — Прим. перев.

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 241
обращается в нуль на U. Действительно, для произвольной за-
заданной точки х е U мы можем подобрать гладкую функцию f,
которая равна нулю вне U и тождественно равна 1 вблизи точ-
точки х. Тождество
примененное к точке х, показывает, что V(s) равно нулю в х.
Замечание. Всякое линейное отображение L: С00 (?,)-+С°°(г\),
которое уменьшает носители, называют локальным оператором,
так как значение сечения L(s) в точке х зависит лишь от зна-
значений сечения s в точках из произвольно малой окрестности
точки х. (Теорема Петре (см. [Петре]) утверждает, что любой
локальный оператор является дифференциальным оператором,
т. е. может быть представлен как конечная линейная комбина-
комбинация частных производных с коэффициентами в С°°(т]).)
Так как связность — локальный оператор, имеет смысл го-
говорить об ее ограничении на открытое подмножество многооб-
многообразия М. Если совокупность открытых подмножеств Ua покры-
покрывает многообразие М, то глобальная связность однозначно оп-
определена своими ограничениями на Ua.
Если открытое множество U настолько мало, что расслое-
расслоение ? | U тривиально, то совокупность всех возможных связно-
стей на ?,\U можно описать следующим образом. Пусть s\, ...
..., sn — какой-нибудь базис сечений расслоения t,\U, так что
любое сечение может быть однозначно записано как сумма
fiSi + ... + fnSn, где коэффициенты /,• являются гладкими комп-
лекснозначными функциями.
Лемма 1. Связность V на тривиальном расслоении ? | U од-
однозначно определяется своими значениями V(si) V(s,,), ко-
которые могут быть совершенно произвольными гладкими сече-
сечениями расслоения т*с®?,\ U. Каждое сечение V(s<) единственным
образом записывается в виде суммы/?a{j<8>sj, где матрица
[щ] может быть произвольной п X п-матрицей комплексных
l-форм на U класса С00.
Мы принимаем соглашение, что знак J1 обозначает сумми-
суммирование по всем дважды встречающимся индексам.
Доказательство. Если заданы значения y(si), ..., V(sn),
то мы можем определить значение связности JV на произвола
ном сечении формулой
V (/,«, + ... + fnsn) = Е (df{ ®st + /,V (s,)).
Подробности предоставляем читателю. ¦

242 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
В частности, существует одна и только одна связность, та-
такая, что все ковариантные производные V(si), ..., |V(sn) рав<
ны нулю (или, другими словами, такая, что матрица связ-
связности [иг/] является нулевой). Она задается формулой
V B fiSi) = 2 dfi <S> Si. Эта специальная «плоская» связность за-
зависит, конечно, от выбора базиса {s,}.
Совокупность всех связностей на расслоении ? не имеет ка-
какой-либо естественной структуры векторного пространства. За-
метим, однако, что если V] и Уг — две связности на расслоении
? и g— гладкая комплекснозначная функция на многообразии
М, то линейная комбинация gV\ +A —g)V2 также будет кор-
корректно определенной связностью на ?.
Лемма 2. На любом гладком комплексном векторном рас-
расслоении над паракомпактным базисным пространством можно
ввести связность.
Доказательство. Выберем покрытие базисного простран-
пространства открытыми множествами Ua, такими, что расслоения ?|?/«
тривиальны, и затем гладкое разбиение единицы {Ка\ с
supp{ka}cz Uа. Каждое ограничение ?|С/а обладает некоторой
связностью Va по лемме 1. Взяв линейную комбинацию 2
получим корректно определенную глобальную связность.
Теперь рассмотрим случай индуцированного векторного рас-
расслоения. Для любого гладкого отображения g: М' -*¦ М мы мо-
можем образовать индуцированное векторное расслоение ?'=
= g%. Заметим, что существует каноническое С00 (М, С) -линей-
-линейное отображение
g*: С-ф-^СГ).
Далее, любая 1-форма на многообразии М индуцирует форму
на многообразии М', так что существует каноническое
С°° (М, С) -линейное отображение
g*: С- (х'с (М) ® Е) -> С" (т* (МО ® ?').
Лемма 3. Каждой связности V на расслоении ? соответ-
соответствует одна и только одна связность V = g*V на индуцирован-
индуцированном расслоении ?', такая, что следующая диаграмма комму-
коммутативна:
С-(Е)-^С-(
I
Доказательство. Пусть заданы сечения su ..., sn над от-
открытым множеством U многообразиям, причем V(s<)=V(Di/®S/.

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 243
Тогда мы можем построить индуцированные 1-формы a>ft] и
индуцированные сечения s't над g~lU. Если искомая связ-
связность V' существует, то, очевидно,
Дальнейшие подробности предоставляем читателю. ¦
Попробуем для заданной связности V на расслоении % по-
построить что-то вроде связности на расслоении %*c®t,. Мы будем
использовать помимо V еще оператор внешнего дифференциро-
дифференцирования
Ф. С°°(т*)->С°°(Л2т*).
Лемма 4. Для заданной связности V существует одно и
только одно С-линейное отображение
V: С~«®?) = С~(Л2т*®?),
удовлетворяющее формуле Лейбница
V(8®s) = d8®s — 9Л V(s)
для любой {-формы 6 и любого сечения s e C°°(?J. Кроме того,
V удовлетворяет тождеству
s)) = df Л
Доказательство. В терминах локального базиса сечений
«1, .... sn мы должны иметь тождество
Взяв эту формулу в качестве определения V, легко проверить
требуемые тождества. ¦
Теперь рассмотрим композицию /C = V°V двух С-линейных
отображений
С00 (?) -^ С00 « ® 5) -^ С~ (Л2т* ® ?).
Лемма 5. Значение сечения K(s)= V(V(s)) в точке х зави-
зависит только от s(x) и не зависит от значений сечения s в дру-
других точках многообразия М. Следовательно, соответствие
определяет гладкое сечение комплексного векторного расслое-
расслоения Hf?A2)

244 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Определение. Это сечение K = Kv векторного расслоения
Нот (?, А?%*с ® ?) ?ё А2х*с <8> Нот (?, ?) называется тензором кри-
кривизны связности V.
Доказательство леммы 5. Ясно, что К является локальным
оператором. Небольшое вычисление:
— показывает, что композиция V ° V = К в действительности яв-
является С°°(М, С)-линейным отображением: K(fs) = fK(s). Да-
Далее, если s(*)= s'(x), то в терминах локального базиса сечений
slt ..., sn мы имеем вблизи точки х равенство
s' — s = fis1+ ... +fnsn,
где f\(x)= ... =fn{x)=O. Следовательно, сечение K(s') —
— K(s)==~LfiK(Si) равно нулю в точке х, чем и завершается
доказательство. Ш
В терминах базиса s\, ..., sn сечений расслоения %\U, для
которого V (sj = Yi °>ц ® si> мы имеем явную формулу
Я (si) = V (Z
где положено
Q,7 = d(ai} - Z %а Л ю0/.
Таким образом, тензор кривизны К может быть локально опи-
описан п X га-матрицей Q = [Qy] 2-форм примерно таким же об-
образом, как оператор связности V локально описывается матри-
матрицей со ^[со,-/] 1-форм. В матричной записи имеем
Q = dm — (о Л к>.
Фундаментальная теорема, которую мы не будем здесь дока-
доказывать, утверждает, что тензор кривизны К равен нулю тогда
и только тогда, когда в окрестности каждой точки многообра-
многообразия М существует базис si sn сечений расслоения ?, такой
что V(si)= ... =V(sn)=0 (см. [Бишоп, Криттенден] или
[Кобаяси, Номидзу]). Более того, если многообразие М одно-
связно и /С = 0, то существуют глобальные сечения sb .... sn,
такие, что V(si)=i ... =v(sn) = 0. В этом случае ? будет, ко-
конечно, тривиальным расслоением. Если тензор кривизны К =>
= Kv нулевой, то связность V называют плоской.
Замечание. В терминологии Стинрода расслоение с плоской
связностью может быть описано как расслоение с дискретной
структурной группой. Чтобы увидеть это, рассмотрим два раз-

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 245
личных локальных базиса, скажем si, ..., sn s C°°{t,\U) и
s'v .... s'neC°°(?| V), каждый из которых состоит из сечений
с нулевыми ковариантными производными. На пересечении
U О V мы можем положить 5'4 = 2^/5/- Уравнение V(s?) =
=Х da(l<8> Sj = 0 показывает, что функции перехода ац локально
постоянны. Следовательно, ассоциированное отображение
[a,t]: UC\V-*GL(n, С)
непрерывно, даже если линейная группа GL(n, С) наделена дис-
дискретной топологией.
Отправляясь от тензора кривизны К, мы можем следующим
образом построить характеристические классы. Пусть М„(С)
обозначает алгебру всех комплексных п X п-матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Инвариантным полиномом на алгебре
Мл(С) называется всякая функция
Р: М„(С)->С,
представимая в виде комплексного полинома от матричных
элементов и удовлетворяющая условию
P(XY) = P(YX)
или эквивалентному условию
Р (ТХТ'1) = Р (X)
для любой невырожденной матрицы Т.
(Ясно, что первое тождество следует из второго, когда Y
является невырожденной матрицей, а в общем случае это вер-
верно по непрерывности, ибо любая вырожденная матрица может
быть аппроксимирована невырожденными матрицами.)
Примеры. Хорошо известными примерами инвариантных по-
полиномов на алгебре Мп(С) служат след [Хц]ь-*-21Хц и опре-
определитель det.
Пусть Р — инвариантный полином. Определим внешнюю
форму Р (К) на базисном пространстве М следующим образом.
Выбрав какой-нибудь локальный базис sb ..., sn для сечений
вблизи точки х, запишем ^Eг) = ]Гйг/®st-Элементы матрицы
Q = [Qij] принадлежат коммутативной алгебре над полем С,
состоящей из всех внешних форм четной степени. Следователь-
Следовательно, мы можем придать точный смысл вычислению значения на-
нашего комплексного полинома Р в матрице Q, причем этим зна-
значением будет некоторый элемент указанной алгебры форм.

246 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Этот элемент Р(й) не зависит от выбора базиса su ..., sn, так
как замена базиса переводит матрицу Q в матрицу вида
TQT-1, где Т — невырожденная матрица функций перехода. По-
Поскольку Р(TQT~l) = P(Q), то все эти локальные дифференци-
дифференциальные формы P(Q) определены однозначно. В совокупности
они определяют дифференциальную форму на всем многообра-
многообразии М, которую мы будем обозначать Р(К).
Замечание 1. Если Р — однородный полином степени г, то,
очевидно, Р(К) является внешней формой степени 2г. В общем
случае Р есть сумма однородных полиномов различных степе-
степеней и соответственно Р (К) будет суммой внешних форм раз-
различных четных степеней. Примем обозначения
Замечание 2. Более общо, вместо инвариантного полинома
можно с равным успехом использовать инвариантный формаль-
формальный степенной ряд вида
где Рг — инвариантный однородный полином степени г. Значе-
Значение Р(К) по-прежнему будет корректно определено, так как
Рг(/С)=О для 2г > dim(M). (Достойным внимания примером
инвариантного формального степенного ряда служит характер
ЧЬ(Л) 1D/2я))
Основная лемма. Для всякого инвариантного полинома {или
инвариантного формального степенного ряда) Р внешняя фор-
форма Р(К) является замкнутой, т. е. dP{K)= 0.
Доказательство. Для любого заданного инвариантного по-
полинома или формального степенного ряда Р(А)= Р([Л//]), где
А{/ — элементы матрицы А, мы можем образовать матрицу
[dP/dAtj] формальных первых производных. Нам будет удоб-
удобно обозначать символом Р'{А) не саму эту матрицу, а транспо-
транспонированную к ней.
Пусть теперь Q=[Qy] — матрица кривизны относительно
некоторого локального базиса сечений расслоения %\и. Оче-
Очевидно, внешний дифференциал dP(Q) равен
I,(dP/dQtJ)dQt,.
В матричной записи мы можем переписать это выражение в
виде

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 247
Матрицу 3-форм dQ можно вычислить, взяв внешний диф-
дифференциал от матричного уравнения
й = rfca — со Л ©
и подставив это уравнение в получившийся результат. Мы по-
получим тождество Бьянки
B) dQ. = со Л й — Q Л ю-
Нам понадобится следующее наблюдение. Для любого ин-
инвариантного полинома или степенного ряда Р транспонирован-
транспонированная матрица первых производных Р'(А) коммутирует с А. Для
доказательства этого утверждения рассмотрим матрицу [?/<•],
у которой (/, i)-u элемент равен 1, а все остальные равны нулю.
Дифференцируя уравнение Р( (/ + tEfi)A) =» P(A(I + tE,i)) по
t и полагая затем t=0, находим ? Ala(dP/dAta) =¦=? {dPldAai)Aal.
Таким образом, матрица А коммутирует с матрицей, транспо-
транспонированной к [дР/дАц], что и утверждалось.
В частности, беря в качестве А матрицу Q,
C) QAP'(Q) = P'(Q)AQ.
Нам будет удобно обозначить внешнее произведение Pf(Q)'Ae>
через X. Подставляя тождество Бьянки B) в A) и используя
C), приходим к равенству
dp (Q) = tr (X Л Q - Q Л X) = 2 №/ Л Qn - Qn Л Xtl).
Так как каждый элемент Хц коммутирует с 2-формой пц, то
эта сумма равна нулю, чем основная лемма и доказана. Ш
Итак, внешняя форма Р(К) замкнута, другими словами,
является коциклом в смысле де Рама и, значит, представляет
некоторый элемент, который мы обозначим (Р(К)), в полном
кольце когомологий де Рама Я® (М; С) = ф#' (М; С).
Следствие. Когомологический класс (P(K))=*(P(KV)) не
зависит от выбора связности V.
Доказательство. Пусть Vo и Vi — две различные связности
на расслоении ?. Отображая М X R в М при помощи проекции
(х, t)t-*>x, мы можем образовать индуцированное расслоение %'
над М X R с индуцированными связностями VJ, V, и составить
линейную комбинацию
Таким образом, форма Р(Ку) является коциклом де Рама на
многообразии М X R.

248 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Теперь рассмотрим отображение ie: х\—>(х, е) многообразия
М в М X R, где е равно 0 или 1. Очевидно, что индуцирован-
индуцированная связность (te)*V на расслоении (/е)*?' может быть отожде-
отождествлена со связностью Ve на расслоении ?. Следовательно,
Но отображение k гомотопно ii, поэтому когомологический
класс (Р (Kvo)) равен когомологическому классу (Р (/Cvi))-
Итак, всякий инвариантный полином (или степенной ряд)
Р определяет характеристический когомологический класс в
Н*(М;С), зависящий только от класса изоморфизма вектор-
векторного расслоения ?. Если отображение g: М' -*¦ М индуцирует
расслоение ?' = g% с индуцированной связностью V, то, оче-
очевидно,
Таким образом, эти характеристические классы обладают свой-
свойством естественности относительно индуцированных расслоений.
Однако мы уже знаем из § 14, что любой характеристиче-
характеристический класс комплексных векторных расслоений может быть
представлен как полином от классов Чженя. Таким образом,
перед нами встают следующие два вопроса: какие существуют
инвариантные полиномы и как ассоциированные с ними харак-
характеристические классы явно выразить через классы Чженя?
На первый вопрос ответить нетрудно. Для любой квадрат-
квадратной матрицы А пусть а*(Л) обозначает k-ю элементарную сим-
симметрическую функцию от собственных значений матрицы А, так
что
det (/ + tA) - 1 + to, (А) + ... + /'Ч (А).
Лемма 6. Всякий инвариантный полином на алгебре Мп(С)
может быть представлен в виде полинома от аь ..., а„.
Доказательство. Для заданной матрицы ЛеМ„(С) мы
всегда можем подобрать матрицу В, такую, что матрица ВАВ~1
будет верхней треугольной; действительно, матрицу А можно
привести к жордановой канонической форме. Заменяя В на
diag(e, е2, ..., е")?, мы можем сделать элементы вне диаго-
диагонали произвольно близкими к нулю. Отсюда по непрерывности
следует, что значение полинома Р(А) зависит только от диаго-
диагональных элементов матрицы ВАВ~1, или, другими словами, от
собственных значений матрицы А. Так как Р(А), очевидно,
должно быть симметрической функцией от этих собственных
значений, то применение классической теории симметрических
функций завершает доказательство. Ш

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 249
Позднее мы увидим, что характеристический класс (сгг (/С))
равен некоторому комплексному кратному класса Чженя (?)
Оставив этот вопрос на время в стороне, обратимся к соот-
соответствующей теории вещественных векторных расслоений. По-
нятия связности
V:
на вещественном векторном расслоении | и ее тензора кри-
визны
К е С00 (Нот (I, AV ® ?)) в С°° (AV ® Нот (|, ?))
определяются точно так же, как и выше, просто везде надо за-
заменить комплексные числа вещественными. Всякий инвариант-
инвариантный полином Р на алгебре матриц Mn(R) порождает характер
ристический когомологический класс (Р(/С))е Н*(М; R).
Самый классический и самый известный пример связности —
это связность Леви — Чивиты на касательном или кокасатель-
ном расслоениях риманова многообразия. Сейчас мы дадим
эскиз этой теории.
Рассмотрим вещественное векторное расслоение \ над мно-
многообразием М, снабженным евклидовой метрикой. Тогда, если
s и «' — гладкие сечения расслоения %, то их скалярное произ-
произведение <s, s'> представляет собой гладкую вещественнознач-
ную функцию на многообразии М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Связность V на расслоении | называется
согласованной с метрикой, если справедливо тождество
d(s, s') = {Vs, />-f<s, Vs'>
для всех сечений s и s'.
Здесь предполагается, что скалярные произведения в пра-
правой части определяются условиями
<6 ® s, s'} = <s, 0 ® s') = (s, sf) 8
для всех 9 е С°°(т*) и всех s, s' e C°°(l). К сожалению, такая
запись может иногда приводить к путанице. Надежнее исполь'
зовать следующий критерий.
Лемма 7. Пусть s\, ..., sn — ортонортированный базис для
сечений расслоения t\U, так что <s;, s/>= бг/. Связность V на
расслоении l\U согласована с метрикой тогда и только тогда,
когда соответствующая матрица связности [щ] (определяемая
равенством V (sf) = ? в>ц ® st) кососимметрична.

250 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Доказательство. Если связность V согласована с метрикой,
то
Доказать обратное утверждение предоставляем читателю. ¦
Замечание. Появление здесь кососимметричных матриц свя-
связано, конечно, с тем фактом, что алгебра Ли ортогональной
группы О (га) равна подалгебре Ли всех кососимметричных мат-
матриц в Mn(R).
Теперь рассмотрим поближе частный случай, когда рас-
расслоением ? является кокасательное расслоение т* над многооб-
многообразием М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Связность V на расслоении т* называется
симметричной (или не имеющей кручения), если композиция
(х*) -?> С™ (х* ® т*) -А> С°° (Л V)
равна внешнему дифференциалу d.
В терминах локальных координат х1 хп, если положить
»то означает, что образ ^ТНцйх1 Л dx1 дифференциала dxk при
композиции 'Д°У должен быть равен его внешнему дифферен-
дифференциалу d(dxk)=0. Следовательно, символы Кристоффеля Г*/
должны быть симметричны относительно i, }. Более общим об-
образом, справедливо следующее легко проверяемое утверждение.
Утверждение. Связность V «а расслоении х* симметрична
тогда и только тогда, когда вторая ковариантная производная
любой гладкой функции f является симметричным тензором.
Другими словами, в терминах локального базиса 9i, ..., 9П се-
сечений расслоения х*, должно выполняться тождество Wd (f) =
Лемма 8. Кокасательное расслоение %* риманова многооб-
многообразия обладает одной и только одной симметричной связ-
связностью, согласованной с его метрикой.
Эта специальная связность V называется римановой связ-
связностью или связностью Леей — Чивиты.
Доказательство. Пусть 6i, ..., 9Л — какой-нибудь ортонор-
мированный базис сечений расслоения х*\И. Мы покажем, что

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 251
существует одна и только одна кососимметричная матрица
1-форм [©ft/], такая, что
4В* = 2>*/Ле/.
Если определить связность V над V условием
то очевидно, что V представляет собой единственную симмет-
симметричную связность на расслоении т*|?/, согласованную с метри-
метрикой. Из единственности так построенных локальных связностей
следует, что они совпадают на пересечениях U f[U' и в сово-
совокупности дают требуемую глобальную связность на всем мно-
многообразии.
Нам понадобится следующее комбинаторное наблюдение.
Каждый п X п X n-массив вещественнозначных функций Ацн
можно единственным образом записать в виде суммы массива
Bijh, симметричного по i, j, и массива Суй, кососимметричного
по }, k. В самом деле, существование таких массивов Вци и С
доказывается непосредственной проверкой явных формул
Bilk = j (AUk + АПк — Аш — Aw + Am + Ащ),
Ank + Акц + Ащг — Ajkt — Ащ),
а единственность очевидна, поскольку, если массив Вць одно-
одновременно симметричен по /, / и кососимметричен по /, k, то
равенства D123 = D23i = —Й231 = —-^321 == Dzn = ?132 = —Dm.
показывают, что его типичный элемент D^z равен нулю.
Выбрав теперь функции Aijk так, чтобы d% = 2 Amfii Л 0/,
и записав массив Aijk в виде Alik==Blik-j-Clfk, как указано
выше, получаем, что d0ft = ?Q/ftfy Д Qt. Очевидно, что 1-формы
%/ — И Сц$1 задают единственную кососимметричную матрицу,
такую, что dQk == 2 %/ Л 6/- Лемма доказана. ¦
Рассмотрим частный случай двумерного ориентированного
риманова многообразия. Относительно ориентированного ло-
локального ортонормированного базиса 8i, 82 для 1-форм мат-
матрицы связности и кривизны имеют вид
ГО соха  ГО Q12"j
L-»m О J И L-Q12 О J*
где rfci)i2 = Qi2. Тождество
[cost sinnj" 0 Q^ircos^ — sin/1 Г 0 Qi2]
— sin/ cos/JL-Йй О JLsin4 cos/ J^L—Q,2 oj

252 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
показывает, что внешняя 2-форма Qi2 не зависит от выбора
ориентированного ортонормированного базиса. Следовательно,
мы имеем вполне определенную глобальную 2-форму.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эта форма Q!2 называется 2-формой Гаус-
Гаусса— Бонне на рассматриваемой ориентированной поверхности.
Обозначая 2-форму — 8i *?< 92 ориентированной площади кратко
символом dA, мы можем записать Qi2 = ЖйА, где Ж — некото-
некоторая скалярная функция, называемая гауссовой кривизной.
Так как обе формы Qi2 и dA изменяют знак, если обратить
ориентацию поверхности, то функция Ж не зависит от выбора
ориентации.
Замечание о знаках. Наш выбор знака для формы dA мо-
может показаться читателю странным. Приведем доводы в его
защиту. Следуя Маклейну (см. [Маклейн]), мы, как это уже
отмечалось в приложении А, вводим знак (—1) ""» всякий раз,
когда объект размерности m переставляется с соседним объек-
объектом размерности п. Поэтому, если /" обозначает единичный куб
с упорядоченными координатами t\, ..., tn и каноническим
ориентирующим классом це Н„Aп, <?/"), то мы полагаем
'it
I
Другими словами, п-форма ориентированного объема на 1п по
определению равна у нас (—l)n("+l)/2d/i А1 ... Л dtn. Такой
выбор знака приводит к следующему варианту теоремы Стокса:
в согласии с приложением А. Читатель, который предпочитает
использовать классическое соглашение о знаках, как в книгах
[Спеньер], [Уорнер] или в статье [Ботт, Чжень], может забыть
все сказанное об этих знаках, однако ему следует заменять К
на —К всюду, где тензор кривизны К встречается в наших фор-
формулах для характеристических классов.
Чтобы сделать осязаемее данное выше несколько абстракт-
абстрактное определение, выполним одно явное вычисление. В некото-
некоторой окрестности U любой точки риманова двумерного многооб-
многообразия можно ввести геодезические координаты х, у так, чтобы
метрический квадратичный дифференциал в С°° (т* ® г* | U).

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 253
принял вид dx <8> dx -f g(x, yJdy ® dy. Полагая
мы получим ортонормированный базис для 1-форм на U. Урав-
Уравнения
имеют единственное решение «мг — gxdy, где нижний индекс *
обозначает частное дифференцирование. Отсюда следует, что
Qi2 = ёхх dx Л dy = (— gxx/g) dA.
Таким образом, гауссова кривизна выражается формулой
% = — gxx/g-
Например, беря в качестве координат на единичной сфере дол-
долготу и широту, мы имеем g(x,y) = cos x и, следовательно,
Теорема Гаусса — Бонне. Для любого замкнутого ориенти-
ориентированного риманова двумерного многообразия М интеграл
QI2 ш. [ [ Ж dA равен 2пе [М].
Доказательство. Более общим образом рассмотрим произ*
вольное ориентированное вещественное двумерное расслоение
| с евклидовой метрикой. Оно имеет каноническую комплекс-
комплексную структуру /, которая поворачивает каждый вектор на угол
я/2 в направлении «против часовой стрелки». В терминах
ориентированного'локального ортонормированного базиса si,S2
для сечений мы имеем Jsi(x) = S2(x).
Выбрав какую-нибудь согласованную связность V на рас-
расслоении §, мы можем записать
Vst — ©12 ® S2,
Очевидно, что V задает связность на получающемся комплекс*
ном линейном расслоении С, где
VSi = ©12 ® ISi =
и, следовательно, V(?si)= iV(si) = —tt>i2 <8> s\. Таким образом,
матрицей этой комплексной связности служит 1 X 1-матрица
[/©12], а матрицей кривизны будет [1Q12]. Используя инва-
инвариантный полином о\ = tr, мы получаем замкнутую 2-форму

254 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
которая представляет некоторый характеристический когомо-
когомологический класс в Н2(М; С). Однако характеристическим клас-
классом в Я2( ; С) для комплексного линейного расслоения % мо-
может быть только класс Чженя Ci(?)= e(?R) (или его кратные).
Следовательно,
(*Q12) = ас, (?) = «<?(?),
где a — некоторая комплексная константа.
Чтобы вычислить эту константу а, достаточно подсчитать
обе стороны равенства для какого-нибудь частного случая.
Предположим, например, что | является кокасательным рас-
расслоением т* замкнутого ориентированного двумерного рима-
нова многообразия М. Так как (i^i2)= ае(т*), то имеет место
равенство
или, другими словами,
Вычисляя обе части последнего равенства для единичной дву-
двумерной сферы, мы видим, что а = 2ni. Это завершает доказа-
доказательство. В
Теорема. Пусть ? — комплексное векторное расслоение со
связностью V. Тогда когомологический класс (сг,(/Су)) равен
BяО'с,(Е).
Доказательство. Для случая комплексного линейного рас-
расслоения проведенные выше рассуждения показывают, что
Таким образом, если определить инвариантный полином ?
формулой
с[А) = det (/ + Л/2ш) = ? ak (A)/Bni)\
то для всякого комплексного линейного расслоения коцикл
представляет когомологический класс с(?)= 1 + ()
Теперь рассмотрим любое расслоение ?, которое расщеп-
расщепляется в сумму Уитни ?H ... ©?„ линейных расслоений. Если
заданы связности Vi, ..., Vn на расслоениях ?/, то существует,
очевидно, их «сумма Уитни» — связность на расслоении ?. Вы-
Выбирая локальные сечения Sj расслоений ?/ вблизи точки х, мы

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 255
можем рассматривать si, ..., sn как локальные сечения рас-
расслоения ?. Соответствующая локальная матрица кривизны диа-
тональна:
O = diag(Q,, ..., Qn),
и поэтому
(Q)
Отсюда следует, что соответствующие глобальные внешние фор-
формы обладают тем же самым свойством:
с (К) =?(tfi)... ?(*„).
Но правая часть этого равенства представляет полный класс
Чженя
Таким образом, равенство с(?) = (е(/()) верно для любого рас*
слоения ?, которое является суммой Уитни линейных расслое-
расслоений.
Утверждение для общего случая получается теперь стан-
стандартными рассуждениями (см. [Хирцебрух, § 4.2] или доказа-
доказательство единственности для классов Штифеля — Уитни, дан-
данное в § 7). Если у1 обозначает универсальное линейное расслое-
расслоение над m-мерным комплексным проективным пространством
Рт(С), где m достаточно велико, то для Х-произведения п
экземпляров расслоения у1 выполняется равенство
с (y1 х... х y1)=и/av1 х... х y1))).
Так как в размерностях ^.2пг когомологий базисного простран-
пространства Сп(С°°) универсального расслоения уп отображаются в ко-
когомологий произведения Рт(С)Х ... ХАп(С) мономорфно, то
Следовательно, равенство с(?) = (?(/С(?))) верно и для произ-
произвольного расслоения ?. ¦
Следствие 1. Для любого вещественного расслоения % ко-
коцикл де Рама o2k(K) представляет когомологический класс
BяJ*р*A) в Hik(M; R), а класс a2A+i(/C)) является кограницей.
Другими словами, полный класс ГГонтрягина l+pi(|) +
+ />аA)+ ••• в кольце когомологий Н9(М; R) соответствует
инвариантному полиному j? (Л)= det (/ + AJ2n).
Доказательство. Это немедленно следует из доказанной
теоремы и определения классов Пантрягина. Ш

256 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Замечание. Можно дать прямое доказательство того, что
O2k+i{K) является кограницей. Выберем какую-нибудь евкли-
евклидову метрику на расслоении ? и согласованную с ней связность
V. Тогда матрица связности относительно локального ортонор-
мированного базиса сечений будет кососимметрич.ной, откуда
легко вытекает, что ассоциированная матрица кривизны Q так-
также кососимметрична: й' = —Q. Следовательно,
Таким образом, для нечетных m коцикл am (Kv) нулевой. Отсюда
следует, что для произвольной (т. е. неметрической) связности
V' коцикл cim(Kv') представляет собой кограницу.
Следствие 2. Если вещественное (соотв. комплексное) век-
векторное расслоение обладает плоской связностью, то все его
классы Понтрягина (соотв. Чженя) с рациональными коэффи-
коэффициентами равны нулю.
Доказательство очевидно. ¦
Замечание. Из следствия 2 вытекает, что если группа го-
гомологии Н„(М;Х) с целыми коэффициентами является конечно-
порожденной, то классы Понтрягина (или классы Чженя) рас-
расслоения с плоской связностью суть элементы конечного поряд-
порядка. Эти элементы конечного порядка, вообще говоря, не нуле-
нулевые. Ботт и Хайтч недавно построили вещественное (и также
комплексное) векторное расслоение с дискретной структурной
группой, классы Понтрягина (соотв. классы Чженя) которого
в группе Я* (В; Z) не являются элементами конечного порядка
и не удовлетворяют никаким полиномиальным соотношениям
(см. [Ботт, Хайтч]). В этом случае, конечно, группа гомологии
Я* (В; Z) не может быть конечно-порожденной.
Бросается в глаза, что в предыдущем обсуждении отсутст-
отсутствует одна вещь. А именно, мы не дали выражения для класса
Эйлера ориентированного 2я-мерного расслоения в терминах
кривизны (за исключением одного весьма специального по-
построения для случая п = 1). Это не просто случайность. Позд-
Позднее мы увидим на примере, что и не может быть никакой фор-
формулы, выражающей класс Эйлера через кривизну для расслое-
расслоений с произвольной связностью. Ситуация, однако, изменяется,
если потребовать, чтобы связность была согласована с евкли-
евклидовой метрикой на расслоении.
Нам понадобится следующая классическая конструкция.
Лемма 9. Существует один и с точностью до знака только
один полином с целыми коэффициентами, сопоставляющей
каждой кососимметричной 2пХ2п-матрице А над некоторым

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 25?
коммутативным кольцом элемент Pi(A) этого кольца, квадрат
которого равен определителю матрицы А. При этом
Pf (В ЛВ') = Pf (A) det (В)
для любой In X 2п-матрицы В.
Для определенности выберем знак полинома из условия
Pf(diag(S, ...,S))=+1, где S обозначает 2 X 2-матрицу
Г о 1 и
_1 ' Получающийся полином Pf называется пфаффиа-
ном.
Например,
Pf
Г ° аЛ
а пфаффиан кососимметричной 4 X 4-матрицы [ау] равен
«12034 — «13*224 +
Доказательство леммы 91. Будем работать с кольцом
A = Z[/4i2, ..., А2п-\2п, Вп, ..., В2п2п], в котором в качестве
независимых переменных выступают все элементы кососиммет-
кососимметричной матрицы Л=[Л,7], лежащие выше диагонали, и все
элементы матрицы В = [Вц]. Над полем частных кольца Л
нетрудно найти матрицу X, такую, что ХАХ* = diag(S, ..., S).
Следовательно, полином det/4eA равен det(X)~2, т. е. яв-
является квадратом в поле частных кольца Л. Так как Л — коль-
кольцо с однозначным разложением на множители, то отсюда вы-
вытекает, что det А будет квадратом и в самом кольце Л.
Аналогично из тождества uet(BAB')— det (Л) det (J3J сле-
следует, что Pi(BABl)= ±Pf(A)det В; полагая В = I, мы видим,
что знак должен быть равен +1. И
Пусть теперь % — ориентированное 2га-мерное расслоение с
евклидовой метрикой. Выбрав какой-нибудь ориентированный
ортонормированный базис сечений расслоения ? над некоторой
координатной окрестностью U, мы получим матрицу кривизны
Q = [Qtj], которая является кососимметричной, так что опре-
определен пфаффиан
Pf(Q)e=C°(A2V|?/J.
Если мы выберем другой ориентированный ортонормированный
базис сечений над U, то Pf(Q) заменится на Pf(XQZ~1), где
матрица X ортогональна (Х~1 ==¦ Х<) и сохраняет ориентацию
(det X = 1). Следовательно, наш пфаффиан не изменится. Та-
1 Подробности см. в [Бурбаки], гл. IX, § 5, п. 2.
9 Дж. Милаор, Дж. Сташеф

258 Дж. Милнор и Дж, Сташеф
ким образом, из всех этих локальных форм мы можем обра-
образовать единую глобальную 2п-форму
(Тем самым для случая п = 2 мы еще раз доказали утвержде-
утверждение, что 2-форма Гаусса — Бонне Qi2 = Pf(/C) корректно опре-
определена глобально.) Точно так же, как и раньше, мы можем
проверить, что матрица формальных частных производных
[dPl(A)/dAij] коммутирует с Л и, значит,
d Pf (К) = 0.
Следовательно, 2я-форма Pf (/С) представляет некоторый ха<
рактеристический когомологический класс в H2n(M;R). Пере-
Переходя к расслоению у, универсальному в размерностях ^4га, и
учитывая, что квадрат класса Pf(/C(v)) представляет когомо-
когомологический класс (de\(K(y))) = BnJnpn(y), мы видим, что
(ЩК(у)))=±Bп)"е{у), а потому
(Pf (/С (I))) = dr Bя)" е (|)
для любого ориентированного 2п-мерного расслоения \, Фак-
Фактически знаковый множитель равен +1; это можно показать,
вычислив левую и правую части для некоторой суммы Уитни
двумерных расслоений. Таким образом, нами доказана следую-
следующая
Обобщенная теорема Гаусса — Бонне. Для любого ориен-
ориентированного 2п-мерного расслоения ? с евклидовой метрикой и
группы Ли G с алгеброй Ли g кольцо когомологий #®E0; R)
представляет класс Эйлера е (?).
Замечание. Эта теорема иллюстрирует общий результат
Чженя — Вейля, состоящий в том, что для любой компактной
группы Ли G с алгеброй Ли g кольцо когомологий Н®(Во\ R)
классифицирующего пространства Ва изоморфно алгебре всех
полиномов й —> R, инвариантных относительно присоединенного
действия группы G. Для некомпактных групп, таких, как
SL Bn, R), этот общий результат уже неверен.
Для примера рассмотрим кокасательное расслоение т* еди-
единичной сферы S2n со связностью Леви — Чивиты. Если выбран
какой-нибудь ориентированный ортонормированный базис
0i, .... в„ сечений расслоения x*\U, то, как показывают вы-
вычисления,
(Это равенство выражает тот факт, что у единичной сферы
кривизна в двумерном направлении тождественно равна +1.)

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 259
Далее,
(— 1)" Pf (Q) =- Pf [в? Л в,] —
= (ЬЗ-5.7. ... .Bл- 0H! Л ... Лв2я.
Интегрируя по сфере S2n, находим
Jpf(/0 = (l«3-5. ... -Bл-1) объем (S2n).
Полагая это выражение равным Bn)ne[S2n] = 2Bя)л, мы полу*
чаем новое доказательство равенства
объем (S2n) = 2 Bя)"/1 • 3 • 5 • ... • Bл - 1).
В заключение этого приложения покажем, что класс Эйлера
не может быть определен по тензору кривизны произвольной
(не согласованной с метрикой) связности. Мы приведем при-
пример ориентированного векторного расслоения с плоской связно-
связностью, для которого класс Эйлера с вещественными коэффициен-
коэффициентами ненулевой (см. [Милнор, 1958] и [Вуд]). Предположим,
что задан некоторый гомоморфизм фундаментальной группы
И = щ(М) многообразия М в специальную линейную группу
SL(n,R). Тогда группа П действует на универсальном накры-
накрытии М и, следовательно, действует диагонально на произведении
№ X R"- Нетрудно видеть, что естественное отображение
является проекцией некоторого n-мерного расслоения % с пло-
плоской связностью (или, эквивалентно, с дискретной структурной
группой). Мы хотим построить пример, когда е(%)ф-0.
Пусть М — компактная риманова поверхность рода g > 1.
Тогда универсальное накрытие М конформно диффеоморфно
верхней комплексной полуплоскости Я (см., например, [Сприн-
[Спрингер]). Каждому элементу группы П преобразований накрытия
соответствует дробно-линейное преобразование полуплоскости
Н вида
мы имеем гомоморфизм h группы П в факторгруппу
где матрица
а Ь
[I bdhsLv>R)
определена однозначно с точностью до знака. Таким образом»
PSLB, R)=»SLB,
9*

260 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Покажем, что этот гомоморфизм h поднимается до гомомор-
гомоморфизма U-*SLB, R), который индуцирует искомое двумерное
расслоение над римановой поверхностью М.
Группа PSL B, R) действует естественно на вещественной
проективной прямой P'(R), которую можно отождествить с
границей R U °° полуплоскости Я. Поэтому h индуцирует рас-
расслоение г) над многообразием М со слоем Р1 (R) и проекцией
Будем рассматривать ti как расслоение со структурной груп-
группой PSLB, R), наделенной дискретной топологией. Это инду-
индуцированное расслоение х\ можно отождествить с расслоением,
имеющим в качестве слоя окружность, ассоциированным с каса-
0 f(z,v) R
Рис. 8.
тельным расслоением многообразия М. Действительно, каждый
ненулевой касательный вектор v в точке ?еЯ является каса-
касательным к некоторой единственной ориентированной дуге окруж-
окружности (или вертикальному прямолинейному отрезку), идущей
из точки 2 в точку /(г, у) на границе RU оо и пересекающей эту
границу ортогонально (см. рис. 8). Получающееся отображение /
инвариантно относительно действия группы П (т. е. f(oz, Doz{v)) —
= af(z,v) для (ГбП) и, следовательно, индуцирует требуемый
изоморфизм пространства касательных направлений к много-
многообразию М на (R U оо)-расслоение т). (Здесь D — производная,
см. стр. 13). Отсюда следует, что число Эйлера е (ti) \M] равно
2-2g^0.
Пусть Ео — пространство расслоения т), а Е — пространство
ассоциированного расслоения, слоем которого является тополо-
топологический двумерный диск. Так как класс е(ц) делится на 2,
то ШгСп) —0. Поэтому из точной последовательности пары
(Е,Е0) следует, что фундаментальный класс и е Н2(Е, Ео; Z/2)
представляет собой образ некоторого когомологического класса
не Я'(?о; Z/2), ограничение которого на каждый слой яв-
является ненулевым. Пусть Ёо -+ Ео — двукратное накрытие, ассо-
ассоциированное с этим когомологическим классом а. Тогда компо-
композиция ~Ёо~*Ео—*М задает новое расслоение г\ над М, имеющее

Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы 261
слоем окружность. Используя, скажем, определение класса Эй-
Эйлера как препятствия (см. § 12), мы видим, что е(г\) = -^е(г\).
Таким образом, эйлерово число расслоения т) равно 1 —g ф 0.
Структурной группой этого нового расслоения fj служит,
очевидно, двукратная накрывающая группа SLB, R) группы
PSLB, R), действующей на двукратном накрытии проективной
й /"(R) (Э б PSL{2 R) й
(, ), у ур р р
прямой /"(R)- (Это ясно, ибо группа PSL{2, R) в действитель-
действительности имеет тот же гомотопический тип, что и пространство
P'(R), на котором она действует.) Но у расслоения т) дискрет-
дискретная структурная группа, значит, и у расслоения fj тоже. По-
Поэтому можно считать, что г| индуцировано некоторым подходя-
подходящим гомоморфизмом Il-vSLB, R). Ассоциированное с f| дву-
двумерное расслоение имеет, очевидно, плоскую связность и в то
же время ненулевое число Эйлера (равное 1 —g). Ш

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ'
Адаме Дж. Ф. (A4ams J. F.) On the non-existence of elements of Hopf
Invariant one, Ann. Math., 1960, 72, 20—104. [Русский перевод: О несущество-
несуществовании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице. — Математика,
1961, 5: 4, 3—86.]
— Vector fields on spheres, Ann. Math., 1962, 75. [Русский перевод: Векторные
поля на сферах. — Математика, 1963, 7: 6, 48—79.1
— On the groups J{X). II; IV, Topology, 1965, 3, 137—171; 1966, 5, 21—71.
[Русский перевод: О группах /(л). II, IV. — Математика, 1967, 11:4, 3—
41; 1968, 12:3, 37—97.]
— S. P. Novikov's work on operations on complex cobordism, Lecture Notes
Univ. of Chicago, 1967.
— Quillen's work on formal groups and complex cobordism, Lecture Notes,
Univ. of Chicago, 1970.
— Algebraic Topology: a student's guide, Cambridge Univ. Press, 1972.
Адем Дж. (Adem J.) The iteration of the Steenrod squares in algebraic topo-
topology, Proc. Nat. Acad. Sd. U.S.A., 1952, 38, 720—726.
Александров П. С, Хопф X. (Alexandroff P., Hopf H.) Topologie, Springer-
Verlag, 1933.
Андерсон Д. У. (Anderson D. W.) The real Я-theory of classifying spaces,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1964, 51, 634—636.
Андерсон Д. У., Браун •¦ Э., Петерсон Ф. П. (Anderson D. W., Brown Б.,
Peterson F. P.). The structure of the Spin cobordism ring, Ann. Maht., 1967,
86, 271—298.
Артин Э. (Artin E.) The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston, 1964.
[Translated from Hamburg Math. Einzelschr. I, 1931.]
Атья M. (Atiyah M.) Лекции по К-теории. — M.: Мир, 1967 A967).
Атья М., Зингер И. (Atiyah M., Singer I.) The index of Elliptic operators,
III, Ann. Math., 87, 1968, 546—604. [Русский перевод: Индекс эллиптических
операторов. Ill, УМН, 1969, 24, № 1, 127—182.]
Атья М., Хирцебрух Ф. (Atiyah M., Hirzebruch F.) Vector bundles and homo-
homogeneous spaces, Proc. Symp. Pure Math., Ill, 7—38, Amer. Math. Soc., 1961.
1 Для переводных книг в круглых скобках стоит год оригинального
издания. Если он больше года выхода перевода, то это означает, что пере-
перевод делался с более раннего издания, чем то, которое указывает автор. —
Прим. перев.

Список Литературы 263
[Русский перевод: Векторные расслоения и однородные пространства. — Ма-
Математика, 1962, в : 2, 3—39.] ,
Баум П. (Baum P.) Chern classes and singularities of complex foliations,
Proc Symp. Pure Math. 27, Differential Geometry, Amer. Math. Soc, 1975.
Бишоп Р., Криттенден P. (Bishop R. L., Crittenden R. J.) Геометрия много-
многообразий,—М.: Мир, 1967 A964).
Блантон Дж. Д., Швейцер П. (Blanton J. D., Schweitzer P. A.) Axioms for
characteristic classes of manifolds, Proc. Symp. Pure Math. 27, Differential
Geometry, Amer. Math. Soc, 1975.
Бой В. (Boy W.) Ober die Curvatura integra und die Topologie geschlossener
Flachen, Math. Ann., 1903, 57, 151—184.
Бордман Дж., Фогт P. (Boardman J. M., Vogt R.) Homotopy Everything
//-spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, 1117—1122.
— Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологиче-
топологических пространствах. — М.: Мир, 1977 A973).
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1964.
Борель A. (Borel A.) Le plan projectif des octaves et les spheres comme
epaces homogenes, С R. Acad. Sci. Paris, 1950, 230, 1378—1380.
— La cohomologie mod 2 de certains espaces homogenes, Comm. Math. Helv.,
1953, 27, 165—197. [Имеется перевод первой главы этой работы: Класси-
Классифицирующие пространства ортогональных групп; многообразия Штифеля. —
В ки.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 282—292.]
— Sul la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homogenes
de groupes de Lie compacts, Ann. Math., 1953, 57, 115—207. [Русский пере-
перевод: О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных про-
пространств компактных групп Ли. — В кн.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ,
1958, с. 163—246.]
— Topology of Lie groups and characteristic classes, Bull. Amer. Math. Soc,
1955, 61, 397—432.
— Seminar on Transformation Goups, Ann. Math. Studies, 46, Princeton
Univ. Press, 1960.
Ботт P. (Bott R.) The space of loops on a Lie group, Mich. Math. J., 1958, 5,
35—61.
— The stable homotopy of the classical groups, Ann. Math., 1959, 70, 313—337.
— A note on the KO-theory of sphere bundles, Bull. Amer. Math. Soc, 1962,
68, 395—400.
— The periodicity theorem for the classical groups and some of its appli-
applications, Advances Math., 1970, 4, 353—411.
— On a topological obstruction to integrability, Proc. Symp. Pure Math., 16,
Amer. Math. Soc, 1970, 127—132.
— The Lefschetz formula and exotic characteristic classes, Symposia Math.,
10, Differential Geometry, Rome, 1972.
Ботт Р., Милнор Дж. (Bott R., Milnor J.) On the parallelizability of spheres,
Bull. Amer. Math. Soc, 1958, 64, 87—89.
Ботт Р., Хайтч И. (Bott R., Heitsch J.) A remark on the integral cohomology
of ВГ„ Topology, 1972, 11, 141—146.
Ботт Р., Хэфлигер A. (Bott R., Haefliger A.) On characteristic classes of Г
foliantions, Bull. Amer. Math. Soc, 1972, 78, 1039—1044.
Ботт Р., Чжень Шен-шень (Bott R., Chern S. S.) Hertnitian vector bundles
and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections, Acts
Math., 1965, 114, 71—112.

Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Брамфил Г., Мадсен И., Милграм Р. Дж. (Brumfiel G., Madsen I., Mil-
gram R. J.) PL-characteristic classes and cobordism, Bull. Amer. Math. Soc,
1971, 77, 1025—1030 (подробное изложение: Ann. Math., 1973, 97, 82—159).
Браудер У., Хирш M. (Browder W., Hirsch M. W.) Surgery on piecewise linear
manifolds and applications, Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, 959—964.
Браун А. Б. (Braun A. B.) Functional dependence. Trans. Amer. Math. Soc,
1935, 38, 379—394.
Броди Э. (Brody E. J.) ^TtJpological classification of lens spaces, Ann. Math.,
1960, 71, 163—184.
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) Elements de Math., Algebre, Hermann, Paris,
1942 — ...
Ван дер Варден Б. Л. (Van der Waerden B. L.) Einfuhrung in die Alge-
braische Geometrie, Springer-Verlag, Berlin, 1939.
— Алгебра. — M.: Наука, 1976 (Vol. 1: 1971; Vol. 2: 1967).
Вильямсон Р. У. (Williamson R. W.) Cobordism of combinatorial manifolds,
Ann. Math., 1966, 83, 1—33.
Вуд Дж. (Wood J.) Bundles with totally disconnected structural group, Comm.
Math. Helv., 1971, 46, 257—273.
Гальперин С, Толедо Д. (Halperin S., Toledo D.) Stiefel-Whitney homology
classes, Ann. Math., 1972, 86, 511—525.
Ганнинг Р., Росси X. (Gunning R. C, Rossi H.) Аналитические функции
многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969 A965).
Гильберт Д., Кон-Фоссен С (Hilbert D., Cohn-Vossen S.) Наглядная гео-
геометрия. — Л. —М.: Гостехиздат, 1951 A956).
Годбийон К., Вей Ж- (Godbillon С, Vey J.) Un invariant des feuilletages de
codimension 1, С R. Acad. Paris, 1971, 273, 92—95.
Грейвс Л. (Graves L.) Theory of functions of real variables, 2nd ed., McGraw-
Hill, N. Y., 1956.
Гуревич В. (Hurewicz W.) On the concept of fibre space, Proc Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 1955, 41, 956—961.
Дайер Э. (Dyer E.) Cohomology Theories, Benjamin, N. Y., 1969.
Джеймс И. (James I. M.) Euclidean models of projective spaces, Bull. Lon-
London Math. Soc, 1971, 3, 257—276.
Джеймс И., Уайтхед Дж. Г. К. (James I. M., Whitehead J. H. С.) The
homotopy theory of sphere bundles over spheres. I. Proc. London Math. Soc,
1954, 4, 196—218.
Дольд A. (Dold A.) Partitions of unity in the theory of fibrations, Ann. Math.,
1963, 78, 223—255.
— Лекции по алгебраической топологии.—M.: Мир, 1976 A972).
Дугунджи Дж. (Dugundji J.) Topology, Allyn and Bacon Boston, 1966.
Кан П. (Kahn P. J.) A note on topological Pontrjagin classes and the
Hirzebruch index formula, Illinois J. Math., 1972, 16, 243—256.
Капланский И. (Kaplansky I.) Infinite Abeliangroups, Univ. Michigan Press,
1954.
Картан А., Эйленберг С. (Cartan H., Eilenberg S.) Гомологическая алгеб-
алгебра.— M.: ИЛ, 1960 A956).
Карубй М. (Karoubi M.) Cobordisme et groupes formels (d'apres D. Quillen
et T. torn Dieck), Seminaire Bourbaki 1971/72. 408, Lecture Notes in Math.
317, Springer-Verlag, 1973.
Квиллен Д. (Quillen D.) The Adams conjecture, Topology, 1971, 10, 67—80.
— Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod
operations, Advances Math., 1971, 7, 29—56.

Список литературы 265
Келли Дж. (Kelley J. L.) Общая топология. — М.: Наука, 1968 A955).
Кервер М. (Kervaire M.) Non-parallelizability of the n-sphere for n > 7,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1958, 44, 280—283.
Кервер М., Милнор Дж. (Kervaire M., Milnor J. W.) Groups of homotopy
spheres. I, Ann. Math., 1963, 77, 504—537.
Кёрби Р., Зибенманн Л. (Kirby R., Siebenmann L.) On the triangulation of
manifolds and the Hauptvermutung, Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 75, 742—749.
Кистер Дж. (Kister J. M.) Microbundles are fibre bundles, Ann. Math., 1964,
80, 190—199.
Киезер X. (Kneser H.) Analytische Struktur und Abzehlbarkeit, Ann. Acad.
Sci. Fenn. Ser. A. I, 1958, 251/5.
Кобаяси С, Номидзу К. (Kobayashi S., Nomizu К.) Foundations of differen-
differential geometry. I, Interscience, New York, 1963.
Коннер П., Флойд Э. (Conner P., Floyd E.) The relation of cobordism to
K-theories, Lecture Notes in Math., 28, Springer-Verlag, 1966. [Имеется пе-
перевод: О соотношении теории кобордизмов и /(-теории. — В кн.: Коннер П.,
Флойд Э. Гладкие периодические отображения.— М.: Мир, 1969 A966).]
Лаиделл Э., Вейнграм С. (Lundell А. Т., Weingram S.) The Topology of CW
Complexes, Van Nostrand Reinhold, 1969.
Лашеф Р., Ротенберг M. (Lashof R. K., Rothenberg M.) Microbundles and
smoothing, Torology, 1965, 3, 357—388.
Ленг С. (Lang S.) Алгебра. —M.: Мир, 1968 A965).
— Введение в теорию дифференцируемых многообразий.— М.: Мир, 1967
A962).
Маклейн С. (MacLane S.) Гомология. — М.: Мир, 1966 A963).
Маклейн С, Биркгоф Г. (MacLane S., Birkhoff G.) Algebra, MacMillan, 1967.
Макмахон П. (Macmahon P. A.) Combinatory Analysis, Cambridge Univ.
Press, 1915—16.
Маикрс Дж. (Munkres J. R.) Elementary Differential Topology, revised ed.,
Ann. Math. Studies, 54, Princeton Univ. Press, 1966. [Переведено на рус-
русский в виде дополнения в настоящей книге.]
— Obstructions to imposing differentiable structures, Illinois J. Math., 1964,
8, 361—376; 1968, 12, 610—615.
Маховальд M. (Mahowald M.) The order of the image of the /-homomorphism,
Bull. Amer. Math. Soc, 1970, 76, 1310—1313.
Милграм Р. Дж. (Milgram R. J.) The mod 2 spherical characteristic classes,
Ann. Math., 1970, 92, 238—261.
Милнор Дж. (Milnor J. W.) On manifolds homeomorphic to the 7-sphere,
Ann. Math., 1956, 64, 399—405. [Имеется перевод: О многообразиях, гомео-
морфных семимерной сфере.— Математика, 1959, 1 : 3, 35—42.]
— On the existence of a connection with curvature zero, Comm. Math: Helv.,
1958, 32, 215—223.
— Microbundles. I, Topology, 1964, 3 (Suppl. 1), 53—80.
— Topology from the Differential Viewpoint, Univ. Press Va., Charlottes-
ville, 1965. [Переведено на русский в виде одной из двух частей книги:
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс.—
М.: Мир, 1972 A968).]
— On characteristic classes for spherical fibre spaces, Comm. Math. Helv.,
1968, 43, 51—77.
Милнор Дж., Кервер M. (Milnor J. W., Kervaire M.) Bernoulli numbers, ho-
homotopy groups, and a theorem of Rohlin, Proc. Int. Cong. Math., Edinburgh
1958. Cambridge Univ. Press, 1960, p. 454—458.

266 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Миядэахи X. (Mlyazaki H.) Paracampactnees of CW complexes, Tohoku
Math. J., 1952, 4, 309—313.
Мэй Дж. П. (May J. P.) Geometry of interated loop spaces, Lecture Notes
in Math. 27!, Springer-Verlag, 1972. [Имеется перевод: Геометрия итери-
итерированных пространств петель. — В кн.: Бордман Дж., Фогт Р. Гомотопиче-
ски инвариантные алгебраические структуры. — М.: Мир, 1977 A972).]
Нильсен Н. (Nielsen N.) Traite elementaire des nombres de Bernoulli,
Gauthier-Villars, Paris, 1923.
Новиков С. П. Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. I. — Изв.
АН СССР, сер. мат. 1964, 28, № 2, 365—474.
— О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их
применения. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1966, 30, № 1, 71—96.
— Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. —
Изв. АН СССР, сер. мат. 1967, 31, 855—951.
Номидзу К. (Nomizu К.) Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.:
ИЛ, 1960 A956).
Ньюлэндер Э., Нупенберг Л. (Newlander A., Nirenberg L.) Complex analytic
coordinates in almost complex manifolds, Ann. Math., 1957, 65, 391—404.
Остманн X. (Ostmann H.) Additive Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1956.
Петерсон Ф. (Peterson F. P.) Some results on sohomotopy groups, Amer.
J. Math., 1956, 78, 243—258.
— Some results on PL-cobordism, J. Math. Kyoto U., 1969, 9, 189—194.
— The mod p homotopy type of BSO and F/PL, Bol. Soc. Math. Мех., 1969,
14, 22-27.
— Twisted cohomology operations and exotic characteristic classes, Advances
Math., 1970, 4, 81—90.
Петерсон Ф., Тода X. (Peterson F. P., Toda H.) On the structure of H' (BSF;
Zp), J. Math. Kyoto U., 1967, 7, 113—121.
Петре Я. (Peetre J.) Une caracterization abstraite des operateurs differentials,
Math. Scand., 1959, 7, 211—218; 1960, 8, 116—120.
Понтрягин Л. С. Характеристические циклы дифференцируемых многообра-
многообразий.—Мат. сб. н. с, 1947, 21 F3), 233—284.
Равенель Д. (Ravenel D.) A definition of exotic characteristic classes of
spherical fibrations, Comm. Math. Helv., 1972, 47, 421—436.
де Рам Ж. (de Rham G.) Дифференцируемые многообразия. — M.: ИЛ, 1956
A955).
Рохлин В. А. Трехмерное многообразие — граница четырехмерного.— ДАН
СССР, 1951, 81, № 3, 355—357.
Рохлин В. А., Шварц А. С. О комбинаторной инвариантности классов Пон-
трягина. —ДАН СССР, 1957, 114, № 3, 490—493.
Рурк К. П., Сандерсон Б. (Rourke S. P., Sanderson В. J.) Введение в ку-
кусочно-линейную топологию. — М.: Мир, 1974 A972).
Сард A. (Sard A.) The measure of the cricital values of differentiable maps,
Bull. Amer. Math. Soc, 1942, 48, 883—890.
Сван Р. (Swan R.) Vector bundles and protective modules, Trans. Amer.
Math. Soc, 1962, 105, 264—277.
Cepp Ж.-П. (Serre J.-P.) Groupes d'homotopie et classes des groupes abeliens,
Ann. Math., 1953, 58, 258—294. [Имеется перевод: Группы гомотопий и
классы абелевых групп. — В кн.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958,
с. 124—162.]
Серф Ж. (Cerf J.) Sur les diffeomorphismes de la sphere de dimension trois
(Г4 = 0), Lecture Notes in Math. 53, Springer*Verlag, 1968,

Список литературы 267
Сигал Г. (Segal G.) Categories and cohomology theories, Topology, 1974, 13,
293—312.
Симада Н. (Shimada N.) Differentiable structures on the 15-sphere and
Pontrjagin classes of certain manifolds, Nagoya Math., J., 1957, 12, 56—69.
Смейл С. (Smale S.) The classification of immersions of spheres in Euclidean
space, Ann. Math., 1959, 69, 327—344.
— Differentiable and combinatorial structures on manifolds, Ann. Math., 1961,
74, 498—502.
Спеньер Э. (Spanier E. H.) Алгебраическая топология. — M.: Мир, 1971
A966).
Спеиьер Э., Уайтхед Дж. Г. К. (Spanier E. H., Whitehead J. H. С.) Duality in
homotopy theory, Mathematika, 1955, 2, 56—80.
Спивак M. (Spivak M.) Spaces satisfying Poincare duality, Topology, 1967, 6,
77—101.
Спрингер Дж. (Springer G.) Введение в теорию римановых поверхностей.—
М.: ИЛ, 1960 A957).
Сташеф Дж. (Stasheff J. D.) A classification theorem for fibre spaces, Topo-
Topology, 1963, 2, 239—246.
— More characteristic classes for spherical fiber spaces, Comm. Math. Helv.,
1968, 49, 78—86.
Стернберг Ш. (Sternberg S.) Лекции по дифференциальной геометрии. — M.:
Мир, 1970 A964).
Стинрод H. (Steenrod N.) Топология косых произведений. — М., ИЛ, 1953
A951).
Стинрод Н., Уайтхед Дж. Г. К- (Steenrod N., Whitehead J. H. С.) Vector field
on the n-sphere, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1951, 37, 58—63.
Стиирод Н., Эпстейн Д. В. Э. (Steenrod N., Epstein D. B. A.) Cohomology
Operations, Ann. Math. Studies 50, Princeton Univ. Press, 1962.
Стонг P. (Stong R. E.) Заметки по теории кобордизмов. — M.: Мир, 1973
A968).
Сулливан Д. (Sullivan D.) Геометрическая топология. — М.: Мир, 1975
A970).
Тамура И. (Tamura I.) On Pontrjagin classes and homotopy type of mani-
manifolds, J. Math. Soc. Japan, 1957, 9, 250—262.
Tom P. (Thorn R.) Espaces fibres en spheres et carres de Steenrod, Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup., 1952, 69, 109—181.
— Quelques proprietes globales des varietes differentiables, Comm. Math.
Helv., 1954, 28, 17—86. [Имеется перевод: Некоторые свойства в целом диф-
дифференцируемых многообразий. — В кн.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ,
1958, с. 291—348.]
— Les singularites des applications differentiables, Ann. Inst. Fourier, Gre-
Grenoble, 1955—56, 6, 43^-87.
— Les classes charact^ristiques de Pontrjagin des varietes triangulees, Sym-
Symposium Internacional de Topologia Algebraica, Mexico, La Universidad Nacio-
nal Autonoma de Mexico у la Unesco, 1958, p. 54—67.
Томас Э. (Thomas E.) On tensor products of «-plane bundles, Archiv der
Math., 1959, 10, 174—179.
— On the cohomoloqy of the real Grassman complexes and the characteristic
classes of «-plane bundles, Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 96, 67—89.
— On the cohomology groups of the classifying space for the stable spinor
group, Bol. Soc, Math. Мех., 1962, 57-^-69.
— The torsion Pontrjagin classes, Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13, 485—488.

268 Дж. Милнор и Дж. Сташеф
Тэрстон У. (Thurston W.) Non-cobordant folations of S8, Bull. Amer. Math.
Soc, 1972, 78, 511—514.
У4 Вэнь-цзунь (Wu Wen-tsun) On the products of sphere bundles and the
duality theorem modulo two, Ann. Math., 1948, 49, 641—653.
— On Ponlrjagin classes. II, Scientia Slnica, 1955, 4, 455—490.
— A theory of embedding, immersion, and isotopy of polytopes in a Euclidean
space, Science Press, Peking, 1965.
Уайтхед Дж. Г. К. (Whitehead J H. С) On ^-complexes, Ann. Math., 1940,
41, 809—824.
— Combinatorial homotopy. I, Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, 213—245.
— Manifolds with transverse field in Euclidean space, Ann. Math., 1961, 73,
154—212.
Уайтхед Дж. У. (Whitehead G. W.) Generalized homology theories, Trans.
Amer. Math. Soc, 1962, 102, 227—284.
Уитни X. (Whitney H.) Sphere spaces, Proc. Nat. Acad. Sci., 1935, 21,
462—468.
— On the theory of sphere bundles, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1940, 26,
148—153.
— On the topology of differentiable manifolds, Lectures in Topology, Univ.
of Michigan Press, 1941, 101—141.
— The self-intersections of a smooth n-manifold in 2n-space, Ann. Math.,
1944, 45, 220—246.
— The singularities of a smooth n-manifold in Bn—1)-space, Ann. Math.,
1944, 45, 247—293.
— Геометрическая теория интегрирования. — M.: ИЛ, 1960 A957).
Уолл Ч. (Wall С. Т. С.) Determination of the cobordism ring, Ann. Math.,
1960, 72, 292—311.
Уорнер Ф. (Warner F.) Foundations of Differentiable Manifolds and Lie
Groups, Scott, Foresmann and Co., Glenview, Illinois, 1971.
Харди Г., Райт Э. М. (Hardy G. H., Wright E. M.) An Introduction to the
Theory of Numbers, 3rd ed., Clarendon Press, Oxford, 1956.
Хёрмандер Л. (Hormander L.j Введение в теорию функций нескольких ком-
комплексных переменных. — М.: Мир, 1968.
Хилтон П., Уайли С. (Hilton P. J., Wylie S.) Теория гомологии. Введение в
алгебраическую топологию. — М.: Мир, 1966 A960).
Хирцебрух Ф. (Hirzebruch F.) On Steenrod's reduced powers, the index of
inertia and the Todd genus, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1953, 39, 951—956.
— Uber die quaternionalen projekctiven Raume, S.-Ber. math.-naturw. Kl.
Bayer. Akad. Wiss. Munchen, 1953, 301—312.
— Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973
A966).
Хирш М. (Hirsch M. W.) Immersions of manifolds, Trans. Amer. Math. Soc,
1959, 93, 242—276.
— Obstruction theories for smoothing manifolds and maps, Bull. Amer. Math.
Soc, 1963, 69, 352—356.
Хьюзмоллер Д. (Husemoller D.) Расслоенные пространства. — M.: Мир, 1970
A966).
Хэфлигер А., Уолл Ч. (Haefliger A., Wall С. Т. С.) Piecewise linear bundles
in the stable range, Topology, 1965, 4, 109—214.
Чепмэн Т. (Chapman Т. A.) Compact Hilbert cube manifolds and the inva*
riance of Whitehead torsion, Bull. Amer. Math. Soc, 1973, 79, 52—56.
1 Часто пишут также By. — Прим. перев.

Список литературы 269
Чжеиь Тен-шень (Chern S. S.) On the multiplication in the characteristic
ring of a sphere bundle, Ann. Math., 1948, 49, 362—372.
— Geometry of characteristic classes, to appear.
Чжень Шен-шеиь, Саймоне Дж. (Chern S. S., Simons J.) Some cohomology
classes in principal fiber bundles and their application in Riemannian geo-
geometry, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, 1971, 68, 791—794.
— Characteristic forms and geometric invariants, Ana Math., 1974, 99, 48—69.
Шевалле К. (Chevalley С). Теория групп Ли. I — M.: ИЛ, 1948 A946).
Ши В. (Shih W.) Une remarque sur les classes de Thorn, С R. Acad. Sci.
Paris, 1965, 260, 6259—6262.
Ши В., Сингх Варма X. О. (Shih W., Singh Varma H. O.) Sur les W-cIasses
characteristiques de fibres reels, С R. Acad. Sci. Paris, 1971, 273-A, 1212—
1214.
Штифель Э. (Stiefel E.) Richtungsfelder und Fernparallellsmus in Mannl-
gfaltigkeiten, Comm. Math. Hels., 1936, 8, 3—51.
Шуберт X. (Schubert H.) Kalkfll der abzahlenden Geometrie, Teubner, Leip-
Leipzig, 1879.
Шчарба P. (Szczarba R.) On tangent bundles of fibre spaces and quotient
spaces, Amer. J. Math., 1964, 86, 685—697.
Эйленберг С, Стинрод Н. (Eilenberg S., Steenrod N.J Основания алгебраи-
алгебраической топологии. — M.: Физматгиз, 1958 A952).
Эресманн Ш. (Ehresmann С.) Sur la topologie de certains espaces homogenes,
Ann. Math., 1934, 35, 396—443.
— Sur la topologie de certains varietes algebriques reels, J. Math. Pures
Appl., 1937, (9), 16, 69—100.
— Introduction a la theorie des structures infinitesimales et des pseudo-groupes
de Lie, Colloque de topologie et geometrie differentielle, Strasbourg, 1952
No. 11, La Bibliotheque Nationale et Universitaire de Strasbourg, 1953.
American Math. Soc, Proceedings Sumposia in Pure Math. 27, Differential
Geometry, 1975.

ДОПОЛНЕНИЕ
Дж. Манкре
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ1
ГЛАВА I
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Этот параграф посвящен определению таких основных по-
понятий, как дифференцируемое многообразие, дифференцируем
мое отображение, погружение, вложение и диффеоморфизм, и
доказательству теоремы о неявной функции.
Мы рассматриваем евклидово пространство Rm как про*
странство всех бесконечных последовательностей вещественных
чисел х=(х1,х3, ...), таких, что х1 = О для i> т\ евклидово
полупространство Нт — это подмножество Rm, состоящее из то-
точек х, для которых хт ^ 0. Таким образом, Rm~l с: Hm c= Rm.
Мы обозначаем л/(х1J-}- ... + (хтJ через ||х||, а тах|л;'| че-
через \х\. Единичная сфера Sm~l — это подмножество точек х
пространства Rm, для которых \\x\\ = 1; единичный шар Вт —
это подмножество точек х, для которых \\х\\^ 1; т-мерный
r-куб Ст(г) — это подмножество точек х, для которых |х|^г,
т. е. куб со стороной 2г. Часто мы рассматриваем Rm просто
как пространство всех наборов из т чисел (х1, ..., хт), если
это не может вызвать недоразумений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. (Топологическим) многообразием М
называется всякое хаусдорфово пространство со счетной ба-
базой, удовлетворяющее следующему условию: существует целое
число т, такое, что каждая точка xgJH имеет окрестность, го-
меоморфную некоторому открытому подмножеству простран-
пространства Rm или полупространства Нт.
Если h:U-^Hm (или Rm) — гомеоморфизм окрестности U
точки х на открытое подмножество в Нт или в Rm, to пару
(U, К) часто называют координатной окрестностью в М. Если
1 Elementary Differential Topology, by James R. Munkres, Lectures given
at Massachusetts Institute of Technology, Fall, 1961, Revised ed., Ann. Math.
Studies, 54, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1966.

§ I. Введение 271
h(U) открыто в Hm и Л(х)е Rm-], то точка х называется крае-
краевой (или граничной) точкой многообразия М. Множество всех
таких точек называется краем (или границей) многообразия М
и обозначается через BdAf1. Если множество BdAf пусто, то
мы говорим, что многообразие М есть многообразие без края.
(В литературе чаще применяется иная терминология: слово
«многообразие» используют, только когда край BdAf пуст; а в
общем случае говорят о «многообразии с краем».) Множество
Af\BdAf называется внутренностью многообразия М и обозна-
обозначается Int M. (Если А — подмножество топологического про-
пространства X, то мы используем символ Int Л также для обозна-
обозначения множества Х\С1(Х\Л), однако это не должно вызывать
недоразумений.)
Чтобы оправдать эти определения, нам надо еще показать,
что, если Aj: U\-+Hm и А2: Ьч —»Нт суть гомеоморфизмы ок-
окрестностей точки х на открытые подмножества в Нт и Ai(x)e
е Rm~!, то также А2(х)е R-1. Но действительно, в противном
случае отображение AiA^1 осуществляло бы гомеоморфизм не-
некоторого открытого множества в Rm с некоторой окрестностью
точки р = h\ (x) в Нт. Последняя окрестность, конечно, не яв-
является открытой в Rm, и мы получаем противоречие с теоремой
Брауэра об инвариантности области [2].
Можно также проверить, что число m однозначно опреде-
определено для всякого многообразия М; оно называется его размер-
размерностью, а М называют ш-мерным многообразием. Проверить
это можно, либо используя теорему Брауэра об инвариантно-
инвариантности области, либо применяя теорему теории размерности, ут-
утверждающую, что топологическая размерность многообразия М
равна m [2]. Строго говоря, чтобы применять последнюю тео-
теорему, мы должны знать, что М является сепарабельным метри-
зуемым пространством; однако это следует из стандартной
метризационной теоремы теоретико-множественной топологии
[17].
Так как М есть локально-компактное сепарабельное метри-
метрическое пространство, то М паракомпактно [17]. Напомним чита-
читателю, что это означает, что для любого открытого покрытия s&
пространства М существует другая совокупность SS открытых
множеств, покрывающих М, со свойствами:
A) Покрытие 33 вписано в покрытие бФ, т. е. любой эле-
элемент покрытия 38 содержится в некотором элементе покрытия
si-.
1 Bd — от boundary (граница). В основном тексте использовалось другое
обозначение, дМ; мы решили сохранить в каждом случае авторские обозна-
обозначения. — Прим. перед.

272 Дополнение. Дж. Шанкре
B) Покрытие <% локально-конечно, т. е. любая точка из М
имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом
элементов покрытия JL
Заметим, между прочим, что, поскольку М обладает счетной
базой, любое локально-конечное открытое покрытие простран-
пространства М должно быть счетным.
Упражнение1 (а). Показать, что для всякого m-мерного многообра-
многообразия М край BdAf либо пуст, либо является (ш—1)-мерным многообразием
без края.
Упражнение (Ь). Пусть М — некоторое /и-мерное многообразие с не-
непустым краем и М0 = МХ0 и Afi=MXl — Два экземпляра многообра-
многообразия М. Удвоение2 многообразия М, обозначаемое D(M),—это топологическое
пространство, получающееся из Мо U Mi отождествлением точки (х, 0) с точ-
точкой (х, 1) для каждого х е Bd М. Доказать, что D(M) является /и-мерным
многообразием без края.
Упражнение (с). Если М и N — многообразия размерности тип
соответственно, то М X N — многообразие размерности ш-)-»и
Bd (MXN) = ((Bd M) X N) U (M X (Bd (N)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть U — открытое подмножество
пространства Rm. Отображение /:t/->-R" называется диффе-
дифференцируемым класса С (или С-отображением), если каждая из
его координатных компонент /', ..., f обладает в U непрерыв-
непрерывными частными производными всех порядков до г включитель-
включительно. В случае когда отображение f является дифференцируемым
класса Сг для любого конечного г, говорят, что оно имеет
класс С°°.
Пусть А — произвольное подмножество пространства Rm.
Отображение f: A -*¦ R" называется дифференцируемым класса
Сг A ^ г ^ оо), если для каждой точки х е А существует та-
такая окрестность Ux точки х, что f) {A f\ Ux) можно продолжить
до отображения класса Сг на Ux.
Для всякого дифференцируемого отображения /: А —* R" и
всякой точки леД через Df(x) обозначается матрица Якоби
отображения f в точке х — матрица, элементы которой имеют
вид at/ = df'/dx1. Для этой матрицы мы используем также обо-
обозначение dfl, ..., fn/d(xl, ..., xm). Разумеется, здесь, прежде
чем определять частные производные, надо продолжить отобра-
отображение f на некоторую окрестность точки х; в представляющих
интерес случаях частные производные не зависят от выбора
продолжения (см. упр. (Ь)).
1 Упражнения, результат которых (или его доказательство) представляют
особый интерес (или особую трудность), именуются у Манкрса задачами. Уп-
Упражнения и задачи, несущественные для общей логической линии изложения,
помечены звездочкой. — Прим. ред.
г Э оригинале double. Отсюда обозначение D(AQ. — Прим. перев.

§ 1. Введение 273
Напомним еще цепное правило' для дифференцирования,
которое утверждает, что D(fg) = Df-Dg, где fg — композиция
отображений2, а точка обозначает умножение матриц3.
Упражнение (а). Проверить, что дифференцируемое™ определена
корректно, т. е. что дифференцируемость отображения f: A -*¦ R" не зависит от
того, какое объемлющее пространство Rm выбрано для А.
Упражнение (Ь). Пусть U — открытое подмножество в R" и !/с
с: А аи. Показать, что, если f: А -*¦ R"— отображение класса С1 и х^А, то
Df(x) не зависит от выбора продолжения отображения / на окрестность точки
х в пространстве Rm.
Замечание. Наше определение дифференцируемое™ отобра-
отображения /: А —»• R" является существенно локальным. Ниже мы
дадим эквивалентную глобальную формулировку свойства диф-
ференцируемости (см. теорему 1.5).
Лемма 1.3. Существует функция <р: Rm —* R1 класса С°°, рав-
равная 1 на СтA/2), положительная внутри Ст(\) и равная нулю
вне Ст(\).
Доказательство. Положим }(t) = e-1/t для t>0 и f(t) = O
для t ^ 0. Тогда функция f имеет класс С°° и положительна
при ^>0. Далее, возьмем g(t)=>f{t)/{f{t)+f{l — t)). Тогда g
будет функцией класса С00, такой, что g(t) = O для t ^ 0,
#'(/)>0для0<г < 1 ng(t)=\ для* 5* 1.
y=9(t)
Пусть теперь h{t) = gBt + 2)g(—2t + 2). Ясно, что
ляется функцией класса С°°, причем А(/) = 0для \t\^ l,i
>0 для И ^ 1 и h(t)= 1 для \t\^ '/2. Наконец, noj
Ф(*', ..., xm) = h(xl)h(x2) ... h(xm). U
h яв-
явh(t)>
полагаем
Упражнение (а). Обобщить предыдущую лемму следующим образом.
Пусть 0 — открытое подмножество пространства Rm и С — компактное под-
•Правило дифференцирования сложной функции. — Прим. перев.
2 Ниже fg обозначает то композицию, то поточечное произведение функ-
функций. Это не должно вызвать затруднений у читателя. — Прим. ред.
3 Заметим, что матрица Dg вычисляется в рассматриваемой точке х, а
матрица Df — в точке в(х). — Прим. ред,

274 Дополнение. Дж. Манкрс
множество в U. Существует вещественнозначная функция ф класса С™, опре-
определенная на Rm, положительная на С и равная нулю в некоторой окрестности
дополнения к U.
Замечание. Всякий раз, когда мы будем говорить, что индек-
индексированное семейство {С,} подмножеств пространства X ло-
локально-конечно, мы будем понимать под этим, что любая точка
пространства X имеет окрестность, пересекающуюся с Ci только
для конечного числа значений L Это соглашение удобно, ибо
оно гарантирует, что ни одно множество не встретится в по-
последовательности С\, Сг, ... бесконечное число раз.
Лемма 1.4. A) Пусть {Ui}—открытое1 покрытие параком-
пактного пространства X. Существует локально-конечное от-
открытое покрытие {Vi} пространства X, такое, что Vi a Ui для
каждого i.
B) Пусть {Vi}—локально-конечное открытое покрытие нор-
нормального пространства X. Существует замкнутое покрытие {Ci}
пространства X, такое, что Ci c= Vi для каждого i.
Доказательство. Пусть 39 — локально-конечное покрытие,
вписанное в покрытие {Ui}. Для каждого элемента В покры-
покрытия Я выберем индекс j(B) из условия В а ?/дв). Определим
V/ как объединение тех элементов В, для которых j(B) = j.
Каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с ко-
конечным числом элементов покрытия JB; эта окрестность пересе-
пересекается лишь с конечным числом множеств V/.
Построим теперь замкнутое покрытие {О} по индукции.
Пусть W\— открытое множество, которое содержит X\(V2U
U Уз U ¦ • •) и замыкание которого содержится в V\. Положим
С, = Щ.
Предположим, что Wt [}...[} WHi [} V/ U V,+i U ... = X.
Пусть W,- — открытое множество, которое содержит X\(№iU
U ... U W/-i U V/+i U ...) и замыкание которого содержится в
V/. Положим С/ = W;.
Чтобы доказать, что совокупность {W/} покрывает X, заме>
тим, что любая точка х принадлежит лишь конечному числу
множеств Vj. Следовательно, для некоторого / точка х не при-
принадлежит объединению V/ [} V/+i [} ... . Но тогда по индуктив^
ному предположению точка х должна принадлежать объедине-
объединению Wi U ... UIP/-1. ¦
Теорема 1.5. Пусть А — подмножество пространства Rm.
Всякое отображение f: A-*Rn класса Сг можно продолжить
до отображения класса Сг, определенного на некоторой окре-
окрестности множества А.
Счетное. — Прим. ред.

§ 1. Введение 275
Доказательство. По предположению для каждой точки х е
е Л существует такая ее окрестность Ux, что f\Af\Ux может
быть продолжено до отображения класса С на Ux. He умень-
уменьшая общности, можно считать Ох компактом. Пусть М есть
объединение множеств Ux по всем хеА Ясно, что М — от-
открытое подмножество пространства Rm. Пусть {Vi} — локально-
конечное открытое покрытие множества М, вписанное в по-
покрытие {Ux}, и пусть {С*}— покрытие множества М замкну-
замкнутыми множествами, такими, что С; с Vt для каждого L Пусть
далее if,- для каждого i — функция класса С°°, определённая
на Rm, положительная на Ci и равная нулю в некоторой окрест-
окрестности дополнения к Vi. (Здесь мы используем упр. (а) п. 1.3.)
Тогда 2ф/(х) будет функцией класса С°° на М, ибо эта сумма
фактически является конечной в некоторой окрестности любой
заданной точки множества М. Положим <р* (х) = % (х)/? ify (x).
Тогда Z Фг W = 1 ¦
Для каждого i пусть ft — какое-нибудь отображение класса
Сг, продолжающее f\A (] Vt на Vi\ если A f) Vi пусто, то пусть ft
равно нулю. Произведение ф,/г можно продолжить до отображе-
отображения класса С' на М, положив его равным нулю вне Vi. Опреде-
Определим отображение J равенством
Выражение справа является конечной суммой в некоторой окре-
стности любой данной точки х е М и, следовательно, есть ото-
отображение класса Сг на М. Далее, если х е А, то fi{x)= f{x) для
любого i, так что
J(x)=Z4>i(x)f(x) = f(x).
Таким образом, f представляет собой искомое продолжение
класса Сг отображения f на окрестность М множества А в Rm.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Дифференцируемое т-мерное много-
многообразие класса Сг — это m-мерное многообразие М вместе с
дифференцируемой структурой S) класса Сг на М. Дифференци-
Дифференцируемой структурой класса С' на многообразии М называется
всякая совокупность координатных окрестностей (U, К) на мно-
гообразии М, удовлетворяющая следующим трем условиям:
A) Координатные окрестности из 9t) покрывают М.
B) Если (Uu hi) и (U2, h2) принадлежат S>, то
есть дифференцируемое отображение класса Сг.
C) Совокупность 3) является максимальной относительно
свойства B), т. е. если любую координатную окрестность, не

276 Дополнение. Дж. Шанкре
принадлежащую 2), присоединить к 3), то свойство B) пере-
перестает выполняться.
Элементы из совокупности 3) часто называют координатны-
координатными системами на дифференцируемом многообразии М.
Упражнение (а). Пусть Ж)' — совокупность координатных окрестно-
окрестностей на многообразии М, удовлетворяющая только условиям A) и B). До-
Доказать, что существует единственная дифференцируемая структура класса С',
содержащая ЗУ. (Мы называем &/ базисом структуры Я) по аналогии с тер-
термином «базнс топологии».)
Указание. Взять в качестве Ж) совокупность всех координатных окрест-
окрестностей (У, А) на многообразии М, «дифференцируемо класса С' пересекаю-
пересекающих» каждый элемент из Ж>'\ это означает, что для каждого элемента (U\,
h\) е Ж>' отображения
А,*:
АЛГ1:
являются дифференцируемыми класса С. Некоторая осторожность требуется
при рассмотрении координатных окрестностей точек из Bd M.
Упражнение (Ь). Пусть М — дифференцируемое многообразие класса
С, (Мы часто будем опускать упоминание о дифференцируемой структуре 2Ь,
когда это не может вызвать недоразумений.) Тогда М можно естественным об-
образом рассматривать также как дифференцируемое многообразие класса Сг~1—
нужно просто принять совокупность Ю в качестве базиса дифференцируемой
структуры 2Ь\ класса Сг~1 на М. Проверить, что включение 2D с Ж>\ является
собственным '. Это доказывает, что класс С' дифференцируемого многообразия
однозначно определен.
Мы виднм, таким образом, что класс данного дифференцируемого много-
многообразия М можно понизить насколько угодно простым добавлением новых ко-
координатных систем к дифференцируемой структуре. Обращение этого утвер-
утверждения также верно, однако доказательство требует большого труда 2.
'.Упражнение (с). Пусть М — дифференцируемое многообразие. Ка-
Какие трудности возникают пришведенни дифференцируемой структуры на
D(Af)?(D(Af) было определено в упражнении (Ь) п. 1.1.)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Пусть М и N — дифференцируемые
многообразия размерности тип соответственно и класса по
крайней мере &. Пусть далее А — некоторое подмножество мно-
многообразия М и f: A —> N. Говорят, что f есть отображение клас-
класса Сг, если для любой пары (U, К) и (V, k) координатных си-
систем на М и N соответственно, для которой / (Л П Щ с: V, ком-
композиция
kfh~\ h{A[\U)-+H*
имеет класс Сг. (Заметим, что отображение класса С2 является
также отображением класса С1, но многообразие класса С2 не
• То есть 3Dx \ &) ф 0. — Прим. ред.
2 См. следствие 4.9 ниже. — Прим. перев.

§ 1. Введение 277
является многообразием класса С1, пока дифференцируемая
структура не изменена.)
Рангом отображения / в точке реЛ1 называется ранг ма-
матрицы D(tfh~l) в точке h(p), где (U, К) и (V, К)—координат-
К)—координатные системы в точках р и f(p) соответственно. Это число вполне
определено при условии, что существует открытое подмноже-
подмножество W многообразия М, такое, что W czAczW. Действительно,
если ([/i, Ai) и (Vi, ki) — другие такие же координатные систе-
мы, то мы имеем
D (kifhT1) = D (kik~l) • D (kfh~l) • D (hhT1).
Требования на дифференцируемую структуру обеспечивают, что
оба отображения k\k~x и kkT1 будут дифференцируемыми, так
что матрица D(k\k~x) является невырожденной, имеющей в ка-
качестве обратной матрицу D (k, k~l). Аналогично матрица
D (hhT1) невырожденна, так что матрицы D(kifh\X) и D(kfh~l)
имеют один и тот же ранг. ¦
Упражнение (а). Стандартная дифференцируемая структура класса
С™ на Rm имеет в качестве базиса единственную координатную систему i:
Rm-*Rm. Аналогично для Нт. Проверить, что понятия дифференцируемое™,
введенные в определениях 1.2 и 1.7, согласованы между собой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Пусть /: М -» N — дифференцируемое
отображение класса Сг, причем М и N имеют размерность т и
п соответственно. Если ранг отображения / равен т в каждой
точке р е М, то говорят, что f является погружением. Если ото-
отображение / является одновременно гомеоморфизмом в и погру«
жением, то f называется вложением. Если отображение f — од-
одновременно гомеоморфизм М на W и погружение, то / назы«
вается диффеоморфизмом; в этом случае, конечно, т = п.
Упражнение (а). Заметим, что Bd Hm = Rm~l и включение R"t-'cr H
представляет собой вложение. Обобщить этот результат следующим образом.
Если М — дифференцируемое многообразие класса Сг, то существует одно-
однозначно определенная дифференцируемая структура класса Сг на Bd M, такая,
что включение Bd М -*¦ М является Сг-вложением.
Упражнение (Ь). Показать, что композиция двух погружений есть
погружение.
Упражнение (с). Пусть М и N — многообразия класса С, причем
М — многообразие без края. Построить дифференцируемую структуру класса
С на М X N, такую, что естественные включения М и N в М X " СУТЬ вложе-
вложения. Почему мы требуем, чтобы М не имело края?
¦Упражнение (d). Построить дифференцируемую структуру класса
С" на Н1 X Н1, такую, что включение I: H1 X H'-»-R2 является дифференци-
дифференцируемым. Какие трудности возникают при введении дифференцируемой струк-
структуры на произведении М X N в общем случае?

278 Дополнение. Дж. Манкрс
•Упражнение (е). Построить С°°-погружение окружности S1 в пло-
плоскость R2, переводящее S' в «восьмерку». Можно ли такое погружение продол-
продолжить до погружения В2 в R2?
'Упражнение (f). Доказать, что две дифференцируемые структуры
класса Ст на топологическом многообразии М совпадают тогда и только тогда,
когда тождественное отображение одного из них на другое есть ^-диффео-
^-диффеоморфизм.
•Упражнение (g). Построить две различные дифференцируемые
структуры класса С°° на многообразии R1, такие, что получающиеся диффе-
дифференцируемые многообразия дифферморфны.
*3адача 1.9. Доказать, что любые две дифференцируемые
структуры на R1 дают диффеоморфные многообразия.
(Долгое время стояла следующая классическая проблема:
всегда ли две различные дифференцируемые структуры на од-
одном и том же топологическом многообразии размерности m бу-
дут давать диффеоморфные дифференцируемые многообразия?
Недавно оказалось, что ответ положителен, если т^З [9, 15],
и отрицателен, если m = 7 [5]. Кроме того, ответ положителен
для R", если п ф 4 [13]. Известны и другие результаты1, но
еще много предстоит сделать.)
Задача 1.10. Пусть f: M-+N — диффеоморфизм класса Сг.
Доказать, что /-1 — тоже диффеоморфизм класса Сг.
Указание. Доказательство нужно проводить в несколько эта-
этапов. Пусть g— отображение открытого подмножества U про-
пространства Rm в пространство R".
A) Dg(x) существует, если существуют матрицы А и мат-
матричная функция R(xi), такие, что
(где g, х и х\ записываются в виде столбцов) и
R()\II—*И —, когда х\-*х. Отсюда следует, что
g()
B) Если отображение g имеет класс С1 на U и А — компакт-
компактное подмножество в U, то
?(*) = Dg (x) .(Xl-x) + R (xlt x),
где R{xu х) /|| х\ — х И-»-0 равномерно, когда || хх — х || -+• 0,
причем точки х\, х принадлежат подмножеству А. (Это утверж-
утверждение является даже более общим, чем нам в действительности
будет нужно.)
C) Если g — отображение класса С1 на U, имеющее ранг m
в точке х, то оно удовлетворяет двустороннему условию Лип-
1 См. основной текст, § 20 и заключение. — Прим. перев.

§ 1. Введение 279
шица: существуют б > 0 и константы / и L, такие, что
при 0 < || xi — х || < б.
D) Пусть g— гомеоморфизм открытого подмножества U
пространства Rm на некоторое открытое подмножество про-
пространства Rm, причем g — класса С1 на U и имеет ранг т в точ-
точке х. Тогда матрица D(g-1) существует в точке g(x) и равна
обратной к матрице Dg(x).
Замечание. Выше мы привлекали теорему Брауэра об инва-
инвариантности области, чтобы доказать, что край и размерность
многообразия корректно определены. Если ограничиться рас-
рассмотрением многообразий, на которых существуют дифференци-
дифференцируемые структуры (а недавно Кервером [3] было показано,
что это действительно ограничение1), то обращения к теореме
Брауэра можно до некоторой степени избежать, воспользовав-
воспользовавшись следующей теоремой, которая имеет некоторое сходство с
теоремой об инвариантности области.
Теорема 1.11. Пусть f есть О-отображение открытого подмно-
подмножества U пространства Rm в Rm, имеющее ранг пг в точке х.
Тогда f является гомеоморфизмом некоторой окрестности точ-
точки х на соответствующую окрестность в пространстве Rm точ-
точки ((х).
Доказательство. Мы можем считать, что точки х и f[x) ле-
лежат каждая в начале координат и что Df(O) = / (где / — еди-
единичная матрица. (Почему?) Выберем г настолько малым, чтобы
куб С {г) содержался в окрестности U и чтобы максимальное
абсолютное значение элементов матрицы Df(x) — / не превосхо-
превосходило \/2т для х^Ст(г). Если положить g(x) — f(x)— х, то
для точек х\ и х2 из Ст (г) выполняются неравенства
. I g (xi) — g (х2) К \ I хх — х21
и
\f(x1)-f(x2)\>^\xl-x2\.
Прежде всего мы покажем, что любая точка у е Int Cm(r/2)
является образом при отображении f некоторой точки х е
е Int О (г). Чтобы сделать это, положим хо = 0, х\=у и во-
вообще
Хп+1 = У — Я {Xti)
1 См. также § 20 основного текста. — Прим. перец.

280 Дополнение. Дж. Шанкре
при условии, что точка хп лежит в области определения отобра-
отображения g. Заметим, что
I xn+i — xn\ = \g (хп) — g {хп_х) К j \х„ — «n_i |,
так что
\хп+1 - хп | <(V2)n U, - х0 | = ± | у |
Суммируя эти неравенства, находим, что
\xn+i — хт\<~т-2\у\
для т ^ п. В частности, |xn+i — хо| <2|«/| < г. Следователь-
Следовательно, точка хп+1 должна принадлежать Int Cm(r) и поэтому лежать
в области определения отображения g. Таким образом, точки
х„ определены для всех п. Отсюда также следует, что последо-
последовательность хп есть последовательность Коши. Пусть х — ее
предел. Тогда \х — хо|^2|</|, так что х е Int Cm(r). Очевид-
Очевидно, что х — у — g(x), а значит f(x) — y, что и требовалось по-
показать.
Далее заметим, что существует только одна точка xeCm(r),
такая, что f{x) = y. В противном случае мы получили бы проти-
противоречие с тем фактом, что \f(xi)— /(л^) | ^ 'Al-^i — *г| для лю-
любых точек х\, х2 е Ст (г).
Наконец, мы видим, что обратное отображение f~l:
Int С* (г/2)-* С» (г) непрерывно, ибо \у1 — уг\^{1/г)\!~Чу\) —
— f~l (У2) | Для любых точек у\, у2 е Int Cm (г/2).
Таким образом, отображение / является гомеоморфизмом от-
открытого множества f~'(Int Cm(r/2))f\ Int Cm(r) на открытое мно-
множество Int Cm (r/2). ¦
Следствие 1.12 (теорема об обратной функции). Пусть f —
отображение класса С' открытого подмножества U простран-
пространства Rm в Rm, имеющее ранг m в точке х. Тогда f есть О-диф-
О-диффеоморфизм, некоторой окрестности точки х на некоторую окре-
окрестность ее образа f(x) в пространстве Rm.
Доказательство. Поскольку мы уже знаем, что отображение
f является гомеоморфизмом на некоторой окрестности, нам ну-
нужно только сократить эту окрестность до меньшей, на которой f
имеет ранг т. Это возможно, так как множество тех точек х,
для которых detDf(x)^ 0, открыто. ¦
Следствие 1.13 (теорема о неявной функции). Пусть
(а;1, ..., хп, у1, ..., ур) обозначает общую точку произведения
R" X Rp, и пусть f есть О -отображение некоторой окрестности
нуля U в пространстве R" X Rp в пространство Rp, причем

§ 1. Введение 281
f@) = 0 и матрица df1 f»/d(y\ ¦••, У) невырожденна в
точке 0. Тогда существует однозначно определенное отображе-
отображение g класса С' некоторой окрестности нуля в пространстве R"
в пространство R", такое, что f(x, ?(*)) = ° для точек х из э™й
окрестности и g@) = 0.
Доказательство. Определим отображение F: [/-*Rrt+p pa-
«енством
F(x, у)=-{х\ ..., хп, fl(x, у) Г{х, У))>
Поскольку матрица DF (х) имеет вид
Г / 0 1
[df/dx df/дуУ
она невырожденна в начале координат. Следовательно, отобра-
отображение F имеет локальное обратное G вблизи 0. Если мы хотим,
чтобы f(x, g(x)) = 0, то надо, чтобы
F(x, g(x)) = (x, f(x, g(x))) = (x, 0),
так что
GF (x, g (х)) = (х, g (х)) = G (х, 0).
Поэтому мы должны взять g(x)*=aG{x, 0), где я —проекция
R" X Rp на R". Мы предоставляем читателю проверить, что так
определенное отображение g(x) бУДет удовлетворять требова-
требованиям теоремы. Н
Следствие 1.14. Пусть U — открытое подмножество простран-
пространства Rm и f: U-+R" отображение класса Сг, имеющее ранг m
в начале координат, причем /@) = 0. Существует О-диффео-
О-диффеоморфизм g некоторой окрестности начала координат в R" на
другую окрестность нуля в R", такой, что
...,xm) = {x\ .... xm, 0 0).
Доказательство. Мы можем считать, что подматрица df1, ...
..., fm/d(xl хт) матрицы Df невырожденна в 0 (так как
по условию хотя бы одна невырожденная подматрица размера
тХт в матрице Df имеется). Определим отображение F:
U X R"~m -*¦ R" формулой
F (х\ .... хп) — f (х\ .... хт) + @. • • •. 0. х>п+1> • • •» хп).
Ясно, что F имеет ранг п в 0, а матрица DF имеет вид
Г °
[df/дх j
Следовательно, отображение F имеет локальное обратное g. Это
отображение g является Сг-диффеоморфизмом некоторой окрест-

282 Дополнение. Дж. Манкрс
ности начала координат пространства R" в R" и
gf(xl xm) = g(F(xl, .... хт, О, .... 0) =
= (*», .... хт, 0, .... 0). ¦
Замечание. Утверждение следствия выполнено также, если U
является открытым подмножеством полупространства Нт. Ну-
Нужно просто продолжить f на какое-нибудь открытое подмноже-
ство в Rm и применить только что доказанный результат.
§ 2. ПОДМНОГООБРАЗИЯ И ВЛОЖЕНИЯ
В этом параграфе мы определим, что такое подмногообразие
дифференцируемого многообразия, и докажем, что любое диф-
дифференцируемое многообразие является подмногообразием неко-
торого евклидова пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть N является n-мерным многооб-
многообразием класса по меньшей мере Сг, и пусть N' обозначает мно-
многообразие класса Сг, получающееся из N добавлением (если это
необходимо) новых координатных систем. Пусть далее Р — не-
некоторое подмножество в Int N. Оно называется подмногообра-
подмногообразием класса Сг (или С'"-под* многообразием) многообразия N,
если существует покрытие подмножества Р координатными си-
системами (Ui, hi) из N', такое, что каждое hi(Uif\P) есть от-
открытое подмножество в Нр или в Rp для некоторого фиксирован-
фиксированного числа р.
Сразу видно, что координатные окрестности (Uif\P, hi) об-
образуют базис дифференцируемой структуры класса Сг на Р и
что относительно этой структуры на Р включение /: P-+N яв-
является Сг-вложением.
Стоит здесь отметить, что мы используем термин «подмного-
«подмногообразие» в смысле, отличном от того, какой придается ему диф-
дифференциальными геометрами. Для них подмногообразие — это
взаимно-однозначное погружение f: P-+N одного многообразия
в другое, а не образ при вложении.
Заметим, что при нашем определении подмногообразия чи«
ело г отвечает подмногообразию Р неоднозначно. Например, ве-
вещественная прямая R1, рассматриваемая как подмножество
С°°-многообразия R2, является подмногообразием в R2 класса С'
для любого г, заключенного между единицей и бесконечностью.
Упражнение (а). Показать, что Вт и Sm~l суть С°°-подмногообразия
в R.
'Упражнение (Ь). Пусть R2 наделено естественной С "-структурой.
Построить для 1 ^ г < оо подмножество в R2, которое является Сг-подмного-
образием, но не является С'+'-подмногообразием.

2. Подмногообразия и вложения 283
Теорема 2.2. Если отображение f: M-+lntN представляет со-
собой &-вложение, то f(M) есть подмногообразие класса & мно-
многообразия N.
Доказательство. Пусть р е М, (U, h) — какая-нибудь коор-
координатная система в точке р и (V, k) — какая-нибудь координат-
координатная система в точке f(p). Будем считать, что точки h(p) и kf{p)
лежат каждая в начале координат (почему это возможно?). Со-
Согласно следствию 1.14, существует диффеоморфизм g некоторой
окрестности точки kf(p) в R" на открытое множество в R", та-
такой, что
gkfh-l{x\ ..., xm) = (x\ ..., xm, 0, ..., О).
Координатная система (V,gk) будет требуемой координатной
системой в точке f{p); она переводит окрестность точки f(p) в
fM на открытое множество в Нт или в Rm. Ш
'Упражнение (а). Показать, что эта теорема неверна, если / — лишь
С'-гомеоморфизм.
*3адача 2.3. Пусть f: R"->R] — отображение класса Сг и
Р — множество точек х, для которых /(л:) = 0. Предположим,
что grad/ = df/d(xl х") является ненулевым в каждой
точке неД Доказать, что Р есть подмногообразие без края в
R" класса Сг и размерности п—\.
Сформулировать и доказать обобщение этого утверждения
на случай, когда f отображает R" в Rm.
Замечание. Предыдущее утверждение показывает, что диф-
дифференцируемые многообразия очень естественно появляются как
подмногообразия евклидова пространства. Сразу возникает во-
вопрос, может ли так быть получено любое дифференцируемое
многообразие. Ответ на этот вопрос утвердительный, как мы
сейчас увидим. Сначала рассмотрим один частный случай.
Теорема 2.4. Пусть М — компактное m-мерное многообразие
класса О. Тогда существует Сг вложение М в некоторое евкли-
евклидово пространство.
Доказательство. Для каждой точки р е М выберем коорди-
координатную систему (U, h) в точке р, такую, что h(U) содержит
СтA) и h(p) лежит в начале координат. (Почему это возмож-
возможно?) Если peBdM, то мы потребуем, чтобы h(U) содержало
ОA)П Н. Пусть V обозначает ft-'(Int Cm(l)), a W обозначает
h~l(lnt Cm(l/2)). Множества W покрывают М; выберем конеч-
конечное подсемейство этих множеств W\, ..., Wn, которое покры-
покрывает М; соответствующие индексы согласованно припишем h,
U и V.

284 Дополнение. Дж. Манкре
Пусть ф — функция, определенная в лемме 1.3. Для i
= 1, ..., п положим
Г ф (ht (x)) при x(=U,
Каждое (рг. М-*Ц} есть отображение класса С00, так как оно
имеет класс С00 на двух открытых множествах U и М \ V и со-
согласовано на их пересечении. Пусть отображение Ф: M-+R"
задается равенством
Определим отображение f: M->R" X RmX •.. XRm== R"X
X(Rm)" равенством
/ (*) = (Ф (*), Ф! (*) • hi (x), .... ф„ (х) • hn (x)).
Конечно, отображение q>i{x)-hi(x) определено, только когда
х s Ui, однако если положить его равным нулю вне Ui, то оно
становится С°°-отображением на всем М; мы будем предпола»
гать это выполненным.
Отображение f, очевидно, имеет класс Сг. Чтобы доказать
его взаимную однозначность, предположим, что f{x) = f(y) для
хфу. Тогда ф<(х)= (pi(y) для любого i, так что, если х принад-
принадлежит Vi, то у также принадлежит Vi. Из того, что ф<(х) •Ы{х) =а
= Ф< (у) • hi (у), и того, что <р,- (х) = ф/ (у) > 0, следует, что ht (x) =
= hi(y), в противоречие с тем фактом, что отображение hi вза-
имно-однозначно.
Поскольку М компактно, f является гомеоморфизмом. Нако-
Наконец, нам надо показать, что / имеет ранг т. Пусть Хо е Wk, и
пусть мы используем координатную систему (Uk,hk) для вы-
вычисления ранга I в точке х0. Нам нужно показать, что матрица
D(fhkl) содержит невырожденную матрицу размера tn^tn.
Пусть hk(x) = {ux ит) = и и hk (#o) = «о. Мы имеем
(pk{x) -hk(x) = hk(x) в некоторой окрестности точки xq, так что
т X m-подматрица d((pk(h^1 (и)) • ы)/ди матрицы/)(//г^') яв-
является единичной матрицей при и = и0. I
Замечание. Данное выше доказательство непосредственно
обобщается на некомпактный случай, однако возникает несколь-
несколько дополнительных трудностей. Одна из них связана с нахожде-
нахождением конечного числа координатных систем, покрывающих мно-
многообразие М, другая — с тем, что в некомпактном случае из
взаимной однозначности не следует гомеоморфизм. Эти труд-
трудности последовательно преодолеваются в леммах и задачах
2.6—2.9; провести оставшуюся часть доказательства общей тео-
теоремы мы предоставляем читателю (задача 2.10).

§ 2. Подмногообразия и вложения 285
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Пусть <р — неотрицательная функция,
определенная на многообразии М. Носителем supp qp функции <р
называется замыкание множества точек х, для которых ф(л;)>
>> 0. Разбиением единицы класса Сг на многообразии М назы-
называется совокупность неотрицательных функций <Pf класса С",
определенных на М, таких, что множества C/ = supp<p* обра-
образуют локально-конечное покрытие многообразия М, причем
? <р, (х) == 1 для любой точки х е М. Это определение приме-
применимо и для произвольного топологического пространства, исклю-
исключая условие дифференцируемое™, которое в этом случае не
имеет смысла.
Задача 2.6. Пусть {Ui} —локально-конечное открытое покры-
покрытие Сг многообразия М. Существует Сг-разбиение единицы {cpj},
такое, что supp (ft cr Ui для каждого t; при этом говорят, что
разбиение единицы {ерг} подчинено покрытию {Ui\. В случае
г = 0 это верно для произвольного пространства X (как всегда,
сепарабельного и метрического).
Упражнение (а). Пусть {С<} — локально-конечное покрытие сепара-
сепарабельного метрического пространства X компактными множествами и 8/ — по-
последовательность положительных постоянных. Существует вещественнозначная
функция Ь(х), определенная на X и такая, что 6(х) < ei для хеС|.
Лемма 2.7. Пусть М есть /п-мерное многообразие и зФ — его
открытое покрытие. Существует локально-конечное открытое по-
покрытие, вписанное в покрытие $&, которое является объедине-
объединением совокупности m + 1 систем открытых множеств Яо, $\, ••-
..., Шт, причем множества, принадлежащие каждой данной си-
системе З&и попарно не пересекаются.
Доказательство. Применим следующую фундаментальную
теорему теории размерности: если М — m-мерное многообразие,
то в любое открытое покрытие $Ф пространства М вписано по-
покрытие 31, такое, что любая точка многообразия М принадлежит
не более чем пг + 1 элементам покрытия $. Доказательство для
случая, когда М компактно, можно найти в [2]. Это доказатель-
доказательство легко может быть распространено на некомпактный слу-
случай, однако столь же легко доказать эту теорему заново. Это
сделано в 2.12—2.15.
Пусть s& = {Uj} — заданное открытое покрытие, {Vj} — ло-
локально-конечное открытое покрытие, такое, что Vj cr U/ для
каждого /, и {tp/} — С-разбиение единицы, которое подчинено
покрытию {V/} (см. задачу 2.6). Пусть задано целое число п,
такое, что 0 ^ п ^ т. Рассмотрим произвольное множество
to, ...» in различных положительных целых чисел. Обозначим
через W{io, ..., in) открытое множество, состоящее из тех точек

286 Дополнение. Дж. Манкрс
х, для которых
<р, (х) < min (ф,о (х), ....
для всех значений i, отличных от /о, ...» in- По определению
система открытых множеств &п состоит из всех таких множеств
W(i0 L).
Нам надо доказать, что элементы &п попарно не пересекают-
пересекаются. Пусть to, ..-, in и /о, ..., }п — различные множества индек-
индексов; предположим, что число k принадлежит первому множеству
и не принадлежит второму и что число / принадлежит второму
множеству и не принадлежит первому. Если точка х принадле-
принадлежит множеству W(io in), то yi{x)<L <fk(x); если же х при-
принадлежит W(j0, ..., in), то q>k(x)< q>i(x). Следовательно, эти
два множества не пересекаются, что и требовалось показать.
Докажем теперь, что объединение J? = ^oU •¦• U $т покры-
покрывает М. Пусть х <= М. Выберем индексы to, ..., in, для которых
qp;(#)>0. Хотя бы один такой индекс существует, так как
J] ср* (х) = 1; согласно выбору покрытия ?//, таких индексов су-
существует не более т+ 1. Тогда qn(x)=0 для всех других ин-
индексов, так что х е W(io, ..., in)-
То, что покрытие BS локально-конечно, доказывается анало-
аналогично. Каждая точка х имеет окрестность U, на которой все
функции ф«, за исключением лишь конечного числа, тождествен-
тождественно равны нулю. Пусть to, . •., im — те индексы, для которых
функция фг не равна тождественно нулю на U. Если множество
W(jo /*) пересекается с U, то множество индексов /о, ..., jk
является подмножеством множества {('о, ..., im}; но таких под-
подмножеств только конечное число. I
•Упражнение (а). Пусть М — некоторое симплициальное разбиение'
в плоскости с вершинами V\, v^ Пусть далее Vt—(открытая) звезда
точки Vi и Ф<(*)—барицентрическая координата точки х относительно tfi.
(Она, конечно, равна нулю, если точка х не принадлежит Vt.) Провести пре-
предыдущую конструкцию в этом случае и описать получающиеся множества
W(i0) и Wikh).
Это упражнение должно прояснить идею доказательства предыдущей тео-
теоремы.
Задача 2.8. Пусть М — С-многообразие размерности т. До-
Доказать, что оно может быть покрыто т + 1 координатными си-
системами (Vi, hi). При этом Ui можно выбрать так, чтобы оно
было объединением счетной совокупности попарно непересе-
непересекающихся открытых множеств Уц, таких, что Ы(Уц) есть огра-
ограниченное подмножество в Rm.
1 Определение снадплициального разбиения см. ниже на стр. 325. — Прим.
пврев.

2. Подмногообразии и вложения 287
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Пусть X и Y — сепарабельные метри-
метрические пространства и /: X-+Y—непрерывное отображение.
Предельным множеством отображения f называется множество
всех точек уеУ, таких, что для некоторой последовательности
хп в X, не имеющей сходящихся подпоследовательностей, f{xn)
сходится к у. Это множество обозначается М/I. ,
У пражнение (а). Доказать, что, если пространство X локально-ком-
локально-компактно, то предельное множество L(f) отображения f: X-+-Y замкнуто в У.
Упражнение (Ь). Пусть отображение f: X-*-У непрерывно и взаимно-
взаимнооднозначно. Доказать, что пересечение L(f)(]f(X) пусто тогда и только тог-
тогда, когда { есть гомеоморфизм, а образ f(X) замкнут в У тогда и только тог-
тогда, когда L(f)<=f(X).
Задача 2.10. Пусть М — Сг-многообразие размерности т. До-
казать, что многообразие М допускает С-вложение в качестве
замкнутого подмножества в евклидово пространство размерно-
размерности (т+ IJ.
Замечание. Эта теорема показывает, что любое дифферен-
дифференцируемое многообразие является подмногообразием некоторого
евклидова пространства. Этот факт будет иметь для нас ре-
решающее значение в § 4 2.
Естественно теперь поставить вопрос: является ли необходи-
необходимым использование евклидова пространства такой высокой раз-
размерности, для того чтобы вложить в него заданное многообра-
многообразие М7 Ответ — нет, не является. Это классический результат
Уитни, утверждающий, что достаточно R2m+l [16] .В записи лек-
лекций Милнора [6] содержится прозрачное доказательство этой
теоремы Уитни3.
В действительности достаточно даже R2m, однако доказать
это гораздо труднее.
*3адача 2.11. Пусть М — С-многообразие размерности т.
Показать, что, если А — замкнутое подмножество в М и hi —
С-вложение некоторой окрестности U множества А в Rf>, то су-
существует Сг-вложение f многообразия М в некоторое евклидово
пространство, совпадающее с hi на А. При этом образ f(M) мо-
может быть выбран замкнутым, если hi(A) замкнуто.
Указание. Покрыть множество М \ А координатными систе-
системами (Ui, hi),i = 2 т + 2. Пусть Ut = V и <pi, ..., <pm+2 —
какое-нибудь Сг-разбиение единицы, подчиненное покрытию
С/ь ..., Um+2- Затем поступать так, как в теореме 2.4.
1 L — от limit. — Прим. перев.
2 См. теорему 4.8 и следствие 4.9. — Прим. перев.
* См. [Унтни, 1957] и [*Понтрягин, 1976]. — Прим. перев,

288 Пополнение. Дж. Манкрс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Пространство Л имеет размерность
по покрытиям, не превосходящую т, если в любое открытое по-
крытие пространства А можно вписать покрытие порядка не
больше т (это означает, что любая точка х е А лежит не более
чем в /п+1 элементах вписанного покрытия). Если Л —замк-
—замкнутое подмножество пространства X, то это определение экви-
эквивалентно утверждению, что в любое открытое покрытие про-
пространства X можно вписать покрытие, ограничение которого на
А имеет порядок, не больший т. Если А' — замкнутое подмно-
подмножество множества А и А имеет размерность по покрытиям, не
превосходящую т, то и А' имеет размерность по покрытиям, не
превосходящую т.
Лемма 2.13. Пусть Ап — замкнутые подмножества простран-
пространства X, такие, что А„а\п\Ап+\ и [}Ап = X. Если А\ и каждое
множество Cl {An+i \ Ап) имеют размерность по покрытиям, не
большую ш, то и X имеет размерность по покрытиям, не боль-
большую т.
Доказательство. Для данного открытого покрытия простран-
пространства X пусть 3&0 — вписанное в него покрытие, такое, что любой
элемент из &о, пересекающийся с Л,-, лежит в Ai+\. Пусть далее
^i — вписанное в J?o покрытие, ограничение которого на А\
имеет порядок не выше т. Для удобства будем считать, что Ло
пусто.
Предположим , что &п является вписанным в &о покрытием,
ограничение которого на Л„ имеет порядок не выше т. Пусть
Ф — вписанное в &„ покрытие, ограничение которого на
С1(Л„-|-1 \ Ап) имеет порядок не выше т. Определим покрытие
$п+\ следующим образом.
A) Если U лежит в 31п и пересекается с Л„-ь то U входит
в 38n+i.
B) Для каждого элемента Vef, который пересекается с Ап
и не пересекается с Лл-ь выберем элемент f(V)^3Bn, содержа-
содержащий V. Тогда для каждого элемента U^$n пусть ?/'е$„+ь
где V обозначает объединение тех элементов Уе?, для кото-
которых f(V) определено и равно U.
C) Каждый элемент V е 9*, не пересекающийся с А„, пусть
принадлежит {%n+i.
Легко проверяется, что система открытых множеств 3tn+i по-
покрывает пространство X и что ее ограничение на Ап+\ имеет по-
порядок не выше т. Пусть $ состоит из тех открытых множеств,
которые принадлежат всем &„, за исключением, быть может,
конечного их числа. Тогда SB будет покрытием порядка не
выше т. Ш

§ 3. Отображения и аппроксимации 289
Следствие 2.14. Если В\ и В% — замкнутые подмножества про-
пространства Y, имеющие размерность по покрытиям не выше пг,
то и их объединение Вх [} В2 имеет размерность по покрытиям
не выше пг.
Доказательство. Пусть Ai = В\ и Ап = X = Si (J В% для
п ^ 2. Так как множество С1(Л2 \ А\) содержится в Л2, его раз-
размерность по покрытиям не больше пг. Теперь применяем лем-
лемму. ¦
Теорема 2.15. Любое пг-мерное многообразие М имеет раз-
мерность по покрытиям не выше т.
Доказательство. A) Любое компактное подмножество В про*
странства Rm имеет размерность по покрытиям не выше т. Дей-
Действительно, В лежит в некотором кубе Ст, который в свою оче«
редь является полиэдром' некоторого симплициального разбие-
разбиения К размерности т. Для данного открытого покрытия sf- куба
С* существует подразделение К' разбиения К настолько мелкое,
что совокупность звезд вершин разбиения К' вписана в з&. По-
Полученное таким образом покрытие имеет порядок т.
B) Покроем многообразие М локально-конечной совокуп-
совокупностью множеств Bt, гомеоморфных компактным подмноже-
подмножествам пространства Rm. Пусть А\ = В\. Если множество Ап =
= Вх U ... [} Вч уже построено, то выбираем целое число р > q,
такое, что ^„c:Int(BiU ... \}ВР), и полагаем Ап+1 = В{\} ...
... [}ВР. Согласно следствию 2.14, каждое множество А„ имеет
размерность по покрытиям не выше т. Теорема следует теперь
из леммы 2.13. ¦
§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
В этом параграфе мы определим, что такое сильная С!-ап-
проксимация дифференцируемого отображения одного много-
многообразия в другое (определение 3.5); для того чтобы сделать
это аккуратно, необходимо сначала построить касательное рас-
расслоение дифференцируемого многообразия. После этого мы до-
докажем важную аппроксимационную теорему (теорема 3.10), ут-
утверждающую, что, если f: М —> N — погружение, вложение или
диффеоморфизм, то то же самое можно сказать о любой доста-
достаточно близкой сильной С'-аппроксимации g отображения /.
(В случае диффеоморфизма следует еще предположить, что
g{BuM)c=BdN.)
1 Определение симплициального полиэдра см. ниже на стр. 326.— Прим,
перев,
10 Д>ь. Милнор, Дж„ Слашеф

290 Дополнение. Дж. Манкрс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Пусть М — ^-многообразие размер-
размерности т и х0 — точка в М. Касательный вектор v к многообра-
многообразию М в точке Хо — это соответствие, сопоставляющее каждой
координатной системе (U, h) в точке хо матрицу а размера
m X 1 и обладающее следующими свойствами:
Если (U,h) и (V, k) — две координатные системы в точке Хо,
а а и а — соответствующие m X 1-матрицы, то
а = D {kh~l) (и0) ¦ а,
где Uo = h(xo). Элементы матрицы а называются компонен-
компонентами вектора v в координатной системе (U, h).
Если f: [а,Ь]-+ М есть Сг-отображение (где [а,Ь]— интер*
вал прямой R1), то f называется (параметризованной) кри-
кривой на многообразии М. Пусть /(/о) = *о. Если мы определим
v как соответствие, сопоставляющее координатной системе
(U,h) матрицу D(hf)(t0), то v будет касательным вектором
к многообразию М в точке х0, как читатель может проверить
непосредственно. Этот вектор называют вектором скорости для
параметризованной кривой f.
Заметим, что любой касательный вектор v к многообразию
М в точке хо является вектором скорости для некоторой пара-
параметризованной кривой. Действительно, пусть (а1, ..., ат) —
компоненты вектора v в координатной системе (U,h), причем
ft(jto) = 0. Положим f(i) = h-l(alt amt). Если xoeIntM,
то отображение / корректно определено на некотором интер-
интервале [—е, е] с центром в 0; если х0 е Bd M, то f определено
либо на интервале [—е, 0], либо на интервале [0, е]. В любом
случае вектор v будет вектором скорости для кривой f в
точке х0.
Касательные векторы к многообразию М в данной точке
Хо образуют /n-мерное векторное пространство; чтобы сложить
векторы v и w, нужно просто взять их компоненты в коорди-
координатной системе (U, h) и произвести покомпонентное сложение.
Можно проверить, что это определение не зависит от выбора
координатной системы. Это векторное пространство называется
касательным пространством к многообразию М в точке х0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пусть М — Сг-многообразие. Обозна-
Обозначим через Т(М) множество всех касательных векторов к мно-
многообразию М, и пусть п:Т(М)-*М — отображение, переводя-
переводящее вектор v в точке хо в точку xq. Пространство Т(М) назы-

§ 3. Отображения и аппроксимации 291
вается касательным расслоением многообразия М, а я — проек-
проекцией.
Если (U,h) — координатная система на многообразии М, то
определим Я: я~Ч^0~*RmXRm или Hm X Rm равенством
h (у) = /ш (у) X (а, ..., а ),
где (а1, ..., аш)—компоненты вектора v в координатной си-
системе (U,h). Требование, чтобы множество n~l(U) было от-
открытым и Я было гомеоморфизмом, немедленно вводит тополо-
топологию на множестве Т(М), которая является хаусдорфовой и сепа-
рабельной (см. упр. (а)).
Пространство Т(М) представляет собой 2т-мерное многооб-
многообразие с краем n~l(BdM) и координатными окрестностями
(( ))
Если (U,h) и (V, k) — перекрывающиеся координатные ок-
окрестности многообразия М, то
kh~l {х, a) = {kh~l (х), D (kh'1) (х) • а)
на множестве h (U П V) X Rm, г5е а записывается как тХЬ
матрица. Таким образом, Ш~1 есть отображение класса Сг~\
так что совокупность пар (n-l(U),Fi) служит базисом диффе-
дифференцируемой структуры класса Сг~{ на Т(М).
Всякий раз, когда мы будем рассматривать пространство
Т(М), мы будем наделять его этой дифференцируемой струк-
структурой (если г > 1).
Отображение включения i:M-*T(M), переводящее точку х
в нулевой вектор в точке х, и проекция я являются отображе-
отображениями класса Сг~1.
Упражнение (а). Пусть (U,h) и (V,ft)—две перекрывающиеся ко-
координатные системы на многообразии М. Показать, что kh~l есть гомеомор-
гомеоморфизм /i(?/DV)XRm на *С Л ^) X Rm- Вывести отсюда, что топология на
множестве Т(М) корректно определена Показать далее, что она сепарабельна
и хаусдорфова.
•Упражнение (Ь). Показать, что для некоторой окрестности V точки
х е М существует диффеоморфизм g: n~l(V) -*¦ VX Rm. такой, что отображе-
отображение л?~' является естественной проекцией V X Rm "*¦ V, причем g есть линей-
линейный изоморфизм касательного пространства в точке х на *XRm-
Это показывает, что я: Т(М)-*М является расслоением со слоем Rm и
невырожденными линейными преобразованиями пространства Rm в качестве
структурной группы (см. [12]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Пусть М и N — многообразия класса
по меньшей мере Сг и g: М -* N — отображение класса С'. Су-
Существует индуцированное отображение dg: T(M)-*T(N) клас-
класса Сг~\ определяемое следующим образом. Пусть v — вектор
в точке Хй с компонентами а в координатной системе (U,h) и
Ю*

292 Дополнение. Дж. Манкрс
w — вектор в точке g(xo) с компонентами E в координатной
системе (V,k). Мы полагаем
dg (у) — w,
если
Заметим, что dg является линейным отображением на каждом
касательном пространстве; оно называется дифференциалом ото-
отображения g.
Упражнение (а). Проверить, что дифференциал определен корректно,
т. е. не зависит от выбора координатных систем.
Упражнение (Ь). Показать, что, если /: [а,Ь]-*-М — кривая с векто-
вектором скорости v, то dg(v) является вектором скорости для кривой gf: [a, b]-+ N_,
Упражнение (с). Пусть f: [а, Ь]-*-М есть С'-отображенне. Интер-
Интерпретировать дифференциал df геометрически, имея в виду, что f отображает
одномерное многообразие [а, Ь] в М. Предыдущее упражнение утверждает
тогда просто, что d(g[) = dg-af. Обобщить эту формулу на случай, когда
отображение f определено на многообразии размерности, большей чем 1.
'Упражнение (d). Пусть g — погружение, вложение или диффеомор-
диффеоморфизм. Как это отражается на отображении dg?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Пусть М — С'-многообразие. Предпо-
Предположим, что на каждом касательном пространстве к многооб-
разню М определено скалярное произведение (о, w), являю-
являющееся дифференцируемым класса С4, 0 ^ q < г, в том смысле,
что отображение Т(М) в R, переводящее v в {о, и), имеет класс
С". Такое скалярное произведение называется римановой мет-
рикой на многообразии М. Как обычно, || v || обозначает V (°> °)-
Заметим, что вещественная функция (v, w) непрерывна на под-
подпространстве произведения Т(МУХТ(М), состоящем из всех
пар (о, w), таких, что я (v) = я (w). Это следует из тождества
(v, w) = j\\v + w\\2-j\\'v-w\?.
Упражнение (а). Существует стандартная риманова метрика на мно-
многообразии R"; нужно просто взять компоненты а' и в' векторов v и w от-
относительно стандартной координатной системы /: R" -> Rn и определить
(о, to) как обычное скалярное произведение J] а'р'.
Пусть М — (/-многообразие и f: М -> R™ — некоторое С+1-погружение.
Если и и в- касательные векторы к многообразию М в точке х, то поло-
положим (о, а») равным обычному скалярному произведению в r{Rn) векторов
df (ч) и d[ (w). Проверить, что это — риманова метрика на М. Почему не-
необходимо, чтобы / было погружением?

§ 3. Отображения и аппроксимации 293
-> ->
•Упражнение (Ь). Пусть (о, w) — риманова метрика на многообра-
многообразии М, (U, К) —какая-то координатная система на М и а и В — матрицы ком-
-> •*¦
поиент векторов г; и и» в этой координатной системе. Показать, что сущест-
существует единственная матричная функция G (х) класса С4, определенная иа U,
которая симметрична, положительно определена и такова, что'
<iT, w) = р' • G (х) ¦ а.
Пусть ()р
(V,k); показать, что
G (*) = D {hk~l? -G(x)-D {hk).
Всякое соответствие, сопоставляющее каждой координатной системе (U, А) в
точке х0 некоторую матрицу G, такое, что матрицы G и G связаны этим урав-
уравнением, называется (в классической терминологии) ковариантным тензором
второго порядка.
¦>
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5. Пусть v — касательный вектор к про-
пространству R" в точке х и а — его компоненты в координатной
системе i: R"—>R". Соответствие t»i—>(x, а) задает гомеомор-
гомеоморфизм между 7"(R") и R"XR", который является изоморфизмом
касательного пространства в точке х на произведение х X R".
Мы будем для удобства отождествлять T(Rn) и R"XR" и пи-
писать v ={х, а). Если f: М -> R" есть С'-отображение и v — ка-
касательный вектор к многообразию М в точке, х, то определим
dof(v) соотношением
df$) = (f(x), dof(v)).
Рассмотрим пространство Fl (M, R") всех С'-отображений
многообразия М в R". Топология в атом пространстве вводится
следующим образом.
Выберем какую-нибудь риманову метрику на М. Для задан-
заданного С-отображения f: M —»¦ R" и заданной положительной не-
непрерывной функции 8(х) на М обозначим через W(f,6) множе-
множество всех С'-отображений g: M—> R", таких, что
для каждой точки х е М и каждого вектора v фЪ, касатель-
касательного к М в х. Если отображение g принадлежит W(f, б), то оно
называется 8-аппроксимацией отображения f. О таких отобра-
отображениях говорят также как о сильных С1-аппроксимациях ото-
отображения f. Множества W(f, б) образуют базис некоторой то-
1 Ниже символ t обозначает транспонирование, — Прим, пере».

294 Дополнение. Дж. Манкрс
пологий на пространстве F1(М, R"); эта топология называется
тонкой С1-топологией.
Пусть N — заданное дифференцируемое многообразие. Вло-
Вложим его дифференцируемо в некоторое евклидово пространство
R". Тонкая С'-топология на F1 (M, N) определяется как топо-
топология, индуцированная из тонкой С'-топологии на Fl(M, R").
Эта топология не зависит от выбора римановой метрики на М
и вложения N в R" (см. упр. (Ь) п. 3.6).
Чтобы получить грубую С1-топологию, нужно изменить оп-
определение, потребовав выполнения указанных неравенств толь-
только для точек х из некоторого компактного множества А, и за-
затем рассмотреть множества W(f,8,A) как базис топологии. Мы
не будем существенно использовать грубую С'-топологию.
Упражнение (а). Проверить, что множества W(f,&) образуют базис
топологии.
Упражнение (Ь). Тонкая С-топология на F°(X,Y) (пространствевсех
непрерывных отображений сепарабельного метрического пространства X в се-
парабельное метрическое пространство У) определяется следующим образом.
Для заданного отображения f: Х-*- У и заданной положительной непрерывной
функции б на X пусть окрестность отображения f состоит из всех отображе-
отображений g, таких, что p(f(x), g(x)) < б(дг) для всех х, где р— (топологическая ')
метрика на У. Отображение g называется сильной С°-аппроксимацией f (или
просто С°-8-аппроксимацией) отображения /. Проверить, что эти множе-
множества образуют базис топологии на F°(X, У).
Лемма 3.6. Пусть N является р-мерным подмногообразием
в R" и /: Mm -* N" — некоторое С1-отображение. Пусть, далее,
{(J,h) — координатная система на М; С — компактное подмно-
подмножество в U и (V,k) — координатная система на N, содержащая
f(C). Какого бы ни было е > 0, найдется такое б > 0, что,
если отображение g: M -* N удовлетворяет условиям
f \kfh-l(y)-kgh-l{y)\<6,
\\D(kfh-l)(y)-D(kgh-l)(y)\<6
для всех у е h (С), то
\\dof(v)-dog(v)\\<B\\v\\
->¦
для каждого ненулевого вектора v, касательного к М в точке
Доказательство. Предположим, что заключение леммы не
выполнено. Тогда для каждого п найдутся такое отображение
1 То есть исходная метрика метрического пространства У.—Прим. перев.

§ 3. Отображения и аппроксимации 295
gn и такой вектор vn ф 0, касательный к М в точке хп е С, что
неравенства (*) выполнены для g = gn, у — уп = h(xn) и
б = \/п, однако неравенства (**) не выполнены для g = gn,
х = хп и v = »„ для всех достаточно больших га. Переходя, если
надо, к подпоследовательности и производя перенумерацию, мы
можем считать, что хп -*¦ х и vj \\vn || = ип -*¦ и, где и — некото-
некоторый единичный касательный вектор к многообразию М в точке
х. Имеем \kf(xn)— kgn(xn) | < 1/п, так что kf{xn) и kgn(xn)
сходятся к kf(x.) Таким образом, обе последовательности f(xn)
и gn(xn) сходятся к f(x), так что \\f(xn) — gn(xn)\\-*0.
Пусть dh{un) = {yn,a-n) — запись соответствующего вектора
в пространстве Rm X Rm = T(Rm). Тогда
ID (kfh~l) (yn) <an-D{kgnhrl) Ы • а„ | < m\ а„ \/п,
II dok (df («„)) - dok (dgn («„)) || < pm \\dh (и„) ||/я.
Так как правая часть последнего неравенства стремится к нулю,
то и левая тоже стремится к нулю. Следовательно, обе после-
последовательности dok {df (и„)) и dak (dgn (и„)) сходятся к dok (df (и)),
так что dk (df («„)) и dk (dgn (ип)) сходятся к dk (df (и)). Поскольку
отображение d(k~l) непрерывно, то последовательности df (ип)
и dgn(«n) сходятся к df(u), так что || dof (и„) — dogn (un) \\ -> 0.
Полученное противоречие доказывает лемму. Щ
Упражнение (а). Доказать обращение этой леммы: для всякого
б > 0 найдется е > 0, такое, что если условие (**) выполнено, то выполнено
и условие (*).
Упражнение (Ь). Пусть /: M-+N — дифференцируемое отобра-
отображение и {С,-} — локально-конечное покрытие многообразия М компактными
множествами. Рассмотрим координатные системы (Ui,hi) и (Vi,ki), содер-
содержащие Ct и f{&) соответственно. Введем множество X(f, Si), состоящее из
всех таких отображений g: M-+N, что g(Ct) <= Ui,\ktfh^^ (y)—klghjl (у) |<б(
и | D (kjhj^ (у) — D (fe^gAf1) (У) | < (>i для всех у е ht (C(.). Показать, что
эта система окрестностей отображения f эквивалентна системе тонких С'-ок-
рестностей этого отображения. Вывести отсюда, что тонкая С'-топология на
Fl(M,N) не зависит от римановой метрики на М и вложения N в евклидово
пространство.
Упражнение (с). Пусть X(f, б,) определено, как в предыдущем уп-
упражнении, за тем исключением, что опускается второе неравенство (в котором
фигурируют производные от /). Показать, что получающаяся система окрест-
окрестностей отображения / эквивалентна системе тонких С°-окрестностей этого ото-
отображения. Вывести отсюда, что тонкая С°-топология на F°(M, N) не зависит
от выбора метрики для N.
* Упражнение (d). Показать, что топология на множестве F[(M, N),
индуцированная из тонкой С°-топологии вложением Fl(M,N) czF°(M,N),
строго грубее, чем топкая С'-топология.

296 Дополнение. Дж. Манкре
'Упражнение (е). Выше была определена грубая С'-топология на
Fl(M, ff). Сформулировать другое определение, аналогичное тому, которое
дано в утверждении леммы 3.6, и доказать, что эти два определения эквива-
эквивалентны.
•Упражнение (f). Рассмотрим множество Fl(R,R) в тонкой С-топо-
логии, в грубой С'-топологин и в равномерной топологии, элементами базиса
которой являются множества вида W(f, г), где f: R-'-R, e > 0, н W(f, в) —
множество всех g, таких, что sup | / (х) — g (х) | < е. Описать компоненты ли-
линейной связности нулевой функции в каждом нз этих трех случаев.
Задача 3.7. Пусть f: М -*¦ N и g; N -* Р суть С'-отображения.
A) Для заданной функции е(л:)>0, определенной на М,
доказать существование такой функции 6(*)>0, что, какова
бы ни была б-аппроксимация J отображения /, gf будет е-ап-
проксимацией отображения gf.
B) Пусть / вкладывает многообразие М в качестве замкну-
замкнутого подмножества в многообразие ДО. Доказать существование
6i(*) > 0 и б2(*) > 0, таких, что, каковы бы ни были браппрок-
симация J отображения f и б2-аппроксимация g отображения
g, gf является е-аппроксимацией отображения gf.
C) Пусть / — диффеоморфизм. Показать, что для всякой
заданной функции в (у) > 0 существует такая функция б (х) >
> 0, что, ecnnj — б-аппроксимация отображения f и диффеомор-
диффеоморфизм, то f-1 есть е-аппроксимация отображения f~l.
•Упражнение (а). Показать, что утверждение B), вообще говоря,
неверно, если f — ие гомеоморфизм или если f(M) не замкнуто.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.8. Рассмотрим множество Fr(M,N) всех
С-отображений М в N. Определение тонкой С'-топологии, дан-
данное в лемме 3.6, естественно обобщается до определения тон-
тонкой Сг-топологии в этом пространстве. А именно, берется то же
самое определение, только второе неравенство (требующее бли-
близости первых частных производных) заменяется требованием,
чтобы частные производные отображения ktghT1 вплоть до по-
порядка г аппроксимировали соответствующие частные производ-
производные отображения kifhT1 с точностью б* для точек х из С,-. Тон-
Тонкая С°°-топология на F°a(M,N) определяется с помощью базиса,
получающегося объединением Сг-топологий по всем конечным г.
Нам не представится случая использовать эти топологии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.9. Пусть /о и /i суть С'-отображения М
в N. Регулярной С^-гомотопией между отображениями Д> и fi
называется всякое непрерывное отображение /: MXR-* N, та-
такое, что •
1 Как обычно, для произвольного фиксированного (е R через ft обозна-
обозначается отображение М -»¦ N, х -*¦ f (x, t). — Прим. ред.

§ 3. Отображения и аппроксимации 297
A) для некоторого е > 0 выполнены соотношения: ft = /о
при t <. е и ft = fi при t > 1 — е;
B) ft является С'-отображением для каждого t;
C) отображение dft:T(M)X.R-+T(N) непрерывно.
Гомотопия ft называется дифференцируемой С'-гомотопией,
если отображение f:A(XR-*Af имеет класс С1; это условие
сильнее, чем условия B) и C). Гомотопия ft называется диф-
дифференцируемой Сг-гомотопией, если она имеет класс С'.
В случае когда f0 и f\ — погружения, мы всегда будем пред-
предполагать выполненным стандартное соглашение, что регуляр-
регулярная (или дифференцируемая) гомотопия ft между ними обла-
обладает тем свойством, что ft является погружением при любом t.
Если /о и /i — вложения, то регулярная (или дифференцируе-
дифференцируемая) гомотопия ft называется изотопией, если ft есть вложение
при любом t.
Понятия регулярной и дифференцируемой гомотопии в дей-
действительности различаются очень незначительно. Ниже чита-
читатель найдет задачу, в которой требуется доказать, что сущест-
существование регулярной гомотопии между f0 и f\ влечет за собой
существование дифференцируемой гомотопии. Не ясно, однако,
какому понятию отдать предпочтение как более естественному.
Регулярная гомотопия весьма естественна в том смысле, что
она эквивалентна существованию пути Ф: R — Fl (M, N), соеди-
соединяющему отображения /о и Д, где в качестве топологии в про-
пространстве отображений берется грубая С'-топология. Однако на
практике обычно строят дифференцируемые, а не просто регу-
регулярные гомотопии. Так будет и в нашем случае, поэтому нам
почти не представится поводов применить более слабое понятие.
Упражнение (а). Пусть ft — гомотопия между fa и fi, gt — гомого-
пия между go н gt и /i = go. Определим А: М X R -*• N формулой
2<_,(х) при <>1/2.
Показать, что Ы является регулярной (или дифференцируемой) С'-гомото-
пней, если таковы ft и gt.
•Упражнение (Ь). Построить регулярную С'-гомотопию, которая не
является дифференцируемой С1 — гомотопией.
•Упражнение (с). Пусть ft — регулярная С'-гомотопия. Определим
отображение Ф: R -*¦ F1 (М, N) равенством
Показать, что Ф непрерывно, если пространство Fl{M, N) наделено
грубой С'-топологией. Сформулировать и доказать обратное утверж-
утверждение.

298 Дополнение. Дж. Манкрс
Теорема 3.10. Пусть f: М -* N — С1 -отображение. Если f —
погружение или вложение, то существует тонкая С1-окрестность
отображения f, состоящая только из погружений или вложений
соответственно. Если f — диффеоморфизм, то существует тон-
тонкая С1-окрестность отображения /, такая, что, если g лежит
в этой окрестности и переводит Bd M в Bd N, то g есть диффео-
диффеоморфизм.
Доказательство. Пусть {С,} — локально-конечное покрытие
многообразия М компактными множествами, такое, что множе-
множества Int С, также покрывают М и (Ut,hi), (Vi, ki) являются ко-
координатными системами, содержащими С,- и f(Ci) соответ-
соответственно.
A) Предположим, что /—погружение. Тогда матрица
D{ktfhJx)(x) имеет ранг m = dim M для всех точек x^hi(d).
Обозначим через М(р, q\ г) множество всех р X ^-матриц ранга
г; оно рассматривается как подпространство в R*. Множество
M(m,n;m) открыто в Rmn. Действительно, если сопоставить
каждой матрице сумму квадратов определителей всех ее m X
X m-подматриц, то указанное множество будет прообразом от-
открытого множества R\{0} при этом непрерывном отображе-
отображении.
Матрицы D{kifhTx) (х), где *еА<(С«), образуют компактное
подмножество Ki пространства М (m, n; m). Поэтому существует
б,-, такое, что бижрестность множества Ki лежит в М(т, п; т).
Этот выбор 6; определяет нужную тонкую С1-окрестность ото-
отображения /, как в лемме 3.6.
B) Пусть f — вложение. Как мы только что доказали, су-
существует тонкая С-окрестность Wi отображения f, состоящая
из погружений. Докажем, что в ней содержится тонкая С-ок-
С-окрестность №2 отображения /, состоящая из отображений g, вза-
взаимно-однозначных на каждом С,-.
Предположим противное. Тогда найдутся число i и после-
последовательность gn, такие, что gn сходится к / и dgn сходится к
df равномерно на С,-, однако gn(xn) = gn(yn) для некоторых
двух различных точек хп и уп из d. Переходя к подпоследова-
подпоследовательностям и производя перенумерацию, мы можем считать, что
хп-+х и уп-^у. Так как Дх„)->/(х), то gn(xn)->- f{x); анало-
аналогично gn(yn)-+f(y). Следовательно, f(x) = f(y); так как /
взаимно-однозначно, то х = у.
Представим f и g в координатных системах; пусть fl =
= kifhj1, g! = ktgh-\ xn = ht (xn), yn = ht (yn). Тогда
0 = ё'п {\) ~ & (Уп) = *>& (zn_,) • (xn - yn),

§ 3. Отображения и аппроксимации 299
где 2,i,, — некоторая точка, лежащая на прямолинейном от-
отрезке, соединяющем точки х„ и уп. Переходя к подпоследова-
подпоследовательностям и производя перенумерацию, мы можем считать, что
(хп — Уп) /\\хп — уЛ -*¦ и. Тогда, поскольку zn, i -* x, мы имеем
О = Df' {х) - и
для каждого i в противоречие с тем фактом, что матрица
DJ(x) невырожденна.
C) Пусть f — вложение. Как мы только что доказали, су-
существует тонкая С'-окрестность W2 отображения /, состоящая
из погружений, которые взаимно-однозначны на каждом Ct, Те-
Теперь мы докажем, что существует тонкая С°-окрестность ото-
отображения /, пересечение которой с W% состоит из отображений,
взаимно-однозначных глобально; это пересечение будем обозна-
обозначать через W3. Мы определим эту окрестность при помощи не-
некоторой непрерывной функции 6{х); таким образом, мы пред-
предполагаем, что на N задана топологическая метрика р. Суще-
Существует покрытие Di многообразия М компактными множе-
множествами, такими, что Did Int С* для каждого i (см. лемму 1.4).
Пусть е,- — расстояние в N от /(D«) до f(M\lnt d); так как
/ — гомеоморфизм, это расстояние положительно. Пусть 6(#) —
непрерывная функция на М, которая меньше е,/2 на d (см.
упр. (а) п. 2.6). Пусть далее g — какая-нибудь С°-б-аппрок-
симация отображения /, лежащая в W2. Предположим, что
g(x) = g(y), где j;e Dt, у ^ D, и е, < е/. Тогда
P(/W, /(</))< в,/2 + г,/2 <8/.
Так как g взаимно-однозначно на Ch точка х не лежит в С],
так что p(f(x), f(y))^Sj. Полученное противоречие доказывает
существование окрестности W$.
Наконец, докажем существование тонкой С°-окрестности
отображения f, пересечение которой с Н^з состоит из гомеомор-
гомеоморфизмов. Так как / — гомеоморфизм, то L (/)("] ДМ) пусто. Пусть
е,- меньше 1/i и меньше, чем расстояние в N от компактного
множества /(С,-) до замкнутого множества L(/). Выберем не-
непрерывную функцию 8(х) на М, такую, что 6(#)< е« дляяе С,-,
и пусть g — какая-нибудь С°-б-аппроксимация отображения /,
лежащая в W^.
Покажем прежде всего, что L (/) = L (g). Если хп — после-
последовательность в М, не имеющая сходящихся подпоследователь-
подпоследовательностей, то каждое компактное множество Ci содержит лишь
конечное число членов этой последовательности. Это означает,
что р(/(х„), g(xn))-+0, ибо р(/(х„), g(xn))< \/i, если хп s G.
Следовательно, f(xn)-+y тогда и только тогда, когда g(xn)-*-y,
так что L(/)= L(g).

300 Дополнение. Дж. Манкрв
Отсюда следует, что Mg)flg(M) пусто. Если х<=Сг, то
p(g(x), f(x)) < е/, так что точка g(x) не лежит в множестве
L(/), которое равно L(g). Следовательно, g— гомеоморфизм.
Заметим, что g(M) является замкнутым подмножеством много-
многообразия N тогда и только тогда, когда таковым является/(М).
D) Пусть f — диффеоморфизм. Мы доказали, что сущест-
существует тонкая С'-окрестность W* отображения /, состоящая из
вложений. Приводимая ниже лемма 3.11 показывает, что су-
существует тонкая С°-окрестность отображения f, такая, что, если
g лежит в пересечении W^ с этой окрестностью и g(BdM)cz
cz Bd N, то g есть диффеоморфизм. ¦
Упражнение (а). Пусть f — гомеоморфизм пространства X на про-
пространство У и {Ci} — локально-конечное покрытие пространства X компактны-
компактными множествами, такими, что множества IntCj тоже покрывают X. Доказать,
что существует тонкая С-окрестность отображения /, такая, что, если ото-
отображение g лежит в этой окрестности и взаимно-однозначно на каждом С<,
то оно является гомеоморфизмом. (Здесь X и У, как всегда, — сепарабельные
метрические пространства.)
'Упражнение (Ь). Пусть М и N — С'-многообразия, и пусть ft— ре-
регулярная гомотопия между двумя отображениями fo и fi многообразия М в
Лг. Доказать, что, если ft — погружение для каждого t, то для некоторой функ-
функции 6(х) > 0 любая С'-регулярная гомотопия Ft между f0 и f\, являющаяся
6-аппроксимацией отображения ft для каждого t, также будет погружением
для каждого t. Доказать аналогичное утверждение для случая, когда каждое
/»— вложение, а М компактно или когда каждое ft — диффеоморфизм много-
многообразий без края.
Указание. Обобщить доказательство теоремы 3.10. Прн этом построение
A) достаточно для случая погружения, построение B) — для случая вложе-
вложения; для случая диффеоморфизма построения C) и D) могут быть приме-
применены к отображению г: М X R -*¦ N X Я, определяемому равенством F(x. t) =
— (ft(x),t).
•Упражнение (с). Показать, что в предыдущем упражнении пред-
предположение компактности многообразия М для случая, когда ft — вложение,
является необходимым.
Лемма 3.11. Пусть f — гомеоморфизм М на N, где М и N —
топологические многообразия. Существует тонкая (У-окрест-
ность отображения /, такая, что, если g лежит в этой окрестно-
окрестности и g{Bd М) с: Bd Л^, то g переводит М на N.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда край
Bd M пуст. Выберем локально-конечное покрытие многообразия
М множествами Ci, такими, что для некоторой координатной
системы (Vi, ki), содержащей f(Ct), множество kif(Ct) представ-
представляет собой m-мерный шар В и множества Int d также покры-
покрывают М (см. упр. (а)).
Выберем б,- настолько малым, чтобы шар fim(l+6;) ра-
радиуса 1 + й» содержался в ki(Vi), а множества Di =»
=» (kif)~l (BmA—б<)) все еще покрывали М (см. лемму 1.4).
Тогда множества f(Di) покрывают W.

§ 3. Отображения и аппроксимации 301
Пусть g:M-*N— такое отображение, что \\kig(x)—
— kif(x)\\<. 81 при x^Ct для всех i. Докажем, что g является
отображением на, а именно докажем, что g(C,) содержит f(Di).
Другими словами, композиция отображений h=(kig)(kif)~l яв-
является корректно определенным отображением, переводящим
Вт в Rm, и образ единичной сферы Sm~l = Bd Bm при отобра-
отображении h лежит вне шара Вт{\—6*); мы докажем, что h(Bm)
содержит шар Вт A — бг).
Предположим, что точка z принадлежит шару Вт(\—б<),
но не принадлежит h(Bm). Пусть К — радиальная проекция из
точки г, отображающая Rm\z на S-1. Тогда Xh переводит
шар Вт в Sm~l.
С другой стороны, рассмотрим отображение A|Sm-1: Sm~l -*¦
-*¦ Rm. Оно гомотопно тождественному: можно просто взять
Ft {х) = th (х) + A — t) х, х е Sm~l. Эта гомотопия переводит
точку h(x) по прямолинейному отрезку в точку х, так что Ft{x^
лежит вне шара Вт(\—бг). Следовательно, %Ft является кор-
корректно определенной гомотопией между отображением А,Л | Sm—1:
Sm~l -*¦ Sm-1 и тождественным отображением.
Рассмотрим гомологическую последовательность пары
(Вт, Sm~l) и ее гомоморфизм в себя, индуцированный отобра-
отображением Kh:
о-*нт{вт, sm-1)^tfm_1
о -+ нт (вт, sm~l) -> ят_, (s"-1) -> о
Гомоморфизм (А.А), представляет собой нулевой гомоморфизм
бесконечной циклической группы Нт(Вт, S-1), поскольку %h
отображает Вт в S. Гомоморфизм (ЩБ-1), является тож-
дественным гомоморфизмом бесконечной циклической группы

302 Пополнение. Дж. Манкрс
Hm-\(Sm-1), так как отображение %h\'S-^ гомотопно тожде-
тождественному. Это противоречит коммутативности приведенной
выше диаграммы. (Это — единственное место в наших замет-
заметках, где используется немного алгебраической топологии.)
Теперь рассмотрим случай, когда край Bd M непуст. Пусть
D(M) — удвоение многообразия М (см. упр. (Ь) п. 1.1), а
D(N) — удвоение многообразия N, и пусть f:D(M)-*D(N)—
гомеоморфизм, индуцированный отображением /. Выберем ка-
какую-нибудь метрику р на D(N). По уже доказанному, суще-
существует положительная непрерывная функция е(х) на D(M),
такая, что, если g: D(M)-+ D(N) и p(f (х), g(x)) < г(х), то
g является гомеоморфизмом на.
Поскольку D(M) = Mq\J М\, функция е определяет две по-
положительные непрерывные функции ео и е| на М. Аналогично
метрика, р индуцирует две метрики р0 и pi на N. Пусть g: M -*
-*¦ N — гомеоморфизм, такой, что g(BdM)c: Bd N. Тогда g ин-
индуцирует отображение g:D(M)—*D(N). Если мы потребуем,
чтобы g было ео-аппроксимацией относительно метрики р0 и
ераппроксимацией относительно метрики рь то g будет е-ап-
проксимацией отображения f и, следовательно, гомеоморфиз-
гомеоморфизмом на. Тогда g также должно быть гомеоморфизмом на. Ш
Упражнение (а). Доказать существование множеств С,-, используемых
в процессе доказательства леммы.
Упражнение (Ь). Пусть А — замкнутное подмножество многообразия М
без края и В — замкнутое множество, содержащее А в своей внутренности.
Доказать, что существует положительная непрерывная функция 6(х), опреде-
определенная на В и такая, что, если f: B->~M является С°-б-аппроксимацией то-
тождественного отображения, то f(B) содержит А.
§ 4. СГЛАЖИВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ И МНОГООБРАЗИЙ
Теперь мы подошли к двум главным теоремам этой главы.
Первая из них утверждает, что, если М и N С°°-многообразия
и /: М -* N — погружение, вложение или диффеоморфизм, то /
может быть аппроксимировано С°°-погружением, вложением
или диффеоморфизмом соответственно. Доказательство дано в
пп. 4.2—4.5, исключая случай, когда f является диффеомор-
диффеоморфизмом, а М имеет край; этот случай разобран в § 5 (см. тео-
теорему 5.13).
Вторая теорема утверждает, что любая дифференцируемая
структура класса С1 на многообразии М содержит некоторую
С°°-структуру. Доказательство для случая, когда М — многооб-
многообразие без края, дано в пп. 4.7—4.9; случай, когда М имеет край,
рассмотрен в § 5 (см. теорему 5.11).
Основным инструментом для доказательства этих теорем
служит следующая лемма о сглаживании.

§ 4. Сглаживание отображений и многообразий 303
Лемма 4.1. Пусть U — открытое подмножество в Нт или в
Rm и А — компактное подмножество открытого множества V,
удовлетворяющего условию V a U. Пусть далее /: U -> R" есть
С-отображение, 1 ^ г, и б — положительное число. Существует
отображение fx: U -*- Rn, такое, что:
A) /i имеет класс С°° в некоторой окрестности множе-
множества А;
B) f 1 равмо / вне V;
C) |/iW-f(*)|<6 и |?>M*)-?>f(jc)|<6 Д^ всех *;
D) fi имеет класс Ср на любом открытом множестве, на ко-
котором f имеет класс Ср, 1 ^ р ^ оо;
E) существует дифференцируемая О-гомотопия ft между
отображениями /0 = f и f\, такая, что ft удовлетворяет усло-
условиям B) — D) для каждого t.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда U —
открытое подмножество в Rm, так как другой случай сводится
к этому, если отображение / продолжить на какую-либо окрест-
окрестность U в Rm. Мы можем также считать, что V—компакт.
Пусть W — открытое множество, содержащее А и такое, что
W cz V, и пусть f — какая-нибудь С°°-функция на Rm, равная 1
на некоторой окрестности множества Л и 0 вне W. (Берем раз-
разбиение единицы, подчиненное двухэлементному покрытию
{W,Rn\A}; тогда в качестве f можно взять функцию, отвечаю-
отвечающую W.)
Положим g(x) = $(х) -f(x), так что g-.U-^R". Продолжим
отображение g на Rm, полагая его равным нулю вне W. Тогда
g: Rm —» R" будет отображением класса С".
Пусть ф(а-)— С°°-функция на Rm, положительная на
IntCm(e) и равная нулю вне IntCm(e). Здесь е — положитель-
положительное число, значение которого мы уточним позднее. Мы также
предполагаем, что
С" да
ибо этого всегда можно добиться умножением ф на подходя-
подходящую константу. Положим
h (х) — \ ф (у) g (х + у) dy
для xgRb. Выберем е так, чтобы число -у/те было меньше,
чем расстояние от W до Rm\V. Тогда h(x)=0 для точек
х е Rm \ V. Положим

304 Дополнение. Дж. Манкрс
Так как ty(x) и h(x) обращаются в нуль при x^Rm\V, то ус-
условие B) выполняется.
Поскольку 1|з(л:) = 1 в некоторой окрестности множества А,
то fi(x)— h(x) для точек х из этой окрестности. Но h является
отображением класса С°°. Действительно,
J q>{z-x)g(z)dz =
dz,
ибо ф (г — х) = 0, если г не принадлежит множеству х+ Ст (в).
Так как <р — функция класса С°°, то и А имеет класс С°°. Таким
образом, выполнено условие A).
Поскольку fi = f(l — f)+A и отображение -ф и Л имеют
класс С00, класс отображения /i на любом открытом множестве
не меньше, чем класс отображения f. Следовательно, выпол-
выполняется условие D).
Далее, fi(x)*= f(x)-\-(h(x) — g(x)). Выберем е настолько
малым, чтобы h было б-аппроксимацией отображения g. Тогда
по теореме о среднем значении имеем
Л1 (*) = *'(
и
dhl , . dgl
где точки г/г и уц принадлежат кубу Ст(е). Функции gi и
dg'/dxl равномерно непрерывны, поэтому, если мы выберем в
так, чтобы \gt(x) — g'(x*)\ и \dgl/dxl{x)—dgl/dxf(x*)\ были
меньше б, когда \х — х'*|< в, то условие C) будет выполнено.
Наконец, пусть а — монотонная С°°-функция, такая, что
а(/) = 0 для t < '/з и а(/)= 1 для t ^ 2/з (см. лемму 1.3). По-
Положим
Ясно, что ft есть Сг-дифференцируемая гомотопия между
отображениями f и fi. Вне F имеем /i = f, а значит, и ft = f.
Подобным же образом
\ft-f\ = a(t)\h-f\<6,
\Dft-Dfl = a(t)\Dh-Df\<6.
Кроме того, ft имеет класс Ср на любом открытом множестве,
где fi и f имеют класс О. Таким образом, условие E) также
выполнено. Щ

§ 4. Сглаживание отображений и многообразий 305
Упражнение (а). Разобрать приведенное выше доказательство. Пока-
Показать, что, если U открыто в R*1 и /(?/) <= Н", то ft(U) с Н". Показать, что,
если U открыто в Нт и f(U) с: Н", то, вообще говоря, неверно, что ft(U) <=
с: Ня Видоизменить построение отображения fi так, чтобы это условие было
выполнено. (Указание: заменить повсюду в доказательстве Ст(е) на Ст(е) П
ПЯ)
Упр ажнение (Ь). Рассмотреть предыдущую лемму для случая г = 0.
Показать, что заключение леммы выполняется и в этом случае, если опустить
условие \Dfi(x)—Df(x)\ < 6, как не имеющее смысла, и принять, что ft
имеет лишь класс С0 и, следовательно, является просто гомотопией.
Теорема 4.2. Пусть М и N — многообразия класса Ср и
f: M-+ N — отображение класса С' A <; г <; р <; оо). Пусть
далее 6 {х) > 0. Существует Ср-отображение h: M-+ N, такое,
что
A) Л представляет собой 6-аппроксимацию f;
B) существует С''-дифференцируемая гомотопия ft между
отображениями fun, являющаяся б-аппроксимацией отобра-
отображения f при любом t.
Доказательство. Пусть {?//}—локально-конечное покрытие
многообразия М, где для каждого i (?//, fti)—координатная си-
система на М, Di — компакт и f(Ut) содержится в координатной
системе (О,-, ki) на многообразии N. Пусть {Wi} — открытое по-
покрытие многообразия М, такое, что Wi содержится в открытом
множестве F,- и Vi содержится в Ut, и пусть б — настолько ма-
малое положительное число, что любая б-аппроксимация отобра-
отображения f переводит Oi в О,-.
Положим fо = f и предположим, что f,_i: М -* N есть Сг-ото-
бражение, имеющее класс Ср на W\ []...[} Wi-\ и аппрокси-
аппроксимирующее f с погрешностью аппроксимации 6A —1/2'-1). Рас-
Рассмотрим отображение g,_, = fcjf^AJ, переводящее hi(Ui) в
открытое подмножество &<(О,) пространства R" или Ня. Приме-
Применяя лемму 4.1, получаем С'-отображение gt\ ht(Ut)->- R" или
Нп класса С°° на hi(Wi), совпадающее с gi-\ вне hi{Vi). Если
многообразия М и N обладают краями, то нужно воспользо-
воспользоваться упр. (а) п. 4.1. Пусть gi — достаточно хорошая аппрок-
аппроксимация отображения g,_i, так что она переводит h,(Ui) в
ki(Ot). Тогда отображение /,- корректно определяется формулой
( f{-\(x) для х, лежащих вне Vt,
I k^gjh^x) для х, лежащих в Ut.
Ясно, что ft имеет класс С" на множестве W\ U ... [jWi. (На-
(Напомним, что g, имеет класс Ср на любом открытом множестве,
на котором ?/_1 имеет класс Ср.) Кроме того, если мы потре-
потребуем, чтобы \gi(y) — gi-i(y)\ и \Dgt(y)—Dgt-i(y)\ были до-
достаточно малыми, то мы можем считать, что ft является 6(jf)/2'-

306 Дополнение. Дж. Манкрс
аппроксимацией отображения /j_i. (Здесь мы, конечно, исполь-
используем лемму 3.6.)
Положим теперь h(x)= lim ft{x); функция h корректно оп-
ределена, так как для всех достаточно больших i мы имеем
fi(y) = fi+i{y)= ... на некоторой окрестности точки х. Отобра-
Отображение h также имеет класс Ср и является б-аппроксимацией
отображения /.
Чтобы построить дифференцируемую гомотопию между ото-
отображениями / и ft, мы поступим следующим образом. Лемма
4.1 дает нам С-дифференцируемую гомотопию между gi-i и
gi. Из нее мы получаем С-дифференцируемую гомотопию
Fi(x,t) между fi-i(x) и f,(x); Ft будет б/2'-аппроксимацией ото-
отображения /,_i для каждого фиксированного t; Fi постоянно по t
для точек х, лежащих вне Vi. Положим
Г Fi{x,() для /<1,
(Х ' \Fl+l(x,t-i) для /</</+1.
Отображение F имеет класс Сг на М X R, и для любого ком-
компактного подмножества ВсМ существует число п, такое, что
F(x, /) = h(x) для |>л,илеВ, Полагаем
!/ (х) для / < 0,
F(x,tg(nt)) для 0</<'/2,
h(x) для V2</. Ш
Упражнение (а). Усилить предыдущую теорему следующим образом.
Пусть А — замкнутое подмножество многообразия М. Предположим, что ото-
отображение f уже имеет класс С в некоторой окрестности U множества А.
Тогда мы можем добавить к заключению теоремы следующее утверждение:
C) f,(x) =f(x) дляхеЛ.
Указание. В данном выше доказательстве взять покрытие {Ui} вписанным
в покрытие {U, М\А) многообразия М и выбрать gt = gi~\, если Ui^U.
Упражнение (b).B предположениях предыдущей теоремы пусть В —
замкнутое подмножество открытого множества U в М. Доказать, что суще-
существует Сг-отображение h: M^-N, имеющее класс С" в некоторой окрестности
множества В и совпадающее с / вне U, для которого выполнены условия A)
и B) предыдущей теоремы.
Упражнение (с). Рассмотреть предыдущую теорему в случае г = 0.
Показать, что заключение теоремы остается в силе, только, конечно, h и ft
будут теперь лишь С-б-аппроксимациями отображения /.
Следствие 4.3. Пусть М и N — многообразия класса Ср и
f: М -* N является О погружением A ^ г ^ р ^ оо). Сущест-
Существуют С"-погружение f\\ М-* N и О-дифференцируемая гомото-
пия ft между f и f\.
Доказательство. Это следует из теорем 3.10 и 4.2. Напом-
Напомним читателю, что по принятому нами нашему соглашению

§ 4. Сглаживание отображений и многообразий 307
(см. определение 3.9) требуется, чтобы ft было погружением
для любого /. I
Следствие 4.4. Пусть М и N — многообразия класса С" и
f-.M-^-N — некоторое О-вложение A <; г ^ р ^ оо). Суще-
Существуют &'-вложение f\: М —*¦ N и дифференцируемая изотопия
между f и f\. Ш
Следствие 4.5. Пусть М и N — многообразия без края клас-
класса Ср и /: М—* N есть О-диффеоморфизм A ^ г ^ р ^С оо).
Существуют Ср-диффеоморфизм ft: M-*¦ N и С-дифференцируе-
С-дифференцируемая изотопия ft между f и fu причем ft является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом для любого t. Ш
¦Упражнение (а). Сформулировать и доказать более сильные ва-
варианты этих трех следствий, получаемые при помощи результатов, данных в
упр. (а) и (Ь) п. 4.2.
* Упражнение (Ь). Пусть М и N — многообразия класса Cr, f0 и f i —
С-отображения М в N к ft — С1-дифференцируемая гомотопия между /0 и
fu Пусть, далее, fi(Jf)> 0. Доказать, что существует Сг-дифференцируемая го-
гомотопия Ft между /о и /ii такая, что Ft является б-аппроксимацией отображе-
отображения /< для каждого t.
*3адача 4.6. Пусть М к N — многообразия класса С1, /0 и
/i — С'-отображения М в N; и ft — С-регулярная гомотопия
между ними. Пусть, далее, б(х)>0. Доказать, что существует
С'-дифференцируемая гомотопия Ft между /0 и /ь такая, что
Ft является б-аппроксимацией отображения ft для каждого t.
Набросок решения. Рассмотрим сначала такую задачу.
Пусть // для каждого t есть С'-отображение открытого под-
подмножества U пространства Н или R" в пространство Нт или
Rm. Предположим, что ft — (^-регулярная гомотопия между f0
и f\. Пусть А — компактное подмножество множества U и ф —
С°°-функция, как в лемме 4.1, положим
gt(x)= ty(x)ft(x)
и
+ е
ht(x)= \ q{s)gt+s(x)ds,
— е
где е достаточно мало, функция ср положительна на интервале
8
(—в,е) и равна нулю вне него (—е,е), а \<р=1. Пусть
Ft(x) = ft(x) (I —1|>(*)) + ht(x). Тогда Ft является ^-диффе-
^-дифференцируемой гомотопией между /0 и f\ на некоторой окрестности
множества А и совпадает с ft вне некоторой окрестности этого
множества.

308 Дополнение. Дж. Манкрс
Лемма 4.7. Пусть U, V и W — ограниченные открытые под-
множества пространства Rm, такие, что W с V и V с: U. Пусть
далее я— проекция пространства R" на Rm. Предположим, что
f: U-^Rn есть Сг-отображение, такое, что nf: ?/ ->- Rm является
вложением. Для заданной функции 6(х)> 0 существует О'вло-
О'вложение h: U -*¦ R", такое, что
A) h равно f вне V;
B) h представляет собой 8-аппроксимацию отображения /з
C) h(W) есть С°°-подмногообразие в R";
D) если U\ — открытое подмножество в II и f(U\)—С°°'под-
многообразие в R", то h(U{) также будет С00-подмногообразием
в R".
Доказательство. Ограничение проекции я на f(U) является
гомоморфизмом f(U) на некоторое открытое подмножество О
пространства R; пусть g: О —¦ R" — обратное отображение.
Тогда
g(xl xm) = (xl, .... xm, gm+l(x) gn(x))
и, значит, g имеет класс С', ибо оно равно f(nf)~l.
Далее, если f(Ui)—С°°-подмногообразие в R", то ограниче-
ограничение отображения g на nf(U\) имеет класс С°°. (Обратное тоже
верно, как легко следует из теоремы 2.2.) Чтобы показать это,
введем на подмногообразии f(Ui) его индуцированную С°°-
структуру и заметим, что ограничение n\f(Ui) есть С°°-отобра-
жение относительно этой структуры, a g представляет собой
композицию обратного к этому ограничению отображения, ко-
которое имеет класс С00, и включения f{Ui) в R", которое тоже
является С°°-отображением.
Рассмотрим отображение g0: О -> R"-m, определенное равен-
ством
Используя лемму 4.1, выберем е-аппроксимацию §о(х) отобра-
отображения go. имеющую класс С°° на nf(W\ и равную ^о вне n/(V).

§ 4. Сглаживание отображений и многообразий 309
Кроме того, потребуем, чтобы go было класса О на любом от-
открытом подмножестве в О, где таковым является go. Пусть ото-
отображение g.O —>• R" определено равенством g(x) = (x,go{x));
оно представляет собой е-аппроксимацию отображения g.
Определим теперь отображение ft: L/->R" равенством h (x) =
=gnf(x). Согласно задаче 3.7, если выбрать е должным обра-
образом, то h будет б-аппроксимацией отображения f = gnf. Ш
Теорема 4.8. Пусть М — С'-многообразие без края A^г)
и f: М —*¦ R" есть О-вложение. Пусть далее б (х) > 0. Суще-
Существует О-вложение h: M — R", являющееся Ь-аппроксимацией
отображения f, такое, что h(M) есть С™-подмногообразие в R".
Доказательство. Пусть б настолько мало, что любая б-ап-
проксимация вложения / тоже будет вложением. Для каждой
точки х^М отображение df(x) имеет ранг т. Поэтому для
проекции я пространства R" на одну из координатных т-мер-
ных плоскостей отображение d(nf) (x) также имеет ранг т.
Тогда по теореме об обратной функции я/ является Сл-диффео-
морфизмом некоторой окрестности точки х на открытое под-
подмножество этой координатной плоскости. Выберем покрытие
многообразия М множествами Ct, такими, что: 1) для некото-
некоторой координатной системы (Ui,hi), содержащей Ct, множество
hi(Ct) представляет собой единичный m-мерный шар; 2) мно-
множества Int Ci также покрывают многообразие М и 3) для про-
проекции ni пространства R" на одну из координатных т-мерных
плоскостей n.if\Ci является вложением. Пусть б< > 0 таково,
что любая бг-аппроксимация отображения nif\Ct есть вложение,
и пусть функция б (х) настолько мала, что б {х) < 6; для х е С/,
Тогда, если f: M -*¦ R" является б-аппроксимацией отображения
/, то я,-/' будет б-аппроксимацией отображения ntf, так что
Я'Г I ?< ~~ вложение. Пусть Wi — открытое покрытие многообра-
многообразия М, такое, что Wi содержится в открытом множестве Vt и
Vi a Int d.
Положим /о = f. Рассуждая по индукции, предположим, что
fi-\-.M—>¦ R" есть Сг-отображение, которое служит A —
— 'А')б(х)-аппроксимацией отображения f, причем f/_i(№*)
является С°°-подмногообразием пространства R", k < /. По-
Построим отображение f/. Применяя лемму 4.7 к отображению
fi^hj1: h, (Int Cy) ^R",
мы получим отображение f/: M -*¦ R", представляющее собой
б/2'-аппроксимацию отображения f/_i, равное //-i вне V/ и та-
такое, что fj(Wi) оказывается С°°-подмногообразием пространства
R". Условие D) леммы 4.1 обеспечивает нам возможность вы-
выбрать f/ так, чтобы fj{Wk) было С°°-подмногообразием в R",
* < /.

310 Дополнение. Дж. Манкрс
Как и в теореме 4.2, мы полагаем h{x) — lira fj(x) и легко
1->°о
убеждаемся, что h удовлетворяет всем требованиям доказывае-
доказываемой теоремы. Ш
Следствие 4.9. Всякая С'-дифференцируемая структура 3)
на многообразии М без края содержит некоторую О'-структуру.
Упражнение (а). Пусть М — С'-миогообразяе без края, а N — С°°-
многообразие без края. Пусть б(дс) > 0. Доказать, что, если /: M^-N яв-
является Сг-вложением, то существует С'-вложение h: M-+ N, служащее 6-ап-
проксимацией отображения /, причем h(M) оказывается С"-подмногообразием
в W, и между отображениями f и h существует Сг-дифференцируемая изотопия.
§ 5. МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ
Доказательство наших двух главных теорем 4.5 и 4.9 для
случая многообразий с краем требует привлечения дополни-
дополнительных технических средств.
Прежде всего нам надо доказать теорему о трубчатой ок-
окрестности (теорема 5.5), которая утверждает, что всякое Сг-
подмногообразие без края М в евклидовом пространстве имеет
окрестность, которая стягивается на М при помощи ретракции
класса Сг. Если г > 1, то легко найти такую ретракцию класса
С-1; грубо говоря, берется плоскость, перпендикулярная к
многообразию М в точке х, и «сжимается» в х. Построение
ретракции класса С' требует гораздо большей работы. Нужно
сначала изучить многообразия Грассмана (п. 5.1—5.4). Необхо-
Необходима также одна топологическая лемма (п. 5.7).
Пользуясь этими средствами, мы докажем теорему о ци-
цилиндрической окрестности края, которая утверждает, что Bd-M
имеет окрестность вМ, диффеоморфную ВйМ Х[0, 1). Эта тео-
теорема в свою очередь используется для построения дифферен-
дифференцируемой структуры на удвоении D(M) многообразия М
(п. 5.8—5.10).
После этого теоремы для многообразия М с краем сводятся
к соответствующим теоремам для многообразия D(M), которое
не имеет края (п. 5.11—5.13).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Многообразием Грассмана Gp, „ назы-
называется множество всех и-мерных подпространств пространства
Пусть М(р, q) обозначает множество всех рХ ^-матриц; че-
через М(р, q; г) обозначается подмножество матриц, имеющих
ранг г. Строки любой матрицы А е М (и, п + р; и) образуют
множество п линейно независимых векторов в пространстве
R"+p. Таким образом, они определяют элемент множества GP, n,

§ 5. Многообразия с краем 311
который мы будем обозначать Ъ(А). Далее, две матрицы А и В
определяют один и тот же элемент множества Gp, „ тогда и
только тогда, когда строки каждой из них являются линейными
комбинациями строк другой, т. е. когда А = С В для некоторой
невырожденной л X л-матрицы С.
Множество М(п,п-\-р;п) является открытым подмножест-
подмножеством пространства Rn<n+p> (см. доказательство теоремы 3.10),
так что оно имеет естественную топологию и О-дифференци-
руемую структуру. В множестве Gp, n вводится топология отож-
отождествления: подмножество V открыто в Gp, „ тогда и только
тогда, когда К~1 {V) открыто в М(п, п -\- р\ п).
Заметим, что X: М(п, л + р; п)-*- Gp, „ является открытым
отображением. Действительно, пусть U — открытое подмноже-
подмножество в М(п, п + р; п). Для любой фиксированной матрицы
С е М (л, п; п) отображение С: А -* С А является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом пространства М(п, п-\-р;п) на себя, так что C(U) от-
открыто в М(п, п + р; п). Множество h-*{X(U)) открыто как
объединением множеств C{U) по всем С е М(п, п; и); следо-
следовательно, >.(U) открыто.
Теорема 5.2. Многообразие Грассмана Gp, „ является С°°-мно-
гообразием без края размерности рп; отображение К: М(п,п-\-
+ р\ л)-> Gp, п имеет класс С°°.
Доказательство. A) Gp,n локально евклидово. Объясним сна-
сначала геометрическую идею доказательства. Если !? есть л-мер-
ная плоскость, проходящая через начало координат, то су-
существует проекция я пространства R"+p на некоторую коорди-
координатную n-мерную плоскость, являющаяся линейным изоморфиз-
изоморфизмом на 9*. Пусть U — множество всех л-мерных плоскостей,
на которых я является линейным изоморфизмом. Каждая п-
мерная плоскость из U однозначно определяет набор из п век-
торов (оь ..., »„), которые лежат в ней и проектируются при
отображении я в канонический базис координатной л-мерной
плоскости. Обратно, каждый такой набор из «-векторов опре-
определяет некоторую n-мерную плоскость из множества U. Таким
образом, каждый вектор у,- имеет р компонент, которые могут
быть выбраны произвольно; так как имеется п таких векто-
векторов, множество U гомеоморфно Rnp.
Более точно, пусть М^4) элемент общего вида в пространстве
Gp, п. Некоторая п X л-подматрица матрицы А имеет ранг л;
предположим, что она состоит из первых л столбцов. Пусть U
множество матриц вида [PQ], где Р — невырожденная лХл-
матрица. Ясно, что U является открытым подмножеством в
Rn(n+P) и, следовательно, в М(п,п -\- р; /г). Поэтому V
открытое подмножество в Gp, n.

312 Дополнение. Дж. Манкрс
Пусть if отображает произвольную матрицу Q&M(n,p) в
матрицу [IQ] е М (п, п + р), и пусть фо = ЭД>. Очевидно, ф0
представляет собой непрерывное отображение М(п, р) в Ga,p.
Оно взаимно-однозначно, поскольку A,[/Qi] = Я, [/Q2] тогда и
только тогда, когда [/Qi]= C[IQi], оно отображает М(п,р) на
V, так как X[PQ] = k[I(P-lQ)] = ¦o(P~IQ).
Пусть ф: I/ -> Af (я, р) отображение, определенное равенством
<f([PQ]) — P~lQ' Оно постоянно на каждом множестве k~x(JP),
ибо равенство Л ([РА]) = Я ([P2Q2]) означает, что [PiQi] =
= C[P2Q2], откуда вытекает, что Pf1Qi = (CP2)~I (CQ2) = P2~1Q2.
Следовательно, ф индуцирует непрерывное отображение ф0 мно-
множества У в М(«, р); это ф0 является обратным к отобра-
отображению фо, так как фофо (Q) = ф ([IQ]) = /~JQ = Q. Значит,
¦ф0 — гомеоморфизм.
ц см(п,л<р;л)
B) Gp, n имеет С°°-дифференцируемую структуру. Доста-
Достаточно доказать, что любые две координатные окрестности типа
только что построенной окрестности (V,фо) имеют «пересече-
«пересечение» класса С°°. Пусть ф, ф0, $г ф0> О, V— соответствующие
отображения и открытые множества, определяющие другую ко-
координатную окрестность указанного типа. Отображение ф дей-
действует так: оно некоторым образом расставляет столбцы мат-
матрицы Q между столбцами единичной матрицы /, поэтому, ко-
конечно, ^ имеет класс С°°. Аналогично отображение ф имеет
класс С00 на открытом множестве U в М (п, п -f- p; п), так как
4>([PQ]) = P~*Q- Следовательно, отображение фофо = ффимеет
класс С°° (на открытом множестве <p(Cf|tO, гДе оно опреде-
определено).
C) Gp, п хаусдорфово. Пусть К (А) и % {В)—различные «точ-
«точки» пространства Gp,n- Тогда матрица [в] должна быть ранга,
не меньшего л-f- 1. Выберем е >0 так, чтобы любая матрица
размера 2п X (я + Р), отличающаяся от нее (поэлементно) не
более чем на е, имела ранг, не меньший п -J- 1. Пусть U обозна-
обозначает е-окрестность «точки» А, а V обозначает е-окрестность
«точки» В в пространстве М(п, п-\-р; п). Тогда X(U) и %(V)
будут различными окрестностями «точек» Я (Л) и X(fi) соответ-
соответственно, ибо Я, — открытое отображение,

S. Многообразия е краем 313
D) Gp, n имеет счетную базу. Действительно, пространство
Gp,n покрывается (п •{¦ р)\/п\р\ координатными системами типа
построенной выше. ¦
•Упражнение (а). Показать, что пространство GP,K компактно.
•Упражнение (Ь). Показать, что существует С"-диффеоморфизм
Gp, а и a On, p.
Лемма 5.3. Пусть f: M-+ Gp, „ есть С'-отображение. Для лю-
любой заданной точки леМ существуют такая ее окрестность U
и такое О-отображение f»: U -*М (я, п + р; п), что %f* = /.
(Это отображение f* называется поднятием отображения /
над U.)
Доказательство. Пусть (V, фо)— координатная система на
Gp,n типа построенной в теореме 5.2, такая, что f(x) лежит в V.
Так как ф0: V-*-M(n, p) является С°°-диффеоморфизмом, то
мы просто полагаем
•Упражнение (а). Пусть (V, ф0) — координатная система указанного
в теореме 5.2 типа. Показать, что существует диффеоморфизм g пространства
k-'(V) с пространством VXM(n, л; я), такой, что kg~l представляет собой
естественную проекцию произведения VXM(n, n; п) на V.
Пусть (V, ф о) — другая координатная система на Gp, „ и ? —соответст-
—соответствующий диффеоморфизм. Для каждой точки х е V П V обозначим через h,
отображение, переводящее пространство М(п,п\п) в себя, определяемое ра-
равенством .,
(х, kx(P))-gg-4x. Р).
Доказать, что А» — это просто умножение на некоторую невырожденную мат-
матрицу Ах и что отображение х-*-Ах непрерывно. Все это показывает, что К:
М(п,п + р; n)-*-Gp,n является главным расслоением со слоем и структурной
группой М(п,п;п) (см. [12]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.4. Пусть f: М -> R" и есть С'-погружение.
Если v — касательный вектор к многообразию М в точке х, то
df(v) — касательный вектор к пространству R" в точке Да;).
Если отождествить T(Rn) с R"XR". то df(v) = (f(x),dof(v)) (см.
п. 3.5). Когда вектор v пробегает касательное пространство в
точке х, вектор dof (v) пробегает некоторую m-мерную плоскость,
проходящую через начало координат в R". Касательным ото-
отображением t, определяемым погружением, называется отобра-
отображение t: М —> GPt m, сопоставляющее точке х эту m-мерную пло-
плоскость. (Разумеется, л = гп-\- р.)
Пусть (О, К) какая-нибудь координатная система на М.
Тогда локально отображение t задается равенством / (х) =
= %(D{fh-1)), где матрица D{fh~l) вычислена в точке h(x), а К
есть проекция пространства M(m,m + p,m) на Gp, m. Следова-
Следовательно, t имеет класс С'-х.

314 Дополнение. Дж. Манкрс
Аналогичным образом нормальное отображение п, отвечаю-
отвечающее погружению /, определяется как отображение п: М -* Gm, p,
сопоставляющее точке х ортогональное дополнение к т-мерной
плоскости t(x). Так как матрица Z)(/A-1) невырождена, ее
можно представить в виде [P(x)Q(x)], где Р — невырожденная
m X m-матрица. Тогда локально отображение п задается ра-
равенством п(х)= %{ [R{x)I]), где R =—(P^Q)'. Следовательно,
п также имеет класс СГ~К
Теорема 5.5 (о локальной ретракции). Для всякого Сг-вло-
жения /: М —>• R" многообразия без края в евклидово простран-
пространство существует Сг-ретракция г. W-*~f(M) некоторой окрестно-
окрестности W образа f(M) на этот образ. (Напомним, что это значит,
что г(у) = у для y(=f(M).)
Доказательство. Рассмотрим нормальное отображение п:
М -*¦ Gm, p и касательное отображение t: M-+ Gp,m для вложе-
вложения f(p = n — m). Оба отображения имеют класс Сг~х. Суще-
Существует тонкая С°-окрестность отображения п, такая, что для
любого отображения п, лежащего в этой окрестности, п(х) и
t(x) являются линейно независимыми подпространствами про-
пространства R", т. е. их пересечение есть нулевой вектор (см.
упр. (а)). Используя теорему 4.2, выберем отображение ri: M -*
-* Gp, m класса Сг, лежащее в этой окрестности. (В случае г = I
отображение п имеет класс С° и надо воспользоваться упр. (с)
п. 4.2.) Обозначим через t(x) ортогональное дополнение к
п(х); t также является отображением класса С'.
Пусть Е — подмножество произведения М X R", состоящее
из пар (x,v), таких, что вектор v лежит в пространстве п{х).
(Если бы мы использовали само отображение п вместо п, то Е
было бы тем, что называется нормальным расслоением вложе-
вложения /.) Докажем, что Е представляет собой Сг-подмногообразие
в М X R" размерности п.
Для заданной точки х е М пусть п* и f» суть Сг-поднятия
отображений п и t над некоторой окрестностью этой точки.
Тогда п*(х) — А(х) есть р X "-матрица, а !,„(*) = 5(я) есть
m X л-матрица, строки матриц А и В в совокупности образуют
линейно независимое множество. Пусть (U, /г) —координатная
система в точке х, такая, что отображения п* и t* определены
на U, и пусть h(x) = (u\ ..., um). Определим отображение g:
U X R" -¦ Rm X R" равенством

§ 5. Многообразия с краем 315
Тогда ((УХ R", g) будет Сг-координатной системой на MXR"-
Если элемент (х, v) лежит в Е, то вектор v представим в виде
линейной комбинации строк матрицы А (х), так что
[(х)
для некоторого набора у\ ..., у". Обратно, если вектор v имеет
такой вид, то элемент (л:, v) лежит в Е. Таким образом, (х, v)
лежит в Е тогда и только тогда, когда g(x, v) лежит в Л(?/)Х
X R". Следовательно, координатное отображение g переводит
пересечение пространства Е с U X R" в открытое подмножество
h(U)XR" пространства Rm+p, так что Е является ^-подмного-
^-подмногообразием пространства М X R"-
Рассмотрим Сг-отображение М X R" -*¦ R". которое переводит
-> ->
(х, v) в f(x)-\- v. Пусть F — ограничение этого отображения на
Е. Докажем, что dF имеет ранг п в каждой точке произведения
МХО. Воспользуемся координатной системой g(x, v) —
= («', ..., ит, у\ ..., ур, 0, ..., 0) на Е, которая была по-
построена выше. Имеем
Fg~l (и, у) = //Г1 (и) + W ..-/]• A (ft («)),

316 Дополнение. Дж. Манкрс
так что
" W = д (//Г1) duk + ([у1 .../]¦ д {Ah-')lduk)\
Последний член обращается в нуль в точках множества
g(M X 0), поскольку в этих точках у = 0. Следовательно,
D {Fg-1) = ID (//Г1) (и) • Л (Л (и))']
в точках множества g(MXO). Столбцы матрицы D(fh~i) по-
порождают касательное пространство t(x); строки матрицы А
порождают пространство п(х); в силу выбора п эти простран-
пространства линейно независимы.
Но отображение F: Е —» R" является на М X 0 гомеоморфиз-
гомеоморфизмом и, кроме того, каждая точка из М X 0 имеет окрестность,
которую F гомеоморфно отображает на соответствующее от-
открытое подмножество пространства R" (по теореме об обратной
функции). Отсюда следует, что существует окрестность много-
многообразия М X 0 в Е, которую F гомеоморфно отображает на от-
открытое подмножество пространства R" (см. лемму 5.7). Суще-
Существует также окрестность многообразия М X 0 в Е, на которой
dF имеет ранг п\ пусть V — пересечение этих окрестностей, и
пусть W = F(V). Имеется естественная проекция л прямого про-
произведения М X R" на М. Так как F является СЛ-диффеоморфиз-
мом V на W, то FnF-1 = г и будет искомой ретракцией W на
f(M). Ш
Упражнение (а). Построить тонкую С°-окрестность нормального ото-
отображения п, требующуюся в предыдущем доказательстве.
Указание. Используя тот факт, что К — открытое отображение, построить
окрестности подпространств п(х0) и t(x0), состоящие из линейно независимых
подпространств.
Следствие 5.6. Пусть М — многообразие без края и /: M-+N
есть Сг-вложение. Для некоторой окрестности W подмногообра-
подмногообразия f(M) в N существует С-ретракция г: W-*f(M).
Доказательство. Пусть g: N—*Rq есть Сг-вложение. Для не-
некоторой окрестности U подмногообразия gf(M) в R« существует
С-ретракция г0: U-*gf(M). Композиция g~*rog будет искомой
ретракцией, определенной на W = g~l(U). Ш
'Упражнение (а). Пусть М и N — многообразия без края н /:
M-+-N есть С'-погружение, г ^ 2. Нормальное расслоение Е погружения /
может быть наиболее просто описано, когда JV представляет собой подмного-
подмногообразие в R" с индуцированной рнмановой метрикой. В этом случае Е — это
подпространство в М X Яр, состоящее из пар (ж, о), таких, что о является

§ 5. Многообразия с краем 317
вектором, касательным к N в точке f(x) и нормальным к подпространству, со-
состоящему из векторов вида df(w), где w — вектор, касательный к М в точке х.
(В общем случае Е описывается как подпространство прямого произведения
My,T(N).) Ясно, что Е представляет собой (^"'-подмногообразие в М X ft".
Доказать следующую теорему о трубчатой окрестности:
Если f: М -*¦ N с К." есть С'-вложение, то существуют окрестность U под-
подпространства MX0 нормального расслоения Е и С'-'-диффеоморфизм h этой
окрестности U на некоторую окрестность подмногообразия f(M) в ЛГ, такие,
что h\MX0 f
Указание. Рассмотреть отображение F: ?-»R', задаваемое формулой
F (х, о) = / (х) 4- о- Пусть г — ретракция некоторой окрестности многообразия
N на N. Взять h = rF.
Лемма 5.7. Пусть А — замкнутое подмножество локально-
компактного пространства X, и пусть отображение f: X-+Y яв-
является на А гомеоморфизмом, причем каждая точка х^А обла-
обладает окрестностью Ux, которую f гомеоморфно отображает на
открытое подмножество пространства Y. Тогда f есть гомеомор-
гомеоморфизм некоторой окрестности множества А на некоторое открытое
подмножество в Y. (Как всегда, X и У — сепарабельные метри-
метрические пространства.)
Доказательство. Пусть U — объединение окрестностей Ux.
Тогда отображение f является локально взаимно-однозначным
в каждой точке из U. Далее, если В — любое подмножество в U,
такое, что f\B взаимно-однозначно, то f\B — гомеоморфизм.
Действительно, пусть f(xn)^-f(x), где точки хп и х принадле-
принадлежат В. Так как множество f(Ux) открыто в У, оно содержит все
элементы последовательности f(xn), начиная с некоторого но-
номера л. Так как f\Ux — гомеоморфизм, последовательность хп
должна сходиться к точке х.
A) Докажем, что, если С — компактное подмножество в V
и f взаимно-однозначно на С, то существует окрестность мно-
множества С, на которой замыкание отображения f является вза-
взаимно-однозначным. Пусть Un обозначает e/n-окрестность мно-
множества С, где е настолько мало, что замыкание П\ компактно и
лежит в U. Допустим, что f не является взаимно-однозначным
ни на каком из множеств Оп. Тогда найдутся точки х„ и у„ из
On, такие, что хпфуп и f(xn) — f(yn). Переходя к подпоследо-
подпоследовательностям и производя перенумерацию, мы можем считать,
что хп-*- х и уп-*У, где х и у — точки из С. Тогда f(x) = f(y) и,
поскольку f взаимно-однозначно на С, х = у. Однако / локально
взаимно-однозначно в точке х, и потому мы не можем иметь
f(xn) = f(yn) для больших п.
B) Докажем, что, если С — компактное подмножество в V
и f — взаимно-однозначно на С\}А, то существует окрестность V
множества С, такая, что / является взаимно-однозначным на

318 Дополнение. Дж. Манкрс
V[jA. Пусть Un обозначает е/я-окрестность множества С, где е
настолько мало, что Ю\ компактно и лежит в U; кроме того, мы
можем предполагать (в силу A)), что / взаимно-однозначно нл
П\. Если f не является взаимно-однозначным ни на одном из
множеств On U А, то найдутся точки хп из ?7„ \ А и точки уп из
Д\?7,г, такие, что f(xn) — f (уп). Переходя к подпоследователь-
подпоследовательностям и производя перенумерацию, мы можем считать, что
х„-*х, где j;eC. Тогда f(yn)-*f(x). Так как f\C[)A —гомео-
—гомеоморфизм, то уп^*-х. Однако / локально взаимно-однозначно в
точке х, и, следовательно, мы не можем иметь f(xn) = f(yn) для
больших п.
C) Теперь непосредственно приступим к доказательству
леммы. Пусть А представлено в виде объединения возрастающей
последовательности AoczA\Ci ... компактных множеств, где
Ло = 0. Положим Vo = 0, и пусть Vn — окрестность множества
Vn-\ U Ап, такая, что Vn — компактное подмножество в U и /
взаимно-однозначно на Vn U А. Согласно B), мы можем выб-
выбрать окрестность Vn+\ компактного множества Vn U An+i, такую,
что Vn+i является компактным подмножеством в С/и/ взаимно-
взаимнооднозначно на Vn+i U А.
Пусть V—объединение множеств Vn- Тогда V — окрестность
множества А и отображение f взаимно-однозначно на V. Ш
Лемма 5.8. На всяком Сг-многообразии М существует неот-
неотрицательная вещественнозначная функция g класса Сг, такая,
что g(x) = 0 и dg(x) имеет ранг 1 в каждой точке х e Bd M.
Доказательство. Пусть {(Ui, hi)} —локально-конечное покры-
покрытие многообразия М координатными системами и {ф,} —разбие-
—разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ui}. Пусть dim M = m.
Тогда m-я координатная функция h™ (x) равна нулю в точках
же Uif\BdM для каждого i. Далее, если k(x) — (ul, ..., um) —
другая координатная система в точке х, то производная
d(hTk~l)/dum положительна в точке k(x). Действительно, hik~l
является невырожденным преобразованием некоторого откры-
открытого множества в Нт, содержащего точку k(x), на некоторое
другое открытое множество в Н, причем h?k~l (и], ..., ит~\6)^
е=0, так что д(hTk~1)/ди1 = Ов точках пространства Rm~' для
/ < т. Поскольку D(hik~])—невырожденная матрица, произ-
производная dihTkTjIdu должна быть ненулевой в точках простран-
пространства R, а так как h? (x) неотрицательно для всех х, эта про-
производная должна быть положительной в точках из R1"-1.
Пусть g(я) = ?<р,(*) • А™(я). Тогда g(x) = 0 для всех jus
f. Далее, если k{x) = {u] ит)—произвольная коор-

§ 5. Многообразия с краем 319
динагная система на М, то
a(g*~') у-. m
дит ~~ 2-j '
Для всякой точки xeBdjM первый член равен нулю, так как
п? (х) = 0, а второй член строго положителен. Следовательно,
dg(x) имеет ранг 1 в точках х е BdM. Ш
Теорема 5.9. Для всякого С'-многообразия М существует
О'-диффеоморфизм р некоторой окрестности края Bd M на про-
произведение ВсШХ[0,1), удовлетворяющий условию р(х) = (х,0)
при х е Bd M.
Такая окрестность называется цилиндрической окрестностью
края'.
Доказательство. Согласно следствию 5.6, для некоторой
окрестности W края Bd М в М существует Сг-ретракция г:
W—>-BdM. По лемме 5.8 существует неотрицательная Сг-функ-
ция g на М, такая, что g(x) = Q и dg{x) имеет ранг 1 для всех
xeBdAL Определим отображение /: H?->Bd.MXfO, oo) ра-
равенством f{y) = (r(y), g(y))- Если х е BdM, то f(x) = (x, 0) и
дифференциал df(x) невырожден. Действительно, если k(x) =
= {и\ ..., ип) — координатная система в точке х и h =
= (Jfe|BdAf)Xi, то
Г7
U
dum
Применяя теорему 1.11, мы получаем, что каждая точка ле
е Bd M имеет окрестность Ux, которую f гомеоморфно перево-
переводит на некоторое открытое подмножество в Bd Af X [0, оо). Так
как / является на Bd M гомеоморфизмом, то из леммы 5.7
следует, что f есть гомеоморфизм некоторой окрестности U гра-
границы Bd M в W на некоторую окрестность V множества BdAlXO
в BdMX[0, oo). Используя упр. (а) п. 2.6, мы можем построить
С'-функцию б (х) > 0 на Bd М, такую, что точка (х, t) из Bd M X
Х[0, оо) лежит в V, если t < б(х). Пусть s — диффеоморфизм
пространства BdMX[0, оо) на себя, переводящий точку (я, t)
в точку (х, t/8(x)), и пусть р — sf. Тогда p(U) содержит BdAI X
Х[0, 1) и соответствующее ограничение р будет удовлетворять
требованиям теоремы. Ш
1 Или воротником. (В оригинале — product neighborhood (окрестность-про-
(окрестность-произведение) .) — Прим. ред.

320 Дополнение 1. Дж. Манкрс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.10. Пусть М — ^-многообразие с непу.
стым краем. Напомним, что удвоение D(M) многообразия М —
это объединение множеств Afo = AfXOHAfi = AfXl с отожде-
отождествлением точек (х, 0) и (х, 1) для всех хе BdAf. Мы можем
ввести дифференцируемую структуру на многообразии D(Af)
следующим образом. Пусть р0: U0-*BdAfoX [0 1) и р\\ 0\-*
->BdAfiX(—1, 0] — цилиндрические окрестности края в Мо и
AIi соответственно, U — объединение Uq и Ui ъ D(Af) и Р: U ->
->ВсШХ(—1, 1) —гомеоморфизм, индуцированный отображе-
отображениями ро и р\. Дифференцируемая структура класса С' на D(M)
будет корректно определена, если мы потребуем выполнения
следующих условий:
A) Р является Сг диффеоморфизмом,
B) включения Мо и Му в D(Af) являются Сг-вложениями.
Заметим, что так определенная дифференцируемая структу-
структура на D(A1) сильно зависит от выбора цилиндрических окрест-
окрестностей ро и рь Однако дифференцируемые многообразия, соот-
соответствующие различным способам выбора, оказываются, как
мы докажем позднее (см. теорему 6.3), диффеоморфными.
'Упражнение (а). Используя различные выборы цилиндрических ок-
окрестностей края Bd H2, ввести две не тождественные друг другу дифференци-
дифференцируемые структуры на удвоении D(H2). Показать, что получающиеся диффе-
дифференцируемые многообразия диффеоморфиы, однако соответствующий диффео-
диффеоморфизм не может быть выбран как сколь угодно хорошая С'-аппроксимация
тождественного отображения иа каждом экземпляре полуплоскости Н2.
*Упражиеиие (Ь). Показать, что, если М и N суть С'-многообразия,
то произведение MX.N обладает дифференцируемой структурой класса Сг,
такой, что каждое из включений М-*-Му^у, N-*-x"X.N является Сг-вложе-
ннем.
Теорема 5.11. Всякая дифференцируемая структура 3) клас-
класса О на многообразии М содержит некоторую С°°-структуру,
Доказательство. Мы уже доказали эту теорему для случая,
когда край Bd-M пуст. Пусть теперь край Bd-M непуст. Рассмо-
Рассмотрим многообразие D(Af), не имеющее края, и снабдим его диф-
дифференцируемой структурой класса О, описанной в определении
5.10. Выберем какую-нибудь содержащуюся в ней С°°-структуру,
и пусть D' обозначает соответствующее дифференцируемое мно-
многообразие.
Рассмотрим отображение Р~х: BdAfX(—1, 1)—>D(Af), где
Р — отображение из определения 5.10. Заданная Сг-структура
на BdAf содержит некоторую С°°-структуру; обозначим соответ-
соответствующее дифференцируемое многообразие через (BdAfO. Ото-
бражение Р~х является Сг-диффеоморфизмом С°°-многообразия
(BdAf)'X(-1, 1) на некоторое открытое подмножество U в
С°°-многообразии D'.

§ 5. Многообразия с краем 321
Заметим, что существует Сл-диффеоморфизм h многообразия
(Bd Af)'X(—1. 1) на U, имеющий класс С°° в некоторой окрест-
окрестности подмногообразия (BdM)'XO и совпадающий с Р~1 вне
открытого подмножества (BdM)'X(—'А. /ъ)- (Здесь мы ис-
используем упр. (Ь) п. 4.2.) Поэтому множество Л(ВсШХО) яв-
является С°°-подмногообразием многообразия D'.
Диффеоморфизм h позволяет построить С-диффеоморфизм f
многообразия D' на себя: мы можем просто положить }(х) =
= hP(x) для ^е(/ и f(x) = x для остальных точек. Если i:
М -+М0 a Dj — отображение включения, то f; будет С'-вложе-
нием многообразия М в многообразие D', а множество fi(M)
будет С°°-подмногообразием в D', откуда и следует требуемый
результат. ¦
Лемма 5.12. Пусть М и N суть С"-многообразия без края и
f: M-+N есть О-диффеоморфизм. Отождествим для удобства N
с подмножеством N X 0 в произведении N X R- Для любой за-
заданной положительной функции skoA'XR существует положи-
положительная функция б на М, такая, что выполнено следующее
условие.
Пусть g — С"-вложение М в N X R, служащее Ь-аппроксима-
цией отображения f. Тогда найдется Ср-диффеоморфизм h про-
произведения N X R «я себя, который
A) переводит g(M) в N;
B) является %-аппроксимацией тождественного отображения
и равен тождественному отображению вне N X (—2/з, 2/з) •
Доказательство. Пусть P(f) — монотонная С°°-функция, рав-
равная 1 при t ^ '/з и нулю при t 3* 2/з- Пусть k ^ |Р'@1 Для
всех t\ ясно, что k ^ 3. Пусть далее п — проекция произведе-
произведения NX R на NX 0, и пусть б настолько мало, что g(M) лежит
в #Х(—'/з. '/з) и ng — диффеоморфизм М на NX0. (Согласно
задаче 3.7, мы можем, беря б достаточно малым, добиться того,
чтобы л# было сколь угодно хорошей аппроксимацией для-
} f)
X
Мил»°Р. ДЖ1 Сташеф

322 Дополнение. Дж. Манкрс
Общая точка образа g(M) имеет вид (у, <${у)), где у е N и
Ф — вещественная функция на N, такая, что —'/з < ф(#)< Уз-
Поскольку (у, ф{у)) — g({ng)-'(у, 0)), то ф есть функция клас-
класса О.
Определим отображение h: N"XR—*WXR равенством
h {у, s) = (у, Ч> (у, s)),
где
Мы имеем |<р(|/)| < '/з. и, таким образом, р(| s |)= 1, когда
s = у (у). Следовательно, h переводит g(M) в N X 0.
Если |s|>2/3. то P(lsl)==0 и Л является тождественным
отображением.
За счет надлежащего выбора б мы можем сделать функцию
ф((/) сколь угодно близкой к нулевой функции. Действительно,
заметим, что (у, <$(у)) = g(ng)~l{y> 0); используя задачу 3.7,
мы видим, что, если g достаточно близко к /, то ng близко к
nf = f, (ng~l) близко к /-' и g(ng-') близко к ff~l = id. Пусть
б настолько мало, что у(у) служит е0(г/)/2?-аппроксимацией
для нулевой функции, где ео(|/)= mine (г/, s) по —1 < s < 1.
Чтобы все это имело смысл, надо предварительно вложить мно-
многообразие N в некоторое R". Тогда N X R вложится в Rp+1. Так
как \<f(y) | < ео(у), то
\\h{y, s)-(y, s)\\ = \*{y, s)-s\<eo(y),
как и требуется. Пусть v — единичный касательный вектор к
iVXR в точке (y,s) и v, Vi — его компоненты, касательные к
N X s и у X R соответственно. Имеем
|] dh (о) - о || < || dh (щ) -1, || +1| dh (щ) - $21
Второй член в правой части этого неравенства меньше ео/2, по-
поскольку \dy /ds — 11 = |<p(i/)P'(l s |) | < eo/2, а первый член
равен
откуда и следует наше утверждение. Ш
Теорема 5.13. Пусть М и N —многообразия класса С" и /:
M—*N есть С'-диффеоморфизм (l^r^p^oo). Для любой
заданной функции б(д:)>0 существует Cf'-диффеоморфизм ft:
М -*N, являющийся 8-аппроксимацией диффеоморфизма f.
Доказательство. Пусть б настолько мало, что если f\ служит
С°-б-аппроксимацией для f и /i(BdM)c= Bd TV, то ft представляет
собой отображение на. Рассмотрим N как подмногообразие

§ 5. Многообразия с краем 323
удвоения D(N); тогда / будет Обложением М в D(N). Соглас-
Согласно задаче 3.7, существуют положительные функции 6i и бг на М
и D(N) соответственно, такие, что, если g есть бгаппроксима-
ция для f и ft: D(N)-*- D(N) есть бг-аппроксимация тождествен-
тождественного отображения, то hg является б-аппроксимацией отображе-
отображения f: M-+D(N).
Пусть g: M—*D(N) есть О-вложение, служащее браппро-
ксимацией для /. Если 6i достаточно мало, то g будет перево-
переводить BdM в цилиндрическую окрестность BdA^X(—1, 1), кото-
которая используется при введении в D(./V) дифференцируемой
структуры. Теперь мы можем применить предыдущую лемму и
получить О-диффеоморфизм h многообразия D(N) на себя, пе-
переводящий g(BdM) на BdN.
Взяв б] достаточно малым, мы можем обеспечить, чтобы h
было бг-аппроксимацией тождественного отображения. Тогда
hg = fi отображает М в D(M) и переводит BdM в BdN; из со-
соображений связности следует, что М должно переводиться в
подмножество N многообразия D(N). Поскольку ft имеет класс
С", отсюда вытекает доказываемое утверждение. Ш
*3адача 5.14. Обобщая предыдущую теорему, доказать, что
существует Сг-дифференцируемая изотопия /* между отображе-
отображениями f и /ь такая, что ft является диффеоморфизмом М на N
для каждого t.
Указание. Для этого потребуется обобщить лемму 5.12 сле-
следующим образом. Пусть gt есть Сг-дифференцируемая изотопия
между двумя Сг-вложениями М в N X R, служащая б-аппро-
б-аппроксимацией отображения / при каждом t. Тогда существует
Сг-дифференцируемая изотопия ft/, являющаяся диффеоморфиз-
диффеоморфизмом N X R на себя для каждого /, удовлетворяющая условиям
A) и B) для каждого / и дополнительно удовлетворяющая
условиям:
C) если gt(M)aN для некоторого t, то ht представляет со-
собой тождественное отображение;
D) если gt имеет класс С" для некоторого /, то hi тоже
имеет класс С".
*3адача 5.15. Пусть iV — многообразие без края и /: M-+N
есть Сг-отображение. Доказать, что любая достаточно хорошая
сильная аппроксимация отображения f дифференцируемо гомо-
гомотопна f.
Точнее, доказать, что для любой заданной функции е(*)> О
найдется функция б(д:)>0, такая, что для всякого Сг-отобра-
жения g: M—*N, служащего б-аппроксимацией отображения /,
существует С"-дифференцируемая гомотопия ft между fug, яв-
являющаяся е-аппроксимацией отображения / для каждого /.

324 Дополнение. Дж. Манкрс
Указание. Пусть N— подмногообразие евклидова простран-
пространства R" и г есть Сг-ретракция некоторой окрестности N в R" на
N. Деформировать отображение / в g вдоль прямых линий в R",
а затем, применив ретракцию г, перевести эту гомотопию в N.
¦Задача 5.16. Обобщить утверждение задачи 5.15 на случай,
когда N имеет край, при этом дополнительно требуется, чтобы,
•если f(x) и g{x) лежат в EdN, то ft{x) также лежало в EdN
для любого t.
Указание. Вложить BdN в Rp и продолжить это вложение
до вложения A: U-*RP+1, где U — некоторая окрестность края
Bd N в D(N), так что nh(U)— h(N), где я — проекция Rp+I на
R". Далее, используя задачу 2.11, выбрать какое-нибудь вложе-
вложение D(N) в соответствующее евклидово пространство, совпа-
совпадающее с /i в некоторой окрестности края Bd ,V. После этого,
применяя технику задачи 5.15, подобрать ретракцию г так, что-
чтобы она переводила некоторую окрестность точки х в нормаль-
нормальном пространстве к многообразию D(/V) в точке х в эту точку х.
Вывести отсюда, что ретракция г переводит прямолинейный от-
отрезок, соединяющий две близкие точки из A(BdiV) в h(BdN).
* Упражнение (а). Дать какое-нибудь другое доказательство утвержде-
утверждения задачи 5.14.
*3адача 5.17. Пространство X называется локально-стягивае-
локально-стягиваемым, если для каждой точки х е X и каждой окрестности U
точки х существует такая окрестность V этой точки, что отобра-
отображение включения (': V-*-U гомотопно постоянному отображе-
отображению с: V-*¦ х.
Пусть М и N суть СЛ-многообразия, причем М компактно.
Доказать, что пространство Fr(M, N) локально-стягиваемо в
С'-топологии. Доказать также, что следующие пространства яв-
являются локально-стягиваемыми в С'-топологии:
A) пространство всех Сг-погружений М в N;
B) пространство всех Сг-вложений М в N;
C) пространство всех Сл-диффеоморфизмов М в М.

ГЛАВА II
ТРИАНГУЛЯЦИИ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ
§ 71. КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ И КОМБИНАТОРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
В этом параграфе мы докажем теорему о том, что два ко-
конечных полиэдра в евклидовом пространстве могут быть под-
подразделением превращены в симплициальные разбиения таким
образом, что их пересечение окажется подразбиением каждого
из них (теорема 7.10). Но сначала необходимо определить, что
такое евклидово клеточное разбиение, и изучить некоторые свой-
свойства клеточных разбиений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Если i>0, ..., vm — линейно независи-
независимые точки в пространстве R", то симплексом а = v0 ... vm, на-
натянутым на эти точки, называется множество всех точек х вида
x — YjbiVi, где Ь{^0 и Х&* = 1. Числа bi называются бари-
барицентрическими координатами точки х. Точка ^1vi/(tnJr 1) назы-
называется барицентром симплекса о и обозначается а. Гранью сим-
симплекса о называется симплекс, натянутый на некоторое подмно-
подмножество вершин симплекса о. Очевидно, симплекс о гомеомор-
фен шару Вт. Внутренность симплекса а называется открытым
симплексом.
Если А и В — два подмножества пространства R", то их
джойном А * В называется объединение всех замкнутых прямо-
прямолинейных отрезков, соединяющих какую-нибудь точку из Л и
какую-нибудь точку из В при условии, что никакие два таких
отрезка не пересекаются, разве что имеют общую концевую
точку. Ясно, что а = v0 *(t>i *(t>2 * ¦¦•))•
Симплициальным разбиением 2 К называется всякая совокуп-
совокупность симплексов в R", удовлетворяющая условиям:
A) любая грань симплекса из К принадлежит К;
B) пересечение любых двух симплексов из К является
гранью каждого из них;
C) каждая точка из \К\ имеет окрестность, пересекающую-
пересекающуюся лишь с конечным числом симплексов из К. Здесь \К\ обо-
1 Напомним, что § 6 (последний параграф гл. I) при переводе опущен.—
Прим. перев.
2 В оригинале slmplicial complex. — Прим. перев.
П Дж. Милнор, Дж. Сташеф

326 Дополнение. Дж. Манкрс
значает теоретико-множественное объединение симплексов из
симплициального разбиения К и называется его полиэдром.
(Более общим образом, можно было бы позволить симплек-
симплексам из К лежать в R°° = U R". однако данного выше определе-
определения вполне достаточно для наших целей. Фактически мы огра-
ограничимся конечномерными симплициальными разбиениями.)
Подразделением (или измельчением) симплициального раз-
разбиения К называется всякое симплициальное разбиение К', та-
такое, что |/С| = |/(| и каждый симплекс из К' содержится в не-
некотором симплексе из К- Подразбиением симплициального раз-
разбиения К называется такое подмножество в К, которое само яв-
является симплициальным разбиением.
Пусть точка х принадлежит \К\. Звездой точки х в К назы-
называется объединение внутренностей всех симплексов из К, содер-
содержащих эту точку. Это — открытое подмножество полиэдра \К\-
Оно обозначается через St(x, К)- Для произвольного подмно-
подмножества 5 полиэдра \К\ мы определяем StE, К) как объедине-
объединение множеств St(*, К) для всех xeS. В случае когда / — под-
подразбиение симплициального разбиения К, удобно писать St(/, К.)
вместо St(|/|,/С).
Пусть а — симплекс vo • • • vm. Отображение f: a->Rp линей-
линейно, если / (х) — f (X biVt) = X btf (vt) для всех х е а. Пусть те-
теперь/С и L — симплициальные разбиения. Отображение /:
\К\ —*¦ \L\ называется линейным на симплексах, если оно линей-
линейно переводит каждый симплекс из К в некоторый симплекс из
L. Для краткости мы часто будем в этом случае говорить, что
линейно на симплексах отображение /: К-* L.
Отображение /: К—*L называется кусочно-линейным, если
для некоторого подразделения К' симплициального разбиения К
отображение /: К' -* L линейно на симплексах. Отображение f:
К -* L называется линейным изоморфизмом, если оно является
гомеоморфизмом полиэдра \К\ на полиэдр \L\ и линейно пере-
переводит каждый симплекс из К в некоторый симплекс из L.
Долгое время стояла знаменитая проблема (часто называе-
называемая Hauptvermutung'): следует ли из гомеоморфности полиэд-
полиэдров \К\ и \L
ма полиэдра
существование кусочно-линейного гомеоморфиз-
К\ на полиэдр |L|? Были получены следующие
частные ответы: да, если dim/(^2 [11]; да, если \К\ пред-
представляет собой трехмерное многообразие [1, 8]; да, если К и L
являются гладкими триангуляциями диффеоморфных многооб-
многообразий (это мы здесь докажем2). Недавно Милнор показал, что
ответ отрицателен, если dim К ^6 [7]. Все еще остается неиз-
1 Основная гипотеза (пен.). — Прим. перев.
2 См. ниже теорему 10.5. — Прим. перев.

§ 7. Клеточные разбиения и комбинаторная эквивалентность 327
вестным, будет ли ответ положительным, если \К\ — многооб-
многообразие. '
Упражнение (а). Пусть К — симплициальное разбиение. Показать,
что замыкание звезды St(#, К), обозначаемое St(#, 'С), является полиэдром
некоторого конечного подразбиения ^С. Мы будем иногда использовать сим-
символ St (х, /С) и для обозначения самого этого подразбиения, если это не мо-
может вызвать недоразумений.
Упражнение (Ь). Показать, что, если f: \K\-*-\L\—кусочно-линей-
\K\-*-\L\—кусочно-линейный гомеоморфизм, то существуют подразделения К' и L', такие, что /:
К' -*¦ L' есть линейный изоморфизм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Пусть с —ограниченное подмножество
пространства R", состоящее из всех точек х, удовлетворяющих
некоторой системе линейных уравнений и линейных неравенств:
Li (х) = ? аах' > bh i = 1, ..., р;
такое множество с называется (евклидовой) клеткой. Это—¦
компактное выпуклое подмножество в R". (Выпуклость множе-
множества означает, что оно вместе с любыми двумя точками содер-
содержит прямолинейный отрезок, их соединяющий.)
Размерностью клетки с называется минимальная из размер-
размерностей плоскостей &, содержащих с; тот факт, что размерность
клетки с равна т, означает, что с содержит m + 1 линейно не-
независимых точек и не содержит m + 2 таких точек. Так как
клетка с должна содержать симплекс, натянутый на эти m -f- I
точек, она должна иметь внутренние точки относительно плоско-
плоскости &. Обозначим множество этих внутренних точек через Int с,
а остальную часть клетки через Bd с.
Покажем, что существует гомеоморфизм клетки с на т-мер-
ный шар Вт, переводящий Bd с на 5т-1.
Присоединим к системе (уравнений и) неравенств, опреде-
определяющих клетку с, какую-нибудь систему уравнений, определяю-
определяющих плоскость 3*. Некоторые из неравенств могут при этом
1 Вот некоторые другие частичные ответы: да — для полиэдров размер-
размерности ^ 3 [*Браун]; да — для односвязных кусочно-линейных многообразий
размерности ^ 5 без 2-кручения в четырехмерных целочисленных когомоло-
гиях [*Сулливан, 1967, 1970]; да — для кусочно-линейных многообразий раз-
размерности >5 с фундаментальной группой Z и без 2-кручения в четырехмер-
четырехмерных целочисленных когомологиях [*Мацумото, 1969]; да — для кусочно-линей-
кусочно-линейных многообразий размерности ^5 с нулевой трехмерной группой когомологий
по модулю 2 [*Кёрби, Зибенманн, 1969, 1977]; нет — для кусочно-линейных
многообразий, гомеоморфных тору Г", я^5 [*Сян, Шейнсон],
[*Кёрби, Зибенманн, 1977]; нет — для некоторых односвязных кусочно-
линейных многообразий размерности ^ 22 [*Морита]; существует симпли-
циалыюе разбиение К", п ^ 5, такое, что полиэдр \Кп\ гомеоморфен сфере
S", но К" не гомеоморфен кусочно-линейной границе симплекса <9Д"+1 [*Кэн-
нон]. — Прим. перев.

328 Дополнение. Дж. Манкрс
стать лишними; пусть Li(x)^bi, i—\, ..., р,— минимальная
система неравенств, которая вместе с уравнениями для 3* за-
задает с. Заметим, что для каждого i = 1, ..., р гиперплоскость
Li(x)—bi пересекает $Р по плоскости размерности т—1—в
противном случае эта гиперплоскость содержала бы !? и соот-
соответствующее неравенство можно было бы отбросить без измене-
изменения множества с. Далее, множество Intc совпадает с множе-
множеством А тех точек, для которых каждое из этих неравенств яв-
является строгим. Действительно, ясно, что А содержится в Int с.
С другой стороны, если точка хо принадлежит пересечению пло-
плоскости 9* с гиперплоскостью Lj(x)= bj, то в произвольной бли-
близости от Хо найдутся точки из 9, для которых Lj (х) < Ь/, так
что точка х0 не принадлежит Int с.
Пусть с — точка из Intc и г — луч в плоскости !Р, выходящий
из точки с. Пересечение луча г с клеткой с непусто, компактно
и выпукло, т. е. является замкнутым интервалом. Одной из его
концевых точек служит с, а другой обязательно будет точка
у е Bd с. Каждая точка х, принадлежащая открытому интер-
интервалу су, заведомо лежит в Int с, ибо L,(c) > bt и Li(y) ^ &,-, i =
= 1, ..., р, так что Lt(x)> bi. Следовательно, с равно джойну
c*Bdc.
Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что
край Bd с гомеоморфен сфере Sm-]. He уменьшая общности, мы
можем считать, что № есть Rm, а с — начало координат. Отобра-
Отображение л—» х/\\ х || непрерывно переводит Rm \ 0 на единичную
сферу; его ограничение на Bd с является, конечно, гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, ш
Лемма 7.3. Пусть с есть m-мерная клетка. Тогда Bd с пред-
представляет собой объединение конечного множества (ш — ^-мер-
^-мерных клеток, каждая из которых является пересечением некото-
некоторой (пг — \)-мерной плоскости с Bd с. Эти клетки однозначно
определяются по клетке с.
Доказательство. Пусть 9 — m-мерная плоскость, содержа-
содержащая клетку с, и пусть с задается уравнениями для 9 в совокуп-
совокупности с минимальной системой неравенств L, (x) ^ bt, i —
= 1, .... Р-
Пусть di обозначает множество точек х е с, для которых
Li(x) = bi. Тогда di —клетка и Bdc представляет собой объеди-
объединение таких клеток. Далее, пересечение $Pi гиперплоскости
Li(x) = bi с плоскостью^3 является (пг—1)-мерной плоскостью,
пересечение которой с Bd с дает как раз dt.
Докажем, что di — клетка размерности m—1. Пусть 5 обо-
обозначает подмножество плоскости Ф, для которого Lj(x)> bf
при всех / ф I. Ясно, что 5 выпукло и содержит Int с; в част-

, § 7. Клеточные разбиения и комбинаторная эквивалентность 329
ности, оно содержит некоторую точку х, для которой L,{х)>
> bi. Оно также содержит такую точку у, что Li{y)<C bi. Дей-
Действительно, в противном случае 5 целиком лежало бы в обла-
области Li(x)^ bi, так что выбрасывание неравенства L,(x)^ bi из
множества определяющих клетку с неравенств не изменило бы
множества с. В силу своей выпуклости множество 5 будет со-
содержать точку г, такую, что Lt(z)=bi. Таким образом, Sf\ZPi
непусто; поскольку 5 открыто в &, то S П &i открыто в д*и Так
как S O&icz ds, то di должно быть клеткой размерности m — 1.
Единственность клеток d, доказывается без труда. Граница
Bd с содержится в объединении р плоскостей размерности
от—1. Следовательно, пересечение любой другой (т—1)-мер-
(т—1)-мерной плоскости с Bd с лежит в объединении конечного множе-
множества плоскостей размерности меньше m — 1 и потому имеет
размерность меньше т— 1. ¦
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Пусть с является m-мерной клеткой.
Каждая (т—1)-мерная клетка di, из которых состоит Bdc,
называется ((/п—I)-мерной) гранью клетки с; каждая
(от — 2)-мерная грань клетки di называется (т — 2) -мерной
гранью с и т. д. Для удобства пустое множество также счи-
считается гранью с, равно как и сама клетка с.
Лемма 7.5. Пусть с — клетка, задаваемая некоторой систе-
системой линейных уравнений и неравенств. Если одно из нера-
неравенств заменить на равенство, то получится система, опреде-
определяющая грань клетки с.
Доказательство. Проведем индукцию по числу m — размер-
размерности клетки с. Если m = 0, то лемма тривиальна. Если m > О,
то пусть $Р — m-мерная плоскость, содержащая клетку с. При-
Присоединим к системе, определяющей эту клетку, множество урав-
уравнений для плоскости &; ясно, что при этом мы ничего не поте-
потеряем в общности. Пусть Li(x)^bi — неравенства, определяю-
определяющие клетку с, занумерованные так, что те из них, для которых
1 ^ i ^ P, образуют минимальное множество. Заменим теперь

330 Дополнение. Дж. Манкрс
некоторое неравенство Lj(x)^bj на равенство. Если j ^ р,
то это определит некоторую (т—1)-мерную грань dj клетки с,
как мы уже доказали выше.
В случае / > р рассмотрим подмножество клетки с, удов-
удовлетворяющее равенству Lj{x)= b,-. Если гиперплоскость Lj(x) =
— bj содержит &, она дает тривиальную грань — всю клетку с;
если она не пересекает с, она дает пустую грань. Рассмотрим
теперь промежуточный случай. Пусть е — пересечение клетки
с с указанной гиперплоскостью; это — клетка. Пересечение пло-
плоскости 9* с указанной гиперплоскостью является (т—^-мер-
(т—^-мерной плоскостью, так что в произвольной близости от каждой
точки из е имеются точки у е &, для которых Lj (у) < bj. Сле-
Следовательно, е лежит на границе клетки с.
Так как множество е выпукло, оно должно лежать в неко-
некоторой (т—1)-мерной грани di. Действительно, допустим, что
это не так, и пусть q — наименьшее целое число, такое, что е
лежит в объединении d\ U ... U dq. Пусть х — точка из е, не ле-
лежащая в d\ U ... U dq-\, и у— точка из е, не лежащая в dq.
Тогда
Lt (x) > bt для i < q и Lq (x) — bq;
Li (у) > bt для i<q и Lq (у) > bq.
Точка г = (х + у) /2 лежит в клетке е, однако L, (z) > bi для
всех t ^ q, так что z не лежит в объединении d\\] ... U dq в
противоречие с предположением.
Система уравнений и неравенств, определяющая клетку с,
вместе с присоединенным к ней уравнением Li(x)=bi опреде-
определяет (т—1)-мерную клетку di, содержащую е. При этом
клетка е получается из этой системы заменой неравенства
Lj(x)^bj на равенство. По индуктивному предположению е
является гранью клетки и, следовательно, гранью клетки с. Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.6. (Евклидовым) клеточным разбиением
К называется всякая совокупность клеток в R", такая, что:
A) каждая грань клетки из К принадлежит /С;
B) пересечение двух клеток из К служит гранью каждой
из них;
C) каждая точка из \К\ имеет окрестность, пересекающую-
пересекающуюся лишь с конечным множеством клеток из К. (Здесь \К\ обо-
обозначает объединение клеток из К.)
Для тоге чтобы показать, что это определение не является
бессодержательным, заметим, что одиночная клетка с вместе
со всеми своими гранями образует евклидово клеточное раз-
разбиение. Это следует из предыдущей леммы (см. упр. (а) ниже).
Подразделением евклидова клеточного разбиения К назы-
называется всякое клеточное разбиение К', такое, что | К' \ = \ К \ и

§ 7. Клеточные разбиения и комбинаторная эквивалентность 331
каждая клетка из К'' содержится в некоторой клетке Из К.
Размерностью евклидова клеточного разбиения К называется
наибольшая из размерностей его клеток; р-мерныйостов евкли-
евклидова клеточного . разбиения К, обозначаемый через К", — это
совокупность всех клеток из К размерности не выше р. Легко
проверяется, что К" является евклидовым подразбиением ев-
евклидова клеточного разбиения К. г
Упражнение (а). Показать, что, если К состоит из одиночной клетки
вместе со всеми ее гранями, то /( — евклидово клеточное разбиение.
Упражнение (Ь). Показать, что симплекс а = t>o ¦"¦¦ vm представ-
представляет собой m-мерную клетку н что для симплексов термин «грань» имеет
один и тот же смысл, понимать ли его согласно определению'7.1 или согласно
определению 7.4. Показать, что симплициальное разбиение —частный случай
евклидова клеточного разбиения.
Лемма 7.7. Пусть евклидовы клеточные разбиения К\ и Кг
таковы, что \Ki\ = \Ki[% Тогда они обладают общим подразде-
подразделением.
Доказательство. Ясно, что пересечение двух клеток — снова
клетка. Пусть L — совокупность всех клеток вида c-i f| Сг, где
с\ — клетка из К\, агс2 — клетка из /С2- Тогда L — евклидово
клеточное разбиение и |/Ci| = |/(j) = |L|. ¦ . ,. ¦
'Упражнение (а). Показать, чтолюбая грань клетки i\ П сг имеет 8ЙД
0i П «2. где ft— грань с,-, и справедливо обратное утверждение: .'•>¦'.
Упражнение (Ь). Показать, что L — евклидово клеточное разбиение;
Лемма 7.8. Любое евклидово клеточное разбиение К.обла-
К.обладает евклидовым симплициальным подразделением, „ ...'.,'
Доказательство. Проведем индукцию по размерности пг раз-
разбиения К. Если пг = 0 или m == 1, то уже само К Ъйляется сим-
симплициальным разбиением. Рассмотрим общий случай. Пусть
L — симплициальное подразделение (пг—1)-мерного остова
евклидова клеточного разбиения К. Для данной /п-мерной клет-
кй"с из К пусть О\, ..., ор — симплексы из L, лежащие в Bd с.
Вйбёрем Какую-нибудь внутреннюю точку с клетки с и при-
присоединим' к:' L симплексы О\ * с, ..., ор*с. (Напомним, что
ы*с 6бо?нанает»д$<$й'н tf, й'ё;) Если мы проделаем это для
каждой m-мерной клетки с е К, то в результате «пол-учим- сим-
симплициальное разбиение .,#',. Cj/гужащее подразделением. • евлли-
дова клеточного разбиения К. Ш •¦ , "... „.. , . ¦
Часто бывает удобно выбирать в качестве точки с.,центр
(тяжести) клетки с, с тем чтобы, подразделение /С^-бйло,' опре-
определено канонически.,. Е^ли ^ уже было симплидиадьным, то
эти'центры будут барицентрами симплексов; в этом" случае К'
нааываегся барицентрическим-подразделением симплициального
б К- ,-:;-;.. с... - ... '

332 Дополнение. Дж. Манкрс
Упражнение (а). Проверить, что К' — симплициальное разбиение и
что оно является подразделением евклидова клеточного рабиения К-
Следствие 7.9. Если симплициальные разбиения К\ и /B та-
таковы, что \К\\ — \К2\, то они имеют общее симплициальное
подразделение.
Теорема 7.10. Пусть К\ и К% — два конечных симплициаль-
ных разбиения в R". Существуют симплициальные подразделе-
подразделения К\ и К 2 разбиений К\ и Кг соответственно, такие, что К\\] К
представляет собой симплициальное разбиение.
Доказательство. Прямолинейной триангуляцией простран-
пространства R" называется всякое симплициальное разбиение L, такое,
что |L|=R". Докажем, что некоторое подразделение симпли-
циального разбиения К\ является подразбиением некоторой
прямолинейной триангуляции L\ пространства R".
Пусть <п, ..., Op — симплексы из К\. Выберем какую-ни-
какую-нибудь прямолинейную триангуляцию /i пространства R", содер-
содержащую О\. Один из возможных способов построения такой три-
триангуляции J\ состоит в том, что берется произвольная прямо-
прямолинейная триангуляции / пространства R" и подыскивается не-
невырожденное аффинное преобразование hi пространства R", пе-
переводящее один из ее симплексов в симплекс ai; тогда h\(J)
будет требуемым разбиением. (Аффинное преобразование —
это композиция линейного преобразования и переноса.) Анало-
Аналогично, пусть /,- — прямолинейная триангуляция пространства
R", содержащая а,-. Обозначим через L\ общее подразделение
комплексов /ь ..., /р (существующее по следствию 7.9). По-
Полиэдр | Кг | является полиэдром некоторого подразбиения симп-
лициального разбиения L\, и это подразбиение будет подразде-
подразделением симплициального разбиения К\.
Аналогично, пусть L2 — прямолинейная триангуляция про-
пространства R", содержащая в качестве подразбиения некоторое
подразделение симплициального разбиения Кг. Пусть L — об-
общее подразделение прямолинейных триангуляции L\ и L2. Ясно,
что в качестве/С( и/Сг можно взять подразбиения симплициаль-
симплициального разбиения L, полиэдрами которых служат \К\\ и \Къ\ со-
соответственно. ¦
*3адача 7.11. Обобщить эту теорему на случай, когда К\ и
К2 не являются конечными. Для этого будет необходимо сде-
сделать некоторые дополнительные предположения, чтобы избе-
избежать случая, когда \Ki\ есть множество [0,1]Х0 в R2, а
\К2\ — объединение множеств [0, 1 ]X 1 //г для п = 1, 2, ... .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.12. Доказательство леммы 7.8 обобщает-
обобщается на следующую ситуацию. Пусть К\ — подразбиение симпли-

§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений 333
циального разбиения К и К[ — симплициальное подразделение
Ки Мы определим некоторым каноническим образом продол-
продолжение подразделения К\ до подразделения всего К, при кото-
котором не подразделяются симплексы, лежащие вне St(Ki,K). Бу-
Будем называть это продолжение стандартным продолжением
подразделения К[ до подразделения всего симплициального
разбиения К.
Любой симплекс из Ки разумеется, принадлежит К', равно
как и любой симплекс из К, лежащий вне St(Ki, К). Симплексы
же, внутренности которых лежат в А = St(/Ci, К) \ \Ki\, под-
подразделяются шаг за шагом следующим образом. Ни одна из
вершин К не лежит в А. Каждый одномерный симплекс а из
К, внутренность которого лежит в А, подразделяется на два
одномерных введением новой вершины — барицентра симплек-
симплекса а. Предположим, что (т—1)-мерные симплексы уже под-
подразделены. Для любого т-мерного симплекса а его граница
уже подразделена. Пусть а—его барицентр. Тогда для каж-
каждого симплекса s из подразделения границы Bda включим s* a
в число симплексов подразделения о. (Соглашение: джойн пу-
пустого множества с а равен а.) После конечного числа шагов
получим требуемое подразделение симплициального разбие-
разбиения К. Ш
Упражнение (а). Проверить, что совокупность симплексов, получен-
полученная таким образом, является симплициальным разбиением, полиэдром кото-
которого служит \К\-
Задача 7.13. Пусть К — симплициальное разбиение и {Л,}—
некоторая локально-конечная совокупность подмножеств поли-
полиэдра \К\. Пусть далее Ки Кг, ¦•• — последовательность сим-
симплициальных подразделений К, такая, что Ди-i совпадает с Ki
вне At. Это означает, что любой симплекс из Ki, не пересекаю-
пересекающий At, является также симплексом из Kt+i- Наконец, пусть
lim Ki обозначает совокупность симплексов а, таких, что а при-
надлежит /С,- для всех i, больших некоторого целого числа Na.
Показать, что эта совокупность будет подразделением К.
Упражнение (а). Пусть К — снмплициальное разбиение н &(х)—по-
&(х)—положительная непрерывная функция на \К\. Доказать, что существует подраз-
подразделение К' симплициального разбиения К, такое, что диаметр ' любого симп-
симплекса о* е К' меньше, чем минимум значений 6(х) по всем лее ст.
§ 8. ПОГРУЖЕНИЯ И ВЛОЖЕНИЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ РАЗБИЕНИЙ
В этом параграфе мы введем понятие С-отображения /:
К—*М, где К — симплициальное разбиение, а М — дифферен-
дифференцируемое многообразие. Мы разовьем теорию таких отображе-
1 См. определение 9.2 ниже. — Прим. перев.

334 Дополнение. Дж. Манкрс
ний, аналогичную теории для отображений одного многообра-
многообразия в другое. В частности, мы определим (п. 8.2) дифферен-
дифференциал такого отображения и используем его для определения
(п. 8.3) понятий погружения, вложения и триангуляции (по-
(последнее служит аналогом диффеоморфизма). Как и для много-
многообразий, мы определим (п. 8.5), что такое сильная С'-аппрок-
симация отображения f: K-* М, и докажем фундаментальную
теорему, утверждающую, что всякая достаточно хорошая силь-
сильная С'-аппроксимация g отображения, которое является погру-
погружением или вложением, сама является погружением или вло-
вложением соответственно. (Эта теорема верна также и для триан-
триангуляции, если дополнительно предположить, что g переводит
Вй\К\ вВсШ.)
Начиная с этого места, мы ограничиваемся симплициаль-
ными разбиениями и подразделениями, если явно не оговорено
противное. Целое число г{\ ^ г ^ оо) будет оставаться фикси-
фиксированным на протяжении всей оставшейся части главы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Пусть К — разбиение. Отображение
f: \K\-*M называется дифференцируемым класса Сг относи-
относительно К, если /|о имеет класс Сг для каждого симплекса
о е К. Для кратности мы обычно говорим в этом случае, что
/: /С —¦ М имеет класс О. Отображение / называется невырож-
невырожденным, если ранг ограничения /|о равен размерности симп-
симплекса а для каждого а е К.
Мы хотим обобщить на эту ситуцию понятия погружения и
вложения. Казалось бы, в качестве аналога С'-вложений мно-
многообразий можно взять невырожденные Сг-гомеоморфизмы раз-
разбиений. Но так сразу перестает казаться, стоит только взгля-
взглянуть на приведенный рисунок. Ключевое свойство вложений —
то, что любая достаточно хорошая С'-аппроксимация вложения
также является вложением, — здесь не выполняется, поскольку
в произвольной близости от отображения f находятся отобра-
отображения вроде g. Этот пример показывает, что надо поискать бо-
более подходящее обобщение.

§ 8. Погружения и вложения симплициалъных разбиений 335
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2. Пусть /:a->R" есть С'-отображение.
Для заданной точки b симплекса а определим отображение.
dfb- о —* R" равенством
dfb(x) = Df(b) -(x-b).
Здесь векторы х и Ь записываются, как обычно, в виде одно-
одностолбцовых матриц; матрица Df записана относительно неко-
некоторой ортонормированной системы координат, выбранной в пло-
плоскости, натянутой на симплекс а. Отображение dfb не зависит
от этого выбора координат в плоскости симплекса а.
Действительно, пусть R— некоторый луч в симплексе а, на-
начинающийся в точке Ь. Тогда f\R есть Сг-кривая в R", которую
можно считать параметризованной при помощи длины дуги.
вдоль R. Ясно, что dfb(x) — это просто касательный вектор к
этой кривой в точке j(b), умноженный на \\х — Ь\\. Следова-
Следовательно, вектор dfb(x) не зависит от выбора координат — он за-
зависит лишь от метрики в плоскости симплекса а. Далее, из
сказанного выше следует, что dfb\R зависит только от f\R и
не зависит от других значений функции /.
Если теперь /: К —* R" есть Сг-отображение, то мы имеем
отображения dfy. a -* R", определенные для каждого симплекса
о eSt (&,/(). Эти отображения совпадают на пересечении лю-
любых двух симплексов из S\(b, К), так как либо один из них
является гранью другого, либо их пересечение представляет
собой объединение лучей, выходящих из точки Ь. Следова-
Следовательно, отображение
dfb: St (ft, К) -> R"
корректно определено и непрерывно. По аналогии со случаем
дифференцируемых многообразий мы называем его дифферен-
дифференциалом отображения f.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3. Пусть М есть Сг-подмногообразие
пространства R" и f:K-*M имеет класс Сг. Отображение /
называется С-погружением, если для каждой точки b отобра-
отображение
dfb: St(b, K)-»R"
взаимно-однозначно; Сг-погружение, являющееся гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, называется О-вложением, а если оно является гомеомор-
гомеоморфизмом на, то говорят о С'-триангуляции многообразия М.
Требование взаимной однозначности dfb\o означает, что
матрица D(f\a) имеет в точке b ранг, равный размерности симп-
симплекса а. Следовательно, погружение автоматически является
невырожденным отображением. Обратное, вообще говоря, не
верно, как показывает пример, приведенный в п. 8.1. Однако в

336 Дополнение. Дж. Манкрс
случае, когда f представляет собой гомеоморфизм на, некое
обращение этого утверждения дать можно (см. теорему 8.4).
Упражнение (а). Пусть f: K-+M есть СЛ-погружение разбиения К
в многообразие М, a g: М -*¦ N есть С'-погружение многообразия М в много-
многообразие N. Показать, что композиция gf является С-погружением разбиения
¦Кв N.
Упражнение (Ь). Показать, что определения С'-погруження, вложе-
вложения и триангуляции не зависят от выбора вложения многообразия М в ев-
евклидово пространство.
Теорема 8.4. Всякое невырожденное С'-отображение /: К-+
—* М, являющееся гомеоморфизмом полиэдра \К\ на многооб-
многообразии М, представляет собой С'-триангуляцию этого многооб-
многообразия.
Доказательство. Нам нужно доказать, что отображение
¦dfb взаимно-однозначно на Si(b,K). Отсутствие взаимной од-
однозначности означает, что некоторые два луча Ri и R2, начи-
начинающиеся в точке Ь, отображаются в один луч в пространстве
R", начинающийся в точке f(b). Таким образом, f\Ri и f\Ri
суть Сг-кривые на многообразии М, касающиеся друг друга в
точке f{b). Так как отображение / невырожденно, ограничение
4fb на каждый симплекс из St{b,K) является взаимно-одно-
взаимно-однозначным. Следовательно, Ri и R2 не принадлежат одному и
тому же симплексу из StF, К).
Выберем какую-нибудь координатную систему (U,h) на М
в точке f(b). Пусть хп и уп — последовательности точек из R\ и
#2 соответственно, сходящиеся в точке Ь, и х'п, у'п, Ь' — их об-
образы при отображении Щ. Пусть далее s — симплекс из St (b,K),
по которому проходит луч /?i, и V — открытое множество
St(s, К). Множество hf(V) открыто в Rm; оно содержит точки
х'п, но не содержит точек у'п. Если п достаточно велико, то точки
Хп лежат в V, так что отрезок хгпу'п пересекает множество
hf(V\V) по крайней мере в одной точке 2„' г«.ФЬ', так как
угол между векторами х'п — Ь' и у'п — Ь' стремится при п->со
к нулю, а не к п. _
Пусть zn обозначает точку в V\V, переходящую в точку г'п
при отображении hf. Переходя к подпоследовательности и про-
производя перенумерацию, мы можем считать, что точки гп лежат
в одном и том Же симплексе комплекса К и что единичные
векторы (zn — b)/\\zn — b\\ сходятся, скажем, к вектору и.
Пусть /?з — луч, вдоль которого направлен вектор и. Лучи Ri
и /?3 лежат в одном и том же замкнутом симплексе из St(b,K),
а в то же время, как мы сейчас покажем, кривые hf\Ri и

§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений 33?
hf\R3 касаются друг друга в точке Ь'\ это противоречит пред-
предположению, что f — невырожденное отображение.
hf(R2)
Ш,)
Докажем утверждение о касании. Прежде всего, векторы
(х'п — 6')/| х'п — Ь' | стремятся к единичному вектору, касатель-
касательному к кривой hf(Ri) в точке Ъ'. Далее,
II zn-ft II
\\zn-b\\
Так как угол между векторами х'п — Ь" и г'п — Ь' стремится к.
нулю, то левая часть этого равенства стремится к вектору,
касательному к кривой h\\R\ в точке Ь'. Правая же часть
стремится к вектору D(hf)(b)-u, который касается кривой
hf\R3 в точке Ь'. В
(Приведенный рисунок, к сожалению, вводит в небольшое за-
заблуждение, поскольку на нем точка гп лежит на луче R3, чего
• мы не можем гарантировать. Доказательство было бы в этом
случае значительно проще.)
Упражнение (а). Показать, что в предположениях теоремы 8.4 раз-
разбиение К является п-мерным комбинаторным многообразием. Это означает, что>
для каждого ft-мерного симплекса seK линк Lk s = St s \ St s этого симп-
симплекса представляет собой комбинаторную сферу размерности п — k—I. т. е.
разбиение Lk s имеет подразделение, изоморфное некоторому подразделению-
границы (п — k)-мерного симплекса а.
Указание. Доказать это сначала для случая, когда s =_u, где v — вер-
вершина разбиения К. Найти линейный изоморфизм h звезды St у с некоторым
разбиением L в пространстве R", такой, что h(v)= 5 и |1|з>сг. Найти под-
подразделение а' симплекса а, такое, что включение i: a' -*- L линейно. Тогда,
радиальная проекция из точки 5 будет линейным • гомеоморфизмом, перево-
переводящим Bd а' на Bd|L].
1 Стандартная ошибка. Радиальное проектирование не является линейным:
отображением. Здесь нужно воспользоваться конструкцией псевдоцентрального
проектирования, см. [*Рурк, Саидерсон]. — Прим. перев.

338 Дополнение. Дж. Манкрс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.5. Пусть /: K-+R" есть С'-отображение
и б — положительная непрерывная функция на К. По аналогии
с определением 3.5 будем говорить, что отображение g: \K\-+
-* R" служит Ь-аппроксимацией отображения /, если
A) для некоторого подразделения К? разбиения К отобра-
отображение g: К' -* R" является (^-отображением;
B) \\f(b)-g(b)\\ <8(b) для всех Ье\К\;
C) \\dfb(x)—dgb(x)\\^6{b)\\x — b\\ для всех Ье=\К\ и всех
jcc=St{b,K').
Такие отображения g называются сильными С -аппроксима-
-аппроксимациями отображения f.
Заметим, что это определение не зависит от выбора коорди-
координатных систем, оно зависит только от метрик 1U — у\\ в евкли-
евклидовом пространстве, содержащем К, и в R". Заметим также,
что, если разбиение К конечно, то функцию б можно, ничего не
меняя, выбрать константой, и мы будем всегда предполагать
в этом случае, что так и делается.
Как и в теореме 3.6, условие C) выполняется, если матрицы
Якоби отображений f и g достаточно близки друг к другу, ибо
(х) - dgb (х)Щх - ft IK V« P\D(f \a)(L) -D(g \a)(b) |,
где p — размерность симплекса а, содержащего к.
Пусть /: К -* R" и g: К' —*¦ R" суть Сг-отображения, и пусть
¦V — открытое подмножество полиэдра \К\. Говорят, что g яв-
является Ь-аппроксимацией отображения f на U, если условия B)
и C) выполнены для всех точек 6е(/. При условии, что ото-
отображения fug невырожденны на U, говорят, что g является
угловой а-аппроксимацией для / на О, если угол между векто-
векторами dfb(x) и dgb(x) меньше а для всех точек b e U и всех
точек хфЬ, лежащих в St(b, /(').
Лемма 8.6. Пусть /: К -* R" — невырожденное С'-отображе-
С'-отображение и а > 0. Для любой точки b e|/C| существует окрестность
точки Ь, на которой отображение dfb служит угловой а-аппрок-
а-аппроксимацией для f.
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение для
случая, когда К — одиночный симплекс а. Пусть jtea и и —
произвольный единичный вектор в плоскости симплекса а. Нам
нужно, чтобы угол между векторами Df(x)-u и D{dfb)(x)-u
был меньше а. Но dfb (х) = Df(b) • (х — Ь), так что D (dfb) (x) =
— Df(b). Далее, угол между векторами Df(x)-u и Df(b)-u не-
непрерывно зависит от х и и и его значение равно нулю, когда
х = Ь. Так как область изменения вектора и — компактное

§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений 339
множество, существует окрестность U точки Ь, такая, что этот
угол меньше а, когда ле(/, для любого и. Ш
Лемма 8.7. Пусть f: К —*¦ R" — невырожденное О -отображе-
-отображение, причем разбиение К конечно. Для любого заданного а > О
найдется такое б > О, что всякое невырожденное С'-отображе-
ние g: К' —*¦ R", являющееся Ь-аппроксимацией отображения f
на U, является угловой а-аппроксимациеп этого отображения
на U (при любом U).
Доказательство. Пусть e = min|!d/ft(jc)||/|| х— Ь\\, где мини-
минимум берется по всем 6е|/С| и всем JceStF, К), хфЬ. Так
как f невырожденно, то е > 0. Положим 6 = ае/я, и пусть
g: К' —*¦ R" — невырожденное Сг-отображение, служащее б-ап-
б-аппроксимацией для / на U. Пусть а е К' и точки b, x принад-
принадлежат симплексу а, причем b e(/. Угол Э между векторами
dfb(x) и dgb{x) тот же самый, что и между векторами о =
H и Hu = D(g\a)(b)-u, где u = {x)/U
-> > ¦>->•->
Угол между векторами v и w не превосходит ||и — w || я/|| v ||,
что меньше бя/е = а. (Действительно, если угол Э острый, то
|| у — w || ^ || v || sin Э ^ || v || 29/я, если же не острый, то || v — w || >
> II о II > О ^11 в/я.) ¦
Теорема 8.8. Пусть разбиение К конечно и \: К-* R" — по-
погружение или вложение класса Сг. Существует б > 0, такое,
что любая Ь-аппроксимация отображения f является соответ-
соответственно погружением или вложением.
Доказательство. Дадим сначала два предварительных опре-
определения и докажем один частный случай теоремы.
A) Пусть 0i и аг — два симплекса, таких, что симплекс
а = 0i П <*2 служит собственной гранью каждого из них. Угол
от О\ до 02 определяется следующим образом. Пусть а—бари-
а—барицентр симплекса а. Рассмотрим угол 6 (у, z) между прямоли-

340 Дополнение. Дж. Манкрс
нейными отрезками уда га, где у принадлежит грани симплек-
симплекса ai, противоположной a, a z—произвольная точка симплекса
02, отличная от д. Этот угол ненулевой. Минимум таких углов
в и называется углом от ai до 02.
Легко видеть, что угол G от ©i до 02 отличен от нуля. Дей-
Действительно, если мы продолжим луч, идущий из точки д в
точку z, то он пересечет множество 02\St(d). Поэтому мы по-
получим тот же самый минимум, если z будет изменяться лишь
на множестве 02\St(d); поскольку, таким образом, у и z про-
пробегают непересекающиеся компактные множества, угол 6 нену-
ненулевой.
Заметим, что угол 0 от 0i до 02 представляет собой непре-
непрерывную функцию от вершин симплексов 0i и 02. Если мы не-
непрерывно изменяем эти вершины (не допуская, чтобы симплек-
симплексы вырождались), то угол 0 также будет изменяться непрерыв-
непрерывно (см. упр. (а) ниже).
B) Пусть 0 — собственная (т.е. нетривиальная) грань симп-
симплекса 0[. Определим проекцию ci на 0 следующим образом.
Прежде всего на самой грани 0 это —тождественное отображе-
отображение. Далее, пусть реоДо, и пусть si — грань симплекса Оь
противоположная о, и сг — барицентр симплекса 0. Существуют
однозначно определенные точки у е st и к е 0, такие, что пря-
прямолинейные отрезки уд и рх параллельны. Проекция 0i на а
определяется как отображение, переводящее точку р в точку х.
Эта проекция является непрерывным отображением симп-
симплекса 0] на симплекс 0; далее, проекция естественна в том
смысле, что она инвариантна относительно линейных изомор-
изоморфизмов симплекса 0i на другие симплексы (см. упр. (Ь)).
Для нас будет полезно такое свойство проекции. Пусть симп-
симплекс о = 0i П °2 служит собственной гранью каждого из симп-
симплексов oi и 02, и пусть реоДа и gso2\o. Если проекция
симплекса 0i на 0 переводит р в х, то угол между прямолиней-
прямолинейными отрезками рх и xq не меньше угла от 0i до 02. Чтобы
убедиться в этом, надо просто взять в симплексе 02 любую точ-

§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений 341
ку 2, такую, что отрезок az параллелен xq, и применить опре-
определение угла от (Ji до оц.
C) Теперь докажем один весьма частный случай нашей
теоремы. Пусть L — разбиение, состоящее из двух прямолиней-
прямолинейных отрезков в\ и е2 с общей вершиной v, и F: L —> R" — взаим-
взаимно-однозначное линейное отображение. Предположим, что угол
между образами при отображении Fэтих отрезков равен а > 0.
Если G: L' -* R" — невырожденное Сг-отображение, являющееся
угловой а/2-аппроксимацией для F, то G взаимно-одно-
взаимно-однозначно.
Действительно, пусть & — двумерная плоскость, содержащая
F(L) (при а -фл эта плоскость определена однозначно), и пусть
& — прямая линия в плоскости &, перпендикулярная к бис-
биссектрисе угла а (см. рисунок). По условию, никакой вектор
dGb(x) не может быть перпендикулярен прямой 2 и, следова-
следовательно, имеет ненулевую проекцию на 2'. Отсюда вытекает, что,
если мы обозначим через я ортогональную проекцию простран~
ства R" на прямую 2, то отображение nG взаимно-однозначно.
Следовательно, и G взаимно-однозначно.
В этом частном случае отражена суть всего доказательства.
Доказательство теоремы. D) Пусть f — погружен
ние. Прежде всего выберем б настолько малым, чтобы любая
б-аппроксимация отображения f была невырожденным отобра-
отображением. Это легко сделать.
Наложим второе условие на б. Для каждой пары симплек-
симплексов (Ji и (Т2 комплекса К, пересечение а = о\ (] а2 которых яв-
является собственной гранью каждого из них, рассмотрим ото-
отображение
dfb: ^Uaz^R11,
где Ь — произвольная точка симплекса а. Это взаимно-одно-
взаимно-однозначное линейное отображение; следовательно, определен не-
ненулевой угол от образа симплекса о\ до образа симплекса аг.
Этот угол изменяется непрерывно с изменением точки Ь, по-
поэтому найдется минимальный такой угол а{а\,О2), когда b про-
пробегает а. Обозначим через а минимум а(а\,аъ) по всем парам
ai, 02 указанного вида. Выберем теперь б настолько малым,
чтобы любая б-аппроксимация g отображения / была угловой
a/6-аппроксимацией для / (лемма 8.7).

342 Дополнение. Дж. Манкрс
Докажем, что любая б-аппроксимация g: К' ~* R" отображе-
отображения / будет погружением.
Пусть Ь^\К\. Нам нужно доказать, что отображение
dgb: Si{b, K')-+Rn
взаимно-однозначно. Допустим, что dgb(p) = dgb(q) для неко-
некоторых точек р и q, принадлежащих S\(b,K'). Тогда отображе-
отображение dgb переводит два луча, начинающихся в точке b и прохо-
проходящих через точки р и q соответственно, в один и тот же луч
в R". Следовательно, точки р, q на этих лучах, такие, что
dgb(p) = dgb(q), можно считать сколь угодно близкими к
точке Ь.
Далее, существует окрестность U точки Ь, лежащая в
Si(b,K'), такая, что dfb(x) является угловой а/6-аппроксима-
цией отображения f(x) для х е U, a dgb(x) — угловой ot/6-ап-
проксимацией отображения g(x) для х е V (лемма 8.6).. Тогда
на множестве V отображение dgb(x) будет угловой а/2-аппрок-
симацией для dfb(x).
Предположим сначала, что точки р и q лежат в одном и
том же симплексе ст е К. Выбирая их достаточно близкими к
точке Ь, мы можем тогда добиться того, чтобы прямолинейный
отрезок pq лежал в U. Пусть х — средняя точка отрезка pq,
и пусть е\ = рх, в2 = xq и L = е\ U е2. Так как отображение
dfb линейно на разбиении L, то отрезки dfb(e\) и dfb(e2) обра-
образуют угол, равный я. Далее, dgb является угловой а/2-аппрок-
симацией для dfb на L. Поскольку а ^ я, то применение рас-
рассмотренного выше частного случая нашей теоремы показывает,
что dgb взаимно-однозначно на L в противоречие с предположе-
предположением.
Предположим теперь, что р и q суть внутренние точки раз-
различных симплексов С\ и Стг из К, пересечение О\[)о2== а кото-
которых является собственной гранью каждого из них. Пусть х —
образ точки р при проекции симплекса С\ на ст. Возьмем точки
р и q настолько близкими к точке Ь, чтобы прямолинейный от-
отрезок е\, соединяющий р и х, и прямолинейный отрезок ег, сое-
соединяющий х и q, лежали в V. Ясно, что отображение dfb ли-
линейно на разбиении L = е\ U е2 и dgb служит угловой а/2-ап-
проксимацией для dfb на L.
Мы утверждаем, что угол между прямолинейными отрез-
отрезками dfb(e\) и dfb(e2) не меньше а; тогда из разобранного част-
частного случая следует, что dgb взаимно-однозначно на L в про-
противоречие с предположением, что dgb{p)~ dgb{q). Докажем
утверждение об угле. Отображение dfb является линейным изо-
изоморфизмом на Сть а так как проекция естественна относительно
линейных изоморфизмов, то проекция симплекса dfb(o{) на
симплекс dfb(o) должна переводить dfb(p) в dfb(x). Это озна-

§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений 343
чает, как замечено выше в B), что угол между отрезками
dfb(e\) и dfb{e2) не меньше, чем угол от dfb(o\) до dfb(o2), ко-
который не меньше а.
E) Пусть теперь f — погружение. Выберем б, как выше.
Для любой заданной точки b ^\К\ существует окрестность V
точки Ь, такая, что всякая б-аппроксимация g: К' —* R" отобра-
отображения / взаимно-однозначна на V. Это доказывается следую-
следующим образом.
Сначала выберем е-окрестность V точки Ь, на которой й\ь
служит угловой а/3-аппроксимацией отображения \. Затем под-
подберем окрестность V точки Ь, лежащую в U, так, чтобы для
любой пары симплексов о\, а разбиения К, содержащих точку
b и таких, что ст является собственной гранью о\, проекция с\
на ст переводила V П <?i в V.
Поскольку g служит угловой а/6-аппроксимацией для f, оно
является угловой а/2-аппроксимацией для й]ь на U. Отсюда
следует, что g взаимно-однозначно на V. Действительно, пред-
предположим, что g{p) — g(q), где р, q^V. Если точки р и q ле-
лежат в одном и том же симплексе ст разбиения К, то рассмотрим
среднюю точку х отрезка pq и положим в\ = рх, е2 = qx. Так
как U есть е-окрестность, то множество U f\a выпукло, так
что L = в\ U e<i лежит в U. Далее, отрезки dfb(e[) и djb{e2) об-
образуют угол, равный я. Поскольку а ^ я, то g взаимно-одно-
взаимно-однозначно на L, согласно рассмотренному частному случаю тео-
теоремы, что противоречит нашему предположению.
В случае когда точки р и q не лежат в одном и том же
симплексе разбиения К, рассуждения аналогичны. Пусть р е
е Int oi и i/G Int 02, где симплекс о = cti Л <*2 является соб-
собственной гранью каждого из симплексов Oi и ст2, и пусть х —
образ точки р при проекции о\ на ст. Ясно, что хе(/. Положим
е\ = рх и е2 — qx. Тогда L = в\ U е2 лежит в (У и отрезки
dfb(e\) и dfb{e2) образуют угол не меньше а. Применение част-
частного случая теоремы показывает, что g взаимно-однозначно на
L вопреки предположению.
F) Наконец, пусть f — вложение. Выберем б, как в D).
Применяя E), подберем конечное число компактных множеств
Ci, внутренности которых покрывают \К\ и на каждом из ко-
которых любая б-аппроксимация g отображения / взаимно-одно-
взаимно-однозначна. Согласно упр. (а) п. 3.10, существует такое б0 > 0, что,
если g: \К\—R" является С°-бо-аппроксимацией отображения
/ и g взаимно-однозначно на каждом С/, то g — гомеоморфизм.
Следовательно, если g служит одновременно и бо- и б-аппрок-
симацией отображения /, то оно есть вложение. Ш
Упражнение (а). Пусть отображение f: ^X^R непрерывно и Л —
компактное подмножество пространства Y. Положим / . (*) = min / (*, у).
j/e а

344 Дополнение. Дж. Манкрс
Доказать, что отображение /л: X->R непрерывно. Вывести отсюда, что угол 9
от симплекса а\ до симплекса 02 представляет собой непрерывную функцию
от вершин этих симплексов.
Упражнение (Ь). Дать формулу для проекции симплекса ai на о. При
помощи этой формулы показать, что эта проекция непрерывна и естественна
в указанном выше смысле.
Упражнение (с). Обобщить теорему на случай бесконечного разбие-
разбиения К; в этом случае 6 будет уже, конечно, положительной непрерывной функ-
функцией на \К\.
Упражнение (d). Показать, что для заданной Сг-триангуляции f:
К-*-М любая ее достаточно хорошая аппроксимация g также будет триан-
триангуляцией при условии, что она переводит Bd|/C| в BdAf.
§ 9. СЕКУЩЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ИНДУЦИРОВАННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ /
Пусть заданы разбиение К, его конечное подразбиение Ki
и Сг-отображение /: К—* R". Мы хотели бы аппроксимировать
f Сг-отображением g некоторого подразделения К' разбиения К
в R", линейным на каждом симплексе соответствующего
подразделения К\ разбиения Ki-
В качестве первого шага мы покажем, что, если разбиение
К\ подразделено достаточно аккуратно, то индуцированное ото-
отображение /, секущее отображение g, которое автоматически
является линейным, будет сильной С'-аппроксимацией для /
на К\ (п. 9.1—9.6). Второй шаг будет состоять в доказатель-
доказательстве того, что g можно продолжить на весь полиэдр \К\ так,
чтобы оно осталось сильной С'-аппроксимацией для / (п. 9.7—
9.8).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Пусть f:K-+Rn есть Сг-отображение
и пусть s — произвольный симплекс, содержащийся в некотором
симплексе разбиения К. Линейное отображение Ls:s-»-R", со-
совпадающее с / на вершинах симплекса s, называется секущим
отображением, индуцированным отображением f.
Аналогично, если К' — подразделение разбиения К, то секу-
секущее отображение LK>: К' —> R , индуцированное отображением,
f, — это линейное отображение, совпадающее с / на вершинах
К'- Заметим, что, если / переводит какой-нибудь симплекс в
Н" или в R"-1, то и секущее отображение, индуцированное /,
переводит этот симплекс туда же.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2. Радиусом г (о) симплекса а назы-
называется минимальное расстояние от его барицентра о до Bd a.
Диаметром й(а) симплекса а называется длина его наиболь-
наибольшего ребра. Толщиной t{o) симплекса а называется отношение
r(o)/d(o).

$ 9. Секущее отображение, индуцированное отображением f 345
Лемма 9.3. Пусть /: а -*• R" есть О-отображение и 6, to —
положительные числа. Существует е > 0, такое, что для лю-
любого, лежащего в а симплекса s, диаметр которого меньше в,
а толщина больше t0, секущее отображение Ls будет 8-аппрок-
симацией ограничения f\s.
Доказательство. Для заданной точки бея положим
Fb(x)=f(b)+Df(b)-(x-b) и h(x,b) = f(x)-Fb(x). Тогда
||Л(л-, 6)||/||л: — й||->0 равномерно при \\х — Ь\\-+О (см. зада-
задачу 1.10 B)). Далее, имеет место равенство Df(x)— DFb(x)=*
= Df(x) — Df(b). Отсюда следует, что существует такое не за-
зависящее от b положительное число е\, что Fb является 6/2-ап-
проксимацией отображения / на ерокрестности точки Ь. Потре-
Потребуем, чтобы е было меньше, чем 8ь тогда ||А(д:, 6)||< 6/2 для
|| л: — &||<е. Потребуем также, чтобы для ||дг — &11<е выпол-
выполнялось неравенство ||А(д:, fr)||/|U — 611 < fi^o.
Докажем, что, если толщина симплекса s не меньше ^о, а
диаметр меньше е, то отображение Ls будет fi/2-аппроксима-
цией ограничения Fb\s, где b — барицентр симплекса s. Отсюда
будет следовать утверждение леммы, так как Fb\s является
б/2-аппроксимацией для /|s.
A) Предварительный результат. Если L и F —
линейные отображения симплекса s в R" и \\L(x)— F(x)\\<. $
для всех х, то
|| DL (x)-u- DF (х) • и ||< 2p/r (s)
->•
для всех единичных векторов и в плоскости симплекса а.
Действительно, пусть b — барицентр симплекса s. Поскольку
отображение L линейно, то L(x) = L(b)-\- DL(b) ¦ (х — Ь) и
DL(x) = DL(b). Аналогичные соотношения справедливы для
DF. Поэтому
Z
[DL (x) - DF (x)] -Z=[DL {b) - DF (b)] • (x - b)/\\ x-b\\
для некоторой точки х е Bd s. Выражение справа равно
{[L (x) - L F)] - [F (x) - F (b)]}/\\ (x - b) ||,
так что
||DL (x) • a - DF (x) • u\\ < Щ\ x - b|| < 2p/r (s).
B) Доказательство леммы. Пусть vo, ..., vo —
вершины симплекса s и Jt = ]?a(f/ — его общая точка. Так как
Ls и Fb — линейные отображения, то
Ls (х) = ? a,L, (v,) = Е aj (vt)
{vt),
12 Дж. Милнор, Дж. Сташеф

846 Дополнение. Дж. Манкрс
откуда
IIL, (х) - Fb (х) || = | ? а,А (х, vt) || < max || А (х, vt) ||.
Но ||А (х, у) || < 6/2 при IU — у\\ < е, следовательно, ||1* (х) —
— Fb{x)\\<Z 6/2, что есть половина доказываемого утверждения
о 6/2-аппроксимации.
Далее, \\h{x,y)\\i\\x — y\\<6to/4 при \\х — у\\<е, так что
IIL. (х) - Fb (х) ||< |U - Ь || в/о/4 < d (^) 6У4 < бг (s)/4,
ибо ^о ^ r(s)/d(s). На основании предварительного результата
A) мы заключаем, что Ls является б/2-аппроксимацией огра-
ограничения Fb\s. Ш
'Упражнение (а). Привести пример, показывающий, что эта лемма
неверна без предположения о том, что толщина симплекса s отграничена от
нуля'.
Лемма 9.4. Для всякого конечного разбиения К существует
to > 0, такое, что К имеет сколь угодно мелкое подразделение,
минимальная толщина симплексов которого не меньше t0.
Доказательство. Прежде всего заметим, что, если теорема
верна для разбиения К, то она верна для любого разбиения,
изоморфного К. Действительно, пусть /: К —* К\ — линейный
изоморфизм. Для каждого симплекса из К отношение ИД*) —
— f(y) Н/Н* — у\\ ограничено сверху и отграничено снизу от
нуля. Выберем числа аир таким образом, что
0<a<\\f(x)~f(y)\\/\\x-y\\<p,
каковы бы ни были точки х и у, принадлежащие одному и
тому же симплексу разбиения К. Для заданного е > 0 пусть
К' — подразделение К, симплексы которого имеют диаметр,
меньший е, и толщину, большую fa Тогда симплексы соответ-
соответствующего подразделения разбиения Ki имеют диаметр, мень«
ший Ре, и толщину, большую сс^о/Р, как читатель легко может
проверить; отсюда вытекает справедливость сделанного утверж-
утверждения.
Далее, разбиение К изоморфно подразбиению некоторого
«стандартного симплекса» — т. е. симплекса, натянутого на
вершины е0> еь ..., ер> где е0 — начало координат, а е, — век-
векторы естественного базиса в пространстве Rp. Следовательно,
нашу лемму достаточно доказать для случая, когда К — стан-
стандартный симплекс.
1 Таким примером может служить хорошо известный «сапог Шварца». —
Прим. перев.

§ 9. Секущее отображение, индуцированное отображением f 347
Пусть / — евклидово клеточное разбиение с |/|= R", клетки
которого строятся следующим образом. Для произвольного на-
набора целых чисел i0, ih ..., iv рассмотрим куб
С(ц ip) = {х | i, <
в Rp и пересечем его с областью
/; + 1 для / = 1, ..., р)
Получающееся множество будет клеткой. (На рисунке показан
куб С@,0,0) и его пересечения с областями R@), R(l) и
RB).) Евклидово клеточное разбиение / состоит из всех таких
клеток и их граней. Оно имеет два следующих важных для нас
свойства:
A) каждая клетка евклидова разбиения / получается сдви-
сдвигом в Rp одной из клеток, содержащихся в единичном кубе
С@,0, ..., 0).
B) Для любого положительного целого числа m симплекс
Em, натянутый на вершины 0, mei, me2, ..., mep, служит поли-
полиэдром некоторого подразбиения евклидова клеточного разбие-
разбиения /.
Теперь превратим клеточное разбиение / в симплициальное
разбиение L, подразделяя его шаг за шагом как описано в
лемме 7.8; на каждом шаге в качестве внутренней точки клет-
клетки с, определяющей подразделение, мы используем центр S
этой клетки. Отсюда вытекает, что условия A) и B) выпол-
выполнены также и для разбиения L, и, значит, его симплексы имеют
минимальную толщину /0>0 и максимальный диаметр d.
Преобразование подобия в пространстве R", переводящее
точку х в точку х/гп, не изменяет толщины симплексов и уве-
увеличивает их диаметр в 1/пг раз. Следовательно, образ симп-
симплекса 2т при этом преобразовании будет давать прямолиней-
прямолинейную триангуляцию симплекса Si, симплексы которой имеют
толщину не меньше to и диаметр не больше d/m. Поскольку m
произвольно, лемма доказана. I
12*

348 Дополнение. Дж. Манкрс
* Упражнение (а). Пусть К состоит из двумерного симплекса и его
граней, Л[ — барицентрическое подразделение К, Кг — барицентрическое под-
подразделение К\ и т. д. Показать, что максимальная толщина симплексов из Кя
стремится к нулю при п ->- «з.
*Нерешенная задача 9.5. Обобщить предыдущую лемму на
случай неконечного разбиения К. Нужно ожидать, что to я е
будут в этом случае непрерывными функциями на \К\, однако
не вполне ясно даже, как сформулировать само утверждение.
Теорема 9.6. Пусть разбиение К конечно и f: К —*¦ R" есть
О-отображение. Для любого заданного S > 0 существует под-
подразделение К' разбиения К, такое, что секущее отображение
LK>: К' -> R", индуцированное f, является 8-аппроксимацией
для f.
Более общим образом, верна следующая теорема, немедлен-
немедленно вытекающая из приводимой вслед за ней леммы.
Теорема 9.7. Пусть f: К —*¦ Rn есть С'-отображение и Ki —
конечное подразбиение разбиения К. Для любого заданного
6 > О существует ^-аппроксимация g: К' -* R" отображения f,
такая, что:
A) на К{ g совпадает с секущим отображением, индуциро-
индуцированным /;
B) вне St(KuK) g равно/;
C) вне St(Ki, К) К' совпадает с К.
Здесь К\ — подразделение разбиения К\, индуцированное под-
подразделением К', и условие C) означает, что любой симплекс
из К, лежащий вне St(Ki, К), входит в К'.
Лемма 9.8. Пусть f: K-+R" есть С'-отображение и К\ —
конечное подразбиение комплекса К. Для любого заданного
е > 0 существует б > 0, такое, что всякая 8-аппроксимация
g: Ki-*-R" отображения f\Ki может бить продолжена до в-ап-
проксимации h:K'-+Rn отображения f, где К' — стандартное
продолжение подразделения К'\ {см. определение 7.12) и h сов-
совпадает с f вне St(K\, К).
Доказательство. Подразделение К' разбиения К уже зада-
задано, и отображение h уже определено на \К\\ и на |^|\St(/Ci,
К). Остается только продолжить h на каждый симплекс под-
подразделения К', внутренность которого лежит в множестве
St(Ki, К) \ \К\\, и посмотреть, будет ли полученное продол-
продолжение хорошей аппроксимацией. Мы произведем это продол-
продолжение шаг за шагом, начиная с одномерных симплексов, затем
переходя к двумерным, и т. д. По этой причине достаточно
доказать нашу лемму для того частного случая, когда разбие-
разбиение представляет собой одиночный симплекс.

§ 9. Секущее отображение, индуцированное отображением f 349
Частный случай леммы. Пусть L — комплекс, со-
состоящий из симплекса а и его граней, и пусть L\ = Bd а. Для
любого заданного е > 0 существует такое S > 0, что всякую
б-аппроксимацию g: L\ -> R' можно продолжить до е-аппрокси-
мации h: U —*Rn, где L'— стандартное продолжение подраз-
подразделения L[.
Доказательство этого частного случая. Очевидное продолже-
продолжение отображения g получится, если каждый прямолинейный
отрезок ха линейно отобразить на прямолинейный отрезок
g(x)f(a), где 5 — барицентр симплекса ст. Однако здесь есть
та трудность, что построенное отображение не будет, вообще
говоря, дифференцируемо в точке д. Мы видоизменим это по-
построение, «сводя» g(Bda) в точку f(cr) при помощи гладкой
функции a(t), a не линейной.
Пусть а(t), как обычно, — монотонная С°°-функция, равная
О для '/з ^ t и 1 для t ^ 2/з. Всякая точка х е ст представима
в виде х = ty + A —1M; где у е Bda и 0 ^ / ^ 1; при этом чис-
число t и точка у однозначно определены для х ф д. Если L\—
любое подразделение границы Bd ст и V — стандартное продол-
продолжение, то у и t являются С°°-функциями от х на каждом симп-
симплексе разбиения Z/, исключая точку х = сг.
Для произвольного С-отображения g: L[ -*¦ R" положим
h (x) = / (х) + a (/ (х)) [g (у (х) - f (у (х))].
Так как a{t{x)) — 0 для точек х из некоторой окрестности ба-
барицентра 5, то отображение h имеет класс Сг на каждом симп-
симплексе разбиения Z/. Покажем, что h автоматически будет хоро-
хорошей аппроксимацией для f, если g было хорошей аппроксима-
аппроксимацией для f|Bd ст.
Во-первых, заметим, что llft(.v)—f(*)||<||g(*)—/(*I1. так
что h будет хорошей С°-аппроксимацией для /, если таковой
было g.

360 Дополнение. Дж. Манкре
Во-вторых, вычислим производную d{h — f)/dx для
Она равна
где g и f, как обычно, записываются в виде одностолбцовых
матриц. Поскольку значения a'(t)-dt/dx и a(t)-dy/dx ограни-
ограничены независимо от выбора подразделения Li и отображения g,
производная d(h — f)/dx будет сколь угодно мала, если только
\g(y)—f(y)\ и \dg/dy — df/dy\ достаточно малы. ¦
Упражнение (а). Вычислить, насколько малыми должны быть
)—f(y)\ и \dgldy — dfldy\ для того, чтобы \d(h — f)fdx\ было меньше,
чем о.
Упражнение (Ь). Завершить доказательство леммы, используя дока-
доказанный выше результат для частного случая.
Упражнение (с). Показать, что справедливо такое дополнение к лем-
лемме 9.8. Предположим, что, если f переводит какой-нибудь симплекс ai e #1
в плоскость &>, то и g тоже переводит этот симплекс в &. Доказать, что, если
f переводит какой-либо симплекс а е К в ^, то и А переводит его в !Р.
Упражнение (d). Пусть (Р\, ..., Фь — некоторое конечное множество
плоскостей в R". Доказать, что к теореме 9.7 можно сделать следующее добав-
Ление: каждый симплекс a s К, который отображением { переводится в одну
па плоскостей 9'<, переводится в эту плоскость и отображением g.
§ 10. ПРИГОНКА ВЛОЖЕННЫХ РАЗБИЕНИЙ
Предположим, что мы имеем Сг-вложения двух разбиений
в дифференцируемое многообразие М, образы которых пере-
перекрываются. Мы хотим доказать, что, слегка изменив эти вло-
вложения, можно «подогнать», «приладить» их образы друг к другу
в том смысле, что после подходящего подразделения они будут
пересекаться по некоторому подразбиению.
Если М — евклидово пространство, это не слишком трудно;
соответствующие построения проводятся в п. 10.2. Основная
идея состоит в том, чтобы (используя результаты § 9) изме-
изменить вложения так, чтобы они стали линейными вблизи
зоны перекрытия, ибо, как мы знаем из § 7, два евклидовых
разбиения всегда пересекаются так, как нужно.
Если М не является евклидовым пространством, то надо
привлекать координатные системы на многообразии М, которые
можно рассматривать как евклидово пространство, и проводить
указанное изменение последовательно, шаг за шагом. Процесс
этот, хотя по существу не сложнее, довольно канительный
(пп. 10.3—10.4). Зато после того как технические затруднения
будут преодолены, две главные теоремы этой главы получаются
почти немедленно (п. 10.5—10.6).

§ 10. Пригонка вложенных разбиений 351
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Пусть ft: Ki -+ R", f2: K%-*- ^ — го-
гомеоморфизмы и Ml^i|)> /2(I^Сг|) — замкнутые подмножества
своего объединения. Говорят, что пары (Kufi) и (Кг, Ы пере-
пересекаются по подразбиению, если прообразы множества
f 1 < | /Ci I) П /2 A А"г 1) служат полиэдрами некоторых подразбиений
L\ и Li разбиений К\ и Кг соответственно и f^Xf{ является ли-
линейным изоморфизмом L\ на Z,2. Говорят, что они пересекаются
по полному подразбиению, если либо для I «=» 1, либо для i = 2
разбиение L; содержит каждый симплекс разбиения Ki, вер-
вершины которого принадлежат Lt. В таком случае существуют
такое разбиение К и такой гомеоморфизм f:K-+Rn, что сле-
следующая диаграмма коммутативна:
Здесь t'i и t*2 — линейные изоморфизмы разбиений К\ и Кг на
соответствующие подразбиения разбиения К, объединение ко-
которых равно К. Пара (К, f) определена однозначно с точностью
до линейного изоморфизма; она называется объединением пар
(Kufi) и (Кг,/г). Будем обозначать через L подразбиение
Нас будет интересовать в этой ситуации случай, когда го-
гомеоморфизмы /i: Ki -*¦ R" и fi\ Ki -*¦ R" являются дополнительно
Сг-вложениями. Отображение f: К -*¦ R" будет в этом случае
невырожденным Сг-гомеоморфизмом, однако оно может не быть
вложением, так как может оказаться нарушенным условие
погружения (см. определение 8.3), т. е. для некоторой точки
fte|L| отображение dfb может не быть взаимно-однозначным,
хотя само f взаимно-однозначно (см._пример из п. 8.1). Однако
если отображение // линейно на St (Lj,Kj) для / = 1, 2, то
их объединение f обязательно представляет собой вложение,
ибо в этом случае dfb = f\Stb для 6e|L| и / будет взаимно-
взаимнооднозначным. Этот факт важен для дальнейшего. Другой слу-
случай, когда объединение является вложением, указан в упр. (с).
Упражнение (а). Пусть //: Ki-*¦ R" — гомеоморфизм, / = 1, 2. Дока-
Доказать, что, если ft: К\ -*¦ Я" и fj: Кг-*- R" пересекаются по подразбиению, то
fx: К[ -> R" и /2: К^ -> R" пересекаются по полному подразделению, где
/() и Ki — барицентрические подразделения разбиений Ki и Кг соответственно.
Упражнение (Ь). Доказать существование и единственность (с точ-
точностью до линейного изоморфизма) объединения (К, /).

352 Дополнение. Дж. Манкрс
Набросок решения. Образовать абстрактное разбиение К, вершинами ко-
которого служат точки //("'). где о' — произвольная вершина разбиения К/ (/ »
= 1,2). Если о^.. .vjj — симплекс разбиения К/, то набор {fy (tig),...,// (°р))
объявляется симплексом разбиения К. Затем дать геометрическую реализа-
реализацию этого абстрактного разбиения и определить f. Для доказательства того,
что / — гомеоморфизм, рассмотреть предельное множество отображеия /.
Упражнение (с). Пусть f/-. К/-*¦ R", t = 1, 2, суть Сг-вложения, пере-
пересекающиеся по полному подразбиению, f: K-*-R" — их объединение и t/ —
включение К/ в К- Если множество \К\ является объединением множеств
InU](|/Cil) и Int 1'г(|/Сг 1). то f: К-*-Я" представляет собой Сг-вложение.
Лемма 10.2. Пусть f: P—»Rm есть О-отображение; Q и А —
подразбиения разбиения Р, объединение которых равно Р;
f\Q и f\A суть Сг-вложения, образы которых замкнуты в Rm,
и пусть А конечно. Для любого заданного б > 0 существует
Ь-аппроксимация g:P-*Rm отобраокения f, такая, что g\Q' и
g\A' пересекаются по полному подразбиению и их объединение
является С'-вложением.
Кроме того, g совпадает с f, а Р' — с Р вне
st3 (r'f (А), р) = st (st (st (rV (A)))),
(все звезды берутся в Р).
Доказательство. Пусть Ро — разбиение, полиэдром которо-
которого служит множество St С// (-4)); оно состоит из всех симп-
симплексов, образы которых пересекают множество f(A), вместе с
их гранями; поэтому оно содержит А. Предположим, что S
меньше, чем половина расстояния от множества f{P)\f(Po)

§ 10. Пригонка вложенных разбиений 353
до {(Л), так что никакая б-аппроксимация g отображения / не
может перевести точку из Р\Ро в точку из g(A). Предположим
далее, что S настолько мало, что для любой б-аппроксимации
g:P'-*Rm отображения / ограничения g\Q' и g\A' являются
С-вложениями.
Пусть_Р1 — подразбиение разбиения Р, полиэдром которого
служит St(Po,P). По теореме 9.7 существует б-аппроксима-
б-аппроксимация g: P'->ROT отображения /, совпадающая на подразбиении
Р\ с секущим отображением, индуцированным /; кроме того, g
совпадает с /, а Р' — с Р вне St (P\, P).
Пусть Qi = Pi П Q, так что Pi = A (J Qb Отображения g\ Q\
и g\A' являются линейными вложениями, так что их образы
представляют собой конечные прямолинейные разбиения в ев-
евклидовом пространстве. По теореме 7.10 можно выбрать под-
подразделения этих разбиений так, чтобы их объединение было
разбиением. Эти подразделения индуцируют посредством ото-
отображения g~l подразделение Р'{ разбиения Р\, такое, что gl Qi'
и g\A" пересекаются по подразбиению. Возьмем барицентри-
барицентрическое подразделение Р(" разбиения Р'{; тогда g\Q{" и g\A'"
пересекаются по полному подразбиению (см. упр. (а) п. 10.1).
Продолжим это подразделение разбиения Р[ стандартным
образом до подразделения Р"' разбиения Р' (см. определе-
определение^).
Мы утверждаем, что g\Qr" и g\A'" пересекаются по под-
подразбиению. Действительно, предположим, что g{o\) пересе-
пересекает ^(сгг), гДе CTi е Q"' и а2 е А"'. Тогда симплекс о\ должен
лежать в |Ро|, согласно нашему первоначальному предполо-
предположению относительно б, откуда следует, что С\ лежит в | Qi |.
Однако g\Q\" и g | А'" пересекаются по подразбиению. Значит,
g\Q'" и g\A"' пересекаются по подразбиению. Аналогичное
рассуждение показывает, что это подразбиение является пол-
полным.
Отсюда вытекает, что объединение g\Q"' и g\A'" есть Сг-
вложение; здесь мы используем замечание, сделанное в конце
п. 10.1. Действительно, если g(b\) = g(b2) для точек i>ie|Q|
и 62^Й|, то точка Ь\ должна лежать в |Р0|, согласно вы-
выбору б. Однако g линейно на разбиении Р[", которое содер-
содержит St(|Poj, P'"). Следовательно, объединение отображений
g\Q'" и g\A представляет собой Сг-вложение. I
Следствие 10.3. Пусть М — многообразие без края, являю-
являющееся Ст-подмногообразием, некоторого евклидова простран-
пространства. Утверждение предыдущей леммы сохраняет силу, если
всюду заменить R на М и предположить дополнительно, что
f(A) содержится в некоторой координатной системе (U,h)
на М.

354 Дополнение. Дж. Манкрс
Доказательство. Прежде всего возьмем совокупность тех
симплексов из Р, которые пересекаются с f-lf(A), и подразде-
подразделим их настолько мелко, чтобы диаметр каждого из них был
меньше четверти расстояния от f~lf(A) до f~l(M\U). Продол-
Продолжим это подразделение стандартным образом др_ подразделе-
подразделения Р' всего разбиения Р. Ясно, что / переводит St*(f-1 (А), Р')
в U. Далее, возьмем подразбиение / разбиения Р', полиэдром
которого является множество St4(/-'f04), P'), и рассмотрим
С-отображение hf: J -*¦ R". Применяя предыдущую лемму, по-
получаем, что существует аппроксимация G: У -*¦ Rm отображе-
отображения hf, такая, что G совпадает с hf, а /' — с / вне
Sts (f~lf (A), P'). Поэтому мы можем определить искомое отобра-
отображение g, положив g = h~xG на множестве St*(f-lf(A), P') и
g = f вне множества Sts(f-*f (А), Р')\ симплексы из Р', лежа-
лежащие вне / вообще не подразделяются.
Предыдущая лемма гарантирует нам, что G — гомеоморфизм.
Чтобы и g было гомеоморфизмом, достаточно взять его настоль-
настолько близким к f, чтобы g(Si3(M(A), P')) и g(P\St*(f-lf(A), P'))
не пересекались. Аналогично, предыдущая лемма гарантирует
нам, что G является Сл-вложением; то, что h~xG тоже будет вло-
вложением, следует из упр. (а) 8.3. Наконец, используя упр. (с)
п. 10.1, получаем, что и g будет вложением. В
Упражнение (а). Показать, что в условиях предыдущего следствия
справедливо следующее дополнительное утверждение: g(x) = f(x), если f (ж)
лежит вне координатной окрестности (U,h), содержащей f(A).
Теорема 10.4. Пусть М — многообразие без края, являющее-
являющееся Сг-подмногообразием, пространства R", и пусть f: К -* М и g:
L-*- М суть О-вложения, образы которых замкнуты в М. Для
любой заданной функции 8(х)> 0 существуют 8-аппроксимации
f: К'—*М и g': U'-*• М отображений fug соответственно, пере-
пересекающиеся по полному подразбиению, так что их объединение
представляет собой Сг-вложение. (Функция б должна быть не-
непрерывна на дизъюнктном объединении полиэдров \К\ и \L\.)
Доказательство. Предположим, что g переводит каждый
симплекс из L в некоторую координатную окрестность на М
(см. упр. (а) п. 7.13). Занумеруем симплексы разбиения L:
А\, Ач, ...
таким образом, чтобы каждый симплекс предшествовал всем
своим граням. Выберем для каждого номера i окрестность Vi
множества g(Ai) в М так, чтобы {Vi} было локально-конечной
совокупностью компактных подмножеств в М.
(*) Предположим, что б настолько мало, что для любых
6-аппроксимаций /' и g' отображений f и g соответственно мно-

§ 10. Пригонка вложенных разбиений 355
жество g'{Ai) содержится в Vi и не пересекается с множеством
f'f-l{M\Vi).
Положим f0 = / и go = g-
Индуктивное предположение. Пусть Ki — подразделение раз-
разбиения К, Lt — подразделение разбиения L и fi: Kt-*-M, gr.
Li—*M суть С-вложения, являющиеся A—'/УЖ*)-аппрокси-
A—'/УЖ*)-аппроксимациями отображений f и g соответственно. Далее, если Л обо-
обозначает подразбиение разбиения Ц, полиэдром которого служит
объединение ^4iU ... \JAi, то мы предполагаем, что отображе-
отображения fr. Ki-^M и gi\h пересекаются по полному подразбиению
и их объединение представляет собой вложение.
Пусть Л: Q-+M есть объединение (Ki, ft) и gi\Jt. Это —
Сг-вложение. Рассмотрим Ki и Ji как подразбиения разбиения Q,
так что Q = Ki U /<• Множество At+i служит полиэдром некото-
некоторого подразбиения разбиения Li, которое мы обозначим также
через Ai+\\ пусть Р — разбиение, получаемое отождествлением
каждой точки из Bd Л,+1, с соответствующей точкой из /j. Для
того чтобы Р было разбиением, может понадобиться подразде-
подразделить Ai+i; будем считать это сделанным, не изменяя обозначе-
обозначений. Продолжим А на Р, положив его равным gi на Ai+\.
Теперь применим предыдущее следствие. Отображение Л:
Р—*М является Сг-отображением; A|Q и h\Ai+\ суть ^-вложе-
^-вложения, и h(At+i) содержится в некоторой координатной системе на
М. Значит, для любого е > 0 найдется такая е-аппроксимация
А': Р'—*М отображения Л, что А' | Q' и h'\A't+i будут ^-вложе-
^-вложениями, пересекающимися по полному подразбиению, объедине-
объединение которых является вложением. Но это объединение совпадает
с объединением Ы \К\ и hr \J'i\] A'i+и так что объединение этой
последней пары также является вложением.
Если е достаточно мало, то отображение Л': Kt-^M бу-
будет 6(x)/2'+I-аппроксимацией для А, так что fl+l*=h' \K'i будет
A — l/at+1) б (х) -аппроксимацией для f, как и требуется.
Далее, если е достаточно мало, то отображение A': J't\J A'i+\~*
-*М можно продолжить до Сг-отображения gi+\: Li+i-*-M, ко-
которое служит 6(х)/2/+1-аппроксимацией для gr. Li-*M. Здесь
мы снова используем лемму 9.8. Таким образом, отображение
gi+i: L1+1-+M является A — 1/2/+1)^(А)-аппроксимацией для g,
как и требуется. Итак, наше индуктивное предположение выпол-
выполнено, и, значит, можно считать, что отображения ft и gi опреде-
определены для всех L
Теперь хочется положить f=*limft, K?-=limKt и аналогич-
аналогично для gr и U. Поскольку индуктивное предположение само по
себе не гарантирует существования этих пределов, посмотрим
внимательнее на определения отображений fi+i и

356 Дополнение. Дж. Манкрс
Следствие 10.3 говорит нам, что Q' совпадает с Q, a h' — с А
вне St3(h^h(Ai+[), Р). Поэтому ft+i совпадает с /(, a Kt+i —с Ki
для симплексов, лежащих вне St3 (/]"'#/(Л,+1), /(<). Но согласно
исходному предположению (*) относительно S, отображение /*
посылает точку хе/( в множество gi(Ai+\) тогда и только то-
тогда, когда f посылает точку х в V;. Таким образом, мы видим,
что ft+i совпадает с /<, a Ki+i — c Ki вне St^f-^V,), К). Эти
множества образуют локально-конечную совокупность подмно-
подмножеств в К, так что пределы Игл/,- и lim/G существуют (см. за-
задачу 7.13).
Аналогично, gi+i совпадает с gi, а Ц+1 — сЦ вне St3 (g, 'g,X
Х(^+1), L?) = St3(i4l+I, Lf)<=St»Df+1, L). Следовательно,
интересующие нас пределы существуют и в этом случае. Пре-
Предельные отображения автоматически будут 6(дс) -аппроксимация-
-аппроксимациями для fug соответственно. То что их объединение является
С-вложением, проверяется без труда. Ш
Упражнение (а). Внимательно изучив доказательство теоремы, вы-
вывести следующее дополнительное заключение: для любой окрестности V мно-
множества tf(|i.|) можно выбрать К' и f так, чтобы К' совпадало с К, a f —
cf вне &3(/-'(Ю.К).
Упражнение (b). Используя упр. (а) п. 10.3 и упр. (d) п. 9.8, уси-
усилить теорему 10.4 следующим образом. Предположим, что fug переводят
подразбиения разбиении К и L соответственно в Сг-подмногообразие Af много-
многообразия Л1, ие имеющее края. Тогда f и g' можно выбрать так, чтобы они
тоже переводили эти подразбиения в N.
Теорема 10.5. Пусть М есть С'-многообразие. Для любых
двух его С'-триангуляции /: К—*М и g: L->М существуют под-
подразделения разбиений К и L, линейно изоморфные друг
другу.
Фактически для всякой заданной функции 6(л:)>0 суще-
существуют Ь-аппроксимации f: K'-+M и g': L'-*M триангуляции f
и g соответственно, являющиеся Сг-триангуляциями многообра-
многообразия М и такие, что отображение (f')~xg' представляет собой ли-
линейный изоморфизм U на К'.
Доказательство. В случае, если многообразие М не имеет
края, выберем 8(х)> 0 так, чтобы любые fi-аппроксимации ото-
отображений f и g были отображениями на; это возможно в силу
леммы 3.11. Наш результат следует тогда из теоремы 10.4.
В случае когда край имеется, рассмотрим М как подмногообра-
подмногообразие своего удвоения D(M); из упр. (Ь) п. 10.4 вытекает, что ото-
отображение /': К' -*D(M) переводит Bd|/C| в BdM. Если б доста-
достаточно мало, то f'(Bd\K\) = BdM, так что f(|/C|)c:Af. Поэтому
для достаточно малых 6 имеем f(\K\)*mM. Аналогично, если 6
достаточно мало, то g'(\L\)=*M. В

§ 10. Пригонка вложенных разбиений 357
Теорема 10.6. Каждое Сг-многообразие М без края обладает
О-триангуляцией. Если многообразие М имеет край, то любая
С'-триангуляция его края может быть продолжена до ^-триан-
^-триангуляции всего многообразия М. (Продолжением ^-триангуля-
^-триангуляции f: J -*¦ Bd М края многообразия М называется всякая ^-три-
^-триангуляция g: L-+M, такая, что отображение g-1} является ли-
линейным изоморфизмом разбиения J на некоторое подразбиение
разбиения L.)
Доказательство. Пусть М — многообразие без края. По*
кроем его m + 1 координатными системами (Ui, hi), i = 0, 1, ...
..., m, выбранными так, что hi(Ui) для каждого I есть объеди-
объединение некоторой счетной совокупности A;(V//) попарно непересе-
непересекающихся ограниченных множеств в Rm (см. задачу 2.8). Пусть
Сц ci Vn — замкнутые множества, такие, что совокупность {С,/}
покрывает многообразие М, и пусть Кц для каждой пары индек-
индексов / и у — конечное прямолинейное разбиение в Rm, содержа-
содержащееся в hi(Vif) и содержащее некоторую окрестность замкну-
того множества Ы(Сц). Положим Ki= U %и- Тогда hjx: Ki~+ M
будет Сг-вложением, образ которого содержит некоторую окре-
окрестность множества (J C{j. Пусть g{: K't-*M. суть б, (х) -аппрок-
-аппроксимации для hjl, / = 0, 1 пг, выбранные так, чтобы
(Ко> ^оI • • •» {К'т> ёт) пересекались по полному подразбиению и
их объединение было вложением. Это объединение будет Сг-три-
ангуляцией многообразия М, если б,(х)> 0 выбраны настолько
малыми, что gi(\ Ki |) содержит [} Сц (см. упр. (Ь) п. 3.11).
Пусть теперь многообразие М имеет край и /: /-+BdM есть
Сг-триангуляция. Триангулируем пространство |/|Х[0, 1) сле-
следующим образом. Предположим, что / лежит в R". Для каждого
симплекса ое/и каждого целого положительного числа п рас-
рассмотрим евклидовы клетки стХ [1 — 1/л, 1 — 1/(я + 1)] и
стХA — 1/п), которые содержатся в R"+1. Совокупность всех та-
таких клеток образует евклидово клеточное разбиение, полиэдром
которого является множество |/|Х[0, 1); это евклидово клеточ-
клеточное разбиение можно превратить в симплициальное разбиение
при помощи подразделения, не затрагивающего клетки второго
рода аХA — 1/я). Обозначим получившееся симплициальное
разбиение через К-
Пусть /Со—подразбиение разбиения К, полиэдром которого
служит множество |/|Х[0, 5/в]. и пусть Р: BdAf Х[0, 1)—»-Af —
некоторая цилиндрическая окрестность края многообразия М.
Ограничение на Ко композиции
/Х[0, l)t^BdMX[0, l)-?+M

358 Дополнение. Дж. Манкрс
представляет собой О-вложение g: Ко-*-М, образ которого зам-
замкнут в Af и содержит множество P(BdMX[0, 4Д]) в своей вну-
внутренности.
Пусть h: L—*M является Сг-триангуляцией многообразия
IntAf, которое не имеет края. Подразделяя, если надо, разбие-
разбиение L, мы можем считать, что любой симплекс из L, пересекаю-
пересекающийся с множеством P(BdMX(V5)), не пересекается с множе-
множеством P(BdAf Х[0, 3Д]) (см. упр. (а) п. 7.13). Пусть Ц — под-
подразбиение разбиения L, состоящее из симплексов, образы кото-
которых при отображении h пересекают множество M\P(BdMX
Х[0, 4Д)). и их граней. Тогда отображение h: Lo-+M будет
BdM
g(x0)
XX
XX
Г 2 3 4 5\
T У ЖТ?'
Сг-вложением, образ которого замкнут в М, содержит множество
M\P(BdMX [0,4Д]) в своей внутренности и содержится в
множестве М \ P(BdAf X[0, SA])-
По теореме 10.4 существуют аппроксимации g': Ko~+M и
h'\ L'o-*M отображений g и h соответственно, которые пересе-
пересекаются по полному подразбиению и объединение которых яв-
является вложением. Согласно упр. (а) п. 10.4, мы можем пред-
предположить, что g' совпадает с g, a /C6 — с Ко на множестве |/|Х
X [0, '/а] • Объединение (Ко, g) и {Ц, hr) будет, таким образом,
искомой Сг-триангуляцией многообразия М при условии, что
g'(\ Ко |) и А'(| Lo |) покрывают М.
Но множество g(|/Co|) содержит в своей внутренности мно-
множество P(BdAf ХГ'/г, Уб], a A(|L0|) содержит в своей внутрен-
внутренности множество М\Р(ЫМХ[0, 3Д]). Применение упр. (Ь)
п. 3.11 показывает, что образы вложений g' и h' будут содер-
содержать эти два замкнутых множества, если аппроксимации доста-
достаточно хороши. Так как g'(\Ko\) содержит множество P(BdM X
Х[0, '/г]) автоматически, то мы видим, что в случае достаточно
хороших аппроксимаций множества g'(\Ko\\ и A'(|LO1) действи-
действительно покрывают М. Ш

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ'
[1] Бинг P. (Bing R. H.) Locally tame sets are tame, Ann. Math., 1964, 89,
145—158.
[2] Гуревич В., Волмэн Г. (Hurewicz W., Wallman H.) Теория размерно-
размерности.—М.: ИЛ, 1948 A948).
[3] Кервер М. (Kervaire M.) A manifold which does not admit any dif-
ferentiable structure, Comment. Math. Helv., 1960, 34, 257—270.
[4] Манкрс Дж. (Munkres J. R.) Obstructions to the smoothing of piece-
wise-differentiable homeomorhisms, Ann. Math., 1960, 72, 621—554.
[5] Милнор Дж (Milnor J.) On manifolds homeomorphlc to the 7-sphere,
Ann. Math., 1956, 64, 399—405. [Имеется перевод: О многообразиях,
гомеоморфных семимерной сфере.—Математика, 1957, 1:3, с. 35—42,]
[6] — Differential Topology, Princeton Univ., 1958 (mimeographed).
[7] — Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct,
Ann. Math., 1961, 74, 575—590.
[8] Мойз Э. (Moise E. E.) Affine structures in 3-manifolds. V. The triangu-
lation theorem and Hauptvermutung, Ann. Math., 1952, 56, 96—114.
[9] Моран Д. (Moran D.) Raising the differentiability class of a manifold
in euclidean space (thesis), Univ. of 111., 1962.
[10] Mope M. (Morse M.) On elevating manifold differentiability, J. Indian
Math. Soc, 1960, 24, 379—400.
[11] Папакирьякопулос К. (Papakyriakopoulos С. D.) A new proof of the
invariance of the homology groups of a complex, Bull. Soc. Math.
Grace, 1943, 22, 1—154.
[12] Стинрод H. (Steenrod N.) Топология косых произведений. — M.: ИЛ,
1953 A951).
[13] Столлингс Дж. (Stallings J.) The piecewise-linear structure of euclidean
space, Proc. Cambridge Philos. Soc, 1962, 58, 481—488.
[14] Уайтхед Дж. Г. К. (Whitehead J. H. С.) On C'-complexes, Ann. Math.,
1940, 41, 809-824.
[15] — Manifolds with transverse fields in euclidean space, Ann. Math.,
1961, 73, 154—212.
[16] Уитни X. (Whitney H.) Differentiable manifolds, Ann. Math., 1935, 37,
645—680.
[17] Хокииг Дж., Янг Г. (Hocking J. О., Young G. S.) Topology, Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1961.
1 См. подстрочное примечание к стр. 262. —Прим. перее.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ1
К основному тексту
Браудер У. (Browder W.) Surgery on simply-connected manifolds, Ergebnisse
Math. 65, Berlin, Springer, 1972.
— Poincare spaces, their normal fibration and surgery, Invent. Math., 1972,
17, № 3, 191-202.
Бухштабер В. М. Кобордизмы в задачах алгебраической топологии. —
В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги науки и техники), т. 13,
1975, с. 231—271.
— Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложе-
приложения теории однозначных и двузначных формальных групп. — В кн.:
Современные проблемы математики (Итоги наукн и техники), т. 10,
1978, с. 5—178.
Бухштабер В. М., Мищенко А. С, Новиков С. П. Формальные группы и их
роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 1971, 26, № 2,
131—154.
Каруби (Karoubi M.) A'-theory, Grundlehren math. Wiss. 228, Springer, 1977.
Кёрби Р., Зибенманн Л. (Kirby R., Siebenmann L.) Foundational assays on
topological manifolds, smoothings and triangulations, Ann. Math. Stud.
88, Princeton University Press, 1977.
Коннер П., Флойд Э. (Conner P., Floyd E.) Гладкие периодические ото-
отображения. — M.: Мир, 1969 A964).
Кюйпер Н., Лашеф P. (Kuiper N., Lashof R.) Microbundles and bundles.
I. Elementary theory, Invent. Math., 1966, № 1, 1—17.
Ликориш У. Б. P. (Lickorish W. B. R.) A representation of orientable com-
combinatorial 3-manifolds, Ann. Math., 1962, 76, 531—540.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971.
Суллнван Д. (Sullivan D.) Inside and outside manifolds, Proc. Int. Congr.
Math. Vancouver 1974, printed in USA, 1975, 1, 533—536.
Уолл Ч. (Will С. Т. С.) Poincare complexes. I, Ann. Math., 1967, 86,
213—245.
Уэллс Р. (Wells R. О.) Дифференциальное исчисление на комплексных мно-
многообразиях. — М.: Мир, 1976 A973).
Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли и характеристиче-
характеристические классы слоений. — В кн.: Современные проблемы математики
(Итоги науки и техники), т. 10, 1978, с. 179—235.
Хирш М., Мазур Б. (Hirsch M. W., Mazur B.) Smoothing of piecewise linear
manifolds, Ann. Math. Studies, № 80, Princeton Univ. Press, 1974.
1 При ссылках на работы из этого списка ставится звездочка, например
[* Каруби]. — Прим. перев.

Литература, добавленная при переводе 361
К дополнению
Браун Э. М. (Brown E. M.) The Hauptvermutung for 3-complexes, Trans.
Amer. Math. Soc, 1969, 144, 173—196.
Кёрби Р., Зибенманн Л. (Kirby R. C, Siebenmann L C.) On the triangula-
tion of manifolds and the Hauptvermutinung, Bull. Amer. Math. Soc,
1969, 75, 742—749.
— Foundational essays, Ann. Math. Stud., 1977.
Кэннон Дж. (Cannon J. W.) The recognition problem: what is a topological
manifold? Bull. Amer. Math. Soc, 1978, 84, № 5, 832—866.
Мацумото Ю. (Matsumoto Y.) Hauptvermutung for Я1 = Z, J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo, 1969, 16, № 2, 165—177.
Морита С. (Morita Sh.). Smoothability of PL-manifolds is not topologically
invariant. Manifolds, Tokyo 1973, Univ. of Tokyo Press, 1975.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия н их применения в теории гомо-
топий, 2-е изд.,—М.: Наука, 1976.
Рурк К., Сандерсон Б. (Rourke С. P., Sanderson В. J.) Введение в кусоч-
кусочно-линейную топологию. — М.: Мир, 1974 A972).
Сулливан Д. (Sullivan D.). On the Hauptvermutung for manifolds, Bull.
Amer. Math. Soc, 1967, 73, 598—600.
— Геометрическая топология.—M.: Мир, 1975 A970).
Сян У-чун, Шейнсои Дж. (Hsiang Wu-Chung, Shaneson J. L.) Fake tori;
Tipology Manifolds, Chicago, 1970, 18—51.
Уитни X. (Whitney H.) Геометрическая теория интегрирования. — M.: ИЛ,
1960 A957).

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаме Дж. Ф. (J. F. Adams) 44, 49,
113, 205, 211, 212, 237, 238, 262
Адем Дж. (J. Adem) 113, 262
Александров П. С. 205, 262
Андерсон Д. У. (D. W. Anderson)
212, 262
Артин Э. (Е. Artin) 238, 262
Атья М. (М. Atlyah) 186, 205, 211,
212, 262
Баум П. (P. Baum) 210, 263
Бернулли Я. (J. Bernoulli) 234
Бннг P. (R. H. Bing) 359
Биркгоф Г. (G. Birkhoff) 35, 265
Бишоп P. (R. L. Bishop) 34, 98, 244,
263
Блантон Дж. Д. (J. D. Blanton) 76,
263
Бой В. (W. Boy) 102, 263
Бордман Дж. (J. M. Boardman) 209,
263
Боревич 3. И. 234, 236, 238, 263
Борель A. (A. Borel) 76, 113, 158, 193,
263
Борсук К. (К. Borsuk) 191
Ботт P. (R. Bott) 44, 201, 210, 212,
240, 252, 256, 263
Брамфил Г. (G. Brumfiel) 206, 264
Браудер У. (W. Browder) 208, 264,
360
Браун А. Б. (А. В. Brown) 172, 264
Браун Э. (Е. Brown) 212, 262
Браун Э. М. (Е. М. Brown) 327, 360
Бооди.Э. (Е. J. Brody) 202, 264
Бур баки Н. (N. Bourbaki) 257, 264
Бухштабер В. М. 205, 360
Ван дер Варден Б. Л. (В. L. Van der
Waerden) 64, 74, 157, 264
Вей Ж. (J. Vey) 210, 264
Вейль A. (A. Weil) 258
Вейнграм С. (S. Weingram) 65, 265
Вильямсон Р. У. (R. W. Williamson)
206, 264
• s= Сингер. — Прим. ред.
Волмэн Г. (Н. Wallman) 359
Вуд Дж. (J. Wood) 259, 264
Гальперин С. (S. Halperin) 119, 264
Гамильтон (W. R. Hamilton) 200
Ганнинг P. (R. С. Gunning) 126, 264
Гильберт Д. (D. Hilbert) 102, 264
Годбийон К. (С. Godbillon) 210, 264
Грейвс Л. (L. Graves) 172, 264
Гуревнч В. (W. Hurewicz) 208, 264,
359
Дайер Э. (Е. Dyer) 209, 210, 264
Джеймс И. (I. M. James) 46, 201, 264
Дольд A. (A. Dold) 63, 79, 81, 96,
106—108, ПО, 208, 213, 214, 216,
264
Дугунджн Дж. (J. Dugundji) 59, 66,
264
Зибенманн Л. (L. Siebenmann) 207,
265, 327, 360
Зингер 'И. (I. Singer) 186, 262
Кан П. (P. J. Kahn) 186, 264
Капланский И. (I. Kaplansky) 215,
264
Картал А. (Н. Cartan) 223, 264
Карубй М. (М. Karoubi) 205, 211,
264, 360
Квиллен Д. (D. Quillen) 264
Келли Дж. (J. L. Kelley) 25, 35, 59,
60, 264
Кервер М. (М. Kervaire) 44, 206, 237,
265, 279, 359
Кбрбя P. (R. Kirby) 207, 265, 327,
360
Кистер Дж. (J. M. Kister) 206, 265
Клаузен Т. (Т. Clausen) 236
Кнезер X. (Н. Kneser) 25, 265
Кобаяси С. (S. Kobayashi) 244, 265

Именной указатель 363
Коннер П. (P. Conner) 205, 211, 212,
265, 360
Кон-Фоссен С. (S. Cohn-Vossen) 102,
264
Криттенден P. (R. J. Crittenden) 34,
98, 244, 263
Куммер (Kummer) 237
Кюйпер Н. (N. Kuiper) 206, 360
Кюннет X. (Н. Kunneth) 223
Кэннон Дж. (J. W. Cannon) 327, 361
Ланделл Э. (А. Т. Lundell) 65, 265
Лашеф P. (R. К. Lashof) 206, 265,
360
Ленг С. (S. Lang) 31, 74, 98, 215,
265
Ликориш У. Б. P. (W. В. R. Licko-
rish) 168, 360
Мадсен И. (I. Madsen) 206, 264
Мазур Б. (В. Mazur) 206, 207, 360
Маклейн С. (S. MacLane) 35, 214,
215, 223, 252, 265
Макмахон П. (P. A. Macmahon) 157,
265
Манкрс Дж. (J. R; Munkres) 5, 116,
207, 266, 272, 359
Маховальд М. (М. Mahowald) 237,
265
Мацумото Ю. (Y. Matsumoto) 327,
361
Милграм Р. Дж. (R. J. Milgram) 206,
209, 2Ы 265
Милнор Дж. (J. W. Milnor) 5, 8, 44,
164, 172, 188, 202, 203, 206, 207, 209,
237, 259, 263, 265, 287, 326, 359
Мищенко А. С. 360
Миядзакя X. (Н. Miyazakl) 66, 265
Мойз Э. (Е. Е. Moise) 359
Моран Д. (D. Могап) 359
Морс М. (М. Morse) 359
Морита С. (Sh. Morita) 327, 361
Мэй Дж. (J. P. May) 188, 209, 266
Нильсен Н. (N. Nielsen) 238, 266
Ннреиберг Л. (L. Nirenberg) 126, 266
Новиков С. П. 164, 189, 190, 202,
207, 209, 212, 266, 360
Номидзу К. (К. Nomlzu) 15, 244, 265,
266
Ньюлэндер Э. (A. Newlander) 126,
266
Остманн X. (Н. Ostmann) 71, 266
Папакирьякопулос К. (С. D. Рара-
kyriakopoulos) 359
Петерсон Ф. (F. P. Peterson) 212,
262, 266
Петре Я. (J. Peetre) 241, 266
Понтрягин Л. С. 7, 8, 47, 64, 167, 266,
287, 361
Постников М. М. 6, 65, 360
Равенель Д. (D. Ravenel) 209, 266
Райт Э. М. (Е. М. Wright) 236, 268
Рам Ж., де (G. de Rhami 15, 266
Рамануджан (Ramanujan) 71
Росси X. (Н. Rossi) 126, 264
Ротенберг М. (М. Rothenberg) 265
Рохлин В. А. 168, 189, 266
Рурк К. П. (С. P. Rourke) 193, 266,
337, 361
Саймоне Дж. (J. Simons) 210, 269
Сандерсон Б. (В. J. Sanderson) 193,
266, 337, 361
Сард A. (A. Sard) 172, 266
Сван P. (R. Swan) 35, 266
Серр Ж.-П. (J.-P. Serre) 170, 171,
191, 266
Серф Ж. (J. Cerf) 206, 266
Сигал Г. (G. Segal) 209, 266
Симада Н. (N. Shimada) 199, 202,
267
Сингх Варма X. О. (Н. О. Singh
Varma) 269
Смейл С. (S. Smale) 46, 203, 267
Спеньер Э. (Е. Н. Spanier) 40, 73, 86,
89, 95, 96, 107, 108, 113, 171, 191,
213—215, 217, 219, 220, 222, 223,
225, 228, 229, 252, 267
Спивак М. (М. Splvak) 208, 267
Спрингер Дж. (G. Springer) 259, 267
Сташеф Дж. (J. D. Stasheff) 5, 8,
188, 208, 209, 267
Стернберг Ш. (S. Sternberg) 172, 267
Стинрод Н. (N. Steenrod) 13, 15, 17,
23—26, 33, 49, 61, 55, 78, 116, 117,
119, 120, 123, 124, 143, 150, 170,
174, 192, 209, 213, 214, 217, 220, 225,
231, 244, 267, 269, 359
Столлингс Дж. (J. Stallings) 359
Стонг P. (R. E. Stong) 48, 164, 184,
205, 210, 267
Сулливан Д. (D. Sullivan) 202, 209,
212, 267, 327, 360, 361
Сян У-чун (Hsiang Wu-Chung) 327,
361

364 Именной указатель
Тамура И. (I. Tamura) 199, 267
Тода X. (Н. Toda) 266
Толедо Д. (D. Toledo) 119, 264
Том P. (R. Thorn) 48, 158, 161, 164,
168, 178, 184, 187, 189, 199, 202, 267
Томас Э. (Е. Thomas) 267
Тэрстон У. (W. Thurston) 210, 268
Хокинг Дж. (J. G. Hocking) 359
Хопф X. (Н. Hopf) 205, 262
Хьюзмоллер Д. (D. Husemoller) 17,
63, 205, 209, 268
Хэфлигер A. (A. Haefliger) 210, 263,
268
У» Вэнь-цзунь (Wu Wen-tsun) 36, 65,
66, 112, 187, 188, 268
Уайли С. (S. Wylie) 40, 213, 268
Уайтхед Дж. Г. К. (J. H. С. White-
head) 49, 58, 59, 64, 55, 116, 171,
191, 197, 201, 217, 264, 267, 268, 359
Уайтхед Дж. У. (О. W. Whitehead)
212, 268
Уитни X. (Н. Whitney) 5, 7, 10, 36,
46, 102, 116, 119, 178, 268, 287, 359,
361
Уолл Ч. (С. Т. С. Wall) 168, 179, 208,
268, 360
Уоллес A. (A. Wallace) 265
Уорнер Ф. (F. Warner) 240, 252, 268
Уэллс P. (R. О. Wells) 127, 360
Флойд Э. (Е. Floyd) 205, 211, 212,
265, 360
Фогт P. (R. Vogt) 209, 263
Фукс Д. Б. 210, 360
Хайтч И. (J. Heitsch) 256, 263
Харди Г. (G. H. Hardy) 71, 236, 268
Хёрмандер Л. (L. Hormander) 126,
268
Хилтон П. (P. J. Hilton) 40, 213, 268
Хирцебрух Ф. (F. Hirzebruch) 33, 36,
179, 181, 184, 188, 189, 212, 234,
255, 262, 268
Хирш М. (М. W. Hirsch) 46, 206, 207,
264, 268, 360
Чепмэн Т. (Т. A. Chapman) 202, 268
Чернавский А. В. 6
Чжень Шен-шень (S. S. Shern) 7 8,
64, 66, 210, 240, 252, 258, 263, 269
Шафаревнч И. Р. 234, 236, 238, 263
Шварц А. С. 189, 266
Швейцер П. (P. A. Schweitzer) 76,
263
Шевалле К. (С. Chevalley) 34, 269
Шейнсон Дж. (J. L. Shaneson) 327,
361
Ши В. (W. Shih) 212, 269
Штанько М. А. 6
Штаудт К. Г. К., фон (К. О. С. von
Staudt) 236
Штифель Э. (Е. Stiefel) 7, 8, 36, 43,
44, 49, 116, 119, 269
Шуберт X. (Н. Schubert) 66, 269
Шчарба P. (R. Szczarba) 204, 269
Эйленберг С. (S. Eilenberg) 13, 25,
150, 192, 213, 214, 217, 220, 223, 225,
231, 264, 269
Эпстейн Д. Б. Э. (D. В. A. Epstein)
78, 267
Эресманн Ш. (С. Ehresmann) 7, 25,
64, 269
Янг Г. (О. S. Young) 359
= By. — Прим. ред.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
аксиома о накрывающей гомотопии
208
антндиагональ 88
ассоциированное расслоение на мно-
многообразии Штифеля 116
база расслоения 16
базис дифференцируемой структуры
276
базисное пространство 16
барицентр 325
барицентрические координаты 325
барицентрическое подразделение 331
бесконечное многообразие Гроссмана
57
Штифеля 61
— проективное пространство Б7
бордантность 211
бордизм ориентированный 211
Брауна теорема 172
Бьянки тождество 247
вектор скорости 11, 290
векторное поле 20
— расслоение 16
гладкое 17
евклидово 23
комплексное 124
вещественное проективное простран-
пространство 16
включение 291
вложение 277
— класса С' 335
внешнее когомологическое произведе-
произведение 221
умножение 79
внутренность многообразия 271
внутренняя точка многообразия с
границей 165
воротник 319
вписанное покрытие 69, 371
вторая фундаментальная форма 34,
63
Гаусса — Бонне теорема 253
обобщенная 258
2-форма 252
гауссова кривизна 252
гауссово отображение обобщенное 55
геодезические координаты 252
главное расслоение 313
гладкая триангуляция 197
гладкое многообразие 10
с границей 165
— отображение 9
— — многообразий 12
гладкости структура 15
голоморфное отображение 126
гомотопия дифференцируемая 297
— регулярная 296
граница многообразия 165, 271
граничная точка многообразия 271
граничный гомоморфизм 214, 218
грань 213, 325, 329
грубая С1-топология 294
группа кобордизмов 50
— коцепей 218
— цепей 218
двойственное
32
векторное расслоение
— комплексное векторное расслоение
140
двойственность Александера 233
— Пуанкаре 108
двойственный когомологический класс
101
джойн 325
диагональный когомологический
класс 106
диаметр симплекса 344
диффеоморфизм 12, 277
дифференциал отображения 292, 335
дифференциальный оператор 241
дифференцируемая структура 275

366 Предметный указатель
дифференцируемое многообразие 275
— отображение 272
относительно разбиения 334
длинная линия 25
Дьёдоннв теорема 60
евклидова метрика на векторном рас-
расслоении 23
евклидово векторное пространство 23
расслоение 23
— клеточное разбиение 330
— полупространство 270
единичная сфера 27
единичный шар 270
естественность 36, 78, 85, 131
Жирара формула 163
задняя грань 219
звезда 326
измельчение разбиения 162, 326
изоморфизм векторных расслоений 17
— симплексов линейный 326
— Тома 79, 84
изотопия 297
инвариантный полином 245
индекс Кронекера 46, 215
— многообразия 184
индуцированное расслоение 26
интегрирование на многообразии 229
каноническое линейное расслоение
над Р" 19
карта 10
Картана формула 78
касательное многообразие 12
— отображение, определяемое по-
погружением 313
— пространство 11, 290
— расслоение 18, 391
кусочно-линейное 205
касательный вектор 11, 290
квадратичная функция 23
положительно определенная 23
класс кобордизма 49
— ориентированного кобордизма 166
— Понтрягина 144
— Хирцвбруха 189
— Чцкеня 131
— Штифеля — Уитни 36
— Эйлера 85
классифицирующее отображение
153—154
— пространство 136, 206
клетка 327
— замкнутая 65
— открытая 65
клеточное разбиение 65, 330
конечное 65
ковариантная производная 240
ковариантный тензор второго поряд-
порядка 293
когомологическое Х-умноженне 220
когомотопнческая группа многообра-
многообразия 191
кограница коцепи 214
пограничный гомоморфизм 218
кокасательное расслоение 240
комбинаторное многообразие 337
компактный носитель 228
комплексифнкация 128, 144
комплексная структура на веще-
вещественном расслоении 125
многообразии 126
комплексно-аналитическое отображе-
отображение 126
комплексное многообразие 126
— расслоение 124
компонента вектора 290
конус отображения 95
координатная окрестность 10, 270
— система 276
координатное пространство 9
косое гомологическое умножение 106
коцепь 214, 218
— с компактным носителем 228
Коши— Римана условия (уравнения)
краевая точка многообразия 271
край многообразия 271
кривая многообразия 271
куб /п-мерный 270
кусочно-линейное касательное рас-
расслоение 205
— отображение 193, 326
— расслоение 205, 206
Кюннета теорема 223
лежащее в основе вещественное рас-
расслоение 125
лемма о сглаживании 303
линейность на симплексах 193, 326
линейный изоморфизм симплексов
326
линия Александрова 25
линк 337
Липшица — Сильвестра лемма 235

Предметный указатель 367
локальная координатная система 10
для векторного расслоения
— ориентация многообразия 226
— параметризация 10
— тривиальность 17, 124
локально-конечное покрытие 59, 272
— семейство множеств 274
локально-стягиваемое пространство
324
локальный оператор 241
Мазура теорема 206
матрица Якоби 272
микрорасслоение 206
Милнора — Новикова теорема 164
Миядзаки теорема 66
многообразие без края 271
— Грассмана 51, 310
бесконечное 57
комплексное 88, 132
стабильное 206
— дифференцируемое 275
— топологическое 270
— Штифеля 51
бесконечное 61
— Шуберта 66
мономы эквивалентные 156
Мориты теорема 59
мультипликативная последователь-
последовательность 180
принадлежащая степенному ря-
ряду 182
наложение 34
невырожденное отображение (клеточ-
(клеточных разбиений) 334
нормальное отображение, определяе-
определяемое погружением 3.14
— расслоение 18
вложения 314
погружения 31, 316
подмногообразия 30
Спивака 208
носитель 285
— компактный 228
Ньютона формула 162
обобщенная теория гомологии 211
когомологий 210
обобщенное гауссово отображение 55
объединение пар (Kt, fi) и (/Сг, U)
351
овеществленное расслоение 144
ограничение расслоения 26
ориентация 82
— многообразия 103, 227
— расслоения 83
ориентированная кобордантность 166
ориентированного объема л-форма
ориентированное многообразие 227
— разбиение 192
ориентированный борднзм 211
— кобордизм 166, 167
ортогональное дополнение подрас-
слоения 29
ортогональный вектор 130
основная гипотеза (Hauptvermutung)
326
остов 331
паракомпактное пространство 59, 271
параллелизуемое многообразие 18
передняя грань 219
пересекаются по подразбиению 351
полному подразбиению 351
Петре теорема 241
плоская связность 242, 244
погружение 30, 277
— класса С 335
подмногообразие 282
подразбиение 65, 326
подразделение клеточного разбиения
330
— снмплнциального разбиения 193,
326
подрасслоение 28
полиэдр 326
полный дифференциал 14
— класс Понтрягина 145
У 112
Чженя 131
Штифеля — Уитни 38
— стинродовский квадрат 79
полупространство евклидово 270
последовательность Гизина для век-
векторных расслоений 120
послойно гомотопные отображения 59
послойное отображение 27
почти-комплексная структура 126
правило Лейбница 14
предельное множество отображения
287
примерный препятствующий класс
116-117
проективное пространство бесконеч-
бесконечное 57
вещественное 16, 19
комплексное 133
проективный модуль 35

368 Предметный указатель
проекция векторного расслоения 16
— касательного расслоения 291
производная 13
— по направлению 14
простой цикл 192
пространство Пуанкаре 208
— разбиения 65
— расслоения 16
— Тома 169
прямое произведение расслоений 27
прямолинейная триангуляция 332
псевдоцентральное проектирование
337
путь (гладкий) 11
пфаффиан 257
равномерная топология 296
раднус симплекса 344
разбиение единицы 285
подчиненное покрытию 285
— целого числа 71
размерность векторного расслоения
17
— клетки 327
— клеточного разбиения 331
— многообразия 271
— по покрытиям 288
ранг модуля 150
расслоение в смысле Гуревича 208
— векторное 16
— конечного типа 64
— кусочно-лннейное 205, 206
рациональное гомологическое много-
многообразие 192
регулярное значение 172
— простое число 238
репер 51, 116
риманова метрика 23
на многообразии 292
— связность 250
риманово многообразие 23
род Тодда 189
сапог Шварца 346
свободный цепной комплекс 94
связность 2<0
— Леей — Чивиты 250
— не имеющая кручения 250
— симметричная 250
— согласованная с метрикой 249
— плоская 242, 244
сглаживание 302
секущее отображение, индуцирован-
индуцированное отображением f 344
сечение векторного расслоения 19
— всюду ненулевое 19
сечення всюду независимые 21
сигнатура многообразия 183
сильная С°-аппроксимация 294
— С'-аппроксимация 293, 338
символ Кристоффеля 250
— Шуберта 66
симметрическая функция 156
элементарная 156
симплекс 325
— открытый 325
— сингулярный 213
— стандартный 213, 346
симплициальное отображение 193
— разбиение 325
сингулярных гомологии группа 214
— когомологий группа 214
— цепей группа 213
скалярное произведение 23
складывающее отображение 196
слабая топология 57
слой 17
собственное включение 276
сопряженное комплексное расслоение
139
Спивака расслоение 208
стабильная гомотопическая группа
211
стабильное многообразие Грассмана
206
стандартное продолжение подразде-
подразделения 333
стандартный симплекс 346
стинродовский квадрат 78
полный 79
Стоуна теорема 59
структура гладкости 15
структурная группа 244, 313
Сулливана формула 202
сумма Уитни 28
тензор кривизны 244
тензорное произведение векторных
расслоений 32
теорема двойственности 231
Пуанкаре 108, 114, 230
— — Уитни 39
— о локальной ретракции 314
неявной функции 280
произведении для классов Чже-
ня 136
— — сигнатуре 184
существовании трубчатой окре-
окрестности 98
— — трубчатой окрестности 317
цилиндрической окрестности 166

Предметный указатель 369
— об изоморфизме 93
обратной функции 280
— периодичности Ботта 211
— Тома об изоморфизме 90
— Уитни о произведении 36
тихоновское пространство 35
толщина симплекса 344
Тома теорема 90, 177
— формула 78—79
тонкая топология 57
— С-топология 294
— С*-топология 294
— С'-топология 296
топологическое многообразие 52
трансверсальность 172, 173
триангуляция 197, 335
— прямолинейная 332
тривиальное расслоение 17
трубчатая окрестность 98
У ( = Ву) формула 82, ПО, 115
Уайтхеда теорема 197
— топология 57, 65
угловая а-аппроксимация 338
удвоение многообразия 272, 320
Уитни теорема 36, 287
универсальное базисное пространство
206
— комплексное расслоение 136
— ориентированное расслоение 122
— расслоение 65
условие локальной тривиальности 17,
124
факторрасслоение 34
фундаментальный гомологический
класс 46, 227
— когомологический класс 78
функтор 31
— непрерывный 32
характер Чженя 163
характеристический когомологический
класс 62, 248
характеристическое отображение для
клетки 65
цепь 218
цепное отображение 94
— правило 273
цилиндрическая окрестность края 319
число Бернулли 234
— Понтрягина 154
— Чженя 153
— Штифеля — Уитни 47
эйлерова характеристика ПО
экспоненциальное отображение 98
Эрмита тождество 130
эрмитова метрика на расслоении 130
якобиан 13
Ф'-изоморфизм абелевых групп 170
Сг-вложение 335
Сг-отображенне 272
Сг-погружение 335
Сг-подмногообразие 282
Сг-три§нгуляция 335
С°-б-аппроксимация 294
Hauptvermutung 326
К-род 183
й-сфернческое расслоение 208
/С-теория 210
L-род 184
п-репер 51, 116
г-джет 25
в-аппроксимация 293, 338
Х-произведение 221
Х-умножение 220
w-умножение 219
^-умножение 229
/-умножение 106

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию б
Предисловие
7
§ 1. Гладкие многообразия 9
§ 2. Векторные расслоения 16
Евклидовы векторные расслоения 23
§ 3. Построение из векторных расслоений новых расслоений .... 26
5 4. Классы Штифеля — Уитни 36
Следствия из приведенных выше четырех аксиом 37. Алгебры
с делением 44. Погружения 45. Числа Штифеля — Уитнн 46
§ 5. Многообразия Грассмана и универсальные расслоения 50
Бесконечные многообразия Грассмана 56. Универсальное
расслоение -у" 57. Паракомпактные пространства 59. Характери-
Характеристические классы вещественных n-мерных расслоений 62
§ 6. Клеточная структура многообразий Грассмана 64
§ 7. Кольцо когомологий Я* (Gra; Z/2) 72
Единственность классов Штифеля — Уитни 75
§ 8. Существование классов Штифеля — Уитни 77
Проверка аксиом 79
§ 9. Ориентированные расслоения и класс Эйлера 82
§ 10. Теорема Тома об изоморфизме 82
§ 11. Некоторые вычисления на гладких многообразиях 97
Нормальное расслоение 97. Касательное расслоение 102. Диаго-
Диагональный когомологический класс в Нп (М X Щ 105. Двойствен-
Двойственность Пуанкаре и диагональный класс 108. Класс Эйлера и эйле-
эйлерова характеристика ПО. Формула У для классов Шти-
Штифеля — Уитнн ПО.
§ 12. Препятствия 116
Последовательность Гизина для векторных расслоений 120.
Ориентированное универсальное расслоение 121. Класс Эйлера
как препятствие 122.
§ 13. Комплексные векторные расслоения и комплексные многообразия 124
§ 14. Классы Чженя 129
Эрмитовы метрики 130. Построение классов Чженя 130. Комп-
Комплексные многообразия Грассмана 132. Теорема о произведении
для классов Чженя 136. Двойственные и сопряженные расслое-
расслоения 139. Касательное расслоение комплексного проективного
пространства 141
§ 15. Классы Понтрягина 143
Когомологий ориентированного многообразия Грассмана 149
' § 16. Числа Чженя и числа Понтрягина 152
Р.азбиения 152. Числа Чженя 153. Числа Понтрягина 154. Сим-
Симметрические функции 155. Формула произведения 158. Линейная
независимость чисел Чженя и Понтрягина 161

Оглавление 371
§ 17. Кольцо ориентированных кобордизмов Q» 164
Гладкие многообразия с границей 165. Ориентированный кобор-
дизм 166
§ 18. Пространства Тома н трансверсальность 169
Пространство Тома евклидова векторного расслоения 169.
Гомотопические группы по модулю *% 170. Регулярные значения
и трансверсальность 172. Основная теорема 177
§ 19. Мультипликативные последовательности и теорема о сигнатуре 179
Мультипликативные характеристические классы 186
§ 20. Комбинаторные классы Понтрягина 189
Гладкий случай 190. Комбинаторный случай 192. Некоторые при-
приложения 199
Заключение 205
Негладкие многообразия 205. Гладкие многообразия с дополнитель-
дополнительной структурой 209. Обобщенные теории когомологий 210
Приложение А. Сингулярные гомологии и когомологин 213
Основные определения 213. Соотношение между гомологиями и кого-
мологиями 215. Гомологии клеточных разбиений 216, ч^-умножение 219.
Когомологий произведения пространств 220. Гомологии многообразий 224.
Фундаментальный гомологический класс многообразия 226. Когомоло-
Когомологий с компактными носителями 228. ^-умножение 229
Приложение В. Числа Бернулли 234
Приложение С. Связности, кривизна и характеристические классы .... 240
Список литературы 262
Дополнение. Дж. Манкрс. Элементарная дифференциальная топология 270
Глава 1. Дифференцируемые многообразия 270
§ 1. Введение 270
§ 2. Подмногообразия и вложения 282
§ 3. Отображения и аппроксимации 289
§ 4. Сглаживание отображений н многообразий 303
§ 5. Многообразия с краем 310
Глава II. Триангуляции дифференцируемых многообразий 325
§ 7. Клеточные разбиения и комбинаторная эквивалентность . . 325
§ 8. Погружения и вложения симплициальных разбиений .... 333
§ 9. Секущее отображение, индуцированное отображением f . . 344
§ 10. Пригонка вложенных разбиений 350
Список литературы 359
Литература, добавленная при переводе 360
Именной указатель 362
Предметный указатель 365

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кни-
книги, ее оформлении, качестве перевода и
другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

Дж. Милнор,
Дж. Сташеф
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Старший научный редактор В. И. Авербух
Младший научный редактор А. Н. Сандерова
Художник И. М. Пучков
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова
Корректор Н. Н. Баранова
ИБ № 1473
Сдано в набор 15.01.79. Подписано к печати 17.10.79. Формат 60X90'/i«. Бумага типограф-
типографская № 1. Гарнитура латинскаи. Печать высокая. Объем 11,75 бум. л. Усл. печ.
л. 23,50. Уч.-изд. л. 21,22. Изд. Ni 1/9795. Тираж 6 500 экз. Заказ № 64. Цена 1 р. 90 к.
Издательство «Мир>
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография N» 2 имени Евгении Со-
Соколовой «Союзполиграфпрома> при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52. Измайловский проспект, 29

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР>
ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ
Гомотопическая теория дифференциальных форм: Сб. статей
1977. Пер. с англ., 10 л., 1 р. 20 к.
Сборник содержит работы зарубежных математиков по сим-
плицнальной теории де Рама и ее обобщениям. В целом они
дают хорошее представление о развитии этого нового раздела
алгебраической топологии за последние годы и вместе с тем яв-
являются удачным введением в предмет. Среди авторов — такие
известные математики, как А. Бусфельд, В. Гугенхейм, Д. Кан,
Д. Леманв, Э. Миллер, Р. Сваи.
Книга представляет интерес для математиков различных спе-
специальностей и будет полезна аспирантам и студентам старших
курсов математических специальностей университетов.
Уважаемый читатель!
Заблаговременно оформляйте заказы иа интересующие Вас
книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих научно-тех-
научно-технической литературой.

Ё ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ
Исследования по метрической теории поверхностей: Сб. ста-
статей 1977. Пер. с англ., 14 л., 1 р. 10 к.
Сборник статей зарубежных математиков содержит новые
результаты в области дифференциальной геометрии, полученные
в последние годы. В статьях первой части рассматривается и
разрешается вопрос об определении римановой метрики по за-
заданной ее кривизне. Во второй части сборника приведены статьи,
относящиеся к вопросам изометрических деформаций поверхно-
поверхностей и изометрических погружений метрик. Среди авторов из-
известные математики — Г. Глюк, Д. Зингер, Р. Коннели, Н. Кюй-
пер.
Книга рассчитана на математиков различных специальностей,
она будет полезным учебным пособием для аспирантов и сту-
студентов старших курсов университетов.
Уважаемый читатель!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие Вас
книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих научно-тех-
научно-технической литературой.