/
Text
технический тш университет !|8. в. к. Романко, Н. X. Агаханов, В.В.Власов, Л.И.Коваленко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ уравнениям ВАРИАЦИОННОМУ исчислению Под редакцией В. К. РОМАНКО % Москва Лаборатория Базовых Знаний ЮНИМЕДИАСТАЙЛ ФИЗМАТЛИТ 2 00 2
УДК 517.9 ББК 517.2 Р69 Под редакцией В. К. Романко Романко В. К. Р 69 Сборник задач.по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению/В. К. Романко, Н. X. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко. — М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. - 256 с: ил. ISBN 5-93208-120-1 Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей. УДК 517.9 ББК 517.2 Серия «Технический университет» Учебное издание Романко Василий Кириллович Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению Художественный редактор Н. Лозинская Технический редактор Т. Бленцева Оригинал-макет подготовлен в пакете LAT^X 2^ с использованием кириллических шрифтов семейства LH Гарнитура Computer Modem Лицензия на издательскую деятельность № 066140 от 12 октября 1998 г. Подписано в печать 13.03.02. Формат 70x100'/,^. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,64. Тираж 5000 экз. Заказ 1374 000 Издательство «Лаборатория Базовых Знаний» Адрес для переписки: 103473, Москва, а/я 9 Телефон @95)955-0398. E-mail: lbz@aha.ru Гигиеническое заключение 77.99.2.953.П.9816.3.00 от 22.03.2000 г. Отпечатано с готовых диапозитивов в полифафической фирме «Полиграфист*. 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3. © Романко В. К., Агаханов Н.Х., Власов В.В., Коваленко Л.И., 2002 ISBN 5-93208-120-1 © ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 6 § 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений ... 6 Ответы к задачам §1 9 § 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения 10 Ответы к задачам § 2 16 § 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати 19 Ответы к задачам § 3 24 § 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Замена переменных 27 Ответы к задачам § 4 31 § 5. Исследование задачи Коши 32 Ответы к задачам § 5 42 § 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения 44 Ответы к задачам § 6.. * 48 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 52 § 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка уравнения 52 Ответы к задачам § 7 62 § 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера 65 Ответы к задачам § 8 78 § 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами 88 Ответы к задачам § 9 96 § 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 101 Ответы к задачам § 10 107 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 109 § 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными ко-
4 эффициентами 109 Ответы к задачам § 11 127 § 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами .. 150 Ответы к задачам § 12 154 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 156 § 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений равновесия 156 Ответы к задачам § 13 164 § 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений равновесия и на всей фазовой плоскости 173 Ответы к задачам § 14 177 § 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 180 Ответы к задачам § 15 185 § 16. Первые интегралы 186 Ответы к задачам § 16 191 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка 194 § 17. Линейные однородные уравнения 194 Ответы к задачам § 17 204 § 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 211 Ответы к задачам § 18 218 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 220 § 19. Простейшая вариационная задача 220 Ответы к задачам § 19 234 § 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 237 Ответы к задачам п. 1 § 20 241 Ответы к задачам п. 2 § 20 245 Ответы к задачам п. 3 § 20 248 § 21. Изопериметрическая задача 248 Ответы к задачам § 21 252 § 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче 253 Ответы к задачам § 22 255 Список литературы 256
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете). В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. Н. X. Агаханов укомплектовал задачами §6 и §13 сборника, В.В.Власов совместно с В.К.Романко подобрали задачи §8 и §11 сборника, Л.И.Коваленко составила задачи §7 и совместно с В.К.Романко подобрала задачи §§2—4 и §9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника и общая редакция сборника осуществлены В.К.Романко. В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком Л, а конец решения — значком А. В конце каждого параграфа приведены ответы к задачам параграфа. В сборнике предлагается большое количество задач по основным темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а студентами для самостоятельной работы. Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая деятельность способствовала появлению этого сборника. Авторы сборника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору М. И. Шабунину за помощь при написании сборника.
Глава 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приблилсенное изобралсение интегральных кривых уравнений Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых задано уравнением Ф{х,у,С) = О, где у неявная функция :/; при каждом •значении параметра С. Если система уравнений аФ 9Ф ,_ дх ду ^ Ф{х,у,С) = 0 позволяет исключить параметр С, то получается дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. В случае, когда семейство кривых задано уравнением Ф(.7;,у,С1,С2) = = О, зависящим от двух параметров С\ и С2, исключение параметров Сь С2 и получение дифференциального уравнения семейства кривых достигается с помощью нахождения второй производной от Ф по х. Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых tgy = Ce-^\ Л Продифференцируем по х заданное соотношение, считая у неявной функцией х: -V- = -2хСе-'\ cos^ у Подставляя сюда найденное из заданного соотношения С = е^ tgy, получаем искомое уравнение у' Н- xs\n2y = 0. А Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения у' = f{x,y), необходимо рассмотреть несколько изоклин
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 7 уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки экстремума и точки перегиба интегральных кривых. Пример 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения у =у - Зх. Д Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (ж,у). Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться. Изоклины уравнения имеют вид у — Зх = А:, где А: = const. При А: = О изоклина у = Зх делит плоскость на две части. Слева от прямой у = Зх у' > О и, значит, интегральные кривые там возрастают, а справа от прямой у = Зх у' < О и, значит, интегральные кривые там убывают. Следовательно, на прямой у = Зх находятся точки максимума интегральных кривых. Возьмем eni;e две изоклины. Изоклина у = Зх +1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ох углы —. Изоклина у = Зх — 1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ох углы ----. Из уравнения найдем у" = у' — 3 = у — Зх -- 3. Прямая у = Зх + 3 делит плоскость на две части. Слева от прямой у = Зх -h 3 у" > О и,
8 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка значит, интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой у" < О и, значит, интегральные кривые выпуклые вверх. Прямая у = Зж + 3 является интегральной кривой, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Поэтому интегральные кривые не пересекают эту прямую и, следовательно, они не имеют точек перегиба. Проведенное исследование позволяет приближенно построить интегральные кривые заданного уравнения (см. рис.). А Составить дифференциальные уравнения семейства кривых A—18): 1. у = Сх^ - X. 3. у = (х-СJ. 5. (х->СJ + у2=:1. 7. 2п:2 + Су2 = 1. 9. х2 + 2х - (у - Cf = 2. 11. Сх = sin Су. 13. х'^ = {С + у)еУ. 15. у = Acos(a;-Ь у?). 17. у = — + С2Х. X 2. у = х^ + Сх. 4. (у - Cf = 2х. 6. х2 + (у-СJ = 1. 8. (y-C)^ = i. 10. y = tg{x + C). 12. Cy = tgCx. 14. у2 + 2Сху -Ь х^ + 2х = 0. 16. y = (Ci + C2x)e^\ 18. у2 = Cix2 + С2Ж. Построить приближенно интегральные кривые уравнений A9—38): 19. 21. 23. 25. 27. 29. "''7^1- , 1-Х У = Г- у-1 , 1-У У = • X у' = {х- 1)у. , 2х + у V = • х-2у у' = 2х + 2у + 1. 20. 22. 24. 26. 28. 30. " х + 1 , х + 1 У =-. • 1-у / У у' = х(у + 1). , _ у-2х ^ ~ 2у + х' у' = 2х-2у- 1.
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 9 31. у'= у-х^-2х-2, 32. у' = у-х^ ^2х, 33. у' = -х2-^. 34. у' = ^+х2. X X 35. у' = у-х^. 36. у' = 2жу-2. 37. у' = ж^ + у2 - 1. 38. у' = ж^ - у2 - 1. 39. Пусть задано уравнение у' = f{x,y) с непрерывной функцией f{x,y) на всей плоскости (ж,у). Показать, что если это уравнение имеет периодическое решение периода Т, то необходимо /(ж, у) является периодической функцией х периода Т. 40. Пусть у = ip{x) — решение уравнения у' = f{x,y) с непрерывной функцией f{x,y) на всей плоскости (ж,у). Показать, что: а) при fi—x^y) = —f{x,y) функция у = </?(—ж) также решение уравнения, б) при f(x,—y) = —f{x,y) функция у = —(pix) также решение уравнения, в) при /(—ж,—у) = f{x,y) функция у = —(/?(—ж) также решение уравнения. 41. Пусть f{x,y) — непрерывно дифференцируемая функция на всей плоскости (ж, у) и пусть f{x,y) — периодическая функция по х пе- риода Т и ^Ф^ > 0. ду Доказать, что уравнение у' = f{x,y) не может иметь более одного периодического решения. Ответы к задачам § 1 1. ху' ~ 2у = ж. 2. ху' — у = а:^. 3. у'^ = 4у. 4. 2ху'^ = 1. 5. у2(у'2+ 1) = 1. 6. A-0:2) у'^^: 0:2. 7. Bx2 - 1) у'= 2ху. 8.4x^ = 1. 9. (а:2 + 2х~2)у'2 = (х + 1J. 10.у' = 1+у2
10 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1 V\/v'^ — 1 . о X\/v' — 1 11. ~ = cos ^^.^ ^. . 12. y'cos^-^^f- = 1. у' \^у\ \у\ 13. (ж2 + е^/) у' = 2х. 14. X (у^ - х^ - 2х) у' = у (у^ - х^). 15. у" + у = 0. 16. у" - 2у' + у = 0. 17. х2у" + ху' - у = 0. 18. х2 (уу" + у'2) = уBху' - у). § 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения Для решения уравнения с разделяющимися переменными Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = О необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выражение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого содержит только dx и некоторую функцию х, а другая часть содержит только dy и некоторую функцию у. При делении уравнения надо следить, чтобы не потерять решений уравнения. Пример 1. Решить уравнение (х + 2) A + у2) dx + (х + l)y'^dy = 0. Л Разделив уравнение на (х + 1) A + у^), получаем уравнение с разделенными переменными ^dx + -^dy = 0. Х+1 1 + у2 При делении на (х + 1) можно потерять решение х = — 1. Подстановка X = — 1 в заданное уравнение показывает, что х = —1 действительно является решением уравнения. Далее имеем ■Чу / -dx + / -^—^ = С, J х + 1 У И-у2 где С — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем ж + уЧ-1п|ж + 1| — arctg у = С.
§ 2. Уравнения с разделяюш;имися переменными 11 (-^)- Для получения ортогональных траекторий заданного семейства плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение семейства кривых F(x,y,y') = 0. Затем заменить в этом уравнении у' на Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональных траекторий. Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства кривых у = tg(lnCx). Д Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. Дифференцируя по х уравнение заданного семейства и исключая параметр С, получаем уравнение Заменяя в этом уравнении у' на ( —- ], находим дифференциальное урав- \ У J нение ортогональных траекторий -X = A 4- у^) у'. Заменив у' на — и решив полученное уравнение с разделенными перемен- ными, находим уравнение ортогональных траекторий Зж^4-2у^4-6у = С А Однородные уравнения P{x,y)dx-hQ{x^y)dy = О решаются с помощью замены у = ж • z, приводяп;ей их к уравнениям с разделяюп;имися переменными. Пример 3. Решить уравнение 2xydx = (х^ 4- у^) dy. Д Замена у = xz приводит заданное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными ж A 4- z^) dz + z (г^ - 1) dx = 0. Заметим, что z = О, ±1 -- решения этого уравнения. Тогда из замены следует, что у = О и у = ±х — решения исходного уравнения. При z ^ О, ±1 уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде — ( ^^ Md X \г2 — 1 zj
12 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка _ у Решив это уравнение и использовав замену г = ~, получаем решения X заданного уравнения: х^ - 2/2 = Су, 2/ = 0. А Уравнение вида {aix4-biy + ci)dx + {а2Х-hЬ2У + C2)dy = О в том случае, когда прямые aix-hbiy+ci = О и a2X-hb22/+C2 = О пересекаются, приводится к однородному уравнению с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Решить уравнения A—23): 1. у' = у2 - у. 2. (^2 4- х) 2/' - {2х Ч- 1J/ = 0. 3. ж2/'со8 2/4-sin2/= sin2 2/- 4. у^cosx'hy{l-h y)smx = 0. 5. 2xydx = (l — ж^) dy. 6. x^ydy = {x — l)dx. 7. 2/2/'cos ж = A - y)sinx, 8. ж (l - 2/^) у' = У {^ + У^)• 9. (ж^ - l) г/йж = ж (ж^ 4-1) dy. 10. жB/ + 1)^2/ = (l - 2/^) cfx. 11. жу' 4- у2 ( - ~ Зж j = 0. 12. A - ж2)^ уу' 4- ж = 0. 13. (ж 4- 1)у' 4- у{у 4-1) = 0. 14. A 4- у2) у^ж = ж (l 4- 2у'^) dy. 15. ж^ (ж^ 4- 4) 2/' = cos^ у. 16. 2/' tg^ ж — ctg у = 0. 17. A 4- cos х)уу' = A 4- у^) sin ж. 18. ye^dy 4- же^' с^ж = 0. 19. жA 4-у)у'4-(л/i 4-1пж)A 4-у2) =0. 20. (ж - 1)уу' 4- (ж2 4-1) (у 4-1J = 0. 21. x^dx 4- (l 4- х^) ./T^^dy = 0. , sm^ ж 22. yVl - х^ 4- ж A 4- 62^) = 0. 23. 2/' 4- e-^^vTTe^ = 0. cos ж с помощью линейной замены переменных привести уравнения к уравнению с разделяющимися переменными и решить их B4—27): 24. Bж 4- у 4- 2)бгж - Dж + 2у + 9)dy = 0. 25. D - ж - 2y)dx - 2A 4- ж 4- 2y)dy = 0. 26. Bу - ж 4- 1)бгж 4- D2/ - 2ж 4- G)dy = 0.
§ 2. Уравнения с разделяюищмися переменными 13 27. (у - Зж + 2)dx + (Зж - у - l)dy - 0. Найти решение уравнений, удовлетворяющее заданному начальному условию B8—39): 28. 2у A + у2) Ax-Vx (Зу2 + у + З) dy = О, уA) = 1. 29. жBу - 1)у' + 4у2 = О, у(-1) = -1. 30. жA-|-у)у' = у2, уA) = 1. 31. Ъх{х + 1)у' = (ж + 2)у, уA) = -1. 32. (у + 2)у' = sin 2а:, у@) = 1. 33. {е + 1J у' + {е2^ - 1) у = О, у@) = ^. 34. {э? + ж) у' - (ж2 + X + 1) у = О, уA) = |. 35. (жЗ + ж) у' - (Зж2 - 1) у = О, у(-1) = -4. 36. y' + 3y2 = 3y,y@) = i. 37. y'=(y + y'^)thж, у@) = 1. 38. жу' + уA + у) зтж = О, у@) = 1. 39. 2у' = (у2-2у)е^',у@) = 1. Найти ортогональные траектории для заданных семейств плоских кривых D0-50): 40. у = С(ж + 1)е-^. 41. у2 = Ce^'+s/'. 42. (Се-^' - l) у = 2. 43. у = Сзтж - 2. 44. у A + Се==) = 1. 45. у = Ссо8ж + 2. 46. e^ = C(l-e-J'). 47. 1 + ег' = СA + ж2). 48. у2 = Ce-(^+J'). 49. жу = Се". 50. 2ж + у - 1 = Се^з'-^. 51. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов, имеющих общую большую ось.
14 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 52. Найти ортогональные траектории семейства гипербол, имеющих общую мнимую ось. 53. Семейство кривых задано в полярных координатах уравнением г{(р) = Cf{(p), где /((^) — непрерывно дифференцируемая функция. Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий. Найти ортогональные траектории семейства кривых г = Се^. 54. Семейство кривых в полярных координатах задается уравнением г'{(р) = rf{(p)^ где /((/?) — непрерывная функция. Составить дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий. Найти ортогональные траектории семейства кривых г = С cos (р. 55. Доказать, что решение задачи Коши существует и единственно при любых начальных данных для уравнения у' = а{х)-Ь(у), где а(х), Ь{у) заданные и непрерывные соответственно на интервалах (а,у9), G>^) функции, причем Ь{у) Ф 0. 56. Пусть функции /(х), д{у) непрерывны на всей числовой оси, причем l/HI^(l^j^|)i+e' 0<5(у)<5A + |у|), где Л, В, е — положительные постоянные. Доказать, что при любых хо, уо существует единственное, определенное при — со < ж < 4-оо решение уравнения удовлетворяющее условию у(хо) = уо и имеющее конечные lim у(х), ж—>—оо lim у{х), ж-->+оо х^ Л-у^ Решить уравнения E7—78): 57. ху' = у f 1 -fin ^У 58. ху' = \ х) X + у 59. xdy = (у 4- \/ж2 4- у2 j dx. 60. xydx = (ж^ - у^) dy. 61. xdy = (у - \/х2 + у2) dx. 62. (х 4- 2y)dx + ydy = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 15 63. {ху + у2) у' = у2 g4, Bа; + у)у' = х + 2у. 65. {х^ + уЗ) у' = а;2у. 66. {х + 2у)у' + у = 0. 67. (у - а;)у' = ж + у. 68. ж^у' = 2у^ - жу. 69. ж^у' = у2 + 2жу. 70. 2жуу' + ж^ - у2 = 0. 71. (Зж^у — ydx) (ж^ + у2) 4- x'^ydy — xy'^dx = 0. 72. (ж + у + l)dx + (ж - у + 3)dy = 0. 73. Bж - у - 2)dx + (ж + у - 4)dy = 0. 74. (ж + 2у - 5)dx + {у-х-4)dy = 0. 75. (ж - 1)у' + Зж + 2у + 3 = 0. 76. (ж + у - 2)у' + ж - у = 0. 77. Bж + у - 3)у' + у + 1 = 0. 78. (ж + 2у)у' + 2ж + 5у - 1 = 0. Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданному начальному условию G9-83): X — 1у X -\- 2.у 81. B/2 ~ 3x2) у' 4- ху = О, уA) = V6. 82. хуу' = (х ~ 2уJ, уA) = 2. 83. (х ~ у)У = 4ху, у(~1) = 2. Решить уравнения, приведя их с помоп;ью замены вида у = г"^ к однородным уравнениям (84—87): 84. Dx2 ^ у4) ^у _ 2xydx = 0. 85. (Зх2у2 -f l) у' 4- Зху^ = 0. 86. у' = 4x2 _ У 87. у/ = д; ^ ^. х4 у 88. Найти интегральные кривые уравнения ху' = 2 (у 4- \/у2 - х4) , проходяп;ие через а) точку B,5), б) точку A,1). 89. Найти ортогональные траектории семейства окружностей, проходя- ш,их через начало координат, центры которых лежат на оси абсцисс.
16 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 90. Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих под углом V^ = 7 параболы с общей вершиной и общей осью. 91. а) Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий семейства кривых / 2 , 2\2 2 б) Найти ортогональные траектории семейства кривых t 2 , 2\2 2 [х 4- у ) = а'^ху. Указание. Перейти к полярным координатам. 92. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей, имеющих центр на прямой у = х и проходящих через начало координат. Ответы к задачам § 2 1. у A + Се^) = 1, у = 0. 2. у = С (х2 4- а:). С cos X 3. xsiny = СA - siny). 4. у = , у = -1. 1 — и COS X 5. (x2-l)j/ = C. 6. у2 = ^--+С, а: = 0. 7. (у - 1)еУ = С cos X. 8. х (у^ + l) =Су,у = 0. 9. у2 = С(ж2 - 1)^е=^', а; = 0. 10. х{у - 1) = С, у = -1. 11. i + - = С - Зж, у = 0. 12. у2 + —L- = С. уж 1 - ж^ 13. (х + 1)у = С{у + 1), у = -1. 14. а;2 = Су^ (l + у^), у = 0. 1 1 /г ffr 15. tgy = -— - - arctg - + С, у = - + А;7г, А; € Z. 7Г 16. In I COS у I - ctg Ж ~ Ж = С, у = ~ + кп, к е Z. 17. A + у2)(Ц-со8а;J = С. 18. е"^* + 2(ж + 1)е-* = С. 19. 4v/i + In^X + 2arctgy + In (l + y^) = C.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 17 20. — 4- а; + In (х ~ 1)^ 4- In |у 4-1| + = С, у = -1. Z 1 4" 2/ 21. arctgx-v^(l ~2жK = С. 22. - arcsina;^4-2/-ln(l 4-е^^) = С. 23. 2л/ГТё!^ - ^^ = С. 24. у + 2а: + 4 = Ce^-^J/. sinx 25. (ж + 2уJ - Зж + 4у = С. 26. 2у - ж + 2 = Се^^+^у 27. 2у - 6ж + 1 = Се^У-"^^. 28. In ж^ + 3 In у + arctg У = j- 29. In (ж''у2) + 1 + 1 = 0. 30. In - + - = 1. У У У 31. 2ж2 + (ж + 1)уЗ = 0. 32. у2 + 4у + cos 2ж = 6. 33- у = Го- 34. у A + е^Г ^ + 1 = -^^ -■ 36. у = —-^ ж 1 + е f^dt 37. у\/2-сЬЗж = сЬж. 38. уBео ' - 1) = 1- 39. уA + ео ) = 2. 40. ж^ = Се'' ^. 41. ж2 + Су2 = С. 42. же^'+зУ" = С. 43. Сезз/^+з» ^ РОЗ д. 44. ж = iy^ - iy^ + С. 45. e^y-s»'. зтж = С. 46. е" - у + ж = С. 47. ж2 + In (ж2) + 4 (у - е-") = С. 48. (у + 2J6^-" = С. 49. (у - 1)е»+5«* = С. 50. Bж + уJ - 6ж + 2у = С. 51. ж2 + у2 = 2а2 In Сх. 52. ж^ + у2 + 26^ In Су = 0. 53. /'. г' + / • г = О, г = Ce-'f. 54. / • г' + г = О, г = Csinv?. 57. у = хе^"". 58. Сж = (у - жJех. 59. у + ^/ж2 + у2 = Gа;2^ д. = 0. 60. у = Се 5;^.
18 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 61. 63. 65. 67. 69. 71. In у + \/х^ + у2 = С, Ж = 0. ж = Су + у1п\у\, у = 0. у = Се^. х^ + 2ху -у^ = С. х"^ + ху = Су, у = 0. У 62. X + у = Се ^+1'. 64. (у - х)^ = С{у + х),у = -X. 66. у^ + ху = С. 68. ж - у = Сх'^у, у = 0. 70. х"^ + у^ = Сх. Л -i- 0^„ _ ».2 + arctg - = С, X = О, у = 0. 72. ж^ + 2жу - у^ + 2ж + 6у = С. ж 73. 74. 75. 76. 77. 79. 81. 83. 85. 87. 88. 89. 91. у2 + 2ж2 - 4у - 8ж + 12 = Се^*'"'^ 0^^. х^Л-у^^ху-х-ЬуЛ-1 = сё^"^"""'^ f^^. ж + у + 2 = С{х - 1)е^^, ж = 1. ж2 + у2 - 2ж - 2у + 2 = Ce-2^*='s Н. (у+1)(ж-2K = С(ЗжН-у-5). ж2 + у2 = е*^^'81 78. ж2+2у2+3жу+2у = С 80. (ж2 + у2)е^^"8^ =1. а^ + 2у ж + у + 1' уЗ = Зл/б-УУ^-2а:2. 2(у + жK(у-3ж)=5у. у2^3х^у^ = С. (у-ж2JBу + ж2)=С. 2-2х 82. Зу — ж = 5(у — ж) • е 2 . 84. у2 = Се^. 86. ж^ (у - ж') = С (у + 4жЗ). ж^ ж^'ч-! а) У = Y + 1' б) У = ^^' 2/ = 2 ■ у = С(ж2 + у2). 90. (ж - 2у)у'= ж + 2у. а) ж (Зу2 - ж2) ЙЖ = у (Зж2 - у2) dy, б) у2 - ж2 = С (ж2 + у2J. ж2 + 2жу — у2 92. у' = ж2 — 2жу — у -,/2-
§ 3. Линейные уравнения первого порядка 19 § 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати Для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения у' 4- а{х)у = /(ж) необходимо сначала найти общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а затем применить метод вариации постоянной. Пример 1. Найти общее решение уравнения ху' ^ у — 2х . Л Найдем общее решение линейного однородного уравнения ху' = у. Для этого, положив 2/' = ~- и разделив переменные, получаем уравнение ах dy dx У X ' При делении переменных потеряно решение у = 0. Отсюда находим общее решение однородного уравнения у = Сж, где С — произвольная постоянная. Для получения общего решения заданного уравнения применим метод вариации постоянной, т. е. ищем решение заданного уравнения в виде у = С{х) • ж, где С{х) — неизвестная пока непрерывно дифференцируемая функция. Для определения функции С{х) подставим у = С{х) • х в исходное уравнение. Имеем х[С'{х) • X 4- С{х)] = С{х)' X - 2ж2, С'{х) = -2, С{х) = -2х 4- А, где А — произвольная постоянная. Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид у = Ах-2х^. А Уравнение Бернулли у' -\-а{х)у = Ь{х)у^ заменой z = у^~^ приводится к линейному уравнению.
20 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Пример 2. Решить уравнение жу' 4- 4у = Зжу^. Д Очевидно, что у = О ~ решение. При у ф Q, разделив уравнение на у^ и положив г = -, получаем линейное уравнение xz' — 4г 4- Зж = 0. Решив У это уравнение методом вариации постоянной, находим z = Сх^ 4- ж, где С — произвольная постоянная. Следовательно, у = О и - = Сх'^ + х — все У множество решений заданного уравнения. А Если известно какое-нибудь решение Уо{х) уравнения Риккати у' 4- а{х)у'^ 4- Ь{х)у 4- с[х) = О, то заменой у = z Л- уо{х) оно сводится к уравнению Бернулли. Пример 3. Решить уравнение ж^y' 4- 2ж^у^ — бжу 4-4 = 0. Д Проверкой можно убедиться, что уо{х) = - является решением задан- ж ного уравнения. После замены у = г 4— получаем уравнение Бернулли ж г' = 2г^. Замена w = - при z ф^ дает линейное уравнение п' 4- - = 2, ж ;гг ж Метод вариации постоянной для этого уравнения дает решение (J и = h ж, где С — произвольная постоянная. Отсюда получаем решение ж заданного уравнения ж 1 С 4- ж^ ж Найти обп;ее решение уравнений A—31): 1. у' 4- у = 2е^. 2. жу' = у - 2ж2. G-) 3. у^йж 4- (жу - l)dy = 0. 4. 2убгж 4- ( ж ) dy = О 5. ж D - ж^) у' = 2ж^у 4-1. 6. жу' = ж^ 4- у. У 7. у' = ж. 8. (ж 4- у)^ж = xdy. X 9. 2ж^у' = 2ж2у - 3. 10. ydx - (ж 4- у^) dy = 0. 11. убгж = (Зж - у2) dy. 12. у' = у 4- 2же^. 13. (ж 4- у^ cos у) dy = уб{ж. 14. жу' = ж^ 4- у . ж 15. у' = - - 2ж^. 16. ж^йу = B - х^у) dx. X
§ 3. Линейные уравнения первого порядка 21 17. ydx = {2у - x)dy. 18. dx = {2х + е^^) dy. 19. х^у^ 4- 2ж^у = 2 In ж. 20. (sin ж — 1)у' Ч- у cos ж = sin х, 21. у' 4- 2ху = 2 A -Ь 2ж2). 22. ху' -2у = 2х^, 23. ж^у' -Ь 2ж^у = 1. 24. жV + 2жу = 1. 25. жу' - Зу = 4ж2. 26. ж^у' + ж^у = ж^ - 1. 27. 4у' -Ь 12ж2у = Зж^. 28. жу' + (l + ж^) у + ж = 0. 29. ж (у - yj\ + хЛ огж + A + ж^) dy = 0. 30. у' + у tg ж = е^ cos X. 31. (l + у^) йж + (жу - у^) dy = 0. Уравнения C2—35) искусственным приемом решаются короче, чем методом вариации постоянной. 32. жу' — у = ж^. 33. (у + ж^ cos ж) dx — xdy = 0. 34. ж^у' + жу + 1 = 0. 35. A + у2) dx + Bжу - l)dy = 0. Найти решения уравнений, удовлетворяюш,ие заданному начальному условию C6—45): 36. жу' + 2у = Зж, у(-1) = 1. 37. ж^у' = 5жу + 6, уA) = 1. 38. жу' = 7у -h ж^ уA) = --. 39. жу' = 5у -h Зж^, у(-1) = -1. 40. A + ж^) у' = 2жу - 2ж, у@) = 2. 41. у' - у tgж = sin ж, у@) = 0. 42. (ж^ -f- ж) у' - (д;2 + ж -Ы) у -Ь Ж^ = О, уA) = 1. 43. жу' = Зу -Ь 2ж^ у(-1) = 1. 44. жу' ~ 2у = 2ж^ уA) = 1. 45. ж2у' + ?/ = 4, у(-1) = 5. 46. Найти ортогональные траектории семейства кривых у-Ьж = Се"^ Ч-1. Решить уравнения D7—72): 47. 4жу' + Dж + 1)у2 - 4у = 0. 48. 2жу' -Ь 2у = ж^у^. 49. у' = жу2 -ь -. 50. 2жу' = Зу - 4жу^. ж
22 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 51. ху' -у + 2ху^ 1пж = 0. 52. 2ху' + 2ху^ = у. 53. 2ж2у' + ху = 2у^. 54. ху' + 4у = Зжу^. 55. у' ~ - = у^ 56. жу' = 2у - 4а;2у2. ж 57. у^ -у + 2ху^ = 0. 58. жу' + Зжу2 = 2у. 59. ху' -уЛ- 4у^ = 0. 60. у' + у tg ж + 4y^ sin ж = 0. 61. жу' + Зу = 4ж2у2. 62. жу' + 2жу^ = Зу. 63. у(у + l)dx + (ж + \)dy = 0. 64. у' cos ж + у sin ж + Зу^ cos ж = 0. 65. 5жу^у' = у^ + 4. 66. у Dжу2 ~ З) йж + 2жогу = 0. 67. 8у' + Зж^у (у2 - 4) = 0. 68. уогж -Ь Bж^у - Зж) dy = 0. 69. Зж^йж - (ж^ -Ь у + 1) dy = 0. 70. y'^dx -Ь (ж^ In у - жу^) dy = 0. 71. ydx + Dж^ - ж) dy = 0. 72. (у2 - 1) йж - у [ж + (y^ - 1) у/х] dy = 0. 73. Найти решение уравнения 4жуу' — Зy^ + ж^ = О, удовлетворяюш;ее начальному условию уA) = 1. 74. Найти интегральную кривую уравнения ydx — ^{x + y^y/x)dy = О, проходящую через точку @,1). 75. Найти интегральную кривую уравнения ^ж — жу A Ч- жу^) dy = О, пересекающую биссектрисы обоих координатных углов при ж = 1. Уравнения задач G6—81) искусственным приемом решаются короче, чем методом сведения к линейному уравнению. 76. жу' - у + жу^ = 0. 77. ж^у' - ж^у - у^ = 0. 78. у^ж - ж (жу^ + l) dy = 0. 79. 4жу' + 4жу^ = 4у - у^. 80. Найти решение уравнения sin^ж(y'sinж — у cos ж) = у^созж, удовле- творяющ,ее условию у f — j = 1. 81. Найти решение уравнения со8^ж(у'со8ж + у sin ж) + y^sinж = О, удо- влетворяюш;ее условию у@) = 1.
§ 3. Линейные уравнения первого порядка 23 С помощью подбора какого-либо решения найти общее решение уравнений (82-95): 82. 2ж2у' + х'^у^ -f 4 = 2ху. 83. ж^у' + х'^у'^ + 2ху = 2. 4 84. 4у' = у2 + _, 85. ху' = у'^ + 2{х + 1)у + х^ + х, 86. ж^у' = ж^у^ + Зжу -Ь 3. 87. ж'^у' = у^ + 2жу - 2ж2. 88. у' ^у'^ ^ 2жу 4- ж^. 89. у' = у'^ - 2жу + ж^ - 3. 90. у' -Ь е-^у2 -Ь у = Зе^. 91. у' - е^у^ Н- Зу = е"^. 92. у' = у"^ — 2у sin ж -Ь cos ж Ч- sin^ ж. 93. у' + у^ — 2у cos ж -Ь sin ж -Ь cos^ ж = 0. 94. ж^у' - 5жу + ж^у^ -Ь 8 = 0. 95. (Зж^ + 2у) A + y)dx + Bж - ж^) dy = 0. 96. Доказать, что уравнение у' = ку + /(ж), где к = const т^ О, /(ж) — непрерывная и периодическая функция, имеет только одно периодическое решение. Найти его. 97. Доказать, что у уравнения жу' -{- ау = /(ж), ж > О, где а = const ^ О, /(ж) — непрерывная ограниченная функция, существует только одно решение, ограниченное при ж > 0. 98. Доказать, что у уравнения жу' Н- ау = /(ж), О < ж < а, где а = = const > О, а > О, /(ж) — непрерывная функция при О < ж ^ а и lim /(ж) = /3, существует только одно решение, ограниченное при о < ж < а и имеющее предел при ж -> Ч-О. Найти этот предел. 99. Доказать, что у уравнения у' = а(ж)у Ч- Ь(ж), О < ж < -Ьоо, где а(ж), Ь{х) ~ непрерывные при О ^ ж < Ч-сю функции, Ь(ж) — ограничена, а(ж) ^ ао = const > О, существует только одно решение, ограниченное при О < ж < Ч-оо. 100. Пусть а(ж), Ь(ж) — непрерывные при О < ж < Ч-оо функции, имеющие конечные lim а(х) = А > О, lim Ь(ж) = В, Доказать, что существует единственное решение уо{х) уравнения у' = С1(ж)у Ч- Ь(ж), О < ж < Ч-оо, имеющее конечный предел при ж —> Ч-оо.
24 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Найти lim уо{х). X—>-Ьоо Указание. Рассмотреть ограниченное решение и доказать, что оно имеет конечный предел при х -> Ч-оо. Можно воспользоваться правилом Лопиталя. 101. Пусть а(ж), Ь{х) — непрерывные при О < ж < +оо функции, причем существует конечный lim а(х) = А > О и lim жЬ(ж) = 1. Пусть ж—>-Ьоо ж->-Ьоо уо{х) — решение уравнения у' = а{х)у + Ь(ж), О < ж < +оо, имеющее конечный предел при ж —> +оо. Найти lim уо{х). х—>-Ьоо Ответы к задачам § 3 1. у = Се-^-|-е^. 3. ху = С + 1п\у1у = 0. С + In |ж| 4 - ж^ 7. у =^Сх- ж^. 11. ж = СуЗ + у2, у = 0. 13. X = у(С + sin у), у = 0. 15. у = Сх- х^. 17. ху-у^=^ С. С \п^х 19. у - ;:2 -^ ^ 21. у = Се^^ + 2х. С X 23- У-^-З- 25. у = Сх^- 4x2. 2. у = Сж - 2ж2. 4. а; = С^+-. У 6. у = Сх + ж2. 8. у = Сж + ж In \х\, X = 0. 10. ж = Су + у2, у = 0. 12. у= (С7 + ж2)е='. 14. у = Сж + ж^ + --. 2ж ,^ С- 1 16. у = г, Ж = 0. ж Ж"* 18. ж = Се^" - е". С — cos ж 20. у = -. зтж — 1 22. у = -^+ж1 х^ 24. у = + -. Х^ X 26. у= - + 1 + -^. X Ж*
§ 3. Линейные уравнения первого порядка 25 3 1 С х2 1 27. у = Се-^ + 4- 28. у = ^e'T - -. 4 ж ж С + ж^ 29. у= —===. 30. у= (С + е^)со8ж. 31. (Зж -1/2 + 2) x/lTy2 = С. 32. у = Сж + ж2. 33. у = Сж Ч- ж^ sin ж + ж cos ж, ж = 0. 34. ху Ч- In |ж| = С. 2 35. ж A + 1/2) = у -I- С. 36. у = ж Ч- -2 • ж 37. у = 2ж^--. 38. 1/ = -^ж^ ж 3 39. у = -ж^. 40. у = ж2ч-2, 1-С08 2ж 41. у = . 42. у = X. cos ж 43. у = -2ж^ + ж^. 44. у = ж^. 45. у = е^^ Ч- 4. 46. (ж Ч- у Ч- 1)е-У = С. ^^ 1 С 2ж + 1 ^о 1 ^ 1 2 47. - = — ч- —:—. 48. ~ = Сж - -ж"^. у X А у 2 .^ 1 С' 1 2 .^ 1 С' 49. - = -х\ 50. -^ = -^ Ч- ж. ухо у^ х^ .. 1 С' , 1 .о 1 С' 51. - = Нжшж ж. 52. --Г = h ж. ух 2 у^ X 53. — = Сж Ч- -. 54. - = Сж^ Ч- ж. у^ ж у 55. - = -. 56. - = -1г Ч- ж^. у ж 2 у х^ 57. -^ = Се-2^ + 2ж - 1. 58. ~ = -^ -Ь ж. у^ у ж^ .^ 1 С' , .^ 1 С' ^ 59. — = — Ч-4. 60. - = 2со8ж. у^ х^ у cos ж 61. - = Сх^ + Ах\ 62. - = -^ + |. У у Ж'=* 2 63. (ж Ч-1 - С)у = С. 64. C81пж Ч- С)у = cos ж, у = 0.
26 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 65. у^ + 4 = Сх. 66. у2 (а;4 + С)= х^, у = 0. 67. у2 ^е-:=з + (^7) = 4С. 68. ж (у'' + 1) = 2Су^, у = 0. 69. а;3 + у + 2 = Се". 70. г/ = х^ (in^у + С), ж = 0. 71. а;2 Dу2 + С) = у^, а; = 0. 72. 3Vi = y2-l + CJy2-l|^a; = 0, у = ±1. у2ж2 — х^. — л,Л 1г,2, 73. у = у2ж2-ж2. 74. а; = 4у^In-*у. 75. ж B - у2) = 1. 76. у (Сж2 + 1) = 2Сж. 77. ж^еТ^ = С, у = 0. 78. ж (Су^ + 1) = ЗСу, у = 0. 79. у Bж2 + ж + С) = 4ж, у = 0. 80. у = sin^ ж. 2 2 81. у = cos^ ж. 82. у = - + ж С7жЧ-ж1п(ж| о„ 1 16 о. 2 1 83. у = - + ^„4. .„ .• 84. у = -- + ж Се4=^ - 4ж - 1 ■ ■ '^ ж ж(С - In |ж|)' 2С7ж2 „„ 1 2ж Зж* 2Се^^ 87. у = ж + т. 88. у = ж + 1 + 89. у = ж - 2 + , . ^ . ■ 90. у = е^ + 1 + Се^^ ■ • г/ ' ^g3i _ g-i • е-^ 1 91. у = е ^ + -г . 92. у = 8шж + -:; . о — ж G — ж 1 «.2 2ж 93. у = cos ж + — . 94. у = —h С-х' -^ ж ж2 + С' 95. СA + у) = Bу + ж2) ж. 96. у = / e''^''-^^f{t)dt, fc > 0; у = / e''^^-*^f{t)dt, к<0. +00 —(X) 98. -. 100. ~. 101. 0. а А
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах 27 § 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий мнолситель. Замена переменных Дифференциальное уравнение P{x,y)dx Ч- Q[x^y)dy = О, заданное в области D, называется уравнением в полных дифференциалах, если найдется такая непрерывно дифференцируемая в D функция и{х,у), что du{x,y) = P{x,y)dx + Q{x,y)dy. Для такого уравнения решения задаются формулой и{х,у) = С, где С — произвольная постоянная. Функция и{х,у) ди „, . ди ^, . находится из системы уравнений тг- = Р\Х->у), тг- = ЧК^^У)- их оу Если D — односвязная область и -^г—, -;г непрерывны в D, то до- ох оу статочным условием того, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, служит равенство |3 = 1^. ОХ оу Пример 1. Решить уравнение (Зж^ + y-l)dx+[x + Zy'^ - 1) dy = 0. Д Заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, / ^ dQ дР , ^ поскольку оно задано на всей плоскости (ж, у) и -т— = -^— = 1. Функцию ох оу и{х,у) находим из системы уравнений ди о ди с 9 . ду Из первого уравнения получаем и{х,у) = х^+х{у — 1) + (р{у), где (р{у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция у. Подставляя выражение для и{х^у) во второе уравнение системы, получаем уравнение (р'{у) = Зу^ — 1. Отсюда находим <^(у), а, значит, и функцию и(х^у). В данном примере можно взять и(х^у) = х^-\-у^^-ху — х — у. Следовательно, решения заданного уравнения задаются формулой х^ + ху + у^ -х-у = С. к Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то можно пытаться найти его интегрируюш;ий множитель. Обш,его метода отыскания интегрируюш;его множителя не существует. В некоторых
28 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка случаях удается решить уравнение, применяя метод выделения полных дифференциалов некоторых выражений и замену переменных. Пример 2. Решить уравнение {у — 4:ху^) dx = Bж^y^ + х) dy. Д Заметим сначала, что у == О — решение уравнения. Пусть у ф 0. Уравнение запишем в следуюш,ем виде ydx — xdy = 2у^ {x^dy + 2xydx) . Если разделить уравнение на у^, то уравнение примет вид d(^)=2d(x2y). Получили уравнение в полных дифференциалах, из которого находим, что X = 2xhj^ + Су, где С — произвольная постоянная. Отметим, что интегрируюш,им множителем заданного уравнения служит функция —^, Таким образом, все множество решений заданного уравнения описывается формулами X — 2ж^y^ Ч- Су, у = 0. А Решить уравнения A—18): 1. A - Ъх^ -y)dx= {х- Зу2) dy. 2. {у2 - 2х^) dx + 2xydy = 0. 3. [{х — у)^ — х] dx -{- [у — {х - у)^] dy = 0. 4. (у — sinx)dx + {х -h еУ) dy = 0. 5. (у - x)dx + {х + 2е^У) dy = 0. 6. (ж + y)dy = {2е^^ ~ у) dx. 7. (у -I- sin x)dx + {х + cos y)dy => 0. 8. {2х -Ь у^) dx + Зжу^йу = 0. 9. (у^ — 2а:) йж -|- Bжу — siny)dy = 0. 10. (у - За:^ -\-1) dx-\-(х-\- lny)dy = 0. 11. (у^ Ч-In ж) da; + Bжу — In y)dy = 0. 12. (е^ -Ь у) da; + (ж -Ь 2у cos y^) dy = 0.
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах 29 13. A + Зж^Ыу) dx + (Зу2 + —]dy = 0. 14. B.-'Jp.y^+By+'^yy = 0. i5-(i^ + ;)<'--(^ + i + 2!,)<;v = o. 16. е- (l --\dx+(l + e^) dy = 0. 17. -dx + [1 + In {xy)]dy = 0,x>0,y>0. f 2x\ (\ Зж2\ Найдя интегрирующий множитель или сделав подходящую замену переменных, решить уравнения A9—60): 19. Ixydx + (у2 - ж^) dy = 0. 20. 2xydx = (ж^ - 2у^) dy. 21. (З^ж — у — 2ж) dx = {^у/х — у — 2у) dy. 22. [у - Зж^у^) б/ж - (ж + ж^у2) dy = 0. 23. Bжу^ -Ь у) б/ж - (ж^у + 2ж) dy = 0. 24. ус!ж = (ж - 2у^) dy. 25. ж^йу -Ь 2 (у - ж'^) ydx = 0. 26. 7/йж = Bу - е^) dy. 27. жйу = у A — уе^) йж. 28. у' = ~-Ь2ж2. ж 29. x'^dy = (жу + у^) dx. 30. у^йж = жBу — x)dy. 31. ж^dy = (жу — 2ж^y^) йж. 32. xdy = уB + 3xy)dx.
30 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка /1 \ 1 33. у ] dx = -dy. \^ J У 34. {2х^у + а;2у4) dx + (ж^ + х^у^) dy = 0. 35. (Зж^у + 7у^) dx - {2х^ + 5ху) dy = 0. 36. Bу - ж^у^) dx = [х^у - х) dy. 37. Dж^у + Зy^) йж - Bж^ + жу) dy = 0. 38. (Зжйу - ydx) [х^ + у^) 4- x'^ydy - жу^йж = 0. 39. (Зж2 -ь 2у) A + y)dx + Bж - ж^) dy = 0. 40. (жу^ + 2у) dx+ {х- ж^у^) dy = 0. 41. Зжс/у Ч- ус^ж + xy^{xdy Ч- у^ж) = 0. 42. xy'^dx Ч- (ж^у — ж) dy = 0. 43. ж (ж^ Ч- у^) dy Ч- у(уйж — жф) = 0. 44. (жу^ Ч- у) йж Ч- Bж Ч- ж^y^) dy = 0. 45. 2ж^(жйж Ч- ydy) Ч- (ж^ + y^)^ (жйу - Зуйж) = 0. 46. y{2ydx — xdy) Ч- x'^{ydx Ч- 2жс(у) = 0. 47. (у2 - Зж^) dy + xydx = 0. 48. xdy — ydx = ж\/ж2н-у^• с/ж. 49. xdy — 2уйж Ч- жy^Bжdy Ч- уйж) = 0. 50. x'^y^dx + (ж^у^ Ч- ж) dy = 0. 51. 5жйу Ч- у</ж Ч- xy^{xdy — у^ж) = 0. 52. жс/у Ч- у</ж Ч- xy'^{xdy — 5у^ж) = О, ж > О, у > 0. 53. 2жс/у Ч- уйж Ч- xy^{xdy Ч- 2ус(ж) = 0. 54. (у^ Ч- у) йж Ч- (жу Ч- 2ж + - J dy = 0. 55. [(Зж^ Ч- 2) у Ч- Зж] dx Ч- Bж - ж^) dy = 0. 56. жу' — у = 2ж^е~х.
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах 31 57. 2xy^dx -f x'^y'^dy = (l - y^) dy. 58. Ba;y^ - y) dx-\- (y^ Iny -f ж - y) dy = 0. 59. x'^yy' -f ж^ = (ж^ -f y^)^. 60. Ax'^y'^dx -f a;^By ~ l)dy = 0. 61. Найти интегральную кривую уравнения (l — х^у) dx-\'X^{y — x)dy = О, 1 пересекающую прямую ж = - под прямым углом. Ответы к задачам § 4 С х^ 1. у^ - х^ - ху + х = С. 2. у^ = h -тг, ж = 0. X 2 3. 2(у - ж)^ = 3 (у2 - а;2) + С. 4. ху -f cos х -f е^^ = С. 5. а;2 + С = 2а;у -f ге^з^. 6. у^ -f 2ху = 26^^ + С. (J 7. жу ~ cos а; + siny = С 8. у^ = х, х = 0. а; 9. жу^ -x^-f cosy = С 10. a;(y-f 1) - х^ -f уAпу- 1) = С. 11. а;у2 -f а;Aпа; -- 1) + уA - Iny) = С, 12. е^ + жу -f siny^ = С. 13. хЧп у -f а; + уЗ = С. 14. а;^ + у^ -f ^^^-^ = С. 15. ~ - ^ ~ у2 = С. 16. у-^хе^ = С. У X 17. у In (ху) = С. 18. а; -f -т = С'. У^ У 19. а;2 -f у^ = Су, у = 0. 20. х^ = Су - у^, у = 0. 21. х^ -у^ ^ 2(а; - у)§ -f С. 22. а; - х^у^ =:Су,у = 0. 23. а; -f a;V = Су^, у = 0. 24. а; = Су - у^, у = 0. 25. а:^ ~ 2у 1п|а;| = Су, а; = О, у = 0. 26. y^e'^ = у + С. 27. а; = уе^ -f Су, а; = О, у = 0. 28. у = Сх + х Г.2 ,3 а;" 29. ^ + 2ж = С, у = 0. 30. у^ -ху = Сх, а; = 0.
32 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 31. X — х^у = Су, г/ = 0. 33. ^-^ = а 2 у х^ Зж^ ^ -6 + -5" = <^. У = О- 37. х^ = Су- 62^5, а; = о, у = 0. 35. -fi+—г 32. х^у + х'^ = Су,у = 0. 34. x'^y'^ {7х + 4уЗ) = с. ^ = С, а,- = О, у = 0. 36. жуе у! X 38. In 2/ - arctg - = С, а; = О, J/ = 0. а; 39. 1 + У 1 41. ху = Се^, а; = О, у = 0. 43. а;е2' = С^/а;2 +у2, у = 0. 45. ^ -^ ^ = ^ -f С, а; = 0. х'' -f у'' а;"^ 47. - - - = Су, у = 0. X у 49. уе^"' = Са;2, ж = 0. 1 51. у = Схе^, а; = О, у = 0. 53. а:5у10 = С A + 5а;у^) 1 ^ 40. -^ -f ^ = С, ж = О, у = 0. х^у X 42. ху - In \у\ = С, х = 0,у 44. ху = Се^, а; = О, у = 0. 46. ху'^ = Се^, а; = 0. = 0. 48. хё = c(y-f v^^2-:r7). 57. у = С (ж2 + 1) у2 + С. 50. у^е^""' = С, ж = 0. 52. (жу)Ч = СA1жу2-1)^ 54. Су(жу+1) =у + 1. е^ = ж2 + С. 55. {4жу + 3)С = B - x^f, ж = 0. 56. е- ^ " ~ 58. ж2 + уAпу-1)-1пу-- = С. V 59. (ж2 + у2) (Сж + 2) = ж г2 + 8+-. ж 60. жУе^ =С, у = 0. 61. у = ж + л/ж- Исследование задачи Коши §5 Важную роль в исследовании задачи Коши играет условие Липшица. Говорят, что функция f{x,y) удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по а; в некоторой области G плоскости Rhy)^ если найдется такое число L > О, называемое постоянной Липшица, что для любых
§ 5. Исследование задачи Коши 33 {x,yi) е G и {х,у2) Е G выполняется неравенство Следующий пример дает удобные для практики достаточные условия на f{x,y)^ обеспечивающие выполнение условия Липшица по у равномерно по X на компакте (ограниченной замкнутой области) плоскости -R? ч. dfix v) Пример 1. Доказать, что если функции /(ж, у) и —-^— непрерывны в области G плоскости i?? ч, то /(ж, у) удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х на каждом компакте К С G. Д Рассуждаем от противного. Пусть утверждение неверно. Тогда найдутся компакт Ко С G и последовательности {Ln}^i, Ln > О, Vn € N, {(^п,Уп)}^=1 С Ко, {(^п,Уп)}^=1 С Ко такие, что \f{Xn,y'n)-'f{Xn.yn)\>Ln\y'n-ynl Так как Ко — компакт, то из последовательностей точек {х^Уп) и (хп^Уп) можно выбрать сходящиеся подпоследовательности (ж„^,у{^^) -^ -> (^о,Уо) ^ ^0, (a^njb,ynj -> Ы,Уо) ^ Ко при fc -> 00. Рассмотрим функцию у - у в достаточно малой окрестности точки (жо,Уо,Уо)- Если j/q т^ Уо» "^^ ^^ непрерывности /(ж,у) следует ограниченность функции F(x^y\y") в этой _ - .. dflx,y) окрестности. Если же уд = Уо = уо, то из непрерывности — следует выполнение условия Липшица по у равномерно по а; в окрестности точки {хо,уо)у что означает ограниченность F{x,y\y") и в этом случае. Но ограниченность F{x^y',y") противоречит нашему предположению о компакте Ко при достаточно больших rik. Это доказывает утверждение примера 1. А Пример 2. Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для функции f{x,y) в полукруге ж^ + у^ < В?, у > О, i? > О, если: а)/(ж, у) = а;2 sin а:-fy^, б)/(а;,у) = х-f |у|, в)/(а;,у) = а;-f >/у ?
34 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Д В случае а) для любых двух точек {x,yi) и {х,у2) из полукруга имеем: \f{x,yi) - Лх,у2)\ = \у1 - у1\ = \У1 - У2\ • \у1 + У1У2 + у1\ ^ <.\{у1 + У2)\У1-У2\<.Ш^\У1-У2\. Значит в случае а) условие Липшица выполнено. В случае б) условие Липшица тоже выполнено, так как |/(а:,У1)-/(ж,У2)| = ||У1|-|У2|| ^ \У1 - У21 Покажем, что в случае в) условие Липшица не выполняется. Рассуждаем от противного. Пусть это условие выполнено в полукруге с некоторой постоянной Липшица L > 0. Тогда для точек @,1) и (О,у), где О < у < е, е > О и достаточно мало, имеем |/@,j/)-/@,l)| = |V^-lKL|y-l|. Отсюда L{y/y Л- 1) ^ 1, что невозможно при достаточно малых у > 0. Противоречие. Условие Липшица не имеет места. А Пример 3. Указать какой-либо отрезок, на котором супхествует решение задачи Коши, если: а) у' = у'^-^х'^, у@) = О, \х\ ^ 1, |у| ^ 1, б) у' = x-fsin(.T2 + у), у@) = О, \х\ ^ 1, в) у' = \х\ -f siny^ -f cosy^, y@) = 0. Д Известно, что решение задачи Коши у' = f{x^y)^ у{хо) = Уо? где f{x^y) dfix^y) T-r г/ \ I I I и —-г непрерывны в прямоугольнике П = \\Хту) : \х — xol ^ ol^ \у— ду —Уо| ^ у9}, всегда суш^ествует на [хо — 5, жо + 5], где 5 = min ( а, — J, М = = max \f{x, у)\ при (ж, у) G П. В случае а) имеем а = у8 = 1,М = 2и, значит, решение существует при \х\ ^ -. В случае б) имеем а = 1,^ = оо, М = 2и, значит, решение суш,ествует при \х\ ^ 1. В случае в) для всех \х\ ^ а при любом а > О имеем а = а, /3 = оо, М = 2. Следовательно, решение суш,ествует для \х\ ^ а при любом а > О, т. е. для всех х G (—оо, -f оо). А
§ 5. Исследование задачи Коши 35 Пример 4. Методом последовательных приближений найти решение задачи Коши: у' -f у = х + 1, j/@) = 0. Л В нашем случае последовательные приближения задаются формулами 2/0 X (х)=0, Ук{х) = j[i + l-yk-i{0]di, А; = 1,2,3,. Методом математической индукции можно проверить, что Ук{х) = = X -h (—1)^, /с = 1,2,3,... Отсюда следует, что при \х\ ^ а для любого 0'> О Ук{х) при /с -> оо равномерно стремится к х. Значит, у = х является решением задачи Коши. А Пример 5. Доказать, что последовательность функций Уп{х), определяемая соотношениями уо{х) = О, уп{х) = 2 1-х X \ j yl-x{t)dt, п 1, Z, о, . . . , сходится равномерно на [1,2] и не сходится равномерно на [1,8]. Л Заданная последовательность функций служит последовательными приближениями решения задачи Коши вида 9 ' уA)=0. Рассмотрим сначала эту задачу в области G = {(а;,у) : а; G [1,2] ^ Ь, Ь > 0}. В этой области G max 62 М < 2 + — И max , \У df ду й max _2jt 9 , "а;2 9 Из теоремы существования решения задачи Коши следует, что последовательные приближения сходятся равномерно на [1,1 + 5], где число S > О одновременно удовлетворяет двум оценкам: 6 < М 2 + f 5 < N 26 . Выбирая число 6 так, чтобы обе оценки совпали, получаем 6 = 3V^, 5< —7=. Ясно, ЧТО E = 1 удовлетворяет этому неравенству. 2\/2
36 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 3 3 Решая на [1,8] уравнение Риккати, получаем у = —I ^, Из на- ^ х + Схз чального условия С = — 2. При х -^ 8 получаем у -> сю, что противоречит равномерной сходимости. А При исследовании зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных используются уравнения в вариациях. Пример 6. Найти —^ от решения у = (^(ж, 1,уо) задачи Коши дуо у' = 2у + х^^ - xV, уA) = уо. Л Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии уA) = О является у = (р{х^ 1,0) = 0. Известно, что искомая функция и = —— должна быть решением урав- оуо нения в вариациях по уо ^ = [2 + 2х'у - 3xV]u, где у = (р{х, 1,0) = О, при начальном условии и |xo=i= 1- dip Другими словами, для нахождения функции и = —— необходимо ре- оуо шить задачу Коши вида g = 2u, u(l) = l. Искомым решением является и = е^^^~^К А „ „ __ д(р(х,1^0) / ^ч Пример 7. Найти ;г от решения у = (р[х^хо^1) задачи Коши OXQ у' = у ~ 1 -f 2а;у2(у2 - 1), у{хо) = 1. Д Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии у@) = 1 является у = (р{х^О, 1) = 1. д(р Известно, что искомая функция v = —— должна быть решением урав- охо нения в вариациях по xq -£='[1 + 8ху^ -4xy]v, где коэффициент при v берется при значении у = 1 и при начальном условии V |х=о= -[у ~ 1 + 2а;у^(у^ - l)]U=o = 0.
§ 5. Исследование задачи Коши 37 Следовательно, для нахождения функции v нужно решить задачу Коши вида dv — = A + 4x)v, v{0) = 0. CfX Отсюда искомое решение v = 0. А 1. Выполнено ли условие Липшица для функции f{y), если: а) f{y) = У^, \у\ <:а, а>0, б) /Ы = |у|, \у\ ^а, а>0, в) /(у) = VWl \У\ < а, « > О? 2. Доказать, что из выполнения условия Липшица для функции f{y) на [а,у8] следует непрерывность f{y) на [а,у8]. 3. Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для функции /(ж, у) в круге ж^ -f у^ ^ -R^, i? > О, если а) f{x,y) = a;2-fi/^, б) f{x,y) =х- \у\, в) fix,у) = ху/\у\? 4. Доказать, что если функция f{x^y) непрерывна по а; в области G и удовлетворяет в G условию Липшица по у равномерно по ж, то f{x^y) — непрерывна в G. 5. Показать, что не дифференцируемые по у при у = О функции fi{x,y) = |y|(l-fsina;) и /2{х,у) = |y|(l-fcosa;) удовлетворяют условию Липшица по у равномерно по х на всей плоскости i?? ч. 6. Показать, что функция f{x,y) = а{х)у -f b{x) удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х в полосе \х\ ^ а, а > О, если только а{х) и Ь{х) — непрерывные функции при \х\ ^ а. 7. Показать, что функция f{x,y) = [И-а^(а;)]у^, где а{х) — непрерывная функция при |а;| ^ а, а > О, не удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по гг в полосе \х\ ^ а. 8. Доказать, что функция f{x,y) = Р{х) -f Q{smy,cosy), где Р{х) и Q{u,v) -— многочлены, удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по X на всей плоскости Щ^у)-
38 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 9. Доказать, что функция f{x,y) = х -у не удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х на всей плоскости Л? ,.. 10. Методом последовательных приближений найти решение задачи Коти, если: а) у' -f у = гг -М, 2/@) = 1, б) у' -f у = 2е^, у{0) = 1, в) у' ~ у = 1 - X, у@) = 1, г) у' - у = e2^ у@) = 1. 11. Методом последовательных приближений найти приближения уо(^), yi{^)i У2{х) к решению задачи Коши, если: а) у' = у^- X, у@) = 1, б) y' = f-h х\ у@) = О, в) у' = 2у2 + X, у@) = 1, г) у' = п:2 - 2у2, у@) = 0. 12. Оценить погрешность, получаемую при замене решения у{х) задачи Коши его последовательным приближением yz{^)^ если: а) у'= у2 + 2х, у@) = О, |х|^1, |у| ^ 1, б)у' = у2 + х2,у@)=0, Irrl^l, |у|^1. 13. Доказать, что последовательность функций Уп{х), определяемая соотношениями Уо{х) = О, X Уп{х) = е-^ + ^е-2^ - ^ + / [22/П-1 (Ое-' - yLi@]d^, п = 1,2,3,... о сходится равномерно на [0,0.2] и не сходится равномерно на [0,1]. 14. Доказать, что последовательность функций yn(^), определяемая соотношениями Уо{х) =0, X Уп{х) = ^A ~ ^^) + / ^[B^ -^ 1)Уп-1@ ~ Уп-1 W]rf^, п = 1,2,3,... 1 сходится равномерно на [1,1.1] и не сходится равномерно на [1,2]. 15. Доказать, что последовательность функций Уп{х)^ определяемая соотношениями Уо(^) = О,
§ 5. Исследование задачи Коши 39 X Уп{х) = COSX — 2 — sint[yп-1{t) — COSt]^dt^ n= 1,2,3,... 0 сходится равномерно на [0,0.1] и не сходится равномерно на О, -- . 16. Доказать, что последовательность функций Уп{х), определяемая соотношениями Уо{х) = 0, X Уп{х) = гг -f 2 / COS (з; - t)yn-i{t)dt, п= 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 17. Доказать, что последовательность функций Уп{х), определяемая соотношениями Уо{х) = О, X Уп{х) = 5cosrr-4-f2/ {1 - e^-'')yn-i{t)dt, n = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 18. Доказать, что последовательность функций Уп{х)^ определяемая соотношениями Уо{х) =0, X Уп{х) = 4 -f 5 / sin (х - t)yn-i{t)dt, n = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 19. Доказать, что последовательность функций Уп{х)^ определяемая соотношениями Уо{х) = О, X Уп{х) = 5(cosrr-fsinx) + / [1 + 2(х - t)]yn-i{t)dt, п = 1,2,3,... о сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел. 20. Используя какое-либо достаточное условие единственности решения задачи Коши, указать области, через каждую точку которых прохо-
40 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка дит единственная интегральная кривая уравнения: а) у' = У^ -^ ж^, б) у' = а; -f ^у-х, в) у' = у^ ^ у/хТу, г) {х + у)у' = жЬу, д) жу' = е^ + ctgy, е) у' = у + \/у-х2, ж)у' = (у +1)(у-1I. 21. Найти значения вещественных параметров а, р и линии на плоскости, в каждой точке которых нарушается единственность решения уравнения: а) у' = у-A ~ y)^ б) у' = у" 1п^ -, в) уЧпу = у-A - yf. У 22. При каких начальных данных жо, уо, Ух задача Коши у" = f{x^y,y')^ у{хо) = Уо, у'(^о) = 2/1 имеет единственное решение, если: а) f{x,y,y') = -(y'-f х/у-1)» б) fix,у,у') = —yln(xy-l), в) fix,у,у') = —^у-х, г) fix,у,у') = -(cosy'-fx^ In у'), 1 2 Д) fi^^y^y') = -ix- \/у' -у), е) fix,у,у') = х^еУ -{-smiy' -х'^у. У 23. Показать, что уравнение у" = 3(у')з при начальных условиях у@) = = у'@) = О имеет два решения. Почему это не противоречит теореме существования и единственности решения задачи Коши? 24. Показать, что уравнение у" = 2^/\уГ\ при начальных условиях у@) = = у'@) = О имеет два решения. Почему это не противоречит теореме существования и единственности решения задачи Коши? 25. Могут ли две интегральные кривые уравнения пересекаться в некоторой точке (а;о,Уо)- а) для уравнения у' = ж^ -f у^? б) для уравнения у" = х^ -f у^? 26. Могут ли две интегральные кривые уравнения касаться друг друга в некоторой точке ixo^yo)'- а) для уравнения у' = х^ -\- у^1 б) для уравнения у" = ж^ -f у^? в) для уравнения у'" = х"^ -\-у^1 27. Сколько существует решений уравнения у^*^) = х^ -{-у^^ при п = 1, 2,3, удовлетворяющих одновременно двум условиям у@) = 1, у'@) = О?
§ 5. Исследование задачи Коши 41 28. При каких п G N уравнение у^^^ = f{x^y), где f{x,y) и —^ оу непрерывны на всей плоскости Я?^ ч, могут иметь среди своих решений две функции: а) у1 = ж, у2 = ж + х'^? б) у1 = 1 ~ cos ж, у2 = -ж^? 29. Найти производную по параметру А при А = О от решения у = (^(ж, А) задачи Коши: а) у' = у + А(ж2 + у2), у@) = О, б) у' = ~у + А(а: + у^), у@) = О, в) у' = 2у + А(у2 - ж2), у@) = О, г) у' = ~3у + А(у2 - х), у@) = О, Д) у' = У - У^ + А(ж + уЗ), у@) = О, е) у' = у2 ~ у + А(у^ - ж), у@) = О, ж) у' = 2жу + А(у^ + 2х), у@) = О, з) у' = ~2жу + Х{у^ ~ 2ж), у@) = 0. «л тт d(p(x,XQ.yo) ^ , . 30. Найти —^-7г при уо = О от решения у = ср(ж,жо,уо) задачи 5уо Коши у' = /(ж,у), у(жо) = Уо, если: а) у' = 2у + ж2у2 ~ y^ у@) = УО, б) у' = у + 2ху'^ + y^ у@) = уо, в) у' = -2у + 2ж2у2 + y^ у@) = Уо, г) у' =-у ^ у'^ ^ ж2y^ у@) = уо- 31. Показать, что т-^—^— = О для решения у = (р{х, жо, 0) задачи Коши ажо у' = /(ж,у), у(жо) = О, если: а) у' = у + ж(уЗ + у2), у@) = О, б) у' = -у + 2ж(уЗ ~ у2), у@) = О, в) у' = 2у ~ ж(у2 + у^), у@) = О, г) у' = -2у - х^у{у^ + 2у), у@) = 0. 32. Найти с точностью до 0(x, A^) решение задачи Коши: а) у' = 2жу + АBж + у^), у@) = О, б) у' = ~2жу + А(у2 ~ 2х), у@) = О, в) у' = у2 + у + АA + ж), у@) = О, г) у' = у2 ~ у + Аж, у@) = О, Д) у' = -у^ + У + Аж, у@) = О, е) у'=-у^ - у + Ах, у@) = 0. 33. Пусть у = (^(ж, А) решение задачи Коши у' = у + sin у, у@) = А. Найти аА "" аА2 • 34. Пусть у = (^(ж, А) решение задачи Коши у' = АA — д:) Ч-у — у^, у@) = 0. 35. Пусть у = ip{x^a^l3) решение задачи Коши у" = ау — у^, у@) = 1,
42 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка у @) = ^. Найти —д^— и g^ ■ 36. Пусть у = (р{х,а,Р) решение задачи Коши у" = у + 3siny, у@) = а, у @) = ^. Найти —д^— и ^^ • 37. Пусть у{х) при х ^ О удовлетворяет уравнению у' = 1 + х + 100 sin у и начальному условию у@) = 0. Доказать, что у{х) > О для всех х > 0. 38. Функция у{х) при X ^ О удовлетворяет уравнению у' = 2 + д;^ + sin'^ у и начальному условию у@) = 0. Имеет ли нули у{х) при х > О? 39. Функция у{х) при х ^ О удовлетворяет уравнению у' = х -{- cosy. Имеет ли у{х) асимптоту при х -> 4-оо? 40. Функция у(х) при X ^ О удовлетворяет уравнению у' = х + тт. 1 -f у^ Существует ли конечный lim у{х)? 41. Доказать, что каждое решение уравнения у' = ^г определено 1 -f х^ + у^ при ~оо<д:<4-оои имеет конечные пределы при х -> — оо и при X -> +00. Ответы к задачам § 5 1. а) Да. б) Да. в) Нет. 3. а) Да. б) Да. в) Нет. 10. а) у = х + е~^. б) у = е^. в) у = х + е^". г) у = e^^. 11. а) уо{х) = 1, yi(a;) = 1 + х - у, угН = ^ + ^ + Y " 1 0 ' 4 4 9 б) уо(ж) = О, yi{x) = —, у2{х) = Y "^ 144 ■ в) уо{х) = 1, уИх) = 1 + 2а: + у , у2{х) = ^ + Y'^~3~'^^^'^10' X X 2ж г) уо{х) = о, yi(a;) = у, У2(а;) = у - ^ • 12. а) \у{х) - уз{х)\ ^ ^ (J\ el .
§ 5. Исследование задачи Коши 43 б)\у{х)-уг{х)\^^. 16. у = 2{х-1)е=' + х + 2. 17. у = 2cosa;+ sina; — е^. 18. у = I (е2- + е-2-) - 1 . 19. у = 4e^^ + cos х + 2 sin ж. 20. а) Вся плоскость (х,у). б) у т^ ж. в) х т^ О, у > —х. т) X ф -у, у > 0. д) ж 7^ О, у 7^ /стг, /с G Z. е) у > ж^. ж) у 7^ 1. 21. а) а < 1, у = О и ^ < 1, у = 1. б) а < 1, у = О и /3 < 1, у = 1. в) а < 1, у = 0 и ^5 < 2, у = 1. 22. а) жо 7^ О, уо 7^ 1, yi — любое, б) хоуо > 1, уо т^ О, yi 7^ 0. в) Уо 7^ 3^0, 2/1 7^ 0. г) хо — любое, уо 7^ О, yi > 0. д) хо — любое, уо 7^ О, у1 7^ Уо. е) ж§ 7^ уь уо - любое. 25. а) Нет. б) Да. 26. а) Да. б) Нет. в) Да. 27. При п = 1 нет решений, при п = 2 одно решение, при п = 3 бесконечно много решений. 28. а) п ^ 3, б) п ^ 5. 29. а)^^ = 2в^-а:^~2а:-2.б)^^^е- + х-1. ил ил Эу(ж,0) _ _1 _зх _ ^ , 1 ^ ал ~ 9 3^9- ж) ^^ -е 1.3) ^д -е 1. 30. а) e^^, б) ё", в) е-2^, г) е"^.
44 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 32. а) у = А(е^' - 1) + 0{х, А^), б) у = Л(е-^^ - 1) + 0{х, А2), в)у = АBе^-ж-2) + А2[4е2^ + 2е^C-2ж-а;2)-ж2-6а:-10] + О(а;,А2), г)у = А(е-^ + а;-1) + А2[(ж2-2а:-4)е-^-е-2^ + а;2-4а; + 5] + 0(ж,А2), д) у = А(е^ - ж - 1) + А2[(ж2 + 2а: - 4)е^ - е'^^ + ж2 + 4а; + 5] + 0(ж, А^), е) у = А(е-^ + ж-1) + А2[D + 2а:-ж2)е-^ + е-2^-ж2+4а:-5] + 0(а;,А2). ау(ж,0) _о. 2х ,ч аУ(х,0) _ 34. ^ ' = ж, ^\; ' = -4е^ + 2а;2 + 4а; + 4. 35. Щ^ = 1 - cosa;, Щ^^ = sina;. да др 4 38. Нет. 39. Нет. 40. Нет. § 6. Уравнения первого порядка, не разреп1енные относительно производной. Особые репхения Основным методом решений таких уравнений является метод введения параметра. Кандидаты в особые решения находятся с помощью дискри- минантных кривых, а затем для них проверяется определение особых решений. Пример. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать качественную картину поведения интегральных кривых уравнения Д Введем параметр р = у'. Тогда заданное уравнение эквивалентно системе уравнений 1 д:^[p^ - р] + 2хур + у^ = 0.
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 45 Разрешив второе уравнение системы относительно у, получаем, что у = —хр ± Ху/р^ где р ^ 0. Найдя отсюда dy и подставив его в равенство dy = pdx^ получаем уравнение B^/р q= l){2pdx + xdp) = 0. Первая скобка может обраш,аться в нуль лишь при у/р = -. Подставив у/р = - в формулу для у, получаем решение у = -х. При этом было учтено, что в формуле для у нужно брать только знак «плюс». Приравнивая нулю выражение второй скобки, получаем уравнение с разделяюш,имися переменными. Все его решения задаются формулой pд:^ = С, где G^0. Подставляя р = —г^ в формулу для у, в которой С берется только знак «плюс», получаем решение у = h vC • sign ж, где X X ф О, С > 0. Кроме того, при р = О имеем решение у = 0. Дискриминантные кривые находятся из системы уравнений у = -хр ± Ху/р, О = -x± , 2ч/р' где второе уравнение получается дифференцированием по р первого уравнения. Исключая из этой системы параметр р, находим, что у = -х задает дискриминантную кривую. Это единственный кандидат в особые решения нашего уравнения. Поскольку , = ix - решение уравнения, то ос^я ДЛЯ него проверить выполнение определения особого решения. Для этого составляем систему уравнений относительно С: 1 С -тх = h VC • signx, X 7^ О, 4 X 4 ^ ж2* Легко видеть, что найденное из второго уравнения С = jx удовлетворяет и первому уравнению при х ^ 0. Следовательно, оба луча прямой у = -j-x, получаемые при х т^ О, являются особыми решениями заданного уравнения.
46 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Качественная картина поведения интегральных кривых уравнения показана на рисунке. Из рисунка, в частности, видно, как из найденных решений уравнения можно получать составные решения уравнения. А Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать качественную картину поведения интегральных кривых уравнений A—66): 1. у'^ ~ Ахуу' + 8у2 = 0. 2. ?у2 + 2х^у' - Ах'^у = 0. 3. 8ху'^ = уA2у'2 _ 9). 4. х^у'2 - 4х{у + 2)у' + 4у{у + 2) = 0. 5. x^y'2 + х'^уу' + 1 = 0. 6. у'^ - Зхугу' -h 9у3 = 0. 7. у'^ - Зх'^у' + Аху = 0. 8. y^y'2 + 2хуу' ~ у2 + 1 = 0. 9. у' = In —^. 10. ху'2 ~ 2уу' + 2у = 0. 11. ж^у'2 - 4ж2уу' + 4xy2 + 4у' = 0. 12. Sy'^y'^ ~ Зу + 6{х ~ 2)у' = 0. 13. 5xy'2 + 1 = уу'A + уу'). 14. ж^y^y'^ ~ 2х'^у^у' + ху^ + 2уу' =: 0. 16. у'2 - 8xy' + 8x2 ^ 4у = 0. 18. 2у2у'2 - 2xy'2 -f 4уу' + 1 = 0. 20. x^y'2 + ху' + у = 0. 22. A ~ x2)y'2 + 2xyy' + 2;2 = 0. 24. yy'iyy' - 1) = ж-у2. 15. -у /2 у' + У = 2х - 3. 17. у'2 + а:у2у' + у^ = 0. 19. у'2 - 2уу' + 4е2^ = 0. 21. 4у'2 + Зж^у' = 9х*у. 23. у = у' + -(а:-1пу')
4 X \ 3 § 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 47 25. Цху' - 2у) = 4x2 _ у/2 26. 2уу'^ + х^{у'^ + 1) + 2ху' = 0. 27. 3 (^1 - у - ^у'^^ = (^х + ^у'^ . 28. 2ху = х^у' + Зг/ (^^^ 29. у' = у^е у . 30. у = у'-— - y'^-2-• sh X sh а; 31. уу'2 - 2ху' + у = 0. 32. 12уу' = 9a:y'^ + 4^. 33. у + у^^ cos"^ X = y'sinrrcosx, |х| < •-. 34. (у — ху'J = у' + 1. 35. 4уЗу'2 - 4а;у' + у = 0. 36. 2а:у2у'2 - у^у' + 1 = 0. 37. жу'З - уу'2 +4 = 0. 38. 8а;у'^ + 12уу'2 - 9у^ = 0. 39. х^у'З + а:'*уу'2 -1 = 0. 40. у'^ - ху' + у = 0. 41. у'2 + 4е-з^у' + бе-зху = о. 42. Зу'2 - 4е2^у' + 4уе2^ = 0. 43. 4уу' = ху'2 + х^. 44. у' = f ^-^^^ . 45. буу'2 = 2жу'3 + Зж! 46. (жу' + уJ = -у^у'. 47. (у + xf = -у'ЦЗу' + 5J. 48. {х - yf = у'^^Ьу' - if. 49. у' — In у' = у — ж. 50. 1 + уу' + у' In у' = ху'. 51. 4у'3 - Зж2у' + 4а:у = 0. 52. 4уу'2 - 2ху'^ - х^ = 0. 53. 4а,-уу'2 - 8ж2у'3 = 1. 54. 2х-уу'2 = Ах^ + {х"^ + 1)у'3. 55. 2уу' + 2у - Зж = а:у'2. 56. 4а:2у + у'2 = 2ж(ж2 + 1)у'. 57. ^ + 1пу' = 1. 58. ху' = уA + 1пу'). ху' 59. а:у'2 = у' - ^е'^У. 60. 4а:^у - х'^у' + ^у'2 = 0. 4 8 61. ^у'^ - Зж^у' + бх^у = 0. 62. {ху' + уJ + 20а:2у' = 0. 63. х^ + 5ху' + у'2 = 5у + Ах^ + 2ж\'. 64. ху'^у' + Зу^ + y"^ = 0. 65. ху'^ + Зуу'2 + 27y'^ = 0. 66. х^ + Зжу' + у'2 = Зу + 2х^ + 2а:2у'.
48 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Ответы к задачам § 6 1. у = С{х — С)^, 27у = 4ж^ — особое решение. 2. у = Сх'^ + C^, у = —-т^^ — особое решение. B 3 \^ 3 -х Н- —:; I , у = ±-ж — особые решения. 4. у = ~2 + 2(Сж + l)^, у = ~2 — особое решение. С' 1 2 . 5. у = h ~, ху^ = 4 — особые решения. 6 - j — особое решение. о 4 .^^Q , Х^ 7. у = ЗСхз ~ 16С , у = ±— особые решения. 8. у^ ^ С'^ Л- 2Сх + 1, у = ±л/1 - ж^ — особые решения. 9. у = (ж + С)[In(ж + С) — 1], у = —1 — особое решение. 10. 4у^ = СCх — С)^, у = X — особое решение при х ^ 0. 11. у = С — -C^x^, 2ж^у = 1 — особое решение. 12. у = О, X = 2 + —; - ~С^у^, 4(x - 2)^ + 9у^ = О — особое решение. 13. X = —у^ — Су — 7^^^ 4д: = у^ — особое решение. о 14. 2у^ + С^х^ = 2С, ху = ±~7= ~ особые решения. v2 15. у = —(х — С)^ + 2С — 3, у = 2x — 2 ~ особое решение. 16. у = д:^ + Сх C^, у = 2х^ — особое решение. 17. у = О, Cy(x - С) = 1, х^у = 4 — особое решение. 18. X = —-у^ — Су + ;^C'^, х + y^ = О — особое решение. 19. у = Се^^ + ~, у = ±2е^ — особые решения. G
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 49 20. у = C^, 4д:^y = 1 — особое решение. X 21. у — Сх^ + 4C^, у — ~тгх^ — особое решение. 16 22. У = л ( ^^^ "^ С' ~ ~ I, у = ±\/1 — x2 — особые решения. 23. у = е^"^^ - ^С, у = -(х + 1 + 1п2) — особое решение. 24. {х ~ C^)^ + y^ = C^, х = у^ — j — особое решение. 25. у = х^ + Сгг + qC^, у = —3:^ — особое решение. о 26. д:^ + ( у + -C^ I = С^, 2у = 1 ~ д:^ ~ особое решение. 27. у = 1 ~ д:^ + Сх — ^C'^, у = 1 - --д:^ ~ особое решение. 28. у = 2C^д:^ + ^т^, х = ±y^ — особые решения при у ^ 0. 29. у = Се^^, С ^ О, еху = — 1 — особое решение. 30. у = С ch х — C^,y= -- ch^ х — особое решение. 31. у = О, х = Cy^ + -—, X = ±у — особые решения при у т^ 0. 40 14 2 32. у = jp^x^ + С^ у = ±х^ ~ особые решения при х ^ 0. 4G 33. у = Сtgх — C^, у = - tg^ ж — особое решение. 34. у = (C^ — 1)х + С, у = —X — особое решение. 4д: 35. у = О, х = Су"* + —^, X = ±y^ — особые решения при у т^ 0. 40 36. X = Су'^ ~ 2C^, 8а: = у^ — особое решение. 4 2 37. у = Сх + -^, у = 3x3 — особые решения при ж т^ 0.
50 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка / ЗС \^ 2 38. у = ± { -г——- , ху = ±- ~ особые решения. \C — 3xJ 3 С 1 39. у = 1- 7^5 4:х'^У^ = 27 — особое решение. X С^ 40. у — Сх — С^, 27у^ = Ах^ — особое решение. 3 2 41. у = 4Се~2^ - 6С^, у = ;^е~^^ — особое решение. о 3 42. у = Се^ С^, Зу = е^^ — особое решение. 111 43. у = тС'д^^ 4- -г^, у = ^о^^ ~ особое решение. 44. у = С -^, у = ж ± 2 — особые решения. X — О 45. у = Сх^ Н—^7^, 2у = v^a;^ — особое решение. 18G 46. у = 7^, у = —4д: — особое решение. X ~ С fx + C\^ 47. у = С ~ 3 I —-— I , у = —X ± 2 — особые решения. 48. (у + С)^7'^ = 5^{х + су, у = х±2 — особые решения. 49. у = е^^^ ~С, у = д: + 1— особое решение. 50. у = In (х + С) + С, у = х — 1 — особое решение. 3 4 д;^ 51. у = т^'з^з — С^, у = ±— особые решения. rt ^ 52. у = Cж^ + 77777, 4у = Зхз — особое решерше. 53. X = С(у — C)^, 27x = 4у^ — особое решение. 1 2 54. у = C(д:^ + 1) + г-^, 2у = 3(a:^ + 1)з — особое решение. 55. у = Cд:^ — х + -р::;,у = хиу = —Зх — особые решения при у ^ 0. 56. у = C(д:^ + 1) - C^, у = -(х^ + l)^ — особое решение.
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения 51 X 57. у = С + С\п—,у = х — особое решение. G 58. у = —е^^~\ у = X —- особые решения при х ф^. О 59. X = 2СеУ + 20^, Зх = е^У — особое решение. 60. у = 2Сх^ — 2С^, у = -х^ —- особое решение. 3 61. у = -Сх'^ — 2С^, 2у = ±х^ — особые решения. ill 62. у = V \^С, у — —Ьх —- особое решение. X 63. у — -х^ + Сх + -С^^ у = -х^ — -х'^ — особое решение. 5 5 5 4 64. у = О, уС{х + С)^ = -27, х^у = 256 — особое решение. 65. {х + С)^у = -С, 27х'^у = ~4 — особое решение. 1 1 3 '^ 1 • 66. у == -х^ + Сх + ^С^, у = --7^^ + Q^"^ ~~ особое решение. о о 4 о
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА § 7. Основные типы уравнений, допускающие понилсение порядка уравнения В § 7 рассматриваются уравнения вида F(x,y,y',...,yW)-0, где у{х) — искомая функция, х — независимая переменная, п ^ 2. 1. Простые случаи понижения порядка уравнения. Порядок уравнения легко понижается, если его можно преобразовать в равенство полных производных по X от некоторых выражений. Пример 1. Решить уравнение Д Заметим, что у = С — решение уравнения. Пусть далее у ф С. Перенеся У2/'^ в левую часть уравнения, разделим обе его части на у^. Получаем у2 у^' \у) \уЧ Отсюда у г/^ в случае С = О имеем уу' = 1, {у^У = 2, у^ = 2х + С. В случае С ^0 получаем
§ 7. Основные типы уравнений 53 Последнюю формулу можно преобразовать к виду 2х y' = Ci+C2e-^i, CiT^O. 2х Ответ, у = С, у^ = 2х + С, y^ = Ci +С2е~^, где С, Сь Сг — произвольные постоянные, при этом Ci Ф 0. А В случае, когда уравнение не содержит у, порядок уравнения понижается, если сделать замену, взяв за новую неизвестную функцию производную от у наименьшего порядка, входяшую в уравнение. Пример 2. Решить уравнение Л Сделаем замену у" = гг. Тогда у'" = 2г' и уравнение преобразуется к виду 1 ^ 1С х^2г' + 2xz = -^. Отсюда {x'^z)' = ( — j , x'^z = -- + С, z = —^ + -^. Возвращаясь к у, имеем Ответ, у = Ciln|x| + С2Х + Сз — тг"» ^Д^ Ci, С2, С3 — произвольные 2х постоянные. А Когда уравнение не содержит х, порядок уравнения понижается, если за новую независимую переменную взять у и ввести новую неизвестную функцию z{y) = у'. При этом у" = z{y) • z\y). Пример 3. Решить уравнение y"{y-l)+y'{y-lf = y'\ Д Заметим, что у = С — решение уравнения. Пусть далее у ф С. Положив у — 1 = U, получим уравнение Возьмем и за новую независимую переменную и положим и'{х) = z{u). Тогда и"(х) = Z • z'{u) и уравнение примет вид uz • z' + u^z = z'^. Заметим, что z ф О, так как случай z = О дает у — С.
54 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Сократив уравнение на z, получаем , 2 uz' — Z ^ (z\' ^ о ^ UZ — Z = —и \ 5— = ~1? ~ — ~? ^ == ~'^^ + С^'^' Отсюда и'{х) = —v? + Си. В случае С = О w — —-, а в случае С Ф ^ — In X -f Со С = X + Со. \С -и\ Полагая гл = у — 1 и упростив полученное выражение, получаем ответ: х + С ^ l + Cie^^^' где С, Ci, С2 — произвольные постоянные. А При решении задач с начальными условиями целесообразно использовать заданные условия в самом процессе решения. Пример 4. Решить задачу Коши 2(у + х)/ + у^^ + 2уЧ , ^^ ,, ^0, y(^/2)-l-v^, y'(^/2) - ^/2 - 1. Л Положив и — уЛ-х^ преобразуем уравнение к виду 2W -f и'2 - 1 + -^ = 0. Так как это уравнение не содержит х, то положим w'(x) = z[u). При этом и" — Z • z'iu) и уравнение примет вид 2wzz' + z^ — 1 Н—5" — О- Это уравнение Бернулли. Положив w = z^., получаем uw' -\-w = \ г, 11 1 G (ш/;)' = 1 7^, UW = и-\ \- С, W = и''^ — 1-\—^Н . и"^ и и^ и Учитывая начальные данные и равенство и' = у' -f 1, находим, что и'(\/2) = \/2, u{V2) - 1, Тогда С - О, и'^ - 1 + Д., и' = у!±±]^^ w^ и у/1 + у? = X + с. Из условия w(\/2) = 1 следует, что С = 0. Тогда >/l + (у + х)^ = X. Учитывая начальные данные для у, получаем отсюда ответ, у = \/х2 — 1 — X. А Пример 5. Решить задачу Коши г/у" = (у" + у") thy, у@) = 1, ?/'@) = -1.
§ 7. Основные типы уравнений 55 Д Заметим, что у = С — решения уравнения, но среди них нет решений задачи Коши, так как у' = 0. Пусть далее у ф С. Полагаем у' — z{y). Тогда у" = zz' и после сокраш,ения на z т^ О уравнение примет вид yz' =^z{z^ ^l)thy. Заметим, что z = —1 — решение этого уравнения. Из замены тогда имеем у' =.^1,у = -х + С. Используя начальные условия, получаем решение задачи Коши у = 1 — X. Других решений задача Коши не имеет, поскольку при у ф Q для рассматриваемой задачи Коши выполняется теорема единственности решения. А Решить уравнения A—17): 1. ху" -f ху'^ -f у' := О, .т ^ 0. 2. у"^ + у'^ = {у" + у')у"у'^' 3. / = ^1п^ + ^. 4.4у"^У = 1- XXX 5. уу" - у'2 = у'у2. 6. Зуу'у" = у'З + 2. 7. 5уу'3у" = у'5 + 4. 8. уу" = 7у'2 + у^у'. 9. уу" = 2у'2 - 4у2у'3. 10. (уЗ + у) у" - (Зу^ - 1) у'^ = 0. 11. уу"' - у'у" = 0. 12. уу" = 2у' + 2у'2. 13. A + у2) у" + 2уу'2 = у'. 14. A + у2) у" = у (у'2 - 1). 15. 4а:у" - у = 4(у' + 1). 16. 2A - у)у" = у'^ + 1. 17. 2уу'у"-у=у'3. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям A8—38): 18. y"s{n^x- (y'sm-^aj + y'2)cosa; = 0, у(|) = О, у'(|) = 1. 19. у" cos^ ж + (у' cos^ а; + у'^) sin ж = О, у@) = О, у'@) = 1. 20. (а;-|-1)у(") = у("-1), п > 2, у("-2-'=)@) = (n-2-A;)!, А; = 0,1,... ,п-2, у("-1)@) = 0.
56 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 21. ху^"^^ = у("-1), п > 2, ?/("-2-'=)@) = {п-2-к)\, к = 0,1,... ,п - 2, у(п-1)@) =0. 22. у" = Ъу^, г/@) = 1, у'{0) = -2. 23. у" = у'2 + A - у)у', у{1) = у'A) = 1. 24. у" + у'2 = y'e^ у@) = О, у'@) = \. 25. уу" - у'2 + 2 = О, у@) = 1, у'@) = 0. 26. уу" = уУ + у'2, у@) = 1, у'@) = -3. 27. Зу'у" = e^ у(-3) = О, у'(-З) = 1. 28. 2уу" = у'2 C - 4уу'2), у{4) = 1, у'D) = -1. 29. уу" - у'2 = у\ уA) = 2, у'{1) = -4. 30. уу" = 5у'2 + Зу2у', уA) = 1, у'A) = -1. 31. уу" = Dу'4 - у'2) еУ, у@) = 1, у'@) = -\. 32. 2у2у" = 2у'4 - уу'2, уA) = у'A) = 1. 33. 2у2у" + у'2 = 4, у@) = 1, у'@) = -2. 34. Зу'у" - у'З - у + 2 = О, у{0) = О, у'@) = 1. 35. 2 (у2 + у) у" - (у2 + у + 1) у'2 + уЗ = о, уB) = 1, у'B) = -1. 36. 2 {еУ + 1J у" + {е^У - 1) у'^ + 1 = О, уA) = О, у'A) = ^. 37. у" + B + 4у2) у'З - 2уу'2 = О, у{0) = 1, у'@) = ^. 38. уУ + у'" In у - у-'у'^ = О, у@) = у'@) = е. 2. Случаи однородного и однородного в обобщенном смысле УРАВНЕНИЙ. Если уравнение является однородным относительно у и всех производных от у, т. е. уравнение не меняется при одновременной замене у на Ау, у(*^^ на Ау(*\ А т^ О, А; = 1,2,..., п, то порядок уравнения можно понизить на единицу, если ввести новую неизвестную функцию z{x) по правилу у' = yz. При такой замене у" = y{z' + z^).
§ 7. Основные типы уравнений 57 Пример 6. Решить уравнение 2:^yy" - Ьхуу' - x^y'^ = 6y^, х ^^ 0. Д Заметим сначала, что у = О — решение уравнения. Пусть далее у Ф Ф 0. Убедившись в однородности по у, у', у" заданного уравнения, вводим новую функцию Z с помощью равенства у^ — yz. После сокращения на у ф^ получаем уравнение x^2r' — Ъхх = 6. Общим решением этого линейного уравнения первого порядка является Z = Сх^ . Отсюда и из замены находим, что X У X Решая это уравнение, получаем ответ: у=^iв^-^ X где Ci и С2 — произвольные постоянные. А Пример 7. Решить уравнение хуу'' + xy'^ = Зуу', X 7^ 0. Д Данное уравнения является однородным по у, у', у" и его можно решить, понизив порядок уравнения с помощью рекомендуемой замены. Однако уравнение можно решить и по-другому. Заметим, что у = С — решение уравнения. Пусть далее у Ф С. Если иметь ввиду, что {хуу'У = хуу" + ху^ + уу\ то заданное уравнение можно записать в виде {хуу'У = Ауу' или {хуу'У = By^)^ Отсюда хуу' = 2у^ + С или {ху'^У = 4у2 -Ь 2С. Полагая у'^ ^ и, получаем уравнение с разделяющимися переменными хи' = 4w 4- 2С.
58 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Интегрируя его, получаем ответ, у^ = Cix'* -f С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные. А Пусть теперь уравнение является однородным в обобщенном смысле, т. е. существует такое число 5, что уравнение не меняется при одновременной замене х на Ах, у на Х^у, у^^^ на У~^у^^\ где А т^ О, к = 1,2,... ,п. При X > О вводим новую независимую переменную t и новую неизвестную функцию z{t) с помощью замены X = е^, у = ze^K Тогда уравнение приводится к виду, в который не входит t. Следовательно, порядок уравнения понижается по правилу, изложенному в п. 1. При X < О полагаем х = —е^. Пример 8. Решить задачу Коши х^{у" + 2уу') + 2ху^-2у = 0, уA) - 3, у'{1) = -3. Л Подставив в уравнение Хх вместо х, Х^у вместо у, А^"^у' вместо у' и Х^~'^у" вместо у", потребуем, чтобы параметр А входил в одинаковой степени во все слагаемые. Если это возможно, то после сокращения на множитель с такой степенью А получим опять то же уравнение. Для определения числа S имеем равенства 2 + ,9-2 = 2 + 5 + 5-1 = 1 + 25 = 5, которые выполняются при 5 = — 1. Полагая х = е^, у = z{t)e~^^ находим, что у'(х) = [z{t)e-^y • е-^ = {z' - z)e-^\ у"{х) = [{z' - z)e-2^]' . е-^ = {z" - 3z' + 2z)e-^K После подстановки в уравнение выражений для х, у, у', у'' и сокраще- ение z" - 3z' + 2zz' = О, ния на е ^, получаем уравнение в которое не входит t. Заметим, что z = С — решение этого уравнения. Из замены следует, что С у = решение исходного уравнения. При С — 3 такое решение удовле- X творяет заданным начальным условиям. В силу теоремы единственности
§ 7. Основные типы уравнений 59 решения задачи Коши, которая в нашем случае выполняется при х ф О, других решений заданная задача Коши не имеет. Ответ, у = —. А X Решить уравнения C9—53): 39. хуу'' - {х + 1)уу' = ху'^, хф{). 40. уу" — у''^ + у^ sin а; = 0. 41. уу"-!-^-/^ = 0. X 42. хуу" + уу' = ху''^ + г/,хфО. 43. у2?/' - Зуу'у" + 2у'^ + у^ sinx = 0. 44. х'^угУ^ = {хУ + yf, X фО. 45. хуу'' ~ уу' = 1ху'^, X ф 0. 46. yy" + yy'tgx + 2y'^ = Q. 47. yy" + yy'tgx = 2y'^, 48. уу" - ^f- = 2у'\ X + 1 49. хуу" + 2ху'^ = 2уу', хфО. 50. хуу" + ху'^ + уу' = {)^хф 0. 51. y^y"-yy'U+y) + iy'^^Q. \ Х/ X 52.уу'у"-^-у"=х'у\ X 53. {х + 1)уу" + уу' = ху'^, X ф -1. Найти решение уравнения при заданных начальных условиях E4—67): 54. уу" = {1-х)у'2,уA) = 1,у'A) = 2. 55. (уу" - у'2) sina; + у^ = (sina; - cosx)yy', у \^-j = у' (^-j = 1. 56. хуу" - ху'^ + у'{у' + у) sina; = О, уA) = 1, у'A) = -1- 57. 4хуу" - 4уу' + у'2 = О, у(-1) = 1, у'{-1) = -4.
60 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 58. хуу" - 4ху'^ + Ауу' = О, у{1) = 1, у'{1) = 2. 59. 2жу2у" - 2ху2/'2 + 2ху'^ = у'у^, у{1) = у'{1) = -1. 60. A - smx)yy" + уу'COSX = у'^, у{0) = 2, у'{0) = 1. 61. уЦу" - у') = у'Ну - 2ху'), у{1) = у'A) = е. 62. хуу" + хB1пх - 1)у'2 = уу', уA) = 1, у'{1) = -2. 63. хуу" + A + х^) уу' + ху^ = а;у'2, уA) = 1, у'A) = -1. 64. у2у" - ^xVy' + l^y' - уу'^ = О, уA) = 1, у'A) = -2. 65. х^у" + 2а:2уу' + 2ху^ - 2у = О, а) уA) = 2, у'A) = О, б) уA) = -1, У'A) = 1- 66. х^" - хуу' + 2 (у - х2) у = О, у{1) - 1, у'A) = ^. 67. а;4у" - а;2уу'2 + 2xyV = у\ уB) = 2, у'B) = 1. 3. Разные задачи. Все задачи этого пункта можно решать методами, изложенными в п. 1 и п. 2. 68. С помощью подстановки у — z^ решить уравнение 2х^уу" + 4у2 = х2у'2 + 2а;у(у' + ^у), хф{). Решить уравнения F9—87): 69. уу" - 2у'2 = 0. 70. (у2 + у) у" - Bу + 1)у'2 = 0. 71. Зуу" - 5у'2 = 0. 72. 4уу'2у" = у'" + 3. 73. х'^у" = 2у'(у - .х), ж 7^ 0. 74. ху" = у' + 2х^уу', хфО. 75. уу" + 4у' = у'2. 76. у" = (^) + 2^. 77. 2у(жу" + у') = а;(а; + 2)у'2, а; / 0. 78. ж^уу" = {ху' - 2у)'^, хфО. 79. уу" = (уЗ + у') у'. 80. уу" + 2у'2 = Зуу'. 81. (у + 1)у" + -4т = У'^- 82. 2а:2уу" + 4у2 = х2у'2 + 2а;уу', х ф 0. у + 1
§ 7. Основные типы уравнений 61 83. х'^уу" + а;2у'2 - Ъхуу' + Ау"^ = О, х ^ 0. 84. х'^у" - х'^{ху' - у) - {ху' - уK = О, ж ^ 0. 85. у'у'" = у - (^^) . 86. у'у'" = Зу. 87. х^у'у'" - а;2у ^y^^ = {s,xф 0. Найти решение уравнения при заданных начальных условиях (88—95): 88. хуу" + у2 = а;у'2 + {х - \)уу\ уA) = у'A) = 2. 89. A + у)у" + ху'2 = О, уA) = О, у'A) = ^. 90. у{у" + у') = у'2 (ху2 - 1), у@) = у'@) = 1. 91. (у + 2)у" + у'2 = cos2x, у@) = -2, у'@) = 1. 92. 2 (уу" - у'2) = (у'2 - 2у'у) е\ у@) = 1, у'@) = 2. 93. а; {уу" - у'2) = уу'In ^, уA) = у'A) = 1. 94. ху'" - у" = 0:2 ,„3 X, у (|) = О, у' (|) = 1, у" (f) = |. 95. Зу"у"' - 2у = 16, уA) = 2, у'A) = О, у"A) = -2. Найти интегральные кривые, а) касающиеся прямой у = 1, б) пересекающие прямую у = 1 под углом V = -г или (^ = —, для уравнений (96—97): 96. 2 {уу" - у'2) + Зуу'4 = 0. 97. уA - 1пу)у" + A + 1пу)у'2 = 0. 98. Для уравнения A -1- у'2) у'" = Зу'у найти интегральные кривые, пересекающие ось ординат под прямым углом и имеющие в точке пересечения кривизну, равную а) нулю, б) единице. Найти решение уравнения при заданных условиях (99—102): 99. у" + 2A - у)у< = О, у\х) ^ О в (х, 1). 100. уу" - 2у'2 = 2у\', уB) = У7B) ф 0.
62 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 101. 2уу" - у'2 4- 2уу'^ = О, уA) • /^A) = 1. 102. уу" + yy'tgx = A - sinx)y'2, у@) • у'@) < 0. Ответы к задачам § 7 1. еУ = Ci\n{C2x),y = C. 2. е^а: + Сх) = Сч, (у + Сх){С2 - а;) = 4, у = С.. 3. 2у = 3:2 + (о^ у@2 ^ е^1Х(@^^ _ ^^ ^ ^^^ 4. 4(^+Ci)i-12Gi(Vy + <:?i)^=C2±3a;. 5. уA + С2е^>^)=Сьу(С-а;) = 1. (^ Cia; + C2 +2, у = G-а;^. 6. уСх 7. yCi = ( ^Схх + CsV + 4, у = С - a;i5^. 8. уЗ И-Сзе c^i(-;^) Ci. 9. y'' + Ci=yCx + C72),y = C. 10. (l + y2)(Ci:r + G2) = l. 11. у + vV+^ = С2е^зх_ У = ^^sin{Cix + Сз), у = Схх + Сг- 12. у (l - СгеЩ = Ci (l + Сае^), arctg (Ciy) + Ci,t = С?, у + .т = С. 13. (у - CiJ + (Cf + 1) In (у + Cxf = 2а,' + (^2, у = С. 14. у + yr+TTCf = G26^1, у = v'Cf^sin ( ^ + <^2 у = ±а; + С. 15. у = Схх^ - С1х - а; 4- С2, Зу = з;3 - Зж + С. 16. 2х = CiBf + sin2<) + С2, у = 1 - Сх cos^ «. 17. 2у = С2е'^'^ + Ci, у(з; + С) 4- 2 = 0. 18. 4у = 2ж - тг - sin 2х. 19. 4у = 2а; + sin2a;. 20. у = а;"-^ + ^.п-з ^ ... + j
§ 7. Основные типы уравнений 63 21. у = Сх" + а;"-2 + а;"-^ + ••• + !. 22. у{х + 2)'^ = 16. 23. у = е^-1. 24. B-а;)е!/ = 2. 25. у = cos {xs/2). 27. хЗе!' + 27 = 0. 29. уBх - 1) = 2. 31. 2у = 2 - ж. 33. у = 1 - 2х. 35. 4у = (а; - 4J. 26. 28. 30. 32. 34. 36. У = у = ху- iy-. У = ^1 (' = 1. = {х 1- у + еУ = -9х. 3 ^ + 1J (- : X. 2 Г 2 ^ 3^ 3 г 37. у = у/х + 1. 38. 1пу = ч/2ж+Т. 39. 1п(С2у) = CiC; - 1)е^, у = 0. 40. 1п(С2у) = Ci^ + sina;, у = 0. 41. у = Ci|a;|^2. 42. у = Cie^|a;|^2. 43. In (Сзу) = С2а;2 + Cix - cos ж, у = 0. 44. In (С2У'^) = Cix^, у = О 45. y(Ci + С2х2) = 1, у = 0. 46. у = ^Ci + C2sina;. 47. y(Ci + С2 sina;) = 1, у = Q. 48. у [Ci + G2(а; + 1)^] = 1, у = 0. 49. у = ^Cia;^ + С2. 50. у^ = Ci In |ж| + С2. 51. In (С2у2) = ±^а;2 + Сь у = С. 52. In (Сзу^) = ± (х^ + Ci)^ у = 0. 53. ylCia; + Ci + 1|^ = Сг, у = Ce'^ у = С. 54. ж1пу = 2(а; - 1). X 55. у = tg —. 56. Iny = I — X. 57. у = Bз; + 1J. 58. yv^2-a;3 = a;. 59. In(-y) = 2(v/x-1). 60. Iny = ln(l+ cosa;)+ tg-. 61. Iny = sj2x - 1. 62. у = 1 - 21na;. 63. xy = l. 64. Iny = 2A-a;)- 65. a) у A + 2a;^) = 6a;2, 6) a;y + 1 = 0. 66. у (l + 5a;^) = 6a;2.
64 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 67. у = X. 68. 16у = ж2 (In^ |а;| + Cj In |а;| + Сг) ,у = 0. 69. y{Cix + С2) = 1, у = 0. 70. A - С2е<^1^) у = С^е^^"". 71. у|а; + С2|5= 6-1,^ = 0. 73. 72. Ciy = ( \Cix + С2У + 3. 74. 75. 76. Схх ■ arctg(Ciy) = С2Х - 1, у(^С2е х - ij = Ci (^Сае ^ +lj, ^" 1 + Са:' 2Ciajctg(Ciy) = х2 + С2, y(l-C2e^i^') = Ci A + Сге^'^'), у{С-х^)=2. Сгу + 4 = C2e^^^ у = 4ж + С, у = 0. 2у + х2 = 2Cix - 2С\ In |х + Cil + С2, у = С. 1 77. у = С2 а; x-2Ci у = Сех, у = С. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 4 £l у = С2ХЗ • е'^. у2 A - Сге^!^) = ClC2e^^^ у2(С - х) = 1, у = С. у = ^Cie3^ + С2. Ci(y + 1J = Сзе^!^ - 1, (у + 1)^ = а; + С. y = Cix2(C2 + ln|x|J,y = Cx2. у = Cix ± х-\/С2 — Inx''', у = Сх. у = ^26^1 (х - ^) + Сз, у = CiХ2 + С2. (у + Сх? = Сга: + Сз, У = Cjx + С2. у = C2e^i^(Cix - 1) + Сз, у = Gix2 + С2. у = 2х. (х + 1Iп(у + 1) =х-1. У=^/1п(х + 1J + 1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 65 91. у = sin а; — 2. 92. у = е^^. 93. у — ^Х-1 7Г 94. у = -г — о; sin ж — 2 cos ж. ^ 2 95. у = 2а; - з;2 + 1. 96. аJ/ = 1, б)у= (^^x + cV. 1 97. а) у = 1, б) 1пу = 1 ± х + С 98. а) у = С, б) у = С ± \/Г^^ж2. 99. Ci arctg [Ci(y - 1)] = х + Сг, A - у){х + С) = 1, у = 1. 100. у^Зж + С + 1 = 0. 101. у={^х + Су. 102. у = ^2 sin а; — Ci sin X + Ci § 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера Для решения линейного однородного уравнения с постоянными (вещественными) коэффициентами необходимо составить характеристическое уравнение, найти его корни и по ним написать общее вещественное решение заданного уравнения. Пример 1. Решить следующие линейные однородные уравнения: а) у"^ - 6у"' + 8у" + 6у' - 9у = О, б) у^^ + 6у"' 4- 13у" -1- 12у' + 4у = О, в) г/^ - Зу'" + 5у" - у' - 10у = 0. Д а) Составляем характеристическое уравнение Л^ - 6А^ -1- 8А2 + 6А - 9 = 0.
66 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Легко видеть, что его корнями являются Ai == — 1, Л2 = 1. Чтобы найти остальные корни, достаточно разделить левую часть характеристического уравнения на (Л^ — 1). Тогда уравнение можно разложить на множители следующего вида (Л2 - 1)(Л2 - 6Л + 9) = (Л^ - 1)(Л - 3J - 0. Таким образом получаем еще один корень Лз = 3 кратности два. Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид у = Cie-^ + С2е^ + (Сз + C4x)e^^ где Ci, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные. б) Нетрудно проверить, что Ai — — 1 и Л2 — —2 являются корнями характеристического уравнения Л^ + 6Л^ -f 13Л'2 + 12Л + 4 = 0. В таком случае это уравнение можно представить в виде (Л + 1J(Л + 2J-0. Отсюда видно, что оба корня Ai = — 1, Л2 = —2 кратности два. Значит, общее решение заданного уравнения имеет вид у = (Ci + С2х)е-'' + (Сз + C4a;)e-^^ где Ci, С2, Сз, С4 — произвольные постоянные. в) Характеристическое уравнение Л'^ - ЗЛ^ + 5Л2 - Л - 10 - О имеет корни Ai = — 1, Л2 = 2. Разделив левую часть этого уравнения на (Л + 1)(Л — 2), получаем следующее представление характеристического уравнения (Л-f 1)(Л-2)(л2-2Л + 5) = 0. Это дает еще два комплексно сопряженные корнр! Лз = 1 — 2г, Л4 = 1 Ч- 2г. Сдедовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид у = Cie-"-' + С2е2^' + е^(Сз cos2.x- + С4 sin2а.-),
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 67 где Ci, С2, С35 С4 — произвольные (веш^ественные) постоянные. А Для решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами используются чаще всего метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции. Пример 2. Решить линейное неоднородное уравнение /' _ у" - 4у' + 4у = -8(cos2a; -f 2sin2a.') - Зе^. Л Сначала составляем характеристическое уравнение Л^'^ - Л^ - 4Л + 4 = 0. Его корнями являются Ai = —2, Л2 = 1, Л3 = 2. Поэтому общее решение соответствующего линейного однородного уравнения имеет вид где Сь С2, Сз — произвольные постоянные. Чтобы получить общее решение заданного уравнения, необходимо найти какое-либо его решение yi{x) и прибавить к уже найденному общему решению уо{х) линейного однородного уравнения. Согласно принципу суперпозиции решение yi{x) =^ У2{^') + Уз(^)) вде У2(^) " какое-либо решение уравнения у" - у" - 4у' + 4у -: -8(cos2a; -f 2sin2a;), а 'уз(^') — какое-либо решение уравнения /'- у" - 4у'+ 4у =-Зе^ Решение У2{х) ищем в виде У2{^) — а cos 2а: -Ь 6sin2x, а решение уз(^) ищем в виде Уз (а;) = схе^, где коэффициенты а, Ь, с находим подстановкой У2{х) и уз(^) в соответствующие уравнения. Подстановка У2[.х) и уз(^) в уравнения дает а = — 1,
68 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Ь = О, с = 1. Таким образом, yi{x) = — со8 2з: 4- хе^ — решение исходного уравнения. Общее решение заданного уравнения у{х) = уо(^) + yi(^)- А Другим методом решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами является метод вариации постоянных. Пример 3. Методом вариации постоянных решить уравнение 1 У"+У = cos^x л Поскольку характеристическое уравнение А^ 4- 1 = О имеет корни Ai = = —2\ А2 = i, то общее решение линейного однородного уравнения у"+у — О имеет вид у = Ci cos ж -f С2 sinx, где Ci и Сг — произвольные постоянные. Общее решение заданного уравнения ищем в виде у = Ci{x) cosX -{- C2{x)smx, где Ci{x) и С2{х) -— неизвестные пока непрерывно дифференцируемые функции. Согласно методу вариации постоянных для их нахождения составим систему уравнений C[{x)cosx + C2{x)smx = О, —C[{x)smx + C2{x)cosx = 1 COS^ X Отсюда находим, что С[{х) получаем /* cos xdx cosa: , С2{х) = 2~- Интегрируя, C0s2 X ^ , . г dx I cos xdx С dsinx 1 , САх) = / = / 5— — I о~ = :;:: In у cos ж J cos^ X J I - sur X 2 sinx + 1 J cos^ X J dcosx cos^x 1 cos ж sin ж — 1 + B, + A, где A и В — произвольные постоянные. Подставляя найденные значения Ci{x) и С2{х) в выражение для у, найдем общее решение заданного уравнения 1 I cin 'Г* -I- 1 cosx —tgo;. А у = А cos X + Bsinx -^ - In sin X + 1 smx 1
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 69 Еще один метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами основан на использовании преобразования Лапласа. Этод метод называют операционным. Пример 4. Операционным методом решить задачу Коши у" - 4у' + Зу = 2{е' 4- е^^), t ^ О, у@) = -1, у'@) = 1. Д Будем считать, что при t < О y(t) = О и правая часть уравнения тождественный нуль. Тогда так продолженные на всю числовую ось t G (—оо, Н-оо) решение и правая часть уравнения являются оригиналами. Если y{t) = Y{p), то в силу свойств преобразования Лапласа и начальных условий y'{t) .= pY{p) + 1, y"{t) = p'^Y{p) + p — 1. Продолженная нулем при t < О правая часть уравнения имеет своим преобразованием Лапласа функцию 2 { г Н г 1. Переходя в исходном уравнении к преобра- зованию Лапласа, т. е. умножая его на е"*^* и интегрируя по t от нуля до бесконечности, получаем алгебраическое уравнение для нахождения У{р) p'Yip) +Р-1- A\pY{p) + 1] + ЗУ(р) = 2 (^ + ^) . Если считать комплексный параметр р таким, что Rep > 3, то из алгебраического уравнения находим Y{p) = (р-1)(р-3) + о-Р+^ р — 1 р — 3 Разложим правую часть на простые дроби А В С D У(Р) = Z—T + IZ—^ + Z-^ + p-l ' (p-lJ p-3 (p-3J" Приравнивая выражения для Y{p), находим A = ^2, Б = -1, C=l, D = l, Переходя к оригиналам, получаем искомое решение y{t) = {t + l)e^'-{t^2)eK
70 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Уравнение Эйлера а^х^у" + aixy' + а2у = f{x), х > О, заменой х — е^ сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Пример 5. Решить при х > О уравнение Эйлера х'^у" -ху' -Зу=-Ах^. Л Если положить X — е^, то у' — е~^у[, у'' — е~'^^{у[[ — у[). Подставляя выражения для х^ у'^ у" ъ заданное уравнение, получаем у"-2у' -Чу = Ае''. Характеристическое уравнение Л'^ — 2Л — 3 = О имеет корни Ai =^ — 1, Л2 = 3. Следовательно, общее решение полученного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид y{t) = Cie~^ Л-С2е^^ Л-ate^\ где Ci и С2 — произвольные постоянные, а коэффициент а находится подстановкой функции ate^^ в уравнение. Подстановка в уравнение дает а = I. Сделав обратную замену t = \пх, получаем общее решение заданного уравнения Эйлера С* у[х) = — Л- С2Х^ + х^ 1пх. А X Решить линейные однородные уравнения A—38): 1. у" - Ау' + Зу - 0. 2. у" - 6у' + 8у = 0. 3. у" -f Зу' + 2у = 0. 4. / - у' - 2у - 0. 5. г/ + Ьу' 4- бу -= 0. 6. у" - 4у' -f 8у = 0. 7. у" - 6у' + 18у -: 0. 8. у" - 2у' + Юу - 0. 9. у" + 2у' + 5у - 0. 10. у" 4- 2у' + 2у = 0. 11. у" - Ау' + 4у = 0. 12. г/ - 6у' + 9у = 0. 13. у'' - 8у' 4- 16у = 0. 14. у'" + 4у" - у' - 4у = 0. 15. у''' + Зу" - у' - Зу - 0. 16. у'" - 7у" + 14у' - 8у - 0.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 71 17. у"' + Ау" + 5у' + 2у = 0. 18. у'" + Зу" - 4у = 0. 19. у'" - Зу" + Ту' - 5у = 0. 20. у'" + у" + 4у' + 4у = 0. 21. у'" + Зу" + 4у' + 2у = 0. 22. у'" - у" + у' - .у = 0. 23. у^^ - у'" + 2у' = 0. 24. у^^ - Ту'" + 14у" - 8у' = 0. 25. у^^ - 5у"' + 1у" - Зу' = 0. 26. y^^' - 6у"' + 9у" + 4у' - 12у = 0. 27. у^^ + 5у"' + 9у" + Ту' + 2у = 0. 28. у^*^ + 2у"' + 2у" + 2у' + у = 0. 29. у^^ - 2у"' + 2у" - 2у' + у = 0. 30. у^'^ - 2у" + у = 0. 31. у^^ + 6у"' + 12у" + 8у' = 0. 32. у^^ + 2у"' - 2у" + 2у' - Зу = 0. 33. у^^ - 5у"' + 5у" + 5у' - 6у = 0. 34. y^^' + 5у" + 4у = 0. 35. у^^' + 8у" + 16у = 0. 36. у^*^ + Зу" + 2у = 0. 37. у^^ + 18у" + 81у = 0. 38. у'" + Зу" + Зу' + у = 0. Решить линейные неоднородные уравнения C9—151): 39. у" - Зу' + 2у = A + ж)е2^. 40. у" + 2у' + у = х^е"^. 41. у" - у' - 2у = -9хе-^. 42. у" + у' - 6у = -ISx^e"^. 43. у" — у = е^ COSX. 44. у" — у' + -у = е^ sinx. 45. у" - 4у' + 4у = х^ + 2е2^. 46. у" + у' - 2у = 2xe-2i- + 5sinх. 47. у" + 4у = 4хе-2^ - sin2х. 48. у" + 2у' - Зу = 2 cos х - Sxe'^^. 49. у" + 9у = бхе-^'^ - 3 cos Зх. 50. у" + 6у' + 9у = Збхе^^. 51. у" - Ау' + 4у == 32хе-2^. 52. у" + у' = E - 2х)е-^ - 10sin2x. 53. у" - у' = Dх + 3)е^ - 2 cos х. 54. у" - 4у' = -8e^^ cos 2х - 8х + 2. 55. у" - 4у' + 13у = -9cos2x - 8sin2x. 56. у" 4- 4у' + 4у = 2е-2^. 57. у" - 2у' + 5у = А cos х + 2 sin х. 58. у" - 8у' + 20у ^ -26^^BcosX + sinx). 59. у" + у' - 6у = -5е 60. у" - 2у' + у = 2е^. 61. у" - Ту' + 12у = -е .Зх
72 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 62. у"-2у' + 3у = 4 cos а;-2 sin а;+ 46^^. 63. у" + 2у'-3у = B-8ж)р-з^. 64. у" -у' - 12у = e-2^Gcosx - 5sina;) - Те"^^'. 65. у" + 4у = 2 cos 2а; - 8а; sin 2а;. 66. у" + 4у = 2 cos^ х. 67. у" + 16у = 2 sin^ X. 68. у" - 5у' + by = 10 sin х + е^^. 69. у" + 2у' + у = а;е~^. 70. у" - Ту' + 6у = sinx + хе^'. 71. у" + у = 2sinX • sin2х. 72. у'" - 2у" - Зу' = е'^^. 73. у'" - 2у" - Зу' = X + 1. 74. у'" - у" + у' - у = 2 cos х. 75. у'" - 2у" + 2у' = 5 cos х + 2х. 76. у'" + 4у' = ch^ х. 77. у'" - 4у' = cos^ X. 78. у'" + 16у' = sh^ 2х. 79. у'" - 16у' = sin2 2х. 80. у'" - Зу' - 2у = 6"=^. 81. у'" + у' = 1 + sinx. 82. у'" + у' = 4 + 10e^^. 83. у'" - 2у" + 5у' = 5х + 4е^. 84. у'" + у' = -2e^(cosх + 3sinх) - 2 cos х. 85. у'" - Зу" - 4у' = -3C0SX - 5sinx + 5е"^. 86. у'" - у" - 6у' = cos X + 7 sin X - 6. 87. у'" + у" - 2у' = Зе^'. 88. у'" + 4у' = 8 cos 2х. 89. у'" + 2у" + у' = 4 cosх + 1. 90. у'" - 4у' = 2e-^Ccosx + sinx). 91. у'" + 6у" + 5у' = -4е-^. 92. у'" - Зу" + у' - Зу = 6 sin X - 2 cos X. 93. у'" - 4у" + у' - 4у = 2 cos X - 8 sin х. 94. у'" + 4у" + 5у' + 2у = e"'-^^'. 95. у'" + 4у" + 4у' = -4в-2^'. 96. у'" - Зу" + 4у = бе^^. 97. у'" - у" - у' + у = е-='C sin х - 4 cos х). 98. у'" - 8у" + 19у' - 12у = 2е^^ - 8cosх - 36sinx. 99. у'" + у" = е-^ + 2 cos х. 100. у'" - 2у" = sin х. 101. у'" - 2у" = e^^. 102. у'" + у" - 2у' = е^^. 103. у'" + у" - 2у' = 2 - X. 104. у'" + 2у" = cos х. 105. у'" - 2у" + 2у' = 4х + cos х. 106. у'" - 16у' = 48x2 + 2 cos^ 2х.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 73 107. у'" - 2у" + 2у' = 20 sin^ |. 108. у'" + 4у' = е^^ - 8 sin 2х. 109. у'" + у" + 4у' + 4у = 40sin^ х. 110. у'" + 2у" = 2е-2^. 111. у'" - 4у" + 5у' = 15ж2 - 4ж + 8 sin ж. 112. у'" - 2у" + 2у' = 6x2 + 2 + 20 cos 1х. 113. у'" - 6у" + 10у' = 13 cos X + Юж. 114. у'" + 2у" + 5у' = 2ж - 17sin2x. 115. у'" - 2у" + у' = 2ж + 2 cos ж. 116. у'" - 2у" = lбsin2ж - 12ж. 117. у'" -у" ^у< -у = 4же^ + 4. 118. у'" + у" + у' + у = 4же-^ + 4. 119. у'" - у" + 4у' - 4у = 40 cos2 ж. 120. у^^ - 2у" + у = 1 + ж^. 121. у^^-у = е^со8ж. 122. y^^ + 2y" + y = ж^ + 9sin2ж. 123. у^^ + 8у" + 16у = 1бж2 + 9 sin ж. 124. у^^ + 18у" + 81у = 64 cos ж - вХж^. 125. у^^ + 50у" + б25у = 576 cos ж + 625ж2. 126. у^^ - 4у"' + 5у" = 6A + 5ж) + е2==. 127. у^'^ + 2у" + у = ж + cos 2ж. 128. у^^ - 16у" = 64 sin^ 2ж. 129. у^^ + Зу" - 4у = 10sin2x + бе^^. 130. у^^ + у" = sin2 ' о ж г —. 2 131. у^^ - у" - 2у = 12sinЗжcos2ж - б(е-2^ +sin5x). 132. 4у^^ - у" = 12ж sh2 I + 3(8 - же"^). 133. у^^ - 4у" = 16 ch^ ж - 8. 134. у^^ - 2у"' + 2у" = 10cos2 ж + 5(же^ - 1). 135. у^^ - 2у"' - Зу" = 8 8Ьж + Юже^. 136. у^^ + 2у" + у = 18sin2ж + 3sin2x + ж^. 137. у^^ - 2у" + у = 8 ch2 I + ж2 - 2е-^ ли 138. у^^ + у'" - 2у" = Зе^ + 32е2^. 139. у^^ + у" = 8cos^ ^. 140. у^^ - Зу" - 4у = 24со8 2ж + 20е2^. 141. у^^ + Зу"' - 4у" = Ьь\хх.
74 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 142. у^^' -у = -8(cosa; + 3sina;)e^^' - 4е~^. 143. у'^ - у" = 4а; cos а; + 12 sin ж - 2е^. 144. у^^ - Ау'" + Зу" = 4 cos ж + 8 sin а; + 6. 145. /^ + 7у"' + 16у" + 10у' = -5е-^. 146. у''^ - Зу'" + 4у' = - COSX + 7sinx + 4. 147. у^^ + Зу'" + Зу" + у' = 2(sina; - cosx) + 2а; + 6. 148. у^^ - 2у" + у = 8е=^ - 4 cos х. 149. у'^ - у'" - у" -у' -2у = -6е-^. 150. у^^ - у'" - Зу" + у' + 2у = -5(cosa; + sina;)e-^. 151. у^^ - 2у"' - 2у" = 4cha;. Методом вариации постоянных решить уравнения A52—171): 152. у" + у = -г4-- 153. у"-3у' + 2у = -^. 154. у' 156. у' 158. у 160. у' 162. у' 166. 168. 170. У у' е^' — е -Зу' + 2у = -4-^. 155.у"-у=^—-^_^. - 2?/' = 5C - Ах)у/^. 157. / - 27/' + Ю^/ = —. cos3x - Ay' + 8у = 4G - 21 j: + ISx^) ^. 159. у" ^у = - ctg^ а - 4у = A5 - 16a;2)v^. 161. у" + 4у' + 4у = . X +1 2р2^ 163. у"-4у' + 4у = -—^. 1 + а:'^ + 3у' = За;-1 х' 164. у" + у' = 7D + 3х)^. + 2у = 2-4a;^sina;^. 165. у" + 2у'+ 2у = -.—. sin а; 167. у" + 2у' + 5у = -^^. COS 1Х — —2 — 4x^cosx^. + 2^/4 2/ = (х + 2) (лпх 4- Н • 169. у" - 2у 171. у" -2у' = i-21n(ex) 2/"-1/ / _ хЛ- 1 х"^
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 75 Операционным методом решить при t ^ О задачу Коши A72—183): 172. у" - Зу' + 2у = е-\ у@) = О, у'{0) = 1. 173. у" - у' - 2у = Zte\ у@) = у'@) = 0. 174. у" - 5у' + 4у = (lOi + l)e-S у@) = у'@) = 0. 175. у" 4- 5у' + 6у = е-2', у@) = -1, у'@) = 0. 176. у" - 2у' + у = 2е*, у@) - у'@) = 1. 177. у" + 2у' + у = (< + 2)е-*, у@) = 1, у'@) = -1. 178. у" - 2у' - Зу = 4еЗ* - Ае'^ у@) = 2, у'@) = 0. 179. у" + у = 4cosi, у@) = 1, у'@) = -1. 180. у' + у = 5te^', у@) = О, у'@) = 1. 181. у" + 9у = 6 cos 3< + 9 sin 3i, у@) = 1, у'@) = 0. 182. у" + 4у = 4(cos2t + sin2i), у@) = О, у'@) = 1. 183. у" + у = 2(cosi-sini), у@) = 1, у'@) = 2. Решить при X > О уравнения Эйлера A84--207): 184. х'^у" + 2ху' - 12у = 0. 185. 2а-2у" - ху' - 2у = 0. 186. 4а;2у" - Зу = 0. 187. х'^у" - 2ху' - 4у = 0. 188. х'^у" + 5ху' + 8у = 0. 189. 2х'^у" - Зху' + Зу = 0. 190. х'^у" - 6у = 0. 191. 2а;2у" + 5ху' - 2у = 0. 192. х'^у" + Зху' - Зу = -■^. 193. 4а;2у" - 4ху' - 5у = -4^/х. 194. х'^у" - 2у = -2ж^ 195. х'^у" - Зху' + 4у = 4а:^ 196. х'^у" +ху' + у = Юж^. 197. х'^у" + Зху' + у = -. 198. а;2у" + ху' + у =-2 sin (In ж). 199. х^у" - 4а;у'+ 6у = 22:^- 200. a;^y" + 2а;у' - 2у = Ых. 201. ж^у" - 6у = -IGx^ 202. а;2у" + ху' - 4у = -ЭжЫге. 203. ж^у" - 20у = 10х^.
76 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 3 204. ж^у" + Зху' - Зу = —^. 205. ж^у" ~ ху' - 8у = Пх^ Ina:. х^ X Х^ 206. 2х2у" + ху' - у = --. 207. х^у" - 2у = ■^. Решить каким-либо способом задачу Коши B08—236): 208. у" + у = -2 sin ж, у@) = О, у'@) = 1. 209. у" - у' - 2у = -18а;е-=^, уA) = 5е-\ у'A) = Зе-Ч 210. 9у" + у = 6sin|, уC7г) = О, у'C7г) = 1. 211. у" + у = cos (х - 1), у@) = у'@) = 0. 212. 4у" + у = 4cos |, уGг) = О, у'Gг) = |. 5l3. у" + у = 2 sin (а; + 1), у@) = у'@) = 0. 214. у" - 2у' + у = 2e^ уA) = О, у'A) = -е. 215. у" - Зу' + 2у = 2хе\ уA) = е, у'A) = 5е. 216. у" - 4у' = -8е2^ cos 2а; - 8а; + 2, у@) = 5, у'@) = -6. 217. у" + Зу' + 2у = -2cos 2а; - 6sin 2а; - е'^^^, у@) = 3, у'@) = -7. 218. у" - 2у' - Зу = 4 cos а; - 2 sin а; + Ае^"", у@) = 5, у'@) = 7. 219. у" + у = sin {х-1), у@) = у'@) = 0. 220. у" + у = -^, у@) = О, у'@) = 1. COS Ж 221. у" + 2у' + у = -e-^ уA) = у'A) = 0. X 222. у" - 2у' + у = -e^ уA) = у'A) = 0. X 224. a;V' + 2а:у' - 2у = -—, уA) = О, у'A) = 1. 223. у^^ - 2у" + у = 1 + а;2, у@) = у'@) = у"@) = у"'@) = 0. а;^ 225. а;2у" + 2а;у' - 6у = а;^, уA) = О, у'A) = ^ о 226. хУ + ху'-у = Ых, уA) = 2, у'A) = 1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 77 227. 4х^у" - Зу = 5а;2, уA) = 1, у'A) = 2. 228. а;2у" + ху'- у = 2х, уA) = О, у'A) = 1. 229. у'" + у' = 2а;, у@) = О, у'@) = 1, у"@) = 2. 230. у'" - у' = 6 - 3x2, уA) = уA) = О, у"A) = 3. 231. у^^ + 2у" + у = О, у@) = у"@) = О, у'@) = 2, у"'@) = -4. 232. у'" + 6у" + Ну' + 6у = х2 + X + 1, у@) = у'@) = у"@) = 0. 233. у'" - 6у" + Ну' - 6у = 1, у@) = у'@) = у"@) = 0. 234. у^^ - 2у"' + 2у" - 2у' + у = I + 4cosx, у@) = |, у'@) = 1, у"@) = О, У"'@) = -3. 235. у(8) + 2у(«) - 2у" - у = О, у@) = у"@) = уD)@) = у(б)@) = О, у'@) = 2, у"'@) = 2,уE)@) = -1,уG){0) = Н. 236. у(8) - у = О, у@) = 1, у'@) = у"@) = у"'@) = yW@) = уE)@) = = уF)@)=уG)@)=0. 237. Найти решение уравнения у"^ — Зу' — 2у = хе"^, ограниченное при X --> +00 и удовлетворяющее условиям у@) = 1, у'@) = 0. 238. Составить линейное однородное уравнение наименьшего порядка Ly = О с постоянными веш^ественными коэффициентами, имеюш;ее решения у\{х) и 1/2(^)) и решить неоднородное уравнение Ly = /(а;), если: а) yi{x) - sinx, у2{х) = е"^, f{x) = х-h 2е"^, б) yi{x) = X, у2{х) = е^, f{x) = 2 sin ж - 2, в) yi{x) = cos ж, у2(^) = е^, /(ж) = 2е^ - ж, г) у1(ж) = X, у2{х) = е~^, f{x) = 2 - 2со8ж. 239. Доказать, что любое решение уравнения уУ _ у1У _ 9у"' + у" + 20у' + 12 = О однозначно представимо в виде суммы решений уравнений у'" — у"— -5у' -Зу = 0иу"-Ау = 0.
78 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 240. Верно ли, что каждое решение уравнения у" — у' — 2у = О удовлетворяет уравнению У^ - Зу^^' - у'" + 7у" - 4у = О? Ответы к задачам § 8 1. у = Cie^ + Сге^^. 2. у = de^^ + Сзе"*^. 3. у = Cie-2^ + Сге--^. 4. у = Схв"^' + Сге^^. 5. у = Cie-3^ + С2е-2^. 6. у = ^^^(C'l cos 2а; + C2sin2a:). 7. у = е^^(С] cosЗх + Сг sinЗж). 8. у = е^{Сх cos Зх + Сг sinЗ.г). 9. у = e~^(Ci cos2x + C2sin2a;). 10. у = e~^(Ci cos а; + C2sina;). 11. у = e2^(Cia; + C2). 12. у = e^^ldx + C2). 13. у = e4^(Cia; + C2). 14. у = Cie'-'^^ + C'le''' + Сзе^ 15. у = Cie-3^ + C2e-^- + Сзе^. 16. у = de^ + Cse^^ + Сзе^^. 17. у = Cie-2^ + е-^(С2Ж + Сз). 18. у = 6-2^@10; + d) + de^ 19. у = Cie^ + е^(С2 cos 2а- + Сз sin 2а;). 20. у = Cie-^ + С2 cos 2х + Сз sin 2а;. 21. у = Cie~^+ e~^(C2COsa; + C3sina;). 22. у = Ci cos ж + C2 sin x + C^e^. 23. у = Cie"^ + C2 + е^(Сз cosx + C4 sin a;). 24. у = Ci + Сзе^ + Сзе2^- + C4e^^. 25. у = Ci + e*(C2a; + C3) + CAe^"". 26. у = Cie-^ + e2^(C2a; + C3) + de^^. 27. у = Cie-2^ + e-^(C2x2 + Сза; + C4). 28. у = e~^(Cia; + C2) + C3 cos a; + C4 sin a;. 29. у = Ci cosa; + C2 sin a; + е*(Сза; + C4).
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 79 30. у = e-^{Cix + С-г) 4- е^(Сзх + С^). 31. y = Ci + e-2^(C2a;^ + С^х + d). 32. у = Ci cos ж + С2 sin а; + Сзе-^^ + С4е^. 33. у = Cie-^ + Сге^ + Сзе^^ + ^46^^. 34. у = Ci cos X + С2 sin а; + Сз cos 2х + С^ sin 22:. 35. у = (Cia; + С2) cos 22; + (С32; + С4) sin2x. 36. у = Ci cos 2; + C2 sin 2; + C3 cos 2;\/2 + C4 sin хл/2. 37. у = {Cix + C2) COS32; + (C3X + C4) sin32;. 38. у = е-^(С712;2 + С2Х + Сз). 39. у = Cie^ + C2e2^ + ^ж^е^^. 40. y = (Ci + C22;)e-- + ^e-^ 41. у = Cie-^ + C2e2^ + Гж + ^жЛ 6"^ 42. у = Cie2^ + Сге-^^ + (^Зж^ - о; + ^"j е'^ 43. у = Cie""^ + С2е^ - -е^(со8ж + 2sinx). 5 44. у = 6 2 (Ci sin — + C2COS •-) e^(sinx + 2cosx). \ 2 2/5 45. у = e2^(Ci + С2Ж + ж2) + ^Bж2 + 4ж + 3). О 46. у = Cie^ + Сге^ - ^(Зж^ + 2ж)е-2^ - ^Csinж + cos ж). 47. у = CiCOs2x + C2sin2j: + -Bх + 1)е~^''+-:rcos2x. 48. у - Cie-^^ + С2е^ + ^B^2 + х)е-^^ - iBcosx - sinx). 2 5 49. у = Ci cos Зх + С2 sin Зх + qCx + 1)е"^^ - -xsin3x.
80 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 50. у = (Ci + С2х)е~^^ "^ (^ "" ^) ^^''' 51. у = (Ci + С2х)е2^' + {2х + 1)е-2^. 52. у = Ci + Сге"^ 4- (ж^ - Зх)е-^ + cos 2д: + 2 sin 2х. 53. у = Ci + С2е^ + х{2х — 1)е^ + cosx + sin ж. 54. у = Ci + С2е^^ + е^^' cos 2х + ж^. 55. у = e^^(Cl cos Зге + Сг sin3x) - cos 2х. 56. у = e~2^(Ci + С2х) + гг2е-2^. 57. у = e^(Ci cos 2ж + С2 sin 2я;) + cos х. 58. у = e^^(Ci cos 2ж + С2 sin 2х) — е^^ cos х. 59. у = Cie-3^ + С2е2^ + аге-^^. 60. у = e^(Ci + С2Ж) + х^е"^, 61. у = Cie^^ + С2е^^ + гсе^^. 62. у = Cie-^ + С2е^^ - cos ж + же^^. 63. у = Cie-3^ + С2е^ + х'^е"^'^. 64. у = Cie-3^ + Сге^^ - е-"^^ cosx + гсе~^^. 65. у = Ci cos 2rc + С2 sin 2ж + ж^ cos 2x. 66. у = Ci cos 2a; + C2sin2a; + -(l +a;sin2rc). 67. у = C\ cos4a; + C2sin4rc + —A — 2a; sin4a;). 16 68. у = Cie^^ + Сге^^ - xe^"^ + sina; + cos a;. 69. у = e-^(Ci + C2X) + ^a;^e"*^. 0 70. у = Cie^ + C2e^^ - ^ ( :^ + ;^) e^ + ;^G cos a; + 5 sinx). \1U 25 / 74 71. у = Cicosa; + C72sina; + -a;(cosx + 2 sin a;) + -cos 3a;. 5 8
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 81 72. у = Cie-^ + С2 + СзеЗ- - ^е'^^ 73. у = Cie-^^ + Сг + Сзе^^ - ^ж^ - ].х. 6 9 74. у = С\е^ + Сгсозж + Сзsina; — -a;(sina; + cosa;). 75. у = Ci + e^(G2COsrr + Casina;) Ч- 2 cos ж 4-sin^ + ж ( -ж + 1J . ж 1 76. у = Ci + C2 sin2ж + Сз cos 2ж + - + — sh2ж. о 32 ж 1 77. у = Ci + С2 sh2ж + Сз ch 2ж - ~ - — sin2ж. о 32 ж 1 78. у = Ci + С2 sin4ж + Сз cos 4ж ~ — + -— sh4ж. 61 zoo ж 1 79. у = Ci + С28Ь2ж + СзсЬ2ж + — - -— smAx. 32 256 80. у = (Ci + С72а:)е-^ + Сзе^^ - ^е'^ О 81. у = Ci + С2С08ж + Сз81пж + ж —-Ж81пж. 82. у = Ci + С2 COS ж + Сз 8шж + 4ж + е^^. 1 2 83. у = Ci + е^(С2 со8 2ж + Сз 8т2ж) + е^ + -ж^ + -ж. 2 5 84. у = Ci + С2 COS ж + Сз sin ж + 2е^ cos ж + ж cos ж. 85. у = Cie"^ + С2 + Сзе^^ ~ созж + же"^. 86. у = Cie--2^ + С2 4- Сзе^^ + cos ж -h ж. 87. у = Cie-2^ + С2 + Сзе^ + же^. 88. у = Ci + С2 cos 2ж + Сз sin 2ж — ж cos 2ж. 89. у = Ci + е~^(С2 4- Сзж) - 2со8ж -h ж. 90. у = Cie~2^ + С2 4- Сзе^^ + е~^ cos ж. 91. у = Cie"^ + С2 + Сзе"^^ -h же""^. 92. у = Ci cos ж + С2 sin ж + Сзе^^ 4- ж cos ж.
82 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка ^Зх 93. у = Ci cosa; 4-C2sina; 4-Сзе"^^ — a;cosa;. 94. у = Cie-2^ 4- е-^(С2 4- Сза;) 4- а;е-2^. 95. у = e-'^^(Ci 4- С2а;) 4- Сз 4- x^e'^"^. 96. у = e2^(Ci 4- С2а;) 4- C^e'^ 4- а;2е2^ 97. у = Cie-^4-e^(C2 4-C3a;)-e-^cosa;. 98. у = Cie^ 4- С2е^^ 4- Сзе^^ 4- 2 cos а; - хе^ 99. у = Ci 4- С2а; 4- С^е~^ — cos а; — sina: 4- хе~^. 100. у = Ci 4-С2а; 4-Сзе^"^ 4- -(cos а,-4-2 sin а,-). 5 101. у = Ci 4- С2а; 4- Cзe^^ + ^хе'^''. 102. у = Cie-2^ 4- С2 4- Сзе^ 4- ^е^^ 103. у = Cie-2^ 4- С2 4- Сзе^" 4- ^(а;^ - Зх). 104. у = Cie"^^ 4-С2 4-Сза,-- -B cos а: 4-sina:). 5 105. у = Ci 4- e~^(C2C0sa; 4- C3sina;) 4- а;^ 4- 2а; 4- -B cos а; 4- sina;). о 106. у = Ci 4- С2е-^^ 4- Сзе^^ "" ^^ ~ ]^ (^^ "^ ^ ^^''^^') ' 107. у = Ci 4- e^(C2COsa; 4- C3sina:) 4- 5а; — 4 cos а; — 2 sin а,'. 108. у = Ci 4-С2 cos 2а: 4-Сз sin 2а; 4-а; sin 2а; 4- —е^^\ 16 109. у = CiCOs2a;4-C2sin2a;4-C3e~^ 4-xBcos2a: -sin 2а,-) 4-5. 110. у = Cie-2^ 4- С2 4- Сза: 4- ^^^^ 111. у = Ci 4- e2^(C2COsa; 4- C3sina;) 4- a;*^ 4- 2a;''^ 4- 2a; 4- sina: - cos a;. 112. у = Ci 4-e''(C2COsa;4-C3sina;) 4-a;^ 4-За;^ 4-4a; 4-2 cos 2a; -sin 2a:. 13 2 113. у = Ci 4- e^^(C2COsa; 4- C3sina;) 4- -x'^ + 7^ + 7: cos a; 4- sina;. 2 5 3
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 83 114. y = Ci'\-e ^(C2COs2a; 4-C3sin2a;) 4--а;'^ - —a;-b2sin2a; +-cos2a;. о 25 2 115. у = Ci + (C2 + Сза-)е^ + a;^ + 4a; + cos a;. 116. у = Ci + C2.T + Cзe^^ + x^ + -x^ + sin 2x + cos 2a;. 117. у = Cie^ + C2 cosa; + C3 sin a; + (x^ - 2a;)e^ - 4. 118. y=^ Cie-^ -\- C2COSX + Сзз'тх -^ (x^ + 2a;)e-^ + 4. 119. у = C\e^ 4- C2 cos 2a; -f- C3 sin 2x — xB cos 2a; 4- sin2x) — 5. 120. у - e^(Ci 4- C2a;) 4- е-^(Сз 4- C4a;) 4- a;^ 4- 5. 121. у =^ Cie~^ 4-C2e^ 4- C3 sin a; 4-C4 cos a; - -e^cosa;. 5 122. у = (Ci 4- C2a:) cos x 4- (C3 4- C4a;) sin x 4- sin 2a: 4- a;^ - 4. 123. у =:= (Ci 4- C2a;) cos 2a; + (C3 + C4X) sin 2a; 4- a;^ - 1 4- sin x. 4 124. у = (Ci 4- C2a;)cos3a; 4- (C3 4- C4a;)sin3x 4-cosx - ^'"^ + q • 4 125. у — (Ci 4- C2a;) cos5x 4- (C3 4- C4a;) sin 5a; 4- cos a: 4- a;^ — --. 25 126. у = Ci 4-C2a;4-e^^(C3COsa;4-C4sinx) 4-a;^C 4-a;) 4- -e^^. 127. у = (Ci 4- C2a;)cosa; 4~ (C3 4- C4a;)sina; 4- a; 4- -cos2a;. 128. у - Ci 4- C2a; 4- Сзе"^^ 4- C4e^^ - a;^ - -^ cos 4x. 16 129. у := Cie'"" 4- C2e'' 4- C3 cos 2a; 4- C4 sin 2a; 4- -e^"" 4- -x cos 2a;. 130. у = Ci 4- C2a; 4- C3COsa; 4- C4 sina; 4- т^(^ + sinx). о 131. у = Ci cosX + C2 sinrc + Сзе~^^ + C^e'^'^ + xcos x - re~^^. 5 132. y = Ci+C2X + Cset + C4e-f + (^ " у ) e"" + x^{x - 12). 133. y^Ci + C2X + Сзе^^ + C4e-2^ + ia;sh2x.
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 84 134. у 135. y = Ci + C2X + Сзе-^ + G46^^ + Ci + С2Х + е^(Сз cos X + С4 sin х) + - (cos 2а; + 2 sin 2х). 8 (-Н е^ + а;е""^. 1 136. у = (Ci + С22;) cosrr + (Сз + С4х) sinx - cos 2ж Ч- ^ sin2а; + а;^ - 12а; + 9. 137. у : 138. у: 139. у: 140. у: 141. у. 142. у : 143. у 144. у : 145. у. 146. у: 147. у ^ 148. у ^ 149. у 150. у 151. у (Ci + С2а;)е-^ + (Сз + С4х)е'= + -х^е" + х^ + 8. Ci + С2Х + Сзе^ + С4е-2^ + же^ + 2е^='. С\ + Сга: + Сз cos а; + С4 sin ж + 2а;'^ — 2х sin х. С\ cos а; + С2 sin а; + С^е^^ + С4е~^^ + cos 2х + хе^^. Ci + С2Х + Сзе^ + de-^^ + ia;e^ + ^е"^. Cie~^ + Сге^ + Сз cos а; + С4 sin а; + е^^ cos а; + хе~^. Ci + С2Х + Сзе^ + С4е-^ + 2а; cos х - хё^. Ci + Сга; + Сзе^ + С4е^^ - 2 cos а; + а;^. Ci + Сге"^ + е"''^(Сз cos а; + С4 sin ж) + хе~^. Сх + Сге-^ + е2^(Сз + С4а;) - cos а; + х. Ci + е~^(С2 + Сза; + С4а;2) + cos а; + х^. e-^(Ci + Сгж) + е^(Сз + С4а;) + х^е"" - cos а;. Cie~^ + Сге-^^ + Сз cos а; + С4 sin а; + хе~^. e-^(Ci + Сга;) + Сзе^ + С4е2^ + е"^ cos х. Ci + Сга; + Сзе^^"^)^ + С4е(^+^)^ - \е' + 2е-^ «5 1 152. у = Ci cos а; + С2 sina; + 1 + ^ In 1 +sina; 1 — sin a; 153. у = Cie^ + Сге^^ + (e^ + e2^)[x - In A + e^)] + e^ + ^. 154. у 155. у Cie^ + Сге^^ + (e^ - e2^)[x - In A + e^)] - ^ Cie-"" + Сге^ + 2 arctge^ • chж - 1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 85 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 170. 172. 174. 176. 178. 180. у = Ci + Сге^^ + 4а;2у^. у = e^(Ci cos Зх + Ci sin Ъх) + e^(ln | cos Ъх\ cos За; + Ъх sin Зж). у = e2^(Ci cos 2х + С2 sin 2х) + Эж^ ^. 1 11 ~Ь cos XI у = Ci cos ж + Сг sin ж + 2 — - In cos х. 2 11 — cos XI у = Cie-2^ + Сге^^ + 4х'^^. у = e-2^(Ci + Cix) + е-^^[{х + 1) In |ж + 1| - х]. y = Cie-3^ + C2 + ln|x|. у = e2^(Ci + Сгж) + е2^[2а; arctg ж - In A + ж^)]. у = С1е-^ + С2 + 9ж2^. у = e~^(Ci cosж + С2 81пж) + e~^(ln|sinж|sinж — жсо8ж). у — С\ cos {хл/2) + С^ sin (жу^) + sinж^. у = e~^(Ci cos 2ж + Сг sin2ж) + е~^ ( ж sin2ж + - In | cos 2ж| cos 2ж 1 . у = e-^(Ci + С2ж) + ж1пж. 169. у = Cie-^^ + С2е=^^ + cosx^. 171. у = С1+С2е2^ + ж1пж. 173. y = -ie-' + e2*-^(l + 2t)e*. у = С1+С2е=^ + 1п|ж|. 2t у = -е* + ie"* + (^ + <) е-*. 175. у = Зе-З' + (t - 4)е 177. у = (l+f2 + ^f4e-t 179. у = cos Л- Bf - 1) sini у = (f2 + l)e*. у= B + t)e-* + <e3*. у = -(cost + 2sin<) + I * — 7 I ^ (l-^t)cos3t+(i + l) 181. 182. у = (l + t)sin2f-fcos2f. 183. у = A+ f)(cosi + sint).
86 184. у 186. у 188. у 189. у 191. у 193. у 195. у 196. у 197. у 198. у : 199. у : 201. у : 203. у ■■ 205. у: 207. у 209. у 211. у 213. у 215. у Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка ■ CiX^-^C2X-\ ■■ —p=z + С^Ху/х. у/х ^[С\ cos B Inх) + С2 sin 185. у = Cix^ + -L. 187. у = Cix^ + ^. B In а,-)]. = CixJx + С2л/х. 190. у = Cix^ + ^. : Cla.•2^/5 + ^ + 1^. 194. у = Cix^ + — - ^ V.T 2 ж 2 Г^ 2 192. у= -4 + С2а; + ^=. 91 -1.» a;2(Ci+C2lna;) + x^ : Ci COS (In a;) + C^ sin (In x) + 2a;^ 7^1n':r. 2 о 1 , — - sin (Inж) cos (Ins) + ^■-3 C2 - - COS B1nx) sin (Inx). ^ 200. у = Cix + ^ - ^ C2 1 , 1 -I2 -ol"^•-7• Cla;^ + C^x^ + 2a;^ Ina; - —-. Ax ^ + С2а;^ + а,'2D1пж + 3). ж* ^ + ^22;^ - ^^х^{ЪЫх + 4). 206. у = Cix + -^ - -. Х'"^ 25 V'x X 202. у = Схх"^ + ^ + жC1пх + 2). Х^ 204. y = Cix=* + ^ + ^. X Х^ ^^+c,x■'^\. X Ж^ (За;2+2а;)е-^. : - sin 1 sin а; + -а; sin (а; — 1). 212. у 208. у — а; cos .т. 210. у ^ C7г-а:)со8^ о . ^ , X = [Х — 27Г) COS — ^ ' 2 : COS Isinx — xcos (х + 1), ;8е2^-1-(х2 + 2х + 4)е^. 216. у = е^(х2-Зх + 2). 214. у = 6-2e''^ + e2^cos2x + x2.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 87 217. у = (а; + 6)е-2^ - 4е-^ + cos 2а;. 218. у = {х-^ 3)е^^ + Зе"^ - cos х. 219. у = -cos 1 sin а; —-а; cos {х — 1). 220. у = (а;4-1) sina;4-cosa;ln| cosa;|. 221. у = {\ - X-V x\vLx)e~'^, 222. у = A - a; + a;lna;)e^. 223. y = .^ + 5-ь(^.-^)e^- (^.4-06- 224. y = -:rlna;. 225. у =-a;^(a: - 1). x^ ^6 226. у = 2a; - \vlx, Til. у = x^. 228. y = a;lna;. 229. у = a;^ + sina;. 230. у = a;^ + 2-3e^-^ 231. у = a; cos a; + sin a;. ^^^- ^4 Э'^^б'^ ^2' ' 2?" • 233. У = ^ (-9a;^ - 42a; + lOSe"^ - 5462"^ + 14e^^ - 68) . 7Г 234. у = a; cos a; + —. 9 3 235. у = e^ - e~^ 4- -a; cos a; 4- -(a;^ - 3)sina;. 8 8 la; a; 1 1 236. у = - ch —pz cos —= + T ch a; + - cos a;. ^ 2 У2 ч/2 4 4 237. y=(l-^x)[\-'^e-\ 238. a) y'" + y" + y' + у = 0, у = Ci cosa; + C2 sina; + Сзе"^ + a; - 1 + a;e~^, б) y'" - y" = 0, у = Ci + C2X + Сзе'' + sina; + cosx - a;^, в) у'" - у" + у' - у = О, у = Ci cos a; + С2 sina; + Сзе^ -Ь a; + 1 + а;е^, г) у'" Ч- у" = О, у = Ci -Ь С2Х + Сзе"^ -Ь sina; + cosa; + а;^. 240. Да.
88 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка § 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами Для получения обш^его решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами наиболее часто применяется следуюш;ий метод. Сначала путем подбора находят какое-нибудь решение соответствуюш^его линейного однородного уравнения и с помощью формулы Лиувилля-Остроградского получают обп^ее решение линейного однородного уравнения. Затем методом вариации постоянных находят об- ш,ее решение заданного линейного неоднородного уравнения. Пример 1. Найти обш^ее решение уравнения а;/ - A + х)у' -Ь 2A - х)у = 9a;^e^^, х > 0. Л Рассмотрим однородное уравнение ху" - A+ х)у' -f 2A - а;)у = О и попробуем найти его решение вида е^^. Подставив е^^ в это уравнение, находим а = 2. Следовательно, е^^ — решение. Запишем формулу Лиувилля-Остроградского для однородного уравнения: е2^ у 2е2^ = Се/^^^ = Са;е^ Отсюда е^^у' — 2е^^у = Схе^. При делении обеих частей этого уравнения на е^^ получаем уравнение Отсюда находим обш,ее решение однородного уравнения y = Cie2^-hC2(l + 3a;)e^^, где Ci и С2 — произвольные постоянные. Чтобы найти обш,ее решение заданного уравнения, применим метод вариации постоянных. Иш,ем решение неоднородного уравнения в таком же виде, как обш,ее решение однородного уравнения, но считаем Ci и С2
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 89 не произвольными постоянными, а некоторыми непрерывно дифференцируемыми функциями. Для их нахождения составляем линейную систему уравнений для С[{х) и Cl^ix) следующего вида: [ 2С[{х)е^'^ + С'2{х){2 - За;)е-^ = дхе'^'^. Из этой системы находим, что С[{х) = 1 Ч-Зх, O^ix) — —е'^^'. Следовательно, Ci{x) = А -\- X -\- •тх'^, С2{х) = JB — -е^^, где А и В ~ произвольные постоянные. Таким образом, общее решение заданного уравнения имеет вид у = е2^ f Л + о; + ^хА +A4- Зх)е-^ (в ^ ^е^Л = = Ле2^ + ВA + Зх)е-^ + ( L2 - М е^^ и 4) ^2 Другим распространенным методом решения линейных уравнений с переменными коэффициентами является метод замены переменных. Пример 2. Найти общее решение уравнения хУ' + 2х\' -у = -у^^, а; > О, ех —1 1 с помощью замены а; = —. А После замены уравнение принимает вид и ^ е ^ — 1 Решая это уравнение методом вариации постоянных, находим, что у«) = е'(л-1е-Ч^1п^)+е-'(в+iln(l-е*)) , где Аи В — произвольные постоянные. Полагая t = —, после приведения X подобных членов отсюда получаем общее решение заданного уравнения у = Ае~'^ + Ве^ — -;: ^ тг"^"^ -f sh { - 1 In {1 — е~^ ). А 2 2а; \xj \ / Найти общее решение уравнений A—66):
90 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 1. {2х^ + Ъх) у" - 6(а; + \)у' + 6у - х[2х + З)^, х > 0. 2. а;(а; + 4)у" - {2х + 4)у' + 2у = а; + 4, а; > 0. 3. {2х - а;2) у" + (а;2 - 2) у' + B - 2а;) = {2х - x^f. ХпхЛ-! „ 1 , 1 ,, _2 5. а;A + 2х)у" + 2A + х)у' - 2у = A + 2xf smx, а; > 0. 6. A - \пх)у" + iy' - -3-у = A - Ina;)^ X Х^ х^ 7. ху" - A + а;)у' + у = ——, х > 0. 1 +а; 8. xV - 2гA + а,-)у' + 2A + х)у = 2a,'3e2'\ 9. Bх + 1)у" + Dа,' - 2)у' - 8у = 4Bж + 1)^ 10. 2а;у" + Dа; + 1)у' + Bа; + 1)у = е"^, а; > 0. 11. а;у" - Fа; + 2)у' + (9х + 6)у = 12а;-''еЗ^. 12. (а; - 1)у" - ху' + у = (х - Xfe''. 13. ху" - Bх + 1)у' + 2у = IGx^e^^. 14. х2у" - х(х + 2)у' + (х + 2)у = ж^е^. 15. (х2 - Зх) у" + F - х2) у' + (Зх - 6)у = (х - 3)^. 16. ху" - Bх + 1)у' + (х + 1)у = 2х2е2^. 17. (х - 1)у" - (х + 1)у' + 2у = (х - 1)^е-^. 18. хBх + 1)у" + 2 A - 2х^) у' - 4(х + 1)у = Bх + 1)'^ х > 0. 19. х(х + 3)у" + A2 - х2) у' - 3(х + 4)у = (х + 3J, х > 0. 20. 2х(х - 2)у" + (х^ - 8) у' + (х - 4)у = (х - 2)^, х > 2. 21. х(х - 2)у" + (х2 - 6) у' + 2(х - 3)у = (х - 2)^, х > 2. 22. х^у" - X (х^ + З) у' + (х^ + 3) у = Юх^ sinx2. 23. (х - 1)у" + A - 2х)у' + ху = ^(х - 1J.
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 91 24. х^(х - 1)у" + 2ху' - 2у - х^е^. 25. ху" + B - 2х)у' + (х - 2)у = е^^, х > 0. 26. A - х2) у" + 2у' - -^у = A - хJA + х)е-^ X + 1 27. х(х + 1)у" + 2у' ^у = (х + 1Jе2^, х > 0. X + Г 28. хCх + 2)у" + 3 B - 3x2) yi _ щ^ ^ ^у^ ^ ^Зх + 2)^ х > 0. 29. 2х(х + 2)у" + (8 - х^) у' - (х + 4)у = (х + 2)^, х > 0. 30. хCх - 2)у" + 3 Cx2 _ 2) у' + 18(х - 1)у = (Зх - 2)^, х > ^. 31. Aпх)у" - -у' + -^у = \г? X. X Х^ х^ 32. 2ху" - (х + 2)у' + у = ——, X > 0. X + Z 33. ху" - Dх - 2)у' + 4(х - 1)у = е}^ cosx. 7Г 34. x^ij^ Ч-х(—2 Н- xtg j:)y' Ч- B - xtgx)'y = x^e-^'cosx, О < х < -. 35. A - х)у" + B - 4х)у' - 4ху = е"^-^ sin х. 36. (х + 1O/ + (х - 1)у' - 2у = е-^(х + 1)^ 37. Bх - х2) у" + 2у' - -у = B - хJхе-^. ' X 38. (х - 1Jу" - (х2 - 1) у' + (х + 1)у = (х - 1KCх - 2)е^. 39. (х + 1Jу" - 2 (х2 + Зх + 2) у' + 2(х + 2)у = -2х(х + ife^""-. 40. х(х + 1Jу" + 2(х + 1)у' - 2у = (х + 1)^6^, х > 0. 41. ху" + 2(х + 1)у' + (х + 2)у = 2chx, х > 0. 42. (х - 1Jу" - 2х(х - 1)у' + 2ху = (х - 1I 43. 2ху" + Dх + 1)у' + Bх + 1)у = -е"''lux. X 44. Зху" + Fх + 1)у' + (Зх + 1)у = х'^е-^. 45. х2Aпх — 1)у" — ху' + у = хAпх — 1J.
92 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 46. ly" - Dа; + 2)у' + [Ах + 4)у = ж^е^^, а; > 0. 47. у" - Зу' ctg ж + ( —5 2 ) у = 2 sin^ х, О < а; < тг. \sm а; / 48. (а;1па;)у" + (Ina; + 1)у' ^ = ^^, а; > 1. а;1па; х а;2 49. (Ц-х2)у" + а;у'-у = -—-^. ^ ' 1 + а;'' 50. а;2у" + а;(а; - 2)у' + B - а;)у = х'^е'''. 51. а;у" - 2(а; + 1)у' + (а; + 2)у = За;е^. 52. х{х - 1)у" + Dа; - 2)у' + 2у = е"^. 53. а;(а; + 1)у" + Dа; + 2)у' + 2у = 6(а; + 1). 54. (ж - 1)у" - 2а;у' + (а; + 1)у = Зе^. 55. ху" - 2{Ах - 1)у' + 8Bа; - 1)у = 2е2^. 56. Bа; + 3)у" - 2у' - —у = 3Bа; + 3)^. _6^ а;2 57. Bа; + 1)у" - 2у' - Bа; + 3)у = 3Bа; + 1J • е1. 58. 2а;у" - (а; + 4)у' + f 1 + ^ j у = а;^ 59. ху" + Bа; - 1)у' + (а; - 1)у = 8а;2е^, а; > 0. 60. а;(а; - 1Jу" - 2(а; - 1)у' + 2у = а;(а; - ife-"", х > 1. 61. (а; - 2)у" - Dа; - 7)у' + {Ах - 6)у = Ах{х - ife^"", х > 2. 62. а;2(а; + 1)у" + а; (а;^ - 2а; - 2) у' - 2 (а;^ - х - 1) у = х'^{х + 1)^, х > 0. 63. а;2у" - а;(х + 3)у' + Bх + 3)у = х1 64. а;2(а; - 3)у" - х'^{х - 2)у' + 2 (х^ - Зх + З) у = (ж - З)^. 65. х2(х - 1)у" + ж B - 4х + ж2) у' - 2(х - 1Jу = ^^(ж - 1J. 66. х^{х - А)у" - ж2(х - 2Jу' + 2х (х2 - 5х + 8) у = (ж - 4J, X > 0. 67. Найти обш,ее решение уравнения, если известны два его решения У1(ж) и у2(ж):
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 93 а) у" -y'tgx + 2y = 2tgx + —г~, О < а; < ~, cos*' X Z yi = tgx, у2 = tga; + 2sina;. б) у" + Аху' + Dа:2 + 2) у = [Ах'^ + 4д; + З) е^, У1 =е^, У2 = e^^-e'"^^ в) жу" - Bа: + 1)у' + (ж -f 1)у = (х - 1N^^, х > О, У1 =е^^, у2 = е^^ -е^. г) ху" + 2у' - жу = 2 - х^, X > О, У1 =з;, У2 = жН . X д) xBa; + 1)у" + 2(а; + 1)у' ~ 2у = Зх^ + Зх + 1, х > О, У1 = 2(:^ + 1J,У2 = -(х2~-1). 68. Составить и решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка, если известны его правая часть f{x) и фундаментальная система решений yi{x) и У2(з:) соответствующего линейного однородного уравнения: а) f{x) = 1 ~ х^, у1 = X, 7/2 = ^2 + 1. б) f{x) = 1, у1 = X, у2^х'^ - 1. в) /(ж) = COS2х, у1 = sin^ х, у2 = cos^ ж. 69. Решить уравнение A-а;2)у"-ху' + у = ~\/l-x2, 0<х< 1, 7Г С ПОМОЩЬЮ замены х = cost, О < t < —. 70. Решить уравнение ex — 1 1 с помощью замены х = —, 71. Решить уравнение 2ху" '\-у' = 2(y + thx) с помощью замены а; = -—, t > 0.
94 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 72. Решить уравнение у" +у' tgx — 4:[у + cos^ х) cos^ X, О < X < — с помош,ью замены t — sinx. Приведением к виду z" + a{x)z — f{x) решить уравнения G3—76): 73. х'^у" + ху' + (х^--]у = 2xie^. 74. у" + -у' + 'У - 2. 75. A + х2)^ у" -f 2х A -f х2) у' -f у - 1 + х2. 77. Пусть функция р{х) определена и непрерывна при х ^ О и пусть yi(x), У2{х) ~~ решения уравнения у" + р{х)у = О, причем Ит Уг{х) — О, производные у[{х) ограничены при х ^ О, г — 1, 2. Доказать, что yi(x) и У2(^) линейно зависимы при х ^ 0. 78. Пусть yi(x), У2(^) ~ два линейно незавр1симые решения уравнения y(ri) _^p^^j.>iy{ri-i) _^,,. _^р^(^^Уу — Q Указать подстановку, приводящую к линейному уравнению порядка п — 2. 79. Пусть решение у{х) уравнения х'^у" + xij + (х^ — п^) у — О, п > О, X > О, положительно при манных х > О и у{-\-0) = О, Доказать, что точка первого положительного максимума этого решения находится от нуля на расстоянии, которое не меньше чем п. 80. Пусть а(х) ~ непрерывная функция при х ^ 0. Доказать, что если уравнение у" -{-а{х)у ~ О имеет решение у{х) такое, что lim у'{х) — = -hoo, то ОНО имеет также нетривиальное решение, стремящееся к нулю при X --)' Н-ос. 81. Пусть функции а(х) и Ь{х) непрерывны на всей оси, причем а(х) — нечетная, а Ь(х) — четная. Доказать, что решение уравнения у"н- -\-а{х)у' + Ь{х)у = О, удовлетворяющее условию у'@) = О, есть четная функция.
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 95 82. Пусть функция q{x) непрерывна на всей оси и периодична с периодом 1. Доказать, что если нетривиальное решение уравнения у" -\-q{x)y — = О, удовлетворяет условиям у@) = у[1) = О, то у[х -\- I) — Су{х), С — const. 83. Найти два линейно независимые решения в виде степенного ряда уравнения у" -Ь 4ху — 0. 84. а) Найти решение уравнения ху" — у' ~ 4х^у = О в виде степенного ряда при условиях у@) = 1, y"{Q) = 0. Определить радиус сходимости ряда. у' б) Решить уравнение у" А.х у = 0. X Указание. Найти сумму ряда в п. а). 85. а) Найти решение уравнения ху" — 2у' Н- 9х^у == О в виде степенного ряда при условиях ?/@) = О, y"'[Q) ~ 6. Определить радиус сходимости ряда. 2 б) Решить уравнение у" у' + ^х^у — 0. X Указание. Найти сумму ряда в п. а). 86. Проинтегрировать при х > О с помош,ью ряда по степеням х уравнение Аху" Ч- 2у' -Му = 0. Указание. Для отыскания решения уравнения, линейно независимого в решением, пред ставимым степенным рядом, сделать в уравнении замену у — у/х • z. 87. Найти при О < х < 1 общее решение уравнения 2хA — х)у" -f A — —х)у' + Зу = О в виде ряда по степеням х. Указание. Воспользоваться указанием к задаче 86. 88. а) Найти при решение уравнения Bх Ч- х^) у" - у' - бху =- О в виде степенного ряда по х. Определить радиус сходимости ряда, б) Найти обш^ее решение заданного уравнения в виде ряда по степеням X.
96 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка пачам 8 9 Ответы к задачам § 9 1. y = Cl{X'{'l)'{'C2X^-\-X^\nX-'-x\ '• ^ ^ "^^ (^' ~ ^ "^ ^ ^'^ ^) + ^"^ "^ ^^^^^ - In (х + 4)). 4. у = С\х Л- С2Х^ \пх -\- х^ In^ X - ж^ -f а:^ In^ х. 5. 2/ = h С2[х + 1) (sinx + 2cosx) - 2sinx. х а; 6. у = Cix 4- С2 In ж + a;^ — -ж^ 1пх. 7. у = Ci(l + х) + Сге^ - A + а;) InA + ж) - 1. 8. у = Cia; + Сгже^^ + | ж^ - -х j е^^. 9. у = Cie-2^ + Сг Dа;2 + 1) + Ьх^ - 2ж + 2. 10. у = (Ci + Сгч/^ + а;)е-^. 11. у=(С1+С2Ж^ + За;^)е^^. 12. у = Cix + Сге"^ + f -^2 - а; ] < 13. у = Cie^^ + С2Bх + 1) - е"^. 14. y = a;(Ci + C2e^)+a;2e^. 15. у = Схе" Л- Cix^ + -ж - 1. 16. у = (Ci + С2а;2) е^ + JBx - 1)б 17. у = Схё" + Сг (а;2 + 1) + ^^а;^ - х^ - ^ е". 18. y = Cie2^ + ^-^(x + l). X L 19. y = Cie^ + ^-ix-l. х*^ 4 ,3ж
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 97 20. y = Cie-t + —+ ^ж-2. X 2 21. у = Cie-^ + ^ + ix - 1. 22. у = а; (Ci + С2е^^\ +x(cosa;2 -2sma;^). 23. у = Cie'' + С2 {х^ - 2х) е" + ^х. 25. y = e^fci + ^ + -e^. \ X X ) 27.!,= (х+1)(с. + | + 1в-). 28. !, = Cie" + %-!(! + 1). X Оо 1 29. у = Cie2 +-i--x-2. X 2 30. у = С,е-^^ + Щ + \{х-1). X о 31. у = Cix + С2Aпх + 1) + -х^A - 1пх). 32. у = Ci(a; + 2) + Сге^ + (ж + 2) [ln(a; + 2)^ - or - 2] 33. у= {Ci + —+ 2sina; + -cosa; le^"". \ X X ) 34. у = x{C\ + C2sina;) + -a;(cosx + sina;)e^. Zi 35. у = f Ci + -^ + -i- sinx^ e-2^ \ a; — 1 a; — 1 / 36. у = Cie-^ + C2 [x^ + 1) - ( ^ж^ + or^ + X J e-^.
98 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 37. y = Cix + Сг^^ + (- -х] е'"". X \Х J 38. у = (х - 1) (С*1 + С^е") + {х-1) (^х^ - Ъх\ е". 39. у = {х + 1) (Ci + Сзе^^) -\{х^ + 1) е^^. 40. у = (х + 1) f Ci + ^) + ^i^e^ \ X J X 41.y = e-^(c.4-^)-biB. + i)e^ 42. у = (х - 1) (Ci + С2е2^) - ^х(а; - l)^. 43. у = (Ci + С2л/5)е-^ - ЬпжAпх + 4N"^. 44. у = (ci + C2xi + ^хЛ e-^ 45. у = Cix + C2lna; + ж1пх ( ~ Inx--1 I. 46. у = (Ci + Сзх^) е^^ + \х^е^^ Апх - ^). 47. у = Ci sinx + C2sin2a; + 2sin^x(l - xcosx). 48. у = Ci 1пж + -^ + ~ In^ X. \nx 3 49. у = Cix + C2 V 1 + ж^ — X arctg ж — 2. 50. у = ж (Ci -f C2e-^) ~ ^x2(x + 2)e-^. .y = e-(c,+C2x3-|x2). ;. у = _ Cl + —^ + . X\ X — 1 X— 1/ 51 52
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 99 54. 55 2х 56. у = Cix2 + Ca^i^ + 2х^ + Зх^ Ь\х\. X 57. у = Cie-^ + С*2хе^ + (^ - 8^) «^ ■ 58. у = х (Ci + С2е^) -х(-х'^ + 2х J. 59. у = е-^ (Ci + Сгх^) + Bа; - 1)е^. 60. у = (х - 1) f Ci + ^ V ^^е-^ \ X J X 61. у = Сге^^ + С2(х - 2Jе2- + Qx^ - ^х^) , 62. у = Cix^ + Сгже"^ + а;^ + х^ In ж. .. у = Ci (х^ + х) + Сгхе^ - х^. ,2ж 63 , е^ 1 1 64. у = Cix^ + Сз— + ;г - - X 2 X 65. у = Ci (х^ - 2х) + Сахе"^ + х 66. у = С1х2 + С24 + ~-Л Х'^ ох Х'^ 67 _ . б) у = (Ci + С2х)е-^' + , ,2х (х- 1J. 5. y = Cix^ + C2-^ + ±.-'. х^ ох х^ , , ^ . ^ (^ . , l + smx\ Г. а) у = Ci smx + С2 2 - sinx • In :— + tgx. \ 1 —sinx/ 6) у = (С, + Cox)e-^' + e^. б) у = (Ci + C2x)e-^' + в) у = (С, + C2x2) e^ + e^^ r) у = i (Cie^ + C2e-^) + x. д)у = С1(х + 1) + ^ + 1(х + 1) x 2 д)у = С1(х + 1) + -^ + -(х + 1J. 68. a) (x^ - 1) y" - 2xy' + 2y = 1 - x^, у = X (^Ci + x + ln||^h + (x2 + 1) [c^ - ^ln|x2 - 1|^
100 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка б) (x2 + l)y"~-2xy'-f22/-l, y = Cix-hC2{x^-l) + ^. в) у" sin 2х — 2у' cos 2х = — cos 2х, у = Ci sin^ X + С2 cos'^ X -Ь -X. 1 . l + vT^^ 69. y = CiVn^ + C2a;--a;ln ^ ^. •u 1 — vl — ж^ 70. у = Cie~^ Ч-Сгех - 1 e"^ +2sh | - ) Inll -e'^l. X \xj I I 71. у = Cie^^ + Сге"^^ + 2y/^e'^^ - 2 sh Bv/^) In (l + e^^). 72. у = Cie^^'"^ + C2e-2^'"^ + sin2 x - i 1 1 ж — 1 73. у = —y={Ci COS! + C2 sinx) + -л/хсозЗх H 7=^e^. \/x 2 yjx 74. у = —(Ci sino; + Сгсозж) + 2. X 75. у = , - 1 + , In hr + V1 + a;2 . 76. у = a;^(CiCOSx + Сгзтх). 78. 2 ^ / y'yi-yy'i У \У1У2-У1У2/ ' 83. У1 - 1 + Z. 2.3.5.6...Cn-lKn' y2-a; + 2^2^g^ 3nCn + 1)" n=l ^ ^ n=0 ^ ^* 6) у = Clcha;^ + C2shx^. 6) у = Ci sinx^ + C2Cosx^.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 101 86. у = Сш + С2У2,У1 = 1 + ^^„^ 3.3-5-4-7...пBп-1)' П=1 ^ -М-^л^ '-""" 6 ^3-2"-2-5-3-7...п(п + 1) Г 87. у = Cm + С2У2, У1 = 1 - Эх + х^ + f; [^" ~ ^jl'x", У2 = A - а;) V^. 88. а) „ = 1 + Зх^ + 5,. + 3 £(-1Г^ P"."DnU)-"- « = ~- п=3 б) У = C'lyi + С2У2, У1 см. в п. а), ^Л 3 2 оТ^/ ,4n-il-5...Dn-7) 2п\ J/2 = х. (^1 + -х2 + 3 5:(-1)" 8"-п! ^ J • § 10. Теорема Штурма. Граничные задачи При решении задач на теорему Штурма необходимо заданное уравнение привести сначала к двучленному уравнению. Затем сравнить количество нулей нетривиальных решений полученного уравнения с количеством нулей нетривиальных решений соответствующим образом подобранного линейного уравнения с постоянными коэффициентами или уравнения Эйлера. Пример 1. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у" + 2ху' + 5?/ = О на интервале (—оо, +оо) имеет не более 6 нулей. л Заменой у = е '^ • z заданное уравнение приводится к виду z" 4- {A — x'^)z = 0. При \х\ ^ 2 всякое нетривиальное решение полученного уравнения имеет не более одного нуля. При \х\ ^ 2 имеем 4 — x^ ^ 4. Поскольку любое нетривиальное решение уравнения z^' + 4z = О на отрезке [—2,2] имеет не более трех нулей, то по теореме Штурма любое нетривиальное решение уравнения z" + D — x'^)z = О имеет на [—2,2] тоже не более трех нулей. Так как число нулей любого нетривиального решения заданного уравнения в силу замены совпадает с числом нулей нетривиальных решений уравнения z" + {A — x'^)z = О, то задача решена. А Решение граничной задачи, собственные значения и собственные функ-
102 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка ции граничной задачи находятся подстановкой обш,его решения уравнения в заданные граничные условия. Пример 2. Найти решение граничной задачи у"Л-у = Зсоз2х, у@) = -1, у'{7г)=0. Л Обш,им решением заданного уравнения является у = С\ cosx-\-C2 sinx-— — cos 2а;. Подставляя это решение в граничные условия, получаем систему для нахождения постоянных С\ и С2: { -С2 = 0. Отсюда Ci = С2 = О и, значит, решением граничной задачи является у = — cos2x. А Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи у" = Лг/, х G [0,1], у{0) = у{1) = 0. Д Нетрудно видеть, что при Л ^ О граничная задача имеет лишь тривиальное решение, т. е. никакое Л ^ О не может быть собственным значением граничной задачи. Пусть Л < 0. Тогда обш,им решением уравнения является у = Ci cos х\/—Л + С2 sina;\/^ и подстановка его в граничные условия дает уравнения для нахождения постоянных Ci и С2' Ci =C2smV^ = 0. Так как собственными функциями являются нетривиальные решения граничной задачи, то С2 ф 0. Значит, sin\/^ = 0. Отсюда находим, что собственными значениями задачи являются числа Л^ = —n^7г^, а соответ- ствуюш,ими им собственными функциями являются Уп(^) = CnSinnTTx, где п = 1,2,3,..., а Сп ~ произвольная постоянная, отличная от нуля. А Для нахождения функции Грина граничной задачи следует воспользоваться ее определением. 1. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения г/"Н- _j_-j —у = о имеет на интервале (О,+оо) бесконечное множество 1 + yjx нулей.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 103 2. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у"+ Н-7Г~2—г\У ^ ^ имеет на промежутке [О,Н-оо) лишь конечное число нулей. 3. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у"-\- Л-" 2^ ~ ^ имеет на промежутке [О, +оо) бесконечное число нулей. 4. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у'^—ху^+у = О на интервале (—ос,+оо) имеет не более пяти нулей. 5. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения г/"—(ж—3)^г/'4- -\-{х + 1)у = о на интервале (—оо, +оо) имеет не более шести нулей. 6. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у" 4- х'^у'Л- 4-(ж 4- 4)у = О на интервале (—оо, 4-оо) имеет не более шести нулей. 7. Доказать, что решение Jo(^) уравнения Бесселя ху" -f у' 4- ж?/ = О при 0.1 < ж < 10 имеет не менее трех нулей. 8. Доказать, что нетривиальное решение г/а (ж) уравнения ху"Л- 4-(- — ж}?/' — ау = 0 при любом значении вещественного параметра а имеет на интервале A,4-оо) лишь конечное число нулей. 9. Доказать, что решение Ji{x) уравнения Бесселя ж^y-жy'4-(ж^ —1J/ = = О имеет один из нулей на интервале C,7). 10. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у" Н—у'л- X Л-е^у = О на промежутке [1,4-оо) имеет бесконечно много нулей xi < < Ж2 < ... < Жп < ... и при этом lim \хп — Xn-i\ = 0. n-4-fOO 11. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения х^у^Л- Л-2х^у' 4- 1 -zx^ — 2 11/ = О на интервале @,4-оо) имеет не более одного нуля. Найти решение граничной задачи A2—24): 12. У'-У = 2е2-,У@) = 2,уA) = е2. 13. y"-~y = 2sinx,y@)=y(|)=0.
104 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 14. у" + у' = 2, у@) = О, уA) = 2. 15. 2;2у" + 2жу' - 12у = О, уA) = 1, у{х) = О (^j при х ^ +оо. 16. y"-y = e^^y@) = ^,y(l) = ^e2. 17. у"-4у = 4, у@) = -1,уA) = 0. 18. у" + у = О, у@) = у'@), у (I) + у' (I) = 0. 19. у" + у = О, у@) = у'@), у (I) = у' (I) + 2. 20. х^у" + 2ху' = -, уA) = 1, у(е) = 0. X 21. ж^у" + 2а;у' - бу = ж^, уB;) = 0{х^) при а; -> О, уA) = 1. 22. х^у" + ху'-у = 2х, уA) = О, уB) = 21п2. 23. у" + 7г2у = 1, у@) = уA) = 0. 24. у" + 7г2у = 37r2sin27ra;, у@) = уA) = 0. Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи B5-34): 25. у" = Ау, у@) = у'A) = 0. 26. у" = Ау, у'@) = уA) = 0. 27. у" = Ау, у'@) = у'A) = 0. 28. у" = Ау,у@)=уA), у'@)=у'A). 29. у" = Ау, у@) = О, у(а;) = 0A) при х -^ +оо. 30. у" = Ау, уB;) = 0A) при х -> —оо и при а; -> +оо. 31. х^у" -ху' + у = Ау, уA) = уB) = 0. 32. х^у" -ху' + у = Ау, у{х) -)■ О при х -^ О, уA) = 0. 33. х'^у" — ху' + у = Ау, уA) = О, у{х) = 0A) при х -> +оо. 34. a;^y" + Зху' + у — Ау, уA) = О, у{х) -^ О при х —> +оо.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 105 35. Доказать, что всякое вещественное число А является собственным значением граничной задачи у" = Ау, у{0) = уA), у'{0) = —у'{^)- 36. При каких значениях вещественного параметра А граничная задача у" + Х^у = О, у{0) = О, у'{1) = Ху{1) имеет нетривиальные решения? Найти эти решения. 37. Рассматривается граничная задача на собственные значения -у" + q{x)y = Ху, у{х) ф О, у @) cos а + у'@) sin а = у A) cos ^0 + у'A) sin ^0 = О, где q{x) — заданная непрерывная функция на [0,1], а и ^0 — заданные числа. Доказать, что: а) собственные значения граничной задачи вещественны, б) собственные функции у[х, Х\) и у{х, Х^) соответствующие различным собственным значениям Ai и А2 ортогональны, т. е. 1 I- у{х, Ai) • у{х, X2)dx = О, Ai 7^ А2. о 38. Рассматривается граничная задача вида -у" -\-q{x)y = Ху-^ fix), y{0)cosa -f y'@)sina = y(l)cos^0 + y'(l)sin^ = 0, где q{x), f{x) — заданные непрерывные функции на [0,1], а и ^ — заданные числа. Доказать, что а) если параметр А не совпадает ни с одним собственным значением граничной задачи, то граничная задача имеет единственное решение, б) если же А ~ некоторое собственное значение граничной задачи и ему соответствует собственная функция у(х,А), то граничная задача разрешима только в том случае, когда 1 f{x)y{x,X)dx = 0. о 39. Показать, что все собственные функции граничной задачи —у" = Ау, у'{0) = у'Gг) = О обладают следующими свойствами: а) п-я собственная функция на [0,7г] имеет ровно п нулей, б) нули п-й и (п -f 1)-й собственных функций перемежаются. 1 /■
106 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка Найти функцию Грина G{xX) граничной задачи D0—50): 40. у" + ?/ = /(ж),у@) = у'A)=0. 41. y" + 4y = f{x),y'{0)=y{l) = 0. 42. у" - 4у = fix), у'@) = О, 2уA) = у'A). 43. у" -у' = fix), 2/@) = О, уA) = у'A). 44. у"-у = fix), у@) = уA) = 0. 45. х2у" + Зжу' - Зу = /(х), уA) = О, уB) = 2у'B). 46. (ж2 + 1)у" + 2а;у' = fix), у@) = у'A) = 0. 47. а;у" + у' = /(х),уA)=уB)=0. 48. ж2у" + ху'-у = fix), уA) = у'B) = 0. 49. х^у" - ху' - Зу = fix), у@) = О, yix) = о(-] при а; -> +оо. 50. х'^у" + 2ху' - 12у = fix), у@) = О, yix) = 0A) при х ->• +оо. 51. Пусть р(ж) — непрерывная функция на [а, Ь] и р* = maxpix) > О при X 6 [о, 6]. Доказать, что граничная задача у" +pix)y = /(ж), у(а) = А, у F) = В имеет единственное решение при всех А и В и для любой 7Г непрерывной /(ж) на [а, Ь], если выполнено условие F — а) < —=:. VP* 52. Пусть а(ж) — непрерывно дифференцируемая положительная функция на всей оси и пусть yi{x), У2{х) — линейно независимые решения уравнения у" + а{х)у = 0. Доказать, что нули у[{х) и У2{х) перемежаются. Указание. Показать, что ух и г/2 удовлетворяют соотношению У2У1 - У1У2 = О- 53. Пусть на множестве D = {О ^ х ^ I, -оо < у < +ос} функц] ИИ л/ л df{x,y) df{x,y) .f.jj fix, у), —т; непрерывны и — ^ и. Доказать, что граничная ду ду задача у" = /(ж, у), у{0) = уA) = О может иметь только одно решение. Указание. Рассмотреть какому уравнению удовлетворяет разность двух решений.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 107 Ответы к задачам § 10 12. е2^ 13. ^-siux. 14.2а;. shf 15. 1. 16. 1е2^ 17. ^ - 1. а;4 3 sh2 18. C{cosx + sina;), С ~ произвольная постоянная. 1 — In ж 1 19. cosx-f sinx. 20. . 21. -{х^-х^). X о 22. ж In ж. 23. Нет решений. 24. Сз'ттгх — sin27ra;, С — произвольная постоянная. 25. An = -fn+-j 7г2, уп(а;) = Спsin fn+2 j^ra;, Сп 7^0, п = 0,1,2,... 26. Хп = -\пЛ-'Л 7г2,?/п(а;) = Cncos (п+2 JTTX, Сп 7^0, п = 0,1,2,... 27. Хп — —г?т:^, Уп{х) = Спсозптгх, Сп т^ О, п = 0,1,2,... 28. An = -Ап^п^, Уп{х) = CinCos2n7rx + C2nsin2n7ra;, |Cin| + |C2n| > О, n = 0,l,2,... 29. любое A < О, y{x,X) = Csmx\/^, С ^ 0. 30. любое A ^ О, y{x,X) = Cicosx\/^ +C2smxy/^, \Ci\ + IC2I > 0. —j , уп{х) = CnXsinl ^^2 j, Спт^О, n= 1,2,3,... 32. любое A G (—00,1). Для A G (-00,0) j/(x, A) = Ca;sin(\/^lnx), С ^ 0, для A = 0 у (ж. A) = Cxlnx, Ct^O, и для A G @,1) y{x,X) = Сж(а;^- -ж-^), C^O. 33. Нет собственных значений. 34. любое А G (—00,1). Для А G (—оо,0) у(ж,А) = — sin(\/^lnx), для X А = О у{х, А) = С—, для А G @,1) у(а;. А) = ~(х^ - х"^), С ^ 0. 36. An = — + 2п7г, Уп(^) = CnSinAn^, Сп 7^ О, п = О, ±1,±2,...
108 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 1 40. G{x,0 41. G{x,0 42. Gix,0 = 43. G{x,0 = 44. G{x,0 = 45. G{x,0 = 46. Gix,0 = 47. G{x,0 48. G(x,C) = 49. G(x,C) = - 50. G(a;,C) = -y< 1 j sina;cos A — C), 0 ^ a; ^ Ci cos 1 1 cos(l — a;)sinC, С ^ з; ^ 1. 1 f cos 22; sin BC-2), 0 ^ x ^ C, 2 cos 2 1 sin {2x - 2) cos 2C, С < a; ^ 1. Г e^'^ch2a;, 0 ^ a; ^ C, I e2^ch2C, C<a;^ 1. \ e^(e-^-l), C<2;^1. ]_ f sha;sh(l - C), 0 ^ ж ^ C, ~shll shCsh(l-a;), C^x^l. 4" VC2 l^a;^C, -СЧ, C^a:^2. — arctgx, 0 ^ ж ^ C) — arctgC, С ^ з; ^ 1. 1 йГ2 10C2 In a; In-, I ^x ^ C,, lnCln|, С ^2; ^2. ^4, O^x^C, С ^ a; < +00. -4, 0^2;^C, -T, C^a;<+oo.
Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 11. Методы рехпения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами Для решения линейных систем второго порядка уравнений с постоянными коэффициентами, как правило, удобным является метод исключения неизвестных. Пример 1. Найти общее решение линейной системы уравнений {X = X — 2у — 2te*, y = 5x-y-{2t-{-6)e^. Л Продифференцируем первое уравнение системы: x = x-2y-2{t-{-l)eK В полученное выражение подставим выражение у из второго уравнения системы: x = x-2{t-{- 1)е* - Юж + 2у + 2{2t 4- 6)е* = х - 10х-{-2у-j- Bt + 10)е^ Подставив сюда выражение 2у из первого уравнения системы, получаем уравнение для x{t): х-{-9х = 10е*. Его решением является x{t) = CiCos3t + C2sin3^ + е*, где Ci и С2 — произвольные постоянные. Подставив x{t) в первое уравнение системы, находим y{t) = -(Ci -3C2)cos3t+ -(ЗС1 -i-C2)sm3t - teK Zi Zt Таким образом, общее решение заданной системы уравнений имеет вид x{i) = Cicos3t + C2sin3^ + eS
110 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений y{t) = i(Ci ~ ЗСз) cos 3t + ^CCi + С2) siuSt - te\ A Для решения линейных систем третьего порядка с постоянными коэффициентами удобным является метод, использующий нахождение собственных значений, собственных и присоединенных векторов матрицы системы. Пример 2. Найти общее решение линейной системы уравнений у = -2х + Зу - Z, i = 4а; + 5г. Д Для матрицы системы из уравнения det {А — ХЕ) = О, где Е ■— единичная матрица третьего порядка, находим собственное значение Л = 3 кратности три. Из линейной алгебраической системы уравнений {А — \E)h = О, где вектор Л т^ О имеет три компоненты, находим два линейно независимые собственные векторы Л1 = /12 = Из системы уравнений {А — XE)hs = /12 находим присоединенный вектор Лз к вектору h2'- { о /13 = V Следовательно, искомое общее решение имеет вид X
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 111 где Ci, С2, Сз — произвольные постоянные. А Линейные системы уравнений можно решать с помои;ью матричной экспоненты. Пример 3. С помош;ью матричной экспоненты решить систему уравнений fx = x + y, у = -х + Зу. Д Для матрицы системы -А = I ^1 находим собственное значение Л = 2 кратности два. Ему соответствуют собственный вектор /ii = ( 1 и присоединенный вектор /i2 = I . 1 • В базисе из векторов /ii, /12 матрица А „ри^маег нормальную жорданову форму . = (^ ')• Из онред^вняя матричной экспоненты нгьходим, что Если через Н обозначить матрицу, у которой первый столбец hi и второй столбец /i2, то \-t 1 + tJ Общее решение заданной системы имеет вид где Ci и С2 — произвольные постоянные. А Линейные неоднородные системы уравнений можно решать методом вариации постоянных. Пример 4. Методом вариации постоянных решить систему уравнений i = а; — 2у, 1 у — X — у -\- -—:—.
112 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений А тг 1 i = ГС — 2?/, Л Линейную однородную систему < . решаем методом исклю- [ у^х-у, чения. Ее решение имеет вид ж = Ci cos t + C2 sin t, У = ^[(Ci - C2)cost + {Ci + C2)smtl где Ci и C2 — произвольные постоянные. Решение заданной линейной неоднородной системы уравнений ищем в виде X = Ci (t) cos ^ -f G2 {t) sin t^ У - \[{Ci{t) - C2{t))cost + (Ci(t) + C2{t))smtl где Ci{t) и C2{t) — некоторые непрерывно дифференцируемые функции, которые находятся подстановкой хиу в заданную систему уравнений. Подстановка X и у в заданную систему уравнений дает следующую линейную алгебраическую систему для Ci{t) и G2(^I Ci{t)cost + C2{t)sint=^0, Ci{t)smt-'C2{t)cost s'mt Отсюда находим Ci{t) = 1, C2{t) — — ctg^ и, значит, Ci(t) — t + Ci, C2{t) = — In I sin^l -h C2, где Ci и C2 — произвольные постоянные. Подставляя найденные значения Ci{t) и C2(t), получим общее решение заданной системы уравнений ж = Ci cost + C2sin^ + tcost — sinHn|sin^|, у = -[(Ci-G2)cost-h(Ci-hG2)sini + (t-f ln|sinit|)cost + (^-ln|sin^|)sin^]. к Линейные системы уравнений можно также решать операционным методом, т. е. методом, использующим преобразование Лапласа. Пример 5. Операционным методом решить задачу Коши при ^ ^ 0: {X = 3a;-?/ + 4e^S у = 4а;~у-8еЗ^ а;@) = 1, 2/@) - 0.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 113 Д Положим при ^ < О решение x{t), y{t) системы и свободные члены системы тождественно равными нулю. Тогда так продолженные на всю числовую ось t G (—оо, -f оо) решение и свободные члены системы являются оригиналами. Пусть x{t) ==' Х(р), y{t) == Y{p). Тогда x{t) = рХ{р) — 1, y{t)=pY{p). Переходя в заданной системе уравнений к преобразованиям Лапласа, т. е. умножая каждое уравнение системы на е~^* и интегрируя его по t от нуля до бесконечности, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для нахождения Х{р) и Y{p) {p-Z)X{p)+Y{p) = l+ ^ 4Xip) + {p + l)Y{p) = -. р-3 Если считать комплексный параметр р таким, что Rep > 3, то из полученной системы уравнений находим (р-3)(р-1J ' >"' (р-3)(р-1J- Разлагая выражения для Х{р) и Y{p) на простые дроби, имеем Y( \ ^ 5 6 v^ ^ 4 4 12 р-3 р-1 (р-1J' '"^^ р-3 р-1 (р-1J' Переходя к оригиналам, получаем искомое решение x{t) = 6е^* - E + 6t)e\ y(t) = 4е^* - 4A -f 3^)е^ Решить линейные однородные системы второго порядка A—14): 1. X = —5х — бу, о J ^ ~ -^^^ "" ^^' у = 8а; -f 9?/. * | у = 18а; - Ну. i = —6а; -f 8у, л ] ^ ~ "^^ ~ ^^' у = —4а; -f 6у. ' 1 у = 6а; -f 7у. i = —5а; — 4у, ( i = 5а; — 6у, 6. < у = 10х -f 7у. у = За; - у.
114 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 9. 11. 13. {X = -12а; - 8у, у = 20х + 12у. {X = —2х — 4у, у = 2х + 2у. {X = 6х + у, у = -16а; - 2у. {X = -2х + у, у = -Ах + 2у. 10. 12. 14. = —5а; — 10у, = 5x4- 5у. {X = 5х -\- 4у, у = -9а; - 7у. {X = —5х -f 4у, у = -ж - у. {X = —5а; + 4у, у = -9а; + 7у. Решить линейные однородные системы уравнений третьего порядка A5- 116): X = —5а; - 2у - 2г, 15. I у = Юх + 4у + 2^:, i = 2а; -f у -f Зг. X = —2а; -f 6у — 4г, 17. < у = 9а; - 5у Ч- 6^:, i = 15а; - 18у + 15г. i = 5а; -f у — г, 19. I у = а; Ч- Зу + г, i = 7а; + Зу + 2:. i = 5а; Ч- 2у + 2г, 21. «^ у = х + 6у + 2г, г = —5а; — 7у - Зг. о; = а; -f 2у — г, 23. I у = 9а;-6у + 3г, i = 20х - 20у + Юг. i = 8а; - 2у + 2z, 25. -^ у = 8а; - Зу + 4г, i = -2а; - 2у + Зг. 16. 18. 20. 22. 24. 26. X = У = Z = X = у = i = X = 2/ = i = -а; -f 2у - 4г, -8а; - Зу Ч- 2г, —2х — 4у + 6г. -2а; + 2у - г, —6а; + 2у — 2г, —6а; — 2у — г. x-y-z, -2х + 2у Ч- г, 4а; Ч- 2у + Зг. X = —а; Ч- 2у — Зг, у = -ж + 4у - г, i = 4а; — 2у + 6г. i = а; Ч- 4у + 4г, у = а; Ч- Зу - г, i = -За; + 4у Ч- 8г. i = хЧ-у- г, у = а;-у + г, i = а; — Зу + Зг.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 115 : = ~2а; + 8у + 6г, 27. I у = -Ах + 10у -f 6г, ; = 4а: ~ 8у — 4z. ; = ж -f 2у + Зг, 29. ^ ?/ = 2а; + 4у + 6г, i; = Зж -f бу -f 9г. i: = ж + 2?/ + 2г, 31. I y = 2x + y + 2z, i: = 2а; -f 2у + г. к = 2а: -f у ~ 2г, 33. < у = -х^- Z, \^2хЛ-2у- Z, с; = За: — Зу + г, 35. ^ у = За: - 2у -f 2z, i = —а: + 2у. х = х-у, 37. < y = a: + z, Z = X -{- Z. i = а: — 6у -f Зг, 39. ^ v = ~8y + 6z, j = Зх ~ 12у -f 7z. b = ~5у + Зг, 41. < у =-а:-бу-f 5г, j = а: — 9у + 6г. с = За: — у + 2г, 43. ^ у = 2а: - 5у + 2г, Z = ~2а: — 4у — г. i = а: + 2у + 2г, 45. I у = -^у^ 2г, г = уЧ-г. i = 2а: — у -f Зг, 28, I у = -2а: + у + 5г, i = —а: — у + 6г. i = 2а: + 2у - 2г, 30. ^ у = 2а; + 5у - 4г, i = —2х — 4у + 5г. i = 5а: — Зу + 2г, 32. ^ у = 6ж - 4у + 4г, Z = Ах — 4у + 5г. i = 2ж — 4у, 34. < у = X + 2у Ч- г, г = Зу + 2г. i = а; + 2у — г, 36. ^ у = -2х Ч- у ~ 2г, г = X Ч- 2у Ч- г. X = —X — у — г, 38. ^ у = Зх ~ 7у Ч- г, г = 5х — 5у — Зг. X = —2х — Зу + г, 40. I у = х~8уЧ-Зг, i = Эх - 7у. X = —5х — у Ч- Зг, 42. I у= ~5х - Зу + 5г, г = ~х — Зу Ч- г. X = X Ч- у, 44. < у = -а: Ч- г, i = -ж — у Ч- 2г. X = 7х — 4у + г, 46. I у = 7х~ЗуЧ-г, г = 4х ~ 2у + 2г.
116 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений i = Зж — 8у -f г, 47. I y = x-2y-\'Z, Z = Зх — 12у — 5z. X = —X — 4?/, 49. < у = X — у -{- z, Z — Зу — Z, х-=: -у- Z, 51. < у = х-\-у, Z = Ах + у-\' 2z. X — —Зх -f г, 53. I y = -3y-^2z, z = 3x-2y- 3z. X = X -\- 2г, 55. < у =^2х - у -^2z, Z = X — у + Z. X = —Зх — г, 57. I у = -4а; -2у- 3z, i = Ax-\-2y-\- 3z. b = X -\-5у — 2z, 59. I y = x + 2y-z, z = 3x + 9y - 4г. X = 7x - lOy - 4г, 61. < у =^ Ax -7y - Az, z = —6x -f 7?/ -f г. b = 2x — 3y, 63. < y = x-2z, 2: = -y + 2z. Ь = -Зж + ?/ - 2г, 65. I у = Ах + у, z — Ах -{■ z. X = 3х -{■ 2z^ 48. I y = x-\'2y-\'Z, z = -X- y. X — 3x — 2y -\' 2г, 50. < y = 2x-{-z, z = -2x -\'2y- 2z, x = y- z, 52. { y = -y-\'Z, z = x — z. X = ~5x — 4y + 9z, 54. I у = Юж + 9y- lOz, z = X -\-y -\'3z. X — Ax — ly — z^ 56. < у = 2x — 3y — z^ z = -2x -\-2y-\- 3z. x — —x — у + 2z, 58. I у = -Ьх -y-\'2z, z = —7x — 3y + 6z. X = X — у — Az^ 60. I y = -2x + 2y + 12г, z z=z X — у — 5z. X = 7x -{- 8y — 2z^ 62. I у = -Ьх -7y Л- z, i = 6rc + 8?/ — 2:. X = —2x + ?/, 64. < у = 3x — г, i = 4y - 2z. i = 2a; + ?/, 66. I у = Ax-\'2y-\' Az, z = —2x — у — z.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 117 X = —6х + Зу — 5г, 67. \ у =" —X — у — Z, Z = Зх — 2у -{- 2г. \ X = -Зу + 3z, 69. \ у = —X — 4?/ -f 6zj z = -2у -f 2г. X = —2у — 2г, 71. ^ y = 3x + 5y-\'3z, Z = —ж — 2у — Z. X = 2х + 12у - Зг, 73. <^ у = -ж - 5у -f г, Z = —X — 12у + Az. X = Qx — 7у + Az, 75. < y = x-\'Z, z = —2x + Зу. X = —2x — у -^ z, 77. I у = 2x-'5y-\' 2г, z = 3x — 2y — 2z. X = Ax — у + z, 79. I у = -2x -f 3y - г, i = —бж -^ Ay — z. i = Зж — у + Зг, 81. < у = -бж -f у - 5г, i = —Зж -f 2?/ — 4г. X = —2а; — у — Z, 83. ^ у = -4а; -f 2у - г, i = 16а; -f 4у -f 6г. i = Зж + 2у - 4г, 85. I y = x + Ay-z, г = Зж -f 6у — 4г. X — —2х -\-у — z^ 68. I у = -6х -Ау + Зг, г = —2а; + 2у — Зг. i = 7а; + 8у - 2г, 70. < у = -5х - 7у -f г, г = 6а; + 8у — г. i = 4а; — Зу — г, 72. ^ у = -з: + 2у + г, г = 4а; — 4у — г. X = 2х — Ъу - 8г, 74. I у = 7х- Ну - 17г, г = -За: -f 4у + 6г. X = —2а; -f г, 76. ^ у = -2^ - 2у + Зг, г = -у + г. i = 2а; + у — г, 78. -{ у = 7х + 4у - г, г = 13а; + 7у — Зг. i = о; + у - г, 80. <^ у = -X + 4у - 2г, г = —2а; -f 5у — 2г. о; = —X + 2у + г, 82. < у = 2;-у + г, г = —2а; — Зу — 4г. X = —2а; + у — г, 84. ^ у = 4а; + 2у - 2г, г = 6а; + 7у - 6г. о; = а; + 5у — 2г, 86. I у = -х + 5у- 2г, г = —2а; + 15у — 6г.
118 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений : = 2х + 6у - 15г, 87. I y = x-\-y-5z, : = X + 2У — Qz. : = -Ay, 89. I у^х-Ау, ': = X — 2y — 2z. Ь = 12a; — 6y — 2г, 91. I y= I8x - 9t/ - Зг, z = 18ж — 9y — 3z. i = Зж + 2y — Зг, 93. ^ ?/ = 4a; + lOy - 12z, j: = 3a; -f 6y — 7г. 95. -^ V = -0; + Ay, i = -2х + ?/ + 2г. fc = 6a; + y + г, 97. ^ V = -5a; + у - г, i = -За; - у -f 2г. t; = 4a; + 2y — г, 99. I y = -2x + y + z, i = 2a; + 3y + г. i = a; — 2y + 2г, 101. I j/ =-За; + 2у-3г, i = -6a; + 8y — 8г. a; = 2a; + 3y — г, 103. I y = -6a; - 6y + г, z = ~4a; - 2y - 2г. X = —ж — 5y -f г, 105. ^ у = -а; + 3у-г, г = 4a; -f 5y + 2г. i = 9a; — 6y — 2г, 88. I y = 18a; - 12y - Зг, z = 18ж — 9j/ — 6г. i = 4a; -f 6y — 15г, 90. < у = з; + 3y - 5г, г = a; + 2y — 4г. a; = 6a; -f 6y — 15г, 92. ^ у = ж + 5y - 5г, г = X + 2y — 2г. i = a; + у — г, 94. ^ у = -Зж - Зу + Зг, г = -2а; - 2у -f 2г. а; = 7а; -f 4у — г, 96. ^ у = -7а; - 4у + 2г, г = —9а; — 9у -f 6г. X = —2а; -{-у — Z, 98. I у = 2х-2у- г, г = За; + 2у — 5г. i = 4а; — у — 2г, 100. I у = 2а; -f у - Зг, г = 2а; — у -f г. i = —ж — 2у -f 2г, 102. I у = -Ах - 2у - Зг, i = —За; + Зу — 6г. I а; = —За; — у — г, 104. < у = 5а; -f Зу + г, I г = 16а; -f 4у + 5г. X = —За; — Зу — 2г, 106. I у = 6а; + 6у + 2г, г = 7а; + 4у + 5г.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 119 107. 109. 111. 113. 115. X = —8а; -f 6у — 4г, у = -8ж + 14у - 4г, i = 4а; + 13у + 2г. X = —5ж -f 2у — 2г, у = ж - Зу + г, I i = 7а; — 5у + Зг. X = —8а; -f у — 5г, у = 18а; - у + Юг, i = 11а;-7уЧ- Юг. а; = —За; -f 2у — г, у = 8а; + 4у + 4г, i = 6а; — 6у + 2г. а; = 2а; + 4у — 4г, у = 4а; — 6у + 12г, Z = —8а; — 8у + 6г. а; = 5а; — у + 2г, 108. I y = -x + 3y-z, Z = —4а; + 2у — г. i = 2а; -f 4у — г, 110. I у =-2а;-7уЧ-4г, Z = —5а; — 10у + 4г. i = 2а; -f 5у + г, 112. { у = 8а; + Зу + 4г, г = -14а;- 18у -7г. i = 2а; -f у + г, 114. I у = 3а;-6у + 3г, г = 4а; — 16у + 5г. а; = 6а; — Зу + 7г, 116. { у = -Зх-2уЧ-г, г = —7а; — у — 4г. С помощью матричной экспоненты решить линейные однородные системы уравнений A17—136): 117. 119. 121. 123. 125. 127. а; = 2а; + у, у = а; -f 2у. X = -Зж + у, у = а; - Зу. i = 2а; — у, у = -4а; + 2у. а; = За; — у, у = х + у. X = х + у, у = -х-у. X = х + у, у = -5а; - Зу. 118. 120. 122. 124. 126. 128. i = а; + 2у, у = 2а; + у. а; = -а; + у, у = 2х - 2у. а; = За; + у, У = -х-\- 5у. а; = 2а; — у, у = а; + 4у. а; = X — 2у, у = х-у. X = 2х — Зу, у = За; -f 2у.
120 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 129. 131. 133. 135. X = —X + у, у = -5х + Ъу. X = —X — 2у, y-x-Zy. X = X + у, у = 2х + 2у, Z = Зг. 130. 132. < у = 134. 136. X у X у Z X у Z X у Z = X = z, = 2/. = 0. = Z = X = — = Z, = X = 0. + У, 2х + Зу. + 2/, -у, X — Z. -y + z, Решить линейные неоднородные системы уравнений A37—168): 137. 139. 141. 143. 145. 147. 149. X = —2х — у + 37 sin t, у = —Ах — Ъу, X = -2х -у-\' 36t, у = —Ах — 5у. x = Qx-3y + 30e\ у = 15х-6у-\' АЫ. X = 5х + Ау + 7е^\ у = -9х - 7?/ + ^^ -f 1. х = у, у = X + е^ -{- е~^ X = -6х- 10у-f 4sin2^, у = Ах -{- 6у. X = —Зх — Зу + t -f 1, у = бж + 6у -f 2t. 138. 140. 142. 144. 146. 148. 150. X = Зх — 5у — 2е^ у = х-у - еК X = Их - 8у + Ае^\ у = 20х- 13у. X = —5х — ?/, у = X - Зу - 9е^К X = Зх '\'2у — е~*, у = —2х — 2у — е~^ X = -Ах - 4?/ -f 2e^S у = бж + бу -f 2t. X ^ -7х + 2у-^е~\ у — —15а: -f- Ay. X = —Зх + 2/ — е~^, у = -Ах + у.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 121 151. 153. 155. 157. < 159. 161. < 163. 165. 167. < х = Зх-\-2у'- 2e^ у = -Зх -2у- 2еК X = у -\- cos 2t — 2 sin 2t, у = -x-\-2y-\-2sin2t-^3cos2t. 152. 154. X = X -\-y, y = 3y-2x-2{t + l)eK X = 2x -\-y -\-5, у = x-\-2y-i- z, z = -2y + 2z. 156. 158. < X = —3x — 4y -\- Az -j- sint -^ cos t, у z=:z Sx -\- Ay — 5z — sin t — cos t, 160. z = X -j- у — 2z. x = 2x — y-\-z-\- cos t, у = 5x-4y + 3z-\- sint, 162. z = 4x — Ay -\- 3z -\- 2s'mt — 2cos t. X = 2x-^ у - 3z-\-2e^\ у = 3x-2y-3z - 2e^\ 164. i = a: + у — 2;г. X = Ax — y^ ij = a; + 2г/-h 2e^^ f i = a;-27/-2^eS I y = 5a:-7^-Bt + 6)e^ i = 5a: — у H- 5sint, у = 4a; H- г/ H- 3 sin it — cos t. X — Ax -\-'iy — iz, у — —Ъх — 2y + 3;г, i = За: + Зу - 2;г + 26"*. i = —5х + у - 2;г Н- cht, у = -X - у Н- 2 sh t Н- ch t, i=: 6a:-2y + 2z-2cht. д; = д; + ;г — 2cht + 3sh^, у = -2a: + 2y+ 22; + 4sht, i = 3x — 2y H- ;г — sh t. a: = x — 2y — ;г — 2e*, t X — y = z — X = y = z = -9x + 3y + 7;г + 2, X -\-y - z -\-A, -11а: + 3г/ + 9;г. -x-y-^t'^, -y-z + 2t, -z-\-t. у = -x-hy-\-z + 2e% z = X — z — e^. x = 2x — y-hz — 2e~S 166. { y = x-{-2y-z-e-^, z = x-y-+'2z'- 3e~^ 168. < X = 2x — 3y -\-t^ y=^x-2z- 3t2, -y + 2z + 3t - 2. Методом вариации постоянных решить линейные неоднородные системы уравнений A69—186): -2х + 4у + 1 169. у = —2х Н- 4у 1 + е^' 1 а; = -X - у + 170. < 1 + е^' l + e г у = 2а; + 2у + l + e t'
122 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 171. 173. 175. < 177. 179. 181. < 183. < 185. X = X У 4x-8y + tg4^, Ах — 4у. Зх - 4у + -7 2а:-у. i = Зж + у, У = ~4х - у + i = —X — 4у + у = 2х + 5у. X = —6х + 8у, у = —4х + 6у ж = 5ж — 6у + У = Зх - у. i = Зх + 2у ~ у = ~3х - 2у - sin 2t' 2V^' o3t l + e^*' ch2t' 3e2' cos^St' 1 1 1 + e- -f i = —8x — 4y, у = 20x + 8y-4ctg4t 1 172. < 174. 176. cos3 3i' i = 3x — 6y + у = 3a; - 3y. i = —3x + y, y = -4a; + y+^. X = 2x + у — Int, у = —4x — 2y + In t. o2t 178. < 180. 182. < 184. 186. 1 + e*' = -За; - 2y + I у = 10a; + 6y. x = —Ix + 2y, у = -15a; + 4y + X = 10a; — 6y, y = 18.-lly-^^3^. X = —2x -\-y -\-tlnt, у = -Ax -^ 2y -h 2t\nt. X = Ax — 2y, у = 8x - Ay + Vi. e 1 + 3e* Zl e2( Решить операционным методом задачу Коши при f^ О A87—197): 187. 189. а; = 2ж — у, у = Зх - 2у, х@) = у@) = 1. о2< Ж = X + у + е-", у = -2х + 4у + е^', х@) = 1, у@) = 2. I х = х + у, 188. I у = -2х - у, х@) = 1, у@) = -1. j х = -х-2у + 2е~', 190. I у = Зх + 4у + е~*, х@) = у@) = -1.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 123 {X = 3х - 4у + е *■, у = х-2у + е-\ х{0) = -1, у@) = 1. {ж = 4ж — у + е*, у = х + 2у + Ze\ х{0) = у{0) = 1. {X = X — 2у + t, у = х-у + 2, х@) = у@) = 0. {X = 4х + 5у + 4, у = -4х - 4у + it, х@) = О, у@) = 3. I х = х + у + 3< + 6, 195. [ у = -10х - у + 6* + 3, х@) = у@) = 0. ,2t I X = —X — у + е 196. [ у = 2х + 2у + 2е2*, х@) = у@) = 1. ix = Зх + у + е*, у = -4х - 2у + te\ х{0) = у@) = 0. Решить каким-либо методом задачу Коши A98—224): ..{ X = Зх + у + е', 198. I у =-4x-2y-|-te', х@) = у@) = 0. 200. 202. X = 7х - 2у + Sfe"', у = 8х - у, х@) = О, у@) = \. {X = Их - 2у + у = 18х - у, 12<е- х@) = --, у@)=0. Г x = -i —2х — у + 6t, 204. I у = —4х - 5у, х@) = 2, у@) = 3. 199. 201. 203. 205. х = 2х + -у, у = -18х - 4у + 18fe2', ^@) = \, У@) = 2. X = 5х + Зу, у = -Зх - у + Qfe^S т = \, У@) = 0. X = -5х - 2у + 24е*, у = -Зх - 4у, х@)=0, у@) = 2. X = —5х — у, у = X - Зу - Збе^*, х@) = 1, у@) = -6.
124 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 206. 208. 210. 212. 214. 216. 218. 220. X = Ах — у, у = х + 2у + 2е^К х{0) = 1, у{0) = 2. x = Zx + 2y + {l- 4t)e-\ у = -2х -2у + 2te~\ х@)=у@) = -1. i = 2у — 2г, у = х-у - Z, Z = —X — у — Z, х@) = 3, у@) = О, z{0) = 1. х = у- Z, y=-y + Z, Z = X — Z, х@) = у@) = о, z{0) = 1. х = х-у, у = х + Z, Z = X + Z, х@) = о, у@) = г@) = 1. X = X — Зу + Z, у = х-2у, z = y- Z, х@) = 1, у@) = О, ziO) = -1 X = -2у + 2z, у = X - у + Z, z = y- Z, х@) = г@) = О, у@) = 1. х = 2х — y + z + 8, y = y + z, z = —X + у + z, х@) = у@) = г@) = 0. 207. 209. 211. 213. 215. 217. 219. 221. X = —2х — у + 37 sin t, у = -4х - 5у, х@) = 0, у@) = -1. X = Зх — 5у — 2е', у = х-у-е*, х@) = 2, у@) = 1. X =z X — У -\- Z^ у = у -х + Z, Z = 3z — X — у, х{0) = 3, у{0) = О, ^@) = 1. y = y-j-z, Z = —X — у — Z^ х@)=у@) = 1, z{0) = -l. X = X — 2у -\- Z, у = -у -f 2, Z = X — у — Z^ а:@) = 2/@) = о, z{0) = L X — 2у -\- Z, y^x-i-z, z = -у- Z, а:@)=0, у@) = 1, z@) =-1. т — X — 2у. y=^-x-y-2z, z^yA-z, а:@)=0, 2/@)--1, z{0) = l. х = 2х — y-i-z-hl — е~^, у = 2а; — у — 2;г Н- 1, i = -а:+ 2/+ 22; - 1 + e~S а;@) = у@) = z{0) = 0.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 125 222. 224. 225. 226. 227. 228. X = 2х — у + 2z, lx = x — 2y — z + l, y = x + 2z, 223 I ^^'~^'^^'^^' z = —2x + y — z + 1, I z = X — z + I, x@) = y@) = ^@) = 0. х{0) = z@) = 1, y{0) = 0. X = 2x + y + e^', у = 2y + Az — 4e~*, Z — X — Z, a:@) = 0, y@) = -1, ^@) = 1. Найти все решения системы, стремящиеся к нулю при ^ —> — оо: i = Зх Н- у — 3;г, у = -7х - 2у + 9z, Z = —2х — у -\- 4г. Найти все решения системы, ограниченные при t —> Н-оо: Xl = —Xi -f 2X2 + ^3 — ^'4, Х2 = -4xi + 4x2 + 2x3 - ^4, хз = —4xi + 2x2 + 4x3 — ^4? Х4 = —^1 Н- 2x2 Н- з:з — Х4. Показать, что решение системы уравнений xi = —а^Х2, Х2 = ^i при каждом из граничных условий: 1) xi@) = О, xi(T) = Ь, 2) xi@) = = О, Х2(Т) = Ь, 3) Х2@) = О, xi(T) = Ь, 4) Х2@) = О, Х2(Т) = b в зависимости от выбора параметров а, Ь и Т > О либо существует и единственно, либо существует и неединственно, либо не существует. Найти решение системы X — 8х + л/бу = О, у-у/ёх + 2у = О, 1,у@)=у@)=х@) I 229. удовлетворяющее начальному условию х@) = 0. Найти решение системы X — ^ Н- i — 4х — 2у — 2;г = sin2^, 2х - у -\- Z -\- Зу - Az = О, X -\- Z — 2х — у — Az = О,
126 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравненш! удовлетворяющее начальному условию а;@) = i;@) = у@) = у{0) = = z{0) = i@) = 0. 230. Пусть А=( " ^ V Доказать, что е^^ = в"' ( ^^^f ^^"^' ] . \ -р а 1 \ - sin pt cos pt J 231. Пусть квадратная матрица второго порядка А имеет собственные значения Ai, Л2 и Ai 7^ Лг- Доказать, что тогда Аг - Ai где Е — единичная матрица второго порядка. 232. Пусть квадратная порядка п матрица А имеет собственное значение Ао кратности п. Доказать, что тогда gtA ^ gAot £^+^(А-Ао£;) + |(А-Ао£;J + .. где Е — единичная матрица порядка п. 233. Пусть А — собственное значение квадратной матрицы А и пусть h — соответствующий ему собственный вектор А, Доказать, что тогда е^ — собственное значение матрицы е"^, а /i -~ соответствующий ему собственный вектор е^. 234. Пусть Ai, А2,..., Ау1 — собственные значения квадратной матрицы А (с учетом их кратности). Доказать, что определитель |е*^| матрицы е*^ удовлетворяет равенству |е*^| = е{'^1+'^2+-н-Лп)« 235. Доказать, что матричные ряды для sin Л и cos Л \к °5. (_л\к сходятся для любой квадратной матрицы А. 2к
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 127 Ответы к задачам § 11 1. Се- -М+св' -' ;]-0,.'{1).С.е-^-{1 ;----'•>-< ^1 Cie^' I / 1 + Сзе* 5. fM^CieM"''''^'^'^''^'Uc2eM~'''^''^'^''^' \yj y2cos2t-^sm2tl \^cos2^ - 2sin2^^ yyy ^^ (^ sin3^ / ^^ \ ^^^^^ / /xA _ /—cos4< —sin4A /~cos4t + sin4A \^yy ^2cos4t + sin4^y "^ ^ \^cos4t - 2sin4ty (x\_ /cosSt + sinSA /cos5t —sinSA I у у \ —cosbt J I sin 5t у * ^ /^A ^ /cos2t + sin2A ^ /'cos2t ~sin2A 10. 11. 12. 13. -2' Cie-4 J'\+C2e-' X X .у, Сге^Ч Л+C2e2' Cie-^Mj +С2е-з* '-/Ь? '-;ь-/ '^ь: с, J+C2 i\V{\
128 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 14. \1 X 16. \у .Z , 17. CieM 1+С2е* 'зЬГ Cie' 4 Л i У C7ie-2* I 2 .1/ + С2е' 2f 1 V-V л ■Л + Сзе-* I 2 О + Сге' I 3 + Сзе 3t /xN у v^^ = Cie^* /-2\ 3 wy -2^ + С2е'\ 3 I + Сзе^' 18. ' X 19. I у ^0\ = Cie-2* I 1 Cie^' I 3 /-1' + C2 2 \2У /-1 1 V 1 I + СзеЧ 0 4 / I Зу 4i /. 20. V 'x\ 21. I У 7 22. I у 1/ - Cie2' I -3 -1^ + C2e + ^26* 1 VV /o -i\ + Сзе'' 2 1 I + Cгe^^ 0 V /-1 = C7ie* I -1 +C2e4* 1 | + Сзе^* V 2 Cxe 3t 1 I + ^26^* /l\ 1 V-V / + Сзе2Ч \ 23. -C7ie2* I 3 I +C2 1 I + Сзе \2 3^
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 129 / 2sint + cost — sint 2sint
130 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 34. \ 35. L vJ 36. L Cie2*| О I +С2е2* / 4cosf V- -3cost /-4sint^ cost 3sint Cie- l\ V /cos t — sin t\ + C2e* V cost sint /cost + sint\ + Сзе* / v sint - cost / / 4cos3t-3sin3t -2cos3t~6sin3t I + У 5 cos 3t / 4sin3t + 3cos3t + Сзе^ —2sin3t H- 6cos3t 5 sin 3t — sin Л 37. 38. cost + Сзе* I sint I . sin t, 1 VJ cos 2t \ + C2e-^^ I cos2t + sin2t 2 cos 2t + sin 2ty + / -4t 39. + Сзе / cos 3t cos3t-hsin3t I + \2 cos 3t + sin 3t^ sin2t \ sin 2t — cos 2t y2sin2t-cos2ty / -hCse' sin3t sin 3t — cos 3t \^2 sin 3t - cos 3t^ 1^ cos2t \ 40. = Cie-4* 1 +C2e-^* cos2t + sin2f 1/ y2cos2t + sin2ty +
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 131 (sin2t \ sin 2^-cos 2^ . 2 sin 2t - cos 2tJ X 41. \y = C le -2t /l\ / cos2t 1 +C2e^ cos2t + sin2t | -f \lj y2cos2^ + sin2t^ +Сзе^ / sin2t \ sin 2t — cos 2t \2sin2t - cos 2tJ X cos 2t -f 3 sin 2t \ 42. U =Cie-34l +C2e 3-2t 5sin2t + ^3 cos 2^ + 4 sin 2t) -2t 'x\ 43. I у Cie* +Сзе —3cosi + sinA 4 cos t + 2 sin < 10 cos t J I 3cos2f-sin2f \ 5 cos 2t ^4 cos 2t - 3 sin 2y + — cos t — 3 sin < +Сзе-2' I -2cos< + 4sin< 10 sin t 44. (x\ У Л 45. I у = Cie* -n.^t in Л sin + Сге' I cos t cost J + Сзе* Cie' 46. /A 0 VV /l\ / 2 cost \ 0 + C2 -2 cos f У0 / \ cos t — sin tj /—cos Л sin t у sint J 2s'mt + C3 I -2sinf cos t + sin f, - Cie2* I 2 I + C2e2« / cos t — sin t \ 2 cos t — sin t 2 cost V COS t + sin t \ + Сзе'^^ I cost + 2sint 2sint J
132 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 47. - п., ^-2t = Cie 2\ -V ^4 cost -3 sin Л + С2е~^ I 2 cos ^ - sint —3cos^ -Ь 3cost -Ь 4sint Ч-Сзе"^ I cosi + 2sint —3sint i\ 48. I V (x\ 49. у \z} I 50. 51. = Cie* 0 ■1 /cos i — sin t + C2e 2t cost. I +Сзе2* — cosi l\ = Cie-* 0 .-V 4cost \ + C2e~^ I sint -3cost У cost + smt\ sint — sint -4sint\ + C^e ^ \ cost 3sint -l\ / -2sint \ / 2 cost \ Cie'^ \ 0 +С2еЧ 2 cost-sint +СзеЧ cost 4-2 sint 2 I \ cos t + sin t I \ sin t — cos t I Cie^ /o\ \1/ -f C2e^ / -2sin2t cos2t I + \^3 cos 2t -f 2 sin 2t^ +Сзе^ / 2 cos 2t \ sin2t y5sin2t-2cos2ty — cost — sint -fC2e~^| cost +Сзе-Ч sint |. — sint/ \ cost cos t\ + C2e-^^ 2 cost sin int \ sin V + Cze-^'- \2smt cost + С2ё At 0 I + Сзе^'
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 133 55. \у\= Cie (l\ 1 \v + Сзе* t (Л м^ о; /о\1 0 1 \2/\
134 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 65.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 135 +Сзе-' *1 2 /1 2| + /5^ 75. \у\ =Cie24 О I +С2е2* Г г (Л oU f'^il 1 [ v-iy Voyj +Сзе2' |;f;i v-v + ^2\ + i I 1 .0/ + 1-2 'l\ 76. \y\= Cie-' 2 + C2e -t /l\ L VV +Сзе-' /l^ 1 WJ + t' 77. VV = C,e-3* 'l\ .V + C2e-3* ' f Л\ 2 Ml + i;o [ w VJ\ +Сзе-з* Ч 2 L \ 'l\ .V + /l\ *lll + .0 0 \0у ж 78. I у I = Сге' 3 + C2e* ■l\ t I 3 X ' -l\ 79. I у I = Cie2' I 1 +Сзе' /-1 + 1-1 -Л <^ / + + t\-l\ + 2 0 + C2e 2t 1 1 + V3 /-A 1 \2/ +
136 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений +Сзе 2t -1 -1 1 \+t\ 1 + О \1 80. \у\ (Л е' 1 W + С2е« t (Л 1 v) + /з\1 2 WJ + +Сзе* /А 1 VV + t /з\ 2 VV + /6\ 2 V-V 81. у = Ci /-2\ 3 + С2 -2\ /-1\ i I 3 + 2 I + /-2\ +Сз i^ 3 + ^ ' ■) • (■ ^ X' 82. 1у -Се -2t О V-V + С2е-2* i I О -V + 1 + +Сяе-2« f^ 83. /х\ VJ = Cie 2t 0 I +C2e2* 0 -V /-Л /o /i 0 + L \4/ +Сзе2* + i + -jn"f f2 2 /-l' 'o\ 0 +Ч 1 4} \0J ■l\ + \ 1 3 /J 84. = Cie -2t 2 1 + C2e-2* H 2 I + 0 VV +
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 137 +Сзе- -2t -i\ i\ + и, 85. 86. \t (-2\ 1 [ч + ("М ч W /-А 1 \2/ + +Сз f 2 + t 1 \2/ + 2 \ + С2е-' / /з\ 1 Iv + Сзе-' i /з\ 1 Iv (Л] А'\\ W + Сзе + Сзе х\ 90. I у 91. = Cie' О + С2еЧ 1 I + Сзе' W U /х\ у \^^ = Ci л\ 0 1^; [ (') \t 6 [ W + /l\l 1 WJ 92. У v) - Cie3' I О I + C2e^^ /з\ 1 v) + СзеЗ' [ (Л til w + Ml 0 wJ
138 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений /. 93. = Cie' 2t 94. /х У (х\ 95. у v) 96. \у /з\ О VV 'Л Ci |0 + С2е2' 4 VV + Сге 2t 'Л + + С2 -3 2t Cie = Cie3* h О +C2e2* VV + Сз M4 / 1 \ /l\ 0 -3 + 0 2 I + Сзе2' \1, + -1 + C2e' зг И -11 + +СзеЗ* i^ 'Л П 2 V /-1 2 ^ 3 -1 I +t О + /-А 2 /-1^ + ' X 97. |у -г, /1 = Cie 3t -2 I + Cse^* 1 + +Cze zt -2\ +t /l\ -1 V-v ^-i\ + 1 2 98. У = Cxe -at 1 I + C2e-3* Vi. /0> 11 + /l^ Vb + +Сзе -3« /0\ 1 VV + t (:)•(■) 99. I у = Cie2* I 0 + C2e' 2t 'l\ По 2/ ^0\ + |1 .2/J +
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 139 +Сзе' 2« 'о\ о +н 1 + kV (-i\ \Ч\ 'х\ 100. I у Z = Cie2' I 2 I + С2е2' X 101. I у z = Cie- + С2е 102. \у ,z /-2' \^-3t Cie 1 I + Сге-з* \3 /о\ 1 ч + (-Л] " U; Cie-2* I О I + СзеЗ' -1 V-V
140 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 110. X 111. I у 112. I у I Z = Ci = Сх I cosSt \ / sin3t \ /-Л cos 3^ +sin 3^ М"^^ cos3t-sin3t + Сзе-Ч 1 у2 cos 3t -f sin 3tJ ycos 3t-2 sin 3tJ \l J :os 5t \ cos ^ ' ) ( 1 2sin5i И"^Ч 2cos5i +^36^ \^cos 5t + 2 sin 5^ / \ 2 cos bt — sin 5w / -cos4t \ / sin4t \ /-1^ V = Cie -t I sin4t \^3cos4t - sin4ty sin4t + C2e~^ cos4i ~ cos 4^-3 sin Mj + 113. = Cie' 2t / -cos2i \ / sin2t -cos2^ + sin2t Л-С^е^^ cos2t + sin2i | -f y 3cos2t у у -3sin2t {Л +Сзе-' О \2/
11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 141 114. 115. / У V/ — COS 3^ \ sin 3t \^2 cos 3^ + 2 sin 3tJ ( - cos 4t \ sin3t + C2 cos3t 2 cos 3^ — 2 sin 3t / Л-Съе' I 0 Cie 2t 2cos4t+ sin4t \ 2 cos 4t / / + C2e at sin4t \ cos4i - 2sin4t -2sin4i + / 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. = Cie- / - cos At \ sm4i у cos 4i + sin At J + C2e -t +Сге \ -2t 2 1 sin4i cos4< \ cos At — sin At I + +Cse уУ) ^yj <yj X кУу ^Уу ^x' 1 / e* + e^* e^* - e* 2 \ e"** - e' e'^' + e 3t C2. 2 1 еЗ« - е-* еЗ' + e"* C2. ,C2, -3i 3t' 2 + e-"" 1 - e 2 - 2e-3* 1 + e-3« 'C7i ,C2, 1 / 2 + 26^* 1 - e^* 4 \ 4 - 4e^* 2 + 26^** o4t =,2t 1 -t t ' ^1 + f -t ^ < 1 -t.
142 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. = еЗ« 1 -t -t t l + t, C2, l + t t -t 1-t Ci. cost + sin^ -2sin^ \ [С\ sin^ cost — s'mt I \C2 .-t cos t -\-2smt s'mt = e2* I 5 sin t cos t — 2 sin t cos3t — sin3t\ I Ci\ Сг C2. \ sin Zt cos 3t cos ^ — 2 sin t —5sint / cos t — sin i [Czj' sint cos t + 2 sin t Сг C2. = e —2sini cos t + sin t sint sint cost -f sint —2sint cos t — sin t Сг' 'c: C2. 1 0 л 0 e* 0 0 0 l) I (^Л 1 ka ' \4 /e^* + 2 e^'-l 0 \ 2e3* - 2 2e3* + 1 0 0 0 3e3« 1 1-e- r.-t -* 1 + te-^ l-(t + l)e-' 1 (H-«)e-*-l (t + 2)e-'-iy (Сг\ \C,J \l + t)e^ 0 -te^ 1-е* 1 e* - 1 te* 0 (l-<)e*
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 143 136. / 1 О А 1 - е-* е-* t ^ О Q l) \у ' U/ 1-1/ \-10sm< + 14cost 138. 139. X X ' ^t С\е 2 cos t — sin f cosi + 0-26* = Cie -6t + C2e -t -1 + cos t + 2smt sini ^30< - 29\ 28 - 24i ] ■ + 140. a;\ _ _^ I sm4i —cos4i \ ^ _W sm4t + cos4t \ /e .y)~ ^^ lsm4<-2cos4J ^^ I cos4t + 2sin4i / U ,^, (a;\ _/ sm3< \ ^ I cos3t \ 141. = Ci + <^2 + \y I \ 2sin3t — cos3t I \2cos3< + sin3t I + 21e' - 15t , 45e* - 30t + 5 , 142. a; Cie-« _M + C2e-4* 'UbU -r^-'r. 143. Cie-M ^]+C2e-' ^1И-: + 7e2* + 4<2 - 16t + 28 -7e2< - 5^2 + 22f - 39 , 144. a; Cie 2t + C2e-* „ + e-* l-2< 145. X = Cie4\ +C2e -t 1 \ 1 t(e* - e-') -1/ 2 U* + l)e'+ (t - l)e -« 146.
144 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений \у1~ 4sin2^-3cos2iJ "^ ^ \^3 sin 2i - cos 2у "^ At cos 2t + 12 2 -(l + 2i)sin2i--(l + 6i)cos2i 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. Cie- -2t r + Сге-* I : 1 + е-' -I5t ^'^"r:h<:hnrj ""^ Cie-MM+C2e-' '^Al + e -t 'e-t' 2f , cJ-:).c.,-;)..-zr C7ie3* r + СгеЗ' 'CbJ — e зг i2 + 2i + 2^ = C7ie4 l+Cae* 'lb" Cl 2 cos 3t cos 3^ + 3 sin 3^ ^ + C2 + cos 2t 2 sin 3^ ^ sin 3t — 3 cos 3^ , 4-e^ у I \cost — sint I {cost -\- smt I \ 1 'Шч: -Л Cie'' 0 + C2e' 2i / COS t \ — sint y—2 cost J + C'se + t ^2t — sint cost sm t \ cost -2suit I + /-3\ 1 \4
11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 145 'х\ 158. I у Z ' X -Л 159. \у\= Cie* 1 + С2е' + С2е- 160. У vl = Cie -2t 1 v-v + C2e Л 161. I у Ч (x\ у VJ /x\ У VJ ' ^-t C\e h I v) + Cae' /Л 1 [v + Сзе* [ (Л til w + /o\l 1 wJ + smt 0 162. 163. 'l\ = Cie'^ 1 .V + C2e' I 2 cos i I +Сзе* sin t l\ = Cie-'' -1 + Сге- Л 164. у 165. (Л у V/ Cie - г, ^-2t Cie 1 /A 0 + C2 + C2e* /A 1 VV /l\ /o + Сзе 2t + \2/ \1/
146 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 166. 167. Ч-Сге' + C2e-^ 168. 169. 170. х\ у У = С7ге2' /2\ 0 v) X X +Сзе-* + С2е* I 1 I +Сзе^ |f I 1 I + I -1 '^i^ - 20t - 79\ + I 6*2 - 19t - 46 ^if - 16t - 30y M /Л /Ce2*-4)ln(H-e-*)-3e' + |^ С\П+^2в2* + VV VV \^(Зе2'--2IпA+е-')-Зе* + |У ^'' I 2 )+^4 1 ) + l-4e4n(H-e-*)-31n(l + e'))- 171. X /cos4t+ sin4*\ / cos4i - sin4< \ / + : (sin4t - cos4t)ln v COS 4t • In I 1 1 + sin4t 1 - sin4t 1 Ч- sin 4t -2 1 - sin 4t / 172. д: = (Ci + C2) cos 3^ + (Ci - C2) sin3t + :^—[2sin3t + cos 6t(sin3^ 6 cos^ 3t cos 6t ~ COS 3^)], у = Ci sin 3t + C2 cos 3t — 173. X 6 cos 3t Cie^(cos2t + sin 2^) + C2e\cos2t - sin 2^) + te^(sin2^-
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 147 -cos2t)-h ~e^(cos2t+ sin2t)ln|sm2t|, у = e^(Ci sin2t-f C2 cos2t)-f H-~e4in2tln|sin2t] - te^cos2t. 174. a; = (Ci + Cit)e-^ + te-*(ln|f| - 1), у = CiBf + l)e-* + 2026"'+ +e-'Biln|t| + ln|t|-20- 175. X = -Ci(f + l)e' - Cae* + ^<\/<e', у = CiBt + l)e* + 2С2еЧ О + (^V^-^f\/<je'. 176. ж = -Ci[t + 1) - C72 + f + ^<^ - U + )f\ \nt,y = Ci{2t + 1) + 2C2- 3 -t- -t"^ + {t + t'^)lnt. 177. a; = 2Cie'-C2e3* + e4n(l + е2*) + ^е^*1пA + e'^'), у = -C7ie4C2e^*- -ie*ln(l + e^*) - ^e3*ln(l +e-2*). 178. X = -2Cie2* - C2e* + 5еПпA + е') + 4e2*ln(l + e"'), у = SCie^^ +2C2e* - lOe* In A + e*) - lOe^* In A + e"*). 179. ж = 2Cie-2* + C2e^^ + 2e-2* In A + e^*) + 26^* In A + e"'"), у = ^е-'^Ч +C2e2* + e-2* In A + e^*) + 26^' In A + e-^'). 180. X = 2Cie-2' + C2e-' - 2e-2* - e-24n(l + e-^*) - 2e-*arctge', у = 5Cie-2* + ЗСге-' - бе-^' - ^e'^' In A + e'^') - бе"' arctg e'. 181. .-E = (Ci + C2)e^'cosЗ^ + (Ci - C2)e^*siпЗi + e^HgZt{s\nZt + cos3t)+ 6 e COS 6^ + 7^^ ^r—(sm3f-cos3t), у = C]e2*sin3< + C2e^'cos3< —. 2cos'^3< cos3t 182. X = 2C7ie4C2e-244e'-arctg еЗ*-2е-2' ln(l + e'^'), у = 3Cie'+2C2e-2*+ +6e' arctg e^* - 4e-2* In A + e*^'). 183. a; = -2Ci - C2e' + 41n(l + e*) + 5e4n(l + e-'), у = 3Ci + Сге'- -61n A +e*) - 5еЧп A +е-*). 184. a; = Ci + Сз* + jt'^{2\nt - 1), у = 2Ci + C2{2t + 1) + ^<2B1п< - 1).
148 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 185. X = -Cicos4t - C2sin4^ - sinSt - - In 1 -h cos 4t 1 - cos 4t 1 +C2)cos4t+ BC2 -Ci)sin4t + cos8^ + 2sin8^- -In +2sin4t). sin 4^, у = BCi + 1 + cos 4t I 1 - cos 4t (cos 4^4- 16 5 2 3 12 -f -t2. 15 3 186. x = Ci-\-C2t- —tl, y = 2Ci-\-C2(t-^ 187. x = y = еК 188. X — cos t, у = — cos t — sin t. 189. x = e^^ -\- te^\ у -: 2e^* + te^^ 190. re =: 2e^^ - e^ - 2e-S t/ = e^ + e"^ - Зе^^ 191. у - JEe-^ - Se^^) + te-^ t/ - \{Ъе-^ - 2e^^) + te'K 192. ГС = B - t)e^^ -e\y = {3- t)e^^ - 2eK 193. X = 3 cos t — sintH-^ — 3, t/==2 cos t -\- sint -\-1 — 2. 194. x==^4 + 5t-4cos2t + 7sin2^, у = 6cos 2^ - 4sin2t - 3 -At. 5 4 7 19 195. X = -sin3t+ -A -cos3t) -\-t,y = -sin3t-f- —(cos3t~ 1) -At. 196. a; = 1 + e* - e^', у = -i - 2e* + 46^'. 197. a; = ^e^* + le"' - ^e* - ^te', у = -^e^* - ^e'^ + 2e* + te^ 2 ' " 3 3 198. X = le-' - iBt + 7)e* + fe^*, у = -^e"* + (t + 2)e' - | 12 e^K 199. re = Ci + l)e-* + (^ - I) e^*, у = -IS^e"* + 2e2'. 200. a; = ^e"* + (* ' I) ^''' У = D* + 2N"' + Bt - ^-] e^K 201. х = {Ш- 2)e^' ~ ( 4< + Q ) ^^'' У = e^' - A + 4<)e2*. 202. a; = Je"' - B^ + l)e'\ у = Fi + 2) (e"* - e^*). О 203. ж = -e-^* - 4e-2* + Ъе\ у = -e"'^' + 6e-2* - 3e'.
§ 11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 149 31 et 29 t , 29 62 .^ 29 , , 14 30 5 5 15 5 3 205. а; = e^' - te'^^, У = {t + 1)е-4* - 7е^К 206. x={l-t- f)e^^, y = {2 + t- t'^)e^K 207. X = 15e~' - 15cosi + 16sin<, у = -15e~'+ 14cos<- lOsint. 208. x = {t + l)e-* - 2e2', у = e^* - 26"'. 209. X — e'(cos< — 3sin< + 1), у = e'(cosi — sint). 210. rr = e2* + 2е-2', у = ^(e^* - e'^'), z - ^(-e^' + Зе-^*). 211. x = 2e^-\- e2^ 'i/ - 2(e* - e^*), ^ - 2e^ - e^^ 212. X = —e~^sint, у = e~^ sint, z = e~*cost. 213. x = {l-\- t)e\ y=-{l- t)e\ z = -еК 214. X = —e^ sint, у = e^ cos t, z = e^ cos t. 215. X = te-\ у = te~\ z = e~^ 216. X = e~^ (cos t + sin t), t/ = e~^ sin t, 2г = e~^ cos t. 217. X -: te-S у = e-\ z = -{t-\- l)e-^ 218. X = -2e~* sin t, у = e~^ cos t, 2г = e~^ sin t. 219. X == 2te\ у = -e\ z = {I - t)e^. 220. X = 8te\ у = 4{2te^ - e^^ + 1), ^ - 4Be* - e^^ - 1). 221. x = z = 0,y = l -e-^ 222. X = у = 2{1 — cost), 2Г — cost + sint - 1. 223. x = z = t-\-l,y = 0. 224. a; = 0, t/ = -e^S 2г === e~^ 225. X - -C2e2^ - Caters у = 3Cie' + 4026^^ + СзD^ - l)e2^ ;^ = Cie4 +C2e2^ + Cзte2^ 226. a;i = 072 = 2:3 = C, 0:4 =^ 2C.
150 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 228. X ^ ~{3ch2t - cos2t), у = Ve{ch2t - cos2t). -|(cos2( + sm2<),z = ie-'-ie-"-le^' + iGsi„2(-9cos2(). § 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами По заданной фундаментальной матрице Ф{х) линейной однородной системы у'{х) = А{х)у[х) с непрерывной на промежутке / и квадратной порядка п матрицей А{х) всегда можно однозначно определить матрицу А{х)^ т. е. построить линейную однородную систему. Пример 1. По заданной фундаментальной матрице (cos X sin X \ составить линейную однородную систему. — sin X cos X I Л Неизвестная матрица А{х) находится из условия, что Ф{х) — решение матричного уравнения Y'{x) — A{x)Y{x). Отсюда А{х) = Ф'{х) • Ф~^{х) = = 1 1. Искомая система имеет вид y'l =У2, У2 = -У1' А Формула Л иу вилл я-Остроградского позволяет по заданному решению линейной однородной системы найти общее решение этой системы. [х\ Пример 2. Известно, что вектор-функция I 1 — решение системы {/ оч . Найти обш,ее решение системы. {1-\-х^)у'^ = -2у1-^2ху2. Л Пусть решением системы является вектор-функция с компонентами У1 = (p{x)j у2 = ф{х), причем (^@) = 1, '0@) = 0. По формуле Лиувилля- Остроградского имеем: ^{х) X ф{х) 1 1 о О 1 г 2<Ж
§ 12, Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 151 Отсюда (р{х) — хф{х) = 1 -h ж^. Подставляя выражение для (р{х) во второе уравнение системы, получаем задачу Коши для ^{х) ф\х) = -2, ^@) = 0. Следовательрю, ф[х) — ~2х, (р{х) = 1 — ж"^. Тогда обш,ее решение заданной системы имеет вид Пример 3. Может ли система < , . J^ иметь два огра- [ У2 = ж У1 + е^У2 ничейных на (~оо,+оо) линейно независимые решения? Л Ответ на поставленный вопрос отрицательный, поскольку допустив противное, получаем, что определитель Вронского этих решений является ограниченной на (—оо, +оо) функцией и отличен от нуля. С другой стороны первообразная следа матрицы системы X I о 4 4 является неограниченной на (—оо, -|-оо) функцией. Это противоречит формуле Лиувилля-Остроградского. А 1. Пусть задана линейная система у'{х) = (р{х)Ау{х), где (р{х) — непрерывная на промежутке / функция и А — чиатовая квадратная мат- X рица порядка п. Доказать, что замена t = J V^(C)^C Д21ет линейную хо систему y'{t) = Ay{t). 2. Пусть Ф{х) — фундаментальная матрица линейной системы z'{x) = B{x)z{x), где В{х) — квадратная порядка и и непрерывная на промежутке / матрица. Показать, что замена у[х) — Ф{х)г[х) в линейной системе у\х) — А{х)у{х) с квадратной порядка п и непрерывной на / матрицей А{х) дает линейную систему вида z'[x) = ф-\х)[А{х) - В{х)]Ф{х)г{х).
152 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений В задачах C—9) исследовать линейную заврюимость вектор-функций на (-оо,+оо): sh ж \ I chx ch ж /' \ sh а: 2х' 2х 5. е^ cos ж smx — sin X COSX' — sin 2х —2 cos 2х. В задачах A0—18) по заданной фундаментальной матрице Ф{х) найти матрицу А{х) линейной однородной системы у'{х) = А{х)у{х). 10. Ф{х) = 12. Ф{х) = 14. Ф(ж) = 16. Ф{х) = 18. Ф{х) = 1 -х\ X 1 j е" О е cos з; — sin х е sin X cos ж и. Ф(х) = L',. f 13. Ф(ж) 15. Ф(х') хе^ ё^'^ ch X sh ж , sh ж ch ж , ж ж^ 1 2ж , ж > 0. 17.Фм= ;, М,х.>о. е ^ + X 1 же В задачах A9—23) но заданному решению у{х) линейной однородной системы найти фундаментальную матрицу Ф(х) этой системы: 1 19. у{х) IX у[ У'2 1+ж4 1 1+ж4 Bж'^У1-2жу2), Bжу1 +2х^у2).
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 153 20. у{х) = 21. у{х) = 22. у{х) = 23. у{х) = X 1 / е- \ f ^1--Bх + 1)ш+2у2, ^е-A + х)у ' \ у1, - (-2Х-2 - 2х + 1)у1 + Bх + 1)у2- ' е--- \ Г у; - A - 2:с)ш - 2^2, ^е-^-A - •^•)У ' 1 ^2 ^ B:^'^ ~ 2х- - 1)ш + [2х - 1)у2. — sinxM J ^j — 'У1 cos"^ X + (sinxcosa: — 1)у2, cos .т у ' I ^2 ~ (^^^ ^' ^^^^ ^ + 1)У1 + ^2 sin^ X. 24. Пусть квадратная порядка п матрица А{х) непрерывна на промежутке / и при всех X G / перестановочна со своей первообразной, X X т. е. А{х) • ^ A{QdC, — ^ A[QdQ-A[x), где хо Е /. Доказать, что XQ ХО тогда фундаментальной матрицей Ф(х) линейной однородной системы у'[х) — А(.т)у(а:) является матрица ф(х) =: е^о 25. Пусть квадратная порядка п и непрерывная на промежутке / матрица А{х) = HJ{x)H~^^ где J(x) — жорданова и nenpepi^iBna на / матрица, а Я ~ числовая невырожденная порядка п матрица. Доказать, что матрица А{х) перестановочна со своей первообразной на промел<утке / и что на / фундаментальной матрицей системы у'{х) — А{х)у{х) является матрица Ф{х) = Яе^о Я~\ XQ е L Используя результат предыдущей задачи, в задачах B6—37) найти фундаментальные матрицы Ф(ж) линейных однородных систем. I '^2 == ~У1 + Bх- + 1)у2- I ^2 ^ -У1 + A - 2хJУ2.
154 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 28. 30. 32. 34. 36. y'l = Bх + 1)у1 + у2, У2 = -У1 + Bа; - 1)У2- у[ = -B + sina;)yi + 4у2, У2 = -У1 -yasinx. y'l = A -sma;)yi +у2, У2 = -У1 - A + 8тж)у2. y'l =yicosa;-y2sinx, У'2 -yi sin а: + у2С08Х. y'l -2ху2, У2 = -2ху1- 29. 31. 33. 35. 37. у[ = (со8х-2)у1 + 4у2, У2 = (-ЗУ1 +5у2)с08Х-. y'l = B + cosx)yi +У2, У2 = -У1 + (С08Ж- 1)у2. y'l =yismx -у2С08х, 'У2 -7/1 COSX + ?/2sinx. У1 = yis'mx + y2Cosx, У2 = У1 COS а: + у2^\пх. у\ = Зх'^У2, у2 ^Зж^уь 38. Может ли система y'l У1 + A + xfy2, У2 = У\ In \х\ - Ау2 иметь 1+ж2 два ограниченных на (—оо, 0) линейно независимые решения? yi 39. Может ли система yi = 5" — ^У27 Уо ~ У1 ^g^ + Зу2 иметь два 1 — х^ ограниченных на (—1,1) линейно независимые реи1ения? 40. Пусть Ф{х) — фундаментальная матрица линейной системы у'{х) — А{х)у{х)^ где А{х) — квадратная порядка п матрица с непрерывными на (—оо,+оо) элементами aij{x), причем aij{x-}-w) ~ aij[x), W J aij{x)dx = aij^ i^j = l,n, г^; > 0. Доказать, что x->-|-oo X Ответы к задачам § 12 3. Линейно независимы. 5. Линейно независимы. 7. Линейно зависимы. 9. Линейно независимы. 1 1 "' lim - In I det Ф(х)| = — У^ ац. ->-|-оо X W ^^-^ г=1 4. Линейно зависимы. 6. Линейно зависимы. 8. Линейно независимы. 10. 1 X 1 + Ж^ \ 1 X
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 155 ^^- 1 + а.-4 -2х 2x4' 13. 15. 17. 19. 21. 23. е^A + а;) же ^ cos^ X sin о; cos ж — 1 sin X cos X + 1 sin'^ x 14. 16. 18. 20. 22. 26. e^ 28. e^ 29. eSinJl-2- 4x 30. e(—1)^-2^ '^ У -X 1 + 2x / \^ -X 1 + 2x^ 32. e(cosx-i)(^ + l X \ \ —X 1 — Xj 33. g(i-cosx) Z' ch(sinx) -sh(sinx)\ I—sh(sinx) ch(sinx) J 34. gsinx /^ ch(l-cosx) -sh(l-cosx)y \—sh(l~cosx) ch(l—cosx) / 35. g(i-cosx) Ah(sinx) sh(sinx)\ \ sh (sin x) ch (sin x) у I chx^ -shx^\ fchx^ shx^\ \—shx^ chx^ / ' Ishx^ chx^j 38. He может. 39. He может.
Глава 4 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых пололсений равновесия Для автономной системы второго порядка i X = fi{x,y), с непрерывно дифференцируемыми fi{x,y), /2@;,?/) в некоторой области G С Rfj^y) положение равновесия (ai,a2) называется грубым положением равновесия, если матрица линеаризованной в точке (ai,a2) системы имеет такие собственные значения Ai, Л2, для которых Ai т^ А2 и ReAi ф О, ReA2 7^0. В окрестности грубого положения равновесия автономной системы поведение фазовых траекторий качественно одинаково с поведением фазовых траекторий линеаризованной в этой точке системы. Пример 1. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия для автономной системы Г X = х-у'^, [ у = х^Л-г/ -2. Л Приравнивая правые части системы нулю, находим положения равновесия A,1) и A, —1). Рассмотрим сначала точку A,1). Для дальнейшего удобно ее преобразовать в начало координат. С этой целью сделаем замену переменных
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 157 X — 1=и, у — l=VB заданной системе. Система примет вид и = и — 2v — v^^ для которой точка @,0) ~ положение равновесия. Линеаризованная в точке @,0) система имеет вид й — и — 2v^ V = 2и + 2v. Находим собственные значения матрицы этой системы 1 -2 2 2 из уравнения 1-А -2 2 2-Л А^ - ЗА + 6 - 0. Так как собственные значения Ai^2 — -C±i\/i^), то положение равновесия является неустойчивым фокусом. Следовательно, кроме положения равновесия @,0), остальными траекториями являются спирали. Для определения направления движения по спиралям при t -> +оо достаточно найти вектор фазовой скорости а линеаризованной системы в какой-нибудь точке. Например, в точке A,0) вектор скорости а имеет координаты A,2), Следовательно, при t —> +оо движение по спиралям направлено против часовой стрелки. Поведение фазовых траекторий в этом случае схематически показано на следуюш,ем рисунке.
158 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений Для другого положения равновесия A,-1) замена переменных х — 1 = = и, у -\- I = V дает систему вида и V ■ u + 2v 2и -2v Л-и^ Л-v^. Линеаризация этой системы в точке @,0) имеет вид й — и Л- 2v^ V — 2и — 2v. Собственные значения матрицы этой системы находим из уравнения ll 2 -2-А - А^ + А - 6 = 0. Получаем Ai = — 3, А2 = 2. Так как Ai и А2 разных знаков, то положение равновесия @,0) является седлом. Для того, чтобы нарисовать картину поведения фазовых траекторий, осталось найти линейно независимые собственные векторы hi и /i2 для Ai и А2. Для Ai = —3 собственный вектор
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 159 /ii = ( j, а для А2 = 2 собственный вектор /^2 = I 1 • Известно, что в случае седла траекториями являются гиперболы, для которых прямЕ^ю, определяемые векторами /ii и /i2, служат асимптотами. Лучи этих прямых тоже траектории. Поведение фазовых траекторий в этом случае схематически показано на следующем рисунке, где стрелки указывают направление движения по траекториям при t —> +со. Пример 2. Для уравнения х-\-х^ — е~~ = О найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованного уравнения в окрестности положений равновесия. Л Введя обозначение .т = у, преобразуем уравнение к системе По определению положениями равновесия и фазовыми траекториями заданного уравнения являются соответственно положения равновесия и фазовые траектории этой системы. Приравнивая нулю правые части системы, находим пололчение равновесия A,0). Перенося начало координат в
160 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений положение равновесия A,0) с помощью замены х = и-{-1, у = v, получаем автономную систему и — v^ о 4и i) z=. -(n+ 1)*^ +е ^^+i Разлагая правую часть системы по формуле Тейлора в окрестности (О, 0) и ограничиваясь лишь линейными членами разлол<:ения, получаем линеаризованную систему вида Матрица этой системы 1 имеет собственные значения Ai — = — 1, Л2 — — 3. Соответствующие им линейно независимыми собственными векторами являются hi Положение равновесия @,0) линеаризованной системы ~ устойчивый узел. Поведение фазовых траекторий схематически показано на следующем рисунке, где стрелки указывают направление движения по траекториям при t -> +00.
13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 161 Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия для автономных систем A—52): 1. У = arccos {х — х^) — 2. i =:1пA -у), У = ^х — 4у -\- X — 2. 3. < х = In A -Ь х/1 + 4у - у^) - In 2, 2 4. у — — arctg {х Н- ЗуOг -Ь 2 — у. 7Г i==lnE-2x-2y), у - е-^ - 1. 5. i == sh(y — x^ — х), у = Зх — х^ — у. 6. х = 2x + y^ — 1, у = sinx — y^ + 1. 7. .т == 1п(х Н- у), у = х^ Н-у^ - 1. 8. X = Зх^ - ху Н- 2, у = х^ — X — 2.
162 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений X У X У X У ^Ji х^ + х-^2у^ - 2, х-{-у^. = е —4х _ 1 i = ж^ - у, у = 1пCа;2~1)~1п2. у = 1п(ж^ -1-2/) ~3у. X у у{х-2у-6), \п{х-2у). = arcsin (ж^ — 2ж — у), = ln(l-x4)- а; = arctg (ж^ - х + у), 1пA -|-ж2-|-За;~у). i = shy, у = е^- 1. X у sh(x~y), -{^ 2/^ - J/ - 2, у = -ху - Зу2 - 2. 12. i = 2а; — J/ — ж^, у = х/ГТ1^ - v'l + 2ж + 2у2. Ч: с = -3 + 2а; + у, arctg (а;J/). i = 4 - а;Cу + 2) - 9у\ 16. < . , 1 + а; у = In- 18. I: 1-2а; = За;у, 20. < 22. X = Ьх — 8у + 3, 2/ = In-. j.^g-sh(i+y) _2^ у = 2ху + X - у. 24. {: - = е^ -у- 1, = ж4-1пA 4-у). ( х = 1пA-|-д,'-|-4у), I у = arcsm I ж -|- у ——• I. 28. у = arctgl 4ж~у- — 1. 27Г -h arcsin (y^ + 8 -I- sin x) -f 2y -I- 4 — Ssinx. i = 7Г -I- arctg (ж^ - 8 - tg y) - y, у = 2x-|-12tgy-4. i = In {x^ - 1 - 6e^) ~ y, у = 4ж — 4e^ ~ 4. = >/y^ — 1 — 6x2 _ дг.^ ^ = v/2y'^=^ - V2x^ ~ 1.
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 163 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. { 47. < 49. 51. X = shBa; + у — ж^), у = 1пA + 3ж -ж^). i = 1пB - ж -h у), у = X — у — е^^^ ~^К х = 4д: 4- 22/ — 4, 2/ = —2ж — ху. i = 8 -h 42/ - 2x2/, у = х^ — 4у^, X = ei-2^-32/ 4- ж, 2/ = arctg (ж'^ — 1). а; = е а: — X, у = arctg (.т^ — х). х = д/1 -h 2ж - 52/ - 1, (ж 3 о г. \ i = a:^ — 2/? 2/=^ In Bx^-1). i = 2 - 2vTTxTy, 2/ i = arcsin 2 f ^ 2/ = 1 - 4a; -I- З2/. '). 34. 36. 38. 40. 42. 44. 46. 48. 50. 52. X = arctg (a; - 2/ "" 4), y = 2x-2y- 4v^x2 - 1. i = 1 ~ 2ж — 2/^, 2/ = -1 - 6ж -f 2/^. i = ж^ — 42/^, 2/ = 2 - 22/. i = ^7ж -I- 2/ + 2/ - 2, 2/ = "-ln(l -I- a;). i= -д/4-б2/-4уЗ - 1, 2/ = In (ж^ - 7y) + 2y. 2/ = th{2-{-x-x^). X = arctg (ж — 2/ ~ 1)? y= ^Зж2 + Зу-2~-1. ж = ж — 2/ , у = arctg A ~у2). X = 1 - х/ГГ2у, 2/ = sin(Vi-y - 1). X = 2{у/х-у- 1), 2/ = sh(a;-|-y - 1). Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованного уравнения в окрестности положений равновесия для уравнений E3—82): 53. i -h i = In A - Зж -4- ж^ - i). 54. ж -I- i -I-1 = ^1 -h x -h ж^ - i. 55. i-l-ж? = e"""^. 56. i-h3i = ln(i + x^). 57. x + 2x + x-2x'^ + 1=^0. 58. i - 4i -I- 2^2 - x - 3 = 0.
164 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 59. ж - A Ч- i)^ + ж^ = 0. 60. ж - е^^ - ж^ = 0. 61. 2i + 5sini-h л/1 Ч-4ж- 1 =0. 62. X — arcsin {х — 2i) -|- 71п A — ж) = 0. 63. X cos i — 4 tg xyj\ — sinx -f Зж = 0. 64. i~e^^-^^-|-21n(l-x)-|-l = 0. 65. £-|-tgBa:-|-6i) ~31n(l-a:) = 0. 66. i + ж^[1 + In A -I- 2x)\ = A -I- 2iJ. 67. ж -f 2e^ - x^ cosi = 3. 68. x + B -f .т)^ arctg.T + x? = 1. 69. i = 5 arctg {x - 1) + 4e^ sini. 70. i = Ci ~ 2x)e^ . 71. i -I- Di -I- 3x)e^' = 0. 72. ж - (i -I- 4x)^ + 2i -f 1 - 0. 73. i-i~x[arctgDi)-2] = 1. 74. 3i-|-3(x-3) sin Bi)-5x^4-5 = 0. 75. X -I- 4i - In [ i - 2x -I- - J = 0. 76. x -I- In A - 2x) -h 2 arctg x = 0. 77. X -I- \/5x + 5x -I- cos x = 0. 78. x == 3 arcsin x - 2 In 1 + x 3 — X 79. X + 3x - 4x -I- 2x2 = 0. 80. x - 5x - 6x -I- Зх^ = 0. 81. X + 5x -I- 6x -I- 2x2 = 0. 82. x - 3x -I- 4x - 4x2 == 0. Ответы к задачам § 13 Примечание. В ответах даны координаты положений равновесия и их тип. В случаях узла и седла указаны собственные значения Ai и Л2 и соответствующие им линейно независимые собственные векторы /ii и /i2 для матрицы линеаризованных систем. В случае фокуса знак О означает движение против часовой стрелки по траекториям при t -> +00, а знак О означает движение по часовой стрелке по траекториям при t -> -Ьоо. Данных ответов достаточно для изображения фазовых траекторий линеаризованных уравнений и систем в окрестности положений равновесия. 1. (-1,1) — седло, Ai =: -1, Л2 = 4, /ii = ( J, /гз = ( J.
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 165 2. A,0) — устойчивый фокус, О. 3. (—6,2) — неустойчивый узел, Ai == 1, А2 = 4, /ii = I 1 Ь ^2 = I ^ ) • 4. @,2) — устойчивый фокус. О; B,0) - седло, Ai = -2, А2 = 2, /11 - Г j, /12 = f М. 5. (О,0)-седло, Ai--x/3-l, А2-\/3-1,/ii- ( ^-J,/i2- ( J^J; A,2) — устойчивый узел, Ai = -2+\/2, А2 = -2-\/2, hi = i ^ J, /12 l-x/2 • 6. @,-1) — неустойчивый фокус. О; ((у /r \ /9-1- /r\ 1 , /i2 = ( ^ 1 • 7. @,1) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 == 3, /ii = I п Г ^^ ~ \ о )' A,0) -седло, Ai - ^A - х/13), А2 - ^A + \/l3), /ii - I ^\^\ 8. (—1,-5) — устойчивый фокус. О; B, 7) — неустойчивый узел, Ai = 2, А2 = 3, /ii = I r> Ь ^2 == I . 1 • 9. (—1, —1) — устойчивый фокус, О; (-1,1) — седло, Ai = -2, А2 = 3, /ii == I _i 1' ^2 ^ [ i I • 10. E,-1) — неустойчивый фокус. О;
166 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений (—7,2) — устойчивый узел, Ai = —2, А2 = -3, hi = i j, 11. @,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, /ii = I 1 I' ^2 = I ^ ); A, -1) — седло, Ai = -e, A2 = e, /ii = ( 1, /i2 = ( J. 12. @,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, A2 = 3, /ii = I j, /i2 = I I; A,1) — седло, Ai = --T^, A2 = -^, hi= I ^ I' ^^г = I _^ I • 13. @,-1) — устойчивый фокус, О; @,1) — седло, Ai = -4, А2 = 2, 14. @,3) - седло, Ai = ~1, А2 = 3, /ii = ( М, /i2 = ( J j; ( 2'^) ~ неустойчивый узел, Ai = -, A2 = 2, /ii = ( _-. 1 > ^2 = ( ^ 1 • 15. A,1)— неустойчивый фокус, О; (-1,1) — седло, Ai = -3, А2 = 1, /ii = ( 1 )' ^2 = ( _i 1 • («•!) 16. I 0, - 1 — устойчивый фокус, О; (О, -- j - седло, Ai = -6, Аз = 6, /ii = I ^ j, /12 = -1/ \1 17. A,0) - седло, Ai = -3, Аг = 1, /ii = f _g j, /i2 = ( J
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 167 18. A,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, /ii = 1 1 Ь ^2 = I ., 1 • 19. A,0) — устойчивый фокус, О. 20. A,1) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 = 3, /ii = 1 1, /i2 = I 1. 21. @,0) - седло, Ai = -\/2 - 1, A2 = v/2 ~ 1, /ц = [J_X ^2 = B — \/з\ 22. @,0) — устойчивый фокус, О; A, -1) — седло, Ai = -\/2, Л2 = \/2, /ii = ( ^ _ ^ 1 > ^2 = ( ^ , j ) • 23. (-1,-2) — устойчивый узел, Ai = -2 + \/2, Аг = -2 - \/2, hi = (О,0)-седло, А1 = -ч/3-1, А2 = л/3-1,/11= l\A,h2= l^V 24. @,0) — неустойчивый фокус, О. 25. @,0) - седло, Ai = -1, А2 = 1, /ц = ( М, /12 = ( J '■('-i)-" 26. ( 3, — - ) — неустойчивый фокус, О; @,0) — седло, Ai = -1, А2 = 3, /ii = { I, /i2 = 1 27. @,0) — неустойчивый фокус, О;
168 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений (-1,-1) - седло, Ai = -\/2, Л2 = \/2, /ii = { i + х/2 )' '■('■D- 28. ( 3, 7 1 ~ устойчивый фокус. О; 0,0) - седло, Ai = -5, Л2 = 3, /ii = { ], /i2 = ( |. —27Г, —2) — неустойчивый фокус, О. 2,0)-седло, Ai = -2, А2 = 10,/11- B)'''2- ]1у 2,7г) — неустойчивый фокус. О- 1.2) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —5, hi = \ \ ^ h2 = \ VJ VJ 0,0) — седло, Ai = -1, Л2 = 3, /гх = ( 1, /i2 = I 1; 3.3) — устойчивый узел, Ai = — 1, Аг = —3, /i.i = I « 1 > ^2 = I 3,-7) — устойчивый фокус, О; 3, -1) — седло, Ai = -2, А2 = 1, Л,1 = ( о )' ^2 "^ ( п )" 1,0) — устойчивый фокус, О; -1, -2) - седло, Ai = -4, А2 = 2, /ii = [_ j, /гз = I 1. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 0,-1) — устойчивый фокус, О; ;0,1) - седло, Ai = -4, А2 = 4, /ii = ( J, /12 = I _^ 0,2) — неустойчивый фокус. О;
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 169 B,-2) - седло, Ai --2, Л2 = 4,/11 = f _М,/i2 - (М. 38. (—2,1) — устойчивый узел, Ai — —2, А2 — —4, /ii == 1 1 )' ^2 ~ I п )' B.1) - седло, Ai = -2, А2 - 4, /ii = f J, /i2 - L ]. 39. (—2,-1) ~ неустойчивый фокус, О; D.2) — устойчивый узел, Ai = -8, А2 == -12, hi = ( J, /12 = ( 1. 40. @,1) — неустойчивый узел, Ai =: 1, А2 == -, /ii == [ _i I' ^^2 ^ I -3 I' 41. (-1,1)-седло, А1--З, A2-2,/ii- (з)'^^"^ (_\)- 42. A,0) — устойчивый узел, Ai = --, A2 = --, hi = i У h2 = I I. 43. A, —1) — устойчивый фокус, О. 44. (-1,1) — седло, Xi = -1^ Х2 = 3, hi= i \ h2 = I 1; B,4) — устойчивый узел, Ai == -1, A2 = -3, /ii = f j, /12 = I I. 45. ( :t? 7 ) — устойчивый фокус. О; @,0) - седло, Ai = --, Х2 = -, hi= i\h2= ( J. 46. A,0) ~ неустойчивый фокус, О; (-2, -3) - седло, Ai = -1, А2 = 3, /ii = f J, /12 == 1 -2 )' 47. A,1) — неустойчивый фокус. О;
170 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений (-1,1) — седло, Лх = ~3, Л2 = 1, /ii = ( 1 )' ^2 = ( -3 ) * 48. A, —1) — неустойчивый узел, Лх = 1, Л2 = 2, /ix = I 1, /i2 = 1 1; A,1) - седло, Лх = -2, Л2 = 1, /ix = ( 3 )' ^2 = ( ^ J • 49. ( Т) "т 1 "~ устойчивый фокус. О; \4 4; @,0) -седло, Лх = --, Л2 = -, /ix = ( _Л) ^2 = [А- 50. A,0) — устойчивый фокус, О. 51. A,1) — седло, Лх = -1, Л2 = 5, /ix = A)' ^2 = ( „9 ) * 52. A,0) — неустойчивый фокус. О- 53. @,0) — устойчивый фокус. О; C,0) — седло, Лх = -3, Л2 = 1, /гх = [ ^о )' '^'^ "^ ( 1 ) * 1 /з\ 54. (—1,0) — устойчивый узел, Лх = --, Л2 = —1, /ix = I - 1, ^,2 = :}■ @,0) - седло, Лх = ^(-2 - ч/7), Аз = ^(-2 + л/7), /ц = L_^^^\ 55. A,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, /ii = I I, /12 = I „ )• 56. A,0) - седло, Ai = -3, Aa = 1, /ii = I _М , /i2 = ( J ] •
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 171 {-» 57. ( —-?0 ) — устойчивый фокус, О; A,0) — седло, Ai = -3, А2 = 1, /ii = ( 1, /i2 = I - I. /3 \ 58. ( ;^?0 I — неустойчивый фокус. О; -1,0) ~ седло, Ai = -1, A2 = 5, /ii = ( __-. J' ^^'^ = ( ^ 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 1,0) — неустойчивый фокус, О. — 1,0) — неустойчивый фокус, О. 0,0) — устойчивый узел, Ai = --, А2 = -2, /ii = ( |, /12 = I 0,0) - седло, Ai = -4, А2 = 2, /ii = ( ^ J, /i2 = L 0,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 = 3, /ii = ( j, /i2 = I ^ 0,0) — седло, Ai = -5, A2 = 1, /ii = ( _r )' '^з = [А- 0,0) ~ устойчивый узел, Ai = —1, A2 = —5, /ii = I J, /^2 = I 1,0) — неустойчивый фокус, О. -1,0) — седло, Ai = -3, А2 = 1, /ii = I ^3 )» ^^2 = [ Л. 1,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, /ii = I ), ^2 = I 1,0) ~ седло, Ai = -1, A2 = 5, /ii = ( _j 1 ^ ^^2 = ( ^
172 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 70. @,0) ~ неустойчивый узел, Ai = 1, Аг = 2, /ii = [ 1, /i2 = I 1 • 71. @,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, /ii = j 1, /^2 == I I • 72. Q,0J -седло, Ai =-3, A2 = 4,/ц = f M,/i2 = f J. 73. ( 2'^) ~ неустойчивый узел, Ai ^ 1, A2 = 2, /?4 =: I j, /13 = I 1. 74. A,0) - седло, Ai = -1, A2 = 5, /ii = ( _ J ^ /^2 = f ^ J • 75. ( ^,0 j — устойчивый узел, Ai = ~1, A2 = —2, hi =^ I J, /12 == -2 1\ , /1 76. @,0) — неустойчивый фокус, О. 77. ( -~7?0 j — устойчивый фокус, О. 78. A,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 = 2, /ii = ( j, /12 = I 79. B,0) — устойчивый фокус. О; @,0) - седло, Ai = -4, А2 = 1, /ii = ( ^ J, /12 = L J • 80. @,0) -седло, Ai =-1, Аз = 6,/ii = f М ,/i2 = f ^ J; B,0) — неустойчивый узел, Ai = 2, Аг = 3, /ii = j j, /12 = j j 81. (-3,0)-седло, Ai = -6, A2 = l,/11= ( _M ,/12 = ( ];
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 173 @,0) — устойчивый узел, Ai == —2, А2 — ~3, hi — 82. @,0) — неустойчивый фокус, О; -2 § 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых полож:ений равновесия и на всей фазовой плоскости Для автономной системы второго порядка { х = fi{x,y), С непрерывно дифференцируемыми /i(a;,y), /2C:,у) в некоторой области G С Rfxy) положение равновесия (ai,a2) называется негрубым положением равновесия системы, если матрица линеаризованной в точке (ai,a2) системы имеет такие собственные значения Ai, А2, для которых либо Ai = А2, либо ReAi = О, либо ReA2 = 0. В окрестности негрубого положения равновесия фазовые траектории нелинейной автономной системы и ее линеаризации могут себя вести принципиально по-разному. Пример 1. Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия @,0) для системы у = х-\-ау{х^ Л-у'^). Л Точка @,0) является центром для линеаризованной системы в точке @,0) при а = О 1 i = -у, поскольку матрица линеаризации имеет собственные значения А = ±г. Чтобы исследовать поведение фазовых траекторий заданной системы при а Ф О, перейдем к полярным координатам x{t) = r(t) cos(/9(t), y{t) =
174 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений = г(t) sin (p{t). Получаем систему вида {г cos (р — гфзтср = —г sin ср -h аг^ cos (^, rsm(p + гф cos (р = г cos ср + аг^ sin (^, откуда находим {г = аг^, гф = г. При г = О имеем положение равновесия. При r>0(p = t + CH(p-^ -hoc при t —> +СЮ, а f < О при а < О и г > О при а > 0. Отсюда следует, что при г > О траекториями системы служат спирали, движение по которым идет против часовой стрелки, причем при а < О спирали закручиваются вокруг @,0) при t —^ +сю, а при а > О спирали раскручиваются вокруг @,0) при t -> -l-oo. А При исследовании поведения фазовых траекторий на всей фазовой плоскости необходимо находить не только положения равновесия системы, но и предельные циклы. Пример 2. Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для системы {X = -у + ах{х^ 4- y^ - 1), у = х + ау{х'^ -f-y^ - 1). Л При а = О имеем линейную систему, для которой начало координат является центром. Пусть а ^ 0. После перехода к полярным координатам x{t) = r(^)cos<^(^), y{t) = г(t) sin (p{t) получаем систему уравнений { г = ar{r'^ — 1), гф = г. г = о дает положение равновесия @,0), а г = 1 является решением. При г > О, г 7^ 1, траекториями являются спирали. Если а < О, то г > О при О < г < 1 и, значит спирали раскручиваются вокруг г = О против часовой стрелки при t —> +00 и стремятся изнутри к окружности г = 1. При а < О и г > 1 имеем г < 0. Спирали против часовой стрелки извне накручиваются на окружность г = 1 при t -> +сю. Таким образом, при а < О окружность г = 1 является устойчивым предельным циклом.
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 175 Если а > О, то при О < г < 1 спирали закручиваются вокруг г = О при t -^ +СЮ, а при г > 1 спирали раскручиваются вокруг окружности при t -^ +00 против часовой стрелки, так как (р -¥ +оо при t -¥ -{-оо. В этом случае окружность г = 1 является неустойчивым предельным циклом системы. А Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия @,0) для систем A—11): ( X = ~2у -f аху/х^ 4-у^, j х = у-{- ах{х'^ + у^), у = 2ж -f ayyjx^ + у2. 1 у = -ж -f ау{х^ + у^). i = 4у -f аж v'x^+y^, Г i = -Зу -f аж(ж^ + у^)^, у = ~4х 4- ау^х^ -\гу^. \ у = Зж 4- ay(ж^ + y^)^. i = 2у4-аж(ж^+ у^)^, J i = ~ау4-ж(х^-hy^), у = ~2ж 4- ay(ж^ + y^)^. [ у^ахЛ- y(a;^ + у^). х^-у-аху^, Гж = у~ажу2, 9 ^' 1 . 9 У = Ж + ах^у, I У = -~з; 4- аж^у. X = -у{х'^ + у'^ -а), ( х = у{-а 4- ж^ 4- у^), {i = у(-а4- у = -ж(-а 11. у = х(а:^ 4- y^ — а). [ У = —х{—а 4- ж^ 4- у^). X = ~у(х^ 4-y^ 4-a^), у = х(ж^4-у^ 4-а2). Исследовать при всех значениях веш,ественного параметра а поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для систем A2—21): i = у 4- ах{х'^ 4- y^ - 2), у = -ж 4- ayix'^ 4- у^ - 2). 12. 13. 14. X = -2у 4- ах{л/х^1^ - 1)B - \/ж2Ту2), у = 2а; + ау{у/х^ + у^ - 1)B - у/х^Ту^). i = 2у 4- ахA - Vx2 + y2)B - х/ж^Ту^), у = -2:г 4- ауA ~ у/х^Ту^){2 - v^a;2-f у2).
176 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. X У Ь = —ау -h хух^^Л-у^ • sin 7Г = ах + у\1х^ 4- у^ • 7Г Sin \Jx^ 4- у2 i = [-у 4- ад;(а;2 4- у^ ~ 1)](^^ 4- у^ - 1), у = [ж 4- ау(а;2 + у^ - \)\{х^ Л-у^ ~ 1). 7Г i = 2?/ 4- axyjx^ 4- у^ • sin^ у = -2ж 4- ауу/х^^Ту^ • sin^ . ^ л/д;^ 4- у^ i = [у 4- аа;(ж2 4- у^ - 2)]{х'^ 4- у^ - 2), у = [-Ж -f ау{х^ 4- у2 ~ 2)](:г2 4- у^ - 2). X = -ауЛ'х{х'^ 4-у^ -2), у == аж4-у(ж2 4-у^ - 2). i = ~ау 4- х{^х'^ Лгу^ - 1), у = ад: 4- у{\/х^~Т^ - 1). i = -у 4-аж(\/жМ^~ 1)^, у = х + ау{у/х'^ 4-у2 ~ 1)^. На всей фазовой плоскости нарисовать схематически фазовые траектории систем B2—45): 22. 24. 26. 28. 30. X = Х^, У = У- У^у'^' X = ху, у = Х^ -f у2. X = 2{х -у2), у = у(ж-у2). X = у, -2х\ 23. 25. 27. 29. 31. X = Х"^, У = -У^- X = -2ху{х'^ 4-у^), у = ^2 4-у^. ж -ж, У = У^' ж = у2, у = жу.
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 177 32. 34. 36. 38. 40. 42. 44. У = -ху. X = sin а;, у = ycosx. 2 X = Ж , у = у^- 2ху. X = ху, у ■ X у ■ X 4-у^. X = Зх^ — у^^ У = ху, X = хеУ^ У = уеУ. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. ж 4-1, -ху. X — X, у = у-у'^ X У х^ -\-у^. х = 2у, у = Зх^. X = у^ -\- 2ху — х^ 7у г= x^ 4- 2ху — у^ X = 2ху^ у = х-\-2у'^. X = х{у — х^), у =^у{у-х^)' Ответы к задачам § 14 1. При а -- О начало координат — центр. При а < О спирали против часовой стрелки закручиваются вокруг @,0), а при а > О они раскручиваются от @,0) при t -^ -I-00. 2. @,0) — центр при а = 0. При а < О спирали по часовой стрелке закручиваются вокруг @,0) при t —> 4-00, а при а > О они раскручиваются от @,0) при t —> 4-00. 3. @,0) — центр при а = 0. При а < О спирали по часовой стрелке закручиваются вокруг @,0) при t —> 4-00, а при а > О они раскручиваются от @,0) при t —> 4-00. 4. @,0) — центр при а = 0. При а < О спирали против часовой стрелки закручиваются вокруг @,0) при t -^ 4-оо, а при а > О они раскручиваются от @,0) при t —> 4-00.
178 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 5. @,0) — центр при а = 0. При а < О спирали по часовой стрелке закручиваются вокруг @,0) при t -> -fcx), а при а > О они раскручиваются от @,0) при t -> +00. 6. При а = О траекториями являются радиальные лучи, по которым движение направлено от @,0) при t -> -f-oo. При а < О спирали по часовой стрелке раскручиваются вокруг @,0) при t -> -l-oo, а при а > О они раскручиваются вокруг @,0) при t -> -l-oo против часовой стрелки. 7. @,0) — центр при а = 0. При а т^ О @,0) — положение равновесия и аху = — 1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией. Остальные траектории — окружности в окрестности @,0). 8. @,0) — центр при а = 0. При а у^ О @,0) — положение равновесия и аху = 1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией. Остальные траектории — окружности в окрестности @,0). 9. @,0) — положение равновесия при любых а и х^ + у^ = а — линия положений равновесия, являющаяся траекторией, при а > 0. Другие траектории представляют собой окружности при всех а. 10. @,0) — положение равновесия при всех а. Траектории представляют собой окружности при всех а. При а > О х^ + у^ = а является траекторией, все точки которой являются положениями равновесия. 11. При любых а @,0) является положением равновесия, а траектории представляют собой окружности с направлением обхода против часовой стрелки. 12. @,0) — центр при а = 0. При а т^ О траекториями являются спирали с направлением движения по часовой стрелке при t -^ 4-ос. Окружность ж^ -h у^ = 2 — устойчивый предельный цикл при а < О и неустойчивый предельный цикл при а > 0. 13. @,0) — центр при а = 0. При а т^ О траектории — спирали с направлением движения против часовой стрелки при ^ -> -Нею. Окружность а;2 -I- у^ = 1 — предельный цикл, который является неустойчивым при а > О и полу устойчивым при а < 0. Окружность х^ + у^ = 2 —
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 179 предельный цикл, который является устойчивым при а > О и полуустойчивым при а < 0. 14. @,0) — центр при а = 0. При а ^ О траектории — спирали с направлением движения по часовой стрелке при t -> -Нею. Окружность х^ 4- ?/^ = 1 — предельный цикл, который устойчивый при а > О и неустойчивый при а < 0. Окружность х'^ -{- у'^ = 2 ~ предельный цикл, который неустойчивый при а > О и пол у устойчивый при а < 0. 15. Окружности х^ -{• у^ =^ —;т, п £ N, служат при а ф О предельными циклами, причем они устойчивы при нечетном п Е N и неустойчивы при четном п Е N. Начало координат @,0) — положение равновесия. Остальные траектории при а ^ О спирали, по которым движение идет против часовой стрелки при а > О и по часовой стрелке при а < 0. 16. @,0) — центр при а = 0. При а ^ О окружность ж^ -Ь у^ = 1 является полу устойчивым предельным циклом. Траектории — спирали, по которым движение идет по часовой стрелке, если они находятся внутри круга ж^■fy^ ^ 1, и по которым движение идет против часовой стрелки, если они находятся вне круга х'^ -{- у'^ ^ 1. Точка @,0) — положение равновесия. 17. @,0) — центр при а = 0. При а^О окружности х^ +у'^ = -^^ п £ N, служат предельными циклами, которые являются пол у устойчивыми, а @,0) — положение равновесия. Траекториями являются спирали с направлением движения против часовой стрелки при t -> -l-oo. 18. @,0) — центр при а = 0. При афО точка @,0) — положение равновесия и окружность ж^ 4- у^ = 2 является полуустойчивым предельным циклом. Траектории — спирали, по которым движение идет по часовой стрелке, если они находятся внутри круга ж'^ + y^ ^ 2, и по которым движение идет против часовой стрелки, если они находятся вне круга ж^ -h y^ ^ 2. 19. @,0) — положение равновесия при всех а. При а ф {) окружность a;2-f у2 = 2 — неустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали, по которым движение идет против часовой стрелки при а > О и по часовой стрелке при а < 0.
180 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 20. @,0) — положение равновесия при всех а. При а ^ О окружность х^-^-у^ = 1 — неустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали, по которым движение идет против часовой стрелки при а > О и по часовой стрелке при а < 0. 21. @,0) — центр при а = 0. При а ^ О точка @,0) — положение равновесия и окружность ж^ 4-у^ = 1 — пол у устойчивый предельный цикл. Траектории — спирали с движением по ним против часовой стрелки при t -^ 4-00. § 15. Устойчивость по Ляпунову полож:ений равновесия Пусть в области f2 евклидова пространства Щ задана автономная система уравнений x{t) = f{x), где f{x) — непрерывно дифференцируемая в ft вектор-функция с п компонентами, и пусть О Е: ft является положением равновесия автономной системы. Разложим f{x) в окрестности д: = О по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано f{x) = Ax + o{\x\), где матрица 1^@) А = dxj , ij = l,n, о{\х\) ->0, \х\ = yjxl + --^xl -^ Линейная автономная система X — Ах называется линеаризацией системы хA) = f{x) в точке х = О или системой первого приближения для x{t) = /(ж). Из теорем Ляпунова следует, что в случае, когда все собственные значения А имеют отрицательные вещественные части, х = О является асимптотически устойчивым положением равновесия для системы х — f{x). Если же хотя бы одно собственное значение А имеет положительную вещественную часть, то ж = О является неустойчивым положением равновесия для системы X = f{x).
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 181 Для линейной автономной системы х — Ах эти результаты можно уточнить. Пример 1. Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью системы первого приближения автономной системы fx = 1 — 2х — у'^, у = е-4^ - 1. Д Найдем сначала положения равновесия системы. Для этого необходимо решить систему уравнений f 1 - 2ж - у2 - О, I е-4^ -1 = 0. Получаем два положения равновесия: @,1) и @,-1). Исследуем устойчивость положения равновесия @,1). С этой целью в автономной системе сделаем замену у — 1 = yi и правые части полученной системы разложим по формуле Тейлора в окрестности точки @,0), являющейся положением равновесия новой системы. Имеем 1 i - 1 - 2х - A + ш)^ = -2а: - 2yi - yl \ yi — —4ж + о{х). Матрица имеет собственные значения Ai = 2, Л2 = —4. Следовательно, положение равновесия @,1) является неустойчивым. Для исследования устойчивости второго положения равновесия @,-1) в заданной системе сделаем замену уН-1 = yi. Тогда точка (О, —1) перейдет в точку @,0) и можно в окрестности @,0) разложить по формуле Тейлора правые части новой системы. Получаем 1 i = 1 - 2х - (у1 - 1J = -2х + 2ш - у1 \ У1 = -Ах + о{х). Матрица
182 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений имеет собственные значения Ai = — l+i\/7, А2 = — 1~г\/7. Следовательно, положение равновесия (О, ~1) является асимптотически устойчивым. А В тех случаях, когда вещественные части всех собственных значений матрицы А неположительны, причем хотя бы одно собственное значение А имеет вещественную часть равную нулю, исследование устойчивости положений равновесия нелинейной автономной системы с помощью системы первого приближения, как правило невозможно, так как начинают влиять нелинейные члены. В таких случаях используют метод функций Ляпунова (второй метод Ляпунова). Пример 2. Исследовать устойчивость положений равновесия автономной системы у у = -ху-у^. Л Единственным положением равновесия является точка @,0). В этом случае матрица не позволяет воспользоваться теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Применим второй метод Ляпунова. Если взять в качестве функции Ляпунова функцию V{x,y) = ж^ + у^, то ее производная в силу автономной системы v{x, у) = -^(-ж + у^) + -Q^i-^y"- у^) = М^^ + у^) + Ы-ху - 2/^) = = -2(а;2 + у^)^0, причем V{x^y) = О лишь при а; = у = 0. По теореме Ляпунова отсюда следует, что точка @,0) является асимптотически устойчивым положением равновесия системы. ▲ Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью системы первого приближения A—15): ж = —3 + 2а; + у, ^ \ ^ = ^^ -^У-, * I у = arctg {ху). "' I у = In (Зж^ — 1) — In2. '■{:-
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 183 3. 9. 11. 13. 15 1-2а;" 1 4- Ж 4. л у = 1п- —. у = 1п{х^+у)-3у. X = Sh(x — у), ^ . . , /, „ 9-4 ^ ^2ху+х+у- 1. 6.Х + Х = In A _ ЗХ + х2 - Х). У .2 ( i = 5а; - 8у + 3, ^=^~У' 8 < X X = е^^+^У + х, Г ж = е^г' + у2 _ 3, / чч тг 10. < . .ж у = arccos (х - х'^) — —. \ У = arctg -. Z \ у х = \п{х + у), по I ^ = ^^ + У^ - 3, у = Ж"" + у' - 1. У = 4arctg -г. ^5- у = -Х'-2у- у'^. X = 2х — у — х'^, 14. ж + i + 1 = v^l + а; + а;2 - i. 16. При каких значениях вещественного параметра а система ( X = —X + ау, у = х-у. имеет асимптотически устойчивое положение равновесия @,0)? 17. При каких значениях вещественных параметров а и b система { X = ах + by, у = bx + ay. имеет устойчивое по Ляпунову положение равновесия @,0)? Исследовать устойчивость положения равновесия @,0,0) для линейных систем A8—27):
184 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений X = 2х — Зу, 18. I у = х- 2z, Z = —у -j- 2z. 20. < 22. < 24. < 26. < X = Зх -i- 2z, y=^x-\-2y-\-z, z — —X — у. X = y- z, у = -y-j-Z, Z = X ~ Z. X = 7x — lOy — Az^ у — 4x — 7y — 4z, z = —dx -\-7y -\- z. X == -Зж -\-2y-\- 2z, у = -3x -уЛ- z, z = —X + 2y. X ■= —x — 4^/, 21. ^ у = x-y-i- z, z — 'iy ~ z. X = 3X — %y •\- Z^ 23. ^ y^x-2y + z, z = 3x — 12y — 5z. X = 7x — 4y -^ z^ 25. < у — 7x — 3y -\- z^ z = 4x - 2y -i- 2z. X — —X H- z, 27. { y = -y~z, z = y- z. С помощью функции Ляпунова вида V{x^ у) = ax'^-j-by'^ исследовать устойчивость точки @,0) для автономных систем B8—36): 28. 30. 32. 34. 36. X = —2у — ж^, у = х-у^. X — у у = ху - х^у. X = —ху'^^ у = -4а;у2 - 2у^. X = 2у+ ж^, У = -х-Ьу^. 29. 31. 33. 35. X = у — 2х^, У = -2х-у^. X ==z -ху\ У^ -у- 2х2у. ж = ж — у^, у = хуЛ-у^. X = -у-\- 2х^, у = 2х-\-у^. X у Лх^у - 2х^, -х'^у. 37. Рассмотрим уравнения х = — gradF(a:), описывающие движение некоторых механических систем. Здесь х = {xi^... ^Хп) и V{x) — по-
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 185 тенциальная энергия механической системы, имеющая минимум при ж = 0. Взяв V{x) в качестве функции Ляпунова, показать, что х = О является устойчивым положением равновесия системы. 38. Показать, что есди функция Ляпунова V{x)^ х — {х\^... ^х^^ для автономной системы х — f{x) определяет асимптотически устойчивое положение равновесия ж = О, то V(x) для системы х — —}'{х) определяет неустойчивое положение равновесия ж = 0. 39. Пусть А — матрица квадратичной формы в п-мерном вещественном евклидовом пространстве. С помощью функции Ляпунова п V{x) — YIj ^f показать, что х — О для системы х — Ах является асимптотически устойчивым положением равновесия, если квадратичная форма отрицательно определенная, и ж = О является неустойчивым положением равновесия, если квадратичная форма положительно определенная. Ответы к задачам § 15 1. @,3) и ( -?0 ) ~" неустойчивые положения равновесия. 2. A,1) и (—1,1) — неустойчивые полол<ения равновесия. ( 2\ 3. I О, - I — асимптотически устойчивое положение равновесия, О, — - 1 — неустойчивое положение равновесия. 4. A,0) — неустойчивое положение равновесия. 5. @,0) и (—1,-1) — неустойчивые положения равновесия. 6. @,0) — асимптотически устойчивое положение равновесия, C,0) — неустойчивое положение равновесия. 7. A,1) и A,-1) — неустойчивые положения равновесия. 8. A,1) — неустойчивое положение равновесия. 9. (—1,1) — неустойчивое положение равновесия.
186 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 10. (О, —л/2) — асимптотически устойчивое положение равновесия, (О, л/2) — неустойчивое положение равновесия. 11. @,1) и A,0) — неустойчивые положения равновесия. 12. (О, л/^) и (О, —л/^) — неустойчивые положения равновесия. 13. @,0) — асимптотически устойчивое положение равновесия, A,-1) — неустойчивое положение равновесия. 14. @,0) ~ неустойчивое положение равновесия, A,0) -— асимптотически устойчивое положение равновесия. 15. @,0) и A,1) — неустойчивые положения равновесия. 16. а < 1. 18. Неустойчивое. 20. Неустойчивое. 22. Устойчивое. 24. Неустойчивое. 26. Асимптотически устойчивое. 28. Асимптотически устойчивое. 30. Устойчивое. 32. Устойчивое. 34. Неустойчивое, 36. Устойчивое. 17. а + |Ь| < 0. 19. Асимптотически устойчивое. 21. Асимптотически устойчивое. 23. Асимптотически устойчивое. 25. Неустойчивое. 27. Асимптотически устойчивое. 29. Асимптотически устойчивое. 31. Устойчивое. 33. Неустойчивое. 35. Неустойчивое. § 16. Первые интегралы Пусть задана автономная система х = /(ж), где f{x) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция с п компонентами /i(x),..., fn{x) в некоторой области G евклидова пространства Щ с декартовыми прямоугольными координатами жь Х2,..., Жп-
§ 16. Первые интегралы 187 Для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция и{х), х Е G, была первым интегралом системы i = /(ж), необходимо и достаточно, что- бы ее производная в силу системы й{х) = (gradix(a;),/(a;)) = Y1 fi{^)'^— == г=1 ^^г = О В области G. Первые интегралы ui{x)^,.. ,щ{х), 1 ^ к < п, автономной системы называются независимыми в области Go С G, если ранг матрицы Якоби дщ{х) dx-i , г = 1,А;, j = 1,п, равен к для всех точек а; Е Go- Зная к {1 ^ к < п) независимых первых интегралов в Go, можно в области Go понизить порядок автономной системы до (п—А:), что позволяет либо найти решение нелинейной автономной системы при п ^ 2, либо во всяком случае облегчить нахождение решения системы. Знание первого интеграла и{х) автономной системы при п = 2 позволяет нарисовать глобальный фазовый портрет системы на фазовой плоскости, поскольку каждая линия уровня функции и{х) является объединением непересекающихся фазовых траекторий системы. Кроме того, с помощью и{х) можно определить центр для нелинейных автономных систем. Пример 1. Проверить, что функция u{x,y,z) = -B:^-hy^ + г^) при х ^0 X является первым интегралом системы X = 2xz, У = 2yz, i = 2Г^ — Х^ ~ у^. Д Достаточно установить, что u{x^y^z) = О при х ^ 0. Имеем u = 2xz ~ -h2yz- — + [z^ - а;2 - у2) . — Х^ X X = ~[;г(a;^ - у^ ~ z'^) + 2y^z + z{z^ - х^ - у'^)] = 0. X Пример 2. Показать что функции ui{x,y,z) = -(ж + у + z ), X
188 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений У U2{x^y^z) = — являются независимыми первыми интегралами при ж > О, X Z > О для автономной системы примера 1. Д Сначала проверим, что U2 ~ первый интеграл системы примера 1. Имеем U2 = 2xz- (-^) -\-2yz- =0. Итак, ui, 1^2 ~ первые интегралы системы примера 1. Они являются независимыми при X > О, Z > О, так как матрица Якоби ж^ -у'- х^ _У_ -^2 X 1 2z X 0 имеет ранг 2 при а; > О, z > 0. В самом деле, при ж > О, z > О определитель из элементов второго и третьего столбцов матрицы Якоби 2у X X 2£ X о 2г , г. Пример 3. Найдя первый интеграл, решить систему при ж > О, z > О Д Перемножая крест-накрест первое и третье уравнения, получаем zx — — —XZ. Отбрасывая dt, находим отсюда, что xz — С\. Значит, и — xz — первый интеграл. Из третьего уравнения находим z = C\t -\- €2- Тогда X — — —-. Подставляя найденные ж, z во второе уравнение системы, С\1 Л- С2 получаем уравнение для у\ У = CiV -2(Cit + C2)^ Cit^C2 Это линейное уравнение первого порядка, обш,им решением которого является y = {Cit + C2){C3-Cit''-2C2t).
§ 16. Первые интегралы 189 Пример 4. Найдя два независимые первые интегралы системы, решить при X > z > О, у > О систему X — Х^ -\- Z^, y = y{x-z), z = 2xz. Д Умножая крест-накрест первое и третье уравнения и отбрасывая dt, получим уравнение 2xzdx — [рР' 4- z^^dz^ (х^\ х^ которое можно записать в виде d\ — ) — dz. Отсюда z — С\. Значит, \z ) Z ^^ ui — Z — первый интеграл системы. Вычтем из первого уравнения третье уравнение и рассмотрим полученное уравнение со вторым уравнением системы. Имеем {X — Z — {х — г)^, y = y{x-z). Перемножая крест-накрест эти два уравнения, сокраш,ая на ж — 2: т^ О и отбрасывая di, получаем yd{;x — ^) == (ж — z)dy. Отсюда ж — z = С2У и, X — Z значит, U2 — первый интеграл системы. Можно проверить, что У при ж>г>0, у>0 первые интегралы u\, U2 являются независимыми. Подставляя х — z — С2У во второе уравнение исходной системы, по- ^9/-ч /ч 1 тт \ X — Z = С2У-, лучаем у — С2У - Отсюда y[t) — — ——. Из системы < о о ^ Съ - C2t 1 х"^ - z"^ = Ciz CW г. Cly' т. находим Z — ——^———, X — 02V + т^—^г;^—• Подставляя в эти формулы Ci - 2С2У ^ Ci - 2С2У выражение для y{t)^ получаем, что z{t) - ^"^ x{t) {Сз - C2t)iCiC3 - CxC^t - 2С2)' C2{CiCs — CiC2t — C2) (Сз - C2<)(CiC3 - CiC2t - 2C2) ■ Найдя первый интеграл, решить системы A—17) в указанных областях:
190 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений X = 1. {х + уУ' У {Х + уJ ^2 , (ж > О, у > 0). X = 3. <; у у = х, {х>0, у> 0). 5. < у = ^, {х>0, у> 0). X ^ I х = у-ху, \ У = -у + ху, {у 2. 4. 6. х = х у, у = а;у2, (х > О, у > 0). а; X = X — у у=—^, (а;>у>0). ж-у X = X — ху, у = -X + ху, (х > о, X + у > 1) X X = (у>0, х + у>1). I у = ._L_^, (х > О, у > 0). х^ + у^ х'^ + у^ 1 Z = -у, I Z = -, у2 10. у = ^, (ж > о, у > о, ху < 2). X у = 2_, (х > о, у > 0). X = ху — X , 11- < У = У\ [ z = z"^ + 2yz, (х > 0, у > 0, 12. < ( • 2 х = у^, i = -z^, (у > 0, z > 0). z>0). 13. I i = 1 + 2Г, 14. ^ г/ = у2е^^, i = (l+2rJ, (y>^Q^ 2Г>~1). 16. < I i = a;By+ 2г), i = -By + 2r), (a;>0). у = xy-2z'^, z = жг, (х- > 0). i = (l~.т)^ 15. < y={x^l)\ z = z^e-^y, {x >1, z> 0). X = X — у2, 17. < y = y, z = X + y'^ -b z, (y > 0). Найдя два независимые первые интегралы системы, решить системы A8- 26) в указанных областях:
§ 16. Первые интегралы 191 X = Х^у — ж, ,2 X = Z"^ у', 18. .{ у = -ху^, 19. < i = г, (ж > О, у > О, г > 0). i = х{х + у), 20. ^ у = -у{х + у), [ Z = -z{x - у), (ж > о, у > о, Z > 0). i = a;(y-2), 21. -! у = -у(у + гг), i = z(y + z), (ж > О, у > О, Z > 0). 22. ^ у = 2у(у-гг2), Z = -г^, (а; > О, у > О, z> 0). i = ху, 23. I у = у, 24. i = же"!* + Z, (у > 0). 25. ^ J/= Зж^у'^;^, 26. i = г, (ж > О, у > О, z>0). ^^ -у, {у> z> 0). у = ж Ч- у^, i = -2^2, (г > 0). 2 Ж = Ж , У = 2х^ — ху — z^ z = xz-2x^, (ж > 0). 27. С помощью первого интеграла убедиться в том, что положение равновесия @,0) является центром для систем а) ^--У-^^У I у = ж + iC'y, б) X = ж^у Ч-у^, у = —жу^ — ж^. Ответы к задачам § 16 1 1. ж = V2t + C2{l + Ci)\ у = Ci 2. ж = Ci(C2 - 2Cit)-\ у = {С2- 2Cit)-K 3. а; = CiCae^'S у = С72е^»'. л/2* + 02A+С,J.
192 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 5. X = 6. X = 7. X 8. х = 9. X 10. X 11. X 12. X 13. X 14. а; 15. X 1 „-Cit ,1 „. _ /-.„Ct 1 С2С2 + —, y = C2e^'i' + ^^. Ci-1 (Ci - l)C2e(^i-i)' + 1 , 2/ = Ci Ci-1 y = (Ci-l)C2e(^i-i)« + l Ci-1 (Ci-l)C2e(i-^i)i + i' -^ (Ci-l)C2e(i-^0i + i- VCi + C2e«, у = ^e'WCi + C2eK Ci v/C2 - 2Cit, y = 1 Г' у VC2-2Cit 1 , 2 l + Ci(C72-<)' " C2-^' ^-С2 + Сз(^-С2J 1 3Ci {Clt + C2f + C3, y = Clt + C2, Z = Cx Cit + C2 Ci Cit + C2 , y = {Cit + C2){Cz-Cif-2C2t), z = Cit + C2. I fn г-л 2Ci{C2-Cxt)^ Cx{t + 1)-C2 -ln(C2 - Cit), у = ^r^IT^^^T^ ^^-^ 7, Z - 2CiCs{C2 - Cit)^ - I 1 + Ci{C2 - 3Cff)~5, y = -^ ln(C2 - 3Cfi), 1 C2 - Cii 16. ж 17. X 18. re 19. X z 1-2Сг + щ{С2-ЗфI @^g-{2Ci-C2e4C3e-')_ у = C2e* - Ci, ^ = 2Ci - C2e* + Сзе-*. C7iC72e' - С|е2*, у = C2e\ z = {C2t + Сз)еК c,.-, c. cz , у = e -Ci-^e £2.p-t z = Сзе*. i[Ci -C2- sm2{t + Сз)], у = VU^siuit + C3), = v/Crcos(t + C3).
§ 16. Первые интегралы 193 20. X = VClcig л/СГ(Сз - t), у = v/CTtg у/С[{Сг - t), ^ = ^sin2^/cГ(Cз-t). 21. x = -%.sm2^/c'iiCs-t), y = ^/CГtg^/CГ(C7з-t), z = VC~ictgVC'i{C3-t). 23. x = Cie'^2^', у = C2e\ z = Сзе' - d. 24. X = Cit + Сз, у = ;^(Cit + C3){Cit + C2 + Сз), z ^^ ^^v-i -.A-i -. -./. Cii + Сз' 26. a; = —^,y = C2(Ci-t)-Ci + —-^, z "^^ ^ Ci-f" ^' ' ' ^ (Ci-tJ' Ci-< {Cx-tf
Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 17. Линейные однородные уравнения Пусть Л — непустая область пространства Л'^. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка в области Л имеет вид aiix.y.z)— '\-a2{x,y,z)— -{-asix.y.z)— =0. A) В уравнении A) коэффициенты ai(a;,y,z), a2{x,y^z) и asix.y.z) - заданные непрерывно дифференцируемые функции в области Q, а и = u{x^y^z) — искомая непрерывно дифференцируемая в Л функция. Автономная система уравнений x{t) =ai{x,y,z), y{t) =a2{x,y,z), B) z{t) = asix.y.z) называется характеристической системой для уравнения A). Чтобы решить уравнение A), необходимо сначала найти два независимых первых интеграла характеристической системы B) ui{x^y,z), U2{x^y,z). Общим решением уравнения A) называется u{x,y,z) = F[ui{x,y,z),U2{x,y,z)], где F[ui^U2] — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Если 5 обозначает заданную уравнением д{х^ y^z) = О гладкую поверхность в области ft и (р{х^ у, z) — заданная на S гладкая функция, то задача нахождения решения уравнения A), удовлетворяюш,его начальному условию u\s = fp{x,y,z), C)
§ 17. Линейные однородные уравнения 195 называется задачей Коши для уравнения A). Чтобы решить задачу Коши A), C), необходимо из системы уравнений f g{x,y,z) =0, ui{x,y,z) = Ci, U2{x,y,z) = C2 выразить Xj у, z через ui^U2 и подставить найденные выражения для ж, у, Z в начальную функцию (p{x^y^z). В найденное таким образом выражение вида Ф(гА1,и2) подставляем ui{x^y,z) и U2{Xjyjz). Тогда функция и=: Ф[ul{x,y,z),U2{x,y,z)] является искомым решением задачи Коши A), C). Пример 1. При х > О, z > О найти обш,ее решение уравнения И решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием и = 4.3 1 = X + XZ при у = —. X Д Найдем независимые первые интегралы характеристической системы для заданного уравнения I x{t) = Зжyz^, y{t) = 3y^z^ Перемножив крест-накрест первых два уравнения этой системы, имеем 3y^z^x{t) = 3xyz^y{t). Сократив на Зyz^ и отбросив dt, получаем ydx = xdy. У Отсюда у = Cix и, значит, ui = первый интеграл. х Подставив найденное значение у =^ Cix в первое и третье уравнения характеристической системы, имеем f i = ЗCl:r^z2,
196 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных Перемножая крест-накрест эти уравнения, сокращая на а: и отбрасывая dt, получаем -{2х + Ciz^)dx = 3Cixz'^dz. Полагая Ciz^ = t, отсюда для t находим линейное уравнение первого порядка — = ---2, dx X общим решением которого служит t = х. Подставляя Ciz^ вместо t X и — вместо С*1, находим еще один первый интеграл U2=^ х'^ '\- yz^. X Общим решением заданного уравнения является = Fg,x2 + yz3), где F(u\^U2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Чтобы решить задачу Коши, рассматриваем систему уравнений 1 X У X U2 = :r^ '\-yz'^. Из этой системы уравнений находим, что Х^ -\-Xz'^ =: . Ui Следовательно, решением задачи Коши является и = -(:г^ + yz^) = h xz'^. У У Пример 2. При ж < О, z > О найти общее решение уравнения ху— Ч- {2х^у Ч- Г)^ - (ж Ч- 2x^z ч- уг)— = О
§ 17. Линейные однородные уравнения 197 у и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием i/ = — при 2х Л- yz =^ 0. Д Составляем характеристическую систему x(t) = ху, 1^ z{t) = -{х + 2x^z Ч- yz). Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы, сокращая на у и отбрасывая dt, получаем для у линейное уравнение первого порядка xdy = {2х^ -f y)dx, общим решением которого является у = Cix -{- х^. Значит, первым инте- У 9 гралом является щ = х . Умножая „ерзое ,р1„е„„е харак«р„„„,еско« с„с.е„ь, „а 1, ..оро. У Z уравнение на - и складывая полученные выражения с третьим уравнением, находим, ^о X Z --{--y-^z = 0. У У Отбрасывая dt, отсюда dx-hzdy-^-ydz = О или dx'{-d{yz) = 0. Следовательно, а:-fyz = С2, значит, U2 = X'\-yz — первый интеграл характеристической системы. Общим решением заданного уравнения является F^^-x^.x-^yz^ и <х где F{ui,U2) ~- произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Для решения задачи Коши составляем систему уравнений Г 2:r-fyz = 0, У 2 щ = X X { U2 — X -\-yZ. Из этой системы находим, что У 9 — = щ -{■ щ. X
198 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных Следовательно, решением задачи Коши является и = X +(х + yz) = —h 2xyz -h y^z . A X X Найти обш,ее решение уравнения и решить задачу Коши с указанным начальным условием A—100): ди I ди . А 2\9и ^ 2z — х^ ди ( х^\ ди ^ ди ^ yz^ - 1 2. х—+(у+ — )— + 2z— = О, U = при XZ = 1. ох \ Z J оу OZ z' ^ Z ди ^ ди . ^ ^ ^.ди ^ 1 9 . 3. 2yz-^ Ч- (г^ Ч- 2ху - 1)-^ = О, 1/ = жу - - при жу + г^ = 1. у ох оу OZ 2 ^ , о о.ди ^, -х.ди ^ ди ^ у z'^ 9 9^ 4. ix^ Л- z^)-^ Л-2{ху - xz^)t- ^-2xz^- = О, i/ = - - — при rr^ - z^ == 2. аж ay az z 2 ди ди 2( о ^ди :r^ 5. х-^ Ч- у-^ Ч- г^(а; - Зу)-^ = О, и = — при 3yz = 1. ох оу OZ у ^ / г. о^ди ^ о ди суди ^ 4z^ — х^ ^ 6. (у Ч- 2;г:2)— __ 2x^z— Ч- гг^— = О, i/ = при y-^z^+yz = 0. 7. ху""-^ Ч- :с 2г^7г- + у 2г—- = о, 1/ = у^ при жг*^ = 1. ох оу OZ ^ ди , .ди ди ^ ^ 8. Х-— Ч- (:гг Ч- у)-г- Ч- 2Г-—- = О, 1/ = 1 - ж при ж Ч- у - 2г = 0. аж ау az 9. xix^- z)-Tr- Л-укх - zj-TT z[x'\- z^-^r- =0 и = x-\-y при г = 1, a; > 0 ox dy OZ o^du 24^*^ ^"^ 2 10. 2у(ж - у )^ (:г; - у )^ ^y^'s~ = 0,u = xy при 2: = 1. -.-< / ^9^ r 4^"^ / \du ^ 2 2 11. ж(жЧ-у)^ y\x^y)-^ ^(ж-yj—= 0, 1/= ж Ч-у приг = 1. .^ / \ди , .ди , ^ди ^ 9 12. ж(у - z)- yiy^ z)— Ч- z[y Ч- г)— = О, и = у - ж при г = 1, 9и ^ ди ,_ 9 ^9'i^ ^ 2г 2 2 13. 2xz—- + 2у2;^- + {2х^ + у^-^ = О, и = — при у = ж аж ау OZ у
§ 17. Линейные однородные уравнения 199 ди , , ди ди . ди , , ди ди л 14. (z^-2x- 2у)-— -{-(z-2x-{-2y)- 2z—- = О, i/ = xz^ при х + у = 0. ди ди . о о.ди ^ (z\ 15. xz- yz— Л-[х уЛ-х )— = О, и = 1-1 при у ^ х. .ди . .ди ди Ау 16. [z - X Л- Ъу)-— -^ [z Л- X - Ъу)- 2z—- = О, и = — при х = Зу. ох ау OZ z ^^ ди ^ ди , о ^дu ^ о 17. :г-г- + 2у7г- Л- (х у -^г z)-pr- = О, и = х^ при z = х. ох ду OZ t с^ ди оди ди ^ 9 9 18. ху- X ——(- yz-;— — \), и = X при Z — х"^ Л- у . ох ду OZ ^^ ^ ди . , (ди ди\ (У\^ 9 19. 2x- + (y + z)(^- + -j=0,.= (^) прих = .^ 20. (х^ + У )^ + ^w "^ ^^az ^ ^'" "^ (ту "Р" ^ "^ ■^- 21. B:rz - x)-^ Ч- Bуг - y)-^ + Cz^ - 3;г; - y^)•^ = О, и = xz при у = z. ox оу OZ «^ /.л 9 9 ^дu , , о , 9l/ / , с» , 9l/ ^ 9 22. Bx'^z'^ + х)-к Uxyz"^ -у)-7: i^xz^ - z)-— = О, и ^ yz"^ при х = z. ох оу OZ 23. х^'у^ + :г^ + О/ - Згг^у'^ — + {x^y^z + г — = О, п = ж'^г при у = х. ох оу OZ ^. / 9 ^ ^ди . п .ди , ^ ^ди ^ 1 дх оу OZ у при X — у. ГУН {/И {/И 11 25. :r^— + B:гу - y^)— + B:rz ~ yz)— = О, i/ = — при :г = 2у. 9а: 5у 5z ^^ ^ ди . ^ г,Ви ^ ди ^ 2 26. 2:г7г- + Bу - 3:гг^)т- - Зг-тг- = О, и = у - - при xz = 2. дх ду dz X ^^ ди . г, г,8иди^ у 9 9 27. Х-— + (:г^ + у + г^)-^ + г-:г- = О, i/ = - при :г^ + z^ = z. дх ду dz X ^^ /^ о^ди ди , о^ди ^ 9 ^9 28. (За: - у^)— + у^ + (;^ + :г - у^)— = О, 1/ = Z - у^ при д; = Зу^ ди ^ ди , .ди ^ Z )— - 2у— Л-{х-у Л- z)— = О, 1/ = - дх ду dz у 29. (ж Ч- у -f z)- 2у— Л-[х-у Л- z)— = О, i/ = - при :г = z.
200 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных . ди , , ди , , ди 30. {х - 2z)— Ч- Bz - у)— + (у - х)— = О, и = :г при у = О, Z > 0. 31. ^xz-^ Ч- 2(z'^ - zy)-^ Ч- (у - ^ )^-- = О, 1/ = :rz при у = О, Z > 0. ох Оу UZ 32. о; ^- Ч- y[z - х)- Z —- = 0, и = у при х^ z, ох оу OZ ди , о ^ 'х.ди ^ ди ^ z^ 33. жу^- Ч- (у - Зг*")-^ 2у;г;-^ = О, i/ = -^ при у = х. ох оу OZ ж^ ^. ди ,^ у .ди ди ^ л 34. х-^ Ч- Bze^ Ч- у)^- Л- -г- ^Q,u^ z при ж = у. дх ду dz ^^ ^ди ^, о. ди оди ^ о у 35. жг^тг- Ч- 2(у - z^)y- z-^TT- = О, г/ = х^е' при у = г, z < 0. аж ау OZ оди .^ ...ди пди ^ (z-x)'^ 36. х^— Ч- {2z - е^^)— Ч- г^тг- = О, 1/ = -^ :г-^ при у = Ьж. аж ау OZ а;^ 37. (^ + ^)^ + (?^ + ^)^ + (^ + ?/)^ = о, U = (lЧ-г)(l-2z)^ при д;Ч-у = 1. ди . ^ .ди ди ^ Or. 38. ху-^— Ч- (ж - 2;г;)-г- Ч- у^^тг- = 0, и = х при у^ = 2ж. ох оу OZ о ди о ди , sdu ^ _zi 39. ж^^тг" Ч- у z-r- Ч- (ж Ч- у)тг- = О, гл = е 2 при х = 2у. аж оу OZ 40. A + z)|^ + у2^3х|1 ^ {1 + zf^ = 0,и = е2^ при у = 2{1 + z)e-^\ ОХ оу OZ .. , 9 \ди ди ди ^ 3;г;^ ^ . г, 41. г(жЧ-у со8уOг-Ч-у2Г7г-Ч-усо8у-7г~ = О, u = —- при X — 2ysmy^yz^ ох оу OZ I ди ди ди 42. ZCOSX-T—\- z{l — ysin^JTT" + A "" ^) sin^TT- = О, 1/ = е [z — 1) при у = ох оу OZ = 1 Ч-зшж fo < ж < ^У 43. 1 - х)^— Ч- 1 - х^— Ч- г^е 2/ = о, U = — при z = дх ду dz [х - ly = -?=(^-1Jе2, {х> 1).
§ 17. Линейные однородные уравнения 201 /fQI /ill X /mQ I I 44. {xy + y'^)-^-- + y'^ -r- + {yz + ev )-^ =0,u = l + - при ж = ylnz, у > 0. ox ay az у ди ди ди 45. xzigz- V (у — х)-т ;гг7г- = О, и = cosz - sin;2r при х = yz ох оу OZ (°<-D- .^ / с. ди ^ди , и. .ди ^ у . ^ 46. {ху-х^)-^Л-у''-^ + {е^ +У^)-К- = 0, ?i= —— приу = a;lnz, у > 0. дх ду dz 1 + у ,^ ди , .ди . ди ^ 47. х-—^ (Z — у)-—h xzctgx-T- = О, и = smx + cos а; при z = жу, от ау dz (о<.<^). ^1А ^1А ^1А 48. {х + 2ze^)—- + (а; - у)-рг- + г(а; - у)-7г- = О, и = е^ при ж = 2у, z > 0. дх ду dz ^^ / о ^ .ди ди ^ди ^ о 9 49. (о; + у^ + 2;гг)-~ + у—- + у^—- = О, п = жу - у" при ;гг = у^ аж ду dz ди ди ди 50. х{2у + z)^- + {хе"^ + у)— - {2у + z)— = О, и = z npuy + z = О, х > 0. ах оу az г\ ^ i^ 51. {х + у)-^ + {2ze' - у)^ + {х + y)z-^ = О, ?i = ;гг^ при 2а; + у = О, z>0. ди ди , _,, .ди ^ о / ч _,/ 52. хутг- + у-7т~ + {хе У + z)-^ = О, гл = ж^ при z = [у - х)е у. дх ду dz 2/Ч .ди xzdu ,^ .ди ^ о .. л 53. oj'^fl + xzOr- Н тг + A + 2^2:)—■ = О, гл = ху"^ при а;;гг = 1, ж > 0. аж у ду dz ^ ^ 1 ди I ди I ди ^ 54. -^- + --— + —■ —- =0,и = х при z = 0. у dx X dy X -i-yz dz ди idu , о 1 2\ди ^ о r^ 55. ху— + у^— + {х^ + y^)-Q^ = О, ?i = у^ при ;г = 0. ди 9 ди 9 ди 56. а;A~а;уOг- + 2;у -;г- + '2^(^г/ +^У"-1)-^ = О, гл = xz{x-l) при у = жг;, аж ау OZ ж > О, у < 0. 57. х{у ~ zey)-^ + у-г- + 2:A - ^e^JTT" =Q,u = x при y^z,[x> 0). аж ау а2: ^г. г. л , о ^лди 2у ди ^ ди ^ 9 1 , / 2 \ /- 58. [1-1п(а;^у)]- ^ — +xy'^z— = 0,и = гс^уН-- ln(rr:^y) при z = Ху/у.
202 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 59. же^-т; 2у^ -Б" + \^У ~ ^)^~ =0,и = ~-^ при у = -х. ах оу oz х'^ 60. 2хе^'-^ -2е^^тг-+а: 1 -1/Ьг = О, и = ( -+у ] е ^ при z = 0. ах ду oz \х J ди ди . .ди ^ . / 9 . \ 61. XQOSZ— tgy • COSZ——h xitgy — у)-7г- = О, u = xsiiix (х + 81пг) ох оу OZ ^ ^ ириу = х\^0<у<-, о < Z < -j. ^^ ди . .ди пди ^ 2 62. XZ—- -i- [х + yz)-T ^ -77- = о, и = ху - х^ при Z = 1. дх оу dz 63. [х^ + У )-7г + 2ху-— + е -^ =: О, и == е^ при а: = 2у, х > у > 0. ах оу OZ ^. / хди . .ди ди ^ . - 64. (х + у - г)^ + A + г)^ + ^ - О, U = уA + X + у) при г - 0. oSu . ч\ди пди 65. ж^— + {2ху - у )— + z''— z=zO,u = yz~y-z при х := yz. ди ди ди 66. {у - z)— л-[х- z)— Л-[у- х)— = Q, и ■= 2{х - у) upw X - Z = 2у. ^ ^ о ди .^ 1 . с^ ^ди ^m2z ди 67. 2ycos а;-^:—h A + у sin2a;)-;r—| -— = [), и = х - I Л- cigz при дх ду у dz y^cos^x = 1, (о < ж < ^, О < г < jV ^^ г -х '\^ди о ди у^\/1 Л- z^ ди ^ г г о 68. [х^ + у^)-^ + '^ У-^ + -^ - О, U = Z + Vl + z^ при х^ = Зу^1па;. /^9 sdu ^ ди ^ ди ^ х'^ 9 69. Bу^ + ;ггOг- + Зз^у-тг" + 2х;гг7г =- О, и = — при ?/ -- z. дх ду dz Z оди , су су су^ди ди ^ 9 70. х^-^ + (з: у + 2;"^)-;— + xz-^ = 0,u = z'^ при у = О, жг > 0. от ду dz ди , о о.ди ди ^ /У\2 iSu о ди _, о , Su ^ / -^ 9ч ^^ ди ^ /У^^ 71. жу^! [xz^ + ^ )^ - У^^ =0,и= \^~j при Z = о;. 72. х^- х'^Утг- + 2(a;^ - z)z-^ =0 и = y^e'^ при z = х. дх ду dz суди х^ ди , -ххди ^ 73. х^— -i- ——'i-ixz'i-z'^)— =0,и = 1-{-у при х = 1.
§17. Линейные однородные уравнения 203 74. z^{z - у)— Л- y^{2z - у)— + yz^— =0,и = ег при у = -, ^ > 0. эп^ / s9u оди о иди ^ . _и.. ^ ^ 75. ж(у - ж)— + ?у^— + уг^еа^ — := О, и = у(Ц- е -) при г; = 1, у > 0. э^^ / 9 9ч ^'^^ / \9и ^ ди ^ 76. (х^ + ^ )-7Г- + У(^ - ^)тг + Зж^г-тг" = О, U = ж 4- Z при у = Z. ах ду oz ^^ хди . о .ди ди ^ 9 ^ 78. 2г ж - у^)— + 2уг— + Г + ^ Ь" - О, и = х + 2г^ при у^ = 1 - х. аж ду OZ ^^ ^ ди . г> ^ ^ди у ди ^ 1 о 9 79. 2ху— + 1 - у^ - 2xz)— - ^— = О, U = - - у2 при у2 + a;z = 1. ох ду X dz 2 80. \х-\ тг- + 2у—- 4- Z—- =0^ и = ху при z = 1. \ у J ох ду dz ^^ о ди ди . ^ди ^ ^1 81. X Z- у— + Bу + z)— =Q^u=l-\ при у-\- z = 1. «^ / •^^дu , о.ди ди ^ 9 9 82. (у - ^ )^ + (^ + ^ )^ - Z— = О, U = у2 - ж2 при ;гг = 1. 9и , о, ди о ди о о о 83. 2ху— + {2х - У^Ь- + У^-^ - О, U - а;^^^ при у^ - 2а;. аж ду dz , 9 ч ди ди 9 9 9*^^ 9 84. (х - 2х^у)-^ + у—- + 2х'^г'^-7г- = О, и = y^z при х - у = 0. arc ay dz ди ди 9 ^'^^ 9 85. (у - х)— + (х + у)— + 2yz — = О, и == X г при ж + у = 0. ^^ / г. 9 9^ди ^ о О ди ди ^ z^ 86. (х - 3a;^z^)-7~ + Zx^y^z-:^ Л- ^тг- = О, и == — при х = z. дх ду dz у Г.Ш, .. 9 ди , о^ди , 9^ди ^ / ч9 1 л 87. 2х2^г— + (уг " Г )^ + (^^ + у)^ - О, и = (г - у)^ при z + - = 0. 88. х^-— + (а;у - 2а;^у^)-г^ hrz+~-;r- = 0, и==2а; при z = -1. So; Sy \ у) dz у с^ ^ди . С) .ди ( х^\ ди ^ X 89. х^— + 2у2 - ху)— + hrz + — ^ = О, U - - при Z = -1. So; ду \ у ) dz у
204 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 90. х^-— + Bх'^ -ху- z)—- + (xz - 2x^)^r- = О, u = z + гж"^ при у = х^. ох ду ' oz А ди , л "х ч ди , о ^ ди , о 91. x^-^ + {x^z + x'^y-2x)-^ + {2-x'^z)-p- = О, ?i = (у + 1) при а;^; = 1. ох ду oz ди о ди ди у 92. xBz — х)"^- '\-2z [z — х)-;-- + xz-j— = О, гл = ^ при xz = 2,xz> 0. ox ду oz 2 — z^ ди ди ди о 93. 3xyz-p-- + утг + ^B + 3yz)-r- =0, и = ху" при ж = yz, xz < 0. с/ж ду dz ди о 5^ 'i. о Оч S'ti о о 94. 2тг- + 2ж;г^7г- + xz^Byz^ - 2 - z^)-^ = О, и = x^z^ при ?у = 0. дх ду dz ди ди ди X 95. х-^- + уC + 4а;уOг- + 4а;у2:7г-- = О, и = — при z = ху, х > О, у > О, ох Оу OZ у z>0. ^^ ди о /. .ди ди ^ 9 96. yz— + y^z{l - xy)-Q- + -^ = 0,u = yz при X = 0. ^^ / п.ди ди , 1 ^ди ^ Z су 97. {х - У )^ + y-Q- + B^ + У + z)— = О, U = ^ при ГС = ту^ ту > 0. ^« /^ 9 ^ди ди , ^ о.ди ^ X — еУ о 98. Bа; + у^ + ;гг)—+ ^ + (;гг-2у + Г)^ =0,и = —2— приг = а;-у2. ^^ оди . .ди оди ^ ^ Z 99. ж^тг- + УB^ - У)тг + ^ тг- = О, и = 1 - - при ;гг = 22;. дх ду dz у 100. [(. + y-.Ly-z-2]- + (. + l)- + (y-l)- = 0,. = ^:^;^^ при ;гг = 1, у > 1. Решить уравнение, преобразовав его к указанным новым независимым переменным A01—102): dz dz 101. —■ + -— = Q^u = x + y,v = x-y. дх ду ^^^ dw dw dw ^ 102. -—- = -—- + —-' = 0^и = х, у = хЛ-у, t = x + z. дх ду dz Ответы к задачам § 17 1. u = F (ху^, ^ - \^V), ^ = ^У^B^ - 2;V).
§ 17. Линейные однородные уравнения 205 ^ f Z у х^\ 2. u = F[-^, У.^ — \и \Х^ X Z J xyz — х"^ u^F\2x--, ху^Л-yz^ -^yYu = {2ху-1) (^У + '^г^--). _/;гr^-ж^ у ;гr^^ у z^ 4z^ /а; 1 + xz — 3yz\ х{1-i-xz — 3yz) \y ^ ) u = Fly + z^, 3 +yz\,u = yz Az^ -x^ + y + z^-{-yz. 7. u = F (-, y^ - a;^;гr^ j, и 8. u = f(^, ^-z),u \X X / 2^2 y^ ~ x^z^ + X X + у — XZ 9. u = F I XZ 2 -a;2 ' r^2 (a;^ + а;;ггJ I, u = a;z + ;^(x;^ + l)~^-~e (^ V. / x + z 10. u = F[x^- y^, ;^(у2 -x)],u = ^[{x + у2J - z'^iy'' - a;J]. 11. и = F [xy, {x + у);гг], u = ;гr^(rc + j/)^ - 2rry. 12. ^ = F [y^, x{y + z)lu = y'z' ""^^^^ 1+yz x^{z^ — x^ — y) ^5 + 2. 13. 'a = F(~, ;^2~a;2~yl, n 14. u = F [ж + у + ;гг, (s - y)z^\ ,u = -{x- y)z^{x + у + ;гr)^. I-. г 2 2/-. xl . z'^ - x'^(l +Xy) 15. u = F [жу, ;гг^ - х^{1 + жу)], u = 14- а;у + ^^ —. \х + у -i- Z, ху 16. u = F X — Зу Л- Z {x-\-y + z){x-3y + z) , и = 5 1. Ъх'^ + п:^у - Zxz 17. U = F ( -~, жу ), U = \х^ X J у \ ХУ Z
206 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 19. - "' - - " < --1 . J' ух^-у^ у J \х у ^2 \ а;2 - '(у2 21. n = F|^, - + ^-^Yu "'^^ у^ / ?y^ + Z — г^ 22. и = F -, 2а;^2; , и - \у Z ) 2z^ 23. ii = F ( - - х'^у, -|,ii = z( +х^?у \У ^) \^ У _ ( X Х^\ X Х^ 24. и = F 1 XZ, -тт-\ ], и = XZ -{- -7^ -\ . \ У^ У J У^ У (х'^-ху у\ х?-ху 25. и=- F \ , - , U = - 2z 2> 26 т^ (^ y-x^-z^\ уЛ-z-x^-z^ XX) X 28. и = ^Г^, 2г^;:^+_у^\ Bг-хЧ-Л^ 29. п = F [гг + у - ^, у(гг + ^)], п = ^^^ip^-^. 30. и=^ F {хЛ-уЛ- z^ ху Л- z^^.u — хЛ-уЛ- Z — ужу + г^. 32. u = F(l + i, хугУи=^(^ + ") 2 _ ■ z"- 2 33. u = F ( ж2^, у2^ - ^гЛ , u = 2 f 1 - 4 + ""^ 2 7' V a;2 ' 2x2 34. u = F (же""'', ye~^ - z^), u = (ze"'' - ye"'' + z^)^.
§ 17. Линейные однородные уравнения 207 35. и = F [xz, 21n|z| ], и = х^еу . 36. u = f(---, z'^e-y-z\ Z е У - z],ti = -— X 37. u = F X + у + z , {2z - X - y){ij - х) [ {x - уJ г./^ 2 г. . \ x(y'^-2x + Az) \х I 4z 1 1 , и = (х + у + z){x + у - 2z)'^. 38 39. u^F X у , (х-у)е 2 2(у-хУ z2 ху 40. и = F У , u = -е Н • е . 2 г/ 3J \ Т 2^ 41. U — F ( г"^ — 2siny, sin?y ], ?i = —\- —— 2 sin у. У J У ^ 42. u = F 43. U = F г-1 cos а; _ y — smx • е^, I, г^ = cosa- {z - l)e' y — smx - ^\'^P^y {х-1)еУ, е'У-^-^^—^ и = {х - \)еУ 1 -П2- (гг-1) 44. U -: F —-, —-—F \,и= -^z-e у. V У yz-\-eyl У 45. u=^F{ , yz — xigz], и \ cos z J 46. u = F I ^ yz cosz — smz. 1 u. и — 'i/e^ yz Л- г^ 47. u=:F{-: , xy Л-ZQXgx\.u=^ \s\nx J xysiiix -h jsrcosa; ж" ж" ay еУ 48. u = F ( ;ге~^, xy-'^ Л-zeyyu^e^y Л- A9.u = F[z- \y\ ^JLEyM^^j, ^ = iB^ _ ^2)(^ _ 3^2 ^ 3^) 2 У J У
208 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 50. и 51. и 52. и 53. и F (хе\ y^ + yz + xze'), u = z+ У^У±^. хе^ F [ze'"", 2ху + у^ - 2ze''), и = z'^ - --{2х Л- y)yze~ V у ) \x + zeyj I ^ J 1 X ' X 2y2 2x{xz + l)\^ и = {xz + 1) .4^''2^ 8x 1 ^ 2x(xz + l)J X J 54. и 55. и 56. гл 57. гл 58. и 59. U 60. и 61. гл 62. ?i 63. и 64. U 65. и F[|,.-arctg(f)],n = g(.-arctgf) F(rr:y-ln|y|, y-ln|a;z|), ?i = (ж - l)y + ln \.г I ;гг I / V z J z xz У [ у ' ln(a;2y) о Inix'^y) • ln>г:^ У = F {x'^y, x + y + e''),u X Л-у + e^ x'^y F[xey,xy + e'^%u=^^y±^. F{xsiny, xy + svu.z),u = Xsiny{xy + sinz). F{xz, yz — x), u = xz{yz — x). = F x + y + e% ,z a;2 - у2 У , и x-2y x^ — y^ + e' y-z-—, {x + y + l)e ''\,u = {x + y + l){y-z-—\ V^^ ^ У / y^
§ 17, Линейные однородные уравнения 209 66. и = F[z — X + у^ {х — у){х — z)], и = {x-y){x-z) X — у — Z 67. и = F {у^ cos^ х — х^ у^ cos^ х • ctgz), и = х -\-у^ cos^ a;(ctgz — 1). ,.3 68. u = F ye "^, ^{z+Vl + z^) , и = + \/ГТг2 ^ e'^. 69. u = F(^, a;^ - y^ - z ), u = 2 4- (a;'^ -y'^ - z)y'^ 70. и = F (—. — arctg a; , u = —;r -- arctg x] , \x z z J x^ \z z J 71. u^F \xz, y^ - z^(\ + xz)\ ,u^\^-xz+ У ~ ^ ^ + ^^) "" ■" XZ 72. u = Flxy, Inx^ j, u =: y^ • e^. ^^\ о 2 2;|ln;2r,u= ( 1) У J \ \y J 73. u = F [2x-{- -^, y-x a;^ - x^ 74. u = F 75 z^ X ~T~^— ^z^—yz ^ r?(y Л ^ ^Л л . 1 -Л . u = F \ my, e^ Л- - Uu — у [ХЛ- -e ^ \ 76. u = F[ z, Z X — Z у \ __{x-\- z)y 1 '^ — 77. u = F 78. u^F x'^z, -A -hx'^yz) у z 1 x^y + Z--1, X Z Ly у , n = ж + ^гг^ 79. u = F [ 2z, 2;y^ - I + x^z J, и = Bх';г - 1) { y"^ Z^ X у J Z'^IX [Z^ — Z) + y\ i + xz). 81. и -( y^ + yz, - + 2y + z - + 2y + z - 1 + уг
210 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 82. и 83. и = F (ж + у)^, х-у - z^ и = {x-i- у){у -хЛ-z'^-z). F [х'^ - жу^, 2х-у'^ - Inz'^), и = xz{y^ - a:)e^^~^'^. „2 У 84. u = F{^-i/, --- ].и ^х Z у ^ 1 + Г х 1-^ + Г У Z 85. u = F [х^ •^2ху-г/, х Л-у Л- -\ и = ^ , ^ 86. и 87. и F[:^-z\ --- ^х у Z >'-f-')(-J-f р1-+у + г, y'^ + 2yz-zA, = -у^ -2yz + z^ + 2\z + y + 88. u = F 89. u = F 90. u = F x^, xiz'\-2) - - У У и IX \y xj X \ у xjxy - 1) {z + 2)xy - u = l + 1/ 3 x -{x'' + г), xy-i-z X u = xy Л- z Л- [xy + zyx - + x(z + 2)--. z + 2 X - у -V у 3^3 (а-з ч- г)'^ 91. и 92. U 98. U „ / 1 у\ (у + a;z)^ F[xz^-—, ^+-Ь^-"Т^—т-Ц- \ а*^ X/ x'^z 4- 1 — х^ F [х;гг — ;гr^, у 4- (a;z — z^) In {xz)\, u ^ +ln^. xz — ;гr^ F(„3 у! V\ A? 94. u = F i"^) e ^^, y^ -y-x'^ + -^ z^ и = ^ \ 2 ^ • 1 -y^:^
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 211 95. и = F [х^ -\ , ],и = ж* Н \ У У J У \ У У J 96. u = F 97. u = F а; + 1 ) е^, z'^ -\ х^ z' + X u = -2 + - д: + 1 е^ - 1 X Z ~ {х -\- у'^) \пу - + У, У У Z х + у и = т: + ш 2 . ^\2 _ (п,2 98. u = F [{у' + z)e-y, (х + у^ + z)e-'y], ^ = (У + ^) " (У + ^)в^ 99. u = F[ , z],u = '-^ ^. \z X у J ху 100. и = F {y-lf-{z + lf, 1 X + у — Z + 1п|у + г| и^ 1_ +\n\y + z\-l\n[{y-lf-{z + lf]. X \~ у Z Zd 101. z-=^F{x-y), 102. w = F(a; + y,a: + ^). § 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения Если Л — некоторая область пространства Л*^, то квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка в области Л имеет вид A) В уравнении A) коэффициенты a{x^y^z)^ b{x^y^z) и c{x^y^z) -~ заданные непрерывно дифференцируемые в области Л функции, д. z ■= z{x,y) — искомая непрерывно дифференцируемая функция. Эта функция задает в Л некоторую поверхность, называемую интегральной поверхностью A). Автономная система уравнений x{t) =a{x,y,z), y{t) = b{x,y,z), z{t) = c{x,y,z) B)
212 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных называется характеристической системой уравнения A). Если ui{x,yjz), U2{x,y,z) -~ два независимые первые интегралы системы B), то общее решение уравнения A) записывается в неявном виде F[ui{x,y,z),U2{x,y,z)] =0, где F{ui^U2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, допускающая нахождение z — z[x^y) как неявной функции. Пусть 7 ~ некоторая гладкая кривая в области 11. Задачей Коти для уравнения A) называется задача нахождения интегральной поверхности уравнения A), проходящей через заданную кривую 7- Пусть гладкая кривая 7 задается как пересечение двух поверхностей: Г ^i{x,y,z) =0, [ Ф2(ж,у,2г) =0. Чтобы в этом случае решить задачу Коши, необходимо из системы уравнений ' ^i{x,y,z) = 0, Ф2(ж,у,^) =0, Ul{x,y,z) =1^1, U2{x,y,z) =U2 исключить X, у, z и найти связь между г^х, U2. Если эта связь вида Ф(^ь^2) = 0) то уравнение Ф[lll{x^y^z),U2{x,y,z)] = О дает решение задачи Коши для уравнения A). Пример 1. Найти общее решение уравнения / sdz , .dz и ту интегральную поверхность этого уравнения, которая проходит через прямую X = 1у у = Z. Л Характеристическая система имеет вид x{t) =z-y, y(t) =x-z, z{t) =y-x.
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 213 Сложив первые два уравнения, рассмотрим систему I х-\-у = х~у, у z = y-x. Отсюда X -\-у -\- Z = О или dx -\- dy -\- dz = О, что дает первый интеграл 1^1 = X -\- у -\- Z. Если первое уравнение характеристической системы умножить на ж, второе уравнение умножить на у, третье уравнение умножить на ;г: и сложить, то получаем хх -\- уу -\- zz = О или xdx + ydy + zdz = 0. Отсюда находим еще один первый интеграл 2,2,2 U2 = X -\-у -\- Z . Общее решение уравнения задается формулой где F{ui,U2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Для решения задачи Коши, исключая ж, у, z из системы ж = 1, у = Z, щ = X -\-у -\- Z, U2 = Ж^ +у^ -\-z'^, находим, что U2 = I -\- -{их — 1)^. Следовательно, решение задачи Коши задает функция х'^ ^у'^ ^-z^ = l^-{x^y-\-z- \f. Если кривая 7 задана параметрически ж = V^iW, У = 4>2{г), z = (рз(г), то из системы уравнений X = (pi{r), у = (р2{г), Z = (рз(т), 1^1 =ui{x,y,z), U2 =U2{x,y,z)
214 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных находим связь Ф{и1,и2) = 0. Тогда уравнение Ф[и1{х,у,г),и2{х,у,г)] = О задает искомую интегральную поверхность, проходящую через кривую 7- Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения dz dz r-iz X ^ x-Q- + у-д- = z- \Jx^ Л-у^ Л- z^, проходящую черех кривую ж = т,у = т^,;г: = 0. Л Составим характеристическую систему x(t) = X, y{t) = У, z{t) = z ~ yjx^ Л-у^ Л- z^. Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы и отбрасывая у dt, находим, что ydx = xdy. Отсюда ui = первый интеграл. Умножая X первое уравнение на х, второе — на у, третье — на 2: и складывая, имеем XX -\- уу -\- ZZ = х^ Л- у'^ -\- z^ — zyx^ + у^ + z^. Перемножая крест-накрест это выражение с третьим уравнением системы, получаем после отбрасывания di {z — \/х^ + у^ + z^){xdx Л- ydy Ч- zdz) — [х^ + у^ Л- z^ ~ z\Jх^ Ч- у'^ Ч- z^)dz. Отсюда d{x? + у2 + z^) = -2x/^2Ty2T^d;^. Значит, U2 = \Jx^ -\-у^ -\- z^ + z. Из системы уравнений X - их = г, у = - у. X -т\ Z - = 0, U2 = \/х^ Л-у^ Л- z^ л- Z находим, что 1^2 — "^1 +^i- Тогда искомая интегральная поверхность задается уравнением Х^ Х^ В задачах A-~33) найти интегральную поверхность уравнения, проходящую через заданную линию.
z. § 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 215 OZ OZ 9 9 9 9-. 9 1 1, X—- л- у— -^z-x^ ~у\ х^ + г = 1, 2: = х^ - 1. ах ау г. / 2 2\ ^-2: dz 2, (х -у )— + ху— Л- xyz = 0, Z = х,у = 1. л UZ л OZ 9 9 9 1 3, XZ W- +yz -^ = х^у^, Z = х% у = -. ох оу X л ( 2 \9z 2^^ 1 4, [х у - х)— -ху — = Z, Z = х,у = 1. ^ . 2 9ч ^-2: ^ 9z 5, (х + у )— + 2ху— == XZ, у == 1, 2: = X. 7. (у^ + 2:^ - х^)- 2ху-— + 2x2: =:= О, х == О, 2; = у^. ох ' оу ^ dz dz г, г, ^ 9. Х2:—- + У2:—- + х^ + у^ = О, х = 1, у = 2:. ох оу /9 9 9\ 9z dz 10. (х - у - 2: JTT- + 2ху- 2x2: = О, х == О, у = sinr, 2: = cost. ox оу - - / \dz , .dz 11. (X — yJT; h (X + y)— 2: = 0, X — COST, у — SHIT, Z = T. dx dy 12. y'^z- xy^z-— + x(x^ + y^) = 0, X = л/т, у = 1^ z = \Jt^ + т. ax ay 13. (x^ - 7/^ + z^)-— + 2xy-- = 2x2:, x = 1, у = сЬт, 2: = shT. dx dy . / 9ч^^ 9^^ 9 ^ 14. (xy - x^)— + r ^ = 2:^ + 27/2:, у - 1, 2: = 2x. 15. xD - x^)-^ + Bx^y + 1)-^ ^x,x^\,y^-z. dx dy 16. 2x^-^ + yBx^-y2)-^ = l + z^, x = 1, y = arctg2:. ax dy 17. Bx + v)| + (x + 2ri(|-l) 1 = 0, X == 0, z = 2y.
216 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных 2dz dz _ 2 18. Г—- + yz— = -z\ x-y = 0,x-yz = l. ox ay 19. {z - y)^-Q-^ + ^^-g- = xy^ X = 0,y = 0. ^^ dz dz у ^ 9 20. y—-^z— = ^,x = l,z = y^. ox oy X 21. {xz + y)-^ -{-{x-^yz)-^ = l-z^,z = 2,2x = 3y. dz dz 22. {2y-z)—+y— = z,y = 3^2, x + z-4y = 0. dz dz 23. y— + X— = x-{-y-{-z,x-h2y = 0,z = 0. dx dy ^, dz dz 9 ^ 24. Х-— + y-^ = жу + ;г:, у = ж^, ^ = 2ху. ox oy 25. —ж^"r—h (ж?/ — 2г^Oг- = xz^ xy = 1, x -\- z = Q, dx dy 26. {2x + y^ + 2:^)-^ + 2y-^ = 2^:, у - 2: + 1 = 0, 2: = 2ж. ox oy 27. ~(ж + 3y^)^ + y^ = ^, ж + 2y^ = 0, yz = 1. 28. BуЗ - a;2)^ - 2хуу + 2x^ =Q, у = z = 1. 29. {z'^-y'^)—+ z~+y = 0,x = 0, у = z. , 9 2ч 9z dz 30. {x + y^ + z^)— +y— = z,x = y = l. „^ , 9 2sdz dz 31. (ж^ - У )^ + a;y J- + жуг = 0, z = ж, у = 1. 32. 2ж^ + (у + z)^ = у + z, ж = уЗ, z = 0. 33. 3y— + (ж + 2?/)— = 3cos2 ^ . ^g^^ ^ ^ 3^ ^ 1 ,. ^ ^ (^0 < ;г: < -j. 34. Найти поверхность, проходящую через окружность ж^ + y^ + г^ = а^, г = 1 и ортогональную к семейству сфер х'^ Л-у'^ -\- z'^ = bx.
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения 217 35. Решить уравнение dz dz 2 преобразовав его к новым независимым переменным и = х^ Л- 'у^. V = X, 36. Решить уравнение 2dz 2^^ _ дх ду преобразовав его к новым независимым переменным и = ,г? = у. X у В задачах C7—40) найти решение нелинейного уравнения, удовлетворяющего указанному начальному условию. ди ди ди ди (ди\ 38. (—j +y—=Q^u = x,y = l, ду ди _ ди (д'^\ 2 ди (ди\ ди 41. Определить функцию z = z{x,y), удовлетворяюи;ую одновременно двум уравнениям dz dz ^^ dz ^ dz 2у^ дх ду ' дх ду ж^ + у^ * 42. Определить функцию и — и{х^у), удовлетворяющую одновременно двум уравнениям ди ди ^ f ди\ f ди\ ^, ,з 7Г + ^==0' \1г] -\-^] -2(х-у)^ дх ду ^ \дх) \дуJ
218 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных Ответы к задачам § 18 1. (х2+у2J-(х2+у2 + ;^J=х4. 2. 2\ny-h-^ = z'^e'^y-^. 3. 4z^ ~ bxS^ =:^-Ъ. уЪ 4. xyz = {ху — 1пуJ. 5. х'^ — у'^ -\-у = z^. 6. {x-y-z)^ = А{х^ Л-у^). 7. у^{х^ + у2 + z^) = y'^z + z^. 8. {х -\-у -\- zf' = 3{xy -i- xz -\- yz). 9. ж^ + 2у2 = х^{х^ Л-у^ Л- z^). 10. [х^^у^Л-z^Y^y^^z^. 11. ж = e'^cos (^ + г), у = e'^sin(^ Ч- г), 2: = ^е'^ 12. Ц-:г2 + ^ = (а;2 + у2J. 13. (a;2 + y2_z2J = 4(y2-^2) ^^•7 + ^4(^ + 1-^)- 15. 1D-а;2)у + 4^ + 1п(^)=^1пИ. 1 1 У 16. —5-+arctg2: = - + 4а;2 ^ 4 ^а;2-у2 1па;' 17. (у-жK = (а; + у)(у-2;J. 18. уЗ _ зжуг = {yz + 1K - 3(уг + 1J + 3(у2 + 1). 19. ^2 - у2 = а;2 + (г - уJ. 20. у2 + z(l - 2а:) +-х'2 + Bа; - х^ - 1Iпх = -. Zi Zi 21. 3(а; + y)(z - 1) = Ь{х - y){z + 1).
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения пп 0-.2/- п.. , .л г. 2 219 22. 32:2(а;-2у + 2) = 2y^. 23. х^ -у^ = Z{x + уJ • е~^. 24. а;(г — а;у) = y^. 25. жу + 2: = 1 — \/—xz. 26. (у - z)Ba; - у^ - г;^) = 2у2 - у{у - z). 27. ху + 3y2z = j|. 28. ЗуB - х2) - 2у^ = 4у - ЗуЗ - Zx^. 29. (y + zJ = 2(a; + y2 + z2). 30. z^ = уB;2 + у2 -ж). 32. x^z- {z-yf. 33. ж + Зу = tg;?:. 34. (a2-V=(a;-^ + |y + y2. ^^' '^^а;2 + у2 + /(х)- 36. 2 = e"i •/ (--iУ Va; уУ 37. u = a;(l + y). 38. u = X — Iny. 39. u = a;-y + 1. 40. u = хеУ-^ + ^e2B'-i) - ^. 41. ^ = ln(l + ^)+C. 42. u=^(a;-yJ + C.
Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 19. Простейшая вариационная задача Рассмотрим b J{y) = / F[x,y{x),y'{x)]dx, а где а и b {а < b) заданные числа, F{x,y^p) — заданная вещественнознач- ная дважды непрерывно дифференцируемая функция при всех х Е [а,Ь], у е (-00, +оо), р е (~оо, +оо). Пусть М обозначает множество всех непрерывно дифференцируемых функций у{х), заданных на [а, Ь] и удовлетворяющим граничным условиям у{а) = А, у{Ь) = В, где AvL В — заданные числа. Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения слабого экстремума J{y) в классе функций у{х) G М. Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, 6] функция у{х) является решением простейшей вариационной задачи, то она на [а, Ь] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера. ду dx ду' Всякое решение уравнения Эйлера называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяюш,ая заданным граничным условиям, будем называть допустимой экстремалью. о В этом параграфе через С^[а, Ъ] обозначается множество всех тех непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций г]{х), которые удовлетворяют нулевым граничным условиям г]{а) = ri{b) = 0.
§ 19. Простейшая вариационная задача 221 Пример 1. Решить простейшую вариационную задачу, если 1 J{y) = I W + '^^У + A + ^^){у'?Мх. 2/@) = О, 2/A) = 1. о Л Уравнение Эйлера имеет вид [(l+a;V]' = 0. Экстремали задаются равенством у = Ciarctgx + С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные. Используя граничные условия, получаем до- 4 пустимую экстремаль у{х) = — arctgx. Проверим, действительно ли на 7Г о у{х) достигается экстремум J {у). Для любой ri{x) G С^[0,1] имеем 1 AJ{y) = J{y + г?) - J{y) = J{x{y + r]f + ж2(у + г]){у' + V) + о + A Ч- х'){у' + ri'f - xf - хЦу' + A Ч- x'){y'f]dx - 1 1 = / [2xy + x^y]r]dx-{- I [ж^у+ ж^г? + 2A+ ж^)y']Vdx+ 0 о 1 Ч- Axr?^ + (l+x^)(r?')^]dx. о Во втором интеграле проинтегрируем по частям. Получаем 1 [[х'^у + х^г] + 2A + х^)уУAх = [ж2у + 2A + х'^)у']г]{х)\1^^ + о 1 1^ } + -ж^r?^(ж) - / {[ж^y + 2A + х'^)у]'г) Ч- жr?^}dж = 1 = - [{[хЦ + 2A + х^)у']'г1 + .xr?2}dx,
222 Глава 6. Элементы вариационного исчисления так как проинтегрированная часть обращается в нуль, поскольку г]{х) обращается в нуль на концах [0,1]. Подставляя найденное выражение второго слагаемого в AJ(^), находим 1 i AJ{y)= I{2ху-h х'^у' - [х'^у-h 2{1-h x'^)y']}r]dx-{■ I {1 + x^){r]'fdx 0 0 1 1 1 = - /^2[A + x'^)y'yr)dx + /A + х^){г)')Чх = [{1 + x^)(V)^dж > 0. Здесь был использован тот факт, что у{х) — экстремаль и, значит, 1 ЛA + x^)y'yridx = 0. о Таким образом, допустимая экстремаль у{х) дает абсолютный минимум в заданной простейшей вариационной задаче. А Пример 2. Решить простейшую вариационную задачу, если 2 J{y) = I [6y^ + х\у')^ + 12x^y]dx, у{1) = 1, уB) = 8. 1 Л Уравнение Эйлера x^2/" + 2ху' -6у = 6х^ определяет семейство экстремалей у = -4 + C2X^ + ж^ где Ci и С2 — произвольные постоянные. Используя граничные условия, о находим допустимую экстремаль у{х) = х^. Для всякой ri{x) G С^[1,2]
§ 19. Простейшая вариационная задача 223 имеем AJ{y) - J{y + г?) - J{y) = |{6(у + гуJ + х\у' + ri'f + 12хНу + г?)- 1 2 - 6у2 - ж^(^')^ - I2x^i/}dx = Абг/2 + x^(V)^]dx+ 1 2 2 М12^ + 12x^)r]dx + 2 I x'^iyyri'dx. i 1 Проинтегрируем по частям в последнем интеграле и воспользуемся тем, что 77A) — 77B) = 0. Тогда получаем 2 2 1х. ' ^ dx' ^ " ' 1 1 Но выражение в квадратных скобках во втором интеграле AJ{y) = f[6ri'^ + x'^{ri'f]dx + Al2^ + 12x^ - ^{2x'^y')]r]da 12y + 12x^ - -^{2x'^y') = -2{x^f + 2х^Ц - 6y - 6x^) = 0 dx на [1,2], так как y{x) — решение уравнения Эйлера. Следовательно, 2 AJ{y) = Абг?2 + x'^{r]'y^]dx > 0. 1 Это значит, что у{х) дает абсолютный минимум. Решить простейшую вариационную задачу A—90): 1 J{y) = l{y-hy'fdx,y{0)=0,y{l) = l,^ 1 1 о е 2. J(y) = у [^ + уу'+ XV)^ 1 3 dx, уA) = 1, у(е) = 0. 3. J{y) = f[2y- уу' + х{у')^] dx, уA) = 1, уC) = 4.
224 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 4. J(y) 5. Jiy) 6. J{y) 7. J{y) 8. Jiy) 9. J(y) 10. J(y) 11. J{y) 12. J(y) 13. J{y) = j [4y2 + [y'f + 8y] da;, y@) = -1, у (^) = 0. 0 1 = / [{y'f + y' + 2e'^y] do;, y@) = i, y(l) = \e\ 0 7г/2 = у* [{у? + V + 2ycosx] dx, 2/@) - ^, 2/ (^) = e\ 0 -1 = / [^\y'? + 12y'] do;, y(-2) = ^, y(-l) = 1. -2 2 / [22/ + yy' + x^B/'J] d:r, y(l) = 0, 2/B) = 1 + lii2. 1 2 |[:.y + 2/]^dx,y(l) = l,yB) = i. 1 7Г / [(?/' + y? + 22/sinx] dx, 2/@) = 0, 2/Gг) = 1. 0 1 j \x' + \y' + 2(y'JT dx, y@) = 0, y(l) = 2. -I 1 2 , ,,9 y^ 2ylna; 2;(y') +- + x x dx,y(l) = 0, yB) = l-ln2. H h 02/ x*^ ж dx, y(l)=0, уB)=81п2. 14. J[y) = |UyT + ^ + 4y dx, y(l) = 0, yB) = 21n2.
§ 19. Простейшая вариационная задача 225 15. J{y) = J ^{у' 1 2 dx, 2/A) = 3,2/B) =4DIn2 + 3). 16. J{y)= /[2;2B/')^ + 2y2 + 32x2yln2;]d2;,y(l) = -5,yB)=4D1ri2-5). 1 2 17. J{y) = I L(iyJ + ^ - 18y\nx\ dx, 2/A) = 2, 2/B) = 2C1n2 -f 2). 1 2 18. J(y) = I [x{y'f + 2yy'] dx, y(l) = 0, yB) = In2. 1 2 19. J(y) = I [x{y')^ + yy' + xy] dx, y(l) = ^, yB) = ^ - ln2. 7Г/2 20. J{y) = I [y-\{y' 7Г/4 sina;da;, у (-j = -ln\/2, у (-j = 0. 21 .Лу) = / k„r + 2-«^-''-' 22. i x x^ r.x„. , ^^x/„.f\2 {1 + х)е^у + -еЦу'У dx, y(l) = 1, y(e) = 2. dx, y@) = 1, y(l) = 23. J{y) /[¥- 2 ^ iy') -П21 dx, y(l) = 2, yB) = 8-. 2 24. J(y) = |[x(y'J + ^ dx, y(l) = 2, yB) = 2-. 25. 4 J{y) = I [Л{у') 2 ^ 1 2x-v/xJ dx,y(l)=2,yD)=4-.
226 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 26. J{y) 27. J{y) / 1 2 -I {у')' у' у/х Х^^/х dx, уA) = 2, уD) = 16-. -х{у')'^ + хуу + -у^ dx, уA) = о, уB) = 1. — 1 28. J{y) = I [2уу' - х^{уУ] dx, у(-2) = ^, у(-1) = 2. -2 1 29. J(y) = У [хуу' - 2B/')'] dx', у@) = 1, уA) = ch ^. о 7г/2 30. J(y) 31. J(y) = J [{y'f + 2yy' + 4y'] dx, y@) = 0, у (^) = shvr. 0 1/2 2y2 32. J{y) 1/4 2 [(ж-1J a;(x--lKj da;,y(M=l,y(i)=2. , ,.2 Д. V ^ 8y dx, y(l) = 1, yB) ^^2|d^,y@) = l, У(^2'=^• 34. Jiy) — i -2 а:3(уГ + Зху2-^^ dx, y(-2) = -, y(-l) = 1. тг/З 35. J(y) = J [{y'f - Gysinx] cos'^xdx, у (-^) = у (^) = 1. -тг/З
§ 19. Простейшая вариационная задача 227 1/2 J[y) = I [{х' - Щу'Г - ix'y' - 4у] dx, у (-0 =у{1)= \- 36. -1/2 1 37. J{y) = J [еЦу' - xf + 2у] dx, у{0) = 1, уA) = i. 38. 1 J{y) = J [(у') V4 - n-2 - 2у] dx, y@) = 2, y(l) = ч/З. — 1 39. J{y) = У [i'(v')' + Зх!,^) dx. !/(-2) = ^, v(-l) = 0^ -2 2 40. Jiy) = J [(y' 1 41. J(y)=ri^+ ' dx, y(l) = 0, yB) = -. cos X cos^ X dx n\ 1 х,у{0) = 0,у{^) = -. 42. J(y) = J [{xy' + yJ + A + x^)y'] dx, y(l) = -i, yB) = 1. 1 7Г/4 43. J{y) = f [{y'f cos2 X + .x'^yy' + жу2 - 2y' cos^ i] dx, y@) = 0, у (J) = - J_ ~ V2- 2 44. J(y) = I 1 , ^ + 2^yy'+-4= - 2v/^y' dx, y(l) = 2, yB) = 5. 1 45. «^(y) = / A+ж^)(у')^-4a;y' + yy'sin^a; +-y^sin2x dx, y@) = 0, y(l) =ln2.
228 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 46. J{y) -. 47. J{y) -. 48. J{y) -. 49. J{y) -. 50. J{y) = 51. J{y) = 52. J{y) : -I 0 2 Ч 0 2 0 7Г = / 0 1 0 7Г 0 7Г 53. J{y) 1 = / (y'J + у2 _ 23.yj c(x-, y@) = 1, y(l) = 1 + e. 4(y')^ + y^ - бе^у'] dar, y@) = 2, yB) = e"! + e^. 4(y')^ + y^ + 4xy] da;, y@) = 1, yB) = e - 4. {y'Y + 8y' sin^ a; + 4y] dx, y@) = 0, y(ir) = n\ {y'Y + у2 + x'^y'] dx, y@) = 1, y(l) = 1 + e-\ {y'f + y^ - 4ysinx] da;, y@) = 1, уGг) = ё^. [y'f + y^ + 10y'(a; + sin^ x)] dx, y@) = 6, y{ir) = 5 + e"'^. 4a;yy' - {y'Y - 4y^ + A2a;2 - 4)y] da;, y@) = 0, y(l) = 1. 54. J(y) = / (y')^ + 2yy'sina; + f cosa; + —y^ + 20a;*y j dx, y(l) = -1, yB) = 0. 4 55. J{y) = 1 1 2 56. J(y) = У M _ V _ (y'J - ^1 a; a;-' da;, y(l) = yD) = 4. 1 da;, y(l) = 2, yB) = 4 ■
§ 19. Простейшая вариационная задача 229 57. J{y) = j [24х% - уу' - х^{у')^] dx, уA) = 1, уB) = -7. 58. J{y) = j [x''{y^f + уу' + Пху] dx, уA) = 1, уB) = 5. 59. J{y) = / I ( i - А ) у2 ^ 2уу' \пх - A{y'f - lOy X Х'- dx, уA) = -1, 60 УD) = 0. 3 (х^ {y'f + хуу' + т2/^ + тг - 6 1 у 4" V 2 da;, у@) = 5, уB) = е. 61. J(y) = у [l2a;y - ^^уу' - 3(y')^ 1 X dx, уA) = -, уB) = 0. 62. 1 J{y) = f [{у'? - 2уу' cos а; + D + sma;)y2 + 4Bа;2 - 3)у] dx, у@) = 2, УA) = е2. 2 63. J(y) = y"e3-[(y'J + 4y2]da;,y@) ei"-l,yB)=0. --«=/©'4^ 1/2 1 d^,y(^) = §,y(i) = o. 65. J{y) = У" e^ [(y'J + 6у2] dx, y(-l) = 0, y(l) = e^ - e-3. 66. 2 ^(y) = / [(y')^ + 6 (I)'] dx, y(l) = 0, yB) = 31. 4 '
230 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 1 67. J{y) = y"|i(y')^ + y2/'tgx+f2+2-^^jy-^ + 3ychx dx, у{0) = -1,уA) =2sh2-chl. 7г/4 ^2 , у уу' arctg х - (у') + ^ _^2) ~ '^У + ^^У ^^•'^ dx, у@) . т = / 1 . J{y) = J [бжу' - ^у2 - ж2^(у'J] dx, у ('i') = -1, уA) = 1. 1/4 2 70. J{y) = [ \-{y'f + \уу' - Щ^ dx, уA) = -1 уB) = 0. J \Х X J 3 71. J(y) = / [2v^(yr + 4= - ^ У [ ху/х х-Ух dx, уA) = -2, уC) = 2. 72. 4 J(y) = /" [l5V^.y + Ъх'^уу' - x\y'f\ dx, уA) = 1, уD) = -3. 73 74. 75. 76. 31 'l6' 1 J[y) = У [4а;3(у'J - бх^уу' - Зу] dx, у Q^ = i, уA) = ^. 1/3 2 J{y) = j [Ахуу' - x\y'f + 4ж2у] с/х, у Q") = уB) = i. 1/2 1 J{y) = I [Ъх'у - уу' + x\y'f] dx, у Q) = ^, уA) = 1. 1/2
§ 19. Простейшая вариационная задача 231 2 2„ / „3/ /ч2 , % 77. J(y)= / \Ъх'уу'- х\уГ + dx, уA) = О, уB) •-""' = / 1 3 .Л») = / 1 3 ■■'«=/ 1 4 2 е 1 1 е 1 е 1 2 87. J(y) = I 79 80 81 82 83 84 85. 2а;у2 + 2х'^уу' + x''{y'f + 12х2у] dx, уA) = 2, уB) = 5. %ху - х2(у'J - х^уу' -{х + 6)у2] dx, уA) = О, уC) = -6. a;^(y')^ + х^уу' + жу^ + 4а;у] dx, уA) = уC) = 4. х'^уу' + 8а;2у - а;2(у'J + (х - 2)у2] dx, уB) = О, уD) = -8. а;^(у')^ + 6y^ + lOOyx^lnx] dx, уA) = О, у(е) = Зе^. х''(у')^ + 18х2у2 + ЭОх^у + 16х^у'] dx, уA) = О, у(е) = бе^. x^(y')^ + 8ху2 + 72ух^ 1пх] dx, уA) = 1, у(е) = Ъе^. Зх5(у')^ + 15х^у2 + 36х\ - 14х%'] dx, уA) = 1, у(е) = 2е2. Zx\y'f - ЪАх^у' + Зх2у2 - 84хЗу] dx, уA) = 2, уB) = 10. x2(y')^ - Юхуу' - Зу2 - 4у] dx, уA) = 4, уB) = 7.
232 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 88. J{y) = [ [x^iy'f - Пх'^уу' - 3x2/2 - Юх^у] dx, у{1) = 3, уB) = 10. 1 2 89. J{y) = J [а;2(у'J - Uxyy' -у^ - ^ху\ dx, уA) = 2, уB) = 6. 90. J{y) 1 ^'^ir^y' dx, уA) = 1, уD) = 8. Найти значения вещественного параметра а, при которых на допустимой экстремали достигается минимум (91—93): 1 91 о 1 92 о 1 93 о Найти допустимые экстремали (94—101): 1 94 о 1 95 о 7г/2 96. J{y) = J [{y'fsmx + 2ycosx]dx,y{^^^ = ^'^ (D = i* 7г/4 1 г 1 Ау) = I [у ~ 2у' + а(уТ] dx, у@) = О, уA) = 1. о 1 . J{y) = 1 [(уТ + axiy'f] dx, у@) = О, уA) = In |1 + а|. о 1 J{y) = J[x^x^^y'^ a(y')^] dx, у@) = О, уA) = 1. о ?и допустимые экстремали (94—101): 1 Лу) = |у"(уТй^, у@) = О, уA) = 1. о 1 Ау) = I [уЧу')'' + 9у2] dx, у@) = О, уA) = -5. 97. Лу) = | (^) -^ху'^у dx,y{0) = l,y{l) = e-\
§ 19. Простейшая вариационная задача 233 J{y) = 1 [Inу' - Зуу' - ху'] dx, у{1) = -1п2, 2/B) = 0. 98. 99. Jiy) 1/2 у + ху' --{y'f dx,y{0) = ly(\ V2- 100. J{y) = I [у'еУ + x\y'f] dx, y(l) = 3, yB) = 2. 2 101. J{y) = J\^y'siny+^{y')A dx, y{l) = 0, yB) = 3. В задачах A02—105) показать, что допустимая экстремаль не дает экстремум функционала: тг ■ т-1 О [у) - уу +2ysma; dx, у@) = О, уGг) = Уз {уГ - У + 18у dx, у@) = 4, уGг) = 0. 104. J{y) 105. J{y) = / [(V)^ - О 7Г 25 Г + 68е^у )^ - ттг/^ + бОжу 10 dx, у@) = 9, уGг) = 9е^. dx, у@) = О, уGг) = 1б7г. Показать, что простейшие вариационные задачи A06—107) не имеют смысла: 1 106. J{y) = j [х^у' + 2ху] dx, у@) = О, уA) = 1. о 2 107. J{y) = I ^ [ху' - у] dx, уA) = О, уB) = 2.
234 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Ответы к задачам § 19 Примечание. В ответах у{х) обозначает допустимую экстремаль, абсолютный минимум обозначается абс. min, а абсолютный максимум обозначается абс. max. 1. у{х 3. у{х 5. у{х 7. у{х 9. у{х 11. у{х 13. у{х 15. у{х 17. у{х 19. у{х 21. у{х 23. у{х 25. у{х 27. у{х 29. у(д; sha; she , абс. min. Ino; ^ = о; + :;—-, абс. mm. 1пЗ = -е^^, абс. min. о = —г, абс. min. х^ = —, абс. min. X 2sh| = 7^, абс. min. ^ ж^ In о;, абс. min. 2. у(а; 4. у(а; 6. у{х 8.у{х 10. у(^ 12. у{х 14. у(а; = a;^D1na; + 3), абс. min. 16. у{х = a;^C1na; + 2), абс. min. 18. у{х = —— In ж, абс. min. 8 = Ino; + 1, абс. min. 3 1 ^ . = X -\—, абс. mm. X 1 . = X -\—;=, абс. mm. у/х \пх Ы2 , абс. min. = eh-, абс. max. 20. у{х 22. у{х 24. у{х 26. у{х 28. у{х 30. у(а; 1 — In ж абс. min. sh2x —^r^— 1, абс. mm. o2x 1 = e — - cos a;, абс. min. In a; h 2, абс. min. X shx 1 shTT 2 sin a;, абс. min. Л(.-1,-...с.... = x\nx, абс. min. = д:^D1na; — 5), абс. min. = In a;, абс. min. = In sin a;, абс. mcix. = I + —^ абс. min. 1 , = Ж H—, абс. mm. X 2 1 ^ . = ж H—-=z, абс. mm. = 1 , абс. max. X = sh2a;, абс. min.
§ 19. Простейшая вариационная задача 235 31. 32. 33. 35. 36. 38. 40. 41. 42. 44. 46. 48. 50. 52. 53. 55. 57. 59. 61. 63. у{х] у{х] у{х) У{х] У{х] У{х] у{х] У{х] у{х У{х] У{х. У{х. у{х у{х у{х у{х у{х у{х у{х у{х — 4х, абс. min. = l4i" -^J+^'"^'^ 9 За; ^ ^ = о;" + — + 1, абс. max. = —-tgx -г sin о; + 1, абс. — x•^, абс. max. = v 4 — а;2, абс. min. 2 1 ^ . = X , абс. mm. х ) = -(sinо; - COSX + 1), абс. 1 2 1 = -о; + 1 , абс. min. 2 X ' = a;^ + 1, абс. min. 1 = о; -f е^, абс. min. X 1 = е2 — 2х, абс. min. 1 — X + е~^, абс. min. . min. 34. у{х) min. 37. у(х) 39. у[х) min. 43. у{х) 45. у{х\ 47. у{х) 49. у(а;] 51. у(х) 1 = е"^ -f 5 -f sin2x, абс. min. \ — х^, абс. max. 4 з; X 1 — —^ -^ абс. max. о; 4 4 3 2 . 1 = —о; Н—, абс. mcLX. X 2 "^ ) — X — 2а;2, абс. max. ) = a;^ — -о;^, абс. max. ) = ^10-42^ _ е^^ абс. min. 54. у(а;' 56. у{х\ 58. у(а;) 60. у(а;^ 62. у[х) 64. у(а;' = 1, абс. шал. = A — х)е~'^ + -а;^, абс. min. = sin о;, абс. min. = In A + х^), абс. min. = е~2 + е^, абс. min. = sin 2а; + 2a;^ — тго;, абс. min. — е^ •\' sin о;, абс. min. — х^ — 2а;^, абс. min. 2 1 ^ . = о; Н—^, абс. mm. х^ 2 = За; , абс. min. X = 62 + 4 - a;^, абс. min. = e^^ — а;^ -f 1, абс. min. = х^, абс. min. X
236 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 65. у{х) 67. у{х) 69. у{х) 71. у{х) 73. у{х) 75. у{х) 77. у{х) 79. у{х) 81. у(а;) 83. у{х) 84. у(а;) 85. у(а;) 86. у{х) 88. у(а;) 90. у{х) 92. у(д;) 94. у(а:) 96. у{х) 98. у(д;) 2sh2a; — chx, абс. min. 68. y{x Ay/x — 3, абс. max. 70. y(a; a; , абс. min. X = -77 — y/x, абс. max. 5x x'^ = -j —, абс. max. = —о Tj ^6c. max. «2 72. y{x 74. y(a; 76. y{x 78. y(a; 80. y(a; 82. y{x X — X , абс. max. 2x — x^j абс. max. 5x^A — ж + xlno;), абс. min. a;^(l + 31n^a; — In a;), абс. min. x{2x — 1 + In a:), абс. min. 3 1 ^ . = X :r, aoc. mm. x"^ = 2 sh Зж 4- sh X, абс. max. = --x'2 — X 2 абс. mm. 2 2 ^ = —ж H—7=, абс. max. л/х = -—, абс. min. ox x + 1 , абс. min. X 4-1, абс. min. a; H—, абс. min. X = E1na; — 2)a;^lna;, абс. min. = X + X, абс. min. = 2x^ + ж, абс. min. = x\/x, абс. min. = ln|l + ax\, a > 0. = |.„[l+(e!-lL 87. y{x) = 89. y{x) = 91. у{х) Зж + 1, абс. min. a; + ж, абс. min. = a; + a;*^ — a; 4o o>0. 7Г = a; — 1 ^ 93. y{x) = 95. у{х) 97. y(a;) 99. y(a:) sh-7= , a^O. sh •\/a -\/9а:2 + 16х. 1 v/1 + (e2 - l)a -(xH-lJ.
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 237 100. у{х) = 1 + -. 101. у{х) = ж^ - 1. X § 20, Обобщения простейшей вариационной задачи 1. Задача со свободным концом и задача вез ограничений. Рассматривается J{y) = / F[x,y{x),y{x)]dx, где функция F{x,y,p) удовлетворяет тем же условиям, что и в предыдущем параграфе. В отличие от предыдущего § 1 функция у{х) должна удовлетворять лишь одному граничному условию у{а) = А, Задачей со свободным концом {х = Ь) называется задача нахождения слабого экстремума J{y) в классе непрерывно дифференцируемых функций j/(x), удовлетворяющих условию у (а) = А. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция у{х) является решением задачи со свободным концом, то необходимо она удовлетворяет уравнению Эйлера ар ^_d_aF _ ду dx ду' и граничному условию вида dF[x,y{x),y'{x)] ду' = 0. х=Ь Решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее условию j/(a) = Л и указанному условию при X = bj называется допустимой экстремалью задачи со свободным концом. Задачей без ограничений называется задача нахождения слабого экстремума J (у) в классе непрерывно дифференцируемых функций j/(x), не удовлетворяющих каким-либо граничным условиям при х = а и х = Ь. Дважды непрерывно дифференцируемое решение у{х) задачи без ограничений необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера и граничным условиям вида дР[х,у{х),у'{х)] ду' дР[х,у{х),у'{х)] ду' = 0. х=Ь
238 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Пример 1. Решить задачу со свободным концом 2 Лу) = 1 ""^ "yy'-{yV + Sxy' X dx, уA) - 0. Л Уравнение Эйлера имеет вид Экстремали задаются формулой С* у{х) = -^ + С2х'^ -х^. х^ Граничное условие при х — 2 находим из уравнения ар ду' х=2 6ж - Г2 X у~2у' + 8х = -2у'B) + 16 = 0. х=2 Отсюда j/'B) = 8. Это условие вместе с условием уA) = О определяют допустимую экстремаль у{х) = х^ — х'^. Пусть г]{х) — произвольная непрерывно дифференцируемая на [1,2] функция, для которой 7^A) =0. Тогда AJ(y) = J(y + r/)-J(y) •2 -1{ 6ж-12 X {У + Гт' + 'П')-{У'^-П'?+ бх — 12 1 + Ъх{у' + V) — уу' + {у'У - Ъху' \dx = 2 Лба; — 12 1 — (то' + уг]' + щ') - 2ijri - [rlf + bxrl I dx. 1 Если проинтегрировать по частям слагаемые в этом интеграле, содержащие ту', воспользоваться уравнением Эйлера для у{х) и условиями у'B) = 8, 7?A) = О, то получим Д7(у) = -| W + -,^' dx < 0. х^
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 239 Значит, допустима51 экстрема^ль у{х) в рассматриваемой задаче дает абсолютный максимум. А Пример 2. Решить задачу без ограничений, если 1 Jiy) = l[{y'f + y' + 2ye-]dx. О л Уравнение Эйлера у" ~ у — е^ дает множество экстремалей задачи у{х) = Cie~^ + С2е^ + т:^^^- Граничными условиями для у{х) являются: у'{0) = у'A) = 0. Определив Cj и Сг из этих граничных з'словий, находим допустимую экстремаль ^^ ^ A - 2е2) е^ - е2-^ 1 ^ ^(") = W^) ^2"'- Для всякой непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции ri{x) имеем i ^J{y) = J{y + г])- J{y) = l[2y'r/ + {r]'f + 2уг] + г]^ + 2e^r]]dx = о 1 1 = 2у'{х)ф)\1^^ + 1Фу + 2е- - 2y"]dx + ^[(V)^ + rj"] = О о 1 = jlirir + ri'Vx, о так как проинтегрированная часть обращается в нуль в силу граничных условий у'@) = у'A) = О и первый интеграл равен нулю в силу того, что у{х) удовлетворяет уравнению Эйлера. Поскольку из полученного равенства следует А J {у) > О для всех рассматриваемых г?(х), то у{х) дает абсолютный минимум. А Решить задачу со свободным концом A—10): 2 1- о J{y) = l[2xy + {yT]dx,yiO)=0.
240 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 1 2. Ну) = J[2y + Qy' + ivT] dx, y(o) = 0. 0 2 3. J{y) = I [x^y'f + 6y2 + 2x'y] dx, y(l) = ^. 1 1 4. J{y) := f[y + xy' + {y'f] dx, y@) = 0. 0 2 5. J{y) = J [x^yf + 12?/^] dx, y(l) = 97. -<v)=/F-!^ dx, y{2) = -. 7. J{y) = J [xHy'f + W] dx, yB) = 49 24' г. 8. J{y) = y^ \x^{y'f - ^{x^ - x)yy' + 4y2 + Sx'^y'] dx, yB) = -7. 1 3 9. J(y) = / [Syy'lnx - xiy'f + бжу'] <^a;, yC) = 15. 1 Решить задачу без ограничений A1—12): т/г 11. Jiy) = I [4у2 + (у'J + 2усо8ж] dx. dx, уB) = 10.
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 241 12. Л.) = / , ;.9 V^ 2у1пх ^B/0^ + — + X X dx. Найти допустимые экстремали в задаче без ограничений A3—15): 13. J{y) = J[2y + уу' + хНу')^] dx. 14. J{y) = J [^У- уу' + <У'?] dx. 15. 1 J{y) = j[2yy'^-{y'f]dx. Ответы к задачам п. 1 § 20 1. у = — 2а;, абс. min. 6 ^•^=2^б-^У'^^'-^^^- 3 96 , 5. у = X Н—J, абс. mm. х^ 7. у = X + г-^, абс. mm. 6Х^ 2. у = —За;, абс. min. X 4. у = —-, абс. min. 6. у = х Н—, абс. min. X 8. у = 1 — 2а;^, абс. min. 10. у = х^ + х, абс. min. mm. 9. у = 2х^ — X, абс. max. ^^ . 1 /2ch2x Л ^ 11. у = ~- I —; hcosx 1, абс 5 \ 8П7Г / 1 / в \ X 12. у = [х j — Inx, абс. min. 13. у = In— — Inx + 2 14. у = X + 1 + -j^. 15. у = 0. X In 4 + 4 -6. 2. Функционалы, зависящие от двух функций. Рассматривается
242 Глава 6. Элементы вариационного исчисления задача нахождения слабого экстремума J{yuy2) = / F[x,yi{x),y2{x),y[{x),y2{x)]dx, а где F — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, в классе непрерывно дифференцируемых пар функций yi{x), У2{х) на [а, Ь], удовлетворяющих граничным условиям yi{a) = Ль У2{а) = ^2, уЛЬ) = Bi, У2{Ь) = ^2, где ^1, ^2, ^1, ^2 ~ заданные числа. Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] пара функций 2/1 (х) J 2/2 (х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то необходимо yi{x), 2/2(х) на [а,6] удовлетворяют системе уравнений Эйлера ду1 dxdy[ ' ду2 dx ду2 Всякая пара функций, удовлетворяющая системе уравнений Эйлера, называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным условиям, называется допустимой экстремалью. Пример. Исследовать на экстремум функционал, если 2 JB/b2/2) = J[6y^i+x\y[L{y'2?]dx, 2/i(l) = 2/2A) = 1, 2/1 B) = 4, 2/2B) = 2. 1 Д Система уравнений Эйлера имеет вид f 12у1 - [2х^у[]' = О, Отсюда находим экстремали yi{x) = Cix'^ -\—з", 2/2(^) = Cix -f С2. Подставляя 2/1 (^) J 2/2(^) в заданные граничные условия, получаем допустимую экстремаль yi{x) = х^, у2(^) = ^• Покажем, что на допустимой экстремали заданный функционал имеет о о абсолютный минимум. Пусть (см. §1) rii{x) € С^[1,2], г]2{х) € С^[1,2].
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 243 Тогда ^Jim^m) = J {ill +г?1,у2 + Г/2) - Jivum) = 2 - |[6Bу1Г?1 + 'пЬ + х'{2у[г,[ ~Ь G?;J) + {2у^2 + Ш^)]с1х. 1 Интегрируя по частям слагаемые, содержащие г][ и 772, и учитывая, что 7/1 A) = rjiB) = rj2(l) = rj2B) = О, отсюда находим 2 2 AJiyum) = f[12yi - {2х%У]7пс1х - 2 f гУ^г]2с1хА- 1 1 2 1 Первые два интеграла равны нулю, так как yi{x) и У2{х) удовлетворяют системе уравнений Эйлера. Поскольку последний интеграл неотрицательный, то AJ(yi,y2) > О при всех рассматриваемых rji{x) и г]2{х). Значит, пара функций yi{x), У2{х) дает абсолютный минимум функционала. А Исследовать на экстремум функционал, если: 1 1. J{yuy2) = j[{y[? + {y2?]dx, ш@) = У2@) - о, yi(l) = У2{1) = 1. о 1 2. 7(уьу2) = j[yl + {У\? + {У2?¥х. yi@) - о, у2@) = 1, шA) = 1, о У2A) = е. 1 3. 7(уьУ2) = |Ь? 4- У2^ + (у1)^ + [y'2?]dx. ш@) = У2@) - 1, шA) = о = У2A) = е. 2 4. ^(Ш,У2) = j[ny\ + У2^ + x^iy'i? + {У2?¥х, yi{l) = 1, ^2A) = е, yiB)-8, У2B)=е2.
244 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Найти допустимые экстремали E—11): 7г/2 5. Дуиу2) = Jliy'if + (у^J - 2yiy2]dx, yi@) = 1, 2/2@) = --1, ш (I) = О 1 6. АуиУ2) = У^[2у1+у1 + (у1)Ч(у^J]^х,ш@) =0,2/2@) = 1,2/1A) = ^, о .-1 2/2A) = е- 7Г/2 7. J(yi,2/2) = У^[2У1У2 + (Уl)^ + {y2?]dx, 2/1 @) = У2@) = 1, уг (^) = о = У2(|)=е1. 1 8. J{y\,y2) = / [У1У2 + у1У2]б(х, yi@) = 2/2@) = 1, yi(l) = 2/2A) = е. о 7г/2 9. J{yi,y2) = / [у1у2 - ШЫ^^» Ш@) = У2@) = О, у1 (^) = у2 (I) = 1. О 1 10. 7(уьУ2) = j[2yl + 2у1У2 + {y[f - {y'2?]dx, yi@) - У2@) = о, у1A) о = 2she, у2A) = -2she. 7г/2 п. 7(уьу2) = |[2ylУ2-2y^ + (yl)^-(y^)^]dx,yl@) =У2@) =0,у1 (|) 12. Показать, что задача на экстремум при 1 ^(УЬУ2) = J[yiy2 + y2y[]dx, yi@) = у2@) = о, yi(l) = У2A) = 1 о не имеет смысла.
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 245 Ответы к задачам п. 2 § 20 1. yi{x) = У2(^) = ^, 2i6c. min. 3. yi{x) = У2{х) = е^, абс. min. 5. yi{x) = е^, у2{х) = -е"^. 7. yi(x) =У2(^) = е^. 9. yi(^) = У2{х) = sinx. 11. yi{x) = xcosx + sinx, У2{х) = жсозж — sino;. 3. Функционалы, содержащие производные второго порядка. Рассматривается задача нахождения слабого экстремума b 2. yi{x) 4. yi{x) 6. yi{x) 8. yi{x) 10. yi(x) = X, У2{х) = e^, 2i6c. min. = x^, У2(^) = e^, 2i6c. min. д;2 = У2(ж) = e^. = 2shx, У2(^) = ~2shx. J{y) = j F[x,y{x),y'[x),y"[x)]dx, где F — заданная трижды дифференцируемая функция своих аргументов, в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций у{х) на [а^Ь]^ удовлетворяющих граничным условиям у{а) = Аи у'{а) = ^2, у{Ь) = Ви у\Ь) = ^2, где Лх, ^2, Bi, jB2 — заданные числа. Если четырежды непрерывно дифференцируемая на [а^Ь] функция у{х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то у{х) необходимо на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона дР d дР d^ дР = 0. ду dx ду' (ix^ ду" Всякое решение этого уравнения называется экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным условиям, называется допустимой экстремалью. Пример. Исследовать на экстремум функционал, если 1 J{y) = f[{y'? + {y"?]dx, у@) = у'@) = О, уA) = е - 2, у'{1) = е - 1.
246 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Л Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид -2y" + 2y^^^=0. Экстремали задаются формулой у = Cie^' + C'ze-'^ + С^х + С4. Используя граничные условия, получаем допустимую экстремаль у[х) — е^ - X - \. Покажем, что у{х) дает абсолютный минимум функционала. Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции ?7(х), удовлетворяющей граничным условиям 7?@)=V@)=r/(l)=r?'(l) = 0, имеем 1 ДJ(y) = J{y + П)- J{y) = jWn' + {ri'? + 2yV + {7i"?]dx. 0 Проинтегрируем no частям первое слагаемое один раз, а третье слагаемое дважды. В силу граничных условий для 7]{х) проинтегрированная часть обратится в нуль и получаем 1 1 ^J{y) = j\-2f + 2y''']rjdx + j[{n'f + {n"?]dx. 0 0 Так как y{x) удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона, то первый интеграл равен нулю. Поэтому 1 о Значит, у{х) дает абсолютный минимум функционала. Исследовать функционал на экстремум, если:
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 247 1 1. J{y) = j[^2xy + {y"?]dx, у@) = y'{Q) - О, у{\) = i, у'{1) = ^. о 1 2. J{y) = j[2e-y - {y"f]dx, у@) = у'@) - 1, уA) = е, у'A) = 2е. о 7г/2 3. J(y) =: j[2y^mx-\-{y"f]dx, у@) - О, у'@) - -1, у (|) - -1, 1 4. J(y) = |[4(у'J + (y"?]dx, у@) = у'@) = О, уA) = ^(е^ - 3), у'A) = = ^(e^-l). 2 1 о 1 J {у) = /[У^ + 2{y'f + {y'T]dx, у@) = у'@) = О, уA) = 2she, у'A) = 2е. 7r/2V^ 6 J(y) = I [16у2 + (у"J]йа:, у@) = у'@) = у (^) = О, у' (^) = о -2\/2shf. Найти допустимые экстремали G—9): 7г/2 о 7г/4 8 о Лу) = / Ну"? - {y'?]dx, у@) = у'@) = у (I) = о, у' (I) = 2 -1. ^(у) = 1[{у'Г-ЧуГ¥х, у(о) = у'@) = о, у (^) = |-2, у' (^) = 0.
248 Глава 6. Элементы вариационного исчисления 7г/2 J{y) = fiy^- 2B/')^ + iy"f]dx, у@) = у'{0) = О, у (|) = ^, у' (|) О = 1. 10. Показать, что задача на экстремум при 1 Ау) = J[xy" + 2уу' + y']dx, у@) = у'@) = О, уA) = у'A) = 1, не имеет смысла. Ответы к задачам п. 3 § 20 1. у{х 2. у{х 3. у{х 4. у{х 5. у{х 6. у{х 7. у{х 8. у(х 9. у(а; х^ + х^ — x^ 1, абс. min. 4! \5 = е^ + е (х — X ), абс. max = —sinx + х 7ГХ" , абс. min. = - (e^^ - 2х - l), абс. min. = 2х • shx, абс. min. = 2sh f x\/2j • cos (xV2V абс. min. = X — sinx + A — — ) A — cosx). = cos 2x — sin 2x + 2x — 1. = xsinx. § 21. Изопериметрическая задача Изопериметрической задачей называется задача исследования слабого экстремума функционала о J{y) = jF[x,y{x),y'{x)]da
§ 21. Изопериметрическая задача 249 в классе непрерывно дифференцируемых функций у{х) на [а,Ь], удовлетворяющих граничным условиям у{а) = А, у{Ъ) = В и условиям связи вида ь Kj{y) = / Gj[x,y{x),y'{x)]dx = Ij, j = T7n, a где A, jB, /j, j = l,n — заданные числа. Здесь F и Gj — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, j = 1,п. Пусть задано лишь одно условие связи о К{у) = j G[x,y{x),y'[x)]dx^ L Введем в рассмотрение функцию L{x,y,y',X) = F{x,y,y') Л-\С{х,у,у'), называемую лагранжианом, где параметр А G i? называется неопределенным множителем Лагранжа. Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а^Ь] функция у{х) является решением изопериметрической задачи и при этом первая вариа- о ция SK[y[x),r]{x)] ^ о для всех г]{х) G С^[а,Ь], то у{х) необходимо на [а,Ь] удовлетворяет при некотором значении А уравнению Эйлера вида ду dx ду' Решения этого уравнения называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие граничным условиям и условию связи, называются допустимыми. Пример. Решить изопериметрическую задачу, если J{y) = / {y'fdx, у{0) = 1, уGг) = -1, / ycosxdx = -. о о Л Уравнение Эйлера для лагранжиана L = {у')^ + Xycosx имеет вид 2у" = Acosx.
250 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Экстремали задаются формулой у{х) = Cix -\- С2 — --cosx. Используя граничные условия и условия связи, получаем допустимую экстремаль у{х) = COSX. Покажем, что на ней изопериметрическая задача имеет абсолютный минимум. 7Г Возьмем любую rj{x) G С^[0,7г], для которой / rjcosxdx = 0. Тогда на о у{х) 4- г]{х) определен функционал J{y) и можно рассмотреть 7Г AJ{y) = J(y + rj)- J{y) = I [2y'v' + Wf] dx. 0 Интегрируя no частям первое слагаемое и учитывая, что г/@) = //(тг) = О, получаем AJ{y)=^-2 Ifvdx^ ji'n'fdx. о о в силу уравнения Эйлера и условия связи для 'q{x) 7Г 7Г / y"r]dx = X Tf cos xdx = 0. о о Следовательно, А^(У) = 1Ы fdx > О о и, значит, у{х) дает абсолютный минимум. Решить изопериметрическую задачу A—10): 7Г 7Г 1. J{y) = / {y'fdx, у{0) = О, у{7г) = 7г, / ysinxdx = 0. о о 1 1 2. J{y) = J {y'fdx, у@) = О, у{1) = е - 3, У уеЧх = 0. о о 1 1 3. J{y) = [{y'fdx, у@) = 2е + 1, у{1) = 2, / e'^ydr = е.
§ 21. Изопериметрическая задача 251 1 1 4. J{y) - j{y'?dx, у@) = О, у{1) = 2, Jxydx = 1. о о 5. Ау) = 1[у' + (уТ] dx, у@) = О, уA) = -1, 1уе-Чх = ^^^^. о о 1 1 6. J{y) = 1[У^ + {У'Л dx, у{0) = О, уA) = 4е, |ye^dx = 1 + е\ 1 i Г. J(y) = / [2ху + {у')^] dx, у{0) = О, 1/A) - 3, /*:rydx = 1. о о 1 1 7. 0 о 2 2 8. J{y) = J xiy'fdx, у{1) = О, уB) = 12, / xydx = 9. 1 1 9. о о 7Г 7Г 10. J(y) = / [{y'f Ч-у'^ + 2ycosj:] da.\ у@) = 2, уGг) = -2, / ycosxdx = о о = 7Г. 7Г 7Г J{y) = 1 [2у-\- Зу' + (у')^] dx, у@) = О, уGг) = тг^, fysmxdx = tt^-L Найти допустимые экстремали изопериметрической задачи A1—14): 1 1 11. J{y) = I [2уу' + (уТ] dx, у@) - уA) = О, J[Axy' + yy']dx = 4. о о 1 1 12. J{y) = j[yy' + 4V](i:i^, У@) - уA) = О, У [2уу' + [y'f] dx = 4. о о 1 1 13. J{y) = j [уу' + 2(у')^] dx, у@) = уA) = О, j[yy' - %xy']dx = 8. о о
252 Глава 6. Элементы вариационного исчисления i 1 14. J{y) = Jlyy' - 8xy']dx, y{0) = y(l) = 0, y* [yy' + 2{y'f] dx = 8. 0 0 7Г 7Г Найти минимум J (у) = / (y')^dx, если y@) = ^(тг) = О, / y^dx = 1. 15 1 . Найти минимум J{y) = / [j/^ + (у)^] dx^ если у@) = у{1) = О, о 1 fy^dx=: 1. Ответы к задачам § 21 1. у{х 2. у{х 3. у{х 4. у(а; 5. у{х 6. ^(ж 7. ^(ж 8. у{х 9. у(а; 10. у{х 11. у(а; 12. ^(ж 13. у{х 7Г" = Ж —-- sinx, абс. min. о 2(е^~1) , ^, ^ = — \- [е — 1)х, абс. mm. 1 — е = 2е^""^ — X + 1, абс. min. 9х - 5х^ ^ = а,бс. mm. 2 = —хе^~^, абс. min. = 4x6^, абс. min. = Зж, абс. min. = 4 (ж^ — l), абс. min. X тгх 2 = — + -— Н— sinx, абс. min. 2 2 7г = 2cosx, абс. min. = Q{x^ -х). = ±2\/3(ж-х2). = б(а;-а;2).
§ 22. Строгий слабый локальный экстремум 253 14. у{х) = ±2^3 {х'^ - х). 15. -1. 16. 1 + 7г2. § 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче Рассмотрим простейшую вариационную задачу: 6 Jiy) = / F[x,y{x),y'{x)]dx, у{а) = А, у{Ь) = В, а где функция F является трижды непрерывно дифференцируемой при всех X Е [а^Ь] и всех (у,р) € В?[у,р). Если у[х) — допустимая экстремаль (см. § 1) этой задачи, то положим Р(х) = д'т ду /2 у=у(х) , Q{X) = d^F d d'^F 1 [ ду'^ dx дуду' J y=y(^) Говорят, что выполнено усиленное условие Лежандра, если Р{х) ф О для всех X Е \а^\}\. На [а, Ь] рассмотрим задачу для уравнения Якоби: Р(х) с?гл(а;) dx - Q(a;)^(a;) = О, и{а) = 0. Если каждое нетривиальное решение и{х) этой задачи не имеет нулей на (а, Ь], то говорят, что выполнено усиленное условие Якоби. Теорема. Если: 1) у{х) — допустимая экстремаль, 2) выполнено усиленное условие Лежандра, 3) выполнено усиленное условие Якоби, то при Р{х) > О на [а, Ь] у{х) дает строгий слабый локальный минимум J(y), а при Р{х) < О на [а, Ь] у{х) дает строгий слабый локальный максимум J(y). Пример. Исследовать на слабый экстремум, если 7г/2 J{y) = I [у'-(у')']^^' 2/@) = О' у(f) = 1-
254 Глава 6. Элементы вариационного исчисления Л Для нашего примера уравнение Эйлера 2у-^[-2у'] = у" + у = 0 дает экстремали у = Cicosa; -h C2sinx. Граничные условия выделяют допустимую экстремаль у{х) — sinx. Усиленное условие Лежандра выполнено, поскольку Р — -—-рг = — 2 < ду'^ < 0. Уравнение Якоби имеет вид - 2и = 0. dx -2 — dx Нетривиальные решения этого уравнения, удовлетворяющие условию и{0) = О, имеют вид и{х) = Csinx и не обращаются в нуль при всех х Е @?";7 • Следовательно, выполнено усиленное условие Якоби. Значит, у{х) = sin .х- дает строгий слабый локальный максимум. А Исследовать на экстремум A—9): 1. J{y) = [{y'fdx, 7/@) = О, уGг) = атг, а ^ 0. о 1 2. J[y) = j [{yf + ^{y'f -f у'] dx, y@) - 0, 'y(l) - 1. 0 1 3. J(y) = |^,y@) = 0,y(l)=:l. 0 2 1 2 5. J(y) = y^^,y(l) = l,j/B)=4. 1 2 6. J(y) = Jx^y'fdx, y{l) = 0, yB) = ln2.
§ 22. Строгий слабый локальный экстремум 255 • J{y) = JyHy'fdx, уA) = 2, у{2) = 2ч^. 1 . J{y) = / ^da;, у@) = 1, уA) = е. О 2 . J{y) = I е-'^ [{y^f - у'] dx, у{\) = е, уB) = Ответы к задачам § 22 1. у{х) = ах дает строгий min при а > О и строгий шах при а < 0. 2. у(х) = X дает строгий min. 3. у(х) = ж дает строгий min. 4. у(х) = ~х^ дает строгий min. 5. у{х) = х^ дает строгий min. 6. у{х) = In ж дает строгий min. 7. ^(х) = 2>/х дает строгий min. 8. у(^х) = е^ дает строгий min. 9. у{х) = е^ дает строгий min.
список ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1984. 2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. 3. Галеев Э.М., Тихомиров В. М. Краткий курс экстремальных задач.— М.: Издательство МГУ, 1989. 4. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике.— М.: Физматгиз, 1958, т. 1; 1959, т. 2. 5. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. — М.: Наука, 1980. 6. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Высшая школа, 1978. 7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981, т. 1,2. 8. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. 9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982. 10. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 11. Сидоров Ю.В.,Федорюк М.В., Шабунин Н.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1982. 12. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959. 13. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1988. 14. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1992.