Text
                    Госуд«рс1»яи»-ый комитет СССР по народному образованию
сбоиши ашч
по линейной алгебре
. А .
Утверждено райсоветом МГТУ
как нпебнг^ пееев1^ -^ курсу
"Линейная алгебра”
Под редакцией С.К.Соболева '
Издательство МГТУ
1991

ББК 22.143 С23 Рецензенты: В.В.Дуров, А.С.&чков С23 Сборник задач по линейной алгебре: Ученое пособие/ В.И.Леванков, Е.Н.Мирославлев, С.К.Соболев, В.Ю.Чуев; Под ред. С.К.Соболева. - М.: Изд-во ЖГУ, 1991. - 156 с. Z5&V 5-7038-0688-7 Охватывает о^новше разделы линейной алгебры, каждый из которых содержат краткие теоретические сведения, решения типовых примеров и большое количество задач. Как правил, за- дачи с нечетными номерами рекомендуются для реиэния в ауди- тории, с четными - для самостоятельного решения студентами Трудные задачи помечал! звездочкой. Задачи снабжены ответами приредсны варианты индивидуалы» заданий. Рекомендуется студентам 1-го курса но может быть полез- но студентам старчик курсов. Ил. 2. и . ББК 22.143 ISM 5-7038-0688-7 © ЖГУ ям.НЛ.Б^шиш, 1991.
ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. МАТРИЦЫ , 1.1. Операции над матрицами............................. 4 1.2. Ранг матрицы..................................... 12 1.3. Обратная матрица................................... j? 1.4. Использование обратной матрицы для решения систем линейных алгебраических и матричных уравнений.......... 20 Глава 2. СИЛЕНЫ ЛИНЕЙНЫХ УВАВНЕНИ! ..................... 24 2.1. Общие сведения.................................. 24 2.2. Ращение систем линейных однородных уравнений..... 26 2.3. Ращение систем линейных неоднородных уравнений.... 31 2.3. Некоторые приложения систем линейных уравнений... 35 Глава 3. ЛВДЕЙНЫЕ ПРОСТРАЖТВА .............................. "3.1. Определения и примеры линейных пространств........ . 38 3.2. ж "чнейная зависимость. Базис. Коопи»’-—' 48^''* 3.3. Подпрос.,. Глава 4. ЕВКЛВДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 4.1. Определение и примеры евклидовых' пространств .... 55 4.2. Ортогональность. Ортонормированицй.базис.......... 59 4.3. Матрица Грама..................................... ^3 4.4. Метод наименьших квадратов...................... 65 Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ••-•••• 70 5.1. Основные понятия.................................. ?? 5.2. Действия над линейными операторами................ 81 5.3. Собственные векторы лйнёйжх операторов............ 85 5.4. Инвариантные подпространства....................... W 5.5. Линейные операторы в евклидовых пространствах..... 92 Глава 6. КВАДРАТНЫЕ ФОРМЫ. ....23 6.1. Основные понятия.................................. 98 6.2. Приведение квад^тичнойформы к каноническому виду 101 6.3. Знакоопределенные квадратичные формы......... 107 6.4. Исследование кривых и поверхностей 2-го порядка с помощь» квадратичных форм........................ ОТВЕТЫ ТЗЩкйГ,.............................. П8 ВАРИАНТЫ ИЦДИВадУАЛЫШХ ЗАДАНИЯ................ 138 3
Глава I. ЖТРЩИ I.I. Операции над матрицами Определение. Матрицей размером (порядка) пип. наэывает- ся прямоугольная таблица чисел, имеющая т ст^ок и п столб- цов Как правило, матрицу обозначаются заглавными латинскими буквами, а ее элементы - соответетвуюиими строчными буквами с двумя индексами, первый из ко^рых обозначает номер строки, а второй - номер столбца: л / Л /а X Л • ?) =s( . . . ... •• • ) v n mi.. . Определение. Матрица, имеющая одинаково^ число строк и столбцов, называется квадратной. Определение. Главной диагональю квадратной матриц А, •<*- —;в, л<Вь тти^пональ, состоящая из элементов , •>* » j»*** ' . J--—.. у лальной ^ввл¥ все ее элементы вне главной диагонали равны нулю: при Определение. Квадратная матрица А называется верхне- треугольной (нижнетреугольной), если все ее элементы, находя- щиеся ниже (выше) главной диагонали,' равны нулю, т.е. ’ а\/ Ж ° 4 йтределени^. Единичной матрицей называется диагональная матрица , все диагональные элементы которой равны единице: Определение, Матрица произвольных размеров называется ну- левойt если все ее элементы равны нулю. /о о ... 0\
Определеннее В^тршлм А и В называются равными, если у них одинаковые размеры и все соответствующие элементы попарно равж. Определение ♦ Суммой (разностью) матриц А и 8 одного и того же порядка mк а называется матрица С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и в : Л > в*(*1рт*п > С~А±в i с = /.,./??, Jп , QmbxtJteW*. Произведением матрицы А *<ас;)тяп на число Л € А называется матрица 8 , каждый элемент которой равен произведению этого числа Л на соответствующий элемент матрицы А , т.е. . Опре деяние. Следом квадратно? матрицы А **(ас ) назы- вается сумма элементов ее главной диагонали: Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц SA- 28 » гяе 7з I -2 0\ /7-2 0 1\ А - ( 5 -2 I -I 1 £-(-3 6 4 0 ) \0 2 -4 у \ I -I 2 -3/ Рваение. Матрицы А и в имеют одинаковые размеры, поэтому все указаюме операции над матрицами выполнимы. I. Умноавем матрицу А на число 5: (5 3 5*1 5*(-2) 5*0 \ /15 5 -10 0\ 5-5 5Ч-2) 5«1 5-(-1>) = ( 25-10 5 -5 ) £•0 5»2 5«(-4) 5*3/ \0 10-20 15 / - 2. Умножаем матрицу В на число 2: /2«7 2«(-2) 2-0 2’Т \ /К -4 0 2\ 28 - ( 2«(-3) 2«б . 2-4 2-0 ' - ( -6 12 8 О J \2*1 2«(-1) 2-2 2-(-3)/ \ 2 -2 4-6/ 5
3. Находим разность матриц 5Л и Z8 : /15-14 5-(-4) -10-0 0-2 \ / I 9 -10 -2\ . 25Ч-6)-10-12 5-8-5-0 ) (31 -22 -3 -5 ) \0-2 ? ТО—(—2) -20-4 15—(—6^/ \-2 12 -24 21/. Пример 1.2. Найти сумму матриц Решение. Матрицы Л и В имеют разню порядки, поэтому их сложить нельзя. Определение< Произведение Ав матриц Л^^ и В существует только если п , т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Произведением матриц А**(а<- ) и В * ахр HaattBaeTC* матрица С элемент^ тяа которой, стоящий в I —Й строке и у -м столбце, равен сумме произведеюШ соответствующих элементов с -й строки матрицы Л и у -го столбца матрицы В , т.е. п , ^. “^7 б/. Замечание. Операция умножения матриц свойством коммутатив- ности, воооще говоря, не обладает. Арифметические операции над матрицами имеют следующие свойства: I) А+В=8+А; 2) А+(в*С) -<А*В) + С} 3) (<*+jB)A = об4 +J3A ; 4) ^64^-о64 ; 5) А СВ С) - (АВ) С ; 6) (А^в) С ~А С + В С ', А(В^С)-Ав^АС > 8) АВ А ; 9)^4-Л > где В < единичная матрица; 10) если 4 иквадратные матрицы одинаковой порядка, то cfr't(A8)-ctetA- det8} где det А - определитель матрицы А • б
Пример 1.3. Найти произведения (если они существуют) мат- риц АВ и ВА , где Решение. ^Ысло столбцов матрицы А равно числу строк матрицы в • поэтому произведение АВ существует: /1-3 2\ /о n /l-2f(-3)-5*2-3 I.(-IM-3)-0f2*I\ Д7 Ц Г /5 0-4 ng 0 IJ 5-2fO*5H-4)-3 5- (-!)♦(). Of (-4). В /-2 -9 I Г13-2 7/L J 13-2f(-2)-5*7-3- 3-(-B*(-2)-0f7-ini7 4 \0 1-1/ \0-2fI.5*(-I)-3 0-(-I)^b0f(-I).I/ \2-I/ Отметим, что получившаяся матрица имеет четыре строки - столько же, сколько у матрицы А , и два столбца - столько же, сколько у матрицы в . Произведение матриц В А не существует, так как количество столбцов матрицы В не совладает с количеством строк матрицы А . Пример 1.4. Найти значение матричного многочлена /Й) - А *- ЗА * •»£ где fl -1 0 \ Л =( 3 2 -5) • \4 0 7/ Решение. , / /-/ // -/ 0\ I) Л^-ЛА-! 3 £ -J)( 3 £ -гГ)- •\4- О X/V О tj +(-l)-3+O4 i(-J)+(-y-e+0O i f \ f-Z -3 S\ .З.'^3-3^(-3)-^ 3(-i)f£2^(-3)‘O i -w i+03* f v o / \лг-* 2) /I -I 0\ /3"! 3-<-I) 3-0 \ /3 -3 « \ м-здз 2 -5)i(3-3 3-2 ЗЧ-5)} - I 9 6 -I5h \4 0 1/ \3-4 3-0 3*7 / \{2 0 21/ 3) /4 0 0\ • */“ .( 0 4 0 J; \0 0.4/
4) /-2-3*4 -3-(- 3)|0 5-0+0 \ AT 0 5\ A*-3A*£ - (-11-9*0 1-6+4 -45-(-I5)+o) « (-20 -I -30 I. \ 32-12*0 -4-0+0 49-21*4 / \20 -4 3$/ Определение* Матрица в называется транспонированной к матрице Л«( &~А т )» если строки матрицы в яв- ляются столбцами матрицы 4 , т.е. В ~(6-\ , где dr' _ у Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы. Операция транспонирования удовлетворяет свойствам: I) (А±в)т~аг£ Вг , 2) МА)Г-ЛАТ} 3) (Ав)Г-ДГАГ; 4)(4Г)Г=Л. Пример 1.5, Транспонировать матрицу /2-13 5 \ А -( 0 2 4 -I ) \1 -6 7 $/' Ответ; г Лт 2 -бЛ - — Мз 4 7 J \б -13/. I Определение. Квадратная матрица 4 . л называется симметричной, если А А , т.е. есди все ее элементы, распо- ложенные симметрично относительно главной диагонали, попарно равны: а.^. . Определение. Квадратная матрица В навивается кососимметрической, если Аг»-А , т.е. ее*элементы, располо- женные симметрично относительно главной диагонали, противопо- ложны по. знаку; а... - - а ... , с j - Z. п .В частности, -0. V У' 8
Задачи А. Найти линейные комбинации матриц:
I. II. A = (4 О -I 3 2), Z2\ f-1.12 A -(2-3 5 -I), В. Вычислить: + l-13- (ГХЭС:Э. г,Л4- G 1)G DG D, Г. Выяснить, коммутативно ли произведение матриц А пЗ j 4 1.17. /I О О\ /-3 о 0\ А =(о -3 0 ),£-( О -4 О ) \О О £/ \О О 2/ • -)• 1.18. /2 О О\ /-3 О О\ А =1 О -I О Ь= О 4 О ) \О О 7/ - \О 0 2/ • :D.4H).4ba,--G Ml D. +l-2I-'-G D. ^1.23. /I 2 I\ /2 0 3\ • A =1 О I 3 ) з =(-I 2 -4 I \I -2 V ' \4 I I/ ’ 10
J. 24. /2 7 3\ /7 -6 I\ 4-394), 0-/-S 3 I ) \I 5 3/ \6 -3 -3/ Д. Найти значения матричных многочленов j(a) : £ 1.25. J(A)^A3-3A^ ZA-^£ • где /I А А2 -IX з) к 1.26. J(A) -А3^ЛАг-ЗА-3£ 9 W <3 I5) г 2?. •j-LW. J(A)^AX-3At2£ • где а 2 -I I 3 \-2 0 1 ^1.28. JCA)^A2^^A-3£ » где /-2 0 3 \0 5 -3/. Е. Доказать, что произведения матриц ААТ и АгА всегда ; еуивствуат и является симметрическют. Вяшсшть аа т а Л ГА I ' для следуирсс матриц: ' ' ' Р~1.29. /I ЗХ - 1.30. /3 ОХ |о '• "Vi 2/- ’ А 4-2 V • I-I.3I. /I 2\ - 1.32. /2-1 ЗХ Г А -(-3 0 ) М> I 4/ . ' \4-2/- -1.33. А -(2 -I 3 0). 1.34. 1.36. Домазать, что лобум квадратцр» матрицу иожно однозначно представить в виде сумм симметрической и кососимметрической матриц. 1.3Б. Доказать, что если А - кососимметрическая матрица, то А п - сюшетркчаская при четном п к кососпаютричеакая при нечетном п . • 1.37. Проверить, справедливы ли следупаяо матргане тождества: а) (А^Л)2»ал>Ш^8*} 6) (А+ЫА-М-Л2-#2; Ч'Т
(Л+Е)3~А3+ЗАг+ЗА*£.. 1.38. Вычислить An , если: а) /I I\ . б) /I I\ в) /О I 0\ . A \I 17' Л=\0 17' л«(о 0 i); \ \0 0 0/ г) /О I 0\ д) /I I I\ e) /* 0 0\ И=|0 О I к 4*0 0 Ok Л-(0 Л O) \I 0 0/ \0 0 Q/ \0 0 ^/ . 1.39. Пусть А и В - матрицы порядка т*п и п*т соот- ветственно. Доказать, что АВ и ВА имеют одинаковый след. 1.40. Матрица называется стохастической, если cywa элементов любой е* строки равна I. Доказать, что произведение стохасти- ческих матриц - тоже стохастическая матрица. I.4I. Найти все квадратные матрицы 2-го порядка, квадрат ко- торых равен: а) нулевой матрице; б) единичной матрица. 1.42. Пусть А и в - квадратные матрицы одного и того же порядка. Доказать: a) det (AB)*=det (BA) ; ti}det(An) =s(detA) . 1.2. &нгматрэдц ' • Определение, 1Ынором£-го порядка матрицы называется определитель, полученный из ее элементов, стоящих на пересечении произвольных Л строк и Л столбцов, Л п) • Минорши первого порядка являются сами элемен- ты матрицы. Определение, Гангом 164) матрицы А называется число t • равное наивысшему порядку автора,отличного от нуля, т.е. I) у матрицы А есть хотя бы один шкор порядка Y , отличный от нуля; ~ ” 2Гвсе миноры матршдо А порядка Тх*/1и таме равйы ц^йГ™ Следствие I. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов). 12
Определение, Любой отличный от нуля минор матрицы д , порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором. Теорема о базисном миноре. Строки (столбы) базисного ми- нора (матрицы Л ) линейно независимы. Каждая строка (стол- бец) этой матрицы являемся линейной комбинацией строк (столб- цов), в которых расположен базисный минор. Следствие 2. Ранг квадратной матрицы равен ее порядку тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Определение, Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие: I) перестановка двух строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам одной строки (столбца) или вычитание из них соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число. ? Определение. Матрица В * полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований ( В^А ), называется эквивалентной матаиде Л 4 • Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. 4 Существуют два способа вычисления рента матрицы: I) метод "омШшх миноров*; 2) метод элементе ршх преобразований. При нахождении ранга матрицы по методу "тшМлтоцих ми- норов” следует переходить от вычисления миноров меанчих по- рядков к минорам больших порядков. Если найден минор к -го порядка, отличный от цуля, следует вычислить все . ( Лг*/ )-го порядка, окаймляющие этот минор, т.е. подученные из него добавлением некоторой строки я шкоторого столбца. Если все они равны цулю, то Аг . Если найден отличный от цуяя минор (А// )-го порядка, то* следует вю-ислить все миноры ( к+2 )*го порядка, окаймляющие этот н/чпр и т.д. Пример Lfeft. Найта ранг матрицы /10-2 -I 3\ л J 3 ~2 ° -4 7 1 I 2 2 ID -I 8 J XI -2 -4 5 -ЗХ . 13
Решение, I. Поскольку среди элементов матрицы А есть ненулевые, возьмем произвольный отличный от нуля минор 2-го порядка (например, минор, стоящий в левом верхнем углу) = 1з-г| 2. Окаймляем этот минор оставшимися строками и столбцами всевозможными способами: а) I о: -2 1 I о :-2 Л = о о U з о - 0, 3 2 2 10 3 1 1 I о: -I I 0! -I 33) А — со 1 лэ 1 n Я 0, Z1 = ч» в с/ в со —14 / 0. 3 2"“ У -I 3 Y -2 5 3. Так как найден отличный от нуля минор 3-го порядка, то Х(А) 3 . Окаймляем этот минор минорами 4-го порядка всевозможными способами (их два): I * -I: -2 I о -1; з а) А « 3 -2 -4,' 0 « 0, л - 3 -2 -4; 7 « 0- У I _-2_ _5j -4 у I -2 5J -3 2 2 -I 10 2 2-18 4. Поскольку все миноры 4-го порядка данной матрицы рав- ны нулю, то ХСА) ~3 . Недостатком вышеизложенного метода является то, что про- цесс нахождения ранга матрицы методом "окаймляющих миноров1* может оказаться довольно трудоемким. Например, в данном случае потребовалось вычислить семь определителей* Менее трудоемким способом нахождения ранга матрицы явля- ется метод элементарных преобразований* Он состоит в том, что с помощью элементарных преобразований со строками матрицы она Ф водится к ступенчатому виду, После чего определить ее ранг не представляет затруднений. Определение. Элемент I -й матрицы назовем отмеченным* если он отличен от нуля, а все элементы .гой строки, находя- щиеся левее него, равны нулю. Определение* Матрица А называется ступенчатой, рсли отмеченный элемент каждой последующей, строки находится пра- вее отмеченного элемента предыдущей. _ * Теорема.Каждую матрйт элементарными преобразованиями(толь- ко над с .’роками)можно привести к ступенчатому виду. 14
Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее нену- левых строк (строк, в которых хотя бы один элемент отличен от куля). Пример 1.7, Найти ранг матрицы: ZL 0 2-1 3\ . /з -2 0-4 7 Л I 2 2 10-1 8 у -2 -4 5 -3/ Решение* Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для это- го сперва подучим нули ниже элемента , затем ниже от- Подучаем ступенчатую матрицу (отмеченные элементы обве- дены кружком), которая имеет три ненулевых строки. Следова- тельно, Поясним испольуемые обозначения для записи элементарных преобразований со строками матрицы. Например, запись во вто- рой строке И-3*1 означает., что во второй строке овой мат- рицы записывается разность второй строки и трех первых строк исходной матрицы; запись 1У в третьей строке означает, что третья строка новой матрицы равна четвертой строке исходной матрицы и т.д. Цустое место в записи элементарных преобразо- ваний строки ( ) означает, что она остается без изменений. Задачи Ж. Найти ранг следующих матриц:
1.45. /I 2 3 0\ \ 1.46. Л 2 3 4\ . (О I I I ) \ ( 5 6 7 8!. \1„.,3 4 I/' ’ \9 IO II Ig/ 1.47. 2 -3 О -Г\ 1.48. /Ъ . О -2 5 Г\ / 2 -I 0 4 3 А [ I 2 3 0 4 А \ 3 -4 3 8 7 у I б -2 -7 .10 -6 / XJ -3 3 4 • \g 4 0 5 9/' 3. Найти ранг матриц при различных значениях параметра^ : 1/49. Xi 2 -I 0\ 1.50. XI -3 2 ОХ I 3 -J -2 2 А ( 2 -3 -I 3 Л к 2 5 -I 0 / I 3 -6 -I 0Л / XI -I 0 ЛХ • 4-201/. I.5I. Доказать, что ^ГЛ 0 ч» . Т.52. Доказать, что £бЛ#МгГЛ> и *t(AB)^ ч(В)* 1.53. Доказать, что А+6)< + г(8) . 1.54. Доказать, что если С - квадратная невырожденная мат- рица, то гСАС)^ гГЛ)и хССА)** ?СА) . 1.55. № азать, что г<Л <4? « Г) « X/). 1. 56. Доказать, что если и (А) - / , то Л есть произведе- ние некоторого столбца на некоторую строку. ’ 1.5?. Пусть АЗ - С и /где А* получена из А эле- ментарными преобразованиями над ее строками. Доказать, что матрица С9В может быть по/учена нз С по- следовательностью тех же элементарных преобразований > над ее/строками. . L58. Доказать аналогичное задаче (L57) утверждение, касаю- шееся столбцов матриц В и С « 1.59. Элементарной называется матрица, подученная из единич- ной одним элементарным преобразованием над ее строками (столбцами). Написать элементарные матрицы З-rcf поряд- ка, соответствующие: а) перестановке I-й й 2-й строк; _ ’ . б) перестановке 2-го и 3-го столбцов; ъ - в) умножению 3-й строки на ; г) умножению 1-го столбца на Л ;
д) прибавлению к 3-й строки. I-й, умноженной на Л ; 1 е) прибавлению ко 2-му столбцу 1-го, умноженного на Л ♦ U60. Доказать, что каждое элементарное преобразование над строками (столбцами) матрицы Л ’ равносильно умножению А слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу. 1.3. Обратная матрица Определение. Квадратная матрица А называется обрат- ной к матрице А , если A’*A -AA4=F, где £ - единич- ная матрица. Матрица, имеющая обратную, называется обратимой. Определение, Квадратная матрица А называется вырожден- ЦОЙ, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в jпротивном случае. ' ' • •Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тог- ,да, когда она невырождена. \ Определение * /матрица А . , построенная из алгебраичес- i ких дополнений некоторой квадратной матрицы и затем транспо- ^нированная, называется присбединенной матрицей. Присоединенная матрица’ обладает следующими свойствами: о I) лл =лл --det(A)-S) < 2) если матрица А невырождена, т.е. det (А) , то Л'/= , з-;г> * det (А) Пример 1.8. Найдите матрицу, обратную матрице Q -II . . \р .4 -2/ Решение. I) находим ' 11—3 2 detbfy* 3 0-1 |0 4-2 Ю X О, т.е». матрица А невырождена и поэтому она тлеет обратную 2) .находим алгебраические дополнения данной матрицы: -1 | » 4, а =-1"3 21 » 2, Л J"3 21 - ж -2 1 • I 4 -21 I О -II >’1о -I -2 » 6,
3) составляем из полученных алгебраических дополнений матрицу, транспонируем ее (получится присоединенная 4 ) и делим на det <4? « iO , получаем обратную матрицу: 4) проверка: г/4 2 3X/I-3 2\ J /10 0 0\ Л 0 0\ 7)(3 О-ГГдНо 10 0 )«( О I 0)-£. V2-4 у\р 4-§/ \р o iq/ \0 О I/ Пример 1.9^ Найти присоединенную матрицу для матрицы Л (А *\ \с <*) ' Решение, Вычислим алгебраические дополнения матрицы: / Чс?w * С > Отсюда 9 а ' - fd А 7 ~ (г- а/ Vе -А a J * Таким образом, для матриц 2-го порядка присоединенная матрица получается перестановкой элементов главной диагонали ( а и d ) и изменением знака у других двух элементов ( 6 и С ). Если det (3) ~ad-6cAOf то ”4 ad- 6 с Vс ‘ Обратная матрица может быть также найдена методом элемен- тарных преобразований над строками матрицы следующим образом^ дополняем невырожденную матрицу А п, -го порядка справа единичной матрицей того же порядка; получаем матрицу (А]3 размером /г * £/г , а затем элементарными преобразованиям^ нац ее строками цриво;им эту матрицу к виду ( F|5 )• Тота в=А-{. ' 18
Пример I.10, Методом матрицу, обратную матрице элементарных преобразований найти /2 0 -1\ А • • ( 3 I Q ) \-2 4 3/ бдение, Запишем матрицу ( А | Е тарные преобразования с ее строками. Г2. О -I 3 I О 1-2 4 3 О О I С О I П-1 /III I ~( 2 0-1 М. \0 4 2 /I I I Л 0 -2 -3 Ш:(-4) \0 О I и проведем элемен- -I I 0\ 10 0) lk2-1 - I 0 у IM-1 -I I 0\ 1-Ш ’ 3-20] 1кЗ-Ш -7 1-1/ Ч V -3 I -I -s 8 2 8 9-13 В 2 5 -7 I -IУ - •X: О 0\ I 0 ) «£ О I/ I О О О I о 0 0 1 ) Задачи И. Найти матрицы, обратные к данным; И.61. /I -2\ > " -t 1.62 /2 -1\ (-1 з/. V.V- -t.63. / 3 О] f 1.64. /-I 1\ \-1 I/ • \0 -2/ . - t.65. /I 2 I\ . f 1.66. / 2 2 3\ 3 0 4) ( I -I 0 ) 0 5-1/. \-1 2 I/ 19
1.67. :.68. де -з 1Д ($3-4 5 ) \$3 -5 -у К. Доказать следующие равенстве1’ 1.69. det . 1.70. J/et (Л )=(<№.*) > где п . порядок матрицы п . 1,71. (А8)'1 = В~1 А'1\ 1,?а ~ltr^(AT) 1. 1.73. Пусть >4 - квадратная матрица, причем +А+£~О* Доказать, что Л “ (А + £~). Чему равно А $ * 1.74. Пусть О . Доказать, чтоб5-ДГ ~£+А+Л • 1Л5, Доказать, что если А - невырожденная симметрическая матрица, то и А^ ~ тоже симметрическая. 1,76. Доказать, что если А - невырожяеннвЯ кососимметри- ческая матрица, то и А~* - кососимметричесв^’ 1.77. Пусть А - диагональная матрица, все Яиагональные элементы которой не равны нулю. Доказать, чт0 мат₽иЦа А'’ тоже диягональна. \ 1.78. Пусть А - верхнетреугольная матрица, все Диагональные элементы которой не рявш нулю. Доказать, ~ тоже верхнетреуголъная* ^пользовэниё Обратной матшпьмВля реиешя систем линейных алгеб^ическцх ц Уравнений Система т линейных уравнений' с /г ^^звестшик в матричной форде иожэт бйгь записана как где А * иатриф» коэффициентов ^системы; ж* - столбец' неизвестных; & * столбец свободш^ членов; т.е.
Если т п и матрица Л невырождена, то решение системы . существует, единственно и дается формулой X -Л’7в. Аналогично решаются уравнения, в которых неизвестным является, не столбец, а целая матрица. А именно, пусть А и 8 - невырожденные квадрат»» матрицы порядка т и /г . соответ- ственно, С - Матрица порядка т*п , X - неизвестная матрица того же порядка. Тогда следуювде матричные уравнения имеет единственные решения, задаваемые указанными ниже фор- мулами: . . I) лх-<? ^>Х=Л б ; 2)Х2? «Г 3) АХЗ - С + X *А ~‘с В Пример I. II, Решить систему линейных уравнений в матрич- ной форме биение. Запишем данную систему уравнений i матричной 3 2^ (или ЛХ=г* ); I I II ' . • 1 3 2.2^0 2 --2 : 1| , значит система имеет един- ственное решеже. Найдем обратную матрицу А'1 \ > . 1 3 21 ш 7 , II 2| ' ч . II 3| М-г i| ’• л«-1г i| л«-|г .2|--в.. А =Н I П = -3, A М » -I, А -I1 М = 4, 1-2 1| ’ -?2 |2 1| ’ ^"|2 -г] ’ ' ' ' '21
V, Л --I1 Ч « -I, А -I1 Л » 2, V |l 2| ’ & I з| Л det А А Тогда Окончательно получаем [cTj « 2 . Пример 1.12, Решить матричное уравнение Решение. Идеей уравнение вида АХ * 3 I» Наедем определитель матрицы А : 13-2 </еб4= О I -I - I/O,. . 2-14 поэтому существует обратная матрица А и уравнение одно- значно разрешимо. 2. Найдем А : о 'W-Ц.-Ц"3' 4"-:Гг ‘II 1°г JH1 ^'\г "II в. л«'‘1г 22
3. Окончательно подучаем /3 -Id -l\ /6-4 5\ Л 0 -1\ Хм-^«(-2 8 I) Г-1 2МЗ -2 2 \-2 7 I/ \7 -2 -у V -I 0/ • Пример 1.13, Рвяить матричное уравнение 0 -р а 5 Решение. I. Найдем определители матриц, стоящих в левой части уравнения АХ8 ~ С : rfe^felo "l| e 1 0 / “i| -1*0 2. Найдем обратные матрицы А~\ В' ' ^Ср. *ЧР. 3. Найдем неизвестную матрицу зс : р GP CP-QP.. Задачи Л. Решить системы линейных уравнений матричным способом: 1.79. 2-Xj +3х* * S, 1 Ь80. ’ -Kj-Xf -2 , Х{-2х^ = -3. Зх^ *2хг~ 3 . I.8I. f 1.82 3xf ^ хл “ . ^Xy “^3x^ ~ • 1.83. X{ *4хл ^2х^ « 1, Jxj, * Xg - = 3 xf-^x. “S, 2Xj ~3хг “ x. 1.65. ' Zxt i-x^ . =/ ! 1.86. +ЗХ2 ~ * > • +3х9 2з.л - х^ = 2 } Jx^ -Xj - Ю. 2x. -3xa-X. L • J 23
М. Нмвить матричные уравнения: — 1.93. /3 2 1\ /О I 1\ '1.94. ХЗ I О\ /5 I 2\ х( 2 I 3.L-2 I 3] у( 2-1-2 ) = |-7 2-2 1 \1 3 ч з У- \-4 O-V \I2-4-7/. Глаяа 2. СИСТЕМЫ ДЖЕЙНЫХ УЯ&ВНЕЮЙ 2» I. Общие сведения Пусть дана система />? линейных уравнений с у? неиз- . вестньми: , аг/ f (2. i) о . а^ч * атг * • • • * °/«zt 6т, мли в матричной форме 2? t *- * где
Определение, Если В « О » то система уравнений {2.1) шпвается однородной, в противном случае она называется не- дородной. Определение. Матрица, составленная и? коэффициентов при ^известных, называется матрицей системы. > Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при «известных и столбца свободных членов, называется распни- Виной матрицей ( Л | В ). Определение. Система уравнений (2.1), имеющая хотя бы Шно решение, называется совместной, Система уравнений (2.1), W имеющая ни одного решения, называется несовместной. Определение, Две системы линейный уравнений называются фвива лентяями» если множества их решений совпадают. Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений |2.I) совместна тогда и только тогда? когда ранг матрицы сиг- 4емы равен рангу расширенной матрицы, т.е. Х(А) « xfAlB). При решении системы уравнений (2.1) возможны следующие Случаи: I) если ii64) < х(А\В) » то система (2.1) несовместима, Т.е. не имеет решений, что следует из теоремы Кронекера - Ка- пелли; . ? 2) если xC4)* Х(А где 7г - число неизвестных, то система (2.1) имеет единственное решение, В этом случае система (2.1) содержит /г линейно независимых уравнений. После отбрасывания оставшихся (/7?-/i ) уравнений, являющихся их линейными комбинациями, получим квадратную систему /г уравнений с п неизвестными и отличным от нуля ?•определителем. Поэтому система имеет единственное решение, Которое можно найти или пр формулам Крамере, или методом эле* ;йентарных преобразовав!, или с использованием обратной мат* ‘ рицы; 1 3) если = а - число неизвестных, тс ^система X 2.11 имеет бесконечное множество решений, В этом случае система уравнений (2.1) имеет х линейно независимых ^уравнений, остальные.уравнения являются их;линейными комбина- циями. * ... ' 25
определение, Неизвестные, коэффициент которых образуют базисный минор матрицы системы, называются базисными* Остав- шиеся неизвестные - свободными. * • Оставим в системе (2.1) г линейно независимых урав- нений е коэффициенты которых образуют базисный минор матри- цы. В левой полученной системы уравнений оставим базис- ные неизвестные, а свободные перенесем в правую часть. Окон- чательно получим систему t линейных уравнений относительно Г базисных неизвестных, В случае (который не ограничивает общности), .хогда базисный минор матрицы системы расположен в первых х строках и /Г столбцах, полученная система имеет вид Поскольку определитель получившейся системы уравнений (2.2) отличен от нуля, то при каждом конкретном наборе зна- чений * г/ > - * Сп~Х Э система (2.2) имеет единственное решение. ТЬгда соответствую- щее решение системы (2.2) и, следовательноt исходной систе- мы (2.1) имеет следующий вид: (2.3) > <?Л-гбЛ * л—t Определение. Формула (2.3), выражающая произвольное реше< ние системы (2.1) в виде функции ( /z-t ) свободных неизвест- ных, называется общим решением системы (&I). 2.2. Решение систем линейных однородных .уравнений Пусть дана система линейных однороднее уравнений <г_4) или в матричной форме ЛХ - О . Данная система всегда сов- так как имеет тривиальное решение *4? .
рля существования нетривиальных решений необходимо и доста- точно выполнение условия -X == г (А)< jto равносильно условию de КАО , когда матрица А - квад- ратная. Теорема, Совокупность решений системы линейных однород- ных уравнений образует линейное пространство размерности (/г- г ). Это означает, что произведение ее решения на число, а также сумма и линейная комбинация конечного числа ее решений являются решениями.этой системы. Линейное пространство реше- ний любой системы линейных однородных уравнений является под- пространством пространства А? п (см. главу 3). Определение. Любая совокупность ( /г -г ) линейно неза- висимых решений системы линейных одно родных уравнений (являю- щаяся базисом впространстве решений) называется фундаменталь- ной совокупностью решений. Укажем способ построения наиболее простой фундаменталь- ной совокупности решений. Пусть-xz базисные не- , известные, , - свободные неизвестные. Дадим свободным’Переменным поочередно следующие значения: 0; ’ ~ О' 0; ”“0: S’- I. Определив значения базисных переменных, соответствующие каждому набору значений свободных переменных, подучим реше- Построенная Таким образом система решений системы урав- нений (2.4) называется нормальной Фундаментальной совокупностью решений. Легко заметить, что система решений (2.5) является 27
линейно независимой. Тогда общее решение системы (2.4) зап ается в следующем виде: у e - yf/Z Z. г™ *СП~Х> X с{Х + с£Х ★...+ Cn-xX , где , .... - произвольна постоянные. Пример 2, L Найти общее решение системы линейных одно- родных уравнений* \ X 7 J 2xj-x£+2xj+Sx^-о, х^ *t%x£ **iOx^ -О, 2х{ ~/Хх£ ~€Xj -х* ~ О . Решение. Запишем матрицу системы и приведем ее к. ступен- чатому виду с помощью элементарных преобразований над ее стро- По лучившаяся ступенчатая матрица имеет раю*, равный двум. Примем Xj и х£ за базисные неизвестные, Xj и х^ -за сво- бодные. Получаем следующую систему уравнений: ‘ {x^Zx£^-3x3-^ t I J ~~4x, - lx* . - - , Тогда L J / ХЛ X- I L j « I • Ц-^-^ | l Л3 I \ -^3 I V . Д Xj \xvl \ xv . / . V . 1 V Обозначив для удобства записи 'Xj м х* ’i3icje того чтобы избавиться от дробей), окончательно получаем
|в приведем ее ряду: Пример 2.2, Найта общее решение системы линейных одно- (одна уравнений: f f3x,-3Xg~3Xj + х* • О, I- J х{-х^Чх3 + 9хч » Of I х^Ях* -Чх**О. биение. Переставив последнее уравнение систеш на пер- вое место (для того чтобы az/ = / )» запишем матрицу системы элементарными преобразованиями к ступенчатому ° /120 -4\ -5 I A WIJ 0 -4 -5 13 \ПМ1 ~ -4 9 J ИМ \ О -3 -4 13 ) I 5/ IDf-24 \0 -7 I IQ/ 1У-11-4П ймг подучившийся матрицы равен 4, т.е. числу неизвест- ных, поэтому данная система имеет только тривиальное решение Задачи А. 2.1. Найта общее решение систем линейных однородных уравнений: "•*/ - jt'» 0, —2.2. Г х. +я. + jc я <2, < <!Ху * Xj 1 * Ях^ - О, ж/ ~ &Xj • <2, Jty ^Зх* * - A. «* 3 ~£ » 0. -2.3. 1 aci~JCi^JC3‘'°> 2,4*Г хг^ж^-Зх3~О, Zx. ^3^ел - w О. 4 Zxt О,
-—2.5. ГДяу J Xj +Xg * Х3 --X* Wz &Х/ - Zx* tJx^+Zx^ -6>. — 2.7 ^-^*<^-<4-4 J'*S“4 л> -3x3*4x3-£x**Of \ *'х* fixt ^х£ +х3 •о." [ л^:.-^*л^*/Лх^«й.' — 2.9. г jry*2x^ *Ху ~2jc^ * О, Дгх^зх^ъ-^о, + ^3 ® О > JCf + 0< ' 2.10» Г jc. у ^jcy -12 ' I jf < : . ч>-' 7 : '* ; ytx, ^SXg +3x3-Xx^ » O^ tfx, -i&x3 Б. При каких значениях параметра Д еистемы^однородшх линейных уравнений имеют ненулевые реоения? Найти эти реяв- ниг. — 2. II. —2.13. f xi^2x^Zx3^Ot '•2.12. ' Xj+Xg-Jxj^O, J ^Xj tx^ ^3xj ~ b, . " [Xx/'S/Xg -XJx^^O. ' х, -Xj -x^-Ot' 2.14. . Гх, /-xg ^x3 +х^ « ot i-Ъ i , ..J -t-xg j-x^ ж О, .. ^х^+х^+Ях^+Хх^О, tx3^-Jx^‘O.
l-Jaj *Zat^ j Зх^+бх^-^-х^ =O, 3xf ^Sxg-Axj - O. _ 2.16. Г я^х^-Хх^Зх* A -х^+Зх^гх^- О, Zxj+lx-x. / 9Ж n. 4 J <J " 2.3. бдение систем линей*»неоднородных уравнений Теопема. Общее решете си£теиы линейных неоднородных урав- нений есть сумма общего реаениЛ соответствующей системы линей- шх однородных уравнений « кадРГО-либо частного решения не- однородной системы. ' В качестве частного решения неоднородной системы удобно ,|зять решение, получающееся щ* рерниг Цулв значениях всех Свободных неизвестных. Ппимео 2.3. Найти общее речение системы линейных неод- нородных уравнений. ' х/ *2xg +2Xj “У , . £х/-3ъ*хз'х* “~9> - ?х^+х* - Зх^ - = <Г> 3xj • 12 . Решение, Выпишем расширен^ системы и приведем 12 2 3 О 15 П Ю 0 0 0 0 15 II 19 гее элементарными преобразования*6* к ступенчатому виду: _ ‘ - - *’ “ " “ К у? 2 15 А ( 0 15 0 / \ ° 0 15/ЯУ-Ц\0 О - Подучили, что ранги матрыМ1* системы и расаиг 'нной матрицы ; равны 2 (меньше количества неизвестных), т.е. система имеет бесконечное мношество решений, Взяв в качестве базисных версионных и , в ка-, , свободных переменных - и , получим следующую < систему уравнений:
Тогда . . . Л* Обозначив Xj 15 су и I5c^ , окончательно подучаем Пример 2.4. Найти общее решение системы линейных неодно- родных уравнений , з биение. Выпишем расширенную матрицу систем! и приведем ее и ступенчатому виду элементарными преобразованиями: Is 5 Получили, что ранги матрицы системы и расшренно* матри- цы совпадают и равны числу неизвестных. Это означает, что дан- ная система имеет единственное решение. Для его нахождения можно получить цулк выв» главной диагонали полученной матрицы с помощью алементарных преобразований: 32
Окончательно получаем Пример 2.5. Найти решение системы линейных неоднородное уравнений < *-&Хг ^ху-Хх* । ix, -xj 3xt ^Кх^г^-Ях,^. Гашение, Поступая аналогично предыдущим примерам, получаем Получаем, что ранг матрицы системы; равен 3, а ранг расширен- ной матрицы равен 4. Следовательно» данная система решений не имеет. 2.17. Задачи В. Найти общее решение систем линейное неоднородных. г уравнений хгзх2-2х3-г, 2‘ю» Г •*/**«> «ме/-#. 5х^ tUx* * х^ *6 3
20. 2.21 [Зх3-х^х3 t*- 2.22. 2.23. 2лу A. ZXj -3j£ *x3 ~3x^ •> 3, 3xt ~3x3 ^x3 -2х^ • 3>xi -!!хг * 8x3 +4х^ a3. ' Xf-3xz^x3 •-!, •, 2xt *6.x^+x3 • 9, xi +2x3’2.. Г ZxfSx^+fyX^-^ J 3xi ~ 4x~ ^Sx.^-Z * Jc JF i „ ,x- ii. ' x3 “ i. 2.24. Г ]•£*/ ^2x3~3x3 +3x* ~^r, [ X/ +23хг - 9x3 +30X* •£. 2.26 лу i<Z^ S • (2х, *3х* ^^хх-гх3г 'Ot •О-Яу ' -2хг t-хлх^ ='з, х/ ^^х^Зх/*-3, Зхл ^2x^5, xi-2x3-xi/^-i) Zxf^Xg~2x3^x^= 1. xi ~2х3^Sx3~3x^ 2xt-3x^FX3~Sx^a I, x3 ~2xj .~х//хг-3x3 *2Xq•-!.
2.29. имкаш*мдо>«мй1|ш уревне^и при различных значениях параметра Л : х2 ^XJ+2x'‘ 1, ЗХ/ ' -^х^~2.х^ = 1у X^xzt-^x3-2x^-Z. 2.31 Г x, -хг-Xj-3X^ = ,?> ~2-o2f =3~, J 4X/J 2x, ^z ~-^*? *%Xy**x* K3/ p-*/ * £x^ = Xrz ~3x> z -Л. L*** '*** '9жз Л'5Ч x y/- 2.33 —2.34 Г *-{, < ^Xj t3x ~6x « 2 > ; Jl . / j£jcy f-3x2~Xj * 3^ £jey ^^3 xy +х =j) . 9. 2.4. Некоторые приложения систем линейных уравнений Системы линейных уравнений находят широкое применение при решении различных задач физики, механики, а также прик- ладных залач-математики, Рассмотрим’ задачу о нахождении не- известных коэффициентов фуюсции. Пример 2.6» Даны функция У * таблица ее значений -I I 2 • Найти неизвестные коэффи- У 10‘ 0 I циенты а , 6 ’ , с • Решение. Подставляя значения аргумента из таблицы в за- данную функцию и приравнивая ее к значениям функции в этих точках, получаем систему линейшх уравнений относительно не- известных коэффициентов a , i t с : * А? ' << а. / 6 + с - О f } /. Вешаем эту систему методом элементарных преобразований: III 0\ /1 I I I-I I 10 МО-2 О J 2 4 V I 3 35
('I о 0 I р о I 5\ /I О О О -бМо 10 I ?/ \0 О I 3\ -5 ) 2/ Подучаем а = 3, 6 « -5, с » 2. Ответ; Некоторые задачи аналитической геометрии также сводятся к решению систем линейных уравнений. । Пример 2.7, Записать канонические и параметрические урав- нения прямой tf : Г = О} г-/#-#. Решение. Заданные общие уравнения прямой { представляют собой систему линейных уравнений, которую решим методом эле- ментарных преобразований: (I -I -I 122\ Л -I -I | 22\ \? 2 -I | 10/ Ч> 4 I I-3V Матрица и расширенная матрица системы имеют рнггравный двум. Взяв за базисные неизвестные х и д , получим с/ Тогда Обозначив ? ~ , получим Тогда параметрические уравнения прямой С имеют вид 'х - <2-6>
Исключив из уравнений (2.6) параметр £ , получим ка- ноническое уравнение прямой £ х 2 3 . г ‘ 3 а х а ч и Д. Найти неизвестные коэффициенты функций, Используя Е. Записать канонические и параметрические ./равнения прямых: 2.39. 2.40. {' х-Ъд'+Яг +2 3xf<j~ g - ? • О, Ж. 2.41. Найти топки пересечения плоскости Л и протлей X’ х+Зд-гг-^о, &
Глава 3. ЛЖЕЙНЫЕ ПГОСТШЮТВА * ' 3.1. Определения и примеры линейных пространств Определение, Действительным линейным пространством назы- вается непустое множество L , над элементами которого опре- делены операции сложения и умножения на действительное число: а, 6 вL ==> а 6; л бг L» ? «Л ' о. & L те-, что выполняются следующие свойства - аксиомы линейного пространства (а с е 6 # ) : I) а + £ — £ s-a j 2) a +(6*c)=fa + 6) + c j 3) ' Vae L (а+б~а) >} 4) Va€ L -7: a+6 = O, Этот элемент & называется противоположным к а и обо- значается ~ а : a+f-ah О) 5) а Л- 6 \ 6) CX+jll) а «Ла /jU -а ; 7) y (jJL a)^(Xjo.ya 6) /’ Г а . Элементы линейного пространства называются векторами.- Разностью векторов а и 6 называется вектор а-а^(-6). Примеры .«инейных пространств I. Пространства геометрических векторов, а) V- мно- жество всех (свободных) геометрических векторов; б) мнооэство всех геометрическ ие векторов t параллельных некоторой плоскости, • в) И[^] - множество всех геометрических 38 . ‘
векторов, параллельных некоторой прямой, 2* Арифметическое пространство Rп ( п е N ) состоит из всех упорядоченжх наборов из п действительных чисел: Элементы пространства R п называются арифметическими векто- рами. Операции сложения и умножения производятся покомпонент- но. 3. Пространство бесконечдах последовательностей Д? °°. Его элементами являются всевозможные бесконечные последователь- ности действительных чисел: {«/г аге/?- Зянвйтв операции определяются также, как и в /?Л. 4. Про^а^^^^ а) С[а; - С - множест- во всех функций, непрерывных на отрезке fa; ; 6) - множество всех функций, п раз непрерывно дифференцируемых на [а; 4 ]. 5. Пространство многочленов ” состоит из всех многочленов степени от переменных t*. 6. Пространство матриц <Л4/Пха - состоит из всех матриц . размером т*п . Пример ЭЛ, Доказать, что в любом линейном пространстве L О а » б , V'ac L . Решение., Вывод состоит из серии равенств, каждое из ко- торых есть частный случай одной из аксиом (1)...(8) линейного пространства (соответствующий номер аксиомы указан кружочке): О 5ф = [О-З ti a рГ-5) « (0+{)а +(-а) = а +(а ) « О . ф1 J Ф ® © Задачи К В задачах 3.1...3.6 на основании аксиомЛ)...(8) ли- нейных пространств вывести следующие свойства: 3.1. Единственность противоположного элемента С-а) 3.2. - 5 . 3.3. 3 . 39
3.4. Л бТ “ О , Г х 3.5. (а- А 3.6. л - | с Чф Q-trC. Б. В задачах 3.7, ..3.26 проверить, образует ди линейные пространства следующие множества объектов (относительно ес- тественных операций сложения и умножения на вещественное чис- ло): 3.7* Множество всех матриц. 3.8. Множество всех квадратных матриц. 3.9. Множество всех симметричных матриц 5-го порядка» 3.10. Множество йсех треугольных матриц 4-го порядка. 3. II. Множество всех арифметических прогрессий. 0 3.12. Множество всех геометрических прогрессий. 3.13. Множество всех монотонных последовательностей. 3. т4. Множество всех ограниченных последовательностей. 3.15. Множество’всех бесконечно малых последовательностей. 3.16. Atio^ecTBo всех последовательностей <ибона^п< * т.е. удовлетворяющих рекуррентному соотношению , М. ' 3.17. Множество всех комплексных чисел С . » 3.18. Множество всех многочленов. 3.19. Множество всех периодических функций. 3.20. Множество всех функций, имеющих данный период Т . 3.21. - Множеств всех функций,' локально огранкпенных лрилс—jr. 3.22. Множество всех функций, бесконечно малых при лг-^оо . 3.23. Множество всех функций, таких, что О 3.24. Множество всех монотонно возрастающих функций. 3.25. Множество всех функций , таких* что О \fac€& . ь 3.25. Множество всех функций, недифференцируемых в точке . 3.2. Линейная зависимость. Базис. Координаты Определение. Совокупность векторов линейно- го пространства L называется линейно независимой. если ра- венство ' _ ° ап ~О f . 40
рпзможно только, при всех - В слуц&е, т.е. =£сли это равенство возможно при некоторых Ду , .♦., Нее все из которых равны нулю), векторы , ..,, а,г на- двиваются линейно зависимыми. L Теорема I. Векторы а, , ...» att линейно зависимы Тогда и только тогда, когда один из них выражается через ос- тальные (в виде линейной комбинации). " Теорема 2. Если к линейно зависимой совокупности векто- ров добавить еще один вектор, то получится снова линейно за- висимая совокупность. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости: I. Для гг геометрических векторов из V : а) при /z = 2 - коллинеарность; б) при /г » 3 - компланар- ность; в) прИ/гг4 - векторы всегда линейно зависимы. /2^ В пространстве &т : п, арифметических векторов а\ . линейно зависимы тогда и только тогда, ког- да ранг матрицы И , составленной из компонент векторов : h AW меньше п , т.е. z(A)< n . При векторы ' линейно независимы. Определение. Система векторов a^J^Z называ- йся базисом в линейном пространстве Z , если V •* линейно независимы; 2) любой вектор £ с L представляется в виде . Это разложение единственно,_и числа ^*z , на- гЩваются координатами вектора в базисе Я ординаты вектора указываются в скобках: ; xz Определение, Если пространство 4 имеет базис (конец- 1ЫЙ) ,то оно называется конечномерным. В этом’случае все его 4зисы содержат одно и то же число векторов, которое называ- йся размерностью пространства 4 и обозначается L » . •41
Теорема. ГЬзмерность линейного пространства L равна максимально возможному числу линейно независимых векторов в L . Базисы_и^разме2ностьввн®кот2рых-влинеЙ№1х пространств I. В пространствах геометрических векторов: а) в И - люб? три некомпланарных вектора, oLim V = 3; б) в Ур]- любые два не ко л линеарных вектора «параллельных плоскости J' j dim Vlt) ~2; в) в * любой ненулевой вектор, параллельный прямой t , 2. В арифметическом пространстве Л5 векторы ez « (I; 0; 0). « (0; I; 0; 0), ...» ёп « (0; 0; I) образуют так называемый канонический базис, ** п. . 3, В пространстве многочленов 5^ [jc ] одночлены I, зс , jc* , . .., также образуют канонический базис, * ПИ . Определение. Два линейных пространства Zy и называ- ются изоморфными ( ), если существует взаимно однознач- ное отображение (/_из Z/ на 4g, такое, что Va </(& + £) = <?(£)<<?(#}f <fCta) Теорема. Каждое п -мерное линейное пространство изоморф- но Д'71. Отсюда следует, что все /г -мерные пространства изоморфны друг другу» и что всякое утверждение, сформулированное в тер-^ минах линейных операций и верное для Р п » автоматически пе- реносится и на любое /г -мерное пространство. Изменение координат вектора при negexo^ejKjqjyroMyj6a3£C£ Определение. Пусть - некоторый базис (ста- рый) » а {а/,..., л Д J - другой базис (новый) в линейном пространстве Z . Матрицей перехода от старого базиса к ново- му называется квадратная матрица Р 9 столбцами которой яв- ляются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Матрица перехода всегда не вырождена: det (Р) & О , Теорема. Пусть вектор 6 имеет в старом базисе коорди- наты ( x/}^t ), а в новом >. Тогда они свя- заны соотношениями:
причем первое матричное равенство равносильно системе Pnj * • ♦ Л/тг/2 = 2 ^’/О/7 z Рп* ’" Р,гг1 — матрица перехода. Пример 3.2. .Исследовать в пространстве ] линейную зависимость многочленов.яга/ / и рз(зс)~ . Решение. Допустим, что какая-то линейная комбинация этик многочленов дала нулевой элемент в [ ]: - О = Ох^Ох'Ср п Подставляя вместо р^зс) их явные выражения и приводя подобные члены, получим (X*хи) = О ьЛ Cl/AJLc *CL - Ъ, a )sO Приравняв- к нулю коэффициенты при зс* , jc и единице, по- лучим систему ранг которой равен 3 и поэтому она имеет только нулевое ре- шение. Следовательно, равенство (3.1) возможно только при \ О . Это и значит, что многочлены р/ос) , Р3 (х) линейно независимы. Пример 3.3, Построить какой-нибудь базис и определить размерность пространства всех последовательностей Фибо- наччи таких, что 43
6 /V, (3.2) Решение. Множество' всех последовательностей Фибонач- чи образует линейное пространство (см. задачу 3.16). Это зна- чит, что сумма двух последовательностей {л>г } и удов- летворяющих ус лов о (3.2)хт где Je/? , также удовлетворяют условию (ЗД). Любая последовательность Змбо- - начни fen} однозначно определяется первыми двумя членами: и . Например, если = 3, а -I, то зс3 и т.п.: \ * {tx}»(3; -I; 2; It 3; 4; 7; II; ...). (3.3) Пусть } е У таковы» что . -5 а/Я I, » 0, т.е. {й/г }«(!; 0;I; I; 2; 3; 5; 8t,^.); бу - 0» • I, 1;1; 2; ЗГ5;13, ...); Покажем, что последовательности } и }образуют базйс в > . Они линейно независимы Стак как не пропорцио- нальны), и любая последовательность Фибоначчи выражается через \ап } и } . В самом деле, пус\ъ {«^} £ & и Рассмотрим {?п}вС{йллинейную комбинацию последо- вательностей J и | с коэффициентами ez и, if поэ- Г -» 171 J •. л тому I j € . Но Это значит, что первые два члена послеДоватетшносгеЙ £X/i и* одинаковые и поэтому они совпадают: Координатами последовательности* £х?а у в этом базисе яв- ляются первые два ее члена: Су -х-у и с? • В частности, 4 для последовательности (3.3) Поскольку_ \ базис состоит из двух элементов, то Ыбгп == • \ Пример 3.4. Доказать, что векторы arz « (1; 0; 0; 0), «, = (-1; I; 0; 0), I; 0) и (0; образуют базис в . Найти координаты вектора 6 ’(I, I, I, I) в новом базисе. Найти координаты вектора с в каноническом базисе, если в новом он имеет координаты с <fl; 2; 3; ^>. Решение. Составляем из столбцов координат векторов мат- рицу перехода. . \ '
/1-1 о 0\ / О 1'1 о \ I 00 ы / \о 0 0 1/ Ее ранг 't(P) « 4, и поэтому векторы <az . аг , а3, а* линейно независимы и образуют базис в . Для нахождения новых координат вектора в <«//J5»;jj;^>peeiM систему X**3 ^£<4;3;2; /> Xj-£ - / Для нахождения старых координат вектора ’> ка" ионическом базисе) умновом матрицу перехода /* на столбец новых координат; Задачи В. В задачах 3.27... 3.36 исследовать линейную зависимость следуптх векторов в указанна пространствах; 3.27. Цусть ЗА BCD - четырехугольная пирамида ( 3 - вер- шина, Ав CD - основание). В пространстве V векторы: a) ZJ , АС и 8$ ; б) Ав и J~ к) & , 3% , SC ; г) Sa , SB ♦ SC и ss , 3.29. Пусть АВСА' В'С' - треугольная призма (АВС - основа- ние^. В пространстве V вектора: а.) АВ , А'С и £?£' б) Вс , АА' и В’С, 3.29. В К3 векторы: <nz- (3;I;2), az (I;0;-I), а3 *(4;I;I'. 3.30. В R3 векторы: 5) - (1;-1;2), а3 » (2;0;1), а3 =(3;1;3). 45
3.31. В И*векторы: (Ii-2;3;4;0) аг* {2;I;2;-Ij2), fl}» (3;-I;4;3;2). 3.32. Бивекторы: a,. (2;-I;3;5), a£ « <-I;2jI;-4), a}» (I; I; 4; I). 3.33. В пространстве far] многочлены: x, P3(x>~x3+/. 3.34. В пространстве pry] многочлены: &*%>•**„*. 3.35. В пространстве Ск ^j(x)^scnxt £(х)~ COSX, 3.36. В пространстве бд функции: ^i(x) = sinxt ^(X>'-Scn3x/ ^(Х)-лп’х. Г. В задачах 3.37. ..3.48 указать какой-нибудь базис и определять размерность следующих линейных пространств: 3.37. з.зв. У2 (-V'?] • 3.39. J . 3.40. иростренство всех нижнетреугольных матриц порядка л. . 3.41. Пространство всех диагональных матриц порядка п . 3.<2. Пространство всех сюметричных матриц трет' iro порядка. 3.43. Пространство всех арифметических прогрессий. 3.44. Пространство всех последовательностей |, удовлет- ворявших рекуррентному соотношению аех^ *afxn„ <„ * afi хп^ s О> Vn€ где ao , ai » ...» - эаданше числа. Од о. Д. Доказать бесконечномерность следуювих пространств (3.45. ..3.48): 3.45. Пространство Л*00 всех Последовательностей. 3.46. Пространство всех .холящихся последовательностей. 3.47. Пространство всех многочленов от одной переменной. 3.48. Пространство всех непрерывных на fl функций. 3,49. Доказать, что в /г -мерном линейном пространстве лю- бые п лине№о независимых векторов образуют базис. 46
3.50. Доказать, что изоморфные линейные пространства имею® одинаковую размерность. 3.51. Пусть-р/, - некоторый базис в линейном про- странстве, и’ V5* ,/о> До- казать, что векторы {£J.toib образуют базис. 3.52. Доказать, что система векторовнекоторого линейного конечномерного пространства Z линейно не- зависима тогда и только тогда, когда ранг матрицы В , составленной из координат векторов в некотором ба- зисе, равен k , Е. В задачах 3.53... 3.60 показать, что векторы 5п образуют базис в соответствую®!* пространствах, и най- ти координаты вектора 6 в этом базисе: 3.53. В Vау ” i # Zj f а • 3.54. В V- 3} 3.55. В Д’*: Оу- (4» 3), о^- (6; -I), 6 - (-7; 9). 3.56. В at~ (1;0;0;0), <5г- (IjIjOjO), 5,- (IjOjIjO), St - (IjO-,0} I), Z - I; I; I; I). 3.57. В пространстве , где at , и 6 суть . многочлен* л-'%Сг- i .-Jtx-i-p» x'-Z и дх-^соот- ветственно. 3.58. В пространстве ffix], где az , &2 и £ суть биномы Лг-2 » xtS, и i-kx • соответственно. 3.59. В пространстве комплексное чисел /Т , где <5>, а2 и Z суть комплексные числа /*< , Z-Z и-л*^г , соот- ветственно. 3.60. В пространстве С , где <5у , а2 и 6 суть комплекс ные числа е1^ , и enit? ( 3.61. Доказать, что если Р - матрица перехода, то столбца- ми матрицы Р~* являются координаты старого базиса в новом. 3.62. Пусть ^aiia2)..,i ап } - некоторый базис в линейном пространстве £ и <C = «Z/ °-n-f г
a) Доказать, что векторы » •••« S образуют базис, и написать соответствующую матрицу перехода. 3.63. 6 пространстве V даны три вектора: < ёз . показать, что векторы \ т же образуют базис; ___ J _ найти в базисе J координаты вектора / который в ба :се _ fl имеет координаты ^<-I;2;I>; ' JJ найти в новом базисе координаты вектора e—ctfy-* кемы два вектора: ej ~3i и б) в) 3.64. В пространстве ; % , образующие новый базис: а) найти координаты вектора a - 3T+3J б) найти координаты вектора / ё* зисе. в новс I базисе) в старом ба- 3.65. Доказать, что в пространстве многочленов [лг] много- члены <Pq(jc) - / , * ..., С образуют базис. Написать матрицу перехо- да от старого (канонического) базиса к новому. 3.66. Пусть некоторый базис в линейном про- стпь.стве 2 . Доказать, что в результате каждого из указанных ниже преобразований над этим базисом (а, б, в) также получается базис: а) транспозиция (перестановка) векторов и а. ( i 1 б) умножение некоторого вектора на число Д ¥ О ; в) замена вектора на вектор ас./Да• , где с . Написать матрицы перехода/соответствуй щие этим преобразо. аниям базиса. 3.67. Доказать, что пространство /] изоморфно Д** . 3.68. Доказать, что пространство изоморфно /?6 . 3.3. Подпространства, Ранг системы векторов Определение, Пусть Д - линейное пространство. Подмно- жество J s L называется подпространством в L , если J также является пространством. Другими словами, J - подпро- странство, если: 4С
D j£Z. ; 2) 3 замкнуто относительно линейных операций сложе- ния и умножения на число: X С 'J? d + S €. *$ И £* чй £ ^4 • а £ , Определение» Если 5} , ..., &k € L , то линейной uoo- дочкой элементов dj 9 • • •, а* называется множество S[S/^ ал] *4 5j4eA>,..., г^л] Линейная оболочка всегда является подпространством в L Говорят также, что ] натянуто на векторы а, , ..., ak или порождено ими. Если векторы о} , ..., а к линейно независимы, то они образуют базис в ак ] Определение, Рангом системы векторов J - некоторого линейного пространства L называется максималь- ное число линейно независимых векторов в J . Если <5 - под- пространство, то tCS) = dim S. Теорема, I. Ранг конечной системы векторов в конечно- мерном пространстве равен рангу матрицы, составленной из ко- ординат этих векторов. 2. Ранг системы векторов ак } равен размернос- ти подпространства, натянутого на эти векторы. Теорема. Шюжество всех решений однородной системы урав- нений .. (3.4) ffll / Шп п. образует линейное пространство J (пространство решений), которое является подпространством в Ж* п ( z? - число неиз- вестных), причем clem = , где г - ранг системы. Базис в пространстве решений х J называется фунда- ментальной системой решений, и общее решение системы (3.4) имеет вид _ _ а) - Пример 3,5. Проверить, образуют ли подпространство сле- дующие множества J элементов в указанных линейных прост- ранствах: 49
a) 5 = Д’2 - в пространстве A* J ; б) £ * V [t ] - в пространстве V [J] ; в) З* состоит из всех целочисленных арифметических векторов ; г,) | е 2 1 в пространстве Т* ; г) в пространстве , где 8 состоит из всех фушс- ций у(зс) , дифференцируемых на Л , удовлетворяющих соотно- шению 0 , где рЫС* . Решение, а) Л* не является подпространством • так как не является его подмножеством (первое состоит из упорядо- ченных пар, а второе - из упорядоченных троек): 6} векторное пространство V [е] является подпрост- ранством только тогда, когда прямая Z параллельна плоскос- ти $ (иначе не будет подмножеством V[5] )» в) указанное множество 5 является подмножеством Rn и даже замкнуто относительно сложения, но не замкнуто относи- тельно умножения (на нецелые числа), поэтому оно не является подпространством; г) поскольку каждая дифференцируемая функция непрерывна, то данное множество 8 яьяя&кж подмножеством . Про- верим, что 8 замкнуто относительно линейных операций: если 8 t д*(х}€ 8 7 т<Г « й ★р(х>&х> ® °- Складывая эти тождества почленно, получаем Аналогично показываем, что ^Сх:)€$> Л€#*&УдСх)€8 , Поэтому S образует подпространство в Пример 3.6. Определить размерность и построить какой-ни- будь базис подпространства в , порожденного векторами а. = (I; 1;-2;3;2), 3* « (2;-1;1;1;0), а - (3;0;-1;4;2), <5, = (0;3;1;2;5). Решение. Составим матрицу, столбцами которой являются координаты векторов и определим ее ранг элементарным преобра зеваниями над строками:
/I 2 3 0\ 4 2 3 0\ I -I 0 3 п- I 0 -3 -3 3 •1/3 Л* -2 I -I I ш- 2'1 0 5 5 I Инб-П 3 14 2 1У-3-1 0 -5 -5 2 DM11 0 2 fj/ У-2* I V -4 -4 5/ У-4*П /1 2 3 0> 3 0> 0 -I -I I 0 0-; [ I 0 0 0 6 о о о Q) «л «=» *л - з. 0 0 0 3 0 0 0 0 \р 0 0 1) \р 0 0 0/ Поскольку элементарные преобразования над строками не на- рушают линейную зависимость столбцов, то в матрице А* (а зна- чит, и в матрице Л ), линейно независимыми будут столбцы ба- зисного минора, например, первый, второй и четвертый (но не первый, второй и третий!). Итак, cfcm 3; в качестве базиса можно взять af , а* и 5* • Пример 3,7. Магическим квадратом называется квадратная матрица, у которой одинаковы сушы элементов в любой строке, в любом столбце и на обеих диагоналях (в разных магических квадратах 5__О___7 6 4 2 18 3 эти суммы могут отличаться). Например, (все указанные суммы равны 12) Требуется описать все магические квадраты третьего порядка. Решение, Обозначим элементы квадратной матрицы X 3-го порядка через : /х> X « { ху jc^. | Равенство восьми величин (в данном случае, сумм) друг другу означает, что все они равны одной (например, первой). Это при- водит к системе семи уравнений с девятью неизвестными: '5 51
Xi * XS * X3 * Xi 'XJ/X3> jt > x3 + =- зс^^+я>3 Перенося все члены в одну сторону и приводя подобные члены, получим систему линейных однородных уравнений с матрицей (I 1 I -I -I -I 0 0 0\ I I I 0 0 0 -I -I -I 0 I I -I 0 0-1 0 0 Л I 0 I 0 -I 0 0 -I 0 I I 0 0 0 -1 0 0 -I 0 I 10-100 0 -I <г г 0 0-1 0-1 о оу • Приводим эту матрицу элементарными преобразованиями (над строками) к ступенчатому виду: /Ф I 0 Ф 0 0 I -I -I -I 0 0.0 \ I -I 0 0 -I 0 0 фо 0 I -I -I 0 А ~а‘ - 0 0 0 ф I I -I -I -I 0 0 0 0 ф-I I 0 -I 0 0 0 0 0 -3 4 ф-2 \р 0 0000000/ Ранг матрицы и системы равен 6, значит множество решений системы, а значит и множество всех магических квадратов третье- го порядка есть линейное пространство размерности 9-6 • 3. Возьмем в качестве свободных переменные качестве базисных - остальные. Положив - получим общее решение:^ с3 f , и’ зс9 , а в <7 хе * Q, я <*,•*> - 3ct-4е3 +2с31 х-9~с3 .
там при с{ , , с3 в выражении для ). Итак, множество всех магических квадратов образует трех- мерное подпространство в пространстве квадратных матриц 3x3, причем каждый такой магический квадрат есть линейная комби-' нация трех полученных базисных магических квадратов. Задачи 3.69. Доказать, что если S - подпространство линейного про- странства L , то <5 & d.cm L, 3.70. Доказать, что clem S Qa ] </? . 3.71. При каком условии б* a* t а3 ] ~ » где ^,**>*3*4 . ’ 3.72. При каком условии «e/г S , где 5/ е V , Ж. В задачах 3.73...3.92 выяснить, образуют ли подпро- странство следующие множества элементов 5 в указанных пространствах: 3.73. В V , где 5 состоит из всех единичных геометричес- ких векторов. 3.74. В V , где J состоит из всех геометрических векторов, ортогональных данному вектору . 3.75. В Я?3 , где о состоит из всех 5та- ких, что а, =» 0. 3.76. В /? , где *5 состоит из всех а^Сс^; га- , ких, что > О . 3.77. В /Rs, где S ; a )l а.. * ~ У} , 3.78. В , где S = ; о.z )| Qj-+ Sa^ = 0^ , 3.79. В пространстве М3х3 , где , 3.80. В пространстве Л1Пм/г » где J состоит из всех матриц которых след равен нулю. 53
3.61. В пространстве pc] , где 3 -fi far] 3.82. В пространстве ^[х] , где 5 - few] 3.83. В пространстве JP [jr] » где S состоит из всех приведенных квадр тных трехчленов вида х^+рзс+у 3.84. В пространстве рг г] , где J состоит из всех однородных многочленов второй степени от переменяя «яг z q.85. В пространстве > где (*>п). 3.86. В пространстве • лде £ состоит из всех функций» которых J‘Cxo) - О . 3.87. В пространстве , где состоит из всех непрерыв-» ных функций» для которыхО Vxefi . 3.88. В пространстве С [а;< ]• где *£ состоит из всех функ- ций» удог отворяющих условиям теоремы Ролля на отрезке 3.89. В пространстве С [а. , где S состоит из всех диф- ференцируемых функций , таких, что^х^Цх^лг^а^ 3 90. В пространстве j , где J состоит из всех функций С^а. & j , таких, что гди /> и - заданные числа. 3.91. В пространстве последовательностей F 00 , где 3 сос- тоит из все., сходящихся последовательностей. 3.92. Е пространстве /? , где Л состоит из всех неог- 3.93. 3.94. раниченных последовательностей. В пространстве R 00 , где $ состоит из всех последо- вательностей Ся’ \ для которых сходится ряд £ х > 1 п > п-t п В прос* 'анстве С |-а j , где 3 состоит и всех функцийд(х)€ [в; ] » ляя которых 3. Определить размерность и найти какой-нибудь базис, для подпространства J : I. 3 есть линейная оболочка арифметических векторов: 3;95. а, » (2; 1;-1;3;-2), - (I;3;0;2}I), S - (1;-2;-1; Ij-3).’ 3.96. ау - (I;2;I;3), ах - (3;-1;1;2) в .(2;-3;и}-1), 5 - С4;1;0;3). о4
П. 5 есть линейная оболочка многочленов: 3.97.. яг#/, Рг<х) p3(x)*Zx*+3 . 3.98. р,(х) ~(X-i)3 p^(x)^(xtр3(х)*Зх*+ i, р^(х)-х 3+Зх. Ш. 5 задано системой однородных уравнений в Г*п : 3.99. ’ xf - Яхг + х? +х^ « О, Zx^x^-x^ 3x^0, л-4. х3 * Зхг - %х3 + Zx^ - о, 3.100. , +Xx-Xj * Zx* +xs - ог . xt-х* + х3 +хч - ZXj. - О, п^6 JCj + 2^- + Зэс^О9 ь Зэс* ^Зос^ - Зяс^ +3эс^ •= О , 3.101. Дать полное описание всех магических квадратов третьего порядка с нулевой суммой по всем строкам, столбцам и двум диагоналям. 3.102. Дать полное описание всех квадратных сийлётричных матриц третьего порядка, у которых сумш во всех строках и на главной диагонали одинаковы. Глава 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 4.1. Определение и примеры евклидовых пространств Опре,,едение. Евклидовым пространством называется линейное пространство Е , в котором задана дополнительная опередил - скалярное произведение - результатом которой является некото- рое действительное число: е Е а 6 е К9 удовлетворяющая следующим четырем аксиомам скалярного произве- дения: I) а 6 «б а - 2)а (£+с)» а< 6 + а с ; 3)ДГа-6)-а5)/; 4) а • а О , причем а а О а д Для 56
чюбых <5. > с е Е и Л Скалярное произведение может обозначаться также <<5, Определение. Нормой вектора а евклидова пространства называется II а Г «• /5 • а ’ . Справедливы следующие свойства нормы: I) IMa II - |> I - II а II ; 2) 1<з 6 I < II а || |1 6 II - неравенство Коши-Буняковского' 3) 11^ J ||^ «а IIHI I * неравенство треугольника. Примеры евклидовых^п^ост^анств I) векторное пространство V . Скалярное произведение геометрических векторов <5 и / вычисляется по формуле 5/ == |а| 11 \canf > где у2 - угол между векторами а и J . Норма совпадает с длиной: || а Ц = | а | ; 2) арифметическое пространство становится евклидо- вым, если скалярное произведение векторов 6п)е Rn определить по формуле а-6 + ...+ьа6п Более общий способ введения скалярного произведения в R : пусть р =* ср{ \pn)eR - вектор а р.>0 =* /г. /г (интер- претируемыми как веса): *f>n<*n 6п . Норма вычисляется по формуле !!аВ-Л;л + а2п f а в "с весами" - по форь^ле 115 3) в пространстве непрерывных функций произведение может быть введено по формуле для . Норма функции вычисляется а С скалярное (4.1) по формуле (4.2)
В дальнейшем под скалярным произведением и норной на отрезке J будем понимать эти операции, вычисляемое по формулам (4.1) и (4.2). Пример 4.I. Доказать, что в пространстве комплексных чи- сел С скалярное произведение можно ввести по формуле _ <г^ z2>=o<<z/ze * zzzp , » гле <*€/? , о(>о> а 2 - сопряженное к Z комплексное число. При каком зна- чении <х' норма совпадает с модулем? Решение. Сначала убедимся, что, < 2^ > € & • Действи- тельно, ? = о? 2^ + fj 2^) *= = =</<?„ гг>. Теперь проверим справедливость аксиом скалярного произ- ведения: ' * I)<*/, “<%. 2, > > =</ = + Z/Zj ★ Ъ гя) >*(i/ + г, g3><^ у -^<2h2^> , поскольку 5 « J\ для де£; 4) <2t 2> -О(С2 2 2 1^(9, причем <2, 2> О только при 2^0, Норма вычисляется по формуле II2 II = z > « |гI-755^, При о( « 1/2 _ . Ilzll-I*l . Задачи А. В задачах 4. L..4.6 доказать справедливость указан- ных равенств и неравенств в произвольном евклидовом пространстве и дать им геометрическую интерпретацию: * ~ 2 — 4.1. |а t t II “IIа II В6 I i 2а 6 - теорема коси- нусов. 57
4.2. ||а/Z? || + ||а-£|| Ц +||£|| ) (равенство параллело- грамма). _ 4.3. ИЗ/ Лг-|1«-£ II -❖л •<?. 4.4. ||й-6 Ц ''15 ||-||6 |||. Бе В задачах 4.3»..4.1® проверить ^задают ли следующие форму- лы скалярное произведение <5> в указанных линейных про* странствах. В случае положительного ответа написать соответ- ствующую формулу для вычисления нормы |1 а II . 4.5< В V • J>«|а|-|^[/бЛ^где tp - угол между векторами а и S . ’ 4.6. В V <at 6>-3\a\-\6\cos<p, 4.7. В Xя-. <3 6> О/ j 6 где б ~(б, ; б^)€Хя. 4.8. В X <а) б> «а/6/ + а б. 2а, бг, где a-ray;a^)eFf Z-Cfy; 6х)е/?я. 4.9. В ] : <рСх), <}(хУ> = Г pfxjjpx-i, где -яг,, , хл , jcj - фиксироаан!ие попарно различные числя е /? ♦ 4.10. В ^0)^100^0)$(#). В. В задачах 4.13,.. 4.18 вычислить скалярное произведе- ние и нормы указанных векторов. 1 4.П. Векторов 5 =. (2;-1;5;3).и $ * (1;3;4;0) в X . 4.12. Векторов а « (1;2;0;-3;4) и / = (0; 1;3;2;-1) в Xs. 4.13. Векторов а = (1;-3}2) и S - (2;1;-1) в Д’* с ве- сом р = (2;1;5). 4.14. Векторов а « (0;2;-I;4), б = (3;-1;2;0) в Q * с ве- сом /э = (1;4;3;2). 4.15. функций jCxj^xг и о(х)“х^ на отрезке 4.16. функций jCxj-x+J и д(х) '•хя-1 на отрезке' [ 0; I]. Г. Пусть /п и п - некоторые векторы произвольного евклидова пространства. Для каждого столбца таблицы (от 19 до 28) проверить, совместны ли данные, приведенные в нем, и если да, то заполнить пустые клетки в этом столбце: 17 1 18 19 20 21 22 23 ' 24 25 2Й Я/т> II 2 3 5 I 7 4 6 5 ИII 5 1/2 /3‘ 4 2 3 3 2 Й7’/г 3 9 6 7 Я/и *5 у 4 2 6 4 5 Я)Я-/г || 4 3 7 5 6 4.27. Написать неравенства Коши-Буняковского и треугольника для пространства /?/г ("без весов"). 4.28. Написать неравенства Коши-Буняковского и треугольника для пространства С г ., О;. 4.2. Ортогональность, Ортрнормированный базис Определение. Векторы й и 6 евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение рав- но нулю: -О t Теорема. Если векторы 5*у , . •., ненулевые и попар- но ортогональны, то они линейно независимы. Определение. Система векторов ; • д, ^называется орг тонормированной. если все они попарно ортогональны и имеют норму, равную единице. _ _ Г I, если i ; * I 0, если / . Теорема.а. Координаты вектора ) в орто- нормированием базисе «Г Л • _ • & ^-вычисляются по формуле в а * ё\ . б. Скалярное произведение векторов а (^су ; V ) ♦ заданных своими координатами в ортонормиро- ванием базжзе, вычисляется по формуле 5 ' а норма вектора а - пр формулё ||а Ц - < ,
Нормировать вектор а + д значит заменить его т еди- ничный вектор , ему пропорциональный, для чего достаточ- но разделить 5 на его норму: а° ° ио а Ортог-снализоВать систему лянейНО независимое векторов , ... । от некоторого евклидова пространства Е зна- чит построить ортогональной базис -Г( £ I в подпро- странстве J ™ * Процесс ортогона ли заЮй.ГвэжШмдта векторов 5у , ..., состоит В ЩВДЙЙН МйТОрН ; строятся последовательно: - й? , а вектор 6k+i(b- ищется в виде комбинации *z ’ ’ I ” Sk+, + jj JAZ • из условия ортогональности ранее построенным векторам 6f , что дает Првдер 4.2,. Нормировать: а) вектор a (4j-2}5j2) в про- странстве ; б) фужцию jfй На отрезке . ВэшенИе, а)|д|* /К+4+25+4 • 7, откуда ( ас -/dfyr , -гр ; з/? ; 2/у), б) мь ьл| - - Д поэтому ’/ -/ г -/У-гИ - . ' .. 2 Пример-. 4.3, Одоздммомн» в 4? ♦ систему векторов Зу « (I;-I;-J;0)2 » (Ди-Ij^, а3 ж (1;0;-2;4). \ Решение,- Вектор / ищем в виде 6г -М, г ая , где Л---------в * № » 0И‘Уда ? ’ / 5z ° л = > У3; ~2/з ,2), вектор ищем в виде * Qj ’ где -.-О =' 31 " ~^з ~ ~3t2, inoBTw 63 —j, -з/21г>а3- (.{;.< ; 0;i) Проверка: --А/а4?^ = 6 1^' -Z/3- + О + 2 -О. Построенша векторы } образуют ортого- Лпяышй базис в подпространстве S[at q3] Задачи |*2Р. Доказать, что если векторы at , ах , .... att по- |арю ортогональны, ®о|а/*..*5"/г||'г-||а/||х a ,a||<J |И (обобщенная теорема Пифагора?. ' п . ;4.30. Доказать, что если 0 а * б II4 ” II a l'’* В ? IZ • то век- торы а и 6 ортогоыальж (обратная теорема Пифагора). Д. Проверить, ортогональны ли данше векторы в соответ- ствующих евклидовых пространствах^ йзк а - (3;-1;2;0;5) и I - (1;5;4;-1}-2) в KS. t4.32. а - (I;0;-3;4}2; I) и 6 - (2; 1’,0;3; 1;2) в . Че33. Функций J(jc) « и ^(jc) 3“ 1 1 отрезке [0; I ]. Й,34. Функций J(jc)^sinjc и нэ отрезке [0; .Я]. 4.35. Тех же функций, что и в*ч4.34), но на отрезка А35. Тех же функций, что и в (4.33), но на отрезке [-1; I]. Е. Нормировать следующие векторы 4.37.••4.42; 4.37. Вектор а (2;-1) в f?X . 4.38. Вектор a (I/3;0;V9) в Г?3 . 4.39. Вектор ^_(2;-3;1;3;5;-1) в /?6 ? ;4,^). Вектор / (I;-2) в с весом р = (4;3). 4.41. Функцию JCjc) на отрезке L0; I ]. 4.42. функцию ^(jc) « senje на отрезке [0;?;] А43. Проверить, что тригонометрическая система функций COS^X\ COS Sc/7 29Cf , . . f COS/ZJCf 3<>l /7 'Л j* -ортогональна на отрезке [-J7 • г, ] . Нормировать з\у систем;. с‘ 61
_ — 2. — 2 2 4.2 . ||а?<?|| +||а-£|| =^Г||а й +11? Й ) (равенство параллело- грамма). ж 4.3 .113+лг-ца-?и -4а /. 4.4. на-Jи> l'iaii-il?H|. Б. В задачах 4.7*..4.12 проверить^адают ли следующие форму- лы скалярное произведение <р 6 > в указанных линейных про- странствах. В случае положительного ответа написать соответ- ствующую формулу для вычисления нормы К а V . 4.5. В V : <&, />«|а| |<и<л^где if - угол между векторами а и $ . 4.6. В V'. <at l>~ J|5|4^ I 4.7. В <3 6> “0,6,- а, 6Я -ая4у +2ая 6Я ,t где а - ; 6я)еК*. 4.8. В /?*:<«, ?>-ауф/ л — L а г ‘ л х х 9 где а 4.9. В ^[х] : <р(х),<}(х)> = Ц..P<xi) где хо, Ху , хя , jcj - ф£й«:йрованные попарно различные числа е /? ♦ 4.Ю. В : <J&c),^(xi> -Jfa)^a)+J(4)g(g)t В. В задачах 4.13...4.18 вычислить скалярное произведе- ние и нормы указанных векторов. 1 4. И. Векторов а » (2;-1;5;3).и £ » (1;3;4;0) в К . 4.12. Векторов а = (1;2;0;-3;4) и/ - (0;Г,3;2;-1) в /?Л 4.13. Векторов а а (1;~3;2) и S (2; 1;-1) в Д’* с ве- сом р а (2;1;5). 4.14. Векторов а « (0;2;-1;4), « (3;-1;2;0) в Q * с ве- сом р = (1;4;3;2). 4.15. Функций и на отрезке (-!;!]. 4.16. Функций jc/7 и на отрезке • [ 0; I ] . Г. Пусть т и п - некоторые векторы произвольного евклидова пространства. Для каждого столбца таблицы (от 19 до 28) проверить, совместны ли данные, приведенные в нем, и если да, то заполнить пустые клетки в этом столбце: 58
’ --У^=-Л ‘ ~ ~3/г> novtwg й3~-6<~ -(-!,-{ О; /). Проверка: .£ . g/з - ъ/з + 2/3 + 0, 6f-£ - - i+f+o+O ~о, ^г’ 6' */3 + о+2 = о. Построена» вектора { , 6г, | образуют ортогс- иаяышЯ базис в подпространстве S[ataXfa3] 3 в ж а ч в 4.29. Доказать* что если векторы а, , а* , ..., ап по- парно (фтотоаальш, «оЦа/*..*<5^|Гг-||5/|1**II (обобщенная теорема Пифагора^. п 4.30. Доказать, что если -||а g g jz , то век- торы а в А ортагональш (обратная теорема Пифагора). . Д. Проверить., ортогоналыы ли даюме векторы в соответ- ствующих евклидовых пространствах. 4.31. а - (3;-I;2jO;5) и 6 - (I;5;4;-Ij-2) в ft3. 4.32. а - (I;0;-3;4;2;I) и А • (2;1}0;Э;1;2) в R6 . 4.33. Функций jTxJ =» и $(х) з' 11 отрезке [0; I ]. 4.34. Функций /4x9» л>? лг и на отрезке [0; Jfj. 4.35. Тех же функций, что и в- (Д.34), но на отрезка [О^Г]. 4.36. Те> же функций, что и в (4.33), но на отрезке [-1; I]. Е. Нормировать следующие векторы 4.37...4.42: 4.37. Вектор а-(2;-1) в Я* . 4.38. Вектор a (I/3;0;V9) в R3 . 4.39. Вектор / (2;-3; 1;3;5;-1) в /? 6 . 4.40. Вектор 6 (1;-2) в с весом /5 = (4;3). 4.41. функцию J(x) = на отрезке L0; I J. 4.42. функцию ^(jo) на отрезке [0; ?7 ] 4.43. Проверить, что тригонометрическая система функций “{/ cosxf stnxt cos 2эсt s^/г , f cds/zjcf sc/г ,z | ортогональна на отрезке [-J7 z- jr ] . Нормировать эг.у систем;. 61
*4.4-х. Пусть функция 0 и непрерывна на отрезке [а; £]. Доказать, что в пространстве С j-Q. jформула < j(x)> $(х)> = s / ^/(x)^(jc)p(x)olx задает скаларное произведение( р(х) на- зывается весовой функциейл *4.45. Доказать, что функции - cos (кахссозх) к = 0,1,2, ..., являются многочленами степени к и удовлет- воряют рекуррентному соотношению f^Cx) - 2ху>к(х) - <fk_ t (х). Эти многочлены называйте* многочленами Чебышева. Выписать ЯВНО ^(Х) , fj(x) ,^Гх)И ^(х). «4.46. Доказать, что многочлен* Чебышева (х) = cas(k a'tccosx)г к*О,/,,..,п, образуют ортогональную систему на отрезке I;IJc весом р(х) ~ -=J=, . Нормировать эту систему. r V7-x*' Ж. 0^ гогонализовать систему векторов (4.47. .4.54?): 4.47. <5, = (1;2;-3), (2jO;I). 4.48. - (2;I;0,-I), а » (1;-1;25-1). 4.49. <TZ - (1;0;1;2) аг - (2;I;-I;I), а3 - (1;151;0). 4.50. ау ж (0;I;-I;2;@), ag - (I; 1}0;Ц-I), а, я (1:-8;1;15О). *4.51. фикции Jt(x)= i , J^(x)=sinxt Jj(x)*> cos х а) на отрезкеб) наготрвммГрд^]*; ...!?*1®д_0Д«?!!»виы ^х)?х^ ^c-y^xi___________ а) на отрезке [-У ;/J ; б) на отрезкз [0; 1 ]. Замечание. Ьк-югочлены, полученные ортогонализацией од- ночленов (X) = / • на от- резке [-1; IJ совпадают с точностью до множителей с многочле- нами Лежандра: р,(х)^Х) рл(х).±(ЗхЛ-Ц^ p3(x)^^(Sx3~3x)} 3. Построить ортонормированный базис п подпространстве, натянутом на указанные векторы: 4.53. Векторы 5у « Z/у* и ® г>^г->ев V. 4.54. Векторы и в V. #4.55. функции =: / , iA на от- реш [0;1].
и4.5б. Функции у»{(х) = cosx и на отрезке И. -Найти размерность подпространства, натянутого на век- торы -[ciy,..., ак J-,, и построить в нем ортонормированный базис;. найти координаты векторов в этом базисе: 4.57. Oj « (I;I;I), -8g » (I;-I;2), а3 - (I;3;u). 4.58. az-c-yVA, 5^ = 4/^^ a, 4.59. az- (I;-I;I;2), az - (I;I;2;-I), a3 - (2-,0;3;I). 4.60. a,» (0;I;-2;3), az - (I;li-Ij-I), ci3 - (I;5;-3;I). 4.61. Доказать, что вектор 6 ортогонален подпространству j[aZ/. ] • т.е. всем ®го векторам, тогда и только тогда, когда 6 ортогонален векторам а к . 4.62. Доказать, чтоесли J - подпространство евклидова про- странства и g ф S , С, и cg € ‘S , причем оба_ вектора е/, = /- Q и- dg - g - сг ортогональны J, to c^". ...’“Ддть геометрическую интерпретации. 4.3. ШИМИЙ Грцма Определение. Матрицей Гоям» системы векторов <5у , ..., некоторого евклидова пространства f называется квад- ратная матреда * -го порядка, составленная из попарных ска- лярных произведений векторов ai : ... агак\ cig. ак/ Матрица Грама всегда симметрична. Определитель матрицы Грама называется определителем Гваыа. Теорема, Определитель Грама всегда больие или. равен нулю, причем det G ] - О тогда и только тогда, когда векторы а{1. ак линейно зависимы. Геометрйческий„смысл определителя Грама: г если aJt az , а.3 - векторы, то det <?[йла^]= S , detG\atl az> а3 у* где S - плоиадь параллелограмма, построегаюго на векторах at и az ; V - объем параллеле-, пипеда, построенного на векторах , Qg и а3 •
Пример 4.4, Найти плодов треугольное, пестревшего на векторах a (I;2;-3;I;0) ii$(2;0;I;-I;2)£ Л5". Гашение, Искажая площадь дона Srp Sa , г» Зп площадь параллелограмма, построеюоя нж тех жв всетодо. Вы- числяем: ___, _ ,2 - -- - 2 а’а =||<я 1 - iSt а g =- 2, g- g | - Ю f 6 /д)' = & [а, g] • MS, 3гр ’ i /НТ. Задачи ^.63. Пусть А - матраца размером п*к , столбцами которой являются координаты векторов ау t,. ,t ak € ft . Доказать, что а* ] =» А 4 . 4.64. Доказать, что дог системы векторов доен рангу их мат- рицы Граш. 4.65. Найти площадь паралдвог^амма, построенного на векторах a (1;-1;2;3) И 8 (2}1;4}0). 4.66. Найти площадь треугольника авс , где А (1;0;31-1), 8 (0*,1$1;4), С (-1}3;2;П. 4.67. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a (I;I;0;0{I), J(I?05I;0;I). с (0;1;1;1;0). 4.68. Найти о^гян треугольной пирамиды, построенной на векторах a (l;4;0jI), g (2;0; I;», с (Oj Ij-I; I). 4.69. Найти объем пирамиды A8CD , где А (1;0;0;0), 8 (0;I;0;0), С (0Г;1;0), $ (OjOjO;!). 4.70. В ш.рамиде А8ез , где А (1,1,0,0), 8 (0,1,1,0), С (0;0;I;I), J> (1,1,1,0), найти высоту, опуЩенцую из вершины А на грань 8СФ 4.ZI. Найти матрицу Грама системы функций >^о(х) - / , хг (х) = хг}..., (Г) - JC п а) на отрезке [</*,!]; б) на отрезке 64
4.72. Цусть в пространстве многочленов 3^ [л ] скалярное произведение задается формулой п <.р(х\ ушу = F. р(хр>, где x(t jcп * фиксированные попарно различные точки. Написать матрицу Грама для системы одночленов: 4>1(х)=х)...1срп(х)~хп. 4.4» Метод наименьших квадратов Определение. Пусть J - подпространство евклидова про- странства Рt Iе е . Вектор с € S называется ортогональ- ной проекцией вектора 6 на J , если вектор J - с ор- тогонален 5 (т.е. всем векторам в 3 ). Пишем с - Рг (I). 3 Определение, Васстоянием между векторами £ и с называ- ется . S-WS-с I. Теорема. Ортогональная проекция со vant>v& 4 (если _ отсуществует) определена однозначно и является ближайшим к 6 вектором я J , т.е. Vce3,c{co I6col*l<cl Теорема, Если 5- - конечномерное подпространство евклидо- ва пространства f , то для любого £ е Е существует орто- гональная проекция на J .В частности, если q ],то р..: xkak t где коэффициенты xh,„t хк-с & находятся из системы урав- нвинй е расширенной матрицей а.-а. ау-?\ . ... ) (4.3) 65
(коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Грама 1). Эта система (4.3) всегда совместна» а для независимых имеет единственное решение. Определение. Найти наилучшее приближение вектора в виде линейной комб^ша^ммкЛ>ёкторов <аЛ евклидова про- странства Е - это значит найти вектор С * a* + + хк aк (^i £&); (4.4) наименее удаленный от вектора 6 , т.е. минимизирующий рас- стояние: $ = |1 С ~ 6 И “"* min , (4.5) Теорема. Наилучшее приближение со ректора 6 в ви- де линейной комбинации векторов есть ортогональ- ная проекция 6 на подпространство а ]• Следо- вательно, оптимальные значения коэффициентов в за- даче (4.4), (4.5) находятся из системы уравнений с матрицей (4.5). Для независимых а к они определены однозначно, причем минимальное отклонение" - й со - 6 | может быть вычислено по формуле det & [ah...,a* ] Если, кроме того, /г « ctin? £ , то <5^. = О , и задача * (4.4), (4.5) имеет точное решение (наилучшее приближение со совпадает с ё ). Замечание. Квадрат расстояния между векторами 6 и с в пространстве дъ равен - Сп )* ’ гда (4.6) * “<Ч;.<Sa), С Сп). И задача (4.4), (4.5) в этом пространстве означает минимизацию величины (4.6). Поэтому описанный выше метод нахождения наи- лучшего приближения называется мётодсж наименьших "квадратовt (ШК) / Пример 4.5. Найги ортогональную проекцию вектора 6 + 7-к на плоскость $ : О, _________ Решение. Рассматриваем плоскость» JT как подпростран- ство, т.е. отождествляем ее с . Найдем базис в про- странстве решений уравнения Jjt -y z = О : 66
Значит, векторы а* ~ с -3 k и =y + k образуют базис в V’fj;] . Ортогональная проекция с - Рг^(6) имеет вид С ал »где и находятся как решения систе- мы с матрицей (4.5). Вычисляем скалярное произведения: q.j 0^6 -S> % А ' О, Составляем систему и решаем ее: ' . - з^ = ’ /4/// ? - Of jc* = fS// '. ®начит (gа* = -jff- -% к = - -£-(2^3/- Зл). Примов 4.6, Найти наилучшее приближение вектора 6 « I (9;-7;-1;Ю) 6 Я* в виде дашНЙзой комбинации векторов *(2;-1;0;3) и ал « (-4;5;2;Ф) и вычислить абсолютную I относительную ошибки получеинвгв приближения. Дщцщвд, Согласно (4.4), коэффициенты erz и наилуч- пВго приближения вектора / в виде с являются Рвениями системы дву£ уравнений с матрицей /Ч• Рйчисляем значения скалярных' произведений: az qf f а^'Ъ^ - ^3 , а^б -33 i - 43 ; УЗ г решаем систему
Поэтому наилучшим приближением будет вектор q * (3.3I5Z - 0.666 « (9,264; -6,640; -1,332; 9,931). Абсолютная ошибка полученного приближения £-||Се- 0,284240,362-Ю,3322+0,0692г1/о325» 0,57. Заметим, что квадрат ошибки можно было бы найти, не решая систему и не вычисляя значений и : det Oz.l} , dei [*/ , 5г ] Здесь , ,fA. | И -131 451 14-13 55 -13 45 -73 58-73 231 - 451, • 150, откуда Относительная ошибка (т.е. меньше 4$). = 2.157 а-0.0375 И & И /231 Обработка цкшшр!ше№а^^1^ои^юж1№-(сре;щеквцд£атифй1Я4в> аппроксимация) Даны п экспериментальных значений двух величин X и У : X *7 $4 У * " ' П Требуется найти значения коэффициентов е R , дающих наилучшее представление У в виде - оСу (<Х) + . . t A Q(k . где > Д - известные, заранее выбранные базисные ФункцииНаилучшее приближение понимается в смысле минимизации квадрата ошибки: _ о С' = Е Q/- ~ тс п. .
Эта задача сводятся к нахождении наидучшего приближения век- тора t -(и• u)£f?nt виде линейной комбинации векторов а?,..., ак с -к . Искомыми являются коэффициенты к s При задача имеет не единственное решение. При ? - X- (при усло- вии независимости векторов а 4- ) ошибка - О и имеет место точная интерполяция величины У функгрсей 4«/ Пример 4.7, Даш экспе^Й5нтальшеа»ачения величин * и Г: X 1-1 0 12 3 у ГгГГ Г 'Т Г' Выразить приближенно зумюйтУЫ в вид» Некоторой квад- ратичной функции Wx) » о( +j8x + fx *. VewMte, Баэисшми являются функции qt(x)- J , y>gCx)=Xf fyx)* зсг* Составляемтабледу эначещйбааисшх функций в то^й® X; • -I; О» I; 2 й 3: X -I 0 1 2 3 tyx)-! I I I I I ;‘Ъ “Ч ^г(х) =Х -10 I 2 3 I 0 I 4 9 У О СИ 0> * ВйЭДиией смццгрныа произведения и составляем сйи«у: ‘ Зу Qj а3" я 3 ж у Зг а “ ^S; a S. -33 : а, А « //; s3 ’99a3.$^3J ; ЗЫ * /3^* - /5} 4 3"©( / * 33^- * t ,/ЗЫ 33J3 99 f = 33.
-Решение системы: о( s 4,14; р « 1,67; S -0,87. Итак, уЯх) = б¥х - О,£?х г. Сравним значения полученной квадратичной функции р(х) с экспериментальными: х -I 0 12 3 Y 0 5 б 4 I Wx) 1.6Т 4,14 4 ”4 3,98 1,31 Задачи 4.73. Доказать, что если 6 £ 3 , то Рг$ (&)- 6 . 4.74. Доказать, то если 3 - конечномерное подпространство евклидова пространства £ , то любой Вектор 6 t 5 однозначно представим в виде суммы Z” = с * с7, где £ е S и «7 -L 3.. 4,75. Найти ортогональную проекцию вектора / (1;2;-3) на подпространство 3[а] • гдв а ® 4.76. НаЙ.и ортогональную проекцию вектора # -дЛу?к а> “ npw" ( . о , \x + 2y+1f » о ’ б) на плоскость 2х+д + г • О. 4.77. Найти наилучшее приближение вектора 6 в виде линейной комбинации векторов а к . Вычислить абсолютную и относительную погрешности подученного приближения: a) at • (1;-3;4;2), аг . (2;Ij-I;3), $ • U5-I;2s3)j б) - (2,-1,1,3,0), Oj» (I,0,3,-I;2) Z ж(3;-1;б;2;j) в) . (I;0;-I;2); a. - (I}2;0j-Ih at • (2;-I{I;0), J- (3;I;0;I). r) J. - (2;-IjO;3), az » XI;Ij-I;O), 5,* (I;0jI;2), g - (4,1,-1,5). m4. 78. Найти наилучшее приби.лжение функции J(x) указанным многочлене: на соответствующем отрезке. Нарисовать на одном Чертеже графики функции и получе лого при- ближения: 7и
a) J(x) - sin x . Двучлен вида &x +J3x г , на от- резке [о; j 6) fix) = casx , двучлен вида o( +J3x* , на отрезке в) Лх) - , двучлен вида c< у Jix f :a отрезке [!; 4 ]•. 2 г) J(x) - &t C2+X) , трехчлен вида rf ^вх+р-х, на от- резке [-1; I ]; д) f(x) = х* • тригонометрический многочлен вида v(.+J3cosx+f3in х , на отрезке [-5;^ ] ; е) J(x) - х • тригонометрический многочлен вида ci‘Sinx+j3sin 2х / рзспЗх , m отрезке [ О, $ ] . и. 4.79. Существует ли ортогональная проекция на отрезке [0;1 ] функции f(x) - е x на : а) подпространство fx ] многочленов степени i /г ; б) подпространство fo[x ] всех многочленов. и4.80. Существует ли ортогональная проекция на отрезке [0;^] непрерывной функции Jfx) на: а) подпространство тригонометрических многочленов сте- - пени п , т.е. вида п ао + 52 (ак <^>з^х * / sin kx ) • б) подпространство всех тригонометрических многочле- нов. 4.81. На основании экспериментальных данных величин X и У выразить приближенно о помощью 1НС зависимость У от X в виде некоторой линейной функции: - X 74 76 79 ^83 88 91 У 4,6 4,2 3,6 2,5 1,4 0,6 X 0 I 2 3 ! 5 Y 21 24 26 30 1зб 4.82. На основании экспериментальных данных величин X и У выразить с помощью МНК зависимость У от X в виде некоторой квадратичной функции ,
*4.84. На основании экспериментальных, данми величин X и Y выразит* с помощью №К зависимость У от X в виде фук щи указанного вида: Дп~ а) х 2 I 3 4 в виде с/ е б 3 3 I б Y 10 б) 5 , в- виде o’jc 7 Указание, Прологарифмировать равенства Уи ч ' и перейти к новым пв( менным. . ц Глава 5. МШЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5.1, Основные понятия Определение, Пусть и линейные пространства; отоб- ражение А : t определенное на и принима ж эна- эние в~ /.называются оператором или лреобраэованиём из / в Д 72
Значение у =c4<x)eZ^ ) называется образом вектора » или результатом применения оператораа к jc , при этом называется прообразом вектора у . Мно- жество всех прообразов вектора 6 Z^ называется его полным прообразом и обозначается =Lt № ° Л } (Полный прообраз может быть пустым» содержать один или бесконеч- но много вектороа) Образом оператора >4 : Zz -* Z^ называется множество всех его значений: Ядром оператора А : Zz -* Z^ называется полный прооб- раз нулевого вектора О € L& : Ж&сА «prsZz {А(£) - О | Очевидно» что kAQ Zz и Z^ Определение, Оператор (преобразование).^ :Zz — Z< на- зывается линейным, если у 6 Zz ? К/ € : I) А Сх+д) « АСх) +А($) ; ЪА(о(5с) ^сКА(^с), Теорема, Ядро и образ линейного оператора А : Zy — Z^ являются подпространствами в Zz и Z^ соответственно» при- чем» если Zz - конечномерно» wdim УС&сА+скт . Значение линейного оператора А х вполне задает- ся его значениями (образами) базисных векторов ёп пространства Zz » так как если ^=^zez<,.’i^/2e/?^ Zz » то Поэтому образ линейного оператора А есть подпростран- ство» натянутое на образы базисных векторов: Ут А - S А... < A(en ?] Пример б,I, Проверить линейность следующих операторов: а) оператор проектирования А : где Л - плоскость; 73
б) оператор параллельного переноса е/Р7*—Л* 7 , А г) х , где а° € 8 а - фиксированный арифметический вектор Q Решение, а. Как известно из векторной алгебры, операция проектирования на плоскость обладает свойствами линейности: А(х= Сэе Сх) + лАСу) > = ’-Яг^ (о(х) = о( (х) - сСАСх). Поэтому данный оператор линеен. б. Оператор палаллельного переноса линейным не является, так как <в(х Сх+$) * ао , тогда как )+£($) = ’(*<асЫу>ао)=х+у+2ао * 6сх+у) п₽и 5О Определение, Пусть Л х - линейный опера- тор, где /у и - конечномерные пространства с базисами е, е и /, , .... / соответственно. Мат- рицей линейного оператора относительно базисов г и!// г называется матрица Л размером т к, столбцами которой являются координаты в базисе / X образов'базисных векторов , ..., • Иными словами, если Лбе > = г? . Л + а . f » то с J1 тс Jт А ^/77/. . , О. т/ч { , и - то координаты вектор Теорема. Если -х е • и и 6 Z вектора х , то координаты векторов Зс ‘ 3 базисах } и Iсвязаны соотноше- нием , образ где А - матрица оператора . Матрица линейного оператора зависит от базисов ЕСЛИ Lj = Д , , ТО Z77 = п ц Матрица оператора в этом случае квадратная. с 4 .
Пример 5,2, Доказать линейность оператора Л- I заданного формулой АСх) = [ ао х jc J (векторное произве- дение), где ао - фиксированный вектор 6 ао . Построить матрицу этого оператора в базисе £ t“ | и найти его образ и ядро. Решение. Линейность данного оператора вытекает из соот- ветствующих свойств векторного произведения: Afa*') ~ [ао*<*сг] = (Ал-*4 J « <хА(х), j. A(r> /Ay, Для построения матрицы найдем образы базисных векторов: аналогично ‘ у' к Р $ v 1 О О L rf Р I Р 9 Т I =Р' ~ Гс О ri Р Из полученных столбцов составляем матрицу оператора (° Л • А = Y 0^1 \? /> о/ • Образ оператора Л есть подпространство J , натяну- тое на образы базисных векторов: S^A^J е? t ё3 ] • и &тЗ ё*te3 | = г (A) ~ так как cletA ~О, В качестве базиса в Ут А можно взять любые два линей- но независимых вектора, например, ё^ -Агё) и ё ~A(J). Оба эти вектора ортогональны вектору qq и поэтому «j/pj где JT - плоскость J- ао , т.е. задаваемая уравнением + г z « О, Ядро оператора Л состоит из всех векторов jc с V > таких, что Л<х;xJr ] @ • Из геометрических соображений ясно,¥то^состоит из всех векторов, пропорцианальнкх век- тору aQ » Tie S Это же следует и из матричного представления оператора Л : если 75
r + zk 9 то равенство О равносильно что,в свою оч эедь, равносильно системе однородных уравне- ний: хх-рг — Ot -Г^РЦ ~О, где общее решение (проверьте!) есть /<яг\ /Р\ (У)=с (? ), \г/ \г/ Изменение матрицы оператора при переходеJcjX£yro^_6a3HC£ Пусть : Z7 — Lz * линейный оператор, и его мат- рица относительно пары старых базисов ёп j прост- ранства Lj И{Л,,., J }-Z есТк » а относительно пары новых базисов j” * it {/Z— У этих ** яр0* странств - А' • Пусть /° и Л? - матрицы переходов к но- вому базису в пространствах L* я L* соответственно. Тогда Л 1 9 * А' */?-1АР. В частности, если оператор действует в пространстве L , т.е. Л : L — 4 , м ?i ~J. i = /r..t п , *о Пример,, 5.Э., Найти матрицу операторе_А из примера 5.2 в базисе ef - РПРВ /3’=Л^=~/, ««£. биение, В исходном базисе А У матрица опера- тора А тлеет вид /О А Л) -2 -1\ А . ( t О г/>) • I 2 О -I . V? р °; V I 9/ Строим матрицу fjepexOX* Р JI базису {е/ ё' е У и находим Р'у : г> J f 76
i о\ /II -i\ I о I , i-i IL \O I I/ z \-i i 1/ Отсюда, матрица оператора <A. в базисе « ег * есть /I I 0\ /О -2 -I\ I -I\ j fZ 2 -е\ д'-ААР= I О III 2 О-I ‘itl-I I Гр 1 1-3 Л> I I/\I I о7 Ч I V \5 1-3/. Задачи А. В задачах 6.1...5.20 проверить, будут ли указанные опе- раторы линейными. В задачах 5.1...5.12 и 5.14...5.18 найти также ядро и образ этих операторов. 5.1. .A-.fi n—fia}.A(x)~Ax *6 , , /е /? п. 5.2. Л : /? -* К - поворот плоскости вокруг начала коорди- нат на угол f . 5.3. z 1R3~~№3~ поворот на угол <? пространства вокруг оси вектора е • 5.4. : Т?'2—Д?*- оператор проектирования на первые к компонент п : Y3: ж (ху ; ♦ ж ( -Ху * • • • > 1 О $ •••д 0) * 5.5. И?п -* f?n - гомотетия с коэффициентом keJR: 6x7 « кос. 5.6. : <ВС(^) - с . . где с с 1R п - некоторый фиксированный вектор. 5.7. JRn—Kat 6 где"'^ - некоторый фиксированный вектор. 5.6. Л :^\~Рп [х ] - операт^р дифференцирования в пространстве многочленов степени,не превосходящей п t от одной переменной. 5.9. ф : С^[а; оператор дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на от- резке [a; i ] . 5.10. : jP [а?] [дг ] • оператор сдвига в прост- ранстве многочленов: (/>(х)) х= />Гх Л ) , где А = const 5. II. ZZ : ** С - оператор умножения на х в пространстве всюду непрерывных функций: U (Jc ). 77
- оператор граничных условий. , то ^[^^С^Са) ter - оператор *5.12. > '^l22-------^22 - оператор, действующий в про странстве квадратных матриц второго порядка: У(Х) « ЛЛ » где AfXr <ЛС> ; А - фикси- рованная матрица (пассмотреть случаи г гл) ж 2 и * СА) = I. 5.13. : С 1 [а & ]-*- С [а I ] - дифференциальный оператор, т.е. если £ <? ' J . ТО </ - + у(эс)уСэс) % где р(х) и (f(x) - заданные функции б С [а 6 ] • айти У » если р(х) = jt , = -2. 5.14. У : С [а I ] — /р /г - оператор начальных условий, т.е. если tf(x) е спч [а, 6 ] , то J'fy] = (Ч(хо)) tf'CXJ,... J>(.xc) с. R*. Найти У[хех ], если хо = 0 и /г а 3. 5.15. : с [ a 6 ] —- /?г т.е. если '<[(х)€С [а £ ] ции. т.е. если а. =Сао>а^..ч ап)£ rii'1 , то <^'ГЛ \"ао^а/-х: *... * апхпе [л-J. 5.17. zl : A»00 — /? °° - разностной оператор в простран- стве последовательностей, т.е. если -[х^ j е f? 00 , то 5.18. г* : 00 -*- /? 00 * оператор смещения в пре гтранстве последовательностей, т.е. если -Сдг 'УбЛ? °° • то ио. 19. : С * интегральньтЧ опер гор, т.е. если ^(£) е'е[аг^ ] , то У [у ] = где X*/>; £.) - зада-чая функция, непрерывная при xefi и a s £ в . Найти [е ] для )=х£ на отреэк. [0;I J , и5.20. У : С [а I]— П “ оператор коэффициентов Дурье. т.е. если ^(x)eC[at , то У - '* п а ак " ’ {^Л• ;^П W базисные фун-ции, непрерывные на [а, ( ], / Найти У ] для системы базисных функций {/ casxsuzx} на отрезке [-У ; У! ] . 78
Б. В задачах 5.21...5.30 найти матрицы указанных линей- ных операторов э стандартных базисах. 5.21. : И» — оператор поворота плоскости на угол </• . 5.22. — 14,- оператор поворота в пространстве на угол вокруг оси ОХ . 5.23. оператор проектирования (см. задачу 5.4. ) на первые / компонент . 5.24. xfta—f?a- гомотетия с коэффициентом к (см. задачу 5.5). 5.25. & : Л* где ? atk'. 5.26. оператор перестановки I -ой и j -ой. компонент арифметического вектора. 5.27. £) \ Р р [гс]- оператор дифференцирования; 5.28. /9 {jcj - ' пера тор сдвига (см.эа да- чу 5.10), /г - const eft . 5.29. U : г —* % - оператор умножения справа мат- риц размером 2x2 на фиксированную матрицу д А; ахг' UCXPXA f . 5.30. гЛ XLC * оператор умножения слева на матрицу *'2,2 А = (2/ vx €М^ 5.31. Най?и матрицу линейного оператора Л : £с] — р 3 если а) Л Ox>j р'(0)/ р"(О)); ’ б)Л ОХ)] = СрС^ ра), р(2)). 5.32. - линейный оператор в п -мерном пространстве Z/ с базисом ву , . • •, еа • Найти мат Лицу операто- ра Л в базисе ё • если <A(ez)=eit...,Л(еп)^ ; /г<; 5.33. Л : ^3-^/R3 . Найти матрицу оператора в канони- ческом базисе, если Vjt с Р 3 г.З
a) Afx) = (x^~x3 ; x, + 2хг ; 2x, + x^ -JXj ) ', б) л C3c) = • 2^c3 ; - ^3). 5,34. В базисе Z , у » г найти матрицу оператора: а) проектирования на плоскость & , заданную урав- нением J? *» О. б) симметрии S^- относительно плоскости J7 , задан- ной уравнением д' = б’, 5.35. Пусты А : Zy — Z^ - линейный оператор. Доказать, ЧТО dem fart А * oU'~n L j . 5.ЭБ. Дусть , ..., аЛ 6 Zz и А i -лн- нейный оператор. Доказать, что г {^6^7 * ..., 5.37. Пусть <5Z , ...» е Zy и , .. ♦» е . Щи ка- ком условии существует_линейный оператор : Zy — Z^ , т*кой, что А(а^ = , Z • I, ;.., * ? При каком условии такой оператор единственен? 5.38. Пусть с^ет п и , ..., - какие-то линейно независимые векторы 6 Zz ; - про изволъные векторы,лринадлежаше Z^ . Доказать, что су- ществует единственный^ линейный оператор А : Zz , такой, что А(аг) • t 4*1» ♦••• п • Выразить гчтрицу этого оператора через координаты векторов и <• • В. В задачах 5.Э9...5. <4 найти матрицы указанных линейных операт ров в новых базисах: 5,39. Оператор задачи 5.21 в базисе еу « ~ . 5,40. Оператор задачи 5.22 в базисе « Г; е -1- 5.41. Оператор задачи 5.23 в пг невольном базисе . 5.42. Оператор проектирования на подпространство (плоскость) натянутое на векторы =- - к и Л , в ба- зисе {ah аг, а3 ] «где а3=а{х аг . 5.43. Оператор дифференцирования — в базисе {у, x-i, х*и ]•. 5.44. Оператор сдвига ; ^el^l [лг] 8*>ачи в базисе [гу-х, х^З I и / 5.45. Линейжй оператор в бг >исе s 1 имее. магри- 80
3 2 5 \ I 2 I ) 0 0 1/. Найти матрицу этого оператора в базисах: , ё\- , б) fee, ~ ег > - ё} t ^ -ёА 5,46. Линейный оператор в базисе fe » г » Л » А 1 имеет I f z з i матрицу Найти матрицу этого оператора в базисах: б) л 4 J Г. Выяснить, каким линейным преобразованиям в /, соответствуют матрицы: 6.47. /Ау О О\ v 5.48. /0 -1\ А/Я ^Л-1 0?' \р О . 5.49. 0\ 5.50. /cos у7 -Scntf <?\ \0 -I/ . (тс/?/’, cosy О ) 5.2. Действия над линейными операторами Определение, Суммой операторов Л : Zy‘ — и ; L называется оператор С » определяемый равенством /З(^), Vcce , Произведением оператора А х L* L,^ на число JX с & называется оператор </3 = ЗА : — Lz^ определяемый ра- венством <Q(jc) 1Л(х) f /осе Lj . Композицией или произведением операторов Л : Zz и /3 : Z^,-* Д., называется оператор ? 81
определяемый равенством С(х) « А (А Vlzt Z>z . Единичным или тождественным оператором в пространстве L называется оператор с : Z, -— Д ♦ задаваемый равенством Л € ' >•, V.^eL. Степень оператора у?- : Д — Д определяется индуктивно: А± = с t А. , У-А^ ~~ .А ° A у с АГ. Обратным к оператору А : Zz - Л, называется оператор /7 = ?? : А - Ду » такой, что Л* S и £<Ас= £L . Теорема, Для линейных операторов сумма, произведение на число, композиция и обратный оператор также являются линейны- ми операторами. В конечномерных пространствах этим действиям над линейными операторами соответствуют аналогичные действия над их матрицами. Пример 5.4. Пусть О г- • IZ, ~ оператор симметрии относительно :)х, ,S ’ У? И> ~ оператор симметрии относи- тельно прямой у .ос . Найти Г/~ А ° А + А с А . Решение. Построим матрицы этих (линейных!) операторов. Поскольку “ - и J ’ то его \0 -l} . Аналогично J ft) = у’ и Afp с , поэто- му матрица оператора А есть /0 1\ 8 Al 07 . Для нах о аде ния матрицы С оператора А^А^А У А с А выполним указанные действия над матрицами /\ и В . , fO ПЛ 0\ /I 0\Л 1\ /О -IW0 1\/00\ С ~3л A,IJ-\X J (о-V \р-V Ц. oJ=(j о/(-1 О/ДО 07 - это матрица нулевого оператора 6? : УГQ. Задачи 5.51. Линейные операторы?? : Л и /3 тА’—заданы условиями: J3(xhxz)^(xf3x-х^,) Найти матрицы операторов? a) ZA-3A * 2 б) .-у- /3 ; в)[ ХС Л° /3- J3A3 (л^- и АА ~ /3^ ; одинаковые ли получились матрицы? 5.52. Какие из операторов 5Г21...5.34 обратимы? Ь2
6.53, Найти обратное преобразование и его матрицу дня линейных преобразований плоскости: а) б) Sj , в) ЯУ' ; г) % , 5.54. Найти композиции: aj 3^3, б) Я?ав) .//' <, ; г)^Л\г. ‘ Х ' 5.55. Пусть JP : Vj — К~ оператор проектирования (не обя- зательно ортогонально) на некоторую плоскость или при* мую. Доказать, что 5.56. Пусть оператор j } : L L - проектор, т.е. удовлет- воряет тождеству ОР . Доказать, что оператор Q = £ - ость тоже проектор. 5.57. Цусть и - операторы ортогонального проектированиясв Vj на оси OX P'Y , 0£ соответ- ственно. Найти <7? / / J/^ . 5.58. Дусть - оператор ортогонального проектирования на плоскость^/ . Найти О ~ В задачах 5.59...5.64 Л- разьк тный оператор, а г оператор смещения в пространстве последовательностей (см. задачи 5.17 и 5.18). 5.59. Найти г а ’ 2 г? 5.60. Найти J и 5.61. Доказать, что j , 5.62. Доказать операторные равенства: a) г- ~ /ге/V; б) г77'77- 2г72 - z^zi -=zj* /г € Я. ie5.63. Доказать равенство е л 77 J —л -----------р—л г для X s О, I, 2, 3. Замечание. Эта формула (обобщаемая на произвольные А ) ЛжитТ^бсйЬвб"интерполяционной формулы Ньютона с равноотстоя- Ими узлами. 3.64. Дусть 7) - оператор дифференцирования в пространстве многочленов j • Доказать, что в этом простран- стве п! О. где - оператор сдвига (см. задачу 5.10). й
5.65. Пусть Л : iR ? - линейный оператор, ие/? ™. Что означают уравнения А <^с) S п A(jc) - 5 ? 5.66. Пусть - оператор дифференцирования, 7) : С [а £ ] • Что означают уравнения: а) 7>Г ♦ где 6] ; б) [уJ--гжей'=2>%/7><‘<^<? а{>а^ const е/Р, s>.Z[y]=z?? 5.67. Доказать, что линейный оператор А : Zy — обратим тогда и только тогда, когда A---- и 5.68. Доказать, что линейный оператор Л : Z -* Z , действую- щий в конечномерном пространстве,обратим тогда и только тогда, когда его матрица невырождена. 5.69. г‘устьЛ :Zy-Z^, в : Z,,— € : L3— L^- произвольные линейные операторы. Доказать, что (С* М = С°(&Л). 5.70. Пусть А , /3 и - произвольные операторы вида L — L, . Доказать: а)А-(З^)-А°<в+Л°С б) в) А * £ = A J г) £ о А =-.л 5.71. Пусть Z> - оператор дифференцирования и ZZ - опера- тор умножения на эс в пространстве . Доказать, что &U -и*7)~ £ . 5.72. Пусть А и X? - Л8* линейных оператора, действующие в конечномерном пространстве Z , А : L -* Д и в : L ~~ L, . Чему равен след матрицы оператора f /3” въ в каком-нибудь базисе? Может ли оператор t? быть еди- ничным? (Сравнить с задачей 5.71.) 5.73. Обозначим через [Л? /] множество всех линейных операторов вида Л " X — Y X и / - два ли- нейных пространства. Доказать, что g [X, у ] - тоже линейное пространство. 5.74. Чему равна размерность пространства \Rm. Пост роить какой-нибудь базис в пространстве ^£\р3 1. 84
5.3. Собственные векторылинейных операторов Определение, Пусть А ; £ -*• L - линейный оператор * действующий в линейном пространстве Л • Ненулевой вектор Jc € 6 называется собственным для оператора A , еслиЗМё/Р такое, что А(х)~ Хх • При этом Л называется собствен- ным числом оператора А . Теорема. Если оператор Л действует в конеч- номерном пространстве L , то число Д б/? является собствен- ным тогда и только тогда, когда оно является вещественным корнем уравнения det(A-^E)-O, где А - матрица оператора А в некотором базисе. Определение. Эго уравнение называется характеристическим. Многочлен в левой части этого уравнения также называется ха- рактеристическим. Теорема^ Множество всех собственных векторов линейного оператор А • Z -* 4 , отвечающих данному собственному зна- чению X » дополненное нулевым вектором, образует подпро- < странство в L , обозначаемое <5 д , примем его размерность (геометрическая; кратность) не превосходит алгебраи- ческой кратности корня Д характеристического уравнения. Теорема* Собственные векторы <2/ , а линейно- го оператора, отвечающие попарно различным собственным чис- лим , ..., Д^ , линейно независимы. Если существуетбазис из собственных векторов линейного оператора А : L L (это имеет место, например, когда все корни характеристического уравнения вещественны и попар- но различны), то в этом базисе матрица оператора А диаго- налью, причем на диагонали будут стоять собственные числа: Оператор А в этом случае< называется диагонализир; ?мым. Диагонализовать линейный оператор А - это значит най- ти базис, в котором матрица оператора А диагональю^
Для нахождения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора с матрицей А надо: а) найти собственные числа» т.е. вещественные Kcpw ха- рактеристического уравнет я det (А-£Е)~ О j б) для каждого найденного собственного числа J./ решить систему линейных однородных уравнений с матрицей А - Е ; решения представляют собой координаты собственных векторов, отвечающих собственному числу Ъ . Определение. Две'квадратные матрицы Лу и А % называ- ются подобными ( Лусо), если существует невырожденная матрица В 9 такая, что А^ = £~уАу В • Пример 5.5. Исходя из определения» найти собственные числа и собственные векторы: а) оператора поворота на угол в пространстве б' оператора дифференцирования £> : г Решение, а. Оператор поворота на з^ол имеет собствен- ные векторы только для = 3 (в этом случае собственное число = -I, собственный вектор - любой # ) и для у? - О (в этом случае собственное число хЙ » I, собственный вектор - тоже любой & U ). б. Для оператора дифференцирования собственным вектором ' являемся показательная функция , отвечающая собственно- му числу J - бг а 9 поскольку = (а а а. Пример 5.6, Найти собственные значения и собственные век- торы линейного оператора Л , заданного в не^оторо; базисе матрицей /-1 3 -1\ А - ( -3 5 -I ) \-3 3 I/ ♦ Диагонализируем ли оператор Л ? Решение. Составляем характеристическое уравнение detCA-ZE)* •i-y -3 i -J i-л i/. /л +4-0, 3 3 корнч Д/« I,. 2 - вещественны* поэтому все oiu собственные числа. Найдем собственные векторы: 66
I) J = I. Решаем систему однородных уравнений с матри- цей Л - J*, £ - А-£:: {-2^, +Ззг-зсу~О -3jcj ^ах^-^з Ek решение: \ эс? j « c ’ \ / j . - 3jc, 3x^ - O< \?Сз/ \ t" } а собственный вектор - лк-бой ненулевой вектор, пропорциональ- ный а, « (1;1;1); 2) Д « 2. Соответствующая однородная система имеет вид Х*7 \ //\ /о\ .Ев решение: / л> \^С/ (о . )*Д/ ) - = О. \~3/ , а собственный вектор - любая нетривиальная линейная комбина- ция векторов о, = (1;0;-3) и <5*^ = (0; 1;3). Собственные векторы а£ ♦ о, » as линейно независимы, и в базисе аЛ матрица А1 будет диаго- нальной, а соответствующая матрица перехода Р состоит из столбцов координат векторов сГ,. : /I 0 .0\ /I I 0\ Л'=( 0 2.0 Р e I О I ) ? \0 0 2/ \1 -3 3/ причем А Р^ А Р (проверьте!). Пример 5.7. Найти собственные числа и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей: Диаглнализируем ли данный оператор? Решение, а» Составляем характеристическое уравнение и на- ходим собственные числа: det(A^P)^ 1 -Р 3-^ = <=> Л/ = ^ = /. Единственному собственному значению J =1 отвечают соб- ственные векторы, координаты которых являются решениями сис- темы однородных уравнений с матрицей (А - ЛЗ ) при _ «I: в?
c(i). <?*«; откуда собственный вектог а (1;2) (и любой ецу пропор- * циональный). Других собственных векторов нет; заданный ли- нейный оператор не диагонализируем. б. Составляем характеристическое уравнение: . I/-J -2 » л det(B ~^Е)= =Л-3^л/(9 = <9. Вещественных корней, а значит, и собственна чисел и собствен- ных векторов нет. Этот оператор также не диагонализируем. Задачи Д. Найти,исходя из общих соображений,собственные век- тори и собственные числа линейных операторов. 5.75. Оператор отражения относительно оси ОХ в . 5.76. Оператор проекции на ось ОУ в 1^. 5.77. Оператор ортогональной проекции на носкость Si : c~c + 2g = о в V3 . 5.78. One, .тор поворота <57,^ вокруг оси ОУ на угол в V^ . 5.79. Единичмлй оператор в лроиэвольном пространстве. 5.80. Оператор гомотетии Ж* с коэффициентом k . В. Пусть - опер. .ч>р дифференцирования. Доказать, что 5.81. Функции с а('х • о< tfix , casjs-x я sin~ fjc явХ..ятея соб- ственными для оператора ^)'г. 5.82. Функции v , jcex , .’Jawfix »exsinjsx является соб- ственней для оператора Ж. Найти собственные числа и собственные векторы в про- стри ястве последовательностей X*. 5.Ьа. Оператора смещении 2" . 5.84. Разностного оператора А . 3. В задачах 5.85...5.Ю2 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими <ат- рицами. ДиагонализоваТь, если его возможно, эти операторы, указав матрицу перехода. 88
5.85. -G Р. 5.86. /2 • Их -4\ а/’ • 5.07. о А5-ЗА 5.88. /5 8 \ з V. 5.89. c = (j Д / 5.90. Al Аз о2). 5.91. /1 2 I\ 5.92. / 2 5 т\ А »( I 2 41 А 4 -I -3 0 ) \-I -2 -3/. \-2 -3 -2/. 5.93. /I T*2\ 5.94. /-2 -2 -3\ в 4 3-3 6 <5= 2 3 6 ) \ 2 -2 4/ • \-1 -2 -4/ • 5.95. Zl 4 4\ 5.96. /0 0 0\ — £>4-10 -18 -20 ) С =1 0 -I -I ) \ 9 13 15/. \О 0 -I/ • 5.97. /4 I-I\ 5.98. /0 I 1\ A = 2 5 -2 ) А 4 I ° 1 \4 4-1/. \2 2 I/ . 5.99. /I 0 3\ 5.100. /2 1-3^ z? 4 2 I 2'j В 4 3 -2-3 • \3 0 I/. \1 I -27 5.101. /0 0 0 I\ 5.102. Z° I 0 0\ / 0 0 I 0 ] ( I 0 0 0 \ 0 10 0/ • Н о 0 0 1/ \J 0 0 oz \о 0 10/. 5.103. Доказать* что если A - матрица линейного оператора то сумма корней характеристического уравнения равна следу матрицы Л , а* их произведение - ее определи- телю. 5.104. Доказать* что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. 5.105. Линейный оператор Л : Я* задан своей матри- цей л V3 4\ Ю _ _ /2\ л \-1 -2/ . Найти Л С-х), где .х . Указание, Перейти к базису из собственных векторов. 5.106. Линейный оператор (В : 1<, — /, задан своей матрицей 89
zs -2/ . Найти Z? Z(x) , где X . 5.107. Найти Х1* .если л . /3 -4\ А “ к? -3/. Указание. Диигонализовать матрицу /4 и воспользовать- ся представлена д 4 PJ) > где ф - диагональная матрица. / / 5.108. Найти /Г , если /-5 -10^ А 2 4 у . 5.109. Последовательность pcZi J задана рекуррентной форму- лой - ~3~хп~{ хп у п'^ tf = ~ А • Доказать, что &7х? .х,_ существует, Найти этот предел. П ”* оо z Указание, Выразить вектор J через Сх: х) и через 7а; ’ х; Л 5. ПО. Последовательность 1 задана условием: у ° » 3, у <= 7, Ч -i-y * Доказать, что Uni ч 3/ vw ^qn 2 3n-i существует, и найти его. 5.IIL Пусть SD - оператор дифференцирования, a U. - опе- ратор умножения на jc ь пространстве многочленов /Э W- Найти собственные числа и собственные векторы операторов: а) ° ; б) 3D о U. ; в) U. ° 3D. 5. П2. Пусть оператор -проектор, т.е.с44^, причем скотий- • чен от единичного'*и от нулевого операторов .Найти собствен- ные числа и собственные векторы оператора Л. 5. ИЗ. Доказать, что в нечетномерном пространстве всякий ли- нейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор, 5.II4. Доказать, что все ненулевые векторы пространства явля- ются собственными для линейного оператора тогда и толь- ко тогда, когда А - гомотетия, т.е. ХгбЛ’ . 5.115. Доказать, что если линейный оператор невырожден ( )> то Л и j?’7имеют одни и,те же соб- ственные векторы. Как связаны между собой собствёвдыё^Жсла операторов Л 5.116. Доказать, что оператор А : 4 * 4 обратим тогда и толь-Г ко тогда, когда ’.се его собственные числа отличны от нуля. 5. IP. Доказать, что матрицы и /4^ подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора.
5. П8. Доказать, что отношение подобия между матрицами (Лс->Й) обладает свойствами: а) А со А (рефлексивность); б) Ас^эД /?•. (сим- метричность ); в) А S со С ?*> /4 с>э р (транзитивность^ 5. П9. Доказать, что если матрицы А и .5’ подобны, то у них совпадают: а) определитель; б) ранг; в) характеристи- ческий многочлен; г) след. 5.120. Доказать, что оператор Л диагоналиэуем тогда и толь- ко тогда, когда его матрица подобна диагональной. 5.4. Инвариантные подпространства Определение. Пусть Л : L —L - линейный оператор. Подпространство S € L называется инвариантным относитель- но оператора JI , если ACS)Q 3 ♦ т.е.Гг^се iAdeS Пример 5.8. а. Если - собственное число линейного оператора Л , то подпространство 5^ . сех собственных век- торов, отвечающих числу Д , инвариантно относительно Л • б. Дусть - оператор поворота в на угол вокруг оси OY ( О ). Инвариантными подпростран- ствами являются: = V [<7r J - подпространство векторов, кол- линеарных оси^,иУ(л#/] - подпространство векто- ров, компланарных плоскости ХО£ . Задачи И. В задачах 5.12I...5.126 найти инвариантные подпрост- ранства следующих линейных операторов: 5.121. Гомотетии * 5.122. Проекции в на плоскость YOZ \ * 5.123. Симметрии в относительно прямой у . 5.124. Симметрии в относительно плоскости XOY 5.125. Векторного произведения в Vj : АСх) а*.х , где а - фиксированный вектор Из , 5.126. Поворота в на угол . 5.127. Линейный оператор Л в Я3 имеет три собственных вектора a,, 5L,, а3., отвечающих различным собствен* ным числам и 3 . Найти все инвариантные под- пространства. 91
5*128. Доказать, что если у линейного оператора Л в К П с матрицей Л характеристическое уравнение имеет комп- лексный корень J = с( / tjQ , причем соответствующая система однородных уравнений с матрицей (Л-Л/г ) име- ет ком. лексное решение , где е & п * то линейная оболочка векторов Зс и инвариантна от- носительно оператора Л . 5.129. Пользуясь результатами предыдущих задачу найти инва- риантные подпространства в у линейных операторов с матрицей: а) /0 0 1\ б) /О I Т\ ( х о о ) ; • (-т о -I ) \0 О I/ \-1 I о/ • 5.130. Как выглядит матрица линейного оператора в базисе ёп если подпространство J ] инвари- антно относительно оператора Л (/-</?)? 5.5. Линейные операторы в евклидовых пространствах Определение, Пусть Л - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве 6 . Линейный оператор Е^Е называется сопряженным к оператору Л , если Е выполняется равенство <Л(х^д > « Л*(и)> . Для любого оператора Л существует единственный сопря- женный оператор (в конечномерном пространстве). Если А - матрица оператора Л в ортонормированном базисе, то оператор Л * имеет в том же базисе матрицу А т (транспонированную). Определение. Линейный оператор Л называется самосоп- ряженным (симметричным), если Л * = Л . Теорема. Для того чтобы оператор был самосопряженнш не- обходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была симметричной, т.е. А ** А . Определение. Линейный оператор называется ортогональным, если * = Для того чтобы оператор был ортогональный необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица бы- ла ортогональна, т.е. удовлетворяла равенству A~J - Аг • 92
Свойства собственных чисел и собственных векторов само- сопряженного оператора(в конечномерном евклидовом простран- стве): I) все корни характеристического уравнения вещественны; 2) размерность подпространства <S ? собственных векто- ров, отвечающих собственному числу (корню характеристическо- го уравнения) Л , равна алгебраической кратности этого корня; / . 3) собственные векторы, отвечающие различным собствен- ник числам, ортогональны между собой. Из пунктов I, 2 и 3 следует, что для любого самосопря- женного оператора в конечномерном евклидовом пространстве су- ществует ортонсрмированный базис (из собственных векторов), в котором матрица оператора диагональна. Другими еловами,если матрица /4 симметрична, т.е. /4 - А , то существует ортогональная матрица Q , такая, что матрица А" = <? Q A Q - диагональна (и на диагонали стоят собственные числа). - Пример 5.9. Построить в базисе ё£ =-- уг матри- цу оператора, сопряженного к оператору проектирования в на ось вектора ё> параллельно ё\ • Описать действие оператора „ * А- Л . Решение. Указанный оператор проектирования в базисе } имеет матрицу / /О 0\ _ Ч) V L так как О Асе^)^ ё^. Базис , ег не ортонормиро- ванный._ Найдем матрицу А оператора & в ортонорД,о ванном ба- зисе. у V . Матрица перехода от базиса у У к базису {ё/? } есть р = Q 2) Учитывая, что А( - Р'1 А Р f где Л/З 2/3 \ “ki/з -уз/ , \ /2/3 -2/3 \ / Ol/З _1/зЛ j J- есть транс- получаем — Матрица сопряженного оператора А* ь базисе понированная: * 7 f 2/3 -1/3\ А = А 0.2/3 V3/ . 93
В базисе \?i > ^матрицей сопряженного оператора будет /^3 2V AV9 -5/9\ ^<V3-I/^ <2/3 I/3j\j-lJ ~ <2/9 10/9/. Для того чтобы поня ь как действует оператор У*, диа- гонализуем его. Найдем собственные числа и собственные векто- ры (сделаем это в базисе у" J- ): det *-Д£)= Х) Jj; | = 0 <=> ^ = е>- Собственные числа: J* 9 В _ Собственные векторы: Jj =(1;2) ~ (для£ «0) и = =//•-/) * l -j (для Л « I). В базисе t 1 матрица со- пряженного оператора имеет вид /О 0\ / Чо 1). Значит Л - тоже оператор проектирования:на ось вектора Уг параллельно вектору У/ . Пример 5,10. Доказать» что в пространстве функций Jfoc)€ Сг[а 1» для °^°Рых J(&) - О » оператор £)* ( * оператор дифференцирования) является самосопряженным. Скаляр* ное произведение вычисляется по формуле Решение. Надо проверить равенство ДЛЯ любых Jcx)t^)€ для которых yra)=J(f)^ ^(6) О. Применяя дважды интегрирование по частям» имеем. >»<v > = ja T/,,MS(x)otx - £ \t I 6 ~Ja gtoj- 'fcid- -O-(fcc)tj& ’|0"^ =JJ(x)^'cx)clx = Прям*’-' 5. И, Ортогональна преобразованием лривеста'^га'Д^ рицу оператора -А к диагональному виду, если в исходном (ор- .*о>.армированном) базисе его матрица /3 2 2\ А » ( 2 3 2 ) \2 2 3/ . Нэиение, Оператор А самосопрямвнный, так как его матри- ца - симметрична. Наедем собствен»» числа: 94
det(A-M)- '3-Л г 2 2 з-л 2 2 г + r - г>, з-л Корни: Зу=^“ /, Л3 » 7. Найдем собственные векторы: I) J « I. Решаем однородную систему с матрицей А-ЛЕ А-£ : 2Х/+2Ъ+2ХЗ-О. \XJ \о) \{J’ собственные векторы а • <—I; IjO) к &> « <-1;0;1); 2) Л - 7. Однородная система с матрицей А - ?Е имеет вид ’ -4Х/ +2х* ^Xj ~ о, Zxj ~ *2х3 = О, ^2Xj О. Общее решение fxt\ ( \ ( хх. )»£ / ); \х3/ \1/ собственный вектор а3 « (!;!;!) «уме ортогонален df ж аг , так как Л/<г » I / 7 « Л3. » однако az и Qj не ортогональ- ш { а^- I / Q}, Ортогонализуем систему векторов и « а{ - <-1}1-,О), , где I» II откуда < «4 - Г > /Л х а3 = </;/;/). _ Осталось нормировать ортогональную систему векторов ( : / .Х:Ъ) м, I ( 7z fz у> р fl-' р г JL- • • i \ г 141 "{ 16 ’ fe'lsh “(/Т 'fS‘ U ) В полученном ортонормированием беднее -ру, ё* , ё3 У ***** рица оператора Л будет диагональной, а матрица соответствую- щего ортогонального преобразования (матрица перехода к базису > ej У ) состоит из столбцов коорданат векторов ё, , : V5
/I о 0\ (о I о)> \О О 7/ Замечание. Вектор i ти из условия,_что он ортогонален векторам Z т.е. положив л . Получим г = в данном случае можно было май- J? = q И « (2 . Получим z J ~ (I; I; *2). т.е. -/ /<9 / / / Полученный вектор совпадает (с точностью до множителя -2) со старым вектором jr i I; _ I. -г\ Задачи К. Доказать следующие свойства операции сопряжения (\ Ы...5.136): 5.I3I. = -А 5.133 = 5.135. <f * = 6 где <£ . . 5.136. С,- 'l)t=(rV)‘, если оператор А. невырожденный. 5.137.Линейный оператор Л в базисе = с9 i+J' имеет матрицу = /I 2 \ » Найти матрицу сог ряженного 5.132. ле/? 5.134. (Л° в)* = « - единичный оператор. оператора Л* в этом базисе» 5.138. Линей! ий оператор А в базисе = Г ёг-[+Г/ , % * с +J имеет матрицу /I I 3' . А =1 0 5 *1 1 \2 7 *3/. Найти матрицу сопряженного 5.139. В пространстве ] <^>»й где J t)=ao^Qjt 6 ренцирования зисе:• a) et - 1, ёл - i ( оператора Л*в базисе ’ €i , СО скалярным произведением найти матрицу оператсра диффе- и сопряженного оператора ч ба* 96
б) « I, 5.140. В пространстве [/ ] со скалярным произведением <найти матрицу оператора, соп- ряженного к оператору дифференцирования </? - у; в ба- зисе: ?у = I , ? г = t) ё\ , Л. Найти сопряженный оператор для следующих операторов (5.I4I...5.I44): 5.141. № ft*'— & - поворот на угол <f . 5.142. J - симметрия относительно прямой - Л . 5.143. Jp : - ортогональная проекция на ось век- тора а . 5.144. : Д*'2—гомртетия с коэффициентом X с ё? 5.145. Доказать, что оператор Л : [х J — [х j » опре- деляемый равенством Л(/) ~Сх^У/'(эс) + 2хJ ‘(х)? является самоеспряженным. Скаляоное произведение вычис- ляется ПО формуле = J JWflWdj * 5.145. Доказать, что в конечномерном пространстве операторы Л и Л * имеют одни и те же собственные числа. 5.147. Доказать, что оператор, обратный к ортогональному, то- же ортогональный. 5Л48. Доказать, что если Л и /3 - ортогональные операто- ры, то и Л 0 /3 - ортогональный оператор. 5.149. Доказать, что ортогональный оператор сохраняет скаляр- ные произведения: < Л (Зс\ Л(^)У ^<зс} \/^у у с ё. 5.150. Доказать, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов: ||Л£О|| ~ || Зг J ; Уёс с Е / 5.I5I. Доказать, что оператор Л ортогонален тогда и только тогда, когда он любой ортонормированный базис перевопит в(другой)ортонормированный. 5.152. Доказать, что собственные числа ортогонального опера- тора равны -I. 5.153. Доказать, следующие свойства ортогональных матриц: а) сумма квадратов элементов любой строки (столбца) рав- на единице; 97
б) сумма произведений соответствующих элементов любых двух различных строк (столбцов) равна нулю; в) определитель равен *1; г) все корни характеристического уравнения (в том числе и комп. ксные) по модулю равны единице, 5.154. Доказать, что матрица перехода от ортонормированного ба- зиса к другому ортонормированному базису ортогональна,' М. Ортогональным преобразованием привести к диагональному виду линейный оператор с указанной матрицей (в ортонормирован- ном базисе). 6-“--о. 5.157. л /0 2\ 5.158. /I -/3\ А = \2 3>. А “V3 -ij 5.159. /I 2 l\ 5. КО. fl I I\ 2 I-I B = T I I 1 \I -I -2/ • \I I jf 5.KI. /0 I l\ 5.162. /0 2 -3\ В * ( I 0 I ) В = ( -2 3 -6 ) \I I 0/ • \-3-6 8/ 5.КЗ. /0 2 I\ 5.164. /2 2 ~l\ C = 2 2 I ) 2 3 0 ) \I I -If . \-I 0 of Глава 6. КВАДРАТИЧНЫЕ ЙОРМЫ 6,1. Основные понятия Определение, Квадратичной формой от а переменных на- зывается однородный многочлен второй степени от этих переменных: aijxi июцметричная матрица 4 , где 98
f аН • • • а/п \ А « / ... ... ... I У7/?/ •• • апп/ называется матрицей квадратичной формы. Удобно переменные /г, , «• •, х /г рассматривать как коордг шты вектора 5с еЛ71.- <р(х) = ). Если Л - вектор-столбец X - ( .. ) а X « ( ас/ , ..., лс/г ) - вектор-строка, то квадратичную форму можно записать в виде _______ . - . - . _ гл \Р/г/-.- <Ъг/?/ хрс'п/ ' Определитель матрица квадратичной формы det (А) назы- вается ее дискриминантом, а ранг этой матрицы - рангом квад- ратичной формы. При det (А) £ О квадратичная форма называ- ется невырожденной* При переходе к другому базису матрица квадратичной формы меняется по закону А’ = рГАР где А* - матрица квадратично! форяы в новом базисе, и Р - матрица перехода* Пример бе I* Найти матрицу и матричное представление квад- ратичной формы " " " ----------------------% - Решение* Коэффициенты при квадратах переменных равны соответствующим элементам диагонали матрицы этой формы: Для остальных элементов, ввиду а •• - , коэффициент при JTC. х в форме равен (с fi) • Значит » а ~ 4 . Отсюда матрица°формы
Пример 6.2. Восстановить квадратичную форму по ее мат- / 4 I -2\ А - ( I 2 3 ) \-2 3 -I/ ' = 4x;7Zz< ^<ЛУ Х/ х. , )j[j .- ?• .5 -V.; JC? - fX , f 2хг - X, + X, - Tfxt Xj Причер 6,3. Написать квадратичную форму JCx) А'л . новом базисе е' ~ " 3' * <1Я>: *' femriiffe. Запишем матрицу данной квадратичной формы (в ис- ходном базисе) и матрицу перехода к новому базису: . /3 -П г ( I I \ 4 ' Vi iJ» ^“(.-2 i,7. В новом базисе матрица квадратичной фирмы V'TiVV Р - V *) \1 _yz \* I \“*/С I/ \ #С е сама квадратичная формд будет иметь вид ,/W-yrV^ хр = +2(x'^-)"j где и координаты вектора в новом базисе. Задачи А, Найти матрицу и ранг квадратичной формы. 6.1. у.- 6.3. 6.5. у-- 6.?. С/''- 6,6. 6.2. J' <гу ~ «л" . -rv V . -V’'? / 2 У Л' / Zz^ . ^-v 6,6. /-SC, ^^JC. ОС, *~z7 г* г Б. Восстановить квадрад’ичную форму по ее матрице 6.9. <1 1\ б. 10. ,^/0 3\ ч I 3 ' ’ ' кз -2./ .
6. II. /2 -I 0\ ,4= -I 3 I . \0 I -2/ 6.12. /1-2 3\ A 4~2 0 -I ] \3 -I 4/ В. Найти квадратичную 6.13./=^^^^, 6.14. у ~3x^~ Zxt Xg-x^ t 6.15. <f ? 2 f e;« (I;0;3). 6» 16» y7 - e'3 » (0-,I;3). форму в новом С1зисе. (I;3), (-I;2). (I;I). e; - (2;-3). e'* (I;-I;O), V = (0;I; 2), / £,z« (Г,2;0), d;0;I), 6.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду Определение. Говорят, что квадратичная форма имеет кано- нический вид, если она содержит только квадраты переменных, т.е. если ее матрица диагональна. Теорема. Для всякой квадратичной формы существует базис, в котором она будет иметь канонический вид. Другими словами, любую квадратичную форму с матрицей А невырожденным преоб- разованием переменных (где В - матрица перехода, olet (В) /= О * д - новые переменные (координаты)) можно привести к каноническому виду с матрицей Л = в ГА В) где Л - диагональная матрица. В переменных у* , ..., д п квадратичная форма имеет кано- нический вид (с точностью до перестановки переменных) Е V// , где t - ранг квадратичной формы.. Невырожденное преобразование и матрица Л опред гены неоднозначно, однако, при любом способе приведения квадратич- ной формы к каноническому виду будут одни и те же (закон инерции квадратичных, формат ICI
а) количество положительных коэффициентов; б) количество отрицательных коэффициентов. Квадратичную форму можно привести к каноническому виду: I) методом Лагранжа (выделение полных квадратов); 2) ортогс Альтам преобразованием. Метод Лагранжа поясним на примере. . Пример 6.4, Методом Лагранжа привести к каноническому ьаду квадратичные формы: «) /(~.,хЛ,хз) = х/* + > б) -х^х* 'х,х3 * - Решение, а. Напишем матрицу квадратично* форш и найдем ее ранг: /I г-2\ Л-( 2 I >), | л| --40^0. \-2 3 I/ Ранг равен 3, значит канонически» вад будет содержать три квадрата. Для приведения к каноническому виду применяем мето* Лагранжа. Сначала выделяем квадрат у членов, содержащих xt : fab хз> 'хз *&Ьхз хз\ ! Теперь дополняем х}) до полного квадрата: <е $ W 49 * , л Ухз ~9^сз)*~з~хз ’ - > ’ Чх-З-х зхз> Тхз ’ Окончательно подучаем “*я/ ’*^’5? ~ ^3 * ' ~3~хз ' %з ~ х3 • _ • Навдем матрицу перехода В . джя чего выраеим х черев -С2
Указанный канонический вид квадратичная форма имеет в ба- зисе , ёе, <?; =-/ёх //ёг * ё3 . , Если исходный базис f) , был ортонормированный, то новый - уже косоугольной. —"* б. Матрица этой квадратичной формы есть /О 1/2 А =( 1/2 О \I/2 1/2 1/2 \ 1/2 ), olet(A)~ tpf *0. О / Квадратичная форма имеет ранг 3. Так как она не содержит ни одного квадрата, сделаем предварительно преобразование 1^»^. Сразу получим два квадрата: ^гг-. Теперь выделяем полип квадраты: / //- , гда Л = Л' V- шрааим переменше через $ : Z1 ’ /j матрица перехода ^=( I -I -I I Н’ h ’ Vo .0 I/ Координаты новых базисных векторов: • (1;1?0>, . (I;—1;0)» J3 - (-Ij-I;I). Для приведения квадратичной формы к каноническг *у виду ортогональна: преобразованием можно рекомендовать такой поря- док: I) находим собствен»» числа матрицы , Л : Az , Сразу можно написать квадратичную форму в каноничес ом виде 103
т о У (у ) » где Y - ранг квадратичной формы; он равен числу отличных от нуля собственных чисел матрицы ; Для, нахождения матрицы перехода (преобразующей матрицы) & 2) находим с^бственнь. векторы матрицы А ; 3) если все J\t- различны, то соответствующие собствен- ные векторы ортогональны. Их следует нормировать, разделив на ^ормы, Подучим ортонормировании# базис из собственных век- торов; 4) если среди собственных чисел есть кратные, то соответ- ствующие кратному собственному числу линейно независимые соб- ственные векторы должны быть ортогонализованы (например, при помощи метода Грама - Шмидта), полученные попарно ортогональ- ' ные векторы следует нормировать; 5) матрица перехода состоит из координат векторов орто- нормированного базиса, расположенных по столбцам. Пу.мер 6.5. Привести ортогональным преобразованием к ка- ноническому виду квадратичные формы: а) J ’• ’> ’ б) . Решение, а. Матрица квадратичной формы /5 6\ /|=\б д/ и ее собственные числа я -4, ^аноничесг й вид Д/=.^^ = Собственные векторы А : (4 Нормируя их, получаем о ^нормированный базис из собствен- ных векторов, в котором квадратичная форма имеет указанный ка- нонический вид: = W3 > Соответствующая матрица перехода 104
Заменой ~ / z о . А-' ' '%) квадратичная форма приводится к каноническому вику. Заметим, что элементы матрицы 8 равны косинусам углов между новыми и старыми базисными векторами.. б. Мы уже приводили эту квадратичную форму к каноничес- кому виду методом Лагранжа (но не ортогональным преобразова- нием) , подучив у2 - у* - у 2 . Матрица этой квадратичной формы /О ‘ I 1\ А = j -I О I ! \I I 0/ • Она имеет собственные числа = *1/2, = I. Искомый канонический вид Заметим, что его коэффициенты отличаются от коэффициент тов канонического вида, полученного методом Лагранжа, но в обоих случаях получились один положительный и два отрицатель* ных коэффициента (в полном соответствии с законом инерции). Собственные векторы (после процесса ортогонализации): x‘L (1;-1;О), х(г)= (I;I;-2), х(3> = (I; I; I). Нормируя их и записывая по столбцам, получим преобразующую матрицу Задачи Г. Методом Лагранжа привести следующие квадратичные формы к каноническому виду и указать соответствующий новый базис:
6.20. ^=х U < jt- г -^“хз z , z 6.25. ~х2+2уг+2г*+3и.2+2х^г2ха *х 6.25. /' = х2- 2иг+ Zxz +‘jxu -Циг - 2га . Д. Ортогональным преобразованием привести следующие ратичные форш к каноническому виду» 6.29. ^ = ^<£^*3^ . 6.30. </=хг^Ох^ 6.31. . 6.32. (f -- х2+у 2- 3 +6ху +2хг - 2у г. 6.34. у = 2зс* J-2x^ - 2xJ~^х{ х^ 2х{ х^ /, 6.35. = - 2х*+1[г+ 6гг- Чху л вхг - ^^2 . 6.36. = -х*+2д2- гг+4хд-2xg . Л.Т. C~t
6.3. Знакоопределенные квадратичные формы Определение. Квадратичная форма называется положительно- (отрицательно-) определенной, если для всех х * О она будет положительной (отрицательной); таким образом, знакоопределенная форма обращается в нуль толь- ко в начале координат. Матрица знакоопределенной формы также называется знакоопределенной. Определение, Главным минором квадратной матрицы А назы- вается минор , образованный ее первыми /г строками и первыми Л столбцами, т.е. ‘йи > = I axi | ‘ И Т,Я‘ Критерий Сильвестра. Квадратичная форма является положи- тельно-определенной тогда и только тогда, когда все ее глав- ные миноры положительны: >0 > •••• ла>О * Квад- ратичная форма является отрицательно-определенной тогда и толь ко тогда। когда знаки ее главных минороь чередуются, причем первый отрицателен: Д^<О , о • < О, ... • Знакоопределенные формы играют очень важную роль, напри- мер при исследовании функций многих переменных на экстремум* 1Ьимер 6.6, Исследовать знакоопределенность квадратичных Ношение, а. Составим матрицу этой форма и применим кри- терий Сильвестра: & /i -I о\ “ > ’ Л = (-1 4 2 ) \° 2 3/ - <Уег5^»^><7. Форма положительна определена. б. Матрица этой квадратичной форш имеет следующие глав- ные миноры: • |3 /| ; л. ^det(A)^ /?>О. 107
Форма по является знакоопределенной. Пример 6.7. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы О - Л) в зависи- мости от значения параметра Решение, Составим матрицу этой формы и применим критерий Сильвестра: /J <? \ *1 - Л' \2 у-з) ^=10-3)-^:^-зл-4. Форма определена положительно: Форма определена отрицательно: [У-ЗУ-^О ^0<-Л При остальных значениях Л данная форма знакоопределенной не является. Задачи 6,39. Доказать, что квадратичная форма является положительно- (отрицательно-) определенной тогда и только тогда, ког- да все собственные числа ее матрицы положительны (отри- цательны, * 6.40. Пусть 5/ , ...» <5* - линейно независимые векторы некоторого евклидова пространства. Доказать, что квадра- тичная форма, матрица которой есть матрица Грама О [а, , •••» » является положительно-определенной. 6.41. Пусть А - матрица некоторой положительно-определенной квадратичной формы JCx) . Доказать, что функция, оп- ределенная равенством • гяе удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Чему равна соо. стствующая этому скалярному произведению норма <1 Н ? 108
6.42. Пусть ... < 'Л/г - все собственные числа сим- метричной матрицы А „ Доказать, что кв; :ратичная форма с матрицей А - <* Е положительно определена при <*< ..Лу и отрицательно определена при . Е. Исследовать знакоопределенность квадрсигшагх форм задач 6.17. • .6.30. Ж. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм в зависимости от значения параметра • 6.43 6.44. . 6.45. + . 6.46. . 6.4. Исследование кривых и поверхн№стей2-го порядка с помощью квадратичных форм Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости: Ax*+2Bxg + + 2£д + /г~О, причем А*+В*+С*Ф О. Члены второго порядка уравнения (6.1) образуют квадратич- ную форму от jc и у : с дискриминантом' л И а\ АГ А* **\в е| ~АС‘6 • Знак дискриминанта определяет тип жфвой: I) Л > О 2) 4 < О 3) л = О * параболический* Линейные члены и свободней член могут привести к зарож- дению указанных типов кривых. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду проводится в два этапа. Сначала приводим к каноническому виду *09 (6.2) - эллиптический; - гиперболический;
квадратичную форму (6.2) ортогональным преобразованием Q-а (6.3) где Q = у J- ортогональная матрица перехода, с.олбцами которой являются координаты новых базисных векторов е* и е* : Здесь -А/ и - собственные числа. Подставив (6.3) в урав- нение (6.1), получим уравнение кривой в координатах зс'Од' (с тем же началом координат) о. (6Л) Затем выделяем в (6.4) полные квадраты и делаем еще одно пре- образование переменных: *“*'-*i, У‘У~У° (б-5) Слраллельны* перенос начала координат). Окончательно получа- ем каноническое уравнение кривой в системе координат XOY од- ного из следующие видов: Y^ ' 3= / - эллипс; cP - точка (начало координат O')i • ф (мнимый эллипс); - гипербола; - пара пересекающихся прямых: Y=t~ XX <Х - парабола; - лара параллельных прямых ( X ® t & или У - ); НО
«• О. две слившиеся прямые (осыЗХ или OY )• Хг У* Чтобы получить связь между старой и новой системами коор- динат, подставим преобразование (6.5), т.е. л'~хо + X , у/= у'* в (6.3). Получим: ИЛИ- где О (jc0 ;^о) - новое начало координат. Аналогична образом приводится к каноническому виду урав- нение поверхности второго порядка: + Е = О,' где <f(xt f) - квадратичная форм... от переменных л- , у , ? ранга >0 . При этом может получиться каноническое уравнение одного из следующих X* видов (с точностью до перестановки переменных): + —г • эллипсоид; г Z У* О точка (начало координат О ); X* + У* + X* Уг 2 - однополостный гиперболоид; 0 у* z* - ко цус; Л"2 двуполостный гиперболоид; Z*2 III
- эллиптический параболоид; - гиперболический параболоид; - эллиптический цилиндр; - прямая (ось ); - гиперболический цилиндр; - пара пересекающихся плоскостей - параболический цилиндр; - пара параллельных плоскостей - две слившиеся плоскости ( YO'i ); - ф . Пример 6.8, Исследовать уравнение и построить кривую 3xZ+3y Z+ + 4х- /О ~ О . (б.б) Решение, Квадратичная форма, соответствующая уравнению (6.6): Jtx,g) * Зх • XI2
Приведем ее ортогональным преобразованием к каноническому ьиду. Ее матрица _ /3 IX М з/ • дискриминант л кривая эллиптического типа. Соб- ственно числа А 3 2, » 4. Соответствующие собствен- ные векторы <5у » (I;-I), =* (I;I). Соответствующий орто*- нормированный базис еу - (I//2; -Л//2), ё, = (I//2; I//2), Если jc' и у* - координаты вектора (или точки) в новом ба- зисе, то 2(jc ^гу Подставляя (6.7) в (6.6), подучим ;*-М2х 'л/О-О.(6.8) Выделяя в выражении (6.8) полные квадраты, получим канони- ческое уравнение эллипса: р X* У гх^г = иж — &о_центр в базисе } имеет координаты х'д = /?', ~ - /2 • Учитывая формулы (6.7), получим координаты центра эллипса в исходной системе координат: «О, Ч = -2 (рис. I). t Подставляя pc = X у' ~ У - >/2 в (6.7), подучим связь.между новыми и старшш координатами: , Г X» ~(Xi-Y)t , /г > из
Пример 6.9, Привести к каноническому виду уравнение по- верхности = (6,9) . Решение, Соответствующая квадратичная форма 2) = = ^ыла ирнввДвн* к каноническому виду (ортогональным преобразованием) в примере 6,5(6) (но в других обозначениях): % 2 --^(р , где зс ' , t г - координаты вектора (точки) в базисе ' • п₽" этом fJc\ № ^\(х',\ ( ) =(-///? ///<s ///Т /(</)» или V/ \ О -Z//6 Мз/ \г'/ П4
(6.10) Подставив (6.10) в уравнение (6.9),.получим { -7 i, /,'/ ё^‘ 2г' п '2 (х> 'г (%> *(г) * vT " ёб ' V3 “ У/ (6.II) Выделяя в (6.II) полные квадраты, получим каноническое уравнение _ . (• rz lz Это двуполостный гиперболоид (рис. 2). Его центр имеет (в системе координат (Ьс'у’? * ) координаты х‘ -3^ у'=-<£, г'& О #0 3 £0 3 Подставляя их в формулы (6.10), получаем координаты его центра (т.е. нового начала координат О* ) в старых коорди- натах ^o=3’ /с’-3’ Новая (каноническая) система координат О'X вполне определяется своим началом О1 (3;-3;1) и базисом -^Л,о)г ё^а/Л; Цёё, -2рё), ё}(№>№> 115
Хм Bic. 2 Задачи 3. Установить тип кривых и привести их уравнения к кано ническоцу виду. Изобразить системы координат И кривые. Выра- зить старые координаты через новые. 6.47. Зя:* - JO-xy + SO, 6.4В. Sx* + +S$* - IS . 6.49. Эх^бхд + / Уд* = УЗ. 6.60. х*- #хд * Уд*-16. 6.51. 9х** 4хд +бд *- /6х - £д - 2 « О. 6.52. Зх*- 4хд + А’д*+/Ох - Уд-УЗ - О. 6.53. 6xg-8g*+6x-^g-S-O. 6.54. ** $хд ~ ?д*' у^х ~ “ б/. IK
6.55. 4xZ-12xy + 9у^+32х + 4у- 10О = О. 6.56. хг+ 6х</ + 9у.г-20х + 40у - /У» О . 6.57. 5х г+ 26лу 6^х ~ * *у - °- 6.58. 9хг+12х$ + 4<j*+ 12х + 3у-S - О. 6.59. 4х^- 4ху + <^г+ 4х-2^-3 = О. 6.60. Зх^ +10х^ *3y2-S6x ~ 4 Оу + 126 = О. И. Найти каноническое уравнение поверхности и соответ- ствующую каноническую систему координат (т.е. указать новые начало координат и базисные векторы). Определить тип этой поверхности. 6.61. 9х*+2д*+2гг+4ху-4хг =10. 6.62. 4хг-3у**6лд +4хг - 4уг = О. ^-3^+4^г =4. 6.64. Зх^+бу^+Зг^+бхг =6. 6.65. 3х‘г+4^‘г+3г‘г-16>хг = 40. 6.66. 3^- 2г- 4хд = 24. 6.67. хг+^г+ гг+ xg+JCZ-gg = о. 6.68. хЛ+4^г+гг+4х^- 2Jcg-4gg - 24. 6.69. 2x£-S^Z+2gг-2хг~2х-4^ +4г +2 =О. 6.70. ix^- 2^+4gZ- 4х^-20ху + + 12х - 60^/- 12g +90* О. 2 2 2 6.71. Зх +6д +^2 +4xjf + 4yg +16х + 24^ - 62+зо = О . 6.72. 6.73. 6.74 6.75. 2 2 2 4х +4у + г +3ху +4xg + 4tf г + 23х +1^+21 + 43 ~ О. 2x*+3y2+2g*+2xg +4хг +2д2 +6х-2^-4г f.j *. о. 2 2 'Ц~*‘ ***$ ~
6.78. ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ Глава I. I.I. /7 7 О\ 1.2. 4б П\' 1.3. 413-6 -10 \ \-8 15 -.V. (-3-16 1 ( I3-I-I? ) \-6 4/ . \-3 -9 25 7 1.4. /-II 2 9\ 1.5. /--8-16 9 \ 1.6. /29-10-3-16\ *4-60) ( -5 8 -14 \ 28 2 3 13 ) \ 20 -13 3/ . ( -2 0 15 Л \I7 I 10 20/ \-9 27 -2/ ' 1.7. /6 -6 -2\ „ /6 -23А 1.8. / 2 8 А А& = ( 2 5 II) ВА \4 97. ^=\-6'6/ ’ \8 -4 4/ , / 2 ТО -5\ А4 = ( -4 4 2 ) \-2-I 2/. 1.9. А В р , /2 2\. 1.10.Л /5 -5 -5 \ QA =( 2 4 ) -Ю -87* , в* \15 22/. I.II. АВ . (2R), а> 0 -2 0 -I 6 3 4 2 -4 0 I -3 -2 12 0 -3 9 6 \20 0 -5 15 10 1.12. Ав « (-4), /2 -3 5 -IX ВАЛ J -12 20 -4 \4 -6 10 -2 7 \8 -12 20 -4Х . I.I3. 118
1Л7* АВ** ВЛ /3 0 0\ 1.18. г4- 0 0\ 1 0 -12 0 ) А&=дА=\ ,0-5 4 1 \о 0 V \0 0 28/. L 19* АВ- ВА 1.20. Ав^ВА = /И 14\ \21 32/. L2I. /1 АВ- (о 91 3/ ) 12\ 1.22. /0 oj. лЦ.3 L23. /4 5 4\ /5 -2 14\ 1.24. /-3 0 0^ АВ~(П 5 -I ) Д4-1 (-5 8 -II ) АВ,- о -з о z \16 0 12/' \5 7 iG. \0 0 -у 1.25. Z-8 -I\ 1.35./21 25 \ T.27 /2-2 4\ ^2-6/. ^30 1/. (-6 0 6) \-4 -4 8/ . 1.28. /-7I5-3\ 1.29. r AO 5\ .r (2 I\ 114 3 13/. \5 0 14/ . 1.37. а) нет; б) нет; в) да; г) да. 1.38. а) -2 V б)// тг\ , в) Л П• 0 при/г»з /О О I V V' /=! О О О \0 О О '19
г) /0 I 0\ о о н< o OHO s 53 I\ ° w I 0 0 При /Z ; о I 0 J ГТ (0 0 \I о 4 (у при/г=ЗЛ>/ 0\ ° ) I/ при/г=ЗЛ} (p c I 0 I\ 0 / <У i еУбгп 0 (o \p 0 1.41. 1.43. a) ”( t 6 -a \ &\ }a, б/*’ илг Q? oj » , или /I O\ \O I/ 1.44. Г - 2. 1.45. • X 2. 6 c £* 1.46. X . j . 2. 1.48. - 3. 1.49. X - 3 при J - 1} r « 4 при J X I. 1.82. 120

при л х 3. 2. Р. ?. 2.18. 0. 2.19. /1\ 2.20. /2\ хх)- хх) 2.28. 2.27. ' @<D -©<D"-© 122
2.31 -7 j ( -IS ) при Д « 0; 0 при A/0. 2/А0 J ч07 \2/ 2.33. ZI\ X-I/4 0] при \1/ 2.34. /3\ /2\ X=XlU' hl) \0/ \1/ 2.35. ** 2+эо 2хЛл\ 2.37. 2.39. y,z _z 2 ~ /3 л JC-1 tf-2 2 . 2.40. — - ^-Г - у > Д = 0; 0 при J / 0. /3 \ при д =» 8; дм ~i 1 при л \0/ 2.36. = 2.38. ~ 6 ~ Зл > 2 £оа -X . р / =" п 1г “ Hi. . I'x =7aZ У/Л". / 8. 2.41. (I;2;3). 2.42. (2;-4;3). Глава 3 3.7. Нет. 3.8. Нет. 3.9. Да. 3.J0. Да. З.П. Да. 3.12. Нет. 3.13. Нет. 3.14. Да. 3.15. Да. 3.15. Да. З.Г?. Да. 3.18. Да. 3.19. Нет. 3.20. Да. 3.21. Да. 3.22. Да. 3.23. Да. 3.24. Нет. 3.25. Нет.. 3.26. Нет. 3.27. а) зависимы; б) независимы; в) независимы; г) зависимы. 3.28. а) независимы; б) зависимые 3.29. Зависимы. 3.30. Независимы. 3.31. Независимы. 3.32. Зависимы. 3.33. Зависимы. 3.34. Независимы. 3.35. Независимы. 123
3.36. Зависимы. 3.37. Базис I, х , у , у* , .-г— 7^}, dim = 10. 3.38. dem = 10. 3.39. <->7.7? = 6. 3.40. dem = п(п*1)[ Z 3.41. dem - n . 3.42. .'rims 6, базис /I 0 0\ /0 I 0\ /0 0 I\ /0 0 0\ /0 0 0\ /0 0 0\ ] 4озо ,(ioo),(ooo),(oio),(ooi),(ooo)> -0 о Q- \0 О У \I 0 0/ \0 0 0/ \0 I cy \0 О I/ J . 3.43. dim* 2, базис ♦ где an 5 I. 6a =n* 3.44, </90-/> . 3.53. <-3;4;5>. 3.54. <3/2;2;5/2>. 3.55. <2;-3> 3.56. <-2;I;I;I>. 3.57. <2;I;-I>. 3.58. <-2I/I7;-5/I7> . 3.59. < 4/3; -5/3 > . 3.64. а) <7/5,4/5/ ; б)'зТ перехода /* 3.60. sin<n-i')<flsi.ivf> 3.63. б) /<T-2y b) <I;O;-I > . 3.65. Матрица о. -С1'1 ' V </' 3.73. Нет. 3.77. Нет. 3.81. Да. 3.85. Да. 3.92. Нет. базис jk,, a.z j- 3.97. dm-.3= О при = (/у ) , где при , Л/, у\</г^/ 3.74е Да. 3.75. Да. 3.76. Нет. 3.78. Да. 3.79.Нет. 3.80. Да. 3.82. Нет. 3.83. Нет. 3.84. Да. 3.86. Нет. 3.87. Нет. 3.88 - 3.91. Да 3.93. Да. 3.94. Да. 3. 95. dim<3 а 3.96. dim 3 » 3, базис = 2, v М' . 2, базис . 3.96. dim2, базис 3.99. dimS* 2, базис -Г(7;1;0;5), 100. dimSee 2, базис {(0;1;Г.0;0), (-4;0;1;3) }. 3. <-1;0;0;1;б) } . 3. ТОТ. /-£ О Cj ^сг \ 3.102. Глава 4 4.5. Нет. 4.6. Да, !|ЗЬ/5 -|а|. 4.7. Да, ||а | = J^-Za^Za^ 4.8. Нет. 4.9. Да,1/^Л1 =/^ Г/оЛр]1 4.10. Нет.
4. II. a£ = 19, ||c|H/?P, Mlh/г6._4.12. «о = ~8. ||a|h/30, Р11|= (15. _ 4.13. <з / = -9, ^.||= /31, fit. 4.14. а-i - -14, |a || = /51, || £ || = 5. 4.15. </,£> = О, В /|« /2/5, ty|| ' = {W~ 4Л6. </^> = - -II/I2, ||y || = /7/3, ||^ || = /#/15. 4.17. Совместны, Jn? + /f ||« /35, Ий?- з || = /23? 4.18. Несовместны. 4.19. Несовместны. 4.20. Совместны, /п /Т = 1/2, fl/???/?|j=_ = 3/^? 4.21. Несовместны. 4.22. Совместны, II/?? Ц = /35/2, m-а = 45/4. 4.23. Совместны, п. = II/2, ||/т>-/?||= /14. 4.24. Несовместны. 4.25. Совместны, ['Я? || = 3, Ц/»-/? Ц» I. 4.25. Совместны, ||/г II = 5, ||/??+,? ||.» 8. 4.31. Нет. 4.32. Нет. 4.33. Нет. 4.34. Нет.' . • 4.35. Да. 4.36. Да 4.37. (2/<5; -I/Тб). 4.38. (3/5;0;4/5). 4.39. (2/7;-3/7;1/7;3/7;5/7;-1/7). 4.40. (1/4;-1/2). 4.41. 4.42. -л/г^-. 4.43. {//v^ (/l^)cosx, ({(&)sinxi (///XjcasZx, (7/jj; )лП1х„. 4.45. ^/x)-x, у>г(х^Лхг- it ^(Х)^^х3-3х. 4,46. . f xj/yi/2)(^х3-3л)!/3^ 4.47. - (Ij2;-3), £-(29;2;II). 4.48. 4»(2-,1;0;-1), J.(-I;4;-6;2). 4.49. / = (I;0;I;2), (-3j-2j3j0), = (13; 27; 31;-22). 4.50. 4 • (0;I;-I;2-,0), (2;I;I;0;-2), (3;-8;2;5;0). 4.51. faW-z-fainX' ^(x)^-iy^(g-zJ,)sinx -2 -ShinX, ^3(x)^cosx. 4.52. ^x^-j-х^х3- . faCx)—^x, 4.53. e{ •ll'fit *c/7^< - ilJe “JI* 3SIS6 . 4.54. et -2Г//? *///? * ^//6, <?z = - ifS/B +^3 + 125
4.55 (x) = - 1/^3 ^jc/г/З , 4^(x) = 1/36JS- x/6d53x*/fdS 4.56. $»; =/f*'cwxt^(x)^- tcosxl/zZ^tfT4 aSlsji лг/Хя*- W?. 4.57. dim = 2, gj = (l/73; 1,45; I//3), ё - (VJ~4i\-b/ /^; 4/ /42); <г<ДО> , 5<2//3; fVt/J/, a <4/3; - /42/3>. _ 4.58. dem - г, et =(c- >3 к)//зt ez + 3J+к)[у/ёг j 5y</3;0> , 5,<~I//3; V4^3>, 5/2//3; /42/3>. 4.59. dim* 2, /y = (V/7;-I//7;I/_/7; 2//?), - (I/ У 7;V /7; 2/ /?; -V №» a//7; 0 > , 5/0- /7>, ^</7; /7> . 4.60. di™ 3, et = (0-.I//I4; -2//14; 3/ /I4)_, <?,» (1/2;I/2;-I/2;-I/2), ^ = (I/ /6;2//6; I/У6;0); /</14;0;0> , <5^<0;2;0> , < I4;4; /6 >, 4.65. 3 /26. 4.66. 3/£ 4.67. '13. 4.68. 7/з/б. 4.69. V? 4.70. I. 4.71. a) G tyx,..., xn]-(q ) , где = j/ггу-/; , • б) где . о при нечетном/? =/‘у и о., = Zhp-t) при/ четном Хе , Ас, у* . 4.72. <7 [у jf4/ j, где . /А ‘V*z ’ ’ ' V h л) > • 4.75. (-4/3; 4/3;-4/3). 4.76. a) ifH- + ^к/ ё ; б) ij3-Jl3-kl3. Ь.Тк а) 0,61 ау - 0,63 а » (1,864;-1,212; 1,824;3,102), еа&г .0,323, ёоги « 0,076, б) 1,023 а, - 1,33 (3,376;-1,023;5,0Т4;1,737;2,661), Гс* °’57’ 3 О»082» в) 0,855-5; - 0,809-az - 0,691- а,« (3,044;0,927;-0,162; 0,897), ёа<5с ж 0,21, Еогм / 0,063; г) 0,889 5Z- 1,704 nz - 0,982 а3 - (4,463;0,815;-0,722; 4,63) 5oJc=0,6d, 4.78. а) 1,134 х- 0,3»5л- ; б) 0,98 - 0,42 х * \ в) 0,741 «- 0,326-х* ; г) 0,695 * 0,528-г - 0,141; д) 3,294cosx ; е) Zsutx - .згп. Zх i/З) а Jx . 126
4.79. а) да; б) нет. 4.80. а) да; б) нет. . 4.81. a) Y^ 22,06 - 0,235 'X ; б) У~ 20,987 + 2,824 X. 4.82. а) Y-и 2,75 + 0,325 X + 0,875 Xх ; б) У- 9,387 «- 2,685 Х - 0,895-Xх . 4.83. a) Z - 1,31 + 4,19 X + 1,94 Y б) I- 4,77 X + 2,86 У •» 1,82 ХУ . 4.84. а) У~ 22,36-е°'; б) У- 2,П-Х^ Глава 5 5. L При 6 / 0‘ - нелинейный» при / « 0 - линейный; при X / О Л - {- , Зкп , 5.4. 5.5. при Л « 0 Л f при 6 О 1 f ~1^ 'гпри / = JJ ) 7 ' "U. Линейный; Jtze 0Z ; ~ . Линейный; ={б } > $тг = /? 3 Линейный; Ж&с S3 = cf? а [х, =--... - jc - =.- -pvf A?'' Линейный; .. .=utA? если k « 0 , ( О » если Л » О 1 если к Я™2 ’ если о* 5.6. Линейный; Xtrc [JC C = О _ Г О, если с » О < » если с £ 0. 5.7. Нелинейный; если^=# = 1 еслИ f 5.8. Линейный; ; исли 6 0} >9/если gtO <frn ро?...,«/< 5.9. Линейный-, S3 ={W}? [о । 5 5. II. Линейный; Жгх Эк€$ : д(зс)~ при эс-^-О^ и $0)-0 127
5.II. Линейный; если = 2, то Эш.0 если хб/4)~ I и £ /R (Z/ - коэффициенты той линейной комбинации строк(столбцов) -матрицы А , которая дает нулевую строку' столбец) , то { ду £4 Y з«ма: 5.13* Линейный; = 5.14. Линейный; JQ/t У =^(х}\$(хо}^и‘(эсо)~... d[xe*}~C$;l;2). . 5.15. Линейный; <6 ^[чсх)\^(а}^(6)^о}; dm8~fT. o.I6. Линейный; JCet , dm Р «л°(аТ. 5.17. Линейный; dC&t = const J dm A -Р^} 5.18. -Линейный; УОл т #,..., #г. , | *)£ ^} ; ЗтТ = 5.19. Линейный; У [^]=jc. 5.20. Линейный; О). 5.21. ~sin<f \Sintf cos if ^•/ь„ аг/ о ( аа аи О о \ ° s Ч. °и й», ач ' ? tP л/г fi О 0 \ 5‘23< Г/7 Л\ 0 as<f -sintf\ *}[ •.{ u j sirup cospj x"0 O-qJ 5*24* 5*25* ЕСЯИ ^вГ<2/’-»°'2,^Д’ ®О^в<й/ -ал>. 5.26.Матрица г.г , получающаяся из единичной перест давкой -го г и 7 -го столбцов. 5‘277* / /7\5-28/'А 'Л.. 6л\ ( 0 2U\ ( \р ' fjy. \ о i / кчох /Он О ач 0\ /й он о ап I лц о а и о \о а^ о a^t 5.32. а) /0 I. ~\ °/1Л в) 1*Ь
5.33. a) 5.34. a) б) /I I Ox ( (j 0 2 ) VI-I I . о) /I 2 *2\ 2 I 2 ) \2 2 l/ 6) - матрицы, составленные 5.38. , где P и из столбцов векторов и £ соответственно. 5.39. 1 /УC&S S Sen S bl.lf \ 3 -Zsuzip Зс&Зьр ~ Sen . 5.40. /4 Pcos</>-2sazip 5.42. /I 0 O'. i e^^.scn^\ j 0 T 0( 1 0 cesf f-suz Vj-./.-/’ у ,y0 0 0/ \p Sen (f CSSifi Sulip / t 5.43. /0 I2\ 5.44. /1-1/2 3/2 \ 10 0 2 p I -2 ) \0 0 0/ \p 0 I / . 5.45. a) 1/5 /-I .0 -3\ 1-17 20 -6 I \8 0 8 >; 6) 1/7 /16 k: 39 -12 \ 22 -3 ): 15 4 /. ° 5.46. a) ZI 0 I 2\ 6) Л2 0 I ox ( 2 3 I 5 \ ’ I -4 -8 -7 I I I 3 2 , , x 1 4 6 4 X3-I 2 ov VI 3 4 7У 5.47. А - "растяжение" вдоль осей в ^\д-раэ. 5.48. Z? - симметрия относительно прямой у = х . 5.49. C-SOx. • 5.50. <2) —поворот в плоскости на угол <f> и "растяже- ние” вдоль 02 в Храз. ьи--’ $ в) (р) ”G"'. 5.53. а) Зх , б) 5^ , ; г) X //Л . 5.57. £ . 5.58. fig . 5.72. След равен нулю; не может. 1'-9
5,74. d^-n dC \.dn't d ]~ZT> n 6,75, A y = I, б/ - Г ; Ay - - /, - J 5.76. лу =0, 3f = <T *, Ay = I, =J'. 5.77. ,X. = 0. собственный вектор - любой, перпендикулярный плоскости d/ , например а, = c-Jt2k ; Ay = I, соб- ственный вектор - любой, параллельный плоскости 3 5.78. А = I, a =j <Ч> /О). 5,83. А - у, ос,'а?'1'*. 5.84. А = £>-/, осп = о <}П/ 5.85. Недиагонализируем. 5.85. Недиагонализируем. 5.87. А/х> = -2, а = (1,-1). 5.88. Недиагонализируем. 5.89. « (2,-1) ( А/ = -I); ог - (2,1) ( - 3). 5.90. йу - (2,3) ( Ау = 2),' ст,- (1,-1) ( Ау- -3). 5.91. Ау. - 0, а = (2,-1,0). 5.92. A;-I, а = (2,-1,-1). 5.93. Г* 0, Sf - (2,0,-1>, аг = (0,2,1). 5.94. А/^'3=-1, о} ~ (-2,1,0), аг - (0,3,-2). 5.95. а/ х (0,1,-1) ( Ау = 2); - (2,0г1) (Ау = -3). 5.96. Ay =0, Of = (1,0,0); Ay у « -I, » (0,1,0). 5.97. йу= (1,2,4) (Ay - 2), a » (1,0,1), a3* (0,I,I)(A-3) 5.98. Ay^ = -I, «у - (1,0,-1), J - (O.I.-I); A,= 3, a - (1,1,2). 5.99. A. = I, Sj - (0,1,0); 4, a. = (3,4,3); IcT СЧ 1 tl - (1,0,-1). 5.100. Ay ’ I. a. - (2,1,1); A, --I, (1,0,1); - -2. - (1,-1,1). 5.I0I. A<z I, Of - (1,0,0,1); 5 = (0,1,1,0); a_ = -I, 5.102 . А,.,- I, оу (I.I.I.I); ал . (1,1,-1,-1); %* а ”Т* “ (I.-LIf-D. *<f » (I,-I,-I,I). 5.105 . (6822, 1702). 5.106. (-8189, 8192). 5.107 . /3 -4\ 5.108. /-5 -I0\ \2 -3/. • < 2 4) . 130
Ъ. Ю9. f а л 6. 5. ПО. И. 5.121. Любое подпространство. 5.122. Любое подпространство в плоскости YOZ и 5 U ] 5.123. 8 [гу] > 5 [г у ] 5.12* . Любое подпространство в плоскости xOY и ] 5.125. [а ] ; двумерное подпространство» ортогональное век- тору а . 5.126. При if /^нетривиальных инвариантных подпространств нет. При любое одномерное подпространство. 5.127. 5[5?]; J[d2], аД 5.129. -5 [(1,1,-1) 1 , у [(1,1,2), (I,-1,0)'] 5.137. /3 6\ 5.1®. /-Э6-37-I5\ V -3/. ( 30 30 14 1 . \26 27 9/. 5.139. a) /0 I 0\ * /0 0 0\ 0 0 2 ) /> = ( I 0 J, \0 0 0/ , \0 2 O' 6) /0 2 I\ л , fl -9 I\ ^)»(o 0 l) S^\l-l l) \p 0 о/ X) 8 <y 5.141. 5.142. J. . 5.143. 5.156. (13 0) -5.157. 5.144. . 5.155. /I \0 °) c.?). 5.158. Z2 \0 - 5.159. /3 0 0Л \ 5.160. /3 0 0\ 6.161. /2 0 O' ( 0 ‘ -3 0 ) (0 0 01 0 -I 0 \o 0 0/ ' ' \0 o <y \0 0 -L 5.162. /13 0 (Г < 5.КЗ./1+У7 0 O\ 5.164. /2*77 0 °\ ( 0 ’ -I 0 IO I-/7 0 ) 1 0 2-/7 0 \O 0 -I/ \ 0 0 -y • \0 0 V e.x. Глава 6. 131
d> 4. 6.6, 6.8. <2 З/Л , -- 2. W2 I 7 > г1 2-Л 2 3 3 г'х = 3. \-i з д л I /-з -10 зх I -I о о о \ I О О I -2 /, \з о -2 a z 6.5. /I О Л 10 3 -2 j г = 3. \1 -2 -I/ ’ 6.7. XI 2 -3 0\ / 2-1 0 4 \ Z = 4. \ -3 О О I / 4 I 3/ 'W < . г п 2 6.10. 6.12. 6.14. 6.9, 6. И 6.13. _ 6.15. -7х'»Х7,у9<(?Г£'/'-^ -/х’г 6.16. </r7Z ХуZZX/Wtf/ry Xi7X X/Z/y 7 ' 6.17 г) - /<?>"' в базисе I. (I;0), f, = У г ' б) хг- 2Уг 6.18.a) -X!!-^yz б) 6.19. К в в в базисе уу « базисе 7 « (i;o),y В У3 = (-25-15-4). базисе 7 1 базисе yz (1,0), Т /е (1;0;2), (-3s I) 5 (2;1>. (3,2).. - (0;0-,1), . 6.20. XZ^YYZ в базисе /у» (I5O5O), А» (-I5I5O), ^=(0;-Р,1). 6.21. в баэис0 Л" <**0«0), /z« (I5I5O), Jj ® (—1,111). 6.22. базисв //ю (11010), у"- (-Г.15О), 4 4 (45-I5I). 6.23. а) -_Хг- YZ- 2* в базисе (I5O5O), (I;IsO), I » (21251); б) - Xz-3 Yz- З2 в базисе ( I;0j0), J « (IsTjO). y5 = (0;I;I). 6.24. a) в базисе Jj « (I10;I), - (I; Is I),
6) в базисе « (1;Т;0), у « (1;-1;<П. J, »(-2;1;Т). 6.25. -^в базисе J{ - (I; 0; 0; 0), у’ - (-I;I;0;0), у~ - (1;-1;1;0). у* , (-1;2;-1;1). 6.26. Хг- базисе Jt - (1;0;0;0), у’ - (~I;0;I;0), - (I;I;-I;0), у; - (4;3;-6;I). 6.27. 1S^'S#z » базисе У/ ’ /5;-V/5), j* - (V/5; 2//5). 6.28. в базисв У/ - (2//5;I//5),\J£-(V/'5;2//b) 6.29. 6X*^Y* в базисе yz - (V/2;-V/2), }г - (V/2;I//2). 6.30. бХг-4У* в базисв у- (1//2;1//2), (V/2;-I/72). 6.31. бХ^+бУ*- в базисе J{ - (V/2) (I; 1,0), у;- (I//6) (I;-I;2), jj -(V/3) (I;-I;-I). 6.32. УХг-ЗУг в базисе J • ( I//2) (1;1;0), у- (V/3) (I;-I;-I), J3 - (V/5) (I;-I;2). 6.33. в базисв yz - (V/2 ) (I;-I;0), J. - (V/^aT) (F,Is-a,),y -(V/2-л^) (!;!;->,), W (3£ /Ь/2. J 6.34. »у/ \ у $ + в базисе « (V/2) (I;-I;0), Л- V/2TaJ) (Т;1;Л.), - (V/гТдр (I;I;A,,, 6.35. 11Кг-3 У^~згг в базисе L - (V/I4;-V/M-2//I4), у - (2//5; V/5;0) у . (3//70;-6/770;-5/У70). 6.36. в базисе у - (V/6;2//6; -I//6), у - (V/2;0; V/2), * у - (-V/3j V/3; V/3). 6'Я' "в,3',“ У - 1//2(1;-1;0;...;0), у, - V/6(I;i,-2;0;...;0),..., i.n-i), y; = //Z?(I;I;...;I). 6-ЭВ. - i“ГУХ л у « в базисе У- I//2(I;I;0;...;0), у -V/6(I;-I;-2;0;...;0), 133
J, = I//I2(I;-I;I;3;0;...;0).....J (I, a -I)), fn = 1//п(Г,-Г,I;.). E.6.I7. А) неопреде лена; б) неопределена. i 6.-3. а) отрицательно ощ ;делена; б) отрицательно определена. 6.19. Неопределена. 6.20. Положительно определена. 6.?1. Положительно определена. 6.22. Неопределена. 6.23. а) отрицательно определена; б) отрицательно определена. 6.24. а? неопределена; б) неопределена. 6.25. Неопределена. 6.26. Неопределена. 6.27. Неопределена. 6.28. Положительно определена. 6.29. Положительно определена. 6.30. Неопределена. Ж 6.43. При <^> 2 определена положительно; при 8 опре- делена отрицательно, при -8 3 2 неопределена. 6.44. При определена отрицательно, при неопределена. 6. S. При сК > 10 определена положительно; при оС < -2 определена отрицательно; при -2^ о< ТО неопределена 6.47. Гипербола (x')Z <У‘)* ~ZS(9 ~ где х = (х g')f у = //2~6х - у). 6.48. Эллипс 6.49. Эллипс где х • (*') ( (#')\ 4 9 9 } где : = l/SlOUx ). 6.50. Гипербола С’С'К. =/ ‘f 9 > где х = //Vs(x - ///гГ'+ д'). 6.5.. Эллипс где jt
6.56. 6.57. V X у 2. 6.52. Эллипс -х- + -- ~ { У/ у } гделг -/^-(O^Y? , ^fe(.Zx + Y). .у 6.53. Гипербола у -Yz-/Z ^x^-z.^x-y), ^^а>з>). 6.54. Гипербола у- - “ /, где к = - / , у)> у = ^(х-Ьу). 6.55. Параболе Y^=-Sd3Xt где г.,.^ _Д СЗХ ZY)f tf^d-(Zx+3y) Парабола Х^ -^7/0 У, где Л‘ = ~ Y), J = - OS. (ЗХ- Y). Пара пересекающихся прямых где / у ♦ в старых координатах: и sc Пара параллельных прямых / v~ -L^ и х = - ™ > У/З У/3 ^^.-^(ЗХ-ZY), ^-^d^ax^Y); в старых координатах З^с - О 1Л 3yx: f 2у ~ 1^0 Пара параллельных прямых X ~ и X = - 2 гдв =.и_С(ы+у)) у ~.^(.х^у). в старых координатах: Хх-^З^О Пара пересекающихся прямых Y - t 2Х x^&x*Y>, в старых координатах: 3.x +-у- & = О X* у2 , ч / 6.6L Эллипсоид 7д 4 ~s~ * * • ° (0;0;0), ё{ * (1/3:-2/3:2/3), ёл - (0;1//§;1/^), ё3 » (4/3/2; I/3v2;-I/3/2). 6.58. 6.59. и О. , где 6.60. 7 135
6.62. Конус Y- = О , 0У(0;0;0). <?у-(0; 1//5;-2//5), (5//30; 2//30; I//30), <-I//6i 2//К; I//6). б.бЗ.Однополостный гиперболоид вращения ~ = ! 1 f о'(О;О;О), f>, - (1;0;л), ё2 • (0,I//5;2X/5), (0;2/Л;-1//5). 3 Хг YZ 2 6.64. Эллипсоид вращения — * * 2 = /, 0'(0;0;0). <?>_- (1//2;0,-1//2), ё - (0;1.0). ё. (1//2;0;1//2). 3 Хг Уг > 6.65. Эллиптический цилиндр «О (0;0;0), ё. = (I//2;0;-W2), ё2 - (0;1;0), ёя - (1//2;0;1/У2). у-* г* 6.66. Двуполостнь’’* гиперболоид вращения е~ ~~ёё~ ~ 3 '• 0'(0;0;0), et - (V 5;-2/ 5;0), ёг - (2/ 5;1/ 5;0), ё3 » (0;0; I). .6". Прямая X*t-Y**O , т.е. 0'1 , где о' (0;0;0), ё, ' (I; 1;0), ё^ « (1;-1;-2), ё^ (TJ-Ii-D. 6.68. Две параллельные плоскости X - 2, 0 \0;0;0;), <?;- (V/ejr/zes-.v/e), - (VvGi-i/y/St-iA'S), ё. - (I//2;0;V/2). 6.69. Двуполостный гиперболоид - -4^- 7/J УХсУ 7/А? • O'(O;-2/5;-D, < - 'V/2;0jV/2), ё. - ё - Х1//2;0;-1//2). 6.70е Гиперболический параболоид ^F~“= • гДв о'(2/35 И З;8/3), ё, U-2/3;I/3;2/3), »(1/3;-2/3;2/3) ё3 - (2/3;2/3;V3). 6.71. Элжпсоиж т" * ^57? = / » г*в 0У(0;-2;1), ё, «(2/3;-2/3; 1/3), ж(2/3;1/3;-2/3), ё3 -(1/3;2/3;2/3). 6.7Г Параболический цилиндр X^=-j-Y , где 0х(-2;-I; I). Л-(2/3;2/3;1/3), ё2 =(2/3;-1/2;-2/3), ё. -(Х/З;-^;^ 6.73. Эллиптический пар болоид /2Х* уг = г t O'(-I9/4O£b/2;-I/4Oh ё, - (I//3;X//3;V^). л = ( I//6;-2/v^;I//6\ 6 - (-I//2;0;I//2). loo
2. z 6.74. Окнополостный гиперболоид 6Х + 3Y -22 ~ Yf о'(-2<3;1/6;-2/3), ёу« (2//6'i 1А/ё}-1//6). <*, - (I/ 3;-1/ 3-,1/ТЗ), <*- (OjI/V2;-IZ/2). 6.76. Гиперболический цилиндр Xх- Yx~l/bО'(1/3;-5/6; №, е - (1//3;-1//3}-^3). г> = (0; Т//2;-1//2), - (2//6}JZ/6;W5). * 6.76. Эллиптический цилиндр, О^-Т/бг-Т/б^З), ё3 - 6.77. Пара пересекающихся плоскостей О'(Ш1/5;-3), et - (2/ 5;I/^5jO), (О;О41). - (1//5;-2/ б;О). 6.78. Точка О , o'(-I4/I5jI/3;2/I6), ё{ - (l//6;-lX^s2V6h £-('2-V5;O5-I//5>, (I//30;6//30;2Z/30).
[ЙРЖНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Збиачч 1. Найти произведение матриц А и В . Задача 2> Найти значение матричного многочлена J(C) . Задача3. Найти матрицу, обратную данной. Задача 4> Решить матричное уравнение. Задачи 5, 6. Исследовать и найти общее решение систем линей- ных однородных уравнений. Задачи 7, 8, 9. Исследовать и найти общее решение систем ли- нейных неоднородных уравнений. Задача 10. Исследовать на линейную зависимость систему век- торов , ду , а3 • Задача П. Рассматривая векторы ё] , , е3 как новый ба- зис в /? ^ , вычислить: а) координаты вектора ё в исходном базисе, зная его координаты в новом базисе; б) координаты вектора с в новом базисе, зная его ко- ординаты в исходном базисе. Задача 12. Найти линейную комбинацию, с векторов , , которая наилучшим образом аппроксимирует вектор 6 Вычислить относительную ошибку J - L£t^cJI полученного при- II о II ближсния. Задача 13. На основании данных эксперимента получена табли- ца значений: в вариантах L..9 для величин ос и у , в ва- риантах 10... 15 - для величин ос , у иг. Применяя метод наименьших квадратов, вычислить коэффициенты and при которых достигается наилучшее приближение: а) в вариантах L..9 к виду 6) ; б) в вариантах 10... 15 к виду z = у, а, 6) . Задача 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матри- цей А. 138
Задача 1Ь» Привести матрицу к диагональному виду. ^ьа« зать соответствующую матрицу перехода< Задача 16. Привести квадратичную форму к каноническому ыпг методом Лагранжа. Задача 17. Привести квадратичную форму к каноническому во ву ортогональным преобразованием. Задет 18. Найти канонический вид заданной квадратичной фор мы и построить на плоскости О ЛИНИЮ, ОПрОД’^ЛН^МуГ. заданным уравнением.
* задача Вариант > I Вариант .4 2 Вариант № 3 I 2 3 ; 4 / л /3 / /\ п ft 2 -i\ А~\о i-t о з ) \0 2 \2 4 t> л (4 4 3 OX . „ ( ) ! ^02 I 3i‘ 8~ -/ Jo ! \O 4/ j /4 : 0\ ;> .j >\ >1” ( 5 / 0 \; 8 * i 4 ', \ \O -U/ \i-i 0/ * J(O - г с3- с&е-с=(Д) j(C)-ZC-(>.8E, C’f^O^ \3 i -if | \J-(C)=3C3-C^2C-6Ei C^lc'\ . /3 о / \ л= (-/ / -/ \0 1 -/У ? । з=(-п°л i V7 / -4х II <u * .(! -3X^-2 0\(6 2\ f)*\J 1J- ^2 о) ./? o\ (3 0\ _ // A V 2J* \2 /J - \;3 3J (2 -!\v ft -3\ К -!3X U 3)* \0 1J~ 48) s X/ Xf ~^x£ *~jrf 2xf - х3 + 44x^ *Ot if <€x£-fx3 -/?x* -O Xf tXg /-3Xj / 6x^ sO, x, +2x3 <2x^0, 2х,-хг^2х3 ~2x* =O, XXj,-2x^ -3 -0 ~з&ся +3jc^ ^Of '£jC2 -0 4f *f 3 x,-x^Xj^2x^, '<3 2xrJx^Sx^Sx^, -O, Xl ’‘A- Ext~Xx^44x3^42x=>O jCj +^-3^+3^ s0> o, • * 4x3 О J?, ^3jCj e o. * л> “’y “ ^2 “ <? ~ ж 0 I 2 3 4 r iXg'ije^t’Xj 9t 2tf *2x. *2xa • -3, ix/ • f XitJC2~X393, 3x3 ^Xg-2x3‘^ Xf-2xa -3x3 - -Л £jet Aje2 ^Зх3 « О Xj * 3Xj +£х3 - €, ZXf~x£ +3x3 -3, 3xt ^x£ ^2x3 • 3, xf *3x£ +6x3 • 3 / Я/^згл -JLef •-/, • 0, зел a^-Zs> — 2 xy ^x£-x3 +3x* • 3x3 -Zx£ *2x^ • X, xt ~2x£ “ 3, 2x/'^x£^2xj^ -2 Xy-Zxg ^3x3-3x^ --4, 2xt *x£ -x<, » К, *xt ~3x£ */0x3 - ^x^ - - 3, Xt ^3x£ ~3x3 ^2x^ « 44, Зх, ^^x£-3x3 'x^ « 48 3 xf ★лл’3хл -x^ * Ot ^-хл'Лх3^х^ “3, Х,-£хл X4 ~3X£ *3Xj*-Hxa~6 x/'x2 'x* - < 2xf ^x£ ^2x3-x^ = 8, 2xj ~3x£ *3x^-6, xt ^2x£ *x3-2x^ - 7 jcf’£jci. +x3-xv ^4, 2x3 *x£-x3 *2x^ - 3, x£ -2x3 » 2, xf~. хг ~ x3 ~ x^” 43 40 О • Г4;3;-3,О; 2), Зг = (2;з ; 4; i - ^), 33 '<3; 4 ; 2 ;-4;o) &^C3;0,-4; 2), Лг-(^; 4; 2 ; 3), 8з'(г>-з>-^ ;-t) <\ ?' 7 - S < 5? § £? и II II 4? I<3* K?
О = *Х£+ ГХС- *Xff fX% ' 0 = 4Х9^ ^X^X^f ГХЦ ‘ o = <ar-^r?* <r ‘ О = *x<- lx О to Ъгу Cr^> 'jty {o - tr/z - f^c (Q = *:%b- *0 » *Ыр+ q .^-^ху-, *x?+ ?x 'd^x- ex?- 'o * *jr- exf* ^x~ fx *Q » *Х$ - *х* ’x? 9 O — *хг**х£ -2x+rx£ 'O • *X# f fX Г ^Xf- fx- l0 * *x- *х*~ гх?+ 8^ 'o » *xy. fxff - ?X О - *Лу -Xx?.-*X + fX? !Q, ^Xf-^Xf- 'x ^^xsr^xJx^fxp 'o^^xy-^xf^xtfx (2-*xy*^x/f,^ xS » Ъгщ-Гхгп ^xy^fx^. •q^ fx^ ‘Q » ^Xf-^X^X+fx /7 ?Z-\ ( C / /-I =P \802J К (sit)’* (o^ S * C ь ' и o4e zz-<? s\ zz- Z <x (2^>S \f.?f)-r ^',l)-s {ф -' f > s г t • 9« amriig g < iHewdwg > « iHWHdwg bsrsg * 82f = /JT* ^'^Off'x^ ?r • Jiy * - -/erf • с ъ r^^x-^xs^xjf // ex гх£^^ . c ^x^x^xf-t- ^xFx^ ^x£-^x^ ; xz ^x^fx'x^ ^xyt 'xfy ^xfy^x9--fx,x2 98 f I г\ ( 8 У Z-)»K кг- г- л/ - ,<P Z A\ 1 w ♦.-/Л Qi?')-1' (o^2 A-К . \0 8-Z/ X n ^J4, Д scf^o^f Л i'O t'f i'e t’' 8tf\ f> s ft у г f |jr XWf^v/F 6* 8t A'2 9'2 Б OS' 0 \ 02 08 x F/'o8 8'6 9’8 e's o'eY^ S 6 2'2 8 l^r ff -f '2-'.9)~ f '(f -8 '0 8)“ *S '(8 !0'8-'2)- -S (Sf'2- 9 ' 8- 88)= 9 f(/r{2 ! 8~' 8-9)^ rS '(0 -8 's' г !))= fQ (2-!i '.6 '9) » $ '10'8 ' 6‘8)^^2 7z-/F.'/.'»--i> 28 (^-^9'88-2 '(8: i b) -9 '(г! 8 '88* p2 ‘(О’*'/)-** '({-'. f'.Q)-'} (Of S'9)^2 'I2'o!8)^2 !(8?2f8J*f2 f(F '.8 'O)= гЭ '(O'F'2)= T9 (О!Ь'.8) = 2 (8-'2tf)- 9 !(8!8'0)~e2 (8 '.о!8)-=г2 '(8-'2!8i= f2 If > О г I 51
ozf-г- г, /л- _ j ^9 ^ ' f г - Fx fx ? 'x+'x j fsr-7x 'x^x^xg+lx^ A e2C * <Г<Г* / ?JT <Г,>/ ZJT ? ? be*ft У <37 <37A ? 31 . Д f ?) К? г о J X H У/ A t ?-\ ( /-??)= v V- f zj I II ^Ло> II । A7 ? XV- b s'e *> zk 9 r -У/ о * /* f'9 fS fr'k SS frZ <?0\ /> ? Xf ¥ V » /? y'z ^'f f’f 9/1 b Г/ г/ s 9 s 1л- Of SZ OZ Sf Of .9 1л- 9 Z / 0 /Лх '(?' o'. £ ! *' /)• 9 '(/ '/-( Z (o'- /)• г2 '(0 ' Z ' / £ /-)* fS (b -9 '.?-'./) - 2 ‘(Z 'S!O'Z)± гР '(/-'. 0- Z' f) ‘ fS (Z’f'92)= 9 '(Z'Z /-/>= г2- ‘(0 '. / ' Z-Z)^ fv г; (Z-i Z is/-2 '(z'z'.n- 9 '(o't'n* ?э f(Z !?(» = *2 '(J-'f'Z)- rZ Or'. Z'/)-2 , ' (Z ' l-'f)-^ '(I -t'/-> (0 ' Z-'f)^9 '.(?' t'f)~ ’1 (S' f-'-Z-)^ 2 ( (0 I ’Z) ='? (/'.O'Z)= e2 '.(h'r'.-gl^ (o't 'S)= r2 /; > € 1 z I (/:f-(p 's', z '(p' f (z- 'o 7 /£->• ?p '(f/!o ! f 'S ' f'Z) = '2 (/ -9- *6 €)* eS *(Z (/r-f 9'-Z)= ’(z .'?-.'f.7j« 'p (r 'zr-'. i'z'.fi^ f2 '(f ( z'f-'o!?)- Zs '(0 's-'z'f 'Z)- fs V / - lx r Zx-'x^ ‘£ - 4г 'o • 'p f^g. ? и ^Jr - 7x- - *f . Глуу ?jy '? eX^r^ Zjf.¥ /jp^. fo « <x j » ex$r *Xff * 'x^ ' = ex - Fx^r fx Fxz^Zx~'xz ’Z = /x 6 'o • е^гг^ Ъег- far -f fO» exr^ /> » ?X*+ z/ * ^xr ~ * q st ^xr ^xr - <ar z«x*^ У гхт^^ 'xr Г =ЪГ£*~ Gr^y V - *Xf- ^ЛГт* <x* 7-*4хгЛг?у <x* 7 =-br^- (X^ гХ£, fx 9 гХ£ f ^Xr ГХ% -Zxr 'хг '} - ‘X’- *x? 'q « Гэг-ас// ?X 9 » *xs--Fxz^rx^J/x *fy » *XZ* Fxr .'- 'xjr ‘z- = kxzr- rxz- гХ1 'x *Z* 6xz-exzt 7-^-fx 9 * r Fxr ?x^.f fx^ fz . ^X/rt F^/x '9 - rxZr **Z< fx ’£ . ex г гх/>х К » £ г 144
I * задачи Вариант # 7 1 Вариант > в Вариант > 9 I 2 3 4 / fi ° <\ /3 4 /X Чг;4/ . 4W' /7 0 /\ /2 i -i\ A“(z з г ) > 3~{-2d 5) \Q0 3/ \OiW 2 jcc^zc3-^^/, e - & JfC)-C^3C-^, e’(^<£) jcc)-c3-2C^c-/t e-Cffi 3 • /ll) /3 -i OX *<!>.', V c^ft -1 6>) V 0 2/ W',)&?) G ?H' -'>(? 3 s 3-x, -2х3 t-Sx? - Ot хз ~-3x^ = at 2x, ^хг *3-Xj + 4x* - b X, *4х3+2х3 +4xv = O 3x, *ZXf ‘ЗЗу * x* = Of X, - Xg *4x3 “ O, 4>x, *х3 +fx3 - O, ixtt3x2tx} + x* - О -0J &Ч +xr4x3*Sx6=O> Xj+ZXg-ZXf^ЗХ^-Зх^- tj&c Ч'*-^ - Zjv -2^- ^=t 6 ^х^Зя^-х* +Xj « 0/ *-Zy «= O3 +x^ 9 Q Xj * *xz~3x3 "3x^ +3x5-*O ’ Х^^Х^зХуЗХ^ *°О, -*** - c ^С/ A£a£ - • Xx-y ж -ЛГ/ ~3x^ ~^Xj *2x^ - О xf ^2xz ^2Xj ” 3xq ~ О f xf 2x^3x^3xj -3x<, = <9Z .1 2 3 4 JCf-Zx.,/SxrJx.-Xr »-3, ix^ Sx^/Oxj ^Зх^, Ю x, 4X3 - 4x3 » 3} x,-x3->-2x3’3, Zx,-3x£^x3 =~4) Xy ^2xz ^3x3 * 3 2x.)~3x3 — 4f 3x,-4x£^X3^ 2t 3x, -34xf > 33x3 =-S, x, > 32x3-33x3 =34 s Xf -f^jCf ^3xj 2 x^ * i , 2х,^хг~2х3- = 3, Zx,-x3^2x3~2x^ = 3, 2x,+x^Xj -x^ = 0 3xy ^xz ^3x3 + ?Xy ® , Xy ^3xz^3x3 в /? Sx^ ^9x3^/2x^ = 2xf -2x3 +Sx^ = ZXj-x^ +x3 = /j ^3 -x3,.x^=-3 9 x^2xz-x3^-3, ^3x^9xj = 6?? 2oy*J% *3-Zj= 4^ ¥Jcf^-Xj ’2 ^r'l"x2-3x3-x^=- 3, x^ -xz - X3 ^3x^ ! f - '‘2x9^x±f - Ot Xj +3xz -ёХ3'Зх^ ^2х^- - /х ZXj-Xg -2x3 ^2x^~3xs 2 > Zx^ ~2xz ^Зх^- 9Xj, ^3xz *9x3 - 12x^ + S, -(/--i; O; i;3), Qj’(£;j;f ; o;-z)r а3*(+;/;з,2 i) а, =(^2з;-з ,2 ; o), аг =C3; 3 ; 2; 0; 3), a3 ~(2;-3 > 3~;-2; 2) a, =(2;S;3)> аг =(3,014), ,S3 ” (3;~3~; 2) // ё, *(O;/;-i);ef-(3;O;i); I -C3;O;-2)j ^•(3; 3 ;0) ) ё, ~(2;O; 3) -,6^(3;3; O); e3=(O;~3tz) i ‘C3;3;-2); C=(2;3,~z) ё, • (3; 3,0); ё,~ 33; О; 3); ё3 = (О; з;2); 6-3-3; 3; -2), С =32;3;3)
‘О . ‘О *xtJx-f- *х 'О = ехе+ ex- fx £> - Ъг- Gr/ * ^r<?- /jrZ e0 » *-«F* ix- rO- ^*F>« <ar- <*• (Q. *X^-^ q « 'brj' - fx-*x -fX fQ.*x?-ex£f rX( *0 « **>-л-/<x~ ‘о “ *Х2+*Х1!+ГХ--ГХ2> 3 q *х% - ^*v brg~ 'О • * f&?-r-xg-- ‘о- ''ху^х-г’х?г'Х£ ‘o « *ar?* ’xt-fy, fX О . *jrf-^rjr- •q . Ъг^ fx-fx Лы. 4-* £> » «ЯГ* Jty- ЛГ + (Q* Q**X$-tex?.?xzJxi 'о m *ar^,G^ *()• 'o- ^Xf^X^X-fjr №(!(№ G'-f) -(^^S (g $-(!?№) » Ш)-’ Ш > (iW-r f. (.0 'f)“2 й;,’)-<'•' (isy. &f)-^ ('”)' (> “V / > e г I и « лнжийчд n < «wfaa 01 « £HMdw iumi « 03’F‘ ^Xff t Ъс-Гхю+'х^. ^/ж??аг^/¥ 4^7 - Ix^x'xQZ^Xjf Sf <хСзг^ * *Gr<r^- Gr2^ _£/* Fjr<X- - 7xrx^gt^xyf-^x-f^xe fxlx/,-> • teX fX^-2X fX?+^XfyX^ f'x^ fit ^x-t eX *xz f£x'x^ f- гх'Х^ f^x /х2- ехгхэ- -?Х'О-£х/Х?+гх'х?+ ГХ 2t lS7^ II 4 ; —J ('0 » / 'j = r \ g Z »y 1 A7 л\ (0 г i } V /г 0 /А ( b / / ) « V \hO bf xv?^ б'гг rt i'z z't >^'f, . rb frb 1gQ 80 ftffl h ^tXX)-^ £9 bS- f's- 6‘h f’t\R f 0 t- Of ft 2 f IJT Of g 9 i 2 \x (8 ? f- ' * 'S) ’ f '. (t 'f ' O' l - г)‘ г2 •'г -} 'r-'f.'fj* 'в (f-' г’ ?-!?)• 2 ' (? '.O 0 '?) = г5 '(г- ' f ! O' ?.>= '0 (С-', 6 : o'yj - 9 ‘ (f: 0.' /-/0)» ?o ‘(r-! г'f'.f)^ !s fr C z I
7 *1 * 1 И ^7$ N <*? V. в »1 и « ftp о "'U*' • ним ЛФ «У* 1> f J N «P^iV ч? ч? ч 5 Э Q- * * 7 Q' "* 4 *> -*< ?S i' й » il a •а •<зч,,’зг> «г S j? 5 i« ЦЛ?Ч> *V <? >« 1 X4 <? ’V 1 1 *<u* чГ* co 7' ^'°ч' > H н и и HSS" н V ч *> ♦'f «Ч V, И II * • •» t и 1 ' 1ft ч'' if if f (f ' г! S-!f) =eo '(£' f 'o г ' £) - го ‘(о 'г-'- с- f'-гЬ - fv 1 - -- - - (o' ^-D ‘"2 ((I-'- Z'F)^9 ((f .'F.'OJ-eS '(f'-F-'n-b (O'F'.F)^f2 CM ««Ив ^ь\*л* 4 я н у 11 э i*^ Л 1 < *> **?•*? *> • « 0 й эд;'!? ЦЙ iS'l'i'' (r'O'.^)-fV гВ • *4 ‘ *> %ч X V S' t •*<§ J •>* $ <4 ’ Y ’€*n? ъ. «о Oi § о >4 1*0
Вгдакция заказной литературы Владимир Ивановы Леванков [Евгений Николаевич Мирославлев] Сергей Константинович Соболев Василий Орьевич %ев Сборник задач по линейной алгебре Эавадундая редакцией В.С. Иваюаяа Редактор А.В.Петров Корректор 0.В.Калашникова Подписано в печать 26 J36 J9I. йормат 60x84/56. Бумага тип. й 2. Пвч.л. 9,75. Усл.печ.л. 9,07. Уч-изд.л. 9,42. Тираж 2000 экз. Изд. » 32. Заказ . Цена 35 коп. Издательство ШУ, -типография МГТУ. 107005, Москва, Б-5, 2-я Бауманская, б.