/
Text
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.
Введение . . .
. .
.
.
. . .
r л а в а 1. Физические основы квантовой теории ·
1. Корпускулярные свойства электрома.rнитноrо
2. Волновые свойства частиц .
3. Свойства волн де Бройля
4. П ринцип неопределеllНОСТИ
.
,. .
излучения
.
r л а в а 11. Основы квантовой :механики
5. Средние значения
6. Оп ера. торы
7. Собственные состояния
8. Уравнение Шредипrера
. .
:-:'"
. . .
. . .
r л а в а 111. Частица в потенциалыIйй Яl\Iе. I\ваlIтование Эllсрruи. Тун-
нельный эффект
9. ПрямоуrОЛI.пая потенциал})ная яма. Принцип соответствия
10. Потенциальнътй баръер. ТУIlнелт)ный эффект . . . . .
11. Липейн:ый rарМОllическиЙ ОСЦИJIЛЯТОр. l\олебательные уровни
молекул .
r л а в а IV. Водородоподобные aToMr
I . . '. . .
12. Энерrетические уровни водородоподоБныIx атомов
13. Экспериментальные исслеДования эпсрrеТИLlеских уровнеЙ
атома. Потенциалы возбуrl\дения и ионизации
11. Спектры водородоподо()ных атомов
Э 15. Распределение электронной плотности в атоме водорода
Э 16. МеЗОёiТОМЫ. .
Э 17. Ширина уровней
r л а в а У. Уrловой момент и :маl'НlIтные характеристики электронов,
атомов и молекул.
Э 18. Уrловой момент . . . .
9 19. Вращательные уровни молекул. Молекулярные спеI\l'РЫ
Э 20. I\лассифика.ция состояний электронов. rЛ3ВIIое квантовое чис
ло. ВЫРОrl\дение уровней . . .
э 21. Правила СЛОiкения уrловътх моментоп .
Э 22. Орбитальный маrНИТIIЫЙ МОМСНТ элен:трона
Э 23. Экспериментальное опреДСJlенио уrловых и маrнитных м:o
ментов . . .
24. Спин электрона. . .
э 25. Маrнитомеканические явлсния . . . . .
26. Полные уrловой и маrпитпый мом:ент}.! элеI
трона . . . .
27. Топкая структура уровней атома водорода и водородоподоб
БЫХ атомов . . . .
28. Строенае атома по Бору . . . . . . . . . .
.
.
6
7
9
9
16
22
28
37
37
41
46
49
51
51
60
62
67
67
72
74
79
81
82
86
86
92
97
100
103
10()
108
112
113
116
118
4
оrЛАВЛЕНИЕ
r Л а в а VI. Структура и спектры сложных атомов . . .
29. Структура электронных уровней в сложных атомах
30. Типы связи элентронов в атомах. .. ..
31. Принцип Паули (принцип исключения) ..
32. Периодическая система элементов д. 1;1. Менделеева
33. Правила отбора при излучении атомов
34. Оптические спектры сложных атомов
35. PeHTreHoBcKoe излучение . . . .
/ 36. l\лассическая и квантовая физика
r л а в д. VII. Атомы в маrlIИТНЫХ полях ·
37. Явление Зеемана .
t 38. Маrнитный резонанс .
r л а в а VI 1 1. Основы J(вантовоИ: статистиКи
39. Число квантовых состояний. Статистический вес · ·
40. Заполнение уровней. Распределения Бозе Эйнштейна и
:ми Дирака .
r Л а в 11 IX. Тепловое излучение ·
41. Равновесное излучение. ЗаК6II Нирхrофа ·
42. ФОfJмула Планка · · · ·
43. }{лассические формулы для paBHoBeeHoro излучения
44. Фор ула Рэлея Джип са ·
45. Давление излучения ·
r л а в а Х. Физические основы квантовой 9леRТРОНИКИ ·
46. Спонтанное и индуцированное излучение
47. I\ваптовые усилители и rенераторы
48. Методы создания инверсной населенности уровней
49. "Устройство оптических квантовЫХ I'eHepaTopoB ·
50. Структура лазерноrо излучения
.
r л а в а XI. Молекулы и J(ристаллы ·
51. Химическая связь. Образование молекул ·
52. Молекула водорода. Обменное вззим одействие
5& Связь атомов в твердых телах (кристаллах)
54. Симметрия кристаллов · · .. ...
55. Нолебания кристалличееких решеток. Звуковые волны.
56. Фононы
57. ТеплоеМRоеть кристалличееких решеток ·
58. Решеточная теплопроводность
.
r л а в а XII. Электроны в :rcристаллзх
. . .
системы. Разрешенные и зан рещеII
59. Связзнные колебательные
ные зоны .. ·
60. ПрОБОДНИКИ И изоляторы
61. Волны . БЛ.оха · . ·
62. Динамика электронов в
сталлов . · · ·
63. ЭлектроНЫ в металлах ·
I
122'
123
125
127
130
138-
143-
149
162
169'
169-
178-
185
. . 186,
(Dep
100
198
198
202
204
210.
211
214
214
221
223.
227
234
239-
239-
243
24&
252'
256-
261
265
271
273
):.1
;1'
,
:::)
!.i
;iJi
Yg
. .
..
, I
Ь
1
'!;
1
J
.
J;
i
.
273
276-
280
'. ,
286, I
291 1
295
293 "
',
295
308-
300 .,
У"
. ,.
l'
, I
. . . . . .
кристалле. Электроuроводнос'l'Ь кри"
r п а в а XIII. ПОЛУПроВОДНИКИ . . . . .
64. Чистые и при:месные по.иУПРОВОДНИRИ .
65. Электроны и дырки . . . . . . . . . .
66. Концентрация электронов и дырок. Эперrия Ферми
I 67, ЗJlентреПр8ВОАВОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ .. · · .. . . .
II
оrЛАВЛЕНИЕ
68. n р персход
69. Прохождение тока через n р переход
70. Транзисторы
71. Нвазичастицы
.
.
. .
. . .
Заключение
.
Приложения .
1. Среднее значение проенции импульса
11. Fадиальпая часть оператора Лапласа
111. Травнения ДВИiнения связанных маятников
IV. Основные физические нонстанты . . .
v. Названия, символы и атомные массы химических элементов .
Список обозначений
Предметный указатель.
. . .
. .
. . . .
.
, .
J I
5
.
305
308
311
312
314
318
318
320
321
322
323
324
325
.
ПРЕДИСЛОВИЕ
.Предлаrаемая Rниrа основана на лекциях, ноторые читались СТУ--
'дентам MOCKOBcKoro физико техническоrо института в курсе общей
физики в конце четвертоrо и в пятом семестре обучения (после
оптики). Первые rлавы книrи (физические основы Rвантовой физи
НИ, основы Rвантовой механики, основные сведения об атомах и
атомных явлениях) являются исправленным вариантом «Введения
J3 атомную физику», опубликованноrо в издательстве «Наука» в
969 r. Затем следуют rлавы, посвященные современным представ
JIениям о природе химической связи и свойствам молекул, физи
"ческим основам Rвантовой элеКТРОНИI\.И и физике твердоrо тела.
В отдельной rлаве излаrаются основы RвантовОЙ статистиКи и в
специальном параrрафе взаимоотношение I\лассической и нван",
«,овой физики. }:'::
ПРИ изложении rлавное внимание уделяется физической СУIЦ--
ности явлений, описываемых нерелятивистской квант-овой механи..
'IRОЙ, И основным представлениям квантовой теории. Релятивистские
еффекты обсуждаются, но подробно не рассматриваются. MaTeMa
iтический аппарат развивается лишь постольку, поскольку это не...
t
lрбходимо для ясноrо понимания материала.
При написании книrи мы уделяли rлавное внимание ясности и
:краткости изложения И старались отбросить все второстепенное_
{Только «тонкая» Rниrа, Rонцентрирующая внимание студента на
Ъ::rонимании основных явлений и на важнейших теоретических пред..
ставлениях, оставляет У Hero время для размышлений и для реше
ния задач. Отобранный материал излаrается по возможности под
робно, С расчетами, сопоставлениями и выводами.
Физика атомпоrо ядра и элементарных частиц в книrе не рас--
сматривается. Мы рекомендуем читателям «Ядерную фИЗИI\У»
. I. Широкова и Н. п. Юдина.
" Авторы искренне признательны э. и. Рашбе, разрешившему
вам воспользоваться Rонспектами ero лекций по физике твердоrо
,
D:'ела, Л. Б. Окуню и рецензентам Rниrи Я. А. Смородинскому И
,:коллективу Rафедры атомной фИЗИRИ и Физики плазмы MOCKOBCKoro
rосударственноrо университета им. М. В. Ломоносова, которые
прочли рукопись и сделали ряд полезных замечаний.
,
\t
' ..
"
,.,
)
,t,
-
\
\
J
!,
ВВЕДЕНИЕ
в начале хх века стали нанапливаться опытные данные, объяснить
ноторые классическая физика оказалась неспособной. Они охва...
тывали широкий Kpyr физических проблем: уменьшение теплоем'"
ности тел при низких температурах, структуру оптических спект...
ров rазообразных веществ, распределение интенсивности в сп ктрах
излучения твердых тел, фотоэффект, изменение частоты peHTreHOB
CKoro излучения при рассеянии, дифракцию медленных электронов
и т. д. Становилось все более ясно, что для объяснения этих 11 Мно....
rих друrих явлений необходим пересмотр основных представлений
физики. I
Первые mаrи в этом направлении сделали Планк и Эйнштейн.
Затем последовала серия замечательных работ, полностью изменив...
тих наши представления о мире. Новое понимание пришло в науку
С работами Эйнштейна (теория относительности, представление о
ивантах света) и rлубокими идеями Бора и ero школы (квантовая
механика). Развитие новой физики с тех пор интенсивно продол....
жается и привело в наши дни к построению основ теории эле
ментарных частиц. Создание квантовой механики связано симе...
нами ряда замечательных ученых, среди которых в первую очередь
должны быть названы fейзенберr, Шрединrер, Паули, Дирак, Тамм,
Ландау.
В наше время нвантовая физика совершает революцию не толь...
но в научных представлениях, НО и в технике. Мы пользуемся
электричеством, которое вырабатывается на атомных элеRтростан....
циях. Нас окружают радиоприемники и телевизоры, в которых ис...
пользуется полупроводниковая квантовая техника. В быт все
более широко входят калькуляторы и компьютеры с интеrральвыми
схемами, работа которых основана на квантовых явлениях. RBaH""I
товые (лазерные) источники излучения используются в медицине
и в промышленности. Основанные на квантовых свойствах материи
сверхпроводящие маrниты производятся тысячами и используются
; в rиrантских уотановках. Мы уже не rоворим об эксперименталь....
ной технике, rде значительная часть методов стала возможной
лишь после освоения представлений квантовой физики. Квантовая
физика полностью изменила также наши представления Q воз ик
вовении и эволюции Вселенной.
8
ВВЕДЕНИЕ
Связанная с квантовыми представлениями и методами перо
стройка науки, техники и быта еще только начинается. Новому
поколению ....... читателям этой книI'и....... предстоит продолжить эту
работу.
В настоящей книrе рассматриваются основные идеи переляти
вистской квантовой теории и описываются объясняемые ими эКспе....
риментальные факты. Изложение релятивистской теории требует
более развитоrо мате [атичеСI(оrо аппарата и должно быть отнесено
В nporpaMMY курса теоретической физики. .
Объем знаний, накопленных наукой после появления кваНТО80Й
q)изики, во иноrо раа превышает все, что было известно ранее. Эти
знания не и'оrут -быть изложены ни в одной 'Отдельно. взятой кпиrе.
Важнейшим элементом образования является поэтому чтение Вауч....
вой литературы. Мы стара'лиС'ь облеrчить таное чтение,. приучая
студента к ОС'новаым идеям, языку и тер.минолоrии, котор.ые ис.-
пользуются в статьях и книrах. I I
1, t .
; I
,. ! .
I
. ;.
:1
'
.
I \
;\
,/,
,
.
s
i
;
j
,с
:с$
.".1
t
:
1-
*
I
.
rЛАВА l
ФИ3ИЧЕСКIIЕ ОСНОВЫ
. . КВАIIТQ.БОn ТЕОРИИ
1. КОРПУСRул рные свойства злектромаrнитпоrо ИЗJ.IучеiIи'JI
Фотоэффект. Ф о'т О э Ф Ф е к т о м называется вырывание электронов
из вещества ПОД действием электромаrнитвоrо излучения.
На рис. 1 изображена схема э'кспериментальной установки, пред
назначенной для наблюдения фото ффента ПОД действием света.
Между двумя металлическими пластинами А и В, ваходящимися
.в колбе, из которой отначап воздух, создана разность потенциалов
v. Так кан пластины находятся в вакууме, то ток в цепи не идет.
Если же осветить внутреннюю' поверХIIОСТЬ одной из Пластин, то в
цепи появляется тон, который может быть зафиксирован rальвано"
метром G. Появление тона связано с тем, что световые лучи вы..
рывают с поверхности пластины элентроны И, таким' образом,
в пространстве между пластинами появляют
ел' носители заряда. Разумеется, на освещае...
М)fЮ пластину следует подавать отрицательный
потенциал.
l.
1
' ; (rJmt
Рис. 1. Схома устаНОВRИ
ДЛЯ ИССJIодовапия фОТО"
ЭффСI\та
1
Рис. 2. Зависимость то...
:ка от ин теПСИВllОСТИ
. света
с ПО1\fОЩЬЮ устаНОВИII, изоб'р'аjJ еIIноiI на рис. 1, можно исследо
вать' заНI1СI1 МОСТЬ TOI,a от интенсивности и от частоты света, падаlО...
щеrо на пластпну.
11аиболсе простоЙ являотся зависиМость тока i в цепи от ин..
теНСИВНОСТll свота 1 при ОДПОll и тоЙ же частоте w (рис. 2). "{Iпсло
элентронов, вырывае fЫХ светом с поверхнести пластины, прям:о
nропорционально' интенсивности света. ТакоЙ характер rрафика
вполне соrласуется с представлениями :Rлассичесной физики о взаи...
модействии электромаrвитных волн с эле'ктронами.
10
rл. 1. ФИЗИЧЕСl\ИЕ ОСНОВЫ l\БАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Однако при исследованиях обнаружились и явления, резко про..
тиворечащие представлениям классической физики. Осветим пла--
стину В монохроматическим светом с частотой (J) и интенсивностьЮ
11 и исследуем зависимость силы тока от разности потенциалов
между электродами. Оказывается, что ток течет при всех отрица
тельных значениях V === V B V А И при положительных значениях V,
вплоть до HeKoToporo V o , а при V> V o прекращается. Эта зависи--
мость тона от разности потенциалов ИЗ6бражена на рис. 3. Раз--
ность потенциалов V o , при которой 9лектрический ток прекращается,
цазывается 3 а пир а ю Щ и м п о т е н Ц и а л о М. Запирающий потен--
циал связан с максимальной кинетической эперrией электронов,
выбиваемых светом И3 пластины В, очевидным соотношением
е V o === Т, rде е заряд электрона, а Т максимальная кинетичеСI{ая
8нерrия электронов.
1 На рис. 3 изображена также кривая фотоroка при пекоторой
lдруrой интенсивности света (l'l. > lt), но при той же частоте. Как и
следовало ожидать, ток в этом случае оказывается большим, чем в
i
'2
/f \
vo
v
(d
610
Рис. 3. Зависимость TORa от
разности потенциалов между
электродами
Рис. 4. Зависимость за...
дсрживающсrо потен
циала от частоты света
первом случае. Неожиданным оказывается тот факт, что запираю--
щий потенциал V() при 9ТОМ не изменяется. Таким образом, опыт
(показывает, что м а к с и м а л ь н а я к и н е т и ч е с к а я э н е р r и я
'фотоэлектронов не зависит от интенсивности
с в е т а. Этот результат резко противоречит представлениям клас
сической физики. Соrласно классической теории интенсивность све'"
товой волны пропорциональна квадрату амплитуДЫ электрическоrо
вектора, воздействующеrо на электроны в металле. Чем больше ин--
:rенсивность света, тем большую энерrию должны получать выры"
ваемые из металла электроны.
Результаты опытов показывают, что з а пир а ю щи й п о т е Н--
Ц И а л V o (а следовательно, и 9нерrия фотоэлектронов) з а в и с и т
п е о т и н т е н с и в н о с т и, а о т ч а с т о т ы с в е т а. Эта зави--
симость изображена на рис. 4 и имеет вид прямой, не проходящей
лерез начало координат. Наименьшая частота света (00, при которой
озникает фотоэффект, называется к р а с пой r р а н и Ц е й фото..
I
;.
j\1
t
f'
i
i
1. RОРПУСRУЛЯРНЫЕ СВОйСТВА
11':
зффента и зависит от вещества, из KOToporo сделана облучаема1f
пластина.
Зависимость, изображенная на рис. 4, противоречит обычным
Rлзссичесним представлениям не менее резко, чем обсуждавmееСIl
выше отсутствие связи между кинетической энерrией фотоэлектро"-
нов и интенсивностью света. Если считать электроны. в металле
свободными, то их кинетическая энерrия (при данной интенсив
'ности света) с увеличением частоты должна была бы не расти;
3 падать. В самом деле, уравнение движения свободноrо электрона
под действием электрическоrо поля световой волны Е cos rot запи"
сыаетсяя в виде
тх == еЕ cos rot.
Интеrрируя это уравнение, найдем
еЕ. t
mv :::::: Sln ю ,)
<о
mv 2 1 ) 2 1 ( еЕ ) 2 · 2
Т == """2"" == 2т (mv == 2т (;) Sln юt.
Таним образом, ПО классической физике кинетическая энерrия
свободных электронов с увеличением частоты света должна не воз
растать, а падать. Не является ли этот результат указанием на TOj'
что ответственные за фотоэффент электроны на самом деле не яв",
ляются свободными? Покажем, что взаимодействие световой волны
СО связанными в атомах электронами также не может объяснить
хода кривой на рис. 4. При воздействии
rармонически меняющеrося со временем ,1
УО
электричеСRОI'О поля с упруrосвязанными
элентропами должна наблюдаться резо...
напсная зависимость амплитуды колеба...
пий от частоты света. Следует поэтому
ожидать, что зависимость запирающеrо по...
тенциала от частоты также будет иметь
резонансный характер, как это изображе
по на рис. 5. Таним образом, наблюдаю...
щаяся на опыте зависимость V o от ro
(рис. 4) не имеет ничеrо общеrо с пред
сказаниями нлассической физики как для
свободных, так и для связанных элект
ронов.
Объяснение фотоэлектрическоrо эффекта было найдено Альбер...
том Эйнштейном (1905 r.). Эйнштейн предложил рассматривать
свет, взаимодействующий с электронами при фотоэффекте, не кац
волну, а нан потон норпускул, или К В а н т о в. Энерrия каждоrо
нванта определяется соотноrпением
ы'
(д
Рис. 5. Зависимость задер.
живающсrо потенциала ОТ
частоты света (классиче..
екая модель упрyrо св л..
занных электронов)
I Е === nw.1
(1.1)
,
{2
rл. 1. ФИЗИЧЕСНИЕ основы RВАIIТОВОй ТЕОРИИ
I
. ' 1. "
" 1-
Здесь ro круrовая частота света, п п о с т о я н п а я П л а н R а
(п == 1,05 . 10 ZT эрr . с). (Постоянная ft была впервые введена План
ком в 1900 r. для объяснения спектров испуснания наrретых тел.)
При освещении электрода светом происходит взаимодействие
квантов света с электронами вещества;. квант поrлощается, и ero
энерrия передается электрону, с ноторым произошло взаимодействие.
Максимальная энерrия электрона определяется формулой
J т == поо А, 1,
. ( 1.2)
rде А работа выхода электронов И3 освещаемоrо. электрода в
вакуум.
Уравнение (1.2) носит название уравнения Эйнштейна
для фотоэффекта и представляет собой просто занон сохранения
энерrии при фотоэлектрическом поrлощепии света.
Вернемся к нривым, изоб'раженным на рис. 2 4, и попробуем
объяснить их исходя из представлений Эйнштейна и формулы (1.2).
Зависимость, представленная на рис. 2, является вполне eCTeCTBeH
ной не тольно с волновой, но и с }{вантовой точки зрения. В самом
деле, увеличение интенсивности cBeToBoro пучка 0значает увеличе
вие числа квантов, числа ИХ взаимодействий с электронами И, .сле
довательно, фототока.
Не менее естественным обраЗ0М объясняются кривые рис. 3.
Фототок i пренращается при таких значени.ях потеНЦ.иала V o , при
I\ОТОрЫХ е V o == Т, rде Т кинетическая энерrия фотоэлектронов.
IIспользуя уравнение (1.2), получаем
е V o === пro А. (1.3)
Из полученноrо равенства видно, что для данноrо в щества. и за
данной частоты света 00 запирающий потенциал не зависит от ин...
тенсивности . света (рис. 4). Постепенное уменьшение тока с уве...
личением У\ (рис. 3). связано с тем, что энерrия фотона, воо.бще
rоворя, делится меж.ду выбиваемым электроном и друrими Э,лект
ронами и атомами катода. Максимальная нинети.че кая энерrия
электрон соответствует случаю, коrда вся эцерrия кванта целиком
передается электрону.
ИЗ уравнения (1.3)' может быть получено значение минималь...
пой для данноrо вещества частоты (00, при которой становится воз...
можным фотоэффект (рис, 4) :
11,000 == А, 000 == A/h. '( 1.4 Х
Полученная ИЗ равенства '( 1.4) частота 000 и является «нрасной rpa...
вицей» фотоэффента. Таи как минимальное значение работы выхода
в металлах составляет около 2 эВ == 3,2 · 10 tZ эрr, фотоэффект на
1Iеталлах становится возможным при частотах порядка
л== ==..!.. 3,2.10 12 эр!' == О 5.10 1 [) l'
231 2л 1105.10 27 "pr. с J. Ц"
I
I
{. RОРПУСНУЛЯРIIЫЕ СВОйСТВА
't3
-Этим частотам соответствует ЭJIектромаrнитнее излучение в види...
мой части спектра (л == с/у 600 им). Кванты электромаrнит-ноrо
излучения принято называть Ф о т о н а м и.
Квантовая (или фотонная) теория света, преДЛОЩСIiная Эйн
IuтеЙном, хорошо объясняет закономерности, наблюдающиеся при
экспериментальном исследовании фотоэффекта. Свет, распростра...
няющийся в пространстве как электромаrнитная волна, при фО'Ро
эффекте неожиданно обнаруживает свойства частиц.
Не менее ярко, чем при фетоэффекте, корпускулярные (кванто...
-вые) свойства электромаrнитноrо излучения обнаруживаются при
1\ОМПТОНОВСКОМ рассеянии рентrеновсних лучей (эф,фект Комптона).
Эффект Комптона. Эффектом Комптона называют изменение
,длины волны элентромаrнитноrо излучения при рассеянии. Впервые
.этот эффект наблюдался Комптоном (1923 r.) при рассеянии peHT
rеновских лучей (л 0,1 им).
Схема акспериментальной установии для наблюдения эффекта
Rомптона изображена на рис. 6. l)ентrеновские лучи rенерируются
-в трубне Т.и проходят через фильтр Ф t.), выделяющий излучение
с пеl\ОТОрОЙ длиной волны ло. Излучение рассеивается на образце
О и реrистрируется с по:мощью детектора, установленноrо ПОД -уrлом
<р н падающему пучку. Для наблюдения эфq)екта Комптона детек...
тор должен обладать способностью измерять длину волны расснян...
Horo излучения. На рис. 6 в качестве Tal\oro детектора изображен
1\ристаллический дифракционный спектрометр рентrеновских лучей,
I I
I I
Л()
Рис. 6. Схема установии для исследования эффеI{та Комптона
$ОСНОВНЫМИ частями KOToporo являются качающийся во время опыта
Rристалл К и фотопластинка //. 11 ри отражении от крис алла рент...
rеновские лучи интерферируют, образуя дифранционпые максимумы
в направлениях, опредсляем:ых формулой Брэrrа Вульфа:
2а sin t} == пл, ( 1.5)
rде d расстоя ние между атомными плоскостями в кристалле, Л,.........
1) Принцип действия фильтров селективноrо поrлощения для рентrепов"
CKoro излучения разобран в 35. ,.
.,.
4
rл. I. ФИЗИЧEGНИЕ ОСНОВЫ НБАНТОБОй ТЕОРИИ
цлина :волны peHTreHoBыx лучей, {t уrол скольжения, п порядок
максимума отраженных лучей (п == 1, 2, 3, ...).
"Уrол скольжения 'l} определяется по положению линии почер
пения на пластинке П, а длина волны рассеянных рентrеновских
лучей находится по формуле (1.5).
Изучая рассеяние рентrеновсних лучей, :Комптон установил, что
в рассеянном излучении.. нроме лучей с начальной длиной волны
):0, присутствует излучение с большей плиной ВОЛНЫ, чем перви ч",
.вое, и что увеличение длины волны оказывается тем существеннее ,
чем больше уrол рассеяния fP.... и не зависит от вещества р ас--
сеивателя .
Было установлено, что изменение длины волны t!л связано с
уrлом рассеяния q> формулой 1)
л == 2Л/\'е (1 cos ер )' . ( 1.6
Входящая в формулу постоянная /\'е оказалась равной 3,86 . 10 H см.
В формулу (1.6), как мы видим, не входят характеристики ве--
щества, на котором происходит рассеяние рентrеновсних лучей. Это
свидетельствует о том, что рассеяние определяется взаимодействием
со свободными (или почти свободными) электронами вещества.
Раесмотрим рассеяние электромаrнитноrо излучения на электро--
нах с точки зрения классической фИЗИRИ. Элентромаrнитное поле
должно «расначивать» электроны с той же частотой, которой обла--
дает поле. Возбужденные таким образом электроны должны излу--
чать электромаrнитные волны той же самой частоты 2). Таним обра--
зом, по законам Rлассичесной физини рассеянное излучение неза--
вИсимо от уrла рассеяния должно обладать одной и той же часто--
\ u u
тои часто тои первичноrо излучения.
Опыт же указывает на то, что при
рассеянии происходит увеличение дли...
ны волны и, следовательно, уменьше...
РО .1J ние частоты излучения.
Попробуем рассчитать эффект Комп--
тона как рассеяние RBaHTOR ррптrрпов --
Рис. 7. Диаrрамма импульсов cKoro излучения на электронах. При--
при КОМПТОНОВСRОМ рассел: меним для расчета рассеяния законы
пии нвавтов
сохранения энерrии и импульса.
На рис. 7 изображена диаrрамма импульсов для столкновения
нванта со свободным электроном, который до столкновения покоил",
ся. Здесь РО импульс первичноrо кванта; р импульс I\BaHT\ls
1) Постоянную 2л: часто включают в Ле. Тоrда формула (1.6) приобретает
вид л == Л е (1 cos <р), Л е == 231'-. е.
2) На самом деле небольшое изменение частоты, связанное с тем, что J\o
леблющийся электрон взаимодействует с маrнитныM полем электромаrпитной
волны, а таите с зффе-нтом Доплера, возникает и в классической теории. Эти
эффекты вевеЛИRИ и зависят от интенсивности волны, от которой комптон эф"
фект не зависит.
I
li
I {. RОРПУСНУЛЯРНЫЕ свойСТВА
{5
рассеянноrо ПОД уrлом: <Р; <Ре и Ре....... уrол вылета и импульс элект""
рона отдачи. При построении диаrраммы импульсов был учтен за...
кон сохранения импульса
Ро == Р + Ре.
'( 1.7).
Воспользуемся этим законом и зан:оном сохранения энерrии дЛЯ T
ro, чтобы вывести зависимоСТЬ (1.6), полученную И3 опыта.
Импульс, энерrия и масса частиц связаны друr с друrом извест--
ной релятивистской формулой
Е'!. == р!с! + т!с"'.
Так как масса покоя квантов равна нулю, то импульсы квантов до
и после рассеяния равны соответственно
$0 11.(1)0 Е 11.00
Ро == с' == с'; Р == с == с' (1.8)
Перенесем в ( 1.7) Ре в левую часть и возведем полученное равен--
СТВО в нвадрат:
р; === p 2рор + р2.
Заменяя в этом равенстве Ро и Р с помощью (1.8) и умножая ero
на с 2 , найдем
p c2 == (пro о )2 2nю о nю cos <Р + (1iю) .
Исключим из (1.9) член p c2. Для этоrо воспользуемся
сохранения энерrиИ, который в нашем случае име ет вид
nфо + тс 2 == nro + V р;с 2 + т 2с 4 ·
(1.9)
законом
( 1.10)
в (1.10) перенесем пro в левую часть и полученное равенство B03
ведем в квадрат. Тоrда
р;с 2 == (nro о .......пro)2 + 2 (пфо nro) тс 2 ., (1.11)
11з (1.9) и (1.11) найдем
п(roо ro)тс ! === пю опro{1 coscp)'. '(1.121
Из этоrо выражения следует связь эперrии кванта до и после рас'4
сеяния:
1ioo O тc 2
пro === (1.13)
lnс 2 + 1i. 000 (1 cos <р)
Найдем теперь связь между длинами волн при рассеянии. Для этоrо
ь выражении ( 1.12) вместо частоты (J) введем длину волны л, z::::8
:::: 2лс/ ы. Окончательно получим
л л о == 2л1i (1 cos fP).
те
i6
rл. 1. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОй ТЕОРИИ
I
1
\
Сравнивая выведенную нами формулу 'с энспериментальной фор...
:мулой Комптона "( 1.6), приходи м к выводу, что 11
I Л е n/me.1
( 1.14)
Рассчитаем числовое значение этой: константы:
e:= ::=c :=: (1,05.10 27 эрr. ).(3.1010 см/с) :=: З,86.1О 1l СМ.
те тс 2 (0,511.106 эВ).(1,6.10 2 эрr/эВ)
(При расчете в формулу подставлена не масса электрона т, а cro
энерrия ПОНОЯ тс 2 === 0,511 · 106 эВ.) Мы убедились в том, что Teo
ретическое значение совпадает с экспериментальным значением.
Л е называется к о м п т о н о в с к о й д л и н о й в о л н ы электрона.
.Итак, с помощью квантовой теории излучения мы получили одну
из основных закономерностей, характерных для эффекта I\омптона.
Rвантовзя теория эффекта :Комптона позволяет полностью рассчи
тать связь между импульсами, энерrиями и уrлами разлета элект
ронов И квантов.
Из сназанноrо ясно, TO электромаrнитное излучение обладает
I\ан волновыми, так и корпускулярными свойствами. При исследо
вапии законов распространения (интерференция, дифракция) про
является rлавным образом волновая природа излучения, а в актах
взаимодействия......... ero корпускулярные свойства. Чем жестче изл}т
чепие (т. е. при переходе от радиовол в мимоrо света н реII Т
reHoBcROMY и 1 излучеВИIО), тем яс нее проявляется ero Фотонны!I
характер .
2. Волновые свойства частиц
В предыдущем параrрафе было покззано, что свет и. рентrеНОВСRие
лучи (и вообще всякое электромаrнитное излучение) в одних опы
тах ведут себя как волны, а в друrих нак частицы фотоны.
Оназывается, что и частицы в СБОЮ очередь обнаруживают волновые
своЙства.
ОПЫТI)I Девиссона и Джермера. rипотеза де Бройля. I\лассиче..
СНИ lИ опытами, в которых отчетливо обнаружились волновые свой
ства частиц, явились опыты Девиссона и Джермера (1927 r.).
в этих опытах наблюдалась дифранция электронов ПрИ рассеянии:
от кристалла. Схема опытов Девиссона и Д1нермера изображена на
рис. 8. Элентроны, испускаемые раскаленной нитью А, УСНОРЯЛИСЬ
разностью потенциалов V, приложенной между нитью А и вытяrи
вающим электродом В... Прошедшие через отверстие в электроде и
ускоренные электроны попадали на кристалл С и рассеивались.
llри помощи детектора D измерялась интенсивность рассеянных
1) В литературе RОМПТОНОВСКОЙ ДЛИНОЙ ВОЛНЫ иноrда назыsают не Хе, а
Л е === 2лл е .
\
I
I
2. ВОЛНОВЫЕ СВойСТВА ЧАСТИЦ
f7
вле1\ТрОНОВ наК функция уrла е при различных значениях усКоряю....
щеrо потенциала, Т. е. при различных энерrиях элентронов.
На рис. 9 изображена полярная диаrрамма распределения интен"
сивности электронов с энерrией 60 эВ, рассеянных на :кристалле
А
)
в
.
. Пййерх насть
хрuсталла ,;
Рис. 8. Схема опы
ТОВ Девиссона
Джсрм.сра
Рис. 9. Полярпая диа.
rpaMMa зависимости ин
тенсивности отраrкеriия
от уrла рассеяния элен-
тронов на кристалличе
сном образце
.\
нинелл. Из рисунна видно, что интенсивность рассеянных элентро
нов имеет маКСИ1vlУМ ПрИ уrле 8 == 250. На рис. 10 приведены ре...
зультаты опытов, в которых интенсивность измерялась при задап
ном уrле 8, но при различных значениях v. На rрафике, на КОТО"
ром по оси абсцисс отложен корень из ускоряющеrо напряжения,
максимумы и минимумы интенсивности почти равноудалены друr
от друrа. !\ривые на рис. 9 и
10 типичны для распределени я п=3 Ч .5t 6+ 7+
интенсивности при j)аС Gея.JШИ
. Ф
БОЛН . Такие же ди раКUИОНН I е
-:максимумы и МИНИМУ IЫ ВОЗН И...
Rают чри vдссеянии veHTreHoB ...
е ких лучей на нристалла х. vv
Опыты Девиссона и Джер... Рис. iO. Зависимость интенсивности от
мера произвели orpoMHoe впе... ускоряющеrо наПРЯiнения в опытах
чатление на Физинов. После Девиссона Джермера
этих опытов стало очевидно, что
«классические» частицы обладают явно выраженными волновыми
свойствами.
Наличие волновых свойств у частиц было предсказано де Ерой..
лем (1924 r.), который высказал мысль о том, что каждой движу
щейся частице может быть сопоставлена некоторая волна. У CTaHO
ПИМ связь между параметра}IИ этой волны в о л н ы Д е Б рой...
л я и движением соотвеТСТВУIОЩИ:Х частиц. В предыдущеl\I пара
2 л. л. rОЛЬДИII, r. и. НОБи:нова
{8
rл. 1. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ RВАНТОDОЙ ТЕОРИИ
rрафе мы уже установили такую связь между энерrией и ИМПУЛЬ
сом фотона и частотой свеroвой волны (см. (1.1), и .< 1.7) ):
Е === пю, р === Е/с === h(j)/ С.
Введем волновое число k === 00/ с === 2п/л. Тоrда
I р == nk.1
(1.15)
Зависимость (1.15) была распространена де Бройлем па все части..
цы. Соrласно .< 1.15) длина волны частицы, движущеися с импуль
СОМ р, равна,
л, == 2п/ k == 2лп/ р.
( 1.16)
Вернемся к опытам Девиссона и Джермера. I\инетическая энер
rия т электронов, ускоренных разностью потенциалов V, равна е V,
а длина соответствующей волны д е Бро йля, соrласно (1.16), равна
л === 2пn/У2те v. '( 1.171
Разность потенциалов V в опытах Девиссона и Джермера COCTaB
ляла несколько десятков вольт. Рассчитаем по формуле (1.17). дли
ву волны де Бройля для электронов при V == 50 В:
').. == 2л == 2:n: c == 2л. (10 27 эрr.с). (3.1010 СМ/С) ==
У2теУ V 2тс 2 еУ V 2. (5.105 эв). 50эВ. (1,6.1012 эрr/эВ)
== 1,6 .10 8 см === 0,16 нм.
Такую же длину волны '(по порядку величинЫ)' имеют рентrенои"
ские лучи. Неудивительно поэтому, что дифракционная картина
ДЛЯ электронов при V == 50 эВ оказывается очень похожей на
дифраКЦИОННУIО картину, наблюдавmуюся при рассеянии рептrе
БОПСКИХ лучей на тех же кристаллах. Положение максимумов при
отражении от кристалла, как известно, определяется формулой
Брэrrа Вульфа 1)
2d cos 8 == пл.
( 1.18J
Опыты с рентrеновскими лучами позволяют определить постоян
пую решетки d по формуле (1.5). Подставляя в (1.18) длину ВОЛ 4
ВЫ электронов И3 (1.17), найдем, что максимумы на рис. 10 должны
наблюдаться при
,r v 1t1i11
V tЭ
d cos е У2те
rде n ЛIобое целое число.
ОдинаI{ОRые расстояния между ПИRами на рис. 10 (стреЛI\И уна--
8ывают расчетные положения максимумов 3 , 4 , 5 ro и Т. д. по
1) В формуле (1.18) е уrол отражения, тоrда как в формулу (1.5) BX()-t
ДИТ уrол скольжения '6'.
l'
\4
2. ВОЛНОВЫЕ СВОйСТВА ЧАСТИЦ
19
рядков) свидетельствуют о том, что волновая картина правильно
описывает рассеяние электронов. IIpoBepKa (1.17) и лежащей в ее
основе формулы (1.15), проведенная по положению пиков 1), пока...
зала справедливость этих формул.
Через некоторое время после опытов Девиссона и Джермера
были поставлены опыты, в ноторых дифракция наблюдалась при
пропускании электронов через тонкие металлические пластинки
(Томсон, Тартаковский). Дифракционная картина была получена
также при отражении атомных и молекулярных пучков от крис--
таллоВ (Штерн). Дифракция нейтронов в настоящее время исполь--
зуется для исследования кристаллов не менее успешно, чем рент--
rеноструктурный анализ, и исследование дифракции электронов на
белковых молекулах стало стандартным методом исследования.
Таним образом, опыт поназывает, что все :микрочастицъ обладаl0 Т
вОЛ1l0въ ми свойствами.. так что между ними и фотонами нет nрип --
ципиаЛЪНО20 различия: и частицъ , и ФОТО1lЪ являются :микрообъ ...
екта.ми, обладающими одновременно
к,а-п свойствами частиц.. тап и вОЛ1l0 -- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
eblMU свойствами .
Световые волны и волны материи
(распространение фотонов и час.
тиц). Исследуем более подробно дви--
теиие микрообъект,ов. Рассмотрим
сначала движение фотонов (распро--
'странение света) через переrородку,
содержащую две длинные щеJIИ
(рис. 11). в качестве детентора све--
та используем чувствительный фото...
элемент, способный реrистрировать
отдельные фотоны. Построив зависи--
мость интенсивности света от коор-- Рис. 11. Диаrрамма распределе
динаты, получим обычную дифрак-- пия интенсивности света за эк
ционную картину. Остан,овим фото-- раном с двумя щелями
элемент в точне, соответствующей
rлавному интерференционному максимуму, и попробуем ответить на
БОПрОС, через которую из щелей проходят фотоны, реrистрируемые
фотоэлементом. Для этоrо сначала закроем одну из щелей, например
nepBYIO. Интенсивность света (количество зареrистрированных фо...
тонов) будет равна А 2 (А амплитуда световой волны, проmедшей
в точку наБЛIодения через вторую щель). Откроем первую щель,.
J) На самом деле есть небольmое расхождение между ЭRспериментальпы..
ми значениями V, дЛЯ которых наблюдаются максимумы интенсивности, и TCO
ретичесними значениями V, вычисленными по формуле (1.17). Это расхожде..
ние ВО3I1икает из за Toro, что в (1.17) не учтен поназзтель преломле...
пия волн де Бройля, который несколько отличается от еДИIН1ЦЫ.
2*
20
rл. 1. ФИ3ИЧЕСl\ИЕ ОСНОВЫ RВАНТОВОй ТЕОРИИ
а вторую аанроем. Интенсивность останется прежней, т. е. снова бу..
дет равна А Z. Если мы теперь откроем обе щели, то, как хорошо
известно из оптики, интенсивность станет равной (2А) 2 == 4А Z, т. е.
возрастет не в два, а в четыре раза.
Если бы фотоны летели через щели, как обычные частицы (одни
-через первую, а друrие через вторую щель), то интенсивность B03
росла бы не в четыре, а в два раза.. Следовательно, ответить на.
поставленный вопрос нельзя, и сам вопрос не имеет смысла. Полу--
ченпый в опыте результат означает, что к а ж J!I>I A LQ J! --
,ходит через обе е ли сразу .
Этот вывод становится еще более очевидным, если установить
фотоэлемент в минимум дифракционной картины. В этом случае
фотоэлемент не зареrистрирует ни одноrо фотона. Если же мы за--
1\роем одну из щелей, то минимума на прежнем месте не окажется.
Фотоны начнут попадать в фотоэлемент. Значит, фотоны «знают»,
()ткрыты ли обе щели сразу или одна из щелей занрыта. В ЭТИХ
.'условиях rоворить о том, ЧТО фотон прошел через какую то одну
щель, конечно, не имеет никакоrо смысла.
Аналоrичный опыт с дифраI\цией на двух щелях можно про--
вести, «освещая» переrородку не CBeTO}I, а частицами, например
электронами. Для этоrо нужно только заменить источник света
электронной пушноЙ, как это было в опытах Дениссона Джерме'"
ра, а фотоэлемент детектором элеI\ТРОНОВ {). Детектор зареrист--
рирует дифракционные максимумы и минимумы, положение кото--
рых может быть рассчитано по оптическим формулам, если ka,:I\--
дому электрону сопоставить волну де Бройля. Закрывая и ОТI\рывая
любую из щелеЙ, мы снова обнаружим учетверение интенсивности
электронов в rлавном максимуме и появление электронов в мини...
му:ме дифракционной картины. Значит, электроны, так же кан и
фотоны, сразу проходят через все открытые в переrородке щели. Это
означает таI\же, что волны, прошедшие через обе щели, подобно
световым волнам, к о r е р е н т н ы l\fежду собой. Коrерентность волн,
распространяющихся разными путями, еще более сближает волны
де БроЙля со световыми волнаrvIИ.
Волновые свойства микро- и макрочастиц. Рассмотренные выще
опыты убеil\дают нас в том, что все l\lикрообъекты в равной мере
обладают своЙствами частиц и волн пезависимо от Toro, к накому
из этих классов их относит нлассическая физика. Никакоrо принци--
пиальноrо различия между микро и маI{рообъектами не существует.
Почему же мы не замечаем волновых свойств у брошенноrо кам:ня,
у пылинки, оседаIощей под действием силы тяжести, и Т. д.?
lI3 оптики известно, что волновая при:рода света наиболее ярко
проявляется при оrибании препятствиii, pa3M epы которых сравнимы
с длиной световой волны (или в случаях, коrда разность хода лу
1) Таким детектором может быть и фотоплаСТИПI\а.
1
t
1
А 2. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ
21
чей, ПРИХОДЯЩИХ с двух сторон препятствия, имеет тот же порядок
величины, что и длина световой волны). В тех же случаях, коrда
длина воЛНЫ MHoro меньше характерных размеров, опреДеляющих
явление, волновые свойства света становятся малосущественными и
их можно не учитывать. Так, rеометрическая оптика, с помощью-
:которой до сих пор рассчитывается большинство оптических прибо--
ров, обходится без ВОЛНОВЫХ представлений.
l\Iежду механиКОЙ и оптикой существует rлубокая аналоrия.
Классическая механика Ньютона соответствует rеометрической
оптике и получается нак предельный случай иа более общей к в а н...
т о в о Й м е х а н и к и 1), учитывающей волновые свойства paCCMaT
риваемых объектов. Применение квантовой механики не обязатель--
но в тех же случаях, В ноторых волновая оптина может быть заме...
lIeHa rеометрической оптиной: при распространении волн в слу--
чаях, коrда длина волны становится исчезаIоще малой по сравнению
с характерными размерами системы (л <t: L).
Обратимся еще раз к опытам Девиссона и Джермера. Как было
поназано, дебройлевсная длина волны электронов в этих опытах
была равна по порядку величины 0,1 нм. При отражении электро",
пов от нристалла происходит их рассеяние на атомах, находящихся
в узлах нристаллической решетки; расстояния между узлами pe
тетки по порядку величины также равны 0,1 нм; именно поэтому
11 опытах Девиссона и Джермера наблюдаласъ отчетливая дифрак",
ЦИОIIная картина.
11 ри увеличении энерrии частиц длина ВОЛНЫ уменьшается. Де...
броЙлевская длина волны электронов, ускоренных до энерrии
1 rэв, равна Bcero 10 1З см. Волновые свойства таких элентронов не
проявляются при рассеянии от нристаллов, так как d л, но при
рассеянии от объектов с L 10 IЗ см эти свойства снова оказы
ваются существенными.
Рассчитаем теперь длину дебройлевской волны у каноrо нибудь
маНРОСI\опическоrо объекта, например у пылинки, считая, что ее
Масса т _ 1 Mr, а снорость v == 1 MKM:lC:
2л1i 6,6.10 27 6 6 10 20
IV . СМ.
ти 10 3.10 4 '
Даже у TaKoro небольmоrо манроснопическоrо объекта, как пылинна,
длина волны де Бройля оказывается неизмеримо меньше размеров
caMoro объекта. Никакие волновые свойства в таних услЬвиях, но...
вечно, проявиться не MorYT. Применение волновой механики вместо
I\лассической приводит в этом случае тольно к запутыванию задачи,
aH же как применение волновой оптики для расчета даже caMoro
npocToro объектива, ничеrо не изменяя в результате, делает расчет
почти безнадежным.
1) Термин «квантовая механика» используется чаще, чем эквивалентный
ему термин «волновал механика .
22
rл. 1. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
3. Свойства волн де Бройля
Волновая функции. В предыдущем параrрафе было установлено
что распространение микрочастиц происходит тан, как если бы их
движение описывалось в-олнами. Известно, что распространение фо
тонов, т. е. распространение света с круrовой частотой ro и волно
БЫМ вектором k 1), описывается плоской волной
'Ф (r, t) == Ae i(6)t kr).
(1.19)
(1.1 ):
в выражении (1.19) заменим ro и k, используя формулы
и (1.15):
'" (r, t) == А ехр [ (Бt pr)].,
Волновой функцией (1.20) фотона является световая волна 2); длл
частиц волновая функция (1.20) является п л о с к о й в о л н о й д е
Б рой л я. В квантовой механике волновую функцию часто пазы--
вают n с и Ф у н к Ц и е й. Волна де Бройля (1.20) является "вол--
новой функцией ('Ф Фувкцией) частицы, имеющей определенную
энерrию и импульс (и, следовательно, распространяющейся в СВО--
бодном ОТ сил пространстве). Волповые фупкциu расnрострапяются,
uнтерферuруют и дuфра2ируют по обь чпь м оптическим аакопа.м.
Вероятностный характер волновых функций. Может возникнуть
мысль, что волновые свойства проявляются только У большоrо KO
личества частиц, коrда одно--
временно летит MHoro фотонов
или электронов. Но это не так.
Были проделаны опыты (Еи--
берман, Сушкин, Фабрикант),
в которых электроны проходи--
ли через рассеиватель (TOH
I\УЮ металлическую пластинку),
по одному и каждый рассеян--
вый электрон реrистрировал--
ся фотопластинкой. Отдельные
электроны попадали при этом в
различные точки, на пеРВЫII
взrляд беспорядочно разбросанные по всей фотопластинке
(рис. 12 а). Однано после рассеяния больmоrо количества элект--
ронов обнаружилось, что точки попадания электронов на пластинку
1
'.
.
.
, .
.
.
.
.
а
Рис. 12. Распредслепие электронов по
фотопластинне: а при IIсБОЛЫIIОМ
числе электронов, б uри большом их
числе
(1.20)
j
1) Направление вектора k совпадает с направлением распространения
волны, а cro числовое значсние равно волновому числу k == 2л/л.
2) в ОПТИКС вмссто номплсксной 'Ф функции (1.20) часто используют дей
с,твитеЛЬПУlО часть выраjнения (1.20). При комплеI СПОЙ записи показатель.
зl\сJlulIсlIтыl в ОIlтине обычно записываIОТ без звана минус.
3. СВОйСТВА волн ДЕ БРОЙЛЯ
23
распределены не случайно, а образуют максимумы и минимумы
интенсивНОСТИ (рис. 12 б), положение которых может быть рассчи
тапо по Дифракционным формулам. Так как 9лектроны при 9ТОМ
рассеивались и реrистрировались поодиночке, следует признать, чт
движение каждоrо отдельноrо электрона определяется полнои
дифракционной картиной; если бы это было не так, электроны по...
падали бы, например, в минимумы распределения, чеrо не про
исходит.
Как же нужно понимать СВЯ3Ь между волновой функцией и
частицей, между световой волной и фотоном? Борн предложил pac
сматривать амплИТУДУ А световой волны или волновой ФУ.НItЦИИ
(1.20) как ампЛИТУДУ вероятности i ) нахождения фотона
или частиЦЫ в некотором месте пространства; выражение «ампли
туда вероятности» нужно понимать в том смысле, что вероятностЬ
нахождения фотона или частицы равна не А, а IAI2. В оптике при
вято rоворить об интенсивности света, а не о вероятности нахож...
дения фэтона в заданной точке пространства. Если рассматривать
пучок, содержащий большое количество фотонов, то интенсивность
света в каждом данном месте пропорциональна вероятности пахож
дення фотонов, так что при болыпом числе фотонов или частиц 9ТИ
два понятия отличаются коэффициентом пропорциональности. Све...
товая волна определяет не только фазу и относительную интенсив'"
ность, но и абсолютную интенсивность света. В отличие от этоrо
'Ф функция сведений об абсолютной интенсивности не содержит.
Она определяет распределение одноrо (т. е. каждоrо) фотона.
Вероятностный характер волновой функции отчетливо проявля
ется в опытах по дифракции электронов при очень малой интен
сивности пучка (рис. 12). Как уже указывалось, поведение каждоrо
электрона определяется всей дифракционной картиной, но описы
вается вероятностным образом. Невозможно предсказать заранее
место попадания на фотопластинку отдельноrо 9лектрона. Но при
увеличении числа рассеянных электронов их распределение все
меныпе и меныпе отличается от закона распределения вероятности,
т. е. от IAI!.
Вероятностный смысл 'Ф Функции нередко понимается пепра--
вильно. Нельзя считать, что микрочастица,. в соrласии с класси-че
ской физикой, всеrда нахопитс я в одном месте т но это место нам
неизвестно. и волновая ункция указывает Rероятность найти 9T Y
частицу в разных точках пространства . Так обстоит дело в класси
ческой кинетической теории rазов, rде предполаrается, что у всех
частиц во всякий данный момент времени есть свое место, но ча
стиц MHoro, уследить за всеми невозможно, и единственный реаль
вый путь занлючается в том, чтобы вычислить вероятность распре
деления частиц. Такая точка зрения противоречит явлению интер
1) Более точное определение амплитуды вероятности дано в i 5.
24
rл. 1. фиЗИЧЕСRИЕ основы НВАВТОВОй ТЕОРИИ
ференции. Не имеет пинаRоrо смысла рассматривать по привципу
rюйrенса наложение волны, идущей от той точки, rде частица
действительно присутствует, и волны ОТ точии, rде частицы нет.
Интерференционный расчет предполаrает полное равноправие всех
точек, в частности равноправие обеих щелей в опыте с двумя ще..
лями. Дело обстоит так, нак если бы lлентров был ((ра;314азан» п о
POCTpaHCTBY в соответствии с нкци :
Представление о размазаНН 9 М элентроне очень часто оказывается
полезным, но по ностью квантовомеха И Ч СКИА! Пj.) м тавл ниям H e '
отвечает. В этом отношении оно разделяет судьбу всех друrих нлас
сических аналоr:ий. Так, картина размазапноrо элентрона позволяет
правильно рассчитывать распространение электронных волн, BepOHT
ность их взаимодействия с электронами и атомами, распределение
элентрИ:ческой плотности в атоме и множество друrих явлений.
В то же время оно не позволяет понять, каним образом происходит,.
например, взаимодействие элентрона с фотопластинной, при KOTO
pOM как уже rоворилось, на неи остается точечный, а не ра.3мазан
ВЫЙ след. Если продолжить нашу аналоrию, то следует себе пред
став.ить, что в момент взаимодействия с фотопластинкой, нан'и при
всех друrих актах взаимодействия, размазанный» элентрон «соби
рается» в точну. После взаимодействия элентрон, Rонечно, пере..
стает описываться прежней 'Ф функцией. Ero распределение ока..
зывается теперь очень узним и отлично ОТ нуля ТОЛЬКО в области
почернения фотопластинни.
Остается понять, почему таная «размазанность» не наБЛIодаетсл
в поведении больших, классичесних объектов. Поче1vIУ электрон про....
ходит через две щели, а футбольный мяч НИКОfда не оказывается
В двух воротах сразу? Ответ на этот вопрос, собственно, Yil\e был
дан: длина волны, описывающей движение мяча, так мала по cpaB
нению с ним самим, что ero волновые свойства не проявляются и
lIинаких дифракционных явлений заметить невозможно. Точно так
же не дают интерференции пучки света, прошедшие через ШИрОRие
далеко друr от друrа расположенные щели. При прохождени:и CBe
та через такие щели образуются два отдельных пучка, оrраничен"
вые с обеих сторон четиими тенями. В этом случае, не вступая в
противоречие с опытом, можно утверждать, что фотоны, летящие в
леВО I пучие, прошли через левую щель, а фотоны правоrо пучка
через правую щель. Фотонам обоих пучков можно припи.сать опре..
делеНПУIО траекторию, совпадаIОЩУЮ с направлением каiндоrо И3
двух световых лучей.
Наличие траеиторий вообще является одним из основных свойств
частиц в илассической механике. Находясь в одном месте, частицы
обязательно отсутствуют в друrих 1tleCTax. В илассической ВОЛНО
'Вой оптике волна, наоборот, находится одновременно Во Аlноrих
)IeCTaX пространства. Соrласно п едставлениям KBaHToB Q L теори и
все Jrtllп p oo oeKTbZ подо но волне паходятся с аз #.0 t!l02lfX ОЧ11,а
пpOCTp l-[CTвa. оэтому элентронам, протопаhI, фотонаl\! и друrИ!\-1
(;'
I
i 3. сво.йСТВА ВОЛН ДЕ БРОЙДf.l
25
микрочастицам, . вообще rOBopll, нельзя приписывать траектори;й 1) ,
ОТ свойств классичеСI\ИХ частиц У них осталось друrое определен...
выи зарнд, определенная масса, определеннаR энерrия, расходуемая
таН, как если бы она была сосредоточена в одной точке.
Влияние опыта на со.стояние микрочаСТИI . Вернемся к опыту
с дифран:цией элеltтронов (рис. 11). КаЖДЫЙ из электронов после
ПрОКОiI\дения череа щели ре.rистрируется фотопластинкой и вызы",
вает почернение каl\оrо либо кристаллика бромистоrо серебра. Лю...
бой из. этих элеI{ТРОПОВ до взаимодействия с серебром был размазап
DQ пространст"у в соrласии с дифракционной картиной. После взаи:-
1'10действия .o уже не размазан, а находится во вполне определен--
ПОЙ точке п асти. НИ. 3н чит, j:. ФУНКЦИЯ 9лектрона в результахе
в заимодействия карр;инальным образом изменилась. Эксперимент
ссrда меняет состояние микрообъектов, и мы, таI(ИМ обраЗ0 М
определяем СОСТQяние. которое частипа имеет после, а не по опыта .
ОбпаРУiКИВ поч рнение серебра, мь! узнаем место, в котором ока"';
валея электроц, после взаИМQдействия с пластинкой. О том, что д
взаимодеiiствия он описывался сложной дифракционной картиной,
мы из 9Toro .O ЫTa узнать не можем. Установить этот факт МОН\ПО
ТОЛ&КО после наБЛfодепия за распределением болъmоrо числа «оди...
пановых. электронов, пропущенных через те же две щели!).
Плияnие аппаратуры на измеряемые объекты можно проследить
на следующем варианте опыта с двумя щелями. Попробуем «пере...
хитрить приро.р;у)) и постараеМСR узнать, через какую И3 двух ще...
лей проmе/л 9лектрон. 3altpOeM левую щель топкой, прозрачной ДЛfl
ЭJlеl{ТРОНОВ ".плаСТИНI{ОЙ. ПРОХОДR через пластинку, 9лектроны иены...,
тывают соударения с электронами вещества пластинки. Будем ре...
rистрировать «эле"ктроны отдачи)), которые получили небольmую
энерrИIО в каС,ательных соударениях. ВКЛIОЧИМ детектор элеI\ТРОПОВ,
стоящий на щелями, «на совпадепия с детектором элеКТРОПО8
отдачи. Если детекторы сработали одновременно (произошло «сов...
падение.), мы будем знать, что электрон прошел через леВУIО щель,
если эле(\тропа отдаqи не возпикло, значит, он прошел через пра...
DУЮ II ель..
Изучив' распределение 9лектронов, I\оторое мы получим при COB
падении отсчетов в обоих счетчиках, мы убедимся в том, что это
распределение не будет иметь пичеrо общеrо с получавшейся paHЪ
1) При. БОЛhruих импульсах микрочастиц длина волны соответствующих
волн, как следует И3 (1.16), становится очепь малой и может оказаться мпоrо
МСПI)ше атомных или да>не ядерных размеРО8. В этих случаях попятие траск--
торпи спова приобретает СМbIСЛ.
2) Дальнейшее обдумывание зтоrо вопроса показываст, что дело обстоит
еще СЛО)l(нсе. Измерив распределение да)ке очень большоrо числа злеКТРОП08
па пластинке, мы определяем только I А \2, Т. е. квадрат модуля ф фУllКЦИИ,
И ии чrrо не узнаем о ее фазе. А ведь свойства волны определяются не толы о
распределением интенсивпости, но и разностями фаз. Для восстаП08лепия:
фазы НУЖllО ставить дополнительные опыты, например измерять дифраl{ЦИОН--
вую картипу на разных раССТQЯНИЯХ ОТ щелей.
26
rл. 1. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
те дифракционной нартиной от двух щелей. Оно будет COOTBeTCT
вовать дифракционной картине от одной, левой, !Цели. Распреде
ление электронов, не вызвавших совпадений, даст дифракционную
нартину от правой щели.
Почему же картина распределения электронов так резко изме
вилась? В том случае, если не ставить вещества на пути электро
нов через левую щель, волны, прошедшие через обе щели, интер--
ферируют и дают общую дифракционную картину......... распределение
от двух щелей. Электроны, испытавшие соударение и вызвавmие
.отдачу», изменяют направление движения, а их волновые функции
меняют фазу случайным образом, так что волны, описывающие
электроны, испытавшие рассеяние, не создают с волной, проmедшей
через правую щель, общей дифракционной картины. В результате
опыта мы действительно узнаем, через какую щель прошли ваши
электроны, по эти сведения относятся не к электронам, дифраrи
ровавшим через две щели, а к друrому опыту, к друrому распре...
делению электронов, к TalioMY распределению, которое совместим.о
с вопросом о том, через накую щель прошел электрон. Мы еще раз
убеждаемся в том, ЧТО в !fiUBUKe Аlикрочастиц всякий oпЪ T, вСЯ1'iая
lJ:!!!f blTKa УВllать о частицах ЧТО llибудь пo!!oe J . об Еgте.(t !!о ,!:. и . 'P
их СОСТОЯllие, их во.лповую функцию .
Мы выяснили на двух примерах, что любой опыт, проведенный
с микрочастицами, изменяет состояние частиц из за влияния изме...
ряющей аппаратуры на измеряемый объект. В макромире влияние
аппаратуры па объект при разумной постановке опыта может быть
сделано очень малым. Хотя такое влияние в принцип'е обязательно
существует, в опытах с телами макроскопических размеров оно
столь ничтожно, что классическая физина им с полным правом
пренебреrает вообще. В микромире это влияние оказывается боль....
тим И часто иrрает определяющую роль.
Скорость распространения плоских ВОЛН. Найдем скорость рас....
nространения плоской волны для фотона. Из оптики известно, что
фазовая скорость волны VФ === ro/k. Для фотонов Е === ре, так кан мас'"
са фотона равна нулю. Воспользовавшись этим равенством, а так...
же равенствами (1.1) и (1.15), получаем
Е ре ffi
ro === r; == r ===kc VФ === k === с. (1.21)
Таним образом, фазовая скорость плосной волны для фотонов сов...
падает со скоростью распространения электромаrнитных волн.
Вычислим теперь (разовую СI{ОРОСТЬ плоской волны для нереля...
ТИВИСТСI\ОЙ частицы. Для нерелятивистских частиц кинетичеСRан
знерrия равна р2/2т. Учитывая равенства (1.1) и (1.15), находим
V Ф === === ( L ) ( 1... ) 1 s:::: L === ти === ..!!....81 ( 1.22 )
k 2тА 1;, 2т 2т 2 .#J
Т. е. фазовая скорость волны равна половине скорости частицы.,
I
А 3. СВОйСТВА ВОЛН ДЕ БРОЙЛЯ
27
Этот результат на первый взrляд кажется неожиданнЫМ, но ни к
:какиМ: трудностям не приводит.
Как известно из курса оптики, скорость передачи сиrналов опре...
деляется не фазовой, а rрупповой скоростью волны.
Фазовая скорость совпадает с rрупповой лишь в том случае,
если среда (в нашем случае вакуум) не обладает дисперсией,
т. е. если фазовая скорость распространения не зависит от частоты.-
11MeHHo так обстоит дело для фотонов. Электромаrнитные волны,
:как следует из (1.21), всеrда распространяются в вакууме со CKO
ростью с. Формула (1.22) показывает, что унерелятивистских
"частиЦ фазовая скорость зависит от скорости (а значит, и от энер
rи и ) частицы и, следовательно, от частоты (О. !Золны де Бройля
обладают испе сией даже п и асп ост анении в вак ме.
ыясним теперь, какие волны следует сопоставлять частицаf\I,
наблюдаемым в обычных, классически поставленных опытах. Клас...
сические опыты всеrда начинаются с Toro, что мы определяем по....
ложение частицы в неI\ОТОрЫЙ момент времени t o . Пусть измерение
1\оординаты проделано с точностью X, т. е. мы определили, что
частица находится Iежду ХО и Хо + x.
с точки зрения волновой (квантовой)
теории это 0значает, что волновая ФУНR ?(Х)
ция частицы равна нулю во всем про
странстве, :кроме участка, заключенноrо
:между Хо и ХО + X (рис. 13). Ясно,
что такая функция не является одной
:монохроматической волной типа ( 1.19) ·
,Однако она может быть представлепа в
:виде совокупности таких волн.
110СКОЛЬКУ МЫ исследуем сейчас волновую фУНI\ЦИЮ частиЦ в
М:OM:eHT времени t o , зависимоСть волн от времени является nOlta не...
существенной. Запишем отдельную волну в виде
'Ф (х) == Be ihX ,
I \
[со ;со +ДХ
Рис. 13. Волновой паI(ет
х
( 1.23 )'
rде
в == А e i(dt .
( 1.24 )'
Изображенная на рис. 13 'Ф функция, описыв"ающая распределе
lIие частицы по координате, как и всякая друrая функция, по
Teope le Фурье может быть представлена в виде интеrрала:
00
'ф (х) ==> S в (k) eihXdk.
oo
( 1.25 )
Состояние частицы в начальный момент времени определяется, Ta
ким образом, наложением большоrо числа монохроматических волн,
:каждая из которых движется со своей скоростью. Такое наложение
БОЛН, имеющее один резко выраженный максимум, называется
обычно в о л н о в ы м п а к е т о м. Во всякий друrой момент времени
28
rл. 1. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ НВАНТОБОй ТЕОРИИ
положение частицы описывается, rрубо rоворя, местоположением
максиму:ма 'Ф функции.
ИЗ оптики известно, что СI\ОрОСТЬ движения волновоrо пакета
равна r р у п п о в о й скорости волны И вычисляется по формуле
V rp == dro/ dk..
С помощью (1.1) и (1.15)' для волновоrо пакета получим
V rp == dro/dk == аЕ/ар.
:( 1.26)
'( 1.27)
Вычислим с помощью (1.27) rрупповую скорость фотонов и He
релятивистских частиц. Для фотонов имеем
d Е d (ре) 8
Vrp == dp == dp == c, (1.2 )
чеrо и следовало ожидать. Для нереЛlIТИВИСТСКИХ частиц найдем
V rJl == dE == d (р2/ 2т ) == J!.... == mv == v. (1.29)
dp dp т т
Таним образом, rрупповая скорость плоской волны действительно
равна скорости частицы. Если скорости частиц велини" то rруппо...
вую скорость проще Bcero найти, дифференцируя соотношение
Е 2 == р 2 с 2 + т2c :
2EdE == 2pc 2 dp,
2
аЕ ре
Vrp == == == v.
ар Е
Вычисление фазовой СI\ОрОСТИ плоской волны по релятивистским
формулам приводит к результату, сильно отличающемуся от (1.22).
Фазовая скорость волны Оl\азывается больше с, и при уменьшении
скорости частиц она не уменьшается, а увеличивается, поскольку,
:как оказывается,
VrрVф == с 2 .
При медленно движущихся (перелятивистских)' частицах это отли
чие, однако, не приводит ни к каким новым физичесним резуль...
татам.
* 4. Принцип неопределенности
Мы уже убедились в том, что нлассичеСl\ие представления во мпо'"
rих случаях оназываются неприменимыми 1\ минрообъектам. В част...
DОСТИ, движущимся минрочастицам нельзя приписать определенных
траекторий, Т. е. определенных значений Rоординат в слеДующие
один за друrим моменты времени.
Посмотрим, к чему приводит попытна точноrо определения KO
ординат у электронов.
'.ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
29
Рассмотрим электроны, проходящие через щель в экране Э и
попадающие затем на фотопластинку Ф (рис. 14). Мы уже знаем
'ЧТо на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина.
Пусть до прохождения через щель электроны обладают вполне
определенным импульсом ро (Рх == О, ру == Ро, Рж == О). Такие элект..
роны описываются плоской волной с ko == ро/п. Так как плоскаlI
волна распределена по всему пространству, то и каждый электрок
так же размазан.
Электроны, прошедшие через щель, уже не описываются плос..
НОЙ волной. Соответствующая волна является расходящейся, при..
чем интенсивность волны сложным образом завиСИТ от направления.
Как видно из рисунка, распространение х
расходящейся волны происходит в разных
направлениях, так что волна не имеет
определенноrо волновоrо вектора k и,
следовательно, электроны, прошедшие ро
через щель, больше не обладают импуль
сом ро. При прохождении через щель у
электронов наиболее заметно меняется
проекция импульса РЖ на ось, параллель...
пую ширине щели.
Оценим по порядку величины разброс
в величине рх. Обозначим через X шири...
ну щели. Рассмотрим какой либо элект...
р.он, прошедший через щель. "Указать за...
ранее, в какое место фотопластинки
попадет электрон, невозможно. Однако
вероятность ero попадания в разные места
фотопластинки определяется дифракцион",
.НОЙ картиной, изображенной на рисунке.
Приблизительно в половине случаев электрон попадает в централь
ную область rлавноrо максимума, размер I\ОТОрОЙ можно ПОЛО'RИТЬ
равным ширине этоrо макси:мума, измеренной на уровне половины
высоты (размер l на рис. 14). Этот размер может быть заменен
расстоянием от максиму:ма до nepBoro минимума дифраКЦИОНIIОЙ-
Rартины. "Уrловое расстояние от максимума до первоrо минимума
примем за меру расходимости волны, описывающей движение элект...
рона, прошедшеrо через щель.
Направление на первый минимум определяется из условия
x sin '6 == л.
Отсюда
л/ x == sin {} tg 'б'.
а
!I
Рис. 14. Распределение ив...
тепсивности электропоз
после прохождения пучка
через щель
:( 1.30
"( 1.31
Но tg'6 == px/pv, причем вместо рх следует писать Рж, так как эта
еличина определяет разброс в импульсе:
tg '6 == 6. pJ Р"8
( 1.321
за
rл. 1. ФИ3ИЧЕСНИЕ основы НВАНТОВОй ТЕОРИИ
Из (1.31) и (1.32) имеем
dpx dx л ру.
"Учитывая, что 'А == 2n/k 2лп/ру, полуqим окончательно
I Px x 21th.'
(1.33)
Соотношение ( 1.33), выведенное нами для случая дифракции
на щели, имеет всеобщую применимость и носит название с о о т н 0--
m е в и я н е о п р е Д е л е н н о с т е й r е й з е н б е р r а. Чем точнее
,мы определяем координату элеI\трона (уменьшаем ширину щели
f1x), тем более неопределенным становится соответствующая про--
екция импульса электрона.
Неопределенности в координате и в ИМпульсе, которые входят
в формулу (1.33), происходят не от несовершенства наших знаний,
а от Toro, что волновая функция электрона действительно «разма--
вана» по соответствующей области f1px и f1x. Распределение по
I\оординате в рассмотренном случае определяется шириной щели.
Распределение по импульсам можно измерить не только по виду
дифракционной картины, но и непосредственно. Для этоrо вместо
фотопластинни нужно установить прибор, измеряющий ИМПУЛltс
частиц (например, по отражению от кристалла).
Рассмотрим еще один мысленный опыт. Определим положение
элеI\трона с помощью микроскопа, как это показано на рис. 15.
Здесь 1 объектив микроскопа, 2 пучок све--
та, направленный вдоль оси микроскопа' и освеща...
ющи:Й электрон, 3 электрон и 4 ero изображе
ние. Точность измерения координаты зависит от
разрешающей силы микроскопа. В оптике пока--
". зывается, что разреmение x микроскопа опре
деляется в основном свойствами объектива и
равно
rде л длина волны света, а sin tt апертура
щ линзы. Из (1.34) видно, что определить положе...
1} ние электрона с хорошей точностью можно лишь
в том случае, если апертура объектива доста--
точно велика.
Чтобы «увидеть») электрон, нужно, чтобы на
нем испытал рассеяние хотя бы один фотон. Pac
сеянный фотон проходит через точку, являющую--
ея изображением электрона. Координата этой ТОЧI\И мол\ет
быть определена. После этоrо с точностью (1.34) определяется
положение электрона. Испытав соударение с электроном, фотон
изменяет направление движения, а электрон получает отдачу.
fикроскоп не дает возможности определить, в какую сторону от--
2
Рис. 15. 113MCpC
пие Rоординаты
ЭЛСКТрОП8 с по
мощью света
f
I1.x == 'А/ sin 'б',
'(1.34)
I
'.ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
31
нловился рассеянный фотон, известно лишь, что после рассеяния
он проходит через объентив. Импульс отдачи электрона поэтому
тоже остается неизвестным.
Обозначим начальный импульс фотона через РУ. У :всякоrо фо--
тона, проходящеrо сквозь объентив, 'Рхl < РУ tg 'б'. Так как знак p
при рассеянии может быть любым, а величина лежит в указанных
Dределах, это неравенство определяет на самом деле неопределен--
rнoCTЬ проекции импульса фотона на ось х. Импульс отдачи, полу..
ченный электроном, равен изменению импульса фотона. Пренебре--
rая различием между синусом и TaHreHcoM, найде:м, что веопреде
пенность в импульсе электрона равна
. л л 2nt
f1 Рх === ру tg {} ру Sln '6' == ру dX 1ik 8.х == д-х .
(При вычислениях sin {) был заменен на 'Л/ X с ПОМОЩЬЮ '(1.34)'.]
'Умножая равенство на f1x, получаем
x · P:x: 2пп 1
что находится в соrласии с принципом неопределенностей rейзен
берrа.
Отметим, что принцип rейзенберrа связывает пеопределенностъ
в координате снеопределенностью проекции импульса на э т у к o
о р ди н а ту:
Ах I1.Рж 2лп, y I1.PIl 2л"h, z I1.pz 2пn. :( 1.33'У
в то же время принцип rейзенберrа не накладывает никаких orpa...
ничений на точность измерения координаты х и проекции импульса
на ось у или z и т. д.
fоворя О принципе неопределенности, следует иметь в виду, что
он определяет теоретический предел, который далеко не всеrда
достиrается в реальных приборах. Так, разрешение телевизора ИJIИ
:качество биноклей и фотоаппаратов связано вовсе не с принципом
веопределенности, а с количеством точек, используемых для изо
бражения (телевизоры) или с качеством объентивов (фотоаппара
ты). Однако никакой телевизор и никакой фотоаппарат не MOI'YT
превзойти оrраничений, накладываемых принципом rейзенберrа.
Обратимся теперь к математическому смыслу принципа неоп--
ределенности. Пусть опыт по измерению координаты частицы по--
:казал, что эта частица находится в неноторой точке, скажем в на...
чале координат. Если измерение координаты произведено с точ--
Востью а, то результат измерения, rрубо rоворя, заключается в том,
ЧТО 'Ф Функция частицы отлична от нуля лишь в области от a до
а. Вид 'Ф функции между a и а при этом может быть разным и
существенно определяется способом, который был принят для из...
иерения Rоординаты. Поскольку все дальнейшие расчеты будут
32
rл. 1. ФИ3ИЧЕСRИ.Е ОСНОВЫ КВАНТОВОй ТЕОРИИ
производиться лишь ПО порядку величины, .мы м.ожем для ПРОС'f:о;ты
положить, ЧТО В этой области 'Ф Функция просто постоянна t ка.к 9ТО
изображено на рис. 16 (таной вид имеет 'I' функция, если измерять
с помощью щели координату электрона, имевmеrо до измерения
определенный импульс, как это делалось,
например, на рис. 14).
Определим '1'0, Т. е. величину -Ф ФУНК!4
ции на отрезке a < х < а. По определе.
вию Iф(х) l'1.dx равно вероятности найти
частицу в интервале ах.
ЦJ Вероятность найти частицу в произ
Рис. 16. 'I> ункция элеRТ" вольном месте от oo ДО 00 равна
00
рона после измерения есо S
Rоординаты 1'1' (х) I dx. ПОСI{ОЛЬКУ при этом МЫ вы....
,/,(rc)
rfo
a -
«
.... 00
числили вероятность достоверноrо события, то
00
J 1'1> (х)l2ах 1.
(1.35)
oo
Условию (1.35)' или более общему условию
00
s s s 1'1> (х, у" z) I'dx ау dz == 1
..... 00
(1.36)
должна удовлетворять всяная 'Ф функция, ПОСI\ОЛЪКУ она является
амплитудой вероятности. Условия (1.35) и (1.36) называются обыч
.НО у с Л о в и я м и н о р м и р о в к и.
Интеrрал (1.35) В нашем случае нетрудно вычислить:'
00 а
5 1'1> (х) 1 2 ах == S 'I> dx == 2'1>:а == 1.
00 .....а
Таким: образом,
'lJo == 1/l' 2а . (1.371,
-Функция, изображенная на рис. 16, очевидно, не является плоской
волной вида. e iltx . Поэтому после измерения координаты частица не
обладает определенным импульсом. Однако 'Ф Фуннция (1.37) может
быть разложена в интеrрал Фурье, Т. е. может быть представлена
в виде суперn;озиции волн.
В самом деле, по теореме Фурье всякая функция может быть
представлена в виде 1)
00
'1> (х) == y S f (k) efhXdk.
2л:
.... 00
( 1.38)
1) Формула (1.38) отличается от обычных фОрМУЛ разложении, принятыJCI
в математике,' МПО)l(ителем )' t/2п. Если включить TOT множитель в f(k),
формула примет привычный вид.
'1',::,
4.ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
33
Коэффициенты f(k) определяют внлад различных волн в paCCMaT
ривае IУЮ волновую ФУНI{ЦИЮ. Поскольку плоская волна представ--
ляет собоЙ состояние с определенным импульсом, формула (1.38)'
определяет распределение по импульсу. Физичесний смысл (1.38)'
заключается в том, что величина
I!(k) 1 2 dk
'( 1.39)
опре;J:еляет вероятность Toro, что волновое число частицы лежит
Ie/I\;J:Y k и k + dk, П, следовательно, ее импульс заключен между
11 k II п (k + dk) t) .
Iы видим:, таким: образом, что распределеnuе по nоордиnато,м,
(заданпе 'Ф (х, у, z))' определяет распределенuе по UJппульсам. ПО
СRОЛЫ{У ЭТИ распределения не являются независимыми, между ти..
рина IИ распределениЙ существует математическая связь. Эта связь
11 устанаВЛIIвается принципом неопределенности.
В теории интеrрала Фурье указывается формула для нахождения
Фун:кцпЙ f (k) :
00
f (k) == 1 S
V 2л
'ф (х) e ihxdx.,
(1.40)
oo
у стаНОRИ I с пом:ощью этой формулы явный вид распределения по
им:пульсам для 'Ф Фуннции, изображенной на рис. 16. Подставляя в
{1.40) значение 'Фо из (1.37), найдем
а
f (1 ) 1 1 S i hX d
-с === Y Y е х ===
2л 2а
a
1 ( 1 ) ( iha ika )
ж::= е e ==
2 V ла и,
1
V ла
sin (ka)
k
.'
(1.41)
а1
ц
!\
t'4
1
Вероятность Toro, что импульс частицы лежит в окрестности р,
равна :квадрату модуля f(k):
. I f (k) 12 == л Sin:;ka) .. (1.42)
Jla рис. 17 приведен rрафик ЭТОЙ ФУНI{ЦИИ. Как видно из рисунна,
распределение имеет типично «дифракционный» вид. Как и прет...
1) Если принять не (1.38), а обычную формулу разложения в интеrрал
00
Фурье 'ф (х) == \ с (k) eikXdx, то IC(k) 12 оказывается пропорциональпы, но
t)
oo
пе равным вероятности попасть в интервал dk. Чтобы C(k) имело смысл aM
00
плитуды вероятности, нужно потребовать, чтобы S I с (k) 12 dk .. 1. Этому уо-
oo
JIОВИЮ удовлетворяет функция f(k) 1 введенная в (1.38).
3 л. л. rольдин, r. и. Новииова
s4
rл. 1. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ ИВАНТОВОй ТЕОРИИ
де, ПРИl\lем за «ширину» распределения расстояние от серединЬУ
распределения до nepBoro минимума
k == 'Л/а
и, следовательно,
p == 1i k == ttл/ а.
Ширина распределения x в нашем: случае равна 2а. IIMeeM, сле...
довательно,
p x 2лh.
ТаКИl\{ образом, при н Ц и п н е о п р е д, л в в 9 с т и r е й з е п...
б ер r а н е пр е Д с т а в л я е т с о б о й П.Q'JI4J....6 н и Я, н е 3 а в и
симоrо ОТ друrих основных положений волновош
2" 7l' О 1f 2п 3ft k
а a а а d а
Рис. {7. Распределение электрона по импульсам после измерения ero коор.-
динаты
:м е х а н и к и. После Toro как выясняется необходимость описывать
llоведение частиц волновыми функциями, принцип неопределен
ности возникает как математическое следствие теории. В дальпей
шем будет показано, что во мноrих случаях умелое применение'
принципа неопределенности позволяет уrадывать основные черты
явлений без точноrо решения уравнений.
Формула (1.40) показывает, что плоение волны, на ноторы8'
J-Iожет быть разложена 'Ф Фупкция, в каждой точке пространства
обладают вполне определеННЫl\1 сдвиrом фаз, т. е. коrерептны меж--
ду собой. Эта коrерентвость характерна не только для И lпульса
(для плоских волн), но и ДЛЯ всех физичесних величин, которые-
:характеризуют состояние частицы (момент импульса, спин и т. д.).
Чтобы яснее представить себе оrраничения, Бозникаlощие из-
принципа веопределенности, рассмотрим обычный классический ме....
тод измерения импульса частиц. В макроснопической физике длл
определения импульса частицы можно воспользоваться формулой
р == mv. (1.43)-
Для определения скорости следует измерить путь, проходимый час
тицей за небольшой (в пределе за бесконечно малый). промежуток
времени:
v == (Xz Х1)/ (t z t 1 )'.
11.44 }
4.ПРИНЦИПНЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
35
ыжноo ли использовать предложенный метод в микромире? Изме--
-рив координату частицы Х! В момент tt, мы неизбежно изменяем ее
.1fМПУЛЬС и притом тем сильнее, чем точнее измеряется координата.
IJЗl\lерив координату Х2, мы снова изменим импульс частицы. ПОД--
ставив измеренные значения Х2, ХI, t 2 И t l В (1.44) и затем в (1.43),
найдем: некоторое значение им:пульса. Это значение, однако, не
<будет соответствовать И1vlПУЛЬСУ частицы: ее импульс в процессе
lIзмерения дваЖДЫ менялся, и полученное число не определяет ни
лмпульса частицы до и мерения, ни ее импульса после измерения.
Существенно д3чmе определять импульс частицы по ее кине
'тичеСНОII энерrии fиcmример, по разности потенциалов, пройденной
_'ЭлеRТРОНОМ в ускоряющем поле) или по характеру дифракцион
лоЙ RартинЫ в опыте Девиссона Джермера 1) ·
Подведем некоторые итоrи.
1. lикрообъекты обладаIОТ одновременно свойствами частиц и
воiiствам:и волн и поэтому не являются ни частицами, ни волнами
в :классическом смысле этоrо слова.
2. Состояния микрочастиц описываются волновыми функциями
('1' фуннциями); 'Ф Функция свободной частицы, движущейся в оп
])еделенном направлении и имеющей заданный импульс, является
ПЛОСI\ОЙ волной.
3. МикрочаСТИЦ»I следует представлять себе размазанными по
пространству 2).
Квадрат амплИТУДЫ волновоЙ функции характеризует вероят
nость нахождения частицы в заданн.ом месте пространства. Ско"
])ость микрочастицы совпадает с rрупповой скоростью волн, опре
еляющих ее состояние.
4. При наличИИ нескольких или мноrих путей распростра"
ения волновые фуннции снладываются по тем же правилам, что и
-световые волныI: величина суммы зависит как от амплиТУДЫ, так и
'от фазы слаrаlОЩИХ 'Ф Функций. При этом, естественно, возникают
.характерные для волновых процессов явления интерференции и
дифракции.
5. lикрочастицы не обладают определенными траекториями
-в R:Iассическом понимании этоrо слова. у микрочастиц сохраняются
"7аRпе характеристики :классических частиц, как м:асса, заряд и т. д.
1) При известных условиях может, конечно, применяться и RлассичеСI{ИЙ
-метод измерения импульса микрочастиц. .Чтобы измеряемое значение импуль
-са ИСI'8iБалось меньше, не следует с большой точностью измерять Rоординаты.
Поrрсmность в измерении координат тем меньше СRазывается на результате
--чем б льше разность Х2 Xt, т. е. чем больше пролетный путь частицы. Ta
"]{им .. ооразом, на большом пути скорость частицы и, следовательно, ее импульс
оrJТ быть измерены с достаточной точностью. Стремиться R тому, чтобы f1t
-и, следовательно, tJ.x были как можно меньше (в классической мехаНИRе СПО'"
рост 2 ь v ,. lim t.. о ( xl t), конечно, не следует.
I ) Ha уже тмечалось па с. 24, Rартина размазанноrо элеRтропа, подоб...
:по В ЯRОИ Друrои классической аналоrии, не полностью соответствует квав.
З'овои механике.
L
З6
rл. 1. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ НВАНТОБОй ТЕОРИИ
6. Невозможно одновременно точно измерить координату МИRРО"
частицы по некоторой оси и проенцию импульса на ту же ось. He
определенвости в значениях координат и импульсов связаны COOT
пошевиями rейзенберrа.
7. Отличительной особенностью микромира является новое по
пимание опыта. Произвести опыт над микрочастицами значит из
менить состояние частиц, подверrавmихся исследованию. Волновые-
функции частиц до опыта отличаются от волновых функций частиц
после опыта.
Классическая физика исходит из предопределенности мира. Она
считает, что если бы удалось одновременно измерить координаты
и импульсы всех атомов, то, применяя физические законы, можно
было бы рассчитать состояния всех атомов (т. е. полную картину
мира) на любой промежуток времени вперед.
Квантовая механика утверждает, что рассчитать MOJIC1-l0 ТОЛЬ О
аолnовые фУ1-lnции, Т. е. вероятnости, по nельзя предсnазать, какая.
из вОЗМОJ/С1-l0стей в nопце попцов осуществится. Каная из ВОЗl\10Ж
IIостей будет реализована дело случая, и эта неопределенность
возникает не вследствие несовершенства квантовой механини, а BЫ
текает из существа законов, действующих в микромире и правильно
отражаемых квантовой механикой.
r л А В А 11
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
в предыдущей rлаве было поназано, что движение микрообъев:тов
описывается не траев:ториями, а 'Ф функциями, причем B '"
цИИ зависит от конк етной изической за ачи.
Iы выяснили, Kp01vle Toro, что 'Ф функция, описывающая сам:а по
себе распределение по координатам, определяет также распределе...
Бие по импульсам. Очевидно, что и друrие динамические xapaKTe
ристики частицы, такие как кинетичесн:ая энерrия, момент им...
пульса и др., та:кже определяются ее волновой функцией. В саымM
деле, кинетическая энерrия частицы задается числовым значением
ее и:мпульса р, а для определения момента импульса нужно найти
векторное произведение координаты r и импульса р. Таким образом,
задание 'l2.:ФУНRЦИИ полностью определяет не только положение
частицы, но и все ее динамические характеристики . Задача об
определении и прави:льном истолковании 'Ф Функции является по
ЭТОl\IУ основной проблемой квантовой теории. R реmению этой за...
дачи !\{ы и приступаем.
t I
5. Средние значения
, I
Очень важным в физике микромира является понятие с р е Д н е r о
з п а ч е н и я различных физических величин. Напомним читателю
на ПрОСТОl\1 примере, в:ак вычисляются средние значения. Рассмот",
рим N !\{оленул, дви:жущихся с различными СКОРОСТЯl\fИ И, следова...
тельно, с различныыи: энерrиями. Проще Bcero ОПРе'делить среднюю
энерrию этих моленул, сложив энерrии всех молекул и разделив по
лученную СУМ:МУ на число молекул:
N
(Е) .... ; Е 1 .
i==l
(2.1)
J I
в этой формуле энерrил i й моле:кулы обозначена через E i , а сред'"
вее значение энерrии, как это принято в квантовой мехаНИRе, обоз...
начено той же буквой, что и cal\la энерrия, и заключено в уrловыIe
скобки.
Друrой способ вычисления средней энерrии занлючается в сле...
Дующем:. Подсчитаем N h число молекул, энерrия которых ЗaRЛЮ--
чепа между Ek и Eh+1 (наприм:ер, между 0,031 и 0,032 эВ). Произ--
ведем такой подсчет для всех наблюдаIОЩИХСЯ значений энерrии.
r
!
38
rл. 11. основы RВАНТОБQй МЕХ.АНИНИ
Сумма, стоящая в числителе {2.1}, может быть выражена в виде
N
E i == NkEkfl
i==l k
'(Эта формула в вашем случае не является вполне точной, так как
непрерывно меняющуюся энерrию молекул мы заменили дискрет
вым набором Ek. Однако при достаточно мелком разбиении неточ
ность может быть сделана сколь уrодно малой.)
Формула для определения средней энерrии примет теперь вид
(Е)::: NIДh==< Eh k ::: EпPп,
k k
(2.2)
Величина Nh/N, обозначенная через P k , определяет долю молекул,
энерrия которых лежит в k M интервале, или, что то же caMoe t
вероятность иметь заданную энерrию Ek (заметим, что сумма всех
вероятностей P k , как всеrда, равна единице).
При непрерывных распределениях вероятность попасть в беС"' l
конечно малый интервал между Е и Е + dE зависит от выбранноrо'
значения Е и от ширины интервала dE и обозначается поэтому
р (Е) dE. Функция Р (Е) определяет в этом случае распределение
молекул по энерrии и носит название плотности вероятности.
При непрерывных распределениях сумма (2.2) должна быть
заменена ивтеrралом (РI& заменяется при этом на Р(Е)аЕ):
(Е) .... S ЕР (Е) аЕ. (2.3)
Интеrрал r(2.3)' берется по всем возможным значениям Е. В об--
щем случае, коrда ищется среднее значение какой то величины х,
плотность вероятности соответственно обозначается Р(х). Формула
(2.3) широко применяется в науке и используется, например,
в кинетической теории rазов (р (Е) задается при этом распределе...
нием Максвелла).
Перейдем теперь к задаче об определении среднеrо 8начения
координаты х для микрочастицы, обладающей волновой функцие:Й
ф(х). Квадрат модуля ф Функции ''1'(х) 12 является плотностью ве--
роятности найти частицу в онрестности точки х. Саму 'Ф функцию
часто называют а м п л и т у Д о й в е р о я т н о с т и. TaRoro матема--
тическоrо термина, впрочем, не существует. По аналоrии с оптикой
термин «амплитуда» применяется здесь для Toro, чтобы подчерк--
нуть необходимость возведения функции в квадрат при вычисле...
нии вероятности.
Соrласно (2.3J среднее .8ва чение КоОординаты ж следует вычис",
лять по формуле
(х)...... S х I 'Ф (х) I! dX J
5. СРЕДНИЕ 3НА ЧЕНИЯ
39
или, что то же,
\ (х) -== 5 '\J* (х) x1jJ (х) dx.
(2.4)
в формуле (2.4) 1'Ф(Х) 12 представлено в виде Ф*(х)'Ф(х), rде звез...
дочка означает комплексное сопряжение.
Повторяя проведенные рассуждения для вычисления среднеrо
значения х 2 , х З И Т. Д., нетрудно убедиться, что
(х 2 ) "'" 5 '\J* (х) x 2 1jJ (х) dx. (ха) == S '\J* (х) x a 1jJ (х) dx
и что вообще сред нее значение любой функции f (x) равно
I (/ (х) "'" 5 '\J* (х) / (х) '\J (х) dx.1
(2.5)
Научимся теперь вычислять среднее значение
простоты рассмотрим одну из проекций импульса,
цию на ось х). По формуле (2.3) найдем
(р,.) "'" 5 рх Р (рх) d Px
импульса '(для
например проек",
(2.6)
rде Р (Рж) dрж определяет вероятность Toro, что импульс заключен
между Рж и Рж + dрж.
Мы уже знаем, что величина Р (Рх)' определяется функцией
'ф (х). Остается выяснить вид этой зависимости. Для простоты бу
дем считать, что система (или частица, если речь идет об одной
частице) находится не в бесконечном пространстве oo < х < 00,
8 внекотором orpOMHoM ящике A < х < А. ЕСЛII размер ящика А
достаточно велик, частица никоrда «не узнает» о том, что свобода
ее передвижения оrраничена стенками ящика, и на ее движении
ото пинак не скажется.
Если распределение частицы в ящике описывается волновой
функцией 'Ф (х), то функция '" (х) должна удовлетворять у с л о в И...
н м н о р м и р о в к и:
А
1 == S 11jJ (х) 1 2 dx == 1
A
(2.7)
.ICM. (1.35) и (1.36»)'. Разложим 'Ф(х) в ряд Фурье:
00
'\J (х) == vh т oo С т ехр (i Р; х).
(2.8)
Коэффициенты С т определяют, с каким весом присутствуют в
'Ф фУНКЦИИ различные волны Де Бройля. В разложении (2.8): мы
при:меняем волны де Бройля vh ехр ( i Р; х ) J. которые сами YДOB
( I
40
rл. 11. основы RВАНТОВОй МЮ'САНИRИ
летворяют УСЛОВИIО нормировки (2.7). l\ак мы УВИДИМ: впоследствии,
такой выбор делает физический смысл С т особенно наrлядным.
По известной Teope H о рядах Фурье показатель экспоненты на
длине ящика должен I1змеllНТЬСЯ на целое кратное от 2лi 1). По
этому
пп,
Pт Aт,;
(2.9)
rде т Лlобое целое число.
Чтобы найти коэффициенты С т , проще Bcero умножить ypaBHe
ние {2.8} на -vh ехр ( i Р; х) и проинтеrрировать ero зате 1 по
х от A дО +А. В правой части уравнения все члены суммы с
т =Р n обратятся в нуль вследствие периодичности функции
ехр (i Р т Р п х). Член с т == n равен 2АС п . Поэтому
А
Сп == ;и 5 '\J(x)exp ( i Р; х) dx. (2.10)
.....А
Приведем без доказательства известную из теории рядов Фурье
т е с р е м у п о л н о т ы:
00 А
I С т 12 == S I '\J (х) 1 2 dx == 1. (2.11)
т== oo A
Как уже отмечалось, коэффициенты С т определяют вес, с ноторым:
присутствуют в 'Ф Функции различные волны де Бройля, т. е. co
стояния с определенным импульсо:м. Формула (2.11) поназывает,
что с:м:ысл вероятности имеIОТ не сами С т , а квадраты их модуля,
так как только в этом случае сумма вероятностей иметь все B03
можпые импульсы обращается в единицу.
Среднее значение импульса равно поэтому
(Рх> с:пРт Ст . (2.12)
m
Хотя формула (2.12)' и дает однозначное правило определенпя
<Рх), она крайне веудобна для вычислений, так RaK требует Ha
хождения всех С т (по формуле (2.10)) и ВЫЧIIсления бесконечноii
СУМl\fЫ (2.12). В теории рядов Фурье показывается, что формула
{2.12} 10жет быть приведена к простому виду:
(Рх> == S '\J* (х) ( in д ) '\J (х) dx. (2.13)
Доказательство этой формулы приведено в Приложении 1.
1) Можно, например, считать, что размер ящика 2А является периодом
фУННЦИИ -ф(х). Поскольку края ящика отодвинуты достаточно далеко, нпка
кие предположения о поведении функции за ящиком на результатах опыта
не сказываIОТСЯ.
1 .....'
:\';
, 'ё'": .
6. ОПЕРАТОРЫ
41
6. Операторы
ФОР1\iула (2.13) позволяет решить задачу о нахождении среднеrо
значеНIIЯ импульса без разложения в ряд Фурье непосредственно
по функции 'Ф(х). Этой ф,ормуле может быть придан вид, анало
rичнЫЙ (2.5):
(Рх) === s ",* (х) Рх'" (х) dx.
В (2.14) ВХОДИТ оператор импульса
(2.14)
...... а
РХ === i 1i дх ·
(2.15)
Проверим: фОр1\iУЛУ (2.14) для «обыкновенной» волны де Бройля
'i' (х) === vh ехр (i Р; x) (2.16)
ВОр1\iированной в ящике A < х < А. Среднее значение импульса
в этом случае известно заранее, ПОСRОЛЬКУ написанная волна опре
деляет состояние с вполне определенным значением импульса ........
значением, равным: Рт.
По фор муле (2.14) имеем
А
(Рх) === S "'* (х) ( in' а: ) 'i' (х) dx ===
A
А
S 1 ( . Р т ) ( . n а ) 1 ( . Р т ) d
с::: ехр .......... l Х .......... l ехр l Х Х :::::1
У2А 1i. ах У2А 1;.
A
А А
1 S ( . Р т ) ( . Р тп ) d Рт S d
== 2А ехр.......... l Т Х Рт ехр l т Х Х == 2А Х === Рт.
A A
Мы видим, что формула (2.14) действительно быстро приводит R
правильному ответу.
Общее утверждение квантовой механики заключается в том, что
средnее 8начеnuе .любой фU8uческой ве.лuчunы f находuтся по фор..
му.ле
(/) === 5 "'* (х) j;p (х) dx,
(2.17)
..........
rде f о пер а т о р физической величины f.
Мы уже установили вид т для х и любой функции от х. CpaB
пение (2.4): и (2.5)' с (2.17) показывает, Ч!О оператор -; сводится
R Простому умножению па %, а оператор f(x).......... к умножению на
.
"
42
rл. 11. ОСНОВЫ RВАНТОБОЙ МЕХАНИRИ
ФУНИЦИЮ f(x). Мы нашли также оператор р (х). Он определяется
формулой (2.15). В этой связи нужно только отметить, что для
простоты изложения до сих пор формулы писались так, как если
бы 'Ф Функция всеrда зависела от одной координаты х. В общем
случае в расчет следует принимать все три пространственные ко...
ординаты, так что вместо (2.17) нужно писать
(f) === 5 S S 'Ф* (х, у, z) ] (х, у, z) 'Ф (х, у, z) dx ау dz,:
или
I (f) -=- S S S 'Ф*]"с/v,
(2.18)
rде dV элеl\lент объема.
Операторы трех проекций импульса можно написать по анало...
rии с ( 2 .15) :
" д
Р Х === ........... i 1i ............,
дх ,'}
"" . д
ру === ......... t 1i .......... ,
ay'l
" . д
Р z == ........... t 1i ..........,.,
az
(2.19)
или в векторной форме:
\ Р == i1iV, \
(2.20)
rде V оператор rрадиента. Операторы х и р являются основными
операторами квантовоЙ механики. Укажем правило, позволяющее
находить операторы всех друrих физических величИН. В декартовой
системе :координат формульt, KOTopbte классическая физика вьtводит
для связи между числовьtми зпачепия.ми физических величип,
в квантовой мехапике следует рассматривать как формульt, связьt...
вающие оnераторь1, этих велuчии. Так, например, связь между ки...
нетичеСRОЙ энерrией и импульсом в обычной механике определяется
формулой
2
Т р 1 ( 2 2 2 )
== 2т == 2т Рх + Ру + Pz ·
(2.21)
Оператор кинетичеСI\ОЙ эперrии равен поэтому
/'. 1 ( ........2 "2 "2 )
Т == 2т Рж + ру + Р z ==
== [( ...... i 11, ) ( ......... i 1i ) + ( ........... i 11, !. ) ( ........... i 1i ) + ( ......... i1i !... ) ( ......... i 1i )]
2'п дх дх ду ду az az 1J
Т. е.
\ ...... 1i.' ( д' д 2 д? )
T=-...... + +
2т д;i ду2 Bz".
(2.22)
. . "
. . . .. . I ... . ' . .:..:'. . ..' . 7J; . .. . ' ..
<f
\:.:,
I 6. ОПЕРАТОРЫ
43
Определенный формулой (2.22) оператор т может быть исполь...
вован для нахождения среднеrо значения кинетической энерrии по
формуле (2.18) или (2.17), если известна 'iJ фУНIЩия частицы. Pac
смотрим, например, волну де Бройля (2.16) 'Ф (х) с=о -vh exp (i p х).
распространяющуюся вдоль оси х. Так как 'Ф функция в этом слу...
чае не зависит от координат у и z, нет нужды прибеrать к (2.18)
и можно применить для вычисления <Т) формулу (2.17). Замечая,
ЧТО дифференцирование по У и z обращает 'Ф Функцию в нуль,
получим:
< Т) == S 'iJ* (х) Т'Ф (х) dx ==
А ( ) t А I
1 . Р т 1;, 2 д 2 . Р т Р т f Р т
=== S eXP ( l X ) e XP ( l x ) dX=== S dx==............
2А 1;, 2т дх 2 1;, - - 2т 2А 2т
A A
RaI{ и должно быть. Нонечно, тапой простой результат вознипзет
не всеrда. Он получился здесь потому, что в состоянии, описывае
:мом простой волной де Бройля, импульс и кинетическая энерrия
имеют вполне определенные значения. Средние значения ЭТИХ ве...
личин совпадают с этим единственным значением.
Покашем, что для достаточно крупных, классических объектов
сформулированное правило вычисления операторов обеспечивает
выполнение обычных законов классической механики.
ДЛЯ I\РУПНЫХ объектов неопределенности координат и им пуль...
сов оказываются несущественными по сравнению с ра8мерами и
импульсом ca:M:oro тела. ф функции таких тел и распределения по
друrим физическим переменным крайне узки. Практически следует
считать, что эти величины имеют одно единственное, «классиче
спое» значение (которое, конечно, может быть измерено с по
:мощью опыта). Средние 8начения физических величин поэтому
совпадают с этим единственным значением.
Рассмотрим в качестве примера связь между энерrией и импуль",
сом какоrо нибудь большоrо тела. В соответствии с (2.22), и (2.18),
ero средняя энерrия равна
<Т) == 5 'Ф*Т'iJ dV == S 'iJ* ;т Ср; + p + р:) 'iJdV ==
== 2 S 'iJ*p;'iJdV + 2 S 'iJ*p 'iJdV + 2 S 'Ф*р 'iJdV ==
1 [ 2 2 ]
с:: 2т (Рх) + (Ру) + (Рх> ·
в общем случае эта формула не приводит к Rлассической связи
между анерrией и импульсом. ч: тобы р этом убедиться! достаточно
1)
I
44
rл. 11. ОСНОВЫ RВАНТОВОй МЕХАНИНИ
ваметитЬ, ЧТО, вообще rопоря 1) ,
(p ) =1= (рх) 2.
При очень узких распределениях, коrда средние значения совпа
дают с е,J;инствевны {и, формула дает
Т 1 [ 2 2 2 ] 1 ( 2 2 2 )
(Т) == === 2т (Рх) + (ру) + (рх) == 2,n Рх + ру + Рх ,
что находится в соrласии с нлассичесноЙ физикой.
НаЙдем оператор полноЙ эне рr ии частицы. Этот оператор назы
nается операТОрО 1 rамильтопа н (по аналоrии с rамильтонианом
:классичеСI{ОЙ механики). с помощыIo обычных правил получим
./"- -'" -'" l' 1;, 2 ( 82 а 2 02 )
Н === Т + и === [; (х, у, z) 2 2 + """"? + 2 .
т ах ay Dz
(2.23)
При выводе была использована формула (2.22). Оператор потен--
циальноЙ энерrии и, как оператор вся--
z Koii функции координат, равен самой
функции.
Найдем, наконец, оператор момента
импульса. Будем исходить из формулы
классической механиКИ
у
i j k
М === [r Х р] === х у z
РХ Ру Рх
!J
Выпишем в явном: виде оператор проек--
ции момента импульса на ось z:
М z ,=: Х ру У!эх == х ( i n :у )
........ У ( in ) === i1i ( Х у ) .
дх ду дх
Рис. 18. Связь деI(артовой
и сферичеСI{ОЙ систем KO
ординат
ПереЙдем к сферическим координатам r, 'д', ер, связанны:м с декар--
1'ОВЫМИ координатами Х, у, z соотношениями (рис. 18)
z === r cos '6', х === r sin t} cos <р, у == r sin t} sin ер.
(2.24)
1) Рассмотрим, например, средний импульс и средний квадрат импульса
у частицЫ, импульс которой с равной вероятностью принимает значения а и
ь. Средний импульс частиЦЫ равен (а + Ь)/2. Квадраты импулъоа частицы в
первом и втором состояниях равны соответственно а 2 и Ь 2 . Средний квадрат
импульса (а 2 + Ь 2 )/2 не равен квадрату среднеrо импульса [(а+ Ь)/2]2.
" I ;. . ' . .' . (
., '1.
'., ;
Х? f
'-('
I
. ,'i'
.
{
: ;iv
q:
.. I '
. ..
' : \
...
\.';J. .,.
' :,
';
i
"',
.. ' . . . . . . .
.:; ,
,.....,
:'Й
/. . . . ',&I : \
. . .1 ' .. ... . . . '
), .
t
:1/!!'
,, :
,,'.
t1;
I .
. ..... : .. . .... ' .... . ... . .....
"
'if
J,
6. ОПЕРАТОРЫ
4:S
с пОМОЩЬЮ (2.24) выразим частную производную по <р через
производные по декартовым координатам:
д дх а ду д az д
д(р == дqJ дх + дqJ ду + дqJ д'!. :=о
. tt. д · t} д д 8
r== r Slll Slll ер ах + r Slll COS ер ау с::= у az + ж дll ·
Сравнивая это выражение с формулой для М:, найдем
I Mz:=o i1i .
(2.25)
........
Вид оператора М: пОХОЖ на вид операторов для проекций импуль",
-са (2.19). Этому не след ет удивляться. В аналитической механике
ПОRазывается, что ер и M z являются обобщенной координатой и
<>бобщенным импульсом. В квантовой MexaH пe иrрает большую
роль оператор квадрата момента импульса М 2 . Он имеет, однако,
сложный вид, и мы в этой Rниrе Иl\1 пользоваться не будем.
Вернемся к формуле (2.23) для оператора полной энерrии.
Найдем с помощью этой формулы связь между средними 8наче
пиями полноЙ, потенциальной и кинетической энерrий:
< Е) :=о 5 'Р*Н 'РаУ === 5 'Р* (т + О) 'Рау :=о 5 'Р* т 'Рау + 5 'Р* и 'РаУ.
или
<Е) == <Т) + <и).
'( 2.26 j
Среднее значение полной энерrии равно сумме
u U '"
средних значении кинетическои и потенциальнои
з н е р r и и. Э т о у т в е р ж Д е н и е н е э к в и в а л е н т н о у T
Берждению классической физики о равенстве
и с л о в ы х з н а ч е н и й Е и Т + и. При обсуждении этоrо раз...
личия следует ПGМНИТЬ, что кинетическая энерrия зависит от им...
пульса, а потенциальная энерrия от координат частицы. В силу
еоотноrпения неопределенностей потенциальная и кинетичеGRая
знерrия частицы не MorYT одновременно иметь определенных aHa
чений, так что простое числовое равенство в духе классической
физики невозмоЖно. Формула (2.26) показывает, однако, что Rлас...
сическая связь сохраняется между среднимИ значениями Е, т и и.
ФОР lула (2.26) может быть леrко обобщена. Повторяя рассуж--
дения, которые предшествовали этой формуле, нетрудно показать,
что из операторноrо соотношения
А==В+С
возникает равенство
<А) == <В) + <с>
(2.26'У
для средних значений.
t
[
46
rл. 11. ОСНОВЫ НВАНТОВОй МЕХАНИНИ
Остановимся на связи между средним 8начением HeKoTopoW
величины х (не обязательно координаты!) и средним значением е&
квадрата х 2 . Всякое конкретное значение х может быть представ
пено в виде CYMl\lbl среднеrо значения этой величины и пеRотороr<>
добавка L.\x:
х == (х) + L.\x.
Возьмем среднее от обеих частей равенства. Так как среднее зна
чение су:м:мы равно сумме средних значений (это следует из (2.1)),.
то не}fедленно получим (L.\x) === о. Найдем теперь средпее значе
вие х 2 :
(х 2 ) == «( (х) + x)2) == «( (х)2 + 2<x) x + ( x)2»;
(х) и (х)2 это числа. Их средние значения равны им саМ:И:\f. П<У
той же причине среднее значение 2<x)L.\x равно нулю. Иl\lее 'l по...
атому
(х 2 ) == <х)2 + < ( x)2).
(2.27}
Среднее значение положительной величины ( x)2 (она носит назва...
вне Д и с пер с и и) не может быть отрицательным и обращается в.
вуль в том единственном случае, коrда x тождественно равно.
нулю, т. е. коrда вет никакоrо распределения, и величина х в yc
JIОВИЯХ поставленной задачи точно определена (и ПОЭТОl\fУ выра...
жается некоторым определенным числом).
Формула (2.27) указывает нритерий, позволяющий во веяноЙ-
:конкретной задаче проверить, Иl\lеет ли интересующая нас фпзи:че
ская величина некоторое распределение или является числом. Дла
8Toro достаточно сравнить <х2) и <х)2.
7. Собственные СОСТОЯНIIЯ
Среди задач о нахождении 'Ф Функций частиц в различных состоя---
виях особенно важна задача о состояниях, в ноторых наRая нибудь.
величина имеет вполне определенное значение. Такие СОСТОЯНИff
принято называть с о б с т в е н н ы м и с о с т о я н и я м и этой физи---
ческой величины. Мы пока встречались с единственной 'Ф Функциеii
u Б u ( . Рт ) u
TaKoro рода с волнои де роиля вида ехр т х ,; описывающеи.
состояние, при котором проекция импульса на ось х И lеет един...
ственное значение, равное Рт.
Одним ИЗ основных утвеР l\дений квантовой :мехаНИI\И являеТС1f
утверждение, что состояuuе, в котором фuзическая величunа f u.м,e
ет определеnuое 8nачеnuе /0, оnuсьzвается 'Ф фуnкцuей, являющейся.
решением уравuеnuя
1 7'Р == f о'Р,
rде 7 оператор физической величины f.
(2.28)
j
"
,
. : .. Ji . . . .,.k .
. 'I
{"(I,
....с.;,..
' ... . .I . ... ' . . . I . :: . t
,
I
..I....... . . . . . . . : . .. . :' . ; . .. . . ; . ' . }
",' .
{ (:
; '
>.i
{ ;
. :/""
'.] \
" с..
(-.f.,
" "T '
f
1t
..
:\1
.; :
1 '.
,
. . .. . . . . ; ' . . . .'
" .f{
'Ri"
,:.f.;j:,!'
<.'- 1
.:t
., 1t
1j
/i
'I .
1 .
1 t{
.';
,..;;
. . : .. . . . .
l;к-z
t
'": ....' :
g i. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯ:НИfI
47
ПОRажем, что формула (2.28) правильно решает поставленную
адачу. Найдем среднее значение f в состоянии, которое описывает
.ся ф функцией, удовлетворяющей (2.28),
(J) == J "'* l'i'dV == J "'* J о 'i'dV == J О J 'i'*'i'dV == J О.
(2.29)
При вычислении <1> мы заменили в подынтеrральном выражении
7 на fоФ в соответствии с (2.28) и воспользовались условием вор...
1\IИрОВRИ 'Ф фувкций (1.35).
Найдем теперь среднее значение f. По общему правилу вахож--
""
.дения операторов занлючаем, что оператор r равен
/2 === (f) Z === ff.
ДваждЫ используя (2.28), найдем
<Р) == S "'* j2'i'dV == S "'* 7 7"dV == S "'* 7 J о "dV ==>
== J о S 'i'*7'i'dV == J о S "'* J o'i'dV == J s 'i'*'i'dV == J .
Итак, в вашем случае
(/2) == (/)2 == f .
l\а1\ отм:ечалось в конце предыдущеrо параrрафа, такое равенство
RОЗМОЖНО лишь в том случае, если величина f не имеет распределе..
IIИЯ, а принимает одно единственное значение. Из (2.29) следует,
что это значение равно /0. ТаRИ 1 образом, 'Ф функции, являющиеся
решениями уравнений (2.28), действительно описывают собствен
пые состояния.
Уравнения типа (2.28)', вообще rOBopfI, являются уравнениями
n частных производных. l\fатеl\lатина учит, что для однозначноrо
решения таких уравнений нужны дополнителньые оrраничения, на..
пример rрапичные и начальные условия. Условия, которые нанла..
дывает квантовая механика на решения уравнений {2.28), име..
ют неСКОЛЬRО друrой характер: физический смь сл моеут иметь
лишь реше1lия всюду КО1tеЧ1lь е, од1l0З1lаЧ1lь е, uenpepывиb e и
е.лад ие.
В качестве ПРИАIера с помощью '(2.28)' найдем 'Ф Фуннцию со..
стояпия, в нотором проекция импульса Рж и:меет определенное зна...
чевие рт. Подставляя в (2.28) в качестве оператора т оператор про
СIЩИИ импульса i1i :Х ' получим
. n д'"
......... l д х === Р m 'Ф --
ЭТО IУ уравнению (и всем необходимым условиям!) удовлетворяет
:tJ, rccc -= Щ kЛ::'С#U .J1I'Cj,t c,jн.c[(
48
l'Jl. 11. основы RВАНТОВОй МЕХАНИНИ
функция
'ф == с ехр (i Р: х),
являющаяся хорошо известной плосной волной.
Выясним теперь, Rакая связь существует между оператора fП
физичеСRИХ величин и числовыми значеНИЯ]\fИ этих величин, наблю
даемыми на опыте. Произведем опыт по измерению I\акой либо
физической величины f. В результате опыта возникает некоторое
число измеренное значение величины f. Пусть при ИЗ lереНИlr
обнаружилось, что / имеет значение /0. Это не означает, что дО'
опыта значение величины f равнялось /0; эта величина fоrла IIм:еть
некоторое распределение, из ROToporo Эl\сперимент выбрал найдеII
вое значение /0. Поскольку, однако, это значение найдено, состоя
ние системы после опыта описывается 'Ф Функцией с определеННЫ 1
8начением /, Т. е. функцией, являющейся решением уравнения NJ ===
== /0'1'. Мы можем поэтому утверждать, что a опыте l\10r Y T быть.
найдены лишь таRие значения /0 величины /, при кото ых 2.28
имеет решения, удовлетво яю ие с о м ли оваПНЫl\1 выше требо
ваниям .
Функции, являющиеся решением уравнения (2.28) и удовлетво
ряющие условиям конечности, непрерывности, однозначности и:
rлад сти, называются с о б с т в е н н ы м и Ф у н к Ц и я м и опера
тора /; те значения /0, при которых такие решения сущеСТВУIОТ, IIа
зываются с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и физической вели qJt
ны /. Таким образом, nа . бор собствеnnьzх зnачепий для оператора f
определяет 8nачеnия 10. KOTopble МО2УТ быть nайдеnы из опыта при .
и8мереnиu физической величиnь j .
При исследовании (2.28) нереДI\О оказывается, что конечные,.
однозначные, непрерывные и rладкие реmения MorYT быть наЙдены
не при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях /0. IIa
бор собственных значений Физичесной величины иноrда оказывает
сл непрерывным, а иноrда дискретным: /01, /02, /03, ... Опыт ПОRа
зывает, что в таких случаях измеренные значения / действительн()
оказываются дискретными и совпадают с собственными значения
ми /Oi. Хороmим примером дискретности в микромире являются оп
тические спе:ктры атомов, которые состоят из ряда отдельных TOH
ких линий.
Существенным различием макромира и микромира является то,.
что в манромире все объекты одноrо сорта различны, а в минро
мире одинаковы. В самом деле, все дома различны, все люди раз
. вые, не бывает двух в точности одинаковых песчинок и т. д. И Ha
оборот: опыт свидетельствует, что все электроны одинаковы, все
протоны одинаковы и все атомы одноrо сорта тоже вполне одинако...
вы. В точности одинаковы и спектры, испускаемые атомами одноrо
и Toro же сорта !например, атомами водорода или атомами rелил
и т. д.1.
1
,
,
t
. '; .'.. ' . ' ,. " " )!
1
8. УРАВНЕНИЕ ШРЕдинrЕРА
49
8. Уравнение Шрединrера
Перейдем к изучению изолированных физичесних систем:, Т. е. си
стем, настолько слабо связанных с окружающим миром, что этой
СВЯЗЬЮ можно вовсе пренебречь. Как известно, у таких систем co
храняется энерrия. Их состояния, следовательно, описываютс
'ф функциями, удовлетворяющими (2.28), в котором в качестве f
фиrурирует оператор полной энерrии системы. Подставляя в (2.28).
значение опера тора полной энерrии (2.23), находим
I
1i 2 ( д2 д 2 д 2 )
+ + 'I'+U'I'==E'I'.
2п дх 2 ду2 az 2 О
(2.30)
Это уравнение иrрает важнейшую роль в квантовой физике и носит
название у р а в н е н и я Ш р е Д и н r е р а для стационарных COCTO
яний (стационарными в квантовой механике называются состояния
с неизменной энерrией).
Уравнение (2.30) может быть записано в более НОl\iпактном ви
де, если для оператора д 2 /дх 2 + д 2 /д у 2 + a 2 /aZ 2 , называемоrо обычно-
оператором Лапласа, вв ести общепринятое обо значение :
1i 2
2т 'I' + U'Ф === Eo'l'.
(2.31)
Физический смысл имеют лишь КОllечпые, одпозначныl,, пeпpepыв
1tbZe и еладкuе решения этоео уравпепия 1).
в отличие от уравнений Ньютона уравнение рединrера явля
ется не просто дифференциальным уравнением, а дифференциаль
БЫМ: уравнением в частных производных. Такие уравнения анали
тически решаются крайне редко. Поэтому в нвантовой физике cy
ществует очень узкий Kpyr задач, решаеl\iЫХ в аналитическом виде
до I\онца. Однако :можно научиться оценивать результат и в тех
случаях, коrда точное решение не может быть получено из за слож
ности уравнения. Для этоrо в следующей rлаве будут проведены
исследования общих свойств решений уравнения Шрединrера на
простых прим:ерах, коrда такие решения можно получить и проана
лизировать полностью.
В заключение отметим, что уравнение Шрединrера для стационарных co
стояний является частным случаем более общеrо уравнения Ш редипrера, опи...
сывающеrо поведение любых нерелятивистских систем:
д '1' '"
i1i 7ft == НЧ!. (2.32}
Обсуждение этоrо уравнения выходит за рамки книrи. 'Уравнение (2.30) по
JIучается из общеrо уравнения Ш.рединrера, если rамильтопиан ii явно пе-
8а"висит от времени. В этом случае волновая фупнция ч' MOjI{eT быть пред...
1) Об исключениях из этоrо правила см. текст после формулы (3.8)"
4: л. л. rОJJЬJ! 1!1 r. JI.J 1Iовинова
50
rл. 11. ОСНОВЫ RВАНТОБОй МЕХАНИRИ
ставлена в виде произведения ФУНКЦИИ '1' (х, у, .z), зависящей только от коор.-
динат, и функции <p(t), зависящей только от времени, так что
Ч'(t, х, у, z) == 1j)(x, У, z)q>(t).
Подставляя это выражение в (2.32) и деля обе части полученноrо урав.
пения па Ч' (t, х, у, .z), найде1-!
i1i dq; f '"
== H
dt 1j) ·
Левая часть этоrо уравнения зависит только от времени, 8 правая только . .
от координат. Они не эависят, следовательно, ни от координат, ни от времени
и равны некоторой константе. Обозначив эту константу через Е, найдем
dq:>
'А dt == Eq>, уф === E'I'.
Первое из приведенпых уравнений приводит К уже известной зависимости вол.
вовой фУНКЦИИ от времени
q>(t) ==exp( I : е).
8 второе совпадает с уравнением Шрединrера для стационарных состояний,
Т. е. с (2.30).
..j
j
I
1
'с1
'J
..
:
r л А В А 111
ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ.
КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРrии.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
* 9. Прямоyrольная потенциальная яма.
DринЦИП соотвеТСТВllЯ
Рассмотрим случай, коrда потенциальная энерrия частицы И(х)'
равна нулю на отрезке О х а, обращается в бесконечность при
х < О и равна пекоторой положительной величине и при х > а
(рис. 19)1). Если полная энерrия частицы Е < и, то rоворят, что
'Частица находится в «потенциальной я:ме».
Рассмотрим вначале, как будут себя вести в таной яме класси..
'Чесние част цы. На отрезке О::::;; х а они движутся С постоянной
I\инетической энерrией и, следовательно, с постоянноЙ скоростью.
Энерrия частиц в яме может иметь любое значение. При О Е Е:; U
'частицы не MorYT выЙти за край ямы, потому что вне ямы потен...
циальная энерrия больше полной и кинетическая энерrия долж...
па была бы иметь отрицательное значение, что невоз:м:ожно. По...
дойдя к краю ямы, частицы «отражаются» от стенки и движутся в
противоположную сторону, та1\1 снова отражаются и т. д. Таким об..
разом, частицы, подчиняющиеся I\лассичесноЙ физике, отсутствуют
вне потенциальной ямы и MorYT быть с равной вероятностью найде--
JlЫ в люБО1\1 :месте ямы.
Частицы, подчиняющиеся квантовоЙ механике, ведут себя су...
щественно иначе. Основные особенности движения :MorYT быть по..
БЯТЫ без расчетов. Мы уже знаем, что 'Ф Фупкция частицы должна
быть непрерывной и rладкой. Поэтому 'Ф ФУIlНЦИЯ не может «обо..
рваться» у правой стенки и должна продолжаться за ней 2), хотя
за нраем ямы полная энерrия меньше потенциальноЙ. Следует ожи..
дать, что этот заход в запретную с Rлассической точки зрения об..
ласть будет тем меньше, чем тяжелее частицЫ, так как очень нруп--
вые, «классические» частицы в области с Е < U заходить не lorYT.
После этих предварительных замечаний перейде 1 к точному
решению задачи о движении частиЦЫ в потенциальной ям:е. Урав--
пение Шрединrера в ОДНОl\lерном случае И lеет вид
1;,2 d-ф2
2 2 + и (х) '1' === E'I'. (3.1)
п dx
1) Для простоты :мы рассматриваем одномерnyю задачу.
2) О том, как ведет себя ", функция при обращении потенциальной эне
rип в бесконечность, :мы поведем речь пиже. После этоrо можно будет обсуж...
дать поведепие 'Ф"фувкции у левой стенки.
,.
2 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. туннЕльны1й ЭФФЕR'l'
Так KaI{ фУНRЦИЯ и(х) является ступенчатой (рис. 19), то для
реПIения задачи удобно разбить область изменения х на два участ
на с постоянными значениями и, получить реmения для каждоrо
учаСТI{а в отдельности, а затем «сшить» их так, чтобы 'Ф4ункция
была непрерывной И rладкой. Область х <
< о, как будет видно из дальнейmеrо, ин
тереса не представляет.
Назовем область О < х < а областью 1 и
все решения в 9ТОЙ области снабдим индек--
сом 1. Область х > а назовем областью ]1
JI припишем индекс 2 решениям во второй
области. Уравнение (3.1) в области 1 при...
мет вид
и(х)
I
л
и
е ... .....
---- .....
2 d 2 ".,
1i "'1 Е
........ ............... == 11' 1 «
2т dx 2 .
(3.2)
о
tc
а
Рис. 19. ПрямоуrольнаJl
потенциальная яма с
бесконечно высокой
тенкой при х == О
а в области 11 запишется в виде
2 d 2 'Ф
........ 2 + u '1'2 == Е '1'2.
т dx
(3.3)
Введем обозначении
k 2 2т Е 2 2т Е)
.1 === 2 ,- k 2 === 2 (и ·
1;, 1;.
При этом уравнения (3.2) и (3.3) примут пр-осroй вид:
d 2 '1't 2 d 2 'Ф 2 2 О
------т + k 1 'Фl ==0,- k 2 'Ч'2=== .,
dx dx 2
(3.4)
(3.5)
RaI\ следует из (3.4), k и k: величины положительные. Решая
уравнения (3.5), найдем
А В h2x С h2x
'1'1 === sin (k1x + ер),. 'Ф2 t=:: е + е .
Б формулах (3.6) А, <р, В, С некоторые константы.
Примем теперь во ВНИ lание условия, которым должна удовлет"
ворять 'Ф Функция. Учте}! прежде Bcero, что 'Ф4ункция должна
быть всюду конечной (в том числе и в бесконечно удаленной точ
не!). Будем: считать k z ПОЛОil\ительной величиной (выбор отрица
тельных значениЙ в:место положительных приводит просто к обме
ну м:еста IИ первоrо и BToporo членов второй формулы (3.6)). Член
€xp (k 2 x) при Х ---+ 00 неоrраниченно возрастает. Поэтому необходимо,
чтобы В == о. Потребуе м, чтобы решения '1'1 и '1'2 В точне а были
равны (чтобы решение было непрерывным) и переходили одно 8
друrое без ИЗЛОl\Iа (чтобы оно было rладким). Приравнивая '1'1 (al,
и '1'2 (а), найдем
(3.6)
h а
А sin (Тс 1 а + <р) === Се 2.
(3.7)
1
I
6 9. прямоуrОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЫIАЯ ЯМА
53
Полаrая d'Фt1dх в точке а равным d'Ф2/dх, получим
k а
k1A cos (k1a + ер) === k 2 Ce %.
Деля эти два равенства друr на друrа, найдем
tg (kt a + ер) === kt/k2. (3.8)
Исследуе 1 прежде Bcero случай, коrда и очень велико. I\aK сле..-
дует из (3.4), k 1 при увеличении и не И3l\lеняется, а k z возрастает.
Поэтому при и --+ 00 отношение k 1 /k'l. --+ о. При бесконечно высокой
стенке, следовательно,
tg ( k 1 а + ер) == О,
что возможно лишь в тех случаях, коrда sin (kt a + ер) === О, а значит,
и 'Фt (а) обращается в нуль. Мы замечаем, таким образом, что в точ--
не, rде потенциальная энерrия бесконечно возрастает, 'Ф функция
обращается в нуль. 3а стенкой 'Ф Функция начинается с нулевоrо
значения, а далее может только Зilтухать, нак это следует из (3.6).
Она, следовательно, остается равной нулю. Производная dф./dх при
и ---+ 00 В нуль не обращается. Мы видим, таким образом, что
в т о ч I( е, r Д е п о т е н Ц и а л ь н а я э н е р r и я о б р а Щ а е т с я
в б е с к о н е ч н о с т ь, '1' Ф у н к Ц и я о б р а Щ а е т с я в н у л Ь,
о с т а е т с я н е п р еры в н о й, н о пер е с т а е т б ы т ь r л а Д к о й.
Потеря rлаДI\ОСТИ является «наказание:м» за нефизическое допуще--
нне о том, что потенциальная энерrия обращается в бесконечность.
Но даже при таком допущении 'Ф функция остается непрерывной.
П роведенные выше рассуждения полностью при:менимы R беско--
веЧIIО высокой левоЙ стенке ямы, т. е. при х === О функция 'Фl долж--
на обратиться в нуль. Иl\lеем ПОЭТОl\lУ
ер ===0. (3.9)
'l-1 ФУННЦИЯ остается равной ПУЛIО налево от точки х === О, т. е. при
всех отрицательных значениях х.
Уравнения (3.6) с учетом (3.7) и (3.9) сильно упрощаются и
прпобретают окончательный вид:
'1'1 ===А sin(k 1 x), 'iJ2 == С exp( k2X). (3.10)
Вместо уравнения (3.8) получим
tg(k 1 a) == kllk2. (3.11)
В уравнение (3.11) не входит ни одна произвольная константа,
и из пеrо следует, что решение задачи И lеется не при ЛIобых зва...
чениях параметров. Если задаться ши:риноii а и rлубиноЙ и потев...
Циальноп ямы, уравнение (3.11) в силу (3.4) определяет возмож",
ные значения Е. Однако это уравнение является трансцендентным,
и рассматривать ero неудобно.
Отложим поэтому дальнейшее обсуждение уравнения (3.11) и
рассмотрим вначале более простой случай, коrда не одна, а о б е
54 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОй ЯМЕ. ТУННЕЛЬНЫй ЭФФЕНТ
с Т е н к и у ямы бесконечно высокие. Так кап при этом k 1 /k 2 --+ О.
то уравнение (3.11) принимает простой вид:
tg ( k 1 а ) == о. .< 3 .11'
Уравнение (3.11')' удовлетворяется при
k 1 a === пл, n === 1, 2, 3, .. .,
или
k. == 'Лп/ а. (3.12У
Решение kt === О (при n === О), ноторое формально удовлетворяет
уравнению (3.11'), на самом деле является лишним:. В самом деле,
при k 1 s:= О функция 'Ф1, а вместе с ней и 'Ф2 тождественно обращаlОТ
ел в нуль. Это означает, что речь идет о случае, коrда частицы в
яме нет. Решения приобретаIОТ смысл при целых n, начиная с еди
ВИЦЫ.
ОТ реmения (3.12) с помощью первоrо из равенств '(3.4): перей--
дем к возможным решениям для энерrии
1;,2 2 1i 2 л 2 2
Е == 2т k 1 === 2та 2 п .,: п === 1" 2.,. 31 . . . (3.13)
Формула (3.13) показывает, что частица, «запертая» в потенциаль
вой яме, может иметь только дискретные, квантованные значения
8нерrии. Эти значения принято называть у р о в н я {II Э Н е р r и и.
Для бесконечно улубокой ямы вычисление положения уровней,
нак мы видели, леrко доводится до конца в общем виде. В пронз--
вольном случае положение уровней вычисляется с помощью урав--
нений типа (3.11), которые проще Bcero решать rрафически.
ВЫЯСНИl\-1 причину, по которой возникает квантование энерrии.
Решения уравнения Шрединrера в отдельных областях простран--
ства, приведшие к (3.10), сами по себе к квантоваНИIО энерrии не
приводят . Квантование возникло из за Toro, что мы сшивали вол...
новые фУНI\ЦИИ на rранице областей, в которых решение описыва--
ется существенно различными фУНКЦИЯМИ: триrОНО lетричеСRОЙ и
экспоненциальной.
Существует общая теорема квантовой механики, в I\ОТОРОЙ дo
называется, что энерzия всееда кваnтуется у систем, которые не
.моеут уходить на бескоnечность, и не кваnтуется у систем, способ..
1tblX уходить па 6ескоnечnостъ. Таким образом, если частица в яме
He заперта», т. е. при Е> и, квантование энерrии не возникает.
R этому результату в рассм:атриваемом случае можно придти
и путем точноrо решения задачи. При Е > И B}IeCTO (3.4) введем
обозначения
2 2т Е
"'1 =="'""2 ,
1i
2 2т
Х2 === 2 (Е И)
1;.
(3.14)
и вместо (3.5) вайде 1
2
d ер1 2
ах'}. + )(1 СР1 == O.t
2
d <1'2 2 О
+ "'2СР2 === ..
ах 2
(3.15)
1
j
g 9. прямоvrОЛЬНАЯ ПОТЕНПИАЛЬНАЛ ЯМА
53
.-
Решение первоrо уравнения имеет вид, аналоrичныи первому иа
равенств (3.10):
А , · ( ) А' ( {х ж i')( Х )
«1'1 === Sln)(1 х === 2i е 1 е 1 ')
(3.16)
а решением BToporo является функция {)'
В , iX2x С , ix2
<Р2 е е ·
(3.17)
Сошьем решения <1'1 и СР2 В точке а. Приравнивая <1'1 (а): == <l'z (а) t
найдем
А' ( e ix1a ____ е ixla ) == В' e ixaa ...... С' е fXaa.-
2i
(3.18)
Приравнивая производные, получим
А'. ( iXla + ixla ) . (В ' {Х2а + С , ix2a )
2i tX 1 е е lX 2 е е.
(3 .19)
"Уравнения (3.18) И (3.19) позволяют найти В' И С' через А'. Амп--
литуду одной из волн, например А', следует считать заданной. Как
нетрудно убедиться,
В' == 1: e ix2a k X1a ( : + 1) + e ixla ( :: 1)}.
С' == :: eix2akxla ( :: 1) + e ixla ( :: + 1)}.
Решение может быть найдено при л ю б ы х д е й с т в и т е л ь в ы х
8 Н а ч е н и я х Хl И %2, т. е. при любом Е> и.
Решения (3.16) и (3.17) проще Bcero интерпретировать, начи...
ная с функции СР2. Эта функция представляет собой сумму двух
волн де Броiiля: волны ехр ( iX2X)' движущейся справа налево,
и волны exp( iX 2 X )' движущейся слева направо. Пришедшая из +00
волна частично отражается и преломляется па rранице х == а потен...
циальной я:мы (Х2 меняется на %1), отражается от стенки, распо...
пашенной при х == О (к члену, содержащему ехр ( i%IX), прибавля'"
ется член с ехр (i%2 X ), снова преломляется па rранице х === а и ухо...
дит В бесконечность.
В рассматриваемом простом случае особенно ясно видна причи...
па, приводящая R квантованию энерrии при Е < и. При Е > и
сшивка фУНБЦИЙ приводит к двум уравнениям для двух неизвест",
пых коэффициентов В' и С'. Эти уравнения всеrда имеют решения.
При Е < и мы вынуждены были положить в уравнении (3.6)
В === о. ПОЭТО IУ сшивание решений привело к ДBY I уравнеНИЯ}I,
1) Можно было бы записать это решение в виде <1'2 == D sin (Х2 Х + 6), oд
вако Приведеппое в тексте выражение, как будет ВИДllО из дальнейmеrо, И Iе..
вт более простой физический смыл..
56 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОй ЯМЕ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕНТ
с помощью ко..торых нужно было найти Bcero один коэффициент с.
А это возможно не при всех, а лишь при некоторых, характерных
для рассм:атриваемоrо случая, значениях энерrии.
Верне1\fСЯ к обсуждению формулы (3.11). Разделив эту ФОР IУЛУ
на k 1 , получим
J.... tg (k 1 a) == J.....
k 1 k 2
В правой части этой формулы стоит существенно отрицательная
величина (о выборе знака k 2 см. текст после формулы (3.6)). Ч TO
бы левая часть равенства также была отрицательной, необходимо,
чтобы k 1 a лежало в областях
'Л/2 < k 1 a < 'Л' 3л/2 < k 1 a < 2л и т. д.
Во всяком случае, необходимо, чтобы выполнялось условие k 1 a >
> 'Л/2. Возведя это неравенство в квадрат и заменяя k через Е с
помощыо (3.4), найдем
2тЕ а 2 > 1[2 или Е> 1[21;,2
2 4 t 2
fL 8та
Вспомним теперь, что стационарные уровни возникают лишь в
том случае, если Е < и. Поэтому уровни в потенциальной яме рас..
сматриваемоrо вида возникают лишь при условии, что
и 2 > п21;,2
а Вт f
I
.
в левой части этоrо перавенства СТОЯТ параметры потенциальной
ямы, а в правой только постоянные числа и универсальные по...
стоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенци
альная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не поме
щается ни одноrо энерrетичеСRоrо уровня. Такие случаи встреча
ются не так уж редко. Силы взаимодействия между ДВУ IЯ HeЙTpo
нами являются силами притяжения, однако ядра, состоящеrо И3
двух неЙтронов, в природе не существует. АналоrИЧНЫ 1 образо:м
не существует и ядра, состоящеrо из двух протонов. В обоих слу--
чаях потенциальная яма сил притяжения недостаточно rлубока для
образования связанноrо состояния. Сила притяжения между нейтро--
ном и протоном не HaMHoro больше сил, действующих между ДВУl\IЯ
нейтронами или двумя протонами. Этоrо небольшоrо различия,
однако, достаточно для Toro, чтобы у уравнения Шрединrера по
явилось одно решение. Соответствующее связанное состояние вей
трона и протона называется дейтроном. Поскольку в этом случае
имеется Bcero одно решение, дейтрон не имеет возбужденных COCTO
яний 1 ) .
.
i
1) Более подробно эти вопросы раесматриваются в курсах ядерной физики.
9. прямоуrОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
57
rрафИRИ этих фУНRЦИЙ изображены на рис. 20. Оrраничимся реше--
нИЯ IИ, приведенными на рис. 20. При возрастаIОЩИХ значениях n
реlпения испытывают все
более быстрые нолебания rjJ(X)
и MHoro раз обращаlОТСЯ
в нуль. Таким: образом,
пространство, в котором
движется частица, оназы
вается разбитым нулями
'Ф Функции на ряд отдель
ных областей.
Вероятность найти ча
стицу в ОI\рестности лю..
бой точки пропорциональ
на IЧJ(х) 12. На рис. 21
приведены rрафики для
I'i'(x) 12 при n==1, 2, 3.
Мы видим, что в низшем
энерrетичеСRОМ состоянии
(n == 1) с паи большей Be
роятностью частицу мож
но наЙти посередине ямы;
вероятность нахождения
частицы вблизи нраев ямы
равна нулю. Такое пове
дение частицы реЗRО OT
личается от поведения «Rлассической») частицы, :которое мы обсуж--
далп в начале параrрафа.
3амеТИ:\I, что м:инимальпое значение, которое может иметь энер--
rия частиц в ям:е, Т. e значение энерrии при n === 1, отлично от нуля:
IIсследуе { поведение 'Ф ФУНКЦИИ внутри
Для бесконечно rлубокой ямы
k 1 === п/а, 'Ф(х)==А sin(nx/a)'
k 1 == 2л/а, '1'(х) == А siп(2лх/а)
k 1 ==== 3л/а, 'I'(x) == А siп(3лх/а)
п==1
n-==2
{j
п==о
Рис. 20. 'Ф ФУПRЦИЯ
частицы в беСJ{ОНОЧ
но rлуБОI{ОЙ потон
циальпой яме
л 2 fi2
E
1 .
2та 2
потенциально;й
ямы.
при n == 1,
при n === 2,
при n == 3.
} )ь (х) t 2
J:J
п=о
п:tef
QJ
J)
п-2.
JJ
(]J
а
Ji
Рис. 21. Распределе
яие частицы в бес
копечноrлуБОRоi по
тенциальной яме
в БлассичеСRОЙ физике частица может «лежать» на дне ямы.
В -квантовой физике это невозможно. И это можно было преДСRазать
заранее, до решения задачи. Ведь помещая частицу в яму, мы teA-1
саl\1Ы f оrраничили область возможных значений ее Rоординаты;
у такой частицы в силу припципа неопределенности должен суще
58 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОй ЯМЕ. ТУННЕЛЬНЫй ЭФФЕRТ
ствовать разброс по импульсам, а следовательно, и отличная от НУ--
lIЯ энерrия.
Попробуем определить эту зперrию по порядку величины без
точноrо реmения....... па основании принципа неопределенности. He
определенность положения частицы в пашем случае равна а. Поэто--
:иу x а. Соrласно соотношению веопределенностей .( 1.33),
А 2л 1;, 2л 1i
иpx .
Ах. а
Мы уже выяснили (2.27), что <р2) == <р)2+ « p)2). В нашем слу
чае положительные и отрицательные р равновероятны, так что
<р> == о. Поэтому
( 2 ) «( л 2 ) 2 2f: 2
Е == ....Е....... == il р) 4 1i 2 === 2 .
2т 2т 2та 2 та 2
Сравнивая полученное выражение с Et, убеждаеМСi в том, что м:ы
нашли правильный по порядку величины результат.
Вернемся к рис. 21. Видно, что с увеличением энерrии (т. е.
с ростом KBaHTOBoro числа п) максимумы кривой 1'Ф(х) 12 распола
rаются все ближе и ближе; при очень больmих значениях максиму--
мы и минимумы следуют друr за друrом так быстро, что при не
очень точных опытах (практически при любых опытах с макроско--
пическими телами) картина «сливается» и представляется равно--
мерным распределением, известным из классики.
Оценим расстояние между уровнями. Для этоrо :возьмем лоrа..
рифмическую производную от равенства (3.131:
АЕ п Ап 2
== 2 == .
Еn n n
)
Из полученноrо равенства видно, что расстояние между энерrе
тическими уровнями, отнесенное к величине энерrии, уменьшается
с увеличением п и для очень больших n так мало, что распределе
ние разрешенных значений энерrии оказывается практически не...
прерывным.
Мы уже ввели ранее критерий, при выполнении KOToporo ДOCTa
':&очную точность дает классическая физика, и применять формулы
нвантовой механики не обязательно. Этот критерий был записан в
виде L л. См:ысл ero заключается в том, что при длинах волн,
AIHoro меньших раЗ lеров систем:ы, в которой движется частица,
I\вантовомеханические особенности частиц оназываются несущест",
венными. В раССl\fотревной задаче действует, вообще rоворя, этот
же самый критерий. В самом деле, с увеличением энерrии (числа
п) длина волны л, уменьшается, и при тех же раЗ lерах системы
(в пашеl\1 случае потенциальной ямы) нритерий ПРИ lенимости
I\лассической физики выполняется все лучше. При больших кванто--
вых числах, как }IЫ видели, частицы начинают вести себя совсеА{ 1
.спо :классичеСRИ». С увеличением размеров системы .< с увеличением 1
j
I 9. прямоvrольНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
59
IПирины потенциальной ямыУ «квантовомеханическая частица при
все меньшей энерrии превращается в «классическую частицу».
В этом: леrко убедиться, решая конкретные примеры с различными
значениями ширины ямы а.
Таким образом, при определенных условиях (при больших п)
Rвантовая физика переходит в классическую физику; поведение
частиц при выполнении этоrо условия все более утрачивает особен..
ПОСТИ, характерные для микрочастиц.
Этот результат является частным случаем общеrо физическоrо
принципа при н Ц и п а с о о т в е т с т в и я. Соrласно этому прин..
ципу любая новая теория, претендующая на ббльшую общность,
-чем общепринятая теория, обязательно должна переходить в ста...
рую, классическую теорию в тех условиях, в которых «старая фи
вика» была построена и проверена на опыте. :Квантовая механика,
нак мы видим, принципу соответствия удовлетворяет.
Перейдем к яме с конечной высотой стенки. Как следует из
3.10), в области 11 решение не равно нулю и имеет вид спадаю....
щей экспоненты. Это означает, что частица может заходить в об..
ласть, ще Е < и, но, как и следует ожидать исходя из принципа
соответствия, вероятность нахождения в этой области тем меньше,
чем дальше мы отойдем от края ямы. В классической физике ча..
стица вовсе не может заходить в области с Е < и, так как при это){
Rинетическая энерrия частицы оказалась бы отрицательной. В кван...
ТОБОЙ механике, как мы видим, такая ситуация возможна. Объясня",
ется это тем, что равенство Е == Т + U в квантовой механике нельзя
понимать Бак численное равенство. В"""' кв нто ой механике это pa
венство справедливо для операторов Е==т+и и для средних зна..
чений <Е) == <Т) + <и). Численное равенство Е == Т + и для MrHo"
венных значений Т и и в минромире невозможно уже потому, что
оно бессмысленно: как мы уже отмечали, потенциальная и кинети..
чеСRая энерrия в силу принципа неопределенности не MorYT одно..
Bpe leHHo принимать определенные значения. В самом деле, потен..
циа:Iьная энерrия зависит от координат, а кинетическая от им..
пульса частицы. Поэтому не следует удивляться тому, что в HeKO
торых точках пространства полная энерrия оказывается меньше
потенциальной.
Рассмотрим обсуждаемый вопрос еще с одной точки зрения.
В области 11 волнов ая функция пропорциональна экспоненте е kz:ю,;
rде k 2 == l' 2т ( и Е) 1п. Вероятность нахождения частицы в запрет..
вой аоне быстро падает с увеличением: х. При 8пачении х == 1/k.
Волновая фуннция уменьшается в е раз, а вероятность найти ча..
стицу на таком расстоянии от rраницы ямы уменьшается в е 2 раз,
Т. е. почти на порядок. Примем 8начевие х === 1/k 2 за меру неопре..
деленности положени1i частицы в запретной аоне и обозначим
ее I1х:
x ЫУ2т(и E).
(О rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕНТ
в этом выражении ПОД корнем стоит «нехватка» энерrии U Е.
Если бы ПОД корнем стоял нуль, то частица моrла бы сколь уrодно
далеко заходит ь в запретн ые области.
Величина 12т (и Е) имеет размерность импульса и может
интерпретироваться как «нехватка» и:м:пульса 6р. Следовательно,.
6р == h/l1.x.
Мы внаем, что пеопределенность импульса выражается приблпжен
вым равенством
1
!!tp 2лh/ x.
Таким образом, «нехватка» импульса, как и следовало ожидать, по
порядку величины равна ero неопределеННОС1l.
10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
Проникновение частиц в область, уде потенциальная энерrия OKa
зывается больше полной, может проявляться в ряде важных физи
ческих явлений. Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на
рис. 22. Этот случай отличается от случая, изображенноrо на рис. 19,
тем, что область, в которой потенциальная
энерrия отлична от нуля, занимает не все
полупространство х > а, а узкую область от
а дО Ь. Область а < х < Ь, rде Е < и, назы
вают в этом случае п о т е н Ц и а л ь н ы м
б а р ь е ром.
Запрем в начале опыта' серию частиц в
(i: области О < х < а. Экспоненциально падаю
щее решение (3.10) в точке Ь будет Iало,
Рис. 22. Потенциальный но все тани отлично от нуля. Наши части
барьер цы C:MorYT ПОЭТО IУ проникнуть в область
1/1, расположенную за потенциальны:м барь
ером, и уйти из потенциальной ямы. Попавшие в область /1/ части
цы беспрепятственно уходят в сторону больших х И обратно не воз
вращаются. СоотвеТСТВУlощая 'Ф Фуннция и:меет вид беrущеЙ (yxo
дящей) волны. Через достаточно большоЙ промежуток врем:ени все
частицы уйдут из области О < х < а.
Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит Ha
звание Т у н н е л ь н о r о э Ф Ф е к т а.
Как ясно из предыдущеrо, задача о проникновении чаСТIIЦ
сквозь потенциальный барьер является примером из квантовой Me
ханики нестационарных систем (систе:м, состояние которых заВIIСИТ
от времени). Рассмотрение таких задач, вообще rоворя, выходит за
рамки этой книrи. Формула (3.10), однако, позволяет сделать важ
ную оценку, основанную на том, что туннельный эффект происхо
дит медленно, и задача о ПРОНИRновении частиц сквозь потенциаль
вый барьер является «почти стационарной», так что без большой
и(Х)
r
][
III
и
[; ........-- ---------
о
а /)
j
I 10. ПОТЕНЦИАЛЬНЫй БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕНТ
61
поrрешности для расчета можно примевять (3.10). 'Ф УНI\ЦИЯ ча
стиц за потенциальным барьером отличается от 'Ф Фувкции перед.
h (b a) В
барьером множителем е 2 . ероятность нахождения частицы
определяется квадратом волновой функции. Плотность частиц за
барьером поэтому отличается от плотности частиц до барьера MHO
жителем 1)
D === e 2h2(b a) == ехр [ 2 (Ь a) V 2т (и Ь')I п ]. (3.20)
Величина D называется про н и Ц а е м о с т ь ю б а р ь ера. Важным
примером прохождения частиц сквозь потенциальный барьер явля
ется а распад радиоаRТИВНЫХ ядер. При а распаде материнское
ядро испускает а частицу, состоящую
из двух протонов и двух нейтронов и
превращается в дочернее ядро. На
рис. 23 изображен rрафик потенциаль
ной энерrии взаимодействия а частицы
с дочерним ядром. При больших pac
стояниях между ядром и а частице:Й
их взаимодействие с хорошей точ
ностью описывается законом Кулона
и 11 (r) == Ze . ze/r, (3.21)'
U(r)
I А Л
Е.
r A rlJ ,..
rде Ze эаряд дочернеrо ядра, ze Рис. 23. Потенциальный барь....
заряд а частицы (z == 2). Этот участок ер для а часТицы в ядре
кривой обозначен на рис.23 римской
цифрой /1. При малых расстояниях между дочерним ядром и а ча
стицей начинают сказываться короткодействующие силы ПРИТЯiI{е
ния ядерные силы. Поэтому при малых расстояниях потенциаль
пая энерrия меняет знак и становится отрицательной. Зависимость
ядерных сил от расстояния плохо известна. Снолько нибудь точно
восстановить форму потенциальной ямы в области / не удается.
R счастью, результат расчета не очень к этому чувствителен, так
что в области 1 яму просто считают прямоуrольной. Ширина прямо
уrольной ямы близна к размера}{ ядра. Для тяжелых элементов,
расположенных в конце периодической системы, радиус ядра r А
по порядку величины равен 10 12 см.
Рассмотрим в качестве примера а распад 21Оро. Заряд ядра по
лония равен 84е. ПолониЙ испускает а частицы с энерrие:Й
5,30 МэБ; ero период полураспада равен 138 дням. Дочернее ядро
206 рЬ " 82
Иl\lеет заряд, равныи е.
Вычисли:м высоту потенциальноrо барьера значение потенци
альноЙ энерrии в точке А (рис. 23j. С ПОl\IОЩЬЮ (3.21) наЙдем:
и == Ze.2e 82.2 (4,8.10 10)2 3 7 . 10 5 23 М В
А r А 10 12 .::=, эрr э.
1) Как ясно из вывода, формула (3.20) справедлива только для «почти
стационарных» решений, Т. е. при D 1.
62 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. туннЕльныIй ЭФФЕR'I'
МЫ ВИДИМ, что энерrия а частиц существенно меньше высоты
барьера, так что а распад возможен только в результате туннельно--
ro эффекта.
Формула (3.20) описывает вероятность прохождения частиц пол
прямоуrольным барьером, в то время как форма барьера при a pac--
паде Сl\орее «треуrольная», чем прямоуrольная. Выражение длfl
прозрачности барьера произвольной формы в общем виде получить
IIe удается. Приближенное же значение для проницаемости барьера
можно получить, заменяя истинную форму барьера суммой прямо--
уrольных участков, как это показано на рис. 23. Полная картина
прохождения частицы сквозь TaKoii барьер Сl\ладывается из ослаб
левия волновой функции при движении па отдельных участках и
из последовательных отражений от rрапиц участков. Если барьер
достаточно плавен (ero высота м:ало меняется на расстоянии, paB
ном длине волны), отражения не очень существенны, и ослабление
волновой функции в основном определяется ее затуханием при дви
. жении в областях с Е < и. в этом случае проницаемость Bcero
\ барьера D равна произведеНИIО проницаемости D{ соответствующих
I участков. При перемножении показатели экспонент складывают..
i
ел, так что
D -== ехр ( 2 L'1 r i V (Ui E))r
eXP( 2rI {7- [и (r) E] dr}
(3.22)
Оценка показателя экспоненты в формуле (3.22)' дает значение,
близкое к 60. Таким образом, пропицаемость кулоновскоrо барьера
'для а распада оказывается очень м:алой, а периоды полураспада
)радиоактивных ядер, которые обратно пропорциональны КОЭффИЦИ 4
ентам прозрачности, наоборот, очень велики.
11. Линейный rармонпчеСRИЙ осциллятор.
Кол бательные уровни молекул
На рис. 24 изображен классический rармонический осциллятор,
представляющий собоЙ шарик с м:ассой т, подвешенныЙ на пружи...
не. Если мы' направим ось х вдоль оси пружины И за начало от...
счета примем положение равновесия шарика, то сила F, действую...
щая на шарик, будет связана с координатой х формулой
F == kx, (3.23I
rде k жесткость пружины. Потенциальная энерrия шарика
и == kx 2 /2. .13.241.
111. ЛИНЕЙНЫЙ rАРМОНИЧЕСRИй осциллятор
63
Будучи выведенным из состояния равно есия, такой шарик совер-
шает rармонические колебания с ч аСТО ТQИ
шо У k/ т. '(3.25}.
Из (3.24) видно, что потенциальная кривая rаРl\lоническоrо осцил-
,nятора является параболой (рис. 25). Поэтому задача о rармониче...
сном осцилляторе это задача о поведении частицы в потенциаль
ВОЙ яме параболической формы.
К задаче об осцилляторе всеrда сводятся задачи о малых Rоле-
баниях. В точке равновесия потенциальная энерrия имеет минимум.
Разложение потенциальной эверrии в ряд
Тейлора в окрестности точки равновесия и(х)
начинается поэтом:у с квадратичных чле
вов. При малых ОТКJIонениях всеми осталь...
ВЫАfИ членами можно препебречь и KO
вебания можно считать rармоничеСRИl\lИ.
Рис. 24. Модель rармопи
ческоrо осциллятора
се
Рис. 25. Уровни энерrии и
разрешенные переходы для
rармоническоrо осциллятора
в атомной физике к осциллятору сводится задача о колебаниях
Itоленул и мноrие друrие важные задачи. При решении таких задач
сдедует, :конечно, применять не классичесную, а квантовую ме...
ханину.
Для решения задачи о квантово:механичеСКОl\1 осцилляторе необ...
жодимо найти Rонечпое, однозначное, непрерывное и rлаДRое реше...
вие уравнения Шрединrера при и == kx 2 /2, т. е. уравнения
1i 2 d 2 ", k
2т dx2 + --т х 2 ф === Е'Ф_
(3.26)
Используя полученные выше выводы, мы можем преДСRазать,
'Что решение будет удовлетворять всем необходимым условиям не
при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях энерrии
осциллятора, так как при удалении от положения равновесия по...
тепциальная энерrия быстро возрастает и колеблющаяся частица
nе может «уйти на бесконечность»). Точное решение уравнения
(3.26) приводит к следующему выражению для спектра возможных
значений энерrии осциллятора (математические выклаДRИ слишком
ДЛИННЫ, и Albl их опускае1\I):
Е п == у : n (п + )J
n === О} 11 2, ...
t>4 rл. III. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. ТУННЕЛЬНЫй ЭФФЕНТ
Вводя обозначение 000 == 1/ k/m , найдем
Е п ='= nю о ( п + ; ) .
(3.27)
Выражение для 000 совпадает с (3.25) для частоты классическоrо
осциллятора.
Как и следовало ожидать, наименьшее значение энерrии осцил..
лятора не равно нулю: при n === О Ео == п(ио/2. Значение Ео вазыва...
ется «пулевой энерrией»). Квантовомеханическая частица не может
«лежать» на дне параболической потенциальной ямы, точно таи же
:как она не может лежать на дне прямоуrольной или какой бы то
ни было друrой потенциальной ямы Rонечной ширины. Порядон ве..
JIИЧИНЫ дЛЯ Ео может быть оценен из соотношения неопределен",
ностеЙ.
Сравним (3.27) с (3.13)' для возможных 8начений энерrии в
ПРЯl\lоуrольной яме. В отличие от энерrии уровнеЙ в прямоуrольной
яме, энерrия осциллятора пропорциональна первой степени n, так
TO энерrетические уровни находятся на равных расстояниях друr
от друrа (эквидистантны). Эти энерrетические уровни изображены
на рис. 25. Осциллятор «может находиться») на любом из изобра...
женных уровней энерrии, но пе между ними. Чтобы «раскачать»
осциллятор, НУЖIIО добавить ему энерrию, равную разности энерrий
соседних уровней:
I1.E == Е п + 1 Е п == пооо.
Если передача энерrии осуществляется посредством: фотона, то для
частоты фотона имеем
.
00 == д.Е/п === 000.
( 3.28)
Остановимся на неноторых особенностях классичесноrо и кван...
ТОВО lеханичеСI\оrо осцилляторов. у классичеСI\оrо осциллятора за...
ВИСИ IОСТЬ амплитуды колебаниЙ от частоты раскачивающей силы
И 1еет реЗRО выраженныЙ резонансныЙ характер: осциллятор реа...
I'ирует лишь па одну частоту, равную частоте собственных колеба...
IIИII шО == 11 k/m. Кваптовомехапическиii осциллятор на первыЙ
взrляд каiкется способным поrлощать целыЙ набор частот, кратных
частоте (3.28), и переходить при ЭТО I с нулевоrо на один из верх...
них уровпеЙ (пупктирные стрелки на рис. 25).
Ч тоБыI выяснить, как обстоит дело с реальными минроскопи...
чеСБИМИ осцилляторами, например с молекулами, необходимо изу...
чпть процесс взаимодеЙствия света (фотонов) с молекулами и на...
учиться писать и решать уравнения для систем, меняющих свое
состояние по времени (в процессе взаимодействия). Такие задачи
решаются, по находятся вне рамок данноrо курса. Точный расчет
показывает, что l. осциллятора, взаИl\10пействующеrо со светом.
,
I 11. ЛИНЕйНЫй rАРМОНИЧЕСRИй ОСЦИЛЛfIТОР
65
MorYT осуществляться переходы только меж ду сосе д ними Ур ОВПЯ ldJ ;
остальные пе ехо ы «зап е евы» и ПР()ИСХО ИТh не M() rYT.
тот результат можно понять и без расчета, с помощью припци...
па соответствия. Будем рассуждать так: при очень больших n KBaH
тово:механическое решение должно совпадать с КЛ.ассическим.
а Rлассический результат при водит к единственному значению ре..
зопансной частоты (00 == l' k/т. Значит, по Rрайней мере для выео...
НИХ уровней, должны существова1'Ъ правила, запрещаЮЩИ8
перескакивание череа несколько уровней. Так как картина уровней l
ОТ величИНЫ п не зависит, то следуеr ожидать, что это правило
справедливо для Лlобых n.
Здесь следует указать, что певозможность «прыжн:ов» через
несколько уровней связана не со свойствами осциллятора, а с oco
бенпостями ero взаимо));ействия со светом. При друrих методах воз....
буждения, например при электронном ударе, такие переходы вполне
ВО31\fОiI\НЫ.
На рис. 26 изображены rрафики 'Ф ФУНI\ЦИЙ, являющихся реше....
DИЯl\{И уравнения (3.26) при n == О, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены
оrрС3I\И, равные удвоенным амплитудам колебаний классичеекоrо
(СХ')
"
ер (Х)
rf (;С)
rp(t:e)
Рис. 26. Волновая ФУIП(ЦИЯ осциллятора при разных квантовых числах
1)b(x)12
')Ь c:: Jl2
I )b(x)1 2
, )b(x)l l
п==2
п=8
Рис. 27. Расиределепие частицы при осцилляторном потенциале
осциллятора при Е, равных Еn. На рис. 27 сплошными кривыми
11зображены кривые распределения ПJIОТНОСТИ вероятности Iф(х) 13
для тех же состояний }{BanTOBoro осциллятора, а пуnкТироМ.......... плот
lIОСТь вероятности найти классический осциллятор в окрестности
точн:и х. Мы видим, что при малых квантовых числах n квантово..
механический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем класси
ческий. Вероятность найти классический осциллятор всеrда нвля...
ется наибольшей для точки поворота, так как в .этих точках ero
5 л. Л. rОЛЬ;ЦИН. rt И. Новикова
скорость равна нулю, а для кваптовомеханическоrо осциллятора-
вероятность оказы:иается мансимальной в точнах, соответствующих
tПУЧНОСТЯМ» 'Ф Фуннции. При больших n усредненная нривая для
распределения плотности' Бероятности Rвантовомеханичесноrо oc
циллятора хорошо соrласуется с :иривой для нлассичесноrо осцил
JIятора.
Отметим еще одну особенность нвантовомеханичеСRоrо осцил--
лятора. Из рис. 26 и 27 видно, что '1' (х), а следовательно, и, I'Ф (х) 1
не равны нулю за точками поворота (т. е. вне пределов, оrраничи--
вающих движение классичесноrо осциллятора).. Таное поведение
ИУНRЦИИ, как уже оБЪЯСIIЯЛОСЬ в предыдущем параrрафе, связано
е тем, что она должна быть непрерывной И rладкой везде, в том
числе и у точек «поворота».
Применим полученные выводы к колебаниям молекул. Молеку--
ль! состоят из связанных между собой атомов. Связь осуществляет--
ея внешними (валентными) электронами атомов; внутренние элек--
троны, расположенные наиболее близно к ядрам атомов, в образо--
вании молекул пе участвуют.
Мы не будем здесь рассматривать природу химичесних сил,.
объеДИНЯIОЩИХ атомы в молекулы. Этот вопрос будет подробно об...
суждатъся в rл. XI. Оrрапичимсл хорошо известным из опыта
утверждением, что при равновесии входящие в состав моленулы
атомы находятся на таном расстоянии друr от друrа, при нотором
силы притяжения и оттзл:иивапия уравновешивают друr друrа и
потенциальная энерrия минимальна. При сБЛИjнении или удалении
атомов эперrия возрастает П9 параболичесному в первом приб.ТIИ--
жении закону.
Входящие в состав молекулы атомы MorYT колебаться друr от--
восительно друrа. При малых нолебаниях моленулы ведут себя
почти кан идеальные rаРМОIIичесиие осцилляторы, тан что нижние
нолебательные уровни энвидистаНТIIЫ.
Наличие дискретных нол бательных уровней У молену приво--
дит к появлению в молекулярных спентрах линиЙ, связанных с пе--
реходами между этими уровнями. Мы уже отмечали, что правила
отбора разрешают переходы только ме)нду соседними колебатель--
выми уровнями и, таким образо:м, весь колебательный спектр слабо
возбужденной молекулы должен состоять Bcero из одной линии 1) ·
,Так как расстояния между колебательными уровнями сравнительно-
вевелини (O,1 1 эВ), то такие линии обнаруживаются в инфра--
красных спектрах поrлощения моленул (л === O,5 5 мим)..
R спектрам молекул, :в том числе И к колебательному, мы вер--
немся в rл. V, после TOI'O как познакомимся с вращательными ypOB
вями молекул.
66 rл. 111. ЧАСТИЦА В ПОТЕIЩИАЛЬНОй ЯМЕ. Т}1ННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕНТ
1) При больших амплитудах Rолебаний (соответствующих высоким уров..
пям) отличие заКОЦ8 изменения потенциальной эперrии от параболичеСRоrо
(анrармонизм) становится все более заметным. Сделанные выше выводы при
этом перестают быть точными"
r л А В А IV
ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
Простейшими атомными системами являются атом водорода и в о...
дородоподобные атомы, т. е. такие атомы, у которых в по..
Л3 ядра находится только один электрон. !{ водородоподобным aTO
мам: относятся однократно ионизированный атом rелия Не+ с заря...
довым числом Z === 2, двукратно ионизированный атом лития Li Z +
е Z===3 и т. д.
12. 3нерrетические уровни водородоподобных атомов
Потенциальная знер['ия водородоподобноrо атома равна
Ze
U (r) === r;
( 4.1)
потенциальная кривая изоGражена на рис. 28.
Уравнение Шрединrера для электрона в атоме (Е < О)' пме..
ет вид
rде т масса электрона. ФизичеСI{ИЙ смысл, как всеrда, имеют
лишь однозначные, I\онечные, непрерывные U(r)
и rл адкие решения этоrо уравнения.
ыражение (4.1) сферичеСRи симметрич",
JIO. Поэтому целесообразно решать ypaBHe
llие (4.2) в сq)еричеСRИХ координатах r, tt
<р (рис. 18). В общем случае волновая
функция является функцией трех коорди:",
IaT: 'ф == 'Ф (r, tt, ер). Мы оrрапичимся, одна...
1\0, исследованием сcf)ерически симметрl'IЧНЫХ
решении, Т. е. решений, не зависящих от
уrлов tt и ер. При этом, конечно, большое
J\оличество решений будет потеряно. R ним Рис. 28. Потенциальная
IЫ веnнемся нескольк о позже. ЭElерrия в водородоп
J' добных атомах
Воспользуемся выражением оператора
Лапласа в сферичеСI\ИХ координатах, коrда 'Ф зависит только от r l )':
d! 2 d
r == dra + r dr "
п 2 z
L\,I'I ,1'1 == E"II\
2т 't' r 't' 't' tJ
. 5-
1) Вывод выражения (4,3) приведен в Приложении 11.
(4.2)
r
(4.3)
r
uCt9k/Ц.e Н,t.пpel'ttI;wt1?'t6 hpJ)Uf'd'0J'JCOJb
88
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
Подставим '(4.31 в уравнение Шрединrера (4.2) I
f1i 2 l " d21j1 + d1j1 ) Ze 2 'Ф Z=I Е'Ф.
2т dr 2 r dr r
Обозначив d'Ф/dr == ф' и iP'Ф/dr2 == 'Ф", получаем
'Ф" + ; 'Ф' + 'Ф ==> k2'Ф.
(4.4)
rдв
:;:::z 2тZe 2 /n}, k 2 :::::1 2тE/п2.
"( 4.5
Чтобы упростить это уравнение, произведем аамсну переменных.
Положим
..1"\ ( ) и (r)
'YT .
r
(4.6)
Тоrда
I и' 1
.1, === ............... и
't' 2 t
r r
" и" 2 I 2
'l' === и + u.
r , 2 т 3
Подставляя эти выражения в (4.4)", получим уравнение Шрединrе--t-
ра в виде
" р.. и k 2
и + =::s u.
r
(4.7)
Исследуем это уравнение. Прежде Bcero изучим поведение функ-
ции и (r) на бесконечн'ости. При r 00 членом ( / r) и можно пре...
небречь по сранн'ению с k 2 и. II0ЭТОМУ при больших r вместо (4.7
получим
" k 2
И ОО == и оо .
Решение этоrо уравнения имеет вид
U 00 =:::z А e AT + в e kr ,
I
rде А и В некоторые коцст.анты. Функция и оо остается оrpаничеп....
вой в бесконеч'но удаленной точке лишь в том случае, если 13 == о.
Следовательно,
-и оо ==Ae kr.
'( 4.8
Функция .(4.8)" не является решением уравнения ( 4.7)', но пра...
вильно отражает поведение этоrо решения на бесконечности. По....
атому будем искать решедие уравнения (4.7) в виде
и == e AT f (r)'.
'( 4.'9
Поскольку поведение и (r) при больших r правильно описывается
функцией e 1tr, функция f(r) при r 00 должна изменяться медлеВ4.6
вее , чем экспонента.
I 12. УРОВНИ ЭНЕрrии ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 69
Найдем производные от и:
, 'и' == ke kTf + /' e kT, и" === k2e 1trf 2ke krf' + 1" e r.
Подставим эти выражения и (4.9) в (4.7); после приведевия подо б..
вых членов получим
f" 2kf' + f == о.
r
(4.10)
Решение этоrо уравнения будем искать в виде етепенвоrо ряда
00
f (r) == }.3 атт т ,
ffl==l
( 4.11)
Подставив (4.11) в (4.10), получим
00 00 00
а т ln (т 1) Tт 2 2k aттTт l + amrffl l а:х о. (4.12)
fl1.== 1 т==: 1 т== 1
Таи нан равенство (4.12) должно удовлетворяться тождественно
для любых значений r, сумма коэ(рфициентов при любой степени r.
должна равняться нулю.
IIриравпяем нулю сумм:у козффициентов при rn i:
а n + 1 (п + 1) п 2ka n п + an === о. (4.13j
Из (4.13) леrRО получить рекуррентную формулу для коэффициен",
тов p дa (4.11):
2kn
ап.+l ==. а п п (п + 1) ·
( 4.14)
в зависимости от величины ряд (4.11) может оказаться беско
вечным или может оборваться на векотором п M члене, Т. е. еве...
СТИСЬ к ПОJlИНОМУ. Если ряд не обрывается, то при п 00
2k В/п 2k
an+l == а n n + 1 п + 1 аn,) (4.15)
или
а п + 1 2k
.
а п n + 1
Такая рекуррентная формула, как нетрудно убедиться, справеДЛИ 04
ва для коэ{рфициен'fОВ ряда t)
e 2kr === (2kr)n. (4.16)
n
1) Обозначим через Ь п и Ь п + 1 коэффициенты ряда (4.16) при т" и r"+1 .
составим ДЛН них отношепие
Ь n + 1 (2k)n+l n! 2k
l' == (n + 1)1 (2k) n n + l'
ЧТО совпадает с (4.15).
L
( 4.18)
70
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОВНЫЕ АТОМЫ
Таким обраlЗОМ, если РЯД, в который разлаrается функция f(r)', не
ока-зывается полиномом, то при больших п функция f(r) ведет себя
как ехр (2kr), и '1'/ r растет с увеличением r как (1/ r) ехр (kr), т. е.
пеоrраниченно возрастает. эrо решение, следовательно, должно
"быть отброшено.
Рассмотрим теперь случай, коrда ряд (4.11) обрывается на n M
1Inене. При этом для HeKoToporo п числитель в (4.14) должен об...
ращаться в нуль:
2kn р о.
.Таким образом, ряд ОI\анчивается на п M члене, если
k === р/2п,
(4.17):
rде n некоторое целое число.
Подставляя в (4.17) значения k и Р И3 (4.5), найдем воз.можные
8начения энерrии водородоподобных атомов:
те' 1
Е п ::::2 Z2
21;, 2 п 2 ,)
или
I Е п Z2 R 1 / n 2.!
rде t >:
R 1 те"/2п'!., n ==== 1, 2, 3, 8 8 . (4. t 9)'
Как и в случае прямоуrолъной потенциальной ямы (9 9), воз--
можные значения энерrии оказываются дисн:ретными. ДИСI{ретность
вознинает из за Toro, что мы потребовали, что,бы волновая Функ
ция электрона была конечной на сноль уrодпо больших расстояниях
от ядра. При Е > О энерrия не квантуется, так как элентрон, имею
щий положительную энерrию, атому не принадлежит и мон{ет yxo
дить на бесконечное расстояние от ядра.
Вернемся R формуле (4.19). Обратим внимание на структуру
величины R 1 8 Перепишем R 1 в виде
R 1 т;2 ( :: )2.
Величина R 1 определяет энерrию атома и соответственно имеет
ра3l\1ерность энерrии. Размерность определяется величиной те'!...........
энерrией покоя электрона. l\pOMe те'!., в формулу входят универ--
сальные постоянные ft, с и заряд е, определяющий нулоновское
взаимодействие электрона с ядром. Эти величины входят в формулу
в виде безразмерной комбинации е'!./пс. Следует запомнить, что
электрические заряды входят в реrпения квантовомеханических
вадач всеrда в виде этой комбинации, называемой п о с т о я н н о й
1) Константа Н( НОСИТ название п о с т о я н пой Р и Д б е р r а или энер--
rии Ридберrа. Она имеет размерность 8нерrии. Постоянной Ридберrа Н8аыва--
ЮТ также величину R ar=z R 1 /2л1iс, имеющую размерность [CM l] (см. (4.22'».
12. УРОВНИ ЭНЕрrии водорqДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
....:<! '1
тонКОЙ структуры а:
I е2 1
а == пС === 137 .
( 4.20)
Числовое зпачение а полезно запомнить. Теперь определим число..
вое значение Rt:
R тс 2 2 == 0,511.106 эВ . ( ) 2 === 13 6 В
1 2 а 2 137 -" э
Для водорода Z === 1; из (4.18) для энерrии с т а Ц и О Н а р Н Ы Х со'"
стояниЙ атома водорода получим
1
Е п == 13,6.2 эВ,)
n
Т. е.
Е 1 === 1З,6 эВ при п == 1,
Е 2 == 13,6/22 == 3,4 эВ при п == 2,
Е з === 13,6/32 == 1,5 эВ при п === 3,
и т. д. Значения Et, Е 2 , Е з , ... обрвзуют набор у р о в н е й э н е р..
r и и для атома водорода. Уровни сrущаются при Е --+ о. При Е> О
элеитрон является свобо,п;ным. и уровни U(r) Е
онерrии, кан мы У1не знаем, не нвантуются '
(образуют непрерывный спектр). Схема
уровнеЙ энерrии атома водорода изобраJне
на на рис. 29: Уровню с наименьшей энер
rией Е! соответствует о с н о в н о е состоя
ние aTO]\lla. Остальные уровни определяют
ЭIIерrию в <> з "б у ж д е н н ы х состояний.
Сделаем одно важное замечание. Те
решения, 1\оторые мы получили, вообще
rоворя, не представляют собой полноrо
набора реmений. IJри решении уравнения ..-15,6
Шрединrера' мы не рассматривали вол...
повые функции, зависящие от уrлов t}- Рис. 29. 'УрО'ВRИ энерrии
и ер. Поэтому уровни энерrии, ноторые в атоме водорода
были получены, это уровни состояниЙ,
не зависящих от yrJIOB tJ и <р, Т. е. уровни с нулевым уrловым
Моментом (моментом импульса).
Электрическо пЬле точечпоrо заряда обладает той харантерной
особенностью, что раСС}lотрение полной задачи, ВКЛlочающей реше...
пил с пенулевыми моментами импульса, не приводит н появлению
Новых уровней энерrии. Поэтому формула (4.18) содержит ВСО
уровни энерrии водорода и водородоподобных атомов t)"
1) Это утверждение является правильным с точностью до так наэываемоr
70BRoro расщепления уровней. Этот вопрос обсуждается в 27" .
о
п oo
15
,
34
J
r
п==;5
I
I
L
72
rл. IV. ВОДОРОnОПОДОВНЫЕ АТОМЫ
с точки зрения RлассичеСI\ОЙ физини устойчивыIe состояния
влектрона с нулевым уrловым мом:ентом lIеВО3МОЖПf>I, так I\ак при
отсутствии вращения электрон должен был бы «упасть» на ядро.
В квантовой мехаПИI{е такие состояния MorYT осуществляться, так
как электрон не может «упасть на ядро даже при нулевом уrло
вом моменте. Это леr'ко понять, прим:енив 1\ элсктрону, на ходяще..
муся в поле ядра, соотноиrепие пеопределеПIIОСТСЙ. При приближе
нии электрона к ядру н определепность координаты стапопится все
меньше и меньше, но зато при этом возрастает д.р 2лft/ X, а Q
ростом p растет и нинетичесная энерrия 1). Так как кинетическая
энерrия возрастает пропорциопально (L\p) \ то при уменьшении
расстояния 11ежду элеКТРОIIОМ и ядром ее рост переrОliяет умень",
mение потенциальной энерrии, и полная эперrия электрона начи
нает расти. Дальнейшее уменьшение расстояния между электроном
и ядром становится энерrетически невысодным, так что «упасть»
на ядро электрон не может.
13. Экспериментальные исследовани'я энерrетических уровней
атома. потенциалы возбуждения и ионизации
Дискретность атомных уровней проявляется; O мноrих опытах и
в первую очередь в опытах 'по в о з б у ж д е н и ю и и о н и 3 а Ц и и
атомов электронным ударом. Схема установки, с помощью !{оторой
можно проводить такие опыты,
изобра'жепа на рис. 30.
Основной частью установки ив...
ляется трубка, ззполriепная ис
следуемым ra30M при' .иеб ЛЬПIОМ
давлении (так что пробеr 9лектро",
па оказывается порядка размеров
трубки). Внутри ТРУUI{И находит
ся подоrреваемый катод К, явля
ЮЩИЙСR эмиттером электронов,
Рис. 30. Опыты Франка и rерца сетка С и анод А. На ceTICY по...
(схема установки) дается ускоряющий потенциал 1'с,
велиqина KOToporo может плавно
изменяться; между анодом и сеткой приложеп небольшой задерл{и...
вающий потенциал (V з O,2 O,5 В). Электроны, ускоренные в аа...
воре между катодом и сеткой, попадают затем в свободное от поля:
простр нство, оrраниченное сеткой с; в ЭТО1-1 пространстве в OCHOB
...
1) в самои деле,
(Т) r:::: (р'А> == (р)! + «Ар)!> == (Ар)? .
2т 2т 2т 2т
При 8ТОМ выводе была использована формула (2.27). В сферичеСКИ СИl.fмет--
ричном случае среднее значение ВСЯКОЙ векторной величины. в том числе и
иип;ульса. конечно. равно нулю.
13. ЭНСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДО.ВАНИЯ УРОВНЕй АТОМА 73
ПОМ И .происходят их СТОЛRновения с атомами. Те элекrроны, HOTO
рые потеряли D.ОЧТИ BCIO CBOIO энерrИJО в результате ({толкновений
с атомами, не MorYT преодолеть зздеРIl ив(:нощеrо ПОJ.lЯ V з ; осталь...
вые электроны поп.адают a. апод А и создают в цепи ;пода ток i a ,
реrи C'l'P ир У е Аl ыlI r ад ьв а 110М етром.
, Цри .IlОВЬ!IPении IlотенциаJJа сетии У С число электронов, отсасы...
ваемых ОТ .катода, увеличивается :и ток в анодной цепи растет
(ри.с.. 31). Это возрастание, однако, происходит монотонно лишь в
том случае, если прибор хорошо откачан.
. . На рис. 32а изображена зависимость тока ia от ускаряющеrо
потенциала У С дЛЯ СJJучая, :иоrда трубиа заполнена парами ртути
(ОЦЫТЫ Фран-иа и:. Тсрца, 1913 r.). lIачцль;ный (возрастающий1.
'а
'а
ia
6"
/
/ ,
/
/
/
/
5
10. 20 Vс,б
Рис. 31. .3ависимость
'1'0 ка ОТ ускоряющсrо
вапряжснин
,.
Рис. 32. Зависимость ia от V с: а для ат()-.
МОВ ртути (вояБУj'l{дспие); 6 для атомов во..
дорода (ионизация)
участок нривой имеет вид, rипичный для ВQльт ампе.РIl IХ характе..
РИСТИJ:{. терМО3JJентропных приборов (РИС. 31).. Но при У С 4,9 В
ток рСЭl\,о П3Дdет, Ц ?атем опять начинает Бозраста,ТЬ. Менее резкие
скач.ни наБЛlо) а.IОТСЯ 11 при значеII ЯХ, Ус, Ilропорциопальных 4,9 В.
ВЫЯСНИ1\I причины, определяющие вид кривоЙ на рис. 32а. Ато....
}fЫ ртути, так же нан и водородоподоБПLlе атомы и все атомы вооб
ще, обладаIОТ диснретными энерrетичесними уровнями, поэтому
вле-итроны с J] БОЛЫIJоii .э{] рrиеЙ их. возБУiндать но MorYT. Возбуж
дение 3ТОМ«.1, Т. е. переход 3ЛС ТРОIlа с .lIиmнеrо на оди;н, из верХIIИХ
)'рОВНОЙ 1 происходит в Т91\1 .случае, Rоrда 3ТО1\IУ передается энерrия,
равнD.Я раэпости энерrий зтих уровпеЙ. Эта эве рrия, деленная на
зарцд электрона, называется п о i е ц Ц и а.л о в о з б у ж д е н и я.
При' дости,нении этоЙ: энсрrии элентрuны .испытывают неупруrие
Столнновепия с атом'ами и передаIОТ им', праитичесни BCIO СБОЮ эвер"
rию; число электронов, попадающих' па анод, ПрИ этом резко умень..
lUае ся. '
По ПРИБОЙ a рис. 32а М9ЖНО определить только первый потен..
Циал возБУ.щденил ртути, равный 4,9 В. Первый потенциал Бозбуж..
дения пазывается рез о II а н с н ы м потенциалом и соответствует
переходу атомов с нижнеrо энерreтическоrо уровня на ближайший.
Вероятность возбуждения атомов при, столкновении с электронами
особенно велика, Ноrда эперrия электронов равна разности энерrий
74
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
уровней. Поэтому первый скачок на кривоЙ TOI{a для ртути при
У С === 4,9 В очень резкий. Менее резкий СI ачок появляется тоrда,
Rоrда энерrия электронов оказывается достаточной для послеДова
тельноrо возбуждения двух атомов; на рис. 32а такой скачок Ba
блюдается при V c == 9,8 В.
На установках, аналоrичных описанной, 1\IОЖlIО производить' из
;мерения первых и более высоких потенциалов возбуждения различ...
БЫХ атомов, а также измерение ионизационных потенциалов.
И о п и (1 а Ц и о н н ы м п о т е н Ц и а л о м называется эперrия иопи
зации (энерrия, необходимая для отрыва электрона от атома), дe
ленная па заряд электрона.
Измерение ионизационных потенциалов наиболее удобне прово
дить по току положительных ионов, ВО3IIикаIОЩИХ в результате
ионизации атомов элентронным ударом:. Для проведения таких из
мерений нужно увелиqить разность потенциалов между сетн:ой и
анодом, создав в этом зазоре достаточно большое поле, задержива
ющее для электронов и УСI{оряющее для положительных ионов.
При такой постановке опыта rальванометр зареrистрирует появле
иие тока в анодной цепи только при значениях V c , превыmающих
ионизационный потенциал. На рис. 326 приведена зависимость тока
ia от ускоряющеrо потенциала V c для случая, коrда трубка заполн'е
на водородом. Ток появляется при V c == 13,6 В и с увеличением V c
быстро возрастает. Кривая тона находится в соответствии с теми
представлениями о.б энерrетических уровнях атома водорода, н KO
торым мы пришли в конце предыдущеrо параrрафа. Ионизация
атом.ов водорода означает выбрасывание элентрона с нижнеrо (oc
HOBHoro) уровня атома (Е I == 13,6 эВ) в область непрерывноrо
спектра (Е> О) и может осуществляться, следовательно, при столк
новениях с атомами электронов, имеющих энерrию не ниже 13,6 эВ.
14. Спектры водородоподобпых атомов
Спектр атома водорода. Постоянная Ридберrа. Основное состояние
атома водорода характеризуется нвантовым числом n == 1. В этом
состоянии атом обладает наим:еньшей энерrией. Возбуждение aTO
мов ВОЗRикает в тех случаях, коrда электрон тем или иным путем
приобретает 9нерrию, достаточную для перехода на один из ypO'B
ней, лежащих выше. Способы возбуждения MOI'YT быть самыми 'раз
личными: облучение элентронами, электрический разряд, HarpeB,
облучение' фотонами и т. д. Возбужденные атомы самопроизвольно
переходят в состояния с меньшей энерrией (меньшими значениями
HBaHTo oro числа п); о вобождающаяся при т ких переходах энер'"
rия чаще Bcero уносится в виде электромаrнитноrо излучеiIия.
Спектр атома водорода, т. е. набор частот, испускаеl\lЫХ возбуж
денными атомами водорода, экспериментально определяется с .боль--
JllОЙ точностью. Поэтому представляет интерес. сравнить эти экспе
'рим:енталъные данные е теор'ией,
14.СПЕRТРЫ водородоподоБных АТОМОВ
7&
Воспользуемся (4.18) и найдем выражение для энерrии спект..
ральных ЛИНИЙ атома водорода (Z === 1). Так как любая спектралъ..
вая липия возникает пр переходе электронов между двумя УРОВ..
ПЯМИ, ТО энерrия квантов должна равняться разности энерrий этих
уровней:
Е ===Е E === R ( ) ===R ( ) . ( 4.21 )
21 2 1 1 2 <) } 2 2
п 2 ni n 1 n 2 .
На рис. 33 изображены уровни энерrии атома водорода, а стрелка..
м-и .обозначены переходы между уровнями, соответствующие ваблю.
даемым спентральным ЛИНИЯМ.
2
., I .. .. ..
+ t t Серия
СеРllЯ брэкетr.z
Пашен а
СерllЯ
Dцльмера
:t
r--... lt:J
tQ Ii:> (\,J
,....... ...
t:'l о)
Е,э8
О
gi
5
N
00
б
4-
6
... .4
1
СеРIJЯ
Лоtlнана
Рис. 33. Спектр aTOMapno.ro водорода
1 B
,
в спеКТf)ОСНОПИИ ПРИНЯТО, однако, оперировать не энерrиями
фотонов, а длинами ВОЛН и величинами, обратными длинам волн {):.
Л ! [CM 1]. Так кан 1/л === ю/2лс == Е/2лпс, то
1 R I ( 1 1 )
Л 21 === 2л1iс п: п 7j
1) Величина 'л 1 называется в спеКТрОСI\ОПИИ волновым числом. Так как
определенное таким образом волновое число в 211 раз отличается от ВОЛН6ВОРО
исла k, ПРИНятоrо в атомной физике (и в настоящей книrе)I :мы этим Tep
JlИВОМ ПОЛьзоваться не будем.
'6
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОБI-IЫЕ АТОМЫ
или
t ( 1 1 )
==R tj
Л 21 n n
( 4.22)
rде
:( 4.22'):
R === R 1 /2nпc.
Константа R называется п о с т о я н пой Р и Д б е р r а.
Формула (4.22) известна в спектроскопии еще с конца прошло..
ro вена. Она была найдена эмпирически и получила название обоб
щенной формулы Бальмера. Формула правильно описывает экспе
риментальные значения длин волн спектральных линий водорода
при R, равном 109 677 ,6 CM t. Физический смысл формулы в то вре--
мя БLIЛ неповятен.
На рис. 33 вдоль неноторых стрелок проставлены эксперимен.
тальные 8начение длин волн. И3 рисунка видно,. ЧТО наждая липия
в спеI\тре водорода входит в одну И3 С П е к т р"а л Ь.н ы х С е р ий;
для всех линий серии значение nl остается постоянным, а n'1, :может
принимать любые зпачения ОТ (nl + 1) до 00. Самая ДЛИНllОПОЛНО
вая линия в каждой серии (п2 === пl +-1) па3ыI етс.яя r о л о в н о й
линией данной серии. В сторону коротких длин .волн линии сrуща
ются к r р а н и Ц е серии, I\ОТОрОЙ соответствует n1. == 00. Серия с
пl === 1 называется серией Лайм:аuа. Она находится в ультрафиоле--
ТОБОЙ части спектра. Серия с n. === 2 носит название серии Бальме
ра; четыре линии этой серии нахоДЯТСЯ в видимой час и спектра:
rоловная ЛИНИЯ обозначается [! а., следующие линии Н р, Н Т И Н б.
Серия с n. :=:: 3 называется серией Пашева; следующие серии назва
}IbI именами Брэкета (п. === 4) и Пфунда (пl == 5); эти серии распо..
ложены в инфракрасной части спектра. . .
Интересно отметить, что часть линий в спектре водорода обпа 4
ружена и измерена не с помощью лабораторных источников, а в
с,пентре Солнца.
Найдем теоретическое значезие постоянной Ридберrа R. Соrлас
во (4.22') и (4.19)
R == те 4 == те ( ) 2 == J..... а .
4л1i. 3 с 4л Т hc & 4л Хе
Подстdвляя СЮДа значения' RОМПТОНОВСКОЙ длины ВОлны электр'она'
А" и постоянной тонкой структуры а, пайдем
R J..... ( J.... ) 2 1 CM 1
4л" 137 з,86.10 11 ·
Точный расчет дает R == 109737,3 CM-- i . Мы получили числовое ава..
qение R, почти совпаДающее, но" все таки не равное значению я.:::::I
109 677,6 CM-- i , определенному для водорода экспериментальн.о.
Исслед)тем причину этоrо расхождения. ", . .'. ..,
I t .СПЕНТРЫ ВОДОРОДОПОДОБ АТОМОВ
'7
При составлении уравнения UUрединrера для водородоподобных
8ТОМОВ МЫ считали, что электрон находится в кулоновском' пол е
непо движноrо ядра. На самом же деле следовало рассматривать
.движение электрона и пвижепие лира ВОКрУI' их обmеrо ц'евтра
масс. Как известно И3 RлассиqеСI{ОЙ механики, в уравнение движе
u
пия в таких случаях вместо масс взаимодеи:ствующих тел входит
приведенная масса J.t обеих частиц. Этот вывод сохраняется и в
квантовой механике. В нашем случае
тМ яд rri
J.t === === $ (4.23)
т + м яд 1 + т/М яд
тде т масса электрона, М яд масса ядра.
Из (4.23) видно, что f.1 === т только при условии, что М яд 1::1 00.
Следовательно, при расчете м:ы получили значение постоянной РИД-«
берrа не для реальноrо, а для HeKoToporo мысленноl'О бесконечно
тяжел'о'rо ядра: Roo === 109 737,3 CM 1. Воспользовавшись числовым
значением Roo, леrко получить величину R для любоrо KOHKpeTHoro
ядра. В частности, для водорода т/М яд === 1/1836,1 и
. ,
Roo
R и == 1+1/1836.1 == 109677t 6 CM l. (4.24)
Преnосходное соrласие вычисленноrо из теории зпачения R п и ава.
-чения R,. получеНllоrо для во'дорода экспериментально, является
'блестящим подтверждением
правил.ьности применения т а б л и Ц а {. Теоретиqеские
и ЭI{сriеrнtментальпые ЗEl8чения л.
Rвантовом.еханических пред'" ДЛЯ трех' первых линий серии Бальмера
тавлений к атомам.
В табл., 1 приведены Л RСП
n Л теор , вычисленные по фор...
муле (4.22) с учетом (4.24)
для первых трех линий се...
рии Бальмера {) .
Изотопи..еский сдвиr. l\po...
-ме леrкоrо изотопа водоро'"
,да 1Н, существуют два ТЯ .
желых изотопа водорода: дейтерий ZD и тритий ЗТ. Ядро дейтерия,
Hpo fe протона, содержит один нейтрон,. а. ядро трития два ней
Трона. Спектры тяжелых ИЗ0ТОПОВ водорода описываются,. конечно,
тоЙ же формулой (4.22), но в качестве R следует брать R D для
дейтерия и R T дЛЯ трития. Расчет по формуле (.4.24) дает
ЛИНИЯ
АЭRСП" им
).,теор' m.I
lla
H
I1v
656,28
486,13
434,05
656,47
486,27
434,17
R D .=== 109101,4
CM 1
,
Й Т === 109 717,5 CM I.
t . t .
1) Еще лучшее" соrла'Сие' с опытом получается при расчете О' помощыq'
уравнения Дирака, УЧИТ'БIВRЮrr(еl'О релятивистские эффекты. I "
'\. /11\
78
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОБIIЫЕ АТОМЫ
Различие R II , R D И R T ПРИВОДИТ К различию длин волн одних и Te
же линий в спектрах различных изотопов водорода.
Ниже приведены для сравнения длины волн первых трех линий ,
серии Лаймана в спеитрах водорода и дейтерия.
ЛН' НМ
ЛD, НМ
Ь.'Л, НМ
121,566
102,572
97,253
121 ,533
102,544
97 227
,
0,033
О, 028
0,026
Еще большее различие наблюдается в спектрах водорода идей...
терпя для длин волн серии Бальмера. Например, ЛИПИИ На И Da,.
различаются на 0,17 нм.
Различие в длинах волн идентичных линий в спектрах различ...
вых изотопов ОДlIоrо и Toro же элемента называется и з о т о п и ч е...
с к и м с Д в и r о м. Изотопичесний сдвиr в спектрах водорода идей...
терия настолько велин, что отчетливо обнаруживается с помощью
обычных спеитраЛЫIЫХ приборов.
Водородоподобные ионы. Напишем спектральную формулу для.
однократно ионизованноrо атома rелия IIe+:
t == RHeZ e ( ) == 4 Roo ( ) ,4)
Л не + n 1 п 2 1 + пt/М Ие n 1 п 2
Эта формула, так же как и формула для спектральных серий водо...
рода, была найдена эмпирическим путем и получила объяснение
только в квантовой теории.
Аналоrичным образом MorYT быть написаны спентральные фор...
:мулы Д.1lя ионов Li2+, Ве 3 + и др. Первые члены серии Лаймана
'(п! ==: 1) для этих иопов обнаружены; они находятся в далекой
ультрафиолетовой части спектра.
ПО3ИТРОIIИЙ. Интересной системой, состоящей, как и атом BOДO
рода, Bcero из двух частиц, является поз и т р о н и й. ПозитрониЙ
ео,цержит две частицы, отличающиеся тольно зарядом: положитель
не заряженный позитрон и отрицательно заряженный электрон.
При пропуснании позитронов через rаз позитроны захватывают
электроны атомов, в результате чеrо и образуются ((атомы» пози
трония. В отличие от атомов водорода, «атомы» позитрония явля"
ются метастабильными и череа довольно норот:кое время 't посло
образования прекращают свое существование t). Однако время су....
щеСТВОВ8ВИЯ ((атомов» позитрония достаточп.о для их изучения.
1) Позитровий распадается на два (1' tO 10 с) или па три (1' 10 7 с)
фотона вследствие анвиrиляции позитрона и 8лектроuа; суммарная эверrи&
фотонов соrласно закону сохранения 8верrии равна 2тс 2 .
115. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕНТРОННОй ПЛОТIIОСТИ В АТОМЕ 79
11змерепие энерrии ионизации позитрония показало, что она равна
6,8 эВ.
Энерrия ионизации равна взятой с обратным знаком энерrии
OCHOBHoro состояния и может быть вычислена по формуле (4.18)'
при т == J.t и n == 1. Так как массы элеI{тропа и позитрона равны, ТО
приведенная масса J.t равна половине массы электрона:
тэ.п т п 08 тэл . )
f1 === === ..
тэл+rnпоз 2
Поэтому по формуле (4.18) для позитр.ония получаем
Е иоп == R 1 /2 === 13,6/2 === 6,8 эВ.
15. Распре еление электронной плотности в атоме водорода
Распределение электронной плотности в атоме водорода определя
стсн квадратом модуля 'Ф Функции. Вычислением 'Ф4ункции мы
аанимались в 9 12. Объединяя (4.6), '( 4.9) и (4.11), найдем
00
1
'Ф (r) === r e hr amr m .
т=== 1
. Для вычисления а т следует применить рекуррентную формулу
i'{4.14). Входящий в нее параметр р определяется (4.5). Возможные
значения k находятся по формуле (4.17). .
Найдем 'Ф ФУНКЦИIО дЛЯ n === 1, . е. для OClIoBHoro состояния
зтом:а. Подставив n == 1 в (4.17), находим, что k 1 == /2. Примем для
nростоты а 1 ==1 1 ). Подставив п==1 в (4.14), убеждаемся, что все
"Члены ряда (4.11)', начиная с а!, обращаются в нуль; первый же
член ряда оказывается равным r.
Воспользовавшись соотношениями (4.6) и (4.9), получаем
'1'1 (r) == е klr (4.25)
Здесь
(3 те 2 Z те е 2 а .
k 1 == 2""" == Z 7 == h пс == Z e .;))
тде "e КОl\lптоновсная длина волны электрона, а сх постоянная
тонкой структуры. Итак, функция OCHOBHoro состояния является
Экспонентой с максимумом в начале координат (рис. 34).
С точки зрения класической фИЗИRИ электрон обладает наимень
теК' энерrией, находясь в начале координат. :Квантовая механика,
Еак мы видим:, приводит к непрерывному распределению с макси...
MYMO в начале координат. Однако из (4.25) не следует, что вер,о-:
1 '
) На самом деле значение аl находится из условия нормировки
5 Iw I а dV >== 1.
ятвость найти элентров на нулевом расстоянии от начала Rоординат
является максимальной. Вероятность Tor что электрон находится
в объе:ме dV, как мы зпаем, равна Iф(r) 1 2 dV. В качестве эле.мента
обrьема возьмем сферический слой толщи..
вой dr на расстоянии r от начала RООрДИ"
нат: dV ==== 4л,-2 dr. Вероятность найти элен..
трон в таРОВО}I слое, находящемся на
расстоянии r от ядра, при n == 1 равна
) 4Л1,,2 drl'Фl (т) 12, т. е. определяется функцией
т211Рl (r) 12 == т 2 е 2klr; rрафик этой функции
1'зкже изобраiкен на рис. 34.
;. Функция , 2 1$1 (т) 1\ определяющая про..
страиственное распределение электрона в
IJевозБУiRдеНllОМ атоме водорода, обращаетсл
в нуль вместе с r 2 в начале :координат и эхс..
поненциально убывает при бол-ьших т. IIаЙ..
дем значение r ==='1 тах, при котором эта
функция достиrает маисимума. Для .ЭТОfО
2 2R т
приравнлем нулю ПРОlI3РОДНУЮ от r е 1;
2 2hlrlmax 2k 2 2hlrlmax О
r 1rnax e l Т lrnах е == .
После сокращения получаем
BU
l'
N
C\I
.\..
r тох r
Рис. 34. Прострапствен.
ное распределение элек..
трона в атоме водорода
(основное состояние)
Для :водорода
rл. IV.. БОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
1 - 2 1 X
rl max == == == .
k 1 t) Z а
(4.26)
rtmax === 'Л е / а.
'( 4.27):
Величину (4.27) принято пазывать р а Д и у с о м пер в о й б о р о В--
С К О Й орбиты атома водорода. В действительности НИI\аRИХ орбиr
у ЭJJектронов в атомах, конечно, не существует; вазвание же это,
нан и некоторые друrие, перешло в современную физику из поду--
:классической теории Бора строепия атома t). Вычислим '1 шах:
rtmах===Ле/а==(3,86 .10 H см).137 0,53 .10 8 см;
Т 1 тах определяет 110 порядку величины размер невоэБУiItдепных ато"
мов водорода и обозначается обычно а1.
Рассмотрим волновую функцию для первоrо возБУjRденпоrо со..
стояния атома водорода (п == 2). При п == 2 k 2 == /4; ряд (4.11):
обрывается на втором члене, и волновая функция И}lеет следую..
щий вид:
'1'2 (r) == e k2r (1 k 2 r). (4.28)
На рис. 35 изображены фУВI\ЦИИ Ф2(r)', 1'Ф2(r) IZ и rl'Фz(r) 12;
последняя фуннция, как мы видели, хараRтеризует вероятность
найти электрон на расстоянии r от ядра. Из рисунка видно, чт
1) Более подробно теория :Бора рассмотрена в I 28.
I 16. МЕЗОАТОМЫ
81
распределение электронной плотности при п == 2 Оl\азывается ДО"
вольно. СЛОЖНЫМ. Еще более .сл.ожными являются распределения
влектронов в следующих возбужденных состояниях. Общим свой
ством.всех распределений является отличная от нуля вероятность
вайтЛ электрон как на очен Ma
ЛЫХ, так и на довольно БОЛЬШJIХ
расстояниях от ядра.
В заключение еще раз .под
черинем, что пространственное
распределепие элеКТРQПОВ в атоме
можно хар&ктеризовать либо KBaд
ратом волновой фУВI\ЦИИ 1'1' (r) 12.,
либо величиной r 1'Ф (r) 12. IIepBoe
из этих выражений определя.ет
вероятность найти Ч СТИЦУ в еди
яичном объеl\lе, а второе в ша..
рОБОМ слое толщиной 1/4л. Вели
.чипа 1'1' (r) 12 в основном состоянии
атома водорода в начале коорди
нат l\lансимальна, в 1'0 время Рис. 35. ПРОСТРВRствевное pac
:нан r 2 1'Ф (r) 12 обращается в нуль. пределевие электропа в атоме
Функция (r) при удаJIении от водорода при п == 2
начала координат убывает с OT
личной от нуля цроизводной. Таким образом, 'Ф (т) не является rлад..
:ной в начале координат. Этоrо СJ1едовало О?I\идать. Потенциальная
энерrия точечноrо источника обращается в бес:конечность в начале
Rоординат, а при обрап\ении потеnциалъной эnерrии в беСl\онеч
ность, I\ак было llоказано в 9, (I>УНRЦИЯ приобретает И3ЛОl\l.
I3 заключение приведем оценочную формулу, с помоп ью кото...
рой можно быстро (хотя и rрубо) находить «радиус орбиты» R,
Т. е. среднее расстояние электрона от ядра в водородоподобвых
атомах. При rла.ввом квантовом числе п
1 Хе
R п 2
n "" Z а.. ·
16. Мезоатомы
,
. ... ... ,..... ... ...
, ........
, ...... (1,
'..................",..... r'Z
r-
(4.29)
Решения, получепные для водородоподобных атомов, MorYT быть
nримепепы 1\ системам, называемым м е з о а т о м а м и. Мезоатома..
ми называют атомы, в которых ОДИН из электронов заменен мезо....
БОМ. Разумеется, таная замена возможна только, если мезон И lеет
ОТрицательный заряд.
Рассмотрим мезоатомы, которые получаются при замене един.
ствепноrо элект рона в атоме водорода отрицательным мюоном 1) ,...,......
J) Мюонами называют частицы с массой, в 207 раз превыmающей массу
8лектрона: т", == 207 те. В остальном свойства мюонов очень похожи на СВОЙ-4
ства элентронов, в частнооти, ни те ни друrие не способны к ядерным взаИ-4
6 JL JL rольдин, 1'. И. НОВИIiQва
82
rл. IV. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АтомыI
Пропуская пучок отрицательных мюонов через водород, можно по...
лучить мезоатомы водорода. Образование мезоатомов происходит
следующим образом: отрицательный мюоп, попадая в Rулоновское
поле протона, притяrивается им и образует систему, апалоrичную
атому водорода; так как радиус боровской орбиты обратно пропор
ционален массе частицы, связанной с ядром .( точнее rоворя, при
веденной массе системы частица ядро), то для мюона 9ТОТ ра...
диус оказывается существенно меньшим, чем для электрона; на рас..
стояниях, па которых расположен электрон, захваченный мюон
экранирует поле ядра, и электрон покидает атом. Энерrии уровней
в l\fезоатомах рассчитываются по (4.18) с учетом Toro, что в R.
входит масса мюона. Спектр излучения мезоатома водорода хорошо
известен и прекрасно описывается этой формулой.
Мезоатомные системы MorYT образовывать не только атомы во...
дорода, но и любые друrие атомы. TaI( как мезон всеrда располаrа..
ется rораздо ближе к ядру, чем электроны, поле атомных 9лектро
нов практически не оказывает на мезон нииакоrо действия, и ero
энерrия может рассчитываться так же, как 9нерrия единствепноrо
элеI{трона в водородоподобных ионах, Т. е. по (4.18). Опыт показы..
вает, однако, что эта формула справедлива только для мезоатомов,
в которых заряд ядра невелик (Z < 10). При больших Z радиус op
БIIТЫ оказывается столь мал, что мюон В существенной мере Haxo
ДIIТСЯ внутри ядра, rде поле уже не описывается потенциалом
Ze2/r. Отклонения от (4.18) используются для определения радиу...
сов ядер тяжелых атомов.
17. Ширина уровней
При решении уравнения Шрединrера для потенциальной ямы и
для атома водорода (и во всех друrих случаях, коrда энерrия иван..
туется) мы нашли, что энерrия системы может принимать значе...
ния, выражающиеся набором дискретных, вполне точно определен
ных чисел. Этот результат, означающий, что энерrетичеСRие уровни
атомов не имеют ширины, не соответствует истине и возникает из за
Toro, что при написании уравнения Шрединrера были сделаны не..
ноторые упрощения.
Рассм:отрим атом, находящийся в возбужденном состоянии. Та...
ной атом может испустить фотон и перейти в основное или менее
возбужденное состояние. Точное уравнение Ш рединrера должно
учитывать эту возможность, возникающую из за взаи:модействия
атома с электромаrнитным полем полем, имевmимся до излуче
lIIIЯ пли возникающим в процессе излучения. Учет этоrо взаимодей..
ств:ия и приводит к появлению «ширины» у энерrетических уровней.
модействиям, так ЧТО на пих действуют только электрические силы (и силы
так называемоrо «слабоrо» взаимодействия). Существуют положительны:е MI()-c
оны fJ. + (q + == + 1е) и отрицательные мюоны fJ. (q JA. == 1е),
... 'i
.",
. . . ' .:. j) .. :' ": . :' . . . . .
'.\'".
.
'1
.. . . ] . . . . . ' . : . . . ; .
'
"(
6 17. ШИРИНА УРОВНЕй
r-- 83
Теоретический анализ взаимодействия 3ToMHoro электрона с из
лучением вполне возможен, но лежит далеко за пределами нашеrо
нурса, в котором мы оrраничиваемся исследованием только стацио
нарнЫХ не зависящих от времени состояний. От квантовомеха..
вическоrо подхода к исследованию ширины уровней нам придется
поэтому отказаться. Подойдем к этому вопросу с несколько друrой
стороны.
Из оптики известно, что световое излучение происходит в виде
ВОЛНОВЫХ «цуrов»), имеющих обычно длину порядка несколы\хx MeT
ров. Цуr конечной длины не может быть вполне монохроматичным
и всеrда несколько «размазан» по частоте. Соответствующий квант,
следовательно, содержит некоторую неопределенно-сть в энерrии.
Эта неопределенность может возникнуть только в том случае, если
энерrия возбужденных уровней опре
делена не вполне точно, т. е. если
уровни имеют некоторую «естествен...
пую ширину».
Оценим неопределенность энер--
rии I\ванта. Рассмотрим волновой
цуr, испускаемый в течение проме...
жутка времени т, движущийся со
споростью с и представляющий со...
бой отрезок точной синусоиды с
частотой Q (рис. 36). Чтобы найти спектральный состав излучеНИЯ 1
описывающеrо цуr, следует произвести ero разложение в интеrрал
Фурье. Введем функцию Ф(t), описывающую световую волну,
изображающуюся цуrом:
Ф(t)==О при t< T/2, е>1:/2,
ф (t) == А ехр (iQtJ при 1:/2 < t < 1:/2,
и разложим ее в интеrрал Фурье:
Рис. 36. Волновой цуr
00
ф (t) == 2 S f (ro) ехр (irot) droj
oo
по известной теореме об интеrрале Фурье
00
f (ro) == S ф (t) ехр ( irot) dt.
oo
Замечая, что вне интервала ( 't/2, +'1'/2) волновой цуr отсутствует.
Имеем
'(/2
f (ro) ==t S А ехр (iQt) ехр ( irot) dt ==<
--'(/2
А е:хр (i (О ---- 0) 1"/2] ...... ехр 1---- t (О ---- 0)) '(/2] .. А
j (g ....... ш) . ::= т
6-
Bln r (О ...... 0)) 1"/2]
(и ...... (а» "'12
.
в4
rЛ.IV.ВОДОРОДОПОДОБ АТО
При малых Q ro эта фУНI\ЦИЛ принимает наибольшее возможное
значение A't, а с увеличением Q ro функция колебнется, быстро
у:м:еньшаясь по амплитуде. Для оценки ширины распределения, как
обычно, выберем расстояние от максимума до первоrо минимума.
IIервый минимум возникает при (Q ro) 't == 2n, т. е. при Аro::::а
с= Q ro с= 2n/'t. Умножая это равенство на '{, найде.м
(J) 't С::: 2n.
'( 4.30 I
Входящее в это равенство время 't равно времени испускания
световой волны. В квантовой механике такое постепенное испуска
нив света невозможно, тан как никакие промежуточные состоя--
ния между исходным и конечным квантовыми состояниями не
существуют.
При точном квантовомеханическом описании оказывается, что
в процессе перехода атом описывается суперпозицией волновых
ФУНRЦИЙ начаJiьноrо и конечноrо состояний. Коэффициент при; ВОЛ
новой функции начальноrо состояния экспоненциально падает, а KO
эффициент при волновой функции I\онечноrо состояния соответ",
ственпо растет. Время «вымиранил») волновой функции начальноrо
, ,
состояния или, нак чаще rоворят, с р е Д н е е в р е м я ж и з.н И а т o
м а в в о з б у ж д е н 11 О М С О С Т О Я Н И И И соответствует временной
продолжительности цуrа '{.
Чтобы перейти к ширине уровней, умножим равенство (4.30}
на п, так как I1Е == h L\cu. ТаI\ИМ образом, имеем E t == 2лп, rде
E ширина возбужденноrо уровня. а 't Bp.eM. )-кизни атома в
возБУi-кденном состоянии. Полученное соотноше ие обыч о вапи...
сывают без множителя 2п: i.
, .
I E t == 1i I
(4.31)
Соотношение '( 4.31)' аналоrично СQотношению веопределенностей
rейзенберrа' и носит название с о о т н о ш е н и я 11 е о п р е Д е л е H
11 О С Т е й Д л я э н е р r и и и в р е м: е н и. Появление этоrо соотпо",
шения является вполне естественным. Произведение Et, кап и
pr, имеет размерность действия. Оба эти 'произвед'ениЯ: симмеТ04
рп:чным образом входят в показатель з.кспоненты волны де Брой--
ля (1.20).
Однако смысл соотношений (1.33) и (4.31) различен. Физиче
ская сущность nepBoro соотноmен я была pa CMOTpeHa ыше и за...
Rлючается, в частности, в невозможвости одновремепноrо точноrо
определения р и r. Энерrия же фотона (или частицы) может быть
определена точно в любой заданный момент времени. Равенство
'( 4.31) в нашем случае 0значает, что при переходе aTOMnЬ X систем
uз 60збуждеnnО20 состояпия в ОСnО8nое существует разброс L\E
в эnереии излучае.мь х фотоnов, связанный с временем жизни атома
'" в возбужд вном состоянии; причиной разброса является к о н е 1{04
17. ШИРИIIА УРОВНЕЙ
B!J
в а я m и р и н энерrетических уровней ВО3...
бужденпых атомов, такл{е равная E. С 3
Средние времена жизни возБу)I депныIx ато'" Ez
),{ОВ, :как правило, ум:еньшаются с увеличением
энерrи:И возбуждения; ширины уровнеЙ ато",
мов поэтому растут (рис. 37). Вневозбужден... Е ,
БЫХ ( основных) состояниях атомы MorYT на...
ходиться беСI\онечно долrо (! == 00), и ширина
YPOBHeii для таких состояниЙ E == о. Возбуж...
денные состояния неустоilЧИВЫ; средние вре...
:мена жизни атомов в возБУi-кденных состояии...
ях при испускании видимоrо света по порядку
величины равны 10 8 с. Энерrетическая шири
на квазисrr.ационарных уровней атомов, имеющих такие времена
жизни, оказывается существепно меньшей, чем расстояния между
самими уровнями. Расчет дает
,. AE == == {,05.10 27 эрr.с 10.....7 эВ.
'( 10 8 с. (1,6 .10 12 эрr/эВ)
t
о
Рис. 37.
уровней
Ширина
. I
l
уrловой МОМЕНТ
И МАrНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРОНОВ, АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
rЛАВА v
,'
* 18. ,Уrловой МОМСНТ
Уrловой момент. Уrловой момент (момент импульса)' 'является од--
ной из ваiRнейших характеристик движения как отдельных частиц,
так и целых систем. rловой момент изолированной частицы иди
замкнутой системы частиц при движении сохраняется . омепт o
х аняется и при движении в центрально симмет ичных полях.
ентрально симметричные поля часто встречаются в атомных
системах. В атоме водорода и в водородоподобпых атомах единст
венный элентрон движется в центральном поле кулоновских сил
ядра. В Сложных атомах электрическое поле, действующее на
электроны, cTporo rоворя, не является центральным, так как каж--
дый электрон взаИl\fодействует не тольно с ядром, но и со всеми
остальными электронами атома. Однако и в этом случае поле, дей
ствующее на выбранный электрон со стороны всех остальных час
тиц, в первом приближении СОХrJаняет сферическую симметрию,
1'. е. оказывается почти центральным. Таким образом, закон coxpa
Ilения уrловоrо момента в микромире иrрает не меНЬШУIО роль, че:м:
в нлассической физике. Познакомимся с нвантовомехаllическими
особенностями уrловоrо момента микрочастиц.
Проекция уrловоrо момента. IIайдем собственные (возможпые)'
значения, которые может принимать М ж проекция уrловоrо м о...
мента М на неноторую ось; для определенности назовем ее осью z.
Для этоrо воспользуеl\IСЯ уравнением (2.28), которое в нашем слу--
чае имеет вид
........
мzф === мzф.
Соrласно (2.25) оператор M z === iпD/[)q>.
в уравнение для М z, найдем
. n 8W М
l iJ<p === z'Ф.
Решением этоrо уравнения является Фуннция
1 ( . Mz )
'ф === V 2л ехр 1, (j) -
Подставив это выражение
t
(5.1)
(5.2)
1
I
:4
.
.
'
(Множитель 1/У2л введсн для ВОрМИрОВI\И 'Ф фувкции,
231 \
J 1jJ*1jJd<p 1.)
так что
6 18.УfЛОВОй МОМЕНТ
87
Решение (5.2) всюду конечно, но не BcerAa однозначно. В тех
случаях, коrда 'Ф Функция является однозначной, она оказываетс'Я
1JепрерЫВIIОЙ и rладкой.
Функция (5.2) ОДf.lозначна в том случае, если при изменении <р
на 2л она возвращается к своему прежнему значению, т. е. если
M z
· 2л === т. 2п
n '
rде т любое целое число
llУЛIО). Следовате льно,
I M z == т n , I
Итак, nрое цuя уzловоzо момента на люБУТ-D ось у;,ваnтуеrся; 01l.а
равна целому числу nОСТОЯН1lЬLХ Пла1lка.
11сследуем физический смысл этоrо результата. Рассмотрим He
ноторый вектор уrловоrо момента М. На первый В3fЛЯД может
IIоказаться, что квантование проекции Мl, приводит К тому, что
Бен тор М мол ет составлять лишь определенные уrлы с осью z
(рис. 38). Поскольку, однако, ось z в пространстве может быть на...
правлена как уrодно, эта точка зрения не име...
ет смысла. Полученный результат следует по...
нимать иначе. ОРМУЛЯ (5.3) показывает, чт о
при и 3 М е р е н И,И проекпии уrловоrо моме:в; '"
т а мы в езультате Qпыта 9бяз тел ьно п
чим число, являющееся кратп ы;-Т Однако
(положительное, отрицательное, равное
т == О, + {, ::1:: 2, . . .
(5.3)
z
4"
оп
2;'
"
О
п
2"
3п
4f!
Рис. 38. I\вантовапие
уrловоrо момента
Рис. 39. Расщепление света
ПрИ3МОЙ Николя
зн ч ние M z )10 опыта вовсе не IIОЛЖПО быть равно целом у
числу 1i. До и после опыта ф фуннции вовсе не обязаны совпадать.
Мы можем:, тем не менее, утверждать, что Функция состояния,
Иl\lсвшеrося до опыта, т. е. ч: Функция люБОfО физическо'rо соетоя...
ния, может быть представлепа в виде суперпозиции собственных
решениЙ:
'Ф Ст'Фт == С т ( ;..... eimQJ ) .
m т 2n
(5.4)
Система, описываемая такой 'Ф функцией, не обладает опреде...
ленной проекцией момента М. Вектор М при этом может быть на...
правлен произвольным образом. (Направление вектора. М определя
88 rл. v. уrловой и мАrнитныIй МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
ется абсолютными величинами и фазами коэффициентов Ст. у.
Но при измере ии M z всеrда будет найдено KaI\oe To ОДно из зна..
'lJений . входящих в сумму (5.4). Вероятность найти значение
M z === тп определяется, как всеrда, величиной Ic m l 2 .
Чтобы ЛУ1Jше уяснить смысл этоrо утверждения, рассмотрим
простой оптический опыт (на первый взrляд не имеющий nрямоrо-
отношения к рассматриваемому вопросу). Пропустим луч света че...
рез призму Николя (рис. 39). Выходящий ИЗ призмы свет разделя...
еr;rся на два луча оБЫI{нuвенный о ивеобыкновенный е. В RаJИ'"
ДОМ из лучей свет плоскополяризован 1) . CYMl\la интенсиввостеЙ:
обоих лучей равна интенсивности падающеrо света. Будем теперь
уменьшать интенсивность света до тех пор, пока световые нванты
не начнут пролетать через призму «поштучно». l\!ы увидим, что все
:кванты, прошедшие через призму, разделяются ва два сорта: на
:кванты, поляризованные в rоризонтальном, и на кванты, поляризо..
ванные в вертинальном направлении (для простоты считаем, что
пеобыкновенный луч поляризован в плоскости рисунна, а оБЫКlIО"
венный в плоскости, перпендикулярной к ПЛОСНОСТИ рисунна).
Значит ли это, что до ИЗАlерения поляризации, т. е. до ПрОХО1нде...
пия через призму Николя, все световые нванты делились на те же
два сорта? Нонечно, нет. До nрОХОiкдения через ПрИ31.IУ свет :м:ор
быть поляризован как уrодно ИЛII не быть поляризован ц'овсе. Что
же дает исследование света с помощыо призмы Ниноля? Что озна...
чает результат опыта, состоящий в ТОМ, что после прохо}кденил
через призму Николя свет разделяется на два луча, плоскополяри...
80вавных в двух взаимно перпендикулярных направлениях?
Первый и самый ваЛilIЫЙ вывод заНЛlочается в том, что .IlJiLP,o,д
Е ол.п р uаа ц и О Н1tое СОСТОЯ1tuе Ф отона MOJlCeT 6bl,Tb п р едставле1l0 п l];&
суперпоаи ия дв х и только дв х! uеаави ых состояиuй (если
ы состояний было больше, то после ПРОХОiRдеВIIЯ через призму
Нин оля кванты оказались бы частично поrлощеНIIЫМИ либо распа...
JlИСЬ бы не на две, а на большее число rрупп). Эти два независп...
мых состояния MorYT быть выбраны по раЗlIОМУ. 'tlтобы убедиться
в ЭТОМ, проще Бсеrо повернуть призму :tIииоля на некоторый YI'O.JI
BOHpyr оси, совпадающей с направлением пучиа; плоскости поляrи
зации лучей повернутся на тот ,не уrол. Известно, далее, что JlJO
бое. поляризационное состояние (ротона MOiReT быть описано не
только с ПОМОЩЬЮ двух плоснополяризованных I\ОМПОНСНТ. Тан, на...
Dример, оно мо,иет быть представлепо нак суперпозиция двух цир
:нуллрно поляризованных состояний (право и JIевовращзющихся).
Второе эаКJIючение состоит в следующем. Выбереl\I в ПЛОСНОСТИ,.
перпендикулярной к лучу, неноторое направление и будем изучать
Dоляриз-ацию света относительно этоrо направления (например,
1) В простых призмзх НИКОЛЯ обыкновенный луч поrлощается оправой
и не выпускается наружу. В призмах лучmеrо качества выводятся оба луча.
причем свет в приэме почти не Dоrлощается.
,
j
в 18.уrловоn МОМЕНТ
89
<с помощью призмы НИI{ОЛЯ)'. 5. пи бь ло выбрапо это uaniJaB "
..ле н.ие, uзмерепuе всееда по к а;лс е Т, что фотон _ поляризован .яuб о
пo этому nаправлеnиl0, либо перпеl-tдU !JЛЯРnО п nему . Или, что то
)ке самое, проеI{ЦИЯ вектора поляризации фотона на любое перпен"
динулярное к лучу направление вееrда равна либо нулю (вектор
ПОЛЯРИЗОI;J Н перпендикулярно к ЭТОl\lУ направлению), либо едини
це (вектор поляризации параллелеп выбранному направлению).
Вернемся теперь к опыту по изм:ереНIIЮ проенции уrловоrо МО'"
1.IenTa на каКУIо либо ось. Формула (.5.3) показывает, что при И3
}lерении всеrда будут найдены целочисл нные значения этой про..
еJ1\ЦИИ и что, следовательно, любое состояние системы может быть
представлено в ВIIде ряда (5.4). Физическая ценность первоrо УТ"
Берждсния lIeCOAfHeHHa. Второе утверiI\дение не имеет особой цеп..
пасти и с точки зрения мате lатики является очевидным. В самом
деле, любая однозначная непрерывная q}ункция ази:мутальноrо yr
ла ер периодична с периодом: 2л. Соrласно теореме Фурье 'любая
таI\ая q)УПI\ЦИЯ l\lожет быть разложена в ряд (5.4). Таким образом,
<IlорrYiула (5.4) не накладывает НИI(аких оrраничений па вид
"\j: cI) УНI{Ц,ИИ. : '
Здесь следует предостеречь читателя от поспешных выводов.
Если в начале рассуждениЙ моrло ПОRазаться, что I{вантовапие
проскции уrЛОRоrо момента требует полпоrо пересмотра всех пред
стаплении о пространстве, то недостаточно внимательное чтеЦlJI8
этоrо параrраq)а может создать впечатление, что воqбще Ifичеrо су..
Iцественно HOBoro l aK будто И не вознинло. Оба BbТrH)'"'Aa невсрны.
С fЫСЛ и важность полученных результатов orpoMHbI. Они будут
()БСУii даться на протяжении леей I\НИТИ.
Квадрат утловоrо момента. IIаЙдем теперь возможные значения
] вздrата уrЛО80rо Iом:епта М 2 .
ПрямоЙ подход 1\ решению этой задачи требует реrнспия ypaB
lIСПИЯ, получаIОIцеrос при подстаНОВIсе в (2.28) оператора квадра..
та уrловоrо момента йf 2 :
.......
1';[2 ч , === М 2 ' ).
Однано оператор Л/ 2 имеет rромоздкиЙ RJIД и решение задачи тре...
буст знакомства со специаЛЬНI-.IМИ q}УIII(ЦИЯМИ (с ПОЛ fномами Ле--
iН<1пдра). Поэтому мы lIодоЙдем 1\ задаче о нахождснии ВО ;МОЖНЫК
значениii квадрата уrловоrо момента с пеСI(ОЛI I\О ДРУf'оi-i стороны.
В классической мехапике кпадрат уrлопоrо момепта равен CYM
1tle квадратов ero проекций на I\оординатные оси:
М2 == M + Лf + Af;..
в квантовой механике это равенство следует понимать нак Q)OPM:Y04
лу, связываюп ую соответствующие операторы,
""'2 /'. 2 ".... 2 ...........
м == м х + м 11 + м ХII
90 rл. v. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
и средние значения,
<М2) === (М;) + <M ) + (M ).
Рассмотрим частицу, движущуюся в сферически симметричном:
поле. Пусть :квадрат ее уrловоrо момента имеет неноторое опреде
ленное значение. Задание квадрата уrловоrо момента определяет
состояние частицы не полностью, так нак при этом проекция уrло
Boro момента на ось z может принимать разные значения. tIac
будет интересовать сферичесни симметричное состояние частицы с
заданным значением нвадрата момента. rfаи нак ось z ничем
не выделена из остальных координатных осей, то при сферичесни
симметричном состоянии частицы
(M ) === (м;) === (M )
И t следовательно,
<М2) === 3 (M ).
(5.5)
Симметричное решение, конечно, не обладает каной либо' опре...
деленной проекцией уrловоrо момента, так как все тание состояния
оrраничивают область уrлов, в которых MOiReT находиться вектор
М. ОНО является суперпозицией решений со всеми возможными
проенциями M z . Более Toro, в симметричном решении все проенции
ва люБУIО ось, В том числе и на ось z, равновероятны и потому
пред' тавлены с одинаковым весо:м.. 110ЭТОМУ (М;) равно среднему
из' всех возмол\ных значениЙ M 2z . Соrласно (5.3) возможные значе...
вия M z равны целому числу постоянных Планка п:
M z === О, + 1п, :i:2n, ..., + mтах п .
т === 1, (1 1), ..., 1, О, 1, ..., 1.
Мы видим, что при вслком данном 1 проекция м:омента M z может
принимать 21 + 1 различных значений: одно нулевое, 1 ПОЛОiRитель
вых и l отрицательных. Среднее значоние (М;) равно поэтому
2 2 ( l 2 2 22 2
(м 2 ) === 1i 2 l + (l 1) +... + ) === 2п 2 1 + +. . . + 1 ===
z 2t + 1 2l + 1
== 21;,2 1 (1 + 1) (21 + 1) === l ( l + 1 )
2t + 1 6 3 ..
(5.6 )
Мансимальное значение проекции момента M z по модулю не MOiHeT
превышать /MI. Обозначим максимаJlьное значение т через l, так
что т тах == l. Мы у/не знаем, что 1 целое положительное число.
Выпишем полный набор возможных значений M z и т:
M z === 1n, (l 1)п, ..., ( l)n,
j
118.уrловой МОМЕНТ
Я!
Подставив полученное зн ачение <M > в (5.5)', получим
I М2 1i 2[ (l + 1) , I
. j.; .;
'...-:
(5.7)
I'де l.......... целое положительное число (или нуль)'.
Формула (5.6) переЧИСJlяет все значения Мl" возможные при
данном l. Равенство (5.7) определяет закон квантования квадрата
уrловоrо момента.
Сравнение формул (5.6) и (5.7) показывает, что М: т 1\Х < М2 при
любом значении l > О, так :как М;mах == 1i 2 l 2 , а М'!. === h'!.l (l + 1). Этот
результат, непонятный в рамках классической физики, леrко объ..
ЯСlIяется в квантовой механике. Исследование показывает (мы при...
мем этот результат на веру), что n роекции :момеl/,та па две раали ч...
U bLe оси, например М" и Мх, nе Mozyr бь ть одnовре.меnnо: иaBec!!Jtb ;
Дл я них существует соотношение неопределенности, аIj:алоrичное
соотношению неопределенности дли координаты и импульса. За...
q)иксировав состояние с определенным Mt, мы вносим неопределен",
ность в проеl{ЦИИ Мх и Ми. Средние значения <M ) и <M > в та..
ких «размазанных») состояниях, конечно, отличны от нуля:
<M ) > 0,,_ <M > > о. Позтому
М2 == ( <M ) + <M > + <M » > м:.
1? . отличие от двух проекций вектора М, вaдpaT мо.меnта М 2 J!,
одна из ezo nроеnций ? nаnри:мер М r.. Mozyr быть определеnь1, од но...
аре:менnо. (Мы примем это утверждение также без доказательст--
в3:y7JOЛее TOZO, в квантовой механике доказывается, что аадаnив
Мl, и М2 полnостью определяет вращательное состояние частицы,.
Обратимся к математическому смыслу полученных формул. Со--
стояние с данным М 2 определяется заданием одноrо (или набора)
ИЗ 2l + 1 ВО3МО1-КНЫХ значений Мl,. Таким образом, ряд (5.4) при
заданном М'!. === h'!.l(l + 1) состоит из 2l + 1 членов. :Конечно, вра...
щательное состояние системы с данным М'!. не обязательно уточ",
пять, задавая именно проекции на ось z, хотя такой способ явля...
стся общепринятым. :Как бы мы, однако, ни задавали вращатель...
вое состояние системы с определенным М, дЛЯ этоrо всеrда нужно
УI(азать 2l чисел (последнее 2l + 1 e число определится из условия
IIОРМИРОВI{И) 1). RОНI{ретный набор чисел, определяющих состояние,
зависит от выбора осей и от особенностей описываеl\lоrо состояния.
НаПОl\IНИМ в заключение, что п и экспориментальном измерени и
Il OeI( ии rловоrо момента на как ю либо ось пол чается одно и з
l + 1 возможных значений.
1) CTporo rоворя, чтобы полностью задать состояние системы, следует еще
указать сдвиr фаз между состояниями с различными т. Для обсуждения B
просов, И8лаrаемых в этой Книrе, сдвиr фаз не прсдставляет интереса.
92 rл. У. 'VrЛОБQЙ и МАrнитнЪ1Й МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
I t 9. ВращатеJJьвые уровни мол кул. МОJlеИУJlJlрпые спектры
В предыдущем параrрафе мы с помощью квантовой механики вы...
испили основные своЙства уrловых моментов микрочастиц. rлав",
BLIM результаТОl,f, который мы получил , являетсн квантование мо",
мента и ero проекДий. ,
Свойства уrловых МОАlептов, установленные в 18, подтвержда",
ются rромадной совокупностью экспериментальных данных. Однако
лишь немноrие из них }IorYT быть paCCM:OT
рены на базе Iатериала, изложенноrо в пре
дыдущих rлавах книrи. БОЛЬШУIО часть экс
перименталыlхx данных мы рассмотрим в
слеДУIОЩИХ rлавах, посвященных СЛО'I\ПЫ {
атомам и маrнитным свойствам атомов.
Здесь же остановимся на в р а Щ а т е л ь п Ы х
(ротационных) уровнях моленул и ядер.
Рассмотрим кваптовомеханический рота..
тпр, изобраiI{енный па рис. 40 и являющий...
ея модслыо двухатомной J..Iоленулы. Опера
........
Р 1. 0 М то р эне р rии. В р ап ения TaHoro Р отато р а !J
пс. ч. ОДСЛЬ рота...
"ора связав с оператором уrловоrо момента M
.(РОР :lУJ ОЙ, апалоrИЧIIОЙ tj>ормуле для энерrии
массическоrо ротатора:
",.....
...... М2
. Е == 2J "
rде J момент инерции молеI\УЛЫ. Из ::этой (рормулы ВИДНО, ЧТО
собственнь]е значения оператора энерrии, так же кан и со'бствсн
Ilые значения оператора нвадрата уrловоrо мо:мента, являются
н:ваптовыии величипаМII. Соrлзсно (5.7) им:еем
{
IEI ==: 2 ; 1 (l + 1),1
(5.8)
rде 1 == О, 1, 2, ... вращательное квантовое число t). 11з ФОР1vIУЛЫ
(5.8) слсдует, что расстояние меi-НДУ вращательны:ми УрОВНЯlvlИ ро...
татора растет с увеличением НБ3Н'fОБоrо числа 1. действителыIt t
раССТОЯllие между уровнями l и l 1 равно
2
дЕ === l. (5.0)
J
Вращательные уровни nРОЯБЛЯЮТСЯ у мноrих Rваптовомсхани.
чесних систеl\l. Их не удается наблюдать У атома вод.орода. l aK
уже отмечалось, (iслучаЙпое» ВLJрОil\депие в :кулоповсном поле при....
1) в молекулярной оптике вращательное квантовое ЧИСЛО обозпачастсл
обычно .БУКJ)О.й j.
о 19. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ МОЛЕНУЛ
93
вОДИТ к том.у, что уРОВНИ, характериэующиеся кан вращением элек
трона, так и возбуждением ero радиальноrо движения, совпадают
по . энерrиИ с друrими уровнями, в которыJ.{ возбуждение радизль
поrо движения представлево сильнее, а вращение вообще OTCYTCT
. JJyeT (см. также 20). У сложных атомов это не так, по та:кие
атоМЫ малоприrодны для сравнения теории с энспериментом, по
скольку положе ие уровней в сложных атомных системах, состоя
щих из ядра и нескольких элентровов, с трудом поддается расчету.
Одним из простых примеров вращающихся квантовомеханиче
сКИХ систем являются несферические
атомные . ядра. В природе тание ядра
представлены довольно широко; к ним,
в частности, принадлежат ядра большин...
ства а радиоактивныХ элементов, раСПО 4
ЛОjиенных в конце таблицы Менделеева.
Рассмотрим в начестве примера ядро
2 З2 Тh. Положение нижних уровней этоrо 4
ядра леrко исследовать по спектру а ча
СТ,и.ц, ис уснаеМ IХ .ядром 2З6U. ЯДР9 2З6U 2
О
р.аСI;Iзда,етс н из OCIIOBHoro СОСТ.ояния.
Э} ерrия., .которую уносят а частицы, опре...
де.ТJяетс я тем, на каком уровне окаэыва...
ется дочернее ядро 2З2Тh после а распада.
Измеряя энерrии а частиц, испуснаемых
236U, нетрудно определить положение
уровней 232ТЬ.
1Ia рис. 41 изображена схема уровней
13Z1'h. Около уровней представлены вращательные квантовые
числа l. ,
Сопоставим энер;rии возбуждения уровней 2 З2 Тll С (5.8):
Е.}. : Е" : Ев : Е8 === 49,8: 163: 330: 550 === 3: 9,8: 19,9: 33,1,
l
8
Е, нэ8
550
в
330
18
4 8
о
Рис. 41. Схема вижни
уровней ядра 2З2.Th.. Враща..
ТСЛЬВI>IС СОСТОЯIIЦЙ aTOM-4
пых ядер с ЧСТВЪJМИ зпа-4
чениями Z и А ОСУЩССТВ-4
ЛЯЮТСЯ ТОЛЬКО при ЧСТ
ных l
в то .время как (5.8) требует
Е 2 : Е" : Ев : Е8 === (2 · 3): (4 · 5) : (6 . 7): (8 · 9) === 3 : 10 : 21 : 3"6.
Мы видим, что соrласие эксперимептальпых и расчетных данных,
в общем, является хорошим, но по мере увеличения l ухудшается.
Этоrо .и следовало .ожидать, поскольку при быстром вращении
центробежные ,сWlЫ деформируют ядро и меняют ero момент
инерции. '
Скажем неСКОЛЬRО слов о том, почему вращение наблюдается
Тольно у несферичесних ядер. Атомное ядро :меньше Bcero похоже
На твердый шарик. Лучше представлять себе ядро кан общую, соз...
данную притяжением всех протонов и нейтронов ядра потенциаль...
пую яму, в которой все ()ни находятся и движутся. Вращение ядра
представляет собой вращение контура потенциальной ямы. Если
ама имеет сферическую форму, такое вращение не сказывается на
Q4 rл. v. vrповой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИRРОЧАСТИЦ
движении нуклонов и вообще не может быть обнаружено. rOBO"
рить о нем, следовательно, не имеет смысла. Положение меняется.
если форма потенциальной ямы несферична. В этом случае Д8иже..
яие rраницы ядра может быть обнаружено и увлекает за собой ВХО"
дящие в состав ядра частицы протоны и нейтроны.
Друl'ОЙ важный пример вращаIОЩИХСЯ систем дают нам молеку'"
лы. Рассмотрим состоящую из двух атомов молекулу NaCl и оце..
ним расстояние между вращательными уровнями этой молекулы.
При расчете момента инерции будем для простоты считать, что
атомы в молекуле находятся на расстоянии r 10 8 см И враще4
вие происходит вонру!' оси, проходящей через центр инерции, пер--
пендикулярно к линии, соединяющей атомы. ТОl'да
J <== m Na те! r 2 23.35 .1 67 .1O 23r. (10 8 см)2 2.1O 38r. CM2J
т Na + mCl 23 + 35 '
E (10 27 Rpr.C)2. l 3.10 Бl эВ.
(2.10 38 r,cM2).(1,6.10 12 зрr/эВ)
Спектр вращательных уровней эперl'ИИ молекулы NaCl изобра..
жен на рис. 42. В квантовой механике показывается, что осущест"
вляются лишь такие электромаrнитные переходы между вращатель...
ными уровнями, при которых I\вантовое число l меняется на еди..
lIИЦУ. ТаI\ие переходы изобраiI ены на
1 рис. 42. 1IетРУДНО подсчитать, что чисто
д
вращательные спектры молекул должны
находиться в далекой инфранраСRОЙ об..
2 ласти и в области сантиметровых радио..
волн.
rv3'10 5 зд 1 Схема энерrетических уровней моле..
О I{УЛ очень сложна. В вей представлены
Рис. 42. Вращательные Э л е к т р о н п ы е уровни, возникающие
уровни молеl УЛЫ при переходе одноrо или нескольких элек..
тронов в возбужденные состояния.
Расстояния между электронными уровнями в молекулах лежат в
том же диапазоне, что и в атомах, т. е. в оптичесной, инфракрас
вой или ультрафиолетовой области. Мы выяснили. сейчас, что у мо",
nекул имеются вращательные уровни, расположенные в области
сантиметровых длин волн. Кроме Toro, для молекул характерно Ha
личие колебательных уровней, положение которых описывается
формулой (3.27):
Ев r::J пro (п + l/2)'.
При обсуждении систем, которые морут быть представлены в виде
rармоническоrо осциллятора, мы rоворили, что в первом приближе..
нии к ним можно отнести любые колебательные системы, находя...
щиеся в состоянии, близком К равновесию, в том числе, конечно,
и молекулы в слабо возбуждеяных колебательных ООСТОЯПИЯХ.
I 19. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ МОЛЕНУЛ
95
ХараRтерную для Rолебапия молекул энерrию пro можно оценить
с помощью следующих соображений. Связь атомов в молекулы
првисхоДИТ под влиянием тех же электрических сил, которые свя'"
Бывают ядра и электроны в атомы. Поэтому упруrость пружинки»)
k, связывающей атомы в молекулы, rрубо rоворя, та же, что и у
электронов в атомах. Однако характерная масса оказывается в не...
сколько тысяч раз больше, потому что раньше речь шла о движе...
НИИ электронов, а теперь о движении атомов. Следует поэтому
ожидать, (см. (3.27)), что энерrия колеба...
ний окаjнется в корень из отношения масс,
т. е. В несколько десятков раз, меньше, чем
R 1 == 13,6 эВ ( 12). Опыт подтверiI дает
эти соображепия: расстояние между колеба--
тельными уровнями составляет сотые (или
десятые) доли электронвольта (далекая ин
фракрасвая область).
(\)
п'
3
,
1
О
2
1
О
2
1
О
3
2
1
2
1
о
о
I
"
l
О
3 t"tJ
2
1
О
3 (:>
2
1
(()
f')
"-
""
J (
li
"
п
3
2
1
о
а "-'10 4 э8
Рис. 43. Структура эпср..
rетических уровней м o
лекулы
,
п
,
I
I
I
,
, I
I
I
I
I
,11 I
I
I
I
I 11
.1.
, V
,
1
5
4
;r
2
1
О
"
l
5
,
п
4
J
2
1
О
Рис. 44. К ПрОИСХОiндению
колеба тельно врзща тельных
спектров молекул
в первом приближении полная энерrия молекулы может быть
представлена в виде суммы:
Е Е эл + Енолео + Е вDащ .
Схема уровней молекулы IIзображепа на рис. 43. (Масштаб по
шкале эверrий не выдержан!) На этой схеме изображены два элек...
Тt>опных уровня а и 6, колебательные уровни с квантовыми числа...
ми п' и п 11 и вращательные уровни с :квантовыми числами l' и l".
96 rл. v. уrловой и МАrнитный' мом:Енты МИНРОЧАСТИЦ
При поrлощении или' :Испускании фОТОНОВ возможны пер'еходы
с любоrо BepXHero уровня на нижние, если только данный переход
не запрещен правилами отбора (9 33). Поэтому молекулярные
спектры оназываются очень сложными и состоят из систем полос.
в которых удается различать отдельные линии лишь при ПО&IОЩИ
приборов, обладающих большой разрешающей способностью. /
По существу, лишь вращательные спектры IОЖНО наблюдать в
чистом виде. Изучаются вращательные уровни в основном методом
м и к р о в о л н о в о й р а Д и о с п е к т р о с к о пии. reHepaTOp элек..
1'ром:аrнитных волн с частотой порядка 1010 rц возбуждает волно..
вод, внутри KOToporo находится исследуемое вещество в rазообраз..
110М состоянии. После прохождения через вещество измеряется
IIптенси.вность излучения. Если частота reHepaTopa совпадает с час--
тотой одноrо из переходов ме1-КДУ вращательными уровнями, то
приемник излучения реrистрирует резкое уменьшение интен"
сивности. .
Колебательные спектры наблюдаIОТСЯ в инфракрасной области
'(л 1 103 CM l) И исследуются методом инфракрасной спеl\тромет
рии. При этом наблюдаются не чисто колебательные, а колебатель..
lIо вращательные спектры. Cxe la возникновения колебательно вра'"
щательноrо спектра изображена на рис. 44. Мы видим, что вм:есто
ОДНОЙ линии, соответствующей переходу между двумя I{олебатель
1IЫМИ уровнями, возникает целая серия переходов с близкими ';lac
1'отами, образующая колебательно вращательну:JO полосу. f
При обсуждении методов исследования вращательных и колеба-t'
тельных спектров молекул следует иметь в виду, что чистые ОПЧ1ТЫ
БО1rv ОЖНЫ только в rазообразных веществах. В жидких и твер*ых
телах взаимодействие молекул друr с друrом приводит к сильному
усложнению явления.
В видимой и ультрафиолетовой частях молекулярноrо спектра
. t
lIаБЛlодаются электронно колебательно вращател ные спектры, в I(O
1'ОРЫХ при недостаточном разрешении вращательные линии в ноле
бательно вращательных полосах сливаются, и весь спектр KaHt TCJl
состоящим из электронно колебательных полос. :
Одним: из плодотворпых методов изучения молекулярных спQкт
ров является метод комбинациопноrо рассеяния, позволяющий пе
ревести исследование колебательно вращательных спектров из ин
<f'ракрасной области в область видимоrо света. Явление комбипаци--
()HHOro рассеяния было открыто л. 11. Мапдельmта"IОМ и
r. с. Ландсберrом (1928 r.) в ссср и одноврем:енно Раманом
в Индии. Рассмотрим сущность этоrо явления. При рассеянии све..
та в веществе, нро:ме обычноrо рассеяния, ВОЗМОЖJlО рассеяние о
изменением энерrии. ТаI\ое рассеяние происходит в тех случаях,
Rоrда падающие q)отопы передают молекулам средыI 9нерrИIО, необ..
ходимую для перевода молеI(УЛЫ с одноrо уровня на друrой. IIo
этому п и исследовании рассеянноrо мопох оматическоrо света иa
ряду с несмещеннои линией 000 па людаЮТСfl линии с меньше«
20. RЛАССИФИRАЦИЯ СОСТОЯНИй ЭЛЕRТРОНОВ
97
частотОй (00 L.\(O и: с большей частотой (00 + (O. ЛИНИИ с меньшеii
частоТоЙ называются «красными спутниками» (<стоксова» часть
спектра) и образуются из за поrлощения невозбужденными моле
кулами части энерrии рассеивающихся фотонов. Линии с ббльше:fI
частотой называются «фиолетовыми спутниками» (<антистоксова»
часть спектра) и связаны с передачей рассеивающимся фотона I
энерrии молекул, находящихся в возбужденных вращательных и
колебательных состояниях. Поскольку число таких молекул невели--
ко, интенсивность стоксовых линий, особенно при низт<их темпера
турах, существенно превосходит интенсивность антистоксовых.
Ll(O связано с энерrиями уровней следующим: очевидным соот--
ношением:
Аro == [(Е олеб Е=олеб) + (Е ращ Е:ращ)].
Таким образом, сведения о колебательных и вращательных
уровнях молекул MorYT быть получены из разностей частот ОСНОВ--
ной линии и линий комбинационноrо рассеяния.
405, 8 нм
]11 ' 1
: !i .
J] I : I I ..
,'.,
;:
5k4k а-к 2k lк
.. . .....
: . :.:::':::.
..: ::-:. : ::.
: : ; .. ..,
;
1ф 2ф
.)
\
:f:,
cJt
:
Рис. 45. Спектр комбинационноrо рассеяния для линии ртути С л == 435,8 нм
на молекулах CC1 4
На рис. 45 изображен спектр ртутной лампы, используемый
в начестве источника монохро:матическоrо света, и спектр комбина...
Ционноrо рассеяния на молекулах CCl,. Спектр ртутной лампы
содержит фиолетовый триплет, в котором самой яркой является ли...
ния с Л == 435,8 нм; эта линия и дает наиболее отчетливые спутни",
ни, обозначенные в нижней части рисунка цифрами. Каждый из
Спутников представляет собой целую колебательно вращательную
полосу, распадающуюся на отдельные линии при увеличении раз...
решающей способности прибора и при условии, что исследуемое ве--
Щество находится в rазообразном состоянии.
9 20. Классификация состояний электронов.
rлаВllое квантовое число. Вырождение уровней
Как !\{Ы уже знае:м, электроны атома движутся в центральном (или
Почти центральном) электрическом поле и MorYT обладать как HY
левым, так иненулевым уrловым :м:омевтом. MOl\leHT электрона 1 и
7 л. л. rольдин. r. и. Новикова
98 rл. v. уrловОй и: МАrнитный l\fОl\IЕНТЫ МИRРОЧАСТИЦ
ero проеI\ЦИЯ lz квантуются по правилаltl (5.6) и (5.7):
12==1i 2 l(l+1), l==O, 1,2, ...,
l1. == пт" т, == О, ::f:1, ::f:2, ..., ::f:l;
(5.10)
(5.11)
величину I принято называть о р б и т а л ь н ы ltl У r л о в ы м м o
:м е н т о м, а l ........ о р б и т а л ь н ы м к в а н т О в ы м ч и С л о м 1) ·
Эти названия, так же каl\ и «радиусы БОрОВСI\ИХ орбит» ( 15), oc
тались в квантовой механике от полуклассичеСI\ОЙ теории aTOMa
Бора». С современной точки зрения эти названия малоудачны, но
широко используются по традициИ. Более подробно представления
теории Бора изложены в 28. Величина т, называется м а r н и T
Н Ы М R В а н т о в ы 1\1 Ч И С Л О м; оно определяет возможные зваче
ния проекций орбитальноrо MOl\feHTa I на каRую либо ось. Проис
XOi-кдение терм:ина «м:аrвитное число») будет разъяснено ниже.
В атомной физике принята следующая классификация состоя
ний: с о с т о я н и е э л е 1\ т р О Н а с l == О н а 8 ы в а е т с я s c 0--
с т о я н и е м; с о с т о я в и е с l == 1 н о с и т н а з в а н и ер.. с o
с т о я н и я; при l == 2 и м е е 1\1 d.. с о с т о я н и е; з а т е м с л е...
Д у ю т с о с т о я н и я f, g, h и д а л е е n о а л Ф а в и т у. Эти
обозначения состояний являются общепринятыми, и их следует 8a
помнить 2) .
Верне1\lСЯ к атому водорода. При решении уравнения Шрединrе
ра для атома водорода мы оrраничились сферически симметричны
ми решениями, не зависящими от уrлов {} и ер, т. е. решениями для
s состояний. Но электрон в атоме водорода может находиться и в
состояниях с l =1= о. Тоrда нужно искать решение уравнения Шре--
динrера, зависящее от r, {} и ер. Это решение может быть найдено
в виде произведения функции R, зависящей только от r, и Функ--
цИИ У, зависящей только от t(} и ер, так что
ф(r, '6, ер)== R(r) У('6, ер).
Радиальная волновая функция R (т) квантуется так же, как ф функ
ция s состояний ( 12). Ее последовательные значения вумеруют
ея «радиальным») кваНТОВЫ1\1 числом n,.. Вид функции у зависит от
орбитальных квантовых чисел l и т,. Вычисление показывает, что
в ч и с т о к у л о н о в с к о м n о л е эперrия электрона зависит
только от KBaHTOBoro числа n, paBHoro cYl\IM:e n,. и l, и не зависиТ
1) Обращаем внимание читателя на то, что в общепринятых обозпаТJ( ПII
ях 1 и l описывают одну и ту же физическую веJIИЧИНУ УI'ловой момент, но
1 имеет размерность УI'ловоI'О момента, т. е. ту же размерность, что и 1-
[эрr.с], а l безразмерная величина (простое число).
2) Буквы s, р, d и f, применяющиеся для обозначения состояний электр
нов с l === О, 1, 2, 3, являются первыми буквами слов sharp, principal, ditfuse,.
fundamental, которые используются в атомной спектроскопии для названия
серий в оптических спектрах щелочных атомов.
20. RЛАССИФИRАЦИЯ СОСТОЯНИй ЭЛЕНТРОНОВ
99
от каждоrо из этих чисел в отдельности 1). ПО9ТОМУ решение зада...
чи об атоыIe водорода в саыоы общем случае приводит R уже из--
вестноЙ наы фОрl\IУJiе (4.1 8) для энерrий у ровней:
Е п == R 1 Z2 п .1 (5.12)
Здесь
п === n r + l.
(5.13)
Квантовое число п, определяющее энерrию атома водорода, пазы--
вается r л а в н ы 1\1 К В а н т о в ы l\I Ч И С Л О м:. Таи как орбитальное
RBaHToBoe число 1 может принимать любые значения, начиная от
нуля, а «радиальное» квантовое число n r любые значения от
единИЦЫ, то rлавное квантовое число п, являющееся суммой чисел
п' r и l, l\10жет принимать любые значения, также начиная от
единИЦЫ:
n == 1, 2, 3, ....
( 5.14 >:
Для сq)ерически сиыметричных решений (l == О)', которые мы
получили в предыдущей rлаве, n r == n и формулы (4.18) и (5.12)
совпадают. Из (5.13) видно, что Р И любом значении n > 1 в оз--
М ожны не только s состояния ( т. е. состояния с l == О), по и сост о...
яния со всеми значениями 1 в интервале О l n t Bcero n
р азличны СО Q!! ниi! . Для всех этих состояний энерrия ока зыв ает...
ея одной и той же и выраil\ается (5.12).
Если мы учтем теперь, что при каждом данном значении l элек...
7рОН может находиться в 2l + 1 состояниях с различными эпаче...
НИЯl\IИ тl, то ОI\ажется, что число состояний с раЗНЫl\lИ l и т, на
уровне равно
n 1
(2l + 1) == n 2 .
l=== о
Дополнительное увеличение числа совпадающих (как мы увидим
далее, приблизительно совпадающих) по энерrии уровней связано
с наличием у электрона собственноrо вращения (спина) . Число
состояний, расположенных на каЛiДОМ уровне, оказывается поэтому
в два раза больше:
N COCT === 2п 2 .
(5.15)'
Более подробно этот вопрос paCCl\tIOTpeH в 24 и далее.
Если овню энерrии соответств ет больше чем: одно состояние,
rоворят, что он в ы р о ж Д е Н . ИСЛО состояний с одинаковой энер--
1) Иноrда «радиальным» Бвантовым числом называют число n;, связап
Вое с введенныl'11 здесь n r следующим соотношением: n == n т 1. Вид (5.12)
При этом сохраняется, а n ==: п; + l + 1.
r 1.
L
iOO rл. v. уrловой и млrнитный МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
т а б л и Ц а 2. I\взнтовые ЧИС.ТI3 п :кратность вырожденпя
уровней водородоподобных атомов по орбllта:lhНОМУ yrJJOBO,\IY lo leHTY
n n r 1 тl Состояние Нратность вы..
IJождения 1)
1 1 О О 1s 1
2 2 О О 2s 1} 4
2 1 1 О, + 1 2р
3 3 О О 3s 1}
3 2 1 О, + 1 Зр g 9
3 1 2 О, + 1, ::i::2 3а
4 4 О О 4s 1
4 3 1 О, + 1 4р , 16
4 2 2 О, + 1, + 2 4d J
4 1 3 О, + 1, ::t:2, -i:3 4/
1) Из ва наличия спина полное вырождение уровней в nBa раза сольmе.
rией ПЯ::Iывается к р а т н о с т ь ю в ы р о ж Д е н и я. В атоме BOДO
р ода и в водородоподобных атомах невырожденным (с учетом спи
на двукратно вырожденным) является только уровень с п l::C1 1?
Т. е. уровень, определяющий основное состояние атома. Уровень
п с::8 2 оказывается четырехкратно (восьмикратно) вырожденным
и Т. д. (табл. 2).
21. Правила сложения уrловых моментов
Рассмотрим систему, состоящую И3 двух частиц, имеющих орби
тальные моменты 11 и 12, И найдем возможные значения CYMMapHO
1'0 уrловоrо момента L этой системы. Уrловые моменты векторные
величины, и складываться они должны по правилам сложения BeK
торов. Абсолютное значение суммарното момента. L зависит от
взаимной ориентации составляющих моментов 11 и 12. В квантовой
механике векторный характер моментов сохраняется, но при
обсуждении правил сложения следует помнить, что как сам момент
L, так и ero проекция Lz квантуются по уже известным правилам:
ILI2:::11}L{L+1), (5.16)
Lz === 1iтL. (5.17)
Здесь L О, 1, 2, ... (орбитальное квантовое число системы);
тL === О, :1::1, ::f:2, ..., ::f:L (маrнитное квантовое число, определяющее
проекцию момента L на ось z). КвантовыЙ характер уrловых мо....
ментов (и их «размазанность», связанная с припципом неопреде--
ленности) лишает уrловой мом:ент простой классической наrлядпо--
сти и 8аставляет внимательно исследовать правила сло;,кеПИJl
моментов.
21. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ уrловых МОМЕНТОВ
{О1
Здесь следует отметить, что само понятие «вектор» R уrловому
моменту следует применять с осторожностью. До сих пор в этой
книrе мы имели дело с двумя векторами с вектором, определяю
щим координату (радиус вектор), и с вектором импульса. Эти Be
личины являются векторами в классическом смысле этоro слова.
Проекции радиус вектора на все три оси декартовой системы KOOp
динат MorYT быть измерены одноврем:енно. По ним можно BOCCTa
повить модуль и направление caMoro вектора. Аналоrичное YTBep
ждение справедливо и для вектора импульса. Привцип неопреде
ленности не вносит ничеrо HOBoro в в кторный характер каждой из
этих физических векторных величин он только указывает на их
связь и оrраничивает возможность их одновре1tlенноrо определения.
Иначе обстоит дело с уrловым моментом. Одновременно опре
делить можно только квадрат и проекцию момента на одну из ко...
ординатных осей (мы выбрали ось z). Две друrие проекции при
ЭТО}I не имеют определенноrо значения. Конец вектора момента не
указывает, как в классической физике, в одну точку, а «размазан»
по основанию конуса, описанноrо BOKpyr оси z. Такие «векторы», в
нлассической физике не встречаются. Но проекция уrловоrо MOMeH
та на ось z является обычным числом, обращение с которым не
требует никаких новых правил. Найдем связь между квантовыми
числами L, тL и квантовыми числами складывающихся векторов
II и тz 1 , l2 и тz 2 . Для этоrо рассмотрим проекции моментов на ось
z (рис. 46). Обычные правила сложения показывают, что ttтL paB
во сумме nтl1 и 1iтl ', или
тL тl + тl .
1 2
(5.18)
Обратимся теперь к возможным значениям L. Мы уже знае1tf,
что L должно быть целым числом, величина ROToporo зависит от
величины и взаимной ориентации It и 12. Задача будет полностью
решена, если будут наЙдены маКСИl\1:альное и минимальное эначе
нил KBaHToBoro числа L. Наибольшее возможное значение L равно
наибольшему возможному числу тL. Следовательно,
L ::::ZI т т z + т l l + l
тах Lmax lтах 2тах 1 2"
(5.19)
Рассмотрим rеометрический смысл найденноrо решения. Выбе
рем наибольший из векторов It и 12. Пусть это будет вектор It8 На...
правим ось z так, чтобы проекция вектора It на эту ось была мак...
сим альной, т. е. чтобы т II == l1 (рис. 47 а) {). Направим, далее, век...
тор 12 так, чтобы ero проекция на эту же ось z танже была макси...
мальной И, следовательно, равнялась hl 2 . В классическоЙ физике
этот Случай соответствует сложению параллельных векторов.
1) Направления оси z и вектора 11, как леrко видеть, при этом не совпа.
Дают, а образуют наименьший возм:о,нный уrол.
.-. "-
lIi;......
{О2 rл. v. уrловой и МАrНИТI-IЫЙ МОМЕНТЫ МИRРОЧАСТИЦ
Минимальное значение cYMMapHoro вектора в классической фи--
8ике получается при антипараллельной ориентации векторов. На
векторной диаrpамме моментов минимальное значение получается
при такой ориентации векторов 11 и 12, коrда проекции этих векто..
ров на ось z максимальны, во имеют различные знаки. Оставим
z
Z l2 I1L 11 '2
1iт, пl f
.. - - - ...--....--...
..........
1'Iт, '1 I
I I l1
, I f
I
, L lf I L
....., I
I I
I l1l 2 I
I ,
I I
1 I
I l2 I
1JЛ1 l I пl
2
2 а 5
Рис. 46.
проекций
момента
Сложение
уrловоrо
Рис. 47. R правилу сложения векторов yr...
ловоrо момента: а наибольший CYMMap
ный момент; 6 наименьший суммарный
момент
направление 11 прежним, а направление 12 за lеним на противопо--
ложное (рис. 476), проекция этоrо вектора на ось z теперь равна
ttl2. Поэтому имеем
L m1n == l1 l2.
Это выражение правильно лишь при l1 > l2. При l1 < l2 оно стано...
вится отрицательным, что не имеет смысла. Правильвая запись
имеет вид
L m1n === Il 1 l21.
Соrласно (5.19) и (5.20) имеем
Illl l2\ L II + l2.1
(5.20 >.
(5.21)
Из (5.21)' следует, что L может принимать 212 + 1 значение, если
l1 > l2' И 21 1 + 1 значение, если II < l2.
«Особый» характер вектора уrловоrо момента приводит R нарушению спра
ведливости некоторых привычных равенств. Так, при сложении классических
векторов максимальное значение CYMMapHoro вектора равно сумме длин co
тавляющих BeRTopOB:
ILиласс (шах:=t IL11 + IL21.
в квантовой мехаНИRе это не так. Прежде Bcero нужно попытаться по...
нять, что следует подразумевать под длиной вектора. KaR мы знаем, опреде-
ленные значения одновременно MorYT иметь проекция вектора на некоторую
ось (которую обычно считают осью z) и ero квадрат. Под длиной вектора L
I 22. ОРБИТАЛЬНЫй мАrнитный МОМЕНТ ЭЛЕНТРОНА {ОЗ
(будем бозначать ее 1 L 1) eCTeCTBeHH понимать корень иа ero ква.дратаs
I L I === yL2. Леrко видеть, что в квантовои :механике
I L I тах 1111 + 1121, (5.22)
причем равенство возмо,нпо только в то.\! случае, если 11 или 12 равно нулю.
В самом деле, чтобы ДОБазать сказанное, достаточно заметить, что
I L ' ax == Lmax (Lmax + 1) == (11 + 12) (11 + l2 + 1) ===
1i.
== 11 (11 + 1) + 12 (12 + 1) + 21 1 1 2 l1 (ll + 1) + 12 (l2 + 1) +
+2 V l l(ll+1) VL2(l2+1.
АналоrичнЫМ образом MOi-КНО ПОБаЗ8 ТЬ, что
ILlmin 11I11 112/[.
(5.22')
По этому же правилу находится суммарный момент частицы,
если она участвует одновременно в двух вращениях.
Если система состоит не из двух, а из мноrих частиц, то кван..
товое число L, определяющее результирующий момент L == 11 + 12 +
+ I з + . .., находится путем последовательноrо применения правила
.( 5.21 ) .
22. Орбитальный маrпитный момент электрона
Из курса электродинамики известно, что со всяким электрическим
током: связаны маrнитные поля. Поэтому электрон атома, обладаю
щий отличным от нуля уrловым 1\:10ментом, должен
и маrнитным моментом. Чтобы найти связь op
битальноrо механическоrо и маrнитноrо моментов
электрона в атоме, рассмотрим классическую за
дачу о маrнитном моменте электрона, движуще
rося со скоростью v по Kpyry с радиусом r
(рис. 48). При таком движении электрона обра
зуется «токовый листок» С площадью S == nr 2 . Yr
лов ой момент электрона
М === т [r Х v]. '(5.23)'
Маrнитный момент «ToKoBoro листка» (в rayc
Совой системе единиц) равен
Рт iS ===..!. qv · лr 2 п === ;L rvn ( 5.24 )
с с 2лr 2с'
обладать также
н
р-
Рис. 48. Маrнит"
выЙ и механиче
ский моменты в
классической фи...
зике
rДе n единичнып вентор нормали к «TOKOBOl\IY листку». Если мы
учтем, что заряд электрона q === e, rде е абсолютная величина
алементарноrо заряда, ТО в:место (5.24) ПОЛУЧИl\1
е
Рт ::::: 2с rvn.
...............
(5.24')
{О4 rл. v. уrловой и МАrНI1ТНЫЙ МОМЕНТЫ МИНРОЧАстии
Сравнивая (5.23) и (5.24'), наХОДИ1\{
е е [ е1\. {
Рт === 2 rvn == т r Х у] === 2 l' ,
е тe те
Т. е.
е
рт == 2 l\f.
те
(5 . 25)
Итак, маrнитный l\IOMeHT электрона, движущеrося по плоской орби...
те, направлен в сторону, противоположную механическому моменту
и связан с ним множителем е/ (2тс). Кроме универсальных посто...
янных е и С, в Hero входит масса т движущейся частицы элен...
трона. Очевидно, что для проекций моментов Pm,z И M z сохраняется
та же связь:
е
Р т z == м х.
, 2те
(5.26)
Переходя к квантовой механике, как всеrда, следует числовые
равенства классической физики заменять операторными равенства...
),IИ. Формулы (5.25) и (5.26) связывают операторы орбитальноrо
момента 1, орбитальноrо маrнитноrо момента Рт И их проек'"
ций lz, и Pm,z:
...... е ...........
Рт == 2 I ·
те
(5.25')
........ е ,..-
Р == l
т,Х 2тс z.
(5.26')
Эти формулы в одинаковой мере справедливы кап для электрона,
Движущеrося в aTo le с орбитаJIЬНЫМ моментом 1, так и ДЛЯ любых
друrих заряженных частиц, обладающих не равным нулю уrЛОВЫ I
моментом.
Найдем правило квантования pm,z. Для этоrо в уравнение (2.28)
е....... е ( . д )
подставим оператор Рт z == ........ lz t:= п :
, 2те 2те дер
2:tc ( i1i :ср ) 'i' == 111z 'Р. (5.27)
Решением этоrо уравнения является функция
'i' y ехр ( i 2e C 11 1 z![».
:которая, нан и функция (5.2), является однозначной, непрерывной
11 rладкой лишь в тех случаях, коrда
2те
lz. 2п === тl. 2л, (5.29)
( 5.28)
rде тl целое число.
22. ОРБИТАЛЬНЫЙ :М:Аrнитный MOl\IEHT ЭЛЕRТРОНА 105
Из (5.29) следуют правила квантования для Ill z :
IJ. l == т l . ( 5.30 )
.. z L.п c'
т, маrнитное квантовое число, определяющее, соrласно (5.30)',
возможные значения проекции l\fаrнитноrо момента электрона. Под
ставляя (5.30) в (5.28), найдем, что при данном т! 'Ф (l>УнIЩИЯ
имеет вид
tt === ( 1/)' 2л) ехр (imz<p) .
(5.31 }
Но именно таное распределение имеет фУНRЦИЯ состояния с про
енцией уrловоrо момента mzh. Нвантовое число mz, таким образом,
одновременно определяет проенции механическоrо и маrпитноrо
моментов. Соrласно (5.6) т, === О, + 1, + 2, ..., =1=l.
Мы пришли R выводу, которыЙ нетрудно было предсказать эа 48
ранее по виду равенства (5.26): nроекции У2ловО20 момеnта элек
тропа lz U связаnпоzо с пим .масnитпО20 .мо.меnта Ill z определяются
одпим U TeJ1t же KBanToebZM чиСЛО.i'Jt тl; разница заключается только
в том, что lz выражается в единицах п, а fllz В единицах пе/2тс.
Единица измерения маrнитных моментов электронов пе/2тс вазы
вается м а r н е т о н о м Б о р а:
I 1ie
f.tB == 2тс .
(5.32)
Формула (5.32), определяющая MarHeToH Бора, RpoMe универ
сальных постоянных, содержит массу частицы. Масса протона поч
ти в 2000 раз больше массы электрона, а единица измерения
ядерных моментов ядерный MarHeToH JlN ::::::1 ле/2т р с почти в
2000 раз меньше MarHeToHa Бора. Поэтому маrнитные моменты
ядер оказываются в тысячи раз меньше электронных и маrнитные
своЙства вещества в OCHOBHOl\1 определяются структурой электрон
вых оболочек атомов и в rораздо меньшей степени зависят от
свойств атомных ядер. Самые леrкие после электрона частицы
мюоны имеют массу, в 207 раз превосходящую массу электрона.
При тех же механичесних MOl\feHTaX они обладают в 200 раз 'мень",
тими маrнитными моментами.
В rауссовой системе единиц MarHeToH Бора для электрона равен
JlB === 0,927 · 10 20 эрr/rс. Окончательно имеем
mz == О, + 1, ::с 2, ..., + l.
(5.33)
(f.!lz == f.!Bтl,1
Правило нвантоваНIIЯ для Jlt мы запишем исходя из вида равен--
Ства (5.25') и уже известноr о прав ила кван тования (5.7):
I f.t 1 I == . 11. V l (l + 1) == J.1 в V l (l + 1), (5.34)
п c
rде l == О, 1, 2, ... орбитальное квантовое число. Вместо этоrо
{Об rл. v. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИRРОЧАСТИЦ
равенства в литературе часто ПРИl\lеняется запись
....' == ....... fl в 1.
( 5.34 J
Эта запись противоречит правилам, принятым при написании
(5.10) t так как постоянная Планка 1't исключена ив 1 и перенесена
в J.A,B. Поэтому при пользовании rотовыми формулами необходимо
следить за размерностью и при необходимости добавлять или и с...
ключать n. Величина 1....'1' так же как и 111, никоrда не встречается
в приложениях. Иметь дело приходится либо с проекциями этих
векторов на некоторую ось, либо с их квадратами ,.,.,r и 12. Обе эти
величины, как мы знаем, MorYT быть определены совместно.
23. Экспериментальное определение уrловых
1I маrнитвых моментов
в предыдущем параrрафе мы выяснили, что электрон сорбиталь...
ным моментом 1 обладает маrнитным моментом ....':::::1 JlBI. Обсу...
дим способы экспериментальноrо определения 1 и J.t,. Из курса
э.чектричества известно, что частица, обладающая маrнитным м о...
ментом ...., при помещении в маrнитное поле с индукцией В приоб...
ретает дополнительную энерrИIО
L\ и == ....В. (5.35)'
Эта энерrия зависит, таким образом, не толы{о от величии В и t,
ВО И от уrла между направлениями маrнитноrо момента и поля;
она минимальна при параллельной ориентации, максимальна при
антипараллельной ориентации мо:мента и поля и равна нулю, коrда
.... и В оказываIОТСЯ взаимно перпендикулярными.
НапраВИ f ось z по направлению 1\:Iаrнитноrо поля. В этом
случае
и == JlzB.
(5.36 )'
Так I{ак проекция маrнитноrо момента квантуется, то энерrия мик...
рочастиц в маrнитном поле l\lожет принимать ряд дискретных эна..
чений. Если мы рассматриваем: электрон, обладающий орбитальным
)IOMeHTOM 1 и маrнитным MOMeHTO 1 Р", то для Hero
u =<= lzB == lпl t вВ, тl == О, + 1,::1:: 2,. . . ., + l. (5.37)
Мы видим:, что уровни, :которые до наложения поля были вы...
рожденными по тl, при наличии поля расщепляются на 2l + 1
подуроввей в соответствии с ЧИСЛО I возможных значениЙ т z . Та...
ким образом, в маrнитном поле СНИ!\Iается вырождение уровней по
маrпитному квантовому числу 1). На рис. 49 схем:атически изобра...
1) с 8ТОЙ особенностью поведения :микрочастиц в маrнитных полях и СВЛ
вано название м:&rнитноrо KBaHTOBOro числа.
I 23. ЭRСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕП1 ОВ
107-
жено расщепление D уровня электрона (lll:::8 2) Ба подуровни при
наложении маrнитноrо поля.
Дискретный характер уrловоrо MOltfeHTa дает возможность ис...
пользовать новые по сравнению с классической физикой методы
измерений. Если в классической физике для определения уrловоrо
момента необходимо проводитъ, вообще rоворя, довольно сложные
количественные измерения, то в микросистемах, как мы ви,ци:м,
достаточно узнать, на сколько компонент расщепляется уровень в
маrнитвОМ поле.
и
8=0 . lJ O
т,
2
1==2 1
уа О
1 .....
2
Рис. 49. Расщепле
ние D уровня в Mar
нитном поле
Рис. 50. Схема опыта Штерна re
лаха
Форм:ула (5.37) показывает, что расстояние между соседними
уровнями равно J!BB. Измерив это расстояние на опыте, мы можем
определить величину J!B, если известно маrнитное поле, или опре...
делить величину поля по извеСТНОl\IУ значению MarHeToHa Бора.
Оба эти способа иrрают важную роль в науке.
Опыты по исследованию расщепления уровней в маrнитном по...
ле были впервые поставлены Штерном и fерлахом (1921 r.).
В этих опытах пучки нейтральных атомов или молекул пропуска...
лись через область, в которой создавалось неоднородное маrнитное
поле. В неоднородном поле на частицы действует сила
F === grad и с:: grad(J1B),
способная расщепить пучок на отдельные компоненты 1). Чтобы
увеличить расщепление пучка, в опытах Штерна и rерлаха исполь
З0валось сильно неоднородное маrнитное поле. Схема этих опытов
изображена на рис. 50. С помощью полюсных наконечников S и N
(находящихся в вакууме) создавалось поле, резко пеодвородное
вблизи полюса S, имевшеrо форму пожа. Частицы пропускались
вдоль оси у. Наблюдалось расщепление пучка вдоль оси z. Сила F"
1) Однородное маrнитное поле ориентирует частицы, обладающие маrнит
пы..м моментом. но не вызывает расщепления пучка, так как при движении
пеитральпых атомов через однородное поле никаких сил не возникает (MOryT
возникать ТОлько моменты сил).
{О8 rл. v. уrловой и МАrнитный MO IEHTbI МИRРОЧАСТИЦ
действующая на частицы в направлении ос.и z, равна
дВ х дВу aB z
Fz == f.tx az + l1у дZ + f.tz az ·
в ПЛОСБОСТИ yz (под «ножом») отлична от нуля только одна
составляющая поля В1.. Эта составляющая быстро увеличивается
при приближении к :маrнитному полюсу «ножу». Остальные чле
вы суммы появляются только при смещении пучка из плоскости
х == о.
Итак, основная составляющая силы
aB z
Fz == f.tz дi. (5.38)
Величина силы зависит от J.tz, и учок частиц, прошедших чер ез
установку вблизи «ножа». полжен расmепиться на СТОЛЬRО R()МП О
невт, сколько возможных проекций имеет маrнитный момент . Если
l\iаrвитны й момент вызван наличием у заряженной частицы орби
талъвоrо момента 1, ТО пучок должен расщепиться на 2l + 1
компонент.
Мы не будем рассматривать опытов Штерна и rерлаха, проде
панвых со сложными атомами 1). Наибольшую важность представ
JIяет опыт с атомарным водородом. Этот опыт и ero результаты мы
и рассмотрим в следующем параrрафе.
i 24. Спин электрона
Атом водорода представляет собой нейтральную систему, состоя
щую из ядра (протона) и единственноrо электрона. Ядра атомов
обладают маrнитными моментами, составляющими 10 3 от маrнит
пых моментов электронов. Поэтому маrнитный момент атома BOДO
рода в основном определяется значением маrнитвоrо момента
электрона.
Выясним, какие результаты должны получаться при пропусна
нии пучка атомов водорода через установку, изображенную на
рис. 50. Если атомы водорода не возбуждены и находятся на ниж
нем уровне, т. е. в s состоянии (1 == О), то пучок вообще не долл\ен
был бы расщепляться, так как маrнитный момент таких атомов,
казалось бы, должен быть равным нулю. Если же в пучке есть
атомы в р состоянии (l == 1), то следовало бы ожидать, что пучок
расщепится на три компоненты в соответствии с ЧИСЛО I возможных
значений маrнитноrо KBaHToBoro числа: т! == О, + 1.
Опыт обнаруживает, однако, что пучок «холодноrо» (l == О) во..
дорода расщепляется не на одну и даже не на три, а на две KOM
J) Впервые эти опыты проводились С аТО lами серебра.
24. спин ЭЛЕНТРОНА
109
повенты. Этот неожиданный результат приводит к необходимости
пересмотра положений, которые до сих пор мы использовали {) .
Вспомним, каким образом были получены правила квантования
.для уrловоrо момента и затем рассчитана кратность вырождения
уровней с определенным значением момента. Рассуждения прово
дились по общим правилам квантовой механики: в (2.28) мы ПОД
ставилИ оператор проекции момента (2.25) и получили
( iп д ) 'i' == Mz'i'.
Решая это уравнение, мы вылснили, что волновая функция УДОВ'"
летворяет неоБХОДИМЫ 1 условиям: конечности, однозначности, не...
прерыIностии и rладкости при значениях М"' равных
М 1. птl, т! == О, :f: 1, :i:2, ..., zl.
Число воз:можных значений проекции уrловоrо момента 1, TaI
же как' и число проекций связанноrо с ним маrнитноrо момента f.1i,
определяется числом возможных значений маrнитноrо KBaHTOBoro
-числа ml при заданном значении l и равно 2l + 1. Взаимодействие
маrнитноrо l\IOMeHTa с маrнитны:м полем приводит к тому, что II
:маrнитном поле уровни энерrии частицы с моментом импульса 1
должны расщепляться на 2l + 1 подуровней. Никаких отступлениЙ
()т общеЙ схемы квантовомеханических расчетов не допускалось.
Расхождение результатов опыта с предсказаниями теории за...
етавляет поэтому сделать один из трех возможных выводов:
1) неверна общая схема квантовой механики;
2) неверно записан оператор уrловоrо момента;
3) написанный оператор уrловоrо момента описывает не все
возможные вращения; существуют вращения, требующие введения
новых операторов.
Анализ этих выводов показывает, что для первых двух предпо
ложений нет никаких основаниЙ. Третье предположение, наоборот,
является вполне естественным, так нак до сих пор мы рассматри
вали ДВИiнени:е электрона (или любоЙ друrой частицы), не учиты...
:вая ero воз:иожноrо вращения BOKpyr собственной оси.
Установление вида оператора собственноrо уrловоrо момента
7ребует несколько иной, матричной, формулировки квантовой ме...
ханики, так :как этот оператор, в отличие от тех, которые рассмат",
ривались до сих пор, не является дифференциальным. Подробное
рассмотрение этоrо вопроса лежит далеко за пределами курса и
здесь проводиться не будет. Поскольку основные свойства собствен
Roro момента вытекают непосредственно из сравнения с экспери...
1.IeHTOM, верне:мся к результатам опытов Штерна и rерлаха.
1) Первые Уl\азания на необходимость TaROro пересмотра были получены
При исс.педовании оптических спектров щелочных металлов.
lIIiI.O........
i10 rл. У. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИП
Нак уже отмечалось, пучок невозбужденных атомов водорода в
ЭТИХ опытах расщеплялся на две компоненты. Это означает, чт()
:маrиитный момент, наличие KOToporo вызвало расщеплени , имеет
две проеlЩИИ на направление маrнитноrо поля и, следовательно,.
соответствующее квантовое число, которое мы обозначим через т.,.
может принимать два значения. Далее мы знаем, что число B08
можиых значений маrнитноrо KBaHToBoro числа на единицу peBЫ
тает удвоенное квантовое число, характеризующее соответствую
щий :механический момент. (Этот вывод справедлив для любоr
уrловоrо :момента, в том числе и собственноrо.) Обозначим эт()
квантовое число через в. Из равенства 28 + 1 == 2 получаем
8 == 1/2. (5.39}
Квантовое число s называется с п и н о в ы м RваНТОВЫl\1 числом вт
описывает собственный, или с п и н о вый, момент 8 (или просто.
спин 1) ) .
Маrнитное RBaHToBoe число тв, определяющее проекцпи спино
Boro механическоrо момента и спиновоrо маrнитноrо IOl\leBTa, иак
мы видели, имеет два значения. Так Бак та шах == S == 1/2, а та mtn
z=: B == 1/2, то никаких друrих значений не существует, так что-
та == ::1::1/2. (5.40).
Спиновый уrловой момент электрона и ero проекция Rвантуют....
ся по обычным правилам:
3
82 == 11,28 (8 + 1) == Т п 2 ,?) (5.41)
1
8х == пт в == + 2 п. (5.42)
При измерении величины Sz на опыте может быть найдено одно из.
двух возможных значений sж. До измерения возможна любая их
суперпозиция.
Следует предостеречь читателя от слишком буквальноrо пони
мания термина «собственное вращение». При таком буквальном
понимании приходится представлять себе, что отдельные части эле
ментарных частиц движутся с одинаковыми уrловыми, но разными
линейными скоростями. Более Toro, частицы так малы (размер
электрона до сих пор экспериментально определить не удалось, из
вестно только, что оп менее 1 O 14 см), что окружные СRОрОСТИ, KO
торые должны были бы иметь наружные части электрона при
Sz == 1/2, превосходят скорость света. Таким образом, нерелятивист---
ское рассмотрение спина невозможно. Релятивистская квантовая
теория отличается от нерелятивистской, которой мы здесь занима
емся, мноrими новы:м:и чертами. Так, оказалось, что лоrически
1) Термин «СПИН» ПРОИСХОДИТ ОТ анrЛИЙСRоrо слова spin, 0значающеrо.
вращение BOKpyr собственной оси.
I 2 . СПИН ЭЛЕRТРОНА
111
тройвая теория ДОЛi-кна не только учитывать спины частиц, но 11
уществовавие античастиц (античастицами электронов являются
позитроны....... частицы, имеющие ту же массу, что и электроны,
и равный по величине, но противоположный по знаку заряд).
Уравнение Дирака за lеняющее уравнение Шрединrера в реляти
:виСТСКОЙ квантовои механике, содержит четыре компоненты и oд
повременно описывает оба спиновых состояния частицы и анти'"
частИЦЫ.
Здесь следует специально отметить, что, начиная с rл. V, мы
перестали пользоваться 1'ермином «момент импульса» И стали rOBo
ритъ только об «уrловом l\lомеите». Термин «?t-Iомепт импульса» ши
роко ПРIП\iеняется в классичеСI\ОЙ физике И естественно связан с
опредеЛЯЮЩII IИ ero формулами: L равно [r р] для одной частицы
и сумме или интеrралу от приведенноrо выражения для весколь
.ких частиц или сплоmноrо тела. Мы уже выяснили, что при пере
ходе к спиновому моменту эта формула приводит к трудностям и
термин «MO leHT импульса» теряет буквальную применимость. По
этому в квантовой физике обычно пользуются более вейтраЛЬНЫ 1
теРМИНОl\1 «уrловой момент». Аналоrичное выражение «angular то...
mentum» принято в анrлиЙской литературе.
ПрОДОЛЖИ I обсуждение результатов опыта Штерна И rерлаха
с ВОДОРОДОl\1. Зная aBz/az, Штерн и rерлах по величине расщепле...
ния рассчитали величину проекции спиновоrо маrнитноrо момента
электрона 8 на направление маrнитноrо поля. Она оказалась paB
ной ОДНОl\IУ l\larHeToHY Бора. Этот результат также является не...
()жидаННЫI\I. В самом деле, для l1. И f.tlz мы Иl\lели (см. (5.33)).
е e1i
f.t l Z 2 lz:::::: .............. 2 т 1 == f.t вт l.
те те
Если бы связь между f.tsz и Sz была такой же, то следовало бы ожи--
дать, что
е е 1
f.tsz == 2те Sz == 2те тв == + 2 f.tBt'
.,.. е. проеНЦIIЯ спиновоrо 1\1 аrнитноrо }IO}IeHTa равнялась бы поло...
вине f.1B. НО опыт дал ддя l-lsz величину, равную целому маrнетопу
Бора. Следовательно, соотношение (5.33) неприменимо к спину и
спяванному с ним м:аrнитному моменту. l1з опыта следует, что
.Аlежду f.t 8z И S z осуществляется связь 1)
" s
== 2 2 e "
Sz r.пe
1) При решении уравпспия ДJlракз правилт}по(\ соотношение мсжду СПИ o4l
BOBLIM уrловьп[ моментом и соответствующим l\1аrниТНЫМ MOMeHTO}1 возника...
еl' само по себе.
...............
112 rл. v. уrловой и МАrlIИТНЫЙ МОМЕНТЫ МJIНРОЧАСТИП
так что
tllsz === + B.I
(5.43)
в занлючение отмети}!, что «спиновое вращение» наСТОЛЬRО cy
щественно отличается от обычноrо, что появление новоЙ связи
между механическим и маrнитным моментами не является УДИВll
тельным.
25. МаrНlIтомеханичеСRие явления
После Toro как было установлено наличие спина у элентрона, yдa
лось объяснить непон тный ранее результат опытов Эйнштейна JI
де rааза (1915 r.), в которых впервые была Э. спериментально об
наружена связь между маrнитным и механическим м:оментаl\IИ {) о-
Б этих опытах образцы исследуеl\IЫХ пара
маrнитных и ферромаrнитных веществ в ви
де небольших цилиндриков подвеIIIиваЛИС6-
на тончайшей кварцевой нити внутри соле
ноида (рис. 51). к цилиндрикам прикрепля
ЛQСЬ зеркальце. При пропускании тока че
рез катушку соленоида цилиндрик naMar
ничивался и при этом поворачивался. При
изменении направления тока в наТУПIке Ha
правление поворота изменялось на обратное.
Поворот стержня обнаруживался с помощыо
луча, отраженноrо от зеркала.
Вращение подвеmенноrо цилиндрина объ
ясняется следующим образом. При наложе
нии маrнитноrо поля на парамаrнетик эвер
rия электронов с маrнитным МОl\lептом, Ha
Рис. 51. Схема опыта правленным по полю, оказывается нижс
Эйнштейна и де rааза чем энерrия электронов, маrнитный момент
которых направлен против поля (см. (5.36)).
При столкновениях электронов с решеткой они чаще оказываютсл:
в более низком энерrетическом состоянии, чем в более ВЫСОКОl\f.
Таким образом, по полю оказывается ориентировано большее чис
ло электронов, чем против поля. Электроны приобретают HeKOTO
рый суммарный маrнитный, а следовательно, и суммарный мехапи
ческий моменты. Тан как полный момент импульса свободноrо 'тела
изменяться не может, парамаrнитный цилиндр не только намаI'НИ
чивается, но и приобретает момент отдачи в сторону, противопо
ложную вращению элентронов. Так как наблюдаемый эффект для
парамаrнетиков оказывался очень малым, в опытах использовался
резонанс: частота изменения тока в катушке была равна частоте
*.
о
1) На существование такой связи впервые УRазал Ричардсон (1908 r.).
I 26. поЛНЫЕ уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ ЭЛЕRТРОНА 113
собственных крутильных Rолебаний цилиндрика; при этом ампли
туда существенно увеличивалась и делалась вполне доступной
наблюдению.
Существенно леrче наблюдать вращение ферромаrнитных обрай
ЦОВ. ПО направлению возникающеrо уrловоrо мо:м:ента можно было
сделать заключение о том, что намаrничивание действительно обу
словлено движением отрицательных зарядов, Т. е. электронов.
Из опытов можно было вычислить и отношение маrнитноrо MOM:eB
та J.L к механическому моменту М. При этом ожидалось, что в co
rласии с формулой (5.25) эксперименты дадут
е
"., == ......... М.
2тс
На опыте обнаружилось, что отношение l\IOMeHToB J.t/ М в два раза
больше ожидаемой величины. Этот результат показывает, что Mar
неТИЗl\-1 связан не С орбитальным, а с собственным вращениеl\I, т. е.
со спином электрона.
Квантовая электродинамика вносит небольшие поправки в YKa
занное соотношение и показывает, что собственный маrнитный MO
мент электрона превосходит MarHeToH Бора приблизителъно на
0,1 О/о. Этот вывод прекрасно подтверждается эксперимеНТОl\I. YKa
занное различие носит название а н о м а л ь н о r о м а r н и т н о r о
м о м е н т а ЭJIектрона.
На опыте наблюдается таиже эффект, обратный эффекту Эйн
штейна и де rааза: при закручивании ферромаrнитных стержень--
I\OB происходит их намаrничивание. Этот эффект наблюдался впер
вые БарнеТОl\I и носит ero имя.
* 26. Полные уrловой и l\fаrнитные моменты электрона
Полный момент импульса электрона обозначается j и складываетсл
из орбитальноrо 1 и спиновоrо s моментов:
i == 1 + s.
(5.44 )
Правила СЛОiI\ения MOl\IeHTOB не зависят от Toro, являются ли M:O
менты орбитальными или спиновыми. Поэтому I\BaHToBoe число j
(ero иноrда называют в n у т р е н н и м Rвантовым число:м), опре--
деляющее полный уrловой момент элеI\трона, равно
j === Il :f: s I === Il ::f:: 1/21. (5.45 >:
При l =F О j принимает два значения, при l === О j == 1/2; j п j свя"
8аны обычным соотношением:
j2 === tt 2 j (j + 1 J .
(5.46
ПроеIЩИЯ полноrо момента электрона па каRое нибудь направ'"
пение (например, направление внешиеrо маrнитноrо поля) KB aHTY'"
8
1,
1.14 r:r. v. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИRРОЧАСТИЦ
ется по очевидному правилу
rде mj. == :::I::.j, + (j 1), ::f:: (j 2), ... (Bcero 2j + 1 значениЙ).
Сложение спиновоrо и орбитальноrо моментов электрона приво
J(ИТ К сложению соответствующих маrнитных моментов. CTporoe
теоретическое раССl\10трение этоrо вопроса сопряжено с серьезными
математическими трудностями. Читателей,
,
, интересующихся этим вопросом, мы отсыа
ем к учебникам по квантовой механике.
Здесь мы рассмотрим сложение маrпитных
моментов с помощью венторной модели.
На рис. 52 сплошны:ми линиями изобра
л ены уrловые моменты s, 1 и суммарный
момент j; за единицу длины этих векторов
выбрана постоянная Планка n. На том же
рисунке изображены маrнитные моменты
t, и P,l; за единицу длины векторов Mar
IIИТНЫХ моментов выбран MarHeToH Бора.
При таком выборе единиц вектор ""'1 имеет
ту же длину, что вектор 1, а вектор ....., OKa
Рис. 52. ВеRторпая мо.
.дель СЛОj:J{(\ПНЯ маrнит.. зывается вдвое длинее, чем s. Суммарны:Й
пыx моментов вектор маrнитноrо момента р'СУМ поэтому не
параллелен вектору j. В центральном элект....
рическом поле атома (как и во всяком центральном поле) вектор j
сохраняет :l\1'ОДУЛЬ и направление. Векторы s и 1 направления не
-сохраняют из за наличия маrнитноrо взаимодействия. Вместе с Te1\1
:модуль s не :меняется (s == 1/2). Сохраняется и модуль вектора J.
Эта картина соответствует вращеНИIО векторов s и 1 BOKpyr CYMMap
Horo вектора j. Вместе с s и 1 BORpyr j вращаются р'а, P,l И J.tcyM. П plI
'Таком вращении у вектора J.1CYM будет сохраняться толы\о проекция
1J.J на IIаправление вектора j. Проекция, перпендикулярная к направ
лению j, быстро вращается, ее среднее взаИ}Iодействие со внеШНИМlI
маrнитным:и полями равно нулю, и среднее значение самой проен
I ИИ также равно нулю. Таким образом, поведение электрона во
внешних полях характеризуется проекцией CYMMapHoro маrвитноrо
ltlомрпта на направление ПО..ТIноrо :момепта JJ.j.
Поскольну веБТОРЫ j и J.1j параллельны друr друrу, можно
записать:
" "/.'1/
fi ti " '/ /
r / /, I
I /' I
1" /,' Jft.
, '" .$
.JL.I/ " / //",,,,
/ '7';z
.r-Сbl М
jz == пт;,
(5.47J
f.1j == gJlBj.
..
( 5.48 )
Коэффициент пропорционаЛЪНОСТII g для частиц носит название
т и р о м а r н п т н о r о о т н о ш е н и я, а для атомных элеКТРОНО6
называется Ф а к т о р о м Л а п Д е. Как нетрудно понять,. rИрОl\lаr
нитное отношение равно отношению маrнитноrо момента, выражен--
Boro в ЧIIсле l\1:аrпетонов Бора, R механическому моменту, выражен--
"BOl\IY в ЧIIсле постоянных Планка.
I 26. пОJПIЫЕ уrловой и мАrнитный MOl\IEНTbl ЭЛЕНТРОНА 115
Рассчитаем фактор Ланде с помощью векторной модели. Сум..
марвый механический момент равен
j == 1 + 8,
а суммарный маrнитный момент определяется формулой
....... J!cyM == J.1 B l + 2 f.,t B 8.
ПроеIЩИЯ J,.tCyM на j равна
Рсум! lj + 2sJ
.......11; == 'j' == J1B 'j I
Вектор f.,tj равен поэтому
I j + 28 j. .
....... l1; == .2 I1B] == gI1B].
)
Множитель Ланде g, следовательно, равен
g .12 (Ij + 2sj) === . [1 (1 + s) + 2s (1 + s)] }2 + 2 : + 381 .
]] J
Умножим это соотношение на ]2:
gj2 == 12 + 282 + 3sl.
При переходе к квантовой механике j2, IZ, 82 И 81 следует заменить
их операторам:и (напоминаем, что фактор Ланде g....... это просто
число и в замене не нуждается):
gj2 == 12 + 282 + 3(81).
Найдем среднее значение gj2. l\1ы уже отмечали (см. (2.26')), что
операторные равенства приводят к равенству средних величин.
Поэтому
g«j2» == «12» + 2«s2» + 3«sl».
Средние значения j2, 12 И S2 вам известны: это j (j + 1), 1 (l + 1) и
s (s + 1). Среднее значение sl можно вычислить слеДУЮЩIl1tl обра
БОМ. В классичесной физике
j == s + 1.
Возведем это равенство в квадрат и выделим член 281 в леВУIО
часть:
2s1 == j2 ....... S2 12.
Рассматривая это равенство как операторное и снова заменяя era
равенством средних величин, найдем
1
«(sl) == т [j (j + 1).......l (l + 1) s (s + 1)].
Найденные выражения следует подставить в формулу для g. Под...
стаПовна дает
j (j + 1) + S ($ + 1) 1 (1 + 1)
с==1+ 2j(j+1) ·
(5.49)
8.
116 rл. v. уrловой и МАfНИТНЫй МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
* 27. Тонкая структура уровней атома водорода
и водородоподобных атомов
Вернем:ся к атому водорода. Формула (5.12) для энерrии уровнек
водорода и водородоподобных атомов была получена при решении
уравнения Шрединrера, Т. е. нерелятивистскоrо уравнения, не учи
тывающеrо спина электрона. Волновое уравнение, учитывающее
!)елятивистсную зависимость массы от СI\ОрОСТИ и спин электрона,
было предложено Дираком (1928 r.). Решением этоrо уравнения для
уровнеЙ водородоподобных атомов является не (4.18), а нескольно
более сложная формула, так называемая фор м у л а т о н к о ii:
с т Р у R Т У Р ы. Эта формула приведена в конце параrрафа, так как
до ознаномления с нею полезно выяснить, каним образом СПИ}I
электрона ДОЛiI ен влиять на положение энерrетических уровней
атома. I\ачественные рассуждения, к :которым мы сейчас перехо
дим, справедливы для любых aTOl\10B, а не только для водородопо
добных.
Рассмотрим: электрон, у KOToporo 1 =1= о. С орбитальным механи
чеСКИl\l моментом связан маrнитный момент и, следовательно, He
которое :маrнитное поле BI. Проекция спина электрона на направ
ление этоrо поля может, :как мы уже знаем, принимать два значе
ния, так как тв === :f::1/2. Таким образом, для электрона с 1 =1= О воз
10ЖНЫ два состояния, j1 == 1 + 1/2 и j2:::::; 1 1/2. С обственный (сп и
новый) маrнитный момент электрона в этих состояниях по разно
м взаимо ейств ет с маrнитным полем кото ое возникает из за
о р итальноr о п вижения ( с п и н о р б и т а л ь н о е в з а и м о д е й
с т в и е ) Поэтому энерrия этих двух состояний различна. Уровни
энерrии с неравным нулю значением 1 являются поэтому не оди...
ночными, а двоЙными. Так как величина маrнитноrо поля, создава...
eMoro орбитальным движением электрона, зависит от l, то состоя...
ния С одинаковым rлаВНЫl\1 квантовым числом n, но с различными
значеНИЯl\IИ 1 и j обладают несколько разными энерrиями. Расmе п...
ление ровней с данным n из з rнитноrо вз им u СТ спи
o Bor o и ор итальноrо движения э она носит па3В 3П1iJf т O . H
К О Й с т р у к т у р ы . «Тонкой» она называется потому, что pac
щепление уровней мало по сравнению с расстоянием между уров",
НЯМИ с различными n. Однако это расщепление отчетливо проявля",
ется в оптических спеRтрах и хорошо изучено на опыте 1) .
1) Спин орбитальное расщепление представляет собой не единственную
причину сдвиrа атомных уровней. Во всех атомах, кроме водородоподобных
(11, конечно, caMoro водорода), бльmую роль иrрает «ЭI\ранирование» поля яд
ра полем друrих атомных электронов. Величина экранирования зависит от
радиальпоrо положения электрона, а значит при данном n от величины
l (напомним, что n == n r + l). У водородоподобных атомов имеется Bcero один
электрон и Эl\ранирование отсутствует. Однако и в этом случае, кроме спин
орбитальной СВЯ3l1 J следует учитывать релятивистские поправки, KOTopblG
ПрlfВОДЯ т Б дополнительному сдвиrу уровней.
,
g 27. тОННАЯ СТРУНТУРА УРОВНЕЙ АТОМА ВОДОРОДА
117
На рис. 53 изображена схема спин орбитальноrо расщепления
овил с п == 2. Уровень с l === О не расщепляется: s состояния с
== :i:1/2 имеют одну и ту же энерrию, так как «орбитальное
м rнитное поле» в этих случаях OTCYT TByeT. Дл!, обозначения
уровней с одинаковыми l, но с различнои энерrиеи используется
:классифинация, учитывающая значение 2
KBaHToBoro числа j. Так, например, 2Рl/2 оз { 1"'1 < . /J/2
начает, что электрон находится в состоянии лс=2 l=O P1jz
с n == 2, 1 === 1 и j z:::: 1/2; в состоянии 2рз/з 2 S Z
электрон при тех же значениях п и l обла
дает j == 3/2.
В 9 20, rоворя о вырождении уровней,
мы не учитывали спин орбитальноrо взаимо
действия и связанноrо с НИl\1 расщепления
и получили, что кратность вырождения каждоrо уровня с данным n
равна .2п 2 . Теперь мы видим, что такое rлубокое вырождение имеет
место лишь с точностью до спин орбитальноrо взаимодействия.
Спин орбитальное взаимодействие снимает вырождение по орби
тальному :моменту, так что уровни оказываются вырожденными
только по значениям проекций полноrо уrловоrо момента. Уровень
с квантовым числом j имеет кратность вырождения 2j + 1 в COOT
ветствии с числом различных значений тj.
ТОНI{ая структура атома водорода и водородоподобных атомов,
как уже указывалось в начале параrрафа, может быть рассчитана
с помощью уравнения Дирака. Решение этоrо уравнения приводит
R следующей формуле для энерrии уровней водородоподобных
атомов:
Рис. 53. Тонкая CTPYK
тура уровня о n === 2
(в мноrоэлектронном
атоме)
2 1 a 2 RIZ4 ( 1 3 )
Е === R1Z п2 п3 j + 1/2 4п ·
(5.50 )
с пеРВЫ 1 членом в этой форм:уле мы хорошо знакомы (см. Bыpa
жение (5.12)), а второЙ член представляет собой добавку, обуслов
ливающую TOHRoe расщепление уровней. В этот член входит KBaд
рат постоянной тонкоЙ структуры а 2 ===(е 2 /пс)2==
==(1/137)2 5 .10 5; малость этоrо множителя и определяет «TOH
Кость» расщепления уровнеЙ, возникающеrо из за спин орбитально
ro взап:модеЙствия.
ИЗ ФОР}IУЛЫ (5.50) следует, что добавочный член зависит от l
ТОЛько через j, TaR что уровни с одинаRОВЫМИ j, во разными l (Ha
ПрИмер, 3РЗ/2 и 3d з / 2 ) совпадают, тоrда как из предыдущеrо текста
следует, что эти уровни должны были бы различаться по энерrии.
Совпадение уровней с одинаRОВЫМИ п и j при разных l возникает
только у водорода и водородоподобных атомов. Причиной этоrо
совпадения является частичная компенсация спин орбитальной по
иравки и поправки, учитывающей релятивистскую зависимость
Массы электрона ОТ скорости.
118 rл. v. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИНРОЧАСТИЦ
Экспериментальное исследование спектров водорода и BOДOpOДO
подобных атомов подтвердило справедливость (5.50). Из формулы'
видно, что тонкую структуру леrче наблюдать у ВОДОРОДОПQдобных
атомов, чем у водорода, так как во второй член входит Z" .
На рис. 54 изображена тонкая структура уровней иона rелия Не+
с rлавными квантовыми числами 3 и 4.
Если бы не было тонкой структуры, то
между уровнями с n == 4 и п == 3 на--
блюдался бы один переход сиспуска...
ни ем фотонов с л 468,6 нм. .Из за
спин орбитальноrо расщепления -вместо
одноrо возникает MHoro переходов; те
из них, которые не запрещены прави....
ламп отбора ( 33), обозначены на
рисунке стрелками. Видно, что :спе:ктр
Не+ вблизи л == 468,6 нм :состоит
из мноrих линий; линии, cooтвeTCTBY
ющие самым интенсивным переходам,
обозначены на рисунке жирными :с,трел
нами.
В заключение отметим, что, кроме
тонкой структуры, в спектре водорода t
'l'aK же как и в спектрах мноrих друrих
атомов, наблюдается также с в е р х...
т о н к а я с т р у к т у р а; она возникает
из...за взаимодействия маrнитных м о...
ментов электронов со слабыми маrпит--
Рис. 54. Тонная структура ли выми полями ядер и формулой (5.50)
нии с л == 468,6 нм в спектре не описывается. Формула (5.50) не
иона Не+ описывает также наблюдающеrося на
опыте очень слабоrо расщепления уров--
ней с одинаковыми j у водородоподобных атомов (ЛЭ1.Iб и Резер
форд, 1948 r.). Это расще!-fление объясняется взаИ Iодействие:м:
электрона с флуктуациями электромаrнитноrо поля. Подобно ОСЦИ lI'"
лятору электромаrнитное поле в вакууме обладает некоторой нуле...
вой энерrией и поэтому всеrда отлично от нуля. Взаи:м:одействие
электрона с этим «нулевым») полеrvI зависит от пространственноrо
распределения электрона и является причиной лэмбовскоrо расщеп...
ления уровней. Теория этоrо эффекта хорошо разработана в кван...
товой электродинамике и находится в превосходном соrласии
с опытом.
T 7 / Z
d 5л , '$.п
п..4 PiW d 3;2
.
0.1 .
'Q cci'
1'1
\ '
d 5 / 2
P /Lt d за
п-==:5
. s 1/2,Pf/2
28. Строение атома по Бору
Построение основ квантовой м:ехан:ики, давшей плюч н поним:аНИIО
явлений микромира, происходило в 20 e rоды нашеrо столетия и
сопровождалось отказом: от привычных представлен:ий Блассической
физики. Наибольший вклад в создание вовой физики внес Нильс
I 28. СТРОЕНИЕ АТОМА ПО БОРУ
{19
БоР, впервые определивший, в чем состоят новые черты, отличаю...
щие микромир от макромира; ero по праву называют отцом но...
воЙ физики. Бору удалось выяснить особенности, которым должна
удовлетворять еще не построенная к тому времени волновая Mexa
ника; эти особенности были сформулированы Бором в виде не..
скольких положений или, как часто rоворят, постулатов. Создатели
квантоВОЙ :мехаНИRИ, Шрединrер и rейзенберr, строили теорию так,
чтобы II о С Т У л а т ы Б о р а получались в ней естественным
образом:.
Первоначально Бор представлял себе атом нан систе1\IУ, состоя..
щую из aToMHoro ядра и электронов, вращающихся BOKpyr пеrо по
круrОВЫ i или эллиптическим орбитам подобно тому, как планеты
обращаются BOKpyr Солнца. Соrласно классической электродинами..
ке такое вращение, как и всякое ускоренное движение, должно со...
провождаться излучением. Потери энерrии на излучение должны
приводить к постепенному уменьшению вращательной энерrии
влеК'rрона и к ero постепенному падению на ядро, чеrо на CaM01\1
деле не происходит. Бор постулировал, что предоставленные сами
себе атомы не излучают и находятся, таким образом, в с т а Ц и о..
нарных (не меняющихся со временем) состояниях. Из луче..
н и е и л и п о r л о Щ е н и е э н е р r и и про и с х о Д И Т при пер е..
ходе ато:ма из одноrо стационарноrо состояния в
Д р у r о е (все атомные состояния, кроме состояния, обладающеrо
наименьшеЙ энерrией, cTporo rоворя, вполне стационарными не
ЯВЛЯIОТСЯ, поскольку атомы самопроизвольно переходят из них в
состояния с меньшей энерrией). Частота света, излучаемоrо aTO
){ами, связана с разностью энерrий aTo la в стационарных состоя
вияк соотношением: nю === Е 2 Е 1 , rде Е 2 энерrия атома в иа
чаЛЬНО i, а Е{ в конечном состояниях. Мы уже выяснили, что
эти утверл,дения Бора являются веРНЫl\iИ.
Бор предложил также правило, позволяющее отбирать из м но...
жества допускаемых классическоЙ l\iеханикой орбит «правильные»,
осуществляющиеся на опыте орбиты. Он высказал утверждение,
что {o r у т с у Щ е с т в о в а т ь т о л ь н о т а к и е о р б и т Ы, н а
которых м:омент импульса равен целому числу
n о с т о я н н ы х П л а н к а n. Мы знаем теперь, что утверждение
о квантовании момента импульса является правильным, а пред...
ставления об орбитах неверным:и.
МЫ ВIIДП:\I, что Бор правильно предуrадал важнейшие черты
современной квантовой механики. Недостатком боровских представ..
лений является их пепоследовательность. 1la классическую физику
вакладывалпсь дополнительные требования, которые не только ие
следуют пз основных уравнений механики и электродинамики, но
Иноrда ПрЯ IО им противоречат (например, утверждение о том, что
ДВИжущийся по Rруrовой орбите электрон не излучает или что час..
Тота излучаемоrо света не равна частоте ero обращения BORpyr
Ядра). В то же время классические уравнения механики и электро"
120 rл. v. уrловой и МАrнитный МОМЕНТЫ МИRРОЧАстии
динамики оставлялись и замены им не предлаrалось. Бор пренрас...
но понимал непоследовательность своей теории и приветствовал
построение новой, лоrически непротиворечивой науки COBpeMeH
вой квантовой механики. Создатели квантовой механики были пря
l\IЫМИ учениками Бора и всеrда отмечали животворное влияние ero
идей. Что же касается самой теории Бора, то мы видим, что она
основана на применевии как правильных (постулаты Бора), так и
неправильных (классические уравнения движения, представленио
об орбитах и Т. д.) представлений. Соответствующие расчеты при
водили поэтому ТО к верным, то к неверным результата:м:, причем
никоrда нельзя было знать заранее, какой результат окажется пра
вильным, а какой ошибочным.
Рассмотрим в качестве примера водородоподобные атомы. Orpa
вичимся состояниями, в которых электрон движется по KpyroBblM
орбитам. Для движения по окружности в классической :м:еханике-
нужна центростремительная сила mv 2 /r. Этой силой является сила
КУЛОНОВСRоrо притяжения между электроном и ядром атома (с за
рядом Ze). Поэтому
Ze 2 ти 2
r 2 === r ·
(5.51)
'Уrловой момент элентрона при TaRoj\I ДВИiI ении равен mvr.
Приравнивая ero целом:у числу п, найдем:
тvr === пп, п === 1, 2, 3, (5.52)'
Исключая с помощью этоrо равенства v из (5.51), наЙдем: разре
шенные значения для радиусов орбит:
1;,2
r n === п 2 . (5.53}
Ze т
Разрешенные равевством (5.53) значения r n носят название р a
Д и у с о в б о р о в с к и хор б и т. Для водорода Z === 1 и
1;,2
r === п 2 == а п 2 ( 5.54 ) -
п 2 1 "
ет
rде аl == п 2 / е 2 т р а Д и у с пер в о й б о р о в с R О Й О Р б и т ы.
Сравним а1 с r1 шах расстоянием, на :котором вероятность найти
электрон в невозбужденном атоме водорода оказывается l\'lа:КСИl\lаль
вой. Соrласно (4.27) rl тах == e/a; принимая во ВНИ lание, что
e == п/тс, а а === е 2 /пс, получаем
а1 === r1 тах == 0,53 · 1 O 8 Cl\'I.
Соrласно (5.54) радиусы боровских орбит в возбужденных атомах
водорода вычисляются через боровекий радиус аl следующим
образом:
а п === а 1 п 2 .
28. СТРОЕНИЕ АТОМА ПО БОРУ
121
ТакИМ образом, соrласно теории Бора в атоме водорода, находя...
щемся в первом возбужденном состоянии, электрон должен дви",
rатьСЯ по орбите с радиусом а2 === 4 a t.
Вернемся к рис. 35, на котором изображен rрафик функции
,.z1 2(r) 1\ характеризующей вероятность найти электрон в состоя
НИИ С п 2 на расстоянии r от ядра. QTa функция имеет довольно
сложныЙ вид, и значение Т2 шах, при котором вероятность оказыва...
ется максимальной, лишь приближенно равна а2 === 4at. Приближен
ное равенство а п и r n тах наблюдается и для следующих возбуж...
денных состояний атома водорода. Термином «боровская орбита»
rораздо удобнее пользоваться, чем точным, но длинным наименова...
нием Т п шах; поэтом:у это название сохранилось в науке.
Найдем теперь полную энерrию электрона, движущеrося по бо...
ровской орбите. Эта энерrия складывается из потенциальной
энерrии
и Ze 2 Ze 2 .Ze 2 т Z2 e 4 т
r 1 2 n Z 1 2 п 2
и кинетической энерrии
т == т p2 с::::: .!. (тvr)2 == (n1i)2 ( Ze2т ) 2 1 Z2 e 4 т
2 2 тr 2 2 т 1 2 п 2 === 2 1 2 п 2 .
Полная энерrия электрона равна, таким образом,
1 тZ 2 e 4 1
E==T+U== 2 2 "2.
1 n
Сравнив это выражение с (4.18), убеждаемся в том, что формула
для энерrии уровней найдена правильно. Заметим, однако, что n в
(5.55), как это следует из (5.52), имеет смысл момента импульса.
При точном квантовомеханическом решении задачи мы выяснили,
однако, что все значения энерrии, определяемые (5.55), возможны
и при нулевом значении момента. Нулевые значения момента по
(5.52) вообще невозможны, так :как требуют либо нулевоrо значе...
ния радиуса, либо нулевой скорости. Как то, так и друrое предпо'"
ложение несовместимо с (5.51). Расчет по теории Бора всех друrих
aTOl\fOB (не водородоподобных) приводит к неверным результатам.
Рассмотренный пример является хорошей иллюстрацией Toro,
RaK представления Бора приводят к смешению верных и ошибоч
пых результатов.
В заключение еще раз отметим, что в 20 e rоды теория Бора
имела orpoMHoe значение для развития правильных физических
представлений. Сформулировав свои постулаты, Бор указал направ
ление, в котором мноrие rоды успешно развивается новая физика.
(5.55)
r л А В А VI
СТРУКТУРА И СПЕКТРЫ сложных
АТОМОВ
При рассмотрении оптических спектров неводородоподобных атомов
прежде Bcero бросается в rлаза их сложность. Даже спектры rелия
и лития очень боrаты линиями, а число линий в спектрах тяжелых
атомов иноrда достиrает нескольких десятков тысяч. В качестве
ПрИl\Iера на рис. 55 приведены спектры железа в области 370
400 ИМ (а) и уrлерода в области 240 330 нм (6). Спектры оказы",
ваются сложными, nOTOl\lY что сложными являются сами атомы.
s;:;)
c:s
"t
I
.
s;;
(:»
I
t-....
со
"J'
t-t5'
t'-..
tv)
I
I
t1
о)
t'--.. ...
I
C\J
ч)'
CQ
I
tr::>
t-....."'
I
о
Рис. 55. Спектр железа в области 370 400 им (а) и уrлерода в области 240.........
330 им (6)
Ряд важнейших особенностей Физики 1tIИНрОl\lира был установ...
лен при изучении спектров водорода и водородоподобных атомов.
Изучение спектров более сложных aTOl\IOB позволило выяснить ряд
новых особенностей. Так, например, rипотеза о существовании спи
па у электрона была впервые выдвинута ЮленбеRОМ и rаудсмитом
(1925 r.) для объяснения тонкой структуры спектров щелочных Me
таллов ( 33); сверхтонкая структура, впервые наблюденная в
спектрах щелочных металлов Терениным и Добрецовым (1928 r.),
явилась указанием па то, что и у атомных ядер есть маrнитный и
механический моменты (подробнее СМ. курсы ядерной физики);
анализ экспериментальных данных, полученных при изучеНИII
спектров атомов с несколькими электронами, позволил Паули
(1925 r.) еще до создания квантовой механики установить важней..
тий принцип, управляющий поведением электроНоВ'........ принцип
Dсключения, часто называемый просто принципом Паули ( 31).
;
;
29. стРУНТУРА элЕRтронных УРОВНЕЙ сложlIых АТОМОВ {23
Теория атомов, содержащих больше чем один электрон, неизме...
рИМО сложнее теории атомов с одним электроном. Цр и написани и
иевия Шред нrера для таких атомов нужно учитывать e
только взаимодеиствие электронов с ядром атома, но и взаимодеи '"
СТвие электронов дрvr с дрvrом . Дифференциальные уравнения,
описывающие состояния мноrоэлектронных атомов, сложны и в об...
щем виде не решаются. Напомним, что и в классической физике,
rде уравнения движения существенно проще, чем в квантовой
механике, вадача мноrих тел в общем виде решена быть не может.
Для решения уравнений, описывающих сложные атомы, в кванто...
вой механике созданы различные приближенные методы. Знаком...
ство с этими методами выходит далеко за рамки этой книrи. Одна...
БО дЛЯ понимания структуры сложных атомов знание этих методов,
как мы увидим, и не потребуется.
КаждЫЙ из электронов сложноrо атома движется в поле, кото...
рое получается от сложения поля ядра и поля остальных электро--
нов. Без большой ошибки это поле можно считать центральным.
Поэтому у электронов сохраняется уrловой момент, и им можно
приписать те же квантовые числа, что и электронам в водородопо'"
добных атомах: п, l, j, т} 1). Использование этих простых представ--
лений, принципа Паули и некоторых эмпирических правил, опре...
деЛЯIОЩИХ порядок заполнения электронных оболочек в сложных
атомах, позволяет качественно понять структуру сложных атомов
и принцип построения периодической системы элементов, а также
предсказать основные особенности оптических и рентrеновских
спеI{ТРОВ атомов.
29. Структура электронных уровней в сложных атомах
В предыдущей rлаве мы выяснили, что в водородоподобных атомах
с точностью до спин орбитальноrо взаимодействия и релятивист--
ских поправок все уровни с одним и тем же значением n, но раз...
личными l вырождены, т. е. имеют одну и ту же энерrию. Мы от...
мечали также, что вырождение по l является «случайным» и воз...
викает по той причине, что в водородоподобных атомах электроны
находятся в кулоновском поле, потенциал KOToporo спадает как 1/r.
В сложных ато:мах поля, в которых движутся электроны, остаются
почти центраЛЬНЫ1\fИ, но отнюдь не следуют закону 1/r, так что
вырождение уровней по уrловому моменту в этих атомах отсутст--
вует. Таким образом, в сложных атомах уровни с одним и тем же
значением n, но с равными значениями l обладают существенно
различной энерrией.
1) Выбор квантовых чисел, вообще rоворя, неоднозначен их число pa.B
во числу степеней свободы рассматриваемой квантовой системы. На каждый
8лектрон приходятся четыре степени свободы три пространственных и одна
внутренняя (направление спина).
Jo o
оа о
800
r
1
1:з
{24
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
Рассмотрим волновые ФУНRЦИИ электронов с раЗЛИЧНЫ IИ l при
одном и том же значении n. На рис. 56 изображены rрафики
квадрата волновой функции 1 12 (пунктир) И плотности вероятно
сти нахождения в шаровом слое I фl2 r (сплошная линия) в водоро'"
доподобном атоме для 28 и 2р состояний. Потенциал Эwlектриче...
cl\oro поля мноrоэлеRТРОННЫХ атомов спадает существенно быстрее,
чем 1fr, так KaR при увеличении радиуса все больший вклад в
электрическое поле начинают вносить близко расположенные к яд
ру электроны; таким образом, ч оле ядра при больших r э:к р а н И
р у е т с я . Основная доля энерrии взаимодействия электрона с яд
ром связана поэтому с той частью волновой функции, которая pac
полаrается при малых r.
Из рис. 56 видно, что у s электронов эта часть существенно
больше, чем у элеRТРОНОВ в р состоянии. Поэтому связь С ядром у
s электронов ОRазывается более сильной, чем у р электронов,
п
"
3d
\ 15l'1 z а 48
\ 30
I
Зs
8а о ]А 2р
2 < 2s
Рис. 56. П ространственпое
распределение 2s.. и 2р элеRТ
ронов
Рис. 57. Схема рас..'
щепленил уровней
в сложных атомах
у р электронов более сильной, чем у d элеI\ТРОНОВ, и Т. д. При
одинаковых n уровни лежат тем rлубже, чем меньше l. Например,
энерrия уровня 38 в атоме натрия 5,12 эВ, а внерrия уровня
3р 3,02 эВ. Чем больше элеRТРОНОВ в атоме. тем сильнее CH33Ы
рается анранирование и тем значительнее расщепление уровней с
разными l . В тяжелых атомах расщепление уровней с разными 1
так велико, что при некоторых п уровни с большими значениями 1
расположены выше s уровней с rлавным квантовым числом, рав--
вым n + 1. Уровни с различными n при этом «перепутываются}}
(рис. 57).
Наличие спин орбитальноrо взаимодействия ( 27) приводит
R дополнительному, «ТОНКО:М:У» расщеплению электронных ypoBHei"I
с одинаковыми значениями п и l, но с разной ориентациеii спино
Doro момента s по отношению к орбитальному моменту 1 (или, что
30. ТИПЫ связи ЭЛЕНТРОНОВ В АТОМАХ
1250
,.0 же самое, с разными значениями j). Так как при s == 1/2 воз
J,fОЖПЫ только две ориентации 8, то каждый уровень с l -:fз О явля
ется дублетным 1), например уровень 3р является СQВОКУПНОСТЬЮ
двух подуровней: 3Р1/2 и 3РЗ/2. В aTOl\le натрия расстояние между
этими подуровнями составляет Bcero 2. 10 3 эВ, т. е. существенно
:меньте расстояния между уровнями 38 и 3р. ОднаI{О ИЗ формулы
(5.50) видно, что энерrия спин орбитальноrо взаимодействия с YBe
личением aToMHoro номера растет как Z4; поэтому в тяжелых aTO
:мах спин орбитальное расщепление оказывает существенное влия
ние на положение уровней. Так же как и в водородоподобных
ато:мах, в сложных атомах в отсутствие внешних маrнитных полей
сохраняется вырождение уровней по проеКЦИЯl\-1 полноrо уrловоrо
мом:ента.
Чтобы задать структуру сложноrо атома, следует перечислить
состояния всех ero электронов. Если в каКОl\f нибудь состоянии I С
данным значением n, l и j находятся несколько электронов, то
запись можно упростить. Например, вневозбужденном ато:м:е re
лия оба электрона находятся в состоянии 1S 1/2 ; поэтому вместо
записи 181/2' 181/2 часто пишут [1S 1/2 ]2 или 1Sj/2.
30. Типы связи электронов в атомах
Во мноrих случаях подробная характеристика структуры атома
не требуется, но представляет интерес значение полпоrо уrловоrо
момента электронной оболочки атома. Этот момент (иноrда
будем называть ero просто полным моментом атома) складывается
И3 спиновых И орбитальных моментов всех ero электронов. Опыт
поназывает, что в леrких и средних атомах, rде спин орбитальное
взаимодействие сравнительно невелико, орбитальные моменты от-
дельных электронов складываются в суммарный орбитальный MO
мент атома L, а спиновые моменты в су:ммарный спи новый
АI0мент s:
L === 11 + 12 + I з + . . ., s === 81 + 82 + 8з + . . .
Полный M01\-lент J является СУ:Мl\fОЙ L и s:
J === L + S.
(6.1 )'
(6.2 )
Моментам L, S и J соответствуют квантовые числа L, S и 1. Оче
Видно, что при четном числе электронов в атоме S и 1 являются
Целым:и числами, а при нечетном числе электронов полуцелыми.
В тех случаях, коrда полныЙ уrловоЙ момент aTO}la получается
по праВIIла1\-1 (6.1) и (6.2), rоворят о н о р м а л ь н о й связи элек
1) В водородоподобпых атомах уровни с различными l, по одинаI{ОВЫМИ
1 ПО Случайным причинам совпадают ( 27).
Значение KBaHToBoro числа L
Обозначение СОСТQЯНIJЯ
о
S
1
р
2
D
3
F
126
rл. VI. СТРУНТУРА и СПЕНТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
'Тронов В атоме, или о с в я з и Р е с с е л а С а у н Д е р с 8. В этих
.случаях константами движения являются не только полный уrло--
вой момент атома J, но также квантовые числа L и 8 1) .
Для указания состояний атомов используются принятые в спек
'Троскопии обозначения, аналоrичные обозначениям, применяеМЫ1\I
для отдельных элеRТРОНОВ (Э 20). В зависимости от значения ор--
.битальноrо KBaHToBol'O числа L, состояния обозначаются прописны--
ми буквами:
и далее по алфавиту. Справа внизу указывается значение кванто--
Boro числа J, а слева сверху мультиплетность состояния, т. е.
число, равное 28 + 1. Смысл этоrо числа заключается не только В
-ТОМ, что по нему можно определить 8. В тех слvчаях, Rоrпа S L ,
число 28 + 1 авн и овней появляю ихся из з
{)р итальноrо взаимо пеЙСТRИЯ, ТА е. оп р е д еляет м у л ь т и п л е т--
н о С т ь состояния...... Число 28 + 1 называется мультиплетностью и в
-тех случаях, коrда 8 > L, хотя число уровней тонкой структуры
равно в ЭТО11: случае 2L + 1, а не 28 + 1. Все S состояния атомов,
-так же как и s состояния отдельных электронов, являются синrлеТ....
выми. В качестве примера рассмотрим основное, т. е. обладающее
наименьшей энерrией, состояние атома уrлерода 2Ро. Запись оз--
начает, что атом уrлерода в основном состоянии имеет L == 1, S == '1
и J == о. Мультиплетность состояния равна 3, т. е. это состояние яв
JIяется одним из трех близких по энерrии состояний с одинаковыми
L и 8, но раЗЛИЧНЫ IИ J: зро, зр! И ЗР2.
Нормальная связь электронов в атомах не является единствен--
ВО возможной. В тяжелых атомах из за сильноrо спин орбитальноrо
взаимодействия полный уrловой момент атома складывается из
полных уrловых моментов отдельных электронов:
n
J === ]i" ]i == li + Si.
i==l
Такая связь электронов в атомах называется j 1.. с В язь ю.
В чистом виде эта связь почти никоrда не осуществляется на прак
'J.'ике, и у тяжелых атомов используется символика, принятая для
рессел саундеровской связи.
1) При связи Рессела Саундерса сохраняется вектор J, аБСОЛIотные 3Ha
чения векторов L и S (Бвантовые числа L и S) и проекции векторов L и S па
вектор J. При операциях с векторами уrловоrо момента большую пользу при
носит векторная модель, помоrающая попять и запомнить основные результа..
ы. В рамках этой модели следует представллтъ себе, что векторы L и S мо.
rYT вместе вращаться BOKpyr вектора J.
31. ПРИНЦИП ПАУЛИ
127'
f 31. Принцип Паули (принцип исключения)
в начале этой rлавы мы выяснили, что электроны 1\1orYT находит
сл в различных остояниях, описываемых разными набора lИ KBaH
товых чисел, например, n, l, j и тj. Рассмотрим невозбужденныЙ
аТОМ. В каких состояниях находятся ero электроны?
С точки зрения обычных представлений следовало бы ожидать,.
что все электроны атома, находящеrося в невозбуждеННО I (OCHOB
ном) состоянии, должны заним:ать уровень с наименьшеЙ возмож
ной энерrией, Т. е. наиболее rлуБОRИЙ уровень атома. Но опыт YKa
зывает на то, что это не так. По мере увеличения Z происходит'
последовательное заполнение электронных уровней атомов. Чтобы
объяснить таное заполнение уровнеЙ, Паули высказал rипотезу
О том, что в любом пваптовом СОСТОЯ1lUU может находиться только'
одии электро1t. Каждый следующий электрон невозбужденноrо ато'"
1\lа должен поэтому занимать самый rлубоний из еще не заполнен
ных уровней. Всесторонняя проверка подтвердила справедливость
rипотезы Паули.
Утверждение, что в одном и том же квантовом СОСТОЯНИИ не.
может находиться более одноrо электрона, имеет всеобщую приме..-
НИМ ость и обычно называется при 1-t Ц и п о м и с п л ю ч е 1l и я и л и'
при 1t Ц и п о ом П а у л и. Принцип Паули справедлив не только
для электронов, находящихся в одном и том же атоме, но и для
всех электронов во Вселенной. При этом следует помнить, что CO-r
стояния электронов MorYT отличаться как по.энерrии, так и по Dpt>...
странственному распределению.
Исследуем математическую сущность принципа Паули. Возьмеl\l
систеl\-IУ, состоящую ИЗ двух электронов, находящихся внекотором
силовом поле. Координаты первоrо электрона отм тим индексом 1,.
а координаты BToporo индексом 2. Пусть первый электрон нахо...
дится в квантовом состоянии 1, которое описывается волновоiI
функцией '1'1 (Xt, Уl, Zt), а второй электрон в KBaHTOBOl\JI СОСТОЯНИII
11 С волновой функцией 'Фп (х 2 , У2, Z2). Поскольку по предположе...
пию в состоянии 1 находится первый электрон, '1'1 (Xt, У1, Zt) есть
амплитуда вероятности найти этот элентрон в ОI{рестности точки
(Xt, У1, Z1); фI в этом случае является функцией координат первоrо
электрона. Аналоrичным образом функция фII (Х2' У2, Z2) аl\IПЛИТУ'"
да вероятности найти второй электрон в окрестности точки
(Х2, У2, Z2) является функцией координат BToporo электрона.
Рассмотрим теперь распределение о б о и х электронов. Оно
ОПИсывается функцией, зависящей от координат как первоrо, так
n BToporo электронов, т. е. ОТ шести координат Xt, У1, Zt, Х2, У2, Z2-
« Выключим» для простоты силы, действующие между электронами.
Если бы элентроны не подчинялись принципу Паули, их движение
в отсутствие взаимодействия было бы независиМЫМ. В теории не...
РОЯТностей доказывается, что вероятность события, представляюще...
1'0 собой совпадение двух независимых событий, равна произведе--
128
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕНТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
ПIIЮ вероятностей обоих событий. В нашем случае в качестве таких
событий следует рассматривать нахождение первоrо электрона
в окрестности точки 1 и BToporo 9лектрона в окрестности точки 2.
Поэтом:у следовало бы ожидать, что амплитуда вероятности, описы--
Бающая поведение электронов, имеет вид
':1'1,2 == 'ФI(Х 1 , Yt, ZI)ФП(Х"2, У2, Z2)'. (6.4J
JIerRo видеть, что такая запись находится в противоречии с пред--
ставлениями квантовой механики. В самом деле, написанная фор--
мула утверждает, что функция фI описывает распределение именно.,
первоrо электрона, в то время нак поведение BToporo элентрона
описывается функцией 'Фп. Иначе rоворя, наша запись содержит в
не явном виде предположение о том, что можно установить, какой
ИЗ электронов является первым, а какой вторым.
Мы уже знаем:, что все электроны вполне тождественны, так
что отличить их друr от друrа ПО каким либо «внешним призна--
кам») невозможно. Можно ли отличить их по начальному состоянию,
например назвать первым электрон, который в не который момент
времени находился в окрестности точки 1, а вторым тот, который
в это время был около точки 2? Сможем ли мы в дальнейшем ус--
тановить, который из электронов является первым, а какой вторЫ I?
Леrко видеть, что нет. В самом деле, положение каждоrо из элеRТ--
ронов описывается 'Ф функциями, размазанными, вообще rоворя, по
всему пространству. А так как электроны не имеют траекторий, то
невозможно установить; какой из электронов пришел в ту точку, rдс
он через KaKoe TO время был обнаружен.
Таким образом, написанное выше выражение позволяет знать
об эле:ктронах больше, чем может быть обнаружено на опыте, и уже
ПОЭТОl\fУ не может быть правильным.
Существуют два способа' записи ам:плитуды вероятности {), ко--
торые не обладают отмеченным недостатком:
':1' 1 (rl' ' 2 ) == (1/11"2) ['ФI (r l ) Фп (r 2 ) + '1'п (r 1 ) '1'1 (r 2 )], (6.5)'
':1' 2 (rl' r 2 ) == (1/11 2) ['1'1 (r l ) фп (r 2 ) фп (r l ) фI (r 2 )]. (6.6)
В этих формулах r l и r 2 обозначают совокупности трех координат
Х 1 , Уl, ZI И Х2, У2, Z2 соответственно. Rаi-кдое из этих выражений
состоит из двух членов. Первый член описывает состояние, коrда
в состоянии 1 находится первый электрон, а в состоянии 11 BTO
рой электрон, а второй член состояние, коrда в состоянии 1 Haxo
дится второй электрон, а в состоянии 11.......... первый. Поскольку эти
состояния теперь смешаны, узнать, rде находится какой электрон,
невозможно.
Обратим внимание на важную особенность функций Ч' t И 'v 2,
определенных (6.5) и (6.6). I-Iазовем первый электрон вторым,
1) l\lножители 1}'2 ВВОДЯТСЯ в (6.5) и (6.6) для нормировки. Дальнейшее
обсуждение этоrо вопроса отложим до 52.
31. ПРИНЦИП ПАУЛИ
129
а второЙ первым:. От TaKoro переименования электронов, конечно.
пичеrо измениться не дол)кно. Л erIto видеть, однако, что при Не....
реименовании электронов функция 'I' 1 совсем пе изменяется,
а Фуннция чr z lrIеняет знак. Поскольку распределение частиц зави...
сит от квадрата модуля функции, изменение знака функции ни
на каких наблюдаСI\IЫХ на опыте явлениях обнаРУil\ено быть не
может. Харантер симметричной функции Ч' 1 И антисимметричной
функции ч' 2, одна но, существенно различен. Рассм:отрим, например,
случай, коrда оба состояния фI и 'Фп идентичны. Функция Ч! z при
этом ТО}I\дествеПIlО обратится в HY ТIЬ, в то время как с фупкцией
ч' t ничеrо существепноrо не произойдет. Частицы, которые описы...
ваIОТСЯ антисимметричными функциями, не MorYT поэтому быть
в одинаковом состоянии, в то время как частицы, которые описы...
ваIОТСЯ симметричными фунн:циями, в одинаковых состояниях быть
1tlorYT 1) .
Опыт показывает, что эле1i,ТРО1tЬ и все друеие частиць , обладаю...
щие полуцеЛЬLМ спином (электроны, протоны, нейтроны и Т. д.),
описываются аптuси.м.метричпы.ми вОЛltовЫJtи фупкция.ми. Мы по....
казали, что частицы, описываемые антисимметричными волновыми
фУНI{ЦИЯМИ, не MorYT находиться в одном и том же состоянии. су....
ществование принципа Паули для электронов является, таким об...
разом, необходимым (но не единственным!) следствием более общеrо
утвеРiI\:депия о том, что электроны описываются антисимметричны...
ми волновыми функциями.
Опыт показывает также, что световые кванты, п :м:еЗ0НЫ и, вооб...
ще, все чаетuць , обладаl0щие цеЛЬL'м' сnипом, описываются симмет",
РUЧ1-lы.лtu вОЛ1-l0вЬLми ФУftкцияJttu. Такие чаетицы, nриuципу Паули
J-te подчиНЯ10ТСЯ.
Частицы с полуцелым спипом, на I\оторые распространяется
принцип Паули, называются частицами Ферми Дирака, или:
Ф е р м и о н а ?t-I и. Частицы с целым спином называются частицами
Бозе Эйнштейна, или б о 3 О Н а м и. Разделение микрообъектов на
феРl\fи частицы и бозе частицы справедливо не только для элемен
7арных Частиц, по также и для сложных образований, например
для аТОМIIЫХ ядер и для с.амих атомов. Правило остается тем )I\e:
Симметричными волновыми функциями описываются сложные ча...
стицы с целым спином, т. е. системы, состоящие из бозонов или
четноrо Числа фермионов. Если же число фермионов нечетно, то
Система ОПисывается антисиммеТРИЧIIОЙ волновой функцией и под
ЧИняется ПрИIIЦИПУ Паули. Так, а частицы, состоящие из двух
Протонов (спин протона равен 1/2} и двух нейтронов (также обла
Дающих Спином 1/2), ЯВЛЯIОТСЯ бозонами, и принцип Паули на них
1) РаССУiНДСНИЯ, "оторые привелп пас к псобходимости описывать микр
частицы симмстричпыми и аптисимметричными функциями, проводились, длл
ПРОстоты, на примере невзаимодействующих частиц. Полученный ВЫВОД ЯВ
JIлетсл, однако, вполне оБЩИl.l.
'9
л. л. rольдин, r. И. Новикова
L
{30
rл. VI. СТРУНТУРА и СПЕRТРЫ СЛОiRПЫХ АТОМОВ
не распространяется, тоrда кан сами протоны и нейтроны принад...
лежат к числу фермионов и подчиняются принципу Паули.
На первый взrляд кажется, что необходимость СИМl\fетризаЦИII
(или антисимметризации) волновых функций дол,кна ПРИВОДИТJ>-
К невероятным трудностям. В самом деле, при решении Лlобой за
дачи об электронах мы должны, cTporo rоворя, наЙти волновые:
функции всех электронов во Вселенной, и из них составить пол...
ностью антисимметричную функцию, т. е. функцию, :меНЯЮЩУIО знаJt
при перестановке любой па ры электронов. Зада ча, действительно,.
фантастическая! R счастью, учет в с е х элентропов вовсе не явля
ется необходимым. Простое матеl\lатическое исследование поназы
вает, что нет необходимости принимать во внимание электроны,.
волновые функции которых не перекрываются (или почти не пере
крываются) с волновой функцией рассматриваемоrо элснтрона..
Практическое правило заключается в том, .что вОЛllовая ФУ1-lКЦUя.
дОЛЖ1-lа бь ть аптuсu.м.метрuаоваllа для всех элеКТРО1-l0в с аа.метп0
перекрь вающuмuся 'Ф фУllКЦUЯ.мu. Поэтому вычисления, произведен...
ные нами для атома водорода, применимы только для изолирован...
ных атомов водорода и не rодятся для молекул. В конденсирован...
lIыx веществах только электроны, принадлежащие внутренним
оболочкам, MorYT рассматриваться нан принадлежащие одному аТо....
м:у (rл. XI).
32. Периодическая CIICTeMa элемеlIТОВ д. и. l\Iенделеева
Рассмотрим связь между строением элентронной оболочни атомов
и их местом в таблице элеl\lентов д. и. Мендслеева.
Для подсчета ч и с л а ВОЗl\Iо,I\НЫХ состояний электронов можно
пользоваться люБЫl\l набором четырех независимых квантовых чи
сел, например числами п, l, т, и т,. Набор этих чисел определяет
некоторое квантовое состояние. СоrлаСIIО припципу Ilаули во вся
ком данном нвантово:м состоянии может находиться не более одноrо
электрона. При заданном значении l в атоме существует 2(2l+ 1)
состояний с различными т, и т, 1). Таким образом, пезаВИСПl\lО ОТ
значения n, в S СОСТОЯIIИИ может находиться 2 электрона, в p co
стояНии......... 6 электронов, в d состоянии......... 1 О электронов, и т. д.
При данном значении rлавноrо KBaHTOBoro числа n, кап l\ttbl Yjl &
знаем, Bcero существует 2п 2 различных состояний. Все эти состоя....
вия образуют п с л ой э л е к т р о н н о й о б о л о ч к и атома. Слок
может быть заполненным или незаполненным, в зависимости оу
Toro, все или не все состояния в неl\{ заняты электронами. Слой
с n == 1 называется К слоем, с п == 2 ......... L слоем, с п == 3 ......... Лf слоем:
и далее по алфавиту.
1) При данном значении l возможвы 2! + 1 различпых значений т,; при
J{аждом значении тl возможны состояния с т. == 1/2 и т, 1/2.
Т а б л и ц а 3. Электронные структуры атомов
.... l--'аспреДСJlсние 3ЛСI-\ТРОНОН ПО СЛОЯМ И оболочкам
Ионизаци
онныЙ [] o Оснппное К L N
Элемент тенциал, СОСl'ОН ипс
В 18 28 2р 48 4р
м
38
3р
3d
111
Не
2
13,6
24,6
2 S '
1/2
1 "
о
1
2
5,4 ') 2 1
3 Li "s 1/2
4 Ве 9,3 1 \ 2 2
, о
8,3 2 2 2 1
В Р 1/2
Ь
6 С 11,3 3 р 2 2 2
о
14,6 4 2 2 3
,N S3/2
вО 13,6 Зр 2 2 4
2
9 F 17,4 2 2 2 5
Р3/2
10 Ne 21,6 IS 2 2 6
о
I
l1 Na 5,1 2 1
81/2
12 Mg 7,6 18 2
о
1:1 A1 6,0 2 '> 1
Pl/2 ...
14 Si 8,2 3 р I\ОПфJlrурация 2 2
о
15 P 10,9 4 неона 2 3
83/2
1G S 10,4 3 р 2 4
2
17 C1 12,ff 2 2 5
Р3/2
lS Ar 15,8 IS 2 6
о
19 К 4,3 2 1
SI/2
"20 Са 6,1 18 2
о
"21 Sc 6,7 2 1 2
D3/2
.22 Ti 6,8 3 р 2 2
2
23 У 6,7 4 р 3 2
3/2
:24 Cr 6,7 78 I\ОНфIlrураЦIlЯ aprOHa 5 1
3
25l\ln 7,4 6 5 2
85/2
"26 Fe 7,8 5 D 6 2
4
:27 СО 7,8 4 F 9/2 7 2
28 Ni 7,6 3 р 8 2
4.
g*
Оl\оuчаN ие Пlабл. !f
fЗ2
rл. VI. CTP lHTYPA И СПЕНТРЫ СЛО'IП]ЫХ AT01\fOB
Элемент
ИонизаЦl1
011НЫЙ ПО ОСНОННОР
тенниаJJ, (' ()СТОВ }iИ е
Н
l;ЗСПР ДС JJ( НИ : JII'НТIЮJJОВ ))0 СJI()ЯМ И оGО.'Ю'IНDМ
К I М N
18 28 2р : х :{р :1d S p
2В СП 7,7 2 10 1
S]/2
зо Zll 9,4 1 10 2
80
81 Ga 6,0 2 10 2 1
Р]/2
32 Ge 7,7 Эр }{ОUфl1rурация зрrопз 1О 2 2
о
8з Аs 9,8 4 10 2 З.
S3/2
34 Se 9,7 8 р 10 2 4
2
Dь Вr 11,8 2 10 2 5
р :i/2
36 Kr 14,0 1 10 2 6
So
в I( слое (п == 1) MorYT находиться только электроны с 1 === О,.
Т. е. s электроны. В L слое (п == 2) MorYT находиться электроны
с l === О и 1 == 1; эти элентроны заПОЛНЛIОТ s и р оболочки iiToro слол..
М слой (п === 2) состоит из s , p и d оболочек, и т. д. э.тIектроныI
с одними и теми же значениями п и 1 называIОТСЯ э к в и в а л е н Т....
ным И (табл.3).
Рассмотрим: строение электронных оболочек различных 3TOMOR..
В атоме водорода имеется Bcero один ЭЛ I(ТРОН. В невозБУiНДСННОl\{
атоме электрон находится в состоянии с п === 1, 1 == О, тz === о. Значе
ние т, в даННОl\1 случае несущественно. Таким образом:, осповны r
состоянием атома водорода является терм 281/2.
Слово «терм}) употребляется в физике в нескольких разных.
С lыслах. Первоначально оно использовалось для обозначения вол
IIoBoro числа, xapaKTepHoro для даНПОI'О состояния; волновое числ()
испускаемой или поrлощаемой атомом спектральной липии, как мыI
видели, является разностью двух чисел двух TepMOB, характери
зующих начальное и конечное состояния атома. Затем название
«Tepl\I» стали применять также для энерrии уровня Е и дЛЯ COOT
ветствующей частоты Е/Ь, поскольку энерrия фотона и частота
излучения тоже равны разности двух чисел, характерных для Ha
чальноrо и конечноrо состояний. Таким образом, термы :MorYT иметь
размерность волновоrо числа [CM 1], энерrии [эВ] или частоты [c 1].
Словом «терм» принято называть и само состояние ато:м:а, напри
мер упомянутое выше состояние 281/2.
Энерrия ионизации атома водорода бь ла рассчитана в rл. IV:
она равна 13,6 еВ. Потенциал ионизации соответственно pa
;вен 13,6 В.
32. ПЕР:ИОД:ИЧЕСRАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ
fЗЗ
у атома rелия (Z === 2) один электрон находится в состоянии
с n === 1, l === О, т, === О и т з ::::: 1/2, а второй электрон занимает со..
стояние с тем::и же значения:ми n, l и т" но с та == 1/2, так что
спины У электронов направлены в противоположные стороны.
Структура элентронноЙ оболочки rелия [1S1/ ]2. Направленные
в разные стороны с.пины элентронов при СЛОiиении дают нулевой
сПИНОВЫЙ уrловоii МО1\fепт. Поэтому основным состоянием атома яв'"
ляется состояние с L === О, 8 === О и J::::: О, т. е. состояние 180. По...
тенциал ионизации атома rел:ия равен 24,6 В. Эта величина может
быть найдена путем расчета 1). Второй ионизационный потенциал,
Т. е. потенциал, соответствующий энерrии, необходимой для удал е...
ния электрона из иона rелия lIe+, MOiI\eT быть рассчитан по (4.18)
и равен 54,4 В. Первый ионизационный потенциал меньше, чем:
второй, из за электростатическоrо отталкивания электронов. OlJ;HaKO
он существенно выше первых ионизационных потенциалов всех
друrих атомов. Поэтому rелий химически инертен и принадлежит
к числу «блаrороДных» rазов. Ero атомы не объединяются в моле...
:кулы 11 не вступают в соединения Jlи с какими элементами.
Следующим элементом в таблице Менделеева является литиЙ
(Z == 3). Первые два электрона в этом атоме находятся в состоя...
IIИИ 1S 1 / 2 , как и электроны в атоме rелия. Третий электрон не мо",
iKeT ванимать ни одноrо из этих состояний из за ПрИНЦипа Паули.
Ближайшим незанятым состоянием является состояние 2s. Поэтому
Rонфиrурация электронной оболочки зLi имеет вид 1S /22s1/2. Со...
стояние атома в целом определяется состоянием третьеrо элентрона,
так как суммарные квантовые числа L, 8 и J для заполненноrо
К слоя (как и для всех заполненных оболочек и слоев) равны
нулю. Поэтому основным состоянием лития является состояние
2281/2 2). ЭнерrИIО ионизации атома лития можно rрубо оценить по
(4.18), если положить Z == 1 и n == 2. Расчет дает 3,4 эВ. Действи
тельное значение энерrии ионизации несколько выше (последний
электрон находится на самом деле не в поле единичноrо точечноrо
заряда, а в поле остова, состоящеrо из ядра с Z == 3 и двух К элект
ронов) и составляет 5,4 эВ. Атомы лития химически чрезвычайно
8НТИВНЫ, так нак образование положительных однозарядных ионов
Лития происходит с малой затратой энерrии. В хи,мических соеди
нениях литий всеrда оказывается одновалентным.
Рассмотрим атом бериллия (Z == 4). В этом атоме два К электрона
ПОВТОряют конфиrурацию rелия (но С большей энерrией связи!) и
ДВа электрона находятся в состоянии 2S 1 / 2 С взаимно ПРОТИВОПОЛОjJ
БЫМ направлением спинов: 1S /22si/2. Основным состоянием атоыIa
lt Формула для расчета nepBoro ионизационноrо потенциала атома rелия
в эт и J\пиrе не приводитсл.
) Для Щелочных элементов, у которых сверх заполненной оболоЧRИ нн..
:х:о тся Bcero один электрон, в символической записи состояния Bcero атома
удо НО сохранять значение rлавноrо кваптовоrо числа этоrо электропа.
134
rл. VI. СТРУНТУРА и СПЕНТРЫ СЛОН{НЫХ АТОМОП
бериллия является состояние 180 (L === О, S === О, J === О). Первый R
второй ионизационные потенциалы бериллия l\Iало отличаIОТСЯ один
от друrоrо, так как оба «наРУ/НIIЫХ» электрона находятся в COCTOH
нии n === 2. Потенциалы ионизации составляют около 9 В и пре
вышают первый ионизационный потенциал лития из за увеличения
z. В ХИ lических соединениях бериллий двухвалентен.
Перейдем к атому бора (Z === 5). в атоме бериллия полностыо
ваполнен К слой, а в L слое заполнена 2s оБОЛОЧRа. Поэтому вато...
ме бора пятый электрон занимает одно из состояниЙ в 2р оболочке:
состояние 2p1/Z. Структура элеI ТРОННОЙ оболочки бора имеет вид
1si/22s /22pl/2. Основным состоянием атома бора является состоя...
вие 2 Р 1/2. Несмотря на то что ZB > ZBe, ионизационный потепциа. 1 1
бора пиа е, чем у бериллия, и составляет 8,3 В. [1 ричиной этоrо
понижения, нак мы ул\:е знаем, является экранирование ядра ВНУТ'"
ренними электронами атома. Как всеrда, для элентронов с более
высокими l (в пашем случае для р элеКТрОIIОВ) экранирование ока...
зывается более существенным, чеl\1 для электронов с меньшими l
(д.ля s электронов).
в оболочке 2р имеется шесть различных состояний, и в сле
дующем атоме атоме уrлерода (Z === 6) заняты уже два 2p co
стояния. Принцип Паули требует, чтобы по крайнеЙ мере одно иа
двух нвантовых чисел (тl или тв) для этих двух состояний было
различным. Но какие И}Iенно значения тl II тв имеют два Р 9лект"
рона уrлерода, мы заранее сказать не мо/ием, потому что схема
заполнения электронных уровней, которой мы сейчас пользуемся,
слишком rруба она не учитывает взаимодействия электронов в
ело/иных атомах.
Предсказать конфиrурацию электронной оБОЛОЧI{И атома уrлерода в oc
новном состоянии можно С помощью эмпирических п р а в и л Х у н Д а. C
rласно этим правилам uаu.меuьшей эuереией обладает состояuие с llаиБОJtЬ
ти.м возможuы.м зuачеuие.м 8 и с uаибольшим воз.мОJICUЫ.м при таком S зuа
чеuие.м L. При этом пваитовое число J равио I L 8\, если заnолuеuо ие более
nоловиuы оболочки, и равио L + 8 в остальuых случаях. Таким образом, из
всех разрешенных квантовой механикой значений J при заданных L и S c
rлаСIIО правилу Хун да в основных состояниях атомов реализуются ТОЛЬБО
крайние значения 1) .
ПРИ lеним правила Хунда к атому уrлерода. В атоме уrлерода заняты
электропами только два из шести 2р состояний. Наибольшее значение CYM
MapHoro спина достиrается, если спины обоих электронов направлены в одну
1) Сформулированное выте правило Хунда определяет поведение ЭЛРКТРО4
нов, принадлежащих к одной оБОЛОЧI{е, ,t}'. е. ЭI{виваЛСНТIIЫХ электронов; у леr
ких атомов электроны либо входят в состав заполненных оболочек и ооладаIОТ
нулевыми суммарными квантовыми числами, либо принадлежат I\ вновь за
полняе:мой оболочке. При этом правила Хунда определяют суммарное состоя...
вие электронов не только заполняемой оболочки, но и Bcero атома.
В более тяжелых атомах MorYT иметься две неЗ8полненные оболочки.
В этом случае сначала по правилу ХУllда определяются суммарные квапто"
вые состояния электронов, принадлеiI\ащих ка}кдой незаполненной оболочке,
а эатем рассчитываются квантовые числа Bcero атома. Для этоrо полученныо
квантовые числа вновь складываются с помощью правил Хупда.
32. ПЕРИОДИЧЕСRАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ
135
СТО ону, так что 8 === 1. Принцип Паули TaKoro состояния не запрещает, по..
eKO ЬKY ивантовые состояния электро ов MorYT отличаться направлением BueK"
то ОБ 1. На рис. 58 схематически изооражены шесть возможных состоянии в
gболочке. lIервые три состояния отличаются от ВТОРЫХ трех направлением:
пина. Без оrраничения общности MOiHHO считать, что оба спина направлены
вверх, так что речь идет о последпих трех состояниях. Если это не так, нуж"
во перевернуть направление оси z. Из рис. 58 видно, что состояние сорбиталь...
БЫМ М0.ментом L === 2 при этом не может быть получено, TaI{ иак такое значение
L возниnает ЛИIllЬ в том случае, если орбитальные моменты обоих электронов
паправлены в одну сторону, что запреЩСIlО принципом Паули. Наибольшее
B03Moп\HO значение L равно единице. llрименяя последнее из правил Хунда,
найдеМ, что J ДОJliIНJU быть равно ПУJIЮ, ПОСI\ОЛЬИУ 2р..подоболочна у уrлерода
заполнена мепее чем наподовину. Основное состояние атома уrлерода являет.
ел ПО:JТОМУ 3Ро состоннисм.
z t 2 :5 4
L l
l
r 1:
s
т =1 т ==0 т 1 т r:=1
l 1 t l
т6= 1/2 та"'" 1/2 тв:: 1/2 тs=-1/2
5 6
s
l
тl==O т l D 1
т s ==1/2 т э ==1/2
Рис. 58. Схема возможных квантовых состояний р..электрона
Пользуясь правила IИ Хупда и рис. 58, нетрудно сообразить, что основное
состояние атома ааота (Z == 7) 483/2. В самом деле, в этом случае заняты все
три 2р состоянин со спином вверх, таи что полный спин атома азота 8 === 3/2, а
мультиплетность равна 2.3/2 + 1 == 4. Полный орбитальный момент равен HY
лю, тан иак складываются момснты электронов, имеющих все три возможные
ориснтации BCI{TOpa 1.
Основным состоянием атома кислорода (Z == 8) является состояние ЗР2.
Четыре электрона 2р оболочки кислорода не MorYT обладать одним и тем же
направлением спина. Один из них ДОЛiнен иметь ПРОТИВОПОЛОilНlое направле
Вие. Поэтому полный спин равен (1/2). (3 1) == 1. ОрбитальныЙ момент трех
электронов с одним направлением спина компенсируется. Остается момент
четвертоrо электрона, равный единице. Веитор J == 8 + L == 1 + 1 == 2, и т. д.
(табл. 3). Все восемь состояний (два 2s состояния и шесть 2р состояний) в
L сuлое заполнены у атома неона (Z === 10). Из рис. 58 видно, что в заполнен..
Вои 2р оболочке все уrловые моменты взаимно компенсируются и у атома нео..
на L === О, 8 == О и J == О. Основное состояние неона 180.
ОСНОВНОе состояние атомов с почти заполнепными оболочками проще все...
ro !Iаходить, исходя из состояния со вполне заполненной оболочкой. Таи, чтобы
наити Основное состояние фтора (Z == 9) с пятью электронами в 2р подобо..
пОЧке, достаточно заметить, что для полноrо комплекта здесь не хватает од...
noro электрона. ПОСRОЛЬКУ в заполненной подоболочке 8 == L === J === О, KBaH
ТОвые числа 8 и L атима фтора равны квантовым числам педостающеrо элек
трона. Квантовое число J вычисляется из найденных 8 и L с помощью послед
Bero правила Хунда. Это состояние поэтому является 2РЗ/2 состоянием. Отсчи
тыалл состояния от наполненной оболочки, указывают число свободных мест
L
{36
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕНТРЫ. СЛОЖНЫХ АТОМОВ
т а б л и ц а 4. Заполнение электронных оболочеI(
I c't1
.х
о. О::т'
:1J I. С
O C
1 2
1 Н Не
18 8 S2
3 4
2 Li Не 5 6 7 8 9 10
28 8 а2 В С N О ' Ne
2р р р2 р3 р4 р5 р6
11 12
3 Na МО' 13 14 15 16 17 18
t)
3s в &2 Al Si Р S Cl Ar
3р р р2 р3 р4 р5 р6
19 20
К Са
45 s 82
4 3d 31 32 33 34 35 36
Ga Ge As Se Br Kr
4р р р2 р3 р4 р5 р6
37 38
НЬ Sr
55 s S2
5 4d 49 50 51 52 53 54
Jn Sn Sb Те J Хе
5р р 2 р3 р4 р5 р6
Р
55 56
Сэ Ба
Bs s a
6 41 81 82 83 84 85 86
5d 1'1 РЬ Bi Ро At Rn
6р р 2 3 р4 р6 1'6
Р Р
87 88
Fr На
7 7s в s3
51
6d
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Бс Ti V Cr Mn }4'е Со Ni Со Zn
ds 2 d 2 s 2 tl J s 2 dos d Б s 2 d 6 s 2 d 7 S2 d 8 s 2 d 10 8 d10S 2
71 72 73 74 75 76 77 78
Lu IIf Та W Не 09 Ir Pt
ds 2 d2s d 3 s 2 d 4 s 2 d 5 s 2 d 6 s 2 d 7 s 2 d 9 s
103 104
Lr Кп
ds l d 2 s'
79 80
Ли Ilg
d 1 0s d 1 0S 2
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
У Zr Nb Мо Тс Пи Rh Pd A Cd
ds 2 d 2 s 2 d 4 s dDs d 5 s 2 d 7 8 d'd s d 10 d1Us dlOS 2
I 32. ПЕРИОДИЧЕСНАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ
137
в вей, или, как принято rоворить, число дыр о к в оболочке. I\вантовые чис
па дырОК равны KBaHTOBЫ числа электронов. Основ по е состояние фтора яв",
пяетСЯ состоянием соднои дыркои В 2р оболочке. У кислорода две дырки 8
этой оболочке. Квантовые числа S и L должны поэтому совпадать у бора и
фтора, У уrлерода и кислорода у атомов с одинаковыми количествами элек..
тронов или дырок. I\вантовые числа J у этих атомов разные, поскольку у бо
ра и уrлерода J == I L S 1, а у кислорода и фтора J === L + s.
По мере увеличения числа электронов на 2р оболочке первый ионизацион'"
пый потенциал почти монотонно возрастает (табл. 3), и у атома неона он до..
стиrает 21,6 В. Высокое значение ионизационноrо потенциала (и малая энер"
rия сродства к «лишнему» одиннадцатому электрону) обусловливает химиче...
CRYIO инертность неона. Нак и rелий, неон входит в число блаrородных rазов.
В нормальных физических условиях они находятся в rазообразном состоянии.
J1x атомы не объединяются в молекулы и не вступают в химические peaK
ции. [Это утвеРiRдение является точным только для атомов, паходящихся в
основном состоянии. Возбужденные атомы блаrородных rазов MorYT входить
в состав :молекул «(эксимеры» ). Такие молекулы они образуют с атомами ra...
лоrепоВ. Возбужденные молекулы блаrородных rаэов (ArF*, XeCl* и др.) ис...
IJОЛЬЗУЮТСЯ В так называемых эксимерных лазерах, обладающих очень важ...
БЫМ свойством нерестраиваемой частотой излучения. Принципу действия и
устройству лазеров посвящена rл. х.] Блаrородными rазами, кроме 2 Н е и loNe,
явлнются все элементы, па которых заканчивается заполнение р оболочки:
aprOH 18Ar заполнена 3р оболочка
нриптон 36К' ваПОJIнена 4р болочка
ксенон 1i4Xe заполнена 5р--оболочка
радоН 86Rn заполнена 6р оболочка
Перейдсм R атомам, у которых начинает заполняться М слой (п == 3).
В атоме натрия (Z === 11) десять электронов обраЗУIОТ конфиrурацию неона,
а последний, одиннадцатый, электрон в невозбужденном атоме находится в
ЗS СОСТОЯПИIl. Основное состояние атома совпадает с состоянием последнеrо
nлектропа; это состояние 3281/2. Энерrия связи электрона, находящеrося в
М слое, существенно меньше, чем энерrия связи электронов в lrслое при близ..
них значениях Z. Поэтому первый потенциал ионизации у натрия мал
(5,14 эВ). Атомы с электронными конфиrурациями, аналоrичными конфиrу..
рации натрия (заполнена р оболочка и занято одно s состояние в следующе [
слое), обладают очень низкими потенциалами ионизации и, следовательно, вы...
сон ой химической активносты.. R таким атомам, кроме натрия, относятся Ka
лий (Z == 19), руБJJДИЙ (Z _ 37), цезий (Z == 55) и франций (Z == 87). Все
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
La Се Pr Nd pm Sm Eu Gd ТЬ Dy Но Er Тт УЬ
ш2 f2s2 /З s 2 /4S2 /Ь s 2 /6S2 /182 /7ш 2 j982 j 1 0s2 j11s2 /1282 /1382 / 14 а2
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1.01 {О2
Ас ть Ра U Np Ро Atn Ст Bk Cf Ез Fln Md No
ds 2 d 2 8 2 f 2 ds 2 fЗds2 f4d,s2 1 6 s2 1182 f1d,s2 1 8 ш 2 11082 (1182 11282 11382 f 4 s2
138
rл. YI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОН{НЫХ АТОМОВ
эти атомы вместе с литием входит в rруппу щелочных элементов. Сходство хи
мических свойств атомов, ПОЛОil{енное в основу построения периодичеСI;:О(I
системы элементов, объясняется одинаковой структурой их внешних элеКТРОll
Hыx оболочек.
Обратимся к табл. 3. у атома aproHa (Z === 18) полностью заполнены K и
lrслои, а в М слое заполнены только 3s и 3р оБОЛОЧRИ. В этом слое, однако,
возмоа\пы и состояния с l == 2, т. е. 3d состояния. Естественно было бы ОiНИ
дать, что в атоме J\аЛИfI с Z === 19 начнет заполняться 3d оболочка. ОдпаI О
на самом деле у калия, а затем и у I\альция (Z 20) заполняется 4s оболоч
ка, а 3d оболочка заполняется ТОЛЬRО начинаи со скандия (Z === 21). Причиной
"
отступления от «правильпоrо» порядка заполнения электронных ооолочек яв
nяется уа\е обсуждавmаяся ЭI ранировка ядра атома внутренними электрона
ми. Для s электропов экраНИрОВI\а 01\азывается паименее существенной. Вол
новые ФУНI{ЦИИ s элеI\ТрОНОВ имеют маl\СИМУМ в центре атома, поэтому s элеR
троны в среднем оказываIОТСЯ в более сильном поле, чем элrктропы с м:еIIЬ
тими значениями n, по болылими l; s уровни располаrаIОТСЯ в таких случанх
rлублн , чем уровни одноЙ или дал\е двух оболоч к предыдущеrо слоя. С YBe
пичением числа электронов в атоме влияние ЭJ\рапировки все сильнее CKa
зывается на порядке заполнения уровнrи, что можно проследить по электрон
БЫМ I\онфиrурациям, приведепным в табл. 3 и 4.
В табл. 4 указан порядок заполнения уровней для основных состояний
всех атомов, включая курчатовий (Z === 104). Атомы rРУППИРУIОТСЯ в пер и o
Д ы, приняты е в периодическоЙ системе элrментов д. и. Менделеева. RаЖДЫII
период пачипается с наполнениЯ очередной s оболочки, периоды со 2 ro по 6 Й
"
заканчиваIОТСЯ заполнением р ооолочеR.
Из табл. 4 видно, что во всех периодах с ростом Z р оБОЛОЧI И заполняют
ел последовательно, а в заполнении d.. и f оболочеR наблюдаются нереrуляр
ности. Четырнадцать элементов от ыLа дО 70УЬ называют л а н т а п о и Д а:м и;
у этих элементов (за ИСI{Лlочением caMoro лантана) последовательно заполняет
ел 4.f оболочка. Четырнадцать элемептов от 89Ас до 102 No составляют rруппу
а к т и п о и Д о в; в атомах этих элементов с некоторыми переrулярностя:ми
заполняется 5f оБОЛОЧI\а. Наименее связанные (валентные) элеБТРОНЫ этих
атомов находятся па заполненной s оболочке; энерrия ионизации НОрl\lаль
ных атомов лаптапоидов БЛИ3I\а к 6 эВ, для нормальных aTo loB актинои
ДОВ К 4 эВ.
33. Правила отбора при излучеНИl1 атомов
В атом:ах, паходящихся в основных состояниях, электроны зани--
мают саr.lые rлубокие энерrетические уровни. у возБУJнденных
атомов один или пеСКОЛЬRО электронов находятся па более высоких
уровнях, а часть НИiННИХ уровней остается пезаполнепной. При пс
ре ходах электронов с верхних на ПИiБпие незанятые уровни OCBO
БОiкдается эперrия. Если эта энерrия выделяется в пиле йлект.р о
fаrНИТIIоrо изл у чения, наблюдаются оптические п и пе ех х
внешних элект онов или ентrеповские при пе ехо H
их электронов) спектры . Исследование этих спектров являетсн
основным :методом изучения атомов.
Оцыт показывает, что наличие своБОДlIоrо MeCTa на одном из
ВlliI\НИХ уровней необходи {о, 110 не достаточно для испускания
нванта элеI ТРОl\lаrIIИТНОI'О излучения. ЭлеКТРОl\fаrНИТIIое излученпе
возникает, если !{ваптовые характеристики атом:а до высвсчиванил
и после высвечивания удовлетворяют TaR называемым: п р а в и л а f
о т б о р а, которые слеДУIОТ из законов сохранения и в первую оче...
редь из закона сохранения уrловоrо момента.
зз. ПРАВИЛА ОТБОРА ПРИ ИЗЛУЧЕНИИ АТОМОВ
139
Правила отбора естественным образом получаются из математи..
ческоrо аппарата квантовой механики. Для этоrо HYiHHO исследо...
вать взаимодействие aTOl\IOB с электромаrнитным полем, что требует
серьезноrо расширения матеl\lатическоrо аппарата. Делать этоrо мы
не будем. IIРОИСХОjндение И смысл правил отбора MorYT быть, од...
нано, получены II без вычислений с помощью простых качествен...
вых сообраiI\ений.
Из классической оптики известно, что световые волны MorYT быть
поляризоваННЫl\lИ. Поляризация света всеrда является поперечной.
В оптине показывается, что ВОЗl\IОiI\НЫ две различные поляризации
света. В качестве основных поляризационных состояний в класси...
чесной фИЗИRе обычно рассм:атривают две взаИМlIО перпендикуляр'"
JJые линеЙные поляризации. Все друrие поляризационные состояния
MorYT paCCl\-Iатриваться кан суперпозиции этих основных. Так, кру",
rовая поляризация MOiHeT быть представлена в виде суперпозиции
равных по амплитуде колебаний, сдвинутых по фазе на л/2; при
JIepaBIIblX амплитудах возникает эллиптическая поляризация и т. д.
Такой выбор основных поляризационных состояний обусловлен
знсперимепталыIмии причипами: обнаружение (и получение!) ли...
Ilейно поляризоваНIIоrо света проще, чем исследование света, на...
пример, с эллиптической поляризацией.
Нан YjI\e отмечал ось, объентивным свойством природы является
ч и с.л о независимых компонент, необходи:мых для описания Toro
или иноrо объекта (в наше).1 случае две поляризационные I\ОМПО'"
ненты), в то вреl\IЯ как выбор тех или друrих КО1vIпонент в каче..
стве основных зависит от Hamero произвола. В квантовой механике
за исходные поляризации удобнее выбирать не линейные, а цирку..
лярные с вращением электричесноrо вектора по или против часо.
вой стрелни. 11 ри таном выборе основных компонент линейная по...
ляризация представляется суперпозицией двух циркулярпо поляри..
З0ванных составляющих.
РаСС1vIОТРИМ циркулярно поляризованный свет, Т. е. волну, у RO"
торой вектор Е (равно как и вектор Н) вращается по Kpyry. Век...
тор уrловоrо момента электромаrнитноrо излучения направлен при
этом по линии ДВИiкения волны. у правовращающеrося света оН
направлен по направлению движения фотона, а у левовращающе...
rося против этоrо направления. Переходя на ЯЗЫR квантовой ме..
ханики, мы должны сназать, что у фотона есть спин, причем про...
екция спина на направление движения фотона может принимать
два значения. На первый взrляд наil\ется, что спин фотона должен
быть равен 1/2, тан кан в этом случае существование двух (и толь...
:ко двух!) компонент поляризации получается автоматически. Леrко
Видеть, однако, что это не так. Если бы спин фотона равнялс.я 1/2,
то при электромаrнитном излучении уrловой момент атома менялся
бы На 1/2, т. е. становился бы из целоrо полуцелым или наоборот.
Но это пеВОЗМОi1\НО, тан как при испуснании фотона число элент--
РОНОВ в атоме пе изменяется, а момент электронной оболо:qRИ атома
140
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОНПIЫХ АТОМОВ
является целым при четном числе электронов и полуцелым при
печетном. Спин фотона ДОЛ)I ен поэтому выра}каться целым ЧИСЛОl\1
и заведомо не равен нулю. Более подробное исследование показы
вает, что сnиn фотоnа равеn едипuце. У любой друrой частицы Прll
этом были бы возможны три проекции спина на направление дви...
жения: 1, О и +1. ПопереЧ1l0СТЬ световой вОЛltЬ выражается в TOol,t,
что у фотона в 03MOJlC1tЬ1, пе три, а Толь о две npoe1ilfuu: 1 и + t
(отсутствие компоненты с проекцией, равной нулю, называется па
языке RласеичеСRОЙ физики поперечностью волны).
В общем случае фотон мол\ет описываться ЛIобой супеРПОiJИ'"
цией состояний с проенциями 1 и +1. В частности, при раВIIО I
вкладе этих компонент (линейная поляризация) среднее значепио
проекции уrловоrо момента фотона на IIаправление ДВИiI\епия paH
но нулю. Такая суперпозиция, однако, ОТIIIОДЬ не равнозначна вол...
не с нулевой проекцией спина. Если поставить опыт по изм:ереНИIО
проекции спина фотона на направление движения, то наша ВОЛIIR,
ЯВЛЯIQщаяся супеРПОЗllцией волн с проеI\ЦИЯМИ 1 и +1, будет
с равной вероятностью давать оба эти значения, в то время KaI
волна с проекцией, равной нулю (если бы она моrла существовать),
всеrда давала бы одно единственное, нулевое 8начение проекции.
Рассмотрим теперь, насколько изменяется loMeHT атома при ис..
пускании фотона. Это изменение равно моменту, уносимому фото
ном, и, вообще rоворя, складывается из двух частей: И3 СПИIIовоrо
момента фотона и из орбитальноrо момента, который появляется
при нецентральном испускании кванта. Леrно видеть, что «нецент...
ральное испускание» в оптике практически неВОЗl\IОН-\НО. ДеЙстви...
тельно, чтобы такое испускание моrло ПрОИЗ0ЙТИ, IIYiI\HO, чтоБI.>I
'Ф функция фотона в момент испускания была велрп а на ОДНОl\I
краю атома и мала на ДРуrом краю. TafiYIO 'Ф ФУНI\ЦИЮ НУЖIIО co
ставить из волн с частотаl\IИ, по ПОрЯДI\У величины раВIIЫ IИ часто...
те испускаемоrо света (частоты M:orYT варьироваться в пределах
ширины спектральной линии). Но оптическим частотам соответству",
ет длина волны около 5 · 10 5 см, а размер атома по порядку вели...
чины равен 10 8 см, т. е. в 5000 раз меньше. Ясно, что из световых
волн нельзя скомпоновать 'i' функцию, СКОЛЬRо нибудь заметно :Me
IIЯЮЩУЮСЯ на атомных размерах. ПОЭТОl\IУ фотоны, испускаеl\lые
атомами, уносят момент, равный спину фотона, т. е. единице. Эта
не значит, конечно, что испускание фотона с отличным: от нуля
орбитальным моментом вовсе невозможно, но такое испускание
I\райне мало вероятно. Возникающая здесь степень запрещения по-
порядку величины равна 10,\ т. е. па 100 М:ЛН. aTOl\IOB, испускаIО...
щих фотон без орбитальноrо момента, наiiдется Bcero один aTOl\I,
испускающий квант «с края .
Развитые представления позво.ляют попять, какие переходы
......
в ОПТИI\е возможны, а какие невозм:ожпы, т. е. понять пр а в и л а
о т б о р а при излучении. Пусть атом до испускания фотона не И)lел
момента (J вач == О). Закон сохранения момента позволяет YTBCPil\--
33. ПРАВИЛА ОТБОРА ПРИ ИЗЛУЧЕНИИ АТОМОВ
141
даТIJ, что после излучения МОl\lепт атома J 1щп ОI(а1нется равным еди
](ице. АналоrИЧПЫl\1 образом в Бонечпое 'состояние с J1юff. с= О 8TOltl
-мо}!\ет перейти толы о из состояния С J llач === 1. ТаI{Иl\{ образом, если
-либо в нача..11ЫIОl\(, либо в RопеЧIIОМ состоянии J === О, переход :В03
.мо}неп в TO l И ТОЛIJНО В TOl\I случае, если при излучении момент 1
меняется па единицу:
l == 1.
'В частноСТИ, пепоамоно(ы Tal{ называемые О О переходы из состоя..
JJИЯ С J иаЧ == О В состояние с Jf(tlH === о.
Расс.l\(ОТРИl\1 теперь случаii, коrда J r::/= о. Как видпо из рис. 59;
.при СЛОF!\епии еДИПИЧIlоrо вектора (j Bel\TopOM J длина последпеrо,
,
\ <)
Рис. 5fЭ. DrI-\торпап МОДСЛЬ СЛОjI еIIИЯ уr.л08Ь[Х МОМСНТОВ атома и фотона
'моа(ет ИЗl\IСНИТЬСЯ па С;1;ИПИЦУ или не ИЗl\lепитьсЯ nовсе (ни:какие
..друrие ИЗ:\lепени я из за нвантовани:я J певозl\IоiкныI.. ТаI{ИМ образом,
.возникает слеJ УIощее правило отбора при излучении:
} == 4 1, О при lнач. =1= О, J 1ЮН t=/= О,
I ;;:=: + 1 при 11I4Ч == О или 11<08 == о..
(6.7)
(6.8)
АпалоrИЧIlЫ 1 образом для кваптовоrо числа т.f найдем
1n" ;;:=: :f: 1, о. ( 6.9) ,
I)аССМОТРИl\t1 теперь векторы S и L. Излучение света СRязаIIО'
9леI\ТрО?lаrНИТIIЫl\IИ своiiствами электрона. Во взаи [одеЙСТ8ИИ'
ос элеI'ТРОl\IаrпитноЙ полноЙ, nооБIl е rоворя, учаСТВУIОТ нан заряд.-
-так и АIаrнитпыЙ AIOl\ICIIT атома. IIспускание света B03 {OIIaIO либ()
--в результате И3l\fепепия двиа еIlIIЯ заряда (из:мснепие L), либо в'
результате поворота собствеПlIоrо АIаrПИТIIоrо мо:мепта (ИЗi\lепспио'
;S), либо по обеИl\1 причина:м сразу. I)асчет ПОI\азывает, что для
леКТРОl\Iаrнитноrо излучения, лен\ащсrо в оптичеСКОl\l диапазоне,
взаимодействие фотона с зарядом электрона оказывается rораздо
-сильпее взаимодействия с l\tlаrПИТIIЫМ МОl\lепто}[, так что l\IOil\HO сqи
'Тать, Что излучение не связано с l\IаrПИТIIЫМ: 1\10 IeIITOl\I. Орбиталь
-IIЫЙ и спиновый уrловые ){Ol\leHTbI ио раЗIlОl\-IУ сказываются на-
:электричеСКОl\l и аrНИТНО 1 моментах 8TOl\fa. Орбитальныii уrдовой
:момент влияет как на первый, так и на второй, а направление спи '
]]а только на маrнитный момент. Поэтому ПРIl испускании фото--
1.10 оптическоrо диапазона вектор спипа ие претерпевает измене...
:пии, т. е.
I
l
L
1') === о.
( 6,. .1 О).
142
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
Выведенные выше правила отбора по J и S определяют правило
отбора по орбитальному KBaHTOBOl\fY числу и по ero проекции:
L == О, :f: 1 при L нач =1= О, L 1ЮН =1= О,
I1.L == :f:: 1 при L нач === О или L tfOB == О, (6. i 1)
11. т L === О, ::f: 1.
Укажем в заключение, что переходы с I1.L === О неВОЗМОII{НЫ
для атомов, в которых испускание света связано с ИЗl\tlенением
ДВИiкения Bcero одноrо элентрона, в частности для всех переходов
в атоме водорода и водородоподобных атомах, а таК l\е в aTOl\IaX
с одним элеКТРОIJОl\1 сверх заполненных оболочек. Появлепие этоrо
запрета связано не с уrловым моментом (сохранение KOToporo опре
деляет все остальные правила отбора), а с законом: сохранения
четности волновой функции. ПОСКОЛЬКУ оБСУiкдение этоrо вопроса
выходит за рамки книrи, указанное правило следует просто за
помнить.
Здесь следует еще раз подчеркнуть, что все полученные правила
отбора связаны со свойства м:и фотона и характерны лишь дл,-r
злентромаrнитных 1) переходов. Если переход атома с уровня на
уровень осуществляется не с помощью света, то правила отбора
оназываются друrими; часто они вовсе отсутствуют или сводятся
н утверждению, что переходы с большим изменением IoMeHTa мало.
BepO THЫ. fIодобная ситуация Иl\tIеет место при возБУ l\дении атомов.
здектронным ударом в rазовых разрядах, при тепловом возбу}кде
пии атома и т. д.
Снажем нескольно слов о друrих способах, которые позволяю'}'"
атомам избавиться от «лишней» энерrии и перейти из возбуа\ден
Jloro состояния в основное. Начнем с эффекта Оже 2). .8 Ф Ф е 1\ т о м
Q ж е называется явление, при котором перехопяший в нижнее co
стояние элект он не И3Л чает эне r , а передает ее лруrом у
а томному элеНТDОН У. же переходы часто наблюдаются при запо.л
нении свободных мест на внутренних оболочках. Атомные перехо
ДЫ при этом сопровождаются выделением заметноrо количества
энерrии, достаточноrо для Toro, чтобы удалить из атома один из-
внешних элентронов. Тан как энерrия свободных электронов нО'
квзнтуется, удаляемые из атома о ж е .. э л е к т р о н ы MorYT уносить.
любое количество энерrии, в частности всю энерrию возбужденил
атома.
Друrим ваil{НЫМ примером атомных переХОДО8, происходящих:
без излучения, являются переходы при таи называемых у Д а р а х:
.T о Р О r О р О Д а. При обычных ударах кинетичесная энерrия CTa.l1
:кивающихся частиц частично расходуется на возБУi-I\дение аТОМОА.
При процессах BToporo рода один из сталкивающихея атомов (ила
1) Точнее для ДИПОЛЬНЫХ электромаrпитных переходов.
) п. Оже французский физик, открывший и исследовавший этот эффект.
\
\
34. ОПТИЧЕСНИЕ СПЕНТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
143
()ба) находится в возбул\денном состоянии. При ударе эта энерrия
увеличивает кинетическую энерrию разлета атомов. Такие переходы
всеrда ВОЗl\IОЖНЫ, но ОRазываются существенными лишь в тех слу...
аяХ, ноrда обычные переходы с испусканием фотонов в сталкива...
ЮЩIIХСЯ атомах запрещены правилами отбора, т. е. эти атомы (или
<ОДИН из них) находятся в м е т а с т а б и л ь н о м с о с т о я н и и.
:9 34. Оптические спектры сложных атомов
Исследуем схему уровней и оптичtJСКИЙ спектр атомов rелия. Oc
HOBHЫl\ состоянием aTOl\la rелия является 180 состояние; оба элект
рона находЯТСЯ на уровне 1s, а их спины соrласно принципу Паули
направлены в ПРОТИВОПОЛОiI ные стороны. При возбуждении атомов
'один иЮI оба элен:трона переходят на более высокие уровни. Мы
,оrрапичимСЯ наиболее вероятными случаями, коrда один из элект...
ронов остается на уровне 1s, а друrой переходит в одно ИЗ возмон\--
ных возбуа,денпых состояний; в таКИХ случаях перед обозначением
-состояния атома часто пишут значение r.лавноrо KBaHToBoro числа
1ЗозБУiI\дснноrо электрона. Если один из электронов атома rелия на...
ХОДИТСЯ не на уровне 1s, то ero спин может быть ориентироваll
]{аl\ антипараллельно, так и параллельно спину друrоrо электрона.
Схема уровней атома rелия и наиболее вероятных переходов
между ними изображена на рис. 60. На шкале слева указаны энерrиИ
уровнеЙ, а справа энерrии возбуждения. Энерrия ионизации ато--
ма равна 24,47 эВ. РаССl\fОТРИМ сначала уровни, соответствующие co
стояниям с антипараллельной ориентацией спинов электронов. Для
:этих уровней 8 == О и мультиплетность 28 + 1 === 1, т. е. уровни яв--
.JIяются ОДИНОЧНЫl\fИ ( синrлентными). Схема этих уровней изобра--
жена в левой части рис. 60. Уровни с различными значениями
l{ваптопоrо числа 1 у возБУiI денноrо электрона разнесены в отдель--
-вые сто.лБИI\И. Слева от уровней представлены значения rлавноrо
-кваитопоrо числа n для этоrо электрона. Для уровня 1 180, COOTBeT
rCТВУlощеrо основному состоянию атома, и для уровней 2180 и 2 1 р.
Я скобках указаны состояния обоих электронов. ·
I\р()ме состояний, в которых спиновый момент атома rелия ра--
-вен ПУЛIО, возможны состояния со спиновым моментом 8 === 1 и
мультиплетностыо 28 + 1 3 (триплетные уровни). Уровни, соот'"
"Rетствующие этим состояниям, изобраiI\ены в правой части рис. 60.
aMЫM НИ I\НИМ из этих состояний является состояние 2381 (для
еоответствующеrо уровня в скобке справа указаны состояния обоих
:з ектронов). Состояние 1381 запрещено принципом Паули. Уровень
2 8. является одиночным, как и все 8 уровни. Этот уровень ра спо"
JIОj.I\еп песколы\o ниже, чем уровень 2180: энерrия возбуждения для
уровня 2180 равна 20,6 эВ, а для уровня 2381........... 19,8 эВ. Следующее
'СОСтояние атома с 8 == 1, коrда первый электрон остается на 1s...
-Уровне, а второй переходит на 2p YPOBeHЬ, состоит из трех БЛИ3RО
раСПОЛОiненных уровней, так как при 8 == 1 и L == 1 вектор 1 MO
..........
144
o
Лараеелl.lц'
р
1
rл. VI. СТРУНТУРА И ПЕRТРЫ СЛОiI\НЫХ АТОМОВ
)кет принимать три значения: О, 1 и 2. СоотвеТСТВУIОЩИС уровни
имеют несколько различную энерrию и обозначаются 2 ЗР о, 2 З Р t п
2ЭР2. Тройными являются TaKiKe уровни 3D3. 2. S И ЭР,. 3.2, однако их
расщепление незначительно.
Е УР, э/J Ь01 аВ
14
N
C\J
f\J" 12
14 .
.. .. 111
ICS
"'15 "1-
"'"
00'" 8
ч) 1
.
с'а
--18 Q)
Q.
fO( о-
4:
--22
"'24- (/818)
24, 7 О
о
4
3
"'2
...4 Z
ОртО68ЛI.IЦ
"02 Т 38, 3 р P. 3.0 F.
2,1 О 3,2,1 4,3",2 24,47
I 24
4. 4,4=== 4
й 3 I 3 if;j
I 3" ,,{) \}
c 1'1 '>G?& o.1.r t:....
.v f <;' .I ,> ')U 4:)'V
2Us2p) 2
':>
<О'
J.?
\"I
2058,2.
(/828)
22
1217
15"
18
Рис. 60. Схема уровней и переходов в атоме rелил
Рассмотрим теперь элентромаrнитные переходы между уровнями.
При таких переходах для квантовых чисел J и S должны вЫпол
НЯТЪСЯ правила отбора (6.7), (6.8) и (6.10). Для орбитальноrо
'-
....
\
\
34. ОПТИЧЕСНИЕ СПЕНТРЫ слопtIlЫХ АТОМОВ
145
J\ваитовоrо числа L ДОЛiННО выполняться правило отбора L == ::1::1,
1-а}( нак при рассматривае1vIЫХ переходах изменяется состояпие все--
ro одноrо электрона. Переходы, не запрещенные этими правилаМII
uтбора, изображены a рис. 60 стрелками. Липии, соотвеТСТВУIощие
тиМ переходам, деиствительпо наБЛlодаются в спектре rелия.
НСDериментальные значения длин волн ЭТИХ линий обозначены
ll)l,ОЛЬ стрелок.
Важной особенностью оптических переходов является их кас...
J\3ДНЫЙ характер. Во мноrих случаях прямые переходы из возБУiК--
дt:пноrо состояния в основное запрещены правила)-IИ отбора. Так,
тодьно один из уровнеЙ М слоя (3 1Р l) может «высветиться» сразу
в осповное состояние. Атомы, lIаходящиеся в двух друrих состоя...
JlИЯХ (3180 и 3 1 D 2 ), MorYT переходить в основное лишь в «два
прыжка». Если атом rелия, llаходившийся в одном из высоких воз...
GУiIiденных состояний (например, в состоянии 3 1P t), после высве...
Чllвапия о:казывается в состоянии 2180, то возвращение атома из
этоrо состояния в осповное путеl\l испускания одноrо фотона OKa
ны вается веnОЗ?\IОЖНЫ1\1 1). Переход в основное состояние возможеlI
ТОЛЬНО путе I испуснания двух фотонов одновременно или при столк--
Jluвении ato?t-Iов. fIОЭТОl\lУ 21S0 состояние оказывается долrоживущим
ИЛИ, кан rоворят, м е т а с т а б и л ь н ы 1\1.
Излучательные переходы меiНДУ триплеТlIЫМИ и синrлетны1tIИ
у ровня:ми запреIl ены правилом отбора по СnИНОВО1vlУ MOl\IeHTY и
')(;уществляться не :MorYT 2). Сnентры rелия распадаются поэто:му на
два семейства....... на переходы меjНДУ синrлетным:и и переходы MeiI{
ду ТрИПЛСТНЫl\IИ УРОВIIЯ IИ.
Излучательные переходы Iежду синrлеТНЫ fИ термами rелия об...
раЗУlо'r ТУ часть спектра, которая называется спектром пар а r е...
Jl и я; липии спектра параrелия одиночные. rелий в триплетных
IНJзБУiкденвь]х состояниях называIОТ о р т о r е л и е м; спектр орто...
I'СJ1ИЯ состоит из узних триплетоп.
НИ)I,нее триплетпое состояние 2 3 S. располол,еIIО значительно
FЪ1ше OClloBIIoro состояния 118o, однано переход с испуснаниеl\f
фотонов между ЭТИl\fИ УрОВIIЯl\fИ запрещен, и состояние 2381 таКЛiе
является метастабильны:м. В отличие от метастабильпоrо уровня
2180 здесь неВОЗl\10iНПЫ и переходы с испусканием ДВУХ или не--
скольких фотонов. IIереход из этоrо состояния в основное возможеII
толъно при ударах BToporo рода.
Отметим, что спе:ктры ионов, У которых в атомной оболочке
I меIОТСя Bcero два электрона (зLi+, Be2+ и т. д.), сохраняют осо--
бепности спектра rелия. Наличие ДВУХ наборов термов (синrлетвых.
1) Этот переход запрещен сразу двумя правилами отбора. Поскольку в па..
'1а.вьном (и в конечном) состоянии атома J == О, разреmены только переходы
А} === 1, а в вашем случае А} == о. Кроме Toro, как и во всех однозлектрон",
ПЫЖ переходах, запрещены переходы с AL =1= 1.
2) Исключением ЯВЛllется пишь слабый иптерко:мбипациоппый» переход
с А === 59,1f? ИМ.
10 n. л. rОЛЬДИН. r. и. ПОВlп ова
146
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕНТРЫ СЛОiRНЫХ АТОМОВ
и триплетных)' наблюдается также у мноrоэлектронных атомов
с двумя валентными элентронами (например, у атомов щелочнозе--
мельных элементов) и у сходных с НИМИ ионов.
Перейдем теперь к атому лития. Основным состоянием атома
Лития является, как мы знаем, состояние 2281/2 (1s 2 2s). 2s элеRТРОJI
связан с ядром rораздо слабее, чем 1s электроны, поэто у леrqо
Bcero осуществляются переходы, связанные с возбуждениеJ\1
2s электрона. Оптичесний спектр лития связан с переходами этоrо
валеПТlIоrо электрона.
На рис. 61 изобраJI еIIа схема уровнеЙ атома лития. Так как при
одноэлектронных переходах в aTOl\IaX ДОЛiIПIО выполняться правило
отбора I1.L == + 1, то снова удобно раздвинуть уровни S, Рит. д.
В отдельные столбцы, KaI\ это и сделано на рисунке; при излучении
MorYT осуществляться ТОЛЬRО переходы Iен\ду уровнями соседних
столбцов.
Как и во всех сложных атомах, уровни 28 и 2Р у лития обла
дают различной энерrиеЙ; различна энерrия и уровней 38, 3Р и 3D
и вообще у всех уровней с одипаI\ОВЫМИ п, 110 ра3НЫl\fИ L. S ypOB
НИ лития одиночные, а все остальные уровни из за наличия спин--
орбитальной связи мультиплеТllые. Так KaI СПИlIовое квантовое
число атома лития S === 1/2, то все эти уровни дублетные. Р уровни
являются совокупностью PI/2 И РЗ/2 УР08ней. D уровни состоят ИЗ
DЗ/2 И D5/2 уровней, и т. д. У леrких атомов спин орбитальное
взаимодействие невелико, поэтому тонкое расщепление уровней ока--
зывается небольшим и на схеме уровней не otpaj-I ено.
На рис. 61 стреЛI{ами изобраiнены наиболее сильные переходыIt
не запрещенные правилами отбора 11. L == =f:: 1, 11.1 === О, ::f: 1. Липии,
соответствующие всем этим пере ходам, действительно наблюдаются
в спектре лития. Из рисунка видно, что все липии сrруппировапы
-в серии. Серия линий пР 28 называется r л а в н о й серией; ли--
нии этой серии леrко наблюдаются не ТОЛЬRО в спеI{тре ИСПУСR3НИЯ,
по И В спектре поrлощения лития. ЭкспеРИl\Iентальные значеНИ 1
длин волн линий этой серии обозначены на стрелнах. Серия линий,
соответствующая переходам меil\ДУ УРОВНЯl\lИ п8 и 2Р, называется
рез к о Й, серия nD 2Р д и Ф фу 3 Н О й. Линии, В03НИI<аЮI цие при
переходах 4F 3D и 5F 3D, относятся к фу п Д а м е 11 т а л ь н о й
серии.
В ии/кней правой части рис. 61 изобраiкепо СПИII орбитаЛI)ное
расщепление терма 2Р и связанное с пим расщепление р е 3 o
Н а н с н о й линии, т. е. линии, соответствующей переходу 1\1еiI\ДУ
{)сновпым и НИiI{НИМ возбужденным: состояниями. Как видно из ри
супка, спип орбитальное расщепление липии невелико (L\л. ===
с::: 0,015 им), однако оно леrI О обнарул\:ивается на опыте при исслс
довании оптическоrо спектра лития спектрометром с высокой раз-- ,
решающей способностью. Все остальные линии rлавной и друrих
.серий также не являются одиио:чными. На схеме переходов указа
вы лишь усредненные по мультиплетам длины волн. Следует Отм:О....
\
I З . ОПТИЧЕСНИЕ СПЕНТРЫ слоiнных АТОМОВ
147
ть что с Р остоМ Z величина спип орбитзльноrо расщепления
тв , u
уровней, а следовательно, и спектральпых.. линии растет и у тяже
ЛЫХ аТОМОВ становитСЯ BeCЬM значител нои.
Е УР, эlJ
)
281/2 2 P112,J/2
nS пР
О
б б
5 5
1 4
2
IJ J / 2 ,5/2
nЛ
Е 60ъб эtJ
,
2
F 5 / 2 ,7/2
nF
5,38
2
.3
8 6'
5 5"
4 / 4
'\,'\:
1t>'I 10
fj '
,,
5
4
---о
J .B ;5
2-
и- apvt.J/
2
/ 2 Рз/z
/ 2
/ 2 P1/Z 1
1fb
" ,
2 / / '0
2 81/2
О
---4
5
....5. J9 2
J
Рис. 61. Схема уровней и оптических переходов в атоме лития. S уровпи лВля....
ются синrлетными" 8 все остальные дублетными. В нижней правой части
рисунка без соблюдения масштаба показапа структура 2Р уровня ирезонаН....
\ свой линии. Для всех остальных линий указано среднее звачепие ДЛИНЫ ВОЛ 4
'\ вы иультиплета
Схемы уровней друrих щелочных атомов, у которых, как и у ли
тив, сверх заполненной р оболочки находится только один s элеRТ
рои, очень похожи па схему уровней лития; разница заключается
r в ТОМ, ЧТО основным состоянием натрия (Z == 11) является 3S1/3 CO
\ 10.
(G.12)
1 8
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОНПIЫХ АТОМОВ
тояние, основное состояние калия (Z == 19) 481/%' рубидия (Z:=:2
с:: 37) 581/1, цезия (Z _ 55) ........ 681/1 И франция (Z == -87) 7 SI/'J 8
r bl онечно, и эперrи уро ей . п рrия: ионизации ..этих
атомов монот о нно уменъшаётся с увеличением z. Характер спектров
Полностью сохраняется. В спектрах всех щелочных элементов
(и Схожих с ними ионов) различают rлавную, pe3RYlo и друrие
серии. Особенно хорошо изучен Он--
3 P J/l тический спектр натрия. 3HaMeIIH
3Pt/l. ТЫЙ резонансныЙ «желтыЙ дуб--
лет» натрия (рис. 62) явился пер--
ВЫ1\I ЭRспериментальным УI(азани--
ем на существование у 9леКТРОIlа
собственноrо уrловоrо момента
спина.
Строение - атомов щелочных
элементов (и СХОДных С ним и
ионов JЗе+, l\Ig+, Са+ и т. д.) на...
поминает строение водородоподоб--
ных атомов. у водородоподобных атомов единственный элеКТРОII
движется в центральном поле ядра, а в aTo [ax щелочuых эле...
ментов последний, слабо связанныЙ с aToMo 1 элеI{ТРОН Движется
в поле «aToMHoro остатка», состоящеrо из ядра и Z 1 . электро",
на. Атомцый остаток Иl\lеет структуру блаrОрОДIlоrо rаза и пред--
ставляет собой очень устойчивое образование. Поэтому м:поrио
свойства атомов щелочных металлов похожи на своЙства атома водо--
рода. Но между аТО1\Iами щелочных металлов и водородоподобными
атомами имеется и существенное различие. В атоме водорода элеI\Т
рон движется в поле точеЧIIоrо заряда, в то вр(),мя н:ак (tатомный:
остаток» щелочных металлов отнюдь не является. точечным. Волн()
вые функции валентноrо элеl трона в разных состояниях, I\ак мы
знаем, имеют различное пространственпое распределение; поэтому
нерrия щелочных атомов зависит от орбитальноrо .I\ваитовоrо чис
ла l валентноrо элеБтрона. Для расчета энерrии уровней в щелоч
IIЫХ металлах MOililfO примепять формулу
Е 1 & == RIZ ФФ 1 " .
(п l\д
Формула (6.12) очень Похон а на (5.12) для энерrии ВОДОРОДОIIО--
добных атомов. Здесь, так iI\е как и в (5.12), R I === те 4 /2п 2 ==2
== 13,6 эВ, а n rлавпое квантовое число оптичеСRоrо (валентно...
ro) электрона. Эфф' p.a HO еДинице для щелочных атомов, двум для'
однозарядных ионов типа ,Ве+, трем для двухзарядны,Х ионов .та--
ких, KaK &B Z +, И Т. д. Поправка к rлавному квантовому числу ,
называется к в а н т о В- ы и Д е. Ф е к т. О М I И учитывает зависимость
энерrии уровней от орбитальпоrо кваптовоrо числа. TOIIl\.Oro paG--
щепления уровней (6 12) не учитывает.
Формула {6.12} .Iожет быть использована для вычисления вол . ;:
I
381/2
Рис. 62. Схема псреХОДОD, COOT
встствующих )I{СЛТОМУ дублсту
патрия
g 35. PEIITrEIIOBCHOE И3ЛVЧЕНIIЕ
149
ых чисеЛ и длин волн спектраJIЬНЫХ линий атомов щелочных
вов I I
металЛОВ и похоН\ИХ па них ионов. ри расчетах нужно знать эна...
чение поправок l. Эти поправн:и )10rYT быть рассчитаны или оп...
ределены эhсперимеllталыl.. 311ачепия /11 дЛЯ Ы, Na, К, Rb и Cs
приведены В табл. 5.
т а б л и ц а 5. ПопраП[\1I 6.1 ДЛЯ атомов Щелочных металлов
z
Элемент
1==0
1===1
1===2
1
':::с3
3 л IIТИЙ 0,412 0,041 0,002 0,000
11 llатрий 1,373 0,883 0,01 О 0,001
19 I алий 2,230 1,776 0,146 0,007
37 р уБJ1Д 1Й 3, 1 )5 2,711 1 ,233 0,012
55 Цсаl1Й 4,131 3,649 2 t 448 0,022
Мы не будеl\I продолжать разбор схем уровней и спектров дpy
rиК 8TOl\IOB, TaI{ как подробное рассмотрение этоrо вопроса COCTaB
ляет предмет специальноrо раздела физики 1) .
* 35. PCHTreHoBcKoe излучение
Характеристические рентrеновские спектры. ПОД действие:м: элект
ронов IIЛИ фОТОНОВ, обладающих большой энерrией, из сложных
aTOJ.\1[OB }IorYT быть удалены (или переведены во внешние свободные
оБОЛОЧБИ) внутренние ЭJIеI ТрОНЫ ато:мов (рис. 63а). На освобо ив
шиеся :места переходят электроны с соседних оболочек. Эти пере...
ходыI' таI\ же I\aK и переходы внешних, оптичеСRИХ электронов,
N , - . rf
t1 . .
L
.. 1 : -
.
t : .
.
.
к
а о d
Рис. 63. Схема возникповения хараGтсристичсскоrо рептrеновскоrо излучения:
а ....... возБУil дение К ЭЛСI\тропа; б возникновение Ка. линии хараБтеристиче..
CI oro спектра; в В03НИI{повение Lа. ЛИПIIИ харантеристическоrо спектра
СОПровождаются ИСПУСl\ание 1 фотонов (рис. 636 и в). При перехо...
дах ltIежду внутренними оболочкаl\lИ aTOl\lOB выделяется существен...
110 ббльшая энерrи:л, чем при переходах :м:ел\ду наРУЖИЫl\lИ оболоч...
Камн. Фотоны, ИСПУСl{ае:мые при переходах электронов с одной
Впутрепнеii оБОЛОЧI,II атом:ов на друrую, им:еют энерrию. в сотни,
- . 1) См., например, кпиrу f. А. Ельяшевича «Атомная и молекулярная
СuеI{ТРОСliОПИЯ» (1\1.: ФИ3Аlатrиз, 1962)..
150
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ слон,ных АТОМОВ
2
4- Т 7 / 2
2
4- F5/2
2
4- [) 5/2
42п /2
2
4. Р 3/2
2
4 Р1/2
2
4- 01/2
тысячи, а у тяжелых атомов даже в десятки тысяч раз большую
чем оптические фотоны. Это излучение называют х арак т е р и с т и
ч е с к и м р е н т r е н о в с к и м и з л у ч е н и е м. Спектр xapaKTe
ристическоrо излучения зависит от структуры уровнеЙ. Поэтому
:каждый элемент обладает своим собственным, присущим ТОЛЬКО J I
О
Нп
N тп
Ну
На
H1lI
Н л
N z
2
3 [)5/2
2
3 D 3/2
з2ро/z
2
3 Р1/2
3201/2
22.03/2
2
2 P1/Z
2 2 S 1 / 2
128//2
/( сер"я
Рис. 64. Схема рентrеновских термов мноrоэлектронных атомов и переходов,.
при которых возникает peHTreHOBCKoe характеристическое излучение. Ось энер
rии направлена вниз, масштаб не выдержан. Направление стрелок соответст".
вует переходам электронов; дырки» (вакансии в оболочках атома) передви
rаются в обратном направлении, Т. е. из состояний с большей знерrией в coc
тояния С меньшей эперrией
f1v
/10
I1 т
М л
M I
\ \
М серllЯ
, " , , I
, ,11 I
,11 lIt ,
I \. )
У
I l серия
ж
' N '" , '<'\1
,
I
t I \ , \ ,:,
J
У
ему спектром характеристическоrо peHTreHoBCKoro излучения. В OT
личие от оптических спектров, ревтrеновские спектры довольно.
просты И реrулярно из:меняются от элемента к элеl\lенту. Такой
характер рентrеновских спектров объясняется тем, что при перехо
де от элемента к элементу меняется не структура внутренних обо
почек, а эперrия связи заполняющих эти оболочки электронов.
L ш
L][
Lz
к
I
I 35. PEHTrEHOBCHOE ИЗЛУЧЕIIИЕ
151
РассмОТРИМ схему рентrеновских уровней (термов) мноrоэлект
pOHHoro атома (рис. 64). Каждый рентrеновский уровень COOTBeT
ствует при ращению энерrии атома при удалении одноr электрона.
РентrеНОВСI ие уровни носят, таким образом, «дырочныи» характер
( 32). Так как для замкнутой оболочки квантовые числа L, S и
J равнЫ нулю, то L, S и J у оболочки с удаленным электроном
совпадают с l, s и j удаленноrо электрона. Поэтому схема peHTre
новских уровней имеет тот же вид, что и схема уровней BOДOpOДO
подобных aTOl\1:0B. (РаЗУl\lеется, энерrия уровней зависит от Z и
быстро увеличивается по абсолютной величине с ростом aToMHoro
номера.) На рис. 64 справа записаны обозначения уровней. В OT
сутствие внешнеrо маrНИТllоrо поля состояния, отлпчающиеся Ha
правлениеl\l! м:омента импульса, вырождены. Поэтому K ypOBeHЬ яв
ляетсЯ одиночным. Этому уровню соответствует дырка в 1s оболоч
ке. L УРовень состоит из трех компонент L 1 , L п и L п1 . СамыЙ rлу
бокий из этих трех термов соответствует дырке на 28 1/2 оБОJIочке.
Уровни 2 Р l/2 и 2 Р З/2, соответствующие LII и LIII TepMaM, различа
ются по энерrии из за спин орбитальной СВЯ3И. В леrких атомах
термЫ L I и L п очень близки (энерrия в основном зависит от J),
а по мере УТЯiнеления aTOl\IOB расстояние между ни:ми быстро воз
растает, так как разная степень экранирования в S и Р СОСТОЯIIИЯХ
приобретает все большее значение. M TepM состоит из пяти компо
нент, N TepM И3 семи, и т. д.
Переходы электронов с верхних на НИiI ние уровни сопровон\да
ются испускание:м рентrеНОВСRИХ квантов и подчиняются обычным
для элеRтромаrнитноrо излучения правилам отбора. Так, например,
HeB03MoiHeH переход с 28 1/2 УРОВНЯ на 18 1/2 ypOBeHЬ; этот переход
на рис. 64 зачеркнут. Все друrие переходы, не удовлетворяющие
правилаl\rI отбора, на рис. 64 вообще не обозначены. Линии xapaKTe
ристичеСRоrо спектра принято объединять в серии. R серии принад
лежат линии, возникающие при переходах электрона на уровни, OTHO
сящиеся к одному и тому iHe слою. Если линия ВОЗПИRает при перехо
де электрона в I( слоЙ, то она входит в I{ серИIО, L серия состоит И3
линий, возникаIОЩИХ при переходе электронов на L термы, и т. д.
в обозначение каiI{ДОЙ линии входит название серии, к которой
относится линия, и индекс. Индекс а указывает па то, что переход
осуществляется с термов ближайшеrо слоя, ИIIденс присваивается
линиям, возникающим при переходах с термов слеДУIощеrо за бли
жайшим слоя, и т. д.
Кроме Toro, в рентrеновсной спектроскопии линиям присваива
Ются и цифровые индексы. Для К серии эти обозпачения приведе
ВЫ на рис. 64. Линии Ка! И К а2 незначительно различаIОТСЯ
по энерrии; они образуют «тонкую струнтуру» рентrеновсних
спектров.
Закон Мозли. Каждый И3 электронов aTo la находится в элект
рическом поле, которое создают ядро и электроны «внутренние»)
и «внешние». Поле внешних электронов не оказывает почти ника
f{)2
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
Koro влияния па эверrию внутренних электронов. Поэтому в первом
приближении эперrия рентrеновских уровней рассчитывается по
формуле, похожей на (4.18) для водородоподобных атомов 1):
1
Е п === R 1 (Z Опд2 2. (6.13)
n
в отличие от (4.18)', эта формула содержит поправку (Jnl. Эта по
D равка носит. название п о с т о я н н о й э к р а н и р о в а н и я; она
учитывает экранирование поля ядра электронами. оп, почти не за
ВИСИТ от Z (ведь строение внутренних оболочек у всех атомов оди
наково!), но зависит от п и l. Для электронов, находящихся в
К слое леrких атомов, экранирующее действие оказывает rлавны]\{
образом второй электрон этоrо слоя; в этом случае (J 1. Для
электронов L--слоя леrких атомов а 8. Точные значения ата' MorYT
быть определены только экспериментально. Формулы (4.18) и
(6.13) различаются также по знаку, так как э н е р r и я а т о м а
с у Д а л е н н ы 1\1 Э Л е к т р о н о м п о л о ж и т е л ь в а.
Энерrия ревтrеновсних квантов соrласно закону сохранения
эперrии равна разности энерrий начальноrо и конечноrо состояний
атома:
ПО) == Е п Е п == Rl (Z 0'1)2 Rl (Z 0'2)2 . (6.14)
1 2 п 2 n...
1 2
Эмпирические «постоянные экранирования» MOiRIIO ввести не для
уровней, а прямо для спектральных линий. ФОРl\Iула (6.14) при..
обретает при этом более простой вид:
пro === R 1 (Z ........ 0)2 ( 12 ) . (G .15) ,
пl n 2
Поправка (J остается почти постоянной для одних и тех же ЛIIНИЙ
в спектрах разных леrких aT01vIOB. Например, о === 1,13 для линии
Ка у всех атомов с 20 < Z < 30.
Из (6.15) видно, что частота рентrеНОВСRИХ линий при перехо...
де от элемента к элементу возрастает практически как Z2. Эта за...
КОIlомерпость была экспериментально отнрыта Мозли в 1913 r., т. е..
задолrо до появления квантовой механики. Исследуя частоты ли
пий в характеристических спектрах различных элементов, Мозли
обнару}кил, что корень квадратный из частоты рентrеповскоrо излу
чения линейно зависит от порядковоrо номера Z элемента:
v==Zа Ь, (6.16У
rде а и Ь постоянные. Формулы (6.15) и (6.16) отраiRают одну
:и ту }ке зависимость частоты от Z, которую принято называть 3 а...
R о н О м М о зли.
1) Эта формула написана с точностью до членов, учитывающих спин ор.
битальпое взаимодействие.
D 35. PEHTrEHOBCROE ИЗЛУЧЕНИЕ
153
ЗаКоН Мозли сыrрал большую роль в установлении правильноrо
порядковоrо номера элементов в таблице енделеева (ни о заряде
ядра, ни о самом существовании аТОl\fН Б ЫХ ядер в то время пичеrо
е было известно). Так, наПРИАlер, что ы исправить переrу лярпостъ
н
авиСИМОСТИ Yv от Z, l\fозли переменил порядковые номера У НИ
еля и кобальта (до этоrо Ni имел меньший порядковый номер,
чем Со) и оставиЛ l\IeCTO для эле...
мента с порядковым B01flepOM Z ==
== 43, который в то время не был 40
I
известен.
IIa рис. 65 приведены rрафики
озли дЛЯ Ka. и Кр линий. fрафИI{И 20
представляют собой прямые линии,
на ноторых не обнаруживается ви
какиХ следов периодичности, ирису...
щей ХИl\lическим свойствам атомов. Рис. 65. Зависимость частоты
ТаНОЙ характер rрафиков является рептrеНОВСI(ИХ линий от aTOMHO
вполне естественным, так как ие... ro номера
рподичность связана с последователь
БЫМ заполнением внешних оболочек, в то nремя каl\ впутрепние
оболочни с ростом Z сжимаются, не меняя своей структуры.
Получение peHTreHoBCRoro излучения. Сплошные рептrеНОВСRllе
спектры. Для возбуждения peHTreHoBcKoro излучения используют
рентrеновсние трубки. Рентrеновская трубка состоит из ОТRачапноrо
(ДО 10 5 10 7 тор) баллона с катодом, фокусирующим электродом:
и аПОДОl\l. На рис. 66 представлена схема рентrеновской трубки.
5
4
20
40
БО
...,.
о
A+
rv
Ри . 66. Схема устройства рентrеповской трубки: 1 катод, 2 Фокусирую-
щи..и элсктрод, 9 поток электронов, 4 окно для ВЫПУСI\а рентrеповских лу"
чеи, 5 peHTreHoBCKoe излучение, 6 анод
Натод представляет собой спираль из вольфрама; через эту спираль
пропуснается ток от низковольтноrо источника питания, в резуль
тате чеrо нить наRаляется до теl\fпературы 2000 1<' и становится
Источником: термоэлектронов. Анод представляет собоЙ массивныЙ
Охлаждаемый водой металлический стакан, на поверхность ROToporo
наносят rальваническим способом или напаивают топкие слои тех
л'rр === 2лс === 2 лс 1i. .
U)rp Ve
(6.18)
154
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
элементов, характеристические спектры которых исследуются. lVIe}I\
ду катодом и анодом прикладывают разность потенциалов V КА, дo
стиrающую в обычных рентrеновских трубках нескольких десятков
киловольт. Будем постепенно увеличивать V КА при разоrрето:м' Ka
тоде. У споренные электроны движутся к аноду и тормозятся в нем.
Тормо,кение электронов приводит к появлению электромаrнитноrо
излучения, имеющеrо сплошной спектр. Это т о р м о з н о е р е н T
r е н о в с к о е и з л у ч е II и е. (Как известно, при ускоренном дви
,нении заряженных частиц возникает электромаrНИТJlое излучение.)
lla рис. 67 изобраiкена форма спектра TOpMo3Horo peHTreHoBCKoro
/
1
t t Ка
30KfJ
0,02 o,o \ 0,06
Л r р Xrp Л rр
321
0,25 Л,I1Н
Рис. 67. Спектр тормозпоrо репт
reHOBCKoro излучения (волъфра
мовый анод)
Рис. 68. ВозБУiндепие хараI тери
стическоrо рептrсновскоrо спект
ра (молибденовыЙ анод)
излучения при нескольних значениях V КА. При V КА === 30 кВ спектр
IIачинается при некотором значении л === Л rр 1, а в СТОРОНУ больших
nолн простирается праI\тически до бесконечности. С увеличением
V KA коротковолновая rрапица спектра сдвиrается влево, а интен
сивность спектра возрастает. Обрыв спектра в области коротпих
волн естественным образом вытекает из нвантовых представлений:
энерrия рептrеновских квантов, вознинающих при ТОрМОiRении
электронов, не :Moil\eT превышать кинетическую энерrию этих
электронов. Обозначив через V разность потенциалов, ускоряющую
электроны, получим
llffi rp === v е,
(6.17 )
или
Тормозное излучение и фотоэффент представляют собой процессы,
идущие в противоположных направлениях: при фотоэффекте поrло
щение фотона сопровождается увеличением :кинетической энерrии:
I 35. PEHTrEIIOBCROE И3ЛУЧЕIIИЕ
155
электрона, а при тормозном излучении уменьшение энерrии элект...
рона связано с испусканием фотона.
Возбуждение характеристическоrо спектра становится возмож--
БЫМ, если энерrия ускоренных электронов оказывается достаточной
ДЛЯ выбивания электронов с внутренних оболочек атомов вещества,
находящеrося па поверхности анода. При некотором напряжении
на фоне СПЛОШlIоrо тормозноrо спектра возникают узкие линии xa
рактеристическоrо спектра (рис. 68), причем все линии данной ce
рии возникают одновременно (сначала Лf , затем L и наконец
К серия). При дальнейшем увеличении V КА одновременно увеличи
ваетсЯ интенсивность сплошноrо спектра и характеристических ли..
JIИЙ, но В то время как rра ица сплошноrо спектра при этом сдви"
rается влево, поло,кение линий остается неизменным. Для возбуж..
дениЯ характеристических линий в леrких атомах (Z < 15) ДOCTa
точно, чтобы V КА 100 В, тоrда как для возбуждения линий K ce...
рии у aTo loB с Z 82 требуется энерrия, превышающая 100 кэ8;
длины волн характеристических линий изменяются от л 40 нм
(L серия I1N а) до л, == 0,013 нм (Ка. в спектре 92U).
В рентrеновских трубках в энерrию рептrеновскоrо излучения
переходит около 0,01 кинетической энерrии электронов. Остальная
энерrия превращается в тепло, выделяющееся в основном на ано'"
де; поэтоыy в мощных рентrеновских трубках анод охлал дается
водой.
В настоящее время рентrеновские лучи используются очень ши...
роко в науке (для peHTreHocTpYKTypHoro анализа кристаллов, моле
нул и: т. Д.), в медицине (для диаrностики и лечения различных
заболеваний) и в технике (дефеRТОСКОПИ:Я металлов и Т. д.).
Взаимодействие рептrеПОВСRоrо IIзлучения с веществом. При про--
хождении через вещество рентrеНОВСRие лучи взаимодействуют с
электронами атомов. Наиболее веРОЯТ}IЫ И процессами взаимодейст--
пия являются рассеяние и фотоэлектрическое поrлощение квантов.
Фотоэлектрическое поrлощение, как мы уже знаем ( 1), за
КЛlочается в передаче в с е й энерrии кванта одному из электронов
ато:ма. Под действием рентrеновских квантов в результате фото--
эффекта образуется фотоэлектрон и атом с дыркой на одной И3
внутренних оболочек атома. Естественным продолжением фотоэф
фекта является заполнение дырок в НИil\ележащих оБОЛОЧI\ах элект
ронами с вышележащих оболочек. Освобождающаяся при этом эпер--
rия ИСПу,СRается в виде квантов электромаrпитноrо излучения (xa
рактеристические рентrеновские лучи) или передается ОДIlОМУ из
внешних электронов, который при этом покидает атом (э Ф Ф е к т
О ж е). Особенно сильно эффект Оже выраiI\ен в тех случаях, коrда
электромаrнитные переходы запрещены, например в О О перехо
дах. При эффенте Оже вместо однонратно ионизованных возникают
Двукратно ионизованные атомы. На рис. 69 IIоназана схема возник
Новения рентrеновских квантов и электрона OrRe в атоме, у которо--
ro в результате фотоэффекта удален К электрон. Рис. 69а иллюст
к ..
()
'.
.
.
.
{56
rл. VI. CTP HTYPA И СПЕНТРЫ СЛОjI\ПЫХ АТОМОВ
рирует процесс ВОЗНИl\новения pellTreHoBcRoro кванта с эперrией
nWt == Е к E L при переходе электрона с L слоя на свобол:ное место
в К слое. Свободное место в L слое может быть занято lrI элеНТР(J..
HOl\I, и тоrда возникнет еще один рентrеНОВСI\ИЙ квант с энерrией
nЫ2 == E L Ем (рис. 69 б). Вм:есто испускания кванта MOiReT пр()
1130ЙТИ процесс, изобраiI\епный на рис. 69 в; свободное место в L "
слое занимается М электроном, а избыток энерrии передается
N элеНТРОIIУ, который ПОl\идает атом. Очевидно, что энерrия элект
рона Oп. e в этом случае равна
E===EL EM EN.
Эффект Оте может происходить и сразу после возбуа<дения
атома. В этом случае атом испускает электрон не кроме, а вместо
испускания peHTreHOBCHoro кванта.
N . / .
t1 . .
L . .
с .... 1 1 ..... 1
а
tJ
о
Рис. 69. Схема, иллюстрирующая испускание характеристических рентrепов--
С!{ИХ квантов и оже 8лектронов: а испускание фотона Ка. линии; 6 испус
кание фотона Lа. ЛИНИИ, 8 L М переход с испусканием электрона OiI\(}
Процесс фотоэлектрическоrо поrлощения рентrеновских лучей,.
таким образом, СОПРОВОil\дается появлением однократно и ДBYKpaT
по (или даже MHoroKpaTHo) ионизованных атомов, характеристиче
ских рентrеновских лучей и электронов Оте.
Остановимся на методах реrистрации рентrеновских лучей. Эти
методы основаны на наблюдении ионизации, возникающей при про
ХОiкдении излучения через вещество. Ионизация может реrистри
роваться непосредственно (с помощью ионизационных камер) или
ПО вторичным эффектам. Такими вторичными эффектами ЯВЛЯIОТСЯ
развитие пробоя в сильном электрическом поле (счетчики rейrера),
почернение фотоrрафической эмульсии, возбуждение оптическоrо
излучения в СЦИНТИЛЛИРУIОЩИХ веществах (экраны, используемые
при рептrеНОВСRОМ просвечивании) и Т. д. Во всех этих случаях
первичным антом является ионизация атома и появление свободных
электронов. В счетчиках rейrера ускоряемые полем первичные
элеl\ТРОНЫ ионизуют встречные атомы заполняющеrо счетчик rаэа
и дают начало образованию лавины, содержащей orpq}\fHOe число
влеБТрОНОВ. В фотоrрафической эмульсии :кристаллы бромистоrо
35. PEJITrEHOBCHOE ИЗЛУЧЕНИЕ
{57
серебра, содерiнащие хотя бы один ион, в процессе проявленил
восстанавливаются до металлическоrо серебра. В сцинтиллирующих
BeIЦecTBax постепенное заполнение дырок во внутренних оболочках
атомов с большой вероятностью приводит к возбуждению оптиче
ениХ электронов.
С помощью ионизационной ка:меры или какоrо нибудь друrоrо
детектора леrко убедиться! том, что интенсивность параллельноrо
пучка рентrеновских лучеи у:меныпается при прохождении через
вещество, причеl\f уменьшение ИIl N o N l
тенСИВIIОСТИ тем заметнее, чем боль
llle толщина вещества. Уменьшение
интенсивнОСТИ пучка рентrеновских
лучей происходит из за поrлощения
и рассеяния (рассеянные кванты не
только теряют направление первич
IIoro пучка, но и обладают меньшей
энерrией; эти кванты затем быстро
поrлощаIОТСЯ). Рассеяние и поrло
щение квантов носит вероятностный о .1J
характер. Вероятность испытать
Рис. 70. Рассеяние и поrлощение
взаимодействие тем больше, чем рентrеновских лучей при про
большее количество атомов лежит хождении через вещество
па пути кванта, т. е. чем большую
трлщину вещества проходит пучок. Для параллельноrо MOHoxpo:rvIa
тическоrо пучка рентrеновских лучей (рис. 70) мы :можем COCTa
вить равенство
I1.N (х) === Jl N (х) /).х.
(6.19)
Здесь N (х) число квантов, доходящих до слоя с координатой х,
JA. коэффициент пропорциональности, N (х) число квантов,
выБыIшихx из ПУЧl\а из за взаимодействия в слое толщиной I1.x.
Заменяя конечные при ращения dN (х) и I1.x бесконечно маЛЫ 111
и ИIlтеrрируя, наЙдем
N , == Noe l.
(6.20)
в фОР}Iуле (6.20) и на рис. 70 N o обозначает интенсивность пучка,
падающеrо на поверхность слоя, N , интенсивность пучка, прошед'"
шеrо через С 1I0Й толщиной l.
Экспоненциальная зависимость в законе ослабления peHTreHoB
сних лучеЙ возникает не из за каких либо специфических свойств
рентrеновских квантов и особенностей их рассеяния и поrлощенип
в веществе, а из за вероятностноrо характера взаимодеЙствия. Be
роятноетное описание является, кан мы знаем, общей осо...
бенностью квантовой механики. Поэтому поrлощение и рассеяние
Излучения почти всеrда описывается экспоненциальными законами,
вевависимо от Toro, из наних частиц состоит это излучение. Ослаб...
JIевие теряет экспоненциальный харантер лишь в 'тех случаях, 1\01"'..
L
158
т А
't a == .
р N A
rл. VI. СТРУНТУРА и СПЕНТРЫ СJIОiНIIЫХ АТОМОВ
да коэффициент ПРОПОРЦИОllальности Jl сильно зависит от эперrии
частиц, а частицы быстро теряют энерrию в процессе ПрОХОiRдения
через вещество.
ФизичеСI(ие особенности рассеяния и поrлощения разных частиц
занлючаются, таним обраЗОl\I, не в форrvrуле поrлощения, а в вели
чине коэффициента f.t и в том, как этот коэффициент зависит от
энерrии.
Коэфq)ициент f1 в (6.20) называется л и н е й н ы м к о э Ф фи...
Ц и е н т о м 1) ослабления. Из (6.19) получаем
1 dN
fl === N dx ·
Линейный коэффициент ослабления представ.пяет собой, таl ИМ обра
зом, относительное изменение интенсивности пучка на единице ПУТ11
в веществе.
Ослабление пучна связано и с рассеянием, и с поrлощениеи
фотонов, поэтому 1.1 МОiиет быть представлено в виде
Jl==cr+'t, (6.21)
rде cr линейный коэффициент рассеяния, а 't линейный коэф",
фициент поrлощения. :Коэффициенты cr и 't зависят от энерrии peH'r
rеновских лучей и рода вещества, с которым происходит взаимо
действие.
Вместо линейных коэффициентов часто пользуются м а с с о в ы...
м и н о э Ф Ф и ц и е н т а м и п о r л о Щ е н и я, рассеяния и ослабло...
ния, которые получаIОТСЯ ПУТС}I деления линейIiых I{оэффициентов
на плотность поrлотителя. Преобразуем (6.20) так, чтобы в пео
вошел массовыЙ I\оэффициент ослабления:
N 1 == N oe JJ.1 == N o ехр [ (pl)]. (6.22)
Здесь р плотность вещества, Il/p массовый коэффициент ослаб...
ления 2), а pl толщина, выраJI\епная в rpaM:Max вещества, прих
дящи:хся на ка,.кдый квадратный сантиметр сечения пучна.
Массовый I\оэффициепт ослабления характеризует ослабление
пучка в слое, содер,.нащем 1 r вещества На 1 см 2 . В отличие от
линейных коэффициентов ослабления, массовые коэффициенты но
зависят от плотности материала.
Для теореТИЧССRоrо :исследования наиболее удобны а т о м п ы е
к о э Ф Ф и ц и е н т ы l1'а, cr'J и Та, характеризующие ослабление в слое,
содержащем 1 атом на 1 см 2 . Чтобы получить эти коэффициенты,
нужно p, а/р и Т/Р разлелить на число атомов, содерл\:ащихся
в 1 r, т. е. на NA/A, rде N A постоянная Авоrардо, А аТО)Iная
масса:
t А (J А
!J.a === p N ' О'а ==
А Р N A '
1) Л crI\O в IIдетЬ, что r t] == CM t.
2) :Из (6.22) ВИДНО, ЧТО [1l!P] == CM2.r t.
(6 .23)
35. PEHTrEIIOBCROE ИЗЛУЧЕНИЕ
159
't И (J имеют размерность площади [см 2 ], поэтому эти коэффи
J.1o, Q Q Ф Ф
циептЫ называются также э е к т и в н ы м и поп е р е ч н Ы м I1
С е ч е н и я м И, или просто э Ф Ф е к т и в н ы м и с е ч е н и я м и
атома для данноrо процесса (ослабления, рассеяния или поrлоще
вия). При использовании этих коэффициентов закон ослабления
записывается в форме
N , == N ехр ( Jlaпol), (6.24)
rде по === pN А/ А число атомов в 1 см З вещества. Из сравнения
(6.24) и (6.20) следует, что входящее в (6.24) произведение J,tano ==
== Jl. Эту величиНУ иноrда называют также э Ф Ф е к т и в н ы м м а K
р О С К О П и ч е с к и м с е ч е 11 и е м. Макроскопическое сечение для
вещества, СОСТОЯlцеrо из атомов разноrо сорта, равно сумме MaKpo
скопичесних сечений для тех элеrvIентов, которые входят в ero
состав 1).
Атомные сечения а а , Та И Jla MOrYT быть не только измерены на
опыте, но и рассчитаны теоретически 2).
Рассмотрим основные особенности ассеяния и Dоrлощения peHT
rеновсКИХ лучей.
Начнем с рассеяния. Рассеяние рентrеновских лучей меняе'r
свой харантер в зависимости от соотношения между энерrией
квантов и энерrией связи электронов в атоме. Для тех электронов,
](оторые СВЯЗ8НЫ слабо, в основном имеет место комптон эффект.
Эффект Комптона происходит на разных атомах и на различных
электронах одноrо атома езависимо. Вероятности и сечения
RОМПТОlIовскоrо рассеяния в веществе вычисляются путем сложения
вероятностей (или сечений) рассеяния на всех входящих в ero co
став атомах. Коrда речь идет о слабо связанных электронах, име
ются в виду те электроны, энерrия связи которых существенно
меНЬПIе энерrии квантов. П.ри энерrиях квантов несколько сотен
килоэлектронвольт и более к их числу принадлежат все электроны
всех веществ. В этом случае макроснопическое сечение рассеяния
зависит только от полноrо числа электронов в кубическом санти
метре вещества.
При меньших энерrиях ретпrеновских квантов требуется более
подробный анализ, так как «слабо связанными») оказываются ЛИIIIЬ
пару/иные электроны атома. Этоrо не нужно делать лишь У самых
леrких атомов, коrдз при «обычных» рентrеновских энерrиях (1 o
300 кэВ) все электроны в таких атомах связаны слабо. COOTBeT
СТвующие оценки неТРУДIIО произвести с помощью фОр}IУЛЫ (6.13).
Слабо связанные элентроны при расчетах обычно считают сва--
бодными. Эффективное сечение рассеяния рентrеновских лучей на
свободных элентронах было рассчитано Таммом, Rлейном и IIиши
Ной. Соответствующая формула носит их имя.
1) Значения ).1, ).1/р, а так,ке О, 't' И Оа, '(а, ).1а содер,натся в справочниках
ПО атомной и ядерной физике.
2) Расчетные формулы 110ЖНО найти в специальной литературе.
I
L
"[о Z"oo '.
(6.26 ).
160
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕНТРЫ СЛОiI\НЫХ АТОМОВ
Рассеяние на СИЛЬНО связанных электронах носит совсем друrой
характер. Рассеянное излучение имеет ту же частоту, что и паДа..
ющее, и KorepeHTHo с ВИМ. Волны, рассеянные на различныJC
электронах атома, складыаIотсяя по обычным правилам оптики. При
больших длинах волн рассеяние на всех электронах атома ироис':"
ходит синфазпо, так что интенсивность пропорциональна не Z, а ZZ.
Блаrодаря этому ВI{лад к о r е р е н т н о r о р а с с е я н и я на тяже...
лых aTOl\faX оказывается значитеЛЬНЫl\{ дан{е при больших энерrиях
квантов. В спектре рассеянноrо излучения обычно нрисутствуют ДB
Линии коrерептноrо и I\ОМПТОНОВСI{оrо рассеяния.
Рассеяние на различных aTOl\faX тоже может оказаться I\оrерепт--
ПЫМ. На этом основано исследование кристаллов с ПОl\{ОЩЫО
рентrеНОВСRИХ лучей. НаправлеiIИЯ", в которых складываются волны,
рассеянные разными атомами, проявляются на лауэrраммах и дебае
траммах. При исследованиях по методу Лауэ пучок моноэнерrетиче...
CKoro (характеристическоrо) излучения ваправляется на мопокри...
сталл исследуемоrо вещества. Рассеянпое излучение преимуществен..
110 сконцентрировано в направлениях, при которых волны, рассе--
янные разными атомами, оказываются в фазе. При 'получении
дебаеrрам:м исследуются поликристаллическ е образцы. Напраnления
сильноrо рассеяния При этом лежат на RоничеСI{ИХ поверхностях.
В общем случ"ае полное эффективное сечение рассеяпия являет...
ся СУМl\fОЙ сечений комптоновскоrо и KorepeHTHoro рассеяниЙ: .
О'а == a or + а;ОМПТ. (6.25)
u Kor RОМПТ
Расчет сечении аа и аа при малых эперrиях очень пенаде,.кеп.
Поэтому при энерrиях поо < 10 кэВ лучше Bcero. использовать
экспериментальпые значения коэффициентов рассеяния. 11ри поо >
> 10 кэБ мо)нно пользоваться расчетными зпачеНИЯ IИ.
Перейдем к поrлощению peHTreHoBcKoro излучения.
При энерrии меньше 1 МэБ ВОЗМОiнеп только один процесс по--
rлощения фотоэлектрический. Фотоэлентрическое поrлощепие за--
ключается в том, что фотон передает спою эперrИIО атомному элект--
РОНУ. Этот процесс происходит тем эффективнее, чем тяжелее атом.
При реакции со свободным электроном законы сохранения эперrии
и импульса не MorYT быть выполнены одновременно, так RaI\ И I--
пульс и энерrия у электрона и кванта связаны между собой paa
пы ми формул аl\fИ: для кванта Е == ре, а для электрона Е ==
l' р 2 с 2 + т 2 с"'. При поrлощении фотона электропом, сильно связаII
вым с ядром, избыток импульса передается ядру, а электрон уносит
почти всю энерrию :квапта, так как при сравнимом импульсе энер'"
rия ядра р2/2М и JJ. ничтожно мала но сравнению с энеРI'ией элект...
рана вследствие большой "faccbl ядра.
АТОl\fНЫll I\о::)(I)ФПЦlIент фотоэлеI\тричес:коrо поrлощеппя плохо
поддается расчету.. Ero И3l\lспепие в общих чертах описывается
фОР IУЛОЙ
f 35. PEHTrEHOBCROE ИЗЛУЧЕНии
числовые значения 'Та для рентrеновых лучей можно найти
в таблицах.
Из формулы (6.26)' следует, что проникающая способность рент..
l'еновыХ лучей возрастает с увеличением ИХ частоты. Так, например,
интенсивность мяrкоrо тормозноrо излучения, возникающеrо в теле
визионной трубке ( V == 1 О кВ) ослабляется в 1000 раз стеКЛО ,f
толщиНЫ Bcero 1 М}I (или слоем алюминия такой же толщины).
l)ентrенооские же лучи, rенерируемые при напряжении на труб:ке,
равном 50 кВ, проходят через такое стекло практически без ослаG
ления; для уменьшения ИХ интенсивности в 1000 раз потребовалось
бы стекло толщины 10 см.
Защитная способность вещества, как это видно ИЗ формулы
(6.26), быстро возрастает с увеличением ero aToMHoro номера.
у свинца (Z == 82) она в (82/13) 1600 раз выше, чем у алю
миния (Z == 13). ПО9ТОМУ дЛЯ защиты от рентrеновских лучей
Бсеrда применяют вещества с большим аТО IНЫМ номером, rлаВВЫ 1
образом свинец.
Хотя формула (6.26)' правильно передает общий ХОД изменения
'Та, реальная вависимость "'Са от (о существенно сложнее; rрафИR этоЙ
заВИСИl\{ОСТИ схематически изображен на рис. 71. В правой части
рис. 71 действительно наблюдается
предскаэываемый формулой (6.26) рост T(tд)
'Т при ум:еньmении (О. Однако при 3Ha
чении (о == (о к кривая "'с ( ы) испытывает
резкий скачок, который называется
I( KpaeM полосы поrлощения. Появле
IIие этоrо скачка связано с тем, что
при (о < (ок энерrия рентrеновских
Евантов оказывается недостаточной для
Toro, чтобы выбить электрон из К слоя,
и электроны этоrо слоя перестают уча
ствовать в поrлощении; при fi) < (ок
q)отоэфq.еRТ может происходить только
на электронах с rлаВIIЫМ квантовым
числом 2, и общая вероятность фотоэф
q>eKTa реЗRО падает. При дальнейшем
уменьшении (о величина "'с снова pac
тет пропорционально (о з. Но коrда
анерrия квантов становится меньшей,
чем энерrия связи электронов в L слое, снова наблюдается скаЧОR в
значении т ((о). На этот раз кривая имеет три зубца, так как энерrия
связи элеRТРОНОВ на УРОВНЯХ Lr, L II И L ПI различна. Следующий
скачок должен наблюдаться, коrда п(о становится равной энерrии
свлав электронов в М слое. При исследовании поrлощения peHTre...
I[ОВСКИх лучей на тяжелых элементах этот скачок на кривой по--
ощения наблюдается и содержит пять зубцов. Как мы знаем,
лой действительно содержит пять компонент.
1 t п. л. rольдин, r. 11. Новикова
I
L
{61
CдL
111
tu L ........... ы L.
"J[ I
>-
lr)
Ы к
Рис. 71. rрафик зависимости
aTOMHoro коэффициента по
rлощения рентrеНОБСКИХ ау..
чей от их частоты
f62
rл. VI. СТРУНТУРА и СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
По экспериментальным значениям краев полос поrлощения
которые с хорошей точностью измерены и занесены в таблицы (см.
справочники по атомной и ядерной физике), можно найти энерrию
связи электронов в слоях и оболочках атомов.
Таким образом, поrлощение рентrеНОВСRИХ лучей является oд
ним из методов экспериментальноrо исследования структуры aTOM
вых уровней и определения их энерrии.
Сильная зависимость коэффициента поrлощения от частоты по
8воляет изrотовлять фильтры, отсекающие мяrкую часть спентра.
То обстоятельство, что соответствующий ноэффициент входит в по
казатель экспоненты (6.24), делает эту зависимость очень резкой.
Скачки 1'0 в области краев поrлощения позволяют отсекать и KOpOT
:коволновую часть спектра. Выбирая материал фильтра, можно ре..
rулировать положение сначка и таким образом получать с е л е K
т И В Н Ы е Ф и л ь т р ы для рептrеновскоrо излучения.
t 36. Классическая и квзнт()взя физика
При рассмотрении явлений микромира в этой :книrе использовался
последовательный квантовомеханический подход, а соображения,.
основанные на классичесной физике, использовались ЛИIUЬ при об
суждении результатов. При этом оказалось, что во мноrих случаях
Rлассические формулы даIОТ правильныЙ по порядку величины,.
а иноrда и точный ответ. Соотношение м:ежду кваНТОВО1vIеханиче...
скими и классическими результатаl\1И частично обсуждалось в TeK
сте, посвященном принципу соответствия. В настоящем параrрафе.
связь между классической и квантовой физиной рассматривается
более тщательно. При обсуждении мы не будем доказывать общих
теорем, а оrраничимся выводами, которые из них следуют, а также
физическими доводами и примерами 1) .
1. Математически cTporoe утверждение состоит в том, что ураВ....
пения классической физики MorYT быть получены из квантовых Пр11
формальном устремлении величины 1i к нулю. Из этоrо утвержде'"
ния путем рассуждений может быть получен друrой, более удобный
нритерий.
Рассматривая rармонический осциллятор, мы выяснили, что ero
внерrия квантуется: Е п == пro (п + 1/2). Остави:м: неизменной энер--
rию колебательной систем:ы. Тоrда формальное уменьшение 11,
должно сопровождаться соотвеТСТВУЮЩИl\l увеличением KBaHTOBoro
числа п.
РаССМОТРИ1\-! уrловой MO IeHT вращающсrося тела. Мы знаем, что '
он квантуется в соответствии с СООТНОIIlеНИЯ IИ M z === тп, М 2 :=1
с::= l (l + 1) п 2 . При неизменной величине IOl\leHTa и ero проеRЦИИ
1) Часть рассматриваемых примеров в тоб или ипой мере Y He обсужда...
лась ранее. Мы возвращаемся к ним здесь ради связности И3ЛОiнеПIIЯ.
36. RЛАССИЧЕСRАЯ И RВАНТОВАЯ ФИ3ИRА
{63
уменьшение 1i ДОЛif I10 сопровождаться увеличением квантовых чи...
сел т и l.
Приведенные примеры, число которых можно существенно уве...
личить, приводят R выводу, что результатьz кваптовои физики долж
Hb переходить в классuчеС1iuе при больших пвaпToвь x числах. Этот
вывод оказывается правильным, хотя ero не всеrда следует пони
мать буквально. Чтобы яснее обрисовать ситуацию, продолжим
рассмотрение физических примеров.
1. Один из основных выводов квантовой физики заключается в
том что физичеСl\ие величины редко имеют вполне определенные
Бна ения, а, как правило, «размазаны» в некоторой области. Эта
{<размазанность» В классической физике отсутствует. Покажем, что
при больших квантовых числах противоречия здесь не возникает.
Рассмотрим I1.p распределение частиц по импульсу. Как мы уже
янаем, ширина этоrо распределения связана соотношением неопре
деленностей I1.p · I1.x 2пп с размером I1.x области, занятой частицеЙ
в координатном пространстве. Пусть для определенности речь идет
() частице, находящейся в потенциальной яме с прямоуrОЛЬНЫМJI
стенками. В этом случае для всех уровней, Т. е. при всех KBaHTO
вых числах, I1.x неизменно и равно ширине ямы, а значит, неиз
менно и p. С друrой стороны (см. например, (3.12)), при увели
чении номера уровня n волновое число k, а значит, и импульс He
оrраниченно возрастают. Это означает, что с ростом потношение
др/р становится все меньше, при очень большом значении кванто...
Boro числа становится исчезающе малым и для больших тел может
быть положено равным нулю, что и делается в классической физике.
2. В 6 отмечал ось, что в квантовой механике несправед.ПИВО
утверждение классической физики о том, что полная энерrия части
цы является суммой ее потенциальной и кинетической энерrии. Это
утверждение просто не имеет смысла, поскольку потенциальная
знерrия зависит от координат частицы, а кинетическая от ее им
Пульса. В силу принципа неопределенностей координата и импульс
не MorYT быть измерены одновременно, а значит, потенциальная JI
Rинетическая энерrия не MorYT быть одновременно известны.
В 6 отмечалось далее, что утверждение классической физики
о равенстве полной энерrии частицы и суммы ее потенциальной и
Rинетической энерrий в квантовой механике заменяется на COOTBeT
еТВующие соотношения :м:ежду средними значениями этих величин.
При больших квантовых числах разброс значений кинетической и
потенциальной энерrии становится несущественным, обе эти энер
J'ии с достаточной точностью равны своим средним значениям:, так
ЧТо классическое утверждение приобретает смысл и выполняется
с прекрасной точностью. Здесь следует указать на ва,кное ИСКЛIО
чеНие. В атоме водорода полная энерrия при n --+ 00 не возрастает,
а Стремится н некоторому пределу, который удобно полаrать paBHЫ {
нулю. Кинетическая и потенциальная энерrии электрона при YBe
Jlичении п мало меняются. Поэтому утверждение о TO M, что полная
11*
i64
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
8нерrия может быть найдена как сумма потенциальной и кинетиче
екой энерrий, веприменимо к атомам ни при каких квантовых чис
пах. Это важное ИСRЛючение следует иметь в виду. Квантовая
физика при больших квантовых числах, как правило, переходит
в нлассическую, но прежде, чем это окончательно утверждать,.
в каждом конкретном случае следует убедиться в том, что OCHOB
ные физические величины, характеризующие движение, при боль
mих квантовых числах приобретают неоrраниченно возрастающие
или, по крайней мере, достаточно большие значения. Лlобопытво,.
однако, что даже в атоме водорода при увеличении квантовых чисел
движение приобретает мноrие классические черты. Так, с увели--
чением rлавноrо KBaHTOBoro числа n увеличивается среднее расстол--
вие между электроном и ядром (напомним, что это расстояние
возрастает как п 2 ), а следовательно, уменьшается «неклассичеСК8Я
часть» 8нерrии, связанная с не определенностью импульса, и т. д.
Итак, в большинстве случаев (не относящихся к числу исклю
чений) возрастание квантовых чисел приводит к увеличению чис--
JIОВЫХ 8начений физических величин. Квантовые соотношения
между средними значениями этих величин превращаются в привыч--
вые классические формулы.
8. Важнейшим результатом квантовой теории является утвержде--
нив о существовании у частиц «нулевой» энерrии 1), которая в клас--
еической физике не появляется вообще. Поскольку при увеличении
8нерrии частицы вклад нулевой энерrии в полную (см., например,.
формулу для 8нерrии осциллятора) становится малым, пренебреже--
вие нулевой 8нерrией в классической физике вполне оправдано.
11. Обратимся к еще одному важному различию между класси--
ческой и квантовой физикой. Классическая физика, как правило,
начинает исследование с Toro, что экспериментатор устанавливает
начальное положение и начальную скорость тела. Квантовая фи--
вика, наоборот, чаще Bcero исследует стационарные состояния час--
тиц (состояния с постоянной 8верrией) и переходы между ними. ,
Состояния микрочастиц (например, электронов) «размазаны») по
8начительному объему не потому, что не бывает локализованных.
состояний, а потому, что такие состояния пас до сих пор не инте--
ресовали и, вообще, редко представляют физический интерес, так
:как они не обладают определенным импульсом, определенной энер--
rией и определенным уrловым :моментом (см. ниже).
Не составляет, однако, большоrо труда если в ЭТОl\rI возникаеr
необходимость описать с помощью квантовой механики локализо--
ванные состояния электрона (или любой друrой частицы). Повто--
рим здесь рассуждения t 4. Пусть, например, мы установили, что .
электрон находится в окрестности точки х и. занимает не:которую
область f1x, так что ero 'Ф функция имеет вид, изображенный на
1) Имеется в виду наименьшая 8нерrия, которую может иметь система,
ее 8нерrия при нулевых значениях квантовых чисел.
l' 36. RЛАССИЧЕСНАЯ И НВАIIТОВАЯ ФИ3ИRА
{55
рис. 13. Такое состояние в квантовой физике называют в о п в o
в ы м n а к е т о м. Это состояние r.lожет быть разложено по набору
любых собственных функций уравнения Шрединrера, наПРИl\lер,
представлено в виде суммы или интеrрала Фурье:
00
'i' (х) ==' v л S qJ (р) ехр (! i х) dp.
oo
(6.27)
Распределение по импульсам (p) отлично от нуля при всех или
почти всех) значениях импульса, но rлавным образом сосредоточено
в области с шириной !!tp 2'ЛtzJ x.
Рассуждая в духе классической физики, можно теперь поста...
вить вопрос о движении частицы с известной начальной Rоордина...
той, т. е. о движении волновоrо пакета. Задача о движении T8Koro
пакета (или, что то же самое, rруппы волн) хорошо изучена в ](лас
сической физике. Волны типа ехр, (ipx/1i) или при полной ваписи
ехр i (рх/п oot), движутся аналоrично классическим. Общеизвест
вый результат заключается в том, что составляющие пакет волны
движутся с фазовой скоростью 00/ k, в то время как rребень волны
перемещается с rрупповой скоростью dro/ dk. Это и есть скорость
движения волновоrо панета. Как мы уже внаем, rрупповая скорооть
движения волн де Бройля равна скорости частицы:
doo/ dk == d (поо) / d (1ik) JC:I dE/ dp -= р/т :=1 v.
Здесь следует отметить, что волновой П8нет «размывается» со
временем из за Toro, что входящие в ero состав волны перемеща...
ются в пространстве с разной скоростью. Скорость, с которой «рас...
плывается» волновой пакет, зависит от массы и для больших тел
ничтожно мала.
111. Приведенные рассуждения можно провести и для враща...
теЛьноrо движения, коrда одно тело (или частица) обращается
в кулоновском поле друrоrо (атом водорода и друrие подобные си
стемы). Мы уже отмечали, что в квантовой физике наиболее инте
ресны обладающие определенной энерrией стационарные состояния,
ноторые сильно «размазаны» в пространстве. Но если начать иссле
дование движения с локализованноrо состояния, то волновой пакет
и в этом случае некоторое время движется почти как классическое
тело 1). Со временем, однако, сходство пропадает, потому что вол...
ВОБОЙ пакет «расплывается».
Рассмотрим квантовые переходы, при которых вращающеесл
варяженное тело испускает электромаrнитвое излучение 2). Пусть
1) Локализовать положение электрона в атоме водорода невозможно таи
Как при уточнении КООРДинаты электрону неизбежпо приходится сообщать
такую большую энерrию, что ОН отрывается или почти отрывается от
Ядра.
.в 2) Мы rоворим: здесь о варяженном теле потому, что «уточнить) коорди"
ату злектрона в атоме, как :мы уже знаем, не удается.
, .
:.
{66
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
8нврrия тела на исходном: уровне равна Et, а на I\онечном Е 2 .
Соответствующие этим энерr!1ЯМ частоты равны 001 == Е 1 /п и 002:=2
j8:S EJп. Возникает вопрос, почему вращающийся заряд излучает
свет, характеризующийся частотой 00 == 001 002, а не «своими» час
тотами 001 или 002?
Размышление над этим вопросом показывает, что сам вопрос
поставлен неправильно. Мы, конечно, вправе ожидать, что частота
фотона окажется равной частоте движения заряженноrо тела или
описывающих ero волн но не фазовой частоте, а rрупповой. Иначе
rоворя, в соответствии с постаНОВI\ОЙ задачи в классической физи
кв, мы должны «собрать» волновую функцию в волновой пакет и
посмотреть, как этот пакет будет двиrаться. При расчетах мы orpa
вичимся случаем больших квантовых чисел, так как только д.ля
них можно ожидать соrласия между квантовыми и классическими
представлениями. Для упрощения рассуждений оrраничимся элект...
ромаrнитными переходами, не ватраrивающими радиальноrо дви
жения, и будем считать, что плоскость вращения заряженноrо тела
при излучении сохраняется. Иначе rоворя, будем считать, что при
излучении ив только l =- 1 (правила отбора), но и т:::a 1 (сохра...
пение плоскости движения).
После этих предварительных вамечаний попробуем установить,
о какой частотой вращается волновой пакет, представляющий по
поженив вращающеrося заряженноrо тела. Пусть в начальный MO
мент это положение описывается уrловой координатой ер, величина
RОТОрОЙ установлена с точностью ep. Это распределение может быть
представлено в виде ряда Фурье:
00
'ф (ep)::::II Ате iтф "
т== 00
(6.28 )
Из этоrо соотношения следует, что «собранная по азимуту» 'Ф функ
ция описывает частицу в состоянии, в котором она не имеет опре
деленноrо уrловоrо момента, подобно тому, как «собранная по
координате» 'Ф Функция описывает частицу, не имеющую опреде
ленноrо значения импульса. При всяком данном ep распределение
по уrловому моменту А т имеет максимум при не котором т и ха...
рактеризуется некоторой шириной I1.m подобно тому, как это про--
исходит с координатой и импульсом.
Найдем теперь, (} какой уrловой скоростью передвиrается мак--
симум. Сравнивая (6.28) с (6.27), найдем, что рассматриваемая
вадача вполне аналоrична задаче о движении обычноrо волновоrо
пакета. Поэтому можно не производить новых расчетов, а заменить
пвременные в старых: вместо координаты х следует раССl\lатривать
уrол <р, вместо и:м:пульса р уrловой мо:мент М === тп, вместо rруп...
повой скорости V rp соответствующую уrловую СI\ОрОСТЬ Qrp. Уrл..
вая скорость Qrp находится по формуле, аналоrичной формуле V rp =::S
-== dro/ dk, которую лучше в этом случае записать в виде Vrp:::a
I З6. RЛАССИЧЕСRАЯ И RВАНТОВАЯ ФИЗИl\А
167
r::== п dro/dp. Тоrда
Q 1i аш d(1iw) аЕ аЕ
rp dJ.11 di\1 dN/ 1;, d,п ·
В ЭТОl\{ выражении появилось дифференцирование по дискретно ме-
няющейся величине т. При большоЙ величине KBaHToBoro числа т
в этом нет пичеrо плохоrо, надо просто от дифференциалов пе..
рейти к конечным разностям, т. е. вместо dE/dm писать E/ т,
так что
Е 2 Е 1
Qrp == 1i. ( ) ·
т 2 т 1
Замечая, наконец, что при раССl\lатриваемых переходах т 2 т. === 1,
находим, что круrовая частота обращения волновоrо пакета дей...
ствительно совпадает с частотой излучаемоrо кванта. При движе--
пии крупных тел, рассматриваемых классической физикой, их на...
блюдаемое движение полностью совпадает с движением: волновоrо
пакета и выводы классической физики снова оказываются пра...
вильными.
IV. Обратимся к соотношениям неопределенностей. Выше уже
было показано, что эти соотношения по своем:у смыслу являются
Rлассическими. Они выполняются во всех волновых процессах,
n том числе при распространении света. Всякое сужение волновоrо
фронта диафраrмами приводит к размытию направления волны,
а всякое оrраничение длины волновоrо цуrа сопровождается потерей
монохроматичности. Соотношения, которые описывают эти явления,
совпадают с соотношениями пеопределенностей. r лавное различие
между квантовой и классической (волновой) формулировкам:и соот",
ношений неопределенностей состоит в том, что в классических фор...
1\1улах связываются ширина диафраrмы и р а с т в о р в о л н о в о r о
R о Н у С а (неопределенность направления вектора К)', длина цуrа
и разброс волны п о ч а с т о т е, в то время как в квантовой записи
предпочитают rоворить о размере щели (или «ямы»)' и разбросе
по и м п у л ь с у, а также о вреl\fени жизни состояния и неопреде
ленности ero э н е р r и и.. Соответственно классическая запись этих
соотношений не содерл ит постоянной Планна, тоrда как в нванто'"
вую ОНа входит. Новый взrляд заКЛlочается, таким образом, не в
том, что в квантовой физике возникают новые соотношения COOT
ношения неопределенностей, а в расширении сферы их действия,
в том:, что их применимость распространяется на частицы, волновая
природа которых в классичесной физике не выявлялась. В KBaH
ТОвой физике эти соотношения приобретают новую фОРМУЛИРОВRУ
(через и:мпульс и энерrию), которая является естественным след...
Ствием введения волн де Бройля.
На этом мы зананчивзеl\f сопостав.ттение нвантовой и Rлассиче
СКОЙ фИЗИRИ. l\1ы ВИДИl\-I, что эти «две фIIЗИНП» отнюдь не противоре...
Чат друr друrу. При больших квантовых ЧИС.,1зх классичесное рас...
;
{68
rл. VI. СТРУНТУРА И СПЕRТРЫ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
смотрение оказывается вполне надежным, TaR что в квантовыХ
расчетах необходимости, как правило, не возникает 1). При малых
I\ваитовых числах необходим квантовомеханический подход. Однако
и в этом случае классическая физика обычно позволяет производить
пеПJIохие оценки, правильные по порядку (но не более чем по по
рядку) величины. Производя такие оценки, конечно, всеrда следует
помнить об особенностях квантовых систем: об интерференции вол
новых функций, О квантовании числовых значений основных фи
зических величин при финитном движении, о соотношениях неоп
ределенностей, о существовании нулевой энерrии, о принципе Паули
ДЛЯ электронов и для друrих частиц с полуцелым спином. Прене...
брежепие этими особенностями ведопустимо и может приводить
к rрубейmим ошибкам.
1) Мы не случайно здесь употребили оборот «как правило». Существуе-r
ряд явлений, классическое рассмотрение которых невозможно даже при or
ромных квантовых числах. Мы имеем в виду, например, свойства твердых тел,
сверхпроводимость или происходящую под влиянием квантовых флуктуаций
излучения раскачку колебаний электронов! движущихсн в ускорителе.
r л А В А VII
АТОМЫ В l\IАrнитных полях
t 37. Явление 3eeMaIl8
Оптический спектр источника, помещенноrо в маrнитное поле, ока...
зывается более сложным, че?tf спектр этоrо же источника в отсут...
ствие поля: каждой линии спектра, снятоrо в отсутствие поля,
соответствует в маrнитном поле hlультиплет, состоящий из неСКОЛJ)'"
НИХ линий. Расщепление линий спектра в маrнитных полях '.впер
вые наблюдалось 3неманом (1896 r.) и носит название я в JI е н и я
или э Ф Ф е к т а 3 е е м а н а. Различают про с т о й (нормальный)
эффект 3еемана, коrда каждая линия расщепляется па три компо
ненты, и с л о ж н ы й (аномальный) эффект 3еемана, коrда наждая
из линий расщепляется па MHoro компонент. Названия «нормаль
пый» И «аномальный» возникли по той причине, что расщепление
линий на три компоненты удавалось рассчитать классическими ме...
тодами, а сложный эффект 3еемана классической физикой не. объ--
ясняется. Квантовая физика успешно объясняет как «сложный»,
так и «простой» эффекты 3еемана.
Расчет энерrии уровней атома, помещенноrо в маrнитное поле,
требует решения соответствующеrо уравнения Шрединrера. Вхо...
дящий в уравнение оператор энерrии содержит в этом случае не...
сколько членов:
",... ......... ....... .,... .,...
Е === Т + ИН + U SL + U SB + U LB .
",...
(7 .1)
........
в этой формуле первый член Т учитывает кинетическую эверrию
2 / .......
электронов и равен сумме Pi 2т для всех электронов. Член 'И н оп...
ределяет потенциальную (кулоновскую ) энерrию притяжения
eKTpOHOB к ядру и отталкивания их друr от друrа. Слаrаемое
и SL зависит от спин орбитальноrо взаимодействия и определяет
обычную тонкую CTPYI{TYPY уровней. Эти три члена не связаны
с внешним маrнитным полем. Последние два члена вознинают из за
взаимодействия спиновоrо и орбитальноrо моментов электронов с
внешним маrнитным полем. При написании формулы (7.1) были
отброшены квадратичные по полю В члены, опредеЛЯIОЩIIе диамаl''''
нитную восприимчивость атомов.
Решить уравнение Шрединrера с оператором энерrпи (7 1)'
в обще I виде не удается. Рассмотрим ПОЭТОМУ наиболее важные
частные случаи.
Сложный эффект 3еемана. Сложный эффект 3еемана возникает
в слабых маrнитных полях, коrда последние два члена в (7.1) hla..
Ь .
,
{70
rп. VII. АТОМЫ В МАrнитных ПОЛЯХ
лы по сравнению с членом fJ SL. В этом случае в основном сохра...
пяетсн I\артина уровней, возникающая без внешнеrо поля, и про...
исходит лишь незначительное расщепление этих уровней. Внешнее
маrнитное поле является с л а б ы м, коrда возникающее в ero при...
,
сутствии дополнительное расщепление мало по сравнению с рас...
стояниеАI м:ежду линиями ТОНRОИ структуры (это расстояние как
раз и определяется членом и SL) ·
Рассмотрим расщепление отдельных компонент тонкой структу",
ры В слабом внешнем поле. В отсутствие поля каждый уровень
атома характеризуется своими квантовыми числами L, S и J. Зада...
ние этих трех чисел определяет маrнитный момент атома ""! 1) .
Взаимодействие маrнитноrо момента Р,] с внешним полем приводит
к дополнительной энерrии, зависящей от величины и взаимной
,ориентации В и J,tJ:
и в == JB.
Так как р,! == gJ.1BJ, то из (7.2) получаем
ив == gJ.1 B JB == gJ.1 B т J B. (7.3)"'
В выражение (7.3) входит маrнитпое квантовое ЧИСJIО тJ, опреде...
ЛfIющее проекцию полноrо :момента атома на направление маrнит...
и J=1/2 {J J=1 Horo поля. Мы знаем,
т J что маrнитное KBaHTO
1 вое число тJ соrласно
О правилу (5.47) MOrKeT
д принимать одно из 2] +
+ 1 разреlпенных зна...
чений: :1::.1, + (] 1),
=1=(] 2), ... В отличие
от ситуации, оБСУrкдав--
шейся в 18, ноrда
выделенное направле--
ние появляется только
в момент измерения, те--
перь (при наличии
маrнитноrо поля) про--
с.транство и до измере...
В ния обладает выделен...
Рис. 72. Расщепление в l\larHIITHOM поле
УРОВН Й с раЗ.lIИЧНЫМИ J ным направлением
направлением поля.
Формула (7.3) показывает, что энерrия атома с уrловым момеп--
том J в lаrнитном поле зависит от ориентации момента относи--
тельно направления поля. Поэтому при наложении маrнитноrо поля
состояние атомов с ПОЛПЫl\f I\Ioj\IeHTOl\1 импульса J расщепляется
(7.2 )'
О О
т J
1/2
1
/3
1/2
1IO
(ft J == 0/2 т J
3/2
1/2
и о fJ
1/2
3/2
т J
2
и
J=2
f
О
О О
!з
1
2
1) Маrнптный момснт атома J1J связан с уrловы:м момрнтом aTo .{a J фор
МУЛОЙ, аналоrичпой (5.48); фактор Ланде g, входящий в эту формулу. зависит
ОТ квантовых чиеел L, S, J и определяете}! формулой, аналоrичной (5.49).
-
37. ЯВЛЕНИЕ ЗЕЕМАНА
{71
па 2! + 1 состояний с различными значениями тJ и раЗЛИЧНЫ lИ
внерrиями, определяемыми выражением
Е"== Ео + ив === Ео + g BтJB. (7.4)
Таким обраЗОЬf (как это у/не отмечалось в 23), вырождение
уровней по маrниТНОМУ квантово:му числу в маrнитном поде CHlI
мается. На рис. 72 изображено расщепление В маrнитном поле
уровней с J === 1/2, 1, 3/2 и 2 в зависим,?сти от величины В. В COOT
ветстВИИ с числом возможных значении тJ уровни при наложении
пОЛЯ расщепляются на 2, 3, 4 и 5 подуровнеЙ; значения тJ дли
Rаждоrо подуровня указаны справа. Так как при переходе к co
седней компоненте мультиплета ИЗ Iенепие тJ равно единице, то
все уровни, ВОЗНИRаю
щие при расщеплении
одноrо уровня, ЭRВИДИ
cTaHTHы. Для расстоя з2рз/z
ния меj-КДУ уровнями (g == 4/3)
получаем из (7.3)
/). и в === g 'tl вВ . ( 7 .5 ) 7: 2 Р
u 1/2
Формула (7.5) показы (g=-2/3)
вает, что при постоян
ном В расстояния :м:еж
ду компонентами муль
типлета для атомнЫх
уровней зависят от фак
тора Ланде g и для
разных уровней оказы
nаются различными.
Поэтому при переходах
:м: е жду уровнями aTO
]\IOB, находящихся в
:м:аrнитных полях, воз
викает расщепление ли
пий. Число линий оп Рис. 73. Расщепление уровней при сложном Э
ределяется картиной фекте 3еемана
расщепления начально
ro и конечноrо уровней 1) И правила IИ отбора при излучении
(9 33).
в качестве примера рассмотрим явление 3еемана ДЛЯ pe30HaHC
Horo дублета натрия. На рис. 73 слева изображена схема Qбразо
вания резонансноrо дублета Na в отсутствие поля (линии 1 и 2)1.
Справа изображена схема подуровней, ПОЯВЛЯIОЩИХСЯ в:место УРОВ....
ней 3 Р З/2, 3 Р l/2 и 381/2, при lIалол ении слабоrо маrнитноrо поля,
а также переходы между этими подуровнями, разрешенные прави
ЛОМ отбора (6.9). Применяя это правило, леrко убедиться, что BMe
8==0
8:;/:0
тJ
3/2
1/2
....1/2
3/2
от.!
2
2/;)
"2/3
---2
................................. ........
..... ...... i---
I I
I 1
I t
1 I
I
, 1\ 111 \ \
\ \
......---
1/2 1/3
1/2 "'1/о
2
3 81/2
(g=2)
1
1/2
1/2
1
1
[ =:IIIDIПIL
2
1 2
,
1) Уровни атомов в состояниях с J.1J ==: О не расщепляются.
{72
rл. VII. АТО)IЫ в МАrнитных полях
сто ОДНОЙ линии 1 (3Pi/1 381/2) в маrнитном поле возникают че..
тыре перехода 1', а вместо ливии 2 (3РЗ/2 ЗS 1 / 2 ) шесть перехо..
дов 2'. Расстояния между подуровнями, появившимися В результа--
тв расщепления, соrласно (7.5) зависят от g; так как для каждоrо
из трех уровней (3Р,/а, 3Pi/2 И 381/1) g имеет различные значения
( см. (5.49», то расщепление этих уровней пеодинаково, и среди
линий, обозначенных в правой части рис. 73, нет ЛИНИЙ содинако...
вой энерrией (ДЛИНОЙ волны). Поэтому при изучении спектра Na
от источника, помещепноrо в слабое маrнитное поле, вместо ре...
8oHaHcHoro дублета наблюдается спектр, состоящий из 10 близких
линий, расположенных двумя rруппа}!и.
Энерrия и частота линий леrко -моrут быть рассчитаны:
'1iro:=z EI...... Е 1 -=а [(ЕО2 + g2 BтJ2B) (ЕОl + gl BтJIB)] с:2
-== (Е 02 Е о1 ) + (g2тJ2 glтJ 1 ) BB.
ro ==i (Е о2 ....... Е о1 )/n + (g2тJ2 gl т J 1 ) BB/п.
Введи для частоты основной линии обозначение 000 == (Е О2 Е О1 ) /Л,
получаем
1-tв В
ro::::z 000 + т (g2 'n J 2 gl т J t ).
(7.6)
Величина расщепления определяется множителем JlBB в энерrети"
чоских единицах или множителем JlBB/h в единицах частоты. Так
как J.tB == 0,927 · 10 20 эрr/rс, то
f.tB B == (0,927 .10 20 арr/rс).Б (rc) == 5,8 .1O B В эВ.
1,6.10 12 эрr/эБ
НаПО fНИМ, что различие между линиями резонансноrо дублета
в энерrетических единицах составляет 2. 10 З эВ. 11з сравнения
этих цифр видно, что при В == 103 rc поле является еще «слабым»
lI;JIЯ рассматриваемоrо перехода; при такой напряженности поля
зееltfаПОВСКое расщепление по порядку величины составляет Bcero
10 .2 от спин орбитальноrо расщепления. Поэтому для наблюдения
явления 3еемана в слабых полях необходимы оптические спектро...
метры с высокой разрешающей способностью.
Так как при наложении па источник слабоrо маrнитноrо поля
B?leCTO каждой линии спеПтра в общем случае возникает довольно
сложная система из мноrих линий, то явление 3еемана в слабых
маrнитвых полях и получило название с л о ж н о r о эффекта 3ее...
ltfапа. В сильных маrнитных полях, кап мы увиди:м ниже, картина
существенно упрощается.
Простой эффект 3еемана. Просты:м эффеКТОltl 3ее:мана называ...
стся расщепление линий спептра на три KO?t-Iпоненты. Для перехо--
ДОВ между синrлетныии тер!\lами (8 == О, J == L, g == 1) простой
эффскт 3ее:\lапа наБДlодается пезависимо от величины индукции
А 37. ЯВЛЕНИЕ 3ЕЕМАНА
{73
маrнитноrо поля. В Iаrпитном поле каil ДЫЙ из таких уровней рас...
щепляется на 2L + 1 подуровней, причем все расстояния :между
пОдУровнями одинаКОВ I и равны JlBB. Фор...мула (7.6) для paCCMa
риваемоrо случая приооретает более простои вид:
l-tв В
00 r=:: 000 + т (тL 2 тL 1 ). (7.7)
В соответствии с правилом отбора (6.11) формула (7.7)' дает для
двух комбинирующих уровней три частоты: 000 и ooo::f:: Jl B B/1i. Для
изменения ДЛИНЫ волны относительно основной линии получаем
t1 ( .!. ) == А ro === fl в В
л 2лс 2лс1i..
(7.8)
На рис. 74 изображены все переходы между расщепивmимися
в маrнитном поле уровнями с 8{ == О, /1:::::1 L{ == 1 и 82 CIII О, /1 -== L. ==
c:::s 2, разрешенные правилом отбора (6.11). Мы видим, что, вообще
rоворя, возможны девять перехо
дов; но энерrии (частоты) перехо
ДОВ 2 И 8 совпадают с энерrией {
(частотой) OCHOBHoro перехода 5;
совпадают также энерrии (часто 8 2 =O,J2- l 2-' 2
ты) переходов 1, 3, 6 и 4, 7, 9.
1'аким образом, переходы ?vlежду
уровнями с 8 == О в маrнитном по...
ле должны образовывать триплет,
что и наБЛIодается на опыте.
Простой эффект 3еем:ана на--
блюдается тзнже для всех перехо... {
ДОВ без всякоrо оrраничения, если 8 f "O,J 1 -L f -1
ИСТОЧПИR излучения помещен в
ос и л ь н о е маrнитное поле. Силь rn
lIЫМИ (при исследовании эффекта Рис. 74. Простой эффект 3еемана
3еемана) считаются такие Mar
lIитпые поля, при которых третий
член в (7.1) мал по сравнению с четвертым: или пятым. Рассуж..
дения предыдущеrо раздела в этом случае вовсе непри:мени--
мы. В самом деле, при раСС fотрении слабых 1vIаrнитных полей мы
исходили из уровней, которые возникают при наличии спин орби
7альноrо взаимодействия в отсутствие поля, а затем раССl'fIатривали
расщепление этих уровней во внешнем поле. То обстоятельство,
что от величины впешноrо поля при ЭТО I зависят лишь детали
n распо.лоа ении уровней, а не сама их классификация, существенно
-связано со с л а б о с т ь ю поля. В СИЛЬНОl\f поле тапой подход, ко...
вечно, недопустим, и первый вопрос, который следует себе задать,
ваключается в том, как правильно классифицировать уровни.
Естественно, что в случае сильноrо поля из уравнения (7.1)
-в нерво?-! приближении должен быть вычеркнут l\feHee существен--
. .
1 2 а 6 о 78 l)
iJ
т J
2
1
"'0
1
....2,
,
о
..1
174
rл. VII. АТОl\iЫ В МАrнитных ПОJJПХ
,...
вый член U LS (при необходимости этот член MOiHeT быть в даль...
нейшем учтен в виде поправки, по это нам не потребуется). Опе
ратор энерrии (7.1) перестает после этоrо зависеть от взаимнок
ориентации векторов L и S (Т. е. от вектора полноrо :момента J}
и зависит порознь от проекций L на В и S на В.
Условие Toro, что рассматриваемое маrнитное поле являетс r
сильным, можно сформулировать и друrим, эквивалентным обраЗО f:
расщепление уровней, вызванное наЛОil ением поля, ДОЛil\НО суще
ственно превыmать спип орбитальное расщепление, измереНIIое в OT
сутствие поля. То обстоятельство, что при сильном поле член и 81.1
в первом приближении может быть вычерпнут из уравнения, част(}
выражают словами «в сильном поле связь векторов L и S разры
вается». Нередко употребление этоrо выражения затемняет пон:и
мание вопроса, от чеrо нам хотелось бы предостеречь читателей.
Из предыдущеrо ясно, что энерrия атома в сильных :маrнитных
полях выражается формулой
Е :с=: Ео + и в == Ео + (gLJ!BтLB + gsJlBтsB)'.
Так как соrласно (5.49) gL == 1, а gs == 2, то
E==Eo+J!BB(тL+2тs}. (7.9)
Пользуясь выражением (7.9), леrко построить систему подуровней,.
возникающих в сильном: маrнитно:м поле. На рис. 75 изображено
2
3 P /2
з 2 Р1/2
Р в В
t
1 2 34 б б
11
t
т L тв тL,+2т s
+ 1 1/2 2
О 1/2 1
4- 1 1:.1/2 О
О 1/2 1
1 1/2 2
о 1/2 1
О 1/2 1
3281/2
.2 Рв IЗ
со=
Рис. 75. Эффект 3ее:мана в сильном маrНIIТПОМ поле для резонансной линии
натрия
расщепление 38 и 3Р уроввей Na в сильпом поле. Энерrия под--
уровней зависит теперь от величины тL + 2тв. Вместо уровня 381/2,
нак и в слабом поле, возникают два подуровня; вместо уровней
3 Р 3/2 и 3 P i/2 получается пять подуровней. Расстояния между под
уровнями верхней rруппы в единицах J!BB равны единице, а меж
37. ЯВЛЕНИЕ 3EEMAIIA
{75
ру нижними подуровнями двум единицам. На рисунке изобра
жены все переходы, разрешенные правилами отбора I1mL с:: О, ::1::1
и тB == о. Их Bcero шесть. Однако переходы 2 и 5 одинаковы по
энерrиИ и совпадают с энерrией OCHOBHoro перехода, Т. е. перехода
в отсутствие поля. Переходы 1 и 4, 3 и 6 также имеют попарно
одинаRОВУIО энерrию.
Можно показать, что в сильном поле расщепление всеrда долж...
во происходить на три ком:поненты. В самом деле, при испускании
света переходы происходят толы\о между уровнями с одинаковыми
яначеНИЯ1\1И п B( тB== тВ 2 тВ! == о) .Энерrия квантов поэтому равна
1iffi ==' [ЕО2 + ""вВ (mL2 + 2тв2) 1 [ЕО1 + ""вВ (mL 1 + 2т 81)] """
== (Е О2 Е о1 ) + BB (mL 2 mL 1 ). (7.10)
Правила отбора разрешают изменение тL не более чем на единицу;
поэтому в СИ:ЛЫlоl\t1 поле, кро:ме несмещенной линии,. наблюдаются
две линии, одна из которых смещена в красную, а друrая......... в фио...
летовую сторону (на одинаковые расстояния).
ОбраТИl\{ внимание еще на одну характерную особенность явле...
ния 3еемана в сильных полях. Найдем из (7.10) формулу для рас.
тояния между КО:МIIонента lИ :мультиплета по частоте:
1 1 еп. В еВ
Llro == BB :::с: == .
1i 1i 2тс 2тс
(7.11)
Формула (7.11) не содержит ни постоянной Планка, ни квантовых
чисел. Поэто:му эта формула в принципе может быть получена (и
действительно получается!) в I\лассической физике 1). Эта особен
ность сильных полей не содержит rлуБОRоrо физическоrо С Iысла ТI
является случайной. Так, формула (7.6) для смещения линиЙ
в слабых полях содерп:\ит квантовые числа (они входят в состав
факторов Ланде).
Таl\ИМ образом, мы видим, что при увеличении маrнитноrо поля
-сложная ка ртина расщепления ( сложный эффект 3еемана) пре
JJращается в проетую триплетную (простой эффект 3еемана). Это
превращение было открыто в 1912 r. Пашеном и Баком и носит
их имя.
В занлючение отмети:м, что наиболее сложной оказывается Rap...
ина расщепления спектральных линий в промеiRУТОЧНЫХ полях,
коrда все три последних члена в (7.1) имеют сравнимую вели...
"Чину. Теоретическое раССl\lотрение этоrо случая крайне сложно.
Поляризация зеемаНОВСRИХ компонент. Схема опытов по иссле
.дованию явления 3еем:ана изображена на рис. 76. Источник света
(светящийся rаз) помещается между полюсами элеRтромаrнита.
1) Частоту eBj2тc в Блассической физике называют ларморовой, а трп"
плет линий с частотами 000 и шо::f: eBj2тc нормальным лоренцевым TPll.
плетом.
{76
rл. VII. АТОМЫ В мАrнитных ПОЛЯХ
Спектральный состав излучения изучается с помощью спектромет--
ра, снабженноrо устройством для исследования поляризации _ света.
Спектральный прибор условно изображен в виде призменноrо спект
рометра. Слабость расщепления (см. выше) 8аставляет применять
приборы Q большой разрешающей способностью. Наблюдение спект..
ров чаще Jlcero производят по нормали к направлению маrнитноrо
поля (<<поперечный» эффект 3еемана) или по направлению поля
((продольный» эффект 3еемана). Расположение приборов для на..
блюдения «поперек поля» отмечено на рис. 76 цифрой 1, а распо
ложение для наблюдения «по полю» цифрой 2. В последнеl\f
случае наблюдение ведется через канал, проделанный в одном из
ПОJIЮСОВ.
/(ат!l.Ш8U
СОЗО!/Жd8Ifи'Я
1
,
,
Рис. 76. Исследование поляризации света при эффекте 3еемана: 1 исслед
вание «поперек поля)}; 2 исследование «вдоль ПОЛJП)
Опыт показывает, что зеемановские компоненты как при наблю
дении. вдоль поля, так и при наблюдении поперек поля OKa3ЫBa
ются поляризованными. Поляризация происходит и при «нормаль
ном», И при «аномальном» эффектах 3еемана. Причина поляриза
ции заключается в том, что ка,.кдая компонента зееl\Iановскоrо
мультиплета связана со вполне определенным изменениеl\f '_проек
ции уrловоrо момента атома.
Рассмотрим это явление на примере зеемаНОВСl\оrо триплета
(рис. 75). Изображенные на рисунке переходы 1 и 4 пропсхqдят'
при уменьшении тL па единицу; тв при оптичесних переходах но
ИЗl\fеняется. 11з закона сохранения уrловоrо момента следует, что.
r
r
I
f
\
I 37. ЯВЛЕНИЕ ЗЕЕМАПА
177
проекцИЯ уrловоrо момента CBeTO O RBaHTa на направление Mar
нитноrо поля в этом случае равна +1. При наблюдении этой линик
вдоль поля МЫ увидим поэтому кванты, спины которых направле
ВЫ по направлению движения, Т. е. циркулярно поляризованный
свет.
Несколько сложнее обстоит дело при наблюдении поперек поля
Б этом случае квант обладает единичной проекцией момента на Ha
правление, перпендикулярное к направлению ero движения. О та--
них состояниях кванта мы до сих пор не rоворили. Из общих сооб--
ражений ясно, что это состояние может быть представлено в виде
некоторой еуперпозиции двух основных состояний состояний с
направлением спина п о и про т и в направления ДВИi-кения. Что
бы разобраться в этом вопросе до конца, следует, однано, установить
сдвиr фаз между этими состояниями. Соответствующий :мате:м:ати--
ческиЙ аппарат в этой книrе не излаrался. Мы пойдем нескольк()
друrим путем. С классической точки
зрения квант со спином, направлен
ным вдоль маrнитноrо поля, пред
ставляет собой электромаrнитную
волну, в которой вектор Е вращает--
ся в плоскости, перпендикулярной R
полю (рис. 77). Эта волна наблю--
дается и, следовательно, распростра
няетсн поперек поля. Нетрудно сооб
разить, что при наблюдении поперек
поля мы увидим, что вектор Е ко--
леблется по направлению, перпен
ДИКУЛЯ})НОМУ R вектору маrнитноrо
поля электромаrнита. Соответствую
щая компонента будет поэтому ли--
пейно поляризована.
Все сказанное выше непосред
ственно переносится на линию с
тL == +1 (переходы 3 и 6 на Рис. 77. R определению поляри
рис. 75). Эти линии снова являются ваЦIIИ света при наблюдении по
циркулярно поляризованными (в об переи поля
ратную сторону) при наблюдении
доль поля и линейно поляризованны:м:и при наблюденип по
перен поля. Обратимся теперь к несмеIЦенной компоненте (перехо--
ДЫ 2 и 5 на рис. 75). в этом случае тL == тB == о. Соответственно
нвант имеет нулевую проекцию спина на направление маrнитноrо
поля. Леrко понять, что при наблюдении вдоль поля несмещеннал
НО fпонента вообще не видна. В самом деле, она должна была бы
возникать от квантов, имеющих нулевую проекцию спина -па Ba .
правление движения. Но таких квантов не существует. При паблю
дении вдоль поля видны поэтому только дяе из трех номпонент
зеемановскоrо триплета.
i 2 л. л. rольдин, r. и. Новикова
в
:.
8
s
Е
Ir
I
;/fа5лю6r1еное налра6ленuе'
ЛOl1Rptl8 11 ЧUl/
178
rл. YII. АТОМЫ В МАrнитных полях
РаСС IОТрИ I теперь поляризацию несмещенной компоненты при
-наблюдении поперек поля. Чтобы разобраться в явлении, мы долж
IIЫ В это:м случае перейти к классическим представлениям. HeTpyд
но сообразить, что колебания не видны при наблюдении вдоль поля
лишь в TO { случае, если вентор Е колеблется в этом направлении.
Следовательно, неСl\lещенная компонента зеемановскоrо триплета ли
нейно поляризована, причем вектор Е колеблется вдоль маrнитно
ro поля.
П риведенные рассуждения целиком переносятся на компоненты
мультиплетов сложноrо эффекта 3еемана. Отдельные компоненты в
"Этом случае имеют определенную проекцию тJ, которая с ТОЧКJI
зрения поляризационных эффектов ничем не отличается от тLt
-определявших поляризацию Rомпонент «нормальноrо» триплета.
ОтмеТИl\l в заключение, что с точки зрения обычной эксперимен"
-тальной техники для всех атомов, кроме самых леrких, слабые по--
ля являются нормальными, а сильные необыкновенно сильными.
Поэтому названия «нормальный» и «аномальный» по отношению
к эффекту 3еемана не выдерживаIОТ критики ни с эксперименталь
ной, ни с теоретической точек зрения.
38. МаrНIIТНЫЙ резонанс
онерrетические уровни частиц (электронов, атомов, атомных ядер,
молекул) с отличными от нуля маrнитными моментами при наложе..
нии маrни:тноrо поля испытывают зеемановское расщепление. Спон--
отанные электромаrнитные переходы между компонентами, на КОТО--
рыв расщепился уровень, мало вероятны 1). Однако они происходят
под влиянием достаточно сильноrо внешнеrо электромаrнитноrо из
лучения, если кванты излучения обладают энерrией (частотой), рав"
пой энерrии (частоте) переходов между компонентами уровня, т. е.
при выполнении резонансноrо условия 1iro == и в, или с учетом (7.5)
пro === gJlBB. (7.12)
Здесь пro........ энерrия квантов переменноrо электромаrнитноrо поля,
а gJ1 B B расстояние между компонентами расщепившеrося уровня
(в энерrетических единицах) в постоянном маrнитном поле с индук--
цией В. При выполнении условия (7.12) и наблюдается м а r н и T
1. Ы Й рез о н а н с.
В зависимости от типа частиц, маrнитный момент которых изуча..
.стся, различают э л е к т р о н н ы й пар а м а r н и т н ы й рез 0--
,нан с (ЭПР) и ядерный маrнитный резонанс (ЯМР).
1) Проще Bcero в этом убедиться на примере атома водорода. РасщеПJl
нне OCHoBHoro уровня связано с различием в величине проекции спина и СВЯ
-запноrо с ним маrнитноrо момента на веI{ТОР маrнитной индукции В. Перехо
.ДЫ между появившимися КО lпонентами уровня возможны поэтому лишь ира
As =1= О, что запрещено правилаl\lИ отбора.
38. МАrнитный РЕЗОНАНС
17
в первом случае в условие (7.12) входит MarHeTOH Бора, а во BTO
ром........ ядерный маrпетон J.1N и g фактор (rиром:аrнитное отношс
вие) ядра.
Оценим длину волны излучения, удовлетворяющеrо условию.
(7.12), в этих двух случаях.
Пусть В == 3 . 103 rc. Тоrда для наблюдения ЭПР потребуется
излучение с "л === 2лс/ro === 2лсn/g вВ. Положив g == 2 и имея в виду,.
что f.tB == 0,927 · 10 20 эрr/rс, получаем
6,28. (3.1010 CM/c).(1,05.10 27 эрr.с) 3
IV == 3 ) см ·
2.(O,927.10 20 эрr/rс).(3.10 rc
Этой длине волны соответствует частота v с:: 10 мrц. Излученив-
с такой частотой относится к радиоволна 1 СВЧ диапазона.
Ядерный :MarHeToH J.1N == еп/2т р с приблизительно в 2000 раз-
меньше электронноrо, поэтому ЯМР при TO ! же маrнитном поле на--
БJJюдается на частотах порядка 5 мrц.
с помощью маrнитноrо резонанса проводятся мноrие важные-
исследования: определяются маrнитные моменты атомов и атомных
ядер, изучаются особенности строения молекул и кристаллов, ис
следуется кинетика химических реакций и т. д.
8 А t
!Z j
al!4/b'z 8 Б
t 8 8 t a8 8 /iJz
А
I
L
в
. (J)
t 1( насос!!
Рис. 78. Схема установки для исследования ямр по методу молекулярных
пучков
Ядерный маrнитный резонанс впервые наблюдался в опытах
с молеI{УЛЯРНЫМИ пучками. Метод 1\lолекулярных пучков (Раби,
1938 r.) заключается в том, что тонкиЙ пучок нейтральных частиц
(атомов, молекул) пропускается в вапууме через маrнитные поля
и подверrается воздействию радиочастотноrо поля. На рис. 78 изо
бражена схема установки для наблюдения :м:аrнитноrо резонанса
этим методом. Пучок нейтральных частиц вылетает из источника И,
I\оллимируется диафраrмой Д, проходит через маrнитное поле Mar--
Витов А, Б и В и реrистрируется приемником частиц п. IаrlIИТ В
12*
iMO
rл. VII. АТОМЫ в мАrнитныx полях
-создает сильное однородное поле ВВ. Поля В А И ВВ реЗRО неодпород...
ны. Все три поля В А , ВВ И ВВ направлены в одну сторону. rрадиен", '
'ты напряженности маrнитов А и В направлены в противоположные
-стороиы нан это указано на рис. 78. Поле ВВ не от:клоняет нейтраль...
ных частиц а в неоднородных полях В А И ВВ частицы отклоняются
в противоположные стороны 1); траектории частиц зависят от вели...
чины прое:кции их маrнитноrо момента на направление поля. Две
'Такие траектории изображены на рис. 78. Индукцию поля ВВ подби...
раю т так, чтобы отнлонение в поле В А ко:м:пенсировалось отклонени...
ем в поле ВВ (леrко видеть, что КО lпенсация одновременно ПРОIIСХО'"
ДИТ для всех значений проеI\ЦИИ J.t на В); при этом в приеr.IНИК П
попадает наибольшее число частиц. В поле маrнита В уровни испы..
тыаютT аеемановское расщепление. В зазоре этоrо маrнита создает...
-ел переменное электромаrнитное поле (петля, создающая это поле,
изображена на рис. 78 между полюсами маrнита Б) с частотой, удов",
леТВОРЯIощей условию (7.12). Высокочастотное поле вызывает
переходы частиц с одноrо подуровня на друrой. Отклонения в Mar
витах А и В происходят у таких частиц при разных значениях про
екции маrнитноrо момента на направление поля и не компенсируют
друr друrа. Число частиц, попадающих в приемник, уменьшается.
Обычно опыты ведут таким образом, что частота renepaTopa, соз...
ДRющеrо переменное электромаrнитное поле, держится постоянной,
а напряженность поля ВВ плавно колеблется BOKpyr HeKOToporo
значения. При резонансном значении ВВ наблюдается резкое умень'"
шение числа частиц в приемнике. Равенство (7.12) по извеСТНЫ I
значениям ro и ВВ позволяет определить Jl для исследуемых частиц.
1"'очность метода достиrает тысячных долей процента. Высокочастот
IIoe поле должно быть циркулярно поляризовано или содержать цир...
f{УЛЯРНО поляризованную компоненту. Направление циркулярной
поляризаЦIIИ должно сов-падать с направлением поля В. Чаще Bcero
используется линеЙно поляризованное (поперек В) поле, :которое,
"как известно, может быть представлено в виде суперпозиции двух
циркулярво поляризованных полей.
Метод :молеRулярныIx пучков применим только R нейтраЛЬНЫ 1
частица!\l, что сужает область ero использования. В CaMOl\:I деле,
в cllcTeMe координат, связанной с частицей (в НОТОрОЙ только И име..
ет смысл понятие ди:польноrо l\lаrнитноrо мо:мента частицы), движу",
щееся в этоЙ систеl\lе 1\Iаrнитное поле установки приобретает эле:кт",
рическую I\омпоненту Е == [v Х В]/ С, которая вызывает сильное
.сl\lеlцение прп ненулеВОl\1 элентрпчеСI(ОМ заряде частиц.
I J настоящее вре}!я Iетод IОJIеRУЛЯрНЫХ пучков применяется
реДI О. БО:Iыпее значенпе п:меlОТ Iетоды наБЛIодения маrнитноrо pe
OHaHca в твердых телах и ЖИДI-\ОСТЯХ, содержащих атомы или ионы
1) НаПО IНИ I, что сила, дейс.твующая на маrнитный ДИПОЛЬ, равна
grad (,...,в), rде ,..., маrнитныЙ момент, а В индукция м:аrнитвоrо ПОЛЯ. В о,ц-
1I0рОДНОМ поле сила обращается в НУЛЬ.
I 38. МАrнитнЪIй РЕ30НАна
181
с оТЛИЧНЫМ ОТ нуля 1\Iаrнитным :моментом (ядерным или элеКТРОН04
ВЫМ). Энерrия aTOl\IOB с J.t =1= О во внешнем маrнитном поле зависит
01 ориентации их моментов. При наложении поля через некоторое
время устанавливается тепловое равновесие; в соответствии с фор
МУЛОЙ Больцмана количество атомов, «повернутых ВДОЛЬ поля»
(Т. е. с наименьшей энерrией) будет б6льшим, чем количество aTO
МОВ, «повернутых против поля» (с наибольшей энерrией). Поэтом:у
реЗУЛЬТIIРУЮЩИЙ маrнитный момент всех атомов образца, помещен...
поrо в маrнитное поле, оказывается не равным нулю, т. е. образец
взмаrничивается. С этим и связано название «парамаrнитный резо...
нанс» (ядерный или электронный) для рассматриваемоrо явления.
Преимущественная заселенность нижних подуровней приводит к
TO IYt что число атомов, способных поrлощатъ энерrию радиочастот...
HOI'O поля, превосходит число атомов, которые MorYT ее отдавать.
llоэтому при наблюдении парамаrнитноrо резонанса обнаруживается
п о r л о Щ е в и е энерrии электромаrнитноrо радиочастотноrо поля.
Поrлощение электромаrнитной энерrии: приводит к выравниванию
количеств aTOl\IOB в положениях с равными проекциями маrнитноrо
момента, а процессы релаксации стремятся вернуть систему к рас...
пределению Больцмана. Поэтому величина наблюдаемоrо эффекта
в стационарных условиях зависит от скорости, с RОТОрОЙ устанавли
вается тепловое равновесие в образце, т. е. ОТ времени релаксации
маrпитных мо:ментов. При больших временах релаксации сиrнал
парамаrнитноrо резонанса уменьшается по мере выравнивания KOH
центраций в положениях с различными направлениями спина и, Ha
конец, пропадает вовсе. Это явление носит название в а с ы Щ е н и я.
Электронный парамаrнитный резонанс был открыт совеТСКИl\I
ученым Е. К. 3авойским в 1944 r. 3аВОЙСl\ИЙ проводил опыты с pa
Диоволнам:и с длиной волны, равной нескольким дециметрам (в Be
больших маrнитных полях). В связи с развитием техники саНТИ1vlет
ровых волн в последнее время для наблюдения ЭПР стали использо
ваться спектрометры, работающие на длине волны 3 СМ. Схема наи
более простоrо TaKoro прибора показана на рис. 79. ИсследуемыЙ
образец 1 ПО lещается внутрь объемноrо резонатора 2. ИСТОЧНИКО I
}Iонохроматическоrо СВЧ излучения является клистрон 3 (4 БЛОI\
Питания RЛпстрона, 5 ВОЛНОl\fер). От клистрона по волноводу 6
Излучение поступает в резонатор 2, проходит сквозь Hero и прини
мается детеБТОРОМ: 7.
Маrнитное поле с по:мощью специальных м:одуляционных KaTY
meI\ 8 колеблется около значения Во, соответствующеrо резонансном:у
УСловию (7.12). в тот момент, коrда оно проходит через значе...
Вне Во, поrлощение СВЧ мощности в веществе увеличивается, и про
зрачность резонатора падает. Соответственно уменьшается сиrнал,
поступающий с детектора через усилитель 9 на вертикальные пла
СТИНЫ осциллоrрафа 10. fоризонтальная развертка осциллоrра<f)а
синфазна с м:одуляцией маrнитноrо поля (11 reHepaTop модуля...
ЦНИ МаrЙII'fноrо поля, 12 фазовращатель, 13 основная об?tlотпа
2
i82
rл. VII. АТОМЫ в МАrнитных полях
8лектромаrнита). На экране возникает характерная линия поrло
щения.
е помощью ЭПР получено MHoro важных сведений о I\инетине
химических реакций, в особенности тех, в которых образуются CBO
бодные радиналы, часто иrрающие роль промежуточных звеньев
реакции. Свободные радикалы подобно одновалентным aTo IaM обла
дают одним: электроном с неСRомпенсированным СПИНО I; дЛЯ них f
J == 1/2 и J.t === J.tB. Изм:енение концентрации радикалов в процессе
химических реакций леrко обнаруживается, если ТОЛЬRО их Количе...
ство не слитном мало.
o
З,Е
б
10
'1-
rv
Рис. 79. БЛОR СХСl\Iа прибора ДЛЯ
наблюдения ЭПР
Рис. 80. lIсследованпе ямр
по методу I10rлощения
в 1945 r. впервые было проведено исследование Я IР методом,
апалоrичным методу 3авойскоrо. Аппаратура для наблюдения ямр
отличается от аппаратуры, служащеЙ для изучения ЭПР, из за боль...
шоrо различия в длинах волн элеКТРО lаrнитноrо поля. В:месте с тем
идеи, лежащие в основе методики, очень близки.
На рис. 80 изображена схема установки для наблюдения ямр t
работающей по Аlетоду поrлощения (1 контур reHepaTopa, 2 дo
полнительная Rатушка, 3 усилитель, 4 осциллоrраф и 5 обра--
зец). Исследуемое вещество помещается в J\атушку, входящую в
состав колебательноrо контура reHepaTopa радиочастоты. Вся уста...
повка расположена в сильном однородном маrнитном поле, -вызы...
Бающем зеемановсное расщепление энерrетических уровней ядер
в образце. Катушка контура располаrается так, чтобы переменное
поле, создаваемое reHepaTopoM, было перпендинулярно н постоянно...
му маrнитному полю. Если частота reHepaTopa удовлетворяет усло...
БИЮ (7.12), ВОЗНИRает заметное поrлощение энерrии и падает до б...
ротность :колебательноrо контура. При этом наблюдается уменьше...
ti 38. МАrнитный РЕЗОНАНС
183
пие амплиТУДЫ или даже полныЙ срыв rенерации. Чаще Bcero ВО
вреМЯ опыта частоту reHepaTopa не меняют, а напряженность ?t-Iar...
нитвоrо поля слеrка модулируют. Как и при наблюдении ЭПР, сиr...
ваЛ пропорциональный добавочному маrнитному полю, подается на
rор зонтальный вход осциллоrрафа, а амплитуда rенерации наблю
дается по вертикальной оси. На оrибающей высокочастотноrо на...
прятеНIIЯ наб:Iюдается при этом характерный провал.
Метод поrлощения с экспериментальной точки зрения сущест
венно проще метода молекулярных пучков и обладает не менее вы...
сокой точностью. Этим методом можно изучать вещества в твердо}!
и жидком состояниях, в то время как метод пучков позволяет ис...
следовать изолированные молекулы и атомы. Метод поrлощения
позволяет проводить исследование с образцами, содержащими Bcero
1011 атомОв.
е помощью :маrнитноrо резонанса был исследован маrнитный MO
мент протонов. Он оказался равны:м: 2,79 JlN. Большая величина Mar...
нитноrо MOl\IeHTa протона (на первый взrляд протон, как и всякая
заряженная частица со спином 1/2, должен был бы обладать в «соб
ственных мзrнетонах» маrнитным моментом, равным единице) свя",
нана с Tel\I, что в отличие от электрона протон не является простой
частицей.
По совреl\lенным представления:м протоны, нейтроны и все дру--
rие частицы, на которые действуют ядерные силы (их общее назва...
ние а Д р о н ы),. состоят из субчастиц, носящих название к в а р--
1\ О в. В состав протона и нейтрона входят кварни двух сортов с
электричеСКИ IИ зарядами (1/3) е и + (2/3) е. В состав протона
входит один кварк первоrо сорта и два кв арка BToporo сорта (по
этому электрический заряд протона равен +1е). В состав нейтрона
входят два кв арка первоrо сорта и один кварк BToporo сорта (элект
рический наряд нейтрона поэтому оказывается равным нулю). Наши
рассуждения к таким сложным частицам, кан протон и нейтрон,
примеНИl\lЫ только качественно. Маrнитный момент протона мыI уже
привели. У нейтрона также имеется маrнитный момент. Он равен
1,91 JlN. НаЛIIчие маrнитноrо момента у электричесни нейтрально
ro нейтрона является вполне естественным. Заряды входящих в ero
состав кварков компенсируются, а 1\Iаrнитные моменты не компен...
сируют друr друrа.
Как уже ОТl\lечалось, аппаратура для наблюдения ЯМР работает
в хорошо освоенной области частот и оказывается очень простой.
ЭТО позволяет использовать ядерный резонанс для измерения и CTa
билизации маrнитных полей, причем с помощью сравнительно про...
стоЙ аппаратуры удается достичь поrрешности 10 5.
Укажем на еще одно важное применение метода ЯМР. В послед...
Вие rоды этот l\lетод все шире используется в медицинской интро",
скопии «<ВНУТРlIвидении») подобно рентrеновским лучам и радио...
аI\ТИВНЫ 1 НУI\.rIидам, в отличие от ноторых он совершенно без...
.вреден. При Я lР"'диаrностике используется сиrнал резонанса от
184
rл. VII. АТОМЫ В МАrнитных ПОЛ
протонов, концентрация которых особенно велика в мяrких тканях.
При опухолях и друrих нарушениях структуры тканей концентрация
водорода меняется и сиrнал резонанса усиливается или ослабляется.
Метод ядерноrо маrнитноrо резонанса является важным дополне..
нием R рентrеновской диаrностике, при .которой мяrкие ткани видны
плохо и которая более приrодна для исследования скелета. (При
рентrевовской диаrностике сосудов и мяrких тканей в кровь или во
внутренние полости орrанизма приходится вводить контрастные
вещества. )
Разновидностями электронноrо маrнитноrо резонанса являются
Ф е р р о м а r н и т н ы й и а н т и Ф е р р о м а r н и т н ы й резонан--
сы, связанные с изменением ориентации электронных моментов в
ферромаrнетиках и антиферромаrнетиках, а таиже Д и а м а r н и т--
Н ы й резонанс на свободных носителях в полупроводнииах и Ц и к--
JI О Т Р О Н Н ы й резонанс на свободных электронах в металлах.
r л А В А VIII
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
Из курса молекулярной физики читатель уже знаком с основными
формулами классической статистики. В кинетической теории rазов
распределения частиц описываются формулами
dN и == А ехр ( Ej'XT) dpx d p1l d pz
(распределение Максвелла),
dN B == А I ехр ( ЕПQJхТ)dхdуdz
(распределение Больцмана),
rде Ев кинетическая, а Е пQт потенциальная энерrия, Т темпе..
ратура rаза, х....... постоянная Больцмана, А и А I нормировочные
константы, зависящие от числа частиц. Оба эти распределения 1)
содержат идентичный множитель ехр ( E/'XT), который мы буде?1
называть м н о ж и т е л е м Б о л ь Ц м а н а.
Квантовая теория показывает, что формула (8.1) нуждается
в уточнениях. При выводе формулы Максвелла отыскивается наи...
более вероятное распределение частиц, Т. е. распределение, которое
может быть достиrнуто наибольшим числом способов. Это распреде...
ление находится с пом:ощью обычных методов комбинаторики. ПрlI
подсчете числа комбинаций предполаrается, что частицы одноrо и
Toro же сорта можно отличить друr от друrа. Это означает, напри...
мер, что распределение, при котором первая частица находится в
состоянии А, а вторая в состоянии В, и распределение, при ко...
тором в состоянии А находится вторая частица, а в состоянии В
первая, являются двумя разными распределениями. Мы знаем те...
перь, что это не так: частицы одноrо сорта ничем не отличаются
друr от друrа, и установить, какая из них является первой, а какая
второй, невозможно. Указанные распределения должны считаться
поэтому за одно, а не за два разных состояния. Таким образоы'
Rвантовая физика и классическая физика приводят к раЗЛИЧНЫ 1
формулам для расчета числа возможных состояний (к разным пра...
вилам ком:бинаторики) и соответственно к разным формулам для
расчета вероятностей или, как обычно rоворят, к разным ста...
тистикам.
. Правила квантовой Rомбинаторики различаются для частиц с це..
ЛЫАfИ (О, 1, 2 и т. д.) И полуцелыми (1/2, 3/2 И Т. д.) значениями
спина. Частицы с полуцелым спином подчиняются припципу Паули:
(8.1)
1) n классической статистике используется также распределение Максвел.
ЛА по скоростям, НО оно нам не понадобитсн.
{86
rл. VIII. ОСНОВЫ RВАНТОВDй СТАТИСТИИИ
никакие две частицы одноrо сорта не MorYT находиться в ОДНОМ ff
том же квантовом состоянии. I\о:мбинаТОРИRа, учитывающая Hepaa
ПИчимость частиц И принцип Паули, приводит н эамене классиче
ской статистини с т а т и с т и к о й Ф е р м и Д и р а R а (или про
сто статистикоЙ Ферми) и распределения МаRсвелла р а с пр е Д e
л е н и е Ф е р :м: и Д и р а к а. Частицы, ПОДЧИняющиеся стати
стике Ферми Дирака, называются Ф е р 1 И О Н а м и. Статистика
Ферми описывает поведение электронов в твердых телах 11 нуклонов
в атомных ядрах и понадобится нам при изучении мноrих свойств
твердых тел и для понимания важнейших особенностей ядер.
Частицы с целым спином (например, фотоны) принципу Паули
не подчиняются; любое их количество может находиться в одном и
том же квантовом состоянии. В этом случае квантовая Rо:мбинато
рика приводит к с Т а т и с т и к е и р а с п р е Д е л е н и ю Б о з е
Э й п m т е й п а. Частицы, подчинЯющиеся статистике Бозе Э й п
штейна (илц- просто статистике Бозе), называются б о 3 О Н а м 11.
Статистика Возе потребуется нам для вывода формулы Планка, опи
сывающей спектр paBHoBecHoro тепловоrо излучения, а также для
расчета теплоемкости твердых тел.
39. ЧИСЛО квантовых состояний. Статистический вес
Как уже отмечалось, основной постулат статистической физики
утверждает, что равновесным является наиболее вероятное распре
деление, т. е. распределение, которое может быть получено ваиболь
тим числом способов. (При расчете будем считать, что частицы не
взаимодеЙС,Твуют друr с друrом и что все распределения, приводя
щие к данной суммарной энерrии частиц, равновероятны.) Чтобы
z найти такое распределение, нужно прежде
Bcero знать число состояний, ПО КОТОрЫ 1
MorYT распределяться исследуе fые частицы.
Рассчитаем ЭТО число для электромаrнитно
С ro излучения, Т. е. для фотонов. Получеп
ные формулы нетрудно будет зате1vI обоб
щить на любые друrие частицы.
А ,z Заключим излучение в зеркальный ящик.
Рис. 81. Зеркальный Запертые в ящике фотоны не lorYT уходить
ящик, в который «запер.. на бесконечность. Их энерrетические ypOB
то» излучение НИ, следовательно, нваНТУIОТСЯ. Найдем co
ответствующие фОрl\IУЛЫ. Пусть зеркальпыii
ящик И)Iеет форму параллелепипеда, как это изображено на рис. 81.
ОбознаЧИl\l длины ero сторон через А, В, с.
11си ФункциеfI фОТОНОВ являются световые волны 1). Стационар
вые состояния, соответствующие определеННЫl\l УрОВНЯl\l энерrии
1) Как мы уже ОТ lечали, световая волна и ф функция фОТОНОВ па самом
деле раЗJIичаются КОдффициентом пропорциональности, что для дальнейших
рассуждений несущественно.
' 1 . . . . )1
.<,
. ,:"?
,;.-
I
: .1 .. . ' . : . . . . . ..
..'
39. число НВАНТОВЬУХ СОСТОЯНИЙ. СТАТИСТИЧЕСRИЙ ВЕа {87
фотона, описываются стоячими волнами. Стоячие волны В прямо
уrОЛЬНОl\1 ящике MorYT быть представлены в виде разложения по
волнам, зависящим от каждой координаты:
'ф (х, у, z) == An,т,l sin (kxnx) sin (kymY) sin (kzlZ). (8.2)
n,т,l
ЗависИМОСТЬ от времени в (8.2) опущена. (Она входит в волновую
q)ункциЮ В виде обычных множителей ехр ( i(j)it) и сейчас не будет
для нас представлять интереса.) Частота света связана с волновым
числом известным соотношением
(j) == kc === с V k + k + k .
(8.3)
Выберем в качестве cBeToBoro вектора электрический вектор вол
вы Е эл . На rранях аеркальноrо ящика вектор Е Эll должен обращать
сл в нуль. Выбор в качестве триrонометрической функции синуса
(а не косинуса) в разложении (8.2) обеспечивает обращение Е ВJI
в нуль на rранях х ::::с О, у == о и z c:z о. Чтобы Е Эll обращалось в нуль
на остальных rранях параллелепипеда, должны быть выполнены
условия kxA c::z пл, kиB c::z тп, kzC == ln, или
k« lrЖ8 nп/ А, k и == тл/ В, kz, =:z lл/С,
rде n, т, l произвольные целые положительные числа {)'. Эти фор
мулы определяют квантование энерrии ф отонов, поск ольку
Е с= с I р I == сп I k I == сп V k + k + k . (8.4)
Рассчитаем число фотонных квантовых уровней в области, rде
энерrия фотонов меньше HeKoToporo Ео. Для этоrо следует рассчи
тать число разрешенных наборов k x , k и , k z в области k < ko == Ео/сп.
Как видно из рис. 82, это число равно числу разрешенных точек,
помещающихся в положительном октанте сферы, описанной радиу
сом r === ko в пространстве, по осям KOToporo отложены k x , k y , k z .
В этом пространстве разрешенные состояния располаrаются в виде
точеI , находящихся в уrлах «Rристаллической решетки» с шаrаМII
п/ А, л/В и 'Л/с по трем осям. Сечение этоrо пространства плоско
стью k z == const изображено на рис. 83. В такой «решетке» каждое
разрешенное состояние (:каждая точка на рис. 83) принадлежит
восьми ячейкам (четыре ячейки расположены под секущей плоско
стью и четыре над ней), а каждая ячейка представляет собой па
раллелепипед и содержит восемь разрешенных состояний, COOTBeT
ствующих уrлам ячеЙки. Объем, приходящиЙся на :каждый узел, pa
вен, следовательно, объему ОДНОЙ ячейки, т. е. (л/А) (л/В) (л/С)==-
=== лЗ/V, rде V объе:м зернальноrо ЯЩIlка. Чтобы наfIти число раз--
1) При целых отрицательных числах n, т, l не возникает новых решений,
поэтому их рассматривать не следует.
t88
rл. VIII. ОСНОВЫ RВАНТОВОй СТАТИСТИRИ
решенных состояний в октанте сферы, следует разделить объем
8Toro октанта на объем, приходящийся на каждое разрешенное со...
стояние. Полное число фотонных состояний будет на caMo 1 деле
Dдвое оольше указанноrо, так как во всяком разрешенном состоянии
Возможны две независимые поляризации. }I:MeeM: ПОЭТО}IУ
1 4 k З . п3 1 k 3 V
N(Ео) 2. . л o. v 2 о ·
8 3 Зл
в этой фОР!fуле lУ (Ео) определяет число различных ВО3 10ЖНЫХ фо
тонных состояний с энерrиеЙ, :меньmей Ео.
k z
*!!
,..1't
'tЗ
11
fj
k!J
% 2% JJ k(JJ
Рис. 82. К расчету чис
ла состояний. Сфера в
пространстве волновых
чисел
Рис. 83. R расчету чис..
па состояний. « Разре..
шенные точки» на пло
кости волновых чисел
Преобразуем формулу (8.5) R виду, удобному для запоминания.
Перейдем от волновоrо числа к Иl\fПУЛЬСУ Р посредством оБЫЧDоrо
соотношения р ::::1 k1i. Рассмотрим шестимерный фаз о вый о б ъ е м
r, по трем осям KOToporo отложены пространственные координаты,
8 по трем друrим: осям составляющие импульса фотона. Полный
шестимерный объеl\f равен произведению объема в пространстве
КООрдинат на объем (4/3) лрg в пространстве им:пульсов (при р < ро)
r == (4/3) npgV. (8.6)
Подставляя (8.6) в (8.5) и перейдя от ko R Ро, пайдем
r
N==2 .
( 2л 1i. ) 3
(8.7)
ФОРl\lула (8.7) является частным случае f о чень общей ФОРАfУЛЫ
N == (2J + 1) r З '
(2л1i)
(8.8)
позволяющей рассчиты,вать число разрешенных СОстояпии .любых
частиц. 1вожитель 2/ + 1 (] момент импульса) определяет число
(8.5)
I 89. число RВАНТОВЫХ состояний. СТАТИСТИЧЕСНИй ВЕО 189'
состояний, не связанных с перемещением частицы в пространстве-
\ число возможных проеRЦИЙ спина). у фотона это число опреде
.пяетсН числом возможных направлений полярпаации и равно 2.
Обратимся теперь к множителю r / (2лп) 8. Этот :множитель по:ка
Бывает, что число состояний, зависящих от перемещения в простраIl
стве, пропорционально фазовому объему r. Из СТРУRТУры этоrо MHO
fI\ителя ясно, что 8наменатель (2лп) 3 равен величине фазовоrо-
объема, приходящеrося на одно состояние. Этот результат им:еет'
фундаментальное значение. В ПЛОСI\ИХ задачах в:м:есто (2лi ) з сле
дует писать (2л1i)2, а в одномерных просто 2лn. ТаКИ 1 обраЗО!\1I,.
н/а одп0 СОСТОЯ1lие для каждой KoopдипaTЬ приходится фазовый
об'Ъеol)t, рав1lЬ Й 2пп.
Величина фазовоrо объема, приходящеrося на каждую координа
ту, 2лп, с точки зрения принципа пеопределенности представляется
вполне естественной. Произведение неопределенностей координаты
и импульса xl1.p 2лп. Эта величина и определяет «место», 8ани
1tlaeMOe в фазовом объеме каждым KBaHTOBЫ 1 состояниеl\{.
Рассчитаем теперь g (Е) число уровней, приходящихся на еди
ничный интервал энерrии. По определению, И1\lее1\1
g (Е) t!.E == N (Е + t!.E) N (Е) == d f) t!.E.
Величина dN (Е) / dE для фотонов леrко MOiReT быть найдена из
(8.5). Нак мы уже отмечали, однако, эта фор:мула неудобна для за
поминания и не обладает достаточной общностью. Покажем, KaIt
вычисляется g(E) из общей формулы (8.8):
(Е) dE == dN dE === ар dN dE == (2J + 1) dp ( пРЗ Т ) dE
g dE dE dp dE d р 3 (2n1i)3 "
или
(Е) dE == (2J + 1) 4л: р 2 v dp dE.
g (2n1i)3 аЕ
(8.9)
Эта формула И1vIеет простой физичесний с:м:ысл. Множитель
4лр 2 dр равен объему шаровоrо слоя в ИМПУЛЬСНО1\1 простраНСТRе.
Т}Iножая этот объем па V, ПОЛУЧИ1\I величину фазовоrо объема df,
приходящеrося на интервал dp. Наконец, умножение на
(21 + 1) / (2лп ) 3 дает иском ое число YPoBHeiI. Формула (8.9) явля
ется общей. Для фотонов вместо 21 + 1 следует подставить 2 1) И
принять во вним:ание, что Е === рс, так что
VE 2
g (Е) dE === 2 3 3 dE (фотоны). (8.10)
псп.
1) IIз за «поперечности» световой волны проеНЦJJЛ спина фотона может
Принимать два, а не три значения. .
1...'
190
rл. VIII. ОСНОВЫ НВАНТОВОй СТАТИСТИRИ
Для частиц, обладающих отли чной от нуля :массой, при не слишком
больших скоростях Р == 1/2тЕ. Подставляя это выражение в (8.9),
найдем
т 3 / 2 1/П
g (Е) аЕ :=: (2] + 1) y 2 3 V У Е аЕ
2 n 1;,
(8.11)
{нерелятивистские частицы с массой т).
Величина g(E), определяемая формула IИ (8.9), (8.10)' или
(8.11), равна числу уровней, приходящихся на единичный интервал
зперrии. Она называется с т а т и с т и ч е с к и м в е с о м и иrрает
оrромную роль в физике. Статистический вес всеёда пропорциоnалеu
.()6ъеJrtУ, ваnятому частицами. Статистический вес увеличивается
с эnерzией и при малых эnерzиях стремится к пулю. При малыlx
энерzиях уровnи (кваnтовые состояnия) расположеnы редко, а при
больших эnерzиях сближаются и в классическом пределе располаzа
юrся nenpepbleno. Такое поведение статистическоrо веса связано
ос трехмерным характером рассматриваемой задачи с множителем
4лр 2 dр в (8.9).
40. Заполнение уровней.
Распределения Бозе Эйнштейна и Ферми Дирака
Рассчитаем теперь число способов, RОТОРЫМИ можно распределить
JIмеющиеся частицы по квантовым уровням. Как мы уже знаем,
цель расчета 8аключается в том, чтобы найти наиболее вероятное.
распределение частиц. Это распределение и должно обнаруживаться
118 опыте. Равобьем энерrетический интервал на ряд следующих
друr 8а друrом областей с одинаковым maroM I1.E между ними. Вы--
берем размер шаrа небольшим, чтобы внутри каждой области pac
пределение частиц по уровням можно было считать равномерным.
llотребуем вместе с тем, чтобы ширина E была велика по сравне...
IIИЮ С расстоянием между уровнями. Тоrда в каждой области по
?\iестится мпоrо уровней и можно будет применять статистический
!\{етод расчета к Rаждой области в отдельности. Леrко видеть, что
при достаточно большом ящике (см. (8.9), (8.10)) плотность ypOB
IIей оказывается оrромной и эти требования не противоречат друr
друrу.
При расчете числа способов, которыми можно осуществить вся
ное данное раСIIределение, важно помнить, что частицы неотличимы
друr от друrа. Мы уже об этом rоворили. Состояние, в котором пер'"
вая частица находится на уровне 1, а вторая....... на уровне 2, пеотли",
чимо от состояния, В котором на уровне 1 находится вторая, а на
уровне 2 первая частица. При расчете числа способов распределе...
IlIlЯ частиц по уровням l\Ibl должны считать эти размещения за одно,
а не за два.
, ,о. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ ЭйНШТЕйНА И ФЕР:\fИ ДИРАRА 191
ДальнеЙшие расчеты будут проведены для фОТОНОВ, т. е. для час
тиц с целым спином, на иоторые принцип Паули не распространя
ется. Формулу для фермионов мы приведем без вывода.
Возьмем для расчетов один из выбранных выше энерrетических
интервалов. Присвоим ему индеl\С k. Пусть в этом интервале имеет
ел gk возможных фотонных состояний и пk квантов. Число способов,.
I\ОТОрЫl\IИ можно разместить п k нера3ЛИЧИl\IЫХ l\fежду соБОlI квантов
при gk возможных состояниях, l\fОЖНО вычислить С по:мощью обыч
нЫХ методов комбинаторики. Оно равно
(gk+nk 1)!
(gk 1)lnk! ·
Для вывода этой формулы применим следующий прием. Отделим уровен:ь.
Уl от остальных. Все остальные уровпи и кванты будем считать равноправны
:ми объектами, вначале не различая, rде квант (k), а rде уровень (у). Полное-
число объектов будет равно nk + gk 1. Выстроим все объекты в произволь
ном порядке в одну линию справа от уровня Yl. Пусть при этом, напримср
возникает комбинация
Yl, k 8 , k g , k 27 , У6, Y14, k ll , k 28 , Y16, ..-
Придадим этой комбинации следующий смысл. Поместим все кванты на пер..
вый находящийся слева от них уровень. В нашем случае восьмой, девятый и
двадцать седьмой кванты попадут на первый уровень, шестой уровень окажет
ся пустым, одиннадцатый и двадцать восьмой кванты попадут на четырнад
цатый уровень, и Т. д. Теперь ясно, зачем первый уровень с caMoro начала
был исключен из рассмотрения и помещен в начало последовательности. Ec
ли бы это не было сделано, первым Mor оказаться не уровень, а квант, KOTO
рый в этом случае остался бы без места.
Вычислим число ВОЗМОi-КНЫХ перестановон из (gk + nk 1) объентов. Нан
известно, оно равно (gk + nk 1)! Учтем теп рь, что каждое состояние было-
сосчитано MHoro раз. При нашем способе расчета расстановни y 1 k 2 Y2 k . и
Y2 k ly 1 k 2 , например, считались различными, хотя они тождественны даже с
точки зрения классической физини: в обоих случаях на уровне Yl находится
второй квант, а на уровне У2 первый. Переставляя l\1Ci-БДУ собой уровни (по
не меняя их заполнения фотонами!), мы обнаружим, что каждое СОСТОЯНJlС
было сосчитано (gk 1)! раз. Учтем теперь неразличи:мость квантов. Число
способов, которыми можно переставить кванты, равно пk!
Итак, число способов, которыми можно разместить ПА квантов по gh. ypOB
иям, равпо
(gh + n п 1)1
(gh 1)1 nht
Рассчитае?vl теперь число способов, ИОТОРЫ IИ 1\IОЖНО осуществить
распределение, при котором в первой энерrетической области Haxo
дится п ! фотонов, во второй п2 фотонов, и т. д. Расстановиа фото
вов в энерrетичеСRИХ областях не зависит друr от друrа. Поэтому
полное ЧIIСЛО способов Р равно произведению:
р === П (gh + n k 1)1
k (g" 1)1 n h ! · (8.12)
Кап БJ-.IЛО уже УRазано, «ИСТИНПЫl\I» распределением является то,
Ноторое может быть достиrнуто наиБОЛЬШИhI числом способов, т. е.
l
.192
rл. VIII. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИRИ
распределение, при котором Р имеет максимум. При отыскании мак...
.симума следует пом:нить, что полная энерrия излучения определяет--
-ся теl\lпературой стенок и должна считаться заданной. В то же вре--
мя число фотонов является свободным, так как они непрерывно по--
f'лощаются и испускаются стенками 1). Обозначая череа Е А среДНЮIО
энерrию фотонов в k й энерrетической области, найдем, что максп--
мум выражения (8.12) следует искать при условии, что полная
:знерrия излучения 8 задана:
е == Ehnh == const. (8.13)
k
Итак, наша задача сводится R вычислению максимума функции
(8.12) при условии (8.13). Расчет показывает, что этот максимум
.достиrается при
1
пh == gh ехр (Eh/ 8 ) 1
rде 8 неноторое число, смысл KOToporo еще предстоит установить.
Выведем формулу (8.14). Находить маI\СИМУМ произведения сложно. Су...
щественно проще вычислять маI\СИМУМ ФУНКЦИИ S ln Р, являющейся суммой,
а не ПРОIfзведеним членов, относящихся к отдельным уровням.
При меняя формулу Стирлинrа
ln n! n ln n n,
(8.14)
Еоторая справедлива при больших n, и пренебреrал в (8.12) единицей по
сравнению с большими числами КА и ПА, найдем
.s == ln Р == рп (gk + Rk)t ln gk! ln n k !] ::::Z
k
== [(gk + n п ) ln (Сп + n k ) gk ln gh n k In n п ].
k
.задача сводится к тому, чтобы найти максимум этоrо выражения при условии
F == е Е hnk == о.
k
Используя метод неопределенных множителей Лаrранжа для нахождения уо.-
ловноrо экстре:мума функции мноrих переменных, найдем
dS + (1/8) dF === о,
rде е неRОТОРЫЙ множитель (обозначение 1/8 введено здесь вместо обычноrо
Jlаrранж ева обоз на чения л).
Вариация dS должна вычисляться при переменных ПА и постоянных K1t,
поскольку число уровней задано, а ваполпение их может меняться. Наше ypaB
1) IIдеаЛЬRО зеР"8льные стенки не поrлощают и не испускают фотонов.
Однако достаточно, чтобы стенки чуть"чуть «потускнели», чтобы такое В38И"
J.tодействие начало происходить и установилось тепловое равновесие между
стенками и излучение1\l. llебольmое «потускнение» стенок не сказывается на
расчете числа фотонных состояний..
I
: I
I
I
,'/
I
, I
.
I 40. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ --- ЭЙНШТЕйНА И ФЕРМИ....... ДИРАRА 193
пение примет при ЭТОМ вид
[ g h + п! п lt 1 ]
dnk ln (g/l + nп) + dn k dп k ln n п dп k Ekdnk == О,
gk + п п п h е
k
или
,
'.,
dпh (In I, пh I' ) ==0.
Поскольку это равенство должпо выполняться при ЛIООЫХ dпk, имеем
gh + п h Eh
ln == e ·
п k
Из этоп формулы следует (8.14).
Выясним смысл постоянной 8. Рассмотрим распределение RBaH..t
ТОВ по очень высоким уровням. При больших Ek уровни мало засе...
лепы, и при расчете числа возможных распределений становится
несущсственным, являются ли квапты раЗЛИЧИМЫ1\{И или неразличи...
1\fЫ1III. Следует поэтому ожидать, что наЙденные формулы перейдут
Б нлассичеСI\ие.
При больших ЕА ЭRспонепциальный член в знаменателе '(8.14)
становится велик, и еДИIIицей МОil\ИО пренебречь по сравнению
с ины. Отношение nk/ gh равпо вероятности заселения уровней с энер'"
rиеЙ Eh. l\1ы видим, что вероятность заселения при больших Eh рав'"
]lа схр ( Eh/8). Сравнивая это выраJнепие с формулой Маl\свелла
i, (8.1 ), находим, что
е == хТ
,
rде 'Х -т постоянная Больцмапа. Подставляя 8 == хТ в (8.14), найдем:
окончательно
1
пk === gk ехр (Е А/ ХТ ) 1 'J (8.15)
JIсследуем CTPYRTYPY полученной ФОР IУЛЫ. Первый множитель
в правой части равен числу уровней в рассматриваемом интервале.
Значит, второй MHOi-I\итель поназывает, сI{олы\o фотонов В сред...
вем находится на :каждом уровне. Это число равпо
1
пфот == сх р (Ejxl') 1 .
(8.16)
Фор:мула 8.16)' для электромаrнитпоrо излучения заменяет форМу....
лу I\I аl\свелла.
11риведем ФОРМУЛУ дЛЯ друrих бозонов. Если :м:асса частиц отлпч",
На от нуля, то в дополнение R условию (8.13), аадающему энерrию
частиц, появляется еще одно условие пеизменность их числа. Ре--
тенне задачи об отыскании эк.стремума приводит в этом случае
13 л. л. rольдин, r! и. IIовииова
{94
ТЛ. VIII. ОСНОВЫ ИВАНТОВОй СТАТИСТИНИ
R формуле
пВозе == схр [(Е )/XT) 1 \' (8.17)
Формулы (8.16) и '(8.17) определяют распределение Бозе
Э й н m т е й н а. Пзраметр J.1 носит название х и м и ч е с к о r о п o
т е н Ц и а л а. Ero величина определяется по числу имеющихся час..
тиц: заменяя второй множитель в (8.15), на (8.17), получим очевид"
пую формулу для определения J.t:
N == gk ехр [(Ek 1"" )jxT] 1 . (8.18)
Для фермионов {частиц с полуцелым спином} вместо '(8.17)' следует
писать
1 I
п
Ферми ехр [(Е J-L )jxT] + 1 ·
(8.19)
Эта формула выводится аналоrично (8.16) и называется р а сп р е...
Д е л е н и е м Ф е р м и Д и р а н а. Мы приводим ее здесь без ВЫ"
вода. ХимическиЙ потенциал J.t в (8.19) обычно называется э н е р..
r и е й Ф е р м и. Как и для бозонов, ero величина определяется
числом частиц.
Заметим, что при распределении Ферми п не может быть боль..
тим единицы, так как в знаменателе (8.19) к единице прибавллется
существенно положительная величина. Этоrо, конечно, и следовало
ожидать, поскольку принцип Паули не позволяет двум частицам на..
ходиться в одном :квантовом состояции. Каждое состояние может
быть либо занято, либо свободно, в среднем занято меньше чем
одии раз. Это простое рассуждение позволяет запомнить, что между
экспонентой и единицей в знаменателе распределения Ферми стоит
знак плюс, а в 8наменателе распределения Бозе....... знак минус.
В системе частиц, занимающеЙ объем V, распределение частиц
по импульсу в классической физике определяется (8.1) i) :
dN А ехр ( :Т ) V dpxdpydpz == А ехр ( x ) dr
или'
dN == А 2п1i)З ех ( ) 2! +.1 ar dE.
} + 1 Р хТ (2лп.)3 dE
2! + 1 dr
Множитель 3 dE dE равен числу квантовых состояний g (Е) dE
(2п1i )
в интервале энерrии dE (см. (8.9))'. Преобразуем первый множи"""
(8.20)
1) В (8.1) объем V ВХОДИТ в нормировочную константу А.
А o. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ..... ДИР АИА f 95
ель ФОРМУJlЫ (8.20), введя потенциал J..t по формуле
1 (2п 1i ) 3
ln f.t === кТ А 2J + 1 - (8.21)
После этоrо распределение Максвелла принимает вид
1
dN == ехр[ (Е fl )/кТ] g (Е) dE.
Сравнивая эту формулу с (8.15), найдем, что число частиц n, при--
ходящихся па одно квантовое состояние, определяется множителем
ьольцмана, имеющим вид
1
n == ехр [(Е )/xTl " (8.22)
Эту формулу И следует сравнивать с (8.17)' и (8.19)'. Распределения
(8.17), (8.19) и (8.22) изображены на рис. 84. При больших 8наче..
виях aprYMeHTa, коrда среднее число частиц, приходящихся на каж...
дый уровень, оказывается MHoro меньше единицы, все три распреде.
ления совпадают квантовые распределения переходит в класси--
ческое,
n'
s::
Q)
о-
J::.
R
:t:.
R
... ....... ....1.
JCV eHtlIr
;3
сь
CIr.)
Q)
.Qi
сь
(.)
5
.i5
--,
о
1
3
([::' p) /иТ
Рис. 84. Распределения Бозе, Ферми и Больцмана
Рассмотрим распределение Ферми при низких температурах.
ЕСJIИ эперrия состояния хотя бы и не HaMHoro (на несколько хТ}
превосходит энерrию Ферми fJ., то в знаменателе формулы (8.19) по...
является очень большое число, и заполнение оказывается малым:
13.
1
rл. VIII. ОСIIОВЫ RВАНТОВОй СТАТИСТИRИ
npи" иизких температурах УрО8nи, расположе1-lnыle выше эnерzuи
Фермu, nе ааполnеnьz. Если, наоборот, энерrия уровня меньше энер'"
rии Ферми (на веСКОЛЬRО --'КТ), то экспоненциальный множитель мал
и почти ничеrо не прибавляет к единице. У ровпи, распОЛОJlсеl1t1-lые
nuже эnерzuu Фермu, 8аполnень . Между этими областями иыетслл
область, ширина которой по порядку величины равна нескольким
хТ. В этой области 'происходит переход от заполненных уровней
к пустым. При визких температурах этот переход очень резок, так
что все ни/инпе уровни, вплоть до neKoToporo, полностью заняты,
a.i.Bc'e верхнЙе совсем пусты. Вопрос о том, какие температуры
я ляются достаточно низкими, зависит от :конкретной ситуации,
Т. е. от плотности уровней и от числа имеющихся частиц (точнее
от их плотности, т. е. от 'числа частиц в единице объема). Для про...
тонов и нейтронов в ядрах и для электронов в твердых телах «ДOCTa
точно НJ:IЗКИМИ» оказываютс обычные емпературы.
Обрати?t-IСЯ теперь к распределению Бозе. Число частиц, :которые
MorYT находиться на одном уровне, при распределении Бозе не orpa
ничено един це и при малых значения.х (Е J.1)/xT МОiиет OKa
заться очень большим. Скопление частиц на нижних уровнях харак",
терно и для :классическоrо распределения Максвелла Больцмана.
у бозонов это скопление выражено еще сильнее. Более Toro, при до...
стаТОЧIIО низких температурах в одном единственном состоянии
с Е == О, несмотря на ero равный нулю статистический вес (см.
(8.11) ), скапливается Rонеч:иое, а ИНОfда и большое число частиц.
ото явление носит название б о з е к о н Д е н с а Ц и и, асовокуп",
ность частиц с Е Е3 О называется б о з е .. к о н Д е н с а т о м или
просто к о н Д е н с а т о М. С образованием конденсата связаны явле...
вия сверхтекучести и сверхпроводимости.
Появление бозе конденсата при :низких температурах леrко понять, ана..
лизирун (8.18). Запишем эту формулу для инфинитноrо ДБИiкения, Rоrда рас..
прсделспие частиц по энерrии является непрерывным, для чсrо замсним CY 1
му интеrралом. Статистичсский вес состояния возьмем из (8.11):
00
3/2 S ' /........
N == (2! + 1) т V V Е аЕ .
У2" n 2 1i,3 ехр ((E )/xT] 1
о
11сслсдуем эту формулу. Знаменатель подынтеrральноrо выражения опрсде
ляет среднее число частиц в состоянии с энерrией Е и должен быть положи..
тельной величиной. Для этоrо необходимо, чтобы ехр [(Е Jt) /хТ1 была боль
те единицы, а 8начит, чтобы Е J.t не принимало отрицательных значений
ни при каких Е, включая Е === о. Из этоrо требования следует, что
J.t о. (8.24)
Теперь нетрудно покаЗ8ТЬ, что при достаточно низких температурах фор
мула (8.23) не может выполняться, таи К8Н правая часть оназывается мепыпе
.левой, Иссцедуем входящий в нее интеrрал. При выполнении условия (8.24)
(8.23)
00 00
1 == 5 УЕ dE r УЕ" d Е .
ехр [(Е )/xT] 1 J ехр (EjxT) 1
о о
40. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ ЭйНШТЕйНА И ФЕРМИ ДИРАRА 197
Введем вместо Е перемснную х == Е/хТ:
00
1 (хТ)3/2 S V (lx .
е Х 1
о
ВХОДЯЩИЙ в эту формулу иптсrрал является некоторым числом (можно по..
казать, ЧТО он равен 2.3). При уменьшении температуры интеrрал (8.25),
а вместе с НИМ и правая часть (8.23), уменьшается как ТЗ/2 и становится
меньше любоrо наперед ваданноrо. числа. Вследствие этоrо формула (8.23)
при нивких темпераТУfJах не МОjиет выполняться. Это значает, что часть ВХО...
ДЯЩИХ в N частиц должна находиться в состоянии, ничеrо не ВНОСlIщем в ин..
'теrрал 1. Им является состояние с Е == О, обладающее нулевым статистиче...
ским весом, астицы, ваходящиесн в этом состоянии, и образуют бозе конден",
сат.
(8.25)
r л А В А IX
ТЕПЛОВОЕ И ЛУЧЕНИЕ
в 9ТОЙ rлаве будут рассмотрены свойства р а в п () R А r. н О r о т е п....
л о в о r n И п у Ч е н и Я, т. е. электромаrнитноrо излуче ниl!t JI .XO""
дящеrосн в тепловом равновесии со CTeHKaM}I полости, в Kq rr QPOJ оно
з аключен о. Исследование свойств TaKoro излучения долrое время
являлось одним из центральных вопросов физики. Развивая теорию
рзвновесноrо излучения, Планк ввел в науку квант действия h 1) .
IIри изложении свойств тепловоrо излучения, МЫ, как и в предыду...
щих rлавах, откажемся от следования по историческому пути ради
ясности и краткости иаложения.
41. Равновесное И3J1учение. 33«011 Кирхroфа
Рассмотрим два непрозрачпых тела, о мепивающихся электроМ:аr....
питным излучением и имеющих одинаковую температуру. Заключим
эти тела в зеркальную оболочку, полностью отражающую излуче...
ние. Такая оболочка иrраот в нашем случае роль обычной в термо..
динамике адиабатической оболочки, изолирующей тела от окружаю..
щеrо мира. По второму припципу термодинамики ни одно из этих
тел не может наrревать друrое. Это требо...
вание приводит к важным следствиям.
Пусть, для простоты, оБОЛОЧI{а имеет
вид эллипсоида, а тела помещены в ero
фОН усы (рис. 85) . По известной из оптики
теореме все излучение, уходящее от пер
Boro тела, попадает в этом случае на вто"
рое, а все излучение, уходящее от BToporo
тела, на первое. Отметим индексом 1
,
величины, относящиеся к первому телу,
Pltc. 85. ИСТОЧНИКИ света в И индексом 2 ко второму. Обозначим
8сркальпой оболочке эллип-
соидальной формы через и . И и! потоки энерrии, излучае.... 1
иые этими телами. Эти потоки пе равны
потокам W. и W 2 , уходящим от !'ел, поскольку уходящая от каждо...
ro из пих энерrия складывается из излучаемой и отражаемой. За...
пишем это утверждение в виде формулы. Введем для этоrо коэф",
фициент поrлощения а, равный отношению интенсивностей поrло....
щенноrо и падающеrо на тело излучения. Так как излучение. па..
дающее на тело, может либо отражаться, либо поrлощаться, ТО
1) Квант действия h t:::: 2л 1i === 6,626 .10 1 эрr. с.
в 41. РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ЗАRОВ RирхrОФА
{99
Боэффициент отражепия равен 1 (Х {)'. Потоп впсрrии, отрал<ен",
ВОЙ первым телом, раБен поэтому (1 (Xt) W 2 (энерrия П8Д8ющеrо
ва первое тело излучения равна уходящей от BToporo тела эперrии
J-V 2 ). Таким образом,
W I == и . +(1 (Xl)W 2 .
(9.1I
АпаЛОI'ичная формула может быть записана и для BToporo тела, но
она вам ве потребуется.
Заметим теперь, что при равновесии поток энерrии и., испускае..
мой первым телом, равен поrлощаемому им потоку энерrии а. vV 2 :
и. с: аl W 2 . {9.2I
Подставляя (9.2) в (9.1)', получим
W I == W 2 .
'( 9.3)
Эта формула показывает, что при тепловом ра8nовесии ухоDящая от
тел электро.маznитnая энерzия не аависит ОТ nOnKpeTHb X свойств
этих тел. Н е э а в и с я Щ е е о т с в о й с т в и с п у с к а ю Щ и х
тел тепловое излучение представляет само по
с е б е Ф и з и ч е с к и й о б ъ е н т t изучению KoToporo и посвящена
настоящая rлаВ8.
Аналоrично (9.2): можно записать
и 2 == а2 W I 41 (9.4):
Деля (9.2). па (9.4) и замечая, что W I :;:::: W 2 , найдем
и 1 и 2
=== .
а 1 а. 2
(9.5)
Таким образом, количество эnерzиu, излучаемой телом, пропорцио...
иа.льн:Ь е20 -коэффuциенту поzлощения.
Установим во второй фокус тело, поrлощающее все падающее на
nero излучение. Такие тела называются а б с о л ю т н о ч е р н ы...
м и 2). По определению, в этом случае (Х2 === 1. Формула (9.5) пока...
Бывает, что uзлучеnие a6CO.ILJOTItO черnь х тел является ;м,аnсиJtальпо
вОЗМОJIСnЫJrt при даnnой температуре. Энерrия, излучаемая любым
друrим телом, может быть найдена путем умножения энерrии, излу...
чаемой абсолютно черным телом, на коэффициент поrлощения рас...
сматриваемоrо тела. Сформулированное правило справедливо, но...
вечно, не только для ПОЛБОЙ излучаемой телом энерrии, но и для
внерrии R з , излучаемой телом в единицу времени с единицы по...
:верхвости. Физическая величина Ra называется в н е р r е т и ч е...
1) Коэффициент поrлощевия а и :коэффициент отражения i а пазыва
ются таК1ке п о r л о Щ а т е л ь н о й и о т р а ж а т е л ь н о й способностью
тела и являются безразмерными величинами.
2) «Очень» черные реальные тела (сажа, платино:вая чернь и др.) при ча
стотах, соответС3'ВУЮЩИХ видимому свету! имеют а, близкие к единице.
200
rл. IX. ТЕП ПОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
с R О Й с в е т и м о с т ь ю или и п т е r р а л ь н о й и з л у ч а т е л ь..
в о й с п о с о б н о с т ь ю тела и является функцией температуры.
Обозначим через R: энерrетическую светимость абсолютно чер
поrо тела. Тоrда энерrетическая светимость тела, им:еющеrо коэффи--
циент поrлощения а, равна
I R э == aR:. I
(9.6)
Соотношение (9..6) называется 8 а к о н о м и з л у ч е н и я R и р х...
r о Ф а.
Формулы (9.5) и '(9.6)' часто вначале вызывают удивление. В их
справедливости, однако, убеждает нас повседневный опыт. rорячее,
во прозрачпое для излучения пламя спиртовой rорелки почти не нс",
пускает света. Зато ярко светится более холодное пламя керосино...
вой лампы, содержащее частицы черной сажи, сrорающие лишь
в самой верхней части пламени .(или не сrорающие вовсе, коrда
лампа коптит).
Окружим теперь изображенные па рис. 85 тела 1 и 2 зеркальны--
ми сферами, пропускающими излучение в узком диапазоне частот
и отражающими всякое друrое излучение. Поскольну такие сферы
!Не поrлощают излучения, они не )lorYT ero и испуснать. Тепловое
равновесие тел поддерживается теперь только. той спектральной
частью излучения, которая про пускается сферами. Все рассуждения,
ноторые были приведены выше, остаются при этом в силе. Мы ви"
дим, таким образом, что второй закон термодинам:ики требует вы..
полнения равенств (9.5) и (9.6)' для кажДОЙ длины волны.
Введем понятие спектральной плотности энерrетической свети...
мости. Обозначим dU количество энерrии, излучаемой за время dt
участком тела с поверхностью dS в выбранном спектральном интер
вале dro или dЛ.
Очевидно, что dU пропорционально dS, t и dro или dл:
ди == Е).dSdtd'Л,
J9.7aJ
dU == EO)dSdtdro. '(9.7б):
Входящие в (9.7aI и 9.7б)' функции Е). и Ет носят название
с II е к т р а л ь н ы х п л о т н о с т е й э н е р r е т и ч е с к о й с в е...
т и м о с т и или с п е к т р а л ь н ы х и з л у ч а т е л ь в ы х с п о'"
с о б н о с т е й тела.
Спектральные и интеrральпая излучательпые способности тела
связаны очевидными соотношеНИЯl\IИ
или
00 00
R э == S E(f)dro == S Е')..dл.
о о
(9.8)
Найдем связь 1fежду Е ш и E . ДЛЯ этоrо ваметим, что излучательпая
способность тела не зависит от Toro, как она. выражена через ча
1. РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ЗАНОН нирхrОФА
201
ctOTY ИЛИ через ДЛИНУ волны. Поэтому
dRa === Еюdffi == Е",d'Л.
'( 9.8'I
Приращения dffi и d"л нетрудно связать, продифференцировав BЬ1pa
жение 'л == 2лс/ ro:
2лс
dл == 2 dro. (9.9)
(J)
Подставляя это выражение в '(9.8')' '(И опуская знак :минус, уназы.-.
Бающий на то, что длина волны убывает с возрастанием частоты),
найдем:
2
2лс л Е
Е ro == '"""""':--" Е л == л.
ы ЛС
(9:1 О)
Выше мы уже пришли к выводу, что закон I\ирхrофа справеДЛIIВ
не толы{о для интеrральных, но и для спектральных излучательных
способностей. Следовательно,
*
ЕА == алЕл?)
*
Е U) === аro Е (J)
(9.11 а)
(9.11 б)
* *
rде Е", и Еro описывают спектральную излучательную способность
аБСОЛIОТНО черноrо TeJIa. Входящие в эти формулы (ХА И (ХЮ Ha3ЫBa
ются с п е к т р а л ь н ы 1\1 И К О Э Ф Ф и ц и е н т а м и п о r л о Щ е н и я.
Физические величины R э , Е"" Ею, ('Х"" ('Хю зависят от темпераТУРЫt\
ПОЭТОl\IУ в обозначения этих величин часто вводят индекс Т: R э . т,
Ел. т и т. д.
11злучательная способность абсолютно черпоrо тела не зависит
от материала, из KOToporo изrотовлено это тело. Она MOiKeT быть
определена теоретичеСI\И. Эта излучательная способность связана
простой формулой С плотностью энерrии paBHoBecHoro излучсния,
11 IЫ вернемся к вей после Toro, как получим формулы для расчета
этоЙ ПJIОТНОСТИ.
В рассуждениях этой rлавы мы несколько раз прибеrали к абст'"
раI\ЦИЯl\l ........ стеНI\И изrотовлялись из абсолютно отражающих l\laTe..
риалов, расс:матривались аБСОЛIОТИО черные тела и т. д. В этих
абстракциях нет ничеrо физически и лоrически неприемлемоrо, так
iI.!te нак и в идеальных адиабатических оболочках, которые paCCl\faT
риваются в учении о теплоте. В частности, существуют очень xopo
шпе зеркала с коэ{рфициеНТОl\I отражения, близким R едипице.
{I то iRe касается абсолютно черных тел, то таиие тела MorYT быть
изrотовлены простым И средстваl\fИ. Почти идеальным абсолютно
черным телом является небольшое отверстие, проделанное в ПОЛОI\1
теле. Если размер отверстия очень мал по сравнению с диаметром
полости, то подавляющая часть ВХОДЯlцеrо через отверстие излуче..
пия «запутывается» в полости и не выходит обратно.
202
rл. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Разберем еще один вопрос. Наблюдая окружающие предметы, мы
ВИДИМ, что одни из них кажутся пам зелеными, друrие красными
и т. д. Не находится ли этот факт в противоречии с нашим утверж...
дением, что в каждом спектральном интервале потоки эперrии, ухо--
дящие от '{ел (в результате лучеиспускания и отражения), опреде...
пяются только их температурой и не зависят от сорта и материала
этих тел? Небольшое размышление показывает, что это не так. Все
тела были бы одноrо цвета, если бы идущее от них излучение было
равновесным. Но оно чаще Bcero таковым не является. Приходящее
от Солнца излуqениз по спектральному составу близко к равновес--
ПОl\iУ излучению при температуре фотосферы Солнца. При темпера..
туре Земли оно отнюдь не равновесно: часть излучения, лежащая
в Оllтиqеском диапазоне, почти нацело является «лишней». Неравно...
веспый спектр излучения «переделывается)) освещенными телами
в друrие неравновесные спектры. Индивидуальность тел сказывается
при этом в полной мере. Но если заключить наблюдателя в замкну...
тыЙ, лишенный впешнеrо освещения ящик с равномерно наrретыми
стеНI\ами и следить за электромаrнитным излучением, исходящим
01 стеИОI{ и от всех тел, находящихся в ящике, то все они будут
светиться с одинаковой яркостью и будут одноrо цвета, из каких бы
:м:атериалов они ни были изrотовлены!
42. Формула Планка
в предыдущем параrрафе ряд важных свойств paBHoBecHoro излуче
ния был установлен с помощью термодинамичеСRИХ методов. Мы
перейдем теперь к статистическому рассмотрению, которое позво...
ляет выпести основную формулу paBHoBecHoro излучения форму
лу Планна. Из этой формулы будет затем получен ряд друrих ваш..
БЫХ соотношений. Воспользуемся для расчетов формулами, полу--
ченными в предыдущей rлаве.
Рассчитаем энерrию излучения, ваполняющеrо полость тела, па..
rpeToro до некоторой температуры Т. Эта энерrия складывается из
энерI'ИЙ отдельных фотонов. Рассмотрим фотоны, энерrия которых
лел,ит в интервале от Е до Е + dE. Из этих фотонов состоит излуче..
вие, заполняющее спектральный интервал между частотами (J) === Е/п
и ro + dffi === (Е + dE) /t . Их число равно ng (Е) dE, rде g (Е) dE чис--
ло разрешенных q)отонных состояний В рассматриваемой полости,
а п число фотонов в каждом тапом состоянии. Поскольну энерrия
наЖ}1;оrо фотона равна Е, их суммарная эперrия равна ng (Е) EdE.
Выразим теперь эту энерrию через о б ъ е м н у 10 С и е к т р а л ь...
в у ю п л о т н о с т ь и з л у ч е н и я U ю , т. е. через энерrию излу..
чения, отпесенную к единице объема и к единичному интервалу
измепения частоты. Эта энерrия равна иО) V dro, rде V объем иоло..
ети. И:м:еем, следовательно,
иш Vdro === ng(E1 EdE . < 19.12}
ю
3'
f\)
I
"' 2
э
::::!
42. ФОРМУЛА ПЛАВНА
4
1
л нм 50001500 1000
,
2
I
" б
I
500 400 300
80
):. 20
f\)
'"
$?
....
-<
10
о
боа
1000
1500
203
а
(;) 1015 С f
,
5
2000 А,нн
Рис. 86. Зависимость спектральной плотности излучения от частоты (а) п
ДЛИНЫ ВОЛНЫ (б)
204
rЛ. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Подставляя в это выражение значение g (Е)' из 18.101 и значение 11,
из (8.16), найдем
VE 2 EdE
и U) V dU) == 2 3 3 (Е / Т) 1 .
n с п. ехр х
СОI\ращая обе части равенства на V, заменяя Е на поо И dE на 1idU),
HaII;J;eM окончательно
пш 3 dw
u(j)doo == п 2 с 3 ехр (пш/хТ) 1 .
(9.13)
Полученное соотношение называется фор м у л о й П л а н к а.
Формулу Планка часто записывают через спектральную плот...
ность излучения, атнесенную не к единичному изменению частоты,
а к единичному интервалу длин волн. Подставляя (9.9) в (9.131
и опуская знак минус, найдем
пс dл
u)..d'Л == 16л;2 ехр (2лfiс/лхТ) 1 л5 ·
(9.14)
Эта формула также носит название фор м у л ы П л а н к а.
Функции u ю для разных температур изображены на рис. 86а.
Они представляют собой КРИВhIе с максимумами. Спад кривых
в сторону малых U) (больших длин волн) объясняется уменьшением
статистическоrо веса g.( Е), а спад в сторону больших U) (малых длин
волн) увеличением экспоненцильноrо члена в знаменателе (9.13).
IIри увеличении Т плотность излучения возрастает на всех частотах,
а l\lансимум иш смещается в сторону больших частот (коротких
длин волн).
На рис. 866 для тех же температур изображены функции и')...
Спектральные плотности и').. возрастают с температурой так же , на к
и ию. Однако и').. и и т ...... разные функции. Они имеют разную размер...
ность и рааличаются по форме. Максимумы этих функций при:
одной и той же температуре...... сдвинуты друr относителвно друrа
(МЫ вернемся к этому вопросу в следующем параrр.афе).
\ I
43. Классические формулы для равповеснorо И3JIУЧ ПИЯ!
'. .
\ !
Из формулы Планна (9.13) леrко может быть получено nеСНОЛЬRО
важных форм:ул. Найдем ПJjен\де Bcero полную (проинТеrрироВан....
ную по оо) плотность энерrии равновеспоrо излучения при теl\lпера
туре т.
00 00
S 1i. S (1)3 аы
U (Т) === uQ)dU) ==
л 2 с 3 ехр (fi(j)/xT) 1.
о о
.\
,\
.I.. ' . ..
{ "';:
-4;
D 43. НЛАССИЧЕСRИЕ ФОРМУЛЫ дЛЯ PABHOBECHOrO ИЗЛУЧЕНИЯ: 205
Преобразуя интеrрал к перемеНRОЙ х === пro/хТ, найдем '1
00
х 4 т 4 S х3 dx
и (Т) === 2 3 3 х ·
nc1i е 1
Q
I3ХО;J;ЯЩИЙ в это выра жение иптеrрал р'авен л 4 /1 5. ПО:ЭТОl\IУ
п 2 х 1
и ( T ) , T4 й'T4.
15c31i 3
R тому л е результату, }{онечно, приводит вычиСление u(Т) путем
интеrрирования (9.14). В формуле (9.15) комбинация констант,
стоящая перед Т4" заменена одной константой (1' . Утверждение
о том, что полная энерrия paBHOBeCHQrO излучения ПРОIIорциональна
четвертоЙ степени температуры, может быть получено без статисти
чеСRоrо рассмотрения задачи на основе термодинамических сообра
жений. Эта формула была получена С т е Ф а н о м и Б о л ь Ц м a
в о м задолrо до формулы Планка и носит их имя. ФОРl\Iула Планка
позволяет, однако, вычислить постоянную (1', Rоторая до этоrо бра
лась из опыта.
Обратимся к структуре формулы '(9.15)'. Вывод о .том, что плот
ность энерrии излучения пропорционалыIa четвертой степени темпе
ратуры, является физиqе '
СRИМ утверждением, KOTO
рое следует запомнить.
Постоянная о' с точно
стью до малосущественно
ro коэффициента л 2 /15
леrко Ъ!ожет быть получе
на из 'соображениЙ раз
мерности. Эту задачу в
качестве полезноrо уп
раi-кнения мы предостав
ляем читателям. Рис. 87. R ВЫВОДУ фор...
С помощью (9.15)' для мулы Стефана Больц.. .
плотности энерrии излу мала
чения, находящеrося в
равновесии со стенками, нетрудно вычислить энерrию, излучаемую
повеРХНGСТЬЮ абсолютно черноrо тела. РаССl\IОТРИМ для этоrо сфери
чеСI\УЮ полость большоrо радиуса R с абсолютно черными CTeIIKa
ми (рис. 87).
НаЙдем прежде Bcero 1 1.. отнесенную к единице телесноrоl'У rла
энерrию, излучаемую в единицу времени единицей плещади",'по IIa
правлению нормали к поверхности. Выделим в центре полости He
большоЙ шаровой объем радиуса r. Телесный уrол, под которым ви
дев этот объем из каждой точки поверхности шаровой полости, равен
Q == лr 2 / R 2 .
(9.15)
8
./
1 \
2
/ I
8
Рис. 88. Н, ВЫВО'"
у-
ду закопа JlaM"
берта
206
rл. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
с единицы площади полости в единицу времени на рассматривас..
мый объем падает излучение, переносящее энерrию I..lQ. Это излу
чение проходит через сечение nr 2 и движется со скоростью с. Плот...
ность ero энерrии равна поэтому
I o.
nr 2 c
l
cR 2 t1
а полная плотность энерrии в 4nRz больше указанной, тан что
1 4п 6
и с: 4nR2 ' 2 === 1 tA. (9.1 )
cR с
Найдем теперь, как энерrия, излучаемая поверхностью абсолют--
но черноrо тела, зависит от уrла излучения. На рис. 88 изображены
два нзrретыx до одной и той же температуры равных учаСТRа по
верхности (площадь каЖдоrо участка равна S); один из них повер
нут н друrому под уrлом 'l}. Из термодинамических соображений
следует, что потоки энерrии, RОТОРЫМИ они обмениваются, должны
быть равны друr друry. Первый участок виден из BToporo под уrлом
S/R\ а второй из nepBoro под уrолом (S/R 2 )cos 'f). Приравнивая
потоки, найдем
s s
1 t} 2 === 1 ill ""2"" со s 'f} .
R R
Индекс 'f) при 1 указывает уrол, под которым испуснается излуче--
вие. Сокращая равенство н а S/R 2 , найдем
I 1 б == 1 <h СО S 1'} . / (9 .17)
Формула '(9.17)' носит название з а к о н а Л а м б е рта. Для абсо--
Лютно черных тел она, нак мы видели, является точной, а для боль--
шинства друrих тел верна Dрибл женно.
* .'
Найдем те.перь R э энерrетическую светимость абсолютно чер--
поrо тела. Она равна
R:. с= S I{}dQ == S 1 d; соs1'}2л sin 1'}d{}==2лI d; S sin 1'}а (sin 1'}).
Интсrрирование следует распространить па всю переднюю полусФе..
ру, т. е. от t} === о до t} === л/2. Произведя интеrрирование, получим
*
R э ==: лI ili. (9.18)
Подставляя в это выражение значение 11. из (9.16) и значение и из
\(f).15), найдем
2 4
* 11 Х Т 4 Т4
R з === 60 1i. 3 с 2 а ·
(9.19)
R :
Q определяет полную мощность излучения, испуснаемоrо с едини...
I цы поверхности абсолютно черноrо тела. Соотношение ,.(9.19} так
I '3. RЛАССИЧЕСRИЕ ФОРМУЛЫ дЛЯ PABIIOBECHorO ИЗЛУЧЕНИЯ 207
же, как и '(9.15), носит название закона Стефана...... Больцм:а...
в а, а входящая в Hero константа о называется п о с т о я н н о й
с т е Ф а н а Б о ль Ц м: а н а:
п2 .)(4
a===
60 1;, 3 с 2 ..
(9.20)
Числовое значение о в системе crc равно 5,67 · 10 5 эрr/ (C'CMz.J(")'.
Сравним формулы (9.15) и (9.19). Они имеют один и тот же вид
u ,
И различаются только велиqинои входящих в них констант (J и а .
1\ак нструдпо пайти,
с ,
0==40' .,
(9.21)
Формула (9.21) очепъ напоминает формулу для числа ударов молекул
() стеику, которая выводится в кинетической теории rазов И имеет вид
. nи
N == 4 7J
.rде n плотность молекул, v ИХ скорость, а N число ударов в единицу
времепи, приходящихся на единицу площади стенки.
УМНОiн:ая эту формулу на среДНIОЮ энерrИIО молекул (Е), ПОЛУЧИМ
п(Е)
N (Е) == 4 Р. (9.22)
Сравпим эту формулу с (9.21). Для этоrо умножим (9.21) на 14:
а,т 4
от 4 == 4 с.
(9.23)
Iислители дробей, стоящих в правых частях формул (9.22) и (9.2 ), опрсде
.ляют энерrИIО JrIоленул и соответственно энерrию электромаrнитноrо излуче
пия в едипице объема. Скорость моленул v заменяется на скорость фотонов с.
В левой части формул стоят соответственно полная эперrия молеI{УЛ, ударЯIО
щихся о единицу площади стенки в единицу времени, и полная ЭRсрrия фо
топов, "спускаемых в единицу времени с каil\ДОЙ единицы площади СТСНI{И.
Эта энерrия, I{aK мы уже знаем, равна энерrии падающих на стенку фотопов,
aK что левые части сравниваемых форму.. имеют один и тот же смысл. Фор
ы1лыы (9.22) И (9.23), таким образом, по сути дела идентичны,
Вернемся I формуле (9.18). Если бы излучение испускалось во
все стороны равномерно, то полная мощность излучения оказалась
бы в 2л раз больше, чем мощность 11.' испускаемая в единицу Te
лесноrо уrла. На самом деле она оказывается Bcero в л раз больше.
Это показывает, что мощnость, uзлучае.:мая в едипицу телеС1l020
уzла перпепдuкулярпо п степке, в два раза больше, чем средняя
м,Оlцпость, uзлучаеJrtая в едипицу телесноzо уzла. Этот результат то...
же полезно запомнить.
Формула (9.21) связывает плотность энерrии paBHOBeCHoro из...
лучения (которая характеризуется константой о') с энерrетической
евеТИ IОСТЬЮ абсолютно черпоrо тела (нонстанта о). Возвращаясь
R рис. 87 и к рассуждениям:, которые привели нас R (9.21), нетруд...
.во установить, что плотность энерrии излучения и излуqательная
208 ГЛ. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
способность абсолютно черного тела связаны между собой
множителем с/4 в каждом спектральном интервале. Это замечание
позволяет использовать формулы (9.13) и (9.14) для расчета
спектральных излучательных способностей Е^ и Е\:
Л<0 (9.24а)
р* £__ = \
й""4"й 4л2са exptfa>/x/).
■1«
4я2Йс2
1
«/X
(9.246)
ехр (2лИс/кх'Т) — 1 ^5 *
Обратимся снова к формуле (9.19). Мы видим, что эпергетиче-
екая светимость пропорциональна очепь высокой (четвертой)
степени температуры. При обычных (комнатных) условиях и
температурах основные тепловые потери связаны с конвекцией и
теплопроводностью. Эти потери, однако, пропорциональны первой, а пе
четвертой степени температуры. Поэтому при достаточно высоких
температурах основную роль начинают играть именно потери на
излучение. С излучением связана теплопроводность сильно
нагретых тел, например горячей плазмы (как в лабораторных, так и в
астрофизических условиях): электроны, находящиеся в более горя-»
чих участках плазмы, испускают излучение, которое поглощается
электронами в более холодных ее участках.
В некоторых специальных условиях (сосуды Дьюара, колбы
термосов), когда потери на конвекцию и теплопроводность
искусственным образом спижепы, потери на излучение становятся
существенными уже при нормальной температуре. Поэтому стенки таких
сосудов делают зеркальными.
Выведем еще один важный закон, так называемый закон
смещения Вина. Найдем частоту, при которой (для данной
температуры) излучательпая способность абсолютно черного тела
максимальна. Приравнивая нулю duJd<o, найдем из (9.13)
с1игл
jiV dxo
= 0.
[ехр {%oj/k1) — 1J
Вычисления приводят к трансцендентному уравнению, решение
которого дает
(9.25)
(Оп
= 2,8
где Ютах — частота, при которой спектр излучения имеет максимум.
Аналогичным образом, дифференцируя (9.14), нетрудно найти
длину волны Яшах, при которой достигает максимума спектральная
плотность излучения и%. Вычисление дает
(9.26)
В (9.26) температура выражена в Кельвинах, а длина волны —
I
:#i
А"
-: _i ,
,
()
,
t
43. НЛАССИЧЕСНИЕ ФОРМУЛЫ для PABHOBECHOrO ИЗЛУЧЕНИЯ 209
в санти1tfетрах. Выражения (9.25) и (9.26) носят название з а к о.
II а В и п а.
Как уже отмечалось в конце предыдущеrо параrрафа, ИЮ и и",
Емеют максимумы при разных частотах (и соответственно при раз..
IlЫХ длинах волн). Так, при Т == 6000 К, приблизительно соответ"
СIВУlощей температуре фотосферы Солнца, спектральная плотность
излучения и", имеет максимум при
'А === 483 нм,
а спектральная плотность u ю при этой температуре максим:альна при
(J) == 2,20 · 1 015 c 1.
Этой частоте соответствует длина волны 2лс/ю == 856 ИМ.
Зависимость Л mаХ 00 T \ выражаемая законом Вина (9.26)', хоро--
то известна из повседневноrо опыта. При комнатных температурах
излучение тел сконцентрировано в далекой инфракрасной области
и не реrистрируется человеческим rлазом. Это излучение мы BOC
ПрИНИl\lае1\l нак тепло, испускаемое наrретыми преДl\lетами. ИСХОДЯ--
щий от них световой поток это только перерассеянное солнечное
излучение. При ко:м:натной температуре в оптической области обыч--
lIые тела света не испускают. При повышении температуры ПОНВJ[Я"
етсн ВИДИhlое свечение сначала вишнеВО Rрасное, эатеl\l розовое,.
IIОТО I желтое и наконец белое (очень rорячие тела имеют rолубuва...
тый OTTenOI\).
Определение температуры по цвету широно используется не толь
но в Быlу,, во И В пауне. Так, в частности, была определена темпе-4
ратура фотосферы Солнца. Опре...
деление температуры по цвету О,
производится путем спентрально",
ro исследо)нfния испускаемоrо те....
ЛО f излучения. Точность И3 1ере...
ПИlI оназывается невысоноЙ: из...
за Toro, что исследуемое излуче
вне редно является равновесны:и.
IIcpaBIloBecHoe излучение плохо
описывается формулами ПлаНI\а,
заl\опаl\1И Сте ф ана БОЛЬЦ fана и Р 89 С
ис. . хсма оптичеСRоrо ПЕрО
вина. На составе и интенсивности метра
иолучеIlИЯ при этом с.ильно сна...
зынается ТО обстоятельство, что излучающие тела ОТНIОДЬ не ЯЕЛН
ютсл абсолютно черными. Степень «нечерноты» этих тел, как пра
БПЛО, неизвестна п заВIIСИТ от частоты. ПОЭТО lУ различаlОТ «ЦBCTO
ую» те lпературу тела теl\lпературу, определяемую по фОрl\1уле
(t 1 .25) или 19.26), ero «ЯРКОСТНУIО») температуру, определяеl\fУЮ по
формуле (9.19), и ero истинную те lпературу. .
При определении тем:перD.ТУРЫ ОПТIIчеСКПl\IИ метода:м:п пользуют...
СП разно[о рода ППрОl\Iетра IИ. В оптических пиро:метрах, измеРЯIО..
14 л. л. rОЛЬДИН. r. и. НОВIIнова
210
rЛ. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
щих ЯрI\ОСТНУIО температуру '(рис. 89), изображение исследуемоrо
тела 1), создаваемое объективом 01' панладывается на подоrревае....
мую током нить А, температура RОТОрОЙ Iожет быть определена по
величине идущеrо через нее тока. ТОК в нити меняют до тех пор,
пока она не перестанет быть видна в окуляре 01. на фоне исследуе..
Moro тела.
Оптиqеская пирометрия почти единственный способ определе..
вия температуры сильно наrретых И, особенно, удаленных тел.
44. Формула Рэлея ДЖИRса
Исследуем спектр излучения аБСОЛIОТНО черноrо тела в области низ.
них частот, т. е. при пro < кТ. Сделаем это сначала с помощью
(9.12). Заменив U(J)dro па uEdE и подставив значение п из (8.16).
найдем
t
VuEdE == g (Е) Е ехр (Е/кТ) ....... 1 dE.
Разлаrая энспоненту в ряд и оrраничиваясь первым членом разло
iI\:ения, найдем
VuEdE KTg(E)dE.
(9.27
Эта формула имеет простой физический смысл. В левой части ра--
вепства стоит энерrия элеI{тромаrнитноrо излучения, заКЛIоченпал
D интервале dE. Множитель g (Е) dE определяет число уровней в
этом интервале, а значит, 'КТ равно средней энерrии, приходящеЙся:
на один уровень. К этой формуле можно было сразу прийти И3 со об..
ражений, развиваемых в кинетической теории. В ca?tIOM деле,
в :классической физике доказывается, что кинетическая энерrия.
приходящаяся на каждую степень свободы частицы, равна (1/2) хТ.
Полная энерrия, приходящаяся на каждую степень свободы, зависит
от соотношения между кинетической и потенциальной энерrиями.
Можно показать, что для квантов электромаrнитноrо излучения эти
энсрrии следует считать равпыми (роль кинетичеСI\ОЙ и потенци....
альной энерrии иrрают в этом случае эперrии электрическоrо и Mar....
питпоrо полей электромаrнитной волны), так что на каiНДУЮ степень
свободы должна приходиться энерrия, равная 'КТ. Формула (9.271
после этоrо становится очевидной.
Формула (9.27) была получена задолrо ДО появления квантовых
прсдставлений. Она записывалась, однако, не через энерrИIО, а че
рез частоту. IIспользуя для g(E)dE q>ормулу .(8.10) И возвращаясь
от энерrии к частоте, получим
ш2 do.) Т
llU)d(j) == 2 3 Х ·
n с
(9 .28)
1) Нак известно, в' хороших оптических приборах ЯрКОСТIt изображения
практичеСI И равна яркости изображаемоrо предмета.
j
.;,1
;;'
1;'
f
1
:
,
:
.i
:1
j
j
(
J
.
'5. ДАВЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
211
Это выражение НОСИТ название фор :м у л ы Р э л е я Д ж и п с а
и, как мы теперь понимаем, неизбежно возникает при распростра...
пении закона равнораспределения энерrии по степеням свободы на
электромаrвитные колебания. Если бы формула (9.28) была приме...
вима не только к малым, но и ко всем частотам, то полная энерrил
электромаrнитноrо излучения Оl\азалась бы бесконечной, так как
интеrрал S ro2clro при больших частотах расходится. Но бесконечноЙ
энерrии быть не может. Полученный результат, таким образом,
означает, что тепловое излучение не может находиться в тепловом
равновесии со стенками. Этот парадокс, конечно, сразу был отме...
чен, но в рамках классической фИ3Иl\И не Mor быть объяснен. Оп
получил название «у л ь т раф и о л е т о в о й к а т а с т р о Ф Ы»
( катастрофы» при больших частотах). В квантовой физике НИl\а
:них катастроф» не возникает. Формула (9.28) получается из фор...
мулы Планка лишь при ПО) «хТ. При больших частотах формула
(9.28), так же кан и закон равнораспределения энерrИИ t оказывает...
ся неСllраве ивой.
Сделаем одно sамечание терминолоrическоrо характера. В оптике
число уровней принято называть ч и с л о м о с Ц и л л я т о р о в,
а вместо Toro, чтобы rоворить о том, что количества энерrии, прихо...
дящиеся на разные уровни, не равны друr друrу, rоворят о том, что
осцилляторы имеют р а 3 н у ю с и л у. Указанные названия не со...
ответствуют терминолоrии, принятой в квантовой механике, и с со...
Бременпых позиций крайне неудачны, во до сих пор встречаются
в научной литературе.
45. Давление излучения
Вычислим давление, которое оказывает на тела электромаrнитпое
иэлучевие t). Рассмотрим сначала тепловое излучение, заключенное
в полости, стенки которой абсолютно черные. Давление этоrо излу...
'lJения на стенки Сl\ладывается из двух составляющих из давле...
вия фотонов, поrлощаемых стеНl\ами, и из отдачи, которую испыты...
:Бают степки при испускании фотонов. При тепловом равновесии
эти rруппы вносят в давление одинаковый вклад.
Рассчитаем давление, которое испытывает стенка от испуснае...
мых ею фотонов. Обозначим это давление через Pt. Давление равно
ИМПУJIЬСУ, передаваемому излучением в секунду каждому квадрат...
вому сантиметру стеНI\И. Импульс фотонов связан с их энерrией
Соотношением
Ipl == Е/с.
l
J) На существование TaRoro давления обратил внимание еще МаRсвелл.
В знаменитых опытах п. Н. Лебедева (1899 r.) это давление было впервые об...
nаружено и измерено.
4.
212
rл. IX. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Для давления существенна тольно нормальная составляющая ИМ4
пульса, т. е. не I р 1, а I р I cos '6'. Мощность, которая уносится седи..
ницы поверхности излучением, испусиаемым под уrлом '6', равна
1 dQ, rде dQ элемент телесноrо уrла. Имеем поэтому
2
COS t} cos ,<} 1 (J 2л 1 2 ",Q. · ", Q. d 'Q.
dP 1 == 1 (}dQ == d..d === ili COSu' Slnu. U'.,
е е е
При написании этоrо равенства мы воспользовались законом Лам...
берта и формулой dQ == 2л sin '6'dtt. Обозначение Р{ напоминает, что.
мы рассматривали только ту часть давления, которая связана
с и с n у с к а н и е м Ф о т о н о в. После интеrрирования получим
Л/2
р 1 == I:ь S cos 2 {t sin {td{} ==' 2311: + 1 <11"
О
Полное давление излучения на стенну в два раза больше. Подстав--
лял в полученную формулу з начение 11.. из (9.16), найдем
1
Р == т и.
(9.29)
Таким образом, плотность энерrии излучения и ero давление на:
стенку равны друr друру с точностью. до постоянноrо коэффици"
ента 1/3.
Изменится ли выражение для давления света, если заменить
абсолютно черные стенки какими нибудь друrими? Чтобы ответить
на этот вопрос, изменим материал, из KOToporo изrотовлены стенки
полости, не на всей ее поверхности, а только на какой нибудь части,
например на правой. Если бы давление на «новые» стении ОRаза
лось меньше, чем на абсолютно черные, то Сила, действующая на
правую часть полости, оказалась бы меньше, чем сила, действую
щая на левую ча ть. Под действием внутренних сил давления из
лучения полость начала бы в этом случае перемещаться влево,
что невозможно. Мы 'видим, таким образом, что выражение (9.29)
имеет всеобщую nрименимость.
Сопоставим формулу (9.29) для Д'3вления фотонноrо rаза с дав"
лением, которое оказывает на стенку обычный rаз. Для обычноrо
rаза справедливо уравнение Клапейрона
PV == RT., ( 9.30 )
J.! "
rде Р и V давление и объем rаза, т масса rаза, ero MO
лярная масса, Т температура, R rазовая постоянная. Заме...
пяя R на N АХ, rде N А постоянная Авоrадро, найдем
ру == ( :t A т) хТ .
f
i
_i;-
1
:
i
...
1
(
45. ДАВЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
. 213
Выражение, взятое в скобки, равно числу молекул N. Вводя кон...
центрацию молекул n N/V, найдем
Р == пхТ. (9.31)'
Заметим теперь, что средняя энерrия молекул одпоатомноrо rаза
равна (3/2)хТ, тан что правая часть равенства равна (2/3)и (и
плотность энерrии нашеrо rаза). Итак, для обычноrо rаза
2
р :::: 3 Ut (9.32)
Сравним полученное соотношение с '(9.29)'. Почему при той же
плотности энерrии давление фотонноrо rаза оказывается в два раза
меньше, чем давление обычноrо rаза? Исследование этоrо вопроса
показывает, что указанное отличие связано с релятивистским в пер...
БОМ случае и нерелятивистским во втором случае законом СВЯЗИ
между энеR:ией и импульсом. Соотношение (9.29) характерпо для
любоrо, а не только фотонноrо релятивистскоrо одноатомноrо rаза.
Приведем в заключение еще одну формулу. Пусть на плоскую
площадну перпендикулярно падает параллельный пучок света,
испускаемоrо внешним источником. Как ветрудно понять, давле
ние, которое оказывает свет на площадку, равно
\ P==и(1+r)== (1+r)", :(9.33)
rде r......... коэффициент отражения стенки, а Е......... энерrия, падающая
на единицу площади в единицу времени.
l
rЛАВА х
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
46. Спонтанное и индуцированное излучение
Рассмотрим полость с зеркальными стенками. Поместим в иее атом,
способный поrлощать и испускать электромаrнитное излучение. По...
rлощая излучение, атом переходит из нижнеrо (первоrо) состояния
во второе возбужденное. Будем для простоты считать эти состоя...
ния невырожденными. Обозначим через Е разность энерrий атома
в этих состояниях. При переходах с nepBoro на второй уровень по...
rлощаются, а при переходах со BToporo на первый испускаются
кванты с энерrией Е.
Заполним полость монохроматическим электромаrнитным иэлу...
чением с частотой ro == E/h. Число квантов, заполняющих полость,
вависит от состояния, в котором находится атом. Обозначим через п
'Число квантов в те моменты времени, Rоrда атом пребывает в со..
стоянии 2. Коrда атом находится в состоянии 1, к иим прибавляет",
ся испущенный атомом квант, так что их число становится рав",
но n + 1.
Рассмотрим достаточно большой промежуток времени t. 3а это
время атом MHoro раз успеет побывать и в первом и во втором со...
стояниях. Обозначим через tt суммарное время, в течение KOToporo
атом находится в состоянии 1; тоrда в течение времени t 2 === t t 1
он находится в состоянии 2. Число переходов атома из nepBoro
веБозбужденноrо состояния во второе N 1-+2 пропорционально чис..
ну попаданий» квантов в вевозбуждевный атом, а значит, врем:ени
t 1 и числу квантов п + 1:
Nl 2 == Wi 2 (п + 1) t 1 . (10.1)
3десь w 2........ вероятность перехода из первоrо во второе состоя...
вие, отнесенная к одному атому, одному кванту и единице време...
ви 1). Индекс « (1 J» над W напоминает, что вероятность отнесена
к одному кванту.
Выберем промеЖУТОR времени t достаточно большим, чтобы чис..
.по переходов между состояниями было очень веЛllКО. В этом случае
1) Величина W 2 имеет размерность, обратную времени, в то время как
в математике вероятность является безразмерной величиной. Поэтому, CTporo
rvворя, W 2 является не вероятностью, а ПЛОтностью вероятности (по OT
ношению ко времени). Для простоты МЫ В дальнейшем будем пользоваться
более RОрОТКИМ термином ((вероятность».
/ .
';--..
,:,,<1,
с,':
" .,
i
:
""
;
1
I
.
1
)j
..
:
. 1 ..
-
g 46. СПОНТАННОЕ И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
215
число переходов из первоrо состояния во второе можно считать paB
ВЬ1М числу обратных переходов (на самом деле они MorYT быть либо
равны друr друrу, либо отличаться на единицу, но при БОЛЬШОlvl чис...
ле переходов это различие становится несущественным).. Поэтому
число возвратов в первое состояние N z --. i равно N t --. z :
N2 1 ::::z Nl 2 == Wl 2tl + Wi 2ntl (10.2)
При написании этой формулы были раскрыты скобки в '( 10.1) ·
Мы выразили, таким образом, число пере ходов из верхпеrо со...
стояния в нижнее через вероятность перехода из нижнеrо состояния
в верхнее. Полученное соотношение чрезвычайно ваЖно. Как libl
БИДИl\l, переходы из BToporo состояния в первое описываются сум...
1fОЙ двух слаrаемых. Первое ив них не зависит от числа квантов n.
Оно описывает число с п о н т а н н ы Х, Т. е. самопроизвольных, пе...
N СП .
реходов a l.
",.сп W (l) t
J.V 2 1 === 1 2 1
(10.3)
Второе слаrаемое пропорционально числу квантов n, имеющихсл
в полости в те моменты времени, коrда атом находится в состоя...
нии 2; значит, эти переходы стимулируются имеющимися
квантами. Такие переходы называются в ы н у ж Д е н н ы м и или
И N ВЫИ
И Н Д У Ц и Р о в а н н ы м и. х число 2 1 равно
N ВЫИ W (l)
2-+1 == 1-+2 t l n .
(10.4)
Разделив (10.4I на 10.3)', найдем
N ВЫП / J\тСП
2 1 lУ 2 1 == N"
(10.5)
Соотношение 10.5)' справедливо и в том случае, коrда в полость
помещены не один, а MHoro атомов, если только можно пренебречь
взаимодействием между ними. Числа вынужденных и спонтанных
переходов, конечно, в этом случае возрастут в N раз ,(N число
атомов), но соотношение (10.5) не изменится.
ВХОtf.ящее в (10.5) отношение числа вынужденных
ствии n квантов) и спонтанных переходов И3 BToporo в
стояние равно, конечно, отношению вероятностей этих
Об W BblH Т у си u
0значая эти вероятност и через 2-+1 И t 2 1.!, ваидем
I W; /W l с= n. 1
'( в присут",
первое со...
переходов.
(10.6)
., Полученная формула связывает вероятности вынужденноrо и спон",
TaHHoro излучения при реально имеющемся числе :квантов n.
Отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов
:М:ОЖIIО выразить не ТОЛЬRО через число RBaHToB n, но и через спект...
ральную плотность энерrии электром:аrнитноrо излучения. При ЭТОI\{,
:конечно, предполаrается, что в зеркально}! ящике представлены
кванты не одной, как мы ДО сих пор предполаrали, а самых разных
216 rл. х. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОЙ ЭЛЕИТРОНИИИ
частот, в том числе и той рез о н а н с н о й ч а с т о т ы (о == E/1i t
I\оторая стимулирует раССl\lатриваемый переход.
Соrласно (9.12),
U ю Vd(O == пg(E)EdE t (10.7)
rде u ю спеI\тральная плотность энерrии излучения, отнесенная к
единице И3l\Iенения (О, V объем ящика, Е эперrия нвантов,
а g (Е) статистический вес. Подставляя в эту формулу g (Е) иа
(8.10) и заменяя dE на 1idffi, найдем
п 2 с З
п === ИЮ 3.
NОО
(10.8)
Подставляя это значение в '(10.6)', можно выразить искомое ОТНО--
шение вероятностей через Ию. Следуя Эйнштейну, введем в (10.8 >:
IJ:MeCTO U(J) спеI траЛЬНУIО плотность энерrии излучения и оу , отнесен..
ную к единице изменения v. l\оличество энерrии, заКЛIочеНllоii в
векотором интервале, не зависит от Toro, 1\ак ero выражать, через
dv или d(O: uюdю == uvdv. ПОЭТО lУ
dv 1
u ю == Uv dw == 2л UV1) (10.9)
J
*
пс З
п == И
2поо 3 V.
(10.10)
так что
Из (10.6)' при этом. найдем
J;V НЫН
2 l
JV ClJ
2 1
леЗ
2пш 3 U V .
(10.11)
Полученное выраiнепие пр:им:енимо во всех случаях, !\оrда взаи
модействующие с электромаrнитным излучением атомы ваходнтсл
в поле излучения. IIрисутствие или отсутствие зеркальноrо ящина
в этом случае не иrрает никакой роли. ФОРl\lула (10.11) очень удоб..
на для ПРИ?t-Iенений, но имеет существенно более сложный вид, чеrvl
.( 10.6), и ее (ризический смысл менее ясен.
Сформулируем полученные результаты.
1. При возвращении атомов из более высоких в более ВIIзнпе
состояния происходят не только спонтанные ( самопроизвольные) ?
110 И ВЫНУiнденные переходы. 4
2. Вероятность вынужденных переходов в зерналыlмM ЯЩИКО
пропорциональпа числу имеющихся в нем резонансных нвантов, НО--
торое может быть выражено через спектраЛЬНУIО плотность энерrИII
излучения.
3. Рассчитанная на один квант вероятность вынужденноrо излу... I
чепия равна вероятности спонтаПIIоrо излучения. 1
46. СПОНТАННОЕ И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
217
в занлючение отметим, что при вынужденном излучении испус....
I\аютСЯ кванты, имеющие не только ту же энерrию, но и ту же по--
ляризацию, что и кванты, СТИМУЛИРУIощие вынужденное излучение
(этот вывод следует из более подробноrо рассмотрения) . Моп{но
ПОRазать, что справедливо и более сильное утверждение: вь nужде1t--
пое uвлучеnuе nОёереnтnо с ивлучеnuем, еёО вь ввавшuм: оnо uJtteer
ту же частоту, то же nаправлеnuе распростраnеnuя, ту же nолярu...
8ацuю и ту же фазу.
11з вывода соотношения (10.6) ясно, что оно справедливо для любых
электромаrнитных переходов в любых атомах. Ero справедливость связана,
следовательно, со свойствами не атомов, а электромаrпитноrо поля. Наличие
жестких соотношений между вероятностями ВЫНУiнденных и спонтанных пе
рсходов заставляет думать, что эти переходы имеют одну и ту iKe природу..
IIсследование вопроса показывает, что это действительно так. Чтобы уяспить
суть дела,/рассмотрим излучение, «запертое» в зеркальный ящик прямоуrоль...
вой формы. Рассмотрим колебания, распространяющиеся вдоль ящика. Мы
YiHe показали (см. рис. 81 и следующий за ним текст), что в такОМ ящике
1\10rYT возбул\даться не любые элеI\тромаrнитные колебания, а только колеба
вия, удовлетворяющие соотношению
L == тл т /2,
rде L длина ящика, л'т длина волны излучения, m ПРОИЗВОЛЬН<9е целое
число. Rаждое из таких нолебаний называется про Д о л ь пой м о Д о й элек
тромаrнитных нолебаний 1). Моды, соотвеТСТВУIощие разным л'т, неаависимы.
Они MoryT иметь разную интенсивность. Теория показывает, что энерrия KO
лебаний, СОО'fветствующих каждой моде, описывается формулой для энерrии
KBaHToBoro осциллятора:
Е т == nffi m (п + 1/2),
rде Е т ..... энерrия, ПРИХОДfIщаяся на моду т, Ют соответствующая частота t
п любое целое число. l\1ы знаем, что излучение состоит из фотонов, каждый
из которых имеет энерrию Е == nы. Ясно, что появление в пашей формуле сла
raCMoro nютn эквивалентно утверждсиию, что в ЯIцике находится n фотонов.
Член (1/2) nю т , соотвеТСТВУIОЩИЙ нулевому их числу, определяет энерrию н y
.л е в ы х I( О Л е б а н и й электромаrнитноrо поля. Спонтанные переходы можно
рассматривать как взаимодействие возбужденных атомов с этими пулеВЫМll
I\олебаниями, в то время как вынужденное излучение происходит из за их
взаимодействия с реальными фотонами.
Приведенные рассуждения леrI\О обобщаются на ящики любых размеров
и форм. В таком ящике в резонаторе электромаrнитных I{олебаний MorYT
возбуждаться не любые колебания, а колебания, принадлежащие р а а р e
пI е н н ы м м о Д а М. Энерrия, приходящаяся на каждую такую моду, KBaHTY
ется так же, как энерrия осциллятора.
Рассмотрим теперь полость не с зерI\альными, а с черными степ-
J\аltIИ, паходящим:ися при некоторой температуре Т. Поместим в нее
T01r1 (или множество таких aToAloB). Через HeROTopoe время в поло...
СТИ установится тепловое равновесие между стенками и излучение",!,
причем в состав излучения входят кванты самых разных энерrий,
в том числе и такие кванты, которые MorYT испускаться и поrло
mаться рассматриваемыми атомами.
1) На самом деле указанное соотношение определяет две :моды элентро-.
".. u
маrнитпых колеоании в соответствии с двумя возможными значениями ПОЛЯ 04
ризации.
218 rл. х. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ RВАНТОВОй ЭЛЕRТРОНИRИ
Соотношение между вероятпостями CnOHTaHHoro и выужденноrоo
излучения атомов, как и всеrда, характеризуется формулой (10.6).
Однако при установившемся тепловом равновесии ?\tIОЖНО продви--
нуться дальше, связав число квантов п с температурой стенок
{и излучения).. Подставляя в (10.6) значение п из (8.16), найдем
W RbJH 1
==
W CIl ехр (1iю/хТ) 1 ·
(10.12)
в полученную формулу ие входят размеры полости. Поэтому она
справедлива для полости любых в том числе и бесконечных
размеров. Эта формула определяет соотношение между вероятностя",
ми Вынужденных и спонтанных переходов при т е п л о в о м р а в...
в о в е с и и.
Анализ состояния тепловоrо равновесия между атомами и излу...
Чfнием позволяет сделать еще один важный mar........... установить со--
О'Jношение между вероятностями поrлощения и испускания эле кт...
ромаrнитноrо излучения. Обозначим числа атомов в первом и во
втором состояниях N 1 И N 2 . В квантовой электронике N. и N 2 при--
Вято называть н а с е л е н н о с т я м и соответствующих уровней 1) .
Число переходов N1 2 из первоrо состояния во второе равно
Nl 2 == W 2nNlt?J (10.13)
rде n число резонансных квантов, а 't........... время наблюдения. Ин...
деке «( (1) », нак и прежде, напоминает, что вероятность перехода
рассчитана не только на один атом, но и на один квант.
Переходы из BToporo состояния в первое делятся на спонтанные
и вынужденные. Их числа равны
N СП W СП N t
2--71 == 2 1 2
N BblH W (l)BblH N t
2--71 == 2 1 п 2.
(10.14)
(10.15)
IIри тепловом равновесии число переходов из nepBoro состояния во
второе и из BToporo в первое равны друr друrу:
W1 2пNlt === W blHпN2t + lN2t. (10.16)
Населенности уровней N 1 и N 2 зависят от температуры, 8 величины
W(1), характеризующие взаимодействие атомов с излучением, зави...
сят ТОЛЬRО от свойств рассматриваемых атомов и с температурой
не связаны.
Расс:мотрим полученное соотношение при высоких температурах.
При повышении температуры различие в населенностях уровней
N 1 и N 2 У fеньшается и при больших Т исчезает; число :квантов п
. 1) Более CTporo н а с е л е н н о с т ь ю уровня называется ЧИСЛО атомов
в е Д и н и Ц е о б ъ е ld а, занимающих данный уровень, Т. е. не N 1 и N 2t
а Ni/V и N.JV.
< .
i),
t.
' ... . . . .. . . ' . ,J
I
g 46. СПОIIТАННОЕ И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
219
при этом неоrраниченно возрастает. Соответственно возрастает Be
личина левой части (10.16) и первоrо члена правой ero части. По--
ЭТОl\IУ при высоких температурах вторым членом в правой части
: ( 10.16) можно пренебречь. Отбрасывая этот член и приравнивая
N 1 и N 2 , получим
W (l) W (l)BblD
1 2 == 2 l ·
Поскольку вероятности W от температуры ие зависят, это равенство
справедливо всеrда. Оно было впервые установлено Эйнштейном ().
3аl\lечая, кроме Toro, что W blH == 1 (СМ. п. 3 результатов,
сформулированных п осле формулы (10.11)) , найдем окончательно
I W (l) W (l)BbIU Т.I"тСП I (10.17)
1 ---+ 2 === 2 ---+ 1 === уу 2 1 ·
Полученное равенство позволяет получить соотношение между ве...
роятностями поrлощения И вынуждеНDоrо излучения. Разделив
(10.15) Ha (10.13) и заметив, что соотношение N:ь:../Nl 1 равно
ИСRОl\IОМУ отношению вероятностей, получим
Вер. вин. изл.
Вер. ПОI'л.
N!
C:I ................
N 1
(10.18)
В обычных условиях населенность уровней падает с ростом их
энерrии, так что N! < N t . Поэтому вынужденное излучение света
оназывается слабее, чем поrлощение. Более Toro, по сравнению
с последи-им оно исчезающе мало. В самом деле, в оптическом диа...
пазоне Е == пro по порядку величины равно 2 эВ, в то время как 'КТ
при нормальных температурах составляет (1/40) эВ и даже при
1000 К оказывается менее (1/10) эВ. ОпредеЛЯIОЩИЙ соотношение
мещду N'l. и N i больцм:аНОВСRИЙ мпол\итель ехр ( пu)/xT) равен e 80
при нормальных температурах и e 'l.O при 1000 К. Вынужденное иs
лучение света при этом во MHoro раз меньше поrпощения и на опы....
те не обнаруживается. Если, однако, создать условия, при которых
N 2 окажется больше N(, то вынужденное излучение будет преоuла...
дать над поrлощением, и среда начнет усиливать свет, вместо TOro
чтобы ero поrлощать. Мы вернемся к этому вопросу в следующем
параrрафе.
Для полноты изложения выразим наши реаультаты в обозначе...
ниях Эйнштейна, Rоторые часто используются в литературе. В этих
обозначениях число переходов из первоrо состояния во второе NI 3
записывается не через число квантов, как мы это делали в формуле
1) "YI{aaaHHOe соотношение является частным случаем очень общеrо ут...
верждеНIIЯ квантовой механики о том, что приведенные (рассчитанные на еди
лицу статистичсскоrо веса) вероятности прямоI'О и обраТRОI'О процессов равны
дру!' ДРУI'у. Это утверждение называется при н Ц и п о м Д е т а л ь н о r о р а В04
н о в е с и я.
220 rл. х. ФИ3ИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ RВАНТОВОй ЭЛЕНТРОНИНИ
(10.13)', а через спектральную плотность U v :
N 1--+-2 == В t--+-2 N tUvt.
'( 1 О .19 ),
Число перехо ов из BToporo состояния в первое записывается aHa
ЗIоrичным образом:
N 2 --+- t ::% B 2 --+- 1 N 2 u v t + A 2 --+- t N 2 t.
'( 10.20):
Коэффициент Bt--+-2 называется коэффициентом Эйнштейна для по...
rлощения, а В 2 --+- 1 и A2 1 коэффициентами Эйнштейна для вынуж
денноrо и спонтанноrо излучения. Сравним эти выражения с
(10.13), (10.14) и (10.15). Сравнение дает
В W (l) В W (l)BbIH А W СП
1 2и" == 1--"72 n " 2 1и" == 2 1 n,; 2 1 == 2 1.
Формула (10.17)' позволяет получить соотношение :между коэффи",
диентами Эйнштейна. .Связь между U v и п была найдена в (10.10).
Б результате получаем
B2 1 === B1 2'
2 1iro 3
A2 1 == n 3 B2 1.
с
(10.21)
Сложный ВИt! Соотношения между коэффициентами Эйнштейна
A2 ! и B2 ! связан с тем, что они имеют различные размерности и
измеряются в разных единицах: A2 1 в c t, а B2 1 в CM/r.
В заключение остановимся на электромаrнитных переходах l\1:еж...
ду двумя в ы р о Ж.д е н н ы м и уровнями. Наиболее важен для при...
менений случай, Rоrда уровни вырождены по маrнитному квантово...
му числу тJ, определяющему ориентацию полноrо уrловоrо момен",
a атома (или любой друrой квантовой системы). В отсутствие
элентрическоrо и маrнитноrо полей энерrия атома не зависит от Toro,
Rакую ориентацию имеет уrловой момент, а вместе с ним маrнитный
и электрический моменты (если они не равны нулю). Поэто лу каж...
дый из двух рассматриваемых уровней состоит из 21 + 1 подуровней
(т J в каждом состоянии свое), имеющих одинаковую энерrию. Та...
ЕИМ образом, 21 + 1 определяет кратность вырождения уровня по
RBaHToBo1vIY числу m J .
Начнем с поrлощения фотонов, имеющих определенную энер'"
rию (равную энерrии перехода) и поляризацию. Переход из Rаж
доrо исходноrо (в данном Случае........... каждоrо нижнеrо) состояния
атома происходит во вполне определенное конечное (верхнее) со...
стояние, КО'Еорое определяется квантовыми числами исходноrо со...
стоянил (в том числе и их маrнитными квантовыми числами) и фо--
топа. Таним образом, из двух (нижней и верхней), систем сливших--
ся по энерrии уровней излучение «выбирает» пары, переходы между
J\ОТОрЫМИ разрешены по квантовым числам. Таной «,выбор» проис...
ходит нан при спонтанном, тан и при вынужденном излучении. Та--
RИМ образом, выведенные в настояще1\1 параrрафе формулы ОСТ8ЮТ'"
ел справедливыми, если их применять не :ко всем ПОДУРОВНЯ I, KOTO
1
..
I
47. НВАНТОВЫЕ УСИЛИТЕЛИ И rЕНЕР ТОРЫ
221
рые ВХОДЯТ в состав рассматриваемых уровней, а к соответствующим
парам. Соответственно, во все вь вeдeппыe вьzше ФОРМУЛЬ пужпо
подставлять пе nолпые паселеппости у ровпей, а паселеппость ТОй
napbz поду ровией, между KOTOPblJrtи происходят исследуе.iuые
nе pexoabz.
В тех случаях, Rоrда населенности уровней создаются искусст--
вепно, следует, если это возможно, сразу заботиться об увеличении
:количества атомов на нужных подуровнях, поскольку населенности
остальных подуровней роли не иrрают. При тепловом равновесии
больцмановский множитель ехр ( пы/'XT) определяет населенность
:каждоrо из подуровней, т. е. сразу задает нужную нам величину"
Полная населенность Bcero уровня (21 + 1)ехр{ пю/хТ1 в рас...
сматриваемом случае интереса не представляет.
э 47. Квантовые усилители и reHepaTopbl
R в а н т о в ы м и у с и л и т е л я м и и к в а н т о В ы м и r е н е р a
т о р а м и называются приборы, использующие вынужденное из....
лучение для усиления или rенерации элеI{тромаrнитных колебаниЙ.
Приборы, работающие в оптическом диапазоне, называются л а з e
р а м и в отличие от м а з е р о в, применяемых В СВЧ диапазоне
(в диапазоне радиоволн сверхвысоких частот). Обычно к лазерам
относят также :квантовые rенераторы и усилители ультрафиолето
Eoro и инфракрасноrо излучения., В отечественной литературе лазе
ры называются также о п т и ч е с к и м и к в а н т о в ы м и r е н е р а....
т о р а м и (OI\r).
Пропустим через среду В направлении оси абсцисс электро:маr
нитную волну, частота к'оторой равна частоте перехода между дНу....
:мя УРОВНЯ'?t-IИ атомов, входящих в сосз;ав среды 1). Найдем формулу,
описывающую изменение интенсивности волны. Обозначим через
j (х) поток квантов, доходящих до сечения с координатой х, а через
п 1 и n2 концентрации атомов в основном и возбужденном состоя--
ниях, или, что то же саМбе, населенности уровней, соответствующих
эти:м состояниям. Если состояния вырождены, то, как :мы уже зва..
е:м, нужно рассматривать населенности соответствующих подуров....
неЙ. Количество квантов, поrлощаемых на пути dx, пропорциональ..
но потоку j (х), длине пути dx и концентрации n1 атомов, способных
поrлощать падающие кванты. Обозначая :коэффициент пропорцио....
нальности через а, найдем:
djпоJ'Л === (Jп1jdx. (10.22)
l ассуждая аналоrичпым образом, найдем, что увеличение потоиа,
съязанное с вынужденным излучение l, равно
djSblB === on 2 jdx. I10.23)
1) в квантовых усилителях и rеператорах ИСПОЛЬЗУIОТСЯ пвантовые пе
рСХОДЫ не только в атомах. Для простоты МЫ В дальнейшем будем I'оворитъ
об атомах} имея в виду и атомы) и ИОНЫ) и МОJlеl\УЛЫ
222 rл. х. ФИ3ИЧЕСRИЕ основы RБАНТОВОй ЭЛЕRТРОНИ«И
ВХОДЯЩИЙ в 9ТИ формулы RО9ффициент пропорциональности о иие..
ет размерность площади и называется сечением вынужденноrо ие....
реХйда. Ero величина зависит только от характеристик конкретпоrо
перехода. Как мы уже знаем, вероятности выул\денноrоo излучения
и поrлощения равны друr друrу (см., например, ( 10.17) ), так что
в .(10.22) и (10.23) входит один и тот же коэффициент о.
СнлаАывая .( 10.22), и (10.23), найдем
dj === (J (n! nl)jdx. :( 10.24):
Интсrрируя ЭТО уравнение, найдем
j (х) === j ( О) еа.х,
rде
а === о (n! n 1 )'.
:( 1 0.25)
(10.26 >:
ТаJ\ИМ образом, при прохождении через среду интенсивность элект...
РО}lаrнитной волны меняется по 9кспонеициальному заI{ОНУ.
n обычных средах концентрации атомов описываются распреде...
лени:см Больцмана (рис. 90) и уменьшаются с энерrией, так ЧТО
rде Е 2 И Е. 9нерrия атомов в верхнем и в нижнем состояниях.
Формула (10.26). показывает, что ри ЭТОМ а < О, так что интенсив",
ность электромаrнитноrо излучения
при прохождении через среду ЭНСПО'"
пенциально уменьшается. Экспоненци...
альныи вид закона уменьшения интен",
сивности был установлен задолrо ДО
обнаружения вынужденноrо излучения
и носит название 3 а к о н а Б у r ера.
а коэффициент а в этом случае Вазы....
вается к о э Ф Ф и ц и е н т о м э к (}4
т и н к Ц и и 1) . ,..... >.. ' ":Т: f"':
В нерав. веС!lЫХ средах населенно
сти вышележащих уровней MorYT ире...
восходить населенности уровней, ле...
Ежащих виже. При этом а оказывается
,больше НУJIЯ и происходит ЭRспонен",
циальное усиление электромаrнитной
волны. Rоэq)q)ициент а называется в
этом случае к в а н т о в ы м к о 9 Ф Ф и...
ц и е н т о м у с и л е н и н с р е Д ы.
Часть усиленной волны с помощью веркал или каRим нибудъ
друrи:м образом можно вернуть в активную среду. Такой возврат
п
...,
"
о cl'
r
с,
Ez
Рис. 90. Населенности YPOB
ней с разной энерrисй при
термодинамическом равнове..-
сии
n ( E2 El )
.......! =:: е х р х Т JI
n 1
(10.27)
1) CTporo rоворя, в величину коэффициента вкстинкции ВНОСИТ вклад не
толы(о поrлощение, НО и рассеяние электромаrпитных волн.
I '8. МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ИНВЕРСНОЙ НАСЕЛЕННОСТИ УРОВНЕй 223
8валоrичен обратной связи в усилителях радиодиапазона. Если воз
Dращеввая волна совпадает с исходной по направлению распростра'"
пениЯ и по фазе, то обратная связь оказывается положительной и
при достаточной ее величине квантовый усилитель превращастся
в :квантовЫЙ reHepaTOp 1).
в тех случаях, I\оrда населенность более высокоrо уровня (если
уровень вырожден, то населенность соответствующеrо поду ровня)'
превышает населенность пижележащеrо, rоворят об и н в е р с пой
в а с е л е н н о с т и этих уровней; среду с ипверсной населенностыо
уровней называют а к т и в н о й. Обращаясь к формуле Больцмана
.( 10.27) t нетрудно заметить, что инверсная населенность уровней
.(п2> n. при Е 2 > Е 1 ) формально соответствует о т р и Ц а т е л ь н ы м
т е м пер а т у рам. В технической литературе термин «отрицатель...
вые температуры» употребляется довольно часто. Это выражение
нельзя считать удачным. В самом деле, температурой в физике при--
IIЯТО характеризовать равновесное состояние вещества, при кото...
ром об инверсной населенности уровней rоворить не приходится.
IJри отсутствии равновесия каждой паре уровней k и l следует при..
писывать СБОЮ температуру» Т w:
XThl == (Eh Ед jln ( :: }
I\оторая, конечно, не имеет ничеrо общеrо с обычной температурой,
определяющей кин€тическую энерrию атомов.
48. Методы создания инверсной населенности уровней "r
Одним из важнейших методов, применяемых для создания инверс--
пой населенности уровней, является метод н а к а ч к и: атомы «пе...
рекачиваIОТСЯ» из вижнеrо состояния в верхнее с помощью внешних
источников эперrии. В качестве таких источников часто использу
ются источники электромаrнитноrо излучения нужной частоты
(и з л у ч е н и е н а к а ч к и). Существуют и друrие методы, приво...
дящие к увеличению населенности верхних уровней. Некоторые иа
них рассматриваются ниже.
Условия, в которых производится накачка, в оптических RBaHTo...
вых reHepaTopax и в reHepaTopax радиодиапазона существенно
различны.
Расстояние между «рабочими» уровнями в мазерах составляет
цоли миллиэлектронвольта. Поэтому при нормальных температурах
(и даже при охлаждении рабочеrо вещества) населенности этих
уровней мало различаются или, во всяком случае, сравнимы друr
1) Эффект KBaHToBoro усиления :волн впервые ваблюдался в 1939 r. изве
Стным советским физиком В. А. Фабрикантом. В 1964 r. за создание квантовых
reHepaTopOB Н. r. Басов и А. М. Прохоров совместно с Ч. Таунсом были удо..
ToeHЫ Нобелевской премии..
L
24 rл. х. ФИ3ИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ RВАНТОВQй ЭЛЕНТРОНИRИ
е друrом. В оптичеСRОМ же диапазоне расстояние между УРОВНR1tfП
даже в I\распой области спектра составляет около 1,5 эВ, так что
верхний из рабочей пары уровней оказывается праJ\тичесни ПУСТЬПvl.,
J(ля создания инверсной населенности в радиодиапазоне достаточно
сдеrI\а ум:еньшить населенность IIижнеrо уровня или увеличить па...
елснпость BepxHero. В оптическом диапазоне для той же цели ПУjl\--
НО нардинально изменить населеппостп уровней.
I Раtfочиtl
I
I лервхоd \
I
I
I
I
I I
I
I
I
t
E;:J
I
I
I
I
I
I
I
I
,
I Рt1tJочuц
I перехоrJ
t
C:J
-'
;:
'
'
Е 2
Е 2
1 " -. -' - ' ....- ;< .-- ' _
,
--1 '1.
.:
Е,
([
tJ
Ef '
Рис. 91. Схема получения инверсной населеННБСТИ в трехуровневой системе
(мазеры): а накачна частиц на уровень Е з , рабочий переход Е з --+ Е 2 ; б.........
опустошение уровня E 1 , рабочий переход Е 2 --+ Е 1
Для создания инверсной населенности чаще Bcero применяютел
Tpex и четырехуровневые системы. Схема трехуровневой системы
изображена на рис. 91.
Рассмотрим накачку в радиодиапазоне. В исходном равновес--
ном: Состоянии населенность уровней уменьшается с энерrией.
Il0ЭТОМУ до накачки n! > n 2 > п з . Инверсная населенность создастся
с помощыo элеRтромаrнитноrо излучения накачки, вызывающеrо
переходы ?\tlежду уровнями. Пусть частота излучения нана чии соот"
ветствует переходу Е з --+ Ete Это излучение увеличивает Населен....
ность третьеrо уровня. Спонтанное и вынужденное излучеНИf(
.(и пеI{оторые друrие процессы) возвращают атомы в основное со..
стояние. Дал е при отсутствии таиих процессов Rоличество атомов,
находящихся на третьем уровне, из за вынужденноrо излучения не
1\fожет преВЗ0ЙТИ их количества в основном состоянии. Инверсная
lIаселенность м:ежду первым и третьим уровнями, таки:м образом,
достиrнута быть не может. Однако населенность третьеrо уровня
:может преВЗ0ЙТИ населенность BToporo. l\10жет таите случиться, что
на первом уровне останется :м:епьше частиц, чем на втором. Первый
из ЭТIIХ случаев реализуется, коrда второй уровень БЛИ30I R Третье....
му (рис. 91а) е При этом населенности BToporo и третьеrо уровней
близпи уже при тепловом равновесии и добавление атомов на Tpe
тий уровень приводит к их инверсной населенности (это добавление
:hlол\ет быть довольно 8начительным:, потому что на первом уровне
находится :MHoro атомов). Со второЙ возможностью следует считать...
ел, если второй уровень БЛИ30I к первому .(рис. 916).
I
I
I
,:.
j
'1;
48. МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ИНВЕРСНОй НАСЕЛЕННОСТИ УРОВНЕЙ 225
Описанная методина хорошо работает в радиодиапазоне, rде су--
ществуют хорошо разработанные способы rенерации нолебаний с
любоЙ заданной частотой (в нашем случае с частотой, соответству--
ющей переходу 1 3). В оптическом диапазоне такие способы от--
сутствуют и метод становится малоэффективным.
Трехуровневые системы, предназначенные для использования
в оптичесном диапазоне, работают по друrой схем:е (рис. 92). 11з--
лучение наначки и в этом случае переводит атомы из состояния
1 в состояние 3. Из состояния
3 атомы MorYT либо вернуться в
1, либо перейти в 2. На BTOpO f 3
уровне aTO?t-IЫ панапливаются. На--
селенность этоrо уровня увеличи--
вается и со временем начинает
превышать населенность первоrо.
Для работы по трехуровневой
схеме в оптическом диапазоне
rодятся далеко не Лlобые тройки
уровней. Пре}кде Bcero первый 1
уровень должен быть плотно на.. Рис. 92. Схема получения инверс
селен. IIм обычно является основ-- ной населенности в трехуровневой
ной уровень или уровень, очень системе (лазеры)
БЛИЗНИll к основному. Необходимо,
далее, чтобы уровень 2 был долrОЖИВУЩИ I, метастабильны r. Толь
I O при этом условии на втором уровне можно накопить достаточное
количество атомов, превосходящее их число в основном состоянип.
Вероятность переходов связана с шириноЙ уровня со.отношение:\f
неопределенпостей I1.E't n. Уровень 2 ПОЭТОl\fУ должен быть У3RИ f.
Леrко видеть, что уровень 3, наоборот, должен быть очень mиро
ким. Лишь в ЭТО I случае удается полезно использовать за fеТНУIО
часть спектра оптичеСI оrо излучения накачки. Чаще Bcero роль
уровня 3 иrрает широная полоса. Ясно таI{же, что переход 3 2
должен происходить с большой вероятностью, желательно, большеЙ,
чем переход 3 --+ 1. Переход 3 2 нередно является «безызлуча--
тельным»; в таких переходах излишняя энерrия ато:ма передается
не нванту, а кристаллической решетке (твердые тела) или стаЛI\l1
вающимся ато:мам (rазы).
Ометим важный недостаток трехуровневой схеl\IЫ. Как уже ОТ--
мечалось, при работе в оптическом диапазоне населенность уровня
2 до накачки исчезающе мала по сравнению с населенностью пер--
Boro уровня. lIa предшествующее rенерации выравнивание населен--
ностей приходится тратить MHoro энерrии, которая пропадает бес--
полезно. Этоrо недостатка лишены четырехуровневые системы.
В четырехуроnневой систе Iе (рис. 93 а) рабочий переход про--
исходит между УрОВНЯl\-IИ 3 и 2, ни один из которых не совпадает
с ОСНОВНЫАI. Накачка переводит атомы из OCHoBHoro (первоrо) со--
стояния в четвертое. Третий уровень заселяется. с четвертоrо. Че,
15 л. л. rольдин, r. и. Новииова
2
РаООЧl1и.
лерехоtJ
226 rЛ. х. ФИ3ИЧЕСI\ИЕ ОСIIОВЫ НВАНТОВОй ЭЛЕНТРОНИНИ
тырехуровневые системы применяются как в оптическом:, тан и в
радиодиапазоне. В оптической области существенное отличие четы
рехуровневых систе 1 от трехуровневых заКЛIочается в TOl\I, ЧТО
нижний рабочий уровень (в нашем случае второй) с caMoro Ha
чала ОI\азывается пустым или почти пустым. Поэтому даже неболь
тое количество атом:ов, появившихся на третьем уровне, приводит
к ero инверсной населенности по отношению ко второ:му.
4
4-
3
t:Y
Рооочии
перехои
Pa5o'llliJ
пepexot!
2
1
2
1
l)сОоtJожtJен ие
нuжнеао 'J)Q!JNR
а
tf
Рис. 93. а Схема четырехуровневой системы с рабочим переходом меi!\ДУ
уровнями 3 ---+ 2 (оптические лазерыI;; б rепсрация I\олебаниЙ с частотой.
превосходящей частоту накачки (квантовые rенераторы радиодиапазона)
В радиодиапаЗ0не все уровни четырехуровневой системы (или,
по I\раiiнеЙ мере, нижние два) MorYT иметь сравнимую населен...
ность. Тоrда возникает возможность rенерировать колебания более
высокоЙ частоты, чем частота накачки. Для этоrо HY KHO, например,
чтобы накачка происходила со BToporo уровня на четвертый, ара..
бочии переход с третьеrо на первый уровень (рис. 93 б) .
Для перевода атомов на верхние уровни применяют не только
накачку с помощью элеКТРО1\lаrнитноrо излучения. В rазовых лазе
рах для возбуждения атомов (и моленул) часто используют элект...
рический разряд. (В плазме разряда электроны приобретают энер'"
rию, достаточную не только для возбуждения, но и для ионизации
a'I'OMOB. )
Инверсная населенность уровней может быть получена и с по...
мощью некоторых друrих м:етодов. Атомы (и молекулы) в возбуж
денных состояниях MorYT получаться в результате хи:ми:ческих peaI-\
ций. Так работают х и 1\1 И Ч е с к и е л а з еры. Преимуществом Ta
НИХ лазеров является высокий ХИ lичеСRИЙ кпд 1), достиrающий
20 о/о, а недостатком: неоБХОДИ IОСТЬ непрерывноЙ заl\lены рабочеrо
вещества.
1) в химических лазерах следует различать два коэффициента полезноrо
действия: химический и технический КПД. Химический кпд показывает, ка..
кая часть энерrии, которая выделяется в реакциях, создающих инверсную на..
селенность уровней, преобразуется в энерrию KorepeHTHoro излучения. Техпи.
ческим кпд химических лазеров называется отношение энерrии лазерноrо из..
лучения к потребля мой от элеI\трической сети энерrии; технический кпд
. может превышать 100 0/0.
I '9. УСТРойСТВО ОПТИЧЕСНИХ HBAHToBых rEHEPATOPOB 227
Существуют лазеры, использующие rвзодинамические эффекты.
При быстром охлаждении rаза населенность уровней не сразу пе...
рестраивается от высоких температур к низким. Время установле
вия тепловоrо равновесия зависит от индивидуальных своЙств уров",
ней. Так, может случиться, что в трехуровневой схеме (рис. 91)
при понижении температуры уровень 2 опустошается раньше, чем
уровень 3. В этом случае между ними может возниннуть инверс
пая населенность. rаЗОДИНВl\lические лазеры MorYT работать, конеч...
но, лишь в том случае, коrда при исходной температуре населен
ность третьеrо уровня достаточно выеока.
В настоящее время широко используются лазеры на полупро
водниках с р п переходами. При прохождении через р п пере
ход элентроны рекомбинируют с дырками, выделяя заметное коли...
чество энерrии (по порядку величины равное ширине запрещенной
зоны). В некоторых веществах (например, в арсениде rаллия) эта
энерrия с большой вероятностью выделяется в виде света и МОiпет
использоваться для создания лазера. Мы не будем далее обсуждать
этот вопрос, поскольку свойства полупроводников в этой книre бу...
дут рассмотрены позднее.
49. Устройство оптических квантовых reHepaTopoB
В качестве примера лазера, работающеrо по трехуровневой схеме,
рассмотрим лазер на кристалле рубина. На рис. 94 изображена
схема уровней ионов Сr З +, входящих в состав рубина (рубином
пазывается кристалл АI 2 Оз, в котором часть ионов алюминия заме...
пена ионами хрома). В качестве ра..
бочих переходов в рубиновом лазере
используются переходы с уровней f4.
Е 2а И Е 2б на основной ypOB HЬ. Уров'"
НИ Е 2а И Е 2б метастабильны (их вре...
мя жизни несколько миллисенунд, E
в то время кан для обычных оптиче...
ених переходов 't,..., 1 O 8 с). в этом
лазере, как и в друrих твердотель--
ных лазерах, для получения ипверс
пой населенности уровней применя...
ется о п т и ч е с R а я н а к а ч к а.
Для накачки используются широкие Е 1
полосы поrлощения Е з и EJ,., одна
из которых расположена в веленой, Рис. 94. Схема уровпей Сl'З+ в
а друrая........... в синей части спектра. кристалле рубина
Ширины полос очень велики ...........
около 1 мкм. Переходы с этих полос па уровни Е 2 происходят без
излучения энерrия переходит в колебания решетки. Уназанные
переходы нампоrо вероятнее, чем спонтанный возврат 8TOl\10B на
уровень 1. Это способствует быстрому созданию инверсной населен...
15*
"s
Е 20
С2а
228 rл. х. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОй ЭЛЕНТРОНИНИ
ности уровней рабочеrо пере хода. Для лазеров примеНЯIОТ ИСI\УССТ",
венно выращенные монокристаллы рубина снебольшим (0,05 О/о )
содержание:м хрома (бледно розовая окраска). МОПОI\рIlсталлам при
дается форма длинных стержней круrлоrо сечения. в небольших
лазерах рубиновые стержни и:м:еют около 1 см в диаметре и 10 Cl\l
В ДЛIIНУ. На рис. 95 изобраiI\ена cxe Ia одноrо из вариантов устрой...
ства рубпновоrо лазера. Для на...
'с) качки используется спиральная
,, лампа вспышн а, онружаIощая
рабочее тело лазера ЦIIЛИНД'"
,,
C'Q ричеСI\ИЙ рубиновый стержень.
Для уменьшения световых по
rv терь лампа заключена в зер
кальный кожух. На оба торца
Рис. 95. Схема "стройства лазера на рубиновоrо стержня нанесен
рубине зеркальный слой 1). После сра...
батывания лампы вспышки
нристалл рубина становится оптичеСI\И активным. rенерация на--
ЧlIнается самопроизвольно после Toro, кан появится световой I\BaHT,
спонтанно излученный вдоль оси рубиновоrо стержня. Распростра
няясь по стержню, излучение усиливается к исходному I\ванту
l1рисоединяются I\ванты вынужденноrо излучения. Обратную связь
осуществляют зеркала. Выражаясь па радиотехничеСI\Оl\1 Я3Ыl\е, они
возвращают ко входу системы (к рубиповому кристаллу) сиrнал
,( свет), возникающий на ero выходе (покидаIОЩИЙ кристалл).
Дважды отражаясь от зернал (один раз от правоrо, а друrоп........
от левоrо), световые нвантыI повторяют своЙ путь. ТаКИ 1 образом,
зеркала «запирают» свет, образуя оптичеСI{ИЙ резонатор, в нашем:
случае интерферометр Фабри Перо. Дван\ды отраiнеипыЙ: свет
УСИЛIIвает исходный, если он совпадает с пим по фаае, т. е. если
оптическая. длина пути (удвоенная длина пути между зеРI\алам:и,
умноженная на Rоэффициент преломления) равна целому чпслу
длин волн. Поэтому rенерация :м:ожет возникнуть лишь при усло
впи, если выполняется соотношение
nl == т'Л/2,
( 10.28)'
rде 1 ДЛИна рубиновоrо стержня, n поназатель прелом:ления ру...
бпна, а т любое целое число. l\1иоrОI\ратно проходя через руби...
новыЙ нристалл, световой поток ЭI{споненциально усиливается (СМ.
(10.25)). Одно (или оба) из зеркал, обраЗУIОЩИХ оптичеСI{ИЙ резо...
патор, делают частично прозрачны:м:. Через Hero световые кванты
выIодятT из установки, образуя лазерный луч. СветовоЙ И:\IПУJIЬС
"
продолжается, пона количество атомов на верхнем уровне раоочеrо
порехода не сравняется с их I\оличеством на нижнем уровне. После
1) Зеркала MorYT быть и отнесены от концов руБИRовоrо стеРil НЯ.
...
..
i
. i9. 'устРойСТВО ОПТИЧЕСRИХ КВАНТОВЫХ rEHEPATOPOB 229
этоro излучение прекращается и возобновляется лишь после новой
накаЧfiИ.
Найдем условие возникновения rенерации. Оно состоит в том,
чтобы полный коэффициент усиления света на замкнутом пути
был больше или равен единице:
r1rZ ехр (2al) 1, (10.29)
rде r1 и rz коэффициенты отражения зеркал, а величина <х опре
делена равенством (10.26). Приравняв левую часть (10.29) R еди",
нице, IОЖНО получить пороrовое значение коэффициента усиления
Cl пор , а эате?t-I с помощью (10.26) и необходимое дЛЯ ВОЗНИКIIО
вениЯ rенерации соотношение мел\ у пt и п2. В коэффициент УСИJJС
пия входит усиление при прохождении сквозь рубиновый стержен,ь
и потери на отражение от зернал (в том числе дифраКЦИОll '
вые потери, ВО3НИI\ающие из за конечноrо диаметра зеркал). В ла...
зерах ПрИl\lеняют зеркала очень ВЫСОRоrо качества. Если потери'
света на пропускапие являются неизбежными (в противвом случае
луч не сможет выйти из лазера), то потери па поrлощевиа жела
тельно ум:еньшать. По этой причине Iеталлических зеркал стара-
ются избеrать и применяют зеркала с диэлектрическим покрытие l.
Ла1\lпы вспыmки создаIОТ длинный световой импульс, продолжа...
ющийся о:коло l\lиллисекунды. Нарастание и прекращение лазерпоrо
импульса происходят HaMHoro быстрее. Поэтому за время работы
JIаМ:ПЫ ВСПЫШI\И успевает проЙти множество быстро следующих друr
за друrом лазерных Иl\1:ПУЛЬСОВ. ЭТИ импульсы M:orYT заметно OT
личаться друr от друrа не толы\о по фазе, но и по 8l\1:ПЛИТУД8 (IJ3
эа случайноrо xapaI\Tepa начала Иl\Iпульса). На рис. 96 изображена
осциллоrраl\lма части и:мпульса рубиповоrо лазера.
I
!
:1
l
r
Рис. 96. Осциллоrрамма части импульса рубиновоrо лазера
[
в вебольших рубиновых лазерах, имеющих объем несколько
см: З , за одно срабатывание лам:пы вспышки в лазерное излучение
преобразуется несколько джоулей. При полном времени импульса
порядна 1 ?\tIC средняя световая мощность составляет поэто:му He
СI\ОЛЬКО 1\иловатт. В лазерах с более КОрОТIаI IИ Иl\Iпульсами она
может быть существенно выше.
{б л. л. rОЛЬ;J;ИН, r. И. Новикова
230 rл. х. ФИЗИЧЕСНИЕ ОСНОВЫ НВАНТОВОй ЭЛЕRТРОНИИИ
Рассмотрим теперь работу лазеров на неодимовом стекле (CTeK
ЛО, антивированное ионам:и Nd 3 +). Эти лазеры из твердотель--
вых являются самыми популярными. Они, в частности, ПрИl\lе
Н1IЮТСЯ для создания мощных оптических систем, способных накап
ливать, а ватем освобождать энерrию в десятии и даже сотни нило
джоулей. Схем:а уровней иона Nd Э + приведена на рис. 97. Основным
"уровнем является уровень 4[9/2. При оптическоЙ накачке ионы Heo
дима переводятся в одно из состояний Е". И3 этих состояниЙ они
без излучения переходят на метастабильный уровень Е з (4F з / 2 ) и
накапливаются на нем. Переходы с уровня Е з в нижние состояния
очень мало вероятны из за большоrо различия квантовых чисел
L и J. Уровень Е 2 (J,./11/2) близок н основному, но почти не населен,
так нан он отстоит от основпоrо на 10хТ и связан с пим быстрым
безызлучательныM переходом, обеспечивающим установление больц
Maв.oBCKoro равновесия. Инверсия населенности между УрОВНЯ IИ Е з
И Е 2 достиrается поэтому существенно раньше, чем между уровня
ми Е. и Et, и рабочим переходом является переход Е з Е 2 С А::8
а:::а 1,06 мнм. Таким образом, неодимовый лазер работает по четырех--
уровневой схеме.
4F'/2
\ \
, \. \ \ \
, '\.\ \\ \
\
"'"'
1
-<
.
Е4
ё;!
4/11/2
..
19/2
Е 2
Е 1 .
Рис. 97. Схема уровней N d З + в
lIеодимовом стендо
I
' I
,,;
Рис. 98. Устройство лазера с He
сколькими источниками световой Ha
начни: 1 рубиновый или неодимо
:вый стержень, 2 лампы вспыm.кИt
8 отраiнатель
Rонструкция источника света, изображенноrо на рис. 95, очень
проста, во не является наилучшей. Коэффициент полезноrо деii--
ствия лазера можно увеличить, помещая рубиновый стержень (или
стержень из неодим овоrо стеила) в один ИЗ фокусов эллиптичест оrо
отражателя, а источник света в друrой фонус. Если источнинов
света несколько, то ПрИl\lевяют и более СЛОil-\ные КОНСТРУI ЦИИ
(рис. 98}.
.I............ . .. ;.f j ,
.,':. ,
;.: /
....
. '9. УСТРойСТВО ОПТИЧЕСRИ:Х нвАнтовых rEHEPATOPOB 231
Из за быстро наступающеrо переrрева лазеры па неодимовом
стекле, как и рубиновые лазеры, работают преИl\Iущественно в им
ПУJIЬСВОМ режиме. Однако неодимовый лазер на иттрий аЛЮ}lиние
ВОМ rрапате А) (:кристалл У з А1 5 О tz , В КОТОРО}I часть ионов уз+ aa
м:ещена иопами Nd З +) на небольшой lrIОЩВОСТИ А{ожет работать и
непрерывlЮ, так как ero теплопроводность достаточно высока (па
порядок выше, чем у стекла).
Рассмотрим один из rазовых лазеров лазер па смеси атомов
rелия и неона. Такие лазеры хорошо освоены и выпускаются про
мышленпоСТЬЮ. Рабочими переходами в reлий неоновых лазерах
являются переходы в N е. Для накач
ки используется rазовый разряд
(возбуждение электронным ударом).
При разряде в основном возбужда..
ются атомы rелия (их число на по
рядок превосходит число атомов нео..
на). Один иа двух ero 1s электронов
переходит в 2s состояние (рис. 99).
В зависимости ОТ направления
спина возбужденною электрона атом
ОI\азывается в 2tS или 2З8 состоя",
нии. Оба 8ТН состояния метаста...
бпльны.
В атоме неона имеются шесть
2р электронов, которые вместе с ДBY
IЯ 2s электронаl\IИ образуют замкну
тый L слой. При соударении атомов
неона с возбужденными атомами re..
лия один из 2р электронов неона пе Р 99 С Й
НС. . хема уровне rелия и
реходит в возбужденное состояние (с неона
наибольшей вероятностью в co
стояние 4s или 5s, так как энерrия этих состояний близка R энер
rиям 2 t S и 2 З 8 в возбужденных атомах rелия); возбужденные
состояния атомов неона изображены прямоуrольниками, чтобы
отметить их сложную структуру: они содержат большое число под
уровней.
На рис. 99 сплошными ЛИНИЯ}IИ обозначены переходы, исполь--
зующиеся в Не Nе лазерах. Эти переходы приводят к испускаНИIО
инфракрасноrо излучения с длинаАIИ волн 1,15 }lК}[ (48 3Р) и
3,39 M:K { (58 4Р) и KpacHoro излучения с л, == 0,63 мкм (58
--+ 3Р). В заВИСИАIОСТИ от длины оптическоrо резонатора и yctpoii--
ства ero зеркал удается выделить тот или друrой переход. В трубl\е
Длиной около 1 м с диам:етром 0,5 С}I l\10ЖНО получить красное И3
лучение мощн.остью 0,1 Вт.
Не
Na
2'8
58
1238
18
[28]2
1) Лазеры на кристаллах У з А1 5 О12, 8ктивированные иона fИ N d 3 +, В ЛИТ
ратуре по Бвантовой элеКТРОНИI(е СОI ращенно обозначаются Nd: У AG.
16.
232 rл. х. ФИ3ИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ RВАПТОВОй ЭЛЕRТРОНИRИ .
Пучки света, ИСПУСRаемые оптическим:и RваПТОВЫ1\fИ rehepato--
рами, вередко сами собой оказываются поляризованными. Поляри
вацией пучка можно управлять, меняя условия прохождения света
для волн с разной поляризацией. Торцы rазоразрядных трубон,
содержащих reлий неоновую смесь, обычно изrотовляют из плоско
параллельных пластинок, расположенных ПОД уrлом Брюстера к
оси трубки. 3ернала располаrают вне трубки (рис. 100). При ЭТОlf
условия rенерации оказываются
4 выполнеНПЫ1IИ тольно для
l ' ПЛОСКОПОЛЯРИЗ0ванноrо света с
' направлением электрическоrо
2 вектора, которое соответствует
минимаЛЬНЫ 1 потерям на от..
ражение от пластинок.
В последние rоды все более
ПIИрОRое распространение полу
чают импульсные лазеры на
уrлекислом rазе (СО 2 ). С ИХ
помощью удается получать еве..
товые пучки, обладающие не
только большой мощностью в
импульсе, но и значительной средней мощностью. Такие пучки
представляют большую ценность для промышленных и научных
применений. Твердотельные лазеры (рубив, неодимовое стекло) не
позволяют получать большие средние мощности из за переrрева,
приводящеrо к разъюстировке установки и к порче рабочеrо крп--
стаЛла. rазовые лазеры переrретъ труднее. При необходимости ra..
вовая смесь прокачивается через
лазер, охлаждается или заменяется.
Для rенерации лазерноrо из... 43
лучения в СО 2 -лазерах использу...
IОТСЯ п реходыI между колебатель...
выми уровнями молекул уrлекис-- 0.2
лоrо rаза с л, == 10,6 мим и с А == '
=== 9,6 мнм (далекая инфракрасная
область). Для воsбуждепия моле--
:пул используется rаЗ0ВЫЙ разряд, ("j 1
происходящий в смеси, содержа...
щей СО 2 , N z И Не.
На рис. 101 приведена cxe la
расположения вижних колеба--
т ельныx уровней молекул СО 2 и Рис. 101. Схема расположения ниж",
N 2 . Колебательные уровни изобра-- них уровней в молекулах СО 2 и N 2
жевы не линиями, а прямоуrоль...
пиками, напо1tlинаЮЩИl\lИ, что каждый из них на са:мо:м деле пред'"
ставляет собой полосу, СОСТОЯЩУIО из большоrо количест а близких
вращательных уровней.
4-
I
, 2
1
Рис. 100. Схема rеЛlfй неоновоrо лазе
ра: 1...... теклянная трубка, ваполн н"
ная смесью Не и Ne, 2...... электроды,
служащие для поддержания разряда,
3 плоскопараллельпые пластинки,
4 ........ зеркала (одно из зеркал..... полу
прозрачное)
4
.::::::S
'-
f
о
о
СО 2
N 2
2
'"},
.
\?::
". I
; ,
1
'1'
, !l
i
{
:,'J{
.'. t
I /Ir
. .
j
.t"':. {
I
I
I '9. "Устройство ОПТИЧЕСRIIХ НВАНТОВЫХ rEHEPATOPOB 2ЗЗ
у двухаТО1\IНОЙ м:олеRУЛЫ азота и:меется Bcero одна колебатель...
вая степень свободы и соответственно одна сист-ема эквидистант
Bыx J\олебательных уровней. На рисунке изображены два уровня
8ТОЙ системы OCHOBHOII и первыii возбужденный.
МолеRула СО 2 состоит из трех атомов. Она иуеет четыре коле...
бательные степени свободы, две из которых совпадают по энерrии.
1\0лебате:IЬНЫЙ спектр этой молекулы очень боrат линиям:и. На ри..
сунне изображен основной уровень :молекулы СО 2 и четыре возбуж..
денных колебательных уровня.
При электрическом разряде на уровень 4 переводится часть мо'"
nеRУЛ СО 2 , но С еще большей вероятностыо на нижний Rолебатель--
вый уровень возбуждаются :молекулы азота. Их энерrия в резуль
тате безызлучательных столкновений передается затем нев{)збуж...
деНВЫl\l 1\Iолекула}{ СО2, в результате чеrо и эти м:олекулы также
переходят на уровень 4. Уровни 2 и 3 быстро опустошаются бла...
rодаря перехода 1 на уровень 1 (безызлучательные переходы). Опу..
стоmеНIIЮ этих уровней способствуют столкновения с атома1JIИ re..
ПИЯ, специально вводимыми в состав rазовой смеси. Рабочие пере..
ходы происходят с четвертоrо на второй или на третий уровни.
Переход с л == 10,6 м:км: происходит быстрее и используется чаще.
Мощные rазовые лазеры должны наl\апливать значительную энер'"
rию, а значит, содержать большое количество rаза. Большие лазер'"
ные установки наполняются уrлекислым rазом при атмосферно м:
или при повышенном давлении. Чтобы возбудить разряд в TaK01\1
rазе, неоБХОДИ fО приложить к нему достаточно ВЫСОl\ое напряже
ние (сотни киловольт) и создать начальную ионизацию, без KOTO
рой разряд в плотном: rазе не возникает. Такая ионизация
производится с помощью ультрафиолетовоrо света, испускаемоrо
ИСJ\рОВЫ f илп дуrОВЫ 1 ИСТОЧНИКОl\l, или с помощью быстрых
B:IeRTpOHoB, инжектируемых в rаз (электроразрядные СО2 лазеры).
ОТ lеТИ I, что rазодинамическиiI СО2 лазер ( 48) является oд
НИМ из наиболее l\IОЩНЫХ OKr (достиrнута мощность около 100 кВт
в непрерывном режи:ме в течение нескольких секунд); в лазерах
8Toro тип а ДОСТIIrнут кпд 20 О/о.
УПОl\lяне1.I, нанонец, об устройствах, позволяющих получать ла..
8ррные II IПУЛЬСЫ большой l\fОЩНОСТИ В cTporo заданные МО lенты
J3ре:мени. В таких устройствах коэффициент усиления лазера Y leHЬ
mается на вре IЯ подrотовки 1\ И1\IПУЛЬСУ и восстанавливается в
нужный м:ом:ент. Управлять прозрачностью оптическоrо резонатора
110ЖНО с помощью ряда физических эффектов, И3 ноторых чаще
Bcero используются эффекты Поккельса (линейный электрический
вффеRТ) и Нерра (квадратичный электрический эффект). Оба эти
вффеI\та заключаются в том, что в электрическом поле у неното"
рых веществ появляется двойное лучепреломление. «3атеJ\iIнение»
резонаторов на время подrотовки R И IПУЛЬСУ позволяет наRапли...
вать в них большие запасы энерrии и получать пос.ле «просветле..
КИЯ» rиrантские импульсы.
234 rл. х. ФИЗИЧЕСRИЕ основы RВАНТОВОЙ ЭЛЕRТРОНIIl\И
* 50. Структура nазерноrо излучения
Вьшустим из лазера световой луч и поставим: ЭБран на ero пути.
На вебольших расстояниях от лазера на экране видно одно свето...
вое пятно. При удалении на несколько l\IeTpOB становится заl\lетно,
что оно распадается па ряд отдельных пятен. Если продолжать
увеличивать расстояние до экрана, число световых пятен не l\lеня
етсн. Каждое из них соответствует определенной поп е р е ч н о ii
м о Д е к о л е б а н и й. Эти моды принадлежат волнам, распростра..
вяющимся по близким, но не совпадающим направлениям j). 110'"
явление нескольких :мод оназывается неизбежным, если условия
rенерации выполнены для нескольких направлениЙ распростране...
пия. В реальных лазерах так почти всеrда и бывает.
Кроме поперечных, лазерное излучение обычно содержит и не.
сколько продольных мод. Это означает, что rенерируются колеба.
вия не с одной, а с несколькими близкими частотаl\lИ. rенерация
на близких частотах оказывается возможной из за Toro, что линии,
соответствующие электромаrНИТНЫj\l переходаl\l, всеrда И}Iеют не...
которую ширину.
Рассмотрим причины, влияющие на ширину линий оптичеСБоrо
спектра. Даже в тех случаях, коrда излучающая частица пе дви...
жется и: на нее не действуют никакие внешние силы, спектральная
линия имеет ширину, называемую е с т е с т в е н н о й ш и р и н о ii
линии. Естественная ПIирина обусловлена конечной шириной энер'"
rетических уровней I1.E. Величина E связана со временем жизли
т соответствующеrо уровня соотношением неопределенностей E.
· т t . В общем случае вклад в ширину линии вносят ширины как
исходноrо, так и конечноrо уровней. Однако при переходах на
основной уровень эта ПIирина целиком связана с шириной возБУi-К'"
денноrо уровня (время жизни в основном состоянии неоrраниченно
велико, и ширина уровня равна нулю). в ЭТОl\1 случае
111
L\VeCT == 2п 11.(0 === 2л1i. АЕ 2л't . (10.30)
Для обычных (дипольных) оптических переходов т 10 8 С И есте-4
ственная ширина липии I1.v ecT 107 rц. Для пере ходов сметаста.
бильных уровней эта ширина, конечно, существенно 1\1еньше.
Реальная ширина спектральной линии I1.v обычно значительно
превосходит VecT. Причинами уширения являются столкновения
излучающих частиц с друrими частицами (в rазовых средах), эф
фект Доплера, а также влияние локальных электрических и )Iar
нитных полей, вызывающих сдвиrи уровней (эффекты Штарка и
3еемана) .
1) Электромаrнитные колебания, :которые MorYT возбуждаться в объемном
резонаторе, не исчерпываются плоски:ми волнами. Бол е сложные типы волн
(которые мы здесь не рассматривае)l) прпводят к появлению на ЭI\ране сра..
ву нескольких световых пятен.
,
I.. ' .. : ... : . . .. .., . . . = . ."! . ::.. . . .. . . . .. .
'" '
. .
. ;.; .
:':,
;,'
;..: ;
I 50. СТРУНТУРА ЛА3ЕРноrо ИЗЛУЧЕНИЯ
235
Если излучающее вещество находится в rазообразном состоянии,
,.0 в процессе тепловоrо хаотическоrо движения частицы непрерыв--
но сталкиваются между собой. При соударениях их энерrетическое
состояние :может меняться (безызлучательные переходы). Такие
СТQЛнновения сонращают время жизни частиц как в исходном, так
и в нонеЧНОl\{ состояниях, что приводит К уmирению спектральной
линии. С т о л н н о в и т е л ь н а я ш и р и н а, вносимая Rажды:м
ypOBHel\l, равна VCT 1/2ntCT (tCT среднее время между двумя
столкновениями, ПРИВОДЯЩИ fИ к безызлучательным переходам) и
вависит от давления и теl\Iпературы rаза. Она может оназаться как
меньше, так и больше VecT.
Доплеровсная ширина спектральных линий VD связана с дви--
шением излучающих частиц в направлении излучения 1).
Как известно, VD ===vv/c. Полаrая, что излучающие частицы
находятся в тепловом равновесии со средой, имеющей температуру
Т, получаем
v " у ХТ ../ хТ
f1 V D == " == V JI .............,
е с т те?
(10.31)
Оценим доплеровскую ширину VD при следующих значениях ".
т и т: V 0,6 · 1015 rц, Т::::: 300 К, тс 2 1010 эВ :
/).vп == (0,6 .10H)C 1) V 0,025 эВ/10 10 эВ 109 rц.
Из всех ширин, дающих ВI\лад в полную ширину перехода, ДОПJIе..
рОБСКое уmирение обычно оназывается наиБОЛЬШИl\I. Уширение, СВЯ
ванное с лональными полями, нан правило, меньше доплерОВСRоrо.
Перlейде f теперь н рассмотрению структуры спектральной линии
J(взнтовоrо reHepaTopa. Кан }IЫ уже знаем, чаСТОТLI, на которых
может rенерироваться лазерное излучение, опредеЛЯIОТСЯ длиноii:
оптичеСRоrо резонатора и ПОДЧИНЯIОТСЯ условию (10.28). Соседние
+:разрешенные» Rолебзния очень мало различаются по длине волны.
На ШИРIlне линии излучения может умещаться неСКОЛЬRО таних
J\олебаниЙ. В этом случае появляется возможность rенерации лазер--
Boro излучения на нескольких продольных Iодах.
Рассчитаем расстояние между соседним:и модами. Для этоrо
разделим обе части равенства (10.28) на 'Al и произведем диффе--
ренцирование (мы поло,нили для простоты п === 1):
i1 ( ) === 2 i1 т .
Для соседних МОД т == 1. Пренебреrая знаном минус, ПОЛУЧИ1\1
л == л 2/2l,
v == c/2l.
(10.32)
(10.33)
или в частотах
1) Поперечный эq)ф('I Т Доплера rорsздо слабее, и ero можно не учитывать.
286 I'JI. х. ФИЗИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ :КВАНТОВОй ЭЛЕRТРОНИНИ
ПОJlожи.м ДЛЯ оценки л == 500 нм, l::::z 1 м. Тоrда
L\л -== (500 · 10 9) Zj (2 · 1) 10 1' нм, 11 v 1,5 . 108 rц.
МЫ ВИДИМ, таким образом, что расстояние :м:ежду соседними разре..
mенвыми модами, действительно, существенно меньше не только
полlЮЙ, ВО И доплеровской ширины линии.
Обратимся к рис. 102. Сплошная кривая изображает зависи..
мость ОТ частоты коэффициента усиления электромаrнитной волны,
проmедшей через лазер и вернув--
mейся к исходной точке (с учетом
потерь на зеркалах) . Усиление мак--
СИ lально на середине линии и пада...
ет R ее краям. UUирина изображен..
ной на рисунке кривой являетсл
полной, Т. е. включает как eCTeCTBeH
ную ширину, так и все типы уши..
рения. Вертинальные прямые указы
вают разрешенные частоты оптиче:-
cl\oro резонатора. В случае, I\ОТОрЫЙ
изображен на рисунке, MorYT воз...
» буждаться пять продольных мод, от...
Рис. 102. rенерация ПРОДОЛЬНЫХ меченных номерами: для всех них
мод коэффициент усиления превышаеr
единицу. Если уменьшить коэффи--
циевт усиления (снизить энерrИIО накачки или взять худшие зер
кала), время развития лазерноrо импульса возрастет, а мощность
соответственно ум:еньшится, но возбуждаться будет 1t-lеньшее число
}IОД, и наоборот, при увеличении коэффициента усиления (пунк"
'l'ирная кривая на рис. 102) число продольных МОД возрастает.
Число мод, кот()рые возбуждаются при работе лазера, :можно
оrраничить и без уменьшения ero мощности. Для этоrо нужно
)тстранить возможность rенерации на «лишних» частотах. ЭТО 1vIOj-К--
во сделать, например, помещая между зерRалаl\IИ лазера интерфе
рометр с высоким разрешением.
В ыIщныыx лазерных YCTaHOBI{aX для получения одномодовоrо
режима используется друrой l\fетод. Такие установки состоят иа
маЛОl\Iощноrо лазера reнератора и одноrо или неСI\ОЛЬКИХ каскадов
усиления. Меры для создания одномодовоrо реjI 'Иl\lа принимаются
1'ОЛЬRО в маломощном лазере, причем выделить луч, принадлежащиЙ
одной :м:оде, можно и после выхода света из лазера. Мощные уси
ливающие каскады увеличивают ватем мощность пучка только на
этой единственной моде. Одна из трудностей, связанных с создани--
ем l\fОЩНЫХ пазерных систем, состоит в ТОМ, что усилительные каС 4
кады, содержащие 8КТИВНУIО среду с большой запасенной энерrиеЙ,
нужно удерживать от rенерации до прихода луча от ла8ера rене--
ратора. ДЛЯ ЭТ.ОI'O применяются самопросветляющиеся оптические
затворы. вепрозрачные для слабоrо, во свободно пропускаlощие бо
m z
t5
)
,.
c?5
.
"
1
.. . i{ : . . . . , . С
.tI
':<. i
," ...
'-.1-.
, ) }:
I........... . .. ' . ;:j ;:
,
., .:>
D 50. СТРУНТУРА ЛАЗЕРноrо ИЗЛУЧЕНИЯ
237
пее мощные световые пучки. Установка TaKoro затвора между зер-
калами лазера усилителя предохраняет ero от самопроизоольноrо
перехода в режим reнерации (как мы уже знаем, reнерация воз...
ви:кает при MHoroKpaTHoM усилении вначале очень слабоrо свето...
вoro. импульса, начавшеrося с одноrо спонтанно испущенн.оl'O кван...
'1'8; такой и:мпульс задерживается оптическим затвором).
Найдем ширину линии лазера, работающеrо в одном о до во Jtl ре...
жи:ме. Эту ширину 'V можно оценить по Д о б р о т в о с т и Q опти",
ческоrо резонатора:
'V/ v Q.
(10.34)
ПРII:мем Д.'1я оценки, что reHepaTop испускает зеленый свет (л
500 H f), резонатор И fеет длину l::::l 10 см и содержит зеркала
с :nоэффициентом отражения r == 0,95. Пусть свеТQвая волна на...
'Чинает движение от середины резонатора и движется, например,
ваправо. Она вернется к исходной ТОЧI{е (с тем же направлением
движения), проделав путь 2l и испытав два отражения от зеркал.
При ЭТО f доля ост вшейся энерrии будет равна r, а доля потерь
составит 1 r.
Кан известн,о, Д о б р о т н о с т ь ю называется обратная величина
от ДОЛИ энерrии, теряемой колебательной системой за ПРО fежуток
времени, в течение EOToporo фаза колебаний изменяется на один
радиан. Фаза световой волны меняется па 2л; на длине пути л.
На пути 2l она изменяется на 2л2l/'Л радиан. Имеем, следовательно,
== (1 r2) 1 4 l l
t)'. е.
4лl
Q ==- J.. (1 т2) ·
(10.35)
в пашем случав
Q 4л.10 см == 3.107.
==- 500нм (1 О, 952)
Это означает, что ПIирина резонансной кривой оптическоrо pe30Ha
тора, а вместе с ней и ширина линии лазера составляют 3 . 10 8 ОТ
рабочей частоты. При v 0,6 . 1015 rц VЛ83 2 · 107 rц.
При улучшении качества зеркал и при увеличении расстояния
между ними линии продолжают сужаться, так что ИХ ширина MO
жет быть сделана MHoro меньше пв только доплеровской, по и eCTe
ствепной ширины оптическоrо перехода. Таким образом, лазеры
позволяют получать интенсивные пучки света с чрезвычайно BЫCO
ной монохроматичностью, которая не может быть получена нина...
ними друrим:и метода IИ.
IIСCJIедуем направленность лазерноrо излучения. РасхоДlИМОСТЬ
лазерных пучков, rенерируемых твердотельными лазерами, обычно
определяется оптическими неоднородностями рабочеrо вещества и
238 rл. х. ФИ3ИЧЕСRИЕ ОСНОВЫ RВАНТОВОй ЭЛЕRТРОНИRИ
по величине составляет около rрадуса. rазовые лазеры испускаю'f
световые пучки, расходимость которых определяется только дифрак",
цией на выходном отверстии на зеркале оптическоro резонатора.
"Уrол дифракционной расходимости по порядку величины равен "л/d,
rде л, длина волны света, а d диаметр отверстия. ПодстаВЛЯ1l
для оценки "л == 0,5 lrIKM, d == 1 см, найдем
е == 'A/d == (0,5 · 10 ') /1 === 0,5 · 10 . рад.
При больших зеркалах расходимость может быть сделана еще MeHЬ
шей.
Подводя итоrи, отметим, что появление лазеров ознаменовало
подлинный пере ворот в оптике. Впервые получен метод, позволяю
щий с хорошим коэффициентом полезноrо действия (десятки про--
центов) переводить друrие виды энерrии в электромаrнитное излу
чение, обладающее малыми уrлами расходимости, выоI\ойй степенью
монохроматичпости, высокой временной и прострапственпой I\ore...
рентностью. В последние rоды лазеры широко используются ДЛR
решения различных научных и техничеСI\ИХ задач. Область их при...
меневия, несомненно, будет ПрОДОЛjI атъ быстро увеличиваться.
;",
.-i,l I ,У'{1
,;,"
:, ! ,j:
,,112
'
t
.%!i
.
",i,
r л А В А XI
l\IОЛЕКУ ЛЫ 11 KPIICT АЛЛЫ
t 51. Химическая СВJlЗЬ. Образование молекул
При обычных тем:пературах rазообразные и жидкие вещества co
стояТ не из aTo loB, а из молекул. IIсключение составляют ТОЛЬКО
инертные rазы. В твердых веществах образуются оrромные систе),IЫ,
соединяющие в одну упорядоченную структуру (в кристалл) чрез...
вычаЙно большое число атомов. Строением кристаллов мы займем...
ея позднее.
Силы, объединяющие aTO IЫ в молекулы (х и м и ч е с к а я
с в я 3 ь), носят элентрическиЙ характер. Неноторые свойства хими--
'1еСRИХ связей MorYT быть поняты с помощью рассуждений, осно",
ванных на представлениях клаССIIчесной физики, однако полную,
количественно праВИЛЬНУIО теорию м:ожно построить только с по...
мощью квантовоЙ мехаНИI\И.
Проще Bcero понять, как обраЗУIОТСЯ молекулы, состоящие из
двух разнородных атом:ов, один 113 которых содержит электрон сверх
ваполненноЙ оболочки, а .в оболочке друrоrо не хватает одноrо
8лектрона. Примером таной молекулы является молекула поварен--
Boii соли NaCI. Единственный электрон в М слое элентронноЙ обо--
лочки aTO la натрия (3s электрон) сравнительно слабо связан с
«аТО IНЫ:М остовом». Энерrия ero связи составляет Bcero 5,1 эВ
(напомним, что энерrия связи электрона в атоме водорода равна
13,6 эВ). В 3р оБОЛОЧRе атома хлора не хватает одноrо электрона.
П03ТО IУ атоМ хлора способен присоединять к себе еще один элент...
рон (при это { он превращается в отрицательно заряженный ион).
Энерrия связи этоrо лиmнеrо электрона (или, I\aK rоворят, э н е р'"
r и я с р о Д с т в а атом:а хлора к электрону) сравнительно веЛИRа.
Она составляет 3,8 эВ. Этой энеРI1ИИ почти достаточно, чтобы иони
З0вать атом натрия. Молекула NaCl может образоваться лишь в том
случае, если ее энерrия Jtlеньmе энерrии aTOl\IOB Na и CI, взятых по...
рознь, так что при соединении атомов должна выделяться энерrия.
Расчет энерrии, выделяющейся при образовании молекулы по...
иаренной соли, удобно вести в два этапа. Рассмотрим удаленные
друr от друrа ат()мы Na и CI. Передадим электрон от натрия к
хлору. На это придется затратить 5,1 3,8 === 1,3 эВ. Но образовав--
шиеся ионы притяrиваются друr к друrу. При их сближении вы...
деляется энерrия. Если окажется, что эта энерrия превосходит впер--
rию, нужную для передачи электрона от атома к атому в пашем
случае 1,3 эВ, то образование молекулы сопровождается выделением
зверrии и моленула возникнет. Если энерrии не хватит, моле.RУЛ
240
rJl:. XI. МО:IЕRУЛЫ И НРIIСТ АЛЛЫ
образоваться не может. Расчет и опыт ПОI\азывают, что энерrИJl
электростатическоl'О притяжения ионов Na+ и Cl аам:етно превы--
тает необходимую, и при соединении aTO IOB Ка и Cl в ltlолеRУЛУ
NaCl выделяется довольно большая энерrl1:Я 4,2 эВ.
Химическая связь в молеRуле NaCl (и в друrих подобных )110"
пекулах) носит название и о н н О й с в язи. Происхождение этоrо
названия ясно из сказанноrо выше и не требует пояснениЙ. I\aK
следует из нашеro примера, ионная связь ее называют таI\же
r е т е р о п о л я р н о й характерна для ?t-Iолекул, состоящих из си..'1Ь"
НО различающихся атомов, один из I\ОТОРЫХ леrI\О отдает, а друrой
охотно присоединяет электроны. Количество aTo loB, объединяющих
сл в молекулу ПОД действием ионных связей, может быть и: Болыl9e
двух. Ионная связь не возникает при взаимо ействии одинаковых
атомов и не может, в частности, объяснить существование 10лекул
водорода (Н 2 ), азота (N 2 ) и мноrих друrих rазов.
Перейдем к обсуждению r о I е о п о л я р н о Й, или, что то же,
к о в а л е н т н о Й, связи, ответственной за образование }IолеI УЛ, co
стоящих из одинаковых атомов, а также очень ?t-lпоrих друrих МО--
nекул.
При обсуждении rетерополярной связи нам не пришлось прибеrать к
Rвантовой механике: чтобы разобраться в основных чертах явления, оказалось
достаточно использовать рассуждения, основанные на классической фИ3ИК9
(количественно верные результаты можно получить, конечно, только с по--
мощью квантовой механики). Попробуем пойти по ЭТОМУ пути и при обсуж..
девии природы ковалентной связи. .
Начнем с водорода. Будем постепенно приближать протон или электрон
к атому водорода. Под действием электрическоrо поля подносимой частицы
атом поляризуется. Если приБЛИiнаlощаяся частица является электроном,
электронное облаI\О атома им отталкивается, а если протоном то притяrи
вается. В обоих случаях у атома возникает дипольный ЭJIеI\тричеСI ИЙ .мO 1PHT
и па подносимую частицу действует притяrивающая сила, Боторая сохраняет
свой 8нак до расстояний порядка размера ато:ма.
Образующиеся трехча:стичные системы хорошо известны. Это отрицатель-
НЫЙ ион водорода (ОДИН протон, два электрона) и ион .молекулярноrо водорода
(два протона, один электрон). Нак уже ясно из сказанноrо, присоРдин ние
электрона или протона к атому водорода должно сопровождаться выделение 1
энерrии (хотя и не таким большим, как образование caMoro атома водорода).
Энерrия связи дополвительноrо протона в молекулярном ионе Н t равна
2,75 эВ, а энерrия образования иона H составляет около 0,75 эВ.
Молекулярный ион водорода может присоединить к себе еще один элек
рон, образуя молекулу ВQдорода. Этот процесс энерrетически выrоден, ПОGКОЛЬ
НУ отрицательн.о заряженный элек1'РОН, конечно, притяrивается к положитель..
по заряженному иону Ht. П и эт м образуется элеI\тричеСI И нейтральная:
молекула водорода Н 2 . Наши рассуждения не позволяют, однако, понять, KorAa
выделяется больще энерrии: при 09разовании этой молекулы или при друrом:
возможном процессе, при котором протон отрывается от иона H и присоеди..
ппется к 8леI{ТРОНУ, образуя второй независимый от первоrо aTO 1 sод
рода.' \
Чтобы понять, I\а.кой из. этих двух процессов приводит к ббльшему выде..
лению энерrии, ужно проанализировать процесс сближения двух неЙ...
тральных атомов водорода, и выяснить., притяrиваются они или отталкива...
ются. Нетрудпо понять, что пi>и сближении нейтральных aTO}IOB должно на:'
',1 .
I
I
.. : <i'!... .... . . . . .
:'
':- >;:
,,1
. . ' . '
; i::
.
.1
6 51. ХПl\IИ(IЕСНАЯ связь. ОБРАЗОВАНИЕ 1\10ЛЕНУЛ
241
блюдаться С.,1або выраженное при.тяжение. В cal\10 1 деле, центры тяж сти
1"'
положительных или отрицательных apHДOB оuоих атомов мол\но расположить
таК, чтобы притял{ение разноименных зарядов оказалось больше отталкива--
ния одноименных (такая ситуация, например, имеет место, если расположить
эти центры тяжести по уrлам !{вадрата таl\ИМ образом, чтобы одноименные
зарЯДЫ находились на одной диаrонали). Поскольку такое расположение
приводит к уменьшению энерrии системы, она обязательно реализуется. T K
возникают с и л ы В а н Д е р В а а л ь с а.
Приведенное объяснение оказывается, однако, недостаточным. Преffiде
Bcero, оно никак не выделяет двухатомные системы из более слол{ных, напри--
мер Tpex или четырехатомных, в то время Бак опыт показывает, что одина...
ковые атомы СЩIОВ Ы образовывать именно двухатомные :молекулы Н2, 02,
11 Т. д. Сдедует также иметь в виду, что вандерваальсово притяжение очень
слабо, в то время как энерrия образования двухатомных молекул отнюдь не
мала. При образовании молекулы Н 2 выделяется 4,5 эВ, т. е. около 30 % ОТ
знерrИИ, освобожда-Iощейся при образовании атома водорода, и больше, ч м
при образовании молекулы поваренной соли.
Причина, которая приводит к столь сильной связи, заключается в ТОМ,
что при объединении aTO 10B в двухатомную молекулу возникает новое явле
вие о б о б щ е с т в л е н и е атомных электронов, которые принадлежат те--
перь не отдельным атомам, а всей молекуле.
Попытаемсл понять ПРИрОДУ Rовалентной связи с помощью I a
чественвых рассуждений, отложив количественное рассмотрение до
слеДУIощеrо параrрафа. Будем сближать два атом:а водорода, ПОRа
их элентронные облочки не начнут существенно перекрываться и
каждый из элеliТРОНОВ не окажется на приблизительно одинаковом
расстоянии IОТ .обоих ядер. Энерrия связи образовавшейся систем:ы
может быть найдена путем решения уравнения Шрединrера для
двух электронов, находящихся в поле двух протонов. НакоплеННlJIii
ул\е наАfИ опыт позволяет предуrадать результат, не решая и даже
не выписывая этоrо уравнения. Так, сразу можно сказать, что B03
ыжныыe значения энерrии должны квантоваться. Наибольший ин".
терес представляет основное состояние двухатомной системы
состояние с наименьшей энерrиеЙ. Каково бы ни -было это состоя-
ние если оно не выроя\дено, в нем M:orYT находиться два и
тольно два элеl\т'рона с противоположно направленными спинами,
как раз столы\,, СБОЛЬКО их имеется у двух водородных атомов.
В ЭТОl\l смысле :систе {а, содержащая два атома (и два «эквивалент
ПЫХ» электрона), является исключительной: принцип Паули пе
(,выталкивает» .НИ одноrо из них в вышележащие состояния 1).
Ясно, нроме Toro,: что основное состояние для двухатомной системы
лежит ниже, чем в одиночных атомах: в двухатомной системе для
движения; электронов имеется больше м:еста и энерrия, связанная
с ПРИНЦИПОАI пеопределенностей, Уl\lеньшается. Таким образо)с
объеДIIнение двух атомов водорода в J двухатомную молекулу, безо
всяноrо сомнения, энерrетичеСl\И выrоДНО. Но эта выrода возникает
лпшь в том случае, если спины элентронов направлены вразвыв
1) в молекуле О] КОВ8л птпая связь возни ает при о.тличном от пул,. CYM "
марном спине ЭЛРRТрОНОВ. I3слрдствие этоrо молекулы 02 ОI\азываIОТСЯ пара--
маrнитпыми. ТЗl-\ая ситуация BO: MOiJ\Ha. ('СЛИ учаСТВУЮII ие в образовапии хв...
J4ичеСI\ОЙ свлзи электроны раСПОЛОiI\ены на .вырожденны.х уровнях.
242
rл. XI. МОЛЕНУЛЫ И НРИСТАЛЛЫ
стороны. Что произойдет при одинаковой ориентации спинов, сна....
88ТЬ не так просто, п,оскольку 8нерrетический выиrрыш, возниКаю....
щий при расширении области движения, компенсируется проиrры....
тем, связанным с тем, что в соответствии с принципом Паули один
ив электронов должен занимать не основной, а возбужденныЙ уро....
вень. Предуrадать результат с ПО 10ЩЬЮ качественных рассуждений
в атом случае не удается. Опыт, а также строrая количественная
теория показывают, что при одинаковых направлениях спина элект....
РОНОВ молекула водорода не образуется.
Мы пришли, таким образом, к пониманию механизма к,оВалент....
ной химической связи. Она имеет чисто квантовыЙ характер и объ....
едвняет электроны попарно в системы с нулевым суммарным спи....
II{)М. Атомные электроны «обобществляются» и принадлежат не от...
дельным атомам:, а молекуле в целом. Подобным же образом дей....
ствует ковалентная связь между более сложными аТО1\lами, напри...
:мер атомами азота. В сложных аТО}.lах при образовании }.10лекул
обобществляются только слабо связанные с атомами внешние элекТ....
роны, которые в химии называются в а л е н т н ы м и. Несколько
электронных пар может образовывать такие бесспиновые системы.
Например, у азота в химической связи участвуют все три 2р элеl\Т'"
рона, которые связываются попарно:
N N.
Сила связи при этом, конечно, у вел ичивается. Так, при образовании
:молекулы азота выделяется очень большая энерrия 9,8 эВ. И lен",
ВО поэтому молекулярный азот отличается хорошо известной хими...
ческой инертностью. Сравнение энерrий связи молекулы NaCI и
:молекул Н 2 И N 2 показывает, что ковалентная связь оказывается
не слабее ИОННОЙ.
Ковалентные связи MorYT образовываться не только между оди...
Баковыми, во и между разными атомами. В молекуле метана СИ,
все четыре электрона L слоя уrлерода попарно связываются с элент--
ровами четырех водородных атомов. Ковалентными силами связаны
атомы сложных уrлеводородов и почти всех орrанических молекул.
На этом м:ы заканчиваем качественное рассмотрение химических
связей, приводящих к образоваНИIО молекул. В заключение отме..
тим, что ионная И ковалентная связи являются идеализироваННЫ1\fИ
предельными случаями и чаще Bcero действуют не порознь, а В1\lе..
сте. Валентные электроны, ответственные за химическую связь, при
образовании молекул обобществляются (ковалентная связь), а плот..
ность электронных облаков перераспределяется (ионная связь).
Квантовый характер уравнениЙ, описывающих поведение элек...
Т}IOнов и атомов, приводит к появлению HOBoro рода сил, которые
получили название о б м е н н ы х. В системах, содержащих более
одноrо влектрона, вычисление элентростатичесной энерrии по пра....
вилам квантовой механини производится в соответствии с обыч---
БЫКИ формулами электростатистики, но приводит к друrому ре..
8ультату. чем «обычный» расчет. Это происходит потому, ЧТО при
g 52. МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ОБl\IЕНИОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
243
налИЧИИ нескольких электронов их волновые фуRКЦ И перед вы--
числевием должны быть антиси?t-Il\lетризованы (t 31). Расчет (}
помощью «обычных» ,И с ПО IОЩЪЮ антисиммеТРИЗ0ванных волно...
Bыx функций ПрllБОДИТ К разны [ результатам (только последний
на нИХ правилен). I1З?\-lенение энерrии, происходящее при переходе
от «обычных» к аНТИСИ: lметризоваННЫ I волновым функциям, носит
название о б м е н н о Й э пер r и и. Об lенная энерrия проявляется
ве только в химической связи. Она является причиной ферромarне'"
тизма и антиферромаrнетизма. В следующем параrрафе для вели--
чИНЫ ЭТОЙ энерrии будут получены явные выражения.
52. Молекула oдopoдa. Обменное взаимодействие
Рассмотрим два атома водорода. Пусть их ядра находятся в точках А и
В. На рис. 103 изоБР(tжены rрафИБИ ФУНКЦИИ I Ф 12 для случая, KOfAa оба aTO
:ма находяТся в основных состояниях (1 s). Пока расстояние r АВ веЛИI О
(рис. 103 а), так что волновые функции электронов почти не перекрываются,
полная энерrия системы равна
сумме внутренних энерrий aTO
мов (Т. е. удвоенной энерrии oc
повноrо состояния одноrо атома C\I
водорода). При сближении атомов
(рис. 10З б) волновые функции
электронов начинают перекры
ва ться. Из опыта мы знаем, что
существуют стабильные молекулы
водорода.Следовательно.по край
пей мере при некоторых рассто-
яниях между атомами энерrия
системы из двух атомов водорода
меньше суммы энерrий отдель
ных атомов. Наша задача выяс...
НИТЬ причину этоrо уменьшения.
Будем искать ПОЛНУIО энер
('ИЮ системы, схематически изоб
ipзженной на рис. 10З.
Чтобы решить задачу точно,
слсдует найти решение уравне-
нии Шредивrера
.......
ЕЧ' == ЕЧ'. (11.1)
Оператор энерrии Е включает в себя кинетическую и потенциальную (элект
ростатическую) энерrию обоих электронов, а таI же потенциальную энерrию
ядер; их кинетической энерrией можно пренебречь, ПОСI\ОЛЪКУ ядра (прото
вы1) во ыпоrо раз тяжелее элеI\ТРОНОВ:
Е == т;. + Т 2 + и,
...... 1i 2 ( а2 a'l (12 )
Т 1 == 2" а 2 + д 2 + '
Х 1 иl v%l
,... 1i 2 ( д2 д 2 а! )
т 2 == ----:- 2,n д 2 +- д 2 + д 2 '.
Х 2 У 2 %2
('2 е 2 e i е 2 е' е 2
и ::s ........ ........ ........ .......... + .......... + ,
r lA. r iB r 18 r 2А r 11 r АВ
.
-э...
а
А
lJ
r
о
,..
Рис. 103. Распределение электронов в сис
теме, состоящей из двух атомов BOДOpO
да: а при большом расстоянии между
ядрами; б при уменьшении 3Toro pac
стояния
(11.2)
(f 1.3)
244
rЛ. XI. МОЛЕRУЛЫ И :НРИСТАЛЛЫ
rде индекс 1 относится к первому электрону, индекс 2 КО второму электро.
ну, а индексы А и В к первому и второму ядрам. Точ!!ое аналитическое ре-
шение уравнения (11.1) при таком значении оператора Е невозможно.
К вычислению энерrии рассматриваемой системы можно подойти и дру-
rим путем. Соrласно (2.17) среднее значение энерrии (которое в нашем случае
равно самой энерrии) вычисляется по формуле
(Е) ... S Ч'. Ew dV . (11.4)
Входящая в это уравнение функция '1' вависит от :координат обоих электро-
вов и от расстояния между ядрами атомов. CTporo rоворя, это та самая ФУНК4
цИЯ '1', :катораlI является решением (11.1), так что вычисление энерrии тре.-
бует предварительноrо решения уравнения Шрединrера. Казалось бы, написав
(11.4), мы не приблизились к решению задачи. И действительно, при желании
решить задачу ТОчно никаких упрощений от применения этой формулы не
возникает.
Дело существенно меняется, если речь идет о приближенном вычисЛении
8нерrии. В этом случае в уравнение (11.4) можно подставлять разумно вы..
бранные приближенные значен:ия '1' функции 1).
Рассмотрим электростатическую энерrИIО и, определяемую (11.3). Первые
два члена в этой формуле описывают энерrию притяжения электронов к
«своим» ядрам, а вторые два энерrИIО их притяжения к «ЧУiRИМ:» ядрам. Из
распределения волновой функции, изображенноrо на рис. 103, видно, что энер"
rия связи электрона со «своим» ядром HaMHoro больше, чем с «чужим». Вторая
пара членов, следовательно, мала по сравнению с первой. Пятый и шестой
члены формулы не превосходят третьеrо и четвертоrо. Кроме Toro, следует
иметь в виду, что вторая и третья пары членов имеют разные знаки и частич",
но компенсируют друr друrа. Таким образом, при сближении молекул rлав",
ную роль продолжает иrрать взаимодействие электронов со «своими» ядрами и
волновые функции изменяются не очень сильно. В выражении для потенцп",
альной энерrии все члены, начиная с третьеrо, иrрают роль поправки. Форму...
лы (11.2) и (11.3) поэтому удобно переписать, отделив rлавные члены от
поправочных:
Е == Е 1 + + и о ,
( 11.5)
rAe
.......,.... 1. 2 ( 82 82 8! ) . e
Е r:= Т + и :::2...... + + ............
1. 1 1 2т д дy дzi 7 1А '
,. ........ 1i 2 ( д2 д 2 д 2 ) е2.
Е T и ...........
2 2 + 2 21n д 2 + д 2 + д 2 7'
Х 2 У2 Z2 2В
2 2 2 2
, е е .е. е
. Т] == + + .
о r 1В r 2А r 12 r АВ
( 11.6)
Рассмотрим теперь ВОЛНОВУIО фУНКЦИIО '1', ВХОДЯЩУIО В (11.4).' Нак yi-Re было
отмечено, взаимодействие атомов слабо сказывается на волновых функциях
З.'IIектронов. В 31 мы выяснили, RaK слсдует записывать ВОЛПОВУIО функцию
тождественных частиц. Там было показано, что волновая функция двух таких
частиц представляет собой симметричную или аНТИСИМ1\lетричную J\О}lбина-
ЦИЮ, составленную из волновых функций отдельных частиц, причем для элект..
ронов должна быть выбрана антисим:м:е'Тричн8.я комбинация
( 11.7)
'1' :с::: а ['I'A(1)'l'B(2}. 'l'B(1) A(2)]. "
1) Общая теория таких расчетов, так называемая т е.о р и я в о 3 М У Щ е-
в и Й, излаrается В. ypcax квантрвой -)l.ехани:ки.
"t
,
. .
I 52. МОЛЕRУЛА ВОДОРОДА. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕйСТВИЕ 245
Вдесь 1I'A(1) волновая функция, описывающая распредеJIевие первоrо элеR
трона в атоме А, 'Фв(2) волновая функция BToporo электрона в атоме В,
8 волновые функции 'ФА(2) и 'Фв(1) описывают атомы с переетавлеНfiЫМИ
8лектровами. Буквой а обозначена нормировочная константа. Ее мы вычислим
позднее.
Волновые функции 1I'A(1) и Т. д. входящие в (11.7), являются полными
волновыми фуннциями И описывают кан пространственное, так и спиновое
состояние элентронов. В дальнейших вычислениях нам потребуются только.
n'ространственные части волновых функций. Спины электронов MorYT быть
параллельны или 8нтипарадлельпы Apyr Apyry. При перестановке ЭЛ RТРОНОВ
нужно ставить первый электрон в то пространственное и спивовое состояние,.
](оторое до перестановки имел :JIТОрОЙ электрон, и ваоборот. Рассмотрим вна..
''Чале случай, коrда спины электронов параллельны. ПерестаВОВRа электронов
при этом не меняет их спи новых состояний, поскольку эти состояния ТОjкде
ственны. Следовательно, спиновал часть волновой ФУНRЦИИ при перестанов-ке.
влектронов не меняется и в обоих CJIaraeMblx формулы (11.7) одинакова. Вы...
нося ее за скобку и объединяя с нормировочным множителем, мы получим,
'Что формула (11.7) в атом случае справедлива не только для полных, но и
для пространственных составляющих волновой функции. Имеем поэтому
'р' 1 -== a [<РА (1) <Рв (2) <рв (1) <рА (2)].
( 11.8 }
'v I волповая функция системы при ппраллельных спипах электронов (CYM
марный спин двух электронов равен единице). в (11.8) пространственные ча"
сти волновых функций, В отличие о,т полных, обозначены БУКБОЙ q>.
Обратимся теперь к случаю, Rоrда спины электронов 8нтипараллельны.
Естественно ожидать что спиповые части волнов-ых ФУВRЦИЙ В' этом случ-ае-
при перестановке элептронов изменяют знак. Более подробное исследование
вопроса показывает, что это действительно так. Спиновая часть, входящая ,В
слnrае:мые формулы (11.7), имеет поэтому для первоrо и BToporo членов раэ
Jlые Бнани. Вынося ее Ба скобку и объединяя с нормировочным множителеМ t
получим
. 'Р'п :::: а+[<РА(1)<рв(2) + <рв(1)<РА(2)].
( 11.9)
'VJI волновая функция СИСТРJ\fЫ, состоящей иа двух атомов, во.дорода при
8птипараллельных спинах влектронов (их суммарный спив равен :Нулю). Под--
ставим (11.5) и (11.8) ИЛИ, (11.9) (з;вак .) в (1t.4) и заметим, что интеrрИр<r
вание следует производить по координатам обоих элеRТРОНОВ. Получаем
Е:!: "'" s (а:!:)2 r <p (1) <p (2) + <Р: (1) <p (2) J (Е1 + Е 2 + сто) х
х [Ч>А (1) <рв (2) + Ч'в (1) Ч>А (2)]'dV ldV -= (ах)2 [11 + l ':!: 1'3 1: I J, ; '(f1.10)
rAe
S . · ( ................ )
11 С::' <РА (1) <рв- (2) Е 1 + Е 2 + и о <Р А (1) <р'в (2) av l dV 2'
12 == 5 <Р; (1) <p (2) ( Е 1 + 1:2 + по) <Рв (1) <р А (2) dV 1 dV 2'
. lз' J <p (1) <Р: (2) (Е1 + Е2+'Й ) <Рв (1) <РА (2) dV dV ,
1.. == 5 <Р; (1) <p (2) (Е} + Е 2 + и о ) <РА (1) <Рв (2) dV 1 dV 2.
(11.11)
. . t. . I
P CCMOTp M ицтеl'рал 11. Функции <рА (1) 11 <рв (2) ЯВЛЯЮТСJl
функциями. операторов Е 1 и Е 2 . Поэтому .
.: с'! ", .: ' . .......... ," .
E 1 (f)A (1) == Е I<fA (1), E:;Q)B (2) == Е 2 <рв (2)"
1.7 л. л. fOJЦYtИН, r. и. lJOI;J1HOBa
собст.вевиыма
'246
ТЛ. XI. МОЛЕКУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
Имеем, сле.дова.тооьно,
J l == S 'P (1) 'Р; (2) (El + Е 2 + и о ) 'РА (1) 'Рв (2) dVldV. "'"
ос: (El + Е.) S 'P (1) 'Р А (1) dV 1 S 'Р; (2) 'Рв (2) dV. +
+ S 'Р::' (1) 'Р; (2) ио'Р А (1) 'Р в (2) dV ldV..
()боаначим последний иа интеrралов в этой ФОРМУЛ8 буквой А:
А==- S 'Р1 (1) 'Р; (2) ио'РА (1) 'Рв (2) dV ldV..
(11.12)
:Заметим, что в силу НОРМИРОВКИ исходных функций 1) <РА(1) и <рв(2)
S 'Р::' (1) 'Р А (1) dV 1 =- S 'Р; (2) 'Рв (2) dV. =- 1.
Поэтому
11 1с:8 Е 1 + Е" + А.
(11.13)
-Обратимся к интеrралу 12. Переменив у координат х, у, z индекс 1 на 2, а ин...
.ДеI\С 2 на 1 (как известно, иеременную интеrрированил можно обозначаТf»
как уrодно), найдзм. что
12 == 11 === Е 1 + Е 2 + А.
'Обратимся теперь к интеrралу 13:
J s == S 'Р::' (1) 'Р; (2) (El + Е. + и о ) 'Рв (1) 'Р А (2) dV ld r. ==-
а= (El + Е.) S 'Р::' (1) 'Р; (2) 'Рв (1) 'Р А (2) dV ldV. +
+ S 'P (1) 'Р; (2) ио'Рв (1) 'РА (2) dV1dV..
(11.14)
Введем обозначения
S 'Р::' (1) q;; (2) 'Рв (1) 'Р А (2) dV ldV. == С,
.1 'P (1) 'Р; (2) ио'Рв (1) 'Р А (2) dY ldV. == D.
Подставляя (11.15) в выражение для 1з, найдем
13 == (Et + Е 2 )С + D.
(11.15)
При вычислении 1. переменим индексы у координат аналоrично тому, как ЭТО
{)ыло сделано при вычислении 12:
1. == (Е( + Е!)С + D.
8ычислим, наконец, нормировочные константы СХ+ и сх... исходя ИЗ условия
J 'I'*Ч'dV ldV. -== 1. (11.16)
1) CTporo rоворя, нормированы ДОЛЖНЫ быть полные функции, ЯВЛRЮЩИ
-сп проиаведениями координатных и спиновых функций. Удобно, однако, от..
дельно нормировать па единицу спиновые и пространственные функции, что
мы здесь и д лаем. Друrие Сllособы нормировки приводят к тому же резуль..
"Тату.
j
";'
'6
.
)
1
]
1
{j
11\2. МОЛЕRУЛА ВОДОРОДА. ОБМЕННОЕ ВЗ.АИМОДЕйСТВИЕ 241
вычисление дает
(0.:1/ S [ '1':" (1) cp (2) + ср;(1) cp (2)] [ ср А (1) СРВ (2) +
+ СРВ (1) СРА (2)} dV l dV 2 (0.:1::)2 [5 cp (1) cp (2) СРА (1) СРВ (2) dV 1 dV s +
+ S ср;(1) cp (2) срв(1) СРА (2) dV 1 dV s :t S СР": (1) cp (2) СРВ (1) СРА (2) dV 1 d V 2 :t
:1:: 5 cp (1) cp (2) ср А (1) СРВ (2) dV l dV s1'== (o.:I::)S[ 1 + 1 + с + С] ==2(а:l::)s( 1+ С)==1.
ИJIИ
t t
а+ :::: У2 У 1 + с '
t t
а z::::: Y У .
2 1 c
(11. 17)
Величина нормировочных констант 88ВИСИТ от степени перекрытия вол.
новых функций элеитронов (от интеrрала С).
Подставим значения интеrралов 11, 12, 1з, 14 И нормировочных констанТ'
"+ в a в (11.10):
t t
Е == Т- {1 :t С) [2 (Еl + Е 2 + А) + 2 (El + Е 2 ) с + 2п],
или
Е == EI + Е 2 + E, (11.18)
rAe АЕ == (А ::I:D)/(1::1: С) может быть представлево в виде суммы 1)
А сп АС D
А Е==АЕ l + А Е 2 === 2 + 2 . (11.19' , 1
1 C 1 C
Формула (11.18) является окончательной. :Кроме тривиальноrо слаrаемоrо>
Е 1 + Е2, преДставляющеrо собой сумму энерrий отдельных атомов, она содер...
жит член АЕ, величина и знак KOToporo зависит от взаимной ориентации спи..
нов обоих элеитронов.
Поправка А, определяемая (11.12), имеет обычный смыCJI. Это эиерrиЯi
Dлектростатичесиоrо В8аимодействия ядер и энерrия взаимодействия раэма""
8анных» элентронных облаков друr с друrом и с чужими атомными ядрами.
Обратимся теперь к интеrР8лам С и п, определенным равенствами (11.15)..
Эти интеrралы не обращаются в нуль толь:ко тоrда, коrда существуют обла...
С'fИ, в которых входящие в них подынтеrральные фУНКЦИИ одновременно OT
личвы от нуля. В интеrР8ЛЫ С и D входят <РА (1) И «рв (1), а таиже <рА (2) ИI
«рв (2). Функция <рА (1) отлична от нуля лишь в том случае, если первый элеН....
троп находится вБЛИ8И ядра А, а <рв (1) ....... KorAa тот же элентров находитсn
вблизи ядра В. ДЛЯ УД8ленных друr от друrа атомов хотя бы одна из этих..
двух функций BcerAa оказывается малой, и интеrр8ЛЫ С и D снолько нибудь.
ваметното вклада в энерrию системы не вносят. Все то же самое ОТВОСИТСН
и R паре функций <рА (2) и <рв (2). Если же атомы находятся близко один к
друrому и волновые функции их переКРЫВ8ЮТСЯ, то вклад С и D в энерrиJO.
системы оказывается значительным. Часть внерrии, 8ависящая от С и п, Ha
выаетсяя о б м е н н о й эперrией. Она возникла потому, что 8лентроны нераз
JIич:амы и должны описываться волновыми функциями типа (11.7). Существо
вание обменной энерrии вытекает J1З законов нвантовой механини и не :может-
быть объяснено на оспове Rлассичесной физини. Обменная внерrия в с е r Д а
появляется у близ:ко расположенных тождественных систем.
1) Знаки выбраны таи, чтобы АЕ 1 и E2 были положительными. Верхний
8нак соответствует симметричной пространственной волновой функции, т. е..
8нтипараллеЛЬНЫII спинам
17-
"24'8
'rл. XI. МОЛЕ!tУJ!Ы И 'ItРИСТАЛЛЫ '
Итак, мы выяснили, что при сближении двух атомов водорода в эперl'ИИ
.системы возникает обменный член. Вычисление интеrралов показывает, что
Д..тIK случая иараллельных спинов > О, 'а .для случая антипараллельны-х.
-спинов М < о. Поэтому два атома водорода отталкиваются, если спины элек
"тронов паралдельны, 11 притяrиваютс , если спины аптипараллельпы. При
совсем малых расстояниях между 8TOMa
ми они всеrда отталкиваются из за КУЛО 1
. ПОВСI(ОI'О взаимодействия ядер (протонов).
На рис. 104 rрафичеСRИ изображена
вависимостъ Мl, t,.E7, И &Е (обозначения
даны в (11.19) 0'I' расстояния между ато...
мами. &Е 1 одинаково для атомов с парал
леЛЬНЫМIJ и антипараллельными спина:'
МИ. Член М 2 в этих, случаях входит в
формулы с разными знаками.
Поэтому зависимость t,.E от r оказыва...
ется существенно 'раЗJIИЧной в зависимо...
\ сти от' Toro, параллельны или антипарал..
Лсльны спипьr атомов. При параллельных:
,.. спинах, как это видпо из рис. 104, энерrии:
системы монотонно возрастает при сБЛИ 4
.жении атомов, поэтому состояние TaKoii
системы не может быть связанным. При:
антипараллельных спинах система и еет
связанное состояние, так как энерrия взаи
модействия в этом случае имеет мивиму [;
'наибольший вклад в энерrию притяжения:
внDсит &Е 2 . Равновесное значение рассто...
яния между атомам}! ro может быть оце...
нено теоретически. Вычисленное значени(}
соrласуется с экспериментаЛЬНЫАI 8наче.
1, нием, раВlIЫМ 0,14 ни. . ,
Связаннdе ''СЬстояпие атомов водорода назыnается молекулой водорода".
При образоваn:ии молеf УЛЫ ВОДорода, как и всеrда при ковалентпых связях,
,спи:ны двух участвующих в связи электронов направлены в ПРОТИВОIiОЛОЖНЫ8
-етороны, так как обменные силы ПРИВОДЯТ l\ притяжению лишь при антипа..
рал ельных сп'инах. (Этот вывод справедлив, е'Сли уровни вырождены толь....
RО,ПО спиновому' квантовому числу.)
. . I
, i
<')
,
,
,
\
\
\
\
\
\ dE(tt)
\
\' .'
'\ .". (}
.,.-'
J>ис. 104. Зависимость энерrии
'связи и отдельных ее составля
ющих от межатомноrо расстоя..
ния в молекуле водорода
- "
, : L
.э 53. CBH Ь атомов в твердых т'ёлах: (КРllсталлах)
IIрежде че'м.: ПРfIСТУПИТЬ к раСС,мотренпю типов связи атомов в ,TBep
ДЫХ телах, llодведеl\1 некоторые итоrи.
'Р сс а р в я .. С,ТРУКТУРУ a ()l\tI B." fЫ выяспил , ч!о о раЗ0ваПИG
нейтраJiь ь " qM'OB пр водит' К существенному уме ьшевйю 9Й"ер ,
rии. .элеКТРQстати.чеСRОЙ систем;ы,. состоящей И3 э.Лектровов. и поло :
ЖlIтельных :ч'а'стиц (протонов, аТО IНЫХ ядер)., Так,- при образовании
атома водорода,' 'из элеR,ТрОiIа . и' протона . ос'воболtдается энерrия:
13,6 эВ: (эiIе;рrияl",с .л и э ектрова в а.Т'9ме водорода).' В' 09лее СЛQщ;:t
пых aT01\laX энерrия связи внешних (валентных) электронов со...
ставля т :о. qП9\ 10 ,эВ," а энер ия. свя.?и леRТР,ОПОВ;" на одящц ся на
ВНУ1'ренник.<,оБОJlОЧI ах, существенно. выше (в ,наиболее ТЯil\елых:
.aTo Iax она достиrает 100 120 кэВ). " . < , ..." .", 1';1:
.;
,
4
!iI
r
:J
",
!
f
.
j : '
I 53. связь АТОМОВ В твЕрдых ТЕЛАХ (RРИСТАЛЛАХ) 249
Дальнейшее понижение энерrии происходит при образовании
молекуЛ из aTOMOB; при образовании одной двухаТО IНОЙ молекулы
выделяется энерrия, по порядку величины равная несколькиъ{ элек--
ТРОНВОЛЬТШI.
По :мере расширения Вселенной после «Большоrо взрыва» ев
те lпература падала, и коrда она достиrла 10:) I( (9ТОЙ температурв
соответствует энерrия %Т 9 эВ) процесс образования неiiтральных
атомов водорода из протонов и электронов стал преобладать над
{)братным процеССО 1 процеССО 1 ионизации. Образование атомов
OCHoBHoro элемента Вселенной водорода произошло через 700
тысяч лет после Большоrо взрыва.
При температуре 106. К происходит дальнейшее ПОНИil\епие
элеI тростаТlической энерrии, связанное с образование:м l\lолекул.
И, наконец, при температурах порядка тысячи rрадусов проис
ходит :конденсация веществ образование жидких, а зате 1 и TBep
ДЫХ те ч:.
Расс.мотрим причины, которые приводят к TOl\IY, что при объеди
ненин !\10лекул в кристаллы возни:кает уменьшение энерrии веще
ства. Iы Уil е rоворили о вандерваальсовых силах притяжения ней
тральных :м:олекул. Под действие I этих сил образуются так назы...
вае:мые }1 о л е к у л я р н ы е R р И С Т а л л ы, к числу которых OTHO
сятся почти все I\ристаллы орrанических веществ. Вандерваальсовы
силы являются единственной причиной, приводящей к образованию
I\ри:сталлов у охлажденных инертных rазов. Молекулярные кристал:'"
ль! характеРИЗУI()ТСЯ слабой связыо, небольшой теплоТоЙ плавления,
низкоЙ температуроii плавления и возrонки. .
1\ более сильной связи приводят уже ана.КО lые Ha 1 reTepo
полярные (ионная связь) и rО lеополярные силы (Rовалентнал
связь) .
ТИ:ПИЧНЫ:\IИ представителями кристаллов с ионной связью явля
IОТСЯ кристаллы, содержащие аТО IЫ щелочных металлов и rалоrе
нов (NaCI, 1(1 и т. д.). Электронные оболочки ионов в этих крИ:
сталлах, кан и в соотвеТСТВУIОЩИХ 1vlолекулах, аналоrичны оболоч
Бам HepTHЫX rазов. Природа ионной связи в кристаллах и моле
Булах одинакова: 11 в том и в друrО l случаях связь осуществляется
блаrодаря кулоновскому притяжению ионов.
Структура кристалла NaCI изображена на рис. 105. Ионы HaT
рия расположены в вершинах и центрах rраней систе \lЫ кубов'.
IIоны хлора также образуют rранецентрированную :кубическую pe
шетку. Таким образом, решетна NaCI представляет собой две вло
женные одна в друrую кубические rранецентрированные решетки
Rаждый ион Na+ окружен шестью ближайшими сосеДЯl\IИ ионами
CI и сильно притяrивается к НИМ. Двенадцать положительных
иовов Na+ находятся несколько дальше от раССl\lатриваемоrо иона;
между НИl\IИ ОСУlцествляется от'таЛRlfвание. RаjI\ДЫП из этих ДBeHaд
цати ионов 1'а+ в св()ю. очередь, притяrивается ближаiimИ IИ иопа1fИ:
CI . ТаI ИИ обраЗОl\I, весь кристалл представляет собоiI как бы. еди",
I
250
rл. XI. МОz.lЕНУЛЫ И НРИСТАЛЛЫ
ВУЮ rиrавтскую молекулу. Энерrия связи кристаЛ;Iа NaCI в 1,5 pa
a nревышает эперrию связи отдельной молекулы NaCl 1 ).
В кристаллах с новалентной связью" как и в молеКУ:Iах, каждые
два атома связаны парой электронов. Интересную rруппу ковалент
пых нристаллов образуют алмаз, кремний, rерм:аний и серое олово.
Все ЭТИ кристаллы имеют «структуру ал:маза», изображенную на
рис. 106. Структура алмаза характеризуется тем:, что каждый аТО\1
в решетке связав с четырьмя б:Iижайши:м:и соседям:и. На каждую
Na+
C1
Рис. 105. Структура нристалла
N8Cl
Рис. 1 06. РаСПОЛОil{е
ине атомов в решет...
не, имеющей CTPYK
туру алмаза
связь рассматриваемый атом «выделяет» один из четырех валент
}JbJX электронов. I\аждый из соседних атом:ов также «выделяет») по
(),цНОМУ электрону на каждую связь. Таним образом:, все валентные
влектроны участвуют в связи, и атомы оназываются связанными
Ее менее прочно, чем в ионных кристаллах. Rристаллы с l\овалеlIТ
вой связью обладаIОТ высокоЙ твердостью и Аlалои электропровод
ЕОСТЬЮ при НИЗКИХ тем:пературах.
Интересно отметить, что ковалентная связь, приводящая 1\ объ
единению атомов водорода в молекулу ( 52), не иrрает никакой
роли в образовании криста&"fIЛОВ твердоrо водорода. Ero кристаллы
ввляются молекулярными.
В образовании кристаллов важную роль иrрает еще один, пока
не рассмотренный вид связи м е т а л л И ч е с н а я с в я з Ь. Выяс
ним особенности этоЙ СВЯЗIl. Нан известно, у атом:ов первых rРУПIl
'J'аблицы Менделеева (левая часть таблицы) на последней оболо'тке
ваполнено ЛIIШЬ неБО "'Iьшое ноличество мест. Волновые ФУНБЦИII
'J'ex элентронов, которые находятся па этой оболочне, rораздо силь
вее «разм:аЗ8НЫ» в пространстве, чем волновые функции элеНТРОНО8
предпоследнеЙ, полностью занятой оболочки. На рис. 107 изобра-:-
жены rрафики зависим:ости 1'1'12,-2 для электронов лития в 1s и
2s состояниях. Видно, что 2s электроны в среднем находятся от
1) ПОД энерrией связи мы здесь имеем в виду работу, КОТОРУЮ путло за..
тратить, чтобы разд лить молркулу или кристалл на атомы. В последнем cдy
чае речь идет о работе, отнесрнной к набору атомов, способных образовать
одну МОЛ('НУJlУ (один атом Ха и один атом CI).
fi 53. связь АТОМОВ В ТВЕРДЫХ T&Т"lAX (RРИСТАЛЛАХ) 251
ядра примерно в пять. раз -дальше, чем 1s электр,()пы. ПРИ' сильном
сближении атомов (до «соприкосновения» 1s оболочек) среднее рас--
стояние 2s электронов до «чужих. ядер оказывается меньшим, чем
ДО «CBOel'O» ядра.
Приближение внешних электронов к положительно заряженному
аТОМНОМУ ядру, «CBOe}IY» или «ЧУЖО IУ», вызывает уменьшеНИ8
знерrиИ системы. В 12 указывал ась причина, меmающая электро
наМ упасть на «свое» ядро: при
vменьmении области, в которой дви--
жутся электроны, быстро возрастает
(из за принципа неопределенности)
кинетическая энерrия движения, и
)'"меньшение полной энерrии прекра
щается. Сближение электронов с co
седними ядраl\IИ так же понитает
потенциальную энерrию, кап и сбли:...
жение со «своим» ядром. Rинетиче 1 42. r,HH
СI\3Я энерrия электронов при этом
не увеличивается, тап как область Рис. 107. Радиальное расоределе-1
распространения электронов не вие плотности электронов в аТО1
П ме лития
сужается. ОЭТОМУ полная энерrия
системы при сближении атомов
Уl\lеньшается. Уменьшение энерrии системы при более плотной
«упаковпе» атомов означает появление сил притяжения между ато'"
мами. При таком сближении атомов потенциальные ямы поверху
сливаются (рис. 108). Если в «области слияния» имеются электрон..
вые уровни, то соответствующие электроны «обобществляются. и
принадлежат всему I\ристаллу. Так возникает м е т а л л и ч е с к а я
l'
I
I
---Za.
о
Рис. 108. Обобществление электронов в кристаллах
связь. Как мы види:м, для появлении такой связи нужно, чтобы в
атоме присутствовали слабо связанные электроны. Свободно иepe
Двиrающиеся в &Iеталлических кристаллах элеl\ТРОНЫ ведут себя
подобно rазу и в физической литературе часто так и называются.........
э л е к т р о н н ы м r а 3 о М. (Движение электронов, конечно, носит
квантовый характер.>.
252
ТЛ. XI. молЕRулы И RристАллы
Сближение атомов при образовании кристалла почти ив сказы
иается па внутренних электронах, энерrия которых недостаточна
ДЛЯ перехода через перевал. кривой потенциальной внерrии.
Выиrрыm в энерrии, получаемый
при металлической связи, оказывается
тем заметнее, чем большее число coce
дей имеет атом (напом:ним, что при
:ковалентной связи существенны pac
стояния только до тех соседей, ското...
рым:и образуется связь). Предел сбли
жению атомов кладет обсуждавшееся
выше отталкивание заполненных обо
лочек, связанное с принципом Паули.
На рис. 109 сплошноЙ кривой изобра--.
жена зависимость энерrии систеj\<IЫ
атомов металла от расстояния l\Iежду
ними. При уменьшении расстояния
энерrия сначала падает ( обобществле...
ние внешних элентронов ) , а за Tel\I
быстро возрастает (оттаЛI\ивание aTo l"
ных остовов) {). Таким образом, нривая проходит через l\IИНИl\IУl\I.
Положение этоrо мивим)тма и определяет равновесное расстояние'
между атомами.
I
, t'lHepBu"
,отт(]ЛКl/ flниR '\
, Внутренних
,аЛ8ктРОНН6/Х
\ ОQОЛО'l[JК
V
\
\
"
полная Н.зМ8НВНlIе
ане,оаvя / ЭNеР8t1t1 8и cl/om
I оtfOtJщест Л8НliЯ
Оалентных
I алектроноВ
Рис. 109. Зависимость энерrии
связи от расстояния между
атомами
. 54. Симметрия кристаЛJIОВ
r
'1
Подробное описание симметрии Rристаллов не входит в план этой
Rниrи. Читатель может наЙти соответствующие сведения в Rypcax
кристаллоrрафии. В этой проблеме' вас будут интересовать лишь
самые существенные фаRТЫ.
Начнем с :кристаллов, обладающих наибольшей СИl\I}lетри:ей,
о J\ристаллов Rубической системы. Ато:м:ы (или их rруппы) в TaRo I
нристалле расположены в вершинах куба (рис. 110). fIa рисунке
показаны также основные эле1fенты симметрии этоrо кристалла:
Тр.И п о В о р о т н ы е о с и: ч е т в е р т о r о пор я Д к а, обозначен...
ныв цифрами 4, и четыре оси т р е т ь е r о пор я Д к а, обозначен...
вые цифрами 3 (осью симм етрии п ro порядка называется ось, об...
падающая те1\1 свойством:, что при повороте BORpyr нее па 360
нристалл совмещается сам с собоЙ п раз). Все эти оси ПQресеI аIОТСЛ
е н т р е с и { м е т р и и кубичеСRоrо кристалла. Любая прямая,.
ПРОХОД'.lщая через центр сим:метрии, пересекает поверхность кри",
С'lа.ллической ячейки на равных расстояниях от nero. Через центр
:, 1): Нркоторый вклад в силы отталнивавия вносит также «давление) 8лек,....
pOHBoro rаза. .
, .. СИММЕТРИЯ RРИСТАЛЛОВ
!53
си [метрии ПРОХОДЯТ также параллельные rраням кристалла плос
кости СИМ Iетрии. Расположенные по обе стороны этих плоскостей
часТИ ячейки являются 8ерRаЛЬНЫ IИ отражеНИЯ?t-IИ друr друrа.
Симметрия кристаллов часто проявляется не только в располо
жении атомов в кристаллической решетке, но И в orpaHKe. Правиль
ваЛ форма кристаллов, имеющих иноrда довольно большие разме
ры, rоворит о заы1чательномM свойстве, отличающем кристалличе..
ское состояние ото всех дpy
rиХ, о наличии в ero CTPYK
туре Д а л ь в е r о пор я Д к а,
Т. е. о четкой :корреляции в
раСПО:Iоmении атомов, уда...
ленных друr от друrа на
?tlИЛЛИОНЫ или даже сотни
миллионов межатомных рас...
стояпий. Наличие дальнеrо
порядка в расположении ато'"
l\IOB отличает кристаллы от
друrих конденсированных
сред.......... от ЖИДRостей и
а lОрфВЫХ тел, в которых
имеется только б л и ж н и й
пор я Д о к: корреляция в Рис. 110. Элементы симметрии кристаллов
раСПО:Iожении блиi-кайших !\убичесной системы
aTo IOB.
3а:мечатеЛЬПЬП 1 свойством кр сталлических тел является нали
чие не ТОЛЬКО т о ч е ч н ы х r р у п п симметрии (поворот, отраже...
иие и т. д.), НО И тра.нсляционной симметрии: кристалл
переходит Cal\l в себя при с.мещении на векоторыЙ отрезок.
Трансляционная симметрия кристалла поясняется рис. 111, па
ROTOpO 1 для )тпрощения чертежа изображена плоская модель кри",
сталлической решетки. Из любоrо узла решетки, например из узла
О, l\IОЖНО переЙти в любой друrой узел, смещаясь па целое число
шаrов (в ту ИЛИ друrую сторону)
· вдоль б а з И с н ы х в е к т о р о в
а 1 и 82. Выбор базисных вен:торов
неоднозначен. С ПО 10ЩЬЮ векто...
, ,
ров 81 И 82, изображенных в пра...
вой части рисунка, также можно
попасть из любоrо начальноrо Y3
ла в любой конечный. В реальном
TpeXMepHOl\1 кристалле И lеЮТСfl
три базисных вектора. В простой
:кубическоЙ решетке эти векторы lОЖНО выбрать так, что они ока..
зыаютсяя взаИl\JIПО перпендикулярными и раВНЬUIИ по длине. В дру"
rих решетках расположение и соотношение ДЛИН базисных векто..
рОВ оказывается более сложным.
L
О.
«,
.
.
.
a; V a;
. , .
(}
.
.
Рис. 111. Выбор базисных векторов
Ж
""" .
4 1ll
оанС! 1I
плоскостеt1
CflMMeтpf.J(/
4 I
4 Z
X
.
254
rл. XI. МО.т.JЕНУЛЫ И НРИСТАЛЛЫ
н а рис. 111 изображена не реальная, а схематическая CTPYK
тура кристалла. Rаждая ero ячейка может быть устроена :как уrод
но сложно. Rружочни, расположенные на рисунке, MorYT изобра
жать не только ОДиночные ионы, но и их rруппы. Рисунок поясня
ет, таким образом, не реальное устройство нристалла, а ero TpaHC
ЛЯЦИQнные свойства, ИЛИ, RaI( принято rоворить, соответствующую
реальному кристал ТIУ реш е т к у Б р a
в е. rоворя о СИl\{ lетрии кристалла, мы
всеrда имеем в виду И lенно ero решетку
Браве, а не реальную струнтуру кристалла.
Через узлы кристаллической решетки
(решетки Браве) можно проводи ть раз--
;Jичные системы параллельных ПЛОСI{остеЙ
(рис. 112). Плосности 1tIОЖНО выбирать
ра3 "1ИЧНЫМИ способами. Кроме плоско
стеЙ, изображенных СП.ТIоmными линия
ми, можно провести множество друrи:х
систем параллельных плоскостей; одна иа
таких возможных систеl\1 представлена
ПДОСRОСТЯМИ, изображенными ПУНКТИРОl\f.
Rаждая систе1tlа плоскостеЙ охватывает
все узлы решетки. Чем плотнее расположены узлы решеТI{И на
плосностях, тем больше расстояние между плоскостями. Наиболь
ший интерес представляют кристаллические плоскости с большой
плотностью узлов.
Расположение кристаллических плосностей принято характери
Бовать индексами Миллера, состоящими из трех целых чисел. Что
бы ПОЛУЧИТЬ индексы l\tIиллера, нужно
z
провести HopMa ТIЬ к исследуемым плос
ностям И спроектировать ее на базисные
Еекторы решетил. Полученные проек
ции следует умножить на некоторое
'Число, подобранное так, чтобы все три
проеI\ЦИИ выражались наи!\{еньшими
целыми ЧИслами. Бо.лее наrляден дpy
rой способ нахождения ИН,J;еRСОВ Мил 1
лера, который мы поясни:м с ПО1fОЩЬЮ
примера (рис. 113). н аi1де { располо
жение семейства П:JОСRостеii с индек
сами (2 3 2). Преобразуе 1 ТРОЙНУ
индеRСОD l\fиллера в обратную: 1/2,
1/3, 1/2, и приведем ее н целым числам,
умножив на общее наименьшее кратное зна:иенателей, в Hame I
случае на 6. При этом ПОЛУЧИ I числа 3, 2, 3. Отложим эти числа
на осях координат, кан это ПОRазано на рисунне, и проведем через
полученные тuчки ПЛОСкость. Эта плоскость и принадлежит к иско
мому семейству.
' ,
I I 1
1 t I I I t
, "
1 I I J 1 I I
I 1 I I t
, ,
Рис. 112. Системы парал..
Jlелельных плоскостей,
проходящих чррсз узлы
RристаЛличеСRОЙ реmетки
1
2
а
Рис. 113. Плосность (232)
1;
JJ
j
.
I 5i. СИММЕТРИfl RРИСТАЛЛОВ
255
НетруДНо убедиться, что боковые плоскости ячейки БубичеСRОЙ
системы имеют индексы (О О 1), (О 1 О) и (1 О О), диаrонаЛЬИЫQ
плоскости И1-lеют пн ексы (1 1 О), (1 О 1) и (О 1 1) и Т. д.
(рис. 114).
Мы уже выяснили в предыдущем параrрафе, что наиболее BЫ
rодны с энерrетической точки зрения плотные упаковки атомов
(или ионов). ЛеrRО ПОRазатъ, что с этой точки зрения простая KY
бическая решетка явно неоптимальна. Рассчитаем для этоrо объем,
приходящиЙся на каждыЙ ион в кубической решетке, и сравним:
ero с соотвеТСТВУЮЩИ IИ объемами в друrих кристаллических CTPYK
турах.
z
,
,
t (0,1.1))
I /1
.... ........ ....
// ......."
,," "
./ .......
:r:
Рис. 114. Обозначения 00.
новных ПЛОСI ос.тей в кри"
сталле
Рис. 115. К расчету объема,
приходящеrОСR на каждыii
ион в кристалле простой
l\убичеСI\ОЙ системы
в :кубическом кристалле каждой эле;ментарной ячейке припад"
лежат восемь ионов, расположенных по ее уrлам. С друrой СТОРО'"
ВЫ, каждыЙ ион одноврем:енно принадлежит восьми раЗНЫl\[ ячей...
I a l. (В этом нетрудно убедиться, раСС Iатривая, например, рис. 115.
Rаждый узел реmеТБИ принадлежит четыреl\[ ячейкам под плос
костью бумаrи и четыре I над ней.) Поэтому в среднеl\I на яqей
ку приходится один ион. Заменяя для простоты ионы твердыми
шарами, за lетим, что сторона ячейки а (расстояние межцу цeHTpa
1tIИ шаров) равна диаl\lетру шара d. Объе:м, приходящийся на каж о4О
дый ион, равен, следовательно, d 3 .
РаССМОТрИ 1 теперь о б ъ е м н о Ц е н т р и р о в а н н у ю кубиqе
СКУЮ решетку, получающуюся И3 простоiI l\убичеСRОЙ решетки при
установке дополнительноrо шара в центр Rуба. На каждую ячейку
приходится теперь 2 шара один уrловой (как в обычной решет
ке) и один центральныЙ. Выра3И I объе 1 решеТБИ через диаметр
шаров. В объе lноцентрированной решеТБе соприкасаются друr о
друrом шары, стоящие на rлавноЙ диаrонали куба. Длина диаrона..
ли равна аУ 3. Эта длина, с друrой стороны, равна d/2 + d + d/2 === 2d.
Приравнивая эти значения, пайдеl\l а === 2d1Y 3 . Полный объем яqей..
25t}
rл. XI. МОЛЕНУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
ки равен, следовательно, 8сРIЗ1'З, а па каждый ион ПРИХОДИТСЯ
объем 4d З /31'3 O,77d 3 . МЫ ВИДИМ:, таким обрааО1\I, что в объе IНО
центрированной решетке ионы упакованы сущес венно более плоТ....
но, чем в простой кубической.
Еще плотнее расположены атомы в r рап е цеп т р и р о в а н н о й
к у б и ч е с к о й реш е т к е (в центре каждой rрани кубичеСRоrо,
кристалла находится еще од ин ион). На каждый ион в таI\ОЙ ре--
тетке приходится объеАI d З /У2 (вывод этоrо соотношения мы пред
J1arneM читатеЛЯ}1 в качестве полезноrо упражнения).
Rристаллы некубических систем в этой книrе не расс}lаТрива....
IOТСЯ.
t 55. Колебания кристаллических решеток. Звуковые волны
Изображенные на предыдущих рисунках, ваПРИ1\lер па рис. 111,
узлы кристаллической решетии определяют не фактические, а сред--
вие положения ионов (точнее rоворя, атомных ядер). В реальных
кристаллах ионы колеблются BOKpyr этих положений из за тепловоr(}
движения и под действием проходящих через кристалл ЗВУRОВЫХ
волн. (Под звуковыми волнами в этой книrе мы будем ПОНИ Iатъ-
упруrие волны любой частоты, от самых низких до самых ВЫСОI\ИХ,
не воспринимаемых человеческим YXOAI.) Тепловые колебания ато"
ков путем разложения в трех:мерный ряд (или интеrрал) Фурье-
MOryT быть сведены к системе плоских волн, т. е. к ЗВУКОВЫ!I BOД
вам, так что рассмотрение звуковых волн включает в себя проблеl\IУ
тепловых колебаний. Мы И3УЧИ f колебания кристаЛ ТIа на ОДНО Iер
вой модели: на линейной цепочке, состоящей иа одинаковых aTo:\loB.
3,ам:еним действующие Iежду
атомами реальные силы УСЛОВНЫ fJr
п «пружинками», обладаЮЩИ IИ Боэ<I)
ц :. фициевтаl\IИ упруrости х (рис. 116).
Обозначим через Х п равновесное по
Рис. 116. Линейная модель кри"
сталла ложение п ro aTo la, а через И п
смещение атома от ero ПОЛОi-1,енил
равновесия (Х п И и n отиладыаIотся по одной и той же оси, совпа
дающей с направлениеl\I цепочки).
Запишем второй aaRoH Ньютона для n ro атома:
пlii n ::::ж F n.
Сила F 7I , двиrающая атом п вправо, складывается из силы растя--
женин правой и силы сжатия левой пружинон. Так как (п 1) I1
и (п + 1) й аТО IЫ тоже смещены, то одна из этих сил равна
х (и n +l и п ), а друrая х (ип ! и п ). в результате имеем
тип == Х (ип+! 2и п + Un t). (11.20)
}7раввенил (11.20) должны быть написаны для всех aT01.IOB, обра--
вующих цепочку, и составляют систему orpOMHoro числа свяаанных
I 55. RОЛЕБАНИЯ RРИСТАЛДИЧЕСНИХ РЕШЕТОR
257'
межДУ собой '(зацепляющихся) линейных дифференциальных урав---
вевий. Решить такую систему прямыми методами невозможно.
Попробуем найти решение системы (11.20) в виде беrущей
волны
Uk (х, t) == Ak ехр (ikx irot),
"(11.21)
rде k........ волновое число, ro частота волны, а Ak неRоторая KOH
станта. МЫ снабдили решение одним индексом k, а не двумя (k, ffi ) ,.
потому что k и ro не являются независимымИ величинами. Вскоре
мы получим связывающую их формулу.
В нашем случае беrущая ВОЛl;[а описывает смещения дискретно
расположенных узлов реmетки 1) И имеет смысл только при х ==
== n · а, rде а...... базисный вектор линейной цеп.очки, а n........ любое
целое число. Уравнение беrущей волны следует поэтому записывать
не в виде (11.21), а в виде
UJ1 (п, t) == АА ехр (ikaп irot)'.
ПодстаНОВRа (11.22) в (11.20) дает
ААт ( ы2) ехр (ikan irot) == xAJ1 ехр ( irot) {ехр [ika (п + 1)]----
2 ехр (ikaп ) + ехр [ika ( n 1) ]} .
Сократим левую и правую части этоrо равенства па Ak ехр (ikan
iffit) :
(11.22}
.......тro 2 == % [ехр (ika) 2 + ехр ( ika)].
Заменив сумму экспонент через RОСИНУС и выразив затем RОСИНУ
через синус половинноrо уrла, получим
I ro == 2 У : I sin k; 1.
(11.23)
При написаниИ 11.23) мы приняли во внимание, ЧТО Ч,астота fi}
по своему физичесному смыслу является положительной величиной.
Проанализируем полученный результат. Вместо TOro чтобы ре.....
тать бесконечную систему зацепляющихся дифференциальных
уравнений (11.20), мы попытались уrадать ответ и нашли, что
решением системы являются волны (11.22) при любых k и A1t ПрI!
условии, что волновое число и частота удовлеТВОРЯIОТ соотношению
(11.23). Полное решение систем ы (11.20) может быть представлен(}
в виде интеrрала ОТ решений (11.22): '
и (п, t) == S А (k) ехр (iпak irot) dk. (11.24)
1) Движение атомов, случайно попавших в простраБОСТВО между узлами
(дефекты), или движение дополнительных атомов, ПрИН8длежащих той же
JIчейке, не описывается ни системой (11.20) ни волной (11.21). Об 8ТИХ дви
жениях мы с:кажем несколько слов в :конце BToro параrрафа.
258
rл. XI. МОЛЕКУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
к олебатеАьное движенuе "ристалла может бь ть представлеnо tI ви4
де системы, бееущих волн, амплитуды "оторых проиавольнь1,М обра
80М аависят от волuовоzо числа, а частота eCT"O связана с волно
BbZM числом. В трехмерном случае следует рассматривать не вол--
uовое число, а вО.ltиовой ве"тор k и интеерирование должно пpoиa
водиться в трехмерном пространстве, по осям котороео отложены
составляющие ве,.тора k.
Переход от рассмотрения колебаний атомов, составляющих кри--
сталл, к системе звуковых волн приводит К фундаментальному упро
щени:ю задачи. Движение I\аждоrо атома приводит в движение co
седние атомы. Попытка математиqески описать 9ТО движение, как
мы видели, пр,иводит к появлению системы иа Оl'ромпоrо, в преде.
ле бесконечноrо числа зацепляющихся уравнений. Движение аву--
новых волн неизмеримо проще. При небольших амплитудах, коrда
движение является rармоническим, распространение каждой волнь[
не зависит от присутствия остальных. На математическом языке
переход к звуковым волнам является переходом от координат от...
дельных атомов к нормальным координатам системы.
rрафик вависимости ffi от k изображен на рис. 117. Частота
оказывается периодической функцией волновоrо числа: при замена
tl) k на k + 2'Л/ а она возвращается к
прежнему значению. Постараемсн ПСt
нять, является ли совпадение частот
у разных волн случайным реаулъта
том, зависящим от выбранной модели
решетии, или имеет более rлубокую
k причину.
Исследуем движение двух звуковых
Р({с. 117. Зависимость частоты
от ВОЛНОвоrо числа в ОДНО" волн, одна из которых характеризуеТСfl
мерной модели крис'rалла ВОлновым числом kt;::::=a k, а друrая
ВОлновым числом k! J:::II k + 2л/а.
При записи с помощью (11.21) ЭТИ волны описываются выраже..
IIИЯМИ
I .
U/ t1 === А ехр (ikx iffit),.
ща А ехр ( ikx + t 2: х ixt ) .
иоторые I(ажутся различными. Совпадение частот f.t} при этом OKa
ЗhIвается непонятны.. Запишем теперь формулы волн в форме
( 11.22) :
Uk 1 == А ехр (ika( ...... i(J)t),
U'l 2 == А ехр (ikaп + i2лп iUJt) == Uh 1 -
l\Iы видим теперь, что в узлах кристаллической реmеТRИ волны с
волновыми числами, отличающимися на 2л/а, неразличимы. Но па
ши уравнения только для узлов И приrодпы. Волны k 1 И k z , таким
I 5. наЛЕВ.АНИЯ НРИСТАЛЛИЧЕСНИХ РЕШЕТОК
259'
образом, попросту тождественны. Все их характеристики, включая
частоТУ, полностью с.овпадают.
Из сказанноrо ясно, что область физически различных значений
волво воrо числа имеет ширину 2'Л/а. Все остальные значения MO
ryT быть приведены к значениям, лежащи.м в указанной области..
Эту область принято выбирать тап, чтобы точка k == О лежала в ее-
центре. Она носит название пер в о й з о н ы Б р и л л ю э н 8.
fлавный физический вывод, который должен быть сделан иа
сказанноrо, ва:ключается в том, что перuодиЧ1l0СТЬ по вОЛ1l0вому
числу (и по волновому ве"тору) является следствием пpOCTpaHCT
веннОЙ периодичности "ристал.лuческой решетки.
Обратимся к скорости ввуковых волн. При неболъmих волновых
числах (и с.оответственно низних частотах) синус в (11.23), может
быть заменен своим apry»eHToM, так что
Y
ro )(
т -== а т.
Это равенство определяет фазовую скорость волны Vф:
VФ -= .... а У : (низкие частоты).
Мы видим, что при низких частотах скорость звуковых волн не за
висит от частоты, Т. е. не обладает дисперсией. rрупповая СI(ОРОСТЬ.
звуповой волны пр.и этом равна фазовой. Эта общая скорость на...
зывается скоростью ввука в:
8 == Vrp == Vф == а V : (низкие частоты).
( 11.25)
Направление скорости определяется внаком волновоrо числа.
При увеличении частоты (и волновоrо числа) замена синуса ero
aprYMeHTOM становится неправомерной. Фазовая спорость волны
V Ф z=: с:: а .. / )( sin (kaj2) ( 11.26 )
k r т ka/2
песнольно падает с частотой и па rравице зоны Бриллюэна YMeHЬ
mается до значения
2а У )(
Vфmln -== ,
п т
ноторое в полтора раза меньше макси:мальноrо. Таким образом, при
увеличении частоты 8ВУКОВЫХ волн становится заметна их дис
персия.
fрупnовая скорость волн определяется обычной формулой
VrlJ :: . (11.27)
260
rл. XI. МОЛЕI\УЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
И.спользуя соотн,ошение (11.23), получаем
Vrp с= а у : 1 СО! 1.
80НЫ Бриллюэна эта скорость
у rраницы
{рис. 118).
I\онкретная форма равенства (11.23) и следующих иа пее фор
обращается в пуль
мул для фазовой и rрупповой скорости волн не имеет серьезноrо
научноI'О значения, так как они оире..
u
деляются осооенностями выораннои
модели (линейная цепочка шариков,
связанных пружинками). В то же вре..
}IЯ выводы о периодичности Болвовоrо
ЧИСl1Iа, о наличии дисперсии у звуко
БЫХ воли И Т. д. И!tlеют общую ПРИl\lе...
нимосrь.
В заключение приведем формулы
Рис. 118. Изменение фазовой ДЛf{ Р,еальных TpeXMepH IX кристаллов.
и rрупповой скорости 3ВУI{О" Беrущие 8вуковые волны в простран...
вой ВОЛНЫ с ВОЛНОВЫМ числом ственном случае характеризуются вол....
новым вектором k. Формула беrущей
Vф. V rp
1
40
п/2а
л/а
k
волны аналоrична (11.21):
Uk(r 1 t) ==а Ak ехр (ikr t(J)t).
Выражение, аналоrичное (11.22), имеет вид
Uk (l" т" п" t) ::::s Ahx,kll,kz; ехр (ikxla + ikyтa + ilcz;пa....... iffit). (11.28)
Последняя формула описывает смещение узлов, решетки в зависи...
мости от вре:мени t и координат (l, т, п) в кубическом Rристалле
ПрИ прохождении волны, у которой волновой Be TOp k; имее .про;"
еIЩИИ ,k ,. k 1l , k. на базисные векторы реmетки. ;.
Пространственные звуковые волны периодичны, по волновому
вектору. Их всеrда можно привесJ'lИ в первую зону Бриллюэна, KO
торая в этом случае, fiонечно, является треDlерной.
В твердых телах IorYT распространяться звуковые волны двух
типов продольные и поперечные. В поперечн х волнах <? Ie e
атомов nерiIендикулярно R ВОЛНОВОl\IУ вектору, а в продольпыIx
совпадает с ним по направлен ю. Скорости поперечных волн 's';'
1\Iеньше, чем сн:орости продольных SIJ. Так, в алюминии S..L == 3130 м/с,
а SII :::: 6400 м/с.
Скажем несколько слов о веществе, расположенно { между уз...
лами Rриоталлической реmетки '(электронные оболочки' aTo loB, ДО'"
бавочные ядра, свободные электроны). Пр.и движении звуковой
волны это вещество, конечно, испытывает с.мещения. Ero см:ещевия,
однако, lIё описываются- волной '(11.21) и требуют специаль...
Horo рассмотрения. Электронные оболочки (или, по крайней мере,
внутренние оболочки aTOl\10B) обладаIОТ rvIалой массой и сильно СВН...
1
56. ФОНОНЫ
261
заны со своими ядрами. Они смещаются B lecTe с ними. Свободные
электрОНЫ с ядраl\fИ связаны очень слабо и движутся по совсем
ДРУI'Иl\1 законам. Все изложенное выше относилось к узлам кри
сталлическои решетки и только к ним.
Важные новые черты в описанной картине ПОЯВЛЯIОТСЯ в тех
случаях, коrда в элементарной ячеЙке кристалла находится неСI{ОЛЬ
ко ядер. Среди возможных типов нолеба
ний решетки можно выделить колебания (d
этих ядер друr относительно друrа. 1'a
иие движения образуют новые типы KO
лебаниlI, носящие название о п т и ч e
с R и Х В е т в е й (в отличие от звуковых,
а к у с т и ч е с к и х в е т в е й, о ноторых
шла речь до сих пор). Законы диспер
сии для оптических ветвей резко отлич п/a d/a k
ны от раССl\fотревных; в частности, при Рис. 119. Акустическая и
k ...-+ О их частота не стремится к нулю. оптическая ветви Rодсба
IIa рис. 119 приведен пример TaKoro за пий
нона для ячеЙки, содержащей два aTo fa.
Сделаем еще одно за:мечание. Во всем предыдущем paCCMOTpe
нии мы либо оrрапичивали:сь одномерным случаем, либо считали cpe
ду изотропной. I\ристалличеСI{ие среды, вообще rоворя, анизотроп
вы, а базисные венторы решеток не ортоrональны и не равны друr
друrу. Мы не будем рассматривать анизотропные кристаллы из за
сильноrо УСЛО,Rнения Iате fатическоrо аппарата. Мы не делаеr.1
этоrо таI{же потому, что паиБОJIее интересные результаты n физине
твердоrо те.п:а связаны не столы{о с анизотропией крпсталлов, сколь
но с их периодичностью, а TaHil\e с Te I обстоятельством, что кри
сталы предстаВЛЯIОТ собоЙ сильно вырождепные системы, дЛЯ KO
торых нужны квантовые, а не классические lетоды раСС 10тренпя
.< Cl\f. следующий параrраф).
56. Фононы
Энс.рrия звуковых волн, как и энерrия ВСЯI ИХ колебаний, KBaHTY
ется в соответствии с ФорrvlУЛОЙ
Е == п0 (п + 1/2)'.
(11.29)
СУlцествование нулевой энерrи:и колебаниЙ Ео === пю/2 ПрИВ9ДИТ R
ряду интересных явлений, например к размытию отражениЙ на
peHTreHorpaM:M:ax нристаллов. Нас эта энерrия сеЙчас интересовать
Не будет.
lIзбыток энерrии
Е Ео == п.0n
( 11.30 )
следует представлять себе в виде потока п квантов, каждый ИЗ
:которых несет энерrию 1"0. По аналоrии с квантами cBeToBoro из
262
rл. XI. 1\10ЛЕНУЛЫ И НРИСТЛ:I__"1Ы
пучения кванты аиустичеСRИХ RолебаниЙ получили названпе Ф o
н о н о в 1). Звуковые волны с точностью до нормировни явля
ются волновыми фУНКЦИЯ fИ фопонов 2). Энерrп я и импульс фоно
ВОВ связаны с частотой и ВОЛНОВЫ I вектором звуковой ВОЛНЫ обыч
выми соотношениями
Е == ' Ы, Р == hk.
( 11.31 )
Система звуновых волн, проходящих через крпста.пл, при KBaHTO
вом подходе эквивалентна фононному rазу, заполняющему Rристалл.
Система независимых rаР IОllических волн соответствует идеально
му rазу не взаимодействующих друr с друrО 1 фононов. Тепловые
свойства кристалла рассчитываIОТСЯ путе f изучения теР Iических
свойств этоrо идеальноrо rаза. Такая картина, конечно, неизмеримо
проще исходной иартины, в нотороЙ: orpoMHoe иоличество атомов
совершает тепловые колебания, и может быть несравненно лучше
рассчитана. При больших амплитудах звуковые колебания приоб
ре тают анrаРl\fонический характер. 3вуновые волны перестают быть
независимыми друr от друrа. На ивантовом: языке при ЭТО 1 rOBO
рят о столкновении фононов при увеличеНIIИ плотности фонон
вый rаз перестает быть идеаЛЬНЫ1\I.
Рассмотрим основные особенности фононов. Как мы уже зпаеl\I,
частота звуковой волны является периодичесиой функцпей ее
Болновоrо вектора. Это означает, что эверrия фОIIона является перио
дичеСRОЙ функцией ero импульса. Чтобы подчеркнуть это обстоя
тельство, часто rоворят, что фонон обладает не импульсом, а к в a
8 и и м п у л ь с о м. Надлежащим образом выбранная область физи
чесии различных значений импульса носит название пер в о й
8 О Н Ы Б р и л л ю э н а. В одномерном случае ее положения опреде
ляются условием
Ip I пп/а.
(11.32)
Нак ?t-IЫ уже выяснили в предыдущем параrрафе, периодические
свойства волновоrо числа (и волновоrо веитора) объясняются тем,
что еоответствующие волны в узлах кристаллической решетки He
различимы. Периодичность волновоrо числа ни к иаким затрудне
пиям не приводит . Периодичность импульса, однаио, приводит R
трудностям, на которых следует остановиться. Прежде Bcero нужно
понять, как в условиях таиой неоднозначности пользоваться зако
ном сохранения импульса. Выясним сначала, что означает возмож
ность добавления к импульсу фонона величины
I1.p == 2лпп/ а, '( 11.33)
rде n любое ц елое число.
J) Термин «фопоп» был преДЛОiRен Я. и. ФреНRелем.
) Ситуация с фоновами и звуковыми волнами полностью аналоrична си
туации, которая имеется в случае фотонов и световых волн. Звуковая волна
содержит в себе сведения об интенсивности звука (нормируется на полноо
число фононов), В ТО время как волновая функция нормируется па один
фОНО1L
56. Фонопы
263
Прежде Bcero расс:мотрим:, как описывается поступательное ДВИ'"
жение нристалла I\aH целоrо. Для упрощения расчетов снова orpa
виЧИ IСЯ ОДПО lерIIЫ 1 случаем. fl0ступательное движение п ro узла
описывается волноЙ (11.22):
и п == U (n, t) === А ехр (ikaп irot).
I{ристалл движется как целое, если движение всех остальных уз...
лов, например узла т, происходит синq)азно с узлом п и с той же
амплитудой. Для т ro узла волна И lеет вид
и т == А ехр (ikтa irot).
Приравни:вая и п И и т , наiiде l, что
ikпa ikтa == i2лl,
rде l любое целое число. ЛеrI О видеть, что это равенство выпол"
Ilяется, если
k == 2пп' /а,
или
р == 2лпп' / а, '( 11.34)
rде п' любое целое ЧIlСЛО.
l\lbI ПрИШJIИ, таRИ 1 образом, к тоЙ самой величине (11.33), KO
ТОРУI0 lOII\HO произволыIo добавлять к импульсу фонона. Н е о п р e
Д е л е н н о с т ь в и м п у л ь с е Ф о н О н а с в я 3 а в а с про и 3'"
В О Л О 1\1, Н О Т О Р ы й и м е е т с я при раз Д е л е в и и Д в и ж e
ния нристалла на ДВИil ение ЗВУI ОВОЙ волны И
пер е 1\1 е Щ е н и е к р и с т а л л а 1\ а к Ц е л о r о. При изучении
ДВИII еНIIЯ волн (и фононов) естественно, конечно, исключать дви
I\еlIие :крпсталла KaI{ целоrо, т. е. оставаться в пределах первой
30HI>1 Брпллюэна.
Заодно :мы получили и друrой важный результат: кристалл MO
л\ет И)Iеть не любоЙ наперед заданный импульс, а только импульс,
п одчиняющиЙся соотношению (11.34).
ПереЙде 1 R закону сохранения И lпульса. При изучении столк
повительных процессов в нристалл"е, например при исследовании
с,оударениii м:еiНДУ фонона:ми или между фононами и элеI{тронами,
МЫ, Rонечно, п:мее:м дело с задачеЙ не двух, а трех тел, одно И3
HOTOpЫX беСI\онечно большая и потому бесконечно тяжелая pe
ПlеТI\а. Движение тел, обладающих бесконечной (или, по крайней
Mepe, очень большоЙ) м:ассоЙ, следует по возможности исключать
И3 уравнениЙ. При ЭТО I и появляется обсуждавmаяся неопределен'"
ность в написании И lпульса, а также в применении заБона ero
сохранения.
Леrно видеть, что, перераспределяя импульс между фононом и
pemeTI,oil, мы не l\Iеняе:и энерrIIЮ системы. Изменение импульса
фонона на 2лпtt/а, HaI IЫ видели, не меняет ero энерrии. Не l\lеня",
ется и энерrи:я реmетки, так как она и:меет оrромную массу. Ее
эперrил р2/2т при конечной величине импульса равна нулю.
264
rл. XI. МОЛЕRУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
Из сказанноrо ясно, что в процессах, в "OTOpb X участвует кри--
сталлическая решетка, аакоu сохраиепuя и tпульса вереи с точ
nостью до слаzае.; ОёО
p == 2лпп/а.
Более точно следует писать
8 Р == 2л 1i Ь,
rAe Ь вектор о б р а т н о й реш е т к и. В простейшем случае прямоуrольноii
р шетки ero значсние определяется путем очевидноrо обобщения МIIОiI\ителн
п/а. в более сложных СJIучаях базисные векторы обратной решетки определн"
ются формулами
[82,8:1] [8 з , а]] [81,82]
Ь== ( ) ' Ь== ( ) Ь== ( )
1 а 1 , 82' аз 2 81,82' 8 з t.J 3 81' а 2 , аз
(в числителе этих формул стоят векторные, а в знаменателе смешанные
произведенин) . BCI\TOp обратной решетки равен
Ь == kb 1 + lb 2 + тЬ Зt
rде k, l, т ЛlоGые целые числа.
Процессы, проиходящие с добавлением p, называются П р o
Ц е с с а м и пер е б р о с а. Величину p следует выбирать тан, что--
бы все фОНОIIЫ лежали в области первой зоны Бриллюэна. (При
небольших импульсах это происходит само собой.) .
Обратим внимание на еще одно важное обстоятельство. При изу--
чении фононов мы сталкиваемся с динамикой частиц, н е о б л а Д а--
ю щи хоп р е Д е л е н н о й м а с с о й. у обычных медленно ДВИ--
» ущихся частиц энерr:ия связана с И IПУЛЬСОМ квадратичным: за--
:КОНО}I
р2 == 2тЕ. (11. 5)
Массой частиЦЫ называется деленный на два :коэффициент связи
между квадратом импульса и ее энерrией.
у реЛЯТИВИСТСRИХ частиц энерrия и импульс не связаны пара--
боличеСRИМ законом и :масса частицы оказывается пере lенной. Нс..
выЙ ФизичеСI<ИЙ смысл имеет в этом случае только l\lacca покол
частицы.
у частиц, движущихся с постоянной скоростью (фотоны, фоно--
пы llрИ не СЛИШКОl\{ высоких частотах и, ПО ВИДИl\{ОМУ, нейтрино),
энерrия пропорциональна импульсу и масса покоя равна нулю 1) .
у фононов запои связи м:ежду энерrией и Иl\{ПУЛЬСОМ может иметь
самыЙ разный вид. ФОР lула (11.23), которую можно переписать
через энерrию и импульс:
Е == 2п У : I sin :: ,; . (11.36)
1) Из уравнения Эйнштейна
Е 2 == т c4 + р 2 с 2
следует, что линейная связь между энерrией и импульсом возникает только
при то == о.
57. ТЕПЛОЕМRОСТЬ RРИСТАЛЛИЧЕСRИХ РЕШЕТОК
265
является ОДНИМ па ПрИl\Iеров таких занонов. Мы увидим далее, что
связь ltlЭЖДУ энерrией и импульсом У электронов, проходящих че
рез кристалл, таRiпе имеет необычную, непараболическую форму.
Понятие массы ст"авовится в этом случае бесполезным. Динамика
частиц, движущихся в кристалле, должна непосредственно извле...
каться из з а R о В а Д и с пер с и и этих частиц, т. е. из уравнения,
связывающеrо их энерrию и импульс. Мы отложим исследование
этоrо вопроса ДО следующей rлавы.
Остается выяснить, чему равен спин фонона. RaR мы знаем.
сцин частицы определяет число ее возможных в н у т р е н н и х co
стояний, т. е. состояний, не зависящих от импульса. Мы установи
ли в свое время, что спин фотона равен единице, а из трех, вообще
rоворя, возможных при тапом сп,ине состояний осуществляются
только два они cooTBeTcTBYIOT двум возможным поляризациям
элеКТРО?fаrнитной волны.
В твердых телах звуковая волна может иметь три поляризации:
8вуковые волны MorYT быть продольными и поперечными, причем
имеются две независимые поперечные поляризации. Таким образом.
спиn фоноnа равеn едиnице. Фоnоn прunадлежuт п числу БО30nО8
u описывается статистикой Возе Эйnштейпа (rл. VIII).
57. Теплоемкость кристаллических решеток
Тепловые колебания кристаллических решеток сводятся к звуковым
волна:м и, следовательно, к движению фононов. 3,адача о теПЛQем
ности реПlетни сводится поэтому к расчету суммарной энерrии фо
нонов, подобно тому :как энерrия и теплоемкость тепловоrо излуче-4
вия рассчитываются через энерrию фотонов. Нак мы уже знаем,
спин фононов равен единице, а их число не сохраняется. Они под..
чиняются, следовательно, статистине Бозе ЭЙнштейна с перемен
БЫМ числом частиц, Т. е. описываются той же формулой (8.16),
что и <I)отоны тепловоrо излучения.
Имеются, однано, и отличия. Световые волны поперечны и обла...
дают ДВУ?fЯ ВО3МОЖНЫl\IИ значениями поляризации, в то время как
у акустических ВОЛн их три. Скорости распространения световых
волн от поляризации не зависят, а звуковых зависят: попереч
ные аI\устические волны распространяются медленнее продольных.
Наконец, вместо «настоящеrо» импульса фотонов мы должны Ha
учиться работать с квазиимпульсом фононов.
Нан ыIы уже знаем, в еДинице объеl\Iа в интервале импульсов 01'
Ipl до (рl + (dpl помещается
3 " Л: I р J 2 d I р 1 (11.37)
(21& 1) 3
Состояний. Стоящее в этой формуле число 3 равно числу возмож...
БЫк поляризаций (ЧИСЛУ проеRЦИЙ спина, paBBoro единице}. Со.
{8 п. По. rольдин, r. и. Новикова
rласво (8.16), каждое из этих состояний заполняют
1
ехр (Е/хТ) 1
(11.38)
266
rл. XI. МОЛЕНУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
фОНОНОВ С энерrией (на один фонон) Е.
Полная энерrия ЗВУRОВЫХ колебаний реmетки равна, следова
телъво,
Е === Ео +
Ip1max
S
Е 3. 4л 'Р 12 d I р ' .
ехр (Е/хТ) 1 (2л1i)3
(11.39)
о
Член Ей характеризует суммарную нулевую энерrию звуковоrо по
ЛЯ, которая в данном случае не представляет интереса, так как не
вносит вклада в теплоемкость.
Рассчитывая энерrию тепловоrо излучения, мы получали очень
похожую формулу. Отличие состояло в том, что в ней стоял MHO
Житель 2 вместо 3, а интеrрирование ПРОIlЗВОДИЛОСЬ не до I р I Шах,.
а до бесконечности, поскольку импульс фотонов может быть сколь
уrодно большим.
Наиболее просто производится расчет при низких температурах.
В этом случае возрастание стоящеrо в знаменателе ЭRспоненциаль--
Hor,o множителя ехр (Е/хТ) делает несущественным вклад, который
вносит в иптеrрал область больших Ipl, так что интеrрал можно
распространить до бесконечности. Связь ro и 'рl у звуковых волн
пе так проста, как у световых, но при малых I р 1, как мы видели,
скорость звука постоянна, что существенно упрощает расчеты. Пре
небрежем, наконец, различием скоростей продольных и поперечных
в{)лн. Обозначая скорость звука через s, наЙдем
ro Е
s=== k == 'р'.
Формула (11.39) в Э1'ом случае дает
(11.40)
00
Е Е 3 S Е E 2 dE.
о 2л 2 1i 3s3 ехр (EjxT) 1
о
(11.41)
Вводя Bl\feCT.o Е безраз:мерную переменную х:
Е/хТ === х,
найдем
00
з)(4т 4 S хЗ{lх
Е Ео ==
2л 2 1i 3s3 е Х 1 ·
о
Как мы уже знаем, входящий в эту формулу интеrрал равен п'/15.
57. ТЕПЛОЕМКОСТЬ НРИСТАЛЛИЧЕСНИХ РЕШЕТОR
267
Следовательно,
1{2 х 4 т 4
Е Ео === 10 1;, 3s3 (визкие Т).
( 11.42)
Соответственно теплоемкость кристалла, точнее ero реш е т о ч н а я
"'I е п л о е r.l к о с т ь 1), Р ав н а
2 х 4 т 3
С == п 2 (низние Т). (11.43)
5 1i 3s3
Последние две формулы очень похожи на формулы для тепловоrо
излучения и получаются из пих путем замены скорости света с
па скорость звука S и умножения на 3/2 (отношение числа воз...
можных поляризаций). Нак следует из вывода, они определяют
тепловую энерrию и теплоемкость кристаллической решетки, OTBe
сенные к е Д и н и Ц е о б ъ е м а.
Если учесть различие скоростей поперечной S..L и продольной
В" звуковой волны, формула .( 11.43). переходит в несколько более
1.'очную:
i 2 2)( 4т 3 ( 2 1 )
с == 1 п -------з "'"7'"""" +
а 1i 83 83
щ 11
(низкие Т) .
( 11.44)
Перейдем теперь 1\ теплоемкости при высоких температурах.
Естественно ожидать, что при повышении температуры должны
становиться справедливыми классические формулы и на каждую
колебательную степень свободы должна приходиться энерrия 'КТ
(по 'КТ/2 па кинетическую и на потенциальную энерrии). Число
степеней свободы решетки равно 3N, rде N число атомов в еди--
вице объема. Отнесенные к единице объема внутренняя энерrия
и теплое lКОСТЬ тверДОfО тела должны поэтому стремиться к зва...
чения.м
Е ---+- 3NxT (высокие Т),
с ---+- 3Nx (высокие Т).
Эти классические формулы носят название з а к о н а Д ю л о п r а
11 П т и. Опыт показывает, что они выполняются не слиmком xo
рошо, хотя при оценках ими вполне можно пользоваться. Основная
причина веточпоrо соответствия с экспериментом занлючается в
том, что температуры, при которых сохраняется кристаллическое
Состояние, «недостаточно высоки», так что мноrие кристаллы пла...
пятся до Toro, как наступает область хороmей применимости клас
(11.45)
1) Оптические ветви колебаний, в особенности при низких температурах,
ПОчти ничеrо не вносят в теплоемкость кристалла. 'у металлов вклад в тепло
емкость создают свободные электроны. Этот вклад мы рассмотрим в
I'п. XII.
48.
268
rл. XI. lОЛЕНУЛЫ И: НРИ:СТАЛЛЫ
сичеСБПХ ФОР IУЛ. Рассчитанные по формуле (11.45) и ИЗ Iеренные
значения теплоем:ности приведены в таблице.
Справе,::r;ЛIIвая при всех те:мпературах фОР lула для теплоеМ:RО
сти ДОЛiI\на основываться на (11.39). При ЭТО f следует правильно
выбирать Iplmax и, более Toro, правильно учитывать анизотропию
нристалла, что приводит к ИЗl\lенению структуры подынтеrральноrо
выражения (оно записано для изотропной среды) и h появлеПIIIО
т а б л 11 Ц а 6. Теплоем:ность некоторых элементов
!J зу .пьтаты И3М liени iJ
ЭлеМf>НТ
Расчстно зна чение тепло
еl\1I\ОСТИ, Джj(r. Н)
}Т rлерод
2,07
теп .r[Q f' 1\1}\ ОСТ Ь
температура :I;иi(r .1\)
10 сс 0,67
280 (.с 0,97
827 ос 1 )83
ООС 0,87 ,',
600 ос 1,18
ОСС 0,43
100 сс 0,47
О ос 0,38
100 ос 0,40
Алю:мпний 0,92
jI\елезо 0,44
Медь 0,39
CBoero BepxHero предела для Rаждоrо направления BeRTopa р. Такое
расс:мотрение должно проводиться заново для каждоrо кристалла.
Точное вычисление теплоемкости представляет собой поэтому край
В,е неблаrодарную задачу.
'- Существенное упрощение проблемы было найдено Дебаем. Он
предложил не учитывать анизотропию и не рассчитывать Iplmax
\ а выбирать верхний предел интеrрирования в (11.39) таким обра
30 1, чтобы получать правильпое значение теплоеМRОСТИ (11.45)
при высоких температурах. Получаемая при этом формула пестро..
ra, но приводит к правильному результату как при низких, так и
при высоких температурах. Она позволяет получать вполне при
u
ем:лемые количественные оценки и в промежуточнои ооласти Te lo4O
ператур, rде формулу Дебая можно рассматривать как интерпо
JIЯЦИОННУЮ.
Вычисление интеrрала '(11.39) можно произвести толы\o после
установления вакона связи между Ipl и Е. ДЛЯ этоrо l\-IЫ снова
воспользуемся (11.40), Rоторая при невыоRихx теl\fпературах xo
рошо выполняется. Поrреmности, возникаIощи:е при высоких теl\-Iпе
ратурах, ftlЫ учтем автоматически, коrда потребуе}l, чтобы полу
ченная формула при повышении температуры переходила в (11.45).
ДеЙствуя указанным обраЗО}I, мы снова придем R (11.41), но
верхний предел интеrрировапия должен быть теперь разумно BЫ
бран. Решение этой задачи потребует некоторых усилий. Переходя
57. 'fЕп.пОЕ:\IЕQСТЬ f\РПСТ .i\.:1.:ПIЧЕr:ЕПХ r пп тоН
269
от DIIсрrИII н частоте, ПО IУЧll l
UJ Л \ЗХ
Е Е ) ===.
I '} ..! .3
vL :)
\
,
и
11
1i ,u 2 d
40 : Т' 1 (1) {J) ·
СА1) \пwjЛ 1 )
(11.46)
3,:хесь t (t) опре;з:еляет эперrlНО (ронона, а ИНОif,птель r ехр (t ffi/xT).....
'1 J l чпсло (i;OlJOHOB н ()ДIIO 1 СОСТОЯНП1f. Оста.JIьные Ч.аеПhI этой
<J}OP IY лы опредеЛЯIОТ, C:le;.r,oll uтел ЬНО, ЧИС 10 сuстояниii. Это ЧIlСЛО
равно
U)!ЛU Х
3 '. )
'ЛТ · j 2 d 111;1':
.l \' COr'T == .' (() ffi === .
. .) 2 3 ') .. J
.::.:1 S А-;{ S
О
ПО:Iучеппое число НУiI"\ПО приравнпть ЧIIС.,lУ степенеЙ сrобо,lЫ 3N.
ПОЭТО IУ
...... 2 7\ Т ) 1 /3
UJ шах S (UJL iv ,
rде J.V чпсло атомов в едпнпце об1>е!\1а.
Выразив s через ы тах 1I, введя ero в (11.46), ПОЛУЧИ l
(1'l. 71
U)rпax
Е === fJ.J.V \ 1
ы. L
шах О
1iro 2 d
/ 1 , 1 (u (J).
ехр (1i.w х )
(11.48)
ВХО;J;ЯЩИЙ в эту фОр \IУЛУ пнтеrрал в эде lентарныx функциях не
выражается. Ч тпБыI ero упростить, BBeдe 1 ya e 3Hal\O}lYIO Ha l без--
ра3 Iерную пеРС),lенпую х:
п..ю
х == хТ ·
(11.49)
3а Iенля u) на х, получп:м
Хтах
(ч т) 4 S
Е == 91У ,;w
(1iw l11ax )3 О
B IeCTO Ютах В ФОР IУ:ТУ дЛЛ энерrии обычно вводят т е 1\1 пер а т у...
р у д е б а я, определяе IУIО q>ОР fулоii
3 а
х х
e v \' 1 ·
('11.50)
I tL(J)шах == хе D.I
Нетрудпо видеть, ЧТО B feCTo Х таХ 1\10JI\IIO писать
X max == пштах/хТ == 0 D /T.
Формула для 8нерrии тепловых колебанпЙ ПРIIНlп\,tает при ЭТОМ ВИД
(11.51)
Е 0== 9N ( :D )3 XT / ( :D )'
(11.52)
L
270
( 11.53)
rл. XI. 1\IОЛЕRУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
rде фУНКЦИЯ f.<T/8 D >. определяется выражением
6D/ T
f ( .I... ) === S х3 dx .
8 D е Х 1
u
Эта формула является окончательной. При желании из нее можно
получить формулу для теплоемкости кристаллической решетки.
rрафик теплоемкости, рассчитанной по Дебаю, приведен на рис. 120.
При высоких температурах отношение T/8 D велико, а 8D/T мало,
ТаК что
8D/T 8D/T
( Т ) S x3dx S x3dx 1 ( 8v ) 3
f ............... == ·
e D е Х 1 х 3 Т
о о
в этом случае формула (11.52), как и следует ожидать, переходит
в .< 11.45 ) .
rрафик, представленный на рис. 120 показывает, что классиче
екая формула для теплоемкости примевима не только при T/8 D :> 1,
но и при T/8 D 1 (при Т == 8 D тепло...
емкость кристалла Bcero на 50/0 отли...
чается от классическоrо значения).
При низких температурах интеrрал
( 11.53) может быть распространен до
бесконечности. Кап мы внаем, он ра...
вен n /15. Подставляя это значение в
(11.52), найдем
Е == N .л 4 ( .I... ) 3 хТ.
5 8 D
Подстановка в эту формулу значений
", О, 5 Т /е.о 1 8 D из ( 11.51 ) и Ютах из ( 11.47) пр и...
Рис. 120. Зависимость тепло. водит К (11.43). Мы убедились, таким
емкости кристалла ОТ темпе. образом, в том:, что формула Дебая
ратуры по Дебаю (11.52) правильно описывает энерrию
(и теплоемкость) кристаллической pe
mетки кап при низких, тап и при высоких температурах.
Скажем несколько слов о выборе Ютах. Мы произвели ero из
формальных соображений. Покажем, что к близким 8вачениям Ютах
приводят соображения, основанные на представлениях о зонах
Бриллюэна. Как мы знаем, предельное волновое число, COOTBeT
ствующее краю этой зоны, для линейной цепочки равно
1
сь
<:.5
'
.
"
k ma % === п/ а.
При кубической решетке это значение применимо и для трехмер...
Boro случая, а для кристаллов друrих симметрий справедливо по
58. РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
271
т а б л и ц а 7. Дебаевские те lпературы некоторых I\Рllсталлических
веществ
8D, К Вещество 8п,К
1850 Кремний 650
375 Медь 340
36С Свинец 95
Вещество
Алмаз
Алюминий
Железо
порядку величины. ]\Iы вправе поэтому ожидать, что должны вы...
полняться следующие оценочные формулы:
Ютах S I k max I == s::' snN 1 / 3 .
а
(11.54)
Сравнивая это выражение с (11.47), мы, действительно, наблюдаем
их близкое соrласие. ФОР}\ilула (11.51) позволяет перейти от оце...
ночных формул для Ютах К соответствующим: фОРl\lулам для тем--
пературы Дебая.
В табл. 7 приведены дебаевские температуры некоторых веще.ств.
58. Решеточная теплопроводность
При наличии rрад ента температуры в кристаллах, как и во всех
друrих телах, возникают тепловые потоки. Материальными носите..
лями этих потоков являются фононы. При полуколичествепныx
оценках для фононной (решеточной) теплопроводности можно при...
менять обычную формулу для теплопроводности rазов
х == сs'Л/3, '( 11.55 )'
rде х теплопроводность, с теплоемкость, отнесенная к еди
нице объема rаза, s........... скорость фононов, а л, средняя длина их
свободноrо пробеrа. Теплоемкость решетки мы научились pac
считывать в предыдущем параrрафе. Скорость звука следует счи--
тать известной.
Обсудим причины, оrраничивающие длину свободноrо пробеrа
фовонов.
При низких те:мпературах, коrда тепловые колебания невелики
И анrармоничн-ость сил, связывающих атомы в решетке, еще можно
не принимать во внимание, длина свободноrо пробеrа л, очень Be
ЛИка. При низких температурах ее величину оrраничивают приме--
си, дефекты кристалла и размеры самих кристаллов. Длина свобод--
Horo пробеrа фононов может достиrать при этом нескольких милли--
метров.
172
rЛ. XI. МОЛЕНУЛЫ И RРИСТАЛЛЫ
Рассеяние фононов на дефектах кристалла схематически изобра
жено на рис. 121. При рассеянии фонов меняет направление ДВИ
жения, не изменяя своей энерrии.
При повышении температуры на распространении звуковых воли
все больше нач.инает сказываться анrармоничность колебаний. Со--
ответствующие процессы изображены
на рис. 122. При разделении, слиянии
и столкновении фононов выполняется
закон сохранения энерrии, а закон co
хранения импульса верен с точностью
Рис. 121. Схема рассеяния до p === 2лпп/а (СМ. ( 11.33 ) и CJIe
фононов на дефекте ре--
тетки дующий за ней текст)'.
Формула (11.55) позволяет оцени--
вать теплопроводность кристаллов, если
известна длина свободноrо пробеrа фононов, и может служить для
определения этой длины, если сведения о ней отсутствуют. При
температурах, близких к аБСОЛЮТНОl\fУ нулю, теплопроводность кри"
cи,k
у..\
cs') '/
4),k
а.
..
1< '
C1I>V
о
Рис. 122. а Разделение одноrо фонона на два; б слияние двух фононов В
один; в столкновение двух фононов, приводящее к :их рассеянию
сталлов возрастает с температурой вм:есте с ero теплоемкостью,
а ватем быстро падает из за уменьшения длины свободноrо пробеrа
фононов.
r л А В А XII
ЭЛЕКТРОНЫ В RРIIСТАЛЛАХ
59. Связанные Rолебательные системы.
Разрешенные и 8апрещенны воны
В твердых телах атомы близко подходят друr к друry и не MorYT
рассматриваться как независимые. Задача о положении уровней
взаимодействующих атомов очень сложна и не может быть иссле
дована простыми методами. Основные эффекты, которые возника..
ют при таком взаимодействии, близки к эффектам, происходящим
при взаимодействии классических колебательных систем.
Рассмотрим две одинаковые классические колебательные систе
мы Х и У, например два маятника или два колебательных контура.
В отсутствие взаимодействия их движение описывается обычными
уравнениями
х + (О 2 х == О, ii + (О2у == о.
(12 1
Переменные Х и У в этих уравнениях определяют характерные для
системы изменяющиеся величины отклонение маятников или Ha
пряжение в электрических контурах и т. д. Частота колебаний ro
у обеих RОJ1ебательных систем одинакова.
«Включим» взаимодействие между системами (например, СВЯ-;
тем маятники слабой пружинкой или сблизим колебательные кон...
туры). Сила, действующая на первую систему, начнет после 8Toro
вависеть не 'только от координаты х этой системы, но и ОТ коорди
ваты у друrой"системы. В силу одинаковости систем влияние си
стем:ы У на систему Х равно влиянию системы Х на систему У.
В присутствии взаимодействия уравнен,ия движения примут поэто...
МУ вид 1).
i + ro 2 х + ау == О, jj + ro 2 у + ах == о.
'(12.2)
Чтобы решить ату систеr.IУ, следует перейти к координатам
и и v:
UIC:=X+Y, x==(u+v)/2,
v == х у, у == (а ---- v)/2.
Складывая и вычитая уравнения (12.2), о учетом {12.3)'
;; + (О)' + а) и 8ZI Oj + (щl.... а) v == о,,
,(12.3
u
наидеи
.(1 ,t )
I 1) Равенство Rовффициевтов при перекрестиых членах ДOKa8ывaeTC в
I При.поженив 111.
l
2 2 2 2
ffi 1 ffi + а, Ш2 ffi а,
(12.5)
( 12.6)'
274
rл. XII. ЭЛЕНТРОНЫ В RРИСТАЛЛАХ
Вводя обозначения
найдем
и === А 1 sin (ffi1t + ер1), v А 2 sin ( ffi 2 t + ер2).
А 1 И А 2 а lПЛИТУДЫ колебаний, ер1 и ер2 их начальные фазы.
Возвращаясь с помощью (12.3) к переменным х и У, найдем,
что колебания наших систем складываются из двух rармонических
:колебаний и и v, несколько различающихся по частоте 1).
Константы А1, А2, СР. И СР2 зависят от начальных условий. Pac
смотрим, например, случай, коrда в момент t === О колебалась толы{о
система х. Нетрудно убедиться, что в этом случае А 1 === А 2 === А и
ЧJ1 === <р2 == л/2. Тоrда
А А
х === 2 (cos ffi 1 t + cos ffi 2 t)" У == 2 (cos O)l t cos 0)2 t ).
с течением времени различие :между O)tt И 0)2t постепенно увели
чивается. При O)tt 0)2t == п колебания в системе Х затухают, а в
системе У доходят до максимума. Затем снова вся энерrия коле
баний сосредотачивается в системе Хит. д.
rлавный результат, который следует отметить, заключается в
том, что две одинаковые системы с равными собственными часто...
тами после «включения» взаимодействия характеризуются двумя
I\оллективными I\олебаниями и и v со слеrка «расщепившимися»
частотами 0)1 и 0)2.
В квантовой механике уровни энерrии осциллятора квантуются,
причем расстояние между уровнями равно энерrии перехода nffi.
Изменение частоты колебаний ro приводит к изменению расстояния
между уровнями. Расщепленные уровни энерrии, соответствующие
колебаниям и и v, являются коллективными уровнями и характе...
ризуют не атомы порознь, а систему из двух взаимодействующих
атомов.
Подобное «расщепление» частот происходит и в кристаллах, co
стоящих не из двух, а из больmоrо числа взаимодействующих меж...
ду собой одинаковых атомов. Наиболее сильно выражено расщепле...
вие «верхних» уровней, связанных с движением электронов, слабее
BOOro связанных со «своими» атомами и ближе Bcero подходящих
R «чужим» атомам 2). Рассмотрим для примера кристалл, содер'"
жащий rpaMM...aToM вещества. Rаждый из уровней в этом случае
расщепляется на 6. 1023 подуровней. При этом величина расщеп--
лепил зависит не от числа aTOl\fOB в кристалле, а от силы их связи.
1) В теоретической механике rармонические составляющие и и v носят
название нормальных колебаний.
2) Расщепление нижних уровней крайне пезначительно (волновые функ..
ции внутренних электронов практически не перекрываются!) и не приводит
к каким либо новым физическим явлениям.
59. рАзрЕшЕнныIE И ЗАПРЕЩЕННЫЕ ЗОНЫ
273
ПОЭТО1vIУ все подуровни, на ноторые расщепляется один атомный
уровень, находятся внутри неноторой полосы E, ширина которой
при не очень сильной связи оназывается существенно меньшей, чем
расстояние между соседни:ми невозмущенными уровнями. Ясно, что
распределение расщепленных уровней в полосе E оказывается
непрерывным 1). Уровни, образовавшиеся при расщеплении каждо...
ro aToMHoro уровня, образуют свою раз р е m е н п у ю з о н у. Раз...
решенные зоны разделены между собой свободными от уровней
энерrетичеСRИМИ промежутками, которые называют з а п р е Щ е н...
п ы м и з о н а м и. Зону, возникшую при расщеплении какоrо либо
уровня, принято обозначать так же, как и сам уровень.
На рис. 123 изображено образование энерrетичеСRИХ зон из
атомных уровней 18 и 28 В кристалле лития. Из рисунка видно,
<\)
fi}
::t.:
c"l)
.28
Зонtl
ЛfJоОООlJмости
,зtll1,lJ8Щ81111t.ZЯ ..........
\Зона
Jt1ЛОЛН8НIIQЯ
зона
(ОQЛ8нтная)
18
"'0
1
Рис. 123. Образование разреmенных зон из одиноqных уровней (литий). rори
вонтальными линиями условно И80браjнены квантовые состояния разрешен...
ных ЗОН. Косая штриховка отмечает уровни, ванятые электронами
что зона 28 существенно шире зоны 1s, TaR кап радиальная протя",
женность волновых функций, соответствующих уровню 28, rораздо
больше (рис. 107), чеl\1 их протяженность для 18 УРОВНЯ, и вэаимо",
действие 28 уровней проявлнется cyrцeCTneHHO сильнее. Рассмотрен...
пая картина расщепления характерна для всех твердых тел. В за...
ВИсимости от свойств HOHKpeTHoro тела меняется число, ширина и
распределение зон, но общий характер нартины не изменяется.
иизно расположенные атомные уровни переходят в твердом те...
пе в очень узние зоны, а высоко расположенные уровни образуют
зоны большой ширины. Если в твердом теле имеется нескольно
сортов атомов (например, в случае NaCI)', то возникают зоны из
уровней энерrии всех компонент. Самыми широкими оказываются
зоны, соответствующие уровням валентных электронов. Именно
поэтому у твердых источников излучения не обнаруживаются ли--
1) СJIедует иметь в виду, что уровни имеют конеЧНУIО ширину и что pac
стояние между уровнями оказывается меньше их ширины.
t
l
276
rл. XII. Э;Il!:НТРОПЫ В НРИСТ..АЛЛАХ
всйчатые оптичеСI ие спектры, харантерные для атомов, ВХО;:J;ЯЩИХ
в их состав. При наrревании твердых тел до высоких теl\lператур
появляется лишь непрерывный спектр «черноrо тела» (rл. IX).
В то же время характеристические рентrеновские спектры, возни...
кающие при переходах l\lеiRДУ очень УЗRИМИ внутренними зонами,
превосходно наблюдаются при использовании твердых тел в I{аче...
стве анодов в рентrеНОВСRИХ трубках. Связь атомов в кристалле на
характеристических рентrеновских спектрах практически не ска--
8ывается.
Следует подчеркнуть, что образование зон из аТОl\fНЫХ уровней
происходит во всех кристаллах, независимО от их типа. Различие
между кристаллами состоит не в наличии или ОТСУТСТВИIl зон, а в
расположении зон и в характере их заполнения.
Вопрос о заполнении энерrетических уровней обобществленны--
ми электронаl\lИ :кристалла принадлежит I числу кардинальных.
Как мы уже знаем, электроны являются фер:мионами и подчиня...
ются принципу Паули. Число электронов в зоне не может превзоii...
ТИ: числа и:меющихся в ней l\IeCT (или, нак часто rоворят, числа
в а к а в с ий). Поэтому важно понять, сколько вакансий И lеется
в той :цли иной зоне.
Начнем: с двух сближаIОЩИХСЯ I\олебательных систем, которые
только что рассматривались. Мы выяснили, что одинаковые до сбли...
жения частоты после «включения» взаИl\lодействия начинают рас...
ходиться. Однако число степеней свободы при этом не изменяется.
До сближения имелись две тождественные степени свободы. При
сближении систем частоты нолебаний перестают совпадать, но
число степеней свободы остается равно двум. Постоянство числа
степеней свободы нетрудно понять, заl\fетив, что это число дискрет",
но. Непрерывно производимое сближение приводит к столь же не...
прерЫВНО IУ ИЗl\lенению энерrии уровней, но не ведет к изменению
числа степеней свободы, которое может меняться только скачками.
Этот вывод справедлив и для атомов в кристалле. Уровни вразре...
шенных зонах MHoroKpaTHo перекрываются и образуют сплошноЙ
разрешенный энерrетический интервал зону. Однако число уров--
u
неи...... ч и с л о 8 Л е R т Р О Н О В, К О Т О Р ы е м о r у т п о м е с т и т ь...
с я в з о н е, о т в 8 а и м о Д е й с т в и я н е з а в и с и т и т о ч н о
и. в е с т н о: оно равно числу атомов в кристалле, умножеННО1\IУ
па чис.ло м:ест на том уровне, из KOToporo или из которых обра...
З0валась зона.
60. ПрОВОДНilКИ И изоляторы
При:меНП 1 представление о зонах и объяспению элентропроводности
твердых тел и для выяснения причин, приводящих R тому, что
О:(НИ из НПХ ЯВЛЯIОТСЯ проводпика {и, а друrие изоляторами.
l\Iы Уте знаем:, что энерrия электронов в твердых телах
ы1жетT ПрИНИl\lать значения, заключенные в разрешенных 8нерrетп--
I 60. ПРОВОДНИНИ И изоляторы
277
чеСI{ПХ зопах. 1fы отмечали, далее, что соединение атомов в твер'"
дое тело не Iеняет числа квантовых состояний. Так, в любом ато:ме
есть два 15 СОСТОЯНИЯ; после объединения N таких атом:ов в твер--
дое тело зона 15 содержит 2N состояний. В атоме лития (рис. 123)
оба СОСТОЯВIIЯ 18 заняты. 1s--зона в кристалле лития поэтому
полностью заполнена. В друrих твердых телах заполнена не одна,
а нескольКо нижних зон.
Электроны нижних зон не участвуют в проводимости по дву:м:
причинам, пз которых ка,кдая является достаточной. Первая из
IПIХ занлючается в том, что электроны, находящиеся в этих зонах,
«привязапы») к СВОИ1\f атомам (их волновая функция мала в проме...
жутке 1ежду атомами), вторая в том, что эти зоны за п о л н е..
н ы. Электроны заполненных зон не MorYT участвовать в электро"
проводности, даже если эти зоны лежат высоко и электроны об06..
ществлены.
Чтобы разобраться в этом важном вопросе, раССМОТРИ I, кап
нвантуются уровни в обобществленных 80нах. В изолированных
атомах уровни квантуются по энерrии, уrловому моменту и ero
проекции. Такое квантование уровней естественным обра30 I
следует из сохранения вектора уrловоrо момента в централь--
вом электрическом поле атома. Потенциальная энерrия электрона
в кристалле сложным образом зависит от координат (рис. 108).
Электричесное поле в кристалле нецентрально; уrловой момент
обобществленных электронов при движении не сохраняется и, ко...
нечно, не :м:ожет служить основой для квантования. Применяя для
зоц обозначения 1s, 28, 2р И т. Д., следует помнить, что буквы s
и р здесь служат указанием на соответствие между положение I
БОН и уровнями изолированных атомов и не характеризуют уrловоii
момент электронов (если не rоворить о самых внутренних электро
пах, на поведении которых объединение атомов в кристалл сказы
вается очень мало).
Расс1tfОТРИМ верхнюю из нарисованных на рис. 108 энерrетиче
СI{ИХ линий. Электрон, энерrия KOToporo лежит выше максимумов
потенциальной энерrии, свободно перемеrцается по кристаллу,
отражаясь от ero краев. Движение электрона в этом случае очень
напом:пнает обычное движение в потенциальной яме ( 9). Роль
:краев ямы иrрают rраницы кристалла. В отличие от npOCToro
случая, pacc IoTpeHHoro в 9, дНО ямы и:меет сложный рельеq),
IIаличие KOToporo вносит в явление неноторые новые черты. На пер..
БЫХ порах отвлече:мся от наличия этоrо рельефа, т. е. перейде!\'1
1\ при б л и 'н е н и ю с в о б о д н ы х э л е к т р о н о в.
Мы видели ( g), что энерrия элентрона в потенциальной я1tIВ
квантуется. Волновая функция элеl\трона И lеет вид (3.10):
'Ф === ч: 1 == А sin kx.
3аltlевяя в этом выран\ении sin kx с помощью }fНИ IЫХ экспонент,
278
rл. XII. ЭЛЕНТРОНЫ Б RРИСТАЛЛАХ
представим 'Ф Функцию в виде
'ф === С 1 е ihж + С2е ihж.
Таким образом, волновые функции электрона в рассматриваемом
приближении представляют собой совокупность двух волн, движу....
щихся налево и направо 1). Их волновые числ а служат основой для
квантования движения обобществленных электронов.
Вернемся к электропроводности твердых тел. Наличие электри
ческоrо TORa означает, что число электронов, движущихся, напри...
мер, направо, превышает число электронов, движущихся налево.
Но количества квантовых состояний, отвечающих движению направо
и налево, всеrда равны друr друrу. Если все квантовые состоя
ния sаняты, не может возникнуть никакоrо преИl\lущественноrо Ha
правления движения, не может быть, следовательно, и электриче
CKoro тока. Иначе обстоит дело в частично заполненной зове, rде
состояния с разными направлениями движения MorYT заполняться
одинаково или по разному. В качестве примера вернемся к кристал....
лу лития (рис. 123). Зона 28 в твердом литии заполнена лишь Ha
половину: в зове существует 2N состояний 2s, а у каждоrо из N
атомов лития имеется Bcero один 2s электрон; их полное число равно
поэтому N.
В отсутствие электрическоrо поля количество электронов, на...
ходящихся в состояниях, отвечающих движению в противополож
вые стороны, одинаково, и тока вет. Если приложить электрическое
поле, то движение электронов в частично заполненной зоне меня""
ется: состояния, отвечающие движению по полю, становятся энер....
rетически более выrодными и потому более плотно заполняютсн.
Rристалл проводит электрический ток. Поэтому частично заполНен....
ные зоны называются з о н а м и про в о Д и м о с т и.
Отличие проводников от непроводников, таким образом, свОДиТ....
ея к наличию или отсутствию частично заполненной энерrетиче....
екой зоны. Из сказанноrо выше ясно, почему все твердыIe теЛ8 t
состоящие из одновалентных атомов (Li, Na, К, Сп и др.), явля",
ются ПрОБодниками.
Обратимся теперь 1\ двухвалентным атомам (Ве, Mg и др.)
у которых оба s состояния ваняты. Рассмотрим в качестве примера
энерrетические зоны бериллия, изображенные па рис. 124. Зона 1$
у бериллия очень узка и полностью занята. Зона 28 тан:же 3апол....
нена, так кан оба состояния 28 в атоме бериллия заняты. На уровне
2р у ato?t-Iа бериллия нет электронов (в основном состоянии). Можно
было бы поэтому ожидать, что твердый бериллий окажется изоля....
тором. Но из рисунка видно, что у бериллия зона 2р (с 6N свобод...
выми состояниям:и) перекрывается с зоной 2s и, таким образом, из
1) Напоминаем читателям, что мы, как обычно, опускаем МНОiRитель.
e f(J)t, так что полная запись имеет вид
11' === C 1 ехр [i (kx rot)] + С 2 ехр [ i (kx + wt)].
_.!
,
60. ПРОВОДНИl\И И ИЗОЛЯТОРЫ
279
двух зон 2s и 2р образуется одна общая зона с 8N состояниями, ИЗ
ноторых занято ТОЛЬКО 2N состояниЙ. Поэтому бериллий оказыва..
.ется проводником. Анализ расположения зон в твердых телах по...
называет, что все ато}!ы с одним, двумя И треl\fЯ валентными элект..
ронами (сверх оБОЛОЧБИ инертноrо rаза) образуют твердые тела
с хорошей проводимостью,
характерной для метал
ЛОВ.
Рассмотрпу теперь
структуру зон у и 3 О Л я
т о ров. У изоляторов по
еледняя из занятых зон
валентная зона полно
СтЬЮ занята, а зона про
БОДИМОСТИ совершенно ПУ
ста. Схема расположения
зон у изоляторов изобра
жена на рис. 125.
В начестве примера
рассмотрим СТРУНТУРУ зон
У NaCI. На рпс. 126 изо
6ражены зоны кристалла N aCl, получающи,еся при расщеплении
уровня 3s натрия и уровня 3р хлора. Более низкие зоны не пред"
ставляют интереса, так как они заполнены.
30на
ПJlr60{]{j
HиCI7itJ
аЛЕНI77ная
J о/а
Рис. 125. Распо
JIОil\ение ЭllсрrеТII"
ч ских зон У изо
лнтора
1(1
<\)
2р
2
fQ
r
Рис. 124. Энерrетические БОНЫ бериллия"
Косой штриховкой указаны заполненные
электронами уровни
g{
J.o С\
Js Nt1
IQ
r
P IC. 126. Картина расположения верхних эвер.
rетических ЗGН в кристалле l' aCl
Кристалл NaCI состоит из ионов Na+ и CI . При образовании
ионов энерrия 3s уровпя натрия повышается (затрачивается энер--
1'118 на отрыв элентрона) , а энерrия 3р уровня хлора понижаеТСJl
(выделяется энерrия при присоединении электрона). Поэтому уров"
МИ 3s и 3р пересеR8ЮТСЯ и электроны уходят иа зоны Зs натрия
,
I
280
rл. XII. ЭЛЕНТРОНЫ В :НРИСТАЛЛАХ
в зону 3р хлора, rде есть 6N свободных мест. Зона 3р оказывается
до нонца заполненной, а зона 38 совсе}{ пустой. Расстоянпе между
зонами велико (1 О эВ), и спонтанный переход электронов с HJIlIt..
ней зоны в верхнюю при обычных темпе'ратурах очень мало ве--
роятен. Поэтом:у NaCI оказывается хорошим изолятором.
Изоляторы п едставляют собой системы, у которых чис.ЛО
электронов в точности равно числу квантовых состояний в за пол..
венных зонах. На примере NaCI было показно, что таное равенство
автоматически выполняется в пеноторых кристаллах.
На электропроводность кристаллов сильно влияют при:меси.
TOMЫ примесей MorYT отдавать свои электроны внезаполненную
ВОНУ или поrлощать их из заполненной. В обоих случаях возни--
кает проводимость. ТаКИАI образом, хорошими изолятораl\IИ оказы
ваются лишь достаточно чистые :кристаллы.
61. Волны Блоха
Исследуем движение обобществленных элентронов в кристалле бо-
лее внимательно. Энерrетические уровни электронов определяются
из уравнения Шрединrера
А2
2т L\,p (r) + V (r) '1' (r) == E'I' (r)7J (12.7)
rде 'Ф........ волновая функция электрона, V (r)' ........ ero потенциальная
энерrия в элентрическом поле решетки, а Е ero полная энерrия.
Рассмотрим свойства этоrо уравнения в декартовой системе коор--
динат.
Оператор Лапласа, стоящий в первом члене формулы, является
дифференциальным оператором и от выбора начала координат не
зависит. Потенциальная энерrия, ВХОДЯЩ,ая во второй член левой
части уравнения, представляет собой периодическую функцию ко..
ординат, поскольку
V(r+a)== V(r)',
:< 12.8 I
rде а любой целочисленный вектор трансляции.
Введем новую систему координат, смещенную относительпо Ьта..
рой на а. Векторы р (с проекциями , 11, t) в новой систем&
координат получаются из старых векторов r с помощью очевидной ;
формулы
р == r + а.
{ 12.9):
'i' функция электрона в новой системе координат может быть n
лучена с помощью уравнения m рединrера, ааиисанвоrо в ВТОЙ; си...
стеме координат:
12
2т L\,p (р) + V (р) '1' (р) == Е'I' (р).. (12.10)
Леrко видеть, что уравнения ,(12.8) .н (12.101 не отличаются ОДИ()
I 61. ВОЛНЫ БЛОХА
281
от друrоrо, поскольку
а2 а2 82 д 2 д 2 д 2
I1 T =- дх2 + ду2 + az 2 == д 2 + дч2 + дь 2 == I1PJ
V (р) == V (' + а) == V (r).
Уравнения (12.8 и (12.10), таким образом, идентичны. Это оз
пачает, что их решения можно выбрать так, чтобы они отличалисъ
только числовым множителем. Обозначим ero Са (величина множи....
'Iеля, вообще rоворя, зависит от вектора трансляции а). Имеем:,
следовательно,
'1' (r + а) === Са'!' (r).
(12.11)
Самый общий вид функции, удовлетворяющей (12.11), имеет вид
1р (r) С:: Uk (r) e ikr , (12.12)
rде Uk (r) периодическая (с периодом решетки) Фуннция r.
Убедимся в том, что функция (12.12) действительно удовлетво
ряет уравнению (12.11). При замене r на r + 8 функция Uk не
:меняется, а функция eik приобретает :множитель C k == eika"1 который
является числом, зависящим от 8. Если повторить трансляцию m
( 'k8 ) m
раз, то уравнение (12.12) приобретает множитель е'" 11) как и
должно быть. Наше утверждение, таким образом, доказано.
Функции (12.12) носят название Ф у н к Ц и й Б л о ха. Э;кспо--
ненциальный :множитель функции Блоха соответствует обычной
плоской волне.
Эта волна :модулирована периодической функцией Uk (r), :которая
зависит от структуры кристаллической решетки, от волновоrо BeK
тора k и, вообще rоворя, от некоторых друrих параметров (напри--
мер, от поляризации волны).
Появление периодической функции Uk(r) :в r(12.12)' является
вполне естественным, так как электроны кристалла распространи....
ются не в однородной среде, а в среде с периодически изменяющей--
ея потенциальной внерrией. К одним областям они притяrиваютси,
а от друrих отталкиваются. Поэтому плотность электронной волны
в кристалле периодически меняется (пропорционально I Uk (r) 12)8)
Она велика в «ямах» и мала «на холмах» потенциальной энерrии.
Как мы уже знаем, в кристаллах все физические величины
являются периодическими функциями волновоrо вектора (и имnyль....
са). Значения k принято приводить К первой зоне Бриллюэна.
В этой воне следует выбирать как значение волновоrо числа, 'так и
импульса......... точнее rоворя, квазиимпулъса......... электрона.
Нан показывает более подробное рассмотрение (см., например,
виже текст, набранный петитом), решения уравнения (12.1),
удовлетворяющие всем необходимым требованиям (однозначности,
непрерывности, rладиости и конечности), MorYT быть найдены не
при всех 8наечниях Е. Те 8начения Е, при которых уравнение
.i 19 п. л. rOJJЪДИВ. r. и. Во..кова
i
I
282
rл. XII. ЭЛЕRТРОНЫ В RРИСТАЛЛАХ
Шрединrера и:м:еет такие решения, образуют области, называемые
разрешенными зона IИ, а области, в которых решений нет, называ...
ются запрещенными зонами энерrии. :к этому результату мы уже
приходили с друrой ТОЧБИ зрения.
Исследуем функции Блоха более подробоно. Рассмотрим уравнение Шре--
.дrrnrера (12.7). Для простоты орrаничимся одномерным случаем. Как обычно,
умножим уравнение на 2mj1i,2 и введем обозначение
2т 2
t! [Е V (х)] == х (х). (12.13)
Уравнение Шрединrера примет вид
d 2 ф 2
""2 + х (х) '" == о.
dx
(12.14)
Входящая в это уравнение функция х 2 (х) может, вообще rоворя, сложным
()бразом зависеть от х. Важно, однако, что в силу периодичности кристалла
х 2 (х + а) == х 2 (х) (12.15)
для всех х. Здесь а период кристаллической решетки.
Линейные дифференциальные уравнения BToporo порядка с периодиче.
СI\ИМИ коэффициентами носят название уравнений Матье и, вообще rоворя,
аналитически не решаются. Некоторые важные их свойства, однако, леrко
MorYT быть установлены.
Покажем прежде Bcero, что среди решений (12.14) всеrда имеются два
нсаависимых решения Ф1 (х) и Ф2(Х), которые при смещении на х == а не ме-
няют cBoero вида, а просто умножаются на некоторое число. Так как при
замене х на х + а уравнение (12.14) не изменяется, для доказательства Д о с т а..
'т о Ч Н о п о к а з а т ь, ч т о с у Щ е с т в у ю т Д в а р е m е н и я, у к о т о р ы х
н а ч а л ь н ы е у с л о в и я, т. е. значения самой функции и ее первой произ.
водной, о Д н о в р е м е н н о у м н о ж а ю т с я н а н е к о т о р о е ч и с л о.
При доказательстве будем вначале исходить из двух произвольных незави-
еимыx решений этоrо уравнения '1'1 (х) и Ф2(Х), которые, вообще rоворя, ука.
заНIIЫМ свойством не обладают. Искомые решения, как и всякие решения на...
Iпсrо уравнения, MorYT быть представлены в виде линейной комбинации этих
.двух решений. Опуская индекс при искомом решении, запишем поэтому
Ф(х) == b 1 'l'1 (х) + Ь 2 Ф2(Х). (12.16)
Для упрощения расчетов выберем в качестве Ф1( х) и Ф2(Х) решения, облада..
к)щие тем свойством, что в начальной точке хо
, I
'i'1 (хо) == 1, "1'1 (хо) == О, '1'2 (Хо) === О, '1'2 (Хо) == 1.
( 12 . 1 7)
Здесь и ниже штрихами обозначены производные по х. Подставляя эти ана..
ч(!ния в (12.16), найдем начальные зла чения Ф (х) :
Ф (хо) == b 1 ф' (хо) == Ь 2 . (12.18)
При переходе через период функция Ф и ее производная равны
Ф (хо + а) == Ь 1 Фl (хо + а) + b2'i'2 (Хо + а),
Ф' (х о + а) == Ь 1 Ф (х о + а) + ь 2 '1' (х о + а) .
(12.19)
ФУПI{ЦИЯ Ф будет обладать необходимым свойством, ссли
Ф{хо + а) == лФ(хо), Ф'(Хо + а) == лФ'(Хо),
rAe л, некоторое число (в общем случае комплексное).
( 12.20)
у.
I
r,
'1
j
1
.
61. ВОЛНЫ БЛОХА
283
Подставляя (12.18) и (12.19) в (12.20), найдем
Ь 1 'ф1 (хо + а) + Ь 2 Ф 2 (хо + а) == ЛЬ 1 "
, I
b 1 '1'1 (хо + а) + Ь 2 '1'2 (хо + а) == /\ib 2 .
Система (12.21) однородна относительно неизвестных :коэффициентов b t и
Ь2 И имеет решение в том и только в том случае, если ее детерминант равен
нулю:
(12.21)
'1'1 (хо + а) Л, '1'2 (хо + а)
I , === о.
"'1 (хо + а), '1'2 (хо + а) л
(12.22)
Травнение (12.22) является :квадратным уравнением относительно л и оп...
ределяет два решения л'1 и л'2. Для каждоrо из них система (12.21) может быть
разрешена и определяет (с точностью до постоянноrо множителя) два набора
" 11,1
решений Ь 1 , Ь 2 и Ь 1 , Ь 2 . Подставляя эти значения в (12.16), получим функ
ции Фl (х) И Ф2(Х), определенные с точностью до постоянноrо множителя.
Ото и есть искомые функции, существование которых мы, таким образом, дo
казали.
Исследуем уравнение (12.22). Раскрывая детерминант, найдем
л 2........ Л I '1'1 (хо + а) + 11'; (хо + а)] +
+ ["'1 (хо + а) 'I> (хо + а) "' (хо + а) "'2 (хо + а)] == о. (12.23)
Покажем прежде Bcero, что стоящее во второй квадратной скобке выражение
равно единице. Это выражение равно значению, которое принимает в точке
O + а функция
I ,
f (х) == '1'1 (х) '1'2 (х) ........ '1'1 (х) '1'2 (х).
Вычислим производную этой функции. Дифференцируя f(x), найдем
f' (х) == '1'1 (х) "'; (х) ........ 'I' (х) '1'2 (х) == 'i'1 (х) х 2 (х) Ф2 (х) ........ х 2 (х) '1'1 (х) '1'2 (х) == о..
При вычислениях мы воспользовались тем, что функции '1'1 (х) И 'Ф2(Х) явля
ются решениями уравнения (12.14).
Таким образом, функция '(х) просто является константой. С ПОl\lОЩЫ()
(12.7) нетрудно убедиться, что в начальный момент, а следовательно, и Bcer...
да она равна единице.
Уравнение (12.23) принимает теперь окончательный вид
л 2 Л [ Ф 1 (х О + а) + 'ф (х о + а)] + 1 == о. (12.24)
Введем обозначепие
,
'i'1 (хо + а) + Ф2 (хо + а) === 2С.
( 12.25}
Rорни (12.24) равны
Лl.2 === С + УС 2 1.
( 12.26}
Рассмотрим прежде Bcero случай, Rоrда ICI > 1. При этом оба значения
л действительны, причем ни одно из них не равно единице. В этом случае ре...
шения Ф. (х) и Ф2(Х) при переходе через каждый период решетки умножают...
ся на действительное число, не равное единице, т. е. либо неоrранпчепно убы...
вают, либо неоrраниченно возрастают (что соответствует движению навстречу
затухающей волне). Общее решение уравнения Шрединrера может быть пред...
ставлено в виде линейной :комбинации Фl (х) и Ф2(Х) И обладает тем же свой...
ством. В этом случае электронная волна не может беспрепятственно распр
страняться по кристаллу, что соответствует э а п р е щеп н о й 3 О Н е.
19.
284
rЛ. XII. ЭЛЕКТРОНЫ В НРИСТАЛЛАХ
При 1 с I 1 удобно lI0..10iHIITb
С == COS v,
{'де 'v новая константа. IIMeeM при этом
л'1.2 == e:f:iV.
( 12.27)
( 12.28)
в этом случае решения Ф 1 (х) И Ф 2 (х) при смещении на период решетки не
изменяют своей величины и просто умножаIОТСЯ на фазовый множитель
(12.28). Случай I с I 1 соответствует раз реш е н н о ii з о н е.
ФУПRЦlIII Фl и Ф2 при переходе через период решетки умножаются соот...
ветственно на МНОЖlIтели ехр (:i::iv). Запишем эти решения в виде
Фl,2 === Uh:t (х) e:f:ikx,
I'де k выбрано так, что
(12.29)1
( 12.30)
(12.12) (в од...
k == v/a.
Найденные решения совпадают по форме с функциями Блоха
номерной записи).
Множитель ехр (:i::ikx) обеспечивает пужное изменение Ф при смещении
ва период. фУНI{ЦИЯ Uh(X) должна поэтому возвращаться к своему исходному
значеНИIО, т. е. быть периодической. Нак уже отмечалось, эта функция (вер.
нее, квадрат ее модуля) определяет изменение элктронной плотности внутри
ячейки кристалла. Она модулирует по амплитуде и по фазе 1) плоскую волну,
которая описывается экспоненциальным :множителем в (12.29). Определенная
,формулой (12.30) величина k является с р е Д н и м в о л н о в ы м ч и с л о м
электронной волны.
ПРОИ8вольное решение уравнения (12.14) является линейной коМбина....
цией волн Блоха Ф 1 и Ф2, ДВИiНУЩIlХСЯ В разные стороны (в тррхмер..
вом случае наложением волн, распространяющихся во всевозможных на..
правлениях) .
Полученный нами результат содеРrКИТ, таким образом, два утверждения.
Первое из них состоит в том, что электронная волна, распространяющаяся в
нристалле, описывается пе простой плоской волной, а волной, модулирован
пой по амплитуде (и по фазе). Этот результат является вполне естественным,
и ero можно было предуrадать заранее. Второе утвеРrкдение состоит в том, что
энерrия электронов, распространяющихся в кристалле, может принимать не
любые значения, а лишь значения, лежащие в области разрешенных зон.
Исследуе:\-I точки перехода из запрещенной зоны в разрешеННУIО и из раз..
решенной' в запрещенную. Нак ясно из (12.26), такие переходы происходят в
точках С 2 с: 1. Это означает, что при движении через разрешеННУIО зону С ме..
няется от 1 до +1 или от +1 до 1, а v, в соответствии с (12.27), от л
ДО +п или от 1& до зt. Сопоставляя этот результат с (12.30), мы приходим К
еще ОДНОМУ важному выводу.
Переходы между запрещенными и разреmенпы'"
м и з о н а 1\1 и про и с х о Д я т п а r рап и цах 3 О Н Б р и л л ю э н а,
Т. е. при ВОЛНОВО -I числе, соответствующем rранице зон Бриллюэна,
волны пере стают распространяться в I ристалле. Аналоrичная си
туация имеет место при отражении рентrеновских лучей. В самом
деле, из оптики рентrеповских лучей известно, что элеI\тромаrнит'"
вые волны плохо проходят через нристалл (отраjнаIОТСЯ от пеrо)
1) Периодические функции Uk:f;, вообще rоворя, комплексны. 11х амплиту.
да определяет изменение электронной плотности, а фаза отклонение реаль-
вой фазы э:rектронной волны от равномерно меняющейся фазы плоской вол-
вы. Содержащееся в иАж пеРИО;J.ическое изменение фазы вас в дальнейшем ив-
..ересоватъ ие будет.
р
I 61. ВОЛНЫ БЛОХА
285
при выполнении условия Брэrrа Вульфа
2d sin е === п"л.
( 12.31):
в ОДНОl\IерНОl\1 случае каждая кристаллическая ПЛОСН.ость изобра...
i!{ается точкой и распространяющаяся ВДОЛЬ линии точек волна
движется вдоль этой линии, так что е == л/2. 3аl\lеняя d на а и л
на 2л/k, найде I, что отражение волн наступает при
1t л1i
k а п, р а п 1J (12.32)
. е. KaI раз на rраницах ЗОН Бриллюэна.
Полученные соотношения справедливы не только для электро
маrнитных, но II ДJIЯ Лlобых ВОЛН. В самом деле, из (12.32 ) следует,
что
Разность хода между волнами, отраженными от соседних кристал
лических плоскостей, равна 2а === пл. Иначе rоворя, все отраженные
волны находятся в фазе и усиливают друr друrа. Ясно, что это
условие является вполне общим и не предполаrает, что paCCMaT
риваемая волна является именно электромаrнитной. При СИЛЬНОl\I
{)траiкении волна не может распространяться в кристалле, что ха...
рактерно для запрещенной зоны. Rал дая запрещенная зона COOT
ветствует векоторому диапазону из... \
ы1ненияя энерrии и одному......... бреr... \
rOBcKoM:Y значению импульса.
Проследим связь между им пуль...
СОМ электрона и ero энерrией.
На рис. 127 изображена обыч...
пая параболическая зависимость
эперrии от импульса, характерная
для СБободноrо электрона. При
наличии периодическоrо поля в
точках, удовлетворяющих COOTHO
mению (12.32), возникают вапре...
'щенные полосы (рис. 127 харак",
б Рис. 127. Энерrия и ИМПУ лье поч
теризует случаЙ очень сла oro пе... ти свободноrо элеI ТрОIIа в кри"
риодичеСН.оrо поля, коrда изменяет... еталле
,ся не вся Бривая Е == Е (р) , а только
учаСТКII, прилежащие к rраницам ЗОН Бриллюэна). 3ависим:ость
.энерr:ии от Иl\fпульса в этих точках искажается (разрывы в СПJIОШ
ной крпвоi"'I), приче:м НИI аких запрещенных областей Иl\lпульса не
ВО3НИI{ает, а запрещенные энерrетические зоны соответствуют rpa
вицам зон Бриллюэна.
Участки параболической кривой, соответствующие второй зоне
Бриллюэна, МОЖНО сместить в первую зону (как мы уже знаС I,
закон сохранения импульса в кристалле выполняется с точностью
]1-0 2л1iп/а). Такая процедура проделана на рисунке (mтрихпунктир"
а === nл/2.
I
I
Е l
f 1
, I
I I
. : 71t1 "!Zt1{ILен.f(f1 зона
\ PaJIffieHHa/1 :
I / 8IJ u.. I
I \,
I 1 · · I
I I
I i
I
2 п " р
(J
286
rл. XII. ЭЛЕRТРОНЫ В RРИСТАЛЛАХ
ная кривая). Та же операция может быть проведена и с участк,ми
кривой, расположенными в следующих разрешенных зонах. Кривая
зависимости энерrии от импульса при этом целиком умещается в
первой зоне Бриллюэна, но содержит неСКОЛЬRО ветвей. Мы видим,
таким образом, что два совершенно разных подхода теория, OCHO
ванная на исследовании поведения электронов, которые сильно
связаны в своих атомах ( 60), и теория «почти» свободных электро
нов, ДВИЖущихся в периодическом поле (настоящий параrраф),......- 1...... . ".
приводят к одинаковым выводам. Это совпадение заставляет дy
мать, что полученные результаты имеют очень общий характер и
должны выполняться в любых кристаллах. В частности, ФОРМУЛЫ t
связывающие энерrию и импульс электронов, и вся динамика элект...
ронов в кристалле совершенно не похожи па соответствующие
формулы и динамику свободных электронов. Опыт хорошо под
тверждает эти выводы.
62. Динамика электронов в кристалле.
Электропроводность кристаллов
Нак мы уже моrли убедиться, эперrия и импульс элеRТРОНОВ в
кристаллах, вообще rоворя, связаны между собой сложным з а к o
н о м Д и с пер с и и, а не привычным соотношением Е == р2/2т, xa
рактерным для классической физики. При расчете движения элект
ронов нужно исходить непосредственно из закона дисперсии.
Основной закон движения электрона, записанный в НЬЮтонов
екой форме, имеет вl!д
dp
dt == F.
(12.33)
Это уравнение позволяет находит импульс (вернее --- Rвазиимпульс)'
электрона, если известны действующие па Hero силы (маrнитные
и электрические). Вычисление импульса является первым maro?t-I
в решении задачи о движении электрона. Следующий шаr состоит
в том, чтобы по найденному импульсу рассчитать скорость и коор"
динату. Знание координат позволяет найти силы и, таким образом,
замкнуть решение.
Скорость электрона равна rрупповой скорости соответствующей
волны Блоха. Переходя от ro и k к Е и р, найдем
dr dш d/1.-
v === ===
d t п... dp ·
Формулу (12.34), содеРiкащую диффеРНЦИРОJJзние по вентору,
нужно понимать как сокращенную ::запись формул V x == OE/dpXt
И т. д. Rоординаты электрона находится путеl\f интеrрировапия
(12.34). Формулы (12.33) и (12.34) возвращают нас от :кристалла
с ero сло,ННЫl\:I УСТрОЙСТВОl\1 и ВОЛII Блоха к динамине одиночпых
электронов.
(12.34)
I 62. ДИНАМИRА ЭЛЕНТРОНОВ В НРИСТАЛЛ:Ш
287
!
Разберем некоторые простые примеры.
Пусть закон дисперсии электрона (т. е. зависимость ero энер
rии от импульса) имеет вид, изображенный на рис. 128 (одномер--
пая задача), и электрон находится в точке 1. В этой точке ero
импульс и энерrия равны нулю
и скорость v === dE/dp также
равна нулю. Подействуем на
электрон постоянной силой F,
направленноЙ, например, впра
во. ФОРl\fула (12.33) показыва...
ет, что ero Иl\IПУЛЬС будет мо'"
потонно увеличиваться, а зна... 1Iл/а
чит, электрон начнет смещать... Рис. 128. Модельный аакон дисперсия
ея вправо по :кривой на для электрона в кристалле
рис. 128. Ero энерrия вначале
возрастает. Bl\IeCTe с вей увеличивается скорость. В точке 2 ско"
рость (наклон :кривой Е == Е (р» достиrает максимума. При даль...
нейшем деЙствии силы электрон начнет приближаться R точке 3.
Ero импульс и энерrия продолжают расти, а скорость (наклон кри",
вой dE/dp) падает. На rранице зоны Бриллюэна (точка 4) электрон
останавливается. Фазовая скорость волны пl>и этом остается поло
жительной.
Продолжи:м воздействовать на электрон той же силой. 'у правой
rраницы зоны Бриллюэна происходит процесс переброса, и электрон
«перескакивает» к левой ero rранице из точки 4 в эквивалентную
ей точку 4' (напомним:, что из импульса частицы всеrда можно
вычесть 2'Лh/а). При дальнейшем движении скорость м:еняет знак
(движение направо сменяется движением налево), а энерrия ум ень...
mается. Электрон начинает все быстрее двиrаться влево. В точке 5
он замедляет свое движение и, дойдя ДО точки 1, останавливается.
При изображенном на рис. 128 заБоне дисперсии Д в и ж е н и е
электрона под деЙствием постоянной силы носит
н е р а в н о у с к о р е н н ы Й, а к о л е б а т е л ь н ы й х а р а к т е р.
На приведенном примере мы старались показать, какие кар'"
динальные изменения вносит в динамику частиц кристаллическая
решетка. Остановимся на их причинах. Переход от обычных урав--
непий Ньютона к уравнениям (12.33), (12.34) связан, конечно, не
с тем, что кристаллическая решеТl\а видоизменяет законы механи...
ни. Дело заключается в друrом. Привычный l"Iетод решения СВО'"
ДИТСЯ к ТОЬfУ, чтобы рассматривать движение электрона в суммар--
ном поле, создаННОl\1 как внешнимИ силами, так и зарядами эле кт...
ронов и ионов, входящих в состав нристалла. Такой подход труден
или даже невозможен. Однако окааывается ВОЗl\IОЖНЫМ переписать
уравнения Ньютона, оставив в их правой части одни только внеш..
ние силы. 3а это приходится расплачиваться изменением уравне--
пий....... переходом к уравнению (12.34). При таком подходе свойства
кристаллической решетки включаются в уравнения движения. Это
Е
J
?
t. .. . . . j
F
.............
"пl а
р
..
288
rл. XII. ЭЛЕНТРОНЫ в RРИСТАЛЛАХ
делается с помощью закона дисперсии Е == Е (р)' t форма KOToporo,
в принципе, может быть рассчитана, но, как правило, определяется
экспериментально.
В окрестности точек Е == Emtn (точка 1)' и Е === Етах (точки 4 и
4' на рис. 128) зависимость энерrии от импульса в первом прибли
жении носит квадратичный характер. В окрестности точ:nи 1 она
может быть изображена в виде
Е == р2/2т* (12.35)
(коэффициент параболы 1/2т* > О)., а в окрестности точек 4 и 4'
Е == Е + (р Р4)2 Е == Е , + (р р,е )2 ( 12.35' )
4 2т *' 4 2т *
(ноэффициент параболы 1/2т* < О).
В обоих случаях формула (12.34)' приобретает привычный вид
v === р/т* t (12.36);
если отсчитывать импульс от вершины параболы. При таком отсче
те импульса формулы (12.35), (12.35') и (12.36) совпадают с обыч.
выми формулами классической механики. Однако вместо массы
свободноrо электрона те в них стоит ero 8 Ф Ф е к т и в н а я :м: а с с а
т*, которая в центре воны положительна, а у Нраев......... отрицатель--
на. При слабой связи, изображенной на рис. 127, эффективная мас...
са электрона в центре зоны близна к массе свободноrо элентрона.
В реальных случаях связь не слаба, и эти массы MorYT отличаться
в десятки и даже сотни раз.
Формула (12.35) описывает зависимость энерrии от импульса
вблизи минимума потенциальной энерrии лиmъ в изотропном слу
чае. Если кристалл не изотропен (не обладает кубической сим
метрией) , то эта зависимость имеет более сложный вид:
2 2 2
Е... р: + p + р: . (12.35")
2т х 2т у 2т z
Эффективная масса электрона при этом вависит от направления.
Вместо (12.36) имеем
Рх == т:v x , ру 1с2 m:vy'IJ pz -= m:v z . (12.36')
В качестве BToporo примера рассмотрим циклотронный резонанс.
Исследуем движение электронов кристалла в постоянном о,ЦИород..
ном маrнитном поле. Направим ось Z вдоль вектора маrпитноЙ'
индукции В. Будем считать, что электроны описываются приведен--
ной массой т*. (Это заведомо так, если кристалл принадлежит-
к кубической системе и число электронов в 80не невелико, так
что все они умещаются вблизи дна воны.) Вместо уравнения (12.34 \
можно в этом случае применятъ (12.36). При этом уравнение
, (12.33} приобретает вид
· tJ
m*v 1::8 [vB).
с
(12.37)
:1;'.
i
.
.
. .
' .i
f.'t,'
:j. ,
1Ж:_
.
: ,
J f
'
I 62. ДИНАМИRА ЭЛERТРОНОВ В RРИСТ АЛЛЕ
289
.
Для компонент v имеем 'д === ЮсV и , v и === roсVж, V1. == О, rде
еВ
ЮС === "
т*с
(12.38)
Решение этих уравнений и:мет вид
V z == Vo sin юсt, v и == V o сов юсt, v& == const.
'( 12.39I
Электроны движутся по спирали, ось которой совпадает снаправ...
лением вектора В. Направление вращения определяется знаками
е и т*. Частота (12.38) называется циклотронной частотой.
Электронный циклотронный резонанс можно наблюдать на электро'"
пах, располаrающихся как у нижнеrо, тап и у BepXHero краев зоны.
Величину т* и знак е/т* можно определить с помощью про-
CToro эксперимента. Для этоrо достаточно вдоль вектора В напра-
вить на кристалл циркулярно поляризов_анную электромаrнитную
волну. При частоте, равной Юс, наступает сильное поrлощение
вследствие циклотронноrо резонанса. ПоrJIощение наблюдается
лишь при одном из двух возможных направлений циркулярной по-
ляризации. По найденной частоте иа (12.381 можно определить эф--
фективную массу электронов.
На динамику электронов в кристалле оказывают существенное
влияние дефекты кристалла и примесные атомы, на которых MOjI\eT
рассеиваться электрон
ная волна. Не меньшее
значение имеет рассея--
ние на фононах. Осо--
бенно сильно ово про--
является при высоких
температурах, коrда rL
фонопов MHoro. Рис. 129. Схемы рассеяния электронов на
Харантерные rpa. фононах
фики рассеяния приве..
дены на рис. 129. На рис. 129а изображено рассеяние электрона,
приводящее к возникновению фонона. Возможен и обратный про...
цесс поrлощение фонона электроном. На рис. 1296 приведена
схема рассеяния фонона на электроне. Во всех этих процессах со..
храняются энерrия и импульс (с учетом явлений переброса).
Как всеrда, процессы рассеяния характеризуются длиной л, и
временем 't свободноrо пробеrа (это время часто называют в р е м е...
н е м р е л а к с а Ц и и). с ИХ помощью можно рассчитать электро",
проводность и электронную теплопроводность кристаллов. Расчеты
особенно просты в тех случаях, коrда электронов мало и их дви--
теиие рассчитывается с помощью эффективной массы.
Рассчитаем для примера электропроводность :металлов. Под
действиеl\! электрическоrо поля Е электроны, находящиеся в во...
Не проводим:ости, приобретают ускорение еЕ/т. и скорость eEtlт ,
р,Е
Ir,(j)
5
290
rл. XII. ЭЛЕRТРОНЫ В RРИСТАЛЛАХ
Производя усреднение по всем электронам, найдем
еЕ
V cp == т* l' "
( 12.40)
rде 't среднее время свободноrо пробеrа.
Среднюю скорость электронов V cp обычно называют с R о Р О С Т Ь Ю
Д рей Ф а. Как мы видим, СI\ОрОСТЬ дрейфа пропорциональна Ha
пряженности поля Е. Ifx отношение называется п о Д в и ж н о с т ь ю
электрона 1) и:
еТ
и === ........
т
(12.41)
Используя (12.40), можно получить Фор:мулу для электропроводно...
сти металлов. В соответствии с законом Ом:а удельная проводимость
о связана с плотностью тока j соотношением (J === j/E == пevcp/E, rД6
n концентрация электронов. С помощью (12.40) и (12.41) найдем
пеи ер е 2
а с=: === N'! :=:: епи.
Е ,п*
(12.42)
Нак мы видим, столкновения электронов приводят к тому, что под
действием постоянной силы электроны приобретают не постоянное
ускорение, а постоянную среднюю скорость. В этом смысле иове...
дение э л е к т р о н н о r о r а 3 а в кристалле не отличается от по...
ведения обычноrо rаза и описывается привычными формулами ки",
нетической теории. Различие состоит только в том, что в формулы
входит не обычная, а э Ф Ф е к т и в н а я масса электрона (если кон...
центрация свободных электронов невелика и можно вообще поль
80ваться понятием массы).
В заключение рассмотрим влияние температуры на электропро--
.водность. Это влияние может проявляться через изм:енение n и
Т а б л и Ц а 8. Удельное электрическое co
противленпе (10 6 ОМ, СМ) для A11I Си при разных
температурах
Т, ос АI Си
200 0,6 0,16
100 1,5 0,9
О 2,5 1,5
100 3,9 2,3
400 8,0 4,0
1) Термином «подвижность» в литературе называют две разные по ра8-
мерпостям величины: коэффициент пропорциональности между скоростью
дрейфа частиц и действующей на них силой и между скоростью дрейфа и на..
пряженностъю 8лектрическоrо поля. Мы здесь применяем этот термин во BT
ром смысле.
'f
. .
'1
-f.t
g 63. ЭЛЕRТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ
291
изменение 1'. В металлах проводимость связана с присутствием
электронов в зоне проводимости. Их плотность п мало зависит от
температуры. Основную роль иrрает уменьшение 't при наrревании.
Время релаксации 't с температурой уменьшается из за увеличения
числа фононов. Приведем таблицу с экспериментальными дaHHЫ
МИ, иллюстрирующими зависимость электрическоrо сопротивления
от температуры, для двух металлов алюминия и меди.
В полупроводниках, т. е. в кристаллах, бедных электронами, pe
тающую роль иrрает увеличение n (свойствам полупроводников
посвящена rл. XIII).
63. Электроны в металлах
.
До сих пор :мы исследовали явления, которые MorYT быть поняты
путем анализа движения «одиночных» электронов, не оказывающих
существенноrо влияния друr на друrа. Во мноrих практически важ--
БЫХ случаях такое влияние, однако, иrрает важную или даже
определяющую роль. Взаимное влияние эцектронов прежде Bcero
сказывается через принцип Паули.
Начнем с оценки. Электроны подчиняются статистике Ферми.
Распределение Ферми изображено на рис. 84 и описывается фор--
мулов {8.191:
1
nе == ехр (Е....... J.t )/хТ) + 1 ·
(12.43)
Здесь nе среднее число электронов в одном состоянии, Е энер--
rия состояния, Jl константа (на самом деле...... слабая функция
температуры), носящая название э н е р r и и Ф е р м и. Число раз--
решенных состояний g (Е) dE в объеме V в интервале энерrии dE
можно найти с помощью формулы (8.9),:
( Е ) dE === 2V 4пр2 ар dE.,
g (2лn' ) 3 dE
Число 2 заменяет для электронов множитель '(21 + 1 J, определяю
щий число спиновых состояний.
Найдем энерrию Ферми при Т == О для металла, у KOToporo в
80не проводимости имеется один электрон на атом. Приходящееся
на единицу объема число атомов, а следовательно, и число элект...
ронов в зоне проводимости для всех металлов по порядку величи
ны равно N ,..., 1023 CM 3. ИЗ (12.43) следует, что при низких темпе
ра турах заняты (n в == 1) все уровни с Е < J1 и свободны (n в=== О)
все уровни с Е > f.1. Примем для оценки, что электроны в металле
свободны (что их энерrия и импульс связаны между собой обычной
формулой Е == р2/2т, rде т масса элентрона) . Интеrрируя (12.44)
от --..нулевой энерrии до эперrии Ферми, найдем, что концентрация
( 12.44)
292 rл. XII. ЭЛЕНТРОНЫ в RРИСТАЛЛАХ
J.L
Dлектронов (1/V) S g (Е) аЕ равна
о
3
4 'ЛРF 8 'л 2 ) 3/2
lУ == 2. 3" . .. 3 === 3 3 (lпf-t ·
(2 л !1- ) (2л 1i )
(12.45)
Разрешим: полученное выраiI ение относительно f.1 и подставим в.
Hero принятое значение N:
J.t === 2 1 (3л2Ji3N)2/3 5 эВ.
lп
(12.46)
Напомним, что энерrии 5 эВ соответствует те:мпература ополо>
50 ТLIСЯЧ }{СJIЪВИJIОВ. Таким обраЗО I, энерrия Фер 11I во 1vIHoro раз
преIfыIаетT те:мпературы, при которых существуют твердые тела..
Наша оценка показывает, что сделанное в начале расчета предпо--
ЛОiкение о то:м, что Т О, на са:мом деле является ЛИШНИl\{, так как
J.t всеrда MHoro больше 'КТ. Таким образом, при любых те Iперату---
рах, при которых металлы существуют в твердом виде, э л е к т р о H
ный rаз в !еталлах СИЛЬНО вырожден: все нижние
состояния зоны u J>ОВОДИМ:ОСТИ, вплоть до Jl, заняты, все более BLI
сокие свободны, а между ним:и находится узкая область шириной
порядка хТ, в которой имеются частично занятые состояния. ЭлеЕТ--
роны, заНИl\fающие эту область, и только они перераспределя--
ются при различных физических процессах.
Из сказанноrо ясно, что в физике :м:еталлов важнейшую роль
иrрают электроны, энерrия которых близка :к энерrии Ферми. Эти
электроны располаrаются вблизи п о в е р х н о с т и Ф е р м И по...
верхности Е == Jl в k.. (или р--) пространстве.
Поверхность Ферми сохраняет периодичность волновоrо числа
(или квазиим:пульса) и состоит из повторяющихся rеометричеСНIIХ
фиrур, которые MorYT иметь самые разные формы. На рис. 130
изображена поверхность Ферr.IИ для меди. Элементы поверхности
имеют почти сферическую форму. HaMHoro более сложный вид име
ет поверхность Ферми у свинца (рис. 131). Большая или меньшая
сложность поверхности Ферми зависит от си?tlметрии кристалличе
ской реrпеТRИ и от плотности электронов.
Высокая концентрация электронов в зоне проводимости сущест
венно сказывается на большинстве физичеСI\ИХ свойств l\lеталлов.
Однако она почти не влияет на теплоемкость металлических кри
сталлов. При достаточно высоких температурах теплоемкость как
диэлектриков, так и металлов неплохо описывается формулой Дю
лонrа и П ти (11.45), в которой учтены толы{о те степени своБОДЫ t
которые связаны с движение1\I атомов, и не ПрИНИ1\lаются во внима
иие электроны. По классичеСКИl\f представлеНИЯl\1 их присутствие
должно было бы, rрубо rоворя, удваивать теплое IКОСТЬ, чеrо на
самом деле не происходит.
Причина, мешающая электронам проводи?tfОСТИ вносить вклад в
'1'еплоемкость, заключается в ИХ в ы р о ж Д е н и и. Подавляющая
)
J
:
!
t.. .I.' . ..... '. . ..
.
, ,
63. ЭЛЕНТРОНЫ В l\1ЕТАЛЛАХ
293
часть элеRТРОНОВ Бииаи не реаrирует па паrрев И:IИ охлаждение
I\ристалла, потому что их движение иэмеппться не 1\IOiHeT. Повыше
ние те:мпературы сказывается толы\о на топ части электронов,
энерrия ноторых БЛИ3Rа R энерrип Ферми. При повышеНIIИ теМ:IIе
ратуры эта область «ра3 lывается», а при ПОНIIiБении сужается.
Рис. 130. Поверхность Ферми для
меди
Рис. 131. Поверхность Ферми для
свинца
Доля этих электронов, rрубо rоворя, равна отношению «приповерх-.
HOCTHoro» объема к полному, т. е.
4пp}dPF dPF
. 3
(4/3) пр} PF
rде dpp «область размытия» поверхности Ферми. Полаrая для
оценки Е === р2/2т, dE p 2%11, найдем
dPF 1 dF F 'КТ
-==.......... ..............
PF 2 J.t J.t ·
ТаКИl\1 образом, доля электропов, учаеТВУЮIЦПХ в тепловом: движе
НИИ, по порядку величинЫ равна 3%T/Jl, т. е. при -Т 300 R COCTaB
ляет leHee 1 О/о от полноrо числа электронов. Именно поэтому при
IIормальных температурах электроны почти не вносят вклада в
теплоемкость.
Ситуация кардинально меняется при низких температурах, KO
rда теплоемкость решетки реЗI\О у:меньшается. Произведем про
стые оценки. Теплоемкость, приходящаяся на один «полноправный»
электрон, равна (3/2) х. Доля таких электронов, как l\Ibl выяснили
составляет 3xT/J.l. Концентрация электронов была обозначена
через N. Таким образом, связанная с электрона1\IИ теплоеМRОСТЬ
3 .,.3х.Т
rрубо rоворя, равна С э ::::::: 2 xN J, а электронная теплоемкость?
[
\
294
rЛ. XII. ЭЛЕНТРОНЫ в RРИСТАЛЛАХ
рассчитанная на 1 моль (N == N А), равна
) RT
Сэ,м:оль == X .
';
в литературе обычно приводится несколько друrая формула для
молярной теплоемкости электронноrо rаза:
л 2 RT
Са моль == )(...............
, 2 fJ.
(12.47)
!
'
Эта формула совпадает с полученной выше с точностью до Hecy
щественноrо множителя п 2 /9. Таким образом, теплоемкость элект..
pOHHoro rаза в :металлах линейно зависит от температуры, в то
время кан теплоемкость решетки (теплоемкость фононноrо rаза)
пропорциональна Т 3 . Поэтому при достаточно низких температурах
(порядка 1 К) электронная теплоемкость превышает реmеточную.
Вернемся к электропроводности металлов. Формула (12.42) была
выведена в предположении, что все электроны, находящиеся в
зоне проводимости, принимаю т участие в электропроводности. Не
следует ли в эту формулу внести поправоч
ный фактор 3xT/J1, подобно тому как это
Ри делалось при расчете теплоемкости? Пока
жем, что в этом нет необходимости. На
рис. 132 изображены две сферические по
верхности Ферми...... до и после Включения
Рх элентрическоrо поля. Четкие rраницы сфер
характерны для низких температур. Резуль
тат включения поля можно рассматривать
двумя способами. Можно считать, что сфера
Рис. 132. R электропро" перемещается как целое (наша «старая»
ВОДНОСТИ металлов точка зрения), а можно rоворить, что сфе
ра осталась на месте и только левая за
штрихованная лунка заменилась на правую, так что ток переносят
'ольКо электроны, расположе.нные в лунках, т. е. вблизи поверхно
сти Ферм:и «<новая» точка зрения). Из рисунка ясно, что обе точ
ни зрения в данном случае приводят к одному И тому же (по край
пей мере, качественно) результату, так что формула (12.42), не
нуждается в пересмотре.
В заключение скажем несколько слов о роли столкновений в
сильно вырожденном rазе. Леrко видеть, что такие столкновения
в большинстве случаев «зананчиваются безрезультатно». Подавляю
щая часть состояний, В которые Mor бы перейти электрон после
столкновения, YjI{e занята, так что электрон может либо перейти
В какое либо из свободных состояний с энерrией, большей Jl, что
СJIучается редко, либо остаться в своем первоначальном: состоянии.
В этом случае rоворить о столкновении не И1.1еет смысла.
t i
.
1
:У"
.
\,
r л А В А XIII
ПОЛУПРОВОДНИКИ
64. Чистые и примеспые ПОЛУПРОВОДНIIКИ
п о л у про в о Д н и к а м и н азы в а ю т с я к р и с т а л л Ы, к о т o
рые при нормальных температурах проводят элект
р и ч е с R и Й Т о к, а при н и з R И Х Т е l\{ пер а т у р а х я в л я ю T
С Я И З о л я т о р а м и. Это означает, что у них при низких темпе
ратурах самая верхняя из заселенных зон валентная зона до
конца заполнена, а следующая за ней зона зона проводимости
не содержит электронов. Между этими зонами расположена запре..
щенная зона, ширина которой часто называется m и р и н о й щ е л и.
. В отличие от изоляторов, ширина запрещенной зоны у полупровод
ников невелика. Так при комнатных температурах у rермания ши
рина щели составляет Bcero 0,67 эВ, а у кремния 1,11 эВ. По
этому при нормальных температурах тепловое движение перебра
сывает часть электронов из валентной зоны в зону ПРОВОДИМОСТII
И В обеих зонах появляется электропроводность.
Кроме rермания, кремния и некоторых друrих элементов, к по....
лупроводникам относится большое число химических соединений.
Среди них важную роль иrрают бинарные соединения, составленные
]IЗ двух атомов, принадлежащих
к разным rруппам периодической
системы: GaAs, AlSb, InSb и MHO
rие друrие.
Четкой rраницы между полу
проводникам:и и изоляторами нет.
Обычно к полупроводникам OTHO
сят вещества с шириной щели
меньше 3 эВ. Энерrетическая cxe
ма расположения зон в полупро
водниках приведена на рис. 133.
На этом рисунке изображено по Рис. 133. Схема энерrетических зов
ложение зон и расположение энер у чистых ПОЛУПРОВОДНИКОВ
rИII Ферми 1) У чистых, или, как
еще rоворят, с о б с т в е н н ы Х, полупроводнинов, т. е. JIОЛУПРОВОД
IIИКОВ, практически не содержащих примесей. Направление вверх
соответствует возрастанию потенциальной энерrии электрона. Элект--
рический потенциал возрастает в обратном направлении. Кап бу--
дет пояснено ниже ( 66), энерrия Ферми у собственных полупро
Зона
=:::..про600иностll=
Е: JнерЭllя-. Ф81! } ЗапрещеннlZЯ
F аона
алентНllЯ
аона
1) В физике твердоrо тела энерrию Ферми обычно обозначают Ер, а не р..
296
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИRИ
ВОДНИКОВ леil ИТ вблизи середины запрещенной зоны. Количество
электронов в зоне проводимости (и вакансий в валентной зоне}
составляет у собственных полупроводников ничтожную долю...........
10 10 от числа атомов. ПО9ТОМУ даже очень небольшие l\онцентра...
ции примесей, способных увеличивать или уменьшать количество
электронов проводимости, существенно влияют на электрические
свойства полупроводников. Полупроводниковая техника стала ин...
тенсивно развиваться лишь после Toro, как были найдены методы
получения веществ исключительной чистоты.
Оценим энерrию связи электронов в полупроводниках. В водоро....
доподобных атомах энерrия связи электронов выражается Формулоц
т е"
E == Z 2
2 ·
25.
I
*
.t
;;
t
в атомах, ие принадлежащих к числу водороподобных; эта формула
может быть использована в качестве оценочной. При определении
Z следует учитывать экранировку ядра вну ренними электронами
влектронной оболочки атома. При оценках МОЛ-\но полаrать Z === 1.
Радиус боровской орбиты У водородоподобных атомов определя....
ется выражением
2
а== 8J
Zm е 2
е
При оценках и в этом случае можно полаrать Z == 1.
Для кристаллов вместо массы электрона тв следует подставлять
вффективную массу т*, которая у полупроводников в несколько
или даже во MHoro раз меньше те. Рассчитанный по приведенной
формуле радиус орбиты внешних электронов оказывается сущест",
венно больше расстояния мел ду атомами. Поэтому свойства среды
для внешних электронов усредняются и в формулы должна быть
введена электрическая проницаемость 8, которая у rермания равна
16, а у кремния 12.
С учетом 8 формулы для оценки энерrии и радиуса внешних
электронных орбит в кристалле полупроводника приобретают вид
т*е 4 т* 1
Е == 13,6 2 ЭВII)
28 h. те 8
вn 2 5 8 т
r == О, .10 е см.
m*е т*
(13.1)
(13.2)
1vlы ПрИХОДИl\I, таким образом, к очень большим по сравнению
с атомными расстояниям между внешними электронами и
«своими» ионами и к очень малым энерrиям связи. Обе эти причины
приводят К тому, что внешние электроны в полупроводниках
обобществляются.
Кристаллы rермапия и кремния связаны ковалентными силами
и имеют структуру алмаза (рис. 106).. Для управления элеКТРИ4t:
.
,
i
i
j
64. ЧИСТЫЕ И ПРИМЕСНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИНИ
297
чеСRИ IИ свойствами этих полупроводников В них вводят атомы дo
норных И акцепторпых примесеЙ. Донорными ЯНЛЯIОТСЯ атомы V
rруппы таблицы l\tlенделеева (Р, As, Sb), им:еющие 5 валентных
электронов. За Iещая в решетке четырехвалентные атомы rермапия
пли I ре:мния, донорпые аТО1\fЫ леrко отщепляют от себя пятые
электроны. Этим электронам не нахо ится места в валентной зоне,
JI при нормальных температурах они населяют зону проводимости.
АТОl\lЫ элементов 111 rруппы (аRцепторные атомы) отщеПЛЯIОТ o'r
себя три электрона вместо четырех. В валентной зоне остаются пу...
с ты е 1 ее т а (в а н а н с и и) .
При введении прим:есных aTOl\'IOB распределение электро-нов по
эперrии :меняется (рис. 134). В области запрещенной зоны появля
IОТСЯ так называемые л о к а л ь н ы е у р о в н и. ДОIIорные ЛОI{аль
вые уровни располаrаются вблизи дна зоны проводимости: чтобы
отнять лишний электрон у донорноrо атома, требуется очень мало
энерrии, обычно несколько сотых долеЙ электронвольта. Анцептор
ные уровни находятся вблизи BepXHero края валентной зоны. Что
бы освободить IecTo в валентноЙ зоне, переведя электрон па аI\цеп...
торный уровень, ну}!{па энерrия, в десятки раз меньшая, чем для
переброса в зону проводи:мости. На рис. 134 изображено такжо
полол еНIIе энерrIIИ Ферми в примесIiых полупроводниках. COOTBeT
ствующие пояснения приводятся в 9 66.
Зона
=П/10t}оrlt.ll-10с ти
ЗQна
Д = пр одо t1I.LМОСтц=
онорные
уроОни ============
- .'--'. .------E
F
8алентН(JЯ
.зона
E F .......... . ............... · .
= .:::.:::::.: .::: = = = А кqеnторныб'
Валентная 'уроВна
(Зона
а
tf
:rпс. 134. Зонная диаrрамма примесных ПОЛУПРОВОДНИI\ОВ: а с донорными
l1римеснми; б сакцепторными примесями
При очень низких температурах примесные атомы ведут себя
RaR основные: они отдают В валентную зону столько же электро",
НОН, СI\ОЛЬКО вносят В нее свободных l\1IeCT. Заполнение зон остает....
ся таliИl\l же, как у собственных полупроводников. Однако уже
при очень неоодьшом повышении температуры до нескольких
десятков кельвинов донорные атомы отдают электроны в зону
u
ПрОВОДИ!\IОСТИ, а акцепторные заоирают эле«троны иа валентнои
зоны.
20 л. л. rольдин. r. и. Новииова
298
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИl\И
t 65. Электроны и дырки
I\ак уже отмечалось, в зоне проводимости полупроводниковых КрИ
сталлов имеется :мало электронов. Они расположены вблизи дна
вовы, rде :кривая зависимости потенциальной энерrии от Иl\lпульса
с хорошей точностью может быть заменена параболой. J.\;Iы ya e
выяснили ( 62), что в этих условиях электроны ведут себя }- aK
обычные «пьютоновсние» частицы с некоторой эффективной l\Iассой.
Обратимся к движению электронов в почти заподненной валент
вой зоне. Пусть для простоты В зоне нехватает Bcero одноrо элект
рона, т. е., как принято rоворить, в ней имеется одна дыр R а.
Будем отсчитывать суммарную энерrию и импульс всех находящих
ся в валентной зоне электронов от значения, достиrае:моrо при пол
ном их комплекте. (При расчете И?tlпульса это условие не BHO
сит В расчет никаких изменений, так как су:ммарный Иl\IПУЛЬС
элеI{ТРОВОВ в заполненной зоне равен нулю.) Найденные таRИl\{
образом 8начения суммарной энерrии и импульса всех электронов
в зоне будем приписывать новой частице или, лучше сказать, ква...
зичастице....... дырке. Величины, относящиеся к дырке, мы будем
обозначать подстрочным индексом: р.
Пусть из валентной зоны удален электрон, обладающий ИАIПУЛЬ--
сом Рl И 8верrией Е 1 . Тоrда
р" са Pi Р! с= РlУ)
i#l i
Ер :=а E i Е ! =:1 El.
f#l i
Э Н е р r и я и и м п у л ь с дыр к и р а в н ы и про т и в о n о л о ,H
НЫ ПО 8наку 8нерrии и импульсу недостаIощеrо
в л е к т р о н 8.
Рассматривая движение электронов в кристалле, мы практиче--
ски должны считаться только с электрическими и :маrнитными по--
лями, поскольку силы тяжести исчезающе малы по сравнению а
JIИМИ. Противоположные 8начения энерrии и Иl\fпульса в элеRтриче--
ских и маrнитных полях приобретают частицы, обладающие обрат--
Jlы\l по сравнению с элеКТРОНОl\I электрическим зарядом. Следова
тельно, дыр 1( е с л е Д у е т при п и с ы в а т ь п о л о ж и т е л ь н ы й:
э л е к т р и ч е с к и й зар я д, р а в н ы й зар я Д у 9 Л е к т р о н а.
После Bcero сназанноrо правила обращения с дырнами становятся
тривиальными: дырка ведет себя, как обычная частица с положи--
тельным зарядом и векоторой эффективной массой, которую мы
вскоре найдем.
В электрическом поле потенциальная энерrия электронов воз--
растает при уменьшении, а энерrия дырок......... при увеличении элект--
трическоrо потенциала. Поэтому эти энерrии отсчитываются в раз-
вые стороны. Леrче Bcero образовать дырку, перебросив в 80НУ про--
водимости 8лентрон, находящи:Ися у потолка валентной зоны: для
(13.3)
(13.4)
'\
"
I
:.:
(.
.
t
\
I 65. ЭЛЕНТРОНЫ И ДЫРRИ
299
TaHoro переброса нужна наименьшая энерrия. Чем ближе ко дну
валентной зоны расположена дырка, тем больше энерrии нужно
для ее образования. Значит, энерrия дырки возрастает при ее пе
ремещении от потолна ко дну валентной зоны, Т. е. в направлении,
обратном направлению роста энерrии для электронов.
Определим, какую эффективную массу следует приписатъ дыр--
ке. Для этоrо рассчитаем величину электрическоrо тока, связаIl
Horo с ДВИiI\ением дырки:
jp== ( eVi)== e ( Vi Vl ) ===evl.
i#l i
При написании этой цепочки равенств мы снова предполаrалп,
что в зоне не хватает одноrо электрона электрона, Двил\ущеrося
со СRОрОСТЬЮ V t . Буквой е обозначена абсолютная величина заряда
элентрова, ero заряд равен e.
Как мы ул\е знаем, дырке следует приписывать заряд '+в. Из
(13.5) следует, что в электрическом поле дырка приобретает ту
же CROpOCTb Vt, ЧТО И недостающий электрон. Проанализируем по...
лученный результат. При удале--
пии электронов из валентной зоны
первыми освобождаются высоко
расположенные уровни. Эти уров",
НИ находятся вблизи rраницы зо
ВЫ Бриллюэна (рис. 135), rде
:кривая потенциальной энерrии
электрона имеет форму «перевер
IIУТОИ параболы), ветви которой
уходят вниз. Движение электро
НОВ в этой области происходит
так, нак если бы их масса была
отрицательной. Электрон, облада--
ющиЙ отрицательным зарядом и
отрицательной эффективной Mac
сой, движется по направлеНИIО
электрическоrо поля, т. е. Vl Ha
правлено по Е. Значит, и дырка
движется по направлению поля,
так что ей следует приписать п o
л о ж и т е л ь н у ю э Ф Ф е к т и в н у ю массу, равную по модулю
отрицательной эффективноЙ м:ассе н е Д о с т а ю Щ е r о (1) электрона.
Полученный результат заключается, таким: образом, в том, что
двU:JIсеl-luе аnса.;чбля электроnов, почти ааполnяющuх аоnу, .мОЖUfJ
представить как двuжеnuе квазuчастuц abZPOK, nесущuх ааряд '+8
и uмеющих положuтельnую эффектuвnую .массу.
При переходе от рассмотрения COBMeCTHoro ДВИiI-\ения orpOMHoro
числа электронов в почти заполненной воне R исследованию дви....
}J\ения нем:ноrочисленных дырок возникает, конечно, колоссальное
упрощение :как качественное, так и Rоличественное.
20.
( 13.5)
Et
дона лро80--
""насти
r
I
I
I
I
I
I
I
k
I :j
I . I
I r
I I
I I
.1 аленmнtlR I
I "О("а I
Рис. 135. Образование дырки при
переходе электрона из валентной
воны в зону проводимости. ПУНI(ТИ'"
ром обозначены rраницы зоны Брил
люэна
800
rл. XIII. ПОЛУПРОВОЛIIIIНИ
в полупроводниках элентричеСI\ИЙ ток переносят ЭJIектроны в
80не проводимости и дырки в валентноЙ зоне. 11 те п друrие принято
называть носителям:и элентрическоrо тока или просто н о с п т е...
л я м и. Величины, связанные с электронами, снабiнают индеRСО 1
п (от анrлийскоrо слова negative отрицательный); ве.личины, свя'"
ванные с дырками, снабжают индексом р ( от анrлийсноrо слова
positive положительный). Эти индексы применяют и в названиях
примесных полупроводников: полупроводники с электронной про...
водимостью относятся К п типу, а ПОЛУПРОВОДНИRИ с дырочноЙ про
водимостью К р типу 1) .
Имея в виду, что электрический ток создается нан электрона
ми, так и дырками, нетрудно понять, почему при изучении эq)'"
фекта Холла в полупроводниках и в металлах измеряемая ЭRспери...
ментально разность потенциалов может иметь кан «правильный)
(соответствующий движению свободных электронов в электрических
и маrнитных полях), так И обратный знак. Обратный знак эффек'"
та Холла (наблюдаемый, например, в цинне и каДl\lИИ) долrое Bpe
мя представлял большие трудности для теории. Мы видим тепеРI),
что ero появление вполне естественно. В настоящее время эффеRl'
Холла широко применяется для изучения Rонцентрации и динами...
ческих свойств носителей электрическоrо тона элентронов иды...
рок. Знак эффента позволяет определить, какие из носитеJIей яв
JIЯЮТСЯ основными.
66. Концентрация электронов и дырок. ЭперrllЯ Ферми
Электроны и дырки в полупроводниках в большинстве случаСR
Iзедут себя I\ан обычные классичесние частицы. Их концентрацип
в соответствующих зонах невелини, так что нет неоБХОДИМ:ОСТlI
учитывать оrраничения, налаrаемые принципом Паули. Динамиче
ские свойства электронов и дырок описываются ПОСТОЯННЫl\IИ по...
ложитеЛЬНЫl\lИ массами. Нзнонец, ширина запрещенной З0НЫ
настолько превосходит тепловую эперrию (1 эВ по сравнеПИIО
0,025 эВ), что в распределении Ферми {ехр [(Е J.1) /хТ] + 1} 1 l\IOiR
но пренебречь единицей по сравнению с экспонентой, после чеrо это
распределение переходит в обычное распределение Больцмана. В ре....
зультате этоrо возникают оrром:ные упрощения, позволяющие ре....
тать большинство задач с помощью обычных методов и фОрl\IУЛ
нинетичеСRОЙ теории.
Начнем с вычисления концентрации электронов в зове прnводп
мости. Принятые НИiI-\е обозначения пояснены нз рис. 136. Прене...
бреrая единицеЙ в знаl\Iена теле форм:у лы Ферl\fИ, И1\lее1\1
N 2 5 dr ( +En)/xT 2V 5 4 2 d (s+En)/xT
n 3 е 3 ЛРн Рп е ·
(2л1i) (2л1i.)
. \
1) Величины, связанные с дырками, переДRО отмечают индексом , , а не р.
Это обозначение взя:rо от слова hole дырка.
С6. НОНПЕНТРАUИR Э:IЕНТРОПОВ. ЛЫРОН. ЭНЕРrин ФЕРl\{И З01
Переходя от импульса к энерrии с помощ ью ФОР?t-IУЛЫ
Рп === V 2т En
и от числа электронор N,& н их концентрации nn == N n/V, найдем
00
* /?
(2 т n)З'" /xT j Е l/2 En/xT dE
п 1l , 2 3 е n е n.
2л 1i
о
JIнтеrрировапие в (13.6), CTporo rОБОрЯ, следует производить от
дна до потолка зоны проводи {ости. Однако при увеличении
Еn Эliспопенциальный множитель в
подынтеrраЛЬПОl\1 выражеНlIИ Ha
столько уменьшается, что верхниЙ
предел можно заменить бесконеч...
востью, что и было сделано в (13.6).
Произведя интеrрирование, н ай...
дем
Q s/xT
NN == n е .7J
( т хТ ) З/2
Qn 1i,3 2л
>== 2,5.1019 ( :: ) 3/2 С з Т2 Сl\l З.
(13.7)
(13.8)
(13.6)
t:J
'Ьс::;
de n
Зона лродОQIl110стu
;
. . . JнераllЯ
'1 Ферми
Валентная aOHcr
"'5
Рис. 136. R расчету ПЛОТНОСТИ
элеRТрОНОВ и дырок в полупро
воднике
Множитель Qn в (13.7) иrрает роль
эффективноrо ЧIIсла уровней в зоне
проводи:мости. Правая часть равенства (13.8) приведепа в ви
де, удобном для численных оценок. Температура 293 К COOTBeT
ствует НОl\lнаТIIОЙ. ФОР Iула (13.8) показывает, что эффеRтивнал
плотность уровней у полупроводнинов существенно меньше плот...
ности ионов В решетке, тоrда кан у м:еталлов эти плотности близки
друr к друrу. Причина различия заключается в том:, что у полупро--
водников существенны только электронные уровни, расположенные
в области дна 30НВI проводимости, rде мал фазовый объеl\I 4лр 2 dр.
Рассуждая аналоrИЧНЫl\{ образом: ( Сl\IЫСЛ величины 11 ясен И3
рис. 136), найдем
Q 11/xT (13 9)
Пр === ре .,; ·
Qp == 2,5.1019 ( :: )3/2 ( 2 з Т2 см З. (13.10)
В выражения для Qn и Qp входят эффентивные }Iассы элект--
ронов и дырок. у rермания и кремния значения масс эависяr ОТ
направления дви/кения электронов относительно осей кристалла
IL( см. .( 12.35" ) ). Наибольшие значенир эффективных масс (продоль--
803
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНIIНИ
ныв массы) состаВЛЯIОТ для электронов 1,6т е У rерl\lания и О,98т.
у кремния. Массы дырок соответственно равны 0,34т е и 0,52т в .
fинимальные значения масс (поперечные Iассы) существенно
меньше. Они составляют для электронов 0,О8т е у rеР)lаНIIЯ и О,2т е
у кремния. Соответствующие массы для дырок равны 0,04 и 0,16
масс БлеRтрона.
ОстаВОВИ1\-IСЯ сначала на собственных полупроводниках. у таких
полупроводников :концентрации электронов и дыр он равны друr
друrу. П риравнивая правые части (13.7) и (13.9), наидем
.
Q р 3 п р
n......... ::::: хТ ln Q =="2 хТ ln.. (13.11)
n т n
Естественным масштабом для величины 'r} является ширина
щели . Как мы видели, T <t: . Приведенные массы электронов
и дырок близки друr к друrу, так что ln (т;/т ) обычно не пре....
вышает единицы. Поэтому с хорошей точностью !УI0il НО считать
11 == .
( 13.12):
"у р о в е н ь Ф е !УМ и в с о б с т в е н н ы х п о л У про в о Д н и к а х
1I е ж и т в б л и4 и с е р е Д и н ы 3 а п р е Щ е н н ОЙ 3 О Н Ы (п р а к...
тичесни совпадает с неЙ).
В ПОЛУПРОВОДНИRах п типа концентрация электронов существеп
во превышает концентрацию дырок, а в полупроводнинах р типа
преоб тrадает концентрация дырок. У р о в е н ь Ф е р м и в п о л у'"
про в о Д н и к а х п T и п а с м е Щ е н о т с е р е Д и н ы 3 а п р е....
Щ е н н о й 8 О Н Ы в в е р х (к 3 О Н е про в о Д и М о с т и) , а В п 0--
11 У про в о Д н и к а х p T и П а в н и 3, К В а л е в т н о й 3 О Н е.
Переl\IНОЖИМ фОр IУЛЫ (13.7) и (13.9):
nпnр === QnQpe A/XT.
( 13.13)
При написании (13.13) сумма + 1) была зам:енена шириной 30НЫ .
Эта форм:ула показывает, что про и з в е Д е н и е к о в Ц е н т р а Ц и ii
электронов и дырок не зависит от положенин
уровня Ферми, т. е. от количества примесей в по
л у про в о Д н и к е. При внесении в полупроводник донорных ато"
мов концентрация электронов увеличивается, а, следовательно,
Rонцентрация дырок уменьшается, а при увеличен.ии числа аI\цеп
торных атомов концентрация дырок увеличивается за счет ум:ень--
шения концентрации электронов.
Из (13.13) следует, что в собственном полупроводнике концент...
трации электронов и дырок равны друr друrу. Обозначая эти кон...
центрации пi, наlIдеl\l
I l f Q Q fj./2xT I
ni == n п ::=1 Пр == r n ре,
(13.14)
67. 3..Т"lЕRТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛ}7ПрОВОДНПКОВ
303
и формула (13.13) может быть запис ана в более простом виде
I пnп р === п; . 1 (13.15)
ОбраТИl\1 внимание на показатель экспоненты в (13.14). Он ра--
вен /2xT, а не /xT, как :моrло бы на первыЙ взrляд показать
ел. Эта особенность Форм:улы связана с распределением энерrии
перехода )Iej-nДУ электроном и дыркой. Половина энерrии перехода
приходится на ДОJIЮ электрона, а половина на ДОЛЮ дырки.
67. Электропроводность полупроводников
Электропроводность полупроводников, как и любых друrих тел,
определяется концентрацией носителей тока и их подвижностью.
При переходе к полупроводникам фОРl\fула (12.42) приобретает сле
ДУIОЩИЙ вид:
( nn n np p ) I
а == е 2 + == n п I еиn I + Пр I еи р .
т n тр
В собственных полупроводниках электроны и ДЫрНИ вносят сравни...
мый внлад в электропроводность. В полупроводнинах п типа основ...
ной вклад вносят электроны, а в полупроводниках р типа ДЫрIiИ.
В соответствии с величиной вклада в электропроводность элентроны
в полупроводниках n типа и дырки в полупроводниках р типа па
зываются о с н о в н ы м и н о с и т е л я м и в отличие от н е о с н о
н ы х н о с и т е л е й, вносящих в электропроводность :меныпиiI
вклад.
Рассмотрим зависимость электропроводности от температуры.
При ИЗl\lенении температуры электропроводность меняется из за из
менения как концентрации носителей, так и вре}Iени рела!\сации.
В металлах основную роль иrрает уменьшение времени релаf\саЦIIИ
с pOCTOl\1 те:мпературы (с увеличением числа фононов, на 1\ОТОрЫХ,
как мы знаем, рассеиваются электроны). в собственных полупро
водниках этот эффект также присутствует, но перекрывается БI>IСТ...
рым увеличением концентрации носителей, которая экспоненциаль...
но возрастает с увеличением Т. Поэтому с ростом те:мпературы
электропроводность чистых полупроводников резко увеличивается.
Сложнее зависит от температуры концентрация носителеЙ в при...
меСIlЫХ полупроводниках. Кривая зависимости концентрации от
температуры состоит у них из двух участнов. Увеличение БОП
центрации в области низких температур связано с опустошением
донорных уровней (или с заполнением акцепторпых). Этот процесс
в большинстве примесных полупроводников заканчивается при Tel\['"
пера турах несколько деСЯТRОВ кельвинов, т. е. аадолrо до Бомнат-
ных температур. Быстрое опустошение донорных уровней (п за...
полнение акцепторны}) связано не тольно со еравнительно Аlалой
внерrией, необходи:мой ДJIЯ перехода, но и с тем обстоятеЛЬСТВО?t-I,
(13.16)
804
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИКИ
что эффективная плотность уровней в зоне проводимости и В Ba
лентной зоне на MHoro порядков величины превосходит плотность
примесныx атомов. Если вероятность заполнения уровней в зоне
проводимости не слишком сильно отличается от вероятности запол
пения донорпыx уровней, то почти все донорпые уровни онал утся
пустым:и. После Toro Бак опустошение
донорных и заполнение акцепторных ypOB
ней заканчивается, дальнеiimее увеличе
вие те}lпературы при водит к росту собст
венноЙ проводиl\tl0СТИ, происходяще IУ
:из за тепловоrо переброса электронов И3
валентной зоны в зону ПРОВОДИ}IОСТИ
(второй участок кривоЙ). Этот процесс
П IL происходит в примесных полупроводни
Рис. 137. Зависимость ках так же, как и в чистых, и определя...
удельной проводимости ется множителем ехр ( /2xT).
примесноrо полупроводни" Исследуем, как зависит электропро'"
ка от 1\онцентрации элект... водность полупроводника от концентра...
ролов ции примесей. Для этоrо продифферен",
цируем (13.16)' по nn. При дифференцировании Пр следует за1tlенить
через n п с помощью (13.15). Вычисление дает
аа == е 2 ( 'Тп nf 'Т р ) . d 2 (J == 2е 2 n!'t . (13.17)
dn * 2 * t d n 2
n т п n п т р п nnтр
Вторая из полученных формул поназывает, что кривизна кривоЙ
о == а (п n ) является существенно полол ительной величиной, так что
зависимость а == а(п n ) имеет один минимум, подобно тому, как это
изображено на рис. 137. ПОЛОi-кение минимума можно найти, при--
равнивая нулю производную da/ dп n , определенную вырал ение1\1
'L( 13.17) :
'Т п
* ........
т п
2
ni't p
2 .
nnтр
== о.
Заменяя в этом соотношении п / nn через Пр, найдем
*
n п 'Тnт р
== ..
Пр 't рт п
Сравнивая выражение, стоящее в правой части полученной фор
мулы, с соотношением (12.41), найдем, что оно равно отношению
подвижностей электронов и дырок и обычно отличается от единицы
не более чем в несколько раз, так что в минимуме электропроводно
сти nn Пр. В то же время в примесных полупроводниках, пред
ставляющих практический интерес, N" и Пр отличаются на MHoro
порядков. Таким образом, минимум электропроводности соответ"
ствует чистым или почти чистым полупроводникам.
(13.18)
68. n р ПЕРЕХОД
803
68. n р-переход
Приведе:м в соприкосновение два полупроводника, один из которых
относится к п , а друrой....... к р типу. Область их контакта носит
llазвание n р п е р е х о Д а. Зона проводимости полупроводника n...
типа боrата элеl\тронами, а зона проводимости полупроводника р'"
типа и:ми бедна. Вследствие этоrо происходит утечка электронов из
п ПОЛУПрОВОДНИl\а. Аналоrичным образом в валентной зоне наблю--
дается утечна дырок из полупроводника р типа. Эти процессы при--
водят к тому, что между соприкасающимися образцами появляется
разность потенциалов, которая сначала замедляет, а потом и пре
Бращает дальнейший переТОI\ зарядов наступает состояние под
nижноrо равновесия. Образующаяся при этом разность потенциалов
IIOCIIT название 1\ о н Т а R т н О й. Следует отметить, что перераспре....
деление электронов и дырок между полупроводника:ми n и р типов,
вызывающее появление контактной разности потенциалов, столь
Jlезначительно, что не :меняет или почти не меняет в них плотно....
сти электронов и дырок.
I-Ia рис. 138 изобраil ено ПОЛОiнение зон и энерrий Ферми в по...
лупроводниках п и р типа, изrотовленных из одноrо и Toro же ма...
териала (например, Ge или Si) и отличающихся только количест....
вом донорных или акцепторных ПРИ..\1rесей. Расстояние между зона...
ми проводим:остп и валентными зонами, а TaKil\e эффективное ко...
ЛИ(Iество уровнеЙ в ЭТIIХ зонах, определяется зонной структурой
.()
,
c1j
==== д она
=пPOBOt1l1HOcтl1
. , ' Er
анерЭllЯ Ферми
:Зона
=продООllмости .=
.
аНВР811Н феРМlJ
EF . - '
lJалентная
зона
ЛО/l.t;nроdоtlнцк
п тllпa
ЛОЛ!lпро оtJнuк
l1 тlJпа
Рис. 138. nОЛОil<ение ЗОН и энерrий Фер:ми в подупроводнинах n и р типа (до
соп рикосновснин)
OCHOBHoro материала; от количества и типа примесей оно не за....
висит.
IIокажем:, что равновеспе наступает в том: случае, коrда энерrии
Ферми слева и справа от п р перехода устанаВ.rIиваются на одном
уровне (рис. 139). Концентрации электронов в зоне проводимости
306
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИRИ
слева и справа от n р перехода соrласно
nп, n == Qfl ехр ( n/xT),
nп, р == Qn ехр ( p/'XT).
(13.7) равны
(13.19):
( 13.20)
Здесь п п , n а....а концентрация электронов (первый индекс n)' в образ-.
цв n типа (второй индекс n); nп. р :концентрация электронов в
образце р типа. Энерrии n И p обозначены на рисунке
КонтоктНt1я
дааность
потеНЦl1алоt)
Зона пPO!JoiJlIMOCтl1
I
Валентная зона
ПолулроОоiJНЦI< i ЛОЛ!/IJ/70IJоrJh'1I1<"
п тцлf.l I ,lJ тl/па
п р ле/JехоtJ
Рис. 139. Взаимное положение зон в ПОЛУПРОВОДНИБах n и р типа после YCTa
новления равновесия
Электроны, подходящие к n р переходу справа, со стороны
полупроводника р типа, пересекают ero беспрепятственно, так как
электрическое поле способствует их движению. То же самое спра...
веддиnо для дырок, подходящих к n р переходу слева. Таким об--
разом, n р переход беспрепятственно преодолевают н е о с н о в н ы е
н о с и т е л и т о к а, которые создают так называем.ый Д рей Ф o
ВЫЙ т о к 1,. Количество элентронов, подходящих к rранице pa::t--
дела справа, при максвелловском распределении по скоростям рав"
}IO nп, р (v)/4, rде (и) средняя снорость электронов. 3аl\lеняя nп, р
ero значением (13.20), найдем, что число электронов, пересекающих
rраницу раздела образцов справа налево, равно
nn,р (v) (v) Q p/xT
4 ........ Т n е ·
Рассмотрим теперь переходы основных носителей тона. Начпрм
с электронов. Они являются основными носителями в полупровод--
нике n типа. Число электронов, подходящих к области перехода,
равно nn, ,,(и)/4. Не все они пройдут через барьер, созданный КОН--
тактной разностью потенциалов. По Больцману, доля элентронов,
энерrия которых превосходит контактную разность потенциалов,
с.оставляет ехр [(6n ...... 6Р) /хТ]. ТаI{ИМ образом, число электронов, пв...
реходящих из n полупроводника в р полупроводник, равно
nп,1 (и) (;p n)/xT (v) Q n/xT ( p n)/xT
4 е т n е е ·
Это число равно предыдущему. Те H e рассуждения мол\но повт
рить ДJIЯ дырок. ТаБlI 1 обраЗОl\I, при ОДlIнаБОВО 1 положении энер'"
68. n р- ПЕРЕХОД
807
rии Ферми в n и р образцах, действительно, обеспечивается дина--
:мическое равновесие. В отличие от «дрейфовоrо» тока неосновных
носителей, ток основных носителей носит название Д и Ф фу 3 И О н.
В О r о и обозначается 19. Как мы уже убедились, [, z::8 [,.
Как видно из рис. 139, в области n р перехода энерrия Ферми
пежит вблизи середины запрещенной зоны. Такая ситуация харак--
'fepHa и для собственных полупроводников, которые, как мы знаем,
обладают существенно меньшей электропроводностью, чем приМес....
ные. Таким образом, п о Д а в л я ю Щ а я ч а с т ь э л е к т р и ч е с к 0--
ro сопротивления сосредоточена в области n p--
пер е х о Д а.
Здесь следует отметить, что на самом деле n р переход хоро--
DIero качества нельзя получить, просто приводя в соприкосновение
полупроводники разных типов. Е
Один ИЗ способов получения
нристалла С n р переходом
ваключается в изменении кон--
центрации и типа примесей,
добавляемых в расплав в про--
цессе роста :м:онокристалла 1).
Вернемся к контактной раз
ности потенциалов. Как уже
было выяснено выше, контакт... 31
вая разность потенциалов воз... Рис. 140. Двойной электрический слой
викает из за перераспределения в области n р перехода
8арядов между п... и р участ--
нами полупроводника. Для ее создания необходим пространствен--
вый заряд, образующий двойной электрический слой (СМ. нил е
текст, набранный петито1tI). Распределение зарядов в слое схе lати--
'Чески изображено на рис. 140. Ширина этоrо слоя очень невели--
на она по порядку величины составляет 10 5 СМ.
Рассчитаем распределение объемноrо электрическоrо заряда в области
п' р перехода. Исследуем сначала область, расположенную со стороны полу
проводника n типа. В этой области, как мы знаем, концентрация электронов
существенно превосходит концентрацию дырок. Поэтому при расчете объем..
Boro заряда вкладом дырок можно пренебречь.
Соrласно уравнениям Максвелла диверrенция вектора D связана с плот..
востью электрических зарядов р формулой
divD === 4пр.
lIJIотность заряда р в наше?1 случае равна
р == e (n" ...... nИОИ)f
п I I .р
"'''''' ''''''
""""," :..
+I
+ l ' """"""''' ,,
+ ..
' '''''' ''''''''''''''''1 1--
I"
'Е
,
I
_
I!i
(13.21)
( 13.22)
rAe n.ОВ...... концентрация ионов в решетке, умноженная на среднее варядовое
сло одноrо иова. Заменяя D через еЕ, подставляя d/dx вместо диверrенции
(МЫ исследуем одномерную задачу) и переходя ОТ напряженности поля Е к
1) Существуют также диффузионный и друrие способы получения n..... р...
псреходов.
308
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИНИ
электрическому потенциалу ер, найдем
d 2 ep 4ле
dx2 == В (пп n ион ).
( 13.23)
Плотность элеRТРОНОВ в полупроводнике связана с электрическим потенциа
лом формулой Больцмана
nn == nn,nееЧJ/КТ, (13.24)
rде пn,n........ плотность электронов вдали от n........ р перехода. Плотность ионов
nИОН ОТ потенциала не зависит, поскольку они зекреплены в решетке. Заметим,
наконсц, что полупроводник вдали от области п р перехода не заряжен, так
что
nn,n === nИ:ОН.
Подставляя (13.24) и (13.25) в (13.23), найдем
d 2 ер 4л:е ( еф/ХТ )
dx2 В nn,n е 1 ·
(13.25 )
( 13.26)
Мы пришли, таI ИМ образом, к нелинейному дифференциальному уравнению.
ноторое аналитическоrо решения не имеет. Приближенное решение можно най.
ти, разложив ЭI{споненту в ряд и оrраничась первым членом разложения:
242
d ер л:е nn,n
dx 2 в'КТ <р. (13.27)
Убывающее в направлении n р перехода решение имеет вид
x/rD
q:> == ep1e t
(13.28)
rде
V вхТ
T D == 2.
4л:е nn n
,
(13.29)
ХараRтерная длина убывания потенциала (и объемноrо заряда) rD носит на.
звание Д е б а е в с к о r о р а Д и у с а эк р а н и р о в а н и я. Оценим величину
дебаеВСhоrо радиуса:
т == '1 I вхТ ==.. I 15.(1,4.10 16).300 z 10 Б см
D V 4л:е 2 п n ,n V 41t.(4,8.1(\ 10)2.1015 ·
Распределение объемноrо заряда дырок со стороны полупроводника р типа
находится аналоrичным образом. Оно выражается через nр.р плотность дырок
в по.лупроводнике р типа. Объемные заряды дырок и электронов образуют упо-.
минавшийся выше двойной слой, вызывающий скачок потенциала на p n...
переходе. Ero ширина, rрубо rоворя, равна двум дебаевским радиусам, Т. е.
около 10 5 см.
* 69. Прохождение тока через n р-переход
J\8K АIЫ уже выяснили, при «соприкосновении» полупроводников n
11 р типа ПрОИСХОДИТ перераспределепие зарядов, приводящее к воз--
НИRновению контактной разности потенциалов, после установления
RОТОрОЙ ТОК В полупроводн:ине прекращается. Положение меняется,
если прилоmить к концам полупроводника внеIJ)llЮЮ разность по--
'тенциалов. Включенныii таким образоr.I полупрОводник называется
G9 ПРОХОiRДЕНПЕ ТОКА ЧЕРЕЗ n р ПЕРЕХОД
309
п о л у про в о Д н и к о в ы :м Д и о Д о М. Соответствующая 9лектри--
чеСRая схема изобраiI-\ена на рис. 141.
Исследуем вольт амперную характеристину полупроводниковоrо
диода. у стаIlОВИl\1 прежде Bcero, как расположены валентные зоны
и зоны проводим:ости в присутствии внешней эдс.
Мы уже ОТ lечали, что элентричеСRое сопротивление составпоrо
полупроводника сосредоточено в основном в области n р перехо;'"
да. На эту область приходится почти все '
падение напряжения, создаваемое внешним
IIСТОЧНИКОМ. На рис. 142а изображено поло
теине энерrии Ферl\fИ и rраниц зон до под er . . . . .""
НJIючения внеlIIпеrо ИСТОЧНИI а, а на YYYHHH
рис. 142 б, в после ero подключения. (Еще :___;_:_ш
п
раз обращаем внимание читателей на то,
что па диаf'раМ:\fах энерrетичеСRИХ зон по
тенциальная энерrия элентронов возрастает
снизу вверх, а элентрическиЙ потенциал
сверху вниз.) Будем считать, что прило
j-кенная эдс меньше ширины энерrетиче
екоЙ щели полупроводника.
а
ф
(&" - . V
I I . . .....
п 5
п p..пepexoo
р
I
..
r . rrr.
". V
I-.F . .
-
п 6
.... + + ...
а о
Рис. 141. Включение полупро-
водника с n р переходом в
цепь постоянноrо то{\а: а
включение «прямоrо» напря...
жения; б включение «об..
ра THOrO» напряжения
Найдем ток, создаваемый электронами, пересекающими п р--
переход. Для элентронов, подходящих к переходу справа (пеоснов--
вые носители), от включения внешней эдс ничеrо не меняется.,
Все электроны, доходящие до перехода, беспрепятственно ero пере--
секают. Обозначим их ток через 1 n. р. ОбраТИl\IСЯ теперь к основным
носитеЛЯl\! R элеl\тронаl\tl, подходящим слева. Потенциальный барь--
ер для них изменился (уменьшился или увеличился). Если раньшо
ero величина была равна ;р ;n (рис. 139), то теперь она изменя
етсн до p ;n V, так что идущий слева направо диффузионный
ток И3l\fеняется в exp(eV/xT) раз!). При отсутствии внешней эдс
Рис. 142. Положение
вон в области п р..
перехода при нало..
жении внешней эдс
1) Величина V положительна при ПрЯl\fОМ (положительном) включении
наПРЯ1невия (рис. 141 а и 142 б) и отрицательна при обратном (отрицатель--
но:м) ВБлючении (рис. 141 б и 142 в).
810
rл. XIII. ПОЛУПРОВОДНИНИ
электронный ТОК, ПрОХОДЯЩИЙ слева направо, был равен току, иду--
щему справа налево, Т. е. /", р. Таким образом, слева направо пр
ХОДИТ теперь ток I",pexp(eV/xT). Суммарный электронный ток,
проходящий череа переход, равен, следовательно,
1. .. 1", l' (e flV /иТ 1). (13.30)
АН8Jlоrичное соотношение справедливо для тока дырок:
1 р -== 1 Р, " (e flV /иТ ..... 1) . ( 13.31)'
Складывая эти формулы и вводя обозначение 10 == 1", р + 1 р , "!
найдем
1 z=: 10 (ееу/хт 1). 1
(13.32)
Эта формула определяет вольт ампеРНУIО характеристику n........... р..
перехода. Она изображена на рис. 143. Обсудим ее особенности.
При положительных внешних напряжениях (рис. 1426) показа
тель экспоненты положителен и ток, проходящий через ДИОД, быст
ро (экспоненциально) возрастает. В этом случае
облеrчаются условия прохождения через п........... р--
переход для основных носителей тока: для
электронов из n полупроводника и для дырок из
р полупроводника.
При изменении знака ЭДС положение Аlеня
ется (рис. 1428). Переходы основных носителеЙ:
затрудняются. При увеличении отрицательноrо
смещения экспоненциальный член перестает
вносить вклад в ток 1 и он стремится к пределу
Io (к т о к у н а с ы Щ е н и я), соответствующе
му случаю, коrда весь ток сводится к току Heoc
HoBHыx носителей 1,. Поскольку концентрация
неосновных носителей экспоненциально зависит
от T 1, обратный ток и ток насыщения быстро
увеличиваются при наrревании полупроводника.
Ив формулы (13.32) и рис. 143 видно, что полупроводниковый
диод обладает резко нелинейно й (неомической) вольт амоерной xa
рактеристикой. Ток насыщения ПОЛУПРОВОДНИI\ОВЫХ диодов COCTaB
ляет несколько миллиампер на I\вадратный сантиметр, допустимы]r
прямой тон на четыре порядка больше. Обратное напряжение, КО48
торое выдерживает диод, довольно велико 100 В и более. При
превыениии допустимоrо напряжения наступает пробой и диод
выходит из строя.
Интересно проследить судьбу прошедших через n р переход
электронов, попадающих в полупроводник р типа, и дырок в ПОЛУ"
проводнике n типа. Обратное внешнее напряжение производит и Н..
ж е к Ц и ю веосновных носителей в соответствующие учаСТI\И полу..
проводника........ электронов в р полупроводнин и дырон В ПОЛУIIРО
I
v
'.
Рис. 143. Вольт..
амперная харак"
теристика полу..
ПРОВОДВИRовоrо
диода
70. ТРАНЗИСТОРЫ
311
ВОДНИК n типа. IIнжектированные неравновесные...... носители, ко...
неЧIIО, реНО}IUИНИРУЮТ с основными носителями. Однако этот про....
цесс происходит не быстро. Это объясняется тем, что процесс pe
комбинации l\IOil eT происходить лишь. в то}! случае, если обеспечи
вается выполнение законов сохранения энерrии и импульса. Эти 8а.
:коны не MorYT быть выполнены, если при рекомбинации возникает
Bcero один фонон или один фотон. РеКОl\Iбинация может происходить,
если в ее результате испускаIОТСЯ сразу два кванта или квант и фо...
нон (и при некоторых друrих столь же мало вероятных процессах).
Ана.лоrичная ситуация имеет место при анниrиляции позитрония
( 14), которая может происходить только с испусканием двух или
даже трех фотонов.
lIНiкектированные в полупроводник неосновные носители диф...
q)ундируют в Hel\tI, постепенно реномБИIIИрУЯ. На начальном участке
полупроводника их концентрация оказывается повышенной. Длина
зтоrо участка по порядку величины равна Д л и н е Д и Ф фу з и И,
Т. е. Д.ч:ине, па которую (в среднем) проникают диффундирующие
частицы, число которых постепенно уменьшается из за рекомби
нации. 11з кинетической теории rазов известно, что длина диффузии
определяется формулой
Lg == "}' D't , (13.33)
rде D I\оэффициент диффузии, а l' среднее время жизни частиц.
В rерl\lании при комнатных температурах D 50 см 2 /с, а время
жизни для реRОl\lбинации при обычных концентрациях примесей
составляет примерно 10 " с. Дл ина диф фузии при этом равна
Lg 1 D't == 150 . 10 " c:z 0,7 мм.
Эта длина отнюдь не 1\Iала и должна приниматься во внимание при
изrотовлении транзисторов (см. следующий параrраф).
9 70. Транзисторы
Транзистораl\IИ называются полупроводниковые устройства, содер...
жащие два или более n р переходов. На рис. 144 изображена cxe
ма устройства и включения р п p
7ранзистора по схеме с общей базой. Та... /tJ"J.
кой транзистор представляет собой полу... r;:
проводник р типа с узкой вставкой полу
проводника п типа. К левой части схемы Rz
приложено прямое, а к правой обрат
ное напряжение. Левая часть транзисто
ра носит название и с т о R а, или э м и T Рис. 144. Схема включения
т е р а, средняя б азы, а правая р n р транзистора
К О Л Л е h т о Р а. При внлючении бата
реи Е 1 через р п переход эмиттер база начинает течь ток.
ИнжеRтированные в базу дырки резко увеличивают в ней количе..
312
rл. XIII. ПО.l:УПРОllОДНПН:П
ство неосновных носителей. Для них правый n р переход являст
ея УСRОрЯЮЩИl\I, так что они беспрепятственно сквозь Hero ПРОХО
дят. Таним обраЗОl\I, ток, проходящиЙ: через левую часть транзи",
стора (по цепи эмиттер база), управляет тоном, ПрОХОДЯЩIl 1 че
рез ero правую часть (по цепи база коллектор). В хороших TpaH
зисторах большая часть тока, протекающеrо через эмиттер, доходит
ДО коллектора.
Произведем простой расчет. Управляющий тон [ВХ создает па
входном сопротивлении R 1 падение напряжения
V sx === IsxR 1.
( 13.34)"\
Пыходящий ток I BbIX вызывает на сопротивлении R 2 появление BI)I
ХОДIIоrо напрял ения
V sbIX === I sbIx R 2 .
(13.3:) )
Отношение выходноrо ко ВХОДIIОl\1У напряжению при Isых. === lпх
равно
V BbIX R 2
V ВХ R 1 ·
D транзисторных усилительных каскадах выбираIОТ R 2 R 1 .
Транзисторный усилительный каскад во l\fHOrOM наПОl\Iинает
ламповый. Небольшое входное паПРЯiнение V sx управляет БО"lЬШИ7\I
ВЫХОДНЫМ напряжениеl\f VSbIXo IIсточником мощности СЛУiRИТ ВIIеш
вяя батарея Е 2 , обладающая сравнительно большой эдс. Эта ба
1'арея создает на переходе коллектор база обратное наПрЯfI еIIие,
и в отсутствие управляющеrо тона отбираемыЙ от нее элеI ТРИЧО
СRИЙ ток вевелик.
('13.3G)
э 71. Квззичастицы
IIa протяжении последних rлав nal\I неоднократно ПрИХО;J;ИЛОСЬ
прибеrать к введению квазичастиц. В первыЙ раз ;)то было сделано
при изучении аНУСТIIчеСRИХ колебанпii (II теПJIоеl\IКОСТII) J:tри..
сталлов.
Мы выяснили тоrда, что безнадежная на первыЙ взrЛЛ:J: за,J;ача
о движении сильно взаимодеЙСТВУIОЩИХ JI:pyr с друrОl\1 ИОН()В. HXO
.. I!!
дящих В состав нристалличеСКОlI решетки. ?\IOiI eT оыть СВС,1ена к
,., u
ДВИiI\еIПIIО не столь l\'Пlоrочисленпых слаоо взаимодеИСТВУЮЩIIХ
между собой нвазичастиц фононов. Система из orpOM:Horo числа
зацеПЛЯIОЩИХСЯ дифференциальных уравнений ДВИFI,ения ионов пре
,.,
вратилась при ЭТОl\1 в систему несвязанных или слаоо связанных.
уравнений, описывающих движение слабо связанных друr с друrо)!
фононов. Резное упрощение систе IЫ уравнениЙ сопровождал ось по
явлениеl\1 необычных динамических свойств у введенных I,вазича
71. RВА3ИЧАСТИЦЫ
313
с,тиц. 1vlы обпаруа,или, что фОНОIlЫ характеризуются не массой,.
а заRОНО 1 дисперсии, не импульсом, а квазиимпульсом, что энерrия
фОНОНОВ периодически зависит от их импульса (или волновоrо чис
ла) и т. д. При всем этом очевидном усложнении динамичеСI\ИХ
уравнений введение фононов позволило взяться за решение задачи,.
которая без этоrо была крайне трудной.
Аналоrичным образом мы поступили при изучении движения
электронов в почти заполненной зоне. Решение задачи Rардиналь
но упростилось, коrда orpo:MHoe число связанных между собой
из за принципа Паули электронов удалось заменить немноrочис...
ленными, почти не взаи:м:одействующими между собой квазичасти
ца IИ дырка:ми. Нам снова потребовались неноторые усилия, что
бы выяснить динам:ические характеристики введенных квазича
стиц их заряды и эqнреRТИВНУЮ м:ассу. Эти усилия, однако, ВПОJI
не оку пились блаrодаря реЗI\О:МУ упрощению как рассуждений, так
ивыкладон.
Если внимательнее вдуматься в с:мысл наших действий, то и
ЭJlектроны в зоне проводимости тоже были заменены некоторыми
Rвазичастицами, которые в этом случае сохранили то же название,
что и исходные частицы, название электронов. Электроны кваЗJl
частИЦЫ не реаrируют на быстро меняющеесн в пространстве
3JIектричесное поле кристаллической решетки. Они взаимодейству
ют только с дефектами решетки, с фОllонами и друr с друrом. За
упрощение уравнений ДВИi1\епия и на этот раз приходится распла
чиваться введение I новых динамических характеристик закона
)lисперсии, ПОЛО}Rительных и отрицательных эффективных 1\-IаСс.
и т. д.
Вообще, метод нвазичастиц в последние rоды очень широко
ПРИ?vIеняется в теоретической физике, в особенности в физике TBep
доrо тела. П риведенные ПРИlиеры MOiI\HO у:множить. Так элеКТРОII
и дырна до реКО IбинаЦИII образуют связанные состояния ква...
зичастицы, носящие название экситонов. (Представлепие об ЭI\СП
тонах введено я. и. Френкеле I.) Их дина?vlика сейчас хорошо изу
чена. Вихревые ДВИiнения в квантовых ЖИДJ{ОСТЯХ (в IКИДКО I re
лии) удобно раСС fатривать с помощыо нвазичастиц ротонов И
т. д. ВО3НIIпает естественный вопрос, не явдяются ли привычные
нам: частицы элеНТРОII,Ы, протоны, фотоны и т. д. то,.не HeKOTO
рыми: нвазичастица IlI, введя которые мы упростили задачу о взаи
модеi1:СТВИII исходных нваптовых полеЙ и дипамичеСl\ие свойства
ноторых ка}I УТСЯ Ha 1 естествеIIНЫ IИ просто в силу привычки. l\Iы
оrраНИЧИl\IСЯ йдесь постановкой этоrо вопроса.
21 л. л. rольдип, r. и. Нови:нова
3.\КЛЮЧЕНИЕ
На этом мы заканчиваем изложение основ перелятивистской KBaH
ТОБОЙ физики. Вне рамок Rниrи остались мпоrие ваll ные разделы
квантовой физи({и, в том числе вся ядерная физика, а также иесле...
-дование свойств зависящеrо от времени уравнения Шрединrера
(2.32) и вопросов, которые им описываются. Мы имеем в виду
расчет вероятности различных процессов: электромаrНИТIIЫХ пере..
XO OB в электронных оболочках атомов, отклонения заряженных
частиц в КУЛОНОВО}I поле, рассеяния в поле ядерных сил и т. д.
'ЭБспериментальные и теоретические исследования времен жизни
Бозбужденных состояний и эффективных сечений процессов рассея...
ния и поrлощеIIИЯ представляют оrромную важность и служат од"
ним из основнь[х источников наших сведений о строении молекул,
атомов, ядер и элементарных частиц. Читателей, иптересующихся
этими вопросами, мы отсылаем к курсам квантовой механики и к
'более подробной учебной литературе.
Мы почти не оБСуrRдали результатов релятивистской квантовой
физики. Скажем о ней несколько слов. Создание этой науки отно",
сится к 1928 r., коrда Поль Дирак предложил свое знаменитое ре...
ЛЯТИВИСТСRи инвариантное уравнение. В это уравнение симметрично
входят функции частиц и античастиц (электронов и позитронов)
в обоих возможных спиновых состояниях Bcero четыре величи...
вы. Волновая функция Дирака представляет собой поэтому четы...
рехкомпонентный вектор, а само уравнение имеет матричный xapaI '"
тер. При создании теории о существовании позитронов ничеrо не
-было известно, и их последующее экспериментальное обнару)-кение
явилось подлинным триумфом теории 1). Это уравнение, как уже
ОТl\lечалось ранее, приводит к правильному значению rиромаrнит",
Horo отношения для электрона и позволяет уточнить рассчитанные
по уравнению Шрединrера положения атомных уровней. Сравнение
ЭБспериментальных и теоретических результатов надежно под...
'Iверждает справедливость уравнения Дирака.
Следующий шаr в понимании электромаrнитных явлений был
сделан при создании Rвантовой элеКтродина?t-Iики.......... последователь...
ной квантовой теории электромаrнитноrо поля. Наибольший вклад
1) На самом деле события развивались менее fЛ8ДКО. Дирак впачале ДУ04
мал, что ero уравнение описываt Т не электрон и позитрон, а электрон и про
"f}'OH. В ТО же время К. Ф. AHД pCOH, ОТltРЫВШИЙ позитрон, 1I0 8ИДИМОМУ, ничеl'О
ве знал о теории Дирака.
ЗАRЛЮЧЕНИЕ
315
r
I
.
.
в создание этой науки внесли Дирак, Швипrер, Дайсон и Фейнман.
Нвантовая электродинамика в наСТОЯIЦее время прекраово развита
и служит образцом для построения друrих физических теорий,
о которых мы расскажем ниже. С помощью квантовой 8лектродина
мики были рассчитаны мноrие электромаrнитные явления, в част--
ности, было уточнено значение маrнитноrо момента электрона. Из...
меренное на опыте значение, равное 1,001159 652209:i: 0,31 · 10 10
MarHeTOHa Бора, находится в прекрасном соrласии с теоретическим
8начением, которое :вычислено приблизительно с той же точностью.
На фоне этих успехов особенно ярко бросается в rлаЗ8, что
маrнитные моменты нейтрона и протона уравнением ДИрaRа не
описываются. Мы уже упоминали выше, что эти моменты равны.
соответственно 2,79 и....... 1,91 ядерноrо MarHeToHa. "Указанное разли..
чие ясно показывает, что при расчете :маrнитвых моментов протона
u u
И неитрона нужно принимать во внимание их сложныи состав и
все действующие на них силы....... как электромаrнитные, так и ядер
ные. Успех, достиrнутый Дираком и квантовой электродинамикой
при описании свойств электрона, объясняется тем, что ядерные си...
JIЫ не действуют на электроны.
Следующий фундаментальный шаr в развитии наших ананий
о природе материи связан с исследованием так называемоrо слабо
ro взаимодействия. Это взаимодействие приводит к распаду атом...
ных ядер и к мноrочисленным превращениям элементарных частиц,.
в том числе н превраIЦению 'нейтрона в протон, электрон и
антинейтрино, к распадам пионов, мюонов И т. д. Первая теория
распада была построена Э. Ферми. В 60 x rодах был создан COBpe
:менный вариант теории....... теория электрослабоrо взаимодеЙСТВИR
(Вайнберr, Салам, fлэшоу). Соrласно этой теории электромаrвит
вые и слабые взаимодействия представляют собой две стороны
одноrо и Toro же явления и, подобно электрическим и маrнитныи
процессам, должны рассматриваться совместно. Их раздельное рас....
смотрение ВОЗМОiННО лишь при низких энерrиях, коrда единая тео....
рия с достаточной точностью может быть разбита на две каЖУIЦие...
ся независимыми части: на квантовую элеl\тродинамику и теорию
слабых взаимодействий (по Ферми).
Теория Вайнберrа, Салама и rлэшоу сейчас общепринята и-
получила название с т а н Д а р т н о й теории. Подобно тому как-
из уравнения Дирака следовало существование позитрона, из стан...
дартной теории вытекало СУIЦествование переносчиков элеRтросла
боrо взаимодействия промежуточных бозонов......... частиц, которые.
переносят кан электромаrнитное, так и слабое взаимодействие
(в то время как фотоны только электромаrнитное).
Предсказанные теорией частицы несколько лет назад были зкс",
периментально обнаружены rруппой физиков, работавших ПОД py...
ководством К. Руббиа на rиrаНТСRОМ ускорителе Европейскоrо цeHT
ра ядерных исследований (ЦЕРН), и получили название W:i:.. и.
ZО частиц. Масса этих частиц, в хорошем соrласии с теорией, оказа
21*
З16
ЗАИЛЮЧЕНИЕ
лась почти в сто раз больше массы протона, а способы распада
подтверждали схему стандартной теории. Большая ltlacca W и z--
бозонов объясняет медленность р распада и друrих слабых про--
цессов при обычных энерrиях, недостаточных для рождения этих
частиц. Указанные бозоны при малых энерrиях MorYT появлять--
ся только на время, разрешаемое принципом неопределенности,
Т. е. на очень малое время. Такие частицы, для реальноrо рождения
;которых не хватает энерrии, носят в науке название в и р т у а л ь--
н ы х. Процессы, идущие через образование виртуальных частиц,
8налоrичны туннельному эффекту и тем менее вероятны, чем мень--
те «проницаемость барьера» чем больше не хватает энерrии для.
их реальноrо рождения.
В последние rоды развитие теории идет по двум основным Ha
правлениям. Одно из них разрабатывает теорию «сильноrо» взаимо
действия, ответствепноrо за ядерные силы и за силы, деЙСТВУЮЩИQ
между почти всеми частицами. (Исключение составляют электрон,
:мюон, 't частица, их античастицы, нейтрино и 'Y KBaHT.) Понимание
еильноrо взаимодействия сейчас. сильно продвинулось. Надежно
установлено, что все частицы, кроме названных (и кроме w и Z4
частиц), состоят и'3 субчастиц, получивших название к в а р к о в.
hварки связаны между собой «цветными силами», пере носчики
}{оторых носят название r л ю о н о в (от анrлийскоrо слова glue
клей). В состав протона, нейтрона и мноrих друrих частиц входят.
три кварка.' Мезоны (пионы, каоны и т. д.) состоят из кварка и
1lнтикварка.
Физики, разрабатывающие второе из уназанных направлений"
пытаются создать единую теорию всех взаимодействий: электромаr'"
lIитноrо, слабоrо, сильноrо и rравитационноrо. Эта теория еще да...
лека до завершения.
Отметим успехи физики макроснопичеСRИХ квантовых систем.
Читатели уже познакомилисъ с оптическими I\вантовыми rehepato--
.рами и с основными представлениями физики твердоrо тела. Оба
-эти раздела современной физики исследуют макроскопические си...
.стемы, свойства которых MorYT быть поняты только С помощью KBaH
'Товых представлений. Два важных явления остались вне рамок
нашей Rниrи. Мы имеем в виду сверхтенучесть и сверхпроводи
мость. Как мы уже отмечали, оба эти явления связаны с бозе кон--
денсацией. Такая. Rонденсация возможна только у частиц, подчи...
пяющихся бозе статистине, а значит, обладающих целыми значения...
ми спина. Все частицы бозе конденсата обладают одноЙ и TOII же
волновой функцией, соотвеТСТВУIощей нижнему, невозбуждеННОl\IУ
'состоянию.
Сверхтекучесть rелия была открыта п. Л. Капицей в 1938 r.
Первую теорию этоrо явления дал Л. Д. Ландау. В соответствии
.с теорией было обнаружено, что сверхтекучестью (при температу...
рах ниже 2,17 К) обладает He, имеющий нулевое значение спина,
..и не обладает ЗНе, спин I\oToporo равен 1/2. Затем было обнаруже...
8АНЛЮЧЕНИЕ
317
но, что при очень низких температурах (ниже 2,6 . 10 3 К)' и вы...
.сОRИХ давлениях сверхтекучестью обладает и ЗНе. Исследование
этоrо вопроса ПОRазало, что при сверхтекучести атомы ЗНе образу..
IOT пары, обладающие нулеВЫ I спином.
сверхпроводиы1стьюю называется обращение в нуль электриче..
Rоrо сопротивления некоторых твердых тел. Она была открыта в
1911 r. КамеРЛIIнr Оннесом. МехаНИЗ 1 сверхпроводимости связан с
бозе конденсацией электронов, переносящих электрический ток.
Ясно, что таI ая конденсация неВОЗ?t-l0жна для отдельных электро,-'
нов и может происходить только у электронных пар, обладающих
целым (HY ТIeBЫM) спином. Долrое время механизм, связывающий
электроны в пары, не был ясен. В 1967 r. Купер, Шриффер и Бар
.дин показали, что таная связь возникает из за взаимодействия
электронов с фононами с колебаниями плотности кристаллической
решетки. Более полную теорию сверхпроводимости создал Н.11. Бо...
l'олюбов. ПРЯl\lые опыты подтвердили, что заряд пере носчиков элект...
Рllческоrо ТОБа при сверхпроводимости деiiствительно равен 2е.
До настоящеrо времени были известны только вещества, пере...
ходящие в сверхпроводящее состояние при очень низких темпера...
'турах при несколы их кельвинах (не свыше 20 К). Получать и
поддерживать таIiие те:мпературы трудно и дороrо, поэтому техни...
чеСIiое прим:ененпе сверхпроводящих материалов обычно оказыва...
лось невыrОДНЫl\I. В 1987 r. было обнаружено, что некоторые Kepa
ЫIlКИ (из них наиболее известно керамическое оксидное образование
La 1 ,sSrO,2Cu0 4 ) сохраняют сверхпроводимость до температур порядка
'90 100 К, превышающих температуру кипения жидкоrо азота,
равную 77,8 К. Не видно теоретических оснований, которые бы
эапрещали существование сверхпроводимости при еще более высо'"
БИХ теl\lпературах, вплоть до КОl\lнатных. Если окажется, что при
RОl\11натных (или даже азотных) температурах сверхпроводимость
может быть получена у каних либо стабильных ?t-Iатериалов, обла
даЮIЦИХ приемлемыми технолоrическими свойствами, то следует.
ожидать революционных изменений в теХНПБе.
Мы дали краткую и по необходимости неполную картину совре--
MeHHoro развития нвантовой физики. rлавное, что нам хотелось бы
отметить, заключается в универсальности Toro HOBoro понимания
физики, которое принесла с собой Rвантовая механика. Основные
ее идеи: волновая природа частиц, вероятностное описание их со.
стояния (описание с ПОltlОЩЬЮ ч:....фунI(ций И операторов), принцип
веопределенности, идеи квантовой статистики оказались приме--
пимы не только к элентронам в атоме, но и к атомным ядрам.
1\ элементарным частица:м, к маНРОСI\ОIIичеСRИМ квантовым явле.
пиям и Т. д. Развитие теории привело к уrлублению, а не к замене
этих представлений. Путь к изучению современной физики в зтой
Rниrе только начат. Мы желаем читате.i1ЯМ успехов на этом пло..
дотворном, по нелеrком пути.
ПРИЛОЖЕНИЯ
L Среднее 8ваченве проевцви импульса
Выведем формулу (2.13). Соrласно (2.12) среднее 8вачение проекции им
пульса равно
00
(РХ) a=r С:пРтС т .
т=== oo
(1)
rAe С т ........ коэффициент разложения ", фувIЩИИ по волвам де Бройля. Заменим
.
С. и С т С DОМОЩЬЮ формулы (2.10):
00 А
(Рх).... I Jл S "'. (ж) ехр (1 Р",т ж) dж )(
fn=:: oo A
А
Х Р т v S '" (ж') ехр ( 1 Р;: ж' ) dж' "'"
A
00 А А
cs 2 I S "'. (ж) Р т S '" (х') ехр [, Р; (ж Х')] ах' dж.
т== 00 .... А --- А
Наи ветрудно проверить вепосредствеввык вычислением, это выражение MO
жет быть записано в виде
А 00 А
(Р Х ) == S "'. (х) ( 11 д ) I 2 S '" (ж') ехр [1 Р",т (х Х')] dж' ах. (2)
---А т oo A
Вычислим сумму, входящую в (2), обозначив ее через У(х):
00 А
У (х) => I 2 S '" (ж') ехр [, Р",т (ж ж')] dx' =>
т== oo ---А
N А
== Нт ..!. S 'Ф (х') ехр [ i Рт (х........ Х') ] ах'.
N oo т=== N 2А A 1;,
Заменим Рт С помощью (2.9) и внесем авак суммы под интеrрал (с конечной
ПРИЛОЖЕНИЯ 319
<СУ}(МОЙ это всеrда мон(но сделать, а с бесконечной суммой не всеrда) J
А N
У (х) ... l oo 2 S 1)1 (х') ехр [ t m (х х')] ах', (3)
A m N
Вычислим сумму, входящую в (3), введя для краТI{ОСТИ обозначение
i
)
N
m=== N
а === 1t (х .х') / А
N
ехр [ i m (х х')] =- e iтa == e iNa + e f(N l)a+ ... + e fNa """
m== N
e(2N+l)ia 1
-== e iNa (1 + e ia + e 2ia + ... + e 2Nia ) == e iNa .а ::2
e t 1
sin [(N + 1/2) а] sin [(Л' -+- 1/2) (л/А) (х х')]
sin (aj2) sin [(л/2А) (х х')]
(4)
(5)
IIac ивтереСУIОТ очень большие в пре;J;еле бесконечно большие....... значе.
lIИЯ N. Во всей области изменения ж', кроме ближайшей окрестности z, выра.
л{ение (5) быстро осциллирует и интеrраJl в выражении (3) обращается в
нуль всюду, кроме окрестности точки х. При очень малых х х', коrда
N(1t/A) (х х') 1, синусы в числителе и знаменателе MorYT быть sаменепы
своими арrументами и выражение (5) приобретает вид
(Н + 1/2) (11:/ А) (х х')
(п/2А) (х х') == 2N + 1.
Это выражение при больших N очень велико. Таким образом, при больших N
в интеrрале (3) становится все более существенна окрестность точки х и все
менее существенна вся остальная область изменения х'. Нас интересуют пр&-.
дельно большие 8начения N. В интеrрале (3) '1J (х') может быть поэтому за 4
менена на 'ф (х):
. А N
У (х) == l 2 1jJ (х) 1 ,] N ехр [ i m (х Х')] ах' ..
N А
0== 1)1 (х) oo 2 S ехр [ i:.m (х Х')] dx'. (6)
m== N A
РаСС:\IОТрИМ ивтеrралы, которые суммируются в выражении (6). При т:F О
s ехр [ i m (х Х')] dx' == ехр c т х ) лт ехр ( '; ж') А А "'"
A
( t1tm ) А
-= ехр А х inln (ехр (....... 'пт) ...... ехр (+ inт» == о.
820
ПРИЛОЖЕНИЯ
При т -- О
Имеем поэтому
А А
S ехр [ i т (х ;/;')] dx' С: 5 dx' с: 2А.
A A
1
У (х) == Вт 2А '" (х).2А == '" (х).
N oo
(7)
в этом выраiкепии предельный переход N 00 ОI{азалсл пеНуiННЫМ. Мы нс.
пользовали переход к пределу в неявном виде при замене 'Ф (X/) на 'Ф (х). Эта
замена при любом конечном N является приблизительно правильной, а при
N 00 оказывается точной. Подставляя (7) в (2), найдем окончательно
<Р Х > "" S ф* (х) ( i1i. д: ) ф (х) dx, что и требовалось доказать.
11. Радиальная часть оператора Лапласа
Покажем, что оператор Лапласа в сферических координатах для случая, Kor
да функция зависит только от r, выражается формулой (4.3).
В декартовых координатах оператор Лапласа имеет следующий вид:
а 2 а 2 а 2
А == 2 +2+2. (8)
ах ау az
Перейдем от производпых по х, У, z к производным: по Т. Учтем, что
r 2 == х 2 + у2 + Z2 (9)
Дифференцируя это рнвепстnо, ПО."'Iучас .f
Br/ox == x/r, Or/Oy == y/r, 8r/oz == z/r.
Замепим первые производные по х, у, z ПрОИ3ВОДliОЙ по r:
f} Br а х d
8х == Ох а;: == r dr '
НаЙдем вторые производные
{)2 д ( х d ) 1 d :1: Br d х Вт d 2
дх 2 == ех ----;:- dr == r dr ? дх ' dr + r дх dr2 :::::
в у d
........... .............
д у r dr'
в z d
............. ...............
OZ r dr'
1 d х 2 d х 2 d 2
-== r ат ;З dr + r 2 аl.2 . (10)
Аналоrичво
д 2 1 d 2 d у2 d 2
ду2 == r dr 3 dr +;з dr2 ' (lО')
а 2 1 d z2 d z2 d 2
............ + (10")
oz 2 r dr r З dr r 2 dr 2 .
Суммируя (10), (10') и (10") с учетом (9), находим
д 2 д 2 а 2 3 d 1 d d 2 d 2 2 d
А == дх2 + ду2 + oz2 == r dr r dr + dr 2 == dr 2 + r dr · (11)
ПРИЛОЖЕНИЯ
821
Таким образом, мы получили выражение (4.3):
d 2 2 d
А == 2 + r d r ·
dr
I
I
111. Уравнения движения связанных маятников
Покажем, что в формулах (12.2) дополнительные члены ах и ау ДОЛЖНЫ
иметь одинаБовые коэффициенты а.
Будем характеризовать отклонение первоrо маЯТНИI{а координатой Х,
а отклонение BToporo маятника координатой у.
Силы, действующие на маятники, описываются потенциальной энерrией, за...
висящей, вообще rоворя, от координат обоих маятников, так что потенциаль--
ная энерrия системы U == и(х, у). Разложим U в ряд ПО х и у. Для малых
колебаний достаточно оrраничиться членами до BToporo порядка ВКЛЮЧИ 04
тельно:
l! (х, у) == u (Х о ' уо) + ( : )o х + ( : ) / +
+ ( д2 ) х2+ ( 2И ) ху+ ( д2 ' ) у2+...
дх о дхду о ду о
(ди/дх) о, ,.., (д 2 и/д у 2)о берутся в точке Хо, Уо и являются
(12)
Производные
числами.
Сила, деЙСТВУIощая на каждый
знаБОМ производпой потенциальной
из маятников, равна взятой с обратным
энерrии по соответствующей координате:
( 2 )
ди дИ д U д 2 и
F ,) х ............... у,
1 дх (дх )0 дx о (axaJo
ди ( дИ ) ( д2И ) ( д2И )
F 2 == ду == ду о oy"l. У дхду о Х.
ПрИ lем за точку разложения положение равновесия маятников. В точке Хо z:::::::a
=== Уа == О силы должны обратиться в нуль. :Имеем поэтому
(aUjox)o === (ди/ду)о === о.
(13)
(14)
"Уравнения ДВИil СНИЯ маятников ПОЛУЧИМ, подставляя {13} во второй за
I OH Ньютона. С учетом (14) ПОЛУЧИl\1
.. ( д 2 И ) ( 1 д2u )
т1x ==....... х у,
дх о дхду о
т 2 i; == ( д2 ) у....... ( д 2 U ) х.
ду о д хду о
При «выключении» связи между маятниками силы, зависящие от координаты
«ДРуrоrо» маятника, обращаются в нуль и вторые члены в правых частях
уравнений (15) исчезают. Видно поэтому, что у одинаковых маятников не
только тl == т2, но и
(д 2 и/дх 2 ) О === (B 2 Ujo y 2)o. (16)
Обозначим эти производные через ты 2 . Деля выражение (15) на m и перено...
(15)
322
ПРИЛОЖЕНИЯ
J
OJI все члены в левую часть равенства, найдем
.. 2 f ( 82 и )
:l + (u х + у === О,
т 8хду о
.. 2 1 ( д2И )
У + (J) у + х == о.
т дхду о
Формулы (17) совпадают с (12.2). Леrl\О видеть, что члены, Э8висящие от 1\0"
ординат «друrоrо» маятника, имеют одинаковые коэффициенты, обозначенные
в уравнениях (12.2) буквой а.
IV. Основные физические кОнстанты
(17)
Наименование
в си
Обозначение
в rауссовой системе
единиц
Скорость света
Постоянная План
ка
Элементарный 8a
ряд
Масса электрона
Энерrия покоя
Э,."'Iектрона
Масса протона
ЭперrllЯ покоя
протона
Постоянная ABO
rадро
Постоянная
тонкой СТРУКТУ"
ры
Rомптоновсная
ДЛИНа волны
электроНа
Энерrия Ридберrа
Постоянная Рид..
берrа
Маrнетоп Бора
Ядерный маrпетон
Постоянная Больц
мана
Постоянная Стефа..
На Больцма..
На
с
2,997 924 6.1010 см/с;
2,997 924 6Х
Х 108 м/с
1,05459х
X10 34 Дж. с
1,602 19.10 19 Ил
9,109 5.10 31 Kr
1 672 65.10 27 Kr
,
6,022 04.1023 МОЛЬ
3,861 59.1 0 13 I
1 097 373 .107 M l
,
9,2740775х
Х 10 2;j Дж/Т л
5,0508237Х
Х 10 27 ДжlТл
1,38066Х
Х 10 23 Дж/I\
5,670Х
х 1 0 8BT/ (м 2 . I{4)
1
1 ,054 59.10 27 эрr.о
.
4,803 24.10 10 сrСЭ q
9,109 5 .10 28 r
0,511 003 1эВ
те
т с 2
е
mр
т с 2
Jl
1 ,672 65.10 24 ю
938,279 МэБ
N A
е 2
a==
пс
1/137,036 О
1;,
Ае ==
е
3,861 59.10 ll см
n! е"
R ==
1 211,2
13,605 80 эВ
..
те
R == Р
00 4:t1i 3 c
еп.
11
f В 2/1 С
(>
е1i
Р N == 2т с
р
х
1,097 373.10 Ь CM l
9,274 077 5х
Х 10 20 эрr/rо
5,050 823 7 Х
Х 10 24 эрr/rс
1 ,380 66.10 16 эрriК
:t 2 X 4
a
БОА З с 2
5,670Х
Х 10 6 эрr/(с.см 2 .1\4)
ПРИЛОiНЕНИЯ 823
v. НазваНИJl, символы в атомные массы химических элементов
t ВОДОрОД Н 1 ,O079 54 НсеНОII Хе 131,29
2 rелий Не ',00260 55 Цезий Cs 132,905'
3 ЛИТИЙ Ll 6,941 56 Барий Ва 137,33
, Бериллий Ве 9,01218 57 Лантан La 138,9055
1) Бор В 10,81 58 Церий Се 140,12
6 Уrлерод а 12,011 59 Празеодим Pr 140,9077
7 Азот N 14,0067 60 Ilеодим Nd 144,2'
8 Rислород О 15,9994 61 Прометий pm (1451
9 Фтор F 18,998403 62 Сам арий Sm 150,36
10 Неон Ne 20,179 63 Европий Eu 15 t t 96
11 Натрий Na 22,98977 64 rадолиниl Gd j 57,25
12 Маrний Mg 24,305 65 Тербий ть 158,925
13 Алюминий АI 26,9815' 66 Диспрозий Dy 162,50
14 Rремний 81 28,0855 67 rольмий Но 16 ,9304
15 Фосфор Р 80,97378 68 Эрбий Er 167,26
16 Сера 8 32,06 69 Тулий Тт j 68,9з а
17 Хлор СI 35,453 70 lIттербиR УЬ 173,04
18 AproH Ar 39,948 71 Лютеций Lu 174,967
19 Rалий К 39,0983 72 rафний Н' 178,49
20 RальциR Са 40,08 73 Тантал Та 180,9479
21 СиандиЙ 80 44,9559 74 Вольфрам W 183,85
22 Титан Тl 47,88 75 Рений Re 186,207
23 Ванадий V 50,941 76 Осмий 08 190,2
24 Хром Cr 51,996 77 Иридий Ir 192,22
25 Марrапец Мn 54,9380 78 Платина pt 195,08
26 Железо Ре 55,847 79 Золото Au 196,966$
27 Rобальт Со 68,9332 80 Ртуть Hg 200,59
28 Нинель Ni 58,69 81 Таллий TI 204,383
29 Медь Cu 63,546 82 Свинец РЬ 207,2
ЗО Цини Zn 65,38 83 Висмут ! 208,980
31 rаллий Ga 69,72 84 Полоний Ро (209)
32 rерманий 06 72,59 85 Астат At [210]
33 МЫШЬЯI\ Аа 74,9216 86 Радон Rn [222]
34 Селен Se 78,96 87 Франций Fr (223)
35 Бром Br 79,904- 88 Ра;J;lIЙ Ra 226,025
36 Rриптон Kr 83,80 89 АI;ТИНИЙ Ао 227,0278
37 Рубидий Rb 85,4678 90 Торий Th 232,0381
38 Стронций Sr 87,62 91 Протактиний Ра 231,0359
39 :Иттрий у 88,9059 92 Уран U 238,0289
40 Цирионий Zr 91,22 93 IIептуний Np 237,О48а
41 Ниобий Nb 92,906 94 Плутоний pu [244]
42 Молибден 1\tIo 95,94 95 Америций Ат [243]
43 Технеций То (98) 96 Нюрий Ст [247]
44 Рутений Ru 101,07 97 БеРI\ЛIIЙ Bk (247)
45 Родий Rh 102,9055 98 RалифорниR С! [251]
46 Палладий Pd 106,42 99 Эйнштейний EfJ (252)
47 Серебро Ag 107,868З 100 Фермий Fm (257)
48 Rадмий Cd 112,41 101 Менделевий Md (258)
49 Индий In 114,82 102 (Нобелий) (No) [259]
БО Олово Sn 118,69 103 (Лоуренсий) (Lr) [260 J
б1 Сурьма Sb 121,7Б 104 Rурчатовd Ku [261 ]
б2 Теллур Те 127,60 10б (262)
r.з lIод 1 126,9045 106 (263)
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
е
с
Пl" тв
w
р
л
k == 2:rr./'Л
k
&
Т, Е н
[1, Е ПОТ
1i, h
Ле == 1i/тeC
а. == е'2' 1i с
'Р, '1'.
<1>
J
1
l
s
s
j
j
f.1B
Jll
тZ
"'S
та
J1j
тn;
L
L
S
S
J
J
f.1L
тL
J1s
тв
J1J
тr
,
заряд электрона
скорость света
масса электрона
круrовая частота
импульс
длина волны
волновое число
волновой вектор
полная энерrия частиц и фотонов
кинетическая энерrия
потенциальная энерrия
постоянная Планка
........ комптоновская длина волны электрона
постоянная тонкой структуры
........ пси Функция
среднее значение физической величины /
оператор физической величины f
........ орбитальный уrловой момент частицы
орбитальное квантовое число
спин частицы
спиповое квантовое число
полный уrJIОВОЙ момент частицы
«внутреннее» квантовое число
MarHeToH Бора
u u
ороитальныи маrнитныи момент частицы
орбитальное маrнитное квантовое число
........ спиновой маrнитпый МОмент частицы
спиновое м:аrнитное квантовое число
полный маrнитный момент частицы
квантовое число, определяющее проеКЦИIО полноrо уrловоr()
момента частицы
орбитальный уrловой момент атома, системы частиц
........ орбитальное квантовое число атома, системы частиц
спиновый уrловой момент атома
........ сПиНовое квантовое число атома
полный уrловой момент атома
квантовое число, соответствующее ПОЛНОМУ уrловому моменту
........ орбитальная составляющая маrнитноrо мо {спта атома
........ орбитальное маrнитное квантовое чис.ТIО атома
........ спиновая составляющая маrнитноrо момента атома
спиновое маrнитное квантовое число атома
........ полный маrнитный момент атома
........ квантовое число, определяющее проекцию ПО:Iноrо момента
атома на направление J
..... множитель (фаI\ТОр) Ландв
I
I
,1
'3
ПРЕД IЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анцепторы 297
Альфа распад 61
АМПJIитуда вероятности 23, 38, 40
А том водорода 67 и Д.
, пространственное распределе
нне элеI\ТРОННОЙ плотности 79
, спектр 75
, тонкая CTPYI{Typa 116
rелия 13, 144
Атомы водородоподобные 67 и Д., 116
СЛОilНlые 133 и д.
щелочных элементов 146 и д.
, электронных оболочек структура
131 и д.
Бальмера обобщепная формула 76
Барнета эффент 113
БибеРМC:l.на, Суmкина, Фабрин анта
опыты 22
Блоха фУНI\ЦИИ 281
Бозе КОIlденсат 196
Бозе Эйнштейна распределение 194
Бозоны 186
БОJlьцмзна постоянная 185, 193
распределение 185, 195
Бора постулаты 118
теория строения атома водорода
118 и д.
Бравэ решеТI\И 254
БРИJIлюэна ЗОНLI 259, 262
Брэrrа Вульфа фОРl\lула 18
ВеI\торная .модель сложения момен"
тов 114
Вина занон смещения 208, 209
Влияние опыта па состояние микро
частиц 2 и д.
Волновая функция (пси фупкция)
22, 53
антисимметричная 128
симметричная 128
........ , условие нормировки 32
Болнов()е число 18, 22
Волновой вектор 22
паl\ет 27
Время жизни возбужденных атомов
84
Вынужденные (индуцированные) пе
ре ходы 214 и д.
Вырождение уровней 99, 100, 220
rамильтониан 44
rейзенберrа соотношения неопреде
ленностей 30, 34
rетерополярная (ионная) связь 239
rиромаrнитное отношение 114 и д.
rомеополярная (ковалентная) связь
240
Давление излучения 211 и Д.
Дебая температура 269
Де БроЙля волна 22
, скорость rрупповая 28
, фазовая 26
........ rипотеза 17
........ соотношение 18
Девиссона и Джермера опыты 16
и д.
Дисперсии эанон 265, 286 и Д.
Дифранция частиц 20 и д.
Диффузии длина 311
Доноры 297
Дырки 155, 298 и д.
3еемзна эффеТiТ простой 169, 172, 174
сложный 169 и д.
Зее:м:ановсних компонент поляриза..
ция 175 и д.
Зоны проводимости 278
энерrетических уровней запре..
щенные 275
........ разрешенные 275
IIзлучение индуцировапное (вынуж
денное) 214 и д.
спонтанное 214
Изоляторы 276 и д.
1 1зотоп ичесний сдвиr 77
Иптеrральная излучателъная способ
ность 200
Иопы водородоподобные 67, 78
Квазиимпульс 292 "
Нвазичастицы 312
I\B3HT 11
действия (постоянная ПлаНI 3) 12
I\вантование энерrии 54, 56
Квантовое число электрона BHYTpeH
нее 113
rлавное 99
326
ПРЕДМЕТНЫй УRА3АТЕЛЪ
I\ваптовое число злеl трона маrнит--
ное 98
....... орбитальное 98
СПИНО80е 110
I\вантовые reHepaTopbI и УСИЛИТQЛИ
221 и д.
Квантовые числа атома 125 и д.
I\вантовый I\оэффициент усиления
222
Rирxrофа aaI\OEl 198 и д.
Rовалентная (rомеополярная) связь
240
I омбинационное рассеяние света 96
l\омптона эффект 13 и д.
hОМПТОНОВСI,ая длина волны злект...
рона 16
Контактная разность потенциалов
305
Кристаллов симметрия 252 и д.
ЛRзерноrо излучения структура 234
Лазеры (оптичес(\ие !(взнтовые reH
ра торы) 226, 227 и д.
rелий неоновые 231
на неОДИМОБОМ стекле 230
на рубине 227
на СО 2 232
Ламберта заI\ОEl 206
Ланде фактор (множитель) 114 и д.
l\lаrпетон Бора 105, 322
ядерный 105, 322
l\Iаrнитный момент атома 170
нейтрона 183
протона 183
электрона аномальный 113
орбитальный 104
полный 113 и д.
спиновый 111
l\Iаrнитомехапичес({ие явления 112
и д.
1аксвелла распределение 185
l\Iacca приведеIIная 77
эффективная 290
l\Iезоатомы 81
1Iепделеева периодическая система
элементов 130 и д.
l\fеталличеСI\ая связь 250, 251
l\IетастаБИЛЬНЫ8 состояния атомов
145, 231
l\Iозли закон 151 и д.
l\10лекула водорода 234 и д.
l\IолеI{улярные l{ристаллы 249
спектры 92 и д.
l\Iоленулярных пучков метод 179
l\loMeHT уrловой, момент импульса
86 и Д.
атома 125 и д.
........ , квадрат 89, 91
Момент уrловой орбитальный 98
полный 113
, правила сложения 100
....... , проекция 86, 87
J.>
'J
',,'
IIаселенность уровней 218 и д.
инверсная 223
Натрия дублет 148
Неопределенности принцип 28 и д.
соотношение для !{оордипаты JI
импульса 30
энерrии и времени 84
IIОрМИрОВI\И условия 32
Обменная эперrия 247
Обменное взаимодействие 243 и д.
Обменные силы 242
Объемная спектральная плотность
излучения 202
OH e эффект 155 и д.
Оператор импульса 41, 42
кинетичес}\ой ЭElерrии 42
....... 4ЛНОЙ 8нерrии (rамильтониан)
проекции момента импульса 44.
4;)
сJ)изической величины 41 42
q)УНI\ЦИИ I оординат 39 '
ОРТОI'елий 144, 145
Осциллятор rармоничеСItий 62 и д.
Отбора правила при излучении aT
мов 138 и д.
Параrелий 145
Паули принцип 127 И д.
Паmена и Бака эффект 175
Переброса процессы 264
IIериодичность I\ристаллов 259
ПлаНI\а постоянная 12
формула 202
ПО3ИТРОlIИЙ 78
ПОЛУПрОВОДНИI\И 295 И д.
Поляризация света 88, 89
Потенциал возбу}кдепия 72 73
u '
ионизаЦИОlIНЫИ 74
резонансный 73
fIотенциальная яма 51 и д.
Потенциальный барьер 60 и д.
Раби метод 179
Равновесное излучение 198 и д.
радиусы БОРОВСI'ИХ орбит 80, 81
Расщепление а томных энерrетич
ских уровней в маrнитных полях
170 и д.
Резонанс маrнитпый 178
ядерный 179 и д.
....... ЦИI\.. ОТРОННЫЙ 288 И де
ПРЕДl\IЕТВЫй УНА3АТЕЛЬ
321
Резонанс электронный парамаrnит
ВЫЙ 178, 181
Рентrеповсние лучи 149 и д.
, ослабление 158
......... , рассеяние KorepeHTHoe 160
, ......... комптоновское 13
, поrлощение 158, 161
, получение 153
спентры тормозные (СП.1Iоmные)
154
......... характеристические (линейча
тые) 149 и д.
Ридберrа постоянная 76, 77
энерrия 70, 71
Рэлея Джинса формула 210
r
I
Сверхтонкая структура атомных
епентров 118
Связь атомов в молекулах 239, и д.
твердых телах 248 и д.
элен тронов в атомах нормальная
(Рассела Саупдерса) 125
«i ] . связь» 126
, J
Серии в спеI{тре водорода (Лайманn,
Бальмера и др.) 75, 76
Собственные значения физической
величины 46
Фуннuии оператора 48
Соответствия принцип 59
Состояния s, р, d, f, g, .. . 98
СпеRтральнзя И3ЛУЧ8телъ ал СПОСuб
ность 200
плотность эперrетичесной св€ти
мости 200
СпеI{тральный коэффициент поrл<r
щения 201
Спентр водорода 75
rелия 143
лития 146
Спентры :молеJ\УЛ 92 и д.
СПИII орбllтальное взаимодеЙствие
116, 124
Спин фонопа 265
фотона 129, 139 и д.
э."1ектрона 108 и д.
Средние значения физичеСI IIХ вели
чин 37, 45
Статистика Возе Эйнштейна 186,
190, 194
световых RBaHTOB 193
....... Ферми....... Дирака 186, 190, 194
Стационарные состояния атомов 49
Стефана и Больцмана постоянная
207
....... форм у ла 205
Стирлинrа формула 192
Тепловое излучение 198 и д.
ТОК насыщения 310
Тонкая структура уровней 8нерrети
чесних 124, 143, 148
в атоме водорода 116
, постоянная 71
Транзисторы 311
Туннельный эффект 60 и д.
Уровни энерrии 54
....... водородоподобных атомов 67
и д.
вращательные 92 и д.
....... :колебательные 64, 66
......., вырождение 99, 100
Фазовый объем 188
Ферми Дирака распределение 194
Фермионы 186
Ферми поверхность 292
энерrия 291, 300 и д.
Фононы 262, 265
Фотоны 13, 88, 89
Фотоэффект 9 и д.; 180, 181
......., ((I{распая rраНИЦ9-) 10, 12
, работа выхода 12
Франка и rерца опыты 72 и д.
Фурье интеrрал 32, 3з
....... ряд 39 и д.
Холла эффеI\Т 300
Хунда правила 134
ЦинлотронныЙ резонанс 288 и д.
Черное тело (абсолютно черное те...
ло) 199
ирина энерrетичесних уровней 82
и д.
Шредипrера ура:ВНf'ние 49 и д.
Штерна и repJl8Xa ОПЫТЫ 107, 108,.
111
Эйнштейна и де r яза опыты 112
ноэффициенты 220
уравнение д.ля фотоэффекта 12
Энранировапия постоянная 152
Электронный rH3 290
Электронных оGолочек 8аполненп
130 и д.
Электронный парамаrнитный резо
нане 178 и д.
Электропроводность изоляторов 279
полупроводников 303
собственная 304
проводников 278, 286, 290
Энерrетичесная светимость 199, 200
Эффективная масса 290
Эффективное сечение 159