ЗАДАЧИ
ПО
ГЕОМЕТРИИ
(ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
И ТОПОЛОГИЯ)
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1978

УДК 513 73+513.83(076)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Авторы пособия:
С. П. НОВИКОВ, А. С. МИЩЕНКО, Ю. П. СОЛОВЬЕВ,
А. Т. ФОМЕНКО
Рецензенты:
проф. М. М. Постников, проф. Е. Г. Скляренко
,20203—045 ^„ _„
> — -52 —77 (с) Издательство Московского университета,

ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие содержит цикл задач по обязательному курсу
«Дифференциальной геометрии и топологии»
механико-математического факультета Московского университета. Сборник
дополняет серию учебных пособий по данному курсу,
изданных в период с 1972 по 1974 г. в трех частях, под общим
названием «Дифференциальная геометрия» в Издательстве
МГУ, авторы С. П. Новиков и А. Т. Фоменко [1—3]. Новый
курс «Дифференциальная геометрия и топология»,
введенный в преподавание на механико-математическом
факультете МГУ, принципиально отличается от курса со сходным
названием «Дифференциальная геометрия», который
существовал несколько лет назад, не только объемом материала,
но и принципиальной новизной тематики. В связи с этим
существовавшие до сих пор многочисленные сборники задач
по дифференциальной геометрии уже не удовлетворяют
изменившимся требованиям, предъявляемым к студентам.
В частности, среди тем, впервые введенных в преподавание,
содержатся следующие: риманова геометрия и топология
многообразий, векторные поля и дифференциальные формы
на многообразиях, непрерывные группы преобразований. Все
это составляет содержание первой части сборника.
Вторая часть состоит из более трудных задач, которые
полезны для введения студентов в новые вопросы геометрии
и топологии. Из научных тем, впервые представленных в
учебной литературе такого рода, мы отметим общую теорию
гомотопий и гомотопические группы, группы гомологии и
когомологий, теорию расслоений, теорию гладких
многообразий и вычислительные методы в топологии. К некоторым
темам второй части предпосланы пояснительные параграфы,
в которых собраны и разъяснены простейшие понятия,
необходимые для понимания задач этого параграфа.
К некоторым задачам приведены схемы решений или
ответы. Трудные задачи из первой части отмечены
«звездочкой».
3

Многие задачи сборника были неоднократно
апробированы на практических занятиях по курсу «Дифференциальная
геометрия и топология» (механико-математический
факультет МГУ), а также на многочисленных специальных
семинарах кафедры дифференциальной геометрии
механико-математического факультета МГУ.
Авторы выражают» благодарность В. М. Бухштаберу,
предоставившему большой цикл задач (и их решений) по
теории бордизмов. Большая часть решений задач —
работы студентов третьего курса кафедры дифференциальной
геометрии А. П. Веселова, М. Н. Строевой, Т. А. Троценко,
Н. В. Илюшечкина, С. С. Платонова, В. Л. Кобельского.
Авторы выражают благодарность М. Ю. Константиновой
за помош,ь в оформлении рукописи.
Коллектив авторов

Часть I
§ 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
1.1. Вычислить матрицу Якоби и якобиан переходи от
декартовых к полярным координатам на плоскости.
1.2. Вычислить матрицу Якоби и якобиан перехода от
декартовых к а) сферическим; б) цилиндрическим координа-
там в 3-мерном пространстве.
->
1.3. Полагая г={гсозф, rsintp, z}, где г, ф, z —
цилиндрические координаты точки, найти скорость г', модуль, ско-
-» -»
рости l/j, ускорение г" и модуль ускорения в
цилиндрических координатах.
1.4. Найти в сферической системе координат скорость
-»
V и модуль этой скорости для' точки, движущейся по
поверхности шара радиуса г.
1.5. Показать, что полярные координаты на плоскости
являются системой координат в любом диске, не содержащем
начало декартовых координат.
1.6. Показать, что сферические координаты являются
координатной системой в любом шаре, не пересекающемся
с осью 0Z.
-» -»
1.7. Найти функцию г=г(ф), зная, что это уравнение в
полярных координатах на плоскости определяет прямую.
1.8. Точка движется по поверхности прямого кругового
цилиндра, пересекая все его образующие под углом а.
Найти соотношение между «широтой» ф и «высотой» z
движущейся точки.
1.9. Точка движется по сфере так, что пересекает все
меридианы под углом а. Найти соотношение между широтой и
долготой движущейся точки.

§ 2. РИМАНОВА МЕТРИКА
2.1. Пусть тор r^cR^ задан в виде поверхности вращения
окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости
окружности. Написать параметрические уравнения тора и
индуцированную метрику на торе.
2.2. Вычислить первую квадратичную форму (т. е.
c?s^ или риманову метрику) на эллипсоиде вращения
л'/а^ + (у'-f z^)/^'= 1.
2.3. Вычислить индуцированную риманову метрику ds^
на поверхности, образованной вращением вокруг оси Oz
плоской кривой, расположенной в плоскости xOz с
уравнением г=/(л;).
2.4. Пусть MczR^ — цилиндр с образующей, параллельной
прямой {x=t, y=2t, 2==3^}, и направляющей {ах'^ + Ьу^=с,
2^0}. Вычислить индуцированную метрику на цилиндре.
2.5. Найти риманову метрику поверхности вращения
R {и, ф) = {р (и) cos ф, р (и) sin ф, 2 (и)}.
Проверить, что ее меридианы |ф=соп81} и параллели {и =
^const} образуют ортогональную сеть. Найти линии,
которые делят пополам угол между меридианами и
параллелями.
2.6. Выписать на сфере первую квадратичную форму в
сферических координатах. Найти на сфере линии,
пересекающие меридианы под заданным углом а (локсодромии).
2.7. Вычислить (2-мерную) метрику Лобачевского: а) в
круге радиуса 1; б) на плоскости; в) в верхней
полуплоскости. Указать функции перехода (замены координат) от одной
модели к другой.
2.8. Доказать, что метрика ds^ на стандартном
двуполостном гиперболоиде, вложенном в нсевдоевклидово
пространство Ri, совпадает с метрикой плоскости Лобачевского.
2.9. Доказать, что на всякой вещественно-аналитической
поверхности М^ можно ввести локальные изотермические
координаты. Найти конформный вид метрики ds^.
2.10. Доказать, что область на сфере
R = {cos и cos V, cos и sin V, sin и},
О < Wi < ы < «2 < ", О < и < Uo < 2л;,
можно путем изгибания поместить в цилиндр сколь угодно
малого радиуса.
2.11. Показать, что квадрат объема параллелепипеда,
построенного на векторах Хи ..., Хп как на его сторонах, равен
det||(Ari, Xj)\\.

2.12. Доказать, что метрика ds^=dx^+f{x)dif, 0<f{x)<
<сх) приводится к виду ds^=f{u, v) {du^+dv'^)
(изотермические координаты).
2.13. Записать метрику на сфере S^ в комплексной форме.
2.14. Найти метрику в 2-мерном пространстве скоростей
в теории относительности.
2.15. В предыдущей задаче произвести замену координат
u-»-th % {v — скорость движущейся точки).
2.16. Записать метрику предыдущей задачи в полярных
"Координатах единичного круга.
2.17. Записать метрику Лобачевского в, комплексной
форме.
2.18. Вычислить длину окружности и площадь круга на
а) евклидовой плоскости; б) сфере; в) плоскости
Лобачевского.
2.19.* Доказать, что на компактном односвязном гладком
замкнутом многообразии М" всегда существует пара
сопряженных точек. Что будет, если М" неодносвязно? На каждой
ли геодезической y{t) (геодезические выходят из одной
точки) найдется сопряженная точка?
2.20*. Пусть М^ — эллипсоид, р — одна из его вершин.
Рассмотрим все геодезические, выходящие из точки р.
Найти геометрическое место первых сопряженных точек (т. е.
отметить на каждой геодезической первую сопряженную с
р точку и описать это множество).
2.21*.[Пусть б1 = {zi +zl + zl + zl + 4*~'=0}Л {JI ^^ I' = l}
^'сферы Брискорна {k= I, ... ,28). Доказать, что
индуцируемая на этих сферах риманова метрика (при вложении б1->-5 cz
с: С^ = R^") не является метрикой положительной кривизны.
2.22*. Доказать, что фундаментальная группа полного
риманова многообразия неположительной кривизны не со-
дерл^ит элементов конечного порядка. Доказать, что ni{M)
{М — полное риманово многообразие строго отрицательной
кривизны) обладает следующим свойством: если два
элемента коммутируют {ab = ba, а, bGni{M)), то а и 6
принадлежат одной циклической подгруппе.
2.23*. Известны следующие типы многообразий строго
положительной кривизны: классические симметрические
компактные пространства ранга 1, т. е. 5", RP", СР", QP",
К'^. Вычислить кривизну (найти границы изменения
кривизны) R{a) на СР", QP", К'^
2.24*. Доказать, что замкнутое ориентируемое риманово
многообразие М" строго положительной кривизны и четной
размерности односвязно.

2.25*. a) Доказать, что любое компактное замкнутое ри-
маново многообразие постоянной кривизны Я изометрично
либо сфере 5", либо RP" (радиуса 1/1/А,). Использовать при
доказательстве задачу 2.24*. б) Пусть Л1" — компактное
замкнутое односвязное полное риманово многообразие и
пусть С{1) —множество первых сопряженных точек для
некоторой точки l^M'^.
Доказать, что если М" — симметрическое пространство, то
дополнение М'^\С{1) гомеоморфно открытому диску.
2.26*. Доказать, что полное некомпактное риманово
многообразие положительной кривизны и размерности т, где
либо /и=2, либо /п^5, диффеоморфно R"».
2.27*. Построить пример 4-мерного полного
некомпактного гладкого риманова многообразия, стягивающегося по
себе в точку, но не гомеоморфного евклидову пространству.
2.28. Пусть X, у — две близкие точки на стандартной
сфере 5^ и пусть функция f (2) — площадь геодезического
треугольника с вершинами в точках х, у, z. а) Является ли
функция f{z) гармонической функцией на сфере S^? б)
Исследовать случай л-мерной сферы (здесь f{z)—объем л-мерного
геодезического симплекса, одна грань которого фиксирована,
а 2 — свободная вершина), в) Исследовать тот же самый
вопрос на плоскости Лобачевского.
2.29*. Доказать, что если М'^ — полное односвязное
риманово многообразие, такое, что п — нечетно и на Л!"
существует точка р, такая, что множество первых сопряженных
с р точек регулярно и имеет постоянный порядок k, то k=
^п—1 и М" гомеоморфно сфере S" (под порядком точки
понимается ее кратность).
2.30*. Пусть YC=R^ — простая замкнутая кривая длины f,
ограничивающая область G площади S (на плоскости).
Доказать, что 1^^4яЗ и что равенство выполняется тогда
и только тогда, когда у — окружность.
2.31*. Пусть yczR — замкнутая кривая (не обязательно
простая, т. е. в отличие от предыдущей задачи допускаются
самопересечения).
Доказать, что /^^4я Г w{x)ds, где функция w{x) есть
к'
число вращения кривой у вокруг точки xeR^.
2.32*. Верно ли, что если п{х, у) —показатель
преломления плоского, прозрачного, изотропного, но неоднородного
вещества, заполняющего 2-мерную плоскость, то
интегральные траектории векторного поля — gradn(^:, у) (п=с/и)
являются траекториями световых лучей? (Не только они,
конечно.)
8

§ 3. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Вычислить длину винтовой линии
x = rcos(f, y = rsia(p, 2 = аф.
3.2. Вычислить длину пути точки на окружности, которая
катится а) по прямой; б) по окружности; в) по произвольной
кривой на плоскости.
3.3. Вычислить длину кривой на сфере S^ пересекающей
все меридианы под заданным углом а (локсодромы).
3.4. Для винтовой _ линии г= {а cos ^, а sin ^, Ы}, а>0,
ЬфО, найти репер Френе, кривизну и кручение.
3.5. Найти кривизну и кручение кривых:
-» -»
а) r = e'{sln^, cos^, 1); б) г = a{cht, sht, t}.
3.6. Найти кривизну эллипса в вершинах, если его
полуоси равны а и Ь.
3.7. Найти кривизну и кручение кривых:
а) 7= It^ У —> 2 — ^. А' б) 'r={5t - Р, Ы\ 3t + t^}.
3.8. Доказать, что если кривизна кривой k{s)^0, то
кривая является прямой.
3.9. Доказать, что если кручение кривой k(s)^0, то
кривая лежит в плоскости. Найти уравнения этой плоскости.
3.10. Описать класс кривых с постоянной кривизной
k{s) и кручением n{s)
{k (s) s а, X (s) ^b, a,b= const).
3.11. Описать класс кривых с постоянным кручением
и (s)^ const.
-» -»
3.12. Доказать, что кривая r=:r{t) плоская тогда и толь^
ко тогда, когда
("',?',П-0.
3.13. Вычислить интеграл
fldk+'j>{-^, P)d5.
3.14. Пусть 5 — площадь между кривой и секущей на
расстоянии h от касательной (и параллельной касательной).
Выразить MmS^jh^ через кривизну кривой.
л-»о

3.15. Доказать, что формулы Френе можно представить
в виде
т[^Хт], v = [^xvl, Р = [|Хр].
Найти вектор |.
3.16. а) Доказать, что траектория материальной точки,
движущейся под действием центрального силового поля,
является плоской и ее плоскость проходит через центр поля,
б) Составить уравнения движения материальной точки в rto-
лярных координатах, в) В случае, когда величина силы
обратно пропорциональна квадрату расстояния, установить, что
траектории являются кривыми порядка не выше двух.
3.17. Движение электрического заряда в магнитном поле
-.»
с напряженностью Н определяется дифференциальным
уравнением
7" = с\^' хН],
где r=r(t)—радиус-вектор точки, в которой находится
заряд, с^ const.
Доказать, что если Я^const, то скорость заряда
постоянна по абсолютной величине, а траекторией может быть: пря-
мая, коллинеарная вектору Н; окружность в плоскости, орто-
—»
гональной вектору Н; винтовая линия с осью, коллинеарной
—*
вектору Я.
-» -► -» -*
3.18. Решить уравнение г' =[wXr], щ; = const.
3.19. Решить. уравнение
г' — —г^е — г (е, г), е — const, |е| = 1.
3.20. Решить уравнение,
г' — ае + [ехг], а - const, е = const.
3.21. Решить уравнение
г' = [е X [г X е]], е = const, | е | = 1.
§ 4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
4.1. Найти поверхность, у которой все нормали
пересекаются в одной точке.
10

4.2. Пусть в плоскости Pi задана метрика
ds^ — du^ + ch^ и dv'^, — оо < ы, у < + оо;
в плоскости Рг задана метрика
ds^ = rip^ + sh^ р ^ф^
в полярных координатах (р, ф).
Доказать, что плоскости Pi и Рг с заданными на них
первыми квадратичными формами изометричны.
4.3. Дана поверхность вращения
Я{и, ф) = {х (и), р (и) cos ф, р (и) sin ф}, р (и) > 0.
Найти вторую квадратичную форму на этой поверхности.
4.4. Выписать гауссову и среднюю кривизну стандартной
сферы S^crR^.
4.5. Вычислить гауссову и среднюю кривизну на
поверхности, задаваемой уравнением 2:=/(х)-j-g(i/).
4.6. Доказать, что если у поверхности, вложенной в
3-мерное евклидово пространство, гауссова и средняя кривизны
тождественно равны нулю, то поверхность является
плоскостью.
4.7. Доказать, что на поверхности z^f(x, у) средняя
кривизна Я равна
Я = div (grad/'KTTTiradTP)-
4.8. Задана поверхность x=aucosv, y=ausinv, z=bv,
а=const, а>0, 6 = const, Ьфа.
Вычислить среднюю кривизну Я. Нарисовать график
этой поверхности.
4.9. Для поверхности задачи 4.3. найти гауссову
кривизну Я и среднюю кривизну Я. В случае х=и найти функцию
р=р{х) так, чтобы Н=0 на всей поверхности.
4.10. Пусть ku ..., km — нормальные кривизны поверхности
под углами 2п/т между собой.
Доказать, что ki + ... + km^=mH, где Я—средняя
кривизна.
4.11. Найти геодезическую кривизну kg для линии на
сфере, пересекающей все меридианы под заданным углом а.
4.12. Найти геодезическую кривизну параллели на
поверхности вращения.
4.13. Найти геодезическую кривизну kg для винтовой
линии, лежащей на прямом круговом цилиндре.
4.14. Определить знак гауссовой кривизны К в
произвольной точке поверхности, являющейся графиком функции z=
-fix, у).
-4.15. Пусть поверхность S образована касательными
прямыми к данной кривой с кривизной k{u).
11

Доказать, что если кривая изгибается с сохранением k{u),
то и поверхность S сохраняет метрику.
4.16. Доказать, что если метрика на поверхности имеет
вид
ds^ = 'kiu,v){du' + dv^),
то гауссова кривизна имеет вид К = —V2X^(ln^), где Д =
= д^/ди^ -f- d^/dv^ — оператор Лапласа.
4.17. Пусть V — объем между секущей поверхности на
расстоянии h от касательной (и параллельной касательной)
и поверхностью (гауссова кривизна К>0).
Доказать, что
К=-Пт (яЛ^)'.
А-»+0
4.18. Пусть а — площадь поверхности между касательной
и параллельной ей секущей на расстоянии А (К>0).
Доказать, что /С= lim (2яЛ/о)^.
4.19. Уравнение движения точечного электрического
заряда в поле магнитного полюса имеет вид
?{t) = c И^)х^(^» . c^const.
|"(0 !=■
Доказать, что траектория заряда является геодезической
прямого кругового конуса.
4.20. Пусть Т — треугольник, стороны которого суть
геодезические на поверхности с постоянной гауссовой кривизной
К=—а^<:0. Зная площадь а треугольника Т, найти сумму
его внутренних углов.
4.21. Доказать, что Я=0 — необходимое и достаточное
условие минимальности 2-мерной поверхности, где Я —
средняя кривизна.
4.22. Доказать, что каждая минимальная вектор-функция
г (и, V) может быть представлена как гармоническая при
подходящем выборе новых параметров. Верно ли обратное
утверждение?
4.23. Пусть /(и)>0, g{v)>Q — произвольные функции
класса С^ a=const.
Доказать, что линии уровня функций
Z {и, и) = г —г ± г -
J-yf{u) — a J
dv
Vg{v)
являются геодезическими в метрике
ds' = (f{u) + giv))idu^ + dv').
12

§ 5. МНОГООБРАЗИЯ
5.1. Доказать, что следующие пространства являются
многообразиями: а) сфера х^^+ ...-}- х1= I, б) 2-мерный тор.
Построить атлас^карт для этих многообразий.
5.2. Доказать, что у композиции гладких отображений
матрица Якоби является произведением матриц Якоби
сомножителей.
5.3. Доказать, что ранг матрицы Якоби не зависит от
выбора локальной системы координат.
5.4. Вычислить ранг матрицы Якоби отображения
f(x,y) = ix,0):R^^R^
5.5. Пусть /:f/-^R" — гладкое отображение области
t/crR" и якобиан \д1\фО в точке pet/.
Доказать, что существует такая область Vczf/, p^V, что
f{V) = W—открытое множество, f\u — гомеоморфизм, а
обратное отображение (f\u)~^ — гладкое.
5.6. Пусть f: U~^V — гладкое отображение областей из
R", имеющее гладкое обратное отображение.
Доказать, что якобиан \д1\фО в каждой точке p^U.
5.7. Пусть D — открытый диск радиуса а в R".
Доказать, что отображение /(лг) = ал:'j/a^—\х\'^ является
диффеоморфизмом диска D на R".
5.8. Привести пример гладкого взаимно-однозначного
отображения, не являющегося диффеоморфизмом.
5.9. Доказать, что объединение двух координатных осей
в R^ не является многообразием.
5.10. Пусть /.-M^-vR^ — взаимно-однозначное гладкое
отображение компактного многообразия М", ранг матрицы
Якоби которого равен п.
Доказать, что образ f(M") является подмногообразием.
5.11. Пусть М" — множество решений уравнений
gi (Xi, ... , xn) = О, i=l,... ,N—n,
причем panr'dg- = N — n.
Доказать, что М"- является подмногообразием.
5.12. Пусть M"c:R" — подмногообразие. Доказать, что
локально многообразие М" задается системой уравнений
gi{xi, ..., Xn), i=\, ..., N—n, причем ранг dg=N—n.
5.13. Пусть M"c=R^ — подмногообразие. Доказать, что
для любой точки реМ" существует такой набор координат
Xii,...,X{^, что проекция R^ на подпространство R"^=
= {д;(,, ..., Xt^} осуществляет локальный диффеоморфизм
окрестности точки р многообразия М"- на область в R".
13

5.14. Составить уравнения а) цилиндра с направляющей
р=р(ы) и образующей, параллельной вектору е; б) конуса
-* «-
с вершиной в начале координат и направляющей р=р(ы);
-*
в) поверхности, составленной касательными к кривой р=
-*
= р(ы); г) поверхности движения окружности, так, что центр
движется по кривой р=р(«), а плоскость окружности
нормальна к этой кривой в каждой точке.
5.15. Показать, что на сфере 5"c=R"+' нельзя ввести
атлас, состоящий из одной карты.
5.16. Показать, что стереографическая проекция сферы
на касательную плоскость из полюса, противоположного
точке касания, является диффеоморфизмом всюду, за
исключением полюса проекции.
5.17. Показать, что проекция прямого произведения XxY
двух многообразий J и У на сомножитель X является
гладким отображением.
5.18. Построить гладкую (класса С°°) функцию f{xu ...,
Хп), равную 1 на шаре радиуса 1, равную нулю вне щара
радиуса 2 и O^/^l.
5.19. Пусть М — многообразие, pef/czA4 — окрестность
точки р. Доказать, что существует такая гладкая функция /,
что 0^f^l,f{p) = l,fix)=QHaM\U. _
5.20. Пусть М — многообразие, А=А — замкнутое
множество, f/3)/l — открытая область. Доказать, что существует
такая гладкая функция /, что 0^/^1, /[^^1, f\ м/и ^0.
5.21. Доказать, что всякое непрерывное отображение
гладких многообразий можно сколь угодно близко
аппроксимировать гладким отображением.
5.22. Доказать, что при пфт пространства R" и
R™ не диффеоморфны.
5.23. Являются ли гладкими многообразиями следующие
кривые на плоскости: а) треугольник; б) два треугольника,
имеющие только одну общую точку — вершину.
5.24. Доказать, что п-мерное проективное пространство
RP" является гладким (и вещественно-аналитическим) мно^
гообразием.
5.25. Доказать, что п-мерное комплексное проективное
пространство СР" является гладким (и
комплексно-аналитическим) многообразием.
5.26. Доказать, что группы GL{n, R), U{n), SU{n),
SO{n) являются гладкими многообразиями. Вычислить их
размерность.
5.27. Какому многообразию гомеоморфно множество всех
прямых на плоскости R^?
14

5.28. Пусть тор PczR^ образован вращением
окружности вокруг оси (стандартное вложение). Доказать, что
координаты X, у, z — гладкие функции на торе Р.
5.29. Пусть тор V-ciVt} стандартно вложен в R^, функция
/: 72_vS2 сопоставляет каждой точке ре72 вектор единичной
длины, нормальный к тору Р в точке р. Доказать, что f —
гладкое отображение.
5.30. Доказать, что отображение /: S^-^RP^
сопоставляющее точке р на сфере 5^ прямую, проходящую через начало
координат н точку р, является гладким отображением.
5.31. Доказать, что компактное гладкое многообразие Л4"
вкладывается в евклидово пространство R^ для подходящей
размерности N<Zoo.
5.32. Доказать, что произведение сфер вкладывается в
R^ коразмерности один.
5.33. Доказать, что гладкая функция на гладком
компактном многообразии М может быть представлена как
координата при некотором вложении TWciR^.
5.34. Рассмотрим гиперповерхности if (г/i,,.., г/„)^ const
и траекторию /, ортогональную к ним. Доказать, что на
траектории I выполняются равенства dyilfi=dy2lf2= — =
=dyjfn, где fi=dfldyi.
5.35. Доказать, что 2-мерное гладкое компактное
замкнутое многообразие погружается в R^.
5.36. (Лемма Уитни). Доказать, что компактное гладкое
замкнутое многообразие М^ можно вложить в евклидово
пространство R^"+^ и погрузить в R^".
5.37. Пусть f: X-)^Y—гладкое отображение компактного
замкнутого многообразия X в многообразие Y. Пусть yo^Y —
регулярная точка отображения /. Доказать, что прообраз
/ ' (Уо) состоит из конечного числа точек.
Пусть f : X^f-Y — гладкое отображение гладких многообразий, MczY —
гладкое подмногообразие. Отображение f называется трансверсальным
вдоль подмногообразия М, если для любой точки xef"* (М) касательное
пространство Tnx){Y) к многообразию Y есть сумма (вообще говоря, не
прямая) касательного пространства Tf(x)(M) к многообразию М и образа
д}(Тх{Х)) касательного пространства к многообразию X. Два
подмногообразия Ml и Mj в многообразии X пересекаются трансверсально, если
вложение одного из них является трансверсальным вдоль другого
подмногообразия.
5.38. Доказать, что определение трансверсального
пересечения не зависит от выбора порядка в паре Mi и Л^г.
5.39. Доказать, что если f: х->-У—трансверсальное
отображение вдоль подмногообразия MciY, то прообраз /~'(М)
является подмногообразием в многообразии X. Вычислить
размерность /~'(Л4).
5.40. Доказать, что если y^Y — регулярная точка
отображения / : Х->У, то / — трансверсальное вдоль у отображение.
15

5.41. Выяснить, трансверсально ли пересекаются
следующие подмногообразия: а) плоскость ху и ось z в R'; б)
плоскость ху и плоскость, натянутая на вектора {(3, 2, 0), (О, 4,
— 1)} в R^; в) подпространства Vx{0} и диагональ в
произведении VxV; г) пространства симметрических и кососиммет-
рических матриц в пространстве всех матриц.
5.42. Для каких значений а поверхность х^-\-у^ — 2^=1
трансверсально пересекает сферу x^-^y'^-^z^=a}
5.43. Пусть f >ia^^>^<l^ — линейное отображение симплекса
сг'^ на симплекс ю^, k>l. Определить прообраз внутренней
точки f~^{x), x^ln\^a^.
5.44. Проверить, ориентируемы ли следующие
многообразия: а) сфера S"; б) тор Г"; в) проективное пространство
RP"; г) комплексное проективное пространство СР";
д) группы GL{n, R), U(n), SO{n).
5.45. Доказать, что «бутылка Клейна» — неориентируемое
2-мерное многообразие.
5.46. Доказать, что произвольное
комплексно-аналитическое многообразие ориентируемо.
5.47. Доказать, что многообразия 5>xS2n-i, S^n-iXS'"-'
имеют комплексную структуру.
5.48. Доказать, что ориентируемая 2-мерная поверхность
имеет комплексную структуру.
5.49. Доказать, что компактное замкнутое нечетномерное
риманово многообразие положительной кривизны
ориентируемо.
5.50. Пусть М — многообразие с границей дМ. Доказать,
что многообразие М можно так вложить в полупространство
(а;л?4-1^0) евклидова пространства R^+', что дМ лежит в
подпространстве {х^+\^^).
5.51. Пусть граница дМ состоит из двух компонент
связности dM=MiUM2, Mi(]M2=0.
Доказать, что многообразие М можно вложить в R^'[0, 1],
причем Ml лежит в R^X{0}, а Мг лежит в R^.x{l}.
§ 6. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
6.1. Доказать,' что безвихревой поток о=(Р, Q), где Р,
Q — компоненты потока на плоскости R^(a;, у), потенциален,
y=gradf(jc, у) для некоторой гладкой функции f. Что
можно сказать о_потенциале f(x, у), если поток еще и
несжимаем, т. е. divo=0?
6.2. Найти интегральные траектории потока о,(л;),
ортогонального потоку V2{x), где V2ix) — gTadfix), x^R^; f{x) —
значение угла АхВ {А, В — фиксированные точки плоскости
R2; X — переменная точка).
16

6.3. Доказать, что особые точки (нули) потоков
gradRe (f(z)), grad Im (/(z)) совпадают с нулями
производной /г (2).
6.4. Изобразить на плоскости R^ качественную картану
распределения интегральных траекторий потоков Vi=
= grad[Re(/(z))], U2=grad[Im(/(2))] для перечисленных
ниже комплексно-_аналитических функций f(z). Найти особые
точки потоков Vi, 02- Исследовать устойчивость особых точек.
Изобразить качественную картину поведения траекторий
потоков Vi, 02 на сфере 5^ (пополненная плоскость R^:S^=
= R2[J(oo)). Изобразить процесс распада особенности z=0
этих векторных полей при малом возмущении исходной
функции f{z)=z^, при котором получается функция g{z),
для которой все особые точки потоков Vi, Ьг — невырождены.
^) \{z)=z'^ (п — целое число); б) f(z)=z-i-l/z (функция
Жуковского); в) /(z)=z+l/z2; г) f{z)=z+ll{z—2);
а) /(z) ==2^(2(2—5)2-1-1228) (исследовать в окрестности
точки z=0); е) /(z)=z3(z—l) «>o(z—2)900; ж) /(z)=2z—Inz;
з) f(2) = l-j-2*(z*—4)'*''(z"—44)'*'*'* (исследовать в
окрестности точки 2=0); и) f(z)=Viooln[(z—2/)/(z—4)]3; к) f{z) =
= l/(z2-f2z—1); л) /(z)=2/z-i-211n(z2); м) f(z)=z^-{-
-i-21n(z); н) f(z)=21n(z—l)2-4/3ln(z-fl0/)3; о) fiz) =
= l/z3-l/(z-03; n) /(2) = (2-f5//2)ln[(4z-2)/(64z-f0];
P) f(2) = (l-f/2)4n[(18z-i)/(10z-i-l)]2.
6.5. Пусть векторное поле X на гладком многообразии М
рассматривается как оператор дифференцирования.
Доказать, что е*^ есть сдвиг функции f{P) (Р^М) вдоль
векторного поля X на время t. Доказать, что если div (Х)=0, то
оператор е'^ унитарен.
6.6. Доказать, что сумма индексов особенностей
векторного поля на компактном замкнутом многообразии не
меняется при гладких деформациях.
6.7. Доказать, что множество векторных полей,
обладающих только изолированными особенностями, связно.
6.8. Построить на стандартной сфере 5^ тр_и линейно-
независимых в каждой точке гладких вейорных поля.
Найти в явном виде интегральные траектории этих полей.
6.9. Найти наибольшее число линейно-независимых
касательных векторных полей на гладком замкнутом
многообразии М^. Использовать касательное расслоение Т* (М^)—^*-М^.
6.10. Доказать, что если векторное поле X на 2-мерном
торе гомотопно йфь то оно имеет периодическую траекторию.
Замечание, d^z гомотопно йфь
6.11. Доказать, что индексы двух векторных полей на
произвольной 2-мерной замкнутой поверхности равны. Вер-
17

но ли это утверждение для многообразия любой
размерности?
6.12. Найти все гомотопические классы векторных полей
на торе Р.
6.13. Пусть т, п — числа вращений векторного поля на
торе Р и Х= {т, п). Доказать, что у этого поля существует
Я периодических решений (замкнутых траекторий).
6.14. {Теорема Пуанкаре-Бендиксона). Доказать, что если
произвольное решение некоторого векторного поля на
плоскости компактно и не содержит особых точек, то оно
периодическое.
6.15. Доказать, что если точка Р на плоскости является
предельной для некоторой траектории векторного поля, то и
траектория, проходящая через Р, является предельной для
исходной траектории.
6.16. Сколько решений имеет уравнение s'mz=z над
полем комплексных чисел?
6.17. Доказать, что множество всех интегральных
траекторий векторного поля v (х) = {х*-, —х", х^, —х^), где
X = {х\ x^,x\x^}^S'{\x\=l)c: R*,
гомеоморфно сфере S^. Найти связь с расслоением Хопфа
■S —->-5^. Как связано это векторное поле с
кватернионами?
6.18. Пусть и(х) ^гладкое векторное поле на плоскости
R^; L — гладкий самонепересекающийся контур в плоскости
R^; Jl — индекс контура L в векторном поле v{x), x^R^;
J — число точек внутреннего касания поля v и контура L;
Е — число точек внешнего касания.
Доказать, что если число всех точек касания поля и
контура конечно, то/l< V2 (2 +/ —£■). Доказать, что индекс
любой изолированной особой точки гладкого градиентного
векторного поля v{x)=gTadf(x) всегда не превосходит 1
(отметим, что эта особая точка может быть, конечно,
вырождена).
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Обозначения: V — линейное пространство, V* — сопряжеииое к V
пространство, или пространство линейных форм. Ар (V*)—пространство
р-мерных кососимметрических форм на V.
7.1. Доказать, что если векторы Vi, ..., Vp^.V- линейно-
зависимы, то T{vi, ..., Vp)=0 для любой формы reAP(y*),
7.2. Доказать, что если формы <pi, ..., фреУ*
линейно-зависимы, то ф1 л. . .Лфр = 0.
7.3. Пусть ф^, ... , ф,^ е V*, Ui, . .. , У„е У. Доказать, что
(Ф1 Л ... Л Ф„) (vi f„) = '/J det II ф^ (Vj) Wl^^.
18

7.4. Доказать, что элемент объема равен |/dpt (g^j) dx^ /\ .. .
7.5. Доказать, что ^ f(x^+y^) {xdx+ydy)=0, где С—замк-
с
нутая гладкая кривая на плоскости.
7.6. Вычислить дифференциал следующих
дифференциальных форм- а) z4x/\ dy+{z^ + 2y)dx/\dz; б) \2xdx-\-
+y^dy-\-xyzdz; в) fdg (/, g — гладкие функции); г) (лЧ-
+ 2y^)idzAdx +\i^-dy/\dx).
7.7. Доказать справедливость формулы
2 (dffl) (X, У) == X (со (У)) - У (со (X)) - со ([X, У]),
где со — одномерная дифференциальная форма, X, Y —
векторные поля.
7.8. Пусть f: M-^N — гладкое отображение
ориентируемых замкнутых компактных многообразий размерности п,
со—ге-мерная дифференциальная форма на многообразии Л'.
Доказать, что
JrH = cleg/-J:
со.
М N
7.9. Вывести из формулы Стокса теорему Коши о вычетах.
7.10. На группе 50(3) описать все правоинвариантные
дифференциальные формы и вычислить дифференциал d.
7.11. Пусть ft:Xx[0, 1]->У — гладкое отображение, ю—
дифференциальная форма на Y, dco = 0.
Доказать, что /о (<») — /i (^) = dSi для подходящей формы Q
на X.
7.12. Доказать, что если многообразие X стягиваемо, то
для любой формы со, (dco = 0) разрешимо уравнение
rfQ = co.
7.13. Пусть F — векторное поле в 3-мерной области W
с гладкой границей dW, п—нормальный вектор к dW.
Доказать, что
j {uivf)dxdydz= J {n-F)dA,
W dW
где dA—элемент площади на dW.
7.14. В условиях предыдущей задачи доказать, что
J {rotF, n)dA= J {fidxi+f2dx2-{-f3dx3),
S dS
где 5 — гладкая поверхность с гладкой границей dS.
7.15. Пусть V — операция, сопоставляющая векторному
лолю X риманова пространства одномерную дифференциаль-
19

ную форму m=V(X) так, что {X, Y) = V{X){Y). Пусть *—
стандартная операция [1]. Проверить в 3-мерном евклидовом
пространстве R^ следующие формулы: а) gradF=V{dF);
б) divX=>fcd>fcy-i(^); в) TotX=—V^dV~4X).
7.16. Пусть р и q — произвольные многочлены от
переменных (2i, ..., Zn); а, k — вещественные числа. Пусть
существует такая дифференциальная форма со, что dp/\a^pdz-,
da=adz; dq/\(£,^kdz, где dz=dzi/\ ... Adz^.
Доказать, что d{p~'^~''qa)=0.
7.17*. Пусть G=5', ф — форма кривизны, со — форма
связности [4].
Доказать, что а) d(f = rH, dcu = 0; б) ф со — целые числа
у
для любого замкнутого цикла у.
7.18*. Доказать, что если ^ со — целые числа для любого
V
замкнутого цикла, то существует связность, для которой ю
является ее формой кривизны.
7.19*. Построить связность в расслоении G-*-G/H (G —
группа Ли, Я — ее подгруппа) так, чтобы форма была
инвариантной относительно всех движений.
7.20. Пусть М^ — гладкое замкнутое компактное
многообразие и gy — компоненты метрического тензора на нем;
/С (:>с) — гауссова кривизна. Пусть
ПЯ;М')= ^K{x)da{g).
Известно, что 8(g)I{g, М'^)^0 [5]. Вывести отсюда
классическую формулу Гаусса-Бонне
1
2я
^Kix)da{g)==-L j/C(x)d(T = x(A4^).
М* М'
§ 8. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
8.1. Доказать, что группы Sp{l) и SU{2) изоморфны (как
группы Ли). Доказать, что они диффеоморфны сфере S^.
Установить связь с кватернионами.
8.2. Доказать, что умножение на кватернион А : х-^Ах в
алгебре кватернионов порождает группу преобразований
SU{2). Доказать, что преобразования вида х-^АхВ, где
А, В — кватернионы, порождают группу 50(4). Доказать,
что 50(4) изоморфна фактор-группе 5^X5722, где 5^
снабжена структурой группы SU{2)^Sp{\). Найти
фундаментальную группу 50(4) и 50(и) для любого п.
20

8.3. Найти группу всех дробно-линейных преобразований,
сохраняющих диск |zr|^l в комплексной плоскости.
Доказать, что эта группа изоморфна группе SL (2; R)/Z2, а также
группе всех преобразований, сохраняющих форму dx^+dy^—
—dt^ в Я?{х, у, t). Установить связь с геометрией
Лобачевского.
8.4. Перечислить все конечномерные группы Ли
преобразований прямой R4
8.5. Доказать, что связная компонента единицы группы
изометрий плоскости Лобачевского (в стандартной метрике
постоянной кривизны) изоморфна SL(2; R)/Z2. Найти полное
число компонент в группе движений плоскости Лобачевского.
8.6. Материальный шар зажат между двумя
параллельными плоскостями (касательными к нему). При движении
плоскостей (сохраняющем параллельность плоскостей и
расстояние между ними) шар вращается без скольжения в
точках контакта. Рассмотрим все такие перемещения шара,
индуцированные движением верхней плоскости, при которых
нижняя точка контакта шара описывает замкнутую
траекторию на нижней плоскости, т. е. точка контакта возвращается
на прежнее место. Какая часть группы S0(3) может быть
получена такими вращениями шара (фиксируются повороты
шара после возвращения в исходную точку)?
8.7. Доказать, что группа S0(3) диффеоморфна RP^ н
фазовому пространству материальной точки, скользящей по
сфере 5^ с постоянным модулем вектора скорости.
8.8. Найти все дискретные подгруппы в группе @
аффинных преобразований прямой R'.
8.9. Доказать, что связная компонента единицы любой
группы Ли @ является нормальным делителем в группе @.
8.10. Описать все дискретные нормальные подгруппы в
следующих -компактных группах Ли: 0{п), SO{n), SU{n),
U{n),Sp(n).
8.11. Доказать, что группы Ли SO{n), SU{n), U{n);
Sp{n)—связны. Доказать, что в группе 0(п)—две
связные компоненты. Найти число евязных компонент в группе
движений псевдоевклидовой плоскости индекса 1 (Ri).
Доказать, что группа SL{2, R)/(±£') связна.
8.12. Пусть А — комплексная матрица, гА — ее
овеществление (если А = М + iN, то г А = [_^ дд] ). Найти связь
между det (Л) и det {гА); Sp{A) и Sp{rA).
8.13. В явном виде описать вложения 0{n)'Z^ V{n),
U{n)c^S0{2n), Spin)c;,SU{2n).
8.14. Доказать, что det{e^)=e^P(^\
8.15. Пусть Y, Z — матрицы операторов векторного
умножения на векторы у, z. Доказать, что матрица оператора
векторного умножения на [у, z] равна [Y, Z]=^YZ—ZY.
21

8.16. Доказать, что оператор Y :х-^у, х] записывается ко-
сосимметрической матрицей. Найти связь коэффициентов
этой матрицы с координатами вектора у.
8.17. Найти алгебры Ли групп ЬО(п), U(n), SU{n).
Spin). Найти размерность этих групп.
8.18. Реализуем группу U{,n) и ее алгебру Ли и{п)
подмногообразиями в евклидовом пространстве всех
квадратных комплексных матриц размера пХп (естественное
вложение унитарных и косоэрмитовых матриц в это пространство).
а) Доказать, что U (п) cz S^"'"', ^где сфера S^"'-' вложена
стандартно в R2"' — С"^ и имеет радиус V^n . б) Доказать, что
риманова метрика, индуцированная на группе SU{n),
рассматриваемой как подмногообразие в S^"'"', совпадает с двусторонне
инвариантной метрикой Картава—Киллинга на группе SU{n).
в) Найти пересечение U{n)(]u{n) как подмногообразий в
пространстве С*".
Выяснить аналогичные вопросы для групп 0(п) и Sp{u).
8.19. Найти фактор-группу @/@о, где @ — группа
движений плоскости Лобачевского (в стандартной метрике),
@о — связная компонента единицы. Указать все конформные
преобразования этой стандартной метрики.
8.20. Доказать конформность стандартной
стереографической проекции сферы S^ на плоскость R^.
8.21. Найти все группы симметрии всех правильных
многоугольников на плоскости. Найти все группы симметрии
(группы движений) всех правильных выпуклых
многогранников в R^. Указать среди них некоммутативные группы.
8.22. Дать классификацию всех правильных выпуклых
многогранников в R^.
8.23. Доказать, что конечная группа не может
эффективно действовать на R".
8.24. Найти группу @/@о. где @ — группа движений
псевдоевклидовой плоскости R?, сохраняющих неподвижной
одну точку, а @о — связная компонента единицы.
8.25. Построить примеры ортогонального действия без
неподвижных точек на S^ групп А, В, С, включающихся в
точные последовательности:
0-^Z^^A-^A^-^O, \А\ = 24; O^Z^-^B-^S^-^O, 1В| = 48;
O^Z^-^C->-A^-^0, \С\= 120, АсБ,
где Ai — стандартные группы симметрии правильных
многогранников, Si-—группа перестановок.
8.26. Пусть SU (п) (Г S2'»'-!, SP-' = Rp(] S^-''-\ где Rp —
подпространство, проходящее через центр О сферы S^"" -'. Доказать,
22

что если Sp-^ciSU{n) (или Sp-'с= S^"'"'), то число р не
превосходит максимального числа линейно-независимых
векторных полей на сфере S^""' (и что эта оценка достигается в
общем случае). То же самое проделать для групп SO{n),
Sp{n), т. е. связать максимальную размерность центрального
плоского сечения группы с максимальным числом линейно-
независимых векторных полей на сфере соответствующей
размерности (в действительности это есть сфера в
пространстве представления данной группы).
8.27. Известно, 'что если @ — компактная группа Ли, а
Та & — максимальный тор, то: а) для любого элемента g^®
существует ^„е®, такой, что gogg'i^^ ^Т; б) совокупность
орбит 0(0 = {ata-'; t^T; ае@} (О (О == @/С (/), С (/)
—Централизатор t) при присоединенном действии группы, полностью
заметает всю группу^®.
Доказать, что каждая орбита 0{t) ортогональна тору Т
в точке t^Tcz & (в метрике Картана — Киллинга).
Доказать, что на компактной группе Ли двусторонне
инвариантная риманова метрика определена однозначно с точностью
до скалярного множителя (это и есть метрика Картана —
Киллинга).
§ 9. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Топологическим пространством Е называется множество Е, в которо.м
выделено семейство частей, называемых открытыми множествами,
обладающих следующими свойствами:
а) само пространство Е и его пустая часть 0 открыты,
б) пересечение конечного числа открытых множеств открыто;
в) объединение конечного или бесконечного числа открытых множеств
открыто.
Семейство открытых множеств из Е называется топологией, заданной
на Е.
Если для топологического пространства Е выполняется условие'
д) каковы бы ни были различные точки а я b пространства
топологического Е, существуют два открытых непересекающихся множества в Е,
содержащие соответственно а « 6, то пространство Е называется хаусдор-
фовым
Множество X топологического пространства Е называется замкнутым,
если его дополнение Е\Х открыто.
Окрестностью точки а пространства Е называется любое подмножество
в Е, содержащее по крайней мере 'одно открытое множество, содержащее
точку а.
Пусть А — некоторое подмножество топологического пространства Е
Внутренностью множества А называется объединение всех открытых
множеств из Е, содержащихся в А. Внутренность множества А обозначается
А. Множество А — наибольщее открытое множество, содержащееся в А.
Внешностью множества А называется внутренность его дополнения.
Это наибольщее открытое подмножество в Е, непересекающееся с А.
Множество точек Е, не принадлежащих ни внутренности, ви внешности
А, называется границей А и обозначается А. Граница А подмножества А
является замкнутым множеством.
23

Замыканием множества А называется пересечение всех замкнутых
множеств из Е, содержаи1Их множество А. Замыкание множества А
обозначается А. Множество А — наименьшее замкнутое множество,
содержащее А. Точка, принадлежащая замыканию, называется точкой
прикосновения множества А.
Множество А топологического пространства Е называется плотным в
E, если каждая точка Е является для множества Л точкой прикосновения,
т. е. если замыкание А совпадает с Е.
Множество Е называется метрическим пространством, если для его
элементов определено понятие расстояния, т. е. определено некоторое
отображение множества ЕхЕ в полупрямую R+={x, хсН:л;>0},, которое
каждой паре (х, у) из ЕхЕ ставит в соответствие некоторое число
d{x, i/)^0, называемое расстоянием между х и у.
Расстояние обладает следующими свойств.ами:
а) d(x, y)=d(y, х) (симметрия);
б) d{x, (/)>0, если хфу, и d(x, х)=0 (положительность);
в) d(x, z)^d{x, y)+d{y, z) (неравенство треугольника);
Метрическое пространство является хаусдорфовым топологическим
пространством.
Пусть f — отображение топологического пространства Е в
топологическое пространство F. Говорят, что отображение f непрерывно, если
прообраз при отображении f любого открытого множества из F является
открытым множеством в Е или (эквивалентное определение) если прообраз
при отображении f каждого замкнутого множества из F является
замкнутым множеством в Е
Теорема. Композиция двух непрерывных отображений непрерывна.
Гомеоморфизмом топологического пространства Е на топологическое
пространство F называется любое взаимно-однозначное отображение Е на
F, непрерывное вместе со своим обратным отображением.
Говорят, что два топологических пространства Е к F гомеоморфны,
если существует по крайней мере один гомеоморфизм £ на f. В этом
случае оба пространства обладают одинаковыми топологическими
свойствами, т. е. свойствами, относящимися к открытым, замкнутым
множествам и окрестностям.
Пусть £i и £2 — топологические пространства. Определим
естественную топологию на произведении двух топологических пространств.
Рассмотрим в пространстве £i открытое множество Ai, а в пространстве £2 —
открытое множество Лз и определим произведение 711ХЛ2, т. е. множество
пар (х, у) из £iX£2 таких, что xe/li и у^А^. Говорят, что некоторое
множество из EiXE^ открыто в топологии произведения, если вместе с
любой точкой произведения оно содержит хотя бы одно произведение
открытых множеств Л1ХЛ2, содержащее эту точку.
Определенная таким образом топология на £iX£2 называется
произведением топологий, заданных на £i и £2. Точно так же определяется
топология произведения нескольких пространств.
Пусть £ — некоторое топологическое пространство. Множество
подмножеств из £ таких, что каждая точка £ принадлежит по крайней мере
одному из этих подмножеств, называется покрытием множества Е.
Подпокрытием покрытия называется покрытие, образованное из множеств
первого покрытия. Покрытие называется конечным, если оно состоит из
конечного числа подмножеств £. Покрытие называется открытым, если все
множества этого покрытия открыты в Е.
Топологическое пространство £ называется компактным, если из
любого его открытого покрытия можно выделить хотя 'бы одно конечное
подпокрытие
Свойство компактности является свойством самого топологического
пространства, а не его подмножеств. Однако можно говорить о
компактности подмножества Л топологического пространства £, если в смысле
топологии, индуцированной в Л топологией из £, множество Л является
компактным пространством. При этом само £ не обязано быть компакт-
24

ным. Всякое подмножество в Е, замыкание которого компактно,
называется относительно компактным подмножеством в Е.
Теорема. Пусть Е — хаусдорфово топологическое пространство, F —
компактное подмножество в Е. Тогда F является замкнутым
множеством в Е.
Теорема. Всякое замкнутое подмножество компактного пространства
является компактным пространством.
Теорема. Топологическое произведение двух компактных пространств
компактно.
Топологическое пространство называется локально-компактным, если
каждая его точка имеет по крайней мере одну компактную
окрестность.
Топологическое пространство называется связным, если его
невозможно разбить на две непересекающиеся открытые части или (эквивалентное
определение) если в £ не существует одновременно открытых и замкнутых
подмножеств, кроме самого пространства Е и пустого множества 0.
Связность является внутренним свойством самого топологического
пространства, однако говорят, что F является связным подмножеством в
Е, если F, рассматриваемое как пространство с индуцированной
топологией, связно.
Теорема. Образ связного топологического пространства при
непрерывном отображении является связным.
Дугой, или путем, соединяющим точку а с точкой Ь топологического
пространства Е, называется такое непрерывное отображение f сегмента
[а, р] вещественной прямой R в пространство Е, что f(a)=a и /(Р)=6.
Точки а и b называются началом я концом пути.
Топологическое пространство Е называется линейно-связным, если две
его произвольные точки могут быть соединены некоторым путем. Это
свойство более сильное, чем обычная связность.
Теорема. Объединение А любого семейства (At), ie.1, связных
подмножеств топологического пространства Е, имеющих попарно-непустые пере-
сечеиия, связно. _
Теорема. Замыкание А связного подмножества А в топологическом
пространстве Е связно.
Две точки X и у топологического пространства Е называются
связанными, если существует связное подмножество в Е, содержащее эти точки.
Отношение «х и у связаны в £» является отношением эквивалентности в
Е. Класс эквивалентности Е по этому отношению называется связной
компонентой Е. Пространство Е является объединением связных попарно-
непересекающихся компонент. Связной компонентой точки к из Е
называется содержащая ее связная компонента Е.
Пространство Е называется локально-евязным, если, какова бы ни
была точка а «з £ и окрестность V точки а в Е, существует связная
окрестность U' точки а, содержащаяся в U. Как показывает выбранный
термин, свойство некоторого пространства быть локально-связным является
локальным свойством, в то время как обычная связность носит глобальный
характер. Эти два свойства не связаны друг с другом
Теорема. Если топологическое пространство Е локально-связно, то
каждая его связная компонента одновременно открыта и замкнута в Е.
Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.
Топологическое пространство называется локально-линейно-связным,
если, каковы бы ни были точка а и ее окрестность U, существует линейно-
связная окрестность U' точки а, содержащаяся в U. Поскольку линейно-
связное пространство связно, локально-линейно-связное пространство
является локально-связным.
Теорема. Пусть Е — локально-линейно-связное топологическое
пространство. Если оно связно, то оно линейно-связно. Если оно не связно,
то каждая его связная компонента открыта, замкнута и линейно-связна.
• Пусть заданы множество Е, сЙЬокупность {£j}jS, топологических
пространств и отображения g;: Ej-^E. Топологией, коиндуцированной на мно-
25

жестве Е семейством отображений {gj}, называется сильнейшая (самая
тонкая) топология, в которой все отображения gj непрерывны.
Топология, коиндуцированная на множестве Е семейством
отображений {gj: Ej-^E}, характеризуется следуюш,им свойством: для произвольного
топологического пространства F отображение f: E-^F непрерывно тогда
и только тогда, когда отображение f ° gj'- Ej-^E непрерывно для каждого
Фактор-пространством топологического пространства Е называется
фактор-множество Е' множества Е с топологией, коиндуцированной проекцией
Е^>-Е'. Если AczE, то символом £/Л обозначается фактор-пространство
пространства Е, полученное отождествлением всех точек множества А с одной
точкой.
Если X и Y — некоторые топологические пространства, то символом У-^
обозначается пространство всех непрерывных отображений пространствах
в пространство Y, снабженное компактно-открытой топологией (топологией,
базой открытых множеств которой является семейство {К, Щ, где К —
компактное подмнойсество пространства X, U — открытое подмножество
пространства Y и fe{/C, Щ, когда f(K)<^U). Если А<^Х и BczlY, то через
(У, iB) (-^' ^) обозначается подпространство пространства Y^, состоящее
из всех отображений f : X^>-Y, удовлетворяющих условию f{A)c:B.
Определим отображение Е : Y^xX-^Y равенством E{f, x)=f(x). Для всякого
отображения g : Z-^Y^ композиция
отображает пространство ZxX в пространство Y.
Теорема. Если X — локально-компактное хаусдорфово пространство, а
Y и Z — произвольные топологические пространства, то отображение
g: Z-^Y^ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно
отображение
£o(gxl):ZxX-*y.
Теорема. Если X — локально-компактное хаусдорфово пространство,
Z — хаусдорфово пространство, а У — произвольное топологическое
пространство, то отображение
определенное равенством 'i|3(g')=£ о (gfXl), является гомеоморфизмом.
Теорема. Если X — компактное хаусдорфово пространство, а У —
метрическое пространство с метрикой d, то на пространстве У-^ можно
ввести метрику d', полагая
d'(f,g)=sup [d(f(x), g(x))}.
Некоторые конструкции топологических пространств
1. Пусть X и Y — топологические пространства, ЛсХ, BciY —
некоторые подпространства в пространствах X и Y соответственно и
f : Л-»-В — отображение «на». Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности R в X\JY, где классами эквивалентности будут а) точки из В,
объединенные с их прообразами; б) точки, не участвующие в отображении.
Полученное пространство XUY/R обозначают через XU/Y и говорят,
что оно получено приклеиванием множества X к множеству У по
отображению f.
2. Пусть Л=хо — точка в пространстве X, В=уо — точка в
пространстве У, f: Хо->-уо — отображение точки в точку. В этом случае
пространство X U^У называется букетом пространств X и Y и обозначается
XVY.
3. Пусть X я Y — топологические пространства, f: X-^Y — некоторое
непрерывное отображение. Обозначим через / единичный отрезок [О, 1] с
26

естественной топологией и рассмотрим топологическое , пространство
(Хх1) UfY, причем будем считать, что f — это отображение «верхнего
основания» •Х'Х{1} в пространство Y. Пространство {XxI)c:fY называется
цилиндром отображения f и обозначается С/.
4. Пусть X — топологическое пространство, Хх1 — прямое
произведение его на отрезок. Отождествим в точку «BepxHee основание» Хх{1}с:
сХХ/ и в некоторую другую точку «нижнее основание» Хх{0}<^Хх1
Полученное фактор-пространство называется надстройкой 2Х пар. X.
9.1. Пусть yWczR" — произвольное подмножество в R" и
R"czR""'"' — стандартное вложение. Как связаны множества
R"\A1 и R"+i\Al?
9.2. Доказать, что любой конечный СИ^'-комплекс можно
вложить в евклидово пространство достаточно большой
(конечной) размерности.
9.3. Доказать что любое компактное, гладкое, замкнутое
многообразие 7W" можно вложить в евклидово пространство
R2"+' и погрузить в R2".
9.4. Построить пример топологического пространства без
первой аксиомы счетности (без второй аксиомы счетности).
9.5. На 2-мерной сфере S^ заданы непрерывные функции
fix) и g{x) такие, что f{x)=—f{xx), g{x)=—g(xx),
где т — отражение относительно центра сферы. Доказать, что
эти функции имеют общий нуль.
9.6. Построить пример топологического пространства X
такого, что его некоторое подмножество YaX (указать Y)
замкнуто, ограничено, но не является компактом.
9.7. Доказать, что одномерный клеточный комплекс есть
пространство типа К{11, 1), где П — свободная группа.
9.8. Доказать, что всякий конечный симплициальный
комплекс является подкомплексом симплекса достаточно большой
размерности. В частности, он может быть вложен в евклидово
пространство так, что вложение линейно на каждом
симплексе.
9.9. Доказать, что стягиваемое пространство гомотопиче-
ски-эквивалентно точке.
9.10. Доказать, что универсальное накрывающее
пространство над X является накрывающим для всякого другого
накрывающего пространства.
9.11. Любые два пространства типа /С(П, п) слабо-гомото-
пически-эквивалентны.
9.12. Доказать: а) S"AS''=S"+ft; б) S^|S^^ гомотопически-
эквивалентно S'"\/8'^+^; S^XS" гомотопически-эквивалентно
Sn-h-v s^\S^^ диффеоморфно 5"-ft-'xR*+', если 5"=)5* —
стандартное вложение.
9.13. Доказать, что на СИ^'-комплексе функция непрерывна
тогда и только тогда, когда она непрерывна на каждом
конечном подкомплексе.
27

9.14. Пусть M=XXY, где X, Y — топологические
пространства. Пусть множество из М открыто, если оно является
произведением открытых множеств из Х и У или
объединением таких множеств в любом числе.
Доказать^ что такая система удовлетворяет всем
аксиомам, определяющим топологию на множестве М.
9.15. Доказать, что если пространства X я Y хаусдорфовы,
а X, кроме того, еще и локально-компактно, то для любого
пространства Т пространства H{XxY, Т) и Я (У, Н{Х, Т))
гомеоморфны, где Н{Х, У) = 7-^.
QX
9.16. Доказать, что стандартное расслоение ЕХ -^Х
{расслоение Серра), где X — многообразие, является локально-
тривиальным расслоением.
9.17. Доказать, что существует гомеоморфизм канторова
дисконтинуума на себя, переставляющий две заданные точки.
9.18. Пусть отображение f-.E-^F является непрерывным
отображением «на» и пусть Е — компактно. Доказать, что
F — компактно.
9.19. Доказать, что п-мерная сфера {п<оо) — компактна.
Верно ли это для/г= 00? _
9.20. Пусть А я В — связны, и Л[\ВФ0. Доказать, что
Лив — связно.
9.21. Доказать, что если Е, F — связны, то и ExF -^
связно.
9.22. Пусть /: E-^F — непрерывное отображение «на», и
Е — связно. Доказать, что F — связно.
9.23. Доказать: а) интервалы 0<а;<1, 0^а;^1, 0^ia;<1
связны; б) если /4c:R' связно, то А имеет вид: а<х<.Ь,
а^х^Ь, а<х^Ь, а^х<Ь, где, а, b могут принимать
значения ±оо.
9.24. Пусть f : E-^F, Е:^А[}В, А:^А, В=В. Тогда f
непрерывна тогда и только тогда, когда fjA и \fjB непрерывны. Если
АфА, то это, вообще говоря, неверно. Привести пример.
9.25. Доказать, что f: E^yF непрерывно тогда и только
тогда, когда для любого ' открытого подмножества UaF
f~^{U) открыто.
9.26. Пусть FczE подпространство. Доказать, что UciF
открыто в F тогда и только тогда, когда существует открытое
подмножество VczE такое, что U= Vf\F. _ _
9.27. Доказать, что А[}В=А[}В; Af\B=Af\B.
9.28. Пусть 1п1(Л)=и{0с=Л: G — открыто}. Тогда
/?е1п1(Л) тогда и только тогда, когда существует окрестность
и точки р, такая, что ^/с=1п1(Л); p^A=f\{Fz2A :F —
замкнуто} тогда и только тогда, когда для любой окрестности
и^р и[\Аф0.
28

0.29. Доказать, что открытый диск (|;с|<1) в евклидовом
пространстве является открытым множеством.
9.30. Пусть X — локально-линейно-связное метрическое
пространство. Доказать, что если X — связно, то Х —
линейно-связно.
9.31. Пусть X — метрическое компактное связное
пространство. Можно ли-всегда две любые его точки соединить
непрерывным путем?
9.32. Доказать, что если X, Y — связны, то и ХХУ —
связно.
9.33. Доказать, что куб /" и сфера S'^ — связны.
9.34. Доказать, что если /: X-*-Y — непрерывно и является
отображением «на», X — связно, то У •— связно.
9.35. Пусть Ос=Л — открытое множество на отрезке.
Доказать, что G — объединение непересекающихся интервалов.
9.36. Пусть X — метрическое пространство. Доказать, что
каждое одноточечное множество замкнуто.
9.37. Пусть |/: Х->-У. Доказать, что f непрерывно тогда и
только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества
замкнут.
9.38. Пусть X — компактное, У — метрическое
пространства, f: X-^Y — непрерывное отображение. Доказать, что
/ — равномерно-непрерывное отображение.
9.39. Доказать, что если >/„ : X-^Y — последовательность
непрерывных отобра'жений и /„ равномерно сходятся к / (У —
метрическое пространство), то ,/ непрерывно.
9.40. Пусть XdY и У — компактное пространство.
Доказать, что X — компактное пространство тогда и только тогда,
когда X — замкнутое подпространство.
9.41. Пусть X==^Y\}Z и У[]гф0. Доказать, что если Y, Z —
связные пространства, то Л^ — связное пространство.
9.42. Доказать, что куб /" — компактное пространство.
9.43. Пусть f:X-^Y — непрерывное отображение «на».
Доказать, что если X — компактное пространство, то У —
компактное пространство.
9.44. Доказать, что эллипсоид 1V —^ = 11 гомеоморфен
сфере S".
9.45. Доказать, что шар IV^ л:|<1 \ и верхнее полушарие сферы
n+l
I J] A"^ ^> -*^л+1>0| гомеоморфны.
9.46. Доказать, что куб {| лг^ | < 1, i = 1, 2 п) и шар
П
|]Г дг^ < 11 гомеоморфны.
29

9.47. Гомеоморфны ли отрезок О^х.^! и буква Т?
9.48. Доказать, что интервал (—1, 1) гомеоморфен
прямой (—оо, оо). Доказать, что любые два интервала
гомеоморфны.
9.49. Гомеоморфны ли шар и сфера?
9.50. Доказать, что хеммингова метрика на /г-мерном кубе
не вкладывается ни в какое R", т. е. не существует такого
вложения, что хеммингова метрика индуцирована
стандартной евклидовой метрикой (куб рассматривается только как
набор своих вершин, т. е. как дискретное множество, и тогда
расстояние р (а, Ь), где а м b — вершины куба, равно числу
координат, в которых различаются две вершины).
9.51. Пусть f-.M^-^S^ — отображение класса С^
замкнутого гладкого компактного многообразия М^ на S^, причем |
открыто (образ любого открытого множества открыт) и
конечно-кратко (прообраз каждой точки xeS^ есть конечное
число точек).
Доказать, что М^ — диффеоморфно сфере 52. Что можно
сказать об аналогичном отображении / : 7W"-v5"?

Часть II
§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
Пусть X к Y — топологические пространства, f : X^-Y, g ; X^-Y
непрерывные отображения. Отображения fug называются гомотопными
(обозначается /~^), если можно определить такое семейство отображений
фг :X^Y, t^I (/=[0, 1]), что выполняются следующие условия:
а) фо=/, ф1=я;
б) отображение Ф: XxI-^Y, задаваемое формулой Ф(х, t)—(ft{x),
непрерывно.
Отображение Ф называется гомотопией отображений fag. Отношение
ГОМОТОПИЙ является отношением эквивалентности. Множество классов
эквивалентности, на которые отношение гомотопности разбивает множество
У-^, обозначается через я{Х, У). Множество я(Х, У) можно трактовать
как множество компонент линейной связности пространства У-^.
Два пространства Xi и Zj называются гомотопически-эквивалентными,
если существуют отображения f : Xj-^Zj, g : X^-^Xi такие, что
отображения g ° f : Xj-^X,, f °g : Xa-J-Xj гомотопны тождественным.
Пусть Xi, Хг и У — некоторые пространства и h-.Xi-^X^ —
отображение. Определим отображение А* : п{Х2, Y)-^n{X\, У) следующим образом:
из каждого класса_ аея(Х2, У) выберем_ произвольный представитель
аеУ-^2 и классу а сопоставим класс /г*(а), порожденный отображением
а»Ае Y^^^. е. композицией отображений
Пусть X, У] и Уг — топологические пространства, Л: У1^-У2 —
отображение. Определим отображение /г*:я(Х У1)->-я(Х, Yr,) следующим
образом: возьмем аея(Х, У1), выберем из а любой представитель а s Ki
и классу а сопоставим класс /г*(а), порожденный отображением Ао а s У^.
Теорема. Топологические пространства Х\ и Х^ гомотопически-экви-
валентны тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих
эквивалентных условий.
1. Для любого пространства У существует взаимно-однозначное
соответствие фг:я(А'1, У)«->Л(Х2, У), причем для любого отображения
h: Y^^Y' диаграмма
я(Х1,
я(Х1
У)
фу
ФУ'
h
-^Я(Х2,
1'
^- n(Xi..
У)
X)
коммутативна, т. е. ^у' °^* = ^*° ^у.
31

2. Для любого пространства Y существует взаимно-однозначное
соответствие ф^:я(У, Xi)<-> л{У, Xz), причем для любого отображения
А : У->-У' диаграмма
я
я
<Г'
(Г
Xi)
-Xi)
-*-
Ч-
^L
Ф^'
^.
—►
я (7,
t
1
я (Г
^2)
h*
коммутативна, т. е. ф о А*"= А* о ф^ .
Обозначим через (X, А) пару, состоящую из топологического
пространства X и его подпространства А. Отображением пар f : (X, Л)->-(У, В)
называется такое отображение f: X^>-Y, что f{A)czB. Понятие гомотопии,
гомотопической эквивалентности естественно переносится на класс пар и
их отображений. В частности, если А=Хо^Х^ то пара {X, А) или просто
{X, Хо) называется пространством с отмеченной точкой.
CW-комплекс ом К называется топологическое пространство, представлен-
оо
нее в виде объединения /(= М М е? попарно-непересекающихся множеств-
e''i (клеток), если для каждой клетки е\ зафиксировано отображение/^: Вч^»-К
замкнутого (у-мерного шара Bi в К (характеристическое отображение клетки ef),
ограничение которого на открытую часть Int В* шара Вч представляет собой
гомеоморфизм Int В' ^ е^. При этом предполагаются выполненными
следующие аксиомы.
1. Граница каждш клетки е^ = е^\е^. содержится в объединении
конечного множества клеток меньших размерностей.
2. Множество Acz К замкнуто тогда и только тогда, когда для всех
клеток е^ полный прообраз (ff)""' (А) с: ВЧ замкнут в В*.
CW~KOMnAeKC называется конечным, если он состоит из конечного
числа клеток. Подкомплексом L комплекса К называется CW-комплекс,
лежащий в К как замкнутое подмножество, все клетки которого являются
клетками К, и характеристические отображения те же. Комплекс К называется
локально-конечным, если каждая точка этого комплекса вместе с некоторой
своей окрестностью принадлежит его конечному подкомплексу.
Пусть X — топологическое пространство, Y — его подпространство.
Пара {X, Y) называется парой Борсука, или корасслоением, если для
любого пространства Z и любого отображения F : X^-Z гомотопия ft : Y^>-Z,
такая, что fo=F|y, может быть продолжена до гомотопии Ft:X^>-Z,
такой, что Fa=F и Ft\r=U-
Теорема Борсука. Если К — клеточный комплекс, а L — его
подкомплекс, то (/С, L) является парой Борсука.
Пусть К — некоторый клеточный комплекс. Тогда п-мерным остовом
К^ комплекса К называется объединение всех клеток разверностн меЯьшей
или равной п. Остов К'^ является подкомплексом комплекса К-
Отображение f : К\-^К2 называется клеточным, если f (/С") с: К.^ Wvi
всех п, где /С^ и /Cg — n-мерные остовы CW-комплексов Ki и Кг
соответственно.
Частным случаем клеточных комплексов являются снмплицнальяые
комплексы. Это топологические пространства, допускающие разбиение на
выпуклые клетки, склеенные подходящим образом. Дадим точные
определения.
Множество а°, а\ ..., af в R™, состоящее из (р+\) точек, называется
независимым, если из одновременного выполнения равенств
32

JJ 'K^a^ = 0, J] ^< = О
следует, что A,o=Xi = ... = ?>,p.
Говорят, что точка «6» зависит от множества а", а',...,а?, если
существуют такие Но, —, tip. что
Р Р
f=0 ^=0
£(x^a' = 6, J]w=l. (1)
Множество точек, зависящих от множества аР,..,, аР, образует замкнутое
подпространство пространства R™. Если множество а",..., аР независимо,
то это подпространство имеет размерность р. В последнем случае каждой
точке этого подпространства можно сопоставить однозначно-определенное
множество координат, а именно точке Ь мы отнесем координаты
(Но, •■■, Ир), удовлетворяющие соотнощениям (1). Координаты (Цо.-.t^p)
называются барицентрическими координатами точки Ь относительно
независимого множества а",..., аР.
Пусть а",..., аР — некоторое независимое множество. Прямолинейным
р-симплексом Стр с вершинами a<',...,av называется множество точек,
зависящих от а",..., аР, барицентрические координаты которых
удовлетворяют условиям Hi>0, i=0,...,p.
р-симплекс 0р является открытым множеством в подпространстве
пространства R™, образованном точками, зависящими от «",...,«'.
Замыкание Ор симплекса <Тр называется замкнутым прямолинейным р-симплек-
сом и состоит из всех точек, зависящих от cfl,..., а», барицентрические
координаты которых удовлетворяют условия^ Ц(^0, i=0,...,p.
Граница симплекса Ор определяется как 0р\0р и обозначается <Тр.
Пусть Ор=(а^, а\ ..., аР). Каждое непустое подмножество множества
о",.... аР также независимо, и симплекс, натянутый на такое подмножество,
называется гранью симплекса Ор. Если о? является гранью симплекса Стр,
то этот факт символически обозначается огд<^СТр.
Конечным симплициальным комплексом в R" называется конечное
семейство симплексов К, лежащих в R"", подчиненное следующим условиям:
а) если Ор^К и сг?-<ар, то ст^е/С;
б) различные симплексы из К попарно не пересекаются.
Пусть К — симплициальный комплекс. Подсемейство L его симплексов
называется подкомплексом комплекса К, если оно само является
комплексом.
Пусть /Ci и /Сг — симплициальные комплексы, /: К\-*-К2 —
непрерывное отображение. Отображение / называется симплициальным, если из
того, что а",..., аР определяют некоторый симплекс комплекса Ки следует,
что f {(fi),..., f (af) определяет симплекс комплекса Кз (заметим, что среди
верщин f (а"),..., f (аР) могут быть повторяющиеся).
Теорема о симплициальной аппроксимации. Пусть f : K-^L —
непрерывное отображение конечного симплициального комплекса К в конечный
симплициальный комплекс L. Существует измельчение К' комплекса К
(симплициальный комплекс, полученный из К делением каждого симплекса
на более мелкие симплексы) и отображение /': K'^>-L, симплициальное и
гомотопное /.
Теорема о клеточной аппроксимации. Пусть / — непрерывное
отображение СП^-комплекса К в ClF-комплекс L, причем на подкомплексе KtczK
отображение f является клеточным. Тогда существует такое отображение
g : K-^L, для которого выполнены следующие условия:
а) /~^;
б) !\к=ц\к;
33

в) отображение g клеточно на /С;
г) гомотопия, соединяющая f и g, тождественна на Ki-
Замечание. Теорема о симплициальной аппроксимации не является
частным случаем теоремы о клеточной аппроксимации.
Из теоремы о клеточной аппроксимации можно извлечь ряд важных
следствий.
Если X — клеточный комплекс с единственной вершиной и без клеток
размерности меньше д, а Y — такой клеточный комплекс, что dimY<g, то
всякое отображение Y->-X гомотопно постоянному отображению,
переводящему все Y в точку. Это же утверждение справедливо и в категории
пространств с отмеченными точками (удобно считать, что отмеченными
точками являются нульмерные клетки).
Пространство X называется п-связным, если множество я(5«, X)
состоит из одного элемента при д^п, т. е. любые два отображения 8ч-*-Х
гомотопны. Из теоремы о клеточной аппроксимации вытекает, что каждый
п-связный клеточный комплекс гомотопически-эквивалентен клеточному
комплексу с единственной вершиной и без клеток размерности 1, 2 п.
Пусть X — некоторое топологическое пространство. Зафиксируем
в пространстве X точку Хя и рассмотрим множество петель в точке
Хо^Х, т. е. множество таких отображений q>:I^-X, что ф(0)=ф(1) =д:о-
Две петли (р и 'ip называются гомотопными, если существует гомотопия
Ф( :/-»-А', такая, что Фо=ф, Ф1 = 1|', ф((0) =ф((1) =л;о (0<^<1).
Произведение петель ф и л|> называется петля %, определяемая правилом
г1з(2^~1), 1/2< ^< 1,
т. е. произведение двух петель — это петля, составленная из этих
петель, которые проходятся последовательно, сначала ф, а потом я)).
Умножение петель порождает умножение в множестве классов гомотопных
петель. Относительно введенной таким образом операции множество
классов гомотопных петель в точке Хо превращается в группу. Эта группа
обозначается через ni(X, хо) и называется фундаментальной группой
пространства X (относительно точки Хо).
Отображение f-.X^^-Y, для которого Цхо)=Уо, очевидным образам
индуцирует гомоморфизм /«:iti(A', ^:o)->-jci(V, уо).
Если отображения f, f": Х->-У гомотопны как отображения
пространств с отмеченными точками, то гомоморфизмы f , f совпадают.
Теорема. Если пространство Y линейно-связно, то имеет место
изоморфизм JCi(y, yo) = iii{Y, yi), где уо, Hi — любые точки пространства Y.
В силу этой теоремы можно считать, что для линейно-связного
пространства Y группа Я] (У, уй) не зависит от точки уа. Поэтому для этой
группы обычно употребляется обозначение iti(K) и название
«фундаментальная группа пространства К».
Теорема. Пусть К — клеточный комплекс с одной вершиной,
одномерными клетками e^{i^l), 2-мерными клетками С/^^!) и с
характеристическими отображениями q : В^-*-К. Ограничения P/I^i^sa определяют с
точностью до сопряженности элементы pjeni(K'). Тогда ni{K) есть группа,
множеством образующих которойявляется множество /, а соотношениями
являются соотношения Pj=l,/e/.
Линейно-связное пространство Т называется накрывающим
пространством над линейно-связным пространством X, если задано такое
отображение ГС; Т^-Х, что для каждого х^Х существует открытая окрестность
U(x)c:X, для которой JC-'(t/) гомеоморфно VXD, где D — дискретное
множество, причем диаграмма
34

я-1 (t/) « t/ X £>
V
коммутативна. Отображение я: Т^>-Х называется в этом случае накрытием.
Теорема о накрывающей гомотопии. Пусть я : Г-^Х накрытие, Z —
произвольное топологическое пространство, f: Z->-7" — отображение и
Ф :2X/-*--'f — гомотопия, причем по/= Ф|гуГц}- Тогда существует
единственная гомотопия f : 2Х/->-Г такая, что^|2х(-о) ~f и nof=0.
Теорема. Отображение я*:я1(Г, tu)-^n,(X, Хй) является
мономорфизмом.
Теорема. Прообразы л-^(Ха)=В точек х^^Х находятся во взаимио-
одиозиачном соответствии с классами смежности группы Я|(Х) по
подгруппе я,(Я1(Г)).
Накрытие я: Г-»-Х называется регулярным, если образ Я1(Г) —
нормальный делитель в п{Х).
Накрытие я: Т-*-Х называется универсальным, если пространство Т
односвязно, т. е. л\{Т)={).
Теорема существования накрытия. Пусть X — локально-односвязное
топологическое пространство, т. е. для каждой точки лгеХ существует
такая линейно-связная открытая окрестность lJ(x), что для любых точек
х\, Xi^lJ(x) всякие два пути, соединяющие их в этой окрестности,
гомотопны во всем пространстве X. Тогда для любой подгруппы Gczni{X)
существует такое накрытие я:Т-^Х, что для некоторой точки а°^п~^(хо)
Imic *{Я1(Г, a'>)) = G.
Накрытия я : Г^-Х и я': 7"'->-Х называются эквивалентными, если
существует такой гомеоморфизм g : Т-*-Т', что диаграмма
Т ~^ Г
X
коммутативна.
Теорема. Накрытия я : Т^>-Х и я' : Т'~>-Х эквивалентны тогда и только
тогда, когда подгруппы я*(я1(Г)) и тс (Ях (Т")) сопряжены в группе
Я1Ш.
Локально-тривиальным расслоением называется четверка {Е, В, F, р),
где Е, В, F — топологические пространства, р — непрерывное
отображение из пространства Е на пространство В, причем для каждого х^В
существует такая Окрестность UczB и такой гомеоморфизм (p:p-'(f/)-»-
~^Uy.F, что диаграмма
и
коммутативна Отображение // называется проекцией, F — слоем, В —
базой, Е — пространством расслоения, или расслоенным пространством.
Иногда расслоением называют само отображение р : Е^-В.
Расслоение р: E^i-B называется тривиальным, если пространство Е
гомеоморфно произведению B'XF, причем диаграмма
35

В
коммутативна.
Теорема о накрывающей гомотопии. Пусть (£, В, F, р) — локально-
тривиальное расслоение и Z — произвольный СП^-комплекс. Для любого
отображения f: Z-^fi и любой гомотопии Ф:2х/->-В такой, что
pof =ф12уг()>, существует гомотопия F: ZxI-^E, для которой
Расслоением в смысле Серра называется тройка (Е, р. В), где Е,
В — топологические пространства, В — линейно-связно, р : Е->-В —
отображение пространства Е на пространство В, удовлетворяющее свойству
накрывающей гомотопии для СП^-комплексов, т. е. такое, что для любого
отображения /: 2->-£ (2 — произвольный CW-комплекс) и любой
гомотопии
Ф:2Х/->В с p»f=jOzy,^o}
существует гомотопия F : Zy^I-*-E, для которой
Расслоение в смысле Серра, вообще говоря, не является
локально-тривиальным расслоением.
Пространство X называется слабо-гомотопически-зквивалентным
пространству Y, если для каждого Си7-комплекса Z
я(2, X)^n{Z. Y)
естественно по Z. Это означает, что для каждого CW-комплекса Z
существует взаимно-однозначное соответствие
(fz-n(Z, X) ^n(Z, Y),
причем для любого Z' и любого / : Z-*-Z' диаграмма
Ф2
n(Z,X)^n{Z, Y)
ft <PZ' ff
.я (Г, К)
'zt(Z', X).
коммутативна.
Теорема. Если р : Е^>-В — 1расслоенне в смысле Серра, Хи хз^В, то
пространство p~^{xi) слабо-гомотопически-эквивалентно пространству
Р-ЧХ2).
Замечание. Если аксиому о накрывающей гомотопии формулировать
не только для CW-комплексов, а для произвольного топологического
пространства Z, то слои оказываются гомотопически-эквнвалентными в
обычном смысле.
Пусть заданы отображения f : Z-^У и g : Xi-^Yi. Будем говорить, что
отображение / гомотопически-эквивалентно отображению g, если
существуют гомотопические эквивалентности ф : X-^Xi и >f : Y-^Y\ такие, что
диаграмма
Xi-^Yi
коммутативна.
36

Теорема. Для любого отображения f: Х->-У, где пространство Y
линейно-связно, существует расслоение в смысле Серра р: X'->-Y, гомотопически-
эквивалентное этому отображению.
п-мерной гомотопической группой пространства X с отмеченной точкой
Хо называется множество ЯпСА', Хо) гомотопических классов отображений
S^^-X, переводящих отмеченную точку сферы S" в точку хо. Сами эти
отображения называются сфероидами.
Сумма двух сфероидов f, g: S'^^-X определяется как сфероид
f+g -.S^-^X, полученный следующим образом: большой (п—1)-мерный
круг на сфере, содержащий отмеченную точку, сжимается в точку, в
результате чего сфера превращается в букет сфер; затем две сферы,
составляющие этот букег, отображаются с помощью отображений f и g. Сложение
сфероидов не является групповой операцией, однако оно гомотопически-
инвариантио (если / гомотопно fug гомотопно g', то /Ч-g гомотопно
f'+g') и индуцирует поэтому операцию в ЯпС.Х', Хо), которая является
групповой. Эта операция коммутативна при л^2.
Теорема. Пусть X — некоторое топологическое пространство,
Xi, Х2^Х — любые точки пространства X. Если X — линейно-связно, то
имеет место изоморфизм Яп(А', хо)=л.п(Х, xi) для любого целого п^1.
Этот изоморфизм не является каноническим, он зависит от пути а,
соединяющего точки хо, xi^X. Пространство X называется п-прбстым, если
изоморфизмы, задаваемые двумя любыми путями, совпадают.
Пространство X 1-просто тогда и только тогда, когда группа ni(X, хо)
коммутативна. Если Я\(Х, jCo)=0, то пространство X п-просто для всех п.
Теорема. Если п:Т-^Х — накрытие и п^2, то гомоморфизм
л ф' Яп(Т)-^Пп(Х) является изоморфизмом.
Наряду с гомотопическими группами пространства с отмеченной точкой
рассматривают гомотопические группы пары с отмеченной точкой, т. е.
тройки (X, А, Хо), состоящие из пространства X, его подпространства А
и отмеченной точки Хо^А.
Представим куб /" в виде /"=/"-'х10, 1]. Относительным п-мерным
сфероидом пары (X, А) с отмеченной точкой хо называется такое отобра-
жент1е f: /"^-л, что
/(/"-'х(0})сЛ и /(а/«\(/"-'х(0}))=Хо.
Относительные сфероиды /, g: 1"->-Х называются гомотопными, если
отображения /, g гомотопны в классе относительных сфероидов.
Множество гомотопических классов п-мерных относительных сфероидов пары
(X, А) с отмеченной точкой хо обозначается через Пп(Х, А, Хо).
Суммой относительных сфероидов f, g\.I"-^X называется
относительный сфероид Л ; /"->-Х, определенный формулой
f f{Xi *„_!, 2д;„), 0<%<l/2,
h(xi х„ ,, Хп) = {
Операция сложения относительных сфероидов определена только при
я>1.
Операция сложения относительных сфероидов гомотопически-инвари-
антна (если гомотопны сфероиды-слагаемые, то гомотопны и сфероиды-
суммы) и поэтому порождает операцию в множестве я(Х, А, Хо), которая
называется сложением. Относительно этой операции множество
Пп{Х, А, Хо) является группой. Нулем группы будет гомотопический класс
постоянного отображения /о(/")=жо. Все отображения /, переводящие весь
куб в А, гомотопны нулю как относительные сфероиды.
Группа я„(А', А, хо) коммутативна при п^З. Если А=Хо, то
я„(Х, А, Хо)=Яп(Х, Хо). Любое отображение f : {X, Л)-»-(У, В)
порождает гомоморфизм /« ; я„(Х, А, д:о)^я„(К, В, f{xo)).
37

Группа Пп(Х, А, Хо) при линейно-связном пространстве А не зависит
от Хо в том «мысле, что если Xt^A — другая точка, то группы
Яп(Х, А, Хо) и Пп{Х, А, Xi) изоморфны и изоморфизм строится
канонически, если фиксирован гомотопический класс путей, соединяющих Хо с Xi.
Определим гомоморфизм (3:Яп(Л', А, Xo)-*-nn-i(A, Хо) следующим
образом. Пусть (X, А, лго) и / — отображение, принадлежащее
классу а. Рассмотрим ограничение отображения f\in-i на начальной грани
/п-1 ^yga /п_ Отображение переводит границу /"-' начальной грани в ха.
Ограничение гомотопии, соединяющей отображения
f, g-.il", I"-~\ дI'^\r-^)^{X, А, Хо)
порождает гомотопию ограничений этих отображений на /"-'.
Соответствие f->-df порождает отображение гомотопических классов
а->-5а, причем
^(«i + Oa)^ dui + do^.
Пусть {X, А)—пара топологических пространств Тогда имеет место
следующая точная последовательность групп и гомоморфизмов,
называемая точной гомотопической последовательностью пары:
3 '* /«
...-9-я„(Л, Хо)~>-Пп(Х, Хо)-*п„{Х, А, Хо)-^
д i, д it
-*-я„_1(Л, Хо)-* ... -^Я2(Х, А, Хо)->'П1(А, Ха)^
4я1(Х, л-о)4-Я1(Х, А, х^),
где (',./«— гомоморфизмы, индуцируемые вложениями i:AczX,
j: {X, JCo, Х!))-*{Х, А, ха) соответственно.
Пусть (£, р. В) — расслоение в смысле Серра, х^^Е, F=p-^(p{Xo)).
Тогда имеет место точная последовательность ...-»-Яп (^)-^Яп(-Б)^-Яп (5)^-
-»-я„_1 (f)-»-...-^Я1 (В), называемая точной последовательностью
расслоения.
Пусть f: S'^^-X — некоторый сфероид. Обозначим через Sf : 25"^-2Х
отображение, задаваемое формулой 2/(х, t) = (f{x), t), xeS". Если
сфероиды /, g : S"-^X гомотопны, то гомотопны и сфероиды 2f, Sg : 2"+'->-
->2Х. Сфероид 2(/-|-g) гомотопен сфероиду 2f-|-2g^. Сопоставление f^-2f
порождает гомоморфизм я„(Л')^-Лп+1(2Х), который называется гожожор-
физмом надстройки Он обозначается через 2
Теорема. Гомоморфизм 2 : n,-i(S"—')-»-ni(5") является
эпиморфизмом при i^l2n—2 и изоморфизмом при i<2re—2.
Теорема. Если К — клеточный комплекс и nt(K)=0 при i<n—1, то
гомоморфизм 2 : л,_1(/С)^-Я((Я') является изоморфизмом при i<2n—2 и
эпиморфизмом при i=2n—2.
Произведение S'^y,S" является клеточным комплексом с четырьмя
клетками: е", е™ е", 6"+". Ограничение характеристического отображения
f: B^+"^^S^XS^ клетки е"-)-™ на сферу Sn-t-^-'czSn-ь™ является
отображением S"+™-'^-S''VS™. Обозначим это отображение через W(m, п)
или просто через W.
Пусть аея„{Х), релт(^). Элемент группы nm+n-i{X),
представленный сфероидом
gn+m-l _^ S" У S'"-* X,
где /sa, ^ер, называется произведением Уайтхеда элементов а н р н
обозначается через {а, р].
38

Пусть X — некоторое топологическое пространство. Группа ni(X)
следующим образом действует на группах я„(Х): если аея1(А^),^то петля
класса а есть путь, соединяющий отмеченную точку Хо^Х с этой же
точкой. Пусть рел„(.У). Через а-р обозначается образ элемента Р при
изоморфизме Яп{Х, Хо)^Лп(Х, хо), индуцированном путем sea, т. е. а-р =
= Р+{а, И.
Аддиционная теорема. Пусть X — топологическое пространство и
/: 5"-'^-Z некоторое отображение. Тогда гомоморфизм й'*:Яг(Х)-»-
-^Яг{Х и fe"^) является при i<n—1 изоморфизмом, а при i=n—1 —
эпиморфизмом, ядро которого порождено элементами вида y-{f], где 7^Я1(Х).
Следствие. Если X — клеточный комплекс, X^^+^ — его остов
размерности k+l, то имеет место изоморфизм Яй(Х)2 Лh{X^^+^).
Теорема. Если клеточный комплекс X р-связеи, а комплекс Y
^-связен, то
а) п<(Х\/¥)=п,(ХХУ) пра i<p+q-'l-
б) существует эпиморфизм np+q-i(X\/ К)^-Яр+5-1(ХХУ).
Теорема Уайтхеда. Если X и Y — клеточные комплексы и
отображение f : Х->-У индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп, то /
гомотопическая эквивалентность илн (эквивалентная формулировка) для
клеточных комплексов слабая и обычная гомотопические эквивалентности
равнозначны.
Теорема. Если существует отображение f связного топологического
пространства X в связное топологическое пространство Y,
устанавливающее изоморфизм всех гомотопических групп, то Х и К слабо-гомотопиче-
ски-эквивалентны.
Теорема. Для любого топологического пространства X существует
клеточный комплекс К, слабо-гомотопически-эквивалентный X.
10.1, Представить в виде клеточного комплекса а) тор;
б) бутылку Клейна; в) надстройку над комплексом К.
10.2, Доказать, что топология СК'-комплекса является
слабейшей среди топологий, в которых все
характеристические отображения непрерывны.
10.3. Доказать, что тор с диском, натянутым на меридиан,
гомотопически-эквивалентен букету S^VS^.
10.4. Доказать, что тор с дисками, натянутыми на
меридиан и параллель, гомотопически-эквивалентен сфере S"^.
10.5. Обобщить задачи 10.3, 10.4. на случай произведения
10.6. Доказать гомотопическую эквивалентность
пространств (XX5«)/(ZV5")=2"X
10.7. Доказать гомотопическую эквивалентность a)S(Xv
\/У)~11ХуЪУ; б) Е(:^ЛУ)~2(ХхУ)/(2Ху2У).
10.8. Пусть {X, А, В} — пространство путей с началом в
А и концом в В. Пусть AczB. Доказать, что {X', А, В}
содержит подпространство, гомеоморфное А.
10.9. Пусть f-.X-^lL — непрерывное отображение симпли-
циальных комплексов, YczX — подкомплекс, на котором
отображение f симплициально. Доказать, что существует такое
подразбиение комплекса X, тождественное на У, что
отображение f гомотопно некоторому симплициальному
отображению q, причем гомотопия постоянна на Y.
39

10.10. Пусть X — симплициальный комплекс,5ж — звезда
вершины х^Х. Доказать, что любые два симплекса звезды
Sx пересекаются по некоторой грани.
10.11. Доказать, что симплициальное отображение симпли-
циальных комплексов непрерывно.
10.12. Пусть X — симплициальный комплекс и е>0.
Доказать, что существует такое подразбиение комплекса X, что
диаметр каждого нового симплекса меньше 8.
10.13. Пусть f — отображение единичного отрезка [О, 1] в
себя, причем f(0)=0, f(l) = l. Доказать, что существуетгомо-
топия, неподвижная в концах отрезка и деформирующая
отображение / к тождественному отображению.
10.14. Стягивается ли по себе в точку векторное
пространство R"?
10.15. Пусть пространство X стягивается по себе в точку.
Доказать, что любые два пути с одинаковыми концами
гомотопны между собой (гомотопия неподвижна на концах).
10.16. Пусть пространство X стягивается к
подпространству Y, причем гомотопия неподвижна (постоянна) на Y.
Доказать, что любой путь в Л^ с концами в Y гомотопен пути,
полностью лежащем в У (гомотопия неподвижна на концах).
10.17. Доказать, что на сфере 5", п>1, всякие два пути
гомотопны (концы одинаковы, гомотопия неподвижна на
концах) .
10.18. Доказать, что всякий связный клеточный комплекс
гомотопически-эквивалентен клеточному комплексу с одной
вершиной.
10.19. Доказать, что сферу 5"~i можно представить в виде
объединения {S^'XD^-^') [} {D'■+^xS'^-'^-^) с общей границей
10.20. Рассмотрим в евклидовом пространстве R"
стандартную сферу 5"-* и две ее полусферы 5''-*= {л;г+1= ... =д:„=0},
Sn-r~i^^xi= ...- = л;г=0}.
Доказать, что любая пара точек y^S^-^, x^S^-^-^
соединяется единственной большой дугой без общих точек вне этих
сфер.
10.21. Найти типологический тип замкнутого однополост-
ного гиперболоида Г={д:2-[-г/^—2^=1} в проективном
пространстве RP^.
10.22. Разрезать лист Мебиуса (вложенный в R^) по
средней линии. Ориентируемо ли получившееся многообразие?
Разрезать это многообразие по средней линии. Повторить
процесс разрезания несколько раз. Описать получившееся
многообразие (несвязное) и найти индекс зацепления любых двух
компонент связности.
10.23. Доказать, что пространство многочленов степени 3
без кратных корней гомотопически-эквивалентно дополнению
к трилистнику в сфе'ре 5^. Построить явную деформацию.
40

10.24. Рассмотрим множество точек С" с
попарно-различными координатами. Доказать, что полученное пространство
имеет тип комплекса Эйленберга — Маклейна /С(П,1).
10.25. Дуализировать точную последовательность Пуппе,
начало которой имеет вид: QX-i-QY->-Wf-*-X-*-Y (здесь Wf=
i={{x, s),xeX, S —путь в Y,s{l)=f{x), 5(0)=.}).
10.26. Построить пример двух не гомотопически-эквива-
лентных пространств Хи Хг и взаимно-однозначных
непрерывных отображений / : Хг^Хг, g : Хг-^Х^ но сами пространства
при этом не были бы гомотопически-эквивалентными.
10.27. Пусть h:X->-X^ — непрерывное отображение и
соответствие Ф: {X^-*-Y}—'■{X, Y} определяется формулой Ф(а) =
= a-h.
Доказать, что соответствие Ф переводит гомотопные
отображения в гомотопные.
10.28. Доказать, что имеет место гомотопическая
эквивалентность S(5"X5'") ~5"+1\/5™+1 V S'^+'i+i.
10.29. Доказать, что бесконечно-мерная сфера S°°
стягиваема по себе в точку.
10.30. Доказать, что связный конечный граф гомотопичес-
ки-эквивалентен букету окружностей \/'^'-
10.31. Пусть отображение р:Х—"Y удовлетворяет аксиоме
о накрывающей гомотопии. Доказать, что прообразы точек
гомотопически-эквивалентны.
10.32. Пусть пространство X стягивается к своему
линейно-связному подпространству А. Доказать, что пространство
X линейно-связно.
10.33. Фиксируем в пространстве X точки Хо и Хи Пусть
Y— пространство путей с началом в точке Хо и проходящих
через точку Xi. Доказать, что пространство Y стягиваемо.
10.34. Доказать, что пространство всех путей {X, X, X}
стягивается к Xcz.{X, X, X} неподвижно на X.
10.35. Пусть задана последовательность пространств Z„ci
czXn+i, причем Хп+\ стягивается к Хп неподвижно на Х„.
Доказать, что пространство Х=[)Х^ стягивается к Хо непод-
п
вижно на ^0.
10.36. Доказать, что всякое открытое п-мерное
многообразие гомотопически-эквивалентно (п—1)-мерному
комплексу.
10.37. Доказать, что если пространство X стягивается по
себе к подпространству А неподвижно на А, то А
гомотопически-эквивалентно X.
10.38. Вычислить множества n{S^XS\ S^) и я(5''x5"-^
5«).
10.39. Найти CatilRP'^) и CatslRP'^), где Cati(RP") и
Cat2(RP") ■—минимальное число замкнутых подпространств
41

Xi, таких, что X—IJX^ и вложения XiC^X гомотопны пос-
t
тоянным отображениям.
10.40. Вычислить Cah(K) и Cat2(/C) для сферы с тремя
отождествленными точками.
10.41. Пусть М^ — компактное замкнутое ориентированное
2-мерное многообразие рода h, т. е. М^ — сфера S^ с h
ручками. Найти 2Ш^ (двукратная надстройка) с точностью до
гомотопического типа.
10.42. Рассмотрим в RP" какую-либо стандартную карту с
неоднородными координатами х^, х^, .. . , х^. Найти
гомотопический тип а) RP"\S*, где S* = {х? i- ... + xl+i = 1, х^^2 =- ■ ■ •
.. . = х„ = 0}; б) РН"\Л^*, где Щ = {xi ^ . .. ^ х^-х^^,-^...
... ~ л:|+1 — 1 = 0; Xft+s = ... = л;„ = 0}; в) S* и Щ.
10.43. Рассмотрим в открытом многообразии R^'X-S"-*
малый шар £)" и вклеем вместо него проективное пространство
RP", т. е. отождествим точки л; и —л; на границе шара
Доказать, что полученное пространство гомотопически-эк-
вивалентно RP^-iV-S""^-
10.44. Дано топологическое многообразие ЛГ", край
которого есть топологическое многообразие Р"~'. Известно, что край
рп-\ стягивается по многообразию ЛГ" в точку, а) Доказать,
что многообразие стягивается в точку, б) Доказать, что если
многообразие /"""' односвязно, то многообразие ЛГ" гомео-
морфно диску Z)" (в предположении, что Р"~' стягивается по
М" в точку), в) Построить пример пары (Л1"; Р"-'), такой,
что многообразие Р"~' стягивается по многообразию ЛГ" в
точку, но Л[" не гомеоморфно диску D". Как следствие
доказать, что Я1(Р"~')=7^0.
10.45. Найти гомотопический тип пространства С"\А, где
А = иДгУ; ^U = {X^C'^\X,==Xi).
i.i
10.46. Вычислить, сколько имеется отображений (с точностью
до гомотопии) а) RP"->.RP"; а') СР"->.СР"; б) RP"+i->-RF;
б) СР«+1->.СР"; в) 2RP"->.RP"; в') SCP"->.CP«; г) 2RP"->.
->RP"+', г') SCP"->.CP"+i.
10.47. а) Доказать,чтоCat[join(X,F)]=min[CatX;CatF],
где Cat есть категория Люстерника — Шнирельмана (здесь
пространства X и F связны), б) Найти Cat(S'xS2).
10.48. Пусть пространства Х^, 1</<Л'^, линейно-связны
и X = Xi X Ха X ... Xn. Доказать, что max [Cat (Xj)] < Cat (X)<
<l + 2iL,[Cat(X,)-l].
10.49. a) Вычислить Cat(^?P"); Cat(7"); Cat(S™x5").
6) Доказать, что если сфера S" покрыта q замкнутыми
множествами (не обязательно связными) Vi, V2, ..-, Vq, где q-^n,
то всегда существует хотя бы одно множество V-j такое, что
42

оно содержит две диаметрально противоположные точки
и X сферы S™.
§ 11. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
11.1. Вычислить степень отображения / : S^-^S^■, где f{z) =
=2^ |2|=1.
11.2. Вычислить степень отображения f : S^^-^-S'^, где f{z) =
=2^ zsC U(oo).
11.3. Пусть Л1" — ориентируемое гладкое компактное
многообразие. Доказать, что гомотопический класс
отображения Л1"-^5" полностью определяется степенью
отображения.
11.4. Пусть /.-S^^-^-S^" — непрерывное отображение.
Доказать, что найдется точка, для которой либо f{x)=x, либо
f[x) =—X.
11.5. Пусть степень отображения /.-S^-^-S" равна 2fe-bl.
Доказать, что существует такая точка х, что f{x)=—/(—х).
Доказать, что на сфере S^^~^ не существует четного
касательного векторного поля v{x) без особенностей (т. е. v{x) =
=v{—х) и не имеет нулей).
11.6. Пусть /, ^.■S"-*-^" — симплициальные отображения.
Доказать, что: а) прообраз каждой внутренней точки состоит
из одного и того же числа точек, взятых со знаком
ориентации; б) если /, g гомотопны, то числа точек прообраза,
взятых с ориентацией, совпадают; в) если числа точек
прообраза с ориентациями совпадают, то отображения /, g
гомотопны.
11.7. Пусть /: Л[->-5^ — отображение нормалей замкнутой
поверхности в R^ Доказать, что /*(со) =/Ссо', где со, со' —
элементы площади, К — гауссова кривизна. Доказать, что
2degf=JKd(i) и равно эйлеровой характеристике
поверхности.
11.8. Доказать, что каждое непрерывное отображение
шара Z)" в себя всегда имеет неподвижную точку.
11.9. Пусть f:SU{n)-*'SU{n)—гладкое отображение
fi§)=g^- Найти Im(/*) в кольце Я*(5[/(п); 2).
11.10. Пусть /;7VI"->-Rp — гладкое погружение связного
компактного ориентированного замкнутого «-мерного («■<р)
многообразия в Rp. Пусть v{f)—нормальный пучок этого
погружения и Sv(f)—ассоциированный пучок сфер, т. е.
Sv(f)=^dv{f)—граница некоторой достаточно малой
трубчатой окрестности подмногообразия /(A[")c;Rp. Пусть
7;Sv(/)-^Sp-i — обычное гауссово отображение
(сферическое).
Найти степень degJ (dirn5v(/)=p—1), если известны
гомологии многообразия ЛГ". Зависит ли degJ от способа
43

погружения М" в Rp? Что происходит, если Л1" неориенти-
руемо? Особо разобрать случай, когда р=п+1 (дать два
доказательства, причем одно — с помощью теории Морса).
§ 12. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
12.1. Доказать, что для любого линейно-связного
пространства X и любой точки Хо группа Я1(й,д',, X) абелева.
12.2. Доказать, что всякое стягиваемое пространство од-
нЪсвязно.
12.3. Доказать, что niCVA-S') свободная группа с
А образующими.
12.4. Доказать, что если Yi и Кг — гомотопически-эквива-
лентны, то ni{Yi)^ni{Y2).
12.5. Доказать, что ni{X\jY)=ni{X)* iii{Y), где
TCi(X) * ni(F) —свободное произведение групп ni{X) и ni{Y).
Построить универсальное накрытие над Х\/ Y.
12.6. Доказать, что если а, psni(X), то для произведения
Уайтхеда [а, р] элементов аир выполнено равенство
[а, P] = apa-ip-'eni(X).
12.7. Найти фундаментальную группу дополнения
трилистника в R^ в S' и доказать, что трилистник «не
развязывается», т. е. не существует гомеоморфизма пространства R'
на себя, который переводил бы трилистник в стандартно
вложенную незаузленную окружность S^czR^ (трдвиальный
узел).
12.8. Пусть X=Y\JwZ, где У, Z, W — конечные CW-комп-
лексы, W=Y(]Z, W—линейно-связно. Вычислить группу
л\{Х) через группы Jii{Y), jii{Z), ni{W). Рассмотреть случай,
когда W — несвязно.
12.9. Пусть G — произвольная группа с конечным числом
образующих. Доказать, что существует комплекс X, такой,
что щ{Х) = 0. Можно ли выбрать в качестве X
многообразие?
12.10. Вь1числить ni(X), где X — букет трех окружностей.
12.11. Построить комплекс X, у которого ni(Z)=Zp.
Построить СТ^'-комплекс X (с такой же фундаментальной
группой) наименьшей размерности.
12.12. Вычислить фундаментальную группу «двойного
кренделя», т. е. сферы S^ с тремя ручками.
12.13. Вычислить Я1(Р), где Т^=8^Х8^— гор.
12.14. Пусть X — симплициальный комплекс, N — число
его одномерных симплексов. Доказать, что группа iii(A")
имеет не более чем N образующих.
12.15. Доказать, что ni((X)2) =Я1(Х), где X — CW-
комплекс, а (Х)2 — его 2-мерный остов.
44

12.16. Найти фундаментальную группу «восьмерки»
(букета двух окружностей).
12.17. Пусть /—путь в X; aeni(J, Xq), f{0)=xo.
Доказать, что существует путь g, такой, что g{0)=XQ, g{l)=f(l)
и fg-'ea.
12.18. Пусть X — линейно-связное пространство. Доказать,
что группа я:(Х, х) изоморфна группе ni(^, у) для любых
двух точек X, у^Х.
12.19. Вычислить Я1(Л') и я„(А'), где X—букет S^ у S^^.
12.20. Доказать, что если X — одномерный Сй^'-комплекс,
то т (X) — свободная группа.
12.21. Доказать, что группа G=Z©Z®Z0Z не может
быть фундаментальной группой никакого замкнутого
компактного 3-мерного многообразия.
12.22. Вычислить ni{Pg), где Pg — 2-мерная компактная,
замкнутая, ориентируемая поверхность рода g.
12.23. Вычислить ni{TPg), где Pg — многообразие
линейных элементов поверхности рода g.
12.24. Вычислить фундаментальную группу «бутылки
Клейна», построив накрывающее пространство с действием
дискретной группы.
12.25. Пусть Р — 2-мерная поверхность с непустым краем
(открытая поверхность). Доказать, что ni{P)—свободная
группа.
12.26. Доказать, что если X—CW-комплекс, то ni(X) —
группа, образующие которой является одномерными
клетками, а полный набор соотношений определяется границами
2-мерных клеток.
12.27. Пусть G — непрерывный группоид с единицей.
Доказать, что G гомотопически прост во всех размерностях и,
как следствие, что ni(G) —абелева группа.
12.28. Пусть X — непрерывный группоид с единицей,
Gdjii (Х) — подгруппа. Доказать, что а) в Xg можно ввести
умножение так, что ра : Хс-*-Х (где рс — проекция накрытия
Xg на X) станет гоморфизмом; б) если X — группа, то Хс
(накрытие по подгруппе G) —тоже группа. Разобрать при-
мер Spin(n) -^SO{n), n>2.
12.29. Доказать, что имеет место изоморфизм
я„ (S" у .. ■ V .S") ^ я„(5")е.. .фя„(5").
k '~ г '
12.30. Вычислить я< [ll^KiZ^; п)] при Л^> п, t<A^+2/г - 1
12.31. Доказать, что группы ni{X) коммутативны при
г>1.
12.32. Показать на примере, что для групп ni{X, Y)
неверна аксиома вырезания (которая выполняется для обычных
теорий (ко)гомологии).
45

12.33. Доказать, что для любого линейно-связного
пространства У и любой точки Xo^Y имеет место изоморфизм
я^ (У,"^о) ^ л^_1 (0^„У; w^J, где te;^, — постоянная петля в
точке Хо-
12.34. Доказать, что X п-просто тогда и только тогда,
когда [а, р]=0 для любых aeni(X), реяп(А^), ([а,
Р] —произведение Уаитхеда).
12.35. Доказать, что X — гомотопически просто в
размерности 1 тогда и только тогда, когда Я] (Х) — абелева группа.
12.36. Доказать, что Я-пространство «-просто для
любого п.
12.37. Доказать, что Я1(КР") = 22, п>1 и Яй(НР") =
= л^(5"), я>0, й>1 где RP'' — вещественное проективное
пространство.
12.38. Доказать, что если а) Л — стягиваемое пространство
в пространстве X {X 'п А — ClF-комплексы) к точке л;,, е Л, то
при п > 1 гомоморфизм it: я„ {А, х^) -^ я,^ {X, х^), тривиален
и при « > 3 имеет место разложение л„ {X, А, х^) ^ я^ (X, л;^)©
фя„_1(Л, Хо); б) i:X\/Y-^XxY вложение, то имеет место
(■* f
точная последовательность я, (X V У)-^ ^т^в (-^ ^ К)->-0.
12.39. Доказать, что Я1(СР'') = 0; Яа (СР") = Z, я > 0;
я,(СР'^) = я,(52"+1), k>2.
12.40. Доказать, что если СЖ-комплекс X не имеет клеток
размерностей от 1 до fe включительно, то Я1(Х)=0 при
i^k.
12.41. Пусть X, У—Сй^'-комплексы. Доказать, что Яг-(ХХ
ХУ) =Я1(Х)0Яг(У); вычислить действие Я1(ХХУ) на
Я1(ХхУ); построить универсальное накрытие над XX У.
12.42. Найти гомотопические группы Яд(5"),0^^^«, и
доказать, что Яп(5")=2, где S" — сфера.
12.43. Доказать, что щ{3^) =щ{8^) при f^3 и как
следствие, доказать, что яз(52)=2. Доказать, что CP°°^K{Z, 2).
12.44. а) Доказать, что произведение Уаитхеда в группе
Я1(Х) совпадает с коммутатором, б) Доказать, что
произведение Уаитхеда Я] <» Лп-^-Лп совпадает с действием группы
Я1(Х) на я„(Х). в) Пусть а ;S2->S2 —отображение, такое,
что dega=l; h'.S^-^'^ — расслоение Хопфа. Доказать, что
а о а~2/г. г) Пусть аел„(5"); S : Я2„-1(5«>-^Я2п(5"+1)
—гомоморфизм надстройки. Доказать, что S(aoa)=0, и как
следствие, доказать, что Я4(5^)=22 или Я4(5*)=:0.
12.45. Доказать, что а) пх{50з)=22, Я2(50з)=я2(50) =0,
где50 = Ит.50(га); б) лз(504) =Z©Z, KiiU)=nsiU)=Z;
(п)
ji2{U)=Q), где U=\\mU{n) (вложения [7(/г)с1С/(/г+1) и
SO{n)c^SO{n+\) стандартные); в) яз(505)=2.
12.46. Найти группы n^iS^yS^), q^O.
46

12.47. Пусть X, F—CW-комплексы. Доказать, что я,(XX
ХУ)^Пг{Х)®Лг{¥).
12.48. Вычислить группы щ(Х), Яп(Х) и действие группы
Я1(Х) на группе л„(Х) в случаях: а) X=RP"; б) X=Si\/S";
в) Х=дВ{1"+^), где 5(^"+')—тело нетривиального
расслоения 0(п+1) дисков над SK
12.49. Найти naiS^VS^).
12.50. Если отображение f: {X, Л)->-(У, В) для всех
<7устанавливает изоморфизм Пд(Х)-^Лд(У) и Я5(Л)^-Я5(В), то оно
устанавливает для всех q изоморфизмы Лд{Х, Л)-^Яд(У, В).
12.51. Доказать, что если X есть Я-пространство, ае
еят(Х), реят(Х), то [а, р]=0, где [а, р]—произведение
Уайтхеда.
12.52. Вычислить группы Яя_й (V^,;^), где V%—вещественное
многообразие Штифеля.
12.53. Доказать, что группы Яй(5") с ростом k не могут
стать тривиальными, начиная с некоторого номера k.
12.54. Доказать, что щ{8^)=2 и Яп+1(5")=22 при п^З.
12.55. Найти яз(52у52); лз{8'У8^); кз{5^у5^у8^).
12.56. Вычислить первые относительные гомотопические
группы пары (СР2, S^), где S^sCP'cCP^ стандартным
образом.
12.57. Доказать, что если а) 3-мерное компактное
замкнутое многообразие М^ односвязно, то М^ — гомотопически-эк-
вивалентно сфере 5^ (т. е. М^ — гомотопическая сфера);
б) М"' — гладкое, компактное, замкнутое многообразие такое,
что Яг(Л1")=0 при i^[n/2], то М^ — гомотопически-эквива-
лентно сфере 5".
12.58. Построить пример 3-мерного замкнутого
компактного многообразия М^ такого, что М^ — гомологическая
сфера (т. е. имеет такие же целочисленные гомологии, что и S^),
однако П1{М^)фа. Построить пример конечно-порожденной
группы G, совпадающей со своим первым коммутантом.
12.59. Доказать, что множество гомотопических классов
отображений [S", X] изоморфно множеству классов
сопряженных элементов группы Яп {X, Xq) при действии Я1 {X, Xq)
{X связный комплекс).
12.60. Вычислить Я2(К^, 8, >Ц), где R^ — плоскость, 8 —
«восьмерка», вложенная в 2-мерную плоскость.
12.61. Вычислить Я{(СРп) при t^2n+l.
12.62. Вычислить л;f(5*), где яf(X) — /-мерная стабильная
гомотопическая группа, т. е.
12.63. Доказать, что я„(5^) ая„+1(5^+1) при n<2N-~l.
47

12.64. Пусть Лп{Х)=0, и пусть на Z и У действует без
неподвижных точек конечная группа G. Доказать, что
существует и единственно с точностью до гомотопии
отображение f; Y-^X, перестановочное с действием группы G.
12.65. Доказать, что [СР^; 8^]=Я4{8'^), где [X, У]
множество гомотопических классов отображений X в Y.
12.66. Пусть {X, А), Xz^A — пара топологических
пространств, где X — линейно-связно. Пусть Л—множество путей
в пространстве X, начинающихся в фиксированной точке
Xq и кончающихся в точках подпространства А.
Доказать, что Яд{Х, А, а)=Лд-1(А, %а), где Аа
—произвольный путь из Хо в аеЛ.
12.67. Доказать, что следующие условия эквивалентны
я-связности: а) Пь{8ч, X) состоит из одного элемента при
q^n (пунктированные отображения); б) любое непрерывное
отображение Si-^X продолжается до непрерывного
отображения диска Di+^-^X.
12.68. Доказать, что л{Х, QQZ) — абелева группа, где
X, 2 — топологические пространства, QX — пространство
петель. Доказать, что QX является Я-простраыством.
12.69. Пусть А — ретракт X. Доказать, что при n^l для
любой точки Хо^А гомоморфизм, индуцированный
вложением
».:я„(Л, д:о)->я„(Х, Хо),
является мономорфизмом и при «.^2 определяет следующее
разложение в прямую сумму:
я„(Х, Хо)^л^{А, д:о)®я„(Х, А, х^).
12.70. Доказать, что Яб(2Е2, J)—абелева группа.
Установить связь с Яй(2, fifiX).
gn—l
12.71. а) Пусть TS"-^S''— стандартное касательное
расслоение над сферой S". Вычислить гомоморфизм
д.:я„(5'')->я„_,(5''-«)
в точной гомотопической последовательности этого
расслоения; б) пусть SO{n+l) ^2^'^. S" — стандартное главное
расслоение и аеяп(5™) —образующая в группе 2=Яп(5«).
Доказать, что в точной гомотопической последовательности
этого расслоения d*(a) =t"(S").
12.72. Пусть f:X-*-Y — непрерывное отображение (/(•«о)='
=Уо)- Доказать, что индуцированное отображение
/.•.я„(Х, Хо)-^п^{¥, уо)
является гомоморфизмом групп.
48

12.73. Пусть ¥=}Ро^Уо
Хэлго
расслоение с фиксированными точками Xq, г/о и слоем Fq.
Доказать, что Лп{¥; Fo; уо) = Пп{Х, Хо).
12.74. Пусть Е, X — топологические пространства, X —
линейно-связно, р : Е-^Х — непрерывное отображение, такое,
что для любых точек jcsX и у^.р~^ {х) имеет место
изоморфизм
р,:щ{Е, р-^{х), у)^щ{Х, х); i>0
'(для г = 0, 1 имеет место изоморфизм множеств без
дополнительной структуры группы). Доказать, что для любых точек
-Xi и Х2 топологические пространства р-' (xi) и р-' (хг) слабо-
гомотопически-эквивалентны.
12.75. Доказать точную последовательность для
гомотопических групп пары {X, А):
...-^Ki{A)-^Ki{X)-^ni{X, Л)-^я,-_1(Л)->-... .
12.76. Пусть f ;5'X5' = P->-R^ — стандартное вложение;
<}):5'-»-Г2—вложение 5', реализующее цикл типа (р, q), где
(р. 9) = 1- Вычислить группу полученного узла f»(f.S^-^
r*-R' (т. е. фундаментальную группу дополнения к узлу
/§ф(51) в пространстве R^).
12.77. Пусть группа узла Fi^R^ равна Z. Что можно
сказать о таком узле?
12.78. Построить комплекс X'yCnKiTliiX); i), т. е. гомото-
пически-неэквивалентный.
12.79. Пусть и{п)—унитарная группа. Рассмотрим
следующие группы:
nf {U (п)) = Ит лс+N (S^'t; («));
iif (U in)) = Ит [л^ (U in)) -^K,iUin+l))-^...].
Совпадают ли группы nf (t/(fi)) и itf (t/(n))?
12.80. Подсчитать 3-компоненты группЯп+i(5") приг^б
(где п. —велико, т. е. я^+г (S") = nf (5")). Вычисления
провести двумя способами: используя и не используя
последовательность Адамса.
12.81. Построить вложение Uin)-^Il[D^; Ui2n)],
индуцирующее изоморфизм гомотопических групп
я, [U in)] = я^ {П [D^ и (2n)]} ^ щ+2 [и (2«)]
при i^2n—1. Здесь U[D^; t/(2«)]—пространство всех
непрерывных отображений / диска D^ в f)(2«), фиксированных
49

на границе, т. е. f:<3Z)2->-S'c=t/(2л)—фиксированное
отображение дО^ на некоторую окружность в группе U{2n)
(подобрать соответствующую окружность 5icify(2n)). Доказать,
что если рассматриваются отображения f: D^-^X с
фиксированной границей, то Ki{U[D^; Х]}^Пг+2{Х).
12.82. Вычислить в явном виде изоморфизм унитарной
периодичности Ботта
(т. е., если задан элемент ae'nJSt/(«)], а: S'-^SU (nl, то
нужно явно описать отображение [^^ {а}]: S^+^-^ SU {2п)).
Пусть а^: S" ^SU (2). Вычислить [Рг («о)! (S^"+^) Q SU (2«+').
Доказать, что сфера [PS(ao)](S^"+з)c: 5^/(2"+') является вполне
геодезической сферой в группе 5^/(2"+*).
12.83. Построить вложение 0(п)->П[1)«; S0(16n)],
индуцирующее изоморфизм гомотопических групп
«i [О (п)] ^ я^ {П [D«; 50 (16n)]} ^ я.-4^ [SO (16/г)]
при i<n—1. Здесь n[D^; S0(16n)| пространство всех
непрерывных отображений f диска D^ в группу S0{l6n) с
фиксированной границей S'' в группе SO (16/г) (подобрать
соответствующую сферу S'' в S0(16n)). Доказать, что если
рассматриваются отображения с фиксированной границей, та
12.84. а) Вычислить в явном виде изоморфизм
ортогональной периодичности Ботта Ps: Л{[0(/г)]->^Лг+8[5С>(16/г)];
б) то же проделать для симплектической группы Sp{n).
§ 13. ГОМОЛОГИИ
Дифференциальной группой называется абелева группа С,
наделенная эндоморфизмом д : С^>-С таким, что (5(5=0. Эндоморфизм д называется
дифференциалом, или граничным оператором группы С. Для
дифференциальной группы С определим подгруппу циклов, полагая Z(C)=Kerd,
и подгруппу границ, полагая B(C)=Imd. Поскольку дд=0, то В(С)с
<:zZ(C). Группа гомологии Н{С) определяется как фактор-группа Я(С) =
= Z{C)IB{C). Элементы группы Н(С) называются классами гомологии.
Если г — некоторый цикл, то его класс гомологии в Я(С) обозначается
через {z}. Два цикла Zi и гг называются гомологичными (обозначается
Zi~Z2), если их разность является границей, т. е. если {zi}=={Z2}-
Градуированной группой называется группа C={Cq}, образованная
совокупностью абелевых групп Cq, занумерованных целыми числами.
Элементы группы С, называются элементами степени q. Гомоморфизмом
X: С-*-С' степени d одной градуированной группы в другую называется
совокупность t = {т^ : С^-»-С„,^} гомоморфизмов, занумерованных
целыми числами. Композиция гомоморфизмов степеней dud' является
гомоморфизмом степени d+d'.
50

Градуированной дифференциальной группой (сокращенно DG-группой)
называется градуированная группа с дифференциалом, согласованным с
градуировкой (т. е. этот дифференциал является эндоморфизмом степени
г для некоторого г). Цепным комплексом называется градуированная
дифференциальная группа, степень дифференциала которой —1. Таким
образом, цепной комплекс С состоит из последовательности абелевых
групп Cq и гомоморфизмов
dq' Cq-*- Cq.x,
занумерованных целыми числами, причем композиция
Cqi-i -»■ Cq *■ Cq^i
есть тривиальный гомоморфизм. Элементы группы Сд называются д-мер-
ными цепями данного комплекса. Если цепной комплекс обладает еще тем
свойством, что Cq=0 при 17<0, то такой комплекс называется
неотрицательным. Свободным цепным комплексом называется цепной комплекс, у
которого Cq — свободная абелева группа для каждого (?.
Группа циклов Z{C) произвольной £)0-группы является
градуированной группой. Она образована совокупностью групп .{Zg(C) =Кег й,}.
Группа границ В (С) также градуирована и образована группами
{Sg(C) =Im cig+i}. Группа гомологии Н(С)—это градуированная группа,
состоящая из групп {Нд(С) =Zq(C)/Bq{C)}.
Цепным отображением т; С^-С' одного цепного комплекса в другой
называется гомоморфизм степени О, коммутирующий с дифференциалами.
Если т : С^-С — цепное отображение, то индуцированный гомоморфизм
т, : Н{С)-^Н{С') является гомоморфизмом степени О и
(Т*)(? {2} = {Т, (г)} при Z^Zq (С).
Теорема. В категории цепных комплексов гомологический функтор
коммутирует с произвольными суммами и произведениями.
Теорема. Гомологический функтор коммутирует с пределами прямых
спектров.
Замечание. Гомологический функтор, вообще говоря, не коммутирует с
пределами обратных спектров.
Группы симплициальных гомологии. Пусть К — симплициальный
комплекс. Ориентированным q-мерным симплексом из К называется q-
мерный симплекс o's/C вместе с некоторым классом эквивалентности
линейных упорядочений множества вершин симплекса a^. При этом два
упорядочения считаются эквивалентными, если они различаются на
четную перестановку вершин. Если vo, vi,..., Vq — вершины симплекса о,, то
символом [vo, Vi Vq] обозначается ориентированный (?-мерный
симплекс из К, состоящий из симплекса а' и класса эквивалентности данного
упорядочения Va<Vi<i...<ivq его вершин. Пусть С,(К)—абелева группа,
порожденная ориентированными ^-мерными симплексами Oq и
соотношениями 0^+а^ = О, если а" и а|— различные ориентированные д-мер-
ные симплексы, соответствующие одному и тому же (^-мерному симплексу
из К.
Гомоморфизмы dq-. Cq (К)—* Cq-1 (К) ((7 > 1) определяются по формуле
dqlVo, Vi, ... , Vq]= J^ (— 1)'К. t'l, •■• , Vi Vq],
где [vo, Vu ..., Vt, ..., Vq] — ориентированный (<?—1)-мерный симплекс,
полученный выбрасыванием вершины и,. Для всех q имеет место равенство
•<Эд<Зд+1=0. Следовательно, определен свободный неотрицательный цепной
комплекс C{K) = {Cq(K), дд}, называемый ориентированным цепным коып-
51

лексом симплициального комплекса К. Его группы гомологии
обозначаются Hq(f() и называются группами ориентированных гомологии коип-
лекса К-
Если ф : К\-*-К2 — симплициальное отображение, то можно построить
цепное отображение С(ф) : С(K.i)-^C{Ki), положив
С(Ф) (К !'</]) = [фЫ ФЫ].
С(ф) является цепным отображением. Индуцированное отображение
групп гомологии обозначается символом
Группы сингулярных гомологии
Пусть Дв — пространство симплициального комплекса (^>0),
состоящего из всех непустых подмножеств множества {Ро, Pi< ••■ , Pq}- Если 9>0
и < < ч' + 1, то линейное отображение е', j; Л'',-»- A'+i определяется
отображением вершин
«Wl (''/) = о / > i
У P/+i> / =? '
и e^_j_j (A*?)—замкнутый симплекс |р,, /?i р,-, ... , pq^x\ в А'+^.
расположенный напротив вершины pi. При 0</<i<i?+l
Пусть X — некоторое топологическое пространство. Если (?^0, то
q-мерным сингулярным симплексом а в пространстве X называется
непрерывное отображение о: А«-»-Х. Если q>Q н 0^i^9. то i-й гранью
симплекса а (обозначается а'"') называется ((?^1)-мерный сингулярный
симплекс пространства X, совпадающий с композицией е^® <3.
Сингулярным цепным комплексом пространства X (обозначается
А(Х)) называется неотрицательный свободный цепной комплекс Ь.(Х) =
= {Lq(X), dq\, где l^q(X)—свободная абелева группа, порожденная
9-мерныыи сингулярными симплексами пространства X при 9^0- Д'''^
q^\ гомоморфизм dq определяется равенством
Легко проверяется, что 6g6g+i=0, и, следовательно, получаем цепной
комплекс. Если отображение f Х-^У непрерывно, то можно определить
цепное отображение
A{/):A{X)-^A(F),
полагая A{f)(a)=foa для всякого (^-мерного сингулярного симплекса
а: Дд-vX Группы гомологии цепного комплекса Д(Х) обозначаются
Hq(X) н называются группами сингулярных гомологии пространства X.
Для всякого подкомплекса L комплекса К можно определить
относительную группу ориентированных гомологии, а именно
Н(К, L)={Hq(K, L) = Hq{C(K)lC(L))}.
т А — подпространство топологического п
>й группой сингулярных гомологии назь
Н{Х, А)=^ {Я, (X. Л) = Я, (Д (Х)/Д (А))}.
Аналогично, если А — подпространство топологического пространства X,'
то относительной группой сингулярных гомологии называется группа
52

Теорема. На категории симплнцнальиых комплексов имеется
единственный изоморфизм между группами симплициальных гомологии н
группами сингулярных гомологии комплекса К.
Теорема. Группы сингулярных гомологии топологического
пространства являются прямой суммой групп сингулярных гомологии его
компонент линейной связности.
Теорема. Группы гомологии симплициального комплекса изоморфны
пределу прямого спектра групп гомологии его конечных подкомплексов.
Теорема. Группы сингулярных гомологии топологического
пространства изоморфны пределу прямого спектра групп сингулярных гомологии
его компактных лодмножеств.
Теорема. Пусть К — снмплнцнальный комплекс, н пусть LidL^aK.
Существует точная последовательность
...%H,iL„ L,) % Нд (К, L,) 'л На (К, L,) % Н^.^ {L„ L,)-^ ... ,
где гомоморфизм (« индуцирован вложением i: (L^, L\)c(K, L{),
гомоморфизм i, — вложением /: [К, Li)cz{K, Ц), а б. — связывающий
гомоморфизм. Эта последовательность называется гомологической точной последова'
тельностью триады (К., Ц, Li). Если Li=0, то получающаяся точная
последов ательность
...%Нд (L^) % Я, (К) '-и Я, (К, L,) ^ Я,.1 (La) % ...
называется точной последовательностью пары (К. Li).
Точно такие же утверждения справедливы для сингулярной
гомологической последовательности триады (X, А, В) и пары {х. А).
Пусть Ki и К2 — подкомплексы симплициального комплекса К. Тогда
К\ [\ К2 VL К\ [} 1^2 — подкомплексы в К. Положим
h : ^Ci Л Л:2 с: /Ci, h : /Ci n /Сз <= К^,
h : KiCzKiU Кг, h : K^czKiU Kt-
Существует точная последовательность групп гомолосий
% Щ (Кх Л /Сг) '-^ Я, (Ai) © Щ (К^) 'А Я, {К, и К.) ^
^АЯ,_1(^С1 Л К,)%... ,
называемая точной последовательностью Майера — Виеториса.
Гомоморфизмы i ^и /* последовательности Майера — Виеториса выражаются
через гомоморфизмы, индуцированные вложениями
'« (z) = (ii« z. — i'a* г) I /* (Zi. Za) = /i« Zj -j- j^^ Zj,
где
z^H(KinKi), z^sHiKd, z^sH{Kd-
Если (Ki, L\) и (Ki, L2) — симплициальиые пары подкомплексов
комплекса К, то имеет место точная последовательность
% Я, {Кг Л /Сг. ^-1 Л i-a) '-^ Нд (Кг. i-i) © Нд (К^, L^) '-U
'^Hg(KiU Ki, KlU L^-^ ... ,
называемая относительной последовательностью Майера — Виеториса пар
(Ки Z-i) и №, Ц).
Вообще говоря, неверно, что для любых двух подмножеств Xi и Xt
топологического пространства X соответствующая последовательность
53

Майера — Виеториса точна. Тем не менее для некоторых подмножеств
Xi и Хг топологического пространства X можно получить точную
последовательность Майера — Внеторнса. Говорят, что пара подмножеств
{Xi, Х2} удовлетворяет аксиоме вырезания, если цепное вложение A{X^) +
+A(-X'2)czA(Xi и.Х'г) индуцирует гомоморфизм гомологии. Можно показать,
что пара {Хи Хг} тогда н только тогда удовлетворяет аксиоме
вырезания, когда отображение (Xi, Xi П Xj) с (Xi (J Xj, X2) индуцирует
изоморфизм сингулярных гомологии.
Теорема. Если пара {Xi; Xj} удовлетворяет аксиоме вырезания, то
существует точная последовательность
...%Нд (Xi П Хг) % Нд (Xi) е Нд (X,) 'и
Ы щ (Xi и Хг) % я^_1 (Xi п Хг) -> ... .
Пусть (Xi, Ai) и (Хг, ^42)—пары, образованные подмножествами
пространства X. Говорят, что пара пар {(Xi, Ai), (Х2, А2)} удовлетворяет
аксиоме вырезания, если обе пары {Xi, Xj} и {Л], Лг} удовлетворяют этой
аксиоме. t
Теорема. Если пара пар {(Xi, Ai), (Xj, А2)} удовлетворяет аксиоме
вырезания, то имеет место относительная последовательность Майера —
Виеториса.
Теорема об универсальных коэффициентах для гомологии. Пусть С —
свободный цепной комплекс, G — некоторая группа. Тогда имеет место
функториальная короткая точная последовательность
О -^- Я, (С) (g) G ^ Я, (С (g) G) ^ Тог (Нд.1 (С), G) -» О
и эта последовательность расщепляется.
Формула Кюниета. Пусть Си С' — цепные комплексы. Тензорным
произведением Cl^C называется цепной комплекс {(C^C')q, д }, где .
[{С®С%= Ф Ci®C'j
И при ceCi, с' ^Cj, i + i = qy
д"g{c(S)c')=дiC®c' + (-\)^c(^д'Jc'.
Периодическим произведением С^С называется цепной комплекс
{(С*С'),. д,},
где
{С:¥С%= ® Тог (СьС!-);
_ t+i=q '
дд I Тог (С/ * с)) = Тог (di, 1) + (- 1)' Тог (1, Э/).
Теорема. На подкатегории произведения категории цепных
комплексов на себя, состоящей из пар (С, С) таких, что комплекс С^ С
ацикличен, имеет место функториальная короткая точная последовательность
0-> Ф Я£(С)®Я/(С')->Я^(С®С')-^
-* ф Тог (Я,- (С), Я, (С))-» О
И эта последовательность расщепляется.
54

Теорема. Если пара {ХхВ, Ах У}, удовлетворяет аксиоме
вырезания, а группы G и G' таковы, что Тог (G, G') = О, то имеет место функто-
риальная короткая точная последовательность
0^ ф Hi(X. А- G)®Hi(Y, В; G')-*Hg{(X. A)x(Y, By,G®G')^
-^ Ф Tor (Яг (X, A; G), Я-(7, В; G'))-^0
И эта последовательность расщепляется.
Пусть R — некоторое коммутативное кольцо с единицей. Коцепным
комплексом над R (обозначается С*={Сч, Щ) называется
градуированный ^?-модуль, рассматриваемый вместе с однородным дифференциалом
б степени +1, который называется пограничным, оператором. Ядро
оператора б называется модулем коциклов 2^(0"), а образ б — модулем
кограниц В (С). Значит, S(C*)czZ(C*) н модуль когомологий Н(С*)
определяется как фактор-комплекс Z{C*)/B(C*). Если С — цепной комплекс над
R YI G — некоторый ^?-модуль, то существует коцепной комплекс
Нот(С, G) = {liom(Cg, G), б'}, где кограница 8ч1еНот(Сд+и G)
элемента feHom(Cg, G) определяется соотношением
(б'?/)(с) = /(а,+1с), c6=Q+i.
Для цепного комплекса С и модуля G определим модуль когомологий
Н*(С; G) = {Нч(С; G)} комплекса С с коэффициентами в G, полагая
N"(0; G)=H'i(Hom (С, G)).
Пример 1. Для данной абелевой группы G и симплициальной пары
(К, L) группой ориентированных когомологий пары (К, L) с
коэффициентами в G (обозначается Я* (/С, L; G)) называется градуированная
группа когомологий коцепного комплекса Hom(C(K)IC(L), G).
Пример 2. Если (X, А)—пара топологических пространств, G — абе-
лева группа, то группой сингулярных когомологий пары (X, А) с
коэффициентами в G (обозначается Н*(Х, А; G)) называется градуированная
группа когомологий Коцепного комплекса Нот (Л (X)/Л (Л), G).
Для групп когомологий имеют место те же теоремы о точности, что
и для гомологии. В качестве примера приведем одну из них.
Теорема. Пусть {(Xi,A^, {Х^, А^} — пара пар, удовлетворяющая
аксиоме вырезания, а G некоторый ^?-модуль. Тогда имеет место функторналь-
ная точная последовательность когомологий
...Ь^НЧ (Xi и Х^, А^ и А^; G) '-i*
'Ая?(Х1,Л,; G)®H4(X„ а,; G)% НЦХ^ПХ^, Л^ПЛ; G)*A
% НЯ+1 (Xi и Х^; AiU А^; G)-^ ... ,
где
/* (и) = O'i ("). h ("))' '* ("i'-+ ."а) .= i*i "i — '2 "2.
([■], ij, /i, /a — соответствующие вложения).
Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий. Для
цепного комплекса С н модуля G, таких, что Ext (С, G)—ацикличный цепной
комплекс, имеет место функториальная короткая точная
последовательность
О -> Ext (Hg.i(C), G) -> Hi (С; G) -♦ Нот (Я, (С). G) -»О
и эта последовательность расщепляется.
55

Следствие. Если (X, А)—пара топологических пространств такая, что
модули Hq{X, А; R) конечно порождены . (при всех д), то свободные
подмодули модулей №{Х, А; R) и Hq(X, А; R) изоморфны и подмодули
кручения модулей Яв(Х, А; R) и Hq-i(X, А; R) изоморфны.
Можно определить прямое произведение классов когомологий при
помощи соответствующего отображения тензорного произведения
когомологий двух пространств в когомологий произведения этих пространств.
Вместе с диагональным отображением пространства в свой собственный
квадрат это произведение порождает произведение в модуле
когомологий пространства. Эта дополнительная мультипликативная структура
превращает модуль когомологий в алгебру.
Умножение в когомологиях строится следующим образом. Пусть X —
некоторое топологическое пространство, d: Х-*-ХхХ диагональное
отображение.
Теорема Эйленберга — Зильбера. Отображение d определяет фуиктори-
альные цепные отображения tj:; А(Л')-^А(Х)(2)А(Х) и любые два таких
отображения цепногомотопны. Такое отображение называется
диагональной аппроксимацией.
Пусть G и G' — /^-модули. Спариванием модулей G и G' в /^-модуль
G" называется гомоморфизмом ф : G®G'^>-G". Если заданы такое
спаривание и некоторая диагональная аппроксимация Тх, то можно определить
цепное отображение
'хх^': Нош (Л (X), G) % Нот (А (X), G') -* Нот (А (X), G")
как композицию
Нот (Д (X), G) ® Нот (А:(Х) , G') -^ Нот (Д (X) ® Д (X), G ® С') ->-
Нот(Гу,ф)
->- Нот (Д (X), G").
Пусть {^i, Л2) — пара подмножеств пространства X, удовлетворяющая
аксиоме вырезания. Тогда т^^ индуцирует гомоморфизм
HP (X, Л1; G) ® Я^' (X, Л2; G') -^ НР'^'1 (X, »! и Ai, G"),
называемый произведением, Колмогорова — Александера или U -произведением.
Если usHP(X,Ai, G), иеЯ^(Х, А.^; G'), то U-произведение этих
Элементов обозначается u[}v (= НР+'И (X, А^^ЦА^; G').
Если R — коммутативное кольцо с единицей, то Я* (X, R) является
градуированным кольцом с единицей, в котором для любых двух
элементов u^Hp(X, R) и аеЯ9(Х, R) имеет место равенство
u[)v=(.— l)P'^vUu.
Теперь мы опишем теорию сингулярных когомологий с компактными
носителями. Подмножество А топологаческого пространства X называется
ограниченным, если его замыкание А компактно. Подмножество ВаХ
называется коограниченньм, если его дополнение Х—В ограничено.
Отображение f пространства X в пространство Y называется собственный,
если оно непрерывно и для каждого ограниченного множества А в
пространстве У множество f~^(A) является ограниченным в пространстве X
или, (эквивалентное определение) если для каждого коограииченного
множества В ъ Y множество ^~^{В) коограничено в X. Композиция
собственных отображений является собственным отображением. Аналогично
можно определить собственное отображение пары (X, А) в пару (У, В).
Под этим понимается такое собственное отображение X ъ Y, при котором
А переходит в В.
Говорят, что сингулярная коцепь с*еНот(Ад(Х)/А9(Л), G) имеет
компактный носитель, если существует такое коограничениое множество
56

UdX, что c*(a)=0 для каждого сиигуляриого ^"Мерного симплекса
aaU. Сингулярные коцепи с компактными носителями образуют
подкомплекс Дс(^. А; G) сингулярного коцепного комплекса ^*(Х, А; G). Его
модуль когомологий обозначается Н^(Х, А; G). •
Аксиома гомотопии выполняется для собственных гомотопий, где
собственной гомотопией называется собственное отображение {X, А) Х/->-
->■(¥, В). Вообще говоря, вложение {X', A')cz(X, А) не является
собственным отображением. Однако оно является таковым, если X' замкнуто
в X. По этой причине кограничный опера-тор
б*: Я? (Л; 0)->Я«+'(Л:, А; G)
определен только в том случае, когда множество А замкнуто в X. Если
А—замкнутое подмножество пространства X, то вложения i:AcX и
j:Xa(X, А) являются собственными и, значит, имеет место короткая
«точная последовательность коцепных комплексов
0-»Д*(Л:, Л;0)->А*(Х, 0)->А*(Л.О)-*0.
Поэтому для пар {X, А) таких, что А замкнуто в X, выполняется аксиома
точности.
Аксиома вырезания выполняется для собственных вырезаний, при
этом под собственным вырезанием понимается собственное вложение
]:(Х-и, A — U)c:(X,A),
где открытое подмножество U пространства X таково, что UalrttA.
Теорема. Если А — коограниченное множество в X, то
hI[X.A;G)xH*(X,A;G).
Теорема. Пусть А — компактное хаусдорфово пространство, В замк<
нутое подмножество в А. Тогда для всех целых д н всех модулей G имеет
место изоморфизм
Н1(А~В; G)^Hi(A,B;G),
где Яз — приведенные группы когомологий.
Теорема. Пусть X — локально-компактное хаусдорфово пространство,
Х+ — его одноточечная компактификация. Тогда имеет место изоморфизм
Н1{Х\ О) xHQ(X+; G).
13.1. Пусть A:Cn{X)-^Cn-i{X) — дифференциал в группе
цепей клеточного комплекса X Доказать, что До Л = 0.
13.2. Доказать, что группа цепей С„(Х) изоморфна
группе Яп(^п, ^n-i), а дифференциал совпадает с композицией
отображений я„(Х„, J„_i)-^ n„-i(^n-i)->n„-i {X^-i, ^n-2),
где Xn — га-мерный остов комплекса X.
13.3. Доказать равенства Я£+1 (SX) = Я; (X);
Я'+'(2Х) = Я'(Х).
13.4. Пусть X и У — линейно-связные пространства, f:X-)-
-»-F — непрерывное отображение. Доказать, что /*:Яо(Х)-^
-)-Ho{Y) является изоморфизмом.
57

13.5. С помощью аксиом теории гомологии вычислить
группы Я„(5'').
13.6. Доказать единственность аксиоматической теории
гомологии и ее совпадение с классическим определением.
13.7. Доказать, что препятствующая коцепь для
продолжения отображения с остова X"--' на остов Х'^ является
коциклом.
13.8. Пусть /, g':X"-'-*-Z — два отображения
(п—1)-остова, совпадающих на Х"-^. Доказать, что препятствующие
коциклы к продолжению отображений на остов X" когомоло-
гичны.
13.9. Пусть группа Ли G свободно действует на X и S^
(Л^—2>dimA^). Доказать, что с точностью до гомотопии
существует и единственно эквивариантное отображение X~^S^.
13.10. Вычислить препятствия к построению сечения в
расслоениях а) 52"-'-^->-СР"; б) S"-?2-^RP"; в) LPg—->-Pg, где
LP^ — пространство линейных элементов поверхности рода g.
13.11. Доказать, что препятствие к построению сечения в
пространстве линейных элементов L{M) ориентируемого
многообразия М равно эйлеровой характеристике или индексу
векторного поля с изолированными особыми точками.
13.12. Построить пример негомотопного постоянного
отображения, индуцирующего нулевой гомоморфизм в гомоло-
гиях.
13.13. Пусть М" — замкнутое триангулируемое
многообразие. Доказать, что Пг{М^)ФО для некоторого номера i^l.
13.14. Доказать, что пространства СР^ и 5^X5* гомотопи-
чески-неэквив алентны.
13.15. Доказать, что умножение в кольце когомологий
Н*(1,Х; Z) тривиально.
13.16. Доказать теорему Гуревича: Пп(Х)^Нп{Х), если
ni{X) =0 для i<n, п^2.
13.17. Вычислить группы гомологии а) Н^{Т"); б) Я.(RP");
в) Я,(СР"); г) H^{QP^), Q— поле кватернионов; д) H^{Pj),
Ра — поверхность рода g; е) H,{LPS); ж) H^{L2n+i), Un+i
—линзовое пространство; 3) НХ'^Р^^^Р''); и);Я*(£25", Z); к) ЯДУ„,2(Н)),
Vn,2 — многообразие Штифеля.
13.18. Доказать, что на конечномерном клеточнод^
стягиваемом комплексе не может свободно действовать конечная
группа.
13.19. Доказать равенство Н'^(Х, Z) ?»[X, Si].
13.20. Доказать равенство [J, RP^] «Я'(Х, Zg), где
AimX^N—2.
13.21. Найти связь эйлеровых характеристик
накрывающей и базы.
13.22. Пусть универсальная накрывающая многообразия
М гомеоморфна R". Доказать равенство
58

[X, М]=^Нот(я,Х, щМ),
где X линейно-связное пространство.
13.23. Доказать равенство \К, S"] = Я" {К, Z), где dim К = п.
13.24. Построить пример
локально-гомологически-несвязного пространства.
ф
13.25. Показать, что последовательность групп 0-^Л-^
->-Л->0 точна тогда и только тогда, когда ф — изоморфизм.
13.26. Пусть последовательность групп O-^Ai-^A^-^...
...-f-An-f-O точна. Доказать, что
1.27.
Пусть
диаграмма
.^1 ->• А ->■
j^Pi l*»^
Bi-^B^^
К rang 4=:
.4-^.4^^
1 I
1 фЗ 1 ф4
Вз-^В^^
= 0.
•л
{•р»
■в.
коммутативна, горизонтальные строки представлйют собой
точные последовательности, фь фг. ф4, <Р5 — изоморфизмы.
Доказать, что фз — изоморфизм.
13.28. а) Рассмотрим стандартные вложения СР"=эСР'^ =
= S^=iS^. Найти CP"\S\ т. е. доказать, что CP"\Si ^
S СР"-! V -S2"-2; б) Доказать, что 5" Л 5* = 5"+*; в) Пусть
S* СП S" — стандартное вложение. Найти S'^/S'', S''\S'' с
точностью до диффеоморфизма и с точностью до гомотопической
эквивалентности; г) Пусть S*c R"— стандартное вложение.
Найти R"\S*; д) Доказать, что X Л S^-= ЕХ (здесь XAS^ =
= (X X Si)/(X V S^)). Найти ХЛ5«(=2"Х). Доказать, что
(X Л V) Л Z = X Л (V Л Z). Найти Я**> (X Л Y; Z), если извест
ны Н^Р{Х; Z), П^Р(У; Z); е) Пусть известно кольцо Я*(Х; Z).
Найти Я* (X Л 5"; Z), ж) Найти гомотопический тип тора Т^,
заклеенного пленкой по параллели; по меридиану и параллели
одновременно; з) Обобщить пункт ж) на случай прямого
произведения S* X S"-*, т. е. найти (S* х S"-*)'S*; (S* х 5"-*)/S"-*;
(S* X S''-*)/(5* V 5«-*);
13.29. а) Пусть А — вещественная алгебра, т. е. алгебра
над R размерности п без делителей нуля и коммутативная
(ассоциативность и наличие единицы не предполагаются).
Доказать, что п^2. Дать топологическое доказательство;
б) Доказать, что если алгебра А из пункта а имеет единицу
и если ra='dimR/4=2, то Л^С (т. е. изоморфна алгебре
комплексных чисел).
13.30. Пусть А — вещественная алгебра размерности п,
«^2, с единицей и без делителей нуля (ассоциативность и
59

коммутативность не предполагаются). Пусть dk{x)=i
= {х{х...х))—k-я степень элемента х (с произвольной рас-
' к
становкой скобок). Рассмотрим уравнение d,i{x)-\-Ps{x)—О,
где Ps(x) —«полином» от переменной х степени s, s^k—l,
причем младший член в «полиноме» Рз{х) тоже имеет вид
^о(^), где a^'s (полином может иметь и свободный член,
тогда а=0).
Доказать, что такое уравнение всегда имеет, по крайней
мере, один корень в алгебре А. Дать топологическое
доказательство (полезно уяснить, что в ситуациях, описанных выше,
число корней подобных уравнений обычно бывает больше,
чем степень полинома).
13.31. Доказать, 4to любой диффеоморфизм сферы 5^" на
себя, сохраняющий ориентацию, имеет неподвижные точки.
13.32. Пусть Т — конечный CW-комплекс, А* — некоторая
обобщенная (экстраординарная) теория гомологии, а е
^hk{T)—какой-либо элемент, 0=7^0. Комплекс X реализует
элемент а, если 0elm(i*), где i: Х-уТ — вложение, t* : hkiX)-*-
-^hk{T). Элемент_0 называется р-устойчивым, если из того,
что замкнутый (Х=Х) подкомплекс XczT реализует 0,_сле-
дует, что и любой замкнутый подкомплекс YczX, где Y=Y,
такой что dim(X\y)^p, реализует элемент о. Иными
словами, р-устойчивость элемента означает, что этот элемент «не
чувствует» отбрасывания кусков размерности, не
превосходящей числа р.
Построить /г«, a^hk{T) — и нетривиальный пример
р-устойчивого элемента 0 (т. е. подобрать Т), такого, что
^•<dim Т.
13.33. Пусть X —конечный CW-комплекс и Я'(Х;К) имеет
однородные антикоммутативные образующие х^, .. . . х^ с
единственными соотношениями вида
Х1'=.0, X^Xj = {~lfl^''''iX,Xj.
Доказать, что существуют CW-комплексы Xj, Xj, ... , Х„ и
непрерывное отображение /: X^-Xi X ... х Х^, такие, что /'
индуцирует изоморфизм колец Я'(Х; R) и Я'(Х, х ... X Х„; R),
где Я* (Xii R) ^ R[.riJ/(x^t)— усеченное кольцо полиномов.
13.34. а) Пусть /: Г^-»• Т^ — неп рерывное отображение
'а Ь\
/.:я,(П-"х(Т^), n=ycd
Доказать, что если число Л^(/) неподвижных точек отображения
/ конечно, то N{f) = \—а-~Ь+аЬ — cd. б) Найти
целочисленный класс гомологии, который реализует в СР" произвольное
алгебраическое комплексное подмногообразие V
60

(У = {л;еСР''|Р(л;) = 0}).
13.35. а) Какой целочисленный класс гомологии реализует
подкомплекс iVj = {г? +гг = 1} в СР^; JV„ в СР"? б) Какой
цикл реализует в группе 2 = Я2п-2(СР"; Z) алгебраическая
поверхность комплексной размерности п—1, описываемая
одним однородным полиномом от однородных проективных
координат Ti,...,Tn+i некоторой степени? в) Рассмотреть
пункт б) для случая системы полиномов различных степеней.
13.36. а) Пусть М" — гладкое замкнутое односвязное
многообразие, такое, чтоЯ*(ЛГ'; Z) = 2[л;2а]/(л^^„)—усеченное
кольцо полиномов. Доказать, что либо М" гомеоморфно S^", т. е.
п=2а, либо 2а= (2; 4; 8) (при доказательстве использовать
теорию Смейла о существовании точной функции); б) Пусть
X" — односвязный CW-комплекс, такой, что Н*{Х; Z) =
= 2'[x2a]l(xPj. Доказать, что либо 2а= (2; 4; 8), либо X'^ го-
мотопически-эквивалентен S^" (использовать, например, для
доказательства Стинродовы квадраты).
13.37. {Контрпример на гипотезу Райфенберга). Пусть
F*-'c:R^—компактное, замкнутое, гладкое подмногообразие
и пусть @(У*-') = {Х| FczXciR^}, где комплекс X не может
быть ретрагирован на какое-либо свое замкнутое
подмножество V, VcVdX; dimV=k—1 (ретракция не предполагается
деформационной). Гипотеза Райфенберга:
@ (F*-') = {XIF с X с R"}; Кег /. ф О,
где i: V-^X вложение, L : H,{V; U)-^H,{X; U), U = SK
Доказать справедливость этой гипотезы при У=5*-' и
опровергнуть ее в общем случае, т. е. построить пример такого
многообразия У*~', чтобы указанное соотношение не
выполнялось.
§ 14, НАКРЫТИЯ И РАССЛОЕНИЯ
Пусть X — топологическое пространство, G — топологическая группа
с единичным элементом esG. Рассмотрим эффективное непрерывное дей-
стаие группы G на топологическом пространстве F. Здесь непрерывное
действие означает непрерывное отображение GxF-^F, перевод!Пцее
{£, f)^GxF в gf^F, такое, что gi{g4) = {gig2)f и ef=f для всех fef.
Эффективность означает, что если gf=f для некоторого g и всех /, то
g=e.
Топологическое пространство W вместе с непрерывным отображением
(проекцией) п: W-*-X называется расслоением над л со структурной
группой G и слоем F, если существует система координатных преобразований,
т. е.:
а) имеются открытое покрытие 2J = {i/i}ig/ пространства X и
гомеоморфизмы h{:n-4Ui)-*-UiXF, которые отображают множество п"'(и),
называемое слоем над точкой и на множество иХ^';
61

б) для всех i, j^I имеются такие непрерывные отображения ga: {/,П
nt/j->G, что (hih-^){u, f) = (u, §•,•;■(«) Л для всех usUi(]Uj, f^F.
Гомеоморфизм fit/ : n^^{U)~^UxF, где U—открытое множество в X,
называется допустимой картой для системы координатных
преобразований а), б), если для каждого /е/ найдутся непрерывные отображения
gu,i:U(]Ui--*G, такие, что (А^ А^') (м, f) = (u, gm{u)f) для всех u^Uf\
(]Ui, f^F.
Две системы координатных преобразований превращают W в одно и
то же расслоение над X со структурной группой G и слоем F тогда н
только тогда, когда всякая допустимая карта для одной системы является
допустимой картой и для другой системы.
Пусть W с проекцией ли W с .проекцией п' — расслоения над X со
структурной группой О и слоем F. Изоморфизмом k расслоения W на
расслоение W называется такой гомеоморфизм k : W-*-W', что для каждой
точки хеХ а) слой я;-'(л:) отображается на слой п'~'(х); б) найдутся:
окрестность U точки х, отображение gu: U^-G и допустимые карты
ho■■.я-'^(U)~^UxF для W и
hfj : п "'^ {U) ~> и X F такие, что (1 х gц) ^^ h^ ^ h'^ о k |„-i(C/).
Эти определения переносятся на дифференцируемый и голоморфныч
случаи.
Сечением для W над открытым множеством U называется
непрерывное, гладкое или голоморфное отображение s : U->-Wy такое, что л° s —
тождественное отображение. Если существует сечеиие над всем X, то
говорят, что W обладает сечением
Если в расслоении F=G и действие G на себе осуществляется левыми
переносами, то такое расслоение со структурной группой и слоем G
называется главным расслоением.
Рассмотрим действие (иеобязательио эффективное) группы G на
некотором топологическом простраистве F. Покажем, кдк пострюить
расслоение W над X со слоем F, исходя из главного расслоения Е. Образуем
прямое произведение ExF и отождествим (еа, /) с (е, af) для всех aeG.
Фактор-пространство W естественным образом является расслоением
над X со структурной группой G и слоем F. Оно называется расслоением,
ассоциированным с главным расслоением Е.
Пусть X, Y—топологические пространства, ф; Y-t-X непрерывное
отображение, U7 — расслоение над X со структурной группой G, слоем F и
проекцией п. Обозн.ачим через (f)*W подпространство в YxW, состоящее
из точек (у, w)^YxW, таких, что (f){y)=n{w). Оно будет расслоением
над Y со структурной группой G, слоем F и проекцией, индуцированной
проекцией «а первый множитель в произведении. Расслоение (f*W
называется индуцированным расслоением.
Естественное действие комплексной группы Ли GL{q,C) н.а
комплексном векторном пространстве С, непрерывно и эффективно. Векторным
расслоением над X называется расслоение W над X со структурной
группой GL(q,C) и слоем С,. В частности, имеем непрерывные векторные
расслоения над топологическим пространством X, гладкие векторные
расслоения над гладким многообразием X и комплексно-аналитические
векторные расслоения н.ад комплексным многообразием X. Если д=1, то W
называется расслоением на прямые, или линейным расслоением.
Пусть W — векторное расслоение над X. Следующая конструкция
дает главное расслоение Е над X со структурной группой GL{q,C) и
слоем GL{q,C), ассоциированным к которому является расслоение W:
слой для Е над х^Х — множество всех изоморфизмов между
фиксированным векторным пространством Cq и слоем Wx в W над х.
Векторные расслоения W со структурными группами GL{q,9.) и
GL+{q,R) и слоем R' определяются аналогично. Построение главного
62

расслоения, ассоциированного с данным векторным, такое же, как в
случае комплексного слоя.
Пусть W — векторное расслоение над X. Слой Wx иад точкой х^.Х
является комплексным векторным пространством, изоморфным
стандартному слою С,. Пусть W — другое векторное расслоение над X со слоем
W^ и типичным слоем С^. Пусть W, W — векторные расслоения яад
пространством X Гомоморфизмом W-^W называется непрерывное
отображение из W в W', линейно отображающее каждый слой W в W.
Последовательность векторных расслоений и гомоморфизмов
называется точной, если для всякого х^Х точна соответствующая
последовательность
В этом случае пишут W'—W/W и называют W подрасслоением, а W" —
фактор-расслоением расслоения W.
Естественным образом определяются векторные расслоения W©W'
(сумма Уитни), W(^W' (тензорное произведение), Нот(117, W), W* (двои
ственное расслоение) и XfW (расслоение рчвекторов). Слоями над
точкой X у этих векторных расслоений являются соответственно комплексные
векторные пространства Гд^фЦ/^, Wx®w'^, Нот (W^, WJ, Wl, IPW^.
Векторное расслоение Xi'(IF*) называется расслоением р-форм на W.
В терминах допустимых карт (UXCq для W и их^ч' для W')
допустимой картой для W®W" является произведение lJX{Cq®C >).
Координатные преобразования для W, W индуцируют естественным образом
координатные преобразования для W®^'- Аналогично и в других случаях.
Если W и W являются оба непрерывными, гладкими или
комплексно-аналитическими векторными расслоениями, то такими же будут и
И^ф1^', W ®П7', Hom(IF, «7'), ir*. -Kf^W).
Следующая теорема имеет место в непрерывном, гладком и хюмп-
лексно-аиалитическом случаях.
Теорема. Пусть W, W \^ W"—векторные расслоения над X. Тогда
имеют место изоморфизмы (\S7®W")®W" = U7© (ir'®W"), «7ф W'sW© IF,
(W (g) 117') ® W" = W ® (117'(g) W"), «7®^'s n7'0tt7, (tt7®W")®U7"s
= (W(g)n7")®(W"0U7^'), (tt7®tt7')*S W*©n7'*, (\l|7(g)W")*=^tt7*(g)W"*,
Hom(W, W") :^ tt7*(g)n7', (W*)* = Г.
Если W имеет размерность слоя, равную n, то для всех р, О^р^п,
Операции суммы Уитни, тензорного произведения и другие
аналогично определяются для векторных расслоений с вещественным векторным
пространством в качестве слоя. Приведенная выше теорема сохраняет силу
В дальнейшем классы эквивалентных расслоений будут обозначаться
греческими буквами 5, ^1 и т д (но называться по-прежнему
расслоениями) Вышеперечисленные операции корректно определены еа классах
векторных расслоений, поэтому имеют смысл обозначения ?ф5'.?0'5.
Нот(|,Г). I*. ^^"(1), J.'-d*)
Размерность типичного слоя называется размерностью расслоения
(при этом нужно указывать поле, над которым рассматриваются
векторные пространства, участвующие в расслоениях
Теорема. Пусть X — паракомпактное пространство, W непрерывное
расслоение над р-пространством Y и fi, f2'X-*-Y—гомотопные
отображения Тогда индуцированные расслоения /] W и /2 W изоморфны.
Характеристические классы. Пусть Lr—г-мерное подпространство в
Сд, определенное в координатах 2), ,2, равенствами Zr+i = Zr+i~ =■
= 2g = 0 Обратимые qXq матрицы, отображающие Lr в себя, образуют
подгр)ппу GL(r, q—r, С) группы GL{q, С) Матрицы из GL(r, q—r. С)
имеют вид
63

A' В
О А'
где A'eGL{r,C), A"eGL{q—г, С), В — произвольная комплексная
матрица с г строками и q—r стобцами.
Аналогично оп15еделяется подгруппа GL(r,q—г, R) грутшы GL(^, R).
Матрицы из GL(r,q—r,K) имеют указанный выше вид, где /4'eGL(r, R),
A"e.GL(q—г, R), В — произвольная вещественная гХ (9—г) матрица.
Обозначим через GL+[r, q—г, R) подгруппу, состоящую из тех A^GL(r, q—г, R),
для которых А'еОЬ+(г,Щ, A"^GL+(q—r,R). Фактор-пространство
0^_, (С) = GL (9, C)'GL(/, (?-г, О--^ и (q) IU (г) X и (q — г)
является грасомановым многообразием г-мерных линейных подпространств
в С,. Аналогично, вещественные грассмановы многообразия
G^,(R) = GL(g, R)/GL( , q-r, R) = О (9)/0 (г) X О (9-г),
G+ (R) = GL+ (q, R)/GL+ {г, q-r, R) = SO(q) | SO {r) x SO (q — r)
представляют собой млогообразия г-мерных линейных подпространств в
R5 и г-мерных линейных подпространств в R' соответственно.
Унитарная группа U(n) = lxU{n) является нормальным делителем в
U{q)xU(n). Следовательно, U(q+n)/U{n)—главное расслоение со
структурной группой U(q) над многообразием Грассмана G,+n,g(C).
Однородное пространство U{q+n)/U(n) называется многообразием Штифеля
унитарно-ортогональных 9-реперов в пространстве С^+п. Гомотопические
группы nx{U(q+n)IU(n)) равны нулю для l^i^2re. Расслоение
U{q+n)IU{n) ассоциировано с некоторым векторным расслоением над
Gq+n. д{Щ, которое называется универсальным U{q)-paccAoeHueM.
Пусть X — паракомпактное пространство, dimX<2n. Имеет место
классификационная теорема, которая утверждает, что U (9)-расслоения
над X находятся во взаимно-однозначном соответствии с гомотопическими
классами непрерывных отображений пространства X в Gq+„, q(C). Более
точно, всякое {/(9)-расслоение над X может быть индуцировано
отображением из универсалыного {/(9)-расслоения, и два таких отображения
гомотопны тогда и только тогда, копда они индуцируют одно и то же
t/(9)-расслоение.
Характеристические классы Чжеия.
Аксиома 1. Для всякого векторного t/(9)-расслоения % над
конечномерным паракомпактным пространством X и для всякого целого i^O
определены классы Чженя c,{l,)eH"{X;Z). Класс Са(1) равеи единичному
элементу (co(g) = l).
00
Будем писать с (|) = V Ci (g). Так как X конечномерно, то сумма
(=0
конечная. Элемент c(g) из кольца когомологий H*{X,Z) называется
полным классом Чженя для g.
Пусть f ■ Y~^X — непрерывное отображение. Оно индуцирует
гомоморфизм f*:H*{X;Z)^H*{Y;Z)
Аксиома 2. c{f*|) =f*c(g).
Аксиома 3. Если gi,.., 1, — непрерывные {/(1)-расслоения над X, то
c(g,e...ei,)=c(g,)-.--c(i,).
Пусть (zo: г, :... Zn) —однородные координаты в комплексном
проективном пространстве СР". Открытые множества Ui, определенные
условием г, =5^0, образуют открытое покрытие для СР". Пусть
т]п—расслоение, со структурной группой С*, определенное функциями перехода
[gij] = {zjzf^}. Расслоение Т1„ комплексно-аналитично, но его можно
рассматривать и как непрерывное С*-расслоение и, следовательно, как U{1)-
64

расслоение над СР". Гиперплоскость го=0 с индуцированной
ориентацией изоморфна СР"-' и представляет собой (2п—2)-мерный
целочисленный класс гомологии в СР". Соответствующий класс когомологий по
отношению к естественной ориентации СР" обозначим через fin. Класс йп
является образующим для Я2(СР"; Z).
Аксиома 4. c(r]n) = l+ftn.
Пусть / : СР"-'->-СР" — вложение гиперплоскости. Тогда )'*й„=йп-1>
i''r\n=r\n-i Дадим две интерпретации для 6'(1)-расслоения tin Пусть
СР" вложено в СР"+' как гиперплоскость z„+i=0, и пусть ХоеСР"+'
точка (О : О :... : О : 1). Имеется непрерывное отображение л : СР"+'\{л:о}->-
->-СР", определенное равенством
я (Zj: ... : г„ : z„^i) = (Zg: ... :г„).
Определим гомеоморфизм й,-: л~' {U,) -> (У/ х С формулой
hi (го : . .. : г„ ■.2^^^) - (Zq : . .. г„ : 0) X z^^i/z;.
Тогда
hihj^ ((Zo: ... : z„ : 0) X И)) = (zo : . ■. : z„ : 0) X zj/ziw.
Следовательно, CP"+'\{xo} представляет собой векторное расслоение над
СР" со структурной группой С* и слоем С. Оно ассоциировано с f/(l)-
расслоением т)„.
Вторая интерпретация связана с непрершвным отображением
я : Cn+i\{0}-»-CP", задаваемым формулой n(Zo, ...,2n) = (го:...: г„).
Определим гомеоморфизм h, : тl-^{l^i)-^UiXC* равенством h,(zo,...,Zn) =
= (zo:...: г„) Xz,. Тогда
Л.-Л~' ((Zo : ... : 2„) X wy~ (z„ : ... : z„) X Zi/Zjw.
Следовательно, C„+i\{0}—главное расслоение со структурной группой
С*, ассоциированное с (У(1)-расслоением Ц^ • Отсюда следует, что
главное расслоение U{n+l)/U(n) над многообразием Грассмана Gn+i,i(C) =
= СР" ассоциировано с г\^ . Поэтому г)" есть универсальное
расслоение над СР".
Примем следующее соглашение. Пусть а,-, 6,-, с,- i=l,
2,...,—коммутирующие между собой независимые переменные. Положим ао — Ьо=
= Со = ... = 1 и рассмотрим формальные разложения
k k mm
Y, «'^^ = П (1 + M. £ '''^' = П (1 + M •
Всякий многочлен, симметричный по каждой группе переменных а,-.
Pi, Y;> •••> можно однозначно записать в виде многочлена от
симметрических функций а,, Ьг, Cj,.... Если вместо переменных а., bt, с,,...
подставить их значения (из некоторого коммутативного кольца), то этот полином
примет определенное значение. Далее этими значениями будут
четно-мерные элементы из кольца когомологий.
Теорема. Пусть | — некоторое i/(9)-расслоение, а %,' — некоторое
{/(9')-расслоение над конечномерным паракомпактиым пространством X.
Рассмотрим формальные разложения
q q q' q'
$] ci (I) X' = П (1 + WY' £ ''■ ^^') ^' = П (1 + M •
65

Тогда с учетом принятого выше соглашения
<7 ч
£ ci т л:' = П (1 - Yj^) . т. е. а (g*) = (- 1)' а Ц);
Ч+д' q q'
J] С1(1ФГ)^'= ric+Yj*) П(1 + м,
т. е. с(|фГ)-с(^)с(|');
£сг(|®1')А;'= П(1 + (\;4-6а)х), I </<<?. К fe < <7';
t=0 /.ft
J]с,- {У1) х' = П (1 + (Y/. + ■. • + Y/p) X).
i
где произведение берется по всем I 1 комбинациям, I < Ji<i ,.. <.1р ^q.
Характеристические классы Понтрягнна. Характеристические классы
Понтрягина определяются для 0(9)-рясслоений | над коиечном^шымн
паракомпактными пространствами.
Рассмотрим коммутативную диаграмму вложений
0(q)-*U(q)
GL (q, R) -^GL
' '(9. С),
в которой горизонтальные стрелки обозначают вложения, получающиеся,
если матрицы с вещественными коэффициентами рассматривать цак
матрицы с комплексными коэффициентами. С помощью этой диаграммы
каждому О(9)-расслоению | над X можно сопоставить некоторое
{/(<;)-расслоение ii>(|), над X, называемое комплексификацией расслоения |.
Для О (9)-расслоения | над пространством X положим
оо
Р'(1) = с (1() (I)) = J] С1 (ф (I)) е Я* (X; Z), р. (I) = (- О' си (ф (I)).
1=0
Можно показать, что 2c2<+i(i|)(|))=0 в H*{X,Z).
Элемент р,(|)еЯ*'(Х; Z) называется i-м классом Понтрягина для
оо
расслоения g. Сумма р (|) = У] Pi (I) называется полным классом Понт-
1=0
рягина для |. Из свойств классов Чженя следует:
а) Ро(|) = 1;
б) Р (/* (I)) = !*Р (I)
для любого непрерывного отображения f:Y-^X и любого О
(^)-расслоения I над пространством X;
в) P(li©y =P(ll)p(У■
гдe Si — некоторое 0((;1)-рдословнне над X, |j — некоторое О
(^г)-расслоение над этим же пространством X.
66

Замечание. Класс Понтрягина п(|) не удовлетворяет формуле
умножения б). Однако верно, что p(h®h)—Pih)P(h) по модулю элементов
порядка 2 в Я* (X; Z).
Классами Понтрягина рг(Х)^Н^'{Х\ Z) гладкого многообразия X
называются классы Понтрягина касательного расслоения т(Х) над X.
Почти комплексной структурой на ориентированном гладком
многообразии X четной размерности т~2п называется гладкое GL(re, С)-рас-
слоение ■G над X, отображающееся в касательное GL+(т, К)-р.асслоение
над X при вложении GL(n, C)->-GL+(2n, R). Если на ориентированном
многообразии существует и зафиксирована почти «омплексная структура, то X
называется почти комплексным многообразием, с касательным GL(m, С)-
расслоением 6. Классами Чженя для X по определению являются классы
Чженя для G.
Теорема. Классы Чженя с, почти комплексного многообразия X
связаны с классами Понтрягина ;р, для X, рассматриваемого как гладкое
многообразие, соотношением
00 ОО ОО
1=0 1=0 ;=0
Комплексное многообразие X можно рассматривать как
ориентированное глддкое многообразие с почти комплексной структурой, заданной
с помощью касательного расслоения %{Х).
Классами Ci(X)e№>(X; Z) комплексного многообразия называются
классы Чженя касательного расслоения %{Х) к X.
Теорема. Пусть ^„^//^(СР"; Z) —образующий, элемент. Класс Чжечя
h
комплексного многообразия СР" равен (1 + Л/г)""'" =/, ( ,• \^^''n■ Класс
Понтрягин.а гладкого многообразия СР" равен (1 4-/1^^)"+'.
Пусть X — компактное ориентированное многообразие и % — SO(q)-
расслоение над X. Пусть В^>-Х — расслоение с единичным шаром
Q
1)1= Шх, ... , Xq)ez\(i; V'x^< l| в качестве слоя, ассоциирован-
i=l
ное с ^. В является многообразием с краем и ориентацией, согласованной
с ориентациями X и R". Граница S многообразия В является расслоением
над X со слоем 5з-'. Пусть s : X~^B\S—вложение X в качестве
нулевого сечения в В. Имеется гомоморфизм Гизина
S* ; Я' (X; Z) ^я|,+* {B\S; Z), i > 0.
Пусть X' — другое компактное ориентированное многообразие и f : Х'-^Х —
непрерывное отображение. Тогда по SO (9)-расслоению f*5 также можно
построить В', S', s' и имеется естественное отображение f: B'\S'~^B\S.
Теорема. Гомоморфизм Гизияа является изоморфизмом для i^O и
диаграмм.а
Я' (А; Z) >-Н' (X'; Z)
U, 1, Is
H[-^''(B\S; Z)-> Я^+« (S'\S'; Z)
коммутативна.
Пусть 1еЯ'>(Х; Z)—единичный элемент. Класс Эйлера е(|) для
SO(^)-расслоения | определяется равенством e(|)=s*s,(l).
67

Теорема. Пусть X и У — компактные ориентированные многообразия,
f : J'-^А'— непрерывное отображение, | —SO(9)-расслоение над X, |' —
50 (9')-расслоение над X. Тогда:
а) 2е(|)=0, если q нечетно;
б) е(П)^!*е(1);
в) еаФ|')=е(|)е(Г);
г) e(|)=ci(|), если q=2.
Теорема. Пусть X—компактное ориентированное гладкое меогообра-
зие с ^касательным расслоением х(Х). Тогда <е(х{Х)), [•Х]> равно
эйлеровой характеристике Е(Х) многообразия X.
Характеристические классы Штиффеля—Уитии. В случае, когда %
является 0(9)прасслоением, определение s, неприменимо, так как
расслоение В не является ориентироваиным. Если же все группы когомологий
берутся с коэффициентами Z2, то справедливо следующее утверждение.
Теорема. Гомоморфизм Гизина s, : Я' (Х\ Zz) -^ Я'/*"' (B\S; Z^)
является изоморфизмом для г э» О и диаграмма
HI (X; ад -Я' (Х';^ Z^)
H^+''{B\S; Z,)_^^ >~H^+^'{B'\S'■. Z2)
коммутативна.
В этом случае класс когомологий 8*5,(1)еЯ9(Л; Z2) называется ^-м
классом Штиффеля—Уитни Wq{i,) для О (^)-расслоения \q. Можно опреде-
1
лить полный класс Штиффеля — Уитни да (|) = V wi (I). Он обладащ
(=0
следующими свойства(Ми:
1) для всякого о (<7)-расслоения над конечно-мерным паракомпактиым
пространством X и для всякого целого числа t^O определен класс Уитии
ш;(5)еЯ>(Х; Z2); wo{l) есть единичный элемент (a)o(S) = l);
2) W {f*l) = f*w (I);
3) wQ,^l')=.w{l)w(l');
4) w{r\n)'=l+hn, где T]n — 0(1)-расслоение над n-мерным
вещественным проективным пространством, определенное аналогично
f(l)-расслоению т)п, Д Лп —ненулевой элемент из Я'(КР"; Z2).
В случае, когда X — гладкое многообразие с касательным
расслоением т(л), класс w(X)='W{x{X)) называют классом Штиффеля—Уитни
многообразия X.
р
14.1. Пусть X->-Y — такое накрытие, что f*[ni(X,Xo)] —
нормальный делитель группы ni{Y,yo)y р(хо)=Уо- Доказать,
что всякий элемент a^ni{Y,yo) порождает гомеоморфизм
накрытия ф, т. е. р(р(х)=р(х).
р
14.2. Пусть Х->К —накрытие p(xo)=i/o. Доказать, что
р* : 3X1 {X, XQ)-^n\{Y, г/о) является мономорфизмом.
14.3. Пусть X->-F — накрытие, р{хо)=уо- Доказать, что
р*
индуцированное отображение ni(X, л:о)->Я5 (К, у^) является
гомоморфизмом.
р
14.4. Пусть X->F —накрытие, ni(F)=0. Доказать, что
каждый элемент aeni(X) определяет гомеоморфизм прост-
68

л
ранства У на себя, а : Y-^Y, и диаграмма р\ Ур комму-
Л.
тативна.
р
14.5. Пусть X-^Y — связное накрытие, /"=р~*(г/о)
—прообраз точки yo^Y, Xq^F. Доказать, что между F и ni{Y,yo)
имеется взаимно-однозначное соответствие, если ni{X, хо) =0.
f
14.6. Пусть Z->-K — накрытие, F:P-^Y — непрерывная
функция, где Р — квадрат, /; Р-^Х также непрерывно, причем
pf(t)=F{t,0).
Доказать, что / продолжается до отображения G : Р-^Х,
причем pG = F, G(t,0)=f(t).
р
14.7. Пусть Х->-У — накрытие, f, g — пути на X, /(0) =g(0).
Пусть р/(1) =р^(1) и пути pf и pg гомотопны.
Доказать, что /(1)=^(1).
р
14.8. Пусть X->F— накрытие, /, g —пути на X, f(0) =^(0).
Обязательно ли /(1) =g'(l), если р/(1) =р^(1)?
р -—
14.9. Пусть X-^Y—jiaKpuTae, f,_g~ пути на Y, f, g
—пути на X, такие, что pf=f, pg=g; l(0)=g{0). Доказать, что
если f и g гомотопны, то гомотопны / и ^.
р
14.10. Пусть X^-Y — накрытие, f — путь в Y, хо — точка
в X, такая, что р(л;о)=[(0). Доказать, что существует и
единствен путь g в X, такой, что pg=f.
14.11. Доказать, что накрытие является расслоением в
смысле Серра.
14.12. Доказать,, что всякое 2-листное накрытие регулярно.
Какой чисто алгебраический факт соответствует этому
утверждению?
14.13. Доказать, что 3-листное накрытие кренделя (сферы
с двумя ручками) нерегулярно,
14.14. Пусть М^ — неориентируемое, компактное, гладкое,
замкнутое многообразие. Доказать существование 2-листного
накрытия p:Mj^--i^M^, где М\. ориентируемое многообразие,
и предъявить многообразие М4- в явном виде. Доказать
существование 2-листного ориентированного накрытия над
любым компактным замкнутым неориентированным
многообразием. Каким свойством обладает фундаментальная
группа неориентируемого многообразия?
Zz Z2
14.15. Построить накрытия S''->RP'', 5°°->RP°° и
доказать: а) RP" — ориентируемо при n = 2k—1 и неориентируемо
при n=2k; б) ni(RP'^)=Z2; ni(RP'^) =Лг(5'^) при п>\, i<\\
в) RP°°'^/C(Z2; 1) (гомотопически-эквивалентно).
69

14.16. Доказать, что накрытие будет регулярно тогда и
только тогда, когда либо все его пути, лежащие над одним
и тем же путем в базе, одновременно замкнуты, либо все
одновременно не замкнуты.
14.17. Построить накрытие 5°=-)-/C(Z„; 1).
14.18. Пусть р:Х-^Х — накрытие. Доказать, что всякий
путь в X накрывается в X однозначно с точностью до выбора
начала пути в прообразе и кратность проекции р одинакова
во всех точках базы.
14.19. Построить все накрытия над окружностью и
доказать, что Я1(5')=2, Л{(5')=0 при /^2.
14.20. Построить регулярное накрытие р:Р^->- Р^, где
k>2, Pft — сфера с k ручками.
14.21. Построить универсальное накрытие над V л5' и
доказать, что Яг(^л>5')=0 при г>1. Найти 3Ti(Va5').
14.22. Построить накрытие (f: Х->-Р2 (крендель), такое,
что X стягивается к графу и как следствие доказать: а)
универсальное накрытие над Рг стягиваемо, Р2'^К{л, 1); б) если
jW^ — 2-мерное гладкое замкнутое многообразие и ni{M^) —
бесконечная группа, то M^■^Kiл, 1) (гомотопически-эквива-
лентно).
14.23. Установить связь между универсальными
накрытиями над Pft (сферы с k ручками) и плоскостью
Лобачевского.
14.24. Доказать, что все накрытия тора Р регулярны, и
найти их. Построить пример двух неэквивалентных, но го-
меоморфных накрытий тора Р.
14.25. Пусть X'—конечный комплекс. Найти связь между
Gczni{X) (произвольной подгруппой), X (Х) (эйлеровой
характеристикой) и X (^g) {Xg — накрытие, построенное по
подгруппе Gczni{X)).
14.26. Построить универсальное накрытие тора Pi (сфера
с ручкой) и бутылки Клейна 7V2 (сфера с двумя пленками
Мебиуса); вычислить гомотопические группы Р\ и Л/'г. Может
ли тор Pi 2-листно и регулярно накрывать бутылку Клейна?
Если да, то предъявить накрытие и вычислить в 3x1(^/2) образ
ni{Pi) при мономорфизме накрытия.
14.27. Доказать, что если 3Ti(M")=0 или
ni(M")—простая или конечная группа порядка, то многообразие М"
ориентируемо.
14.28. Построить в явном виде 7 гладких
линейно-независимых векторных полей на сфере S''. Использовать алгебру
октав (чисел Грэвса — Кэли). Построить интегральные
траектории этих векторных полей.
70

14.29. Доказать, что если в R" заданы k линейных
операторов А\,...,Аи, таких, что Ai = —Е и AiAj+AjAi={i (для
всех i, /), то на сфере 5"-'c:R" можно задать k
линейно-независимых гладких векторных полей.
14.30. Если гомотопические группы базы и слоя
расслоения имеют конечный ранг, то гомотопические группы
пространства расслоения также имеют конечный ранг, причем
ранг (7-мерной группы пространства расслоения не
превосходит суммы рангов ^-мерных гомотопических групп базы и
слоя.
14.31. Пусть расслоение p:£-vB допускает секущую
поверхность у^-.В^-Е, причем ео = х(^о)- Доказать, что при rt^l
отображение р» — эпиморфизм, а при п^2 определяет
разложение в прямую сумму Пп{Е, во) =Пп(В, Ьо)®Пп{Е, во) .
14.32. Доказать, что для комплексов Эйленберга — Мак-
лейна выполнено соотношение К{Я', n)xK(U", п) =K-iW^
еП";п).
14.33. Доказать, что если все гомотопические группы базы
и слоя конечны, то гомотопические группы пространства
расслоения также конечны и их порядки не превышают
произведения порядков гомотопических групп базы и слоя той же
размерности.
QX I
14.34. Доказать, что отображение р : ЕХ-^-Х удовлетворяет
аксиоме накрывающей гомотопии (расслоение Серра).
14.35. Доказать, что если Pi,2'. Xi^T^X накрытия, и
Im(pi,*) =Im(p2'*), то {pi,Xi,X) и (р2, Х2, X) послойно гомео-
морфны.
14.36. Доказать, что над всяким связным комплексом X
существует накрытие p:X-vX, такое, что ni{X)=0
(существование универсального накрытия).
14.37. Доказать, что множество векторных расслоений со
структурной группой G над сферой 5" изоморфно группе
nn-i(G) и группа G линейно-связна.
14.38. Показать на примере, что не существует «точной
гомологической последовательности расслоения».
F
14.39. Пусть р:Е^>-В — локально-тривиальное расслоение,
В, F — конечные комплексы. Тогда х(£) =х(^)'Х!-^)-
14.40. Построить пример стабильно-нетривиального пучка,
у которого все классы Штиффеля — Уитни равны нулю.
14.41. Сформулировать гомологическое определение
трансгрессии с помощью «цепи трансгрессии».
14.42. Доказать, что если ^еЯ"(В, Яп-i (/^))
—характеристический класс расслоения {Е, В, F, р) и / : B'^i-B —
непрерывное отображение, то характеристический класс
расслоения, индуцированного расслоением [Е, В, F, р) при
отображении /, равен /*(5).
71

14.43. Материальная точка движется с постоянной (по
модулю) скоростью по а) тору Г"; б) сфере 5''. Найти
фазовое пространство этой системы.
F
14.44. Пусть р: Е-^В — расслоение с линейно-связными
Вир. Пусть Cat = Cat^—1 — приведенная категория Люстер-
ника — Шнирельмана, т. е. Cat (точки) =0.
Доказать, что Cat(£) ^Cat(В) •CatE(f) +Cat(B) + CatE(f),
где CatE(F)—относительная категория слоя F по
отношению к Е.
р
14.45. Доказать, что если X-vK — расслоение в смысле
Серра, то р — отображение «на».
14.46. Доказать, что если р : X-^-Y — расслоение в смысле
Серра, то p~'(yi) и р~'(У2) гомотопически-эквивалентны для
любых г/1, у2^У.
14.47. Доказать, что многообразие линейных элементов
многообразия М является расслоением с базой М.
14.48. Доказать, что локально-тривиальное расслоение
(косое произведение) является расслоением в смысле Серра.
14.49. Доказать, что пространство путей ЕХ с
фиксированной начальной точкой пространства X является
расслоением в смысле Серра с базой X.
14.50. Доказать, что если М" — гладкое многообразие, то
пространства его полного и унимодулярного касательных
пучков (расслоений) ориентируемы.
14.51. Доказать, что прямое произведение топологических
пространств Xy.Y с проекцией на один из сомножителей
является расслоением в смысле Серра.
14.52. Пусть главное расслоение имеет сечение. Доказать,
что это расслоение тривиально.
14.53. а) Найти гомотопический тип 2(P)=2(S'x5i);
б) Пусть X — СТ^-комплекс. Доказать, что любой элемент
аеЯ' {X; Z2) является классом Штифеля некоторого пучка
(расслоения) | над X.
р
14.54. Пусть Х-)-У накрытие, р (Xq) =уо, f,g — пути, такие, что
ДО)=|Г(0)=уо; /(1)=1Г(1). Пусть fg-'^p.{ni(X,Xo)). Пусть
f, g накрытия этих путей. Доказать, что f(l) =i(l).
fe^Ч>^ О \
14.55. Представим тор Т^ в виде Т^ = {§}, где g = {
\0 е"Рг/
Рассмотрим следующие отношения эквивалентности R: а) (е'ч"; e^ч'') R
~(—е'ф>; e-^^f"-)■, б) {e^ч>^, е'ч'^) R (^е'ч»; —e^<f')■, (е'ч", e^ч>') R
(e-'fs е-'ф^; }:Т'^-^Х = T^lRMawm пространство X == T'^/R и
вычислить образ /, [я^ )Т^)] а я^ (X), где f:T^->-X = T^/R —
проекция, связанная с отношением R. Является ли / накрытием?
14.56. Пусть fj-Д. > я Е^-Л —главные расслоенные
пространства над конечным С^^-комплексом В (U^ — унитарная
72

группа) и ch(|i)®^R=^ch{|2)®R {?1 и ^^ — ассоциированные
векторные {/„-расслоения над В). Верно ли, что
Н-{Е,; Щ^НЧЕ,- R)?
14.57. Сколько существует расслоений вида а) Р->-5', где
Р — 3-мерный тор; б) Г"->-5*, где Г"— и-мерный тор
(расслоения рассматриваются с точностью до гомотопической
эквивалентности)?
14.58. Пусть С=А*В — свободное произведение
произвольных групп А я В. Доказать, что для любой подгруппы
МаС выполнено равенство M=Ai * B-^* F, где AiCzA, BiCzB,
F — свободная группа. Дать топологическое доказательство.
14.59. Пусть @ — односвязная компактная группа Лий
а ; @ -^ @ — произвольный инволютивный автоморфизм (т. е.
а^ — 1). Положим
Доказать, что @ = У-5з-У, т. е. что любой элемент ge@
допускает представление в виде g — v-h-v, v^V, /le^.
Доказать, что F^@/^ (однородное пространство).
14.60. Известна следующая конструкция (Картана). Пусть
о: @ ^' @ — произвольный ^инволютивный автоморфизм
компактной связной группы Ли. Положим
ii = {ge&\<y(g) = gy, V^{g\a{g) = g~^}.
Тогда V ^ @/5з и VfZ & — вполне геодезическое
подмногообразие, а потому V — симметрическое пространство.
Подмногообразие V называется картановской моделью симметрического
пространства @/ij. Любое симметрическое пространство допускает
{причем почти всегда , однозначно определенную) картановскую
модель.
а) Доказать, что проекция р : @-^V; Р {g) = g (у {g~^),
определяет главное расслоенное пространство 0->'^->-@->-@/^-^-О.
б) Пусть V — картановская модель и пусть л■^{V) = 0^, ее@,
ееУ, е — единица в @. Доказать, что если точка x^V
сопряжена с е вдоль геодезической y{t)czV в группе &, то точка
X сопряжена с е вдоль v и в самом многообразии Ус©.
§ 15. ДВУМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
15.1. Доказать, что компактное замкнутое многообразие
М^ с эйлеровой характеристикой N можно представить в
виде (2Л/+4)-угольника, у которого некоторые стороны
склеиваются так, что при обходе последовательно сторон
получается слово
73

flj ^2 • • - <^Nf}-2 ^1 ^2 • ■ • On+2
(a,, 02 a.N+2— обозначения сторон). Доказать, что в
последнем сомножителе стоит ал^+2 тогда и только тогда,
когда М^ ориентируемо.
15.2. Классифицировать замкнутые компактные гладкие
связные многообразия М и вычислить их фундаментальные
группы в образующих и соотношениях.
15.3. Доказать, что всякое ориентируемое 2-мерное
компактное многообразие определяется единственным
инвариантом — родом многообразия.
15.4. Доказать, что всякое неориентируемое 2-мерное
компактное многообразие представляется в виде связной суммы
ориентированного многообразия и нескольких экземпляров
проективных плоскостей.
15.5. Описать полугруппу 2-мерных многообразий
относительно операции связной суммы.
15.6. Вычислить гомотопические группы т(Тд), i^l,
2-мерного многообразия Tg рода g.
15.7. Пусть М^ — компактное -замкнутое ориентированное
2-мерное многообразие рода g. Найти гомотопический тип
15.8. а) Доказать, что RP^XD^ диффеоморфно листу
Мебиуса, б) Каким пространствам гомеоморфна сфера 5^ с
вклеенным листом Мебиуса; двумя листами Мебиуса?
15.9. Пусть 5'x5'c:R^—стандартное вложение тора в
евклидово пространство. Доказать, что не существует
гомеоморфизма пары (R^ 5'xS')' на себя, ограничение которого
О Г
на тор определяется матрицей i _ , «
15.10. На сфере 5^ заданы две нечетные функции.
Доказать, что они имеют общее нулевое значение.
15.11. Пусть п — фундаментальная группа 2-мерной
поверхности, f: я->я — эпиморфизм. Доказать, что f является
изоморфизмом.
15.12. Рассмотрим замкнутое компактное гладкое 2-мерное
многообразие М^. Пусть Ф{М^)с:х{М^) —касательный пучок
окружностей (здесь х(М^) — касательный пучок), т. е.
фазовое пространство материальной точки, скользящей с
постоянной (по модулю) скоростью по М^. Найти Н''^\ф{М^); Z),
если известны Н'^'\М^; Z). Найти клеточное разбиение
3-мерного многообразия Ф{М^). Изучить случаи, когда М^
ориентируемо и неориентируемо.
15.13. Доказать тремя существенно различными
способами, что на сфере 5^ не существует непрерывного векторного
поля без особых точек (т. е. отличного от нуля в каждой
точке).
74

15.14. Пусть М^ — компактное замкнутое гладкое 2-мерное
многообразие отрицательной кривизны. Доказать, что на М^
всегда существует замкнутая простая геодезическая длины,
меньшей, чем радиус инъективности многообразия М^.
15.15. Известно, что 2-мерное ориентированное замкнутое
компактное многообразие М^ рода g можно вложить в
евклидово пространство U.^{x,y,z). Найти минимальное число сед-
ловых точек (вообще говоря, вырожденных) у функции f(p) =
= г, p^i(M^), i — вложение (т. е. у функции высоты).
§ 16. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
16.1. Пусть М — компактное гладкое многообразие с краем
dM^=Mi[jMz, Mif]Mz=0. Доказать, что существует вложение
M-^R^X/, такое, что функция Xn+i^I имеет только конечное
число критических точек и все они невырождены.
16.2. Доказать, что невырожденные критические точки
гладкой функции на гладком многообразии изолированы.
16.3. Пусть f{x) —функция на 2-мерной компактной
ориентированной поверхности рода g (сфера с g ручками),
имеющая конечное число критических точек, причем, все они
невырожденны. Доказать, что число минимумов минус число
седел плюс число максимумов равно 2g—2.
16.4. Пусть /еС°° — гладкая функция на гладком
многообразии. Доказать, что почти каждое значение функции /
регулярно.
16.5. Доказать, что альтернированная сумма особых
(критических) точек гладкой функции f{x) (в предположении, что
все ее особенности невырожденны), заданной на гладком
компактном замкнутом многообразии, не зависит от функции
(под альтернированной суммой точек понимается
п
V (— l)^mi, где n=^dimM",
л=о
я — индекс критической точки, т?, — число критических точек
индекса к).
16.6. Пусть f{x) —комплексно-аналитическая функция
одного переменного г. Доказать, что множество критических
значений функции f{z) ■.S^^>'S^ имеет меру нуль.
16.7. Пусть Мс={х ■.f(x)=c}. Доказать, что если Мс не
содержит критических точек функции f, то М^ —
подмногообразие и codimMc=l в Af".
16.8. Доказать, что понятие невырожденной критической
точки гладкой функции не зависит от выбора локальной
карты, содержащей эту точку.
75

16.9. Показать, что для стандартного вложения тора
PcR^ (поверхность вращения вокруг оси 0Z) координата Ху
ортогональная оси вращения тора Р, имеет только
невырожденные критические точки.
16.10. а) Построить на RP"^ и СР" функции Морса (т. е.
функции только с невырожденными критическими точками),
так, что во всех критических точках их значения различны.
б) Построить на RP» и СР" функции Смейла (т. е. такие
функции Морса, для которых f{xi)=X=ind{xi}, где х^—
критические точки индекса Я).
16.11. Пусть F{x,y)—невырожденная билинейная форма
на R". Рассмотрим гладкую функцию f{x)=F{x,x), где
|х:| = 1, т. е. F{x,x) функция на сфере S"-'c:R". Пусть
io^^i^i...-^A,n-i — все собственные числа формы F
(напомним, что все hi, O^t^'n—1, вещественны).
Доказать, что %i являются критическими значениями
функции F(x, х) на сфере 5"~*. Найти все критические точки
функции F(x, х). Доказать, что \ = inf {max f[[x)), где 5» —
S^ xe.S^
стандартные г-мерные экваторы в сфере 5"-'.
16.12. Пусть p = 22i' ... Zn^^ — взвешенный однородный
полином, т. е. ija^ -f ... + ija^ — 1, где вес равен (а^, ... , а„)
(а^ е Q — суть рациональные числа) или
Доказать, что а) все критические точки полинома
f){z\,...,Zn) принадлежат особому слою р —0; б) если
взвешенный полином p{z) с весом (аь..., а„) имеет только одну
изолированную особую точку, то неособый слой р{г)=1фО
гомотопически-эквивалентен букету сфер 5"~' в числе ^, где
п
fi == П ("^«"О (ц —целое число).
а=1
16.13. Доказать, что если точка р является критической
невырожденной точкой для гладкой функции / на гладком
многообразии, то тогда существует такая локальная система
координат, в которой функция f{x) в окрестности точки р
представляется в виде квадратичной невырожденной формы.
16.14. Доказать, что если Мс — некритический уровень для
функции f(x) на многообразии М (т. е. гиперповерхность
уровня /(x)=const, не содержащая критических точек для
/(х)), то окрестность М^ диффеоморфна McXi-
16.15. Если Мс, и Мс^— последовательные критические
уровни, то промежуток между ними диффеоморфен МсХ/,
где Ci<c<C2.
16.16. Если между Мс, и Мс^ нет критических уровней
(т. е. гиперповерхностей уровня /(х:)= Const с критическими
76

точками) и М,с^, Мс,— также некритические, то они диф-
феоморфны.
16.17. Пусть Мс — критический уровень функции f и а<.
<с<6 (а, b — числа, близкие к с). Доказать, что Ма, Мь
получаются перестройкой Морса в критической точке Р^Мс с
индексом К, ^,=indp(/).
16.18. Пусть многообразие Ml получено из многообразиями
перестройкой Морса индекса К. Доказать, что а) существует
а — многообразие М""*"' такое, что дМ"'^^ = Ml \J Ml; б)
гладкая функция f{x) на УИ""'"', имеющая ровно одну критическую
точку индекса К.
16.19. а) Построить на каждом компактном
ориентируемом замкнутом 2-мерном гладком многообразии М^ гладкую
функцию !{х), имеющую одну точку минимума, одну точку
максимума (невырожденные точки) и еще одну критическую
точку, быть может, вырожденную. Найти связь между такой
функцией и представлением M^■ в виде римановой
поверхности некоторой многозначной аналитической функции.
Выяснить ситуацию для случая неориентируемого 2-мерного
многообразия М^ (например, случай проективной плоскости RP^).
б) Построить на каждом компактном ориентируемом
замкнутом 2-мерном многообразии М^ гладкую функцию f{x),
имеющую: только невырожденные критические точки; ровно
одну точку максимума, ровно одну точку минимума и s
седловых точек (найти это число s). Построить функцию, так,
что f{x) принимает одно и то же значение во всех седловых
точках. Изучить неориентируемый случай. Указать связь с
задачей пункта а): построить слияние всех седловых точек
в одну вырожденную критическую точку.
16.20. Доказать, что на любом гладком, компактном
замкнутом многообразии М" существует клеточное разбиение с
одной 0-мерной и одной п-мерной клетками.
16.21. По заданному гладкому разбиению гладкого
многообразия М" в объединение ручек, построить такую гладкую
функцию f{x), чтобы определяемое ею разложение
многообразия М" в сумму ручек, совпало с заданным разложением
(т. е. построить функцию Мора с заданным разложением).
16.22. а) Пусть /(IT) = Re(Spur(^)), где |Ге5С/(п) {SU{n)
рассматривается в своем стандартном представлении
наименьшей размерности). Исследовать все критические
подмногообразия Va, l^a^N, для функции f{g); вычислить их
индекс. Доказать, что полином Пуанкаре P{SU{n);t)
(вещественный) группы SU(n) содержится в идеале, порожденном
полиномами Пуанкаре P(Va; О подмногообразий Уа(в кольце
R[<]). То же проделать и для группы SO{n) и группы Sp(n)
(в случае группы SO{n) рекомендуется рассмотреть полином
Пуанкаре над полем Хг). б) По схеме задачи пункта а) ис-
77

следовать функцию /(|Г) =Re(Spur((^")). Выяснить ситуацию
с полиномом Пуанкаре (исследовать соответствующие
идеалы).
16.23. С гюмощью теории Морса найти гомологии (над Z)
а) «окружности {zf + 2| = U в С^; б) «сферы» {z^ -f z| + 2| = 1}
в С^ в) H^PiN; Z), где N = {z1-h ■. ■ + г1= 1} в С". Найти
гомотопический тип комплекса N (в С").
16.24. С помощью теории Морса найти гомологии (над Z)
комплексов а) Л^з = С2\{2? 4-z| = 1}; б) yVs = C3\{zi + Zg г
+ 2з = 1}; в) Nk=- C^\{2i -L ... 4- z| = 1}. Найти
гомотопический тип комплекса.
16.25. а) Найти гомологии (над Z) и гомотопический тип
комплекса N^ — {:Ц-\-zl ~ \} в СР^, где г^ и Za — стандартные
неоднородные координаты в одной из карт на СР^, Tj^ —
замкнутый подкомплекс в СР^ (т.е. уравнение {z^^-^-zl=l} надо
замкнуть в СР^). Найти гомотопический тип Л/,, = {z? + ••• + ^л =
= 1} в СР". Найти, чему гомеоморфен комплекс Л',^. б) Найти
гомологии (над Z) комплекса CP'^\!V^.
16.26. а) Доказать, что на любом полном гладком рима-
новом многообразии М" существует гладкая функция с
невырожденными критическими точками (т. е. функция Морса).
б) Найти гомотопический тип многообразия М", на котором
существует гладкая функция f{x), имеющая только три
невырожденные критические точки.
16.27. Построить на 7-мерных гладких нестандартных
сферах Милнора функции Морса с двумя невырожденными
критическими точками.
16.28. Пусть МеС°°, дМ = ф (Л1 — замйнуто) и пусть М
параллелизуемо. Пусть (М; К; V) —простая механическая
система, где К — кинетическая энергия системы {К определено
на х{М)), V—-потенциал {V определен на М всюду, кроме,
быть может, некоторого множества точек меры нуль). Пусть
с — регулярное значение для потенциала V (V:M-v/?), Е —
= K+V — полная энергия системы {Е определено на т(Л1)).
Найти Я^'(£~ (с); Z), где Е~^{с) —полный прообраз
регулярного значения, если о многообразии М известно «все,
что нужно» (более точно, если известно разложение
многообразия М в сумму ручек). В качестве частного случая
можно рассмотреть, например, тор Г".
16.29. Рассмотрим плоскую задачу п тел; А-^ Л„, где
rrii, ... ,т^ — массы этих тел. Пусть т == {гПу, ... , т„) (все
тела скользят в одной плоскости С одного комплексного пере-
п
менного). Пусть V т^лг^ = О, где х^ — радиус-вектор тела A^,
т. е. A^^sC (центр масс находится в начале координат). Пусть
78

Vm{x) = -Yi
rriim I
, *f — */• I
обычный ньютонов потенциал системы х = (х^, ... , xj.
Обозначим особое множество точек в С" через Д = U Ац, где Д^,- =
= {XGC'':Xi = Xj}. Тогда, очевидно, потенциал Vm(x)
естественно определен на СР"~\Д и, так как CP"~\S zdRP"~^\A',
TQ V„,{x) определен и на RP"~XS' (вложение RP"""^ в СР"~^
с помощью комплексификации вещественных прямых). Итак,
У^(д:): RP""~^\A'->-R. Наитии полностью описать все
критические точки функции V„{x).
16.30. Пусть ехр: G-v@ — каноническая проекция.
Вычислить в явном виде дифференциал отображения ехр в
произвольной точке XeG. Найти все критические значения и все
критические точки ехр на алгебре gl{n; С) (точка XosG
называется критической, если она бифуркационна по Смейлу).
.В критической точке d(exp) вырожден^
ехр(Хо)—критическое значение. Доказать, что критическими значениями ехр
в @ ~GL{n; С) являются те и только те комплексные
матрицы, у которых некоторому собственному значению отвечают
два различных собственных вектора.
16.31. Пусть t:X->@ — вложение какого-либо множества в
группу Ли. X с: @ имеет непрерывный логарифм, если вложение
i распадается в композицию i = ехр о /, где ехр: G -> @, /: X->G,
/ — непрерывно, G —алгебра Ли группы @. а) Какое
подмножество X с: @ имеет непрерывный логарифм? б) Каждое ли
стягиваемое по @ в точку подмножество имеет непрерывный логарифм?
§ 17. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГООБРАЗИЙ
17.1. Пусть Л^''^—гладкое компактное подмногообразие в
R", k<n. Найти Я,(R"\iV''; G) и Я,(R"\Л?''; G), если
известны H*{N^\ G) и Н {N'^; G). Эту же задачу решить для
вложений N'^ в сферу 5".
17.2. Доказать относительные двойственности Пуанкаре.
а) Пусть (Л/"; дМ") — компактное, ориентируемое,
дифференцируемое многообразие М" с непустым краем дМ". Тогда
Hi {М"; Z) ^ Я"~' (УИ"; ЭЛ4"; Z), i > О;
Я'{М"; Z) - Я„_(iM'^■ дМ"; Z); i > 0.
б) Пусть (М"; дМ") — компактное ориентируемое
дифференцируемое многообразие М" с непустым краем дМ", где Яо(5уИ") = Zj,
т. е. ал/" = МГ^ММ1-\ут'мТ^[\МТ'^ = 0. Тогда
79

Я^ {М"; МГ'; Z) - Я"-' (М"; МГ^; Z), i > 0.
Разобрать неориентируемые случаи и случаи i = 0.
17.3. Построить замкнутое компактное 4-мерное
многообразие, фундаментальная группа которого есть заданная
конечно-порожденная группа.
17.4. Построить 4-мерное компактное замкнутое
многообразие со свободной фундаментальной группой.
17.5. Построить 3-мерное компактное ориентированное
замкнутое многообразие, в которое вкладывается любое
2-мерное компактное замкнутое многообразие.
17.6. а) Пусть X — конечный CW-комплекс и х(-^)т^О-
Доказать, что всякое непрерывное действие на X компактной
связной группы @ не является свободным действием, б)
Доказать, что эйлерова характеристика произвольного
алгебраического (ко)цепного комплекса равна эйлеровой
характеристике алгебраического комплекса его групп гомологии.
17.7. Доказать, что среди 2-мерных компактных замкнутых
многообразий только тор Р является группой Ли.
17.8. Доказать, что среди сфер S", 0^«<:оо, только
сферы 5°, 5', 5^ являются группами Ли.
17.9. Вычислить кольца когомологий Н* (ЗО^; Z); Н* (S0^\ Z);
Я-(50,; R); Н'(80,;Щ.
17.10. Доказать, что на компактной связной группе Ли @
любая двусторонне-инвариантная внешняя дифференциальная
форма (однородная) замкнута, а потому определяет класс
когомологий и гомологии группы @.
17.11. Доказать, что для ориентируемых компактных
замкнутых многообразий Hi{M^^)^H'^-^{M'^). Разобрать случай
некомпактных многообразий.
17.12. Пусть задано гладкое отображение f: M'^^-SK
Доказать, что полный прообраз открытого ребра г в S^ имеет
вид /"'(/") =/'Xf~' (точка), причем Zk-i = f~^ (точка) есть цикл
в M'^, принадлежащий группе Hk-\{M'^). Доказать, что цикл
2ft_i двойствен к коциклу f*(M'). где |LleЯ^(S^) базисный
(фундаментальный) коцикл.
17.13. а) Построить разбиение сферы S^ в сумму двух
полноторий III и Ш так, чтобы они совмещались
ортогональным преобразованием (вращением сферы S^cR"*). б)
Вычислить индекс зацепления любых двух слоев Fx, Fy в
расслоении Хопфа *->-5'->-ч52-5-52-^ *. в) Доказать, что сферы 5^
5^ параллелизуемы. Изучить множество интегральных
траекторий линейно-независимых векторных полей на 5^, 5^.
Установить связь с расслоением Хопфа.
17.14. Доказать, что эйлерова характеристика симплици-
ального комплекса равна следующей альтернированной
сумме: число вершин минус число ребер плюс число 2-мерны.ч
граней минус и т. д.
80

17.15. Доказать, что конечная группа не может
действовать на СР2 без неподвижных точек.
17.16. Доказать, что если 7И" — односвязное гладкое
компактное замкнутое многообразие, такое, что Н{(М^) =Hi{S")
(целочисленные гомологии), то М^ гомотопически-эквивалент-
но S".
17.17. Даны два полнотория Т^ и Т^. Пусть f-.Ti-^Tl —
непрерывное отображение границ {TJ — дТ{). Поскольку Я. (Г^;
Z) — ХфХ, то отображение / однозначно (с точностью до
гомотопической эквивалентности) определяется целочисленной
матрицей /^ = (^^), где а, Ь, с, d^ Z. Рассмотрим CU^'-комплекс
X{f) — X(/J = Га и f Ti> полученный склейкой по отображению /
двух полноториев. Вычислить группу Kj^[X,{f)] через /,. Найти
(с точностью до гомотопического типа) CU?'-комплексы X{f),
17.18. а) Можно ли представить проективное
пространство RP^ в виде объединения (склейки по границе Г^) двух пол-
ноторий, переводящихся друг в друга проективным
преобразованием (т. е. движением проективного пространства по себе) ?
б) Найти гомотопический тип пространства RP^N/C, где
K = {x^ + y^ — z^-l =0}
(х, у, Z — стандартные неоднородные координаты в
пространстве RP3, обслуживающие все это пространство, кроме
проективной плоскости RP^czRP^).
17.19. Пусть X — односвязный п-мерный СW-комплекс
такой, что вершина конуса СХ над X имеет открытую
окрестность, гомеоморфную диску D^+\ Доказать, что комплекс X
есть гомологическая сфера. Будет ли комплекс X
гомотопической сферой? Построить пример гомологической, но не
гомотопической сферы.
17.20. Пусть {М, К)—относительное многообразие, т. е.
М и /С суть конечные CW-комплексы и М\К — открытое
дифференцируемое ориентируемое многообразие. Доказать
(двойственность Лефшеца): ■
Н, (М, К; Z) - Я"-' {М\К; Z), i > 0;
Я, {М, К; Z) - Hn-t {М\К; Z), i > 0.
Разобрать неориентируемый случай и случай i — O.
17.21. Пусть K"^czSn {т<п)—вложение конечного CW-
комплекса /С™ в сферу S". Доказать {двойственность Алек-
сандера):
Я, {К"'; Z) ^ Я"-'-' {S''\K'"; Z), i > 0;
81

.H^ (К'-; Z) ^ Hn-i-i iS"\K'"; Z), i > 0.
Разобрать случай i=0.
17.22. Какие абелевы группы могут быть
фундаментальными группами 3-мерных многообразий? Какие группы могут
быть- фундаментальными группами 4-мерных многообразий?
17.23. Доказать, что любую компактную группу Ли @
можно заклеить плвнкой W (т. е. представить группу @ как
границу некоторой пленки @ =dW) так, чтобы на эту
пленку W можно было непрерывно (гладко) продолжить
естественное действие группы @ сдвигами: а) одностороннее
действие (левостороннее или правостороннее); б) двустороннее
действие. Доказать, что такая пленка W (если она
существует) определена однозначно, с точностью до
диффеоморфизма.
17.24. Пусть VW" — гладкое многообразие с непустым
краем 57И". Рассмотрим многообразие /?"•+''-'=VW"XS''-'. Ясно,
что dR = dMxS'^-K Над каждой точкой q^dMczdR
отождествим в точку «слой» S>^-^czdR. Доказать, что эта операция
дает замкнутое гладкое многообразие (обозначим его через
рй(7И)). Вычислить Я^^(Ра(Л1); G), если известны все
гомологии пары {М, дМ). Эту же задачу решить и для комплекса
Pfe,m(-M) = (•Мх5''-'Х5'"-')'(эквивалентность, описанная
выше).
§ 18. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим модули над фиксированной областью главных идеалов R.
Биградуированным модулем Е (над кольцом R) называется семейство
Л-модулей Es, t, определенных для каждой пары целых чисел s п t.
Дифференциалом d : Е-^Е бистепени (—г, г—1) называется семейство
гомоморфизмов d: Egj~»'E^_^ f,^_^ ^ определенных для всех s и ^, и таких, что
d^=0. Модулем гомологии Н(Е) называется биградуированный модуль,
состоящий из модулей
Я,,, (£) = [Кег (d: Е,, -.£,_,,,.^,_,)]/d(£,+,.,_,+,).
Заметим, что если Eq= ф £5 ,, то дифференциал d определяет гомо-
морфизм д: Eq-^Eq-i, превращающий систему {Eq, д} в цепной комплекс
и д-Ъ модуль гомологии этого цепного комплекса совпадает с модулем
Ф Я,_,(£).
Спектральной последовательностью называется последовательность
цепных комплексов {Я"", й^}, r'^k, такая, что;
а) Е^ — биградуированный модуль, ad'' — его дифференциал
бистепени (—г, г—^1);
б) если r'^k, то имеет место изоморфизм Н(Е') S £■■+'.
Заметим, что спектральная последовательность начинается с члена £''
и роль числа k заключается единственно в том, чтобы отметить, с кщсого
номера начинается спектральная последовательность. В приложениях
обычно полагают й = 0 или k={.
82

Гомоморфизмом ф:Е->-£' спектральных последовательностей
называется совокупность гомоморфизмов ф'': Ej ^ —> Ej ^ для г>А н всех sat,
коммутирующих с дифференциалами и таких, что гомоморфизмы ф' : Н (£'■) ->■
-^Н{Е' ) соответствуют гомоморфизмам ф''+i :£'■+!-> fi''''''^ при изоморфизмах
Н (f) = £'■+1 и Н (Е' ) ^ Е' . Композиция гомоморфизмов является
гомоморфизмом .
Для определения предельного члена спектральной последовательности
отождествим £''+'■ с Я (£'■), rjsfe, с помощью изоморфизма, указанного в
определении спектральной последовательности. Пусть биградуированный
модуль Z* составлен из модулей Z*^ = Кег (d* : Я^^—» £'*_^ ^, ^_j), а
биградуированный модуль В'г _ цз модулей В^^^ = d (£'5_1_;^^^_д,^[). Тогда B'^czZl' и
£*+! = ZfeyS*^. Пусть, далее, биградуированный модуль Z (£*^+i) составлен из
модулей Z (£*+i)s,( = Кег (d''+^: Е'^У ->■ £*±4_, ;_fc), а биградуированный
модуль в (£*;+1) — из модулей В {Ё''+^)^^^ = d^+i (,Е^^1_^и_^).
По теореме Нетер об изоморфизме существуют подмодули Z*+^ и В*^+1
модуля Z*, содержащие В*, такие, что
Z (£*«),^, = Z*+'/B*, и В (£*«),_, = В^+'<^
для всех S и t. Отсюда следует, что S*+* с Z*^+*, и поэтому В* с B*+i сг
c:Z*;+icZ*.
Продолжая по индукции, построим такую цепочку подмодулей (г > k)
gk cz В*+1 с ... с S' с ... с Z"" с ... с: Z^+i с Z*,
что £'■+1 = Z7B^ Пусть Z*" = fl Z^ В" = и б*" н £" = Z'"/B'".
г г
Биградуированный модуль £°° называется пределом спектральной
последовательности Е, а члены £"■ служат последовательными аппроксимациями
модуля £"".
Спектральная последовательность Е называется сходящейся, если для
всяких S я t существует такое целое число r(s, t), что все дифференциалы
d^f :£j^->£j_^ t+r—l тривиальны при г "^ г {s, t). Тогда модуль £5^'
изоморфен фактор-модулю модуля Е^^, а модуль £^^ изоморфен индуктивному
пределу последовательности модулей £^'^'"->-£^'^''Ч~' ->-....
Часто случается,^что спектральная последовательность сходится в строгом
смысле, т. е. для произвольных s к t можно найти такое r{s, t), что
£j;-s £",, если г ^ г {s, t). Например, если спектральная последовательность
£ обладает тем-свойством, что для некоторого г существуют целые числа Л^
и Л^', такие, что £^^^ = 0 при s<.N или t<.N', то £^'( = О при г' > г.
Если при этих предположениях для заданных sat число г' выбрать так, что
г' > sup (s — N, t — Л/' + 1) и г' > г, то в последовательности
£^' ^-^ Е'' -^ Г'
первый модуль равен нулю, поскольку t—r'+KN', а последний равен
нулю, поскольку S—r'<.N. Следовательно, если число г достаточно
велико, то
и спектральная последовательность сходится в строгом смысле.
83

Важным примером таких спектральных последовательностей являете»
спектральная последовательность первой четверти, т. е. последовательность,,
обладающая тем свойством, что для некоторого г £j^ = 0, если s<0 ил»
^<0. Такая спектральная последовательность сходится в строгом смысле,
и для всякого q имеется лишь конечное число нетривиальных модулей
Е'^^, для которых S + i = 9.
Возрастающей фильтрацией F ^?-модуля А называется
последовательность его подмодулей F^A (s — произвольное целое число), такая, что
FsAczFs+iA. Если А — градуированный модуль, т. е. если A={At}, то
требуется, чтобы фильтрация F была согласована с градуировкой (т. е.,
чтобы градуировка модуля FA состояла из модулей FAt). Если задана
фильтрация F модуля А, то градуированный модуль G{A),
присоединенный к А относительно фильтрации F, определяется равенством
gIA)s = FsA/Fs^iA. Если модуль А градуирован, то модуль 0(Л) бигра-
дуирован:
G{A\t = FsAs+tlFs.As+t.
В этом случае число s называется фильтрующей степенью, число t —
дополнительной степенью, s + t — полной степенью элемента, лежащего в.
G(A)s,t. Последовательность
... с: Fs_iA с FsA с Fs+iA с ...
является бесконечным композиционным рядом модуля А, и
присоединенный модуль состоит из факторов этого композиционного ряда.
Фильтрация F модуля А называется сходящейся, если
Р|М = Ои [JFsA^^A.
S S
Для сходящейся фильтрации присоединенный модуль G(A) более тесно
связан с модулем А, чем в случае произвольной фильтрации. Однако даже
если фильтрация конечна в том смысле, что FsA = 0 для некоторого s и
FtA=A для некоторого t, то, вообще говоря, не верно, что модуль G(A)
изоморфен А. В последнем случае присоединенный модуль G(A)
определяет модуль А с точностью до конечного числа расширений.
Фильтрацией F цепного комплекса С называется фильтрация,
согласованная с градуировкой и дифференциалом комплекса С. Другими
словами, FsC является цепным подкомплексом комплекса С, состоящим из
модулей FsCt. Фильтрация F комплекса С индуцирует фильтрацию F
модуля Н » (С), определяемую следующим образом:
FsH^ (С) = Im [Я, {FsC] -^ Я, (С)].
Так как функтор гомологии коммутирует с индуктивными пределами,
в случае сходящейся фильтрации F комплекса С имеет место равенство
и-fs^, (С) = Я, (С). Однако в общем случае не верно, что
S
11'''s^* (С) = О. Таким образом, для получения сходящейся фильтрации
S
F модуля Я, (С) следует наложить более сильные ограничения на
первоначальную фильтрацию комплекса С.
Фильтрация F градуированного модуля А называется ограниченной
снизу, если для всякого t существует такое число s(t), что f«(i)A( = 0,
Если F — ограниченная снизу фильтрация цепного комплекса С, то
индуцированная фильтрация комплекса H<t(C) также ограничена снизу. Таким
образом, если F сходящаяся и ограниченная снизу фильтрация комплекса
С, то она индуцирует такого же рода фильтрацию комплекса Н^{С).
84

Теорема. Пусть F — ограниченная снизу сходящаяся фильтрация
цепного комплекса С. Тогда существует сходящаяся спектральная
последовательность Е={Е'', г^1}, для которой
El^^Hs+t(FsCIFs.iC),
оператор d^ соответствует граничному оператору триады (FsC, fj-iC,
Fs—2С) и предел Е°° изоморфен биградуированиому модулю GH,(C),
присоединенному относительно фильтрации
FsH^ (С) = Im [Я, (FsO -у Н^ (С)].
Возрастающей фильтрацией пары топологических пространств (X, А}
называется последовательность подпространств Xs, содержащих Л, такая^
что XjCrXj+i. Такая фильтрация пары (X, А) индуцирует фильтрацию F
цепного комплекса С, (А", А), определяемую равенством
Fs{CA^'A)) = C^(Ks,A).
Если Xs=A для некоторого s, то индуцированная фильтрация ограничена
снизу. Если А' = 1) As и всякое компактное подмножество пространства!
S
X содержится в некотором подпространстве Xs, то [Jfs (С, (X, Л)) =
S
= С, (Х,Л). Следовательно, если фильтрация {Xj} обладает двумя
указанными выше свойствами, то индуцированная фильтрация комплекса
С»(Х, А) сходится н ограничена снизу. Поэтому можно определить
сходящуюся спектральную последовательность Е, начинающуюся с члена £' для
которой е1^ Si Hs+f (Xs, Xs-ij и дифференциал d^ соответствует
граничному оператору в точной последовательности триады (X,, Xs-i, X,-i).
Предельный член этой спектральной последовательности является бигра-
дуированным модулем, присоединенным относительно соответсгвующеи
фильтрации к модулю Я*(Х, Л).
В частности, если (X, А) — относительный СW-комплекс,
Xs=(X, Л)^ — s-мерный остов при s^O и Хе=Л при s<0, то ^^^^^О-
тогда и только тогда, когда t = 0, .s > О и £](, = Hs {Xs, Xs_i).
Следовательно, если г^2, то модуль [Я^р является модулем гомологии цепного
комплекса C={Cs, д), где Св=Нв(Х,, X,_i), а d:Cs-^C,- 1 — граничны»
оператор в точной последовательности триады {X,, X,_i, Хе-г).
Одним из наиболее ярких применений спектральных
последовательностей является применение 'их к вычислению гомологии расслоений. Пусть
р:Е^-В — расслоение в смысле Серра. Если ЛсгВ, то пусть Еа =
= p-^(A)cE. Тогда проекция р отображает пару (Е, Еа) в (В, Л).
Предположим, что (В, Л) относительный С^'-комплекс, и пусть.
£«=р~'((В, Л)') — часть Е, лежащая над s-мерным остовом комплекса»
В, если s^O, и Е,=Еа, если s<0. Тогда fsC^.+ i, и поэтому Е, —
возрастающая фильтрация пары (£, £д). Далее, £-1=£д, [J £»=£'и всякое
S
компактное подмножество пространства Е содержится в одном из
подпространств Es. Поэтому для сингулярных гомологии в произвольном
^?-модуле G существует сходящаяся спектральная последовательность, для
которой
^s.t = f^s+t (Es, Es-t; G),
d' — граничный оператор в точной последовательности триады (Es, Es-u
£5-2), а Я" — биградуированный модуль, присоединенный к йодулю
п^(Е, Еа', G) относительно фильтрации
85.

Fs //, (£, £л; G) = 1т[Я, (£s, E^; G)-^H, (£, E^; G)].
Чтобы можно было применить этот результат, требуется наложить
некоторые ограничения на расслоение р:Е^^В. Пусть сШ —
категория, объектами которой являются точки пространства В, а морфизма-
ми — классы [со] гомотопных путей, соединяющих точки пространства В.
-Определим коигравариантиый функтор из категории сШ в категорию
градуированных ^?-модулей, сопоставляющий точке ое5 модуль Н^{Еь; R),
где Fb — слой расслоения р : £->В над точкой 6, а классу [со] — гомомор-
■физм
Расслоение называется ориентируемым над кольцом R, если
Arjj-jjj =id для любого замкнутого пути ш пространства В.
Предложение. 1. Расслоение над односвязной базой ориентируемо над
любым кольцом R. 2. Расслоение, индуцированное ориентируемым
расслоением над R, также ориентируемо над R.
теорема. Пустьр:£—>В — ориентируемое расслоение над линейно-
связным относительным С\Г-комплексом (В, А) и пусть F = р~^ (bo). Тогда
■существует сходящаяся спектральная последовательность
£•={£*}, k^l,
такая, что
£2^2 Я, (В, А; HtiF, G)),
а Е"^ — биградуированный модуль, присоединенный к модулю Н^^ (Е, Ё^, G)
относительно фильтрации
FsH,(E, Е^; G) = lm[H^{Es, Е^■, G)-^H^(E, Е^, G)].
Эта спектральная последовательность является спектральной
последовательностью первой четверти и функториальной на категории
ориентируемых расслоений р:Е-^В над линейно-связным относительным CW-кома-
лексом (В, А), сохраняющих слои отображений f : Е'-+Е, для которых
отображение баз f : (В', Л')->-(В, Л) является клеточным.
Вычислим в терминах спектральной последовательности расслоения
гомоморфизм, нндуцированнЪга вложением i : F cz Е. Если г> 2, to£q"|"'
является фактор-модулем модуля Eq ^, поскольку Е''_^ t+r—i ~ ^ *■""
спектральной последовательности первой четверти. Следовательно, определен эпиморфизм
Е"^ ^ -*- Е^^. База В лннейно-связна, следовательно имеет место изоморфизм
Hfl^F; G) = Ho(B; Hf (F; G)).
Используя спектральную последовйтельность расслоения F-^bg и свойство
функториальности спектральной последовательности, получаем, что
гомоморфизм i^:Ht{F; G)-^Ht{E; G) совпадает с композицией
if/ (f; G)^Ho(B; Hf (F; G}) ~ eI^-^ E^j = F,Ht (E; G) с Щ (E; G).
Теорема. Пусть p : E-^B — расслоение со слоем F, база которого В
есть односвязиая п-мерная гомологическая сфера над R для некоторого
«^2 (т. е. Нд(В)=0, если q¥=0 или дфп и Яо(б) =Л = Я„(В)). Тогда
лмеет место точная последовательность
... -> Я, (f; G) '^ Ht {Е; G) -^ Hf.n {F; G)-^Ht.i {F; G^-U...,
называемая гомологической последовательностью Вана.
86

Пусть р: Е —» В — ориентируемое расслоение над линейно-связной базой и
пусть В' с В, £"=р~1{В'). Вычислим в терминах спектральной
последовательности гомоморфизм в гомологиях, индуцированный отображением
р:(£, Е-)-^{В, В').
Если г ^2, [то £^"|^'— подмодуль модуля £^д, так как £^^^__^^, = 0.
Поэтому отображение £"()-> £^ р является мономорфизмом. Используя
спектральную последовательность расслоения В' cz В и функториальное свойство
спектральных последовательностей, можно показать, что гомоморфизм
p^:Hs{E, E';G)-*Hs{B, B';G)
совпадает с композицией
Hs{E, Е'; G) = F,Hs{E, £'; G)->£^"g^ £^ О =
= Hs{B, В'; Ho(F; а))-*Н^(В, В'; G).
Теорема. Пусть р : Е-^В — ориентируемое расслоение над лииейно-
связной базой, слой которого F является «-мерной гомологической сферой
над R для некоторого «^1. Если B'czB и Е'=р-ЦВ'), то .имеет место
точная последовательность
... -* H,(E,E';G)% Hs (В, В'; G) ->
-^Hs,n-i(B, В'; G)^Hs-x{E, Е'; Q) %...,
называемая точной последовательностью Разина.
Рассмотри.м теперь когомологические спектральные последовательности.
Пусть С*={Сч^ б«} — коцепной комплекс. Убывающей фильтрацией F
комплекса С* называется такая последовательность его подкомплексов
F^C*, что Р* С* гэ P+i С* для всех s. Эта фильтрация сходится, если
и F^C*=C* и П^^С*=].0. Фильтрация ограничена сверху, если для
каждого^ существует такое s(t), что /^''С =О.Для сходящейся
ограниченной сверху фильтрации коцепиого комплекса С* имеет место
теорема, утверждающая, что существует сходящаяся спектральная
последовательность {Ег, dr}, начинающаяся с члена Я^для которой член Ег бигра-
дуирован модулями Ер, а дифференциал dr, действующий на члене Ег,
имеет бистепень (г, 1—г). Член Е\-* s Я^+'(f^ C*/Я+^ С*) и оператор di
соответствует кограиичному оператору в точной последовательности
триады (Я С*, fs-*i С*, Я-*2С*). Предельный член Е„с является биградуиро-
ваиным модулем, присоединенным к модулю Л*(О*) относительно
следующей фильтрации;
Я Н" (С*) = Кег [Н* (С*) -> Я* (Я-1 С*)],
т.е.
E^J = Кег [//«+'■ (С) ->■ №+^ (Я-1 С*)]/Кег[Я«+^ (С*) -♦ Я^+' (Я-^ С*)].
Пусть {Xs} возрастающая фильтрация (X, А) и пусть С,(Х, А)
подкомплекс комплекса С^{Х, А), порожденный всеми теми сингулярными
симплексами 0: Д«->Х, для которых 0((Д«)'')сХ^ всех k. Пусть
С*= Нот(С, {X, А); G).
87

Убывающая фильтрация комплекса С* определяется следующим образом-
f' С* = (с е С* : с I С* (Xs-u Л) = 0},
где
C^iXs-r, Л) = СЛ^. A)nC.AXs-i, А).
Так как 'Cg {X, А) = Cs (Х^, А), то P+i Ci* = О, и, значит, эта фильтрация
-ограничена сверху.
В случае, когда фильтрация пары {X, А) ограничена снизу, т. е.
Xs = A для некоторого s, то
и Я С* ={сеЕС* : с|С, (Л, Л)=0}=С*.
•Следовательно, возникающая при этом спектральная последовательность
сходится. В случае, когда вложения
С* (X, Л) с С^ (X, Л) и С* (Xs.i, Л) сг СЛ^. ^4)
-являются цепными эквнвалентностями, эта спектральная
последовательность обладает тем свойством, что
E\'t с^ №+'(Xs, Xs-i; G)
и £оо — биградуированный модуль, присоединенный к модулю
Я*(Х, Л; G) относительно фильтрации
F'H* (X, Л; G) = Кег [Я* (X, Л; G) - Я* (Xs-,, Л; G)].
Теорема. Пусть р: Я->В — ориентируемое расслоение над линейно-
связной базой, и пусть f=p-'(6o). Для всякого ЛсВ существует
сходящаяся когомологическая спектральная последовательность, такая, что
£|'' = Я5(В, Л; Я''(/='; G)),
а Яоо — биградуированный модуль, присоединенный к модулю
В*(Е, Еа; G) относительно фильтрации
Я Я* (£, Е^; G) = Кег [Я* (£, £^; G) -*Я* (£s-i. Е^; G)].
Эта спектральная последовательность является спектральной
последовательностью первой четверти, функториальнои на категории ориентируемых
расслоений и сохраняющих слои отображений.
Спектральная последовательность когомологий обладает рядом
замечательных мультипликативных свойств. Пусть р '■ {Е, Е^ —» (В, Л) и
р' : (£', Ej^,) -»-(S', Л') — расслоения над относительными С\Г-комплекса-
ми и пусть р" : ЕхЕ' -1-ВхВ' — их произведение, т. е. р" = рхр'.
Определим фильтрацию пары (ЕхЕ', Е^ХЕ'[)Е X Е^,), полагая
(ExE')k = Ej^xE' и ЕхЕ'^.и ( [) EiXE]),
где {£(•}, (ЕЛ—фильтрации расслоений (£, Я^) и (£', f^-),
соответствующие остовам пар (В, Л) и (В', А') соответственно. Тогда
£ X £' == и (£ X E')k
к
S8

и всякое компактное подмножество произведения Е у. Е' содержится хотя-
бы в одном из подпространств (£ х E')k- Поэтому существует сходящаяся.
спектральная последовательность когомологий, у которой
Ef = №+^((£ X £')s, (£ X £')s-i; О),
а Е^ — биградуйрованный модель, присоединенный к модулю
Н*^Н*({Е, Е^}, (£', Е'^,у, G)
относительно фильтрации
Я Я* = Кег [Н*-^Н* ((£ X £')s. £" X £д. U £д X Е'; G)].
Эту спектральную последовательность можно связать с тензорным
произведением спектральных последовательностей расслоений р я р'. Пусть Е,
' Е', Е"—некоторые спектральные последовательности. Спариванием
последовательностей Е я Е' в Е" называется последовательность гомоморфизмов
нг:е;''®е'г'''--е';^''''+'',
такая, что для любого х е Ер* выполняется равенство
d'h' (х ®у) = h' (dTx (g);/) + (— !)«+' Ы (х ® d'^y),
а отображение W^^ совпадает с композицией
Бг^1 ® £,+1 S Я (Ег) ® Н {£,) -*Н(Ег® £,) АЯ (£,) s £,+,.
Отображения Л*" индуцируют спаривание
Л": £„® £;-£;.
Теорема. Пусть р:Е-^В — ориентируемое расслоение над линейно-
связной базой со слоем F. Предположим, что пара {ЛьЛг} линейно-связных
подпространств базы В, удовлетворяющая аксиоме вырезания в В, такова,
что пара {£д , £^ } удовлетворяет аксиоме вырезания в Е. Тогда
существует функториальное спаривание когомологических спектральных
последовательностей пар (£, £^ ) и {£, Е^ )ъ когомологическую
спектральную ИЪследовательность пары (£, E^^\J Е^), которое на члене £г
изоморфно спариванию, соответствующему произведению
№{В, Ai; H'(F; G))^H'' (В, А^; Н*' (F'; G))->-
-^Н'+'' {В, AiU^a; Hi+*' {F; G)),
а на члене £^ индащировано спариванием, соответствующим^^-произведению-
Я*(£, В^^; 0)®Я*(£, Ej,-, G)-^H*(E. E^^UE^;, G).
Пусть p: E-^B — ориентируемое расслоение над линейно-связной
базой В со слоем F. Опишем гомоморфизм i*:H*{E; G)-^H*[F; G),
где i : £с:£ — вложение слоя в пространство расслоения в терминах
спектральной последовательности расслоения. Так как мы имеем дело со спек-
89

тральной последовательностью первой четверти, то определено вложение
B^czEf*, Из линейной связности В следует, что Я» (В; Н^ {F; G)) =
~ Н^ {F; G). Используя функториальность спектральной
последовательности когомологий, получаем, что гомоморфизм . (* : Н* (£; G) -*■ Н* (F; G)
совпадает с композицией
Н^ {£; G) = РоН' {£; G) -*■ E^J -> £"•' 9£ № (В; 'Н* (F; G)) = Н* (F; G).
Теорема. Пусть р: Е-*-В — расслоение со слоем F над односвязной
базой, являющейся п-мерной когомологической сферой над кольцом R,
«^2. Тогда существует точная последовательность
...-*Н* {Е; G)-^'H' {F; G) -► я'-~"+' (f; G) -♦ Н'+' (£; G) -»-... ,
где
ф (ц и с-) = ф («) и ^' + (- 1)'"+"'''^" U и ф (у) •
Зта последовательность носит название когомологической
последовательности Вана.
Опишем в терминах когомологической спектральной
последовательности расслоения гомоморфизм
р*:Н*{В, В'; G)-^H*{E, £"; G),
лндуцированный отображеннем р: (Е, £')-^(В, В'). Так как спектральная
последовательность является спектральной последовательностью первой
четверти, то определен эпиморфизм Е^^°-*-Е^^ . Используя
спектральную последовательность расслоения ВсВ н свойство функториальности,
можно получить, что гомоморфизм
p*:W(B, В'; G)-^W(E, £"; G)
■совпадают с композицией
№(В. В'; G)->-H'{B, В'; HO(F; G)) S Е'^"-*■
->£'^°гЯ№{£', Е'; G)czH'(E, £"; G).
Тео_рема. Пусть р : Е-*-В — ориентируемое расслоение над линейно-
связной базой, слой которого является п-мерной когомологической сферой
над кольцом /?, «^1. Если B'czB и Е'=р-^{В'), то имеет место точная
последовательность
р* Ч) р*
...-^W(E, £"; G)-*H'-"(B, В'; G)-^W'+>(B. В'; G)-►
!^уИ^+1(е, £'; G)->....
где t|5{u)=uUI для некоторого элемента |еЯ"+'(В, i?). Если п четно, то
2|=0.
Указанная точная последовательность называется когомологической
последовательностью Гизина.
Пусть р : Е-^В — расслоение над линейно-связной базой с линейно-
-Р~ч1
связным слоем F=p~^(bo). Рассмотрим гомоморфизмы
H4(F; G)-*W+\E, F; G)Ch^+^{B, *«; G)-Cff*+'(B; G).
Трансгрессией т называется гомоморфизм (подгруппы группы
H^{F, G) в фактор-группу группы №+*{В, G)):
90

т : 8-' (Im р*) -> Н''+^ (В; G)/j* (Кег р*),
определенный формулой т (и) = j*p "^ 8 (и), где элемент и^ Hi {F; G)
таков, что 8{и)е^ р*(Н^+^ {В, Ь„; О)).
Теорема 1. 6-1 (Im р*) s E°^'i_^ с: f^'" S Hi (F; R).
2, Я'^' (В)//* (Kerp*) = ■£'aii'°. и этот модуль является фактор-модулем
модуля £|+''°ESW''+'(В; R).
3. При этих изоморфизмах трансгрессия т совпадает с дифференциалом
18.1. Вычислить кольца когомологий
H*{SU{n); Z), H*{U{n); Z).
18.2. Вычислить кольцо когомологий комплексного и ква-
тернионного многообразий Штиффеля.
18.3. С помощью спектральных последовательностей
вычислить
Я* (СР"), Н' (RP"), Я* (QP«).
18.4. Пусть S'^-^X — расслоение Серра. Показать, что при
k>\, rt>l а) Я1(Х)==0 npHrt = ife=!(mod2); б) Н* {X, Z)—
кольцо усеченных полиномов от одной образующей.
18.5. Показать, что не существует расслоения S^—^Х.
18.6. Вычислить целочисленные когомологий пространства
Q<^(5^) свободных петель на сфере 5^. Пусть i: RP?->-Q'^ {S^) —
вложение в экваторы с отмеченной точкой. Вычислить
гомоморфизмы
§ 19. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
19.1. Пусть /:£)2->Д2 — гомеоморфизм 2-мерного диска,
/^ и / |йд2 — тождественные отображения. Доказать, что
само отображение / является тождественным отображением.
19.2. Показать, что для всякого комплекса свободных
Z-модулей Л^{Ло-<-Л1-<-...} с условием >4o=Z существует
клеточный комплекс К, цепной комплекс которого равен А.
19.3. Пусть М — триангулируемое замкнутое многообразие.
Доказать, что не все гомотопические группы многообразия М
тривиальны.
19.4. Показать, что множество G-расслоений над сферой
5" изоморфно группе Пп-\{0).
91

1#§. Доказать равенство НЧХ; S^)=HЦX■, Z).
Sn-l
19.6. Пусть L^(5") >-5" — расслоение пространства
линейных элементов сферы 5". Вычислить гомеоморфизм
точной гомотопической последовательности (3, :я„(5")->
-vл„_,(5«-^).
19.7. Построить расслоение гомотопических типов
S^^KiZ, 2),
где /C(Z, 2) — комплекс Эйленберга—Маклейна.
19.8. Пусть /:50(n)->S0(n+l); g ■.SU{n)-^SU{n+l) —
стандартные вложения. Доказать, что /,р: я,-(50(п))->
->-Яг(50(п+1)) является изоморфизмом при 1<п—1,
эпиморфизмом при i^n—1, а gi,:niiSU{n))-^niiSU{n-\-l))
является изоморфизмом при i<2n—1 и эпиморфизмом при i=2n—1.
Вывести аналогичные утверждения для групп Sp(n),
Spin(n).
19.9. Вычислить следующие гомотопические группы:
а)я,(50(3)), пА50(3)), Яз(50(4)); б)щ{и{п)), n,{U{n)),
Яз({/(п)); в) Яз (SO (5)).
19.10. Доказать, что не существует такого 7-связного
комплекса К, что
Я'(/С; Z)^Z[x]/x* = 0; Шт(л:) = 8.
19.11. Пусть if:X-^G —.отображение в группоид G,
стягивающийся к конечному подкомплексу, и пусть
/* (Я* (G; Q)) = 0. Доказать, что некоторая степень if^
отображения / гомотОпна постоянному отображению
(умножение — поточечное в группоиде G).
19.12. Пусть ТЦ) — комплекс Тома векторного расслоения
I (т. е. одноточечная компактификация). Доказать
гомотопическую эквивалентность Т (|ф т)) ~ Т (|) Д Т (i]).
19.13. Построить симплициальную триангуляцию
декартова произведения двух симплициальных комплексов и
симплициальную аппроксимацию диагонального вложения.
19.14. а) Пусть М" — триангулируемое компактное
стягиваемое многообразие. Доказать, что яо((ЗМ")=0. б) Пусть
М" —■ триангулируемое компактное многообразие с краем
дМ'^ф0. Доказать, что в М" существует подкомплекс
(п—1)-мерного остова /C"~i, такой, что М" комбинаторно
стягивается к /С""', и как следствие доказать, что если М^ —
2-мерное компактное многообразие с границей, то оно гомо-
топически-эквивалентно /С(я, 1), где я — свободная группа.
19.15. Доказать, что произведение сфер вкладывается в
евклидово пространство с коразмерностью 1.
19.16. Доказать, что если М" — замкнутое многообразие,
то М" топологически не вкладывается и не погружается в R".
92

19.17. Пусть ® гладкий группоид с единицей. Доказать,
что & параллелизуем, и как следствие доказать, что:
а) х(®) = Ol б) @ — ориентируем.
19.18. Построить примеры конечных комплексов: а) К^
(drm/C'=il), не вкладывающегося в R^; б) К^, локально не
вкладывающегося в R^; в) К'^, локально вкладывающегося в
R^, но не вкладывающегося ни в какое 3-мерное
многообразие.
19.19. Пусть М^ — гладкое компактное замкнутое много-
•образие. При каких условиях элемент аеЯ'(Л1^; Z)
реализуется в М^ гладко вложенной окружностью? Решить
например, вопрос для M^=T^=S^XSK
19.20. Найти наибольшее число линейно-независимых
касательных векторных полей на компактном замкнутом
гладком многообразии М^.
19.21. Для всех компактных замкнутых гладких
многообразий М^ вычислить группу ni{X), где X — пространства их
унимодулярных касательных пучков ТМ^ и пространства их
касательных прямых ТМ'^. Доказать, что если Hi {М^; Z) фО,
то ТМ^ и ТМ^ имеют гомотопический тип /С (я, 1). Вычислить
ni(rRP^), ni(rRP^), ni{TS^) (пучок касательных прямых
получается путем проективизации пучка «касательных
окружностей» к М^).
19.22. Доказать, что если гладкое, компактное и замкнутое
многообразие М" вложено в R"+', то оно «разделяет» R"+',
т. е. no(R"+'\M")=Z2.
19.23. Доказать, что одномерный нормальный пучок
■v'(iW"CiR"+') вложения гладкого компактного замкнутого
многообразия М" в R"+' тривиален и что многообразие М"
ориентируемо.
19.24. Доказать, что любое гладкое компактное замкнутое
а) ориентируемое многообразие М^ вкладывается в R^;
б) неориентируемое многообразие М^ вкладывается в R*, не
вкладывается в R^, но погружается в R^.
19.25. Среди заузленных окружностей S'::;lR^ (вложения
топологические, отношения эквивалентности — изотопия)
можно ввести умножение, последовательно завязывая узел А
на первой полуокружности и узел В — на второй. Доказать,
что это умножение коммутативно и ни для какого
нетривиального узла нет обратного элемента.
S»
19.26. Построить расслоение S'^—^S^ и, как следствие,
доказать существование КР^ — двумерного проективного
пространства над числами Кэли (алгебра октав).
19.27. Пусть М" — гладкое замкнутое многообразие и
пусть Яг(Л1")^0 при г^[п/2]. Доказать, что М" гомотопи-
чески-эквивалентно 5".
93

19.28. Пусть M?(i=l, 2) — гладкие, замкнутые,
компактные многообразия, не являющиеся гомотопическими сферами
(неодносвязные). Доказать, что n^iMl^f]: М1)ф0.
19.29. Доказать, что любое компактное, гладкое,
замкнутое, 3-мерное многообразие М^ (ориентируемое или неориен-
тируемое) представимо в виде двух полных кренделей
(некоторого рода g), склеенных по диффеоморфизму границ
(диаграмма Хегора).
19.30. (Теорема Папакириякопулоса). Если М^ — гладкое,
компактное, замкнутое многообразие и л2{М^)=т^0, то
существует гладкое вложение S^ в М^, негомотопное нулю.
Доказать, что всякое ориентируемое гладкое, компактное, замкнутое
многообразие М^ разлагается в связную сумму многообразий
следующих типов: а) S^XS^; б) К{л, 1)^М^; в)
многообразия М^ с конечной фундаментальной группой ni{M^).
19.31. Пусть М^" — триангулируемое замкнутое
многообразие и М2»=(31^2"+1. Тогда 5c(^f^")=Omod2.
19.32. Доказать, что: а) при перестройке Морса
многообразия iW" не меняется представляемый этим многообразием
элемент в группах бордизмов Qo и Qso', б) всякое
многообразие М" — внутренне-гомологично (т. е. бордантно)
связному многообразию; в) всякое ориентируемое многообразие М"
внутренне-гомологично односвязному многообразию, если
/1<4; г) й|о = 0; Qo = Z^; Qo*^0; Qso^O. Указать
представителей ненулевых элементов.
19.33. Пусть V" — компактное гладкое многообразие с
краем и W" получено из У" приклейкой по краю ручки индекса
i и затем приклейкой к полученному многообразию по краю^
ручки индекса / (i^j)-
Доказать, что многообразие W" получается из К"
независимой (т. е. с непересекающимися основаниялми) приклейкой
двух ручек индексов / и i.
19.34. Пусть {@г} (l^i^k) ;;— набор
конечно-определенных групп, абелевых при г^2. Доказать, что существует
замкнутое я-многообразие М^+^, такое, что я» (М^'ч-^) = @^.
19.35. Пусть Vn,k =- Vn,k (R) = SO {n);SO (k)-— вещественное
многообразие Штифеля. a) Построить расслоение: Vn,k ^-S""'.
6) Построить клеточное разбиение Vn.k- в) Доказать, что
У„_, = S"-'; Vn,2 = L{S"-^) (где L{S"-'^) касательное расслоение
сфер к сфере S"~\ т. е. расслоение линейных элементов);
Vn,n-i = SO (п); Уп.1 = 0(п). г) Доказать, что L{S^) = Vs,2 =
= SO (3) = RP3.
19.36. Доказать, что Vn.k (R, С, Q) — я-многообразия.
19.37. Доказать, что произведение сфер S^'XS'J параллели-
94

зуемо, если один из сомножителей — нечетномерен.
Например, S'X52.
19.38. Пусть SO(n)(=SO{n+l) и SUin)ciSU{n+l) —
стандартные вложения (п^2). Доказать, что эти подгруппы
не являются нормальными делителями.
19.39. Пусть 50(л)с:0(п) и SU{n)crU{n) — стандартные
вложения. Доказать, что эти подгруппы — нормальные
делители, но не прямые слагаемые (сомножители), и как
следствие доказать, что на M^=S0{4), M^»=S0{8), M^^=U{n)
можно ввести неизоморфные групповые структуры.
19.40. Построить погружение S' в R^, регулярно
гомотопное стандартному вложению, но не продолжаемое до
погружения диска D^ в R2 (и даже в сферу S^).
19.41. Доказать, что всякое непрерывное отображение
/: M"->-R2"+' аппроксимируется вложением, а отображение
g : M"->-R2" — погружением.
19.42. Доказать, что если отображения: а) /i, /а: iW"->-R^"+^
являются вложениями, то они — регулярно-гомотопны;
■б) gi, g2: M"->R^"+^ являются вложениями, то они — гладко-
изотопны.
19.43. Доказать, что утверждения трех предыдущих задач
остаются справедливыми, если везде заменить R^(") на
произвольное односвязное гладкое многообразие Af^t"), а в задаче
19.42 добавить условия: /I'^/a; gi^gz (гомотопны).
19.44. Пусть М^, iW^"+', Л1^"+2 гладкие замкнутые
многообразия; fu h ■ М"с:М2"+', gi, gz: M'^czM^'^+^ — гомотопные
вложения. Доказать, что /i — регулярно-гомотопно /г; g\ —
гладко-изотопно g^.
19.45. Построить примеры а) двух погружений /ь h'- Л^"°<
■°< R2", регулярно не гомотопных; б) двух вложений
^1, gi: M"crR2"+i, гладко не изотопных.
19.46. Доказать, что всякое погружение в R^" или в
гладкое односвязное М^" гладкого компактного многообразия М"
•с границей регулярно-гомотопно вложению.
19.47. Построить погружение 5" в R^" с одной типичной
особой точкой.
19.48. Пусть My, /Vfj —гладкие замкнутые
ориентированные многообразия и f-.M^-^M^''—^ погружение. Пусть
J = X[v^''{М^ "< Щ')] и К — геометрическое (алгебраическое)
число точек самопересечения Im/. Пусть fi = 1га/Пе(1т/), где
€ — малое шевеление (здесь рассматривается /Л'^^*]°/Л'^^*])-
Доказать, что в обоих случаях (х = 5( + 2К.
19.49. Пусть Mf, i=\, 2, —гладкие замкнутые
многообразия, а) Пусть /: М1*->• Af^* — погружение; а и р—точки
самопересечения Im/, имеющие индексы + 1 и — 1 (М?*
предполагается ориентированным и л^ (^2*)]= О, & > 2).
95

Доказать, что /—• регулярно-гомотопно погружению /,
имеющему на две точки самопересечения меньше, чем отображение /.
б) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для
погружения Af" в М^", где М" — гладкое замкнутое
многообразие, а М^" — односвязно, п > 3.
19.50. Пусть М" — гладкое компактное односвязное
ориентированное многообразие, k — целое число, п — ^>3;
x^H^iM"; Z); y^Hn-k{M'^\ Z). Пусть х, у реализуются в М"
связными гладкими подмногообразиями М* и М^"*, Xeii = a.
Доказать, что х и у реализуются такими связными
подмногообразиями Мх, Му~'', что Мх Г\М"у~'' состоит из |а| типичных
точек одного индекса.
19.51. Пусть М", М2"+'— гладкие замкнутые многообразия,
ni(AP«+i) = 0, rt>2, и /i, /2:/W" с ;№"+' вложения. Доказать,
что /i и /а — гладко-изотопны.
19.52. Пусть Af", М™ — гладкие, замкнутые многообразия,
2/п^Зп. Пусть /liW^^cM™ — погружение. Доказать, что
самопересечение Im/ — подмногообразие в Л!™.
19.53. Пусть п^З и Mi — гладкие замкнутые
многообразия. Пусть /:М"°< М^"~' — погружение. Описать строение
особенности в малой окрестности самопересечения Im/ и
доказать, что если Mi — ориентированы и n=2k, то особенность
распадается на два листа.
19.54. Пусть k^3 и М^'' —• гладкое замкнутое
многообразие, а М*^"' — гладкое односвязное мног1)образие; ni{M^>^) =
=Я2(М'"'-')=0. Пусть f:M^'^ °< М'"'-' — погружение.
Доказать, что f — регулярно-гомотопно вложению и, как
следствие, доказать, что всякое односвязное многообразие М^'^
вкладывается в R*'^"'.
19.55. Пусть М" — гладкое замкнутое компактное
многообразие, x^Hi{M^; Z), y^Hn-i{M^; Z), х и у реализуются
подмногообразиями, хоу^а. Доказать, что х и у
реализуются связными подмногообразиями, пересекающимися в |а|
точках одного индекса.
19.56. Доказать, что если М" — гладкое компактное
многообразие с краем, которое может быть погружено в R", то
М" параллелизуемо (и, следовательно, ориентируемо).
19.57. Доказать, что если М" — гладкое замкнутое
многообразие, допускающее погружение в R"+', то М" — я-много-
образие.
19.58. Пусть М" — гладкое компактное многообразие с
краем и пусть Л1" вложено в R". Доказать, что для любых
хеЯй(Л1"), г/еЯ„_й(М") выполнено соотношение хоу^о,
19.59. а) Построить погружение S' в R^ с заданной
нормальной степенью, б) Вычислить группу бордизмов
погружений S' в R2.
96

19^0. Доказать, что (S'.x5')\(iJ<:) погружается, но не
вкладывается в R^.
19.61. Стандартное вложение S^ в R^ вывернуть в R^
наизнанку с помощью регулярной гомотопии.
19.62. а) Доказать, что всякий элемент группы
Я„_1 (М"; Z^) гладкого замкнутого многообразия М"
реализуется подмногообразием, б) Доказать, что всякий элемент
группы Нп-1 (М"; Z) гладкого замкнутого ориентируемого
многообразия реализуется ориентируемым подмногообразием.
19.63. Пусть f :5'c=R^ — узел. Доказать, что вложение /
продолжается до вложения некоторой пленки М^, дМ^ = 8К
Построить такие пленки для узла «трилистника» и двух
стандартно заузленных окружностей.
19.64. Построить вложение /:R"X[0, IjcrR^"^' так, что
края i/(5"X (0)) и/(5"Х(1)) стандартно зацеплены.
19.65. Показать, что ленты, полученные из квадрата
склеиванием двух противоположных сторон, повернутых на угол
kn а) послойно диффеоморфны S'X/)' при k='2l и листу
Мебиуса при k^2l—1; б) все они послойно вкладываются в
S^XD^ и попарно-неизотопны в R^. Дать
регулярно-гомотопическую классификацию этих лент.
19.66. Методами оснащенных многообразий доказать
равенства: а)яз(52)=2; б) nn+i(5")=Z2, п^З.
19.67. Методом оснащенных многообразий построить
гомоморфизм надстройки S : Лп+й(5")->-Яп+й+1(5''+') и доказать,
что S является эпиморфизмом при n>k и мономорфизмом
при n>'fe-b 1.
19.68. Пусть тор S1 X S1 вложен в R^+2 и ср: я^(51 X Si)->
-> Я1 {SO (N)) ■— естественный гомоморфизм. Доказать равенство
Ф(а + 6) = ф(а) т ф(6)+ о.С\Ь(mod2). Доказать, чтоnrt+2(S")=Z2
при п >2.
19.69. Построить такое погружение / тора в R^ с
нормальным полем, что погружение fxid : S^xS^'XD^--*-R^ —
регулярно-гомотопно вложению, представляющему образующую
группы Я4(5^).
19.70. Построить такое многообразие М*, что 541*== RP^.
Построить такое многообразие М, что dM = Vn,k-
19.71. Доказать, что нормальное расслоение к диагонали
А: М-^МХМ изоморфно касательному расслоению
многообразия М.
19.72. Доказать, что всякое векторное поле на гладком
многообразии с изолированными особыми точками гомотопно
(в классе таких полей) векторному полю с одной особой
точкой.
19.73. L(M")—»-М" — расслоение пространства линейных
элементов ориентируемого замкнутого компактного
многообразия. Доказать, что дифференциал в спектральной последо-
97

вательности этого расслоения ^:Я„(Л1"; 2)->-Я„_1 (5«-'; Z)
является умножением на эйлерову характеристику х{М").
19.74. Пусть Z^{X)=XxX/Z2, где действие группы Za на
ХхХ является перестановкой координат. Доказать, что:
а) Z^(S') гомеоморф'но листу Мебиуса; б) Z^(M") является
многообразием тогда и только тогда, когда «.=2; в)
пространство Z^(S^) односвязно; написать его матрицу
пересечений.
19.75. Известно, что группы SU{4) и Spin(6) изоморфны.
Установить, что подгруппы SU{2) и Spin(3) не сопряжены.
0(k)
19.76. Построить расслоения ^п, h(R)—*"G„, ^(R),
где Оп,к{Щ — многообразие Грассмана. Вычислить
dimKn, h(R); dimGn, fe(R). Решить аналогичную задачу для
полей С, Q. Построить клеточное разбиение многообразий
Грассмана.
19.77. Построить над многообразием Грассмана G„, ^
структурное расслоение V^. Доказать, что Gn,h^^Gji,n-h,
19.78. Доказать, что многообразие всех /г-мерных
плоскостей в R" диффеоморфно пространству расслоения l"-'^ над
Gn,h-
19.79. Доказать, что нормальное расслоение вложения
V (G„,ftC=G„+i' h+i) изоморфно 1^.
19.80. Доказать, что касательное расслоение r{Gn,k)
изоморфно 1'^ФЕ"-''.
19.81. Решить три предыдущие задачи для поля С,
заменив !"•-'' на I""''.
19.82. Пусть RP^'dRP" — стандартное вложение.
Доказать, что RP"\RP'' диффеоморфно пространству некоторого
расслоения над RP"-''"'. Вычислить это расслоение.
Обобщить задачу на случай СР".
19.83. Доказать равенства для многообразий Грассмана:
а) G4,2=52XRP2; 6)0-^^,2=8^x8^.
19.84. Доказать, что расслоения BSp'm{k)-^BSO{k),
B8U{k)-^BU{k) являются 2-убивающими расслоениями.
19.85. Доказать, что расслоение G'n^k-*-Gn,k является
универсальным накрытием.
19.86. Доказать, что у векторного расслоения | структурная
группа редуцируется от G к Я тогда и только тогда, когда:
а) G = 0; H = SO:Wi (5) = 0; б) G = SO; Я = Spin : w^ (|) = 0;
в) G = t/; H^8U:ci (i) = 0.
19.87. Пусть Ig — i-мерное векторное расслоение со
структурной группой G, с| — комплексификация расслоения,
г| — овеществление расслоения. Доказать равенства:
а) |оф|о=|о;
6XlJ(8)SJ=io;
98

в) |yj®|^/=ly;
д) (ego) = с|о; _
е) сгЬ = Ь®1и;
3) t^^2„ilo') = Z{|o'')(mod2);
и) ri(T)u)-(—l)''Ci(T)f/);
к) %{rilb}) = cjl1;);
л) г^.2г(/-(Ы) = ег(Ы(тос12);
м) Ш2.-+1 (г ihf/)) = 0;
н) 2с2,+1 (с|о) = 0;
о) Л (1о) = (-!)'■%(Ф);
19.88. Доказать, что касательное расслоение сферы S* не
редуцируется к унитарному расслоению.
19.89. Пусть существует диффеоморфизм f: М*>^-^М*'^
степени — 1 ориентируемого многообразия М^^. Показать, что все
числа Понтрягина многообразия М*^ тривиальны.
Рассмотреть случай М*'^=СР^.
19.90. Пусть М" с= R"+* ^ вложение гладкого многообразия,
V* — его нормальное расслоение. Доказать, что: а) %{v'')=^Q
при k = 21; б) Wk (V*) = О при ;fe = 2/ - 1.
19.91. Пусть эйлеров класс 7.(|сГ) имеет порядок 2.
Показать, что расслоение lo" нельзя разложить в сумму ^о" = фо~ ф
ф ft'.
19.92. Показать, что векторное расслоение |о имеет
ненулевую [^секущую тогда и только тогда, когда X (|о) = О при
п = 21, w^fo) = 0 при п = 21^1.
19.93. Пусть I' — структурное расслоение над RP" или
СР", тг — касательное расслоение. Доказать, что т4-1 =
= (n-fl)|'. Вычислить полиномы Черна для СР", полиномы
Штиффеля для RP" и расслоений т и |', полиномы
Понтрягина. Доказать, что расслоения |i и т над СР"
несамосопряженные.
19.94. Доказать, что при п=2'' многообразие RP" не
погружается в R2n-2 и де вкладывается в R^"-'.
Построить погружения RP^ в R^; RP^ в R*.
19.95. Пусть M"c:R"+2—вложение ориентируемого
гладкого многообразия М^. Доказать, что нормальное расслоение
этого вложения тривиально.
19.96. Доказать, что для компактных многообразий М с
границей эквивалентны следующие свойства; а) М — я-мно-
гообразие; S) М — s-многообразие; в) М — почти-паралле-
лизуемо; г)М — параллелизуемо.
99

19.97. Показать, что в предыдущей задаче для замкнутых
многообразий из свойства в) не следует свойство а), а
остальные импликации справедливы.
19.98. Дать регулярно-гомотопическую классификацию
погружений S' в S2, S^xS\ RP2.
19.99. Вычислить полиномы Понтрягина и Штиффеля
касательного расслоения линзового пространства Lp .
19.100. Показать, что если Wn-i{M'^)=0, то n=2'^ яля
гладкого компактного многообразия М".
19.101. Доказать, что вложение гладкого компактного
многообразия М" в R^"-' не существует тогда и только тогда,
когда найдется такой элемент х в Я'(М"; Zj), что х'^фО.
19.102. Доказать, что для компактного замкнутого
гладкого многообразия существует такой класс когомологий
V^:H*{M; Z2), что w{M)=Sq(V). Доказать, что классы
Штиффеля гомотопически-инвариантны. Показать, что класс V
определяется равенствами <t-V, [M]> = <Sqt, [М]>.
19.103. Доказать, что для 3-мерного ориентируемого
многообразия W2{M)=0.
19.104. Построить классифицирующие расслоения для
дискретных и компактных абелевых групп.
19.105. Пусть f: (S')»i->-(S')" — отображение «-мерного
тора, А (f) — матрица этого отображения в одномерных гомо-
логиях. Определить алгебраическое число неподвижных
точек.
19.106. Построить расслоение СР°°—^QP°°.
19.107. Отобразить S^xS^ на СР^ со степенью +2.
19.108. Пусть Е—>-S* — расслоение. Вычислить
когомологий Н^{Е; Z) и их кольцевую структуру.
19.109. Доказать формулы для пересечения циклов и коцик:
лов на ориентируемом замкнутом компактном многообразии-
а) если /: М? -^ Ml то Д (fx Л«/) = ^ П Ду. б) а П [М] = Dx,
где D — двойственность Пуанкаре; в) если в а) deg/= + 1, то
DJ^DJ'x = X.
19.110. Пусть М" — компактное ориентируемое
многообразие с границей, по{дМ^) = 1, граница дМ^ стягивается по
М" в точку. Доказать, что: а) щ (М") =0; б) дМ^ «заметает»
при стягивании все многообразие М"; в) М" — стягиваемо.
19.111. Пусть f:M\-^M2 — отображение степени + '
ориентируемых замкнутых компактных многообразий. Доказать, что
если Я1 {Ml) — конечные группы, Toj/.: л^ (Ml) ->• я^ (Мг) —
эпиморфизм.
19.112. Пусть dW=M, W — ориентируемое компактное
многообразие. Доказать, что сигнатура и все
характеристические числа многообразия М равны нулю.
100

19.113. Доказать, что сигнатура и характеристические
числа суть линейные формы на группе бордизмов.
19.114. Доказать, что для 4-мерного ориентируемого
замкнутого компактного многообразия М* выполнено соотношение
{рАМ'), [М'])=Зх{М'),
где х{М*) — сигнатура многообразия М*.
19.115. Для ориентируемого замкнутого компактного
8-мерного многообразия М^ выполнено соотношение
ах (М«) = (P;j? (AfS) -^ ур^_ (М«), [М«]).
Найти коэффициенты а, |3, у.
19.116. Пусть класс гомологии x^Hi{M^) ориентируемого
замкнутого компактного 5-мерного многообразия М^
реализован подмногообразием М^. Доказать соотношение
{р,{М'), x)=^3xiMi)
и формулу
4k.
{L,(M^'^+^), х)^т(МГ)
для класса гомологии ле Я4*(уИ'**+').
19.117. Пусть Яг(М2'')=0 при i<k, М^^ —
ориентированное замкнутое компактное многообразие. Доказать
гомотопическую эквивалентность М^'^Ч ( *)^VS^.
19.118. Пусть S«c:S"+2—некоторое вложение, щ{8''+^\8'')=0.
Доказать, что: а) gl[g, g] = Z; б) вес G = 1; в) Я' (G) = О при
19.119. Доказать, что: а) всякий гомеоморфизм сферы
5""' на себя продолжается до гомеоморфизма диска Z)« на
себя; б) группа гомеоморфизмов диска D", неподвижных на
границе ^Ь"^5«~', стягиваема; в)- справедливы аналоги
утверждений а) и б) для кусочно-линейных гомеоморфизмов
и для диффеоморфизмов при /г=1, 2.
19.120. Доказать, что всякий диффеоморфизм гладкого
многообразия степени -f 1 изотопен диффеоморфизму,
неподвижному на некотором диске /)"с::1пШ".
19.121. Пусть гладкое открытое многообразие М" — lim(D"c:
г-* с»
crDacr...), причем dDi(]dDt+i = 0. Доказать, что
многообразие М" — диффеоморфно R".
19.122. Пусть для гладкого замкнутого многообразия М"
лространство M"\(*) стягиваемо. Доказать, что УИ"'~5",
а еслиУИ"\(*) = Н«, то M"=5«.
19.123. Доказать, что группа диффеоморфизмов окружности
Diff5' стягивается к группе 0(2).
101

19.124. Рассмотрим множество всех замкнутых
компактных многообразий, гомотопически-эквивалентных сфере 5".
Введем отношение эквивалентности М^^О, если M"=6Z)"+'.
Показать, что классы эквивалентности образуют абелеву
группу относительно операции связной суммы.
19.125. Доказать, что подпространство CR"c:CP"+'' не
является ретрактом при п, k>Q.
19.126. Дать топологическую классификацию
невырожденных поверхностей второго порядка в RP^.
19.127. Пусть задан однородный многочлен P"(xi, лгг, Xz) в
однородных координатах СР^. Пусть Pg, поверхность рода
g, — решение уравнения Р"=0, d — число точек
самопересечений Pg в СР2. Доказать, что п^—3rt+2 = 2(g' + u!).
19.128. Вывести формулу рода кривой в СР''+', задаваемой
системой k многочленов степеней {tti, П2,...,Пи).
19.129. Построить алгебраическое многообразие М*, не
вкладываемое в СР*.
19.130. Доказать, что если два я-многообразия гомотопиче-
ски-эквивалентны, то при подходящем выборе N существует
диффеоморфизм Ml X R'^ = Ms X R^'.
19.131. Доказать {теорема Александера), что всякий
гомеоморфизм /: Е^-^Е^ евклидова пространства в себя,
неподвижный в некоторой области UczE^, изотопен тождественному
отображению.
Решение. Без ограничения общности можно считать, что U является
окрестностью нуля в R". Тогда существует шар D^, радиуса а>0 с
центром в О, содержащийся в U. Положим
1
--f{tx), 0<^<1,
ft W =
X, t = 0.
Отображение ft(x) для каждого О О является гомеоморфизмом,
тождественным на шаре радиуса a/t, поэтому отображение ft(x) для 0:^^:^!
задает требуемую изотопию.
19.132. Пусть f: (Хх, Yi)-^{X2, Уг) —отображение пар
клеточных комплексов и f: (Xi/Yi, * )-^{Х%/У2, *) —
индуцированное отображение фактор-комплексов. Доказать, что в
любой мультипликативной теории когомологий h* имеет
место формула _
ria.a) = iria))ifa),
где а^Нч(Х2) и a^h^iX^, Уг) ^^^^"(Хг/Уг).
Решение. Доказательство следует из коммутативности диаграммы
if 'Да if^f
102

где Aj — отображения, индуцированные диагональными отображениями
19.133. Доказать, что на сфере S^ существует одно и только
одно непрерывное векторное поле.
Решение задачи можно получить в результате решения следующих
более легких задач.
Задача 1. Построить непрерывное векторное поле на сфере 52^+',
Задача 2. Доказать, что существование двух непрерывных векторных
полей на S^ равносильно существованию непрерывного сечения в
расслоении Штиффеля
V
5,2
Задача 3. Для каждого п построить вложение in : RP(re)->-SO(re+l),
такое, что tn|RP(i—l)=tn-i.
Задача 4. Построить клеточное разбиение пространства ^'5,3=
=SO(6)/SO(3), 5-мериым остовом которого является подкомплекс
/ : RP(5)/RP(2)cz:V6,3, где / — вложение, индуцированное вложением fe.
Задача 5. Доказать, что не существует непрерывного отображения
/ : S^->-RP(5)/RP(2), такого, что отображение p-j-f го.мотопно
тождественному.
19.134. Доказать, что существует единственная функция,
относящая каждому элементу |еД'(Х) {X — конечный
клеточный комплекс) элемент сЬ|еЯч'=™-(Х; Q), такая, что:
а) для любого X отображение
сЬ:/С(Х)^Я"'"«-(Х; Q); c-^chg
является кольцевым гомоморфизмом;
б) для любого отображения / : J-^У конечных клеточных
комплексов имеет место формула /*-ch = ch-/'^;
в) если т] — каноническое одномерное расслоение над
СР(оо), то
ch т] = 1 — \ ~— = ехр (а),
где а — каноническая образующая в Я2(СР(оо); Z).
Элемент а, удовлетворяющий аксиомам а)—в),
называется характером Черна элемента |.
Решение. {План.) Используя принцип расщепления для комплексных
расслоений, нужно показать едннствеииость характера Черна. Затем
нужно предъявить характер Черна chgn универсального расслоения г\п^>-Ви{п)
для всех п^1, вид которого легко угадывается благодаря аксиоме б).
19.135. {Задачи о характере Черна.) а) Показать, что
отображение сЬ.:К{Х)-^Н'^<^'^^-[Х, Q) .индуцирует
мультипликативное преобразование 2-градуированных теорий когомологий
ch:
К*{Х)^Н*{Х,а),
103

где
К." = /С« Ф К^ и Я* - Я"""- © Я'"""™-.
б) Показать, что характер Черна образующего элемента \п
группы K{S'^'^) =Z равняется образующему элементу группы
Я2"(52"; Z). в) Доказать, что для конечного комплекса X
гомоморфизм
ch (Э Q : -^^ (X) ® Q ->- Я- (X; Q)
является изоморфизмом, г) Доказать, что «-й класс Черна
любого комплексного векторного расслоения над S^" делится
на {п—1)!
19.136. Доказать (теорема Бореля — Хирцебруха), что
Решение. Как известно, Лгп{и(п))=Щп+\(В11(п.)), Запишем точную
гомотопическую последовательность расслоения
(^) (BU(n), BU{n^\), S2n+i, р):
...-^ я,„+а (BU(n)) ^-^ я,„+2 {Ви (п + 1)) -- Я2Я+1 (52"+^) -^
Возьмем произвольный элемент аея2п+2(й^/(п)). Ему соответствует
комплексное п-мериое расслоение | над 52"+^. Тогда элементу Р» (а)
соответствует (fi-fl)-мерное расслоение |i = |-f'l. Так как c„+i(|i)=0, то
ch(|i)=0, поэтому /В*(а)=0. Из теоремы Ботта следует, что
n2n+2(BU{n+l))=i и Я2п+1(В^^(га-1-1))=0. Таким образом, точна
последовательность
О ^-^ г -^ г -* я2„+1 (ви щ -*■ о.
Вычислим гомоморфизм б. Обозначим через J (ге-Ь 1)-м»рное комплексное
расслоение над 3^'^+"'-, соответствующее образующему группы
y^2n+2{BU(n+l)), Ассоциированное с С расслоением над S2"+2 со слоем
_52п+1 канонически отображается в универсальное расслоение (*).
Возникает коммутативная диаграмма
Z = п^^, (Ви (п -L 1)) -^ rta„+i(S2«+i) = Z,
в которой вертикальные стрелки являются изоморфизмами. Как известно
из теории расслоений {6], гомоморфизм бо, а значит и 6, есть умножение
на <c„+i(Q, [S2"+2]>. Но Сп+!(0 = (—l)«-n!-ch?. Таким образом,
n2n+i(BU(n))=Zlnl
19.137. Пусть KiZ) = {K{Z,ny, SK{Z,n)-^K{Z, п+1)}^^^~
спектр Эйленберга -Маклейна. Вычислить группы бордизмов
UAKiZ)); SU,{K{Z)); Sp,{KiZ)).
104

Решение. Пусть {Мп, ^Мп -»■ Mn+i) — стабильный спектр, представляющий
экстраординарную теорию гомологии Л, (...)• Непосредствеиио из
определения групп гомологии h^ (X) имеем
hk (К (Z)) = Ит V* (^ (Z, п)), Vft {К (Z, п)) =
п
= lim Лт+n+k {/< (Z, п) Л iMm) •
т
Следовательно,
А* (Л: (Z)) = Ит Ит я„+„+а (A:(Z, п) Д УИ„,) =
п т
= Ит Ит Пт+т.к{Мт Л K{Z,n)).
т л
Таким образом,
и^ (К (Z)) = я, (Mi/; Z) = //. (BU; Z),
St/(;((Z)) = //, {BSU; Z), Sp, (;((Z)) = я, (SSp; Z).
19.138. Пусть fit/= ZFaj,... ,a„, ...], dega„ = 2rt. Вычислить
5t;,(CP(cx3)).
Решение.
5УЛСР(оо)) = Hm я„^^(СР(.оо) Л УИ5У(т)) s
m
S lim л„ , w (iMLf (m)) S Qy. .
19.139. Пусть Qso не имеет р-кручения для простых р>2.
Доказать, что Qsp также не имеет р-кручения для р>2.
Решение. (Указание.) Использовать, что отображение /: BSp^>-BO,
классифицирующее универсальное кватернионное расслоение, является
гомотопической эквивалентностью по модулю класса Серра 2-примариых
групп.
19.140. Доказать, что вещественные У«.* и комплексные
V^^k кватернионные многообразия Штиффеля являются-
стабильно параллелизуемыми многообразиями.
Указание. Построить в явном виде гладкое отображение евклидовых
пространств /; R^'-^-R-'^, для которого многообразие Штиффеля является
прообразом регулярной точки.
19.141.-Пусть ук-^Оп,к универсальное Л-мерное
вещественное расслоение над многообразием Грассмана G„^ ft.
Построить гладкое сечение s : G„, к->Ук, трансверсальное нулевому
сечению sq: Gn,k-^yh, такое, что sf]S(j=Gn-i,k<^Gn,k-
Указание. Укажем сечение s. Пусть v некоторый ненулевой вектор в
R". Сечение s сопоставляет точке g^Gn, и ортогональную проекцию
вектора V на й-мерную плоскость, соответствующую этой точке. Требуемые
свойства сечения s проверяются непосредственно.
19.142. Многообразие Грассмана Gjj^k является
однородным пространством группы 0{N). Обозначим через р
стандартное представление группы 0{N) в R^.
105

Построить 0(Л^)-эквивариантное вложение миогообразия
Gjv'ft в пространство представления р(3)р-
Указание. Зафиксируем ортонормальный базис ei,..., вп в R". Пусть
gi=GN.k- Выберем в g ортонормальный базис Vi,..., Vh и обозначим через
Vg (iVxА)-матрицу, 1-й столбец которой представляет собой вектор Vi,
записанный в базисе {Si}] . Показать, что отображение <^:Оц,к-^^ >
сопоставляющее плоскости g (iVxA^)-матрицу V^Vg, корректно
определено и является требуемым вложением (V" — транспонированная матрица V).
19.143. Пусть L — одно из двух полей R или С, или тело
кватернионов Н. Обозначим через G'^^ многообразие Грассмана
над L, через т]^ — универсальное /г-мерное L-расслоение, через
il^_fc — каноническое расслоение над G^,*, дополнительное к
расслоению т]^, через т)^_й — расслоение
HomR(ii^_^;R).
Доказать, что касательное расслоение к многообразию Gj^^
изоморфно расслоению Цк^'ц'м-к-
Указание. Использовать решение задачи 19.142.
19.144. Пусть X—клеточный комплекс и
р:Хх X-vX Л X = X X Х/Х V X
каноническая проекция. Доказать, что гомоморфизм р, :я^(Хх
X Х)->.я^ (X Л X) — нулевой.
Указание. Использовать коммутативную диаграмму точных
гомотопических последовательностей пар для отображения р:{ХхХ, Х\/Х)^>-
^{Х/\Х, *).
19.145. Клеточный комплекс X называется ко-Я-простраиством, если
существует непрерывное отображение V:X-^X\/X, такое, что композиции
«iV и ЯгУ являются гомотопическими эквивалентиостями, где
Л; : X \/Х^^Х; 1=1, 2,-—проекции на слагаемые.
Доказать, что если ко-Я-простраиство X гомотопически-
эквивалентно замкнутому конечномерному многообразию, то
X является гомологической сферой.
Указание. Использовать тривиальность умножения в кольце когомоло-
гий Н*(Х) любого ко-Я-пространства.
19.146.Пусть G — компактная группа Ли и М — компактное гладкое
G-многообразие. Согласно теореме вложения Мостова — Пале существует
ортогональное представление G в R'' и эквивариантиое гладкое вложение
<р : M^R".
а) Пусть G — конечная группа. Доказать, что существует
эквивариантиое вложение компактного G-многообразия М в
пространство 1^онечномерного представления группы G.
Указание. Обозначим через L(G) пространство всех веществениознач-
ных функций на группе G. Ясно, что dimHL(G) =ord(G). Будем считать,
106

что на многообразии М задано левое действие гр$?ппы G, зафиксируем в
пространстве L(G) правое регулярное представление группы G. Пусть
Ф : M-»-R" — некоторое вложение многообразия М, которое существует
согласно классической теореме вложения (Милнор, Уоллес). Обозначим
через F отображение AI^-R"®L(G), которое сопоставляет точке у^М
отображение G^>-R" по формуле Р(у) (g)=<p(gy)- Ясно, что отображение
F является вложением. Более того, по построению отображение F
является эквивариантным для действия группы G иа R''®i(G),
индуцированного правым регулярным представлением группы G на L(G).
б) Пусть G — компактнаягруппа Ли. Доказать, что
существует эквивариантное погружение компактного G-многообра-
зия М в пространство конечномерного представления
группы G.
Указание. Будем считать, что на многообразии М задано левое
действие группы G. Обозначим через Н гильбертово пространство L2(G)
вместе с правым регулярным представлением группы G на нем. Ввиду коы-
00
пактиости группы G пространство Н разлагается в сумму ф Vj конечио-
1=1
мерных представлений. Обозначим через V" конечномерное представление
п
^Vi и через Лп : H-^Vn — очевидную эквивариантную проекцию. Для
каждой точки х^М существует гладкое отображение фх : Л^->-Р",
m=dimM, которое является диффеоморфизмом иа некоторой окрестности
Ux<^M точки X. Обозначим через Fx эквивариантное отображение
AI-^R™ ®Я (см. решение 19.146, а), которое также является
диффеоморфизмом на Ux- Дифференциал отображения Fx в точке х является
мономорфизмом, следовательно, согласно линейной алгебре существует такое
?г<оо, что дифференциал эквивариантного отображения ЯпРх ■ M-*-R™^V"-
также Является мономорфизмом. Поэтому отображение fx=iinFx является
диффеоморфизмом иа некоторой окрестности Ux точки х. Ввиду
компактности Многообразия М, из покрытия {Uj:; х^М} можно выбрать конечное
подпокрытие {^^ , ... ,U^}. Таким образом, эквивариантное
отображение
F = f^^X ... Xf^ -.M^iR'"® V"') X ... X (R'" (g) V'^k)
является погружением многообразия М.
19.147. Пусть М — гладкое замкнутое многообразие.
Рассмотрим вложение i: M-^R^ и введем отображение у : S^^-
-^(М'') Л5^ как композицию
S" J^ 7v -'^ n ,. '-^ (М+) Л S'\
где V и т — нормальное и касательное расслоения
многообразия М, Тх и Tv+T — пространства Тома, с — проекция Пон-
трягина—Тома, / — очевидное вложение, q — отображение,
индуцированное тривиализацией \-\-x-^MXR^.
Пусть я; (УИ+)Л5^"-^5^ — проекция на со.множитель.
Доказать, что степень отЬбражения пу : S^-^S^ равна
эйлеровой характеристике i{M) многообразия М.
Указание. Использовать тот факт, что эйлерова характеристика %{М)
равна степени гауссова отображения dv-t-S^-^, где dv — граница нор-
107

мальной трубки многообразия М. Полное доказательство легко извлечь из
{7].
19.148. Пусть G — компактная группа Ли и М —
компактное замкнутое гладкое G-многообразие. Касательное
расслоение х{М) является G-расслоением. Пусть Е-^-В —^ некоторое
главное G-расслоение над клеточным комплексом В, и
р: Е-^В — ассоциированное расслоение со слоем М.
Обозначим через а векторное расслоение
£Хст(М)-^£ХоЛ^ = £
и через а' — векторное расслоение над Е, такое, что
расслоение аф«' изоморфно тривиальному расслоению ExW^.
Эадача. (Бордман.) Построить непрерывное отображение
такое, что для каждой точки ЬеВ отображение t: ((&'^)Л
AS'^)-^Ta' разлагается в композицию
(8+) AS"^ S^'-'^Tv ^-^Га',
где с — проекция Понтрягина—Тома на пространство Тома
нормального расслоения к М и j — очевидное вложение.
19.149. {Обозначения предыдущей задачи.) а) Доказать,
что если пространства Е п В являются гладкими
многообразиями и расслоение а ориентировано в теории Л* (...), то
композиция гомоморфизмов
/г* (Е+) ^^ h' {Та') -->■ h* {В+ Л 5^) ~-^h''{B+)
совпадает с гомоморфизмом Гизина р^:/г*(£)->/г*(В+),
где Фа' —изоморфизм Тома.
Так как а ф а' ^ £ X R^, то определено отображение
x{p):B+AS''-^E+AS''.
как композиция отображений
(S+) AS"-^ Га' -V Га+а' ^ (Я+) Л S",
такое, что для каждой точки be В ограничение отображения
т (р) на (6+) AS^ & S'^ разлагается в композицию с
отображением Y (см. 19.147). б) Пусть расслоение а ориентированно в
мультипликативной теории h*{...). Доказать, что имеет место
формула
ЧpУix)==pЛx^X^). хЪН'{Е+),
где
р,: к' (£+) ^->. h' (Та-) ^-*- А* {В* А S^) ^^ ft* (В+)
Ш8

и Ха —эйлеров класс расслоения а. в) Доказать, что
композиция грмоморфизмов
Я* (£+; Л) ^-^ Я* (Е+; Л) ^^^£^U. Я* (S+иЛ)
представляет собой гомоморфизм умножения на эйлерову
характеристику многообразия М, где Л — произвольное кольцо
скаляров.
Указание к 19.149, в). Доказать формулу
t (Р)* {{Р*х) У)=х(х (р)* (у))
и воспользоваться результатом задачи 19.148, взяв у=\.
г) Пусть %(М)=х и Л*(...) — некоторая теория когомо-
логий. Доказать, что гомоморфизм р*® 1: А*(В+) [l/д:]-»-
->■A*(£'+) [1/л:] является мономорфизмом на прямое
слагаемое.
Указание к 19.149, г). Рассмотрим спектральную последовательность
Атья-Хнрцебруха для расслоения р: Е-^В и воспользуемся результатом
решения 19.149, в).
19.150. Пусть \-^В — комплексное и кватернионное расслоение.
Обозначим через я : С7п, !i(|)->-S расслоение со слоем многообразие Грас-
смана <Jn, ft, где ra=dimi,| и L=C или Н Кольцо Я*(Оп, ft(?); Z)
является алгебраическим расширением кольца Н*{В; Z).
Доказать, что гомоморфизм
t (я): Н* {Gn.k (|)+; Z) ->. Я* (5+; Z)
сопоставляет элементу а е Я' (Gn,fc (|)+; Z) след гомоморфизма
Н'(В+; 2)-модуля H*{Gn,kil)'^; Z), индуцированного умножением
на а.
Указание. Рассмотреть универсальное расслоение у->-Оя, п И
воспользоваться решением задачи 19.149, б).

Указания к задачам
§ 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
1.1. / = р.
1.2. а) / = p^sln0; б) /--=р.
§ 2. РИМАНОВА МЕТРИКА
2.1. Параметрические уравнения:
■ л; = (2 + cos ф) cos г^,
у = (2 + cos ф) sin г]:,
. 2 = sin ф.
rfs-^ = dx{% ^^f + dy (ф, ^f + dziif, ^y =
= (2 + cos ф)^ rf\|5^ -1- (5 — 4 sin Ф) riф^
2.2. Сделаем замену переменных
(/ = br cos Ф,
z~.br sin Ф,
X = ax.
Ограничение метрики на эллипс L:
ds^ = b44^^ + ^^^!^±J^'^^drK
2.3. Поверхность S локально задается уравнени
= /(К1МТ')- Тогда
ds'\s = dx' + dy^ + (d (/ iV^Tf}))' =
= 1+/?
x^ + y^
dx^+fl
xy
+ {\+fl -'-
x^ + y^
dy\
■dxdy -
110

Чтббы подсчитать ds^ в точке с координатами {х, у), надо
взять производную fx в точке X, = 1/х^ + у^.
2.5. Элемент длины имеет вид
ds' = {R„ R,) du' + 2 {R,„ R^) dud^f + {R^, R^) dcf\
где R^ = dRldu; R^ = dR'd(p. Получаем
ds^ = {(p'f + (z')2) du-" + p4(f\
Поскольку вектор /?„ — касательный вектор к меридиану
<p^const, /?ф — касательный вектор к параллели w=const,
{Ru, R<(,)=0, то меридианы и параллели ортогональны друг к
другу. Найдем биссектрисы углов между линиями a=const и
Ф=сопз1. Векторы y?J|y?„| и Rq,l\ Аф 1 — единичной длины и
ортогональны и касательный вектор к биссектрисе делит угол
между ними пополам. Биссектриса — такая кривая, что
координата и является ее параметром, а ф является некоторой
функцией от и, ф=ф(м). Пусть г — радиус-вектор
биссектрисы. Тогда имеем (с учетом того, что биссектриса лежит на
нашей поверхности)
—^ = (р' cos ф — ф'р slo ф; 'р' 51ггф + ф'р cos ф; z').
ди
Поскольку скалярные произведения этого вектора на Rul\Ru\
и R^I[R(f\ равны, то
у (р')2 + {/у \ " ди J р \ ^ д<р
или
ф = ±^
^(рГ + (гГ
■ du^
Р
2.7. а) Круг радиуса 1. Рассмотрим гиперболоид х^—у^—
—2^=1. Пусть (и, и)—координаты в круге. Точка Р на
гиперболоиде имеет координаты {х, у, z) в R^. Они
выражаются через (и, v) следующим образом:
(1 + «2 _|_ ц2) 2v 2и
(l—u^ — v^) {l—u^ — v^y (\—ifi — v^)'
Подсчитывая ограничение метрики ds^ = —dx'^ + dy'^+dz'^ на
гиперболоид в координатах (и, v) имеем
^^2 ^ _£(AfL±_*!!)_
(1—1(2 _у2)2
Получили выражение метрики плоскости Лобачевского L2 в
круге радиуса 1. б) Плоскость. Заметим, что метрику,
вычисленную выше, можно записать в виде ds'^=:A{dr'^ + rM(f')l{\ —
—r'^Y (если ввести на круге полярные координаты).
Сделаем замену координат г—th—, ф^ф. Эта замена отобра-
111

жает круг на полосу 0^ф<2я, 0^х<оо. Прямое
вычисление вида метрики дает ds^^-sh^df^^^d'^. в) Верхняя
полуплоскость. Рассмотрим круг (см. 2, а)), как круг на
плоскости одного комплексного переменного z. Метрика
принимает вид ds'^=Adzdzl{\—|z|2)2. Рассмотрим преобразование
комплексной плоскости в себя 2=(1+ш)/(1—ш). Это
преобразование переводит верхнюю полуплоскость в единичный
круг. Подсчитаем метрику
, 2 _ 4rfz (ш) dz (w) __ idzdz
~ (1 — I z (ш) P)» • ~ (г —1)2 '
Если перейти снова на вещественную плоскость, то ds^--
= {dx^+dy'^)ly^
2.9. Пусть поверхность М'^ cz R^ задана уравнениями
Xi = Xi{p,q). t= 1,2,3,
а переменные ряд изменяются в некоторой области на
плоскости. Пусть функции х^ = х^(р, q) —
вещественно-аналитические. Пару (р, q) можно рассматривать как координаты точки на
поверхности М^. Кривая С на М^ задается уравнениями
P = p{t), q = Q{t), a<.t<.b.
Элемент длины дуги выражается через вектор л: = (лгц Xg. х^):
ds^ = dxdx = {Xpdp+Xgdq){Xpdp+x^q) yinnds^— {Xp, x^)dp^ -j-
2 (xp, Хц) dpdq+ (x^, x^) dq^ = Edp^ + 2Fdpdq + Gdq^,
где
£■ = (Xp, Xp), F = (Xp, x^), G = (x^, X,).
В силу того, что элемент длины ds^ всегда положителен, W^ =
= EG — F^ также положителен. Найдем систему координат {и, и)
с элементом дуги ds^ = Я(ы, v) {du^ + dv'^). Имеем
ds^ = {YEdp + ^I±^dq) [VEdp + i^ dq
Предположим, что мы можем найти такой интегрирующий
множитель а — а^ -I- iOg, что
а (Yedp + ^^+^1 dq] =.du+ idv.
Тогда
112
(F+iW)
YE
(F — iW)
a [VEdp + ^^~y^^ dq] = du-idv

и, наконец \a\^ds^ = du^ + dv^. Полагая |су|^==1Д, мы
получаем искомые изотермические координаты (и, v). Таким образом,
мы получили изотермические координаты, найдя интегрирующий
множитель, который превращает выражение
VEdp+si±mdq
у Е
В полный дифференциал. Дифференциал du -\- idv может быть
записан в виде
du-^idv={^ + i^\dp+{^ + i^\ dg.
\ dp dp /■ \ dq dq I
Далее,
dp dp dq dq у E
Исключая a, получим
dq
или
P du r du ^ dv p» dv .j^ du , p dv
dq dp dp " dq dp dp
Разрешая эту систему относительно неизвестных dv/dp и dvfdq,
получим
(1)
^ du ^ du
F Е
dv dp dq
dp У EG — Я
[ЧНО
dv „ dv
E F-—
du dq dp
dp y/'EG — P
dv
du
du du
dp dq
/£G —Я
dv dv
dq dp
y^EG—F^
[тельно, и удовлетворяет уравнению
д i dp dq \
dq \ W J
dp \
du ^ ^" \
dq dp \ _
W J
0,
которое называется уравнением Бельтрами — Лапласа. Если
известно второе семейство изотермических координат {х, у)
в окрестности точки, то ds'^ = n{dx^ + dy'^). Используя
координаты {х, у) вместо координат {р, д), получаем E=G=fi,
F = 0 и
113

dv ди dv __ ди
дх ду ' ду дх '
Итак, получены уравнения Коши — Римана, откуда
видно, что функции и н и являются сопряженными
гармоническими функциями, а функция f=u + iv — аналитической от
z=x + iy. Уравнение Бельтрами принимает вид известного
уравнения Лапласа д'^и1дх^ + д'^и1ду^ = 0. Говорят, что комп-
лекснозначная функция f{p, q), определенная на ТИ^,
называется комплексным потенциалом на М^, если ее
действительная и мнимая часть удовлетворяют уравнениям (1). Таким
образом, действительная и мнимая части комплексного
потенциала на многообразии М^ дают изотермические
координаты в окрестности каждой точки на М^ (координаты
локальные, они не обслуживают, вообще говоря, все 2-мерное
многообразие; при переходе от одной точки к другой
комплексный потенциал будет меняться).
2.13.
rfs2-=
dz dz
(1 + гг)2
2.14.
2.15.
2.16.
^.2 __ dv^ I _ '^'dif
(l-p2)2 •
2.18. a) В полярной системе координат
ds^=^dr^ + r'^d((>^, 0<ф<2я, 0<r<oo.
б) Если сфера имеет радиус а, то
ds^ = a^{db'' + sm^bd(f^), 0<6<л, 0<ф<2л.
в) ds^ = aЦdx^ + sh^Xd(p^), 0<х<°о, 0<ф<2л.
В случае а) g = | i^ Л, уравнение окружности
r{t) = R = const, Ф(0 = ^, 0<^<2л
н длина окружности равна
L = Г y/'R^ dt = 2л R.
о
114

Круг задается соотношениями 0<г</?, 0<ф<2л, плош,адь
круга равна
о о
^^ ®"" (о a^sln^e)' УРЗ™^™^ окружности
а е (/) = ;? = const, а ф (О = ^ О < ^ < 2л о,
6(0 = —. Ф(0 = —
а а
длина окружности равна
2яа
^JbU у--
о
L=\ а 1/ sln^-? !—сг/^гла-зШ-
Круг задается соотношениями 0<а6</?; 0<ф< 2л, т. е.
0<е<—, 0<ф<2л, VY = aHir\b,
а
плош,адь круга равна
2я RIa
S=r f а^в1п6^6сгф = 2ло2(1 —COS—V
о о
в) 9 = (о a^sh^v)' УР^™^"и^ окружности
ax(0 = /? = const, аф(0 = ^ 0</<2ла
и
х(0 = —, Ф(0 = —,
а а
длина окружности равна
2яа
L=^ а "I/ sh^—-^ ^ = 2nash-^.
a a2 a
0
Круг задается соотношениями 0<ax<^?, 0<ф< 2я, т. е.
0<Х<-", 0<ф<2л, VJ=^a4\ii,
а
плош,адь круга равна
[2Я RIa
0 0
115

§ 3. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. I = (г^-^ а^) {(fi — фц), где '% начало, а ф^ конец кри-
юй.
-♦ -♦
3.8. Если k(s) = 0, то -^ = kn = 0, т. е. -^=0. Сле-
^ ' ds ds»
-♦
довательно, г линейная функция.
3.9. Если n(s)^0, то ^0, т. е.
_ ds
dt ^ ^ ' ds» ^ '
Следовательно, вектор x{s) лежит в плоскости векторов т(0),
п(0).
3.10. Винтовые линии.
3.15. Формулы Френе для пространства имеют вид;
Х = kv, V = — kX -{- хР, ^ = — XV.
Из условия задачи и формул Френе имеем [| х x] — kv. Пусть.
1 = ах 4-bv + ф.
Тогда
k\ = [{ах + bv + ср) X т] == а [г X т] + Ь [v X t] +
откуда 6 = 0, так как v _L Р, и с = А. Значит,
I = ат + Ар, р = — XV = [(ат + ^ X Р] = а[т х Р] = —av,
откуда следует, что а = х. Итак, g = хт + ^Р.
3.16. а) Пусть r{t) движение точки. Оно удовлетворяет
уравнению тг {t) = F, где т — масса точки, F — сила. Так как
поле центральное, то F = a{r)r, где а (г) — число.
Следовательно,
' т
Из (1)'следует, что
[г (О, nt)]' = ЙО, 7{Щ + (Fit), г(0] -0.
Тогда
[Tit), 7it)] = с = const = {А, В, С}. (2>
116

Пусть r{t) = {x,y,z}, тогда (/■(/); lr{t), r{t)])=0 или в
координатах Ах + By 4-Cz = 0. б) Рассмотрим полярную систему
координат в плоскости движения г = p&f. Запишем в
полярной системе координат формулу (2)
'r{t) = p^<f + i ре'* ф,
lr{t), r{t)] =[p^f i-ipe'f(p, p&f] =p*q)[ie'«', e'>] = c!
Обозначим \c\—'c. Тогда
p4 = c. (3)
Пусть m — масса точки, /(p, ф) — величина силы. Охггаошения
f = т\г\ я r\\r дают равенства
7 (t) = (р е'Ч>)' = (р _ р (ф)2) ^Ч> -{- ki^9.
Поскольку г\\г = ре'ф, то k~0,
т(р-р(ф)2) = /(р, Ф). (4)
Из формулы (3) имеем —^ = -^, поэтому
• _ ф d9 _ 1 d(p d
р = —с-
dt d(f \ р J dq)" \ р / pa
йф dt р2 йф йф
Подставляем эти равенства в формулу (4):
в) Имеем
/(Р. Ф) = -^- (6)
Если с = О,, то из формулы (3) получаем *ф = 0, т. е. ф = cons
и движение происходит по прямой. Если сфО, то из (5), (6)
следует
_^/J_\4._L = __J_ (7)
d9« \ р / ' р т<^ '
Обозначим через Я, = ■ и г— \- X. Тогда (7) запишется
тс^ р
117

в виде 2 + 2 = 0. Известно, что решения такого уравне-
НИН имеют вид г = .4соз(ф — фц) или
1 л / ч л 1+СС05(ф — фо) /о\
— =Л cos (ф - Фо) -%=—^ ^^—2^, (8)
Р Р
1 с
где — = — %, — ч= А. Таким образом, (8) — уравнение кривой
р р
второго порядка в полярных координатах.
3.17. Пусть система координат выбрана так, что Я —
единичный вектор по оси 2, r(t)~ {x{t), y(t), z{t)). Обозначим
a{t) = x{t), ^{t)= y(t), Y(0=2(0. (I)
Тогда уравнение перепишется в виде системы, решения которой
имеют вид
а = — ср, а = щ cos d —■ р^ sin d,
р = га, р = ttfl sin ct -\- ро cos d,
Y = 0, Y = Yo. (2)
где (op, po, Yo) = '■' (0)- Заметим, что
„2 ^ p2 ^<_ yi ^ „2 J p2 ^ ^2 ^ ^^^^^
Из (2), интегрируя, получаем
(3)
Делаем перенос в плоскости (х, у) на вектор (С^, С^) и
приводим систему (3) к виду
X (О = — (Ро cos с^ + Од sin d),
с
у (О = — Фо sin с/ — Оо cos сО, (4)
с
2(0-Y«^ I С.
Рассмотрим случаи: а) p„ = а^ — О, Yo=?^0. x{t) — y{t) = 0,
z(0 = Yo^ + ^. т. е. траектория —ось 2. б) Ро + ао=5^0, Yo=0-
В плоскости Z = С — замкнутая кривая
118
х(0 =
y{t)--
2(0-
= — (ро COS d -f Од sin сО + Ci,
с
= — (Ро sin d — Од cos d) + Сз,
= Yo ^ + <^з-

или
x{t) = — (Ро COS ct -'г % sin d),
с
y{t) = (PoSin ct - Uf,COS ct),
с
x{t) = ~slt\c(t + — arctg-^V
с \ с Qa /
y{t) ==.— cos С (^ + — arctg-^V
с \ с tto /
где
k = |/ao + Po '
T. e. траектория — окружность в плоскости z— С; в) ро +
-Р ао=5^0, Yo#=0. Аналогично, в этом случае траектория
задается системой
X (t) = i-sin clt ^ —arctg -^],
с \ е ао /
y{t) = — msc (i+ —arctg-^"i,
с \ с ао /
z{t)^y,t+C,
т. е. траектория — винтовая линия с осью, являющейся осьюх.
§ 4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
4.2. Рассмотрим в псевдоевклидовом пространстве Ri
поверхность г = (shp cos ф, sh р sin ф, ch р). Тогда
Гр = (chp cos ф, chpBinp, shp), Гф = (—5Ьр81пф, shp cos ф, 0).
Значит, ^1] = I, ^12 = ^21 = 0, ^22 = shV- Следовательно, ри-
манова метрика имеет вид ds^ = dp^ + зЬ^р^ф^. Рассмотрим в Ri
поверхность г = (ch и sh v, sh и, ch м ch о). Тогда
Гц = (shushо, chM, shMcho), r„ = (chMcho, О, chwsho).
Следовательно, gii = \, gi2=g2i — ^, ^22 —<^h^M. Риманова
метрика имеет вид ds^ = du^ + ch^ и dv'^. Соответствие
ch и sh у = sh p cos ф, sh м = sh p sin ф, sh м ch у = ch p
и дает искомую изометрию.
Замечание. Здесь Р^ и Рз — модели плоскости Лобачевского,
если ее рассматривать как половину 2-полостного гиперболоида,
стандартно положенного^в Ri.
119

4.3.
E =
L =
{хГ +
(X"p
(p')^
' — p"x
G =
')
= p^
F =
M =
= 0.
= 0.
N-= ^^
Вторая квадратичная форма имеет вид
[(х"р' —p"x')du^ + px'dv^
{d^R, п) =
/(^Т + (рТ
4.4. Рассмотрим сечения сферы плоскостями,
проходящими через точку OsR^. Эти плоскости нормальны к S^ а в
сечении получаются окружности, одинаковые при сечении
по всем направлениям, в том числе и по главным. Кривизна
этих окружностей равна 1/R, где 'R — радиус сферы.
Следовательно, собственные числа Xi и Яг матрицы QG~^^ (Q —
матрица второй, а G — матрица первой квадратичной формы)
найдены: Xi = X2=l/R. Тогда гауссова кривизна/C=A,i^2=
= l/i?2. Средняя кривизна H=l/R + l/R=2/R.
4.7. Возьмем некоторую точку Хо на поверхности. В ее
окрестности можно так выбрать систему координат, что fx\x<, =
=0, fy\x^ =0 и в этой точке средняя кривизна Я=
=f«x+fvy Теперь преобразуем данное выражение:
/yy {1 + /^ + fy) ~ fy fyy — fxfyfxy
+
fxx + fyy + fy fxx — ^fxfgfyx + fx fyy
[Vi+fi+fD
= fxx -r fi
yy<
поскольку /^ U, = /^ !;,„=: 0.
4.8. среднюю кривизну Н можно вычислить, зная
коэффициенты перюй и второй квадратичных форм
Я= (£iV — '^FM + GL)
~ 2(£G —F»)
Первая квадратичная форма ds" = Edu^ + 2Fdudv + Gdv^.
120

Ra== {^COSV, asittv, 0), Rv = i—auslnv, aucx>sv, b).
Тогда
£ = a2, F = 0, G = d'u' + b'^, ds^ == аЧц''+ (a^u" + b^) dv^
Далее,
^«« = (0. 0, 0), /?„„ = (—шсозу, —ausinv, 0),
/?„„ = (—a sin у, acosy, 0).
Тогда
r __ {Rut ^01 °цц) _. л л/ = (^ц> °о> °Ро) ^_ л
/EG — F* YEG — F^
откуда Я = 0.
4.9.
j.^ x'jx-p'-xY-)
9 ({хГ + (Р'П
д- [^' ((^')^ + (Р')') + Р {Х'р' - Р"Х')]
Если л; = и, то получаем для средней кривизны
При Я = О получаем уравнение Для р:
[(1 + (рТ)-Рр ^0 ,. е. I + CpT-PP'^O.
Р(1 + (рТ)'''
Решая, получаем искомую функцию р = l/achax.
4.14. Формула гауссовой кривизны поверхности, заданной
в виде z = f(x, у), имеет вид/C=[/^/4,i, —/ад]/(1+^ +/Ь-
Поскольку функция f(x, у) гармоническая, то А/^0, или
fx^ ■'г fyy^O, т. е. fxx = —fyy Подставляя это равенство в
формулу для К, получаем /С = (—/L —/*i/)/( 1 +fl+fi,Y- Итак,
к<о.
4.16. На поверхности класса С гауссова кривизна
выражается через коэффициент первой квадратичной формы и их
частные производные первого и второго порядков. Если при этом
F = О, Е = А\ 0 = В^ (форма ds^ = Edu"" + 2Fdudv + Gdv^), то
формула Гаусса имеет вид 1( = ~ lfAB{{AgfB}„ + (ВJ А) J.
4.19. Докажем, что уравнение геодезических ща конусе
совпадает с данными в уеловии. У геодезических на
поверхностях главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности:
121

где k — кривая кривой. Для геодезических г"=С2'' и 1'"'] =
= const. Тогда I [гХ/"'] 1 = |r|sina|r'|=C|r|sina=const,.
поскольку для геодезических на поверхности вращения
справедлива теорема Клеро. Формула (1) принимает вид r"lk =
^{rXr'^IC. Найдем кривизну k. Введем на конусе
координаты (г, ф) (г — расстояние до вершины конуса, ф — угол
поворота вокруг оси конуса). В этих координатах кривизна k
имеет вид
k = {Ldr'' -h 2Mdrd^ + Nd(f>^)i(Edr^ + 2Fdrd(f + Gd(f^),
где
L = M = 0, N = cr/{1 +0""), c = p/a, E=\,
F = 0, G = rV(l+c%
T. e.
k = crd(f^/l{ 1 + c^) dr^ 4- гЧ((1^].
Снова используя теорему Клеро, получаем
rsin а ~ г cos б = const =■- /,
cos 6 = (г', (О, 1))/|г'1 1(0, 1) | = гйф/1/(1+c2)dr2 + г%^
Тогда
cos^ 6 = r4(f>Vli\ + с') dr^ + r4(f] = lVr\ (2)
Подставляем выражение (2) в формулу для k:
k = cr4(f^!r ((1 + С) dr^ + гЧц)'') = сР/г"" = с'/г^.
Тогда уравнение геодезической на конусе принимает вид г"=
= c[rXr']lr^, т. е. совпадает с данными в условии. Далее,
заметим, что если задана кривая с начальными условиями
(/"о. /"о. /"о), удовлетворяющая данному уравнению, то она
является геодезической на некотором конусе. По данным
векторам г^, го можно построить семейство конусов таких, что
Го касается конусов, Го лежит на конусах. На каждом
конусе существует единственная геодезическая с такими
начальными условиями. Выбираем тот конус, уравнение
геодезической на котором имеет ту же постоянную, что и в
условии. По теореме единственности решение исходного
уравнения с такими начальными условиями существует
только одно. Мы нашли конус, на котором есть геодезическая,
удовлетворяющая данному уравнению. Значит она и есть
траектория нашего заряда.
4.20. ll^i^n—a^a.
4.21. Пусть 5 —минимальная поверхность. Тогда
локально она задается уравнением z=^f{x, у) и'площадь ее
выражается интегралом or = jj к14-/х + f'ldxdy. Этот интеграл
D
122

должен быть экстремальным (в данном случае значение
интеграла должно достигать минимума). Тогда экстремальная
функция удовлетворяет вариационному уравнению Эйлера.
Следовательно,
^^ ] ^ д f fy
Отсюда получаем
d-^fldx^X +/^)+ 4,(1 ^/f)-2/,y,, = 0.
Поскольку
0.
n = ^ V У +[х + Гу,
fxxfyy fxy
TO Я=0. Необходимость условия доказана. Найдем вторую
вариацию функционала /(/) = J J |/ 1 + /^ -f- fydxdy (первую
D
вариацию считаем равной нулю). Придаем функции f
приращение б/. Тогда приращение функционала равно
2Шх + Щ&!у+{&Гх)' + Ф!уГ
^>J V4-{fx+ б/х)^ + if У +^fyr +Vl+fl + fl
Следовательно, вторая вариация равна
dxdy.
Я
M^i±m^—dxdy
2Vl+fl+fl
И ясно, что она положительна.
4.22. Поверхность M^cR^ называется минимальной, если
Я^О. Пусть г{и, v)—точка минимальной поверхности. На
поверхности локально можно ввести координаты, в которых
риманова метрика будет иметь конформный вид ds^^=
=Х{р, q) (dp^ + dq^). Вычисляя среднюю кривизну, получаем
L + iV = 0. (1)
Коэффициенты второй квадратичной формы вычисляются по
формулам
где п — вектор нормали к поверхности. Из (1) следует
(V + ^9?. ") = 0' (2)
123

где_Д—-оператор Лапласа. Надо показать, что Дг = 0. Векторы
п, Гр,_Гд образуют _базис. Поэтому достаточно показать, что
(Дг": г.) = О и (Д^ 7,) = 0.
4.23. Пусть iu{t), v(t)) — параметрическая запись линии
уровня функции. Продифференцировав по t равенство z{u{t),
у(/)) = const, имеем щ = ± Л/ ' W — Д ^^ g качестве t возь-
V g{v) + a
мем натуральный параметр, который определяется условием
if(u) + g{v)){{UiY-\~{vtY)=\. Из предыдущих [соотношений
находим
' if{u) + g(v))^ ' ^" (/(") + g(f))« *
Вычислим г*- метрики (см. условие задачи).
^11 ^g^=f (") + g (V), ^„ = ^21 = О,
Г1 tu rl I и
II ~—о /г / ч ,—гт;—' ^22 =
2(/(") + g(^'))
gv
2(/(и) + ^М)
— gv
Г12 = Г21 — ^ ., ^ , 1^—7Т^—' Гзд —
2(/(u) + g(c))
2(/(«)+g(^'))
p2 _ — gp r^ = r^ = /u '
2(/(«) + g(^)) ' '' ^' 2(/(«)+g(f)) ■
Проверим, что линия {u{t), v(t)) удовлетворяет уравнению
геодезической:
— i ii~
dt^ '^' dt dt
§ 5. МНОГООБРАЗИЯ
5.15. Сфера 5" — компактное пространство.
5.18. Воспользоваться функцией у=е~^1'''.
5.24. Пространство RP" есть множество наборов
(со: Ci: ... : а„), где а^ е R,, 2аг ФО, с соотношением
эквивалентности (д;о: X]: ... :%) ~ (Ядго : Ядг^: ... : Ядг„). Введем на RP"
вещественно-аналитическую структуру. Для этого покроем RP"
набором из (rt 4- 1) карт. Рассмотрим наборы (а,,: а^: ...: а„) такие,
что Oi^O. Множество таких наборов естественно
отождествляется с R", а именно,
\ S4
"г-1 °t+i а"
> > • • • » "^^
Легко видеть, что это соответствие корректно определено.
Осталось рассмотреть функции перехода от t-й карты к /-Й карте.
124

Пусть x^k — k-я координата набора (а,,: ... : а^) в t-й карте
соответственно, х*/' — 1-я координата в /-Й (пусть для простоты t<C/).
Тогда
(О __ h (О _ ^t+i „(О _ 1
' ^^ ^ ' ■ ■ ■ ' *'■' ~ ~4^' ■ ■ ■ ' ' ~ хр ' ■ ■ ■ "
Таким образом, функции перехода не только гладкие, но и
вещественно-аналитические.
5.26. Рассмотрим группу GL{n, R) всех квадратных
матриц порядка п с определителем, отличным от нуля. Каждой
матрице из GL[n, R) можно поставить в соответствие
вектор из пространства R"', причем отображение det:R"'->R
является непрерывной функцией. Значит, группа GL{n, R) —
открытое подмножество в R"'. Любое открытое
подмножество является гладким многообразием.
Определение. Линейная группа называется алгебраической, если она
выделяется из группы GL(n, R) некоторым множеством алгебраических,
т. е. полиномиальных соотношений между матричными элементами.
Теорема. Всякая алгебраическая линейная группа G является
группой Ли.
Доказательство. Рассмотрим пространство М(п, R) всех
квадратных матриц порядка п с элементами в R. Пусть /—идеал в кольце S
многочленов на М(п, R), образованный всеми многочленами,
обращающимися в нуль на G. По теореме Гильберта [8] существуют такие многочлены
/i,...,/^^еУ (образующие идеала У), что всякий многочлен /е/ может быть
представлен в виде f=Ef„g„,где g^^S (а=1, ..., а). Пусть р — ранг яко-
биевой матрицы (df^ldXij) (имеющий ст строк и п^ столбцов) при
(л;4))=£.
Лемма. Ранг матрвды (dff^ldxi.j) во всех точках группы равен р.
Пусть ЛеО. Для любого многочлеяа /eS положим (Л/) (X) =
= /(Л~'Х), X е М («, R). Преобразование/->-Л/является автоморфизмом
кольца S, переводящим идеал / в себя. Поэтому многочлены Л/i Af^
являются образующими идеала J, как н Д f^. Имеем'
В Р
где g^g, h^g^S. В точках группы G имеем
дхц •" дхи дхц •" дхц
Отсюда вытекает, что ранги матриц (д (Af^jdxij) и (df^ldxn) равны во всех
точках группы G. С другой стороны, ранг матрицы (д {Af^/dx{j) в точке А
равен рангу [матрицы (З/^/Эж^^) в точке Е, т. е. равен р. Следовательно,
ранг матрицы {df^ldxij) в точке Л равен р и лемма доказана.
Пусть теперь Д — минор порядка р функциональной матрицы
(df^ldxij), отличный от нуля в точке £. Предположим, для определенности,
что он лежит в первых р строках. По доказанному, все окаймляющие его
миноры тождественно обращаются в нуль на группе G, т. е. принадлежат
125

идеалу /. Как и при доказательстве классической теоремы о ранге матрн-
ды, получаем
--£-2-£-^»^(-^^ь (1)
где gjjpsS, а=1, ..., а. Рассмотрим множество G матриц, удовлетворяющих
уравнениям /i = .--=/'p=0. Очевидно, что GciG. По теореме о неявной
функции, существует такая окрестность U единичной матрицы в М{п, R),
что пересечение G(\U может быть задано параметрически, причем число
параметров равно d=n^—р. Мы можем позаботиться о том, чтобы Д не
обращался в нуль иа i/ и чтобы область изменения параметров щ,..., Ud
была связной. Пусть {хц(1))—кривая в G^f/, причем {x,j{0))=E. Вдоль
этой кривой dfJdt=Q при а=1, ..., р. Из (1) получаем
' 7
(а — любое). Единственным решением этой системы при начальных
условиях /а (0) =0 является нулевое решение. Следовательно, f„=0 на Gfl f/ при
всех а, т. е. 0(1^^=0(1 U. Это н показывает, что G — группа Ли.
В нашей задаче группа SO{n) является группой Ли
(значит и гладким многообразием), так как она является
алгебраической группой. Ее соотношения
5]%afc/ = 5i«. det(a,.;) = l.
Размерность группы SO{n) равна п{п—1)/2. Рассмотрим
случай групп U{n) и SU{n). Каждое линейное
преобразование над С, имеющее матрицу А, можно рассматривать как
линейное преобразование над R. Это преобразование в
базисе ей ..., е„, iei, ..., ien будет иметь следующую матрицу
(здесь ву ..., вп — базисные векторы в С"):
ЯеА 1тА
1т Л Re Л
Группа GL{n, С) является подгруппой группы GL{2n, R).
Следовательно, к группам линейных преобразований С"
можно применять доказанную теорему. Здесь U{n)—группа
линейных преобразований С", сохраняющих эрмитову
метрику. Группа SU{n)czU(n), detA = l, если A^SU(n). Условие
унитарности записывается в ортонормированном базисе
k
126

При переходе к вещественным координатам получаются
симметрические соотношения для матричных элементов. Из
предыдущего следует, что группа U(n) — алгебраическая
группа. Группа SU(n) также алгебраическая, она выделяется из
группы U{n) дополнительным уравнением detЛ=l.
5.27. Достаточно записать все прямые уравнениями ах+
-i-b//-|-c=0 и сопоставить прямой набор чисел (ее
коэффициенты) :
ax + by + c = 0->-{a,b,c), а^ + Ь^фО,
(а, Ь, с)~-'к{а, Ь, с).
Следовательно, мнолсество всех прямых на плоскости гомео-
морфно проективному пространству RP^ без точки (О, О, 1),
т. е. листу Мебиуса.
5.31. Так как Л1" компактно, то его можно покрыть
конечным числом карт, каждая из которых гомеоморфна
открытому шару D". Пусть имеем покрытие картами Vа^^ О" (здесь
л^а.-.. ,-^а—локальные координаты). Тем самым, каждой
точке д;еЛ1" поставим в соответствие набор ее координат в D". Это
гладкое отображение /. Доопределим f на всем
многообразии ЛI'^ следующим образом: построим новое покрытие
картами Wa, l^aCWa, И фуНКЦИИ
/„(а:) = 0 при А:ёГ„, /а(х)=1
на Va, 0>/а>1. Пусть в покрытии было k карт. Тогда
каждой точке многообразия поставим в соответствие n-k-
мерный вектор
x-^{f^\x), ... ,f^{x),... , fV{x)},
fS{x) = U{x)^l
При таком отображении не будет достигаться взаимной
однозначности в тех точках х, у, которые принадлежат
Wa\Va, так как здесь мы произвольным образом
сглаживаем функции. Для устранения этого недостатка построим
еще одно покрытие Ua =) Wa. Для покрытий Wa и Ua
проделаем те же построения, что и для Va, Wai получим набор
функций ga'. Теперь соответствие
будет взаимно-однозначным.
5.32. Вложим сферу S^ стандартным образом в R„ {n>k)
и рассмотрим ее нормальный {п—й)-пучок v""''. HpocTpaHtT-
вом расслоения здесь будет Е={{Ь, п): п — нормальный
вектор в точке &}. Этот пучок v^"-'''тривиален, т. е. £=S^XR("~^'^
127

^S^XD'"""*'. Возьмем трубчатую окрестность Е этого пучка,
и рассмотрим его границу. Получаем S^XS('^-^~^)(ZR^ Для
любых п, k. Дальше построение проводится по индукции.
5,36. Сначала докажем, что многообразие Af" можно
погрузить в R2". Известно, что любое компактное гладкое
многообразие М" можно вложить в R^, где N — достаточно
большое число. Теперь считаем, что M^:zR^- Будем понижать
размерность ./V путем проектирования М" вдоль некоторого
вектора g на его ортогональное дополнение. При таких
проекциях р| могут возникнуть точки, в которых гладкость
Pl нарушается, т. е. такие точки, в которых касательное
пространство Гж(Л1") содержит вектор ■ц, параллельный
вектору I.
Значит, чтобы проекция pi была гладким отображением
в каждой точке, нужно выбрать вектор g, который не
принадлежит касательному пространству (ни в какой точке
jceM"). Касательное пространство TxiM"^) диффеоморфно
R", но так как нас интересуют только направления векторов,
то многообразие направлений — это RP""'. Размерность всех
касательных направлений не более чем «+(«—1)=2п—1.
Если N—1>2п—1, то в пространстве RP(^-i) можно выбрать
направление, независимое со всеми направлениями в
касательных пространствах (т. е. несодержащееся среди них).
Выбираем какое-нибудь одно из таких направлений и
проектируем вдоль него. Далее эта конструкция повторяется до
тех пор, пока выполнено неравенство 2/г—K.N—1. Наконец,
при 2п—l=yv—1 это рассуждение впервые «не пройдет»,
так как существование подходящего направления уже не
следует из размерностных неравенств. Тем самым доказано,
что Л' можно понизить по 2п (во всяком случае), т. е.
многообразие М"^ погружается в пространство R^". Теперь
докажем существование вложения j'H"QR^"+'. Для погружения
достаточно было запретить (в качестве проектирующих) все
лаправления в касательных пространствах к
подмногообразию. Теперь нужно запретить возможные самопересечения,
которые могут возникнуть при проекции, т. е. надо запретить
все хорды вида {х, у), которые параллельны
проектирующему направлению р|. Пространство хорд есть пространство
лар (л;, у), где л;еЛ1", у^М^, {х, у)^М^ХМ^- Рассмотрим
отображение /: (х, «/)->-RP'^-'). Отображение f не гладкое,
особые точки возникают на диагонали Л в M"XM". Сузим
отображение / на УИ"ХМ"\Д, где
А -= {{X, х):х^ M'^), dim(M''xM''\A) = 2/г.
Теперь / — гладкое отображение. Рассмотрим образ f(M"X
7H»\A)c:RP(^-»). Замкнем этот образ в RP*^"'). При этой
операции dimlmf не изменится (заметим, что при замыка-
128

НИИ направления из касательных пространств будут
автоматически учтены). Далее, если N—1>2/г, то проектируем, как
и при исследовании погружений, вдоль любого направления
g, не принадлежащего к 1т f. Тем самым понижаем
размерность пространства R^ на единицу. Делаем это до тех пор,,
пока yV—1>-2п. При N—1 = 2п «свободного» направления
может и не существовать.
5.43. Поскольку f — линейное отображение «на», то в а^
существует грань Oj^ccr* размерности /, которая
взаимно-однозначно и линейно отображается на аК причем вершины
Oft переходят в вершины аК Действительно, если это не так,
то никакие (^-Ь1) вершины симплекса о'^ не отобразятся в
(/-Ь1) вершину симплекса a^. Рассмотрим образ всех вершин
ст''. Поскольку f линейно, то, соединив все образы вершин
отрезками, натянем на эти отрезки линейную оболочку (т. е.
всевозможные пары точек соединим прямолинейными
отрезками). Получаем образ f(or''). Он не покрывает весь
симплекс аК Это противоречит тому, что / отображение «на». Мы
доказали, что в ст'' существует такая грань ог*, что /((Тй) =
= a^ и/1 I взаимно-однозначно. Пусть теперь х^\пЬаК
Прообраз (f\ i]~^ (х) = у состоит из одной точки, t/elntCft.
Симплекс Ст)г является границей ровно k—t симплексов-
размерности /4-1. В каждом таком симплексе ог^+'
прообразом точки X будет отрезок прямой. Из линейности f следует,,
что линейная, оболочка, натянутая на эти отрезки, является
симплексом размерности k—l. Вся эта оболочка при
отображении / переходит в х. Тем самым доказано, что f~^{x)^=
= 0*-', x^lnia'.
5.46. Многообразие называется ориентируемым, если
существует такой набор карт, что якобианы всех функций
перехода будут положительны (т. е. существует хотя бы один
такой набор карт на многообразии). Пусть ф^^ — функции
перехода от переменных z\ ..., 2" {дц>г,/дг"'^0). Пусть А —
якобиан функции перехода ф^^-, A={aij). Отображение 4
можно рассматривать как линейный оператор С"->С".
Овеществление отображения f:GL(n, C)->-GL(2n, R) имеет вид
/(Л) = Rл= (^ ""^j, где Л = 5-нШ. В R2« берем базис
ei, ..., вп, iei, ..., ie„. Имеет место формула: detR^ =
= |(1е1Л|^, Докажем это равенство индукцией по п. При
«=1 для А = а + Ы получаем
\ЫА\^ = а^ i-b\ Rл= (^ — ^], detR А= а" + b\
129

Пусть для k^n утверждение доказано. Докажем его для
k = n+l. Приведем оператор А к нормальной жордановой
форме (определитель от этого не изменится).
А
о
о
, где 8, = {О, 1}.
•1
Ra =
где
<а.
0
b.
0
I
. ■■ 0
Cln+l
. 0
bn+l
0
«1
0
&i 0
— 6„+i
81 0
Cln+l
'
;
\det A\'^ia-n+i + tii+i)D^,
D„
Вычислим def^/l разложением no последней строке
^fll El
detM= (—l)3'+3&„_^,det
a, 8,
'OlEi
a„+i det|
^
a,8
= (- l)3«+3f,„^,(_^7„+,)(~ l)^"+2D„-b
1<^1
. ^2
+ aUiD^, = (bn+i-ra;+i)D,^.
Итак, мы ввели такой набор карт, что при замене координат
(замена гладкая) (zi, ..., г„, Zi, ..., 2„)-^(л;', ..., л;", у\ ..., г/")
(овеществление) якобианы всех функций перехода
положительны.
5.47. Из очевидных соображений комплексную структуру
можно вводить только на четно-мерных многообразиях.
Пусть Г — группа, действующая на С"\(0), порождена
преобразованием z~^2z. Рассмотрим фактор-Прортранство
(С"\(0))|Г. Оно несет комплексную структуру,
индуцированную структурой пространства С"\(0) и гомеоморфно
130

S^n-iy^SK Следовательно, комплексную структуру имеет и
S^»-^XSK Существует расслоение 52"-'X S^"-' -v СР"-'Х
ХСР"-' со слоем /^=5'Х5':=Р. По доказанному слрй и
база имеют комплексную структуру. На СР'^ комплексную
структуру можно определить с помощью формы,
являющейся ограничением эрмитовой формы С" на сферу
52«-1 . rfs2 = 2rf2*d г* — (22*af2*) (Б ?dz'').
Эта форма получается из формы на СР"~', так как
инвариантна относительно действия S^ (здесь S2'-i:^CP"~'). Действие S^
определим так: (г", ... , 2"-') е'™->(е'™г", ...),
2* -^ со* = е''« 2*, da = е'« (rfz* + ш г* cfa),
^ш* = е-'с (rf2* — iaz'^da),
2 ^(0* rf ю* = 2 ok* d7* + ш [(Б (2* ^2* — ? d2*)] rfa + a^ da\
2 (0* d Ю* = 2 2* rf? — ia da, 2 w* dw* = 22*rf2* + w da,
Следовательно,
2 dw* rfw* — (2 (0* rfw*) (2 Ю* d (0*) =
= 2d2*dl* — (2 2* d2*) (21*^2*).
Пусть 2* — координаты 1-го сомножителя S^""', z'i — 2-го
сомножителя S^"~K Пусть
Vki = {{z, 2') e S2«-> X S="-' : г'^г'ф 0}.
Множества У^,- образуют открытое покрытие пространства S^""' х
Х52"-*. Введем в каждом множестве V^j комплексные
координаты
где Y — вектор из С", 4j — определены по модулю 1.
Следовательно, tk]'—точка тора Г(1,^), полученного склеиванием
противоположных сторон параллелограмма, построенного на
векторах 1 и y- Итак, имеем 2п+1 координату в Vkj,
определяющие отображение / : Vftj-^C2"X?'(i,v)- Отображение /
является гомеоморфизмом. Числа ^ш'', jca'^, t^j однозначно
определяют координаты 2'', 2'з. Действительно,
У ,(0^ X = -4=- У z^z~== -4- Уг^?- 1 = —\ 1.
ZJ * * z^zk Lj zkzk Z-i \zk\>-
Аналогично определены числа \2'^\ (однозначно), кроме того
1п2* = In |г*| + iarg2*,
131

откуда
2я4/ = — t (In 12* I + Y In I z'' I) + argz* + y argz''.
Зная I г''I и \г'Ц, можно найти argz^ и argz'^' (у выбиралось
так, что 1ту=7^0). Значит, однозначно определены z^^ uz'K
•Функции перехода в Уь^П^ UV являются
комплексно-аналитическими, так как определяются по формулам
и
,()f = , „(О S = J.
iuv = iki + -~~ (1па (О" + y In ,(,>'").
Тем самым на S^'^~^XS^^-^ введена комплексная структура.
Это построение вводит комплексные структуры на любых
произведениях S^p''^XS^i~\ где р, q>0, и могут быть
различны.
5.48. Из существующей классификации для 2-мерных
замкнутых дифференцируемых многообразий, являющихся
ориентируемыми, получаем, что все они являются сферами с
g ручками, т. е. поверхностями рода g. Каждое такое много-
образие является римановой поверхностью некоторого
полинома УРп (^) без кратных корней, тле g==[n—1/2]. Функция
оу=1/Р„(2) является комплексно-аналитической, поэтому,
взяв в качестве координатных областей z, w, получим атлас
с комплексно-аналитической функцией перехода.
5.49. Если два кусочно-гладких пути Со, С]: [а, р]->-Л["
свободно гомотопны, то при прохождении по ним ориентация
либо одновременно меняется, либо нет. В каждом свободном
гомотопическом классе путей на М" есть кратчайшая в этом
классе периодическая геодезическая. Переходим к
доказательству нашего утверждения. Ясно, что доказательство •
достаточно провести для связного многообразия М". Пусть
реМ". Достаточно показать, что при прохождении любой
гладкой петли с началом и концом в точке р ориентация в
пространстве ГрТИ" не изменится. Допустим противное, т. е.,
пусть существует гладкий замкнутый путь с началом и
концом в точке р, при прохождении которого ориентация в
ТрМ" изменяется. Тогда существует нетривиальная
периодическая геодезическая с; [О, 1]->-Л1", свободно гомотопная
этому пути и кратчайшая в своем свободном гомотопическо.м
классе. Пусть c{0)=c{l)=q^M^. Тогда параллельный
перенос вдоль геодезической с индуцирует обращающий
ориентацию автоморфизм t в ортогональном вектору с(0)
подпространстве Л/^ с: Г, М. Так как с — геодезическая, то
т — ортогональный автоморфизм, а так как u\mMj- = n —
— 1=2^, то существуют такие инвариантные относительно t
132

2-мерные евклидовы пространства Ей ■■■, Eh, чтоМд- =Eji^...
...®Ek. Ясно, что
det t = П det 11£. = — 1,
и тогда для некоторого i будет выполнено соотношение
<iett| El =—1, так что т обраш,ает ориентацию на Ei. Но
тогда у % есть ненулевой неподвижный вектор и, т. е. ти=
= и^Ь. Пусть теперь Y — параллельное векторное поле
вдоль с, для которого У(0)==У(1)=и. Тогда существует
такой открытый интервал /cR, содержаш,ий нуль, что &Y{t)
лежит в области определения экспоненциального
отображения ехр на М" для всех ее/, /е[0, 1]. Определим
V:[0, IJX'^-»-^!" равенством V(^, е)=ехр (еУ(0)- Пусть
Ь(г)—длина кривой V(t, е). Тогда, поскольку с —
геодезическая, то L'(0)=0. Из параллельности Y следует Y'=Q и
■<.Y, с>=0. Так как e->-V(f, е) —геодезическая для любого
1
ie[0, 1], то L''{Q)^—^{R{Y,c)c,Y)dt, VAQ /? —тензор
о
Римана на многообразии М". Из того, что кривизна вдоль
геодезической с положительна, следует, что L"(0)<:0, и,
значит, L имеет на с относительный максимум, т. е. с не
является кратчайшей, и мы пришли к противоречию.
§ 6. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
6.1. Пусть поток У^(Р, Q) —безвихревой, т. е.
,- дР dQ л дР до
rotV = -^-^О, или = —-^.
ду дх ду дх
Найдем такую функцию f, что
дх дх
Для ЭТОГО проинтегрируем первое соотношение по ;с от О
X
до х: f(x,y)= {Pdx + g{y). Для того чтобы найти g-(у),
о
продифференцируем последнее соотношение по у:
X
Q(x, у) =-^{х. У) = ^-^^^ ^-S' (У) =
о
X
= ^^dx+g' {у) ^Q{x, у>- Q(0, у) + g' (у).
о
133

Таким образом, Q {х, у) = Q {х, y) — Q{0,y) + g' (у). Поэтому
g'iy) = QiO,y), т. е.
g{y) = ^Q{0, y)dy + C.
о
Следовательно,
X у
f{x,y)= jP(x, y)dy+ ^Q{0,y)dy + C..
о о
Пусть Yi и Y2 — два пути из (О, 0) в точку (х, у) в плоскости
(х, у). Тогда, если rot t; = О, то
^Pdx'^Qdy= ^Pdx + Qdy.
■V. Vz
Следовательно,
f{x,y)==^Pdx + Qdy~LC,
у
где Y — произвольный путь из (О, 0) в {х, у).
Пусть поток еще и несжимаем, т. е.
J- - дР , dQ л
div V = ! ^^=— = 0.
дх ду
Рассмотрим поток
v' = i-Q, Р), rot? = 0,
следовательно, поле v' потенциально. Таким_ образом,
существуют функции а(л:, у) ий(л;,у) такие, 4T0^u = grad а(л:, г/),
v' = gTadb{x, у). Ввиду того что div t;=divu'=0, получаем,
что а{х, у) и Ь(х, у) —гармонические функции, т. е. Aas^
^АЬ^О. Рассмотрим функцию f=a + ib. Она комплексно-
аналитическая, так как имеют место уравнения Коши — Ри-
мана:
да дЬ г, / \ да дЬ г\ i \
-^=^-—=^-Р{х,у), -- = — -^ = Q{X, у),
дх ду ду дх
Такая функция f называется комплексным потенциалом
потока.
6.2. Будем искать интегральные траектории только в
полуплоскости, лежащей выше прямой АВ. Линии уровня
для функции f (х) — это дуги окружностей, для которых
отрезок АВ является хордой. Вектор gradf(A;) ортогонален
линии уровня. Следовательно, вектор, ему ортогональный,
является касательным к линии уровня, т. е. к окружности и
134

все описанные дуги окружностей являются интегральными
траекториями потока vilx).
6.3. Пусть 2о = Хо + i//o—особая точка,
./(2) = И(2)Ч
Поскольку
ди
дх
dv
(х„,!/„) ду
. , S ди
ах
ди
{х,.у,). ду
(Ха.Уо)
(Хо.Уо)
то /г(2о) = 0. Пусть /г(2:о) = 0, Т. е.
Э" / ч 1 • dv / ,,
— (2o) +- f -Г- (2о)
ох ох
ди
ду
= 0.
{Хо.Уо)
dv
дх
(Хо.Уо)
= 0,
о.
Эм / \ dv , ^ ди , ,
-Т- (2о) = ^- (2о) = — -- (2о)
ал; ох аг/
0.
Тогда gradRef(2o) = 0.
6.4. а) Интегральные траектории векторного поля
grad(Rez")—линии уровня сопряженной функции Imz" =
= /'"51пп.ф. Единственной особой точкой поля v~
grad (Re2") является z^=0, так как только в этой точке
f'(z)^0. Точка 2 = 0 — случай вырожденного седла. Сдела-
п
€м малое возмущение функции 2"-> [~[ (z—ej. Тогда осо-
1=1
бая точка распадается на п—1 невырожденных седел 2-го
порядка. Рассмотрим поведение интегральных траекторий
вблизи одной из особых точек. Разложим функцию в ряд
Тейлора:
/ (2) = / (а,) -Ь /' (fli) (z -a^)+^ f" (а,) {z - а,)» +.../' {а,)^0,
поэтому разложение начинается с члена 2-го порядка, так
как 1"{аг)фО (невырожденная критическая точка);
f"(ai)==0 тогда и только тогда, когда а^ является
кратным корнем для /'(ttj), но это не так в силу того, что все б,—
различны. Значит, около точки ui имеем: f{z)=k(z—ai)^'+
+0(2^), т. е. имеем невырожденное седло. Если бы if"(a,)=0,
то имели бы случай вырожденной особой точки (седло 3-го и
более высокого порядка).
6)f{z)~z+l/z;
Re (/(2)) = рсозф f созф/р = созф |р -f —j;
Im (/ (z)) = p sin ф — sin ф/р = sin ( p —
(2 = ре'ф).
135

в начале координат — особая точка, так как функция 1/2
разрывна. Производная функции f{z) равна 1—1/z^ т. е.
особые точки z=l, 2=—1. Обе точки невырождены.
Рассмотрим интегральные траектории для lmf{z), входящие и
выходящие из особых точек, т. е. сепаратрисы. ■sin<p(p—
— 1/р)=С, в точке (1, 0) с=0. Итак, sin(p(p—1/р)=0,
откуда (р=кп или р=1. Отсюда находим сепаратрисы:
единичная окружность, состоящая из 2-х сепаратрис, и
вещественная ось, состоящая из 4-х сепаратрис. Аналогично, в случае
grad[Re(f(z))], сепаратрисы задаются уравнением созф(р +
+ 1/р)=2 и имеют вид 2-х касающихся петель, в) /(г) =2+
+ 112^^. Рассмотрим grad[Re(f(2))]. Интегральные
траектории этого потока суть линии уровня lm{f{z)):
lm{fiz)) = y ^^ = Г81пф~1^1^
(в полярных координатах на R^). Аналогично ищем линии
уровня
^?е(/(2)) = гсоаф + —~.
г) /(■2)== 2+1/(2—2). Особые точки 2=1, 2=:2, 2=3. в
окрестности точки 2=1/'(2)=—2(2—1) (первый член
разложения в ряд Тейлора). Это—особая точка, седло. Аналогично,
седлом является и особая точка 2=3. В окрестности точки
2=2 разложение f в ряд Лорана дает f'{z)=—l/(z—2)^-^
+ .... Поэтому качественно в окрестности точки z=2
интегральные траектории этого потока имеют вид интегральных
траекторий потока grad[Re(l/(2—2)]. д) f{z)=z^{z—
—1)100^2—2)^°". Особые точки, т. е. нули производной f'{z)
следующие: 2i = 0 — седло 2-го порядка, 22= Г — седло
100-го порядка, 2з=2 — седло 900-го порядка,
(1109 + 1093) -
24,5 =^ — невырожденные особые точки.
Локально, в окрестности каждой особой точки интегральные
траектории ведут себя как седла (вырожденные или
невырожденные в точках 24^:^0,008, 25=1,09) соответствующего
порядка, е) f(г) = 1+2*(2*—4)**(2**—44)***. В окрестности
2=0'можно заменить f{z) на f (2) = 1+4**44***2*. От 5того
качественная картина поведения линий в окрестности точки
2=0 не изменится. Но добавление постоянной не изменяет
вид траекторий, поэтому можно рассматривать функцию
f^{z)=Cz^ где С=4**-44***. Уравнения траекторий имеют
вид Ср*со5 4ф=й. Точка 2=0 является вырожденной особой
точкой, которая при малом шевелении распадается на
четыре невырожденные точки. Точнее, g{z) = C{z—ei) (2—82)X
136

X (2—бз) (z—84) является малым шевелением функции !(г).
ж) /(2)==1/100 1п[(2—20/(2—4)]з. В точках z=2i и
2=4 имеем логарифмические особенности. Кроме них
особых точек нет. з) f(2) = 1/(22+22—1). Для упрощения
записи функции сделаем сдвиг w=z+\. Тогда f{w) = \l{w^—2),
Особые точки w = У2 , w = — V2 . Особые точки
grad [Ref (2))] совпадают с нулями f'{w), т. е. w = 0 особая
точка, причем невырожденная, поскольку f"(0) = 0. и) f{z) =
= 2/2+21 In 22. Особые точки (О, 0), (1/21, 0). Сепаратрисы:
кривые 21ф = 51пф/2 и ось л; от О до +оо. к) f (z) ^2^+21п2.
Особые точки z=0, 2^=—2/5 — вершины пятиугольника.
В этих точках f{z)^kz^, кфО. л) f (z)^21n(2—1)^—
—4/31n(2+10f)3. Особые точки 2=1, z=—lOi, f'{z)^0 для
всех 2. м) /(2) = 1/22—1/(2—1)3. Особые точки 2=0, z=i
(полюса 3-го порядка). Дифференцируем:
t(z)= -~+ , \^ ==0.
Z* (Z— t)*
Получаем еще четыре точки:
i i
z —
z —
(^3--1) (^3- +1)
(1 + /3-) '- (1+/3-)
(г:
1°
0
0 — 1
1 0
Ha бесконечности интегральные траектории ведут себя как
интегральные траектории потока grad[Re(l/24)], т. е. как
интегральные траектории полюса 4-го порядка.
6.17. Рассмотрим в R* дифференциальное уравнение
Ах, где Л —
Интегральные траектории этого уравнения, принадлежащие
сфере 5^, и есть искомое множество. Ясно, что jf(/)=e-^'jf(0).
Если рассматривать R* как С^, то интегральная траектория,
проходящая через точку (Z\, Zz)^S^, имеет вид (e*'zi,e''22),
/е" О'
поскольку е^' имеет комплексную запись
Поставим в соответствие этой траектории точку (21:22),
принадлежащую СР'. Соответствие корректно, поскольку
любая другая пара (23; 24), лежащая на той же траектории,
отличается от (2i; 22) лишь множителем е»' и, следовательно,
задает ту же точку СР'. Остается заметить, что отображение
взаимно-однозначно и непрерывно.
137

§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
7.7. Формулу достаточно доказать для
[дх^ дх1 '
Необходимо проверить, не нарушается ли справедливость
формулы при домножении'векторных полей на гладкие^ веществен-
нозначные функции. Имеем
2(rfa))(/X,r) = 2/(da))(X, У),
/Х(й)У)—У(й)/Х) —й)[/Х, Г] =
= fX{(SiY) — Y{f(iiX)~(ii{tXY — fYX~{Yf)X)==
=/X(юГ) — (Г/)(ОX —/и[X, F] —/Г(оХ+
+ (У/) (оХ = / (X (ю У) — Г (© X) — 0) [X, У]).
Следовательно, равенство не нарушается. Теперь рассмотрим
простейший случай: ш = ф dx'' (ф — некоторая вещественнознач-
ная функция),
Х = Х'-^. Y^Yl- ^
дх^ дх'
Тогда
дхР
2 (do)) (X. У) = 2-^dx''A dx' (X, Y) = A ^XpY" - УХ*),
Х(й)У) —У(й)Х) —u)[X, yj =
= Х(фУ*) - у (фХ*) = -^ ХрУ* ^ YP X*
{[X, У]^0, так как коэффициенты X'^, Yi постоянны).
7.9. Пусть функция / голоморфна в области D всюду за
исключением изолированного множества особых точек. Пусть
область G вместе с ее границей dG содержится в области D
и dG не содержит особых точек. В случае, когда в области G
нет особых точек по формуле Стокса
j/(2)af2 = fd(/(z)rf2).
дв в
Так как функция / голоморфна, то, по определению,
Д--=0 и d{f{z)dz)==-^dzAdz +-^dzAdz =0,
дг dz dz
138

j/(2)d2 = 0.
дв
Пусть теперь в области G есть особые точки Сь ..., а„.
Построим окружности Sy = {z: \ Z — ау\ = г} столь малого радиуса г,
что круги Uy=^{z:\z — ay\^ г), ими ограниченные, не
пересекаются друг с другом и содержатся в G. Пусть Sy ориенти-
рованы против часовой стрелки. Обозначим G\ у Uy через
7=1
Gr. Функция f не имеет особых точек в Gr. Поэтому по
доказанному ^f{z)dz^O. Ориентированная граница OGr состоит из
dG и окружностей Sy, поэтому
j/(2)d2= J/(2)d2- £ j /(2)d2 = 0.
ас, да 7--1 Sy
Вычисляя интегралы по окружностям 'Sy, получаем
п
{ f(z)dz= У resfdz.
дв v=i "■''
7.16. d(p<-*-'')<7«) = — (^ т- а) /7(-*-°-» <7ФЛй) 4-
J^p(-k-a) ilq Дщ j^ p(-k-a)g^(^ = _ (^ ^ а) p(-k-a-l) рд ^^ ^
+ /?<-*-"> А rf2 Н- cuip<-''-''>dz +
= (— (й + а) р*-*-") ^ А/7(-*-а) + a/7(-ft-e) )9 dz = 0.
§ 8. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
8.1. Докажем, что если A^SU{2), то
"!):|a|^+IPi2=l, а.РеС.
-Р а;
Пусть A={^^\^SU (2). Тогда
i«P + IPl^ = l> (1)
aY + pS = 0, (2)
IyP+|6|''=I, (3)
det^ = a6 —Py= 1. (4)
139

Подставляя из (2) а = — Р -^^ в (4), получаем
У
р (151" +IyP) ^ 1^
Y
или Y = — Р, откуда а ~ б. С другой стороны,
Sp {1) = {д: {ЯхЯ, ЯгЯ) = (Я1, 42), 41, Я2 е Q},
где {qi, 72) = Re ^^^г- Легко видеть, что 1^1 = 1, поскольку для
^х^^'/г^! имеем: |1.<7|^=1, т. е. |<7|=1. Обратно, если
|<71 = 1, то {q^c}, М) = (^1. 92)- Таким образом, 5/7(1) состоит
из кватернионов длины 1, т. е. S^aQ — R*. Далее,
q = a + ib+jc+kd = {a+ ib) -\- j(c — id) = г^ + Ft,
где Zj и ZaeCcrQ и |2j ^ + I22I* = 1^Г Если |^| = 1, то
l^iP+ |22i^ = 1. Устроим гомоморфизм ф Sp{\) в SU{2), а
именно:
Элемент ф(<7), очевидно, принадлежит SU{2). Легко
проверить, что ф — изоморфизм.
8.7. Зафиксируем в R^ ортонормированный репер {ей Qi,
63}. Произвольное состояние описанной системы однозначно
задается точкой x^^S^ и вектором cKoj)OCTHjy(A;)erx(52),
где |и(л;) I =C = const^O. Отображение х*-*х; v{x)^-*v{x)/C,
очевидно, является гомеоморфизмом; х — единичный вектор
в R^, выходящий из точки О, v(x)—единичный вектор в R^
Начало v{x) перенесем_в т^чку О. Это преобразование
тождественно на векторах х и v{x); х я и —ортогональны. Пусть
у в R2 — такой вектор, что |y|=I, у ортогонален х я v я
система_ {х, v, у} одина.ко^о ориентирована с системой
{ей 62, бз}. Отображение_А;,_г;^-^-{д;, v, у}, очевидно,
гомеоморфизм. Каждая система {х, v, у} взаимно-однозначно и
непрерывно задается матрицей, соответствующей линейному
преобразованию R^, переводящему ортонормированный репер
{ей fi'2, 63} в ортонормированный репер {х, о, у}. Эти
матрицы образуют группу 50(3): А^80{3)=^АА*=Е и detA = + l.
Таким образом, пространство состояний нашей системы го-
меоморфно многообразию 50(3). Любое ортогональное
преобразование R^ сохраняющее ориентацию, есть вращение
вокруг некоторой оси в перпендикулярной к ней плоскости,
на угол <р, где —n<<f^n.
140

Поэтому каждому элементу группы 50(3) можно
поставить в соответствие взаимно-однозначно и непрерывно точку
шара в R3 радиуса п с отождествленными диаметрально
противоположными точками границы. Осталось показать, что
склеенный таким образом шар гомеоморфен RP^
Действительно, RP3=S7Z2, где S^ стандартно вложено в R* {\х\ = 1).
Поэтому RP3 можно рассматривать как полусферу S^,
находящуюся в области x^'^Q с отождествленными диаметрально
противоположными точками границы
S3 П {х^ = 0} = {(О, х\ х\ л*) е R*: [x-'f + {:^f + {x^f - 1},
что гомеоморфно сфере 5^ радиуса я.
8.10. Разберем случаи n=2k+\ и n=2k. Группа 0{п) —
несвязна, она является несвязным объединением двух
линейно-связных компонент: 0*{х), матрицы с det= + l, и 0~{п),
матрицы с det = — 1. В случае n = 2k+l единичная матрица
£еО+(п), а матрица —Е^О-(п). Рассмотрим Н —
дискретный нормальный делитель в 0{п). Элемент ghg~^^H для
любого h^H и любого g^.O{n). Если g^.O^{n), то g можно
соединить непрерывным путем ф(0 с Е так, что ф(0)=§',
ф(1)^£. Если g^O-{n), то можно соединить непрерывным
путем г|з(0 элементы g и —Е так, что t|5(0)=gf, ■ф(1)=—Е.
Можно построить два отображения M{t) и N{t) таких, что
M{t)=<f{t)hf^-^{t) и N{t)='^{t)h'\^-'^{t) соответственно для
^еО+(/г) и g^O-{n). Тогда
М (0) = ghg-' = h, j iV (0) = ghg-' = h,
M(l) = /i, \N{\)=h
Элементы h и h соединены непрерывным путем, который
целиком лежит в //. В силу дискретности Н получаем, что
h=h, т. е. ghg~^ = h для любого h^H, g^O{n).
{Лемма Шура). Пусть р': G-vGL(V,), р^: G-vGL(V2) — неприводи-
1\1ые представления группы G и пусть / — такое линейное отображение
пространства Vi в пространство Vs, что p^{s) ° f=f о p'{s) для каждого
seG. Тогда а) если р' и р^ не изоморфны, то / = 0; б) если Vi = V2,
р' = р^, то f является гомотетией (т. е. — умножением на некоторое число).
Отображение р : 0(n)-^0(n)ci:GL(R") является
неприводимым представлением, так как можно рассмотреть
отражения относительно каждой из осей. Это матрицы вида
141

где — 1 стоит на (i, i)-u месте. Все такие преобразования
содержатся в группе 0{п). В совокупности они оставляют на месте
одну точку (О, О, ... ,0). Кроме R" и О нет больше
инвариантных подпространств в R". Применяя лемму Шура и пользуясь
тем, что для любого ft е Я ghg—^ — h, заключаем, что h
скалярная матрица. Но в О (п) только две скалярные матрицы: -f Е
и — Е. Они и составляют дискретный нормальный делитель в О («).
Рассмотрим случай n=2k. Матрицы +£ и —Е^О+{п)
являются подгруппой дискретного нормального
делителя Н в 0{п). Покажем, что других элементов в Н нет.
В 0+(п) нет больше элементов из Я, так как Н(]0'^{п)
является дискретным нормальным делителем в 0'^{п), но в
О'^(п) таким является только группа ±Е. Рассуждения
аналогичны предыдущим. Докажем, -что в 0~{п) нет элементов
из Я. Предположим, что he.O-{n), h^H. Тогда ghg''^ = h для
любого g'eO'*'(n). Матрицу h некоторым собственным
ортогональным преобразованием базиса можно привести к ящич-
но-диагональному виду с нечетным числом собственных
значений — 1. Если dimR">2, то можем сделать четную
перестановку базисных векторов. При этом элементы, стоящие на
диагонали, поменяются местами. Получим, вообще'говоря,
новую матрицу, т. е. ghg'^Фh. Например, поменяем (—1) и
ящик местами; если нет ящика, то (-^1) и ( + 1), ( + 1).
В случае п=2 имеем только два вида матриц, к которым
ортогональной заменой приводится любая матрица от 0~{п):
Тогда
С08ф81пф\ /1 0\ / /1 0W С08ф31Пф\
— 81пфС08ф^ \0—ij \0 — 1 у \—sin ф С08ф/■
Значит в 0~ (п) нет ни одного элемента из дискретного
нормального делителя.
8,11. Для группы G = SL(2, R)/{±E) достаточно показать,
что любой элемент группы G можно соединить с ±Е. Пусть
Яь %2 — собственные числа матрицы А. Тогда либо а) Яь ^а^
eR, Я2 = ЯГ\ так как det^ = ±l, либо б) A,2=Xi, A,i=e~**»
X2 — e~^^f. Рассмотрим случай а). В собственном базисе
матрица А имеет вид Л' = САС^ = (« ?) • Можно считать, что
Я>0. Построим путь y.I-^G,
142

Рассмотрим случай б). Существует базис на плоскости, в
котором А имеет вид Л' = САС-^ = f'^^ f ~ ^^" Ч>\. Построим
^ \81Пф С08ф/
путь
у.1-^Кл,^Ц) (^gi„(i_^)jp С08(1-ОФ/'
8.19. Рассмотрим модель плоскости Лобачевского L^ в
верхней полуплоскости (1т2>0 в комплексной записи).
Метрика имеет_вид ds'^= {dx^ + dy^)/y^, или, в комплексной форме
ds^=^dzdzl{z—2)2. Рассмотрим дробно-линейные
преобразования С в С, оставляющие верхнюю полуплоскость на
месте (переводящие ее в себя). Это будут преобразования
вида
G =
^^joM^. ^^ ^^ с, deR, ad —6с= ll
(cz + d) J
Этот класс преобразований сохраняет метрику, но это не все
преобразования, сохраняющие метрику. Например,
преобразование ш = —Z, очевидно, является движением, но не
принадлежит группе G, хотя бы уже потому, что не является
аналитической функцией. Аналогично, легко проверить, что целый
класс преобразований вида
Я = L = Щ±Ж.. а, b,c,dGR, ad — bc = — l)
I (сг-bd) j
сохраняет метрику. Преобразованиями вида G и Н
исчерпывается вся группа движений плоскости Лобачевского. В
самом деле: СуЯ — группа; G\JH=& транзитивно действует
на L2 плоскости Лобачевского. Рассмотрим подгруппу S
группы @, подгруппу преобразований, оставляющих точку i на
месте, и некоторое движение h-.L^^f-L^; h{i)=i. Докажем,
что /leS. Покажем, что движение, оставляющее i на месте,
полностью определяется своим действием в касательной
плоскости к точке L Пусть h, g — движения, ht = g*:TiL^-^TiL^.
Тогда преобразования h я g одинаково действуют на
геодезических, проходящих через i, и, следовательно, совпадают
на них, а так как любую точку L^ можно соединить с i
геодезической, то h^g на L^. Осталось установить, что для
любого аеО(2) существует такой элемент g^®, что g» = а.
Пусть g{z) — {az+b)l{cz+d)^@, g,: R^-vR^. Дифференциал
g, есть овеществленное умножение на g'{i), где g'{z)
комплексная производная: g'{i) = ll{ci+d)^. Пусть
a = cos(—|-), 6=-sin (--?-).
143

sin i ——], d ^cos
fi
Тогда g'{i) = cos q)+i sin <p, т. e. поворот С на угол ф. В
случае симметрии рассматриваем преобразование оу=—z,
дифференциал которого есть симметрия, а затем применяем
дробно-линейное преобразование, которое дает нам поворот.
Пусть теперь h — произвольное движение, h{i)=Zo. В силу
транзитивности группы @ существует такой элемент ge®,
что g{zo)—i. Движение g • h^S, т. е. g • h(i)=i. Подгруппа
G является связной__ подгруппой, содержащей единицу.
Преобразование w = —2 не принадлежит G. Значит, группа G
является подгруппой индекса 2 в группе @.
8.21. Теорема. Любая группа движений конечного порядка
iV в R* изоморфна (предполагается, что действие не имеет
ядра) одной из пяти следующих групп: Cj^ — циклическая
группа; Dn — диэдральная группа; Т — группа тэтраэдра;
W — группа куба (октаэдра); Р — группа додекаэдра
(икосаэдра).
Доказательство. Пусть Г — конечная группа
вращений порядка N. Рассмотрим неподвижные точки (полюсы)
всех преобразований из Г, отличных от тождественного
преобразования. Пусть кратность полюса р (число
преобразований из Г, оставляющих р на месте) равна v. Число
операций, отличных от тождественного / и оставляющих полюс р
неподвижным, равно v—1. Пусть {q} — множество точек, в
которые переходит полюс р под действием элементов из
группы Г. Тогда {q} — орбита, состоящая из эквивалентных
между собой точек. Число точек q, эквивалентных р, равно N/v.
Действительно, кратность q тоже равна v. Преобразование
Li^T переводит р в <7г (t=l, •••, п). Пусть Si, ..., Sv —
преобразования, сохраняющие неподвижной точку р.
^ Г = {Sj^-Lj, ..., Ь^-L^; о^-L2, ... , Ь^• L^', ... ; o^-L^, ... , Sy/-L^}.
Все эти преобразования различны, любой элемент g^T
содержится в этой таблице и |Г| =N, т. е. N=nv для любой орбиты.
N=ncVc, где с — некоторая орбита. Рассмотрим все пары
(Sp), где 5еГ неподвижны на р и 8ф1. Число таких пар с
одной стороны равно 2(N—1), а с другой стороны —
-^(v,-l)n,.
с
2(yV-l) = £n,(v,-l), 2-2/yV = £(l-l/v,), N>2
с с
(так как N=1 —тривиальная группа), Vc^2, поэтому из
очевидных соотношений 2^с^3. Возможны случаи: 1. с=2.
Тогда 2/A^=l/vi + l/v2, 2 = N/vi+N/v2 = ni + n2, П1 = П2=1.
144

Каждый из двух классов эквивалентных полюсов состоит из
одного полюса кратности N, т. е. получили циклическую группу
Cn поворотов 'вокруг одной оси порядка Л^. 2. с = 3. Тогда
1/Vi + l/va + l/Vj = 1 + 2,'N, Vj < Vg < V3. Хотя бы одно Vj = 2.
Пусть Vi = 2. Тогда l/vj + I/V3 = 1/2 + 2iN. Числа v^, Vg не
могут быть больше или равны 4, !т. е. v^ = 2 или 3. а) Vj —
= V2 = 2, Л^ = 2v3, V3 = п — диэдральная группа Dn; б) v^ = 2,
•V2 = 3, I/V3 = 1/в + 2/Л^. Возможны случаи: Vg = 3, iV=!2 —
группа тетраэдра Г. Vg = 4, /V = 24 — группа куба W. Vg = 5,
jV = 60 — группа додекаэдра Р.
Группа додекаэдра Т содержит два класса полюсов из
четырех полюсов кратности 3, |Г|=1+4-2 + 1-3=12.
Образующие и соотношения группы Т: abc=adb=acd = bdc=\. (а, Ъ,
с, d — вращение вокруг всех четырех вершин на угол 2я/3),
a3 = b3 = c^ = d^=l. Пусть е, f, g — повороты вокруг осей /,,
ef=fe — g. К Т можно добавить отражения. Пусть h —
несобственное вращение, he = eh, a^h = ha^~'' (t = 0, 1, 2). С
прибавлением всех несобственных движений получаем |Г|=24. Куб
и октаэдр имеют одну и ту же группу движений \W\ = 1-Ь
-)-3-ЗгЬ1-6-1-4-2=24. Для W имеем один класс из шести
4-х полюсов (вершины куба), восьми 3-х полюсов (центры
граней), двенадцати 2-х полюсов (середины ребер). Т
является подгруппой W. Это очевидно из геометрических
соображений (тетраэдр можно вписать в куб). Соотношения: а'^ = Ь^ =
= c2=d2=i (d — отражение); ad = da^^, b^d=db^~^, cd=dc,
ac = b.
|Pl=l+4-6 + 2-10 + 15-2 = 60 — только собственные
движения. С добавлением отражений получаем \Р\ = 120.
Подгруппа собственных движений в Р изоморфна As. Она имеет
12 пятикратных полюсов (вершины икосаэдра), 20 3-кратных
полюсов (центры граней), 30 2-кратных полюсов (середины
ребер). Эта группа полностью некоммутативна. Соотношения в
группе додекаэдра
abcde = 1, bkef-H-^ = 1, aidkr^h-'^ = 1, ci~^g-^eh = 1,
bh-^!-4g= 1, ag-^k-^cf^\,
или
Ьсе=\, bkel-^ = I, i--=k, ci-'^-'e=l, b :='g~\ g-^k-^c = 1.
Исключим g и k:
bce= 1, biei-^ = I, ci-^be = 1, bicr^ — 1,
Из соотношений bee— I и biei~^ = 1 следует и i = сЪ. Из
соотношений biei—^ — lci~^be = I и t = cb следует bebc-^b'^c—^ = 1
и c&-'c-'bc-'6-i = 1. Из всех полученных соотношений
получаем утверждение о полной некоммутативности группы Р, т. е.
Р = [Р, Р\. Другой вариант копредставления
145

be — cbr-^b-kb-^, cb =. bcb-^cbb, a^ = \fi = abab = 1,
где a — вращение вокруг оси 5-го порядка, с=( 12345), b —
вращение вокруг оси 3-го порядка, b — (452), Р = А^.
8.22. Гранями правильного многогранника являются
правильные п-угольники. Многогранник будет невырожденным,
если сумма углов между ребрами всех граней в одной
вершине меньше п. Из очевидных соображений /г^З, т^З
(т — число граней у одной вершины), 2я>ят(п—2)/п,
2/г/п—2>т. При т = 3, /г = 3 — тетраэдр, т=3, п=4 — куб,
т~Ъ, п = 5 — додекаэдр, т = 4, п = 4 — октаэдр, т = 5,
п = 3 — икосаэдр. Из пяти правильных выпуклых
многогранников четыре являются дуальными: куб, октаэдр.
8.23. Пусть G — конечная группа, действующая
эффективно на R", т. е. если xg^=x, .«eR", g^G, TO,g=e. Группа Z^,
порожденная элементом g, тоже эффективно действует на
R". Рассмотрим пространство X=G/Zft, где х~^у, если y^g^x,
g^Zk] ai{x)=Zk, nt(A;)=xCi(R")=0 при t>l, так как R"-^X
является накрытием. Значит, X гомотопически-эквивалентно
/C(Zft, 1), т. е. линзовому пространству. Но гомологии
K{Zk, 1) отличны от О в бесконечном числе размерностей, в
то время как X не имеет клеток размерностей больше п.
Таким образом, обосновав утверждения: а) если на R"
действует без неподвижных точек дискретная группа G и Xq —
= R"/G — множество орбит, тогда естественное отображение
р : R"->-Xg является накрытием; б) Я1{Ха)=0
(доказательство утверждений а), б) оставляется читателю), закончим
доказательство:
8.24. В пространстве R? вводится метрика ds^ = — dx"^ -f dy'^.
Отметим, что А^@, если AIA' = /, где / = ("^ ^^
%1 «12\ /— 1 0\ /'^11 о,Л _ /— 1 О
«11 «2l\ ^
'^12 '^22/
Hi "22/ \ 0 1/ \«12 «22/ 1 О 1
Получаем | — aj^ + а^^ ='1, откуда
I «11*^21 ^^ '^12«22>
^^ /±сЬф ±sh ф
\±sh ф ±сЬ,ф
В зависимости от сочетания знаков ± у элементов
матрицы А получим четыре связных компоненты @ (ф —
псевдоевклидов угол поворота). При применении псевдовращений
концы орторепера скользят по псевдосферам'. Наличие 4-х
связных компонент в @ очевидно из геометрических
соображений (все зависит от того, будут ли векторы орторепера еь
62 при движении' перебрасываться на другие ветви гипербол
146

(псевдоокружностей), или же будут оставаться на исходной
псевдоокружности), а) Собственные псевдоевклидовы
вращения (det^ = l). Концы векторов орторепера остаются на
прежних ветвях гипербол. Это множество движений @о
является связной компонентой единицы в группе @, £^©0.
Е — тождественное преобразование, б) Несобственные
псевдоевклидовы вращения ((1е1Л=—1). Отражение от оси Xz со
сменой ориентации, в) det^=—1. Отражение от оси Х\ со
сменой ориентации, г) detЛ = l. Оба вектора репера
переходят на другие ветви гипербол. Отражение в точке О.
Так как ©„ —нормальный делитель в группе @ (содержит
единицу группы и связен), то можно определить фактор-группу
F = @/@g. Индекс (@:@о) = 4. Группа F изоморфна Ъ^^^Ъ^
Для группы F соотношения таковы: а^=^Ь^=е, аЬ = с; F —
коммутативная группа.
§ 9. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
9.1. Пространство R"+^\M гемотопически-эквивалентно
надстройке 2(R"\M).
9.2. Заметим, что открытый шар Л" и сфера S" с
выколотой точкой гомеоморфны. Докажем наше утверждение
индукцией по размерности комплекса. Если размерность. п=
= 0, то утверждение очевидно. Пусть утверждение верно
для всех чисел, меньших п. Тогда, по предположению
индукции, (п—1)-мерный остов /С""' нашего комплекса
вкладывается в евклидово пространство R^. Это значит, что на ^С"~'
заданы непрерывные вещественнозначные функции fi{x), ...
■■■, fN{x), такие,-что (/, (х) fNix))^{fi{y), .... In (у)) при
хфу. Пусть е", /=1, ..., k, — все п-мерные клетки нашего
комплекса. Тогда функции fi{x) определены на границе
каждой клетки е" (обозначим ее через е"). Пусть клетка- *п
гомеоморфна внутренности В" замкнутого шара D". Тогда
можно считать, что функции /i(;c) заданы на Z)"\B".
Непрерывность их при этом сохраняется, взаимная однозначность
может быть потеряна. Продолжим эти функции с Z)"\B" на
В" (т. е. с е" на е^) следующим образом. Пусть геВ" и
z^O. Полагаем fi{z) = \z\fi{zj\z\). Если z—O, то полагаем
fi{z)=0. Итак, мы продолжили функции fi до непрерывных
функций на всем комплексе К. Теперь определим функции
йЦх),... ,gl+^x).
Вне е^1 положим gl{x) = 0, s = 1, ... , п + 1; на е^- полагаем
is{ix),...,gi(x), gL+A^))==
— 81г]я1д;|, ... ,-^81пя|а;|, cosxclxl-b-
х\ \х\
147

Определим F: К-*-R^+*("+'^ равенством
F (х) = (/i (X), ... , f^ {X), g\ (x), .... g\^;(x), ...
•■■,g\ix),...,g^^+iix)).
Отображение F взаимно-однозначно. Утверждение доказано.
9.4. Рассмотрим векторное пространство над R с базисом
мощности континуум. Введем в нем следующую топологию.
Рассмотрим «куб» В=^{х:—!<.««< 1 для всех а}, где Ха —
координаты вектора х, и сечение В конечной коразмерности:
Ва,^...в = В(]{Ха, = 0, Хц = 0, ... ,Хй = 0}.
Множества Ва&...& назовем окрестностями точки О.
Очевидно, что в такой топологии точка О не имеет счетной базы
окрестностей, т. е. построенное пространство не удовлетворяет
первой аксиоме счетности, а значит, автоматически и второй
аксиоме, так как первая аксиома есть следствие второй.
9.5. Рассмотрим отображение F:S^^>-R^, x'-*{f{x), g{x)),
F(S2)c:R2 — образ сферы. Образ F{s^) —
центрально-симметричное множество относительно точки (О, 0), поскольку,
если [а, b)^F{x), то (—а, —b)=F{rx). Предположим, что
(О, 0)^F{S^). Спроектируем плоскость с выколотым началом
координат на единичную окружность. В полярных
координатах эту проекцию можно записать в виде /г (re''') =6**. Тогда
h{F{S^)y— некоторое центрально-симметричное множество
на единичной окружности SK Здесь h{F{S^)) является
образом связного множества 5^ при непрерывном отображении
кш F, поэтому оно тоже является связным.. Очевидно, что
связное, центрально-симметричное множество на S' должно
совпадать с S*. Далее, h{f(S^)) должно быть односвязным,
как образ односвязного множества S^, что противоречит
равенству h{F{S^))=SK
9.6. В качестве пространства X возьмем пространство I2,
элементами которого являются последовательности
действительных чисел х= {хи Хг, ■••, Хп,...), удовлетворяющих условию
оо
|.«Р = V 1д:„1^ < оо. В качестве пространства YaX возьмем
п=Л
сферу в X, т. е. множество таких х, для которых 11х1|2 = 1.
Рассмотрим в Y последовательность точек Хи у которых на
/-м месте стоит 1, а на остальных — 0. Эта бесконечная
последовательность не имеет предельной точки, поскольку
\х^ — хЛ = У2 для любых г, /. Следовательно, У не является
• компактом.
9.8. Пусть ^1, ... , е^ — вершины комплекса К. Возьмем в
R^""^' точки е\, ... , es, в общем положении, т. е. при /< 2п + 2
любые / точки будут линейно-независимы. Каждому остову
148

поставим в соответствие симплекс
Этот симплекс существует, так как, в силу Ъбщего положения
точек е\, ... ,е\ ъ R^"^' и неравенства гК п, точки е{„ et^
линейно-независимы. Симплексы Т' образуют комплекс К'
изоморфный комплексу К, так как каждой вершине в К'
соответствует одна и только одна вершина из К.
Комплекс Д"' — триангулящ1Я. Для доказательства этого
достаточно показать, что никакие два симплекса Т;, Т/ е К' не
пересекаются. Пусть e't^, ... , el —вершины Т^; е/„ ... ,6^^
—вершины Т; (некоторые вершины могут быть общими). Пусть
в*, ek — все точки, являющиеся вершинами хотя бы одного
из симплексов Ti и Г,-. Число г + I этих точек удовлетюряет
неравенству
г+ 1<(р+ 1) + (9+1)<(п4 l)-f (п+1) = 2п + 2.
В силу общего положения точек вь ... , es в R^"+' точки
**«> • • • .6*^ являются вершинами некоторого невырожденного
симплекса То размерности не выше 2п+\. Симплексы Т{ и
Tj являются гранями Го, а значит, не пересекаются, если они
различны.
§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
10.2. Аксиома (W). Если К есть С\^-комплекс, то множество fcK
замкнуто тогда и только тогда, когда для всех клеток е^ полный
прообраз (/f)~' {F) с: Вч замкнут в В'. Предположим, что в пространстве X
есть две топологии {Уд} и {Vp}. Скажем, что ,{Ур}^{{Уц}(сильнее),
если для каждой точки jceX и для каждого Vp^sx найдется такое
Предположим, что в С157-комплексе помимо топологии,
задаваемой аксиомой {W), есть еще некоторая топология {Ua.}-
Возьмем произвольную точку х^К, т. е. точку,
принадлежащую Сй^'-комплексу и [/«,эх. Окрестность f/a„ является
объединением попарно-непересекающихся открытых
пересечений (^ Л ^^а„)- Рассмотрим полный прообраз (/f)~'(^с(„).
Он открыт в Вч (это следует из непрерывности
характеристических отображений /')• Значит, для дополнения (K^Ua,)
149

полный прообраз (Я)~' {K\Ua„) замкнут в В^ для всех ef.
По аксиоме (W) следует, что [K^Ua^) замкнуто в К,
значит, Ua„ открыто в топологии, задаваемой аксиомой (W),
т. е. Uot принадлежит системе открытых множеств,
задаваемых аксиомой {W).
10.21. «Бутылка Клейна».
10.27. Пусть ai, а2^Н{Х', У), ai~a2. Это значит, что
существует гомотопия F:X'Xl->-Y, такая, что F{x, ^)=ai{x),
F{x, 1)=а2(х). Положим F'= F» (р. Тогда F':XxI-^Y,
F'{x, 0) =F(/i(x), 0) =a,{h{x)), F'{x, 1) = РЩх), 1) =
= a2{h{x)). Следовательно, ai» h-^a^» h.
10.29. Пусть S°°= lim5", где S""*"' является надстройкой
й-*ов
над S". Так определенная сфера S°° является CW-комплек-
сом. Рассмотрим аеЯг(5°°) и /еа: /: S*->-S°° и / переводит
отмеченную точку в S* в отмеченную точку S°°. Пусть /: /C-»-L
непрерывное отображение комплекса К в комплекс L,
причем на подкомплексе K\CzK отображение / клеточно. Тогда
существует такое отображение g: K-^L, что а) /
гомотопно g; б) g — клеточно на К; в) f/Ki^g/Ki', г) гомотопия,
соединяющая fug, тождественна на Ki- Этот факт означает,
что для f существует гомотопное ему отображение, которое
5« переводит в г-мерный остов S°°, т. е. в S'', но S^(^S^+^czS°°.
Значит §•: S'-^5^+'. Поскольку Яг(5")=0 при i<n, то любое
отображение feaejt{(5°°) гомотопно отображению,
переводящему всю 5« в отмеченную точку S" (постоянному
отображению). Это и означает, что отображение f:S^-^S°°
гомотопно постоянному. Отображение f выбиралось произвольно,
следовательно, я, (5°°)= О- Если X vi Y — клеточные
комплексы, и отображение /: X-^Y индуцирует изоморфизм всех
гомотопических групп, то f гомотопическая эквивалентность.
В качестве / возьмем отображение S°°->^ . Изоморфизм
гомотопических групп индуцируется, так как все они равны
нулю. Значит, сфера 5°° гомотопически-эквивалентна точке.
Следовательно, S"» стягивается к точке.
10.31. Пусть p-^Xo)=Fo, p-'(xi)=Fi. Пусть щ: Fa-^-X —
вложение. Тогда р» <ро: Fq-^Xq^Y. Соединим Хо и Xi путем,
т. е. устроим гомотопию между отображением Fo в .«о и Xi, а
именно, ypt-.Fff-^Y, '^t{Fo)=y{t), где \ — наш путь. Тогда из
аксиомы о накрывающей гомотопии следует, что существует
накрывающая^ гомотопия (семейство отображений (pt'-Fo-^X,
такое, что {р » 4>t) (Fq) =y(t)), т. е. (р » 9i) (Fo) =y(1) =*i-
Отсюда следует, что фl(Fo)c:Fl. Итак, по пути у мы
построили отображение vtpi '■ ^о-*-^!- Докажем, что ^ф! зависит
только от гомотопического класса пути у, т. е. если yi гомотопно
Y2, то 7,ф1 гомотопно ,,,ф1. Заметим, что построенное нами
отображение Fq-^Fi не зависит от выбора накрывающей то,-
мотбпии в том смысле, что любые два таких отображения
150

гомотопны. Действительно, пусть <jpf и |< накрывают i|j<- Тогда
отображение ф1: Fa-^Fi гомотопно ц>о: Fo-yPo, фо=1|'0| а
последнее, в свою очередь, гомотопно ijji: Fo-^Fi. Пусть теперь
дано семейство yt путей. Покажем, что -уонр! гомотопно yi<Pi
Имеем отображение Уо^р : FoXI-^X; (р«7оФ) (^оХ/)=уо-
В Y существует гомотопия уо в уи которую можно
накрыть таким отображением Ф: {FoXl)Xl-^X, что 0|(foX
,Х/)ХО=у,Ф и 0|(foX/)Xl=/i, так что (р« f) (^оХ/) =Yi-
Следовательно, отображение ft можно взять в качестве
накрытия для Yb fi= г,ф1- Тогда Ф1(^оХ1)Х/ является гомо-
топией между v.fi и т.Ч'х- Заметим далее, что аналогично
можно построить по пути (—у) отображение (-v)Xi: Ру-*~Ро.
Осталось доказать, что отображение U-~v)Xi^vVi)-^o~^Po
гомотопно тождественному. Но это отображение можно
рассматривать как отображение, индуцированное путем y+ (—y)'
который, очевидно, гомотопен отображению в точку.
10.38. Пусть S'^.XS'^-^ — клеточный комплекс, у которого
имеются лишь четыре клетки: е", е**, е"~'', е". Рассмотрим
отображение / :5*xS"~''->-S", /(е°)= * — некоторая точка
в S"; возьмем ее за нуль-мерную клетку в S".
По теореме о клеточной аппроксимации существует
отображение §• :S''XS"~''->-S", которое уже является клеточным
и которое гомотопно /, причем на е° /(e°)=g'(e") и вся
гомотопия, соединяющая fug, совпадает на е° с f. Поскольку
5" состоит лишь из двух клеток: нуль-мерной ( * ) и
«-мерной, то при отображении g клетки е** и е"~'' переходят в
точку на S". Получаем, что отображение g может быть не
равным постоянцому лишь на «-мерной клетке. Значит, все
отображения 5** XS"~''->-S" отличаются лишь на некоторое
отображение «-мерной клетки в S''XS"~'' в 5", переводящее
всю границу в точку на S" (из-за линейной связности S"
выбор точки не играет роли). Но эти отображения являются
отображениями 5"->S" (точнее, можно установить
взаимнооднозначное соответствие между JI(S"-'^XS^ S") и
я'(5", S")).
§ 11. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
12.1. Рассмотрим расслоение (Е, р, X), где Е —
пространство всех путей пространства X, начинающихся в точке Хо, а
р,— отображение, сопоставляющее каждому пути его
концевую точку, пространство Е рассматривается при этом в
компактно-открытой топологии. Слоем этого расслоения является
пространство QX=£2x„ всех петель пространства X в точке
д^о- Легко видеть, что пространство Е стягивается по себе в
точку (каждый путь стягивается по себе в точку Хо). Поэто-
151

му Яп(£)=0 и, следовательно, гомотопическая
последовательность этого расслоения
. . . -Ь Я„+1 (Е) -^ Ла+1 (X) -S- Я„ (й;,„) -S- Я„ (Е)-^...
порождает изоморфизм n^{Qx„) ^Яп+\{Х), в частности, Ях(йхо) ==
?^;Я2(Х). Группа я„(Х) абелева при п>2.
12.2. Определение. Пространство X называется стягиваемым, если
тождественное отображение Х-^Х гомотопно отображению Х-^Х, пере-
родящему все X в точку.
Определение. Пространство X называется односвязным, если roi(X)=0.
Так как X стягиваемо, то существует ф;: Х^уХ, фо —
тождественное отображение Х^уХ, ф1 — отображение X-^Xq^X.
Так как определение фундаментальной группы не зависит от
отмеченной точки (с точностью до изоморфизма), то пусть
у: 1^уХ произвольный путь на Х, ■у(О) =yO) =^о; б :/->-Х,
б(т)^Хо. Та же гомотопия (pt'.X-^X устанавливает
гомотопность петель -у и б. Таким образом, любые два пути на X
гомотопны, т. е. Я1(Х)=0.
12.3. Докажем, что: а) всякий элемент из П1{Ва){Ва —
букет окружностей) представим в виде конечного
произведения элементов т)а и т)^\ где т)а е я^ (Ва) — класс
отображения г а, являющегося стандартным вложением; б) такое
представление единственно с точностью до сокращения
идущих подряд сомножителей т)а и т)» .
а) Это равносильно тому, что Jtj(B^) является свободной
группой с образующими т)а, аеЛ. Рассмотрим отображение
[:8^-*-Ва- Представим каждую окружность S^nSieS^
в виде суммы трех одномерных симплексов Р, Q, R и Pat
Qa, Ra,- По теореме о симплициальной аппроксимации,
отображение f гомотопно симплициальному отображению F
некоторого подразделения комплекса S^ в Ва- Отображение F
умножим справа на гомотопию <рг, где фо — тождественное
отображение, ф1 переводит Ра, Ra, в отмеченную точку и
растягивает Qa на всю 5а. Получим отображение F, гомотопное
исходному. Отображение F переводит каждую из равных
частей, на которые разделена S', либо в точку, либо
наматывает на одну из Sa, а^А. Класс такого отображения в
щ(Ва) представляет собой произведение элементов вида у\а>
т)^*, е — единицы фундаментальной группы, т. е. класса
постоянного отображения. /
б) Произведение т)а,... т)а* (^s = ± О» ^ > 1, в котором не
встречаются подряд г\„Гу^ %\ ие равны единице в Я1(Вл), т. е.
не существует никаких соотношений в я^(Вл). При накрытии
я : Т-*-Х прообраз каждой точки я~' ( * ) =D находится во
152

взаимно-однозначном соответствии с классами смежности
группы ni{X) по подгруппе ji*(jii(r)). В частности, если
Xi, Х2^Т, Х^Х и n{Xi) =л(Х2) =Х, S — любой путь из Xi в Х2,
то петля ji(s) с вершиной в точке х не гомотопна нулю, так
как в противном случае xi=X2. Пусть т) = т)а, ... т]**, т)^' —
петля, проходимая в направлении окружности букета в
зависимости от знака е,-. Возьмем ^+1 экземпляр букета и
расположим их друг над другом. Берем т)ое, в первом и
втором букетах, вырежем в обоих экземплярах по отрезку, а
концы соединим «крест-накрест», продолжив на них
проекцию я. Аналогично соединим второй букет с третьим,
используя ц^^ и т. д. Если в слове т) идут подряд две одинаковые
буквы, то надо вырезать два отрезка из одной и той же
окружности. При этом, вторая операция предшествует
первой, если 8г=1, и следует за ней в противном случае.
Получили (^-f 1)-листное накрытие над В^. При этом путь т)
накрывается путем, начинающимся в нижней точке и
кончающимся в верхней. Эта петля не гомотопна нулю.
12.4. Пусть f-.Y-^-^Y^ и g:Y2-^Yi — гомотопические
эквивалентности, т. е. g'«/~Idy,;''7egf-v.Idy,. Определим
отображение f,:ni(V^)-^ni(Y2) и g,:n^(Y2)-*-n^{Y^). (Если a:S^-^Yi,
а е'а е Ях (Y^), то /? — класс петли f^ea-.S^-^Y^.) Так как
/.•Я. = (/«Я).. то f,ig,:ni{Y^)-^nAYi) и я../.: я^(Г^)-^
->-Я1 (Kg) — изоморфизмы. Отсюда Ях (К^) = n^{Y2).
12.5. Пусть ni{X)>^ni{Y)—свободное произведение П\{Х)
и Jii(y). Пусть X, У —универсальные накрытия над X а Y
соответственно. Пусть xq — отмеченная точка X, Y и букета
XV У- Построим следующее накрытие: возьмем X,
рассмотрим р-'(хо), где р:Х-^Х — накрытие, и в каждой точке
л:о^р-'(Хо) приклеим Y. Отождествим хЬ с Xq, где xq —
некоторая точка из рГ'(^о), Pi:Y-*-Y— накрытие. В
каждой оставшейся точке из рТ (хо) в каждом экземпляре
«приклеенного» Y приклеим таким же образом X и т. д. Проекцию
р": {X\/Y)-^X\/Y определяем естественным образом:
каждый экземпляр Y посредством р' отображается в У, и
каждый экземпляр X посредством р отображается в X.
Очевидно, что полученное пространство являetcя накрытием над
XV У, и его универсальность вытекает из универсальности
X к Y. Рассмотрим фундаментальную группу X\/Y, точки
^ь ^2 из X\/Y такие, что U, ^2е(р")~'(^о). и путь а. При
проекции р" этот путь перейдет в некоторую петлю а,
представляющую класс а в ni{X\/Y). Заметим, что из конструк-
153

ции накрытия и из односвязности X и Y следует, что путь из
ti в tz единственный с точностью до гомотопии.
Пусть а е Jij (X V F) разлагается по образующим "с^ е Пу (Х)
и F, eni(K), т. е. а = cf/ft/'/c*'... 6°«. Тогда это представле-
ние однозначно с точностью дд соотношений^ в2я1(Х) HBni(Z),
т. е. не существует никаких соотношений между q и 6,-.
Действительно, пусть р = с^'№ ... с^Ч)У -^1, где 1 — постоянная
in 'п
петля в точке Хо, и не все е^ и а^ равны нулю (мы берем
редуцированное слово. Тогда р можно реализовать путем в X V ^ ^
который, как, очевидно, следует из вида накрытия, не будет
замкнутым и, следовательно, р'/'Л. Итак, мы получили, что
я^ {Х\/ Y) = Jii (X) * я^ (У). Этот же результат следует из
теоремы Ван-Кампена о выражении фундаментальной группы
комплекса через фундаментальные группы его подкомплексов и их
пересечения.
12.6. Определение. Пусть аеяп(Х), реят(.Х). Элемент группы
Kn+m-iiX), представленный сфероидом
, , W osvP
s"+'^'-*-s« v s™—>-x,
называется произведением Уайтхеда элементов а, р и обозначается через
[а, Р].
Замечание. Произведение S"^XS™ есть клеточный комплекс с
четырьмя клетками е", е", е™, е"+">. Ограничение характеристического
отображения f:B''+'"-^S'"XS" клетки £"+"• на сферу 5"+™-'сДп+т есть
отображение. S"+'"-'->-S" VS™. Обозначим его через w.
В нашей задаче граница 2-мерной клетки приклеивается
к S'VSi по коммутатору. По определению [а, р]ея1(Х).
Сфера S' переходит в букет S'VS'; 5'->-а&а-'6~', где а, b —
образующие тора. Далее, на каждой окружности задается
отображение: на а—а, на b—р. Эта конструкция полностью
совпадает с конструкцией произведения [а, р]=ара~'р~'.
12.7. Определение. Если К — узел в R', то фундаментальная группа
Jii(R'\/C) называется группой узла.
Найдем копредставление этой группы. Рассмотрим
верхнее (нижнее) копредставление трилистника. Пусть РК — его
проекция. Точки ki (г = 1, ..., 6) делят узел на два класса
замкнутых связных дуг — класс переходов и класс проходов^
чередующихся друг с другом. Пусть Ai, Аг, Аз — переходы,
Би В2, 5з — проходы, Fs — свободная группа с образующими
X, у, Z. Назовем путь и в R^ простым, если он является
объединением конечного числа замкнутых прямолинейных
отрезков, его начальная и конечная точка не принадлежат РК, он
пересекает РК в конечном числе точек, не являющихся
вершинами РК или V. Каждому пути v сопоставим y^efg:
154

: u# = xfl ... x~l, Xik — образующие свободной группы,
efe=l или —1, в зависимости от того, как v проходит под
^i)^- Верхнее копредставление группы ni(R^\/C) имеет вид
(х, у, Z; Гу, Г2, Гз),
где Г{ = vi — соотношения. Известно, что верхнее
копредставление, задаваемое формулой (I), является копредставлением
nj^{R^\K)- Петли t'l, V2, V3 вокруг'переходов (х, у, z —
образующие) удовлетворяют равенствам
W| = л—' yzy-^, vT = y-hxz~^, vT = zr^ хух-^.
Получаем копредставление (л;, у, г: x=yzy~\ у = zxz~^, z =
— xyx-'^). Подставим z=xyx~^. Получим jii(R^\/C) = (■«, У-
х=ухух-^у-\ у = хуху^х-^). Итак, ni(R^\/C) = (л;, у:хух=^
= уху). Трилистник нельзя развязать, так как его тип
отличен от типа тривиального узла. Если узлы К к К' имеют один
и тот же тип, то их дополнительные пространства обладают
совпадающими фундаментальными группами. Группа G =
= (х, у: хух—уху) не является бесконечной циклической
группой Z. Действительно, можно построить гомоморфизм
9: <5->-5з, где 5з порождается циклами (12), (23).
Пусть К' и К" — связные подкомплексы связного
n-мерного симплициального комплекса К, причем каждый
симплекс из К принадлежит, по крайней мере, одному из этих
подкомплексов. Пусть D = K'f\K" пересечение, которое не
пусто и связно. Пусть F, F', F", Fd — фундаментальные
группы комплексов К, К', К", D. В качестве начальной точки
замкнутых путей возьмем OsD. Тогда каждый замкнутый
путь комплекса D является одновременно путем комплексов
К' и К".
Теорема. Группа F получается из свободного произведения F'^F",
«ели отождествить каждые два элемента F' и F", соответствующие
одному и тому же элементу Fb, т. е., полагая эти элементы равными,
добавим, тем самым, новые соотношения между образующими групп F' и F"
19].
Найдем фундаментальную группу винтового узла,
определенного следующим образом: на боковой поверхности
кругового цилиндра проведем образующие на расстоянии 2я/т
друг от друга, а затем повернем верхнее и нижнее
основания друг относительно друга на 2пп/т. После этого
отождествим основания. Присоединим к R^ одну несобственную
точку (оо), превратив R^ в S^. Удалим из S^ все точки,
принадлежащие трубчатой окрестности узла. Получим полиэдр К,
являющийся дополнением узла. Разобьем S^ на две части
тором, на котором лежит винтовой узел. Комплекс К распа-
155

дется на два полнотория, у каждого из которых на
поверхности выброшена трубчатая окрестность узла. Одно полно-
торие возьмем в качестве К', другое (с несобственной
точкой)— в качестве К". Фундаментальная группа F'{F")
полиэдра К'(К") есть свободная группа с одной образующей
А (В). Образующую А можно представить средней линией
полнотория полиэдра К' (аналогично поступим с В).
Пересечение D обоих полноторий представляет собой
закрученное круговое кольцо. Фундаментальная группа D также
является свободной с одной образующей, в качестве которой
возьмем среднюю линию кругового кольца. Группа F' в F"
есть свободная группа от образующих Л а В. При
надлежащей ориентации путей А и В путь С, рассматриваемый
как элемент группы F', равен Л™, а как элемент группы F"
он равен S". Получаем соотношение Л™ = В". Итак, копред-
ставление группы Я1(5^\у)'^М' ^' А^=А^}, где у —
трилистник.
Два полученных копредставления фундаментальной
группы трилистника эквивалентны. Проверку этого мы
предоставляем читателю.
12.8. Выберем в качестве начальной точки замкнутых
путей точку О, принадлежащую W. Тогда каждый
замкнутый путь комплекса W является одновременно путем
комплексов Z, Y, т. е. каждому элементу группы ni(W)
соответствует элемент группы ni{X) и элемент группы ni{Y).
Представим Z, Y, W в виде симплициальных комплексов.
Соединим каждую вершину X путем с 0. Если вершина лежит в
W, то путь можно целиком провести в 1^ в силу связности.
Симплекс произвольной размерности комплекса X
принадлежит либо Z (но не Y), либо У\2, либо Y[]Z. Множество
всех симпле_ксов £азбивается на три непересекающихся
подмножества Z, Y, W. Образующие ai группы Jii(X) могут быть
поставлены во взаимно-однозначное соответствие с ребрами
комплекса X. В зависимости от того, какому симплициаль-
ному комплексу принадлежит это ребро, Z, Y или W,
переименуем Ui в Zj, г/i или ш». Таким образом, я\{Х) имеет
своими образующими образующие фундаментальных групп jii(y)
и TCiiY) (образующие niiW) входят в число образующих
ni(Z) или jii(y)). Соотношения в группе п\{Х)
взаимно-однозначно соответствуют ребрам и треугольникам комплекса X.
Вследствие разбиения комплекса X на три подмножества эти
соотношения также разбиваются на три класса. Запишем
соотношения:
^j(w^,z,) = l (bZ), (1)
ф)К, J/i) = l (в К), (2)
156

%(шО=1 (в Г). (3)
Соотношения (3) являются определяющими соотношениями
группы ni(W). Соотношения (2) и (3) — групп jii(y) и
Я1(Г), (1) и (3) - групп ni{Z) и Я1(Г), (1), (2) и (3) -
группы jii(X). Эти соотношения можно переписать следую-
Ш.ИМ образом:
фДш£, Zi)= 1, ^j{w'i)== 1, (Г)
фИи'^ У0 = 1, ■Ф/Ы= 1. (2')
oyj = Шг. (3')
Соотношения (1') и (2') дают свободное произведение групп
ni{Z) и п\{У), соотношение (3') означает, что эти элементы
групп ni(Z) и ni{Y), соответствующие одному и тому же
элементу Wi группы n\{W), должны быть отождествлены. В
доказательстве использован тот факт, что W связно, так как
в. противном случае полученное утверждение о группе щ (Х)
неверно. Пример Z = Y=I — отрезок, 1F=S°, X=S^, ni(X)=Z,
Я1(2)=я:(Х) =е.
12.28. Как известно, для любой подгруппы Gczni{X)
существует накрытие р: Хв-^Х, такое, что \тп^{п^0Св)) = G.
Введем на Xq умножение. Пусть ее/?—'(e), где е —единица в
X, лг, у е Хв- Соединим если у путями x< и у^: Xq = е, .^ = Я
Уо = е, У1 = у. Пусть р{х) — х, р{у)=У- Тогда хи у соединены
с е путями р{Х(} — х^ и p{y^ = yt, соответственно. Эти два пути
мы можем умножить в X, т. е. рассмотреть путь z, = х^ х у^,
который соединяет е с точкой Zi = z = ху. Путь Zf можно
поднять в Xg в путь Zf. Пусть X X у = Zj. Остается проверить
корректность определения.
Лемма. Пусть X группоид с единицей, а, ^e.ni{X, е). Тогда ар =
— ахР, где слева — умножение в ni{X, е), а справа — умножение в X.
Доказательство леммы мы опускаем, предоставляя его
читателю. Корректность определения следует непосредственно
из леммы.
12.29. При р>0 и (7>0 для любого n<p + q—1 имеет
место изоморфизм nniSfX/Si) «:= я„(5з') + Пп(5^). Поскольку
пара {ЗрхЗч, Sp\/Si) является относительной
(p-f^)-мерной клеткой, то из предложения 1 (см. ниже) следует, что
nmiSPXSi, SP\/Si)==0 при m<p + q. Следовательно,
Ят(5РV S") =nra{SP) +Я™(59).
Предложение 1. Если для тройки {X, А, хо) пара (X, А)
является относительной п-мерной клеткой, то Ят(Х, А, Хо)=0
при 0<т<л. Доказательство предоставляется читателю.
157

12.30. По условию я^ (К) — Т^ при i — n, О в остальных
случаях. По теореме Фрейденталя, если К — клеточный комплекс
и я^ {Ю = О при I < п — I, то 2 : Я/_1 (К) -^ Я{ (LK) есть изо-
морфизм^при t<2n — 2, и эпиморфизм при i = 2n — 2.
Следовательно, я^_1 (iC) = Я£4-лг—1 (2^ iC) • Это- равенство верно при
1<2и. рДалее, я^ (/С) = я^+лг (2^/С) = Я/(S^^/С), где
j<.N + 2n. Итак,
1,0 при i<N + 2n, 1фМ ^п.
По условию при t = 2п имеем эпиморфизм, но так как в данном
случае я.^^ (/<■) = О, то Я2„+л/(S'^/С) = О. Итак,
Ялг+„(2:«/С(22, rt)) = Z, я^(2:л^/<-) = 0 при i<A^ + 2rt+l,
12.32. Из теоремы Фрейденталя следует следующее
утверждение: гомоморфизм вырезания n„{U, 5")->-я„(5''+', V) является
изоморфизмом при /п <^ 2п и эпиморфизмом при т = 2п, где U
и F — северная и южная полусферы 5"+'. Найдем Яз(D^ ^D^):
... -> я„ (аД2) -^ я„ (D^) -^ я„ (D^ aD^) ->- я„_1 {dD'') ->..... При
п = 3 имеем Яд (dD^) = я» (S^) = О, Яз(О^) = 0, Я2(Ж2) = 0.
Отсюда Яз (D^) ;^ Яз (Ь^, 5D^) -= 0. Из точной
последовательности Яз (5^) == Яз (S^ D*) = Z.
12.33. Доказательство следует из точной гомотопической
последовательности расслоения Серра.
12.34. Если [а, р] = О для любых аея^(Х), рея (X), то
X — п-просто. Рассмотрим действие Я1(Х) на я^(Х).' Пусть
о.^щ{Х), рея„(Х). Тогда аР — образ р при изоморфизме
я^(Х)->-я,^(Х), задаваемым путем а, т. е. аР = р + [а, PJ. Но
поскольку [а, Р] = О для любого аея5(Х) и рея„(Х), то
ар = р, т.е. любой элемент а е я^ (X) задает тождественный
автоморфизм л;^(Х), а это и есть определение п-простоты.
Обратное утверждение очевидно.
12.35. Доказательство следует из решения предыдущей
задачи.
12.36. Пусть X—Я-пространство, е — единица.
Достаточно доказать, что ni(X, Хо) действует тривиально на я„(Х, Хо).
Рассмотрим отображение ht{x)=y{t)-f{x), •\i{t)^n\{X, Хо),
f: S"->X. hi: S^-^X представляет элемент, являющийся
образом действия Y на f, так как ht — это один из методов
построения этого действия. Но hi{x)=y(l), f(x)=e-f(x)'^f[x),
т. е. y[f] =f, что и требовалось.
12.37. Доказательство следует из клеточного
представления проективного пространства и из рассмотрения
стандартного накрытия.
12.39. Докажем, что Я1(СР")=0. Здесь СР" — клеточный
комплекс, который имеет по одной клетке в каждой четной
размерности, т. е. одномерных клеток у него нет. По теореме
158

о фундаментальной группе конечного клеточного комплекса
с одной нуль-мерной клеткой получаем, что Я1(СР")=0.
Далее, сфера 52"+' расслаивается над'СР" со слоем S'.
Действительно, пусть S^"'*''QC"+' (QTaHAapTHOe вложение^. Точка
(2i, ..., 2„+i)eS2"+' тогда и только тогда, когда S|Zi|2=:l.
Далее, CP"={(zi, ..., 2„+i) с точностью до умножения на %,
т. е. Ji,(2i, ..., z„+i) = (Zi, ..., 2„+i), ЯеС}. Устроим
отображение р: 52"+1->СР", p{zu ..., г„+1) = (21, ..., z„+i). Оно
непрерывно и его образ — все пространство СР". Над точкой из
СР" «висит» следующее множество точек из 52"+': пусть
(zi, ..., 2„+i)eCP". Тогда
/-' iZ„ . . :, 2„+,) = {е«Ф(2„ . . . , 2„+,)}С S2«+',
где /-' — полный прообраз, 0^ф<2л;. Действительно,
ёf^ (Zi, ... , г„+:) и ё^" (z^, ... , 2„+i) — одна и та же точка
в СР", но если Ф1т^ф2, то в 5^"+^ это — разные точки. Следо-
s>
вательно, отображение р : S2"+i-»-CP" является расслоением.
Осталось применить точную гомотопическую
последовательность расслоения.
12.40. Утверждения следуют из теоремы о клеточной
аппроксимации.
12.41. Пусть р:Хх Y-^X, ру. X х К->-К— проекции.
Устроим гомоморфизм ф : Я} (X X К) ->-Я{ (X) ф я^ (Y), а именно
ф(а) = {Рх. а, /Jy.a). а) ф— гомоморфизм; Ф (а + Р) =-- {рх,(а. +р),
PY, (а + Р)) = (рх, а. PY, а) Ф (рх. Р, ру, Р) = Ф (а) ф Ф (Р). б) ф-
мономорфизм. Пусть ф(а) = 0, т. е. рх,а = 0 и ру.а = 0.
Следовательно, i|jx = рх в «: S"->• X гомотопно постоянному, т. е.
существует орх^: S"->• X, такое, что арх, = Ч'х, а фх, = ■)f •
Тогда устроим гомотопию ф^ следующим образом: Ф< (а) =
= (орх/ (а), ру, а) при t =^0; Ф^ (а) = а при / = 1 Ф^ (а) —
отображение S" в (^) X К с X X Г, (^, ру. (а)) е я„{(-)f) X Г) =
= я„(К). Но Ру, (а) — стягиваемый сфероид, т. е. а — стягиваем.
в) фэпиморфизм. Пусть р£Я„(Х), yen^{Y). Тогда а = (Р, у)
при ф переходит в p0Y-
Pi Pr
Пусть есть универсальные накрытия: £■]->• X, fj-^^-
Рассмотрим отображение р^ X р2: Ei X Е^-^Х х Y, (Pi X Рг) X
X (gj X е^) = (piCj X Рг^г)- Утверждается, что это — накрытие.
Доказательство мы опускаем, предоставляя его читателю.
Пусть Yi^^iC^. ^(Г). Y2S"i(^. f/o). а1^я„(Х, Хо),
Са е я„ (К, Уо) И пусть задана некоторая гомотопия Fi вдоль
пути Yi сфероида а^ так, что /^oK) = ai, ^i(«i) = Yi Kl,
Fi(ai)en„(X, Yi(0)- Аналогично, Ф (t): Фо (a^) = a^, Ф1(аг) =
= Y2[«2]. Ф<(са)^"д(^. YaCO)- Определим гомотопию вдоль
петли Y = (Yi®Y2)(0 в ХхК сфероида a=(ai®a2) как
F{ (oi) X Фг (аз). Тогда Fi (а,) х Фх (oj) == Yi [«i] ФY2 [«г]- Итак,
[Yi Ф Ya] [«1 ф «г] = Yi [«1] Ф Y2 [«г]. НО так как любая петля y
и любой сфероид из X X К имеют вид Yi Ф Y2 и а^ ф сх^ для
159

некоторых Yi е л^ (X), Ya е я^ (К), а^ е я„ (X), Oj е я„ (F), то
действие я^ (X х Y) на я^ (X х Y) полностью определено.
12.43. а) Воспользуемся расслоением Хопфа S^-^S^. Оно
устроено следующим образом: 5з={(2!, 22) : |2i|2+|z2|2=
= 1}с=С2, S2 = CP>, т. е.
S' = {(Zu z,):(Kz,, Я22)~(2ь г,)}.
Получаем расслоение S^-yS^. Для этого расслоения
напишем точную последовательность
...->яа51)-^яа53)-^яа5^)^я,_,(51)->... .
Из свойств точной последовательности Яг(5^) = Яг(5^) при
i^3. По теореме Фрейденталя гомоморфизм Яг_1 (5"~^)->
->-Яг(5") является эпиморфизмом при i^2n—2 и
изоморфизмом при К2п—2, т. е. гомоморфизмы
Я1(51)->-Я2(5^)->-Яз(5=»)
являются изоморфизмами. Следовательно, Яз(5^) = Z. Так
как
я^ (S3) = Я1 (S^), t>3. то n3(S^) = Z.
б) Построим расслоение S^^+'-^-CP" (см. описание этой
проекции выше). Напишем точную последовательность этого
расслоения, откуда и получаем, что ji2(CP")=Z, n^l.
12.44. а) Для определения произведения Уайтхеда
рассмотрим отображение S™+"~'-»-S™VS" приклейки m-f л-клет-
ки в произведении S"^XS^ в данном частном случае т = п=1.
Граница 2-мерной клетки тора отображается в aba-^b~^, где
а и b — параллель и меридиан. Если на а и 6 заданы
отображения, представляющие элементы а и ^ соответственно, то
граница D^ определяет элемент ара~'р~', т. е. а» р =
= ара-'р~'. б) 5™XS' можно рассматривать как S'"Xl,
причем 5™Х0 отождествлено с S^Xl. Разность (S™X/)\
.\(( *)Х1)=0™'УС,1 является клеткой, граница которой
равна S'^=d{D'^XI) = (S^-'X/) и (D^XS"), т. е. S"
разбивается на три части, причем S™~'x/ отображается в S"^\/S^
путем склейки S"'~'X{0} и S™-ix{l}- и последующей
проекцией полученного произведения 5™-'х5' на букет S^V
VS", а D™Xl и D™XO отображаются на S'^czS^VS'. Пусть
S^VS™ отображены в X так, что ограничение на S^ есть
петля а, а ограничение на S™ есть сфероид р. Тогда а в р есть
отображение f вд:8"^-^Х, где f = aVP—наше отображение.
Рассмотрим следующую гомотопию нашего сфероида: на
нижней сфере она тождественно совпадает с !• д, а
оставшаяся часть, т. е. S"^ с приклеенным к ней отрезком, гомото-
160

пируется так, что отрезок стягивается по себе в точку, при
этом сфероид S^ скользит вдоль петли а. Тогда наша гомо-
топия имеет результатом не что иное, как действие а на р,
s«
т. е. а» р =—р + а[р]. в) Пусть h:S^-^S^ — расслоение Хоп-
фа. Рассмотрим точную последовательность
... -^Яз(51)-1яз(53)4.Яз(5^)-^Я2(51)-^ ... ,
из которой следует, что яз(5^)=2, причем /г —образующая
группы Яз(52). Рассмотрим S^ \/S^. Склеим S^ X { *) и
( * )XS^, получим пространство X и проекцию f :S^XS^-^X.
Комплекс X имеет три клетки е*, е^ и е°, т. е. X=e*\JgS'^,
причем g: S^-^S"^ равно отображению а • а. Вычислим
инвариант Хопфа отображения а «о, т. е. отображения g:
f':H'{X; 2)-»-Я'(5^х5^ Z).
Группа Я* {Х\ Z) имеет образующие Oj в размерности 2 и Ог
в размерности 4; группа H*{S^XS'^\ Z) имеет образующие
&1 и &2 в размерности 2 и 6i®62 в размерности 4. Тогда
f*(ai)=bi + b2, откуда
Г (01) = (Ъ, + hf = 2b, 0b, = 2/- (а,) = Г (.2а,).
Поскольку Кег/*=0, Toai = 2aa, т. е. инвариант Хопфа g
равен 2. Так как инвариант Хопфа есть гомоморфизм
nz{S^)-^Z и %{g)—2%{h), поскольку 5с(Л) = 1, то g = 2Л в
n$(S^). Равенство %{h) = l доказывается следующим образом.
Существует отображение tf.S^XS^ с инвариантом Хопфа,
равным I. Это отображение приклейки диска Z)* к 5^ в
клеточном разбиении пространства СР^. Действительно,
поскольку Ь = а2, где а и & —образующие Н^{СР^; Z) и Я^СР^; Z)
соответственно, то инвариант Хопфа равен 1. Поскольку h —
образующая в яз(52), то ф = ^Л в яз(52), и, значит, х(ф) =
= k%{h), т. е. \=k%{h). Следовательно, ф=/1 и %{h) — \.
г) Отображение а»а есть композиция отображений
р aVcc
52Л-1 _^ 5" V 5" >• S".
Отображение E(ata) получается из диаграммы
S (S2«->) = S^" ->. 28" V 2S" ^ SS" = S«+»
i' I ' 2aV2a J,' i'
С другой стороны, рассмотрим отображение а • а в нижней
_ za
строке диаграммы, где а tS""*"'=« S S"-»-S S« = 5"+'.
Пространства верхней строки тождественно отображаются в про-
161

странства нижней строки. Построим такое отображение
f: S2"-^S^"+', что диаграмма остается коммутативной.
Действительно, тогда S(a • а) = (а *а) в f, но f гомотопно О,
отсюда следует, что Б(а°а)=0. Пусть ф: S"QS"+'—эква-
фХф
тор. Рассмотрим отображение S^xS^ сг S"+'X5"+' и
разложение на клетки
S" X S" = (S" V •S") и Р^"; g ■■ s^"-' ^ s" V s",
Тогда существует такой вложенный диск Z)^" Q Z)2"+2, что
Л |s3«-i = g. Рассмотрим гомотопию вложения щ : S'^^'S'"'^^
по верхней полусфере до отображения в отмеченную • точку.
Каждому такому вложению соответствует вложение %Spt ■ D^"-CZ.
Из того, что ф1 является постоянным отображением,
следует, что i|)i — постоянное отображение. Таким образом,
получаем отображение oj): CS^^-'-^-S^""^', где CS^"-' — конусная
S2"-i, а ^{х, t)=x^tix).
Рассматривая аналогичную гомотопию в нижней
полусфере, получаем отображение второго конуса CS^"'~'^ в 52"+Ч
Объединяя их вместе, получаем отображение SS^"-' в З^^+Ч
Это и есть отображение f.

ЛИТЕРАТУРА
1. Новиков С. П. Лекции по дифференциальной геометрии, ч. 1.
Изд-во МГУ, 1972.
2. Новиков С. П. Лекции по дифференциальной геометрии, ч. 2.
Изд-во МГУ, 1972.
3. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия,
ч. 3. Изд-во МГУ, 1974.
4. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М., ИЛ,
1960, с. 53.
5. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля, 3-е изд. М., Физ-
матгиз, 1960.
6. Стиирод Н. Топология косых произведений. М., ИЛ, 1953.
7. М и л н о р Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология.
Начальный курс. М., «Мир», 1972, с. 223—231.
8. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т. 1. М.,
ИЛ, 1963, с. 231.
9. Зейферт X., Трельфалль. Топология. Л., 1938, с. 205.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Часть I
4} 1. Системы координат 5
§ 2. Риманова метрика 6
§ 3. Кривые на плоскости и в пространстве 9
§ 4. Теория поверхностей 10
§ 5. Многообразия 13
§ 6. Векторные поля 16
§ 7. Дифференциальные формы -18
I 8. Группы преобразований 20
§ 9. Общая топология 23
. Часть И
§ 10. Общая теория гомотопий 31
§ 11. Степень отображения 43
§ 12. Гомотопические группы 44
§ 13. Гомологии 50
I 14. Накрытия и расслоения 61
§ 15. Двумерные многообразия 73
§ 16. Критические точки гладких функций 75
i, 17. Гомологические свойства многообразий 79
§ !8. Спектральные последовательности 82
§ 19. Задачи повышенной трудности 91
Указания к задачам 110
Литература 163

Задачи по геометрии. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978.
164 с. Библиогр. 9 назв.
Пособие включает задачи, рекомендуемые при изучении
обязательного иа механико-математическом факультете
Московского университета курса «Дифференциальная геометрия и
топология» и других геометрических курсов, читаемых в
университетах для студентов математических специальностей.
Первая часть содержит задачи по обязательному курсу и
включает темы: риманова геометрия и топология, теория
кривых и поверхностей, векторные поля и дифференциальные
формы иа многообразиях, непрерывные группы
преобразований, элементы общей топологии. Вторая часть состоит из
более трудных задач, полезных при введении в новые,
современные вопросы топологии н геометрии. Здесь представлены
темы: общая теория гомотопий и гомотопические группы,
группы гомологии и когомологий, теория гладких
многообразий, теория расслоений, вычислительные методы в топологии.
20203—045
52—77
077(02)—78

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Редактор О. В. Семененко
Художественный редактор
Н. Ф. Зыков
Обложка художника
В. П. Бодарецкой
Технический редактор К. С. Чистякова
Корректоры
Я. П. Стерина, И. С. Хлыстова
Тематический план 1977 г. № 52
ИБ № 254
Сдано в набор 02.09.77.
Подписано к печати 30.03.78.
Л-78281 Формат 60X90/16
Бумага тип. № 3 Гарнитура литературная
Высокая печать Усл. печ, л. 10,5
УЧ.-ИЗД. л. 10,27 Тираж 13600 экз.
Зак. 218 Цена 35 коп. Изд. № 3069
Издательство Московского университета.
Москва, К-9, ул. Герцеиа, 5/7,
Типография Изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы