технический ^университет
В. К. РОМАНКО
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ v
уравнении
ВАРИАЦИОННОГО
исчисления
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей
высших учебных
заведений
ФИЗМАТЛИТ
Невский Диалект
Лаборатория Базовых Знаний
Москва - Санкт-Петербург -2001
Р 69
УДК 517.9
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариацион-
Р 69 ного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний,
2001 — 344 с.: ил.
ISBN 5-93208-097-3
В книге излагаются основные разделы классической теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений и вариационного исчисления. Рассматриваются методы по-
лучения точных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами; значительное внимание уделяется вопросам существования, единст-
венности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от ис-
ходных данных.
Приводятся методы решения линейных дифференциальных уравнений с перемен-
ными коэффициентами, линейных и нелинейных уравнений первого порядка в част-
ных производных; обсуждаются вопросы качественного исследования этих решений.
Основы вариационного исчисления рассматриваются по причине тесной связи
данного раздела высшей математики с теорией дифференциальных уравнений.
Книга предназначена для студентов высших учебных заведений.
УДК 517.9
ББК 22.161.1
Серия «Технический университет»
Учебное издание
Романко Василий Кириллович
Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
Художественный редактор И. Лозинская
Оригинал-макет подготовлен в пакете LATeX 2е
с использованием кириллических шрифтов семейства LH
Гарнитура Computer Modern
Подписано в печать 20.06.01. Формат 70х100'/|(. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 28. Тираж 3000 экз. Заказ
Издательство «Лаборатория Базовых Знаний»
Адрес для переписки: 103473, Москва, а/я 9
Телефон (095)955-0398. E-mail: lbz@aha.ru
Лицензия на издательскую деятельность №066140
от 12 октября 1998 г.
ISBN 5-93208-097-3
© Романко В. К., 2001
© Лаборатория Базовых Знаний, 2001
Оглавление
Предисловие	6
Некоторые обозначения	7
Введение	8
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравне-
ний	12
§	1. Основные понятия для дифференциальных уравнений пер-
вого порядка.......................................... 12
§2	. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
первого порядка....................................... 18
§3	. Уравнения первого порядка, не разрешенные относитель-
но производной. Метод введения параметра и задача Коши 34
§4	. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие по-
нятия и методы решения................................ 41
2	Линейные дифференциальные уравнения порядка п с по-
стоянными коэффициентами	52
§ 1.	Дифференциальные многочлены и общий метод решения
линейных уравнений с постоянными коэффициентами......	52
§2.	Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными
коэффициентами........................................ 57
§ 3.	Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянны-
ми коэффициентами..................................... 65
3	Методы решения систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами	73
§	1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффици-
ентами. Общие понятия и метод исключения.............. 73
§	2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
с постоянными коэффициентами.......................... 76
§3	. Общее решение нормальной линейной неоднородной систе-
мы с постоянными коэффициентами ...................... 88
§4	. Решение нормальных линейных систем с постоянными ко-
эффициентами с помощью матричной экспоненты........... 94
§	5. Преобразование Лапласа и его применение для решения
дифференциальных уравнений........................... 103
4
Оглавление
§6	. Методы решения произвольных линейных систем с постоян-
ными коэффициентами................................... 108
4	Исследование задачи Коши	113
§1	.	Вспомогательные предложения...................... 113
§2	. Существование и единственность решения задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений.........	117
§	3. Непродолжимое решение задачи Коши................ 127
§4	.	Общее решение дифференциального уравнения........ 132
§5	. Зависимость решения задачи Коши от параметров и на-
чальных данных. Корректность задачи Коши.............. 135
§6	. Разрешимость задачи Коши для дифференциального урав-
нения первого порядка, не разрешенного относительно про-
изводной. Особые решения.............................. 145
5	Нормальные линейные системы дифференциальных урав-
нений с переменными коэффициентами	152
§1	. Исследование задачи Коши для нормальной линейной си-
стемы уравнений с переменными	коэффициентами..........	152
§2	.	Линейные однородные системы...................... 158
§	3. Линейные неоднородные системы.................... 167
в Линейные дифференциальные уравнения порядка п с пе-
ременными коэффициентами	171
§1	. Общие свойства................................... 171
§	2. Линейные однородные уравнения порядка п.......... 174
§3	. Линейные неоднородные уравнения порядка	п........ 179
§4	.	Граничные задачи................................. 185
§	5.	Теорема Штурма................................... 193
§	6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помо-
щью степенных рядов.	Уравнение Бесселя................ 199
§7	. Линейные дифференциальные уравнения с малым параме-
тром при старшей	производной.......................... 205
7	Нормальные автономные системы дифференциальных
уравнений и теория устойчивости	212
§ 1.	Общие свойства................................... 212
§ 2.	Классификация положений равновесия линейной однородной
системы второго порядка............................... 222
§3.	Нелинейные автономные системы второго порядка....	230
§ 4.	Устойчивость по Ляпунову	положений равновесия.... 241
§ 5.	Первые интегралы ................................ 251
8	Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка	261
Введение.............................................  261
§	1. Линейные однородные уравнения.................... 263
Оглавление
5
§2	. Квазилинейные уравнения.............................  271
§3	. Нелинейные уравнения................................. 281
9	Основы вариационного исчисления	289
Введение................................................... 289
§1	. Простейшая вариационная задача....................... 291
§2	. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай
функционалов более общего интегрального типа................ 301
§	3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной
1раницей и задача Больца.................................... 310
§	4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
функционалов................................................ 318
§5	. Изопериметрическая задача............................ 322
§6	. Задача Лагранжа...................................... 326
§	7. Достаточные условия слабого локального экстремума..... 331
Литература	341
Предметный указатель	343
Предисловие
Данная книга имеет целью, с одной стороны, дать читателю минимум
знаний по классической теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений и классическому вариационному исчислению, необходимых для их
успешного применения в различных практических приложениях, а с дру-
гой стороны, подвести читателя к пониманию задач и методов их реше-
ния современной теории дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления.
Книга написана на основе курса лекций, который автор читал в Мо-
сковском физико-техническом институте (МФТИ) на протяжении мно-
гих лет. Книга отражает не только личную точку зрения автора, но в
определенной степени и коллективный опыт преподавания теории диффе-
ренциальных уравнений и вариационного исчисления на кафедре высшей
математики МФТИ. Этот опыт основан па базе повышенных курсов ма-
тематического анализа и линейной алгебры, читаемых в МФТИ.
Оглавление и введение дают первоначальное представление о прин-
ципах построения курса, об отборе материала и о содержании книги в
целом. В первых трех главах изложены методы получения точных реше-
ний основных типов дифференциальных уравнений. В последующих гла-
вах (4-8) основной акцент сделан на качественном исследовании решений
дифференциальных уравнений. В главе 9 изложены основы классическо-
го вариационного исчисления. Книга содержит решения многочисленных
примеров. Упражнения к каждой главе позволяют читателям закрепить
свои знания материала.
В списке литературы читатель найдет перечень книг, в которых за-
тронутые в настоящей книге вопросы излагаются, может быть, по-иному
или более полным образом. Отдавая себе отчет в том, что настоящий
курс не свободен от недостатков, мы будем благодарны всем читателям,
приславшим свои замечания и пожелания по его улучшению.
Автор выражает искреннюю благодарность Н. X. Агаханову, который
внимательно прочитал рукопись и сделал ряд полезных замечаний.
Некоторые обозначения
N 3, V =>, 4» к — 1,п	— множество натуральных чисел — существует, для всякого — следует, эквивалентно — индекс к пробегает все целые значения между 1 и п — евклидово пространство с декартовыми прямоугольны-
IKII> м = 1 С(Х)	ми координатами х\,... ,хп , п, — квадратная матрица порядка п из элементов — множество всех непрерывных функций, заданных на промежутке X числовой оси R%
C(G)	— множество всех непрерывных функций, заданных в области G С R™
Ск{Х)	— множество всех к > 1 раз непрерывно дифференцируе-
C*(G)	мых функций на промежутке X С R^ — множество всех к > 1 раз непрерывно дифференцируе-
О • А ▲	мых функций в области G С R£ — начало доказательства утверждения — конец доказательства утверждения — начало решения примера — конец решения примера
Введение
Общепризнано, что метод построения математических моделей является
наиболее эффективным методом изучения различных явлений природы.
В большинстве случаев не удается установить формулу прямой зависи-
мости между собой различных характеристик рассматриваемого физи-
ческого, биологического, химического, экономического или какого-нибудь
другого динамического процесса. Однако часто удается составить опре-
деленную функциональную зависимость между неизвестными характери-
стиками рассматриваемого процесса, скоростями их изменения и време-
нем, т. е. найти уравнения, содержащие производные неизвестных харак-
теристик процесса. В таком случае говорят, что математической моделью
процесса является дифференциальное уравнение.
Простейший пример дифференциального уравнения дает, например,
задача о нахождении закона движения материальной точки по заданной
скорости ее движения. Если S(t') — неизвестный путь, пройденный точкой
за время t, и v(t)—заданная скорость ее движения в момент времени t,
то получаем дифференциальное уравнение
= u(i)- (1)
Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, и(t)—за-
данная непрерывная функция t > 0, все решения уравнения (1) задаются
формулой
t
S(t) = J v(r)dr + С,	(2)
о
где С — произвольная действительная постоянная.
Исследования разрушения биологических клеток под действием ульт-
развука высокой интенсивности приводят к дифференциальному уравне-
нию вида
(3)
где t — время, N(t) — концентрация живых клеток, R — постоянная, опре-
деляющая вероятность разрыва клетки в единицу времени. Нетрудно
Введение
9
проверить, что решениями уравнения (3) будут функции
JV(t) = Ce-Rt,	(4)
где С — произвольная постоянная.
Еще один пример дифференциального уравнения можно получить,
рассмотрев, например, задачу о колебании шарика, подвешенного на пру-
жине и выведенного из положения равновесия. Если обозначить откло-
нение шарика от положения равновесия в момент времени t через x(t) и
воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения ша-
рика можно записать в виде
^+Л(*) = 0,	(5)
где ш > 0 —некоторое заданное число.
Дифференциальное уравнение вида (5) называется уравнением гармо-
нических колебаний или уравнением линейного осциллятора. Как будет в
дальнейшем установлено, все решения уравнения (5) задаются формулой
x(t) — Acos(wt + <р),	(6)
где А и — произвольные постоянные.
Опыт показывает, что разные по содержанию задачи могут приводить
к одинаковым дифференциальным уравнениям. Использование дифферен-
циальных уравнений в качестве модели некоторого процесса в природе,
как уже видно из приведенных примеров, удобно в том смысле, что эти
уравнения описывают эволюцию процесса во времени и характер воз-
можных изменений процесса в зависимости от его первоначального со-
стояния.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция являет-
ся функцией одной независимой переменной, то уравнение называет-
ся обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная
функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией
двух или большего числа независимых переменных, то дифференциаль-
ное уравнение называется уравнением в частных производных. Считая
х независимой переменной и у = у(х) — неизвестной функцией, обыкно-
венное дифференциальное уравнение в общем случае можно записать в
виде соотношения
F(x,y,y',y",... ,у™) =0,.	(7)
где F — заданная функция своих аргументов. Порядок старшей произ-
водной, входящей в уравнение (7), называется порядком обыкновенного
дифференциального уравнения (7). Таким образом, уравнение (7) име-
ет порядок п, уравнения (1) и (3) имеют первый порядок, а уравнение
(5) — это уравнение второго порядка.
Если дифференциальное уравнение (7) разрешимо, то, как видно из
уже приведенных примеров, оно имеет, как правило, бесчисленное мно-
10
Введение
жество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описы-
вающее некоторый процесс во времени, нельзя еще указать однозначно
зависимость от времени характеристики процесса, удовлетворяющей это-
му уравнению. Нужны дополнительные условия. На практике чаще все-
го в качестве дополнительных условий выступают некоторые начальные
условия. Так, например, однозначное решение уравнения (1) можно по-
лучить, задав начальное положение точки:
S(0) = So.
Тогда из формулы (2) находим С = So и, значит, формула
t
S(t) = / v(r)dr + So
о
однозначно определяет закон движения точки. Задав для уравнения (3)
начальную концентрацию клеток в момент времени to
Ш) = No,
из формулы (4) находим С = Noe^. Следовательно, концентрация кле-
ток в каждый момент t однозначно задается формулой
N(t) =	•
Наконец, задав при t = 0 начальное отклонение и начальную скорость
шарика
из формулы (6) можно найти постоянные A, р> и тем самым однознач-
но определить заданное колебание шарика. Возможны и другие типы
дополнительных условий, выделяющих конкретное решение дифференци-
ального уравнения. Например, это могут быть заданные значения ре-
шения x(t) уравнения (5) при двух фиксированных моментах времени
ti, t2-’ x(t\) = xi, x(t2) = Хг, или условие периодичности для решения
уравнения (3)
JV(O) = ЛГ(Т), Т > 0.
Это примеры так называемых граничных условий для уравнений (5) и
(3). Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения.
Для практических приложений дифференциальных уравнений очень
важен вопрос о характере зависимости решения дифференциального
уравнения (7) от функции F и от дополнительных условий (начальных
или граничных) при их малом изменении. Ведь в прикладных задачах и
само дифференциальное уравнение и дополнительные условия неизбеж-
но определяются с некоторой погрешностью, так как при их составлении
всегда приходится пренебрегать несущественными для рассматриваемого
Введение
11
процесса факторами. Для практики целесообразны только такие диффе-
ренциальные уравнения и дополнительные условия, при малом изменении
которых мало изменяется определяемое ими решение. Другими словами,
должна быть непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи
от исходных данных.
Из сказанного ясно, что одними из главных вопросов теории диффе-
ренциальных уравнений являются вопросы существования, единственно-
сти и непрерывной зависимости от исходных данных решения диффе-
ренциального уравнения при заданных дополнительных условиях. Кроме
этих вопросов, теория дифференциальных уравнений изучает качествен-
ные свойства и методы решения дифференциальных уравнений различ-
ных типов и некоторые другие вопросы. Отметим, что лишь для сравни-
тельно небольшого числа дифференциальных уравнений решение можно
записать в виде некоторой формулы. Поэтому, наряду с методами нахо-
ждения точных решений, в теории дифференциальных уравнений важное
значение имеют методы построения приближенных решений дифференци-
альных уравнений: численные методы решения и асимптотические мето-
ды решения. Численным и асимптотическим методам решения уравнений
в настоящей книге из-за недостатка места уделяется мало внимания. Бо-
лее подробно о них можно прочитать, например, в [43], [45], [11].
Теория дифференциальных уравнений является важной для практи-
ческих приложений и самостоятельной ветвью математического анализа,
которая продолжает успешно развиваться. Знание основных положений
этой теории абсолютно необходимо при использовании математических
методов в различных областях человеческой деятельности. Кроме основ-
ных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в на-
стоящую книгу включены основы теории дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка и основы вариационного исчи-
сления. Примеры из практики, приведенные, например, в [43] и [26], по-
казывают, что уравнения в частных производных первого порядка встре-
чаются в различных областях знаний. Методы решения таких уравнений
тесно связаны с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.
Этим объясняется включение в книгу уравнений в частных производных
первого порядка.
Некоторые задачи вариационного исчисления приводят к соответству-
ющим задачам теории дифференциальных уравнений и наоборот. Поэто-
му существует тесная связь между вариационным исчислением и теорией
дифференциальных уравнений. С другой стороны, вариационное исчи-
сление является самостоятельной и успешно развивающейся ветвью ма-
тематического анализа. О примерах вариационных задач и о значении
вариационного исчисления для практических приложений рассказано во
введении к главе 9.
=============== Глава 1 ============
Методы решения некоторых
дифференциальных уравнений
Предполагается, что все функции, рассматриваемые в этой главе, прини-
мают только действительные значения и что произвольные постоянные
являются действительными.
§ 1. Основные понятия для дифференциальных
уравнений первого порядка
Обозначим через R?x евклидову плоскость с фиксированной декартовой
прямоугольной системой координат х, у. Пусть G — непустая область, ле-
жащая в R^xy} и пусть /(х,у) — некоторая заданная непрерывная функ-
ция в области G.
Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений начнем
с дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относи-
тельно производной
У1 =	(1)
Здесь х — независимая переменная (аргумент), а у = у(х) — неизвестная
функция. Уравнение (1) принято еще называть дифференциальным урав-
нением первого порядка в нормальной форме.
Определим понятие решения дифференциального уравнения (1). Пусть
X обозначает некоторый промежуток числовой прямой R\ с декартовой
координатой х. Промежуток X может представлять собой либо отрезок
оси Rx, либо (ограниченный или неограниченный) интервал оси Rxt либо
(ограниченный или неограниченный) полуинтервал оси Rx.
Определение. Функция у = <р(х), определенная на промежутке X, на-
зывается решением дифференциального уравнения (1), если
1)	у>(х) имеет непрерывную производную у>'(х) на промежутке X,
2)	(х,<р(х\) € G при всех х € X,
3)	<р'(х) == f [х, у>(х)] на промежутке X.
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений 13
Замечания.
1. Если промежуток X содержит левый или правый конец, то опре-
деление 1 требует существования непрерывной соответствующей односто-
ронней производной <р(х) в этой точке.
2. Из определения следует, что промежуток X необходимо лежит в
проекции области G на ось R\. Процесс нахождения решений уравнения
(1) иногда называют интегрированием дифференциального уравнения (1).
Кривая в области G, являющаяся графиком некоторого решения урав-
нения (1), называется интегральной кривой дифференциального уравне-
ния (1).
Далеко не всегда удается получить решение уравнения (1) в явном
виде у = <р(х), х & X. Во многих случаях решение (1) определяется
как неявная функция из уравнения Ф(т, у) = 0. Решить уравнение (1)
означает найти все решения уравнения (1).
Рассмотрим геометрический смысл задания уравнения (1) и его ре-
шения. С этой целью сопоставим каждой точке (то>2/о) € G вектор с
координатами {1,/(.то, уо)}, отложенный от этой точки. Множество всех
полученных векторов будем называть полем направлений, соответствую-
щим уравнению (1). Из определения решения уравнения (1) и геометри-
ческого смысла производной следует, что кривая в области G является
интегральной кривой уравнения (1) в том и только том случае, когда она
гладкая и направление касательной в каждой ее точке совпадает с на-
правлением поля в этой точке. Таким образом, в каждой точке (х, у) € G
угол а — а(х,у) наклона касательной к интегральной кривой (1) опреде-
ляется уравнением tgo = f(x,y) (рис. 1).
Итак, задача интегрирования уравнения (1) геометрически эквивалент-
на нахождению всех гладких кривых в G, направление касательных к
которым в каждой точке G совпадает с вектором поля направлений в
данной точке. Это соображение используется для приближенного постро-
ения интегральных кривых. При практическом нахождении поля напра-
влений для уравнения (1) удобно использовать так называемые изокли-
ны. Изоклиной поля направлений уравнения (1) называют такую кривую
14
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
в области (7, во всех точках которой направления поля имеют одинако-
вый угловой коэффициент к. Ясно, что изоклина задается уравнением
f(x,y) ~ к. В простых случаях построение с помощью изоклин поля
направлений позволяет сделать определенные выводы о поведении инте-
гральных кривых уравнения (1). Приведем пример.
Пример 1. С помощью изоклины приближенно начертить интегральные
кривые уравнения у1 — у = х.
Д Изоклинами являются параллельные прямые х + у = к. При к = О
получаем изоклину х + у = 0, которая делит плоскость на две полу-
плоскости: в нижней полуплоскости интегральные кривые убывают,
а в верхней полуплоскости они возрастают. При к = — 1 получаем
изоклину х+у = —1, которая одновременно является и интегральной
кривой, в чем можно убедиться подстановкой у — — х — 1 в уравне-
ние. Продифференцировав заданное уравнение, находим у" — у' +1 =
z + y + l. Законность дифференцирования будет ясна из § 2 главы 1.
Отсюда видно, что прямая х + у = —1 делит плоскость на две ча-
сти: в нижней части у" < 0, в верхней части у" > 0. Таким образом,
интегральные кривые по разные стороны от прямой х + у — —1 име-
ют различную выпуклость. Если учесть, кроме того, что интеграль-
ные кривые заданного уравнения не могут пересекаться (см. п. 3
§ 2), то получаем в результате приближенную картину поведения ин-
тегральных кривых, изображенную на рис. 2.
Рис. 2
Как следует из примеров введения и вышеприведенных геометриче-
ских соображений, за редким исключением разрешимое дифференциаль-
ное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Таким исклю-
чением, например, является уравнение у' — \/—у2, которое имеет един-
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений
15
ственное решение у = 0. Поэтому в общем случае для получения какого-
нибудь конкретного решения уравнения (1), кроме самого уравнения (1),
необходимы еще дополнительные условия, выделяющие это конкретное
решение из множества всех решений уравнения. Во многих случаях та-
ким дополнительным условием для уравнения (1) является начальное
условие
?/(®о) = Уо, (®о>Уо) G.	(2)
Числа хо,уо называются начальными данными, а задача отыскания ре-
шения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), назы-
вается начальной задачей или задачей Коши для уравнения (1).
Решить задачу Коши для уравнения (1) геометрически означает найти
интегральную кривую уравнения (1), проходящую через заданную точку
(хо.Уо) € G (см. рис. 1).
В главе 4 будут установлены достаточные условия на функцию f(x, у),
обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши
(1)-(2). Именно там будет доказана следующая теорема.
Теорема существования и единственности. Пусть функции f(x,y) и
непрерывны в области G и точка (хо,уо) лежит в G. Тогда:
1) Найдется число 8 > 0 такое, что решение задачи Коши (1)-(2) суще-
ствует при всех х € (хо — <5,хо + <5)-
2) Если у = y>i(x), х € Xi, и у — <р2(х), х G Xi, — два решения задачи
Коши (1), (2) (промежутки Xj и X? содержат точку хо), то <pi(x) =
для всех х € Ху Г) Xi.
Обсуждение условий сформулированной теоремы проведем в главе 4,
а сейчас только отметим, что при заданной f(x,y) с указанными в тео-
реме свойствами гладкости интервал существования решения задачи Ко-
ши (1)-(2) и само решение задачи Коши (1)-(2) зависят от начальной
точки (хо,Уо) € G. Впрочем, этот факт очевиден из геометрической ин-
терпретации решения уравнения (1) (см. рис. 1). При условиях теоремы
гарантируется, что через точку (хо,уо) € G проходит единственная инте-
гральная кривая уравнения (1) (рис. 3).
Условия приведенной теоремы выполнены, если, например, f(x,y)
является многочленом от х,у.
1в
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Обобщением дифференциального уравнения в нормальной форме (1)
является так называемое уравнение первого порядка в дифференциалах
(или уравнение первого порядка в симметричной форме):
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy - 0.	(3)
Здесь будем предполагать, что Р{х,у), Q(x,у) —заданные непрерывные
функции в области G и что |Р(то>Уо)I + |<2(^о>Уо)| >0 ДЛЯ каждой точки
(хо,Уа) £ G- Уравнение (1) является частным случаем уравнения (3),
когда Р(х,у) = f(x,y), Q(x,y) = —1. Уравнение (3) удобнее уравнения (1)
в том смысле, что переменные х,у в нем участвуют равноправно.
Для уравнения (3) можно дать определение решения аналогично опре-
делению решения для уравнения (1). Однако более целесообразно рас-
ширить понятие решения, рассмотрев так называемые параметрические
решения.
Определение. Вектор-функция х = у = V’W на некотором проме-
жутке I числовой оси называется параметрическим решением урав-
нения (3), если:
1)	функции <p(t),	— непрерывно дифференцируемые и [<д'(4)]2 +
h/(t))2 > о для всех < €
2)	(y>(t),^(t)) € G для всех t € I,
3)	P[<p(t),ip(t)]ip'(t) +	= 0 на всем промежутке Т.
Кривая в области G, являющаяся непрерывным образом промежутка
I при отображении (^j(t),V'(O), называется (параметрической) интеграль-
ной кривой уравнения (3).
Из определения решения немедленно следует, что интегральная кри-
вая уравнения (3) является гладкой кривой.
Если <p'(to) 0 0 для некоторого to € Т, то найдется интервал
(to — 5, to + 5), <5 > 0, на котором х = <p(t) имеет обратную функцию
t = у>_1(т), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий изме-
нению t в интервале (to — 5, to + 5), определяется уравнением у = х(ге) =
ф [<д-1(а;)]. Если же ф'(1\) / 0 для некоторого ti 6 I, то найдется интер-
вал (tj — t< -1-51), 5i > 0, на котором у = ^>(t) имеет обратную функ-
цию t = ф"1 (у), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий
t 6 (ti — 5i,ti + 5i), определяется уравнением х = ш(у) = [^-1(у)].
Отсюда следует, что интегральная кривая уравнения (3), в отличие от
интегральной кривой уравнения (1), в общем случае представляет собой
гладкую кривую, отдельные куски которой задаются или функцией вида
у = х(ж) или функцией вида х = и>(у). Соответственно этому уравнение
(3) допускает как решения вида у = х(т), так и решения вида х — ш(у),
заданных явно, неявно или параметрически.
В частности, из определения параметрического решения уравнения (3)
при х = t получаем решение вида у — ф(х), а при у = I получаем ре-
шение вида х = <р(у).
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений 17
Замечание. Иногда уравнение (3) может быть задано не только в обла-
сти G, но и на ее границе. Тогда всякая граничная точка относится к
так называемым особым точкам (см. далее) уравнения (3). Поведение
интегральных кривых (3) в окрестности границы G требует отдельного
рассмотрения.
В каждой точке (х,у) € G уравнение (3) определяет вектор с ком-
понентами {—Q(x,y),P(x,y)}. Эти вектора задают поле направлений в
области G, порождаемого уравнением (3). Как и в случае уравнения (1),
гладкая кривая в G будет интегральной кривой уравнения (3) тогда и
только тогда, когда направление касательной в каждой ее точке совпа-
дает с вектором поля в данной точке. Поле направлений уравнения (3)
богаче поля направлений уравнения (1), так как, например, оно может
содержать вертикальные направления, что запрещено для поля направле-
ний уравнения (1). Как уже отмечалось ранее, структура интегральных
кривых уравнения (3) может быть более сложной, чем для уравнения
(1). Например, интегральные кривые уравнения (3) могут иметь верти-
кальные касательные, быть замкнутыми кривыми.
В силу условий на коэффициенты Р и Q уравнения (3) из рассмотре-
ния исключены те точки (хо,уо) ё G, в которых Р(хо,Уо) = Q(xo,yo) =0.
Такие точки называют особыми точками уравнения (3). В них урав-
нение (3) не определяет направлений. Поведение интегральных кривых
уравнения (3) в окрестности изолированных особых точек будет изуче-
но в главе 7. В силу непрерывности Р и Q множество особых точек
уравнения (3) всегда замкнуто, однако особые точки (3) не обязаны все-
гда быть изолированными. Они могут заполнять целую линию, называ-
емую особой линией (например, прямая у — х — особая линия уравне-
ния (у — x)(xdx + ydy) = 0) или образовывать множество более сложной
структуры. Особые линии могут определять так называемые особые ре-
шения (3).
В силу того, что переменные х,у равноправны в уравнении (3), для
него удобно ставить задачу Коши в геометрических терминах.
Задача Коши для (3). Найти интегральную кривую уравнения (3), про-
ходящую через заданную точку (а?о,Уо) € G.
Если Q(xo,yo) 0, (то,з/о) £ <?, то можно установить в некоторой
окрестности (хо,Уо) эквивалентность уравнений (3) и (1). Тем самым из-
учение задачи Коши для уравнения (3) сводится в такой окрестности к
изучению задачи Коши для уравнения (1).
18	Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
§ 2. Методы решения простейших
дифференциальных уравнений первого порядка
Решения дифференциального уравнения
P{x,y)dx + Q(x, y)dy = 0,	(1)
где Р(х,у) и Q(x,у) —заданные непрерывные функции в некоторой обла-
сти G декартовой плоскости R2(x,y), не содержащей особых точек урав-
нения (1), сравнительно редко выражаются через элементарные функции.
Даже простейшие уравнения вида (1) могут приводить к решениям, не
выражающимся через элементарные функции. В качестве примера мож-
но взять уравнение
/	— х?
у = е
Все его решения задаются формулой
у = j e~x2dx -I- С,
где fe~x2dx обозначает фиксированную первообразную функции е~х2,
а С — произвольная постоянная. Из курса анализа известно, что перво-
образная J е~х dx не выражается через элементарные функции. Тем не
менее естественно считать, что найдены все решения уравнения.
Замечание. В теории дифференциальных уравнений символом f f(x)dx,
где /(т) — заданная непрерывная функция на некотором промежутке,
принято обозначать фиксированную первообразную, в отличие от анали-
за, где символ f f(x)dx обозначает множество всех первообразных функ-
ции f(x). Из вышесказанного делается понятной необходимость расши-
рения класса функций, через которые могут выражаться решения урав-
нения (1).
Определение. Говорят, что уравнение (1) разрешимо или интегрируе-
мо в квадратурах, если все его решения выражаются явным или неяв-
ным образом через элементарные функции с помощью конечного числа
арифметических операций, суперпозиций и операций нахождения перво-
образных.
Замечание. В прежние века первообразную J f{x)dx называли квадра-
турой f(x). Отсюда и происходит название «решение в квадратурах».
Уже простой пример уравнения Риккати у1 = у2 + х говорит о том,
что в квадратурах интегрируется сравнительно небольшой класс уравне-
ний (1). Поэтому, наряду с методами нахождения точных решений, для
практики важное значение имеют асимптотические и численные методы
решения дифференциальных уравнений, которые широко применяются в
тех случаях, когда точные решения уравнений нельзя найти или они
малоэффективны.
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
19
Укажем простые классы уравнений (1), интегрируемых в квадрату-
рах. Отметим, что при решении конкретных уравнений нецелесообразно
пользоваться выведенными ниже формулами решений. Проще усвоить из-
ложенный метод решения и применять его в каждом конкретном случае.
1. Уравнения с разделенными переменными
Так называют уравнение вида
a(x)dx 4- b(y)dy = 0,	(2)
где а(х) —заданная непрерывная функция на (а,/?), Ь(у) — заданная не-
прерывная функция на (7,5) и область G' = {(я,у) : х € (а,/3),у € (7,5)}
не содержит особых точек уравнения (1).
Если существует параметрическое решение уравнения (2), задаваемого
функциями х = y>(i), у — t G Z то, подставив его в (2), получим
тождество на промежутке Z:
а [у>(<)] d<p(t) 4- b	d^t) = 0.	(3)
Пусть А(х) — fa(x)dx — какая-либо первообразная а(х) и пусть В (у) =
fb(y)dy — какая-либо первообразная Ь(у). Тогда интегрирование тожде-
ства (3) приводит к равенству
A [y>(t)] 4- В [V>(t)] = С, t<=X,
где С —постоянная. Следовательно, всякое параметрическое решение (2)
удовлетворяет уравнению
У a(x)dx 4- У b(y)dy = С.	(4)
Нетрудно убедиться, что и обратно, если х = <p(t), у = t е Z,
задают гладкую кривую, удовлетворяющую на промежутке X уравнению
(4) при некотором значении постоянной С, то она определяет параметри-
ческое решение (2). Таким образом, формула (4), где С — произвольная
постоянная, если задает гладкую кривую при некотором С, то при ка-
ждом таком значении С определяет некоторое параметрическое решение
уравнения (2) и содержит все параметрические решения уравнения (2).
Если необходимо найти интегральную кривую (2), проходящую через
точку (хо,уо)> где то € (а,/3), Уо 6 (7,5), то однозначно такая кривая в
силу (4) задается формулой
X	у
У а(с)<^ + У b(t))dq = 0.
Яо	уо
Уравнение вида
Pi(x)qi(y)dx + P2(x)q2(y)dy - 0,	(5)
20	Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
где pi(x) и Р2(я)—заданные непрерывные функции х ё (а,0), а (у) и
92(у)-заданные непрерывные функции у ё (7,5), называют уравнением
с разделяющимися переменными. Здесь, как и для уравнения (2), пред-
полагаем, что область G не содержит особых точек уравнения (5).
В случае, когда найдется такое хо € (о,/3), что Р2(®о) = 0, провер-
кой убеждаемся, что х — .то является решением (5). Аналогично, если
91 (уо) — 0 для некоторого уо € (7,/?), то у = уо —решение (5). Если же
91(У1) 7^ 0 и рг(т1) 0 0, то н некоторой окрестности (xi,yi) ё G, как не-
трудно проверить, уравнение (5) эквивалентно (т. е. у них одно и то же
множество решений) уравнению с разделенными переменными
P1W , , 9г (у) _ „
Р2^)	91 (У)
Из формулы (4) тогда получаем формулу решений уравнения (5) в рас-
сматриваемой окрестности (xi,yi) ё G
(6)
J Р2(х) J qi(y)
где С — произвольная постоянная, а знаком интеграла обозначается фик-
сированная первообразная.
Далее, если интегральные кривые (6) касаются прямой х — Хц или
прямой у = уо, то путем «склеивания» частей кривых (6) и частей пря-
мых х = xq, у — уо в точках касания, получаем множество новых, так
называемых составных решений уравнения (5). Приведем пример.
Пример!. Решить уравнение у* = Зу/у*
Д Заменив у* отношением дифференциалов, заданное уравнение пе-
репишем в симметричной форме
dy = 3 y/y^dx.
Проверкой убеждаемся, что у = 0—решение уравнения. Предпола-
гая теперь, что у / 0, разделим обе части уравнения на Зу/y^. В
результате получаем уравнение с разделенными переменными

Отсюда находим, что tyy — х+С или у = (т+С)3, где С —произволь-
ная постоянная. Нетрудно проверить, что в точках (—С, 0) кривые
у = (х + С)3 касаются прямой у = 0. В силу этого наше уравнение,
кроме решений у — 0, у = {х + С)3, имеет бесконечное множество
составных решений, составленных из частей ранее полученных ре-
шений. Например, (см. рис. 4) это решения ABH, DBE, FGBE
и т. д.
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
21
Уравнение вида у' — f(ax + by + с), где /(г)—заданная непрерывная
функция на некотором промежутке, а, Ь, с — заданные числа, а? + Ь2 > О,
заменой z = ах + by + с приводится к уравнению с разделяющимися пе-
ременными г' — а + bf(z).
Пример 2. Решить задачу Коши: у' = \/4х + 2у — 1, у(0) = 1.
Д После замены z = 4х + 2у — 1 уравнение примет вид
z' = 4 + 2-Jz.
Его интегрирование дает
х + С = y/z — 2 ln(2 + \fz),
где С — произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной у, по-
лучим формулу всех решений исходного уравнения
х + С — \/4х + 2у — 1 — 2 ln(2 + у/4х + 2у — 1).
Из начального условия находим, что С — 1 — 21пЗ. Следовательно,
решение задачи Коши задается формулой
х+1- 21пЗ= 74я + 2у-1 — 21п(2 + >/4а:4-2у-1).	▲
2.	Однородные уравнения первого порядка
Уравнение (1) будем называть однородным уравнением первого порядка,
если его можно при х 0 записать в виде
»'=/ ®  <7>
где /(z)—заданная непрерывная функция z на некотором промежутке.
Уравнение (7) заменой у — хи, где и = и(х) — новая неизвестная функ-
ция, сводится к эквивалентному уравнению
хи' + и = f(u).
(8)
22
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
При решении уравнения (8) нужно различать три случая: a) f(u) и,
б) /(u)su, в) /(и*) = и* для некоторых точек Уравнение (8) экви-
валентно уравнению с разделенными переменными вида
du _ dx
f(uj — и х
в случае а) и уравнению хи' = 0 в случае б). В случае в) проверкой
можно убедиться, что и(х) = и* —решения (8).
Получив все решения уравнения (8), обратной заменой находим все
решения уравнения (7). При этом возможны и составные решения. Они
появляются тогда, когда интегральные кривые (7) касаются интеграль-
ных ПРЯМЫХ у = U).X.
Пример 3. При а: > О, т + у > О решить уравнение
Д Уравнение можно записать в виде у' = Ду и, следовательно,
оно является однородным уравнением первого порядка. После заме-
ны у = хи получаем
Отсюда находим, что
Проверкой убеждаемся, что и = 1—решение этого уравнения. Если
же u / 1, то уравнение эквивалентно уравнению
Решения последнего задаются формулой
С + In |т| = — ln(u — I)2 — и,
где С — произвольная постоянная. Обратная замена дает все реше-
ния заданного уравнения
Пусть теперь задано уравнение вида
, f сцх + Ьуу + сг\
у = J I............ I	,
\a2* + by 4- С2 J
(9)
где f(z) — непрерывная функция на некотором промежутке, а заданные
числа О], bi, ci, аг, b2, с? таковы, что |«i| + |i>i| > 0, [аг! + |Ьг| > 0.
§2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 23
Рассмотрим на плоскости следующие две прямые: aix + Ь^у + щ = О,
а2х + Ь2у + с2 = 0. Если прямые имеют точку пересечения (хо.УоК то
замена х = £ + а?о> У = V + Уо приводит (9) к однородному уравнению
=/ (+
dC, J \a2( + b2r) J ’
Если же эти прямые параллельны, то найдется такое число к 0 0, что
а2х + ^2у — к{а\х + biy). Следовательно, уравнение (9) принимает вид
I = f f aix + biy + c! \
J \k(aix + biy) + c2)/ '
и заменой z = a^x + b^y приводится к уравнению с разделяющимися пе-
ременными.
Пример 4. Решить уравнение
(у + 2)dx = (2х + у — 4)dy.
Д Прямые у + 2 = 0 и 2х + у — 4 = 0 пересекаются в точке (3, —2).
После замены а: = ^ + 3, у = г) — 2 получаем уравнение
= (2( +
Проверкой убеждаемся, что г) = 0 — решение этого уравнения. При
т) 0 это уравнение является однородным. Ищем его решение в
виде £ — т)  и, где и — u(rf) — новая неизвестная функция. После
упрощений находим, что
rjdu = (и + 1)гй?.
Легко видеть, что и — —1 —решение. При т? 0 0, и/-1 находим
остальные решения последнего уравнения
in |н + 11 = In |т?| + In С1,
где Ci — произвольная положительная постоянная. Избавившись от
логарифмов и положив с = Cj sign [tj(u + 1)], последнюю формулу
можно записать в виде
и + 1 = а], с 0 0.
Но при с = 0 получаем решение и — — 1, поэтому можно считать в
полученном равенстве с любым числом.
Из проведенных выкладок получаем, что все решения заданного
уравнения задаются формулами
У - -2, х + у~ 1 =с(у + 2)2.	▲
В некоторых случаях уравнение (1) можно привести к однородному
уравнению первого порядка с помощью замены у = zm. Приведем при-
мер.
24 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Пример 5. Решить уравнение ydx + х(2ху + l)dy = 0.
Д Ясно, что у = 0 и х — 0 — решения уравнения. Пусть далее ху 0.
Сделаем в уравнении замену у = zm. Имеем
zmdx + x(2xzm + l)mzm~1dz — 0.
Это уравнение будет однородным лишь при т = 2т + 1, т. е. при
т = — 1. В этом случае уравнение примет вид
dx - - fl + 2-} dz = 0.
Замена x — uz приводит это уравнение к виду
zdu = 2u2dz,
решения которого задаются формулой (С — произвольная постоян-
ная)
1
— — C + lnz2.
и
Отсюда для исходного уравнения получаем множество решений
х = 0, у = 0,	In у2 —— — С.	А
ху
3.	Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
у' + а(х)у = f{x),	(10)
где а(х) и /(х)—заданные непрерывные функции на некотором (а,/3),
называется линейным уравнением первого порядка. Уравнение (10) явля-
ется линейным относительно неизвестной функции у(х) и ее производной
у'{х). Например, уравнение у • у1 — 1 не является линейным уравнением.
Если в уравнении (10) правая часть f(x) ^0 на {си,/3), то уравнение
(10) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.
Если же f(x) = 0 на (а,/?), то уравнение (10) называется линейным
однородным уравнением первого порядка.
Линейное однородное уравнение первого порядка
у' + а(х)у = 0	(11)
легко интегрируется. Заметим, что у — 0 является решением уравнения
(11). Если у 0, то уравнение (И) эквивалентно уравнению
— = — a(x)dx.
У
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
25
Это уравнение является уравнением с разделенными переменными и, сле-
довательно, его решения определяются формулой
ln|y| = - ya(C)dC+ln(7i,
ХО
где 6 (а,/?), а произвольная постоянная взята в виде lnCj (Ci—
произвольная положительная постоянная) с целью упрощения формулы
решения.
X
Если положить А(х) — J a(£)d£, С = Cisignj/ и считать, что С мо-
хо
жет обращаться в нуль, то все решения уравнения (11) записываются
формулой
у = Се~А<-х\	(12)
где С — произвольная постоянная.
Для решения линейного неоднородного уравнения (10) применим так
называемый метод вариации постоянной (метод Лагранжа). В уравнении
(10) сделаем замену
у = с(х)е~А^\	(13)
где с(х) — новая неизвестная непрерывно дифференцируемая функция на
Подстановка (13) в уравнение (10) определяет функцию с(х). Име-
ем
с'(х)е~А^ + с(х)е~А^ [—а(х)] + а(х)с(х)е~А<-х^ = f(x),
с'(х) — eA^f(x), с[х) = У еА^ f (т?) drj + D,
хо
где aso,x € (а,/?) и D — произвольная постоянная.
Подставляя с(х) в (13), получаем формулу решений уравнения (10)
при всех х 6 (а,/?):
у(х) = De~A&> + е~А^ f eA^f(7))d7),	(14)
Хо
где D — произвольная постоянная. Из этой формулы находим, что реше-
нием уравнения (10), удовлетворяющим начальному условию
у(^о) = Уо,	(15)
где уо — любое заданное число, является
у(х) = уое~АМ + у eA^f(rf)dri.
*0
26
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Непосредственная проверка показывает, что эта функция является
единственным решением задачи Коши (10), (15). Так как хр — произволь-
ная фиксированная точка (а,/?), то полученный результат означает, что
формула (14) содержит в себе решения всех возможных задач Коши для
уравнения (10). Это обстоятельство обосновывает следующее определение.
Определение. Функция вида (14) называется общим решением уравне-
ния (10), а функция
у =
называется общим решением уравнения (11).
Если обозначить через у(х) второе слагаемое формулы (14), то непо-
средственно проверяется, что у(х) является частным решением уравнения
(10), удовлетворяющим начальному условию у(то) = 0-
Как видно из формулы (14), общее решение уравнения (10) предста-
вляет собой сумму общего решения уравнения (11) и частного решения
уравнения (10). Таким образом, структура общего решения линейного
неоднородного уравнения (10) аналогична структуре общего решения ли-
нейных алгебраических систем уравнений. Как будет видно в дальней-
шем, подобная структура общего решения имеет место для линейных
дифференциальных уравнений высшего порядка и для линейных систем
дифференциальных уравнений.
Замечание. Если найдено какое-либо другое решение уъ(х) уравнения
(10), отличное от у(х), то функция
у = De~A(x) +уо(х),
где D — произвольная постоянная, также называется общим решением
(10), так как она удовлетворяет определению общего решения (10).
Пример 6. Решить уравнение
, х	х
и найти решение задачи Коши при у(0) = 0.
Д Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения
Заметим, что у = 0—его решение. Пусть у / 0. Заменяя в уравнении
у1 отношением и разделяя переменные, получаем
dy __ xdx
у 1 + х2 ’
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 27
Отсюда находим, что
In |у |	1п(1 + х2) + In Ci,
где Ci — произвольная положительная постоянная. Избавляясь от ло-
гарифмов и полагая С — Cisigny, приходим к общему решению ли-
нейного однородного уравнения
С
У \/1 + а:5’
С — произвольная постоянная.
Для решения исходного уравнения применим метод вариации по-
стоянной. Положив у =	; и подставив у в исходное уравнение,
найдем уравнение для с(х): с?(х) — х. Найдя отсюда с(ж), получаем
общее решение заданного уравнения
_ D	х2
У1 + я2 + 2\/1 + х2'
где D — произвольная постоянная. При у(0) — 0 из этой формулы
получаем D = 0. Значит, у = 2y/i+z! ~ решение задачи Коши. А
Пример 7. Решить уравнение
(х — 2ху — y2)dy + y2dx = 0.
Д Заметим, что у = 0 является решением. Пусть теперь у 0 0. Тогда
уравнение можно записать в виде
1 — 2г/
z'(y) +---= L
У2
Это уравнение является линейным неоднородным относительно пе-
ременной х = х(у). Решаем линейное однородное уравнение
/ 1 - 2у
х Ч----х-У-х = 0.
У2
Его решением будет х — Су2е*, где С — произвольная постоянная.
Ищем решение линейного неоднородного уравнения в виде х —
c(y)y2ev. После подстановки этой функции в уравнение получаем,
что d(y) =	откуда находим с(у) = e~v + D, где Л —произ-
вольная постоянная.
Таким образом, все решения исходного уравнения имеют вид
у = 0, х = £>у2е» + у2,
где D — произвольная постоянная.	А
28	Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
4.	Уравнение Бернулли
Так называют нелинейное уравнение первого порядка вида
У +	= Ь(х)ут,
где а(х) и Ь(х) — заданные непрерывные функции на (а,/3), а т — неко-
торое число, отличное от нуля и единицы. Заметим, что у — 0 — решение
уравнения Бернулли при т > 0. Если у 0, то, разделив уравнение на
ут и вводя новую неизвестную функцию z — у1~т, относительно функ-
ции z получаем линейное уравнение
z' + (1 — m)a(x)z = (1 — т)Ъ(х).
Пример 8. Решить уравнение (х6—y4)dy = Зх5ydx и найти интегральную
кривую уравнения, проходящую через точку (1,1).
Д Заметим сначала, что у — 0 является решением, а х = 0 решением
не является. При у 0 0 уравнение можно записать в виде
dx	х	у3
dy	Зу	Зт5 ’
т. е. уравнение является уравнением Бернулли относительно х. Сде-
лав в этом уравнении замену z — х6, получаем для z линейное
уравнение
г =------2ц3.
У
Линейное однородное уравнение z' = у имеет общее решение
z = Су2. Частное решение линейного неоднородного уравнения ищем
в виде zo(y) — Ауа. Подстановка zo(y) в уравнение дает А = —1,
о — 4. Тогда (см. замечание перед примером 6) общее решение ли-
нейного неоднородного уравнения имеет вид
z = Cy2-y4.
Следовательно, формулы у = 0, х& — Су2 — у4, где С — произвольная
постоянная, задают все решения исходного уравнения.
Подставляя во вторую формулу х = у = 1, получаем С — 2. По-
этому интегральная кривая, проходящая через точку (1,1), задается
формулой
х& = Чу2-у4.	к
5.	Об уравнениях Риккати
Уравнением Риккати называется нелинейное уравнение первого порядка
вида
у' = а(х)у2 + Ъ(х)у + с(х),
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
29
где а(х), Ь(х), c(x) — заданные непрерывные функции на (а,/3). В от-
личие от ранее рассмотренных в этом параграфе уравнений, уравнение
Риккати разрешимо в квадратурах лишь в исключительных случаях. На-
пример, как показал Лиувилль в 1841 году, специальное уравнение Рик-
кати
у1 = Ау2 + Вха,
где А О, В 0 0, а — заданные числа, разрешимо в квадратурах лишь
в том случае, когда 2о^4 — целое число. Однако, если известно какое-
либо решение уо(х) уравнения Риккати, то замена неизвестной функции
у(х) = z(x) + уо{х) для z(as) уже дает уравнение Бернулли вида
z1 = [2<х(ж)г/о (х) + 6(т)] z + a(x)z2,
которое разрешимо в квадратурах. Следовательно, в этом случае и урав-
нение Риккати разрешимо в квадратурах.
Пример 9. Решить уравнение Риккати
у' = у2 - 2еху + е2х + ех.
Д Подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что у<з(х) = ех —
решение уравнения. Тогда замена у = z + ех приводит к уравнению
z' -- z2, которое имеет решения z = 0, z = —(as -I- С)-1, где С —
произвольная постоянная. Итак, (С — произвольная постоянная) все
решения исходного уравнения: у = ех, у = — (х + С)-1 + ех.	К
6.	Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим уравнение первого порядка в симметричной форме
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,	(16)
где Р(х,у), Q(x,y), и ^—непрерывны в некоторой области G плос-
кости R2XV) и область G не содержит особых точек уравнения (16).
Определение. Уравнение (16) называется уравнением в полных диф-
ференциалах, если существует такая непрерывно дифференцируемая
функция и{х, у) в области G, что du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy в об-
ласти G.
Пусть уравнение (16) является уравнением в полных дифференциа-
лах. Если х = у — t 6 Т, задают некоторое параметрическое
решение (16), то
du (<p(t),	= P[¥>(t),tp(t)] d/p(t) + Q [¥>(<),dip(t) = 0 для всех t € T.
Значит, u [<p(£),^(t)] = С для всех i € T. Очевидно, что и наоборот, если
и [<р(£), "0(t)] = С для всех tel, то функции х = у = V’W, t € Т,
задают параметрическое решение (16).
30	Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Итак, уравнение и(х,у) = С, где С — произвольная постоянная, содер-
жит все решения уравнения в полных дифференциалах. Интегральная
кривая уравнения в полных дифференциалах, проходящая через точ-
ку (xo,yo)i единственным образом определяется уравнением и(х,у') =
и(хо,уо)-
Возникает вопрос: как по коэффициентам Р(х,у) и Q(x,y) установить,
что уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах. Если
функция и(х, у) — дважды непрерывно дифференцируема в G, то необхо-
димое условие для Р и Q установить просто. Действительно, если (16) —
уравнение в полных дифференциалах, то
=	и?)
ох	оу
в области G. Тогда	и 3? = Отсюда получаем необходи-
мое условие для Р и Q:
ЭР(х,у) dQ(x,y)
—х-----= —х------ Для всех (х,у) € G.	(18)
оу	ох
Если область G — односвязна, то в анализе доказывается, что усло-
вие (18) является и достаточным. Функция и(х,у) находится из системы
уравнений (17).
Отметим, что односвязность области G геометрически означает от-
сутствие дыр в области G. Плоскость, круг, прямоугольник являются
односвязными областями, а круговое кольцо дает пример неодносвязной
области.
Замечание. Тот факт, что уравнение (16) является уравнением в пол-
ных дифференциалах, означает, что векторное поле {P(x,y),Q(x,y)}
является потенциальным в области G, а функция ы(т,у) служит по-
тенциалом поля. Функцию и(х,у) называют также потенциалом уравне-
ния (16).
Пример 10. Решить уравнение
2xy3dx + 3(ж2 у2 + у2 — l)dy — 0.
Д Здесь Р(т,у) = 2ху3, Q(x,y) = 3(х2у2-|-у2— 1) — непрерывно диффе-
ренцируемые функции на всей плоскости Р2(х, у), являющейся од-
носвязной областью. Следовательно, можно воспользоваться услови-
ем (18). Имеем
дР , 2 9Q
~ъ-
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений	31
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах и поэто-
му его потенциал и(а:,{/) можно найти из переопределенной системы
уравнений
5ц	_ •> 5и	. о 9	9	,
= 2ху '	= у + У ~ г)-
ох	оу
Из первого уравнения находим, что
и(х,у) = х2у3 + <р(у),
где <р(у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция на
оси у. Ее находим подстановкой найденного выражения для и(х,у)
во второе уравнение. Имеем
Зж2у2 + <р(у) = 3(т2у2 4- у2 - 1),	<р'{у) = 3(у2 - 1),
<р(у) = У3 - Зу - С.
Значит, все решения исходного уравнения определяются формулой
х2у3 + У3 - Зу = С,
где С — произвольная постоянная.	А
7.	Интегрирующий множитель. Замена переменных
В предыдущем п. 6 было установлено, что всякое уравнение в полных
дифференциалах интегрируемо в квадратурах. Возникает естественный
вопрос: нельзя ли произвольное уравнение в симметричной форме (16)
свести к уравнению в полных дифференциалах путем домножения его
на некоторую функцию р.(х,у).
Пусть задано уравнение (16), для которого в области G
дР_ dQ
ду дх'
Определение. Непрерывно дифференцируемая в области G функция
д(а:,у)/0 называется интегрирующим множителем уравнения (16), если
уравнение
д(я,у) [P(x,y)dx + Q(a:,y)dy] = О
является в области G уравнением в полных дифференциалах.
Если интегрирующий множитель ц(х,у) существует для уравнения
(16), то он в силу (18) должен удовлетворять соотношению
5(дР) _ d(ixQ)
ду дх
32 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Это равенство дает уравнение в частных производных первого порядка
для ц(х,у):
Qd±_pdp.(dP_dQ\	(19)
Чдх ду \ду дх)*’	v '
интегрирование которого в общем случае отнюдь не проще, чем инте-
грирование уравнения (16). Однако нас интересует лишь какое-либо одно
его решение, которое на практике может найтись из-за каких-нибудь осо-
бенностей коэффициентов Р и Q. Например, ищут только ц = р(з?) или
М — м(у) и т.п. Тогда уравнение (19) для р(т,у) значительно упрощается.
Пример 11. Решить уравнение 2(х — y4)dy — ydx.
Л Здесь Р = у, Q = 2(у4 - х), ^ = 10^ = -2. Заметим, что
у — 0 — решение. Пусть далее у / 0. Найдем интегрирующий множи-
тель вида р = р(у). Из уравнения (19) имеем — у-^ = Зр. Решением
этого уравнения служит, например, функция р = После умноже-
ния исходного уравнения на р- получаем уравнение в полных диф-
ференциалах
1	{	X \
—~dx + 2 1/--I dy = 0.
У2	\	У;
Отсюда = 4г,	= 2 (у — js). Следовательно, из первого урав-
нения и(х, у) —	+ <р(у). Подставляя и(х,у) во второе уравнение,
получим, что <р(у) = у2 — С. Итак, все решения заданного уравнения
задаются формулами
У = о, -J + у2 — С,
У2
где С — произвольная постоянная.	А
Другой метод решения произвольных уравнений (16) основан на по-
дыскании такой замены переменных х, у, которая приводит уравнение
(16) к эквивалентному одному из уже изученных в пп. 1-6 типов урав-
нений, интегрируемых в квадратурах. Для нахождения нужной замены
переменных часто используется метод выделения полных дифференциа-
лов. Приведем примеры.
Пример 12. Решить уравнение
y(2ydx — х dy) + х2 (ydx + 2а: dy) — 0.
Д Нетрудно проверить, что точка (0,0) — особая точка уравнения и
что полуоси оси Оу и полуоси оси Ох являются решениями урав-
§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
33
пения. Пусть далее ху 0. Разделив уравнение на ху2, получаем
эквивалентное уравнение
2dx dy	х2 fdx	2dy \ _ q
x	У	У \ x у J
которое можно записать так:
d (In	+ — d (In	) = °-
\ Ш У
Сделаем замену переменных
х2
й = е"'
Тогда при у > 0 получаем уравнение du + eudv = 0, а при у < 0 —
уравнение du — eudv = 0. Из первого уравнения находим v — е~и — С,
а из второго уравнения получим v + е_“ = С, где С — произвольная
постоянная. Отсюда при у > 0 имеем формулу решений исходного
уравнения вида In (|х|у2) —	= С, а при у < 0 — формулу решений
вида In (|л|у2) + $ = С.	А
Пример 13. Решить уравнение
х(х2 + y2)dy + y(ydx — xdy) = 0.
А Как и в предыдущем примере, для этого уравнения (0,0) — особая
точка, и все полуоси осей Ох и Оу являются решениями. Пусть
теперь ху 0. Уравнение запишем так:
ir(a:2 + y2)dy + y3d ( - ) =0.
\У/
Разделив уравнение на у3 и положив и = получаем уравнение
(u3 + u)dy + du = 0.
Отсюда
/1 и \
dy + I---——=• I du = 0,
1+гг/
что дает y + ln Jttl м = С, где С — произвольная постоянная. Значит,
формула
дает решения исходного уравнения.
Как уже следует из § 2 и как будет видно в дальнейшем, замена
переменных играет важную роль при решении различных типов диффе-
ренциальных уравнений и при изучении свойств решений дифференци-
альных уравнений.
2 2769
34
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
§ 3. Уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной.
Метод введения параметра и задача Коши
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разре-
шенного относительно производной, следующий:
F(x,y,y') = 0.	(1)
Здесь: F(x,у,р) —заданная непрерывная функция в некоторой непустой
области G евклидова пространства	с декартовыми прямоугольны-
ми координатами х, у, х — аргумент; у = у(х) — неизвестная функция.
Определение. Вектор-функция х = <p(t), у = где t принадлежит
промежутку Т оси Л} и VW ~ непрерывно дифференцируемые на
Т, причем 5^ 0, Vt € Т, называется параметрическим решением урав-
нения (1), если при подстановке х — у = VW в уравнение (1) по-
лучаем тождество
F L(t), VW, О,
VWJ
Viez.
Из этого определения при х = t следует определение явного решения
у = -ф(х), х el, уравнения (1). Таким образом, понятие параметрическо-
го решения (1) расширяет понятие явного решения (1), так как параме-
трическое решение в окрестности каждой точки to е Т допускает явное
представление у = ш(г), но для всех t € Z такого явного представления
у — ш(х) параметрическое решение (1) может и не иметь.
Интегральной кривой уравнения (1) называется кривая на плоскости
описываемая точкой	когда t пробегает промежуток
Т. Из определения параметрического решения следует, что интегральная
кривая (1) является гладкой кривой.
Для решения уравнения (1) можно попытаться разрешить (1) отно-
сительно у'. В случае удачи получается одно или несколько уравнений
вида у' = f(x,y), к которым следует применить методы решения, изло-
женные в § 2.
Пример 1. Решить уравнение уа — (2х + у)у' -I- 2ху = 0.
Д Решая заданное уравнение как квадратное уравнение относитель-
но у', находим, что
у' — у, у' = 2х.
Первое уравнение имеет решения у = С\ех, а второе уравнение — ре-
шения у = х2 + С2, где Ci и (?2 — произвольные постоянные. Каждая
из найденных функций является решением исходного уравнения. Од-
нако эти функции не исчерпывают всего множества решений задан-
§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 35
ного уравнения. Возможны еще и так называемые составные реше-
ния, получаемые «склейкой» найденных функций в тех точках, где
совпадают значения функций и их производных. Легко проверить,
что, например, функция
а:2 + 1, х < 1,
2ех~\ х > 1,
также является решением (составным) исходного уравнения. И это
не единственное составное решение заданного уравнения.	А
В общем случае для решения уравнения (1) применяется так назы-
ваемый метод введения параметра, который позволяет свести решение
уравнения (1) к решению некоторого уравнения первого порядка в сим-
метричной форме. А для таких уравнений уже можно пытаться приме-
нить ранее изученные методы решения.
Положим у1 — р и рассмотрим смешанную систему уравнений
=	,2ч
dy = pdx.
Покажем, что уравнение (1) эквивалентно системе (2), т. е. каждое ре-
шение уравнения (1) определяет решение системы (2) и наоборот. Дей-
ствительно, если х = у = t € I, является параметрическим
решением (1), то p = p(t)s^'(J)[^'(i)]^' = 2/^(t). Отсюда dy[t) = p(t)dx(t)
и F [<p(t), ^(t)p(Z)] =0 на!, т. e. функции	p(t) удовлетворяют
системе (2) при всех t 6 Обратно, если <p(t), ^(t), p(t) удовлетворяют
при tel системе (2), то х = <p(t), у — при t € I определяют пара-
метрическое решение (1), так как из второго уравнения (2) находим, что
p(t) = а из первого уравнения (2) следует, что F V’(t),	= 0
на Т. Итак, уравнение (1) эквивалентно системе (2).
Дальнейшие выкладки будем проводить при следующем условии.
Предположение. Уравнение F(x,y,p) — 0 определяет в	такую
гладкую поверхность S, для которой известно также и параметрическое
представление. Это значит, что существуют такие непрерывно диффе-
ренцируемые функции х = <р(и, г>), у —	р = x(w, и), в некоторой
области Q плоскости с декартовыми прямоугольными координатами u,v,
для которых положительна сумма квадратов якобианов:
О(«, v)J D(u, v
и F[<p(u,i;), ip{u,v), x(u,v)] = 0 для- всех (и,о) 6 Q.
При таком предположении перейдем в системе (2) от переменных
х, у,р к переменным и, v по заданным формулам. Первое уравнение (2)
Р(р,х)
D(u, v)
36
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
удовлетворяется тождественно в области Q. Второе уравнение (2) дает
уравнение вида
дф ,	дф
~^-du + -т— dv = x(u,v)
ди	dv
дф J-
—du + д-dv
du dv
или
Г дф
[du
du>
- к— du +
ди
дф д<р
dv Я dv
dv = 0.
(3)
Переход от уравнения (1) к уравнению (3) называется общим ме-
тодом введения параметров. Получилось уравнение первого порядка в
симметричной форме, некоторые методы решения которого изложены в
предыдущем параграфе. Если, например, множество решений уравнения
(3) задается формулой v = g(u, С), где С — произвольная постоянная, то
функции х = <р [u,<;(u, С)], у — ф [u, д(и, С)], р — х [и, д(и, С)] удовлетворя-
ют системе (2). Следовательно, в силу эквивалентности уравнения (1) и
системы (2), функции х — <р[и,д(и,С)], у = ф[и,д(и,С)] задают параме-
трические решения уравнения (1).
Наиболее важными для практики случаями являются те случаи урав-
нения (1), когда его можно разрешить относительно у или относительно
х. Если у = /(а:, у') — решение уравнения (1) относительно у, то в каче-
стве параметров u,v берем и — х, v = p и система (2) тогда примет вид
Ь = /(*>₽)>	(4)
1 dy = pdx.
Уравнение (3) в этом случае имеет такой вид
f dx + ^-dp = 0.	(5)
\dx } dp
Если p = u>(x,C'), где С — произвольная постоянная, задает решения урав-
нения (5), то у — f [х,ш(х, С)] — решения уравнения у = /(а:, у').
Аналогично, если х = д(у, у') — решение уравнения (1) относительно
х, то в качестве параметров и, v берем и — у, v — р. В этом случае
система (2) принимает вид
Г^ = <7(У>Р).
1 dy — pdx,
а уравнение (3) выглядит так:
~ dy + p7&dp = °’
\ dy J др
Если р — и>(у, С), где С — произвольная постоянная, решения уравнения
(6), то формула х = g [у, ш(у, С)] задает решения уравнения х = д(у,у').
Переход от уравнения у = f (x, у1) к уравнению (5) и переход от урав-
нения х = д(у, у') к уравнению (6) называется методом введения пара-
метра.
§3. Уравнения первого порядка, нс разрешенные относительно производной 37
Замечание. Типичной ошибкой при решении уравнения у = f(x,y')
является переход от функции р = ш(х, С) к уравнению у1 = ш(х,С) и
затем к его решению у = f u>(x,C)dx + С\. Эта функция в общем случае
не удовлетворяет первому уравнению системы (4). Аналогичная ошибка
делается и при решении уравнения х — д(у,у'), если заменить р = ш(у,С)
на у1 = w(p, С) и затем интегрировать это уравнение.
Метод введения параметра в общем случае приводит к уравнениям
(3), не интегрируемым в квадратурах. Сейчас приведем пример урав-
нения (1), для которого метод введения параметра всегда приводит к
уравнению (3), интегрируемому в квадратурах.
Пример 2 (уравнение Лагранжа), у = а(у')х + б(у'), где а(р) и 6(р) —
заданные непрерывно дифференцируемые функции для всех р 6 Rp
с декартовой координатой р.
Д Положив у' = р, от уравнения Лагранжа перейдем к эквивалент-
ной системе
У = а(р)х + Ь(р),
dy = pdx.
Найдя dy из первого уравнения системы и подставив его во второе
уравнение, получаем уравнение
х  a'(p)dp + a(p)dx + b'(p)dp = pdx
или
[а'(р)х+ 6'(p)] dp = [р-а(р)]</т.	(7)
Если ap / p для Vp e R^, то отсюда получаем линейное уравнение
первого порядка относительно х
dx _	о'(р)	+ У(р)
dp р- а(р) р - а(р) ’
которое всегда интегрируется в квадратурах.
Если Эро 6 R1, что ро = а(ро), то р = ро — решение уравнения (7)
и, значит, у = а(ро)т + Ь(ро) —решение уравнения Лагранжа. Если же
а(р) = р, то исходное уравнение принимает вид у = ху' + Ь(у'). Оно
называется уравнением Клеро. Уравнение (7) в этом случае записы-
вается так:
[т + i/(p)] dp = 0.
Отсюда либо dp = 0, либо х = -Ь'(р). Если dp = 0, то р = С и
решением уравнения Клеро будет у = Сх + Ь(С). При х = -Ь'(р)
равенства х = -У(р), у — —рЪ'(р) + Ь(р) определяют параметриче-
ское решение уравнения Клеро, если потребовать, чтобы функция
Ь(р) была дважды непрерывно дифференцируемой Vp е R^. Это вид-
но из подстановки параметрического решения в уравнение Клеро. В
38
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
случае 6" = 0 имеем 6(р) = ар + р, где аир — постоянные. Тогда
уравнение Клеро принимает вид у = (х + а)у' + р. Решениями этого
уравнения служат невертикальные лучи с началом в особой точке
(—а,р) уравнения, для которых у — Р = (7(1 +а), где С — произволь-
ная постоянная.	А
Замечание. При решении уравнений (1), как уже указывалось, возмож-
но появление составных решений. При решении конкретных примеров
они не всегда явно выписываются.
Пример 3. Решить уравнение у'(4х — у1) = 4(2у — х2).
Д Разрешив уравнение относительно у, перейдем к эквивалентной
системе, положив у' = р:
8у = 4х2 + 4хр — р2,
dy = pdx.
Найдя из первого уравнения dy и подставив его во второе уравнение
системы, после упрощений получаем
2(2х — p)(2dx + dp) = 0.
Если р = 2х, то из первого уравнения системы находим решение
исходного уравнения у - х2. Если же 2dx + dp = 0, то р — С — 2х
и подстановка этого р в первое уравнение системы дает множество
решений у—Сх — х2 — ~. где С — произвольная постоянная. Кроме
указанного множества решений, возможны и составные решения. А
Пример 4. Решить уравнение ху' = 1 + еу • у'2.
Д Заметим, что у' 0, т. к. у' = 0 не дает решений. Тогда уравнение
можно разделить на у':
1 « /
х = — + еу • у .
У
Вводя параметр р = у1, перейдем к системе
2- = 1 + еу .
dy = pdx.
Найдем dx из первого уравнения системы и подставим его во второе
уравнение. Получим уравнение
dy = р ( - X:dp + eydp + peydy
\ Р2
или
(р2еу - 1) (pdy + dp) - 0.
§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 39
Если p2ev = 1, то р = ±е-2 и из первого уравнения системы находим
решение исходного уравнения х = ±2ег. Если же pdy + dp = 0, то
р = Се~у и подстановка в первое уравнение системы дает множество
решений исходного уравнения х = ^еу + С, где С 0 — произвольная
постоянная.	А
Пример 5. Решить уравнение у*3 + х3 = ху'.
Д Параметризуем цилиндрическую поверхность р3 + х3 = хр, поло-
жив р = хи. После подстановки в уравнение поверхности получаем
х ~ T+u1’ Р ~ Т+й1' Таким образом, имеем следующую параметри-
зацию цилиндрической поверхности: х = У — V, р = Эта
параметризация гладкая, например, при и < — 1. Из dv = ay = pdx
находим, что
dy = dv =
u2(l — 2u3)dw
(1 + и3)3 '
Следовательно, отсюда
11	,21
2 (1 + u3)2 + 3 ’ 1 + u3’
где С — произвольная постоянная. Значит, при и < —1 функции
х ~ Т+7Ь У = с - 2(1+1»» )г + 3(Л») задают параметрические реше-
ния исходного уравнения.	А
Как известно, для уравнения у1 — f(x,y) начальное условие задается
в виде у(хо) = уо. При определенных условиях на f(x,y), xq, уо, как
указывалось в § 1, можно гарантировать, во всяком случае, локально, т.е.
в некоторой окрестности точки (хо,Уо), существование и единственность
решения задачи Коши.
Но даже для простейших уравнений (1) начальное условие т/(жо) = Уо,
как видно на примерах, не выделяет в общем случае единственное ре-
шение. Если взять, например, уравнение у12 = у2, то у' = ±у и, значит,
решениями у'2 = у2 будут и функции у — и функции у = Сге-®, где
Ci и С? — произвольные постоянные. Начальное условие у(хо) = уо выде-
ляет два решения у = уоех~х°, у = уов~^х~х°\ т.е. не обладает свойством
единственности. Начального условия вида у(хо) = уо недостаточно для
получения определенного решения. Если в этом примере кроме у(хо) = уо
задать еще либо у'{хо) = уо, либо у'(хо) = —уо, тогда начальное условие
вида у{хо) = у'(хо) = уо выделяет единственное решение у — уое1-1°,
а начальное условие вида у(хо) = —у'(хо) = Уо выделяет единственное
решение у = уовх°~х. Всякое же другое задание j/'fxo) # ij/o не дает су-
ществования решения при таких условиях, поскольку в силу уравнения
y^ix) — у2(х) для всякой точки х.
Аналогичным образом задаются начальные условия и для общих
уравнений (1). Берется тройка чисел (хо,уо,Ро) £ G, для которой
40
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
F(xo,yo,po) = 0- Начальными условиями для уравнения (1) называют-
ся условия
У(хо) = уо, у'(хо) = ро-	(8)
Задачей Коши для уравнения (1) называют задачу нахождения ре-
шения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (8). Таким
образом, постановка задачи Коши для (1) требует согласования с урав-
нением (1) начальных данных хо, Уо, Ро-
Достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши (1), (8)
будут приведены в главе 4. Сейчас же ограничимся примером. Уравне-
ние из примера 3 при начальных условиях 1/(0) = —2, у'(0) = 4 имеет
единственное решение у — —х2 + 4х — 2.
Начальные условия (8) для уравнения (1) внешне одинаковы с началь-
ными условиями для уравнений второго порядка (см. § 4). Но различие
в том, что в случае уравнения (1) начальные данные хо, уо, ро связаны
условием F(xo,yo,po) = 0.
Геометрический смысл задачи Коши для уравнения (1) состоит в том,
что ищется интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку
(хо,Уо) с заданным угловым коэффициентом касательной ро в этой точке.
Таким образом, в одной и той же точке (хо,Уо) возможно зада-
ние стольких различных начальных условий для уравнения (1), сколь-
ко различных действительных решений имеет уравнение F(xq, Уо,р) — О
относительно р. Если множество действительных решений уравнения
F(xo,yo,p} = 0 пустое, то в точке (хо,уо) нельзя задавать начальные
условия для (1). Для уравнения у' = f{x,y) задание точки (хо,уо) уже
сразу определяет значение i/'(xo) = f(xo,yo)-
Из приведенных рассуждений видно принципиальное отличие поста-
новки задачи Коши для уравнения (1) от постановки задачи Коши для
уравнения у' = f{x,y).
В заключение отметим, что задача Коши (1), (8) интерпретируется
как задача Коши для смешанной системы (2) следующим образом. За-
дана точка (то> Уо,Ро) 6 S- Требуется найти интегральную кривую L си-
стемы (2), проходящую через точку (хо,уо,ро) € S. Интегральная кривая
I уравнения (1) является ортогональной проекцией параллельно оси р на
плоскость х,у интегральной кривой L системы (2).
Замечание. Обобщением уравнения (1) является уравнение первого по-
рядка в дифференциалах (или уравнение в симметричной форме) следу-
ющего вида
F(x,y,dx, dy) = 0,
где F — заданная непрерывная функция своих аргументов.
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка
41
§ 4. Дифференциальные уравнения
высшего порядка.
Общие понятия и методы решения
Общий вид дифференциального уравнения порядка п следующий
F(x,y,y',... >У^) =0.	(1)
Здесь п — заданное натуральное число, х — аргумент, у — у(х) — неизвест-
ная функция, F(x, у, j/i,... ,уп) — заданная непрерывная функция в не-
которой непустой области Q (п + 2)-мерного евклидова пространства с
декартовыми прямоугольными координатами х,у,у\,... ,уп.
Итак, порядком уравнения (1) называется порядок старшей производ-
ной в (1). В дальнейшем будем считать п > 2, так как случай п = 1
уже был рассмотрен в предыдущих параграфах.
Определение. Функция у = <р(т), заданная на некотором промежутке
X оси называется решением (1), если:
1)	<р(ж) имеет непрерывную <р^п>(х) на X,
2)	при всех х е X точка (х, <р(х'), <р'(х),... ,	лежит в области
П,
3)	F[x,<p(x),y/(x),... ,^п^(я.)] = 0 для всех х G X.
График решения уравнения (1) на плоскости	называется ин-
тегральной кривой уравнения (1). Ясно, что интегральные кривые (1)
лежат в проекции области Q на плоскость R(Xi3)y По аналогии со слу-
чаем п = 1 для уравнения (1) можно ввести и более общее понятие
параметрического решения (см. § 3).
Более простым для изучения является уравнение порядка п, разре-
шенное относительно старшей производной. Оно имеет вид
yM^f(x,y,y',...,y^),	(2)
где f(x, у,yi,... , j/n-i) —заданная непрерывная функция в некоторой не-
пустой области G (п+ 1)-мерного евклидова пространства с декартовыми
прямоугольными координатами T,y,2/i,... Уравнение (2) называют
еще уравнением порядка п в нормальной форме. Заданию уравнения вто-
рого порядка можно придать определенный геометрический смысл. Если
у — <р(х), х G X, задает интегральную кривую уравнения у" — f(x,y,y'),
то в каждой точке хо G X определена кривизна интегральной кривой
1у"(ео)|	= |/[до,<р(^о),<р'(до)]|
^(1 + [^(ю)]2)3	У(1 + [^(хо)]2)3
42
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Уравнение у" = f(x,y,y') в любой точке области G задает некоторое
значение у" и, значит, некоторое значение кривизны К = |/(х, у, у')| х
(1 + У2)-3/2.
Отсюда ясно, что в каждой точке (х, у) из проекции области G на
плоскость Rfxy) это уравнение задает связь между кривизной и углом
наклона искомых интегральных кривых уравнения. Кривая на плоскости
Л21у) может быть интегральной кривой уравнения у" = f(x,y,y') только
в том случае, когда в каждой ее точке кривизна кривой и угол наклона
кривой связаны указанной формулой.
Уже на простом примере уравнения (2) можно убедиться, что множе-
ство его решений в общем случае зависит от п параметров.
Пример 1. Решить уравнение у^ — 1.
Д Последовательно интегрируя п раз, получаем формулу всех ре-
шений:
. хп
у = Ci + С%х + •••-(- Спх	Ч—Tj
я!
где Ci,... ,Сп — произвольные постоянные.	А
Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае уравнения
(2) решение зависит от п параметров и что для выделения какого-либо
конкретного решения (2) требуются дополнительные условия. Как и в
случае уравнений первого порядка у' = f(x,y) в качестве таких условий
чаще всего выступают начальные условия.
Как видно из примера уравнения второго порядка (5) введения, на-
чальные условия для уравнений второго порядка представляют собой за-
данные в одной и той же точке значения неизвестной функции и ее
производной. Для уравнения (2) начальными условиями называют усло-
вия вида
уМ - Уо, у'М -У1,--- ,3/(n-1)(xo) -Уп-1,	(3)
где (хо,уо,У1,--- ,yn~i) € G.
Числа хо, уо, yif- ,Уп-1 называют начальными данными.
Определение. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворя-
ющего начальным условиям (3), называется начальной задачей или за-
дачей Коши для уравнения (2). Характерная особенность задачи Коши
состоит в том, что условия на искомое решение у = у(х) задаются в
одной и той же точке хо- В случае п = 2 задача Коши (2), (3) имеет
простой геометрический смысл. Требуется найти интегральную кривую
(1), проходящую через точку (хо,уо) в заданном направлении с танген-
сом угла наклона ее касательной, равным yi. С другой точки зрения,
как видно из формулы кривизны, задание при п = 2 начальных усло-
вий (3) означает задание в точке хо кривизны и решение задачи Коши
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 43
(2), (3) в этом случае определяет интегральную кривую (2) с заданной
кривизной в точке Xq.
В главе 4 будут установлены достаточные условия, гарантирующие су-
ществование и единственность решения задачи Коши (2), (3). Сейчас же
будут рассмотрены некоторые типы уравнений (1), для которых возмож-
на разрешимость в квадратурах, достигаемая либо при помощи специ-
альных способов, либо при помощи предварительного понижения поряд-
ка. Важным частным случаем уравнения (1) является так называемое
линейное дифференциальное уравнение порядка п. Оно имеет вид
У(п) + ai(x)y(n-1) + • • • + ап(х)у = /(т),
где ai(a:),... ,ап(а:), /(т) — заданные непрерывные функции на некотором
промежутке оси Ох. Однако теория линейных уравнений будет изложена
отдельно не здесь, а в последующих главах.
С целью упрощения выкладок рассмотрим только уравнения второго
порядка
F(®,y,y',/) = 0,	(4)
где F(x,у,j/1,2/2) —заданная непрерывная функция в некоторой непустой
области G евклидова пространства Л4 с декартовыми прямоугольными
координатами х, у, yi, у2-
Всякое уравнение вида
y" = f(x),
где /(гс) — заданная непрерывная на (а,/3) функция, легко интегрируется
в квадратурах.
Действительно, интегрируя один раз это уравнение, находим, что
X
у' = f +
ю
где Ci — произвольная постоянная. После повторного интегрирования
имеем
х п
У = У dr} У + С\(х- х0) + С2,
ХО XQ
где (?2 — произвольная постоянная. Поменяв порядок интегрирования в
повторном интеграле, что возможно в силу непрерывности f(x) на (а,/3),
окончательно получаем формулу решений
X
У = /(Х-	+ С,(х- то) + с2.
Хо
44
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Методом математической индукции нетрудно показать, что все реше-
ния уравнения у^п) = Да:), где Да:)—заданная непрерывная на (а,0)
функция, задаются формулой
* = Л -	+ С' +   + с”
хо
где Ci,..., Сп — произвольные постоянные.
Пусть теперь задано уравнение вида
Г(х,у") = 0.	(5)
Это уравнение будем решать методом введения параметра аналогично
тому, как это делалось в предыдущем параграфе.
Предположим, что уравнение F{x,p) =0, где х,р —декартовы прямо-
угольные координаты, задает кривую на плоскости	для которой
известно ее параметрическое представление х = <p(t), р = tl>(t), t при-
чем y/(t) и ^'{t) — непрерывны на промежутке I. Тогда уравнение (5)
эквивалентно системе
F(x,p) = 0,
dy' — pdx.
Первое уравнение системы удовлетворяется тождественно на промежутке
X. Подставив параметрическое представление кривой во второе уравнение
системы, получаем
dy' = Д£). ip'(t)dt,
откуда у’ = f ip{t)ip'(t)dt + Ci = x(t, Ci). Из этого равенства
dy = y'dx = x(t, C\)  ip'(t)dt,
откуда у = f x(t, Ci)ip'(t)dt + C2 = w(t, С», C2). Значит, функции x = <p(t),
у = w(t,Ci,C2), где t 6 X, C\ и C2 — произвольные постоянные, задают
множество параметрических решений уравнения (5).
Пример 2.
Решить уравнение х —
у"
а/и-»"2
Д Положим у" = р. Тогда уравнение эквивалентно системе
х = -£=,
0+р2
dy' —pdx.
Кривая х =
параметризуется уравнениями х = sint, р = tgZ,
где t €	Выразим у через параметр t. Из 2-го уравнения
системы имеем
dy' = tg t • cos t dt = sin t dt.
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка	45
Отсюда у' = Ci — cos t и, значит, dy = 3/ dx = (С\ — cos t) cos t dt,
у = C2 + Cj sint — if — - sin2£.
2	4
Параметрические решения исходного уравнения задаются форму-
лами
a: = sini,	у = —-i —-sin2t + Ci sint + (?2>
где (71 и С2 — произвольные постоянные и	А
Аналогичным образом метод введения параметра применяется и для
решения уравнений F{y, у”) = 0, F(y',y") =0 и т.п. Другим основным
методом решения уравнений (4) является метод понижения порядка урав-
нения.
Перейдем к рассмотрению основных типов уравнений (4), допускаю-
щих понижение порядка уравнения. После понижения порядка уравнения
(4) получается уравнение первого порядка, к которому следует пытаться
применить известные из предыдущих параграфов методы решения.
I.	Пусть уравнение (4) не содержит у, т. е. оно имеет вид
F(x,y',y") =0.
Тогда замена у' — z(x) дает уравнение первого порядка относительно но-
вой неизвестной функции z(x): F^x^,^) — 0. Если функция z = <р(х, Ci),
(7i — параметр, задает его решения, то функция
У = У tp(x,Ci)dx + Ci,
где Ci — произвольная постоянная, задает решения исходного уравнения.
Нетрудно видеть, что в этом случае уравнение (4) эквивалентно системе
(F(x,z,z') =0,
[У = z.
Пример 3. Решить уравнение у"(ех + 1) + у1 = 0.
Д Положив у' = z(x), получим уравнение для z(x)
z’(ex + 1) + z = 0.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными лег-
ко интегрируется. Находим
z(x) = (7i(l + е-х).
Отсюда у = Ci(x — е~х) + Ci, где Ci и Со — произвольные постоян-
ные.	А
46
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
II.	Пусть уравнение (4) не содержит х, т.е. оно имеет вид
*W/) = o.
Будем считать, что у = const не является его решением. В таком случае
примем у за новый аргумент и введем новую неизвестную функцию z(y)
по формуле у' — z(y). Тогда
„ dy'	dy1 dy	dz	,
У =	~ ~Т~  Т = Т ’ г(У) = z'z
dx	dy dx	dy
и в этом случае получаем уравнение первого порядка
F(y, z, zz') = О,
так как z 0.
Если у = const, то нельзя брать у в качестве нового аргумента. Поэто-
му, принимая у за новый аргумент, всегда следует проверять, не теряем
ли мы при этом решений вида у = const.
Пример 4. Решить задачу Коши:
у" + (2 + 4у2)у'3 - 2уу'2 = 0, 2/(0) = 1, г/'(0) = |.
Д Заметим, что у = const не может быть решением задачи Коши.
Пусть далее у const. Положим у' = z(y) / 0. Тогда у" = z • z' и
для функции z{y) получаем уравнение Бернулли
z  / + (2 + 4у2)г3 - 2yz2 — 0
с начальным условием г(1) = g. Замена и = — | эту задачу Коши
сводит к следующей задаче Коши для линейного уравнения первого
порядка:
и' + 2уи + 2 4- 4г/2 = 0,	и(1) = —2.
Общее решение этого линейного уравнения
и(у) - Се~у1 - 2у.
Из начального условия находим, что С = 0. Итак, и{у) = — 2у. От-
сюда у1 = z = — £ = что дает у2 — х -I- С. Из начального условия
у(0) - 1 следует 0=1. Учитывая, что у'(0) — находим, что
у — Уж 4-1 является решением исходной задачи Коши.	А
III.	Функция F{x,y,3/1,3/2) называется однородной функцией степе-
ни m относительно переменных у, yi, у2, если для любой точ-
ки (т,з/,з/1,з/2) € G и любого такого значения параметра t, что
(x,ty,tyi,ty2) € О, выполнено условие F(x,ty,tyi,ty2) = tmF(x,y, 3/1,j/2).
Здесь т — некоторое фиксированное число.
Уравнение (4) называется однородным уравнением относительно пе-
ременных з/, у', у", если F(x,y, 3/1,3/2) — однородная функция степени т
относительно переменных з/, 3/1,3/2 •
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка	47
Если уравнение (4) является однородным относительно у,у',у", то его
порядок понижается с помощью замены j/ = у • z, где z = z(z) — новая
неизвестная функция. Действительно, при такой замене получаем:
у" = y'z + yz' = yz2 + yz' = y(z' + z2),
F(x,y,y',y") = F (x,y,yz,y(z' + z2)) = ymF(x, 1,z,z' + z2) = 0.
Здесь мы воспользовались однородностью функции F при t = у. Если
т > 0, то получаем решение у = 0. Если же у / 0, то имеем для функ-
ции z уравнение первого порядка
F(x, 1, z, z7 + z2) = 0.
Если множеством его решений является z = tp(x,Ci), где Ci — параметр,
то формула t/= Сгехр [J<p(a:,(7i)da;], где Сг — произвольная постоянная,
дает множество решений уравнения (4).
Пример 5. Решить задачу Коши
уу" + УУ' tgx = (1 - sinz)(y'}2,	2/(0) = 1,	У(0) = -2.
Д Нетрудно убедиться в однородности уравнения по y,y',yf'. При
рекомендованной замене у' = yz, у" = y[z' -I- z2) получаем уравнение
первого порядка
у2 (z' + z2) + y2ztgx = (1 — sina;)j/2z2.
Функция у = 0 — решение уравнения, но не решение задачи Коши.
Если у / 0, то получаем уравнение Бернулли
z7 + z tg х = -z2 sin х
с начальным условием z(0) = —2. Замена и — j дает линейное урав-
нение
и' — и tg х = sin х
с начальным условием и(0) = — |. Нетрудно найти, что и —	—
5 cos х — общее решение уравнения и что из начального условия сле-
дует (7 = 0. Значит, и = — I cos х и поэтому	Отсюда
_ 1—sina;
v = С ---------.
1 + sin а;
Из начального условия у(0) — 1 следует С = 0. В силу этого функ-
ция
1 — sina:
У ~ Т~Г~-—
1 + sin х
является решением исходной задачи Коши.
48	Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
IV. Пусть существует такая непрерывно дифференцируемая функция
Ф(,т, у, у'), что для всех х,у,у',у" справедливо тождество
,у,у’,у") = ^Ф(ж,у,!/').
Тогда уравнение (4) называется уравнением в точных производных. В
таком случае, очевидно, уравнение (4) эквивалентно уравнению первого
порядка
$(<£,?/, 3/') = с.
Уравнение (4) в точных производных является, очевидно, обобщением
уравнения в полных дифференциалах на случай уравнений второго по-
рядка. Действительно, если уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy — О
является уравнением в полных дифференциалах, то для некоторой не-
прерывно дифференцируемой функции Ф(т, у) имеем тождество
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = с£Ф (о:, у).
Отсюда
F(x,y,y') = р(х,у) + Q(x,y)y' =	= 0.
ат
Как и в случае уравнения в полных дифференциалах, для уравнения (4)
можно указать критерий того, что уравнение (4) является уравнением в
тючных производных, и метод построения функции Ф(т,у,у'). Однако мы
не будем касаться здесь этого вопроса.
Иногда уравнение (4) становится уравнением в точных производных
лишь после его умножения на некоторую функцию ц{х, у, у'). В таком
случае функция р.(х,у,у') называется интегрирующим множителем урав-
нения (4). Мы не будем касаться метода нахождения интегрирующего
множителя ц(х,у,у') для уравнения (4) в общем виде, а ограничимся
рассмотрением примеров.
Пример 6. Решить уравнение уу" — у12 = у'.
Д Заметим, что у = С — решение. Пусть далее у 0. Разделив обе
О
части уравнения на у , получим уравнение в точных производных
Отсюда	1 + Ci или у1 = С\у — 1. Если Ci ~ 0, то имеем
у = — х + Ci, а если Ci 0, то имеем линейное уравнение первого
порядка, решениями которого будут функции у — CzeG'x + где
С] 0 и <?2 — произвольные постоянные.	А
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 49
Пример 7. Решить задачу Коши
ху" = у' + 2х2уу',	у(1) = 2,	у'(1) = 4.
Д Уравнение запишем так:
Х-^=2уу' или (У-\ = (у2)'.
х^	\х /
Отсюда у' = ху2 + Ci х. Из начальных условий следует, что Cq = 0.
Следовательно, — - — %- + (7. Из начального условия находим, что
С — -1. Значит, 7 = 1 — %- является решением исходной задачи
Коши.	А
V. Функция F называется обобщенно-однородной степени т, если су-
ществует такое число к, что для любой точки (т, У,У1,У2) 6 G и для
любого значения параметра t, для которого (tx,tky,tk~1yi,tk~2y2) € G,
выполнено условие
F(tx,tky,tk~lyi,tk~2y2) = tmF(x, у, yi,y2).
Уравнение (4) называется обобщенно-однородным, если фупкция
F(x,y,yi,y2) является обобщенно-однородной.
Покажем, что если уравнение (4) является обобщенно-однородным и
в области G х > 0, то его порядок понижается на единицу с помощью
замены переменных
х — е“, у — veku,
где и— новый аргумент, v = v(и) — новая искомая функция. Если же
х < 0, то полагаем х — —е“.
Действительно, найдем сначала выражения у', у" через новые пере-
менные. Имеем:
у' =	~ = (v'eku + kveku)e~u = (v' + kv)e(k~Vu,
dx du dx
y"=^L =	£ [(„- +	• e~v =
dx du dx du I	J
= [v" + (2k - l)v' + k(k - l)v] e(*-2)u.
Подставив выражения x,y,y',y" в новых переменных u,v в уравнение
(4) и воспользовавшись определением обобщенной однородности уравне-
ния при t = е“, получаем
0 = F(x, у, у',у") = F(eu,veku, [и' +
[v" + (2к - l)v' + к(к - l)v] e(fc-2)“) =
= emuF (l,v,v' + kv,v" + (2k - 1)1/ + k(k - l)v).
Отсюда получим уравнение, не содержащее аргумента и, которое соглас-
но п. II допускает понижение порядка на единицу.
50
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Пример 8. Решить задачу Коши (х > 0).
xiy" - хуу' + 2(у - ar2)j/ = 0,	у(1) = 6,	у'(1) = 12.
Д Заменяя в уравнении х на tx, у на tky, у' на у" на tk~^y"
и приравнивая друг другу показатели степеней t в каждом слагае-
мом уравнения, получаем 2к = к+2. Следовательно, заданное уравне-
ние является обобщенно однородным и к = 2. Сделаем в уравнении
замену переменных
х = е“, у = ve2u.
Тогда из ранее полученных выражений у',у" через новые перемен-
ные находим, что
у1 = (v' -I- 2ц)е“, у" — v" -I- Зг>' + 2v.
Подставляя выражения для х, у, у', у" в уравнение, после упрощений
получаем уравнение
v" + (3 — v)v' = 0,
в которое не входит аргумент и. Согласно п. II объявляем и — новым
аргументом, a v' = z(y) — новой искомой функцией. Так как v" —
z  z', то в переменных v.z получаем уравнение
z • z' + (3 — v)z = 0.
Из заданных начальных условий для у(х), используя замену пере-
менных, нетрудно найти, что z(6) =0 —начальное условие для z(x).
При таком начальном условии решение уравнения для z(v) прини-
мает вид z — jt)2 — 3d. Из уравнения v' = z = |г>2 — Зг> находим
| = 1 + Се3и. Заданные начальные условия дают г>(0) = 6. Для та-
кого начального условия С — 0 и, значит, v = 6. Тогда из замены
переменных получаем решение исходной задачи Коши у = 6х2. А
В этом параграфе были приведены основные методы решения уравне-
ний второго порядка общего вида. Аналогичные методы решения имеют
место и для уравнений общего вида, порядок которых выше второго.
Методы понижения порядка и интегрирование в квадратурах уравнения
(1) получают полное объяснение с точки зрения теории групп. Более
подробно об этом можно прочитать, например, в [18] и [34].
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка
51
Упражнения к главе 1
1.	Найти дифференциальное уравнение у' — f(,x,y), которое описывает
семейство окружностей с центром на прямой у = х, проходящих через
точку (1,0).
2.	Уравнение у' = fix,у) называется квазиоднородным, если при всех до-
пустимых значениях параметра t и некоторых а / 0, /3/0 /(t?,ty) =
^_“/(®,3/). Показать, что заменой у — z x» квазиоднородное уравне-
ние приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3.	Пусть функции а(т), Ь(х) непрерывны при х > 0 и lim а(х) =
X—>00
lim 6(ж) = 1. Найти lim у(х) для тех решений уравнения
X—>00	X—>00
у' = а(х)у + Ь(х),
для которых он существует и конечен.
4.	Пусть в уравнении ху' +ау = /(ж), где х > 0, a — const > 0, /(т) — не-
прерывная функция, lim f(x) — Ь. Показать, что только одно решение
уравнения остается ограниченным при х —ь 0, и найти предел этого
решения при х —* 0.
5.	Показать, что уравнение Бернулли можно решить либо с помощью за-
мены вида у(х) = и{х) • v(t), либо, как и линейное уравнение, методом
вариации постоянных.
6.	Показать, что если семейство Ф(х,у,с) =0 интегральных кривых урав-
нения F(xty, у') = 0 имеет огибающую, то она определяет особое ре-
шение этого уравнения (см. § 6 гл. 4).
7.	Сформулировать задачу Коши для уравнения (1) из § 4 при п > 2.
.-   Глава 2 =================^
Линейные дифференциальные
уравнения порядка п
с постоянными коэффициентами
В этой главе все функции, которые будут встречаться, могут принимать
как действительные, так и комплексные значения. Рассматриваемые в
главе 2 линейные уравнения важны, прежде всего, потому, что они часто
встречаются в различных вопросах физики и техники. Кроме того, это
единственный большой класс уравнений высшего порядка, интегрируемых
в квадратурах.
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий
метод решения линейных уравнений
с постоянными коэффициентами
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные предложения,
которые будут использоваться на протяжении всей главы.
Обозначим через С(/?|) множество всех комплекснозначных функций,
заданных и непрерывных на всей числовой оси /?*, а через С*(Л£),
к е N,— множество всех функций, к раз непрерывно дифференцируемых
иа всей оси
Говорят, что задан оператор дифференцирования D, действующий из
С1 (7?|) в C(-Rs), если каждой функции у(х) € С1 (/?).) оператор D ставит
в соответствие функцию у'(х) 6 С(/?^) по формуле Dy(x) = у'(х:).
Аналогично, к-я степень оператора дифференцирования Dk, к € N,
является оператором, действующим из множества	во множество
С(Д*) по формуле Dky(x) = у^(х').
Наконец, дифференциальным многочленом степени п € N (или мно-
гочленом степени п от оператора дифференцирования D) L(D) = Dn +
cqZX1-1 +    + an-iD + an, где aj,... ,an — заданные числа (действитель-
ные или комплексные), называют оператор, действующий из множества
C^R].) во множество C(R^) по формуле L(D)y{x) = у^ + а\у^п~^ +
•   + апу.
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения
53
Лемма 1. Дифференциальный многочлен степени п является линейным
оператором, т. е. для любых функций yi(x),y2(x) G С"(/?4) и любых чисел
ci, С2 выполнено равенство
ЦП) [С1»1 (х) + с2у2(х)] = ciL(D)yi(x) + с2ЦП)у2(х).
О Требуемое утверждение получается из определения дифференциально-
го многочлена и свойства линейности для производных. Действительно,
L(L>)(cij/i + С2У2) - (С1У1 + с2у2){п} + «1 (сц/1 + с2у2)(п-1) + • • • +
+ ап(с}У1 + с2у2) = Ci(yJn) + ац//1-1* + • • • +
+ anPi) + с2(у2П} + ai3/2n-1) + '' ’ + о»У2) =
= С1ЦП)У1 + с2ЦР)у2.	•
Для дифференциальных многочленов вводятся операции сложения и
умножения. Пусть, кроме многочлена ЦП) степени п задан еще много-
член степени тп
М(П) = Пт +	+    + Ьт^П + bm,
где bi,... ,bm— заданные числа, m € N. Тогда суммой называют диффе-
ренциальный многочлен, действующий па любую функцию у(х) € С? (Д’)
(считаем, для определенности, что п > т) по формуле
(L(D) + М(П)]у(х) = ЦП)у(х) + М(П)у(х).
В этом случае ЦП) + M(D) —многочлен степени п.
Произведением называют дифференциальный многочлен степени п-т,
который на каждую функцию у(х) €С"’т(/?*) действует по формуле
[1(D) • М(П)] у{х) = ЦП)  [М{П)у(х)].
Можно доказать, что введенные операции сложения и умножения для
дифференциальных многочленов обладают в точности теми же свойства-
ми, что и операции сложения и умножения для обычных многочленов.
Речь идет о свойствах коммутативности, ассоциативности и дистрибутив-
ности для этих операций. Отсюда, в частности, следует, что дифферен-
циальные многочлены можно разлагать на множители.
Заметим, что для любого комплексного числа А
L(P)(eAl) = ЦХ)  еАх,
где L(X) = An+aiAn-14---1- ап — многочлен от комплексной переменной А.
Многочлен £(А) называется характеристическим многочленом (или сим-
волом) дифференциального многочлена ЦП). Если Ai,... ,АП —корни ха-
рактеристического многочлена (среди них возможны и кратные), то, как
известно,
L(A) = (A-A1)(A-A2)...(A-A„).
54
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Согласно определению, можно записать
£(Р) = (D - Al)(1? - А2)	- Ап).
Приведем еще один вспомогательный результат.
Лемма 2. Если А — комплексное число, то для любой у(х) €	спра-
ведлива так называемая формула сдвига
L(D) [eAl  y(z)] = еХх  L(D + А)у(т).
О При любом к € N по формуле Лейбница получаем
к
Dk[eXx • у] = (е^ • у)№ = £ C3k{eXx)^ • у^ =
7=0
k
= еХх • 52 c£X’Dk~'y = eXx(D + А)*у.
7=0
В силу этого,
L(D) [eAly] = eXx(D + Х)пу + aieXx(D + А)"-1у + •  • + а^у =
= eXxL(D + А)у.	•
Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение порядка п
с постоянными коэффициентами
у(п)(т) + aiy(n-1)(x) + • • • + an-iy'(x) + апу(х) - f(x),	(1)
где ai,... ,ап — заданные комплексные числа, а /(т)—заданная функция
из С(Я^). С помощью дифференциального многочлена степени п
L(D) = Dn + aiDn 1 + •  • + an_\D + o^,.
это уравнение кратко записывается так:
ЩУ)у(х) = /(х).
Под решением этого уравнения понимается комплекснозначная функция
у{х) € С(Я1), удовлетворяющая уравнению (1) на всей оси R*.
Метод разложения многочлена L(D) на множители является общим
методом решения уравнения (1) и задачи Коши для него.
Если Aj,... ,АП —корни (среди них могут быть кратные) характери-
стического многочлена L(X), то
Я(А) = (А-А1)(А-А2)...(А-Ал).
Тогда
L(D) = (D- X^D - А2)... (D - А„).
и, значит, уравнение (1) записывается в виде
(D - XT)(D - А2)... (Р - Ап)у = /(т).
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения
55
Если положить
M(D) = (D - А2)... (D - Ап)
и обозначить M(D)y(x) = z(x), то уравнение (1) эквивалентно системе
((D — X\)z = f{x),
]M(D)y = z.	(>
Уравнение {D — Aj)z = f(x) представляет собой линейное уравнение
первого порядка z' — Aiz = /(х) с комплексными А и f(x). Его решение
находится с помощью следующей леммы.
Лемма 3. Все решения уравнения z' — Xz = f(x), где X — комплексное число
и f(x) — заданная комплекснозначная функция из C(R}.), задаются форму-
лой
(X	\
С +f e-^-f{QdA,	(3)
XQ	/
где С — произвольная комплексная постоянная.
О Ищем решение уравнения в виде z(x) = с(х)еХх. После подстановки
z(x) в уравнение и упрощений получаем
с'(х) = е"^  f(x).
Отсюда
X
с(х) = С + I
za
что и дает формулу (3).	•
В силу леммы 3
z{x) = ех'х | f е-А1< • /(<)# + С ) .
V /
При известной z(x) второе уравнение (2) представляет уже собой ли-
нейное уравнение порядка (n— 1) с постоянными коэффициентами. Опять
разлагаем M(D) на множители и сводим решение M(D)y = z к реше-
нию линейного уравнения порядка (п— 2) и т.д. Ясно, что после п таких
шагов придем к решению уравнения (1) в квадратурах.
Рассмотрим теперь для уравнения (1) начальные условия
у(хо)=уо, У(х0) =?/i,... ,у(п-1)(х0) =уп-ъ	(4)
где Хо, уо,У1,	~ заданные числа.
Покажем, что решение задачи Коши (1), (4) всегда существует и
единственно на всей оси R^..
56
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Действительно, в силу (2) приходим к задаче Коши:
(D - Xi)z = f(x),
z(x0) = [M(D)y(x)]x=X0 = z0.
Из формулы (3) следует, что решение этой задачи Коши имеет вид
(X
е~Хх°  zq +
Хо
Зная z(x) и разлагая M(D) на множители, сведем решение задачи Коши
для M(D')y = z(x) к решению некоторой вспомогательной задачи Коши
и т. д. После ti таких шагов придем к решению задачи Коши вида
(D - Х)у = д(х), у(хо)=уа,
где д(х) — заданная непрерывная функция на R\. Это решение с помо-
щью (3) находится единственным образом. Оно и будет единственным
решением задачи Коши (1), (4).
Пример. Решить уравнение у" — Зу1 + 2у — е4х.
Д С помощью дифференциального многочлена уравнение запишется
в виде
(D2 - 3D + 2)у = е4х.
Характеристический многочлен £(Х) = А2— ЗА+2 имеет корни Aj = 1,
Аг = 2. В силу этого, исходное уравнение записывается в виде
(D-l)(D-2)y = e4x.
Положим (D — 2)у = z(z). Тогда уравнение эквивалентно системе
(D - l)z = с41,
(£> - 2)у - z.
Первое уравнение z' — z = е4х решаем с помощью леммы 3. Из (3)
получаем, что
z(z) = ех (с + |е3*
\
Задача сводится к решению уравнения
у'-2у = ех (с+^е3х
Решение находится из формулы (3), если в ней заменить z на у, А у
на Аг и f(x) на e^C+je31). Окончательно получаем тогда, что
у(х) = СХех + С2е2х + ^е4х,
О
где С\, С*2 ~ произвольные постоянные.	А
§ 2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 57
§ 2.	Линейные однородные уравнения порядка п
с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
У(п)(х) +	+ •   + an_iy'(x) + апу(х) = 0,	(1)
где х ё Rx и ai,... ,ап — заданные действительные или комплексные чи-
сла, называют линейным однородным дифференциальным уравнением по-
рядка п с постоянными коэффициентами. Числа di,... , называют ко-
эффициентами уравнения (1).
С помощью дифференциального многочлена
= Dn + a,\Dn 1 +    + an_\D + an
уравнение (1) коротко записывается в виде
L(D)y(x) = 0.	(2)
1.	Общее решение
Утверждение следующей леммы обычно называют принципом суперпози-
ции для уравнения (1).
Лемма 1. Если yi(x'), У2(х) — какие-либо решения уравнения (1) u С\, Ci —
произвольные комплексные числа, то функция у = Ciyi(x) + С2Уг(х) также
является решением уравнения (1).
О Воспользуемся формой (2) записи уравнения (1). В силу линейности
многочлена L(D) (см. лемму 1 § 1) имеем
L(D)y — L(D)(Ciyi -I- С2У2) = CiL{D)yi + C2L(D)y2 = О,
так как L(D)yi = L(D)y2 = 0 по условию леммы.	•
В дальнейшем нам понадобится один вспомогательный результат о
функциях вида
<р(х) = Pi(x)eXiX + -- + Pm(x)ex-x,	(3)
где А1,..., Хт ~ попарно различные комплексные числа, а Р\(х),...,
Рт(х) — многочлены с комплексными коэффициентами.
Лемма 2. Если в (3) <р(х) — 0 для всех х € R^, то все коэффициенты во
всех многочленах Pi(x),... ,Рт(х) суть нули.
О Применим индукцию по т. При т = 1 утверждение леммы 2 оче-
видно. Пусть утверждение леммы 2 справедливо, если в формуле (3)
заменить т на (т — 1). При т > 1 рассмотрим функцию
ф(х) = e~Al1  <р(х) = Р^х) + £PJbCc)e(A*“A,)l = 0.
k=2
58	Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Продифференцируем ф^х) (N+1) раз, где N — степень многочлена Pi (ж).
В силу того, что P^N+X\x) = 0, получим
^[р4(«)еЛ->Ч-]'"+1,=0
fc=2 L
ИЛИ
^2<Э*(я)е(Л‘-Л1)а: = 0,
к=2
где Qt(г) — многочлены той же степени, что и Р*(т), так как Afc —А]
при всех к = 2, т. Из предположения индукции Qfe(x) = 0, Vfc = 2,т.
Следовательно, РЦа:) =0, Vfc = 2, т. Тогда и Pi(s) = 0. Это значит, что
все коэффициенты многочленов Pi(x),... , Рт(х) в (3) нулевые. •
Рассмотрим характеристический многочлен
.L(A) = A" + ajAn 1 + •   + ап.
Уравнение ЦХ) = 0 называется характеристическим уравнением для (1).
Напомним, что число Ао называется корнем кратности к(к С N, 1 <
к < п) уравнения L(Aj = 0, если
L(A) = (A-Ao)*-L!(A),
где Li (А) —многочлен степени (п-к) и 1ц (Ао) 0. Из формулы Тейлора
для £(А) при А — Ао сразу следует, что Ао — корень кратности к для
L(A) = 0 тогда и только тогда, когда
£(А0) = Г(Ао) = ... = Lfc-l(Ao) = 0, £W(AO) / 0.
Лемма 3. Если Ао — корень кратности k характеристического уравнения
L(A) = 0, то каждая из функций
еХах, хеХаХ,... , х*-1еЛо1
является решением уравнения (1).
О а) Ао = 0. Тогда L(X) = А*(АП_* + aiA"_fc_1 +--Ь On-fc), где Оп-к / 0,
и, следовательно,
L(D) = Dn+ aiDn~x + • •  + an_kDk.
Нетрудно проверить, что функции 1, х,... , ж*-1 являются решениями
L(D)y = 0.
6) Ао / 0. Сделаем замену у = еЛох • z. По формуле сдвига (см. лемму
2, §1)
L(D)y = eXoXL(D + A0)z = 0.
Характеристический многочлен L(X + Ао) имеет корень А = 0 кратности
к. В силу п. а) уравнение L(D + Aq)z = 0 имеет решения	,х*"1.
Из замены получаем утверждение леммы.	*
§ 2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 59
Лемма 3 описывает те функции, которые могут быть решениями урав-
нения (1). Следующая теорема является центральной в этом параграфе.
Она дает формулу всех комплекснозначных решений линейного однород-
ного уравнения (1).
Теорема. Пусть характеристическое уравнение L(A) = 0 имеет корни
Aj,... ,Лт (т G N, 1 < т < п) соответственно кратности ki,... ,km
(ki +	+ km = n). Тогда:
а)	любая функция вида
у(х) = Pi(x)ex,x +    + Рт(х)еХтХ,	(4)
где Pj(x) = Cq + С^х +    + C,..^xk’~l — многочлен степени (kj — 1), ко-
эффициентами которого служат произвольные комплексные постоянные
с?...cl j, является решением уравнения (1);
б)	если у(х) — какое-либо решение уравнения (1), то найдется единствен-
ный набор коэффициентов многочленов Pi(x),... ,Рт(х), при котором это
решение у(х) задается формулой (4).
О П. а) теоремы немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпо-
зиции для уравнения (1) (см. лемму 1).
П. б) докажем методом математической индукции по п. Пусть у(х) —
какое-либо решение (1). При п — 1 уравнение (1) имеет вид y' + aiy = 0
и по лемме 3 § 1 все его решения имеют вид у — Ce~aix. Ясно, что
при некотором единственном значении С эта формула содержит и наше
решение. Пусть теперь п > 1 и пусть всякое решение у{х) линейного
однородного уравнения порядка (п — 1) с постоянными коэффициентами
единственным образом записывается в форме (4) с заменой п на (n —1).
В силу условий теоремы
ДА) = (А - Aj )*' (А - А2)*2... (А - Am)fcn"
Значит,
L(D) = {D- Ai)*‘ (D - A2)*2... (P - Am)*-
Введем дифференциальный многочлен степени (n — 1)
M(D) =
где при fci — 1 первый сомножитель отсутствует. Тогда L(D) =
AJ. Положим (D — Xt)y = z. В таком случае уравнение (2) эквивалентно
системе
((D-Xi}y = z,
]M(D)z = 0.	1 1
Каждое решение второго уравнения системы (5) в силу предположения
индукции имеет вид
z(x) = Qi(x)^xx -I- Q2(a;)eA2X + • • • + Qm(x)eXmX, 1 < m < n,
60
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
где Qi(x) — многочлен степени (fcj — 2) в случае k-L > 1 и Qi(x) 0 в
случае fcj = 1, a Qj(x) — многочлены степени (kj — 1) при всех j = 2,т.
По лемме 3 § 1 решение первого уравнения системы (5) имеет вид
s = e«-(c + /e-^W*).	И
где С — комплексная постоянная.
Учитывая, что при целом I > 0 первообразная
( Ar j	I (box‘ Н--Н bi)eXx, ЛИО, Ъо £ О,
z‘eAXdr - 4 1+>	,	.
Ц+Г-	Л = 0>
и что Xj - Л) И 0, Vj — 2,тп, из вида z{x) находим, что
Р1(т) + Р2(*)е(Л2-Л1)х + • • • + Pm(x)e<A'""A'>, fci > 1,
Р2(®)е^Аг-А1^ + - •  + Рт(х)е^Хт~х,^х,	ki = 1.
Подставляя это выражение в (б), получаем, что рассматриваемое реше-
ние у(х) уравнения (1) имеет вид (4).
Рассуждением от противного установим единственность записи (4) для
каждого решения уравнения (1). Если существует решение у(х) уравне-
ния (1), для которого
т	т
у(х) = £Рк(х)ех*х = £ Рк(х)еХкХ,
Л=1	* = 1
то отсюда
т
£ [Р*(х) - А(*)] eXiX = 0.
fc=i
Из леммы 2 тогда получаем, что Рк(х) = Рк(х}, У к — 1,тп.	*
е А1Гг(х)с!т =
Замечания. 1) Поскольку к\ +   • + кщ = п, то формула (4) содержит
п произвольных постоянных.
2) Если все корни Aj,... ,ЛП уравнения L(A) = 0 попарно различны,
то формула решений (1) особенно простая:
у(х) =	+ •   + СпеХпХ.
3) Рассмотрим систему п функций tp\{x),... ,<рп(х), записанную в ви-
де следующей таблицы
gA, х	gAjx	g А^, х
теА11, хеХ2Х, ..., хеХтХ,
§2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 61
Теорема утверждает, что каждое решение у(х) уравнения (1) вы-
ражается единственным образом как некоторая линейная комбинация
¥?1(х),... ,4>п(х):
у(х) = Oispi(x) + •• • + Сп<рп(х).
Нетрудно теперь видеть, что множество всех решений линейного одно-
родного уравнения (1) образует линейное комплексное п-мерное вектор-
ное пространство, а функции <р\(х),... ,<рп{х) образуют базис этого про-
странства.
Исходя из всего сказанного, естественно дать следующее определение.
Определение. Функция вида (4) называется общим решением линейно-
го однородного уравнения (1).
Общее решение (1) обладает следующими свойствами:
а)	при каждом наборе постоянных функция (4) является решением
уравнения (1),
б)	каждое решение уравнения (1) единственным образом представимо
функцией вида (4).
Решить уравнение (1) означает найти его общее решение.
На практике процесс нахождения общего решения сводится к нахо-
ждению корней характеристического уравнения L(A) = 0 и использова-
нию формулы (4).
Пример 1. Решить уравнения
а)	у" - 4 г/ + 3j/ = О,
б)	у" + 2j/ + у = О,
в)	у" + ш^у = 0, ш > 0.
Д В случае а) характеристическое уравнение А2 — 4А + 3 = 0 имеет
корни Ai = 1, Аг = 3. Тогда по формуле (4)
у(х) = Схех + С2е3х,
где С\ и С2 — произвольные комплексные постоянные, является об-
щим решением.
В случае б) характеристическое уравнение А2 + 2А + 1 =0 имеет
двукратный корень А = — 1. Тогда по формуле (4)
у(т) = (Ci + С2х)е~х.
является общим решением.
Наконец, в случае в) характеристическое уравнение А2 + ы1 = 0
имеет чисто мнимые корни Ai = Х2 — —iw. Из (4) следует, что
у(х) = С, + С2е~шх,
где Oi и С2 — произвольные комплексные постоянные, является об-
щим решением.	А
62
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
2. Выделение действительных решений
Если все коэффициенты уравнения (1) действительны, то решить уравне-
ние (1) означает найти все его действительные решения. В этом случае
общее решение (4), как показывает п. в) примера 1, может давать ком-
плексные решения, если даже ограничиться действительными значения-
ми постоянных. Это происходит за счет комплексных корней уравнения
£(А) = 0. Поэтому возникает вопрос о получении из формулы (4) общего
действительного решения (1). Для выяснения этого вопроса понадобятся
некоторые леммы.
Лемма 4. Пусть все коэффициенты в (1) действительны. Тогда если
Ао = о- + гр — комплексный корень кратности к характеристического урав-
нения L(A) = 0, то и комплексно сопряженное число Хо = а — i/З также
корень ЦХ) = 0 одинаковой с Ао кратности к.
О В силу того, что £(Ао) = 0, то
Ь(Ао) = Ад + aiA0 +  • • + <2n — L(Aq) = 0 = 0.
Аналогично доказывается, что
L'(Ao) = • • • =//*-1)(Ао) = 0,	L^(Ao)/O.	•
Лемма 5. Пусть все коэффициенты в (1) действительны. Тогда у(х) —
u(x)+iv(x) — комплекснозначное решение уравнения (1) только тогда, когда
и(х) = Rey(x), v(x) — 1ту(х) — решения (1).
О Утверждение леммы следует из равенства
L(D)y = L(D)(u + iv) = L(D)u + iL{D)v.	9
Теперь можно получить правило выделения общего действительного
решения уравнения (1) с действительными коэффициентами.
Если А = а+гР — комплексный корень кратности к уравнения L(A) = О,
то в силу леммы 4 А = а — ip тоже корень кратности к для L(A) = 0.
Поэтому наряду с решениями уравнения (1) вида урх) — х1еХх в формуле
(4) содержатся и решения у((а:) = х1ех,х, VZ = 0,к — 1. По формуле Эйлера
урх) = х‘еах cospx + гх1еах sin/?x = u;(x) + ivi(x), I = 0, к - 1.
По лемме 4 функции ирх), щ(а:), VZ = O,fc —1, являются решениями (1),
причем
=	I = 5^T.
2	2t
Перейдем от базиса решений (7) уравнения (1) к новому базису, за-
менив каждую комплексно сопряженную пару решений yt(x), у^х) на
действительную пару решений ui(x), vi(x), VI = 0, fc-1. Получим ба-
зис из действительных решений. Взяв в (формуле (4) все постоянные
§2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 63
С\,...,Сп действительными и заменив в ней комплекснозначный базис
(7) на базис из действительных решений, в результате из (4) получим
общее действительное решение (1).
Пример 2. Найти все действительные решения уравнения
у" + ш2у = 0, ш > 0.
Д В примере 1 было найдено общее комплексное решение заданного
уравнения
у = Схе~™ + С2еш1.
По формуле Эйлера
с*"1 = cos wx + i sin и>х.
Следовательно,
у = Ci cos шх + С2 sinwrr,
где Ci, С2 — произвольные действительные числа, является общим
действительным решением уравнения. Формулу всех ненулевых ре-
шений можно записать и по-иному, если ввести параметры А > 0 и
<р по формулам
А =	+ С%, sin <р =	cos<p =
Тогда формула решений примет вид
у = A cos (шт + <р).	А
3. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые
заменой переменных к линейным однородным
уравнениям с постоянными коэффициентами
Ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения второго по-
рядка вида
у"+р(т)у' + д(з:)р = 0,	(8)
где р(т) и q<x) — заданные непрерывные функции на некотором проме-
жутке X оси /4 •
Если возможно приведение уравнения (8) к линейному однородному
уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены аргумента
t — <р(т), то необходимо
t = С j y/q(x)dx,
где С = const и знак интеграла означает фиксированную первообраз-
ную. Действительно, считая <р(т) дважды непрерывно дифференциру-
емой и / 0 на промежутке X, находим, что у' —	• >р'(х),
64 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
у" = ^<р'2(х) +	• ^'(х). Подстановка у',у" в уравнение (8) дает урав-
нение
<?У	у>"(х) + р(я:)у,(д) . dy	д(х)	=
dt2	<pr2(x) dt	ip'2(x)
В силу того, что коэффициенты в этом уравнении должны быть
постоянными, то необходимо C2q(x) = у/2(ж). Отсюда t = q>(x) =
С / y/q(x}dx. Можно получить и достаточные условия приведения урав-
нения (8) с помощью замены аргумента к уравнению с постоянными ко-
эффициентами. Мы этого делать не станем, а перейдем к примерам.
Уравнение второго порядка вида
i2y" + а\ху' + й2У = 0, х > 0,
где fli и йг - заданные числа, называется уравнением Эйлера. Нетрудно
проверить, что с помощью замены t = In х уравнение Эйлера приводится
к уравнению
§ + («.-1)| + ед = о.
С помощью подстановки t — In х к уравнению с постоянными коэффици-
ентами приводится и уравнение Эйлера порядка п
xni/,e> + a]Xn-1y(n_1\a:) -I-1- an-ixy'(x) + а^у = 0, х > 0.
Замечание. Другой способ решения уравнения Эйлера состоит в том,
что его решение ищут в виде у = х*. После подстановки хх в уравнение
Эйлера получается характеристическое уравнение степени п
л —1
fljfc А( А — 1)...(А — 7l-h/c + l)+<Xn=0>	<2-0 = 1.
Для каждого его корня Aq кратности г строим решения х^0,
хх° lux,... , rcA° (In х)г—1, а общее решение уравнения Эйлера получается
в виде линейной комбинации всех таких решений с произвольными ко-
эффициентами.
Уравнение
(1 — х2)у" — ху1 + п2г/ — 0,
где |т| < 1, а п — действительный параметр, называется уравнением Че-
бышева. С помощью замены х — cos t оно сводится к уравнению
+ п2у = 0.
Отсюда следует, что все решения уравнения Чебышева можно записать
в форме
у(х) — А соз(п • arccos х + у>),
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
65
где А и — произвольные постоянные. При п — целом Тп(т) =
cos(n arccos х) — многочлен степени п, называемый многочленом Чебы-
шева.
Уравнение (8) можно иногда привести к уравнению с постоянными
коэффициентами и с помощью замены неизвестной функции. Так, на-
пример, уравнение Бесселя
х2у" + ху' + (х2 — у = 0, х > О,
при помощи замены у — приводится к уравнению z" + z — 0. Следо-
вательно, все решения уравнения Бесселя записываются в виде
А  , х
У = —?= зш(я: + ip),
у/Х
где А и 99 — произвольные постоянные.
Уравнение (8) можно также пытаться привести к уравнению с посто-
янными коэффициентами с помощью одновременной замены и аргумента,
и неизвестной функции.
Преобразуем, например, уравнение Стокса
У" = 7----------М2’ х € (а,Ь)’
(я — а)2(х — by
с помощью замены переменных = е‘,	— it, и = u(t). Последова-
тельно находим, что
а+ be*
(а — b)u , dy dx
V ~ 1 + е< ’ У ~ dt ’ ~dt
(1 + e-t)(l + е*)2
е(
= и — и'(1 + е *),
После подстановки выражений для х,у,у" в уравнение Стокса получаем
уравнение с постоянными коэффициентами
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка
п с постоянными коэффициентами
Эти уравнения имеют вид
уМ(х) + ait/(n-1)(a:) + •  • + Опу^х) = f(x),	(1)
где ai,... ,Оп —заданные комплексные или действительные числа, а пра-
вая часть f(x) уравнения (1)—заданная непрерывная функция на неко-
тором промежутке X оси Я*.
3 2769
66
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное однородное уравнение
z^n\x) + aiz(n~^(x) + •  • + anz(x) = 0.	(2)
Прежде всего покажем, что если известно какое-либо решение уо(х) ли-
нейного неоднородного уравнения (1), то замена у(х) = z(x) + уо(х) при-
водит уравнение (1) к линейному однородному уравнению (2). Действи-
тельно, воспользовавшись представлением левой части (1) через диффе-
ренциальный многочлен
L(D) = Dn + aiDn~l +  + ап,	(3)
получаем, что
L(D)y = L(D)(z + уо) = L(D)z + L(D)y0 = L(D)z + f(x) = f(x).
Отсюда следует L(D)z = 0, т. e. z(x) — решение (2).
Это простое замечание позволяет написать формулу всех решений ли-
нейного неоднородного уравнения (1), если найти каким-то образом его
решение уо(х), так как (формула общего решения (2) была уже получе-
на в §2. Именно, если z\(x),... ,Zn(x) —базис решений (2), то формула
у = Cizi(x) + ••• + Cnzn(x) + уоС®) дает все решения (1). Ее называют
формулой общего решения (1).
Следующее утверждение носит название принципа суперпозиции для
линейного неоднородного уравнения (1).
Лемма. Пусть f(x) — f\(x) + /2(2:) w пусть yi(x) — какое-либо решение
уравнения (1) при f(x) = fi(x) и У2(х) — какое-либо решение уравнения (1)
при f(x) = fi(x).
Тогда у(х) = yi(x) + у2(х) является решением уравнения (1).
О Имеем
L(D)y = L(D)(V1 + у2) = L(D)yi + L(D)y2 = Д(т) + f2{x) = f(x).	•
Определение. Квазимногочленом называется функция f(x) = е^ Рт(х)у
где д —заданное комплексное число, Рта(т)—заданный многочлен степе-
ни т с комплексными коэффициентами.
Из предыдущего параграфа следует, что всякое решение линейного
однородного уравнения с постоянными коэффициентами представляет со-
бой конечную сумму квазимногочленов.
Покажем, в каком виде нужно искать частное решение линейного не-
однородного уравнения с постоянными коэффициентами (1) с квазимно-
гочленом в правой части. Найдя это частное решение и базис простран-
ства решений (2), немедленно получаем общее решение (1).
Рассмотрим уравнение
L[DYAx) = e»x-Pm(x),	(4)
где д —заданное комплексное число, а Рт (ж) — заданный многочлен сте-
пени т.
§3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
67
Определение. Если число ц является корнем характеристического
уравнения
L(A) = Ап + щА"-1 +  • - + ап = О,
то говорят, что в уравнении (4) имеет место резонансный случай. Если
же р не является корнем £(А) = 0, то говорят, что в уравнении (4)
имеет место нерезонансный случай.
Теорема. Для уравнения (4) существует и единственно решение вида
у{х) = хк  Qm(x)e>‘x,
где Qm(x) — многочлен одинаковой с Рт(х) степени т, а число к равно крат-
ности корня р характеристического уравнения L(A) = 0 в резонансном слу-
чае и к = 0 в нерезонансном случае.
О Если р 0, то заменой у = е^  z в уравнении (3) всегда можно
избавиться от е^ в правой части. В самом деле, используя формулу
сдвига, после замены имеем, что
L{D}y - L(D)(e*“2) =	+ p}z = e**  Pm(x).
Отсюда L(D + p)z = Pm(z)-
Таким образом, доказательство теоремы осталось провести для урав-
нения вида
L(D)y = Prn(x).	(5)
а)	Нерезонансный случай: L(0) ф 0. Пусть
Рт(х} =Рохт +pix’n-1 + • -• + рга,
Qm(x) = qoxm +	+ • • • + qm.
Подставляя Pm(a:), Qm(x) в (5) и приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях х, получаем линейную алгебраическую систему урав-
нений для определения неизвестных коэффициентов qo,qi,... ,qm:
an<?o = Ро,
°n9i + <*п-1 • nigo — Р1>
+ • • • — рт.
Матрица этой линейной системы треугольная с числами ап = L(0)	0 по
диагонали, поэтому все коэффициенты <?т(т) определяются однозначно.
б)	Резонансный случай:
L(A) = Хк (хп~к + ajA” к 1 + • • • + On-k^ , 1 < к < п, On-k И 0, к £п.
Следовательно,
г(г>\ -	+ а1&п~1 + ' ’• + an-kDk, к<п,
( ) \Dn,	к — п.
68
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
В случае k < п замена Dky — z в уравнении (4) приводит к уравнению
L^D)z = {Dn~k + • • • + an_fc)z = Рт(х).
Поскольку Li (0) = On-fc / 0, то для этого уравнения имеет место нерезо-
нансный случай. Следовательно, существует единственное решение этого
уравнения z = Rm(x), где Rm (ж) — некоторый многочлен степени т.
Рассмотрим уравнение
Dk = /ЯтС*)' fc<n>
[Pm(x), к = п.
Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения
у(0) = i/(0) = • • • =	= 0,
получаем единственное решение вида
3/(а?) = хк • Qm(x).	•
Замечания. 1) Практически указанное в теореме решение всегда ищут
методом неопределенных коэффициентов, т. е. полагают
у(х) = хк(дохт + + цт}ецх
и неизвестные коэффициенты <7o,.-.,<frn находят подстановкой у(х) в
уравнение (4). В силу доказанной теоремы получающаяся линейная си-
стема для 9о,  •  , Чт однозначно разрешима.
2)	Предположим, что все коэффициенты ,ап в уравнении (1)
действительны и
f(x) — еах {A(x)cos[3x + В{х) sin/Зт],
где Л(ж) и В(х) —многочлены с действительными коэффициентами и сте-
пень одного из них т, а другого не больше т, а и (3 — действительные
числа. Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения (1) в этом
случае нужно искать в виде
у(х) — хкеах [С'(т) cosftx + D(x) sin /Зх],
где С{х) и D{x) — многочлены степени т с неопределенными коэффи-
циентами, а к равно кратности корня а + ifl уравнения L(X) — 0, если
число a + i/3 — корень L(A) =0, и к — 0, если число а + г/3 не является
корнем L(A) = 0.
Это правило получается в силу того, что по формулам Эйлера f(x)
можно представить в виде
f(x) = e<-a+il3)xE(x) + e^-W'Fix),
где Е(х) и F(x) — многочлены. Из принципа суперпозиции и доказан-
ной теоремы следует, что решение (1) можно искать в таком виде, если
а ±1/3 —не корни £(А) =0. Если же а±г/3—корни L(A) =0 кратности
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
69
к, то решение приобретает еще множитель xk. Далее остается вернуться
к тригонометрическим функциям.
3)	Термин «резонанс» возник в теории колебаний. Например, при из-
учении вынужденных колебаний гармонического осциллятора без учета
силы сопротивления среды под действием внешней гармонической силы
приходят к необходимости решать уравнение
x(t) + u>2x(t') = Fcosvt.
В этом уравнении x(t) — неизвестная функция, х = и > 0, и > О,
F / 0, t —время.
Соответствующее линейное однородное уравнение
х + и>2х — О,
как известно (см. пример 2 § 2), имеет общее решение
x(t) — Acos(u>t + у>),
где А и <р — произвольные постоянные. Если найти какое-либо решение
xo(t) исходного уравнения, то его общее решение имеет вид
x(t) — .Acos(cjt + tp) + xq(1}.
Для нахождения а:о(^) удобно сначала найти частное решение yo(t) урав-
нения
у + и2 у = Feivt.
Тогда, очевидно, Xo(t) = Reyo(t). Если v / ш, то согласно доказанной
теореме уо(О = Ле’"4. Число А находится подстановкой yo(t) в уравнение:
Л- F
^2 —
Итак, при и / и yQ(t) = и, значит, x0(t) — £г^4- Если же
v = и, то согласно доказанной теореме уо(0 = Atetl/t, где подстановка
yo(t) в уравнение дает А = Отсюда находим, что в этом случае
x0(t) = Bsinwt
Из общего решения исходного уравнения теперь ясно, что в случае
v а> все решения ограничены, а в случае v — ш все решения неограни-
чены из-за вида то(О> т. е. вынужденные колебания гармонического ос-
циллятора становятся неограниченными. Когда собственная частота ко-
лебаний о> совпадает с частотой колебаний внешней силы и, то такое
явление в теории колебаний называют резонансом. Явление резонанса
широко используется в технике.
4)	Наконец, отметим, что в том случае, когда f(x) в уравнении (1)
представляет собой конечную сумму квазимногочленов, частное решение
(1) находят с помощью принципа суперпозиции и доказанной теоремы.
При произвольной /(х) в уравнении (1) частное решение (1) находят,
70
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
как правило, методом вариации постоянных. При п = 1 этот метод был
изложен в главе I, а при п > 1 метод вариации постоянных будет из-
ложен в главе VI.
Пример 1. Решить уравнение
y(iV) _ 2У"' - Зу" = 8shx + Юхе1.
Д Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения
_ 2у"' _	= Q
Характеристическое уравнение А4 — 2А3 — ЗА2 = 0 имеет корни А[ =
Аэ =0, Аз = —1, А4 = 3. В силу этого общее решение линейного
однородного уравнения
у — С\ + Сгх + Сзв 1 + Qe31,
где Ci, С2, С3, С4 — произвольные постоянные.
Правую часть исходного уравнения можно преобразовать к виду
(10х + 4)ех — 4е~х. В силу доказанной в этом параграфе теоремы и
принципа суперпозиции для исходного уравнения существует един-
ственное решение уо(х) вида
Уо(®) = (до® + gi)ex + гхе~х.
Подставляя уо(х) в исходное уравнение и приравнивая коэффициен-
ты при одинаковых степенях х и одинаковых экспонентах, находим
коэффициенты qo, gi, г. В результате вычислений получаем до — — 1,
91 = -1, г = 1.
В итоге общее решение исходного уравнения задается формулой
у = Сг + Сгх + Сзв х + С4е3х —	ех + хе х.	ik
Пример 2. Решить уравнение
2/(/v) — 2у"' + 2у" = 10 cos2 х + 5(хех — 1).
Д Найдем общее решение линейного однородного уравнения
y(IV} — 2у"' + 2у" — 0.
Характеристическое уравнение А4 — 2А3 + 2А2 = 0 имеет корень А =
0 кратности два и корни А = 1 ± i. Тогда общее действительное
решение линейного однородного уравнения имеет вид
у = Ci + С2Х + Сзех cos х + С^ех sin х,
где Ci, С2, С3, С4 — произвольные (действительные) постоянные.
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 71
Правую часть исходного уравнения преобразуем к виду 5 cos 2ж +
5хех. В силу принципа суперпозиции и п. 2 замечаний после дока-
занной в этом параграфе теоремы частное решение уо(х) исходного
уравнения необходимо искать в виде
уо (х) — a cos 2т + 6 sin 2г + (d\x + d2)ex.
После подстановки уо(х) в исходное уравнение получаем, что а — |,
6 = 1, dj = 5, dz = —10. Следовательно, общее (действительное)
решение исходного уравнения задается формулой
у = Ci + Сгх + Сз«х cost + С^ех sinx + cos 2т + isin2x + (5т - 10)е1. А
В заключение отметим, что решение уравнения (1) при любом на-
чальном условии
у(х0)=у0, у'(х0) = yi,... ,у(п-1)(то) = Уп-1,	(6)
где то € X, a уо,уг, -- ,Уп-1 — произвольные числа, всегда существует и
единственно в том случае, когда все корни Aj,... , Ап характеристическо-
го уравнения L(X) = 0 попарно различны. Докажем это.
Из формулы (3) получаем, что общее решение уравнения (1) в рас-
сматриваемом случае имеет вид
у = Ciex,x +  + СпеХпХ + у(т),
где Ci,... ,Сп — произвольные постоянные, а у(х) — частное решение
уравнения (1). Подставив общее решение в начальные условия (6), нахо-
дим линейную алгебраическую систему для определения Ci,... ,Сп. Она
имеет вид:
C'ieA1I° + • • • + СпеХпХ° =у0~ у(х0),
CiXieX1X0 + • • • + СпХпеХпХа = yL- у'(хо),
С1А?-1ел'г» + • - • +	= yn-i - у(п-1)(х0).
Определитель этой системы равен eOi+-+A")Io . 'И7(Д1,... , Ап), где
W(Ai,... ,АП)—определитель Вандермонда, который, как известно, все-
гда отличен от нуля при попарно различных Ai,... ,Хп. Следовательно,
линейная система допускает единственное решение для Ci,... ,Сп- Зна-
чит, при заданных условиях на корни L(A) = 0 задача Коши (1), (6)
всегда однозначно разрешима.
72
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Упражнения к главе 2
1.	Найти все действительные решения уравнения:
а)	у"1 + 2у" + 5у' = 2а; — 17 sin 2х,
б)	у"' — бу" + 10у' = 13 cos х + 10а:,
в)	yIV + у"' - 2у" = Зе* 4- 32е2*,
г)	yIV — Зу" - 4у = 24 cos 2а: + 20е2*,
д)	yIV + 2у" + у = 18 sin2 х + 3 sin 2х + х3.
2.	При каких действительных а все решения уравнения
у" + у = cos ао;
ограничены при х Е (—оо, +оо)?
3.	Найти единственное периодическое с периодом решение уравнения
у" + 2ау' + Ь2 у = cos их,
где > 0, 0 < 2а < Ь. При каком а амплитуда этого решения макси-
мальна?
..i; .Глава 3 .......-.
Методы решения систем линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
В этой главе будем считать, что все встречающиеся функции могут при-
нимать комплексные значения.
§ 1. Нормальные линейные системы
с постоянными коэффициентами.
Общие понятия и метод исключения
Нормальной линейной системой с постоянными коэффициентами порядка
п > 2 называют систему линейных дифференциальных уравнений вида
£<(*) = 52 аУа:>(<) + /»(*)’ i =	(!)
J=i
Здесь: t — аргумент; xi(t),... ,xn(t) — неизвестные функции; aij — задан-
ные комплексные или действительные числа, называемые коэффициен-
тами системы, i,j = l,n; /i(t),... ,/n(t)—заданные комплекснозначные
функции, называемые свободными членами системы; i,(t) = i = 1,п.
В дальнейшем всегда будем считать, что функции /i(i),... , fn(t) — заг
данные непрерывные функции на некотором промежутке Т числовой оси
й|. Заметим, что число уравнений системы (1) равно числу неизвестных
функций.
Запись нормальной линейной системы (1) становится значительно про-
ще, если воспользоваться матричными обозначениями. Пусть матрица
А=||а^||, М=17п,
z(t) =	•	, ±(t) = I :	, f(t) =	:
\xn(t)J	\xn(t)J
Тогда нормальная линейная система (1) записывается в виде одного
уравнения
x(t) = Ax(t) + /(t).
(2)
74 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Линейная система (2) называется линейной однородной системой, если
f(t) = 0 на промежутке Т. В противном случае система (2) называется
линейной неоднородной системой. Решением нормальной линейной систе-
мы (2) будем называть всякую вектор-функцию х = <д(<) с п комплекс-
нозначными непрерывно дифференцируемыми на промежутке Т компо-
нентами <Д1 (t),... если <p(t) = Aip(t) + f(t) на промежутке Т.
Для нормальной линейной системы (2) можно ставить задачу Коши,
т. е. задачу с начальным условием.
Пусть <о £ Т и пусть аго — некоторый комплексный n-мерный вектор.
Рассмотрим начальное условие
x{to) = яо-	(3)
Задача Коши для системы (2). Найти решение системы (2), удовле-
творяющее начальному условию (3).
В § 4 настоящей главы будет установлено, что задача Коши (2), (3)
всегда однозначно разрешима.
Пусть Е — единичная матрица порядка п. Введем в рассмотрение
(см. § 1 главы 2) оператор дифференцирования D, действующий из
множества СХ(Т) всех непрерывно дифференцируемых функций на Т
во множество С(Т) всех непрерывных функций на Т, и определитель
det(jEZ> — А) =	представляющий собой дифференциальный много-
член степени п.
Метод исключения для системы (2) основан на следующем утвержде-
нии.
Теорема. Пусть вектор-функция f(t) (п — 1) раз непрерывно дифферен-
цируема на промежутке Т и пусть х = <p(t) — решение системы (2) на
промежутке Т. Тогда необходимо каждая компонента </>*.(£), fc = 1,п, ре-
шения (1) удовлетворяет на Т линейному дифференциальному уравнению
порядка п с постоянными коэффициентами вида
L(D)<pk(t) - 9k(t), к = Т“п,	(4)
где каждая функция gk(t) представляет собой некоторую линейную комби-
нацию ... ,/„(*)»-•-
О Обозначим через LuJJD) алгебраическое дополнение элемента с номе-
ром г, к определителя L(D),i,k = 1,п. Алгебраические дополнения L>ik(D)
представляют собой дифференциальные многочлены порядка не более
чем (п — 1).
Так как х = <р(£) — решение (2), то на промежутке Т имеем п то-
ждеств:
п
i = Т~п,
§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами 75
где Sij — символ Кронекера. Дифференцируя эти тождества (п — 1) раз,
что возможно в силу условий на убеждаемся в том, что все
п раз непрерывно дифференцируемы. Как известно, правила умножения
дифференциальных многочленов такие же, как и правила умножения
обычных многочленов. Следовательно, можно умножить слева г-е тожде-
ство на Lik(D) и просуммировать по всем i = 1,п. Получаем
= '^Lik(D)fi(t).
t=ij=i	t=i
Воспользуемся тем свойством определителя, что сумма произведений
всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические до-
полнения соответственных элементов другого столбца либо равна самому
определителю в случае совпадения столбцов, либо равна нулю в случае
несовпадения столбцов. В результате находим, что
п
L(P)^(t) = £ Lik(D)fi(t), к = Т^.	•
1=1
Метод исключения для решения линейной системы (2) состоит в том,
что ищут сначала решения <р*(£) каждого из уравнений
п
L(D)Tfc(t) = ^L,Jfc(D)A(i), Л = Т777,	(5)
t=i
предполагая, что i — 1,п, имеют достаточное число производ-
ных. Пусть xk(t) = C'uV’iW + ••• + Cnk$n(t) + V>ofc(t)—решение (5),
где	. ,^п(0 —базис пространства решений линейного однородно-
го уравнения L(D)x(t) = 0, a V'ot(0— некоторое частное решение (5) при
к — 1,п. Поскольку компоненты xk(t) связаны системой (2), то посто-
янные не являются независимыми, т.е. набор найденных xi(t),... ,rr„(t)
еще не дает решения линейной системы (2). Для получения решения (2)
необходимо найденный набор	,xn(t) подставить в систему (2) и
определить связь между постоянными С\к,... ,Спк, к = 1,п.
Заметим, что, как установлено в главе 2, базис ^(<),... ,^п(0 стро-
ится в зависимости от корней характеристического многочлена L(A) —
det(A2? — А) для дифференциального многочлена L(D).
На практике метод исключения неизвестных удобно применять для
простых линейных систем (2), прежде всего для линейных систем вто-
рого порядка. Для них уравнение (5) для одной из неизвестных функций
получается путем дифференцирования одного из уравнений линейной си-
стемы и исключения второй неизвестной функции. Для нахождения же
второй неизвестной функции уравнение (5) уже не требуется, так как
она сразу находится из заданной системы.
78 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Пример. Методом исключения решить линейную систему
х = 4,-г — Зу + sin 2,
у = 2х — у — 2 cos t.
А Продифференцируем первое уравнение и подставим выражение
для у из второго уравнения. Имеем
х = 4х - Зу + cos t = 4х — 3(2х — у - 2 cos t) + cos t =
= 4x — 6т + Зу + 7 cos t.
Подставив сюда выражение для Зу из первого уравнения, получаем
уравнение для x(t):
х — Зх + 2х — sin t 4- 7 cos t.
Общим решением этого уравнения является
x(t) = Суе* + Cie2t + cos 2 — 2 sin t,
где Ci, C2 — произвольные постоянные. Из первого уравнения систе-
мы находим, что
2
y(t) = Суе1 + -тС^е21 + 2 cos t — 2 sin 2.
Вектор-функция с компонентами x(t), y(t) дает все решения исход-
ной системы уравнений.	▲
§ 2. Общее решение нормальной линейной
однородной системы с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим нормальную линейную однородную систему
i(2) = Лт(2),	(1)
где t € .Rj, А —квадратная комплексная матрица порядка n, x(t) — неиз-
вестная вектор-функция с п компонентами.
Следующее предложение носит название принципа суперпозиции для
линейных однородных систем.
Лемма 1. Если x^(t), х^(2) —решения системы (1), о Су, С?—произ-
вольные комплексные числа, то вектор-функция т(2) = Cyx^ft) + С2т^2)(2)
также решение системы (1).
О Имеем в силу условий леммы, что
х(2) - Аг(2) = Cyx™(t) + C2i(2)(2) - А [С!Т(1>(2) + С2а/2)(2)] =
= Су — Az/1)] + С2 ^а/2) — Az/2)] = 0.	•
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
77
Будем считать в дальнейшем, что матрица А является матрицей неко-
торого линейного преобразования Л в комплексном унитарном п-мерном
пространстве Я” столбцов с п компонентами в ортонормированием базисе
ei,e2,--. ,еп. При заданном базисе можно отождествить преобразование
А и его матрицу А.
Очевидно, что система (1) имеет тривиальное решение х — 0. Бу-
дем искать нетривиальные решения (1) в виде ж(/.) = exth, где h / 0 —
числовой n-мерный вектор. Подставляя х(4) в систему (1), получим
XeXih = Aexth или Ah = Xh.
Напомним, что собственный вектор h преобразования А для собствен-
ного значения А определяется условием
Ah = Xh, h/ 0,
и что все собственные значения А преобразования А являются корнями
уравнения
det(j4 - ХЕ) = 0,
где Е — единичная матрица порядка п. Таким образом, установлено сле-
дующее утверждение.
Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t) — была нетривиаль-
ным, решением линейной однородной системы (1), необходимо и достаточ-
но, чтобы А было собственным значением, ah — соответствующим ему
собственным вектором преобразования А.
Теперь можно установить следующий результат.
Теорема 1. Пусть существует базис Я” из собственных векторов
hi,... ,hn линейного преобразования А и пусть Ai,... ,Хп — соответству-
ющие им собственные значения (среди них могут быть одинаковые)
Тогда:
а)	вектор-функция x(t) вида
x(t) = C1eXlthi + -- + Cnex’'thn,	(2)
где С},... , Сп — произвольные комплексные постоянные, является решени-
ем системы (1);
б)	если x(t) — какое-либо решение системы (1), то найдутся такие зна-
чения постоянных С\,... , Сп, при которых x(t) задается формулой (2).
О П. а) утверждения теоремы 1 непосредственно следует из лемм 1 и 2.
Докажем п. б). Пусть x(t) — какое-либо решение (1). Так как hi,... ,hn —
базис Rn, то для Vt € Rt
x(t) - Ci(t)hi +  + Cn(t)hn.
Подставим x(t) в систему (1). Имеем
6 WM + • • • + Cn(t)hn = £i{t)Ahi + • • + ^n(t)Ahn —
= Ai^i(i)hi + • • • + Xn()n(t)hn.
78 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Так как hi,... ,hn — линейно независимые векторы, то отсюда
6(0 = AiCi(t),... ,C(t) = A„Cn(t).
Из этих уравнений находим, что £i(t) = CieA1<,... ,Cn(t) = C7neAnt. Под-
становка найденных £i(t)>... , £n(t) в формулу для x{t) дает (2).	•
Замечание. Для каждого решения x(t) в теореме 1 можно установить
единственность набора Сд,... ,Сп в (2).
При условиях теоремы 1 вектор-функцию x(t) вида (2) будем назы-
вать общим комплексным решением линейной однородной системы (1).
Как известно из курса алгебры, базис пространства Rn из собственных
векторов преобразования А существует, например, тогда, когда все соб-
ственные значения А],...,А„ преобразования А попарно различны или
когда преобразование А является нормальным (независимо от кратности
А), в частности, симметрическим.
Пример 1. Найти общее комплексное решение системы
х = — 2у + 2z,
< у - х - у + z,
z = y - z.
Д Напишем матрицу А системы:
/О —2	2\
А= 1 -1	1 .
\° 1 -1/
Найдем собственные значения матрицы А из уравнения
det (Л - ХЕ) =
-А
1
О
—2	2
-1 - А	1
1	-1 - А
= -А(А2 + 2А + 2) = 0.
Отсюда Aj = 0, Аг.з = —1±г. Найдем какие-либо собственные векторы
Л1, Лг, Лз соответственно для Ai, Аг, Аз. Имеем
/0\	/ 2\	/ 2\
hi — I 1 I , hi = I — i I , Л-з = I i I .
\1/	\-l/	\~1J
Так как Ai, Аг, Аз—попарно различны, то /ц, hi, /13 образуют базис
в комплексном линейном пространстве Л3. По теореме 1 вектор-
функция
(x(t)\	/0\	/ 2\	/ 2\
y(t) = Ci 1 + С2 -г е<~1+* + Сзе*"1-*)' i ,
\z(t)J	\1/	\-lJ	\-1/
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
79
где (71, Сг, Сз — произвольные комплексные постоянные, является об-
щим решением исходной системы.	А
Пример 2. Решить систему уравнений
х = 4т — у — z,
• у = х + 2у - z,
z — х— у + 2z.
Д Выпишем матрицу А заданной системы:
Решая уравнение det(.A — ХЕ) = 0, найдем собственные значения А.
det(A — ХЕ) =
4-Х
1
1
-1
-1
2- А
= (3 — А) (А2 — 5А + 6) =0.
Отсюда Ai =2, А2 = Аз = 3. Вектор
hi
является собственным для Ai, а векторы
являются линейно независимыми собственными векторами для А2.
Векторы hi, hi, Лз образуют базис R3. Общим решением заданной
системы является вектор-функция
т(0\	/1\	/1\	/1\
y(t)	- Cie2e	1	+ (72e3t	1	+ (7зе3‘	0	,
z(t)/	\1/	\0/	\1/
где Ci, Ci, Сз — произвольные постоянные.
В том случае, когда несимметрическое преобразование А имеет соб-
ственное значение А кратности к, то, вообще говоря, линейно независи-
мых собственных векторов А, соответствующих этому значению А, оказы-
вается меньше к. Таким образом, в таком случае нельзя построить базис
Rn из собственных векторов преобразования А. Оказывается, однако, что
всегда можно построить так называемый жорданов базис пространства
Rn. Чтобы сформулировать соответствующую теорему из курса алгебры,
введем понятия присоединенного вектора и жордановой цепочки.
80
Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Определение. Пусть Ао — собственное значение преобразования А и
пусть векторы ... , Л.* таковы, что
Л/li = Xohi, hi / О,
A/i2 = Ao/i2 + hi,
Ahk — Xohk + Л-fc-i.
Тогда hi — собственный вектор преобразования А, а векторы h2,... ,hk
называют присоединенными векторами к вектору hi. Система векторов
hi,...,hk называется жордановой цепочкой для собственного значения
Ао, а число к называется длиной жордановой цепочки.
Если собственное значение Aq — простое и hi— соответствующий ему
собственный вектор, то присоединенных векторов к hi в этом случае
не существует. Если же Ао — кратное собственное значение, то для него
может существовать несколько жордановых цепочек, содержащие линейно
независимые собственные векторы преобразования.
Теорема Жордана. Каково бы ни было линейное преобразование А в ком-
плексном пространстве Rn, всегда существует базис Rn, составленный из
жордановых цепочек для всех собственных значений
Эта теорема доказывается в курсе алгебры. Мы же только отметим,
что в базисе, составленном из жордановых цепочек (в дальнейшем такой
базис будет коротко называться жордановым базисом Яп), число различ-
ных жордановых цепочек равно числу линейно независимых векторов
преобразования А. Кроме того, в жордановом базисе сумма длин всех
жордановых цепочек для каждого кратного собственного значения А рав-
на кратности А. В общем случае жорданов базис /?п является комплекс-
ным даже для действительного преобразования А. В частности, жорда-
нов базис может быть базисом только из собственных векторов А. Заме-
тим также, что жорданов базис Я” строится не единственным образом.
Используем теперь жорданов базис Rn для получения формулы всех
комплекснозначных решений линейной однородной системы (1) в случае
произвольной квадратной матрицы А.
Пусть А — собственное значение А и пусть hi,... , hk — некоторая жор-
данова цепочка для А. Покажем, что каждой жордановой цепочке длины
к соответствует к решений системы (1) вида
Ti(t) = eAthi = eAt • Pi(t),
Z2W = еЛ< (p/ii + h2) = ext • P2(i),
тз(() = eA< + р/г2 + Л-з) = cAt' P3W,	(4)
zfc(t) = eAt (jj^rphi + •  • + ?hk-i + bfc) = ext  Pk(t).
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы 81
Лемма 3. Каждая из вектор-функций xT(t) = eA*-Pr(t), г = 1, к, является
решением системы (1).
О При к = 1 утверждение леммы 3 доказано в лемме 2. Пусть к > 2.
Тогда Pr(t) —PT-i(t), а из определения жордановой цепочки (3) следует,
что APT(t) = XPT(t) + PT-i(t). Подставляя xT(t) в систему (1), получа-
ем, что
хг - АхТ = XeXtPT + eAfPr - extAPT =
= XeXiPT + eAtPr_i - ext(XPT + Pr_i) = 0.
Здесь был использован тот факт, что формула производной произведения
скалярной функции и вектор-функции аналогична формуле производной
произведения двух скалярных функций.	*
Теперь установим формулу любого решения системы (1).
Теорема 2. Пусти жорданов базис Rn состоит из S жордановых цепочек
h^\ ... длин kj (hi Ч------f- ks = n) для собственных значений Xj (среди
Xj могут быть одинаковые) преобразования A, j — 1,S. Тогда:
а)	вектор-функция x(t) вида
S
*(<) = j>A>‘ [C^P^W + •  • + Cg}P^(t)] ,	(5)
j=i
где Pp\i),... , P^(t) — многочлены вида (4) и С^\ ... , j = 1,S, — про-
извольные комплексные постоянные, является решением системы (1);
б)	если x(t) — какое-либо решение системы (1), то найдется такой набор
значений постоянных Ср\... j = 1,S, при котором x(t) задается
формулой (5).
О П. а) теоремы 2 немедленно следует из леммы 3 и принципа супер-
позиции для системы (1) (см. лемму 1).
Докажем п. б). Пусть х(t) — какое-либо решение системы (1). Пока-
жем, что оно имеет вид (5). При каждом t G Pj решение x(t) можно
разложить по жорданову базису Я”. Пусть
*(*) = £ + •
3=1
82 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Подставим x(t) в систему (1) и воспользуемся определением жордановой
цепочки (3). Имеем:
Е[сМ+-"ФЧ’] =
>=1 S
= Ё + • • •+=
j=i
= 22	(Л>Л2 } + MJ)) + • • •
J=1
+ d> (v^ + CO]-
Из единственности разложения x(t) по жордановому базису отсюда на-
ходим S систем вида
Ср) = А/р) +
. <?=а4), j = 1,S.
Решая каждую из этих систем снизу вверх, получаем:
= [cp> +	+ • • • + e* j = M?.
Подставляя найденные значения Cp\i), • • • Cp\i) в разложение x(t) и со-
бирая члены возле каждого Ср\... ,С^, получим представление x(t) в
виде (5).	•
Замечания. 1) Можно доказать, что представление каждого решения
линейной однородной системы (1) в виде (5) является единственным.
Это делается так же, как и в случае линейных однородных уравнений
порядка п (см. теорему § 2 главы 2).
2) Так как к± Ч---и ks = п, то формула (5) содержит п произвольных
постоянных.
3) Если жорданов базис является базисом из собственных векторов
преобразования А, то формула (5) совпадает с формулой решений си-
стемы (1) в теореме 1.
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
83
Определение. Вектор-функция z(t) вида (5) называется общим (комп-
лекснозначным) решением нормальной линейной однородной системы (I).
Решить систему означает найти ее общее решение.
На практике процесс нахождения общего решения (1) сводится к на-
хождению собственных значений матрицы А, построению жорданового
базиса Rn и использованию формулы (5). Для удобства пользования
распишем формулу (5) для системы (1) при п — 2,3, за исключением
тех случаев, которые охватываются теоремой 1.
Если при п = 2 собственное значение А двукратное и жорданова це-
почка для А состоит из собственного вектора hi и присоединенного к
нему вектора Лг, то общее решение системы (1) задается формулой
x(t) — CieXihi 4- C2eXl{thi 4-/12)-
Рассмотрим теперь случай п = 3. Если собственное значение А) про-
стое и ему соответствует собственный вектор hi, а собственное значение
Аг двукратное и жорданова цепочка для Аг состоит из собственного век-
тора h2 и к нему присоединенного вектора /13, то общее решение системы
(1) в этом случае задается формулой
x(t) = CieAll/n + C2eXith2 + C3eA3‘(fh2 + h3).
Пусть теперь A — трехкратное собственное значение А. Если жорданов
базис состоит из двух жордановых серий, одна из которых состоит из
собственного вектора hi, а другая состоит из собственного вектора h2 и
присоединенного к нему вектора h3, то общее решение (1) имеет вид
x(i) = CieAt/ii + C2eAth2 + С3еА^ (th2 + h3).
Если же жорданов базис состоит лишь из одной жордановой цепочки
hi, h2, h3 где hi — собственный вектор, a h2 и /13 — присоединенные к не-
му векторы, то общее решение (1) задается формулой
/t2	\
x(t) — Ciexth} 4- C2ext(thi 4- h2) 4- C3cxt ( — hi 4- th2 4- h3 1 .
Пример 3. Решить систему уравнений
х = х — 2у,
' У =	~ У ~ 2г,
Z = у 4- Z,
при начальных условиях 1(0) = 0, у(0) — —1, z(0) = 1.
Д Выпишем матрицу А системы:
/ 1 —2	0\
А = I —1 -1 —2 .
\ 0	1	1/
84 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Найдем ее собственные значения Aj = —1, А2 = A3 = 1. Для А|
собственным вектором является, например,
/ 2\
hi =	2 1,
а для А2 собственным вектором является, например,
/ 2\
h2 =	0 ,
\-1/
а к нему присоединенным вектором, т. е. решением системы Л/13 =
А2/13 + h2, служит, например,
/ 0\
/i3 =	-1 .
\ М
Векторы /it, h2, /13 образуют жорданов базис R3 и, следовательно,
общее решение системы имеет вид
i(i)\	/ 2\	/ 2\ Г / 2\	/ 0\
y(t) = С1е-(	2 I + С2еЧ 0 + С3е‘ t 0 + -1
z(t)J	\-1/	\-1/	\-1/	\ 1/
где Ci, С2, С3 — произвольные постоянные. При заданных начальных
условиях получаем решение
a:(t)\	/ 2i \
vlt) I = е‘ -1 .
z(t) у	yi — t)
Пример 4. Решить систему уравнений
х = 2х — 5у — 8z,
у = 7х — 11 у — 17z,
z = —Зя + 4у + 6z.
Д Собственное значение матрицы А системы Ai = А2 = Аз = — 1.
Множество всех собственных векторов матрицы системы задается
формулой
/ 1
Л = С -1
\ 1
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
85
где С — произвольная постоянная. Возьмем собственный вектор
/И =
К нему присоединенным вектором, т. е. решением системы A/ij =
+ ^1> является, например, вектор
/12 =
Присоединенным вектором Л3 к вектору hz, т. е. решением системы
Ahz = Xih.3 + hz, является, например, вектор
Лз =
Векторы hi, hz, h$ образуют жорданов базис пространства R3. Зна-
чит, общее решение заданной системы задается формулой
где Ci, Cz, Сз — произвольные постоянные.	А
Если матрица А действительная, то решить систему (1) означает най-
ти ее общее действительное решение. Поэтому возникает вопрос о методе
получения всех действительных решений из формулы (5) общего ком-
плеснозначного решения системы (1).
Если А—действительное собственное значение А, то и все жордановы
цепочки (3) для пего действительные. Если же А — комплексное собствен-
ное значение А, то, как установлено в § 2 главы 2, число А является так-
же собственным значением А одинаковой с А кратности. При этом из (3)
следует, что если hi,hz, • .hk — жорданова цепочка для А, то комплекс-
но сопряженные векторы hi,hz,... ,/ijt образуют жорданову цепочку для
А. В формуле (5) каждому действительному значению А будут соответ-
ствовать действительные решения xT(t) = eAt • Pr(t), г — 1,к, вида (4), а
каждой паре комплексно сопряженных значений А и А будут соответство-
вать комплексно сопряженные решения xr(t) = eXi-Pr(t), xT(t) = ext-Pr(t),
86
Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
г = l,fc, где к —длина жордановой серии для А. Нетрудно видеть, что
в последнем случае вектор-функции
xp)(t) = Re [eAlFr(t)j , 42)(t) = Im [eA‘Pr(t)j , r = Tjt,
будут действительными решениями системы (1).
Теперь аналогично случаю линейного однородного уравнения порядка
п (см. § 2 главы 2) можно показать, что формула (5) дает все дей-
ствительные решения системы (1) с действительной матрицей А, если
в формуле (5) считать все произвольные постоянные действительными,
а каждую пару комплексно сопряженных решений Zr(t), xT(t), г = l,k,
заменить на действительную пару arP^t),	г= 1,к.
Пример 5. Найти все действительные решения линейной однородной си-
стемы, заданной в примере 1.
Д Используя формулу Эйлера, имеем
(2 \	/2 cos t \	/ 2 sin t
—i I — e-t I sint I + ie~l I — cost
—1/	\ — cost/	\ —sint
Следовательно, общим действительным решением заданной системы
является вектор-функция
х (t)\	/0\	/2cost\	/2 sint
?/(t) I	= Ci	I 1 I	+ Ci • e-(	I sint I	+ (% • e~l	I - cost
z(t)j	\li	\ —cost/	\-sint
где Ci, Сг, C3 — произвольные действительные постоянные.
Итак, если известен жорданов базис, то всегда можно найти общее
решение (1). Однако нахождение жорданового базиса — весьма трудоем-
кая задача. Поэтому в ряде случаев решение системы (1) целесообразно
находить другим методом — методом неопределенных коэффициентов.
Пусть Ai,... ,Am (1 < т < п) — попарно различные собственные зна-
чения матрицы А и пусть щ,... ,гга — максимальные длины жордановых
цепочек соответственно для Ai,... ,Am. Тогда из теоремы 2 следует, что
всякое решение системы (1) имеет вид
a:(t) = eA‘tF1(t) + --. + eA>"‘Pm(t),
где Pj(t) — многочлен степени (rj — 1), коэффициентами которого слу-
жат n-мерные числовые векторы, / = 1,т. Это обстоятельство позволяет
решать систему (1) методом неопределенных коэффициентов. Если соб-
ственные значения Ai,... ,Am имеют соответственно кратности Zj,... ,1т
(11 +  • • + 1т = п), то ищут решение системы (1) в виде
^(t)=eAltQ1(t) + ..-4-eA"tQm(t),
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
87
где Q,(t) — вектор-многочлены степени (lj - 1), j = l,m, с неопределен-
ными векторными коэффициентами. Эти коэффициенты находят подста-
новкой г(<) в систему (1). Теорема 2 гарантирует их определение.
Пример 6. Решить методом неопределенных коэффициентов систему
уравнений
J х — 2х + у,
[у = 4у - х.
Д Собственным значением матрицы системы I 1 является Ai =
Аг = 3. Будем искать решение системы в виде вектор-функции
АфА = p3t (Cit + C2\
\y(t) J ydit + dij’
где ci, c2, dj, d? — неопределенные коэффициенты. Их находим под-
становкой x(t), y(t) в систему. После подстановки находим, что
dj = ci, </2 = ci + с2. В силу этого, все решения системы задают-
ся формулой
\С1* + С1+С2/ V + 1J+C2 V/’
где Ci и C2 — произвольные постоянные.	A
Нетрудно заметить, что множество всех решений линейной однородной
системы (1) образует линейное комплексное пространство. Из формулы
(5) следует, что всякое решение системы (1) однозначно записывается в
виде
x(t) = 671X1 (t) + •• • + Cnxn(t),
где Ci,... ,Сп — постоянные, а вектор-функции Xi(t),... ,xn(t) строятся с
помощью собственных значений и жордановых серий матрицы А. Это
значит, что xi(t),... ,xn(t) образуют базис в линейном пространстве ре-
шений системы (1) и что это пространство является п-мерным.
Замечание. Нетрудно проверить, что линейная система Эйлера
tx(t) = Ax(t), t > О,
где А — числовая квадратная матрица порядка п, заменой t = ет сводится
к линейной однородной системе
±(т) = Ах(т).
К этой же линейной системе сводится и линейная система
a 1(t)  i(i) = Ax(t),
88
Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
где скалярная функция а(4) > 0 и непрерывна на промежутке Т оси R},
если сделать замену по формуле т — f a(t)dt (здесь интеграл означает
фиксированную первообразную).
§ 3. Общее решение нормальной линейной
неоднородной системы с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему
x(t) = Ax(t) + f(t),	(1)
где t — аргумент, изменяющийся в некотором промежутке Т оси Л},
х(4) — неизвестная вектор-функция с п компонентами, Л —заданная чи-
словая квадратная матрица порядка n, /(4) — заданная непрерывная на
Т вектор-функция с п компонентами.
Покажем, что если известно какое-либо решение яо(4) неоднородной
системы (1), то замена x{t) = y(t)+xo(t) приводит решение (1) к решению
однородной системы
y(t) = Ay(t).	(2)
Действительно, подставляя x(t) = y(t) + zo(t) в (1), получаем у + х =
Ay + Axq + f(t). Так как xo(t) — решение (1), то io = Axq + f(t). Следо-
вательно, y(t) удовлетворяет системе (2).
Так как формула общего решения однородной системы (2) уже нам
известна, то замена позволяет написать формулу всех решений системы
(1). Именно, если yi(t),... ,yn{t) —базис линейного пространства решений
однородной системы (2), то формула
x(t) = Ciyi(t) +  + Cnyn(t) + x0(t),	(3)
где Ci,... , Cn — произвольные постоянные, дает все решения (1). Функ-
ция x(t) вида (3) называется общим решением линейной неоднородной
системы (1).
Следующее утверждение называют принципом суперпозиции для ли-
нейных систем (1).
Лемма 1. Если f(t) — /1(4)+/г(4) uxi(t) — решение системы (1) при f(t) =
/1(4), а т2(4) — решение системы (1) при f(t) = /2(4), ™ rr(4) — Xi(4) 4-:г2(4)
является решением системы (1).
О По условию леммы
it(4) = Дт1(4) 4- /1(4), i2<4) = Аг2(4) + /г(4)-
Тогда
i(4) - ii(4) + i2(4) = ЛХ1(4) + Лж2(4) + /Д4) + /2(4) = Ах(4) + /(4).	•
§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы
89
Определение. Вектор-квазимногочленом называется вектор-функция
/(t) —	где д —заданное комплексное число, Рто(<) — вектор-
многочлен степени тп, коэффициентами которого служат n-мерные век-
торы.
Из теоремы 2 § 1 ясно, что всякое решение линейной однородной си-
стемы (2) представляет собой конечную сумму вектор-квазимногочленов.
Покажем, что в том случае, когда /(f) — вектор-квазимногочлен, все-
гда существует некоторое решение неоднородной системы, тоже являю-
щееся некоторым вектор-квазимногочленом. Зная такое решение (1), по
формуле (3) можно найти общее решение (1).
Сначала рассмотрим частный случай. Пусть А — некоторое собственное
значение А и пусть hi,... ,hk — некоторая жорданова цепочка для А из
жорданового базиса Rn.
Теорема 1. Если в системе (1)
f(t) = e^[pW(t)hi + --- + P^(t)hk],
где Pm\t),... , Pm4t) — многочлены степени не выше т, то для систе-
мы (1) существует и единственно решение вида
• Qm+k-i(t), р = A,
где Qm(t) и Qm+k-i(t) — многочлены соответственно степени т и (т +
k - 1).
О Ищем решение (1) в виде
k
^(0 = 52
7 = 1
Подставляя в систему (1) и используя определение жордановой цепочки,
получаем, что
k	k	k
£	= £ о m	=
7=1	7=1	3=1
k	k
= А<! (t)hi + £	+ fy-i) + е* 52 Р%4^.
3=2	j=l
90
Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Отсюда в силу линейной независимости hi,... , hk следует, что
6 =41+<2+ 8^ (4),
Ci-1 = Xjt-1 + (к + e^Pm 1\o>
Ck = ^k + e^P^}(t).
Ищем частные решения уравнений этой системы снизу вверх. То-
гда при р 0 А существуют и единственны частные решения £к =
e^Q^nft),... ,Ci = e*“(2m)(4), W Q(m (t), •••, Qm{t) — многочлены, среди
которых хотя бы один степени т. Подставляя ,0с в формулу x(t),
находим, что при д / А
 к
=	6^0,44),
7=1
где Qm(t) —вектор-многочлен степени т.
При /7 — А существуют и единственны частные решения
Ск =	(к-1 =	... ,G =
где	— многочлены соответственно степени т,...,
(m+fc—1). Подставляя <i,... , Cfc в формулу x(t), находим, что при g = A
к
x(t) =	= e^Qm+k-ltt),
3=1
где Qm+k-i (4) — вектор-многочлен степени (m + fc —1).	•
Теперь рассмотрим общий случай.
Теорема 2. Если в системе (1) /(4) = e^Pm(t), где Pm(t) — вектор-
многочлен степени т, то для системы (1) всегда существует решение вида
x(t) = e"(Qm+fc(4),	(4)
где Qm+k(t) — вектор-многочлен степени (т + к), причем к = 0, если р —
не собственное значение А, и к не превосходит наибольшей длины жорда-
новой цепочки для р, если р — собственное значение А, а коэффициентами
Qm+k(t) служат п-мерные числовые векторы.
О Пусть жорданов базис Rn состоит из S жордановых цепочек
h^\... ,h^ для собственных значений А; преобразования А (среди Xj
могут быть одинаковые), j = 1,5. Разложим вектор-многочлен Fm(4) по
жордановому базису:
S
Pmtt) = £ [^’(4)^ + ... + pg(t)h(n] .
3=1
§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 91
Среди всех многочленов	. P^(t), j = 1,S, имеется хотя бы один
степени тп. Из принципа суперпозиции следует, что частное решение си-
стемы (1) имеет вид
s
j=i
где Xj(t) — частное решение системы
ij(t) = Ах^)+е^ [p^rf + .-.+P^W^] , j =	(5)
Пусть Ai,... ,A? (1 < q < n) —все собственные значения А.
Если р / Xj, 'ij = l,q, то все неоднородные системы (5) в си-
лу теоремы 1 имеют частные решения вида Xj(t) =
где	— многочлен степени m и, следовательно, в этом случае
для системы (1) получаем частное решение вида (4) при к = 0.
Если же, например, g = Ai, то согласно теореме 1 часть неод-
нородных систем (5), для которых h!f\..., /1^? — жорданова цепочка
для А1, имеет частные решения вида Xj(t) =	где
Qy,m+fc-i(C— многочлены степени (тп + к — 1). Другая же часть неод-
нородных систем (5), в которых h ... ,h^ — жорданова цепочка для
Аг,... , Л9, согласно теореме 1 имеет частные решения вида Xj(t) =
где	— многочлены степени т. Отсюда и из прин-
ципа суперпозиции следует, что система (1) имеет частное решение
вида (4).	•
Замечания. 1) Практически частное решение (4) ищут методом неопре-
деленных коэффициентов. Если наибольшая длина к жордановой цепоч-
ки для /1 неизвестна, то вместо числа к в формуле (4) берут число т—
кратность собственного значения р.
2) Если в системе (1) f(t) представляет собой конечную сумму
вектор-квазимногочленов, то для получения частного решения (1) исполь-
зуются принцип суперпозиции и теорема 2.
3) Наконец, если в системе (1) /(<) —произвольная непрерывная
вектор-функция, то частное решение (1) находят, как правило, методом
вариации постоянных, о чем будет речь в главе 5.
Пример 1. Решить систему уравнений
х = 4х 4- Зу — 3z,
< у = -Зх - 2у + 3z,
z = Зх + Зу — 2z + 2е~1.
92
Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Д Собственные значения матрицы системы
/ 4	3 -3\
А = 1-3 -2	3
\ 3	3-2/
имеют вид Ai — —2, Аг = Аз = 1.
Для Ai собственным вектором, например, является
/ 1\
/и =	-1 .
\ V
Ранг матрицы (А —АгЕ) равен единице и поэтому эта матрица имеет
два линейно независимых собственных вектора. Такими векторами,
например, являются
/1\	/-1\
/?2 = I О I ,	^3 = | 1 I •
V/	\ °/
Векторы hi, h.2, Лз образу tor базис В?. Следовательно, общее реше-
ние линейной однородной системы, соответствующей заданной систе-
ме, имеет вид
/ж(е)\ .	/ 1\ /А /-1\
y(i) = Cie~2t -1 + С2еЧ 0 + С3еЧ 1 ,
\ 1/	\1/	\ о/
где Ci, С2, Сз — произвольные постоянные.
В силу теоремы 2 частное решение исходной неоднородной систе-
мы следует искать в виде вектор-функции
Подстановка ее в исходную систему дает а = 3, b — —3, с = 2.
Значит, общее действительное решение исходной системы задается
формулой
/z(t)\	( 1\	/1\	/-1\	/ 3\
I I = С1С I —1 I + С2е* I О I + Сзее I 1 | + е * I —3 I ,
\ V V/ \°/	\ 2/
где Ci, Сг, Сз — произвольные действительные постоянные. ▲
Пример 2. Решить систему уравнений
х = —5х + у — 2z + ch t,
> у = — х — у + 2sh t + ch t,
z = 6т — 2y + 2z — 2 ch t.
§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы
93
Д Для матрицы системы находим, что ее собственными значениями
являются Ai = —2, А2,з = — 1±г. Соответствующими им собственными
векторами будут, например,
Поскольку по формуле Эйлера
(cos t \	/ sin t
- sin t j + te-t I cos t
—2 cost/	2sint
то общее (действительное) решение линейной однородной системы,
соответствующей исходной системе, имеет вид
x(t)\	/ 1\	/ cost\	/ sint
y(t) I = C'ie-2£ I 11 + C3e~l I — sin t I + C3e~l I	cos t
1/	2cost/	\ — 2sint
где Ci, Сг, C3 — произвольные действительные постоянные.
В силу принципа суперпозиции и теоремы 2 частное решение ис-
ходной системы следует искать в виде
т(/)\	/аЛ	Ai
j/(t) I =	е‘	I а2	+ е“‘	Н>2
-z(t) /	\аз/	\Ьз
Подстановка этой вектор-функции в систему дает aj — а3 = 2, аз =
—4, bi = 62 = —2, 63 = 4. Следовательно, общее (действительное)
решение исходной системы имеет вид
x(t)\	/ 1\	/ cost \
j/(t) I = Cie-2t I 1 I + Сге-* I -sint I +
z(t) /	\“ 1/	\ —2 cost/
(sint \	/ 1
cost I -l-sht I 1
—2sini/	\-2
где Ci, C2, C3 — произвольные действительные постоянные. A
94 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
§ 4. Решение нормальных линейных систем
с постоянными коэффициентами с помощью
матричной экспоненты
Еще один метод интегрирования нормальных линейных систем с посто-
янными коэффициентами основан на понятии матричной экспоненты.
1.	Определение, свойства и алгебраический метод
вычисления матричной экспоненты
Пусть t С R}, А —квадратная комплексная матрица порядка п и пусть
Е — единичная матрица порядка п. Рассмотрим матричный степенной
ряд
f &
*+1Г4+2!Л2 + '-+ПЛ‘ + ’--	(1)
Если матрица А = ||оу||, А2 = ||а^||,... ,Ак — ||а^||,..., где i,j = 1,п, то
любой элемент матричного ряда (1) имеет вид (5^—символ Кронекера):
6ij + — ан 4- —а-?) -I-+ —а-*) ч-	(2)
Определение. Матричный ряд (1) называется сходящимся (абсолютно
сходящимся) при t G Rl, если степенные ряды (2) при всех i,j = 1,п
сходятся (абсолютно сходятся) при t € R}.
У сходящегося матричного ряда (1) суммой ряда служит квадратная
матрица порядка п, элементами которой являются суммы сходящихся
степенных рядов (2).
Лемма 1. Для любой матрицы А и каждого t € Rj матричный ряд (1)
абсолютно сходится.
О Всегда существует такое число М > 0, что |ву| < М, Vi,j = 1,п. Так
как А2 = А • А, то	а,р • aPj и, следовательно,
₽=1
lat2)l - 52 W ' l“wl пм2> М=Гп.
p=i
Далее, по индукции, получаем, что при любых k € N и i,j = 1,п
|aj*}| <пк~'Мк.
Поэтому каждый ряд (2) мажорируется рядом вида
l + ^M4----4-§nfc-1M*4- - - ,
1!	я!
§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 95
который сходится по признаку Коши. Следовательно, каждый ряд (2)
сходится абсолютно, а, значит, и ряд (1) сходится абсолютно для всех
t е	•
Определение. Сумма абсолютно сходящегося ряда (1) называется ма-
три ч ной экспонентой е :
°° fk
etA = E+'£t-Ak.	(3)
Замечание. Нетрудно видеть, что на каждом отрезке [а, /3] числовой
оси ряд для etA сходится равномерно. Из (3) очевидно, что для ну-
левой матрицы A etA = Е ч что для А = Е etA = е‘ • Е.
Лемма 2. Если В — квадратная матрица порядка п и перестановочна с
матрицей А: АВ = ВА, то справедливо свойство
etA . etB = е1В . etA = et(A+B), е .
О Используя равенство АВ = В А и метод математической индукции, как
и в числовом случае, устанавливается формула бинома
(А + В)"^У , п! Ак Вп~к = n! V VT
Л=0	'	/с+тп=п
вт
т!
Тогда
00 /п	00	___ лк лк /тот
е<(А+В) = у* (а + в)п = £ у 1А.Ц-
^-<п!	Л! т!
п=0	п=0 к+т—п
лв _ лА . лв _ лв . ЛА
С>	V С- ““ С» V
Так как ряд для е^А+в^ абсолютно сходится, то преобразования в при-
веденных выше выкладках законны в силу теоремы из курса анализа о
сходимости повторных рядов или рядов, полученных перестановкой чле-
нов данного ряда, если только абсолютно сходится двойной ряд.
Замечание. Если АВ ВА, то утверждение леммы 2 может не иметь
места, в чем можно убедиться на примере матриц
А =
0
0
1\
°) ’
/1 0А
\° °/ ’
Из леммы 2 при В — —А сразу следует, что матрица e~tA являет-
ся обратной к матрице etA при всех t е Я/. Отсюда, в свою очередь,
вытекает, что etA — невырожденная матрица при всех t € В}.
96 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Из возможности почленного дифференцирования степенных рядов (2)
при всех i € Л} получаем, что матрица etA при всех t € имеет произ-
водные всех порядков, которые находятся из ряда (3) почленным диф-
ференцированием. При этом '
= etA • А = AetA.
dt
Действительно, имеем
d	1А d (_	t	Л t2	2 tk	„к \
di dt \	1!	2!	к' /
/	Д-1
= А 4- рА2 -I---4- ——jyA* • •  = AetA = etA  А.
Вычислять etA с помощью ряда (3) весьма непросто, если А —произ-
вольная матрица. Поэтому сейчас изложим другой, алгебраический спо-
соб вычисления etA. Посмотрим сначала, как изменяется матрица etA при
линейном невырожденном преобразовании Н (det Н 0) матрицы А.
Лемма 3. Если А = НВН \ то etA = HetBH 1 при всех t € Rj.
О Имеем
А2 = А • А = HBH~X  НВН-1 = НВ2Н~Х.
По индукции легко показать, что при любом к 6 N
Ак = НВкН~х.
Подставляя выражения для Ак в ряд (3), получаем
°° ц	/	°° fk \
etA = Н • Я"1 4- V ^ЯЯ^Я”1 = Я Е 4- У -,Вк Н~х = HetBH~x. •
к\	\ к\ )
к=1	\	к=\	/
Итак, матрицы А и etA при линейном невырожденном преобразовании
Я меняются по одинаковому закону.
Из курса алгебры известно, что если существует базис Я” из собствен-
ных векторов hi,... ,hn линейного преобразования А, то в этом базисе
матрица В преобразования А оказывается диагональной:
fA1	0\
В =
\0	А„/
где по диагонали стоят собственные значения преобразования А. При
этом столбцами матрицы перехода Я служат столбцы из координат век-
§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 97
торов hi,... ,hn в исходном базисе ej,... , еп. В этом случае по формуле
(3) находим, что
/еА>‘ Q \
e(S = [
у 0	еА"£/
и тогда etA — Не'вН~х по лемме 3.
Однако, как известно, не всегда существует базис Лп из собствен-
ных векторов линейного преобразования А. Но, как утверждает теорема
Жордана, всегда существует жордаиов базис Rn, составленный из жор-
дановых цепочек для всех собственных значений А. Обозначим матрицу
преобразования А в жордановом базисе через J. Матрица J называется
жордановой нормальной формой матрицы А.
Опишем структуру матрицы J. Жордановой клеткой <А(А) порядка к
для собственного значения А преобразования
матрица порядка к вида
А называется квадратная
О
1
А
1
А
Л (А) =
\о
°\
О
О
1
т. е. матрица, у которой по главной диагонали стоят числа А, следующая
диагональ после главной состоит из единиц, а все остальные элементы
матрицы — нули. Например,
/А 1\	1
Л(А) = (А), Л(А) = К ! , J3(A) = 0 А 1 .
А/	\0 0 А/
Пусть жорданов базис Я” состоит из s (1 < з < п) жордановых цепочек
для собственных значений А],... , As (среди них могут быть одинаковые)
и пусть ki,... ,ks— длины этих цепочек (ki -I--f-ks=n). Тогда J явля-
ется комплексной клеточно-диагональной матрицей вида
Л1(А1)
Л2(А2) |
о \
к 0
РЖГ/
Если к\ = к2 = • • • = ks = 1, то матрица J имеет диагональный вид.
Клеточно-диагональную матрицу J будем коротко обозначать так:
J = diag { Jfcl (АО, Jk2 (A2),... , Jkt (A,)} .
Матрица J определяется единственным образом с точностью до перестав-
новок жордановых клеток Jkl (Ai),... , Л,(А5) по главной диагонали.
4 >769
98 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Если обозначить через Н матрицу перехода от исходного базиса
ei,...,en к жордановому базису Я” (в столбцах этой матрицы стоят
координаты векторов жорданова базиса по базису ei,...,en), то J =
Н~1АН.
Из леммы 3 вытекает, что
etA = Яе'7Я-1.
Из матричного ряда (3) и свойств клеточно-диагональных матриц сле-
дует, что
etJ = diag	,
т.е. матрица etJ является клеточно-диагональной матрицей, где по глав-
ной диагонали стоят матрицы etJki ... ,etJk^x‘^. Итак, вопрос вычи-
сления матрицы etA сводится к вычислению матрицы etJk^, где <Д(Х) —
клетка Жордана порядка к для собственного значения А.
Введем в рассмотрение матрицу <А(0) порядка к вида
т.е. матрицу, у которой следующая диагональ после главной диагонали
состоит из единиц, а все остальные элементы — нули, и единичную ма-
трицу Ek порядка к. Тогда
tJk(X) = tXEb + tJk(O), EkJk(0) = Jk(0}Ek
и по лемме 2
ptJiM - ptXEk . tJ*(O) _ At . tJt(O)
Матрица etJk^ находится с помощью матричного ряда (1). Нетрудно
видеть, что при возведении матрицы <А(0) в степень, единицы переме-
щаются каждый раз параллельно вверх на следующую диагональ, т.е.
	/0 0 1 0 0 1	0>		/0 0-	• 0 1\ 0
Л2(о) =	0	. 1	,Jfcfc-1(0) =		
	<0	. 0 0/		^0	о 0/
J^(0) = 0, т > к.
§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 99
Отсюда получаем, что
/	Д’"!
е‘Л(о) = Ек + -Л(0) + • • • +	0Т^'1{0) =
Следовательно,
etJ = diag |eAlt • etJki . , ex,t • etJk№> J ,
где среди собственных значений Ai,... , As могут быть одинаковые, а
Jjti(0),... ,Jfc,(0) —матрицы вида 7*(0) соответственно порядка к\,... ,к3.
Пример 1. Вычислить матричную экспоненту для матрицы
Д Матрица А имеет двукратное собственное значение А = 3. Для
этого собственного значения вектор
является собственным, а вектор
1,2  ("о1)
является присоединенным к Aj. Векторы А;, Аг образуют жорданову
цепочку. Взяв
н =	2 "Ч И-' 0 о)> н	1 _ ( о 1 \-1 2.
получим		
	J = Н-'АН =	/3 1А \° 37 '
Отсюда		
	ptJ _ p3t Л е	^0	А V ’
Следовательно,		
etA =	= e3t Л - 2t 4t \
е пе п е	1+2^.	Л
100 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Замечание. Определение (3) матричной экспоненты еА было получено,
исходя из разложения ех в степенной ряд на всей действительной оси х:
Аналогичным способом, рассмотрев произвольную действительную анали-
тическую функцию f(x), задаваемую степенным рядом
/(®) =
к=0
с радиусом сходимости R > 0, можно определить функцию /(А) от ква-
дратной матрицы А с помощью матричного ряда
СО
Е^А\ А° = Е.
fc=0
Именно можно доказать, что этот матричный ряд будет абсолютно схо-
дящимся для такой матрицы А, для которой все собственные значения А
удовлетворяют неравенству |А| < R. Таким образом, например, получаем,
что для любой матрицы А определены матричные функции sin A, ch А:
оо
sin А =
к=0
(_l)kA2k+1
(2fc + 1)!
Ch А £(2Л)!Л2*-
fc=0 v '
Алгебраический метод вычисления /(А) основан на аналоге леммы 3 для
/И)-
2. Применение матричной экспоненты для решения
нормальных линейных систем с постоянными
коэффициентами
Пусть задана линейная неоднородная система
i(t) = Ax(t) + f(t),	(4)
где А —числовая квадратная матрица порядка п, /(^ — некоторая
вектор-функция с п непрерывными компонентами на промежутке Т оси
R}, и начальное условие
*(<о) = яо,	(5)
где to 6 Т, а а?о — произвольный n-мерный числовой вектор.
Как известно из главы 1, все решения линейного уравнения первого
порядка
y'(t) = ay(t} + /(*)>
§4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 101
где а —число и / (t) — заданная скалярная непрерывная функция на про-
межутке Т оси R}, задаются формулой
t
y(t) = Ceat+eaiI е~аЧ«)<,
to
где to е Т, (7 — произвольная постоянная.
Сейчас будет показано, что формула всех решений линейной системы
(4) внешне совершенно аналогична этой простой формуле, если заменить
числовую экспоненту eat на матричную экспоненту etA.
Теорема. Общее решение системы (4) задается формулой
t
x(t) = etA  с + etA У е-<Л  /(C)dC,	(6)
to
где to € Т, etA — матричная экспонента, с — произвольный п-мерный чи-
словой вектор.
О В системе (4) сделаем замену x(t) — etA  y(t), где y(t)~ новая не-
известная функция. Эта замена приводит систему (1) к эквивалентной
системе, так как если x(t) — решение (1), то y(t) = e~tA • x(t) —решение
новой системы, и наоборот.
Учитывая, что формула производной произведения матрицы на
вектор-функцию аналогична формуле производной произведения двух
скалярных функций, подставляя замену в систему (4) и используя фор-
мулу производной etA, получаем:
etA  Ay(t) + etA  y(t) = AetAy(t) + f(t).
Отсюда
y(t) = e~tA  f(t),
что дает
t
y(t) = c + У e~(Af((№.
to
Подстановка найденного значения y(t) в формулу .замены приводит к
формуле (6).	•
Следствие. Решение задачи Коши (4), (5) существует, единственно на
всем промежутке Т и задается формулой
t
x(t) = е^~^А • х0 + etA У е~^А  f(QdC
to
102 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
О Подставляя формулу (6) общего решения системы (4) в начальное
условие (5), находим, что с = е-е°А • iq- Подставляя найденное значение
с в формулу (6), получаем утверждение следствия.	•
В частности, решение на всем Л} линейной однородной системы
(/(*) = 0 на flj)
i(t) = Ax(t)
при начальном условии (5) задается совсем простой формулой
х($ =	 х0.
Пример. Спомощью матричной экспоненты решить задачу Коши:
х — Зх — у,
У = 2т,
т(0) = р(0) = 1.
Д Найдем сначала матричную экспоненту. Для матрицы А заданной
системы собственные значения Ai — 1, Аг = 2. Для них собственными
векторами будут соответственно
Л1 = Q) , h2 =	.
Взяв
1 1
2 1
Н-1 - (-1	1
Н " ( 2 -1
Н
находим, что
J = H~lAH = Q °) .
Отсюда
etA =	=
-el + 2е2‘,
—2е‘ + 2e2t,
е‘ — е~2< \
2ег - e-2t/ ’
Тогда вектор-функция
_ „1А f
где Ci, С2 — произвольные постоянные, является общим решением
заданной системы, а вектор-функция
является искомым решением задачи Коши.
§5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнений 103
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение
для решения дифференциальных уравнений
Преобразование Лапласа успешно применяется для решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем
таких уравнений. Метод решения линейных дифференциальных уравне-
ний и линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами, основанный на преобразовании Лапласа, называют опера-
ционным методом. Операционный метод широко используется также для
решения уравнений в частных производных.
В этом параграфе приводятся элементарные сведения о свойствах пре-
образования Лапласа и его применении. Эти сведения приводятся часто
без доказательства. Подробное изложение свойств преобразования Лапла-
са с доказательствами можно найти в курсах теории функций комплекс-
ного переменного (см. [39]).
Определение. Комплекснозначная функция /(i), t G Я|, называется
оригиналом, если:
1.	/(() = О при t < 0.
2.	На каждом отрезке полуоси t > 0 функция /(<) непрерывна за
исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.
3.	Существуют такие числа М > 0 и а, что |/(t)| < Meat для всех
t > 0.
В п. 3 этого определения действительные числа М и а зависят от
функции /(t). Из п. 3 определения следует, что при t —> +оо ориги-
нал f(t) растет не быстрее некоторой экспоненты. Например, каждая из
функций t”, ef, sint, cos t при t > 0 может задавать оригинал, а функция
е( при t > 0 уже не может определять оригинал.
Условимся в дальнейшем задавать оригиналы только при t > 0, считая
их всегда равными нулю при t < 0.
Рассмотрим несобственный интеграл вида
+оо
I e~^f(t)dt,	(1)
о
где р — комплексный параметр, р — s + гт, а /(£) —оригинал.
Лемма. Если f(t) — оригинал и < Meat для всех t > 0, то несоб-
ственный интеграл (1) сходится при всех тех комплексных р, для кото-
рых s = Rep > а.
104 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
О Так как le ptl = е 3t и lim e<Q = 0 при s > а, то
t—>4-оо
4-оо	4-оа
J e~ptf(t)dt < J |е-₽‘|  |/(t)|<ft < М
о	о
= JJLe(a-3)t +°° = М
a — a t_0 s — а
Определение. Пусть /(<)—оригинал и |/(t)| < Meal для всех t > 0.
Преобразованием Лапласа /(f) (или изображением по Лапласу /(f)) на-
зывается функция комплексной переменной
+оо
F(p) = У • f(t)dt, Rep > а.	(2)
о
Связь между оригиналом и его преобразованием Лапласа будем обозна-
чать так:
/(t) = F(p) или F(p) =/(f), Rep>a.
Отметим два простейшие свойства преобразования Лапласа.
1.	Свойство линейности. Если /r(f) —’ Fj(p) при Rep > aj, /2(1) = F>(p)
при Rep >02 и ci, С2 — произвольные числа, то функция /(t) = cj/ 1 + 02/2
тоже является оригиналом и
/(f) = ciFi(p) + c2F2(p) при Rep > а - max(o-i,a2)- (3)
Это свойство следует из выполнения требований определения оригина-
ла для /(f) и свойства линейности сходящегося несобственного интеграла.
2.	Дифференцирование оригинала. Пусть /(f) и /'(f) — оригиналы,
причем |/(t)| < AfeQ<, |/'(t)| < ЛЛе“‘, М > О, М\ > 0, для всех t > 0.
Если /(f) —’ F(p) для Rep > а, то
/'(*) = pF(p) - /(+0), где /(+0) = lim /(f), Rep > а.
t—t+O
Действительно, интегрируя по частям и используя тот факт, что при
Rep > a lim |е~ptf(t)\ = 0, получаем
t—>4-оо
/'(f) = у е-Р‘.	= |е-₽‘/(<~ +р
о
У e~ptf(t)dt=pF(p) — f(+O).
о
Применяя свойство п. 2 п раз, нетрудно обобщить этот результат.
Именно, если f(t), /'(f),    ,/(”\f),—оригиналы, причем |/^-’^(t)| < AfJeot<,
Mj > 0, для всех j = 0,п и всех t > 0, и /(f) —' F(p) при Rep > а, то
/W(t) =p"F(p) -р"-1  /(+0)---------р/(п-2)(+0) - /'п-1’(+0),	(4)
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнений 105
где Rep > а, /^(+0) =	j = 0,n— 1. Особенно простой фор-
мула (4) становится в случае, когда /^(+0) = 0 для всех j = 0,n —1.
Тогда /^(i) = pnF(p) при Rep > а, т.е. каждому дифференцированию
оригинала соответствует умножение на р его преобразования Лапласа.
Для применения преобразования Лапласа важно уметь по заданному
преобразованию Лапласа восстанавливать его оригинал. В курсах теории
функций комплексного переменного устанавливается формула обращения
преобразования Лапласа. Мы ее приводить не будем, а сформулируем
только свойство единственности оригинала, которое является следствием
формулы обращения.
3.	Свойство единственности оригинала. Оригинал /(t) однозначно
определяется по его преобразованию Лапласа F(p) во всех точках, где
функция /(t) дифференцируема.
Рассмотрим теперь квазимногочлен t*eAt, где к > 0 и целое, Л—ком-
плексное число, t > 0. Этот квазимногочлен задает оригинал, так как
всегда существуют такие числа М > 0 и а > Re А, что |ifceAt| < Meat
при всех t > 0. Найдем преобразование Лапласа этого оригинала. Пусть
Rep > а > Re А. Тогда Rep > Re А и, значит, |t;e(A-=0, I — 0,fc.
Учитывая это обстоятельство, после интегрирования к раз по частям,
приходим к результату:
t*eAt = [	 tkdt =	+ -Д- [ e^~p)t • t^dt =
J	А - р 1=0 р - A J
о	о
+ 00
Р - A J	(р- А)*+1
о
Итак,
Re₽>ReA-
В частности, из формулы (4) и свойства линейности (3) следует, что
cosoi =	1	(е”‘	+	e~iut)	=	1	(—— + ——, Р	,,
2	4	7	2	р + гш)	р*
.	1 / iwt —	. 1 (	1	1	|
sin+>t =	—	(е	-	е	J	.=	—	( -:---------—	=	-5--
2г	'	'	2г	\р — гы	р + гы)	р* +ы‘
где ы — действительный параметр, Rep > 0.
Разработаны справочные таблицы, содержащие преобразования Лапла-
са для широкого класса оригиналов (см. [16]).
Рассмотрим применение преобразования Лапласа для решения ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
106 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Пусть задано уравнение
L(D)y(t) = (Dn + aiDn~} +    + an-iD + an)y(t) = f(t), t > 0,	(6)
где ai,... ,Оп~заданные числа и /(t) — оригинал, и начальные условия
у(+0)=Уо, 2?(+0) = 2/1,. >У(п-1)(+0) = l/n-i>	(7)
где yo,yi,-- ,yn-i — заданные числа. Можно доказать тогда, что и реше-
ние y(t) задачи Коши (6), (7) и его производные y'(t},... ,y^n\t) явля-
ются оригиналами. Это очевидно в том случае, когда /(t) задает ква-
зимногочлен при t > 0, так как в этом случае всякое решение урав-
нения (6) при t > 0 является линейной комбинацией квазимногочленов,
которая в силу свойства линейности и (5) является оригиналом. Более
того, если |/(£)| < Meat для всех t > 0 при некоторых М > 0 и а,
то y(t), y'(t),... ,y^(t) — оригиналы, для которых	для
всех t > 0 и всех j = 0,п при Mi > 0 и a = max(a,Repi,... ,Repm),
где pi,... ,рт, 1 < т < п, —корни характеристического многочлена
L(p) = pn + aip'1"1 +   • + ап для дифференциального многочлена L(D).
Продолжим нулем /(t) и y(t) для t < 0. Пусть y(t) —' Y(p) при
Rep > а и пусть f(t) = F(p) при Rep > а. Применим к обеим частям
уравнения (6) преобразование Лапласа. Используя свойство линейности,
правило дифференцирования оригинала и начальные условия (7), полу-
чаем для определения изображения У(р) алгебраическое уравнение
L(p)Y(p) - М(р) = F(p), Rep > d,	(8)
где
М(р) = РП-1УО +   • + РУп-2 + Уп-1 +
+ а1 (рП 2Уо -I-+ РУп-3 + Уп-2) + •  • + ап-1У0-
Таким образом, операционный метод сводит решение задачи Коши (6),
(7) к чисто алгебраической операции — решению линейного алгебраиче-
ского уравнения. При Rep > а характеристический многочлен L(p) О
и уравнение (8) однозначно разрешимо. Отсюда
Rep>i,
L\P)
и остается по У(р) восстановить его оригинал, что на практике делается
по таблицам с использованием свойства единственности оригинала.
Заметим, что если начальные условия (7) не заданы, то операцион-
ный метод дает общее решение уравнения (6), так как в М(р) числа
Уо, yi,  • • , Уп-i — произвольные постоянные.
Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения y"(t) — 5y'(t) +4y(t) =4,
t > 0, при начальных условиях р(+0) = 0, j/(+0) = 2.
Д Будем считать, что правая часть уравнения и решение y(t) урав-
нения при t < 0 равны нулю. Характеристический многочлен L(p) =
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнений 107
р2 —5р+4 имеет корни pi = 1, рг = 4. Пусть y(t) = Y(p) при Rep > 4.
Применив при Rep > 4 к заданному на всей оси Я, уравнению пре-
образование Лапласа, получаем для У(р) алгебраическое уравнение
(р2-5р + 4)У[р) = J + 2.
Отсюда, разлагая дробь на сумму простых дробей, имеем
YM = 2р + 4	= 1 - 2 + 1
р(р2 — 5р + 4) р р—1 р —4’
Переходя к оригиналам, используя формулу (5) и свойство един-
ственности оригинала, получаем искомое решение задачи Коши
y(t) = 1 — 2е‘ + е4<.	А
Операционный метод с успехом применяется и для решения задачи
Коши для линейных систем с постоянными коэффициентами
i(t) = Ax(t) + f(t), t > 0, з:(+0) = xq.	(9)
где А —числовая квадратная матрица порядка п, /(4)—заданная вектор-
функция с п компонентами, которые все являются оригиналами, то ~
заданный числовой n-мерный вектор.
Продолжим /(t) нулем для t < 0. Пусть f(t) = F(p), Rep > а, и пусть
Pl,... ,Pm> 1 <тп<п, — все собственные значения матрицы А. Используя
формулу (6) § 4, можно доказать, что тогда x(t), x(t) являются ориги-
налами, если их считать равными нулю при t < 0, и их преобразования
Лапласа всегда существуют при Rep > а — max(a, Repi,... , Repm). На-
пример, это ясно, когда /(<) представляет собой конечную сумму вектор-
квазимногочленов, так как в этом случае при t > 0 всякое решение систе-
мы (9) также является конечной суммой вектор-квазимногочленов. Пусть
x(t)=A’(p), Rep > а. Применяя к линейной системе (9) преобразование
Лапласа, получаем алгебраическую линейную систему уравнений
рХ(р) -х0= АХ(р) + F(p).
При Rep > a det(pE — А) / 0 (Е — единичная матрица) и, значит, опре-
делена обратная матрица (рЕ — А)-1. Отсюда
Х(р) = (рЕ-A)-1[a;0 + F(p)], Rep > а.
Находя по известному Х(р) оригинал х((), получим искомое решение за-
дачи Коши.
Пример 2. Решить задачу Коши при t > 0 для системы
{х = — х + 2у,
У - -х - 4у,
при начальном условии х(+0) = у(+0) = 1.
108 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
А Положим x(t) = y(t) = 0 для всех t < 0. Собственными значениями
матрицы системы являются р\ — —3, Р2 — —2. Тогда ж(£), y(t) —
оригиналы, для которых определены преобразования Лапласа при
Rep > —2. Пусть x(t) = Х(р), y(t) = Y(p). Применяя к заданной
системе преобразование Лапласа, получаем линейную систему для
нахождения Х(р), У(р):
(р+1)Х(р)-2У(р) = 1,
Х(р) + (р + 4)У(р) = 1, Rep>-2.
Разлагая выражения дим, что Х(р) = У(р) =	для Х(р), Y(p) на р+6	4	элементарные дроби, нахо- 3
	р2 + 5р + 6 р + 2 Р	_	2	р + 3’ 3 + р + 3’
	р2 + 5р + 6	р + 2	
Отсюда получаем решение задачи Коши:
x(t) = 4е 21 - Зе 3t, y(t) - Зе 3< - 2е 2t.	▲
§6. Методы решения произвольных линейных
систем с постоянными коэффициентами
Линейную систему п уравнений с постоянными коэффициентами и с п
неизвестными функциями можно записать в следующем виде
Aox<m>(t) +	+  + Am-ix'(t) + Amx(t) = f(t),	(!')
где t — аргумент, x(t) — неизвестная вектор-функция с п компонентами,
Ад,... ,Ат —заданные числовые квадратные матрицы порядка п, причем
Ао — ненулевая матрица, /(<) — заданная вектор-функция с п компонен-
тами. Будем считать в дальнейшем, что t изменяется на всей числовой
оси Л/, a f(4) —заданная на Л* вектор-функция, имеющая достаточное
число непрерывных производных.
Если порядок системы (1') относительно компоненты xj(t), j = l,n,
неизвестной вектор-функции x(t) обозначить через rrij, j = 1,п, то поря-
док М линейной системы определяется формулой М — mi +  • • + m„. В
случае невырожденной матрицы Aq М = mn, так как каждое m,j — т,
и М < тп в случае вырожденной Ао-
Используя оператор дифференцирования D (см. § 1 главы 2), введем в
рассмотрение матричный дифференциальный многочлен степени т вида
1(D) = A0Dm + А! Л"*-1 + - - - + Arn-iD + Am,
§ 6. Методы решения произвольных линейных систем	109
заданный на множестве вектор-функций с п компонентами, имеющими
т непрерывных производных на RJ, формулой
l(D)x(t) = АоХ^Ц) +	Ч----1- Amx(t).
Тогда система (V) примет вид
l(D)x(t) = /(t).	(1)
Произвольную линейную систему (1), как и нормальную линейную систе-
му, можно решать методом исключения неизвестных. В скалярном виде
система (1) записывается так:
п
^,lij(D)xj(t) = i = T”n,	(2)
j=i
где матрица 1(D) = ||/^(Л)||, i,j = l,n.
Обозначим через Lij(D) —алгебраические дополнения элементов lij(D)
матрицы 1(D) и положим L(D) = det 1(D). Пусть N — степень L(D). Яс-
но, что N < М. Если х — <д(<) — решение системы (1) на Я/, то имеем
тождества
п
* =	(з)
>=1
В силу условий на f(t) решение х = <p(t) — достаточное число раз не-
прерывно дифференцируемая вектор-функция на Я/. Метод исключения
применяется в том случае, когда L(D) 0. Это, например, всегда так в
случае невырожденной матрицы Aq. В этом случае N = М. Действуя в
точности так же, как и в случае нормальной линейной системы (см. те-
орему § 1), получаем из (3), что
п
L(D)<pk(t) ^^LikWfid), к = МГ.	(4)
t=i
Итак, каждая компонента решения системы (1) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению порядка N (4). Однако не всякий набор
решений <Д1 (t),... , <pn(t) системы (4) определяет решение линейной систе-
мы (1). Поэтому на практике в случае L(D) const после того, как най-
дены общие решения уравнений (4), содержащие вместе nN произволь-
ных постоянных, подставляют общие решения (4) в исходную систему
(1) и определяют связь между найденными постоянными. В результате
получаем решение (1), зависящее от N произвольных постоянных.
Пример 1. Решить систему уравнений
х + Зу — х = 0,
х + Зу - 2у — 0.
110 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Д В этом случае
ЗР°-2| = 2"ЗР’2°!'
Характеристический многочлен L(A) для дифференциального много-
члена L(D) имеет вид L(X) = 2 — ЗА — 2А2. Он имеет корни Ai — —2,
Aj = |. Следовательно, ищем решение системы в виде
x(t) = C\e~2t + С^е^, y(t) = Сзе-2£ + С4е&,
где связь между постоянными Сц, С2, Сз, С4 находим подстановкой
x(t), 3/(0 в систему. Подстановка дает С\ = — 4Сз, С? = С4. Значит,
решение исходной системы имеет вид
z(t) = -4C3e“2t + С4е*‘, y(t) = С^е"2' + С4е*1,
где Сз, С4 — произвольные постоянные.	А
Заметим, что в случае L(D) = const 0 решения уравнений (4) не
содержат произвольных постоянных и их подстановка в исходную систе-
му (1) приводит к некоторому условию разрешимости системы (1). Это
условие на f(t) и ее производные.
Другой метод решения системы (1) применяется в том случае, когда
L(D) 0 const. Это условие, например, выполнено в случае невырожден-
ности матрицы Ло- Ограничимся случаем линейной однородной системы
(detAo / 0):
l(D)x(t) = A02:(ra)(t) +	+   • + Amr.(t) = 0.	(5)
Очевидно, система (5) имеет тривиальное решение x(t) = 0. Будем искать
нетривиальные решения (5) в виде x(t) = eAt • h, где h 0 —n-мерный
числовой вектор. Подстановка т(<) в систему (5), приводит к алгебраи-
ческой системе
l(X)h = {ХтА0 + A”*"1 Ai + •   + AAm_t + Am)h = 0.	(6)
Матричный пучок
/(А) = AmAo +	1-^1 +  • • + AAm-i + Ат
называется характеристическим пучком системы (5), а уравнение степе-
ни N
ЦХ) = det/(A) = det(AmA0 + А”1-1 А] + • •  + Ат)
называется характеристическим для уравнения (6). Его корни называют-
ся собственными значениями пучка /(А), а соответствующие им решения
h / 0 уравнения l(X)h = 0 называются собственными векторами пучка
/(А). Ясно, что для степени /V многочлена ЦХ) имеем 1 < /V < М.
Таким образом, чтобы система (5) допускала решения в виде x(t) —
еЛ£ • Л, h / 0, необходимо и достаточно, чтобы А было собственным зна-
чением, a h — собственным вектором матричного пучка 1(Х).
§ 6. Методы решения произвольных линейных систем 111
Пусть матричный пучок /(А) имеет попарно различные собственные
значения А^Хг,... , Aw и пусть hi,h.2,... ,Hn — соответствующие им соб-
ственные векторы. Методом математической индукции можно установить,
что hi,hz,... ,hfj —линейно независимые векторы в n-мерном линейном
пространстве, т. е. они образуют базис этого пространства. Следователь-
но, в этом случае все решения системы (5) задаются формулой
x(t} = С1еА1Ч1 +    + CNeXflt  hN,
где Ci,... , Cn — произвольные постоянные.
Пусть теперь Aq — fcg-кратный корень уравнения L(A) — 0. Тогда из-
ложенный метод может не привести к цели, так как в общем случае
линейно независимых собственных векторов, соответствующих Ао, оказы-
вается меньше kQ. Тем не менее, из уравнения (4) следует, что реше-
ния, относящиеся к Ао, имеют вид x(t) — еА°е • Pk0-i(t), где Pk0-i(t) —
вектор-многочлен степени (ко — 1). Эти решения можно найти методом
неопределенных коэффициентов.
Пример 2. Решить систему уравнений
(х — 2у + 2.т = О,
+ у — Зу — 0.
Д В нашем случае характеристический пучок
,м,_<А2 + 2А	—2А X
ЗА А2-в;-
Его собственные значения А] = 2, Аг = —2, Аз = 2г, А^ = -2г и
— соответствующие им линейно независимые собственные векторы
пучка /(А). Тогда все комплексные решения системы имеют вид
Cw) =	(з) + 6г‘~“ (-з) + 6з‘‘“	+	(?) •
где С2, Сз, Ct, — произвольные комплексные постоянные. Отсюда
все действительные решения можно получить тем же методом, что
и для нормальных линейных систем (см. § 2). В результате находим,
что все действительные решения системы задаются формулой
= Схе21 (2) + C2e~2t ( 2 ) + С3 (2Sin2^ + С< (~2.COs2<') ,
уЗу	\ Зу ^coszt у 4 у sin2t у*
где (71, С*2> Сз> <74 — произвольные действительные постоянные. А
112 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Упражнения к главе 3
1.
2.
Может ли нормальная линейная однородная система второго порядка
с постоянными коэффициентами иметь решение
=e-t( 1 + <2Л?
\y(t))	V - 34 )'
Пусть x.(t) —решение задачи Коши
x(t) = Ax(t) + f(t), х(0) = О,
где Л —числовая матрица порядка п и /(t) — непрерывная на всей оси
R} вектор-функция, и пусть y(t, т) — решение задачи Коши
y(t) = Ay(t), у(0) = /(т),
где т — параметр. Доказать формулу Дюамеля:
т, r)dr.
3.	Доказать, что если собственные значения матрицы А не равны in
(п — целое), то линейная система
x(t) = Ax(t) + /(t)
имеет единственное 2тг-периодическое решение при всякой непрерыв-
ной вектор-функции f(t) периода 2тг.
4.	Вычислив матрицу etA, решить с ее помощью задачу Коши
х — Ах., х(0) =
если
/1 1 0\	/0 0 1\
а) А = 2 2 0 , б) А = 0 1 0 .
\0 0 3/	\0 0 О/
5.	Операционным методом решить задачу Коши:
y"(t) + a?y(t) = sin cut, a > 0, ш 0, t > 0, y(0) = 0, y'(0) = 1-
6.	Решить задачу Коши:
x(0) = 1, y(0) = i(0) = y(0) = 0.
X + y/6 • у — fix = 0,
у - y/6 • x + 2y = 0,
.......... Глава	4	.1 
Исследование задачи Коши
В этой главе будут изучены разрешимость задачи Коши для так называ-
емых нормальных систем дифференциальных уравнений и для уравнений
порядка п в нормальной форме, зависимость решений задачи Коши от
параметров, а также разрешимость задачи Коши для уравнений первого
порядка, не разрешенных относительно производной.
Все функции в главе 4 предполагаются вещественнозначными.
§ 1. Вспомогательные предложения
I. Пусть Cn(Z) обозначает множество всех вектор-функций <р(х) с п за-
данными непрерывными компонентами на промежутке X — [а,/?] числовой
оси R*. Если <р(х) € Cn(Z), то, по определению, J y>(()d£, где xq,xQT,
XQ
X	X
означает вектор с компонентами f <pi	f pn(£)d(. Имеет место
следующая лемма об оценке модуля интеграла от вектор-функции.
Лемма 1. Для У<р(х) g С„ (I) справедливо неравенство
f < f ИСМ
где хо,х € I.
О Из условия теоремы следует интегрируемость <р(х) и |<^(х)|. Получим
требуемую оценку.
Пусть для определенности xq < х. Разобьем [хо> я] на hi частей точ-
ками Qk-. хо = Ci < <2 < •   < (m+i = х и возьмем любое Т)к е
к — 1,т. Составим интегральную сумму, где	Ct-1 и восполь-
зуемся неравенством треугольника. Тогда
52 д& 52 М%)1 ДС*-
fc=i

114
Глава 4. Исследование задачи Коши
Рассматривая всевозможные разбиения [хо,х] на части точками и пе-
реходя в этом неравенстве к пределу при max -> 0, получаем требу-
емое неравенство.	•
Пусть на [а,/?] задана последовательность вектор-функций <Pi(x) €
Сп[а,(3], г — 1,2,3,..., и вектор-функция <^(т) 6 Сп[а,/3]. Последова-
тельность называется равномерно сходящейся к <р(х) на [а, /3] при
г —> оо, если maxz6[Q	— <£>(т)| —> 0 при г —> оо. В этом случае
пишут, что <Р:(х) ^4 <^(х), Vi € [а,/3], г —> оо.
оо
Если задан ряд из вектор-функций 52 “ЛС1)- где все <pi(x) G Сп[а,/3],
«=1
то, по определению, этот ряд называется равномерно сходящимся, если
N
последовательность его частичных сумм Ф/у(.т) = 52 йМ сходится рав-
«=1
номерно на [а, /3] при N —> оо.
Имеет место следующий признак Вейерштрасса равномерной сходимо-
сти ряда из вектор-функций.
Теорема. Если (х) | < а, для всех i = 1,2,... и всех х € [а, 0] и числовой
ОО	оо
ряд 52 ai сходится, то ряд 52 (ж) сходится абсолютно и равномерно на
i=i	»=1
М-
О Пусть tpi(x) имеет компоненты tpij(x), j = 1,п. Так как |<^у(х)| < а,, то
ОО	___
по обычному признаку Вейерштрасса ряд 52 ‘Pijfa), Yj — 1,п, сходится
i=l
абсолютно и равномерно. Отсюда следует утверждение теоремы. *
II. Об условии Липшица
Пусть	—(п+1)-мерное пространство с декартовыми прямоугольными
координатами х,у\,... ,уп.
Определение. Область G С называется выпуклой по переменной
у, если для любых двух точек (x,yi) 6 G, (х, j/г) 6 G и любого 0 € [0,1]
всякая точка (х,у) е G, где у = у\ + 0{yi — щ).
В случае п = 1 это определение геометрически означает, что если две
точки (x,yi), (х,у2) € GCT(xyy, то весь вертикальный отрезок, их соеди-
няющий, тоже принадлежит G. На плоскости (х,у) круг х2 + у2 < 1 —
выпуклая по у область, а тот же крут с выколотым центром является
невыпуклой по у областью.
Пусть /(х, у) —вектор-функция с заданными п компонентами в обла-
ети С с Jif+r.
§ 1. Вспомогательные предложения
115
Определение. Говорят, что f(x,y) в области G удовлетворяет условию
Липшица относительно у равномерно по х, если 3 число L > 0 такое, что
l/(z,yi) -/(®,У2)| <	- Ы»
для любых точек (x,yi) 6 G и {х, уг) € G. Число L называют постоянной
Липшица.
Обозначим через Cn(G) множество всех вектор-функций с п заданны-
ми непрерывными компонентами в G.
Лемма 2. Пусть выполнены следующие условия:
1)	G — выпуклая по у область
2)	f(x,y) е C^G),	€ C(G), Vi,; = Т^.
3)	существует число К > О такое, что	— Л для \/i,j — 1,п,
V(i,y) 6 G.
Тогда вектор-функция f(x, у) удовлетворяет в области G условию Лип-
шица относительно у равномерно по х с постоянной Липшица L — п3^2К.
О Пусть вектор yj имеет компоненты уу,... ,ynji 3 — 1,2. Используя
условия леммы 2, для каждой компоненты fi(x,y) получаем оценку:
^fi к, У2 +	~ У2)] dd =
о
. te| _ <
<	-3/2I
Используя формулу длины вектора с п компонентами, отсюда
- /(®»У2>| < п3/2К\У1 -J/2|-	•
Из леммы 2 следует, например, что при п = 1 всякая непрерывно
дифференцируемая скалярная функция f(x,y) в замкнутом прямоуголь-
нике G — {(х,у) : |т — то| < а, |у — уо| < 6}, где числа а и Ь положитель-
ные, удовлетворяет условию Липшица по переменной у равномерно по
х. Однако уже функция f(y) = ^/у не удовлетворяет условию Липшица
в окрестности у — 0.
Требование выполнения условия Липшица по у более слабое, чем тре-
бование существования производной по у. Например, функция f(y) = |у|
удовлетворяет условию Липшица в окрестности у — 0, но не имеет при
116
Глава 4. Исследование задачи Коши
у = 0 производной. Для функции одной переменной требование выполне-
ния условия Липшица занимает промежуточное место между непрерыв-
ностью и дифференцированностью функции.
III. Лемма Гронуолла
Эта лемма имеет важные применения в теории дифференциальных урав-
нений.
Лемма 3 (лемма Гронуолла). Пусть на промежутке Т С R'-x скалярная
функция <р(х) > 0 непрерывна и удовлетворяет- неравенству
<р(х) < А + В
X
I
то
где А > О, В > 0, xq, х Е Т. Тогда для Vx Е 2
<р(х) < А  es'®-T°L
X
О Пусть для определенности хи < х. Положим Ф(х) = f tp(£)d£. Из усло-
хо
вий леммы следует, что Ф'(з:) = <р(х), Ф(то) = 0, 0 < Ф'(г) < А + ВФ(х).
Умножив неравенство на e~s(x~x°\ имеем
[ф(аг)е-в<®-®°>] < Ае-В(®“®о).
Интегрируя это неравенство от xq до х и учитывая, что Ф(хо) = О,
получаем
Ф(х)е~в(®“®0) <	[e-st*-*») - 1] .
Находя отсюда оценку для Ф(ж) и подставляя ее в неравенство <р(х) <
А + ВФ(.т), получаем утверждение леммы.	*
Нам понадобится также так называемая усиленная лемма Гронуолла,
которая доказывается по той же схеме, что и лемма Гронуолла.
Лемма 4 (усиленная лемма Гронуолла). Пусть на промежутке Т Q R^
скалярная функция <р(х) > 0 непрерывна и удовлетворяет неравенству
<р(х) < А + В
X
У <р(СХ
Хо
+ С\х - а?о|,
где А > О, В > О, С > 0, xq, х £ Т, ад х. Тогда для 'ix € Т.
<р(х) < Аев1®-®’1 +	- 1
§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши
117
§ 2. Существование и единственность решения
задачи Коши для нормальной системы
дифференциальных уравнений
1. Задача Коши для нормальной системы уравнений
Нормальной системой порядка п > 2 дифференциальных уравнений на-
зывается система уравнений вида
V1(*) =	••• ,Уп),
< ......................
.!/«(*) =	. ,уп),
где х — аргумент, у, (ж),... ,уп (х) — неизвестные функции, f\(x,yy,... ,
уп),  > fn{x,y\,..., уп) —заданные непрерывные функции в некоторой
непустой области G (п + 1)-мерного пространства 7?"^ ynj с декарто-
выми прямоугольными координатами x,yi,... ,уп.
Для сокращения записи нормальной системы удобно перейти к век-
торным обозначениям. Пусть
( f\(x,yi,...
\fn(x,yi,...
Уп(х)/
f(x,y) =
> Уп)
,Уп)
При таких обозначениях отождествляется точка у = (у у,... , уп) евкли-
дова пространства Rn с вектором у, имеющим компоненты yi,...,yn.
Нормальная система в векторных обозначениях примет вид
у!(х) = f(x,y),	(1)
где f(x,y) € Cn(G).
Определение. Вектор-функция у = у>(х) называется решением нормаль-
ной системы (1) на промежутке Т С Я*, если:
1.	<р(х) Е (Д (Z) — множеству всех непрерывно дифференцируемых
вектор-функций на промежутке Т,
2.	точка (т,<^(х)) е G для всех х € Z,
3.	<р‘(х) = f [ж, <^(я)] на Т.
График решения у = <р(х), х g I, системы (1), т.е. множество всех
точек (x,tp(x)), Чх g I, называется интегральной кривой нормальной си-
стемы (1). Из определения решения (1) следует, что интегральная кривая
системы (1) является гладкой кривой, принадлежащей области G (п+1)-
мерного пространства Рассмотрим начальное условие
у(хо) = Уо, (x0,y0)eG.	(2)
Точка (хо,уо) 6 G называется начальной точкой, а ее координаты жо, уо
называются начальными данными.
118	Глава 4. Исследование задачи Коши
Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1),
удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши
или начальной задачей.
Геометрический смысл решения задачи Коши (1), (2) состоит в том,
что ищется интегральная кривая нормальной системы (1) в области G,
проходящая через заданную точку (хо,уо) е G.
Система уравнений вида
X
у(х) = уо + У"(3)
где (хо,уо) € G, f(x,y) €C„(G), называется системой интегральных урав-
нений. Вектор-функция у — <р(х) называется решением на промежутке 1
системы (3), если:
1.	^(з:) е Cn(Z),
2.	точка {х,у>{х)) € G, Ух € X,
3-	¥>(х) = Уо + f	Vt € 2.
Покажем, что разрешимость задачи Коши (1), (2) эквивалентна раз-
решимости системы интегральных уравнений (3).
Лемма об эквивалентности. Вектор-функция у = ip(x) — решение зада-
чи Коши (1), (2) на промежутке X тогда и только тогда, когда у = <р{х) —
решение на X системы интегральных уравнений (3).
О Если у = tp(x) — решение на X задачи Коши (1), (2), то /[x,v?(x)] —
непрерывная на X вектор-функция. Тогда интегрирование от х0 до х
тождества у>'(х) = f [х,на X с учетом (2) дает тождество из п. 3
определения решения (3), т.е. у = <р{х) — решение (3) на X. Обратно, если
у — tp(x) — решение (3) на X, то / [т, v?(x)] — непрерывная на X функция.
Тогда, как следует из курса анализа, можно дифференцировать тожде-
ство из п. 3 определения решения (3). Полученное в результате диффе-
ренцирования тождество показывает, что у = (р(х) — решение уравнения
(1). Полагая х = xq в тождестве п. 3 определения решения (3), находим,
что у = <р(х) удовлетворяет начальному условию (2).	•
2. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши
Теперь сформулируем и докажем теорему, дающую достаточные усло-
вия существования и единственности решения задачи Коши (1), (2). Эта
теорема является основным теоретическим инструментом при изучении
нормальных систем дифференциальных уравнений, которые, как прави-
ло, не допускают решений в квадратурах.
j 2. Существование и единственность решения задачи Коши
119
Теорема 1. Пусть вектор-функция f(x,y) е Cn(G) удовлетворяет на ка-
ждом компакте (ограниченном замкнутом множестве) области G усло-
вию Липшица по у равномерно по х и пусть, кроме того, (хо, уо) Е G. Тогда:
1. найдется такое число 5 > 0, что при |х — хо| < решение задачи
Коши (1), (2) существует,
2. решение задачи Коши (1), (2) единственно в том смысле, что если
у = <р(х) и у = ip{x) — два какие-либо решения задачи Коши (1), (2), то
<р(х) ~ гф(х) на пересечении Т промежутков определения этих решений
(х0 е I).
О В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к
доказательству существования и единственности решения эквивалентной
задаче Коши (1), (2) системы интегральных уравнений (3).
А) Доказательство существования решения системы (3).
Поскольку (хо,уо) € G и G — открытое множество, то 3 такие чи-
сла р > 0, q > 0, что замкнутый ограниченный цилиндр Gpq =
{(х,у) е G : |х - Хо| < Р-,\У - уо| < 9} принадлежит G. Цилиндр Gp<? пред-
ставляет собой выпуклую по у область. В силу того, что цилиндр Gpq —
компакт, найдется такое число М > 0, что
|/(®, У)| < М, V(x,y) € Gpq.
По условию теоремы 1 вектор-функция f(x,y) в области Gpq удовле-
творяет условию Липшица по у равномерно по х, т. е. 3 число L > О,
зависящее от цилиндра Gp?, такое что
l/(z,У1) - f(x,V2)\ < Ь|У1 - У21, V(x,t/i), (х,р2) £ Gpq. (4)
Будем строить решение системы интегральных уравнений (3) методом
последовательных приближений Пикара при |х - xq| < S, где 6 =
min (р, ^). Определим последовательные приближения следующим рекур-
рентным образом при [х — ха| < <5:
X
Уо(х} = у0, yi+i(x) =уо + У/к, !/i(0] de, г = 0,1,2,...	(5)
хо
Убедимся сначала в том, что при |х — хо| < J каждая функция yi(x) —
непрерывна и что (х,у,{х)) € Gpq, » = 0,1,2,.... Применим метод матемаг
тической индукции. Ясно, что у\(х) непрерывна. По лемме 1 § 1 имеем,
что при |х — хо| < <5
|У1(*) - 2/о(^)1 =
У f[C,yoW
Го
X
У 1/К>»оМ
хо
< М\х — Хо| < М6 < q,
так как <5 < Значит, (x,j/i(x)) е Gpq.
120
Глава 4. Исследование задачи Коши
Пусть при |х — io| < <5 функция yi(x) непрерывна и пусть (x,yi{x)) G
Gpq. Докажем, что при |х — а;0| < 6 функция yi+i (х) непрерывна и
(x,yi+i(x)) € Gpq. Так как yi(x) непрерывна при |а; —iq| < <5 и (x,yi(x)) е
Gpq, то при |а; — хо| < <5 функция	непрерывна. Тогда из (5)
следует непрерывность y,+i(x) при |а: — tqI < S. Кроме того,
|V£+lte) - vol =
f /[C,Vi(CM
Xo
f l/K>s»
xo
< M\x — io| < MS < q.
Итак, при |a; — xol < S все последовательные приближения y,(x) непре-
рывны и их графики лежат внутри цилиндра Gpq. Покажем, что после-
довательность {j/j(x)}“0 сходится равномерно для |.т — хо| < <5 при г —> оо.
Как известно из курса анализа, равномерная сходимость {yi(x)}°^0
эквивалентна равномерной сходимости при |х — то| < <5 ряда вида
ОО
Vote) + 22 [зл+1 (яО - V«'te)] •
£=0
(6)
Проверим для ряда (6) выполнение условий признака Вейерштрасса
равномерной сходимости. С помощью метода математической индукции
установим справедливость оценки при |х — а?о| < <5:
1~ _ TnP'+l
\у^(х)-у^х)\<Ь1М>	, i = 0,1,2,...	(7)
При г = О оценка (7) была установлена выше. Пусть
Ivite) -v»-ite)l < ь'~лм'~—
г!
Так как (x,yi(x)) £ Gpq, |х — х0| < <5, то из неравенства (4) получаем:
X
Ivi+ite)-Vite)l < У {/[C,Vi(O]-/IGv.-i(C)]}rfC <
X
< f l/K,Vi(C)]-/[Cvi-i(CW <
Xo
X
<L 1\уМ)-У1-х(Ж <
xd
M~lM
il
xo
X
им
§2. Существование и единственность решения задачи Коши	121
Таким образом, обоснована оценка (7) общего члена ряда (6). Из оценки
(7) следует, что при jx — xq| < 6
. <5’+1
|У£+1(®) ~Уг(х)\ < ML'—-гту, «=0,1,2,...
Значит, ряд (6) мажорируется сходящимся числовым рядом
|У0| +	= |2/о1 + Т ~ 9 
По признаку Вейерштрасса ряд (6) сходится равномерно при |s —а?о| < i
к некоторой вектор-функции у = <р(х) Следовательно, и
Vi(x) =4 у>(х)
для |г—tq| < 3 при г —> оо. По известной теореме из курса анализа о том,
что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных вектор-функций
является непрерывной, вектор-функция у = <р(х) непрерывна при |ж —
то| <6. Переходом к пределу при i ч оо в неравенстве — уо| < 9
для |z — хо| < <5 убеждаемся в том, что график у = <р(х)у т. е. множество
всех точек {х,(р(х))у |а; — tq| < <5, находится в цилиндре Gpq.
Покажем, что у = у>(х) — решение системы (3) при |х — з?о| < S. Так
как (х,€ Gpg и (ао,з/<(ж)) 6 Gpg, i = 0,1,2,..., для |a:-zo| < то,
применяя оценку (4), имеем:
I/	/ [я?, <рО)] <
< L|pi(2:) - ч>(х)\ <L max lyi(x') - <р(х)\.
|x-ro|<<>
Так как уу{х) =4 у>{х) для —хо| < 5 при i -4 оо, то из последней оценки
следует, что и f [г,	=4 f [г, у?(а:)] для |т-io| < <5 при г -4 оо. Но тогда
по теореме из курса анализа следует, что для \х — ссо| < <5 при i —> оо
X	X
f flC,yi(Q]<K=t IЛС-ХСЖ.
ГО	XQ
Переходя к пределу при г —> оо в равенстве (5), получаем, что
X
4>(х} = Уо +к - г0| < S.
Хо
Это значит, что у = 92(ж) — решение системы (3) при |т — то| < где
6 = min (р, ^).
122
Глава 4. Исследование задачи Коши
Б) Доказательство единственности решения системы (3).
Пусть у = у>(х) — решение системы (3) на промежутке Т\ (xq 6 Д) и
у — ^>(х) — решение системы (3) на промежутке 1? (то £ Тг), т. е.
X
4>(х)=уо + У f [С,
хо
X
ф(х) = уо + У /[GV’tOMG
Хо
Ух е 1Ь
Ух е 12.
Тогда на любом отрезке [а,0] промежутка Т = Д OZ2> содержащем хц,
справедлива оценка:
|<p(z) - 1ЛО)| =
X
Хо
< L
X
У мо-^-ож
*0
поскольку при х £ [а, 0\ интегральные кривые — компактные множества
в G.
По лемме Гронуолла |<р(а:) — V>(s)| = 0, Ух € [а,/?], т.е. у>{х) = ip(x) на
[а,/3]. Так как [а,/?]— любой отрезок 1, то <р(а:) = 'Pix) на всем проме-
жутке 1.	•
Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку (то,?/о) б
G в некоторой ее окрестности проходит единственная интегральная кри-
вая системы (1).
В качестве следствия теоремы 1 получим теорему существования и
единственности решения задачи Коши для дифференциального уравне-
ния порядка п в нормальной форме.
3. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши для уравнения порядка п
в нормальной форме
Рассмотрим дифференциальное уравнение
У(и) = f(x,y,y',...	,	(8)
где f(x, yi,... ,уп) —заданная непрерывная функция в некоторой непу-
стой области G С ,, , и начальные условия
— *»!/1 «••• >Уп '	*
У(хо) = У1°\ у'(хо) =У(20)> --	= Уп\	(9)
где (то,2/1О),У2О)>• • • >У«0)) G G-
§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши
123
Теорема 2. Пусть функция f(x,yx,.-- ,уп) непрерывна в области G, удо-
влетворяет на каждом компакте G условию Липшица по ух,уг,... , уп рав-
номерно по х и пусть ^Т0)У1°\ • • • е G. Тогда:
1. найдется такое число S > 0, что при |т — т0| < 6 решение задачи
Коши (8), (9) существует,
2. решение задачи Коши (8), (9) единственно в том смысле, что если
у = <р(х) и у = ф(х) — два какие-либо решения задачи Коши (8), (9), то
(р(х) = ф(х) на пересечении промежутков определения этих решений.
О Покажем сначала, что задача Коши (8), (9) редуцируется к задаче
Коши для некоторой нормальной системы уравнений. Сделаем в задаче
Коши (8), (9) следующую замену переменных: у — ух, у' — у?, у" =
Уз,- • 	= Уп- Тогда уравнение (8) перейдет в нормальную систему
вида
у'х = У2,
У2 = Уз,
........................................ (Ю)
Уп—Х = Уп,
Уп = f(x,yx,... ,уп),
а начальные условия (9) примут вид:
Ух(х0) = у(°\ У2(%о) = У1},    ,УпМ =у<0).	(11)
Очевидна эквивалентность задачи Коши (8), (9) и задачи Коши (10),
(И) в том смысле, что если у — у>(х) — решение (8), (9) при х е Т,
то вектор-функция с компонентами <р(х), <р'(х),... ,^п-1^(а;) —решение
(10), (11) при х 6 Т и обратно, если вектор-функция с компонентами
у>х(х),... ,<рп{х) —решение (10), (11) при х 6 Z, то функция у = у>х(.х)~
решение (8), (9) при х 6 Т.
Если выполнены условия теоремы 2, то выполняются условия теоремы
1 для задачи Коши (10), (11). Следовательно, для задачи Коши (10),
(11) справедливы утверждения теоремы 1. В силу эквивалентности задач
Коши (10), (11) и (8), (9) отсюда получаем утверждение теоремы 2. •
4. Обсуждение доказанных теорем
1)	Значение доказанных теорем прежде всего в том, что они дают ин-
формацию о решении задачи Коши в тех случаях, когда нормальная
система (1) или уравнение (8) не интегрируются в квадратурах. Пример
такой ситуации дает уравнение Риккати. Тогда для их решения прихо-
дится применять численные или асимптотические методы, а для возмож-
ности их применения необходимо быть уверенным в том, что решение
задачи Коши существует и единственно.
124
Глава 4. Исследование задачи Коши
2)	Примененный при доказательстве теоремы 1 метод последователь-
ных приближений Пикара поставляет формулы приближенных решений,
а в некоторых случаях и формулы точного решения задачи Коши. При
этом нетрудно указать оценку погрешности при замене решения у — tp(x)
задачи Коши (1), (2) его п-м приближением уп(х). Именно, из оценки
(7) следует, что
оо	оо н+1
к(я) - Уп(я)| < 52 l^i+1 W -
i=n	г—п '	'*

< М8
(LS)n
Мб  eSL
(SL)n
(п + 1)!’
Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение за-
дачи Коши: у' = у, у(0) = уо-
Д Имеем:
X
*/оО) = З/о, 2/1(-т) " Уо +	= уо(1 4-z),
о
X
г	(	х2\
У2(х) = Уо+ I Уо(1 +	= Уо ( 1 4-Z+ 2[ ) •
о
Методом математической индукции получаем, что Vfc € N
(X	х^ \
1 + 1! + •• + fcT ) •
При к —> со и \/х £ R}. выполняется уь(х) —> у(х) = yoeI- Эта схо-
димость равномерная по х на каждом отрезке [—а, а], а > 0. Итак,
искомое решение у — уовх.	А
3)	При условиях теоремы 1 существование решения задачи Коши до-
казано на [а?о“ 8, то+ 5], где <5 — min (р, $)• Этот отрезок зависит от всех
исходных данных задачи Коши: /, G, xq, уо- Отрезок тем меньше, чем
ближе точка (хо,уо) к границе области G и чем больше рост |/(а:,у)|.
Доказанная теорема существования носит существенно локальный ха-
рактер: существование решения задачи Коши гарантируется лишь в не-
которой малой 5-окрестности точки xq. Этот принципиальный момент
подтверждается примерами.
Пример 2. Решением задачи Коши у' = 1 +у2, у(0) = 0, служит функция
у = tgx, ]сс| < |. Здесь <5 < ^, хотя правая часть уравнения — беско-
нечно дифференцируемая функция для Vy € Ry. Возникает вопрос
о необходимости условий на f(x,у), наложенных в теореме 1, для
получения существования решения задачи Коши. Ответ здесь таков.
§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши 125
Другим методом, отличным от метода последовательных приближе-
ний, для задачи Коши (1), (2) можно доказать теорему существо-
вания решения лишь при одном условии непрерывности /(г, у) в G
и при (то^Уо) £ G (теорема Пеано) (см., например, [35], [41]). Те-
орему существования можно доказывать и другими методами — ме-
тодом ломаных Эйлера или методом сжатых отображений (см. [35],
[43], [45]).
4)	Доказанная теорема единственности решения задачи Коши носит
глобальный характер: она верна не только в окрестности точки xq, а на
всем том промежутке I(xq G Z), где определено решение.
В отличие от теоремы существования решения задачи Коши, для
единственности решения задачи Коши, как правило, одной только не-
прерывности f(x,y) в области G недостаточно, нужны дополнительные
условия.
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши: у' — \/^, у(0) = 0. Здесь правая
часть уравнения не удовлетворяет’ условиям теоремы 1, так как она
непрерывна на всей плоскости	но не удовлетворяет условию
Липшица в окрестности у — 0. Покажем, что задача Коши имеет
бесконечное множество решений. Действительно, ее решениями слу-
жат у = 0, у = х3 и, например, любая функция вида (xq > 0)
[О,	х < хо,
у = <р(х,х0) = <
[(а:-то) , х > Не-
часто для получения единственности решения задачи Коши вме-
сто условия Липшица требуют в G существования непрерывных
i,j = 1д7.
Чтобы в этом случае можно было воспользоваться теоремой 1, необ-
ходимо установить следующую лемму.
Лемма. Если вектор-функция f(x,y) е СДС?) имеет непрерывные част-
ные производные , i,j = 1,п, в области G, то она удовлетворяет
условию Липшица по у равномерно по х на каждом компакте К области G.
О Рассуждаем от противного. Пусть утверждение леммы неверно. Тогда
найдутся компакт Ко С G и последовательности
{Ln}~=1, Ln>0, VneN,
{(s„,vV))}0°_1 С Ко,
126
Глава 4. Исследование задачи Коши
такие, что
~ /(хп,у£>)\ > Ln\yV> - у£2)|.
Поскольку Ко — компакт, то из последовательностей точек (хп,уп^) и
(хп,у^) можно выбрать сходящиеся последовательности
C'nvJ'n?) (хо,Уо1}) G Ко, (xnt,y(n2))-> (х0,у(02)) С Ко, k-чоо.
Рассмотрим вектор-функцию
в достаточно малой окрестности точки (хо^^^Уд2^). Она ограничена в
этой окрестности. Это следует из непрерывности f(x,y) в случае у^ 0
Уд2) и из леммы 2 § 1 настоящей главы в случае у^ =Уо^- Но ограни-
ченность F(x,y^,y^) противоречит нашему предположению о компакте
Kq при больших п*. Это доказывает утверждение леммы.	•
Из этой леммы следует, что утверждения теоремы 1, в частности,
верные, если f(x,y) и ее частные производные по у непрерывны в обла-
сти G. Непрерывность же f(x,y) и ее частных производных по у на
практике проверить легче, чем условие Липшица по у равномерно по х
для f(x,y).
5)	Если расширено понятие решения системы (1), то можно устано-
вить теорему существования таких «обобщенных» решений задачи Коши
и для вектор-функций f(x,y), не обязательно непрерывных в G (см. [38],
[43]).
Однако и условие Липшица и условие непрерывности частных произ-
водных от f(x,y) по у\,... , уп не являются необходимым условием един-
ственности решения задачи Коши.
Замечание 1. Будем называть решение системы (1) особым, если ка-
ждая точка (хо,уо) интегральной кривой этого решения является точкой
неединственности решения задачи Коши (1), (2). Из теоремы 1 следует,
что точки неединственности решения задачи Коши могут быть только
среди тех точек G, в окрестности которых не выполнено условие Лип-
шица по у.
Так, например, в примере 3 решение у = 0 — особое. Более подробно
об особых решениях см. в § 6 настоящей главы.
§3. Непродолжимое решение задачи Коши
127
Замечание 2. Важным частным случаем нормальной системы (1) явля-
ется нормальная линейная система дифференциальных уравнений
у'(х) = А(х)у(х) + f(x),
где A(x) — заданная непрерывная на промежутке Т С /?*. квадратная ма-
трица порядка п, а /(т) — заданная вектор-функция с п непрерывными
компонентами на Т. В следующей главе 5 будет показано, что теоре-
му 1 для таких систем можно уточнить. Именно будет доказано, что
решение задачи Коши для нормальной линейной системы существует и
единственно на всем промежутке Т. Аналогичный результат в главе 6
будет установлен и для задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения порядка п
У(п) + ai(x)i/("_l) + • • • +	= f{x)
с непрерывными в1(г),... ,йп(т),/(а:) на промежутке Т.
Замечание 3. Система дифференциальных уравнений вида
Vr1^) = fl (х,У1,у'1,---	,Уп,Уп,--- ,Уптп-1)),
< .....................................................
Уп W — Jn у2'» УЬ Ур • • • > Уi	j • • • 1 Уп> Уп' • • • »Уп j >
называется канонической системой порядка т = ттц + • • • + тп. Заменой
вида yj = yj0, Vj = yji,---	— yj,m}-i, 3 — каноническая систе-
ма порядка m сводится к эквивалентной нормальной системе порядка т.
Таким образом, изучение разрешимости задачи Коши для канонической
системы сводится к изучению эквивалентной задачи Коши для нормаль-
ной системы дифференциальных уравнений. Для канонической системы
начальные условия задаются условиями вида (9) для каждой из функ-
ций yi(x),... ,yn(^)i причем для yi(x) задается mi условий,... , для уп(х)
задается тп условий.
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши
Пусть для нормальной системы (1) из § 2 заданы два решения: у — <pi(x)
на промежутке Т\ и у = «^(т) на промежутке Z2. Если Т\ С Z2 и
¥>j(t) = ЧЪ^х) для всех х € Zi, то говорят, что решение у = <^г(х) явля-
ется продолжением решения у =	(х) с промежутка Zi на промежуток
Z2 или что решение у = является сужением решения у — <р2(х) с
промежутка Z2 на промежуток Z}.
128	Глава 4. Исследование задачи Коши
Если существует промежуток 2 = Т\ Г) Тч такой, что y>i(x) — у>ч{х) Для
всех х €2, то в этом случае решения у = <pi(x) и у = чъ(х) системы (1)
являются продолжениями одно другого, а вектор-функция
.	Г<Р1(з:), о: €21,
является решением системы (1) для всех х G 2i U 2г. В частном случае,
когда 2 вырождается в точку, происходит стыковка решений у = <pi(x),
у — <рч(х). Стыковка решений также представляет решение системы (1)
на 2i U 22.
Определение. Решение у = <р(х) на промежутке 2 системы (1) § 2 на-
зывается нспродолжимым, если не существует никакого другого решения
системы (1), являющегося его продолжением.
Из этого определения следует, что промежуток 2 непродолжимого ре-
шения у = ip(x) является максимальным в том смысле, что для всякого
другого решения системы (1) у — 'ф(х') на промежутке 2j, совпадающего
с у = <р(х) там, где <р(х) и ф(х) определены одновременно, 21 является
частью 2.
При выполнении условий теоремы 1 § 2 было доказано существова-
ние решения задачи Коши (1), (2) из § 2 на отрезке [хо — 5, а?о + £]» где
6 = min (р, Следующая теорема показывает, что полученное решение
задачи Коши может быть продолжено единственным образом до непро-
должимого решения.
Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 1 § 2. Тогда для любой точки
(хо,Уо) € G задача Коши (1), (2) из § 2 имеет единственное непродолжи-
мое решение у — Ф(х), определенное на некотором максимальном интер-
вале При этом, если х —> а + 0 или х —> Д — 0, соответствующая
точка М (х, Ф(х)) интегральной кривой покидает любой компакт К С G и
либо М —> оо (т. е. хотя бы одна из координат М стремится к со), либо
расстояние от М до границы 9G области G p(M,dG) —> 0.
О Пусть для определенности область G не совпадает со всем простран-
ством R™+y') и ПУСТЬ Л>(®0|{ю) € G.
Построим цилиндр Go = {(х,у) € G : |х - х0| < ро, |у - Уо| < Яо}, где
Ро,9о < 41 и do - p{A0,dG}. Если А(х,у) е Go, то |ЛЛ0| < |х-хо|4-|у-уо| <
Ро + <?о < Следовательно, Go С G и по теореме 1 существует един-
ственное решение задачи Коши (1), (2) у — <ро(х) при |х — xq| < 5о, где
0 < <50 = min(p0, Д), Мо = шах|/(х,у)| при (х,у) € Go-
Положим Xi — xo + 6q, у\ = <Po(zi) и возьмем точку 4i(xi,yi). По-
строим цилиндр
Gi = {(х,у) € G : |х - xj < pi,|y-yi| < <?t} ,
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши
129
где pi,qi < и dj = p(Ai,dG). Так как Gi С G, то по теореме 1 § 2
существует единственное решение у = 9?1(г) системы (1) с начальным
условием y(xi) — yi, определенное при
х  (
5i = mm(pi,—
Mi = шах |/(а:, у) |,
(х,у) е Gi.
В силу единственности решения на пересечении отрезков [т0 — 5о, то + 5о],
[ti — Ji, Д1 + Ji] решения у = <ро(х) к у = <Р1{т) совпадают. Поэтому
вектор-функция
. , .	— т0| <50,
У = ф1(а:) = S , . ,	, . .
I <р1(т), |т — xi| < 51,
является единственным решением задачи Коши (1), (2) из § 2 на
[а?о — 5q, xi + 51], xi = то + 5q.
Продолжая этот процесс дальше, на k-м шаге получим единственное
решение у = Ф*(т) задачи Коши (1), (2) из § 2 на [so ~ 5о, xk + 5^], где
хк = s0+50+51+ -- + 5fc_1, 5, = min (р,-, $0, Mj = max |/(т,У)|, (т,У) € Gj,
j = 1, к. При к —> оо придем к единственному решению у = Ф(т) задачи
Коши (1), (2) из §2, определенному на [то-5о,/3), где /3 = lim (ti;+ 5,.).
k-ttx>
Покажем, что у = Ф(т) непродолжимо вправо.
Если /3 = оо, то вопрос о продолжении Ф(т) отпадает. Пусть |/3| < оо.
Если lim Ф(т) не существует или равен ±оо, то Ф(т) нельзя доопре-
г-»/3-0
делить в точке {3 и, значит, нельзя получить решение (1), (2) из § 2 на
[т0 — 5о,/3], т. е. Ф(т) непродолжимо на этот отрезок.
Если 3 Пт^Ф(т) — В, то положим Ф(/3) — В. Рассмотрим у — Ф(т)
для х € [sq — 5О,/3] и покажем, что точка (J3,B) 6 dG и, следовательно,
у = Ф(т) непродолжимо на [то — 5О,/3].
Рассуждаем от противного. Пусть (f3,B) gG и Ф'((3) = /[/?, Ф(/3)]. То-
гда интегральная кривая для у = Ф(т) на [то - 5о,/3] — компактное мно-
жество Е С G. Из курса анализа известно, что тогда расстояние между
Е и dG p(E,dG) = d > 0. Рассмотрим точку Q(x,y) & Е и построим
цилиндр G(Q) с центром в точке Q:
G(Q) - {(т,у) € Е : |т-т| <р, |У-У| < <?}, p=p(G(Q)), q~q(G(Q)),
где p,q < -^p(Q,dG), M (G(Q)) = max |/(т,у)|, V(s,y) 6 G(Q). В замкну-
той области
G= U
QkCE
5-2769
130 Глава 4. Исследование задачи Коши
|/(з:,у)| < M(G) = max^\f(x,y)\, причем M(G) > М (G(Qk)); p(G(Qk)) и
q(G(Qk)} > Но это значит, что
{Ль ’I	( П ’I
wfyf >0
Это противоречит условию
оо
0 = Хо + 52 Sk < °0-
к-1
Итак, предположение (0, В) € G неверно и решение у = Ф(х) непро-
должимо в точку (/?, В). Остается показать, что решение у = Ф(х) поки-
дает всякий компакт К с G. Пусть p(K,dG) = с > 0. Обозначим через
Ке замкнутое множество, полученное присоединением к К всех тех то-
чек <2 € G, для которых p(Q,dK) < f. Пусть Ме = max |/(а:, j/)| при
У(х,у) £ Ке. Тогда при ранее проведенном построении неравенство
г f q^ s.	• / £	1
г‘ * mm («' ими) ? " “° (< ПГЛ1
справедливо до тех пор, пока Qk € К. Таким образом, каждый шаг
продолжения продвигает решение Ф(т) больше, чем на со- Следовательно,
конечное число продолжений решения у = q>o(x) с шагом 5* > eq выведет
интегральную кривую для у = Ф(а:) из компакта К.
Аналогично строится продолжение решения у = <ро (х) влево от точки
io- Полученное непродолжимое решение у — Ф(т) будет, таким образом,
определено в некотором максимальном (а,0).
Модификация проведенных рассуждений для случая, когда G совпал
дает со всем R”z,y)' очевидна.	•
При условиях доказанной теоремы через каждую точку (хо,уо) £ G
проходит единственная интегральная кривая Г системы (1) от границы
и до границы области G (см. рис. 1).
Рис. 1
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 131
С учетом зависимости кривой Г от начальных данных (то,Уо) будем
обозначать соответствующее Г единственное непродолжимое решение за-
дачи Коши (1), (2) из § 2 через
у = Ф(х,хо,уо)-
При фиксированных (то>Уо) € G функция Ф определена на максималь-
ном интервале (а, 0), концы которого зависят, конечно, от начальных
данных хй,уо'.
а = а(хйуу0\ 0 = 0(хо,уо).
Сказанное означает, что область G сплошь покрыта непересекающимися
интегральными кривыми, если в G выполнены условия теоремы 1 из § 2.
Как будет показано в следующей главе, решение задачи Коши для
нормальной линейной системы дифференциальных уравнений
у'(х) = А(т)у(х) + f(x)
с заданными непрерывными на (а,/?) квадратной матрицей А(т) порядка
п и вектор-функцией f(x) с п компонентами существует и единственно
на всем (а,/?), если только то € (а,0). Это значит, что решение такой
задачи Коши является непродолжимым с областью определения (а,/?).
Аналогичный результат можно установить и для «почти линейных» си-
стем (1) в полосе. Именно, если f(x,y) € C(G),
G = {(z, у): x 6 (a,0),у € Лп} ,
f(x,y) удовлетворяет в G условию Липшица по у равномерно по х, то
решение задачи Коши (1), (2) из § 2 существует и единственно на всем
(а, 0), если только xq € (а, 0).
Условие Липшица по у является условием линейности роста f(x,y} по
у. Оказывается, что при большем росте f(x,y) по у ситуация меняется.
Пример. Рассмотрим задачу Коши (у(х) — скалярная функция)
У = У2, 2/(0) = Уо > 1.
Здесь функция f(x, у) — у2 имеет квадратичный рост по у и опре-
делена на всей плоскости R%xyy На первый взгляд нет видимых
препятствий для неограниченного продолжения решения задачи Ко-
ши на всю ось Ох. Однако это не так. Искомое решение задачи
Коши имеет вид
у =
1 - Уох
и определено лишь при х > -у.
132
Глава 4. Исследование задачи Коши
§ 4. Общее решение
дифференциального уравнения
Ограничимся для простоты задачей Коши для скалярного уравнения
у' =	у), у(хо)=уо.	(1)
Будем считать, что в плоской области G выполнены условия теоремы 1
§2. Тогда при V(xo,yo) € G задача Коши (1) имеет единственное непро-
должимое решение (см. § 3)
у - Ф(х,хо,уо}>
определенное в открытом множестве
Q = {{х,хо,Уо)- х е (а,/3),(хо,уо) 6 G} ,
где а = а(х0,у0), (3 = 0(хо>уо).
Как будет установлено в § 5, если f(x,y),	€ C(G), то решение
Ф{х,хо,Уо) является в Q непрерывно дифференцируемой функцией.
Определение. Функция у = Ф(х, гго,2/о)> где (х,хо,уо) € П, называется
общим решением в форме Коши уравнения у' = f(x,y).
Итак, общее решение в форме Коши содержит два параметра го> Уо-
ri арам етры хо,уо общего решения имеют простой геометрический смысл:
соответствующая интегральная кривая проходит через точку (a;o,yo)€G.
Однако понятно, что параметры хо,уо не являются независимыми, на-
пример, уо = Ф(хо1^01Уо)- Различные значения параметров могут давать
одну и ту же интегральную кривую уравнения. Это будет так, когда точ-
ка (до, I/O) перемещается по фиксированной интегральной кривой. Если
можно установить зависимость между то и уо вида хо = xo(t), уо = Уо(0
такую, что разным значениям t соответствуют разные интегральные кри-
вые и при изменении t точка (хо>1/о) пробегает все интегральные кривые,
то общее решение в форме Коши становится функцией только одного
параметра i:
у = Ф(т,хо(<),уо(<)) = $(x,t).	(2)
Например, для линейного уравнения первого порядка
у' = а(х)у + /(х),
где a(x),b(x) G C(ct,/3), при перемещении точки (я?о,Уо)| xq 6 (а,/?), по
вертикальной прямой xq = const общее решение в форме Коши становит-
ся функцией только одного параметра у о.
Таким образом, общее решение в форме Коши, задающее двухпараме-
трическое семейство непродолжимых решений всевозможных задач Коши
(1), в некоторых случаях может быть получено как однопараметрическое
семейство непродолжимых решений всевозможных задач Коши (1).
§ 4. Общее решение дифференциального уравнения
133
Определение. Непрерывная функция у — Ф(х,С), где С —параметр, на-
зывается общим решением уравнения у' = f(xty) в некоторой области
Go С G, если для V(a;o, уо) € Go уравнение уо = Ф(то,С') имеет единствен-
ное решение Со = Со(хо,Уо) и функция у = Ф(х, Go) является непродол-
жимым решением задачи Коши (1) в Go-
Если то, Уо связаны зависимостью то = ^о(^), Уо — Уо(<), удовлетворяю-
щей выше сформулированным требованиям, то общее решение в форме
Коши (2) при t = С становится общим решением уравнения.
Существование общего решения для произвольных уравнений у' =
f(x,y) можно гарантировать лишь локально, т.е. в некоторой окрест-
ности точки (то,уо)-
Теорема. Пусть f(x,y) — непрерывна в области G С удовлетворя-
ет условию Липшица по у равномерно по х па каждом компакте К С G
и (®о,Уо) € G. Тогда каждая точка (хо,Уо) £ G обладает окрестностью
U = U(xo,yo), в которой существует общее решение у = Ф(т,С) уравнения
У1 = f(x,y).
О Пусть прямоугольник П = {(т,у) G G : |т — то| < а, |у — j/ol < &} цели-
ком расположен в G. Тогда в силу теоремы 1 § 2 существует реше-
ние у = Ф(т,то,уо) задачи Коши (1) при |т - т0| < 5, б = min{a, ^},
М = тах|/(т,у)| при (х,у) G П.
В качестве начальной точки возьмем точку (то,т?), где |т? — j/o| < |-
Тогда теорема 1 § 2 применима в прямоугольнике П(т)) С П,
П(г/) = |(т,у) tG: |т-т0|
Таким образом, решение у = Ф(т, tq,t?) задачи Коши у' — f(x,y),
у(х0) = У, определено при |т — то| < 5j, <5i = min {а, д?}.
Окрестность U определим как подмножество внутренних точек мно-
жества {Ф{х,хо,р),р € [1/о — |>Уо + }• Любое решение задачи Коши в
U имеет вид
_ ( Ь Ь\	_
у = Ф(х,х0,С), С& Ьо- 2,г/о+2/’	*
Итак, для нелинейных уравнений у' = f(x,y) при выполнении условий
теоремы существует общее решение в форме Коши глобально в области
G, но общее решение существует лишь локально. Например, для урав-
нения у1 = у2 функция у = где G —постоянная интегрирования, не
является общим решением на всей плоскости так как множество
134
Глава 4. Исследование задачи Коши
всех частных решений имеет вид
/у(х) = 0, у(х) = —-—, С € (-оо,+оо), х <С, у > 0 и х > С, у < 0>.
I	С — г	)
Но в областях у > 0 и у < 0 функция у = уже является общим
решением.
В то же время общее решение в форме Коши имеет вид
Уо
у — -——		,
1 + (г0 - х)у0
Если точку (хо,уа) перемещать по прямой уо — —хо, то она будет пере-
ходить с одной интегральной кривой на другую и общее решение примет
вид
где х < ± - уо при уо > 0, х € (-оо, +оо) при у0 - 0 и х > ± - у0 при
уо < 0. Таким образом, последняя формула дает общее решение у1 = у2
на всей плоскости. Из этого примера также видно, что постоянная инте-
грирования С не всегда обеспечивает метку всех частных решений. По-
этому при интегрировании конкретного уравнения не всегда получается
его общее решение.
Замечание. Доказанную выше теорему иногда называют теоремой о
локальном выпрямлении решений задачи Коши (1), так как в каждой
окрестности U = U(xo,yo) множество точек (х,С), где С = С{х,у),
(х, у) € U, гомеоморфно (т. е. взаимно однозначно и взаимно непрерывно)
отображается на множество точек (т,Ф(г, С)), т. е. кусок интегральной
кривой у = Ф(г,Со), лежащей в окрестности U, отображается в отрезок
прямой С = Со-
Аналогично уравнению у = f(x,y) вводится понятие общего решения
для нормальных систем и для уравнений порядка п в нормальной фор-
ме. Для более же общих типов уравнений и систем уравнений, например,
для уравнения первого порядка в симметричной форме, приходится рас-
ширять понятие общего решения, рассматривая общее параметрическое
решение. Кроме того, общее решение у = Ф(г, С) может задаваться и
неявным образом с помощью уравнения ip(x, у, С) = 0.
§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 135
§ 5.	Зависимость решения задачи Коши
от параметров и начальных данных.
Корректность задачи Коши
Если задача Коши для дифференциального уравнения является матема-
тической моделью реального физического процесса, то уравнение и на-
чальные условия могут содержать какие-либо параметры, характеризу-
ющие природу изучаемого явления. Значения параметров и начальные
данные обычно известны лишь приближенно, так как они определяются
экспериментально или вычисляются. В связи с этим возникает вопрос о
характере зависимости решения задачи Коши при небольших изменениях
параметров и начальных данных. Ясно, что для практики представляет
интерес только такая задача Коши, решение которой мало меняется при
малом изменении параметров и начальных данных.
В этом параграфе будут установлены достаточные условия непрерыв-
ности и дифференцируемости по параметрам и по начальным данным
решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных урав-
нений.
1.	Зависимость решения задачи Коши
от параметров
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
У' = /(*,2ЛА), 2/(^0, А) = Уо,	(1)
где А —вектор параметров Ai,...,Am, |А — Aq| < г, Aq — фиксирован-
ный вектор, 1—фиксированное положительное число, f{x,у, А) —задан-
ная вектор-функция с п компонентами.
Теорема 1. Пусть вектор-функция f(x,y,X) непрерывна и удовлетворя-
ет условию Липшица по у равномерно по т,А при всех (х,у) € G, где G —
область и всех ^ля которых |А — Aq| < г, и пусть, кроме того,
(хо,Уо} € G. Тогда найдется такое число 5 > 0, что решение у = <р(х, А) за-
дачи Коши (1) является непрерывной функцией при |ar — хо| < 5, |А —Aq| < r.
О Схема рассуждений в доказательстве теоремы 1 в точности повторяет
схему доказательства существования решения задачи Коши для нормаль-
ных систем (см. теорему 1 § 2). Поэтому остановимся лишь на основных
моментах доказательства.
По лемме об эквивалентности задача Коши (1) эквивалентна системе
интегральных уравнений
X
У(х,А) = уо + У /К,У(СА),А]<.	(2)
то
136
Глава 4. Исследование задачи Коши
Следовательно, утверждение теоремы 1 достаточно установить для реше-
ний (2). Так как (хо>Уо) € G и G — область, то найдутся такие числа
р > 0, q > 0, что цилиндр
Gpq = {(ж,у) 6 G : |т —т0| <р, |у -у0| < д}
лежит в G. Поскольку Gpq — компакт, то существует число М > 0 та-
кое, что
|/(т,у,Л)| < М, ^(x,y)eGpq, VA 6 [Ао - г, Ао +г].
Из условия теоремы следует существование числа L > 0 такого, что при
У(ж,у1), (ж,у2) € G и VA 6 [Ао - г.Ао + г]
l/(*,Vi,A)-/(x,y2,A)|<Z|y1-y2|.	(3)
Возьмем 6 = min (р, ) и при [ж — жо| <5, |А — Ао| < г рассмотрим
последовательные приближения
X
Уо(ж, А) = у0, У£+1(я:>А) = Уо + У/[Gy«(G	г = 0,1,2,...	(4)
го
Как и при доказательстве существования решения задачи Коши, анаг
логично устанавливается, что все последовательные приближения у,(ж, А)
непрерывны при |ж — жо| < S, |А — Ао| < г и их графики полностью ле-
жат в области, для которой (ж, у) € Gpq, |А — Ао| < г. Используя условие
Липшица (3), методом индукции для приближений (4) устанавливается
оценка вида
.1'Г _ 'ГлР^'^
|уИ1(ж,А)-2/Дж,А)|	*01	 ^0,1,2,...
(г + I)!
Из признака Вейерштрасса тогда следует, что при |ж — жо| < 6, |А — Aq| <т
yi(x, А) ={ <р(х, A), i -> оо.
По известной теореме из курса анализа вектор-функция у = <р(х, А) не-
прерывна при [ж - жо| < |А — Ао| < г. Повторяя рассуждения, при-
веденные при доказательстве теоремы 1 § 2, получаем, что у = <р(х, А)
при |ж — жо] < 6, [А — Aq| < г является единственным решением системы
интегральных уравнений (2), а, значит, и задачи Коши (1).	•
Замечание. Аналогичная теорема справедлива для задачи Коши для
уравнения порядка п в нормальной форме, зависящего от вектора пара-
метров А с компонентами Aj,... ,АГО
У(п) = /(ж,у,у',... ,у(п-1)А), |А - Ао| < т.
§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 137
Этот результат получается сведением этого уравнения к эквивалентной
ему нормальной системе уравнений (см. п. 3 § 2). Аналогичный результат
имеет место и для непродолжимых решений (1) (см. [36]).
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемости по параметрам ре-
шения задачи Коши (1). Для простоты изложения ограничимся случаем
задачи Коши для скалярного уравнения первого порядка в нормальной
форме:
У1 -	у(хо,Х) = уо,	(5)
где вектор параметров А с компонентами Ai,...,Am задан при
|А - Ао| < г, Ао и г > 0 —фиксированы, /(х,у, А)—заданная функция,
когда (х,у) пробегает область G С 7?^^ и |А — Aq| < г.
Теорема 2. Если при V(x, у) € G и |А — Ао| < т функции f(x, у, A), г
г = 1, m, непрерывны и (хо, Уо) € G, то найдется такое пиело 6 > О,
что при |х — х0| < 8, |А — Ао| < г для решения у = <р(х, А) задачи Коши (5):
1)	частные производные хДх,А) =	, г = 1,т, непрерывны,
2)	смешанные производные	непрерывны и не зависят
от порядка дифференцирования,
3)	частная производная Zj(x, А) удовлетворяет так называемому ^урав-
нению в вариациях по параметру X»
dzi _ df [х, <р(х, A), A] df [х, <р(х, А), А]
97 "	Zi + dXi	(6)
и начальному условию z,(xo,A) = 0, г — 1,т.
О Все рассуждения проведем для Для остальных г = 2, т, рас-
суждения аналогичны.
Выберем, как и в теореме 1, цилиндр Gpq и число 6 = шш(р,^).
Множество Gpq — {(х,у, А) : (х,у) G Gpq, |А - Aq| < т} образует выпуклый
по у, А компакт в пространстве Д2+-J. Для |х - хо| <6, |А - Ао| < Г
положим A = (Ai,A), Aa!<p(x, А) = <р(х, Aj + AAj, А) - <р(х, Ai,A).
Поскольку при
|х — хо| <8, |А — Ао| < т, |ДА11 < г
= f[x,tp{x,X),X], у>(хо,А)=уо,
ОХ
9<р(х,А1+ДА1,А) _ f L у(1)А1+ДА д)1Л]+ДА Д]
OX	L	J
<р(х0,А] + AAi,A) =у0,
138
Глава 4. Исследование задачи Коши
то вычитая эти тождества, получаем
-^-ДА.^(х, A) = f Г®,<р(х, Ai + ДАЬ A), Ai + ДАЬ а] - f[x,tp(x, At, A), Ai, А],
ox	L	J
ДА1</з(х, А) = 0.	(7)
Обозначим правую часть первого равенства в (7) через ДА1/(х,у>, А)
и применим к ней так называемое тождество Адамара (см. [35], [36])
1
ДА1/(х,у>, А) = J	Ai + tAAi, A), Ai + 4ДА1, А^ di =
о
= Fi(x,<p, А, ДА1)ДА19?(х, А) + F2(x,tp, А, ДА1)ДА1,
где Fi и F? — непрерывные функции своих аргументов, получаемые в
результате вычисления от сложной функции. Применение тождества
Адамара законно, так как при |х — xq| < <5, |А —Aq| < г любое (х,<р(х,Х),Х)
принадлежит Gpq — выпуклому по у, А множеству из	Тогда (7)
дает задачу Коши вида
д /ДА1<р(х,А)\	/ДЛ1у>(а:,А)\	ДЛ1^(я;,А) _	,
М даТ" ДА1 J+F2’ ДА1	“°-	(8)
Коэффициенты Fi и F? полученного линейного дифференциального урав-
нения первого порядка при |х — хо| < <5, |А — Ао] <г являются непрерывны-
ми функциями х,Л. По теореме 1 решение —— этой задачи Коши
является непрерывной функцией х, А. Переходя в этом решении к преде-
лу при ДА1 —> 0, получаем, что частная производная	определена
и непрерывна при |х —Хо| < <5, |А —Aq| < г. Из тождества Адамара в силу
непрерывности Fi и F% следует, что Fi —> F2 —> при ДА1 —> 0. Пе-
реходя к пределу в задаче (8) при ДА] -> 0, получаем, что z\ (х, А) =
удовлетворяет первому уравнению из (6) и условию zi(xq,A) = 0. Это
значит, что смешанная производная непрерывна при ]х — хо| < <5,
|А — Aq[ < г. Но у = ip(x, А) — решение уравнения из (5), т.е.
ох
При |х — хо| < <5, |А — Aq| < т правая часть этого тождества имеет не-
прерывную частную производную так как у>(х,А) в силу доказан-
ного выше имеет непрерывную производную и по условию теоремы
2	i = l,m,— непрерывны. Таким образом, и левая часть
§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 139
тождества имеет непрерывную . В силу известной теоремы из кур-
са анализа
_ д2у>
дхд\\ дХудх'
Отметим, что уравнение в вариациях является линейным уравнением
первого порядка.
Замечание. Аналогичные результаты имеют место для нормальной си-
стемы, для уравнений порядка п и для непродолжимых решений (1)
(см. [36], [47]).
Пример 1. Найти производную по параметру А от решения задачи
Коши
у' - А(1 - х) + у - у2, у(0) = О,
при А = 0.
Д Пусть у = <р(х, А) — решение задачи Коши и пусть z(Ж1А) = ^.
По теореме 2 z(x, А) — решение задачи Коши
dz
— = [1 - 2у>(х, A)] z + 1 - х, z|I=0 = 0.
OX
Поскольку у = tp(x, 0) — решение задачи Коши
у' = У~ У2, 2/(0) = 0,
то tp(x, 0) = 0. Тогда для z(x,0) получаем задачу Коши
z' = z + 1 — х, z(0) — 0,
откуда z = х.	▲
Можно установить и обобщение теоремы 2, касающееся существования
и непрерывности производных высших порядков по параметрам. Мож-
но показать, что в случае, когда при (х,у) € G и |А - Ац| < т непре-
рывны функция f{x,y, А) и все ее частные производные	
|ct| = cto + eq + • • • + am, до порядка k > 1 включительно, то решение
у = <р(х, А) задачи Коши (5) при |а; —хо| < <5, |А — Ац| <т имеет все непре-
рывные частные производные	, |Z?| = 0i + • • • +Дп, ДО порядка
...ФАу^7*
к > 1 включительно. Более того, решение у — у>(х, А) можно разлагать по
формуле Тейлора по степеням (А—Ао) в окрестности А = Ао с остаточным
членом О ((А — Ао)*)- Если же функция f(x, у, А) является аналитической
функцией у, А в некоторой окрестности у = уо, А = Aq, то можно дока-
зать, что и решение у = </?(т,А) задачи Коши (5) является аналитической
функцией А в некоторой окрестности А = Aq.
140
Глава 4. Исследование задачи Коши
Теорема 2 и ее обобщения позволяют получать асимптотическое по
параметру А представление решения задачи Коши (5) при А —> Aq. Ме-
тод получения асимптотических при А —> 0 представлений решения зада-
чи Коши в физических задачах обычно называют методом малого па-
раметра.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши
у' = f(x,y,X)> у\х=т0=Уо,	(9)
где f(x, у, А) удовлетворяет условиям теоремы 2 при У(т, у) &G и |А| < е,
е > 0. В этом случае задача Коши (9) называется регулярно возмущен-
ной. Рассмотрим задачу Коши, получающуюся из (9) при А = 0:
у' = №>У,0), у(х0)=у0.	(10)
Задача Коши (10) называется невозмущенной. Задача Коши (10) проще
задачи (9). Пусть ее решение у — <р(х) нами найдено для х е Т (то 6 Z).
При выполнении условий теоремы 2 решение у = <р(х, А) возмущенной
задачи Коши (9) можно разложить по формуле Тейлора при А — 0 с
остаточным членом в форме Пеано (для простоты считаем А скаляром):
9>(т,А) = 9?(т,0) + —• А + О(т,А).	(11)
В силу теоремы 1 <р(х,0) = <р(х), а в силу теоремы 2 z(x) = одно-
значно находится как решение задачи Коши для уравнения в вариациях:
+ 1(ад) = 0
Таким образом, формула (11) дает асимптотическое при А —> 0 разло-
жение решения регулярно возмущенной задачи Коши (9). Если f(x,y,X)
имеет непрерывные производные по у, X высших порядков, то разложе-
ние (11) можно уточнить.
Теория регулярных возмущений, которая обосновывает асимптотиче-
ские формулы по малому параметру, является теоретической базой для
общепринятой в физике техники отбрасывания малых членов уравнения.
Метод малого параметра применяется не только для решения задачи Ко-
ши, но и для решения других задач. Например, для получения периоди-
ческих решений нормальных систем, регулярно возмущенных параметром
А, метод малого параметра тоже является эффективным.
Пример 2. Найти асимптотическую формулу при А —> 0 до О(т,А2) ре-
шения задачи Коши
у'= у-у2+ Х(1-х), у|1=о = 0.
Д Для Ут g и при А —> 0 решение у = <р(х, А) ищем в виде:
<р(х, А) = tpo(x) + Ai/j^t) + А2уъ(х) + О(х, А2),
. .	1 ^tpfx^O) ,	_ , _
~	' Л = 0,1,2.
85. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 141
После подстановки tp(z, А) в исходное уравнение и начальное условие
получаем, что <ро(А;),	V211)- соответственно решения следую-
щих задач Коши:
у' = У - 2/2.	2/(0)	=	О,
У' = У + 1 ~	2/(0)	=	0,
у' = У - г2,	у(0)	=	0.
Отсюда находим, что <ро(х) = 0, y>i(x)^=x, 1рг(х) =—2ех + х2 + 2х + 2
и, значит,
<р(х, А) = Хх + А2(-2ег + х2 + 2х + 2) + О(х, А2), А-> 0. А
2.	Зависимость решения задачи Коши
от начальных данных
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
у'(х) = f(x,y), у(х0) = 2/о.	(12)
где f (ж, у) — заданная вектор-функция с п компонентами в области G С
Я"^)> а начальная точка (жо,уо) принадлежит некоторому шару Sr с G
радиуса г > 0:
8г = {(хо,2/о) € G: |ж0 - ж0|2 + |уо - 2/о|2 < ^2} :
Теорема 3. Если f{x,y) — непрерывна в области G и удовлетворяет в G
условию Липшица по у равномерно по х, то найдется число 5 > 0 такое,
что решение у = <р(х,хо,уо) задачи Коши (12) является непрерывной функ-
цией х,хо,уо при |х - жо| < 5, (хо,уо) е 8Г.
О При замене переменных х — xq = t, у - уо — z задача Коши (12) пере-
ходит в эквивалентную задачу Коши
z'(0 = f(xo + t, Уо + z) = F(t,z,XQ,ya), z(0) = 0.	(13)
В задаче (13) параметры то.2/0 уже входят в правую часть системы. Из
условий теоремы 3 следует, что F непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица по z равномерно по t,xo,yo при всех (t,z) е G (G — область,
полученная из области G при замене переменных) и всех (жо,уо) € ST.
Поэтому для задачи Коши (13) применима теорема 1. В силу этой те-
оремы решение z = ip(t,xo,yo) задачи Коши (13) является непрерывной
функцией t, хо,уо при |t| < 6, где <5 > 0, и всех (хо,Уо) ё 8Г. Следова-
тельно, и решение задачи Коши (12) <р(х, хо,уо) = уо + ф(х — жо,жо,уо)—
непрерывная функция х,хо,уо при |ж — ж0| < 6, (жо,уо) ё 8Г.	•
142 Глава 4. Исследование задачи Коши
Вопрос о дифференцируемости по начальным данным рассмотрим для
простоты в случае скалярного уравнения первого порядка в нормальной
форме. Пусть задана задача Коши
У =	у(х0)-у0-	(14)
Теорема 4. Пусть функции f(x,y), непрерывны в области G и
пусть (хо,уо) е Sr. Тогда найдется такое число 6 > 0, что при |х — xq| < <5,
(%о,Уо) € 8Г для решения у = <р(х,хо,уо) задачи Коши (14):
1)	частные производные	непрерывны,
2)	смешанные частные производные	непрерывны,
3)	частная производная = и(т,хо,t/о) удовлетворяет «уравнению в
вариациях по .то»
ди _ df [х, <^(х,х0,^о)]
дх	ду	U
и начальному условию w|x=xo = — /(хо>Уо)>
4)	частная производная = т(х,хо>Уо) удовлетворяет «уравнению в
вариациях по уо»
ди _ д/[х,<р{х,х0,уо)] .
дх	ду
и начальному условию v|x=xa = 1.
О При замене х — xq = t, у - уо — z задача Коши (14) примет вид
= f(xo + t,yo +z) = F(t,z,x0,y0), z(0) = О,	(15)
для которой выполнены условия теоремы 2. Если z = Уо) “реше-
ние задачи Коши (15), то <р(х,хо,уо) = уо+ф{х—хо,хо,у()) —решение зада-
чи Коши (14). Тогда из выполнения для Ф(1,хо,уо) утверждений теоремы
2 получаем для <р(х,хо,уо) утверждения теоремы 4, если учесть, что
д<р _ дф дф д<р __ дф	_
дхо dt + дхо ’ дуо + дуо'
Замечания. 1) Уравнения в вариациях в теореме 4 формально получа-
ются путем подстановки в (14) решения у = <р(х, хо,Уо) и дифференци-
рования по хо,уо полученного тождества. Поскольку уравнения в вари-
ациях в теореме 4 являются линейными уравнениями первого порядка,
то можно выписать явные формулы для и
2)	Аналогичные результаты справедливы для уравнений порядка п
в нормальной форме и для непродолжимых решений задачи Коши
(см. [36], [47]).
J5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 143
3.	Корректность задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
у'(х) = №,у), УМ = уо,	(16)
где /(ж,у)—заданная вектор-функция с п компонентами в некоторой
области G С (то,уо) € G.
Определение. Задача Коши (16) называется корректной, если найдется
такой промежуток Т (tq е Т), что при Vx € I решение у = <р(х) зада-
чи Коши (16) существует, единственно и непрерывно зависит от данных
задачи Коши (правой части системы и начальных данных то, Уо) в том
смысле, что для Ve > 0 можно найти такое <5 > 0, что как только
|/(z,y) ~/(z,y)| < <5, |i0 - io| < 5, |yo-yol<<5,
то при Vx е I |(^(х) — уз(х)| < е.
В этом определении считается, что f(x,y) определена в G, (£о,Уо) 6 G
и у = <р(х) — решение задачи Коши (1) при f(x,y) = f(x,y), т0 = т0,
Уо = Уо-
Рассмотренная в пп. 1, 2 непрерывная зависимость решения задачи
Коши от параметров и начальных данных является частным случаем
вопроса о корректности задачи Коши. Именно корректные задачи Коши
могут служить математической моделью реальных физических процес-
сов, так как данные этих процессов, как правило, определяются лишь
приближенно и, следовательно, необходимо быть уверенным в том, что
решение задачи Коши мало изменяется при малых изменениях исходных
данных задачи Коши.
Установим достаточные условия корректности задачи Коши (16). За-
метим, что в п. 2 при n = 1 корректность задачи Коши (16) по отно-
шению к возмущению начальных данных уже была доказана.
Теорема 5. Пусть в области G вектор-функция f(x,y) непрерывна и удо-
влетворяет условию Липшица по у равномерно по х. Тогда задача Коши (16)
является корректной, причем если
f(x,y) - f(x,y)l < <5, |хо-®о|<<5, |Уо-Уо1<<1,
то соответствующие решения у = ф(х), у = <р(х) задачи Коши (15) на
некотором [а, /3] удовлетворяют оценке (xq,xq € [а,Ж
|<^(х) -у>(х)| < 6
1 + Mi + 1") eW"^
Lt J
г
L
где L — постоянная Липшица в G и М\ > 0 — некоторое число.
144
Глава 4. Исследование задачи Коши
О Решение у = <f>(x) задачи Коши (16) существует и единственно при
- ®о| < 51, где Ji = min(p, ^), М = max |/(х,у)|, V(s,j/) е Gpq с G
(см. теорему 1 § 2). Аналогично, решение у = ф(х) задачи Коши
у' = №,у), у(жо)=Уо,
по той же теореме существует, единственно при = х[ < Ji, где <51 =
min (р, М = тах|7(т:,у)|, V(x,y) е Gpq С G. При достаточно близких
(^о,Уо) и (то,ро)> т.е. при |i0-xo| < 5, |уо~ Уо| < 5, где 8 > 0 достаточно
мало, существует
[а,Я = [т0 ~ 51, хо + 51] Г) [io - 5j, io + 5i]
такой, что ®o,io £ [<*, 0\- Тогда для всех х 6 [а, /3] имеем, что
X
<р(х) = у0 + у / [с, <р(0] <*:,
хо
X
<р(х) = уо + ! /[С,£(С)ИС
Хо
Отсюда, считая для определенности xo < io, получаем, что
io
|<р(д:) -(р(т)| < |р0 - 2/о| + / |/ [С,¥>(С)]| <К +
Хо
X	XQ
+f |/к,т - f [<,<p(O]|dc < iyo - j/oi+1 i/[c<P«)]idc+
io	xo
X	X
XQ	XQ
Если Mi = max(M,M) и L > 0—постоянная Липшица в области G, то
из последней оценки находим, что при |/(т, у) — f(x, у)| < 8:
X
|<р(т) - <р(т)| < |у0 - Pol + Mi|i0 - ЩО| + L • У |<р«) - $p(C)l d^ + S\x- i0|.
xo
По усиленной теореме Гронуолла (см. лемму 4 § 1) тогда Vt 6
|<р(ж) - <р(х)| < (|у0 - Уо! + Mi|i0 - хо|) eL|1 101 + у (е£|х ioi - 1) <
< (5 + Mx8)eL^a^ + у	- 1) = 8 [(1 + Mi +	- 1
L \	'	\	L}	Ъ
§6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка
145
Замечание. Сведением уравнения порядка п к нормальной системе
можно показать, что при условиях теоремы 2 § 2 задача Коши для урав-
нения порядка п тоже корректна.
При неисполнении условий теоремы 5 задача Коши (15) может ока-
заться некорректной. Если взять задачу Коши для бесконечной системы
уравнений
Уп(х) = пуп(х), Уп(0) =2/0, П е N,
то она не будет корректной, поскольку yn(z) — Уо^пх —> оо при п —> оо
для х 6 [0, <5], как бы мало ни было число <5 > 0.
§ 6. Разрешимость задачи Коши
для дифференциального уравнения
первого порядка, не разрешенного
относительно производной.
Особые решения
Рассмотрим уравнение
Г(д,2/,2/')=О,	(1)
где F{x, у,р) —заданная непрерывная функция в некоторой области
G С Я3 ..
(®>У iP)
Для уравнения (1) задача Коши ставится следующим образом (см. § 3
главы 1).
Задача Коши для (1). Задана точка (хо,1/о,Ро) ё G, для которой
^(^о.З/о.Ро) =0. Требуется найти такое решение уравнения (1), которое
удовлетворяет начальным условиям
2/(zo)=yo> 2/'(zo) = Ро-	(2)
Следующая теорема дает достаточные условия существования и един-
ственности решения задачи Коши (1), (2).
Теорема. Пусть в области G функция F(x,y,p) непрерывно дифференци-
руема и пусть dF{zyV°’P°) о. Тогда найдется такое число 6 > 0, что при
|а: — tq| < 6 решение задачи Коши (1), (2) существует и единственно.
О Перейдем к системе
=р,
F(x,y,p — 0).
Поскольку (го,уо,Ро) ё G, F(xo,yo,po) = 0,	/ о и F — непре-
рывно дифференцируемая функция в области G, то в некоторой окрест-
146
Глава 4. Исследование задачи Коши
ности U(xq, уо,Ро) С G выполнены все условия теоремы существования
и единственности неявной функции р = /(х, у), определяемой уравне-
нием F(x,y,p) = 0. Согласно этой теореме найдутся такие окрестно-
сти U(xo,yo) и U(po), что для V(x, у) Е U(xo,yo) существует единствен-
ное решение р = f(x,y) е С7(ро) уравнения F(x, у,р) — 0. Это решение
р = f(x,y) является непрерывно дифференцируемой функцией в окрест-
ности и(х0,у0) и ро = f(xo,yo).
Рассмотрим задачу Коши
У1 = f(x,y), у(хо) = уо,	(3)
в некотором прямоугольнике V = {(х,у) € U(xo,yo)'- |т —xq| < а, |у-уо| <
b} С U(xQ,yo), где числа а и b положительные. В прямоугольнике V
выполнены все условия теоремы 1 § 2, поскольку в области V функ-
ция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по у рав-
номерно по х. Последнее вытекает из леммы 2 § 1, так как V —вы-
пуклая по у область и — непрерывная ограниченная функция в
области V.
Согласно теореме 1 § 2 найдется такое 8 > 0, что при — хо| < <5,
6 = min (a, jjj), М — тах|/(х,у)|, (х,у) Е V, решение у = <р(х) задачи
Коши (3) существует и единственно. Это решение является искомым ре-
шением задачи Коши (1), (2). Действительно, у = <р(х) удовлетворяет
уравнению (1), так как F[x,y,/(т,у)] = 0, V(x,y) Et/^o.J/o) и у — <р(х) —
решение уравнения у' = f(x,y) при |т —	< <5- Кроме того, <р(л>о) = уо,
'Р'(яо) = f (жо, У>(ж0)] = f(x0, уо) = Ро-	•
Доказанная теорема геометрически означает, что через точку (хо,Ро) в
некоторой окрестности 1/(хо,Уо) при выполнении условий теоремы прохо-
дит единственная интегральная кривая уравнения (1) с заданным в этой
точке угловым коэффициентом касательной ро- В этом случае говорят,
что в точке (хо,уо) имеется локальная единственность решения задачи
Коши (1), (2). Точка (xqiVo.Po) называется особой точкой уравнения (1),
если либо (хо,Уо,Ро) G, либо (хо,уо,ро) € G, но в окрестности точки
(з?о,Уо) решение задачи Коши (1), (2) или не существует или пе единст-
венно.
Определение. Решение уравнения (1) у — ip(x), х Е I, называется осо-
бым решением, если каждая точка (xq, tl>(xo)), xq Е I, его интегральной
кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Ко-
ши (1), (2).
Особое решение y — ip(x), х£Т, уравнения (1) геометрически означа-
ет, что интегральная кривая для у = ^(х) в каждой своей точке касается
некоторой другой интегральной кривой уравнения (1) и не совпадает с
ней в некоторой окрестности этой точки.
§ 6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка
147
Если в каждой точке области G выполнены условия вышедоказан-
ной теоремы, то в G уравнение (1) не имеет особых решений. Для су-
ществования особых решений необходимо, чтобы в G нарушались усло-
вия этой теоремы. Будем предполагать в дальнейшем, что F(x,y,p)
является непрерывно дифференцируемой в G функцией, но что
может обращаться в нуль в некоторых точках G. Тогда, если точка
(го>Уо>Ро) € G и через точку (хо,2/о) G проходит интегральная
кривая особого решения (1) с направлением касательной ро, то необхо-
димо
^(^о, Уо>Ро) = О,
* ^(жр,уо,Ро) _ 0
др
Исключая из системы (4) pg, находим связь между хо,уо'-
Ф(*о,Уо) = 0.
Определение. Множество точек (х,у) е	(кривая на плоскости
Л(жу)), определяемое уравнением Ф(х,у) = 0, называется дискриминант-
ным множеством точек (дискриминантной кривой) уравнения (1).
Таким образом, интегральная кривая особого решения уравнения (1)
необходимо является дискриминантной кривой (1). Обратное не всегда
верно. Дискриминантная кривая не обязана быть гладкой кривой, не
обязана определять решение уравнения (1) и, значит, не обязана давать
особое решение (1). Например, прямая у = 2х является дискриминантной
кривой уравнения
у'2 - (2х + у)у' + 2ху - 0,
но не дает его решения.
Из всего сказанного следует, что для нахождения особых решений
уравнения (1) требуется:
1)	найти все решения (1),
2)	найти дискриминантные кривые (1),
3)	отобрать те из решений (1), которые дают дискриминантные кри-
вые (1),
4)	для отобранных решений проверить выполнение определения осо-
бого решения (1).
Пусть у = <р(х,С), х € I, семейство решений уравнения (1), зависящее
от параметра С, и у = il>(x), х 6 Z, — кандидат в особые решения (1). Для
выполнения определения особого решения необходимо, чтобы для Vx € Т
4>(х, С) = ij>(x),
148 Глава 4. Исследование задачи Коши
Получилась переопределенная система уравнений для нахождения С =
С(х), I el. Если для каждого х 6 1 существует хотя бы одно решение
С = С(х) этой системы, то решение у = il>(x), х 6 Т, является особым
решением уравнения (1).
Пример 1. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисо-
вать интегральные кривые уравнения
уп + 4ху = 5у2 + 9у.
Д Решения уравнения находим методом введения параметра. Перей-
дем к эквивалентной системе
dy = pdx,
р2 + 4хр = 5х2 + 9у.
Находя 9dy из второго уравнения и подставляя в первое уравнение,
получаем
Эр dx = 2р dp + 4(p<£r + х dp) — 10а: dx.
Отсюда
(р + 2x)(2dp — 5dx) = 0.
Если р + 2а: = 0, то из второго уравнения системы находим ре-
О
шение у = —х.
Если же 2dp — 5dx = 0, то 2р = 5(х — С), где С — произвольная по-
стоянная. Из второго уравнения системы тогда получаем семейство
решений
> -	- С)2 - |с2.
Дискриминантные кривые находим из системы уравнений
р2 + 4хр = 5х2 + 9у,
2р + 4х = 0.
Исключая р из этой системы, получаем, что у = —х2 — дискрими-
нантная кривая. Так как у = — х2 — решение, то это единственный
кандидат в особые решения. Проверим выполнение определения осо-
бого решения. Для Va: G Rj. должна выполняться система уравне-
ний:
(|(а; - С)2 - |<72 = —х2,
К
^(х-С) = -2х.
§ 6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка
149
Эта система совместна при С = следовательно, у = —х2 явля-
ется особым решением уравнения. Картина поведения интегральных
кривых уравнения показана на рис. 2.
Пример 2. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисо-
вать интегральные кривые уравнения
Зу'2 - 4е2жу' + 4уе21 = 0.
Д Перейдем к эквивалентной системе уравнений
J dy = pdx,
|зр2 - 4e2lp + 4уе2® = 0.
Находя dy из второго уравнения и подставляя в первое уравнение
системы, после упрощений получаем уравнение
^1 — ^ре-21^ №р — р dx) = 0.
Если р = |е2ас, то получаем решение у = |е2х, если же dp —pdx = 0,
то либо р = 0, что дает решение у = 0, либо р — Сех, где С 0 —
произвольная постоянная, что дает решения у — Сех — |С2. Если
допустить С = 0, то формула у = Сех — jC2 содержит и решение
У = °-
Система уравнений
Г Зр2 — 4е2жр + 4уе2х = 0,
^6р — 4е2х = 0
определяет дискриминантную кривую у = |е2х. Поскольку эта функ-
ция является решением, то она единственный кандидат в особые ре-
150
Глава 4. Исследование задачи Коши
шения. Проверим для нее выполнение определения особого решения.
Для Vs 6 R\. должно быть:
Сех - |С2 = |e2z,
Сех = je2x.
Эта система имеет решение С = $ех при С > 0. При С < 0 систе-
ма несовместна. Следовательно, у — je21 — особое решение. Картина
поведения интегральных кривых показана на рис. 3.
Замечание. Если уравнение (1) определено и на границе области G, то,
если часть границы или вся граница являются интегральными кривыми
(1), они могут давать особые решения (1).
Обобщением уравнения (1) служит система уравнений
Г(т,у,у') = О,
(5)
где F — заданная вектор-функция с п компонентами в некоторой обла-
сти G С Я(+2”р а у(х) — неизвестная вектор-функция с п компонентами.
Постановка задачи Коши и условия ее однозначной разрешимости для
систем (5) аналогичны случаю скалярного уравнения (1). Общая систе-
ма уравнений
Fi (х,УъУъ-- ,У1т‘\  • ,Уп,Уп>--- 12/п’п")) =0, г = 1,п,
подходящей заменой (см. п. 3 § 2) сводится к системе вида (5).
§ 6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка 151
Упражнения к главе 4
1.	Показать, что из выполнения условия Липшица для функции од-
ной переменной у = /(д), х € [а, 6], следует непрерывность функции
у = f(x) на [а, Ь]. На примере функции у = у/х убедиться, что обрат-
ное утверждение неверно.
2.	Показать, что функция одной переменной у = х2 удовлетворяет усло-
вию Липшица на любом [а, 6] и не удовлетворяет условию Липшица
на всей числовой оси R^.
3.	Пусть функция f(x,y) т > 1 раз непрерывно дифференцируемая в
плоской области G. Доказать, что всякое решение у = <р(х) уравнения
у' = f(x,y) имеет непрерывную производную (т + 1)-го порядка.
4.	Оценить интервал, на котором сходятся последовательные приближе-
ния для задачи Коши
у' = у2 + cos х, у(0) = 0.
5.	Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая соот-
ношениями
2
2/о(т) = 0, уп(х) = cost - 2 - У [уп-ДО - cos£]2sin<c!C п = 1,2,3,...,
о
сходится равномерно на [0; 0,1] и не сходится равномерно на [0; |].
6.	Пусть у = </з(ж, а, /3) — решение задачи Коши
у" = ау — у2, у(0) = 1, у'(0) = (3.
Найти
д<р(х, 1,0) д<р(х, 1,0)
5а	9/3
—-----   Глава 5 -•> ....—
Нормальные линейные системы
дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной
линейной системы уравнений с переменными
коэффициентами
1. Вспомогательные сведения о матричных функциях
Пусть I —промежуток действительной оси Ох и пусть матрица А(х) =
||ау(х)||, « = 1,J = 1,п, задана при х £ I, причем ее элементы dij(x)
могут быть комплексиозначными. Для каждого фиксированного х Е I
выражение
А IsiSM*)!2
1=1 7=1
называется нормой матрицы А(ж) и обозначается через ||А(т)||. Очевид-
ны следующие свойства нормы матрицы. Если Л — комплексное число,
то при х Е I
||АЛ(т)|| = |Л| • ||A(i)||.
Если Л1(т) и Аг(т)—две матрицы с т строками и п столбцами при
X то
||А1(х) +A2(x)K MiWII + Н4г(*)||.
Пусть теперь В (г) — матрица с п строками и к столбцами при х Е Т.
Тогда
HAfz) -В(т)||	||Л(х)||  ||В(а;)||.
В самом деле, если
С(х) = А(х) • В(х) = ||су(л:)||, i = 1,тп, j = 1,Л,
то при х Е Т	п
Ctf(z) = ante) 
i=i
По неравенству Коши — Буняковского
kM2 52iai,(*)i2£?M;r)i2-
(=1	р=1
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 153
Тогда при х ё Т
т к
11ОДУ2 = ЕЕ1со(<^
<=i j=i
т п	п к
< Е Е i««(^)i2 Е Е 1М*)и2 = imii • пади-
i=l (=1	р=1 7=1
В частности, если В (я) — столбец у(х) с компонентами yi{x),... ,уп(х),
то ||В(х)|| = |у(х)| и при х ё Т
М(х)|| • |у(х)|.
Заметим, что |ау(х)| < ||Л(х)|| при х б Т и всех i = l,m,J = 1,п. Пусть
теперь задана последовательность матриц при х € Т
Ак(х) = ||а^(т:)||, i = l,m, j = l~n, k = 1,2,3,...
Матричный ряд
ОО
Ел*^
fc=l
называется сходящимся при х ё Т (равномерно сходящимся на проме-
жутке I), если все ряды
ОО
Е °о)- i=•?=
k=i
сходятся при х е Т (равномерно сходятся на I).
Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х ё [а, /3], ||j4*(х)|| ск и пусть
ОО	оо
ряд 52 ск сходится. Тогда матричный ряд 52 Ак(х) сходится абсолютно и
k=l	Jt=l
равномерно на
О Для а^(я) при всех х ё [а,/3], i = 1, m, j = 1,п, выполняется оценка
laij)(a:)l < Il4t(*)ll «S с*
oo
и ряд 52 ск сходится. Тогда по обычному признаку Вейерштрасса все
Л=1
ряды 52 сходятся абсолютно и равномерно на [а,/?]-	•
Jt=l 3
со
В частности, ряд Е + 52	равномерно сходится на [а,/3]. Его
*=1
сумма называется еА^хХ
154
Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
По определению, если все элементы Оу(х) непрерывны при х G I, то
матрица А(х) называется непрерывной при х 6 1. Если же все элемен-
ты ву (х) — непрерывно дифференцируемы при х € I, то матрица А{х)
называется непрерывно дифференцируемой при х G I и ее производная
А'(х) = Ha'j (х) |], i = j - Т^п.
Имеют место следующие очевидные свойства непрерывно дифференциру-
емых матриц.
Если Л — числовая матрица, для которой определено произведение
Л • А(х) и А(х) — дифференцируема на I, то [Л • А(т)]'= Л • А'(<г). Если
же Ai (х) и А? (х) — непрерывно дифференцируемые на Т матрицы с т
строками и п столбцами, то [А^гг) + Аз^)]' — Aj(i) + AjCe), х 6 I. Кро-
ме того, если А(х) и В(х) — непрерывно дифференцируемы при x G I
матрицы, для которых определено произведение А(х)  В(х), то
[А(х) • В(х)]' = А'(т) • В(х) + А(х)  В'(х).
Отметим, что в этой формуле нельзя переставлять сомножители. Из этой
формулы, в частности, следует, что для непрерывно дифференцируемой
при x&Z матрицы А(т), для которой А(х) А'(х) — А'(х) • А(т) (т.е. А(х)
перестановочна с А'(х) ), при любом п Е N
[Ап(т)]' = пА""1^) • А'(т) = п • А'(х)  Ап~\х).
В свою очередь, отсюда вытекает, что при условии перестановочности
непрерывно дифференцируемой при х Е [аг,/?] матрицы А(х) с А'(х) ма-
трица еА^ непрерывно дифференцируема и
[ел(зс)]' = еА& . А'(х) = А'(т) • еА&.
Пусть А (х) — непрерывная на [а,/?] матрица. Если Л—числовая матрица,
для которой определено Л • А(х), то для Vxq, х £ [а, /3]
X	X
IЛ  A(C)d£ = Л • I А(Ж,
Xo	XQ
X	X
где под интегралом fA(£)d( понимается матрица с элементами faij(()d(,
Го	Xq
i = l,rn, j = l,n. Если же В(х) —непрерывная на [а,/3] матрица с тп
строками и п столбцами, то
х	XX
J[A(Q + BK)]dC = I А(Ж +1 B(C)dC
XQ	XQ	XQ
при xo, x E [ar,/?].
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 155
Если А(х) —непрерывно дифференцируемая на [а,/3] матрица, то
0
A'{x)dx = А(Р) — Л(а).
а
2. Уточнение исследования задачи Коши
Рассмотрим нормальную линейную систему уравнений
2/'(д) = А(х)у(х) + f(x),	(1)
где х Е [а, Р], А(гг) — заданная непрерывная при х 6 (or, /3] квадратная по-
рядка п комплекснозначная матрица, /(т)—заданная непрерывная при
гг G [а, /3] вектор-функция с п комплекснозначными компонентами, у(х) —
неизвестная комплекснозначная вектор-функция с п компонентами. Си-
стема (1) называется линейной однородной, если f{x) = 0 на [or,/3]. В
противном случае она называется линейной неоднородной системой.
Решение системы (1) определяется аналогично тому, как оно бы-
ло определено в главе 3 для системы (1) с постоянной матрицей А.
Комплексная система порядка п (1) эквивалентна некоторой действи-
тельной линейной системе порядка 2п. В самом деле, если положить
А(х) = Ai(x) + гАг(х), f(x) = /i(x) + г/2(х), у(т) = и(х) + iv(x), то си-
стема (1) примет вид
\ и'(х) = Ai(x)u(x) - A2(x)v(x) + f\(x),
(v'(a;) = A2(x)u(x) + Л1(ж)д(я:) + /2(х).
Зададим начальное условие
у(*о) = УО,	(2)
где а;о 6 [а> Р] и уо — заданный n-мерный комплексный вектор.
Задачей Коши для системы (1) называется задача нахождения реше-
ния (1), удовлетворяющего начальному условию (2).
Теорема. Пусть матрица Л (г) и вектор-функция f(x) непрерывны на
[а, /3] и пусть Хо € [аг, Р] и уо — произвольный вектор. Тогда на всем [а, /3]
решение задачи Коши (1), (2) существует и единственно.
О По лемме об эквивалентности (она верна и для комплекснозначной
задачи Коши) задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных
уравнений на [а,/3]
X
^)=уо + /[Л(С)у(С)+/(С)НС	(3)
156
Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Доказательство существования решения (3) проведем методом последова-
тельных приближений. Пусть x,xq € [а,/3], то # х,
X
Ус(х)=уо, 1/£+1(т) =у0 + У[ЖС)У1(С) + /(С)]<^, i = 0,1,2,...	(4)
хо
Все приближения yi+i(x) непрерывны на [а,/?] в силу непрерывно-
сти А(х) и /(х) на [се,(3]. Докажем равномерную на [а,/3] сходимость
{j/i(x)}“0 при i -ь оо. Для этого достаточно установить равномерную
сходимость на [а, /3] ряда
ОО
Уо(х) + ^2[У1+1(т) - у,(х)].	(5)
t=0
Пусть А(х) — ||ау(х)||, i,j = 1,п. Из непрерывности Я(х) и f(x) на
[а,/3] следуетсуществование таких чисел К > 0 и М > 0, что |ву(х)| К
при = 1,п и |/(х)| < М для всех х € [се, /3]. Тогда норма матрицы
Л(х)
||А(х)|| пК, Vx е [се,/3].
Поскольку |Л(х)у0|	||Л(х)|| • |уо| П-К"|уо| Для Vx € [от, /3], то
ll/i (*)
X
уо(т)|^ J (myoi + mM
го
< (пД|у0| + М) (/3 - а) = С.
Методом математической индукции докажем, что при всех х € [а, /3] и
всех г = 0,1,2,... справедлива оценка:
|yi+1(x) - у,(х)|	(6)
При г = 0 оценка (6) уже установлена. Пусть оценка (6) справедлива при
i = m — 1. Докажем ее справедливость при i = тп. Учитывая, что
1^(х)[Ут(х) -ym_i(x)]| 5? ||А(х)|| • |ym(x) -ym-i(x)| 5? ntf|ym(x) — JM»-i(x)[,
для Vx 6 [or,/3] получаем:
х
|2/т+1(т) ~ Ут(х)| С У |-'4(С)[1/т(0 — 2/т-1(С)]|<^С
ZQ
WC) - Ут-1(<Ж
пК  С(пК)т~1
ко
К - sol™-1
(т- 1)!
С{пК)т^Х Т*1™-
т!
dC
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 157
Неравенство (6) доказано. Из (6) следует, что для всех х € [а,/3] и всех
г = 0,1,2,...
|yi+1(x) - yi(x)I
V.
Следовательно, ряд (5) мажорируется сходящимся числовым рядом
11/о| + С^пКУ^^- = |у0| + СепК^.
i=0
По признаку Вейерштрасса ряд (5) равномерно сходится на [а,/3] к сум-
ме ряда у = <р(х). Это значит, что
yi(x) =4 <р(х), i -> оо, х& [а,/3].
По известной из курса анализа теореме у = <р(х) — непрерывная вектор-
функция на [а, /3]. Из оценки
|Л(х)[у<(а:) ~	< п.К|^(2:) - <р(х)|
и равномерной на [а, уЗ] сходимости к <р(х) следует, что
А(х)уг(х) =4 А(х)<р(х)> i -> оо, х € [а, /3].
Тогда по известной теореме из курса анализа можно перейти к пределу
в (4) при i —> оо. В пределе получаем, что у = <р(х) — решение (3) на
[ог,/3] т.е. существование решения (1), (2) на всем [о-,/3] доказана. Един-
ственность решения (1), (2) на [а, /3] следует из теоремы 1 § 2 главы 4. •
Следствие. Задача Коши
у'(х) = А(х)у, у(х0) = 0,
где хо € [а, /3\ и А(х) — непрерывная на [а, /3] квадратная матрица порядка
п, имеет единственное решение у(х) = 0 на [а,/3].
О Очевидно у(х) s 0, х 6 (а, /3], решение нашей задачи Коши. В силу
доказанной теоремы это ее единственное решение.	•
Замечание. Если f(x) = 0 и Л —числовая матрица, то метод последо-
вательных приближений для задачи Коши (1), (2) дает ее решение
У = е(х-1о)л • уо.
Доказанная теорема уточняет утверждения теоремы 1 § 2 главы 4 о
существовании и единственности решения задачи Коши для нормальных
систем общего вида
у'= уЫ = уо-
Если А(х), /(ж)—действительны, то при выполнении условий нашей
теоремы выполнены все условия теоремы 1 § 2 главы 4. В силу теоре-
мы 1 имеет место локальное существование решения задачи Коши, т.е.
158 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
лишь в некоторой окрестности Хо, причем при некотором ограничении
на уо ((хо,уо) & G). Доказанная теорема для нормальных линейных си-
стем дает более сильное утверждение. Она гарантирует при любом на-
чальном значении уо существование решения задачи Коши (1), (2) на
всем [а,/?] т.е. глобально.
При условиях доказанной теоремы можно доказать корректность за-
дачи Коши (1), (2) на всем [«,/?]. Если рассмотреть задачу Коши для
линейной системы с параметром А
У = A(x,X)y + f(x,X}, у\х=ха=уо, х0 е[а,/3],
где А(х, А) и /(х, А)—непрерывны при х € [а,/?], |А — Aq| г, то можно
доказать, что ее решение у = у>{х, А) — непрерывная функция при всех
х € [а,/3], |А — Ао| г. Если же А(х,Х) и /(т, А) — непрерывно дифферен-
цируемы по А, то и решение у = <р(х, А) — непрерывно дифференцируемо
по А при |А — Ао| < г.
Если А(т) и f(x) не являются непрерывными на [а,/3], то решения
задачи Коши (1), (2) может не существовать. В таком случае можно
расширить понятие решения (1), (2) и ввести понятие обобщенного ре-
шения задачи Коши (1), (2). Если А(х) и /(т) — измеримы и локально
суммируемы на некотором промежутке Т числовой оси R*, то можно
доказать существование и единственность обобщенного решения задачи
Коши (1), (2) на всем промежутке I (см. [31]). И эти условия разреши-
мости задачи Коши можно существенно ослабить, если ввести понятие
так называемой обобщенной задачи Коши (см. [13]).
§ 2. Линейные однородные системы
Линейной однородной системой называется нормальная линейная система
дифференциальных уравнений вида
у'(х) = А(х)у(х),	(1)
где Л (а:)—заданная непрерывная на [а, /3] комплекснозначная квадратная
матрица порядка п.
Ее решениями будут некоторые комплекснозначные вектор-функции с
п компонентами на [а, /3].
Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое
принципом суперпозиции для системы (1).
Лемма 1. Если yi(x), у2(х) —решения системы (1) и С1,сг — произвольные
комплексные числа, то у(х) = Ciyi(x)+C2y2(x) также решение системы (1).
Пусть теперь на произвольном промежутке Т действительной оси R$.
заданы комплекснозначные вектор-функции yi{x),... ,уь{х) с п компо-
нентами.
§2. Линейные однородные системы
159
1.	Линейная зависимость решений системы (1)
Определение. Вектор-функции yi(x),... ,ук(х) называются линейно за-
висимыми на промежутке X, если найдутся числа ci,... , с^, одновремен-
но не равные нулю, такие, что
С1У1(х) -I-F СкУк(х) = О, Ух 6 X.
В противном случае, т. е. когда тождество на X выполняется лишь при
cj =	= Ск = 0, вектор-функции yi(x),... ,ук(т) называются линейно
независимыми на промежутке X.
Пример 1. а) Если у\(х) = 0 на X, то yi(x), уг^х),... ,у*(х) — линейно
зависимые на X.
б)	Вектор-функции
. 9
sin X
COS X
COS2 X
. э
sin2 X
1
1
являются линейно зависимыми на всей оси Rx.
в)	Пусть Ai,... , А* — некоторые числа, hi,... ,hk — линейно неза-
висимые числовые векторы с п компонентами и k п. Тогда
еА1Х  Л),... ,еХкХ • hk — линейно независимые вектор-функции на всей
оси Rx.
Действительно, если предположить противное, то существуют чи-
сла ci,... ,Ск, такие, что |ci| + ... + |с*| > 0 и
CieA1I/ii + ... +скеХкХ hk = О, VxeR'.
При фиксированном х = xq из линейной независимости hi,... ,hk
отсюда получаем ci = ... = ск — 0. Противоречие.
Заметим, что если yi(x),... ,ук(х) линейно зависимы на X и про-
межуток Х\ С. X, то yi(x),... ,ук(х), очевидно, линейно зависимы и
на X. Обратное утверждение неверно, в чем можно убедиться на
примере
У1	(*) = ( * )  Ы*) = (	)> 1 =	= (°- +°°)-
Фиксировав xq 6 X, получаем числовые векторы j/i(to), ... ,уДто)-
Непосредственно проверяется следующее предложение.
Лемма 2. Если вектор-функции yj(x), j = l,fc, линейно зависимы на про-
межутке X, то при Vxq € X -числовые векторы уу(то), j = 1>к, линейно
зависимы.
Обратное утверждение к лемме 2, вообще говоря, неверно. Покажем
на примере.
160 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Пример 2. Вектор-функции
Vifr) “ ( J Y У2(ж) = ( * )
линейно независимы на оси /?]., но при Vxq е R* числовые векторы
yi(xo) и У2(^о) линейно зависимы, так как уг(^о) — хс ‘J/ifco)- Одна-
ко, как следует из доказанной ниже теоремы, для решений линейной
однородной системы (1) такое явление невозможно.
Теорема 1. Пусть yj(x), j = 1, к—решения линейной однородной системы
(1). Решения yj(x), j — 1, к— линейно независимы на [а,/?] тогда и только
тогда, когда Vxq € [а, /3] числовые векторы yj(xo), j = l,k линейно неза-
висимы.
О Пусть решения (1) yj(x), j = I, к — линейно независимы. Если Эхо €
[а,0], такое, что yj(xo), j = l,fc—линейно зависимые векторы, то найдут-
ся числа ci,... ,с*, |ci| + ... + |с*| > 0, такие, что
ciyi(zo)+ ••+<*?/* (яо) =0.
Вектор-функция
у(х) = С11/1(т) + ... + скук(х)
по лемме 1 является решением системы (1) и удовлетворяет начальному
условию у(хо) = 0. По следствию из теоремы § 1 тогда у(х) = 0 на [а, /3],
т.е. yj(x), j — 1,к, линейно зависимы. Противоречие.
Наоборот. Пусть Vxq € [а,/3] векторы yj(xo), j — l,k, линейно незави-
симы. Если бы вектор-функции yj(x), j — I,к, были линейно зависимыми
на [а,/3] то из леммы 2 следовало бы, что векторы yj(xo), j — 1,к, — ли-
нейно зависимы. Противоречие.	•
Следствие. Решения yj(x), j = 1,к, линейной однородной системы (1) ли-
нейно зависимы на [а, /3] тогда и только тогда, когда для V®o € [а, /3] ли-
нейно зависимы числовые векторы yj(xo), j = l,k.
2.	Фундаментальные системы решений линейной
однородной системы (1)
Определение. Любая система п линейно независимых решений (1)
.. ,узп(х) на [а,/3] называется фундаментальной системой реше-
ний (1).
Теорема 2. Для системы (1) существует бесконечное множество фунда-
ментальных систем решений.
О Фиксируем xq £ [а, /3] и п произвольных линейно независимых число-
вых векторов ус п компонентами. Обозначим через <Pj(z) ре-
§ 2, Линейные однородные системы	161
шение (1), удовлетворяющее начальному условию yj(xg) = У^\ j = 1,п.
По теореме из § 1 каждое такое решение tpjfx), j — 1,п, существует и
единственно на всем [а, 0\. Система решений <pj(x), j = 1,п, образует
фундаментальную систему решений (1), так как если бы она была ли-
нейно зависимой системой на [а, 0\, то и числовые векторы j — l,n,
были бы линейно зависимы. Точку хд G [о,/?] и линейно независимые
векторы yf, j = 1,п, можно задавать бесконечным числом способов. •
Теорема 3. Если <pi(x),... Уу>п(х) — фундаментальная система реше-
ний (1), то каждое решение у(х) линейной однородной системы (1) пред-
ставимо единственным образом в виде
у(х) = ciipi(x) + C2ipz(x) + ... + Cnipn(x),
где ci, С2,... , Сп — числа.
О Пусть у(х) — какое-либо решение (1). Фиксируем а?о £ [«>/3] и рассмо-
трим у(хд). По теореме 1 числовые векторы <pi(®o),... 3<Рп(я^о) — линейно
независимы и, следовательно, найдутся числа ci,... уСп такие, что
у(хо) = ci<pi(to) +    + сп<Рп(х0}.
Вектор-функция
•Z(l.) = С1<Р! (г) + ... + Сп<рп(х)
является решением (1) и z(xg) = y(xg). По теореме единственности имеем
z(x} = у(х), Ух G [се,/3]. Если бы нашлись другие числа ci,... уСп такие,
что у(х) = ci<pi(a;) + ... + Сп<рп(х), то разность решений дает равенство
(ci - ci)<pi (х) + ... + (с^ - с„)<рп(т) = 0, Ух е [а, /?].
Так как у>\ (х),... , <рп(х) — фундаментальная система решений (1), то
С( = Cj,... , сп = Сп.	Ф
Нетрудно убедиться, что множество всех решений (1) образует ли-
нейное пространство. Теорема 3 означает, что фундаментальная система
решений (1) <р\(х),... ,<рп(х) служит базисом этого пространства. Следо-
вательно, пространство решений (1) является n-мерным линейным про-
странством.
Рассмотрим начальное условие для (I):
у(х0) = уду «о£[«, 0\,	(2)
где уд — заданный числовой n-мерный вектор.
Решение у(х) каждой задачи Коши (1), (2) однозначно определяется
с помощью функции
У = С1<Р1(х) + ... +сп<рп(х),	(3)
где ci,...,Сп — произвольные параметры. Действительно, по доказанной
в § 1 теореме для каждого начального условия (2) решение задачи Ко-
ши (1), (2) единственным образом определено на [от,/3], а по теореме 3
6 2769
162 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
это решение у(х) единственным образом представимо в виде (3). В силу
этого формулу (3) называют общим решением (1).
Примерз. Пусть в (1) А — числовая матрица и пусть ее собственные
векторы hi,... ,hn образуют базис Rn. Если Ai,... ^„ — соответству-
ющие им собственные значения А, то система е^1Х  hi,... , eA"®-hn
образует фундаментальную систему решений (1), а функция
у = cieX1X  hi + ... + спеХпХ  hn,
где ci,... ,Сп — произвольные постоянные, является общим решением.
Этот факт уже известен из главы 3.
3.	Фундаментальная матрица
линейной однородной системы (1)
Определение. Матрица Ф(ж) у которой столбцы образуют фундамен-
тальную систему решений (1) <pi(rr),... ,tpn(x), называется фундаменталь-
ной матрицей системы (1).
Таким образом,
Ф(я) =	, <Рп(т)||.
Очевидно, что Ф(о:) — непрерывно дифференцируемая матрица на [а,/?].
Из теоремы 2 следует, что для (1) существует бесконечно много фунда-
ментальных матриц. Из определения фундаментальной системы решений
получаем, что Ф(г) — невырожденная матрица на [а, 0\. Из теоремы 3 по-
лучаем самое важное свойство Ф(т). Именно, если Ф(т) — фундаменталь-
ная матрица (1), то общее решение системы (1) записывается в простом
виде
у(х} - Ф(т) • с,
где с — произвольный числовой n-мерный вектор.
Рассмотрим при х G [а, /3] матричное дифференциальное уравнение
Y\x) = A(x)Y(x)	(4)
с неизвестной квадратной порядка п матрицей У(т). Пусть
У1(т),-.  ,Уп(х)—столбцы матрицы Y(x). Тогда
= ||yi(x),...	= ||4(a;)yi(:r),... , А(х)уп(х)|| = 4(х)У(а:).
Отсюда следует, что матрица У (х) тогда и только тогда решение (4), ко-
гда ее столбцы yi(x),... ,уп(х) —решения системы (1). Это значит, что
фундаментальная матрица Ф(т) — решение уравнения (4) и что общее ре-
шение (4) имеет вид
У (яг) = Ф(т)С,
где С — произвольная числовая матрица порядка п. Тогда ясно, что
Ф(т) = Ф(г)-С1 где Ci — произвольная невырожденная числовая матрица,
§ 2. Линейные однородные системы 163
представляет собой общий вид фундаментальной матрицы (1). По задан-
ной фундаментальной матрице Ф(х), х 6 [о,/?] система (1) однозначно
определяется. В самом деле, так как Ф(х)—невырождена на [а,/3], то
на [а,/3] существует Ф-1(х). Действуя на тождество
Ф'(х) = Л(х)Ф(х), х е [а,/3],
справа матрицей Ф-1(х), получаем, что
А(х) = Ф'(х) Ф-^х).
Решение системы (1) сводится к нахождению фундаментальной матрицы
системы (1).
Если в системе (1) А —числовая матрица, то Ф(х) = ехА и, знаг
чит, все решения (1) задаются формулой у(х) = ехА  с, где с —произ-
вольный числовой n-мерный вектор. Эта формула уже была получена в
главе 3. Тот факт, что ехА — фундаментальная матрица (1), следует из
того, что dete14 0 и что ехА удовлетворяет матричному уравнению
У'(х) = А  Y(x).
Если матрица Л(х) перестановочна на [о,/3] со своей первообраз-
ной, т. е.
X	X
А(х)  j А(С)Ц = j A(QdC  А(х), VxG[a,0],	(5)
а	а
х
то Ф(х) = exp[J A(()dC]— фундаментальная матрица (1).
а
Действительно, в этом случае Ф(х) удовлетворяет (4) (см. § 1). Усло-
вие (5), например, выполнено, если Л(х)—диагональная с непрерывными
ai(x),... ,an(x) по диагонали, либо если А(х) — жорданова клетка с не-
прерывной функцией а(х) по диагонали.
В заключение отметим, что решение задачи Коши (1), (2) через фун-
даментальную матрицу Ф(х) системы (1) записывается весьма просто:
у(х) = Ф(х)  Ф-1(го) • Уо-
Решение (4) с начальным условием У(х0) = Е называется матрицантом
системы (1). Ясно, что матрица .К^хо) = Ф(х)-Ф~'(хо) является ма-
трицантом системы (1).
4.	Определитель Вронского и формула
Лиувилля—Остроградского
Пусть jh(x), ... ,уп(х) — система вектор-функций с п компонентами на
[<*, Я
Определение. Определителем Вронского (или сокращенно вронскиаг
ном) системы yi(x),... ,уп(х) называется определитель
1У(х) = IV[г/j(х),... ,j/n(x)] = det ||yi(x),... ,?/„(х)||.
164 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Если у1(х),... ,уп(х) — решения линейной однородной системы (1), то из
теоремы 1 вытекает следующая связь между линейной зависимостью
pi(x),... ,Уп(х) на [«,/?] и обращением в нуль их определителя Врон-
ского 1У(х).
а)	Решения (1) yi(x),... ,уп(х) — линейно зависимы на [а,/?], тогда и
только тогда, когда 1У(у1,... ,уп) =0 на [а, 0].
б)	Решения (1) yi(x),... ,уп(х) —линейно независимы на [а,0] тогда и
только тогда, когда W(yi,... ,уп) 0, Vx G [а,0]. Отсюда получаем, что
не существуют такие Xi,X2 € [а,/3], Х] 7^ Х2, что VT(xi) = 0,	О-
Свойства а) и б) на практике используются для проверки линейной
зависимости или независимости п решений системы (1) на [а, 0]. Для
произвольных вектор-функций yi(x),... ,уп(х) на [or,/?] свойства а), б)
не обязаны выполняться. В этом можно убедиться на примере вектор-
функций
Они линейно независимы на всей оси R*, но их определитель Вронского
W(x) = 0 на R\.
Теорема 4. Пусть W(х) — вронскиан решений yi(x),... , уп(х) систе-
мы (1) и пусть хо € [а, 0]. Тогда для Чх € [а, 0] имеет место формула
Лиувилля — Остроградского
J £рА(С)4С
И^х) = ty(xo)e’o ,	(6)
где spA(£) = ац(£) + • • • + апп(£) называется следом матрицы Л(£).
О Покажем, что И/(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
W'(x) = sp4(x) • W(x), х € [а,/3].
Пусть yij(x), i — l,n компоненты решения yj(x), j = l,n. Тогда W(x)
является функцией всех этих компонент:
W(x) = W[yu(x),y2i(x),... ,у„„(х)].
По формуле производной сложной функции получаем, что
W'(x)
п
= Е
Р,<7=1
dW(x)
дУрЧ&)
у'рч№-
Если Wpr(x) —• алгебраическое дополнение yPr(x) в W(x), то разложение
W(x) по р-й строке дает
п
ИЧ*) = ^Ург(х) • Wprtx).
Г = 1
§ 2. Линейные однородные системы
165
Отсюда находим, что
= И<Р9(х).
Каждая вектор-функция уч(х) удовлетворяет системе (1), т. е.
y'q(x) = А(х)уд(х), q = Vn, я€[а,/3].
Отсюда находим, что
п
v‘M(x) = 52
Г—1
где арДз;)—элементы матрицы А(гс).
Подставляя найденные выражения и ^(я) в формулу W'fx),
получаем, что
п	п	п	п
W'(x) = 52 Wpq{x)^^r{x)yTq{x) = 52 ^{^^yrq^Wpg^x).
Р.«=1	г=1	Р1г=1	<?=1
Но из курса алгебры известно, что
п
Y,yTq{x)WP4(X) = W(x)-6rp,
e=i
где 6гр — символ Кронекера. Тогда
1У'(г) = W(х) 52 Орг(я)<5Рг = W(х) 52 aPPW = W(x) -spA(x).
р,г=1	P=i
Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка
и дает требуемую формулу (6).	•
Следствие. Если А — числовая матрица, то
dete4 = esp<
О Достаточно взять Хо — 0, х — 1 и применить теорему для
W(x) =detexA.	•
Замечание. Поскольку матрица У(х) =	>!/п(г)11 является ре-
шением матричного дифференциального уравнения (4), то формулу (6)
можно интерпретировать в терминах решений (4). Именно, если У(х) —
решение (4), то справедлива формула Лиувилля — Остроградского
f sp>*(C)<K
det У (х) = det У (io)  е*°	> Vx€[a,/?].
166 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Пример 1. Найти фундаментальную матрицу линейной системы
= У1 cos х + у2 sin х,
У2 = У1 sin X + У2 cos X,
убедившись в том, что матрица системы перестановочна со своей
первообразной.
Д Имеем
А(х) = (C0SX SM,	С Sin:C
4 ' ysinx cos а; у	J ъ yl — cos d
о
a?	x
AM IW . / ЛКИ . AW = L
о	0
1 - COS X
sin x
cos x — cos
sin x
x
Используя приведение матрицы f A(()d( к диагональной форме, на-
о
ходим фундаментальную матрицу заданной системы
= elA{i)<K = es>nx (ch(l - cost) sh(l - cost)
' '	ysh(l — cost) ch(l —cost)
Пример2. Зная одно решение j/i(t) = 1 + т2, yii?) = т линейной си-
стемы
у\ = т(1 - т)зд + (т3 - т2 + т + 1)р2,
Уъ = (1 -	+ (х2 - т + 1)г/2,
найти общее решение этой системы.
Д Пусть у\ = v(t), у2 = il>(x) — решение системы с начальным усло-
вием <р(0) = О, V>(0) = 1. Согласно формуле Лиувилля — Остроград-
ского тогда
1 + т2 <р(т)
т ^(т)
1 О
О 1
j[i(l-x)+(x2-x+l)]dx
 е°	= ех.
Отсюда (l+x2)V>(x)—т<р(т) = ех. С учетом этого равенства из второго
уравнения системы следует, что
ч1>'(х) = <р(т) — т?/>(т) + ех,
а при т / О
х-ф'(х) = 5/>(т) + (т — 1)ех.
Учитывая, что ?/>(0) = 1, тогда получаем:
V»(x) = ех, <р(т) — х2ех.
§ 3. Линейные неоднородные системы
167
Значит, фундаментальная матрица системы
+- z2 а?2ех
х ех
и общее решение заданной системы
где с'2 и С2 — произвольные постоянные.
§ 3. Линейные неоднородные системы
Рассмотрим линейную неоднородную систему
у'(х) = А(х)у(х) + f(x),	(1)
где хё [а,0\ — заданная непрерывная на [а,/?] квадратная матрица по-
рядка n, f (х) — заданная непрерывная на [а, /3] вектор-функция с п ком-
понентами.
Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое
принципом суперпозиции для системы (1).
Лемма. Если f(x) = /1(т)+/2(а:),У1(^) — решение системы (1) при условии
f(x) — /1(л) и у?(х) — решение системы (1) при условии f(x) — fifx), то
у(х) = yi(x) + уг(х) — решение системы (1).
Если известно какое-либо частное решение (1), то интегрирование ли-
нейной неоднородной системы (1) сводится к интегрированию соответ-
ствующей (1) линейной однородной системы
z'(x) = A(x)z(x).	(2)
Теорема 1. Пусть уц(х) — некоторое частное решение (1) и Ф(:г) — фун-
даментальная матрица (2). Тогда все решения системы (1) задаются фор-
мулой
у(х) = Ф(х)с + у<)(х),
где с — произвольный числовой п-мерный вектор.
О В системе (1) сделаем замену
у(х) = z(x)+y0(x).
Тогда получаем, что z(x) удовлетворяет системе (2). Общее решение си-
стемы (2), как установлено в § 2, имеет вид
z(x) = Ф(т)с,	(3)
168 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
где с — произвольный числовой n-мерный вектор. Из замены следует
утверждение теоремы.	*
Формулу решения (1) из теоремы 1 называют общим решением си-
стемы (1).
Если же частное решение уо(х) системы (1) неизвестно, а известна
лишь фундаментальная матрица системы (2), то все равно линейная не-
однородная система (1) может быть решена в квадратурах. В этом слу-
чае общее решение (1) находится методом вариации постоянных (методом
Лагранжа). При п = 1 метод Лагранжа был рассмотрен уже в главе 1.
Теорема 2. Если Ф(т) — фундаментальная матрица линейной однородной
системы (2), то общее решение линейной неоднородной системы (1) при
всех х Е [»,/?] задается формулой
X
у(х) = Ф(т)  d + Ф(т) • У Ф-1 «)/«)</<,
хо
где хо Е [а,0] и d — произвольный числовой п-мерный вектор.
О Согласно Лагранжу ищем решение (1) в таком же виде (3), что и
решение однородной системы (2), но считаем с не постоянным, а непре-
рывно дифференцируемым вектором с(х), х Е [а,/3]:
у(т) = Ф(т) • с(х).
При таком переходе от у(х) к с(х) потери решений (1) не происходит,
так как скЧФ(.-г) 0 0. Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна.
Функцию с(т) находим подстановкой у(х) в систему (1). Используя фор-
мулу производной произведения матрицы и вектор-функции, получаем,
что
Ф'(т)с(т) + Ф(т)с'(т) = 4(х)Ф(а;)с(т) + f(x).
Поскольку (см. § 1)
Ф'(х) = А(х)Ф(х),
то Ф(т)с'(т) =/(ж). Так как матрица Ф(ж) — невырожденна на [а,/?], то
отсюда
с'(х) = Ф-1(а;) • /(ai).
Это уравнение можно интегрировать, поскольку Ф-1(т) -/(а:) — непрерыв-
ная вектор-функция на [а,/?]. Проинтегрировав последнее уравнение, по-
лучаем утверждение теоремы.	*
Следствие. Решение задачи Коши для линейной системы (1) при началь-
ном условии у{хо) = Уо, где х0 £ [а,/?], имеет вид
X
у(х) = Ф(т) • Ф-1 (аг0)у0 + $(*) JФ-1(С)/(С)<-
хо
§3. Линейные неоднородные системы
169
Замечания. 1) Если обозначить через уо(х) второе слагаемое в формуле
общего решения системы (1), то уо(х) —решение системы (1), удовлетво-
ряющее начальному условию уо(хо) - 0.
2)	Матрица К(х, £) = Ф(а?)  Ф-1 (£) является матрицантом системы (1),
удовлетворяющим начальному условию	= Е.
3)	В случае, когда в системе (1) матрица А — числовая, фундамен-
тальная матрица Ф(х) = ехА и общее решение системы (1) записывается
уже известной из главы 3 формулой
I
y(z) = e*A-d + I
XQ
4)	При решении конкретных примеров методом вариации постоянных
удобнее искать решение (1) не в виде у = Ф(х) • с(а:), а в виде
У = ciWv’iCr) + ••• + с„(т)  ч>п(х),
где <^1(т),... ,<рп(ж) —фундаментальная система решений (2).
Пример. Методом вариации постоянных решить линейную неоднород-
ную систему при а; > 0
f = 4yi - 2у2,
[Уг = 8У1 ~ 4У2 + у/х.
Д Найдем сначала общее решение соответствующей линейной одно-
родной системы. Для нее матрица системы
имеет двукратное собственное значение А = 0 и жорданов базис со-
стоит из собственного вектора hi и к нему присоединенного векто-
ра Лг'-
Общее решение линейной однородной системы имеет вид
где ci и С2 — произвольные постоянные. Ищем общее решение задан-
ной системы в таком же виде, но считаем cj = сДа:), сг = сг(х) —
непрерывно дифференцируемыми функциями а; > 0. Подставляя вы-
ражения для уьу2 в исходную систему, получаем, что
fc'ifa;) + (а: + |)с^(а:) =0,
1 2С[(а;) + 2х = л/х.
170 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Отсюда находим, что с\(х) = (2т + ^)>/х, (^(т) = -2у/х, и, значит,
ci(x) =
c2(t) = — -ху/х + В,
>J
где А и В — произвольные постоянные. Следовательно, общее реше-
ние исходной системы имеет вид
Упражнения к главе 5
1.	Составить линейную однородную систему дифференциальных уравне-
ний, имеющую решения
2.	Может ли линейная система
Ут = ^У\ + 1/2 cost,
У2 = (з; - l)5i/i - -?/2,
иметь два ограниченных на (0, +оо) линейно независимых решения?
3.	Найти при х > 0 все решения линейной системы
, 1
У1 = --У1 + У2,
х
,	2	1
1Л = ~^У1 + -2/2,
если известно одно ее решение ут = х, у2 = 2.
4.	Найти общее решение линейной системы при х G [0,1]
у' = А(х)у + /(я),
если
(а(а:)	1	0 \
О а(х) 1 j ,
О 0 а(х)J
где а(х), fix)—непрерывные на [0,1] функции.
5.	Найти фундаментальную матрицу линейной системы
у'т = -1/1 Sin X + 1/2 cos х,
у'2 = У! cos Z — J/2 sin I,
убедившись в том, что матрица системы перестановочна со своей про-
изводной.
===============^ Глава 6	
Линейные дифференциальные
уравнения порядка п
с переменными коэффициентами
§ 1.	Общие свойства
Линейным дифференциальным уравнением порядка п называется урав-
нение
У(п) + аг(х}у(п~г> +  + ап(х)у = /(х),	(1)
где х G [a,/?], aj(x), j = l,n, — заданные непрерывные функции на [а,0],
называемые коэффициентами уравнения (1), и /(х)—заданная непрерыв-
ная на [а,/?] функция, называемая правой частью уравнения (1).
Если /(х) = 0 на то уравнение (1) называется линейным одно-
родным уравнением. В противном случае уравнение (1) называется ли-
нейным неоднородным уравнением. ________
В этой главе коэффициенты а^-(х), j = 1,п, и правая часть f(x) урав-
нения (1) могут принимать комплексные значения.
Комплекснозначная функция у — <р(х) называется решением уравнения
(1) на [а, 0], если <р(х) п раз непрерывно дифференцируема на [сг,/3] и
обращает (1) в тождество на всем [а, 0\.
Непосредственно проверяется следующее утверждение, называемое
принципом суперпозиции для уравнения (1).
Лемма 1. Если f(x) = /i(x) + ^(z) «	— решение уравнения (1) при
f(x) = fi(x) на [а,0], i = 1,2, то функция у(х) = yi(x) + У2(х) является
решением уравнения (1).
Следствие. Если щ(х), Уъ(х) — решения линейного однородного уравнения
и cj,C2 — произвольные числа, то линейная комбинация у = ciyi(x) + С2У1(х)
также является решением линейного однородного уравнения.
Лемма 1 и ее следствие характерны именно для линейных дифферен-
циальных уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений
и облегчают их изучение.
Решение уравнения (1) всегда можно свести к решению линейной си-
стемы дифференциальных уравнений порядка п следующего вида:
у'(ж) = Л(х)у(х) + /(х),
(2)
172 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
где
J/(z) =
/(*) =
А(®) =
/ 0	1	О
О	0	1
ООО
On(l) —On^i(x) -ап_2(х)
1
-01 (®)/
Лемма 2. Уравнение (1) эквивалентно системе (2).
О Пусть у = <р(т) — решение (1). Положим yi{x) = ^(х), уг(х) =
tp'(x),... ,уп(х) = <//п-1)(х). Тогда вектор-функция с компонента-
ми ip(x),y>'(x),...	удовлетворяет системе (2). Наоборот, если
вектор-функция с компонентами <р(х), </(х),.... <^п-1\а:) — решение си-
стемы (1), то, исключив из (2) переменные У2,-- - ,Уп получаем, что
yi — ip(x) — решение уравнения (1).	*
Лемма 2 позволяет перенести все результаты для линейных систем из
главы 5 на случай уравнений (1).
Рассмотрим для уравнения (1) начальные условия
УМ = у(°\ у'{х0) = у{°\	, у(п-1>(х0) = j/W, (3)
где а?о 6 [а, и у^,... , уп — заданные числа.
Теорема. Пусть все функции aj(x), j = 1,п, и f (х) — непрерывны на
[от,/?] и пусть xq G [а,/?]. Тогда при произвольных начальных значениях
,у™ решение задачи Коши (1), (3) существует и единственно на
всем [а, /3].
О Сделав замену
У1(х) = у(х), у2(х) = у'(х),	.... уп(х) =
сведем уравнение (1) к системе (2). При этом начальные условия при-
мут вид
г/(ж0) = у(0\	(4)
где у (°) —вектор с компонентами у^°\... , у^. В силу леммы 2 задача
Коши (1), (3) эквивалентна задаче Коши (2), (4). В силу условий те-
оремы Л(т) и /(х) — непрерывны на [а, 0\. Следовательно, для задачи
Коши (2), (4) выполнены все условия теоремы из § 1 главы 5. Согласно
этой теореме решение задачи Коши (2), (4) существует и единственно на
[а, /3]. Значит, и решение задачи Коши (1), (3) существует и единственно
на [or, X?].	•
§ 1. Общие свойства	173
Следствие. Задача Коши
У{п) +	+    + ап(х)у = 0;
(о)
у(хо) = у’М = • •  = у(п~1}М = о,
где aj{x), j = 1,п, непрерывны на [а,/?] и xq G [а,/3]: имеет единственное
решение у{х) = 0 на [а,Д].
О Действительно, у{х) = 0 — решение задачи Коши (5) и оно единственно
в силу доказанной теоремы.	•
Заметим, что в главе 4 было доказано, что в некоторой окрестности
гео существует и единственно решение уравнения
У(п} = f(x,y,y',...	(6)
при начальных условиях (3), если только выполнены некоторые требо-
вания на функцию f(x) и начальные данные. Уравнение (1) —частный
случай уравнения (6) и при условиях теоремы выполнены все требова-
ния, наложенные на уравнение (6) в главе 4. Следовательно, из резуль-
татов главы 4 получаем локальное существование решения задачи Коши
(1), (3) в некоторой окрестности х$. Доказанная теорема уточняет этот
результат и дает более сильное утверждение. Она гарантирует существо-
вание и единственность решения задачи Коши (1), (3) глобально, т.е. на
всем том [се,/3], где определено уравнение (1), причем при произвольных
(0)	(о)
начальных значениях у[ ,...,у„ .
При условиях доказанной теоремы можно установить корректность за-
дачи Коши (1), (3). Если рассмотреть задачу Коши для линейного урав-
нения порядка п с параметром Л
У(п) 4-ai (а;, A)j/(n-1) 4-   • + ап(х, Х)у = f(x,X),
«I -i/0) v'l -о(0)	-U°)	'
У|х=хо — У1 ’ У |х=хо ~ У2 ’ • • 	|х=хо ”* Уп >
где aj(x, A), j = 1,п, и /(х, А)—непрерывны при х € [а,/3], |А — Ао| $ г,
то ее решение у — у>(х, А) является непрерывной функцией при всех
[а,/3], |А — Ао| г. Если же аДа;,А), /(х, А) — непрерывно дифференци-
руемы по А, то и решение у = <^(ж, А) — непрерывно дифференцируемо по
А при |А — Ао| г. Все эти результаты получаются сведением уравнения
(7) к линейной системе.
В случае, когда не все функции aj(x), j = l,n, f(x) непрерывны на
[о,/?], может не существовать решение задачи Коши (1), (3). В таком
случае расширяют понятие решения задачи Коши (1), (3), и тогда можно
установить существование и единственность такого решения задачи Ко-
ши (1), (3) при условиях, что aj(x), j = 1,п и f(x) измеримы и локаль-
но суммируемы на некотором промежутке X числовой оси R? (см. [31]).
Если ввести понятие обобщенной задачи Коши (1), (2) (см. [13]), то и
эти условия можно существенно ослабить.
174 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п
Рассмотрим линейное однородное уравнение порядка п
у(п) + ai(x)y(n~V) 4--------------F ап(х)з/ = 0,	(1)
где aj(x), j = 1,п, заданные непрерывные функции на [а,0\.
Определение. Решения У\(х),... ,ук(х) уравнения (1) называются ли-
нейно зависимыми на [аг,/?], если 'существуют числа ci,... ,Q, одновре-
менно не равные нулю и такие, что
сгух(х) +    + скук(х) = 0, VxG[a,0].
В противном случае решения у0х),... ,ук(х) называются линейно не-
зависимыми на [а, 0].
Рассмотрим линейную
уравнению (1) (см. § 1):
однородную систему,
которая
эквивалентна
(2/1 (z)\
:	, А(х) =
Уп(х)}
у'(х) = А(х)у(х),
О	1
О	О
О ...	1
-ап-2 ••• -Щ/
(2)
о о
О
1
° \
О
Лемма 1. Решения yi(x),... ,ук(х) уравнения (1) линейно зависимы на
[а, 0] тогда и только тогда, когда соответствующие им решения
1/1 (х),... ,Ук(х) системы (2) линейно зависимы на [аг,/?] (здесь у}(х) —
вектор-функция с компонентами yj{x),y'j{x),... ,l/j"-1\x), j — l,k).
О Пусть решения yi(x),    ,ук(х) уравнения (1) линейно зависимы на
[а,0]. Тогда найдутся такие числа щ,... ,ck, |ci| +  • • + |с*[ > 0, что
ciУ\(х) +  •  + ckyk = 0, Vx е [а, 0].
Дифференцируя последовательно это тождество (n— 1) раз, получаем то-
ждество на [а,0\ для решений системы (2):
ci У1 (х) + • • • + СкУк(х) = О,
т.е. решения yi(x),... ,Ук(х) системы (2) линейно зависимы на [ог,/3].
Обратно, если выполнено последнее тождество на [а, 0] с некоторыми,
одновременно не равными нулю, числами cj,... ,ск, то первая компонен-
та этого векторного тождества означает линейную зависимость решений
У1(х),... ,ук(х) уравнения (1).	•
Следствие. Решения У1(х),... , ук(х) уравнения (1) линейно независимы на
[а,/?] тогда и только тогда, когда решения yi(x),... ,yk{x) системы (2) ли-
нейно независимы на [а, 0\.
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п	175
Определение. Совокупность произвольных п линейно независимых ре-
шений	.. ,<рп(х) уравнения (1) называется фундаментальной си-
стемой решений уравнения (1).
Из леммы 1 в качестве следствия получаем следующее утверждение.
Лемма 2. Решения <pi(x),    , <рп(я) уравнения (1) образуют фундамен-
тальную систему решений уравнения (1) в том и только в том случае,
когда вектор-функции ФДт) с компонентами <pj(x),<pj(x),... ^"^(х),
j = 1,п, образуют фундаментальную систему решений линейной однород-
ной системы (2).
С помощью леммы 2 все утверждения о фундаментальных системах
решений линейной однородной системы переносятся на фундаментальные
системы решений линейных однородных уравнений порядка п.
Теорема 1. Для уравнения (1) существует бесконечное множество фун-
даментальных систем решений.
О Уравнение (1) эквивалентно системе (2), для которой справедлив ана-
лог теоремы 1 (см. § 2 главы 5). В силу леммы 2 тогда справедлива и
теорема 1.	•
Теорема 2. Если <pi(x),... ,у>п(х) — фундаментальная система решений
уравнения (1), то каждое решение у(х) уравнения (1) представимо един-
ственным образом в виде
у(х) = cnpi(x} +    + Сп^Дх),
где Ci,... , Сп — постоянные.
О По лемме 2 вектор-функции Ф;(т) с компонентами <рДх),<р^(х),... ,
<^п	(ж), j = 1,п, образуют фундаментальную систему решений систе-
мы (2), эквивалентной уравнению (1). По теореме 3 § 2 главы 5 любое
решение у(х) системы (2) единственным образом представимо в виде
у(х) - С1Ф1(х) + • • • + спФп(х).
Первая строка этого векторного равенства и дает утверждение теоре-
мы 2.	*
Из принципа суперпозиции для уравнения (1) и теоремы 2 следует,
что множество всех решений уравнения (1) образует n-мерное линейное
пространство, а фундаментальная система решений уравнения (1) служит
базисом этого пространства.
Определение. Функция вида
у(х) = С1<Р1 (т) +  • • + Сп<рп(х),
176 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
где <pi (ж),<Рп(х) — фундаментальная система решений (1), а
С],... , Сп — произвольные параметры, называется общим решением ли-
нейного однородного уравнения (1).
Из теоремы существования и единственности решения уравнения (1)
при начальных условиях
г/^о) = Vi0), у'(го) = Й0)> • • • ,У(п-1,(а:о) = Уп\	(3)
и из теоремы 2 получаем, что каждое решение задачи Коши (1), (3)
однозначно определяется из формулы общего решения (1).
Пример 1. Пусть все коэффициенты в (1) постоянны и пусть характе-
ристическое уравнение
Ап 4- aiA” 1 4-    4- ап = О
имеет п попарно различных корней Aj,... ,АП. Тогда общее решение
уравнения
у{п) +	-I---Ь any = О
имеет вид
у = CieAl1 4- • • • + с„еЛпХ,
где Ci,... ,Сп — произвольные постоянные. Эта формула уже извест-
на из главы 2. В силу теоремы 2 доказательство этой формулы
сводится к проверке линейной независимости системы решений еА’*,
j = 1,п. Это легко делается по определению линейной независимо-
сти.
Итак, нахождение общего решения уравнения (1) сводится к на-
хождению фундаментальной системы решений (1). В общем случае
ее найти весьма трудно, а то и невозможно. Обратная же задача о
нахождении уравнения (1) по заданной его фундаментальной систе-
ме решений на [а, (3\ однозначно решается без особого труда, о чем
речь будет несколько позже.
Определение. Определителем Вронского (или сокращенно вронскиан
ном) решений у\(х),... ,i/„(t) уравнения (1) называется определитель ви-
да
У1(х)	Уп(х)
У1(г)		Уп(*)
У1П-1)(*) ••• У{п~1\х)
и обозначается W(a;) или W[i/i(a;),... ,?/п(т)].
Теорема 3. Решения yi(x),... ,уп(х) уравнения (1) линейно зависимы то-
гда и только тогда, когда W(х) = 0 на [а, /?]. Решения у\ (х),... , уп(х) урав-
§2. Линейные Однородные уравнения порядка п
177
нения (1) линейно независимы тогда и только тогда, когда W (а:) 0 0 для
всех х & [а,/?].
О Сведем уравнение (1) к эквивалентной системе (2). Тогда столбцы
W(х) — решения системы (2) и, значит, W(x) является определителем
Вронского и для решений (2). Но для него утверждения теоремы 3 уже
были установлены в § 2 главы 5.	•
На практике теорема 3 удобна для проверки линейной зависимости
решений уравнения (1). Заметим, что, вообще говоря, теорема 3 неверна
в случае произвольной системы (п — 1) раз непрерывно дифференцируе-
мых функций уг(х),... ,уп(х). Например, при те [-1,1] функции
.	[б, х е [—1,0],	, ,	(х2, тб [-1,0],
У1(*) =	2 с п и	= 1 о п и
I х, х е [о, 1],	10, х е [0,1],
линейно независимы, по W(a:) = 0.
Теперь по заданной фундаментальной системе <pi(x),... ,<рп(х) уравне-
ния (1) построим само уравнение (1). Искомым уравнением будет урав-
нение вида
W-1[<^j (а:),... , <pn(rr)] • И^[2/(гс),	(rr),... ,^„(х)) = 0.	(4)
Уравнение (4), очевидно, имеет вид (1), так как W(<pi,... ,<рп) / 0 на
[а,0] и его решениями служат <pi(x),... ,ipn(x), поскольку при их под-
становке в (4) получается определитель с двумя одинаковыми столбцами.
Уравнение (4) однозначно определяется системой <pi(x),... ,ipn(x) в силу
того, что эквивалентная ему линейная система (2) однозначно (см. § 2
главы 5) определяется своей фундаментальной матрицей.
Теорема 4. Пусть W(т) — определитель Вронского решений yt(x),...,
уп(х) уравнения (1) и пусть хо € [а,/3]. Тогда для всех х € [а,/?] справедлива
формула Лиувилля — Остроградского
-f oi(0dC
TF(x) = VF(*o)e
О Уравнение (1) эквивалентно линейной системе (2). Для них определи-
тель Вронского ^(гс) один и тот же, и для системы (2) формула Ли-
увилля — Остроградского доказана. Остается заметить, что для системы
(2) 8рЛ(С) = -а1«)-	•
Замечание. В случае, когда п = 2 и известно частное решение щ (х) / 0
на [от,/?] уравнения (1), то формула Лиувилля — Остроградского позволя-
ет найти решение (1) в квадратурах. В самом деле, из формулы Ли-
увилля — Остроградского для решений у\(х) и у(х) имеем, что
- /<МС)<К
~ УУ1 = Cie
178 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
где ci — постоянная. Разделив это равенство на У](х), имеем:
d ( у\	ci ~
dx \У1/	уЦх)
Отсюда получаем, что
Г - f <ч(<Л<К d-г
у(х} - ciyi(x)  I е х° -j—— +C2!/i(®).
J	2/1 И)
хо
Пример 2. Решить уравнение (х > 0)
(4\
1 + - ) у = 0.
.т )
Ь. Очевидно, что у = х — решение этого уравнения. Воспользовав-
шись формулой Лиувилля — Остроградского, получаем, что
,	- 2 -
ху — у = се1 = crei.
Отсюда
ах \xJ
Значит,
у = х + ciel^ = cixel + ах.	▲
Линейное однородное уравнение (1) является однородным относитель-
но y,j/,... ,у^ (см. §4 главы 1) и поэтому его порядок можно понизить
на единицу с помощью замены неизвестной функции вида у1 — у • z(x).
Однако во многих случаях эта подстановка дает для z{x) нелинейное
уравнение и поэтому нецелесообразна. Покажем, что, если известно част-
ное решение yi(x) 0 на [а,(3] уравнения (1), то существует -замена,
понижающая порядок уравнения (1) на единицу, и при этом получает-
ся линейное однородное уравнение порядка (п — 1). В самом деле, вводя
замену переменных у = yi(x)  z(x), вычислив производные от у по фор-
муле Лейбница
и подставив в уравнение (1), получаем уравнение
У1«(п) + (пу1! + aiyi)z(n-1) + •  • + (y<n) + elyjn-1) + •   + anyi)z = 0.
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п	179
Так как уi (х) — решение (1), то коэффициент при z равен нулю и
замена z' = и после деления на yi(x) дает уравнение
и("-1) + bi(x)u^n~2^ +  • • + bn_i(x)u = 0.	(5)
Итак, замена и(х) - z'(x) =	[^j] приводит уравнение (1) к уравне-
нию (5).
Используя полученный результат, можно показать, что порядок урав-
нения (1) можно понизить на т единиц, если известно т линейно не-
зависимых решений 2д(х),... ,ym(x), 1 $ m < п — 1, уравнения (1). В
случае, когда известно (п — 1) линейно независимых частных решений
(1), приходим в результате понижения к линейному уравнению первого
порядка, интегрируемому в квадратурах. В этом случае общее решение
(1) может быть получено в квадратурах.
Например, в случае уравнения примера 2 замена у = xz приводит к
уравнению
2z" - z' = 0.
Его общим решением является
z = ci + сге^
и, значит, общее решение уравнения примера 2 задается формулой
у = xz = щх + сгхе5,
где С] и С2 — произвольные постоянные.
§ 3.	Линейные неоднородные уравнения
порядка п
Пусть задано линейное неоднородное уравнение порядка п
У(п) + ai(x)y(n-1) + • • • + an(x)y = /(х),	(1)
где aj(x), j = l,n, /(х) — заданные непрерывные функции на [ar,/3]. На-
ряду с уравнением (1) рассмотрим соответствующее линейное однородное
уравнение порядка п
z™ 4- ai(x)z^n-1^ + • •• + an(x)z = 0.	(2)
Если известно какое-либо частное решение (1), то его интегрирование
сводится к интегрированию уравнения (2).
Теорема 1. Пусть y<j(x) — какое-либо решение (1) и у(х) — z{x) + уо{х).
Тогда у(х) является решением уравнения (1) только в том случае, когда
z(x) —решение уравнения (2).
180 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
О Обозначив через Ly(x) левую часть (1) и через Lz(x) левую часть
(2), из равенства у(х) = z(x) + уо(х) получаем, что
Ly(x) = Lz(x) + Lyo(x) - Lz(x) + /(x),
так как уо(х) ~ решение (1). Если y(x) — решение (1), то Ly(x) = f(x) и
отсюда Lz(x) = 0, т.е. z(x) — решение (2). Наоборот, если z(x}~ решение
(2), то Lz(x) = 0 и тогда Ly(x) = f(x) т.е. у(х) — решение (1).	•
Из этой теоремы сразу следует, что, если известна фундаментальная
система решений <pi(x),... ,у>п(х) уравнения (2), то функция
у(х) = сх<р1(х) +  + cnipn(x) + у0(х),
где ci, ,Сп — произвольные постоянные, является общим решением
уравнения (1), т.е. содержит все решения уравнения (1).
Итак, в том случае, когда известна фундаментальная система решений
уравнения (2), решение уравнения (1) сводится к нахождению какого-
либо частного решения (1). Покажем, как можно в этом случае при
п > 2 найти то решение уравнения (1), которое удовлетворяет нулевым
начальным условиям
у(^о) =у'(х0) = •• =у(п-1)(.т0) = 0, х0 6 [а,/?]-	(3)
Пусть К(х) —решение линейного однородного уравнения (2) порядка
п > 2, удовлетворяющее начальным условиям
У(^о) =у'Сто) = •• =У(п-2)(®о) =0, у{п~^(х0) = 1,	(4)
где Xq 6 [а, /3].
Построим К{х). Если ^>i(x),... ,<рп(х) — фундаментальная система ре-
шений (2), то по теореме 2 § 2
К(х) = ciipi(x) + ••  + Спу>п(х}.
Подставив К(х) в начальные условия (4), получим, что
Cj - W~1 (т0)  И^Сго), j - Гп,
где W(to) — определитель Вронского системы <Pi(xq),  • • i Фп(хо), а
Wnj-(то)—алгебраическое дополнение элемента <р>(хо) в IV(reg), j — 1,п.
Таким образом,
п
К{х) = 1У-1(то) • ^И'п/то) -^(т).	(5)
j=i
Теорема 2. Функция
X
Уо(*) = У K(x + x0-Qf(Qd^, х0<хе[а,р],	(6)
является частным решением линейного неоднородного уравнения (1), удо-
влетворяющим нулевым начальным условиям (3).
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п	181
О Поскольку /((x + xq — С) и все	, j = 1,н, как видно из (5),
являются непрерывными функциями х, xq е [а,/?], то yo(z) можно по
правилу Лейбница п раз непрерывно дифференцировать. Тогда, учиты-
вая начальные условия (4) для К(х), имеем, что
у) Г &К(х + х0~С)	-----т
Уо (*) = у -----faj------/(СИ, J = 1,п - 1,
то
Уоп}^ = f dnK{X0xn°~C)f^ + /(*>•
хо	,
Отсюда ясно, что уо(т) удовлетворяет нулевым начальным условиям (3).
Подставляя выражения для уо(х) и ее производных в (1), убеждаемся в
том, что уо(х) — решение (1).	•
Формула (6) для уо(х) называется формулой Коши частного реше-
ния (1), а метод ее получения называется методом Коши. Метод Коши
позволяет найти общее решение (1) в квадратурах.
Решения (1) можно получить и другим методом — методом вариации
постоянных (методом Лагранжа). Если <pi(x),... ,<рп(г)—фундаменталь-
ная система решений уравнения (2), то, как известно, общее решение
(2) имеет вид
У = ci у?1(ж) + • • • + Cnipn(x},
где cj,... , Сп — произвольные постоянные. Следуя Лагранжу, будем ис-
кать общее решение уравнения (1) в том же виде,
У = сцр^х) + ••• +сп<рп(а:),	(7)
но уже считаем
ci = ci(z),... ,Cn = Сп(х),
где ci(z),... ,Сп(х), — пока неизвестные непрерывно дифференцируемые
функции х 6 [ог,/3]. Потребуем, чтобы
У^ (х) = С! (z)^ (z) +  • • + Сп (z)^ (х), j = l,n - 1.
Это дает систему (п — 1) уравнений для определения с\{х),... , c^(z):
c'i(^)/iJ) (z) + • •  + c'n(x)tp^ (z) = 0, j = 0,n —2.	(8)
Еще одно уравнение получаем подстановкой у^(х), j = 0, п, в урав-
нение (1). Если обозначить левую часть уравнения (1) через Ly(x), то
подстановка у(х) и ее производных в (1) дает уравнение
c'lWv’!” U(z) + • • • + <(z)<p£n 1J(z) +
+ ci(z)L<pi(z) + • • • + Cn(z)Ly?n(z) = f(x).
182 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Поскольку	— решения (2), то Ltpi(x) — • • • = 1лрп(х) — О
и остается уравнение
c'l <sc)¥Ji"-1) (х) +  + с'п(х)^”-1)(т) = f(x).	(9)
Линейная алгебраическая система (8), (9) для Cjfx),... ,с'п(т) по-
зволяет однозначно определить ^(i),... , с'п(т), так как определи-
тель системы (8), (9) представляет собой определитель Вронского
W(;r) —	,<pn)i а он отличен от нуля на [а,В\ в силу то-
го, что у>1 (я),... —фундаментальная система решений (2). Если
Wnj(x) обозначает алгебраическое дополнение элемента	в W(х),
j = 1,п, то по формулам Крамера
с;(я) = W-4x)Wnl(x)f(x),... ,<(х) = W-'(x)Wnn(x)f(x).
В силу непрерывности IV-1(a;), f(x) и Wnj(x), j = 1,п, на [a,/3] отсюда
находим, что
Cj(x) — dj + ! W~\x)Wnj(x)f{x)dx, j = l,n,
где dj,... ,dn —произвольные постоянные, а знак интеграла означает
фиксированную первообразную.
Подставляя выражения для с7(т), j = 1,п, в формулу (7), получаем
формулу общего решения (1):
у(х) = dwi(x) +    + dn<pn(x) + f K(x)f(x)dx,
где K(x) определяется формулой (5) при Хо = х. Если в качестве пер-
вообразной взять интеграл с переменным верхним пределом, то отсюда
X
получаем при di — • • • = dn = 0 частное решение уо{х) = f K(£)/(£)dA
zo
удовлетворяющее начальным условиям (3).
Пример 1. Методом Коши решить уравнение
(2х + 1)у" - 2у' - (2я + 3)р = 9(2х + 1)М, х >
А Найдем сначала фундаментальную систему решений линейного
однородного уравнения
(2х + 1)у" - 2у' - (2я + 3)р = 0.
Проверкой убеждаемся, что pi = е-1 — его частное решение. По фор-
муле Лиувилля—Остроградского
у'е~т + е~ху —	= Cj.(2x + 1).
Отсюда
s(?j) = c',2,! + 1>e2’
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п
183
— Cixex 4- с2е х
или
у - е~х ^с2 + ci У (2х + 1)е2х<£г
Функцию К(х) ищем в виде
К(х) = С\хех 4- с2е“х,
где Ci и с2 найдем из начальных условий — 0> К'(£) = 1. Из
этих условий получаем систему уравнений
CiCe1’ + c2e_f = О,
cj« 4- 1)е^ - с2е_<: = 1,
откуда
е_<>
С1 “ 2< + Г С2 “ “ 2(4-1'
Следовательно,
. тех-<: — (е**-1
’	2(4-1
Тогда, учитывая, что в заданном примере f(x) = 9(2х + 1)ез,
X	ж
j/o(x) = I K(Of(C)dC = I ХеХ ^~+^-Х  9(2С + 1)е’<К =
О	о
х
— $ [хеХ ' е ’ ~ е~х ’ d( = (4 — 24х)е^ — 4е-х 4- 18хех.
о
Общее решение исходного уравнения имеет вид
у = с\хех + с2е-х 4- (4 — 24т)е1 — 4е-х + 18хех,
где ci и с2 — произвольные постоянные.	А
Пример 2. Методом вариации постоянных решить уравнение
(2х + 3)у" - 2у' -	= 3(2т + З)2, х > 0.
Д Решаем сначала линейное однородное уравнение
(2х + 3)У" - 2у' -	= О-
Проверкой убеждаемся, что j/i —х2 — его решение. По формуле Ли-
увилля—Остроградского
т2у' — 2ху — се^ 2*+4 = с(2я + 3).
Отсюда
</ /	_ 2x4-3
dx \х2/ х*
184
Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
или
У = х2
о
— С\Х + С2
X + 1
X
Решение исходного уравнения ищем в виде
. , 2	. . х + 1
y = ci(x)xz + с2(х)----.
X
Для С](ж) и с2(х') имеем систему уравнений (здесь f(x) = 3(2т + 3)):
Гх2с'1 (я) + (1 + j) d2(x) = О,
[2xci(z) —	• с^х) = 3(2т + 3).
Отсюда
3
Cj(x) = 3 Ч—,	<4(a;) = —За;2.
х
Значит,
ci (а;) — Зх + 3 In х + di,	с2(х) — — х3 + d2,
где di и d2 — произвольные постоянные.
Общее решение заданного уравнения имеет вид
у — d^x2 + d2 (1 + — ) + 2а;3 + За;2 Ina;.	А
\ х)
Формулу Коши (6) частного решения (1) можно получить и по-
другому, используя понятие фундаментального решения дифференциаль-
ного оператора (см. [13]).
Пусть в уравнении (1) коэффициенты ау(а:)—заданные бесконечно
дифференцируемые функции на полуоси х > 0, j — 1,п, и правая часть
/(а;) — заданная непрерывная и локально интегрируемая на полуоси х >0
функция, т.е. на каждом [а,/3] полуоси х > 0 существует
в
У |/(x)|dx.
а
Продолжая нулем на полуось х < 0 функции у(х) и /(а;) в уравнении
(1), можно тогда решение уравнения (1) понимать в смысле теории обоб-
щенных функций (см. [13]). Известно, что функция Е(х) = 0{x)z(x), где
0(х) — функция Хевисайда, равная единице при х > 0 и нулю при х < 0,
a z{x) — решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям
(4) при а;о = 0, удовлетворяет в смысле обобщенных функций уравнению
LE(x) - £(п\х) + а^а:)^”-1)^) + • •  + ап(х)£(а:) = <5(а;),
§ 4. Граничные задачи	185
где <5(х) -5-функция Дирака. Другими словами, Е(х) является фундамен-
тальным решением дифференциального оператора L и, значит, свертка
£(х) с /(х) дает частное решение (1) при х > О
X
Уо(х) = У
о
удовлетворяющее нулевым начальным условиям при х = 0. Это частный
случай формулы Коши при xq = 0. Формула Коши (6) сводится к этой
формуле заменой х - xq = t.
Замечание. Если в уравнении (1) Oj(x), j = 1,п, и f(x) не все явля-
ются непрерывными функциями, то решения (1) может не существовать.
В этом случае приходится расширять понятие решения (1) и вводить
так называемое обобщенное решение (1). Например, уравнение у'= signa;
не имеет классического решения, но имеет обобщенное решение. Более
подробно об этом см в [13].
§ 4. Граничные задачи
Начальные условия не являются единственно возможными дополнитель-
ными условиями, выделяющими определенное частное решение диффе-
ренциального уравнения. Во многих случаях в качестве дополнительных
условий задаются условия на неизвестную функцию и ее производные на
границе того промежутка, где задано дифференциальное уравнение. Эти
условия называются граничными (или краевыми) условиями. Если зада-
ча определения решения дифференциального уравнения, удовлетворяю-
щего заданным начальным условиям, называется задачей Коши, то за-
дача определения решения дифференциального уравнения, удовлетворя-
ющего заданным граничным условиям, называется граничной (или кра-
евой) задачей.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением простейшей граничной за-
дачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Пусть задано уравнение
у”+ а1(х)у'+ а2(х)у = f(x),	(1)
где aj(x), аг(х), /(х) — заданные непрерывные функции хё [0,1], и гра-
ничные условия при х = 0 и х = I > 0
aiy(0) +£1у'(0) = уо,
<*2V(t)+fal/(l) = У1,	(2)
где сц, fit, i = 1,2, у0> У1 — заданные числа, причем a? + fl? > 0, i = 1,2.
Здесь у(0) = у(+0), у'(0) = у'(+0), у(0 =	- 0), у'(Г) = у'(1 - 0).
186 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Если уо = yi = 0, то граничные условия (2) называются однородными
граничными условиями. В дальнейшем ограничимся случаем однородных
граничных условий, так как в случае неоднородных условий решение у{х)
граничной задачи (1), (2) можно искать в виде
у(х) = и(т) + v(x),
где функция v(x) удовлетворяет лишь заданным граничным услови-
ям (2), а в остальном произвольна. Например, для граничных условий
3/(0) = Уо, у(1) = Vi можно взять
. , I — X X
»(г) = Уо—— +У1-[-
Тогда для функции и(х) получается граничная задача с другой правой
частью, чем в (1), но с однородными граничными условиями. Вместо
[0,3] можно брать любой другой [с, <3].
Итак, в дальнейшем считаем, что в условиях (2) у0 — у\ — 0. Для
уравнения (1) рассматривают и граничные условия более общего вида,
представляющие собой линейные комбинации значений у(х) и у'(х) в точ-
ках х = 0 и х = I. Например, это могут быть условия периодичности
У(О) =	У'(О) = 2/'(0-
Определение. Решением граничной задачи (1), (2) называется функ-
ция у = у>(х), х ё (0,3], которая дважды непрерывно дифференцируема
при х ё (0,3), непрерывно дифференцируемая на [0,3] и удовлетворяет
уравнению (1) на (0,3) и граничным условиям (2).
Как известно, решение задачи Коши для уравнения (1) при началь-
ных условиях
у(хо)=уо, у'(хо) = У\, х0 ё [0,3],
существует и единственно на всем [0,3]. Для граничной задачи (1), (2)
это вовсе не обязательно. Оказывается, что решение граничной задачи
(1), (2) может не существовать или быть не единственным. Чтобы разо-
браться в этом вопросе, введем в рассмотрение фундаментальную систе-
му решений </?i(a:) и Фг(^) линейного однородного уравнения
z" + ai (x)z' + a2(x)z = 0	(3)
(y?i(x) и <Р2(х) существуют в силу непрерывности ajfa;) и аг(х)) и част-
ное решение уо(х) уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1)
имеет вид
У = С1¥>1(т) + С2ф2(х) + уо(х),
где Ci, С2 — произвольные постоянные. Для получения решения граничной
задачи (1), (2) постоянные ci и сг необходимо определить из однородных
§4. Граничные задачи	187
граничных условий (2). Подставляя общее решение (1) в условия (2),
получаем линейную алгебраическую систему для cj и с2:
f[ai$oi(O) + /3i<Pi(0)] ci + [ai<p2(0) +/?i<p'2(0)]c2 = -ori3/o(0) -fts/o(°)>
+/W1U)]C1 + [^2V?2(0 +/?2<^2(О]С2 = -а2Уо(1) ~ fay'oV)-
Обозначим через U матрицу этой системы и через U — расширенную
матрицу этой системы. Используя известные из курса алгебры теоремы
о разрешимости линейной системы уравнений, получаем следующий ре-
зультат.
Теорема 1. Если detU 0 0, то решение граничной задачи (1), (2) суще-
ствует и единственно на [0, /]. Если же det If — О, то решение граничной
задачи (1), (2) не существует, если ранг матрицы U не равен рангу рас-
ширенной матрицы U, и решение (1), (2) существует, но не единственно,
если ранг матрицы U равен рангу матрицы U.
Отметим, что ранг матрицы U не зависит от выбора фундаменталь-
ной системы решений <pi(x), У’гС®) уравнения (3), так как переход к дру-
гой фундаментальной системе осуществляется невырожденным линейным
преобразованием и при таком переходе матрица U умножается на ма-
трицу этого линейного преобразования, что не меняет ранга матрицы U.
Аналогичное замечание касается и ранга матрицы U.
Ранг матрицы U называется рангом граничной задачи (1), (2). Од-
нородная граничная задача (1), (2), т.е. задача (1), (2) при f(x) = О,
I/O — У1 = 0, имеет лишь тривиальное решение, если ранг матрицы U
равен двум, и имеет одно линейно независимое решение, если ранг ма-
трицы U равен единице.
Пример 1. Исследовать разрешимость граничной задачи
2/" + у = 0, у(0)=0, у(Г) =yi, I > 0, yi G Я.
Д Общим решением уравнения является
у = ci cost + c2sin3:.
Граничное условие у(0) = 0 дает Cj = 0, а граничное условие у(1) =
У\ приводит к уравнению c2sini — Если sinI 0 0, т.е. I kit,
к 6 N, то С2 — и получаем единственное решение задачи
yi sinrr
У = —~Т-
sint
Если же sin/ = 0, т. е. I = kit, к G N, то возможны два случая. В
случае 2/10 0 уравнение с2 sin I — yi, а, значит, и граничная задача,
решений не имеет. В случае yi = 0 уравнение с2 sin I — yi становится
188 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
тождеством и граничная задача имеет бесконечно много решений
вида
У = С2 3ШХ,
где с2 — произвольная постоянная.	А
Покажем, что решение уравнения (1) при однородных граничных
условиях (2) однозначно представимо через так называемую функцию
Грина граничной задачи, если только однородная граничная задача име-
ет лишь тривиальное решение, т.е. решение у(х) = 0 на [О,/].
Определение. Функцией Грина граничной задачи (1), (2) называется
функция G(x,£), определенная при G [0,Z] и удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
1.	При каждом фиксированном С € [О, Z] G{x, С) как функция х на
каждом из промежутков [0,С) и (CJ] удовлетворяет однородному урав-
нению (3).
2.	G(x, удовлетворяет однородным граничным условиям (2).
3.	G(x,C) — непрерывна при всех х, Q € [О, Z], а ее производная име-
ет при х = С разрыв первого рода со скачком
gG(C + O,C) сКУ(С-О,С)
дх	дх
Теорема 2. Если однородная граничная задача имеет лишь тривиальное
решение, то функция Грина граничной задачи (1), (2) существует и един-
ственна.
О Пусть <pi (х) — решение уравнения (3) при начальных условиях
г(0) = /?1,	г'(0) = -аь
а <р2 (i) — решение уравнения (3) при начальных условиях
4Z) = /32,	z'(Z) = —а2.
Очевидно, что Ф>(г) ^0 на [0,Z], i = 1,2, и что </?i (х) удовлетворяет пер-
вому граничному условию из (2) (у а = 0), а <р2(х) удовлетворяет второму
условию из (2) (у! = 0), так как а? + /3? > 0, г = 1,2. Далее, функции
<Р1(.т) и <р2(х)—линейно независимы на [0, Z], так как в противном слу-
чае (з?) = cvi(ж), с/0, и тогда <р2(з:) удовлетворяет обоим однородным
условиям (2), что противоречит условию теоремы. Таким образом, <pi(x)
и у>2(а:) — фундаментальная система решений (3). Пусть IV(x) — опреде-
литель Вронского этой системы.
Ищем функцию G(x,Q) в виде
ci(C)<pi(i), ®е[0,0,
СгЮУ’гСг), X 6 ((,Z).
G(x,<) =
§ 4. Граничные задачи	189
По построению функций <pi(x), </?г(х) функция G(x, £) удовлетворяет
пп. 1, 2 определения функции Грина. Чтобы удовлетворить п. 3 этого
определения, остается найти Ci(£) и с2(С) из условий
С2^2«) ~ С1<Д1(С) = 0,	С2<р'2«) - С1У?1(<) = 1-
Эта система однозначно разрешима относительно Ci и с2, поскольку опре-
делителем ее служит W(х) 0 на [0,/]. Окончательно тогда получаем,
что
г! 1 M(CWi(x), х€[0,(],
W(C) • ^(х), х 6 [С,1].
•
С точки зрения теории обобщенных функций (см. [13]) функция Гри-
на G(x,Q получает простое и четкое толкование. Пусть в уравнении (1)
ai(х) и а2(х) —бесконечно дифференцируемые функции на [0,1]. Продол-
жим нулем на всю ось Я* в уравнении (1) все функции у(х), oi(x),
а2(.т), /(х)- Тогда решение (1) можно понимать в смысле теории об-
общенных функций. Как нетрудно установить (см. [13], [28]), функция
Грина G(x,Q граничной задачи (1), (2) удовлетворяет уравнению вида
у" + ai{x)y' + а2(х)з/ = д(х - <),
где S(x) — ^-функция Дирака. Наоборот, если функция G(x,^) является
решением (обобщенным) этого уравнения, то G(z,() обладает свойствами
пп. 1, 3 определения функции Грина. Таким образом, функцией Грина
задачи (1), (2) можно коротко назвать решение уравнения
у" + ai(x)y' + ai(x)y = S(x - <),
удовлетворяющее граничным условиям (2).
Теорема 3. Если однородная граничная задача имеет лишь тривиальное
решение, то решение уравнения (1) при однородных граничных условиях (2)
существует, единственно и выражается формулой
I
у(х) = I G(x,0 •	(5)
о
где G(x, £) — функция Грина граничной задачи (1), (2).
О Запишем формулу (5) в виде
X	I
у(.т) = I G(x,C)/«H + У G(x,O/(C)<.
О	х
190 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
В каждом из промежутков [0, х) и (a;,/] G(x, () и непрерывны. По-
этому каждый из интегралов можно дифференцировать по х. Получаем
X
у'Ю = f dG{*’°	+ G(x, x - 0)/(x) +
J ox
0
I
J ox
x
В силу непрерывности С?(ге,£) при ( = х внеинтегральные члены уничто-
жаются взаимно и
у'(*) = j	+ f	(6)
J	ox	J	ox
0	X
Эту формулу можно еще раз продифференцировать по х. Получаем
у"ы = / g2y2,()/(Orf< + gG(Y~0) • /(х) +
J ox*	ox
0
ЛМЛ/(ж_«!챫.;и
J ox*	ox
x
В силу п. 3 определения	последнюю формулу можно записать
в виде
у"(*) = !	+ /(ж)-	(7)
о
Из формул (5), (6), (7), учитывая свойства g(x,C)> получаем, что
(5)—решение задачи (1), (2). Решение единственно, так как если пред-
положить существование другого решения у(х), то z(x) = у(х) — у(х) —
нетривиальное решение однородной граничной задачи, что противоречит
условию теоремы.	•
В ряде вопросов возникает граничная задача с комплексным параме-
тром X:
у" + ai(x)y'+ а2(х)у = Ху, х Е (0,1),	(8)
aiy(0)+fty'(0) = 0,
<*2У(0 +/W(0 = 0>
где ai(x), а2(х) —непрерывны на [0,£] и «? + /??> 0, i = 1,2.
§ 4. Граничные задачи
191
Определение. Задача нахождения значений параметра X, при которых
граничная задача (8), (9) имеет нетривиальные решения (т.е. у(х) ^0
на [0, £]), называется граничной задачей на собственные значения.
Значения параметра А, для которых граничная задача (8), (9) име-
ет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а
соответствующие им нетривиальные решения называются собственными
функциями граничной задачи (8), (9) на собственные значения.
Так как однородное уравнение (8) при данном А имеет не более двух
линейно независимых решений, то множество всех собственных функций,
соответствующих данному собственному значению А, является линейным
пространством размерности не более двух. Число линейно независимых
решений граничной задачи (8), (9) при данном собственном значении А
называется кратностью собственного значения А.
Оказывается, что для задачи (8), (9) имеет место только один из
следующих трех вариантов (см. [31]):
1.	Граничная задача (8), (9) не имеет собственных значений.
2.	Граничная задача (8), (9) имеет не более счетного множества соб-
ственных значений, которые при этом не могут иметь конечной предель-
ной точки.
3.	Всякое число А является собственным значением граничной задачи
(8), (9).
Пример 2. С помощью функции Грина решить граничную задачу
(1 + х2)у" + 2ху' - /(т), у(0) - 2/'(0), у(1) - 0,
где /(я) — заданная непрерывная функция на [0,1].
Д Однородная граничная задача
(1 + х2)у" + 2ху' = 0, 2/(0) = у' (0), 2/(1)= 0,
имеет только тривиальное решение. В самом деле, уравнение можно
записать в виде
«10.
Его общее решение
у = C] arctg х + С2
и при подстановке решения в граничные условия получаем у = 0.
Итак, функция Грина существует и для ее нахождения можно
воспользоваться формулой (4). Решением уравнения
(1 + х2)у" + 2т.у' = 0
при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = 1 будет </>i(x) — 1 +arctg я,
а решением того же уравнения при начальных условиях 2/(1) — 0,
п 2(1 + <2)
192 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
i/(l) — 1 будет <р2(я) = — f + 2arctgz. Определитель Вронского
W(z) =	Следовательно,
(-| + 2arctg£) (1 + arctga:), хЕ [0,£],
(1 + arctg<) + 2arctgz), z € [С, 1],
и решение заданной граничной задачи имеет вид
1
у(х) = I	А
о
Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции гранич-
ной задачи
у" = Ху, р(0) = у{1) = 0.
Д Если X > 0 или А — комплексное, то задача не имеет нетривиаль-
ных решений, так как общее решение уравнения
у = cie1^ + сге-1^
при подстановке в граничные условия дает у(х) = 0.
При А = 0 общее решение уравнения у = c^z + сг и подстановка
его в граничные условия опять дает у(х) = 0.
Пусть теперь А < 0. Тогда общее решение
у = ci cos(z\/—А) + сг sin(z\/—А)
и подстановка в граничные условия дает
ci = 0, C2sin(Z\/^A) = 0.
Если у 0, то с*2 / 0 и, следовательно,
sint/v''—А) = 0.
Отсюда получаем формулу всех собственных значений:
fc2TT2
А* = —р~,	Л = ±1,±2,...
Им соответствуют собственные функции
, ,	клх
Ук(х) = CfcSin —,
где Ck — произвольные постоянные 0 0, к = ±1, ±2,....	А
Замечание. Если в уравнении (1) ai(z), аг(т), f(x) не все являются
непрерывными функциями на [0, Z], то решений граничной задачи (1),
(2) может не существовать. В таком случае вводят понятие обобщенно-
го решения граничной задачи (1), (2) и исследуют его существование.
Подробнее об этом см. в [15], [30].
§ 5. Теорема Штурма
193
§ 5. Теорема Штурма
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
у" + а(х)у' + Ь(х)у = 0,	(1)
где а(х) и Ь(х) — заданные действительные функции на некотором проме-
жутке Z числовой оси R1, причем а(х) — непрерывно дифференцируема
и Ъ(х) — непрерывна на Т.
В этом параграфе будем рассматривать только действительные реше-
ния уравнения (1). Решение (1) у(х) 0 на Z называется нетривиаль-
ным решением уравнения (1), а точку xq € Т, для которой у(хо) = О,
называют нулем нетривиального решения (1). Нас будет интересовать
вопрос о множестве нулей нетривиальных решений (1). Этот вопрос име-
ет важное значение в ряде прикладных задач теории колебаний. Реше-
ние (1), имеющее на I более одного нуля, называется колеблющимся
на I.
Заменой неизвестной функции у(х) уравнение (1) всегда можно свести
к двучленному уравнению
z" + q(x)z = 0,	(2)
где q(x) — непрерывная функция на Z. В самом деле, положим
у(х) = u(x)z(x)
и подберем и(х) так, чтобы уничтожить член с z! в уравнении для z(i).
Имеем:
у' = и' z + uz', у" = u"z + 2u'z' + uz",
uz" + (2u' + au)z' + (u" + au' + bu)z = 0.
В качестве u(x) возьмем какое-либо нетривиальное решение уравнения
2и' + аи — 0,
например,
и(х) — е ‘°	, Xq G Z.
При таком выборе и(х) имеем, что
f	1	ff	1 / /	n	1
и = — -аи, и — — -(а и + аи ) = — - ( а — -а I и.
& £ ~ \ /
Подставив в (1) найденные значения и, и', и" и сократив на н(х) / 0,
для z{x) получаем уравнение (2), в котором
q(x) = 6(а?) - |а2(т) - ^а!{х),
причем q(x) — непрерывна на Т.
7 2769
194 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Замечание. Если q(x) = const либо q(x) = c(r — а)-2 при х > а, то
уравнение (2), а, значит, и уравнение (1), интегрируется в квадратурах.
Поскольку пули у(х) и z(x) совпадают на промежутке I, то в даль-
нейшем рассматриваются лишь двучленные уравнения (2).
Лемма 1. Всякий нуль xq € Т каждого нетривиального решения (2) z{x}
является простым, т. е. z(xq) — 0, z'(xo) / 0.
О Если Xq € 1— кратный нуль z(x), то z(xq) = z'(xq) = 0. По теореме
единственности решения задачи Коши z(x) = 0 на I, что противоречит
условию леммы 1.
Лемма 2. Нули каждого нетривиального решения (2) з(г) не имеют ко-
нечной предельной точки на I.
О Рассуждаем от противного. Пусть	I* 6 2, Vk е N и хк ->
xq € I, причем z(xk) = 0, VA G /V. Тогда в силу непрерывной диффе-
ренцируемости z(x)
z(xq) = lim z(xjt) — 0,
fc-+oo
/<«,)- ,im *w-*m=0
Xk-txo Xk — Xo
По теореме единственности решения задачи Коши z(x) =0 на Z, что
противоречит условию леммы 2.
Следствие. Любое нетривиальное решение (2) z(x) имеет на каждом
[а, 0] С Т лишь конечное число нулей.
О Если бы это было не так и ^{тп}^.], хп g [a,/?], Vn € N, такая,
что z(xn) = 0, Vn g N, то в силу теоремы Больцано—Вейерштрасса
£пк € [а,0], xnk -> хо Е [а,/?] при k -> оо, что противоречит
лемме 2.	•
Теперь сравним количества нулей нетривиальных решений двух урав-
нений вида (2).
Пусть заданы два уравнения:
У" + У(Х)У - 0,	(3)
2" + С(х)г=0,	(4)
где q(x) и Q (х) — заданные непрерывные функции на промежутке Т.
§ 5. Теорема Штурма 195
Теорема Штурма. Пусть q{x) < Q(x), Vx g 2, и пусть y(x) — какое-либо
нетривиальное решение уравнения (3), a z(x) - какое-либо нетривиальное
решение уравнения (4). Если xj, х2 g 2 последовательные нули у(х), то
найдется хотя бы одна точка хо g (хьХг), в которой z(xo) = 0, либо
z(xj) = z(x2) = 0.
О Имеем y(xi) = y(xz) = 0. Будем считать для определенности, что
у(х) > 0 при всех х g (®1,Жг), иначе вместо у(х) можно было бы взять
[-у(х)]. Тогда
у'(х1)= lira -^>0,
I-JX1+0 X - Х1 ~
у'(х2) = lim —~Х) < 0.
х->а:2-0 X — Х2
В силу леммы 1 равенство нулю y'(xi) и у'{х2) невозможно и поэтому
y'(xi) > 0, у'(х2) < 0.
Умножая (3) на z(x), а (4) на у(х) и вычитая, для решений у{х) и
z(x) получаем тождество на 2
y"z - z"y = (Q - q}yz.
Это тождество можно так записать:
(y'z - z'y)' = (Q - q)yz.
Интегрируя его на отрезке [#1,2:2] и учитывая» что = у(%2) = 0,
получаем тождество
12
y'(x2)z(x2) - y'(x!)z(x1) = у [Q(x) - g(x)] y(x)z(x)dx. (5)
a=i
Будем считать, что z(x) > 0 на (xi,X2), так как в случае z(x) < 0 на
(х1,хг) вместо г(х) можно брать [—z(x)].
Допустим теперь, что теорема Штурма неверна. Тогда могут быть
следующие три возможности:
a)	z(x) > 0, Vx g [х1,хг],
б)	z(x) >0, Vx g (х^хг), г(хг) = 0,
в)	z(x) >0, Vx g (a:i,X2], z(xi) = 0.
Во всех случаях а), б), в) левая часть тождества (5) отрицательна, в
то время как правая часть (5) неотрицательна. Противоречие.	•
Замечание. Если z(xj = z(x2) = 0 и z(x) / 0 на (х1,хг), то необхо-
димо на [хьхг], q(x} = Q(x) и у(х) = cz(x), где с—постоянная. Если
же Эх g (xi,X2), что q(x) < <?(х), то всегда Эхо 6 {х^,х2), для которого
z(x0) = 0.
196 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Графически утверждения теоремы Штурма могут быть проиллюстри-
рованы следующим образом.
v(*)
у(*)
Рис. 1
Это значит, что нули z(x) идут не реже, чем нули у(х).
Теорему Штурма иллюстрирует пара функций sin mi и sin Mi при
О < т < М, поскольку у = sin тх — решение уравнения
у" + т2у = О,
z = sin Мх — решение
z" + M2z = 0.
Из теоремы Штурма для уравнения (3) получаются важные следствия.
Следствие 1. Если в уравнении (3) д(х) < 0, Vi G Т, то всякое нетриви-
альное решение (3) имеет на Т не более одного нуля.
О Если бы решение у(х) 0 имело на Z два нуля и х?, то по теореме
Штурма всякое нетривиальное решение уравнения
z" + 0 • z(x) — 0
обращалось бы в нуль на (11,12) или при х = а?) и х = Х2- Это опро-
вергается примером z(x) = 1.	9
Следствие 2. Пусть yi(i), У2(х)—два линейно независимых решения
уравнения (3). Если 11,12 — последовательные нули то у2(х) имеет
на (xi,X2) в точности один нуль, т. е. нули у\(х) и уг(^) перемежаются.
О По теореме Штурма, примененной к (3) (здесь q(x) = <Э(.т)), У2(х}
имеет на [хьхг! хотя бы один нуль хо- Общих нулей у\{х) и У2{х>) не
могут иметь, так как если, например, yi(ii) — «/2(2:1) — 0, то W(ii) = О
и решения у\(х), У2(.х) —линейно зависимы на Т. Итак, tq 6 (^1^2)-
Докажем, что хо — единственный нуль У2(х) на (11,12)- Допустим про-
тивное, что Вх / хо, х € (11,12), такой, что уг(т) = 0. Тогда по теореме
§ 5. Теорема Штурма
197
Штурма, предположив для определенности х > г'о, на [хо, £] существует
хотя бы один нуль у\ (х), что противоречит тому, что xj и хч~ последо-
вательные нули 1/1(2:).	•
Графически утверждение следствия 2 иллюстрируется на рис. 2.
sa(a>) 1/2(х)
Рис. 2
Из следствия 2 очевидно получаем следующий результат.
Следствие 3. Если некоторое нетривиальное решение уравнения (3) име-
ет на Т бесконечное число нулей, то и каждое нетривиальное решение (3)
имеет на Z бесконечное число нулей.
Пара функций sina; и cost, являющихся линейно независимыми ре-
шениями уравнения у" + у = 0, иллюстрирует следствия 2 и 3.
Пример 1. Пусть в уравнении (3) 0 < т < q{x) < М < +00, т < М,
для всех х G Т. Тогда расстояние между соседними нулями каждого
нетривиального решения (3) не меньше и не больше
А Рассмотрим уравнение z" + mz — 0. Из формулы его общего ре-
шения z(x) = A sin (у/тх + </?) следует, что если xi и 2:2—соседние
нули z(x), то Х2 = 2:1 + Если xi и — последовательные нули
у(х) на [271,2:2], то по теореме Штурма
2>1 < Т] < Х2 < 2:2-
Тогда X2 < Х2 — xi +	< xi + т. е. Х2 —	Рассмотрев
уравнение
+ Mz - 0,
аналогичными рассуждениями получаем, что тг — х\ > -у—. к
V М
Пример 2. Оценить расстояние d между двумя последовательными ну-
лями любого нетривиального решения yv(x) уравнения Бесселя
Х2у" + ху' + (г;2 — 1/2)у = 0, 27 > 0, V € R.
А Замена уу/х = z(x) приводит к уравнению
/ i -
z" + I 1 + у- ) z = 0.
\	а:2 /
198 Глава б. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Возьмем некоторое xq > 0 в случае и2 < | и Хо > ум2 — | в СЛУ43®
1 _ 2
I/2 > |. Пусть q(x) = 1 + * £ . Тогда при и2 < | и Vx > xq
j — v2
I < ?(*) < 1 +	"2 i
Xq
а при V2 > | И Vx > Xq
2,2-1
0 < 1----< q(x) < 1.
Xq
Отсюда, используя пример 1, получаем, что
/	1 _ р2\ 3	,
ТГ ( 1 +   5— ]	< d < ТГ, V2 < -,
\ г0 /	4
ТГ < d < ТГ ( 1---1	, V2 >
\ } 4
В частности, d = тг при и2 = j.
Из этих оценок следует, что при х > 0 каждое решение у„ > О
имеет бесконечное множество нулей, причем расстояние между со-
седними нулями стремится к тг при х —> +оо. Последнее вытекает
из оценок при хо —> +оо.	А
Пример 3. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения
У" + 4(^Т1? = 0’	Х-°’
имеет лишь конечное число нулей.
Д Поскольку при х > О
1 1
4(х2 + 1) < 4х2 ’
то в силу теоремы Штурма достаточно установить, что каждое не-
тривиальное решение уравнения
z" +	=0, х > 0,
4х2
имеет лишь конечное число нулей. Но это уравнение — уравнение
Эйлера и можно найти его общее решение
z — х/х(с! 1пх + сг),
где ci и Сг — произвольные постоянные. Из этой формулы видно, что
каждое z(x) 0 имеет конечное число нулей при х > 0.	А
§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов.
199
§ 6. Решение линейных дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов.
Уравнение Бесселя
Решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф-
фициентами в редких случаях находятся в квадратурах. Но даже реше-
ние их в квадратурах приводит к появлению новых, не элементарных
функций. Например, решением уравнения первого порядка
является функция
Ф(х) =
<2
играющая важную роль в теории вероятностей.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка порождают
в качестве решений так называемые специальные функции, часто исполь-
зуемые в математической физике, квантовой механике и т. д. При этом
свойства этих функций изучаются с помощью порождающих их диффе-
ренциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
у" + ai(x)y'+ а2(х)у = 0.	(1)
Сначала дадим представление о том, как находить фундаментальную си-
стему решений уравнения (1) в том случае, когда коэффициенты а-^х) и
а2(х) являются действительными аналитическими функциями х в точке
xq 6 R*, т. е. ai(х) и а2(х) представимы степенными рядами по степе-
ням (х — хо) с радиусом сходимости R > 0. Для нахождения в этом
случае решения (1) применяется метод неопределенных коэффициентов,
т.е. ищут решение у(х) (1) тоже в виде степенного ряда по степеням
(х — то)- Подставляя формально степенные ряды для у(х), у'(х), у”(х),
а\{х) и а2(х) в уравнение (1) и приравнивая нулю коэффициенты при
каждой степени (т —то)> в результате получают уравнения для определе-
ния коэффициентов степенного ряда для у(х). Когда же коэффициенты
определены, необходимо обосновать, что полученный степенной ряд для
у(х) сходится и действительно дает решение (1). В общем виде этот ме-
тод обосновывается в так называемой аналитической теории дифферен-
циальных уравнений (см. [1]). Мы же применим метод неопределенных
коэффициентов для так называемого уравнения Эйри
у" + ху = 0,	(2)
которое не решается в квадратурах.
200 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Будем искать решение (2) в виде ряда по степеням х
+оо
у(х) = 52 СкХ>С'
к=0
о сходимости которого заранее ничего не известно.
Формально (т. е. без обоснования) дважды продифференцируем по-
членно степенной ряд и подставим ряды для у(х) и у'(х) в уравнение
(2). Получим
Ч-оо	+оо
52к(к - l)cfc • хк~2 + '£ск- xk+i = 0.
Л=2	к=0
Отсюда
+ 2)(fc + l)ci+2Zfc + 52 cfc-i •	= 0.
fc=0	к=1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим, что
С2 = о, Cfc+2 = --+1)1(fc + 2y.Q_1, fc>l.
Следовательно,
(-1Г-С0
Зт 3m(3m — 1)... 3 • 2’
-	Ь1)”^	„ -л
Зт+1 (Зпг + 1)3тп •... 4 • 3’ Зт+2 °’
где коэффициенты cq и ci остаются неопределенными. Полагая cq = 1,
Ci = 0, что равносильно начальным условиям
yW = 1,	j/(0) = О,
найдем ряд
/_1>’ПтЗт
,	4 9-	(3)
< лп Зт — 1)... 3 • 2
т=о '	‘
Полагая Cq =0, С] = 1, что равносильно начальным условиям
У(0) = О, У'(0) = 1,
получим ряд
_°°ь	/_-I\yn^3m+l
1/2(*) = ^2 (Зт+ 1)3т...4-3’
т=0 '	'
По признаку Даламбера ряды (3), (4) сходятся при всех х &
(—оо,+оо) и их можно почленно дифференцировать на (—оо,+оо). Под-
ставляя ряды (3), (4) в уравнение (2), убеждаемся в том, что yi(x) и
2/2(х) — решения (2) в силу определения коэффициентов рядов (3), (4).
§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов 201
Решения yi(x) и у2(ж) —линейно независимы на (—оо, +оо), так как их
определитель Вронского W(0) = 1. Следовательно,
У = ciyi(x) + с2у2(х),
где ci и с2 — произвольные постоянные, является общим решением урав-
нения Эйри (2).
Замечание. Если в линейном неоднородном уравнении
у" + ai(x)y' + а2(х)у - f(x)
функции ai(гг), а2(х), /(х) — действительные аналитические функции в
точке xq 6 Rx, то его общее решение тоже находится методом неопре-
деленных коэффициентов аналогично тому, как это проделано для урав-
нения (2).
Точка то € Rx, в которой функции ai(x) и а2(х) аналитичны, называ-
ется обыкновенной точкой уравнения (1). В противном случае точка Xq
называется особой точкой уравнения (1). Для уравнения Эйлера
х2у" + ajxy' + а2у = О
х = 0 —особая точка (здесь ai и а2 — числа, не равные нулю одновре-
менно).
Уравнение (1) может иметь несколько особых точек. Например, для
уравнения Лежандра
(1 - х2)у" - 2ху + Ху - О,
где Л —параметр, точки х = ±1 —особые.
При исследовании особых точек уравнения (1) необходимо учитывать
и точку х = оо. Именно, если после замены х = | точка t = 0 явля-
ется особой точкой преобразованного уравнения (1), то х = оо называ-
ется особой точкой уравнения (1). Например, х = оо —особая точка для
уравнения Эйлера. Наиболее простым типом особой точки уравнения (1)
является так называемая регулярная особая точка.
Рассмотрим уравнение
(х - хй)2у" + (х- x0)pi (х)у' + рг(х)р = 0,	(5)
где Xq € Rx, Pi(x) и р2(ж) — аналитические в точке хо функции, т.е. они
разлагаются в сходящиеся в некоторой окрестности Хо степенные ряды
ОО	ОО
Pl(z) =	- Я?о)*, Р2(х) - ^Ьк(х -Хо)*.
k=0	fc=O
Точка хо называется регулярной особой точкой уравнения (5), если
отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов во, &о> bi-
202 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Например, то = 0 — регулярная особая точка уравнения Эйлера. Окаг
зывается, что в случае регулярной особой точки хо уравнение (5) имеет
хотя бы одно решение, представимое в виде обобщенного степенного ряда
ОО
у(х) - (х - XoF^Cktx - Xo}k, Co 0 0,
*=0
который сходится в некоторой окрестности xq.
Убедимся в этом на примере уравнения Бесселя
х2у" + ху' + (т2 - р2)у = 0,	(6)
где v — действительный параметр. Точка х = 0 является для уравнения
Бесселя регулярной особой точкой.
Всякое нетривиальное решение уравнения (6) называется цилиндриче-
ской функцией. В общем случае решения (6) нс являются элементар-
ными функциями. Уравнение Бесселя встречается в различных вопросах
математической и теоретической физики. Здесь будет получена формула
общего решения уравнения Бесселя.
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде
ОО
У = х<Х  52CkX>t' со / °-	(7)
*=о
Поставим формально этот ряд в (6), найдем его коэффициенты и число
а, а затем проверим, что найденный ряд определяет решение (6).
Подставив ряд (7) в уравнение (6), получаем
^Cfc(fc + а)(к + а — 1)хк+а + ^с*(А: + а)ж*+а +
к=о	к=о
ОО
+ (х2 - м2) ^скхк+а = 0.
к=0
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем бесконечную
систему уравнений:
(а2 — ^2)со = 0,
[(л + I)2 - z/2] ci = О,
[(а + 2)2 - р2] С2 + с0 — 0,
[(л + З)2 - р2] сз + ci = 0,
[(а + к)2 - р2] ск + ск-2 = О,
Hi первого уравнения а = ±м, так как Со 0 0. Для определенности в
дальнейшем будем считать и > 0 и рассмотрим сначала случай а = и > 0.
§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов
203
Из второго уравнения тогда С] = О и, следовательно, с2р-\ =0, Vp =
1,2,..., а
=__________(-1)^0___________ п = , ?
С2₽	22₽(р + 1)(р + 2)...(р+р)р!’ Р ’
Коэффициент со — произвольный, но с целью упрощения формулы сгр
принято брать со =	гДе Г(р + 1)—гамма-функция Эйлера. Ис-
пользуя тот факт, что
Г(р + 1) = р1., Г(р + р + 1) = (v + 1)(р + 2)... (р + р)Г(р + 1),
получаем, что
_ (-1)” _
С2р ~ 22р+" • Г(р + 1) • Г(р +р + 1) ’ Р “ 112’ ‘ ‘ ‘
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд (7) с найден-
ными коэффициентами сгр-1 = 0 и сгр сходится при v > 0 на всей оси R^
и, следовательно, дает решение уравнения (6). Это решение называется
функцией Бесселя первого рода порядка р и обозначается
00	('г'12р+1У
W°grb, + iU + P + D'	(8)
Если а = —и < 0 и не целое, то аналогичным образом можно постро-
ить еще одно решение (6). Оно получается заменой числа и на (—р) в
формуле (8), так как уравнение (б) не меняется при замене р на (—р):
“	/Х\2Р~и
= 2 г(р + 1)г(-р + р +1) (г)	’ v > °'	(9)
Функция	называется функцией Бесселя первого рода порядка
(-р).
Если р > 0 и не целое, то решения J„(x) и J-U{x) линейно незави-
симы, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней
х и, значит, тождество при i е flj
Ci Ju(x) + С2<7-р(з:) = О
возможно лишь при щ = сг = 0. Таким образом, при нецелом р > 0
функции Jp(x), J~„(x) образуют фундаментальную систему решений (6)
и функция
yv{x) = Cl Ju(x) + C2J-v{x')
является общим решением уравнения Бесселя.
При целом р — п формула (9) уже непригодна, так как знаменатель
может обратиться в бесконечность; Но можно в (9) осуществить пре-
дельный переход р —> п, так как
----------т- =0, р — 0,п - 1.
Г(-п + р + 1)
204
Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
При таком предельном переходе первые п членов разложения (9) обра-
тятся в нуль и тогда для каждого фиксированного х
J_n(rr) = lim J-Лх) = У —-----A-J---------- ( ±)
v v-in 1 Г(р+1)Г(-п+р+1) \2>
Положив р = п + т, отсюда находим, что
(— 1)т	/т\2т+п
- <-*)“ Е Г(т + 1)Г(п + n, + 1)  G) =
Это значит, что функции Jn(x) и J_n(x) при целых п являются линейно
зависимыми и поэтому в этом случае нельзя с их помощью построить
общее решение (6).
При целом п второе, линейно независимое решение (б) называется
функцией Бесселя второго рода порядка п (или функцией Неймана по-
рядка п) и обозначается Уп(т). Функцию Уп(ж) можно найти, например,
с помощью формулы Лиувилля—Остроградского. Не останавливаясь де-
тально на этом, отметим лишь, что при х —> +0 функция Уп(а:) обладает
следующей асимптотической оценкой:
у м =	[1 + 0(1)], new,
’ (со Ini [1+0(1)], n = 0.
Отсюда видно, что Уп(х) неограничена в окрестности х = 0.
Таким образом при целом м общее решение (6) имеет вид
уи(х) = CiJu(x) + с2Ур(х).
В заключение покажем, что уравнение Бесселя (6) имеет решения
т/1Р(х), У2и(х) такие, что при х —> +оо
. , cos а:	_ / 1 \	, , sin as „ / 1 \
У1^(х) = —+ О -= ) ,	У2р(^) =-Т- + О (-= .	(10
Vх \VT3/	Vх \ух3 /
В самом деле, после замены у\/х = z при х > 0 уравнение (6) примет вид
( и2 - 1 \
z" + 1 - z = 0.
\ /
Перепишем это уравнение в виде
р2 _ 1
z" + z =---y^z = /„(z) - z.
xz
Методом вариации постоянных находим, что
+оо
z(x) — ci cost + c2sina; - sin(x — () •	• z^QdQ.
X
§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной
205
Тогда
|z(x) — Cl cost — c2sinx| =
+оо
= J sm(x - О  fu(Qz(Qd(;
X
Покажем, что z(x) ограничена в окрестности х — +оо. Если х > 0 и
х € [а, £>], то существует конечное значение
M(b) = max |дг(а?)|.
асё[а,6]
Покажем, что М(Ъ) ограничено при Ъ —> +оо. Имеем на [а, 6], что
X
к(х)| < |ci| + |c2|+ I |/Ж)|  к(<Ж <
а
<	|С1| + |с2| + М(Ъ)с
<	|С1| + |с2| + М(6) •
а
Выбрав а столь большим, чтобы § < отсюда получаем, что
Ж1 <|C1| + |C2| + ^W)
или М(Ъ) < 2 (|ci| + |с2|). Это означает ограниченность z(x) в окрестности
х = оо, т. е. в этой окрестности |г(т)| < А. Следовательно,
|z(x) — ci cos х — с2 sin х
<К<- = О
X
х
х -> 4-оо.
Взяв при Ci = 1, с2 = 0 и z2(x) при ci =0, с2 = 1» получаем (10).
§ 7.	Линейные дифференциальные уравнения
с малым параметром при старшей производной
В § 5 главы 4 была исследована зависимость решения задачи Коши от
входящих в дифференциальное уравнение параметров. Для линейного
дифференциального уравнения порядка п
У{п} +ai(a:,e)y(n_1) + •• + ап(х,е)у = f(x),	(1)
где aj(x,e), j = 1,п, и /(ж)— заданные функции х€ [0,i], I > 0, и малого
параметра £ € [0,ео]> £о > 0> результаты этих исследований можно ко-
ротко охарактеризовать следующим образом. Если /(т)— непрерывна на
[О,/] и функции aj{x,s), j = 1,п, являются непрерывными функциями
206 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
х е [0,2], £ € [О,£о], то решение y(x,s) задачи Коши для уравнения (1)
при £ —> +0 равномерно по х & [О, Z] стремится к решению уо(х) задачи
Коши для невозмущенного уравнения
У{п) + а^х.О)^"-15 + ••• + ап(х,0)у = f(x).	(2)
Если же коэффициенты aj{x,e), j = 1,п, уравнения (1) имеют непре-
рывные частные производные по £ до порядка (n + 1) при х Е [0,2] и
£ е [О,£о], то при е +0
у^ (х, е) =5 у^ (х), Vfc = 0, k.
В этом случае справедливо равномерное по х Е [0,2] асимптотическое
представление решения задачи Коши для возмущенного уравнения (1):
„м - мы+е^> +    +	< - +о,
где здесь и в дальнейшем запись О(с), £ —> +0, означает, что |О(£)| < с-е,
£ -> +0, причем с > 0 — некоторое число, не зависящее от е.
При указанных выше условиях непрерывности коэффициентов урав-
нения (1) возмущения, вносимые малым параметром £ > 0 в уравне-
ние (1), называются регулярными возмущениями, а само уравнение (1)
называется регулярно возмущенным уравнением. Однако в приложени-
ях встречаются случаи, когда малый параметр £ входит в уравнение (1)
нерегулярным (сингулярным) образом, т. е. таким образом, что коэффи-
циенты а;(х,£), j = 1,п, уравнения (1) не являются непрерывными функ-
циями х,£. Такие уравнения (1) называются сингулярно возмущенными.
Как будет ниже показано на простейших примерах, решения сингуляр-
но возмущенных уравнений (1) при заданных начальных или граничных
условиях обладают рядом свойств, принципиально отличающих их от ре-
шений регулярно возмущенных уравнений (1).
Рассмотрим сначала сингулярно возмущенную задачу Коши для урав-
нения первого порядка с малым параметром £ при у1:
£у' + ау = f(x), х € [0, 2], у(0) = уо,	(3)
где £ > 0, а —ненулевое число и /(х)—заданная непрерывно дифферен-
цируемая на [0,2] функция.
Обозначим решение задачи Коши (3) через уе(х), а решение уравне-
ния из (1) при £ = 0 —через уо(х) = i/(x). Изучим поведение уе(х) при
£ —> +0. Нас интересует вопрос о том, будет ли при этом стремиться
уЕ(т) к у0(х), Vx е [0,2].
Теорема 1. Если а > Q, то при каждом х Е (0,2]
lim у£(х) = уо(я)-
§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной
207
О Решение уе(х) задачи Коши (3) ищем в виде
Уе(я) = у0(х) + z€(x),
где z£(rr)—решение задачи Коши
Отсюда
£	1
ez'c(x) + az£(x) = —f'(x), г£(0) = у©--------------/(0).
а	а
Тогда
Уе(х) = 3/о(я) + уо - ^/(0) е
а
g + 0(c), с —> +0.
(4)
поскольку при е +0
X	X
1У	< lmax|/'(x)| У =
о	о
- •^тах|/'(х)| (1 - е-“) <	тах|/'(х)|.
а	\	> а
Из формулы (4) следует утверждение теоремы 1.
Из формулы (4) также получаем, что при е —> +0
Уе(х) =4 у0(х),
если х € [<М], где 0 < 6 < I, 5 — произвольное и фиксированное. Для всего
[0,J] нет равномерного стремления у£(х) к уо(х). Этот результат можно
было бы заранее предсказать, так как в окрестности х = 0 решения у£(ж)
и уо(х) в общем случае совпадать не могут. Из формулы (4) видно, что
при а < 0 уе(х) не стремится к уо(х) при е -¥ +0. Эти явления не на-
блюдались для регулярно возмущенных уравнений (1). Заметим, что при
е = 0 порядок уравнения в (3) понижается, точнее, уравнение становится
конечным уравнением.
Графически результаты исследования задачи Коши (1) в случае а > 0
показаны на рис. 3.
Рис. 3
208 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Отрезок [О,<У], 0 < <5 < I, на котором решение уе(х) задачи Коши (3)
при малых е > 0 сильно отличается от решения уо(х), называется по-
граничным слоем. Явление погранслоя характерно для всех уравнений
с малым параметром при старшей производной. Решение уо(х) является
асимптотически равномерным приближением решения у£{х) не на всем
[ОД], а лишь на каждом [<5,/], <5 > 0. Основной целью исследования син-
гулярно возмущенных задач является построение асимптотического при
£ -» +0 приближения решения j/£(cc) этих задач, равномерного на всем
[О,/]. Из формулы (4) видно, что затухающие экспоненты осуществляют
поправку к уо(х), позволяющую получить равномерное на [0,7] прибли-
жение Уе(х) при £ —> +0, в том числе и в погранслое [0, <5]. Эти факты
наблюдаются и для уравнений высшего порядка.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка с малым параметром
£ > 0 при старшей производной у":
еу" + ay' + by = /(х), х € [0,7],	(5)
где а^0 и Ьт^О — заданные числа, /(х)—заданная непрерывно диффе-
ренцируемая на [0,1] функция. Изучим при £ —> +0 поведение решения
уравнения (5) при начальных условиях
у(0) = »1,	?/'(0)=у2-	(6)
Положив £ = 0 в уравнении (5), получаем невозмущенную задачу Коши
ay' + by = f(x), y(O) = yi-	(7)
Обозначим решение задачи Коши (5), (6) через у Ах), а решение задачи
Коши (7) через уо(х). Тогда
X
Уо{х) = е-^ • V1 + “ У
о
Теорема 2. Если а > 0, то при е -> +0 уе(х) ={ Уо(х) для всех х € [0,7] и
у[(х) -> Уо(х) для всех х € (0, Z].
О Ищем решение задачи Коши (5), (6) в виде
j/£(x) = j/o(x) + zc(x).
Тогда z£(x) является решением задачи Коши
ez" + az'+ Ьг =—еуо(х), х(0) = 0,
/(0) = у2 = ?/2 - -/(0) + -yi,
а а
и задается формулой
Ж) = А 1 А
Al — А2
y2(eXiX - еАз1) + J{еАН»-0 _
о
§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 209
Здесь Aj =Ai(c), Аг = А2(е) — корни характеристического уравнения
cA^ 4- аА 4- b ~ 0,
причем Ai / Аг и Ai = —| 4- О(е), Х2 —	+ 0(e), е -» +0. Учитывая,
что функция
Уо(х) = ;;/'(*) ~	+ 7гУо(а;)
U	(л	d
на [О,/] является ограниченной и что при е —> +0
А1-А2 = --- + С>(е),
Е а
из формулы z£(x) получаем утверждение теоремы 2.	•
Из теоремы 2 следует, что на [0, <5] при любом 8 Е (0,1) нет равномер-
ного стремления решения у£(х) вместе с ее производной у£(х) к решению
Уо(х) и к ее производной у'0(х). Такое равномерное стремление имеется
лишь на [J, /] при любом 8 > 0. В окрестности х = 0 имеется область, в
которой у'£(х) сильно отличается от уо(х). Эта область называется погра-
ничным слоем задачи. При а < 0 и е —> +0 нет стремления у£(:г) к %(х).
Наконец, изучим при Е —> +0 поведение решения следующей гранич-
ной задачи
су" + ay' + by — 0, е > 0, а • Ь 0 О,
y(ty=yi, у(Д)=У2, |yil + Ы > 0.	(8)
Обозначим решение граничной задачи (8) через у£(х), а решение за-
дачи Коши ay' + by = 0, у(0) = уь обозначим через уо(х).
Теорема 3. Пусть а < 0. Тогда при достаточно малых е > 0 решение у£(х)
граничной задачи (8) существует, единственно и для каждого х € [0,1)
уе(х) -4 уо(т) при е —> +0. Кроме того, для всех х 6 [0,1 — 5], где 0 < 8 < 1,
<5 — фиксировано, у£(х) Уо(х) при е -4 +0.
О Для достаточно малых е > 0 (е < корни Ai = АДе), А2 = А2(е)
характеристического уравнения
еА2 4- аХ 4-6 = 0
вещественны, различны и общее решение (8) имеет вид
уЕ(т) = с1(е)еА1Х 4- с2(е)еАгг.
Поскольку в этом случае еА1 еХг, то при достаточно малых е > 0 реше-
ние граничной задачи (8) существует, единственно и задается формулой
(см. §4):
Уе(т) = е~Лд * gAi [(аеАз “ 0)еА1Х + (лел‘ - /3)еАа1] .
210 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
При £ -» +0:
А] =
Аг =
—а + \/а2 — 4еЬ
2г.
—а — у/а2 — 4еЪ
Т
--+О(£),
а
-- + - + О(е).
£ а
Рассмотрим выражение
|Уг(^) — Уо(х)| =	1	^(аеА’ — 0)е.х'х + (aeA1 — /2)eA2Xj — ае «	
	[еА2 - еА’ ]		—
\/3eXlX — ае~^ • eAl| еАг
i 17	I" i 17 i.i
х — аеА|1 + ае 6» | + |/3 — аеА1|еА2^ 1'|.
Очевидно существуют такие числа А] > 0 и Аг > 0, что для всех
х € [0,1] и всех £ > 0
\(3ех,х - ае~%  еХ1\ < Ai, |/3-аеАЧ<Аг.
При е -> +0 имеем:
еА2 _ еА1 = еАг + О(£)| = е(-? + *)[1 + О(£)],
|— aeXlX + ае~^ | = |а|е~ |1 - еж'°(£)| = |а|е“^2: -0(e) < Аз • О(е),
где А3 > 0.
Следовательно, получаем
|%(х) - SZo(x)| < Aje?-» [1 + О(е)] +
+ [1 + 0(e)] {а3 • О(е) + А2е<-?+«)(х-1) [1 + 0(e)]} .
Если а < 0, то поведение |уЕ(х) — уо(я)| при £ —> +0 зависит лишь от
последнего слагаемого полученной оценки. При е —> +0 |j/£(a?) —	—> О
для каждого 0 < х < 1 и maxx |i/f (я) — уо(я)| -> 0 для всех 0 < х < 1 — 6,
где 0 < <5 < 1 и фиксировано.	•
Из теоремы 3 следует, что в случае а < 0 пограничным слоем гра-
ничной задачи (8) является каждый [1 — 6,1], 0 < <5 < 1.
Замечание. Если а > 0 и у(х) — решение задачи Коши
ay'-\-by-G,	у(1)=У2,
то аналогичным образом можно установить, что при £ —> +0 у€(х) -> у(х)
для каждого х е (0,1] и уЕ уо(х) для всех х € [<У, 1], 0 < 6 < 1. Значит,
каждый [0,<У] является пограничным слоем задачи в этом случае.
§7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 211
Упражнения к главе 6
1.	Составить и решить линейное неоднородное дифференциальное урав-
нение с правой частью f(x) = cos 2т, зная фундаментальную си-
стему решений соответствующего линейного однородного уравнения
У1(т) = sin2 х, yzfx) = cos2 х.
2.	Найти при х > 0 общее решение линейного уравнения
ху" + 2у' — ху — 2 — х2,
если известны два его частных решения у\ = х, уг = х 4- i • ех.
3.	Показать, что граничная задача (А — вещественный параметр)
/V = AV у(0) = t/'(0) = 0, у{1)= у"{1) = 0, 1>0,
имеет бесконечное число нетривиальных решений уп(х), соответствую-
щих различным значениям параметра Ап, и что
I
Уп(х) • ym(x)dx = О, Ап 7^ Ат.
о
4.	Доказать, что всякое решение уравнения
у" - ху' + у — О
на (+оо, —оо) имеет не более 5 нулей.
5.	Доказать, что уравнение Бесселя
х2у" + ху' + (х2 - у2 )у = О
не может иметь двух линейно независимых решений на (0,+оо), огра-
ниченных в окрестности нуля вместе с первыми производными.
6.	Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения
У" + 4(1Ь)У = °
при х > 0 имеет лишь конечное число нулей.
7.	Найти общее решение уравнения
4ху" + 2у' + у = О
при х > 0 с помощью степенного ряда.
Глава 7
Нормальные автономные системы
дифференциальных уравнений
и теория устойчивости
§ 1. Общие свойства
Нормальной автономной системой дифференциальных уравнений порядка
п называется система
i(t) = /(s),	(1)
где f(x) — заданная действительная вектор-функция с компонентами
/1(3;),... , fn(x) в некоторой области Q евклидова пространства R? с
фиксированной прямоугольной декартовой системой координат si,... ,sn-
В системе (1) t — независимая переменная, которую принято называть
временем и считать t е R}, a s(t) — неизвестная действительная вектор-
функция с п компонентами sj (<),... , sn(t). В дальнейшем будем пред-
полагать, что f(x) удовлетворяет в области П условию Липшица. Это
гарантирует существование и единственность непродолжимого решения
системы (1) при начальном условии
s(to) = so, so €	(2)
на некотором промежутке Z = Z(io>so) оси t, содержащем точку to-
Автономные системы (1) иногда называют еще динамическими или
консервативными. Автономными системами описываются многочисленные
математические модели реальных физических систем классической ме-
ханики, теории колебаний, экономики, динамики живых систем и т.д.
Произвольная нормальная система дифференциальных уравнений
s(t) = /(s,t)	(3)
всегда сводится к автономной системе путем увеличения числа неизвест-
ных функций на единицу. Если положить t = sn+i, то получаем авто-
номную систему с (n + 1) неизвестными функциями
(х = /(s,s„+i),
1.
Таким образом, автономная система (1) отличается от любой системы
(3) тем, что правая часть (1) не содержит переменной t.
Переменные Si,... ,хп называются фазовыми переменными, а область
Q пространства R% называется фазовым пространством автономной си-
стемы (1). Если х — ip(t) — решение системы (1) па промежутке 1 С Я’,
§ 1. Общие свойства
213
то оно определяет параметрически заданную кривую в области О, т.е.
множество точек {y>(t)} 6 О при всех t е Т. Эта кривая в Q называется
фазовой траекторией автономной системы (1).
Напомним, что интегральные кривые (1) представляют собой графики
решений х = <p(t) системы (1) в бесконечном цилиндре
G = {(х,t): х <= О, t е Я,}
(п + 1)-мерного пространства	Следовательно, фазовая траекто-
рия (1) является проекцией интегральной кривой (1) параллельно оси
t (см. рис. 1). На траектории стрелкой указывают ее ориентацию, т.е.
направление движения по ней в сторону возрастания t.
Например, для уравнения х = х в случае п — 1 при начальном
условии х(0) = хо > 0 интегральной кривой будет график функции
x(t) = хое\ t Е R{, на плоскости (t,x), а фазовой траекторией будет
полуось х > 0.
Из теоремы существования и единственности решения задачи Коши
(1), (2) получаем, что через каждую точку хо € П проходит единственная
траектория (1), определенная в некоторой окрестности tg. При некоторых
достаточных условиях эта траектория определена при всех t 6 R}.
Теорема 1. Если решение х = t Е Т, автономной системы (1) та-
ково, что определяемая им траектория все время остается в некотором
компакте К С Q, то необходимо Т = (—оо,+оо).
О Пусть el и to € (ii.t?)- Обозначим через Я —цилиндр в R^tp
для которого х е К, t € [ti.tz]. По теореме о непродолжимом решении
интегральная кривая х = t Е [<1,^2], выходит из Н лишь при t < tj и
при > f,2- Однако выйти из Н через боковую поверхность Н интеграль-
ная кривая не может, так как в этом случае найдется точка траектории,
лежащая вне К, что противоречит условию теоремы. Итак, интеграль-
ная кривая выходит из Н через его нижнее и верхнее основания. Но это
означает, что решение системы (1) определено при t — t\,t2- Поскольку
ti и t2 произвольны, то решение (1) определено при всех t € Я|.	•
214 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Замечание. Теорема 1 не позволяет по внешнему виду системы (1) уста-
новить, можно ли продолжить решение (1) на всю ось R}. Можно, од-
нако, доказать, что если /(х) удовлетворяет условию Липшица во всей
области fl, то всякое решение автономной системы (1) определено на
всей оси Ri-
Рассмотрим простейшие свойства траекторий (1).
Свойство 1. Если х =	— решение системы (1) при t Е (а,/?) и с —
некоторое число, то и х = <р(1 + с) также является решением (1) при
t е (а - с, (3 — с).
О Так как для всех t е (»,/?)
¥>(*) = / [V’(t)],
то для всех I е (а - с, /3 — с)
ф(1 + с) = f [y>(t + с)].	•
Свойство 1 геометрически означает, что сдвиг по траектории (1) так-
же дает траекторию (1).
Свойство 2. Если две фазовые траектории х — tEll,nx =
t € Z2, автономной системы (1) имеют общую точку
*о = <^(11) = V’fo),
то ip(t) = ip(t + ti — <2) для всех t, для которых определены обе части то-
ждества.
О Вектор-функция
а: = <^(t) = <p(t + tj - t2)
в силу свойства 1 является решением (1) при (t+li—12) € Zj. Кроме того,
<?1(12) =	= хо-
По тереме единственности
= ФИ)
для всех t, для которых определены обе части тождества.	•
Свойство 2 геометрически означает, что две траектории (1) либо не
пересекаются, либо совпадают. Заметим, что для неавтономных систем
свойство 2 может не выполняться: проекции ее непересекающихся инте-
гральных кривых на Rx могут пересекаться. Например, это очевидно в
случае системы
X = t, у = 1.
В каждой точке х Е О задана вектор-функция f(x). Таким образом, ав-
тономная система (1) задает в области fl векторное поле f(x). В ка-
ждой точке жо € fl фазовая траектория (1), определяемая решением (1)
§ 1. Общие свойства
215
х = t&T, касается вектора /(то) в силу того, что х — <p(t) — реше-
ние (1) при t € Z. Исключением является только случай, когда фазовая
траектория (1) состоит из одной точки хо £ Q, т. е.
<p(t) = я?о, Vi £ Я*.
Определение. Всякое решение системы (1) х —	= xq е П, Vi £
называется положением равновесия или точкой покоя системы (1).
Всякая точка xq 6 О, не являющаяся положением равновесия системы
(1), называется обыкновенной точкой автономной системы (1).
Из непрерывности /(х) в области Л следует, что каждая обыкновен-
ная точка (1) обладает целой окрестностью из обыкновенных точек. Как
будет видно далее, положение равновесия может быть изолированным
или неизолированным. Если решение х = t € Z, рассматривать как
закон движения фазовой точки по траектории, то скорость ее движения
в момент времени to, где <p(to) = xq, совпадает с вектором f(xo). Этот
вектор f(xo) называется фазовой скоростью автономной системы (1), а
векторное поле f(x) называется полем фазовых скоростей системы (1).
Теорема 2. Точка xq € Q является положением равновесия (1) только в
том случае, когда фазовая скорость /(xq) = 0.
О Если х = а?о — положение равновесия (1), то х = 0 и подстановка в
(1) дает f(xo) = 0. Обратно, если /(хо) = 0, то подстановка в (1) дает
xq = 0, т. е. х — xq — решение (1).
Теорема 2 дает практический способ нахождения положений равнове-
сия системы (1). Заметим, что положение равновесия является проекцией
на R™ тех интегральных кривых системы (1), которые параллельны оси
t. Теорема 2 означает, что положения равновесия системы (1) являются
особыми (или критическими) точками векторного поля f(x).
Замечание. Определение положения равновесия сохраняется и для не-
автономной системы (3). Тогда условие f(xo,t) = 0 для всех допусти-
мых значений t является критерием положения равновесия х — xq си-
стемы (3).
Заметим, что каждая фазовая траектория (1) х = <p(t) отличная от
положения равновесия, является гладкой кривой, т. е. непрерывно диф-
ференцируемой кривой и <p'(t) = / [¥>(<)] = f(x) / 0 в каждой точке х
траектории.
Определение. Если решение х = <p(t) системы (1) определено на всей
оси Л} и является периодической вектор-функцией периода Т > 0, то со-
ответствующая ему траектория называется замкнутой траекторией (или
циклом) системы (1).
Имеет место следующая теорема о классификации всех траекторий
автономной системы (1).
216 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Теорема 3. Всякая фазовая траектория автономной системы (1) принад-
лежит одному из следующих трех типов:
1)	положение равновесия,
2)	замкнутая траектория,
3)	траектория без самопересечений.
О Достаточно показать, что если х = <p(t,xo) — решение системы (1) с
начальным условием а;(0) = ж о € Q не является положением равновесия
(1) и соответствующая ему траектория пересекает сама себя, то вектор-
функция <p(t, xq) периодически с периодом Т > 0 продолжается на всю
ось R}.
Пусть t\ < t2, такие, что
<?(Ь,жо) = <р(Ь,хо).
Поскольку Xq —не положение равновесия (1), то
у>(1,х0)	ср(«1,Жо),
Положим Т — t2~ti > 0 и покажем, что y>(t, xq) периодически с периодом
Т > 0 продолжается на всю ось В}.
В самом деле, в силу свойства 1 траекторий (1)
V>(i,xo) = <p(t + T,XQ)
является траекторией системы (1) при t € [ti — Т, t2 — Т], причем
Ф(Ь,х) = <p(tl + T,Xq) = <p(t2, Xq) = Ipfti, Xq).
По свойству 2 траекторий (1) xq) — единственное продолжение y>(t,xo)
с периодом Т > 0 из [<1,^2] на [^1 — T,ti],
Аналогично, взяв
V’i(i^o) - y>(t - T,Xq),
докажем, что ф\ (t,xo) является единственным продолжением с периодом
Т > 0 <p(t,xo) из на [<2,<2 + Г]. Таким образом, в силу теоре-
мы единственности получено продолжение с периодом Т > 0 xq) с
[<1,<2] на [£> — Т, t2 + Т]. Аналогичным приемом можно с периодом Т>0
единственным образом продолжить y>(t, xq) с [t;, <2] на всю ось В}. А
периодическое с периодом Т > 0 на всей оси li) решение (1) х — y>(t, xq)
дает замкнутую траекторию.	*
В случае п = 2 можно указать достаточные условия отсутствия заг
мкнутых траекторий автономной системы (1).
Теорема 4. Если система (1) задана в плоской области П и в П векторное
поле фазовых скоростей f(x) является потенциальным, то в Q система (1)
не имеет замкнутых траекторий.
§ 1. Общие свойства 217
О Рассуждаем от противного. Пусть существует замкнутая траектория 7
системы (1) в О. Так как поле скоростей потенциально, то
У (f(x),dx) = О
(выбрано направление обхода против часовой стрелки). С другой сто-
роны, при х е 7 скалярное произведение (/(ж), f(x)) > 0 и в силу (1)
dx = f dt, где x = <p(t) — периодическое с периодом Т > 0 решение
(1), определяющее траекторию 7. Поэтому
т
У (/(a;),dx) = У (/ [¥>(*)] ,/[<?(*)]) dt > 0.
7	о
Получим противоречие.	•
Например, для линейной на плоскости 7?^ системы
х = Ах
векторное поле f(x) = Ах является потенциальным, если матрица А сим-
метричная. Значит, линейная система с симметричной матрицей А не
имеет на плоскости замкнутых траекторий.
Если изучать структуру фазовых траекторий системы (1) лишь ло-
кально, т.е. в некоторой окрестности точки xq 6 Я, то локальная струк-
тура фазовых траекторий в окрестности каждой обыкновенной точки си-
стемы (1) качественно одинакова. Как сейчас будет доказано, в окрест-
ности таких точек с помощью некоторой замены переменных фазовые
траектории (1) можно распрямить.
Пусть задано отображение х — д(у) некоторой области Я евклидо-
ва пространства Л^ с прямоугольной декартовой системой координат
j/i,... , уп в область Я евклидова пространства Л" с прямоугольной де-
картовой системой координат х\,...,хп.
Определение. Отображение х — д(у) будем называть гладкой обрати-
мой заменой переменных в области Я, если:
1)	х = д(у) взаимно однозначно отображает Я на Я,
2)	вектор-функция х = д(у), у 6 Я, и обратная к ней вектор-функция
у — д~1(х), х € Я, являются непрерывно дифференцируемыми соответ-
ственно в области Я и Я,
3)	якобиан	# 0 для каждого у € Я.
Заметим, что если х = д(у) — гладкая обратимая замена переменных
в области Я, то и у = д~1(х) — гладкая обратимая замена переменных в
области Я. Кроме того, ясно, что композиция гладких обратимых замен
переменных также является гладкой обратимой заменой переменных.
218 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Следующая теорема называется теоремой «о выпрямлении траекто-
рий».
Теорема 5. Пусть f(x) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция
в области Q и пусть точка a G О является обыкновенной точкой систе-
мы (1). Тогда найдутся окрестность fla точки а и такая гладкая обрати-
мая замена переменных в fla, что в окрестности Пй система (1) примет
вид
Уг = 0, г — 1,п - 1, уп = 1,
а траектории системы (1) в окрестности fla перейдут в отрезки прямых
у, = Cj, i = 1, п — 1, уп = t + сп, где Cj,... , с„ — постоянные.
О Так как a € fl является обыкновенной точкой (1), то /(а)	0. Будем
считать в дальнейшем, что fn(a) 0. Рассмотрим фиксированный вектор
( с компонентами <д,... , Cn-1, o.ni где ап — последняя компонента вектора
а, из окрестности точки а € Л. Возьмем начальное условие
гг(О) = G
По теореме существования и единственности решения задачи Коши
найдется такое е\ > 0, что при |t| < Ед решение х =	систе-
мы (1) при этом начальном условии существует и единственно, причем
ф(О,0 — Из теоремы о дифференцируемости решения задачи Коши по
начальным данным следует, что х — С) — непрерывно дифференциру-
емая функция t,£ при |i| < £], К — а| < ci >0, ег > 0.
Покажем, что х = cp(t, определяет искомую гладкую обратимую заг
мену переменных в некоторой окрестности t = 0, ( = а. С этой целью по-
кажем, что в окрестности t = 0, С = а применима теорема существования
и единственности системы неявных функций. В самом деле, а; = ф(4,^) —
непрерывно дифференцируема в окрестности t — 0, С = а. Так как
Ф*(0,С)=С, i = l,n—1, фп(0,()=ап,
ТО
fyi X 1------------------------------- i---------Г
<=а
где — символ Кронекера. Поскольку х = <p(t, — решение (1), то
дф.(0,а)	.	-—
—^=Л(о), г = 1,п.
Следовательно, якобиан
d(<pi,... ,фп)

С=О,
t=o
= fn(a) / 0.
§ 1. Общие свойства
219
По теореме о системе неявных функций получаем тогда, что суще-
ствуют и единственны непрерывно дифференцируемые функции в неко-
торой окрестности точки а
=	1 = 1,71—1, t = v(x),
которые дают обратное отображение для х = Введем в окрестно-
сти Па новые переменные
Vi — иг(х), г = l,n-l, уп = v(x).
Это гладкая обратимая замена переменных в Па. При каждом фикси-
рованном С при такой замене траектория (1) из По перейдет в отрезок
прямой
Vi = С, г = l,n- 1, уп = t.
Меняя ( 6 Па, получим семейство параллельных оси уп отрезков. Систе-
ма (1) при указанной замене переменных примет вид
Vi - 0, г - 1, тг - 1, уп = 1.	•
Как будет установлено в следующем параграфе, подобная теорема для
положений равновесия автономной системы не имеет места. Поведение
фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (1) существен-
но зависит от типа положения равновесия.
Качественную картину поведения фазовых траекторий системы (1),
геометрически изображенную в области П, называют фазовым портре-
том системы (1).
Важным для приложений является класс автономных систем (1), для
которых величина так называемого фазового объема (определение см. ни-
же) не меняется при перемещении точек объема по траекториям системы
(1). Например, таким свойством обладают линейный осциллятор
х + ш2х = 0, ы > 0,
и нелинейный осциллятор
х + sins = 0.
Если же взять линейный осциллятор с трением
х 4- 2<5т + х = 0, 5 > 0,
то для него величина фазового объема уже зависит от времени.
Докажем теорему Лиувилля, дающую достаточные условия сохранения
величины (меры) фазового объема.
Пусть х = ¥>(i,to,zo) —непродолжимое на всей оси решение задачи
Коши (1), (2) и пусть начальные положения xq заполняют при t = to
некоторое измеримое по Жордану множество (объем) Vq с П с мерой
220 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
(величиной) объема pVq. Обозначим через Ц измеримый по Жордану
объем Ц С П с мерой объема цЦ, полученный из Vq сдвигом за время
t вдоль фазовых траекторий (1), задаваемых решениями х = (p(t,to,xo).
Множества Vo и V) называют фазовыми объемами.
Определение. Задача Коши (1), (2) называется допустимой, если
х = 9?(<,to,xo) является гладкой обратимой заменой переменных из Vq
в Vt.
Теорема 6 (Лиувилля). Если задача Коши (1), (2) является допустимой
и в области Q
то на траекториях (1) сохраняется величина фазового объема, т. е.
pVo = pVt для всех i.
О В кратном интеграле
pVt = У ... У dxi...dxn
v,
сделаем замену переменных х — <p(t,to,xo). Это законно, так как по усло-
вию задача Коши (1), (2) допустима. Тогда
pVt= J... Jх0) | dx\a}... dx^,
Vo
где якобиан
J(t,3?o) =
,<pn)
При t = to — xq и поэтому J{to,xo) = 1. Покажем, что J(t,io) = 1- С
этой целью найдем По правилу дифференцирования определителей
имеем, что
— = V J
dt
t
где Ji — определитель, полученный из J заменой г-й строки на производ-
ную по t этой строки:
— :-я строка.
§ 1. Общие свойства 221
В силу того, что х = <p(t,to,то) —решение системы (1), то Vfc= 1,п
д d<pi _ д . _ д t . . _ dfi dipt
dt' эх^ “ Мо) ’	~hdXi’ дх^ ’
Умножая у-е (j / г) строки Л на просуммировав их и вычитая из
г-й строки, получим
Следовательно, из условия теоремы тогда имеем, что

Значит,	J(t,x0) = J(to,x0) - 1
и	pVt=у... у  • • ^гп0)=мН- Vo
Замечание. Условие div/(x) = 0 в области П из теоремы 6 означает,
что векторное поле f(x) в П является солепоидальным. Если /(х) =
Ах, где А —числовая матрица, то div/(x) равна следу матрицы А. Для
гамильтоновой системы уравнений
дН(х,р)	дН{х,р) —
pi~-----г-1>П’
в фазовом пространстве R^p) задача Коши допустима и
div/сш) = ^2 (Д
г=1 v
дН
Эрг
А.^П=0.
dpi dxi J
Следовательно, величина фазового объема не меняется при перемещении
точек объема по траекториям гамильтоновой системы уравнений.
В заключение этого параграфа отметим, что не всегда разумно счи-
тать фазовым пространством автономной системы (1) ту область П ев-
клидова пространства R™, где определена система (1). Так, например,
при п = 1 для уравнения
х = /(х),
222 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
где f (т) — непрерывно дифференцируемая и периодическая с периодом
2тг на всей оси R* функция, фазовым пространством удобно считать
не Л*, а единичную окружность К с направлением движения против
часовой стрелки. В этом случае на Я* нет однозначного описания, а
на окружности К имеется однозначность описания фазовых состояний
системы (1). Особенно важно требовать взаимно однозначное соответ-
ствие между состояниями системы и точками фазового пространства
для автономных систем (1), описывающих реальные физические про-
цессы.
Пусть теперь п = 2 и вектор-функция /(xt,x2) определена на
всей плоскости	Если	является по обеим переменным
si, х2 периодической функцией периода 2тг, го целесообразно считать
фазовым пространством (1) не Я^;1>Х2), а поверхность тора. В слу-
чае же, когда /(xi,r2) является периодической функцией периода 2тг
лишь по одной переменной Х], естественно считать фазовым простран-
ством (1) не 12р а поверхность бесконечного цилиндра. В § 3 бу-
дет построен фазовый цилиндр нелинейного консервативного осцилля-
тора
х + sinx = 0.
Таким образом, в качестве фазового пространства системы (1) может
выступать не только область но и некоторые многообразия размер-
ности 1 < к < п пространства Rx.
§ 2. Классификация положений равновесия
линейной однородной системы второго порядка
Рассмотрим линейную однородную систему уравнений
Х1 — ОцХ] 4- «12Т2,
Х2 = а21х1 + О22Х2,
(1)
где aj 1, <112, e2i, 022 —заданные действительные числа, t £ R[. Очевидно,
система (1) является автономной. Введем матрицу
Оц
021
012
022
Определение. Линейная автономная система (1) называется простой,
если матрица А — невырожденна. В противном случае система (1) на-
зывается сложной.
§2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 223
Сначала изучим фазовый портрет простой системы (1). Он, пре-
жде всего, существенно зависит от собственных значений AlfA2 мат-
рицы А.
Положения равновесия системы (1) являются корнями линейной си-
стемы Ах = 0. Если система (1) простая, то 1 = 0 — единственное поло-
жение равновесия (1).
I. Пусть собственные значения Ai и Аг действительны. Тогда все дей-
ствительные решения (1) задаются формулой
x(t) — cieA1‘Ai + C2eAat/i2,
где ci, сг — произвольные действительные числа, a hi, h? — линейно неза-
висимые собственные векторы, соответствующие Ai и Аг.
Векторы hj и /гг образуют базис плоскости, в общем случае неортого-
нальный. Если , (г — координаты точки х в этом базисе, то координаты
решения x(t) системы (1) имеют вид
G(t) = c1eA,t,
<2(t) = с2еАа(.
Так как картина поведения фазовых траекторий (1) симметрична отно-
при Ci >0, Сг > 0.
сительно осей С1,Сг> то достаточно ее исследовать
а) Пусть Ai < 0, Аг < 0 и |Ai| < |А2|-
Тогда: Cj = с2 = 0 дает положение равновесия х — 0; ci > 0, с2 = 0
дает полуось С1 > 0> причем С1 +0 при t +°о; Q = 0, с2 > 0
дает полуось Сг > 0, причем Сг —> +0 при t —> +00. Если же ci > 0
и с2 > 0, то
Сг = сС“, с = с2 • Cj , а =	> 1.
Отсюда следует,
что
<2Сг
lim -т— = са  lim
1-»+оо <zCi 4-»+оо
сг
= 0.
Значит, фазовые траектории представляют собой кривые типа ветвей
параболы, касающихся в пределе при t -> +00 оси Ci 15 начале коор-
динат.
В целом в случае а) получаем семейство фазовых траекторий типа
ветвей параболы и пять специальных траекторий: положение равновесия
т — 0 и четыре полуоси осей координат СьСг- Схематически фазовый
портрет системы (1) в случае а) показан на рис. 2. Стрелка на траек-
тории показывает направление движения при t —> +00.
В этом случае положение равновесия х = 0 называется устойчивым
узлом системы (1).
б) Пусть Ai > 0, А2 > 0 и Ai < А2.
224 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Расположение и вид траекторий (1) остаются такими же, как и в слу-
чае а), но направление движения по траекториям при t —> +оо меняется
на противоположное. Положение равновесия х = 0 в этом случае назы-
вается неустойчивым узлом (1). Схематически фазовый портрет системы
(1) в случае б) показан на рис. 3.
Рис.
2
О
при Cl — С2 = О
положение равновесия 2 = 0, при
£1 —> +0 при t -» +оо,
С1
С2
С2
при ci — О,
же ci > О,
в) Пусть Ai <
Тогда получаем:
>0, сг = 0 полуось > 0, причем
> 0 полуось ^2 > 0, причем Сг +°° при t —> +оо. Если
> 0, то, как и в случае а), имеем Сг = сС“, но здесь уже а =	< 0.
Следовательно, траектории — это кривые типа гиперболы.
В целом в случае в) получаем семейство траекторий типа гипербол и
пять специальных траекторий: положение равновесия х = 0 и четыре по-
луоси осей координат СьСг- Эти полуоси служат асимптотами траекторий
типа гипербол и называются сепаратрисами.
Положение равновесия х = 0 системы (1) в случае в) называется сед-
лом системы (1). Схематически фазовый портрет системы (1) в этом
Рис. 4
§2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 225
г) Пусть А] = Аг = А и существует базис плоскости из собственных
векторов hi, hi матрицы А.
В этом случае общее решение (1) имеет вид
x(t) = ext{c\hi + сгЛг)-
Каждое такое решение описывает луч, выходящий из начала коорди-
нат, причем движение по лучу при t -» +оо идет к нулю для А < О
и от нуля для А > 0. При А < 0 положение равновесия х — 0 называ-
ется устойчивым дикритическим (или звездным) узлом, а при А > 0 —
неустойчивым дикритическим (или звездным) узлом (1). Схематический
фазовый портрет (1) в обоих случаях показан на рис. 5.
д) Пусть Aj = Аг = А и существует б$ОД£ плоскости из», собственного
вектора hi и к нему присоединенного вектора hi матрицы '^.
В этом случае общее решение системы '(!)	|
a:(t) = ciexthi + c2eXt(thi + hi).	• X
Тогда	./
Ci(i) = (ci + c2t)ext, Сг(*) = c2ext.	f
Для A < 0 получаем при cj = с2 — 0 положение равновесия*!? = 0, при
ci / 0, сг = 0 две полуоси ft < 0 и (> > 0, причем при t —> +оо дви-
жение по ним идет в сторону х = 0. Пусть теперь С] =0, с2 > 0. Тогда
при t = 0 получаем точку (О,сг), а при t -> +оо точка (СьСг) движется
в сторону возрастания одновременно опускаясь к (0,0) и касаясь в
пределе Ci > 0 в точке (0,0). При t —> +оо точка «1,(2) движется на-
право, одновременно поднимаясь вверх. Описанные траектории заполня-
ют полуплоскость (2 > 0. Осталось заметить, что картина симметрична
относительно (0,0).
В случае А < 0 положение равновесия х — 0 называется устойчивым
вырожденным узлом системы (1).
Если А > 0, то траектории (1) получаются из описанных выше тра-
екторий для случая А < 0 путем зеркального отображения плоскости
8- 2769
226 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
относительно оси £г> а движение по ним при t —> +оо идет от начат
ла координат. В случае А > 0 положение равновесия х = 0 называется
неустойчивым вырожденным узлом (1). Схематически фазовый портрет
(1) в обоих случаях показан на рис. 6.
II. Пусть собственные значения Ai и Аг — комплексные.
Если Ai = fi + гм, где и > 0, то в силу действительности А имеем
Аг — Ai = ц — гм. Обозначим через h = hi — г/гг собственный вектор А для
Aj, где hi и /гг—действительные векторы. Тогда h — hi + ihi является
собственным вектором для Аг. Общее действительное решение (1) в этом
случае имеет вид
f :	x(t) = сеА,е/г + ceAlt • h,
где с — произвольная комплексная постоянная.
Если положить
с.	с=|с|е**>, |с| > 0, <р g [0,2тг),
то с = |с|еТ’*’ и общее решение преобразуется к виду
x(t) = 2|с|ер( [cos(<p + м() • hi + sin(<p + Mt) • /гг].
Так как hi и /гг—линейно независимые векторы, то, взяв их в качестве
нового базиса плоскости, координаты £i(t), C2W решения x(t) в этом
базисе имеют вид
(i(t) — 2|с|ед4 cos (у? + vt), Qift) = 2|с|ед‘sin(<^ + Mt).
Положив r(t) — 2|с|еде, ^>(t) — + i/t, отсюда получаем уравнение траек-
торий (1) в полярных координатах г, i/>
г = 2|с| •
При с / 0 и ft 0 фазовые траектории (1) представляют собой кривые
типа логарифмических спиралей, а при д = 0 — кривые типа эллипсов.
§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 227
а)	Пусть ц < 0. Тогда при с = 0 получаем положение равновесия
х = 0, а при с / 0 фазовая точка по спирали движется к х — 0 при
t —> +оо, так как r(t) -» +0,	-> +оо при t -+ +оо. Направле-
ние закручивания спирали определяется направлением фазовой скорости
/(х) = Ах. Например, если в качестве х взять (0,1), то f(x) имеет ком-
поненты 012, 022- Если 012 > 0, то f(x) направлен вправо, а если 012 < О,
то f(x) направлен влево. Возможные два различных фазовых портрета
(1) в этом случае схематически доказаны на рис. 7.
Рис. 7
Положение равновесия х = 0 в этом случае называется устойчивым
фокусом системы (1).
б)	Пусть д > 0. Тогда при с = 0 получаем положение равновесия
х = 0, а при с 0 и t -+ +00 точка по спирали удаляется от х = О,
так как r(t) —» +00, ^>(t) —> +00 при t —> +00. В этом случае положе-
ние равновесия х = 0 называется неустойчивим фокусом системы (1).
Возможные в этом случае два различных фазовых портрета (1) схема-
тически показаны на рис. 8.
Рис. 8
«12 < О
в)	Пусть д = 0. Тогда в произвольном базисе Л>, /12 при с / 0 тра-
ектории-кривые типа эллипса, а при с = 0 — положение равновесия. В
228 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
этом случае положение равновесия х — 0 называется центром для си-
стемы (1). В зависимости от направления обхода эллипсов возможные
фазовые портреты (1) схематически показаны на рис. 9.
Таким образом, для простой линейной автономной системы (1) суще-
ствует всего тринадцать различных фазовых портретов.
Пусть теперь система (1) является сложной.
а)	Пусть Ai / 0, Аг = 0. Тогда (j(t) = CieA‘\ $?(*) = с2- Отсюда
ясно, что все точки прямой — 0 являются положениями равновесия
и что оба луча каждой прямой = с2 являются траекториями (1). В
зависимости от знака А] движение по ним при t -> +оо идет либо к
прямой Ci = 0, либо от нее. В зависимости от знака Ai возможны два
схематически представленных на рис. 10 фазовых портрета системы (1).
А1 <о
Д1 > о
Рис. 10
б)	Пусть Ai = Аг = 0. Если матрица А нулевая, то каждая точка
плоскости	является положением равновесия (1). Если же Л —не-
нулевая матрица, то существует базис плоскости из собственного вектора
hi и присоединенного к нему вектора h2 матрицы А. В этом базисе ре-
шение (1) имеет координаты
Ci(i) = ci +c2t, <2(t) = c2.
§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы
В этом случае все точки прямой & = 0 являются положениями равнове-
сия. Каждая из прямых Сг = с является траекторией (1) и при t —> +00
движение по ним идет слева направо при Сг > 0 и справа налево при
Сг < 0 (см. рис. 11).
Рис. 11
Таким образом, в случае сложной автономной системы (1) имеется
всего четыре различных фазовых портрета системы (1).
Замечание. Если задано автономное уравнение второго порядка
х + ах+ Ьх — О	(2)
с действительными коэффициентами а, 6, то его положениями равновесия
называются положения равновесия автономной системы вида
= \ (3)
I у = —ох — ау.
Фазовыми траекториями уравнения (2) называются фазовые траекто-
рии системы (3). Отсюда следует, что для рассматриваемого уравнения
(2) в случае фокуса и центра движение по траекториям при t -» +00
всегда идет за часовой стрелкой.
В заключение отметим, что, используя приведение матрицы А к жор-
дановой нормальной форме, можно исследовать фазовые портреты ли-
нейной автономной системы
х = Ах
в фазовом пространстве Я" и при п > 2.
230 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
§ 3. Нелинейные автономные системы
второго порядка
Рассмотрим нелинейную автономную систему
1/2 = /2(^1,312),
где /1(ж1,т2) и /2(х1,з:2)—заданные действительные дважды непрерывно
дифференцируемые функции в некоторой области Q декартовой плоско-
сти Л? „ v
Сначала нас интересует локальный фазовый портрет (1) в окрестно-
сти точки а с координатами ai,a2 из области Q. Будем считать в даль-
нейшем, что точка а является началом координат, так как этого всегда
можно добиться заменой 3/1 = a:i — aj, у2 = т2 — а2.
Пусть, кроме системы (1), задана и автономная система
jyi = Р1(?/1>!/2),
(У2 = 52(2/1,1/2),
где У1(у1,У2) и 52(1/1,1/2) определены и непрерывно дифференцируемы в
некоторой области G плоскости yjy
Определение. Автономные системы (1) и (2) будем называть каче-
ственно эквивалентными, если существует такое взаимно однозначное и
взаимно непрерывное отображение области Q на область G, при котором
каждая фазовая траектория системы (1) с сохранением ориентации пере-
ходит в некоторую фазовую траекторию системы (2), и наоборот. Если,
кроме того, это отображение является непрерывно дифференцируемым,
то системы (1) и (2) называются дифференцируемо эквивалентными.
Из § 2 следует, что каждая простая автономная линейная система ка-
чественно эквивалентна одной из десяти автономных систем, фазовые
портреты которых изучены в § 2. Более того, можно показать, что все те
простые автономные линейные системы качественно эквивалентны, у ко-
торых х = 0 является устойчивым узлом, дикритическим или вырожден-
ным узлом, фокусом. Аналогично, качественно эквивалентными являются
те простые линейные системы, у которых х = 0 является неустойчивыми
узлом, дикритическим или вырожденным узлом, фокусом. Таким обра-
зом, существуют только четыре типа качественно эквивалентных простых
автономных линейных систем: системы с устойчивым положением равно-
весия х = 0, системы с неустойчивым положением равновесия х = 0,
системы, у которых т = 0 —седло, и системы, у которых х = 0 — центр.
Из теоремы о выпрямлении траекторий получаем, что все системы
(1), рассматриваемые в окрестностях любых обыкновенных точек систе-
мы (1), являются дифференцируемо эквивалентными.
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка
231
Допустим теперь, что х = 0 е Q является положением равновесия
нелинейной системы (1), т.е. /1(0,0) =/2(0,0) = 0. Разложим fi(xi,x2) и
/2(^1, хг) по формуле Тейлора в окрестности х = 0 с остаточным членом
в форме Пеано:
/1 (а?1, 2:2) = auxi + 0122:2 + О(Ы),
/2(2:1,2:2) = «212:1 + «222:2 + O(kl),
где aij = д^’°^, i,j = 1,2, |т| = vGf+aif, O(|rc|) = e(xi, х2) |х|,
^(т^тг) -> 0 при |ж| —> 0.
Линейная однородная система
= «11X1 + О12Т2,	(.j)
®2 — 021X1 + «222:2,
называется линеаризацией нелинейной системы (1) в начале координат.
Следующая теорема, носящая название теоремы о линеаризации, до-
казательство которой можно найти в книгах [2], [5], [47], устанавливает
связь между локальным фазовым портретом нелинейной системы (1) и
фазовым портретом ее линеаризации (2).
Теорема. Если линеаризация (3) нелинейной системы (1) в начале коорди-
нат х = 0 является простой автономной системой и х = 0 не является
центром для системы (3), то в окрестности х = 0 нелинейная система (1)
и ее линеаризация (3) качественно эквивалентны.
Иначе говоря, если собственные значения матрицы линеаризации (3)
системы (I) при х = 0 имеют действительную часть, отличную от нуля,
то фазовые портреты (1) и (3) в окрестности х = 0 качественно экви-
валентны, т. е. фазовый портрет системы (1) в малой окрестности х = 0
получается из фазового портрета системы (3) небольшим искажением.
Без дополнительных условий на /ДтьХг), /2(2:1,тг) нельзя утверждать
в общем случае, что системы (1) и (3) в окрестности нуля при услови-
ях сформулированной теоремы являются дифференцируемо эквивалент-
ными. Этим теорема о линеаризации отличается от теоремы о выпря-
млении траекторий в окрестности обыкновенной точки. Если система (3)
простая, то положения равновесия х = 0 для нелинейной системы (1)
классифицируются так же, как и для системы (3).
Замечание. Нелинейное автономное уравнение второго порядка
ё = /(х, х)	(4)
эквивалентно автономной системе
Р =	(5)
[У = /<з:,у)-
232 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Положениями равновесия и фазовыми траекториями уравнения (4) на-
зываются положения равновесия и фазовые траектории системы (5).
Пример 1. Найти положения равновесия, определить их характер и на-
рисовать фазовые траектории линеаризованных систем
{х = arctgfa: — у — 1),
у = ^/Зх2 + Зу — 2 - 1.
А Положения равновесия находим из системы уравнений
J arctg(ar — у — 1) = 0,	1х - у = 1,
( УЗж2 + Зу - 2 - 1 = О, ИЛИ (За;2 + Зу = 3.
Получаем два положения равновесия: (-2,-3) и (1,0). Для линеари-
зации исходной системы удобно иметь положением равновесия точку
(0,0). Сделаем замену
ui = х + 2, и! = у + 3.
Тогда точка (-2,-3) перейдет в точку (0,0) и нелинейная система
примет вид
{щ — arctg(uj — vi),
•i>i =	+ 3u2 — 12-ui 4- 3t>i — 1.
Линеаризация этой системы в точке (0,0) выглядит так:
I й\ = щ — «1,
(i»i = —4tti + vi-
Матрица этой системы имеет собственные значения AL = -1, >2=3
и линейно независимые собственные векторы
Л1 = (г) ’	= (-г) '
Следовательно, точка (—2, —3) — седло для исходной системы. Фазо-
вый портрет линеаризованной системы приведен на рис. 12.
Рис. 12
§3. Нелинейные автономные системы второго порядка
233
Рассмотрим второе положение равновесия (1,0). Сделаем замену
U2 = х - 1, v2 = у.
Тогда точка (1,0) перейдет в (0,0), а нелинейная система примет
вид
[ й2 = arctg(iZ2 — 02),
^г>2 = У1 + Зи'2 + 6«2 + 3«2 - 1-
Линеаризация этой системы в точке (0,0) имеет вид:
{Й2 = «2 — v2,
V2 — 2?12 + V2*
Так как матрица этой системы имеет собственные значения А = 1 ±
i\/2, то точка (1,0)— неустойчивый фокус для исходной системы.
Поскольку в точке (0,1) вектор фазовой скорости имеет координаты
(—1,1), то он направлен влево и, значит, движение по спиралям
при t —» +00 идет от начала координат против часовой стрелки.
Поведение фазовых траекторий линеаризованной системы показано
на рис. 13.
Если точка (0,0) является центром для линеаризации (3), то теорема
о качественной эквивалентности систем (1) и (3) может не выполняться.
Эта точка может быть для нелинейной системы либо центром, либо фо-
кусом, либо так называемым центрофокусом, т.е. положением равновесия
(1), в окрестности которого имеются как замкнутые траектории, так и
траектории типа логарифмической спирали. Приведем пример.
Пример 2. Определить характер положения равновесия системы
±1 — —х2 — Xi • |х|,
Х2 = X] - Х2 • |гс|,
где |з:| = y/tf + x%
234 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
А Положением равновесия служит (0,0). Линеаризованная в точке
(0,0) система
1X1= ~Х2
= Х[,
имеет в этой точке центр, так как собственные значения матрицы
системы чисто мнимые.
Чтобы определить характер точки (0,0) для исходной системы,
перейдем к полярным координатам r,ip по формулам
Xi(f) = r(t) cos <р(£), х2(£) = r(t) sin<£>(£).
Получаем систему уравнений
•	9
Г = —Г ,	= Г,
откуда либо г = 0, либо г 0, г = (i + ci)-1, ip = t + q. При t —> +oo
r -» +0, т. e. точка (0,0) является устойчивым фокусом для заданной
системы.	А
На примере системы
{Х1 = -х2 - Xi • |х| • sin ру,
Х2 = -X! -Х2 • |х| ’Sin
можпо убедиться, что точка (0,0) для линеаризованной системы явля-
ется центром, а для заданной системы является центрофокусом. Таким
образом, в случае центра для (3) нелинейные члены могут существенно
изменить фазовый портрет системы (1).
Если линеаризация (3) является сложной автономной системой, то те-
орема о качественной эквивалентности систем (1) и (3) в окрестности
начала координат также не справедлива и нет классификации положе-
ний равновесия нелинейной системы (1). Например, система
Xi = х2, х2 = Xj,
имеет единственное положение равновесия (0,0), а для ее линеаризации
Xi — Х2, Х2 — 0,
каждая точка оси х2 — 0 является положением равновесия.
С помощью теорем о выпрямлении траекторий и о линеаризации мож-
но установить локальный фазовый портрет во всех обыкновенных точках
и в простейших положениях равновесия нелинейной системы (1). Одна-
ко такой информации о локальных фазовых портретах системы (1) не
всегда достаточно для построения глобального фазового портрета (1) во
всей области Q. Можно построить пример двух нелинейных систем (1) с
одинаковыми локальными фазовыми портретами во всех обыкновенных
точках и во всех положениях равновесия, но с качественно различны-
ми глобальными фазовыми портретами в области Q. Дело в том, что
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка
235
структура предельных множеств траекторий таких систем может быть
различной.
Определение- Точка х 6 fl называется ^-предельной точкой траектории
х — <p(t) системы (1), определенной при всех t > 0, если найдется такая
последовательность > 0, tk —> +оо, что <p(tk) —> х при t —> +оо. Множе-
ство всех w-предельных точек траектории (1) называется ее w-предель-
ным множеством.
Заменив в этом определении условия t > 0, tk > 0, 1* —> +оо условиями
t < 0, tk < 0, tk -» — оо, получим определение a-предельной точки и
«-предельного множества траектории (1).
Теория А. Пуанкаре —И. Бендиксона (см. [2], [5]) дает описание струк-
туры предельных множеств траекторий системы (1). На фазовой плос-
кости типичными предельными множествами траекторий являются: по-
ложения равновесия, кривые типа сепаратрис, двоякоасимптотические к
седловым положениям равновесия, и так называемые предельные циклы.
Определение. Предельным циклом системы (1) называется такая за-
мкнутая траектория (1) в области Q, которая изолирована от всех
остальных замкнутых траекторий системы (1) в области fl.
Пример 3. Показать, что автономная система
,Т1 = -х2 +ц (1 - к|),
х2 =®i + ^2(1 -kl),
где |т|2 — х^ + з?2, имеет предельный цикл kl2 — 1-
Д Перейдем к полярным координатам г,<р по формулам
x\(t) = r(t) cos^>(t), x2(t) — r(t) siny>(t).
Тогда система примет вид
г = r(l — г),
Ф = 1-
Решениями полученной системы являются:
Отсюда следует, что г = 0 — положение равновесия, а при 0 < г < 1
г > 0 и траектории — раскручивающиеся спирали, приближающиеся
к окружности г = 1. При г > 1 имеем г < 0 и траектории скручива-
236
Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
ются при возрастании t —> +оо. Фазовый портрет заданной системы
качественно эквивалентен портрету, изображенному на рис. 14.
Не все предельные циклы системы (1) ведут себя так же, как
предельный цикл примера 3. Существуют три типа предельных ци-
клов:
а)	устойчивый (притягивающий) предельный цикл, где траекто-
рии навиваются на предельный цикл с обеих сторон при t —> +оо
(см. пример 3);
б)	неустойчивый (отталкивающий) предельный цикл, где траекто-
рии — спирали удаляются от предельного цикла с обеих сторон при
t —> +оо;
в)	полуустойчивый предельный цикл, где траектории с одной сто-
роны навиваются на предельный цикл и удаляются от него с другой
стороны при t —> +оо.
Для автономной системы (1) можно дать критерий, позволяющий
в некоторых случаях установить существование предельного цикла
(см. [36]). Однако нет общих методов нахождения предельных ци-
клов для системы (1).
Наиболее важными с физической точки зрения являются при-
тягивающие предельные множества — аттракторы, когда с течением
времени произвольная траектория системы (1) из некоторой области
притяжения аттрактора притягивается к аттрактору. В частности,
аттрактором может быть устойчивый предельный цикл. В теории
нелинейных колебаний такого рода системы называют автоколеба-
тельными системами.
Если ограничиться рассмотрением лишь систем (1) в компакте
(ограниченной замкнутой области) Q, имеющей в Q конечное число
положений равновесия, то (см. [5]) можно дать полную характери-
стику предельного множества любой траектории (1). Это позволяет
установить качественную (топологическую) структуру разбиения Q
на траектории и тем самым построить глобальный фазовый пор-
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка
237
трет системы (1) в области П. На практике построение глобального
фазового портрета (1) обычно проводится либо методом изоклин, ли-
бо методом, связанным с нахождением точной или асимптотической
формулы всех траекторий (1), либо численными методами. А
Пример 4. Нарисовать глобальный фазовый портрет уравнения нели-
нейного маятника
х -t- sins = 0.
Д Положениями равновесия являются точки М^кк, 0), к 6 Z, при-
чем Мь — центры при четных к и ~ седла при нечетных к.
Для получения глобального фазового портрета найдем уравнения
траекторий. Умножив заданное уравнение на i, получаем
Xi + isinx = 0.
Отсюда
х2 = 2(cosx 4- с),
где с — произвольная постоянная. Заметим, что с > — 1, так как при
с < — 1 имеем 2(cos х + с) < 0, что невозможно. При с 6 (—1,1) фазо-
вые траектории замкнутые. При с = 1 имеются две разделительные
траектории (сепаратрисы)
х — ± \/2(cosa: + 1) = ±2 cos .
При с > 1 фазовые траектории не пересекающиеся и не самопересе-
кающиеся. Остается построить графики
х2 — 2 (cost + с).
Окончательная картина поведения траекторий на фазовой плоскости
представлена на рис. 15.
Из локальных фазовых портретов в точках нельзя получить
такой полной информации о поведении фазовых траекторий уравне-
ния, как из глобального фазового портрета.
238 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Как видно из рисунка, состояние маятника определяется углом
его отклонения от положения равновесия х и скоростью х. Но для
значений х, отличающихся на целое число 2тт, динамика системы
одинакова. Поэтому в силу отсутствия однозначности плоскость пе-
ременных х,х не является, строго говоря, фазовой плоскостью маг
ятника. О колебаниях в окрестности центра неясностей не возни-
кает. Однако при с > 1 движение становится вращательным, фазо-
вая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмо-
трение вводят цилиндрическое фазовое пространство. На поверхно-
сти фазового цилиндра изображение фазовых траекторий показано
на рис. 16.
Кривые, лежащие внутри сепаратрис, замкнуты и охватывают
центр. Кривые вне сепаратрис тоже замкнуты, но они охватывают
цилиндр и описывают новый тип движений, обусловленных враще-
нием.
Итак, фазовым пространством маятника естественно считать не
плоскость, а цилиндр. Наворачивая на цилиндр нарисованную кар-
тину на плоскости (х,х), получим фазовые кривые маятника на по-
верхности цилиндра.	А
Замечание. Структура предельных множеств траекторий автономной
системы (1) при п > 3 окончательно не изучена до сих пор. Более того,
при п > 3 не изучены даже все типы аттракторов. Однако при п > 3
теперь известно, что кроме регулярных аттракторов в виде положений
равновесия, предельных циклов или р-мерных торов, существуют еще так
называемые странные аттракторы. Они представляют собой притягиваю-
щие ограниченные предельные множества траекторий сложной структу-
ры. Фазовые траектории представляются здесь в виде бесконечной нигде
не пересекающейся линии, причем при t -» +оо траектории не покида-
ют замкнутой области и не притягиваются к регулярным аттракторам.
Странные аттракторы при п < 2 не существуют. При п > 3 имеется
принципиальное различие между регулярными и странными аттракто-
рами. Регулярные аттракторы характеризуются устойчивостью фазовых
траекторий и по Ляпунову и по Пуассону (определение устойчивости по
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 239
Ляпунову см. в следующем § 4, а определение устойчивости по Пуассону
см. в [33]). Для странных аттракторов устойчивость по Пуассону траек-
торий всегда сопровождается экспоненциальной неустойчивостью траек-
торий по Ляпунову.
Если в теории нелинейных колебаний аттрактору типа предельного
цикла соответствует периодическое движение, а аттрактору типа р-мер-
ного тора соответствуют квазипериодические колебания, то странному ат-
трактору соответствует режим хаотических автоколебаний. Для описания
хаотических автоколебаний используются термины «детерминированный
хаос», «динамическая стохастичность» и подобные.
Рассмотрим теперь уравнение первого порядка в симметричной форме
Р{х, y)dx + Q(x, y)dy = 0,	(6)
где Р{х,у) и Q(x,у) —заданные непрерывно дифференцируемые функции
в области Q декартовой плоскости и Две автономные системы
(x = Q(x,y),	.	(i=—Q(x,y),
[у = -Р(х,у),	\у = Р(х,у).
Особой точкой уравнения (6) называется точка (жо,Уо) € П, для кото-
рой Р(хо,уо) = <20о,г/о) = 0. Таким образом, особая точка уравнения (1)
совпадает с положением равновесия систем (7) и (8). Интегральные кри-
вые уравнения (6), если на них брать направление движения, совпадают
с траекториями автономной системы (7) или (8). Направления движения
при t —> +оо по траекториям систем (7) и (8) противоположны, но сами
траектории, как кривые, систем (7) и (8) совпадают.
Таким образом, уравнение (6) можно изучать в рамках автономных
систем (1). В частности, для уравнения (6) справедлива теорема о вы-
прямлении интегральных кривых в окрестности обыкновенной точки,
классификация особых точек (6) аналогична классификации положений
равновесия (7) и (8), имеет место теорема о качественной эквивалентно-
сти в окрестности особой точки уравнения (6) и его линеаризации.
В автономную систему уравнений часто входят некоторые параметры.
Например, в уравнении гармонических колебаний с учетом силы сопро-
тивления материальной точки массы т
тх 4- гх 4- kx — 0
числа т, г, к — параметры, в уравнении Ван-дер-Поля
х 4- е(х2 — l)i 4- х = 0
параметром является е > 0. Исследование автономных систем с пара-
метрами является более сложной задачей, чем исследование автономных
систем (1), прежде всего потому, что при изменении параметров может
меняться качественное поведение фазового портрета. Если при некотором
240 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
значении параметра меняется качественное поведение фазового портрета,
то говорят, что при этом значении параметра имеет место бифуркация
автономной системы.
Пример 5. Найти различные качественные типы фазовых портретов
при А 6 (—оо, +оо) для системы
±1 = Ат1 — Х2 — £1 • (т|2,
±2 —	+ Ат2 — %2 • kl2-
А В полярных координатах г, <р, где
x(i) = r(i) cos y(t) = r(t) sin
заданная система примет вид
г = г(А — г2),
Ф = 1-
Отсюда при любом А € (—оо,+оо) решениями являются = t + ci
и г — 0. При А 0 решениями являются t + сг =
п₽и
А > 0 решением являются г = х/Х, а при А = 0 решением является
t + С2 = $г~2.
При А < 0 получаем, что г < 0 при г / 0 и г = 0 при г = 0.
Таким образом, при А < 0 все фазовые портреты — это закручива-
ющиеся вокруг начала координат спирали, т.е. т = 0 —устойчивый
фокус. При А > 0 начало координат — неустойчивый фокус, так как
г > 0 при 0 < г < УХ. При г > УХ г < 0. Следовательно, г = %/А
является устойчивым предельным циклом, так как траектории за-
кручиваются вокруг него с обеих сторон.
Таким образом, заданная система имеет точку бифуркации при
А = 0. Заметим, что собственные значения линеаризации заданной
системы в начале координат равны А ± г и становятся чисто мни-
мыми при критическом значении А = 0.	А
Пример 6. Исследовать при |е| < 1 фазовый портрет уравнения
х — ei(l — х2 — х2) + x=Q.
Д Перейдем к системе
[х = у,
= -X + еу(1 - х2 - у2).
При е = 0 начало координат является центром, а при £ 6 (0,1)
начало координат — неустойчивый фокус для линеаризованной сис-
темы
i = V,
у=-х + еу,
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия	241
так как А = j ±	- 1 — комплексные числа. Аналогично, при с < О
начало координат — устойчивый фокус. Перейдя в исходной системе
к полярным координатам г, <р, получаем
г = ег(1 — г2} sin2 ip,
ф — —1 + ег(1 — г2) sin cos </?,
При е > 0 отсюда г = 0 дает начало координат и г = 1 дает
окружность, являющуюся предельным циклом, поскольку при 0 <
г < 1 получаем г > 0, ф < 0, а при г > 1 получаем т < 0 и ф < 0 при
г < у/2. При е < 0 картина аналогичная, меняется лишь направление
движения по траекториям. Таким образом, е = 0 является точкой
бифуркации заданного уравнения.	А
§ 4. Устойчивость по Ляпунову
положений равновесия
Как уже говорилось в § 3, в случае, когда линеаризация автономной си-
стемы является сложной системой, то по ней нельзя классифицировать
положения равновесия нелинейной автономной системы. Приведенные ни-
же определения устойчивости положения равновесия автономной системы
позволяют дать грубую классификацию качественного поведения траекто-
рий в окрестности положения равновесия для произвольных автономных
систем.
Пусть задана автономная система
i(«) =/(z),	(1)
где t ё Ягх и f{x) — заданная непрерывно дифференцируемая вектор-
функция с п компонентами в некоторой области Q евклидова простран-
ства
Зададим начальное условие
т(0) = то € Q	(2)
и обозначим решение задачи Коши (1), (2) через x.(t,то)- Пусть а ё П
является положением равновесия системы (1). Без ограничения общности
можно считать а = О, поскольку в случае а / 0 заменой х - а = у
в (1) можно получить автономную систему, для которой уже у = О —
положение равновесия.
Итак, пусть х = О 6 Я является положением равновесия (1). В даль-
нейшем считаем, что Вт > О такое, что при Vxq ё П, |з?о| < г, решение
x(t, xq) (1), (2) определено для всех t > 0. (Достаточные условия для
этого см. в теореме 1 § 1 и в замечании к этой теореме.)
Определение. Положение равновесия х = 0 автономной системы (1) на-
зывается устойчивым по Ляпунову, если для Vs > 0 найдется 0 < 6 =
242
Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
5(e) < г такое, что из |хц| < 6 следует |x(f, rro)l < £ для всех t > 0. В
противном случае положение равновесия х — 0 называется неустойчивым
положением равновесия системы (1).
Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х = 0 системы (1) в
случае п = 2 можно проиллюстрировать на рис. 17.
Любая траектория (1), начинающаяся
остается в наперед заданной £-окрестности
в <5(£)-окрестности точки
точки О при всех t > 0.
О,
Определение. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х = 0 си-
стемы (1) называется асимптотически устойчивым, если 3ri, такое, что
0 < Г] < г и lim x(t, xq) — 0 при Ixol < г1- Асимптотическая устойчи-
t-»+oo
вость х — 0 геометрически означает, что любая траектория (1), начина-
ющаяся в некоторой окрестности х — 0, при t —> +оо стремится к х = 0.
Если рассмотреть простую линейную однородную систему при п = 2
х = Ах (см. § 2), то непосредственно из определений следует, что устой-
чивые узел, фокус, дикритический узел и вырожденный узел являются
асимптотически устойчивыми положениями равновесия. Центр является
устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым положени-
ем равновесия. Наконец, седло и неустойчивые узел, дикритический узел,
вырожденный узел, фокус являются неустойчивыми положениями равно-
весия автономной линейной системы на плоскости.
Отметим важность для практики понятия устойчивости по Ляпунову.
Если задача Коши (1), (2) моделирует некоторый реальный процесс, то
ее решение x(t, xq) пригодно для практики только в случае непрерывной
зависимости решения x(t, xq) от начального условия (2) для бесконечного
промежутка изменения t, т. е. в случае устойчивости по Ляпунову. Если
бы нас интересовал лишь малый промежуток [0, Т] времени t, то теорема
о непрерывной зависимости решения задачи Коши (1), (2) (см. главу 4)
гарантирует малое изменение решения x(t,xo) при малом изменении хо-
Для полуоси t > 0 непрерывной зависимости x(t,xo) от xq может уже и
не быть, в чем легко убедиться на примере уравнения х = х.
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия	243
В дальнейшем будут указаны достаточные условия, обеспечивающие
устойчивость по Ляпунову положений равновесия (1). Теория устойчи-
вости была создана трудами многих математиков, но особенно важ-
ные результаты этой теории были получены известным русским ученым
А. М. Ляпуновым. В его честь и введен термин «устойчивое по Ляпуно-
ву» положение равновесия.
Замечание. Введенные определения характеризуют типы устойчивости
тривиального решения х = 0 автономной системы.
Совершенно аналогично, для решения х = <p(t) неавтономной системы
x = f(t,x)	(3)
можно ввести понятие устойчивого по Ляпунову решения х = <p(t) систе-
мы (3), асимптотически устойчивого решения и неустойчивого решения.
Вопрос об исследовании устойчивости решения х = <p(t) системы (1) пу-
тем замены х = у + <p(t) сводится к исследованию тривиального решения
у = 0 некоторой другой системы, получаемой из (3).
Кроме введенного понятия устойчивости относительно начального зна-
чения хо, можно ввести аналогичным образом понятие устойчивости по-
ложения равновесия относительно параметра А для автономных систем
с параметром
i(t) = /(ж, А).
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия х = 0 для ав-
тономной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
x(t) — Ax(t),	(4)
где А — заданная действительная числовая квадратная матрица поряд-
ка п. Известно, что решения системы (4) определены для всех t €
Возьмем начальное условие
ж(0) = же,	(5)
где xq — произвольный числовой n-мерный вектор. Обозначим через
x(t,xo) решение задачи Коши (4), (5), а через А>,... ,Am, 1 < т < п,—
собственные значения матрицы А.
Теорема 1. Если Re А* < 0 для всех к = 1,тп, то положение равновесия
х = 0 системы (4) асимптотически устойчиво.
О Если ReAfc < 0 для всех к — 1, т, то Зд > О такое, что Re А*, <
—2д < 0. Решение задачи Коши (4), (5) имеет вид (см. главу 3):
x(t, xq) = etA • Xq.
Покажем, что 3Af > 0 такое, что норма матричной экспоненты
||etA|| < Ме-*“, V* > 0.
244 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Каждый элемент Oy(t) матрицы etA является конечной суммой квази-
многочленов:
т
= £-рк,1\*)еХ,'1>	=
fc=l
где	—многочлены. Всегда найдется
всех к = 1,тп
< с^,
такое число су > 0, что для
Vi > 0.
Тогда
|х(«,а:о)| < ||еМ|| - |х0| = |х0| •
£ l“oWI2 <
»J=1
< |то1  е 
£ |су|2 = Ме^-|*о|.
i,j = l
Из этой оценки видно, что x(t, xq) -> 0 при t —> +оо. Кроме того, х = 0 —
устойчивое по Ляпунову положение равновесия (4), так как при Ve > 0,
взяв 5(e) = из полученной выше оценки при |то| < <5 получаем, что
|x(t, хц)| < Мб = е.	•
Теорема 2. Если Re Ад <0 для всех к — 1,т и для каждого собственного
значения А с Re А = 0 число линейно независимых собственных векторов
равно кратности А, то х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение рав-
новесия (4).
О При условиях теоремы каждое решение задачи Коши (4), (5) задается
формулой
x(t,xa) = etA  xq,
где элементы aij(t) матрицы ct'A имеют вид
= £ Px'3}(t)eXi + £ слеА(.
ReA<0	ReA=0
В этой записи:	— многочлены t, суммирование в первой сумме ве-
дется по всем А с Re А <0, сд —числа, выражающиеся через компоненты
xq, суммирование во второй сумме ведется по всем А с Re А = 0. Учи-
тывая это обстоятельство и действуя как при доказательстве теоремы 1,
получаем оценку при всех I > 0:
|x(i,x0)| < ||ем|| • |х0| < М  Ircol-
Из этой оценки следует устойчивость по Ляпунову х = 0.	•
Теорема 3. Если существует хотя бы одно собственное значение А ма-
трицы А с Re А > 0 или если все собственные значения А матрицы А име-
ют Re А < 0 и хотя бы для одного А с Re А = 0 число линейно независимых
§4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия
245
собственных векторов меньше кратности А, то х = 0 является неустой-
чивым положением равновесия системы (4).
О Пусть существует X = p + iv с КеА = д>0. Тогда решения (4), (5)
x(t, хо) = e^hi cos pf + Л.2 sin 14), /ij = xq,
где h = hi + ih<2 — собственный вектор для А, при t = tk и sinptfc = 0,
получаем, что
= e^lxol +oo, it -> +oo,
хотя при t = 0 и малом |то| это решение близко к х — 0.
Если же ReA = O, то при условиях теоремы существует решение (4),
(5) вида
x(t,х0) = ext [hi + — h2 + +	) > Л1 = xo,
где h\,... ,hk~ жорданова цепочка длины k для А, причем k > 2. Отсюда
ясно, что |a:(t, а?о)| -> +оо при t -> +оо, хотя при t = 0 и малых |а?о| это
решение близко к i = 0.	*
Теоремы 1-3 полностью исчерпывают описание типов устойчивости
для системы (4). Из них, в частности, следуют все ранее полученные
результаты об устойчивости х = 0 для системы (4) в случае п = 2. Из
доказанных теорем следует корректность задачи Коши (3), (4) при t > О
в том случае, когда х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение равнове-
сия, и ее некорректность при t > 0, если х = 0 — неустойчивое положение
равновесия.
Пусть система (1) является нелинейной и пусть х — 0 является ее
положением равновесия. Разложим f(x) в окрестности х = 0 по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
f(x) = Ах + о(|х|),
где матрица
А =
dxj
i,j — 1,п, о(|ж|) -> О,
Ы = У11 + • •  + -» 0.
Теорема 4 (теорема Ляпунова). Если все собственные значения матрицы
А имеют отрицательные действительные части, то х = 0 является асим-
птотически устойчивым положением равновесия нелинейной системы (1).
О В окрестности х = 0 систему (1) можно записать в виде
i(t) = Ах{б) + г(г),
246 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
где г(х) = о(]ж|) при |х| —> 0. Решение задачи Коши (1), (2) в силу
предположения в некоторой окрестности х = 0 определено при Vi > 0.
Его можно записать в виде
t
x(t) — etA  xq 4- У e^~r^A  г [х(т)] dr.
о
Из доказательства теоремы 1 при условиях теоремы 4 следует, что най-
дутся такие числа М > 0, ц > 0, что при всех t > 0 норма
||ем|| < Ме~^.
Так как т{х) = о(|ж|) при |х| —> 0, то для Ve > 0 35 = 5(e) > 0 такое, что
из |sc| < 5 следует |г(т)| < е|х|. Тогда при всех t > 0
t
|rr(£)] < \etA • Xol + / |е(‘-г)Л • r [z(t)] | dr <
о
t
< lleM|| • koi + f ||е(е-г)Л|| • |rk(r)]|dr <
0
t
<Me"^’ • |xo| + eM j" е~^~т^\х(т)^т.
о
Если положить u(t) = ед<к(01> то отсюда находим, что
t
u(i) < Af ко I +	j" и(т)dr.
о
Функция u(t) удовлетворяет условиям леммы Гронуолла. Из леммы
Гронуолла следует, что при всех t > 0
•u(t) < Л4'ко|есМ<-
Заменяя u(t) на ед*к(О|> получаем для Vi > 0 оценку
k(i)| < Мкок-(р-<Л/)‘.
Из полученной оценки следует, что при достаточно малых е > 0
x(t) -» 0, i —> +оо,
если фиксировать е > 0, положив, например, е = 5^7. Кроме того, по вы-
бранному е = 2^7, взяв 5 = 5(e) = из оценки получаем, что kWI < £
при kol < 5 Д’151 всех t > 0.	•
Замечание. Если Re А > 0 хотя бы для одного собственного значения
А матрицы А, то можно доказать, что х = 0 является неустойчивым
положением равновесия автономной системы (1).
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия	247
Определение. Автономная линейная система (4) с матрицей А =
||	|| называется линеаризацией нелинейной системы (1) в точке
х = 0.
Из теоремы Ляпунова и замечания к ней следует, что в том случае,
когда все собственные значения X матрицы А имеют Re А < 0 или когда
существует А с Re А > 0, тип устойчивости х = 0 для системы (1) опреде-
ляется типом устойчивости х — 0 для линеаризации (1) в этой точке. В
этом случае х = 0 называют грубым положением равновесия. Открытым
остается случай негрубого положения равновесия х = 0 для (1), когда
все А имеют ReA<0, причем хотя бы одно А имеет ReA=0. Примеры
в этом случае показывают, что метод линеаризации теряет свою силу,
так как на тип устойчивости х = 0 для системы (1) существенно влияют
последующие нелинейные члены разложения /(т) по формуле Тейлора в
окрестности х = 0. Таким примером может служить пример 2 из преды-
дущего параграфа, в котором х = 0 является центром для линеаризации,
в то время как х = 0 является фокусом для нелинейной системы. Случаи
негрубого положения равновесия системы (1) исследуются так называе-
мым вторым методом Ляпунова. Этот метод создан А. М. Ляпуновым и
основан на применении так называемой функции Ляпунова. Преимуще-
ство этого метода в том, что он не использует явной формулы траек-
торий системы (1).
Определение!. Пусть V(х) — непрерывно дифференцируемая функция
в области Я. Производной V(x) в силу автономной системы (1) называ-
ется скалярное произведение (gradV(x),/(3:)) и обозначается через У(х):
V(x} — (grad V(x),f(x)), х 6 Я.
Пусть х = 0 — положение равновесия автономной системы (1) и пусть
U — некоторая окрестность х — 0, U G Я.
Определение 2. Функция ^(т), непрерывно дифференцируемая в
окрестности U, называется функцией Ляпунова системы (1), если
V(t) > 0 для всех х е J7|{0}, V(0) = 0, и ее производная в силу си-
стемы (1) У (я) <0 для всех х е U.
Замечание. При выполнении условий определения 2 говорят, что в
окрестности U функция У(т) является положительно определенной, а
функция V(t) является неположительной.
Лемма. Пусть х Q Ui — некоторой окрестности х = 0 и пусть U\ С U.
Тогда |гг| —> 0 в том и только том случае, когда У(т) -> 0.
248 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
О Если |а?| —> 0, то из определения функции Ляпунова сразу следует, что
V(x) -> 0. Теперь наоборот, пусть У(х) —> 0. Покажем, что |х| —> 0. Пред-
положим, что это неверно. Тогда найдутся последовательность Xk g Ui
и число 6 > 0 такие, что |х*.-| > 5. Фиксируем такое а > 0, что шар
|х| < а принадлежит U{. Положим Vq = infV(x) при S < |х| < а. Так как
множество тех х € U\, для которых 5 < |х| < а, компактно, то найдет-
ся такой х g I7i, <5 < |х| < а, что V(x) = Vo- Следовательно, vq > 0 и
V(xk) > Vo > 0. Это противоречит выбору последовательности х^.	•
Теорема 5. Если в некоторой окрестности U положения равновесия х = 0
системы (1) существует функция Ляпунова У(х), то х — 0 являет-
ся устойчивым по Ляпунову положением равновесия автономной систе-
мы (1).
О Зададимся таким с > 0, чтобы шар |х| < е лежал в окрестности U-
Положим
V€ = inf V(x).
|z|=s
Так как V(х) — положительно определенная, то Ve > 0. Кроме того, най-
дется 0 < 5 < £ такое, что V(x) < Ve для всех х, у которых |х| < 6.
Рассмотрим любое решение x(t,xo) системы (1) при |xq| < 6 и покажем,
что |x(t,xo)| < е для всех t > 0, т. е. что х = 0 — устойчиво по Ляпунову.
Рассуждаем от противного. Пусть это не так. Тогда найдется та-
кое Т > 0, что |х(Т, хо)| — £ и |x(t, хо)| < £ при 0 < t < Т. Так как
V(x) <0 для всех х g С7, то V [x(t, Xq)] является невозрастающей функ-
цией t g [0,Т]. Поскольку V(xq) < V£, то тем более
V[x(T,xo)]<V(x0)<K.
Это противоречит выбору Т > 0 и Vc. Таким образом, предположение
неверно и х = 0 устойчиво по Ляпунову.	•
Замечание. В частности, теорема 5 имеет место, если V(x) = 0 в
окрестности U. Это означает, что функция Ляпунова V(x) имеет при
х = 0 строгий минимум.
Теорема-6. Если в некоторой окрестности U положения равновесия х = О
системы (1) существует такая функция Ляпунова V(x), что У(х) < О
для всех х g С7|{0} (т. е. V(х) — отрицательно определенная функция в U),
то х — 0 является асимптотически устойчивым положением равновесия
автономной системы (1).
О Поскольку выполнены условия теоремы 5, то х = 0 —устойчивое по
Ляпунову положение равновесия (1). Следовательно, Ve > 0 найдется 6 —
S(e) > 0 такое, что если только |xq| < 5, то для каждого решения x(t,xo)
системы (1) при всех t > 0 |x(t, xq)| < г.
§4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия
249
Убедимся, что lim x(t, xq) = 0. В силу леммы достаточно показать,
t—
что неравенство |хо| < 8 влечет за собой V [x(t, то)] —> 0 при t —> +оо. Так
как V(x) <0 в U, то У[т(4, tq)]— строго убывающая функция t. Пусть
lim V[x(t,xo)] = А. Покажем, что А = 0. Предположим А > 0. Так как
6-++ОО
V[x(t,xo)] > 0, то в силу леммы найдется такое £i > 0, что при t > 0
£1 < |l(t,Х0)| < £2 < £.
Пусть
Vi= inf (-V(x)J.
£1
Тогда Vi > 0 и, так как V(x) < —V], то, интегрируя это неравенство
вдоль траектории от i = 0 до t, получаем
V [ж(<, то)] - V(t0) < —Vjt.
Отсюда следует, что У[т(4,то)] —> —оо при t —> +оо. А это противоре-
чит тому, что V [т(t, то)] > 0. Полученное противоречие доказывает тео-
рему.	•
Недостаток второго метода Ляпунова в том, что не существует об-
щего конструктивного способа построения функции Ляпунова V(t) для
произвольной автономной системы (1). Тем не менее для ряда важных
классов систем (1) такое построение возможно. В простейших случаях
функцию V(t) можно искать в виде линейной комбинации с положи-
тельными коэффициентами четных степеней xj, да,... ,хп, в частности,
в виде положительно определенной квадратичной формы.
Пример 1. Исследовать устойчивость положения равновесия (0,0) для
системы
( •	*1
1^1 = — Х2 — X?,
1 Х2 = X] - Х%.
Д Для линеаризации этой системы в начале координат получаем,
что (0,0) — центр. Следовательно, применить теорему 4 нельзя к за-
данной системе. Но для этой системы в качестве функции Ляпунова
можно взять
У(Х1,Т2) = х? + #2,
поскольку при |т| > 0 V(xi,T2) > 0, Й(Т1,Х2) = —2X1 — ^х2 < 0
и И(0,0) = V(0,0) = 0. Поэтому, по теореме 6 начало координат —
асимптотически устойчивое положение равновесия заданной автоном-
ной системы.	А
250 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Пример 2. Исследовать устойчивость положения равновесия (0,0) для
системы
ii = — Ху,
±2 = -Xi (xi + 5X2) .
Л Матрица линеаризации этой системы в начале координат явля-
ется нулевой и поэтому теорему 4 применить нельзя. Если же в
качестве функции Ляпунова взять функцию У(х1,Х2) — Xj + 2x2,
то Й(хьХ2) = —2x|(xi + Х2)2 < 0. Следовательно, начало координат
для заданной системы является устойчивым по Ляпунову положени-
ем равновесия.	А
Переходим к рассмотрению достаточных условий неустойчивости по-
ложения равновесия х = 0 для системы (1).
Теорема 7. Пусть в окрестности U положения равновесия х — 0 систе-
мы (1) существует такая непрерывно дифференцируемая функция V(x),
что V(0) = 0 u V(х) — положительно определенная функция. Если суще-
ствует число А > 0 и такая подобласть Uq окрестности U, что У(х) > А
для всех х & Uq, то х = 0 является неустойчивым положением равновесия.
О Будем рассматривать решения x(t,xo) системы (1) с начальным зна-
чением xq е Uq. Если предположить, что х = 0 — устойчивое по Ляпунову
положение равновесия, то для Ve > 0 35 — 5(e) > 0 такое, что при всех
t > 0 |x(t, xq)| < £, если только |хо| < б. Возьмем xq е Uq такое, что
У(х0) — Л. Так как V(x) > 0 для х / 0, то У[х(<,хо)] > А для До-
статочно малых t > 0. Убедимся, что У[х(4,хо)] > А для всех t > 0.
Допустим противное, что 3tj > 0 такое, что V[x(ti,xo)] = А. Тогда, с
одной стороны,
V [х(«!, Xq)] - V(хо) = 0,
а с другой стороны, по теореме о среднем 3Z € [0, ti], что
V[x(ti,xo)] - У(хо) = V [x(t, Xq)] •<! > Bty > 0
для некоторого В > 0 в силу положительной определенности У(х). Про-
тиворечие приводит к выводу, что V[x(t,xo)] > А для всех t > 0. Но
тогда для всех t > 0
V [x(t, х0)] — V(хо) = V [x(t*, io)]' i > Bt.
Отсюда следует, что V[x(t,xo)] —» +оо при t —> +оо. Это противоре-
чит ограниченности V[x(t,xo)], которая получается из предположения об
устойчивости по Ляпунову х = 0.	•
§ 5. Первые интегралы	251
Пример 3. Исследовать устойчивость начала координат для системы
±1 = Xj + Х2,
±2 = — Xi + Х%.
& Так как в качестве функции V(xi,i2) можно взять И(х1,хг) =
Ж] + х$, поскольку V(xy,X2) = 2(ij + х%) > 0 при |х| > 0, то (0,0) —
неустойчивое положение равновесия системы. Отметим, что к задан-
ной системе нельзя применить замечание к теореме 4.	А
Замечание. Для неавтономных систем надлежащим образом можно мо-
дифицировать определение функции Ляпунова и доказать аналоги тео-
рем 5-7.
§ 5. Первые интегралы
Пусть в области П < задана автономная система
*(*) = f(x),	(1)
где t 6 Ri, /(т)—заданная действительная непрерывно дифференциру-
емая в области П вектор-функция с п компонентами fi(x),... ,fn(x).
Пусть х — <p(t) —решение системы (1) при t € Т, где Т — промежуток
оси Л}.
Определение. Непрерывно дифференцируемая в области П функция
и(х) называется первым интегралом автономной системы (1), если
и [</?(<)] = const для каждого решения х — t ё Z, системы (1).
Постоянная в этом определении зависит от решения (1) и ее нетрудно
найти. Если решение х = <p(t) определяется начальными данными (0, xq),
т. е.
у>(0) — ха ё Q,
то, очевидно,
«И01 = и(<Р(0)] = и(х0).
Таким образом, значение и [<?(<)] зависит лишь от выбора траектории
системы (1) и не зависит от переменной t.
Тривиальным примером первого интеграла системы (1) служит функ-
ция и(х) = const. Для получения нетривиальных примеров первых инте-
гралов (1) необходимо иметь критерий первого интеграла (1). Чтобы его
сформулировать, напомним понятие производной функции и(х) в силу
системы (1), которое уже было введено в § 4.
Определение. Пусть и{х) — непрерывно дифференцируемая функция в
области Г2. Производной и(х) в силу автономной системы (или произвол-
252 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
ной и(х) по направлению векторного поля f(x)) называется скалярное
произведение (/(х), gradu(x)) и обозначается через й(х):
п	я.,
й(х) = (/(x),gradu(x)) =
>=1 3
Замечание. Производная й(х) является обобщением понятия производ-
ной функции и(х) по постоянному направлению I, |l| = 1, на случай
переменного векторного поля f(x) и характеризует монотонность измене-
ния и(х) вдоль фазовой траектории (1).
Теорема 1. Непрерывно дифференцируемая в П функция и(х) является
первым интегралом системы (1) в том и только в том случае, когда
й(х) = 0 для всех х € Si.
О Пусть х = t g Z, некоторое решение (1) и пусть v(t) = и [<^(4)],
t G Т. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем,
что для всех t € Z
7=1 J	j=l	J
Если u(x) —первый интеграл (1), то по определению v(t) — const для ка-
ждой траектории х = <p(t) в П. В силу предыдущего равенства тождество
u(t) — const эквивалентно условию, что й(х) — 0 для каждого х =
t£l в Q. Так как по теореме существования и единственности решения
задачи Коши для (1) через каждую точку х € П проходит некоторая
траектория (1), то й(х) — 0, Vx € П. Наоборот, если й(х) — 0 в П, то
v(t) = О и, значит, и(х) — первый интеграл (1).	•
Пример 1. Найти первый интеграл системы
I ii = X?,
[х2 = -Xi + xj.
Д Перемножив крест накрест уравнения системы, получим
(—Xi + Xj)Xl = Х2Х2-
Отсюда
dt V1 2 1 + 2/ °
И	1
Ж1 - 2^1 + х2 = с-
В силу теоремы 1 u(xi,X2) = х2 — jx* + х^ является первым ин-
тегралом заданной автономной системы, так как tz(xi,X2) = 0. А
§ 5. Первые интегралы
253
Самое простое применение первого интеграла и(х) системы (1) осно-
вано на связи, существующей между поверхностями уровня и(х) (поверх-
ности уровня функции и(х) определяются уравнениями и(х) = const) и
траекториями системы (1). Из определения первого интеграла следует,
что каждая из траекторий х = <p(t) системы (1) в области Q расположе-
на на одной из поверхностей уровня первого интеграла и(х). В случае
п — 2 вместо поверхностей уровня речь идет о линиях уровня перво-
го интеграла и(х) системы (1). Для практических приложений важен
обратный вопрос, будет ли всякая линия уровня первого интеграла (1)
при п = 2 траекторией (1) или ее частью. Нетрудно видеть, что ответ
на этот вопрос в общем случае отрицательный. В самом деле, линия
уровня может быть не гладкой кривой, может распадаться на несколь-
ко отдельных не связных между собой кривых, может содержать в се-
бе положения равновесия (1). Все это невозможно для траектории (1).
Однако, если кривая 7 — гладкая, не содержит в себе положений рав-
новесия и является частью или всей линией уровня первого интеграла
и(х) системы (1) при п = 2, то 7 —траектория или ее часть системы
(1). Действительно, если кривая 7 задается уравнением F(xi,X2) = 0, то
gradF(xi,T2) /0 для точек 7. Так как u(xi,x2) — первый интеграл (1),
то й(х1,х2) = 0. Значит, вектор /(х^хг) ± gradu(xi,x2). Поскольку на 7
нет положений равновесия, то /(xi,Х2) / 0 в точках 7. Значит, /(х^хг)
является касательным вектором к 7. А это и означает, что 7 является
либо траекторией, либо ее частью.
Таким образом, с помощью линий уровня первого интеграла системы
(1) при п = 2 в ряде случаев можно получить глобальный фазовый пор-
трет системы (1). Например, это можно сделать для системы примера 1,
для линеаризации которой начало координат является центром. Рассмо-
трение первых интегралов — это один из основных методов нахождения
фазового портрета автономной нелинейной системы (1) при п = 2 в том
случае, когда ее линеаризация имеет центр или является сложной си-
стемой.
Заметим теперь, что при гладкой обратимой замене переменных
х = р(у) в области П автономная система (1) перейдет в автономную
в области П систему вида
y(t)=/i(y)= [У(У)]-1Ь(у)),	(2)
где д'(у) = ||Э%^ ||,	= 1,п, — матрица Якоби.
Система уравнений (2) следует из системы уравнений
х = д'(у} -y = f [р(у)].
которую можно разрешить относительно у, поскольку для гладкой заме-
ны якобиан
det д' (у) = I?1’’'	£ 0, у е П.
а{у\, • • • ,уп)
254 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Теперь посмотрим, как связаны первые интегралы систем (1) и (2).
Теорема 2. Непрерывно дифференцируемая в области П функция и(х)
является первым интегралом системы (1) тогда и только тогда, когда
функция У (у) = и[у(у)] — первый интеграл системы (2) в области П.
О Достаточно установить, что при гладкой обратимой замене х = д(у)
производная в силу системы инвариантна, т. е. и(х) — v(y) при х = д(у),
поскольку тогда из теоремы 1 получаем, что й(х) — 0 в том и только
том случае, когда й(у) — 0. Пусть [р'(у)]Т—транспонированная матрица
к матрице Якоби. При гладкой замене х = д(у) находим, что
й(у) = (gradu(y),.ft(y)) =
= ([У(?/)]Т • grad u [y(y)J, [у'(у)]-1 -f [y(y)]} =
= (grad u [у (у )],[$'(у)] • [У (у)]"1 • f [р(у)]} =
= (grad и(х),У(т)) = й(х).	•
Заметим теперь, что если существует какой-либо нетривиальный пер-
вый интеграл и(х) системы (1), а Ф(() — произвольная непрерывно диф-
ференцируемая функция, для которых имеет смысл композиция Ф [и(т)],
то v(x) — Ф [ti(x)J также является нетривиальным первым интегралом си-
стемы (1), поскольку для каждой траектории х =	! G I системы
(1) получаем:
v [<?(£)] = Ф [и {<?(«)}] = Ф[с] = ci, Vt е Z.
Итак, в общем случае для системы (1) существует бесконечное мно-
жество нетривиальных первых интегралов. Поэтому возникает вопрос о
выделении так называемых независимых первых интегралов (1), с помо-
щью которых можно описать все множество первых интегралов (1).
Определение. Первые интегралы иДх),... ,uk(x), 1 < к < п, автоном-
ной системы (1), определенные в некоторой окрестности а € П, называ-
ются независимыми в точке а € П, если ранг матрицы Якоби и'(а) =
|| К1 * =	7 ~ 1>н, Равеи к-
Например, первые интегралы (1) ui(z) = const, иг(х),... ,Uk(x) пе
являются независимыми в любой точке a G Q. В то же время Ui(a;) =
xi,... ,un_i(a:) = a:n-i являются независимыми первыми интегралами в
каждой точке пространства для автономной системы
ii = 0, i = 1,п — 1,
in — 1 
§ 5. Первые интегралы 255
Следующая теорема дает достаточные условия существования (п — 1)
независимых первых интегралов и описывает структуру любого первого
интеграла автономной системы (1).
Теорема 3. Пусть точка а 6 П не является положением равновесия ав-
тономной системы (1). Тогда в некоторой окрестности ПЛ С П точ-
ки а существуют (п — 1) независимые в точке а первые интегралы
щ(х),... ,un_i(x) системы (1). Кроме того, если и(х) — какой-либо пер-
вый интеграл (1) в окрестности Qa, то найдется такая непрерывно диф-
ференцируемая функция F(£i,... ,Cn-i), '«no u(x) = F [ui(x),... ,tin-i(x)],
Vx 6 Qa.
О Так как a g G — не положение равновесия (1), то по теореме о вы-
прямлении траекторий для системы (1) найдутся окрестность ПЛ точки
а и гладкая обратимая замена переменных в ней ,т = д(у) такие, что
система (1) примет вид
*=°’ г = 1,п —1,	(3)
Уп = 1.
Поскольку при такой замене траектории системы (3) задаются уравне-
ниями у, = d, i — 1,п — 1, уп = t, то, очевидно, функции vi(p) =
j/i,... ,vn-i(y) = Уп-i —независимые первые интегралы новой системы
(3). По теореме 2 функции щ(х) = д^1 (х),... ,un_i(:r) = p“2i(z) — первые
интегралы (1) в окрестности Па. Здесь у = д~х (ж) —обратная к х = д(у)
замена переменных с координатами у\ = gf ^х),... ,уп — д~1(х). Посколь-
ку якобиан
det [р-1^)]' = 1 : det д'(а) # О,
то ui(x),... ,tin_i(x) — независимые в точке а первые интегралы (1). Вся-
кий первый интеграл системы (3), очевидно, имеет вид
v(y) = F(yx,... ,yn--i) = F[vi(y),... , vn-l(l/)],
где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция рг- G R,
г — 1,п— 1. Тогда в силу теоремы 2 при х — д{у)
u(x) = u[р(у)] = и(у) =i;[p“1(x)] = F [pf‘(ж),... ,p"2j(i)] =
- F[ui(x),... ,un_i(x)]
общий вид первого интеграла (1) в окрестности	•
Замечание. Ясно, что построенная в теореме 3 система независимых
первых интегралов не является единственной для (1). Тэорема 3 носит
существенно локальный характер в том смысле, что существование неза-
висимых первых интегралов и функции F теорема гарантирует лишь в
некоторой окрестности точки в g (1. Даже если любая точка Q не являет-
ся положением равновесия (1), то в некоторой окрестности каждой точки
256 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
существует своя функция F и единой функции F может не быть для
всей области П.
Приведем примеры, показывающие, что в окрестности положения рав-
новесия независимые первые интегралы системы (1) могут как существо-
вать, так и не существовать.
Пример 2. Рассмотрим при п = 2 линейную однородную систему
i(t) = Ax(t), t € Л},
где числовая квадратная матрица А такова, что начало координат
является либо узлом, либо фокусом. Покажем, что в окрестности
начала координат в этом случае не существует независимый в пу-
ле первый интеграл и(х) автономной системы. Действительно, пусть
и(х) — любой первый интеграл системы и траектория х — <p(t, xq)
проходит через точку х0 из окрестности нуля. Так как всякая тра-
ектория <p(t,Xo) —> 0 при t —» +оо или при t —> —оо, то в силу
непрерывности w(x) = u(0), т.е. независимого в нуле первого инте-
грала не существует.
Из этого примера также ясно, что даже для автономных линей-
ных систем на плоскости нельзя всегда гарантировать существование
независимых первых интегралов глобально на всей плоскости.
Пример 3. Рассмотрим уравнения Гамильтона, описывающие движение
механической системы с S степенями свободы в фазовом простран-
стве R™py.
дн{ч,Р)	dH(q,P)	—=
4i-—н------’ р*  -----я----> г = 1>5>
др,	dqi
где H(q,p) — непрерывно дифференцируемая функция Гамильтона.
Так как производная в силу автономной системы
 . . А \дН дН дН / дН\] п
Н(д,р) = У	+	= °-
dPi dpi X дчиД
то гамильтониан H{q,p) является первым интегралом уравнений Га-
мильтона независимо от того, имеются или не имеются у них по-
ложения равновесия.
О применении первых интегралов (1) для построения глобально-
го фазового портрета (1) уже была речь ранее. Теперь о другом
важном применении первых интегралов (1). Оказывается, что если
известны к независимых первых интегралов системы (1), то порядок
автономной системы (1) можно понизить на к единиц.
Теорема 4. Если система (1) имеет независимые в точке а € П первые
интегралы ui(x),... ,Uk(x), то в некоторой окрестности Па С О точки а
порядок системы (1) можно понизить на к единиц.
§5. Первые интегралы
257
О Без ограничения общности можно считать, что отличен от нуля минор
из первых к столбцов матрицы Якоби и'(а). В окрестности Па сделаем
замену переменных
щ = i = 1, fc,
yi=Xj, j-k+l,n.
Нетрудно проверить, что это гладкая обратимая замена переменных в
окрестности Qe, так как якобиан
5(У1,..	• >Уп)			-л п
5(Т1,..	• ,яп)	т=о 5(х1?..	• >Хк)	х=а
Поскольку
У* = щ(х), i = 1, Л,	_______
У> = = Л(®) = ^(у). 3 = к + 1,п,
и щ(х), i = l,fc, — первые интегралы (1) и, значит, щ(х) =0, i = 1, fc, то
после замены получаем систему вида
/у» = 0, » = l,fc,
{Уз = j = k + l,n.
Первые к уравнений системы дают решения yt = a, i — 1, к. Для пере-
менных yfc+i,... ,1/п остается система порядка (п — к) вида
Уз• =	,ск, уь+1,- - ,Уп)> 3 =к + 1,п.	•
В частности, в случае к = п — 1 после замены переменных получаем
У< = Ci> £ = 1,п — 1, уп - Fn(ci,... ,Cn-i, уп).
Поскольку последнее уравнение интегрируется в квадратурах, то и ис-
ходная система (1) в случае к = п — 1 интегрируется в квадратурах.
Заметим, что Fn(y) / 0 в окрестности образа точки а, так как если бы
Fn(j/) = 01 т0 соответствующая точка а была бы положением равновесия
(1), что противоречит условию /(а) / 0.
В классической механике первые интегралы уравнений движения ме-
ханических систем обычно называют интегралами (или константами) дви-
жения этих систем. Из определения первого интеграла следует, что ин-
тегралы движения всегда представляют собой некоторые законы сохра-
нения. Например, для уравнений Гамильтона в примере 3 было устано-
влено, что гамильтониан H(q,p) является первым интегралом. С другой
стороны, из курса механики известно, что H(q,p) — это полная энергия
механической системы, т. е. Н =T+U, где Т— кинетическая и U — потен-
циальная энергия. Таким образом, тот факт, что H(q,p) — первый инте-
грал, означает справедливость закона сохранения энергии механической
системы с заданным гамильтонианом H(q,p) и поэтому функцию H(q,p)
называют интегралом энергии.
9 2769
258 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Основным методом решения автономных систем (1) является метод,
основанный на нахождении независимых первых интегралов (1). Этот
метод называют еще методом интегрируемых комбинаций, поскольку пер-
вые интегралы (1) на основании теоремы 1 ищут с помощью составле-
ния такой комбинации уравнений системы (1), чтобы левая часть ком-
бинации давала производную некоторой функции в силу системы (1), а
правая часть комбинации равнялась бы нулю. На практике для нахо-
ждения первых интегралов (1) иногда целесообразно исключить dt из
системы (1) и рассмотреть так называемую систему дифференциальных
уравнений в симметричной форме
dx\ __ dx2 ___	_ dxn	...
в которую переменные Xi,... , хп входят равноправно.
Разумеется, запись системы (1) в форме (4) допустима в той части
области П, где fi(x) f2(x)--fn(x) /0. Для нахождения интегральных
кривых системы (4) иногда используют следующее свойство равных дро-
бей. Если имеются равные дроби
Д1 _ «2 _	_ On
bi Ьг	Ьп'
и произвольные числа Ai,... , Ап такие, что Ai&i + •—F Anbn / 0, то
«1 _ «2 _	_ °n _	4- А202 + • • • 4- Хпап
bi Ьг bn A]bi + Ajb2 + • •  + Anbn
Если выбрать направление движения, то интегральные кривые системы
(4) совпадают с траекториями автономной системы (1), поскольку как
кривые интегральные кривые (4) и траектории (1) совпадают.
Пример 4. Найти независимые первые интегралы автономной системы
X = X + Z,
< у = у + Z,
Z = X + у,
если у + z > 0, z + х > 0, х + у > 0, у — х > 0, z — х > 0.
Л Рассмотрим систему в симметричной форме
dx dy dz
х + z у + z x + y'
По свойству равных дробей отсюда
dx — dz _ dy — dz
z — у z — x '
что дает (z - у)2 — (z — x)2 = с. Следовательно',
«1 (z, У, «) = (s - 3/)(2z ~x~y)
§ 5. Первые интегралы
259
— первый интеграл системы. Аналогично, рассмотрев
dx + dy + dz _ dx — dy
2(x + y + z) x-y '
получаем еще один первый интеграл системы
. x + y + z
Нетрудно убедиться, что щ(х,у,г), и?(х,у,z) — независимые первые
интегралы в каждой точке рассматриваемой области.	А
Замечание. Первым интегралом автономного уравнения порядка п
xj"^ = f{x, х‘, х",... , а/л-1))
называется первый интеграл автономной системы
х = xj,
±1 = хъ,
< ........................
Хп—2 = Я-п—1 >
.in-i = /(я.жьхг, • • • ,£п-1)-
Для произвольной нормальной системы дифференциальных уравнений
х = f(t, х)
также можно ввести понятие первых интегралов и изучить их свойства.
Еще одно важное применение первые интегралы нормальных систем
дифференциальных уравнений имеют при решении уравнений с частны-
ми производными первого порядка, о чем речь будет идти в следующей
главе.
Упражнения к главе 7
1.	Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать
фазовые траектории линеаризованных систем:
. Jx = e-4sz — 1,	. fx = x — у2,
(у = 1 = 2у - х2,	|у = arctg(l - у2).
2.	Начертить траектории во всей фазовой плоскости для уравнения
х + х — х3 = 0.
3.	Исследовать поведение фазовых траекторий при различных значениях
параметра д для системы
|х = дх - у - х(х2 + у2),
[у = х + ду-у(х2+у2).
260 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
4.	При каких значениях параметра а начало координат является для
системы
х — —х + ay,
У = х-у,
асимптотически устойчивым положением равновесия?
5.	При каких значениях параметров а и Ь начало координат является
для системы
х = ах + by,
у = Ьх + ау,
устойчивым по Ляпунову положением равновесия?
6.	Для системы
х = х(х + у + x2z),
< у = X3Z,
z = — г(3ж + 2р + 2t2z),
а) проверить, что функция и — у + x2z является первым интегралом,
б) найти решение при начальных условиях т(0) — j/(0) = 1, z(0) = — 1,
в) найти все первые интегралы.
==================== Глава 8 .-	.
Дифференциальные уравнения
в частных производных
первого порядка
Введение
До сих пор рассматривались дифференциальные уравнения относитель-
но неизвестных скалярной функции или вектор-функции, зависящих от
одной независимой переменной.
В настоящей главе будут рассматриваться дифференциальные уравне-
ния вида
/	ди	ди \	, .
F	... — 1=0,	(1)
\	ОХ\	охп/
где п > 2, F{x],... ,xn,u,pi,... ,рп) — заданная действительная непрерыв-
но дифференцируемая функция в некоторой области G(2n + 1)-мерного
пространства с декартовыми прямоугольными координатами xi,...,xn,
u,pi,...,pn и в каждой точке G
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением в частных
производных первого порядка относительно неизвестной функции и =
u(ii,... ,хп).
Определение. Функция и — ip(xi,... ,хп), заданная в области П про-
странства	называется решением уравнения (1), если:
1)	ip{x\,... ,хп) — непрерывно дифференцируемая функция в Q,
2)	для всех точек , тп) € П точка (ап,... , хп, <р,	... .	€ G,
3)	F(.Ti,... ,хп,у>(хи...	,5^-) =0, V(xi,... ,хл) € П.
Решение уравнения (1) в (п + 1)-мерном пространстве 1п за-
дает некоторую гладкую поверхность размерности п (гиперповерхность),
которая называется интегральной поверхностью уравнения (1).
10 ’769
262
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Многие физические явления описываются уравнениями в частных про-
изводных первого порядка. Например, в газовой динамике и динамике
сжимаемой жидкости важную роль играет уравнение Хопфа
ди ди
л? +	~ °’
dt дх
где неизвестная функция и = u{t,x). В оптике изучается уравнение
/л..\2	/Л..\2
описывающее распространение световых лучей в неоднородной среде с
показателем преломления n(x,y,z).
Уравнение (1) называется линейным, если неизвестная функция
w(xi,... ,хл) и все ее частные производные входят линейно в уравнение
(1). Общий вид линейного уравнения в частных производных первого
порядка следующий:
,тп)—,хл}и =	,хп).
Уравнение вида
V	- /	, ди „
называется линейным однородным уравнением в частных производных
первого порядка.
Если же только частные производные функции u(xi,...,xn) входят
линейно в уравнение (1), то уравнение (1) называется квазилинейным.
Общий вид квазилинейного уравнения в частных производных первого
порядка следующий:
п
^а/ть... ,хп,и)
>=1
ди
dxj
b(xi,... ,хл,и).
Уравнение (1), не являющееся квазилинейным, называется нелинейным
уравнением в частных производных первого порядка.
Известно, что для обыкновенного дифференциального уравнения пер-
вого порядка
У1	= /(*»У)
его решение у = у(х,с) зависит в общем случае от одного параметра
(произвольной постоянной) с. Если взять простейший пример уравнения
в частных производных первого порядка
ди(х,у) =
дх
§ 1. Линейные однородные уравнения 263
то его решением будет и = х + <р(у), где <р(у) — произвольная функция
у. В общем случае, как будет видно в дальнейшем, решение уравне-
ния (1) зависит от одной произвольной непрерывно дифференцируемой
функции, число аргументов которой равно (п — 1). В дальнейшем будет
показано, что решение уравнения (1) можно найти с помощью методов
теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Линейные однородные уравнения
Пусть д = (д1,... ,хп) принадлежит Q —некоторой области пространства
7?”, п > 2. В области П рассмотрим линейное однородное уравнение в
частных производных первого порядка
ди(х) л	...
7=1	J
где д7- (д) — заданные непрерывно дифференцируемые в Q функции,
j — 1,п, для которых
д^(д) / 0, Уд € П.	(2)
7=1
Если ввести вектор-функцию а(х) с компонентами аДд),... ,ап(а:), то
уравнение (1) сокращенно можно записать с помощью скалярного про-
изведения в следующем виде:
(a(x),gradu(«)) = 0.	(3)
Определение. Автономная система
i(t) = а(х)	(4)
называется характеристической системой уравнения (1), а траектории си-
стемы (4) называются характеристиками уравнения (1).
Условие (2) означает, что область П не содержит положений равнове-
сия характеристической системы (4).
Теорема 1. В некоторой окрестности каждой точки b 6 П все решения
уравнения (1) имеют вид
и(х) = F [г*1 (д),.... Un-i (д)],
где Uj(x), j = l,n — 1, — независимые в точке b первые интегралы харак-
теристической системы (4), a F(£i,... ,— произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
О По теореме 1 § 5 главы 7 все решения уравнения (1) являются пер-
выми интегралами характеристической системы (4), так как уравнение
264	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
(1) равносильно тому, что производная в силу системы (4) й(х) = О
в области Q. При условии (2) из теоремы 3 § 5 главы 7 в некоторой
окрестности V С П точки b 6 Q существуют (п — 1) независимых в точ-
ке Ь первые интегралы uj(a;),... ,un-i(2:) системы (4) и любой первый
интеграл (4) имеет вид
и{х) = F[ui(a:),... ,ип_1(т)],
где	,£п-1) — произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция.	9
Определение. Функция и — F[щ(ж),... ,un_i(a:)], где Ffa,...
произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов,
называется общим решением уравнения (1) в окрестности V точки b 6 Q.
Отметим еще раз, что теорема 1 утверждает существование лишь ло-
кального общего решения уравнения (1) в каждой точке Ь области Q,
т.е. лишь в некоторой окрестности каждой точки b € П. Таким обра-
зом, общее решение (1) зависит от произвольной функции, в то время
как для обыкновенного дифференциального уравнения у' = f(x,y) общее
решение зависит от произвольной постоянной.
Из доказанной теоремы 1 следует, что характеристики являются ли-
ниями уровня интегральной поверхности уравнения (1).
Замечание. Решение уравнения вида
(a(x),gradu(x)) = h(x)	(5)
с заданной непрерывно дифференцируемой в области П правой частью
h(x) сводится к решению линейного однородного уравнения (3) с помо-
щью замены и(х) = v(x) 4- ио(д), если угадать частное решение uq{x)
заданного уравнения (5).
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для вы-
деления конкретного решения уравнения (1) необходимо задавать допол-
нительные условия. Чаще всего такими условиями являются начальные
условия.
Пусть уравнение
= О
задает в области Q гладкую (п—1)-мерную поверхность (т.е. гиперповерх-
ность) 7 (д(х) — непрерывно дифференцируема и grad <?(.?) / О, Vx € Г2).
Эта поверхность 7 называется начальной поверхностью. Пусть, кроме то-
го, на поверхности 7 задана некоторая непрерывно дифференцируемая
функция <р(х).
Зададим начальное условие
“WLei =	(6)
Функция <р(х) называется начальным значением и(х).
§ 1. Линейные однородные уравнения
265
Задача Коши для уравнения (1). Найти такое решение уравнения (1),
которое удовлетворяет начальному условию (6).
При п — 2 задача Коши (1), (6) имеет наглядный геометрический
смысл. Уравнение g(xi,X2) = 0 задает в плоской области Q гладкую кри-
вую 7, а начальное условие (6) в пространстве A^1I2(U определяет про-
странственную гладкую кривую Г. Поэтому при п = 2 задача Коши (1),
(5) геометрически означает нахождение интегральной поверхности урав-
нения (1), проходящей через заданную кривую Г (см. рис. 1)
В отличие от задачи Коши для обыкновенного линейного дифферен-
циального уравнения первого порядка на [or,/3]
у' + а{х)у = f(x)
с непрерывными а(х) и f(x) на [а,/?], для которого задача Коши од-
нозначно разрешима при начальном условии у(хо') = уо в любой точке
xq € [а,/3], решение задачи Коши (1), (6) существует и единственно не
при любой гладкой начальной поверхности 7. Другое принципиальное от-
личие задачи Коши (1), (6) от задачи Коши для обыкновенных линей-
ных дифференциальных уравнений в том, что ее разрешимость носит
существенно локальный характер.
Определение. Всякая точка Mq € 7, для которой
д(М0) = (a(M0},gtadg(M0)) = О,
называется характеристической точкой уравнения (1).
Тот факт, что Мд Еу является характеристической точкой (1), геоме-
трически означает, что вектор а(Мо) касается поверхности 7 в точке Mq
или, что то же самое, касается характеристик (1) в точке Mq. В част-
ности, положения равновесия характеристической системы (4) и особые
точки поверхности 7 являются характеристическим точками уравнения
266	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
(1)	. Если при п ~ 2 кривая 7 является характеристикой (1), то каждая
точка 7 является характеристической точкой (1).
Теорема 2. Если Mq € 7 не является характеристической точкой урав-
нения (1), то в некоторой окрестности V С Q точки Mq решение задачи
Коши (1), (6) существует и единственно.
О Так как а(Мо) / 0, то в некоторой окрестности V точки Мо существу-
ют (п — 1) независимые в точке Mq первые интегралы Ui(x), J = l,n—1,
характеристической системы (4). По теореме 1 в окрестности V общее
решение (1) имеет вид
и(х) = F [ui(x),... ,ип_1(т)],
где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Покажем,
что начальное условие (6) однозначно определяет вид функции F. С этой
целью в окрестности V рассмотрим систему уравнений
(ui(x) = иг, I = 1,п- 1,
(<?(*) = 0.	U
Покажем, что систему (7) можно однозначно разрешить относительно
x = (xi,... ,хп) в окрестности V. Проверим для системы (7) выполнение
условий теоремы о системе неявных функций.
Все функции в системе (7) непрерывно дифференцируемы в окрест-
ности V. Осталось показать, что якобиан
,un-i,g)
9(xi,... ,хп)
#0.
м0
Рассуждаем от противного. Пусть якобиан равен нулю. Так как пер-
вые (п — 1) строк якобиана линейно независимы, то в таком случае по-
следняя его строка линейно зависит от его первых (п — 1) строк. Следо-
вательно, найдутся числа с;, Z — l,n— 1, одновременно не равные нулю,
такие, что
дд(М0)	Эи((Л/0)
Поэтому
•/>z \	/ил	v’1	dui(Mo)
д(М0) = 2^Qj(M0)	= ^аДМ0)^с,—аТ------=
j=i	0X3 j=i	(=1	0X3
,.4 x о
= > .	, ciuiM) = 0
1=1	7=1	0X3	1=1
в силу того, что u/(x), I = l,n—l—первые интегралы (4).
§ 1. Линейные однородные уравнения
267
С другой стороны, д(Ма) / 0, так как по условию теоремы Мо 6 7
не является характеристической точкой (1). Противоречие. Поэтому в
окрестности V выполнены все условия теоремы о системе неявных функ-
ций и система уравнений (7) допускает в окрестности V единственное
непрерывно дифференцируемое решение х = о)(и1,... , un_i).
Для всех х g 7 П V функция
tp{x) = 9?[w(«i,... .Un-l)] = Ф(П1,... , un-1)
является известной непрерывно дифференцируемой функцией uj,... ,
un_i. По построению отсюда следует, что
u(i) =	.Un-^a:)]
является искомым единственным решением задачи Коши (1), (5) в
окрестности V, так как и(г) — первый интеграл (4) и удовлетворяет на-
чальному условию (6).	•
Пример 1. При х > 0 найти общее решение уравнения
ди . о . ди , ?	, ди
х^- + (х2 + z) — + (х2 + у) = О
дх	ду	дг
и решить задачу Коши при начальном условии
u|x=i - У2 ~ г2.
А Характеристическая система для заданного уравнения
X = X,
< у = X2 + 2,
Z = X2 + у,
при х > 0 имеет два независимых в каждой точке первых инте-
грала. Найдем их. Возьмем первое уравнение системы и уравнение,
полученное вычитанием из второго уравнения третьего уравнения:
{X — X,
у ~ z = г - у.
Перемножая крест-накрест эти уравнения и отбрасывая dt, получаем
уравнение вида
(2 — y)dx = xd(y — z).
Это уравнение дает решения
x(z - У) = ci
и, следовательно, функция
ui(a:,t/,2) =x(z-y)
268
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
является первым интегралом. Еще один первый интеграл найдем,
если возьмем первые два уравнения характеристической системы,
где z = у + £*•. Имеем
х = х,
у = у + х2 + %.
Перемножив крест-накрест эти два уравнения и отбрасывая dt, по-
лучаем линейное уравнение первого порядка относительно у:
xdy = (у + х2 + — j dx.
\	х /
Его решения задаются формулой
о
у = съх + х* - —.
IX
Подставляя вместо ci выражение t(z —у), находим отсюда еще один
первый интеграл характеристической системы
у + z - 2т2
W2(x,y,«) = ----—----
Нетрудно проверить по определению, что щ(х,у, z), U2(х,у, z) — не-
зависимые первые интегралы в каждой точке при х > 0. Следова-
тельно, общее решение заданного уравнения в окрестности каждой
точки полупространства х > 0 имеет вид
и(х,у, z) = F
x(z-y),
у + z — 2х2
2х
где F(Ci, Сг) ~ произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция. Для решения задачи Коши составляем систему уравнений
{x(z-y) - U1,
u+z-ix1
2х = ц2,
X = 1,
и выражаем начальное значение (у2 — г2) через гц, и?. Из этой си-
стемы находим, что
г2 - у2 = 2И1(иг + 1)-
Следовательно, решением задачи Коши будет
u(x,y,z) = (у - z)(y + z + 2х - 2т2).
Следующий пример показывает, что при невыполнении условий теоре-
мы 2 решение задачи Коши (1), (6) может не существовать или быть
не единственным.
§ 1. Линейные однородные уравнения
269
Пример 2. Решить задачу Коши
ди ди
^ + ^ = °, u(x,y)|y=I = <p(x).
Д Характеристическая система
i - у - 1
дает первый интеграл иЦх, у) = х — у и, следовательно,
и(х,у) = f{x- у),
где F(£)—произвольная непрерывно дифференцируемая функция,
есть общее решение заданного уравнения.
Так как у = х — характеристика, то условия теоремы 2 не выпол-
няются. Из начального условия находим, что F(0) = <р(т). Следова-
тельно, при <р(х) — const множество решений задачи Коши задается
функцией и(х, у) = Е(х — у), где F(0) = const, т.е. решение существу-
ет, но не единственно. Если же <р(т) const, то нет решений задачи
Коши.	А
Заметим также, что если задать начальное условие не на характе-
ристике, например, взяв и(х,у) = tp(x) при у — |, где функция ip(x)
является только непрерывной, то такая задача Коши не имеет решений,
поскольку решение задачи Коши задается функцией
и(х,у) = <р(2х - 2у),
которую нельзя дифференцировать.
Замечания.
1) Решение задачи Коши (5), (6) в окрестности нехарактеристической
точки Мо € 7 дается формулой
t
и(^(£,х)] = <р(х) + у h [^>(т, a;)] dr,
о
где	то решение характеристической системы (4), которое удо-
влетворяет начальному условию
^»(0, х) = х 6 7.
Эта формула получается заменой переменных вида
Vj = Uj(x), j ~ l,n - 1, уп = хл,
где Uj(x), j = l,n—1, независимые первые интегралы системы (4), в
окрестности Мо 6 7-
2) Для задачи Коши (1), (6) можно ввести понятие .корректности за-
дачи Коши аналогично тому, как это делается для задачи Коши для
нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При
270	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
условиях теоремы 2 можно установить, что задача Коши (1), (6) явля-
ется корректной. В частности, решение задачи Коши (1), (6) непрерывно
зависит от начальных данных. Если же рассматривать уравнение (1) с
комплекснозначными коэффициентами а7(х), j = 1,п, то непрерывной за-
висимости решения задачи Коши (1), (6) от начальных данных может
уже и не быть. В этом можно убедиться на следующем примере.
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши
ди ,ди	.	1
— ч-г—= 0, и (=0 - -е ,
at ох	п
где n € N, г —мнимая единица.
Нетрудно убедиться, что единственным решением этой задачи
является
un(M) = —einxent.
п
Следовательно, при п —> оо |un(a?, i)| —> оо при t 0, несмотря на
то, что |un(x,0)| —> 0.
Начальное условие (6) не является единственно возможным усло-
вием, определяющим конкретное решение уравнения (1). Как и для
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравне-
ния (1) можно задавать граничные условия и изучать соответству-
ющие граничные задачи. Решение таких задач уже не опирается на
формулу общего решения (1) и исследуется другими методами. При-
ведем пример.
Пример 4. Найти решение уравнения
ди ди
x- + a-£-=0, a 0 0, яе(-7г,тг), у €(0,1),
их оу
удовлетворяющее условиям
где ipx — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция
на [—тг, тг], для которой
<Р(-7Г) = <Р(7Г),	<Д'(-7Г) = <р'(7г).
Д В отличие от предыдущего в этом примере удобно считать
и(т, у) — комплекснозначной функцией. Из условий на ф(т) следует,
что ее ряд Фурье
+ОО
Е <pneinx
П——СО
<Рп = У <р(х)е tnxdx,
— тг
п = 0, ±1, ±2,... ,
§ 2. Квазилинейные уравнения 271
и почленно продифференцированный ряд равномерно на [— эт,тг] схо-
дятся соответственно к <^(х) и <р'(х). Будем искать решение поста-
вленной задачи в виде
+оо
u(xty) = £2 ип(у}етх.
п=—оо
Формальная подстановка этого ряда в заданные уравнение и допол-
нительные условия дает, что
Wn(y) = <рпе~~^, п = 0, ±1, ±2,...
Используя свойства коэффициентов Фурье <рп функции <р(х), можно
установить, что сумма ряда
+оо
и(х,у) = £
п=—оо
9
является непрерывно дифференцируемой функцией и дает решение
рассматриваемой граничной задачи.	А
§ 2. Квазилинейные уравнения
Пусть G — область пространства с прямоугольными декартовыми
координатами х — (а?],... ,хп), и, где п > 2. В области G рассмотрим
квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка
= 6(я,и),	(1)
j=i	1
где a-j(x,и), j = 1,п, Ь(х,и) —заданные непрерывно дифференцируемые
функции в области G, для которых
(я,«) / 0, V(z, и) 6 G.	(2)
j=i
Если ввести вектор-функцию а(х,и) с компонентами ai(x,u),... ,ап(х,и),
то с помощью скалярного произведения уравнение (1) сокращенно запи-
сывается так:
(a(T,u),gradu(a:)) = b(x,u).	(3)
Определение. Автономная система
(x(t) =a(x,u),
1 ii(t) — b(x,u),
272	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
называется характеристической системой уравнения (1), а траектории си-
стемы (4) называются характеристиками уравнения (1).
Условие (2) означает, что область G не содержит положений равнове-
сия системы (4). Кроме того, в области G выполнены условия теоремы
существования и единственности решения задачи Коши для системы (4).
На примере уравнения (1) с двумя независимыми переменными ука-
жем связь между характеристиками и интегральной поверхностью урав-
нения (1). Напомним, что интегральная поверхность уравнения (1)—это
график решения уравнения (1).
Рассмотрим уравнение
a(z,y,u)^ +6(x,t/,u)^ = с(х,у,и),
(5)
где а(х,у,и), Ъ(х,у,и), с(х, у, и) —заданные непрерывно дифференцируе-
мые функции ft некоторой области G с Я? „ . В каждой точке М е G
уравнение (5) задает векторное поле l(M) = (a(Af),&(M),c(M)). Пусть
интегральная поверхность уравнения (5) задается уравнением и — и(х, у}.
Если точка М лежит на интегральной поверхности, то вектор п(Л/) =
~1). направлен по нормали к поверхности в точке М. Век-
торы 1(М) и п(М) ортогональны, так как уравнение (5) означает, что
(/(М),п(М)) =0, VM6G.
Таким образом, вектор 1(М) лежит в касательной плоскости в точ-
ке М интегральной поверхности уравнения (5). Очевидно, что верно и
обратное утверждение. Если непрерывно дифференцируемая поверхность
и = и(х,у) в каждой своей точке М касается вектора то эта по-
верхность является интегральной для уравнения (5).
Следовательно, и характеристика, и интегральная поверхность, прохо-
дящие через точку М, касаются вектора 1(М). Геометрически это значит,
что всякая интегральная поверхность уравнения (5) «соткана» из харак-
теристик уравнения (5). Более точно справедливо следующее утвержде-
ние. Пусть Q —некоторая область плоскости
Теорема 1. Всякая непрерывно дифференцируемая поверхность и =
и(х,у), где (х,у) € И, (х,у,и) € G, является интегральной поверхностью
уравнения (5) тогда и только тогда, когда она образована характеристи-
ками уравнения (5).
О Необходимость. Пусть и = и(х, у) — интегральная поверхность (5). Если
М — произвольная точка этой поверхности, то обозначим через М' ее
проекцию на плоскость (х,у).
§ 2. Квазилинейные уравнения
273
Рассмотрим систему уравнений
jx(t) = а[х,у,и(х,у)],
= b[s,y,u(a:,j/)],
и ее решение (x(t),y(i)), проходящее через точку М'. Если положить
•u(t) = и [x(i), y(t)],
то кривая 7: х = ®(t), у = y(t), и = u(t), по определению, лежит на ин-
тегральной поверхности. Покажем, что кривая 7 — характеристика урав-
нения (5).
В самом деле, первые два уравнения характеристической системы
для (5)
>	I x(t) — а(х,у,и),
< t/(i) = Ь(х,г/,и),	(6)
[w(t) = с(х,у,и),
удовлетворяются в силу определения x(t), y(t). Кроме того,
й(«) = х +	• У=	 b[x(i),y(t),u(t)] =
их оу ох	оу
= с [x(t), ?/(<), u(t)],
так как по условию и —решение (5).
Достаточность. Пусть непрерывно дифференцируемая поверхность и —
и(х,у) образована характеристиками уравнения (5). Покажем, что она
является интегральной поверхностью (5). В самом деле, пусть
T = x(t), у = y(t), u = u(t),
характеристика (5), проходящая через точку М заданной поверхности.
По условию она целиком лежит на поверхности, т.е.
u(t) = u[x(t),y(t)].
Отсюда имеем, что
. ди . ди .
Но тогда из системы (6) получаем, что
c[z(t),j/(t),u(t)] =	 a[x(t),y(t),u(t)] +	 b[x(t),y(t),u(t)].
ох	оу
В частности, последнее равенство имеет место в точке М, т.е. уравне-
ние (5) удовлетворяется в точке М. Поскольку точка М — произвольная
точка поверхности, то заданная поверхность является интегральной для
уравнения (5).	•
274	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Вернемся к общему уравнению (1). Его решение можно свести к ре-
шению следующего линейного однородного уравнения:
, dv . .dv Л
>=i	j
п
- 52 <Xj [х, 9?(х)]
>=1
Теорема 2. Пусть функция v — V(x,u) — решение уравнения (7) в некото-
рой подобласти Go С G и пусть У(х,и) = 0 в некоторой точке М Е Go
и	Тогда в некоторой окрестности проекции М' точки М на
пространство уравнение V (х, и) — 0 определяет решение и — <р(х) урав-
нения (1).
О По теореме о неявной функции уравнение V(x, и) = 0 определяет
в окрестности точки М единственную непрерывно дифференцируемую
функцию и — <р(т) такую, что в окрестности М1
vi,.vM]so. =	; =
OXj j ои
Тогда левая часть уравнения (1) в окрестности М' равна
dV [а:, <р(х)] / ЭУ [т, <р(х)]
dxj I du ’
а это в силу уравнения (7) есть Ь[х,у;(г)], т.е. уравнение (1) удовлетво-
рено.	*
Таким образом, из теоремы 2 вытекает следующий способ решения
уравнения (1). Находим из характеристической системы (4) независимые
в точке М € G первые интегралы (они существуют в силу (2)):
wi(t,u), ... ,vn(x,u).
Тогда решением уравнения (1) в некоторой окрестности М будет функ-
ция
v = F [щ (х, и),... , vn(x, и)],
где Е(Сь... ,Сп)— произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция и, следовательно, решения уравнения (1) определяются как неявные
функции из уравнения
F[vi(x,u),... ,цп(х,и)] = 0.	(8)
Выражение (8) называется общим интегралом уравнения (1).
Замечание. Формула (8) может не содержать всех решений (1). Имен-
но, не исключена возможность того, что могут быть такие решения (1),
для которых уравнение (7) удовлетворяется не тождественно по (ж, и),
а только при и = <р(х) тождественно по х. Такого рода решения (1)
§ 2. Квазилинейные уравнения	275
называются специальными решениями (1). Специальные решения (1)—
случай исключительный, и в дальнейшем они во внимание приниматься
не будут.
Пример 1. Найти решения уравнения
А ди
i=i J
где т — заданное число, х — (xi,... ,хп) # 0.
Характеристическая система
ij = Xj, j = 1,п, й — т,
имеет п независимых первых интегралов, которые при хп > 0 можно
записать в виде
Vj(x,u) = j = 1,п - 1, vn(x,u) =
Хп	Хп
Следовательно, решения заданного уравнения (9) определяются из
уравнения
р	Хп~1,	- о.
1 /»•	zptH /
У’Л'П	/
уравнение относительно последнего аргумента, полу-
и(т) =	.
Разрешив это
чаем, что
Это однородная функция степени т. Можно показать, что заданное
уравнение (9) не имеет специальных решений. Тем самым доказана
обратная теорема к теореме Эйлера об однородной функции: если
u(t!,... ,хп) —однородная функция степени т, т.е. при всех х 0
и при всех допустимых значениях параметра А
u(Xxi,... , Ххп) = Xmu(xi,... , хп),
то и(х) — решение уравнения (9).
Как известно, теорема Эйлера доказывается дифференцированием
тождества из определения однородной функции степени т. А
Как и в случае линейного однородного уравнения, для выделения
какого-либо частного решения квазилинейного уравнения (1) необходимо
задать дополнительные условия. Чаще всего такими условиями являют-
ся начальные условия. В области Q пространства Я" задается гладкая
(п—1)-мерная начальная поверхность 7 и в точках поверхности 7 задана
непрерывно дифференцируемая функция <р(х).
276
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Начальное условие для уравнения (1) имеет вид
= 4>(х)-	(10)
Задача Коши для уравнения (1). Найти такое решение уравнения (1),
которое удовлетворяет начальному условию (10).
Таким образом, задача Коши для (1) ставится в точности так же,
как и для линейного однородного уравнения. Условия разрешимости ее
также аналогичны условиям разрешимости задачи Коши для линейного
однородного уравнения. Решается задача Коши (1), (10) методом харак-
теристик (методом Коши).
Для простоты ограничимся задачей Коши для уравнения (5). Пусть
гладкая кривая 7 на плоскости R^x задается параметрическими урав-
нениями
х = х(т), у~у[т),
где т 6 Т — промежутку оси й]., и пусть
«(я,!/)|(г1У)€7 =ио(т), rd.	(11)
Кривая 7 называется начальной кривой. Предполагается, что на Т функ-
ции я(т), у(т), ио(т) — непрерывно дифференцируемы и (х'(т)]2+ [У(т)]2>О
для всех т G Т.
Начальное условие (11) задает гладкую кривую Г в пространстве
х,у, и:
Г: х = г(т), у = у(т), и — и0(т), т&1.
Решение задачи Коши (5), (11) задает интегральную поверхность
уравнения (5), проходящую через кривую Г. Пусть точка Мо(то,Уо) —
проекция на плоскость Я21у) точки М(хо,ув,ио) € Г.
Определение. Точка Мо(хо,Уо) 6 7> где tq = t(t0), уо — у^о), ио = “(т’о)1
называется характеристической точкой уравнения (5), если
d - а(.то,уо>«п)  «/(то) - &(то,уо,ио) -х(т0) = 0.
Тот факт, что Afo € 7 — характеристическая точка (5), геометрически
означает, что начальная кривая 7 касается проекций характеристик (5)
на плоскость Я2х>у) в точке Мо(хд,уо) € 7-
Теорема 3. Если точка Мо € 7 не является характеристической точкой
уравнения (5), то в некоторой окрестности точки Мо решение задачи Ко-
ши (5), (11) существует и единственно.
О Пусть M(a:oil/o>wo) € Г и пусть
х x(t, г), y-y(t,r), и - и(1,т),	(12)
§ 2. Квазилинейные уравнения	277
решение характеристической системы (6), удовлетворяющее начальным
условиям
z|t=o = т(т), p|t=o = у(т), u|t=0 = uo(r), т& I.
Это решение существует для < 5 при некотором <5 > 0. Уравнения
(12) определяют в пространстве {х,у,и) некоторую поверхность, обра-
зованную характеристиками и проходящую через кривую Г. Если пока-
зать, что эта поверхность является гладкой, то согласно теореме 1 она
будет интегральной и тем самым существование решения задачи Коши
(5), (11) будет доказано.
Все функции в (12) являются непрерывно дифференцируемыми при
|i| < <5 и т £ Т согласно теореме о непрерывной дифференцируемости
решения задачи Коши по начальным значениям для системы (6). По-
кажем, что в окрестности точки Mq(xo, уо) первые два уравнения (12)
можно однозначно разрешить относительно t,r. В самом деле, так как
в силу условия теоремы 3 якобиан
dtx у\
я,.' ч =d = а(хо,уо,ио)  у(т0) - Ь(хо,уо,ио)х(то) о,
o(t, т) t=o,
т=т0
то по теореме о системе неявных функций первые два уравнения (12)
можно в окрестности Мо(хо,уо) однозначно разрешить относительно t,r.
Пусть их решениями будут
t — t{x,y), т = т{х,у).
Полученные функции являются непрерывно дифференцируемыми в
окрестности Мо(хо,уо). Подставив их в третье уравнение (12), получим
непрерывно дифференцируемую в окрестности Мо(хо,уо) функцию
и = и[«(т,у),т(д:,г/)].
График этой функции по теореме 1 и является искомой интегральной
поверхностью (5), проходящей через кривую Г.
Полученное решение является единственным, поскольку, если суще-
ствует какая-либо другая интегральная поверхность (5), проходящая че-
рез кривую Г, то по теореме 1 она образована характеристиками. Но
через каждую точку Г проходит лишь одна характеристика. Поэтому
второе решение совпадает с уже построенным.	*
Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения
ди ди
Xdi-yd^=U'
проходящую через кривую, заданную уравнениями
х — т, у = т, и = т3, т € R*.
Д Первый метод решения.
278	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Характеристическая система
x(t) = х, y(t) = -у, u(t) = u,
при начальных условиях
я| t=o = т, = т, = А
имеет решение
♦	—/	ч f
х = те , у = те , и = т°е .
Это параметрическое решение задачи Коши. Отсюда находим явное
решение задачи Коши и = х2у.
Второй метод решения заданной задачи Коши основан на исполь-
зовании не траекторий (5), а первых интегралов характеристической
системы (6).
Нетрудно видеть, что функции
г»1 = ху, V2 — уи,
— независимые первые интегралы характеристической системы. То-
гда уравнение
F(xy,yu) — О,
где Р(С1,Сг) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция, дает общий интеграл исходного уравнения. Из начальных усло-
вий находим вид функции F таким образом, чтобы
F(vi,v2) = F(xy,yu) = F(t2,t4) =0, VreR}-
Отсюда F = v2 — V2 — x2y2 —yu = 0, т. e. и = x2y.	A
Замечание. Если кривая Г задана как пересечение двух гладких по-
верхностей
J $i(x,y,u) = О,
|Ф2(т,у, и) = О,
то вид функции F определяется исключением переменных х,у,и из си-
стемы уравнений
и) = 0, ^2{х,у,и) = 0, «1 (х, у, и} = vi, V2(x,y,u) = г»2,
где vi, V2 — независимые первые интегралы характеристической систе-
мы (6).
Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения примера 2, если и = 1
при х2 + у2 = 4.
Д Исключая х,у, и из системы
и=1, х2 + у2 = 4, ху = v\, уи = V2,
§ 2. Квазилинейные уравнения
279
получаем гл! +	~ 4v2. Таким образом, решение задачи Коши за-
дается уравнением
yiui 4- т2у2 = 4t/2u2.	А
Замечание. Если условие теоремы 3 не выполнено, то решение задачи
Коши (5), (11) может либо не существовать, либо быть не единственным.
В частности, если кривая Г является характеристикой уравнения (5), то
задача Коши имеет бесконечно много решений.
Пример 4. Решить уравнение
ди ди
di + udi ~1
при начальном условии: а) х = т, у = |т2, и - т, б) х — 2т, у = т2,
и = т.
Д Характеристическая система
i(t) = 1, y(t) = и, u(t) = 1,
имеет независимые первые интегралы иу = х — и, г»2 ~ у — ^и2. Сле-
довательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
F [ х — и, у — т-u2 | = О,
\ v 2 )
где F(£i,£2) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция.
В случае а) вид функции F определяется исключением х,у,и из
системы уравнений
х — и = t>i,
1 2	1 2
У -	= «2, х = и, у= -и .
At	Л»
Отсюда получаем t>] = г»2 = 0, т. е. F(0,0) = 0.
„ ( 1 „
F I х — и, у — -и 1=0,
Итак, любая функция
для которой Е(0,0) = 0, определяет
случае. Заметим, что кривая
1 2
® = т, у = -т ,
является характеристикой уравнения,
бесконечно много решений задачи Коши.
В случае б) кривая Г, заданная уравнениями,
х = 2т, у = т2, и = т,
решение
Значит,
задачи Коши в этом
в этом случае имеем
и —
280
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
не является характеристикой. Решение характеристической системы
при начальных условиях
яф=о = 2т, y|t=o = т2, u|t=0 = т,
задается формулами
х = t + 2т, у — if2 + rt + т2, и — t + т.
Условие теоремы 3 не выполняется, так как
dt ’ дт dr'dt~
Исключая из предыдущих формул t и т, получаем, что
У) = £ ± Jy- у-
Z V 4
При у > ^- полученная функция и(х,у) не дает решения задачи
Коши в случае б), так как gj, неограничены при приближении
к кривой Г.	А
В заключение отметим существенность требования непрерывности про-
изводных для коэффициентов а(х,у,и), Ь(х,у,и), с(х,у,и) уравнения (5).
Например, решение уравнения
ди ди	.
при начальном условии и = 0 при х = 0, как нетрудно проверить, за-
дается формулой
и — х  f (х +у).
Если /(t) не имеет непрерывной производной, то задача Коши не имеет
решений.
В тех случаях, когда коэффициенты уравнения (1), начальная поверх-
ность 7 и начальная функция <р(х) в (10) не являются достаточно глад-
кими, приходится расширять понятие решения уравнения (1) и решения
задачи Коши (1), (10) и вводить так называемые обобщенные решения
уравнения (1) и обобщенные решения задачи Коши (1), (10). Подроб-
нее об обобщенных решениях линейных и квазилинейных уравнений и
обобщенных решениях задачи Коши для этих уравнений см. в [35].
Отметим также, что уравнение (1) с комплекснозначными коэффици-
ентами aj(x, и), j — 1,п, вообще может не иметь решений. Это показало
в [30] на примере, принадлежащего Г. Леви, следующего уравнения:
ди .ди ...	. . ди .
_+г__ + 2г{;С1+1;С2)__ = /(;Сз)1
где г —мнимая единица, /(хз) —действительная, бесконечно дифференци-
руемая функция.
§ 3. Нелинейные уравнения
281
§ 3. Нелинейные уравнения
В области G пятимерного пространства с прямоугольными декартовыми
координатами х, у, u, р, q рассмотрим уравнение
(	ди ди\
F х,у,и—, — = 0,	(1)
\	дх ду)
где F(x, у, u,p,q) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая
функция в области G, и в каждой точке G
/dF\2 (dF\2 Л
(	) > О-
\др ) \dq J
Решением уравнения (1) называется дважды непрерывно дифферен-
цируемая в некоторой области Я плоскости R2XV) функция и = и(х,у),
удовлетворяющая уравнению (1). График и = и(х,у) называется инте-
гральной поверхностью уравнения (1).
Изложим метод характеристик (метод Коши) решения нелинейного
уравнения (1). С этой целью введем понятие характеристической систе-
мы уравнений для уравнения (1).
Пусть и = и(х, у) — решение (1). Дифференцируя по х,у тождество
Г . ди(х,у) аи(т,у)1	.	.
F х,у,и(х,у),—,—------ =0, У(х,г/)еЯ,
ох ду
получаем
dF	др	dF	dq	dF	dF n
' я—' P +	~ O’
dp	dx	dq	dx	du	dx
dF	dp	dF	dq	dF	dF =
dp	dy*	dq	dy + du + dy
Поскольку в силу условий на и{х,у)
др _ dq _ d2u
dy dx dxdy ’
то полученные равенства можно записать в следующем виде:
dF dp dF др dF dF .
’ я—"я- ’ я—~я~ 'Р +	~ 0>
др	дх	dq	ду	ди	дх
dF	dq	dF	dq	dF	dF	n
~я~ ‘ л- ’ я—‘	~ 0-
dp	dx	dq	dy	du	dy
Рассмотрим систему уравнений
= i(() №
up	uq
... dF	dF	... dF	dF
pW = “ л—
dx	du	dy	ou
11 2769
282	Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Так как и связано с р и q уравнением
du = р dx + q dy,
то, используя (2), получаем еще одно уравнение
• м dF dF
u(t'}=p~+q—.	(3)
Систему уравнений (2), (3) можно рассматривать саму по себе, не зная
решения и — и(х,у) уравнения (1).
Определение. Автономная система уравнений (2), (3) называется ха-
рактеристической системой уравнения (1).
Заметим, что функция F(x,y,u,p, q) является первым интегралом этой
характеристической системы. В самом деле, производная функции в силу
системы (2), (3)
. . dF	, dF	. dF	. dF	. OF	. dF	dF	dF	dF
F(t) = "я- ’1	 у + -z— • u + -p +	• -r— + -r— 	+
dx dy du dp dq dx	dp	dy	dq
dF( &F dF\_dF_(dF^ dI^\_^L(dL
+ du V dp + 9 dq ) dp \dx du) dq \dy + 9 du ) ~
Следовательно, вдоль решения системы (2), (3) имеем
F(.r,p,u,p,g) = F{x0,y0,uo,p0,q0).
Выделим те из решений системы (2), (3), для которых первый интеграл
F(x,y,u,p, q) обращается в нуль.
Определение. Характеристической полосой уравнения (1) называется
система функций
x = i(t), y = ?/(t), u = u(t), p = p(tj, q = q(t'),	(4)
удовлетворяющая характеристической системе уравнений (2), (3) и урав-
нению F(x,y,u,p,q) = 0.
Заметим, что для того, чтобы решение системы (2), (3) было характе-
ристической полосой, достаточно потребовать, чтобы для начальных зна-
чений хо, уо, и0, р0, q0 этого решения при t = 0 F(x0,yo,uo,po,qo) = 0.
Первые три уравнения (4) определяют пространственные кривые, на-
зываемые характеристиками уравнения (1). Последние два уравнения из
(4) задают вдоль характеристики касательную плоскость
U - и - р(Х - х) + q(Y - у).
Поскольку F— дважды непрерывно дифференцируемая функция,
то характеристика однозначно определяется начальным элементом
§ 3. Нелинейные уравнения
283
(xo,yo,uo,po,qo)- В частности, если две интегральные поверхности урав-
нения (1) соприкасаются в некоторой точке, то они соприкасаются вдоль
всей характеристики, проходящей через эту точку.
Из предыдущих рассмотрений следует, что всякое дважды непрерыв-
но дифференцируемое решение (1) определяет поверхность, состоящую из
характеристических полос уравнения (1). Оказывается, что и, наоборот,
из характеристических полос уравнения (1) можно строить интегральные
поверхности уравнения (1). Таким образом, задача нахождения решения
нелинейного уравнения (1) может быть сведена к решению характери-
стической системы (2), (3).
Покажем, как методом Коши можно построить интегральную поверх-
ность уравнения (1) при заданном начальном условии, т.е. как решать
задачу Коши для уравнения (1).
Постановка задачи Коши для нелинейного уравнения (1) принципи-
ально отличается от постановки задачи Коши для линейных и квази-
линейных уравнений в частных производных первого порядка. Различие
здесь аналогично различию в постановке задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений у' = f(x,y) и F(x, у,у1) = 0: для уравне-
ния F(x,y,y') = 0 начальные данные хо,уо,у'о должны быть согласованы
с уравнением, т.е. /'’(то, Уо, Уо) = 0- Для нелинейного уравнения (1) ситу-
ация аналогичная: начальные значения неизвестной функции и(х,у) и ее
градиента должны быть согласованы с уравнением (1) и друг с другом.
Пусть на плоскости R(xy) задана начальная кривая
у: х = х0(т), у = у0(т),
где т € Т — некоторому промежутку оси Лх, функции xq(t), уо(т) — два-
жды непрерывно дифференцируемы и ig(r) +Уо(т) >0, Vt € I. Пусть,
кроме того, заданы дважды непрерывно дифференцируемые функции
ио{т), Ро(т), qolr), Ут е 2Г. Начальное условие для уравнения (1) име-
ет вид:
и(х, У)\(х,у)еу = «о(т)> т С	(5)
где функции Xq(t), Уо(т), Ро(т), qo(r), «о(т) таковы, что при Ут € Т
^[яо(т),уо(т),ио(г),ро(т),до(7-)] = 0,
йо(т-) = Ро(т)то(т-) + до(т-)у0(т).
Первое требование к начальному условию (5) согласует начальную по-
лосу хо(т), уо(т}, ио(т), ро(т), <7о(т) при всех т 6 Т с уравнением (1), а
второе требование к условию (5) означает, что функции начальной по-
лосы между собой связаны указанной зависимостью.
Задача Коши для уравнения (1). Найти решение уравнения (1), удо-
влетворяющее начальному условию (5).
284
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Геометрически начальное условие (5) задает гладкую пространствен-
ную кривую Г:
х = х0(т), у = уо(т), и = -ио(т-), т 6 Z,
для которой должны выполняться указанные в условии (5) два усло-
вия согласования. Решить задачу Коши (1), (5) геометрически означает
найти такую интегральную поверхность уравнения (1), которая проходит
через заданную кривую Г.
Приведем достаточные условия лекальной разрешимости задачи Коши
(1), (5). Задача Коши (1), (5) решается методом характеристик (методом
Коши). Рассмотрим точку М (®о(т0),у0(то),но(то)) в Г, то € I, и пусть
Мо(хо,?/о) €7 —проекция точки М на плоскость R^xyy
Определение. Точка Мо € 7 называется характеристической точкой
уравнения (1), если
d =
dF .
5— • 2/0 -
дро
dF . \
дд0 ' Х°)
= 0.
Т=То
Тот факт, что Мо € 7 является характеристической точкой уравнения
(1), геометрически означает, что проекция на плоскость R^xy-j характе-
ристической полосы уравнения (1) является касательной в точке Мо к
начальной кривой 7.
Теорема. Если точка Mq е 7 не. является характеристической точкой
уравнения (1), то в некоторой окрестности Mq решение задачи Коши (1),
(5) существует и единственно.
О Решение характеристической системы (2), (3), удовлетворяющее на-
чальным условиям
^|t=0 = X0(r), y|t=o = уо{т),
«|е=0 = w0(r), p|t=0 = ро(т), g|t=o = до(т-),
обозначим через
x = x(t,T), y = y(t,r),
u = u(t, т), p = p(t> г), q = q(t,r)-
В силу условий теоремы это решение существует, единственно и два-
жды непрерывно дифференцируемо при |t| < <5, где <5 > 0, и при всех
т € I. Отметим, что при этом используется то обстоятельство, что F,
хо(т), Уо(т)> ио(т}, ро(т), </о(т)—дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
Поскольку якобиан
д(х,у)
d(t, т)
= d^0,
t=0,
т=т0
§3. Нелинейные уравнения
285
то систему уравнений х = x{t, т), у = y(t, г) по теореме о системе неяв-
ных функций в окрестности t = 0, т = то можно разрешить относительно
t, т и в результате получаются дважды непрерывно дифференцируемые
функции t = t(x,y), т = т(х,у) в окрестности точки Mq. Покажем, что
функция
и = и [t(т, у), т(х, у)] = и(х, у)
является решением задачи Коши (1), (5) в некоторой окрестности точ-
ки Mq.
Сначала установим, что
ди	ди
? дх’	ду'
Если показать, что в окрестности t = 0, т = то
ди	дх	ду
U ~ я----Ря---^я~ = °>
дт	дт	дт
..ди	дх	ду	Л
V = а? ~- °’
dt	dt	dt
то из этой линейной системы можно однозначно определить Р = 57,
q = так как определителем системы при t = 0, т — то служит d О
и, значит, в окрестности t = 0, т = то этот определитель d 0.
То, что V = 0, непосредственно следует из характеристической систе-
мы (2), (3). Чтобы доказать, что U s 0, рассмотрим тождество
dU	dV	др дх	др дх	dq ду	dq ду
dt	дт	дт dt	dt дт	дт dt	dt дт’
Если воспользоваться характеристической системой (2), (3) и тем, что
= 0, то, дифференцируя по t и т тождество F = 0, отсюда получаем
уравнение
dU _ _dF
dt du
При фиксированном т это уравнение является линейным уравнением для
U как функции t. Так как по условию U — 0 при t = 0, то отсюда при
всех t
U = 0.
Таким образом, установлено, что Р = jj, у = в окрестности точ-
ки Mq. В силу начального условия (5) и в силу того, что F явля-
ется первым интегралом характеристической системы (2), (3), выраже-
ние F(x,y,u,p,q) тождественно по t, т обращается в нуль на поверхности
и(т,у). Следовательно, F = 0 тождественно по (х,у) из окрестности Mq,
т.е. и = и(х,у) — решение задачи Коши (1), (5). Построенное решение
единственно, так как решение характеристической системы однозначно
определяется начальными условиями.	•
286
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
ди ди
— • -Z— — 4и.
дх ду
проходящую через кривую, заданную уравнениями
х — 0, у = т, и = т, т € iQ,
причем р(т) • q(t) = 4u(r), «(т) — р(т)х(т) + q(r)  у(т).
Д Из условий на р(т) и д(т) находим, что
р = 4т,	9 = 1-
Характеристическая система имеет' вид
i(i) = 9, ?/(*) = Р> Р(0 = 4Р, ?(*) = 4?, «(О = 2Р<?-
Ее решением будет
it	it	с2 it ,
р = cje , q — C2C , х = — е + с3,
^1 it ।	Cl C2 8t .
y = —el+c4, u = -^-eot + c5.
Используя начальные условия
z|t=o = O, y|t=o = r, u|t=0 = r> p|t=o = 4r, g|t=o = l,
находим, что cj = 4т, сг = 1, с3 = — |, с4 = с$ = 0. Тогда x(t, т) =
|e4t — j, y(t, т) — те4‘, u(t,r) = теы, p(t,r) = 4те41, q(t,r} = e4t.
Отсюда находим решение в явном виде
и — (Ах + 1)у.
Если условия теоремы не выполнены, то решение задачи Коши (1),
(5) может либо не существовать, либо быть не единственным. Об этом
свидетельствует пример 4 из предыдущего параграфа.
Отметим, что при условии дважды непрерывно дифференцируемости
F в теореме доказано существование дважды непрерывно дифференциру-
емого решения задачи Коши (1), (5). Это по существу дела. Если функ-
ция F только непрерывно дифференцируема, то даже для аналитических
начальных данных пе всегда существует решение задачи Коши (1), (5),
являющееся непрерывно дифференцируемой функцией.
Другой метод решения задачи Коши (1), (5) основан на понятии пол-
ного интеграла уравнения (1).
Определение. Уравнение Ф(х,у, и, а,Ь) = 0, где Ф —заданная непрерыв-
но дифференцируемая функция своих переменных, а и Ь — независимые
произвольные постоянные, определяющее неявно решение и = и(х,у,а,Ь)
уравнения (1), называется полным интегралом нелинейного уравне-
ния (1). Лагранж показал, что все решения уравнения (1) могут быть
§ 3. Нелинейные уравнения	287
получены из полного интеграла (1) путем вариации постоянных а и Ь
(см. [41]).
Для нахождения полного интеграла уравнения (1) чаще всего приме-
няется метод Лагранжа — Шарли (об этом см. [41]). Перечислим некото-
рые простые случаи уравнения (1), когда нахождение полного интеграла
(1) не вызывает затруднений.
1)	Если F = F(p,q), то полный интеграл (1) имеет вид
и = ах + <р(а)у + b.
2)	Если F = F(u,p,q), то полный интеграл (1) имеет вид
и — Ф(ах + у, а, Ь).
3)	Пусть в уравнении (1) переменные разделяются, т. е.
F(s,y,u,p,g) = /1(^,р) - Му,?)-
Тогда, если р = <pi(i,a) и <? = <рг(у,а) — соответственно решения fi(x,p) —
/2(1/,?) = «, где а — произвольная постоянная, полный интеграл (1) име-
ет вид
н = У <pi(x,a)dx + У 4>2(y,a)dy + Ъ.
4)	Если F = и — рх — qy — f(p,q), то его полным интегралом является
и = ах + by + f(a, b).
Зная полный интеграл (1), можно найти характеристические полосы (1),
т.е. решить характеристическую систему (2), (3).
Упражнения к главе 8
1.	Найти общее решение и решить задачу Коши:
. . .ди , .ди , .ди
a)	(1/-Z)^ + (x-z)-+(?/-a:)^=0,
и — 2(т — у} при х — z = 2у {у > 0).
,.ди „ .ди	хди	п	.г	,	„.
б)	xe.z--Ъуе + (2у - ж)— — 0, и — при у = -х (х > 0).
их оу	OZ	х
2.	Найти интегральную поверхность уравнения
dz dz
+УЪ~ = z-xy,
дх ду
проходящую через кривую х — 2, z = 1 + у2.
3.	Найти интегральную поверхность уравнения
, .dz , .dz
(ж_у)_ + (х + у)_ = 21
проходящую через кривую х = cos t, у = sin i, z — t.
288
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
4. Решить задачу Коши:
ди ди ди
х + уд^~д^'д^’
5. Решить уравнение
и = х при у = 0.
и — х при у — 1.
ди _ ди
дх Uду’
используя замену переменных xi = х, yi = и, щ — у.
—........... Глава 9	  111 ...
Основы вариационного исчисления
Введение
Известно, какое важное значение для развития классического анализа
функций одной или нескольких переменных имели задачи на отыскание
экстремумов дифференцируемых функций. Однако еще с давних времен
известны задачи на экстремум, которые нельзя отнести к задачам ко-
нечномерного математического анализа. Древнейшей такой задачей счи-
тается классическая изопериметрическая задача: среди плоских гладких
замкнутых кривых заданной длины найти кривую, ограничивающую наи-
большую площадь. Над этой проблемой размышляли греческие филосо-
фы еще в V-IV вв. до н.э., в том числе и знаменитый греческий фило-
соф Аристотель. Им было известно, что такой кривой является окруж-
ность.
В качестве другой задачи на экстремум, не относящейся к класси-
ческому математическому анализу, следует назвать задачу о брахисто-
хроне—линии быстрейшего ската, которую в 1696 г. поставил известный
математик Иоганн Бернулли. В этой задаче требуется найти гладкую ли-
нию, соединяющую две заданные точки А и В вертикальной плоскости,
не лежащие на вертикальной прямой, по которой под действием силы
тяжести материальная точка скатится из Л в В в кратчайшее время
(см. рис. 1).
Рис. 1
Оказалось, что линией быстрейшего ската не будет отрезок прямой,
соединяющей точки А и В, как это могло показаться, а такой линией
будет дуга циклоиды (см. § 1).
С 1696 года началось систематическое развитие классического вариа-
ционного исчисления. Общие методы решения задач вариационного исчи-
290
Глава 9. Основы вариационного исчисления
сления разработаны Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, К. Якоби, А. Лежандром,
К. Вейерштрассом, У. Гамильтоном, Д. Гильбертом и др.
Чтобы определить предмет вариационного исчисления, рассмотрим
действительное линейное нормированное пространство Y с нормой ||у||
элементов у g У. Тогда функция
?(г,У) = ||у - г||
определяет расстояние между элементами у,z е У, т.е. пространство У
является метрическим пространством с метрикой p(z,y). Например, в ли-
нейном нормированном пространстве С[а, 6] всех действительных непре-
рывных на [а,Ь] функций норма
IkWIIcM) =	|у>(т)|
задает метрику в этом пространстве.
Примером линейного нормированного пространства является также
пространство Cfc[a, &] к раз непрерывно дифференцируемых действитель-
ных функций <р(х) на [а, 6] с нормой
к
1И®) lie* [а,61 = max 1Д*)1 + У2 m1axl,h0)(a:)l’
1 '	г6[а,6)	i€|a,6)
Пусть М — некоторое множество элементов пространства У и пусть
Я —множество всех действительных чисел.
Определение. Отображение F: М -> R называется функционалом F(y)
с областью определения М.
Итак, на множестве М пространства У задан функционал F(y), если
каждому элементу у € М по правилу F поставлено однозначно в соответ-
ствие некоторое действительное число. Например, определенный интеграл
6
J(y) — ! У(x)dx, —оо < а < b < +оо,
a
рассматриваемый на множестве функций
Af - {«/(ж) Е С[а, 6] : у(а) = А, у(Ь) = В},
где А и В — заданные числа, является функционалом с областью опре-
деления М в пространстве С[а, 6].
Если у(G,Сг) — непрерывная функция на всей плоскости R^} с де-
картовыми прямоугольными координатами СьСг и а,Ъ (а < ^—некото-
рые заданные числа, то другим примером функционала является J(y) =
д [у(а),у(д)], заданный на множестве М — С[а, Ь].
§ 1. Простейшая вариационная задача 291
Классическое вариационное исчисление изучает общие методы нахо-
ждения экстремумов функционалов, являющихся, как правило, некото-
рыми интегралами, заданных в определенных функциональных простран-
ствах. Как мы позже увидим, функционалы интегрального типа встреча-
ются во многих задачах математики, механики и физики. Поэтому мето-
ды вариационного исчисления широко используются в классической ме-
ханике, математической физике, квантовой механике, механике сплошных
сред и полей и в других разделах науки.
Отметим, что вариационное исчисление является разделом дифферен-
циального исчисления в бесконечномерных пространствах У и не явля-
ется разделом классического анализа. Например, задача о брахистохроне
не относится к конечномерному анализу, так как в ней должны сравни-
ваться друг с другом все гладкие кривые, проходящие через заданные
точки Л и В, т. е. бесконечномерный объект. Таким образом, классиче-
ское вариационное исчисление является составной частью общей теории
экстремальных задач для функционалов в бесконечномерных простран-
ствах. Кроме классического вариационного исчисления, теория экстре-
мальных задач в качестве своих разделов содержит также математиче-
ское и линейное программирование, оптимальное управление. Теория экс-
тремальных задач интенсивно развивается и в настоящее время (см. [10],
[И])-
В настоящей главе будут изложены элементы классического вариаци-
онного исчисления. Значения всех функций в этой главе предполагаются
действительными.
§ 1. Простейшая вариационная задача
Обозначим через С1 [а, 6] множество всех непрерывно дифференцируемых
функций, заданных на [а, Ь]. Для Vj/i(a:), 3/2(2) € С1 [<2, b] введем расстоя-
ние между ними по формуле
111/1(2) - ?/(2)||ci[a,i>] = max |у1(т) - J/2(^)| + max ^[(х) - ^(х)|.
1 J х€[<*Л]	хб[аЛ]
Множество функций С1 [а, 6] с введенной метрикой является линейным
нормированным пространством.
Пусть F(x,у,р) —заданная непрерывно дифференцируемая функция
для Va: € [а, Ь] и V(y,p) е — плоскости с декартовыми прямоуголь-
ными координатами у,р. Рассмотрим интеграл
ь
•Лу) = У F [2, у(х), у'(2)] dx	(1)
а
292
Глава 9. Основы вариационного исчисления
на множестве М тех функций у(х) g С1 [а, Ь], которые удовлетворяют
граничным условиям
у(а) = А, у(Ь) = В,	(2)
где А и В —заданные числа. Функции у(х) € М будем называть допу-
стимыми.
Очевидно, для ^у(х) е М интеграл (1) определен и задает функцио-
нал с областью определения М в пространстве С1[а,&].
Определение. Говорят, что функция у(х) € М дает слабый локальный
минимум функционала (1), если 3 число е > 0 такое, что для Vy(x) € М,
для которой ||j/(a:) — ^(т)Нс1 [а,г>] < е> выполняется неравенство J(y) > J(y).
Если в этом определении последнее неравенство заменить неравен-
ством J(y) < J(y), то для (1) получим определение слабого локально-
го максимума. Оба понятия — слабый локальный минимум и слабый ло-
кальный максимум объединяются единым термином: слабый локальный
экстремум.
Замечание. Кроме слабого локального экстремума, в классическом ва-
риационном исчислении изучается еще сильный локальный экстремум, о
чем будет речь впереди. Кроме того, употребляется термин абсолютного
(или глобального) экстремума. Говорят, что у(х) € М дает абсолютный
минимум функционала (1), если J(y) > J(y) для всех у(х) 6 М. Если
J(y) < J(y) для всех у(х) € М, то говорят, что у(х) € М дает функ-
ционалу (1) абсолютный максимум. Абсолютные минимум и максимум
объединяются единым термином абсолютного экстремума.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала (1) называется простейшей вариационной задачей.
Простейшую вариационную задачу иногда называют задачей с закре-
пленными концами в силу того, что допустимые кривые обязаны про-
ходить через две закрепленные точки Mi (а, А) и М^(Ь, В) (см. рис. 2)
плоскости -й(жу)-
Рис. 2
§ 1. Простейшая вариационная задача
293
Как известно, при исследовании функции на экстремум существенную
роль играет производная функции. При исследовании экстремумов функ-
ционалов аналогичную роль играет вариация функционала. Введем это
понятие.
Обозначим через С1 [а, Ь] множество всех тех функций у(х) еС‘[й,к|,
для которых у(а) = у(Ь) = 0.
Пусть у(х) е М и у(т) е (fc1 [а, Ь]. Рассмотрим семейство функций, зави-
сящих от действительного параметра а: у(х,а) — у(х)+ау(х). Поскольку
у(х,а) 6 М при Va, то можно рассмотреть интеграл
ь
J(y + arf) = f F [х,у(х) + ау(х), у'(х) + ay'(x)]dx.	(3)
а
При фиксированных у(х) и у(т) интеграл (3) является собственным
интегралом Ф(а), зависящим от параметра а. Если взять некоторое
е > 0, то при |а| < с, х е [а, 6] подынтегральная функция F и ее произ-
водная по а в силу наложенных на F условий являются непрерывными.
Тогда по известной из курса анализа теореме Ф(а) = J(y + ay) является
дифференцируемой функцией а при |се) < £ и по правилу Лейбница
Ф'(0) = J” J [г/(ж) + «’Я1)] 1<*=о =
ь
[	: dF[x,y(x),y'(x)] ,, J
" J I--------ду------} -----------ду'------V {
а
Определение. Допустимым приращением (вариацией) функции у(х) 6
М называется любая функция у(х) € С1 [а, 6]. Выражение
ау(а:)] |а_0, где у(х) — любая функция из С1 [а, Ь], называется первой ва-
риацией функционала J(y) на функции у(х) и обозначается 5J [у, у(х)],
Чу(х) G С1 [а, Ь].
Таким образом, вариация функционала (1)
£7[у,у(т)] =
Ь
- у	. ,(I) + SFl^y'M]	(1)
а
где у{х)— любая допустимая вариация функции у(х) е М.
Отметим, что первая вариация 5J[y,??(x)] линейно зависит от у(х) к
т)'(х).
294
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Замечание. Данное здесь определение первой вариации (по Лагранжу)
функционала (1) является одним из аналогов определения дифференци-
ала функций многих переменных f(x). Для функционалов возможны и
другие определения аналогов дифференциала таких функций: так назы-
ваемые сильный дифференциал (дифференциал Фреше) функционала и
слабый дифференциал (дифференциал Гато) функционала.
Теперь можно доказать необходимое условие решения простейшей ва-
риационной задачи.
Теорема 1. Если у(х) g М является решением простейшей вариационной
задачи, то необходимо SJ [у, //(ас)] = 0 для любой допустимой у(х).
О Пусть для определенности у(х) € М дает слабый локальный минимум
для функционала J(y), т.е. Эе > 0 такое, что J(y + h) > J(y) для Vh(x) €
С'[а, &], для которой ||/i(x)|| < е. Положим h(x) = ар(х), где а € R,
р(х) g С1 [а, 6]. Тогда у(х) + h(x) € М и для достаточно малых |а| при
фиксированной р(х)
ИМсЧа.Ч =	+m**l7/(a;)l ? <
IМ [“.<>] J
Ф(а) = J(y + ар) > J(y) = Ф(0).
Это значит, что дифференцируемая функция Ф(а) имеет минимум при
а = 0. Значит, Ф'(0) = 0, и тогда <5J[y,y(x)] = Ф'(0) = 0, Vy(x) g С1 [а,Ь]. •
ТЬорема 1 является неудобной для практического использования. Что-
бы получить удобное для практики необходимое условие решения про-
стейшей вариационной задачи, предварительно установим лемму, которая
в силу своей важности носит название основной леммы вариационного
исчисления (или леммы Лагранжа).
ь
Лемма. Если f(x) g С[а, 6] и ff(x)p(x)dx = 0 для Ур(х) 6 С1 [а, i>], то
а
f{x) = 0 на [а, Ь].
О Рассуждаем от противного. Пусть f(x) ^0 на [а, Ь]. Тогда Эхо 6 (а,Ь)
такая, что f(x0)	0. Пусть для определенности f(xo) > 0. Из непре-
рывности f(x) на [а, 6] следует, что Эе > 0 такое, что f(x) > j/(xo),
Vx g [xo — e,xq + e] C (a, b). Возьмем
f [x - (x0 - e)]2 • [x - (x0 + e)]2 , x g [x0 - e>x0 4-e],
i?(x) — <
(0,	x £ [xo ~ e,xo + e].
§ 1. Простейшая вариационная задача
295
Нетрудно проверить, что функция т)(х) G С1 [а, 6]. По интегральной тео-
реме о среднем получаем, что
Ь	хо+е
У f(x)p(x)dx = У f(x)p(x)dx =
а	хо-г
хо+г	хо+с
= /(С) У rj(x)dx > j/(rr0) У r)(x}dx > 0,
X(J~€	ХО— €
где ( 6 [iq-e,I() + c]- А это неравенство противоречит условию теоремы.
Значит, наше предположение о том, что f (х)	0 на [а, Ь] неверно. Лемма
доказана.	*
Теорема 2. Пусть функция F(x,y,p) — дважды непрерывно дифференци-
руема при 'dx € [а, 6], V(y,p) G -R^,p)- Если дважды непрерывно дифференци-
руемая функция у(х) является решением простейшей вариационной задачи,
то необходимо функция у(х) на [а, 6] удовлетворяет уравнению Эйлера
dF^_d_ 3F _
ду dx ду’
(здесь — полная производная по х).
О Если у(х) — решение задачи, то в силу теоремы 1 5J[p, г/(х)] =0 для
любой допустимой вариации г](х). Учитывая, что р(а) = Г)(Ь) = 0, про-
интегрируем по частям слагаемое, содержащее rf(x) в формуле (4). Это
законно, так как выражение
d dF[x,y(x),y'(x)]	_
cte
(5)
ду'
’ d2F d2F
У=У(*)
____________	, d2F „
ду'дх ’ ду'ду У + ду'2 У ]у=#(г)
в силу условий теоремы 2 является непрерывной на [а, 6] функцией. Име-
ем
ь
0 = у | [а:, у(х), £'(*)]
а
. , dF[x,y(x},y'(x}]	,1 ,
•	+-----ду> ‘77 (г) J =
ь	Ь
°	/* f Д Z? J лг
dF\x,y(x),№)\	b ^f[dF_±dF\
ду'	х=а J \&У dx ду1 J
ь
х=а
а
 p(x)dx =
а
• rj(x)dx.
у=у(х)
296
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Поскольку функция г)(х) 6 С1 [а, &], а функция
f dF(x,y,y') _ d dF(x,y,y') 1
{ dy dx' dy1 Jy=i(x}
является непрерывной на [446], то в силу основной леммы вариационного
исчисления
dF(x,y,y’)	d dF(x,y,y')\
----л.-------j-------------f	= °>	6 a
dy dx dy'
Это значит, что y{x) удовлетворяет уравнению Эйлера (5).
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера (5) называют экстре-
малью функционала (1). Всякая же экстремаль у(х) функционала (1),
являющаяся допустимой функцией, т. е. у(х) € М, называется допусти-
мой экстремалью функционала (1).
Из теоремы 2 вытекает, что только среди допустимых экстремалей
(1), т.е. среди экстремалей (1), удовлетворяющих граничным условиям
(2), нужно искать решение простейшей вариационной задачи.
Замечание. Условие непрерывности у"(х) в теореме 2 было наложено
лишь с целью упрощения доказательства теоремы 2. Используя так на-
зываемую лемму Дюбуа-Реймона, можно доказать теорему 2 и без пред-
положения непрерывности у"(х). Более того, если	/ 0, то мож-
у 1у=у(х)
но доказать и непрерывность у"(х) на [а, Ь].
Уравнение Эйлера (5) является дифференциальным уравнением вто-
рого порядка при 0, так как, найдя полную производную
его можно записать в виде
dF _ d2F _ d2F , d2F „
dy dy'dx dy'dy У dy'2
Следовательно, экстремали функционала (1) образуют двухпараметриче-
ское семейство у{х,С\,Сг). Допустимые экстремали функционала (1) наг
ходят, определяя параметры <71,<7г из граничных условий (2):
5/(л>С1,С2) = А, у(Ь,С\,Сг) = В.
Из этой системы не всегда можно однозначно определить параметры
(71, С2. Эта система не всегда имеет решение, а если решение существует,
то оно может быть не единственным.
Пример 1. Решить простейшую вариационную задачу
1
J{y) = У е1 [(г/)2 + бу2] dx, у(-1)=0, у(1) = 2e2sh5.
-1
§ 1. Простейшая вариационная задача
297
Л Экстремали заданного функционала найдем, решая уравнение Эй-
лера
12еху - -£-(2eV) = 0.
ах
После упропхений оно принимает вид
у" + у' -бу-0.
Его решения у = С\е~2х + С^е2* и будут экстремалями.
Допустимые экстремали находятся подстановкой формулы экстре-
малей в граничные условия. В результате вычислений находим, что
допустимой экстремалью будет
у(х) = е2х+5 - е-31.
Покажем, что допустимая экстремаль дает абсолютный минимум.
Для ^у{х) €	1,1] имеем:
1
+ г]} - J(y) = у {е1 [(у' + т}')2 + 6(у + т?)2] - ех [(у')2 + бу2] } dx =
-1
1
= У ех {2уг/ + 12уу + (г?')2 + 6т?2} dx =
-1
1
=	{(т[)2 + бт?} dx + ех  2ynli=_i +
-1
1
+ У |12еху - ^(2ежу')|
-1
Проинтегрированная часть обращается в нуль, так как т?(—1) =
rj(l) = 0, а последний интеграл равен нулю, так как у(х) — реше-
ние уравнения Эйлера. Следовательно, получаем, что
i
Ду +т?) “ J(y) = У е1 [(т?'(я;))2 + 6(т/(х))2] dx > 0.
-1
По определению, у(д.) дает абсолютный минимум.	А
В этом простом примере уравнение Эйлера легко решалось. Однако в
общем случае уравнение Эйлера решается лишь в исключительных слу-
чаях. Отметим простейшие случаи интегрируемости уравнений Эйлера.
a)	F = F(z,y), т.е. F не зависит от у*.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид = 0 и не является
дифференциальным уравнением. Его решение у = у(х) в общем случае
298
Глава 9. Основы вариационного исчисления
не определяет допустимую экстремаль, так как оно не обязано удовле-
творять граничным условиям (2), и, следовательно, вариационная задача
не имеет решений.
б)	F = Р(х,у) + Q(x,y)y', где Р и Q — непрерывно дифференцируемые
функции при х е [а, Ь], у е R^.
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
ду дх
Как и в предыдущем случае, уравнение Эйлера—не дифференциаль-
ное уравнение и вариационная задача, как правило, не имеет решений.
Если же
ду дх ’
то Р(х, y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) для некоторой дифференцируемой
функции и(х,у) и функционал
ь	ь
J(y) = [(Р + Qy')dx - [(Pdx + Qdy)
не зависит от пути интегрирования. Так как значение J(y) постоянно на
множестве допустимых функций, то вариационная задача теряет смысл.
в)	F = F(x,y'), т. е. F не содержит у.
Уравнение Эйлера имеет вид	= из чего следует = С.
Получили уже дифференциальное уравнение первого порядка, откуда на-
ходим экстремали задачи.
г)	F =	т е. F не содержит х.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид
dF _ d2F , d2F „
ду ду'ду У ду* У
Умножив его на у', получим в левой части точную производную
Отсюда F—= С, т. е. получили дифференциальное уравнение первого
порядка.
Пример 2 (задача о брахистохроне). Определить кривую в вертикальной
плоскости, соединяющую заданные точки М\, М2, при движении по
которой материальная точка под действием силы тяжести скатится
из точки М\ в точку М2 в кратчайшее время (трением и сопроти-
влением среды пренебрегаем).
§ 1. Простейшая вариационная задача
299
А Поместим начало координат О в тючку Mi, ось Ох направим
горизонтально, ось Оу — вертикально вниз. Тогда скорость движения
материальной точки v = S(t) = х/^ду. Отсюда находим dt = ~L —
/1+3/ Wjj- и Время движения материальной точки
t(V} ~	У(0) = °’ У(/) = В-
v%9 J у УуЯ)
о ’
В силу пункта г) уравнение Эйлера дает уравнение первого порядка
вида	_____
/1+у72 УП
У у х/у(1 + у'2)
После упрощений это уравнение примет вид
у(1 + у12) = Ci.
Введем параметр t, полагая у' = ctgt. Тогда получим:
у = Ci sin21 = ^Ci(l — cos2i),
, dy 2(71 sintcostdt . 9 ,	_	... ,,
dx = — —----------------= 201 sin21 dt = Ci(l — cos 2t}dt,
у ctg t
x = Ci ^t — sin2t^ 4- O2 = ^Ci (2t — sin2t) + O2.
Из условий x(0) — y(0) = 0 получаем, что Сг = 0. Таким образом,
параметрическое уравнение искомой кривой имеет вид
х = ^Ci(2t — sin2i), у = ^Ci(l - cos2t),
где Ci определяется из условия у(/) = В. Параметрическое уравне-
ние задает семейство циклоид и, значит, брахистохроной является
циклоида.	А
Иногда для упрощения решения уравнения Эйлера (5) следует поль-
зоваться инвариантностью уравнения Эйлера относительно замены пере-
менных в функционале (1). Определим понятие инвариантности уравне-
ния Эйлера.
Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций х —
<p(u,v), у — t/>(u,v') с якобианом / 0 взаимно однозначно ото-
бражает полосу Щ = {(а:,у): х € [а,6], у € (—оо,+оо)} плоскости
с декартовыми прямоугольными координатами х,у на полосу Пг =
{(u,v): и е [a,/?], v € (—оо, +оо)} плоскости T?2utlj с декартовыми прямо-
угольными координатами и, V.
300
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Введем в функционале (1) вместо х,у новые переменные и, v, полагая
х = ip(u,v}, у = и считая v = v(u). При этом получаем функционал
JM = fF	(^ + ^-v')du =
0
— j" Ф [u,v(u),v'(u)]du,
a
если предполагать дополнительно, что	0- Тогда можно до-
казать, что уравнение Эйлера (5) эквивалентно уравнению Эйлера для
функционала J\(v):
<эф	d дФ	п
я----ZF ’ л“7	= °-	(6)
av	du ov'
В этом и заключается инвариантность уравнения Эйлера. Итак, формула
всех экстремалей (1) получается из формулы экстремалей для функци-
онала J(u), если в пей сделать обратную замену к замене х = <p(u,v),
у = ф(и,и).
Пример 3. Найти экстремали функционала
1п2
J (е~ху'2 - exy2)dx, у(0) = 1, у(1п 2) - 2.
о
Д Уравнение Эйлера для J(y) имеет вид
у" - у' + е2ху = 0.
Так сразу неясно, как решить это уравнение. Поэтому в функцио-
нале сделаем замену переменных х = In и, у = v. Исходный функци-
онал преобразуется к виду
2	2
Ji(v)= y'(e-,nu-u2-v'2-elnu-v2)^ = j (v* - v2)du.
1	i
Для Jj (г>) уравнением Эйлера будет уравнение v" + v = 0, которое
легко решается. Его общим решением будет
v = Hsin(u +92),
где Л и «^ — постоянные. Переходя к координатам х, у, получим
уравнение экстремалей исходного функционала
у = Hsinfe1 + ip).
§2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 301
Приведем теперь пример, показывающий, что уравнение Эйлера (5) —
необходимое, но не достаточное условие локального экстремума функци-
онала (1).
Пример 4. Решить простейшую вариационную задачу:
J(v) = У (у'(х))2 ~ dx> У(0) = 1, у(тг) = 2.
Д Уравнение Эйлера: у" + ^у = 0.
Его общее решение: у = С\ cos 4^ + Съ sin 4^.
Допустимая экстремаль: у (ж) = cos 4^ + 2sin у,
Нетрудно определить, что при Vt)(t) € С1 [0, тг]
25 2. .1
W dx.
AJ(y) = J(У + n)-J(y) = У ’ftx) ~
о
Возьмем ,г]т,п(х') = ^sinmx € С1 [0, эт], где параметры т € TV, п 6
N. Тогда
ДДу) = J(y + 1]т>п) - J{y) = (пг2 - у } ' 2^2
Следовательно, Д/(у) < 0 при т < | и Д/(у) > 0 при т > |.
Значит, у(т) не дает решения вариационной задачи.	А
§2. Обобщения простейшей вариационной
задачи на случай функционалов более общего
интегрального типа
В этом параграфе будут рассмотрены вариационные задачи для инте-
гралов трех типов:
1)	интегралов, зависящих от нескольких неизвестных функций,
2)	интегралов, содержащих производные высших порядков,
3)	двойных интегралов.
Во всех случаях будет поставлена соответствующая вариационная за-
дача и установлено необходимое условие решения такой задачи.
1.	Функционалы, зависящие от нескольких функций
Пусть С^[а, &] обозначает множество всех вектор-функций у{х) с п не-
прерывно дифференцируемыми на [а, 6] декартовыми прямоугольными ко-
ординатами У1(т),... ,Уп(®)- Для \/у(ж), z(x)	введем расстояние
302
Глава 9. Основы вариационного исчисления
между ними по формуле:
||у(*) - г(«)И<ч [а.4] = max |y(z) - z(a:)| + max |j/'(x) - z'(*)l-
J	x€|a,b]
Тогда Cjja, 6] является линейным нормированным пространством.
Рассмотрим интеграл
ь
J(y) = У F [я.УМл'М dx>	(V
а
где а, Ь — заданные числа, а < Ь, и у,р) —заданная дважды непре-
рывно дифференцируемая функция при всех х € [а, 6], (у,р) €
(R^yp) — 2п-мерное пространство с декартовыми прямоугольными коорди-
натами у = (1/1,... ,уп}< Р= (рь--. ,Рп))> на множестве вектор-функций
М = {у(х) € С<[а, Ь] : у(а) = А, у(Ь) = В} ,
где А и В —заданные числовые n-мерные векторы.
При заданных условиях интеграл (1), очевидно, определяет функцио-
нал с областью определения М в пространстве С^[а, 6].
Определение. Говорят, что у(х) 6 М дает слабый локальный минимум
(1), если существует е > 0 такое, что для любой у(х) € М, для которой
||1/(х) - pWHq [„,(,] < е, получаем J(y) > J(y).
Аналогично определяется понятие слабого локального максимума для
(1). Слабые локальные минимум и максимум для (1) объединяются тер-
мином слабого локального экстремума функционала (1). Как и в случае
простейшей задачи, для функционала (1) можно определить и понятие
абсолютного экстремума.
Теорема 1. Если дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция
у(х') С М дает слабый локальный экстремум функционала (1), то у(х) не-
обходимо на [а, Ь] удовлетворяет системе уравнений Эйлера
О Обозначим компоненты у(х) через у\(х),... ,уп(х). Положив в (1)
У2(х) = У2(х),... ,уп(х) = уп(т), получим для функционала J(yj) про-
стейшую задачу, решением которой является уу(х). Из необходимого
условия решения простейшей вариационной задачи получаем тогда, что
у(х) удовлетворяет первому уравнению системы (2). Далее в (1), фик-
сируя 1/1(х) = yi(z), уз(х) = Уз(*),... ,Уп(х) = уп(х), получаем простей-
шую вариационную задачу для J(y2}, решением которой служит уъ{х).
Выполнение уравнения Эйлера для у?(х) означает, что у(х) удовлетво-
ряет второму уравнению системы (2). и т. д. Наконец, полагая в (1)
§ 2, Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 303
yi(x) = У1(х),... , уп-1(т) = yn~i(x}, получим простейшую вариацион-
ную задачу для J(yn), решением которой является уп(х). Следовательно,
уп(х) удовлетворяет n-му уравнению системы (2) уравнению Эйлера, а
это значит, что у(х) удовлетворяет всей системе (2).	•
Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера (2) называ-
ется экстремалью функционала (1), а всякая экстремаль (1), принадле-
жащая множеству М, называется допустимой экстремалью функциона-
ла (1).
Из теоремы 1 следует, что только среди допустимых экстремалей
функционала (1) могут быть функции, дающие (1) слабый локальный
экстремум. Но допустимая экстремаль не обязана давать этот экстре-
мум для (1) всегда. Система Эйлера (2) содержит п уравнений второго
порядка для yi(x),... ,уп(х).
В общем случае решение системы (3) зависит от 2п параметров. Для
получения допустимых экстремалей функционала (1) нужно определить
эти параметры из заданных 2п граничных условий у(а) = А, у{Ь) = В.
Пример 1. Найти допустимые экстремали функционала
</2
Ду, z) = У [(у')2 + (z')2 + 2yz + 2ху] dx,
о
у(0) = -1, z(0) = 1, У®=0, *(£)=—•
Система уравнений Эйлера для J[у, z) имеет вид
(х + z - у" = О,
|у - z" = 0.
Подставляя у = z" в первое уравнение системы, получаем
z(/v)-z = T.
Общее решение этого уравнения
z = c\ex + С2в~х + сз cost + С4 sin я — х,
где ci, сг, сз, С4 — произвольные постоянные. Так как
у = z" = с\ех + С2в-Х — с.з cos х — сц sinх,
то, подставляя у, z в граничные условия, получим линейную систему
для определения cj, сг, Сз, С4. Отсюда находим, что ci = С2 = С4 = 0,
С3 = 1. Следовательно, пара функций у — — cost, z = cost — х опре-
деляет допустимую экстремаль.	А
304
Глава 9. Основы вариационного исчисления
2.	Функционалы, содержащие производные
высших порядков
Обозначим через Ск [а, 6] множество всех к раз непрерывно дифференци-
руемых на [а,Ь] скалярных функций. Для	У2(х)	введем
расстояние между ними по формуле:
1|У1 (*) - У2(*)|1сМа,Ы = “lax |yi (х) - у2(т)| +
1 J x€[a,q
+ 12 mta3ii |У1’)(а:) - Уг^т) I.
 xe[a,6] I	I
j=i
Тогда C^fa, &] является линейным нормированным пространством.
Через <&*[а,6] будем обозначать множество всех тех у(х) € С*'[я, Ь], для
которых у^{а) = у^(Ь) —0, j = 0, к - 1.
Имеет место следующее обобщение основной леммы вариационного ис-
числения.
ь
Лемма 1. Если f(x) € C[a, b] u / f(x)r)(x}dx = 0 для Vr?(z) € Cfc[a,t>], то
а
f(x) = 0 на [а,Ь].
Эта лемма доказывается в точности тем же способом, что и основ-
ная лемма вариационного исчисления, с тем только изменением, что в
качестве г/(т) берется функция
. ,	Г [х - (т0 - е)]2* • [ж - (то + f )]2*, т € [т0 - е, то + е],
Х	(0,	х £ [то - с, т0 + е].
Рассмотрим интеграл вида
ь
J(y) = J-Р р,у(я),г/(т),... ,у(*\т)]фг,	(3)
a
где а, Ь — заданные числа, а < Ь, F(x,у,pi,... ,р*)—заданная функ-
ция, непрерывно дифференцируемая (к + 1) раз при всех т € [а, Ь],
(у,Р1,-.-,Рк) €	Здесь /**,£},...обозначает (к + 1)-мерное про-
странство с декартовыми прямоугольными координатами y,pi,... ,р*.
Определим интеграл (3) на множестве функций
М = {у(т) € C*[a,b] : у^\а) = Aj, y^\b) = BJt j = 0,k — 1} ,
где Aj, Bj — заданные числа при всех j = 0,к— 1. Интеграл (3) задает
функционал с областью определения М в пространстве Cfc [а, &].
Определение. Говорят, что у(х) € М дает слабый локальный минимум
функционала (3), если Зе > 0 такое, что любая у(х) G М, для которой
§ 2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов
305
||у(а;) — у (я) Нс* [а,ь] < е> выполнено неравенство J(y) > J[y). Аналогич-
но определяется для (3) слабый локальный максимум. Термин слабый
локальный экстремум функционала (3) объединяет понятия слабых ло-
кальных минимума и максимума для (3).
Нас будет интересовать необходимое условие слабого локального экс-
тремума функционала (3) при к > 1, поскольку при к = 1 отсюда полу-
чаем уже известную нам простейшую вариационную задачу.
Сначала определим понятие первой вариации для функционала (3).
Пусть у[х) 6 М и у[х) 6 С* [а, Ь]. Рассмотрим функцию Ф(а) —
J(y + оу), где a G R. При фиксированных у[х) и у(х) функция
F[x, у + ау,у' + ау1,... ,уЮ + си/*)] и ее производная — непрерывны
для х е [а, 6] и |а| < е при некотором е > 0. Следовательно, по тео-
реме из курса анализа собственный интеграл Ф(а) является непрерывно
дифференцируемой функцией а при |а| < £ и по правилу Лейбница
Ф'(0) = -{у +
da
Ь
а=0
f [dF . . dF , dF ,1 J
a
Определение. Выражение Ф'(0), где у[х) — любая функция из С*[а,&],
называется первой вариацией функционала (3) и обозначается 6 J [у, т?(т)].
Таким образом,
ь
= J
а
dF dF,	dF (к} 1
^{х) + —у(х) + --. + -^у< >(х)J dx,
где Чу(х) 6 С* [а, &].
Теорема 2. Пусть у(х) е М является 2к раз непрерывно дифференцируе-
мой функцией и дает слабый локальный экстремум функционала (3). Тогда
у(х) необходимо на [а, 6] удовлетворяет уравнению Эйлера—Пуассона
d^_±dF^ </2 dF	t d* dF
dy dx dy' dx2 dy" + dxk dyW
[здесь — полная производная по х).
О Если у[х) дает слабый локальный экстремум функционалу (1), то
a = 0 дает локальный экстремум функции Ф(а). Это устанавливает-
ся рассуждением, аналогичным проведенному в теореме 1 § 1. Значит,
Ф'(0) = 0. Из определения 6J [у, т?(а;)] получаем, что тогда &J [у, г/(т)] = 0
для всех у[х) е С*[а, 6].
306
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Проинтегрируем по частям каждое слагаемое в формуле <5 J [у, »?(а;)]
начиная со второго, столько раз, сколько нужно, чтобы избавиться от
всех производных т)(х). Это законно в силу того, что F непрерывно
дифференцируема (к + 1) раз и что у(х) непрерывно дифференцируема
2к раз. Все проинтегрированные члены обратятся в нуль из-за нулевых
граничных условий для т/(х) и ее производных. В результате получаем
равенство
f Г—
J 1&У
d
dx
dF
ду'
dk dF '
dxk dyW
 t](x)dx = О,
где Vr?(z) € Ck[a, t>].
Условия теоремы на F и y(x) обеспечивают непрерывность на [а,Ь]
выражения в квадратных скобках под знаком интеграла. Из обобщения
основной леммы вариационного исчисления, леммы 1, тогда следует, что
это выражение — тождественный пуль на [а, 6]. А это и значит, что у(х)
удовлетворяет уравнению (4).	•
Определение. Каждое решение уравнения (4) называется экстремалью
функционала (3), а решение уравнения (4), принадлежащее М, называ-
ется допустимой экстремалью функционала (3).
В общем случае уравнение (4) является дифференциальным уравнени-
ем порядка 2к и имеет семейство решений, зависящее от 2к параметров.
Чтобы на практике определить допустимые экстремали (3), необходимо
эти параметры найти из 2/с граничных условий у^(а) — Aj, y^(b) = Bj,
j = 0,fc — 1. Из теоремы 2 получаем, что только среди допустимых экс-
тремалей функционала (3) может быть функция, реализующая экстре-
мум функционала (3).
Заметим, что при условиях теоремы 2 тот факт, что у(х) — экстремаль
(3), эквивалентен условию 8J [у, т?(х)] =0 для всех допустимых у(х). По-
этому допустимой экстремалью можно было бы и назвать решение урав-
нения 5J [у, п(т)] = 0 при всех допустимых у(х).
Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала (1)
можно ввести и понятие абсолютного экстремума.
Пример 2. Найти допустимые экстремали функционала
1
J(y) = У [(У")2 + (У')2 - 24.тУ] dx,
о
У(0) = у(1)=0, 1/(0) = 2, у'(1) = -4.
Д Уравнение Эйлера для J(y) имеет вид
— у" — 12х.
§2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов
307
Его решение
у{х) = Q + С2Х + Сзе~Х + С461 - 2х3.
Из граничных условий находим, что щ = Сз = сд = О, сг = 2.
Допустимая экстремаль: у — 2х(1 — а:2).	А
3. Случай двойных интегралов
Пусть Q — ограниченная, измеримая по Жордану облает), плоскости
Я2Х с декартовыми прямоугольными координатами х,у и пусть Q —
замыкание Q. Обозначим через С1 (Q) множество всех непрерывно диф-
ференцируемых на Q функций. Для Чи(х,у), v{x,y) € С1 (Q) введем рас-
стояние между ними по формуле
||и(®,у) - v(a:,S/)||cl(5) = max |u(:r,y) -	+
(x.y)eS
+ max
(i.y)eQ
du(x,y) dv(x,y)
dx dx
+ max_
(x,y)€Q
du(x,y)
dy
dv(x,y)
dy
Множество C1 (Q) с введенным расстоянием является линейным норми-
рованным пространством.
Границу области Q обозначим через dQ и будем считать в дальней-
шем dQ кусочно-гладкой кривой.
Через 0(4?) обозначим множество всех тех u(x,i/) 6 C](Q), для ко-
торых u|aq = 0, а через C(Q) обозначим множество всех непрерывных
на ф функций.
Имеет место двумерный аналог основной леммы вариационного исчи-
сления.
Лемма 2. Если f(x,y) € C(Q) и ffqf(x,y)r](x,y)dxdy — 0 для Ут)(х,у) е
С1^), mo f(x,y) = 0 в области Q.
О Рассуждаем от противного. Пусть существует точка (С, п) € Q такая,
что /(&>*}) > 0. В силу непрерывности f(x,y) найдется внутри Q круг
^r(Gn) радиуса г с центром в точке (С7?) такой, что f(x, у) > 0 для
Y(x,y) G КТ{(,,у). Положим (Kr«,7?) С Q)
/ ч = Г [(* - О2 + (2/~ц)2 - г2] , (х,у) G Кг(С,ц),
[0,
Нетрудно проверить, что Г)(х,у) G C^Q). Но
// f{x,y)ri(x,y)dxdy - // f(x,y)rj(x,y)dxdy > О,
J J Q	JJ Кг(С,т))
что противоречит условию леммы 2.	*
308 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Рассмотрим теперь двойной интеграл
W-ffgF [г,„,«(«,(5)
где F(x,y,u,v,w) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая
функция при V(®,p) G Q, V(u,v,wj €	Здесь -R(Ui„iW) обозначает
пространство с декартовыми прямоугольными координатами u,v,w.
Интеграл (5) будем рассматривать на множестве функций
М = {и(х, у) 6 С1 (Q):	= д(х, у)} ,
где д(х, у) — заданная непрерывная на кривой dQ функция.
В силу условий на F и и(г, у) интеграл (5) является функционалом
с областью определения М в пространстве С1^).
Определение. Говорят, что функция й(х,у) 6 М p&err слабый локаль-
ный минимум (максимум) функционалу (5), если Зе > 0 такое, что для
любой и(х,у) G М, для которой ||u(x,y) - м(л,у)||С1(р) < е, выполняется
неравенство J(u) > J(u) (J(и) <
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
бого локального экстремума (5).
Для функционала (5) вводится также естественным образом и понятие
абсолютного экстремума.
Для того, чтобы установить необходимое условие слабого локального
экстремума функционала (5), введем понятие первой вариации функци-
онала (5).
Пусть и(х,у) € М и q{x,y) € C’fQ). Рассмотрим функцию Ф(а) =
Ди + ар), где a е R. При фиксированных и(х,у), q(x,y) функции F,
^ — непрерывны V(x,y) 6 Q и |а| < е при некотором е > 0. Поэтому
по теореме из курса анализа собственный интеграл Ф(а) является не-
прерывно дифференцируемой функцией а и по правилу Лейбница
ф'(0) = dJtu + w) =
а=0
f Г TdF	dF dy	OF dpi
- //	л-’ a2 dxdy,
JJ Qtdu	др дх	dq cfyj
где р = q = Vp(x,p) €	(Q).
Определение. Выражение Ф'(0) называется первой вариацией функцио-
нала (5) и обозначается <5Ди, р), где р = г)(х, у) —произвольная функция
из С1 (Q).
Теперь докажем необходимое условие слабого локального экстремума
для (5).
§2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов
309
Теорема 3. Пусть й(х, у) € М является дважды непрерывно дифференци-
руемой функцией eQu дает слабый локальный экстремум функционала (5).
Тогда й(х, у) необходимо в Q удовлетворяет уравнению Эйлера—Остроград-
ского
д£_д_	—-Q
ди дх др ду dq
(здесь и — полные частные производные}.
(6)
О Так как й(х,у} дает экстремум функционалу (5), то функция Ф(п)
имеет экстремум при а = 0. Следовательно, Ф'(0) = 0, а, значит, и
<57(й,т?) =0 для всех q^y) 6 &(Q). Заметив, что
OF	dq_	д_( dF\	д_	9F
др	дх	дх v др)	дх	др’
аг	dq_	д( dF\	д_	dF
dq	ду	ду Х? dq )	ду	dq ’
и воспользовавшись формулой Грина и тем фактом, что tjIqq = 0, послед-
ние два слагаемые в формуле 6J(u,q) преобразуем следующим образом:
(Г (dF dq dF dq\. ,
//	я7’я2 + ‘я-я_ ]dxdV^
JJq\op dx dq dy)
ГГ Г d ( dF\ d ( 5F\] J ff ( d dF d dF\ ,
=//Q MreW те ЛМ/Л те Л'	=
II» № d dF\ . . I :'r dF
--Г(^ъ + ъ'ъ) у+J
Q	8Q
[( ( d dF d dF\ , J
JjQ\dx dp + dy dq) X У'
Таким образом, имеем, что для ^q(x,y) € С1 (Q)
г г (dF д dF д dF\
// а-----'’3" ]q\x,y)dxdy = Q.
JJq \ди дх др ду dq)
Отсюда в силу леммы 2 получаем уравнение (6).	•
Определение. Всякое решение уравнения (6) называется экстремалью
функционала (5), а всякая экстремаль (5), принадлежащая М, называв
ется допустимой экстремалью функционала (5). Уравнение (6) предста-
вляет собой уравнение в частных производных второго порядка.
Проведенные построения переносятся и на тот случай, когда вместо
двойного интеграла (5) рассматривается п-кратный интеграл.
310
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Пример 3. Для функционала
dxdy.,
u\aq = 9(х,у),
уравнением Эйлера—Остроградского является уравнение Лапласа
д2и д2и _
дх2 + ду2 = °'
Известно, что гармоническая функция и(х,у) в Q, для которой
u|dQ = g(x,y), существует и единственна. Однако не при всякой не-
прерывной д(х, у) можно ожидать, что эта функция является до-
пустимой экстремалью функционала (5), так как не всегда можно
утверждать, что первые производные функции и(х,у) непрерывны
в замкнутой области Q, т. е. что функционал (5) для построенной
гармонической функции и(х,у) имеет конечное значение.
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом,
с подвижной границей и задача Больца
В этом параграфе рассмотрены обобщения простейшей вариационной за-
дачи, во-первых, на случай более общего поведения искомой кривой на
границе и, во-вторых, на случай функционала неинтегрального типа.
1.	Задача со свободным концом
Рассмотрим интеграл
ь
Лу) =	F[x,y(x),y'(x)]dx,	(1)
а
где. а,& —заданные числа, а < &, F(x,y,p) —заданная дважды непрерывно
дифференцируемая функция при всех х € [a, t>] и Ч(у,р) € R^pp на мно-
жестве функций М = {у(х) 6 С1 [a, t>] : у(а) = Л}, где Л —заданное число.
Интеграл (1) является функционалом с областью определения М в
пространстве C^a.b]. Определения слабого локального и абсолютного экс-
тремумов функционала (1) в точности такие же, как и в случае простей-
шей вариационной задачи, но под М теперь надо понимать только что
указанный класс функций.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала (1) называется задачей со свободным концом.
§3- Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
311
Свое название эта задача получила из-за того, что при х = Ь значения
у(х) € М не задаются, т.е. конец х — b отрезка [а,6] является свободным
концом.
Приведем необходимое условие решения задачи со свободным копцом.
Теорема 1. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция
у(х) € М является решением задачи со свободным концом, то у(х) не-
обходимо на [а, &] удовлетворяет уравнению Эйлера
dF	d	dF	Л
ЗГ -	ТГ	’	=°
ду	dx	ду'
и граничному условию при х — b вида
dF [ж, у(х), у(т')]
dy'
= 0.
2=6
(2)
О Возьмем Vt)(x) € С1 [а, 6], для которой у(а) = 0, и рассмотрим Ф(а) =
J(y + ay) при а € Л. В силу условий на F и у(ж) собственный интеграл,
зависящий от параметра, Ф(а) является непрерывно дифференцируемой
функцией а. По известной теореме из курса анализа
Ф'(0) =
b
f [dF . ,dF ,
a=0 J
a
Поскольку y(x) — решение задачи co свободным
точка экстремума для функции Ф(а). Значит,
ь
I dx.
 з/=й(*)
концом, то а = 0 —
0 = Ф'(0)
dx.
Интегрируя по частям
получаем равенство
второе слагаемое и
»=!/(*)
используя условие у{а) — 0,
dF[x,y(x),y'(x)]
ду'
x^=b
d dF]
dx М 9=.(x)
dx = 0.
0F /, ;
ь
Это равенство выполняется для ^у{х) € С1 [а, Ь], для которой у(а) = 0.
Это равенство должно выполняться в том числе и для Vt/(a;) € С1 [а, Ь].
Тогда г)(Ь) = 0 и, как в простейшей вариационной задаче, получаем урав-
нение Эйлера для у(х). Рассматривая теперь у(х) € С1 (а, 6] с произволь-
ными значениями получаем равенство	(*)]	.	— д,
поскольку ~	' 37Z	=0 на [а, 6]. Отсюда и следует граничное
L «	V J 1у=у(г)
условие (2) для у(х).	9
312	Глава 9. Основы вариационного исчисления
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера для (1) называется
экстремалью задачи со свободным концом, а экстремаль, удовлетворяю-
щая условию у(а) = А и условию (2), называется допустимой экстрема-
лью этой задачи.
Итак, из теоремы 1 следует, что всякое решение задачи со свободным
концом необходимо является допустимой экстремалью этой задачи.
Пример 1. Рассмотрим задачу о брахистохроне (см. пример 2 § 1), но
будем теперь считать, что у(0) = 0 и что при х = I нет граничного
условия, т. е. конец х = I свободен. Найдем допустимые экстремали
такой задачи.
Д Экстремали, удовлетворяющие условию у(0) = 0, являются ци-
клоидами, параметрические уравнения которых х = c(t — sin 2), у =
с(1 — cos 2). Для определения с используем граничное условие при
х = I:
Уу(1 + у'2) Х=1
откуда у'(I) — 0, т. е. циклоида должна пересекать прямую х = I
под прямым углом. Следовательно, точка (1,у(1)) должна быть вер-
шиной циклоиды. Так как для вершины t — тг, то I = ел. Значит,
допустимая экстремаль имеет параметрические уравнения
I	I
х = — (2 — sin2), у = -(1 — cost).	А
7Г	7Г
Замечание. Мы рассмотрели случай, когда конец х = Ъ свободен. Со-
вершенно аналогично рассматривается случай, когда оба конца х — а,
х = Ъ отрезка свободны от граничных условий. Тогда для допустимой
экстремали задачи должны выполняться граничные условия вида (2) для
х = а и для х = Ъ. Задачу с обоими свободными концами называют ино-
гда задачей без ограничений.
Пример 2. Решить задачу без ограничений для функционала
1
J(y) - У [(у')2 + 6г/2 + 12y] dx.
о
А Допустимые экстремали задачи являются решениями граничной
задачи
у" + у' - бу = б,
1/(0) = у'(1) = 0.
§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
313
Решением ее является у{х) = —1. Для € С1 [0,1] имеем
1
J(y + у) — >($) = У е® [г/2 + бт/2 + 2уд' + 12ут? + 12rj] dx =
о
= У e®[r/2 + 6r?2jdx + 2eV •	+
о
1
[ \12ех + 12еху —-j-(2еху1)
J	dx
о
r/dx =
1
= У ех[т/2 + 6г/2] dx > 0.
о
Здесь мы воспользовались интегрированием по частям, граничными
условиями для у(х) и уравнением Эйлера для у(х).
Следовательно, у(х) дает абсолютный минимум для рассматриваг
емой задачи без ограничений.	А
2.	Задача с подвижной границей
В п. 1 конец экстремали может перемещаться по вертикальной прямой
х = Ь. Рассмотрим теперь интеграл (1) на множестве М тех функций
у(х) € С1 [а, Ь], для которых р(а) = А и правая граничная точка (Ь, у(Ь))
в зависимости от у(х) может перемещаться по некоторой непрерывно
дифференцируемой кривой Г, заданной уравнением у = f(x), х е [с, d],
О а, так что у(Ь) = /(6). На множестве М таких функций у(х) интеграл
(1) задает функционал. Здесь подлежит определению и функция у(х) и
правый конец b ее отрезка определения.
Слабый локальный и абсолютный экстремумы для такого функцио-
нала определяются аналогично тому, как это сделано для простейшей
вариационной задачи.
Задача нахождения слабого локального экстремума для (1) с указан-
ной здесь областью определения называется задачей с подвижной (пра-
вой) границей. Укажем необходимые условия решения такой задачи.
Теорема 2. Пусть решение у(х) задачи с подвижной (правой) границей
принадлежит С2 [а, &]. Тогда у(х) необходимо на [а, t>] удовлетворяет урав-
нению Эйлера
dF _ d dF
ду dx ду1
12 2769
314
Глава 9. Основы вариационного исчисления
и условию трансверсальности при х = Ь:
IF [х, у(х), У'(х)] + [Ш ~ !/'(*)]	|	= о. (3)
к	) х=ъ
О Пусть у{х, а) — семейство произвольных дважды непрерывно диффе-
ренцируемых функций при Va 6 Я, причем у(.т,0) = у(х), у(0,а) — А.
Рассмотрим при |а| < е собственный интеграл, зависящий от параме-
тра а:
Ф(а)
х,у(х, а),
ду(х,а)
дх
dx,
где х(а) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция и
х(0) = Ь. При условиях теоремы 2, как следует из курса анализа, Ф(о') —
непрерывно дифференцируемая функция и Ф(0) = J(y),
Ь
®'(0) = /[SSa+3?v
а
dx + F [fe, y{b),y'[b')\ 5х,
у=у(х)
где fa = Sy =	Sv‘ - & •	= * '	=
Выражение Ф'(0) называется первой вариацией в задаче с подвижным
правым концом и обозначается через 5J(y,5y). Так как у(х) — решение
задачи, то a = 0 дает экстремум функции Ф(а). Значит, Ф'(0) = 0 и,
следовательно, 6J(y,Sy) =0 при всех допустимых вариациях 6у{х). Про-
интегрировав по частям второе слагаемое под знаком интеграла и вос-
пользовавшись тем, что г)(а) = 0, получаем равенство
ь
Г гаг _ d dF'
J [ду dx 52/'];,=^)
+ ^[WM'(i)] <5у(Ь)=0.
• 6y(x)dx + F [б, у(Ь),	+
Если у\ = у [г(с<),а], то
6yi = ( 4~У [х(а),а] > а =
lda Ja=0
(ду dx	dy\	r
д- '	+ -г; 1	• a = y(b)6x + 5y(b)
ijtc dci	dot J _q
§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
315
Рассуждая, как и в теореме 1, отсюда получим, что у(х) удовлетво-
ряет уравнению Эйлера и следующему равенству
F [6,У(Ь)>2/'(Ь)]	j Sx +
ftp
+	[6, y(b), у'(6)] <5yi =0-
Замечая, что f'(b) = приходим к условию трансверсальности (3) для
У(х).	•
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера называется экстрема-
лью задачи с подвижной границей, а экстремаль, удовлетворяющая усло-
вию у(а} — А я условию (3), называется допустимой экстремалью этой
задачи.
Замечание. Можно рассматривать задачу и с двумя подвижными кон-
цами х = а, х = Ь.
Отметим также, что условие трансверсальности устанавливает зависи-
мость между угловыми коэффициентами f'(x) и у'(х) в граничной точке.
В частности, если граничная точка (b,y(b)) перемещается по горизонталь-
ной прямой у = const, то условие трансверсальности принимает вид
У ду'\х=ь
= 0.
ПримерЗ. Найти расстояние d от точки (—2, Зх/З) до полуокружности
у = у/1 - (.г - I)2, х € [0,2].
Д Задача сводится к нахождению минимума
ь
J(y) = У х/1 + yndx
—2
при условиях у(-2) = Зх/З и f(x) = ^/1 - (я - I)2. Решения уравне-
ния Эйлера имеют вид у = cj х + сг, где cj, C2 — произвольные посто-
янные. Для трех неизвестных ci, сг, Ъ имеем систему трех уравнений
вида:
—2cj + C2 = ЗТЗ, С\Ь + С2 — \/1 — (Ь — I)2,
Jl +<% + (	' Ь == - ci') С1.	- 0.
V 1	- (Ь- 1)2 J у/Т+^
Эта система дает решение: b = |, ci = —сг = — УЗ.
Получаем допустимую экстремаль: у — — ху/З + у/3.
316
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Эта экстремаль дает минимум J (у), равный искомому расстоя-
нию d".
1/2
d~J + (>/3)2<£г = 5.
-2
3.	Задача Больца
Пусть а, b — заданные числа, а < Ь. На множестве всех функций из
С1 [а, 6] рассмотрим выражение
ь
<Цу) ~	F[x,y(x),^(x)]dx +f[y(a),y(b)],	(4)
а
где F(x,у,р) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ция при Vrc € [a,b], V(y,p) 6	/(С,т?)—заданная непрерывно диффе-
ренцируемая функция на всей декартовой плоскости R^. .
Выражение (4) задает функционал, областью определения которого
является все пространство С1 [а, 6].
Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала (4)
можно определить слабый локальный и абсолютный экстремумы.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала (4) называется задачей Больца.
Теорема 3. Если у(х) 6 С2 [а, 6] является решением задачи Больца, то не-
обходимо у(х) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера
dF	d dF п
^=0
ду	dx ду
и условиям трансверсальности при х = а, х = b вида
О Поскольку у(х) дает решение задачи Больца, то функция Ф(а) =
J(y + aif), где а € R, т)(х) € С1 [а, 6], имеет экстремум при а = 0. Из
условий теоремы 3 следует, что функции F и рассматриваемые при
§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
317
у = у + аг), непрерывны при х € [а, &), |а;| < £, при некотором е > 0.
Значит, по известной теореме из курса анализа Ф'(а) — непрерывна и
ь
I dx +
- У=У(х)
 rtf).
v=v(z)
В частности, Ф'(0) = 0 для
Ф'(0)= +
а
д(, у=у{х)
По теореме Ферма Ф'(0) =0,	6 С1 [а, &].
Уг){х) 6 С1 [а, Ь]. Тогда получаем, что при УтДт) € С1 (а, Ь]
f\dF . , dF ,1
[Уду ду' JW(I)
Интегрируя по частям второе слагаемое, как и в случае простейшей ва-
риационной задачи, устанавливаем, что у(х) удовлетворяет уравнению
Эйлера. Учитывая это обстоятельство, для Vtj(t) € С1 [я, &] из равенства
Ф'(0) = 0 интегрированием по частям находим, что
Ь
Г OF	dF ,
0= / Т’,+ УГ’!
J [ду	ду'
• dx = 0.
д/
У=У(х)
0F
ду'
у-у(х)
Ь
dx^9/
дг]
 т)(а) +
У=У(х)
 TZWlLa +
У~У(Х)
d
dx
у=Цх)
df [$(«), у'(6)]
5F1	<
’w<11:+
 *?(**) + У-
У=У{х)

 vW =
дг)
р(а)-
х=а J
дС
/ £=&
^/[y(o)>y'W] _ dF[s,y(z),y'(a;)]
ду'
В силу произвольности у{а) и т)(Ъ) отсюда приходим к условиям транс-
версальности (5).	•
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера для функционала (4)
называется экстремалью задачи Больца, а всякая экстремаль задачи
Больца, удовлетворяющая условиям трансверсальности (5), называется
допустимой экстремалью задачи Больца.
Из теоремы 3 следует, что всякое решение задачи Больца необходимо
является допустимой экстремалью (4).
318
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Пример 4. Решить задачу Больца для функционала
2
J(V) = У z2 [y'(a;)]2«te-2j/(l)+у2(2).
1
Д Уравнение Эйлера дает экстремали у =	+ сг, а условия транс-
версальности дают граничные условия j/(l) = —1, 4у'(2) = —у(2).
Отсюда у(х) — 1 + | — допустимая экстремаль. Пусть V?)(x) € С1 [1,2].
2
J(y + *1) - J(y) = I x2[r^ + 2у'  rj’]dx - 2П(1) + 2у(2)т?(2) + г?2 (2).
1
Интегрируя по частям второе слагаемое под знаком интеграла и ис-
пользуя уравнение Эйлера для у(х) и условия трансверсальности,
получаем
2
J(y + ri)-J(y) = j x2[ij'(x)]2dx + г/2(2) >0.
1
Таким образом, у(х) дает в задаче Больца абсолютный минимум. А
§ 4. О сильном локальном экстремуме и
абсолютном экстремуме функционалов
Рассмотрим вновь интеграл
Ь
J(y) = J F [*, у(х), у'(®)] dx,	(1)
a
где a,6 —заданные числа, a < b, F(x,у,p) —заданная дважды непрерывно
дифференцируемая функция для Vz е [а, 6], V(y,p) 6 Л2ур), ПРЯ заданных
граничных условиях
у(а) - А, у(Ь) = В,
где А и В — заданные числа.
Наряду со слабым экстремумом для (1) рассматривается и сильный
экстремум. При этом несколько расширяется область определения инте-
грала (1). Обозначим через /СС1[о,Ь] множество всех непрерывных на
[а, 6] функций, имеющих на [а, 6] непрерывную производную, за исклю-
чением, быть может, конечного числа точек из [а, Ь], в которых произ-
водная терпит разрыв первого рода. Пусть
М = {у(ж) € КС1 [а, Ь] : у(а) = А, у(Ь) = В} .
§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
319
Понятно, что интеграл (1), рассматриваемый на множестве М, является
функционалом с областью определения М. После введения в ЛГС1^, Ь]
нормы функций у(х)
||у(х)||с(а,(>] = max |у(х)|
же[о,ь)
множество КС1 [а, Ь] становится линейным нормированным простран-
ством.
Определение. Говорят, что у(х) е М дает функционалу (1) сильный
локальный минимум (максимум), если Зс > О такое, что для любой
у(х) € М, для которой ||у(т) — у(д)||с(аб] < е, выполняется неравенство
Ду) > J(y) (J(y) <
Сильные локальные минимум и максимум объединяются термином
сильного локального экстремума.
Сильный локальный экстремум геометрически отличается от слабого
локального экстремума для (1) тем, что для сильного экстремума рас-
сматриваются кривые на [а, Ь] близкие по ординатам к кривой у(х), а
для слабого экстремума требуется близость этих кривых к у(х) как по
ординатам, так и по угловым коэффициентам касательных к кривым.
Поскольку множество КС1 [а, 6] э С1 [а, 6], то, если у(х) ЕС1 [а, &] дает
сильный экстремум (1), у{х) дает (1) и слабый экстремум. Поэтому для
таких функций необходимое условие слабого экстремума является необ-
ходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума
является достаточным условием слабого.
Приведем пример, в котором допустимая экстремаль у{х) 6 С1 (a, t>]
дает слабый локальный минимум, но не дает сильного локального ми-
нимума.
Пример 1. Исследовать слабый и сильный экстремумы для функцио-
нала
1
J(y) = У [y'to)]3	у(0) = О, у(1) = 1.
о
Д Уравнение Эйлера дает экстремали у = ciz + сг- Единственной
допустимой экстремалью является у = х. Покажем, что у = х дает
слабый локальный минимум. В самом деле, если V»?(t) € С1 [0,1], то
1
Ду + Vi} - J{y) = Jto')2(3 + r)')dx > 0,
О
поскольку 3 +	> 0, если взять ||^(ж)||с1 (од] < 3-
320
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Покажем, что у — х не дает сильного экстремума. Возьмем
Сп = О,
2
Its
X
и 77п(я) = f Cn(x)dx, п > 2.
о
Ясно, что г]п(х) € АТ1 [0,1] и
Уп(х) = у (ж) +т1п(х). Тогда уп(х)
^[0,1],
х € [5,1],
Il’TnMIlqo.il -> о ПРИ n-юс. Пусть
-4 у(т) В С[0, 1] при П-1 ОО И
1/Й,
1
№п) = У^(1 + r)'n)3dx =
о
1 п 1
= 1 + f (Зп — n3/2)dx + у Г + n^j dx —	+ о(1) оо,
О	1/2
т. е. у не доставляет сильного локального минимума.
Приведем пример функционала, для которого нет слабого минимума
в классе С1 [a,t>], но есть сильный минимум в классе КС1 [а, &].
Пример 2. Рассмотрим функционал
2
J(V) = I У'2(1 - V')2dx, у(0) = 0, з/(2) = 1.
о
Д Уравнение Эйлера для него дает экстремали у = с^х 4- сг- Из
граничных условий следует, что у(х) = %х — допустимая экстремаль.
Нетрудно убедиться, что у(х) не дает слабого минимума. С другой
стороны, на функции
. .	/х, х е [0,1],
функционал J(y0) — 0, так как подынтегральная функция = 0. По-
скольку J(y) > 0 для любой допустимой функции у{х) и J{yo) = О,
то на уо(х) заведомо реализуется сильный минимум.	А
Этот пример показывает необходимость рассмотрения сильного экстре-
мума в классе функций КС1 [а, &] даже для тех функционалов (1), для
которых функция F— дважды непрерывно дифференцируемая.
Всякий абсолютный экстремум (1) является одновременно и слабым и
сильным локальным экстремумом. Следовательно, необходимые условия
слабого экстремума являются необходимыми условиями для абсолютного
§4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме 321
экстремума, но, вообще говоря, не наоборот. Достаточные условия абсо-
лютного экстремума будут достаточными условиями слабого и сильного
экстремумов, но, в общем случае, не наоборот.
Как известно, всякая непрерывная функция на отрезке достигает свое-
го абсолютного экстремума (наибольшего и наименьшего значения). Для
функционалов тоже можно ввести понятие непрерывности в линейном
нормированном пространстве. Так, например, функционал (1) является
непрерывным в пространстве С1 [а, Ь). Однако не всегда функционал (1)
достигает, например, своего абсолютного минимума в классе функций из
С1 [а, 6] (см. пример 2). Поэтому вопрос о существовании абсолютного
экстремума функционала (1) и его обобщений является значительно бо-
лее сложным, чем для функции многих переменных. Известны некоторые
достаточные условия, например, теорема Тонелли, при которых функци-
онал (1) имеет абсолютный экстремум. Заметим, что точные верхняя и
нижняя грани для функционалов типа (1) могут не достигаться не толь-
ко во всем С1 [а, Ь], но также и на ограниченном замкнутом множестве
из С1 [а,6], например, на единичном шаре в С1 [а,6], т.е. на множестве
всех тех функций у(х) б С1 [о,Ь], для которых ||t/(x)||ci[в,ь] < 1-
Теоремы существования играют центральную роль для так называе-
мых прямых методов вариационного исчисления, основанных на построе-
нии последовательности функций, сходящейся к искомой функции, реали-
зующей экстремум для (1). Причина появления прямых методов в том,
что решение, вариационной задачи приводит к необходимости решения
граничной задачи для уравнения Эйлера, а доказательство существова-
ния решений таких граничных задач теория дифференциальных уравне-
ний дает лишь в редких случаях. Прямые методы вариационного исчи-
сления полезны и для теории дифференциальных уравнений. Ведь если
дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера для функцио-
нала (1) и если прямым методом установлено, что (1) имеет абсолютный
экстремум в классе С1 [а, Ь], то тем самым доказано, что соответствую-
щая краевая задача имеет решение. Методы решения граничных задач
для дифференциальных уравнений, основанные па исследовании экстре-
мума соответствующего функционала, называются вариационными мето-
дами решения граничных задач. Можно, например, доказать существо-
вание и единственность решения граничной задачи вида
“ <3(Х)У = 7(®)> р(х) б С^а.Ь], р(х) > О, д(х)бС[а,Ь],
д(х) > 0, f(x) б С[а, &], у(а) = А, у(Ь) = В,
рассмотрев задачу на абсолютный минимум функционала
ь
J(y) = J [p(z)!/2 + q{x)y2 + 2/(т)у] dx
а
в классе функций у(х) € С1 [а} £>], удовлетворяющих заданным граничным
условиям.
322
Глава 9. Основы вариационного исчисления
§ 5. Изопериметрическая задача
В § § 2-3 рассмотрены обобщения простейшей вариационной задачи на
случай более общих функционалов и на случай более общего поведения
неизвестных функций на границе. Обобщения простейшей вариационной
задачи можно получать по-другому, подчинив искомую функцию не толь-
ко граничным условиям, но и некоторым дополнительным условиям свя-
зи. О такого рода задачах пойдет речь в настоящем параграфе. Общим
моментом при решении таких задач является использование метода мно-
жителей Лагранжа — аналога известного из курса анализа метода мно-
жителей Лагранжа, применяемого там для решения задач на условный
экстремум для функций многих переменных.
Пусть функции Е(х,2/,р) и G(x,у,р) —заданы и дважды непрерывно
дифференцируемы для Угб [а, Ь] и V(y,p) € КууРу Рассмотрим интеграл
Ь
J(y) = У F [*,£/(*),?/(*)]dx	U)
a
на множестве функций
< у(х) е С1 [а, 6]: у{а) = А, у(Ь) = В,
ь	1
К(у) = у G[z,y(a;),i/(a;)]cte = />,
а	)
где А, В и I — заданные числа.
Функции у(х) € М называются допустимыми. Ясно, что интеграл (1)
задает функционал .с областью определения М в пространстве С1 [а, 6].
Условие Х(у) = I называется условием связи.
Определение. Говорят, что допустимая функция у(х) дает слабый ло-
кальный минимум (максимум) функционала (1), если Зе > 0 такое, что
для всякой допустимой функции р(т) такой, что |]р(т) - у(т)||с‘[а,ь] < е,
выполнено неравенство J{y) > J(y) (J(у) < J (у))-
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
бый локальный экстремум. Для функционала (1) понятным образом вво-
дится и абсолютный экстремум.
Определение. Изопериметрической задачей называется задача нахожде-
ния слабого локального экстремума функционала (1). Название задачи
происходит от ее простейшего примера: задачи нахождения замкнутой
кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь.
Чтобы установить необходимое условие решения изопериметрической
задачи, введем в рассмотрение функцию
L(.x,y,l/,X) = F(x,y,y') + XG(x,y,y'), VA e R.
§ 5. Изопериметрическая задача
323
Она называется лагранжианом, а параметр А называется неопределенным
множителем Лагранжа.
Кроме того, рассмотрев функционал К (у) на множестве тех у(х) 6
С1 [а, Ь], для которых у (а) — А, у(Ь) — В, согласно § 1 можно найти ва-
риацию функционала К {у):
ь
бК[у,т}(х)] = У	dz, Vt){x) еС^а.Ь].
а
Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая допустимая
функция у(х) является решением изопериметрической задачи и пусть ва-
риация SK	0 <3дя всех т)(х) Е С1 [а, Ь]. Тогда найдется такой мно-
житель Лагранжа А, что у(х) необходимо на [а, 6] удовлетворяет уравне-
нию Эйлера вида
О Из условия теоремы следует, что Э»?о(^) € С1 [а, 6] такая, что
/ 0.
Возьмем теперь Чг)(х) € С1 [а, Ь] и рассмотрим функции
и = <?(а, /3} = J [«/(я) + ар(х) + /Зт/о(®)] >
v = ф(оц(3) = К [у(ж) + от?(х) + /fr?o(z)],
где а, /3 е R. В силу условий на у(х), F и G к этим интегралам можно
применить теоремы о непрерывности и дифференцируемости собствен-
ных интегралов, зависящих от параметров. Из этих теорем следует, что
tp(a,(3) и V>(a,/3) являются непрерывно дифференцируемыми функциями
в некоторой окрестности а — (3 = 0 и что
^(0,0) = J(y),	= <5J[j/(a;),T?(x)], ^4^ = М1К*), %(*)],
ЖО)-К(у), ^^- = SK[y(x),v(x)], ^М-^дК[у(х),р0(х}].
оа	ор
Здесь, например,
/• dF	dF
dJ[y(x),p(x}] =	%-	-^)+^7
{ [ ду v=iM ду
ri(x) dx.
Покажем, что якобиан
д(<р, Ф)
д(и, v
= 0, \/г/(х) G <б* [а, Ь].
u=v=0
324
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Рассуждаем от противного. Пусть этот якобиан отличен от нуля для
некоторого т](х) 6 С1 [а, Ь]. Тогда из теоремы о системе неявных функций
следует, что система уравнений
и — <р(а, 0}, v =	0)
однозначно разрешима относительно а,0 в некоторой окрестности
а = 0 = 0. Предположив для определенности, что у[х) дает локальный
минимум в изопериметрической Задаче, рассмотрим систему уравнений
<р(а, 0) = <^(0,0) — е, ty(a,0) = ^>(0,0), е > 0.
По указанной выше теореме существует единственное решение (а,/?) этой
системы из окрестности а = 0 = 0:
<р(а, 0) - <?(0,0) - г = J(y) - е, Ща, 0) = ^(0,0) = К (у) = I.
Это значит, что найдется функция вида у(х') + afj(x) + 0t)q(x) такая, что
J(y + afi + 0rjQ) = J(y) -е < J(y),
К(у + afj + 0rjo) = I.
Это противоречит тому, что у(х) дает локальный минимум. Наше пред-
положение неверно и якобиан
д(<р, Ф) _ 6J(y,r]')
9(а,0) а=0=о 6J(y,yo)
6КЫ
5К{у, по)
Vn(a;) € [°, Ч-
Положим А = —	Поскольку 5K(y,rjo) /0, то Л оо. Тогда для
любого п(^) € С1 [а, Ь] получаем тождество
W(j>l?)+AiK(j,4) = 0.
В интегральной форме это тождество имеет вид:
лп) -п(*) +
/ у=у(х)
0F х dG\
я77 я-7 I
ду‘ ду' /
dx — 0.
y=V(x)
Учитывая формулу для L, интегрируя по частям слагаемое, содержащее
п'(т) и применяя основную лемму вариационного исчисления, отсюда по-
лучаем уравнение Эйлера (2).	•
Замечание. Условие теоремы о том, что 5К [у,п(я)] 0, равносильно
тому, что у{х) не является экстремалью простейшей вариационной задачи
для К (у).
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера (2) называется экс-
тремалью изопериметрической задачи, а всякая экстремаль, являющаяся
допустимой функцией, называется допустимой экстремалью изопериме-
трической задачи.
§ 5. Изопериметрическая задача
325
Из доказанной теоремы следует, что решение изопериметрической за-
дачи необходимо является ее допустимой экстремалью. Заметим, что вся-
кая экстремаль изопериметрической задачи служит экстремалью некото-
b
рой простейшей вариационной задачи для функции Лагранжа f Ldx.
а
В общем случае экстремали изопериметрической задачи зависят от
трех параметров Ci, С2, А. Допустимые экстремали находят из двух гра-
ничных условий и условия связи К (у) = I.
Пример. Решить изопериметрическую задачу:
тг	тг
J(y) = У	у(0) = у(я) = 0, j y(x)sinxdx = 1.
о	о
Д Здесь лагранжиан L — y'2 + Aysina:. Уравнение Эйлера для L дает
экстремали у = — | sin а: + сух + сг- Из граничных условий и условия
связи находим, что ci = сг = О, А = — £. Таким образом, у(х) —
- sin х — допустимая экстремаль. Покажем, что она дает абсолютный
минимум в изопериметрической задаче.
Действительно, при всякой допустимой функции у(х) =
у(х) + г)(х) (для этого надо взять Vt?(x) е С1 [0, тг], для которой
ТГ
f т/(х) sin х dx = 0) имеем, что
о
*	к	к
J(y + r))-J(y)= J [(у' + т)'}2 - (г/')2] dx = 2 У у' • т] dx + j(у1)2 dx =
о	оо
=	1’=о - 2 У у"(х)г/(ж)	+ У Ы)2 dx =
О	о
п	тг
= 2 У ^sinx7?(a:) dr + j\r]1')2 dx =
о	о
тг	тг	тг
= У т](х) sin ж dr + j\rf)2dx = J(у')2 dx > 0. А
о	оо
Замечания.
1) Изопериметрическая задача обобщается на случай нескольких усло-
вий связи
6
Ki(y) = У Gi [ж, у(х), г/(я)] dx = k, i = 1,тп,
а
и на случай функционалов J(y), зависящих от вектор-функции у(х).
326	Глава 9. Основы вариационного исчисления
2) Если у(х) не является ни экстремалью J(y), ни экстремалью К (у),
то справедлив так называемый принцип взаимности: у(х) — экстремаль
задачи на экстремум J(y) при условии К (у) = I и одновременно у(х) —
экстремаль задачи на экстремум К(у) при условии J(y) = I. Это видно
из того, что можно ввести лагранжиан L — A]F + А2(7, куда функции
F и G входят симметрично.
§6. Задача Лагранжа
В этом параграфе будут рассмотрены условия связи несколько иного ро-
да, чем в предыдущем параграфе.
Пусть F(x,y,z,p,q) —заданная дважды непрерывно дифференцируе-
мая функция при Vx е [а, Ь] и V(j/, z,p, (?) е R4, где Я4 — пространство с
декартовыми прямоугольными координатами y,z,p,q, и пусть g(x,y,z) —
заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция при Vx е [а, 6]
и V(y,z) е в?м-
Рассмотрим интеграл
ь
J{y,z)= f F[x,y(x),z(x),y'(x),z'(x)]dx	(1)
а
на множестве пар функций (p(x),z(x))
М = {(y(x),z(x)) 6 €2(0,6] : у (а) = Аь z(a) = А2, y(b) =
z(b) — В2, д [х, у(х), z(x)] = 0, Vx е [а, 6]} .
Уравнение g(x,y,z) =0 называется условием конечной (или геометри-
ческой) связи для неизвестных у, z. Заметим, что из определения М сле-
дуют условия согласования уравнения связи с граничными условиями:
д(а, Л1,Л2) = g(b,Bi,B2) = 0.
Всякая пара функций (j/(x),z(x)) из множества М называется допусти-
мой.
Интеграл (1), рассматриваемый на множестве М, задает функционал
в пространстве Gj [а, 6] (см. п. 1 § 2).
Определение. Говорят, что допустимая пара функций (y(x),z(x)) да-
ет слабый локальный минимум (максимум) функционала (1), если
Эе > 0, что для любой допустимой пары (y(x),z(x)) такой, для которой
|| (y(x),z(x)) — (y(x),z(x)) |lc*[a,6] < справедливо неравенство J(y,z) >
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
бого локального экстремума. Для (1) можно ввести и понятие абсолют-
ного экстремума.
§6. Задача Лагранжа
327
Определение. Задачей Лагранжа называется задача нахождения слабо-
го локального экстремума для функционала (1).
Нетрудно указать геометрический смысл задачи Лагранжа. Пусть
уравнение связи g(x,y,z) = 0 задает некоторую поверхность S в
^x,y,zy Условия согласования фиксируют две точки на S: jDi(a, Аь Аз)
и JD2(&,Вг.Вг), а пара функций у — у(х), z = z{x), х 6 [а,6], задает про-
странственную кривую 7- Задача Лагранжа тогда геометрически означа-
ет (см. рис. 3), что требуется найти среди всех непрерывно дифференци-
руемых кривых 7, лежащих на заданной поверхности S и соединяющих
заданные точки Di, D?, такую кривую, которая дает слабый локальный
экстремум интегралу (1).
Задачу Лагранжа можно решать методами, аналогичными методам
решения задачи на условный экстремум для функций многих перемен-
ных. Прямой метод заключается в том, что разрешают условие связи
p(x,y,z) = 0 относительно у или z, найденное выражение подставляют
в интеграл (1) и получают уже простейшую вариационную задачу для
J(z) или J(y). Однако прямой метод проходит лишь для узкого класса
функций д(х, у, z). Более удобен для решения задачи Лагранжа метод
неопределенных множителей Лагранжа, как и в случае изопериметриче-
ской задачи. Составим лагранжиан L = F(x,y,z,y',z') + X(x)g(x,y,z), где
A(t)—любая функция из С[а,&], называемая неопределенным множите-
лем Лагранжа.
Теперь можно установить необходимое условие решения задачи Ла-
гранжа.
Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая допустимая па-
ра функций (y(x),z(x)) является решением задачи Лагранжа и пусть
•> q всех х g [щб]. Тогда существует
множитель Лагранжа Х(х) € С[а, Ь] такой, что пара функций (y(x),z(x))
необходимо на [я,&] удовлетворяет системе уравнений Эйлера вида
dL	d dL	п dL	d	dL	„
ду	dx ду1 dz	dx	dz'
328
Глава 9. Основы вариационного исчисления
О Фиксируем произвольную точку Dq (хо,у(хо), z(xo)) гладкой кривой 7:
У — у(.х), 2 = 2(ж), х е В этой точке, по условию теоремы, по
крайней мере одна из производных	отлична от нуля. Пусть для
определенности	0. Так как g(Do) — 0 и в некоторой окрестности
Dq функция дважды непрерывно дифференцируема, то по теореме о не-
явной функции найдется такая дважды непрерывно дифференцируемая в
окрестности точки (хо,у(хо)) функция z = <р(х,у), что д [х, у, tp{x, у)] = О
и	= 0 в окрестности точки (хо,у(хо)).
Пусть окрестностью Xq является (271,2:2). Тогда
(Il Z2 Ь\
У + ! + J \ F[x,y(x),z(x'),y'{x),z'(x)]dx,
a Xi Х2 /
причем Vx Е (х 1,2'2)
F[x,y,z,y',/] = F х,у,<р(х,у),у',	у' = Ф(х,у,у').
их иу
Рассмотрим интеграл
12
Л)(у) = У ф [х,у(х),у'(х)] dx
XI
при граничных условиях y(xi) = y(xi), у(хз) = у(хг). Поскольку глад-
кая кривая 7 дает решение задачи Лагранжа, то ее часть 70: у = у(х),
z — у>[х,у(х)], х 6 [хьхг], тоже является решением задачи Лагранжа в
окрестности точки Dq. В самом деле, пусть для определенности кривая
7 дает минимум. Тогда J(-y) > /(7) для любой достаточно близкой глад-
кой кривой 7, лежащей на поверхности S v концами в точках D\ и D%
(см. рис. 3). Обозначим через 7 кривую, полученную из 7 заменой 70
на достаточно близкую к ней гладкую дугу 70 на S. Тогда
0 < J(7) - J<7) = J [(? - 7о) + 7о] - J [(7 - 7о) + 7о] =
= ^(7 - 7о) + -7(7о) - -7(7 - 7о) - <7(7о) = <7 (70) - Д7о)-
Итак, 7о —решение задачи Лагранжа в окрестности точки Dq. Следо-
вательно, проекция 7о на плоскость х,у — кривая у = у(х), х 6 [х1,хг],
является решением простейшей вариационной задачи для Jo{y) т.е. у(х)
необходимо на [х1,хг] удовлетворяет уравнению Эйлера
ЭФ _ d_
dy dx
дФ
х Е [xi, хг].
(3)
Выразим в (3) производные от Ф через производные от F и д. Используя
формулу производной сложной функции Ф, что законно в силу свойств
§ 6. Задача Лагранжа
329
гладкости функций F и tp, получаем:
ЭФ _ 9F dF_ dtp dF / &<р д2р Д
ду ду + dz ду + dz' \дхду + ду2 У ’
ЭФ _ dF dF др
ду' ду' + dz1 ду ’
d	дФ	_ d	dF	dtp d dF	dF / d2p d2p	Д
dx	dy' dx	dy'	dy dx dz'	dz' \ dydx + dy2	)
Подставляя в (3), находим, что
ЭР
. ду
d dF'
зД=5{г)
dtp ' dF d dF
dy dz + dx dz'
v=y(*)
X € [х^Хг].
Но по теореме о неявной функции 0) Vx 6 [х 1,^2]
Эд[х,у(х),х(х)]	dg[x,y(x),z(x)] др [х,у(х)]
ду	dzdy
Учитывая это обстоятельство, предыдущее тождество запишется так:
ду dx ду' dzjv=y(x},
dF_ _ ±dFl Эр)
dz dx dz' dy j y=v(x), ’
x e [zi, x2].
z=i(x)
Полагая
(4)
У=у(®).
*=-(*)
= A(x)
и учитывая вид лагранжиана L, из (4) получаем, что пара функций
(у(х), z(x)) удовлетворяет системе уравнений Эйлера (2) в окрестности
точки хо 6 [а, 6]. Так как точка хо — произвольная, то пара (y(x),z(x))
удовлетворяет (2) на всем [а, 6].	•
Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера (2), являю-
щееся допустимой парой функций, называется допустимой экстремалью
задачи Лагранжа.
Из доказанной теоремы следует, что всякое решение задачи Лагранжа
необходимо является допустимой экстремалью этой задачи. Кроме того,
всякое решение задачи Лагранжа является экстремалью некоторой про-
ь
стейшей вариационной задачи для функции Лагранжа J Ldx.
а
Пример. Среди всех кривых на сфере с центром в начале координат
радиуса Я, соединяющих две заданные точки сферы, найти кривую
330
Глава 9. Основы вариационного исчисления
наименьшей длины (такую кривую принято называть геодезической
кривой на сфере).
Д Зададимся параметрическими уравнениями сферы x2+y2+z2 = R2:
х = R cos <р cos У = Rsin<pcosip, z = Rsintp,
tn „ .	, г тг Tri
Ч> 6 [0,2тг],
Пусть <p = <p(^) — уравнение искомой кривой на сфере. Длина ее
отрезка между заданными точками сферы, соответствующими зна-
чениям ф} и -ф2 параметра <Д, равна
02
J(<p) = У \/Е<р'2 + 2F</ •	+ Gi/Pdtf,
0i
где Е, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы сферы.
В нашем случае
02
J(<p) = R+ cos2 ф [<p,(ip)]2d^).
01.
Уравнение Эйлера
d cos2 ф-<р'	_
&ф yi + cos2^>  (у/)2
дает решения y>(V>) = arccos(ci tg ф} + с?. Отсюда
tg-ф = Acos<p(-</>) + Bsin<p(V»), A = — cosc2, B= — sinc2-
Cl	Cl
Умножая обе части равенства для tg-0 на Всозф, получим
R sin ф = AR cos <p cos ф + ВR sin <p cos ф.
Переходя к декартовым координатам, отсюда
z — Ах + By.
Получили уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и
пересекающей сферу по большому кругу. Следовательно, геодезиче-
ской кривой на сфере является меньшая дуга большого круга, со-
единяющая две заданные точки сферы.	А
Замечание. Задача Лагранжа обобщается на случай функционалов, за-
висящих от п > 2 неизвестных функций, и т < п уравнений связи. При
этом связи могут быть как конечные, т. е. не содержащие производных
неизвестных функций, так и дифференциальные, т. е. содержащие произ-
водные первого порядка от неизвестных функций.
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
331
§ 7. Достаточные условия слабого
локального экстремума
Как известно, для функций конечного числа переменных исследование
второго дифференциала дает дополнительные необходимые условия для
максимума и минимума, позволяющие их различать, а также достаточ-
ные условия максимума и минимума. Аналогично поступают и в случае
функционалов.
Рассмотрим функционал
ь
= [ F	dx,	(1)
где а и b — заданные числа, а < Ь, и F(x,у,р) —заданная трижды не-
прерывно дифференцируемая функция при Va: 6 [a, fc] и V(y,p) е с
областью определения в С1 [а, 6]
М = {yfr) е С1 [а, Ь] : р(а) = А, у(Ь) = В} ,
где А и В — заданные числа.
Введем понятие второй вариации функционала (1). С этой целью
возьмем у{х) G М, произвольную функцию у(х) 6 С1 [а,Ь], произвольный
параметр а € й и рассмотрим при фиксированных у(х),г](х)
Ь
Ф(а) = J(y + аг/) = у F[x,y + ат],у'+ arf]dx.
Так как F[x, у + ат?, у1 + at?'] — трижды непрерывно дифференцируемая
функция х € [а, 6] и |а| < е при Ve > 0, то по теореме из курса анализа
Ф(а)—дважды непрерывно дифференцируема в окрестности а = 0 и
Ф"(0) =
d?J(y + at?)
da2
a=0
=f [У  ++У w*»2]
a
Определение. Выражение Ф"(0) = d |a=0 называется второй ва-
риацией функционала (1) и обозначается <52 J [у/,т?(а;)], где т?(х) — произ-
вольная функция, принадлежащая С1 [а, Ь].
Преобразуем b2J [у, т?(т)], проинтегрировав второе слагаемое по частям:
S2J =
d2F 2/ / , Г \(&F d d2F\ 2. . d2F , „ л21 J
W W 1=а J [w dxdydy')11 {x] + dy12 P1
a
332	Глава 9. Основы вариационного исчисления
Внеинтегральное слагаемое равно нулю, так как rj(x) 6 С1 [а, 6]. Положим
р, х _ dfolMteWW]
[ >	ду12
, . _ d2F[x,y(x),y'(x)] _ d g2F[a:,?/(a:),y(z)]
dy2	dx дуду1
Окончательная формула &2 J [у, 7?(зс)] выглядит так:
<52J[y,77(x)] = У [Р(х)(т?')2 + Q(t)t72] dx,
а
где Ут)(х) 6 С1 [а, Ь].
(2)
Определение. Будем говорить, что для у(х) на [а, 6] выполнено условие
Лежандра, если Р(х) >0, Vz 6 [а, &]. Если Р(х) > 0, Ух 6 [а, 6], то говорят,
что для у(х) на [а, Ь] выполнено усиленное условие Лежандра.
Теорема 1. Если у(х) € М дает слабый локальный минимум J(y)
(соответственно максимум J(y)), то необходимо <52J[?/,77(.t)] > 0
(соответственно <52J[y,r?(2:)] < 0) для всех ri(x) е С1 (а, 6].
О Пусть для определенности у(х) е М дает слабый локальный минимум
J(y). Допустим противное, что 62J [у, г?(х)] < 0 для некоторой г](х) е
С1 [а,6]. Рассмотрим семейство функций у(х) + ат](х), где а 6 R, г}(х) €
С1 [о, 6]. Тогда, разлагая F по формуле Тейлора в окрестности а = 0,
получаем
а2
J(y + an) - J(y) =aSJ(y,r)) + — 62J(y,rf + e(a)r(y,t]},
где
ь г	,
sit- \ f dF	dF	,
dJ(y,v)= -5-	'Vw dx,
I [ дУ y-№ дУ У=У(х) J
с(а) -> 0 при о 4 0.
Так как по условию у(х) дает минимум (1), то 5J(y,ri) = 0 и, зна-
чит, знак правой части при достаточно малых а совпадает со знаком
S2J(y,rf), т. е. J(y + ат)) — J(у) < 0, что противоречит условию миниму-
ма.	*
Для практического применения более удобным является следующее
необходимое условие слабого локального минимума (соответственно мак-
симума).
Теорема 2. Если у(х) € М дает слабый локальный минимум (соответ-
ственно максимум) функционала (1), то необходимо, чтобы для у(х) вы-
полнялось условие Лежандра Р(х) > 0 (условие Лежандра Р(х) < 0).
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
333
О Пусть для определенности у(х) € М дает минимум (1). Рассуждаем от
противного. Пусть Это € (а, Ь) такое, что P(xq) < 0. Из непрерывности
Р(х) следует, что Эе > 0 такое, что Р(х) < |Р(хо), Vx е [хо — е,хо + е].
Возьмем функцию
rj(x) = <
о ОС OCq £
Sin 7Г-------------
2е
0,
х € [хо - е,хо + е],
X [хо - Е,Хо + е].
Очевидно, у(х) € С1 [а, Ь], так как [хо — е,хо + е] С (а, Ь).
Тогда
ь
У [р&) (^'(z))2 + Q(x)t72(x)J dx =
а
xq+s	хо+е
f nt \1Г  2o X-Xo + e, ,	f .	. 4 X-Xo + s,
= / PfxJ-^-sin 2л--------—-----dx + I Q(x)sin %-------—----dx <
Xq—£	Xq—£
<	-Ж°-- + 2e max |Q(x)| < 0,
4e	ге[а,ь]
если взять достаточно малое е > 0, т.е. 62J[y,T}(x)] < 0, что противоречит
теореме 1.	•
Неотрицательность <52J[у,г/(х)]—необходимое, но не достаточное усло-
вие локального минимума. Перейдем к получению достаточных условий
слабого локального экстремума функционала (1).
Рассмотрим функционал для фиксированной функции у(х) 6 М
ь
К(у,»?) = У [р(х) (»?'(х))2 + Q(x)n2(x)] dx	(3)
а
на множестве всех т/(х) € С1 [а, 6]. Он называется квадратичным функци-
оналом в С1 [а, Ь].
Определение. Квадратичный функционал К (у, у) называется положи-
тельно определенным, если найдется число d > 0 такое, что
6
K(y,rj) |\f/(x))2 + т?2(х)] dx
для Vr}(x) € С1 [а, Ь].
334
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Функционал К (у, if) называется отрицательно определенным, если най-
дется число d > 0 такое, что
ь
К(у,у) <-d У [(т/(ж))2 4- т72(ж)] dx
для V7?(a:) € С1 [а, 6].
Теорема 3. Если для у(х) € М и Vr)(x) 6 С1 [а, Ь] <5 J [у, г?(а;)] = О
и К (у, г/) — положительно определенный квадратичный функционал, то
функция у(х) € М дает строгий слабый локальный минимум функцио-
нала (1). Если же для у(х) £ М и Чг)(х) € С1 [а, Ь] SJ [$, т?(;г)] = 0 и
К (?А7/) — отрицательно определенный квадратичный функционал, то функ-
ция у(х) € М дает строгий слабый локальный максимум функционала (1).
Замечание. Слабый локальный минимум для (1) называется строгим,
если равенство J(y) — J(y) справедливо лишь при у(х) = у(х) на [а, &].
О Пусть Vr/(x) € С1 [а, 6]. Разлагая функцию F по формуле Тейлора, по-
лучаем, что
b
A-J(y) = J(y + rf)~ J(v) = У
a
dF .	, . dF .	.1 J
Qy ly=v(x) ' ^X> + Qy! ly=y(l) ' W +
.iff fd2F <	, xl 2 о d2F ,	, J ,
+ 2J [ dy2 +	+2 dydy' + £2+
a
’ л2 p
+ [^2 l,=SW +ез(*)] rfdx,
где £i(x) = Ei [y(ar),T?(x)], maxa6[aid] |£i(;z:)| -> 0, ||r?||c> [a,b] —» 0, i = 1,2,3.
Отсюда
ь
J(il + n) - J(y) = ^К(у,ч) + I [ e(x)dx,
i	A J
b	b
где /e(x)dx = / [ei (x)y2 + 2е2(х)т7  if + eafc)»/2] dx.
a	a
Так как 2|г7т/| < rj2 + if2, то
ь
2 / E2{x)r)ifdx
b
< [ I^WK7?2 + i]l2)dx.
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
335
Следовательно,
e(x)dx
а
b
< У {(ki(z)l + |£2(ж)|)т?2 + (|е2(аг)| +	<
а
b
< 2Е(у) У {у2(т)
а
+ г/2(a;)} dx,
где E(rf) = maxl€M{|£i(x)|,|£2(x)|,|£3(a:)|}- Так как тах1б1а>ь) |е,(т)| -> О
при ||т)(х) 11с1 [а,ь1 О, то найдется число е > О такое, что 2E(rf) < |,
Vt?(x) 6 С1 [а, 6], ||т?(т)||С1[О1(,] < г.
Если К {у, у) — положительно определенный функционал, то при так
выбранных г/(х)	0 имеем
ъ
Ы(у) ^2(х) +т/2(т)] dx > О,
т. е. имеем строгий слабый локальный минимум. Если же К (у, у) — отри-
цательно определенный функционал, то при выбранных выше у(т) О
получаем AJ(y) <0, т.е. имеем строгий слабый локальный максимум. •
Условия теоремы 3 трудно проверяемы на практике. Поэтому приве-
дем более простые достаточные условия для слабого локального экстре-
мума (1).
Заметим, что уравнение Эйлера для функционала (3) имеет вид
Р(х) _ QMfj(x) = 0, х 6 [а, д].
ах
(4)
Уравнение (4) называется уравнением Якоби. Здесь коэффициенты Р(х)
и Q(x) зависят от функции у(а;) € М.
Говорят, что точка с 6 (а, Ь] является сопряженной с точкой а, если
уравнение Якоби (4) имеет решение т/(х) 0 0, у(а) = 0, такое, что
у(с) = 0.
Определение. Говорят, что для у(ж) € М выполнено условие Якоби,
если (и, Ь) не содержит точек, сопряженных с точкой а. Говорят, что для
у(х) € М выполнено усиленное условие Якоби, если (а, Ь] не содержит
точек, сопряженных с точкой а.
Лемма. Пусть выполнены усиленное условие Лежандра и усиленное усло-
вие Якоби. Тогда 3w(x) € С1 [а, 6] такая, что
Ь	12
К (у, у) = [ Р(х) у'(х) +	• у(х) dx.
J L р(х) J
а
336
Глава 9. Основы вариационного исчисления
О Для ^г){х) 6 С1 [а, Ь] и Vw(x) 6 С1 [а, 6]
ь
[w(x) • т/2{х)]Л dx — 0.
Добавляя к интегралу (3) это выражение, получаем (Р(х) > 0):
ь
[ Р г]'2 +	• т) • т! + W т?2 dx.
Потребуем, чтобы тождественно на [а, 6] выражение в квадратных скоб-
ках было полным квадратом, т. е. чтобы дискриминант тождественно
обращался в нуль на [а, Ь]. Это означает, что w{x) должна удовлетво-
рять уравнению Риккати на [а, &]:
P(x)w' — w2 + P(x)Q(x) — 0.
Если такое решение (5) w(x) существует на [а, Ь], то
ь
(5)
К(М = f P(z)p(3:) + ^
-12
т)(х) dx.
Таким образом, доказательство леммы свелось к доказательству суще-
ствования решения уравнения Риккати (5). С этой целью сделаем в (5)
замену w = — • Р, где и = и(х) — новая неизвестная функция. Уравне-
ние (5) примет вид (5'):
dx ^dx	=
(5')
Если показать, что уравнение (5') имеет на [а, Ь] решение uq(x) 0, то в
силу замены функция w(x) будет построена. Для (5') существует и един-
ственно решение ui(x), удовлетворяющее начальному условию щ(а) = 0,
u'i(a) = 1, так как Р(х) > 0 на [а, Ь]. Тогда Ui(x) > 0, Vx € (a, д], так
как выполнено усиленное условие Якоби. Решение (5') uq(x) с начальным
условием «о (а) = е, иц(а) = 1, где г > 0 и достаточно мало, существу-
ет, единственно на [а, Ь] и непрерывно зависит от е. Так как Ui(x) > 0,
Vx G (a,6], то wo(z) >0, Vx G [a,6].	*
Теорема 4. Пусть:
1)	<5J[y, ц(х)] = 0 для у(х) G М и любой допустимой г)(х),
2)	для у(х) на [а, Ь] выполнено усиленное условие Лежандра,
3)	для р(х) на [а, 6] выполнено усиленное условие Якоби.
Тогда у{х) дает функционалу (1) строгий слабый локальный минимум.
О Из леммы следует, что К(у,Т)) > 0, Vt](x) G С1 [а, Ь]. Покажем, что
> 0 ПРИ v(x) 0- Если Зтд](х) такая, что К(у,ро) = 0, то функ-
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
337
ционал К (у, г/) достигает на г)о(х) абсолютного минимума. Поэтому г)д(х)
удовлетворяет уравнению Эйлера (4). Кроме того, так как К (у, туо) =0
и выполнено условие Р(х) > 0 на [а, 6], то из представления К(у,г)о) в
лемме следует, что
,, , w(x) , .	„	,,	.
*?o(z) + p^y%(z) = 0, Vxe[a, 6].
т.е. г)о(а) — т)о(а) = 0, так как туо(т) 6 С1 [а, 6]. По теореме единствен-
ности г)о{х) = 0 на [а, Ь]. Итак, K(p,ty) > 0 при р(х) =£ 0. Пусть
р = minl6[ai(,j Р(х} > 0. Покажем, что для Vi](x) g С1 [а, 6]
ь
[rf(x)]2dx.	(6)
а
Рассмотрим функционал
ь
-р ) ry'2(z) + Q(x)7/2(t) dx.
а
Для него уравнение Эйлера имеет вид
d ’
dx
р-ip
dr)
dx
-Qp = 0.
(7)
Покажем, что это уравнение имеет положительное решение на всем
[а, 6]. В самом деле, пусть rfo(x) — решение этого уравнения с начальным
условием туо(а) = 01 Чо(а) = !• Так как ’7о(я:) > 0 ПРИ Ух € (а,Ь] из-
за выполнения усиленного условия Якоби, то по теореме о непрерывной
зависимости решений от параметров решение ту(х) уравнения (7) при на-
чальных условиях г)(а) = е, р'(а) = 1, где малое е > 0, существует, един-
ственно и положительно на всем [а, Ь]. Но тогда для функционала К(р,ту)
выполнены условия леммы. Из леммы следует, что К (у, ту) > 0. Поэтому
Ь	ь
K(y,rj) = К (у,г)) + ip J r)l2(x)dx > ip f p,2(x)dx,
а	а
т.е. неравенство (6) установлено.
Покажем теперь, что квадратичный функционал (3) является поло-
жительно определенным в С1 [а, Ь]. В самом деле, так как р(а) = 0, то
X
7у(т) = f p'{t)dt и по неравенству Коши—Буняковского
о
/ t \ 2	ь
r;2(x) = r)'(t)dt j <(Ъ — а) У rj'2(x)dx, Ух 6 [а, Ь].
\о /	а
338
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Отсюда
Ъ	ь
У ri'2(x)dx >	1 2 У r?(x)dx.
а	а
Тогда при Vq(x) 6 С1 [а, 6]
Ь	ь
К(У,Г)) >	У 7/'2 (z)dx > ip У rf\x)dx +
а	а
b	b
+ 4(6 - а)2 /	+ dx'
а	а
где d = min 4(t£ttp )  Теперь теорема 4 следует из теоремы 3.	•
Замечания.
1) Достаточные условия для строгого слабого локального максимума
получаются, если условие 2) теоремы 4 заменить усиленным условием
Лежандра вида Р(х) <0, Vx € [а, 6].
2) Если условие 3) теоремы 4 не выполняется и найдется точка
се (а, 6), сопряженная с точкой а, то можно доказать, что у(х) не дает
слабого локального минимума. Отсюда следует, что условие Якоби, если
выполнено усиленное условие Лежандра, необходимо для слабого локаль-
ного минимума.
Пример. Исследовать на слабый экстремум
а
J(y) - У h/3(z) -yl2(x)]dx, у(0) = 0, у (а) = А, а > 0.
о
Д Допустимая экстремаль: у(х) = Так кале = 2(3р' - 1), то
Р(х) > 0 при ЗА > а и Р(х) < 0 при ЗА < а, т.е. выполнено уси-
ленное условие Лежандра при ЗА а. В данном случае уравнение
Якоби	~ 0 ПРИ ~ 0 имеет решения и = сх. Они не
имеют нулей при Vx G (0,а] т.е. при ЗА / а выполнено усиленное
условие Якоби.
Из теоремы 4 следует, что при ЗА > а допустимая экстремаль
дает слабый локальный минимум, а при ЗА < а допустимая экстре-
маль дает слабый локальный максимум.
Пусть теперь ЗА = а. Покажем, что допустимая экстремаль не
дает слабого локального экстремума. При Vtj(x) € С1 [0,<а.]
a	a
J(y + v) - №) = y[3yV2 + y'3 - ri'2]dx - У ?/3(x)dx.
о	0
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
339
Если взять т)п(х) = ^-sin2^2, где п —любое целое ненулевое чи-
а
ело, то нетрудно увидеть, что / т)„ (x)dx меняет знак при изменении
о
знака п. Это значит, что при ЗА = а нет слабого локального экс-
тремума.	А
Упражнения к главе 9
1.	Решить простейшую вариационную задачу:
2
Ду) = У (зх2уу' - х3 4у'2 + yj dx, у(1)=0, y(2) = i.
i
2.	Найти допустимые экстремали функционалов:
ir/4
a)	Ду) = f [(у1)2-y2 + 4ycosx]dx, у(0) = О,
о
2
б)	Ду) = f - 8а:2?/' + 16rcj/ - |?/2] dx,
1
я/2
в)	J(y,z) = f [-(у')2+ (z')2+ 2yz + 2xy]dx, у(0) - -1, z(0) = 1,
о
Hf) = o, *(!) = -?
г)	Ду) = f [~(y")2 + (y')2 + 24xy] dx, y(0) = y(l) = 0, y'(O) =
о
2, »'(!) =-4.
3. Найти допустимую экстремаль и выяснить, при каких значениях па-
раметра а на ней достигается минимум функционала
1
Ду) = j [х + х2+ у2+ a(y')2]dx, у(0) = 0, у(1) = 1.
о
4. Каким необходимым граничным условиям удовлетворяет функция, да-
ющая минимум функционалу
ь
Ду) = У Цу’)2 + f(x,y)] dx + 2i/(a)  y(b),
a
если f(x,у) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ция на всей плоскости х, ?/?
340
Глава 9. Основы вариационного исчш
5. Решить изопериметрическую задачу:
к
= У(y'^dx, у(0) = 1, у(тг) = -1,
о
6. Найти минимум функционала
Я
J(y) = У (y')2dxt
о
тг
если у(0) = у(я) — 0, / y2dx = 1.
о
I у cos dx =
о
to I 3
Литература
1.	Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: ОНТИ, 1939.
2.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз,
1959.
3.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — М.: Наука, 1975.
4.	Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению — М.: Состехиздат, 1955.
5.	Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования сис-
тем на плоскости. — М.: Наука, 1976.
6.	Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Нау-
ка, 1984.
7.	Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш,
шк., 1991.
8.	Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегра-
лы. Ряды. ФКП. — М.: Наука, 1985.
9.	Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. — М.: ИЛ, 1950.
10.	Буслаев В. С. Вариационное исчисление. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
11.	Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. — М.: Мнр, 1968.
12.	Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных
возмущений. — М.: Высш, шк., 1990.
13.	Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.
14.	Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач. — М.:
Изд-во МГУ, 1989.
15.	Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач, — М.: Наука, 1980.
16.	Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное ис-
числение. — М.: Наука, 1974.
17.	Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравне-
ний. — Минск. Изд-во «Наука и техника», 1972.
18.	Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Знание, 1991.
19.	Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов В.Х. Математический анализ. — М.: Нау-
ка, 1979.
20.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.:
Наука, 1976.
21.	Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка. — М.: Наука, 1966.
22.	Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния и основы вариационного исчисления. — М.: Наука, 1980.
23.	Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. — М.: ИЛ, 1958.
24.	Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. — М.: Высш, шк., 1978.
25.	Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, — М.: Высш, шк., 1981, т. 1, 2.
342
Литература
26.	Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1960.
27.	Лаврентьев М.А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950.
28.	Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Нау-
ка, 1981.
29.	Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. — Минск.: Вышэйш. школа, 1974.
30.	Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: На-
ука, 1983.
31.	Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
32.	Никольский С.М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983, т. 1, 2.
33.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравне-
ний. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
34.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука,
1978.
35.	Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. — М.: Наука, 1984.
36.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука,
1982.
37.	Самойленко А.М., Кривошея С. А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения.
Примеры н задачи. — Киев: Вища школа, 1984.
38.	Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1953, т. 1;
1954, т. 2.
39.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комп-
лексного переменного. — М.: Наука, 1982.
40.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974, т. 2; 1969, т. 3, ч. 2;
1974, т. 4, ч. 1.
41.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959.
42.	Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. — М.: Наука,
1988.
43.	Тихонов А.Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравне-
ния. — М.: Наука, 1979.
44.	Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1962.
45.	Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Наука, 1984.
46.	Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — М.: Наука,
1992.
47.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.
48.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, — М.:
Наука, 1969.
49.	Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качествен-
ная теория с приложениями. — М.: Мир, 1986.
Предметный указатель
Абсолютный экстремум функционала,
292, 318
Асимптотически устойчивое положение
равновесия, 242
Бифуркация, 240
Дифференциальное уравнение первого
порядка в нормальной форме
---------линейное, 24
---------не разрешенное относительно
производной, 34
---------однородное, 21
---------в симметричной форме, 16
----порядка п, 41
---------линейное с постоянными
коэффициентами, 52, 57, 65
------------с переменными
коэффициентами, 171
— — с малым параметром при старшей
производной, 205
ЖорданОва цепочка, 80
Зависимость решения задачи Коши
от параметров и начальных
данных, 139
Задача Больца, 316
— граничная, 185
— изопериметрическая, 322
— Лагранжа, 326
—	простейшая вариационная, 291
—	с подвижной границей, 313
—	со свободным концом, 310
Задача Коши для уравнения первого
порядка в нормальной форме,
16, 17
--------------не разреженного
относительно производной, 34, 145
---------порядка п в нормальной
форме, 42, 122
----— линейного уравнения порядка п,
172
-------нормальной системы уравнений,
118
-------нормальной линейной системы
уравнений, 155
—	в частных производных
первого порядка, 265, 276, 28
Изоклина, 13
Интеграл первый, 251
—	полный, 286
Интегральная кривая, 13, 16, 34, 41, 117
— поверхность, 261
Интегрирующий множитель, 31
Квазимногочлен, 66
Лемма Гронуолла, 116
— основная вариационного исчисления,
294
—	об эквивалентности, 118
Линеаризация нелинейной автономной
системы, 231, 247
Линейная зависимость решений, 159, 174
Локальный экстремум функционала,
291
--------------сильный, 318
-------слабый, 292, 302, 304, 308, 310,
322, 326
Матричная экспонента, 94
Метод вариации постоянных, 25, 168,
181
—	введения параметра, 34
—	исключения, 73
—	неопределенных коэффициентов, 68,
86
—	операционный, 103
Многочлен дифференциальный, 52
— характеристический, 53
Неустойчивое положение равновесия, 242
Определитель Вронского, 163, 176
Особая точка, 17, 146, 239
Поле направлений, 13, 17
Положение равновесия, 215
344
Предметный указатель
Предельный цикл, 235
Преобразование Лапласа, 103
Производная в силу системы, 247, 251
Решение дифференциального уравнения,
12. 16, 34, 41
— непродолжимое, 127
— общее, 61, 76, 83, 88, 132, 176, 264
— особое, 125, 146
— параметрическое, 16
— системы дифференциальных
уравнений, 117
Седло, 30
Система дифференциальных уравнений,
117
-------автономная, 212
-------каноническая, 127
-------нормальная, 117
-------линейная с переменными
коэффициентами, 155,158, 167
------------постоянными
коэффициентами, 73
-------Эйлера, 302, 327
Собственные значения граничной задачи,
191
— функции граничной задачи, 191
Теорема Жордана, 80
— Лиувилля, 220
— Ляпунова, 245
— о выпрямлении траекторий, 218
— о линеаризации, 231
— Штурма, 195
Узел вырожденный, 225
— дикритический, 225
— неустойчивый, 224
— устойчивый, 223
Уравнение Бернулли, 28
— Бесселя, 65, 202
— в вариациях, 137, 142
— в полных дифференциалах, 29
— в частных производных первого
порядка, 261
--------------линейное однородное,
263
--------------квазилинейное, 271
--------------нелинейное, 281
— разрешимое в квадратурах, 18
— Риккати, 18, 28
— с разделяющимися переменными, 20
— характеристическое, 58
— Эйлера, 26, 61, 295, 311, 313, 316, 323
— Эйлера-Пуассона, 305
— Эйлера-Остроградского, 309
— Эйрн,199
Условие достаточное для слабого
локального экстремума, 334, 336
— Лежандра, 332
— Липшица, 114, 119
— начальное, 15, 40, 42, 74
— Якоби, 335
Устойчивость по Ляпунову положения
равновесия, 241
Фазовая траектория, 213
— скорость, 215
Фокус, 227
Формула Коши, 180
— Лиувилля-Остроградского, 164, 177
Фундаментальная матрица, 162
— система решений, 160, 175
Функционалы, зависящие от нескольких
функций, 301
— содержащие производные высших
порядков, 304
Функция Грина, 188
— Ляпунова, 247
Характеристическая полоса, 281
— система, 263, 272, 282
— точка, 265, 276, 284
Центр, 228
Экстремаль задачи Больца, 317
----изопериметрической, 324
----Лагранжа, 329
----с подвижной границей, 315
----со свободным концом, 312
— функционала, 296, 303, 306, 309