Ф. Б. Ч е р н ы й


РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН


Издание 2
e, дополненное и перера1ботаlнное






м о с к в а «С О в е т с к о е р а Д и о» 1 9 7 2




УДК 621.371 (075.8)
ч е р н ы R Ф. Б. Распространение радиоволн. Изд. 2-е, доп. и переработ,
М. сСов. радио:., 1972. 464 с.
Книrа охватывает основной Kpyr вопросов по распространению
ультракоротких радиоволн, а тзкже радиоволн друrих диапазонов.
Наряду с обuцими принципами теории в книrе достаточное внимание
уделено приложению теории к решению конкретных практических
задач. По сравнению с первым ее изданием книrа существенно
переработана: в нее включены новые актуальные вопросы, улучше-
на методика изложения материала.
Книrа может служить учебным пособием по курсу «Распростра-
ншие радиоволю для студентов радиотехнических и радиофизиче-
ских факультетов вузов и быть полезиой специалистам, работаюuцим
в облаети распространения радиоволн.
21 табл. 249 рис., библ. 67 назв.
3-4-2
125 7

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание, как 'и пер,вое, может служить
учебным Iпособием по кур'су «Распространение радио-
волн», r ла.вным образом для <;:ту дентов 'радиотехнических
и радиофизических факультетов вузов, специализирую-
щихся в области радиотехники ультракоротких радио
БОЛН.
ЭТО И3'дание существенно отличается от Iпредыдущеrо.
В Hero включены новые актуальные вопросы. В ряде слу-
чаев материал изложен по-новому  решение задач вы-
полнено методами, более адеК1ватными их .постановке;
значительно 'большее внимание уделено исходным идеям,
общи'м IfIринц'ипам теории и физической интерпретации
формул; MHoro места отводится 'применению теории к pe
шению 'при/кладных задач, а именно к инженерному pac
чету радиолиний и к исследованию электрических свойств
среды Iпутем 'изучения эффектовраспространения радио-
волн.
Претерпела изменение и структура книrи. Настоящее
издание состоит из 6 rлав (вместо 9 в первом издании).
В первой r лаве обстоятельно рассматривается 'Наибо-
лее фунаментальный принцип теории распространения
радиоволн iПринцип rюйrенс:а  Френеля  и форму-
лируются закономерности ра,спространения радиоволн
в свобод:ном пространстве.
Во втор'ой rлЭ'ве излаrаются вопросы распространения
радиоволн ,над землей и приводятся приближенные MeTO
ды учета влияния ее реальных свойств на процесс pas-
пространения.
Третья rлава пос'Вящена общим методам изучния
распространения радиоволн в неоднородных средах, Ta
ких, как аТ1мосфера и межпланетная среда, причем ,в обо
'снование ряда методов, как и методов, О'пИ'саIННЫХ 'во BTO
рой rлаве, принимается принцнп rюйrенса  Френеля.
В четвертой и пятоЙ r лавах с помощью общих MeTO
дов, развитых в третьей rлаве, изучаются cooTBeTCTBeHHQ
особенности распространения радиоволн н тропосфере "
ионосфере.
3

ВшестаЙ rЛalве рассматриваются вопрасы исследава-
ния ианосферы па се влиянию на працесс \распрастране
ния радиавалн tI описываются метады расчета радиа
трасс, прахадящих через ионосферу и 'касмас.
Считаю своим д'алrам выразить блаrадарнасть праф.,
дакт. техн. наук Я. С. Шифрину, праф., дакт. физ.-мат.
наук Я. Л. Алыперту, проф., дакт. техн. наук М. А. Коло-
сову, а также докт. физ.мат. наук Ф. [. Бассу за внима
ние 'к 'на,стоящеЙ рабате и ценные саветы. Я также при-
энателен рецензенту  дацснту, канд. физ.-мат. наук
В. А. Филаненка за палезные замечания.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
На,стаящая 'книrа предназначена ,служить учебным па-
собием по курсу распрастранения радиаволн rлавным аб-
разам для студентов радиатехнических факультетов ву-
зав, специализирующихся в абласти техники УКВ.
Целью книrи я'вляется азнакамление читателей как
с основными теоретическими закономерностями и экюпе-
рименталыными данными 'па распрастранению радиовалн,
так и с аснавными метадами теоретическаrа исследава
ния, в связи С чем в ней уделяется ,внимание не талька
акончательным вывадам теарии и ЭКiсперим€,нтальным
фактам, на и математическаму анализу ра,ссматриваемых
вопрасов. Предпалаrается, чтО' читатель знает теарию
электромаrниТ'наrа паля и математику в абъеме саатвет-
сТ!вующих курсов, читаемых в радиатех,ничеС'ких вузах.
Приведенная в канце книrи библиаrрафия \Па ра'с-
прастранению радиовалн не претендует на палнату. Эта
в аснавном литература, катарая была испальзавана при
рабате над ру,кописью I{Iниrи; в неЙ читатель мажет наЙ-
ти ариrинальные и ДОПОJIнителЬ'ные материалы по ряду
вопрасов, рас,сматриваемых в книrе.
Считаю сваим даЛ'rам выразить rлубокую блаrодар-
ность Я. С. Ш,иФрину за ценные советы, полностью мной
испальзованные, а также рецензенту и научнаму редакта-
ру Н. В. Осипаву за ценные советы и большой труд па
редактираванию рукаписи. Выражаю также бальшую
блаrодарнасть рецензенту Ф. r. Баосу и В. А. Мисюре,
прочитавшему 7 и 8 rлавы, за ряд' важных замечаний.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
 1. СВОБОДНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Условия распространен ня раДIIОВОЛН от пС"редатчика
к ,прнсм'шЩiY В свя:шоi'1 ЛllllllИ Н.ТIИ от раДllOлокатора.к об
наружнвасмому объекту и обраТIIО J( радиолокатору в pa
диолокационной линии оказывают СУщественное влияние
на работу ,всей радиолинии !в целом. '.
Так, одна из основных характеристик любой ра'диоли
нии  ее дальность деЙствия  определяется не только
теXlническИiМИ данными ,передатчика и приемника, но
в весьма сильной степени зависит и от условий распро
стра'нения радиоволн. От этих же условиЙ зависит и ряд
друrих технических характеристик Так, с изменением
условий рОПрОС1'ранения радиоволн, кроме дальности
дейс'flВИЯ, меня"ется и такая 'важная характеристИ'ка pa
диолокационной станции, как точность определения KO
ординат цели.
В данноЙ книrе рассматривается только так наЗbllвае
мое свободное распространение радиоволн, не связанное
с какимилибо искусственными устройствами, канализи
рующими элеК1'Iромаrнитную энерrиlO. Та/кое раСПрОСl'ра
нение радиоволн определется естественными факторами,
каковыми являются все 'среды, находящисся на ПУТИ pac
пространения раДИОВОЛ1Н от персдаТЧlIка к присмнику.
Если rрубо классифицировать 'среДLI, то таковыми будут
нвляться земля, а'flмосфера землн, межпланетная среда.
Для краткости последнюю среду будем наЗbDва1Ь /KOCMO
сом, хотя, как известно, КОСМ,ОС  это вся вселенная.
 2. 'КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕД
1. Земля
Земля обладает определенными диэлектрической и
маrнит:ной :проницаемостями И конеЧ1НОЙ 'проводимостью.
Эти электрические параметры меняются как IПО поверх
ности земли, так и по rлубине. В земле тоже 'Может иметь
место распространение ,радиоволн, но так ,как в подав
5

ляющем большинстве случаев передающая и приемная
антенна находятся над землей, то в основном интересу
ются распрост,ранением радиоволн, происходящим над ее
поверхностью, хотя 'в Iпослед:ние несколько лет процесс
распространения под Iповерхностью земли также стал
объектом изучения. Производя экcrраполяцию от Oiптиче-
'ских волн, для которых земля непразра чна, можно YT
верждать, . что аслабление радиоволн в земле должно
уменьшаться с удлинением волны. ОднакО' даже в саlМОЙ
длинноволновой части спектра радиоволн ослабление
на'столько велико, что дальность их распространения
чрезвычайно мала. Вместе с тем 'в земной ,коре MorYT
встретиться слои 'с Iмалой проводимостью и Tor да даль
ность распространения может оказаться немалой.
2. Атмосфера
Амосфера представляет собой по своим электриче
ски:м хараlктеристикам сложную ,среду. При изучении сво-
бодноrо раСПРОС'J)ранения радиоволн в атмосфере ее при-
нято делить на три слоя: тропосферу, стратосферу и
ионосферу.
Тропосфера  самый нижний слой атмосферы, прости-
рающиЙся 'в среднем до высоты 1012 км, преставляет
собой неоднородную в электрическом отношении среду
хотя бы уже 'потаму, что 'плотность воздуха с ,высотой
падает. Неоднородность 'I'ропосферы саздается и изме-
нением теМ'пературы и влажности с IВЫСОТОЙ, а также их
изменением в rоризонтальных 'направлениях. Поrода фор
мируется метеоролоrическими 'Процессами, происходящи-
ми в основнам в пределах тропосферы.
Стратосфера  слой атмасферы, простирающийся
в Iпределах 'высот от 1012 до 60 юм, отличается 'ОТ тро-
посферы значительно меньшей 'плотностью 'Ваздуха и,
кроме Tora, тем, что на высотах 1 050 км находит,ся 'слой
озона (аз), который сильно поrлощает ультрафиолетовое
солнечное излучение, что и приводит К возрастаlНИЮ тем-
пературы на этих высотах.
Тропосфера и стратосфера ,считаю1'СЯ неионизирован
нbI'ми слоями \Воздуха, хотя это не совсем точно, так как
имеется некотарая 'концент:рация электранав порядка не-
скольких десятков и даже сотен IHa 1 ,см з . Однако эта
концентрация па сра,внению с концентрацией нейтраль-
6

ных молекул rаза ничтожно мала, поэтому на процеес
ра,спространения радиоволн не влияет.
иоНосфера......... самый веРХНliЙ, 'Ионизированный слой
атмо.сферы. Ниж'няя ее rраница расположена примерно
на ,высоте 60 'к'м, а верхняя проходит на высотах порядка
15 00020 000 км.
Ионизация атмосферы здесь вызывается ультрафио-
летовым излучением Солнца и 'потоками частиц, иооу-
скаемых Солнцем, и космИ'чеоких ча'стиц, приходящих из
rлуби'Н 'кОсмоса. В результате 'ионизации в ионосфере
появляются как свободные электроны, так и положитель
ные ионы. Концентрация элек'DРОНОВ растет 'с 'высотой и
достиrает 'при некотором ее значении макСИМУма порядка
106 элf,cм З , а затем убывает с 'Высотой.
Верхняя rраница ионосферы находится H{l той нечет-
ко обозначаемой ,высоте, rде концентрация электронов
становится такой же, как и в межпланетном простран-
стве.
з. Межпланетная среда
МеЖ1планетное пространство заполнено rазом чрезвы-
чайно слабой концентрации. Состав этоrо таза, как и
концентрация в нем, еще не точно определены. В этот
rаз, повидимому, входят электроны, протоны, атомарный
водород.
В литературе'IПРИIВОДЯТСЯ разные величины концен"ра-
ции электронов, отличающиеся дру.r от друrа на два по-
рядка. Среднее значение по этим данным  несколько
десятков электронов 'в 1 ,см З . Этот разреженный межпла-
нетный rаз и представляет собой межпланетную с-реду,
которая во 'Мноrих случаях может раесматриваться KalK
свободное пространство.
 3. ДИАПАЗОНЫ РАДИОВОЛН
Радиоволны занимают ча.crrь ,спект,ра электромаrнит
ных IВОЛН, оrраниченную пределами 3000+3. 1012 rц. Осо-
qенности распростра'нения радиоволн в различных 'средах
существенно 'зависят от длины волны. Поэтому 'Ниже при-
водится классификация длин радиоволн по диапазонам
и ,соответствующая ей номенклату.ра полос частот, IJlрИ
нятая Международным Консультативным Комитетом по
рад'kо (МККР) в 1959 r. ,(2.0].
7

8
::s
'"
1-'
О
1-'
U
'"
:1'
О
t::
си
и
Ж
..:0
>.t::
Ш
QJ
а::1:;
CliЖ
а'"

11:
8
gj
::r

.е-
ж
u
u
'"
1:;:

Q.a:' .
5:1
:sig=-;;:
C:1I:;::1C1i
"'1-'а:::О:::11:t
.s.OD:: ca >(
>--t::;gi=
!jI са
o...:!'
 :Ъ s
О g "':' 
:I::c:: С-: '"
с)
'111
I:tl:;:
gi
CliCU
!:!
uCli

I:t
1-''''
CIi'"
;:€o.
111
1:;:
i
::s

1:;:
I:t
О
t::
111 8. [
t::1-'
I:;:
g::;ca
",t:f:1
=O",CIi
='2о.:I!
1:;: Ii! 1-';.-.
t::{uu:.-,
..:
gj
::r
'"
..:
=
.е-
=
u
u
'"
1:;:

ж
1:;:
i
:1
О
'"
'"
t::
'"
=
t::{
:s
1--
О
1--
U
C'I3
::r

:;а
с")
51
.а
:z:
4J
::r
О
I
::r
:r:
о
:s
1--
О
...
U
C'I3
::r
4J
==
:с:
с")
==
:z:
I
::r
:r:
:s
1--
О
t
C'I3
t7'
4J
==
:z:
t::f
4J
о..
U
I
::r
u
:s
1--
О
1--
U
C'I3
::r
4J
==
:.::
О
(J
:s
са
I
::r
a:I
:2!
1--
О
1--
U
C'I3
t7'
4J
==
:с:
8
:а
са
.а
:z:
4J
::r
О
I
::r
се
о
:s
1--
О
t
C'I3
t7'
:а
1--
О
1--
U
C'I3
t7'
4J
==
:.::
О
u
:s
са
х
о..
4J
са
U
I
::r
се
u
:s
1--
О
1--
U
C'I3
::r
4J
:s:
:с:
О
u
:s
са
4J
:z:
.==
C'I3
о..
:.::
I
::r
се
:::s::'
O::f o::f O::f::f
О::fg::ft::fО::fёО::fg::f
 O:C: 0:E O
M:C::C:oM:EoMOOM
1--0 8 0"""'0 О 01--0 оМа
OMI--MI--OOMI--O,,"",OOMI--Ol--0=
О оМ ОМоМ ОМоМ=
"<t'
4J
:s
са
О
о..
1--
4J
:;
C'I3
:s:
о..
==
:Е
Lf:)
tD t--
4J
:а
са
О
о..
1--
4J
:;

:s:

4J 4J
:s :s
са са
О О
а. о..
1-- """'
4J 4J
:; :;
О C':J
1-- :.::
:.::. 4J
 t:i
О
888800
'800080 
o..................o
;  ь g ь g
1--
О
4J
:а
:z:
:z:
==
1:": 4J
 :s
а. :z:
4J :;:
е 'Е.
1t1:
CQ ci I
t::(caCQ
u t::(
:s
g:
ci
са
:s :s
:z: :z:
t:::; t:;
О О
са са
4J
4J ==
:s: :с:
:z: 1--
 О
4J а.
а. О
u :.::
I I
се CQ
u 
00
4J
:а
са
О
а.
1--
4J
:Е
О

О
...
О
4J
:s:
:.::
8
:а
са
C'I3
о..
1--
.а
r::
»
I
::r
се
>..
Q')
О
......
4J
:а
са
О
а.
1--
4J
:;
==
::f
4J
t::(
4J
:а
са
О
о..
1--
4J
:g
==
"""'
:z:
C'I3
U
О
О  0008
О ......o o=> OO
 .0  О О О
1--0 b l :> """' О
О ,O 
"""'
О
.... ...............

4J
:s
са
О
о..
1--
4J
:;
:s:

==
:Е
I
'1--
4J
::а
== 4J
t:; :s
 са
8.
:s:
::f
4J
t::(

О
а.
О
:.::
C'I3
о..
1-- :s
.а :z:
ci
I са
4J
сс=
:.::
>..

 4. ПРЕДВАРИt.EJ1ЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСОБЕННОСТЯХ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН 8 РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ
1. Распространение радиоволн в свободном
пространстве
в некоторых СЛУЧClях в атмосфере н в пода,вляющем
IIИСЛС СЛУЧClев в "осмосе процесс рас-пространення радио
волн пронсходнт 1\(11{ В своБОДIIОМ простраНСТiве. А в eBO
бодном простр[\нстве общне черты <волновых процессов
проявляют с:ебя наиболее отчетливо. Так, оказьщается,
что между ПУНrктом, rAe расположен передатчик, и пун
ктом, re расположен приемник (корреспондирующими
пунктами) можно выделить область простраIНС'f.ва, KOTO
рая наиболее существенна для процесса распростране
ния радиоволн. Эта область имеет форму эллипсоида
вращения с фокусами в указанных пунктах (рис. 1).
с укорочение длины волны сечение эллипсоида CTaHO
вится все. меньше и меньше и в пределе при устремле
нии длины волны к нулю эллипсоид превращается в ли-
нию, которую и принято называть лучом.
Если радиоволна встречает нЬ своем пути препятст-
вие, наlпример 'Проводящее тело, то появляются рассеян-
ные этим ПРf'lпятствием вторичные <волны. Рассеяние про-
с
3
 Мl'lt\\\-\\
+ННH
Рис. 1. Область простраНСТDа,
существенная для распростра
Jlення раДIJOВОЛlI.
Рис. 2. ПреПЯТСТRие на пути рас-
"РОСТР21IСIIIIЯ перЩIЧllоiI DОЛНЫ:
позаДIJ JlреllЯТСТВIIЯ образуется
1('111>  поле раnJlO "УJIIО.
исходит как в обратном, так и в прямом направлении,
т. е. в том же напра<влении, 'в котором распространяется
первичная iВолна. Суммарное поле рассеянной и пе'рвич
ной волн позади препятствия является ;полем дифраJ(
ции. Если размеры тела велики по 'сравнению с длиной
волны, то это суммарное поле, т. е., дифракционное поле,
9

непосредст.венно позади тела, почти равно нулю, Та\к как
поля первичной и рассеянной волн компенсируют друr
дрУrа (рис. 2). В результате появляется область тени.
Чем короче Iволна, тем резче rраница между «освещен
ной» облаlСТЬЮ и тенью.
2. Влияние земли на распростра.нение радиоволн
Влияние земли в основном сводится к следующему.
При распространении радиоволн между корреспондирую
щими пунктами или 'между радиолокационной ,станцией
и целью може:r иметь место отражение радиоволн от по-
верхности земли. В этом случае поле в какойлибо точке
А над поверхностью земли будет представлять собой
сумму полей двух IВОЛН  прямой И отраженной (рис. 3),
%
Рис. 3. Влияние земли на pac
пространение радиоволн.
Рис. 4. Влияние сферичн,ости зем-
ли на распространение радиоволн
над ее поверхностью.
имеющих разный 'сдвиr фаз в разных точках пространст-
ва. Вследствие этоrо .дальность дейс'J1ВИЯ радиолокацион
ной 'станции в одних направлениях значительно уменьша
ется, а в друrих увеличивается по fравнению с дально
стью дейст,вия в ,свободном простра{iсТ!ве.
Отражение от земли существенно сказывается на ра-
боте радиолокационных станций MeTpoBoro диапазона,
антенны K0'J10pbIX обладают, IKaK правило, широкой диа
rраммой направленности. В этом случае значительная
ча'сть электромаrнитной энерrии попадает на землю и
отражается от нее. Отражение от земли также сказыва
ется и на работе радиолокационных 'станций сантиме
TpOBoro диа,пазона при обнаружении целей под неболь-
шими уrла,ми места. Степень влияния отражения радио-
волн от 'поверхности земли на результирующее поле в ме-
сте !Приема определяе'J1СЯ также электрическими параме
трами земли.
10

На характер распространения радиоволн над поверх-
ностью земли 8о-льшое 'влияние оказывает ('е сферичность
(рис: 4). Вопрос о том, IKaK велико поле в области тени,
создаваемой выпуклостью земли, в какой степени радио
ВОЛIНЫ способны преодолеть эту выпуклость, или, иначе,
в какой степени они способны дифраrировать, зависит от
длины волны. Чем длиннее волна, тем больше напряжен
ность дифракционноrо поля. Так, обычные радиоприемни
ки принимают сиrналы Iвещательных радиостанций, pa'c
положенных относительно этих приемников rлубоко в О'б-
ласти тени. С друrой стороны, радиолокационные стан-
ции, работающие на значительно более коротких волнах,
чем те, 'которые применяются в -радиовещании, 8:е MorYT
обнаружить цель, если ,она находи'I"СЯ вне области пря-
мой видимости в области тени. .
На распространение радиоволн значительное влияние
оказывает и рельеф земной поверхностй: чем 'короче IВОЛ
на, тем это влияние больше.
..
3. Влияние атмосферы на распространение радиоволн
Так как атмосфера является неоднородной средой, то
в ней происходит искривление направления распростра-
нения волны или, иначе rоворя, имеет место явление ре.'
Но.носфера
1fскр,,8лнные Л!I"а
" 
Рис. 5. Рефракция радиоволн. Рис. 6. Влияние ионосферы на
распространение радиоволн.
фракции. Однако рефракция в неионизированной части
атмосферы (тропО'сфере и стратосфере) отличается от
рефракции в ионосфере.
В Iнеионизированных слоях атмосферы сущест,венную
рефракцию MorYT Iпретерпеть лучи диапазонов волн УКВ,
а лучи КВ диапазона И'ск.ривляются незначительно.
Так, в тропосфере лучи сантиметровоrо и дециметро-
Roro диапазонов раДИОВОЛIН MorYT искривляться, на'При
мер так, как показ'ано на рис. 5. Это искривление 'Может
11

привеСТlI 1{ обllаружению цели, находящеЙся о области
тени.
В -ИОiНосфере, -наоборот, лучи диапазона УКВ (исклю
чая ее длинноволновую ча,сть) искривляются неЗflачи
тельно, а лучи диапазона КВ  существенно. Ионосфера
сущеС'f1венно влияет на распространение радиоволн; Ha
чиная с волн диапазона КВ (точнее, длинноволновой ча
сти диапазона УКВ) и более длинных, эти радиоволны от
ионосферы отражаются. Так, часто в диапазоне КВ ход
луча может быть такИ'м, как ноказано на рис. 6; 'при этом
блаrодаря MHoroKpaTHbIM последовательным отражениям
от ионосферы н поверхности земли расстояния, достиrае
мые лучом, MorYT быть очень большими при Н31начи
тельных 'мощностях передатчиков. Волны короче 68 м
от ионосферы, -как правило, не отражаются; ионосфера
для них прозрачна, ЮIК и для ,свстовых волн.
Рефракция радиоволн в атмосфере вызывается pery
.'1нрной ее неоднородностью. Однако в атмосфере всеrл.а
существуют случаЙныс ЭЛСКТРИЧССЮIе неоднородности,
появляющиеся в тропосфере, например, в результате TYP
булентноrо движения воздуха. Эти неоднородности вызы
вают рассеяние раДIIОВОЛН. В тропосфере такое рассея
нне приводит к так называемому дальнему l'ропосфер
ному распространению волн сантиметровоrо и дециметро
Boro диа1пазонов за нределыl области прямой видимости
(рис. 7). В атмосфере имеет ме'сто и ослабление радио
волн. ,
В тропосфере происходит ослабление радиоволн изза
оrлощения их как rазами атмосферы, так и аl'мосфер
ными образованиями  туманами, облаками, дождями
и т. д. Однако з'десь ослабление ПР3'ктичес.ки ощутимо
лишь ОБ 'миллиметровом и сантимеl'Р/JВОМ диапазонах.
Ввиду этоrо, при равных прочих усло'виях, дальность дей
с'Т'вия радиолокационных станций, работающих на вол
нах 'короче 3 см, ,меньше дальности действия раДИОЛОl{а
ционных стаIНЦИЙ, работа.ющих на более длинных волнах.
В стратосфере та'Кже имеет место поrлощение радио
волн, однаl<О изза значительно меньшей плотности воз
духа- этот эффект, как 'Впрочем и все .друrие описанные
здесь эффекты, значительно слабее выражены, чем в тро-
посфере.
В ионосфере иза соу да рения ЭЛСI{ТРОНОВ с друrими
частицами радиоволны всех диапазонов nor лощаются, но
в.различной степени.
12

В межпланетном пространстве радиоволны распро
страняются почти ка!> 'в свободном пространстве, так как
поrлощение их ничтожно мало и им можно пренебречь.
Здесь 'раопространение радиоволн обусловлено эффекта-
ми, вызываемыми присутствием весьма крупномасштаб
ных неоднородностей. Эти неоднородности при распро
РаС'С'еll9ающtJД
0511eH
Рис. 7. 8лияние электрических не-
ОДНОрОДlOстей на распространение
радиоволн.
стра.неlНИИ 'радиоволн на расстояние в десятки миллионов
километров и более приводят к некоторым флюктуациям
уrла прихода. луча.
 5. МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ СВОБодноrо РАСПРОСТРАННИЯ
РАДИОВОЛН И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
Одновременное совместное влияние всех разнообраз
ных факторов на распространение радиоволн учесть
очень трудно. Однако во мноrих практически важных
случаях в этом даже и нет необходимости, так ка'к преоб-
ладающим оказывается влияние какоrо-либо одноrо или
нескольких факторов. Поэтому естественным и вполне
оправданным является рас-смотрение распространения pa
дИ'оволн сначала для идеализированных условий, в KOTO
рых учитывается 'Влияние одноrо или двух факторов.
Так, например, при изучении влияния земЛи на pac
пространение радиоволн в атмосфере последнюю считают
од!нородной средой, обладающей ,параметрами вакуума.
Наоборот, при изучении влияния атмосферы на распро-
странение радиоволн пренебреrают влиянием земли.
Далее, при изучении отражения ,радиоволн от земноЙ
поверхности или распространения радиоволн вдоль He
больших учасков поверхности земли ее ррссмаТРИiвают
как плоскость.
Однако на 'практике возможны и такие случаи, коrда
трудно бывает С'казать заранее, какой именно фактор
оказывает доминирующее влияние на распроcrранение
радиоволн, что затрудняет идеализацию условий распро-
13

странения. В таких случаях особенно важную роль при-
обретают экспериментальные исследования, к которым
прибеrают для установления преобладающеrо фактора
или ,ка койлибо экспериментальной закономерности.
В теории ,свободноrо раопространения радиоволн CTa
- вится следующая задача. Задается распределение И'сточ-
, ников (излучателей) радиоволн и электрические параме-
тры 'среды, окружающей и'сточни,к'и. Требуется опреде
.лить электрамаrнитное ,поле, создаваемое этими источни-
ками.
Исходными уравнениями электромаrнитноrо поля для
решения данной задачи Я'8ляются уравнения Максвелла.
На основании этих уравнений в теории ,свободноrо рас-
пространения радиоволн электромаrнитное поле характе-
ризуется дву,мя векторами: напряженностью электриче-
'cKoro поля Е и напряженностью маrнитноrо поля Н; в не-
которых случаях приходится оперировать и векторами
электрической и маrнитной индукции D и в. Источники
электромаI:'нитноrо поля характеризуются вектором плот-
ности электрических токов J и плотностью электрических
зарядов р. Следовательно, при изучении свободноrо рас-
пространения радиоволн эти две последние величины
всеrда считаются за'даННbJlМИ и таким образом J рассма-
тривается как вектор плотности сторонних токов, а р 
как ПЛОТНОСТh сторонних зарядов.
Предполаrается, что электрические параметры среды,
как это имеет место почти во всех случаях своБО'дноrо
распространения радиовО'лн. не зависят от величин на-
пряженностей поля Е и Н. В силу этоrо Уравнения MaK
свелла оказываются линейными и можно считать, чтО' не-
ичины J, р и сО'О'тве,тственнО' век,торы Е, Н, D и В меня
IOтся 'со времене,м 'по rармО'ническому закону, следова-
тельно, зави,си'МОСТЬ от времени можно описывать при
помощи КОМ1плексноrО' множителя e/(ot.
Приведе.нные соображения поз'воляют в теории сво-
бодноrО' распространения радиоволн базироваться на
уравнениях Максвелла, предста,вляемых в системе еди-
ниц СИ, которО'й мы будем в дальнейшем придерживать-
ся, в следующем виде
rot E==jwB,
rO't H==j.wD+J,
div О==р,
div в==о!
(1)
( 11)
(111)
(IV)
14

-причем
 в' аЕ, В == Jla",
(V)
rде Jla  маrнитная 'Проницаемость среды, в' а комплекс
ная диэлектричеокая 'Проницаемость среды; в' а выража-
ется через обычную диэлектричеСI\УЮ проницаемость ва
И провадимость а формулой
, . "
8 а  8а  J (;).
(VI)
Все электрические 'Параметры ва, Jla, а MorYT зависеть
от 'Пространственных координат. Следует также иметь
в виду, что параметры ва, Jla, а, вообще rоворя, зависят
от частоты. Однако эта зависимость практически сказы-
вается лишь 'в определенных интервалах частот. Величи
ны Jla И в' а MOrYT 'быть тензорными, однЭ'ко при своБОk
нам распространении радиоволн встречается лишь слу
чай, коrда в' а  тензор.
В си,стеме уравнений (1)  (lV) в силу тождества
div'rot, Е == О,
ура'внение (IV) можно рассматривать как следствие
уравнения (1). Поскольку также имеет место
divrot ' " == 0,
то урав'нение (111) можно расоматривать как следствие
уравнения (11) и уравнения непрерывности
div J + jrop == О.
(VII)

rЛАВА ПЕРВАЯ
РАСПРОСТРАНЕнiIЕ РАДИОВОЛН
В СВОБОДНОМ ,ЛРОСТРАНСТIВЕ.
ВЛИЯНИЕ,ПРЕПЯТСТВИй.
 1. РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ
1. Сведение системы уравнений электромаrнитноrо
поля к волновому уравнению
Свободным пространством (IBaKYYMoM) называют
однородную безrраничную среду с электрическими пара-
метраи
1 Ф r
е а ==е о == З6тс .10' м' ....а ==....0 == -b.l0 7 м ' 0==0.
Изучение ('цободноrо распространения радиоволн целе
сообразно начать с рассмотрения вопросов распростра
нения рад'ИО'ВОЛН в свободном ;пространстве по двум при
чинам.
Во:первых, в некоторых случаях рас'пространение pa
диоволн в атмосфере происходит ,при отсут,ствии сущест
BeHHoro влияния земли и ионосферы. В таких случаях
атмосферу в 'первом Iприближении можно рассматривать
как однородную среду с электрическими параметрами
свободноrо пространства, т. е. Еа == 80, Jla =='Jlo, а == О.
Еще с большим основанием космос, в силу ч'реЗВbIчай
ноЙ разреженности содержащихся в нем частиц, можно
рассматривать как свободное пространс'flВО.
BOBTOpЫX, в результате анализа наиболее простоrо
процесса распространения радиоволн, каковым является
распространение радио.!JОЛН 'в С'вободном пространстве,
оказ'bIвается воз'Можным выявить характерные особенно-
сти и более 'сложных пjюцессов распространения раДJ:lО-
волн, 'Происходящих В реаЛЬНbIХ средах.
16

ИсходноЙ для анализа являстся система уравнений
Максвелла для О1l.Aородноii непоr лощающеil среды (а ==
==0) :
rot E==jW!laH,
rot Н == jweaE + J,
div Е == р/еа,
div н==о.
( 1.1)
(1.11)
(1.111)
( 1.1У)
Задача состоит в том, чтобы ,найти решение этоЙ системы
для Bcero пространства при заданных в соответствии
с уравнением непрерывности (УII) распределением плот-
ности токов J и плотности зарядов р. Для решения -этой
задачи введением некоторых вспомоrательных функций
систему (1.1)  (I.IV) сводят к 'волновым ура8:неl;lИЯМ
для этих функций, которые и Iпроще решать и проще
выявить физический смысл решений.
При изучении свободноrо распространения радиоволн
обычно в качестве такой вспомоrательной функции вво-
дят векторную функцию  вектор [ерца .П, определяе
мыЙ соотношениями
н == jwea rot П, ( 1.1 )
E==graddiv П +k 2 П, (1.2)
rде
/l === W V I-Laea ( 1.3)
 постоянная распространения или волновое число.
Этими СОО11ношенИiЯМИ, ,как нетрудно видеть, удовлетво
ряются уравнения (1.1У) и (1.1). ПодстанО'вка же (1.1)
и (1.2) в уравнение (1.11) дает следующее уравнение
для вектора [ерца:
rot rot П === grad div П + k 2 П + . (1.4)
jwe a
Разложив вектор П по ero составляющим в прямо-
уrольной системе координат п х , П у , П Z и ВООПОЛЬЗ0ва'в-
шись тождес'DВОМ
grad div П  rot rot П === хОriП х + у О v 2 П у + z О v 2 П z ,
д 2 да д 2
rде 'У а === дх а + д у 2 + дz 2  uператор Лапласа, хО, уО,
ZO  единичные координатные векторы, уравнение (1.4)
213 17

Можно ,представить в виде трех скалярных иеоднородных
ВОЛIНОВЫХ ура'внений
v2Пх+k'JПх===, ]
J(J)Ea.

I
)
Следовательно, уравнение (1.4) есть неоднородное
векторное волновое уравнение, которое можно также за-
писать в виде
v 2П у + k 2 П у === ,
J(J)Ea.
v 2П Z + k 2 П z === .
J(J)Ea.
( 1.5)
v 2П + k 2 П ===  .
J (J)E а.
(1.6 )
Подставляя (1.2) в оставшееся уравнение (1. Н 1), по
лучаем
v 2 (div П) + k 2 (div П) ===....L.
. tEa.
(1.7)
Нетру дно видеть, что если ра1спределение \I1ЛОТНОСТИ за
рядов в пространстве .задано в соответствии с законом co
хранения заРЯД(1В (УН), то уравнение (1.7) тождествен
но 'с уравнением (1.6). А так как вектор rерца n IПОЛНО
стью определяется в 'соответствии 'с уравнением (1.6),
заданным распределением плот.ности токов J, то отсюда
следует, что нет необходимости в задании распределения
плотности зарядов р. Однако И'ноrда задается вектор
электрической поляризации Р, т. е. дипольный момент
единицы объема, связа'нный с плотностью зарядов р фор-
мулой
( 1.8)
pdjv Р.
Тоrда из (1.7) получаем урав.нение
v 2П + k 2 П=== .
Еа.
- ТаКИIМ образом, задача о нахождении поля по задан
ным J и р сведена к задаче о решении волновоrо уравне-
ния для вектора rерца по заданному раопределению
плотности токов J или зада'нному распределению вектора
эпектрической поляризации Р.
18

2. Решение волновоrо уравнения для вектора rерца
в рассматриваемом 'случае однородноrо Iбезrранично
ro ПРQстранства 'с заданным распределением токов
в оrраниченной области пространства волновое ypaBHe
ние для вектора rерца решается cTporo. Это 'cTporoe ре-
шение получае-rся при помощи BToporo тождества rрина,
которое формулируется следующим образом.
Пусть 'в некоторой области V, оrраниченной замкну
той поверхностью S, заданы две непрерывные функции
координат 'ф (х, у, z) и <р( х, у, z), которые внутри облаlСТИ
имеют непрерывные ча,стные производные 1 ro и 2ro по
рядков, Iпричем первые производные непрерывны в'Пло"iЪ
до rраницы; тоrда имеет место тождество
J (V2<p' <PV 2 0/) dV == r (0/   <р  ) dS, (1.9)
v s
rде n  внещняя к поверхности S нормаль.
Ввиду важноrо значения этоrо тождества не только
для математ'ической формулиров'ки решения уравнения
(1.6), но и для ero физическоrо истолкования, приведем
.вывод этоrо тождества.
Соrласно формуле Остроrрадскоrо  raycca
I div (0/ grad <р) dV == J ф  dS.
v s
Произведя дифференцирование под 'объемным интеrра-
лом, получаем первое тождество rрина
.' (grad o/"grad <р + tfV 2 <p) dV == I 0/  dS.
v s
Поменяв местами функции 0/ и <р, можем также написать
.\ (grad <р grad o/+ <PV 2 0/) dV == f<p  dS.
V S "
Из этих двух последних тождес.тв, вычитая одно из дpy
roro, получаем нторое тождество rр'ина (1.9).
Применим теперь к 'какойлибо составляющей векто-
ра П, иапример п х , формулу (1.9), положив 'Ф==п х . в ка-
2. 19

чествс ФУНКЦИИ <р, I<оторая Я'вляется llспомоrательной,
возьмем функцию
-,, ffJ == ejhr / "
(1.1 О)
rде
,V(xe)a+(Y1I)2+(ZC)2 (1.11)
расстояние от текущей точки с координатами 6, 11, 
ДО фик,сированной точки А с координатаМ'и х, у, Z, назы
ваемой обычно точкой наблюдения.
Нетрудно проверить, что фУнкция (1.10) удовлетворя-
ет волновому урав'нению
v'f + k 2 f === О ( 1.12)
как по ,координатам х, у, Z, так и по координатам 6, 11, .
Выражение
fе/ шt  е/(шtkr) l'
имеет, таким образом, смысл сферическоЙ IВОЛНЫ, ИоСходя-
щей из точки с I<оординатами 6, 11, . Точка наблюдения
А может находиться либо внутри области V, либо вне ее.
Сначала предположим, что точка наблюдения А Ha
ходи:rся 'Внутри объема V (рис. 1.1). В этом 'случае функ.
Рис. 1.1. Область V, к которой
Пp4fменяется тождество rрина.
Точка наблюдения А находитr.я
внутри этой области.
Рис. 1.2. Исключение из обла-
сти V особенности функции q>
в точке А.
ция ер не удовлетворяет условиям применимости тождест-
ва rрина, поокольку в точке 6==Х, 11==У, ==Z она обраща-
ется 'в бесконеч'ность. Поэтому для 'Применения тождества
rрина исключим из области V точку наблюдения А с по
мощью небольшой сферы Sa радиуса а с центром в этой
точке. Применим теперь тождество (1.9) к области V',
оrраниченной поверхностями S и Sa (рис. 1.2). При этом
воспользуемся уравнениями (1.5) и (1.12), ,которым YДOB
летворяют 'функции П х И ер соответственно.
20

Так как
17xV:!  q?v2Пх Пх"'( k:2)   (  k2Пх   ) ==
J(J)8 a ..
J s
,
J(J)8 a
мы получаем
1  , ( д'Р дП s )
 J xdV == П х  д    д dS +
J(J)8 a п п
У' s
+S( п  дПS ) dS.
х дп  дп
s
а
Вычисли/м юtтеrрал по поверхности сферы Sa, устрем-
ЛЯЯ радиус сферы к нулю; имеем

 ejJla д'Р I  д'Р I . cjJla + eJJla .
СО I    J k 
т S  а " дн dr  а а 1 '
а S S
а а
применяя теорему о среднем значении, находим
lim r ( П х д д'Р   д д ПS ) dS ==
а-+О J п 11
s .
а
f [ ( ejJla ejJla )
==lim" П Х ер jk+ 
а-+О \ а а
 e J\: ( aIJпs ) cJ -Ьа 2 } == 41tП х (А).
Таким образuм, получаем
Т/ х == ..,............ 4 1 r J xdV 
J 7t(J) 8а J
v
- r ( П i!1..   дП s ) dS.
47t\ Х дп дн
s
(1.13)
АнаЛОПlllНЫС раврнства можно получить и Д.ТIя состав-
.IJЯЮщих П у И П z ; умножая правые и левые части этих
равенств на соответствующие единичные координатные
векторы и складывая их, находим интеrральное 'COOTHo
21

шение для искомоrо вектора
П(А)== r J ejltr dV 
. J41t(J)e a .\ r
v
1 S ( д дП )
 пср dS.
41t дп dn
s
(1.14)
Если наряду с заданным в абласти V распределением J
зара,нее заданы значения n и дПjдn на паверхнас:ти SJ
то (1.14) 'предста,вляет сабой решение ис?Саднаrа волнава
ra уравнения (1.6). .
В случае свабаднаrа пространства аказывается ваз-
можным выбрать паверхность S таким образам, чтабы
паверхнастный интеrрал был равен нулю. Докажем эта.
Предпаложим, 'Что. плотность таков J атлична ат ,нуля
таль,ка внутри абласти V 1J не садержащеЙ тачку наблюде-
ния (рис. 1.3). Таrда 'Вычисление абъемнаrа интеrрала
11
v
Рис. 1.3. Токи отличны от нуля
только внутри области V {, не
включающей точки наlблюде-
ния А.
Рис. 1.4. Тождество rрина при-
меняется к внешней относи-
тельно поверхности S области
при том же распределении то-
ков и том же расположеНИII
точки А, что и на рис. 1.3.
в фаРiмуле (1.14) сведется к интеrрированию па V 1 и МЫ
палучим
П ( А ) ==' S J eJltr dV.....!..... S( n д: ср дП ) dS.
J41t(J)8 a r 41t дп j дп
V. S
( 1.15)
Теперь при этам же расцределении таков и том же
местопалажении тачки наблюдения праизведем аналаrич-
ные лредыдуI.:.I.ИМ аперации с применением таждества
r'рина ка всей безrраничнай абласти вне замкнутнай па-
верхности S (рис. 1.4). Паскальку точка наблюдения А
22

»ахоДИтся вне этой области все функции ер, п х , п у , п z
непрерывны, .то получим '
j (п :;.  ер ;: ) dS  S (п   ер д ) dSO. (1.16)
s s
Отсюда' находим искомое решение для вектора П iВ слу-
чае, коrда точка наблюдения А 'находится вне области V,
rде токи отличны от нуля:
. 1 5 eJJtr
П (А) 4 JdV.
J '1tше:. r
V
В следУющем 'пункте рассмотрим физический смысл BЫ
ражения (1.17).
( 1 . 17)
3. Условие излучения
Физичеокий смысл решения (1.17) наиболее УДL)бно
установить из анализа вектора П (А) дЛЯ простейшеrо
излучателя радиоволн  диполя rерца или, иначе, эле
MeHTapHoro .вибратора.
Практическая.модель элементарноrо вибратора пред-
ставляет"'собой электрический диполь с переменными во
времени зардами q на ero концах и длины 1, удовлетво
ряющей условию --
1 «!Л,
rде л==2лjk  длина волны.
Так как электрический момент диполя paiВeH
I jwt I r }wt
pq qme pт.e ,
(1.18)
то
dp  dq 1 . 11 1 Iwt I
dt JQ)p  те ,
rде 1  ток через диполь.
Поскольку ток 'в любом сечении s диполя одинаков и
элемент объема  V ==sl, то из (1.17) для вектора rерца
элементарноrо вибратора, который в силу (1.18) можно
Считать точечным, получаем :
 I тl e l (Clltkr) 11 е  л..,.
П (А)  j4'1tше: g r  j4'1tШS g ' (1.19)
или
Рт e l (wtkr) ре  JJtr
П(А) .
 4'1t8 g r  4'1t(Sg
( 1.20)
23

Как видно нз (1.19), решение волновоrо уравнения
(1.6) для ЭЛе'ме"llтаРIЮТ'О ВlJIбраl'ора 'Предстапляст собоl'l
расходящуюся от источника сферическую волну, т. е.
элементарный вибратор является простейшим точечным
злучателем радиоволн.
Следовательно, решение (1.17) для общеrо вида
излучателя в силу справедливости принципа суперпози
цни представляет собой, по крайнеЙ мере на большЙх
раеСТО51IIШЯХ от источника, тоже расходящуюся сфери
ческуlO волну.
Однако из 'приведенных ранее. выкладок следует, что
в качестве вспомоrательной функции <р мы моrли бы
взять также v. второе частное решение уравнения (1.12),
т. е. ер== ejhr/r. Но тоrда бы мы получили физически недо-
ПУСТИ1мое решение, пред:ставляющее 'собой сходящуюся
к источнику сферичес.кую :волну. -
Таким образом, из двух частных решений ура,внения
(1.6) было выбрано физически /пр'иемлемое решение на
основани Toro требования, чтобы оно представляло co
бой расходящиеся от источника волны. Амплитуд этих
волн убывает обратно пропорционально расстоянию r
от источника. Эти особенности решения можно математи-
чески, учитывая, что
d reJ"'r  . ej"'r ej"'r
df' w Jk f2'
выразить одним предельным равенством
 [' (  + jkП)] ==0.
Это предельное равенство казывается условием излуче
ния.
Очевидно, что решение любоrо неоднорОДноrо 'Волно-
Boro уравнеНIIЯ .с любым распределением источников
в оrраниченной области, соответствующее излучению
поли, должно Уlдовлетворять у,словию излучения.
В заключение этоrо 'параrрафа найдем выражения для
напряженностей .поля электрическоrо диполя. Так как
в теории свободноrо распространения радиоволн интере-
суются IПОЛМ лишь В 'волновой или, иначе, в дальней
зоне, т. е. на рас,стояниях r от диполя, для которых BЫ
полняется неравенство
krl,
то БУдем вычислять эти напряженности только для этой
зоны.
24

Вычисления производятся по формулам (.1.1) и (1.2),
причем используется сферическая система координат "
у, ер с сооветствуюro.йми единичными векторами по ко-
Z
Рис. 1.5. К определению
поля элемеllтарноrо виб-
ратора.
ординатным осям i r , i T , ilj) и полярной осью, направленной
вдоль оси вибратора (рис. 1.5). Учитывая, что в соответ-
ствии с формулой (1.19)
П r === П'СОS1, П Т ===  п sin 1, П ===0,
, 
и пренебреrая слаrаемыми с lfk, в степени вьпuе пер
вой, получаем
div п===   д д (r2Пr)   jkП т ,
, ,
grad div П ===  (div П) i r   k 2 П т ) т,
то1 П ===   д д (rП т ) i   jkП т i ;
,.,  ,
для составляющих напряженностей поля находим
Е === k 2 (п  п rir) ===  k 2 П sin yi T ,
Н === jШS а rot fI ==  mZ а !lП.8ill yitp;
откуда получаем
jk2J m l. e/(wtkr)
Е==Е === 4 81111 '
т 7t(J)E а r
jkl тl . е/ (wtkr)
Н == Н ===  4 5111 У .
ljI 7t r
(1.21)
(1 .22)
( 1.23)
(l .24)
Так как вектор скорости распространения волны v
Совпадает с направлением еДИНIIчноrо вектора i r , то ИЗ
формул (1.21) и (1.22) следует, что ,все Трll вектора v,
Е, Н взаимно перпеНДИКУЛЯРНbl.
5

 2. ПРИНЦИП rюяrЕНСД  ФРЕНЕJIЯ
1. Математическая формулировка. Формула Кирхrофа
В на'стоящем п'араrрафе приведем абаснавание физи
ческоrа принципа, ширака испальзуемаrа в теарии вал
навых працессов ваабще и в теарии распрастранения pa
диавалн в частнасти  принципа rюйrенса  Френеля.
В дальнейшем мы ра,ссматрим те явления распрастра
нения, 'катарые наибалее праста исталкавываются 'с па
мащью принципа rюйrенса  Френеля и применим этат
принцип для расчета паля радиавалн.
Рассмотрим абласть, аrраниченную двумя замкнутыми
паверхнастями S и S1, ВНУтри катарай нахадится тачка
наблюдения. Предпалажим, чтО' таки распределены таль
Рис. 1.6. ТОЧI{а наблюдения А расположена
внутри области, оrраниченной двумя по-
верхностями S и Sl, В которой токи отсут-
. ствуют.
ка внутри области V o , аrраниченнай паверхнастью S
(рис. 1.6). Таrда, применяя к этаму случаю фармулу
(1.15), мажем написать
1 S ( дrp дЛ )
П (А ) ===   П     dS 
. 4 дп дп
s
 J( п  дП ) dS.
4 дп дп
s.
На саrласно излаженному в  1, паскальку 'Вне абласти,
аrра,ниченнай паверхнастью S1, таков нет, та 'I1aBepXHaCT
ный интеrрал па S1 равен нулю С друrой стораны, таки
ваабще атсутствуют вне паверхнасти S. Паэтому выраже-
ние в левай части 'последнеа равенства в тачнасти равна
значению вектара rерца 'в тачке А (1.17), если таки вну-
три объема V a отлич,ны ат нУля и 'В'сюду вне этаrо объема
26

равны Нулю. Отсюда ЛУlJаем ДВа равенства
f   S (п.  'P . }dS.
П(А)== i S
I  S J ej"''' dV
j47tOO8f& , ,
l V o
( 1.25)
( 1. 17)
rде S  произвольная за'МкнутаlЯ поверхность, OXBaTЫ
вающая только излучатели, точ,ка же наблюдения А рас-
положена вне ее; V o  объем, занимаемый излучателями.
Следовательно, IB соответствии с формулами (1.17) и
(1.25) поле в какойлибо точке может быть определено
как поле nервичных излучателей неnасредст.венна, лиБО'
Рис. 1.7. 1( формулировке прин-
ципа I'юйrеllсаФренеля.
s
@у
.' А
.
мажет рассматриваться как суммарнае пале втаричных
истачникав, или втаричных излучателей, непрерывна pac
nределеннbtх па замкнутай nаверхнасти, ахватывающей
nервичные истачники (рис. 1.7).
Вводя 'в раосмотрение понятие 'Вторичноrо излучателя:
следует, однако, иметь в виду, что такой единичный излу
чатель 'не может быть физически реализован, ибо реаль
но проявляется лишь интеrральный эффект вторичных
излучателей. В этом смысле единичный вторичный излу
чатель следует понимать лишь как некоторый вообра
жаемый излучатель.
Понятие вторичноrо источника впервые было ,введено
rюйrенсом во второй половине ХУН века. rюйrенс ставил
перед собой задачу объяснить прямолинейное распро-
странение света, И'сходя из 'волновой теории. Для этой
цели он сформулировал принцип, названный, впослед
ствии ero именем. Сущность ,принципа rюйrенса состоит
в допущении возможности замены волновой поверхности
СистемоЙ вторичных источников сферических волн. Co
rласно принципу rюйrенса каждая точка волновой по
верхности может рассматриваться как источник вторич-
ных IсферичеlСКИХ IВОЛН.
27

Соответственно, пrремrщrНIIС волновоЙ поверхности
сводится к распростраНСIЩЮ этих BTOplllIНLIX сферических
волн; волновая поерхность после псремещения находит
ся как оrибающая вторичных сферических волн (рис. 1.8).
Однако для объяснения дифракционных явлений, .о ко-
торых речь пойдет дальше, принцип rюйrенса, являю-
щийся по сути rсометрическим принципом, недостаточен.
В начале прошлоrо века Френель для объяснения явле
ШIЙ дифракции II интерференции света. обобщил прин
цип rюi'l'rенса.. Френель обоrRТНЛ вторичные ИСТОIIНИЮI
дополнительными физическими хаРRктеРИСТИКRМИ, cдc
лав 'правильные прещположения 0'6 амплитуде колебаний
вторичных излучателей и направленности их излучния.

Рис. 1.8. К ФОРМУЛIIРОВI<е прющипа rюйrеllса.
Суммарный эффект френелевских вторичных источников,
непрерывно раопределенных по замкнутой поверхности,
охватывающеЙ вторичный источник, с точностью до He
1'::'"
2
существенноrо 'постоянноrо фазовоrо множителя 
совпадает с результатом интеrрирования по формуле
(1.25); последняя же в середине прошлоrо века была по
лучена Кирхrофом. Поэтому формула Кирхrофа (1.25)
и должна рассмат,ривать,СЯ как математическая интер
претация принципа rюйrеноа  Френеля.
Очевидно, что если точка наблюдения находится вну-
три области, оrраниченной поверхностью 5, то, так как
вне S нет токов и нет особой точки, поверхностный ните-
rрал в формуле Кирх,rофа 'В точности ра,вен нулю.
Этот результат находится в полном соответствии с тем,
что вторичные сферические источники в принципе
rюйrенса дают волну, распространяющуюся только впе
ред, но не назад.
Следует также иметь в виду, что формула Кирхrофа
(1.25) дает то же значение дЛЯ П(А), если замкнутая
поверхность охватывает не первичный источник, а только
точку наблюдения А.
28

2. rюйrенсовы вторичные источники
алектромаrнитных волн
Так как в формуле Кирхrофа фиrурирует вектор [ep
ца для областей, rде отсутствуют токи и заряды, то дЛЯ
ЭТI;!Х областеЙ уравнения Максвелла принимают вид
rot Е == jro/la Н,
.. rot Н == jШЕаЕ.
(1.1)
(1.11)
Комбинируя эти два уравнения, ПОЛУ1lаем ВОЛIlОI3ые урав-
нения для векторов Е и Н:
V 2 Е + k 2 Е _ o, V 2 H + k 2 H === О.
Применяя тождество rрина (1.9), аналоrичным образом,
как это было проведено для вектора П, можно получить
формулы Кирх'rофа для векторов Е и Н:
Е (А) ===  4 J ( Е    дд ) dS, (1.26)
s
1 J ( alf дН )
H(A)=== H dS,
47t dn дп
s
причем точка наблюдения для конкретности пусть нахо-
дится во внешней к поверхности S области, а источники,
т. е. то.ки, внутри ее. Поэтому при переходе точки наблю-
дения А через поверхность S во внутрь области, которую
она охватывает, векторы Е и Н терпят скачок от величи-
ны, отличной от нуля, до величины, равной нулю. Это
значит, что терпят скачок как танrенциальные 'co.CTaB
ляющие векторов Е и Н, так и их нормальные составляю
щие.
Как следует из уравнен/ия Маовелла (1.11) скачок
танrенциалыюй составляющеЙ вектора Н lIа поверхности
IIдеалыноrо ПРО.Б.о.ДНИ1ка (IВIНУТРИ KOT'Oporo поле отсутству-
ет) равен поверхностноЙ плотности тока, т. е. если Пе 
нормаль к поверхности проводника, то
(1 .27)
[neH]==J s .
Это наводит на мысль интерпретировать скачок TaHreH-
циальной составляющей Н в формуле Кирхrофа (1.27)
как поверхностную плотность электрическоrо тока, т. е.
[п Н] == J se .
(1.28 )
29

А так как ура'внения Максвелла (1.1) и (1.11) для BeKto-
рав Е и Н пачти адинакавы  они атличаются . только
знакам, та па аналаrии скачак танrенциальнай састав-
ляющей Е ачевидна можнО' TpaKTaBaТl,) как паверхнаст-
ную плотность «маrнитных такав» и принять
{пЕ] ==J sm .
( 1.29)
Эти таки (1.28) и (1.29) и принимают как втаричные rюй
rенса8'ские истачники электрамаr.нитныIx валн. Задача со-
стаит в том, 'Чтобы даказать правамернасть такай интер-
претации. .Для этай цели снава абратимся к уравнениям
Максвелла (1.1) и (1.11) и решим 'их Сiпомащью в'С!пома
rательных вектарав.
Очевидна, адна решение мажна представить с па
мощью ранее ,в,веденноrо векта'ра ,rерца, катарый будем
называть электрическим вектарам [ерца, т. е.
Не== j(i)Ea rot " е , (1.30)
Ee==grad div ne+'k2ne. (1.31)
с :д;руroй CTapOl!bI, 'в силу указаНJнай Iси'мметрии уравне-
ний атносительна векторав Е и Н, МОЖНО' аналаrичным
абразам В"вести и маrrнитный вектар [ерца па фармулам
Е т == j(i)J.1a rat Пт. (1.32)
Hm==grad div n m +'k 2 n т , (1.33)
причем аба вектара удавлетваряют валнавым уравне-
ниям
V 2n l:+ Il2ne === о,
v 2 П т + k 2 n m === о.
( 1.34)
( 1 . 35)
Рассматривая J s как истачник электрамаrНИТНОl'а
.
паля (1.30) и (1.31), а J s как истачник электрамаrнит-
m
Hara паля (1.32) и (1.33) для решения уравнений (1.34)
и (1.35) I мажем car ласно фармуле (1.17) написать
1 S ejh.r 1 j ejh.r
n === J dS===  [ оН ] dS,
е J41t(J)Ea S. r J41t(J)l!a r
s s
( 1.36)
nm=== J J ejh.r dS=== S [nE] ejh.r dS.(.l.37)
J41t(J)tJ-CI Sm r J41t(J)tJ-а r
S' s
30

Таким образом, наиболее общее решеыие системы
(1.1) и (1.11), ПЕ,дставляемое через поля rюйrенсовских
вторичых источников, выражается формулами
Е == Ее + Е т == grad div П е + Il 2 П е  j Ш f1а rot П т .
Н == Не + Н т -== jШS а rot П е + grad div П т + k 2 П т .
(1 .38)
(1 .39)
Подставляя (1.36) и (1.37) в (1.38) и (1.39), получаем
Е (А)   4 1 1t .f {(оЕ) grad   j Ю f1а [оН]  +
s
+ [[oEJ. grad)} dS,
Н (А)   4 J {(оН) grad  + jШ€а [оЕ]  +
s
( 1.40)
+l[o"J, grad)}dS, I
(1.41)
причем дифференциальные операции здесь производятся
по координатам S, 1'), . Приведем математические BЫ
кладки, в результате которых получаются эти формулы.
При этом будем иметь в виду, что дифференцирование
в (1.38), (1.39) должно производиться 'по координатам х,
у, z точки наблюдения. Имеем
. 1 S . 1 ""11 r
dlVПв== 4 dlV(Js)dS== 4 Js graddS,
J 1t(J)B а 8 J 1t(J)8 а 8
s' s
grad div П в   4 1 S V (JS v) dS ==
J 1t(J)8 a 8
S
== J ' 4 1 r (J S V)VdS.
1t(J)8 a J 8
S
Проектируем вектор под интеrралом, обозначаемый
С, на ось Х, и получаем
C==«Js V)V)x==Js g rаd д д " ==  [oHJgrad д д" .
, .]С . ]с
31

Здесь заменяем дифференцирование по I<оординатам х,
у, z дифференц'Ироваlнием iПо координатам 16, Т'I,  'и IПОЛУ-
чаем
С%  [оН] grad ::  о [Н, grad :: ] ==
  о rot ( :: Н) + n :: rot Н.
Производим замену: rot Н  jmgaE, И:\1еем
С . ( дlp ) + . дlp
%   о rot дх Н ]ЮЗ а (оЕ) дх .
Отсюда полуqаем
J C.dS  i""'. I (пЕ) :: dS
и, следовательно,
grad div П е == 4 J (оЕ) grad <р (х, у, z) dS 
s
==  4 1 п J (о Е) grad <р (е, 1j, С) dS;
s
rot Пе  4 1 S rot(Js <p)dS==
J пООЕ а е
S
 . 4 r [grad <р, J . <' 1 dS   4 1  S [[оН], grad <Р ] dS,
 J пEa J '. J пОО::;а
S S
причем в последнем выражении произведена замена
grad <р (х, у, z) == grad 'СР(6, Т'I, ). А1налоrично получают-
ся выраж,ения и для grad div П т iИ rot П т . Далее уже IHe-
трудно :получить (1.40) и (1.41).
Выя,сним физическиЙ смысл фиrурирующих под по-
верхностными интеrраламн нормальных составляющих
l{ поверхности векторов напряженности поля Е и Н. Мы
32

имеем
div П е :::=;   S [оН] grad 'Р (х, у. z) dS:::=;
J <t1t(J)e CJ
S
== 4 1 r {оН] grad 'Р (е. 7j, С) dS ===
J 1t(J)e CJ J
s
==="""""""' 4 1 r о [Н grad 'Р] dS===   4 1 S rotn ('РН) dS+
J 1t(J)e CJ J J 1t(J)IO O
S S
+ 4 1 r 'РП rot H dS=== 4 1 S (OE)'PdS.
J 1t(J)1O CJ J ;>
s s
с друrой 'стороны, введя в рассмотрение поверхност
ную плотность зарядов PS8 rlOI1reHCOBCKllX вторичных
источников элеlпроматнитноrо поля СOl'ласно (1.7) и
(1.17), мы должны записать
diVПе== 4 1 S PsdS.
1tIOCJ 8
s
Сравнивая это выражение с предыдущим, видим, что
Ps ==ea(nE).
8
Аналоrичным образом можно IIОI<азать, что
(1.42)
Ps ==Jla(nH)
m
(1.43 )
есть поверхностная ПЛОТlность «маrниТ1НЫХ за1рЯДОВ»
rюйr.енса.вских вторич/ных ИСТОЧIНИКОВ электр-омаr.ни'Тноrо
поля.
Остается теперь доказать, чт,)QРМУЛLI (1.40) и
(1.41) тождес;rвенны с формуламиирхrофа (1.26) и
(1.27) .
Рассмотрим подынтеrраJlьное выражение формулы
(1.40). Имеем
[[о Е] grad 'Р] ===  [grad 'P[oEIl === Е (о gad 'Р) 
 о (Е grad 'Р) === Е   о (Е grad 'Р),
 jWf-Lа [оН] === 'Р [о rot Е] === 'Р grad (оЕ)  'Р (о grad) Е 
 'Р (Е grad) о  'Р [Е, rot о].
31283
33

Следоательно.
(пЕ) grad  + [[оЕ] grad]  jШJ.Lа [оН]  ==
д дЕ '
== Е d  dn +(oE)grado(Egrad)+grad(oE)
  (Е grad) о   [Е rot о] == Е     +N,
rде
N == (оЕ) grad  +  grad (пЕ)  о (Е grad) 
  (Е grad) n   [Е rot о] .
Выпишем хю составляющую вектора N:
д, д
N ж==(оЕ) дх + дх (оЕ)  flж(Е grad)   (Е grad n ж ) 
 , [ Е ( дnу  дll lC )  Е ( дп lC  дпа ) ] ==
11 дх ду Z dz дх
( дЕ. "J':. дtp дtp ) д +
== n ж , L,дх  Ly 7iY  Ez dz + nу дх (Ey)
д
+ n z дх (Ez).
у чтем, что
div Е ==:. дЕ. + дЕ у + дЕа == О
дх ду дz
и найдем
Nж== n ж [ :у (Ey)+ :z (Ez)]+
+ nу [ д (Ey)] + n z [ д (Ez)]-
Поскольку величины rВ квадратных скобках Moryr ин-
rерпре1 ироваться как составляющие HeKoToporo векто-
ра М:
М ж ==  [ :у (Ey) + :z (Ez)],
д
Му == дх (Ey),
д
1Hz == дх (Ez)
34

и, как сразу видно,
div М ==0,
то, на основании формулы Остроrрадскоrо  raycca, По-
лучаем
I N xdS ==  (nM)dS ==0.
S S
Аналоrично можно показать, что
 NydS==O и  NzdS==O
s s
и таким образом тождественность формул (1.26) и (1.27)
формулзм (1.40) и (1.41) доказана.
t 3. зоны ФРЕНЕЛЯ. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ
ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
1. Частный случай применения формулы Кирхrофа
Ряд весьма общих следствий из принципа rюйrенса
Френеля безотносительно к природе волновоrо процесса
можно установить из анализа формулы Кирхrофа для
вектора rерца (1.25). Для этоrо рассмотрим некоторый
характерный случай ее применения.
Пусть поверхность 3 состоит из двух частей  пло
скости So и ПОЛУ1сферы 300 радиу,са '00 с центром на IПЛО-
Рис. 1.9. К определению поля
через вторичные источники, не-
прерывно распределенные по'
безrраничноЙ плоскости, распо-
ложенной между первнчным.
излучателем и точкой наблlO
дения.
r. 0
gO
rO
А
50
скости So (рис. 1.9). Тоrда соrласно формуле (1.25) полу
чим П
1 S ( д, дЛ )
П ( А ) ==   п     dS.
4п дп дп
So
1 J ( дrp дЛ \
  п   ер  1 dS.
4п дll дп )
Sao
3.
35

Вычислим интеrраJI по поверхности Soo. При этом для
KOHKpeTHocТlI преДПОJIОЖИМ, что имеется ОДI1Н eДlIHCTBeH
ный 'f1ер'Вичный излучтель, раоположенный в точке О 
элементарныЙ _диполь. Мы имеем
д == .:!.!L cos ( П ТО ) *) ( 1 44 )
дll dr " . .
дП  dП О
 d  d cos(n, р ),
Il Р
( 1 .45)
причем
!!.J....   'k е  jk'- ( 1 +  )
dr  J r \. .jkr'
dП ==  'k eJkp ( 1 + -l-- ) с
dp J р \ ]kp ,
rде введено обозначение
C==:
j41t(J)E в
( 1 .46)
Если поверхность полусферы Soo достаТ'ОЧiНО большото
радиуса r 00, то выполняются неравенства kr» 1, kp» 1,
а поэтому можно считать
д" е  jltr
   J 'k  COs ( П тО )
дll r "
( 1.47)
дП . ejkp О
 д ::::.  J/lC cos(n, р ).
Il , Р
(1 .48)
Следс\вательно, П;JИ достаточно БОЛЫIIОМ r 00 имеем
 (п .  <р  ) dS ==  jkC ) ejk (рн) [cos (о, rO)
500 500
· dS'
 cos (п, pO)). (1.49)
р'
(1ри устремлении радиуса полусферы r 00 к бесконеч-
ности
1im cos (п, рО)==  1,
r 00--+00
( 1.50)
(1.51)
liш cos (п, ТО) ==  1,
r 00 --+00
,.
*) Индексом «О» сверху отмечается ещшичный веl<ТОр.
Зб

причем IПРОИЗiведение осталь'ных сомножителей в
тсrральном выражении правоЙ части равенства
остается конечным. Отсюда следует, что
. 1 5 ( дlf дП )
11т  Пер dSO.
r -+00 4n: . дll дll
00 800
подын-
( 1.49'
( 1.52)
Отметим, что ссли бы внутри замкнутой 'поверхности
S находилось несколько первиЧJIЫХ излучателей, то ин-
теrрал по поверхности Soo полусферы бесконечноrо ра-
д!иуса 'нее равно ,раВlНЯЛСЯ бы нулю, та,к как все эти Iпер-
вичные излучатеи находятся на конечном расстоянии
и при '00...............00 для каждоrо из них выполняются предель-
ные равенства (1.50) и (1.51). .
Таким образом, в рассмаrриваемом случае формула
(1.25) принимает вид
n (А)==  '4 J ("   ер  ) dS. (1.53)
80
2. Специальный выбор вспомоrательной функции ер
В предыдущем пунке было пока за но, что в однород-
ной б.езrраничной среде поле может быть выражено через
поверхностный интеrрал по безrраНИЧНQЙ плоскости, рас-
положенной между излучателем и точкой наблюдения по
формуле (1.53).
В настоящем параrрафе будет показано, что сущест-
вует наиболее важная область интеrрирования по пло-
скости So. Отсюда последует вывод о наличии ,существен
ной обла,ети пространства для распространения радио
волн.
Для облеrчения дальнейшеrо анализа воспользуемся
возможностью упрощения поверхност,ноrо интеrрала
(1.53). Наличие такой возможности обусловлено некото-
рой свободоЙ выбора IВС:ПQiмоrателыной функции ер. Из
приведенных выше выкладок следует, что Д.[IЯ получения
поверхностноrо интеrрала 'в (1.25)
r ( П   ер дП ) 'dS
J дll dll'
8 '
важно лишь, чтобы ер удовлетворяла двум требованиям:
она должна представлять собой решение волновоrо урав-
37

нения
V2 + k2 === о,
И это решение ДОЛЖ'НО СООТБ-е'f1СТiвовать расходящимся
волнам. Можно ,поэтому ,ПОДОlбрать такие функции qJ,
КОl'орые удовлетворяли бы этим требованиям и Б-месте
с тем на поверхности 5 соблюдалось бы усло'вие
qJ==O
( 1.54 )
или условие
iJrp
dn === о.
( 1 .55)
Тоrда исчезнет либо второе, либо первое слаrаемое
подынтеrральноrо выражения. Функция, которая YДOB
летворяет условию (1.54) или условию (1.55), 'помимо
palНee наложенных УIСЛ'OIВ1ИЙ на ФYJнкцию 'qJ, iназыIает,сяя
функцией FpUHa. Особенно леrко построить функции rри
на, если поверхность интеrрирования 5 является безrра
ничной плоскостью. Именно этот случай на.с и интересу
tT. Здесь функцией rрина может являться функция
=== ejkrl ejkrl
 
'1 '2
(1.56 )
либо функция
ejkrl 'ejkrl
 === +,
'. '2
( 1.57)
rде '1  расстояние от точки на()людения А до какойли
бо точки области, rде ра(шоложена точка наблюдения;
'2  расстояние от зеркальноrо изображения точ,ки Ha
блюдения, т. е. точки А', дО той же точки (рис. 1.10). Леr
ко видеть, что в случае (1.56) на плоскости 50
 О дrp д ( cJkr )
 , ===2  ,
дп дп ,
так как на этой плоскости
( 1.58)
'1 ==12 ==,.
в случае же (1.57) на плоскости 50
ejkr дrp
===2, d ===O,
, п
( 1.59)
так как
д ( eJkrl ) д ( ejkrl )
ёiil  so==дiI  so.
38

Таким образом, подставив Е (1.53)  из (1.56), полу
чим
1 r д ( e/kr )
П(А)    J n дil ----, dS.
So
( 1.60)
Пользуясь формулой (1.60), можем вычислить поле
в точке А по вторичным источникам, расположенным на
безrраничной плоскости, 'которую для упрощения
раCJПОЛОЖИМ п,ер,пендикуля,рно линии' 'I:fаблюде:ния ОА
(рис. 1.11).
Приняв за "Первичный излучатель элементарный ди
поль с моментом, параллельным плоскости So, под знак
интеrрала 'Подставим
e/kp
n (p)C .
р
Далее, в (1.60) подставляем
д ( e/kr ) d ( e/kr )
  ==  cos (о rO).
дп , dr , '
в практике распространения радиоволн раССТОЯНlIе
между излучателем и точкой наБЛIOдения всеrда 'Велико
n
о А
А' РО "0
5 п 50
Рис. 1.10. К выбору функции Рис. 1.11. К анализу интеrра-
rрина. ла в (1.63).
по сравнению 'с длиной волны, так как всеrда интересу-
ются полем в дальней зоне. СлеДDвательно, всеrда имеет
место неравенство,
27'1:
k(Po+'o)T(Po+'o) 1.
(1.61 )
..
Поэтому для упрощения выкладок можем располо
жить воображаемую плоскость So так, чтобы имело Me
сто неравенство
k ' 21tr o
'о===т  1.
( 1.62)
39

Тоrда, учитывая (1.47), получаем
j 5 eJk (p+r)
П(А) T С, Р'
So
cos (о, r O ) ds.
(1 .63)
Э11ат Иlнтеr,рал и будем аlнаЛИЗ'И1равать (рис. 1.11).
3. Зоны Френеля
Анализ интеrрала (1.63) пазваляет уста навить нали
чие обла I С1'И, сущеС1'1веннай в IраlС'пр'астраlнении радиов'аЛ'н.
Этат анализ удабна правадить с памощью пастраения
зан Френе'ля.
Как ,следует из (1.63), каждый элемент паверхнасти
создает в тачке наблюдения А поле
'd5  С cos у eJk (p+r)
J л Р' '
амплитуда KaTapora
d5  I G l cOS у
л р,'
а фаза 'Ф==k(р+,'), rде саrл..асна рис. 1.11 cas(n, rO)==
==cosy.
Праизведем rеаметричеокае Iсуммиравание палей валн,
саздаваемых различными элементами d5 плоскости 80.
Для этай цели разделим пласкасть 50 на заны Френе
ля (рис. 1.12), определяемые ,следующими ,раlвен:ствами:
л
Рl +'1  (Ро+ 'o)T;
л
Р2 +'2  (Ро + (0)=== 2 2;
]
(
{
...............,
J
( 1.64)
л
Pn+'n-(Po+'o)===п т.
Саrласна этим равенствам втаричные ис.точники, pac
палаженные на rраницах двух саседних зан, нзлучают
'валны, прихадящие в тачку наблюдения А в пратива
фазе.
40

Рз
Рис. 1.12. К определению зон Френеля.
1  первая зона Френеля: 2  вторая зона; 3  третья
зона.
Произведем сначала сложение волн, ,создаваемых эл-
ментами плоскости 801 находящимися в пределах каждой
зоны в отдельности, а затем найдем суммарное поле,
обусловленное всеми 'Зонами Френеля.
Для упрощения преДJПОЛ1ОЖ,ИМ, что, КipoMe неравенст-
ва (1.62), выполняется также инеравенство
2
kpo === Т ро  1.
( 1.65)
в этом случае IПрИ 'Переходе 'ОТ одной зоны К друrой а.м-
плитуда колебаний каждоrо элемента площади dS меня
ется незначительно, и еще меньше меняется а'Мплитуда
колебаний элемента dS при перемещениях в пределах
однvй зоны.
В силу этоrо каждую зону Френеля можно разделить
на некоторое число равных по площади концентрических
колец; при этом волны, создаваемые каждым кольцом,
почти Не будут отличаться друr от друrа по амплитуде.
В основном они будут отличаться по фазе; так, например,
при разделении первой зоны Френеля на 1 О колец фазы
колебаний источников двух соседних колец будут отли-
чаться дру'r от друrа на 18°. rеометрическое сложение
колебаний волн вторичных источников для этоrо ,случая
показано на рис. 1.13, rде результирующая амплитуда
волны обозначена через В 1 .
В деЙствительности же при переходе от одноrо вто-
ричноrо источника к соседнему фаза меяется плавно и
вместо ломаной линии получим пвную кривую
(рис. 1.14)-.
Результирующий вектор 'ВОЛНЫ от вторичных источ-
ников второй зоны Френеля 82 БУдет направлен противо-
положно вектору 81 и по длине короче вследствие увели-
чения раостояний р, r 'и у.меньшения -cos,\, (рис. 1.14).
41

Результирующий 'Вектор В з будет меньше по длине
вектора В 2 и на,правлен. противоположно последнему.
Вектор В'" направлен противоположно вектору В З и по
длине 'меньше Hero Iи' т. д.
Слдовательно, поскольку фазы колебаний двух co
седних векторов отличаются на л, векторы B i коллинеар
ны и rеометрическое суммирование сводится к aJIl'e
6раическому. За,меТIИМ, чТ'о, как IВИДНIQ из IрИС. 1.13и 1.14,
фаза ,результирующей ,в'Олны .отличается от фазы волн,
создаваемых вторичными источниками, расположенными
в центре первой зоны, на л/2. Повернув результирующий
v
GD
Рис. 1.13. rеометрическое сум-
мирование колебаний волн
вторичных источников, распо
ложенных в пределах первоif
зоны Френеля.
Рис. 1.14. Суммирование колЕ'
бания волн вторичных источ
ников, расположенных в пре
делах двух соседних зон Фре-
неля.
вектор в ,соответствии с имеющимся в (1.63) фазовым
множителем j на л/2 против часовой стрелки, получим
правильную фазу результирующей волны, совпадающую
с фазоЙ волн от вторичных источников, расположенных
в центре пер'вой зоны.
Ита,к, разделение ПЛООК'ОСl'И Sю ,на зоны Френеля по
зволяет представить результирующую амlПЛИТУДУ В,ОЛ1Н
вторичных источников нсех зон Френеля в виде знакопе-
peMeHHoro сходящеrося ряда
В==ВlВ2+ВЗВ"'+В5В6+В7В8+..., (1.66)
которыЙ с точностью до множителя j равен значению
n (А) в формуле (1.63). Очевидно, что члены ряда в силу
(1.61) будут тем меньше оrrличаться друr 'От друrа,- чем
короче длина 'Волны.. В этом случае каждый член ряда
мало отличается от среднеrо арифметическоrо из 'coceд
них членов и из прсдставления ряда (1.66) в виде
B=== +( B +  )+( !!LB + 85 )+
2 2 2 2 2 4 2 ..,
42

причем liт В п == О, заключаем, что В  В 1 /2. Это paBeH
n .
ство тем. точнее, чем сильнее неравенство (1.61).
Леrко также 'Показать, что ряд (1.66) во всяком слу-
чае не превосходит величину В 1 .
В самом деле, рассматривая члены ряда (1.66) как
rеометрическую проrрессию 'со знаменателем q, rде
0< q< 1, получаем
В 1 . в, Р  (  q)n] В, < В
 1т  .
n 1 + q 1 + q Р
отсюда следует, что поскольку всеrда q<1, то
В1>В>В1/2.
Как следует из рис. 1.14, суммирование может быть
представлена скручивающейся спиралью (рис. 1.15). От-
о .
Рис. 1.15. Суммирование коле-
баний вторичных ИСТОЧНИКО9
в виде скручивающейся спи.
рали.
резок между началом О и концом стрелки показывает
величину результирующеrо колебания при перемещении
по 'спирали. При приближении к фокусу спирали резуль-
тирующая амплитуда К'олебаlНИЙ 'стреl\fiI1ТСЯ к В 1 /2.
Результат 'суммирования членов ряда (1.66) можно
также .представить в виде .rрафика, изображенноrо на
рис. 1.16, из KOToporo также видна сходимость ряда
к В 1 /2. .
I: {1}"(8f7
п..'
о 2 ц б 8 10 12 п
43
Рис. 1.16. К вычислению суммы
ряда (1.66).

Поскольку ряд (1.66) является СХОДS1щимся, то полу-
чаем важный вывод: результирующее поле в точке Ha
блюдения в основном .создается волнами вroричных из
лучателей, расположенных в пределах первых несколь-
ких зон Френеля. Нклад в 'суммарное поле, вносимый
волнами вторичных излучателей остальных зон Френеля,
в силу быстрой сходимости ряда (1.66) преН('брежимо
мал.
Ра'ссмотрим, каковы размеры зон Френеля. Пусть
радиус Iпервой зоны Френеля R 1 . Тоrда в силУ неравенств
(1.62) и (1.65) получим
V 2 2 RT
PJ Po+R) Po+'
'>
'1 / 2 2 R")
'1Y ' o+R)::::::;'O+ 2 '
'о
1
I

р,+ r, (р, + r,) "'" 1 (+*) +.I
J
( 1.67)
R J  V ЛРо' о .
Ро + 'о
( 1 .68)
Аналоrично для внешнеrо радиуса кольца nй зоны Ha
ходим
R :::::::::: ./ плро'о .
n V Ро'+' о
( 1.69)
Площади у всех зон одинаковы и равны
'1tЛРо' о
ao.
Ро+ 'о
(1.70)
Из формулы (1.69) можно заклК?чить, что
Rn  V пA.R ,
rде R  lНаименьшая из величин ро и 'о.
Основной вклад IB 1П0ле iВ точке А 'вносят В''J10р'И'чные
и'сточники, 'раоположеНlНые на учаС11ке плоскос'!'и 80, Iра,з
мер 'KOTO'POf\O определяeТIСЯ приближе'l'ШО формулой
(1.69), flде n  Iнебольшое число.
Чем меньше длина волны "л при фиксированном значе-
нии расстояния po+lf'o между излучателем и точкой на-
44

БЛlOдения, тем больш(' чнсло п ::ЮН Френеля, образую
щих существенныii участок шпеrрирования.
. Предположим; . что плоскость So перемещается вдоль
линии наблюдения ОА между точками О и А. Леrко ви
деть, что в этом случае тра.ницы зон ф,ренеля будут опи
сывать часТ1И поверхностеЙ эллипсоидов вращеwия, так
как при этом
л
Рn + r n  Ро + r 0+ /l 2  const, ( 1 .71
а это есть уравнение эллипсоида вращения с фокусами
в точках О и А (рис. 1.17). Обла,сть пространства между
двумя сосеlI.НИМИ эллипсоидами называют пространст
венной зоной Френеля. Наибольший размер 'сечения эл-
липсоидов равен V пA.R o , rде Ro==po+rro.
Таким образом, из проведенноrо анализа можно сде-
лать весьма важный вывод о наличии области простран-
ства, сущесвенно уча'ствующеЙ.1В раlсП'роС'транен-ии 'ра-
So s;
I I
Рис. 1.17. К определению про-
странственных зон Френеля.
диоволн. Эта область оrраничена эллипсоидом, COOTBeT
ствующим внешней rранице пространственной зоны Фре
неля с небольшим номером. Эта область тем более резко
в!р..ажена, т. е. эллипсоид существенной области тем
больше вытянут, чем лучше выполняется неравенство
(1.61) .
При ЛО все эллипсоиды превращаются в линию,
соединяющую источ'ннк и точку наблюдС'н.ия. Отсюда сле-
дует оБЪНCJне:ние IПlрямолинейноrо раlСПрiOстранения све.
та. В самом деле, в случае световых волн длина волны
весьма мала по ,сравнению с расстоянием между источ-
ником и точкой наблюдения, и существенный эллипсоид
настолько вытянут, что он Iпредставляется прямой лн
нией.
45

t 4. МЕТОД СТАЦИОНАРНОR ФАЗЫ
Метод стационарной фазы  это метод приближенно
ro аналитическоrо вычисления интеr-раЛQВ 11ипа (1.63).
Наводящие соображения о возможности TaKoro вычисле
ния содержатся 'в проведенном ос помощью зон Френеля
ана,лизе интеrрала (1.63)
jC S e/k (р+')
П (А) === т' Р' COS (о, rO) d5.
80 '
Здесь подынтеrральное выражение состоит из быстро ме':'
няющеrося фазовоrо множителя и медленно меняющихся
множителей. Как было iПоказано, основной ,вклад в 'pe
зультирующее поле вносят колебания вторичных источ
ников, расположенных в пределах участка, оСостоящеrо из
первых 'нескольких зон Френеля. Поэтому, введя прямо
уrольную систему координат Х, У, Z с плоскостью YZ,
совпадающей с 50 и осью Х, ,совпадающей с линией Ha
блюдения ОА, мож ем для эт оrо участ ка считат ь, что
Р + r === Ро .. / 1 + у! t Z2 + r о '1 / 1 + у2 -:- Z2 
V РО V 'о
у2 + Zl ( 1 1 )
 po+ro+ 2 +,
(1.72)
и, следовательно, быстро меняющийся фазовый множи
тель представить в виде
/k ( 1 1 )
 /k (ro+'o>   (g'+ZI)  + 
2 Ро'о
е .
Медленно меняющиеся множители можно считать по
стоянными и равными их значениям в точке пересечения
линии наблюдения с плоскостью 50, т. е. в центре первой
зоны Френеля, и вынести их за знак интеrрала. Следова
тельно,
. flc ( 1 1 )
 j efk (Ро+'о> JS 2 (gЧzl) р + r
П (А) === -т-- С - е о о dydz. (1.73)
f\ Ро' О
ИнтеrрироваНiие IПр'оизводи"ся IB пределах Iсуществен
Horo участка или же в бесконечных пределах, поскольку
вклад интеrрала по участкам -поверхности, лежащим вне
существенноrо участка, ничтожно мал.
46

Так как в центре пеРВOI"1 зоны Френеля фаза 'P==k(p+
+r) цмеет экстрё1альнос, стационарное значение (в дaH
ном случае минимальное значение). то этот метод вычис-
ления интеrрала :называе1'СЯ методом стационарной фазы.
В более общей формулировке метод стационарной фа-
зы вычисления интеrрала вида
00
1 (р) == S f (х)е/РIp:(Х) dx,

(1.74)
rде р» 1, f (х) и <р(х) 'Iмедленно меняющиеся функции,
сводится к следующеМIУ.
Функция <р (х) в окрестности точки стационарной фа
зы, т. е. в точ,ке хо, rде <р'(хо) ==0, раскладывается 'в ряд
Тейлора:
 (х) ===  (х о ) + ," o) (х  хо)2
И принимается
00
1 (р)  f (х о ) е/Р'9 (.ко) S е
----00
/ р ," (Хо)
2 (XXo)'
dx.
Производя 'под интrралом замену переменной х по фор
муле
I " (ха) I (х ---;'(0)1  и 2 ,
получают
j :р.'; (х,) (XX,)'dx  -v I ," (:,) I f е "'/р"' dи. (1.75)
oo oo
rде "верхний знак относится к случаю <р" (хо) >0, а ниж-
ний  к случаю <р" (хо) <О. Но
00 
J ж/риl d V 'It
е и=== +ip '
----00
поскольку это интеrрал J1апласа.
Таким образом находим
со
I (р);::=: S f (х) e l P'9 (х) dx  Y iPf f:o) f (х о ) elP'fl (Х о ). (1.76)
co
47

Заметим, что эта же формула справедлива и в том
случае, если пределы интеrрирования конечны. Важно
лишь, чтобы ВЫПОЛНЯJ{ИСЬ указанные условия для пара
метра р и функций f( х) и ер (х), а стационарная точка хо
находилась внутри этих пределов.
 5. ДИФРАКЦИЯ РАДИООЛН НА ПЛОСКИХ.
НЕПРОЗРАЧНЫХ ОБЪЕКТАХ
1. Дифракция на крае полу6есконечноrо экрана
Полученные в предыдущем параrрафе результаты
можно, в ча,стности, применить к ра,ссмотрению вопроса
о дифракции радиоволн на крае экрана. Этот экран
можно представить себе в виде полубесконечноrо TOHKoro
метаЛЛ1ическоrо листа, расположенноrо на пути распро-
странения радиоволн.
Очевидно, влияние экрана ,БУдет значительным, если
он пересекает первые Iщюстранственные зоны Френеля.
о

t:s

"')
у
А
х
Рис. 1.19. К вычислению поля
за ЭJ<раном.
Рис. 1.18. К качественному
определению влияния экрана
па распространение радиоволн.
Если экран полностью пересекает эллипсоид существен-
ной области, то поле будет сильно ослаблено (рис. 1.18,
линия ОА').
Определим поле в точке А при наличии полубесконеч-.
Horo экрана (рис. 1.19). Для этоrо можем воопользовать
ся формулой (1.60). Однако значение вектора rерца п
на плоскости So, которую считаем совмещенной 'с пло-
скостью экрана, неизвестно. Кирхrоф, встречансь с по-
добными затруднениями при решении оптических диф-
48

раКI.ИОННЫХ задач, впервые указал, KaJ{ преодолеть эти
затруднения. Де.наются два предположения: поле в ча
сти плоскости, дополняющеЙ плоскость экрана, совпада
ет с невозмущенным полем, которое имело бы место при
отсутствии экрана; токи на теневой стороне экрана Ha
столько слабы, что ими в первом приближении можно
пренебречь. При этих допущениях, используя прямu
уrольную 'систему координат с координатноЙ плоскостью
YZ, совмещенноЙ с плоскостью экрана и осью Х, совпа
дающеЙ 'с линиеЙ наблюдения ОА (рис. 1.19), можем He.
посредственно ПР1имеюIТЬ формулу (1.73). При этом в co
ответствии 'с методом Кирхrофа интеrрал должен быть
взят по части плоскости, дополняющей плоскость экрана.
Введем в формулу (1.73) новые переменные интеrри
рования
../ 2 ( 1 1 ) I
z у т p;+r; == и,
. 2 1 1
y V т,( p;+)==v.
( 1 .77)
Переменные u и v имеют следующиЙ физический
смысл. Соrлаано формуле (1.69), определяющей радиусы
зон Френеля, имеем
R ( .J...+J... ) === п. (1.78)
л .Ро '0
Соrласно же (1.77)
y2+Z2 ( .J...+.J... ) ==!f.. ( .J...+.J... ) ==: U2+V2 . (1.79)
л Ро , о Л Ро , о 2
Сравнивая (1.78) с (1.79), находим
V 2 + и2
===/lR' (1.80)
rде nR  число зон Френеля, Укладывающихся в Kpyre
радиуса R, ,совпадающем с плос,костью экрана и центром
на линии наблюдения.
Следовательно,
u === V 2nz , }
(1.81)
v == V 2n у ,
rде n z  число зон Френеля, укладывающихся на отрезке
z при у==о, nу  число зон Френеля, укладывающих,ся на
отрезке у при z== о.
41283 49

Учитывай, чТО
dz === du
11  ( +' )
r л Ро , о
получаем
d  dv
, y y 2 ( 1 1 ) '
 +
л Ро ' о
. e//e (po+ro) J I  " l S /  v l
П (А) === J...... 2 + с е 2 .du е 2 dv
Ро 'о
(1 .82)
Так KaKOOYOO, TOOOVOO. Поэтому второй
интеrрал равен
J OO JVI У Т
е dv==='
/
----00
( 1 .83)
Переменная u меняется в пределах от
u == " о === Zo V + ( * + *) до u === 00.
Отметим, что если бы экрана не было и u менял ось бы
в тех же пределах, что 'и V, т. е. от OO дО + 00, то 'в pe
зультате вычисления обоих интеrралов получилось бы
ej/e (po+ro)
П(А)==С .
Ро + 'о
Но это, как и следовало ожидать, есть выражение для
вектора rерца в свободном простран,стве.
В случае же наличия экрана 'находцм
00 11:
Н . eJk (Po+ro) I J2 и l
П(А)==  2 С + е du.
Ро 'о
"о
( 1.84)
Введем в рас,смотрение множитель F(uo), который будем
называть дифракционным множителем:
1 r /иl
F (и о ) === V 2 J е 2 .1" du ===
"о
 /2 (? cosTu'duj j sin+u'du ).
и о "о
50

Так как
CIO  . CIO ио
 ... du==  ... du   ... du
и о о о
и
00 со
S cus ; u 2 du . S sin т u 2 du == +.
о о
ТО
P(и.) y\ [( + r COSTи'dи)
о
 j ( + r sin  иdи) J .
о
( 1.85)
Интеrралы
ио
S cos т u 2 du == С (и о ).
о
ио
S sin т u 2 du == S (и о ) (1.86)
о
называются интеrралами Френеля. Кривые интеrралов
Френеля показаны на рис. 1.20.
Очевидно, ЧТО
C(иo) ==C(иo), S(uo) ==S(Uo).
Значения F (ио) можно также опрделить по так назы
ваемой ,спирали Корню (рис. 1.21).
Вдоль спиральной линии откладывается ио. В правом
квадранте ио>О, в левом к'вадранте ио<О. Масштаб по
этой линии такой же, как и по осям. Модуль I F (ио) I
равен длине отрезка, проведнноrо из полюса (точка
ио == 00) до 'соотвеТСТ1вующей точки ио на с'пирали, дe
ленной 'На 112. Фаза определяется наклоном этоrо OT
резка к оси С(ио). rрафик IF(uo) I имеет вид, изобра
женный на рис. 1.22. Полученные формуы относятся
к случаю, коrда линия наблюдения ОА пр,оходит ,вблизи
края экрана, так как только тоrда 'в исходной формуле
(1.63) можно принять cos (п, r O ) ==1 и l/rl/ro, 'l/pl/po.
Рассмотрим теперь .случай, Коrда линия на,блюде
ния ОА, пересекая экран, проходит вдали от ero края.
В этом случае, как видно из рис. 1.23,a, все зоны Фре
.. 5\

0,8
0,8
О,"
0,2
О
1
2
з
,f/
5
(J.
Рис. 1.20. Кривые интеrраЛОlJ Френсля.
0,2
   == 7!) ........
/ k
{/   ' 1\ \
! \ 1 , }
"r J
V
0,5 N' 7
/
....... 
0,2 О, 1(. 0,6 С(и}
 ft ::1
+S(uJ
I
+ 0,6
I
i
I
0,4
0,8
l'
I
i
0,6' ,......"....-o,2
  0,5
/"
  .
\j)
' V
 1.5
о
0,2
-
O,'rl------    н 
  ................. 
o,6i
1=ы
Рис. 1.21. Спираль Корню.
52

IIеля, определяемые равенствами (С64), либо перекрыты
экраном полно:етъю, либо перекрыта б6лышая часть
каждой из них. Пусть по  число полностью перекрытых
зон. Ясно, что это число определяеl'СЯ величиной Zo yдa
ления края экрана от линии наблюдения. Эти по зон
(по необязательно целое число) не вносят никакоrо
вклада 'в поле в точке наблюдения А. Поэтому имеет
смысл нумерацию зон начинать 'со следующей после по
частично открытой зоны. Открытая часть этой зоны
имеет форму cerMeHTa. Открытые части друrих зон
IF((/)/
1,2
0,8
 - - -
--- -  -- --
 -
\
\
 \
1\
\
"-
,
...............
0,6
o,
0,2
о
 ч 3 2 I О I 2
Рис. 1.22. rрафик функции IF(uo),1.
3
(/
Френеля образуют части колец, оrраниченных краем
экрана (рис. 1.23,а).' Соrласно формуле (1.63) и прове
денному в п. 3  3 анализу, вклад вторичных источников,
расположенных в пределах ,каждой зоны, ,будет пропор-
ционален площад,и Si ее открытой части ,и величине
cos (п. r)
, rде i  номер зоны (при новой .умерации).
Ре'«
Что касается величины Si, то, как видно из рис. 1.23,6,
она будет .равна площад'И ао/2 ползоны Фlренеля (эта
площадь ,соrласно (1.70) одинакова у всех зон) минус
площадь ai той ее чаСТIИ, которая перекрыта экраном.
Таким образом, 'суммарный вклад в поле в точке А всех
53

а)
6)
Рис. 1.23. Линия наблюдения, пересеl<ая экран, проходит вдали ОТ
ero края.
1  первая зона Френеля; 2  вторая зона; .1  третья зона; 4  четвертая
зона.
зон Френеля должен предста'БЛЯТЬСЯ знакопеременным
рядом:
В === lfl [ (   a l ) cos (п, r?)
л 2 PI' I
( !!:.!...  а ) cos (п. rg) +
2 2 Р2'2
+ ( -*--  а. ) cos (п. rg) ... ] ==J9 {  [ COS (п. r?)
2 Ра'а л 2 PI'I
 cos (п, rg) + cos (п. rg)
Р2'2 Раrз
. . . ]  r а\ COS (п, r?)
 Р\ r I
( о о
 а2 cos п, r 2 ) + аз cos (п, rз)
P2 r 2 Рз'з
...]}.
Каждый из выписанных в квадратных скобках знако
переменных рядов, поскольку члены их убывают, явля
ет,ся .сходящимся. Поэтому аналоrично 'сумме ряда (1.'66)
получаем
в === н (   ) cos(n. r?)
2 " 2 al ·
1\ p\r\
(1 .87)
Из рис. 1.23 видно, что с увеличением Zo а.растет, а
cos(n, r?)
произведение убывает. Пuэтому величина В с уве-
P\'I
личением Zo будет монотонно убывать,
54

Из ,caMoro хода получения формулы (1.87) видно, что
этот способ ВЫlfИtления дифракционноrо поля приrоден
не толЬко тоrда, ,коrда край экрана проходит ,вдали от
линии наблюдения, но также -и в TM случае, коrда
линия наблюдения, пересекая экран, проходит вблизи
ero края.
Решение задачи о дифракции радиоволн на крае
непрозрачноrо экрана служит основой для конструиро
вания решения ряда непростых задач о распространении
радиоволн в реальных условиях. Однако об этоМ пойдет
речь в конце следующей rла'вы.
2. Дифракции на экранах конечных размеров.
Принцип Бабине. Дифракция Френеля и дифракция
Фраунrофера
в предыдущем пункте мы рассмотрели дифракцию
в случае полубезrраничоrо экрана и установили HeKO
торые важные особенности постановки и решения за
дачи о дифракции радиоволн, опирая,сь на принцип
rюйrенса  Френеля.
В настоящем пункте продолжим рассмотрение этих
особенностей пр,именительно к экранам конечных разме
ров. Уяснение этих особенностей значитель'но упроща
ется, есл,и одновременно рассматривать две задачи
о дифракции радiИОВОЛН, BeCЬMa тесно связанные между
собой. Зная решение одной задачи, можно ,без затруд
нений ,сформулировать решение друrой. В этих задачах
рассматривается ,соответственно дифракция раД,ИОВОЛI-l
на экране с отверстием (задача 1) и дифракция на
экране, являющемся дополнительным к экрану с отвер-
стием (задача 2). Дополнительными назывcJ.ЮТ экраны,
I
521
I
I
I
15z
I
а} 6)
Рис. 1.24. К формулировке принципа Бабине..
А.
А.
15,
1
о
.
о
.
55

которые будучи наложены друr на друrа образуют
сплошной неоrраниченный экран. Обе задачи иллюстри
руются рис. 1.24, rде в качестве первичноrо излучателя,
как.и прежде, взят элементарный -вибратор.
В отношении задачи 1 можно высказать ,следующие
соображения. Бсли бы экран был сплошным, поле в точ
ке А отсутствовало бы. Наличие отверст/ия вносит воз
мущение, в результате чеrо в точке А появляется поле.
Это поле 'возмущения называется полем рассеяния.
Поскольку при. 'сплошном экра'не поле отсутствует, это
поле ,ра1ссеяпия ЮОВ1падает 'с Iполем дифракции.
Пользунсь формулой (1.63), мы можем для вектора
rерца, соответствующеrо дифракционному или рассеян
ному полю, написать
jC r
П ОТВ диф === П ОТВ расе === П 1 (А) === Т J
8.
1.
eJk (p+r)
р'
cos (п, rO) dS,
rде 81  плоскость отверстия.
Обратимся к задаче 2. Если бы не было экрана, поле
в точке А было бы таким же, как в свободном простра'н
стве. Экран вносит возмущение, 'в результате чеrо по
являет,ся добавочное поле. Это поле возмущения являет
ся полем, ра,ссеянным экраном. Полное же поле, 'т. е.
поле дифракции, равно сумме полей первичноrо излуче
ния и поля ра,ссеяния. Пользуясь формулой (1.63), Ta
ким 06раiЗОМ, Iполучаем
11 eJkr
П  + П ,
экр диф  j41tШS(J  акр paec",
jC \ eJk (p+r)
=== П 2 (А) === Т cos (п, rO) d8,
. р'
82
rде 82  плоокость, дО!полняющая экраlН; " IBHe интеr,ра
ла  это раССТОЯlние ,по IПРЯМОЙ rмежду точками О и А.
С друrой ,стороны, соrла,сно принципу rюйrенса 
Френеля, имеем
11 eJkr
П 1 (А) + П 9 (А) ===  4 
 J 1tШS а r
И, следоватр-льно,
11 eJkr
П 2 (A)=== J ' 4   П 1 (А).
1tШе а r
56

Сравнивая выписанные 'саат>нашения, нахадим
. i1 эир расе ==  01 (А). (1.88)
Палученнае равенства являет,ся фармулиравкай пpиH
ципа Бабине, т. е. поле рассеяния экраном одинаково по.
величине и противоположно по .знаку t полем рассеяния
отверстия в дополнительном экране. Этат принцип мы
далее испальзуем для расчета паля рассеяния экраном.
Теперь же мы перейдем к вынснению ,смысла дифрак
цИiИ Френеля iи дифракции Фраунrафера. Пр,и этом бу-
дем исхадить из результатав анализа фармулы (1.63).
Сначала рассмотрим дифракцию Френеля. В обеих за
дачах для упращения будем считать, ЧТО' атверстие и
экран круrлые и ЧТО' линия наблюдения прахадит через
центр атверстия (экрана) перпеНД1икулярна пласкасти
экрана.
В задаче 1 п,але в тачке А (рис. 1.25,а) будет опре
деляться суммай палей втаричных истачникав, уклады
вающихся в пласкости отверстия. Очевидна, ЧТО' с ,изме
нением раостаяния пале в тачке А будет осциллиравать
саатветственна .изменению ч,исла зан, укладывающихся
в пределах отверстия.
В задаче 2 заны Френеля апределяются соатноше
ниями
л
Рп + 'п  (Ро + 'о) == (no+ n) 2'
(1.89)
rде п == 1, 2, 3 ..., по  числа перекрытых экранам зан
Френеля (не обязательна целае) , т. е. pnO+'no (Ро+"о) ==
л
==пО""""2" (рис. 1.25). Отсюда следует, ЧТО' амплитуда ка-
лебаний в тачке наблюдения всеrда в саатвет,ствии
с рядам (1.66) будет равна палавине амплитуды кале
а)
Рис. ] ,25. К объяснению дифракции Френеля.
57

баний, ,создаваемой вторичными источникам,и, располо
женными в пределах первой зоны Френеля, -определяе
мой первым paBeacTBqM (1.89). Эта амплитуда, как вид-
но,из (1.87), ра'вна .
В  ICla o cos (п, r?)
 2л Рl r 1 .
( 1.90)
ТаКJИМ 'образом, получаем, что позади экрана, т. е.
в области тени, поле всеrда отлично 'от нуля, однако на
-самом экране оно вссrда равно нулю и близко к нулю
вблизи экрана.
Интересно заметить, что в начале прошлоrо века
Пуас.сон этот эффект появления света позади экрана
в .области тени, предсказанный им же, выдвинул в ка-
честве возражения против волновой теории света. OДHa
ко, как мы видим, этот эффект как раз является под
тверждением волновой теории света и это ,соrласуется
с опытом.
Мы до 'сих пор ра.ссматривали ,случаи дифракц.ии
Френеля, т. е. такую дифракцию, при которой разн-ости
фаз втор,ичных источников зависят от рас,стояний до из
лучателя и до точки на'блю
дения. Именно в этом ,слу
чае и.меют смысл IПО'НЯТИЯ
з'онЫ Френеля и обла'сти, 'CY
ще'ственной для ра,опростра-
не ни я радиовол'н.
Рассмотрим теперь дpy
rой ,случай дифра'кции 
дифра'кцию Фраунrофера,
суть котор.ой ,будет ясна из
дальнейшеrо.
Опираясь на ,принц,ип Ба-
Рис. 1.26. К выводу формул бине, мы можем здесь orpa-
дифракции Фраунrофера. ни'Читься рас'см-отрением
лишь задачи 1. Предполо-
жим для большей общности, 'ЧтО' линия наблюдения не
перnендикулярна плоскости э'крана и не проходит через
середину отверстия (р,ис. 1.26). Введем прямоуrольную
систему ,координат 'с координатной плоскостью YZ, со-
впадающей 'с плоскостью .и началом в 'середине отвер-
стия. Координату точки в плоскости 50 обозначим BeK
тором R. Введем векторы, определяющие расстояния и
направления распространения волн  РО И Р; ro и r от
58
о

излучателя О до точек плоскости S и от последней до
точи наблюдения А (рис. 1.26).
Как видно из рис. 1.26,
Р:=::: I Ро + R:=::: V P + R З + 2p o R, ,:=::: I ro R I:=:::
== v , +R2  2roR.
(1.91 )
Считая рас'СТОЯНИЯ ро и 'о значительно ,большими
размеров отверстия, можем применить при,ближенное
вычи,сление J{ получить
+  [1 +  + PoR  (R2 + 2PoR)2 ] +
Р ,  Ро 2 2 4 ' . .
2ро РО 8ро
[ R2 roR (R2 + 2roR)2 ]
+'0 1 + 22 4 .... :=:::Ро+'о+
2,о,о 8'0
+ 2 ( J....+ ) + poR  roR  (PoR)2  (ro)2 +... (1.92)
2 Ро , о Ро ' о 2 Р З 2,З
о u
Переход к дифракции Фраунrофера осуществляется при
PoOO и 'oOO. Тоrда, пренебреrая величинами ,высо-
Koro порядка малости, получаем
Р +, == Ро + 'o r; + p; == Ро +'0  R(r O  рО), (1.93)
rде r O == ro/'o, рО == Ро/Ро'
Очевидно, что эти пренебрежения можно делать,
если, как в,идно из (1.92), имеет место нера'венство
а 2 ( + )  А., (1.94)
Ро 'о
rде а  наибольший размер отвер,стия (в задаче 1) или
экрана (в задаче 2).
При выполнении этоrо условия и имеет место дифрак-
ция Фраунrофера. В этом случае лучи, дущие от пер-
вичноrо излучателя до вторичных, можно считать па-
раллеЛЫНbIlМИ Дlруr дрrуrу. параллелI>ны'ии JIipyr друrу
будут также лучи, идущие от Вl'ОрИЧlных I}{,СТОЧНИ'ЮОВ ДО
точки 'наблюдения. Обла,сти раlССТОЯНИЙ 'о, удовлетво
ряющих последнему условию, называют зоной Фраун
zофера или дальней зоной. Очевидно, что указаiн'ные
59

прене6реЖeJНИЯ нельзя делать при 'дифракции ф,ренеля,
при которой имеет место условие
аЗ ( J...+J... )  А.. (1.95)
Ро 'о
Критерии (1.94) и (1.95) в случае круrлоrо отверстия
имеют весьма конкрет,ный физический 'смысл, именно 
при дифракции Френеля радиус отверстия или радиус
экрана должен быть болыше ил.и равен радиусу первоЙ
зоны Френеля; при дифраю.IJИИ же Фраунrофера радиус
отвер,стия или 'радиус экрана должен быть значительно
меньше радиуса первой зоны Френеля.
Вектор рО (рис. 1.26) определяет ,собой Iнаlпраlвление
распространения первич,ной волны до дифраrирующеrо
отверсия, а вектор r O опрееляет направление распро
странения волны после дифракции. Следовательно, BeK
тор rOpo==qO  есть ИЗlменение Iнаlправления распро
странения волны в результате Д1ифракции. Полученное
таким образом выражение для p+r подставляется -в фа
зовый множитель под интеrралом формулы (1.63). Meд
ленно же l'4еняющиеся амплитудные множител.и полаrа
ются постоянными ,и равными их значениям в центре
ОТ1Ве'р I СТИЯ. В ,реЭУЛl>тате IПрИ фраУIНI'оферовой дифракции
вместо (1.63) получают' 'Выражение
П  J.... С cos (п, rO) jk (po+r o ) 5 JkqOR dS
l "l е е ,
/1. Ро'о
SI
( 1.96)
которое определяет собой дифраrированное поле в за
даче 1. В задаче 2 дифраrированное поле ,соrласно
принципу Бабине определяется разностью вектора rep
ца диполя в свободном пространстве и вектора rерца
(1.96), т. е.
11 ejltT
П Ф 
3КР ДИ . j41too&a ,
j С cos (п, rO) jk (РОНО) \ ikqOR dS I
 е е .'
л Ро'о OJ
5)
Напомним, что эта формула ,справедлива лишь при
условии (1.94) -, из KOToporo ,следует, что радиу,с экра на
здесь не ,может быть 'большим. Пр'и больших экраlнах
мы имеем дело с дифракцией Ф'РIнеля и следует поль
з'оваТlСЯ фОРlмулами вида (1.87). ПРИНЦИiП Бабине (1.88)
(1.97)
60

(',праведлив и в TЦ случае, lюrда ,пеРIВИЧlные :ВОЛНЫ пло-
СК1ие. В. оптике "етрудно 'создать iПараллеЛblНЫЙ пучок
лучей, в Iпределах 'K'DTOpOrO фронт 'волны 'плоский. Qблу
чин пучком 'тонкую lП'рОВОЛОЧКУ, ,М'ож:но BIHe Iпучка 'на-
блюдать дифраЮ1!ионное .поле, ,которо'е в точности ,равно
р3'ссеЯlНЮМУ 'полю отверстием IB дополнительном эк'ране.
До сих пор мы определяли дифракцио,нное поле \и,
с помощью ПРИНЦllпа Бабине, рассеянное поле позади
экрана по невозмущеНI-IОМУ распределению вторичных
источников "а плоскости: 50 (S1, S2). Однако очевидно,
что можно рассчитать поле рассяния также и по воз
мущению, вызва'нному экраном в ра,спределени\и вторич-
ных источников If:la части IПЛОСКОСТИ 50, т. е. 'н'а S1
(рис. 1.24).
Действительно, так как на теневой стороне экрана
электромаrнитное поле отсутствует, а на облученноЙ
первичой волной стороне поле отлично от нуля, то co
rласно rраничным условиям для уравнений Максвелла
на освещеШ-lOlUI стороне ,экрана должен появиться по
верхностный ток плотностью
J8==[n, H]==l[n, Нопеj'lРI,
(1.98)
[де Н  маrнитное поле на экране; n  нормаль к экра-
ну, направленная в сторону распространения дифраrи
рованной волны. .
Поскольку экраном обычно служит идеальный про
вод..ник, на котором ДОЛЖ\lО быть E== О, то можем на 
писать
J s == [п, но],
( 1.99)
[де НО  вектор напряженности маrНИl'ноrо поля первич-
ной волны.
Вектор J SJ определяемый формулой (1.99), и eCb
источник поля рассеянных экраном волн как в теневои,
так и освещенной областях. СоответС'твенно ра,счет pac
сеянноrо экраIОМ электромаrнитноrо поля может про-
изводиться по формулам (1.40) и (1.41): и, поскольку
маnнитных поверхностных токов и варядов 'нет, 'мы мо-
жем !на'писать для вектора !Напряженности маrНИТНОI'iO
fl.оля выражение
Н ===  2 5 [[п, но], grad] dS. (1.100)
s
61

Так как ре4:Ь идет о П(lле в зоне Фраунrофсра, мы полу-
чаем
jk О eik (РоНо) S iqO, R
Н  2 [[п,Ноп], r 1 е dS.
п '0
81
(1.101)
В заключение этоrо пункта .сделаем некоторые заме-
чания о пределах при мени мости выведенных выше
формул.
Во -всех рассмотренных в этом параrрафе задачах
фиrурирует разрыв поля на краях отверстий rИ экранов.
Однако, как 'следует из уравнений Мак,свелла, такой
разрыв эквивалентен появлению линейных токов 'и заря-
дов, т. е. появлению дополнительных вторичных источни-
ков поля. Но, очевидно, что если размеры отверстий
экранов велики по сравнению с длиной волны, а именно
об этом ,случае здесь .идет речь, ,краевыми эффектами
можно пренебречь.
3. Рассеяние радиоволн круrлым экраном
Пу.сть нормально к плоскости экрана радиуса а па
дает волна с маrнитным по'ле:\1 НО и требуется опреде
лить поле ,ра1ссеяния в дальней зоне. Введя оБОЗ1начение
[п, Н оп ], rO]== Нор, 'рассеЯiННОIUI волны 'мы можем вместо
(1.101) написать
 e/k (po+ro) S ikqOR
Н  2п НОР е dS.
'0
8
( 1 .102)
Применяя ,сферическую (',истему координат r, '6', (Р С по-
лярной осью, перпендикулярной плоскости экрана и на-
чалом коорд.инат, ,совпадающим с центром экрана
(рис. 1.27), имеем
qOR  R sin & cos (ер  СРО)'
j k 0 R а 2_
 е q dS   s e/ kR sln & со. (CjIС90) dcpRdR.
s о о
Но
211:
2 J e/ pR <о. ('")d  J, (pR)
62

 функция Бесселs:I. нулевоrо порядка. Поэтому
а
S /kqOR r 2м
е dS  21t J 10 (pR) RdR  р 1. (ар),
S u
rде I1 (ap) 1>ункция Бесселя BToporu порядка, p===k sin &.
В результате получаем
 2
H===..L..H e/k(Po+ro) а I1 (kasin&). (1.103)
'о ОР Jш51"6
Напряженность электрическоrо поля равна
.
Е== 120лН.
Из фор,мулы (1.103) в'идно, чТ'о нормироваlНlная xa
рактери'стИ'ка Iнапра,вленности F (tt) рассеЯ1ННОf>О э'кранOtм
поля по обе ero стороны определяется формулой
F ( & )  21 J , (Iю 51" 6)1 ( 1.104)
ka 51" 6
Диаrрамма направленности имеет лепестковый xa
рактер. Нулевые значения напряженности поля полу
Z
YJ.
х

F(rJ.)
I
Рис. J .27. К расчету рассеЯНIIО-
ro поля круrлым экраном.
Рис. J .28. Диаrрамма рассеянноrо
излучения круrлым экраном.
чаем для тех направлений tt, при которых функция Бес
селя J I обращается ,в нуль.
Следователнно, обозначив корни бесселевой функции
J I (а) через аn, получим
cxn===kasin&n или sin&n " 
rде
аl==3,83, a2==7,016, аз==10,173 ...
Диаrрамма направленности имеет вид, изображенный
на ри,с. 1.28.
63

 6. ОСОБЕННОСТИ ди.ФРАКЦИИ РАДИОВОЛН
НА ОБЪЕМНЫХ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛАХ
1. Метод расчета рассеянноrо поля идеально
проводящими телами
Изложенное в предыдущем пзраrрафе наводит на
мысль о возможности применения принципа rюйrенса 
Френеля к расчету раосеянноrо Поля таl{же и объемны
ми телам,и, если только их линеЙные размеры значи
тельно больше дл.ины 'Волны.
Действительно, пу.сть тело облучается плоской вол
ной. Тоrда, очевидно, можно представить себе пло
скость So, I'1ерпенднкулярную направлению распростра
нения первичной плоскоЙ волны и проходящую через
наибольшее ,сечение тела (рис. '1.29). Эта плоскость
делит поверхность тела на две частн: освещенную и
неосвещеннуlO (теневую).
Одновременно эта плоскость делит все пространство
на два полупространства или две полусферы. Полусфе
ра, в которой находится освещенная часть поверхности
тела, назовем верхней полусферой, друrую  нижней.
Пренебреrая вкладом в доле поверхностных токов
на теневой части тела, дифракционное поле 'в НИЖ1ней
полусфер.е мож,ем Iпри,ближенно раlс'с'Читать IПО вторич
ным источника,м, раюпределCiННЫМ 'по rПЛОС'К'ОСИ So
(ис.ключая часть ее, совпадающую с rсечеНlием тела).
Соответственно этому рассеянное поле, cor ласно форму
ле (1.1 01), можно рассчитать по полю источников, pac
пределенных по идеально проводящему экрану, имею
щему форму сечения тела в плоскости So.
Следовательно, напряженность маrнитноrо поля рас-
сеянной волны в нижнеЙ полусфере можно в дальней
зоне рассчитать по формуле (1.102):
jk eJk (РоНо)' 5 jkqOR
"== 2п "оп 'о е dS.
So
Поле же рас,сеяния 'в BepXHei', полу.сфере может быть
рассчитано по вторичным источникам, распределенным
по оевещенной части поверхности тела, которые опре
деляются поверхностноЙ плотностью тока .
J s ==2[n, Но],
rде n  нормаль к поверхности тела.
64

Соответственно вектор напряженности тела маrНlП
IIoro поля можн<:,. раССЧ1ита ть по формуле (1.41):
н ==  2 i 110, HoJ, grad 9] dS.
s
(1.105)
Так как имеется в виду поле в дальней з()не, можем за
писать
H  1: \ [rO, [о. Ho)]e jltr dS.
S
(1.106)
Часто на практике, в частности в радиолокации, иiН
тере,суются Р30Ctсеянием '8 ,н.а'правлении, IПрЯМОПрОТИВО
ПОЛОЖ1НО'М направлению распрост:ра,нения пеРIВИЧ:НОЙ вол
ны. В этом случае
(rO[nH o ]] == n (rOH o )  Но (r?n) == Ho (rOn).
Здесь
Но== Hone/kp; Ноn== Homejwt
и, как видно из рис. 1.30, r==ro+ (az); р==ро+ (az);
(rOn)dS==dS o , и Iштеrрир'оваll;lие по Iповерхности S СВО-

о
50
50
Рис. 1.29. К расчету поля рас-
сеяния идеально проводящим
телом.
Рис. 1.30. К расчету поля рассел-
ния р 'направлении, прямо про-
тиrЮПОЛОЖllOМ направлению рас-
пространC'fШЯ волны.
дится К IIнтеrр.ир'ованию по плоскости So, причем, если,
1')  координаты ТОЧIШ в плосости So, то координата z
на поверхности тела должна считаться функцией этих
координат: z==z(, 1')).
Так,им образом, для рассматр,иваемоrо случая из
(1.106) получаеl\'I,
н == jkHon eik (ро+'о+2п) JS ef2kz (.'rj) ded7j.
21('0
( 1 _ 1 07)
fi 1283
fi5

2. Рассеяние радиоволн идеально проводящим шаром
в качестве приера ра,ссмотрим рассеяние радио-
волн идеально проводящим шаром радиу.са а.
Из ,изложенноrо в предыдущем пункте следует, что
ноле рас,сеяния в нижней полусфере в точности ,совпа-
дает с полем, рассеянным круrлым экраном Toro же
радиуса, определенным в конце предыдущеl'О параrрафа.
,.
'ОРо Р
Рис. 1.31. К расчету поля рас-
сеяния сфероЙ.
Оно, следовательно, определяется формулой (1.103).
Поле же рассеяния в верхнюю полусферу должно рас-
считываться по формуле (1.107).
Применяя ,сферическую -систему координат (ри.с. 1.31),
можем записать вместо элемента площади ddY] == dS o
dS o == а 2 cos ,э. sin ,э. d,э. dfPt,
а вместо координаты z
z==а,соs'б',
и тоrда получаем
1t/2 21t
Н == jkH on e/k (po+ro+2a) аЗ r d3- r e/2ka:cos.o. sin 3- cos 3- dч>.
 2п, о } J
' <> о
Произведя интеrрирование по координате ,э. по ча-
стям, получим
1t/2
f е/ 2Iш СО! &sin 3- cos 3-d3- == j2 е/2Iш + ( j2 1 ka У (1  е jЗkа ).
о
Учитывая, что радиус шара значительно больше дли-
ны волны, вторым слаrаемым можно пренебречь, по
сравнению с первым, и получим
H H 2 0n ae/k:(Poro). [(1.108)
'. r о
66

 7. МАКСИМАЛЬНАЯ ДАЛЬНОСТЬ ДЕйСТВИЯ
РАДИОЛОI\AЦИОННОй СТАНЦИИ В СВОБОДНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Одним из r лавных практических приложений теории
свобод:ноrо распространения радиоволн является ее при
мснение для расчета максимальноЙ дальности действия
радиолинии и, в частности, максимальной дальности
радиолокационной ,станции. Основополаrающие и при-
том простейшие соотношения получаются в результате
ра,счета максимальной дальност,и действия радиолинии
в С'вободном пр'остранстве. Задачей на.стоящеrо пара-
rрафа и является установление этих 'соотношений.
Однако для этой цели предварительно необходим'D
ознакомиться 'с основными характеристиками реальных
излучателей радиоволн  антенн .в свободном простран-
стве.
1. Краткие сведения о реальных излучателях
радиоволн  антеннах
Простейшей антенной является 'Элементарный диполь.
Соrласно (1.23) и (1.24) наПРs:IжеННОС1lИ поля диполя
в дальней зоне равны
. k 2 f 1 . el (wtk,) 
Е==Е ==J slnY 
т 4пШЕ о r
. 60п/ ml. e l (wtk,)
== JSlfiY r '
( 1. 109)
. k/ m L . . e l (tk') . / ml. el.<wtk')
Н == Н == J  4 Slfi У  J ')  Slfi У
ер п - r IIJ r
Как уже ,было отмечено ранее, векторы Е ,и Н 'в даль
ней зоне взаимно перпенд.икулярны и перпендикулярны
направлению ра,спространения волны, Т" е. поле "Имеет
поперечный характер, причем 'Отношение напряженно
стей поля Е к Н равно 'волновому сопротивлению .ево-
бодноrо пространства
Е Y  Y 
 == ===12Ort.
ff 80 80
5-
67

Усредненный за период вектор IiIJIОТ:НUСТИ потока
энерrии излучения направлен раЩfально и равен
-+ 1 ( ' i 2
S === у Re [EH'I=== 151tr o л. ) 'sin 2 y. (1.11 О)
rде r O  ед.иничный вектор. Из этой формулы видно, что
электромаrlf,итная энерrия ИЗJ,lучается направленно. По
перечный характер поля в дальней зоне й направлен-
ность излучеия  своЙства, присущwе полям излучения
любых антенн.
Антенн, ,излучающих раДtиоволны равномерно во все
стороны, не суще'ствует. Однако для характери,стики
направленности антенн 'в качестве масштаба берут rипо
тетическ.ий ненаправленный, или, как ero еще называют,
изотропный излучатель. При этом пара метром, xapaKTe
Рис. 1.32. К вычислению плот-
ности МОЩНОСТIf изотропноrо
излучателя.
ризующим направленные свойства антенн, ,служит так
называемый коэффициент направленноrо действия
(КНД), оБОЗ'lIачаемый буквой D.
Пусть SII  плотность потока ЭlIерrи,и, или, короче,
плотность мощности и ЕII  амплитуда напряженности
поля, создаваемая направленной антенной в некптором
направлении на фиксированном ра,с,стояни.и r; So  плот-
ность мощности, Ео  амплитуда напряженности поля
rипотетическоrо изотропноrо изучателя на том же pac
стояни.и r, 'с той же мощностью излучения P'i.' что и
У направленной антенны. Тоrда по определению
Е?
D JI  ; . ( 1.111 )
о ЕО
ДЛЯ изотропноrо излучателя нлотность. мощности
(рис. 1..32) будет
р r. 1 Е6
SO === 4пrl ==т ЕоНо == 240'it '
68

rде Но  амплитуда напряженности маrнитнсrо поля, OT
куда
Ео  V БОР1:/ r.
У'штывая (1.111), получаем, что ампл.итуда напря
женности оля направленной антенны ра'вна
Е в  V БОР 1: D / '. (1.112)
Выражение (1.111) .можно представить также в виде
Е; Е;'" в; D Р 2 n
D2==  m (\J',cp),
Ео Ео EH'1Z,
(1.113)
rде:Е нm  аiVlплитуда напряженности поля направленной
антенны на расстоянии ' в направлении максимальноrо
2 :!
излучения; Dm  EHmIEO' кнд В направлении максималь:.
Horo излучения; F СО, ер) == EHIEHm 1  так называемая
 F{ 
)
Рис. 1.33. Диаrрамма lIапраВJlенности антенны D ПОЛЯРНЫХ КООРДИ-
ната'х.
нормированная характеристика направленности антен-
ны; 'д', <Р'  коорд,инатные уrлы в сферической ,си,стеме
координат, полярная ось которой совпадает с направ-
лением максимума излучения, так что F (О, ер) == 1.
rрафик функции F ('д', <р) для какоrо-л.ибо фик,сир.о-
BaHHoro значения ЧJ, например qJl==O, называется диа
rраммой направленности антенны. При мер диаrраммы
направленности антенны дан на рис. 1.33.
Наряду с коэффициентом направленноrо действия
антенны применяется та"кже и друrой па:раметр, который
одновременно характеризует направленные свойства
антенны и ее коэффициент полезноrо деЙствия. Это 
так называемый коэффициент у.силения G. Поскольку
Р1: вследствие потерь в антенне меНbJше, чем мощ
ность Р, которая IПОД'В'ОДИТСЯ ко 'входу aIHTeHHbI, 1"0 коэф-
б9

фициент полезноrо действия антенны будет
Рт. '
7j  р.
Отсюда, подставляя в формулу (1.112) вместо РЕ
пр6изведение f)P, получаем
- EB V6OP11D .
r
Вел,ичина
G == f1D == G m F2 (fJ, (р)
и называется коэффициентом усиления антенны.
вательно, вместо (1.112) можно написать
Ев  V БОРИ т F (&, ер).
r
(1.114)
Следо
(1.115)
2. Максимальная дальность радиосвязи
Пусть Р  излучаемая мощность (полаrаем КПД
антенны f)I), G==G m F2(fJ, qJl) коэффициент уаиления
антенны, тоrда плотность мощности в точке наблюде
НflЯ А на расстоянии, от передающей антенны равна
s  Ра  Ра т Р (O,!f) .
41tr 2 41tr 2
(1.116)
Пусть в точке. А расположен' приемник (рис. 1.34). Тоrда
мощность Р n , попадающая в пр,иемн,ик, пропорциональ
о
-+
..
А

Рис. 1.34. К определению максимальной дальности радиосвязи в сво-
бодном пространстве.
на плотности мощности в точке А. Коэффициент про
порциональности здесь определяется евоЙствам,и прием
ной антенны и, поскольку он имеет размерность площа
ди, то 'Носит название эффективной или деЙствующей
70

площади а н Tel-!.H!>' ,и обычно обозначает,ся А афф . Поэтому
Рn==АэффS. (1.117)
Между эффекТiИВНОЙ площадью антенны А:эфф и ее коэф
фициентом ус'иления а' 'O' mF'2 (f)', q>') в режИ'ме пере-
дачи существует связь
А эфф ==,').}а' /4л.
Поэтому
А:эфф == А:эффт F '2 (f)', ч(),
rде А эффт ==J.v2G' т/4л.
Таким .образом; из ФOlр,мул (1.116) и (1.118) ,следует,
что равенство (1.117) можно представить в виде
Р === ' РG m АВФФm F2 (3, ч» р'1 (6', ч>') ,
n 41tr2
(1.118)
( 1.119)
Это соотношение называется уравнением радиопере-
дачи ,или радиосвязи в свободном простраастве. ДЛЯ
ТОТО чтобы OIпределить максималыную дальность дейст-
вия рад,иосвязи в некотором направлении, следует
в этой формуле положить, что
Р n == Р nМИII,
rде Р nмlIн  минимальная мощность на входе приемника,
необходимая для обна ружения излучаемоrо сиrнала.
В результате получаем
Р'  РG m АефФm F2 (6,,) р2.(6',,') . ( 1.120 )
nМИВ 4 2
п' т
Из этоrо равенства ,и находим ,искомую максималь-
ную дальность
r m === r т(, , , ,'} ===. / Р%mАеф:1t m F (, }F' (', ').
r n МИИ
(1.121)
Очевидно макоимально возможную дальность действия
можно получить в том случае, если обе антенны ,направ-
лены друr на друrа, т. е. если в формуле (1.121) заме-
нить
F (, )....... F (О, }=== 1, F' (', ')  F' (О, ') === 1.
Отсюда находим
V РGmАgфф m
r то === р ·
n м.ви 41t
( 1.122)
71

Соrласн'о этой формуле маI(симально возможная даль
ность действия радиосвязи пропорциональна корню
квадратному из произведения мощности передатчика Р,
коэффициента ус,иления передающей антенны От, эффек
Тtивной площади приемной антенны А:эфф т и чув-стви
тельности приемника I/Р nмип . Мак,симальная дальность
при произ'вольной ориентации антенн, таким образом,
равна
rт==rт('б', ер, t}o', qJ") ==rmoF(t}o, ep)F'(t}o', ер'). (1.123)
3. Максимальная дальность радиолок.ации
.
Пусть в точке О расположена .радиолокационная
стаНilJИЯ, а в точке А  цель (рис. 1.35) ,и пу.сть Р  
мощность передатчика, 0== Отр2 (f}, QJ)  коэффициент
ус,илен,ия передающей антенны, тоrда плотность мощ
ности В месте расположения цели равна
s  PG  PG m F2 (6. Ч') .
ц  41tr 2  41tr 2
Облучаемая радиолокатором цель становится вто-
ричным излучателем. Часть
энерrии, рассеянной целью,
попадает в приемник Iрадио
локатора, блаrодаря чему
цель и обнаруживается. Для
харar<теристики цели как
вторичноrо излучателя BBO
дЯТ в рассмотрение та'к Ha
зываемую эффективную пло
ща,дь рассеяния цели (ЭПР)
"/ а. Этот 'Параметр IВВОДИТСЯ
следующим образом. Поле
рассеяния цели уподобляют
полю Iвоображаемоrо нена-
правленноrо излучателя,
мощность J<oтoporo равна
а5 ц и создающеrо в месте расположения IприемнИ'ка pa
диолокатора такую же плотность мощности 5 n , 'KarK и
цель, т. е.
Рис. 1.35. К определению M-
ксимальноЙ дальности деи-
ствия радиолокации в свобод
ном пространстве.
72
(1.124)
5 аSц
11 === 4 ..........
п'
(1. 1 25)

Следовательно, ЭПР цели по определению есть величина
а === 41tr 2 n . (1.126)
ц .1
т. е. эффективная площадь рассеяния цели а есть OTHO
шение мощности излучения ненаправленноеtJ излучателя,
создающеео в месте расположения приемноео устройства
такую же плотность мощности, как и реальная цель,
к плотности мощности радиолокатора в месте располо
жения цели. Эта величина 'в предположении, что разме
ры цел.и значительно меньше рас,стояния " зависит
только от направления, т. е. ракурса цели, и не зави,сит
от r и может резко изменяться с изменением на'правле
ния облучения цел.и. ЭПР цели большей ча,стью опреде
ляется эк,спериментально по измеренным величинам,
фиrурирующим в правой части формулы (1.126), так как
"ее вычислние весьма трудоемке. Вел,ИЧIИНУ а леrко 'BЫ
числить только для простейших rеометрических тел.
Так, для шара, как видно из формулы (1.108),
н 2 а '
A з От 2
а === "t.'nr 2 === 'll:a ,
4r ' H Om
( 1.127)
'т. е. равно сечению шара.
Для диска, как следует из формулы (1.103),
 J (ka sln 6)
а === %а:! [sln l 6 . (1.128)
Мощность обратноrо рас.сеяния цели,
на вход приемн,и,ка ради'олокатора, равна
 A  oPGA-фф
.Pfl 8fI (4пr l )1 .
попадающая
(1.129)
Обычно передача и прием осущеСТВ,'1яется одной и той
же антенной. Поэтому
А2а
А ЭФФ ===41;===А эфф Р:t(&, ер) (1.130)
и, следовательно.
Р  оРG m АвффF6 (6, ,)
n  (4пr l )1 .
(1.131)
Это Iсоотношение называется уравнением радиолокации.
Для получения мак,симальной дальности действия 'в He
73

котором направлении ,следует в последнем уравнении
положить, что 
р n == р nмин.
Тоrда
р  tJРG m А ефф F4. (6. 'f)
n МИВ  (4п,)1 '
( 1 . 132)
откуда
'... == ' т (&, ) == 1/ GmАФ; 1 F (&, ).
У n ..в. 1t
( 1.133)
Максимально возмож'ную дальность действия полу
чим, если ,совмест,им лаправление максимума излучения
антенны с направлением на цель
 == ..4/ Ра mАефф m tJ .
r m  r тО .... Р n .... (4п)2
(1.134)
Из этой формулы, в частности, ,следует что максималь
наядальнасть действия радиолокатора пропорциональна
корню четвертой степени ,из мощнос'fИ передатчика. Сле
довательно, изменение мощности передатч,ика радиoQ
локатора приводит к меНl:>шему ,изменению дальности
деЙствия, чем изменение мощности связноrо передат
чика, у KOToporo дальность действия пропорциональна
корню квадратному из мощност,и.
О влиянии изменения РnМИIl можно ,сделать подобный
же вывод, т. е. изменение чувствительност,и приемника,
как и изменение мощносТiИ передатчика, не приводит
к с.ильному изменению дальности.
Дальность деЙствия радиолокатора также ,сравни
тельно мало чувствительна к изменениям величины ЭПР
цели а.
Более эффективно влияет на дальность деЙствия
радиолокатора изменение параметров антенны. Действи
тельно, учитывая (1.130), формулу дальности (1.131)
можно представить в виде
yr PAmtJ
'то== Р д 2 4 .
n .... 1t
(1.135)
Из этоrо выражения видно, что
1/ А-ффт
r тО "" у '
(1.136)
74

т. е. максимальная дальность действия радиолокатора
прямо ПРОПОfЩ,юнальна к.орню KBaapaTHOAty из отноше
ния -эффекти,вной площади антенны к длине волны.
Так как А:Jффт имеет порядок величины rеометриче-
ской площади раскрыва антенны, то видно, что чем
короче волна, тем теХНrИче,ски более просто получить
большие дальности рад.иолокации.
Так как более распространенным пара метром aHTeH
ны я'вляется коэффициент у,силения антенны, то при рас-
четах 'тО вместо формул (1.134) ,или (1.135) чаще поль
зуются формулой
V ро2 л 2 0'
,  т
mo  Рn MBI.I64n
(1. 137)
Пример. При р;;: 1 МВт, От;;: 10", Л==О,1 м, (j;;: 1 м 2 , Рп МIШ;;
;;: 10IЗ ВТ имееrt. r то;;: 270 I<М.
4. Понятие о зоне видимости радиолокационной
станции
Как видно из (1.133) и (1.134), максимальная даль
ность радиолокатора в произвольном направлении равна
'т  'т (t), (r)  , то F (ft, (р). ( 1.138)
Последнее выражение представляет собой ypaBHeHe по
верхност,и в сферической системе координат (, ft, ер
Рис. 1.36. Зона видимости pa
диолокатора в свободном про-
странстве.
с началом координат в месте располоения радиолока-
тора. Эта поверхность делит пространство BOKpyr радио-
локатора на две области: область 1, в которой' цель
с заданной эффективной площадью ра,ссеяния видна, и
область 11, в которой эта цель не видна (рис. 1.36).
Область, в которой цель видна, называется зоной 8uдu
75

мости радиолокационноЙ станции. Нетрудно видеть, что
зта rраничная поверхно,сть относится к семеЙству по
верхностей одинаковых значений напряженност,и поля,
создаваемоrо антенной радиолокатора.
В ,самом деле, ,соrласно формуле (1.115), амплитуда
напряженности поля, создаваемоrо радиолокатором,
равна
Е :== у БОРG.. F ( & )
, , ер.
llоложив Е  Ео:== const, найдем
Ео:== VБOPG: F (&, ер).
r
Тоrда расстояние до ТОЧКiи на поверхности одинаковой
напряженности поля будет
v БОРG m
r (&, ер):== Ео F (&, ер).
( 1 . 1 39)
Если в формулу (1.139) вместо' Е == Ео подставим мак'си
мальную дальность радиолокатора 'то из (1.138),
то Ео примет значение напряженности поля на rранич
ной поверхности зоны видимости:
Erp;] D :== V . (1.140)
то
Пример. При р== 1 МВт, О т == 106., r т ==270 КМ, E rp 3 в==2,87 В/М.
11 \

rЛАВА ВТОРАЯ
ПОЛЕ ИЗЛУЧАТЕЛЕй, ПОДНЯТЫХ НАД ЗЕМЛЕй
 1. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИй.
ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ ПРИ ОТРАЖЕНИИ
Простейшей ,и достаточно адекватной идсализацией
проце.сса распространения радиоволн над реальноЙ зем-
лей является распространение радиоволн над идеальна
проводящей безrраничной плоскостью.
Поэтому мы сначала рассмотрим задачу об опреде-
лении поля. радиоволн, излучаемых источниками, распо
ложенными над идеально проводящей безrраничной
плоскостью, которую для краткости тоже будем назы
.вать землей.
Эта задача решается cTporo с помощью метода зер-
кальных изображений. Рассмотрим, в чем 'состоит суть
метода. Пу.сть в точке О расположен верт.икалыный
диполь rерца и требуется определ.ить ero поле излуче-
ния над землей.
Соrла,сно методу зеркальных изображеяиЙ, 'возму-
щающее деЙствие идеально проводящей плоскости Ta
ково, как если бы оно было вызвано воображаемым
идентичным вертикальным вибратором, помещенным
в точке О', являющейся зерка.RЬНЫМ lизображением точ
кlи О (рис. 2.1 ,а). Так что поле над плоскостью равно
сумме полей реальноrо и. указанноrо воображаемоrо
вибратора. Справедл'и'ВОСТЬ этоrо положения леrко ДOKa
зывается. Для этоrо требуется.. лишь проверить, что сум-
марное поле этих двух ибраторов удовлетворяет тре-
буемому rраничному условию на плоскости: E-с==О.
В этом можно леrко убедиться, если наrлядно предста-
вить себе ход векторных линий Е обоих вибраторов. По
скольку ток воображаемоrо вибратора направлен в ту
же ,сторону, что 'и ток реальноrо вибратора, танrенциаль-
ные ,составляющие Е обоих вибраторов на плоскости
равны по величине и противоположно направлены.
71

Аналоrичным образом можно убедиться в том, что
поле вибратора, rор,изонталыlU расположенноrо над
идеально ПРОВОДЯЩ,ей плоскоЙ землей, равно сумме
полей реальноrо вибратора и eI'o зеркальноrо изобра
жен ия. Однако здесь зеркальное изображение в,ибратчра
отличается от реальноrо тем, что ток направлен противо
положно (ри,с. 2.1,6). Та кже >нетрудн'о видеть, что поле
вибратора, ПРОИЗI30ЛЬНЫМ образом расположенноrо над
А
А
з
?t
а;
]
о)
ij//////Д::::://-
 з
.(J)
Рис. 2.1. К объяснению метода эеРI<ЗЛЬНЫХ изображениЙ.
идеально проводящей плоской землей, равно сумме
полей реальноrо вибратора и ero зеркальноrо изображе
ния (рис. 2.1 ,в). Таким обрэ-ом ,суть метода зеркальных
изображений сформулирована. .однако имея в виду
обоснование ра,ссматриваемых в дальнейшем прибли
женных методов нахождения поля радиоволн, распро
страняющих,ся и над реальной землей, мы приведем
здесь и математические выкладки, ,относящиеся к MeTO
ду зер'кальных изображений.
При этом будем исходить из общей формулы (1.15).
Поверхность S можно ,считать состоящей из плоскости
So, совпадающей с поверхностью земли, и полусферы Soo,
проведен:ной ,в 'в,оздухе (ри,с. 2.2). Однако устремляя
радиу,с полусферы к бесконечности, избавляемся от ин.
теrрала по этой полуофере и получаем
1 J е  lkr . 1 f ( дП - д" )
П (А) ==  J ' 4 .. J  dV + ' 4  д f  П ,..-- д dS.
71:(080' , r L 71: п L п
V 500
Здесь ер== ejkrlr, rде r  ра'сс"ояние от "очки наблюде
ния А до ,какойлибо точки над землей и на плоскости So
(рис. 2.2,а). Первое слаrаемое 'с объемным ,интеrралом
определяет собой поле излучателя в точке А в свобод-
78

нам прастранстве при атсутствии земли. Слаrаемае
с поврхностным' ,интеrралам выражает влияние земли
на пале в тачке А.
В связи 'с этим пале, представляемае .объемным инте
rралам, ,называют прямай валнай, а пале, представляе
А
So
а)
0')
Рис. 2.2. К ПОСТЮIOВI(С зздачи об определеНIIИ ПОЛЯ ПОДНЯТЫХ
излучателей.
мае паверхностным интеrралам,  палем отраженнай
валны.
Правую ча,сть выражения для П (А) маж'на предста
ВИТЬ двумя спосабам,и. Есл.и взять вспамаrательную
функцию ер в виде (1.57), та палучим
П(А) ==  ) J e/kr. dV +  r J e/krl dV +
j4'lt(D8.'. /4'ltШВjI J '.
v v
+ 1 j дП е  J""
 dS
2п дп, .
80
(2. 1 )
Если же ВЗЯТЬ функцию ер в виде (1.56), та будем ,иметь
1 ) е  /kr l
П (А)== 4 JdV
/ 'ltШВ а '.
v
1 S е  /kr. 1 5 д е  J"r
 JdV ПdS
/4'lt<D8. '. 2п дп .., ,
v . 80
(2.2)
rде '1 ,и '2  расстаян,ия ат тачки наблюдения А и ее
зеркаЛbJнаrа (изабражения да какайлиба тачки, распа
лажrннай над пл.аскастью или на ,самай пласкасти So
(рис. 2.2,6). Втараму слаrаемаму с абъемным интеrра
79

лом справа в (2.1) и (2.2) можно придать ,следующ.ий
смысл. Пусть точка О'  зеркаJlьное изображение точ
КlI О (РllС. 2.1). Таl\.как ДJIl1на отрезка О'А в точности
равна '2, то эт,и вторые слаrаемые можно трактовать
как векторы rерца 'воображаемых. .излучателей, распо
ложенных в точке О'.
Соотношения (2.1), (2.2) .справедливы дл51 земли
с произвольными электрическими параметрами. Их Ma
темат.ический ''Смысл  интеrральные уравнения для
определения неиз,вестном векторной функции ". Эти
урзвнен.ия решаются cTporo для ,идеально проводящей
земли. Физический 'смысл этих решений и привод,ит
К методу зеркальных изображений.
В самом деле, как было показано, слаrаемые 'с объ
емными ,интеrралами мы можем интерпретировать как
векторы rерца "1 и "2 реалыlrоo вибратора ,и ero зер
каЛЫIOrо ,изображения. '
Если вибратор вертикаль'ный, то на плоскости 80
дО.  дО. дП д(О.+П.) o
дi1  дп ' т. е. дп == дп
и решением здесь является выражение
П ( А ) == S J е/krl dv +  J J е/krl dV. 3
J47t6>8 a '. J47t(oB a '. (2. )
v
Если вибратор rоризонтальный, то 'на плоскО'сти 80
"1 == "2, т. е. "=="1 + "2== о и решением з..цесь является
выражение
1 J /krl 1  /krl
"(A)== JdV JdV. (2.4)
J47t6>8 a '. J47tf08(1 '.
v
Нетру дно видеть, что в обоих елучаял выполняется rpa-
ничное усл()вие E't === grad't div П + k'd П 't == о. в первом
6J1учае  поскольку П.. == о и д ==.div П == О и вО' вто-
ром случае  поскольку П" === П. + П.== о. Таким обра-
зом, метод зеркальных изображений cfporo обоснован.
Из приведенноrо обоснования ,следует, что к полю
зеркальноrо .изображения реальноrо вибратора можно
также применить принцип rюйrенса  Френеля и, сле-
довательно, все приведенные в  3 rл. 1 соображения
80

о зонах Френеля и о сущесвенном уча,стке ,интеrриро
ваllИЯ на ШlОСJi.О.СТIJ оказываются здесь полностью при
J\lенимыми.
Из IIЗЛОЖШlurо СJlДУТ, что зоны Френеля на OTpa
жающеi'r ПЛОСI\ОСТII MorYT ,быть леrко получены, есл,и
одновременно с зеркальным изображением излучателя
ввест,и в рассмотрение пространственные зоны Френеля
при отражении радиоволн. Эти зоны представляют co
бой конфокальные эллипсоиды вращения с фокусами
в точке наблюдения А и в точке зеркальноrо изображе
S(J
O
а)
Рис. 2.3. ЗОНЫ Френеля при отражении.
нии ,излучателя О'. При этом, однако, необходимо иметь
в виду, что введенные таКIИМ образом зоны Френеля
имеют физический смысл лишь в полупространстве над
поверхностью земли. Очевидно, что зоны Френеля на
отражающей плоскости образуются в результате пере
сечения элл,ипсоидов с плоскостью So. Линии пересече
ния  rраницы зон Френеля на плоскост,и  являются
эллипсамм (ри'с. 2.З,а).
Из пр'остых rеометрических соображений (рис. 2.3,6)
следует, что уравнения этих эллипсов MorYT быть запи
са'ны в виде ,
л
Р. +'.  Р.  "===2'
л
Р2 +,  Ро  '0=== 22'
л
.Рn+'n  РО  ,о-==.п 2'
61283
8)

r.l1.e ро  рас-стояние от излучателя до точки rеомеtриче
CKoro отражения; '0  расстонние от 'точки rеометриче
CKoro отражения до очи наблюдения А (рис. 2.3",6).
Найдем положение и размеры ЗОII Френеля [8].
Совместим координатную плоскость ХУ с плоскостью земли.
Ось Z пусть проходит через точку о; точка А лежит в плоскости
Х Z (рис. 2.4), h" и z  высоты поднятия точек О и А соответственно,
А
1
Рис. 2.4. К определению поло
жения и размеров зон Френе-
х ля при отражении.
R  расстояние между проекциями точек О и А на плоскость ХУ.
Torдa
р" == jI" хl + у2 + h 2 , '" == V (R х)1 + у2 + Z2.
Уравнение эллипсов  rраниц зон Френеля 
А пА
р" + r n == ро + r о + п """'2" == d + ""2 == С"'
'" == С"  р".
Возведя в квадрат обе части последнеrо равенства, получим ypaB
нение
Ах. + Ву2 + Сх+ D== О,
rде
А === 4C  4R2 == 4 [(h + Z)2 + пА ( d + п ) ),
в == 4C == 4 ( d + п; ).,
С ==  4R (C  R2 + h 2  Zl) ==  4R[ 2h (h + z) + пА (d + п )}
С2
D==4C2h2(C2R2+h.Z2 ) 14C2 h2 
n n  n 16R2 .
[(ентр эллипса находится иа оси Jr в точке
х! + Х2
хо" == 2 '
rде
Х!,I ==
C+VC24AD
2А
82

Следовательно,
с
х оn ==  2А == R
h (h +- z) +  ( d +  )
пА (d + п ) + (h + Z)I
J
[ Zh 1
==х о 1 + 1 + (h+Z)2
пА (d + п )
(2.5)
rде Хо  расстояние ОТ. проекции точки О на плоскость ХУ ДО точки
rеометрическоrо отражения С.
Из последнеrо выражения DИДНО, Ч'[ о если z>h, центры эллип-
сов смещены относительно точки отражения в сторону ТОЧКИ на-
блюдения; если же z<h, то центры эллипсов смещены относительно
точки отражения в сторону излучателя.
Большая полуось эллипса определяется Dыражением
а n ==
Х 2  ,(,1
2
YC24AC
2А
пА
d+T
х
2[пА (d+) + (h+Z)I]
х 11 пА (d + п ) [пА ( d + 11 ) + 4hZ].
(2.б)
Малая полуось эллипса равна
Ь n == а n {  == aA -v пА ( d + п ) + (h + Z)2 . (2.7)
d+T
Ра,с,смотрим несколько -случаев расположения излу-
чателя и точки наблюдения. При этом приведем данные
только для первых зон с небольшим номером n.
А. Случай h«z (рис. 2.5). Из формул (2.5)  (2.7)
можно получить
Хоп ===Х о (1 + l) ; \
1 . I nAh ( пА ) . (2.8)
а n === sin в V sfn в 1 + 4h in в ; Ь n === а n Sln в,
rде 8  уrол ,скольжения (рис. 2.5). Эти выражения по
казывают, что существенный участок расположен вблизи
излучателя и вытянут в сторону точки наблюдения.
б- 83

trl7
Рис. 2.5. Существенный участок
для отражения в случае h« z.
А
о
°17
..,'
ал
Рис. 2.б. Существенный участок
для отражения в случае h':»,z.
Б. Случай h»z (рис. 2.6)
Х Ап === ХА (] + 2z ll в ); I
(2.9)
1 . / nAz ( пА ) .
а n == sl" 8 V sl" 8 1 + 4z sl" 8 ; Ь" === а n Sln 6.
Из этих выражений видно, что ,существенный участок
расположен вблизи точки наблюдения и вытянут в сто-
рону излучателя.
В. Случай hz (рис. 2.7)
1 V nм. . 1
а n === "SI" 8 (h + z) sl" 8 ; Ь" === а n S1fi 6. (
Хоп  Х Ап ;
(2.1 О)
Следовательно, в этом 'случае центры эллипсов ,совпа-
дают друr 'с друrом и с 1'оч
'f<ой отражения.
Во в,сех pex случаях, как
ноказывают выражения
(2.8) (2.10), с уменьшением
уrла скольжения е эллипсы
все ,более вытяrивают,ся.
Таким образом, из изло-
женноrо следует, что в отра-
жении 'радиоволн от поверх-
.насти земли существенно
Рис. 2.7. Существенный участок учаС1'вует лишь оrраничен-
для отражения в случае kz. ный 'Уча'СТОК1поверхности зем-
е4
О. А
' .
I I
I I
 rQ п Aп t

ли, заНИ1мающий Iнесколько первых зон Френеля и имею
ЩИЙ фqрму эллипса. Если этот участок достаточно пло
ский, ровный 'и однородный, то можно всю поверхност
земли рассматривать как ровную однородную безrра-
ничную плоскость.
t 2. УЧАСТОК ПОВЕРХНОСТИ, СУЩЕСТВЕННЫЯ
ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
При ориентировочных расчетах на практике, в ча,ст-
ности в радиолокаlЩrИ, пр.ин'Имают, что существенный
участок для отражения совпадает 'с первой зоной. Фре
неля, ПО..lожение и размер которой даются формулами
х о \ . хо (1 + 2hsn6 ); хо  tg h 6 ; I
' (2.11)
2 h  .
2а,  51" в ! 51" в (1 + 4h ,1" в ); 21"  2'Z,ln О.
в связи с этим интересно выяснить, какпва роль различ
ных участков первой зоны Френеля в отражении падаIO
щей ВОЛНbI. Соrласно изложенному в предыдущем пара-
rрафе поле отраженной волны, в случае, если излуча
телем Я!Jляет,ся элементарный вибратор, может быть
представлено вектором rерца [формула (1.63)]
П (A)  j  C r e/k (p+r) ( ) d8
 cos п, r .
, . р'
s.
rде
с === 1 т11 j4rtШ8 в ,
80  пло,скость земл.и; р  раССТОЯН1ие от ,излучателя или
ero зеркальноrо изображения до текущей точки на пло
скости 80; r  ра,сстоя'ние от точки наблюдения до той
же текущей точк,и н а плоскости.
В радиолокационной практике 'наибольший 'ин'терес
представляют малые уrлы возвышения 8 инебольшие
высоты h подняТtия' .излучателя по сравнению с высотой z
точки набюдения. Ввиду _ этоrо анализ поверхностноrо
интеJ1рала IB (1.<63) будем пр'оизводить для случая
h«z«R,
(2.12 )
85

rде R  расстояние по rоризонталн между корреспонди
рующими пуш<тами (рис. 2.8).
При этих у.СЛО.6иях первая ЗОllа Френеля пр,имыкает
к 'излучатедю и весьма вытянута в ,сторону точки rla-
блюдения, причем длина большой оси эллипса 2аl зоны
х
Рис. 2,8. К oцeНI<e роли различ-
IIЫХ УlJасТl\ОВ nepBoil зоны Фре-
неля В отра>i<ении ВОЛIIЫ.
значителыно мньше ра'С'стояния R и значительно больше
вь!соты подъема излучателя, т. е.
/1,« 2а1 IR. (2.13)
В силу BToporo неравенства (2.13) в подынтеrраль
ном выражении (1.63) в пределах всей первой ЗОIIЫ
имеем
lfr l/ro; cos (п, r) cos (п, ro) ==sil1 е.
При учете этих приближенных равенств формулу (1.63),
соrласно методу стационарной фазы, можно представить
в виде
_ j e/k (Fo+ro) ) e/k (p+rporo)
П(А)"Т"""Сsin8 + dS. (2.14)
f\ Ро r о Р
в дальнейшем при выполнении интеrрирования
в (2.14) будем считать, что координатная плоскость XZ
совпадает с плоскостью падения, а ось Z проходит через
излуча тель.
Поскольку эллипс первой 'зоны весьма вытянут, то
в пределах почт,и всей зоны имеют место неравеНС1'ва
у«х, h«x. ,Поэтому в знаменателе подынтеrральноrо
выражения можно .считать, что px, а в фазвом мно-
жителе
Pv Xa+ha +y2Vx2+ha Vl + ,1(;2h2 
V 2 ( у2 ) у'
 х 2 +h 1 + 2(,1(;2 +h2)  х+ 2х .
86

Далее, учитывая не равенства (.12)  (2.13), имеем
I
, . V(R  ху + у:!. + Z2  R  х + 2 (R  х) 
Zl Z2
 R x + 2R + 2R2 X ,
ро + 'o VR 2 +(z +h)1  R+ ;; '
уl Z2 1. 2 у2.
P+'Po 'o  2X+ 2R2 xTsln 6х+ 2х .
Следовательно,
s e/k (p+;pO+TO) dS =:=;: S S
I ...!. зlо l 8X]...!. уа
2 2 х
е
х
dxdy.
Поскольку эллипс очень вытянут и вклад в интеrрал
участков, лежащих вне эллипса, ничтожно мал, пределы
И'нтеrрирования по у соrлаоно методу стационарной фа
зы берем равными oo -+ 00. В связи 'с этим Iневыполне
ние неравенства у«х 'в небольшой области элл,ипса,
примыкающей к излучателю, не Iимеет ,существенноr,о
зна чення.
Роль различных участк:О'в Iпер'вой зоны Френеля
в отражении Iпадающей 'волны можно ха,раlктеризовать
ве.riичи/ной интеrрала IПО х IПрИ IперемеНlНОМ верхнем
и фИК1ОI'рова'НlЮ.м иижне'м .пределе. В качестве ,послед
HeI"O IВОЗblмем xo, считая, что 'Это 'координата блuжай
шей ,к излучателю точки 'На rранице !первой ,зоны Фре
неля. Из далынейшеrо 'будет 'Видно, что интеrрал Пр'И
изменении Нlижнеrо Iпредела ,меняе-rся медлеНlНО и, сле.
дО'вателbIНО, ,совершаемая IПРИ этом ошибка невели'ка.
Учитывая, что
/...!. уа 
j .. 2 х d  Jl 21tX
е у  'k '
. J
находим, что интеrрал пu х принимает вид
kx
r е I '2 Зlо 1 8
J f'x dx.
87

в этом интеrрале ПРОИЗВОДИМ замену пере-менной под-
становкой
-л а 2
x
  sln 2 в
(2.15)
и вместо интеrрала по х получаем ИIеrрал по и:
r I ; ц 2
J е du.
о
На дальней rранице зоны Френеля
u===u'===sinв у21 . (2.16)
ТаК/им образом, окончательно выражение для век-
тора rерца отраженной волны может быть пре'I.ставлено
в виде
u 11:
V ------: e/k (po+ro) 5 J Т ц l
П (А) === 2JC + е du.
Ро 'о
О
Интеrрал, входящий в последнее ,соотношение, выража
ется через интеrралы Френеля С (и) и S (и):
u J 'иl
J е 2' du:=== C(и)  jS (и) : Фе fЧl == F. (2.17)
о
Отсюда ,следует, что функция, характеризующая роль
различных участков первой зоны Френеля, в отражении
падающей 'Волны может быть приближенно выражена
при выполнении условий (2.12) и (2.13) формулой
u ...1 .!.. "l
Ф (и) === S е 2 du === V С 2 (и) + S2 (и).
О
Orметим, что ,беря верхний предел равным 00, т. е.
выполняя 'интеrрирование по х в пределах от О до 00,
получаем
r J ; ц l . /1
 е du === У 2т
и вектор r,ерца для отраженной волны пр'имет 'свое точ
ное значение
eJle (po+ro)
П (А) === с Ро + '0
88

о
ET  . :=..  JS(ll T= _= ==r: f,!j.J........
 -
lO'5 L  
i \11  \
i . ,
t
O,if
tt '2+ ;:;::: 
I /' ь»
0,2 l1.  \:t
,J' 
,. :;...-' ......"...-
L ..J  0,'"5
,8 0,6 o, ,............ o,2 11  О,ч 0,6 С (ц)'
./ 
L   v
  ....  r
+   v ,

- 

  ш \ -...... о,ч   
'/' 1з
\ \  } 0,6
,  v
r'-..
!.5
(J
Рис. 2.9. Шарнир спирали Корню.
в заключе!I.ие отметим, что комплексный ,интеrрал
Френеля вида
u  J  vl
F==S е 2 dvC(u)C(uo)jS(u)+
и
+ jS(uо)ФеJ. (2.18)
весьма часто фиrурирует в задачах по распространению
радиоволн. Поэтому представляют интерес упрощенные
способы ero вычислен/ия. Амплитуду Ф и .фазу ер прин
ципиально просто определить по С'пирали Корню
(рис. 1.21). Для реализации этой возможност,и удобно
использовать специальное приспособление, которое мож
но наз'вать шарниром спирали Корню. Однако для этоrо
-сама спираль должна быть ыанесена на панел,и в виде
борозды. Указанный шарнир представляет собой KOH
ЯQ

струкцию из линеЙки 'и транспорт,ира. На линейке Ha
несена шкала 'в том же масштабе, что на спирали Корню.
К началу линейки при креплен штифт, с помощью KOTO
poro линеЙка может перемещаться по спирали Корню.
По длине линеЙки также вырезана борозда, вдоль KOTO
рой может перемещаться транспортир при помощи при
крепленноrо к нему штифта.
'Процедура определения Ф(и; ио) и rp(u; ио) 'сводится
соответственно к операциям измерения длины линейкой
и уrла транспорт,иром, устанавливаемым параллельно
оси С (и), по заданным и и ио (рис. 2.9).
 3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРА.ЖЕНИЯ
.. Отражательная трактовка
В Э 1 этоЙ r лавы было исследовано поле диполеЙ,
расположенных над идеалыно проводящей плоскостью.
Полученные равенства (2.3) и (2.4) можно истолковать
следующим образом. Первое слаrаемое в правой части
каждоrо 'из этих равенств представляет собой поле пря
мой волны, а второе слаrаемое  поле .отраженной
вол ны.
На отражающеЙ поверхности оба слаrаемых каждоrо
из выражениЙ (2.3) 'и (2.4) по модулю равны. Это озна
чает, что коэффициент отражения при отражени,и от
идеально проводящей поверхности по м.одулю равен
единице.
Рассмотрим теперь поле диполя, раСПОjlоженноrо над
землей, имеющей произвольные электричесюие парамет
ры. Выражения для поля ,и в этом случае можно полу
чить, решая уравнения (2.1) и (2.2). Однако этот путь
решения задачи 'слишком rромоздок. Поэтому практи
чески для определения поля прибеrают к приближен-
ному мет.оду расчета, сущность KOToporo 'состоит в ,сле
дующем. Считают, что влиян.ие земли может быть
замен.ен.о умн.ожен.н.ым н.а коэффициен.т отражения полем
воображаеМО20 диполя, иден.тичн.О20 с реальн.ым дипo
лсм, помещен.ным в точку зеркальн.О20 изображен.ия пo
следн.е20. При этом в качестве коэффициен.та отражен.ия
берется коэффициен.т отражен.ия плоских волн. от пло
ской земли. О пределах применимости этоrо метода,
называемоrо ,иноrда «отражательной трактовкой», на
основании изложенноr.о, в предыдущем параrрафе м.ожно
90

высказ(\ть слсдующие с()обра,I{СIJ,ШI. Чем J\1Сllьше сущс
ственный .участок .дл'я отражения, тем 'с большим OCHO
ванием в пределах этоrо участка можно сферическую
поверхность земли и сферический фронт падающей вол
ны считать плоск,ими. Следовательно, примен.имость
отражательной трактовки определяется размерами cy
щественноrо участка для отражения. Подробнее .этот
вопрос будет раосмотрен в конце да'Н'ноrо параf'lрафа.
2. Виды поляризации
Из анализа полей вертикальноrо и rоризонтальноrо
диполей, расположенных над поверхностью идеально
проводящей земли, ,следует, что имеется отличие в OTpa
жении радиоволн при различных ориенациях вектора
напряженности поля относительно плоскости земли.
В связи с э1.'им различают два В'ида поляр.изации:
н
Рис. 2.10. ВерпшаЛЬflая п()ля
РIlзаЦIlЯ.
РIIС 2.11. rОрПЗОIlтальная по-
ляризация.
1) вертикальную, 2) rоризонтальную. (Иноrда верти
кальную поляризацию ,называют нормаЛlJНОЙ, а rоризон
тальную  аномальной.)
Верт,икальной называют такую поляризацию, при
которой вектор Е напряженности электричес.коrо поля
лежит в плоскости падения волны (плоскостью падения
называют плоскость, проходящую через напра'вление
падающей волны и нормаль к rраничной щ)верхности),
а вектор Н 'напряженности маrнитноrо пол'я лерпеIlДИ
кулярен этой плоскости (р,ис. 2.10). rоризонтальной Ha
зывают поляризацию, при которой вектор Н лежит
в пл-оскост,и падения, а вектор Е перпендикулярен этоЙ
ПЛОСКОСТIИ (рис. 2.11). Очевидно, что произвольную поля
ризацию можно свести к 'этим двум видам поляризаци,и.
91

3. Законы отражения и преломления плоских волн
При выводе формул для коэффициентов отражения
плоских волн предп'олаrаеrся, что отраженная и прслом
ленная волны, как и падащая, являются плоск,ими.
Напряженно,сть электриче,скоrо поля плоскоЙ волны
представляется выражением .
Е  Ете/ (wtkr); (2.19)
напряженность маrНrитноrо поля плоской в-олны COOTBeT
ственно равна
Н  Нте/ (wtkr) ,
rде r  расстояние вдоль направления раСПРОСТ[Jанения;
k  ш V ....а е ' а  постоянная распространения; е' a  Еа 
. а
 J (;)  комплексная диэлектрическая проницаеlV:t1СТЬ;
,
Рис. 2.12. Ориентация векторов
плоскоil волны.
Еа  диэлектрическая проницаемость; а  проводимость.
При этом
н  у е' а/....аЕ .
Ор,иентация векторов указана на рис. 2.12.
Плоские электромаrнитные волны в непроводящеи
среде (а== О) и в проводящей среде (а*О) изображены
соответ,ственно на рис. 2.13 и 2.14.
В непроводящей среде 'векторы Е и Н колеблются
в фазе и амплитуда поля с рас.стоянием не убывает.
В 'среде 'с проводимостью имеет место уменьшение ампли
туды электромаrнитной волны с рас,стоянием lизза по
rлощения, и появляется сдвиr фаз между Е и Н
(рис. 2.14). Дл я дальнейшеrо следует иметь в виду, что
постояН'ная распространения не скалярная величина,
а векторная, волновой вектор. Направление этоrо век-
Т'ора совпадает 'с направлением нормали n к фронту
волны. Действительно, как видно из рис. 2.15, уравнение
плоскости равных фаз таково:
nr ==,const.
92

Е
Рис. 2.13. Плоская ВОЛJII:а в непро-
водящей среде.
Е
Рис. 2.14. Плоская волна в про-
водяuцей среде.
.Поэтому вме.сто (2.19) можно записать
Е  Е I «(J)tknr)  Е J «(J)tkr)
 те  те ,
rде волновой вектор k == kn. Следовательно, векторы на-
пряженностей электрическоrо поля рассматриваемых
здесь воля MorYT быть представлены в виде
Е Е I «(J)tklnir)
i == mi e  ДЛ>l падающей волны,
Е  Е I «(J)tklnRr)
R  тR e  для отраженной волны,
}
I
J
Е Е j «(J)tklnrr) I
r == mr e  ДЛI1 преломленной волны, J
(2.20)
kl  W1l/, k 2 ==w V ;7.
. r йl йl Йl аl
(2.21 )
Аналоrичным образом представляются векторы маrнит-
I1oro поля Н. Направлении распространения этих волн
Рис. 2.15. ПЛОСI<ОСТЬ равных
фаз.
Hi
z
х
Рис. 2.16. К определению зако-
нов отражения и преломления
ПЛОСIИХ BOJlH.
показаlIЫ :на рис. 2.16, rде lизображена также rраница
раздела обеих [сред  ось Х.
Задача об отражении и преломлении плоских волн
формулируется следующ,им образом: задана амплитуда
93

напряженности E тi (или H mi ) поля падающей воЛНЫ и
направление ее распространения Пi (или уrол падения
qJi), требуется определить а,мплитуды 1I10ЛЯ E mR (или
H mR ) 'и Етт (или Нтт) .'Отраженной 1И преломлеllНОЙ волн,
а также направление ,их распространения ПR и П r (или
уrол .отражения qJR и уrол преломления 'Ф).
Для Toro чтобы наЙти эти величины, нет необходи
мости решать уравнения Максвелла, ,ибо, принимая
поля в виде плоских волн с заданными постоянными
распространения, мы тем ,самым уже удовеТВОРIИЛИ
уравнениям Максвелла. Остается только удовлетворить
rраничным у,словиям на поверхности земли:
н H
I 
(2.22)
 равенство танrенциальных ,составляющих напряжен
ности маrнитноrо поля,
Jlla H nl == Jl2a H n2
(2.23)
 равенство норм-альных составляющих маrнитной ин
дукции,
EI  E (2.24)
 равенство танrенциальных составляющих напряжен
нос'ти электр,ическоrо поля;
е'lа Е n1 == е'2а Е n2
(2.25)
равенство, которое вытекает из уравнения Максвелла
div(e'a E ) ==р,
коrда р == о; при cr == О оно превращает,ся D равенство HOp
мальных ,составляющих электриче,скоЙ индукции на по
'I'ерхности земли.
Следует отметить, что выполнение первой пары pa
венств (2.22) и (2.23) автоматически влечет за собоЙ
выполнение второй пары равенств (2.24) и (2.25) и Ha
оборот; выполнение равенств (2.22) и (2.24) автомати
чески влечет за собой выполнение равенств (2.23)
и (2.25) и наоборот. Поэтому достаточным IВляется
ИСПОЛЬЗОDание какойлибо одноЙ из указанных пар rpa
ничных условиЙ. При изучении отражения и преломле
ния rОРllзонтально поляризоваIlноii волны целесообразно
требовать выполения равенств (2.22) 11 (2.23), а при
IIзучении отражения и преломления вертикально поля
4

ризованной волны целесообразно требовать выполнения
равеаств (2.24) IIr" (2.25). Подставив выражен'ия для
полей .в какоел.ибо из rраничных условий (2.22)  (2.25),
можно непосреДСТПе'НIlО получить фор'мулировку законов
отражения ,и преломления. Подставим, например, выра-
жение для полей (2.20) в (2.24), тоrда для rраницы
раздела находим соотношение El + ER === E,, т. е.
Е /lnir + Е /klnRr  Е /klnrr
тl е тRe  т,e ·
Это соотношение должно 'выполняться для любой точки
rраничной ПЛОСКОС'Dи, что может иметь место тоrда и
только тоrда, коrда выполняются равенства
k1nir == 'k 1 nRr == k 2 n r r.
УЧ1итывая, что IHa этой 'Плос'к'ости, rде nr==O, ("  нор-
маль к плоскости),
I
r(n, ") ==r==n(n, r)[n, [п, r]]==[n, {п, rn,
можем написать
k 1 n 1 ,[n, [п, r]]==k 1 nR[n, [п, r]]==kz[n, I[n, r]]n r .
Произведя циклическую перестановку векторов, нахо-
д.им
k 1 {ni, п](п, r]== k 1 [nR, "][п, r] ==Ikd:nr, пПп, r]. (2.26)
Имея в виду, что вектор [п, r] произвольный как по
величине, так и по направлению, получаем
k 1 (ni, "] == k 1 [nR, "] == k2fn r , п].
Эти равенства прежде B,cero означают, что лучи падаю-
щий, отраженный и преломленный лежат в одной Iи той
же плоскости  плоскости падения.
Далее, из первоrо равенства следует, чт'о
[ni, "] ==1[nR, п),
т. е.
sin (nCPi) == sin CPR
или
sin q:Ji == sin qJR.
Откуда. -получаем закон 01'ражеН I ИЯ
q>i == СРл ==<р
(2.27)
95

 уrол отражсн,ия равен уrлу падения. Отражение, при
КО1'ором спра'ведли'в этот закон, называется зеркалыным.
Второе равенство'
k.[Пi, п]==k2fп r , п]
может бы rb записано в виде
k. sin ЧJ,==k 2 sin 'Ф.
(2.28)
Последнее paBeHC'fBO при 0'. == 0'2== О являете я формули
ровкой закона Iпреломления Снеллиуса. ДеЙC'tВ'ителыно,
в этом случае Иlмеем
  (J)
k 1  Ш V...oe o V"'lel ===  п 1 ,
с
l .  (J)
k'!,  ш ,., ...ое о V...зеа === с п 2 ,
(2.29)
r де ... == "'а/"'о, е == са/е о  относительные маrнитная и ди
электрическая проницаемости; 1 /v ...ое о === С  скорость
света в вакууме; п 1 === V "'l е l ' п 2  V "'2е2 покаэатели пре-
ломления обеих сред относительно вакуума и, следова-
тельно,
sin If  k 2  п 2
sin Ф  k;п;.
(2.30)
Если I == О, а 2 =1= О, то
k (О. . )
2==с{п'!,  1"1.2
(2.31)
- комплек,сная величина, rде показател,и преломления
и поrлощения п2 и Х2 'соответственно равны
1l, V (v.; +'1; +', ).
z,  V ' (V.; + '1;  .,). '1,  601".
В этом случае, как видно НЗ (2.28), уrол ф==фr+jф2
комплеl<сная величина.
C)fi
(2.32)

Выя,сн,им физический смысл последней. Для этоrо
введем систему кординат Х, z, причем начало поместим
в точку падения. Ось Z направим во втоrую среду пер-
пендикулярно rранице раздела .сред, а ось Х  напра-
вим вдоль rраницы (рис. 2.17). Тоrда раостоя-ние f вдоль
Рис. 2.17. I-Iеоднородная пло
С!{.]Я волна.
z
lIаl1равлеlI,ИЯ раснространения преломленной волны
можно предстаDИТЬ ФОРМУЛОЙ
(==Х sin '1' +z COS '1'.
Учитывая закон Снеллиуса, имеем
k 2 f === k 2 x sin  + k 2 z cos 0/ === xk 1 sin  +.
+ z V k  k sin2.
Так как k 2 комплексно, то V k  k 1 sin2 === а  jb тоже
комплексно и напряженность поля преломленной в()лны
будет
Е  Е L% / (wtkl,sin cpxa%)
т  mze е .
Вид.им, что плоскость равных амплитуд, определяемая
уравнен,ием
bz==.const,
и ПЛОскосrь равных фаз, определяемая уравнением
k sin ер. x+az== const,
llC совпадают (рис. 2.17).
СледователыlO, D рассматриваемом СJIучае (02=FO)
преJIомленнан IIлоская волна является неоднородной.
В этом Смысл комплексности уrла '1'. Проследим, как
меняется характер преломления с изменением 0'2.
7128 97

Как ,следует из закона Снеллу.аса (2.28) и -из фор
мулы (2.31),
sin  == sin (lfl + j1f2) == sin Ifl Clllf:! + j cos Ifl Sl11f2 ==
 k l sin ер  n sfn  (Il 2 + jX2)
 ,
ka  n + x
т. е.
. ,1, 1 ,11 n. sin n2
SIn ТI (' 1 ТЗ == 2 2 .
1z2 + "1.2
Из Э'JIоrо выражения видно, что при a2OO правая
часть ,стремиться 'к нулю ,и поскольку ch '1'2 ни при каком
значении '1'2 не принимает значения нуль, то, следова
тельно, 'Ф1О. Таким образом, при a2OO плоскость
рав-ных фаз стремит,ся совпасть (' плоскостью ра'вных
амплитуд, т. е. стремится стать параллельной поверхно-
ст,и .земли. Одновременно r луБИJlа п РОIlикновеIIИЯ в зем-
лю стремитсq к нулю.
4. Коэффициент отражения при rОРИЗ0нтальной
поляризаци
Рас.смотрим сначала отражение при rоризонталыroII
поляризации. При этом для напряженности маrнитноrо
поля цеесообразно воспоьзоваться первой парой [ра-
ниЧ'ных условий (2.22) и (2.23). Учитывая (2.27) и (2.28),
эта пара rраничных условий запи шется в виде
r k 2 I
(Н i  Н R) cos ер == Н r V 1   sin 2 ер,
k 2
f.L1Q (Н i + Н R) sin ер == f.L2Q :21 Н r sin ер,
(2.33)
так как
Н . e/ wt == Н. == Н 4"COS ер.
тL'I; ''1;.,
Н Iwt  Н
mR'I;e   R COS ер и т. д.
Введем теперь отношения:
Н R! Н i == Rr
коэффициент о'!'ражения при rоризонтальной
за ции;
(2.34)
поляри-
Hr/Hi == rr
(2.35)
98

 коэффициеli:r... преломления при rоризонтальной поЛй
ризации. Оба коэффициента называются коэффициента-
ми Френеля.
Решая (2.33) отнооительно Rr и '1'] получаем
. v 2 2
fJo2akl COS If  Р'lа k 2  k( 51п 2 If
ят==
fJo2a k l С05 If + fJola V k  ki 51112 If
V 2 2
fJo2a 51п 6  fJola k 2  k 1 С05 2 6
== V 2 Z ·
fJo2a 51п 6 + fJola k 2  k 1 С05 2 6
(2.36)
п
rде 6 ==т  ер  уrол скольжения.
Выражения для Iкоэффициента Iпреломления 'r приво
дить не будем, так как в I1рактике распространения
радиоволн с коэффициентом преломления приход,ится
иметь дело очень редко.
Коэффициент отражения R rJ как нетрудно видеть,
является, вообще rоворя, величиной комплексной:
j
Rr == I Rr I е r,
(2.
rде Rr  модуль коэффициента отражения; r  apry-
мент коэффициента отражения.
Комплексность коэффициента отражения означает,
что при отражении волны имеет место изменение фаЗbI
колебаний на уrол r. ДеЙствительно,
Н  Н ' Я  H . я 1«(J)tklnRrr)
R  t r  тж r e .
(2.38)
Для воздуха ,МОЖ I НО положить а1 == О, Jl1a == 1-10,
для земли в ,большинстве 'случаев Jl2a== Jlo.
Ввиду этоrо выражение дл я Rr уп рощается:
R  51п в  у в'  С05 2 6
r ,
51п в + V 8'  С05 1 6
В1а == ВО;
(2.39)
rд
, 8 2а . а I . 60 .
а == J ==в  J А.о==в  J1j
80 .6)80
 относительная комплексная диэлектр,ическая прони-
цаемость.
7. 99

[(ак видн'о ИЗ формулы (2.39), коэффициент отраж-
ния зависит от уrла ,скольжения е. Он также зависит от
длины волны н пар'аметров почвы, точнее, от соотноше
ния Meдy е и веЛИLJIIНОn 60ла==f). Величина е/ч пред-
ставляет собой отношение тока смещеnия к току про
водимости.
Проанал,изируем коэффициент отражения для трех
видов почв:
а) боо.а«s (почва  диэлектрик);
б) бол'а,g (почва  полупроводни.к);
в) 60л'а»е (почва  проводник) .
Для Toro чтобы иметь ориентировоч.ные данные
о за'висИ'мости СiВоЙств xapaKTeplHbIx 'почв от длИ/ны
ВОЛIНЫ, IПр'и:ведем ,следующую таБЛ1ИЦУ:
Почва
I Свойства почвы
Диэлектрик I ПОЛУПРО80ДИИК I ПРОВОДШlк
Сухая земля
См
o==10.M' .==10
л < 4 м 4 м<л<400 м л>400 м
Морская вода
См
(J == 4 м' . == 80
л < 3 см
3 см<л<3 м
л>3 м
а) ,60ла«,е (почва  диэлектрик).
В этом случае коэффициент отражен ия
R  sln в  У.  cos 2 в
r  sln в + у.  cos l в
вещественен, причем для в.сех уrлов ,скольжения е Rr<O,
'н В нуль не обращается ни при каких значениях е. Это
следует ,из Toro, что для всех почв E 1> О, .и поэтому
чи,слитель в формуле (2.34) нсеrда отрицателен. XapaK
терные значения Rr:
Rr==1
(2.40)
при Н == О,
Y8 1 п
П р и в  .
Уа + 1 2
rрафики модуля IКОЭффИЦИeJнта отражения для ,разных Е
изображены на рис. 2.18, aprY,MeJHT 'r 'равен л -при в'сех е.
б) 60ла Е (почва  полупроводник).
100
Rr==

fi r Gz
iRrl /Rrl 6,
4 f n 6J=0
,
6; 6; 
G,>6z
8 3( 80 :;
О л .0 .7r
....2 2 2'
Рис. 2.18. Кривые модуля КОiффициента отражения IRrl в случае
60ал <: е.
.Рис. 2.19. Кривые модуля КОiффициентов отражения IRrl в случае
60а,л.::::: е.
Рис. 2.20. Кривые aprYMeHTa коэффициента отражения pr В случаt
6Оал:::::е при Gl>G'2,
Коэффициент отражения в этом случае является
комплексным. rрафики модуля .и aprYMeHTa коэффи
циента отражения приведены на рис. 2.19 и 2.20.
в) 60ЛQ'lе (почва  проводник) .
В этом ,случае коэффициент отражения для всех
уrлов равен RrI, т. е. вся электромаrнитная энерrня,
падающая на землю, отражается.
5. Коэффициент отражения при вертикальной
поляризации
Ориентация векторов здесь будет такой, как это по
казано 'на рис. 2.21. Коэффициент отражения (коэффи
циент Френеля) в этом ,случае определяется отношением
RB==ER/Ei.
(2.41 )
Ввиду аIlал"оrии в постановке задачи отражения рад,ио
волн при вертикальноЙ и rоризонтальной поляризациях
можно сразу написать выражение для коэффициента
отражения Rn, если в выражении (2.36): для 'Rl' замеllИТЬ
fl2a на е'2а он !lfa на e'fa. .-
Таким образом, получаем
k' . е ' V k 2 k 2 2 е .
R B == 18 2а S1П  8 1а 2  I COS == IRBI eI.. (2.42)
k 1 8'2a sin е  8'lа Vk  k cos 2 е
101

Для воздуха (111 == О, 1-'-111 == 1-'-0 и S lll  во, 1-'-211 == 1-'-0)
. 8' sln В  У 8'  cos 2 В
R B ==::  .
8' sln в + Уа' COS2 В
(2.43)
Произведем анализ выражения (2.43).
а) 60/v<1«e (почва  диэлектрик)
Рис. 2.21. К определению
коэффициента отражения при
вертикальной поляризации.
в этом случае коэффициент отражен ия
R  8 sin В  У 8  cos 2 В
В  в sin В + V в  cos 2 6
(2.44 )
вещеСl"вен.
Нетрудно видеть, что R.B в этом случае может быть
как мньше, так и больше нуля. Действительно,
RB==l<O при 8==0
и
8 у;- Y;- 1 
R B == Y == V > о при вT.
8+ в в+1
Следовательно, при KaKOMTO 8 == 80 коэффициент OTpa
жения RB==O.
Уrол, при котором RB==O' называется уrлом полноrо
преломления (уrол Брюстера).
Найдем уrол полноrо преломленип. R B равн() нулю,
коrда числитель в выраже нии (2.44) ранен нулю, т. е.
в sin во  Vs  cos 2 60 === О,
отку да
. II 1
stn и о == V. .
8+1
(2.45 )
102

Каков физический смысл равенства нулю КОЭффlIЦИ
ента отражения!t..
При Яв==О отсутствует отражение и вся электромаr-
нитная энерrия при уrле полноrо преломления проходит
в землю, не отражаясь от нее. Здесь имеем явление,
аналоrичное соrласованию в длинных линиях.
В самом деле, распространение плоской волны в од-
нородной неорrанической среде полностью аналоrично
распространению волны в длинной линии, если направ
ление распространения плоской волны считать аналоrич
HbIM нанравлению +>аспространения волны в линии, а OT
ношение напряженности электрическоrо поля к напря
женности маrнитноrо поля плоской волны, равное'
Е/Н === V P-a/€a ,
уподобить волновому сопротивлению линии.
При наличии же двух сред, разделенных плоской rpa
ницей, распространение плоских волн в этих средах 1\10-
жет быть соответственно уподоблено. распространению
волн в двух последовательно соединенных линиях с раз
личными волновыми сопротивлениями. Для этоrо Ha
правление, перпендикулярное rранице раздела и обра
зующее острый уrол с направлением распространения
падающей волны, следует рассматривать как направле-
IIие распространения прямой. волны в линии. Отношение
танrенциальных составляющих электрическоrо и маrнит-
Horo полей для каждой волны в каждой среде следует
рассматривать как волновые сопротивления этих сред.
Определяя волновые сопротивления таким образом, по
лучаем различные результаты для' вертикальной и ro
ризонтальной поляризаций.
Соответственно изложенному в случае вертикальной
поляризации волновое сопротивление для падающей вол
вы равно
Z Et sl" е У . I-Lla . tI
1 === Н  Slnu,
t 8 1а
а для прелОМJIенной волны 
Z 2 === Es Ф ===  cos Ф === V :: х
х '1/ 1  k cosl.8.
У k .
103

/Rel
,
о 801 802
к 8
2'
"НС. 2.22. Кривые модуля
КОЭффlщиеIlта отражения I'RB I
в случае БОал  е.
.fЭ.,
ro:п
JIЩв
"2
Рис. 2.23. Кривые aprYMeHTa
коэффициента отражения Рв
в случае БОа'л8.
Коэффициент отра"кеНИfl длинной линии, который обоз-
ыачим буквой Р, равен
Р::::= 22  2\
22 + 2\
-. f {.J. 1a sin е  · / {..I.2a J/
JI Е\а " Е 2а 'у
1 f {..I.\a sin е + · / (..I.2a "11 f
r Е\а V Е 2а V
k 2
I
1  2 cos 2 е
k 2
k 2
I
1   cos 2 е
k 2
!2ak\ sln е  Е\а V k  k cos. е
,  RB*)'
E2ak\ sin е + Е\а V k  k cos 2 е
Поскольку при уrле полноrо преломления имеет Me
СТ0 равенство волновых сопротивлений Z2==,Z1, т. е. име
ет место 'соrласование сред, то числитель коэффици€:нта
отражения равен нулю и отражения не существует.
rрафики зависимости IRB I и B от уrла скольжения
приведены на рис. 2.22 и 2.23.
б) 60AO'le (почва  полупроводник).
В этом случае характер изменения RD и D В зависи
мости от уrла е такоЙ же, как в случае диэлектрическоЙ
почвы, но I:RB I в нуль ниrде не обращается, т. е. уrла
полноrо преломления не существует; существует уrол,
l'де I RB I принимает наименьшее значение. rрафики MO
дуля и aprYMeHTa RB приведеНbl на рис. 2.24 и 2.25.
*) Отличие в знаl<е связано с выбором направления вектора E
на рис. 2.21 щ'!И выводе фОРМУJIЫ для RlI'
104

Ав
1[
Рис. 2.24. Кривые модуля
коэффициеllта отражения I R n I
в случае 601'J'Л"'=' f.
8
7l
1
Рис. 2.25. Кривые aprYMeHTtI
I<оэффиuиента отражения B
в случаli 60t1л:::::е.
о
в) 60л'а»g (почва  прс>воднИI<).
В этом СЛУ1iае для всех уrлов RB 1; вся электро
маrНlIтная энерrия, падающая на землю, отражается.
6. Сравнение отражения радиоволн при различных
видах поляризации
Для сравнения на рис. 2.26 и 2.27 изображены зави
симости модулей и aprYMeHToB коэффициентов отраже
ния Rr и Rn для одной  той же «полупроводящей» поч
./3r
:J(
1[11
Т
Рис. 2.26. Сравнение модулей
коэффициентов отражения.
о
о
Рис. 2.27. равнение aprYMeH-
тов коффициентов отражения.
вы. Как видно из рис. 2.26, при уrлах скольжения 6==0
и 8 == п/2 модули коэффициентов отражения Rr и R B
равны друr друrу. Для всех друrих уrлов скольжения
коэффициент отражения при rоризонтаьной поляриза
ции больше, чем при вертикальной. Это' обстоятельстве
является основной причиной Toro, что в радиолокации
чаще применяют rоризонтальную поляризацию.
Рассмотрим теперь вопрос об ориентации векторов
Е и Н в обоих случаях поляризации при 10'==0. В случае
rоризонтальной поляризации вектор Ин при всех уrлах
8 должен быть направлен противоположно принятому
105

Hl
Е{
Рис. 2.28. Ориентация векторов
отраженноЙ волны при rори
зонтальой поляризации.
Рис. 2.29. Ориентация векторов
поля отраженной волны при Bep
тикальной поляризации в случае
0<80.
ранее ,направлению, так как R1,<0 (r==n) для всех уrлов
скольжения, а изменение фазы на n означает поворот
вектора на 1800 (рис. 2.28). При вертикальной поляри
зации до уrла полноrо преломления (8<80) B<O 11,
следовательно, вектор напранлен  также противополож-
,/'
,/'
"
'/
Рис. 2.30. Полное пре Рис. 2.31. ОриентаЦIIЯ векторов поля
ломление. отраженноЙ волны при вертикальной
ПОJlяризации в случае 8>80.
но ранее предполаrавшемуся направлению (рис. 2.29).
При уrле полноrо преломления (8==80) нет отражения
(рис. 2.30). После уrла полноrо преломления (8)80)
Ei L
н'
r HRL
E R
ER Е,
:1k
Рис. 2.32: Ориентация векторов
подя .при вертикальном паде-
нии.
имеет место такая ориентация векторов, как показано
на рис. 2.31. Из рис. 2.31 и 2.28 видно, что при 8 == л/2
должна получиться такая ориентация BeKTopOB какая
показана на рис. 2.32. Отсюда следует, что при верти
каЛЬНОI\I падении волны нет никакоrо различия между
rоризонтальной и вертикальной поляризациями, как это
и следует из простых физических соображений.
106 '

7. Случ..й произвольной поляризации
Рассмотрим случай произвольной ориентации BeKTO
ров Е и Н падающеЙ волны относительно плоскости па-
дения. В этом случае для Оllределения поля отраженной
BO!lHbI необходимо вектор Ei падающей волны разложить
на составляющую в плоскости падения и составляющую,
перпендикулярную плоскости падения.
Можно полаrать, что падающая волна раскладыва
ется на две волны: вертикально поляризованную с Ha
пряженностыо поля EiD и rоризонтально поляризован
у
Е н
Х
Рис. 2.33. ОриеНПlЦl1Я ВСЮОрОВ
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОII поляршаЦИII
падающеЙ ВОЛlIЫ.
РIIС. 2.34. Поляризация OTpa
ЖСШIOII ВОЛНЫ при ПРОИЗВОЛ!>-
11011 поляризации падающеЙ
DОЛIIЫ.
ную С напряженностью поля E ir . Отраженная волна есть
результат сложения соответствующих отраженных волн
(рис. 2.33). Таким образом, можно записать
Ei == Еiи + Eip
E R == E R8 + E Rr ,
}
(2.46 )
rде ERB==IRBEiD; ERr==RrEir.
Используем прямоуrольную систему координат х, у,
Z, у которой ось Х СOIшадает с направлением вектора
E Rr , ось У  (' 'I1аЩНI I 13JlV'IIИl'М всктора ERD' а ось Z 
с направлением раСllростраlIеllИЯ отраженной волны.
Тоrда, если положить Еж. ==E тi ei(wtkz), ТО получим
E Rx === /Rr/ Eтxcos (ш'  kz  f3r  0/). }
E Ry == IRlIl Ет!/ cos (ш'  kz  B  0/).
(2.47)
в этих формулах 'Ф  фаза колебаний падающей вол-
ны в точке падения.
107

Выражения (2.47) при фиксированном z представля
ют собой уравнение эллипса в пара метрической форме.
В фиксированной Т0чке z конец вектора Е за один пе-
риод описывает эллипс в координатной плоскости ХУ,
т. е. в плоскости, перпендикулярной распространению
радиоволн (рис. 2.34). При отражении от идеально про-
водящ,ей или диэлек"ричеокоЙ IПОЧВ, так ка,к rп == О
или Л, эллипс превращается в линию и мы получаем
линейную поляризацию. Отметим, что при уrле полноrо
преломления отраженная' волна, как бы ни был ориен-
тирован вектор Е падающей волны, всеrда является ro-
ризонтально поляризованной. Поэтому уrол полоrо пре
ломления называется также уrлом полной поляризации.
При отражении от полупроводящих почв, поскольку
разность фаз rп может принимать любые значения
в пределах 0....;-- л, отраженная волна эллиптически поля-
ризована и в частном случае при r'п== л/2. и
IRrlEmx== IRпlЕ ту поляризована по Kpyry.
8. Определение коэффициентов отражения Френеля
по круrовой диаrрамме д..линных линий
(диаrрамме А. Р. 80льперта)
Сущствуют семейства кривых, по которым можно
наЙТII модули и фазы коэффициентов отражения Фре
неля [кривые Берроуза (рис. 2.35)]. Однако эти кривые
рассчйтаны только для отдельных значений диэлектри
ческоЙ проницаемости е. В связи с этим здесь мы по-
кажем, как можно найти модули и фазы коэффициентов
Френеля с помощью круrовой диаrраммы длинных ли-
ний (рис. 2.36) при не слишком малых е.
Для большинства почв диэлектрическая проницае
мость е >4. Поэтому вместо выражений (2.43) и (2.39),
пренебреrая под корнем величиной cos 2 8 по сравнению
с е, мож но принять
8' sln в  j/'-;r
RB 
8' sJn в + у;;
у;; sln в  1
у;; sln в + 1
' IR I f.
== вl е , (2.48)
1
  sln 8  1
R  sln 8  у.' ..... 11.'
r  1 1
.10 8 + , .'  .10 8 + 1
у;Т
/
IRrl е ". (2.49)
]08

аметим, что при уrлах 8==0 и 8==п/2 эти приближенные
формулы даIQJ. такие же значения дЛЯ RB и Rr, что и
точные формулы (2.43) и (2.39). При друrих уrлах воз-
вышения 8 отличие приближенных значений Rи и Rr от
точных будут тем м.еньше, чем больше е.
Так, для уrла Брюстера 80 по (2.48) получаем
sin вo : 1/ув-
вместо точноrо соотношения (2.45).
Введя обозначение n' для комплексноrо показателя
преломления
vs' ===п  j'l.п',
(2.50)
rде
}
(2.51 )
fI, v 1/2 (V +8) ,
Х  V 1/2 (У I:! + ,,2  1)
из формул (2.48) и (2.49) можно получить
, 1 1 + R.
Il  sin в 1  R.'
(2.52)
1  1 1 + RR
7 sin в 1  Rr'
(2.53)
Сопоставляя выражение (2.52} с формулой для входно-
ro сопротивления длинной линии
Z===R+jX==p l 1 + P ,
P
rде р  волновое сопротивление линий и р  коэффи
циент отражения, видим полную аналоrию между р и
l/sin 8; Z и n'; R B и р.
Из соотношения (2.53) следует, что коэфф.ициент от-
ражения Rr эквивалентен коэффицие,l:IТУ отражения RD'
если только величину n' заменить величиной 1/n'. От-
сюда и следует возможность использования диаrраммы
Вольперта для расчета коэффициентов отражения R B и
Rr по заданным n' и sin е. Однако для этоrо необходи-
мо располаrать зависимостями n (8. ,,) и Х (8. 11).
109

IJI nvn /9сУ/ со 411) о)
Co .:t-
со со     
.:). ct) о) 0)0) о)
 t.o{' 1:::)"  .. 1:::)" 1;::)" ... J:::)" ::J" С;)" t;J" t:::I'
  
{ 
)Ii у' 
 101) ....
  -
[J" с:
J 1,  . ...
/t:) ..... 11) 
t:I .....  C\I :::
 10) ::с
s? Q)
.. .. ...... iE
 ...... t:::J" со
r>,j'- о-
10-
 1. О
\ ""
I jЦ
 "1- о
l  !:
. 
\)
fI)  @
, ...... .ё.
'бс::» ...... «::) -&
I! «::)' (1)
о
 .".
 tc)
 .=
" .J  " Q)
1:;
  .
"а- о
 "' ;:g

Il') "" Q)
11  :а
Iu З
N') ......  о..
 ,. «::)... :::G
   I.Q
'""" 
.. \.  LI':>
Q)  м
..... " c\i
" ...
[1 , 
,,\. '"
...... а..
q.. 
"J ......
"'<?- t::)
t:::I'
" со
'\. Q
..... ""
 "
" ....
 f\I ......
 . 
I ..... 
..
110


[ Э.
 1\

ч;
 1\
g,

сь,.
l:



I'\t ,

'-'
....
.
....
:::s

ct)....

\" .
,
It

11

....


"
.:     
... с;:)
t!:l 
....
['
"

1"-.
l'
1"1.
,
I

о.
$lf\... I I I


c\,j
'-
1'-

ОС"\
... 
 ....Q)
:.
"L J ' " \t\
 I 
,  
 

....
\() .::t-
 
c:,.


 
..
 "

'10-
с-...


1.... ;:
I"" t--'
 
.

....'"

"
:!: 
..... ....

'10-
.....
""'-

::.t
Е:: ;:,

f\t
I !
",'

.
....
....

10

ff')
'"
... ....


...........

cs
...

Ii
:::
:I:
Q)
:Е
с'о
о.
1-0
О
tQ
С
1-0
:I:
Q)
:::
::(
:::
.е-
.е-
'"
о
:.:
....
...
'tI ..
IQ
YI

f'r)  
1-0
:I:
(j)
::;;
;.-..
1-0
О.
с'о
сч

.....
_c::r-
'о
1()
4-

Q)
:а
tQ
:::
о.
:::G
\ci
Lf')
с"')

CJ
:::
Q.
It>t

...
co
'о
'«\
.:t-
....
111

Семейства кривых n (е, 1}) и )( (е, 1}), рассчитанныеЛlО
формулам (2.51), приведены на рис. 2.37. Каждая кRи
вая соотпетствует определенному значению 1}, прryчем
кривые с положительным Уl'ЛОМ наклона предстаВ1ЯЮТ
собой функции n(е, 1}), а кривые с отрицательным уrлом
наклона  функции )((е, 1}). Значения n и Х отложены
по rоризонтальной оси. .
Укажем на некоторые особенности применения при
веденной на рис. 2.36 диаrраммы Вольперта для р2сче
Рис. 2.36. Круrовая диаrрамма длинных линий (диаrрамма Боль-
перта) .
та RD и Rr. Так как aprYMeHT B==O при )(==00 на ниж
ней части диаrраммы, то начало отсчета сдвинуто на
1800 относительно начала отсчета входных сопротивле
ний линии. Вместо электрической длины по окружности
по часовой стрелке должен откладываться aprYMeHT ко-
эффициента отражения от О до 2л. Линии постоянных
значений приведенных активных сопротивлений  это
112

 I I \ \ ' I rЛ//''q,/ 'J . I
80  -,    ':"' l.. '1111 \ 1 l .':Т I .
I ('-1
: - +-  I I - - - J\
. J /, I I 1 j i!
J I 'r--
, 1\ I ',!
\ \!;'1 111
\ \//V'T
20 \ \ .р  f     :   щ 
10 '. / \ ,1\ \ l/ I V '  bl u
50
l4J
30
1----
I 
"' s:o   !") 
, rThr
 u  
 

I
о
2
'1 Х G
8 пю
'2 ' /5 18 ztJ 22 ",х.
Рис. 2.37. Семейства кривых показателеи преломления и поrлощеНИR
для различных почв (пара метр 1l==60crJ..}.
линии постоянных значений про изведения n sin 8, линии
постоянных значений приведенных реактивных сопротив
лений  это линии постоянных значений произведения
Х sin 8, пунктирные окружности  ЭТО линии постоянноrо
значения модуля IRB I (или I Rrl). Процедура нахожде
ния R B и Rr сводится к следующему.
Для нахождения IRBI и B:
1. По заданным е и 'У) (по кривым на рис. 2.37) опре-
деляем n и Х.
2. Вычисляем про изведение n sin 8с::, и Х sin 8==х.
3. На диаrрамму Вольперта наносим точку с KOOp
динатами r и х (<<приведенные сопротивления»).
I I k  1
4. Находим: R B == k:+ 1 ,rде kc коффициент стоя
чей волны и aprYMeHT B'
ДЛЯ нахождения I Rr I и r действуем так же, как
указано в пунктах 13. Далее для вычисления обрат
ной величины 1/n' и соответствующих ей «приведенных
сопротивлений» по. линии постоянноrо значения I R B I
относительно " х находи:м диа,метральiНО проти'вополож-
8128З 113

НУЮ точку С координатами r' их'; вычислftем произg.
дения r' sin 2 е == r" и х' sin 2 е == х".
5. Наносим на диа.rрамму длинных линий точку с KO
ординатами r" их".
6. Находим по диаrрамме соответствующие "сопротив
лениям. r" и х" значения
IR I kc  1
r== k c +l и r.
Пример. Пусть отраЖЕ'ние rоризонталыю ПОЛЯРllЗОD<lнноi', DОЛ"Ы
длиной Л 10 м происходит от почвы с параметрами
См
8== 10, 0== 102 М И 6 == 10°.
Имеем siп 80,174, fl60 .0,01.10==6.
1) Для этоrо ЭII ачения fl по рис. 2.37 находим n  3,3, Х. == 0,8 и
соответственно n siп 8==0,574==" x. siп 80,139=='\;
2) по диаrрамме Вольперта находим ,' 1,6, x'O,4;
3) ,"==16.01742==0048 х"=-04.0 17420012'
4) по даrр;мме Вльерта HxodHM IRr'1 o,92, r== 181,44°.
По rрафику Берроуза liRrl {),91, r:=: 182,5° (рис. 2.35), т. е. pac
хождение пренебрежимо мало.
Ниже приведены значения электрических параметров
различных почв IПРИ О'l1СУТ,СТВИИ дисперсии.
См
. а,м
Почва
от I ДО от I до

Морская вода 80  0,66 6,6
Влажная земля 5 20 10 I 10 1.
Сухая земля 2 6 104 4.10 I
I1ресная вода 80  10I 5.10I
в диапазоне сантиметровых волн начинает сказы-
ваться дисперсия, и электрические параметры оказыва-
ются отличными от приведенных в этой таблице. Поэто
МУ приведем орентировочные значения электрических
)., см
1.
Почва
См
а, М
.
I 2025'C 10 69 6,5
28 'С 3,2 65 10
u rpYHT 9 24 0,6
20 ОС 10 79 2,06
20 ОС 3 64 18,4
Морска я вода пр'
Морская вода при
Влажный песчаныи
Пресная вода при
Пресная вода при
114

'Параметров для волн ,caH
тиметровоrо диаазона,
полученные э'ксперимен
тальным или теоретиче-
с'!шм 'путем.
Отметим, что зависи
мо'сть е и 10' от частоты
ис,следо'вана толЬ'ко для
морской И ,пресной воды
(рас. 2.38).
9. О пределах
применимости
отражательной
трактовки
е.,'!
60
O
20
3 5 7 А,СН
Рис. 2.38. Кривые веuцественной и
МНИМОЙ частей диэлектрической
проницаемости для пресной воды
в сантиметровом диапазоне волн
(Т==20 0 С) .
Итак, в отражательной
трактовке допускается,
что падающая на поверхность земли излученная И'сточни
ком сферическая волна отражается ,как ,плоская волна.
Найдем условия, при которых это допущсние (травдано,
иначе rоворя, найдем пределы IIlрименимости отражатель
ной траКТQlВКИ, 'обусловленные этим 'ДОПУЩelнием. Сразу
очевидно, что наличие пределов применимости отража
тельной трактовки должно быть вызвано тем, что уча
Сl'О'К, ,существенный для отражения, 'имеет конеЧlные,
не исчезающе малые размеры. Действительно, лучи,
исходящие от источника в пределах существенноrо уча
стка конечных размеров, падают под разными уrлами.
В отражательной же трактовке фиrурирует коэффициент
отражения для одноrо уrла падения, а именно уrла,
соответствующеrо точке зеркальноrо отражателя.. Отсю-
да следует, что если бы коэффициент отражения не Ме-
нялся с изменением уrла IIадения, применеIIИе отража
тельной трактовки не было бы оrраничеIIО какими-либо
пределами. Если с этой точки зрения рассмотреть выра-
жения (2.39) и (2.43) для коэффициентов отражения,
то увидим, что с изменением уrла R B (8) меняется бы
стрее, чем Rr (8). Более быстрое изменение: Rn (8) обу
словлено наличием произведения е' sin 8. При этом, если
уrЛI 8 не малы, в силу Toro, что !е'!»l, (le'!>4),
коэффициент отражения Rn остается почти постоянным,
примерно равным единице в большом интервале уrлов.
Отсюда следует, что оrраничения в применении OTpa
8*
115

жательной трактовки вызываются сравнительно быст
рым изменением RB (8) лишь при малых уrлах 8.
Иначе rоворя, искомые пределы применимости OTpa
жательной трактовки следует установить по изменению
R B (8) именно IПрИ малых уrлах 8.
Пусть продольный размер. существенноrо участка для
отражения равен L\x. Тоrда изменение ,коэффициеuта OT
ражения RB в пределах этоrо участка равно
дR в I де
/J.R и . д8 ах /J.x.
.
в качеСТiве ,юритерия Iпри,менимости 01'ражательной TpaK
ТOIВки 'можно очеВИДIНО принять ,HepaiBeHcTBo
I/J.RBI == [ ддB . g /J.x 1  IRB (8)1;
(2.54)
причем. как вытекает из сказанноrо, можно положить
Rn (6) == е' 5in е  y
е' sin е + v е'  1
и, соответственно.
aR. 
д8
2е' V
(е' 5i" 6 + у е'  1)2
Далее очевидно. Qro поскольку
х== h+z  h+z
t е sl" е '
То
де si". е
ax  h+z '
в качестве L\x можно взять размер первой зоны Френе
ля, который при малых уrлах 8 и h<f::.Z примерно равен
л
/J.x == 2а 1  Si"2 е .
Подставляя в (2.54) выражение дЛЯ (B I : и /J.x и по
ложив IR. (6)1 :::::: 1, получаем
h + z > I 2.' y;r:::т 1 . (2.55)
А (.' stn е + v .'  1).
116

в строrой теории отражения сферических волн," соrласно
результатам Л. м... Бреховских {18], получается почти та-
кое же неравенство
2п (h + z)  k (h +. z)  I .' y;r=т 1 .
л . (a'sln 6 + Уа'  1).
Преобразуем неравенство (2.55) к виду, удобному для
практичеСI<оrо использования. Для этоrо пренебрежем
под корнями единицей и величину /,"8' соrласно (2.50)
и (2.52) выразим через RB:'
'1/, 1 1 + R.
v s =="""Si'f16 1  R. .
Кроме .Toro, вместо h +z, введя наклонную дальность (,
подставим
h+z==r sin 8.
Тоrда получим
2+ sin 2 6  11  R: (6)1.
(2.56)
Это неравенство и есть окончательная формулировка ин-
тересующеrо нас критерия.
Отсюда сразу видно, что в случае идеальноrо про
водника, поскольку I RB (8) 1 == 1, нет никаких оrраниче-
ний в применении отражательной трактовки.
Для реальной почвы мощно, положив 11R2B(8) 1,....,
,...., 21 sin B 1, также пользоваться критерием
(r/J..) sin 2 8» 1 sin B 1
и аналоrично, при rоризонтальной поляриации,  кри-
терием
(r/"л) sin 2 8» Isin rl.
I 4. ИНТЕРФРЕНЦИОННЫЯ МНОЖИТЕЛЬ
1. Вывод формулы для интерференционноrо
множителя
Смысл введения коэффициентов отражения состоит
в том, что с их помощью можно весьма просто опреде
лить поле поднятых излучателей, если ;l<Jзвестно поле
этих излучателей в свободном пространстве.
Поле в свободном пространстве соrласно (1.115) вы-
ражается формулой
1r.
Е ' ! r боРа... F (& - ) 1 I lOt)
. r ' tp Je t
(2.57)
117

rде Р  мощность передатчика; а т и F(it, <р)  коэф-
фициент усиления и характеристика направленности ан-
те н н ы.
Требуется опреде,nить поле излучателя, поднятоrо над
землей. Обычно интересуются полем в вертикальной пло-
скости, проходящей через направление максимума излу
чения. В этом случае характеристика направленности
является функцией только уrла it, т. е. F(it, (р) ==F(it).
Соrласно изложенному в предыдущем параrрафе, по
ле излучателя, поднятоrо над землей, которую будем
считать плоской, можно найти как результат наложения
поля прямой волны Е п и поля Ев волны, отраженной от
земли (рис. 2.39), т. е.
Е== Е п + Ев,
rде поле отраженной волны равно
EBRB rEi.
(2.58)
(2.59)
Под RB r подразумевается либо RB, либо Rr; Ев  напря
женность поля отраженной от земли волны, которая в то
же время может рассматриваться как напряженность
о
"
0',,/
Рис. 2.39. Ориентация векторон
поля прямой падающей и отра-
женной волн.
поля волны, исходящей из воображаемоrо излучателя,
ЯВЛЯlOщеrося зеркальным изображением реальноrо из
лучателSil (рис. 2.39).
Стало быть, поле прямой 'волны равно *) (рис. 2.40)
Е n -== j VБOPG;: F (3-1) elkr" (2.60)
, I
а поле отраенной волны
Е  R . VБOPG;: F ( 3- ) Jkrl.
R в r J '. 2 е
(2.61 )
.) в дальнейшем фазовый МНОЖIПСЛЬ е/ ОС' опускается.
118

Положим
'1» Il,
(2.62)
l'де h  высота поднятия излучателя над поверхностью
земли. Тоrда можно считать
1/'1 1/'2 1/,.
(2.63 )
в фазовом же множителе таких пренебрежений делать
нель, так как при изменении , на величину порядка
длины волны этот множитель может сильно измениться.
А
о
"
o'/ t'
Рис. 2.40. Ориентация направлениil Рис. 2.41. К расчету раэио
распространения всех трех волн и стн хода лучей.
максимума излучения антенны.
Однако при выполнении условия (2.62) лучи прямой
и отраженной волн можно приближенно считать парал
лельными. Тоrда
'l==,hsin6, }
'11 ==,+ hsin6
(2.64)
и разность хода лучей равна
'2'1==2h sin 8,
(2.65 )
rде 8  уrол ввышения (рис. 2.40, 2.41). COOTBeTCTBeH
но при этом можем полаrать, что yroJI. скольжения равен
уrлу возвышения 8.
Рассмотрим более подробно, коrда лучи можно счи-
тать параллельными. Соrласно..рис. 2.40 имеем
'2 2 =='1 2 +4h 2 +4h'l sin 8.
119

Поскольку IZ«'11 то
'2 === V , + 4h 2 + 4h'J sin б ===
V 4h + 4hr l stn 8
==='1 1+ 2
r 1
===, [ 1 + 4h 2 + 4hr J sln 8 _ (h2 + 4hrJ sln 8)2 +. . . ] ===
J 2 81
=== , 1 + 2h sin б + 2h 2 cos l б + ...
r 1
И разность хода лучей в действительности равна
'.  '1 === 2h sin б+ ( 2r2 ) cos 2 б. (2.66)
Сравнивая (2:65) и (2.66), видим, что эти выражения
отличаются на величину
( 2I ) cos2 б  ( 22 ) cos l б.
Следовате-'!ьно, лучи можно считать параллельными,
если величина 2h 2 /, значитеJIЬНО меньше половины дли
ны волны, т. е. если точка наблюдения находится на
расстояниях, удовлетворяющих неравенству
,»4h 2 /л. (2.67)
Таким образом, соrласно изложенному в rл. 1, дальняя
зона или зона Фраунrофера антенны при наличии отра-
жения от земли находится на расстояниях, удовлетворя
ющих условию (2.67). Приняв во внимание (2.64), по-
лучим
E===j y F(3J) [elkh5ln 8 +
+ R (Р (6.) е  Ikh 51п 8 ] е  J1&r
.,rF(6 J ) .
Множитель в квадратных скобках называется интерфе
ренционны.м .множителе.м; этот множитель определяет co
бой результат интерференции прямоrо и отраженноrо
лучей. После несложных выкладок найдем
[ e1kh 51п 8 +R rF (&.) e Ikh 51п 8 ] 
 ., r F (6 J ) 
./' I р2 (&.) 
==, 1 + IR. .rl Fi(6J+2IR. .rl F(&)/F(&J)X
.. ( 4пh . ) /Ф...
XCOS TS1nO+1B ,r е "
120

rде
tg Фв ,r ==
F (&.)
F(6J IR. .I sin (kh sin в + . ,r)  sln (kh sin в)
  F (6.) .
F (61) IR. ..1 cos (kh sln в + . ,r) + cos (kh sin в)
Таким образом.
Е === j y F (&1) е  1 (kr+ф. ,r) Х
,
./ 2FI(6.) р(6.)....
Х  1 + IRB rl F (61) + 21RB rl F (61) Х
....
Х cos ( 4h sin в + B,r ) . (2.68)
Выразив 1 и '6'2 через уrлы возвышения (рис. 2.41)
1Oт0, 2==Oт+0, (2.69)
можно характеристику направленности антенны при уче
те влияния эемли представить в виде
f (О; От) ==р (Oтe) Ф (о; От), (2.70)
rде F (OтO)  характеристика направленности без уче-
.та В.'Iияния зеМЛ11,
Ф (6; вт) ===
== V 1 + I R 1 2 f2 (вт + в) + 2 1R  I F (вт+в) х ....
B.r JI (вт  в) в. r F (втв)
....
Х cos ( 4h sin в+B ,r) (2.71)
модуль интерференционноrо множителя.
Из формулы (2.71), в частности, следует, что если
rлавное направление излучения антенны совпадает с на-
правлением на цель, т. е. О==От, то 1==0, '6'2==20,
Р('6'1) ==1, P(2)==P(20) .(2.72)
и
Е . Y 60PG m  1 (kr+ф. ) Х
===] , е '
Х V 1 +IR. ,.1' F' (20)+2IR. ,.1 F (20) cos ( 4h sin O+. ,.)
(2.73)
121

Если rлавное направление антенны rоризонтально,
т. е. Вт==О и если характеристика направленности сим-
метрична, т. е.
то
Р( 'lt) == F ('lt),
F('ltI) ==F('lt2) ==Р(В)
(2.74)
(2.75)
и
E==j Y Р(6)Х'
,
ху I +IR. ..I"+2IR. ..1 cos C SinO+...)X
Х е  1 (kr+ф. ,r) , (2.76)
т. е. интерференционный мнщкитель не зависит от харак-
теристики направленности антенны.
Для слабо направленных антенн в силу Toro, что
в широком интервале уrлов Вт И В справедливо прибли
женное равенство
Р(Вт+В)  1
F (Вт  В)  ,
интерференционный множитель практически не зависит
от характеристики направленности антенны в этом ин
тервале уrлов Вт И В И соrласно (2.71)
Ф(в)V I +IR. ..1'+ 21R. ..1 cos C SinO+ ..)-
(2.77)
Проанализируем интерференционный множитель для
слабо направленных антенн. В этом случае характери-
стика направленности в основном определяется интерфе-
ренционным множителем, который зависит от коэффици-
ента отражения и от отношения h/л. Последнее отноше-
ние определяет лепестковый ха'рактер диаrрамы
направленности а'нтенны, поднятой над поверхностью
зем.1\И.
Зачастую в практике, например в радиолокации, от-
ношение 41th/л значительно еольше единицы. Поэтому
величина
cos ( h .Sin О + B ,r)
122

с изменеНI1ем уrлз" е быстро меняется по сраnнениtо
с I RB r I и можно считать, что максимумы интерферен
ционноrо множителя имеют место при
cos ( 4h sin 6 + B ,r ) == + 1 ,
а минимумы  при
cos ( 4h sin 6 + B ,r) == ..... 1. (2.79)
При этих условиях максимумы модуля интерференцион
Horo множителя равны
Фт(18) == 1 + I RB,rl, (2.80)
Фо(8) == 1IRBlrl. (2.81)
Иаследуем более подробно поле rОРИ30нтальноrо и
вертикальноrо ДИJ10лей, которые являются слабо направ
ленными антеннами (D m == 1,5).
(2.78)
а минимумы
2. Поле rОрИЗ0нтальноrо диполя
Рассмотри поле rОРИ30нтальноrо диполя D плоско
сти, перпендикулярной ero оси. В этой плоскости излу
чение ненаправленно:
Р(8) == 1.
ПроаналивИtруем од;новременн'о случаи 6Олcrlе (поч;Ва..........
ПРОВОДIНИК) И 60лcr«е (lП'очвадиэлектр'ик). Поскольку
в обоих случаях
Rr<O, т. е. f3r==п,
то соответствующие условия для, максимумов и мини-
мумов интерференционноrо множителя будут для обоих
видов почв одинаковыми. Соrласно (2.78) условия Ma
ксимумов таковы:
4h sin 6 === (2n  1) 1t,
rде n === 1. 2, 3, 4, ... или
. 6 2п  1 л.
. SIn ==T.
(2.82)
Условия минимvмов соrлаСН<J (2.79) имеют вид
47th . д 2
т--- SIn IJ === п1t,
123

f'A п === U, 1, 2. J, 4... или
'sin 6==   . (2.83)
Число полных лепестков N может быть определено
либо по числу максимумов, либо по числу минимумов
в пределах уrлов О от О до nj2. Определим N по числу
максимумов, т. е. из условия
V1  1
4 h '
отку да
N ..; 12h + 
л 2 '
(2.84)
т. е. равно целой части числа полуволн, укладывающих-
ся в высоте /z.
Для проводника RrI. Поэтому
Ф (6 21 '.' 21th . 6) \ I
r ), SI n \ т sш ,
т. е. в минимумах эта функция равна !нулю, а :в макси-
мумах  .двум. На р'ис. 2.42 приведена диаrрамма 'Ha
правленности для значения h == 2'Л.
Для случая диэлектрической почвы, для Toro же зна-
чепня h== 2'Л диаrрамма наП f авленности изображена на
рис. 2.43. Поскольку здесь Rl.1 < 1, то соrласно (2.80)
и (2.81) максимумы меньше двух, а минимумы больше
нуля.
8={!
2
2
I
8: 1I
2
2
Рис. 2.42. Диаrрамма направленности rоризонтальноrо диполя, под
нятоrо на высоту h == 21').., f:\ад проводяuцеЙ почвой.
Рис. 2.43. Диаrрамма направлеННОСТ/I rоризонтальноrо диполя, под
I-Iятоrо на высоту h == 2')... над диэлектрическоii почвой.
Рис, 2.44. К объяснению понятия ИЗРf'заННОСТJI диаrраммы направ
ЛСIIlIOС'Т/I.
124

Так как при 81> l2"
. IRr(e, 1::1) 1> IRr(e, 82) j,
ТО. отсюда следует, что чем больше 1::, тем больше макси-
мумы диаrраммы направлеНllОСТИ и меньше минимумы
и, наоборот, чем меньше 8, тем' больше минимумы и
меньше максимумы (рис. 2.44).
В пределе при 8== 1, Rr==O максимумы и минимумы
ОД'Иiнаковы, т. е. OTCYT'CTBT лепестковость.
Нведем пО'нятие изрезанности д:иаrраммы Iнаправлен-
ности. Сравнив'ая две диаrраммы с различными 8, будем
rоворить, что та диаrрамма более изрезана, у котороЙ
минимумы меньше, а максимумы больш (РИС. 2.44).
Коrда 8 == 1, нет никакой изрезанности.
РаССМОТРИl\l случай 60ла:::::: 8. (почва  полупровод
ник). Поскольку l,(e) незначительно отличается от л:,
то практически этот СIучай ll ОТJlичается от случая ди-
электрической ПОЧIВЫ (60ло« 8) и IПр'И построении диа-
rpaMM направленности можно положить T(e) ==Л.
3. Поле вертикальноrо д'ипо.'1Я
Перейдем к анализу поля верткальноrо диполя. Так
как в этом случае
F (8) == cos 8,
(2.85 )
то диаrрамма направленности определяется выражением
f (О) === cos 6Ф. (6) ===
соsб V I +IN.J' + 21R.1 cos С Siпб+.} (2.86)
Проанализируем это выражение' для
дов почв,
1) 60ЛО»8 (почва  проводник) .
Поокольку Rn:::::: 1, .O, то
I . ')h ' I
фв (6) === 2 cos (  sin 6) .
различных ви-
2.87)
Для нахождения направлений максимумов необходи-
мо вычислить производную f (8) ==,cos 8Ф в (8) по 8 и при
равнять ее нулю. Однако, как уже было указано, при
2лh/'J... 1 функция Ф В (8) быстро меняется пu сравнению
с cos 8. Поэтому направления максимумов f (8) можно
. определить по направлениям максимумов фв (8).
125

1'аким образом, направления максимумов соrласно
(2.87) определяются формулоЙ (2.83)
, . 6 Il Л
SlП ===211'
rде пO, 1, 2, 3, 4, ...
Максимумы функции f (8) равны 2cos 8. Функция
;(8) равна нулю при уrле 8==1}/2 и при уrлах, определяе
мых формулой (2.82)
. 2п  1 л
S1П6==h'
r де n == 1, 2, 3, 4 . . .
Число полных лепестков N, считая та,кже лепесток,
стелющийся вдоль земли (8==0), на единицу больше чис
.
8: П
2
f
Рис. 2.45. Диаrрамма напраll-
леННОСТJf вертикальноrо дипо-
ЛЯ, поднятоrо на высоту h==2'Л
над проводящей почвой.
2 8=0
ла N 1 максимумов Ф в (8), заключенных в интервале yr-
лов 8 от О до n/2.
Число максимумов интерференционноrо множителя
в указанном интервале уrлов 8, определяемое из усло
вия миН'иму,мов ("нулей фв (>8» 'равно
2N.  1 л ЕО; 1
2 h .
Поэтому число полных лепестков равно наибольшему
целому числу правой части неравенства
2h
N ЕО;т+ 1 ,5.
(2.88)
Если при 8==п/2 функция Фв==о, то число полных лепе
стков равно целому числу правой части неравенства
2h 1
N===N.EO;T+To
На рис. 2.45 изображена диаrрамма направленности
для случая h==2'Л.
2) 60дicr«18 (почва  диэлектрик).
126

В этом случае в формуле (2.86) для f (8) следует по
ложить: .
(3в==П rIрИ 8<80 (до уrла полноrо преломления);
B==O при 8>-80 (после уrла ПОЛНQrо преломления) .
Ввиду этоrо соrласно (2.78) и (2.79) до уrла полноrо
преломления условия максимумов и минимумов совпада
ют с условиями максимумов и минимумов для случая
rоризонтальной поляризации. После же уrла полноrо
Рис. 2.4б. Диаrрамма направ-
лешlOСТН вертикалыюrо дипо-
ля, поднятоrо на высоту h==2},
над диэлектрической почвой.
900 80 0
700
f 6'0 О
500
oO
300
о
o,s:
f
00
преломления условия максимумов совпадают с условия
ми минимумов для случая rОРИЗОllтальной поляризации
и наоборот.
Значения максимумов равны
fm(8)==cos.8(1+IRnl). (2.89)
Значения минимумов
fo(8) ==cos8(1IRDI). (2.90)
Пример диаrраммы направленности для h==2'Л приведен
на рис. 2.46.
3) 60'Л(J' е (почва  полупроводник).
Здесь aprYMeHT коэффициента отражения B (8) Me
няется непрерывоo в пределах от О дО П. Поэтому co
rласно равенствам (2.78) и (2.79), условием максимумов
будет
4h sin 6 + B (6) === 2п1t,
(2.91)
а минимумов
4 sin 6 + B (6) === (2п  1) 1t,
rде n == 1, 2, 3, 4 . . .
(2.92)
127

Уравнения (2.91) и (2.92) трансцендентны. Их леrко
можно решить rрафически. Строят rрафики функции
41t/z . 6 . 6
ф(6)=т sш +B()
и по построенному rрафику определяют те уrлы, при KO
торых функция 'ф (8) принимает значения (2.91) и (2.92).
Максимумы и минимумы f (8) определяются Bыpa
жениями '(2.89) и (2.90). ·
Сравнивая диаrраммы направленности вертикально
ro и rоризонтальноrо диполей, можем сделать вывод,
что у вертикальноrо диполя блаrодаря большему интер
валу изменений коэффициента отражения О  IRnl  1,
диаrрамма напр'авленности в среднем менее изрезана,
чем у rориэонтальноrо, лосколь'ку
IRrl 1t .IRrl  1.
в==2
4. Поле rоризонталыюrо и вертикальноrо диполей
при малых уrлах возвышения.' Квадратичная
формула Введенскоrо
При rоризонтальной поляризации для всех видов
почв и вертикальной поляризации в случае диэлектри
ческой и полупроводящей почв при достаточно малых
уrлах скольжения _можно принять
Rr'RB1 (2.93)
и, следовательно,
Ф r (6) ===.Ф В (6) === 21 sin ( 2h sin 6 )1.
Если к тому же
21th . 6 ---- 'л:
'T sln ''''' 6'
т. е.
. 6 0;;::: л
sш  12h '
то синус можно заменить ero apryMeHTOM. Поэтому
6 6 21t/1 . О 41th z
Ф r ( )===Фр.( )===2 тsшu===т,'
(2.94)
(2.95)
128

I10JlaraH при этих уtлах cos 6  1, ДЛЯ амПJ1ИТУДЫ Е тт и
Е тв находим
4п у 90Р,. /zz
Е ту === EInll  л  .
(2.96)
Соотношение (2.96) называется квадраТU1LНОЙ форму
лой Введенскосо. Соrласно этой формуле пр'и достаточ
но малых уrлах возвышения поле убывает с расстояни
ем обратно пропорционально квадрату расстояния и
растет пропорционально произведению высот корреспон
дирующих пунктов. СТОЛЬ' быстрое убывание поля с pac
стоянием r с уменьшением высоты объясняется тем, что
поля прямоЙ If отрюкенноЙ волн почти равны по в'ели
чине и противоположны по знаку.
Пределы применимости квадра-тичноЙ фОРМУ!lьi опре
дел яются неравенством (2.94), которое можно предста
вить в виде
sin6+sin6M
или в силу малости уrлов
. l\ 1 l\
IJ З IJM'
"де 8 м  направление первоrо максимума.
 5. УЧЕТ СФЕРИЧНОСТИ ЗЕМЛИ ВИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ
Ф'ОРМУЛДХ
1. Расстояние прямой видимости
Сначала введем некоторые понятия.
Представим себе касательную к поверхности земли 
КОllическую поверхность с вершиной в точке излучения
(точка О рис. 2.47). Эта коническая поверхность разде-
JlИТ все пространство над новерхностью земли на две
области: а) область прямой видимости, или освещенная
область, и б) область тени. ,
Любая образующая этоrо конуса является линией ro
ризонта. На рис. 2.47 дан разрез этоrо пространственно
ro построения.
Если точка наблюдения А, находящаяся на заданной
высоте, расположена на линии rоризонта, то расстояние
до этой точки от излучателя (расстояние до rоризонта)
91283 129

как видно из рис. 2.47, при условии а« 1 (а  rеоцен-
трический уrол) равно
Ro === R 01 + R 02 ===у (а + h)2  а 2 + V(ll + ZY  а';! 
 V 2ah + V 2az ,
rде а  радиус Земли. .
Если бы точка А находилась на расстоянии Rt, rде
Rt <Ro, то она была бы расположена в области ПРЯМОI U '
видимости. Если бы точка А находилась на расстоянии
Рис. .47. К определеlIИЮ I1ре-
деЛhНОЙ дальности ПрЯМОЙ ви-
димости.
R2, rде R2>R, она была бы расположена 13 области Te
НИ. ТаКIIЫ образом расстояние
Ro === V 2a (Vh + yz) (2.97)
есть предельная дальность прямой видимости или про
сто расстояние прямой видимости двух пунктов, распо
ложенных на высотах h и z (при условии а« 1).
Если расстояние Ro выIазитьb в километрах, h и z
в метрах и учесть, что радиус Земли а == 6370 км, то
Ro === 3,57 (+ v ZM) ' (2.98)
ОЧСI3lЩIIО, что отражательная трактовка применима
TOJIuKO ЛИШU 13 том случае, если речь идет о поле в точ
ке, находящейся в области прямой видимости, ибо толь.
ко в этом случае поле может быть представлено как
сумма полей двух волн  пряtv10Й и отраженной. Однако
этоrо еще недостаточно.
2. О применимости отражательной трактовки
в случае сферической Земли
Для ПРIНIенимости интерференционных формул
R l'.'Iучае СфСРIlческоЙ .з('l\IЛII lIeo6XOJI.Hl\IO, чтобы в IIJ1e.'e-
JIaX сущеСТ13еИIIОI'О участка ДJIЯ отражения IIОПСрХIIОСТu
земли можно было рассматривать как IIЛОСКОСТЬ. Выяс
130

НИМ, при каких'услоI3ИЯХ это допустимо. Для этоrо бу
дем СЧllтаТL, что земля является идеаЛLIIЫМ llr>ОП()ДНИ
коы. Кроме Toro, ДJlЯ упрощения I3ыкладок ПOJIOЖlIl\l,
что h == О 11 что пысота точки наблюдения над поверхно-
стью зеМJIИ значительно меньше расстояния от этоЙ точ
ки до излучателя, т. е. z«rR.
Итак, требуется, чтобы участок поверхности сфериче
скоЙ земли длиной 2а1 (рис. 2.48), т. е.. размером боль
шой оси первоЙ зоны Френеля, при отражении можно
было считать плоским. Это означает, что разность фаз
волн, приходящих в точку наблюдения от вторичных ис-
А'
z'
'0
2а,
х
Рис. 2.48, К ВЫВОДУ предеЛОD применимости отражательной трактов-
IШ обусловленных сферичностью земли.
ТОЧНIIКОВ, расположенных на rраницах существенноrо
участка 113 плоской и сферичеСI<ОЙ земле, должна быть
значительно меньше 2л. Это условие можно записать
I3 виде
Соrласно рис. 2.48
. /, ( х2 ) .
r==V (Rx)2+ Z'+2a Rx
( х2 ) 2
z' + 2а
+ 2 (R  х) ,
rr' «л.
( 2.99 )
, Z'2
" == V(R  X)2+Z'2  R  X+ 2(Rx) '
rде z'  высота над плоской землей; х  длина сущест-
BeHHoro участка, имеющая порядок величины 2а1.
9* 131

Следовательно,
, z' х 2 Z (2п l )2 Z л 2
r  r === 2а R  '2l1   '2а R siп 4 6
11
,  " л
. '2а sill З 6  1,
откуд(\ получаем
siпб==.1 л
V 2а
1
Ly '2'
или в общепринят()м виде
sin б  1 I V  . (2.100)
Это неравенство и определяет пределы применимости
отражательной тра.ктовки, обусловленные сферичностью
земной поверхности. .
Для всех диапазонов радиоволн имеет место Hepa
венство
Y  V 
k 2 a == 1t;  1.
Так, при /..=='1000 км (ла//..)1/З==0,368.
при не слишком длинных волнах уrол
(2.100) невелик. Отметим, что величина
1М === З/ ka. ,
у 2
(2.101 )
Следовательно,
8 в формуле
(2. 102)
как дальше будет показано, представляет собой пара
метр задачи о дифракции радиоволн BOKpyr земной 1I0
веРХIIОСТИ; будет также пока за но, что двойной зн(\к "е-
paneIICTna (2.100) можно заменить один(\рным. .
3. ПриведеННblе ВЫСОТЫ
Выясним теперь, как учесть сф..еричность земной по-
верхности в рамках отражательнои трактовки, т. е. при
вычислении. поля по интерфереНЦИОНIIblМ формулам при
выполнении условия (2.100). Если это условие выпол-
wяется, учет производится введением в рассмотрение
вместо истинных высот !z 11 Z так называемых приведен
ных высот h' и z'.
Покажем, как вводятся эти 'высоты, И определим их
значения. Пусть точка С  точка rеометрическоrо OTpa
132

жен ия. Проведем через эту точку касательную плоскость
к поверхности земли (рис. 2.49). Приведенные ВЫСОТЫ
It' 11 z' суть высоты корреСПОНДИРУЮЩlIХ ПУНКТОВ над
этоЙ плоскастью.
Ввиду малости rеацентрическоrа уrла для точки OT
раiКения имеют l\IeCTa такие же соотношения, как и
Рис. 2.49. К определению щш-
веденных высот.
в случае плоской атражающей поверхнасти, т. е.
'! z _ h + ;::
"R;==R;'
r;I.e R === R 1 + R 2 И, следовательно,
h z
RI === R h + z '. R'!, === R h + z .
с друrой стороны, RI === V 2аДh , R'!, === V 2aSz , ПОЭТCiму
, Ri R2 ( /! ) 2
h ===hдh===h==h 
2а '2а h + z '
(2.103)
z' === z   ( h  z ) 2.
Таким образом, для TarO чтобы учесть сферичнасть
земной паверхности, нужна во всех интерференционных
формулах заменить h на h', z на z'.
. Во. мноrих случаях мажна считать h«z, и тоrда
h ' ....., h ' R2
:......, Z z..
, 2а
(2.104)
133

Например, в квадратичной формуле Введенскоrо
4п V .юР\'
Е т -== л'
 ( Z   ) 
r 2 2а
41tV
Л
h ( R2 )
R2 Z  2а .
(2.105)
Как упоминалось, изложенный здесь метод учета сфе
ричности земной поверхности применим в том случае,
если справедливо соотношение h/R 1 === Z/R2. А оно спра
ведливо при таких уrлах возвышения, для которых
R 2 R
h  Ah == 2 ' z  Az == 2а'
т. е. для достаточно больших уrлов скольжения 8. OДHa
Ко в случае hz эти оrраничения отпадают.
 6. МАКСИМАЛЬНАЯ ДАЛЬНОСТЬ ДЕйСТВИЯ
РАДИОЛОКАЦИОННОй СТАНЦИИ С УЧЕТОМ
ВЛИЯНИЯ ЗЕМЛИ
1. Зависимость дальности от уrла возвышения
Как уже было показано ранее,' выраение для поля
ПРОИЗВОJIЬНОЙ антенны, полученное с учетом влияния
земли, отличается от соотвеТСТВУlOщеrо выражения для
свободноrо пространства наличием в нем интерференци
ОНIюrо множителя.
Таким . образом, характеристика направленности
в этом случае определяется произведением двух COMHO
жителей  характеристики направленности антенны
в свободном пространстве и интерференционноrо множи
теля Ф, обусловленноrо влиянием земли (2.70). Поэтому
при учете влияния земли в уравнение радиолокации
(1.131) для свободноrо пространства вместо F(, qJl)
нужно подставить произведение FФ. Тоrда для фикси
рованной вертикальной плоскости получим
aPG 2 л 2
Р п == б4п4 р4 (От  6)Ф. (6; бт).
Соответственно формула дальности примет вид
rт(H; 8т)==,rтоF(8т8)Ф(8; '8 т ) , (2.106)
134

{'де cor л асно (1.137)
r то ==
v
РGл.lа
G41t З Р nмИН
Если напрапление максимума излучения антенны
параллельно поверхности земли и характеРИСl'ика наJПраlВ
ленности симметрична относительно 3TOI'0 максимума, то
дальность действия радиолокаUионной станции опреде
ляется по формуле
, т (8) ==r то F(8)Ф(8). (2.107)
2. Построение диаrрамм дальности действия
А. Плоская зеМJlЯ
Формулу (2.107) обычно применяют для построения
диаrрамм дальности действия, или, иначе, «диаrрамм
видимости» радиолокационной станции. Рассматривае
мая формула представляет собой уравнение кривой в по
лярных координатах r, 8 с началом координат в месте
2
Рис. 2.50. К построению диаrрам
мы ВИдимости радиоло!<ационной
станции  диаrраМl\Iа направлен-
ности антенны.
Рис. 2,51. К построению диа
rpaMMbI видимости  диаrрам-
ма множителя земли.
. .
расположения радиолокационной станции, причем оПоляр
ная ось параллельна плоской оПоверхно<;:ти земли. Эта
Кривая являет'ся rраницей зон видимости в вертикальноЙ
плоскости над плоской землей.
Например, для характеристики направленности в CBO
UОДIlОМ простраlIСТве и для IIнтерфереНЩIOIIIIOI'О МlIOЖИ
теля, изображенных на рис. 2.50 и 2.51, rрафик произ-
J35

ведения F (8) . Ф (8) имеет вид, показанный на рис. 2.52,
а соответствующая диаrрамма видимости изображена
на рllС. 2.53.
Проекции наКЛОННQЙ максимаЛЬНОII дальности, взя
тоЙ в kaKOM-JIибо направлении 8 на rоризонтальную и

2' 1
A
R
Рис. 2.53. Диаrрамма види-
мости радиолокационноn
станции.
PIIC. 2.52. К построению диаrраммы
I3J1ДИМОСТII  диаrрамма произведе-
ннн Х<lрактерIlСТИIШ направлеННОСТJI
. aIIH'IIIII>! на I\шожитеЛl> земли.
вертикальную оси, лежащие в заданной вертикальной
плоскости, соответственно равны
R m (8) ==r m (8) cos (8),
z' т (8) =..' т (8) siп '8.
(2.108)
(2.1 Cl9)
Назовем эти величины соответственно rоризонтальной
дальностью и приведенной высотой.
Диаrрамма видимости представляет собой одну из
кривых семейства равной напряженности поля в верти
2' s t
R
Рис. 2.54. Кривые равной на-
пряженности поля.
кальной плоскости, так как уравнение семейства таких
кривых, как нетрудно видеть, имеет ид
r==r(б)== V F(б)Ф(б). (2.110)
Задавая различные значения постоянной Ео, можем
получить соответствующие этим значениям кривые ce
мейства (рис. 2.54).
На рис. 2.55 и 2.56 изображены зависимости напря
жеННОСТlI поля от rоризонтальной дальности R при z'==
== const II от высоты z' Прll R == const, соотвеТСТВУЮЩIlе
сечениям, указанным на рис. 2.54.
136

Е
z'=const
PIIC. 2.55. 3aBIICIIMOCrI, IIапря-
ЖСIIIIOСТII поля от rОРИ:ЮIIталь-
[юj'[ Дll.rJI,II0СТII Прl! ПОСТОЯil!lоj',
высоп.'.
z'
R
РИС, 2.56. Зависимость IIапря-
жеrlllОСТII поли QT оысоты при
постоя 'IIIOi'! rОРII:Н)[JтаЛliIlОi'I
ДllЛЫIOСТ![.
Б. СферUtlССКQЯ земля
При It«z, как было показано в  5 этой rлавы, учет
сферичности земли сводится к замене в интерференцион
ных формулах истинной высоты z, приведенной BЫCO
той z'
R2
z' ==z   2 ==2  дz.
'(l
Таким образом, в прямоуrольной сцстеме координат
R, z' диаrрамма видимости будет такой же, как для
плоской земли, а поверхность зем.'IИ будет представлять
собой параболу, уравнение которой z'==R2/2a
z'
Рис. 2.57. Учет сферичности
земли при построении диаrрам-
мы видимости.
· z'
R
Рис. 2.58. Днаrрамма видимости
при различных масштабах :для ro-
Рlfзонтальной и вертикальной
даЛЫlOстей.
137

(рис. 2.57). На рис. 2.57 правед'ены также линии равных
высат z над паверхнаС-ТЬЮ 1 земли.
Во. мнаrих случаях при пастраении диаrрамм види
масти масштаб па аси Z' берут балее крупный, чем па
аси R, и таrда диаrрамма видимасти выrлядит так, как
паказана на рис. 2.58.
3. N\аксимальная дальность действия радиолокационной
станции при малых yr лах возвышения
При малых уrлах вазвышения
. 4nh 
FtO)I, Ф(в)Тr.
Отсюда и ИЗ (2.107) следует, что.
4nh z'
, т == 'то т r-;;;
или
Y 4nhz'
'т== , '..
1\ то ,
Падставляя сюда зна ч ение , то И З (1 .137), палучаем
V РGЛ2а V 4nhz'
'т== P nMBB (4п)8 '
(2.111 )
т. е. максимальная дальнасть действия радиалакациан
най станции при малых уrлах вазвышения прапарциа
нальна карню восьмай степени из мащнасти Р.
Падставив в эту фармулу величину z', выраженную
через истинную высату z, палучим
r n\  V r т, 4h ( Z   ). (2.112)
А так как при. малых уrлах вазвышения мажна считать
Rт'т, та
,2 ==, 4nh ( Z  ( ) .
т mo л 2а
Разрешив эта саатнашение атнасител ьна 'т, палучим
 .. f r mo1thZ
r m  V 1 + cп т,) . (2.113)
138

 7. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
РАДИОВОЛН ВДОЛЬ rЛАДКОй ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
1. Постановка задачи. 'Понятие о множителе
ослабления. Приближенные соотношения Щукина
в предыдущих параrрафах этой rлавы изучалась
проблема распространения радиоволн, создаваемых из
лучателями, поднятыми на большую по сравнению с дли
ной ВОЛНЫ высоту над поверхностью земли. Эта пробле
ма р'ассматривала.сь с позиций отражательной теОI?ИИ,
что значительно упростило задачу и позволило получить
сравнительно простые так называемые интерференцион-
ные, или, как их еще называют, отражательные форму-
лы для расчета напряженности поля вдали от излуча-
теля.
Интерференционные формулы верны при любых по
ложениях корреспондирующих пунктов только для иде-
ально проводящей земли. Для почв с произвольными
электрическими параметрами они справедливы только
тоrда, коrда один или оба корреспондирующих пункта
достаточно (по сравнению с длиной волны) подняты над
поверхностью земли; если же оба пункта расположены
вБЛIИЗИ земли или на ее поверхности, интерференционные
формулы не дают правильноrо результата. Отсюда BЫTe
кает задача о поле элементарноrо диполя, Rасположен
Horo на поверхности земли в точке наблюдения, распо
ложенной также на земле. Иными словами, возникает
проблема о распространении радиоволн вдоль поверхtIО-
сти земли.
Первая попытка решения этой проблемы была' сдела
на И. Ценнеком, получившим в 1907 r. ее приближенное
решение в виде поверхностных волн [46]. Первое cTporoe
решение задачи о поле вертикальноrо диполя, располо-
женноrо на поверхности плоской земли, было получено
в 1909 r. А. Зоммерфельдом [47].
В дальнейшем пробле'ма распространения радио-
волн вдоль плоской земли рассматривалась мноrими ис-
следователями, в результате чеrо в настоящее время
физическая картина распространения радиоволн вдоль
плоской поверхности земли всесторонне изучена.
Решение рассматриваемой задачи в случае идеально
проводящей земли получается непосредственно по мето-
ду зеркальных' изображений. Соrласно формуле (2.4)
139

поле rоризонтальноrо диполя, расположеННОI'О на иде
ально проводящей земле, равно нулю всюду.
Для поля же 'вертикальноrо диполя, расположенноrо
на идеально проводящей земле, как следует из формулы
(2.3), вектор rерца в произвольной точке над поверхно-
стыо земли равен
j21tшв а
S J ejltr dV.
. r
V
П(А):=:
Соrласно этой формуле напряженнос'tь поля верти-
кальноrо диполя в какойлибо точке над поверхностью
земли удваивается по сравнению с полем в той же точ-
ке в свобqдном пространстве. При этом поле в земле
равно нулю.
Следовательно, вектор rерца и напряженность поля
вертикальноrо диполя на идеально проводящей земле
равны соответственно
. IL eikR
rlо(А):=:По(R)== 2  R '
J 1tшв а
Ео :=: Eoz :=: j
120п/ L
-л
eikR
R
rде R  расстояние от диполя до точки наблюдения,
расположенной на поверхности земли. Последнее' Bыpa
жение называется формулой идеальной радиопередачи.
Если же земля не является идеальным проводником,
поле в земле отлично от нуля, а это означает, что часть
электромаrнитной энерrии из атмосферы просачиsается
в землю, вследствие чеrо напряженность поля в каждой
точке над поверхностью земли уменьшается по cpaBHe
нию с напряженностью поля над идеально проводящей
землей. Кроме Toro, будет иметь место наклон вектора
Е вперед, ибо поток электромаrнитной энерrии из атмо-
сферы в землю возможен только при наличии rОРИЗОII-
тальнои составляющей напряженности поля. По этим
причинам вертикальная составлющая напряженности
поля Ez на реальной земле должна быть меньше напря
женнасти поля E oz на идеально проводящей земле. Оче
видно, что о влиянии земли на распространение радио-
волн можно судить, срщшивая Ех с Еох.
В связи 'с этим верт,икальную составляющую поля
представляют в виде
EzEozW.
(2.114),
140

МllожитеЛl.> w должен БЫТ1.> I3 общем случае комплекс-
ноЙ функцией р.,аССТОЯllИЯ R, электрических параметров
почвы Е, ,.... И а, а также частоты ы, поскольку электри
1JеСl<ие своЙства почI3ы зависят от частоты, т. е.
w==w(R, Е, р, а,ы).
По физическому смыслу модуль функции w не может
быть больше единицы. Он должен превращатЬ'ся 'в еди
ницу в случае идеально проводящей почвы. Таким об
разом, можно написать
Iwl:::;;l.
Функция w называется..множителем ослабления, так
,<ак она показывает, как ослабляется ПОJ!е при распро-
странении.радиоволн над реальной землей по сравнению
с полем волн, распространяющихся над идеально про
водящей землей.
Множитель ослабления w можно найти, решая об
щим методом задачу определения поля излучения эле
MeHTapHoro д.иполя, расположенноrо на rранице двух
сред; сначала находят решеНIIЯ уравнений Максвелла
для каждой среды в отдельности (для воздуха и земли),
а затем эти решения связывают между собой при помо
щи rраНИЧIIЫХ условий. Именно так и поступал ЗОМl\:'Iер
фельд. Однако получаемое таким путем решение дает
физически обозримый результат после rромоздких MaTe
матических выкладок при определенном предположении
оносительно электрических параметров земли, а имен
но: электрические параметры земли Е и о' должны YДOB
летворять неравенству
18'1 == 1 Еj60лаl» 1. (2.115)
Решение задачи можно значительно упростить, если
с caMoro начала воспользоваться некоторыми прибли
женными соотношениями между составляющими напря-
женности поля, справедливыми для случая распростра-
нения радиоволн вдоль поверхности земли, блаrода\ря
действительно имеющему место соотношению (2.115). На
основании этих СОО1'lношений, не прибеrая к cTporoMY
решению задачи, можно выявить ряд важных особенно-
стей распространения радиоволн вдоль hоверхностизем
ли, что и было впервые (в 1940 r.) сделано А. Н. Щуки-
ным [4].
Весьма удобно при HecTporoM в математическом
отношении раlссмотрении !Проблемы ра1с.пространения ра-
ДИОВОЛН ВДОЛЬ поверхности земли воспользоватьсf,l при-
141

ближенными rраничными условиями, сформулированны-
ми М. А. Леонтовичем. Эти rраничные условия справед.
ливы при выполнении неравенства (2.115).
В 1959 r. А. Д. Петровский :и Е. Л. Фейнберr [41]
"Показали, что при распространении радиоволн вдоль по-
верхности земли вдали от излучателя имеют место до-
статочно 'Общие '.прибли-
о  А женные rраничные 'У сло .
;С;;АIIАV II"Т/7t::::-"'//'У'// /I 'вия, 'из кото'рых rранич-
..... ....- Л
---..................... ные условия еонтовича
Рис. 2.59. Существенная получаются 'как частный
область при распространении случай и для которых вы.
радиоволн вдоль поверхности полнение требования
. ЗР.МJШ. (2.115) сов,сем необяза
у тельно. Здесь, однако, для
yrпрощения выкладок бу-
дем пользоваться услови-
ем (2.115).
х Перейдем к формули-
ронке пр'иближенных ,со-
Рис. 2.60. Существенный уча- отношений для на'Пря-
сток при распространении ра. женности IПОЛЯ.
Диоволн вдоль поверхности Если оба корре,спонди
земли. рующих пункта ра'споло
жены вблизи земли 'или
на ее поверхно'сти, то оба существенных эллип
соида для распространения 'и отражения радиоволн
почти или полностью 'Совмещены 'и, следовательно,
в этом ,случае получается практически одна единая
область распространения радиоволн (рис. 2.59). Очев'ид-
но, что в пределах этой существенной области поперек
Tpacы и параллельно поверхности земли поле вдали от
!'Iзлучателя почти не меняется. Имея это в виду, совме-
стим 'с Iповерхностью земли координатную плоскость ХУ
так, чтобы ось Х совпала с интересующим нас направле
lIIHl\1 распространения радиоволн (рис. 2.60). Тоrда мо-
жем для напряженности элеI<трическоrо поля написать
следующее выражение:
Е  Ет(Х, z)eJ(wtkX), (2.116)
rде k  w V 1-1080  постоянная распространени в воздухе.
В формуле (2.116) аМПЛllтуда напряженности поля Е т
является фУНКЦlIеЙ коорДllнат, причем очевидно, что это
должна быть медленно меняющаяся функция КООРДИ1:J2-
142

1Ъ. х, точнее, OH ДОJ1жна мало мнятьсн на OTp.1K, pC:tH
ном длине волны, т. е.
I r}! :m (X.z) I --- /, I E ( . )1
()Х  <. т X.Z .
(2.117)
Следующий не менее очевидный факт состоит в том, что
в силу точных rраничных условий изменение поля Е з
в земле вблизи ее поврхности должно следовать за из
менением поля в 'Воздухе, т. е. в соответствии с неравен-
ством (2.115) должно быть
dE.j
 ;:::;;;  J 'kE
иХ з.
. (2.118)
Опираясь на прибл'иженные соотношения (2.116) 
(2.118) 'в далынеЙшем получим ряд равенств, IПОЯСНЯЮ
щИХ физическую картину ра'опространения радИ'волн
вдоль поверхности земли.
После этих предварительных замечаний о теории рас-
пространения радиоволн вдоль 'поверхности земли BЫBe
дем приближенные rраничные условия и рассмотрим
лдствия, из них вытекающие.
2. Приближенные rраничные условия Леонтовича
А. Связь между составляющимч поля вблизи
поверхности земли
ВОЛf{овое уравнение, которому должен удовлетворять
вектор напряженности поля в земле в пределах сущест-
венноЙ области вдали от излучателя, имеет вид
д 2 J:. э + 'д 2 Е э + еЕ == О
dX2 dz 2 \- 3 3 ,
\2.119)
rде
/з == w V ....а е ' а == W V ....0808 , == /<. V;'.
постоянная распространения в земле.
Учитывая (2.118) вместо (2.119), ПQЛУЧИМ
д д 2з +(k2  k 2 ) Е з == О.
Z з
(2.120)
Интеrрируя это уравнение, находим
I V k2kl Z
Еа == Е з (х, О) е З ;
(2.121)
143

ЗШ1К плюс /псI)(\д l\ОрIlСМ взят для оБССПС11L'IНfЯ ослаблс-
ния поля по мере проникновения волны в rлубь земли
(z< О). Дl1фференциру5.I (2.121) по z, учитывая (2.115),
имеем
дЕ э . k Е
dZJ 3 3
(2.122)
и соответственно для z-й составляющей
дЕ зz '( Е
dZ  J il 3 зz'
ВоспользуеМС51 теперь уравнением
d' Е == дЕэ:rc + (,lЕ эz O
tv 3 дх dz 
(2.123)
и lПолучим
kЕзх+kзЕзz == О,
(2.124)
или, сокращая на k, находим ,соотношение для с'оставля
ющих напряженности электрическоrо поля
Е зх -=== V;ТЕ зz . (2.125)
Воспользовавшись точными rраничными УСJIОВИЯМИ (z -=== О)
€oEx -=== €o€' Е зz , )
Ех-===Е зх ,
из (2.125) ПОЛУЧ(1ем соотношение для составляющих по-
ля Н(1Д землеЙ
(2.126)
1
Ех == V  Ех.
е'
(2.127)
Сформулируем следствия, выте.кающие
(2.125) и (2.127). В силу (2.115) имеем
I Е Зх I » I Е зz I '
IExl« IEzl,
из соотношений
(2.128)
(2.129)
т. е. в земле rоризонтальная составляющая значительно
больше вертикальноЙ, а над землеЙ, наоборот, верти-
кальная 'состаВЛ51юща51 значительно больше rоризон
тальноЙ. Поэтому над землеЙ прием целесообразно осу-
ществлять на вертикальную антенну, а в земле  на ro-
ризонтальную.
144

Далее, посколь"RУ 1/ == пjx  комплексное ЧИСJlО,
то волна; распространяющаяся вдоль поверхности земли
каК в воздухе, так и в зсмле, ЭЛЛIlПТlIЧLКlI ПОJIЯрИЗ0вана,
причем плос,кость эллипса поляризации совпадает с пло
скостью распространения,
Рас'смотрим HCCI<OJlbKO подробнС'с ЭЛЛlIПС поляризаЦI1И
волны, распространяющеi'Iся в воздухе (рис. 2.61).
Пусть
Ez==Emz cos «(J),tkx),
тот да
Ех == [11 :::jx I cos (шt  /lX + <f),
rде
'Ф == а rctg х/п.
в двух краЙних случаях ЭJIЛИПС вырождается 'в линию 
в ,случае, есЛ'и почва  'про-
водник, .и в случае, I<orHa
rпоч'ва  диэлектрик. В 'пср
вам 'случае вектор напря
женности поля пер'Пендику
лнрен lПоверх'ности земли.
Отсюда и из услоВ"ия (2.115)
следует, что эллипс должен
быть достаТОЧIIЮ IВЫТЯНУТ,
причем большая о'сь должна
не слишком отклоняться от
вертикали в направлении
р,аоарО'стрнения. Действи Рис. 2.61. Эллипс ПОЛЯРI1З3ЦllИ.
тельно, 'вычисления показы-
вают, что уrол наклона 'при е==5 не превосходит 220. При
больших зна,чениях е он -будет ме-ньшим.
z
к
Б. Fраничные условия Леонтовича
Соrласно уравнению Максвелла
rot Е:) == j(l)/!аНз
инеравенству (2.117) имеем
д Е з:с . Н )
---д-Z"   JWa зу,
дЕ зу . Н
==  JWa зх.
(2.130)
1 O1283
145

ttитывая (2.122)
дЕ вlIC "1 Е
...:::.. J 1l 3 эх,
дЕву 'k ь\
дz } 3 3У'
уравнения (2.130) можем представить в виде
jkзЕзх  j(J)fJ-а. Н зу, jk з Е зу  j(J)fJ-а.Нэх
или
./
Н зу   JI  Е зх ,
I-'-a
У Т
Н ЭХ === .............!. Е эу .
I-'-a
Учитывая точные rраничные условия (z==O)
Ех==Е эх , Еу==Е эу , Нх==Н эх , Ну==Н зу ,
таким образом находим rраничные условия Леонтовича
[5, сб. 11]
Ех===  (: Ну, I
Ey y a Нж.
е а
(2.131)
3амечатеJ1ЬНОЙ особенностью rраничных условий
(2.131) является то, что влияние земли при распростра
нении радиоволн вдоль ее поверхности учитывается при
помощи волновоrо -сопротивления земли V fla/e' а и нет
необходимости решать уравнения Максвелла и для воз
духа и для земли, а достаточно иметь решение только
для воздуха.
Соотношения (2.131) можно представить 'и в друrом
виде. Дифференцируя оба соотношения' по х, получаем
  Y I-'-a iJH JJ , I
дх  е' а дх
дЕ у  У I-'-a д Н" .
дх  е' а qx
(2.132)
Учитывая, что соrласно уравнению div Е === О
дЕ. дЕ.
ах::::: ,
.
146

а соrласно уравнению rot Н == jmeoE
''''- дН JJ .
ах  J(I)eoEz
и полаrая 'в дальнейшем f.La == o, ,вместо 'Первоrо
шения (2.132) 'получаем
дЕ s . k Е
 д ::::; J 1.r z.
z r е'
соотно-
(2.133)
Это приближенное rраничное условие сформулировано
впервые А. Д. Петровским и Е. Л. Фейнберrом. Анало
rичным образом у_итывая уравнение div Н == О, из KOTO
poro следует, что
дН. ........ дН s
ах  --дZ
и уравнение rot E==j(J)'f.LoH, из KOToporo вытекает, что
дЕ у . Н
ах   J(I)fJoo z'
находим вместо BToporo с:)отношения (2.132) равенство
z  jk V;} Hz. (2.134)
Формулы (2.133) и (2.134) являются, следовательно,
друrой эквивалентной формой rраничных условий
(2.131). В силу (2.115) из равенства (2.133) следует, что
изменение по высоте напряженности электрическоrо по
ля мало, а из (2.134)  что сама составляющая напря
женности маrнитноrо поля по оси .H z мала. Польуясь
этими же равенствами, можно сделать важные заключе-
ния о .характере изменен.ия СО.ставляlOЩИХ поля с высо-
тоЙ.
Из (2.133) получаем
R e l a lп Ez , R e 1..2.... aE z }  R e {  }   kX < о
t az 1' t Ez az  п  ix  п l + х. .
(2.135 )
А из (2.134) имеем
Rc { Iд ln Hz \== Re J 'дН z } ==
OZ 1 t ff z дz
== Re {jk (n  jxJ} == kx > О.
10.
(2.136)
147

Следовательно, вертикальная составляющая электриче-
CKoro поля на поверхности земли достиrает максимума
и с увеличением высоты убывает, вертикальная же со-
ставляющая маrнитноrо поля с высотоЙ возрастает..
Очевидно, что значения высот, в пределах которых
спр аведливы формулы (2.133) и (2.134), связаны с раз
мером высоты ,существенной области для распростране
ния радиоволн вдоль поверхности земли. .
Из caMoro определения существенной области сле
дует, что поле в фиксированном вертикальном ее сече
нии должно иметь в каждой точке величину одноrо и
Toro же порядка. Однако поле изменяется с высотой.
Отсюда следует, что формулы (2.133) и (2.134) справед
ливы примерно до высоты, rде, например, Ех убывает
дО IПОЛОВИНЫ своеЙ м а ксим альной величины. Эта 'высота
соrласн'о (2.133) равна
д,z ==z == \ дЕ1. Vs' I  05 yfl2+i2 . ( 2.137 )
Е1. k . ' k
От,сюда следует, что для эффективноrо приема радио
волн, созданных диполем, раоположенным на поверхно
сти земли, следует приемную антенну располаrать на
поверхности, либо поднять ее на достаточную высоту,
rде, соrласно интерференционным формулам, поле, воз
ра,стая от нуля на поверхности земли, до'стиrает дoc'Тa
точной величины.
3. Поле вертикальноrо диполя, расположенноrо
на плоской земле
Выведенные в предыдущих пунктах соотно;шения яв
ляются ПО сути дела различными формулировками rpa
ничных условий, полученными на основе приближенных
paBeHIC'rB (2.116)(2.118), наЙДенных эв:растиче,ским
путем. Эти соотношения сами по себе не MorYT дать
значения веЛИЧИlI, ,составляющих 'поля, и iНИКОИМ обра-
зом их нельзя экстраполировать на высоты большие,
чем позволено равенством (2.137).
Таким образом, нахождение величины составляющих
поля, определяемых множителем ослабления w, являет
ся особоЙ задачей. Прежде чем перейти к математиче
ским выкладкам, приведем некоторые наводящие сооб-
ражения.
148

Вначале IIастоящеr'о нараrрафа было установлено,
что существенный.' участок для распространения радио-
волн имеет фqрму эллипса с фокусами в корреспонди
рующих пунктах.. Но этот вывод был получен в резуль
тате рассмотрения распространения радиоволн вдоль
паверхности идеально проводящей земли, коrда электро
маrнитная энерrия волны не прос(:!.чивается в зеМЛЮ.
В случае же реальной земли электромаrнитное поле
волны по мере удаления ее от излучателя дополнитель
но убывает вследствие просачивания энерrии в землю.
БлаТ'одаря этому 'оущееnвенно повышается роль 'В ра,спро
странении радиоволн концевых участков трассы, примы
кающих к корреопондирующим пунктам, по сравнению
со средними участками трассы. Впервые соображения
о .существенной роли в распространенlИИ радиоволн
концевых участков трассы, абразно названных «взлет
ной» И «посадочной» площадками, были высказаны
Л. И. Мандельштамом.
Наrлядно абъяснить существование «взлетной» И
«посадочной» площадок мажно следующим образом.
Предположим, что земля является идеальным ,проводни
ком и на ее поверхности в точке О помещен вертикаль
ный диполь. Поле определяется на поверхности в точке
А. Пусть между пунктами О и А находится плоскость
80, перпендикулярная поверхности земли и трассе
(рис. 2.62). Очевидна, что. поле в тачке А можно BЫ
разить через ,суммарнае поле вторичных источникав, pac
пределенных по пласкости 80. Поле в точке А в тачна-
сти раВ'но удвоенному значе:нию э:rоrо CYMMapHoro паля.
ОраВlНИМ :вклады 'в поле, создаваемые вторичными
ИСТiOЧiНИrками элементарlНЫХ :площаlДOlК dS 1 и dS 2 , Iраопо
лажеЩ-IЫХ на различных высатах над паверхнастью зем
ли. Соrласно метаду стацианарной фазы раль площадак
в создании поля в тачке А и их вклад определяется CYM
марным расстаянием р+' (рис. 2.62). Чем меньше эта
расстояние, тем бальше вклад. Отсюда следует, что. чем
ниже расположена площадка, тем больше ее вклад
в поле в точке А па сравнению с вкладами выше распа
ложенных плащадак. .:
Пусть теперь земля не является идеальным правад
ником. В этам ,случае приведенный вывад а рали раз.-
личных площадок на пласкости 80 уже ,не является
справедливым. Дело в там, что. теперь роль различных
пл'ощадок dS 'в 'создании поля 'В точке А -определяется
149

не только суммарным расстоянием р+ " но и ослабляю
щим действием земли.
В результате утечки электромаrнитной энерrии в зем
лю поле над реальной землей оказывается ослабленным
по сравнению с полем над идеально проводящей землей.
Чем ближе к 'поверхно'сти земли fJ1лощадка dS, тем силь-
нее 'сказывает,ся ослабляющее действие земли на поле
в Itакой-либо точке этой площадки.
Следовательно, в случае реальной земли более су-
щественный 'Вклад в поле в точке А вносят вторичные
источники высоко расположенных участков плоскости
So, т. е. вклад Iплощадки dS 2 в поле в точке А больше
50
Рис. 2.б2. К объяснению
ПОНЯТlIЙ «взлетной» И
«посадочноЙ» плоuцздок.
вклада ,площадки dS 1 . Соrласно же изложенному в Ha
чале этой rлавы в создании поля в высоко расположен
ных точках площадки dS 2 наиболее существенную роль
иrрает участок поверхности земли, БJIИЗКО примыкающий
к первичному излучателю. С друrой стороны, в создании
поля в точке наблюдения А вторичными источниками
площ.адки dS 2 наиболее существенную роль иrрает
участок поверхности земли, близко примыкающий
к точке А. Отсюда и следует появление «взлетной» И
«посадочной» площадок.
Приведем теперь основные выкладки по выводу фор-
мулы для множителя ослабления по Е. Л.. Фейнберrу
[1 ].
Применив к уравнею,ю (1.4) оператор.grаd div+k 2 и
приняв во внимание (1.2) и (1.6), 'для ,составляющей Ех
напряженности поля получим уравнение
V"E z + k2Ez=== (grad% div J + k 2 Jz)
J (08 о
и аналоrичные уравнения для Еу и Ех.
В'ведя вспомоrательную функцию fP==ejhr/r и исполь-
зуя второе тождество rрина, аналоrично тому, как ЭТО
150

было сделано для-вектора П, получаеМ
Е === 1'4 1 S (grad div J + /l'JJ) dV +
J 1tCJ>! а
· V
+C (  E ) dS.
* 41t J дll  дll
S
Положим, что замкнутая поверхность S, охватываю
щая излучатель, состоит из плоскости So, совпадающей
с поверхностью плоской земли, и полусферы Soo беско
нечно большоrо радиуса (рис. 2.2). Тоrда интеrрал по
поверхности Soo равен нулю и для вертикальной состав-
ляющей напряженности поля получаем
Ez === j4r.!a. S(grad z div J + k 2 Jz) dV +
v
+  r ( дЕs   Е ..E!L ) dS.
41t J дп z дп
50
Функцию q> целесообразно тперь считать равной
eJkrl eJkrl
=== + '
'. '2
(2.138)
(2. i 39)
rде '1 И '2  расстояния от точки наблюдения и COOTBeT
ствено от ее зеркальноrо lизображени ОТНОClительно
плоскости So до какойлибо точки внутри области над
плоскостью So.
в (2.138) под знаком поверхностноrо интеrрала BTO
рое caraeMoe исчезает, так как &р/дn==О. Воспользо
вавшись равенством (2.133)
дЕ.  А Е
дz  у;Т z
и учитывая, что
дЕ s  дЕ.
дп  дz'
.
вместо (2.138) п )лучим
Ez === j4 1 S (gradz div J + klJz) dV 
1tCJ>l a
V
jk S e JI\r
E dS
21tV.' Z' ,
50
(2.140)
151

rде r  раССТОЯННе от точки наuлюдения до текущеii
точки на поверхности земли (плоскости 50).
ВЫЯСНl1:\1 физический смысл слаrаемых в формуле
(2.140) .
Предположим, что земля является идеальным про
водником, т. е. Е' ==joo; тоrда второе c"laraeMoe с. по
BepxllocTHblM интеrралом исчезает. Объемный интеrрал
дает, очевидно, значение вертикальной ,составляющей
напряженности поля над идеально ПрОБодящей почвой.
Если при ЭТОI\I точка наблюдения наХОДIПСЯ на поверх
rюсти земл 11, то объемный ннтеrрал должен равняться
значению напряжеННОСТII электрическоrо поля при
идеальной радиопередаче, т. е.
Ez  Eoz "4 1 [S (grad z div J+ k 2 J z)r.p{lV J ==
J пСйЕ а
\1'
. 1207t/l
 J л.
e/kR
R
ikR
 B ,
 R
(2.141)
rде R  расстояние от диполя ДО точки наблюдения,
В  j 127t/l
Таким образом, повеРХНОСТRЫИ интеrрал в (2.140)
учитывает отличие земли от идеальноrо проводника. Ha
пряженность 'Поля, входящан ,под знак J10BepX,HoCTHoro
интеrрала выражения (2.140) в точке, находящеися на
расстоянии R' от диполя, может быть представлена
n виде
ik''
EzEozwB w(R').
Подставлня это выраit<ение в (2.140) и .уtiИТЫВЗп
находим
ejkR
EzB..
(2.141),
jkr
Х е
,
jk 5 в cjk/'
2п JI R' w (R') Х
So
eikR
dSBw(R).
(2.142)
Произведя сокращение, получаеl\l
нение для функции w:
jkR  ei (r+ R'.)
W ( R )  1 
 п у;Т . ,R'
80
интеrральное ypao
w (R') d5.
(2.143)
152

Совместим теперь координатную плоскость ХУ с пло
скостыо 50, а oc..x  с JIИllИей наблюдения, причем Ha
чало координат поместим в точке расположения диполя.
На .плоскости 50 И в этом случае можно выделить уча
сток, имеющий существенное значение в распростране
нии радиоволн. Соrласно изложенному ранее этот учас
ток можно IПОЛУЧИТЬ В результате пересечения эллипсои
да вращения с фокусами в точках О и А с rоризонталь
ной плоскостью 50. Стало быть трасса распространения
(111
А

R
Рис. 2.б3. Трасса распространения радиоволн.
радоволн вдоль поверхности земли представляет собой
весьма 'вытянутый ЭЛЛll'пс, содержащиЙ 'первые 'несколь
ко зон Френеля (рис. 2.63). Размеры этих зон опреде-
ляются формулами:
большая полуось
. R + л
аn==т Il т ,
малая полуось
I 
Ь" == т VIlI..R.
в пределах трассы i\10rlШО положить
R' == V х2 + уЗ  Х + .;/2 ; I
x
(2.144)
r == V(R  х)2 + уЗ  Rx + 2 (RY х) ;
w(R') w(x). (2.145)
IIнтеrрирование по плоскости 50 можно свести к ИН
теrрированию по х в пределах от О дО R, а по у, по
153

скольку эллипс очень узок,  в пределах от oo до
+ 00. Следовательно,
Roo ( .k R )
jk r S ехр  J 2""" у2 Х (R  х) Х '
w ( R) === 1  2.,. V в' J х (R  х)
о oo
х w (х) dxdy.
(2.1'46 )
Интеrрал по у равен
00 5 ( . у2 R ) '11 f 27t Х (R  х)
ех р  J k """"2 х (R  х) d у === V}k R
oo
(2.147)
I
Поэтому, обозначая
jk
 ----v === S,
(2.148)
получаем
w (R) === 1  j · / sR J  W (х) dx. (2.149)
f 7t V Х (R  х)
о
Решение этоrо интеrральноrо уравнения дает следую
щее выражение для множителя ослабления:
У'jI
w (R) = у (р) === 1  2е p Vp 5 eVdv ===
joo
Vp
=== 1  j vщ> eP  2 eP ур S e'()l dv , (2.150)
о .
rде р  определенная комбинация пара метров R, е, <1, 0),
называемая численным расстоянuем (безразмерная Be
личина) и равна
р == sR .
Таким образом, амплитудное значение
ст авляющей поля равно
1207t/ m l I
Е тх === лR У (р) 1.
(2.151 )
вертикальной co
(2.152)
Приrодная для инженерных расчетов формула для :мo
дул я множитеtТ"lЯ ослабления впервые была получен
М. В. Шулейкиным в 1923 r. Аналоrичная формула за
рубежом была опубликована лишь в 1931 r. a.Hдep-
154

Полем. Выражение (2.152) известно ПОД нзванием фор
мулы ШулеЙк,ипа  ВандерПоля. Кривые модуля
множителя ослабления изображеlНЫ на рис. 2.64, rде по
оси абсцисс отложена величина
21pl ==2I s IR.
(2.153)
Параметром для семейства КРИВbIХ (рис. 2.64) служит
величина
с == ..2L == (ЮЛа .
Е а
(2. (54)
Верхняя кривая относится к случаю  1 (который
имеет место тоrда, коrда волны достаточно ДЛИННbIе,
а почвы хорошо проводящие) , а. нижняя  к случаю
== О, т. е. к случаю плохо проводящих почв И достаточ
но коротких волн.
Для хорошо проводящих почв s  О и, следователь
но, р== О, У (р)  1. Стало быть при малых расстояниях
амплитуда напряженности поля убывает, как и над
идеал ьно проводящей почвой, т. е. ПО закону 1 jR. При
больших численных расс,!ояниях
1 1
y(p) == .
2р 2sR '
(2.155)
т. е. множитель ослабления есть убывающая функ
ция р.
Вообще же закон убывания у (р) меняется с измене
нием р. Однако во всем интервале изменения р множи
тель ослабления у(р) убывает не быстрее l/р. Следо-
вательно, закон изменения с расстоянием амплитуды
на,пряжеННQrСТ'И поля при увеличении численноrо расстоя-
ния меняется от 1/Я дО I/R2. Множитель ослабления.
является комплексноЙ функцией
у(р) - lу(р)lеJq1(Р)===lw(R)lеJtp(R).
Выяним физический смысл aprYMeHTa множителя ос-
лабления <p(R). Уравнение поверхности равных фаз вол
ны' имеет вид .
(J)tkRЧ'(R) ==-const;
фазовая скорость волны получается путем дифференци
ров ани я этоrо уравнения по времени, т. е.
w  k -  'Р' (R) ; === О,
155


f\I
15б
..
'"'

f:)"

tt)





t-.
са
I.Q
...
''...)
c'.j ..,
I 
J)'J.
 ') ') f/
t::':I

t.r)

.....
..

С;:;)..
---..

 
"'.. f:::J"
::ь   ....
, 
 с:)
t:::J' . с::.....  ... е::;
 r--- - r'!

.1
,
./

"

iI'
"
.1
11
'"

,  
." вт C"I/
711/1' I.r')
.;:,.

h)
t::':I
....:-
Ll)
c:-r

t::;;'
"

C\I ....
... f::;)-
t"Ij

..
t:J:: tt:
== :=
ffi.i
r::o.<
\о f-< Ь ..
ij8ci
  11 
,JJ)
t:J:: О ;;:;-
r:;
Q) о Cl.,..
;;tu
;:Е   OIJI О
   
;:;: ::r t:: ..
- N"
t:J:: t:J::.:= 11 ..
r-: r-; := .J...I'
;...,>-.:r: с;
r....(r1.  о;- 11
oo IJJ
::;;  :r: .r;
Q) f-o CI) О \,()
:aO><:.J...I'
=
c'f-o::r
   8"
, " CI) 11
;:f;==1JJ
.  а..
C'lcatt::::;-

о.. са

откуда
dR (J) ct) 1
dtVФ === k + ер' (R) T 1 + tp' I()
с
ер' ( R)' ( 2. 156)
1+
r де с == ш! k  скпрость света в вакууме.
Из ЭТОЙ формулы видно, что фазовая скорость изме-
няется с расстоянием R, поскольку ер' (R), вообще rOBo
ря, отлично от нуля. Однако нетрудно видеть, что при
больших расстояниях <р" (,R) == О. в ,самом деле, cor Л:JСНО
(2.155) и (2.148), учитывая, что 18'1»1, имеем
 ==  arg (  s  ) ==  arg (- : ) ==
===  arg( je')===  [  ; + arg(s  j1j)J==
==т  ar,g (е  j1j).
Здесь MorYT иметь место два крайних случая: ё.«:'У],
тоrда <р==л, либо gll, тоrда 'ЧJ,==n/2. в промежуточных
случаях ер принимает значения, лежащие между л/2 и
л. С друrой стороны, при малых численных расстояниях
ер== О. Отсюда следует, что aprymef-!:Т множителя ослаб
ления с увел'ичением расстояния R возрастает от О до
HeKoToporo постоянноrе чю;ла, лежащеrо между л/2 и п.
На рис. 2.65 приведена зависимость ер от модуля чис
ленноrо расстояния 1 р 1 для разны почв. На рисунке
обозначено
е:
0/ === arctg ,
'1J
Следовательно, соrл асно (2.156) фазовая скорость, BO
обще rоворя, возрастает с увеличением R и при боль
ших численных расстояниях принимает постоянное 3Ha
чение с.
Наиболее суще'ственный результат 3Toro paCCMOTpe
ния состоит именно в установлении факта постоянства
скорости распространения радиоволн при больших чис-
ленных расстояниях. Скорость распространения рад-ио-
волн не зависит от пара метров почв, над которыми они
распространяются, и равна скорости распространения
в воздухе. Это обстоятельство имеет существенное зна
чение для таких отраслей радиотехники, как радионави
157

rация, радиоrеодезия и радиолокация. Вопрос О CKOpO
сти распространения радиоволн над поверхностью зеi\IЛН
l3сеСТОрОlше теоретически и экспериментально исследо
пался rрулпоЙ совеТСIШХ ученых под руководством
Л. И. .1Vlандельштама и Н. д. Ilапалекси в период
с 1934 по 1940 r.
Теоретическое исследование фазовой структуры поля
и скорости раСIпространения, основные результаты KOTO
рых изложены выше, проведены П. А. Рязиным {5, сб. 1].
Экспериментальные исслеДQвания, полностью подтвер
дившие выводы этих теоретических изысканий, выполне
ны Я. Л. Альпертом и В. В. Миrулиным [5, сб. 1].
"i!',zpao
f'fO
fOО
ВО
20
о
8
'б
?4
32
O  ,рl
Рис. 2.б5. Эависимость aprYMeHTa множителя ослабления от модуля
числеЮlOrо расстояния.
Теория шзлучения диполя над плоской землей в сво-
ем первоначальном виде как уже было сказано, была
созана ЗОI\Ы1ерфельдо в 1909 r. В jO время ;возмож
ность влияния ионосферы на распространение адио-
волн казалась только rипотезой. Поэ':ому одну из rлав
ных задач своей теории ЗоммерфелЬ'д усматривал в том',
чтобы объяснить сверхдальнее распространение радио
волн ,По поверхности земноrо шара, не прибеrая к rипо
тезе о ионоофере. Кроме Toro, 30ммерфельд своей Teo
рией пытался cTporo обосновать ВОЗМОЖНОСТh. cyiцecTBo
вания поверхностных волн Ценнека.
В 1907 r. Ценнек разработал приближенную теорию
о раСПРОСТRанении радиоволн вдоль земной поверХl;IОСТИ,
как бы по направляющей поверхности, вблизи которой
концентрируется наибольшая часть энерrии электро
маrнитноrо поля волны. Блаrодаря ,своей простоте и Ha
rлядности концепция поверхностных. во.лн ЦHHeKa при'
обрела в свое время широкую популярность. Однако
эта концепция ошибочна. Ее ош,ибочность обнаружится
158

сразу, как только попытаемся выяснить, с какой ско-
ростью распро'страняется эта ВОЛlна. В этом можно убе...
диться не выходя за рамки простейших выкладок.
Действительно, соrласно Ценнеку, составляющие Ha
пряженностей поля Е:х, Ez и Ну на большом расстоянии
от диполя представляются в виде
J (ka:x+kz z )
и; === ио; е
Постоянные kx и k z определяют собой направление pac
пространения волны.
Поскольку волна соrласно Ценнеку поверхностная,
постоянная k z должна быть комплексной величиной.
Для упрощения будем k z считать чисто МНИМfulм:
kz==ilkzl ==jp.
При этом обеспечивается экспоненциальное убывание
поля по мере удаления вверх по поверхности земли.
Cor ласно уравнениям Максвелл а
k 2 + k 2 === (J)2l-L o e o === k 2 (А)
:JC z
(для воздуха 1-'-11  I-Lo' е ll  во).
Отсюда получаем
k x === Vk' + р3
н, следовательно,
(J)
vж==т ...........с,
l1li
(5)
т. е. фазовая скорость V x должна быть меньше CKOpO
сти свеТа с и поверхностные 'волны Ценнека должны
быть замедленными. С друrой стороны, из 11 уравнения
Максвелла, при учете приближенноrо rраничноrо усло
вия Леонтовича, получаем
k z '===  k/V-;
(считая для упрощения почву диэлектриком). Подстав
ляя в соотношение (А) выражение k/V;: вместо ;0..,/ k z ,
находим
k:x===k (1   )
и. следовательно,
а х ===: .;. J == : (1 + 2 » С,
159

т. е. фазовая скорость VX, в противоположность COOTHO
'шению (Б), ДОЛЖ на быть больше скорости света. Сфор
мулированное здесь внутреннее противоречие концеп
ции поврхностных волн Ценнека и есть наиболее рез
кое выражение ее ошибочности.
4. Поле rОрИЗ0нтальноrо ДИПОЛЯ; расположенноrо
на плоской земле
без доказательства формули,ровку теоремы
'взаимности для Iпростейшеrо
случая излучателей  для
эле.ментарных диполей.
Пусть в среде с ком'Плекс
ной ди-электричеокой прони
цаемостью 8', которая MO
жет зависеть от координат,
в точке 1 ра СiПоложен элемен
Рис. 2.б6, К определению ПОJI5J тарныЙ диполь е электри
rОрИ30llтаЛbJIOrо диполя. ческим моментом Рl. Пусть
напряженность поля, соз
даваемая диполем в точке 2, равна Е 1 . 'Уберем этот ди
поль и поместим в точку 2 друrой диполь 'с моментом
Р2. В точке 1 диполь создает поле с напряженностью
Е 2 . Тоrда будем иметь следующее соотношение:
Рl Е 2 == р 2 Е 1 . (2.157)
Пусть теперь требуется оаределить поле rОРИЗОlIтаЛL
HOI'() диполя В lIаправлении el'o оси, т. е. в направлении,
совпадающеl\l с направлением дипольноrо момента р.
Это поле в точке 2 обозначим через Er== Е 1 . Поместим
вертикальный диполь в точку 2 Поле этоrо диполя
в точке 1, rде расположен rоризонтальный диполь, из
вестно; 0110 равно Е в == Е 2 (рис. 2.66).
Совмести'в ось Х с вектором Рl соrЛ;lСНО теореме
взаимности ПОЛУЧИl\1
Как известно, поле rоризонтальноrо диполя, лежа
щеrо на идеально проводящей земле, всюду тождест
венно равно нулю. Если же почва не идеально проводя
щая, то llOЯВЛЯЮТСЯ составляющие поля, отличные от
нуля. НаЙдем это поле с помощью соотношений, полу-
ченных для вертикальноrо диполя и теоремы взаимно
сти.
Приведем
Z
! ,E
2
х
РI Е вх == p2Erz.
160

Положив
Рl == Р2,
(2.158)
найдем
Erz==EBX' (2.159)
Соrласно выведенным ранее соотношениям между со-
ставляющими будем иметь
1
Erx=== v  Erz'
Е'
или, учтя (2.159), получим
1
Етх=== V  Евх, (2.160)
Е'
Наконец, приняв во внимание, что уrол между осью Х
и Ев тупой, придем к следующим соотношениям:
1
Erz===BBx== ..,r EozY(p), (2.161)
JI е'
1 1
ETX=== y  ERX===EozY(p). (2.162)
Е '. е
Ориентация векторов показана на рис. 2.66.
Пусть теперь поле определяется не в направлении
оси диполя, а под некоторым азимутальным уrлом <р
p 
а)
..
А Х
5)
Рис. 2.б7. Диаrрамма направлеНIIОСТИ rОрИЗОIlтальиоrо диполя, pac
ПОЛОЖСШlOf'О lIа земле IЗ rоризонтальноЙ плоскости.
к ней (рис. 267,a). Совместив с направлением ОА ось Х,
можем теорему взаИМIIОСТИ записать в виде
Рl cos q> E nx==ErzP2' (2.163)
Стало быть, положив Рl == Р2, получим
E rz == COS ер Е ВХ. (2.164)
Таким образом, соrласно формулам (2.161) и (2.162)
EпEHX cOS===  JI EozY(p)coscp, (2.165)
Е 1 Е 1
тх=== УЕ' BxcosCP===7EozY(p)coscp. (2.166)
lбl
111283

Следовательно, диаrрамма направленности в rори
зонтальной плоскости имеет вид, изображенный на
рис. 2. 67,6. Излучение является направленным, причем
максимум излучения имеет место вдоль оси диполя.
Возникновение поля излучения вдоль оси вибратора
можно объяснить появлением вертикальных токов меж
ду вибратором и ero зеркальным изображением.
5. Пол.е диполей, расположенных в земе
Практический интерес представляет также задача
о поле диполя, расположенноrо в земле или в морской
воде. Такая задача соответствует, например, радиоли
нии, в которой передающим пунктом является поrружен
ная в море подводная лодка. --
Теория распространения радиоволн, изложенная
в предыдущих пунктах этоrо параrрафа, позволяет наи
более коротким путем решить и эту зада.чу. При этом
получим справедливое решение, коrда корреспондирую
щие пункты расположены вблизи поверхности земли.
Соrласно формуле (2.121) составляющие поля в зем
ле, создаваемые излучателем, находящимся над зем-
лей  в воздухе, равны
Е Е О /kэz
3% (х, z) == З% (х, )е
Е зх (х, z)==Езх(х, O)e/ kaZ ,
(k з == k (n  j'1J; z < О).
Учитывая rраничные условия (2.126), вместо этих
выр ажений можно записать
Е (х z)  Е1. (х. О) е/ kзZ I
3% 'e' ,
(2.167)
Е зх (х, z) == Е х (х, О) е /ka z .
Следуя общей идее теории о наличии области, сущест-
венной для раrпространения радиоволн, найдем эффек
тивный путь распространения волны от излучателя до
точки наблюдения А, находящейся в земле на rлубине
I zl.
Соrласно 'изложенному в предыдущих пунктах Ez и
Ех определяются множителем ослабления у(р). Э:rОТ
множитель очень мало изменяется на отрезке, равном
длине волны Л, в в'оздухе и еще меньше IЩI отрезке, paB
lб2

НЬм длине :волны Аз в земле, поскольку Лз. Поэтому
поле в точке наблюдения А определяется rIOйrенсов
скими истачниками, распределенными на оrраниченном
участке поверхности земли, распаложенном непосред
ственно над точкой наблюдения. В самом деле, поле
в точке А в соответствии с формулоЙ Кирхrофа может
представляться интеrралом по замкнутой поверхно'сти,
ахватывающеЙ точку А и образованнай плоскостью зем
ли 50 и полусферой большеrо радиуса, проведеннай
в земле.' Интеrрал по полусфере равен нулю. Остается
лишь интеrрал па П.поскости, в паДblнтеrральное выра-
жение KOToporo входят Ez(X) и Ех(х). Этот интеrрал
соrласна методу стационарной фазы свадится при
I k3 Z I  1 к интеrралу по весьма о'rраниченнаму сущест
венному участку ,поверхно О
crи So, расположенному He " ...... 
посредственно над тачкой ///I/Ik..V/I/ff/ .
наблюдения. 
!аким 'Образом эффек1'ИВ- а) А
ныи путь распространения
радиоволн ат излучателя,
рас.п.оложен'наrо над землей
в ТО'Ч1ке О до точки наблlO
рения А', р а,сположенно.й
в земле, далжен быть при-
мерно та.ким, как это иза-
бражен'о на рас. 2.,68,а. Рнс. 2.68. К расчету поля ди-
Если излучатеJlL располо- rЮJJе(r, расположенных в зеМJJе.
жен в земле, то очевид-
но, на основании изложеннаrо, что эффективный путь
волны ДО тачки наБЛlOдrния А, находящейся в воздухе
над землей или да тачки наблюдения А, находящейся
в воздухе, должен быть таким, как эта изображено на
рис. 2,68,6. Этот эффективный путь определен на основе
принципа взаимнасти, состоящеrо в том, что при абмене
местами точечных излучателей этот путь не должен ме-
няться. Для To-ro чтобы найти величину паля, необхо-
димо воспользоваться теоремой взаимнасти в фармули-
равке (2.157). При этом будем считать, что имеется ра-
венство (2.158), тоrда теорему взаимнасти можно будет
пместо (2.157) сформулировать двумя равенствами:
E 2z === Е 1z; Е 2х == Е 1х .
С помощью этих равенств, используя формулы предыду-
щих пунктов этоrо параrр.афа, !l также формулы (2.167),
11. 163
А'
t////////t
5)

нетрудно сразу написать выражения для полей, созда
ваемых вертикальным или rоризонтальным диполем,
расположенным в земле в точке О как для точки А, Ha
ходящейся в воздухе над землей, так и для точки А,
находящейся в земле. Эти выражения сведены в сле
дующую таблицу.
\
ДIlПОЛЬ
Тuчка наблюдения А
в воздух.е над землеЙ
Верти
кальный
Е 'k
Е   J з zо ( )
z  е' е у р
Р. 'k
Е   J з zо ( )
;с  у7 е у р
rоризон
тальный
E oz ;k Zo
F.'Z== V  e з Х
е' Е'
Х У (р) COS 1(
Е . k
Е   J з Zо
'х   Е' е Х
х у (р) cos ер
1 ТО,", наблюдения А н ,ем..
Е  E oz ;k з (zo+zA) ( )
зz  Е,2 е у р
Е  F. oz jkэ(Zо+ZА> ( )
'Э:JC  v;r е у р
(2.168)
Eo'Z Х
Е 3 Z ==  2 ./ 
е' ... е'
jk (z +<'А)
Хе з о У (P)COSIf
. Eoz
ЕЭ:JC==7Х
;k (Zo+ZA>
Х е Э у (р) COS tp
При написании выражения Е эz для ,случая, коrда точ
ка наблюдения А находится в земле, мы дважды приме
нили rраничное условие (2.126).
Очевидно, что cor ласно методу отражательной трак-
товки, кроме вычисленноrо здесь поля так называемой
боковой волны в точке наблюдения А должны сущест
вовать еще поля двух волн""""':' прямой И отраженной от
поверхности, земли. Однако в силу Toro, что 0'*0 и
IZO+ZAI R, ослабление этих волн значиi'ельно больше
ослабления поля боковой волны rИ [юлями ЭllИХ вол'н
можно пренебречь.
6. Распространение радиоволн вдоль неоднород.ной
трассы. Береrовая рефракция '
Реальная поверхность земли не является однородной, т. е. элеl{-
трические параметры почвы не один аковы вдоль всей трассы, как
это преднолаrалось до сих пор, Рассмотрим, как это обстоятельство
повлияет на распространение радиоволн вдоль трассы. Этот вопрос
lб4

в общем случае весьма сложен. Однако в БОJ1ьшинстве случаев
удается обнаружить факторы, упрощающие постановку задачи, и
находить сравнительно простые методы решения, приrодные при дей.
ствии именно этих .фактuров.
Так, зачастую доnутимо в уравнении div (8' аЕ) ==0, ПО,ТIучаю-
щемся из 11 уравнения Максвелла, считать комплексную диэлектри-
ческую nроницаемость е' постоянной величиной и соответственно
исходить из БОJlее ПРОlтоrо уравнения div Е==О. Это, очевидно, будет
правильно, если изменение е' а В пространстве происходит значитель-
но медленнее, чем аналоrичное изменение искомой напряженности
поля Е'.
КоличественныЙ критерий медленности, который в дальнейшем
будем называть «критерием М», определяется конкретными условия-
ми задачи и методом ее решения.
Во мноrих случаях упроuцающим фактором, позволяющим ре-
шить приближенно задачи о распространении радиоволн вдоль не.
однородной трассы, ЯВ,[Iяется то, что rраницы между HeOДHopOДHO
стями выражены нерезко.
Всестороннее исследование распространения радиоволн вдоль
таких неОД\lОРОДНЫХ трасс было выполнено Е. Л. Фейнберrом [1].
В настоящем пункте при водятся наиболее существенные ре:аультаты
ero исследований.
Рассмотрим трассы, состоящие из двух и трех разнородных
участков. Как уже было сказано, rраница между соседниМИ уча-
стками в деilствителыюсти не является резкоii  это переходная
полоса, имеющая конечную ширину, в пределах КОТО'рой электриче-
ские параметры плавно, медленно меняются. Критерием М здесь
является неравенство
2тсЬ
T.I,
(2.169)
rAe Ь  ширина переходной ПО1l0СЫ. Однако в дальнейшем мы' будем
,интересоваться полем только вне этой rраничной полосы и поэтому
будем ее изображать линией.
Скачки напряженности поля. Рассмотрим трассу, состоящую из
двух разнородных участков (рис. 2 69, а). Пусть участок с параметром
k
почвы 8) ==  j  2 ' . примыкающий к передатчику, имеет протяжен
s 1
. k
ность Х 1 . а участок с пара метром почвы 52   J 28'2 ' IIрИМЫКаю
щий к приемнику, имеет протяженность, х. Тоrда при условии, что
численные расстояния обоих участков велики, т. е.
I Sl X l 1> 1, }
I 52 Х зl  1,
(2.170)
множитель ослаБJlения соrласно Е. Л. Фейнберry буде:r равен
1
Y=== ,
2 У 5 1 5 2 R
(2.171)
lб5

rде R == Х1 +Х2. Симметрия множителя ослаБЛС'l-IИЯ относительно па-
раметров SI и S2 отражает уже отмеченныЙ ранее факт наличии
пр раСllространеюiИ радиоволн двух одинаково сущ€'ственных уча-
стков, примыкающих соответственно к передатчику и приемнику.
Формула (2.171) также показывает, что составная трасса при
условии (2.170) может рассматриваться как однородная трасса с па-
раметром s, равным среднему rеометрическому параметров SI и S2
обоих участков, При этом, однако, следует иметь в виду, что в дей-
ствительности изменение поля вдоль трассы не аналоrично изме-
lIению 'поля вдоль однородноЙ трассы.
Наrлядно картину изменения напряженности поля вдоль всей
трассы в соответствии с формулой (2.171) можно представить сле-
дующим образом. Пусть участок, примыкаюuций к передатчику, обла-
дает меньшей ПрОБОДИМОСТЬЮ, чем участок, примыкающий к прием-
нику, т. е. IS11 > 1521. Тоrда напряженность поля в пределах участка,
примыкаlOщеrо к передатчику, на больших численных расстояниях
от Hero будет изменяться в соответствии с Мllожителем ослабления
У1  1/2s1X' При переходе же на второй участок при 1 S2X21» 1
напряженность поля будет изменяться соrласно формуле (2.171).
Но
1*1<I YlS2 1<1 : \.
Поэтому при переходе на второЙ участок должен иметь место ска-
чок напряженности поля вверх. Наоборот, если vчасток, примыкаю-
щиЙ к передатчику, обладает параметром ISII<rs21, то при перехо-
Де на ,второй участок ,должен ,быть -скачо.к напряженности ,поля
вниз.
Таким образом, если изобразить зависимость напряженности
поля в лоrарифмическом масштабе от расстояния для составноЙ
r, Xz
O  A
а)
Lgl.
Е о
LgL
€o
.
6)
R
8)
R
Рис. 2.б9. Скачш{ напряженности поля на стыке двух разнородных
участков трассы.
трассы в случаях ISII>IS21 и ISII<IS21, то они будут выrлядеть
так, как показано на рис. 2.б9,б и 2.69,8.
Наличие скачка напряженности ПО.1Я при переход€' через rpa-
ницу между участками с раз.'lИЧНЫМИ параметрами почв хорошо
подтвеР>l\дается экспериментальными данными. Наиболее четко этот
эффект проявляется в случае трассы, состоящей из суши и моря;
на рис. 2.70 приведены результаты измерений для такоЙ трассы.
Пусть трасса состоит из трех разнородных участков протяжен-
ности ХI, Х2, ХЗ (рис. 2.71,а) и при этом выполняются условия:
1 5 1 Х 1 I  1 J }
I 5 2 Х 2 I  1 J
I s аХа 1  1.
(2.172)
166

Учитывая здесь выводы относительно распространения радиоволн
над двумя разнородными участками, можно изобразить зависимость
напряженности поля от расстояния так, как указано lIа рис. 2.71,6
и 2.71,8. Множитель ослабления в этом СJJучзе при Х! R равен
1
Y== .
2 УSlSЗ R
(2.173)
rде R==Xt +Х2+ХЗ'
ИЗ формулы (2.173) ВИдно, что поле не зависит от свойств
среднеrо участка и определяется свойствами только концевых участ
ков, примыкающих к передатчику и приемнику. Это обстоятельство
Рис. 2.'10. Сравнение данных
измерений напряженности поля
при переходе через береrовую
черту с теоретической кривой.



..

 101
t::

::; {02

Q)
 10


еще более резко .подчеркивает существенную роль «взлетной» И
«посадочной» площадок. Отсюда следует, что' целесообразным выбо-
ром места расположения передатчика и приемника можно значи-
тельно увеличить дальность действия радиолинии. Передатчик и
оХ, :L'z :rJ
OA
а)
5)
fi
8)
R
Рис. 2.71. Сi(ачки н апряжеНIIОСТII поля на стыках трех раЗIIОРОДНЫХ
участков трассы.
приемник необходимо раСllOлаrать на пuчвах С' маЛЫМIi значениями
параметров St И Sз, т. е. с БО.JJЬШНМИ ::шачсниями параметров ()' и Е.
Такими параметрами обладает морская вода, которую в большин-
стве случаев можно рассматривать как идеальный проводник (s==O) ,
хотя в последнем случае фОР\1ула (2.173) неприменима,
Важное значение концевых участков хорошо иллюстрируется
кривыми множителями ослаблеюш J1.ля двух случаев: коrда KOH
цсвые участки  морская ВОДа, а срсдний участок  суша, и коrда
OHцeBыe участки  суша, а средний участок  морская вода
167

(рис. 2.72). Ра'счеты проделаны
'в ;пред'положении, что МОРСIая
!В,ода  и\деальный 'ПРOiВOIдни'к, и
выполнены IПО формулам, которые
можно найти rв ориrинальных ра-
ботах Е. Л. Фейнбе.рrа.
Приведенные КiPИ!вые показы-
вают, что хорошо проводящие KOH
ЦClвые участки \ рез,ко повышают
у.ровень IПОЛЯ, даже IЮI'lда они от-
носительно малы. Относительно же
малые плохо ПрOlводящие :конце-
цые участки резко 'снижают ypo
o,G 8,8 2« вень 1П0ля. НаОlборот, хор,ошо IПРО-
R IВОДЯЩИЙ или плохо ,проводящий
с'редний У1ча,стOiК 'Трассы мало Iвлия-
ет на уровень /поля. Эти 'К'ри.вые
весьма наrлядно иллюстрируют
,роль «'Взлетной» И «.посадочноЙ»
площадок.
Береrовая рефракция. В неко-
торых случаях IПрИ прохождении
радиоволн через береrовую черту с моря на сушу или наоборот
имеет место искривление пути распростvанения волн. Это явление
носит название береrовой рефракции, Рассмотрим лишь те случаи,
I<оrда береrовая рефракция может иметь практическое значение,
при этом морскоЙ участок будем считать идеальным проводником,
т. е. 8==0. Пусть морской участок примыкает к передатчику; 51 ==0
(рис. 2. 73,а).
Если участок суши имеет малую протяженность, т. е. Х2 «R, то
'У'
0,1
D,DS
J
0,01
о,О05
О,ОО1
 О
Рис. 2.72. Кривые множителя
ослабления для двух случаев:
концевые участки  морскя.я
вода, концевые участки 
суша.
2j V (2.174)
У  1  У 7t 8 2 Х 2
при
I S2 X 21  1 (2.175)
и
j (2.17б)
Y=== Ji S2X2
при I S2 X 2!  1.
(2.177)
PacCMOTpIll\1 ТlруrоЙ случай.
Пусть MOpCKOII участок примыкает к приемнику: 82==0
(рис. 2.74,а). Формулы. для множителя ослабления в этом случае
можно получить из формул предыдущеrо случая, пользуясь Teope
юЙ взаимности.
Если протяженность участка суши мала, т. е. Х1 «R, то
2j V 
у  1  V 1t ь]Х]
ПРИ
168
(2.178)
ISIXlll
(2.179)

и
при
j
y 
у 7CS 1 X 1
(2.180)
ISlXl I  1.
(2.181)
в обоих случаях, Korдa морской участок занимает почти всю трассу
при малых численных расстояниях сухопутноrо участка, мн)житель
 R ,
х, 
51= 0
а)
 R J
J:. 2
52=0
е
о)
Рис. 2,73. Береrовая рефракция
при переходе с моря На сушу,
Рис. 2:/4. Береrовая рефракция при переход е с суши "а море.
ослабления мало отличается от единицы, При этом, как следует
из более точных выражений для у, содержащих в формулах (2.174)
. S.X.
И (2.178) еще экопоненциальный Мlножитель вида е 1. 1., r,де Si и
Х i  па раметр и протяженность сухопутноrо участка, I у I < 1.
При больших ЧИСJ1еIIНЫХ расстояниях сухопутноrо участка, как
следует из формул (2.176) и (2.180), множитель ослабления с YBe
личением численноrо расстояния убывает медленнее, чем при OДHO
родной сухопутной трассе. В то время KK над однородной почвой
lб9

множитсль ослабления убывает пропорционально первоЙ степени
LJислеlIНоrо расстояния, здесь при больших ЧИСЛСIIlIЫХ расстояниях
сухопутною участка МllOжитеJIЬ ОСJlаБЛС/IНЯ убывает обратно IIрО-
порционально корню квадратному из Toro р'асстояния. Объясняется
это тем, что большоЙ }ч.асток трассЬ! занимает морская вода (ИiI;е
альныil проводник) , уменьшающая ослаб.пенне поля.
В приведенных выше случаях множитель ослабления является
веЛllЧИНОЙ комплексноii, т. е. y IYlejtp. Это означает, что напря.
женность поля над неоднородноlt почвоЙ СТЛИI(С1ется от напряжен
ности поля lIад идеально проводящеЙ почвой не только по амплнту
де, 110 и по фазе. При этом в случаях (2.176) и (2.180) фаза (j) не
зависит от расстояния, так как, например, в выражении (2,176) apry
мент МlIожителя ОСЛ<lбления, определяемый СООТIIO,шением
1т {  j }
t 'f == V 82. == const,
J ---=-L.. }
e 't vS;:
равен постоянной, не зависящей от расстояния R Dсличине.
В случаях же (2.174) и (2.178), коrда протяженность суши мала,
aprYMeHT множителя ослабления ер зависит от длины сухопутноrо
отрезка трассы, т. е. не является величиноЙ постоянной. Последне
обстоятельство "риводит, как увидим. далее, к искривлению фронта
DОЛНЫ н соответственно к изменению направления распространения
волн при прохождении через береrовую черту. Явление изменения
направления распространения радиоволны при прохождеН}iИ через
береrовую черту называется береzовой рефракцией. БЕ'реrовая ре-
фракция, стало бы'ть, имеет место в тех случаях, коrда какоilлибо
из корреспондирующих "унктов расположен вблнзи бреrовой черты.
Из изложенноrо с.1едует, что так называемый уrол рефракции
уrол между направлением распространения в отсутствие береrовой
рефракции и направ.1ением распространения при наличии рефрак
ции (уrол а, рис. 2.73,6)  определяется в обоих случаях комплекс-
ным множителем у. действительная часть KOToporo незначительно
отличается от единицы. Следовательно, в обоих случаях для мно-
жителя у справедливо приближенное равенство
y==:If==eJ. ('2.182)
Отсюда находим, что действительная часть f определяет изменение
амплитуды напряженности поля при прохождении радиоволн через
береrовую черту, а мнимая часть f определяет изменение фазы на-
пряженности поля, т. е.
Im{f}==qJt,
(2.183)
rде ЧJ!  aprYMeHT множителя ослабления. СуществещJO, что ер. за-
висит от протяженности и электрических параметров cyxonYTHoro
участка трассы.
Найдем теперь уrол рефракции а. Для определенности рас-
смотрим случай, коrда передатчик Qасположен на море, а прием-
ник  на суше. Следовательно, применима формула (2.174). Ось Х
совместим с линией наблюдения ОА, а начало координат  с точкой
расположения передатчика (рис. 2.73,а). Пусть пунктирная линия
изображает фронт волны при отсутствии береrовой рефракции,
сплошная линия  фронт волны при. наличии рефракции. Уrол меж-
ду нормалями к обоим фронтам в точке приема. т. е. уrол между
170

llOрмалями к соответствующим поверхностям равных фаз, есть уrол
рефракции (rис. 2.73,в).
Невозмущенная поверхность равных фаз определяется равен-
ством
а возмущенная kR
'Ф == сро +<[>1 == const.
Направление нормали к возмущенноii поверхности равных фаз
совпадает с направлением вектора
d . d k д!f'1 д'J
2rзd Ф =-: ra 'Ро + gra 'Р\ === х о + дх х О + ау уО,
rде х', yo еДIII,:1чные векторы вдоль Ссей Х JI У. Отсюда следует,
что
<ро == kP == с ons t,
д'f./ду
sfn IX ===
I grad Ф I
и поскольку Dозмущающе д-еиствие берrrа, вообuце rоворя, м.ало,
то )тол рефракции равен
1 д!f'\
а  т ау'
(2.184)
Фаза ср, изменяется лишь с измснением nРОТЯЖII!\.'С1Н CYXoIIYToro
участка, ПQЭТО\1У
a'f\ G!fJ дХ2 1
uy == дх! дУ R==const.
Производную дХ2/ду находим, совершая перен'ос ,'1инии lIаб:i'одения
параллельно самоН Сtбе. Из ри(:. 2.73,8 видно, что
дХ 2 X2 Х2
дЬ=== F;y  у == t В,
rде 8. «уrол падения» волны на беР<'I'СПУЮ черту, т. е. уrол между"
линиеи наблюдения и перпендикуляром к береrовои черте, Нl1пrш-
ленным в сторону передатчика.
, Таким образом, для.пр.'ктич:ески ИlIтересноrо случая (2.174),
уtштывая (2,183) и (2,184), налClДИМ .
. l' . { д! } t В ., 
IX==. t26)m  "  Im{j V s.}
k дХ 2 k Jf т.Х2
или
IX ==
t В
V 21tkx2
Im{ J: }
(2.18.5)
1.\-.'11 МОЖНО пренебречь токами смещения, то
IX === t в j21t V БОа х. .
Если. наоборот, можно пренебречь токями ПрОВQДИМQCТи, то
12 в
IX== .
2 t' nk8)С.
171

Положительный знак уrла рефракции в последних двух формулах
соrласно рис. 2.73 означает, что «уrол преломления» меньше «уrла
падения» на величину а.
Для BTOpOro практически интересноrо случая, коrл.а передатик
расположен на суше, а приемник  на море, применима формула
(2.178) и уrол р"ефракции можно получить из формулы (2.185), если
заменить Х2 на Хl:
tg В f j у=7 J
а  Jl 27tkX 1 1т l У'7 '
(2.18б)
rде х.  как и прежде, протяженность сухопутноrо учаСl ка; 8  уrол
падения на береrов)'ю черту (рис. 2.74).
Соотпетственно для этоrо случая имеем
t В .
а  2"У БОаХ 1 '
если сухопутный участок хорошо проводяuций, И
tg 6
IX  2 V 7tk e x 1 '
если сухопутный участок является диэлектриком.
Таким образом, рассмотрены наиболее важные для практики
случаи рефракции, коrда сухопутный участок имеет малую протя-
женность не.зависимо от Toro, находится ли он близко к передатчику
пли к приемнику. Из изложенноrо следует, что при пеленrации мор-
ской радиостанции с суши или, наоборот, при пеленrации с -Моря
радиостанции, расположенноЙ на суше недалеко от береrа, возмож
на ошибка пеленrа из-за возмущающеrо действия берerовой черты.
Однако, как видно из выражений для а, уrол рефракции уменьшает-
ся по мере У;J.аления корреспондируюuцих пунктов от береrовой
черты и в предельном случае он равен нулю.
Следовательно, для уменьшения ошибl<И пеленrа необходимо
пеленrатор расположить как можно дальше от береrа. Далее, из
тех же выражений видно, что уrол' рефракции тем меньше, чем
меньше уroл е, и при 8==0 береrовая рефракция отсутствует. Уrол
рефракции o(l не превосходит нескольких rрадусов.
Трасса с хаотичес.ки распределенными HeOДHopOДHO
СТЯМИ почвы. Пусть вдоль трассы хаотичеоки распреде-
леIJЫ электрические неоднородности. Такие HeOДHOpoд
ности MorYT, например, представлять собой участки зм-
ли различной влажности. В этом случае, как непосред
ственно видно из выражения (2.142), трассу можно
рассматривать как однородную с некоторым средним
значением электрическоrо параметра l/Ve'. Это сред-
нее значение можно выразить так:
( 1 ) 1 J r dxdy
у " (х, у) еР ===S J Jr ., (х, у)' ,
112

rде $  площадь существенноrо участка при распрост
ранении радиоволн вдоль поверхности земли; интеrрал
берет,ся по поверхности этоrо участка.
Практически ( v ' 1 ) может быть определено путем
е (х, у) еР
измерений комплексной диэлектрической прuницаемости
е' вдоль трассы и последующеrо усреднения величины
1/ Vs' .
в заключение этоrо параrрафа отметим, TO все при
ведснные здесь результаты справедливы до тех пор, по
ка можно пренебречь сферичностью земли. Как пока
зал Е. Л. Фейнберr [1} для этоrо длина D трассы долж
на удовлетворять условию
D< Do '" { n: } КМ.
(2.187)
rде длина волны л выражена в метрах, а Do  в кило
метрах.
 8. ДИФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН BOKPyr ЗЕМНОй
ПОВЕРХНОСТИ
1. Дифракционное поле вблизи плоскости rОрИЗ0нта
при больших высотах ра.сположения
корреспондирующих пунктов. Эквивалентный
плоский экран
При изучении распространения радиоволн над по
верхностью сферической земли принято делить простран
ство над землей на две области: область интерферен
иии и область дифракции. Область интерференции  это
та, область, rде поле может быть представлено в виде
суммы полей двух БОЛН  прямой И отраж.енной от по
верхности земли. Следовательно, изученная в Э 16
настоящей rлавы отражательная трактовка справедлива
только для этой области и метод учета сферичности зем
ли, изложенный в  5, имеет смысл только в рамках
отражательной трактовки.
Область дифракции  это область, rде поле не может
быть преДGтавлено :в виде суммы полей двух волн. По-
нтие области дифракции имеет несколько более шира-
173

кий смысл, чем понятие области тени, ПОСIЮЛЬК  об-
ласть дифракции входит как область тени, ак и
область полутени. В том случае, коrда оба корре, понди-
рующих пун]{та расположены на поверхности емли 
а это имеет место всеrда в радиолиниях, испоlьзующих
длинные волны  речь может идти лишь о дифракцион-
ном поле. Однако практика имеет дело с дифракцион
ным полем и в радиолиниях, использующих УКВ,
а именно в том случае, Коrда koppe-СПQндирующие ПУiНкты
подняты над земл'ей, а максимум излучения антенны
лежит в плоскости rоризонта.
Дифракционное поле вблизи плоскости rоризонта
можно при некотором условии, КОТорое будет сформу
лировано ниже, рассматривать как поле за некоторым
эквивалентным экраном. 
Как было показано в rл. 1, поле позади экрана соз-
дается вторичными rюйrенсовскими источниками, распо
ложенными в дополняющей экран плоскости. Покажем,
при каких условиях дифракционное поле позади выпук-
лости земной поверхности может быть интерпретирова-
Но таким же образом. Для этой цели рассмотрим поле
в то.чке А, создаваемое источником, расположенным
в точке О. Проведем касательную плоскости к поверх-
ности земли и плоскость So перпендикулярно этой плос-
кости, как изображено на рис. 2.75.
3 адача состоит в том, чтобы выяснить, при каких
условиях пло,скость So В рассматриваемой -ситуации мож-
но интерпретировать ка к плоскость экрана.
Как было показано в rл. 1, поле позади экрана мож
но представить в виде суммы полей вторичных источ-
ников, Рqспределенных по плоскости, дополняющей
S экран при выполнении двух
'(J усло!вий:
1. Поле IHa теневой сто-
'ране экр ана равно нулю.
2. Линия на,блюдения ОА
А (см. ри'с. 1.19) проходит не-
далеко -от края экрана.
Условие 1 в случае д'Иф-
ракциюнноrо 'llоля земли за-
ведомо не выполняется, taK
как поле на теневой стороне
Рис. 2.705. 1< введению понятия поверхности отлично от НУ-
эквимлентноr{) экрана. ЛЯ, Одна'к,() 'Зто поле имеет
о
174

3НачеНi,fе лиШЬ в 'пределах
HeKoTop'Oro существенноrо
участка uоверхности земли.
Рассматривая поле на этом
'существенном участке. как
вторичные .пqйrенсовские ие
точ-ники, распределенные по
поверхности земли, мы Ta
ким 'образом можем оценить
количественно эффект, к ,KO
Т'ОРОМУ приводит невыполне
ние условия 1. В конечном
счете мы можем 'сраlВНИТЬ
действие вторичных источ
ников I распределенных на этом учаСТI{е, с дей'ствисм
вторичных источников, распределенных на плоскости 50,
и установить, коrда нарушением условия 1 можно пре.
небречь. Для этой цели сначала надо определить раз-
мер существе!"Iноrо участка. Приближенно можно счи
тать, что этот участок совпадает с существенным участ
ком при отражении от поверхности земли, коrда излу-
чатеJIЬ расположен на замле. Существенный участок при
отражении приближенно совпадает с первой зоной Фре
неля, имеющей форму эллипса, большая ось KOToporo
л
равна 2а1 == sfn 2 в ' Для упрощения выкладок, связанных
с нахождением уrла 8, сначала предположим, что оба
корреспондирующих пункта О и А расположены на ли
нии rоризонта (рис. 2.76). Тоrда уrол е может быть
определен из равенства
А
Рис. 2.76. К оаенке вклада
ВТОРИЧНЫХ источников, распре-
деле 11" ых на теневой СТОРОНС
поверхности земли.
а 2
Az   === a l sin 6,
откуда находим
V 
sin6 /а
и соответственно
2
( '12 , З-
А ') I . 6) 2 Пl\
uz==\al sш == ;
Очевидно, что вклад вторичных источников в поле в точ
ке А пропорционален Дz2. Вклад же вторичных источ
ников, распределенных по плоскости 50, в той же точке
175

/
А пропорционален площади первой зоны Френе я или,
иначе, квадрату радиуса первой зоны Френеля, оторый
соrласно рис. 2.76 равен лроrо/ро+rо.
Отсюда следует, что вкладом вторичных
распределенных на теневой стороне поверхн
можно пренебречь по сравнению с вкладо вторичных
источников, расп.ределенных по плоскости /50, если BЫ
полняется условие
2
3
д z 2 == ( a ) 2 )  ЛРо'о .
 РО + 'о
УЧИТblвая, что
РО == 1/ 2ah , 'о == V 2az ,
вместо этоrо неравенства можем написать
2 ViiZ V 
y V   1.
Jl + Z 11. а
(2.188)
Введя rеоцентрич:еские уrлы СХ О == k, СХ А == 2,
а а
ство (2.188) можно представить также в виде
СХОСХ А .Зj4ёi
сх о + СХ А V Т  1.
HepaBeH
Неравенство (2.188) представляет собой условие,
при выполнении KOToporo можно пренебречь действием
поля на теневой стороне по
верхнос"Ти 'Земли и, следова
тельно, дифракционное поле
за ВЫПУ,КЛОС1ЪЮ 1Il,0верхности
А зе.мли рассматри,вать как
дифркционное поле позади
He'KoToporo эквивалентноrо
экрана.
П ре.щполаrая, что это ус.
Рис. 2.77. К расчету дифрак- u
ционноrо ПО.'IЯ вблизи линии ловие вы'плнено,, переидем
rОрИЗ0нта. К более общему .случаю, Kor-
да коррес;пондирующие пунк
ты расположены не на линии rоризонта, а вблизи нее.
Тоrда эквивалентный экран пересекается линией наблю
деНlИЯ ОА, как показано на рис. 2.77. Для характеРIИ'СТИ-
J{и степени указанной близости вводят в рассмотрение
176
"0
о

уrол дифракции '1', т. е. уrол между линиеЙ излуча
rель  край экрана и линиеЙ край экрана  точка наб
людения. Чем меньше этот уrол, тем БJIшке раСIlоложе
ны корреспондирующие пункты к плоскости rоризонта.
При малых уrлах дифракции параметр и, фиrуриру
ющий в формулах по дифракции раДИОВОJIН от края
экрана (в  5 rл. 1), можно счи тать равным
uz.1  po+ro o/"'/ pr , (2.189)
У л por о V р + r
поскольку, как видно из рис. 2.76 и 2.77,
z == рr-ф/р +',
rде р и r  расстоя:ния корреспондирующих ПУНКТQВ до
края экрана. Таким оt5разом, отождествляя множитель
сферической земли с дифракционным множителем экви
валентноrо экрана, соrласно  5 rл. 1 равным
1 .
I F (и) 1=== V2 V[O,5  С (и)]2 + [O,5S (и)]2 ,
можем для амплитуды напряженности поля написать
выражение
Ет===Е то IF 1,
(2.190)
а соответ,ственно для максимальной дальности дей,ствия
радиолокатора 'т получаем формулу
r т ===, тО I F 1. (2.191 )
Если точка наблюдения находится ниже плоскости ro-
ризонта, то 'ф >0 и 1 F 1 <0,5; если же точка наблюде-
ния нах.одится выше IПЛОСКОСТИ rор'изонта, то '1'<0 и
IFI>'O,5.
2. Дифракционное поле вблизи плоскости rор,изонта
при произвольных высотах расположения
корреспондирующих пунктов
Дифракционное поле позади выпуклости земной по-
верхности нельзя рассматривать как поле позади экви-
валентноrо экрана, если условие (2.188) не выполняется,
так как в этом случае нельзя пренебречь полем токов
на теневоЙ части поверхности зеМЛИ. Учет дейс'flВИЯ этих
токов не удается выполнить в рамках какихлибо при
ближенных методов. Ввиду этоrо практическое значение
ПРlиобретает решение задачи о 'поле дифракции BOKpyr
121283 177

/
земной повеРХ1НО.СТИ в с-rроrой ,постановке. Эта эадача
оказалась весьма сложной, хотя получение фОРМ,iльноrо
решения задачи,' в которой ИСТОЧНИКОМ поля об,JSIЧНО бе
рется вертикальный или rоризонтальный диполЬ, не вы-
зывает затруднений. Это связано с тем,. что ршение по
лучает-ся в виде весьма медленно сходящеrося ряда,
причем чем короче волна, тем сходимость более Meд
ленная.
Так, при длине волныI '}., == 1 О м первые члены ряда,
число которых рющо ka==4. 106, имеют одинаковый по-
рядок величины. Ввиду 3Toro усилия исследователей
n течение длительноrо времени вплоть до 1945 r. были
направлены на преО'бразование указанноrо ряда в ,быст-
росходящийся. Впервые такое преобразование БЫЛ0 осу-
ществлено r. н. Ватсоном в 1918 r. {48]. Это преобразо-
вание сводится к следующему.
Сначала ряд с помощью теории вычетов представля-
ется в виде KOHTypHoro интеrрала; затС'м подходящей
деформацией контура интеrрирования снова с использо-
ванием теории выч'ето-в ннтеrрал преобразуется в !Новый
ряд, но уже быстро сходящийся.
Однако указанное преобразование r. Н. Ватс'ОН при-
менил 'к частному случаю распространения радиоволн,
коrда почву можно рассматривать как идеальный про
водник, а диполь и точка наблюдения расположены на
земле.
Дальнейшим проrрессом в изучении дифракции ра-
диоволн 'BoKpyr земли я'вились работы Б. А. BBeдeHCKO
ro [8]. В период 19361937 п. Б. А. Введенский, путем
аналоrичноrо преобразования указанноrо медленнс схо-
дящеrося ряда, получил одночленную дифракционную
формулу и разработал соответствующие HOMorpaMMbl,
позволяющие определить поле в области тени в диапазо
не УКВ при произвольных высотах поднятия диполя и
точки нблюдения и реальных параметров почв.
Завершающим этапом в изучении рассматриваемой
проблемы явились исследоваН}iЯ, выполненные В. А. Фо-
ком {б}. В 1945 r. В. А. Фок получил общее практически
приемлемое и исчерпывающее решение проблемы диф-
ракции радиоволн BOKpyr земли, приrодное для всей
области дифракции (области тени и полутени).
Впоследствии, по полученным В. А. Фоком форму.
лам, П. А. Азрилянт И М. [. Белкина выполнили числен-
ные расчеты и разработаи проrраммЬJ, позволяющие
178

опред;елить 'поле дифракции в наиболее B3/1\IIbIX для
практики случаях (7].
Здесь приведем лишь краткое резюме решеНlIЯ зал.а
чи В. А. Фока и одночленную дифракционную формулу
Б. А. Введенскоrо с рассчитанными по ней rрафиками.
Формулы Фока для расчета поля дифракции таковы :*)
для вертикальноrо диполя
БО1t/l jkR V )
Е r ==-  j лR е (х, у l' У 2' q ,
(2. 192)
н ==  ,
ч' Р
rде Ет  радиальная составляющая Е; Н Ip  азимуталь-
ная состаВЛЯЮLЦая Н;
дЛЯ rоризонтальноrо диполя в плоскости, перпенди-
кулярной ero оси,
Е" 60r;1l jkRl V ( ' )
,==l e .х,у..уз,q,
(2.193)
Нт==Е/р.
Ip
Друrие составляющие поля либо в точности равны
нулю, либо пренебрежимо малы. В этих формулах при-
няты обозначения:
р== 120:11  волновое сопротивление свободноrо про-
странства;
R  расстояние по поверхности земли;
х==Ма  приведенное расстояние по поверхности
земли (а  rеоцентрИ'ческий уrол);
Уl ==м--- \
kh приведенныe высоты; (2.194)
kz
У2 ==м---
q == jM :. v 1  . . 1 характерные параметры задачи;
q' : qs' I
 (2.195)
М=;:: (ka/2)1/3.
. ЗаВИСIfМОСТЬ 01' аеиеRИ а атом lIJктe привята I аиде e/.t .
128 179

Множитель земли V равен
[
:::=: е 4 2 1 'ltX
00
V(X'Yl'Y2,Q)==

$==С
e ixtB
t,  q2
w ив  У!)
W ив)
w (t в -------; У2)
W (t ,)
(2.196)
функ
w (t)  функция Эйри; ее можно выразить через
цию rанкеля первоrо рода порядка 1/3 формулой
i 21С
W (t) === У  е з (t)I/2 H() [+ ( t)3/2 J;
3
(2.197 )
tssй корень уравнения
w'(t)qw(t)==O. (2.198)
В двух предельных случаях
q==O, (2.199)
q== 00, (2.200)
Значения первых пяти корней уравнения .(2.196), т. е.
уравнений w' (tO) === О и w ({ОО) == О, таковы:
8 s
. 1с
J 
tO == 1, О 1879 е 3
I
. 1с
J 
tO == 3,24820 е 3
2
. i +
tO == 4,8201 О е . ,
з .
'1С
i
О 3
t ===6,16331 е .
'1
. 1с
J
t O ==7,37218e 3
5
. 1с
I 
3
t OO == 2,33811 е
1
. 1с
I
t OO == 4,08795 е З,
2
. 1с
J 
t OO == 5,52056 е 3,
з
J"'::"
3
t OO ==6,78671 е ,
1 .
. 11:
I
t OO == 7,9441 7 е 3.
6
Случай (2.199) соответствует идеально проводящей поч
ве или длинным волнам; случай (2.200) соответствует
плоской земле или коротким волнам.
180.

Сопоставляя формулы' (2.195) 'и учитывая (2.115), за
ключаем, что 'в диаlпазоне УКВ вертикалЬ'ной :поляриза
ЦИИ соответствует 'случай (2.199), а rоризонтаЛl:Yнай 
случай (2.200).
Цля лучшей ориенти'ро:ви 'В ,дифРа'цианных фарму-
лах ПiQлеЗ1на раополаrать СООТlношени-е,м для !ПредеЛliнай
дальности прямой видимасти
Ro== V 2a (Vh + Vz),
выр аженным через приведенные величины Х, Yt, У2. Учи
тывая, что R=='aa, умножим и разделим левую часть это
r'a саотнашения на М, а правую  умножим ,и разделим
на Vak и получим
х == vy; + -vy:- == хо.
Отсюда видно, чтО' Х>Хо для области тени, Х<Хо  ДJIЯ
области прямай видимасти и X ХО  для области паJlУ
тени. Попутна за.метим, 'чтО' в приведенных высатах
у'словие (2.188) выражается фармулай y!c  1.
Уl + У2
в том случае, коrда адин из 'Пунктав 'поднят 'Высако над
землей, т. е. Y2'I, множитель земли (2.196) !Принимает
ВИД
. /  y/2V х 2
V (х, Уl' У2' q) == е У2 У] (z, УI' q), (2.201)
rде z === х  V Y2 ' Семейства кривых I V 1 (z, У\ О) I и V 1 (z, Уl'
(0) 1, взятые из [7] (в отличие ат [7], выраженные в
децибелах), приведены на рис. 2.78,а и б. Эти кривые
дают достаточно пал ное представление а там, как меня
ется поле в абласти тени и вблизи области палутени
(Z== О) как для вертикальнай, так и для rоризонтальнай
паляризации. Из кривых, в частнасти, видна, чтО' уравень
дифракционн6rо поля при вертиf<альной поляризации на
два десятка децибел выше уровня дифракционнаrо поля
при rоризантальнай паляризации.
П. А. Азрилянт И М. [. Белкина паказали, чтО' pe
зулыаты расчетов 'по ди'фракцианным и И1нтерференци-
анным формулам смыкаются для не слишкам малых Х
при
sinO  0,5+ 0,7
М
(2.202)
.
181

Так что критерий ПрlIмешвlOСТН интерференционных
формул, выведенный в  5 настоящей i.i13BbI (HepaBeHCT
во (2.1 00)] деЙствительно является слишком сил ьным И
двойной знак неравенства МОЖНО заменить одинарным.
Рассыотрим частный, но BeCba важный случай диф
ракции, коrда оба корреспондирующих пункта располо
IV, 1, "5
1,0
..20
"O
2,0
J,O
"',О
5,0
;'0
z
(1)
tv,l, "о
O
Рис:" 2.78. Зависимость IV1(z.
УI, О) I (а) и I V I (z, УI. 00) I
(б) от пере Мl'lIIюrо Z при
фИКСllрr J3aHIIbIX ЗН<.i'lеIIИЯХ УА'
-10
-100
2,0
*.0
5)
жены на поверхности земли: У1 == У2==О, а почва  идеаль
ный проводник.
Заметим, что в случае, коrда q==oo, п.оле, как видно
из (2.1"96) при У1 == У2 ==0, равно нулю.
Коrда oQa пункта расположены На земле, то речь
идет об одной и той же области  независимо от pac
стояния R по поверхности земли  области тени. В этом
случае, как следует из (2.196),
I
"'- 4 /  1 /xt O
V (х, О, О, О)::=е 2 у 'Их  е 1
t I
.'2

н модуль множителя ,земли равен
I V I  2 JI "R ( ал- )"'; ехр ( лз j'/ ;, 1т {t} ) Х
Х 1 01023 I fl) R ( 3 8 1 O  Б R ) . (2 203)
щ== }!i6 V l\ ехр  l' "7f3' .
соответственно поле соrласно (2.192) raHo
 з R.I() 
. }.1/3
Е ()Or.! m l О 023
тт == -л?/Ci YR' е
(2.204)
По формулам Фока, как мы видели, выполнены расчеты
только при q==O и q== 00. Для произвольных значений q
в силу большоrо объема вычислительных работ расчеты
не производились.
Однако для области тени расчет дифракционноrо поля
может быть выполнен при произвольных q по одночлен
ной д'Ифракционной формуле Введенскоrо с помощью
составленных им rрафиков. Формула Введенскоrо пред
оСтавляется в виде
Е  ':'т 1'/ P  G NSH (h \ Н ( ) мВ
эфф t квт I z.
V2 м
Здесь G  коэффициент усиления антенны по отноше
нию к диполю.
Входящие в формулу (2.205) множители таковы:
(2.205)
1
0,472 1/6 2 ( BR )
N==rтз--' S==l R ехр 
л ал
(обозначения R, а, ,л  прежние). rрафик N приведен на
рис. 2.79а. В  функция; зависящая от параметров поч
вы. В диапазоне УКВ функция В может меняться в пре
делах от 46,5 до 54,5; при rоризонтальной поляризации
можно принять В==54,5 дЛЯ волн не длиннее 23 м и
не 'слишком влажных IПОЧ!В.
rрафик для определения В при вертикальной поля
ризации для различных в, (J и л приведен на рис. 2.79в.
[рафик для определения $ приведен на рис. 2.796.
Функции H(h) и H(z) TaK"Ha3bIBaeMple высотные
множители. [рафики для определения этих множителей
приведены на рис. 2.79r и 2.79д. Все множители на ри
183

S,tJб
20
184
N,иб
5
-10
fJ,1 ()2 . 0,5 1,0 2 3 4 G 8 10
а) л,Н
6'O
/ '" V/V
/ 
, =5 \// /  /
,,'
, / 50 (  у /
 ?? V/ / V  '/ .....
 // v ..1': v:  v ./ 
./
     /  ......;::.....
J.'З"
/)  /. V / :::.---  / /
 "х
a    ./ / nl 1J- ./
 r
... /. 'л  -/    х   
'" ,././. ....., Iot"--' 
A    Е:::: :::::     gJ..-.
"/
.   :::::-   ,
".., ". '" 
"..,
  '" .....
l...,....ooo-
......
100
 '"o
/80
220
260
IO
Рис. 2.79,а, 6. К дифракционной формуле Введенскоrо.
Множитель.N (а); множитель S (6).
1fAI
'180
400
O
290
;GO
80
о

H(h ),85
30
20
10
О
fO
zo
.JO
LfO
8
48 50 52 5ч


 11-7  
4 
 50
5*;5 f I
I
I
r
 I
 I
I
I
 . ./
... ....  , 
"  -'
""   / V/j
" " tfI/////'/l:1.
,,,,,"' 1't10..... //// //V/
"-" 8  r1' /, r / / / / j I/J
 б tI' // '/1'1
./ L {\,1! -t-' / / / /1/ /
/,/ ",. ':25.. )(s., 14.J , I I J
/  / / /  1\, " , , I L 
/ r/ <. ""'  
./ / I  " l\" t   ,............
" / L 1 ' L / ,,,...
,/ / / I <:) "' 
./ V / /
/ / / / /J /IJ ..............
00 Ji о 1t. () 35,0 frJo 1'5}) 100 50
'f
8ь/сота ", /tII
8J
Рис. 2,79,8, С. К. JщфраКЦIlOIlIlOЙ форvrуле ВI3с:tепскоrо.
ФУНКUIfЯ В (8); МНОЖlIтель Н (h) (с),
185

-:::"200
[ (80
i---
 'r 160
8=5'1-'5.......... i 
.50  ('1-0
6 'JI
J....'../ 120
J (00
[) 
j 80
/1
1.1 1/ I 60
I. i
, . ""О
 :
L I I I 20 100 1000 1
I "t!!!6o.. 11;"-.'  . т 
-..::: ! 100"- "\"-,, 
 I ','  ",",",' -!.
'- I "'  ,..... , 
, I "' '-'- Io.."\..X '..y---
" I "' "" ""\..
  юоо "' 
 с1' ".-
\s" ---т. О
 8 =-50 ......." "'''-lo..
I ";' I' I , ..:
I I ''7иоо(. I '""\..
H(z),80
0000
q.
10 20 ба 200 600 ,000 10000
Высота Z, м
и)
Рис. 2.79,д. К дифра,кционной формуле ВведеiНскоrо. Множитель
Н (z) при Iбольших высотах.
CYHKX даны в децибелах относительно напряженности
поля в мВ/м при р == 1 кВт и G == 1. Все множители опре-
деляются по входным данным: .в:.лине волны Л, расстоя-
нию...R, высотам h и z и значению В. Например, для
л==4 м, Я==300 км, h==50 м, z==2000 м, Р==100 кВт, а==
::::: 190 и rорv.зонтальной поляризации находим N (л,) ==
==10,5 (рис. .79a), S(R) ==172 (рис. 2.79б), H(h) ==
==22 (рис. 2.79r), H(z) ==95 (рис. 2.79д). Соrласно
(2.20q) получаем
М ДБ  N дБ + SдБ + н (h)дБ + lf (Z)дБ 
 20 19 (Е&ФФ)р:=-tквт . 65,Б.
1 MI::S/lVJ
lб ·

 2.


(1)
 0,5


 О,,

,а:
0,02
0,1 o,S 2 S 10
I1=Z=IOOI1, .л =0;711
50 Н,КН
Р1!С. 2,80, Кривая ИЗ:\Iене!'!fЯ rrаllряже!ll!ОСТ!I п()ля R заВИСIIМОСТИ ОТ
раССТОЯ/ll!Н ПДО/IL, поверхности земли.
Оба корреспондирующие пункта ПОДНЯТЫ на одинаковую высоту.
Следовательно, (Е ЗФФ )Р:::IКВТ ==IOM/205.104 и Е эфф =
 IOO.5.104 MB/M50 МКВ/М.
В заключение этоrо пункта сформулируем закономер-
ности, характеризующие дифракционное поле земли,
установленные на оснопашш расчетов напряженности
поля по дифракционным формулам.
1. Напряженность поля весьма быстро убывает с уве-
.'lИчением расстояния R вдоль поверхности земли.
2. Чем короче волн?, тем быстрее убывает' напря-
женность поля.
2
r a .......... ..... J ""-.....
11 1 ,.....  'Y'  1(. I

l' II 1'""'- f.:.-..... "
. .,., -........ I!..
 1" '-......
1\ \'" "
t:;) I \ \. ....
rv,
I ,
I  \.
I \ '\
I \
h=z= 100 м I \
I \ 7,.,,.,
л=7,.,
о,7н
0,5
:::s
 0,1
Q,j
It)
0,02
о()
 0,005

 0,001
i
tJ, 000-1
О
7(JIr
20
*0
6'0
80 R,1(M
Рис. 2.81. Кривые изменения напряжешJOСТИ ПОJlЯ в за.виси,мости ОТ
расстояния вдоль поверхности земли для разлиqных длин волн.
Оба корреспонДирующие пуикта ПОДНЯТЫ на одинаковую высоту.

187

З. Чем больше проводимость и диэлектрJ1чеСI<ая про
ницаемость почвы, тем больше напряженность дифрак
ционноrо поля.
4. Напряженность дифракционноrо поля при верти
кальiНОИ 'поля,ризации больше на1пряжеlIIНОСТИ поля при
rоризонтальной поляризации при прочих равных усло
виях.
5. Напряженность дифракционноrо поля меняется
монотонно с изменением параметров, от которых она
зависит.
Кривые на рис. 2.80 и 2.81, рассчитанные BaHдep
Полем и Н. Бремером, наrлядно иллюстрируют общие
закономерности распространения радиоволн вокруrсфе-
рической земли {11 J.
 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
1. Распространение над одиночным выступом.
Усиление препятствием. Расеяние радиоволн выступом
Будем считать, что земля вместе с выступом на ней 
идеальные проводники. В этом случае характерные oco
бецности рассматриваемоrо в настоящем параrрафе
пр6цесса распространения радиоволн проявляются наи-
более резко. При этом будем руководствоваться доволь
но общей теоремой, сформулированной Е Л. Фейнбер
rOM О].
Соrласно этой теореме задача о поле излучателя над
идеально проводящей плоской землей с некоторым вЫ
ступом (рис. 2.82,а) эквивалентна задаче о поле такоео
же излучателя и еео зеркальносо изображения в свобод
ном пространстве при наличии препятствия, имеющеео
форму выступа, стыкованноео со своим зеркальным Изо
6ражением (рис. 2.82,6). Доказательство этой теоремы
весьма простое. Действительно, соrласно методу зер
кальных изобраений rраничное условие E'===O на иде
ально проводящей плоскости для поля перпичноrо' дипо
ля удовлетворяется, если к этому полю добавить поле
зеркальноrо изображения этоrо диполя. Аналоrично rpa
ничное условие на этой же плоскости будет удовлетво
рено, если к полю диполей, образованных вторичными
токами на выступе, добавить поле зеркальных изобра-
жений этих вторичных диполей.
188

На основании этой теоремы рассматриваемую задачу
I\lbI можем свести в основных чертах к уже изученной
ранее в rл. 1 задаче о распространении радиоволн в CBO
бодном ,про,странстве 'с Iпомещенным в нем препятств'ием
распространению радиоволн. Однако последняя задаЧJ
при этом усложняется необходимостью учета добавоч
Horo эффекта интерференции, вызванноrо OДHOBpeMeH
ным действием двух излучателей радиоволн  реальноrо
и ero зеркальноrо изображения.
Здесь мы рассмотрим два крайних случая, а именно
случай большоrо и малоrо выступов. Смысл понятия
.
О
"'..rт"/">"""",
а)
с::>
6)
о
.
Рис. 2.82. Влияние выступа на распростраНСНlIе радиоволн.
«малый» прост  ан должен иметь высоту, малую по
сравнению с длиной волны; смысл понятия «большой»
прояснится В процессе дальнейшеrо рассмотрения.
А. Большой выступ. Усиление nрепятствием
Найдем поле за выступом, сечение KOToporo изобра
жено на рис. 2.83,а. Задача решается сравнительно про
сто, если выполняются следующие условия:
1. Размер выступа в направлении, перпендикулярном
сечению, больше размера сечения эллипсоида, сущест
BeHHoro для распространения радиоволн между точка
ми О и А в свободном пространстве.
2. Размер сечения выступа у ero вершины значитель
но меньше размера сечения указанн()rо эллипсоида.
При выполнении этих условий выступ можно имити
ровать непрозрачным экраном (рис. 2.83,6). Тоrда на
основании приведенной выше теоремы рассматриваемая
задача может быть сведена к эквивалентной задаче, Ha
rлядная интерпретация которой дана на рис. 2.83,8. На
этом рисунке линиями ОТ А, О'Т А, ОТ' А и О'Т' А изо
бражены дифраrированные на краях воображаемоrо
экрана лучи, излученные реальным источником и ern
зеркальным изображением.
189

т
о
о
А
а) т а)
т О
о
А
А
А
о)
т
s
о
А'
А
А'
6) т'
Рис. 2.83. К расчету эффек-
та «усиления препяr-
ствием».
Рис. 2.84. К расчету эффекта «усиле
НИЯ препятствием>". Возможные TpaK
товки эквивалентной задачи.
Эта интерпретация позволяет задачу с непрозрачным
экраном, расположенным на идеально ПрОБодящей зем
ле, TpaKToBa:rb четырьмя равноправными способами.
Различия между этими четырьмя трактовками нетрудно
уяоН'ить из рисунка 2.84, из KOToporo 'видно, что не.за'ви
симо от способа трактовки, поле в точке наблюдения А
представляется Б виде суммы полей четырех волн. Эти
волны MorYT быть излучены источником, п.омещенным
либо в точке О, либо в точке О', п-ричем они MorYT пре
терпеть отражения от поверхности земли в точке 1 до
190

дифракции и в точке 2 после дифракции. Далее, это
MOrYT быть волны, приходящие в точку А', являющуюся
зеркальным изображением точки наблюдения А, т. е. по
ле в точке А содержит слаrаемое, равное полю волны
в точке А'.
Всем указанным волнам на рисунках 2.84 соответсТ-
вуют лучи, характеристики которых сведены в следую
щую таблицу:
Лучи
эквива
леН'ТR
задач
в
- Рис. 2.84. а Рис. 2.84, б Рис. 2.84, 8 Рис. 2.84, е
ой
е
-
ОТ А
О'ТА
Излучается в точке О и прямо дифраrирует в точку А
01ТАизлу- О'ТАизлу- ОJТАизлучает- О'ТАизлу-
чается в точке чается в точке ся в точке О и чае тся в точке
О и отражается О' отражается в О'
в точке J точке 1
ОТ2Аизлу- ОТ2Аизлу- ОТ А' излучает-
чается в ТОЧJl'е чается в точке си в точке О и
О н отраЖ8еТСll О и отражается достиrает точки
в точке 2 в точке 2 А'
ОJТ2Аизлу 0'Т2А И3ЛУ- ОП А' И3ЛУ-
чается в точке чается. в точке чается в точке О,
О и отражается О' и отражает- отражается в точ-
В точках 1 и 2 ся в точке 2 ке J и достиrает
точки А'
ОТА'излу-
чается в точке
О и достиrает
точки А'
О'ТА'излу-
чается в точке
О и достиrает
точки А'
ОТ'А
О'Т'А
Однако несмотря на различие трактовок соrласно
интерпретации эквивалентной задачи (см. рис. 2.83,в)
поле ,в точке А должно рассчитываться 'по одной и той
же формуле. При вертикальной поляризации она имеет
вид
I Е 1== Е т I F ОТА e Jk (r l +r з )+
+ F e /k (r 2 +r з ) + F e jk (r2+r4)L
О'ТА ОТ'А"I
+ F е  jk (r l +r 4 ) I
О'Т'А '
(2.206)
rде F  дифракционный множитель экрана, определяет
ся по формуле (1.85).
При rоризонтальной поляризации, учитывая отрица
тельный знак зеркальных изображений источников, BMe
сто (2.206) имеем
I E I ==E ' Р e/k(rl+r8)  F е/k(r2+rз)
т ОТ А О'ТА
p e /k(r2+r4) +F e rk(rl+r4) 1
. ОТ',4 О'Т'А .
(2.207)
191

Нетрудно обобщить формулы (2.206), (2.207) на слу
чай неидеально проводящей реальной земли. Для этоrо,
соrласно отражательной трактовке, нужно Iполе каждой
волны при ее 'Пересечении -плоскости S (рис. 2.83,8) YM
ножить на соответствующий коэффициент отражения.
Однако формулу для этоrо общеrо случая выписывать
не будем, так как практический интерес представляют
малые уrлы возвышения, коrда коэффициенты отражения
для обоих видов поляризации примерно равны  1.
В этом случае, следовательно, действительна форi\1ула
(2.207). При не малых уrлах возвышения не малы и
уrлы дифракции (уrлы 'Фl и 'Ф2, рис. 2.84,а), а при таких
уrлах дифракционный множитель мал и никакоrо «уси
ления препятствием» не будет.
Итак, будем считать, Ч'ТQ как уrлы возвышения, так
и уrлы дифракции для всех волн малы. Тоrда дифрак
ционные множители в формулах (2.206), (2.207) будут
мало отличаться друr от друrа и их можно заменить
некоторым средним дифракционным' множителем с па-
раметром и, соrласно (2.189) равным
 HV 2Po+ro
и 
- л poro
rде fi  высота экрана (выступа); ро и 'о  расстояния
до края экрана от излучателя точки наблюдения.
При этом предполаrается, что высоты h и z малы
по сравнению с высотой Н.' Дале, для Toro чтобы BOC
пользоваться уже известными интерференционными фор
мулами, будем руководствоваться трактовкой pc. 2.84,а.
Поле на крае экрана до дифракции можно рассма-
тривать как сумму полей прямой и отраженной волн.
Это в случае rоризонтальной поляризации (общий слу
чай) обусловливает появление интерференционноrо мно-
жителя
Ф 21 ' ( 21th . CJ. )[ 21 ' 21t/zH I
I. sш SЮIJ _ SШ.
Полем же в точке наблюдения А тоже является сумма
полей двух волн  прямой и отраженной, но уже ди
фраrированных. Это приводит к появлению интерферен
ционноrо множителя
Ф 21 ' ( 21tZ . {). ) I 2 I . 21tZ Н I
2 == sш S1nv == sш тr;:- .
192

Собирая вместе все множители, вместо (2.207) получаем
I Е I === 4Е т I F (и) sin ( 2:oH ) sin ( 2;oH ) f . (2.208)
Аналоrичным образом можно получить формулу для
поля в случае вертикальной поляризации. Из этих фор
мул видно, что в любом случае
I Е I < 4Е 111 ,
т. е: поле при наличии выступа не может []ревосходить
четырехкратноrо значения поля в свободном простран
стве.
Следовательно, абсолютное усиление 'Поля 'ПрепЯТСТ
вием невелико. Однако если сравнить это поле с полем,
создаваемым излучателем не в свободном пространстве,
а над землей в отсутствие препятствия, то «усиление
препятствием»  относительное усиление  может быть
весьма большим. Так, если считать, (что в отсутствие
препятствия точка наблюдения находится в области пря
мой ВИДИМОСТИ излучателя, то поле, с которым надо
сравнивать поле (2.208), соrласно интерференционным
формулам равно
I Е Е 1 . 21thz I
1 I === 2 m S1Л л (Ро + 'о) .
Из ЭТИХ формул видим, что отношение ,' " в зависимо-
сти от величин h, z, Н, ,ро и 'о может оказаться ДOCTa
точно большим. Заметим,. что в 'случае вертикальной
поляризации и идеально проводящей земли, в этой же
СИТУ(lЦИИ, это отношение, как следует из аналоrичных
формул, не больше двух. Если точка наблюдения А
в отсутствие препятствия находится в области тени, ди-
фракционное поле Е д весьма .мало и атношение 1':/1',
будет весьма большим  усиление препятствием значи
тельно, независимо от вида поляризации. -
Эффект усиления rпрепятствием хорошо наблюдается
в rорной местности.
Задача о распространении 'радиоволн при нали.чии
препятствия рассматривал ась llJеллинrом, Берроузом и
Фереллем (США).
В З8ключение данноrо рассмотрения заметим следую
щее. Усиление препятствием возможно только при Ma
лых уrлах дифракции. Если же уrлы дифракции не ма-
131283 193

лы, то усиления поля можно достичь искусственным
путем, СООРУДИВ на вершине выступа, который может
имитироваться непрозрачным экраном, непрозрачные
части колец первых четных 3011 Френеля (РИС. 2.85). При
этом радиусы полуколец должны определяться в COOT
ветствии с формулой (1.89) выражен ием
R  V 2 + пл.роrо
n Z ,
о Ро +' о
(2.209)
rде ро Н '0  расстояния выступа от корреспондирующих
пунктов; Zo  удаление вершины выступа от линии на,.
блюдения.
Если вершина выступа широкая, то никакоrо эффек
та усиления не будет. Мы, очевидно, и здесь можем
перейти к эквивалентной задаче и на основании изло
т r'
.
i/u.
с
/////
с
!
Рис. 2.85. К вопросу об искус-
ственном эффекте усиления
препятствием.
Рис. 2.86, Дифракторная
allTeHlIa.
женноrо в предыдущем параrрафе ввестИ в paCCMOTpe
нне эквивалентный экран. Однако высота эквивалент
Horo экрана будет больше удвоенной высоты выступа,
а может быть и HaMHoro больше. В результате уrлы
дифракции будут большими и, следовательно, дифрак
ционные множители в формулах (2.206), (2.207) при-
мут очень малые значения.
В последнее 'время на ropHbIx трассах  на вершинах
rop  стали сооружать экраны для искусственноrо уве-
личения поля [22]. Пр'инциlП действия TaKoro экрана Ha
ми по существу уже рассмотрен в rл. l' на примере pac
пространения радиоволн в свободном пространстве, на
пути которых расположен круrлый непрозрачный экран
[формула (1.1 04)]. На основании проведенноrо там ана-
.94

лиза можно относительно эффекта усиления поля экра
ном сдеJlать следующие выводы. Для Toro чтобы имело
место существенное усиление поля, нужно, чтобы между
нижним краем экрана и вершиной ropbI укладывалось
по крайней мере несколько зон Френеля (рис. 2.86).
Кроме Toro, уrлы дифракции на краях экрана не дол
жны быть большими. При этих условиях такой экран
действует как направленная антенна, дающая, следова
тельно, . значительное, не относительное, а абсолютное
усиление поля. В отличие от обычных антенн, антенны
в виде экранов получили название дифракторных.
Б. Рассеяние радиоволн малым выступом
Перейдем теперь к определению возмущения распро
странения радиоволн, вызываемоrо малым выступом,
т. е. выступом, размеры KOToporo малы по сравнению
с длиной волны. В силУ' этоrо условия задачу можно
значительно упростить. Выступ можно считать полуша
ром, а излучатель, в качестве KOToporo принимаем Bep
тикальный диполь, расположить на поверхность земли
(рис. 2.87). Далее анализ можно оrраничить наиболее
"i7J,
Рис. 2.87. К расчету рассеяния
радиоволн малым выступом.
интересным для практики случаем, коrда диполь и точ-
ка наблюдения находяtся в дальней зоне выступа. При
эих предположениях мы приходим К эквивалентной за
даче о рассеянии радиоволн идеально проводящим ша
ром, причем электрическое поле первичной волны в ме-
сте расположения шара однородно.
Под влиянием TaKoro поля, как известно из электро-
статики, шар приобретает дипольный момент, равный
р == 4ле.оа 3 Ео,
rде Ео 'Первичное поле; а  радиус шара, причем
a«. (2.210)
Этот момент создает рассеянное излучение, вектором
rерца KOToporo, соrласно формуле (1.20), равен
П(А) == pe /kr
4пr. о
138
195

отку да 'в соответствии с фор,мулой (1.2 t) получаеся сле
цующее выражение для напряженности поля в данной
iюне:
Е,::: Ев 
k 2 a l Е  /kr
 cos6 ое
r
(2.211 )
Полная мощность рассеянной выступом волны в верхней
полусфере, рассчитанная известным методом, равна
4' 7t-a 8 2
P==45Eт'
rде Вт  амплитуда напряженности поля первичной вол
ны. Часто для характеристики рассеивающей способно
сти тела вводят '8 рассмотрение, кроме .понятия диффе
ренциальноrо поперечника рассеяния, которое иепользу
ется в радиолокации (ЭПР), также понятие полноrо эф
фективноrо поперечника рассеяния 'О'и, определяемоrо как
отношение мощности рассеяния к плотности потока энер
rии первичной волны Sперn.
Соответственно для расс'матриваемоrо выступа в ви'
де полусферы получаем
I 2
Р Е т 64 'lt ll a 8
Оn== ===p 240 ==3.
пеР. 'It
(2.212)
Закон рассеяния, выраженный этой формулой, а именно
а'"
пропорциональность Оп отношению F' называется зако
НОМ Релея. Этот закон довольно общий, он имеет место
в случае не только идеальноrо проводника, но и тела
с произвольными электрическими параметрами, если
только выполнятся условие малости линейных размеров
э:rоrо тела по сравнению 'с длиной волны в среде тела.
2. Распространение радиоволн в случае хаотически
распределенных неРf:!вностей на поверхности земли
Рельф земной поверхности может быть чрезвычайно
разнообразным. Соответственно вариаций проблемы pac
пространения радиоволн над реальной землей может
быть чрезвычайно MHoro. Ввиду этоrо мы вынуждены
оrраничить рассмотрение проблемы лишь KpyroM вопро
сов, обладающих наибольшей общностью с точки зре
ния теории свободноrо распространения радиоволн.
К такпвым относятся. вопросы распространения радио
196

волн над неровной поверхностью земл с неровностями,
распределенными 'но ней по законам случайности. При
этом между неровностями может существовать HeKOTO
рая корреляция. Так, между неровностями, созданными
волнениями водной поверхности На море, имеется опре
деленная корреляция. Блаrодаря этому по рассеянному
излучению радиоволн взволнованной морской поверхно-
стью оказывается возможным изучить динамические про
цессы, приводящие к образованию волн (28]. В общем
же случае априори нет какихлибо данных, на основа-
нии которых можно было отдать предпочтение какой
либо определенной функции корреляции.
Ввиду этоrо объектом изучения здесь будут вопросы
распространения радиоволн в случаях, коrда неровности
хаотично рас,пределены по поверхности земли без Ka
КОЙJIИбо корреляции. При этом мы рассмотрим два
прсдельных случая.
1. Неровности в пределах трассы или участка, суще-
cTBeHHoro для отражения радиоволн, образуют стати
стический ансамбль.
2. Неровности в предел_ах тех же участков 'поверх
ности земли имеют размеры, соизмеримые с линейными
размерами этих участков и, следовательно, не образуют
статистическоrо ансамбля.
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть HepOBHO
сти представляют собой высту,пы, рас'смотренные в KOH
це предыдущеrо пункта, т. е. выступы, размеры которых
удовлетворяют условию (2.21 О), и пусть они расположе,
вы достаточно редко. .Тоrда можно считать, что поле на
поверхности земли равно сумме полей невозмущенноrо
поля Ео и среднеrо добавочноrо поля Е1, созданноrо BЫ
СТУ1пами ,на идеально 'Проводящей Iземле IЛОД 'влиянием
пе1рвичноrо поля:
Е== Ео+ Е 1 .
(2.213)
Среднее лоле Е 1 следует понимать как среднее по aH
самблlO. Практически это пле можно определить путем
усреднения поля, измеряемоrо при перемещении Koppec
ПОНДИРУlOщих пунктов с сохранением их взаимноrо pac
ноложения, в разных участках земной поверхности.
Пусть число выступов на единицу площади равно 'У,
тоrда в соответствии с формулой (2.211)
r  /kr
Еl == 'V k2аЗJ Е е r dS,
So
191

rде' интеrрал должен быть взят по площади трассы, т. е.
по эллипсу, существенному для 'распространения вдоль
поверхности земли. Отсюда соrласно (2.213) получается
следующее интетральное уравне.ние для определения
поля:
Е == Е + k2аЗv' с. Е e /kr dS.
о .11. r
So
Аналоrично тому, как это было уже сделано ранее,
в Э 7 этой rлавы, введем множитель ослабления w co
rласно формуле
 !kR'
E==.EoW  B..: е R' w:(R')
и подставим это выражение для Е в интеrральное ypaB
нение; получим
(2.214)
ejkR ejkR.
Bw(R)==B+
S  jkR.'  jkr
+ k 2 а З v В е R' w (R')  dS.
So
Сопоставляя это уравнение для w с уравнением (2.142),
видим, что эти уравнения аналоrичны. Это позволяет
'1.'
'1
q
с
Рис. 2.88. 1( ВЫВОДУ критерия Рис. 2.89. Случай невыполнения
РСJlея. критерия Релея.
установить эквивалентность постоянных коэффициентов
уравнений. Отсюда получаем сформулированное впервые
Е. Л. Фейнберrом соотношение для определения эффек
тивных параетров распространения радиоволн как
вдоль, так и над поверхностью земли:
'k
k 2 а З v==  . (2.215)
2n: Vв'.фф
При распространении радиоволн вдоль поверхности зем
ли таким параметром является численное расстояние,
198

определяемое формулами (2.t48) и (2.151):
p==sR==  j , R.
Откуда следует, что
Рэфф ==  j  2 ,k R == j2k З (а З v)2R.
. е: вфф
(2.216)
При распространении радиоволн над землей таким па-
раметром, как следует из выражений для коэффициентов
отражения Френеля, является V Е' . Следовате!Iьно, со-
ответствующий эффективный параметр равен
V ,........... . 1 .
s эфф ==  J '2тtka ' v == lХ,
(2.217)
rде Х  'Показатель 'поrлощения.
Параметрами, определяемыми соотношениями (2.216),
(2.217), и следует пользоваться для расчета 'поля в слу-
чае наличия выступов, высота а которых значительно
меньше длины волны.
Перейдем теперь к случаю, коrда это условие не вы..
полняется. Сначала найдем высоты допустимых неров-
ностей для зеркальноrо отражения. Пусть для упроще-
ния неровность представляется в виде столбика высотой
h (рис. 2.88). Очевидно, что можно будет считать отра-
жение зеркальным,. если в направлении зеркальноrо OT
ражения rеометрическая разность хода лучей qCq и
q'C' q' значительно меньше длины волны л. Отражение
как и в оптике считают зеркальным, если эта р.азность
хода меньше ,'А/8. Это соответствует разности фаз п/4.
Из рис. 2.88 видно, что rеометрическая разность хода
равна
ВСВ' == L ==2h sin е.
Соответствующая разность фаз равна
Ф == .21tL ==. 41th sin.a .
л 'А. .
Следовательно, должно быть
41th. 1t
s106T'
(2.218)
или
h
л
lб sfn в  h M8IC '
(2.219)
199

Эта формула представляет собой так называемый
критерий Релея для зеркальноrо отражения. Из этой
формулы видим, что высоты допустимых неровностей
для зеркальноrо отражения определяются не только дл и
ной волны, но и существенно зависят от уrла скольже
ния 8. Они тем больше, чем меньше уrол скольжения.
С этой точки зрения практические требования к суще
ственному участку с уменьшением уrла скольжения 8
понижаются и, следовательно, 'допустимые неровнО'сти
MorYT быть большими. На:пример, для л==ll м при 8 ==
==300 допустимая 'высота неровности h MaHc ==O,I'25 м,
а при ,8 == 1 о эта высота h MaRc == 3,75 м.
Зависимость характера отражени'Я от уrла скольже
ния леrко продемонстрировать, наблюдая отражение от
листа бумаrи свето'вых волн. Белый лист бумаrи, наблю
даеМЫIUI под уrЛО1\1 скольжения, близким к 00, представ
ляется блестящим. Если же лист наблюдать под уrлом,
замеТIIО большим 00, то блеск исчезает.
Выясним, каким будет отражение, сслн критериЙ Pe
лея не выполняется. Для этоrо представим неровность
снова в виде столбика. Поскольку теперь отражение e
зеркальное, лучи, исходящие от лары вторичных источ
ников  источника, расположенноrо на вершине, и ис
то'Чника у основания столбика  MorYT иметь произволь
ное направление (рис. 2.89).
Разность фаз, образованная разностью хода лучей,
как видно из рис. 2.89, равна
О/::=; 2h (sin 6 + sin 61)'
Суммарное поле этой :пары источников соответственно
представляется выражением
и::=; а ef(<IItkr)( 1 + е lФ ), (2.220)
rде а  амплитуда колебаний поля, созданноrо одним
вторичным источником.
Заменяя каждую неровность пароЙ вторичных источ
ников, мы можем поверхность земли рассматривать как
ровную, но с рас'пределенными по неи парами вторич
IIbIX источников.
Суммарное i10ле, создаваемое раопределением в пре-
делах площадки I1S пар источников, равно
U===ui==a:elwte/krt(l+elcjJt). . (2.221)
200

Рассчитаем, чему равна плотность потока энерrии
этоrо поля, создаваемоrо источниками площадки дS
в дальней зоне. Для этой цели вычислим интенсивность
излучсния источников II1лощадки дS ОБ ее дальней зоне.
ПОД интенсивностью излучения 1 нонимается мощ
ность В заданном направлении и отнесенная к единице
телесноrо уrла и единице площади излучающей поверх
IJP
IJQ
i
Рис. 2.90. К определению понятия
интенсивности и:злучення.
Рис. 2.91. К интерпретации за-
кона Ламберта.
ности. Так, если в телесном уrле да' площадка .18 в Ha
правлении уrла <р излучает мощность 8Р (рис. 2.90), то
средняя интенсивность излучения равна
д ( ДР ) 112p
Icp== дS  == Ы2дS .
(2.222)
в дальней зоне лучи, исходящие из всех точек площадки,
становятся параллельными и соответственно между ce
чением .18' параллельноrо пучка лучей и размером пло
щадки дS устанавливается соотношение (рис. 2.91)
dS'==S cos<p. (2.223)
Отсюда следует, что точная' интенсивность излучения
в направлении уrла ер, получаемая из (2.222) путем пре
дельноrо перехода устремлен.ием ,Q"""'-+o и .AlS',
должна ра!внять'ся
d 2 P
1 == dQ.dS' cus rp. (2.224)
Но ПрlI .1S' в формуле (2.221) в пределе имеем
rir (рис. 2.91) и мы находим
 j (<utkr)  j<J.I t
и ==: Щ ==:а е O+e).
201

Квадрат модуля И.соответственно равен
IU l' a'l (l+е/Ф,) I'
a' {[(1 + CSfi)]' +(Sin fi )'}
==2па l +2а 2 (  COS(o/i rf1t) + СОSФi ) '
l.k(l-l=k) l
rде n  число неровностей на единицу площади. По
скольку 'Фi  случайные величины, то суммы с очень
большой вероятностью будут равны нулю и поэтому
I UI 2 ==2na 2 .
(2.225)
ОТСl9да следует, что плотность 'потока энерrии S, излу
чаемой вторичными источниками достаточно малой лло
щадки dS при фиксированной даЛЬНОСllИ r от этой пло-
щадки, остается постоянной величиной, не зависящей от
направления излучения. При этом излучен-ие происходит
TOJIbKO В верхнюю -полусферу. А так как эта ,iПлотность
S ==dP/dS', то вместо формулы (2.224) получаем
1
1 === S COS Ф'
2,. тt
(2.226)
при ===o
1
/===Io===S
(2.227)
и, следова тельно,
/ ==/0 COS tq>.
(2.228 )
Полученное здесь теоретическим путем соотношение
(2.228) есть хорошо известный «закон косинуса», или
заКОfl Л а.мберта. Этот закон был уста новлен в резулыа
те экспериментальных исследований яркости светящихся
поверхностей.
Из вывода формулы (2.228) следует, что закон Лам-
берта имеет MeC'J10 'при выполнени'и двух условий:
а) концентрация неровностей сохраняет постоянное
значение на всей отражающей поверхности;
202

б) отражающая повеРJ\НОСТЬ в среднем не уклоняет-
ся от ПЛОСКОСТИIВ этом случае COS(P' сохраняет ПОСТОЯII
'Ное значение на всей отражающей поверхности.
Далее, из очевидных соображений следует, что поми-
мо этих условий, для толо чтабы атражение происходило
по закону косинуса, необходима также, чтобы HepaBHO
сти не создавали теневых областей. Это условие выпо.л
няется, если размеры неровностей имеют порядок величи-
ны, не больший длины 'Волны.
Отражение, происходящее па закону косинуса, назы
вается рассеЯННblМ или диффузным, а поверхности, атра-
жающие диФФузно, называются ,матовыми 'или шерохо
ватыми. Полный папереЧНИI{ рассеяния О'п участка MaTO
вай паверхности площадью 8..5 в пред,паложении, что. вся
перехватываемая ЭiИМ участкам ЭfIерrия пеРRИЧНОЙ вол
ны полностью рассеивается, апределяется из условия
Р расс ==Sперв8.S cos ер, т. е. О'п == Ррасс/Sперв==='S cos <р.
Диаrрамма интенсивнасти излучения, имеющая места
при атражении па закану косинуса, приведена на
рис. 2.92. Вид диаrраммы не зависит ат уrла падения
первичной волны.
Однако. как в ,аптике, так и в радиатехнике нет таК
называемых идеально матовых паверхностей, которые бы
палностью диФФузно отражали. Имеются паверхности,
"
"
Рис. 2.92. Диффузное отра-
жение.
;;: "/
Рис. 2.93. Полурассеянное
отражение.
KOiapbIe лишь Iприближаются к идеальна матовым. Па
этаму, cTporo rаворя, атражение от земли в большей или
меньшей степени является полудиффузным или, иначе,
полурассея IIIIЫМ (рис. 2.93).
ПолурассеЯIIIIое атражение абусловливается наличи-
ем в пределах существеннаrо участка для атражения
множества хаОТI1чески 'расположенных неровностей
203

с размерами, значительно меньшими размеров этоrо
участка. Очевидно, что чем короче волна, тем вероятнее
выполнение условий, при. ,которых отражение близко
к диффузному. Это в первую очередь относится к диапа
зону сантиметровых волн, для KOToporo земля не являет
ся ровной. Сантиметровые радиоволны в большинстве
случаев рассеиваются неровностями поверхности земли.
П)JИ этом следует иметь в виду, ЧТО во мноrих случаях
в этом диапазоне волн в силу знаительной направлен-
ности излучения антенн rлаlвны
й лепесток диаrраммы lIа
правлешlOСТИ не «задевает» поверхности земли и ПО'3то
му нет необходимости учитывать влияние земли. Оче
видно, что нет также необходимости УЧИТblвать влия,ни
земли, если рассеиваемая поверхностью земли часть
электромаrнитной энерrии в направлении точки наблю
дени я мала.
Однако, как показал ОПblТ, в этом диапазоне волн MO
жет наблюдаться и хорошее зеркальное отражение са H
тиметровых радиоволн от земной поверхности. Это будет
иметь место, 'во-пер.вых, в тех случаях, коrда уrол сколь-
жения достаточно мал, тоrда высоты допустимых неров-
ностей для зеркальноло отражения соrласне формуле
(2.219) увеличиваются и отражающий участок оказы-
вается пра!<тически достаточно (POBHЫM»; и, во-'вторых,
В тех случаях, коrда эффективный участок земной по
верхности, участвующий в формировании отраженноЙ
ВОЛНbI, достаточно мал' (при больших уrлах скольжениq:),
вследствие чеrо в пределах этоrо участка ,поверхность
земли оказьшается достаточ,но ровной.
3. Влияние рельефа местности в окрестности позиции
радиолокационной станции на ее дальность действия
Проблема распространения радиоволн в случае, Kor
да не"ровности поверхности земли в пределах существен-
Horo участка для отр.ажения не образуют статистическо
ro ансамбля, в настоящее 'время представляет наиБОJIЬ
ший практический 'интерес по-видимому только для pa
д.иолокации. Это обусловлено тем, что такие неровности
в общем случае MorYT 'влиять на дальности действия ра-
диолокационной станции и существенно менять ее зоны
видимости. Поэтому указанную проблему рассмотрим
применительно к радиолокационной практике.
204

Оqевидно, что неровностями, не образующими стати
стический ансамбль, являются такие неровности, которые
имеют размеры, значительно большие длины волны и
сравнимые 'с размерами участка, сущес'Твенноrо для от-
ражения. Причем форма их может быть совершенно про
а}

о}
Рис. 2.94. Уклон и подъем местности.
а)
Рис. 2.95. Полоrие неровности со средним уклоном или средним
подъем,рм.
5'
,
а}
о)
Рис. 2.9б. Склон, обращенный в сторону цели или радиолокатора.
b&l
W
J\
V
а)
5)
Рис. 12.97. ОбрblJВ, обращенный в сторону цели нл.и раДИOJ1окатора.
205

извольной. Однако мы рассмотрим только наиболее ХН-
рактерные случаи неровностей, с которыми встреч/аются
в радиолокационной праIПlIке. При этом .учитывая, что
участок, существенный для отражения, весьма 'Вытянут
в сторону цели, рельеф местности мы будем характеризо
вать ero профилем вдоль этоrо ,направления.
Рассмотрим профили местности, изображенные на
рис. 2.942.97.
А. J1 хлоп или подъем м.естпостu
Если впереди радиолокатора имеется уклон местно-
сти на уrол V (рис. 2.94,а), то диаrрамма видимости ра-
диолокатора может строиться, как и над плоской землеЙ.
Однако при этом диаrрамма в целом, как видно из
рис. 2.98,а, 'ПОIЗорачивается вниз на уrол у, причем
Z'  
t
' 
z
R
R
а) 6)
Рис. 2.98. Поворот диаrраммы ВИДИ1llOСТИ при наличии уклона или
подъема местности.
вместо высоты h подъема следует 'брать величи.ну
h .cos у. Таким 06разом, здесь наlJ1'равление 'lIepBOrO м a
ксимум а, характеризуемоrо уrлом 81, должно ()iпреде
ляться из условия
sin (61 + у) === 4h c:s 'f .
Если уrол т мал, то вместо п()следней формулы можно
принять
.' л
sш (в) + у) == 41lo
(2.229)
Если имеется подъем местности (рис. 2.94,6), то COOT
ветственно диаrрамма видимости поворачивается вверх
На уrол V (рис. 2.98,6).
206

Б. ПОЛО2ие неровности
Сначал проанализируем в общих чертах характер
влияния неровностей на отражение радиоволн в случае
идеально проводящей земли. Для этоrо рассмотрим след
ствия, вытекающие из rраничных условий на неровной
поверхности земли. Очевидно, что чем больше rраничные
условия на неровной земной поверхности отличаются от
rраничных условий на ровной плоской земле, тем больше
возмущающее действие неровностей. Отличие rраничных
условий здесь обусловлено двумя обстоятельствами. Во-
первых, rраничные условия должны удовлетворяться на
разных rоризонтальных уровнях. BO'BTOpЫX, они должны
удовлетворяться на поверхностях, нормали в каждоЙ
точке которых образуют различные уrлы с 'Вертикалью.
Учитывая эти обстоятеЛЬС11ва, можно сразу установить,
что характер 'влияния неровностей поверхности земли на
отражение радиоволн будет различным при rоризонталь
ной и вертикальной поляризации падающей волны. В са.
мом деле, 'при rОр'ИЗОI-IТЗЛЬНОЙ поляризации вектор Е ro-
ризонтален и, следовательно, в основном сказывается
первое обстоятельство. Поэтому здесь влияние HepOBHO
стей на отражение радиоволн сведется 'в основном к TO
му, что будут меняться лишь фазы вторичных источни
ков, распределенных по поверхности земли в COOTBeTCT
вии с ее рельефом. Кроме Toro, будет иметь место незна-
чительный эффект деполяризации, обусловленный дейст
'вие,м 'BTO'p'0ro обс"Тоят,еЛЬСl'ва.
Под деполяризацией здесь нонимается 'изменение по
ляризации отраженной волны по сравнению с по.пяриза
цией падающей ВОJЩЫ.
При вертикальной поляризации падающей волны кро-
ме первоrо обстоятельства 'в равной мере действует l.
второе, вызывающее б6льший эффект деполяризации.
чем при rоризонталь ной поляризации.
Если земля  не идеальный проводник, первое об
стоятельство остается таким же, как и 'в случае идеаль
но проводящей земли. Действие же BToporo обстоятель-
ства несколько ослабляется, так как амплитуда отражен
ной волны вообще уменьшается.
Из проведенноrо анализа следует, что как для иде-
ально 'Проводящей, так и реальной земли возмущающее
действие неровностей при вертикальной IJоляризации
больше, чем при rОРИЗОIlтальноЙ поляризации. С этоЙ
207

точки зрения в радиолокаци предпочтительнее исполь
зош\ть rОРИЗОlпальную поляризацию.
Однако следует иметь в виду, чтu эффект указанной
деполяризации IB слуае полоrих нерОDностей мал и по
этому он не сильно сказывается на параметрах радио
локационной станции.
Ввиду этоrо здесь мы рассмотрим влияние неровно-
стей поверхности земли на отражение радиоволн, обу
совлеНIIое только деЙствием ,первоrо обстоятельства.
Итак, пусть поверхность земли описывается ypaBHe
lIием
z ==  (х, у),
тоrда полоrими неровностями будут неровности, удовлет
воряющие условиям
I : I  1 I ; I  1. (2.230)
ОС6бенностью 'полоrих неровностей является то, что каЖ
дая из них почти не ,создает тени. Эта особенность позво
ляет влияние неровностей на отражение радиоволн CBe
сти к влиянию уклона или подъема местности в lпределах
существенноrо участка для отражения. Покажем, как
определяется средний уклон или средний подъем MeCT
ности.
Оlчевидно, что если бы раопределение падающей энер
rии в пределах существенноrо участка было равномер-
ным, то учет влияния профиля местности свелся бы толь
ко К учету фаз вторичных и,сточников, распределенных
по существенному участку. Этот учет можно было бы вы-
полнить, заменяя сложный профиль линией среднеrо
уклона, которую 'можно ,провести исходя, нап,ример, из
условия, чтобы суммарная площадь заштрихованных об
ластей равнялась нулю (рис. 2.99) (площ.а.дкам, располо-
женным выше и ниже линии среднеrо уклона, цриписы-
маются разные знаки).
Однако распределение падающей энерrии в пределах
существенноrо уча,стка не является равномерным и по
этому при проведении линии среднеrо уклона эта нерав-
номерность должна быть учтена.
Суть всех методов приближенноrо учета полоrи.х не-
ровностей на отражение радиоволн состоит в том, что
линия среднеrо уклона проводится в СОО1'ветствии с рас-
цределением Эllерrии 'падающей волны только в пределах
первой зоны Френеля.
208

Наибuлее ТОЧНЫМ (относительно) из них является
следующИl U ' мстод. Первую зону Френеля в продольном
ее l1апранлснии делят на ряд участков и находят, как
распрС'дсляет,ся указанная ЭIlсрrия по этим участкам.
Пусть 1Iа iЙ участок падает часть b i , тоrда ЛИ1lИЮ cpeд
Рис. 2.99. Проведение линии
среднеrо уклона при paBHO
мерном распределении
энерrии.
+ + +
 .AfI'ТТfТm
  ...
Hero уклона ,проводят ,под таким уrлом к rори:зО'нту, что
бы УJI.()влетворя.'lОСЬ условие
L biAZi === О.
(2.231 )
Здесь Zi  среднее повышение (берется со знаком «+»)
или понижение (берется со знаком «») участка OTHO
сительно линии среднеrо Уiклона.
Чем больше число таких участков, тем точнее метод.
Однако этот «точный» метод весьма rромоздкий и это
затрудняет -ero реализацию на "рактике.
Поэтому rпредставляют интерес хоть менее точные, но
зато более простые методы. Ниже описывается один из
таких простых методов. В этом методе процедура oцeH
ки влияния неровностей сводится к несложным арифме-
тическим вычислениям, снятию точек на семействе rOTo
вых кривых и К проведению линии сред,неrо уклона, как
для paBHoMepHoro раопределения:
В  2 этой rлавы были ПО.lучены формулы для век-
тора rерца n (А) поля, созда BaeMoro вторичными ис
точниками, раСlIоложенными в пределах участка, сущест
BeHHoro для отражения, и определен множитель земли
F. Соrласно (2.17)
F ===С(u)  jS(u)==Фе /!Р,
Ф == VC a (и) + S2 (и),
S (и)
tfI ==.arctg с (и) ,
rде пq (2.16)
концу первой
значение парамеrра и, соответствующее
ЗОНЫ Френеля, определяется выражением
и  sin 6 11 I 2а] .
B r л.
141283
209

Соrласно формулам (2.11) положение и размеры а1 и Ь 1
полуосей первой зоны Френеля определяются соотноше
ниями
ХОl == ХО ( 1 + 2h :in 6 ), ХО == t: в ·
1 rлh ( -Л ) .
а 1 == SIii""6 11 SiПТ 1 + 4h sin в ,Ь} == а 1 Sln 6.
Из изложенноrо следует, что вес различных участков
первой зоны Френеля IПрИ ВbI'полнении условий (2.1,2) 'и
(2.13), приближенно таков же, как если бы излучатель
был расположен на поверхност земли (h :=0).
Это обстоятельство позволяет IПрИ проведении линии
среднеrо уклона в соответствии с формулой (2.231) поль
зоваться кривой функции Ф (и), определенной формулой
(2.17), точнее той частью этой кривой, rде Ф (и) не убы
вает.
Из рис. 2.100 видно, что эта функция монотонно воз-
растает, коrда и меняется в пределах от О ДО и1 =='1, 2.
В то же время значение и, которое соответствует rрани
це первой зоны Френеля при h == О соrласно формуле
(2.16) равно V2, т. е. протяженность уча'стка, в преде
лах KOToporo Ф(u) возрастает, равна (1,2/ V"2) ==0,72
протяженности первой зоны Френеля.
На pc. 2.101 приведен rрафик функции ср(u)jФ(U1)'
построенный по данным кривой рис. 2.100 в пределах
указа HHoro участка.
Таким образом, для Toro чтобы провести линию cpeд
Hero уклона при h=l=O, необходимо нанести на профиле
Ip(li}
48
0,6
"- .r '
J \ / "" "
\ 1/ V '\ / ,
...)

4
0,2
f и, 2 3 "
Рис. 2.100. Кривая, характеризующая роль различных участков пер-
вой зоны Френеля в отражении.
210

местности rрапицы участка, причем ero ближняя rраница
должна совпасть с ближней rраlIицеЙ первой зоны Фре
неля. Далее соrласно трафику рис. 2.101 отмечают точки,
,соответствующие значениям Фу.нкции Ф(u)jФ(Ul), paB
ным 0,55, 0,75, 0,85, 0,95 (это точки х/2аl ==0,15, 0,26, 0,37,
(l1)
:,!,(а,)
0,8
0,8 )
o,'f
D,2
о
0,2 0,11 0,8 0,8 
o,f5.o,26437 0,55 11,73 2а,
Рис. 2.101. Кривая для ориенти-
ровочноrо учета влияния рельефа
местности на зоны видимости pa
диолокатора.
f, fz,1,
30 5
20 40
10 2
о о
0,2 0,6 1,  '1
Рис. 2.1102. Вспомorательные
кривые ля расчета параметров
существен'Ноr,о участка.
0,55) и затем проводят линию среднеrо уклона в, соот-
ветствии с формулоЙ (2.231).
Для удобства выполнения расчетов на рис. 2.102 при
ведены вспомоrатель ные кривые, рас;считанные по фор-
мулам
{I'2(q)VI +2q =+= VI +2q; XI,2 2stn t fj {1.2(q),
(2.232)
(Хl, 2  [ра ницы зоны Френеля);
X 01 === Х О {З (q); {, (q) 1 + * ; I
a l ===+ {4 (q); {4 (q) ===  v 1 + *;
q ==h sin ,е/л.
14-
(2.233)
(2.234)
211

найденныIй указа нным способом уrол среднеrо укло
на местности рассматривают как поправку, которую нуж
но внести в диаrрамму видимости для заданноrо уrлз
возвышения. На'пример, на рис. 2.103, rде изображена
некоторая диаrрамма зон видимости для плоской земли,
заданному уrлу возвышения е соответствует 'максималь
ная дальность ОБ. С учетом же Iвлияния профиля MeCT
ности эта дальность будет соответствовать не уrлу е,
z
о
R
Рис. 2.103. Внесение поправки в диаrрамму видимости на влияние
рельефа местности.
а уrлу ey (направление ОБ'). Таким образом, по
среднему уклону местности, определенному для различ
ных уrлов 'возвышения, можно найти новое rеометриче-
ское место точек скорректированной диаrраммы зон ви-
димости.
Б. Склон, обращенный в сторону цели
Характер влияния склона местности r(рИС. 2.96,а) на
дальность действия РЛС весьма резко меняется с изме
нением уrла возвышения.
При не малых уrлах возвышения участок, сущеС11ве,н-
ныЙ для отражения, целиком укладывается в пределах
плоскости склона и поэтому в точку наблюдения в coor
ветствии с отражательноЙ трактовкой приходят две вол
ны  прямая и отраженная. Диаrрам.ма видимости со-
ответственно будет такой, KalK для плоскоЙ земли, OДHa
ко, как уже было показа но, она' будет повернута вниз на
уrол у.
С уменьшением уrла возвышения существенный уча
сТоК для отражения уже ожет не уместиться на одной
плоскости с склона и располаrается на обеих плоскостях 
плоскости склона и rоризонтальной. В Э10М случае учет
212

Пр'Jфиля местности можно выполнить, как и в случае
произвольных полоrих неровностей, проведя линию сред-
I1ero уклона .аписа нным в подпункте А способом.
При еще меньших уrлах возвышения на плоскости
склона MorYT уместиться два существенных участка ДЛЯ
отражения. Соответственно в точ,ку наблюдения Mory r
придти ломимо прямой волны еще три отраженных
(рис. 2.104).
Одна из отраженных волн претер.певает одно OTpa
жение от пло,скости склона. Друrая  претерпевает по
следовательно два отражения от плоскости склона и ro
Рис. 2.104. Увеличение даль-
ности радиолокатора при ма-
лых уrлах rвоз'вышения при на-
личии склона.

н . "',.,  >А
ризонтальной плоскости. Третья  отражается только от
rоризонтальнойплоскости.
Найдем интерференциовный множитель земли дли
этоrо случая. Поскольку уrол склона 'У, как и все уrлы
возвышения, здесь должен быть малым, то при всех OT
ражения?, коэффициент отражения можно считать рав-
Рис. 2.105. К расчту интерфе-
ренционноrо множителя при
наличии склона. В


ным  1. В связи с этим поле в точке наблюдения пред
ставляет,ся выражением
Е  Е т (e/krl  eJkrl + eJkr8  e/kr4)  Eme/krl Х
Х [1  e/k(rlrl)  e/k(r,rl) (1  eJk(r8r4) )]. (2.235)
Множитель 'в квадратных скобках  интерференционный
множитель  принимает 'просrой вид при след.ующих
предположениях: высота подъема а нтеины h эиа чительно
меНЬ1ше высоты склона Н в Месте установ'ки антенны, т. е.
h<.H (рис. 2.104); точка отражения TpeTbero пуча от ro-
213

ризонтальной плоскости находится в дальней зоне под-
нятоrо над землей на высоту h антенны.
При этих условиях ймеем
'2"1  и  2hcosys.in(e,..'()  2h(sin6+siny), I
'З '4v2hСОSУS1Пу2hSlnУ, (2236)
'4'1:=:::q==2(H+h)sinG2Hsin6, .
q+v==2Hsin6  q+и.
Учитывая эти соотношения, для модуля' интерференцион
Horo множителя получаем
Ф == 1I  e jkи  е  j1tq (I  e jltv)l ==
==/(1 ejhи)(1  ej1tq)1
(2.237)
или
Ф==41 sin (khsin (B+v) sin (kHsine)1 *) (2.238)
Из последнеrо выражения видно, что интерференцион-
ный множитель может принимать максимаЛLное значе-
ние 4. Соответственно максимальная дальность действия
радиолокационной станции может увеличиться 'в 4 раза
по сравнению с максимальной даль ностью действия РЛС
в свободном простра нстве. Далее замечаем, что число
лепестков и изрезанность диаrраммы значительно увели-
чиват,ся по сравнению с таковыми над плоской землеЙ.
Условно rраницу 'Между двумя интервалами уrлов,
rде имеется одна и три отраженные волны, IIетрудно най-
ти с помощью rеометрическоrо построения. Из рис. 2.105
видно, что при уrлах скольжения e>'8 rp ==a+,\, лучи, OT
раженные от плоскости склона и от rоризонтальной пло
скости, не пересекаются и, следовательно, имеется только
одна отраженная волна; при противоположном HepaBeH
стве  три. fраницу эту мы называем условной, посколь
I{y В действительности она размыта. и характер отраже
ния между однолучевым отражением и трехлучевым Me
няется пла вно.
Мы рассмотрели местность со склоном, обращенным
в сторону цели. Аналоrичным образом можно рассмот-
реть и местность со склоном, обращенным в сторону ра-
д'иолокаторэ. Отличие между этим случаем и предыду-
щим состоит только в том, что вся диаrрамма видимо-
сти 'в цлом поворачивается вверх.
*) В [10] Iприведена аналоrичная формула, НО менее точная.
214

r. Обрыв, обращенный в сторону цели
в случае обрыва (рис. 2.97,а) диаrрамма видимости
РЛС также может резко измениться по сравнению с Ta
ковой над плоской землей.
Проанализируем, как меняется характер отражения
радиоволн от поверхности земли с изменением уrла воз
вышения. Очевидно, что если позиция радиолокатора Ha
ходится у caMoro края обрыва, то диаrрамма видимости
будет такой же, как над плоской землей, но при этом
высота подъема антенны увеличивается на величину Н,
rде Н  высота обрыва. Соответственно условие для Ha
правления первоrо максимума, диаrрамма будет опредс
ляться формулой
. 6 л
Sln == 4 (h + Н) ,
(2.239)
т. е. нижний лепесток диаrраммы, как и ,все прочие, при
жимается к земле, а число лепестко.в увелич-ивается.
Если позиция РЛС находится на некотором удалении
от края обрыва, ситуация усложняется. При не малых
уrлах возвышения 8 участок, существенный для отраже
ния, укладывается на верхней rоризонтальной плоскости
(рис. 2.97,а). В этом случае диаrрамма видимости РЛС
такова же, как если бы обрыва не было.
Если уrлы возвышения малы, существенный участок
для отражения укладывается на нижней rоризонтальной
плоскости и диаrрамма видимости будет такой же, как
если бы позиция РЛС находилась у caMoro края обрыва.
Наиболее сложной является ситуация, коrда уrлы
возвышения таковы, что часть существенноrо участка для
отражения расположена на верхней, а друrая часть 
на нижней rоризонтальной плоскости (рис. 2.106).
Однако и в этой сложной ситуации оказывается воз-
можным при некоторых упрощающих предположениях
ВЫЧИСJJИТЬ приближенное значение множителя земли Р.
Эти предположения таковы. Затекающие на верти
кальную плоскость обрыва токи пренебрежимо малы и
ослабление радиоволн в земле весьма велико, так что
}тол обрыва можем ра,ссматривать как край непрозрач'
Horo экрана.
И,сходя из этих предположений, множитель Р, опре
деленный формулой (2.18) и имеющий смысл коэффици
215

еНта отражсния ОТ земли, предстаВЛ5lем двумя СЛаrае
МЫИ:
FIFB+FH' (2.240)
I'ДС Рn  слаrасмос множитсля, оБУСЛОВЛСIlIIOС отраЖС!IН
ем ит верхней площадки (рис. 2.106); Fнслаrаемое
множителя, обусловленное отражением от нижней rори
зонтальной плоскости.
СоrлаСIIО формуле (2.18) [10 уrлу возпышсния е, Д.lIи
не волны л и высоте подъема антенны Iz можем опреде
лить
/19(иl,и.)
F в (ир ив) === фв (ир ив) е , (2.241)
rде иl определяется формулами (2.234) и (12.,233), а ив
соrласно формуле (2.232) и рис. .2.11'06 равно
V 2х. . 6
и в === S1n.
В отношении же слаrаемоrо F H . следует иметь в виду,
ЧТО оно должно содержать множитель, учитывающиЙ
,.,

ХВ
Хм
Рис. 2.lOб. К расчету 'множителя земли при наличии обрыва.
дифракцию на крае экра на, который соrласно (1.85) ра-
вен 1/2 VT. Поэтому
F   V "7" ф ( . ) /I9H(иH; и.)
н  2 J н ИН' и 2 е .
(2.242)
Причем СОI'лаСlIO рис. 2.106 в определяемом по форму
лам (2.234) и (2.233) параметре и2 вместо h следует по-
ставить веЛИЧИ!IУ h+H, а Ин равно
r'F .
и н == V Т sin6.
216

Функции (2.241) и (2.242) леrко определяются с по
мощью шарнира спирали Корню, описаНIfоrо в начале
этой rлавы.
Как уже было сказано, функция F имеет смысл ЮJ-
эффициента отражения. ,однако она рассчитана в пред-
положении, что земля  идеальный проводник и поля-
ризация вертикальная. При применении ее к случаю ре-
альной земли следует учесть, что при малых уrлах в,
которые здесь предстапляют интерес, коэффициент от-
ражения IIеза висимо от пида поля риза ции берется paB
ным 1. Поэтому, рассматри.вая поле Е 13 точке IIаблю-
дения как сумму полей прямоЙ и отражеШlOi'l волн, мы
должны считать
Е==Ет (e jkr  FeJkrl).
(2.243)
Если обрыв обращен в сторону радиолокатора, то оче-
видно, что практический интерес будут представляТI)
лишь такие уrлы воз,вышения, при которых участок, cy
щесТiвенный для отражеIIИЯ, целиком умещается на ниж-
ней rОРИЗ0нтал ЫIOЙ плоскости. В этом случае уrол обры-
ва будет плиять на поле, как край HeKoToporo экрна.
Соответственно поле в точке наблюдеIlИЯ должно рас-
считываться по формуле
Е Е [Р  jk.r + F R fkrl ]
== т ОА е О'А Br e ,
(2.244)
rде F  дифракционный множитель, учитывающий влия
ние края обрыва как края экра на. ОА и О' А  соответ-
ствующие линии наблюдения.
Из изложенноrо в настоящем ,пункте следует, что цe
лесообразным выбором позиции радиолокационной стан-
ции можно увеличить ее дальность деЙ,ствия только 'в не-
которых интервалах уrлов возвышения. Так, при 'Позици
ях С профилями местности, изображенными IIa ри'с.2.94,а,
2.95,а, 2.96,а, 2.97,а, имеет место увеличение дальности
децствия радиолокационных станций при малых уrлах
возвышения.
Местности же, профили которых приведены на
рис. 2.94,6, 2.95,6, 2.96,6, 2.97,6, способствуют увеличе
нию дальности действия радиолокационных станций при
соответс.твеIПIO больших уrлах возвышения.
Увеличение дальности действия радиолокационноЙ
станции в случ,!е профиля, изображенноrо на рис. 2.97,6,
может иметь место из-за Toro, что J F I в формуле (2.244)
217

принимает значения, несколько большие единицы
(рис. 1.22).
Увеличению дальности действия радиолокационноЙ
станции может способствовать 'Препятствие впереди pa
диолокатора, в. особенности, е,сли имеет место эффект
усиления препятствием, рассмотренный в начале этоrо
параrрафа.
 10. ОШИБКИ В ИЗМЕРЕНИИ yr ЛА МЕСТА Ц.ЕЛИ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЕМ РАДИОВОЛН ОТ ЗЕМЛИ
в радиолокации при всех методах пеленrации цели
(определение уrловых координат цели) используются Ha
правленные свойства излучения и приема антенн. Пелен
rация требует применения достаточно остронаправлен
ных антенн.
Покажем на примере пеленrации по максимуму, что
при наличии отражения от земли возможны значнтель
ные ошибки в измерении уrла места цели 1[9]. Метод Пе
ленrации по максимуму состоит в том, что изменением
уrла наклона антенны добиваются максимальноrо значе
ния отраженноrо от цели сиrнала. По полученному при
этом уrлу наклона антенны определяют уrол места цели.
Очевидно, что при отсутствии отражения от земли
в свободном пространстве уrол места цели, определяе
мый 'по методу максимума, в точности равен уrлу Ha
клона aHTeIIHbI.
Пусть в случае диаrраммы направленности антенны,
изображенной на рис. 2.107,а, имеет место отражение
от земли. Тоrда уровень отраженноrо от цели сиrнала
в зависимости от уrла возвышения соrласно уравнению
радиолокации и формуле (2.71) будет определяться xa
рактеристикой направленности антенны с учетом влия-
ния земли:
f (6; От)== F (От  6) fl + I RB,r 12 i21 : )) + 
 F ( Вт + В) (  47th . )
+ 21 R B . r I F (Bт В) cos  S1U в + B.r .
Осуществляя пеленrацию цели по максимуму, мы тем
самым, меняя уrол 8 т при фиксированном 6==8 ц (уrле
места цели) добиваемся максимума выражения f(6; 8 т ).
218

Проанализируем, как меняется это выражение с из-
менением Вт при фиксированном е.
Для упрощения выкладок положим I R B r I == 1, 13в r== Jt
и, следовательно, будем считать
f t e ; вт)  F (вт  в) Х
Х .. f 1 + {2 (6 т + 6) 2 F (Вт + 8) ( 41th. О ) .
V {2 (6 т  6)  F (Вт  8) .сos  s1П u
Рассмотрим два крайних случая пеленrации:
а) уrол места цели удовлетворяет условию
cos ( 4h sin 6 )   1,
(2.245)
т. е. цель расположена в вершине какоrолибо лепестка
интерференционноrо множителя земли;
б) уrол места цели удовлетворяет условию
cos ( 4h in 6 ) === 1, (2.246)
т. е. цель находится в какомлибо минимуме интерферен
ционноrо множителя земли.
В первом случае, ,производя пеленrациlO, мы должны
добиваться максимума величины
/(8; '8 т ) ==IF (eтe) +Е(8 т +6) , (2.247)
а во втором случае  -выражения
f(8; Вт) ==F(em8)F(8m+e).
(2.248 )
8" szo
с: с'
1. =10
сl1, r'
"2
0,8
+
II О ".t О +
Щ  ц
Рис. 2,107. Ошибки в измерении Уl'ла места цели при наличии отра-
жения от земли.
219

Леrко видеть, что при значении суммы уrЛОВ 8 т +В,
большем половины ширины характеристики направлен-
ности антенны (рис. 2.107), вторыми слаrаемыми
в (2.247) и (2.248) можно >пренебречь, и тоrда уrол Н т
наклона антенны, при котором достиrается максимум,
в точности будет равен н(Р ('О) == 1).
Если же сумма 8 т +IB меньше значения половины ши-
рины характеристики антенны, пренебреrать' вторыми
с.паrаемыми в (2.247) и (2.248.) нельзя.
При этом, как нетрудно видеть из формул (2.247) и
(2.248), максимум 1(8, Вт) будет иметь место при 8 т
несколько меньшем е в первом случае, и при Вт несколь-
ко большем В во втором СЛу'чае.
На рис. 2.107,6, в, е, д изображено, как меняется
1(8; 8 т ) при изменении 8 т для фиксированных значений
уrла места цели О=='8 ц ==4, 3, 2 и 1'0. Верхние кривые OT
носятся к случаю '(2.247), а нижние  к случаю (2.248).
Причина появления двух максим}'мов объясняется
следующим: при уrле наклона антенны 8т==8 вследст
вие острой направленности антенны преобладает OTpa
O: 
911!=O
Рис. 2.108. К объяснению по-
явления двух максимумов при
пеленrацин цели на малых
yrJ1ax места.
женныЙ сиrнал от цели, идущий по пути отраженноrо
луча; при Н т == В преобладает сиrнал, идущий по ПУ1 И
прямоrо луча (рис. 2.108). При малых по абсолютной ве-
личине уrлах 8 т в слу.чае (2.247) оба максимума слива
ются.
Из рис. 2.107,6, 8, е, д видно, что по мере уменьшения
уrла возвышения цели 8 возрастает интервал между
уrлами 8 т , при которых имеют место максимумы f(8; 8 т )
для обоих случаев (2.247) и 1(2.248). При 8== 10 этот ИН-
тервал несколько меньше 20 (СС').
Следовательно, измеряя уrол места цели по методу
максимума, получаем два максимума, расположенные по
обе стороны уrла места цели. Интервал между этими
маКС!lмумами при малых уrлах возвышения может иметь
величину, сравнимую со значением измеряемоrо уrла ме-
ста цели. Отсюда и получаются ошибки пеленrа.
220

rЛАВА ТРЕТЬЯ
Р А!СПРОСТР АНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
t 1. ИСХОДНblЕ ПОЛОЖЕНИЯ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
РАДИОВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Атмосфера и космос, под которым здесь понимается
лишь межпланетное пространство, весьма сложные по
своим электрическим свойствам среды. В первую оче
редь, это 'неоднородные 'среды. Факторы, О'бусловливаю
щие неоднородность, различны даже в пределах одной
атмосферы. Однако в большинстве случаев HeOДHopOДHO
сти таковы, что характер их влияния на распростране-
ние радиоволн о,Цинаков, независимо от Toro, в какой ча-
сти атмосферы или космоса эти неоднородности имеют
место. Ввиду этоrо в настоящей rлаве рассматриваются
наиболее рбщие методы изучения распространения pa
диоволн в неоднородной среде. При этом считается, KaI{
это в действительности и имеет место в подавляющем
числе случаев, что неоднородность среды обусловлена
непрерывно меняющейся в пространстве комплексной ди
электрической проницаемостью. Тоrда уравнения MaKC
велла ПРИllимают вид:
d i v (18' а Е) == О,
div н==о.
(3.1 )
(3.11 )
(3.111)
(3.1У)
r.ot Е ==  j.ro f.1a Н,
rot Н == jroe' а Е,
Определим два наиболее важных случая, к которым
в основном сводится изучение распространения радио
волн в неоднородных средах:
1. Распространение в плавно неоднородной среде.
221

2. Распространение в неодно r одной среде, rде вели-
чи lIa изменения 1 е' а 1, т. е. I e' а мала по сравнению со
средним ЗlIа чением I е' а 1.
в первом случае влияние неОДНОРОД1ЮСТИ среды rлав"
ным образом ,сказывается в том, что 0110 приводит К реф-
ракции радиоволн, т. е. к изменению направления их pac
пространения. Наиболее адекватным методом изучения
здесь является метод, близкий к применяемому в reoMeT-
рической оптике.
Получающееся при этом решение уравнений Максвел
ла называется 2еометрооnтическим приближением.
Во втором случае влияние неоднородности среды ска-
зывается в том, что оно приводит К рассеянию радио-
волн. Адекватными методами изучения здесь являются
методы теории возмущения.
Наиболее общим из этих методов, который и буде\I
ра,ссматривать в дальнейшем, является метод, развитыЙ
Борном; получающееся с помощью этоrо метода решение
уравнений Максвелла называется приближением Борна.
 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ПЛАВНО
НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ. rЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЕ
ПРИБЛИЖЕНИЕ
1. Основные соотношения
Рассмотрим систему уравнений Максвелла (3.1) 
(3.IV) в предположении, что комплексная диэлектриче
ская проницаемость медленно меняется в пространстве.
Произведем адекватное этому пред,положению преобра-
зование системы уравнений Максвелла. Из первых днух
уравнений исключаем вектор Н и наход'им
(grad divrot rot) E+k2g'a Е== grad div Е. (3.1)
Учитывая вытекающее из уравнения (3.111) равенство
div Е ==-  Е rad е' с1 ===  Е rad е'
е' 11 е'
(3.2)
и векторное СООТНОlllение
(grad div  rot rot) Е == v2E,
ВМесто (3.1) получаем
v2E + k 2 6'E ==  grad ( Е :ad е') .
(3.3)
222

Это BeKTopIIoe уравнение оБЫЧIIО является исходным при
решении задач о распространеIIИИ радиоволн в HeOДHO
родных средах с плавно изменяющеЙся в пространстве
диэлектрической, проницаемостью е'а=='е'ео. Точный кри
терий медленности (<<критерий М») будет установлен
в процессе решения задачи. Мы убедимся, что при вы-
полнении определяемоrо этим критерием условия. Meд
ленности, правой частью уравнения (3.3) можно прене-
бречь. Воспользовавшись этим обстоятельством, мы сра-
зу, вместо уравнения (3.3), можем исходить из уравне-
ния
V 2 E+k z e'E==O.
(3.4)
Так как наличие проводимости о' среды приводит априо
ри к хорош.о известному эффекту поrлощения радиоволн,
то для Toro, чтобы излишне не усложнять выкладки, cpa
зу положим 0'==0 И будем считать, что в'==е==п 2 , rде
11. == п (х, у, z)  зависящий от координат показатель пре-
ломления.
BeK'ropHoe уравнение (3.4) можно представить в виде
трех одинаковых скалярных уравнений для составляlO
щих векторов напряженности поля Ех, Еу, Ez. Поэтому
в дальнейшем вместо (3.4) будем опери'ровать одним
скалярным уравнением
,/и + k 3 n 2 U  о. (3.5)
Решение этоrо уравнения будем искать в виде
.
U (х, у, z)  А (х, у, z) e/kW(x,y,Z) (3.6)
и, следовательно, задача будет состоять в том, чтобы
найти две скалярные функции А (х, у, z) и W (х, у, z);
А(х, у, z)  амплитуда полны; функция q:J::::;kW(x, у, z)-
фаза волны. Функцию W (х, у, z), имеющую размерн'ость
длины, в большинстве 'случаев называют эйконалом,
иноrда  оптическим или фазовым путем *);
Для Toro чтобы найти эти функции, 'будем руководст-
воваться хорошо изученным нами iПРИНЦИ1ПОМ lюйrенса
Френеля, точнее, вытекающим из Hero следствием о Ha
ЛИЧIlИ области, существенной для распро'стра нения ра-
дио'волн. Как извест.но, область, суще,ст.венная для рас-
пространения .радиоволн в од.нород'нам 'Пр'О'СТрЗJнстве,
представляет собой ВЫТЯ1НУТЫЙ эллипсоид Iвращения,
*) Эйконал происходит от rреческоrо слова еiхюv, что значает
«изображение»; W  начальная буква анrлиilскоrо слова «ay».
223

в фокусах KOToporo расположены корреспондирующие
пункты, причем этот эллип('оид тем более вытянут, чем
силь нее выполняется неравенство
kr»ll, (3.7)
rде r  расстояние между ПУlIктами. Смысл произведе
ния kr==rp  фаза волны, поэтому неравенство (3.7) оз
начает, что область, существенная для распростра НСIlИЯ,
тем более вытянута, чем больше фаза волны.
Выполнение условия (3.7) влечет за собоЙ два. cy
ществеНIIЫХ вывода:
1) в пределах эллипсоида, существенноrо для распро
странения радиоволн, фронт волны почти плоский и, сле
довательно, большая ось эллипсоида перпендикулярнн
фронту волны;
2) в Iпределах ука'занноrо эллип-соида амплитуда по
фронту волны почти не меняется и ее можно считать по
стояиной.
Очевидно, что коrда длина волны л== 2л/k----+О, эти BЫ
воды, поскольку эллипсоид превращается n линию, и при
водят к rеометрической оптике. Учитывая эти соображе
ния, мы можем сделать .с.ледующее заКJ1ючение о xa
рактере решения ',(3.6).
Выполнение условия
<p==,kW!l, (3.8)
имеющеrо смысл требова ния, чтобы фаза волны БЫЛd
большой, должно повлечь за собой два следствия:
а) нормали к фронту волны, т. е. линии grad W, при
обретают своЙства лучей rеометрической оптики;
б) поперечный 'ПО отношению к траекториям лучей
лапласиан VA должен равняться нулю:
v А  о.
(3.9)
Ниже мы рассмотрим, к каким важным соотношениям
приводят эти следствия.
2. Уравнение эйконала; принцип Ферма;
уравнение луча
В силу следствия а), учитывая медленность измене
ния показателя преломления в пространстве, для He
большоrо отрезка дl вдоль луча, в пределах KOToporo п
можно считать IПОСТОЯННЫМ, должно иметь место
224

равенства
kllt1.1 == kt1. W, или nt1..f ==  W.
Из Эl'О'I'а ранеНСТ1ва следует IОООТ1ноше l ние
дW
дl  I grad W 1=== п
(3.1 О)
ИЛИ
(VW):!  п === О,
(3.11 )
rде
( W)2 ' ( 'дW ) 2 + ( iдW ) 2 + ( rдW ) 2.
V дх ду дz
(3.12)
Саатнашение (3.11) IIазывается уравнением зйконала.
Сущестпенна, что траектория луча есть ЛИIIИЯ grad W,
т. е. линия, пдаЛI:> )<отороЙ эйкаllал W меН)Iется наиболее
быстра. В 'связи с эти'м функция W мажет 'быть также
апределена как .минимум взятаrо между двумя iфик'сира
ванными тачками ЛИiнеЙ'ноrа интеrрала J п(s)ds. Этат
минимум дастиrается, каrда кривая s савпадает с Tpa
екторией с'Iуча 1, т. е.
МИН f 11 (s) ds  ) 11 (1) dl === W. (3.13)
СоО'тнашение (3.13) О'пределяет сО'бай так называеМbIiI
принцип Ферма.
Уравнение эй конала (3.11)  уравнение в чаСТНbIХ
праизвадных, из KOTapara непасредственна определяются
паверхнасти равных фаз W\(X, у, z) ==canst. ОднакО' чаще
балее удабно непасредственнО' апределять нармали к этим
павеРХIIастям, т. е. траектории лучей, па TaI{ называемо-
му уравнению луча. Уравнение луча МОЖНО' получить из
принципа Ферма (3.13) путем решеIIИЯ ва риацианнаi'I
задачи или из уравнения эйканала. Паследний I;IYTb бы
стрее привадит к цели, паэтаму мь} им и ВQспальзуемся.
Соrласна (3.11) мажем написать
gr:ad W == 10n,
rде 1°  еДИНИЧНblЙ вектар па касательной к лучу. B03b
мем производную па длине 1 луча ат абеих частей этаrа
равенства:
:! grad W ===  (l°ll).
Переставив в левай части этаrа равенства парядак диф
151283 225

ференцирования, имеем
d дW  д (1 0 )
gra дl  7п п.
Снова воспользовавшись уравнением эйконала, полу-
чаем искомое уравнение луча
:1 (l°n) == V n . (3.1,4)
Если траектория луча найдена, эйконал W по лучу
или фазовый путь находится по формуле
w== Sn(l)dl. (3.15)
3. Уравнение, определяющее амплитуду А,
и ero решение
Подставляя выражение (3.6) в ураI3нение (3.5), полу-
чаем
V2A  2jk V А V W  j!lA V 2 W + /l2A Jfl2  (V W)2] === о. (3.16)
Учитывая уравнение эйконала, вместо (3.16) находим
v2А2jkfL rд: jkAdiv(IOп) . о. (3.17)
Очевидно, что это уравнение можно представить в орто-
rональных криволинейных лучевых координатах, в кото-
рых поверхности равных фаз образуют одно из семейств
координатных поверхностей, а лучи являются координат-
ными линиями [, ортоrональными к этим поверхностям.
Коэффициент Ламэ этих координатных линий, как следу-
ет из равенства
дr ) 0
7il === ,
rде r  радиус-вектор точки на луче относительно не-
подвижной начальной точки, равен единице.
Поэтому можно написать
2 2 д 2 А
V А  V l. А + --дII '
откуда в силу равенства (3.9) ииеем
 д 2 А
V 2 А === -д[2"
и вместо уравнения (3.17) получаем
:  2jkn "1  jkA div (1°n) === о.
226

Это уравнение для удобства сравнения порядка
слаrаемых представим в виде
1 д 2 А 2 . 1 дА . 1 d . (1 0 )  О
knA  JAдlJ'п tv п  .
велИчин
(3.18)
1 дА
Слаrаемое А -дf имеет размерность, обратную длине,
и определяет маС1lIтаб L и.змеННИЯ амплитуды А вдоль
луча, Т. е.
1+ д '+.
Отсюда следует, QTO
(3.19)
I дА 1 А
дl T'
I д2 А I 1 дА А
д[2 Tдl"'LF.
Следовательно, первое слаrаемое в уравнении ,(3.18)
имеет порядок величины
I kA д; I '" kп l L2 . (3.20)
Сравнивая порядки величин первоrо и BToporo слаrае
мых (3.18), учитывая (3.19) и (3.20), заключаем, что ес-
ли выполняется условие
1
knL < 1, (3.21)
то первым слаrаемым можно пренебречь.
Но при этом условии, K3I( ВИДIlО из уравнения (3.18),
порядок величины I/L полностью ..определяется третьим
слаrаемым, т. е.
+ '" 1+ div (IOn) ,. (3.22)
Учитывая это соотношение, вместо (3.21) можем запи..
сать
8 ===, k1 div (1° п) I < 1.
(3.23)
Смысл этоrо критерия  требование достат.очно медлен
Horo изменения показателя преломления n в простран
стве (<<критериЙ М»).
15* 227

Если условие (з.2:3) Iвыполнено, то вместо уравнения
(3.18) получаем
2+ 1 + + div(l°п) ==0. (3.24)
Прежде чем перейти к решению этоrо уравнения, воз
вратимся к исходному уравнению (3.3) и убедимся, что,
если имеет место неравенство (3.23), правой частью этоrо
уравнения деИСТВИТЛblIO можно пренебречь.
Для этоrо установим порядок' вrличин. Учитывая, что
. grad .( Е :d е' ) == 2 grad ( Е ad  ),
ана.лоrично тому. как это было сделано ВЬПIlе, получаем
21 grad ( Б g;lad Il ) 1'"
2 /kW I 2 1 дА rдW I
"'T/grad(Ae ) "'т дi+kАдТ- '"
'" 2 ({- + kn) 2Aп2ka ( k2пLI, + kL )==
== 2AIl 2 k 2 (8 + 02).
Сравнивая ве.лИlfИIIУ п 2 (б+б 2 ) со слаrаемыми ура13
нения ЭЙКОIlала, видим, что при выполнении критерия
(3.23) правой частью уравнения (3.3) деиствитеЛЬНtJ
можно пренебречь.
Решение урав.нения (3.24), как леrко 'видеть, таково:
1 i div(l°n)
 2' J dl
А == Аое п. (3.25)
Это выраЖlIие для амплитуды сооместно с решением
уравнения эиконала или решением уравнения луча и оп-
ределяет приближение rеометрическоЙ оптики. Это при..
ближение, таким образом, справедливо при выполнении
условий (3.8) и (3.23) ,«(,критерий М»).
Рассмотрим частныс случаи. Пусть среда однород-
ная, т. е. п== по ==const, и излучатель точечный. Тоrда
в силу сферической симметрии эйконал W равен
W == по,
228

и
div (IOn) == div (rOn o ) == по div rO ===,
r
J + div (IOn) dl === 2 S ' === 21n "
т. е.
в
A== ,
,
и == Ае /kW ===  е  jl&T ,
,
как и следовало ожидать.
Рассмотрим теперь волновой процесс в оrраниченной
области неоднородной среды, удаленной от источника,
причем размеры этой области значительно меньше ее
расстояния до источника. Тоrда изменение амплитуды А,
обусловленное расходимостью, т. е. фактором l/r, будет
ничтожно малым и щ:е ее изменение будет происходить
только за счет неоднородности среды. Пусть при этом
показатель преломления п зависит только от одной пря
моуrольной координаты, например вдоль оси z, направ-
ление которой совпадает с направлением распростране
нин волны. Тоrда
,
J.... div ( IOn ) ==  dn
п. п dz
и амплитуда соrласно формуле (3.25) будет равна
А == I == V A . (3.26)
у п fZ
Следовательно, решение уравнения (3.5)\ которое в этом
случае превращается в уравнение
: + k 2 n 2 (z) и == О, (3.27)
будет
U ( )  A ( ) JkW(z)  Ао Jk S ndz
Z  Z е e .
. уп (z)
(3.28)
4. Замечание о ВКБприближении
Решение (3.28) одномерноrо волновоrо уравнения
(3.27) называется ВКБ (более точно ДВКБ)приближе-
нием, по начальным буквам фамилиЙ авторов, впервые
229

ero получивших (Джефрис, 1923, Венцель, Крамерс,
Бриллюэн, 1926 r.).
Метод получения решения :(3.28) непосредственно из
одномерноrо уравнения (3.27) формально сводится к сле-
дующему. Искомое решение представляется выражением
и  Аое JkW(z)
(3.29)
и функция W (z) ищется в виде асимптотическоrо ряда,
разложенноrо по параметру l/jk, т. е.
00
W(z)  (*)mWm(Z)o
т==О
(3.30)
Далее ВЫР2жения (3.29) и (3.30) подставляются в урав-
нение (3.27) и 'путем приравнивания нулю коэффициен-
тов при одинаковых стetIенях l/k ,последовательно опре
деляются искомые функции W т (z). Устанавливается кри-
терий медлеюlOСТИ (<<критерий М») изменения показателя
преломления п (z), аналоrичный критерию (3.23). Этот
критерий имеет смысл требования, чтобы п (z) почти не
меIlЯЛОСЬ на протяжений нескольких длин волн в среде.
Выполнение этоrо критерия позволяет orpa ничиться пер-
выми двумя членами ряда (3.30) и получить формулу
(3.28). При этом возможно и второе решение уравнения
(3.27), имеющее смысл обратной волны.
В заключение этоrо пункта отметим существенное OT
личие физическоrо смысла rеометрооптическоrо /прибли
жения решения уравнения (3.28), полученноrо на основе
принципа rюйrенсаФренеля от ВКБ-приближения.
rеометрооптическое приближение решения уравнения
(3.28) определяет собой плоскую волну только 'в преде-
лах области, существенной для распространения, т. е.
при ло. Это  плоская волна только вдоль траектории
луча.
В ВБ-приближении n предельном случае при л.о
поНятие плоской волны не меняется. В этом приближе-
нии речь идет о любом :л при плоской волне во всем He
оrраниченном :пространстве. Данное отличие обусловлено
тем', ЧiО в описанном 'Выше rеомеТРООП1'иче,ском при6ли
жеlНИИ учитывается источник. В методе же ВКБ источ-
ник иrнорируется с caMoro начала.
230

5. Основные соотношения для сферически
слоистой атмосферы
Во мноrих случаях в первом приближении атмосферу
можно считать сферически слоистой и полаrать показа
телр 'преломления n функцией только высоты z над по
верхностью земли или расстояния r==a+z, rде а  ра-
Рис. 3.1. К 'выводу уравнения
луча в сферически слоистой атмо-
сфере.
Рис. 3.2. К интерпретаЦИi1
уравнения луча.
диус Земли. В этом случае, умножая векторно правую 11
левую части уравнения луча (3.14) на радиус r и учиты
вая, что n ==п (r), получаем
[r  (IOn) ] == о.
Но так как
:, [r, nlO] == [  ' fllO] + [r,  (lOfl)],
а BekTop ar/aL и.меет направление касательной к лучу,
т. е. коллинеарен IBeKTOpy 1° (рис. 3.1)
[  ,пIO] == О.
то
[ r,  (nIO)] ===  [r, nlO] == о.
(3.31 )
Из этоrо уравнения следует, что траектория луча есть
плоская кривая и, кроме Toro,
пr sin q> == const,
231

rде ер  уrол падения луча на слой (рис. 3.2) или, введя
уrол сколыкения 8 == л/2ер, имеем
п, cos е == cons t.
Учитывая, что на поверхности земли (рис. 3.2) п=='по}
е == 80 и (== а, получаем
пr.cos е==noа cos е о . (3.32)
Это есть проинтеrрированное уравнение луча (3.14) для
сферически слоистой атмосферы.
Для плоскослоистой атмосферы а== 00 и уравнение
(3.32) принимает вид
п cos е ==по cos е о .
(3.33)
z
1.0
41.0
1.0 ....L11"O
Рис. 3.3. К ВЫВОДУ формулы для Рис, 3.4. К определению эико.
радиуса кривизны луча. нала и амплитуды.
Выведем еще выражение для радиуса кривизны луча,
который, как и дЛЯ ВСЯКGЙ кривой, определяется COOTHO
шением (рис. 3.3)
1 . ы
р ==- 1т V.
A-+O l'
Учитывая, что
1 . /J.IO 1 . Д о UO
1т  ! == 1т Л------ l U == ,
.11O LI .11--+0 LI Р
{'де и О  предельный единичный вектор BeKTopHoro при
ращения IO, i  уrол между векторами 10 и IO+,IO
(рис. 3.3), уравнение луча (З.,14) можем 'пред'ставить
в виде
дlO О дп  UO 1 0 д1l 
дТ-- п + 1 дl pп+ дlVп.
232

У:\1Ножая обе части эrоrо ураВItениЯ векторно на 10, по
лучаем
[1°, UO] n  [1 0 ]
 ,vn.
р
(3.34)
Так KaI{ 1° и UO  единичные BeKfopbI, слева имеем
вектор, величина KOToporo равна пjp, а справа  вектор.
величина KOToporo равна I V'пl sin ер.
Отсюда приходим к равенству
 === I vпl sin ер === I V п ! cos в.
р
(3.35)
Считая радиус кривизны луча ноложительным, если
он направлен вниз, учитывая, что ось z направлена вве'рх,
соотношение (3.35) можем представить в ,виде
1 dn cos е
р ==  dZ  (3.36)
НаЙдем, наконец, выражение для эЙконала W и ампли
туды волны, считая для упрощения выкладок атмосферу
плоскослоистой.
Из (3.33) имеем
cos6===qfп, cos<p=== Vl  (qjп)2 ,
rде q === по cos 60 === const. Как видно из рис. 3.4.
о 1 . llW 1 дW
l == cos 6 ==  I W I  д ==   д ;
#е V Х n х .
о 1 dW 1 дW
l === cos cf == I  W I  д ===   д
 'v z .n z
и, следовательно,
дW
дх === п cos 6 === q;
дW i 2 2
 === п cos ер === ) п  q .
aW дW 
Поскольку dW === дх dx + -дZ dz === qdx + V пlq2dz,
то получаем
W === qx+  уп 2  ч2 dz.
(3.37)
23.3

Определяем амплитуду А:
div (lOn) == :" ':( п cos 6) + :z (п cos ер) == :z (Il COS ер);
r ..!..div«(On)dl== r  д д (п.cos"'f)dz==ln(пcosf)==
J п J ncos 'f' z .
== ln }1п 2  q2.
Таким образом, соrласно (3.25)
Ао
А== ;;8 (3.38)
n2 q
и соответственно
А /k(qx+ S у nL......qJl dz)
и (х, z) == 4 о е (3.39)
V п 2  q2
Выпишем в явном виде критерий (3.23) применитепьно к
решению (3.39):
S == I k2 div «(ОП) I === I  :z (п cos 10) I ===
=== I k :z v п 2 - q2 1«1. {3.40)
6. Уравнение луча при наличии rОРИЗ0нтальных
rрадиентов показателя преломления
В ряде случаев возника ет неоБХОДИМQСТЬ учитывать
влияние rоризонтальных rрадиентов показателя прелом
ления на траекторию луча.
Поэтому рассмотрим, какоЙ вид принимает ypaBHe
ние луча (3.14) при наличии не только вертикальных,-
но и rоризонтальных rрадиентов показателя преломле
ния. Итак, пу.сть
п==п("а),
о дп + аО дп
V n == r дf ,7f;:'
rде a==D/a  rеоцентрический уrол; а  радиус Земли;
D  расстояние по поверхности земли.
Тоrда, умножая векторно ypaBHeНJfe луча (3.14) на r,
вместо (3.31) получим .
 [r,lOn] == [r, Vn] ==[rO, иО] а ; . (3.41)
234

Видим, что, как и в случае сферически слоистой атмо-
сферы, луч лежит в вертикальной плоскости. Поэтому
элемент длины луча мож ет быть пр едставлен формулой
dl === V r 2 da. 2 + dr l
и соответственно
dr dr 1
dl ===а dD ... j" ( dr ) 2 ·
V ,1 + а dD
д dr d dr 1
7Jl=='{[l([f==a dD r ( d ) 2
V , 2 + а d;
Учитывая последнее соотношение, абсолютную вели
чину вектора :[r, IOn] можем записать в виде
r da. nr.
I [r, )Оп] 1=== п, cos 6 === пr'd/ == V dr 2
,. + ( a )
dD ,
d
dr
и .векторное уравнение (3.41) представить уравнением
для абсолютных величин
dr 1 d ( nr2 ) дn
Ш./ ( dr ) 2 dr ./ ( dr ) 2 == дlJ.
V ,2 + а dD V ,2 + а dD
.
Умножая обе части этоrо уравнения на 2nr 2 и прини
ая в'о пнимание, что спрапа ч а с т н а я про и з в о д
II а я по ,D, окончательно получаем
 ( nl (r, D) ,4. ) === dD  ( I ( D) ..1 ) (3 4 2 )
d, ( dr ) 2 d, дD п " r. .
,2 + а d D
Это и есть искомый вид уравнения луча (3.14) при на-
личии rоризонтальных rрадиентов п.
Ltля сравнения рассматриваемоrо случая со случаем
сферически слоистой атмосферы проинтеrрируем обе ча
сти уравнения (3.42) по r и получим
.DI
(' дп 2
n 8 (r, D),2 cos 2 6 == п а 2 cos 2 60 + J , 2 дD dD.
D.
"
2

Мы получмли интеrральное уравнение, эквипалентнос
(3.42). Видно, что это уравнение при определенных усло
виях можно решать методом последовательных прибли
жений, принимая за нулевое приближение реше.ние для
сферически слоистой атмосферы. Однако мы на этом oc
танавливаться не будем. .
 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛIj В «ЛИНЕЙНОМ
СЛОЕ». CTPorOE РЕШЕНИЕ
В настоящем параrрафе ставится цель выяснить, к Ka
ким новым эффектам 8 распространении радиоволн при
водит невыполнение критерия применимости приближе
ния rеометрической оптики.
Некоторые наводящие соображения по этому поводу
на основании изложенноrо ранее мы, можем высказать,
не прибеrая к новому математическому рассмотрению.
ОСНОПНЫМ физическим следствием выполнения крите
рия применимости приближения rеометрической ОПТИЮI
является возможность пренебрежения весьма слабой OT
раженной -волной, создаваемой «внутренним отражени
ем». Ведь в приближении rеометрической оптики фиrу
рирует одна только 'преломленная волна. Отсюда можно
сделать вывод, что невыполнение указанноrо критерия
должно повлечь за собой недопустимость пренебрежения
отраженной волной.
Действительно, этот критерий ыожет не выполняться
за счет Toro, что I :; I велико и на отрезке, PBHOM длине
волны в среде, показатель 'преломления сильно меняется.
Поэтому здесь должно иметь место отражение примерно
такое же, как на rранице двух различных сред.
Критерий (3.23) lIIожет также не выполняться за счет
Toro, Ч70 Iпоказатель ;преломления п Iпри'нимает значения,
близкие к нулю. Тоrда длина волны в среде л==:ло/п зна-
чительно увеличивается и снова на отрезке, равном л.,
показатель преломления сильно меняется. Поэтому и
здесь будет иметь место отражение примерно такое же,
как и на rранице ДВУХ различных сред.
Эти наводящие соображения о появлении отраженноЙ
волны вследствие невыполнения критерия применимости
приближения rеоме'трической .оптики MorYT быть под.
тверждены только строrим математическим рассмотрени-
ем, выходящим за рамки метода приближения rеометри"
2з8

ческой оптики. Поэтому D данном параrрафе и paCCMOT
рим CTporoe решение задачи о раопространеН1ИИ радиоволн
в «линейном слое», т. е. в I1еоднородной среде, rде KBaд
рат показателя преломления меняется с высотой 2 по ли
нейному закону
,
п 2  1  Z  Zo  1  .!.....
 ь  ь
(3.43)
(z' == z  zo. Ь == ZI  Zo),
'20  начало линейноrо слоя. При ЭТОМ будем считать,
что пр.и 2<Zo величина n,2 либо ЯВЛЯется 'Постоянной,
либо меняется таким образом, что здесь !Применимо при
ближение rеомТ'ричес((ой оптики (рис. 3..5). Будем .счи
тать 'ПеРВИЧ1НУЮ В1ОЛНУ налра'вленной верт,и.кально вверх
z'
Рис. 3.5. 1< строrой теории
отражения волны внеоднород-
ной среде.
/12
Тоrда праlвая ча'сть ура,Вlнен'Ия (3.3) равна нулю и мы
'можем И1СХОДИТЬ из уравнения (3.5),.в коТ'О'ром u== U (z)
представляет Сообой величину вектора Е, и на'писать
d 2 U +k 2 2 и  o
dz 2 п .
(3.44)
Для области линейноrо слоя вводим новую перемен
ную
,== (kb)2/3 п 2  (kb)2/3 (1  Z Ь Zo )
и тоrда вместо (3.44) получаем уравнение
d 2 U
lR2+'U== о.
(3.45 )
(3.46 )
Решением этоrо уравнения конечным и непрерывным
при всех значениях  является функция Эйри, которая
выражается через хорошо изученные цилиндрические
237

функции Z следующим образом: //
  ( 2 "'3/2\
U  А VC ZI/3 3 ). (3.47)
Здесь ZI/3  сумма частных интеrралов уравнения Бесселя,
причеl\ для абласти ,> о
ZI/3 (+3/2 ) ==J 1 / З ( +3/2) +JI/3 (+3/2), (3.48)
а для абласти С <. О
ZI/з==11/3( IСI3/2)+II/з(+IСI3/2), (3.49)
rде J 1 / З и J1/3  функции Бесселя порядков 1/3 и  1/3,
а 11/3 и 1 1/3  также функции Бесселя тех же поряд-
Ю)В, но мнимаrо aprYMehTa.
Выражение (З.48). преоБRазуется в (З.49) путем ИС
пальзова ния известноrа саотношения между указа нными
функциями Бесселя
 .2... I рт.
1 р (.х) == е 2 J р (jx).
Соатветственна решение для области  > о
 А ... r [ ( 2 3/2 ) ( 2 ,,3/2 ) ]
и  r С J 1 / З 3  + J 1/3 з' ,
И для ,< о
U ==А vm [  11/3 (+ I  13/2) +11/3 (+ 1 '13/2 )]. (3.51)
rде А  произваЛbJIaЯ пастоянная.
Выражения (З.50) и (З.51) определяют, таким абра.
зам, структуру поля при всех значениях  и в том числе
в области n 2 == О, rде приближение rеометрическай оптики
неприменимо. Леrко убедиться в том, ЧТQ выполняется
ачевидное физическае требование (первичную волну счи
таем направлеlннай сниз r вверх) ,и---+-о при oo, iПо
скальку при бальших I  асимптатическае предстапление
функции Бесселя мнимоrо aprYMeHTa имеет вид
 ..!...I t 13/2
3
11/3 (+ I с 13/2 )  1 1/3 ( + I  13/2 )  v 2. . (3.52)
2п Il; 13/2
, 3
238
(3.50)

Проанализируем более подробно выражение (3.50)
для области, rде
!.I. I( 3.53)
Нетрудно видеть, что поскольку
 2/3 ( Z  zo )  k 2 / З
C(kb) 1    (  dn2 ) 2/3 па,
ldz
последнее неравенство прсдставлятся в Биде
I k3 ; 12/3  1. (3.54)
Сравнивая это условие с критерием (3.23), 'видим, что
оНо является несколько ослабленным критерием .приме
нимости приближения rеометрической оптики. Поэтому
(3.50) в области, rде выполняется условие (3.53), должно
дать структуру поля, соответствующую приближению
rеометрической оптики.
Действительно, при больших  можно применить
асимптотическое представление функции Бесселя
J р (х)  V 1t COS (х  тe  + )
и считать
3 
J 1 (c3/2 ) cT../ cos ( C3/2 1C ) ,
\ 3 У те. 3 12
3
3
J 1 ( c3/2 )  с 41 f 3 cos ( сЗ/2 1t ) .
 3 J1 те 3 12
3
Отсюда получаем
и A y1/4 . /3 ( 2 ,,3/2 1t )
  r 1t cos 3' "'4 ==
 1 Af'1/4 l(i.t3/2+) [ 1 + J(+t3/2+) ]
2" 2Jf1te е .'
Учитывая, что
с z
+,3/2 === S с 1/2 dC===  k S (1  z Ь Zo )'/2 dz===
(o 
ZI
=== k S ndz; 1/4 === (kb)1/6nI/2,
Z
239

находим, что лоле ,в начале слоя, }. е. при z==zo равно
J ( k ! n,iz + )
и и ( ) А 3 Zo Х
=== 2:==:  е
о 2 (kb)1/6 V п 2 y
[ J {2k S IldZT )J
х 1 + е \ Zo ,
(3.55)
т. е. поле ниже линейноrо слоя, включающеrо область
п2 О, представляется в виде суммы полей двух волн 
прямой и отраженной, причем коэффициент отражения
равен
I (.. s пdZ )
R===e zo
(3.56)
Пользуясь же методом приближения rеометрической оп
тики, можем считать, что прямая волна отражается на
уровне, rде n2 О, т. е. rде приближение rеометрическоiI
оптики неприменимо, и что при этом происходит потеря
фазы, равная nj2.
ы рассмотрели случай вертикальноrо падения пря
мой волны на линейный слой. Нетрудно обобщить полу
ченные результаты на случай I1аКЛОIlIIOrо падения пря
мой волны на этот C.JIОЙ. Солостаl!ЛЯЯ 'выражения (3.39)
и (3.28), а такж'е выражения (3.40) и (3.23), вид'им, что
при наклонном падении луча области n 2  О COOTBeTCT
вует область n2q2 О и соответственно коэффициент
отражения от этой области должен предстзвляться BЫ
ражением
' ( 2k S 'у n2,,1 d z + )
R (60) :==: е Zo ,
(3.57)
rде Z1  это высота, rде имеет место равенство n 2 (Z1) 
q2== О. Та'ким образом и з,десь .I1JРИ на'КЛDн\аом, ,как 'и
вертикальном, падении луча на высоте 21 в действитель-
ности имеет место не рефракция радиоволн, не поворот
.lУЧ8, хотя для наrлядности мы и изО'бражаем IЛОВОРОI"
а оражение раДИОDОЛНЫ.
240

 4. РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН. ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРнА
1. Основные соотношения
Рассмотрим распространение радиоволн в lleOДHOpoд
нои среде, .rде изменения диэлектрической проницаемо
сти в пространстве невелики по сравнению с ее средним
значением. Для упрощения выкладок будем считать, не
теряя при этом оБЩIlОСТИ, что проводимость среды равна
нулlO И. что среднее ЗIlа чение диэлектрической проницае
мости равно ео.
Очевидно, что D данном случае сведение' системы
уравнений Максвелла (3.I)(3.IV) к уравнению (3.3) Ее
является целесообразным, так как при этом выделяется
фактор (скорость изменения в пространстве), не обуслов
ленный самой постановкой зада чи. Такое выделение MO
жет привести к излишнему усложнению решения задачи.
В рассматриваемой задаче существенным фактором яв
ляется условие
Iel« 1
(3.58)
или, полаrая
де=='uq (х, у, z),
(3.59)
rде a==Дeт максимальное значение изменения диэлек
трической проницаемости 'в среде, а« 1. Учитывая это
условие IПрИ решении системы ураннений Максвелла
(3.1) . (З.IV) , можем 'Применить метод теори.и IОЗМ'Уще
ний и векторы Е и Н представить в виде рядов
00 \
E o aiEi. I
н  Ео aiH;. j
Подставляя (3.59) в систему (3.1) (3.IV) и прирав-
нивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях a i ,
учитывая, что еа ==ео( 1 +,e), Iполучаем рекуррентную си-
стему уравнений Максвелла:
rot Ei==}(J)oHi,
rot "i==jШЕо Еi+1Ю'ЕоqЕi1,
d iv (EoE i ) == diV1 (Eoq Ei1),
div"i==O,
(3.60)
(1)
( 11)
(111)
(lV)
i==O, 1,2,3,...
161283
241

Сравнивая правые части уравнений (II) и (IH), видим,
что источниками электромаrНИТlIоrо поля с векторами E i
и H i являются как бы токи и заряды, распределенные
в свободном пространстве с плотностями, соответственно
равными
J i ==j'(j)8oq Ei1,
pi== diV1( 80q Ei1),
(3.61 )
(3.62)
Действительно, для этих плотностей выполняется закон
сохранения заряда
div J i + C ==0.
(3.63)
СоответствующиЙ вектор электрической поляризации
cor лаСIIО формуле (1.8)
Pi==div P i
(3.64)
равен
P =='80 . q Ei1.
(3.65)
Как было показано в начале rл. 1, электjюмаrнитное
поле полностью опредеЛЯ,ется либо по заданному вектору
плотности тока, либо по заданному вектору электриче
ской поляризации. Считая векторы P i известными, не-
трудно ,по хорошо известным формулам раСС l lитать век:
тор rерца ni, а затем и векторы E i и "i. Таким образом
элемент д V поляризова HHoro объема V можем paCCMa
тривать, как элемента рный диполь С дипольным момен-
том L\P i == PiL\ V; дЛЯ соответствующеrо вектора rерца со-
rласно формуле (1.20) можем написать выражение
.1П.== PieJl\r L\V == q (x,y,z) E't1 e jftTL\V. ( 3.66 )
t 4'/t8 o ' 4'1t' .
Далее по формуле (1.2) можно рассчитать L\E i и, проин-
теrрирова.в по всему объему раосеяния, Ei.
Таким образом, оказывется возможным рассчитать
последовательно все векторы E i ряда возмущений (3.47).
Получающийся по этоЙ схеме вычислений вектор поля
аЕ 1 называется приближением Борна.
Последующие слаrаемые ряда (3.60) учитывают мно-
rOKpaTHoe рассеяние. Мы оrраничимся рассмотрением
только приближения Борна. Во мноrих случаях этоrо
приближения решения задачи вполне достаточно.
242

Соrласно формулам (1.21) и (3.66) в приближении
Борна рассеянное элементом объема  V поле равно
А Е  k 2А П .   k 2 6,a Е  'ltr' A V (3 67)
L.1 расе   а L.1 J sш У   ое 3 s1П у L.1, .
rде у  уrол между вектором  напряженности поля
первичной волны и направлением вектора r, проведен
ным от элемента рассеивающеrо объема до точки наблю
дения (рис. 3.6).
Поле рассеяния, создаваемое всеми элементами рас-
сеивающеrо объема V, равно
k 2 r е  JlI.r .
Е раес ==  4п J АвЕ о  stn ydV.
v
(3.68)
Объем интеrрирования V  это область, в пределах ко-
торой первичное поле Ей заметно отлично от нуля.
.По физическому смыслу интеrрал (3.68) означает,
что поле в точке наблюдения есть сумма полей волн, со-
здаваемых различными элементами объема рассеяния.
Рис. З.б. Поляризация рассеивающеrо объема.
Задача состоит в том, чтобы найти амплитуду или кваА-
рат амплитуды результирующей волны I Е расс р.
Приписывая волне элемен.та объема L.\ V i амплитуду
li и фазу qJ'i, мы можем интеrрал представить суммой
Е   f . e / If ,  fe / lft .
расе   t 
,
168
243

СоотвеТСТIВНIЮ для ,квадрата искомоЙ ам плитуды 1
имеем
Е Е '* I Е 1 2 [ 2  1 /'fi(  1 it
расс расс == расе == ==  i e  i e ===
i 1
  L [i/1tej(tIfIJt) ==I +[ +... +2 L [i/1t COS(iIt).
1 k i k (k#l)
(3.69)
Смысл операций в выражениях (3.69) ясен. АlIало
I'ичные операции проделаем ниже, непосредствеIllIO
с интеrралом (3.68), и в результате 'получ,им исходныс
соотношеllИЯ для расчета плотности потока энерrии рас-
сеяния.
Учитывая, что при условии (3.58) волновое сопротив
ление среды р постоянно и равно V JJ.o/e o для напря
женнасти !аrнитноrо поля имеем
Н раее ===+Е расе == УЕ расе (+ == У)
в можем написать
Spaec ===+ Re {{ЕрассН* расе]} ==  I Е расс 12 r o ' (3.70)
rде rO  единичный вектор в направлении плотности по
тока энерrии.
Подставляя в (3.70) выражение для Е расс из (3.68),
получаем для величины Spacc:
Yk 2 r е  ;lt.r . k 2 r * e JA 1' .
Spaec === 8п J eEo  Sln 1 d V  J eE о  S1n ydV,
v v
или
S ==  (  ) 2 r d V " r Да'Де" Е" Е*' Х
расе 2 4п J 1 о о
V V
ik(r"r')
Х е sin у' sin 1"dV'.
r';" '
(3.71 )
Один штрих и Два штриха относятся соответственно
к точкам объемов dV' и dV" (рис. 3.7). Как уже было
указано, в атмосфере E есть нереrулярная, случайная
функция координат. Но П,ОСКОЛЬКУ атмосфера  rаз ИЛИ,
точнее, смесь rаэов, то .12 В каждой точке является так-
244

же случаi'tнOl U ' функцией времени, т. е. Дg есть случаЙ-
ный процесс. Поэтому для двух фиксированных элемен
тов объема dV' и dV" проиэведение B'.6.B" будет менять-
ся во времени. Однако под двойным интеrралом
в (3.71) допустимо усреднение ВIQ времени проиэведения
Ав' Ав". Как известно из теории случайных Iпроцессов,
среднее этоrо произведения есть функция координат двух
Рис. 3.7. К вычислению плотности потока Эl1ерrии рассеяния.
точек и называется корреляционной функцией. Следова
тельН'о, кор'реляционная Фу,нкция В для флюктуаций или
пульсаций диэлектрической проницаемости равна
В (хl' Ур Zt; х 2 . У2' Z2)  l:1e' l:1e" ==
===1X 2 q(X.. Уl' Zl)q(X 2 , У2' Z2)'
(3.72)
Очевидно, что здесь усреднение дол ж 110 производиться за
промежуток времени, эва читеЛII10 превосходящий IIаи
большиЙ «период» изменения С.rIучаi:'IIIOИ величины ,g.
Подставляя (3.72) под интеrралом в (3.71) для ycpCДHeH
ной величины Spacc, получаем
s  (  ) 2 S dV" S ВЕ" Е '* Х
расе 2 47t О О
V V
/ (r' 'r') 1с
Х е r'r" sin l' sin y"dV'.
(3.73)
245

2. Расчет плотности потока энерrии рассеянноrо
излучения
Итак, пусть напряженность поля первичноЙ волны
Е ==  e l (wtkro) ,
о 'о (3.74)
rде '0  расстояние от передатчика до элемента рассеи
вающеrо объема ,(рис. 3.7). Тоrда соrлаСlIО формуле
(3.73) имеем
Spacc == у 2 ( :: ) f dV" S В sin у' Х
v
/k (r".......r'o+r"r')
Х . "е, ... dV'
S1Q У r' " '" .
о' о"
Обозначения ясны. из рисунка,
Сначала возьмем объемный интеrрал по V, считая
расстояния ,"0 и ," фиксироваННbIМИ, равными '0 и т.
На основании метода стационарной фазы заключаем,
что существует наиболее важная область интеrрирова
z
(3.75)
А
Рис. 3.8. К вычислению плот-
ности потока энерrии рассея-
ния.
РО 12;
о
ния, за нимающая близлежащую окрестность точки, в KO
торой
'oT'o+ ''T' == О
и соответственно все медленно меНЯ.IOщиеся множители
выносим за знак интеrрала. Таким образом, полаrая
1  1 1 1 1. 1 . , . " "
rr; ,". ==т:;' "==",-==,, SlnY ===stn "( ===SIll (,
24б

имеем
S J В ik (r"or'o+r"r')
dV" е sin у' sin у" dV' ==
" о'" о" ,"
V V
 sinz у ) /k (r.r'.+rrl) ,
== dV B dV .
'o'z
v v
Для упрощения вычисления объемноrо интеrрала
r Jk (r. ('. + rr')
J Ве dV'
v
введем одновременно в рассмотрение сферическую систе
му координат R, 1t, <р и прямоуrольную Х, У, Z с началом
в центре элементарноrо объема dV (рис. 3.8). У'rол ер бу
дем отсчитывать от плоскости, проходящей через центр
элементарноrо объема и корреспондирующие точки О
и А. В этой плоскости уrол между направлением от пере
датчика на рассеивающий объем dV и направлением от
рассеиваlOщеrо объема на точку А обозначим' через е
(рис. 3.7 и 3.8). Соrласно рис. 3.8 имеем ror'o==
==R cos 1t. По формуле сферической триrонометрии Ha
ходим
rr' ==-R. (cos 6005 {}+ sin 8 sin {}ICOS (J)),
ror'o+rr' ==cos {}+iR(cos е cos {t+'
+sin 8 sin 1t cos ер) == R (1 cos 8) cos {t+
+IR sin 8 5in {t cos ер == у sin 8Z!( 1 cos 8).,
Таким образом, получаем
r /k (r,"o+rr')
J Ве dV' ==
v
00 ()с) со
===!  S В(х, у, z)e/k[USln8z(1cose)]dxdydz.(3.76)
oo co 
Произведенное здесь расширение пределов интеrрирова
ния до бесконечности допустимо, так как корреляцион
ная функция есть убывающая до нуля функция расстоя
ния между коррелирующими точками.
247

в дальнеишем воспользуемся разложением ФУIlКЦЙН
в интеrрал Фурье, распространеННbIЙ на функции от трех
переменных.
Представление ФУНКЦИИ P(Xf, Х2, Хз) от, трех перемен-
HbIX кратным интеrралом Фурье имеет следующий вид:
f (ХJI Х 2 , Ха) ==
ос) ос) со
== 5   F (ClJl а 2 .
oo oo oo
а. ) eJ (а..х. +СХ.Х.+схзХз) dCl dCl d ( 3.77 )
з ) 2 а'
rде
Е(а), а. 2 , а.а)==
00 со 00
( ) 5 5 Sf( e 1: 2' е а) еJ(а..I+а.I.+азы de ) de 2 de. ,
== 21 · )' 18 ;>
OC) oo oo
(3.78)
и наЗbIвается преобразованием Фурье или спектральноЙ
плотностыо функции f(Xf' Х2, хз). Подставляя (3.78)
в (3.77), имеем
00 со
f (х I' Х 2 , х,) == ( 2 ) 8 j... J f (e 1 , е 2 , е,) Х
oo oo
Х . eJ (сх. (X.Ы+a.. (ХI.)..+а.з (Хзз)] da. da. da. de dl: de ( 3.79 )
1 2 3 ) 182 ,.
Произведя здесь интеrрирование по перемеНIIЫМ ,ai, мож-
но получить и друrое представление:
00 00 00
1. (Хl' Х 2 , Ха) == (  ) ' lim S S S f (е 1 . е 2 , е,) Х
 I a. t 1-+00
1==1, 2, 3 oo co OC)
х sln I а 1 l(x 1  е 1 ) sln I aal (Х 2  62) Х
Х 1  е 1 1 Ха  еа
х sin I а,оl (X\ е.) de)de 2 de,.
x. .
(3.80)
Используя представление (3.77), введем наряду с Koppe
ляционноЙ функцией В также ее преобразоваllие Фурье
248

Ф(u, v, t) и получим .С.rtеДУlOщее равенство:
00 00 00
s s  В(х. у, z)ejk(yslllBZ(ICOs8)]dxdydz==
oo oo CX)
00 iXI
==  ...  Ф(u, v, t)e/ {ux+('Vksine)y+[tk (cosBI)lz} Х
oo oo
Х dudvdtdxdydz.
Выполняя справа интеrрирование по, у, z, находим
00 00 00
J S ) В (х, у, z) ejk [у sin 8z (1  cos 8)] dxdydz ==
oo oo oo
00 00 00
== 21 Нт S r r ф (и, и, t) slп I х I U Х
I х I OO J J u
I у I OO oo oo ------00
I z Ioo
X sinIYI(vksine) sinlzl [tk(cos6 1)] d d dt
v  k sln е t  k (cos е  1) u V .
(3.81 )
Если левую и правую части 1(3.81) поделим lIа (2л)1,
а затем сравним получнное с (3.80), то убедимся, что
левая часть равенства (3.81) есть не что ино, как
(2л) ЗФ:[О, k sin 8, k(cos e1 )],
т. е.
и==О, v==kine, t,==k(coseI). (3.82)
Таким образом, находим
S ==  у А 2 k 4 1t S slnll у Ф [ О k sin 6, k ( cos е . 1 )] d\/,
расе 2 2 2 11 '
'о'
v
(3.83)
rД Ф COrJlaCHO (3.78) вычисляется по формуле
Ф (и, и, t)==
00 00 00
==( 2 )a J J 1 В(х, у, z)f'j(иx+VY+'Z)dxdydz. (3.84)
oo oo oo
Использование спектральной плотности Ф корреляцион-
ной функции В и выражение через нее плотности энер
rии рассеяния Spacc позволяет, как увидим далее, выя
вить важные физические особенности рассеяния радио
волн -турбулентными неоднородностями тропосферы.
249

3.Спектральная плотность корреляционной функции
пульсаций диэлектрической проницаемости
В первом приближении полаrают, что корреЛЯЦИОII
вая функция В (х, у, z) для пульсаций диэлектрическоЙ
проницаемости атмосферы зависит только от расстояния
между коррелирующими элементами объема и не зави
сит IIИ от положеIIИЯ этих элементов, IIИ от направления
линии, их 'соединяющей, т. е. эти пульсации статистиче
ски ОДIНОРОДНЫ и И30ТРОПIIЫ:
в (х, у, z) === В (V х 2 + у2 + z2) === В (R). (3.85)
При этих условиях aprYMeHTbI функции Ф (и, v, t l ) удобно
рассматривать, как со.ста'вляющие-некотороrо вектора m
U==lт X , v==т y , ==тz
(3.86)
и интеrрирование в (3.84) производить не по прямо-
уrольным, а по сферическим координатам (рис. 3.8).
Тоrда, учитывая, что тxx+тyy+тZZ==lт R,cos {t, dxdydz==
==,R2 Sill d{tdrpdR, вместо (3.84) имеем
Ф (т х , 11ly, т z ) ===
со 11: 211:
== ( 2 ) I S S S в (R) е JтR cos {} R 2 sin &d&dr.pdR : Ф (т,
R==O {}==о Ч'-=о
т. е. спектраЛЫlая плотность Ф зависит только от абсо-
JIJOТНОЙ величины вектора т. Выполнив интеrрирование
по q> и '6', получим
00
Ф(т) == 21tт 5 B(R) RsinmRdR.
о
(3.87)
Поскольку Ф зави,сит толрко от абсолютной величины
вектора т, мы можем при ,вычислениях по формуле
(3.77) ввести в пространстве переменных тх,т 11' mz сфе
рическую систему координат и получить аналоrично
формуле (3.87) следующее выражение для корреляцион
ной функции:
CIO
В (R) ==  s ф (т) т sin mRdт.
о .
(3.88)
250

Из этой формулы находим
00
2 [В (О)  В (R)] == 8'8 f (1  SlnmR ) т 2 ф (т) dт. (3.89)
о
Величина слева имеет определенный ф изический с мысл
2 [8(0)  B(R)} 2 [ 683.  68'68" ]  [68'  68'Т',
(3.90)
( 68,2 === 68,,2 === 6в 2 ) ,
Т. е. это есть средний квадрат разнос:ти случайной
функции для двух различных точек пространства. Эта
величина называется структурной функцией и является
характеристикой случайной функции аналоrично корре-
ляционной функции. Структурную функцию удобно при-
менять вместо корреляционной функции в тех случаях,
коrда имеются затруднения в нахождении по экспери
ментаЛЫIЫМ данным среднеrо значения случайной ФУНК-
ции. Такие затруднения всеrда возникают, коrда мы
имеем дело со случайными процессами, при которых
средние величины меняются со временем и неизвестно,
какие изменения рассматривать как изменения среднеrо,
а какие считать медленными флюктуациями.
В формуле (3.90), содержащей разность флюктуациЙ
для двух точек, фиrурирует разность средних значений
и, если эти точки не слишком удалены друr от друrа,
среднее вообще исключается. Структурная функция была
введена А. Н. Колмоrоровым в 1941 r. .
Соrласно (3.82) и ( 3.86)
т  V и 2 + v 2 + t l === V k 2 sin 2 6 + k 2 (1  cos 6 у' 
=== 2k sin +. (3.91)
Поэтому, окончательно, выражение для спектраЛl?НОЙ
плотности таково:
Ф(т)===Ф (2k sin+). (3.92)
Истолкование формулы (3.92) проще Bcero провести
на основе представления о рассеянии радио.волн неодно-
родностями различных масштабов  ср'едних размеров.
Но для этоrо нужно уяснить 'себе смысл переменной т.
251

Зта переменная в nреобразовании Фурье функции, заВИ-
сящей от пространственной координаты, и'rрает такую
же роль, как частота (J) в преdбразовании Фурье функ-
ции, занисящей от.времени.
Поэтому аналоrично равенству
100 == 2n/Т,
rде Т  период времени, можем написать равенство
т == 2,jf,/l,
rде 1  пространственный период. Откуда, учитывая
(3.91), получаем
2 2k ' 8
т=== sln""""2
или
).
1=== 8 .
2sln2"""
Важный физический вывод, содержащийся в равенстве
(3.93), можно сформулировать следующим образом: в co
здании IПОЛЯ рассеянноrо излучения в направлении уrла
О из Bcero спектра неоднородностей участвуют лишь те,
масштабы которых удовлетпоряют условию '(3.93).
(3.93)
4. Коэффииент рассеяния
Формулу (3.83) можно представить в виде
S  1 ':1 k"'tC r sin. у (2k ' 8 ) dV
расе  """"2 У А  J 2 Ф Sln 2""" .
v
(3.94)
На практике для характеристики рассеяния радиоволн
неоднородностями атмосферы при дальнем тропосферном
распространении часто пользуются величиной, называе
моЙ коэффициентом рассеяния.
Коэффициент рассеяния определяется следующим
образом. Пусть Sперв  плотность потока энерrии первич
ной полны, падающей lIа элемент рассеива IOщеrо объема
 V (рис. 3.6). Тоrда мощность дР расс , созданная этим
элементом объема в элементе телесноrо уrла ,A,Q, будет
пропорциональна произведению Sперв VQ, т. е.
IPpacc ===аpSперв VQ.
252

Коэффициент ПРОJ]орциональ'Ности ар, имеющеи разМер
ность 1//lt, IIазывают коэффициеНТО/lt рассеяния. Таким
образом,
fJ.Ppco
ap S V n ,
пер.6 fJ..
(3.95)
т. е. коэффициент рассеяния есть рассеянная .мощность,
отнесенная к единице телеСНО20 У2ла в эада'нном Hanpaa
лении, к единице рассеивающеzо объема и к единице
плотности потока энерzии первичной вОЛНbl, падающеЙ
на этот рассеивающий объем.
Отношение справа в формуле (3.95) можно предста
вить еще и друrим способом. .
Если мощность дР расс рассеивается в направлении r,
то па расстоянии r от рассеиваlOщеrо элемента объема
ПЛОТI!ОСТЬ потока энерrии рассеяния будет равна
Л S  6Р расс .
Ll расе  ,2fJ.g ,
(3.96)
отсюда получаем
6S pacc r2
а р == S
пер.6 V
(3.97)
Учитывая, что
+ у А 2 + == Sперв'
'о
из выражения (3.94) находим
k 4 тt . 2 Ф (2k ' в )
С1 р ==т SШ У SШТ .
(3.98)
Итак. испсльзуя коэффициент рассеяния, плотность по
ТОКа .энерrии, создаваемую элементом рас,сеивающеrо
объема д V на расстоянии r ,ооrлЗiСНО (3.97), можно
представить в виде
!!J. S  ар Sпер.6 V
расе  ,2 .
(3.99)
Полная ПJIОТНОСТЬ потока энерrии рассеяния равна
s  r СХРSпер.dV
расе  J ,2 ,
V
(3.100)
253

rде V  эффективно рассеивающий объем. Наряду с KO
эффнциенто.м 'рас,сеяния ар полезно ввести в рЭiОСомотре
ние эффективную площадь 'рассеяния эффектиВiН'О pac
сеи,вающеrо объема в 'соответствии 'С формулой (1.126):
s
а == 41tr 2 .
SпеР8
(3.1 01)
Для более четкоrо уяснения различия между понятия
ми эффективной площади рассяния и коэффициента
рассеяния, определим последний соответственно ero точ
ному математическому CMbICJIY. Соrласно (3.97) можем
написать
2 1 dS pacc
ар==,  d V .
пеР.
(3.102)
Сопоставляя формулы (3.102) и (3.101), заключаем, что
а есть интеrраЛЫlая характеристика данноrо рассеиваю
щеr.о объема, а ар Яiвляется ero дифференциальной xa
рактеристикой, причем
ар == 1t :; == ,: . (3.103)
Таким образом коэффициент рассеяния есть деленная на
4л эффективная площадь рассеяния единицы рассеИ8аю
щеzо объема.

rЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ТРОПОСФЕРЕ
Тропосферой называется нижний слой атмосферы,
простирающийся над умеренными широтами до высот
1012 км. Над полюсами rраница тропосферы проходит
на несколько километров ниже, а над экватором  на не-
сколько километров выше.
Тропосфера в отличие от друrих слоев атмосферы 
стратосферы и ионосферы  содержит большее количе
ство паров воды. Тропосфера наrревается rлавным обра
зом от поверхности земли и поэтому температура возду
ха в ее пределах уменьшается с высотой. Выше 10
12 км после TOHKoro персходноrо слоя, IIазываемоrо TpO
попаузой, в стратосфере температура с высотой возраста
ет, достиrая максимума примерно на высоте 50 км, а за-
тем до высот 7080 M снова падает. HarpeB стратосфе
ры проходит за счет сильноrо 'Поrлощения
ультрафиолетовоrо излучения солнца, содержащеrося
в этом слое небольщоrо количества rаза озона (ОЗ).
В стратосфере почти нет 'водяноrо Iпара е) ТрО'посфера и
стратосфера образуют неионизированный слой атмосфе
ры. Блаrодаря этому обстоятельству закономерности pac
пространения радиоволн в обоих слоях в ряде случаев
одинаковы. Однако в тропосфере блаrодаря значительно
большей плотности 'воздуха и близости слоя к поверхно
сти земли аэролоrические и метеоролоrические nроцессы
проходят HaMHoro интенсивнее, чем в стратосфере. Это
обстоятельство делает процесс распространения радио-
волн в тропосфере значительно более сложным, чем
в стратосфере. Ввиду этоrо изучение процесса распрост
ранения радиоволн в неионизированной части атмосферы
можно оrра'Ничить 'рассмотрением вопроса распростра
нения радиоволн в тропосфере.
е) Является л,и стратосфера «сухой. ИЛИ «влажн'ой. оконча-
тельно еще не уста HOJWIeHO.
255

 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПДРАМЕТРЫ ТРОПОСФЕРЫ
Характер распространения радиоволн в тропосфере
определяется состоянием атмосферы и процессами, кото-
рые в ней происходят. Состояние атмосферы определяет
ся такими физическими характеристиками, как темпера
тура, влажность и давление. Последние являются и мете-
оролоrическими параметрами тропосферы, сокращенно
называемыми метеоэлементами.
Атмосферные 'процессы, с одной стороны, обусловле-
ны меняющимся режимом наrревания тропосферы зем
лей, в результате чеrо в атмосфере имеют место переме
щения воздуха в вертикальном направлении. С друrоi',
стороны, в силу различия температур в разных областях
земноrо шара, происходят циркуляции воздушных масс
и в rОРИ30нталь ных напра I3J1еШIЯХ. Все эти процессы со.
ПРОВШl\даlOТСЯ конденсациеЙ паров воды, появлением
облаков, выпадением осадков и т. д. При этом наряду
с упорядоченным слоистым движением воздуха имеет
место и беспорядочное турбулентное движение воздуха
большеЙ или меньшей интенсивности.
Совокупное влияние на распространение радиоволн
состояния атмосферы и атмосферных процессов или, KO
роче rовdря, влияние на распространение радиоволн
условий поrоды является весьма сложным. Это влияние
сказывается в одновременном проявлении эффектов, дей
ствие каждоrо из которых зависит от длины волны.
К этим эффектам относятся следующие:
1) искривление направления распространения радио-
волны;
2) рассеяние радиоволн неоднородностями тропосфе-
ры;
3) рассеяние раиоволн rидрометеорами;
4) поrлощение радиоволн.
Исследова вие cOBMecTHoro деЙСТВIIЯ этих эффектов
и причин, их обусловливающих, весьма затруднительно.
Поэтому при изучении явлении распростраl1ения радио
волн в тропосфере приходится каждый эффект рассма-
тривать в отдельности и устанавливать rлавную причину,
ero вызывающую.
Для определения влияния метеоролоrических условиЙ
на характер распространения радиоволн прежде Bcero
необходимо уста новить СIJЯЗЬ между электрическими 11
метеоролоrическми параметрами тропосферы, каковы-
256

ми, как уже было сказано, вляются температура, влаж-
ность и да I3ление.
Как уже было отмечено, тропосфера состоит из CMe
си rазов. КаждыЙ из СОСТ3I3ляющих атмосферу rаЗОR
обладает своими электрическими параметрами  диэле!(
трическоЙ проницаемостью и проводимостью. Во всех
диапазонах радиоволн, за исключением коротковолновоii
части УКВ, ПрОПОДИМОСТh rззов тропосферы практичс
ски равна нулю. В диапазоне са нтиметровых волн и IН)-
роче начинает сказыпаТЬС51 дисперсия вещества  заВII-
симость электрических па раметроп от частоты  и в свн-
зи С этим проводимость rазоI3 атмосферы оказьшается
практически отличной от нуля.
При ЛРОХlQждении 'электромаrнитной волны через rаз
последний под воздействием электрическоrо поля Е вол
ны поляризуется. Вектор поляризации Р, определяемый
как дипольный момент единицы объема, пропорционалеll
напряженности ПОJIЯ Е, т. е.
Р === ЕоХ Е, ( 4. 1 )
rде Х  электрическая I30СПРИИМЧНВОСТЬ вещеСТI3а. Она
связана с диэлектрической ПРОlIицаемостью 8 фоулоi'r
Х =='el. (4.2)
Cor.naCHO молекулярной теории вещества восприимчи-
вость rаза зависит от абсолютной температуры Т, давле
ния р И равна
х==ар/Т, (4.3)
если молекулы не обладают постоянным дипольным мо-
ментом, и
'х ==Ib р/Т2, (4.4)
если каждая молекула обладает постоянным дипольным
моментом. Постоянные а и Ь определяются из опыта.
Восприимчивость смеси rазов подчиняется закону
аддитивности, т. е. ВОСПРИИМЧИВОСТh смеси rазов равна
сумме восприимчивостей отдельных rззов, пропорцио-
нальных их парциальным давлениям.
Молекулы всех rазов тропосферы, за исключением
молекул водяноrо пара, не обладают постоянным элек-
трическим дипольным моментом.
Молекула же водяноrо 'пара обладает также, наряду
с переменноЙ составляющей дипольноrо момента, по-
ЯI3ляющеЙся под влиянием поля волны, и постоянной со-
ставляющеЙ, существующеЙ и при отсутствии поля. По-
171283 257

этому восприимчивость тропосферы должна выражаться
формулой
Ар + Ве
X==e:l== '
(4.5)
rде р  суммарное давление всех rазов воздуха, мб
(в миллибарах). е  давление водяноrо пара, мб
(l мб==О,ООl физической атмосферы).
ПОСТОЯНIIые А и В, определенные в результате MIIoro
численных измерений, оказались равными
А == 155,2 . 106, В == 7,46 . lO.
( 4.6)
Поскольку диэлектрическая проницаемость воздух:!
зависит от метеоролоrических параметров Т, р, е, а по
следние меняются от точки к точке, то отсюда следует,
что тропосфера {В.пяется неОДIIОРОДIlОЙ средой.
При этом, однако, как показывают измерения, диэлек
трическая проницаемость Е в любой точке тропосферы во
всех диапазонах волн, за исключением коротковолновой
части сантиметровоrо и диапазонов миллиметровых и
децимиллиметровых волн, незначительно 'Превышает еди-
ницу. Поскольку восприимчивость Х связана соrласно
формуле (4.2) с показате..r:::ем преломления п соотноше-
нием
X2==п21 =='(пl) (п+l) ==2(п1),
то получаем
(n  1) 108 == 7.б (р + 48oe ).
(4.7 )
"
в результате метеоролоrических измерений получают
относительную влажность s, которая равна отношению
давления пара е к давлению насыщеlIноrо пара e s при
той же температуре Т. По зва чению s и e s , Оlределяемо-
му по справочнику, находят значение
e==ses(T) ,
( 4.8)
которое и подставляют в формулу (4.7). Если же изве-
стна удельная влажность воздуха q, определяемая KaI{
отношение плотности ВОДЯJlоrо пара к плотности воздуха
или как число rpaMMoB водяноrо па ра, приходящееся 4
1 Kr воздуха, то, учитывая, что
==:; т п === О 621 
q ть р , р
2Б8

(т n == 18 ;\юлекулярный .вес водя,ноrо пара, тb==29
средний молекулярный нес влаЖlюrо воздуха), находим
требуемое для формулы (4.7) значение е, равное
е== 1,61pq. (4.9)
Отметим, что удельная влажность воздуха представляет
собой величину порядка 102.
 2. РЕФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН
Наблюдающиеся в тропоофере явления рефракции
можно объяснить изменением диэлектрической ПРОlIИцае
мости и соответственно показателя преломления с BЫCO
той. У зеМIIОй повеРХIIОСТИ значение п==по весьма мало
отличается от единицы и в разных метеоролоrических п
климатических условиях может принимать значения, H3
ходящиеся в пределах '1,00026 +- 1,00046.
С друrой стороны, начиная с высоты 8 км И ДО 10 км,
как это экспериментально установлено, показатель пре
ломления постоянен и раЕен 1,00011. Таким образом, все
сЛожные явления рефракции в тропосфере происходят
за счет неЗIIачитеЛbfюrо изменения с высотой показателя
преЛОМJIевия в четвертом и пятом знаках после единицы.
При этом величина п, в особенности в нижней части тро-
посферы, очень часто меняется с высотой не монотонно.
В зависимости от метеоролоrических условий параметры
Т, р, е в нижней части тропосферы MorYT весьма слож
JlЫМ образом меняться с высотой и во времени. Это,
в свою очередь, приводит к сложному характеру измене
ний показателя преломлеIlИЯ п с высотой и с течением
времени, а слеДQI3ателыю, и к различным видам' рефрак
ции. Как уже было указа но в rл. 3, рефракцию радио
волн в неоднородных средах изучают на основе reoMe-
трооптической трактовки. Условие (3.23) применения
rеометрооптическоrо приближения в тропосфере в диапа
зонах УКВ в подавляющем числ'е случаев хорошо выпол
I1яется. Поэтому мы можем непосредственно применить
формулы, получеНIIые в предыдущеЙ rлаве для нахожде
ния параметров, характеризующих рефракцию радио
ПОЛIl в тропосфере, и ра,ссмотреть виды рефракции. Пара
метрами, которыми характеризуют рефракцию радио
волн в тропосфере, являются: радиус кривизны луча,
эквивалентный радиус Земли, приведенныЙ показатель
преломления и модуль .приведенноrо показателя прелом
лени я, или индекс рефракции.
17* 259

1. Радиус кривизны луча
Соrласно (3.36)
p===
п
dll
<.'05 6 
п 2 , п 2 ,
== dn'
l1r dZ С05 в поа С05 60 {[z
Так как в пределах тропосферы ,/а === 1 + z/a  1,
п'J.jп o  1, то
1
Р ===  dn
dz cos 60
(4.1 О)
Если 60 === О,
1
P===dп'
dZ
(4. 11)
т. е. чем больше rрадиент показателя преломления по
высоте, тем меньше радиус кривизны луча, тем больш
искривление последнеrо. Луч, направленный под уrлом
80== л/2, т. е. вертикально вверх, как следует из выраже
ния (4.10), вовсе не искривляется, ero радиус кривизны
ра вен бесконечности.
Представляет интерес вычислить радиус кривизны
луча в нормалыюй тропосфере.
Нормальной называют тропооферу при таком e со-
стоянии, коrда температура и давление водяноrо пара
с высотоЙ убывают по линейному закону cooTBeTcTBeHIIO
выражениям T==2880,0065z, е== lOO,0035z, т. е. нн
каждый километр температура убывает на 6,5 ос, а дав-
ление водяноrо па ра  на 3,5 мб, при этом относитель-
ная влажность не меняется по высоте и равна 60%.
Что же касается давления р, то ОIlО С высотой всеrД<l
изменяется I3 соответствии с ба рометрическоЙ формулой,
которая для изотермической атмосферы имеет СJ1едую
щиii вид:
Р==Ро ехр ( : z),
r де М === 29. 1 оз  средний молекулярный вес rазов, BXO
дящих в IСОСТЗ>В атмосферы, K'r; g  усорение силы тя-
же,сти, м/сек 2 ; R ==8,31  джоульjrрад.моль  униВ'ер-
сальная rазовая постоянная, Т  абсолютная температу-
ра воздуха, z, м.
260

Для яеИ30термической атмосферы, т. е. КОnДа теМпе
paTypl1 il пеЙ зависит от высоты, давление меняется с ilLI-
сотой соrласно следующеЙ формуле:
z
( 1\1g S (lz "\
Р==Ро tёXP T т (z» )'
о
в нормальноЙ тропосфере ро== 1023,2 мб (суммарное
давление CYXOI'O воздуха при t==.15°C и давление водя-
Horo пара е== 10 мб).
Поскольку при этих данных, т. е. в нормальноЙ TpO
посфере,
dn ==  4. 1 o 8 
dz м '
1"0 радиус кривизны луча р==25000 KM4 а.
Искривление луча .В нормальной тропосфере называ
ют нормальной рефракцией. Такое искривление луча, при
котором p а, называют сверхрефракцuей.
Очевидно, что искривленный луч попадает на землю,
если р< а (рис. 4.1). Если луч направлен rОРИ30llталь но
(80==0), то это неравенство примет вид
dn <   ==  1 57. 1 o 7 .
dz а ' м
1 '
Величину dп/dz ==  1,57. IO7  называют крuтuческu.м,
м
верmuкальпы.м. zpaaueItтOM показателя преломления !Зоз-
духа.
2. Эквивалентный радиус Земли
Учет рефракции в интерференционных, а в некоторых
случаях и в дифракционных формулах можно произве
сти, введя в формулы ,вместо истинноrо так называемыЙ
ЭI{вивалеНТIIЫЙ радиус Земли.
ЭквивалеНТНЫ'U 1 радиус Земли вводится в том случае,
если rрадиент показателя преломления по высоте явля-
ется величиной постоянной, т. е.
dn/ dz == cons t
(4.12 )
и, следователь но,
dn
п==пo+ , z.
( Z
261

Тоrда уравнение луttа принимае1' вид
(по + :: z) (а + z) cos 6  поа cos 60
или
( 1 + п l 0 ; z) ( 1 + + ) cos е  c()s а о .
Учитывая, что
z/a  1,
(4.13 )
получаем
[1 + (* ; ++) z] cos6== cos 60.
( 4.14)
Сравнивая это выражение с уравнением луча в предпо
ложении, что тропосфера однородна, т. е. с уравнением
(1 + z/a) cos 6 == cos 60'
(4. ] 5)
dn
можно сделать вывод, что в случае dZ == const тропос
феру можно рассматривать как однородную среду с по-
стоянным значением показателя преломлепия, если вме-
'
: а\'Р '
Рис, 4.1. 1( определению крити-
чеСIшrо покаэателя преломле
ния.
сто истинноrо радиуса ввести эквивалентный радиус
Земли, определяемый соотношением
J....==.J.... dn +J....  J....+ dn . (4.16)
а, по dz а а dz
Учитывая, что при 60==0 dп/dz l/р, получаем
1 1 1
ap- (4.17)
Например, при нормальной рефракции
J.... ==2.. аз == 3 4 а === 8470 КМ. (4.18)
а,  а 4а 4а '
262

Луч
а)
Рис. 4.2. К введению понятия эквнваJIеНТllOrо радиуса Земли.
При этом дальность прямой видимости
Ro == V 2а э (Vh + Vz)
( 4.19)
или
R OKM == 4,1 O/ h M + V Zьд . (4.20)
Таким образом, целесообразность введения понятия
эквивалентноrо радиуса Земли состоит в том, что при
этом луч можно рассматривать как прямую линию
(рис. 4.2,а, 6,).
3. Приведенный показатеJlЬ преЛОМJlения и модуль
приведенноrо показателя преJlомления
(индекс рефр акции)
Во мноrих случаях удобно И'3учать рефракцию радио-
волн, рассматривая поверхность сферической земли как
плоскость. Для этой цели и вводят понятие приведенно-
ro показателя преломления, которое появляется в ре-
зультате следующих соображений. Если бы поверхность
земли была плоской, т. е. а== 00, то уравнение луча при-
няло бы вид (3.33)
n cos -8== по cos 80.
Отсюда следует, что принимая в уравнении луча
получим
n (1 +z/a) ==N п+z/a,
N .cos е.== по C'os 80
(4.21 )
( 4.22)
и, следовательно, уравнение луча над сферическоЙ зем-
лей превращается в уравнение луча над плоской землеЙ
С приведеНl!ЫМ цоказаТелем прелом:ления N. Иноrда
2б3

в литературе N называют модифицироваlШЫМ показате
JleM преломлеllИЯ. Так как веЛИЧИllа N мало отличается
от еДИНllЦЫ и с ней неудобно оперировать, то ВIЮДЯТ B(,
личину, ее заменяющую,  ,модуль п.РU8сденносо показа
теля п.реломления, или, ИlIа че, индекс рефракции
M==,(NI) 106==I(пl+z/a) 106.
( 4.23)
Удобство введеlIИЯ модуля приведеlIllOrо ПОК3:1ателя
преv'Jомления состоит в том, что по uиду кривоЙ М (z)
можно сразу установить характер рефракции. ЧислеНllые
ЗIlа чения М называют «N-еДИllицами».
Отметим, что на поверхности земли М меняется при
мерно в пределах от 260 до 460 Nединиц.
Как было показано раIlее, радиус КРИВИЗНЫ луча,
n следовательно, рефра кция, определя IOтся rрадиеllТОМ
показателя преломления по высоте. Для наrЛЯДlIОСТИ цe
лесообразно радиус кривизны луча сравнивать с радиу
.Р <О
ОтРl/чатЛlINllR 
рфрtfкиllR /
'  /.1o:;.; {i....
''''/(f:f::-9p"
.r По8ышеННltя  
рf'tpра!fция '\ 
. Q' 
,'.,-. 
:Е.( ,
t1
Рис. 4.4. Классификация видов
рефракции.
z:==."""
Рис. 4.3. К классификации ви
ДОВ рефракции.
4. Виды рефракции
сом ЗеI\I,'!И. Исследуем, как изменяется отношение р/а
с }fзменением rрадиента показателя преломления или ве-
личины М. Соrласно (4.23)
dM == ( dn + ) 106.
dz dz а
\
( 4.24)
Предположим, что луч направляется по линии ropll-
зонта, т. е. 80==0; приняв во внимание (4.11), вместо
264

(4.24) можем написать
dM  (    p l ) 106 === Н)6 ,
dz \ а Па
откуда находим
(4.25)
==
а
1
dM ·
1  10 6a 
dz
( 4.26)
Обозначая
10 8 clM  6 37 dM 
а dz , dz  Х,
(4.26) перепишем в виде
р  1
a 1  х .
( 4.27)
Эта функция изображена на рис. 4.3.
Значения р/а>О соответствуют положительной реф
ракции; значения р/а<О соответствуют отрицательноЙ
т А Б Л И Ц А t.
КЛАССИФИКАЦИЯ видов РЕФРАКЦИИ
I dM .  I
и2 М
Вид I
реФI)8КЦИИ х
...f.
а
lln I
dz ' м
(/2
dM ' м
аз, км
Нормаль 3 4. 1 О  8 0,118 8,47 8470
Т 4
нан
ПОllижен 3 4 .IO 870 8470
"4 + 1 4(X) 0,118+ 8,47б,37
ная 0,157 6370
ОТРllца 1 +со cx) О + со 01 157+00 G,37 7 O 6:370+0
тепьная +0
ПОВЫ 3 4. 1O 8+ 8470+со
4+0 4+1 0,118+0 8,47+:х:>
шеНН<I я 1,57.IU1
CBepx 0+00 1+0 1 ,57Х 07CO co....;-..O 000
рефрак XIO1....;-..
ЦИЯ 
рефракции. Более подробная классификация видов pe
фракции приведена в таБJl. 4.1, а соответствующие
ис.кривл,ения лучей  на ри'с. 4.4.
Для Toro чтобы судить о характере рефракции по Me
теоэлементам T(z), p(z) и e(z), которые получаются на
метеоролоrических станциях путем аэролоrических изме
265

рениЙ, строят так называемые MKpuвbleJ т. е. функции
iV'l(z). Cor ласно (4.7) и (4.23)
iVI == 77  6Р + 3, 7./05e ++ 106. (4.28)
Мкривые, соответствующие приведенным выше видам
рефракции, изображены на рис. 4.5 и 4.6. Наклон Мкри
,.,
11
н
н
z
ч.
11
Рис. 4.5. М-кривые.
Рис. 4.6. М-кривая при CBepx
рефракции.
вой может быть обусловлен изменением либо температу
ры, либо влажности, либо TOrO и друrоrо одновременно.
Накл'он Мкривой определяется выражением
dM ==0 157 + 77,6 dp  77,6р d7 + 3,73.105 de
dz' Т dz т2 dz 72 dz
7, 46. 105 d Т
тз dz е.
( 4.29)
Из этой формулы следует, что одинаковые по знаку из
менения влажности е и температуры Т с высотой ,приво
дят К противоположным эффектам рефракции.
На рис. 4,5 кривая 1 соответствует нормальной реф-
ракции. Такой ход кривой имеет место, коrда на каждыЙ
километр температура убывает на 6,5 <>С, а давление BO
дяноrо пара  на 3,5 мб, т. е.
dT ==  6 5 о С J..... ( 4.30 )
d:z I км '
de  3 5 мб
dz   I км '
Нормальная рефракция наблюдается в пасмурную noro-
ду, коrда слои воздуха хорошо перемешаны.
Обычно максимальную дальность деЙСТВ!IЯ риДИОЛJ1-
нии для заданных вЫСОт поднятия корреспондирующих
(4.31)
2б6

пунктов при нормальной рефракции принимают за стан-
дарт.
Отметим, что при всех 'видах рефракции, за ИСКJIIOЧ-
нием сверхрефракции, о 'величине маКСИМ(ljlЬНОЙ да.т.ыю-
сти удобно еудить по значению эквивалентноrо радиуса
Земли. Чем больше это значение, тем больше максималь
ная дальность действия радиолинии при заданных высо-
тах поднятия корреспондирующих пунктов. Как изве('т
но, эквивалентный радиус Земли при нормальной реф
ракции равен а э ==8470 км.
В изотермической атмосфере, т. е. при Т ==const ==2880
и
 ===  4 15 мб
dz 'км
эквивалентный радиус Земли равен a== 10 000 км И COOT
ветственно дальность действия радиолинии больше, чем
при нормальной рефракции.
Кривя 2 'соответствует пониженной рефракции. Ta
кой ход кривой имеет место, коr,да
fdT < 6 50C
dz 'км '
( 4.32)
de >  3 5 мб
dz 'м '
( 4.33)
т. е. к'оrда с lВысотой температура убывает быстрее,
а влажность убывает медленнее, чем при нормальноЙ
рефракции, что обычно наблюдается в 'пасмурную дожд-
ливую поrоду. Дальность деЙствия радиолиний при этом
виде рефракции меньше, чем при нормальной рефракции.
Кривая 3 соответствует отрицательной рефракции.
Такой ход кривой возможен при
dT   6 50C
dz  , км '
( 4.34)
de   3 5 мб
dz -:?' , км'
( 4.35)
т. е. коrда с высотой температура убывает значительно
быстрее, а влажность  значительно медленнее, чем при
нормальной рефракции. Влажность может даже воз'ра
стать.
267

в сухой атмосфере отрицатльная рефракция имеет
место при
dT <  34 40C.
dz 'км
а в изотермической атм()сфер  (Т == 2880) при
 > 7 1 мб .
dz 'км
Поrода с такими метеоролоrическими данными быва
ет редко, например во время снеrопада. Дальность дей
ст,вия радиолинии в этом случае значительно меньше,
чем при нормальной рефракции.
Кривая 4 соответствует повышенноЙ рефракции. Ta
кой ход кривой возможен. при
!!!.. >  6 5r;t С  ( 4.36 )
dz ' км '
 <  3 5  ( 4.37 )
dz ' км'
т. е. Kor да с высотой температура убывает медленнее,
а влажность  быстрее, чем при нормальной рефракции.
Повышенная рефракция при обычных rрадиентах
влажности бывает, коrда температура атмосферы возра
-стает с высотой, т. е. при наличии инверсии температуры.
Инверсия температуры бывает в хорошую ясную потоду,
после захода Солнца, коrда нижний слой воздуха, при
мыкающий к поверхности земли, вследствие ради,:щии
тепла поверхностью земли, успевает охладиться, в то Bpe
мя как более высокие слои остаются еще теплыми.
Дальность радиолинии при повышенной рефракции боль
ше, чем при нормальной.
5. Сверхрефракция. 80Jlноводное распространение
Сверхрефракции соответствует кривая с отрицатель
ным TaHreHcoM уrла наклона, изображенная на рис. 4.6.
СnерхрефраКЦIIЯ наблюдается I3 тех случаях, 'коrдз с BЫ
сотос, температура убывает значительно медленнее,
а влажность  значительно быстрее, чем при нормальной
рефракции, т. е.
dT 650C
dz о:!? , км '
de 3 мб
   5.
d:z ' км
( 4.38)
( 4.39)
268

Сверхрефракция обычно бывает при наличии инвер
сии те.млераТУРbl при 'Пониженной влажности атмосферы.
Для сухой атмосферы ход Мкривой, изображенный
на рис. 4.6, имеет место при резко выраженной инверсии
температуры, коrда
dT > 133 oc.!.... ( 4.40 )
az км t
а для изотермической атмосферы (Т == 2880) при
!!!.... <""  28 мб
dz...... км .
( 4.41 )
Дальность деЙствия радиот('хнических устройств при
сверхрефракции может значительно возрасти блаrодаря
тому, что 'распространение здесь происходит вдоль земли,
как по ВОЛНОIВОДУ, атмосферному волноводу} или, точнее,
Рис. 4.7. Зоны видимости радиолок:э.тора при различных видах
рефракции.
как между двумя проводящими параллельными безrра-
ничными плоскостями.
На рис. 4.7 для сравнения изображены зоны видимо-
сти радиолокационной стzнции при отсутствии рефрак-
ции, при нормальной рефракции и при наличии атмосфер-
Horo волновода. Высота атмосферноrо волновода апреде
u dM <' О
ляется высотои участка, в пределах KO'I'OpO'ro dk ......
 .,
(рис. 4.6).
Однако между атмосферным и металлическим волно-
водами имеется существеннgе различие. В То время как
269

z
z
Ни i. 0,5 о
о
н х
Рис. 4.8. К определению длин волн, захватываемых атмосферным
ВО.'Iноводом.
для металлическоrо волновода линейные ero разм,еры
соизмеримы с длиной пропускаемоЙ волны (например,
для волны Н1О прямоуrольноrо волновода л.<2а, rде а 
ширина волновода), размер Zo  атмосферноrо волново
да, как увидим далее, значительно превышает длину вол
ны, которая может быть зах,вачена этим волноводом.
Вычислим максимальную длину волны, которая еще
может быть захвачена атмосферным волноводом задан
ной высоты Zo. При этом будем исходить из наrлядной
картины рефракции, .получающейся на основе reoMeTpo
оптической трактовки и изображенной на рис. 4.8 11 счи
тая сначала атмо,сферу плоскос,поистой. Луч, направлен
ный под небольшим уrлом возвышения 80 излучателем,
расположенным в точке О при сверхрефракции, будет
искривляться таким образом, что на высоте Zo он повер
нет обратно, достиrнет 'поверхности земли и отразится
от нее. Затем в результате искривления он снова повер
нет обратно и т. д. (рис. 4.8). Так как в точке поворота
луча на высоте Zo имеет место равенство
n (zo) ==nо cos 8 Q ==q,
то здесь условие (3.40) :ПР'И1м'енимости приближения reo
метрической опти ки, пос кольку
1 д (V 2 2 ) 2 1 dn
kn 2 дZ п  q == ki1 V п 2  q2 dZ == 00,
не выполняется. Ввиду этоrо формула (3.38) для расчета
аМIПЛИТУJLЫ зд-е,сь I}{,еприrодна. Однако формула (3.37) для
расчета фазы rодится, -но соrласно (3.57) должна быть
учтена потеря фазы на величину п/2. При отражении же
волны от земли соrласно отражательной трактовке, учи
тывая малость уrлов 'скольжения, фаза меняется на n.
Таким образом, изменение фазы волны, распростра-
270

няющейся по траектории, изображенной на рис. 4.8, MbI
определяем с достаточной точностью.
Соrласно формуле (3.37) фазовый множиель равен
'kW 'k /k J y пlq dz
eJ ===e] ЧХ е . (4.42)
Первый фазовый множитель справа определяет собой
распространение фазы вдоль оси X J т. е. вдоль волново-
да, а второй  вдоль оси ZJ т. е. поперек волновода. Оче-
видно, что этот последний множитель должен у довлетво-
рять условию периодичности: в точках А и В он должен
принимать о\динаковые значения. Это условие периодич-
ности вытекает из требования, чтобы не было распростра-
нения за 'пределами высоты Zo, т. е. за пределами волно-
вода. Если бы это условие не было выполнено, фазовые
соотношения на высоте ZOJ rде происходит полное 'вну-
треннее отражение, не сохранялись бы одними и теми
же и, следовательно, не было бы волноводноrо рас'Про
странения. Отсюда, учитывая все фазовые сдвиrи, мо-
жем написать условие периодичности
2 2; S V Il 2 ( z)  п' (z,) dz + 1t  ;  2fТl1t,
о
rде m==l, 2, 3, ...
Теперь учтем сферичность тропосферы и введем вме-
сто n модифицированный 'Показатель преломления,
а Toдa вместо последнеrо .соотношения, считая 80==0,
можем написать
Zo
2 2; S Jf N 2 (z)  N 2 (Zo) dz + 1t  ; === 2т1t. (4.43)
о
Из последних формул видно, что по атмосферному вол
новоду MorYT распространять'ся волны только определен
ной длины, так как фиксированному значению m cooTIBeT
ствует определенная длина 'волны.
Учитывая , что N;:::::: 1, имеем
yNI (z)  N 2 (zo)  V2 V N (z)  N (zo)
и таким обраэuм полуаем
y zo
т  2...!.... i V N (z)  N (z,) dz, т  1, 2. 3, 4, ...
2 8 о
( 4.44)
271

З<lметим, что в формуле (4.43) вместо Zo может быть
взято и z<zo. Но тоrда Л т , опрсделяемое формулой
(4.44) , будет меньше. 3десь же мы интересуемся на иболь
шими длинами волн типа т, которые Moryr быть захва
чены атмосферным волноводом. Наибольшая длина вол
ны ти'па т 1, которая может быть захвачена атмосфер
ным волноводом, ра,вна f
ZO
SV2 r
А. 1 ===  J VN (2') . N (zo) dz.
u
( 4.45 )
Учитывая, 4.то
N(z)===M(z).108+ 1 === [M(Zo)+\  I(ZoZ)]:108+ 1,
( 4.46 )
N (z)  N (zo) ==: I d I (zo  z) 108, (4.47)
находим
8 у2 1 1 dM I r 
А. 1 ==: V dz .103 J ( Zo  zdz ==:
u
..... 16 V2 / I dM , . I O  з 3/2
 9 V dz Zo '
или
.. / l dM \ з 
А. 1 == 0,25 V dZ Zo ==О,25У/ дМ I ZOI
( 4.48)
rде л't выражено /в сантиметрах, dМjdz  в l/MeTp, Zo 
.е метрах, ,t1M  полное изменение величины М в преде-
лах высоты zo.
Например, для значения I d I == 0,1, xapaKTepHoro
для волноводов над морем, ра,ссчитанные по формуле
(448) высоты Zo для заданных длин волн 1...1 имеют сле
дующие значения, приведенные н табл. 4.2.
т А Б Л И Ц А 4.2
Л, СМ
3
10
100
lOM
zo. м
6
12
25
120
600
272

Из этих данных видно, что чем больше длина IВОЛНЫ,
тем UUJIIJШСЙ должна быть высота атмосфсрноrо волно
вода для заХВата этой волны. Однако инвер'сия тем'пе.
ра туры, при I\OTopoi', возни'кает атм'оефср ныЙ вол IIOB'O/l.,
на протяжении больших участков высот менее вероятна,
чем на малых. Поэтому более вероятно появление aT
мосферных волноводов, захватывающих более короткие
ВОЛIlЫ. Сравнительно часто возникают атмосферныс вол
новоды на сантиметровых волнах и реже на дециметро
z
с::.


1"/
Рис 4.10. Мкривая при одновре-
менном существовании приземно-
ro н приподнятоrо атмосферных
волноводов.
z
н
Рис. 4.9. М-Iфивая в случае
приподнятоrо атмосферноrо
волновода.
вых, совсем редко возникают атмосферные волноводы на
метровых волнах. Следует отметить, что явление оптиче
CKoro миража ссть не что иное, как сверхрефракция на
оптических волнах.
Между атмосферным и металлическим волноводами
имеется и друrое отличие, состоящее в том, что в первом
энерrия может 'Просачиваться через ero стенки, а 'во вто-
ром нет.
Отметим, что в изложенной здесь теории атмосферно-
ro волновода принималось 80== О. Поэтому для Toro чтобы
реализовать волноводное распространение и уменьшить
просачивание энерrии через стенки волновода, луч необ-
ходимо направить под указанным уrлом 80==0 или во
всяком 'случае под уrлом 80, не большим 0,50; антенна
при этом должна быть расположена внутри волновода.
Необходимая инверсия температуры для сверхрефрак
ции может иметь место не только в приземных слоях
181283 273

тропосферы, но 11: 8 слоях, расположенных на некоtорой
высоте (соответствующая кривая показана на ри,с. 4.9).
Возможно одновременное существование пр'иземноrо и
приподнятоrо волноводов (рис. 4.10). При просачивании
энерrии через верхнюю «стенку» приземноrо волновода
распространение радиоволн может происходить вдоль
приподнятоrо 'волновода. Аэролоrические измерения по
казывают, что приподнятые инверсионные слои MorYT Ha
ходиться на \Высотах от 5 до 3000 м. Блаrодаря этому,
кроме волноводноrо распространения электромаrнитной
энерrии, внутри слоя может иметь место и отражение от
слоя.
В самом деле, еСЛll луч от точки, находящейся на по
верхности земли, выходит под достаточно малым уrлом
возвышения и, следовательно, под достаточно большим
уrлом падения на нижнюю rраницу слоя, то будет иметь
место полное внутреннее отражение.
Отражение от инверсионных слоев наряду со CBepx
рефракцией может являться одной из причин дальнеrо
распространения радиоволн за пределами rоризонта.
Явление сверхрефракции наблюдается в тех случаях, коrда
у поверхности земли воздух значительно более холодный и более
влажный по сравнеlЩЮ с воздухом на больших высотах. ОчеВИДН9,
что над сушей такие УСЛОDИЯ будут иметь место в хорошую ясную
поrоду, чаuце в утренние часы. ДеiIСТВИТЛЫIO, ночью при ясном
N еииниц
b1 1 [02 t O{O (Ot f O(I :.
320 320 320 320 320 320 Nеtll1Нl/Ц
береz 20 40 80 /20 /80
Расстояние, !(/о(
Рис. 4.11. ЭI{сперимен-
тальные М-кривые вдоль
морской трассы.
\
небе земля быстро остывает в рзультате излучения и температура
воздуха у поверхности земли быстро падает. В то же время тем-
пература более высоких слоев воздухз остается почти без измене
нии, так как остывание воздуха за счет теплопроводности происхо-
дит медленно. Таким образом, создается необходимая инверсия тем-
пратуры для сверхрефракции,
В дневные и Dечерние часы необходимая инверсия температуры
отсутствует, так как с утра с восходом Солнца начинается' HarpeB
суши и посредством конвекции происходит перемешивани воздуха,
разрушающее инверсию. В результате в дневные и вечерние часы
сверхрефракция даже в ясную пorоду маловероятна.
Над морем в ясную поrоду в течение целых суток воздух у по-
верхности моря оказывается более холодным по сравнению с воз-
274

духом высокорасположенных слоев. Таким образом, над морем
сверхрефракция представляет собой более частое явление, чем над
сушей.
Над морем сверхрефра1{ЦИЯ наблюдается также Torдa, коrда
с суши после полудня в направлении моря дуют теплые ветры. Tor-
да нижние слои воздуха к вечеру оказываются более увлаЖllен-
ными и охлажденнымп по сравнению с верхними слоями.
Вообще же сверхрефракция наблюдается в антициклональную
поrоду *>. Т€сная связь явления сверхрефра,кции 'с синоптическоЙ
обстановкойозволяет по метеоролоrическим данным проrнозиро-
оать появление атмосферноrо волновода. При этом, разумеется,
проrI-lОЗЫ оправдываются с точностью не большей, чем проrнозы
поrоды.
В заключение настоящеrо параrрафа приведем некоторые ре-
зультаты эксперимснтальных исслсдованиii волноводноrо распро-
странения радиоволн.
В раЙоне восточноrо береrа одноrо из островов Новой Зелан-
дии в течение нескольких месяцев производились исследования ат-
мосферных волноводов. В этом раЙоне почти круrлый rод наблю-
дается северозападный ветер, т. е. теплыЙ ветер дует с суши на
море. Блаrодаря этому создается блаrоприятная обстановка длSI
формирования атмосферных волноводов. Для исследования применя-
лись импульсные передатчики, установленные на самолете, Приемни-
ки помещались на береrу.
ОдновремеШIО с ПОJlеТО1 самолета по трассе производились Ме-
теоролоrические измерения в шссти пункт ах, находящихся на оди-
наковом расстоянии друr от дрУI'а, ПО ЭТИ!\! измерениям определя-
лись М-кривые, изображенные на рис. 4,11, Из этих кривых видно,
что BJ,ICOTa атмосферноrо волновода вдоль трассы увеличивалась по
мере удаления от приемноrо пункта; наибольшая высота атмосфер-
 i 1
..




о O 80
Расстояние, }(/'1
Рис. 4,12. Уровень сиrна-
ла на волне 300 СМ.
Волноводное распростране-
ние отсутствует.
Horo \Волновода достиrала БО м. Самолет, летая вдоль трассы н а
ПОСТОЯННОЙ высоте 25 м, все время находился внутри волновода.
Два передатчика работали на волнах 300 и 10 см. Их сиrна,ТIЫ улав-
ливались приемниками, расположенными на высотах h== 10,3 м и
h==7,5 м соответственно. Сиrналы, ПРИНl1маемые на каждой волне,
*) АНТИЦИI{ЛОН  область в атмосфере с повышенным давлени€м
возуха. Давление в антицИ'клоне растет от периферии к центру.
Ветры в антициклоне в северном полушарии .дуют, '()II'ибая ero центр
по часовой стрелке, а в южном  IПрОТИВ часовой стрелки, Анти
циклон характеризуется ЯСНОЙ и сухой поrодой.
18* 275

сравнивались с СООТI3еТСТВУЮЩИI\1И фиксированными стандартными
сиrналами.
На рис. 4.12, 4.13 точками отмечены результаты эксперимен-
тальных измерений. Сплошными .1IИНИЯМИ отмечены уровни сиrналов
для свободноrо нространства. Из рис, 4.12, 4.13 видно, что поле
Рис. 4.13. Уровепь сиrна-
ла на волне 10 см.
Волноводное распростране-
ние.
 80
.о-
 60

t:) 40

::;) 20
О
'. А-.=!Осн
11='1.5н
..... ::, ':...:::.":,
:,....::. ..... 'e':
IJO 60 120
PaccтOFfHue, кн
1&0
на волне 300 см значительно меньше, чем поле в СDободном про-
странстве, и весьма быстро убывает с расстоянием, Поле же на
волне 1 О см и мест т акоЙ же примерно уровень, к ак и для свобод-
Horo пространства. Отсюда следует, что волна 300 см не была за-
хвачена волноводом. Из приведенной ранее табл. 4.2 видно, что
высота атмосферноrо волновода в 60 1\1 достаточна для захвата
волны 10 см, но нсдостаточна для захъата волны 300 см.
 3. РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
ТУРБУЛЕНТНОЯ ТРОПОСФЕРЫ
1. Понятие о турбулентном движении воздуха
и пульсациях диэлектрической проницаемости
тропосферы
Дальнее распространение радиоволн диапазона УКВ
за пределами rоризонта имеет место и при отсутствии
метеоролоrических условий, блаrоприятствующих CBepx
рефракции.
Однако для Toro чтобы использовать возможности
дальнеrо распростра'нения радиоволн в тропосфере, не
обусловленноrо сверх рефракцией, и принимать система-
тически радиосиrналы УКВ за пределами rоризонта, He
обходим о применять отронаправленнwе антенны и при-
емники достаточно высокой чувствительности.
Основной причиной заметных уровней напряженности
поля за пределами rоризонта, значительно превышаю
щих величину напряженности дифракционноrо поля,
является рассеяние радиоволн неоднородностями aTMOC
феры. Эти неоднородности непрерывно возникают в pe
зультате постоянно существующеrо турбулентноrо дви
жения воздуха.
276

Как известно, движения в жидкости или rазе MorYT
быть ламинарными или турбулентными. Ламинарное дви
жение характеризуется своей упорядоченностью. Один
слой жидкости движется относительно друr.оrо с опреде
ленной скоростью.
Турбулентное движение характеризуется наличисм
чрезвычайно нереryлярноrо изменения скорости. CKO
рость В каждой точке пространства все время пульсирует
случайным образом около HeKoToporo среднеrо значения,
причем размах этих пульсаций не является малым по
сравнению с величиноЙ самой средней скорости.
О характере движения жидкости или rаза можно cy
дить по знаЧСIlIIIO числа Рейнольдса. ЧIlСЛОМ Рейнольдса
Яе называют безразмерную величину, определяемую BЫ
ражением
Re==pvLL/'r). (4.49)
В этом выражении все величины относятся к некоторому
достаточно большому объему движущейся жидкости
с характерным размером ero L, называемым масштабом;
VL  скорость движения этоrо объем а; р  пл'отность,
кrjм З ; 1")  вязкость, Kr/c. М.
Если число Яе меньше -некотороrо ero критическоrо
значения Re){JI, определяемоrо экспериментально, то дви
жеRие объема ламинарно; если же это число больше
Яекrp  движение турбулентно. В силу малой вязкости 11
движение в rазах преимущественно турбулентно.
Основные закономерности турбулентноrо движения
стали известны блаrодаря работам А. Н. Колмоrорова н
А. М. Обухова. На основании этих работ картину воз
никновения и развития турбулентноrо движения пред
ставляют себе следующим образом. При увеличении CKI)
рости движения объема с масштабом L увеличивается
число Рейнольдса Re. Пока это число мньше Rе ир , воз
никающие в отдельных частях этоrо объема флюктуации
скорости быстро затухают. Но е,сли Яе значительно
больше RCl\p, то движение ПрОIЮХОДИТ почти толыш. под
rзлиянием сил инерции. Нследствие это["о, возникающая
СJlучайным образом флюктуация скорости в какойлН'бо
части объема масштаба 1<L уже не затухает, а растет,
приобретая форму 'вихря, за счет энерrии движения IBI(:e
ro объема масштаба L. В результате число Рейнольдса,
соответствующее этому вихревому движению RepV11/1")
(rде Vl  скорость вихря), становится больше Rеир, д.ви
>кение вихря перестает быть устойчивым и возникает
277

вихрь BToporo порядка масштаба [' <l. Скорость этоrо
вихря растет за счет энерrии движения вихря первоrо
порядка, и ero движение тоже неустойчиво.
Таким образом, по мере развития турбулентности по
следовательно возникают вихри все более мелкоrо мас-
штаба. Дробление движения прекращается на том Mac
штабе [о и скорости ио, при которых движение оказывает-
ся устойчивым, Т. С. коrда число Рейнольдса становится
меньше ero критическоrо значения
R pVolo < R
е === еl(Р'
Итак, при наличии развитоrо турбулентноrо движения
в объеме масштаба L имеется очень большое число вих
ревых ДВlIжений, масштабы которых лежат в пределах
[o<,I<L. (4.50)
Величина L называется внешним, а [о  внутренним
масштабом турбулентноrо движения. Соrласно экспери-
ментальным данным величина L имеет порядок несколь
ких десятков метров, а [о  несколь'ких миллимеТРОIВ.
Спектр м асштабов, определяемый (4.50), называют инер-
ционным интервалом.
Связь между масштабом [ и скоростью а! турбулент-
Horo движения этоrо же масштаба можно установить на
основании энерrетических соображений.
По мере развития турбулентноrо движения энерrия
движения вихря более крупноrо масштаба почти полно
стью без потерь передается вихревому движению меньше
:- =: масштаба. Эта передача происходит вплоть до вих-
peBoro движения наименьшеrо масштаба [о, rде эта энер
rия переходит в тепло.
Энерrия вихревоrо движения масштаба [ пропорцио
нальна а 2 /. Время, в течение KOToporo происходит 8'оз-
никновение этоrо вихревоrо движения, очевидно, имеет
порядок величины [/и/. Следовательно, энерrия вихревоrо
движения, которая передается единице массы в единицу
времени при возникновении вихря скорости Vl И масшта
ба  пропорциональна величине
и 2 и 3
1 1
ljv x T.
Обозначая эту энерrию через 1(, имеем К a3![.
х
Откуда получаем
и"" (к[)1/3.
(4.51 )
278

Таким образом, скорость туроулентноrо движения м3.'с"
штаба [, удовлетворяющеrо условию (4.50), пропорцио-
нальна корню кубическому из величины этоrо масштаба.
Этот закон был установлен А. И. Колмоrоровым и
А. М. Обуховым в 1941 [. Блаrодаря турбулентному дви-
жению различные элементы объема воздуха различноrо
масштаба переносятся из одной области пространства
в друrую почти без изменения температуры этих элемен-
тов и содержащеrося в них количества водяноrо пара.
В результате в каждой фиксированной точке простран-
ства происходит флюктуация не только давления, но так-
же температуры и влажности. А это соответственно при-
водит к пульсациям диэлектрической проницаемости и,
следовательно, показателя преломления тропосферы.
Порядок флюктуаций показателя преломления вслед.
ствие турбулентноrо движения воздуха
Ап '" Ar8 '" l,crв.
Наличие таких пульсаций означает, что в заданный
фиксированый момент времени существуют области тро.
посферы, показатель преломления которых отличается от
показателя преломления окружающих областей на вели
чину Ап '" 106. Эти области называют неоднородностя
ми. Размеры неоднородностеЙ определяются масштабами
вихрей турбулентноrо движения.
2. Коэффициент рассеяния неоднородностями
турбулентной тропосферы
Рассеяние радиоволн турбулентными неоднородностя.
ми тропосферы рассчитывается обычно в приближении
Борна, рассмотренном в предыдущей rлаве. Как там бы-
ло показано, для этоrо нужно знать структурную функ-
IlИЮ пульсации диэлектрической проницаемости.
Структурная функция для флюктуации скорости тур-
булентноrо движения, если считать процесс стаТИСТII-
чески однородным и изотропным, как можно заключить
из (4.51), должна и меть так ой вид:
(v'  v")2==A2R2/3.
Структурная функция для пульсаций диэлектрической
проницаемости, как показал А. М. Обухов, подчиняется
тому же закону « двух третей », т. е.
(в'  в")2 == С 2 R2/3' (4.52)
279

причем обе последние формулы справедливы при lo«R«
4;.. L. ПОСТUШIIIЫС А Jl С опрсде.rrяютсн НЗ :;,ксперИМСlIта.
ТаКИ:\1 оu'разом, соrлаСlIО (З,о)  (3.90) можем написать
00
С 2 R 2 / З === &t J ( 1  Si;lR ) т 2 ф (т) dm,
u
( 4.53)
loR.«L.
(4.54 )
Пользуясь ЭТIJМ' раrзСIlСТВОМ, путсм подбора найдем
спектральную плотность Фет). Для этоrо умножим обе
части равенства (4.53) на R и продифференцируем их
трижды по Я, тоrда получим
4 00
С 2 ++ (. +) R 3== 81t 5 соsтRm 4 Ф(т)dт.
о
Сравнивая этот интеrрал с табличным
00
r (р) cos Р'"  S тl)  1 cos m R dm
Rp 2  I
О
r де r (р)  rаммаФункция. видим. что р === 4/3 и
II
3
Ф(т)==С 2 ++ (+)
т
( 4 ) 2 '
8r т cos3
или
11
Ф (т) == О,О33С!т З. (4.55)
Поэтому окончательно, при учете (3.91), выражение для
спектральной плотности примет вид О4]
( ( а \ 11
Ф(т)===Ф 2ksin+)==O,033C 2 2ksin 2) 3. (4.56)
Формула (4.56) и определяет спектральную плотность
рассеянноrо излучения, соответствующую заданному
yr лу 8. При этом необходимо иметь в виду, что в силу
нерааенства (4.54) формула (4.56) справедлива лишь
для уrлов е, удовлетворяющих условию
2 . В 2
i;:  2kstnT  Т' (4.57)
т. е. (4.56) неприменимо при е =='0 и очень малых уrлах 8.
280

Для TOrO чтобы найти рассеянное излучение при уrлах,
близких J{ е == О, можно исходить ИЗ следующих соображе
ний.
О'чевидно, что наибольшее поле рассеяния в IIаправ
лении уrла 8 == О из Bcero спектра неоднородностей созда
ют неоднородности с наиболее крупным масштабом. В Ka
честве масштаба таких неоднородностей можно принять
внешний масштаб турбулентности L.
Поскольку в -настоящее вреМ51 законы, управляющие
флюктуациями диэлектрическоЙ проницаемо,сти [3 КР'упно
масштабных неоднороДIЮСТSlХ, еще НС изучсны, коррелн
ционную функцию
в == Ае' ;j.e"
выбирают исходя ИЗ весьма общих соображений.
Ее представляют в виде
в === в (R) === ;j.E: 2 f (R/ L),
rде ФУJ-fКЦИЯ {(R/L), определяющая коэффициент Koppe
ляции, берется ПРОИЗВОJ1ЫILlМ образом, лишь бы она
удовлетворяла необходимым условиям, вытекающим из
caMoro ,смысла корреляционнюй функции  убывала от 1
при R == О до О при R== 00.
В получившей распространение теории Букера и rop
дона
в (R) === ;j.s2 eR/I,. (4.58)
Подстановка этоrо выражения для В в (3.87) дает
ДЛЯ спектральной плотности .следующую формулу:
( . 6 ) L8
Ф(m)==Ф 2 SШТ == 2 r ( ') . в ) 2 ] 2' (4.59)
1t 1 + kL S1П 2
Выражение (4.59) для спектральной плотности rодитсSl
только Д,ЛЯ достаточно малых уrлов е.
Подставляя знач'еНllе Ф из (4.56) в (3.98), находим
k 4 тt . 2 О 033С 2 (2k ' 6 ) Il/З
а.р===S1Л у. . ' SШТ ==
7 r::: 1 O  3 . 2 С 2 1 ( 6 ) JI/3
== ,i)' SШ У J  sln?
JlЛ 
( 4.60)
281

Выражение, эквивалентное (4.60), было получено
К. А. Сильверменом в 1956 r.
Как видно из (4.60), коэффициент рассеяния тем MeHЬ
ше, чем больше уrол рассеяния и тем больше, чем короче
волна, хотя зависимость от длины волны выражена сла
бо. Подставляя Ф из (4.59) в (3.98), получаем формулу
для коэффициента рассеяния Буккера и rордона:
t;;2 (т )3 sin 2 у
ар  [ ( 47tL в \ ] 2 .
Л 1 + т sin 2 )
Итак, используя коэффициент рассеяния ар, плотность по
тока энерrии, создаваемую эффективно рассеиваЮЩИ:\1
объемом, можно рассчитать по формуле (3.100).
Удобно плотность потока энерrии рассеяния тропо
сферными неоднородностями сравнивать с плотностью
потока энерrии Sсп, создаваемой в свободном простран
стве тем же передающим устройством и в той же точке
наблюдения А.
Соrласно (.100) имеем
(4.61)
SP8CC == r !XpsuePB dV
Sсп J sсп,2 .
V
Беря расстояние между излучателем и точкой нзблюде
ния в свободном пространстве равным расстоянию D
вдоль поверхности земли между этими пунктами, Haxo
дим
SпеРВ D2
-----s ==- """"2'
сп 'о
Поэтому
SP8CC  D2 r <1pdV
SСП  ., ,2,2 .
V о
( 4.62)
3. Некоторые особенности приема рассеянноrо
излучения
Из выражения (4.60) для ар следует, что энерrия, pac
сеиваемая каждым элементарным объемом dV, сущест
венно зависит от yr ла рассеяния е и она тем больше, чем
меньше уrол рассеяния. Отсюда следует, что объем V,
по которому должно производиться интеrрирование
8

в (4.62), т. е. эффективно рассеив ающий объем, слаrаеt-
ся из тех элементирных объемов, для которых уrлы рас-
сеяния невелики. Очевидно, что если оба корреспонди-
рующих пункта О и А расположены на поверхности зем-
ли, то этот объем находится посредине между пунктами,
ВbIше точки пересечения касательных к большому Kpyry
земноrо шара, проведеННbIХ в точках О и А (рис. 3.6).
Таким образом, если корреспондирующие пункты под-
няты над поверхностью земли на небольшую высоту, то
для наилучшеrо приема рассеянноrо излучения необхо-
димо направить передающую н приемную антенны так,
Рис. 4.14. К определению положе-
ния эффективноrо рассеивающеrо
объема в ,случае широких rлав-
ных лепестков.
Рнс. 4,15. К определению
ЭффЕ"l(тивноrо рассеивающеrо
объема в случае узких rлав-
ных лепестков.
чтобы их тлавные лепестки, точнее нижние края rлавных
лепестков, располаrались по линиям rоризонта, провс
денным в отделЬ'ности для каЖДOifО из корреспондирую-
щих пунктов. При этом эффективно рассеивающий объ
ем будет расположен посредине между пунктами, в окре-
стности точки пересечения этих линий. Если размер эф-
фективно рассеивающеЙ области мал по сравнению с рас-
стоянием п, то в (4.62) иожно положить r,ro==D/2 и
тоrда
16 S
SрассSсп  apdV.
v
Здесь при определении эффективно раосеивающеrо
объема приходится различать случай широких и случай
узких rлавных лепестков диаrрамм напраВJlенности ан-
тенн. В пер'В'ом 'случае размеры эффективно раосеиваю
щеrо объема опред,еляlOТСЯ распределением коэффици-
ента рассея,ния по элементам расrсенвающей о'бласти.
( 4.63)
283

Условно можно определить эти размеры таким образом,
чтобы для элементарных объемов, расположенных на
rраllнце эффективН'о рассеивающеЙ области, значение ар
было вдвое меньше максимальноrо. rлавные лепестки aH
тенн следует считать широкими, если они полно,стью
охватывают область Va.' О'Пределяемую по половине ар
(рис. 4.14).
В случае узких rлавных лепестков размеры эффектин
но рассеивающеЙ области определяются не распрrделе
нием коэффициента расссяния, а шириной rлавных ле
пестков антенн. В этом случае эффективно рассеиваю
щая область представляет собой общий объем обоих
rлавных лепестков, который образуется их пересечением
(рис. 4.15). Обозначим этот объем через V y , .Можно по
лаrать, что оптимальный прием будет тоrда, коrда aHTeH
ны имеют такие rлавныс лепестки и так направлсны,
что объемы V oc и V y почти смещены. Эти соображения
об эффективно рассеивающем объеме позволяют путем
несложноrо анализа установить приблизительные законо-
мерности, относящиеся к полю рассеяния.
А. Зависимость поля рассеяния от расстояния
Эта зависимость определяется yr лом рассеяния 8 ==
== D / а.
Как видно из ФОРJlЛУЛЫ (4.63),
space  СХр (8) V
Sсп  D2 а"у
Если лепестки ШИРОI<ие, то, иак видно из рис. 4.14, при-
ближенно V ос "-' ба === п2(а 2 , а коэффициент рассеяния СХр,
как следует из (4.60), пропорционален 61]/З===(аID)1I/3.
Отсюда получаем, что
S 1 ( а ) 11/3 D2 а 5 / 3
Расе 
Sсп "-' [j2 D (i2 D 11 / 3 .
Если же лепестки узкие, то, как видно из рис. 4.15,
1 а
VY"-'TD.
Отсюда получаем
Spacc  (  ) 11/3.!!:..... а l1 / З .
Sсп '" D2 D D  D 20 / 3
284

Существенна, ЧТО' в абаих случаях пале рассеяния убы.
вает с РClсстоянием не па экспонснциальнаму, cl па HeKa
тараму степеннаму закану. 1'1з приведенных выкладак
видна, что степень n функции I/Dn, определяющеЙ закан
изменения Sрзсс с расстоянием, па изложеннай здесь Tea
рии далжна находиться в пределах 17 /3 n 26/3.
Б. Потери усиления антенн
По апределению каэффициент направленноrа дейст-
вия антенны -выражается фармулай (1.111)
КНД == Е:! E '
rде ,величины Ео и Е н  напряженнасти паля в свабод
нам прастранстве.
В реальной среде  в атмосфере, rде диэлектрическая
праницаемость пульсирует, КНД антенны апределяется
также па фармуле (1.111), паэтаму здесь 'пад Е н пад
разумевается напряженность паля в реаль'най среде. Из
этаrа определения следует, чтО' кнд аднай и тай же
антенны, но для разных сред  аднарадной и случайна
неаднарадной  принимает различные знаения. Ясна,
l.j ra вследствие 'некаrерентности валн, сазда,ваем ых раз
.IИЧНЫМИ элементами объема рас.сеяния в 'случайна
нсаднараднай среде кнд далж€н быть балее плавнай
функцией направления, чем в сва6аДН 1 ам прастранстве.
Отсюда следует, что ПРlOпарцианаль,ный кнд каэффи-
цпевт усиления анте'нны в наП'равлении максимума излу
чеlIИЯ в случайно неадно.родной атмасфере далжен иметь
:vlеньшее значение, чем в свободном 'Пространстве. Эта
уменьшение называется потерей усиления антенны.
Так как в случайна неаднораднай среде на раскрыв
антенны ШlДает вална са случайными амплитудай и фа
зоЙ, та далжны ухудшаться Н8'правленные своЙства и при-
емнай антенны.
Как следует из caMara апределения (1.111), кнд ан-
тенны в случайна неаднараднай атмасфере мажна также
рассм атри,вать как КНД антенны в ,свобаднам прастран-
стве, на са случайными амплитудами и фазами поля 'вал-
ны в ее раскрыве.
Теария антенн са случайным амплитудна-фазавым
распределением паля па раскрыву разрабатана
Я. С. Шифриным И С дастатачной палнатай излажена им
285

g .[23]. ПОЭТGМУ МЫ ЗДесь оrраничимся ЛИШь качествен-
ным рассмотрением вопроса об эффекте потери усиления
антенны с точки зрения теории рассеяния радиоволн.
Итак, найдем мощность рассеянноrо ИЗЛУllения Р расс .
Соrласно (4.63), предполаrая для упрощения, что ан-
тенны Iпередающеrо и приемноrо устройства одинаковы,
можем написать
Ppacc,,-,PG2 5 apdV,
v
rде Р  мощность передатчика; G  коэффициент усиле
ния антенны.
Соответственно для случая широких r лавных лепе
стков имеем
Р р асс "-' PG 2 V а ,
а. ра.
( 4.64)
а для случая узких r ла,вных лепестков
Р расс  PG 2 V 1Iару, (4.65)
причем ар I.t' арусредние значения коэффициентов рассея
ния для объемов Va.' V y . 8 случае (4.64) Va; не зависит
от ширины rлавных лепестков антенн. Следовательно, за
висимость Р расс от ,параметров антенн определяется
только величиной G и поэтому никаких потерь усиления
антенны не будет. Это означает, что если ,  уrловая ши-
рина (в радианах) rлавноrо лепестка, так что G  1/'1'2,
то Р расс  1/'1'4. В случае же (4.65), величина V зависит
от ширины rлавноrо лепестка (рис. 4.15), т. е. VуфЗ,
та к что
Р расс ""'" l/ф.
Это означает, что измеряемый коэффициент усиления аН-
тенны будет отличаться от TaKoBoro в свободном про-
CTpaHC1lBe, так как
О 1 'асс"'" I/Vf,
и, следовательно, бу.дет иметь место эффект потери уси
ления антенны. Таким образом, ориентировочно зависи-
мость потери усиления (в децибелах) от '1' будет опре-
деляться формулой
ДО расе == 1 01g  "-' 15ig +.
Расе 't'
Теперь остается установить, следует ли относить эти по-
тер'и к совокупности передающей и прием ной антенн или
28б

к какойлибо. ОДНОЙ антенне, и к какой именно. Из изло.,
женноrо следует, что., cTpo.ro rоворя, O должно OTHO
ситься одновременно к обеим антеннам. Однако практи-
чески, в чем мы сейчас убедим,ся, наЙденная 'величина
O может быть отнесена к одной прием ной антенне.
Действительно, 'cor ласно изложенной здесь теории
рассеяния радиоволн, эффективно рассеивающий объем
расположен вдоль направления максимума излучения
передающей антенны. А в этом направлении флюктуа
иионная составляющая поля мала, поскольку флюктуа-
ции диэлектрической проницаемости невелики. (Это как
раз и позволило применить теорию ра'ссеяния в прибли-
жении Борна.) Вследствие этоrо КНД передающей aH
тенны изменится по сравнению с КНД в свободном про-
странстве незначительно.
Что же касается приемной антенны, то здесь ситуа-
ция совсем иная. В приемную антенну, поскольку она
расположена за rоризонтом, попадают в основном лишь
волны, возникающие в результате флюктуации дИ'элек-
трическпй проницаемости, т. е. в ряскрыве антенны име-
ет место распределение а мплиту ды и фазы поля в основ-
ном по случайному закону. Поэтому КНД приемной
антенны претерпевает значительное изменение. Результа-
том этоrо изменения является не только потеря усиления
антенны в ,rлавном направлении, но и расширение rлав-
Horo лепестка диаrраммы направленности.
В. Зависимость отношения Ррасс/Рсп ОТ длины волны
-.
11з экспериментальных исслсдований без особых рас-
четов может быть леrко определено отношение Iпринимае-
мой мощности рассеяния Р р 3.сс К принимаемой мощности
Реп в свободном пространстве при тех же передающем
и приемном устройствах и том же расстоянии между
пунктами. Это обстоятельство позволяет экоперимен-
тальным путем получить зависимо.сть отношения Рра.сс/Рсп
от длины волны.
Найдем, как должно изменяться это отношение с из.
менением длины 'волны на основании предыдущих сооб
ражений.
В случае широких rлавных лепестков соrласно (4.64)
/:1меем
Р расеl Р сп == ар а. V а.'
87

а в случае узких rлавных лепестк:)в соrласно (4.65)
Р расс / Р сп == а. р и V у.
в обоих случаях закон изменения коэффициента pac
сеяния в зависимости от длины IЮШIЫ cor ласно (4.60)
один и тот же, а именно:
.:t1/3
а. ри '" ар ct "'-' .
Так что в перпом случа, поскольку V не изменяется,
1/3
Ррасс! Р Сll "" Ao ,
а во втором случае, ПL'СК()ЛЬКУ V у"" l З, имеем
Р /Р ')1/3')з ')8/3
расс, сп"" "" "" === /1" .
Таким образом, интересующее нас отношени в СJlучае
широких rлавных лепестков убывает с увеличением дли
ны волны, а в случае узких r лавных лепестков убывает
с УIюрочением длины волны. Следует иметь в виду, что
широкие rлаВIIые лепестки имеют место в диапазоне Me
тровых волн. а узкие  в диалазоне сантиметровых волн.
r. Мноzолучевость
Так как рассеивающий объем имеет конечные разме
ры, то здесь сказывается так I1азываемая мноrолучевость,
обусловленная тем, что пути лучей, проходящих через
m
Рис. 4.16. Искажение формы
импульса.
различные участки Р<1ссеивающеrо объема, различны по
длине. Это приводит к тому, что форма сиrнала искажа
ется, например, импульс расплывается (рис. 4,16). Этот
эффект можно трактовать таким образом, как будто pac
сеивающий объем обладает определенной конечной по
лосоЙ пропускания, что и создает искажение формы им
пульса. Ширина IПОЛОСЫ пропускаIШЯ системы тропосфер
Horo рассеяния, как показывают ориентировочные
расчеты, порядка нескольких меrаrсрц.
288

4. Результаты наблюдений дальнеrо тропосферноrо
распространения радиоволн (ДТР) и сравнения их
с данными теории рассеяния
Коrда rоворят о дальнем тропосферном раопростране-
нии радиоволн, то имеют в виду значительные уровни
напряженности поля в диапазонах сантиметровых, деци-
метровых и КОРОТКОI30ЛНОВОЙ части метровых волн, на-
блюдаемые далеко за пределами rоризонта, на расстоя-
ниях до 700800 км, причсм эти уровни на десятки де-
цибел превосходят уровень напря)кенности дифракцион-
Horo поля.
В на'стоящем пункте приведсм некоторые из основных
результатов экспериментальных наблюдений по дальне-
му тропосферному распространению радиоволн {13] и
сравним эти результаты с данными теории рас,сеяния.
Хотя следует иметь в виду, что полноrо сопоставления
из-за большоrо мноrообразия трудно учитываемых усло-
вий экспериментов быть не может.
Дальний прием сиrналов оказалось возможным осу-
щеСТВИТL блаrодаря применению передатчиков большой
мощности и, самое rлавное, блаrодаря применению спе-
циальных остронаправленных передающих и примных
антенн. Так, для даJ1ЫIеr..J приема сиrналов сантиметро-
Boro диа1пазона волн во 'МНОI1ИХ случаях .пРИ1м,еняются
lПараболиче'ские антенны с д'иаlметромпараБОЛО1ида более
20 м. Ширина диаrраммы направленности такой антен-
ны меньше 1°. Все это свидетельствует о том, что уро-
вень напряженности поля при дальнем тропосферном
ра'спространении значительно ниже, чем при 'Приеме сиr-
налов в свободном пространстве. Однако этот уровень
значительно выше уровня напряженности дифракционно-
[о поля.
На Р1ИС 4.17 'нанесена ЭКCJперименталыная :к,ривая ве-
личины
s
В== 10lg S  дЕ,
сп
rде S  экспериментальное среднее значение плотности
потока энсрrии при дальнем тропосферном распростране-
нии для различных расстояний (кривая А). Величина
I в I указывает, на сколько децибел уровень принимаемо-
ro сиrнала ниже уровня сиrнала, создаваемоrо тем же
передающим YCTpoi'IcTBOM на таком же расстоянии, но
в свободном пространстве. Измерения ПРОИЗВОДИЛИСL на
191283 289

волне л== 10 см. На том же рисунке для сравнения приве
дена расчетная кривая дЛЯ В== 10Ig(SДИФ/SСП)1 rде Sдиф
плотность потока энерrии дифракционноrо поля при а з ==
== 1 ,33а (рИlвая В). Точкой С отмечено положение так
называемоrо дифракционноrо rоризонта.
Из кривой А (на рис. 4,17) видно, что средняя 'плот
ность потока энерrии S быстро убывает с расстоянием D.
Нетрудно найти по данным этой кривой, что прибли-
женно
S"" lJD6. (4.66)
Этот закон убывания S с расстоянием cor ласуется с из
ложенной выше теорией рассеяния. Для Toro чтобы бо
лее полно сравнить экспериментальные данные с резуль-
8,86
50
Рис. 4.17. Кривые уровня сиr-
Н:1Ла:
А  при дa.пI,HCM тропосферном
распространении; В  при дифрак-
ции.
fOO
f40
100 ЗОО 500 700 Ii',K/'I
татами теории рассеяния радиоволн турбулентными He
однородностями, необходимо установить закон изменения
интен'сивн'ости флюктуаций диэлеКТ1рической проницае-
мости с высотой, ха рактер'изуемой веЛИЧИIНОЙ С2.
За последние 20 лет были правсдены соответствующие
мноrочисленные прямые и коовенные измерения. К пря-
мым относятся измерения, выпонляемые с помощью са-
молетноrо рефрактометра. Наблюдения мерцаний звезд
позволяют определить интенсИ'вlНОСТЬ флюктуации щиэлек-
трической пр,оницаемости косвенным путем. Все эти из-
мерения дают весьма большой разброс злачения С. OДHa
КО судя по данным, приведенным в книrах :[14], С не пре-
1
вышает IB приземн'ом слое величину 2. 106 11м3.
Так как С связана с сп для структурной функции
пульсаций показателя 'Преломления соотношением С==
===2С п , то это означает, что сп не превышает величину
lN-единицу. ,
В силу указанноrо разброса количественное сравне-
ние теоретических данных с опытными весьма затрудни-
тельно. Поэтому приходится оrраничивать,ся лишь качест-
венным сравнениеlVJ.
2O

Мри дальнем трапосфернам распространении уравень
сиrнала у МСllьшастся в МСТРОВОМ диапазоне волн с уве-
личением длины валны, а в сантиметровам  с укараче
нием ее. Эта соrласуется с теорией, приведенной в канце
предыдущсrо пункта.
Прием сиrнала при дальнем тропосфернам распра
странении саправаждается краткавременными замира-
ниями. Длительность этих замираний, парядка единиц и
далей секунды, 'в сильнай степени зависит ат длины вал-
ны; причем чем кораче волна, тем меньше длительнасть.
Эта заканомерность характерна для рассеяния радио.-

Рис. 4.18. Кривая сиrнала на волне 150 см и дальности 200 КМ.
валн неоднароднастями, хаатично перемещающимися
друr атносительна друrа. На рис. 4.18 в качестве приме
ра пр'иведена кривая сиrнала (л== 150 см, D ==200 км),
записанная в течение 5 мин.
В предыдущем пункте был проведен теоретический
анализ, из 'KaTapara ,следует, что при приеме рассеянноrа
излучения ДОЛЖНЫ наблюдаться патери усиления. Такой
эффект действительна наблюдается. На рис. 4.19 приве-
ден обобщенный rрафик, саставленный по мноrачислен
ным экспериментальным данным, показывающий, на-
скалька медленнее растет коэффициент усиления антенны
Орасс, соответствующий приему рассеяннаrа излучения,
па ,сравнению с коэффициентом усиления для свобадно-
ro пространства. Па асям отлажены значения каэффи-
циента усиления в децибелах. Из рисунка видна, что. по
тери усиления имеют места при применении антенны с ка-
эффициентом усиления, бальшим 20 дБ.
Наблюдаются и медленные замирания сиrнала, при
нодящие к изменению Iср,ед'неrа УРОВlНя сиnнала IB течение
суток, а также с 'И'з!м.енением сезО'на. Так, С'редний ypo
вень с'Иrнала летом на 2030 дБ выше, чем зимай.
19* 291

Наблюдается связь ДТР с метеоролоrическими усло
rШЯМН. О связи дальнсrо ТрОlfосфрноrо РClснространсния
с метеоролоrичесюrми условиями можно до неIЮТОРОЙ
степени судить по корреляции среднеrо уровня сиrнала
со средним значением модуля приведенноrо показателя
преломлеНИfl по трассе на поверхности земли. Теория
рассеяния радиоволн, изложенная выше, повидимому,
наиболее полно отображает особенности ДТР. Однако
возможные входные данные теории, КaI\ОВЫМИ я,вляются
пульсации диэлектрической проницаемости, зависящие от
метеоусловий, как уже было указано, имеют большой
Сра.сс,65
/
/
ю
20
Риr. 4.19. Кривая потери уси-
ления антенны.
о 20 4-0 tJ.,16
разброс. Поэтому расчет поля по формулам теории рас-
сеяния в конкретном случае может дать результат, коли
чественно значительно отличающийся от истинноrо.
В связи с этим большое значение 'приобрстают инженер
ные методы расчета, основанные непосредственно на
ЭI<спериментальных входных данных ДТР.
В СССР за ряд лет нан:оплен большоii статистический
ЭI\сперJlМСllтаЛI>НЫЙ матеРIl3Л по ДТР. На ero основе
коллективом ученых под руководст:вом Б. А. Введенскоrо
и М. А. Колосова р.азработан инжнерныЙ метод расчета
функции ослабления поля ДТР [13].
В методе используется 'семейство кривых так назы
ваемой стандартно,й функции ослабления, составленное
на основе большой статистики. Эта стандартная функция
ослабления опрсделястся <шторами метода для таких
стандартных метеоролоrичеСIШХ условий, при которых
модуль приведеНlIоrо показателя .преломления равен 310
Nсднниц, и таких антенн, для которых произведение 'KO
эффициентов усиления Опер. Опр ==60 дБ, причем alН'f.eIIHbI
имеют 'высоту порядка 5 10 .м. Это сеlмейство кривых
дан'о ,в децибелах: В СТ == 201g(EjE o ), rде Е  амплитуда
поля 'Пip'и ДТР, а Ео  аlмплитуда поля IB Iсв'абод:ном np'o
странстве, и изображено на рис. 4.20. Кривые функции
292

ослабления даны На чиная с расстояния 100 км, coo'rBeT
ствующеrо дифракционному rоризонту (точка С на
рис. 4.17). ДифракционныЙ rоризонт  расстояние, начи
ная с KOToporo поле ДТР больше поля, рассчитанноrо по
дифракционным формулам. Полный расчет функции
8 ст ,иб
70
Рис. 4.20. Значение стан-
дартной функции ослабле-
ния напряженности поля
дЛЯ IЛ==3+ 150 см при N ==
==зю, Опер' а пр ==60 дБ.
90
!10
/ЗО
-150
О
i1В,uб
4
Рис. 4.21. Статистическое
распределение rлубины Meд
ленных замираний.
-12
o, 1 2 у ?
ослабления в указанном методе включает учет ряда по
правок на условия, отличающиеся от «стандартных».
Мы приведем лишь неизбежные поправки:
на метеоусловия:
,ABM=={(O,931 ,63. Нr-ЗD) (N310)] дБ (для расстоя-
ний D==IOO+350 км),
АВм =={ (O,50O,4. 1 ОЗD) (N310) ]дБ (для расстояний
D ==350+800 км);
на потеРIИ усиления антенны, Koopыe оведены
в табл. 4.3.
293

Т А Б Л И Ц А 4.3
G ulrP 811' дБ 60 70 80 90
дG, дБ О 4 7 10
Кроме этих поправок, при ведем еще поправку B на
медленные замирания  она дана в виде кривых, изо-
браженных на рис. 4.21. Влияние быстрых замираний
может быть устранено путем реализации сдвоенноrо или
счетверенно'rо приема сиrнала ДТР.
При учете всех поправок функция ослабления pac
считываеся (по фор/мул'е
В==Вст+,6.Вм+6.а+,А'В, дБ. (4.67)
 4. ОСЛАБЛЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ
I Поrлощние и рассеяние
В тропосфере имеет место ослабление радиоволн.
Однако практическое значение это ослабление лриобре-
тает лишь в диапазоне сантиметровых и более коротких
водн. Ослабление ,ради,оволiН в трапо,сфере обусловлено
двумя iПричина'ми  поrлощением радиоволн, т. е. пре-
вращением электромаrнитной энерrии в тепловую, 11 pac
сеянием радиоволн rидрометеорами.
,Поrлощение радиоволн происходит в rазах тропосфе
ры  в кислороде и водяном паре, (1 также в rидрометсо
рах, какими являются капли воды, частицы льда. Элек
тромаrнитные волны рассеиваются как молекулами воз-
духа, так и rидрометеорами. Интенсивность рассеяния
существенно зависит от длины волны и размеров моле-
кул, частиц; молекулы воздуха ничтожно мало рассеи
вают даже наиболее короткие радиоволны. Практически
ощутимым является лишь рассеяние радиоволн rидро
метео'рам'И. Рассеяние электрома'l'НИТНОЙ 'В'Олны частицей
происходит в ,разные сторо'ны, 'и это Пlриводит К 'Ослабле-
нию пеР'ВИЧIНОЙ ВОЛlны в Iнаправлении ее раClпр'Ост'ранения.
Поrлощение радиоволн rазами тропосферы является
избирательным, резонансным и обусловлено молекуляр-
ной квантовомеханическоЙ структуроЙ этих rазов. Кола-
чественные данные о поrлощении радиоволн rазами MO
rут'быть получены при помощи формул квантовой Mexa
ники.
294

Поr лощение и рассеяние радиоволн rидрометеоп а 1\1 И
не является избирательным. Количественные данные
здесь MorYT быть получены в результате решения элек
тродинамической задачи о дифракции раДИОВQЛН на от-
дельной частице, имеющей, например, форму шара.
Получаемые таким образом количественные данные
о поr лощении радиоволн rазами тропосферы, а та J{же
о поrлощении и рассеянии радиоволн rидрометеорами
вполне соrласуются с результатами измерений.
2. Дисперсия и поr лощение радиоволн в rазах
тропосферы
Как известно, дисперсией называется явление зави-
симости диэлектрической проницаемости от частоты.
Дисперсия и поrлощение электромаrнитных 'волн вещс-
ством  взаимозав,исимые явления. Дисперсия и связан
ное с ней поrлощение наблюдается при достаточно BЫ
соких частотах.
При быстропеременных полях поляризация вещества
«не успеlвает» следовать за изменениями электромаrпит
Horo поля. Значения вектора электрической индукции D
в нскоторый момент времени не определяется значением
вектора напряженности электрическоrо поля Е в тот же
момент времени, а зависит, вообще rоворя, от значения
E(t) в предыдущие моменты 'времени. Это означает, что
при rармоническом изменении поля во 'времени между
векторами D и Е ПОЯlвляется сдвиr по фазе. Это приводит
К тому, что в быстропеременных полях при частотах,
сравнимых с собственными частотами тех молекулярных
колебаний, с которыми связ()но возникновение электриче-
ской поляризации веществ(), диэлектрическая проницае
мость становится комплексной величиной, зависящей от
частоты:
е' ( ш) == g ( w )  j е" ( ю) .
( 4.68)
в силу наличия отмеченноrо процесса установления
электрической поляризации, как можно показать на oc
нове теории функций комплексн,оrо nepeMeHHoro, между
вещеСТiВенной и мнимой частями диэлектрической прони
цаемости существует определенная аналитическая связь.
Эта связь такова, что едва заметное изменение показате-
ля преломления ПрИБОДИТ к значительному с точки зре
ния практики распространения радиоволн поrлощению.
295

о порядках величин изменения Iпоказателя преломле
ния и связанноrо с ним поr ЛОЩСНIIЯ можно судить исходя
из следующих наводящих соображениЙ. Допустим, что
при I1зменении частоты от О до <u вещественная часть ди
электрической проницаемости изменилась на 8, а мни
мая, имевшая при ю == О нулевое значение,  на e". Tor-
да из формулы
v' в' (ш)  Ve (ф)  js" ((О) == п  jz,
rде п :вещественная, а Х  мнимая части КОbl.плексноrо
показателя преломления; считая e и 18"« е (О), имеем
  ( 1 /!8 6.е" )
V в' (ш)  V в (О) 1 + 2"" 8 (О)  j 28 (О)  п + Ап  ix.;
отку да
l!Je 1 /!8"
п  т v 8 (О) , Х  т V 8 (О) .
В тропосфере 8 (О)  1, так чro здесь
Ап==+Ав, x +в'"
а коэффициент ослабления, выраженный в децибелах на
километр, равен
у  2 Х. 20. 103 Ig е  2 . 4340. в" .
Предположим, что ,8" имеет такой же порядок величи-
ны, что и 18 или ,Дп и пусть L\.i8 10в, тоrда, например
при л == 3 см, получаем у== 0,9 д6/км, т. е. при незнач.и-
тельном, связанном с дисперсией, изменении показателя
преломления наблюдалось бы очень большое ослабление
радиоволн. Однако для волн л>2 это не имеет места.
Поэтому можно ,сделать вывод: поскольку для длин волн
л>2 нет практически ощутимоrо поrлощения, то и не
должно быть скольконибудь заметноrо изменения пока-
зателя .преломления с частотой, т. е. диспсрсией радио-
волн здесь можно пренебречь.
Поrлощение радиоволн в тропосфере начинает сказы
ваться на волнах л<'2, хотя на больших расстояниях,
в несколько сот километров, оно становится заметным на
волне 3 см и даже на волне 10 см.
Поrлощение в rазах тропосферы, как уже было сказа-
но, является резонансным. Кривая резонансноrо поrло-
щения и кривая изменения вещественной части диэлек-
296

трической проницаемости в окрестности резонансной ча
стоты изображены на рас. 4.22.
Резонансные линни всех rазов тропосферы, за исклю
чением кислорода и водяноrо пара, расположены вне
диапазонов радиоволн. Поэтому поrлощение радиоволн
имеет место ТОJliaКО в кислороде и водяном паре. Рассея
Рис. 4.22. КРIIвые DещеСТDен
(lOй и мнимоЙ частеiI ДIIЭЛСI\-
тричеСI\ОЙ ПРОlIlщаеМОСТII
D OI(PCCTHOCTII реЗОII,ШСllоii
частоты.
4!Ыp
p
ннем радиоволн молекулами rазов можно пренебречь.
На рис. 4.23 приведена кривая поrлощения радиоволн
в каслороде. Расчеты произ:ведены для Д(lВления воздуха
1, "5/К'"
2
-, 10
7 5
J 2
'10
75
1 2
1,0-
7 S
11
io
7'"
S s'
10
1 5'
1 2
10.
41 42 0,5 1,0 2,0 5;0 10 20 50.я.,СfII
li,3 0,7 1 7 J.O
Рис. 4.23. Кривые коэффициента ослаблении в ВОЗДухе.
I
I
KиCAOp(Jii
., j дв оt1я !lы
e 
"nары
 
"""L.' \ 5?/fIIl) =
,. 1"
.. 1\ 
-. ...'. " . ,
. " -.'
. - .......
" ....
\. "'
.. 
.  1- "
:. I
760 ММ рт. СТ. И температуры 20 ос. Из этих данных вид
но, что имеются две резонансные линии  на 'волне л=='
=='0,5 см (оэффициент ослабления равен 14 дБ/км) и
на волне 1..==0,25 см (коэффициент ослабления равен
297

3,5 дБ/км). Зависимости паrлащения ат температуры и
давления в практически возможных пределах их измене-
ния в трапасфере слаба выражны и ии мажна прене
бречь. Таким образам, для учета поrлащения в кислароде
в 'практических случаях мажна пользоваться данными
кривой рис. 4.23. На том же рисунке приведена ,саответ-
ствующая кривая поrлащения в вадянам паре в зависи-
масти 0'1' длины валны или тех же давлении воздуха и
температуры при удельной влажности q==7,5 r/M 3 . Для
YMepeHHOI'a климата эта влажнасть является средней.
Из данных рис. 4.23 следует, ЧТО' резонанснае паrло-
щение в. парах вады имеет место 'при длине валны л.==
== 1,35 см. ЗаВИ1СИIМОСТЬ iПоrлощения от удеЛЬ'Н1ай :влажно
сти линейная; чем больше удельная влажность, тем боль-
ше поrлощение. Зависимастыо паrлощения в вадянам па-
ре от температуры в практически возмажных пределах
ее изменения в трапосфере можно пренебречь.
Итак, в практических случаях для учета паrлощения
в вадянам паре мажна пальзаваться приведенными здесь
данными.
ПО'fлощение радиовалн rазами тропасферы состоит из
суммы парциальных паrлащений в каждам из rазав 
кислароде и парах воды. Паrлощение радиаволн rазами
тропосферы на длинах волн кораче 1 мм настолько вели
КО, чтО' последние MarYT быть испальзаваны для радиа
передачи лишь на весьма короткие расстаяния.
Однако по 'мере укарочения длины валны с перехадом
к а'птическим волнам атмосфера станавится снова «пра-
зрачной». Это связано с тем, что в диапазане оптических
волн здесь нет резонансных линий; линии поrлощения,
обусловленные малекулярными уравнями энерrии, pa'c
полажены в диапазоне миллиметровых волн, линии па
rлащения, обуславленные атамарными уравнями энрrии,
лежат в диапазонах валн караче аптических. Кривые 'на
рис. 4.23, как уже была указана, рассчитаны для плат-
ности ваздуха, имеющей место у паверхности земли.
ОднакО' с высотой плотнасть воздуха убывает. Поэтому
и 'Парциальное ослабление для rазав воздуха 02 и Н 2 О
тоже должна убывать и притом па такаму же закону,
т. е. по экспаненциальному закону. Для учета этоrо
уменьшения ослабления в 09] ввадятся в рассмотрение
эффективные длины путей [1 и [2 В тропасфере как функ-
ции уrла вазвышения 8. Эти функции рассчитаны с уче-
там нормальнай рефракции. При испальзавании этих эф-
298

фективных длин расчет cYMMapHoro ослабления произво-
дится JПО формуле
r ===- У 0/1 + У НsO l 2'
rде YOs и Y HsO берутся по кривым на рис. 4.23.
С увеличением уrла е функции /1(8) и /2(:8) убывают.
Наибольшие значения [1 и /2, имеющие место при 8==0,
равны соотвеТС11венно 230 км и 145 км. При этих значе
ниях 4 и h ослабление плотности потока энерrии волны
будет наибольшим и, например при л==3 см, будет равно
r==7.10З.230+4.10З.145==2,18 дБ.
3. Поrлощение и рассеяние радиоволн в rидрометеорах
Ослабление радиоволн в тропосфере также имеет Me
сто при прохождении их через различные атмосферные об
разования, какими являются дождь, туман, облако, CHer.
Всякое такое атмосферное .образование состоит из OT
дельных частиц  капель воды, льдинок (rидрометеоров).
ОслаБJIение радиоволн IЗ атмосферном образовании мож
но рассматриваТL как суммарное их ослабление н каж
дом отдельном rидрометеоре. Это паРЦl10наЛЫlOе ослаб
ление определяется в результате решения электродина
мическ.ой задачи о дифракции плоской электромаrнитной
волны на отдельной частице, которую для упрощения
можно ,СЧ'итать шаром. Существенно, что для воды, как
видно из кривых на рис. 2.38, мним ан часть комплексной
диэлектрической проницаемости в диапазоне сантиме
тровых 'волн та Koro же порядка величины, что и вещ('ст
I3еШlная часть. Отсюда следует, что 'ослабление 'радИ'оволн.
должно вызываться двумя причинами: ПОI'лощеJIИ
ем, т. е. преобразованием электро'маrнитной энерrии в те-
пловую внутри шара, и рассеянием, приводящим к умень-
шению потока энерrии первичной волны в направлении
ее распространения. В одном частном, но практически
наиболее важном случае, коrда радиус шара значитель
но Iменьше длины волны в Iсреде шара, Т. е.
27ta
Ре===- т  1, (4.69)
с
для расчета величины потерь энерrии первичной волны
на 'Поrл.ощение и ра.есеяние летко выписать формулы, не
прибеrая к сложному cTporoMY решению задачи о диф-
ракции волны на шаре. Действительно, при выполнении
299

условия (4.69) можно считать, что шар находится в OДHO
родном электрическом поле волны. Под влиянием этоrо
поля шар приобретает электрическиЙ дипольныЙ момент
и внутри шара устанавливается однородное электриче
ское поле, 'Причем эти две величины MorYT определяться
на основании соотношений электростатики, в которых 8
для учета 'Проводимости а должна быть заменена диэлек
трической 'проницаемостью 8' == 8j8" == Еj60ла.
Заметим, что поскольку маrнитная проницаемость rи
дрометеора такая же, как и окружающеrо ero воздуха,
то влиянием дополнительной маrнитной поляризации ча
стицы, ВЫЗlванной полем первичной волны, можно прене
бречь.
Итак, iПод 'Влиянием IПОЛЯ Ее IП1ерIВИЧНОЙ ВОЛIНЫ rидро
метеор приобретает дипольный МО;:.1ент
в'  1 s О
Рl == 2 + е' so41ta Ео (4.7 )
и в нем устанаlвливается однородное электричеокое поле
3
Е 1 == 2+е' Ео, (4.71)
Cor ласно формуле (1.20) вектор [ерца, соответствующий
MOM1eHTY (4.70), 'Равен
n == Рl е  jJtr
47tr e o
е'  1 аЗ Е  jltT
2 + е' r ое ,
и поле рассеяния соrласно (1.21) равно
Е :::::: Е ==  k 2 РI sin "( е! «(JJtk,) .
расе т 4пе о ,
 k 2 е'  1 аЗ . Е f«(J)tk,)
  2 + е' r S1Q у ое .
( 4.72)
(4.73)
Полная мощность рассеяния, рассчитанная методом
вектора Пойнтинrа, равна
4 I е'  1 1 2 а6 k 4 2
Ррасс==т27С е'+2- 240п Е т' (4.74)
rде Е т  амплитуда поля первичной волны. Мощность,
которую поr лощает rидрометеор в силу однородности
поля внутри шара, равна
Р а I ЕI 12 4 S
ПО1'  2 3 тr:a ==
9 . Ee"
I 2 + е' 12 60)".2
6Eo .
I 2 + 8'jl а ·
4п s
з-- а ==
300
(4.75)

Уменьшение энерrии первичной волны вследствие рас.
сеяния частицей характеризуется ее полным поперечни
IЮМ рассеяния, определяемым формулой
 РРасс  РРасс  2 7 n 5 '12 ( 3:.... ) 6 / в'  1 1 2 
ар  S 2 . 3 11. 1 , + ') 
E m /240n fI. в 
=== 2 + р8\ :: +  12, (Р=== 2a ), (4.76)
т. е. полный поперечник рассеяния .обратно пропорцио-
нален четвертой степени длины волны (закон Релея).
Интересно отметить, что заКОII рассеянии Релея объяс
няет, 'почему цвет неба rолубой. В самом деле в aTMOC
фере .всеrда сущес'flВУЮТ малые флюктуации плотности
воздуха, которые действуют как рассеивающие частицы,
причем размеры этих частиц значительно меньше CBeTO
вой волны. Такие частицы соrласно (4.76) должны наи
более эффективно рассеивать наиболее короткие 'Волны
ВИДИмоrо света, соответствующие rолубому и фиолетово-
му цвету. Законом Релея обънсняются и различные от-
тенки туманов и дымов.
Уменьшение энерrии первичной волны вследствие по
rлощения характеризуется ее полным поперечником по-
rлощения, определяемым формулой
Рпar Рпоr л. 2 6 " 3 1
tЗ п === === E/240n 2n е р 12 + 8' 12 .
( 4.77)
Сравнивая формулы (4.76) и (4.77) видим, что при
выполнении условия (4.69) поперечник поrлощения зна-
чительно больше по'псречника рассеяния и, следователь-
но, потерей энертии на рассеяние можно пренебречь. Это
справедливо для капе.llЬ туманов и облаков, размеры Т{О-
торых чрезвычайно малы (а<О,Оl см). Можно ,считать,
что Iпреобладание поr лощения над рассеянием имеет ме-
сто и для дождей, но в длинноволновой части диапазона
сантиметровых волн. В общем же случае при расчете oc
лабления должно учитываться и поrлощение 11 рассеяние.
Соответственно полная перехватываемая частицей
энерrия первичной воды должна определяться суммой по-
перечников
(0'== О'П+'О'р. (4.78)
Уменьшение плотности tЮТОКа энерrии первичной вол-
ны на элементе пути ,dr ,соrлано определению пояятий
З01

O,J5
0,15
0,05
" 0'810
,Cl1
Рис. 4.24. Кривые коэффициен-
та ослабления в сантиметровом
диапазоне волн для капель
воды различноrо диаметра.
1,16/J(JIt
Z
710
5
JZ
71,0
5
з 2
10'
7 5
J 2
10Z
7 5
j 2
lОэ
7 S
J 2
1O"
поперечников раС1сеяния и
поrлощения 'равно
dS ==NaSdr,
rде N  число rИд'рометео-
ров в элементе объема.
Интеrрируя, Iполучаем
S
ln S  Nar, (4.79)
о
rде 80  'плотность 1l0TOKa
Эlне-рI"ИИ в ,начале ;ПУТИ и
S  в ,ко,нце lПути. Выражая
последне,е соотношение в
дБjкм, IПОЛУЧИМ 'следующую
фОР'мулу для ,cYMIMapiНOf'O
коэффициента ослаблен'ия,
обу.словленноrо поr лоще-
нием 'и рассея.нием:
'У==434ЗNа дБfкм. (4.80)
На рис. 4.24 Iприведены
результаты Iвычислений зна-
чений коэффициента ослаб-
ления у, выполненных по
точным формулам для 'ка-
пель сферической формы
различноrо диаметра и для
различных длин волн при
N == 1 мЗ И темпер ату.ре Т ==
=== 18 ос (9].
Для 'Применения IПРИВС-
денных здесь резулыатоJЗ
вычислений 'При раечете
'о,слабления :в ,конкретном ат-
мосфе'рном .образовании не-
1; 0 2 ,.., обходимо знать рас,пределе-
0,5 1,0 2, О ") ..,.,
ние rидрометеоров IB этом
Рис. 4.25. Коэффициент ослаб- атмосферном 06разовании
ленин в сантиметровом диапа- Е
зоне волн для дождя различ- по 'их размерам. 'еЛИ оно
ной интенсивности: известно, т. е. если известно
0,25 мм/час  мелкий дождь; число N i rидрометеоров,
1 мм/час  леrкий дождь; фф
4 мм/час  умеренный дождь; имеющих э еКТИ'ВНОе сечс-
,15 MMJQaC  сильный д?ждь; ние а. для каждоrо i-ro со р -
40 мм/час  очень сильныи дождь; 
100 мм/час пивень. та ча-с-rиц, то 'коэффициент
302

ослабления ра,ссчитывают по формул
у === 4343 L N i'i дБjкм.
(4.81 )
Распределение N i определяется экспериментальным пу-
тем для каждоrо вида атМ:осферн:оrо образования.
Ослабление в дожде. При вычислении ослабления в дожде до-
ступным для измерения параметров является интенсивность дождя
р, равная количеству осадков в миллиметрах, выпадающему в те-
чение часа. Интенсивность дождя не является однозначноЙ функ-
циеЙ размеров капель, т. е. в дожде заданноЙ интенсивности одно-
временно присутствуlOТ кппли различных размеров. Результаты вы-
числения ослабления в дожде различноЙ интенсивности, полученные
по предыдущим данным рис. 4,24 с учетом экспериментально опре-
т А Б Л И Ц А 4.4
попр АВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИ РАСЧЕТЕ ОСЛАБЛЕНИЯ В ДОЖДЕ
ДЩI РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУР
мм
р, ч
о
10
18
за
40
Т ОС
)., см
0,5 0,85 0,95
0,25 1,25 0,95 1,00
3,2 1.21 1,10
10 2,01 1,40
0,5 0,87 0,95
2,5 1,25 0,85 0,99
3,2 0,82 1, 01
10 2,02 1,40
0,5 0,90 0,96
12.5 1,25 0,83 0,96
3,2 0,64 0,88
10 2,03 1,40
0,5 0,94 0,98
50 1,25 0,84 0,95
3,2 0,62 0,87
10 2,01 1,40
0,5 0,9б 0,98
150 1,25 0,8б 0,96
3,2 0,6б 0,88
10 2,00 1,40
1,00 1,02 0,99
1,00 0,90 0,81
1,00 0,79 0,55
1,00 0,70 0,59
1,00 1,03 1, 01
1,00 0,92 0,80
1,00 0,82 0,б4
1,00 0,70 1,59
1,00 1,02 1,00
1,00 0,93 0,81
1,00 0,90 0,70
1,00 0,70 0,59

1,00 1,00 1,00
1,00 0,95 0,83
1,00 1,99 0,81
1, 00 0,70 0,58
1, 00 1,00 1,00
1,00 0,97 0,87
1,00 1,03 0,84
1,00 0,70 0,58
303

делеИlюrо распределения kаil(ЛЬ по их размерам, приведены на
рис. 4.25.
BXOДlHAC !L,Шllые IIрН ВЫIIOJlIIСIllIИ 1I!J1'IНСЛСlllli'l DЗЯТЫ Д.IIЯ тем-
ператур'" Т== 18 ос.
При ПОЛУЧСIlIIИ данных об ослаблеНИII paДlIOBO,TlII в Дожде для
друrих температур следует IlOльзоваться табл, 4.4 ноправочных
J<оэффициентов относительно ряда значениЙ коэффициента ослабле-
ШНI, припедеllllЫХ на рис. 4.25.
Расчетные даllные об ОСJlзБJlСIIIШ раДНОDОЛН [1 дожде удовле-
творителыIo ('ОDпаД:lЮТ с рсзулызтими экспеРИМСlIтаЛL>IIЫХ измере-
IIИН. При этом, однако, СЛС.'l.ует иметь D ПIlДУ, что нз-за неравно-
мерности пространственноrо распределения ИНТСIIСИDlIOСТИ дождя
В каждом случае экспериментальных измерениЙ нельзя ожидать
точноrо совпадения результатов этих измерений с расчетными дан-
ными.
Ослабление в rраде. Ослабление в rраде составляет лишь He
сколько процентов ослабления в дожде той же интенсивности, по-
этому, если интенсивность не чрезмерно велика, то ослаблением
в rраде можно пренебречь.
Ослабление в CHere. Ослабление в cHere весьма мало, если cHer
сухой; если cHer мокрый, то ослабление такое же, как и D дожде
той же интенсивности.
Ослабление в тумане и облаках. Вычисление (] здесь можно
производить по формуле (4,77). Результаты расчетов зависимости
;j', iJб/кн
710
з5
2
71,0
3 5
2
70,/
з5
2
0,0/
5
10 5
2 f 0,5 Л,СI'1
Рис. 4.2б. Коэффициент ослаQ'
ления D тумане в сантиметро-
вом диапазоне волн при KOII-
центрации воды ) r/M 3 .
i/J5/XM
f
,0.1
10-2
IO-
1 3 5 7 А,С/'1
Рис. 4.27. Коэффициент ослаб-
ления в тумане С различной
интенсивностью в сантиметро-
вом диапазоне волн.
коэффициента ослабления в тумане и облаке для случая концентра-
ции 1 r воды в 1 м з для интеРDала температур 0+ 18 ос приведены
lIa рис. 4.26. Ослаблние прямо ПРОПОРЦИОllально Dеличине концент-
рации воды в тумане. Обычно интенсивность тумана измеряется
дальностью оптической видимости.
Данные об ослаблении в тумане при различной виДимости при-
веде.ны на ри. 4.27.
304

4. Максимальная дальность деиствия радиолинИИ
при учете ослабления в тропосфере
Зная коэффициент ослабления у (в децибелах на ки-
лометр), неТ'руд'Но 'раосчитать масимальную дальность
действия радиолиlНИИ. Д,еЙСТlВительно, ПЛОl1НОСТЬ ,потока
энсрrии S на векотором расстоянии r от излучателя свя
зава с плотностью потока энерrии So на том же расстоя-
нии ,. при отсутствии ослабления формулой
PIO 1r/ 10
S===  s 10Tr/lO. ( 4.82 )
Фztr2 о ,
здесь r выражено в километрах. Соответственно напря-
женности поля Е и Ео при наличии и отсутствии ослаблс-
ния связаны соотношением
\. ..;   .. ---j
''_.
t:
E == Ео, 1 OTr120 ,
( 4.83)
т. е. поле при наличии ослабления отличается от поля
при отсутствии ослабления экспоненциальным множите-
лем 1 OTr/20. Отсюда следует, что и формулы дальности
радиолиний должны IПр'И наличии ослабл,ения содержать
этот же экспоненциально убывающий множитель.
Так, формула максимальной дальности радиосвязи
в свободном пространстве cor ласно (1.122) при наличии
ослабления имеет вид
  V PGтGfm 10 Trm/2o
rm .
41t Р" мИК
( 4.84)
Максимальная дальность действия радиолокатора
в свободном Iпространстве при наличии ослабления со-
rласно (1.137 ) будет ра вна
.4/ PG 2 л 2 а /20 /20
'т== у т а 10lrm ===, 10Trm .
Р" мик647t f7JO
(4.85)
[В формулах (4.84) и (4.85) .все далыноС1'И ДОЛЖIНЫ вы-
ражаться в километрах.]
Сле.д.овательно, при 'наличии осла6ления 'мак,сималь-
ная дальность определяется решением трансцендентноrо
уравнения вида
, === r 1 OC1' .
то
( 4.86)
305
201283

На рис. 4.28/'rде приняты обоэначения:х===.,jr ==Уl'
/ mo
:.:
10T'/20 == 10 'то===. 10X==Y2 (== Yo ), показанu rpa
фичеСRое решение этоrо уравнения.
Если ослабление мало, Т. е. al, то трансцендентное
уравнение MO.tКHO решить меТОДО\1 последовательных при
g,'!1z
Рис. 4.28. К определению ма-
ксимальной Дальности дей-
ствия радиолинии при наличии
ослабления.
.хм f Х
ближсний. Приняв за нулевое приближение 'о ==, , для
то
первurо приближения получим '. == ro' 1 oa'o, для BTOpO
 б б
ro r 2 ===r O и т. д.; пe при лижение удет равно
a.'
rn==ro.l0 1&1.
( 4.87)
Если ослабление имеет мест() не по всеЙ трассе, а на
участке L пути, значительно меньшем (тО, то
1 O aL
( т =='111о' .
( 4.88)
5. Радиол-окационное отражение от атмосферных
образований
rидрометеоры рассеивщот электромаrнитную энерrию
во все стороны И, в частности, отражают ее в обратном
направлении  в направлении на радиолокатор. Пусть
ар (п)  эффективная площадь рассеяния частицы в на-
правлении на радиолокатор (дифференциальная площадь
рассеяния) .
Предположим, что рассеивающие частицы в aTMO
сферном образовании заполняют всю площадь поперечно-
ro сечения радиолуча и равномерно распределены в про-
странстве. Поскольку отражение происходит от каждой
точки объема, rде расположена отражающая частица, то
атмосферное образование следует рассматривать как
ЗОб

объемную цель. При этом моЖно считать, что частицы
отражают HeKorepeHTHo.
При ВЫlIИслении эффективноЙ площади рассеяния (J
объемной цели вводится понятие импульсноrо объема.
Импульсный объем определяется как произведение сече
о
Рис. 4.29. К определению поня.
тия импульсноrо объема.
ния луча антенны на половину длины пути, проходИМО20
импульсом за время, равное длительности импульса 't
(рис. 4.29), Т.е.
1.1 СОС 2 А n
V и === т (о L1!..I,
( 4.89)
rде (о  расстояние до импульсноrо объема; Q  уrол
раС1чюра луча в стерадианах; е,сли луч имеет вид конуса
с yr лом раствора 28, то IQ ==.:n;8 2 ; если луч в вертикаль-
ной и торизонтальной плоскостях имеет разные уrлы
раствора  20 и 2ср, то IQ == лОер.
Таким образом, рассчитывая эффективную площадь
рассеяния объемной цели как сумму эффективных пло-
щадей ее объемных частей, получаем -следующую фор-
мулу:
C't 2 {1
О ===""""2 (о до f,.J N lt a plt (7С J.
. k
( 4.90)
Здесь L N k O plt  эффективная площадь рассеяния едини
k
ць} объема атмосферноrо образования; N 'L  число частиц
в единицы объема с эффективной площадью ap/! (.:n;), т. е.
число частиц k-ro сорта. Беря луч в виде конуса с уrлом
раствора 20, имеем
'O==1t( ба 't NkPk(1t). (4.91)
k
20*
307

Эту фОрl\'iУЛУ мо\шо представить в виде
a==O,14r б 2 'tА; (4.92)
здесь ПРИНЯТЫ единицы ИЗ:viерения []===M2, [ro]===KM,
[6j===rрад, ['t]==MKC. ДЛЯ вели-шны :A==lO8N1tapk(1t),
. k
пропорциональной эффективной площади рассеяния еди-
ницы объема атмосферноrо образования, рассчитаны co
ответствующие кривые и таблицы.
А
10
Рис. 4.30. Кривые для расчета
эффективной плоuцади рассея-
IIИЯ дождя различноЙ ИIпеII-
сивности в сантиметровом диа-
пазоне волн.
1O'I
1 2 3 ч 5 6 7 8 :А,с,.,
Отражение от дождя. Кривые зависимости А от длины волны
и от интенсивности дождя приведены на рис. 4.30. .
Отражение от rрада. Значение А для rрада различноrо диа-
метра а при р== 1 мм/час приведено в табл. 4.5. (Вообще же А про-
порционально р.)
Отражение от CHera. Значение А для cHera разной массы сне-
жинок дано D табл. 4.б.
Отражение от туманов и облаков. ОбраТlIОС отраженис ОТ
ТУМ анов и оБJIaJ{ОВ ничтожно мало 11 можст иметь праКТIIЧССКОС
значение лишь на ВОЛIIе IЛ:::::: 1 СМ. Ориентировочно можно считать,
что в этом случас для тумана или об.'1ака с КОНЦСНТРЗЦИСII DОДu(
М == 1 r/M3 величина .4 == 10".
Для ориентировки в порядках величин отметим, что эффектив-
ная плоuцадь рассеяния атмосферноrо образования полосы дождя
с интенсивностью 10 мм/ч, удаленной от радиолокатора, имею-
щеrо параметры х....з см, 1'== 1 мкс, 8:с::: 1°, 'На расстоянии 15 км,
равна
1(1 == 0,1 14,2a8 z TA ==0,14. 225.1.1.0,25...7,8 м 2 ,
(А определено из рис. 4.30).
зое

Т л Б п и Ц А 4.5
ЗНАЧЕНИЕ А ДЛЯ rРАДА РАЗЛИЧНоrо ДИАМЕТрА и РАЗЛИЧНЫХ
ДЛИН ВОJlН ПРИ Р == 1 мм /ч
l, см
а, см
3 10
0,1 9, 52 . 1 О  2 9, 73. 10  4 8, 59. 1 О  8
0,2 3 , 24 . t О  1 4,16.101 4,17.1O1I
0,3 6,21.101 1 , 27. 10  I 9 , 98. 10  11
0,4 4 , 44. 1 О  1 2, 12.1O 2 2,12.1O4
0,5 8, 69 . 1 О  :.1 4, 16. 1O 2 3 , б3. 10  4
0,75 2,8.101 9 . 07. 1 О  2 б,57.1О4
1,00 7 . 98 . 1 О  1 1,15.1O1 1, 78.1OI
1,5 1,43. 10  1 3, 84. 10  I
2,0 6, 25. 10  2 7 , 36. 1 О  I
т А 6 Jl И Ц Л 4.6
ЗНАЧЕНИЕ А ДЛЯ CHErA С РАЗНОЙ МАССой т СНЕЖИНОК РАЗЛИЧНОЙ
ИНТЕНСИВНОСТИ НА РАЗНЫХ ВОЛНАХ
т, r
I р == 2,5 ММ/Ч
). == 1 см 3 СМ
10 см Il1 cмl
р == 10 мм/ч
3 см 10 см
IO& 2,5.10' З,I.10З 2,5.10D 2,5 3, 1.10I 2, 5. 10&
10-8 2,5 3,1.IO1 2,5.10& 25 3,1.10I 2.5.10З
5.IOЗ 12,5 1,55.IO' 1 ,25.108 125 1,55 1,25.IO1
.,

rЛАВА ПЯТАЯ
РАОПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ИОНОСФЕРЕ И КОСМОСЕ
Ионосфера, нижняя rраница каторой распалажена
на высате парядка БО км, существенна влияет на pac
прастранение радио.во.лн. Блаrадаря иано.сфере радио
валны распро.страняются Bo.Kpyr по.верхности земли на
весьма бальшие рассто.яния, даже при ачень малых мо.щ
настях передатчико.в. В верхних абластях атмо.сферы
имеется бальшо.е каличество. паложительных и отрица
тельных <ионов. Эти ио.ны абразуют праводящий ,слай
атмосферы  ио.насферу, от като.рай и про.исходит aTpa
жение радиово.лн.
Сведения .об 'Ионо.сфере по.лучают различными MeTO
дами. Эти метады можно. разделить на три rруппы: Me
тады, связанные с наблюдением различных е,стественных
явлений, экспериме'нтальные методы, осуществляемые
при памощи радиазондирования, и методы прямых
измерений физических характеристик.
Существует ряд явлений, наблюдение ко.торых может
дать сведения аб lианосфере. К ним в первую о.чередь
отно.сит,ся ,свечение ночно.rо неба и по.лярные сияния.
Изучение спектров полярных сияний и свече'н.ин начноrа
неба пазволяет установить ,состав и температуру rазав
ианосферы.
Косвенные сведения аб ионасфере можно. также по.
лучить из астрономических на,блюден,ий, например, из
наблюдениЙ радиоизлучения Салнца, ВОЗIIикающеrо.
в по.лнастью ианизираваннай атмосфере Салнца.
Радио.зандиравание, т. е. экспериментаЛЫIЫС исслс
давания и,ано.,сФеры по тому вл.иянию, которое ова о.кя.
зывает на распрастранение радиовалн, праизвадится
с по.верхносТrИ земля, и,скусственных спутнико.в Земли
IИ ракет.
С запуском искусственных СПУТНИI<ОВ Земли и ракет
приобретают бальшое значение 'и прямые И3:'-.1ерС1JИЯ
ЗIО

физических характеристик ионосферы. Однако наиболее
информаТИВIIЫМ.и для ,изучения влияния ИОI-юоферы на
процесс распространения раДИОВe:JЛН являются методы
радиозондирования ионосферы. По,следние позволяют
выявить непосредственно И'нтеrральные параметры ионо
сферы, определяющие процесс распространения радио
волн. Мы начм изучение 'с рахмотрения простеиш,их
случаев распространения радиоволн в ионизированном
rазе, какими по существу являют,ся 'ионо,сфера и меж
планетная среда, которую для краТКОСТIИ будем называть
ко,смосом.
Теория распространения радиоволн в ионосфере бы
ла развита впервые в СССР в 1923 r. М. В. Шул,ейкиным.
 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ИОНОСФЕРЫ
БЕЗ УЧЕТА МАrнитноrо ПОЛЯ ЗЕМЛИ
Предпол?ЖiИМ, что иносфера представляет собоЙ
rаз, которыи наряду ос неитральными молекулами и aTO
мамоН ,содержит положительные ,и отрицательные ионы.
При прохождениrИ радиоволны через ионосферу положи
тельные и отрицательные ионы начинают двиrатьсн
в такт с изменением поля волны. Но коль скоро проис
ходит ускоренное движение зарядов, то появляется BTO
р'ичное излучение.
Поскольку все частицы ионооферы постоянно Haxo
дятся в хаотическом тепловом движении, то частоты
ВТОРlичноrо излучения заряженных частиц будут ОТJIИ
чаться от частот первичнои волны на случайный доппле-
ровский сдвиr. При выводе формул для электриче.ских
праметров ,ионосферы этим сдвиrом частоты пренебре-
tают и вторичное излучение считают KorepeHTHbIM 'с пер
вичным. При этом вклад вторичноrо излучения в поле
первичной волны в ,самой ионосфере выражают не через
напряженности поля, а непосредственно через источники
этоrо поля.
Соответственно движущи-еся в ионосфере заряды
рассматр.ивают как некоторый конвекционный ток. Мож
но ,считать, чтО' ионасфера представляет собай квазиней
тральный ионизираванныЙ rаз, т. е. rаз, в котаром CYM
марный заряд всех положительных и отрицательных
ионав равен нулю.
ОТрrицательные ионы  это электроны, полажитель
ные ионы  это атомы или молекулы rазав без однаrо
311

-или несколыих электронов. Масса ПОJ10ж.иtеЛЫЮrо иона
водорода в 1 840 раз больше IMa,ccbI электрона, а масса
положительных ионов друrих rазов в десятки ТbIСЯЧ раз
больше массы электрона. Поэтому токами, образован
ными положительными ионами, можно пренебречь по
сравнению 'с токами, образованными электронами. Ha
ряду 'с конвекциоН"ным током под влиян.ием поля волны
воз,никает и ток смещения в вакууме. Следовательно,
полная плотность тока в ИОlIосфере J равна сумме плот
ностей тока смещения J CM и конвекционноrо тока J ал :
J==Jсм+J эл . (5.1)
Поле полны в фиксированной точке ионосферы мож
но представить в виде
Е Е IltIt
 ое .
Соответственно этому плотность тока
J дЕ. Е
сы  во 7ft == JWs o .
(5.2)
смещения равна
(5.3)
Электроны при отсутствии поля участвуют в тепло-
вом даижени.и; при наличии поля волны на хаотическое,
тепловое движение 'накладывается упорядоченное дви
жение электроН'ов, вызванное полем волны. От.rIИЧНЫЙ ОТ
нуля 1'01< В какомлибо направлении образуется упоря
доченным движением электронов. Обозначив cKopocrb
'Этоrо движения электронов через У, а их концентрацию,
т. е. число электронов в еДИ1нице объема,  через N, Д.'Iя
плотности КОIIВСЮЩОIIноrо тока будем иметь выраженне
Jэл==еvN, (5.4)
[де заряд электрона
e==1,602.l(T19 Кл. (5.5)
Полная плотность тока в ионоере в заданной точ
ке будет равна
J == jweoE + evN
(5.6 )
и соответственно второе уравнение Максвелла предста-
вится в виде
rot Н == jweoE +evN.
(5.7)
в этом уравнен,ии неиз'веС1"на скорость движения v элек
трона. Для ее определения воспользуем,ся уравнен,ием
движен,ия 'Электрона в поле Е:
dv
т di + mvv == еЕ. (5.8)
312

3де,сь т  масса электрона, причем
т == 9, 106. 1 ОЭl l{r,
(5.9)
,,числа саударений электрона с ионами, атомами и
молекулами rаза в единицу времени; "mv есть измене
ние количества движения электрона за единицу времен,и,
так как при каждам саударении электрон теряет коли
че,ство Д8fижения mv.
р.ешение уравнения (5.8) ищем в виде
v == Ae/(J)t. (5.1 О)
После подстанавки этаrа выражения в (5.8) находим
е 1
v==E (5.11)
т J(J) + "11
и, следовательно,
t Н . Е + e2N Е . ( . elN ) Е
ro == 10>so т (jю+ "11) === 10\ 80  1 11l ш (jw + ,,) .
( 5.12)
Сапоставляя это уравнение с уравнением
rat Н == j(J)f,'aE== j(j)D,
(5.13 )
видим, что ра,есматриваемый ионизираванный rаз мажна
уподобить сплошной среде с комплексной диэлектриче
ской проницаемостью
, . e 2 N 1:---:--:: . а
8 а ===80  J тю ОШ +,,) r= 8а  1 оо.
(5.14)
Очевидна, что это допущение справедлива, если длина
валны знач.ительно бальше среднеrа расстояния между
элек'Т'ронами, т. е.
').  N 1/3. (5. 15 )
Пр/иравнивая в уравнен,ии (5.14) мнимые и веществен
ные части, нахадим электричеСКiие параметры ионосферы
e 2 N 1
8a==вOm ю 2 +,,2 , (5.16)
e 2 N "
a=== 
т ю 2 + ,,2 .
(5.17)
Для баЛЬШИ1нства диапазонов радиовалн выпалняет,ся
неравенсl'ВО
(.1)2 » ,,2,
(5.18)
313

поэтому можно полож,ить
e 2 N 1
8а ===80  т ;2'
e 2 N v
а === т (;)2.
(5.19)
(5.20)
Относительная диэлектрическая проницаемость ионо
сферы равна
.,  2.  1  e 2 N 
  1.
80 те о W
(5.21 )
Величина e 2 N/тeo имеет размерность квадрата частоты.
Эта частота, обозначаемая (J)N, называеся плазменной
частотой, т. е.
е 2 N / mво === ш === (27Сf N)2.
Подставляя в (5.22) значение е из (5.5),
Sо=== з'l' 109 Ф/М, получаем
f N ===V 80 ,8N, (5.23)
причем здесь N  число электронов в кубrическом метре;
fN  частота в repuax. Следовательно, (5.21) можно
представить так:
(5.22)
т из (5.9) и
2 f 2
WN N
8=== 1  ===1 .
ы 2 f2
(5.24)
Существенно, что диэлектрическая проницаемость
ионосферы меньше диэлектрической проницаемости Ba
куума, т. е. 8'<1. Из выражений (5.19) и (5.20) видно,
что поскольку электрические параметры еа и (J зависят
от ча.стоты, то ионосфера является ,Дrисперrирующей сре-
дой. Кроме Toro, поскольку концентрац,ия электронов N,
а следовательно, 8а ,м 1(J' 'меняются от то'Чки 'к то'чке, то
ионосфера является неоднородной ,средой.
В СВЯ3rи с тем, что осн,овные особенности распростра
нения радиоволн в ионосфере  рефракция и отражение
радиоволн  можно объяснить изменением диэлектриче
СI<ОЙ ПРОНrицаемости только с высотой z над поверх
ностью земл.и, то в первом приближени'и полаrают KOH
центрацию электронов N зависящей только от z.
Следует иметь ,в виду, что между изменениями ди
электрической проницаемости в ионосфере и тропосфере
имеется существенное 'ОТЛrичие. Диэлектрическая про
314

ницаемость е тропосферы меняе1'СЯ в незначительньtх
пределах, около единицы. В ионосфере же, как видно
из формулы (5.21), диэлектрическая ПРОНИ,цаемость
в зависимости от изменения концентрации электронов
с 'Высотой может принимать какие уrодно з'начения,
меньшие единицы. В час-rност.и, Е: может принимать HY
левые и близкие к нулю значения. Как было показано
в rл. 3, на высоте, rде n 2 == в принимает значен,ие нуль,
будет иметь место отражение радиоволн. Этот вопрос
подробно ра,ссматр.ивается в следующем параrрафе.
 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ПРОСТОМ СЛОЕ
1. Распространение вертикально направленной волны
в простом слое. Критическая частота
То обстоятельство, что иониз,ированными оказывают
ся верхние сло,и атмосферы, rоворит о том, что источ
ники ионизации Iнаходятся вне земной атмосферы. Becь
ма вероятно, и это подтверждается экспериментальными
данными, что основным источн.иком ионизации является
солнечное излучение. А раз это так, то на 'некоторой
высоте должен существовать по крайней мере один мак-
симум концентрации электронов и ион-ов, максимум
ионизации.
В самом деле, солнечные лучи представляют собой
поток энерлии. Интенсивность этоrо потока энерr,ии по
мере проникнов'ения лучей в rлубь атмосферы умеlIьша
ется '8след'ствие затраты энерrии на ионизацию ней
тральных атомов и молекул воздуха. Но концентрация
свобод'ных электронов и ИОIlОВ, появляющихся в резуль-
тате ионизации, определяется не только интенсивностью
потока энерrии солнечноrо излучения. Она зависит TaK
же от плотности атмосферы. Плотность же атмосферы
уменьшается с высотой. ,Поэтому на верхней «rраНrице»
атмосферы концентрация электронов и ионов мала
вследствие IНИЧТОЖНО малой плотности воздуха, а в ниж-
них 'слоях атмосферы концентрация мала вследствие то-
ro, что поток энерrии лучей, способных ионизировать
rазы атмосферы, прошедший почти всю толщину атмо-
сферы, стал незначительным. Между Э1ШМИ двумя мини
мумам,и ионизации на некоторой высоте должен сущест-
вовать макс.имум концентрации электронов и ионов 
максимум ионизации.
Итак, для анализа мы можем принять, что зав.иои-
315

z
мость канцентрации электранов N от 'ВЬ1саТЫ такая же,
как показана на рис. 5.1.
Такое распределение концентрации электранав па
высате называется «'слаем» или «простым слаем». Мы
будем раосматривать распрастранение радиовалн в Ta
к,ом «Iп,ростам 'сл'ае» (рис. 5.1) в 'П'риближ,ении 'rеаметри
T},f,' ,  ,. 1;
z m 
t; p
z
Zm
 Zm _  z2
I / Zf
NmN
N
о
f Е
о
'!}
Рис. 5.1. Зависимость концентрации электронов от высоты в простом
слое.
Рис. 5.2. К теории отражения вертикально направленной волны.
че,СКаЙ апт,иКИ, пренебреrая паrлащением электромаrнит
най энерrии в слае, т. е. считая (J'== О. в этам случае
характер распространения радиаволн целиком определя
ет'ся зави,симостью Паказателя преломления п ат высоты.
Предполажим, что. радiиосиrнал на несущей частоте f
с земли направляется верт,икально вверх. Проанализи
руем, как будет меняться показатель преломления .с BЫ
сотоЙ. Очевидно, что да тех пор, пока диэлектрическа я
проницаемость
 1  80, 8N (z) > О
в  (8
и, следовательно, покззатель преламления
 V   Vl  80,8N (Z)
п в f2
веществен, распространение в слае не будет отличать
ся от TaKoaoro 'в тропоофере.
Если уменьшить частоту сиrнала, диэлектр,ическая
проницаемость и, следовательно, показатель преломле
ния в пределах .слоя будут соответственно уменьшаться.
31б

Пр,и этом может ,случиться, 410 при частоrе fз (fз<f2<
<1ft <!) (рис. 5.2) на .нскоторой высоте Z1 диэлектриче
ская проницаемость 'станет равной нулю и, далее, в пре
делах высот Z1 +Z2 она будет отрицательной. Что же
касается показателя преломления, то в пределах высот
Zt +Z2 он будет чисто МНtИмым.
ДЛЯ ТОРО чтобы IlIIраiВИ'ЛЬНО истол,овать Эl"О обсroя
тельство на основании приближения rеометрической оп
rиКiИ, учтем, что для вертикально напра-вленноrо луча
 Ео I ((JJtk S ndZ) Ео / (lI)tk S У. dZ)
Е  ../'  е ..-====--- е .
, Il У а
Здесь диэлектрическая проницаемость Е может быть
как ПОJIожительной, так и отрицательной. В ,случае OT
рицателыIrоo значения диэлектрическоЙ проницаемости
V"""6 ==  j ут -вт  jx; х> о
и, следовательно,
 J Yj8Т dz+/wt
Е ==  Ео е ). .
уа
Это выражение для полfl. показывает, что в области
высот Z1 <Z<Z2 на частоте fз нет вол.новоrо процесса,
т. е. нет распространения. Из изложенноrо в rл. 3 мы
уже знаем, что на выс-оте Z1, rде n 2 ==О, должно .иметь
место отражение. ОтмеТIИМ, что при Z>Z2 диэлектриче
ская проницаемость  снова положительная величина и
показатсль ПРСЛОМЛСIlИЯ п веЩОСТЕСIlен и, следователь-
но, I3 этой оБJIасти снова ,имеет МОСТО ра'спростра.I1ение.
Однако волна не может ПрОIIИКНУТЬ в 'Эту область изза
наличия участка Z1 +Z2 rде диэлектр,ическая проницае
масть отрицательна. Участок Z1 +Z2 дЛЯ 'волны 'с часто
той fз rоворя языком опт,ики, непрозрачен и представ
ляет собой cBoero рода «,барьер», который она п peoдo
леть не может. Радиоволна, образно выражаясь, OTpa
жается от этоrо участка как от «ба рьера».
Таким образом, отражение вертикальн'о направлен
Horo сиrнала происходит на такой высоте, rде ДIиэлек
трическая проницаемость и, соответственно, показатель
преломления обращают ся в нуль:
 · / 1  80, 8N (z)  О
п  J' f2 ,
317

т. е. rде плазменная частата (тан()вится равнай частате
излучения
f === f N (z) === у 80,8N (z).
(5.25 )
Если частату увеличивать, то -атражение будет пра-
исхадить от все балее высаких абластей. Это будет пра
должаться да тех' пар, пака частата не станет равнай
плазменнай частоте IB области, rде N  N m , т. е.
f === y 80,8N т == f ИР.
(5.26)
Эта частата называется КРИllиче,ской. Если частота боль
ше критической, отражения от слая не будет  слой для
луча становится празрачным.
Таким образам, критической частотой называется
максимальная частота вертикально направлеННО20 луча,
который еще отражается от слоя. При всех ча,статах
меньших критическай вална атражается 'с каэффициен
там отражения R по мадулю, равным единице. Фаза ер
каэффициента -атражеJlИЯ 'с учетам вытекающей из
строrай теарии отражения валны от линейноrа слоя
потери фазы п/2 равна
z
 === 2k J ndz  ;
2,==0
Эти вывады а коэффициенте атражения, как следует из
изложеннаrа 13 rл. 3, верны да тех пор, пока слай маж
на считать линейным. По мере же приближеНrИЯ к кри-
тической частоте, как l:lпасредственна видна !из рис. 5.2,
аткланение ат линейнасти должна ,сказываться -все баль-
ше и больше.
OдJHaO как !Показывает cтporoe iраос-мотре;ние атра-
жения радиовалны от пара60лическ.О20 слоя, этим об-
стоятельствам можно. пренебречь, если -слой достаточно
толстый. Парабалическим слоем называют такай .слай
ионизации, при котаром зависимость концентрации элек
тронав с высотай Z меняется па пара,болическаму за-
кону, т. е.
[ ( zM  z \ 2 ]
N(z)==N m 1 В ),
(5.27)
318

rде Zo  начало, а В  ПОJ1утолщина ,слоп (рис. 5.3).
В [3] показано, что коэффициент отражения при часто
те f по модулю почти равен един,ице, если выполняется
условие
f ==ff(pf>c/3B, (5.28)
rде с  ,скорость света. Если неравенство (5.28) не BЫ
полняется, коэффициеят отражения по модулю будет
меньше единицы и будет иметь место «просачивание»
z
Рис. 5.3. Параболический слой.
z,.,
Zo
о
N", N
ВОЛllЫ. (В квантовоЙ механике аналоrичнос просачива
вие электронов через потенциальный барьер называется
«туннельным эффекто,м».)
Однако f  относительно малая вел,ичина. Так, при
В == 20 км f>5 кrц. Учитывая, что ионосферные ,сл,ои
обычно имеют полутолщину В больше десятка кило
метров, а ,ff(p больше не.скольких мrц, отношение f/fHP
очень мало. Поэтому практически можно считать, что
IRI == 1 при ffHP И Я==О пр,и f>{Hp.
Изложенные здесь замечания о коэффициенте OTpa
жсния позволяют СУД1ИТЬ О достаточно широких преде
лах применимости приближенип rеометрической оптики,
которым мы в дальнеЙшем и будем в основном пользо
ваться.
2. Распространение наклонно направленной волны
в простом слое. Критические частоты
при произвольном уrле е. Максимальные применимые
частоты (МПЧ)
Пр,и наклонном падении волны на ионосферу
(рис. 5.4) изменение направления распространеНrИЯ про
исходит в соответ,ствии с уравнением луча 'в сферически
СJJОИСТОЙ атмосфере
nr 'С05 е == пtJa СО5 80.
319

Из уравнсния видн{), что поскольку п уменьшастся
с высотоЙ, 'То по мере ПРОIlrlКНОВСIIIIЯ луча в ионuсферу
уrол 8 должн умеНlJшатья и при 8==0 получаем ра-
венство
пr==1l0a cos 80. (5.29)
Как мы уже .знаем из изложен'Ноrо в  2 rл. 3, 'при
данн-ом соuтношении Приближенис rеометричес}{ой опти
ки, а следовательно, и (ама лучевая трактовка неприме
нима. Однако соrласно строrой теории распространения
радиоволн в л.иней,ном слое ( 3 rл. 3) при соотношении
(5.29) должно ,иметь место отражение волны, т. е. само
РIfС. 5.4. К ныподу З3КОllа ce
IiaHca.
СООТНОШС'Нlие имеет ясный физиче'ский смысл, 'который
мы можем интерпретировать в терминах лучевой TpaK
товки. А ,именно, мы можем считать, что (5.29) опреде
ляет .собой у.словие поворота Луча. Соответ,ственно мы
МDжем оперировать и понятием радиуса кривизны луча
в 1'очке поворmа. На 'Основании (3.36) Iрадиус КРИ1ВИЗlНЫ
равен
р==  dпdZ . (5.30)
Учитывая, что пo 1 и r==a+z, из соотношения (5.29)
можем получить
f == V80.8N (z) . (5.31)
V 1  cos 2 80 1(1 + zp ) 2
Зна чительноrо упрощен'ия дальнейшеrо анализа мы дo
.стиrнем, воспользовавшись справедл.ивым при 'всех
Z::::;; Zm неравенством
ZOTP!a<{ 1 (zт<500 'К'М, а ==637'0 к'м) ,
320

Действительно, пренебреrая в (5.31) слаrаемым zOTp/a
по сравнени ю с еДИНlиц ей, получим
f 'Y80,8N(zOTP) fN(zorP) f ( ) (5.32)
== f 8 ::::=: i в == N zoтp sec rpo.
sn o sn o
rде сро  уrол паден,ия луча на ионосферу (рис. 5.4).
Соотношение (5.32) называет,ся «законом ,сека'нса».
с.оrла,сно закону с.еканс,а, Iприближенно можно полаrать,
что полоrий луч 'на частоте f, падающий на ионосферу
под уrл'OlМ 'qJo, и вертикально наара:влен-ный луч lНa ча-
стоте fN (ZOTp), отражают,ся в ионосфере на одной он той
же высоте ZOTP'
Воспользова вшись законо м секанса, получим
.. / ' (ZorP) V ' . 2
п == V 1  f2 == 1  sln во == cos 80
и вместо (5.30) можем написать
cos 2 80f2
Р  40,4 (dNjdz) 8 (5.33)
Теперь располаrаем всеми нужными для дальнеЙ"шеrо
анализа соотношениями. Как 'видно из (5.32), с увели
чением частоты при фик,сированном уrле возвышения 80
высота, на которой происходит отражение, увел.ичивает
ся; причем, как видно из (5.33), одновременно радиус
"I4УР
f! q'!l/tiy.!l
lJ,оj#t.1 Э .
c;cPep
OO "
90
Рис. 5.5. К теории отраже-
ния наклонно направленной
волны: 8 o ==const, f==var.
кр,ивизны будет увеличиваться и отраженный луч будет
падать все дальше от излучателя (рис. 5.5). При ZOTP==Zm,
ка к видно из (5.31), получим
t == v 80,8N m (5.34)
У COS2 во
l
(1 + zm / a)2
При дальнейшем увеличении частоты луч ппадает
в обла,сть, rде rрадиент концентрации электронов dNjdz
становится отрицательным, радиус кривизны меняет
211283
321

знак и искрияление луча произойдет вверх и, следова-
тельно, луч пройдет черсз ионосферу, не -отражаясь
от нее.
Величина
f 'ИР 6
=== 1/ 11 ===fKP( о)
J' 1  cos 2 во I ( 1 + Z )
называется критической частотой для наклонноrо под
yr лом луча. Следовательно, для каждоzо уzла 80 суще
ствует своя критическая частота. С увеличением уrла
8 0 fир(8 0 ) увеличивает,ся и достиrает своей наибольшей
величины при 80== о. В этом случае
{кр (O)== 'ИР
. у' 1  ( 1 + Z )2
Y 
. а
fKP 2z m .
Наоборот, наименьшую вел.ичину критичеСКаЯ частота
имеет пр,и вертикалыlмM падении луча на ионосферу,
т. е. 80==900. Таким образом, ,fир(80) меняется в пределах:
f кр МИН === f кр (900) < f кр (60) < fKP (О) === {кр МВКС'
Заметим, однако, что обычно, коrда rоворят о критиче
ск-ой частоте дли ионосфсры,. не оrоваривая, 'о }<зком
уrле иде1' речь, Iимеют в виду {ир при 80==900.
Будем теперь считать фик-с.ированной частоту f и
будем менять уrол 80. Как 'Видно из (5.32), с увеличе.
нием уrла 80 высота, на которой прои.сходит отражение,
увеличивается, отраженный луч падает все ближе к из.
лучателю. Однако радиус крив'ны, как 8IИДНО из (5.33),
за счет умеьше/lИЯ (dN /dz) тоже увел,ичивает,ся, пока
80 принимает значеН1ИЯ, :не близие к 80== goo (рис. 5.6).
Рис. 5.6. К теории отраже.
ния наклонно напраnленной
волны: 8 o """: var, f == const.
322

При некотором уrле 80== 8 м8кс рад,иу,с кривизны на-
столько увеличивается, что дальность .падения отражен-
Horo луча, начи.ная с этоrо уrла, наоборот, начнет уве-
личиваться. При некотором уrле данная часто'та f .ока-
жет,ся критической для этоrо уrла и луч выйдет за
пределы ионосферы, не отражая,сь от нее. Наименьшее
расстояние D по поверхности земли, на которое падает
отраженный луч на частоте f, называется радиусом зоны
Аtолчания (рис. 5.6), а соответствующая этому радиусу
зоны АtOлчания частота f называется максимальной npи
менимой частотой (МПЧ). Все приемнии, настроенные
,на эту ча,стоту и расположенные в пределах Kpyra ра-
диyca D  Kpyra з'Оны молчания (<<мертвой зоны»), e
примут сиrнала, распространяющеrося по отраженному
от ионосферы лучу. Как ув:идим в rл. 6, МПЧ иrрает
i5ажную роль в расчетах радиолиний.
Радиус зоны молчания растет с увел.ичением ча.стоты
iИ до,стиrает ВeJIIИЧИНЫ порядка 4 000 км И более.
Предположим, что луч :направляется под уrлом воз
вышения 80== О и при этом меняет.ся ча,стота. Тоrда
с увеличением частоты дальность падения .отраженноrо
от ионооферы луча, начиная с наименьшей, обусловпен
ной сфер,ичностью земли, будет непрерывно увеличивать-
ся и достиrнет наи-большей 'веЛIИЧИНЫ при f ==1кр шах.
Из .изложенноrо .следует, что в данную точку 'на по-
веРХ1НОСТИ земли возможно попадание двух различных
лучей 'на ОдJН.ой и той же ча'сroте (IРИС. 5.6). Один ИЗ
них, направленный под большим yrJloM ,возвышения,
отражаетС'Я в ионосфере на б6льш,их высотах, а друrой,
напр,авленный Поод меньшим уrлом возвышения, отража
ет,ся на меньш,их вы,сотах. Соответ,ственно первый назы..
'вается верхним, а второй  нижним лучом. 3начитель
,ное увеличение paдyca зоны молчания до 7 ooo
10000 км здесь может иметь место при 'Отражении луча
на высотах, очень близких к высотам расположения MaK
симума N т , rде радиус кривизны луча стаНОВiИ11СЯ очень
болышим. При такой ситуации rоворят 'о распростране
нии лучом Педерсена.
t 3. поrОЩЕНИЕ РАДИОВОЛН В ИОНОСФЕРЕ
1. Обобщение формул приближения rеометрической
оптики на случай не равной нулю проводимости
Если проводимость (J отлична от нуля, вещественная
диэлектрическая проницаемость в уравнениях Максвел-
21* 323

ла заменяется камплекснай, вследствие чеr,а веществен-
ный показатель преломленrИЯ n заменяет,ся комплеl{СНЫМ
njx п а формуле
(J) ../ 110 ( 811  j  ) ==. / в  j ..!.....== (п  jX). (5.35)
V (J) с r. (J)E O С
Соответственно во (всех фОРlму.лах IприближеJНИЯ теамет-
.ричеIСКОЙ оптики IПрИ I(J*O производится такая же за-
мена. В чаС1lнасти, эй.конал W становится КОМlплесным
и прин,имает вид
W' S (п  jX)dlW  i  (5.36)
и выражение для tlапряженнасти поля такова:
Ео T jk S ndl
Е=== y е е. (5.37)
пj'1.
Критерий (3.23) применимаСllИ приближения reoMeT-
ричес.кой 'оптики представляет,ся формулой
8.=== I k (п jX)2 div [1° (п  jX)] I  1. (5.38)
Как было показаlна, 'в случае '0'===0 'от области, rде
этат ,критерий -не выполняется, праисхадит отражение и
при этом происходит потеря фаЗbI л/2 по ,сравнен,ию
с тем ее значениt!м, каторое дает приближение reoMeT-
рической аптики.
В связи С этим возникает неабходимость выяснить,
какие добавки к W ,и FI апределяемые формулой (5.36),
вн'есет эта о,бласть в СЛУ':lае O'=F,O. ДЛЯ этоr,а обратимся
к ,изложеннаму в Э 3 rл. ,3 'cTparoMY решеНllЮ задачи от-
ражения радиоволн при 'их ра.спрастранении в линейном
ионосферном 'слое. Это реш,ение, как это 'впервые было
сделано Я. Л. Альперrам он В. Л. f'инзбурrом [3], нетруд-
но обобщить на случай O'=F,o.
Очевидно, что II этом ,случае формулиравка реШСIIИЯ
остается такой же, как и в случае 0'===0, 'но aprYMeHT 
(3.45), ввиду К'омплек,сности диэлектрической ПРОlIицас
мости, также будет являться комплексной величиной, т. е.
С === (kb)2/3 (1  Z Ь Zo ) === (kb)2/3 (n  jX)2===
:=: ( в  j  ) (kь)2/З  (  ) 2/3 [1  (1  i7lJ (z  zo)] ===
(J)e o у  J"fj
 С 1 + iC 2 (у  il1.=== 1/ Ь), (5.39)
324

rде
у  8,8  ' I
(5 .40)
  80,8  ( Nv )
1l  (йВО dz юр dz .
Асимптотическое представление обобщенноrо на ,случай
0*'0 решения (3.50) при I I  1 так же, как 'и в случае
0===0, 'соответствует приближению rеометр,ической ОПТII
ки. При ЭТОМ в Iвыражении (3.56) для коэффициента
отражения
./(}r.3/2)
R==e
вместо величины + 3/2 можно подставить
t
+C3/22Cl/2dC+  r:t,/2. (5.41)
Нижний предел интеrрирования o выбираем из условия,
чтобы вещественная часть aprYMeHTa == ! + п2 р'авня
лась нулю, т. е.
1==O (5.42)
==j20. (5.43)
Пусть равенство (5.42) будет пр,и Z==Zt. Тоrда, УЧИТЫ
вая, что для большинства диапазонов радиоволн
v(Zt)J(t)« 1 и чу, (5.44)
мы получаем
CO(Zl)(+Y/3 [1 Y(ZlZO)+j+ 1j(z!  Zo)].
( 5.45)
В результате равенство (5.42) заменяется равенством
1  У (Zl  ZO) 1  80, 8 (Zl)  О, (5.46)
и, следовательно,
определяющим собой высоту Zt, на которой отражается
верт,икально направленная волна частоты f при 0===0.
Для этой высоты поэтому получает>ся
( . )  80, 8N (ZI) v (Zl)  v (Zl)
1l ZI  Zo  (й{2 ,
(5.47)
325

с :....... .С ===' ( J!... ) 2/3  "I'(Z.)
о J 21 J '( 3 6)'
 ,3/2 ===...!.. kf2 ( .  "1 (Z.) ) 3/2
3 О 3 80,8 (dNjdz) J 3 (а) .
Таким образом, вместо (5.41) П(jлучаем
(5.48)
(5.49)
z
4 ,,3/2 2k S ( 'Х' d + 4 kf2 Х
:3  ===  II  J ) Z т dN
z. 80,8 dz
X(i + Y(.) //2 . (5.50)
Отсюда следует, ЧТ9 строrая теория дает до6авку в фазе
и добавку в покаэателе модуля коэффициента отраже
ния по абсолютной величине, равные друr друrу:
M", Ar v'  f(dN) ( , .) у,. · (5.51)
80,8 dz
Выясним, при каких условиях этой добавкой можно
пренебречь. .
Так как T обращается в бесконечность при dNjdz== О,
то отсюда следует, что пр,и частотах ,f, близких к крити
ческой, эта добавка будет значительной. Поэтому сле
дует определить, пр,и каких значениях Af== {KP' вели
чина АТ будет малой по ,сравнению с единицей. Для
этоrо Qбратимся к параболической аппросимации про
филя концентрации электронов (5.27).
В точке отражения на высоте Zt:
dN 2N zт Z.
dZ == m ва
и
[2 === {: р [ 1  ( Zm; ZI ) 2] .
Считая {кр  f < fKP И исключая разность Zm.....ZI' HaXO
дим
dN 1 ,/ 2M
dZ ==2N m /3 V [.р .
Подставляя это выражение в (5.51), находим кри
терий малости [3]
1 Y  Y  ( ( ) 3/2
/)'T   в f.p У Z. )  1 ( 5.53 )
 18 3 с 2М (о .
(5.52)
326

Оценим порядок величины в реальной ситуации:
ь.{ == 104 rц; f"p == 107 rц; о) == 211:" 107;
В == 100 км, 'V == 104 1/ сеи ( f == 1 О  з) .
Имеем I1F == 4,5.102.2,1"101.105.22,3.2.106 ==
== 4,2 " lO2« 1. Отсюда видно, что. ,при частатах, не
ачень близких к {ИР' уславие (5.53) деЙСТВlительн,а вы-
палняет,ся и можно пользаватьси тем выражением дли
,",оказатели КОЭффИ1циента отражения ат ионосферы, ко-
торое дает приближение еометричеlскай оптики.
Таким образом, амплитуда напряженности поли OT
раженной от ,ионосферы 'Волны при вертикальнам ее
зондировании равна
ZOТP
2k . r "l..1lz
б "r
Е == Еое == Еое .
(5.54)
Величина
ZOТP
r == 2k 5 Xdz
о
(5.55)
определяет сабой коэффициент ослабле-ния направлен
ных вертикально радиоволн при их отражении ат ,ионо-
сферы. Для дальнейшеrо, пользуись формулами (5.35),
веЛИЧИ1НУ kX представим в виде
а 80,8N'II
kX == 2 == 2 {2 (5.56)
С8 0 п с п
и саответственна получим
ZOТP
1 i" ":
ти) ==7 J
о
80,8N (z) v (z)
{2 dz.
п
(5.57)
2. Поrлощение радиоволн при их наклонном
падении на ионосферу
Будем дли упрощении считатв..ионосферу плоскослои-
ст,ой. Бели волна падает IIa ИОIlосферу под уrлом сро
(рис. 5.4), та показатель поrлощения r'9fJ должен ра,с-
327

считываться по формуле Мартина:
r'fo == COS ffor (('),
(5.58)
rде r а')  показатель поr лощения вертикаЛЫIOrо луча
частоты
f' == f cos ера.
Й ,самом деле, 'соrласно рис. 5.4, и'меем
(5.59)
2 0тр 2 отР
r ==2k r Xdl==...!.. r 80,8N(z)v(z) az.
'fo .1 с J (2п cos 'Р.
о о
Но из закона преломления п sin ff  sin ffo следует
( .. / 80 8N (z) )
полаrая для простоты п  J' I  ' f2 ' что
cos 'f === cos.'Po .. r I  80,8N (z)
п  '2 cos 2 ,О
и поэтому
'отР
r == r
еро Cf2 os ,О J
о
80,8N (z) " (z) dz
V 80,8N (z)
I
f2 cos 2 'Ро
(5.60)
Соrласно формуле (5.57) для вертикально направленно
ro луча частоты f' == f ,COS ера, отражающеrося на 'Той же
высоте Zo'rpJ показатель поrлощения равен
'отР
r== 1 J 80,8N(z)v(z)dz
ер cos 2 '1'0 У l  80,8N (z)
о f2 cos 2 ,О
(5.61")
Сравнивая (5.60) 'с (5.61), получаем (5.58) и (5.59).
 4. ВЛИЯНИЕ МАrнитноrо ПОЛЯ 3ЕМЛ И
1. ТеНЗ0Р диэлектрической проницаемости ионосферы
До сих пор для упр,ощеfrия мы ра',ссматр'ивали рас-
пространеиие радиоволн в ионосфере без учета влияния
ма rнитноrо поля Земли. Теперь же выясним, к ка ким
новым физическим эффектам приводит это влияние.
328

Маrнитное поле Змли, кот()рое обозначим вектором
1
Но, имеет величину порядка 0,5 Э == %. 103.0,5 == 40 А/м.
Это значение мажН'а ,считать значительно бальшим вели
чины напряженности маЛНИ1'наrо паля Н ра,спростра
няющейся в и'оносфере волны.
Формально случай наличия маrнитноrа поля Но aT
личается ат рассматреннора в Э 1 ,случая отсутствия Mar
нитноrа паля только тем, что в уравнен.ие движении
электрана даЛЖ'IIO быть добавлено ,слаrамае e,.10[vHo],
апределяющее силу Лорентца. Так чтО' теперь 'вместО'
(5.8) будем иметь
dv
т {f[ + mvv  е Е + efJool v , Но],
или, учитывая rа'рмоничеС'кую 'зависимость во ,времени,
jтv+тvv==eE+eJ.1o[v, Но].
(5.62)
Сила Ларентца направлена перпендикулярно как BeK
тару У, так и вектару Но. Если v и НО коллинеарны, .сила
Лорентца равна нулю. Если v и НО  все время вза.имна
перпендикулярны, эта сила принуждает электрон Bpa
щаться по окружнасти BOKpyr ,оилавых линий вектора НО
с так называемой rиромаrнитной чэ-С'тотай
I е I jJooHo
юно  т
или
t  I е I jJooH о
Ho 21'11l .
(5.63)
в результате действия на электран силы Ларентца ионо-
сфера или более обща ионизироваlННЫЙ rаз из изотропнай
превращае'f1СЯ в анизотрапную среду. :При этом ее элек-
трические пара метры апределяются па тем же ,соотно-
шен'иям, ЧТО' и в 'Случае :изатрапной ,среды, на 'с учет,м
силы Лорентца, т. е. ,соrласно саО11ношениям (5.7) и
(5.13) имеем
jwD == j.wEoE +evN,
(5.64)
на теперь скарость электрона v определяе'f1СИ не урав-
нением (5.8), а уравнением (5.62).
329

Полаrая вектор Но направленным вдоль оси z ,и счи
l'ЗЯ дЛИ у"рощения v== О, из L:()()тношениЙ (5.64) и (5.62)
наодим ·
[( (J)N ) . (J)N(J)H o ]
Dx==S o 1  <) 2 2 Ех  J 2 2 Еу,
Ю  ЮНО .(ы2 ЮНо' (J)
DJJ == во [( 1  Ю 2 ) Еу + j (J)ЮНО Ех ] .
ю 2  ЮНО (ю 2  ЮО) (J)
Dz'. ( 1   ) Ez.
т. е. ионосфера представляет .собой анизотропную среду
с тензором диэлектрической проницаемости
( ё хх , 8Х11' О )
в === в ух . 8уу, О ;
О, О, 8zz
(J)
8 ц ==в уу == 1  2
ю2. ЮНО
. (J)(J)fl ю 2
B:lll== e.x== J 20 ; B zz === 1  .
«(1)2  юно) (J) (1)
(5.65)
Так как диэлектрическая проницаемость является ком-
плексным тензором даже при ОТ'СУТСТВИИ поrлощения
('V === О). 'то .ионосфера называется м.аснuтоактuвноu или
zuротропной средой.
"2. Показатель преломления
Однако диэлектрическая проницаемость, 'Или, более
общо,  тензор диэлектрической проницаемости  явля-
ется. параметром среды, а не параметром проце.с,са 'рас-
пространения радиоволн. Достаточно общ.им парамет-
ром процес,са распространения радиовол,н в среде, как
мы можем заключить из Bcero pa,c.cMOTpeHHoro, и дол.жен
являть'ся комплексный показатель преломления n':
, .
п === п !У.,
Найдем этот параметр. В случае ,изотропной среды связь
между показателем п' ,И диэлектрической проницае-
330

мостью Е' простая:
п' == V8':
Это -соотношение получае'Т'Ся 'в результате COBMecTHoro
решения уравнений Максвелла и уравнения дв:ижения
электрона. Точно так же, для Toro чтобы получить пара
метр n', мы должны ОвмеС'flНО решить систему из ypaB
нений Мак,свелла
rot Е ==jo(UH, rot Н == j(i)EoE+evN
и уравнения движен,ия (5.62). Уравнения Максвелла
можно сразу объединить в одно уравнение:
rot rot Е == JlOEo(J)2EjffiJloevN.
Прежде чем решать эту систему, п'риведем некоторые
на!30ДЯl.Цiие соображения о характере решения. Для
упрощения будем 'считать ионосферу однородной средой.
Пу.сть вертикально вверх по 'оси z распространяе'flСЯ
элекrромаrнитная волна, и вектор напряженности по
стоянноrо маrн.итноrо поля Но образует произвольный
уrол с направлением ра,спр,()странения этой в-олны.
В этом случае отлична от нуля как продольная 'CO'CTaB
ляющая H oL , так и перпендикулярная составляющая НОТ
по отношен,ию к направлению распространения; будем
в дальнейшем 'считать, что .составляющая Нот -совпадает
с осью Х. Под ,влиянием поля 'Волны ,каждый электрон
ионизированноrо rаза приобретает скорость У. НО эта
скорость под воздействием постоянноrо маrн,итноrо по-
ля Но ,соrласао уравнению движения будет иметь не
только ,составляющую вдоль вектора Е поля волны, но
и составляющую в направлении, перпендикулярном BeK
тору Е. С друrой стороны, под влияни'ем этой перпенди
кулярной составляющей ,вектора у, как следует из
ураВlнений поля, появится 'и соответствующая ,состав-
ляющая электрическоrо поля. Таким образом, первона
чально плоская волна, имев.шая до входа в ионосферу
только поперечные составляющие вектора напряжсн
ности электр,ическоrо и маrнитноrо полей, под влиянием
маrн,итноrо поля Земли приобретает 'и продольные ,co
ставляющие. Поэтому в решениях уравнений движения
и 'Электромаrнитноrо поля для Е и v мы должны пред-
п-олаrа1'Ь существование всех составляющих: Е%, E'l/t Ех,
V 18 , v v , ""
аЗ1

Итак, будем искать решение уравнений
.  е Е 1 e(J-о [ Н ]
!ШV===  V
· m т' о
(5.66)
(для упрощения положено v == О) и
Tot Tot Е'=== fLоsош 2 Е  jШf1оеv N
(5.67)
в виде
Е  Е I ((()tkиz)
 те ,
I ((()tkиz)
v===vme .
(5.68)
(5.69)
rде k и  постоянная распространения, которую можно
прдставить в виде
2 002
k == 2 пЗ == k 2 n 2 ,
и с
n  и-скомый показатсль прелом'ления, которыЙ l\10жет
оказаться мнимым. (В последнем случае вместо n будем
писать n'.)
Подстав,ив выражения (5.68) /и (5.69) в уравнения
(5.66) и (5.67), получим шесть скалярных уравнений
относительно составляющих поля и скорости:
 jmv x +  Ех + e(J-о vyH OL === О,
[т т
. + е Е + e(J-о Н e(J-о Н О
 }фи у т у ти;! оТ  тих OL === ,
. + е Е e/J-o Н О
 !ШV;t m:!  т v y ОТ== ,
 (5.70)
 /l2 Ех + p-овоф2Ех  p-оjшеvхN === О,
и
 k:E y + p-овоф2Еу  fLoj(J)evyN === О,
p-оs о ш 2 Е z  f1oj(J)ev;tN === О.
Как известно, для получения нетривиаJIьноrо (отлич
Horo от нуля) решения этой ,системы для шести неизвест-
ных функций Ех, Еу, Ez, V x , и у , и х необходимо, чтобы
определитель системы равнялся нулю. Этот определи-
тель удобнее Bcero вычислить методом последовательно-
ro исключения неиэвес'тных функций.
ЗЗ2

В результате получим уравнение
[ 2 ] [( 2 ) ( 2 )
Ю N Ю N Ю N 1 ю
1 1 1 
(1)2 (1  п,2 ) 001 002 1 п,2 ют
] 2 ( 2 )
ют Ю L Ю N
  1   ==0
ю ШЮТ (1)2 '
(5.71 )
rде
2 e 2 N I е I o
(l)N==' (l)L == HOL'
те о т
....  H
VJT  т ОТ'
(5.72)
Решая уравнение (5.71) относительн,о показателя
преломления, находим
2
2 Ш N
п 1 ,2 === 1  roa
1
Ю L (l)L 
l q +Vl +q a
ю  (1)
(5.73)
rд
roiю
q  2 '
2W L ((1)2  (l)N)
(5.74)
Таким образом показатель преломления найден.
В дальнейших пунктах, lисследуя показатель преломле-
ния, 'изуч,им эффекты ра,спространения радиоволн, обус
ловленные влиянием маrнитноrо поля Земли.
3. Двоиное лучепреломление
Из выражения (5.73), поскольку имеются два значе
ния для показателя преломления n, следует, что в дан-
ном 'случае имеет место двойное лучепреломление, т. е.
ионосфера, нах,одящаяся под деЙствием маrнитноrо поля
Земли, является двоякопреломляющей -средой, такой же
примерно средой, какой является кристалл турмалина.
Как известно :из оптики, луч света при прохождении
через кр,исталл турмалина расщепляет,ся на два луча.
Точно так же волна при прохождении через 'Ионосферу,
в общем ,случае расщепляет,ся на две волны.
Рассмотрим один частный случай. Пусть поле Но Ha
пра.влено перпендикулярно направлению распростране
ния, т. е. пу,с"Ть OOL ==0 (попереЧlное IраСП1р'осrраlне'ние:.).
ЗЗЗ

В этом случае, беря знак «+» перед корнем, полу
чаем
2 ' 2
2 Ю N N
п 1 ::=: 1   ::=: 1   , ., ,
ш- -
(5.75)
т. е. показатель преломления ничем не отличает,ся от
TaKoBoro для ионосферы в отсутствие маrн.итноrо поля.
Для BToporo значения показателя, преломлен.ия (знак
«» перед корнем) имеем
2 . 2
2 Ю N Ю.  fi1 N .
112 === 1 """""""2 2 2 . (5.76)
Ю ЮI ЮN Ют
Как ВИДИМ, п существенно отличается от п.
В связи ос этим волну, для которой показатель пре
ломления (5.73) содержит знак «+» перед корнем, Ha
зывают «обыкновенной», а волну с показателем лрелом-
пения, содержащим знак «» перед корнем,  «необык-
новенной».
Возвратим,ся к общему случаю. Пользуясь системой
уравнений '(5.70) и выражением (5.73), можно показать,
что
y ===j(q + V l+q2 ),
.
(5.77)
Т. е.
Ех===Етхсоs(шtkпl.2Z)' l
Еу ===  Е ту (q  У l + q2 ) sin (шt  kп 1 . 2 Z). (
(5.78)
Верхний знак перед корнем относится к «обыкновенной»
волне, а нижн,ий знак  к '«необыкновенной».
Поскольку, как следует :из выражен'ия (5.77), между
составляющими поля Ех и Еу как «обыкновенной», так и
«необык'Н'овенной» волн и'меется сдвиr \п'о фазе, 'равный
'[[/2, и амплитуды ,составляющих электрическоrо поля не
равны между собой, 'То волны в общем случае являются
эллиптически поляризованными.
Из выражения (5.77) также видно, что
( v ) ( :У ) ==j (q + V l + q2 ) j (q V l+ tf )== 1
fII J .. 2
или
(). == ( : },
(5.79)
И"'

('Де индекс «1» ОТНОСИТСЯ К «обыкновеНIНОЙ» ВОЛне,
а ,индекс «2»  к «необыкновенной». Из этоrо равенства
следует, что соответствующие ,составляющие обеих волн
взаимно перпендикулярны. Далее, как леrко видеть из
/
выражений (5.78), поскольку величины q + J; 1 + q2,
q '1/ 1 +q2 имеют противоположные знаки, вектор Е
для «обыкновенной» волны вращается в направлении,
противоположном вращению вектора Е «необыкновен-
ной» волны.
Таким образом, проекции вектора Е обеих волн на
плоскости, перпендикулярной направлению распростра-
нения в фиксирова'нной точке, в общем случае OIписы-
Вают два элл,ипса с взаимно перпендикулярными осями.
4. Вращение плоскости поляризации
(эффект Фарадея)
Пусть направление распространения ,совпадает с ,на-
правлением вект'ора Но (<<продош)ное распространение»),
т. е. пусть (от== О, тоrда
q==O
(5.80)
и для покаэателей прел,омлен,ия обеих волн получаем
2
2 Юн 1
п ==1  
1,2 6)2 l.:t (J)L/(J).
Из выражений (5.74) и (5.73) видим, что прибл,иженно
такие же значения для q и п получаются и при произ-
вольной орентации вектора Но ОТНОQительно направле-
ния распространения, но для эт-оrо частота (i) должна
быть достаточно }JЫСОКОЙ. Покажем, что в этих случаях
.обыкновенная и необыкновенная волны складываются
в одну линейно поляризованную волну с плоск,остью
поляризации, повернутой относительно плоскости поля-
ризации нера,сщепленной волны на некоторый уrол Q*O.
ДеЙствительно, предполаrая, что вектор Е нерасщеп-
ленной волны ориентир'ован вдоль оси Х, дЛЯ составляю-
щих напряжеlННIQСТИ IПОЛЯ :воЛ'н соrлаС'Н'о (5.77) ,при q==O'
можем написать выражения
Е  Е е 1 (ClJtkпlz)
%1  m ,
EIII == i B m e1 (ClJtkпI3)
335

 ДЛЯ обыкновенной волны и
/
Е  Е e i (wtkпlz) .
Х2  т ,
Е . в i (wtkпlz)
У2===  J те
для необыкновенной волны.
в.оспользовавшись далее тождествами:
n 1 === + (п 1 + Па) ++ (п 1  n 2 ),
1 1
п 2 === 2.(п l + п 2 )  2 (n 1  п. 2 )
и складыва5j: составляющие полей обеих волн, получаем:
Е  Е + Е  Е J (wtkпcpz) [ JkZ + JkZ ] 
X Хl X2 те е е 
j (Q)tkпcpz)
=== 2Е т е cos (kez),
(5.81 )
J «Utkпcpz)
Еу === Еу! + Е У2 === Ете Х
Х [cJkZ  eJkZ] === 2Е т е' (wtknl!»z) sin(kez),
(5.82)
1 1
rД пер === 2" (п 1 + п 2 ), ===""2 (п!  п 2 ).
Из .выражен,ий (5.81) .и (5.82) 'следует, TO ,COCTaB
ляющие cYMMapHoro поля ,обеих волн колеблются в фазе.
Поэтому суммарное поле пред,ставляет собой, как и до
ра,сщепления, поле линейно поляризованной волны.
Положение плоскости поляризац,ии этой волны после
прохождения ею пути Z2Z1 в ионосфере определяется
уrлом
Q==kS(Z2Z1) .
( 5. 8З)
Плоскость же поляр.изации нерасщепленной волны до
входа в ионосферу с-овпадала с плоскостью XOZ. Таким
образом, получаем, что пр,и прохождении волны через
ионосферу происходит поворот плоскости поляризации
на уrол, определяемый формулой (5.8З).
336

Явление,поворота плоскости поляризаии при проХО
ждеIlИИ волны через аIlИЗОТРОПIlУЮ среду впервые lIa
блюдал ФарадеЙ на ОlIтических волнах. Поэтому рас-
сматриваемое явление названо эффеКТОAt Фарадея.
Как увидим далее, этот эффект может быть исполь
зовав для определения концентрации электронов в ионо-
сфере.
5. Области прозрачности
В предыдущем пункте мы раосмотрели важный, но
все же ча.стный случай распространения раДIИОВОл.н
в маrнитоактивной ионосфере. Рассмотрим теперь рас-
проcrранен-ие радиоволн в маrнитоактивной ,ионосфере
с ,более общей точки зрения.
Выяон,им, при каких условиях здесь возможно рас-
пространение 'и при каКiИХ оно невозможно.
Очевидно, что если п 2> О, показатель преЛОdfления
п' == п вещественен и волновой процесс имеет Место.
Если it<e п72 < О, показатель преЛОl\1ления п' ==  jx чисто
мнимый, волновой проце.сс и ,ооответственно распростра
нение электромаrнитной энерrи.и в пространстве не
имеют места. Выясним, коrда реализует,ся та или иная
ситуация.
Для этой цели, следуя {З] *>, введем обозначения
6)2 (J)2
6) == v.. (J)O == и, (J)L == (оНо Icos (Х/' (ОТ == (J)Hglsin (ХI
( 5.84)
'2
И представим п 1 . 2 в виде
'2 Pt,2 (v; и. (1)
п 1 , 2 ( ) '
q1.2 v; и, 11
( 5.85)
rде соrласно (5.73)
Pl.2(V; и, (1)==2(1 v)2usin2(1-+---
::::!:: Vu 2 sin 4 iX + 4и (1  V)2 cos 2 (Х,
Чl.2 (v; и. (1)== 2 (1  v)  usin 2 (1-'+
-+--- Vи 2 sin 4 (1 + 4и (1  V)2 cos 2 (Х.
(5.86)
(5.87)
*) Международ:ное научное ради,ообъединение (U.R.S.I.) ре-
комендует друrие обозначения: ю 2 N/iro 2 ==.Х, (J)Ht/OO==' у [31].
221283
337

/
Предположим, что u и а nроизвольны,  фиксир()
ваны, а aprYMeHT V изменяется (за счет изменения
частоты), тоrда может оказаться, что при некоторых v
получим
Pt(VO) ==0 -или P2(VO) ==0"
qt(V oo ) ==0 или Q2(V oo ) ==0.
(5.,88 )
(5.89)
Корни уравнений (5.88) опредеЛfIЮТ значения и о , при Kи
торых п o; корни же уравнения (5.89) опреде.ляют
, , 2
значения и оо , при которых п 12 терпит разрыв от oo до
00. Следовательно, как и о , т'ак иoo преставляют собой
те значения и, при которых осуществляется перех,од iИз
обла,ст,и, rде волновой процесс возможен, в обла,сть, rде
этот процеес невозможен. Ура'внения (5.88) и (5.89)
решаются элементарно инетрудно найт,и значения и,
пр'и которых волновой процесс возможен или Iневозмо
жен. Эти обла,сти значений v ,сведены в табл. 5.1.
На рис. 5.7 изображены ,соответствующие области
для обеих волн пр,и u< 1 (рис. 5.7,а) он и> 1 (рис. 5.7,6).
Проинтерпре'tируем табл. 5.1 и рис. 5.7 пр.именитель-
TA Б Л И Ц А 5.1
Валяа Характер 3наtJевие Области tI, тде Области tI, тде
распростра- параllетра волновой процесс волновой процесс
нения и в()зможен невозможен _
Обыкно Продольное П роиз- О --т v o == 1 [10 == 1 + 00
венная и поперечное вольное
(а == О,
а == 'It/2)
О --;-. и о == 1 [10 == 1 + со
Iи< 1 О --;-. и о == 1 V o == 1 + и оо ==
О < а < 'It/2 и1
V  . иl
и>1 со  и COSIc.r. 1 .
+00 ucos2c.r.1
0--;.- V o == 1  Vи [10== 1  vи -+
Необык  \и<I V oo == 1 и+иo == .....;.- V oo == 1  и
новенная О  а 'It/2 == 1 + Vи v o == 1+ Vii--;-.co
и>1 о .....;.- и о == 1 + Va [10==1 + Vii+c.o
338

но к ионосфере, рассматриваемой как простой 'слой, при
вертикальном падении волны на (лоi.. Обыкновенная
волна, ({ак 11 в ОТСУ1ствие малн.итноrо поля Земл.и, OTpa
жается на высоте, [де частота колебаний оказывается
равной плазменной частоте, т. е. r де v == 1. Необыкновен-
ная волна в завиоимости от значе.ния параметра u может
отразить'ся либо на большей, либо на меньшей высоте.
Далее из. таблицы заключаем, что для обыкновенной
волны при достаточно низких ча,стотах в пределах Bcero
слоя плазменная частота может оказаться большей
,- vfi и оо f !+vu V
а)
Рис. 5.7. Области прозраности при и<1
rоризонтальная щтриховка  обыкновенная BOJlHa;
Нt'06ЫКlIовенная волна.
f lIQO l+vu (J
15)
(а) и при u>1 (6):
вертикапьнаи штриховка 
частоты колебан-ий и будет ,иметь ме,сто и> 1. При этом
a1
значение v может оказаться больше величины I 1 .
и cos с1 
Тоrда на достаточно низкой частоте волновой процесс
будет возможен в пределах Bcero слоя, Т. е. волна прой
дет через 'Ионосферу, не отражаясь 'от нее.
Таким образом, ,из табл. 5.1 можно сделать 'Вывод
о том, что ионосфера для обыкновенной волны должна
быть прозрачной 'не тольк,о при высоких частота, но
при достаточно низких частотах. В случае обыкновенной
;волны при и> 1 сущевуют две .области ,прозраЧ'ности и
между ними область н епрО'зра'Ч'Н'ости. В случае необык
Iновенной волны при u< 1 существуют д'ве области п:ро-
зраЧtНОСТИ rИ две оБЛ8'СТИ непрозрачности.
22- ЗЭ9

6. « Свистящии атмосферик»
Как видна 'из табл. 5.1, для Tora чтобы ионосфера
при достаточна низк.их частатах аказалась прозрачной
для абыкнавеннай ,и непрозрачной для неабыкнавенной
волн неабходимо, чтобы выполнялись уславия
v»I, u,cos 2 a»I. (5.90)
Пр-и этом 'возмож,но распространние так называемаrо
«свистящеrа атмосферика». Последний представляет
собой uyr сверхдлинных, со.здаваемых rразовым разря
дом волн (частота 400+8000 rц). Втарое неравенство
(5.90) паказывает, что. оно выполняется тем лучше, чем
меньше а. Отсюда ,следует, что. ,свистящ,ий атмосферик
должен распрастраняться вдоль силовой л,инии маrнит
Haro поля Земли, как по некотарой направляющей.
Опытные данные показывают, что rрозовой разряд, c,o
зданный, напр,имер, вблизи южнаrо полюса, принимает
ся вблизи ceBepHo.ro полюса через 2 + 3 с. Отсюда сле
дует, что 'силовая линия, вдоль которой распространяет
ся свистящий атмосферик, может быть удалена от Земли
!в экваториальной ПЛ'ОС'IЮТИ на раостояние 'НесК'олы<,их
земных радиу.сав.
 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАдиосиrНАЛОВ
в ИОНОСФЕРЕ
1. Скорость распространеция сиrнала
Да сих пор мы рассматривали распространение 0.1'-
дельных мо.нахрамат,ических волн. Моно.хроматическая
волна есть чисто периодический пр'о.цеос в пространстве
и во. времени, т. е. процес,с, который проИ"схо.дит во всем
безrраничном пространстве, возник .бесконечно давно и
прадалжается вечно. Однако TaKora процесса в дей,стви
тельности не бывает. Реальный физический процесс
всеrда локализаван в пространстве и ,имеет ,начало и
канец во времен'и. Поэтаму сиrнал, которыЙ в состоянии
вызвать определенный физический эффект, лакализован
в пространстве ,и имеет начало .и конец во времени.
Отсюда следует, что ,сиrнал должен являться непериади
ческай функцией прастран,ственных ,и временной коарди
нат, а поэтому соrласно теории интеrралов Фурье дол-
жен 'состоять из бесконечно.й последовательности моно-
хроматичесюих волн.
340

В самом деле, сиrнал, который вырабатывается reHe-
ратором, например, радиоимпульс, 'состоит из бесконеч-
Horo ч,исла rармонических составляющих. Поэтому пере-
мещающийся в пространстве сиrнал представляет собой
,совокупность бесконечноrо числа перемещающихся мо-
нохроматических . волн. Бсли среда недисперrrирующая,
то каждая 'Из этих волн будет перемещаться с одной и
той же фазовой ,скоростью 'и, 'следовательно, вся COBO
купно'сть волн В целом будет перемещаться с той же фа-
зовой скоростью. Соответственно скорость распростране-
ния ,сиrнала будет равна фазовой скорости. 
Предположим теперь, что среда  дисперrирующая,
именно такой средоЙ является ,ионосфера. Тоrда каждая
из -составляющих монохроматических волн будет pac
пространяться 'со своей фазовой скоростью, отличной от
фазовой скорости друrих монохроматических nолн. Это
приведет к тому, что 'импульс по мере перемещен.ия
в простран'стве будет расплываться, деформироваться.
В связи с этим требуется ыя,снть, что следует пони
мать под скоростью сиrнала в этом случае .и чему она
равна.
Поскольку напряженность поля сиrнала состоит из
бесконеч,ной совокупности монохромат.ических волн, ее
аналитически, 'считая ,среду для упрощения однородной,
Всеrда можно предс'тавить в виде
00
Е (z, t) ===  А (k) e1 ((J)tkz) dk.
oo
(5.91)
в недисперrирующей ,среде k п-од знаком и.нтеrрала
является линейной функцией частоты, так как в фор-
муле k==ы!vф вел.ичина vф=='сопst (не зависит от частоты).
В д.исперrирующей же среде k является сложной
функцией частоты, поскольку vф== VФ (ы).
Будем считать .спектральную плотность S (ы) .импуль-
са, вырабатываемоrо reHepaTopoM, вне узкоrо интервала
частот ffi (ko) б(О, (О (ko) +rбы ничтоЖ'но малой ('рис. 5.8),
он поэтому величина А (k) вне узкой области kо,бk +ko+'
+,б,k будет также пренебрежимо малой. Тоrда интеrрал
в бесконечных пределах можно заменить интеrралом
'В пр,еделах ko6k и kO+lfJk, т. е.
ko+&k
Е (z, t) === I А (k) е/ (lOtkz) dk. (5.92)
 .
341

Интсrрал в (5.92) оБЫЧlIО называют «вuлновым паке
том» (rруппоЙ волн). Основная часть энерrии сиrIIала
переносится этим «волновым пакетом». Поэтому под
скоростью ра.спространен-ия с.иrнала понимают скорость
I S (UJ)\
Рис. 5.8. Спектральная плот.
ность импульса.
ц}о
ц)
перемещения в пространстве «волновоrо пакета» (5.92)
в целом.
Если интервал 2бk д,остаточно мал, т. е.
26k«k OJ
(5.93)
то можно 'ffi (k) представить рядом Тейлора и оrрани
читься двумя первыми членами ряда
(Ь(k)==Ш(k о )+ ( : )  (k  ko)+...,
kko .
r де (1) (ko)  несущая частота. Следовательно,
(5.94)
шt  kz== ш(k о ) t  koz +(k  ko) [( ; )k==ko t  z 1.
«Волновой пакет» (5.92) можно представить теперь функ-
цией
Е == Ео е. 1 (00 (flo) tkoZJ,
rде Ео  средняя амплитуда, равная
(5.95)
ko+Ьk J (kko)
Во == S А (k) е
koЬk
[(  ) t.. ]
dk k=:ko  dk.
(5.96)
Из этоrо выражения видно, что а МПЛIИ'туда меняется
в пространстве 'н времени; она постоянна, принимая
ма:юснмаnЬ'ное з'наче'ние 'д.'оnь п-ове'рхности, опредепяе..
Э4

МОЙ равенством
( : ) k==ko t  z == О.
(5.97)
Скор()сть перемещения этой поверхности равной
амплитуды и есть ,скорость перемещения «волновоrо
пакета», т. е. скорость ра,спространения сиnнала равна
dz _ ( dro )
& :::. dk k==ko'
Полученная таким образом при оrраничении
скорость назы,вает,ся сруnпО80Й. Она 'указывает, 'с
скоростью перемещае'f'СЯ центр rруппы волн в среде
(рис. 5.9). Эту 'СКОРОСТБ удобно представи,ТЬ в .виде
1
V rp == (dk/dю)w==w (ko) .
В недисперrирующей среде, как нетрудно видеть,
1
V rp == dkj dro == Vф.
В дисперr,ирующей же среде v 1 ,р:;f:lvф.
Так, для распространения ,импульса в ионосфере
в вертикальном Iнаправлен-ии при пренебрежении влия
нием маnНlитноrо п-оля Земли находим
dk d d ( J) )
dro :==. dro (koп) == dЮ с п ==
== [  ./1  (J) J t=::,
dю с V ю 2 сп
2 e 2 N
rде O)N====(27CfNY  квадрат плазменной частоты, а
т е о
0)2 ф2 (k o ). След овательно,
V 80,8N (z) .. /' {
vrpcп==c 1 f2  cV IT'
Рис. 5.9. К определению rруп
повой скорости.
(5.98)
(5.93 )
какой
r
(5.99 )
(5.100)
343

rде f представляет собой несущую ча,стоту сиrнала,
в даЛЫIСИШСМ оrоваривать нс будсм. Отмет,им, что,
скольку фазовая скорость равна
VФ==lffijk==с/п,
что
по
Vrp. Vф== с 2 .
(5.101)
(5.1 02)
то
Так как n< 1, то rрупповая скорость 'всеrда меньше
скорости света, т. е.
Vrp== сп<с *).
Понят,ие' rрупповой .скорости, определяемое форму
лой (5.100), ,имеет 'смысл скорости перемещения импуль
са в том ,случае, если ча,стоты составляющих MOHoxpOMa
тиче'ских волн зан-имают весьма узкую область спектра.
В этом случае импульс проходит достаточно большое
рас.стояние, ПОЧ11И не деформируя'сь. Если же (Jlk не мало,
(5.100) не определяет скорости перемещения импульса,
так как отбр'ошенные члены ряда Тейлора не являются
пренебрежимо малым,и. В этом ,случае в силу БОjJьшоrо
разброса фаз,овых скоростей заметная деформация про
исходит уже при прохождении импульс,ом небольших
рас,стояний.
2. Расплывание импульса
Как уже rоворилось, дисперсия радиоволн может
вызвать расплывание импульса в пространстве. Pa.CCMOT
рим этот 'вопрос несколько подробнее, ,следуя в OCHOB
НОМ [3].
Пусть ра,спространяющийся импульс до входа .в ионо
сферу имел прямоуrольную форму и задан для фиксиро
*) Соrласно теории относительности, скорость распространения
сиrнала ниrде не может превосходить скорости света с в вакууме.
Поэтому понятиё rрупповой скорости имеет СМbIСЛ скорости пере-
мещения сиrнала, если она получается меньше скорости света в ва-
кууме. Формула (5.99) даer скорость меньше с в тех случаях, коrда
ДIlсперсия нормалЬ'на (в ионосфере, в волноводах).
В случае же аномальноЙ дисперсии, имеющей место D OKpeCTHO
сти резонансноЙ частоты, при КОТОрМI поrлощение в веществах
достиrает максимальноrо значения, rРУППОD3Я скорость больше CKO
рости С И поэтому, как скорость перемсщения сиrнала, теряет смысл.
344

BaHHoro момента времени в виде
E(z, t)===E 1 e/[W (ko) tkozl.
L L
{ Е о при 2<z< 2;
Е 1 === L L
О при z < .....2' z> 2'
(5.103)
rде ko  постоянная распространения, соответствующая
несущей частоте импульса (J) (k o ).
Представим функцию Е (z, t) ,интеrралом Фурье (5.91):
00
Е (z. [) ===  А (k) е l (ootkz) dk;

А (k)  преобразование Фурье, равное
00
А (k)== 2 S EleJkoZ ejJ&1.dz.
oo
(5.1 04)
Подставляя (5.104) в (5.91). получаем
00 00
Е (z, [)== 2 'S J Е 1 е l [oot + (kko)z/kzl dkdz'.
........cooo
Разложим частоту (i) в ряд Тейлора и, предполаrая
импульс не слишком узким и дис-персию несильной, orpa-
ничим,ся первыми тремя членами ряда
(5.105)
Ш(k)===Ш(k о )+ ( ; )  (k  ko)+
kko
1 ( dIЮ ) 2
+2 dk 2 k==ko (k  ko) + ...
(5.106)
llодстановка этоrо выражения для (i) в (5.105) дает
Е (z, t)== 2 1 1t е l [00 (ko) tkozJ Х
00 00 1
S r I [Ф/ (flo) (kko) е+  ш" (ko) (kko)1 t  (kko) (zz/)1
Х  \Еl е 2 dkdz',
oo oo
(5.107)
{'оде (i)(ko) Iнесущая частота ИМlпульса.
345

Учитывая, что выражение в квадратных ,скобках
в показа теле можно преобразова ть к в,иду
ш' (ko) t [( k  k ) + rю, (ko) t  (z  z') ] 1 
2 о ю" (ko) t
[6>' (ko) t  (z  Z')]2
26>" (ko) t
введе\f новую переменную е соотношением
0)" ( k ) t [( k  k ) + 'ю' (ko) t  (2  z') ] 2 ===1te2
о о ю" (ko) tj _ '
( dk === V fw,,1t(k o ) de}
Имея в виду, чтu
CXI j  .
s е 2 de === 1 + j,
CXI
(5.108)
получаем
I 1 + j
'Е (z, {)I === 2 V 1tffJi' (ko)
Ц2 J (w/ (ko) t  (ZZ'H'
S Еое  2ш" (flo) t dz' 1.
Ц2
(5.109)
Бесконечные пределы интеrрирования по z' в ,силу
(5.103) заменены на L12 и L/2.
Снова введем новую переменную u п о форм уле
[ю' (kO':;t 2')]2  1tU2 (dz' === V 1tш" (ko) t du);
нижний предел для u равен
ш (ko) t  (z + L/2)
V 1ttю" (ko)
иl
верх.lШЙ 
ю' (ko) f  (z  L/2)
У 1ttю lf (ko)
и2.
346

в резу.rrьrа те находим формулу .nля I Е (z. ') 1, выражаю-
щуюся через интеrралы Френеля С (и) и S (и):
/ 1 + j S UI l Е:. I
/E(z, t)I==E o  е du ==
и.
и. 1 Еи l и. I 'Еиl
===Ео \ l1- L (S е  2 du  S е  2 du )J===
о о
== :i ![С (и 2 )  С (u J )] + j [S (и 2 )  S (uJ)]I.
(5. 11 О)
Абсолютное значение напря)кенности поля равно
IE (z, t)l== :т v [С (и 2 )  С (uJ)j   rS (и 2 )  S (и 1 )]2 ;
(5.111)
Оно леr!{о может быть найдено 'с n\..,л,ощью шарнира
спирали Корню (рис. 2.9) по известны 1\1 И2 И иl. НО для
этоrо необходимо сначала выяснить ФИЗИЧССIОIЙ смысл
и2 И Ui. '
Поскольку., (dш/dk)k==ko ===:ш'(kо): : Vrp rРУППО13G1Н 0,0-
рость, Т" е. 'скорость перемещения центра тяжести !i \1-
пульса, то tu/(kо)==zокоордината центра тяже,,'[(1
импульса в момент времени t. Отсюда следует, что в вы-
ражении для ut
\ со' (ko) t  (z + 4: )1 == I (zo   )  z I
есть расстояние точки с координаой z от заднеrо края
неискаженноrо импульсз, а в выражении для и2
IШ'(kо)t (z  ) 1==i(Zo+ ; ) zl
расстоян,ие той же точки от переднеrо края импульса.
Учитывая, что
. ( d 2 (i) ) (a)  2
Zo === Vrpt === cпt, dk2 k==ko == (ОI (ko) с ,
347

rде (J)N  плазменная частота, для ut и и2 можем напи-
сать следующие выражения:
и 1   .. / 2п ( ZO  !::.....  Z ) ,
fi) N У ЛZ о , 2
(5.112)
и 2 === =N У : (zo++Z)'
Соотношения (5.111) н (5.112) позво.Т]яют 'с п'омощью
шарнира .спирали Корню рассчитать форму ,импульса
. для любоrо Zo, т. е. для любоrо момента времени. Для
Toro чтобы иметь возможность оценить степень ра,сплы
вания импульса по спирали Корню, важно знать знаки
и1 и и2; 'они указаны ,на рис. 5.10.
О степени деформации ИМПУЛLса можно судить по
величине кор,ня в фuрмуле (5.111) пр,и Z, лежащих на
ц,>О
Ul .> О
t-: coпst
Ч.I< О
"щ>О
(11 L. О
l/2 ( О
NeIJC1flr.t/fe/lNblil
ииЛl/Л6t:'
Рис. ,5.10. К определению
степе!i.И расплывания ИМ-
ПУЛLса в ионосфере.
z
обеих rраницах неискажеНllоrо импульса. Если эта ве-
личина близка к единице, то импульс деформирован
несильно. Если же она отличае11СЯ от единицы, ,и,скаже
ния импульса суще,ственны.
Из изображения ,спирали Корню видно, что t<вадрат
ный корень в (5.111) будет близок к единице, есл'и раз
насть и2иl вел ика по сравнению 'с единице'Й.
Таким образом, для от,сутствия искажений импульса
требуется, чтобы УДОВJIетворялось у.словие
fi) Y 2n
и 2  и. == т------ L  1.
(J)N I\ Z o
<й у 2il
Достаточно, qтобы величина  т------ L, коroрую. цe
fi) N I\Zo
лесообраЗIН'О называть параметром деформации им
пульса, была 'не меньше нескольких единиц. Чем больше
3110Т Iпараlметр, TelM меньше искажения.
348
(5.113)

Рассмотрим пример. Пусть ,л.== 10 см, длитепьносtь импульса
1 мкс, плазменная частота t N ==3 мrц. Требуется определить, буде1
ли существенно ИCl{ажен импульс после прохождсния 4000 км В од-
норсщной ионосфере.
В этом СJIучае: L==300 м, zo==4000 км, 'UJ/UJN == 1000, n  1 и пара-
метр деформ ации равен
1000 у 1(1--:4000 0,3 == 675  1.
Следовательно, искажения несуществеIlНbl. Однако в метровом
диапазоне и в диаШ1ЗОНС бо.'1ес нлинных волн искажения MorYT
быть значитеЛЬНЫМli.
3. Распространение вертикально направленноrо сиrнала.
Действующая высота отражения
Рассмотрим распространение импульса вверх в Bep
тикаль:ном направлени,и. В этом случае при пренебреже
нии влиянием маrнитноrо поля Земли rрупповая CK'O
рость ,соrла,сно (5.100) будт равна Vrp==cп. Эта CKO
рос'Ть по мере проникновения сиrнала внутрь ионосферы
будет уменьшатьсЯ" и на высоте, rде п==О, она 'станет
равной ,нулю: V rp == О. На этой высоте произойдет oQTpa
жсние сиrнала и импульс возвратится .снова на землю.
Очевидно, что время запаздывания отраженноrо им
пульса относительно импульса зондирующсrо будет
равно
':отР zorP
dt=== 2;0 + 2 S :r: === , (Zo + J  ) ,
20 20
rде Zo  высота, на которой ра,сположено наЧаЛО ,ионо
сферы.
Весьма удобно при расчетах радиотрас.с, пр\,)хvдящих
через ио,носферу при ее радиозондировании, ввести
13 ра,ссмотрение аонят,ие дей.ствующей высоты отраже.ния
сиrнала от ионосферы ZД, определяемой по формуле
zorp
S dz сМ
ZдZо + """11==2""""-
20
(5.114)
Смысл этой высоты таков. Эта та воображаемая высота,
на которой отражает,ся оиrнал, если .считать, что ero
скорость распространения в ионоофере, как и вне ее,
постоянна и равна с. Очевидно, что поскольку C>Vrp,
то ZД>ZОТР'
349

Проанал,изируем, как должна меняться действующая
высота с изменением несущей ча.СТОТЫ сиr:нала, если
предположить, что ионосфера аппрокеимируется про
СТЫМ слоем (рис. 5.1). Ра,ссмотрим интеrрал
T d == Т' у d.8N (z) ·
Z, Zo 1  '.
Этот И1нтС'r-рал !несоБСТlвенный, та,к ка,к :при ,верхнем lП,ре-
деле подьuнтеrральная ФУ1нкция обращае1'lСЯ в бесконеч
ность. Однако, применяя признак Коши 'сходимости
интеrралов, можно показать, что этот интеrрал, вообще
Zд
Рис. 5.11. Зависимость Zд от
частоты f для ПрОСТОjО СЛОИ.
'{р r
rоворя, сходится. Соrла,сно признаку Коши, несобствен
!'1ЫЙ интеrрал 'сходится в том ,случае, если ПОДЫJJ1'еrраль
ная функция F (z) дЛЯ Z, близких к ZOTP' удовлетворяет
условию
в
IF(z)1 < (zorP  z)p , (5.115)
rде В  постоянная; р  какоеЛlибо положительное чис
ло, меньшее единицы. Условие (5.115) означает требо
вание оrраниqенности пр,о:изведения
,р (z)1 (ZOTP  z)P при Z  ZOTP'
Положим, что р == 1/2 И вычислим это произведение при
ZZOTP:
Нт [Р (z) (zOТJl  Z)I/2] == Нт .. / za8.;:N z (z)
Z-+ZorР : ZorР V 1
 12
f
.. / dN
JI 80,8 CiZ
350

Отсюда следует, что рассматриваемый несобственный
И.Jlтеrрал сходит,ся везде, [де dNjdz=l='O, и, следовательно,
Zд оrраничено. Интеrрал ра,сходится там, rде dN jdz==O,
а это имеет ме,сто в точке, rде N (z) Nmax. Поскольку
'НР== t / 80,8N m , 1'0, следовательно, при приближении ча
стоты { ,к '{ИР действующая высота Zд должна неоrрани
ченно возраС1'ать. Соответственно зависимость Zд от
частоты f при распр'остранен,ии вертикально направлен
Horo сиrнала в ионосферн,ом слое, изображенном на
рис. 5.1, должна иметь вид, указанный на р,ис. 5.11.
4. Распространение сиrнала по наклонному лучу.
Теоремы эквивалентности
Расомотрим теперь 'случай раопрос"ранения СИI"нала.
с несущей частотой { по наклонному лучу, изображеll
ному на рис. 5.12. До входа в ионосферу и после DbJхсда
из нее луч не И1окр'И'вляе"ся. Участки луча ТМ и NP
А
/ \
dl! 8 \
R
Рис. 5.12. К доказательству
теорем эквивалентности.
преД1ставляют собой Iпрямые линии, причем скорость pac
пространеНIИЯ сиrнала на ЭТ!fХ уча,стках ПОСIl>яtlна и
. равна с. На криволинейнuм YQaCTKe ско рость сиrна ла
переменна и равна VI'P Cпj, rде п}  у 1  80, (2) 
показаl'ель преломления на частоте {. Время прохожде
ния сиrналом 3Toro участка в иоосфере равно
fJ.t === r..!!!.... == J..... 5 .
. J v..p с 111
MN MN
Ниже мы это выражение для д! представим двумя
полезными для расчетов ,способами. Но для этоrо надо
будет воспользоваться двумя справедливыми для пло
скослоистой 'ионосферы соотношениями: nfCos e cos ао 
351

уравнением луча для плоскослоистой среды; fo==fsin 80 
законом секанса (формула (5.32)], rде fo  частота вер-
тикально направленной волны, отражающеЙся на той же
высоте, что и волна на частоте If при уrле 80. П-оказатель
преломления на частоте fo обозначим через п, т. е.
n==, /1  80,8(z) .
V 10
Пользуя'сь этими соотношениями, как видно, из
рис. 5.12, можно написать
t S 
с Щ
MN
l r S  MAN (5116)
с J Ilf cos е с cos 60  с cos 60  с' .
1 r dz  1 5 dz  1 J dz  211  Zo
с J 1lf sfnO c Ilsin6 0  csin6o п'
(5.117)
в (5.117) учтено, что
2'21\ 2 21 8 2 21\
п f SIfi u ===.п,  n, COS == n,  COS U o ===
 . 21\ 80,8N (z) . 2 1\ Х
SIfi uo f2 ж:::Sln U o
Х ( 1  80, 8N (z) \ )  . :1 11 2
2  sш Uoп .
fl siп 60
Равенство (-5.116) определяет 'собоЙ первую теорему
эквивалентности, которая формулируе'f'СЯ следующим
образом. Время прохождения си2налом криво.лuнеUНО20
пути в иQносфере с ерупповой скоростью Vrp==cnf равно
вре.мени прохождения сиенаЛОАt воображаеМО20 тре-
У20льноео пути MAN 'со скоростыо с. Ломаную лин.ию
т АР называют эквивалентным треуzольным путем.
Равенство (5.117) определяет собой вторую теорему
эквивалентности, которая формулируется следующим
образом. Если истинные высоты отражения сиеналов,
распространяющихся по наклонному лучу и. по BepTи
кальному лучу, равны, 10 равнЬ! Аtежду собоЙ II их af'U-
ствующие высоты отражения, т. е. Z'д==Zд.
352

Паскальку уrал наклана луча взят праизвальным, та
эта теарема, очевидна, мажет быть ,сфармулиравана
балее обща. Если истинные высоты отражения двух
различных сиена лов} распространяющихся по двум лу
чам с различным уелом наклона равны} то равны и их
действующие высоты отражения.
Теаремы эквивалентности упращают расчет радиа-
траос, прохадящих через ианосферу. НО аб эт,ом речь
пойдет в следующей rлаве.
5. Скорость распространения сиrнала при учете
ВЛИЯНИЯ,маrнитноrо поля Земли
При перех'оде манахроматической волны из lизатроп
най среды в анизатрапную, в. частности в ионосферу,
как мы видели, праисхадит ее расщепление на две вол
ны, пр,ичем пакаэатель преламления каждай из них ОТ-
личаеся ,ат паказателя преломления изоrрапной среды.
Это азначает, ЧТО' каждая iиз этих валн будет распро-
страняться в направлении, ваабще rоворя, атличнам
от перваначальнаI''О, т. е. ат направления, имевшеrа
ме,ста до входа .в ианосферу. Имея в виду эта ,сущест-
венное обстаятельства, раесматрим случай распростра-
нения. сиrнала в маrнитаакт:иннай ионосфере. В этам
случае каждая из монохраматических валн ,оиrнала рас-
щепляет,ся 'на обыкновенную и неабыкнавенную, каждая
са сваим ,собствен,ны)'d 'показателем преломления и, сле-
довательнО', са своим направлением распрастранения,
отличным ат направления распрастранения друrих 11.10-
нахрамат.ических волн. Иначе rоваря, каждая манахра-
матическая 'вална будет .иметь свай ,волновай вектор k,
отл,ичный от перваначальнаrа волнаваrа вектора в иза
трапной среде. В резуль'тате образуются две rруппы
монахроматических волн, -обыкнt>венных и неабыкновен
ных. Каждая из этих rрупп мажет аналоrична (5.91)
быть  представлена интеrра,ЛОМ. ОднакО' теперь  интеrри
рование далжна производиться не только па величине
вектора k, но iИ по 'era направлениям, 'т. е. эта уже будет
трайнай инт:rрал
Е (.1' I 1) ===. S А (k) е' (wtkr) dkxdkydk z .
(5.118)
Так как ,сиrнал, как tИ прежде,'предпалаrается с узким
спеКТРО!\4, то мажно (J) (k) разлажить в ряд Тейл'ора
231283 353

относительно 'среднеrо волновоrо ,вектара ko, а-налоrично
(5.94), и, таким образом, получить
mt  kr ==(O(ko) tkor+ (k  ko) [grad k (O/k==ko t  r].
ОТСI<?да по аналоrии с фОр'МУДОЙ (5.98) заключаеvr,
что
dr doo I
dt == У тр == grad k (1) (k)k==k o == dk k==ko
(5.119)
есть вектор rрупповой скорости  аниз,отропн-ой 'среде,
в ча-ности, В маrнитноаКТИВ,НОf{ ионосфере. Найдем
ЭТОТ ВЕ;КТОр ,скорости В явном виде. Пусть у == cos а,
rде а 7"""" уrол между направлением вектора k и вектором
постоянноrо маrнитноrо поля Земл,и Но. Тоrда можем
соrласно (5.101) для вел.ичины вектора k написать
выражение
ю
' ==  п «(О, у),
с
(5.120)
rде показатель преломле:ния п может относиться как
I{ обыкновенной, так и к необыкновенной волне. Обозна
чим ,составляющие векторов Vrp И k вдоль и поперекмаr
ниТ'Ноrо 'поля Земли значками 11 и J.. соответ,ственно.
Тоrда соrлЗ'сно (5.119) м,ожно написать
дю дю
Vrpll ==, V  (5.121)
ak" rp.1  дk.1 .
При этом очевидно, что Q) == Ш (k , k н) и ли Ш == (О (k, k .1),
и поэтому учитывая, что k== V kr +k, получаем
dk ==у д(юп) + a(k,,/k)
dk If  с дю ak 11 с ду ak 11 
=:: д (Юfl) + дп (1  у2)
С дю ak " п ду ,
откуда
доо с
V  
тр 11 ..... ak 11 д (юп)
п доо
[ y 'д(yп)  ] .
ду . ду
(5.122)
354

Аналоrично
dk ==у д(юп)  +  дll  (  ) ==
dk.l "(  с дю дk.l с ду дk 1. k
 1 д (юп) дю 1 дп 1 1 2
y У  "(
с дю дk 1. п ду
и
д
д  (пу)
(J) a vl
Vrpl. == дk 1. === с}11  "(2 д (юп) .
n
(5.123)
Соответственно величина-вектора rрупповой скорости
равна
V 2 2 С
V rp === V rpfl +Vrpl. == д (юп)

х
х V 1 + (1 ;,у') (  )'
(5.124)
Косинус уrла между векторо.м rрупповой скорости V rp И
.BeKTopa;\1 k равен
V rp 11"( + vrpJ.. V 1  "(2
COS (V rp , k)==
Vrp
1

v 1 + I п' у' (  )'.
(5.125)
Сопоставляя формулы (5.124) .и (5.125) 'с формулой для
rрупповой СКОрОС'J1и в -случае изотропной среды (Vrp == сп)
видим, что -они не идентичны. Совпаде-ние ,формул имеет
место лишь в -случае поперечноrо распространения
(,\,==0), поскольку n==п(у2) и дn/д'У==О при 'YO. Этим
ОТJ1ичием в 'Тех' случаях, коrда важны количественные
результаты, пренебреrать нельзя. 'Об этом еще будет
идти речь в следующей rлаве. Формулы (5.124) и (5.125)
был-и получены Я. Л. Альпертом.
23 *

rЛА8А ШЕСТАЯ
РАДИОЗОНДИРОВАНИЕ ИОНОСФЕРЫ.
РАСЧЕТ РАДИОТРАСС, ПРООДЯЩИХ
ЧЕРЕЗ ИОНОСФЕРУ И КОСМ,ОС
В наст'оящей r лаве мы изучим методы радиозонди
рования ионосферы и космоса и как интерпретировать
данные рад.иозондирования. Далее мы рассмотрим, как
рас,считывать радиотрас.сы, проходящ:ие через ионо
сферу и космос, на OCHoe данных об эффектах, изучен
ных в предыдущей rлаве, и данных радиозондирования
ионосферы и космоса. '
 1. ИМПУЛЬСНЫП МЕТОД РАДИОЗОНДИРОВАНИЯ
ИОНОСФЕРЫ
1. Вертикал ьное зондирование ионосферы.
Высотноч астотные характер истики
Среди разнообразных радиометодов, разработанных
для ,исследования ионосферы, ,наибольшее распростра
нение получил метод веРl1Икалнноrо зондирования 'Ионо-
сферы радJиоимпульсами. Сущность метода 'состоит
в том, что вертикально вверх в направлении на ионо
сферу посылается ,сиrнал в виде радиоимпульса, так
называемый зондирующий импульс. Если несущая ча
'стота не превосх,одит некоторой максимальной чаетоты,
то .имеет MeCio отражение радиоимпульса 'от ионосферы.
Импульсный метод радиозондирования прежде Bcero
позволяет непосредственно измерить время, затрачивае-
мое им'пульсом на прохождение пути вверх от передат
ЧИI.<а до отражающей области ионосферы и обратно вниз
от этой облаСТrИ до приемника.
В последние rоды верт,икальное радиоз,ондирование
ионосферы производит,ся не только ,снизу вверх, но и
,сверху вниз пр:и пом.ощи радиоустроЙств, помещенных
356

на искусственных спутникх земли (ИС3). Таким абра-
зом, раДlиаимпульсный метод зондирования .ионо,сферы
в принципе не атличается ат харошо извстноrо радио
локационноrо метада. Радиоимпульсное зондирование
ианосферы осуществляется так называемой ионосфернай
станцией.
В ионо,сферную станцию вхадит следующая аппара-
тура:
а) передатчик, rенерирующий радиаимпульсы дли-
тельностью 50 150 мкс 11 с ча.стотой павтарения 20
100 rц. Импульсы имеют пиковую мощность до несколь
ких десятков кВт. Несущая частата может плавно
меняться в широком диапазоне, в большинc;rве ,станций
она меняется в пределах 0,520 мrц;
б) широкадиапазонный приемник с таким же дапа-
зоном частот ПРИНrИмаемых ,сиrналов;
в) широкадиапазонное антеннае устройства, иноrда
'Отдельное Д'ля передачи и приема, например, вертикаль-
ные ромбические антенны с хорошей вертикальной на-
правленностью;
r) индикатарное у.стройство в виде осциллоr.рафа, на
rаризантальные пластины KOToporo подается линейная
развертка с частатой, paBHO ча.стоте павтарения занди-
рующих импульсов.
Станция ра-ботает следующим образом. В момент
излучения зондирующеrа импульса на экране осцилло-
rрафа появляется ero изображение. Через некоторый
интервал 'Времени I1t отраженный импульс попадает
в приемник и на экране осциллоrрафа появляет,ся era
изображение. Типичная картина, получаемая на экране
осциллаrрафа, изображена на рис. 6.1.
DJкала rоризонтальнай разверти оБЫЧНQ прокалиб-
равана не во времени I1t, а в деЙствующих высотах Zд.
Изменяя не.сущую частоту f reHepaTopa, получают зави-
симость действующей высоты от частоты f зондирующе-
ra 'сиrнала. Эта зависимость наЗЫJJается высотно-частот-
нойхарактеристuкой ионосферы (ВЧХ). Эту зависимасть
также ,называют и'оноrраммой. 'Примерный вид высотно-
частотной характери.стии изображен на рис. 6.2.
Паскольку канцентрац.ия электронов в ионосфере
подвержена быстрым ,случайным изменениям, то жела-
тельно, чтобы полный цикл изменения частаты занимал
как мож:но меньше времени. Ваиду этаrо на ,савремен-
ных ионосферных станциях ,снятие выс.отно-частотных
357

характеристик производится ускоренно, автоматически,
и одновре",енно производ.ится фотоrрафирован.ие .изо
бражения 'На' экране осциллоrрафа. Процесс автомат,и-
ческоrо 'снятия харктеристики длится' не более минуты.
Ход высотночастотных характеристик нетрудно
истолковать приближенно на основе рассмотренной вы-
ше теории распространения радиоволн в ПрОСl'ом ионо-
сферном слое. Н самом деле, рис. 6.2 показывает, что
ZA.!(/'1
OO
200
Рис. 6,1. ЗОНДИРУЮЩИЙ и OTpa
женныи импульсы на экране
осциллоrрафа.
3 5 1'; Mrq
Рис. б.2. Высотно-частотная
характеристика.
по мере увеличе,ния частоты, коrда отражение происхо-
дит в пределах участка Е, действующая высота Zд сна-
чала . медленно, а за тем весьма быстро ра,стет. Это,
соrла,сно изложенному в предыдущем параrрафе, озна-
чает, что концентрация электронов с увеличением высо-
ZA .К/'1
ох
Лето/'1
OO
РИС. б.3. Типичная высотно-ча-
стотная характеристика летом
на средних широтах.
200
3
5
7 r,l1rц
ты монотонно ра,стет, достиrая при наибольшей частоте,
на которой еще возможно отражение на участке Е, мак-
симальноrо значения N тE .
Как меняется концентр'ация электронов выше мак-
симума N тE в непосредственной ,близости к нему, по
высотночастотной характеристике установить нельзя.
Несмотря на то, что концентрация электронов выше
358

максимума N тE может .и не совпадать .с кр'ивой распре-
де,,1ения, изображенноЙ на рис. 5.1, область ионО/сферы,
соответствующую участку Е высот:ночастотной характе-
РИС'I1ики, IПрИНЯТО условно называть 'слоем (.В данном
случае слоем Е). ·
с дальнейшим увеличением' ча,стоты этот нижниЙ
слой Е становится пр'озрачным. Участок характеристи-
ки F 1, а затем и участок Р2 почти повторяют уча,СТ6К Е,
т. е. этим участкам тоже соответствуют определенные
с указанными выше оrоворками ионосферные .слои.
Поэтому высотночастотную характеристику, изображен
ную на рис. 6.3, истолковывают следующим образом.
По мере увеличения частоты сиrнал сначала проходит
нижний слой Е, т. е. сначала этот 'слой становится для
сиrнала прозрачным; после чеrо он попадает в слой
с большим мак,симумом концентрации электронов F 1,
а затем и в СЛОЙ F2 'с еще большим максимумом; при
дальнейшем повышении частоты сиrнала прозрачным
становится .и слой Р2.
Т,ипичные для 'редих широт высотночастотные ха-
рактеристчки для дневноrо времени изображены на
рис. 6.3 и 6.4. Из этих рисунков видно; что на Iсредних
Е
7
9
11 f',иrц
ZA,J<11
'1-00
200
f
3
Рис. 6.4, ТИIll1!II-JUЯ ВЫСОТlIOЧUСТОТIrая харшпер"стика зимой 1Ia
средних широтах.
ш,иротах летом днем существует три ионосферных слоя:
Е F 1 и Р2 а зимой  только два 'слоя: Е и Р2. На ри
сунках Iиндкс О относится К обыкновенной волне, а Х 
к необыкновенной волне.
Слои Е и Р2 существуют Kpyr лосуточно на в-сех ши-
ротах. Слой F 1 ,существует только днем, причем в эква-
тор,иальноЙ зоне  круrлый rод, в средних широтах 
преимущественно летом, а в ,северных широтах  только
летом.
359

Соrласно данным, получаемым по выеотно-частотным
характеристикам, примерные значен-ия критических ча
стот для сл'оев таковы:
. . 'кр == 4 мrц,
.. . fKP === 5 мrц,
{ fx p ==9 мrц летом,
fKP == 12 мrц зимой.
Однако эти значения, 'как увидим далее, MorYT меняться.
Критическая ча.стота для слоя F2 является критиче
'ской для всей ионосферы.
На р,ис. 6.5 приведена некоторая ВЧХ, полученная
при зондировании ,и,оносферы сверху 'с ИСЗ. Числа по
О
Слой Е. .
СЛОЙ Fl .
СЛОЙ F2 .
500
Рис. б.5. Типичная ВЧХ пр\.{
зондировании ионосферы свер-
ху с ИСЗ.
1000
1500
2
q.
5
8 т,l1rц
осч .ординат обозначают расстояние, отсч,и-тываемое от
спут,ника до точки отражения. Очевидно, что крит,иче-
ские частоты (для ,сл'оя F2), полученные при зондиро-
вании СllИЗУ Iи сверху, должны совпасть.
2. Расчет распределения концентраЦИI:f электронов
по высотно..частотным характеристикам
1. Сначала ра,ссмoQТрИМ этот вопрос, пренебреrая
влиянием маrнитноr.о поли Земли. В этом случае, ПРI\
зонд.ировании ионооферы сн.изу, имеем
Z. (f)zo+ 'S. d: 
O
%ОТР
:=::Zo+ J
Zo
dz
.. / 80,8N (z)
r 1  {2
(6. t )
360

Так как 80,8 N (z) --------: f (z), то существует обратная функ-
ция
2 dz 2 dz d
z==z(f N ); dz==dfN==2fN f N .
dl N dl N
Учитывая дале, что на высоте zoтp, rде происходит
отра...кение,
f N == V 80 ,8N == f,
(6.2)
а на высоте z == Zo' f N == О имеем
Zoтp
Z.(f)z.+ f S dz == Zo +
v 12  '
Zo
f
+fS dz ({) df
df V '2  '
о
Если теперь умножим части последнеrо равенства на
(f  f2)1/2 и проинтеrрируе\f по f в педелах от О да fl'
то получим
S
о
,." . f 1
ZAdf  s Zo df S  x
v ff2 V f2f2 + v ff2
О 1 О
f
X S dZ(f)  .
df Vf 2  '
о
Учитывая форму области интеrрирования (рис. 6.6), двой.
ной интеrрал можем преобразова'l'Ь по формуле Дирихле
следуюм образом:
11 " ,
S df S dz (f) fdf
V '  {2 d[ V [2  '
о о
'1 ,.
S dz (f) 2 J I fdf
== dfN lI(ffl)(fIf)
о 'N

361

Внутренний интеrрал после замены переменной по формуле
f2  f2
x== леrко берется  он оказывается раАНЫМ '1t/2.
f 1 fN
Еще проще вычисляется первый интеtрал справа: он ра-
1t
вен Zo т. Таким образом, находим
fl f
j ' dz (f) 2 2  5 1 Zp. ({) df
Zo + df 2 N df N === Z ({l)::: 
V f  (2
О U
Введя 'переменную 1=={1 sin 'Ф »отбрасывая iИндекс« 1»,
окончательно ,находим и.скомую функцию
,,/2
Z(fN)==Z(f)==+ S Zд(fsin)dcf.
о
Вычи.сление интеrрала выполняется путем числен-
Horo интеrрирования. Для этой цели интервал О+п/2
разбивает,ся на 'ряд ра'вных промежутков.  В ' большин-

Рис. б.б. ОБJI3СТЬ Иl-М'еrри'рова-
НИЯ.
r; f
стве случаев можно оrран.ич-иться пятью промежутками,
длина каждоrо из которых 180. При эт-ом 'орди.наты
подынтеrральной функции 'берут для 'середин промежут-
кч-в, т. е. для ф==9, 27, 45, 63, 810. В результате полу
чают ,следующую пр'Остую формулу для вычисления z(f):
z (п==+ + т (Zд (О, 156f) + Zд (О,454Л +
+ Zд (0,707f) + Zд (0,891f) + Zд (О,988{)].
. (6.3)
3б2

Процедура вычисления распределения канцентрации
па этой фармуле 'сводится к следующему. Д'опустим,
требуе'J1СЯ ,найти -ист,инную высоту Z, ,на которой про-
изошло отражение ,сиrнала частоты ,f. Сначала по высот-
но-ча,стотной характеРlистике 'находим орди.наты ZД, ко-
торые со.ответствуют абсциссам, указанным в круrлых
скобках, затем пр'оизвадим остальные операции соrлас-
но (6.3). Концентрацию элктронов на этой выс'оте Z
рассчитываем 'по формуле (6.2). П риведенный метод
расчета был выполнен Эплтоном.
2. Перейдем теперь к пересчету ВЧХ в N (z) при
учете маrн.итноrо поля Земли. В этом случае вертикаль-
ная ,составляющая rрупповой ,скорости как для обыкно-
венной, так и для необыкновенноЙ волны соrла,сно
(5.124) и (.5.125) равна
С
v rpr === v rp cos (vrpk) === д (J)I1)

С
........ д ((п)
дf
Отсюда следует, что действующая' высота отражения
сиrнала от ионосферы при ее вертикальном зондирова-
нии будет равна
ZorP 20Т'
Zд (f) === Zo + S VrCp:z dz ===Zo.+ J Р д ;l) dz. (6.4)
zo 20
Отражение происходит .на высоте ZOTpJ rде подынте-
rральная функция обращается в бесконечность. Как
видно из (6.4), это будет 'иметь место, как .и в 'случае
отсутствия влияния. маrнитноrо поля Земли, при п == О.
ДЛЯ обыкнавенной .волны незав.исймо от величины
маrнитноrо поля Земли показатель преломления равен
нулю па высоте ZOTP, rде плазмнная частота равна не-
сущей частоте ,сиrнала, т. е. ,fN ==f. Для неабыкновенной
волны п==О на высоте ZOTP, rде
f N  f V I + f " ,
причем верхний знак относится к сл'учаю tHuo<f, а ниж
ний К случаю f Но >1.
З6З

Подразумевая под f Но какуюлибо из этих трех плаз-
менных частот, вместо (6.4) можем написать
12
N o
S д ип) dz 2
ZA(f)==ZO+ дfdj2 d f N ==zo+
о N
fN o
+ 2 S д ((п) dz f d f
дf df2 N N.
О N
(6.5)
Очевидно, что
dz 2
df ==y(fN)
(6.6)
есть искомая функция, определяющая распреДf'ление кон-
центрации электронов по высоте N (z) (f == 80,8N (z)), ибо
если известна эта функция, то, проинтеrрировав ее по
f 2 u
N' можем наити
z == z (f).
Подставив (6.6) в (6.5), пuлучаем
IN o
 2 J ,d ({п) 2 d
Z д (f)  Zo . f N  У (f N) f N.
О
(6.7)
(6.8)
Учитывая (6.2), видим, что соотношение (6.8) для обык-
новенной волны представляет собой интеrральное урав-
нение Вольтерра первоrо рода. В случае необыкновен-
ной волны, как можно показать путем соответствующеrо
преобразования переменной f, соотношение (6.8) тоже
сводится к интеrральному уравнению Toro же типа.
Существенно, что ядра этих уравнений, как и ядро
дап)
K(f, fN)==2fN'
соответствующее уравнению (6.8) для обыкнопенной
волны, синrулярны, т. е. обращаются под интеrралом
в бесконечность при некоторых значениях переменной
интеrрирования.
Методы решения уравнений Вольтерра разработаны
только для случая ядер специальноrо вида, к которым
364

ядра рассматриваемых здесь уравнений не относятся.
В виду этоrо возникает необходимость изыскивать опе
циальные методы приближенноrо их решения. Прежде
Bcero важно преобразовать эти уравнения таким обра
зом, чтобы ядра оказались несинrулярными.
В дальнейшем, опуская второстепенные детали, при
ведем выкладки только применительно к обыкновенной
волне. Проинтеrрируем обе части уравнения (6.8) по f
в пределах O+f1 и получим
'1
f (f1) === S [Zд (f)  o] df===
о
11 f N o
2 r r д ап) 2 d
=== J df J fNat Y(f N ) f N .
о О
(6.9)
Область интеrрирования этоrо уравнения изображена
штриховкой на рис. 6.6. Меняя в двойном интеrрале
порядок интеrрирования в соответствии с рис. "6.6 и BЫ
полнив интеrрирование по fN, получаем
'1 f1
F (f1) === 2 \ У и) fNdf N S д jll) df ===
о . о
f1
=== 2.\ У (f) f Ndf N (fп I f1  flllfNo ).
fN o
Поскольку fп / , == О, то отсюда следует
N o
f
F (п == 2 S у (fv) fп (f N' f) f,vdf,v
о
(6.1 О)
(индекс I у f1 опущен). Таким образом, мы получили
снова уравнение Вольтерра первоrо рода, но с несинrу-
лярным ядром
К ([, f N) == 2f n ([, f N )f N.
Блаrодаря этому нахождение аппроксимации функции
У (f) значительно упрощается и устраняется возможный
источник больших ошибок приближенноrо решения ypaB
нения, таящийся в синrулярности Я)J.ра. Приближенное
решение уравнения (6.10) находим следующим образем.
365

Разбиваем весь интервал частот 0+1 на достаточно Ma
лые, не обязательно равные, промежутки
fi==fifi1
и уравнение (6.1 О) представляем в виде следующей пол
l-IОСТЬЮ ему эквивалентной системы уравнений:
i '
F(fi)===fi  5 пи, f)y(f) df, (6.11)
k==[ f", 1
i===l, 2, 3, 4...
Далее, к каждому интеrралу применяем теорему о cpeд
нем и вместо (6.11) получаем уже алrебраическуlO си
стему уравнений [32J
i
F (f t-) == f i L п (fk' f:) Afak'
k==l
i === 1, 2, 3...
(6.12)
относительно неизвестных величин.
a1t === У ( fk )'
(6.13)
rде
 f 2 === f + f [ Af2 === f2  f 2
Nk 2 Nk 11. 11.  1
(6.14)
Блаrодаря соотношению (6.14) в системе (6.12) все ве-
личины, за исключением ak, известны. Поэтому решение
этой системы найти просто. Из первоrо уравнения (6.12)
находим аl и HaдeHHoe значение подставляем во второе
уравнение, из KOToporo определяем а2. И так, последо
вательно находим все ai. Так как ai есть TaHreHc уrла
наклона кривой (6.7), то по найденным значениям ai
'нетрудно построить кривую N (z). Ясно, что построен
ная таким образом кривая тем точнее аппроксимирует
искомую зависимость N (z) , чем меньше интервалы
{i == f ifil.
Для выполнения расчетов необходимо располаrать
зависимостями п(f, fN, НО, а). На рис. 6.7, 6.8 приведе
ны HOMorpaMMbI, с помощью которых можно определить
.все нужные коэффициенты в системе уравнений (6.12)
только по данным ВЧХ.
366

На этих,. рисунках обозначено: v == f/f2, U L == f/j2 Х
Х cos 2 a, и т == f)f2 sin 2 а и соответственно показатель
преломления здесь представлен в виде
п'n; == 1  о( 1  2(1V) +
-+YU L + ( 2(1V» )' т
(6.15)
3. Выше мы рассмотрели методы пересчета ВЧХ
в профиль N (z) в случае, коrда Zд (!) монотонно воз-
растает 'с частотой j, чему соответствует монотонное воз-
рас.тание концентрации электронов N с высотой z. Од.
нако ВЧХ содержит информацию и о впадинах концен-
трации электронов в .профиле N (z). Рассмотрим, начала
качественно, связь между профилем N (z), из.ображнным
на рис. 6.9, и ВЧХ, а затем ,опишем ,соответствующий рас-'
<.c::,  C\,j..... 
C';:)C';:). . 
 1.11.l.!
i\
\
\. ur<.f
'\
'
,, \
K \
,\
 \
L\
0,6 'и
t--

\ ,\ \
.
 
I
2 0.95 I;"""-.J 0,2
..... / 0,2'
I ;
1 Y1 /1 0,6
X
Т , ?{) ;: :
I
Рис. б.7. HOMorpaMMa показателя преломления для обыкновенноiI
волны при ит < 1.
367

сматриваемому здесь случаю метод пересчета ВЧХ
в профиль N.(z). Характерным ,для этоrо профиля
является наличие на высоте Z1 нижнеrо частноrо макси
мума концентр .ации эле ктронов N m1 . Очевидно, что при
частотах f< V 80,8 N m1 ==fm1 отражение происходит на
высотах Z<Z1 и пересчет нижней ча'сти- ВЧХ в профиль
N (z) ДО высоты Z1 может быть 'Про'Изведен спо-
собом, описанным выше. При частотах f>fmt отражение
происходит на высотах ZOTp>Z2>Zt, rде смысл Z2 ясен
из рис. 6.9. Выражение для действующей высоты OTpa
жения здесь предста,вляется в виде
21
Zд (п c/},t ([) [Zo + J д ;l) dz+
, 20
21 20ТР
+ S д ({п) dz+ S д ((п) dz ]
д! af'
ZI 21
t1L =10 9 8 '18 S 4- 3 2 t О
2
I , 1\ \ i\
\ \
\ i\ lIТ  f
\I\ \ \ \
-\ .\\ ,\ \ '" \! . 
\ \\\ \\ v \ .
. .   \\1  f\
. . "  I  1"\ \
,
" :;;;  \
I\
4 3 2 ........- "/  0,2 0,6 / v

 .....-- ,.,...- /' /J VI 0,2
V
1, ,/ //'
o,yC:  0,6
.,,/ "'!.
 .  '\
<;) 'А. / /,
 / '7V//J !
L <i .  и
(6.16 )
.
368
Рис. 6.8. HOMorpaMMa показателя прело мления для .обыкновенной
волны при иT 1.

Смысл интеrралов  это умноженные на с промежутки
времени, затрачиваемые сиrналом на прохождение xa
рактерных отрезков высот (рис. 6.9). Так, например, BTO
рой интеrрал определяет собой время, затрачиваемое
импульсом на прохождение впадины.
Рассмотрим качественно как должно меняться Zд (f)
с изменением частоты. При небольших частотах f OTpa
жсние происходит на высотах Z<Z! (рис. 6.9) и вели-
чина Zд а), определяемая выражением (6.1), с увеличе-
нием частоты будет монотонно возрастать, пока ZOTP не
станет равным Z!.
При частоте f  f тl === V80,8N mJ на высоте ZOTP === ZJ
функция Zд а) терпит разрыв, который, как известно
из теории отражения импульса от пара,боличеlскоrо слоя
[3}, тем больше, чем толще нижний слой или иначе, чем
d 2 N I
меньше  d :11 .
Z %=%1
При увеличении частоты на сколь уrодно малую ве-
личину по сравнению с fm! сиrнал проникает во впади-
ну, rде rрупповая скорость' становится отличной от нуля
и принимат тем большие значения, чем rлубже впа
дина.
Соответственно Zд(f) после разрыва уменьшается и
это уменьшение тем больше, чем ,rлубже впадина. Оче
видно, что на величину этоrо уменьшения влияет и ши-
рина впадины Z2Z!, Чем шире впадина, тем на MeHЬ
шую величину уменьшается Zд(f). Таким образом, Ha
блюдаемое уменьшение Zд а) после разрыва вблизи ча
стоты fm! есть результат ПРОТИВОП<1ЛОЖНО действующих
факторов  rлубины и ширины впадины.
При увеличении частоты f на большую 'величину из
менения Zд(f), обусловленные этим увеличением, OKa
зываются столь большими, что они маскируют влияние
впадины. Рассмотрим качественно, как при этом corJIac.
но (6.16) должно изменяться Zд(f).
Сначала с увеличением частоты как первый, так и
второй интеrралы будут уменьшаться. Третий же инте-
rрал будет увеличиваться. Это приведет к тому, что сна-
чала с увеличением частоты Zд(f) будет убывать, а за
тем при некоторой частоте убывание первых двух инте-
rралов может быть скомпенсировано Iвозрастанием тре.
TbeI'o интеrрала и дальше с увеличением частоты Zд (f)
будет возрастать. В результате действия всех указанных
241283 369

факторов функция Zд ([) будет представляться кривой,
изображенной на рис. 6.10.
Из излаженных саображений ясна, чтО' инфармация
а впадине в наиболее чистом виде содержится в ВЧХ
вблизи частоты fmt; величина перепада дZд и интервал
частот ilf (рис. 6.10) в основнам определяются rлуби-
z
ZA
Z. 
I I
I
о Нт! N
Рис. б.9. Профиль 'l<онцен 
трации электронов со впа-
диной.
о
IJf
f
РИ1С. б.lО. Высотно-чаlCто:rная
характеристика при наличии
впадины в профиле KOHцeHTpa
ции электронов.
ной и шириной впадины в прафиле N (z). Чем rлубже
впадина, тем больше величина 'Zд; чем ана шире, тем
Zд меньше.
СущеСТ>l:Jенным для оптимальноrо метода пересчета
ВЧХ в N (z) iПрофиль является математическая модель
впадины. Наиболее простая математически и физически
корректная аппраксимация впадины, абеспечивающая
непрерывность праизводных и физических процессов на
ее rраницах (на высотах Zt и Z2) есть палином третьей
степени
N(z) ==Nmtа(ZZt)2+Ь(zzдЗt (6.17)
rде а>О, Ь>О. 
Так как коэффициент а определяет скорость убыва
ния концентрации электронав на высотах Zt +:zc
(рис. 6.9) t а коэффициент Ь  скорасть ее вазрастания
на высатах Zc +1Z2t то оба эти коэффициента савместно
определяют rлубину и ширину впадины. Очевидна, что
палином (6.1-7) адновременно является аппроксимацией
N (z) прафиля и 'вне впадины при высатах Z>Zt, на не
слишкам удаленных от ее rраницы.
Таким образом, - ВЧХ содержит достатачно полную
информацию о параметрах впадины, аппроксимируемой
полиномом (6.17).
370

Итак, при чстотах f>fтl левую часть уравнения
ZI
J д ((п)
F ([) === Z д (f)  Zo  дf dz ===
20
22 %отр
 5 д ((п) dz + ' 5 д ап) dz
 .af af
Z. Z2
(6.18)
мы можем считать известной. При этом частоту f бу-
дем полаrать мало отличающейся от fтl. Задача COCTO
ит в том, как, пользуясь уравнением (6.18) и ВЧХ, 'най-
ти параметры впадины, т. е. Найти коэффициенты а и
Ь полинома (6.17), который в дальнейшем' будем пред
ст.авлять в виде
N(z) ==N(x) ==Nтlах2+ЬхЗ (X==ZZI),
Перейдя R правой части уравнения (6.18) к интеrриро-
ванию по плазменной частоте fN и, проинтеrрировав обе
части уравнения в пределах O+f, получим
f 
5 [ 5 д ((п) ]
F 1 (f) == Z д ([)  Zo  дf dz df ==
о Zo
· f 22 f 2отр
== J J д п) dzdf + S S д ffn) dzdf.
о ZI О 22
(6.19)
в первом интеrрале справа, поскольку ZI и Z2 от часто-
ты не зависят, мы просто меняем порядок интеrрирова-
ния. Во втором интеrрале, учитывая зависимость ZOTP
от частоты, производим замену 'Переменной z в соответ-
ствии с (6.6) и иопользуем формулу Дирихле интеrри
рования двойноrо интеrрала. В результате /Вместо (6.19)
получаем
22 f2
Р 1 ([)===! S пdZ+f f dz пdf2
. df N'
2. ,2
т.
24-
371

или, перейдя к переменной x==z  z.,
хо f2
F I (f) == f S пdx + f S d: пdf,
df N
О ,2
тl
(6.20)
rде XO==Z2Z1  ширина впадины. Очевидно, что эта ши
рина представляет собой ненулевой корень уравнения
ax2bx3==O, т. е. xo==ajb.
В (6.20) в первпм интеrрале справа также целесооб
разно перейти к интеrрированиюпо'переменной f, однако
тоrда нижний и верхний пределы окажутся одинаковы
ми. Для 1'oro чтобы обойти эту трудность предваритель
но разобъем интеrрал на два, причем точкой разделе
ния примем значение хс, при котором
dN /dx==  2ах с + зьх 2 ,
с
т. е.
хс== ; (а/Ь) ==+ хо'
в результате получим
,
с
Р 1 (f)== f S п d; df+f
d[N
,2
т,
/2
т !
r п dx d f 2 +
J d [2 N
2 N
'N
с
f2
+ f r п d: df,
J df N .
Р т ,
r де f N  значение плазменной частоты На высоте Zc ==
с
== z. + + ХО' в подынтеrральных выражениях перейдем
к персменной и== f!f2, при постоянной частоте f, и полу
чим
V c VJ 1
+ Р. (f)=== S п : dv + S п : dv+ S п : dv, (6.21)
о, о. 01
372

rде
f1 80,8N m1 fc 80,8 (N 2 + Ь 3 )
V 1 === 7:=: о с ===т==т тl  аХа Хс ===
== 82,8 (N m1  2 у) ===и 1 (1  qy),
 4  . З jЬ 2
q 27N m1 ' у a .
Из соотношения Zc==Zt+2/3XO следует, что для точноrо
расчета N (z) требуется обратить уравнение
 (х) === 8f2,8 (N m1  ах:! + Ьх З )  и=== О
и найти функцию X==CPt(V). Для этоrо нужно решить
уравнение qJi(X). В этом случае получаем весьма rpo
.моздкие выражения для производной dxfdv ==ср' 1 (и). Oд
нако, не теряя общности, можно упростить вычисления.
Будем считать 'производные dx/dv 'Лод интеrралами
в (6.21) постоянными и равными их средним значениям.
В первом интеrрале положим
dx 2' Ха 12 Ь
dV "'""3 иcиl == 18ti2'
а в последnих двух
dx 1 Ха fI ь
'"(jQ  3 [11  [10 == 36li2.
е результате получим
V c V 1 I
IS F1 f V) ==  (s n(v)dv++ Sn(v)dv++Sп(V)dv)
V 1 'lIc 'lI 1
или
V 1 1
18 F;f) == .; (+ J nv)dv+ + S п (V)dv).
V c 'lI 1
Целесообразно воспользоваться равенством
'lI 1 1 1
5 п (и) dv ' j п (и) dv..... 5 n (v) dv
О. О. 01
З7З

пuследнее соотношение представить в виде
 F 1 (f) ===  ( + S n (и) dv  S n (V)dV ) . (6.22)
V с 'V 1
Беря частоты '1 и fз на интервале ! (рис. 6.10), полу
чаем отношение
fFl ((1)
f F 1 (f 2 )
I 1
+ J п (v) dv  S п (v) dv
tl с (1.) 'V. Н.)
I 1
+ J п (и) dv  J п (v) dv
V c (12) V. (12)
(6.23)
Это отношение, поскольку ис == v (у, f), представляет со-
бой "pa,н,cцeH,дeHТiHoe 'ур'аlвнение относителыно у. Это
Lg iP{!J, fJ
 f'
 fz
tg {r.rt,}   {
fzFf(t,)  s=q.y
I
У О
Рис. б.ll. СхематическиiI 'вид
HOMorpaMMbI 'для решения
тр ансцендентноr о ур аlвнения
( 1/80 8N )
(б.23) f== У 'v 1 т} .
s
уравнение можно сравнительно просто реШИ1'Ь rрафи
чески и определить искомое у. В самом деле, как He
трудно видеть, функция
1 I
Ф.(у, п=== + S n(v)dv  S n(v)dv
tI (и. 1> VI (п
374

положительная и растет с увеличением у. Поэтому ее
можно построить в полулоrарифмическом масштабе, OT
кладывая по оси абсцисс s==qy, а по оси ординат
Ig Ф (у, и1). Семейство кривь функции [y, иl (1)] будет
иметь примерно такой вид, как показано на рис. 6.11.
Поскольку для частот f1 и f2 кривые функции Ф(у,
и1 ({)] известны, 'То путем перемещения обычной маlСШ
табн,ой линеЙки параллельно оси ординат нетр,удно най
ти значение у, при котором удовлетворяется равенство
(6.23) . .
По найденному уо, учитывая (6.22), находим искомое
a  ( fФ{уо, f1) ) 2 ( fФ(уо, f2» ) '2
 Уо 18F 1 ({1)  Уо 18F 1 ({2) .
Далее, из выражения у === а З ( Ь 2 , получаем
ь === V аЗ ==  ( fФ (Уо. f.) ) 3
Уо y 18F 1 ({1) .
Таким образом, распределение конu:ентрации электронов
во впадине определяется формулqй 
N(  N 1 ( fУФ(уо.f1» ) 2 2
z)  т1  у-; 18F. ({.) (z  zJ) +
+ ..J.... ( fУФ(Уо, fJ) ) 3 (  ) 3
Y 18F (fJ) Z ZJ'
а неизветная высота Z2 равна
+ 18F1 (1)
Z2===ZJ уо f 3Ф { f ) .
1 Уо..
Перейдем к расчету N (z) выше впадины. Теперь
в ураlв'НенИ'и (6.16) первые два 'интетрала IfIра l ВОЙ части
известны, поэтому перенеся эти известные интеrралы
в левую часть, получим уравнение
%1 2. 20ТР
Z ( f)  Z  S д ((п) dz  r д ап) dz  S д ап) d Z
д . о af J дf  дf '
20 %1 2.
375

которое аналоrичным .образом, как это было сделано ра-
нее, тоже СВQДИТСЯ к уравнению Вольтерра первоrо рода:
ZI Za
Z (j ...............  S д ((п) d  S д ип) d 
Д' Zo д! Z д! Z 
Zo %1
1
==2 S f N дп) y(f)dfN;
1 т1
Для TOrO чтобы устранить синrулярность ядра, произ-
ведем преобразование этоrо уравнения. Проинтеrрируем
обе части уравнения по частоте f в пределах от fm1 до
f1 И получим
11 ZI
F (f.) == S [ ZA (f)  Zo  S д п) dz 
1т. %0
Z. '1 1
s дп) dz]df===2 S df S f N дп) ydf N .
 1т. 1т.
Двойной интеrрал IIреобразовываем по формуле Ди
рихле:
11 '1
F (f.) === S fNy (f)dfN S д п) df===
, тl 1 N
'1
=== 2 S f NY (f)(fп /'=='1  fп 1,==fN) df N"
1т.
Поскольку fпl,==fN==O' то (опуская индекс .1") получаем
,
F (f) == 2  У (f) ff N п (р', f) df N' (6.24)
f т.
Сравнивая ура,внение (6.24) с уравнением (6.10),
видим, что они отличаются друr от друrа только ниж
ним пределом интеrрирования. Это отличие несущест
венно и оно скажется .лишь в TOM, что при приближен
нам ero решении тем же методом, т. е. при сведении
уравнения (6.24) к алrебраической системе (6.12), BMe
сто foO следует брать fo==fm1'
376

3. Возвратно"наклонное З0ндирование ионосферы.
Дистанционно..частотные характеристики
Наряду с вертикальным зондированием произодит
ся и возвратнонаклонное зондирование ионосферы. Суть
TaKoro зандиравания састоит в том, ЧТО' ионосфера зан
дируется не в вертикальном направлении, а пад праиз
вальным уrлом. При э.том сиrнал отражается ат иано
сферы, дохадит до па,верхности земли, рассеивается He
равностями земнай поверхнасти во все стораны, в там
числе и в направлении на ианосферу по пути первичнай
в.олны. Этот рассеянный сиrнал, атразившись от иано-
сферы, принимается приемным устройствам станции ваз
Рис. 6.12. Эффект Кабанова.
Возвратно-наклонное зондиро-
вание ионосферы.
вратнанаКЛОННОf'а зондирования (рис. 6.12). Вазмаж-
насть вазвра'Тно-наклоннаrо зандиравания (ВНЗ) и-ана
сфе'ры, как вид.и'М, а'бусловлена рассеЯН1ием радиавалн
земной паверхнастью. Как была указано в тл. 2, атраже
ние ат реальнай паверхна'сти земли, 'CTpora rаваря, явля
еl'СЯ не зеркальным, а паЛ)'1раосея'н/ным. Чем больше :по
сра,внению с длинай валны размеры неравностей земной
паверхнасти, тем бальше характер отражения отличается
ат рассеяннаrа. Ввиду этаrа да сравнительно неда-внеr.о
В'ремени казалось .саМJ:Iительным, чтабы ,на каратких вол-
нах рассеяннае атражение ат паверхнасти земли имела
какоелиба пра]{тическае значение. _
Паэтаму вазвратнанакланное зандиравание ианосфе
ры начала применяться сравнительно недавно лишь по
сле экспериментальных исследавании Н. И. Кабанава,
вы'плненныыx им в периад 194,6ll.g48 rr. [126].. Этими
исследованиями была даказана вазмажнасть наблюд.е-
ння в месте передачи «вазвратных», рассеянных 'ПО'верх
настью земли на бальших расстаяниях в тысячи кило-
метрав сиrналав на карат'ких валнах (эффект Кабанова).
Вазвратнао,накланнае З0ндирав'ание ианасферы пра
И'звадится станциями ВН3, аналаrИЧНI:>IМИ ианаофер-
ным станциям, осуще/ствляющим верти'кальнае з'анди
р,О'вание (83), на отличающимися ат паследних CBa
ими техническими лараметрами. В станциях ВН3 ча-
377

стота повторений импульсов в несколько раз меньше,
а мощность в несколько раз больше, чем у станций ВЗ.
Диапазон рабочих частот также больше диапазона ра-
бочих частот станций ВЗ. Вообще rоворя, желательно,
чтобы этот диапазон был в 3 раза больше диапазона
станций ВЗ. Однако из-за переrруженности диапазона
КВ рабочий диапазон ВНЗ меньше указанноrо числа и,
кроме Toro, -по той же причине изменение частоты про-
исходит не плавно, а скачками.
Антенны станции ВНЗ, по сравнению с антеннами
станции В3, должны обладать более высоко направлен-
ными свойствами излучения и приема, чем антенны В3,.
Одним из наиболее важных назначений станции ВНЗ
является получение так называемых дистанционноча
стотных характеристик (ДЧХ). ДЧХ в терминах, YCTa
новлнных в rл. 5, представляет собой зависимость ра-
диуса зоны молчания от частотЫ или, иначе, зависи-
мость дальности падения отраженноrо от ионосферы
луча от максимальной применимой для этой дальности
частоты.
Снятие ДЧХ можно производить В соответ,ствии с 'из-
ложенным в п. 2  2 rл. 5. А именно, на заданной часто-
те увеличивают уrол возвышения и фиксируют на инди-
каторе время запаздывания воз'вратно-наклонноrо сиr-
нала, коrда он исчезает. По этому 'времени запаздыва
ния путем простоrо пересчета, считая верными теоремы
эквивалентности, определяют дальность D по поверхно
сти земли  радиус зоны молчания.
Произведя такие же операции для нескольких рабо-
чих частот и получают нужные данные для построения
путем интер'по.l\ЯЦИИ ДЧХ.
Образ'ец такой ДЧХ приве
'де,н на рис. 6.13. Однако
П-РИllципиально можно полу
чить ДЧХ И 'при друrой си-
туации, возникающей  том
случае, если диа,rрамма на-
правлености антенны TaH-
цИИ В!"13 достаточно широ
'кая и ее можно считать He
J-Iа'правленной в достаточно
больших пределах уrлов.
Рис. б.13. Типичная дистан-.
циовно-частотная характерн- В этом сл'учае изменяют
стика. рабочую частоту и при каж-
"I1Тц
20
15
10
5
1000 2000
D,1<1'1
378

дом ее значении отмечают на индикаторе время запаз
дывания цереднеrо фронта импульса. По этому времени
аналоrично т{)му, как это делается в предыдущей ситуа
ции, считая D равной дальности по лучу, определяют
радиус зоны молчания и строят ДЧХ. Доказательство
возможности получения ДЧХ в этой ситуации состоит
в следующем. Из строrой теории отражения радиоволн
от л'инейноrо слоя (см. rл. 3) явствует, что радиоволна
отражается от ионосферы как бы зеркально с коэффи
циентом отражения по модулю, равным единице, т. е.
первичная сферическая полна, создаваемая точечным ис
ТОЧНИКом при фик'сироваlШОЙ частоте, отражается по
такому же закону (если иrнорировать отличие в фазе
коэффициентов отражения), что и в случае отражения
от идеальноrо проводника. Однако такое отражение co
rласно лучевой трактовке происходит лишь до тех пор,
пока несущая частота меньше или равна МПЧ. При
большей же частоте, как мы видели в предыдущей rла
ве, дальность падения отраженноrо луча окачком YBe
личивается или луч совсем выходит за пределы ионо
сферы.
Из рассмотренных способов построения ДЧХ видно,
что в случае сферически слоистой ионосферы по ДЧХ
должны ,достаточ'но ТОЧIНО определяться МПЧ и ,неС'коль
ко менее точно соответствующие им радиусы зоны мол-
чания l;Iезависимо от ширины диаrраммы напра,вленно
сти антенны. Однако очевидно, что более широкая диа-
rpaMMa направленности антенны означает меньший энер-
rетический потенциал станции ВН3. Станции ВН3 по
зволяют также, как впрочем и станции ВЗ, получить
информацию и о поrлощеllНИ радиоволн, однако мы на
этом останавливаться не будем [26].
 2. МЕТОДЫ РАДИОЗОНДИРОВАНИЯ ИОНОСФЕРЫ
И КОСМОСА, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ РАЗЛИЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Из изложенноrо в предыдущем пар.аrрафе. видно, что
с помощью импульсноrо метода радиозондирования с по-
верхности земли можно определить ход концентрации
электронов только до максимума слоя Р2. Что же Ka
сается концентрации электронов во внешней ионосфере,
т. е. выше максимума слоя Е2, то ее нельзя определить
при помощи радиозондирования с поверхности земли. Ра-
379

зумеется, можно, как уже была сказа,на, прнменить ИМ
пульсный метод для зандиравания ионосферы сверху.
ОднакО' эта требует установки rрамоздкой аппаратуры
ионасферной станции на ИСЗ, поэтому импульсный Me
тад радиозондиравания ианасферы сверху пака не палу
чил распространения.
Для определения канцентрации электранов во внеш
ней ионаClфере используют,ся еще Дова радиометода, ко-
торые далее анаЛИЗИРУЮТ1СЯ. Мы также рассмотрим при
менен'не эффекта Допплера для измерения скорости дви
жения неаднораднастей ионосферы.
1. Измерение уrла поворота плоскости поляризации
радиоволн, проходящих сквозь ионосферу
Интеrральная концентрация элект-ронав *) в ионосфе
ре мажет быть апределена па данным измерения уrла
павората пласкасти поляризации валн, излучаемых пе-
редатчиками искусственных спутникав Земли. Соrласна
фармуле (5.83), обабщеннай на случай неад:нараднай
ианосферы, уrал павората плоскасти поляризации пасле
прахаждения волной атрезка пути 1 па лучу равен
Q'== k J dl,.
l
rде 6 == 1 /2 (nlп2)'
Напамним, ЧТО' эффект Фарадея имеет места при про-
дальнам распространении, а при произвольнам направ
лении распро'странения талька при достатачно нысоких
частатах. В этих случаях имеем
2 [ 1 2 f 1
Il 1 == 1  Т f L ' п 2 == I  fI f L
l+т lT
При дастатачна высокой QaCTaTe
f2 f2
L и 1 N  I
f2'f2
(6.25)
и поэтаму
2 2 2 [ f 1,
пlп2== f2T
*) Число электронов в столбе единичноrо сечения и заданной
высоты.
380

или
{ /L
2пCP===7T
и поскольку Пер  1, то, следовательно,
е  ' 
 2 . {2 f
или, учитывая (5.72), имеем
1 I е 13 1-1-0 NH 1 2
е === 2 (21t)З т2  OL {38 (6. 6)
Таким образом, уrол' поворота плоскости поляр.изации
вол'ны при подстановке численных значений для е, т,
ео, J,.to, с равен
!l  O;5 J NHoLdl.
Видим, что этот уrол обратно Iпропорционален квадрату
частоты. Для волны, излученной передатчиком спутника,
находящимся на высоте z, получае,м
zo
n === 0;205 S N Н OL dz,
z
rде Zo  высота нижней rраницы ионосферы. Полаrая,
что в пределах ионосферы H OL меняе1'СЯ слабо, можно
эту величину вынести за знак И'нтеrрала, тоrда
О 'О5Н %0
Q === · {2 OL J N (z) dz. (6.27)
z
В этой формуле уrол Ь' может быть каким уrодно боль
шим' и даже во MHoro раз больше 2зt. Однозначное же
соответствие между измеренным уrлом поворота Qизм и
истинным Q имеет место в том случае, если Q не пре-
восходит значения п. Неоднозначнасть в определении
уrла Q можно устранить, если излучать две волны с ДBY
мя достаточно близкими частотами ft, f2 и С одинаковы
ми первоначальными положениями плоскостей поляри
зации. Тоrда вычисление интеrральной концентрации
электронов можно производить по формуле
Zo
02И3М  {}lИЗМ === О,О5Н о !. (   ) f N (z) dz.
{2 f) .
z
.381

Рас'Сматрим более падрабна, какими далжны' быть
частаты, чтобы мажно. была пальзо.ваться этай фарму
лай.
Вапервых, . при праизвальнам направлении раCJпра
странения (не талька квазипродально.м), ани должны
быть дастатачна высакими, чтабы ваабще. мажна была
наблюдать эффект Фарадея. Паскальку напряженнасть'
маrнитнаrа паля Земли Но имеет величину порядка НО==
==40 А/м, та rиромаrнитная частата равна [но== 1,4 мrц.
Следовательно, саrл аена (6.25), '/1 и [2 должны быть ro
разда бальше 1,4 мrц.
BaBTo.pыx, так ка.к при любых вазможных значениях
канцентрации электронов должна иметь место-
Q2Q'1 <зt,
то разность l/f  l/f должна быть дастатачна малай.
Задаваясь максимальным значением концентраlЩИ элек
транов в ионасфере N m == 1012 эл/м 3 И верхней rраницей
ианасферы ZB == 1 000 км, палучаем, что.
Zo
S N (z)dz< Nmz B === 1018 эл/м 2 .
Z
Выбирая, например. адну частату равной [1===20 мrц,
из фармулы
1t == 0,О5Н о (  -  ) NmZB  0,О5Н о '2 3 f1 NmZ B ,
' 2 f 1 f 1
нахадим разность часто1' fl[===f2:f1 ==6 280, т. е. вторая
частота далжна равнятыся [2== 20  1 06::!:6 280. HeOДHO
значности, очевидна, мажна избежать, если произвадить
измереН1ие эффекта Фарадея, испальзуя запущенную Bep
тикально вв-е:рх ракету. В этом случае м'Ожно произво-
дить непрерывные измерения и.палучить
dQ  0.05 N ( )
dz  fI Z, .
В заключение этоrа пункта заметим, что. эффект Фа
радея при праивольнам направлении распрастрнения
можно. наблюдать, если частоты не слишком велики. Так,
при частате [==3000 мrц соrлаiClЮ (6.27) имеем
n 0,05.40 10 18 О 22 12 7 0
,,== 9. 101 В ==, рад === · ,
т. е. уrал паворота пласкости поляризации будет воаб
ще очень малым при измерениях.
382

2. Измерения допплерО8скоrо смещения частоты
Эффект Допплера есть изменение частоты принимае-
мых волн, обусловленное относительным движением ис-
точника.
Для однородной среды это «допплеровское смещение»
частоты равно
!!J.(J) ==  w .!!!:..... ==  (J) п .!!..!:......
оvф о С
или
(J) == kпvr,
(6.28)-
rде а ,  СОС1:авляющая скорости v источника вдоль на-
правления луча. Знак «минус» -показывает, что если ско-
рость направлена так, что расстояние r между источни-
ком и точкой наблюдения увеличивается, то частота
уменьшается; если же в результате движения расстояние
между источником и точкой наблюдения уменьшает,ся,
то частота увеличивае1'СЯ.
Формулу (6.28) можно получить из 'выражения для
фазы волны
'ф == (j)()tkпr,
если учесть, что при движении источника или точки на-
блюдения фаза 'Ф' в точке наблюдения меняется как
вследствие изменения ", так и вследствие из,мене'ния про-
странственной Iюординаты '. Поэтому, дифференцируя
'Ф по времени, получим
dФ dr
(j[  ШО == Дш ==  kn dI == .... kпv r .
Аналоrичны образом находим формулу для эффекта
ДоП'плера и в случае неоднородной среды. Дифферен-
цируя 'по 'времени 1Зыражение для фазы волны
1
 == (J)ot  k J п (х: у, z) dl,
о
rде 1  координата вдоль траектории луча, меlняющаяся
во времени вследствие вижения источника (или rочки
наблюдения), находим
dФ dl
(j[  ШО == Дш ==  kn dt ==  kпVl;
V/  проекция скорости источника на касательную к лу-
чу в точке ero выхода.
383

в балее 'Общем случае фаза 'Ч' мажет дополнительно
меняться еще и за счет изменения во времени парамет
ров среды, т. е.
1
ф===юоtkп(х, у, z, t)dl.
о
Дифференцируя 'Ч" по t соrласно правилу дифференци-

'рования определен'ноrо 'Интеrрала 'ПQ Iпараметру, для ДQlП
I[lJIep'OBcKoro 'смещения част'Оты получаем формулу
1 ....
dФ k k f дп d
.   ю о ==  пи,   д[ t.
Возможности использования допплер'Овскаrо сдвиrа
частоты, вызванноr'О движением источника, для измере-
ния концентрации электр'Онав рассмотрены с д'Остат'Оч
ной полнотай в {2, 19, 43], п'Оэтому на первом слаrаемом
в этой фармуле не будем. останавливаться. Здесь мы
рассмотрим лишь дапплеровский сдвиr чаIСТ>ОТЫ, 'Опреде-
ляемый выражением
1
АФ==k S ; dl.
о
Пользуясь этой формулай, можно при фиксирован
ных nол'Ожениях корреспондирующих пункт'Ов путем. из
мерения допплеровскоrо сдвиrа частаты получить инфар-
мацию о скорости движения неоднородностей И'ОН'О
сферы.
Действительн'О, так как
дп дп dl дп
ж==дТ ([[==ж и "
,
'ТО
1
S дп
Аш==  k Vl дl dl
о
Преследуя цель получить сведения 'о наиболее 'Общих
характеристиках движения указанных неоднородностей,
мы рассмотрим двеJ<райние ситуации:
1. Движение неоднородностей носит реrулярный (не
случайный) характер.
384

2. Движения неоднородностей нереrулярны, случай
ны, причем движение одной неоднородности не KOppe
лировано с движением друrой.
Для первой ситуации, полаrая что скорости Vl всех
неоднородностей одинаковы, получаем
1
Дш ==  kvi S 7 dl ==  kv, [п (L)  п (О)]. (6.29)
о
Следовательно, в этой ситуации допплеровский сдвиr
будет наблюдаться только тоrда, коrда оба пункта или
один из них находятся в ионосфере. Если же и передат
чик и приемник находя'f\СЯ на земле, то поскольку n (l) ==
== n (О), допплеРОБскоrо сдвиrа частоты не будет.
Для второй ситуации, полаrая, что скорости различ
ных неоднородностей MorYT сильно отличаться, иееМ
1
Аm   k ( 7 ) J v,d [.
еР О
Здесь ( 7 ) ОР  среднее значение вдоль траектории луча.
Обозначая масштаб неоднородностей через 10, можем
написать
, '/'0
S v,dl  [о  V,i.
о j== 1
rде i  номер неоднороднQCТИ, а l/lo  их число вдоль
траектории длины 1. Для упрощения выкладок мы пред
положим, что случайность относится не к абсолютной
величине скорости Vli, а к ее знаку т. е. Vli== +'-'1 или
Vli==Vl, причем оба знака встречаются с одинаковой
вероятностью. При ЭТОN пре,дположении рассматривае-
мая ситуация вполне аналоrична простейшей модели
броуновскоrо движения или, иначе, случайноrо блужда-
ния частицы.
Очевидно, 1fTO написанная сумма, при ее усреднении
по ансамблю неоднородных ионосфер, будет равна ну-
лю. Однако ее средний квадрат .по ансамблю будет OT
личен от нуля. В самом деле:
( '/10 ) 1 1/1,
 Vи :==  Vt +   V'iV'j li =1= j).
1=1 ;=1 l I
251283
38

В результате усреднения, учитывая отсутствие KOp
реляции между СКОРОСТЯМИ, получаем
( //10 ) 2 1/10
 V/i ==  V:, ==fv:.
откуда
v Аш 2 === k I (  )ср I Vl V llo.
Далее, поскольку
дп дп дN дп f:jN 40,4 дМ
(j[== дN дl aN Z; nfl t;

(п== у 1  80;N ),
rде N  максимальная флюктуация электронной KOH
центрации, окончательно получаем
Аю ср КВ === V !::..ю 2 == k 40' f  !J.NVl V l l . (6.30)
llr.p о
Таким образом, измеряя среднеквадратичное значе
ние допплеровскоrо сдвиrа частоты, можно, зная значе
ние остальных величин, входящих в формулу (6.30), най
ти абсолютную скорость движения перемещения неодно-
родностей по лучу. Заметим, что N и [о можно опреде
лить 110 измеренным флюктуациям фазы и уrла пр'их-ода
луча (ncp 1) (см., например, Э 6 rл. 6).
Соrласно формуле (6.30) средний квадрат доппле
pOBCKoro смещения частоты, обусловленноrо движения
ми неоднородностей иоосферы' должен РЭfти с удлине
нием трассы в ионосфере.
з. Измерение HeKorepeHTHoro рассеяния радиоволн
Измерение рассеяния радиоволн на фЛЮК'J1уациях
электронной плотности может дать информацию о ло
кальныx концентрации и температуре электронов и ио
нов во внешней ионосфере.
В настоящем пункте мы этот вопрос рассмотрим
вкратце, останавливая наше внимание в основном a
наиболее сущесТfJенных момента;х.
B9

Электрон под воздействием поля первичной ВОЛНbI
л.виrяется ускоренно и вследствие этоrо сам излучает
электромаrнитную энерrию за счет энерrии первичной
волны.
Макроскопические электрические параметры ионо
сферы Е и (1, как следует из caMoro их вывода, учитыва
ют это рассеянное излучение в самом месте их возник
новения. Однако при этом выводе- не учитывалось тепло
вое движение электронов. в.слеДiствие этоrо рассеянное
излучение оказалось KorepeHTHbIM с первичной волной и
напраiвленным только в направлении ее распростране
ния. Априори очевидно, что тепловое движение должно
дать добавочное рассеянное излучение. Ero мы сейчас
и долж ны найти.
Очевидно, что в первом приближении волны, рассеян
ные хаотически движущимися электронами, будут HeKO
rерентными. Действительно, так как начальная скорость
электрона  это скорость тепловоrо движения, то Ha
чальная фаза излучения, обусловленная допплеровским
смещением частоты, у каждоrо электрона будет случай
нои. При наложении множества колебаний, созданных
множеством таких электронов, как мы уже знаем, про
исходит сложение квадратов а Мiпл'итуд. Это и опреде-
ляет HeKorepeHTHocTb рассеянноrо излучения, созда'Вае
Moro участвующими в тепловом движении электронов.
Это HeKorepeHTHoe излучение можно вычислить двумя
способами. Можно вычислить энерrию излучения каж-
дым электроном в отдельности, а затем просуммировав
эти энерrии получить энерrию излучения множества
электронов. С друrой стороны, можно вы1исл'итьь энер
rию раосеянноrо излучения электронов исходя из MaKpo
скопической точки зрения и пользуясь формулами тео-
рии рассеяния в борновском приближении, изложенной
в rл. 3. Сначала выполним вычисления первым спосо-
бом.
Пусть Ео  вектор напряженности электрическоrо по
ля первичной волны, тоrда скорость, которую приобрел
электрон под влиянием этоrо поля при пренебрежении
соударением соrласно уравнению движения, будет v==
==eEo/j(J)т.' Электрон, движущийся с этой скоростью, эк-
вивалентен произведению тока 1 на длину l, т. е. IДll==
ev *>. -
.) epL\V==pAsAl; еvрА.sv.дl==/.дI.
25*
387

Соответствующий этому току :вектор rерца, как сле-
дует из формулы (1.19), равен
evel (Q)tkr) е2Е е l «(J)tkr)
п  о
 j47t(j)8 0 r  47t(j)2 8o rт
и поле вдали от электрона соrласно формуле (1.21) равно
fJO е 2 Е е l (wtkr)
Е == Е т ==  k 2 П sin у === о 4тr sin "(.
Qтсюда плотность потока энерrии рассеяния получается
равной
S==EH*== IEI2 ==I)r е о ( /-1о 0 е 2 sin"( ) 2/f.. (6.31)
р , /J-o 4пт, О
Будем, как это принято в радиолокации, характеризовать
рассеивающие свойства электрона эффективной площа
дью рассеяния, определяемой соrласно (1.126) форму
лой *)
а е == 41tr 2 %0 === 41t (  sin у ) 2. (6.32)
Если N  концентрация электрона, то эффективная пло
JЦaд р;ссеяния единицы объема будет равна
O't==NO'e. (6.33)
Получим тперь после,днюlO формулу вторым способом.
С макроскопической ТОЧКlи зрения хаотическое тепловое
движе'ние электронов долж,но выз,вать появление флюк
туации диэлектрической проницаемости Ав. Ввиду этоrо
мы можем применить теорию рассеяния в прибл'ижении
Борна, изложенную 'в rл. 3.
Соrласно формуле (3.103) для эффеК11ИВНОЙ площади
рассеяния единицы объема можем написать выражение
..
,с 2 !:!SPICC
01 === "t:l'f S А V .
пер.и
(6.34)
Напомним, что рассмотренные в rл. 3 и 4 флюктуации
диэлектрической проницаемости были частично KorepeHT-
ными. Это наlI1ЛО отражение в том, что между этим'и
*) .выражение
а === ( /J-o e2 sin у ) 2
О 4пт
называет<ся ТО.НСОНО8ским сечением рассеяния ЭllеlCтрона.
388

флюктуациями в каких-либо двух разнесенных элемен-
тарных объемах имелась некоторая корреляция.
В данном же случае, коrда рассеяние обусловлено
тепловым'и флюктуациями электронной плотности, меж
ду аналоrичными флюктуациями диэлек"ричес'кой про
ницаемости никакой корреляции нет. Поэтому соrласно
(3.67) и (3.71) можем наПlисать
1
dSpaco == 2'"' Re {дЕ ...ас ДН llaOO} ==
sinl у ( kl ) 1
=== А. а ......,... 4;i" Sae,.d v a .
rде
Saep. === + I Eoll.  У.
о
а черта сверху означает усреднение по времени или по
ансамблю. Подставляя последние выражения в (6.34),
находи,м
о. ==  ( :: )1 da. sin 3 YAV.
Так как для ионосферы при I < r
  Да ==  80,81lN == IlN '
. (2. N,.'
то
.'  ( )' ( Jr ) ·
и
( k2 ) 2 ( IlN ) 2 ( f N ) . . 2
а. == -k 4;" N Т 810 YdV.
Подставляя
2п' Y 
k == с"" ==2'К "'080
и
14 == (  ) . ( elN ) 2
N 2п та. ·
имеем
а ==-k ( fIooe2SinY ) 2 dN' dV
· 4пт .
(6.35)
(6.36)
(6.37)
(6.38)
(6.39)
389

Вычислим tJ.N2. Эту величину проще Bcero рассчитать
по той же CXMe, по которой вычисляется cpeДHeKBaдpa
тичное смещение частицы при броуновском движении.
Флюктуацию tJ.N можно рассматривать как резуль-
тат наложения элементарных флюктуаций. Такая флюк-
туация случается каждый раз, коrда электрон вылетает
из объема д V или влетает в Hero. Причем эта флюктуа-
ция может иметь место за счет любоrо из N д V электро
нов в объеме д V, т. е.
NAV
Aп==ANAV==  Aпi,
1==1
rде Aпi==+ 1 или Aпi  1.
Отсюда находим
NAV I NAV
дV'(LlN)'( Llfti)   (Llfti)'+i дпiАщ.
Производим здесь усреднение по ансамблю и, учитывая
отсутствие корреляции между вылетом или влетом элек
тронов, получаем
AN 2 ===N/AV.
Таким образом, вместо (6.39) можем написать
 ( I--L o e 2 in '( ) ' 2 .
al4Jt  4  N,
тr.т
(6.40)
т. е. а1 == NCJe, что и требовалось доказать.
Каждый электрон излучает волну с частотой, отлич
ной от частоты первичной волны на величину доппле
pOBcKoro сдвиrа чаСТ9ТЫ, обусловленноrо тепловым дви-
жением электрона. Поэтому рассеянное излучение MHO
жества электронов будет им.еть спектр с шириной
Af == f  ==  ' (6.41)
rде VT  средняя скорость тепловоrо движения.
Соrласно формуле статистической физики
v == ( 8k Б Т е ) 1/2 , (6.42)
т тtт
rде Тетемпература электронов; kБ==1,38.1023
Джjfрад (постоянная Больцмана) ; т  масса элек-
тро'на.
390

Подставляя численные значения k B и т, имеем
Дf=== 6,2 V [е кrц (I] === м). (6.43)
Итак, мы определил'и наиболее характерные параметры
рассеяния радиоволн электронами ИОНQсферы в предпо
ложении, что они совершенно не взаимодеЙствуют ни
с ионами, ни друr с друrом.
Однако это не совсем так, ибо в действитеJlЬНОСТИ Ta
кое взаимодействие имеет место и оно сильно сказыва
ется на величине ширины спектра, обусловленноrо доп
плеровским смещением частоты и в меньшей степени на
величине эффективной площади рассеяния.
Рассмотрим вкратце характер этоrо вза'имодеЙст'вия
и следствия, из Hero вытекающие.
Электрон в плазме не свободен  он подвержен воз-
действию кулоновских сил со стороны положительных
ионов и друrих электронов. Наличие кулоновскоrо взаи
модействия между заря,дами пл азмы пр,иводит к тому,
что" в плазме даже при отсутствии внешнеrо электриче
cKoro поля возникают колебания плотности зарядов, не
связанные с образованием маrнитноrо поля, а следоrва
тельно, с перено'сом энерrии. Эти колебания являются
продольными подобно звуковым колебаlНИя,м 'в>оздуха.
Ча'стота этих колебании равна плазменной частоте fN==
== V 80,8N . Наряду с движением зарядов, вызванными
тими колебаниями, разумее-rcя, сохраняется хаотиче-
ское тепловое движение всех частиц ,плаз'мы. При этом
плазма может оказаться неравновесной, так как TeM
пература тепловоrо движения электронов Те может быть
отличной от температуры тепловоrо д:вижения ионов T i .
Важным параметром плазмы, характеризующим ее
как термодинамическую систему частиц, между KOTOpЫ
ми существует кулоновское взаимодействие, является
так называемый дебаевский радиус экранирования .п.
Смысл этоrо параметра состоит в том, что он показыва-
ет, на какое расстояние простирается эффективное воз
деЙствие массивноrо положительноrо иона на электро
ны при наличии тепловоrо движения частиц. Этот пара
метр можно рассчитать, пользуясь урав'нением Пуассо-
на и формулой Больцмана для ра,спределения частиц
электронноrо rаза в кулоновском поле иона [3]:
 [ kБТе Tt80 ] 1/2.
D  e2.(Ti +lTo)N
(6.44)
391

Подста'вляя сюда численные значения постоянной
Больцмана k Б заряда электрона и д'иэлектричес'кой
прон,ицаемости ео, получаем
D === б9 [ T.Tt ] 1/2
(Т. + т t) N М.
(б.45)
Понятие дебаевскоrо радиуса в силу требований законов
статистики имеет смысл, если в пределах объема сферы
41t
зD! содеР:>i<ИТСЯ большое число электронов, т. е.
4к D '  1
3 N.
Характерными являются два крайних случая: 1) DI')..;
2) D.
В первом случае, коrда дебаевский радиус значитель-
но больше длины волны, 'Макроскопичесие законы не
действуют и кулонов'ское взаимодействие не должно ска-
зываться на результате раCiсея,ия. Каждый электрон
d и БЛЭI'Одаря ,своему'тепловому
cS, движению рассеивает элек-
0,8 Тe/ft=IOO трома1rнитную энерrию неза-
'5 виси'Мо ,от друrих. Первый
1 -случай, таким образом, есть
не что иное, ка.к рассмотрен-
иы(llвыше 'случай полностью
lиекоrерентноro рас,сеяния
радиоволн элеlктронами.
,Во втором случае, Kor да
дебаев'ский радиус значи-
тельно меньше длины 'волны,
доЙ'ствуют 'м 3'кр'Оскопические
эа'коны. Радиоволны 'при
этом ра,ссеиваются не на от-
дельных электронах, а на
возникающих в результате
IIlрОДОЛЬНЫХ колебаний 'пл аз
мы флюктуациях плотно,сти
элеКТРОНОВ,lподверrающихся
00,1 0,3 1,0 3 10 30  КУЛОНОВ,СКОМУ воздействию
7t: со ,стороны маСtСИВ.ных поло
жительных ионов. Поэтому
здесь доп'Плеро.вское смеще
ине ча,стоты, ()Iбусловлено Не
IJ.G
0,11
5
0,2
0.05 0,' 0,3 3 ct
Рис. 6.14. Изменение отноше
ния аа/о. в зависимости от а
по (591.
6 н
6е
0,8
0,'1
Рис. 6.15. Изменение отноше-
ния ан/ав в зависимости от ве-
личины Т ./Т f при а <: 1 по (59].
392

Тt1ловай СI<ОрОСТЬЮ электрана, а Теплавай скоростью
иана. А средняя теплавая скорость иана В' сотни раз
меньше средней тепловай скарасти электрона.
CaaBel'CTBeHHO ширина спектра ра'ссеянноrо излуче
ния в сатни раз меньше ширины спектра рассеянноrа
излучения свабадными элеК'l1рона.ми. Это последнее аб
стаятельства для практики весьма важно, паскольку
энерrия рассеяния распределена по узкому спектру и
блаrодаря этому энерrетический патенциал caBpeMe'HHЫX
радиолакаторав оказывается дастатачным для YBepeH
Hara лоцирования флюктуации плотноСти электранов
ионосферы па их рассеяннаму излучению.
При этам следует иметь Б виду, что эффективная
плащадь рассеяния рассеивающеrо объема не-скалько
уменьшается па сравнению с эффективной площадью
рассеяния, каrда эта рассеяние саздается свабадными
электранами. Эффективная площадь рассеяния HeCBO
баднаrа электрона йн, как показывают вычисления,_
в каторых учитывает,ся кулоновское взаимодеЙiствие, ме-
няется с изменением величины a==4'JtD/J.. так, как пока
зано на рис. 6.14 [59]. На рис. 6.15 приведены кривые,
характеризующие изменение О'н от отношения Te/Ti при
а« 1. Из этих кривых видно, что при Те== T i имеем
(1в== Ое/2 [59]. Заметим, что в пределах ионосферы Te/Ti
принимает значения от 1 до 4. Итак, для практическоrо
использавания эффекта ра.ссеяния радиоволн на флюк
туациях электронной плотности неабход'имо работать на
волнах л.4пD. Это, как показывает опыт, волны с л.>
>1 м. "
Для расчета рассеянной мощности мы можем BOC
пользоваться формулами, выведенными ранее. Так, при
облучении ионасферы радиолокатаром можно ввести
в рассмотрение импульсный объем по формуле (4.90)
и эффективную площадь рассеяния этоrо абъема CJ'и.
Саrласно формуле (4.91), мажем написать
а ll == Т' Аfl,и N ,
(6.46)
rде 't'  длительность импульса; ,'о  'раlсстоЯ!ние до рас-
сеивающеrа объема; L\Q  уrловой pac'fIВop диаrраммы
направленности антенны в ст,ерадианах. Соответственно
мощность pa-осеяiН'ИЯ, IЛРИ1нимаемая радиолокатором, co
393

t'ласно уравнению радиолокации (1.131) равны
р  С!и РG 1tl А &фф 11I С't6Qа и NРG 1tl А вфф пz
1I ( 47tf 6)2 2 (47tfo)2 .
(6.47)
Из этоrо уравнения видно, что если известны все BXO
дящие в Hero справа множители, за исключением N, то
по мощности принятоrо сиrнала можно определить KOH
центрацию электронов N.
Повидимому эффективным для зондирования ионо
сферы должен являться двухпозиционный радиолокатор,
в котором передающая и приемная. антенны разнесены
на достаточное расстояние, чтобы можно было с ДOCTa
точной точностью определить положение рассеивающеr'о
объема. Величина ан должна считаться заданной. Но
для этоrо надо знать отношение Te/Ti. Эту величину TO
же можно на основании теории рассчитать по опектраль
ной плотности принятоrо рассеянноrо сиrнала [57}.
Таким образом зондирование внешней ииносферы на
достаточно высоких частотах с помощью радиолокаторов
позволяет получить информацию о раоп'ределен'ии KOH
центрации электронов и температуре электронов и ио
нов.
.  3. СТРОЕНИЕ ИОНОСФЕРЫ
1. Распределение концентрации электронов по высоте
Рассмотренные выше радиометоды зондирования ио
носферы с поверхности земли, с искусственных спутни
ков Земли и ракет позволяют определить полную карти
ну распределения концентрации электронов по высоте.
В настоящее время, в результате выполненных при
помощи всех этих методов измерений концентрации
электронов, стало ясно, что области ионосферы, условно
назьщаемые слоями Е, F J и Р2, в деЙ'С"f'ВИ'1'ельности раз
rраничиваются не столь резко и переход от одной обла
сти к друrой происходит часто монотонно, ПОЧl1И без впа
дин. Поэтому, rоворя в дальнейшем о ионосферных сло
ях, мы не должны забывать об условности этоrо
понятия. Усредненные, сrлаженные распределения KOH
цеитрации электронов по высоте для днеВlноrо времени
пред'ставляются кривыми, изображенными на рис. 6.16
и 6.17. На этих же рисунках отмечены области, COOT'BeT
свующие слоям Е, F J и Р2. На рисунках бук'ВоЙ D OT
394

мечена самая нижняя область ионосферы с очень малой
концентрацией электронов и поэтому не обнаруживаемая
при помощи радиозондирования. Этот слой D сущест
вует только в дневные часы.
Доказательством существования слоя п, расположен
Horo на высотах 6090 км, являет'ся увел.ичение поr ло
Z,KI1
75'0
Z,KH
750
500
500
250
250
о 0,5 1,0 1,5
N. {,7-:7/CH3
Е
1J
О 0,5 1,0 1,5 2,0
ЛI. /0 6' эл/с/'! 3
Рис. б.l7. Усредненное распре
деление !<онцентрации электро
нов по высоте зимой.
Рис. 6.lб. Усредненное распре-
деление концентрации электро-
нов по высоте летом.
щения радиоволн в дневное время и наличие отражения
длинных и сверхдлинных волн на этих высотах.
Таким образом, сово.купность экспериментальных и
теоретиче\ских данных по распространению радиоволн
дает возможность сделать следующие выводы о распре
делении в средних широтах конц,ент:рации элеКТРОНQВ в
ионосферных слоях, сведенные в табл. 6.1.
т А Б Л И Ц А 6.1
КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭЛКТРОНОВ В РАЗЛИЧНЫХ СЛОЯХ ИОНОСФЕРЫ
Слой I Н.. :. I 'т' ЕМ I
Примечанне
D
Е
Еl
lO' 1.Q4
2.10.
3.10'
7090
10120
lБО180
Этот слой ночью отсутствует
Этот слой существует преимущественно
летом BДHeBHoe время
Летом } ориентировочные пределы высот
Зимой суточноro хода [54]
Р2
{ 1.10' 300450
2. 1 О' 250350
э95

Кроме реrулярных слоев, в ионосфере существуют
так называемые спорадические слои, появляющиеся вре-
мя от вре,мени. Так, на высоте слоя Е ИiНоrда ПОЯВляется
слой со значительно большей концентрацией электронов,
чем концентрация реrулярноrо слоя Е, существующий
Z,ки
,IКНJO
'JOOO
2000
1500
1000
700
500
]00
200
10 . 101(1 /О" 1012 If. , J/I//'f1
100 120 f'l-O {50 Z,K,A(
Рис. 6.18. Профиль электрон- Рис. 6.19. Усредненный профиль
ной концентрации [57). электронной температуры, попу-
ченный различными способа-
ми (57).
1;
./
.J/
 /
.. ..... 
10РО
1200
"00
обычно несколько часов. Этот слой называется споради
чеоким слоем Ев.
В заключение этоrо пункта на рис. 6.18 и 6.19 приве
дены конкретные экспер,иментаЛЬiНые кривые распреде
леиия концентрации и те.мпературы элеКТРОНОiВ по вы-
соте {57].
2. Суточные, сезонные и 11-летние изменения
состояния ионосферы
Состояние ионизации слоев D, Е, F 1 и Р2 в сильной
мере связано с влиянием Солнца. Концентрация элек
тронов замеТlНО меняется как с изменениями зенитноrо
ра,сстояния Солнца (суточными и сезонными), так и
с ходом пятнообразовательных процессов на Солнце
в течение ОДИ1ннадцатнлетнеrо цикла ero активности.
Суточные изменения концентрации элеронов в ка-
кой-либо точке примерно следуют за изменением высо-
ты Солнца. При этом максимум концентрац,ии достиrает-
ся тоrда, коrда Солнце занимает наивысшее положение.
Средние суточные изменения критических частот
896

ZA  
  
200
I 9
НЮЛЬ
1958 G
5
I
О
8 15
'1I1СЫ
2(,t
l.IacbI
Рис. 6.20. Суточные изменения I<ритических частот и действующих
высот на средних широтах зимой и летом.
'f, 11 rц
7
5
5
'"
3
2
  о()
.()  
 .() .()  .()
 R    .()  
 qs '   
 Q.)   It;
Q,)  {}.   qs rQ,)  
I:::t oq:;   РИС, 6.21. ХОД критических частот за roд иа средних широтах.
397

обыкновенной волны и соответствующих действующих
высот начала слоев для зимы и лета на средних широ
тах пред,стаlвлены на ри'с. 6.20. Из кривых ЭТИХ рисун
ков 'видно, что максимум критических частот, а следова
тельно, максимум 'концентращии электронов достиrается
в слоях Е и Р2 зимой в полдень почти одновременно.
Летом р'итИ'ческая частота 'слоя Р2 два раза достиrает
 200
t:).o
....
t.) :r-  /20
 Q" It
"" :t: 1::::

с.:.
IfO
:::r f 2
 8
.
.у
о
 4

 о
" r F2 на lZЧ(/СD6
Il I. ," ..... I
III,c1 U U \r [Н.' '" "r\or
.-r v .....r} ,..... ... U' .... I "....r "
r rv ,?1 .\ If  " v '-"о
...1'10.. 1.P-c I.r' tF2 .. .".,. f#
  f;f  На о I./(/cod
.....  .... "'- I  
..... ..........10" fE

('
19З1f /935' 1938 19'10 /glf2 19'1'1 /9'1-6
/933 /935 /937 /939 19'1-' 19'13 19'fS" /91f7
Рис. 6,22. Корреляция величины критических частот с солнечной
активностью.
максималнноrо Зlначения: один раз 'до полудня или в по
луденные часы, второй раз после полудня.
Действующие высоты слоя F 1 летом и слоя Р2 зимой
в полдень имеют заметный минимум.
На рис. 6.21 изображен ход критических частот за 
rод для средних широт. Из этих кривых видно, что Kpg
тические чаlстОТЫ слоев Е и F 1 в летние месяцы больше,
чем в зимние и осенние месяцы. Критичес.кая же частота
слоя Р2 два раза в течение rода принимает максималь
ные значения  '8 начале и конце зимы.
Наблюдается явная 'КОРlреляция между числом ooд
Iнечных пятен (Iвыражается iQтносителнными числа.ми 
числами Вольфа) и величиной концентрации электронов
в ионосфере.
Солнечные пятна представляют собой области во
внешних слоях Солнца, в которых происходят К3'кието
,интенсивные процессы, СОlПро'вождающиеся значительны
398

мй изменениями температуры. Число пятен изменяется
пеРиодически с одиннадцатилетним периодом. Мноrочис
ленными измерениями доказано, что концентрация элек
тронов изменяет,ся пропорционально числу пятен на
Солнце, что хорошо иллюстрируеся рис. 6.22 и 6.2.
Бсли число пятен в среднем возрастает, то в средне'м
.
возра.стают и КР1итические частоты обыкновенноrо и He
обыкновенноrо лучей. Наоборот, с убыванием в средне,м
числа пятен умеlньшаются и крит'иче,ские частоты.
fc /1rц l/исло
х пятен
.
3,5 IБО
3 120
2,5 80
2 40
О О
1935 1939 191,<3 /947 1951
а)
t;,I1rц Зина l/исло
х пятен
3,5 .
IБО
3
120
2,5
80
2
40
1,5
О
1935 1939 1943 19'17 1951
о)
Рис. 6.23. КорреЛЯI1;ИЯ критических частот для ('лоя Е с солнечной
аl<ТИВНОСТЬЮ в период 19351957 rr, (Слоу, АllrJ!ИЯ).
х  критические частоты: .  число пятен,
399

3. Широтные 'и долrотные изменения
критических частот
Изменения криических частот для слоев Е и Рl ПО
широте 'и долrоте следуют за ,изменениями зеНИ1'ноrо
рассояния Солнца.
Изменения же К'Р'итиче,ских частот для слоя Р2 не
связаны с. изменениями зенитноrо расстояния Солнца и,
ледовательно, криическая частота 'Р2 'не 'связана IПрО
tТЬЙ закономерностью с rеоrpафическИ'м'и коо'рдинатами.
Соrласно экспериментальным данным {Р2 простой зако-
номерностью связана с ,маrнитным наклонен,ием. Так,
в области, rде маrнитное :наклонение равно нулю, т. е.
в области маrНИТНОFО экватора (область маrнитноrо
экватора раоположена вблизи rеоrрафиче'с,коrо эквато
ра) 'Р2 имеет минимум. По мере удаления от экватора
на север и. на юr с возрастанием по абсолютной 'велИ
чине м аrнитноrо наклонения fF2 увеличивает,ся и при
маrнитном наклонении 28380 критическая частота fF2
достиrает макоимума. С дальнейшим увеличением ыаr.
нитноrо наклонения частота fF2 падает.
Таким образом, кривая зависимос-rи 'критической ча
стоты слоя Р2 от маrНИl'lноrо наклонения имеет вид сим
метричной двуrорбой кривой. OHaKO в rоды высокой
солнечноЙ активности, как показал анализ данных pa
д'иозондирования мировой сети ионосферных ,станций за
19571959 П., выполненный Т. С. КерблаЙ [55], этот
-закономерный ход 'Р2 нарушае-rся. Так, северный MaK
симум 'в среднем за rод ВЫ,ше южноrо; кроме Toro, 3I1
моЙ в дневное время появляется дополнительный MaK
симум, который расположен в северном полушарии
в районе маrнитноrо наклонения 60800.
Связ'ь солнечной активности с описанным здесь 'Пока
еще не объясненным rеомаrнитным эффектом ,ИЛЛlOст
РЩ1уется данными табл. 6.2.
)
(
т А Б Л И Ц А. 6.2
СРАВНЕНИЕ OCHoBHoro И ДОПОЛНИТЕльноrо МАКСИМУМОВ В
РАЗЛИЧНЫЕ [ОДЫ СОЛНЕЧНОЙ АКТИВН ОСТИ, MrII
I Число сол- I Основной I Основной I ДОПОЛНlIтель- 1 Допопllнтель-
[од нечных максимум экваториальный ный l\IaKcH\lyM ный МIIНИМУМ
пятен МIlНИМУ м '.
194") 2б 9,8 7,5 8,0 6,8
1946 62 10,8 8,0 8,3 7,5
1947 132 14,9- 11, О ]2,5 11, О
195 208 15,2 10,9 14,8 13,4
4e

4. Замечания о физике атмосферы и тонкой
структуре ионосферы
На основании прямых, выполненных с помощью ИСЗ, и косвен-
ных измерений, а также теоретических соображений получены сле-
дующие данные о составе и температуре атмосферы.
Плотность воздуха и состав атмосферы. Плотность воздуха,
представляющеrо собой смесь rазов в изотермической атмосфере,
как известно, меняется с высотой по закону
Р  Ро схр (   ),
RT
rде Н  Mg  так называемая приведенная высота; R  rазовая по
стоянная; Т  абсолютная температура, g  ускорение силы ТЯЖе-
сти, М  средний молекулярный вес rазов атмосферы. Процентное
содержание и характеристика rазов, входящих в состав областей
воздуха, расположенных непосредственно над поверхностью земли,
ПРИDедены в таб. 6.3.
т А Б JI И Ц А 1.3
ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖА НИЕ r АЭОВ в АТМОСФЕРЕ
r;. ПриведеВН811 8ыот88
Молек  лярныА  RT
Состав,  o Н ..
вес , r = M ,..M
rаз
Воздух
Азот N 2
Кислород 02
Арroн
у r лекиС' лыii rаз С0 2
100
78,084
20,946
0,934
.0,030
28,973
28,022
32,000
39,940
44,010
8,18
8,26
7,23
5,80
5,23
Кроме УI{ззанных в таблице основных rазов, в воздухе содер-
жатся n очень небольших колиqествах и друrие rазы, а именно:
неон, rелий, криптон, к'сенон, 030Н и радон. .
До высоты порядка 90 км rазы атмосферы перемешаны в такой
же ПРОПОРЦIIИ, как и у поверхности земли. Правда, в области высот
1O50 км атмосфера сравнительно боrата озоном. Максимум кон-
центрации этоrо rаза расположен на высотах 2530 км. J{o даже
в максимуме концеН,трация озона пренебрежимо мала по сравнению
с концентрациями основных rазов атмосферы.
На уровне 90 км под воздействием солнечноrо излучения на-
чинается диссоциация кислорода. При щом степень диссоциации
растет с высотой, блаrодаря чему на высоте 120 км атомарный кис-
лород заметно пр'еобладает над молекулярным. При этом молеку-
лярный кислород вследствие диффузноrо перемешивания сохраняет-
ся в сравнитеЛЬН9 большом количестве до высоты 160 им и даже
выше. Кроме Toro в ионосфере на больших высотах содержатся
ионы rелия, водорода и ионы азота.
261283 40

Температура атмосферы. На рис. б.24 показзно, как изменяетси
температура атмосферы с высотоЙ. В пределах тропосферы, которая
наrревается от поверхности земли, температура с высотой убывает.
В области высот 818 км происходит перемена знака rрадиента
температуры. Эта область в связи с отмеченной особенностью хода
кривоЙ температурной зависимости называется тропопаузоЙ. После
тропопаузы, в стратосфере, температура возрастает. Это возраста-
ние температуры происходит за счет поrлощения озоном ультрафио-
летовоrо излучения Солнца.
На высотах 5060 км, т. е. в стратопаузе, снова происходит
перемена знака rрадиента температуры и последняя уБЫDает DПЛОТЬ
дО высот 8O90 км. На этих высотах rрадиент температуры еще
один раз меняет зиак и в дальнейшем температура с высотой воз-
растает в преде.lJах всеЙ ионосферы.
Возрастание температуры здесь 'происходит за счет поrлощения
атмосферой солнечноrо излучения и за счет бомбардировки ее при-
летающими извне потоками быстрых частиц. .
Микропроцессы в ионосфере и образование «слоев», Как уже
было сказано, диссоциация кислорода солнечным излучением на-
чинается с высоты 90 км. Однако атомарный кислород, хотя и в не-
20
Рис. 6.24. Зависимость темпе
ратуры атмосферы от высоты.
'00

 60

(..;а
:о
Q:)
200 300
значительном количестве, содержится и n близлежащей области
атмосферы, расположенной ниже этой высоты. Появление здесь
aToMapHoro кислорода, по-видимому, обусловлено диффузиеЙ ато-
мов из верхних в нижние области атмосферы. Диффузия принужда-
ет атомы двиrаться вниз до тех пор, пока они не достиrнут области
с достаточно высоким давлением, под воздействием KOToporo про-
исходит их рекомбинация в молекулы.
Условия рекомбинации зависят от давления, химических и фото-
химических взаимодеЙствий частиц атмосферы. Чем больше давле
ние, тем более вероятно взаимодействие и рекомбинация частиц. По-
этому длительность жизни ат.ома, т. е. время между aKTM диссо-
циации и актом рекомбинации или, короче rоворя, время реком-
бинации, увеличивается с высотой.
На высотах 7080 км давление сравнительно euцe велико и вре-
мя рекомбинации представляет собой величину порядка нескольких
часов, а на высоте 100 км, rде давление очень мало, время реком-
бинации увеличивается до величины порядка нескольких месяцев.
Возможно, что появление слоя D в ДeBHoe время и исчезнове
402

вие ero в ночное время связано с указанным выше процессом диф-
фузии и небольшим временем рекомбинации. '
Имеются также основания считать, что в образовании слоя D
определяющую роль может иrрать второстепеНIIая компонента атмо-
сферы на этих высотах  окись азота NO [32].
СлоЙ Е обязан своим сущсствованием ионизации атомов кисло-
рона ультрафиолетовым и, повидимому, рентrеновским излучением
Солнца. Это мощное peHтrCHoBcKoe излучение Солнца OTI<PUITO при
помощи искусственных спутников Земли и rеофизических ракет.
Концентрация атомов азота в нижней >ионосфере определяется
рядом фотохимических актов, происходящих под воздействием
ультрафиолетовоrо и peHTreHOBCI{OrO излучения Солнца. В этих про-
цессах участвуют также и атомы кислорода. В связи с этим здеСh
возможно появление HeoToporo максимума концентр,щии атомов
азота, обусловленноrо не только концентрацией азота в атмосфере,
но и концентрациеЙ aToMapHoro кислорода.. Этот максимум распо-
ложен на уровне слоя Рl, [де время .жизни атома азота имеет ве-
личину порядка нескольких часов. С этим обстоятельством, по-ви
димому, связаны CYTOHыe вариации количества электронов в слое
FI, возникающие здесь в результате ионизации как aToMapHoro кис-
лорода, так и aToMapHoro азота.
Слой Р2, как и вся верхняя ионосфера, образуется в результате
ионизаЦИii, rлавным образом, атомов кислорода. Ионизация в сдоях
FI и Р2 и во оссй верхней ионосфере производится ультрафиолето-
оым и, ПQ-ВИДИМОМУ, рентrеновским излучением Солнца.
Приведенная картина процессов, обусловливаюuцих наб.'lюдае
мое распределение концентрации э.л.ект-ронов, является rрубой и
нуждается в дальнейшем экспериментальном изучении.
5. Нереrулярные изменения состояния ионосферы
Наряду с реrулярными изменениями концентрации электронов
в ионосфере происходят и' нереrулярные изменения, которые не
поддаются проrнозу.
Так, например, внезапные и сильные увеличения плотности иони-
зации наблюдаются обычно одн )временно с хромосферными вспыш-
ками, т. е. с появлением ярких пятен на солнечном диске, и длится
это явление от нескольких минут до часа. Во время таких вспышек
вследствие увеличения в нижних слоях ионосферы поrлоuцения на-
блюдастся значительное ослабление силы приема, а иноrда и полное
прекращение связи на коротких и средних волнах (эффект Деллинд-
жера) .
Имеет место и друrое нереryлярное явление, известное под на-
зоанием ионосферных бурь. Это явление представляет собой вне-
запное убывание плотности ионизации в слое Р2. Оно связано
с возмуuценнями земноrо маrнитноrо .поля. Проявляются ионосфер
ные бури в уменьшении критической частоты слоя Р2 и увеличении
действующей высоты отражения радиосиrналов.
Наблюдаются также различные аномалии вблизи зоны макси-
мальной повторяемости полярных сияний, т. е. в полярных широ-
тах. Возникновение спорадических слоев относится также к нере-
ryлярным явлениям, причины которых euцe не выяснены.
268 403

6. Нереrулярные неоднородности в ионосфере
Возникновение lIереryлярных неоднородностей в ионосфере обус-
ловлено различноrо рода движениями в верхней атмосфере  упоря-
доченными инеупорядоченными.
Наиболее крупномасштабные упорядоченные, реryлярные движе-
ния в ионосфере, порождаюuцие систему ветров, охватывающих весь
земной шар, связаны с приливами атмосферы. Приливы атмосферы,
как и приливы воды В морях и океанах, вызываются притяжениями
Луны и 'Солнца. '
Менее крупномасштабные движеНIIЯ обусловлены перепадами
давления, связанными с разностями температур. В частности, TaKoro
рода движения происходят между слоями Е и Р.
На все rидродинамические движения электронноrо rаза в ионо-
сфере оказывает воздействие lIаmитное поле Земли. В результате
этоrо воздействия возникает и друrой вид упорядоченноrо движе-
ния электронноrо rаза  так называемые маrнитноrидродинамиче-
ские волны.
Очевидно, что всякие возмущения ионосферы, которые не IJpor-
нозируются, как, например, ионосферные бури, являются причиной
возникновения беспорядочных, нереrулярных движений в ионосфере.
Все упорядоченные и неупорядоченные движения в крупных
масштабах приводят к появлению движения электронных облаков
в меньших масштабах, носящих нереrулярный, турбулентный ха-
рактер. При этом вследствие влияния маrнитноrо поля Земли тур-
булентное движение электронноrо rаза в ионосфере анизотропно.
В результате различноrо рода движений в ионосфре возника-
ют неоднородности в концентрации электронов самых различнт,lХ
масштабов. Существуют и друrие причины, порождающие неодно-
родности в ионосфере. Остановимся коротко на некоторых из них.
Например, метеоры, движущиеся 13 верхней атмосфере с очеНh боль-
шой скоростью, Dызывают дополнительную ионизацию тех областей
ионосферы, через которые они ПрОJlетают. О наличии таких областей
можно судить по СDетящимся метеорным слепам. Отметим, что в на-
стоящее время действуют линии связи, ИСПОЛl>зуюuцие отражение
радиоволн от метеорных следов.
В высоких северных и южных широтах неоднородности кон-
центрации электронов создаются потоками заряженных частиц сол.
нечноrо происхождения. О наличии таких неоднородностей можно
судить по ПО.ТIярным сияниям.
Появление неоднородностей в CJlne Е пытаются объясиить про-
никновением внутрь этоrо слоя электронных потоков, возникающих
во время rроз. Эти потоки устреМЛНЮi( я снизу вверх во время rpo-
зовых разрядов.
Причину возникновения указанных потоков объясняют следую-
щим образом. rрозовое облако всеrда электрически заряжено: ниж-
ний край заряжен отрицательно, а верхний  положительно. По-
этому rрозовое облако в окружающем пространстве создает элек-
трическое поле, аналоrичное полю диполя. Во время rpозовоrо раз-
ряда это ПО.'Iе исчезает и имеющиеся в атмосфере свободные элек-
троны, которые тормозились полем rрозовоrо облака, с ero исчез-
новением устремляются вверх с большой скоростью.
Следует отметить, что возможны и друrие причины появления
неоднородностей. Но для их выяснения необходимо более деталь-
ное изучение ионосферы.
404

 4. ЭЛЕМЕНТЫ РАСЧЕТА КОРОТКОВОЛНОВЫХ
РАДИОЛИНИЯ, РАБОТАЮЩИХ НА ИОНОСФЕРНОЯ
ВОЛНЕ
1. Особенности распространения радиоволн
диапазона КВ 10 м<л< 100 м
Из изложенноrо в предыдущей и ,настоящей rлаве
ВИДНО, что условия распространения радиоволн диапа
зона КВ на большие 'расстояния определяюся 'влияние'м
ионосферы. Условия же раОПрОСl'ранения радиоволн на
неБО.l!ьш,ие расстаяния определяются влиянием земли.
В связи с этим электромаrн-итное излуче,н:ие чаще Bcero
в эта диапазане ,волн IПрИНЯТО делить на две части. Ту
часть электра,маrнитноrо излучения, которая распрост
раняется под большими уrлами 'к rаризанту 'и достиrает
ионосферы, условно называют ионосферной волной.
Ту же часть электромаrнитнаrо излучения, которая
распространяется под небольшими уrлами к rоризонту
и не ДОС1"иrает ионасферы, уславно 'называют зем.н.ой
волной. Как производить расчет поля II1рИ распростране-
нии 'радиовалн вдоль поверхнасти зеМЛiИ  «земiНОЙ вол
най»  н ,раЗЛ1ИЧНЫХ диапазонах радиовалн и 'в частно
ст,и в диапазане КВ, ,была изучено в rл. 2. В на'стаящем
парю'рафе пойдет речь лишь о расчетах, отнасящихся
к ионасфернай волне. Предварительна вкратце 'рассмот-
рим осабеннасти распространения ианасфернай валны,
присущие этаму диапазану.
Критические и максимальные применимые частоты;
ЗОНbI молчания. Существенные особеннасти коратких
волн опре.деляют'ся тем обстаятельством, что все рити-
ческие 'и МПЧ дЛЯ ионосферы лежат в диапа'.Эоне KOpOT
ких волн. Эта 'Привадит к тому, ЧТО' в каждый данный
мамент 'вре'мени не любая. вална коротковалнаваro диа-
пазона мажет применяться для дальней радиосвязи меж
ду двумя заданными пунктами. Минимальная к,ритиче-
ская ча-сt,а1'а для слая Р2 является критическай для
всей ионосферы. Она, как правило, не превосходит
16 Мrц (== 19) 'м. Точно так же максимальная ,критиче
СКiая ча,стота для слая Р2 'будет максимальнай критиче-
ской для всей ианосферы. Она также не превосходит
ча'стоту порядка 48 Мrц (л ==6 м). Наличие заны мол-
чания и связанной 'с ней МПЧ означает, что при задан
ном ра.сстоянии ,мы ,не можем работать на частоте, боль-
4ОБ

шей МПЧ  ибо, если 'взять частоту ВbIше МПЧ,
отраженный от ,ионосферы луч попадет в точке на по
верхности земли, удаленной на большем расстоянии, чем
заданное, или Iпройдет через ионосферу, не отражаясь
от нее вовсе.
Замирания. На коротких волнах, как и на всяких
друrих, наблюдаются замира.ния сиrнала в месте при
ема. Причины этих замираний различны, но наиболее
типичные из них Iсвязаны с Iинтерференционными и по
ляризационным'и явлениями. Поэтому основными видами
замираний считаются соответственно так называемые
интерференционные и 'поляризационные замирания.
Интерференционные замирания происходят тоrда, коrда
Рис. 6.25. Интерференция лучей,
претерпевших различное число
отражений. .
Рис. 6.2б. Интерференция
оБЫКl!овеl!l!Оrо и неоБЫКНОDеl!
Horo лучей.
в место' /приема приходит нес,коль'ко лучей, длины опти
ческих 'путей которых 'не только различны, но и мепя-
ЮТ1ся 180 времени и притом 'случайным образом. Непо-
стоян,ство О[JТИЧ,КИХ путей объясняется !непрерывными
случайными изменениями концентрации электронов
(рис. 6.25).
Друrой случай интерференционных замираний имеет
место толда, коrда в точку приема приходят два луча,
образованных в результате двойноrо лучепреломления
в ионосфере, о котором речь шла выше (рис. 6.26).
Оптические пут,и этих лучей также изменяюТ1СЯ COOTBeT
ственно изменению 'концентрации электронов.
Наиболее часто происходят интерференционные за
мирания, Iвозникающие в 'результате Toro, что оТ'ражение
от ионосферы являет,ся Не зеркальным, а 'полураесен
ным. Так ка'к антенна не является ОСl'ронаправленной,
то в ,ионосферу попадает несколько лучей. Эт,и лучи
В свою очередь блаrодаря рассеянию расщепляются на
пучки вторичных лучей. Интерференция вторичных волн,
406

соответствующих ЭТИJ\I вторичным лучам, и вызывает за-
мирания (рис. 6.27).
Поляризационные замирания ,наблюдаются реже
интерференционных и состоят в следующем. Поскольку
в ионосфере волна расщепляет,ся на две, обыкновенную
и необыкновенную, то IПрИ роследующем раопростране-
нии эти две волны при достаточно высокой частоте об-
разуют новую эллиптически поляризованную волну
с весьма вытянутым эллипсом. Флюктуации KOHцeHTpa
ции электронов ПрИНОД51Т к 'непрерывным изменениям
Рис. 6.27. Интерференция пуч-
ков лучей.
направления бо'льшой оси эллипса. А это 'вызывает ха 0-
тичеlские изменения во времени 'составляющей вс'ктора
на'ПР51жен,ности ПОЛЯ, параллельноЙ IПРОВОДУ приемlНОЙ
антенны.
При меняются различные методы борьбы с замира
ниями. Однако на.иболее ра.спространенным и, пожалуй,
наиболее эффективным я,вляет<;я метод разносенноrо
приема. Де!lО в том, что если точки приема разнесены
на нес,колЬ'ко длин волн (510), то замирание одноrо
и Toro же сиrнала в этих точках происходит 'неодновре-
менно. В с,илу случайноrо характера причин замираний
одновременность замираний в двух достаточно раЗlне,сен
ных лунктах маловероятна. Это -позволяет, ведя прием
одновременно в двух-трех точках и применяя COOTBeTCT
вующие схемы приема, выравнить силу прие'ма, т. е.
значительно уменьшить rлубину замираний ,сиrнала на
выходеприемника.
Для борьбы с поляризационными замираниями осу-
ществляют прием одновременно на rоризонтальную и
вертикальную антенны.
Эхо на коротких волнах. Бели дл,ительность сиr,нала
достаточно коротка, то при распространении радиоволн
разл,ичными [путями, что, например, имеет место, коrда
лучи 'претерпе:вают различное число отражений
(рис. 6.25), в MelcTo приема приходят два следующих
друr за друrом одинаковых сиrнала и таким образом
!"юлучается эхо. Это может получиться и при не слишком
407

коротких сиrНалах, Коtда сиrнал ДОстиrает ТvЧКИ nрйе
ма, оrибая дуrу зеМ'ноrо шара не только IПО к'ратчайше
му пути в пряом наПРqвлении, но и проходя более
длинный путь, оrибая Ayry земноrо шара в обратном
наiправении. Сиrнал может попасть в точку приема,
полностью оrибая земной шар в прямом или обратном
напраlвлении. В эт,ом случае эхо называют 'KpyrocBeTHblM.
Если сиrнал несколько раз оrибает земной шар, то' эхо
получается MHoroKpaTHbIM. KpyrocBeTHoe эхо наблюдает
ся в том Iслучае, если передатчик обладает достаточной
мощностью и поrлощение радиоволн в ионосфе'ре слабое.
2. Расчет оптимальной рабочей частоты
и поrлощения радиоволн
Постановка задачи. Обычно исходными :да нными для
расчета радиолиний являются координаты к()рреспонди
рующих пунктов и требуемая напряжениость поля
в месте приема.
Задача состоит в том, чтобы определить оптимальные
рабоqие частоты (ОРЧ), т. е. ча'стоты, при которых Ha
пряженность поля iВ месте приема имеет Iвеличину не
ниже необходимой при заданной эквивалентной мощно
сти Ра передатчи;ка, rде G коэффициент усиления
антенны.
При решении этой практической задачи и.сходят
обычно из идеализированной картины отражения радио
волн от ионосферы, при котор'ой пренебреrают rоризон
тальными rрадиентами концентрации электронов, влия
нием ,маrнитноrо поля земли и сферичностью ионосфер
Horo слоя (сферичность земли учитывают). Основным
этапом решения задачи является наождение максималь'
ной применимой 'частоты  МПЧ.
Соrлас.но определению (rл. 5, Э 2) МПЧ есть наи-
большая частота) при которой О'f1раженный от ионосфе-
ры луч lПадет на удалении от передатчика, в точности
равном ра'сстоянию -между корреспондирующими пунк-
тами.
Так как ионосфера подверже,на различным Hepery-
лярным изменениям, а рабочую частоту невозможно ме-
нять в ,соответствии с этими изменениями, то ОРЧ не
может быть равной МПЧ.
ОРЧ выбирают из условия, чтобы 'в течение приемле-
Moro для практики промежутка времени нерсrулярные
408

изменения концентрации электронов не сказывались на
условиях отражения радиоволны от ионосферы.
На основании экспериментальных данных полаrают,
что следует выбирать ОРЧ==0,85 МПЧ, причем здесь
подразумевается среднее значение МПЧ за указанный
'Промежуток времени.
Таким образом задача в основном сводися К опре
делению МПЧ и, как будет ноказано, поrлощения радио
волны на этой частоте. МПЧ, как было уже установле
но, можно определить по ДЧХ непосредственно. Но ее
МОЖ,но найти и по ВЧХ. 
Определение М П Ч по высотночастотным характери
стикам. Итак, по заданному расстоянию между Koppec
пондирующими пункта ми мы должны определить МПЧ.
Сначала предположим, что раестояние между пунк
Рис. 6.28. 1( определению
МПЧ.
Рис. 6.29. 1( построению кри
вых передач.
там'и ,не слишком велико, т. е. оно меньше 4000 'км.
В этом случае можно бу,дет рассчитывать, что луч пере
кроет заданное 'расстояние при одном единственном OT
ражении от ионоеферы.
Очевидно, что в СОО'rветствии с «законом секанса»
ИС1комая максимальная частота может быть определена
как маК1СИМУМ произведения /0 (z) sec qJ'O== f при фиксиро
ванной дальности между корреспондирующими пункта
ми О и А (РIИС. 6.28). Эту операцию Iнахождения MaK
симума при наличии высотноча,стотных характеристик
и так называемых кривых Ilереачи наиболее удобно
выполнить rрафически. При этом Н-а основании теорем
эквивалентности высоты z должны быть заменены дей
ствующими высотами, истинные криволинеЙiные пути
лучей  экв,ивалентнми треуrольными.
409

Кривая передачи Iпре.тI,ставляет собой зависимость
высоты эк'вивалентноrо треуrольника при фиксированной
дальности 'D между пунктами О и А от уrла падения
<:ро. Эта зависимость получается из теоремы ,синусов
(рис. 6.29) :
а а+Z д а+Z д
sin 'Ро ==, sin ('7t  а/2  'Ро) == siп (D/2a + '1'0) ,
Z ==а [ sin(D/2a+'Po)  1 ] _
д sin <Ро
Отсюда находим
Zд==Ф(sес<pu). (6.48)
ЗаВИIСИМОСТЬ Zд== Ф (sec <ро), 'как и ВЫСО'f1аочастотную
характеристику, 'строят в одинаковом полулоrарифмиче
ском масштабе. По вертикальным осям откладывают
Zд. По rоризонтальной оси семейства кривых передачи
откладывают 19 sec, а по rоризонтальной оси высот-
ноча,стот,ной характеРИСТИ1КИ :нклаДЫ"8ают 19 fo.
Высотночастотная характеристика изображена на
ри,с. 6.30, Кр'И1}ые передачи 'изображ'ены на рис. 6.31.
rрафик I<!рИВЫХ передачи, выполненньй на кальке,
на'клаДbIlвают на 'ВЫСО1'iночастаТ1НУЮ Х3'рактеристи\ку та,к,
ZA, кн
If.DO 
JOO ...
..r. 200 
'00 ..f..,I

tgfo
Рис. б.30. Высотно-'Частотная ха-
рактеристика в полулоrарифмиче-
. ском масштабе.
Lg 5ес!р
"
Рис. б.31. Кривые передачи
в полулоrарифмическом Mac
штабе.
,чтобы rоризонтальные оси совпадали. Затем rрафик кри
вых передачи 'смещают rоризонтально до тех пор, пока
кривая переачи заданной дальности, например D 2
(рис. 6.31), не коснется участка высотно-частотной Х а 
рактеристики, соответствующей слою с наибольшей
критической 'частотой, например слою F (рис. 6.32). Это
дает мак'Симальное значение
19 fo+ 19 se.c <ро== 19 ,.
4JQ

Частота f и есть искомая МПЧ. Заметим, что опреде
JIенную таким образом МПЧ по рекамендации мккр
называют станДартной. Однако по,скольку в этай книrе
идет речь только аб этой МПЧ, мы прилаrателЬ'ное бу
дем О'пускать. Последняя формула также опр'еделяет
уrол возвышения 8, под которым надо направить луч
чтобы на данной частоте f ПОсле отражения от ионо
Рис. б.32. Определение МПЧ.
200
'00
tgsec
сферы ан у:пал на заданном расстоянии D от передат
чика. Но для этоrо надо ра,сполаrать как зависимостями
z ( п ) === а [ sin (Dj2a + '1'0)  1 ]
. д 'СРа sin '1'0 '
так и зависимостями
6 [ cos 60 ]
Zд (D, о) === а cos (60 + Dj2a) 1,
также получаемыми из сфармулироваННQЙ выше Teape
мы синусов Оба семейства кривых из'ображены на
рис. 6.33. Обычно требуемая направленность излучения
в диапазоне коротких волн обеспечивае1'lСЯ пр,именением
синфазных и рамбических антенн.
МПЧ изменяются 'в течение суток ,соатветственно
суточному изменению 'состояния ионосферы. На рис. 6.34
изображен усредненный ход МПЧ в течение ,сутак для
различных расстояний между пунктами для средних
широт и средней ,солнечнай активности. Кривые на ри
сунке показывают, что МПЧ имеют наибольшее iЗначе
ние ,в ,полуденные часы и наименьшее на рас,свете.
Если расстаяние между 'Пунктами имеет большую
протяженность (больше 4.000 км)' и нельзя оrраничиться
одним атражением (скачком), то МПЧ определяют для
каждоrо отражения в атдельности. Наименьшая из этих
частот является МПЧ дЛЯ всей трассы в целом. При
4\1

ZA,KH
*00
300
'00
3000 ЮОО 1J,I(Н.
Рис. б.З3. Семейство кривых, построенных по rеометрическим соот-
ношениям.
этом МПЧ каждоrо отражния определяют для местио-
ro 'времени точек отражения. .
Расчет поrлощения. Впервые ,обстоятельные !Вычисле-
ния поr лощения были выполнены А. Н. Казанцевым
[61]. Поrлощение рас'считывается по формуле Мартина
(5.60). Для Toro чтобы полнее раскрыть характер зави
412

симасти паказателя паrлощениS;l r ат различНЫХ пара
метров, мы выполним здесь era вычисления, не прибеrая
к упрощениям, как это зачастую делается. Паскольку
интеrрал в (5.60) не берется в квадратурах, то при этом
придется <применять численнае интеrрирование.
Для праведения вычислений необхадимо распалаrать
зависимостями ,1{онцент'рации электранов и чи'сла coyдa
рений ат высаты N (z) и v (z). Зависимость N (z) ''На npa
BocxotJ Захоtl
8
 
.    .
:':    
 H . ..  
.   
.  
... 
 .........L..... + 
""   
.... ...... З  it1 +
"-  :.t с .. tF'
 . S;i  t  . H.
 . . . . . t .1'   .
 ш . '.1'I '
,  r
 I  . 
 J ....... .....
"- J" I .о.;;:::
".... v 1 ........ .......
'" ....,......  J ........... ..........
""  
3ч
30
20



"
 10
5
00 Оч 08 12 16 20 .2'1
Местное 8рt'МЯ 6' mOI./Kt? отражения
Рис. 6.34. Усредненный суточный ход мпч для различных р8ССТОЯ
ний между ПУНКТ8МИ дЛЯ июля:
/  О км; 2  1000 КМ: 3  2000 к:м; 4  3000 км; 5  4000 КМ.
тяжении бальшеrа интервала высат z, начиная с HeKOTa
iрОЙ 'высаты' zo, можно аППРОКСИiмировать параболай
(5.27) .
. [ ( ZMZ ) 2 ]
N (z) === N m 1  . в .
Ниже высаты Zo MorYT .БЫТЬ .располажены области,
котарые ,пронизываюrся лучам, но не ,вписываются а одну
параболическую аП'прокеимацию, Н1а1пример слой D.
Тоrда, преследуя цель паЛУЧИ1'Ь лишь общие заканомер
,"'ости, для един'ообразия а'ппроксимируем eI'a N (z) -tпра
филь та!кже парабалай вида (5.27), на с др'уrими зна
чениями парамеrров пара балы, т. е. N mD , BD, ZMD. Так
'Что в целом ПРофИJ1Ь N (z) . имеет та,кай вид, как показз-
но на ри'с. 6.35.
413

Зависимость числа соударении от высоты СОl'ласно
данным, приведенным в (2], можно 'на протяжении всей
нижней ионосферы (ДО максимума ионизации области
Р) принять в виде убывающей эк'споненты с небольшим
по величине по.стоянным слаrаемым .1v. Так что в пре
делах указанноrо большоrо интервала высоты можно
считать
v (z) == 'YoeO: (zzo) + !::..v, (6.49)
а на уровне слоя D, поскольку .1v«vo,
'V (z) == vODe o: (zH) . (6.50)
Поскольку в диапазоне КВ отражение радиоволн проис.
ходит на высотах, б6льших Zo, то можно считать, что
показатель поrлощения, определяемый формулой (5.60),
представляется суммой слаrаемых:'F +r D)
ZOTP
Т== 80,8 r N (z) v (z) dz (6.51)
c/ 2 cos Ч'о J .. / 80,8 N (z)
Zo V 1  12 cos 2 Ч'о
r  80,8 20 ) ND (z) Y D (z) dz
(6.52)
D  С {2 cos Ч'о У 80, 8N D (z)
Н 1 
f2 cos 2 'ео
Следует обратить внимание на то, чт>о в формуле
(6.51) ИrНтеrрал несобственный, поскольку при верх'нем
пределе подынтеrральная функция обращается в беско
z
z",
Рис. 6.35. Профиль N(z) при
расчете поrлощения в ионо
сфере.
неЧIНОСТЬ. Поэтому, стре.мять Iприближенно ВЫЧ,ИСЛlИть ин
теrрал, не следует прибеrать к разложению корня в ряд
Тейлора. Это может привести к ошибкам не только KO
личеСТlвенноrо, но и качественноrо характера. Имея это
в виду, мы не будем прибеrать к упрощениям и посколь
414

ку интеrрал не берется, выполним численное интеrриро
вание.
ПодстаlВИВ (5.27), (6.49) в (6.51), после замены пе.
ременной интеrрирования по формуле
.. / 1 [ ( zM  z ) 2 ]
и=== V 1  х2 1  в '
получим
r  YoB [ 2 а.В S I(Iи2)еХР(аВ-УlХ2(lU2» d +
 х е u
cos 'Ро с Vl  х 2 (1 a2)
о
+  ( Х2 + l 1n 1 + х .J.... )] ===:F ( Х В )
У О 4х . 1  х 2 ' ,
(6.53)
rде
х === f cos 'Ро ==  < 1.
fиР fKP .
(6.54)
СемеЙство кривых:F (х, В) приведено на рис. 6.36, при
чем эти кривые рассчитаны по усредненным данным {2]:
Zo === 100 км; а === О, 12 l/KM,
V o === 1 J 7. 1 06, ДV === 1 аз .
с с
(6.55 )
Для Toro чтобы воспользоваться этими кривыми, нужно
знать значение полутолщины ионосферы В; она, ка'к и
[ИР, наХОДИ11СЯ также [по ВЧХ -с помощью формулы
(5.114). После Iподстановки в (5.114) формулы (5.27) и
выполнения интеrрирования получаем
20rР
S dz Вх 1 + х
Z д === Zo + п === 20 + т ln 1  х ·
zo
(6.56)
Отсюда находим*)
В  2! dZ11 (f.) F ( ) 2 d д F ( )
 ир df. х === d х ,
(6.57)
fr) J3f;11числяется при нес,кольких х== !BNKP И берется среднее.
415

Tf:z;, В} = (СО;fI, ), i/б
о
5
l r 'f Jт)
/ r;( -1;. I f ptl
X-..s,L'o ]<r-... J >i I I ,..,
.11)' ,
  ,. Z\I \!   rт!
''! " _ у\ \. / '} r
"  l' \  \ J
I/ \, \1\ 1\1 % r-- ' / /, ,Ч j
I'!  ,\  \  I
I \ J, \ 'v "'\  J'  л
IVJ! ,N \ \  11  '}
I 1,"1
{/I
I} п;
V V :  D j/f.L'11 /!
rIJr;; !
'l /V ) ;;' '1
"iI / / / 1/ )
J
 'l// I +1 I
 V
IJ
. q, .. '1
 J' v t-f- / . i
I
'f  
/. i
11 ";/ /J I I
v
./ i 
 I  r I
/v/
:...... / I
25
20
15
10
0,1 {),3 0,5 . 0,7 tCDS!fJo
ж=
p
Рис. 6.36. Семейство кривых для определения поrлощения в ИОНО
- сфере.
416

rде
1
F (х) == 1 + х 2х .
lп 1  х + 1 ........ х 2
(6.58)
Кривая F (х) приведена H рис. 6.37.
Перейдем теперь к ра,счету поrлощения в области п.
Принимая указанные выше аппроксимации для ND(z)
F(z)
t
'Тgfx),tJ5
32
15
\

ч
8 12 16 :r
Рис, б.38. Кривая поrпощеНJlИ
в слое п.
и \'D (z), после замены переменной интеrрирован,ия по
формуле и== (ZMDZ)/BD, получим
I
:F (х)   ==2... e'7.BD J (1  и 2 ) ехр (a.BDu) du, (6.59)
D  cos 'О 'YoDB х V х 2  1 + u 2
о
причем здесь, 'в отличие от (16.54) I
х === f с;; 'о > 1. (6.60)
На рис. 6.38 изображена крИ'вая :F D(X), рассчитан
нап для aB D == 4,8 (VOD """11 07 ljc, а "",,:101 l/км, B D """
""" 40 км). По оси ординат отложены 'Значения функции
::F D (х),. умноженные для наrлядности рисунка на 2'00.
При X 1 в (6.59) под корнем можно Iпренебречь вели
271283 417

чиной 1и2 И при aBD';;$> 1 после выполнен-ия
'вания -получить
2 cos CPov oD ( 1 )
r  I  .
.й схсх 2 CtB D
интеrриро
(6.61)
Отсюда видно, что показатель поrлощения обратно про
порцио'нален квадрату частоты и cos <1'0. Эти закономер
ности ПРОХОЖLдения радиовол.н через ионоофеРНЫlf слоii
с произвольным N (z) профилем были нпер'вые уста HOB
лены А. Н. Казанцевым.
. Раосчита'в r и r D, наЙдем ICYMMa1pHoe поr лощение
f+F D . Ночью поrлощением радиоволн. в области D
можно 'Пренебречь. Очевидно, что расчет lПоrлощеНИ51
должен производиться дЛЯ ОРЧ. Что касае'J'lСЯ уrла q;u
то ero значение можно ПРJ1ближенно брать таким же
каким оно по.тrучилось при определении МПЧ.
Радиопроrнозы. Из изложенноrо в настоящем пункте
следует, что для поддержания круrлосуточной радио
связи необходимо располаrать по крайней мере данными
об изменении МПЧ в течение C)iTOK. ДЛЯ этой цели He
обходимо иметь сравнительно rустую сеть ионосферных
станций, 'расположенных по тра'ссе в местах, над KOTO
рыми происходят от'ражения луча. Однако CCTh ионо
сферных станций может быть более редкой, если поль
зоваться данными радиопроrноза.
Эти данные в СССР определяются институтом зе:\l
Horo маrнетизма, ионосферы и распространения радио
волн Академии Наук СССР (ИЗМИРАН) . Проrноз
МПЧ вырабатывается на основе данных rодовоrо и Me
сячноrо проrноза активности солнечной деятельности.
Сведения о солнечной активно'сти выдаются астрономи
ческими обсерваториями.
Активность 'солнечной деятельности, как уже было
сказано, характеризуется относительными числаl\lИ сол
нечных пятен, называемыми числами Вольфа. Числа
Вольфа определяются с точностью до 1015%. С этой
же точностью проrнозируюl'СЯ и МПЧ.
Радиопроrноз составляется на rод и на каждый Me
сяц вперед. Данные rодовоrо проrноза содержат, в част
но'сти, оведения о средних величинах МПЧ дЛЯ любоrо
времени суток и месяца, для различных rеоrрафических
широт и расстояний между пунктами 0,500, 1000, 2000
3000 и 4000 км.
На рис. 6.39 ПРИ6ден образец карты rодовоrо проr
418

ноза МПЧ дЛЯ широт 45550 и расстояния между пунк-
тами 40.0.0 км. На этих картах нанесены кривые равных
значений МПЧ  изоплеты МПЧ.
ДЛЯ определения МПЧ дЛЯ друrих расстояний име
ется HOMorpaMMa, изображенная на рис. 6.40. Исполь-
зование этой HOMorpaMMbI ясно из следующеrо примера.
Пусть проrнозируемые значения критической частотЫ
зt1Nа В
PactJJпOR}/lLe 701(1(" оtnlJажеНIL1f
40001('" неJl<8!1 45 0 С 55ac
О '1 8 12 16 20 2'1
 .1 1.1 .. ,.. l' I
il  12  i '!;/J \ \   ..
 !I;." \ 112 ,  /7i
.....".16"" /, 1\ 'j'-  I"' 
iv '18../} 1" 38...... J \'1\.'\
:\ V 1 \' r--- JlJ..... -',I C \ V
22 20 "'" .... 3z
" И' . I "' .....  . ......
 V. O, 22 I}./ 2S /r;
 VШ  ::[\ 2C'  I 22/ V/I
.." fф , ' ,Jl" , {II /х
Ijfi  изzL\  ,}
%
\' l1 j} Vir
Х/
x// 1o I \ 'l\ ....,'(JlfJJ r r13 1
v" \ ,...
о '1 8 12 16' 20 2ч
!1естное 9,lJel'fR 9 тОl./ке отражения
Рис. 6.39. Образец карты rодовоrо проrноза МПЧ в меrаrерцах.
6 мrц, а МПЧ дЛЯ 400.0. км  28 мrц, требуется опре
делить проrнозируемую МПЧ дЛЯ расстояния 180.0. км.
Как видно из <пунктирных линий, лриввденных на HO
MorpaMMe, эта МПЧ равна 17,5 мrц.
Расчет радиолиний на основании 'радиопроrНОЗ0В.
Как уже было указано, основной задачей расчета радио
линии, работающей на коротких волнах, является опре
деление ОРЧ.
27. 419

Для -выполнения расчета новой раДИОЛИНИ1И, кроме
данных проrноза, необходимо иметь:
1) «карту мира» (рис. 6.41),
2) карту больших KpyroB земноrо шара (рис. 6.42).
3) кальку, на -которой нанесены две заимно пер
пендикулярные линии.
Наложив кальку на карту мира так, чтобы одна пря-
мая была совмещена с экватором, а друrая с меридиа
ном 450, наносят на этой кальке корреспондирующие
пункты. Затем кальу накладывают на карту больших
KpyroB и, соблюдая совмещение экваторов, передвиrают
ее до тех пор, пока оба пункта не окажутся на одном
БО.1ЬШОМ Kpyre, после чеrо  соединяют оба пункта по
.1ИНИИ большоrо Kpyra.
Далее определяют расстояние между пунктам'и и
ПО.l0жения точек отражения. Если расстояние между
пунктаl\1И меньше 4000 км, то планируют одну точку
отражения, 'которая должна находиться посредине
между пунктами. Если расстояние больше 4000 км И
меньше 8000 км, то планируют две точки отражения,
каждая из которых должна находиться посредине меж-
ду. ближайшим к ней пунктом и точкой отражения от
земли.
Расстояния определяются по числам, КОТОрЫI\Ш
отмечены штрих-пунктирные линии. Расстояние между
двумя соседними ШТРИХ'ПУНКТИРНЫМИ линиями равно
1000 км.
Пример. Пусть требуется составить расписание ОРЧ круrло-
суточно работающей радиолинии Москва  Петропавловск-Камчат-
скиЙ на февраль месяц 1971 r.
Расчеты производим в следующем порядке.
1. По reоrрафической карте определяем rеоrрафические коорди-
наты пунктов
Наименование nYHKТQB
ШИ;JOта'
ДолrОТ8
Москва
Петропавловск  Камч атский
55 8-
53:30
37,68
158,58
2. С помощью карты мира на кальку указанным выше способом
н аносим корреспондирующие пункты.
3. С помощью карты больших KpyroB земноrо шара определяем:
расстояние между ПУНI<тами  оно равно 6800 км; точки отрже.
н:ия  первая удалена от Москвы на расстояние 1700 км, вторая
420


i
="
8


с)
(-о
о
:s:
;::1'

1::{
Q)
р.
Q)
t::
.:>:
:s:
::с

о
(-о
u
u

р.




q..

:s:
:r.
Q)
1::{
:Е
о
><

::с






р.
1--0
О
:;:
О
са ::с
о

ф
u
:s:
о..
Q)
'о
421

......:..:s: b
c::l.I:Qg.""'"
 t; :s:  >....:.
t':I ::I!::;!:C:!l
tf) O!-
t':I'"":CQe
6.('11   15. а
t':I >.:cQ)!:i
::s:::'....:. ::;!
....; g
"';t' (-о Q) О
tD«I
.2. 
(J 0:101':{
::S: Q, Q)
a..CQC\'J
     '.J  
 .з:. \. i'D""'" I
I\ 1\\ \ \\\ \ \\\'l\\\ \\ \r'\\\I\\'\l\\\ \\\'I\\\' \\ \\\'l\\ \ \\}...'t\ \ \
::- I ............... 
s? ';'  \. r---- .... i 
.... 
ffi.lli@,ill
 '" l ""
 \ C\: " 
 1\ ':' k\ \ \  \' \\\'k\ \\l\ \ \ \\ \\\\\I\\\\\\\I\\'I.\\\I\\\\\\\I\\\ .
'" 71 1 ."...... """"'I'oo--..l.
H С  .ro. It) / J ,../ J О ,
'f> 1\\I\\\\,\\\,,\\\\\ttl\\\\\\'I\\\l\\I\\\,1.\\:\\\I\\\,\ \\\\ \\\
 н::; !,...,.... O I\. \
 ...!... <( '\: \:)о C"n 0"\ J
l':f tr" l\\\;\\\\\\\\l\\\ '\ \\\\\\\\\\\\k\\\l\\  \ li \
t:j  н:2 ,'\ ...r
  N,:, :\'-\.\\\ \ l\\ \ \\\'l\\\ r\ \\ \\\\ l\\\I\\\' l\\ \1\\\I\\\'l\\ I\\'iffi \ 
'n 1
 "::::tJ\Jr:  I IV
  \.N\\ \. l\\\\ \ l\ \\ \l\\ \ l\\"\[:,. \\I\\\'l\\ \ \\\ \\\\[)(( lill ill С;)
  ,.... I I'" ( \ r'\ Ic;;.... 1'---......."" 
J: 1.\  I I
\,\,\ \\\\wwffi
  , ./ '" "\; I 
IY) 1\.1 \ \\\ \\'\ ,\\'\ C\ \\\\\ \\'\ .\\\ \\ \'.\\ \\ \' ,\\\\\\.\\\ t't)
'" l' f') ...l.
'/r:\ , I 
'l\M'@M
-щ /./\. ''''' / " v/
 mmM" ,\.\v&ill
Q:) [J r./ \ Q:)
i .W,\\,,'
«:::::! Ii '\".v  ! 
     '.J      
<:::::.


t:::I
Q)
%:
@
422

'О
a
0:r::
\0::;1
CD
(';JCI:I
Е-<
cl. .
(';J 
:::s::'1:I:ICl.
(';) 
.a

ф

0..8
1(1 ' 1i'i'>J93'''''''''''' 1I ' ) I ! I
I N \ 'Q -s:  ").. "" ", I
's4 "71 O  ,  I
l'  'Х".ж"- уо...'7'о.. '"",.....
\  .J{XXX1<JII "-J1J 'Y  t.' ,
,   ?:.- t:1 \\. . '/
\ tt t .\'  . . ". I
r,.... ."1.-:,...  :T4.' ..... . .I'
l'  , ,  v'
... ,'.,...- 'Нr-' 
..........I----. HH-. HH' Нt--- . ....... ...........t"--"- - -r---
r -.. 'r--- - O'
11 , ,.... "'" 1 ' tu:-. т  '::"J.  'j
I о.' \:\ _ .ж;f:J . . . \
.  .177} 1 \
I  '.  \'\ .  fli. 7')" \ CI') I
I I ""- '" "' :х х I
Q:).  'У')"'- CI:)
I   ,..oI("" . \ 1'1
 .I' ... 7> . ' U I
о, r-..'T H'+1- :u--- .+t-r-..+ I  .....
I '  ....;.ro"'"'")l. . I ' I
I t ......"":..J(.... :-"J....... , I I
I i со . ";'1. r, \  "' r...  I
I \ ...-"t  ]А T"I--: .  'Х. ,... I
\ cn '7' tJ...J t  /  I
...L ..L
....l.
'/::1= . 
\
".
---\-t
..
.,... ,.... - ,......"...,. по 
 -- - . I
 . ..
.-HH.H.==....... r+т-rr----rr-r
H' r'-' 'нн .
v ........... '.  .,...,
v 'r........- -, 
I . \--r' --1 y \
. )( ;' t -t;. 
"I .3\. ..L r-,.tl.   ,
 - "" :<. \ 1
 :--,.....,1{ 'J. ...,. I
"*"' ">OC '\.J(..... ;t:!J<::S; . I ' , '
I 1   .... \t:: I  1'4f I  I  I i ,} J J
/
I
 I
I /
I 
: \ I i I Q
423

на '5100 км; расстояние от Москвы ДО точки отражения луча от
поверхности земли равно 3400 км.
4. С помощью карты мира опредt:ляем координаты точек отра-
жения и поправку времени относительно декретноrо MOCKOBCKOro
времени:
Точки отражеНИSI Широта Долrота Поправка времени, '1
1 я точка 688 б3 8 +2
2я точка 678 1308 +б
5. По картам проrноэа МПЧ на февраль месяц 1971 r., приве
денным на рис. 6.43 и б.44, определяем критические и МПЧ длq
дальности 4000 км для различноrо времени суток деl<ретноrо Moc
KocKoro времени
Московское декретиое время
2
4
()
'. Р 5 4,5 4,5 7
lя точка
МПЧ 4000 12 11 11,5 19
'. р 4,5 7 11 12
2я точка
МПЧ 4000 11,5 18 29 36
8
10
12
14
16
18
20
22
10,5 12 12 10,5 8 6 5 .,
30 36 37 32 22 16 13 11,5
12 10,5 8 В 5 5 5 4,7

37 30 21 16 12,5 12 12 11
б. С помощью HOMorpaMMbI, приведенной на рис. 6.40, иаХО:I.I1;\]
МПЧ, соответствующие расстоянию 3400 км, МПЧ трассы в цело:\-!
и ОРЧ.
На рис. 6.45 приведен суточный ход ОРЧ, проrнозируеМЫl1 НО:}
февраль 1971 r. для рассматриваемой трассы MOCKBa. Петропав
повск-Камчатский.
424

Московское декретное
время
о
4
6
МПЧ 1 й точки 11,5 10,5 11 18 28,2
МПЧ 2й точки 11 17,2 27,8 34,5 35,2
МПЧ трассы 11 10,5 11 18 28,2
ОРЧ 9,3 9 9,4 15,3 4
10
12
14
16
18
20
22
34,0
28,Б
28,5
24,2
20

 о

20
35,5
20
30,5
15,5
15,5
13,2
15,5
12,5
11 ,5
11 ,5
9,8
11 ,2
10,5
10,5
9
20 t:t


о 
'-
20
80
Рис. б.4З. Карта IIроrноза МПЧ  If30ПJlеты l<р"тических 'IaCTOT.
4250
21,3
12
11,5
20
12
11,5
10,2
9,8
17
Зона В
   w  ю n  $ т м  
80   '.,  8:"" I I 8..' , ,  80
:I .1:"5 :..,........о;  >.J, " == 
&0 5h5'' M ::;;-12.5"':< (""L'' 5 5 5'0
::::: :> ......д '- 'i j ..;)\ 
IfO ==:::::. .....S. W 1  /зJ .J.....C ".......\  11-0
 ''i5 '/ J.II'  '11  ] 
 5/ //hr(t'  " "1 
::-12 \ '\. I I ( \ '..............1o-13..'J.
}(\ " I J  7 11 ,.
',. 9 ""'  "" ..../
 !J,S .... 9 l ,,'\  I....,  ;::.!! 
8 .  C ..:
 ') '"  """"-- fO... V .......:  ID"
"О 1,.,8' .,' 5,5'....... .... 9.s. !} 1", 11 O
М  ..J i .........r--:::r----...  9
uи $0
r-----.. ., 6. t: I ........... 8 ,....... 
;-......'...... I ',..,..G.5
." I 6'........ . ..
во
00 02 (}ч 06' 08 10 12 '11 16 '8 2.0 ZZ 2
l1естное 8реня ,

Зона 8
00 02 Оч
80
60 50
'10 чо
 20




'1-0
80 ч 
00 02 0"1 Об 08 10 12. 1'1 15 18 20 22 2ч
I1естное 8ре:,н
Рис. б.44. Карта проrноза МПЧ  изоплеты для дальности 4000 КМ.
QP'I,Hru.
22
-:t2б
18
1ц
10
O 08 12 18 20
"ось,
Рис. БАБ. Суточный ХОД ОРЧ (!Пример).

3. Элементы расчета радиолинии 3емля  И С3
Связь с искусственным спутником Земли из пункта,
расположенноrо на поверхности земли на весьма боль
l,lJие расстояния, далеко за пределами rоризонта можно
осуществить при работе в коротковолновой части диа
пазона КВ или даже длинноволновой части диапазона
УКВ.
Теория вопроса впервые была развита А. Н. Казан
цевым и д. С. Лукиным [65,66].
Здесь мы изложим элементарные соображения, пояс
няющие механизм процесса распространения радио
волн на раесматриваемой радиолинии и 'позволяющие
установить, в каком интервале частот возможна работа
этой линии. Ка'к было показано, если частота KOpOTKO
волновоrо сиrнала при данном уrле возвышения 8 MeHЬ
ше fHP(e), то имеет место последовательное отражение
луча от ионосферы, по,верхности земли, снова от ионо
сферы и т. д. Так что при этом возможно распростра
нение на BelcbMa большое расстояние BOKpyr поверхности
земли. При уrле возвышения 8==0 процесс ра.спростра
нения можно представить как последовательное рико
шетирование луча от ионосферы и поверхности земли.
Нетрудно Iпоказать, что возможно рикошетирование
только от ионосферы. Для этоrо, очеви'дно, нужно пере
дающую антенну поднять на высоту h над поверхностью
земли (рис. 6.46).
При этом если рикошет проасходит в нижней ионо
сфере на высоте Z1, рабочая частота f соrласно формуле
(5.31) должна быть связана 'с плазменной ча.стотой
формулой
f N (Zl)
f  .. / ( j Zlh ) 2 ·
V l l+ a+h
Наибольшую частоту f получим в том случае, если
рикошет будет иметь место на высоте Z1 ==ZM. Тоrда
../ a+h
f (О)КР h == !кр У 2 (zM h) .
(6.62)
427

Если h==H, rде Н  высота, на которой
нижняя rраница ионосферы, то получим
./ а+Н
f (О)КРН ::::: fKP у 2 (zM  Н) .
расположена
(6.63)
При рикошетирующем распространении, подобном изоб
раженному на рис. 6.46, луч никоrда не может попасть
на землю или выйти за пределы ионосферы. Такое ри
кошетирование возможно только в сферически слоистой
ионосфере. Однако в действительности в,сеrда сущест
Рис. 6.46. Рикошетирующее
распространение по нижнеii
ионосфере.
Рис. 6.47. Рикошетирующее pac
пространение при наличии rори
зонтадьных rрадиентов ПОЮ13ате
ля преломления.
вуют rоризонтальные rрадиенты концентрации элект
ронов, которые «выводят» луч на землю. Очевидно, что
rоризонтальные rрадиенты «выводят» луч на поверх
ность земли, если направление распространения совпа
дает 'с на правлением уБыIаa ния ,показателя. преломления
(рис. 6.47). Чем больше по абсолютной величине ro
ризонтальная составляющая rрадиента показателя пре
лемления, тем быстрее луч выводится на землю, тем
меньше дальность рикошетирующеrо распространения
радиоволн.
Таким образом, механизм распространения радио
волн в радиолiшии зеМJIЯ  ИСЗ  это рикошетирование
в нижней ионосфере 'ПЛЮс действие rоризонтальных rpa-
диенl'ОВ показателя преломления, 'Вызванные rОРИ30Н-
таЛЫIЫМИ rрадиентами концентрации эле'ктронов.
428

Очевидно, наличие rоризонтальных rрадиен'Тов мало
влияет на выведенные выше соотношения (6.62), (6.63)
для частот. Поэтому можем сделать вывод, что рабочие
.частоты для рассматриваемой радиолинии должны ле-
жать в пределах .
.. / .. / а + н .
fKP V 2z M <f<fпр V 2(zMH)
(6.64)
2м, КМ
f I r иР
в принеденной таблице
даны значения отношения
рабочей частоты IK Iкритиче
ской для ,различных значе
ний ZM, раосчитанные по
фор,муле (6.62) IПрИ h===O
и h===H ===60 ,КМ.
]40
220
300
4,7б-+б,78
3,8-+4,65
3,26-+3,74
 5. ЭЛЕМЕНТЫ РАСЧЕТА РАДИОТРАСС НА СРЕДНИХ,
ДЛИННЫХ И С8ЕРХДJlИННЫХ ВОЛНАХ
i. Средние волны 100 м<л< 1000 м
Средние волны распространяются земной волной на
большие расстояния, чем короткие волны, как вследст
вие меньшеrо поrлощения почвой, так и вследствие диф
ракции. Однако при этом дальность распространения не
превышает нескольких сотен км. Ионосферной же вол-
ной радиоволны этоrо диапазона в ночное время MorYT
распространяться на значительно большие расстояния.
А. Особенности распространения 'ионосферной волны
Средние волны проникают через слой D и отражают
ся от слоя Е. Поэтому испытываемое ими поrлощение
в дневное время столь значительно, что поле ионосфер
ной волны практиче,ски пренебрежимо мало. В ночное
время вследствие исчезновения слоя D поrлощение рез
ко падает.
Таким образом, поле ионосферной волны большей
части диапазона средних волк испытывает весьма эна
чихельные изменения в течение суток и в соответствии
с этим пространственная волна днем почти отсутствует.
Ночью же ионосферная !Волна распространяется на
весьма большие расстояния.
42Q

На средних, как и на коротких волнах, наблюдаются
замирания Iсилы приема. Замирания' эти -объясняются
или интерференцией ионосферой и земной волн
(рис. 6.48) или интерференцией нескольких волн, претер
певших различное число отражений. от ионосферы. По
скольку ,концентрации элеIК'fIРОНОВ 'все 'вре'l\1Я флюктуи
рует, то изменяется разность хода интерферирующих
Рис. 6.4:8. ИнтерфереИR ИОНО
сферной и земной 'ВОЛН.
волн, что и вызывает замирания. Замирания первоrо
типа наблюдаются в часы полуосвещенности, коrда поле
лростраНlственной и поле поверхностной волн сравни
мы. Замирания BToporo типа на'блюдаются в ночное
время.
Одной из мер борьбы с замираниями пер'воrо типа
являеffЯ применение специальных, так называемых
антифединrО'вых передающих антенн. Диаrрамма Ha
правленности такой антенны в вертикальной плоскости
или настильна, или, наоборот, приподнята. В первом
случае ослаблена ионосферная волна, а во втором 
земная. Так, у антифединrовых антенн радиовещатель
ных Iстанц'ий характе'Р,ИСТИI<а на'Правленности прижата
к земле, вследствие чеrо обеспечивается излучение ра-
диоволн, распространяющихся в основном земной вол
ной. При распространении средних волн возможно про
явление нелинейных эффектов. К ним относится Люк
сембурr,скоrОРЬКОВСIКИЙ эффект. Сущность этоrо эффек
та состоит в том, что при пересечении в ионосфере лучей
передающих радиостанций, работающих на совершенно
различных чаСТО1\ах, в приемнике, обладающем большой
избирательностью и настроенном на частоту маломощ
ной станции, будут прослушивать'ся сиrналы более мощ
ной станции.
f)бъяняется это явление тем, что скорость электро
нев, определяющая число соударений, зависит от l;Ia
пр"женности поля. Соответственно изменению напря
же.rности поля меняется число соударений, а следова
Тt.лыю, и продим()сть. Вместе с проводимостью будет
4:31)

меняться и поrлощение радиоволн. Вследствие этоrо,.
если через одну и ту же обла.сть ионосфе'ры OДHOBpeMeH
но проходят сиrнальi мощной и маломощной станций,
то сиrналы последней станции будут промодулированы
сиrналами мощной станции.
Б. Расчет напряженности поля
Поскольку при распространении ионосферной волны
в ночное время и при ее отражении от слоя Е поrлоще
ние незначительно, то при расчете напряженности поля
вонсе пренебреrают этим поrлощением и считают, что
ра.спространение по l'реуrольному пути (рис. 6.49) про
исходит, как в свободном пространстве. Соответственно
Рис. 6.49. К расчету напря-
женности поля на средних вол-
нах.
вертикальная составляющая напряженности поля, если
рассматривать антенну как вертикальный диполь, co
rJlaCHO рис. 6.49, может быть рассчитана по формуле
Е  ЗООV cos26 MB == ЗООVD2 мВ , ( 6.65 )
B l м (D2 + 4Z;') 3/2 м
rде 1.  длина rеометричеСI<оrо пути луча; е  уrол воз
вышения. В формуле (6.65) все длины выражены в ки
лометрах.
2. Длинные волны 1000 м<л<10.о00 м
Длинные волны вследствие отсутствия поrЛОщеНИЯ
землей, которая ,практически является для них 'Провод
ником, И большоrо дифракционноrо поля, распрострЦ,ня
ются земной волной на сравнительно большие рас.стоя
ния. Однако. уже на рас.стояниях 1 OOO2000 км поле
ионосферной волны jначительно превосходит поле зем
ной волны. Поэтому в радиолиниях большой протяжен
43)

ности во MHOrO тысяч километров используется прост
раНС1венная волнаr .
В диапазоне длинных волн в наинизшем ионосфер
ном слое число соударений
,,Ш (v 108 +).
Ввиду этоrо теория, развитая в rл. 5, здесь непри
'('одна. Более Toro, вследствие большой длины волны не
удовлетворяется неравенство (3.40) и приближение reo-
метриче,ской оптики вообще в данном случае не;приме
tlимо.
Однако экстраполяция теоретических результатов и
9спериментальных данных, полученных для друrих диа-
аЗQНОВ волн, дает основание по.тrаrать, что распростра-
Рис. б.50. К расчету напряжен-
. НОСТИ поля на ДЛИННЫХ волнах.
нение длинных волн между землей и ионосферой про-
исходит примерно так, как по сферическому волноводу,
в котором имеет место поrлощение.
Для расчета напряженности поля в диапазоне длин
ных волн применима полуэмпирическая формула Остина
120lmhl1 V  { 0,0014 } мВ
Е == лD sin а ехр  D м' (6.66)
rде h д  действующая высота антенны; а  rеоцентри-
ческий уrол, соответствующий дальности D между кор-
респондирующими пунктами (рис. 6.50). Все длины здесь
выражены в километрах.
3. Сверхдлинные волны 10 кмл<100 км
В силу Toro, что длина волны диапазона оверхдлин-
ных волн сра'внима с расстоянием от нижней rраницы
ионосферы до поверхности земли, понятие о земной и
ионосфе,рной волнах здесь теряет смысл. Со значительно
432

большим основанием, чем в случае ДЛИННЫХ волн, здесь
можно rоворить о 'ВОЛНОВОДНОМ ра.спространении по
сфериче'скому волноводу. Поэтому сверхдлинные волны
распространяются BOKpyr Земли с весьма незначитель
ным осл аблением. Это обстоятельство и послужило
одной из основных причин применения сверхдлинных
волн в новейшей навиrационной аппаратуре.
Расчет напряженности поля в коротковолновой части
этоrо диапазона может быть выполнен по формуле Ости
на (6.66). В длинноволновой же части расчетные дaH
ные, полученные по формуле Остина, не соrласуются
с результатами измерениЙ. Теоретические формулы дл'я
расчета на,пряженности поля, rодные для этой части диа
пазона оверхдлинных волн, были получены Аль'Пертом
и ДРУf1ИМИ исследователями [30, 29]. Однако объем дaH
ной книrи не поэволяет подробно остановиться на дaH
ном вопросе.
 6. РАСЧЕТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ
К УЛЬТРАКОРОТКОВОЛНОВЫМ РАДИОТРАССАМ.
ОШИБКИ РАДИОЛОКАЦИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ЭФФЕКТАМИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
t. Особенности распространения УКВ в ионосфере
и космосе
При реrулярных состояниях ионосферы волны Toro
диапазона, за исключением ero небольшой длинновол
новой части, от ионосферы не отражаются, ионосфера
для этих волн прозрачна. Поrлощение УКВ в силу Toro,
что частота колебаний значительно больше частоты co
ударений электронов с друrими частицами, незначи
телыно. Основные эффекты, имеющие место .при рас-
пространении радиоволн' через ионосферу и с которыми
приходится считаться на практике, таковы: рефракция,
дисперсия, вращ,ение ,плоскости, поляризация, ра,ссеяние
радиоволн на неоднородностях ионосферы, создаваемых
флюктуациями электронной концентрации.
Рефракция радиоволны рассчитывается по формулам,
приведенным в rл. 3. К этому !Вопросу мы еще вернемся
ниже. Здесь же укажем, что если по всей траектории
луча f2N/{24:.1, TO степеь искривления луча будет при
мерно обратно пропорциональна {2. Дисперсия радио-
281283 433

волн прежде Bcero приводит к тому, что скорость сиr
нала не равна фазовой скорости. Вследствие этоrо при
расчетах радиотрасс в диапазоне УКВ, как и в диапа
зоне КВ, приходит,ся различать так называемые 2pyп
повой и фазовый пути СU2нала. rрупповой путь опреде
ляется как про изведение скорости С на время, затрачи
ваемое сиrналом на прохождение пути по лучу с rруп
повой скоростью V rp , т. е.
L rp ===с S dtrp  c S .
Vrp
1 . 1
При пренебрежении влиянием маrнитноrо поля Земли,
коrда можно считать Vrp== сп,
Lr р === S !!!....
Il
1
(6.67)
Фазовый путь определяется как произведение с на Bpe
мя, которое затрачивает волна нз. прохождение пути по
лучу с фазовой скоростью vф== с/п:
Lф==С S dt ф ===с J : === S п dl=== W.
1 1 1
(6.68)
Видно, что фазовый путь связан с фазой волны форму
лой
==  L ф .
с
в результате дисперсии имеет место и деформация оrи
бающей сиrнала. Критерий ствпени деформации дартся
формулой (5.113).
Эффект вращения плоскости поляризации (эффект
Фарадея) в диапазоне УКВ при произвольнам -направ-
лении раС1пространения сказывается, начиная с децимет
ровых и более длинных волн. Соrласно формуле (6.27)
уrол поворота плоскости поляризации обратно пропор-
ционален [2, причем для л== 10 см этот уrол при про-
хождении всей толщи ионосферы составляет величину
порядка 130.
434

Паскальку в диапазане УКВ атражение радиавалн ат
ианосферы aT1CYTCTByeT, практичеокае значение приабре
тает HeKarepeHTHae ра.ссеяние радиавалн на плазменных
неаднароднастях ианосферы, создаваемых флюктуациями
электраннай платнасти. Этат вапрас уже рассматрен
в  2 этай rлавы.
Паrлащением радиавалн диапазанав УКВ, а тем бо
лее в меж'планетнай среде, мажна пренебречь [19J.
2. Характер ошибок измерения координат
радиотехническими методами, обусловленных
эффектами распространения радиоволн
Как известна, при апределении каард,инат абъекта
радиатехническими метадами считается, чтО' измеренный
уrал между касательнай к паверхности земли в тачке
раопалажения радиалакатара и напраlвлением прихада
атражеНIlаЙ от цели волны и есть уrал вазвышения цe
ли. Дальнасть до цели апределяется путем умнажения
измереннаrа времени запаздывания О'fiраженнаrа 0'1' цe
ли импульса атнасительна зандирующеrа импульса на
скарость света в пустате.
Однако вследствие рефракции радиовалн направле
вне ПlрИiхада атраженной ВОЛIIIЫ не совладает с истин
ным направлением на цель. Также и дальнасть, апреде
ленная указаlН'НЫМ выше с.посабам, имеющая смысл
rруппаваrа пути Lrp, не савпадает с истиннай даль
настью да цели.
Отсюда следует, чтО' измерение каардинат абъектав
радиатехническими метадами соправождается паrреш
ностями. Эти паrрешнасти можно раздеЛИlЬ на система
тические и несистематические. В реrулярна неаднарад-
най атмасфере, rде диэлектричес-кая праницаемасть и
саответственна паказатель преломления меняются па
вполне онределеннаму закону, катарый для KaHKveTHbIX
уславий мажет быть устанавлен экспериментальна, па
rрешности насят систематический характер и, следава-
тельна, MarYT быть исключены путем внесения папра-
вак. ОднакО' в атмасфере, как была уже У,К3'зана, имеют
ся и нереrулярные, случайные неаднараднасти. Эти
неаднарадности привадят к местным пульсац'иям пака
зателя преламления, вызывающим несистематические,
случайные паrрешнасти при измерении каардинат
абъектов, исключить катарые невазмажна.
28 * 43 5

з. Ошибки, обусловленные рефракцией и дисперсией
при распространении радиоволн в сферически
 слоистой атмосфере
Рефракция имеет место как в ионизированноЙ, так
и в неианизированной частях атмосферы. Д'исперсия же
имеет место практически только в ионасфере. Паэтаму
ашибки в измерении даЛЫЮСТIl .В неионизирова:н'ной час-
ти атмосферы ничтожно малы.
С друrой стороны, как уже была атмечено, в ионо-
сфере рефракция абрано пропорциональна квадрату
частоты, в то же время в неионизированной части атмо-
сферы рефракция .от ча.стоты практически не зависит.
. Следовательно., в длинноволновой части диапазона
УКВ будет преобладать эффект рефракции, вызванный
ионосферай, а в коротковолновой части' эффект реф-
ракции, вызванный неИОНlIзированнпй частью атмосфе-
Рис. .б.51. К расчету астрономи-
ческой рефракции.
ры, а rлавным образом тропасферой. Ввиду Э1'Оrо имеет
смысл разделить эффект рефракции на две Части: саот-
веТСNJующие рефракции в ианосфере и рефракции в не-
иа-низи'раванной части атмосферы.
Рассмотр,им. ошибки рефракции ,причем начнем ос реф-
ракции в коротковалновай части диапазона УКВ. Не
вдаваясь в детальное раесмотрение вапроса (это сде-
лана 'в {19]), рассмотрим важный для практики случай,
коrда раGстаяние до цели значительно бальше высоты
rраницы троП'осферы (Zrp""' 12 км). В этом случае имеем
дела с так называемай астрономической рефракциеЙ 1
Т. е. рефракцией луча,. исхадящеrа из бесконечно уда-
43б

ленноt'о источника. Этот случай рассмотрен еще Ньюто
НОМ 'ПРимен.ителыю к патрсоностям астра.НQМИИ.
Из рlIС. 6.51 lЗ'идно, что астрономическа я рефракция
eCTu Уrол oo, на который поворачивается касательная
к лучу после прохождения ero через всю толщу прелам-
ляющй ча.сти атмосферы.
СО!'ласно формуле (3.36), для радиуса кривизны
8====  dn cos6 Al=== dn .
р dz. п dz п tg 6
Иа уравнения луча им,:>ем
с CJS 6 == д-... ;
. п,
sin 6=== V 1  ( п )2;
tg 6 ===у ( п; / ),
(6.69)
('TKY.l\a получаем
q === llоа cas 60'
Zr
 . S 1 С/Н dz (6.70)
ею ===  п dZ 1/ ( т' '\ 2
О r q)  1
rде r  высата раницы преломляющей атмосферы. Это
и ес1'ь фармула для ра,счета астронамичес.кой рефрак
ции. Для дастаточно каротких волн, а именно. каратка-
ВОЛlfавой части УКВ, выражение (6.70) мажет быть зна
читеJIьна упращено, если уrал возвышения 80 не слиш
ком мал или, иначе, если зенитный уrол сро == п/280 не
СЛИ1.tJком близок к 900.
}j самом деле, паказатель преломления для таких
ваЛlf в пределах всей преломляющей атмосферы незна
ЧИТеЛЬНО отличается от единицы и мажно паложить
(п/fl o )2  1. Таrда
Zr
 === r dn dz s1" !fo 
00 J dz II V 2z Zl
О cos. !fo + а + (i2
Zr
  S dn  1 t !fo
о dz п (1 + +) Уl + А2 t2 2 rro '
4З7

rде
А 2  22 I а + 22 I а 2
(1 + zja)
Если зенитный уrол сро таков, что выполняется не-
равенство
Atg2CjJO< 1,
(6.71)
то корень можно разложить IJ ряд и TorAa получим
Zr
 ==  S   ( t g  .....!..... А 2 t g 3 +
1-'00 dz п СРО 2 'Ро
u
+  A4fg5cpo  l А 6 tg 7 'Ро+.'.) (1 + +)1. (6.72)
Отсюда видно, что выражение для уrла астрономиче
,ск'ой рефракции .можно представить в /виде, .полученном
А. Н. Крыловым:
oo == К 19 cpoM tg 3 cpo+L tg 5 cpoN tg 7 ЧJО+... (6.73)
Очевидно, что для зенитных уrлов, удовлетворяющих
неравенству
А 2ig 2 (jJo  1,
(6.74 )
можно оrраничиться первым членом ряда и считать
oo K'tg<po. (6.75)
Можно также ,счрпать z<.<a. TorAa, как видно из (6.72),
при достаточно высоких частотах
1
К ==  C.==1nпo  по  1
J 11
по
н, следовательно,
oo (пol)'tgCjJo. (6.76)
Из (6.76) следует, что при выполнении условия
(6.74) уrол астрономической рефракции не зависит от
закона изменения показателя преломления с высотой,
а зависит лишь от значения показателя преломления
у поверхности Земли. Это обстоятельство было впервые
отмечено Лапласом в отношении астрономической реф
ракции оптических волн и было им сформулировано
в виде теоремы, названной впоследствии теоремой Лап
ласа.
438

Заметим, что при вычислении уrла астрономической
рефраlКЦИИ с точностью до 1" формула (6.76) оказы
вается справедливой вплоть до уrла qJlQ==70°. При MeHЬ
шей точности формула (6.76) будет применима и для
больш'их зенитных уrлов.
Пример. Пусть сро==80 0 , no1 ==0,0004. По формуле (б.7б) полу-
чаем Роо == 7,9'.
Получим теперь формулы дли расчета уrла рефрак
ции, коrда излучающий объект находится на конечном
расстоянии. Э1'от уrсл рефракции равен уrлу между ка-
жущ'И'мся направЛ(нием на объект, характеризуемым
уrлоМ: 80, и истинным направлением на о.бъект, характе-
ризуемым уrлом 8н, т. е.
д8  808и.
Соrласно рис. 6Ь2
а == О А  60 + , I
L == V(a + ZA)2 + а 2  2а(а + ZA) сosа:, (6.77)
. (а + z А)2  а 2  L2
sln Он == 2aL .
Рассмотрим сна чала чаСТIНЫИ случай. Пусть объект
находит,ся 'в троп'осфере или еrратосфере. Зачастую
; десь можно 'считать, что rраДiиент показателя прелом-
JIСНИЯ dnjdz являе1'СЯ постоянной величиной. Тоrда по-
Рис. 6.52. К расчету рефракции
радиоволн, излучеIIНЫХ источ-
ником, находящимся на конеч-
ном расстоянии.

стоянвым ПО лучу будет и ero радиус крив'изны. В 'pe
зультате, как ВНДllO из ри.с. 6.52, на основ-ании чисто
rеометричеlСКИХ СООТllOшениЙ при учете уравнения луча
можно получить
АО ==  == L cs Во I : 1. (6.78),
439

Например, при нормальной рефраКЦИИ( J ==4.101I M }
при 00 == о и L . 406 км находим до == 27,5' .
ПереходИ'м теперь к более общему случа ю рефрак
дии в ДЛИIННОВ'ОЛНОВОЙ чз'сти УКВ.
Из соотношений rеометрооптической трактовки сле-
дует
cos О А == (4+ )
п а zA
(q == поа cos 00);
%А
S 1 dn dz
 о n d2 Jl c<at 2 »)'  1
(6.79)
%А
S 1 dn dz
  н n d2 -v ( п (а  2 А) )'  1 · }
Формулы (6.77) и (6.79) позволяют рассчитать точ-
ное значение '8, если за,дана за,висимость n(z) или за-
висимо,сть концентрации электронов от ВЫСОТЫ N (z).
При этом д'8 оказы'ает,сяя неявной функцией 80, ZA 'и
параметров, Oiпределяющих профиль N(z). Эту функцию
можно предсroавить в явном '[шде лишь ,в ,случае, коrда
рабочая частота f значительно больше критической час
стоты fкp, т. е. коrда
( fxp ) ,2  80,8N m  М ..-9 1
f  {2  .
Докажем это. Действительно, в случае (6.80) показа
тель пр,ел омления n, ра вный
п == .у 1  80,8 (z) == Vl  M (z)  1  +Мф (z),
мало отличается от единицы и вместо (6.79) можно. при-
нять
(6.80)
cos6 A 
cos 60
zA
l+а
%А
1 5 dФ dz
 == 2 Лtl cos 60 dz . / з 2
Н У (1 + а)  cos ll 60
(6.81 )
440

причем, в силу (6.80),   1. Поэтому можно ПОЛО)I\ИТЬ
cos а == cos (6 А  60 + )  cos (6 А  60)   sin (6 А  60)'
I а (а + zA) ]
L  Lo 1 +  L sin (6 А  00) ,
rде
Lo  V(a+z A )2 +а 2  2а (a+z A ) cos(6 A Oo)
и, следовательно, соrласно втор()му соотношению (6.77),
находим:
sin 6.  sinO o  дО cos 60 
Lo (a+zA):Ial [L+2a(a+zA)sln(BA во)]
 2а L + a (aJ+ zA) slл.(8 А  60)
а
Отсюда, приравнивая величины одинаковоrо порядка мв-
пости, получаем
:slп (8 А . 80) :1
O===  з (а+ ZA) [а + ZA  а сев (ОА  00)].
cos в oLo
Подставляя в эту формулу выражение для  из (6.81),
находим
40 === MQ (6" z А) 18'
(6.82)
rде
Q (О" ZA) ===  sin (6 А  60) (а+ ZA)I [а + ZA 
2Lo
:  а cos(e A  00)1,
(6.83)
2А
1  J dФ dz
в  dz z I ·
У(1 +а) COSI 80
Видно, что Q'(6o, ZA) не зависит от состояния ионо-
сферы; Э'f10 универсальный чисто rеомеТРlИческий мно-
житель. Семейство кри:вых Q (80, ZA) приведено на
РИ1С. 6.53. Получим теперь формулу для расчета ошибки
441

3
Рис. 6.53. К расчету поправок
на рефракцию: функция
Q(Bo, ZA).
()
Jf
9
7
5
I1L измерения даЛЬНОСТ1И, обусловлерной диспер.сией и
ре/фракцией радиоволн 'в ионосфере.
Измеренная :дальность есть L rp , а !Истинная даль
ность, ,соrласно рис. 6.52, ра,вна L, следовате.ль'Но,
дL==LrрL.
Учитывая, 'Что
Al дl дz
!:4rp  VrP ==ёil;:::::::: сп sin в
ДZ
сп V 1  ( n (а  z) -) 2
и ЧТО В неионизироваlННОЙ части атм'осферы Vrp== С, на-
ходим
еА
4pctrp S dz
о n V 1  (n (а  z) ) I
==а (У (1 +  )' COS'O.SinO.)+
ZA
+ S dz
н nVl( n(az) у
(6.84)
442

Эта формула ДЛЯ L rp и вторае саотнашение (6.77) позво-
ляют рассчитать тачнае значение дL.
ОднакО' .п.ри условии (6.80) расчеты упрощаются 'и из
(6.84) палучаем
_ zA {(z) ( 1 + +) dz
дL=== М S /
2 н V ( 1 + + ) 2  cos 2 80
1
-=== 2 J\!I1 L'
(6.85 )
Для Toro чтобы можно 'было выполнить конкретные
вычи,сления па полученным фармулам, .нуж!но задаться
аппроксимацией профиля N (z) ИЛИ Функаии Ф (z).
Прежде Bcero очевидно, ЧТО' подходящая математическая
модель N (z) 'профиля должна отображать наиболее cy
щес'Т,венные особеннасти измен ения 8 с высотой ZA
расположения 'объекта в реаль'най ионосфере.
'. dN
Пас кольку при ZA < ZM' ёiZ> О, та, как видно из фор
мулы для радиуса кривизны
 и 'ОООl1ветственно 8 :ари
ФИI<с'ирова,нном уrле 'возвы
шения 80 с увеличением ZA
будет 'возра'стать. При
Рис. б.54. К выбору модели
профиля N(z).
луча, >O. Поэтому уrол
Z
N I11 N
Рис. б.55. Треуrо.'IЬНЫЙ пр()
филь N (z).
ZA == ZM имеет ме.ст'а переrиб луча. Поскольку dNjdz<o
IПРИ ZA>ZM, та B<O, следователыно, пасле переrиба
с увеличением ZA уrол  и 'coO'nBeTCT,BeHHO l\H будет
убывать (рис. 6.54).
443

В общем модель профиля N (z) Iдолжна удовлетво-
рЯТЬ следующим Т'ребоваНИЯf:
1. М'одель ДОЛЖlна отображать наиболее универсаль
ные устойчивые характеристики профиля N(z).
2. Пара.метры, определяющие модель, ДОЛЖIНЫ БЫТh
такими, чтобы их можно было леrко получить эк'спери
ментально Iпутем 'радиозо'Ндиропания 'Ионосферы.
З. Методы расчета величины e, применительно к MO
д,ели, должны ,быть .по возможности простыми Iи универ
саль'Ными, т. е. должны быть лриме:нены ко нсевозмож
ным состояниям ионосферы.
Наиболее простая модель N (z) профиля, удовле1'ВО
ряющая этим требованиям, изображена lIа 'рис. 6.55.
Анал.итически она задается следующим образом:
N(z)  { al(ZH) при Z<ZM'
ф(z) 
т 1  а 2 (z  2' м) при Z > Z м.
} (6.86)
Величины ljal II lja2 'имеют смысл ТОJ1ЩИНЫ соответст.
венно нижней и верхней ионосферы. Под,ставляя (6.86)
'в ФОРМУJIУ дЛЯ /8, получаем
l aa.!] (z, Н) ПрИ Z < 2м, )
/0== а [а 1 / 1 (ZM' H)a/l (z, ZM)] П:J И Z <z<zr' (6.87)
a[a.Il(zM,H)a/](zr,zM)] ПТ)И z>zr'
1
Zr==+ZM'
йа
/] (Z2' ZI) === /] (Z2)  /1 (ZI)'
1, (z)  ln ( 1 + : + V ( 1 + + )'  cos' в. )-
в качестве примера приведем результат расчета ошибки по
выведенным эдесь формулам для следуюuцих данных: 80== 100, ZA ==
== 1500 км, частота {== 100 мrц и параметры ионосферы Н == 100 км,
Zм==ЗОО км, at:=0,005 l/км, а2==0,ООI l/км и 'кр==10 мrц. Имеем
д8==31,7'.
444

Подставляя тепь (6.86) в формулу для / L' получим
allai
"2---<Р(z,Н) при Z<ZM'
а l [ 2
"2 aIP(zM,H)+aI2(z,ZM)
/ L   а 2 Р (z, ZM)] при ZM < Z < Zr. (6.88)
а ll [ . 2
""2 alP (ZM' Н) +а 12 (Zr' ZM) 
 а 2 Р (Zr' ZM) ] при Z > ZM; .
t J
P(Z2,ZI)===(I+ ; )/2(Z2) (1+ :1 )/ 2 (ZI)+
+ cos 2 6/1 (Z2' 2'1)  2 (1 +  ) /2 (Z2' ZI);
/2 (Z2' ZI) /2(Z2)  1 2 (zl); 1 2 (z)===
===у (1 + + )11  cos 2 60.
в качестве примера приведем результат расчета ошибки AL по
полученным формулам при тех же данных, для которых производил-
ся расчет .АО. Имеем AL==19 км.
За'Метим, что ошибка дL в,сеrда положит.ельная;' 'Сле
довательно, для получения истинной дально,сти L из из
меренной следует вычеСТl.J величину .дL.
4. Случайные ошибки в измерении уrла прихода
и дальности, обусловленные флюктуациями
диэлектрической проницаемости
Эти случайные ОlUибки важно оценить для Toro, чтобы знать
предельную точность измерения координат объектов радиотехни
ческими методами. Как уже было указано, эти ошибки обусловлены
случаЙными неоднородностями электрически неоднородной среды.
Возможность определения координат объектов обусловлена воз
можностью трактовать процесс распространения радиоволн понятия-
ми, относящи:\шся К луча'м. Лучевая "Т'paiКTOB'Ka, как мы видим, воз-
НIIкает как следствие Toro, что в процессе распространения радио-
BO.r1H между корреспондирующими пунктами выделяется существен-
ная об,l1асть для распространения. В однородном прэстранстве эта
область имеет форму эллипсоида враuцения с фокусами в коррес-
ПОIjДИРУЮЩИХ пункт ах. Мак'симальное сечение этоrо эллипсоида
имеет порядок величины У лL, 'rде л  ДЛИНа волны; L  расстоя-
445

ние между пунктами. При этом излучатель Р  оволн является TO
чеЧIIЫМ, т. е. ненаправленно излучающим,
В радиотехническоЙ аппаратуре, предназ ачеНIIОЙ для измерс
ния координат объектоI3. как бы искусстве но создают об.lJасть,
существенную для распространения как можно меньшеrо сечения,
применяя для этоЙ цели остронаправленные антенны. Ввиду этоrо
достаточно адекватным данной задаче меуодом ее решения должен
являться тот, который исходит из предположения, что размеры
неоднородностей, имеющие порядок вели'ЧИНbJ Lo, значительно боль
те сечения .'1уча. В случае нешшравленноrо излучения это условие
записывается так: Lo  V 'ЛL. Неоднородности. удовлетворяющие
этому условию, называются крупномасштабными.
Таким образом, оценки указанных случайных ошибок будем
производить, считая случайные неоднородности крупномасштабными.
Эти неоднородности возникают в результате всеrда имеющих место
флю,ктуациЙ диэлектрическоЙ ПРОlIицаем()iCТИ !:1е, которые в преде-
лах всеЙ атмосферы, а те!\! более межпланетноil среды, можно счи
тать малыми по сраВlIению с единицей. Так как для определения
координат объектов ПРИМСI1ЯIOТСЯ достаТОЧIIО высокие частоты, то
можно среднее значение показателя преломления считать равным
единице. т. е.
,r Де
11 == 1 + (х == r 1 + .1е:::::: 1 + 2; n == 1.
(6.89)
Предполаrается также, что атмосфера стати(;тически однородна
и изотропна. Это предположение вынужденное, ввиду отсутствия
достаточноrо количества данных, которые позволили бы учесть не-
однородность и анизотропию,
Таким образом, мы полаrаем, что корреляционная функция
флюктуаций диэлектрической проницаемости и соответственно флюк
туаций показателя преломления зависит только от Р<l.ССТОЯНИЯ
между точками, в которых эти флюктуации происходят, т. е. спра-
ведлива формула (3.85):
В == В (r) == В [У (:"2  x l )2 + (У2  YI)2 + (Z2 ZI)2J .
Мы примем наиболее распространенные выражения для функции В (r):
в (r)  Де 2 erllo .
в (r) == Де 2 e(r/Lo)l.
Соответствующие выражения для коэффициента корреляции Ta
ковы:
р == е r/l.o
(6.90)
И
р == е  (' / 1 о) 1.
(6.91)
Отметим, что в силу (6.89) коэффициент корреляции флюктуаций
показателя пре.l0мления и флюктуаций диэлеl.<трической проницае-
мости один и тот же.
А. Поrреwности при измерении дальности
Время, затрачиваемое на прохождение волной пути 1 с фазовой
скоростью VФ ИЛИ, иначе, «фазовое запаздывание равно
446

t ф == Stf== 5 Ildl ==+ J (1 + а) dl.
1 \ . l 1
Время, затрачиваемо на прохождение волноЙ пути l с rруппо-
вой скоростью V rp или, ицаче, «rрупповое запаздывание» равно
\
(б.92)
t == s ==r== S (la)dl.
rp Vrp С J п с
1 1 1
Сопоставляя равенства (6.92) и (6.93), видим, что флюктуации
фазовоrо и rрупповоrо запаздывания равны по величине и проти
I
(б.93)
воположны по знаку, т. е.
t:.t ф == tф  fф =:::  Ы rР ==  (trP- iirp) == + S adl. (б.94)
rде черта сверху означает среднее время запаздывания. Отсюда
следует, что статистические характеристики обеих флюктуаций оди-
наковы.
Из равенства (б.94) также следует, что флюктуация 'Ф фаЗbI
'ф приходящей волны и флюктуация IL rрупповоrо пути L rp свя
заны между собой равенством
(J) 5 (J)
дф ==  a.dl ===   дL.
с с
1
(6.95 )
Следовательно, по статистическим характеристикам одной из этих
флюктуаций нетрудно найти статистические характеристики друrой.
Имея это в виду, рассмотрим флюктуации фазы.
Найдем средний квадрат флюктуации фазы. Имеем
 ю l S L r. . 2 r S L 
Дфl===7 adl J't1.dl==ca J Ct 1 Ct 2 dl 1 dl 2 .
О () О О
(6.9б)
<Х 1 <Х 2 == а 2 р ,
rде черта сверху, как и раньше. означает усреднение по времени.
Учитывая, что
(6.97)
rде а 2  средний квадрат флюктуаций показателя преломления, и,
пренебреrая искривлением луча, вместо (б.96) можем написать
L L
 6)2  S S
дф2 === с2 а. 2 р ('2  '1) d'l d '2'
о О
причем в силу зависимости коэффициента корреляции р только
от расстояния между точками, в которых происходят флюктуации,
должно иметь место равенство
р==р(/ '2ri 1) ==P('l'2) ==p(r2'l).
(6.98)
(6.99)
447

I
Имея это в ВИДУ, введем вместо '2 7 0B переменную
f)==r2rt (б.lОО)
и получим
L Lr
.1+'  :: а' J dr, 1 р ("'1) d"'l- (6.101)
;;
Поскольку коэффициент корреJ1ЯЦИИ p(r) есть достаточно бы
стро убывающая ФУНКЦИЯ расстоfi'Ния r, по внутреннем интеrрале
можем растянуть пределы интеурирования до бесконечности и,
ПО.rJьзуясь в соответствии с (6.99) четностью функции р (f), Haxo
дим [15]
 6)2  S " 00 5 6)2  ОО Х
Аф2 == 2 с2 ,,1 dr. р (r) dr == 2 са ,,2 L р (r) dr.
о о о
(6.102)
Если подставить выражение для коэффициента корреляции из
(б.90), то, поскольку
00 CIO
 Р (r) dr ==  er/Lo dr == Lo.
о о
получим
 6)1 
Аф2 == 2"'"""'2 "ILLo.
.С
(6.103)
Если :подставить выражение для коэффициента коррляции из
(6.91), то, поскольку
. 08
r S rI/L у7
i p(r) dr==o е dr== L..
находим
 «1)2  
Аф== "'""'"'2 (;\2 Jf 7; LLo.
с
(6.104)
Соответствующие значения средних квадратов флюктуаций rруп
повоrо пути cor.lJaCHO (6.95) равны
Аи == 2a.IL Lo.
AL2 == а 2 у -,; LLo.
(6.105)
(6.106)
Например, при а. 1 == 10'o, L. == 10 км. L 1000 км. расчет по фор
муле (6.105) дает У ALI == 1,43 М.
448

Б. Поrреwности при измерении уrла прихода
Интеrрируя уравнение луча (3.14)
д (IOn)
--дl" == v n .
находим
L
nlo  пol== S V ndl .
о
или, учитывая неравенство (6.89), имеем
L
10  I ==  va.dl.
о
Возводя обе части зто[о равеиста в квадрат, для левой части иа-
ходим
(IO Jg)a == 2(1  lOJ)==2(1 COSM);:::::dB\
rде e  уrол между направлениями касательных к ЛУЧУ в точках
выхода и прихода, или, короче, флюктуация уrла прихода.
Таким образом, 
(6.107)
(6. 108)
L L
de. == i i (va)1 (v a ). dl 1 d1 2 . (6.109)
Индексы у скобок означают значения rрадиента функции а(х, у, z)
в точках. в которых происходят флюктуации, так что
да. I да I да I да I
(Va.). (Va.)2 ==   +  +
дх х==х. дх х==х. ду g==lJ. ду у==и.
+ да. I да I
дz 2==Zt дZ" 2=2.
или. полаrая
,а (ХI, УI, ZI)a(X2, У2, Z2)==1(XI. УI, ZI', %2" у., Zll).
т. е. рассlt1атривая произведение слева как фуикцию шести пере-
менных .11, YI, ZI, Х2, У2, Z2, можем написать
д ll ' д 2 ! да,
(Va.). (Va.)a == дх.дХI + ду.дУI + дzадZ I .
Усредняя обе части поспеднеrо равенства по промежутку ремени
Т, получаем '
т
1 f ( aaf a 2 f д 2 ' )
(V a ). (Va.). == т r дх.дх. + ду.ду. + dz.az.
т
( д. д l д. ) 1 S
== дх.дХ 1 + ду.дУI + дz.дZ I Т f dt,
о
dt ===
21283
449

откуда следует. что
(6-,110)
(V a )1 (va)2== V2V1f== V2V1 a 1 a 2.
rде оператор
д 2 д ' д 2
V2V1 == дх 2 дХ 1 + дУ2 д У1 + дz 2 дZ 1 . (6.111)
Таким образом, усредняя обе части равенства (6.109) по времени
и учитывая (б.llО). находим
L L L L
в2 == J S (va)1 (va)2 dl 1 dl 2 == )  V2Vl a 1 a 2 d l 1 dl 2 . (б.112)
о о о о
 .
Выоажая -аlа2 через коэффициент корреляции и пренебреrая ис
кривлением луча, получаем:
L L
82 == а 2 S S V2V1P (r.  (1) dr 1 dr 2' (б.l1З)
о о
Здесь, как и в случае интеrрала D (б.98). вводим' новую переменную
11 по формуле (6.100) и, учитывая, что V. ==  V1 == V, V2Vl ==  v 2 .
имеем
L Lrl
62 ==  а. S dr 1 j V.p ('1j) d'1j.
о rl
(б.114)
Во внутреннем интеrрале растяrиоаем пределы ИН1'еrрирования
до бесконечности и, учитывая, что p(f)  функция четная, находим
L ос) ос)
вl ==  2а 2  dr 1 j V 2 p (r) dr ==  2 a l L I V 2 p (r) dr. (б.115)
о о о
rде
V 2 p (,) == * d (r2 dP ).
Если взять выражение коэффициента корреляции (6.90), то интеrрал
в (6.115) оказывается расходящимся. Следовательно, в данном
случае коэффициент корреляции в виде (6.90) неприrоден.
Возьмем выражение коэффициента корреляции в виде (б,91).
Так как
.1 d ( d P ) 4 rl/L2 б rl/L2
V. p (, ) ==  ,2  == ,2е O е о.
,. d, d, L L
(6.116)
то после выполнения интеrрирования получаем
 4 a 2 L y .
в. == L. . (6.117)
Например, при а,1 == 1O.D, Lo == 10 км, L == 1000 км расчет по фор
муле (6.117) дает .,.. дв 2 == 55".
450

 7. ПОМЕХИ РАБОТЕ РАДИОЛИНИИ
Вопрос о помехах комплексныЙ, ибо он имеет несколько аспек
тов, которые изучаются в разных дисциплинах, таких как радио-
астрономия, а,нтенные и приемные устройства. Однако наличие
помех  всеrда суuцествующее реальное условие работы любой pa
диолинии, Поэтому некот-орые, хотя и весьма краткие, сведения
о помехах должны быть приведetIы и в книrе по распространению
радиоволн. Мы здесь ставим цель лишь ознакомить читателя с тер-
минолоrией и с некоторыми понятиями по данному вопросу. Более
подробный материал читатель найдет в друrих книrах и в справоч-
ных материалах [20, 25].
Под помехой понимается радиоизлучС"ние, попадающее в при-
емное устройство вместе с полезным сиrналом и маскирующее по-
следний.
Источники помех обусловлсны раЗЛИЧIlЫМИ факторами  есте-
ствеlIIlЫМИ и НСКУССТВСIIIIЫМИ  И В раЗIIЫХ диапазонах частот они
различны.
Искусственные  это индустриальные помехи, возникающие при
включении и выключении электрооборудования, при искрении, элек-
тросварке и имеющис вид затухающих цуrов радиоволн. Спекр
этих помех лежит в диапазоне длинных волн.
К естественным помехам в первую очередь относятся rрозо-
вые разряды, создающие также цуrи затухающих радиоволн. Ме-
стные rрозы создают спектр радиоизлучения, лежащий в диапазоне
сверхдлинных волн. Но постоянным источником помех, действую-
щим на всем земном шаре, здесь являются очаrи rроз, расположен
ные в экваториальном поясе. Спектр радиоизлучений этих rроз
Довольно широк: он занимает диапазоны длинных, средних и KOpOT
KtlX радиово,r:ш. Данные об этих уровнях можно найти по картам,
публикуемым и систематически корректируемым мккр 1[20].
В диапазонах укв действуют космические помехи. Космические
помехи суть радиоизлучения внеземных радиоисточников, к которым
относятся в первую очередь Солнце и планеты солнечной системы,
rалактика и радиоизлучение постоянно открываемых новых косми-
ческих источников.
Радиоизлучение космических источников количестпенно xapaK
теризуется их интенсив'ностью; за единицу интенсивности принимают
интенсивность TaKoro излучения, lКоrда через плоuцаlДКУ в 1 м 2
В единичном интервале частот 1 rц и в единичном телесном уrле
1 ар пере'Носится мощность 1 ,Вт. Следовательно, размерность И'Нтен
сивности Baiij Meтp 2. rерц. стерадиан. Часто эта интенсивность co
rласно формуле излучения Релея  Джинса измеряют в температур
ных единицах, точнее, в так называемой яркосТ'Ной температуре.
Яркостная температура определяется как температура ,воображаемо
ro раскалеН'ноrо тела, имеющеrо такие же уrловые размеры, как и
космический ИСТОЧНИIК радиоизлучения, и излучающеro на данной
частоте в данном направлении такое же количество знерrии, как и
'рассм атриваемый источник.
Измерять интенсивность ра,диоизлучения помехи в темпе.ратур-
ных единицах весьма удобно, так как при этом оказывается воз-
можным непосредственно сравнивать температуру помехи с темпе-
Iратурой внутренних шу,мов приемника. Однако эту температуру от-
носят не к цепям приемника, а к приемной антенне и ее определяют
следующим образом.
29- 451

Так как источники космическоrо излучения распределены по
всему небосводу, то интенсивность их радиоизлучения или соот-
ветствуюuцая ей яркостная температура будет являться функцией
направления. Поэтому температура антенны должна определяться
суммарным раДИОИЭJIучением всех космических ИСТОЧННКОD и соот-
ветственно
ТА   JD(D'f) т (Df) dQ.
g
(6.118)
rде интеrрал берется по всем направлениям, D  кнд антенны. OT
сюда видно, что для определения Т А необходимо знать функцию
Т({}, q». Эта функция определяется по изофотам  картам распре-
деления яркостной температуры по небосводу для различных QaCTOT
[20, 25]. Температура aHTeHibI определяется не только космическим
радиоизлучением, o и тепловым излучением rазов тропосферы,
ионосферы, а таI<же земли. Появление TaKoro излучения следует из
закона Кирхrофа, corпaCHo которому тело, поrЛОШ,ающее электро-
маrнитное излучение, в состоянии тепловоrо равновесия на тоЙ же
частcтrе в определенной пропорции само излучает электромаrНlIТНУЮ
энерrию.

ЛИТЕРАТУРА
1. Моноrрафии, учебные пособия
1. Фей н б 'е р r Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной
поверхности. Издво АН СССР, 1961.
2. А JI Ь пер т Я. Л. Распространение радиоволн и ионосферы.
Изд-во АН СССР, 19БО.
3. r и н з б У Р r В, П. Распространение электромаrнитных волн
в плазме. Изд-во «Наука», 1967.
4. Щ У к JI Н А. Н. Распространение радиоволн. Связьиздат, 1940.
5. «НовеЙШIIС исследования распространения радиоволн вдоль зем-
IIОЙ ПОDСрХНОСТИ». Сб. 1. rостехпздат, 1945;
«Исследования по распространению ,ра,диовол'Н». С6. 11. Изд-во
АН СССР, 1948.
6. Ф о к В. А. Диффра'кция радиоволн BOKpyr земной поверхности.
Изд-во АН СССР, 194б. .
7. Аз р И.1 Я Н Т П. А., Б е л к и н а М. r. Численные результаты
теории дифракции радиоволн BOI<pyr земной поверхности. Изд-во
«Советское радио», 1957.
S. В в е Д е н с к иЙ Б. А. и А р е н б ер r А. r. Вопросы распростра
нения ультракоротких волн. Изд-во «Советское радио», 1948.
9. «Распространение ультракоротких радиоволн». Пер. с анrл. под
ред. Б, А. Шиллерова. Ищ-во «Советское радио», 1954.
10. А р е н б ер r А. r. Распространение дециметровых и сантиметро
вых волн. Изд-в «Советское радио», 1957.
11. В r е m m е r Н. Terrestrial radio waves. Theory of Рrораgаtiоп.
Amsterdam, 1949. '
12. В ы с о к о в с к и Й д. М. Некоторые вопросы дальнеrо тропо
сферноrо распространения ультракоротких радиоволн. ИздrlO
АН СССР, 1958.
13. «Дальнее тропосферное распространение УКВ». Под ред.
В. А. Введенскоrо, М. А. Колосова, А. И. Калинина, Я. С. Шиф
рина. Изд-во «Советское радио», 1965.
14. Т а т а р с к и й В. И. Распространение волн в турбулентной aT
мосфере. Издво «Наука», 1967.
15. Ч е р н о в П. А. Распространение волн в среде со случайными
неоднородностями. Изд-во АН СССР, 1958.
16. Д о л у х а н о в М. П. Дальнее распространение ультракоротких
волн. Связьиздат, 1962.
17. В и н о r р а Д о в а М, В., С е м е н о н А. А. Основы теории рас-
пространения ультракоротких ради.ОВОJlН в тропосфере. Издво
АН СССР, 1963. '
18. Б ре х о в с к их. Л. М. Волиы в слоистых средах. Изд-во АН
СССР, 1957.
19. К о л о с о в М. А., А р м а н д Н. А., Я к о в JI е в О. И. Рас-
пространение радиоволн при космической связи. И:здво «Связь»,
1969. .
20. Международный коисультативный комитет по радио. МККР.
Документы Х пленарной ассамблеи. Женева, 19б3. ТОМ 11. Рас-
пространение радиоволн. Изд-во «Связь, 1964.
453

21. Т Р о и ц к и й В, Н. Распрастранение ультракоротких волн в ro-
рах. Изд-во «Связь», 1968.
22. Труды Бурятскоrо института естественных HaYI<' Распростране-
ние ультракоротких радиоволн о rористой местности. Бурятское
книжное издательство. Улан-Удэ, 1968.
23, Ш и фри н 51. С. Вопросы статистическоЙ теории антенн. Изд-во
«Советское радио», 1970.
24. Рыт о в С'- М. Введение в статистическую радиофизику. Изд-во
«Наука», 1966.
25. Ц е й 'т л и н Н. М. Прамене.ние радиоастрономии в антенной тех-
нике. Изд -'во «Советское .раIДИО», 196б.
26. К а б а н о'В Н. И., О с е т р о IB Б. И. Возвратно-н-аклонное ЗОН-
дирование ионосферы. Изд-во «Советское радио», 19б5,
27. «Проблемы дифракции и распростран€'ния волн», Изд-во Лснин
rрадскоrо университета, 1968, вып. VII.
28. Радиоокеаноrрафическис исследолания MopCKoro волнения. Под
ред, чл,-кор. АН УССР С. 51, Брауле, ИЗkЛО АН УССР, 1962.
29. lя Всесоюзная школа-семинар IП'О дифракции и ра'Clпрост,ране-
пию волн. Паланrа, 30 мая  15 июня 1965. Москва  ХаРЬКОll,
19б8.
30. А л ь пер т Я. П" r у с е в а Э. r., Ф л и r е л ь Д. С. Р аспро-
странение низкочастотных электромаrнитных волн В, волноводе
Земля  ионосфера. Изд-во «Наука», 1967. ,
31. Р а т к л и Ф Ф Дж. А. Маrnито-ионная теория и ее ПРИЛОЖeI-ше
к ионосфере. Изд-во иностр:шной литературы, 1962.
З2. Фре й е р r. Метод расчета электронной концентрации -при по-
моuци аналоrовой машины по ИОНОI'раммам и'стинноrо времени.
В сб. «РаClпределение электронов в iВер'хней атмосфере». Изд-во
«Мир'», 19б9.
33. В u d d е n К. G. The Mathematical Theory of the Reflection of
Radio Waves from stratified Layers, Cambridge, 1961. .
34. К е с с е н и х В. И. РаопростраRение радиOlВОЛН. rocTexTeopeT-
издат, 1952.
35. Д о л у х а н о в М, П. Распространение радиоволн, Изд-во
«Связь», 1965.
36. К о р с у н с к и и П. Н. Распространение радиоволн при самолет-
ной радиосвязи. Издво «Советское радио», 1965.
37. r р у д и н с 1{ а я I'. П. Распространение радиоволн. Изд-во «Выс-
шая школю>, 1967.
38. С е м е н о в А. А. Теория электромаrнитных волн. Изд-во Мос-
KOBCKoro университета, 1968.
39. К а л и 'н и н А. И. Расчет трасс радиорелейных линий. ИЗIДВО
«Овязь», 1964.
40. К а л и н и н .А. И., Ч е р е н к о в а Е. Л. Распространение ра-
диоволн и работа радиолиний. Издво «Свr.зь», 1971.
41. К а ш про в с к и й В, Е., К у З у б о в Ф. А. Распространение
средних радиоволн земным лучом. Изд-во «Связь», 1971.
42. Ч е р н о в Ю. А. Возвратно-наl<лонное зондирование ионосферы.
Изд-во «Связь», 1971.
43. Ч е р н ы й Ф. Б. Распространение радиоволн. Изд-во «Советское
радио», 1962,
11. Журнальные статьи
44. В в е Д е н с к ий Б. А., К о л о с о в М. А., С о к о л о в А. В.
Исследование распространения метровых, дециметровых, санти-
454

метровых и суБМИJJлиметровых радиоволн, «Радиотехника и элек
троника», выл. 2, 1967.
45. К а з а II Ц е в А. Н., Л у к и н Д. С. Исследование ионосферноrо
распространения радиоволн. «Радиотехника и электроника», 1967,
вып. 2, .
4б. Z е n п е С k J.. UebeI' die Fortplanzung ebener elcktromagnetischer
Wеllеп liings еiпеr еЬепеп LеitШiсllе und ihre Bczichung zur
drahtlose Telegraphle, Апп. Physik, 1907, В. !2З.
47. Z о m m е r f е 1 d А. Ueber' die АusЬrеituпg еlеktrоmаgпеtisсhеr
Wеllеп iп der drahtlosen Telegraphie. Апп. Physik, :1909, В. 28.
48. W а t s о п G. N. The trапsmissiоп оУ electric waves Ьу the Earth.
Proc. Roy. Soc., 1918, А95.
49. Петровский А. Д., .Фейнберr Е. Л. О приближенном
rраничном условии в теории распространения радиоволн вдоль
земли. «Радиотехника и электроника», 1960, вып. 3.
50. Б а с с Ф. r. rраничные условия для электромаrнитноrо поля
на поверхности земли с произвольным значеЩlем диэлектриче
с.кой проницаемости. «Радиотехника и электроника», 1960, вып.:3.
51. Рязанцев А, М.,.illабельников А. В. РаСПРОС1ранение
радиоволн в земной коре. «Радиотехника и электроника», 1965,
вып. 11. .
52. К а л и н и н Ю. к. к вопросу о дифракции радиоволн над не-
однородной сферической поверхностью земли. «Р?диотехника и
электроника», 1958, вып. 10.
53. А л ь пер т 5I. Л. Изучение ионосферы и межпланетноrо rаза
с помощью искусстоенных спутников Земли и ракет. «Успехи
физических наук», 1960, N2 3.
54. Ша пир о Б. С. Расче1: распределения ионизации. с высотой
при помощи электронных цифровых. машин. Сб. статей «Иссле-
дование ионосферы». Изд-во АН СССР, N2 5, 19БО.
55. К е р б л ай Т. С. Некоторые особенности распределения крити
ческих частот слоя Р2 дЛЯ высокой солнечной активности. Сб.
статей «Исследование ионосферы». Изд-во АН СССР, N!! 5,
19БО.
56. М и т я к о в Н. А., М и т я к о в а Э. Е., Ч е р н о в е Ц к и й В. А.
Результаты исследования распределения электронной концентра-
ции в ионосфере методом наземноrо приема радиосиrналов ИСЗ
«3лектрон-l». «Космические исследования», 19б6, N2 2.
57. Э в а н с. Теоретические и практические вопросы исследования
ионосферы методом HeKorepeHTHoro рассеяния радиоволн. «Тру-
ды института инженеров по электронике и радиоэлектронцке»,
19б9, N2 4.
58. F е i е r J. Sсаttеriпg of radiowaves Ьу iопizеd gas iп thermal
equilibrium. Сап. J. Phys., 1960, У. 38.
59. М о r r с r о f t О. R. Оп the power scattered from dепsitу fluctua-
tions iп а Plasma. J. Geophys. Research, 11963, У. б8.
60. «Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектро
НИКе». Тематический выпуск N!! 6 «Зондирование ионосферы
сверху», 19б9.
61. К а з а н Ц е в А. Н. Теоретические расчеты поrлоuцения радио-
волн в ионосфере при различных законах изменения ионизации
по высоте. «Известия Академии Наук СССР», 194б, N!! 9.
б2. К а з а н Ц е в А. Н., Р о м а н о в а Т. С., К ч е м е н т е н к о А. Я.
Поrлощение радиоволн в ионосфере по радионаблюдениям за
455

искусственными спутниками Земли. «Радиотехника и электрони-
ка», 1958, N!! 8.
63. К а л и н и н Ю. 1(., в с е х в я т с к а я И. С. Метод расчета ин-
тенсивности сиrнаJlа вдоль коротковолновой трассы. «reoMarHe-
тиэм и аэровомия», 19б7, N!! 1.. -
64. К а ш пор о в с к ий Б. Е., Л я н о й Б. Е. О расчете поля на
КВ трассах большой протяженности. «rеомаrнеТlIЗМ И аэроно-
мия», 19б9, Nt 3.
65. К а з а н Ц е в А. Н.. Л у к и н Д. С. Механизм распространения
радиоволн, излучаемых искусственными спутниками Земли. «Koc
мические исследования», 19б6, N!! 2.
66. К а э а н Ц е '8 А. Н., Л у к и н Д. С. Напряженность поля к,орот-
ких радиоволн, иэ.'Iучаемых искусственным спутником Земли.
«Космические ИСС.'Iедования», 196б, М 2.
67. Ч е р н ы й Ф. Б. «Новое применение круrовой диаrраммы ДЛИII
ных линиЙ (диаrраммы Вольперта). «Электросвязь», 1972, Н2 1.

ПРЕДМЕТНЫЯ УКАЗАТЕЛЬ
Атмосферный ВОЛНОВОД 2б9
Береrовая рефракция lб4, 168
Боковая волна lб4
Вертикальный диполь 125
Вертикальное зондирование 35б
Верхний луч 323
Взлетная ПЛОLЦадка 149
ВКБ-приближение 229
Возвратнонаклонное . зондиро-
вание 377
Волновая зона 24
Вопноводное распространение
269
Высотно-частотная характе-
ристика 357
rеометрооптическое приближе-
ние 222
rиромаrнитная частота 329
rиротропная среда 330
rоризонтальный диполь 124
rоризонтальный rрадиент по-
казателя преломления 234
rрупповой путь 434
rрупповая скорость 343
rюйrснсовские вторичные
источники 29
Дальняя зона 24, 59
Двойное лучеl1реломление 333
ДебаевскиЙ радиус экраниро-
вания 391
Диаrрамма Вольперта 108
Диаrрамма видимости 135
Диаrрамма дальности дей-
ствия 135
Диапазоны радиоволн 7
Дистанционночастотная xa
рактеристика 377
Дифракционный множитель 50
Дифракционная формула Вве-
денскоrо 183
Дифракция Фраунrофера 55
ДифраКЦIIЯ Френеля 55
Диффузное отражение 203
Дополнительный экран 55
Закон двух третей 279
Закон Ламберта 202
Закон секанса 279
Земная волна 405
Зона видимости 75
Зона молчания 322
Зона Фраунrофера 59
ЗОНI Френеля 35, 81
Инверсия температуры 2б9
Индекс рефракции 2б3
Инерционный интервал 278
Инте(Jференционный множи-
тель 117
. Ионосферная волна 405
Квадратичная формула Вве-
денскоrо 128
Короткие 'радиоволны 8, 405
Коэффициенты отражения 90
Коэффициент рассеяния 252
Критическая частота 315
Критический вертикальный
rрадиент 2бl
Луч Педерсена 323
Маrнитнос поле Земли 328
N\аrнитоактивная среда 330
N\аксимальная дальность ра-
диолокации 72
N\аксимальная дальность pa
диосвязи 70
N\аксимальные применимые ча
стоты 319
Метод зеркальных нзображе-
ннй 77
Метод стационарной фазы 46
Множитель ослабления 141
Модуль приведенноrо показа.
теля преломления 263
Наклонно нправленная вол-
на 319
HeKorepeHTHoe рассеяние 386
Необыкновенная волна 334
Нижний луч 323 .
Нормальная рефракция 2бl, 264
Нормальная тропосфера 2БО
457

Области прозрачности 337
Область прямой видимости 129
Область, существенная для
распространения 9
Область тени 10, 129
Обыкновенн ая волна 334
Оптимальная рабочая частота
408
Оптический путь 223
Отражательная трактовка O
Отрицательная рефракция 2б5
Ошибки радиолокации 433
Параметр деформации импуль-
са 348
Параболический слой 318
Плазменная частота 314
Поверхностная волна Ценнека
159
Поrлоuцение 96, 223, 224, 327,
417
Положительная рефракция 2б5
ПомеХIl в работе раДIlОЛИНИИ
451 .
Поперечник поrлоuцения 301
Поперечник рассеяния 301
Посадочная площадка 149
Потери усиления антенны 285
Пределы применимости 115,
129, 132 .
Приближение Борна 222, 242
Приведенные высоты 132
Приближенные rраничные
условия Леонтовича 143
Приближенные соотношеиия
Щукин а 139
Принцип Бабине 55
Принцип rюйrенса  Френеля
26
Принцип Ферма 224
Повышенная рефракция 264
Пониженная рефракция 2б4
Простой слой 315
Радиолокационное отражение
30б
Радиопроrнозы 418
Радиус зоны молчания 322
Радиус кривизны луча 232
Расплывание импульса 344
Рассеяние 9, 56, 188, 222, 276,
294
Расстояние прямой видимости
129
Рефракция радноолн 259
Сверхдлинные волны 8, 432
Сверхрефракция 2б8
Свистяuций атмосферик 340
Скачки напряженности поля
lб5
Скорость распространения сиr-
нала 340
Спираль Корню 51
Средние ,волны 8, 429
Теоремы эквивалентности 351
Томсоновское сечение рассея-
ния электрона 388
Турбулентное движение возду-
ха 276
Ультракороткие волны 8, 433
Уравнение луча 224
Уравнсние радиолокации 73
Уравнение радиосвязи 71
Уравнение эйконала 224
Усиление препятствием 18'
Условие Ilзлучения 23
Участок, существенный для
отраЖСllllЯ 85
Фазовый путь 223,. 434
'Формула идеальной радиопере-
дачи 140
Формула Кирхrофа 26
Формула Шулейкина  Ван-
дер-Поля 155
Функция rрина 38
Численное расстояние 154
Эйконал 223
Эквивалентный плоский экран
173
Эквивалентный радиус Земли
2бl
Эллипс поляризации 145
Эффект Допплера 383
Эффскт Кабанова 377
Эффективная площадь рассся .
ния 73
Эффект Фарадея 335
Эхо на короrких волнах 407

оrЛАВЛЕНИЕ
ПреДИСЛQ,вие ко второму rздаIlИЮ
ПреДIrСJlовне 1{ пер,ВОМУ изданию
Введение
Э 1. Свобод:ное раСlПростра'Не.ние раДИОВОЛII
Э 2. ,Краткая ,характеристика сред
1. Земля .
2. АТМОСфе'ра
3. МеЖlПла'Нетная среда
Э 3. Диапазоны радиоволн .
Э 4. Пре,ДваРИТСЛЫlые сведения об о'собelННОСТЯХ распро-
странения радивол;н в разли'Чных средах
1. Распространение радиовол,н в 'сво,бад'ном [1ростра'НТlЗе
2. Влияние земли на раопространение радиоволн .
3. ВЛИЯlние атмосферы ,на раапростраlнение радиоволн
 5. Метод И'зучения сво'бод.ноrо распространения радио-
волн и исходные IПО.lожения теOlрИИ
rлава первая
Распространение радиоволн в свободном цространстве.
Влияние препятствий
 1. РаСХОДЯЩIIе'ся 'волны . . . . . . .
1. Сведение систе'мы ураlЗ'нений элеIПРОlмаrНИТIrоrо поля
к ВО.1НОВОМ,у уравнению . .
2. Решение ВОЛ'llовоrо уравнения для вектора repua
3. Условие излучения .
 2. ПРИНЦIШ rюйrеIlса  Френеля
1. МатемаТИЧeJCкая формулировка. ФОРlмула Кирхrофа
2. rюйrенсовы вторичные источники электромаrНИ1'НЫХ
волн . . .. ......
 3. ЗOIНы Ф'ренеля. Область, существе'нная для распро-
тра'НеIНИЯ раДИОВОJlIН .. ....
:1. Частный случай применения формулы Кирхrоф(]
2. Специальный выбор вспомоrателыюй фуНIЩИИ ер
3. Зоны Френеля . . .
 4. Метод стшiIIонарной фазы . .
 5. Дифракция раДIIOВО.JIН на плоских нС'прозраЧIНЫХ объ-
ектах . . .. ......
!1. ДифраКЦI1Я IНa крае полубееконечноrо эрана .
2. Дифракции на экранах конечных размеров. Прин-
цип Бабине. Дифракция Френеля и дифракция
Фраунrофера. .
3. Рассеяние Р31ДIЮВОЛ 1 Н круrлым экраном
 б. Особенности дифракции ра:диовол'н на объемных иде-
ально проводяIЦИХ телах
1. Метод расчета рассеянноrо .поля идеа.'IblIО проводн-
щами телами . . .
2. Расеяние радиоволн идеально проводящим шаром
Э 7. Максималыная дальность действия радиолокационной
танции в свободном пространстве
3
4
5
5
5
6
7
7
9
9
10
11
13
lб
lб
19
23
2б
2б
29
35
35
37
40
4б
48
48
55
62
б4
64
66
б7
459

'1. Кр.аткие сведе.ния о реалыных излучателях радиволн
антеннах .
'2. Максимальная дальность радиосвязи
3. МаксИ'мальная дальнооть 'РCllдиолокации .
4. \Понятие о зоне ВИ'ДИiЫости Р3lдиолокацион,ной станции
rлава вторая
Поле излучателей, поднятых над землей
 1. Метод зеркальньiх изображений. ЗО'ны Фревеля при
отражении . . .
 '2. Участок поверхности, существенный для отражения
 3. Коэффициенты отражения
1. Отражательная трактовка
2. Виды поляризации . . . . . .
3. За/ковы отражения и преломления плоских 'волн
4. Коэффициент 011ражения при rоризо'Нтальной iЛоляри-
зации . .. .........
5. Коэффициент отраже.ния 'при верти'кальной поляри-
l3ации . . . . . . . . . . . . .
6. Сравнение отражения 'радиовол.н при различных ВИ-
дах I!IОЛЯРи\'зации . . . .
7. Случай !Произвольной поляризации .
8. Определение коэффициентов отражения Френеля по
:круrовой диа l I1ра'Мме длинных ЛИIIIНЙ (диаrрамме
А. Р. Вольперта)
9. О пределах tI1рименимости отражательной трактовки
 4. Интерференцион,ный 'Множитель . . . . . .
'1. Вывод формулы для ИJнтерференционноrо 'М:ножите,lЯ
2. Поле rоризонталыноrо диполя
3. Поле 'вертикалbIНOiI'О дИ'поля . . . . . . .
4. Поле ,rоризонталЬ'ноrо и вертикальноrо диполей I1lpil
малых уrлах воз,вышения. К'ващ)атичная формула
Нведенскorо . . . . . . . . .
 5. Учет сфернчнOICТИ земли В интерференционных фор-
мулах . . . . . .
1. Расстояние IlIря'моiI видИ1МОСТИ
2. О ,при.менимостн o-rражателЫlОЙ трактовки в случае
сферической земли
3. \Приведенные высоты . . . .. ..
э б. Максималыная 'дальность деоствия радиолокациО'Нной
станции с учетом влияния Земли
1. Зависимость дальности уrл-а ВОЗ1вышения
2. Построение диаrра'МIМ дально(:ти дейст,вия
3. МаКСИlмальная дальность действия радиолокацион-
ной СТilJНЦИИ !при :малых yr лах 'возвыенияя
Э 7. Основные вопросы 'раопространения радиоволн вдоль
rладкой :поверхности З-емли . . . .. .
'1. .постанов'Ка задачи. Понятие о ,множителе ослабле-
ния. ЛриближеНiНые соотношения Щукина
2. ПриближеНiНые rраничные условия Леонтовича
'3. Поле вертикальноro диполя, раiCПОЛОЖClнноrо iНa II1ЛО-
ской земле
4. Поле rОРИ<З0нтальноrо диполя, ра'Оположенноrо на
IПлоской земле
5. Поле диполей, расположенiныx 'в земле
460
67
70
72
75
77
85
90
90
91
92
98
101
105
107
108
115
117
117
123
125
128
129
129
130
132
134
134
135
138
139
139
143
. 148
160
162

6. Раопростра,нение ра-диоволн 1Щ0ль неоднородJНОЙ
трассы. Береro.вая рефракция lб4
 8. Дифракция радиоволн BoKpyr земной поверхности 173
1. Дифракционное поле вблизи 'П.1ОСК'О,СТИ ,rоризонта при
больших высотах расположения корреспондирующих
пун,ктов. ЭквиваленilНЫЙ плоский экран 173
2. Дифракционное поле вблизи ПЛОСКQ'Cти 'l'ориэонта IIIРИ
произвольных высотах расположения корреспондирую-
. щих 1Пунктов . . . . . . 177
 9. РаспроcrраiНеlIие !радиоволн 'Над lНеровной lПоверх
ностью земли . . . . . . . . . . . 188
1. Распространение над одиночным ,выступом. Усиление
Iпрепятствием. Рассея.ние радиоволн ВЫ'СТУl1lOМ 188
2. Раопространение радиоволн в случае хаотически pac
пределенных неровностей на поверхности земли 196
3. Влияние рельефа местности в окрестности JJОЗИЦ'.fН
.радиолокационной станции .на ее дальность деЙС'ТВiiЯ 204
 10. Оши-бки В иэ'Мерении 'Ylfла места цели, обусловлен-
ные Оl'ражение'М радиоволн от эемли 218
rлава третья
Распространение радиоволн в неоднородных средах
 1. Исходные lIIоложения о раопростране'Н,ии .р,адиоволн
в иеоднороДНЫХ средах . . . . . . . . 221
 ,2. Распространение радиоволн в плавно 'HeOдtНOpOДHЫX
средах. rеометроо.птичеСI<ое приближение 222
1. о.CIlювные соотношetIшя.. 222
2. Уlра!ВIНение эйконала; при.нЩ\lП Ферма; )'Iравнение луча 224
3. Уравнение, определяющее амплитуду А, и e.ro реше-
ние . . . . . . . 22б
4. З'амечание О' ВКБ-rпри'ближе.н:ии . . 229
5. Основные СООТНОШСIНИЯ дЛЯ сферически СЛОИСТОЙ ат-
Ю'сферы . . . . . . . . . . . . 231
6. Уравнение луча rпри Ulаличии rОQизонтальных 'l'paД!l
е'Нтов lIIокаэа теля 'преломления . . " 234
 3. Раопространение радиоволн в «ли:неЙUlОМ слое». Стро-
roe решение . . . . . . . . 23б
 4. РассеЯillие радиовол'н. ПриБJ1нжение Бор'На 241
1. Ос.новные СОО11flOшения . . . . " 241
2. Расчет 'плотности 1П0тока 'Э'нерrии раосеянноrо излу
чения. . . . 246
3. СПек11ральная IПлотность кор'реЛЯЦИОIIНОЙ функци'и
'I1ульсаций диэлектрической проницаемо'сти 250
4. 'Коэффициент рассеяния 252
rлава четвертая
Распространение радиоволн в тропосфере
 1. Электрические параметры тропосферы 25б
 2. Рефракция радиовол'н . . . . 259
1. Радиус К'ривизiНЫ луча . . 2БО
2. Э:к,вивален11НЫЙ радиус Земли . . 2бl
3. Приведен.ный [lокаэатель IПреломления и модуль при-
,веденноrо покаэателя IJ1реломления (индекс рефрак
ции) 263
461

4. ВИtды рефракции . . . . . . .. 264
5. Сверхрефракция. Вол'Новодное распространение . . 268
 З. Рассеяние ра,диоволн 'НеоДiНОРОдJностями турбулентноЙ
тропосферы . . . . . . . . . . . 27б
'1. Ulонятие о турбулентном движении воздуха и iJIульса
циях диэлектрической iIlроницаемОС'Ти тропосферы . 27б
2. Коэффициент рассеяния IIIеОДIIОРОДНОСТЯ'МИ турбулент-
ной тропосферы . . . . . . . . . . 279
3. HCI<OTopble особеlНiНОСТИ lП.риема раcrеЯ'Н'I10rо излучеllllЯ 282
4. Результаты наблюдений даЛЫIеrо тро.посфеР,IIоrо р,н>
,"рО'стране.ния радиоволн (ДТР) и сравнения их с ДШI-
'НhIlМИ теории рассеяния . . . 289
 4. Ослабление IРа.диовол'н в тропосфере 294
1. Поrлощение и ,рассеЯlние . . . . 294
2. Ди'спсрсия и поrлощеJ(lие ра,В.IIODОЛIl в rазах трOtПо
сферы . . . . . . . . . . . . . 295
3. Поrлощение и рассеяние радиово.'1Н в 'rидрометеорах 299
4. Максимальная далыность действия ра,ДIIОЛИНlШ .при
учете ослабления в 1'рооосфере 305
5. Радиолокационное отражение от атмосферных обра-
зо,ва'ний 30б
rлава пятая
Распространение радиоволн в ионосфере и космосе
Э 1. Электрические параме'f1'рЫ ионосферы без учета 1\1<.11'-
d-Iитноrо IПОЛЯ Земли . . . . . . 311
Э 2. РаспростраJIение радиоволн в ,ПРОСТО1м 'Слое 315
1. Раапространение вертикально QшправлеlllIОЙ волны
в '"ростом слое. Критическая частота . . . . 315
2. Распространение наклонно направленной волны в 'Про-
СТО'М слое. Критические частоты при /Произвольном
Уil'ле 8. Ма,ксималЬ'ные примеН!'fiМые частоты :(мпч)- 319
Э '3. Поrлощение радиоволlН в ионосфере . . . . . 323
1. Обобщение формул iJIриближения /I'еометрической оп-
-ти-ки lНa сл.учай не .равной нулю []РОВОДIlIМОСТИ. 323
2. Поrлощение радиовол'н при их наклонном падении н,]
ионосферу . 327
Э 4. Влияние маrnИТlIоrо iПоля Земли ;328
1. Тензор диэлектрической проницаемости ионосферы 328
2. Показатель iПреломления 330
3. Двойное лучепреломление. . 333
4. Вращение IПл()скости mоля'ризации ('эффект Фаращея) 335
5. Области проэрач.IIOСТИ 337
б. «Свистящий а1lмосферик» 340
 5. РаС!Пространение радиосиrналов в иО'носфе.ре 340
'1. Скорость раапрО'страIlения СИirнаJlа 340
2. Раоплываlние импулы:а 344
3. Распространение верти.кально направлен1lюrо сиrIl3Л<1,
Действующая высота ОТ'Ражеiшя . . . . . . 349
4. Раопростра.неllие сиrнала по наклонному лучу. Теоре-
'Мы эквивалентности 351
5. Скорость ра'СПрО1СтраlНения СИJ'lнала при учете влияния
ма,rнитноrо поля Земли 353
4б2

rлапа шестая
Радиозондирование ионосферы. Расчет радиотрасс,
проходящих через ионосферу. и космос
 1. Импульсный метод радиозондирования ионосферы
t. Вертикальное зондиро,вание иО'Носферы. ВЫСОТ,НОЧi:l-
TOTHыe характеристики
2. Расчет распределения концентрации электронов по
ВЫОПIO-частотнbl'М характеристикаlМ.. ..
3. Возвратно-наклонное зондироваlНие ИOiНосферы. Ди
ста;нционно-частотные характеристики
 '2. Методы радиозондирования ИQlносферы и космоса, ис-
пользующие раЗЛИЧlНые эффекты распространения pa
диоволн. .
11. ИзмереНflе уrла iповорота плоскости-поляризации pa
Диоволн, проходяuцих сквозь ионосферу
2. Измерения допплеровскоrо смещения 'Частоты
3. Измерение HeKorepeHTHoro рассеЯIНИЯ радиоволн
 & Строение ионоферы
1. Распределение КOIНцеНl1рации ЭЛе!ПрОНОВ по ,высоте
'2. CYT01fHbIe, сезонные и ll-летние и.з.менения СО'СТОЯiНия
ионосферы
3. Широтные и долrотные и.з.меlIения критических ча'Стот
4. Замечания о физи,ке ТМiOсфе1рЫ и тонR:ой CТ1pYlКTY'pe
ионо.сферы . . . . . . . . . .
5. Нереrулярные изменения состояния Ifоносферы
'б. Нерсrулярные IпеОДIIOРОД:НОСТИ 'в ионосфере
 4. Элементы расчета корот,коволповых 'раДИОЛИllиii, 'ра-
ботаЮЩIIХ на ионосферной iВ,олне . .
1. ОсобеlИЮСТI1 ра'сп.ростр а нения радноволн диа,п азо'н i1
КВ 10 1М <<100 м . . . . . . . . .
2. Расчет ОПТИlмальной рабочей частоты и поrлощения
радиоволн . . . . . . . . . .
3. Элементы расчета радиолинии Земля  ИСЗ .
 5. Элементы расчета радиотрасс 'На средних, iдЛИНoIIых и
'сверхдли'Н'Ных !Волнах . . .
1. Оред'ние волны 100 м <А.<1l000 м .
2, Длинные волны 1000 м <,')..<iIO 000 IМ
3. Сверхдлинные волны 10 юм <iЛ< 100 'к'м .
 6. Расчеты, относяuцие.ся к ультракоротковолновым p:1
диотрассам. Оши'бки радиолокации, обусловленные
эффектами рас.пространния радиоволн . . . .
1. Особенности ра'Спространения УКВ в ионо'сфере и 'кос-
мосе . . .. ........
2. Характер ошибок из.мерения 'КООРДИlнат радиотехни'Че
скиlмн метода'Ми, О'бусловлнных эффе,кта'ми ,распрост
ране.ния радиоволн. .
3. Ошибки, обусловленные .рефрмщией и Iдисперсией 1При
ра.спро<:траl-IeIIИИ радиоволн lJ3 сферичес.ки слоистой ат-
МОСфCiре. . .
4. Случайные ошибки в измерении уrла прихода и даль
ности, обусловленные флютуациями диэлектриче-
ской ПРОНllцасмости
 7. ПО'мехи работе радиолинии
Литература . . .
Предметный указатель
356
35б
3БО
377
379
..
380
383
386
394
394
396
'400
401
403
404
405
405
408
427
429
429
431
431
433
433
435
43б
445
451
453
457

ФИШЕЛЬ GЕРКОВИЧ ЧЕРНЫй
Распространение радиоволн


Редактор К. И. К у ч у м о в а
Художественный редактор В. Т. С и д о р е н к о
Технически,Й редактор r. з. к у 3 Н е Ц о в а
Корректор З. r. r а л у'ш к и н а
Сдано в набор 13/УII 1972 r. Подписано к печати 4/Х! 1972 r. Т.lБНIO
Формат 84X108/ 81 Бумаrа тнпоrрафская Ng 3 Объем 24.36 y
. п. 11.
Уч.,нзд. Л. 23.377 Тираж 18000 экз. Зак. 1283 Цена 1 р. 29 1:.
ИздательстВо .Советское радио', Москва, rлаВПОIJтам-r, п/я 6Э3.
Московская типоrрафия 1'#1 10 rпавполиrрафПРОllа
rосударственноrо комитета Совета Мииистров СССР по делам издательств,
полиrрафии и книжной торrовли.
Москва, Шлюзовая иаб., 10.