Author: Золотаревская Д.И.
Tags: учебные пособия и учебники по математике задачи по математике высшая математика
ISBN: 5-354-00999-5
Year: 2004
Text
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО
ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ
Д. И. Золотаревская
СБОРНИКЗАДАЧ
ПО ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ
Издание второе, дополненное
МОСКВА
УРСС
ББК 22.1Я73 22.144 22.147
Золотаревская Дина Исааковна
Сборник задач по линейной алгебре. Изд. 2-е, доп. — М.: Едиториал УРСС,
2004. - 184 с.
ISBN 5-354-00999-5
Сборник задач охватывает разделы линейной алгебры, входящие в учеб-
ные программы курсов высшей математики для студентов, обучающихся по
экономическим, ряду инженерных и других специальностей.
Сборник включает в себя оглавление, 4 главы, ответы к задачам, список
литературы. В каждой главе приведены типовые задачи и указания по решению
некоторых из них.
В главах 1-3 каждый параграф состоит из двух частей. В первую часть входят
задачи, которые могут быть использованы при проведении практических занятий,
а во вторую — аналогичные задачи, которые можно рекомендовать студентам
для выполнения домашних заданий по соответствующим темам. Вторая и третья
главы содержат большое количество задач, из которых преподаватель может
компоновать варианты для выполнения студентами контрольных работ.
В главе 4 приведены составленные автором задачи прикладного характера,
решение которых позволит студентам познакомиться с некоторыми приложения-
ми линейной алгебры в экономике, линейном и нелинейном программировании,
в математическом анализе и других математических дисциплинах, при решении
инженерных и других практических задач.
Предназначается для студентов вузов, обучающихся по экономическим,
инженерным и ряду других специальностей. Книга может быть полезна препода-
вателям вузов.
Рецензенты:
Заведующий кафедрой высшей математики
Московского государственного университета природоустройства,
доктор физико-математических наук, профессор С. В. Успенский
Соросовский профессор, доктор физико-математических наук,
профессор кафедры высшей математики
Московского физико-технического института А. П. Черняев
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД Ns 05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 05.10.2004 г.
Формат 60 x 90/16. Тйраж 600 экз. Печ. л. 11,5. Зак. № 2-1577/747.
Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
ISBN 5—354—00999—5
© Д. И. Золотаревская, 2004
© Едиториал УРСС, 2004
ИЗДАТЕЛЬСТВО
УРСС
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
E-mail: URSSQURSS.ru
Каталог изданий
в Internet http://URSS.nj
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
ТапУфакс: 7 (095) 135-42-46
2840 ID 24687
’785354«009992”>
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. П - МЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5
1.1. п - Мерные векторы и действия над ними....... 5
1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы
п - мерных векторов. Понятие П - мерного вектор-
ного пространства........................... 7
Глава 2. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ
И-МЕРНЫХ ВЕКТОРОВ....................................... 12
2.1. Понятие матрицы. Транспонирование матриц.. 12
2.2. Линейные операции над матрицами............. 14
2.3. Умножение матриц............................ 18
2.4. Определители и их свойства. Вычисление определите-
лей ............................................ 25
2.5. Ранг матрицы. Ранг системы п - мерных векторов... 35
2.6. Обратная матрица. Матричные уравнения....... 42
2.7. Задачи для контрольных работ................ 47
Глава 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
3.1. Системы п уравнений с п неизвестными. Правило
Крамера......................................... 58
3.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обрат-
ной матрицы..................................... 62
3.3. Исследование систем линейных уравнений...... 66
3.4. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса...................................... 69
3.5. Системы однородных линейных уравнений....... 75
3.6. Выявление линейной зависимости или независимости си-
стем п - мерных векторов........................ 81
4
Оглавление
3.7. Базис системы п - мерных векторов. Разложение векто-
ра по базису............................... 83
3.8. Системы линейных неравенств.......... 85
3.9. Задачи для контрольных работ......... 87
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ................................... 105
4.1. Приложения матриц и определителей..... 105
4.2. Приложения систем линейных уравнений и неравенств.. .121
ОТВЕТЫ.......................................... 144
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................... 179
В склянке темного стекла
из-под импортного пива
роза красная цвела
гордо и неторопливо.
Булат Окуджава
Глава 1
П - МЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В стране лучей, незримой нашим взорам,
Вокруг миров вращаются миры...
Алексей Толстой
1.1. п - Мерные векторы и действия над ними
Найти сумму J двух векторов:
1.1.1. ei = (l; 4; 3; 5), 32= (2; -1; 4; 8).
1.1.2. ai = (2; 3; -2; 4; 5), a2=(-i‘, 10; -3; -4; 7).
1.13. at = (1; 2; и), а2 = (2; 4; 2л).
1.1.4. = (1; 1; 0; 0; 0),
а2=(0; 1; 1; 0; 0).
Найти разность г = - а2 двух векторов:
1.1.5. 31 = (4; -8; -10; 1), 32= (5; 1; 0; -4).
1.1.6. 3i=(l; 2; 3; л-1; л),
32=(0; 1; 2; л-2; л-1).
1.1.7. ai=(3; 5; 7; ...; 2л + 1), 32=(1; 3; 5; ...; 2л-1).
1.1.8. 31= (1+^; 1; 1; ...; 1), 32=(1; 1+^; 1; ...; 1).
6
Глава 1
По заданному вектору а найти вектор Ъ = Ха :
Ш. а = (-2; 4; -3; 0; -б), 2 = -3.
1.1.10. а=(-1; -2; -3; -л), 2 =-2.
1.1.11. a=(3; З2; З3; ...; 3"), 2 = 3.
1.1.12. я=(1; 1; 0; ...; 0), 2 = 4.
Найти линейную комбинацию а векторов 3j,a2Ha3:
1.1.13. а =2а^+ За2 - а3 , где
31 = (4; 1; 3; -2),а2=(1; 2; 0; 5), а3 = (2; -1; 4; -3).
1.1.14. а = ai - 2а2 + в3 > где
в1 = (-1; - 1; ...; -1), а2 = 0> 2; ...» л),
а3 = (2; 4; ...; 2л).
1.1.15. а = -231 + а2 + а3, где
31=(б + 2й; b+3h; ...; &+(л + 1)Л),
а2=(б + Л; b+2h; ...; b + nh), а3 = (b + 2h; b + 2h', ...; b + 2h).
Найти вектор х из уравнений:
1.1.16. а1+2а2+За3 + 4х = 0, где 3i=(l; -8; -1; 2),
а2=(2; -1; 4; -3), а3=(-3; 2; -5; 4).
1.1.17. 3(31 “ *)+2(^2 + *) = 5(а 3-ь5с), где 31 = (2; 5; 1; 3)
а2=(10; 1; 5; 10), а3=(4; 1; -1; 1).
Найти сумму 5 двух векторов
1.1.18. Л! =(10; 9; 8; 7), а2=(1; 2; -3; 2).
п-мерные векторные пространства 7
1.1.19. = (4; 6; 8; 2л), а2=(1; 3; 5; 2л-1).
Найти разность г = а^ - а2 двух векторов:
1.1.20. ах= (4; 3; 1; 5; 3), в2 = (-1; -2; 0; 8; 2).
1.1.21. Si = (а +1; а + 2; а + л),
а2=(а + 3; а + 4; а + (л + 2)).
Найти линейную комбинацию а векторов ах, а2 и а3:
1.1.22. а = ах + За2 - 2а3 , где
31 = (1; 2; -3; 1), а2=(-4; 3; 5; 2), а3=(-1; -1; 3; 4).
1.1.23. а =ах -За2 +а3, где
31=(1; 2; л), 3’2=(1; 1; 1), а3=(2; 4; 2л).
Найти вектор х из уравнений:
1.1.24. 2oi - Зх + а2 = 2х + а3, где
«1=(1; 3; 2), а2=(1; 0; 1),а3 = (0; 0; 1).
1.1.25. 2(oi + х) + 3(а2 - х) = 4(а 3+х), где
Oj=(l; 2; 3; 5),а2=(0; 1; 5; б), а3=(-1; 3; 4; 5).
U. Линейно зависимые и линейно независимые системы
п - мерных векторов» Понятие п - мерного векторного
пространства
Выяснить, являются следующие системы векторов линейно зависи-
мыми или линейно независимыми:
1.2.1. ах =(1; 1; 1), 32=(1; 2; 3), а-3=(1; 3; 3).
8
Глава 1
1.2.2. Si=(l; 3; 0), e2=(5; 10; 0), а3=(4; -2; б),
а4=(10; 2; 4).
1.23. ai=(l; 2; 3), 32 = (3; 6; 7).
1.2.4. 5i = (4; -2; б), а2=(б; -3; 9).
1.2.5. ах= (2; 1; 0), 32 = (0; 1; 1), а3=(4; 5; 3).
1.2.6. Я1=(1; 2; 3), а2=(-1; 3; 2), а3=(-13; -1; 2).
1.2.7. ai= (1; 0; 0), 32=(0; 12; 0), а3=(0; 0; 72).
1.2.8. ах = (4; -5; 2; б), а2=(2; -2; 1; 3),
а3=(б; -3; 3; 9), (4; -1; 5; б).
1.2.9. Найти коэффициенты Л3, Л4 линейной зависимости
+ Л2Й2 f + 24а4 = 0 между векторами = (1; 3; 5),
в2=(О; 4; 4), а3 = (7; -8; 4), 34=(2; -1; 3).
1.2.10. Доказать, что система векторов, содержащая два равных век-
тора, линейно зависима.
Доказать, что каждая из следующих систем векторов образует базис
трехмерного векторного пространства:
1.2.11. 31= (1; 0; 0), ё2 = (0; 1; 0), 33=(0; 0; 1).
1.2.12. 31= (2; 0; 0), ^=(0; 7; 0), 33=(0; 0; 13).
1.2.13. 31= (3; 0; 0), 32 = (5; 5; 0), 33 = (0; 0; 1).
Доказать, что каждая из следующих систем векторов образует базис че-
тырехмерного векторного пространства:
1.2.14. 3j = (l; 0; 0; 0), в2 — (0; 1; 0; 0),
^ = (0; 0; 1; 0), 34 = (0; 0; 0; 1).
1.2.15. 3i = (-l; 0; 0; 0), 32=(3; 4; 0; 0),
З3=(2; 0; 0; 1), 34=(0; 0; 2; 0).
п-мерные векторные пространства
9
1.2.16. ё1=(0; 2; 0; 0), ёг=(О; 0; 5; 0),
ез ~ (2; 7; 0; 0), ё4 = (1; 0; 0; 1).
1.2.17. ё1=(1; 0; 0; 0), ё»=(1; 1; 0; 0),
ё3 = (1; 1; 1; 0), «4=0; 1; 1; 1).
1.2.18. Доказать, что векторы
г1=(1; 0; 0),
ё2=(0; 1; 0),
ёв=(0; 0; 1)
образуют базис п - мерного векторного пространства.
1.2.19. Найти координаты вектора х - (б; 20) в базисе = (1; 0),
ё2 = (1; 1).
1.2.20. Найти координаты вектора х = (3; 7) в базисе = (3; 0),
^ = (1; 2).
1.221. Найти координаты вектора х = (1; 3; 1) в базисе
ё1=(1; 0; 0), %=(!; 1; 0), ё3=(1; 1; 1).
Выяснить, являются следующие системы векторов линейно зависи-
мыми или линейно независимыми:
1.2.22. о=(1; 2; 1), о2 = (-1; 3; 2), ё3=(1; 1 ; з).
1.2.23. а1=(-1; 2; 5; б), а2 = (4; 1; 8; 10),
«з=(1; 8; 9; 1), а4 = (3; 2; 0; 1), а5=(10; 7; < 6; 8).
1.2.24. ai=(2; 4; 5), а2=(4; 8; 7).
1.225. ai=(2; 3; 5), а2 = (б; 9; 15).
1.2.26. oi= (2; -3; 1), а2 = (3; -1; 5),а3=(1; -4;
10
Глава 1
1.2.27. ai=(l; 3; 2; -4), а2=(1; 2; 0; 4),
а3 = (2; 4; 0; 8).
1.2.28. Доказать, что система векторов, два вектора которой разли-
чаются только скалярным множителем, линейно зависима.
Доказать, что каждая из следующих систем векторов образует базис
трехмерного векторного пространства:
1.2.29. ё1=(1; 0; 0), ё^=(1; 1; 0), ё3 = (1; 1; 1).
13.30. ё^=(3; 0; 0), ё2=(0; 5; 0), ё3=(0; 0; 1).
1.231. ё1=(0; 0; 8), ё2=(0; 2; 3), ё3=(1; 0; 0).
Доказать, что каждая из следующих систем векторов образует базис
четырехмерного векторного пространства:
1.232. ё1=(3; 0; 0; 0), ё2=(0; 4; 0; 0),
^ = (1; 0; 0; 1), ё4=(0; 0; 3; 0).
1333. ё1=(2; 0; 0; 0), ё2=(5; 1; 0; 0),
ё3=(2; 0; 0; 1), ё4=(0; 0; 2; 0).
1.2.34. ё!=(0; 3; 0; 0), ё2=(0; 0; 1; 0),
ё3=(1; 5; 0; 0), ё4=(2; 0; 0; 1).
1.2.35. ?i=(-5; 0; 0; 0), г2=(0; °)>
ё3 = (2; 0; 0; 2), г4 = (0; 0; -8; 0).
1.236. ё1=(0; 0; 0; 1), ё2=(0; 0; 4; 2),
г3 = (0; 5; 0; 0), г4=(7; 0; 0; 0).
п-мерные векторные пространства
11
Доказать, что каждая из следующих систем векторов образует базис
п - мерного векторного пространства:
1237. ej=(l; 0; ...; 0), 12.38. г1=(2; 2; 2; ... 2).
%-(1; 1; о), ё2=(0; -2; 0; ... о),
®} = (0; 0; -2; ... о),
*й=(1; 1; •••; 1).
г„=(0; 0; 0; ...; -2).
1.2.39. ej=(l; 1; 1; 1),
^=(i; 0; 1; ... 1),
1; 0; ... 1),
*»=(!; 1; 1; ...; о).
12.40. Найти координаты вектора х = (40; 10) в базисе
ё!-(2; 0),^=(l; 1)-
12.41. Найти координаты вектора х = (4; 10) в базисе ё1 = (1; з),
ё2=(0; 2).
1.2.42. Найти координаты вектора х = (9; 5; 3) в базисе
ёг = (2; 0; 0). ё2- = (1; 1; 0), ё3 = (3; 3; 3).
Глава 2
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ П - МЕРНЫХ
ВЕКТОРОВ
Улица. Стройный фонарный ряд -
Строгих солдат караульный отряд.
Лампочки смотрят - спокойный взгляд
Светел. Брызги дождинок висят.
Мовдые, скользкие ветви деревьев
Светом облиты - блестят.
Тайны деревья хранят...
Зинаида Большина
2.1. Понятие матрицы. Транспонирование матриц
2.1.1. Элементами прямоугольной матрицы А типа 3x4 являются
числа ау = (i + j)2 (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4). Требуется:
а) составить матрицу Л;
б) транспонировать эту матрицу.
2.1.2. Элементами квадратной матрицы В третьего порядка
являются числа by = (i + 2j)2 (ij = 1,2,3). Требуется:
а) составить матрицу В;
б) транспонировать эту матрицу.
2.13. Числа ct = (/-1)3, где i=l,2,...,5 являются элементами
матрицы - столбца. Составить эту матрицу.
2.1.4. Составить верхнюю треугольную матрицу D третьего
порядка, элементами которой являются числа dy ~i + j при i < j и
dy = 0 при i > j (i, j = 1,2,3).
2.1.5. Составить диагональную матрицу С четвертого порядка,
элементами главной диагонали которой являются числа Су = 3i + j (при
J = i). Транспонировать матрицу С и убедиться в том, что С = Ст.
2.1.6. Составить скалярную матрицу С четвертого порядка,
элементами главной диагонали которой являются числа Су = 8 (при i = j).
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
13
2Д.7. Записать:
а) единичную матрицу Е третьего порядка;
б) единичную матрицу Е четвертого порядка.
Пояснить, почему эти две матрицы не являются равными.
2.1.8. Первой и второй строками матрицы В являются соответст-
венно координаты векторов (-2; 5; 3; -8; 10) и
7^2= “4; 0; 2; б) а ее третьей строкой - координаты вектора
У3=2Л1+3^.
а) Составить матрицу В;
б) транспонировать эту матрицу.
2.1.9. Указать, какие из приведенных ниже матриц относятся к чис-
лу диагональных, верхних треугольных, нижних треугольных, скалярных:
'8 0 4' '6 0 0 3 0 1 О'
4 = 0 б 1 , А% — 0 0,6 0 , 4 = о Л । 0 >
ч0 0 5, 0 0 а/3 к ч0 0 5,
'2 0 О' '7 1 50' '3 0 О'
4» = 5 3 0 , Л = 0 3 16 > 4 = 0 3 0
<7 6 3, [о 0 4, ? 0 3,
2.1.10. Элементами прямоугольной матрицы А типа 3x5 являются
числа а,у=(1-у)2 (/ = 1,2,3; j = l,2.5).
а) Составить матрицу Л;
б) транспонировать эту матрицу.
2.1.11. Элементами квадратной матрицы В четвертого порядка
являются числа btj = (2z - j)2, где /, j = 1,2,3,4.
а) Составить матрицу В;
б) транспонировать эту матрицу.
2.1.12. Элементами матрицы-строки С являются числа
14
Глава 2
где у =1,2,...,5. Составить матрицу С.
2.1.13. Составить нижнюю треугольную матрицу В третьего поряд-
ка, элементами которой являются числа by = 2i + j (i,j - 1,2,3, i £ j).
2.1.14. Составить диагональную матрицу В третьего порядка, эле-
ментами главной диагонали которой являются числа i^=3i-y (при
7 = 0-
2.1.15. Составить скалярную матрицу С третьего порядка, элементы
главной диагонали которой равны с„ = 7.
2.1.16. Записать
а) нулевую матрицу типа 3x4;
б) нулевую матрицу типа 4x3.
Пояснить, почему эти две матрицы не являются равными.
2.1.17. Первым и вторым столбцами матрицы С являются коорди-
наты векторов Zj = (-1; 2; 5; 8)и = (3; 6; 7; 10), а ее третьим
столбцом - координаты вектора = 37] - 2Т2.
а) Составить матрицу С;
б) транспонировать эту матрицу.
2.2. Линейные операции над матрицами
2.2.1. Даны матрицы:
а) сумму S этих матриц;
(5) разность R матриц А и В.
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
15
2 Л Л. Показать, что
(6 3" 0 7 L + 0° । । СП (N = f 12 17" -11 2 < 3 9, — f 3 6 " -13 -4 < 2 12,
2.2.3. Дана матрица
(2 3
-Г|
8 )'
Найти: а) = 5А;
б)Л2=-|л.
Найти линейные комбинации С = Л, А+AqB матриц А и В:
(2 -3-1
2.2.7.
Найти С = А-ЛЕ, если А =
-3 4 6
0-2 7
<0 1 О SJ
единичная матрица четвертого порядка, Л - любое число.
2.2.8. Найти линейную комбинацию D = 5 А - ЗВ + 2С матриц
16
Глава 2
3
-1
-2
5
2
°1 Г5
1 , В= -3
4
7
-1
г-5
2
. 6
Решить уравнения:
2.2.9. 3-
(1
2.2.10. 6-1
г2
3
1б
2
4
-2-
2 Xi
1 =5' х3
8J
-1А л Г-2 О
+2-
1 J 14
х4
*6,
х3
Х6
1) \/4
*5
2
1
(1
2.2.11. 2-1
°ъ3.-2
1) 14
0 51-з-|Х1 *2
3 1) 1х4 х<
*3
*6
2
1
О'
9,
2.2.12. Найти сумму S и разность R матриц
Л и В:
<2 1 ЗА <4
Л = , В =
11 0 4) 11
2.2.13. Даны матрицы А-
"2
1
2
.7
8
4
3
6
3
5
-4
1
2
6
7
1
2
4
4
1
2
О
С =
3
О
4
5
2
4
2
4
2
6
7
1
3,
3
О
8
2
3
4
5
и
О
9
3
3
9
Найти:
а) сумму S матриц А и В;
б) разность R матриц А и В.
2.2.14. Дана матрица В = 5 2
. 4 6
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
17
Найти матрицы: a) By = 6В; б) В2 = 0,1В.
2.2.15. Показать, что
, Г3 8^
4'll 9j
8>
5/
Найти линейные комбинации С = Лу А+А^В матриц А и В:
1 2 3^ Л и г 4 о>
2.2.16. Я = li 0 1 -1/ в= 1 2 2} Л = 2, 4=1.
'7 -2 3> ' 1 2 -Г
2.2.17. Л = 0 2 2 , в = 3 5 4 , 4=3, 4=-2-
СП м* I 1 м О> ч»
2.2.18. Найти В = 2 А+АЕ, где
А =
'7 -2 3^
0 2 1
.-5 3 2.
Е - единичная матрица третьего порядка, Л - любое
число.
Решить уравнения:
'3 1 Г1 2 ^1 *2' '5 2'
2.2.19. 2- 2 1 -3- 3 0 = 5- Х3 Х4 + 1 1
[о 2 Ь 1. <з 2J
<1 2> <1 3> Ч х2> '4 2У
2.2.20. 3- 3 4 -2* 2 1 = 5- х3 х4 + 1 1
<6 3, <2 0, <х5 х6) <2 3,
'3 2' '1 4> 'xi х2> '5 2>
2.2.21. 2- 2 5 -3- 3 0 = 4- х3 х4 + 2 1 .
6 2) 5 L Х5 Х6, .3 2,
18
Глава 2
23. Умножение матриц
Вычислить произведения матриц:
2.3.1.
-1
1
23.2.
А') (а
v
<5/
г3
2.3.3. 2
1 -Г
-1 1
а
2
23.5.
-2 -4'
-2 -4
13
. *
23.6. Даны матрицы
2'
4J’
б'
8,
Показать на примере, что произведение матриц не обладает свойст-
вом коммутативности (переместительным свойством), т. е. что АВ * ВА.
Проверить, являются ли данные матрицы А и В перестановочными:
23.7.
23.8. А = О
2'
1/
О О'
-3 о
0 2,
23.9.
-3>
1)'
О О'
4 О
О 2)
2)
Л =
1
4
О
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
19
г0 0 г г-3 0 О'
23.10. А- 0 -3 0 , в= 0 4 0
<2 0 2, <0 0 2J
Давы матрицы А и В. Найти произведения АВ и ВА (если они
существjtot):
2.3.11. Л = (1 -2 3 0),
<5 5
-3
-4
<1>
I2 3 г
23.12.
I3 1 о,
г2 0 1 2'
23.13. А = 1 3 2 1 ,
ь 1 0 4,
г2 1 Г
23.14. А =
<о 3 5 >
12 3 1
1 О -1J
23.16. Л = |4 2
(О 3
-21
20
fl
Глава 2
<1 2'
z ч 2 1
(2 0 1 0 2A „ л n
23.17. Л= л , В= 0 0
10 2 1 0 1/
4 7 2 1
[о 2;
г2 3 -П
(1 -1 0 2 > „ 1 о -2
23.18. Л= . ~ , В = „
V-1 0 1 -2) -1 1 о
[о - -3 5 J
Вычислить АВ-ВА:
(2 1> _ Г1 ОА
23.19. Л = 1 L В = 1. >
м о/ 1° - 1J
'1 2 1А Г 4 1
23.20. А = 2 1 2 , В= -4 2 0.
J 2 З] 11 2 1J
'1 0 -Г| Го 1 1 1
23.21. Л= 0 2 1 , 5= 1 0 2 .
(-1 0 2) (О 1 -2J
Г1 1 -Г) (3 6 ’ 9)
23.22. А= 2 -1 1 , В= 2 4 , 6 .
U о 1J [12 ; 3j j
fax 0 ... 0 fbt 0 ... ОЛ j
0 а, ... 0 „ 0 1 ^ ... 0 I
2333. Л= 2 , В = .
••• !
<0 0 ... ал> к0 0 ...
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов 21
Выполнить действия:
2.3.24.
.... ГС08а
2.3.25.
\srne
-sin а
cos а
23.27. 3
-1 2 . 23.28.
23.29. О 2
0 у
о
-3>
^0 0
Найти А • АТ и Ат • А:
2
4
<0 О -ЗА
2.3.30.
2.3.31. А = 0 2 О
1^5 О О J
Найти /(А) (полином от матрицы):
2332. f(x) = 2x2 +5х + 9,
2.333. /(х) = х2-х-1,
2334. /(х) = 2х3 + х2+4,
23.35. /(х) = 3х2-2х + 5,
'2 1 Г
Л= 3 1 2
J -1 о,
<3 -5 2)
2336. Доказать, что если АВ = ВА,то (Л + В)2 = А2 + 2АВ + В2.
23.37. Доказать, что если АВ = ВА, то А2 - В2 = (А + В)(А - В).
22
Глава 2
2338. Пусть 0 - любая квадратная нулевая матрица, М - любая
квадратная матрица того же порядка. Показать, что М • 0 = 0 М = 0.
(а д')
2339. Доказать, что каждая матрица второго порядка А =
lc d J
удовлетворяет уравнению х2 - (а + d)x + (ad - be) = 0.
23.40. Найти все матрицы второго порядка, перестановочные с
матрицей А -
1 Г
0 1,
Вычислить произведения матриц:
23.43.
1
-1
(1
23.45.
10
П
о)
-1
1
23.44.
23.46.
1
1
П ( 1
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
23
2 О'
1 1
1 2,
Показать на примере, что произведение матриц не обладает свойст-
вом коммутативности, т. е. что АВ Ф ВА.
Проверить, являются ли данные матрицы А и В перестановочными:
2331. А =
23.54. Доказать, что скалярные матрицы я - го порядка и только
они, пфестановочны с любой квадратной матрицей я - го порядка.
Найти произведения АВ и ВА (если они существуют) матриц А
пВ:
2335.
3
-5
24
Глава 2
<2 1 -П
23.56. Л = 1 „ ,
1° 3 5 J
'1
В= 1
2 >
-2
3,
23.57.
А =
2
3
3
1
р
or
р
В- 4
<5
2 3'
1 О
1 °,
23.58.
О
2
<2 Г
1 °'|. л= 1 2
op 0 1
fl 0 2 А
2339. А =
° ° 2\ в= -1
1 1 -2/ О
1 -2
2 1
О 1
Вычислить АВ - ВА:
23.60. Л = | (3 -2' L-1 4, ''-cos а э зшаЛ '! 2^
2 2 к / r-cosa sin а
23.61. л=| к sina '1 1 1> cosaj’ , в= (-2 2 4-sina 0 > -cos а
23.62. А = 1 2 3 <2 3 1; 3 В = еп 1 1 -2 . о,
Выполнить действия:
23.63.
23.65.
Матрицы, определители, системы п-меркых векторов
25
23.66.
-3Т
-4J '
23.67.
-2?
-3J ’
23.68. Дана матрица А = (1 2 3 4). Найти произведения А Л7
и АТА.
Найти /(Я) (полином от матрицы):
23.69. /(х) = х2-5х + 3,
23.70. /(х) = х2-Зх + 4,
23.71. /(х) = х3 - 7х2 + 13х - 5,
23.72. Пусть Е - единичная матрица третьего порядка, а М - любая
квадратная матрица того же порядка. Показать, что ME = ЕМ = М.
23.73. Найти все матрицы второго порядка, перестановочные с мат-
рицей А =|
11 о
2.4. Определители и их свойства. Вычисление определителей
Вычислить определители второго порядка:
-2 5 2 -5 3 2
2.4.1. 2.4.2. 2.43.
7 2 4 7 8 4
sine cos а a ab
2.4.4. 2.4.5.
sm/? cos/? 1 b
26
Глава 2
2.4.6.
sin а+sin/?
cos/?-сова
cos/?+сова
ein a- ein P
2Л.7.
x3
1
х2+х+Г
2.4.8. Решить уравнение:
3 2x+l
2 x+5
2.4.9. Доказать, что
ka b ,a b
= к
kc d cd
2.4.10. Дан определитель
1 2 4
Д=—2 3 5
4 1 3
Найти миноры и алгебраические дополнения элементов
a)a2i, б)а13.
Вычислить определители третьего порядка, используя их разложение
по элементам первого столбца:
2 3 4 5 -4 б 1 1 1
2.4.11. 1 2 1 2.4.12. 5 3 0 2.4.13. -1 0 1
3 4 5 1 2 -3 -1 -1 0
1 1 1 3 1 2 3 2 1
2.4.14. 1 2 3 2.4.15. 2 3 5 2.4.16. 2 1 4
1 3 б 3 2 4 1 5 3
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов 27
Вычислить определители третьего порядка с помощью "правила
треугольников" (правила Саррюса):
1 2 3 1 0 01 0 X 0
2.4.17. 2 1 4 • 2.4.18. 0 2 0 2.4.19. -у 0 0.
-1 2 5 0 0 3 0 0 Z
а а а
2.4.20. -а а X •
-а -а X
Вычислить определители третьего порядка методом разложения по
какой-нибудь строке или по какому-нибудь столбцу:
2 1 3 5 6 3 2 3 1
2.4.21. 5 3 2 2.4.22. 0 1 0 2.4.23. 4 2-1
1 4 3 7 4 5 3 5 2
2.4.24.
О а О
bed
О I О
Вычислить определители третьего порядка:
3 -1 1 3 5 4 1 b 1
2.4.25. 2 -5 -3 2.4.26. 2 3 5 2.4.27. 0 Ь 0
1 1 -1 4 2 3 b 0 -Ь
2.4.28. 3
-2
5
1
3
-1
4
1 2 3 1 4 3
2.4.29. 2 3 4 2.4.30. 2 3 2
5 -2 1 3 1 4
28
Глава 2
Упростить и вычислить определители:
1 2 5 2 8 -9
2.431. 3 -4 7 2.432. 8 -4 12
-3 12 -15 4 -12 -6
Пользуясь свойствами определителей, вычислить определители:
2.4.33. sin1 2 а sin2/? sin2/ а Р 1 cos2 а 1 cos2 Р 1 cos2 у Ъа-Ър 2.434. а + 6 6+с с+а С а Ъ 1 1 1
2.435. b у 26-3/
с 8 2с-35
2.4.36. Найти, чему равен определитель четвертого порядка:
0 0 а13 а14
£> = 0 0 «23 «24
0 «32 0 0
в41 0 0 0
2.4.37. Разложить по элементам третьей строки и вычислить
определитель:
1 0-1-1
0-1-11
а b с d
-1-11 0
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
29
Используя метод разложения определителя по элементам любой
строки или любого столбца, вычислить определители:
12 3 4 в 0 5 7
5 6 7 0 0 0 6 4
2.4.38. 2.4.39.
0 110 1 с 4 5
0 0 2 0 0 0 0 d
Вычислить определители, применив их свойства:
а а + р 10 1
2.4.40. b Ь+р 20 30 1
с с+р 1
d d + p 40 1
Доказать, что
8 9 10 11 3 -2
0 1 3 4 -2 -1 5 6 5 -4
-1 0 2 3 9 10 11 12 6 8 = 0.
2.4.42. -2 -1 0 1 = 0. 2.4.43. 1 0 17 16 8 11
-3 -2 -1 0 12 13 14 15 9 10
2 3 13 14 5 3
Вычислить определители:
2.4.44,
30
Глава 2
2.4.47. 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 2.4.48. 110 0 1110 0 111 2.4.49. 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10' 20
0 0 1 1
2.4.50. 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 б 5 1 0 0 0 б 5 1 0 0 0 б 5 2.4.51. 2 4 0 2 3 -1 5 2 -1 -1 2 2 2 4 1 •
1 2 3 4 2 1 0 3
2AJS1. 2 3 1 2 2 1 3 2 2.4.53. 1 0 -2 1 -3 2 4 -3
4 3 2 1 1 2 3 4
2.4.54. а 0 1 0 3 Ъ 2 0 0 0 с 0 5 2 3 d • 2.4.55. 1 0 0 2 3 2 1 2 3 4 3 4 2 3 3 4 4 5 5 6 5 4 5 6 0
Вычислить определители п - го порядка:
1 0 0 ... 0 1 1 1 ... 1
0 2 0 ... 0 1 2 1 ... 1
2.4.56. 0 0 3 ... 0 2.4.57. 1 1 3 ... 1
• •• ••• ••• • •а
ООО...» 1 1 1 ... п
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
31
2 1 1 ... 1 3 3 3... 3
1 2 1 ... 1 3 4 3... 3
2.4.58. 1 1 2 ... 1 2.4.59. 3 3 5... 3
1 1 1 ... 2 3 3 3... п + 2
Вычислить определители второго порядка:
2.4.60. 1 2 5 6 2.4.61. 5 2 7 3 2.4.62. 6 8 9 -10
2.4.63. COS0? sinp 2.4.64. tg<P 1 . 2.4.63. cosp sin^
-sinp cosp -1 tg<P -sinp cosp
2.4.64.
2.4.65.
log* а
1
1
logei
2.4.66. Решить уравнение:
х-1 х+3
х—1 7-х
2.4.67. Доказать, что
ka kb а Ь
, ~к ,
с а с а
2.4.68. Дан определитель
3
Д=2
1
5 4
3 5 .
2 -2
Найти миноры и алгебраические дополнения элементов
а) в32> б) Яц.
32
Глава 2
Вычислить определители третьего порядка, используя их разложение
по элементам первого столбца:
1
3
5
2.4.69.
2.4.72.
-2
-2
-5
2
О
Вычислить
определители
третьего
прямоугольников" (правила Саррюса):
порядка с помощью
"правила
2.4.74.
-2
-1
4
О
1
1
3
4
1
2
4
2
О
3
3
5
4
Вычислить
определители третьего порядка методом разложения по
какой-нибудь строке или по какому-нибудь столбцу:
3
2
1
3
О
2
а
1
а
3
4
2
6
1
7
2.4.77.
2.4.78.
2.4.79.
-1
а
1
5
2
3
5
О
б
а
-1
а
Вычислить определители третьего порядка:
1
2
3
—х
2
2
1
О
3
2
X
2.4.80.
2.4.81.
-х
-1
2.4.82.
-3
-х
1
2
х
2
1
1
5
3
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
33
2 3 1 1 1 2
2.4.83. 4 1 2 2.4.84. 2-12
13 2 5 4 1 1
Упростить и вычислить определители:
б 0 1 12 б -4
2.4.85. -12 1 2 2.4.86. б 4 4
24 -1 3 3 2 8
Пользуясь свойствами определителей, вычислить определители:
2.4.87.
За + 2р
3a + 2q
Зс + 2г
8 18 26 30
12 27 39 45
2.4.88. 16 36 50 40
9 20 12 19
а Р
b q
С г
Доказать, что
1 х х2 х3 х4 2 3 10 4 11
2 3 4 5 X X X X X 7 8 5 9 6
2.4.89. 3 -.4 5 „6 Л> Л Л Л Л = 0. 2.4.90. 12 13 11 14 12 = 0.
х3 х4 х5 хб х7 16 17 17 18 18
00 К 40 К «п Н 22 23 14 24 15
2.4.91. Доказать тождество
1 + ах+Д2
1+ау+$>2
l+oz+/fe2
х2 1 X
У2 = 1 У
Z2 1 Z
х2
У2
z2
х
У
z
34
Глава 2
2.4.92. Найти, чему равен определитель четвертого порядка:
0 0 0 а14
D = 0 0 «23 0
в31 а32 0 0
«41 «42 0 0
Вычислить определители:
2.4.93.
2 0 11
0 13 0
12 0 2
0 110
2.4.94.
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
2.4.95.
1 3 4
0 0 8
0 0 2
4 7 5
1
1
1
0
1
2
3
4
а 1 1 1 10 2а 10 2-1
b 0 1 1 2 0 6 0 110-1
2.4.96. . 2.4.97. . 2.4.98.
с 1 0 1 3 с 4 5 0 1-10
d 1 1 1 d 0 0 0 -6 3 2 1
1 ) ]. 1 1
1 0 1 1
2.4.99.
1 1. 0 1
1 1 1 0
1 2 —- 1 -1
2 0 2 1
2.4.101.
3 • -1 с 1 -3
1 -3 3 2
10 0 30 а
-2 0 ь 0
2.4.103.
30 с 8 5
d 0 0 0
1 1 2 3
3 -4 -1 -2
2.4.100.
2 -6 -1 -1
1 -4 3 -1
-х 1 0 -1
-1 -х 0 1
2.4.102.
1 -1 0 -х
1 2 3 4
1 2 3 4
0 2 5 9
2.4.104.
0 0 3 7
-2 -4 -6 1
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
35
2 2 4 3 12 3 4
4 3 14 10 12
2.4.105. 6 4 2 1 2.4.106. 3-1-1 0
8 13 2 12 0-5
Вычислить определители л - го порядка:
2.4.107. «11 Й21 0 ... й22 ••• 0 0 2.4.108. 1 -1 -1 2 0 -2 3 3 0 ... л ... л ... л
Йл1 йл2 - ЙЛЛ -1 -2 -3 ... 0
2.4.109. 2 2 2 2 3 2 2 ... 2 ... 4 ... 2 2 2 . 2.4.110. 1 -а -а 1 1 . а 0 . 0 а . .. 1 .. 0 .. 0 1 0 0
2 2 2 ... л + 1 -а -а 0 0 0 . 0 . .. а .. 0 0 а
23. Ранг матрицы. Ранг системы п - мерных векторов
В =
2.5.1. Составить всевозможные миноры третьего порядка матрицы
(1 2 3 4'
1-245
1 6 2 3,
и какой-нибудь минор второго порядка той же матрицы.
2.5.2. Найти ранг г(В) матрицы В, приведенной в задаче 2.5.1,
применив определение ранга матрицы. Указать какие-либо два базисные
“ипора данной матрицы (если они есть).
Найти ранг матриц, воспользовавшись определением ранга матрицы:
36
Глава 2
'10 10 10^ '2 0" сч
2.53. 4 = 4 4 4 . 2.5.4. А2 = 0 0 . 2.5.5. А3 = 0 5 6 7.
15 15 15, <о oj ч0 0 0 0,
'2 2 2> '9 0 3"
2.5.6. А4 = 1 2 3 • 2.5.7. 4 = 3 2 1
J 4 9, 1° 1 0>
Найти ранг г данных матриц методом окаймления миноров и
указать для каждой из этих матриц какой-либо один базисный минор:
( 0 1 2 3^
2 -3 3 6' 2 1 2 -1
2.5.8. 4 -3 1 4 2.5.9. 9 Л 9
3 -2 3 5 Z Z я- Z
-2 0 0
Найти ранг матриц:
2.5.10. '2 0 1о '-2 3 0 0 5 3 0 4 6 2 0 0 О ОС 5' 2.5.11. '5 0 0 <0 Г1 0 10 2 0 0 5 3 5' 6 0 0, 3 -1 •• 10
2.5.12. 0 0 4 0 7 2.5.13.
0 0 3 2
. о 0 0 о : 3,
\ <0' 0 0
Го 3 О О'!
2.5.14. Найти ранг г матрицы А = 2 О
0 5
4 0,
^0 0
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
37
и все ее базисные миноры.
2.5.15. Найти ранг г матрицы
3
2
3 2 3 4'
4 2 6 8
3 2 3 4,
и какие-нибудь три ее базисные минора.
Найти ранг матриц при помощи элементарных преобразований:
2.5.24.
О
О
2
2
2 1 2"
0-11.
4 5 1,
1 -2 1 '
-2 -1 2
5 0 -1 ‘
3 -1 -3,
2 1 2'
0-11.
4 5 1,
4 -5"
4 -8
1 7 .
10 20
3 0,
О 0 2 5'
10 3 4
0 14 7
-3 4 И 12
О 0 4 10,
'2 1 -2'
2.5.17. 3-2 3 .
<2-3 5,
2.5.19.
2 -4'
4 -5
5 -10
3 0 ,
(3 О 2А
2.521. 1-13
J -1 6.
Г4 3 -5 2 3 '
8 6 -7 4 2
2.5.25. 4 3 -8 2 7
4 3 1 2 -5
<8 6 -1 4 "6>
38
Глава 2
<18 50 26 31 48Л
2 4 2 -5 1
2.5.26,
1 2 1 -1 2
<37 102 53 61 98J
Найти ранг матриц при различных значениях параметра Я:
'1 -4 2 2 -4 -1 (Г 4
23.27.
3 -8 -1 Я
-2 0 L
'0 Л + 3 0 >
2.5.28. 1 0 0
<0 0 Л2-9,
Найти ранг систем векторов:
2.539. в1=(3; 5; 23.30. aj =(1; 0; 2; 0; О),
5г=(1; 2; 3), а2 = (0; 1; 0; 2; (Д
а3=(1; 3; 5). аз = (2; 0; 4; 0; 0).
2.531. ai=(l; -1; 1; 4), 2.532. ai=(4; -5; 2; 6),
а2=(3; 2; -5; 1), = (2> -2; 1; 3),
а3=(2; 1; -3; 4), а3=(б; -3; 3; 9>
а4=(б; 1; 2; 5). а4 = (4; -1; 5; 6).
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно
зависимыми или линейно независимыми:
2.5.33. ai=(l; 2; 3; 4),
а2=(4; 3; 2; 1),
а3=(5; 5; 5; 5).
2.534. Й1=(1; 1; 1; 1),
^=(1; -1; 1; -1),
а3=(2; 3; 1; 4),
а4=(2; 1; 1; 3).
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
39
2.535. ^=(1; -1; 1; 1).
а2=(1; 0; 1; 0),
а3=(1; -3; 1; 3).
2.536. 5i=(l; 2; 3; 4),
о2=(4; 1; 2; 3),
о3=(3; 4; 1; -2),
а4 = (1; -1; -1; -1).
Найти все значения Л, при которых вектор b линейно выражается
через векторы о1э а2, ...» as:
2.537. 01= (2; 3; 5), 2.538. ai=(3; 2; 5),
о2=(3; 7; 8), о2 — (2; 4; 7),
о3 = (1; -6; 1), в3=(з; 6; Л),
й=(7; -2; Л). К=(1; 3; 5).
2.539. ai= (4; 2; б),
а*=(3; 6; 8),
а3 = (б; 15/2; Л),
5= (2; 3; 5).
Найти ранг матриц, воспользовавшись определением ранга матрицы:
'6 О'
г2 2 2 из 1 00
2.5.40. 6 6 6 2.5.41. 0 0 л л 2.5.42. 0 10 11 13
,25 25 2; 5> и и <0 0/ ,0 0 0 0,
СП СП 1 04 '0 2 -4'
2.5.43. 4 -3 1 • 2.5.44. -1 -4 5
,3 -2 3, <3 1 7,
40
Глава 2
Найти ранг г матрицы методом окаймления миноров и указать
какой-либо базисный минор:
г2 -3 3 5^ 40 т—< 1 04
2.5.45. 4-313 2.5.46. 113 5
1 м СО 1 1 w-Ч >
Найти ранг матриц:
Г1 -10 15 11 31 <3 0 1 1 10 4 12' 5
2.5.47. 0 5 4 1 2 2.5.48. 0 0 -2 б
<0 0 0 0 -3.
/ ,0 0 0 3;
2.5.49. Найти ранг г матрицы
'2 3 0 2 0>
А= 1 2 0 1 0
,2 3 0 2 0;
и все ее базисные миноры.
Найти ранг матриц при помощи элементарных преобразований:
'2 3 5 -3"
2.5.50. 3 4 3 -1
Is б -1 з >
'2 -1 3 -2 4>
2.5.52. 4 -2 5 1 7
<2 -1 1 8 2>
'3 0 2'
2.5.51. 1 -1 3
,4 -1
3 -5 2 6'
2 -2 1 3
2.5.53. 6 -3 3 9
3 -1 5 6.
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
41
/ '2 1 -2"
2.5.54. 3 -2 3 •
2 - -3 5;
г2 -1 3 4У
2.5.56. 1 0 2 -3 .
-2 8 5 >
'25 31 17 43 s
75 94 53 132
2.5.58.
75 94 54 134
ч25 32 20 48,
'2 3 7 1Г
2.5.55. 1 2 4 7 •
15 0 10 5;
Ч -3 1 - -14 . 22'
2.5.57. -2 1 3 3 -9
1-4 -3 11 - -19 1 17,
Г1 3 5 •Р
2 -1 -3 X
2.5.59.
5 1 -1 7
Ь 7 9 и
Найти ранг г матриц при различных значениях параметра Я:
2.5.60.
2.5.62.
Найти ранг системы векторов:
2.5.64. ai=(l; 2; 3; 4), 2.5.65. ai= (4; 3; 2; 2),
в2= (з» 6; 9; 12), 5-2=(0; 2; 1; 1),
а3 = (4; 8; 12; 16). 53=(0; 0; 3; 4).
2.5.66. ai = (1; 2; 0; 3), 2.5.67. ^=(5; 2; 1),
а2 = (0> 1; 1; 1), а2=(-1; 3; 3),
а3=(1; 0; 1; о). 5-3=(9; 7; 5),
б-4=(3; 8; 7).
42
Глава 2
2.5.68. ai=(l; 2; 1; 3; 4), \
e2 = (3; 4; 2; 6; 8), '
а3 = (1; 2; 1; 3; 4). f
!
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно j
зависимыми или линейно независимыми:
2.5.69. аг = (1; -1; 1; 1), 2.5.70. ^ = (1; 0; 0; 2; 5), л
а2=(1; 0; 1; 0), а2=(0; Ь О» 3; 4),
а3=(1; -3; 1; 3). а3=(0; 0; 1; 4; 7),
а4=(2; -3; 4; 11; 12).
2.5.71. Найти все значения параметра Я, при которых вектор
b = (12; 16; Л) линейно выражается через векторы = (3; 4; 2) и
а2=(б; 8; 7).
2.6. Обратная матрица. Матричные уравнения
Убедиться в том, что матрица В является обратной для матрицы Л,
т.е. В = Л"1.
Проверить, существует ли обратная матрица для следующих матриц:
Найти обратные матрицы для следующих матриц, применив метод
присоединенной матрицы:
7
3
2
1
а Ъ
с d
-1
2.6.5.
2.6.6.
2.6.7.
2.6.8.
2.6.10.
2
5
-1
-1
3
-2
-6
3
-3'
2 .
4 j
2.6.9.
2.6.11.
cosa -sin а
sin а
cosa
2
0
-2
О
1
2
1
О
3
4
2
5
2
1
1
2
Найти обратные матрицы для следующих матриц, применив метод
элементарных преобразований:
2.6.12.
3 4
5 7
2.6.13.
2
1
2
3
4
Зл
4
3,
2.6.14.
2
2
2
1
-2
2.6.15. 4
.2
2
5
1
2
4
2.6.16.
7
2
-3
1
-1
2'
5
3,
2.6.17.
О
О
О
3
1
О
О
-5
2
1
О
2 '
-2 .
7 5
-3
2
1 ,
44
Глава 2
2.6.20.
'1 2 3 4 '
2 3 1 2
111-1
J 0 -2 -6,
<3-4 5'
2.6.19. 2-3 1
<3 -5 -1,
<1
2
1
<1
1 3 2'
2 1 2
2 3 4
1 2 3,
'1 1 1 Г
0 111
0 0 11
^0 0 0 1;
Г1 -1 0 ... 0^
0 1 -1 ... 0
2.6.22. 0 0 1 ... 0
• •• •а ...
1о 0 0 ... 1J
Г1 0 0 .. . 0 0А
-1 1 0 .. . 0 0
0 -1 1 .. . 0 0
2.6.23.
0 0 0 .. . 1 0
<° 0 0 .. . -1
Решить матричные уравнения;
(1
2.6.24.
1з
51
9/
2.6.25. X-
-2W-1 2^
-4j"t-5 6/
2.6.26. 3
2
2
-1
-4 -Х= 10
о) Цо
-3 0^
2 7
7 8,
3 О'
9 О
15 О,
<1 -2
2.6.28. 2 3
к0 -2
3'
-1
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
45
2.6.29. Решить матричные уравнения: АХ = В и YA = В, где
(2 5А „ fl 2А
, В = I I
1 3/ (о 3J
2.630. Даны матрицы
О
-1
-1
П Г-2 1
-1 и5= 3-3 2
-3j [-1 1 -1,
Убедиться в том, что матрица В является обратной для матрицы А,
т.е. что В = А .
Проверить, имеют ли следующие матрицы обратные:
г2 3 4" '1 -1 2У
2.631. 4 6 8 2.632. 2 1 3
J 9 5, J 4 5J
f 1 2 : 3 4'
rl -1 2'
2 4 < 5 8
2.633. 2.634. 2 1 3
5 6 10 1
.14 5.
ч-2 4 : 3 2,
Найти обратные матрицы для следующих матриц, применив метод
присоединенной матрицы:
2.635.
1 2>
3 4/
2.636.
2.637.
0 'I
46
Глава 2
( х
\ х
2.6.38.
2.639.
2
2
fl О (А
2.6.40. 2 1 О
'7 2 3"
2.6.41. 9 2 4
<5 1 3,
Найти обратные матрицы для следующих матриц, применив метод
элементарных преобразований:
2.6.42. г3 <11 Г 4; 2.6.43. Г1 <2 2> 5/ 2.6.44. <1 2 Л 1 -1 1 2> [ 2 4>
Ч 2 3 4^
'2 : 1 -2' Р 7 3" q 1 о 0
2.6.45. 3 - 2 3 . 2.6.46. 3 9 4 . 2.6.47. 1 J
0 0 1 2
U - 3 5> 11 5 з, <о 0 0 и
'3 0 0 О'
'1 : L 1 > 1 3 (Г
0 7 0 0
2.6.48. 2 - 3 1 . 2.6.49. . 2.6.50. 1 ) 2 г .
0 0 1 0
Л : 1 -5> [о 0 0 5, < 1 0 4>
Решить матричные уравнения:
2.6.51.
3 4>| у_(2 9)
1 1/ =[1 3,
(4
2.6.52. X-
14
О
5
3
-4
2.6.53.
( 1 -2 -П ' 1 0 '
2.6.54. -3 2 2 . X = 2 -2
< з -1 -2> к-3 1 >
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
47
'1/2 0 0 0 > '1 О'
0 1/3 0 0 1 1
2.6.55. •х=
0 0 1 0 1 -1
<0 0 0 1/4> <0 d
2.7. Задачи для контрольных работ
Задание 1
Даны матрицы А и В. Найти произведения АВ и ВА (если они
существуют):
2.7.1.
1
3
48
Глава 2
2.7.6. Л = <1 (1 1 2 3 1 1 Р 1 > “2, , в= 1 1 I-» и> 3 -5 Ь 1 С Л
2.7.7. А = 2 0 4 > в= 1 -1 2
2 з> <3 2 1 )
f 1 1 5
<1 2 3 41 -2 -2
2.7.8. А = в=
0 2 5/ 3 -5
<1 0;
3 0 Р 2 f п
2.7.9. Л = 0 2 0 > в= 3 4 2 .
10 1 з, <о 3 6,
'1 2 р f2 0 3 '
2.7.10. А = = 0 1 3 , в= -1 2 - -4
<1 -2 4J <4 1 2>
р -3 2' f2 5 6'
2.7.11. А = = 3 -4 1 , в= 1 2 5
<2 -5 3; сч СП
f 1 2 '
2.7.12.
А =
2
1
5 -1 3^
0 4 1/
2.7.13.
1 2 0^
3 0 4/
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
49
2.7.14. Я = Г
2 3 4
3 -1 -2
5
О
-2 Г
2.7.15. А = 3-42, <2 5 0,
. I 2
2.7.16. Л = 1
(3
-1
О
2
1
-1
2
fl 2
2.7.17. А = \
к4 5
3
6
'1
В = 1
1 Г
2 4
3 9>
f 1 5
2.7.18. Л = -1 2
<° 2
f2 Г
2.7.19. Л = 0 3
2 5
<3 4У
6'
3
V
f2 -1 3^
В = 1 2 4
J 0 5.
f2 3 -1 4>
[з О 2 1]'
(2 -3
2.7.20. Л =
I4 1
-1
О
2
1
г 1 3 '
-1 -3
2 5
<5 -2;
50
Глава 2
Задание 2
Найти значение матричного многочлена f (х) от матрицы А:
2.7.21. /(х) = 2х2-х + 1,
2.7.22. /(х) = 3х2+2х-2,
2.7.23. /(х) = 4х2 + Зх-1,
2.7.24. /(х) = х3+2х2+ 2,
2.7.25. /(х) = 2х3-х2+1,
2.7.26. /(х) = х2-5х + 2,
2.7.27. /(х) = х3-2х2+х-4,
2.7.28. /(х) = х2-х-3,
2.7.29. /(х) = х2-Зх + 1,
2.730. /(х) = Зх2+х + 4,
0
2
3
0
2
-2
А =
А =
fl
<0
f2
<0
0
2
-3
4
a
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
51
2.731. /(х) = 2х2-х+2,
2.732. f(x) = x2 +5х-1,
<2 3 О'1
А= О 1 -3
И -2 1,
2.733. f(x)~x3-2x2+2,
2.734. f(x) = x3-2х2 +3,
2.735. /(х) =-х3+2х-1,
2.736. /(х) = х2-х + 5,
2.737. /(х) = х2+Зх-4,
2.738. f(x) = x3-2х + 3,
2.739. f(x) = х3 + 2х2 - х+2,
2.7.40 . f(x) = x3+х2-5,
2
1
1
О
fl
А = О
12
-2 0>
1 1
-3 2,
<10 И
А = 2 -1 О
<0 0 -2>
<0 2 Г
А= 1 О 1
<2 -1 “Ь
3
-2
А =
3
"21
О J
Глава 2
t;
52
Задание 3
Вычислить определитель:
2.7.41.
2.7.44.
0 2 4 -2 12 3-4
12 3 5 2 5 13
2.7.49. 2.7.50.
-2-34 1 0 2 2 1
13 2 1 -10 12
2 -1-20 2 2-12
10 3 2 3 2-11
2.7.51. 2.7.52.
3 12 1 13 3 2
-2311 3 2 2 -3
2 3 2 1 12 13
5 12-5 2 3 4 3
2.7.53. 2.7.54.
3 2 12 -2 0 5 2
-2 3 2 2 -112 1
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
53
2.7.59.
Задание 4
2.7.56.
2 3-34
5-5 2
1 1 3
2 1 1
1 5 4
О 1 3
-3 5 4
2 1 1
2.7.60.
2 1
О -1
2 3
1 2
1
4
5
Найти ранг матрицы:
<2 7 3 П
2.7.61. з : 5 2 2 .
<9 ‘ 1 1 L
<5 4 3 '
2.7.63. 2 1 4
-3 -2 -1
<1 3 2,
1 3 2У
2.7.65. 2 2 1 2
1 2 3 4 ‘
1 2 з,
'3 -2 5 4'
2.7.62. 6 -4 4 3
<9 -6 3 2;
<5-12
2.7.64. 2 1 4-2
U -3-6 5)
Л 2 -1 -2У
3 8 0 -4
2.7.66. 2 2 -4 -4 '
<з 8 -1 -б]
54
Глава 2
'0 0 1 -Г Г1 2 3 4>
0 3 14 2 3 13
2.7.67. 2.7.68.
2 7 6 -1 1-111
1—* Ю 1 Н-‘ J 0 2 6,
<2 7 3 1 > fl 2 2 >
1 3 5 -2 2 1 -2
2.7.69. 2.7.70.
1 5 -9 8 2 2 1
<5 18 4 5> <5 4 Ъ
И -2 3 -5> Р 2 1 4^
2.7.71. 2 1 4 1 2.7.72. 4 0 -2 4
3 -3 8 -2 4 5 2.
<2 -2 5 -12, /
'1 3 2 2 3' 1 rl 5 4 3^
2.7.73. 1 1 1 2.7.74. 2 -1 2 -1 .
2 3 - -1 <5 3 8 1>
1 oj
'2 -1 3 -2 4s f2 3 7 1Г
2.7.75. 4 -2 5 1 7 . 2.7.76. 1 2 4 7 .
<2 -1 1 8 2, <5 0 10 5>
г2 0 3 1 4^ f3 2 -i -3 -i'
2.7.77. 3 -5 4 2 7 . 2.7.78. 2 -1 3 1 -3
11 5 2 0 2, I4 5 -5 -6 -1,
fl 1 -1 1 >
f3 0 2>
1 -1 1 -1
2.7.79. 2.7.80. 2 -2 6 .
4 6 4 -6
1 -1 5.
<1 -2 -3 4, \ /
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
55
Задание 5
Найти ранг системы векторов:
2.7.81. йг1=(1; 2; 3; -4), с2 = (2; 3; -4; 1> й"3 = (2; -5; 8; 3), а4=(5; 26; -9; -12) «5=(3; -4; 1; 2) 2.7.82. ai=(5; 2; -3; 1), а2=(4; 1; -2; 3), а3=(1; 1; -1; -2), а4=(3; 4; -1; 2).
2.7.83. 51= (1; -2; 3; -1; -1), а2=(2; -1; 1; 0; -2), «3=(1; -1; -1; -1; 1), а4=(1; 3; -10; 1; 3). 2.7.84. 511= (9; -3; 5; б), а2=(б; -2; 3; 1), а3=(3; -1; 3; 14),
2.7.85. ai=(3; 4; 1; 2), о2 = (б; 8; 2; 5), а3=(9; 12; 3; 10). 2.7.86. ffi=(3; 5; 4; -2), а2=(б; 4; 3; -4), а3=(9; 3; 2; -6).
2.7.87. 51 = (4; 2; -5; 3), а2=(3; 1; -4; 7), «3=(-6; -4; 7; 5). 2.7.88. а!=(-8; 5; 2), а2=(-9; 3; 4), а3 = (-5; 3; 2), «4 = (-7; 8; 1).
2.7.89. 5’i= (5; -3; 2; 1), 52=(22; -13; 3; 1), 5г3=(-2; 1; 5; 3), й4 = (-7; 4; 3; 2). 2.7.90. ai=(l; -1; 2; -3), а2=(1; 4; -1; -2), а3=(1; -4; 3; -2), а4=(1; -8; 5; -2).
56
Глава 2
2.7.91. а1 = (1; 1; -2; 1), 2.7.92. = (3; -1; 2),
а2 = (-1; 1; -2; 1), а2=(-5; 1; 3),
а3=(5; 1; -2; 1). а3=(1; -1; 4),
а4=(-13; 3; 1).
2.7.93.
-2; 3; -4),
а2=(0, 1, -1, 1),
а3=(1; 3; 0; -3),
а4 = (0; -7; 3; 1).
2.7.94. а1=(1; 1; 0; -3; -1),
а2=(1; -1; 2; -1; 0),
а3 = (4; -2; 6; 3; -4),
54 =(2; 4;
-2; 4; -7).
2.7.95. ai=(l; -1; 1; -2; 2),
а2 = (-2; 1; -1; 2; 1),
а3==(7; -5; 5; -10; 4),
а4=(11; -7; 7; -14; 2).
2.7.96. 51= (-1; 1; -1; 2),
а2=(-3; 0; -1; 2),
а3=(1; -1; 0; 3),
а4 = (5; -2; 2; 2).
2.7.97. ai=(3; 2; 2; 1),
52 = (-1; -3; -3; б),
а3=(-2; 1; 1; -7),
а4 = (10; 9; 9; -3).
2.7.99. 3j = (3; 2; 1; -1; 2),
а2=(5; 4; 2; -3; б),
а3=(13; 8; 4; -3; б),
а4 = (2; 1; 1; -2; 4).
2.7.100. ai=(3; -1; 1; -2; 1),
а2=(б; -2; 3; -4; 2),
а3=(9; -3, 4, -6, 3).
2.7.98. ai=(l; 2; 3; -1),
а2=(2; -1; -4; 3),
а3=(4; -7; -18; 11),
а4=(3; 1; -1; 2).
Матрицы, определители, системы п-мерных векторов
57
Задание 6
Найти обратную матрицу для данной матрицы:
р 2 2 >
2.7.101. 2 1 -2
<2 "2 1,
<2 1 -2' еч СП ч.
2.7.102. 3-2 3 . 2.7.103. 1 3 1
«Л СП 1 <ч <5 3 4,
'2 -1 П '3 2 Г г2 -1 3'
2.7.104. 3 2 2 . 2.7.105. 2 3 1 . 2.7.106. 3 -5 1
Ь "2 ь 1 3> Л -7 -1,
'1 1 1 > f2 -1 Р '2 3 2'
2.7.107. 1 2 -1 . 2.7.108. -3 3 -2 . 2.7.109. 1 2 -3
<2 2 4, J -1 Ь ь 4 1>
О 1 CN '2 1 Г f 3
2.7.110. 5 3-6 . 2.7.111. 0 2 1 . 2.7.112. -1
СП сч 1 1 <3 1 2, -1
X СП 1 Г4 ' 2 2 3' f 3
2.7.113. 0 1 2 . 2.7.114. 1 -1 0 . 2.7.115. -1
0 0 1, "1 2 1, -1
р 2 3^ Г1 2 - 3' '2
17.116. 2 6 4 . 2.7.117. 3 2- 4 . 2.7.118. 3
00 о СП ) 12-1 0J <1
'1 2 3> '-1 3 0>
2.7.119. 4 5 6 2.7.120. 0 2 1
р 8 9, <10 4;
-1 -Р
1 0 .
О 1,
-1 -Г
1 О
О 1,
7 3'
9 4 .
Глава 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
В камине гаснет пламя;
Томя, трещит сверчок.
Ах, кто-то взял на память
Мой белый башмачок.
И дал мне три гвоздики,
Не подымая глаз.
О милые улики,
Куда мне спрятать вас?
И сердцу горько верить,
Что близок, близок срок,
Что всем он станет мерить
Мой белый башмачок.
Анна Ахматова
ЗД. Системы п уравнений с п неизвестными. Правило Крамера
Указать, применимо ли правило Крамера для решения следующих
систем линейных уравнений:
2xj + 5X2 = 8, 3xi + 2х? — 7,
3.1.1. 3.1.2. <
.4*1 + 10х2 = 9. .4*1 - 5х2 = 40.
3xi — *2 + 2S 0,
3.1.3. 2xi + Зх2 — 5*з = 0,
.*1 + *2 + *3 = 0.
2xi — *2 + Зх3 = 1,
3.1.4. *1 + 2x2 — 5х3 = 2,
.3*1 + *2 — 2х3 = 3.
2xi + 4х2 — Зх3 + *4 = 2,
3.1.5. *1 — Зх2 — 5х3 + 6х4 = 1,
5*i — 2x2 + *3 — *4 = 7.
Системы линейных уравнений и неравенств
59
Следующие системы уравнений решить по правилу Крамера:
Jxi + 2х2 8, + 5х2 = -2,
3.1.6. « 3.1.7. 1
+ 6х2 = 3. 3xi + 2х2 = 7.
17xj - 9х 2 1, 3.1.9.« Х1 — х2 = ~ 2,
3.1.8. j 2xi
-13х 1 + 19х2 = 25. + х2 = 14.
2xi — *2 — Зх3 = з,
3.1.10. 3xi + 4х2 — 5х3 = -8,
к 2х2 + 7х3 = 17.
2xi + х2 — *3 = -4,
3.1.11. < 2х2 + 2х3 = 14,
+ 2х2 + х3 = 7.
2xi — 4х2 + х3 = -з,
3.1.12. « — 5х2 + Зх3 = 0,
— х2 + хз = 2.
2xi + 2х2 —• Хз + х4 = 4,
3.1.13. 4xi + Зх2 — Хз + 2х4 = 6,
8xi + 5х2 — Зх3 + 4х4 = 12,
3xi + Зх2 — 2х3 + 2х4 = 6.
Х1 — 2х2 + Зх3 — х4 = 6,
2xi + Зх2 — 4х3 + 4х4 — -7,
3.1.14. <
3xi + х2 — 2х3 — 2х4 = 9,
Л — Зх2 + 7х3 + 6х4 = -7.
*1 + х2 + хз + х4 = 0,
3.1.15. Xi + 2х2 + Зх3 4х4 = 0,
*1 + Зх2 + 6х3 + 10х4 = 0,
Л + 4х2 + 10х3 + 20х4 = 0.
60
Глава 3
*1 + х2 + 2х3 + Зх4 = 1,
3.1.16. Зхг — х2 - х3 - 2х4 = -4,
2xi + 3X2 - х3 - х4 = -6,
.*1 + 2х2 + Зх3 - х4 = -4.
Найти решения следующих систем линейных уравнений по правилу*
Крамера. Указать те значения параметров а и Ь, при которых правило
Крамера применить нельзя:
3.1.17. < 2ах + ЗЬу = ab, 3.1.18. < ах + ЗЬу = 2,
Зах - 6Ьу = 0. &г + Зау - 2.
Указать, применимо ли правило Крамера для решения следующих
систем линейных уравнений:
3.1.19. [5xi + 2х2 4, 3.1.20. '3X1 - 5х2 = 6,
[7Х] + 4х2 = 8. - 15х2 = 10.
+ 2х2 + Зх3 = 4,
3.1.21. 2х] + х2 — *3 = з,
3*1 + Зх2 + 2х3 = 10.
Следующие системы уравнений решить по формулам Крамера:
3.1.24.
3.1.22.
'3X1 < + 2х2 = 7 ’ 3.1.23. J2xi - х2 = 3,
(4X1 - 5х2 = 40. 1*1 + х2 = 3.
ОХ] - Зх2 ’ (а Ф 0).
.^1 - 2х2 = 2.
Системы линейных уравнений и неравенств
61
4xt 2х2 3,
3.1.25. -
+ Зх2 -1.
3.1.26. - \ sina + х2 cosa = а,
cosа — х2 sin а = Ъ.
6Х[ — 2х2 + 6х3 = 2,
3.1.27. • Х1 + х2 — *3 = о,
3xj + 2х2 — 2х3 = -3.
2х} — х2 —• *3 = 4,
3.1.28. 3xi 4х2 — -2х з = И.
>1 — 2х2 + 4х3 = 11.
'*1 + х2 + 2х3 = -1,
3.1.29. 2xi — х2 + 2х3 = -4,
4х1 + х2 + 4х3 = -2.
3xi — Х2 + х3 = 4,
3.130. 2xi — 5х2 — Зхэ = -17,
+ х2 —- х3 = 0.
'*1 + «2 + Хз = 2,
3.131. • 2xi — *2 — 6х3 = -1,
3х1 — 2х2 = 8.
+ х2 + 2х3 = 1,
3.132. < 2xi — х2 + 2х3 = о,
4х1 + *2 + 4хэ = 2.
2xi + Зх2 + 11х3 + 5х4 = 2,
3.133. < *1 + *2 + 5х3 + 2х4 = 1,
2xi + Х2 + Зх3 + 2х4 = -з,
Л1 + Х2 + Зх3 + Зх4 = -3.
62
Глава 3
3.1.34.
3.1.35.
Х1 + Х2 + *3 + х4 + *5
Xi - Х2 + 2х3 — 2х4 4- Зх5
Х1 + х2 + 4х3 + 4х4 + 9х5
Х1 - х2 + 8х3 — 8х4 + 27x5
Xi + х2 + 16х3 + 16х4 + 81х5
Зхх + 8х2 + Зх3 — х4 = 4,
2xi + Зх2 + 4х3 х4 &S -4,
Xi - Зх2 - 2х3 — 2х4 = з,
5xt - 8х2 + 4х3 4- 2х4 я -8.
= о,
= О,
= о,
= О,
= О.
3.136, Найти решение системы линейных уравнений по правилу
Крамера. Указать те значения параметров а, Ь, с, при которых правило
Крамера применить нельзя:
ах + by = 3,
сх + у = 10.
3.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной
матрицы
Указать, можно ли решить следующие системы линейных уравнений
с помощью обратной матрицы; ответы обосновать:
3.2.1. J [7X1 [21X1 + + Зх2 9х2 — 9, 19.
2xi — х2 4- х3 = 2,
3.2.2. < Эх, + 2х2 + 2х3 = -2,
Л — 2х2 + хз = 1.
* — 2х2 4- х3 = 4,
3.23. • 2xi 4- Зх2 — х3 = 3,
4*1 — х2 4- х3 = 11.
Системы линейных уравнений и неравенств
63
Указать те значения параметров а и Ъ9 при которых следующие
системы линейных уравнении
матрицы:
(сщ + х2 =5,
3.2.4. z*
X] + ОХ2 = 6.
нельзя решить с помощью обратной
32.5.
ОХ]
Х\
Iх!
+ bx2 + х3 = 1,
+ abx2 + х3 = 2,
+ Ьх2 + х3 = 0.
Следующие системы
линейных уравнений решить с помощью
обратной матрицы:
3xi + 2хэ — 8, Х1 ~ х2 =
3.2.6. 3.2.7. 4
!Х] + 6х2 = 3. 2xi + х2 = 5.
X] + 2х2 + Зх3 = 11,
3.2.8. г Ixi + Зх2 + 2х3 = 15,
к 1Х] + 2X2 + 4х2 = 16.
ЗХ] + 2х2 + х3 = 5,
3.2.9. • 2х] + Зх2 + х3 = 1,
2Х] + х2 + Зх3 = 11.
ЗХ] + 2х2 + х3 = 8,
3.2.10. X] - Зх2 - х3 = 1,
2xi + 13х2 + 5х3 = И.
X] + х2 + х3 =6,
3.2.11. « 2X1 ~ х2 + х3 ' =
Xj - х2 + 2х3 = 5.
Xi + 2хг + Зх3 + 4х4 = 3,
3.2.12. 2Х] + Х2 + 2х3 + Зх4 = -2,
3xi + 2х2 + х3 + 2х4 = з,
4х] + Зх2 + 2х3 + х4 = 2.
64
Глава 3
+ 2х2 х2 + + Зх3 2х3 + 4х4 + Зх4 = 1, = 2,
32.13. <
*3 + 2х4 = 1,
Хз + х4 = 5.
'3*1 - 5х2 + 2х3 - 4х4 = о,
3xi - 4х2 + 5х3 - Зх4 = 2,
32.14. <
5xi - 7х2 + 7х3 - 5х4 = 2,
8xi - 8х2 + 5х3 - 6х4 = -5.
3.2.15. Решить матричные уравнения АХ = В^ и ЛУ = В2,где
"1 1 2У
А = 2 -1 2
Л 1 4>
Указав, можно ли решить следующие системы линейных уравнений
с помощью обратной матрицы; ответы обосновать:
3.2.16. 3xi 6X1 Х1 + 8*2 4- 16^2 + 2х2 = 1, = 3. - Зх3 3.2.17. < = 5, Х1 .2х1 — 2x2 “ + х2 = 1»
3.2.18. - 2xi - *2 + 3^2 " х3 + 4х3 = 1. = 6.
Указать те значения параметров а и &, при которых следующие
системы линейных уравнений нельзя решить с помощью обратной
матрицы:
Системы линейных уравнений и неравенств
65
32.19-
Ьхх +
0X1 +
ах2
Ьх2
= 1,
= 5.
3.2.20.
*1 + йх2 + х3
'Х1 + abx2 + х3
Л -1- Ьх2 + ах3
= 5,
= 6,
= 8.
Следующие системы линейных
уравнений решить с помощью
обратной матрицы:
3.2.21. 2xt л 'Xi + Зх2 2х2 2х2 + 4, 1. 2х3 = 3.222. < 1, 5xi + .7X1 "* 2х2 — 8, 4х2 = 16.
3.2.23. > 2xj + х2 —• 2х3 = -1,
2xi — 2х2 + х3 = 1.
’*1 + 2х2 + Зх3 = ю,
3.2.24. . 4xi + 5х2 + 6х3 = 19,
А + 8х2 1.
’2X1 — х2 + х3 = 2,
3.2.25. < 3xi + 2х2 + 2х3 = -2,
.*1 — 2х2 + хз = 1.
2xi + х2 — х3 = -4,
3.2.26. • — 2х2 + 2х3 = 14,
+ 2х2 + х3 = 7.
2xi + Зх2 + 11х3 + 5х4 = 2,
32.27. • *1 + х2 + 5х3 + 2х4 s = 1,
2xi + х2 + Зх3 + 2х4 : = -з,
.*1 + х2 + Зх3 + 4х4 : = -3.
2xi — х2 + Зх3 + 2х4 = 4,
3.2.28. 3xi + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6,
3xi — *2 — х3 + 2х4 = 6,
3xi — х2 + Зх3 - х4 = 6.
бб
Глава 3
Решить матричные уравнения АХ = В\ и AY -В2, если:
Г1 0 -Г
3.2.29. А = 1 1 1 > 6 , в2 = 0
to 1 3; Л
г2 -1 0 ' 'зу г г
3.230. А = 5 3 • -6 , Вг = 0 , В2 = 1
t-1 -2 3 , А <0
3.3. Исследование систем линейных уравнений
Воспользовавшись теоремой Кронекера - Капелли, исследовать
совместность следующих систем линейных уравнений. Для совместных
систем выявить, являются они определенными или же неопределенными:
3.3.1.
3.3.2.
3.33.
33.4.
ЗХу — 5х2 + 2xj + 4х4 = 2,
— 4х2 + х3 + Зх4 = 5,
5*1 + 7х2 — 4х3 — бх4 = 3.
*1 + х2 + х3 = 6,
2*1 — *2 + х3 = 3,
*1 — *2 + 2х3 = 5,
3*1 — 6х2 + 5х3 = 6.
5*1 — *2 + 2х3 + х4 = 7,
« 2*1 + х2 + 4х3 — 2х4 = 1,
.*1 — Зх2 — бх3 + 5х4 = 1.
*1 + *2 + *3 = 6,
2*1 — *2 + х3 = 3,
*1 — *2 + 2х3 SX 5,
3xi — бх2 + 5х3 = 6.
Системы линейных уравнений и неравенств
67
33.5.
3.3.6.
33.7.
333.
33.9.
33.10.
*1 - 2х2 + Зхз - 5х4 = 2,
А + х2 + 4х3 + х4 = -з,
3^ - Зх2 + 8x3 - 2х4 = -1,
А - 2х2 + 5х3 - 12х4 = 4.
5Xj — х2 + 2х3 + х4 = 6,
4xi + 2х2 + 8х3 - 4х4 = 1,
. *1 - Зх2 - 6x3 + 5х4 = 0.
+ 5X2 + 4х3 + Зх4 = 1,
2xi - х2 + 2х3 - х4 = о,
5xi + Зх2 + 8х3 + х4 = 1.
*1 + 3x2 + 2х3 = о,
2xi - х2 + Зх3 = 0,
3xi - 5х2 + 4х3 = 0,
. *1 + 17х2 + 4хз = 0.
А - х2 + Зх3 = 3,
3xi + х2 - 5х3 = 0,
4xi - х2 + х3 = з,
.*1 + Зх2 - 13х3 = -6.
2xi + х2 - Хз = 1,
- *1 - Зх2 + 4хз = 2,
11Х! ~ 12х2 + 17х3 = 3.
33.11.
решение:
Подобрать параметр Л так, чтобы система уравнений имела
2xi - х2 + х3 + Хд — 1,
Х[ + 2х2 - х3 + 4хд = 2,
.*1 + 7х2 - 4х3 + 11х4 = Я.
68
Глава 3
Воспользовавшись теоремой Кронекера - Капелли, исследовать
совместность следующих систем линейных уравнений. Для совместных
систем выявить, являются они определенными или же неопределенными:
'2xj - х2 + 4х3 = 2,
3.3.12. • Xj + 2х2 — Зх3 = -4,
4xi + Зх2 — 2х3 = 0.
’ 5Х] + 4*2 + Зх3 = 1,
33.13. < 2xi + *2 + 4х3 = 1,
-3xi “ 2х2 — *3 = -1,
. *1 + Зх2 + 2х3 = -2.
6Xi “ 10х2 + 4х3 + 8х4 = 1,
3.3.14. 7xi - 4х2 + *3 + Зх4 = 0,
5xi + 7*2. 4*з - 6х4 = 0.
2xi ~ х2 + Зхз + 2х4 = 4,
33.15. < 3xi + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6,
3xi “ *2 — *3 + 2х4 = 6,
3xi - *2 + Зх3 - х4 =6.
2xi + 7х2 + Зх3 + х4 =3,
33.16. < 6X1 + 10х2 + 4х3 + 4х4 = 1,
9xi + 4х2 + *3 + 7х4 = 2.
5xi + 6х2 — 2х3 + 7х4 + 4х5 = 0,
33.17. < 2х] + 3X2 — *3 + 4х4 + 2х5 = 0,
7xi + 9х2 — Зх3 + 5х4 + 6х5 = 0,
.5x1 + 9х2 — Зх3 + х4 + 6х5 = 0.
Г *1 - 2х2 + Зх3 - 5х4 = 2,
3.3.18. 2xi *2 + 4*з + х4 = -3,
ЗХ! - Зх2 + 8х3 - 2х4 = -1,
2xi “ 2х2 + 5х3 - 12х4 = 4.
Системы линейных уравнений и неравенств
69
*1 — 2x2 х3 + х4 = 1,
33.19. — 2х2 + х3 - х4 = -1,
33.20. > Л 2xj xl Xl 2*1 - 2X2 + + х2 + + Зх2 + + х2 + + Зх2 - х3 + 5х4 = х3 = 2, х3 = 5, 5х3 = ~ 7, Зх3 = 14. 5.
*1 “ 2х2 4- х3 - х4 = о,
33.21. > 2xj + Х2 4- Зх3 + х4 = 12,
*1 4- ЗХ2 4- х3 + 2х4 = 10,
.3*1 ~ *2 ~ х3 + Зх4 = 17.
33.22. Подобрать параметр 2 так, чтобы система уравнений имела
решение
Xi - Зх2 + 2х3 = -1,
«Xi + 9х2 + 6х3 = 3,
Xj + Зх2 + 4х3 = Л.
3.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решить методом Гаусса системы уравнений:
*1 4- 2х2 х3 = 2,
3.4.1. < 2xi — Зх2 4- 2х3 = 2,
.Зх1 4- х2 + х3 = 8.
6Xj — 2х2 + 6х3 = 2,
3.4.2. « Xl 4- х2 “ х3 = 0,
Зх1 4- 2х2 - 2х3 = -3.
70
Глава 3
’5*i - *2 + 2х3 + *4 = 7,
3.4.3. • 2х^ + *2 + 4х3 - ; 2*4 = 1,
Л1 - 3*2 - 6х3 + 5*4 = 1.
2*j *2 + Зх3 + 2*4 = 4,
3.4.4. • 3*i + 3*2 + Зх3 + 2*4 = 6,
3*! *2 “ х3 + 2*4 = 6,
-3*! + *2 - Зх3 + *4 = -6.
'2*i - 3*2 + 13х3 + 18*4 = -1,
3.4.5. < *1 - 2*2 + 4х3 + 3*4 = 1,
*1 - *2 + 10х3 + 12*4 = 2,
3*1 - 7*2 + 7х3 + 7*4 = 8.
’2*1 - *2 + 4х3 = 2,
3.4.6. - *1 + 2*2 Зх3 = -4,
.4*1 + 3*2 - 2х3 = -6.
2*} + *2 - *з “ *4 = 1,
3.4.7. • "*1 - 2*2 + х3 - 2*4 = 0,
5*1 + *2 •“ 2х3 ” 5*4 = 3.
'*1 + 2*2 + Зх3 + 4*4 = о,
3.4.8. - 7*1 + 14*2 4- 20х3 + 27*4 = 0,
5*1 + 10*2 + 16х3 + 19*4 = -2,
.3*1 + 5*2 4- 6х3 4- 13*4 = 5.
’7*1 - 5X2 - 2х3 - 4*4 = 8,
—3*1 + 2*2 4- Х3 + 2*4 = -з,
3.4.9. • 2*1 - *2 - *3 - 2*4 = 1,
-*1 + *3 + 2*4 = 1,
— *2 + *3 + 2*4 = 3.
3*1 - 5*2 + 2*3 + 4*4 = 2,
3.4.10. •7*1 - 4*2 + *3 + 3*4 = 5,
5*1 + 7*2 - 4*3 - 6*4 = 3.
Системы линейных уравнений и неравенств
71
2Xj "* х2 + х3 + х4 = 3,
3.4.11. < 3xt + 4х2 - х3 - х4 = 2,
*1 + Зх2 - х3 + х4 = 4,
5xi ~ Зх2 + бх3 + Зх4 = 5.
Исследовать совместность следующих систем линейных уравнений.
Для совместных неопределенных систем найти общее решение и одно
частное решение:
2xi + 7X2 + Зх3 + х4 = = 6,
3.4.12. 3xi + 5х2 + 2х3 + 2х4 = = 4,
9*1 + 4х2 + *3 + 7х4 = = 2.
— 2х2 + х3 + х4 = 1,
3.4.13. *1 — 2х2 + *3 - х4 = -1,
*1 — 2х2 + Хэ + 5х4 = 5.
*1 + Зх2 + 5хз - - 4х4 = 1,
*1 + Зх2 + 2х3 - - 2х4 + х5 - -1,
3.4.14. < *1 — 2х2 + *з ’ *4 " Х5 = 3,
*1 — 4х2 -ь х3 + х4 - х, — 3,
*1 + 2х2 + *3 - Х4 + XS = -1.
3.4.15. Дана система уравнений:
'*1 + *2 - Зх3 = 2,
« 3xi +х4 + xs = 1,
*3 - 2x5 = 3.
Не выполняя элементарных преобразований этой системы, найти
какое-либо одно ее частное базисное решение.
3.4.16. Применив метод последовательных исключений, найти
квизвестаую матрицу X:
72
Глава 3
Исследовать и решить при соответствующих значениях параметра Л
следующие системы линейных уравнений:
2*1 + х2 = л, Г2х] + /1х2 = 6,
3.4.17. • 3.4.18. { „ 1
12X1 — Х2 = 16. [ЛХ1 + 8х2 = 12.
*1 + 4х2 + 2хз = -1,
3.4.19. < 2xi + Зх2 - *3 = з,
— х2 - Зх3 = 4,
.*1 — 6х2 - йх3 = 9.
5xi — Зх2 +, 2х3 + 4х4 = 3,
4xi — 2х2 + Зх3 + 7х4 = 1,
3.4.20. -
8xi — 6х2 - *3 - 5х4 = 9,
7*1 — Зх2 + 7х3 + 17х4 = Л.
Решить методом Гаусса системы уравнений:
5xi + 6х2 — 2xj — 18$
3.4.21. « 2xi + 5х2 - Зх3 = 4,
4*1 - Зх2 + 2х^ — 9.
3.4.22.
2xi - Зх2 + х3 + х4 = 3,
*1 + 2хз - х4 =3,
3xi + Х2 + Х3 = 8,
2х2 - Зх3 + 2х4 = 3.
Системы линейных уравнений и неравенств
73
2xt - х2 + Зх3 - 5х4 = 1,
3.423. ' *1 - х2 - 5х3 = 2,
3xi - 2х2 - 2х3 - 5х4 = 4.
Xi + 2х2 + Зх3 + х4 = 1,
3.4.24. . Xi - х2 + 2х3 - х4 = -з,
Л + Зл2 + 8х3 + х4 = -3.
2X1 + х2 - 5х3 + х4 = 8,
3.4.25. • Xi - Зх2 - 6х4 = 9,
2х2 - х3 + 2х4 = -5,
Xi + 4х2 - 7х3 + 6х4 = 0.
'xi - х2 + х3 - х4 = 2,
3.4.26. 2X1 + х2 - х3 + х4 = 1,
- х3 + 2х4 = -4,
.4X1 - х3 + 2х4 = -1.
Х1 + х2 - 2х3 + х4 = 1,
3.427. • Х1 - х2 - 2х3 + х4 = -1,
Х1 + 5х2 - 2х3 + х4 = 5.
Xi - 2х2 + х4 = -з,
3.4.28. ‘ 3xi “ х2 - 2х3 = 1,
2X1 + х2 - 2х3 - х4 = 4,
Xi + Зх2 - 2х3 - 2х4 = 7.
'2X1 - х2 + 4х3 = 2,
3.429. • Xi + 2х2 - Зх3 = -4,
4xi + Зх3 - 2х3 = -6.
Исследовать совместность следующих систем линейных уравнений.
Для совместных неопределенных систем найти общее решение и одно
частное решение:
74
Глава 3
3.430.
3.431.
3.432.
*1 - х2 + Х3 - х4 = 2,
2xj + х2 - х3 + Хд “ 1.
- х3 + 2х4 = -4,
4*1 - х3 + 2х4 = -3.
'*1 + 2x2 “ Зх3 + 5х4 = 1,
*1 + Зх2 - 13х3 + 22х4 = — 1,
3xj + 5х2 + х3 — 2х4 = 5,
2xi + Зх2 + 4х3 - 7х4 = 4.
'9x1 - 6х2 + Зх3 + 2х4 = 4,
6X1 - 4х2 + 4х3 + Зх4 = 3,
3xi - 2х2 + 5х3 + 4х4 = 2.
3.433. Применив неизвестную матрицу X: метод последовательных исключений, найти
"3 4 2 А р"
2 -4 -3 Х= -1 . J 5 1] [о,
Исследовать и решить при соответствующих значениях параметра Л
следующие системы линейных уравнений:
3.434. 3xi х2 = 6, 3xi + йх2 = 3,
3.435. <
3xi 4- х2 = Л. ЙХ1 + Зх2 = 3.
3xi + 2х2 = -з,
3.436. < 2xi + Зх2 + х3 = 1,
.Х1 + *2 + Ахз = 1.
3xi + 2х2 + 5х3 + 4х4 = 3,
3.437. 2х] + Зх2 + 6х3 + 8х4 — 5,
4
*1 — бХг - 9х3 — 20х4 = -и,
4х1 + . х2 * 4 хз + Лх4 = 2.
Системы линейных уравнений и неравенств
75
ЙХ1 + х2 + *3 = 1,
3.438. Х1 + Лх2 + *3 =
.*1 + х2 + Лх3 = А2.
+ *2 + *3 + х4 = 1,
3.439.« *1 + Лх2 + х3 + х4 = 1,
*1 + *2 + Ях3 + х4 = 1,
.*1 + х2 + х3 + йх4 = 1.
3.5. Системы однородных линейных уравнений
Имеют ли следующие системы однородных линейных уравнений
решения, отличные от тривиального:
*1 + х2 + х3 + х4 = о,
3xi + 2х2 + *3 - х4 = о,
3.5.1. « х2 + 2х3 + Зх4 = о,
2xi + Зх2 - х3 + 2х4 = 0,
4х3 - х4 = 0.
[3xi 2х2 = 0,
3.5.2. <
[9xi — 6х2 = 0.
’ *1 + 2х2 + 5х3 = о,
3.53. - 3xi - 4х2 + 7х3 = о,
-3X1 + 12х2 - 15х3 = 0.
3xi + 4х2 - 5х3 = о,
3.5.4.. 8xi + 7х2 - 2х3 = о,
2xi — х2 + 8х3 = 0.
76
Глава 3
+ 2х2 + Зх3 = 0,
3.5.5. < 4xi + 5х2 + 6х3 = 0,
[7xi + 8х2 + 9х3 = 0.
3.5.6. При каких значениях к система
2xi + 2х2 + (3+к)х$ 4- 2х4 = 0,
*1 + х2 4- (2 + £)х3 4" х4 = 0,
4- (1+£)х2 + *3 + х4 = 0,
ixi 4- *2 + *3 + х4 = 0
имеет ненулевые решения?
3.5.7. При каких значениях к^, к2, к2, к4 система
*1 + *2 + *3 4- х4 = 0,
. ^xt + ^2^2 + *3X3 4- Л4х4 = 0,
*12Х1 + 4- А^Хз + Л4х4 = 0,
+ klx2 4- Фз &4х4 = 0
имеет ненулевые решения?
Для следующих систем однородных линейных уравнений найти:
а) общее решение системы,
б) фундаментальную систему решений:
JC1 - Зх2 + 2х3
3.5.8. j2x1
.Зх1
- 6х2 + 4х3
- 9х2 + 6х3
= О,
= О,
= 0.
Системы линейных уравнений и неравенств 77
3.5.9. 3.5.10. 3.5.11. 3.5.12. 3.5.13. < 3.5.14. < - Хъ - 2х3 = 0, 2х3 + 5х3 = 0, 4xj - 2х2 + х3 =0. 3xt + 5*2 + 2х3 = 0, 4Xj + 7х2 + 5х3 = 0, *1 + х2 - 4х3 = 0, 2xj + 9х2 + 6х3 = 0. Xj + 2х2 + х3 + х4 =0, 2xi + 5х2 + х3 + 5х4 = 0, 3Xj + 8х2 + х3 + 9х4 = 0. Xi + 2х2 + х3 + х4 = 0, 2xi + Зх2 - 4х3 + 5х4 = 0, Xi + 4x2 + Зх3 ~ 5х4 = 0. Xi + х2 - 2х3 - 6х4 - 0, Xi - х2 - 4х3 + 2х4 = 0, 2xi + х2 ~ 5х3 - 8х4 = 0, 3xi + 2х2 - 7х3 - 14х4 = 0. Xi + 2х2 + 4х3 - Зх4 = 0, 3xi + 5х2 + 6х3 - 4х4 = 0, 4xi + 5х2 - 2х3 + Зх4 = 0, ЗХ] + 8х2 + 24х3 - 19х4 = 0. 3xi + 2х2 + х3 + Зх4 + 5х5 = 0,
3.5.15. - бХ1 + 4х2 + Зх3 + 5х4 + 7х5 = 0, 9xi + 6х2 + 5хэ + 7х4 + 9х5 = 0, 3xt 2х2 + 4х4 + 8х5 = 0. 3xi ~ 2х2 + 2х3 - х4 + 4х5 = 0,
3.5.16. • 5xi + х2 + 4х3 - 2х4 + 7х5 = 0, xi - 5х2 + х5 =0, 4xi “ 7*2 + 2х3 - х4 + 5х5 = 0.
78
Глава 3
5xt + 6х2 + 7х3 - 2х4 + 4х5 = 0,
3.5.17. • 2Xi + Зх2 + 4х3 - х4 + 2х5 = 0,
+ 9х2 + 5х3 - Зх4 + 6х5 = 0,
5*! + 9х2 + х3 - Зх4 + 6х5 = 0.
Найти общее решение и фундаментальную систему решений*
системы линейных однородных уравнений в зависимости от параметра Л:
2xi + х2 - 4х3 = о,
3.5.18. < 3xj + 5х2 — 7х3 = о,
.4х1 + йх2 — бХз в 0.
2хг — х2 + 5х3 + 7х4 = о,
3.5.19. < 4xi — 2х2 + 7х3 + 5х4 = о,
2xi — х2 + х3 + йх4 = 0.
Имеют ли следующие системы однородных линейных уравнений
решения, от.тегчные от тривиального:
2xi 3xi + *2 4X2 + + Хз 7х3 = о, о,
3.5.20. 5xi + 2х2 — хз = 0,
,Х1 + х2 — хз = 0.
2xi + Зх2 + 4х3, = 0,
3.5.21. < 5xi — 2х2 + х3 = 0,
.*1 — 2х2 + Зх3 = 0.
3.5.22. '*1 3xi + + 4х2 12х2 0, 0.
Системы линейных уравнений и неравенств
79
'3*1 + 4х2 — 2х3 = о,
3.5.23. < 4xi 2xi + 7х2 х2 + 5х3 4х3 = о, о,
5xi — 9х2 + бх3 = 0.
2xi — х2 + Зх3 = 0,
3.5.24. < Х1 + 2х2 — 5х3 = о,
3*1 + х2 — 2х3 = 0.
3.5.25. При каких значениях к система
3xi + Зх2 + (4+Л)х3 + Зх4 = 0,
+ х2 + (2+£)х3 + х4 = 0,
Х1 + (l+fc)x2 + Хз + х4 = 0,
4- х2 + х3 + х4 = 0
имеет ненулевые решения?
Для следующих систем однородных линейных уравнений найти:
а) общее решение системы;
б) фундаментальную систему решений:
2xi - 2х2 + 4хз = о,
3.5.26. Х1 " х2 + 2х3 = о,
.3x1 - Зх2 + блз = 0.
'xi + 2х2 — 5х3 = 0,
3.5.27. « 2xi - х2 + Зх3 = о,
3X1 + х2 — 2х3 = 0.
2Xi + Зх2 + 7х3 + 11х4 = 0,
3.5.28. < Х1 + 2х2 + 4х3 + 7х4 = 0,
5xi + 10х3 + 5х4 = 0.
80
Глава 3
5xt — 6х2 — 2х3 + 7х4 + 4х5 = о,
3.5.29. 2xi — Зх2 — х3 + 4х4 + 2х5 = 0,
7xi — 9х2 — Зх3 + 5х4 + бх5 = о,
5xi — 9х2 — Зх3 + х4 + 6х5 = 0.
3xi — 4х2 + хз + 2х4 + Зх5 = 0,
3.530. 5xt — 7х2 + Хз + Зх4 + 4х5 = 0,
4xi — 5х2 + 2х3 + х4 + 5х5 = о,
7X1 — 10х2 + х3 4- 6х4 + 5х5 = 0.
5Х! + 6х2 — 2х3 + х4 + = о,
3.531. < 2xi + Зх2 — Хз + х4 + = о,
7X1 4* 9х2 — Зх3 4- 5х4 + 6х5 = 0,
5xi 4- 9х2 — Зх3 + х4 + 6х5 = 0.
*1 + Зх2 4- Зх3 4- 2х4 + 4х5 о,
*1 + 4х2 + 5х3 + Зх4 + 7х5 = о,
3.5.32. < 2Х] + 5х2 4- 4х3 + х4 + 5х5 = о,
*1 + 5х2 + 7х3 + 6х4 + 10х5 = о,
2Х] + 10х2 4- 14х3 i + 12х4 + 20х5 = 0.
2xi + Зх3 + х4 + 4х5 = о,
3.533. ч 3xi —» 5х2 + 4х3 + 2х4 + 7х5 = 0,
+ 5х2 + 2х3 + х5 = 0.
*1 — Х3 + х5 о,
х2 — х4 + хб = о,
3.534. 4 — *2 + Х5 - Хб = о,
х2 - Хз + х6 = о,
Л — х4 + х5 — 0.
Найти общее решение и фундаментальную систему решений
системы линейных однородных уравнений в зависимости от параметра А:
Системы линейных уравнений и неравенств
81
2xj - *2 + 5х3 = 0,
3335. < *1 + Х2 + Зх3 = 0,
.*1 + йх2 + х3 = 0.
*1 — 2х2 + х3 + х4 = 0,
3.5.36. < *1 — 2х2 - х3 - 2х4 = 0,
Л — 2х2 + х3 + йх4 = 0.
3.3.37. Найти решения системы уравнений в зависимости от
параметра Л:
Л»1 + х2 + х3 = 0,
• Xj + Лх2 + х3 = 0,
Xi + Хг + йх3 = 0.
3.6. Выявление линейной зависимости или независимости сис -
тем п - мерных векторов
Выявить, являются следующие системы векторов линейно
зависимыми или же линейно независимыми (применив для решения
составленных систем линейных уравнений метод Гаусса):
3.6.1. ai=(l; 1; 1), 3.6.2. ах = (4; 3; 2; 1),
a2=(i; 2; 3), а2 = (1; 2; 3; 4),
а3 = (1; 3; 6). ®3 = (^’ Ф 5; 0).
3.63. ai=(4; 3; 2; 1),
e2 = (2j 3; 4; 5),
Зз=(6; 6; 6; 6).
Доказать, что следующие системы векторов линейно зависимы и
йайти их нетривиальную линейную комбинацию, равную 0:
82
Глава 3
3.6.4. в]=(1; 3; 0), о2=(5; 10; 0), а3=(4; -2; б),
в4=(21/2; 17; 3).
3.6.5. ^=(2; 6; 10), а2 = (0; 8; 8), а3=(14, -16, 8)
а4 = (4; -2; 6).
3.6.6. ai = (2; 1; 1), а2 =(-1; 1; -5), а3=(5; 3; 1),
а4 = (б; 5; -3).
3.6.7. а1=(1; 3; 5), а2=(-2; 2; -2),а3=(3; -4; 2),
а4=(1; 2; 4).
3.6.8. 01= (2; 3; 1; 4), а2=(1; -1; 3; -3),
в3 = (3; 2; 4; 1), о4 = (-1; 0; -2; 1).
Выявить, являются следующие системы векторов линейно
зависимыми или же линейно независимыми (применив для решения
составленных систем линейных уравнений метод Гаусса):
3.6.9. ai=(l; -2; 1),
^2 ~ (— 2; 0; 4),
а3 = (1; 3; 3).
3.6.10. ai=(0; 2; 4; б),
а2=(-1; 0; 1; 1),
а3=(2; 4; -1; 3).
3.6.11. ai=(l; 2; 0; -1),
а2 = (2; -3; -1; 1),
а3=(0; 1; 1; 1),
а4 = (-1; -1; -1; -1).
Доказать, что следующие системы векторов линейно зависимы й
найти их нетривиальную линейную комбинацию, равную 0:
Системы линейных уравнений и неравенств
83
3.6.12. ^=(2; 4; 2), в2=(-1; -2; -1),а3=(3; 5; 1),
ff4=(-2; 1; 8).
3.6.13. ^=(1; 3; 5),д2=(-1; 1; -1), ё3=(3; -4; 2),
ff4 = (-l; -2; -4).
3.6.14. 3i=(0; -1; -3), а2=(1; 2; 7), а3=(2; 0; 2).
3.6.15. ej =(4; -5; 2; 6), а2=(2; -2; 1; 3),
а3 = (2; -1; 1; 3), а4=(4; -1; 5; б).
3.7. Базис системы п - мерных векторов. Разложение вектора по
базису
Показать, что данные векторы ёг (/
= 1; 2; ...; л) образуют
базис:
3.7.1. ё1=(1; 1; 2), ё2 = (0; 1; -1), ё3=(3; -2; 2).
3.7.2. ё1=(1; 1; 1), ё2=(1; 2; 3), ё3=(-1; -3; -б).
3.7.3. ^=(-1; -1; -1), ^=(1; -2; -1), ё3 = (0; 1; -2).
Векторы ej, е2, ..., еп и х заданы своими координатами в
некотором базисе. Показать, что векторы ё^9 ё29 ёп сами образуют
базис и найти координаты вектора х в этом базисе:
3.7.4. ё1=(3; 4), ё2=(2; -5), х = (7; 40).
3.7.5. ^=(2; 1; 1),ё2=(-1; 1; 0), ё,=(2; -2; 3),
х = (-1; -4; 5).
3.7.6. ё1=(1; 1; 1),^=(1; 2; 1), ё3=(0; 0; 4),
*=(*; 0; 4).
3.7.7. ё1=(1; 1; 1; 1), ^=(1; 1; -1; -1),
^ = (1; -1; 1; -1), ё4=(1; -1; -1; 1), х = (1; 2; 1; 1).
84
Глава 3
3.7Л. §i=(l; 2; -1; -2),ё2 = (2; 3; 0; -1),
ё3=(1; 2; 1; 3), ё4=(1; 3; 1; 0), х = (1; 2; 1; -1).
3.7.9. Найти какой-нибудь базис данной системы векторов и
выразить через этот базис векторы, не вошедшие в него:
ai=(3; 1; -2; 4), а2=(1; 3; 1; 2), а3=(1; 5; 0; 1),
ё4=(3; -5; 1; 7),а5=(7; -15; -11; 8).
Найти все базисы следующих систем векторов:
3.7.10. в! = (2; 5; 0; 0),а2=(10; 20; 30; 40),
а3=(б; 15; 0; 0).
3.7.11. а1 = (4; 3; 2; 1), в2 = (7; б; 5; 4),
а3 = (5; 4; 3; 2), ё4=(б; 5; 4; 3).
Показать, что данные векторы е( (i = 1; 2; ...; и) образуют
базис:
3.7.12. q=(l; 1; 1), ^=(1; -2; -1), ^ = (1; -1; 2).
3.7.13. ё,=(1; 0; 1), ё2=(4; 2; 1), ^ = (1; 3; б).
3.7.14. ^=(-1; -1; -2), ё2=(-1; 2; 1), ё3=(0; 2; -4).
Векторы ё2, еп и х заданы своими координатами в
некотором базисе. Показать, что векторы ё2, еп сами образую*
базис и найти координаты вектора х в этом базисе:
3.7.15. ё1=(5; 7), ё,=(2; 4), х = (4; 8).
Системы линейных уравнений и неравенств 85
3.7.16. - (1; 0; 1), ё2=(0; 1; 0), ё3 = (2; 3; 4),
?=(1; -3; -3).
3.7.17. ё1=(1; 1; 1), ё2=(1; 1; 2), ё3 = (1; 2; 3),
х=(б; 7; 10).
3.7.18. ё1 = (1; 1; 0; 1), ё2=(2; 1; 3; 1),
^ = (1; 1; 0; 0), ё4 = (0; 1; -1; -1), х = (0; 0; 0; 1).
Найти все базисы следующих систем векторов:
3.7.19. Я1=(3; 4; 0; 0), а2=(б; 8; О, 0),
ё3 = (15; 20; 25; 30), а4 = (12; 16; 0; 0).
3.7.20. ai=(l; -2; 3; 2), а2 = (2; ~4> 6> 4).
я3 = (3; -6; 9; б), а4=(5; 6; 7; 8).
3.8. Системы линейных неравенств
На плоскости хОу построить области, координаты точек которых
удовлетворяют следующим системам линейных неравенств:
2х] + *2 £ 2,
*1 - 5х2 £ 5, *1 + Зх2 > 3,
3.8.1. < - х2 > -4, 3.8.2. • *1 “ х2 £ -1,
Л 4* х2 8. 3xi " *2 < 6,
[Х1 + *2 £ 5.
-2xi + Зх2 £ -6,
5Х] + Зх2 £ 15, -4X1 + х2 -4,
3.8.3. . - Х2 * -1, 3.8.4. < 4xi + Зх2 £ 6,
“*1 + 2х2 1. + 4*2 £ -20,
Xi £ 0, х2£0.
86
Глава 3
3.8.5. + Л - *2 *2 £ £ 1, -1.
*1 + *2 £ 1,
3.8.7. < -2xj Xi>0, + Зх2 £ 6,
х2£: 0.
2xi + Х2 £ 4,
3.8.6. <
.*1 + Зх2 > 9.
' 3xi + х2 S 6,
3.8.8. < -2X1 4- Х2 < 6,
-2xi - Зх2 £ 12.
На плоскости хОу построить области, координаты точек которых
удовлетворяют данным системам линейных неравенств. Найти координаты
вершин многоугольников, ограничивающих эти области, решая системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными по правилу Крамера:
*1 3xi + + *2 Х2 £ £ 4, 4, 2xi -2X1 + + Х2 Зх2 £ < ю,
3.8.9. • + 5х2 £ 4, 3.8.10. 4,
1 Х1*3, Л» *1 Х1 >0, + 2х2 х2£0. *
/1^0, х2 ^0.
На плоскости хОу построить области, координаты точек которых
удовлетворяют следующим системам линейных неравенств:
+ Х2 £ 4, ’ Х1 + Х2 > 5,
3.8.11. 2xi - 5х2 2> -10, 3.8.12. < -Х1 + Зх2 < 7,
.10X1 - Зх2 £ 30. .3X1 - х2 < 11.
Системы линейных уравнений и неравенств
87
3xj - 2х2 -15,
4х> - х2 £ 20, 2хг + х2 !> 4,
3.8.13. 3.8.14.
Xi + Зх2 £ 30, -5X1 + 2х2 £ -10.
Xi - 2х2 £ 20.
3xi + х2 £ 9,
*1 - х2 £ -2,
-2X1 + х2 9,
3.8.15. Xi + х2 £ -1, 3.8.16.
— 2Х| — Зх2 12,
Xi £ 0, х, > 0. 1 Z ’
гп VI и1 ГЧ /
На плоскости хОу построить области, координаты точек которых
удовлетворяют данным системам линейных неравенств. Найти координаты
вершин многоугольников, ограничивающих эти области, решая системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными по правилу Крамера:
Х1 + х2 £ 4, 5xi + Зх2 £ 15,
3.8.17. - 2xi — 5х2 £ -10, 3.8.18. < Х1 — *2 -1,
10X1 — Зх2 £ 30. + 2х2 £ 1.
3xi — 2х2 <. 12,
1 ~Х1 + 2х2 £ 6,
3.8.19. < -*1 + 2х2 8, 3.8.20. J 9xi + 4х2 56,
2xi + Зх2 £ 6,
3xi + 5х2 £ 4.
Xi > 0, х2£0.
2xi + Зх2 - 6 < 0,
3.8.21. + х2 ~ 2 < 0,
-*1 — Зх2 - 3 < 0.
3.9. Задачи для контрольных работ
Задание 1
Решить систему линейных уравнений, воспользовавшись правилом
Крамера.
88
Глава 3
*1 + 2Xj х3 = 2,
ЗА1. < 2xj — Зх2 + 2х3 = 2,
,3ж1 + х2 + *3 = 8.
3х1 — Х2 + 5х3 = 2,
3.9.2. *1 — 2х2 + 4х3 = 3,
2*1 — 4х2 + Зх3 = 1.
*1 — 2x2 х3 = 1,
ЗАЗ. 2xi — х2 + х3 = 2,
3*1 + 2х2 + 2х3 = -2.
'*1 + Зх2 + 4х3 = 6,
3.9.4. < 2xt — х2 - х3 = 1,
.*1 + 2х2 - Зх3 = 5.
'4xi + 2х2 + *3 = 7,
3.9.5. < *1 + 2x2 ~ 2хз = -14,
2xi + х2 - хз = -4.
*1 — 8х2 - Зх3 = "2,
3.9.6. « 2xi + 4х2 - х3 = 1,
2xi — *3 = 1.
'*1 + х2 + х3 = = 6,
3.9.7. • 2xi — х2 " х3 = = -з,
Л + х2 ~ х3 = = 2.
2xi — Х2 + 4х3 = 15,
3.9.8. 2xi — Х2 - *3 = °.
3*1 — х2 = 5.
4х1 + х2 + 2х3 = 1,
3.9.9. < “Х1 + х2 ~ 2х3 = о,
5xi + 4*3 = 1.
Системы линейных уравнений и неравенств
89
*1 + *2 — 2хэ = з,
3.9.10. < 2xj + 2х2 — хз = 4,
3X1 + *2 — Зх3 = 7.
*1 — 2х2 + 2х3 = -5,
3.9.11. < 2х| + х2 — *3 5,
7xt + х2 — хз 10.
’*1 + *2 — хз = 0,
3.9.12. 4xi — *2 + 5х3 = з,
3xi + 2х2 + х3 = 5.
2xi + *2 + Зх3 == П,
3.9.13. 3xi + 2х2 + хз = 5,
2xi + Зх2 + х3 1.
'7X1 + 8х2 = 1,
3.9.14. + 2х2 + Зх3 55 8,
+ 5х2 + 6х3 = 19.
-3X1 10х2 - 8х3 = 8,
3.9.15. - + 2л :2 + Зх3 = 2,
2xi + 6л :2 + 4х3 = -6.
2xi + х2 + Зх3 = -1,
3.9.16. < 2xi + Зх2 + х3 = -з,
3*1 + 2х2 + х3 = -8.
*1 + *2 + 2х3 = -1,
3.9.17. 2xi — х2 + 2х3 = -4,
4х1 + Х2 + 4х3 = -2.
’ *1 + 2х2 + Зх3 = 4,
3.9.18. < 2Х] — *2 — 2х3 = -6,
"*1 + х2 + хз = 2.
90
Глава 3
*1 - Зх2 + х3 = 1,
3.9.19. < 2xi + х2 + Зх3 = -5,
2*1 + Зх2 — 2х3 = -7.
3*1 + 2х2 + х3 = 3,
3.9.20. < 2xi - *2 + 2х3 = 7,
2*1 + х2 + Зх3 = 7.
Задание 2
Решить с помощью обратной матрицы две системы уравнений
отличающиеся только свободными членами.
«2
0
2
3.9.22.
'2X1 + *2 - 2х3 = аь
3xi — 2^2 + Зх3 = а2,
2xi “ ^^2 + 5х3 = а3,
<h
если у первой системы: а2 = 2 , а у второй системы: а2 = 1
3
0
3.9.23.
2xj
*1
4*1
Зх2
5х2
*2
+ х3 = аи
- 4х3 = а2,
- Зх3 = а3,
*1
если у первой системы:
Ч
а2 = -5 , а у второй системы: а2 = 2
3
-4
Системы линейных уравнений и неравенств 91
3xj - х2 + х3 = а3,
3.9J4. <2xi “ 5х2 - Зх3 = а2,
xj + х2 - х3 = а3,
<аИ (41 Р*1
если у первой системы: а2 - -17 , а у второй системы: а2 = 2 .
<вз/ к 0 J квз;
Xi + х2 + х3 = вр
3.9.25. <2X1 “ х2 ~ 6х3 = а2,
3xi - 2х2 = а3,
N) ""ft4 <3р
если у первой системы: а2 = -1 , а у второй системы: а2 = 62 .
<а3/ каз/ <31,
Xi + х2 + 2х3 = Д1»
3.9.26. < 2xi ~ х2 + 2х3 = а2,
4xi + х2 + 4х3 = а3,
РИ Г"1! Р-1
если у первой системы: а2 = -4 , а у второй системы: а;> = 0
<аз) k-2J 1аз>
2xi “ 3*2 + х3 = alf
3.9.27. • Xi + 5х2 - 4х3 = а2,
4xi + х2 - Зх3 = а3,
РИ (2>1 Р1) ' Г
если у первой системы: а2 = -5 , а у второй системы: а2 = 2 .
<а3/ \аз/ I з,
2xi “ 4х2 + Зх3 = alt
3.9.28. « Xi - 2х2 + 4х3 = а2,
3X1 - х2 + 5х3 = а3,
92
Глава 3
Ч^| 4^1 г 25 >
если у первой системы: а2 = з , а у второй системы: а2 = 0
ка3> <2> <а3/ к -25,
'2xj - *2 4- X 3 " а1»
3.939. bxi + 2х2 + 2л г3 = а2,
. *1 “ 2х2 + X з = ®3»
Ч'] Г2
если у первой системы: а2 = -2 , а у второй системы: а2 = -4
<аз; U J 1а3>
Х1 + 2х2 - х3 = аь
3.930. <2х! - Зх2 4- 2#з = #2,
3xt + *2 + х3 = а3,
Ч" А 4^1 '8 '
если у первой системы: «2 = 2 , , а у второй системы: а2 = -8 .
<°3> к <а3 7 <о,
Х1 “ 2х2 + х3 = аь
3.9.31. <3X1 + 5х2 - х3 = а2,
2xi + *2 + 2; с3 = а3,
Ч^ (О' Г а\
если у первой системы: а2 = 20 , а у второй системы: а2 = 40
<аз; (о, \а3> <20>
3xi + 2х2 + 2 !х3 = «1»
3.932. • xi + Зх2 + х3 = а2,
5xi + Зх2 + 4х3 = аз>
Ч' ( 5 fai> 'О'
если у первой системы: а2 = -5 , а у второй системы: а2 = 5
<аз> ; 1аз>
Системы линейных уравнений и неравенств
93
2х{ + Зх2 + 2х3 = аь
3.9.33. + 2х2 - Зх3 = а2,
3*1 + 4х2 + х3 = а3,
если у первой системы: «2 = 14 , а у второй системы: а2 = -6 .
ка3> 14 <а3/ 1 0 >
Г Xl + 2х2 + *3 = вь
3.9.34. 3xj + 2х2 + х3 = а2,
А + Зх2 - 2х3 = а3,
. Ч'] ( 14 '
если у первой системы: а2 = ю , а у второй системы: а2 = 0
<®з> <4; <аз7 1-14;
3xi + : 2х2 - 5х3 = *1»
3.9.35. < 2Х] — Зх2 + 4х3 = а2>
. *1 + : 2х2 “ х3 = а3.
"я? (О' ^1) <38^
если у первой системы: а2 = з , а у второй системы: а2 - 0 .
<a3J <аз) 1°,
*1 2х2 + Зх3 = аь
3.9.36. < 2xi + Зх2 - 4х3 = аъ
Зх] 2х2 - 5х3 = а3»
'аЛ f0^
если у первой системы: «2 = 20 , а у второй системы: а2 = 29 .
<аз> 1б> <азУ
' 3xi — х2 = ai,
3.937. < -2xi + х2 + х3 = а2,
2xi — Х2 + 4х3 = а3,
94
Глава 3
если у первой системы: Ч' а2 <аз; х2 х2 х2 Ч' «2 <аз; 2х2 х2 2х2 Ч^ 4 4 4 4 < 5 > 0 , х3 - 4х3 '6' ю . <5 у - Зх3 а у второй системы: = <h, = а2, = а3, а у второй системы: = а1> = ®2> = й3, |Ч^ а2 <аз, ^1" а2 <аз, Ч^ "О5 5 J0, 0 . Гр
3.938. если у первой 3.939. < 3xi “ -2X1 + . 2*1 “ системы: 2xi + .~х1 +
х3
если у первой 3.9.40. < системы: Xi + J X} + 2. /1 + д #2 <аз; с2 *2 с2 Ч'* 4- 4- 4- 0 А X- X 2л <0> 9 3 3 '3 а у второй системы: = «1» = о2, = в3, Й2 <а3> ч^ 0 . 'П
если у первой системы: «2 <fl3> 0 <3; а у второй системы: «2 <а3> to о
Задание 3
Воспользовавшись теоремой Кронекера - Капелли, исследовать
совместность данной системы линейных уравнений. Для совместной
системы в:иявить, является она определенной или же неопределенной.
2х1 + Зх2 + 7х3 + 11х4
Xj + 2х2 + 4х3 + 7х4
5xi + Юхз + 5х4
2,
-20.
3.9.41.
Системы линейных уравнений и неравенств
95
3.9.42.
3.9.43.
3.9.44.
3.9.45.
3.9.46.
3.9.47.
3.9.48.
3.9.49.
*1 + 2х2 + Зх3 + х4 = 1,
* Х1 — х2 + 2х3 — х4 = - -з,
+ 2х2 + 8х3 + х4 = - -3.
2^1 — х2 + Зх3 — 2х4 = 4,
• 4x1 — 2х2 + 5х3 + х4 = 7,
2xi — *2 + х3 + 8х4 = 3.
3xi — 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2,
«5xi 7х2 — 4х3 — 6х4 = 3,
А — 4х2 + х3 + Зх4 = 5.
— 2х2 + Хз — х4 = 0,
2xi + х2 + Зх3 + х4 = 12,
Х1 + Зх2 + х3 «+• 2х4 = ю,
А — Х2 — х3 + Зх4 = 17.
'3X1 + 2х2 + х3 = 2,
2xi — х3 = 1,
4х2 + 5х3 = 1.
— 2х2 + 4х3 + Зх4 = : 1,
2xi — Зх2 + 13х3 + 8х4 = "I,
*1 — х2 + 10х3 + 12х4 = = 2,
3X1 — 7х2 + 7х3 + 7х4 = : 8.
'*1 — 2х2 + Зх3 — 5х4 = 2,
2xi — 2х2 + 5х3 — 12х4 = 4,
2xi + х2 + *х3 + х4 = -3,
.Зх1 — Зх2 + 8х3 — 2х4 = -1.
'2Х! — Х2 + Зх3 + 2х4 = 2,
3xi + Зх2 + Зх3 + 2х4 = з,
3xi — х2 — хз + 2х4 = з,
-3xi + Х2 — Зх3 + х4 = -3.
96
Глава 3
' 3xj - 5х2 + 2x3 + 4x4 = 4,
3.9.50. 7xj - 4х2 + x3 - 3x4 = io,
-5Xj - 7х2 + 4x3 + 6x4 = -6.
2xj + x2 + 4x3 = 4,
3.9.51. < Xi - 3x2 3xi - 2x2 - x3 + 2X5 = -5, = -1,
5Xi “ x2 + 6x3 = 3.
Xi + 2x2 + 3x3 + X4 = 1,
3.9.52. Xi - x2 + 2x3 - x4 = -3,
3xi + 2x2 + 8x3 + x4 = -3.
Xi - 2x2 + x3 + x4 = 2,
3.9.53. Xi - 2x2 + x3 - x4 = -2,
Xi - 2x2 + x3 + 5x4 = 6.
Xi + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 1,
3.9.54. < 6xi “ 3x2 -7X1 + x2 - Зх3 + X3 - x4 - 2x4 = -9, = 8,
-3X1 + ^X2 + 9x3 + 10x4 = 12.
5xi + 4x2 + 3x3 = 1,
3.9.55. < 2xi + x2 -3xi “ 2x2 + 4x3 “ x3 = 1, = -1,
Xi + 3x2 + 2x3 = -2.
2xi 2x2 + 3x3 + x4 = 6,
3.9.56. • 3xi + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4,
9xi + 4x2 + x3 + 7x4 = ; 2.
2Xi “ x2 + 3x3 - 5x4 = 1,
3.9.57. *1 “ x2 3Xi “ 2x2 - 5x3 - 2x3 - 5x4 = 2, = 3,
7xi - 5x2 - 9x3 + 10x4 = 8.
Системы линейных уравнений и неравенств
97
3.9.58.
*1
2xj
3xj
[2*1
3xi
3.9.59. ^6Xj
[9X1
[2X1
3.9.60. л 6X1
6х1
4- 2х2 + Зх3 — 2х4 = 6,
— х2 — 2х3 — Зх4 = 8,
+ 2х2 — *3 + 2х4 = 4,
— Зх2 + 2х3 + х4 = -8.
— 2х2 + 5х3 + 4х4 = 2,
— 4х2 + 4х3 + Зх4 = 3,
—• 6х2 + Зх3 + 2х4 4.
— х2 + *3 + 2х4 = 2,
— 3X2 + 2х3 + 4х4 -S з,
— Зх2 + 4х3 + 8х4 = 9.
Задание 4
Найти общее решение системы уравнений, используя метод Гаусса,
и одно ее частное решение.
*1
3.9.61. |-2xt
. 3*1
+ 2x2
+ 2x2
+ 2х2
Зх3 + х4 = 1,
4х3 + 2х4 = 6,
8х3 + х4 = -3
3.9.62.
3.9.63.
3.9.64.
3xi + 5х2 — 2х3 + 4х4 = 2,
6X1 + 4х2 — 4х3 + Зх4 = з,
.9*1 + Зх2 — 6х3 + 2х4 = 4.
'2X1 — х2 — х3 + Зх4 = 1,
4xi — *2 — 2х3 + х4 = 5,
6X1 — *2 — Зхэ — х4 = 9,
2X1 + 2х2 — *3 — 12х4 = 10.
3xi — Х2 + 2х3 = 2,
4xi — Зх2 + Зх3 =: 3,
Х1 + Зхг = 0,
5xi + Зх3 = 3.
98
Глава 3
*1 _ 2x2 + *3 “ 5x4 = 4,
3.9.65. 2xr + x2 + 4x3 + *4 = -6,
3xi - 3x2 + 8x3 - 2x4 = -2.
2xi - 2x2 + 5x3 - 12x4 = 8.
— 2x2 + x3 + J C4 = 1,
3.9.66. • *1 - 2x2 + x3 - ; 4 = -1,
/1 - 2x2 + x3 + 5x4 = 5.
*1 - 2x2 ~ *3 + 3x4 = 5,
3.9.67. 4xi + x2 + *3 + 2x4 = 13,
7xi + 4x2 + 3x3 + x4 = 21,
2xi + 5x2 + 3x3 - 4x4 = 3.
2xi + 7x2 + 3x3 + *4 = 6,
3.9.68. < 3xi + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4,
9*1 + 4x2 + *3 + 7x4 = 2.
'*1 — 2x2 -+ x3 + x4 = - 1,
3.9.69. < *1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = = 4,
*i - x2 - 2x3 + x4 = = -1.
*1 + 2x2 + 3x3 - *4 = = o,
3.9.70. < Xl - x2 + x3 + 2x4 = = 4,
*i + 5x2 + 5x3 - 4x4 = : -4,
*i + 8x2 + 7x3 “ 7x4 = - -8.
2xi + 5x2 - 3x3 + 7x4 = 1,
3.9.71. < 4xi + 2x2 6x3 + 3x4 = 2,
2xi - llx2 - 3x3 - 15x4 = 1.
'4xi - 2x2 - 3x3 + *4 = 4,
3.9.72. < *1 + X2 + *3 + *4 = 5,
3xi - 3x2 - 4x3 = -1,
5xi " *2 “ 2x3 + 2x4 = 9.
Системы линейных уравнений и неравенств
99
'*1 - 2х2 + Зх3 + х4 = 3,
2Xj - Зх2 - х3 + 2х4 = 1,
3.9.73. «
- х2 - 4х3 4- х4 = -2,
3*1 - 5х2 + 2х3 4- Зх4 = 4.
' 5Х] + *2 4- 2х3 + 4х4 = 7,
3.9.74. 2*1 + Зх2 + х3 + х4 = з,
-3X1 + 2х2 — Хз — Зх4 = -4,
. *1 — 5х2 + 2х4 = 1.
’2X1 — *2 + Зх3 + х4 = -2,
3.9.75. 3xt + 2х2 + хз + 2х4 3,
2х3
*1 + Зх2 — + х4 = 5,
5xi + *2 + 4х3 + Зх4 1.
*1 + Зх2 + х3 — 2х4 = -2,
3.9.76. 2xi + *2 — 2х3 + Зх4 = з,
— 5х2 — 4*з + 7х4 = 7,
.*1 — 2х2 — Зх3 + 5х4 = 5.
'3xi + 2х2 + Зх3 — х4 4,
3.9.77. « 2xi — х2 + хз + 2х4 — 1,
-*1 — Зх2 — 2х3 + Зх4 = -з,
5xi + *2 4х3 + х4 = 5.
3xi — *2 + х3 + 5х4 = -2,
3.9.78. < 2xi — *2 + Зх3 — 2х4 = 1,
+ 2х3 — 7х4 = з,
5xi — 2х2 4- 4х3 + Зх4 = -1.
3xi — х2 + Зх3 — х4 = з,
3.9.79. < 4xi 4- 2х2 — хз 4- 2х4 = 1,
*1 + Зх2 — 4х3 + Зх4 = -2,
7*1 4- *2 + 2х3 4- х4 4.
100
Глава 3
+ *2 - *3 - хА + Х5 = 1,
3.9.80. *1 " *2 + Ъ + 2х4 — 2X5= 0»
3xj + Зх2 - Зх3 - Зх4 + 4х5 = 2,
4xi + 5х2 - 5х3 - 5х4 + 7х5= 3.
Задание 5 -
Найти общее решение и фундаментальную систему решений-
системы однородных линейных уравнений.
5xi + 6х2 + 7х3 — 2х4 + 4*5 0,
3.9.81. • 2xi + Зх2 + 4х3 — х4 + 2х5 = о,
7X1 + 9х2 + 5хз — Зх4 + 6х5 0,
5*1 + 9*2 + *3 — Зх4 + 6х5 — 0.
*1 + 2х2 + 4х3 — Зх4 = = 0,
3.9.82. < 3xi + 5х2 + бх3 — 4х4 = = о,
4xi + 5х2 — 2х3 + Зх4 = = о,
3xi + 8х2 + 24х3 — 19х4 = = 0.
5xi + бх2 + 7х3 + 4х4 - 2х5 = о,
3.9.83. < 7xi + 9х2 + 5х3 + 6х4 - Зх5 о,
2xi + Зх2 + 4х3 + 2х4 - *5 о,
.5*1 + 9х2 + *3 + 4х4 - Зх5 = 0.
'*1 + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0,
2х} + Зх2 + 4х3 + 5х4 = 0,
3.9.84. -
3xi + 4х2 — 5х3 + *4 = о,
.*1 + Зх2 + 5х3 + 12х4 = 0.
'*1 — Зх2 + *3 — 14х4 = 0,
3.9.85. < 2xi — Ъ — Зх3 + Зх4 = о,
.4*1 + Зх2 — 11х3 + 19х4 = 0.
Системы линейных уравнений и неравенств
101
2Х] “ х2 + 5х3 + 6х4 = о,
3.9.86. Х1 + х2 + Зх3 4* 5х4 = 0,
.Х1 - 5х2 + *3 — Зх4 = 0.
2xi - 4х2 + Зх3 — Зх4 = о,
3.9.87. < *1 - 2х2 + *3 + 5х4 = о,
.*1 - 2х2 + 4х3 — 34х^ > = 0.
2xi - х2 + Зх3 — 2х4 + 4х5 = 0,
3.9.88. 2xi - 4х2 + 5х3 + х4 + 7х5 = 0,
2xi " х2 + х3 + 8х4 + 2х5 = 0.
2xi + Зх3 + х4 + 4х5 = 0,
3.9.89. 3xi - 5х2 + 4х3 + 2х4 + 7х5 = 0,
+ 5х2 + 2х3 + х5 = 0.
'ЗХ! + 2х2 — *3 — Зх4 - 2х3 “ 0,
3.9.90. 2xi " *2 + Зх3 + х4 - Зх5 = 0,
4х1 + 5х2 — хз — Зх4 - Зх5 = 0.
х2 + 2х3 + Зх4 = о,
3.9.91. < 2xi + х2 + 2х3 — х4 = 0,
*1 + х2 + 2х3 + х4 » о,
. Х1 — 2х4 = 0.
2xi + х2 + Зх3 — х4 = о,
3.9.92. • 3xi - Х2 + 2х3 = о,
*1 + Зх2 + 4х3 — 2х4 = 0,
4х1 - Зх2 + *3 + х4 = 0.
'2X1 + 2х3 + 2х5 = 0,
3.9.93. < х2 + х4 = о,
2xi + Х2 + 2х4 + х5 = 0,
х2 + х4 = 0.
102
Глава 3
*1 + 2х3 -г Х5 = о,
3.9.94. < х2 + 2х4 + х5 = о,
2хг + 4х3 + 2х5 = 0.
Xj + 2х2 + х3 + Зх4 + 4х5 = о,
3.9.95. « 3xi + 4х2 + 2х3 + 6х4 + 8х5 = 0,
Л1 + 2х2 + х3 + Зх4 + 5х5 = 0.
*1 + 2х2 + 4х3 + 7х4 = 0,
3.9.96. < 2xi + Зх2 + 7х3 + 11х4 = 0,
,xi + 2х3 + х4 = 0.
Xi + 2х2 + Зх3 = о,
3.9.97. < х2 + х3 + х4 = 0,
Л + Зх2 + 4х3 + х4 = 0.
*1 " 2х2 + Зх3 + х4 = 0,
3.9.98. < 3xi + 2х2 - 4х3 + 2х4 = 0,
5xi “ 2х2 + 2х3 + 4х4 = 0.
2xi - х2 + Зх3 - 2х4 = 0,
3.9.99. • 4xi " 2х2 + 5х3 + х4 = 0,
2Х} — х2 + х3 + 8х4 = 0.
*1 + Зх2 - х3 + 2х4 = 0,
3.9.100. < 2xi “ *2 + 3#з + 5х4 = 0,
.*1 + 10х2 - 6х3 + х4 = 0.
Задание 6
Показать, что векторы е( (/ = 1; 2; п) образуют базис и
найти координаты вектора х в этом базисе.
3.9.101. ё!=(1; 1; 1), ё2=(1; U 2), ё3=(1; 2; 3);
х = (б; 9; 14).
Системы линейных уравнений и неравенств 103
3.9.102. ё1=(1; -1; -1; 1), ё2=(1; 1; -1; -1),
ё3в(1» -1; 1; -1), ё4=(1; 1; 1; 1); х = (1; 2; 1; 1).
3.9.103. ё1=(1; 1; 1; 1), ^=(1; 1; -1; -1),
^=(1; -1; 1; -1), ё4=(1; -1; -1; 1); х = (1; 2; 1; 1).
3.9.104. ё1 = (1; 1; 0; 1), ^=(2; 1; 3; 1),
ё3=(1; 1; 0; 0), ё4=(0; 1; -1; -1); х=(0; 0; 0; 1).
3.9.105. ё1=(2; 1; -3), ё2=(3; 2; -5), ё3=(1; -1; 1);
х = (б; 2; -7).
3.9.106. ё1= (2; 1; 1), ^=(-1; 1; 0), ^ = (2; -2; 3);
х = (-1; -4; 5).
3.9.107. ё1 = (1; 2; 4; 1), ё2=(2; -1; 3; 2),
ё3=(-3; 2; -1; 1), ё4 = (-1; -1; -1; 1); х = (-8; 2; 3; 12).
3.9.108. ё1 = (5; 4; 3; 2), ^=(2; 6; 1; 3),
ё3=(1; 3; 2; 4), ё4 = (4; 7; 4; 5); х=(4; 1; 1; -2).
3.9.109. ё1 = (1; 2; 1), ё2=(2; -1; 3), ё3=(-3; -1; 4);
?=(* 1; 6)-
3.9.110. = (2; 3; 1), ё2=(-1; 2; -2), ё3 = (1, 2, 1);
х = (2; -2; 1).
3.9.111. ё1 = (1; 3; 2; 1), ё2=(1; -1; 3; 2),
е3 = (2; -1; -1; 3), ё4 = (3; -2; -1; -1);
х = (1; -4; -6; -4).
3.9.112. ё1 = (1; 2; 3; 2), ё2=(2; -1; 2; -3),
®з = (3; -2; -1; 2), ё4=(-2; -3; 2; 1);
* = (б; 8; 4; -8).
3.9.113. ^=(2; 1; 0; 1), ^=(1; -3; 2; 4),
«з = (-5; 0; -1; -7), ё4=(1; -6; 2; б);
* = (8; 9; -5; 0).
3.9.114. ё1 = (1; -2; 1), ё2=(1; 1; 1), ^=(-1; 1; 1);
104
Глава 3
х = (2; 3; 6).
3.9.115. q=(l; 4; 7), ё2 = (2; 5; 8), ё3=(3; 6; 0);
х = (б; 9; -6).
3.9.116. ё3 = (1; 2; 3), ё2 = (2; 6; 10), ё3=(3, 4, 8);
х = (3; 6; 2).
3.9.117. ^=(1; -1, 3, 5), ё2=(2; 0; 4; б),
^=(3; 1; 5; 7), ё4=(4; 2; 0; -2);
х = (-13; -1; 11; 19).
3.9.118. ё1=(3; 2; 1; 1), ё2=(2; -3; 2; -1),
ё3=(5; 1; 0; -4;), ё4=(1; 5; -4; 9);
х=(3; -3; -3; 22).
3.9.119. ё! = (1; 3; 2; 3), ё2=(1; -1; 3; 2),
^=(-6; -6; 9; 3), ё4=(-4; -4; 2; 8);
х = (б; 2; 6; -7).
3.9.120. ^=(1; 2; 1), ^=(1; -1; -1), ё3 = (1; 1; 2);
х = (б; 3; 5).
Глава 4
НЕКОТОРЫЕ приложения линейной алгебры
Разлук так много на земле и разных судеб,
Надежду дарит на заре паромщик людям.
То берег левый нужен им, то берег правый,
Влюбленных много - он один
У переправы.
Николай Зиновьев
4.1. Приложения матриц и определителей
4.1.1. Два предприятия передают свою продукцию на три оптовые
склада. Расходы на перевозку единицы продукции с предприятия 1 на
склады 1, 2, 3 соответственно равны 20, 40, 60 рублей, а с предприятия 2
они составляют 30, 50, 70 рублей. Составить матрицу А удельных транс-
портных расходов перевозки продукции с указанных предприятий на скла-
ды (в строках расположить удельные транспортные расходы для каждого
из предприятий).
4.1.2. Пусть продаются два товара. Допустим, что покупатель, ранее
купивший товар 1, в следующий период купит его с вероятаостыо 0,7.
Предположим также, что покупатель, ранее купивший товар 2, в после-
дующий период вновь приобретет его с вероятностью 0,6. Однако в том
случае, когда на рекламу товара 1 будет истрачено 36 млн. рублей, эти ве-
роятности изменятся и будут составлять соответственно 0,8 и 0,4. Соста-
вить матрицу К вероятностей перехода для двух ситуаций: до того, как
были предприняты расходы на рекламу, и после этого (в столбцах распо-
ложить вероятности продажи товаров 1 и 2) . Изменит ли реклама рыноч-
ные условия в направлении, благоприятном для продажи товара 1?
4.1.3. В табл. 1 приведены данные о влажности устойчивого завяда-
11Ия растений при различной плотности пахотного слоя трех почв [19].
Составить:
а) матрицы - столбцы Л, В и С, характеризующие влажность устойчиво-
завядания растений при различной плотности соответственно каштано-
106
Глава 4
вой глинистой, суглинистой черноземной и дерново-слабоподзолистой
суглинистой почв;
б) матрицу D = A-C9 показывающую, насколько больше влажность ус-
тойчивого завядания растений для каштановой глинистой почвы, чем для
дерново - слабоподзолистой суглинистой.
Таблица!
Влажность завядания различных почв (в процентах от веса почвы)
Плотность поч- вы, г/см3 Почвы
Каштановая глинистая Чернозем тяже- лосуглинистый Дерново- -слабоподзо листая суглинистая
1,0 13,4 13,7 10,7
1,1 13,1 15,3 11,8
1,2 12,6 15,1 11,0
1,3 12,6 15,0 11,2
1,4 13,6 14,6 11,0
1,5 13,9 14,9 11,2
1,6 13,7 14,3 11,6
4.1.4. В табл. 2. приведены данные о содержании в почвенном воз-
духе дерново-подзолистой почвы поймы реки Яхромы углекислого газа
(СО2) и кислорода (О2) в конце августа и в начале сентября [19].
Таблица 2
Содержание в почвенном воздухе СО2 и О2
(в объемных процентах)
Глубина взятия пробы, см Конец августа Начало сентября
со2 02 СОг Ог
15 0,26 20,17 0,39 20,10
25 0,40 19,96 0,60 19,88 _
Составить:
Некоторые приложения линейной алгебры
107
а) матрицу Л, характеризующую содержание в почве на различной
глубине СО2 и О2 в конце августа;
б) матрицу В, характеризующую содержание в почве на различной
глубине СО2 и О2 в конце сентября;
в) матрицу С = А - В, характеризующую изменение СО2 и О2 в пе-
риод с конца августа до начала сентября.
4.1.5. Некоторая компания в обрабатывающей промзшпленности
располагает данными о своих продажах на протяжении нескольких лет,
сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта.
В табл. 3 представлено распределение четырех видов продукции Д, Р2,
Р$, по трем районам , Т?2» за два года.
Таблица 3
Ежегодные продажи продукции (в единицах)
Виды про- дукции Первый год. Районы продаж Второй год. Районы продаж
Pi Р2 Рз Р1 Я2 Рз
Р1 98 35 47 76 47 56
Рг 45 51 28 43 41 34
Рз 38 24 42 42 26 49
А 52 18 29 48 25 37
Составить:
а) матрицу Л, характеризующую объем продаж в течение первого
года;
б) матрицу В, характеризующую объем продаж в течение второго
года;
в) матрицу С = А+В, характеризующую объем продаж на протяже-
вки этих двух лет.
4.1.6. В табл. 4 приведены данные о совокупных продажах изделий
Д И Р2 некоторой компании в районах Ify, R2 и 2?3 с 1 января по 31
^арта определенного года, а также о продажах тех же изделий с 1 января
По 30 июня того же года.
108
Глава 4
Составить:
а) матрицу матрицу Л, характеризующую объем продаж с 1 января
по 31 марта;
б) матрицу В, характеризующую объем продаж с 1 января по 30
июня;
в) матрицу С = В-А, характеризующую объем продаж с 1 апреля
по 30 июня.
Таблица 4
Количество проданных изделий
Виды Продук- ции С 01.01 по 31.03 в районах продаж С 01.01 по 30. Об в районах продаж
Л Л2 Л3 Л» Я2 Л3
Pl 920 1350 1210 2050 1640 1956
Pl 870 980 680 1470 1080 1075
4.1.7. В табл. 5 приведены данные о выручке фирмы, владеющей не-
сколькими магазинами, от продажи различных видов товаров (брюки, кос-
тюмы, обувь) в течение различных сезонов.
Таблица 5
Выручка от продажи различных товаров (в млн. рублей)
сезо- ны В магазине 1 В магазине 2 В магазине 3
брю- ки КОС- ТЮ- МЫ обувь брю- ки КОС- ТЮ- МЫ обувь брю- ки КОС- ТЮ- МЫ обувь
Весна 17 11 12 20 13 11 12 15 14
Лето 21 17 19 34 19 16 25 23 18 -
Осень 11 14 21 16 16 26 19 20 22
Зима 32 24 24 41 31 33 37 28 25j
Составить:
Некоторые приложения линейной алгебры
109
а) матрицы 4, Л2, Л3, характеризующие выручку от продажи брюк,
костюмов и обуви соответственно в первом, втором и третьем магазинах;
б) матрицу В = А1 -г Л3, показывающую, что в каждый сезон 1-ый и
3-ий магазины, взятые вместе, получают от каждого вида товаров больше
выручки, чем 2-ой магазин;
в) матрицу S = A± 4-Л2+Л3, характеризующую выручку всех трех
магазинов.
4.1.8. Стоимость перевозки 1 тонны семенного зерна (в рублях),
хранящегося на четырех складах, к пяти полям приведена в табл. 6.
Таблица б
Стоимость перевозки 1 тонны семенного зерна (в руб.)
Склады Поля
1 2 3 4 5
1 40 60 30 80 70
2 50 20 40 70 90
3 50 60 80 40 70
4 30 40 30 60 90
Составить матрицу стоимости перевозки с каждого склада 100 тонн
семян.
4.1.9. В четырех хранилищах имеется горючее. Стоимосзъ перевозки
1 тонны горючего (в рублях) к трем потребителям приведена в габл. 7.
Таблица 7
Стоимость перевозки 1 тонны горючего (в руб.)
Хранилища Потребители
1 2 3
_ 1 30 40 50
2 70 20 30
3 60 10 40
L22 4 50 20 30
по
Глава 4
Составить матрицу стоимости перевозки с каждого склада 50 т го-
рючего.
4.1.10. Три хозяйства Л15 Л2, А3 ежедневно снабжают молоком че-
тыре населенные пункта В19 В2, В$9 В4. Стоимость перевозки 1 ц молока
приведена в табл. 8.
Таблица 8
Стоимость перевозки 1 ц молока (в руб.)
Произ- Водители Потребители
4 4 4
4 20 30 20 40
4 30 20 50 10
4 40 30 20 60
Составить матрицу стоимости перевозки из каждого хозяйства 20 ц
молока.
4.1.11. Продавец билетов на театральное представление, проводимое
за городом, решает вопрос о том, сколько билетов ему следует зажулить. К
покупке билетов он может прибегнуть один раз. Каждый билет стоит 200
рублей и может быть продан за 300 рублей. Билеты, оставшиеся нераспро-
данными, никакой ценности не представляют. Известно, что количество
билетов, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составить мат»
рицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения о коли-
честве купленных билетов и от результатов их продажи; пусть при этом по
строкам будут расположены результаты того или иного решения продавца
о покупке билетов, а по столбцам - выручка при возможных исходах про-
даж,
4.2.12. С целью выявления существенности дня высева ржи после
предпосевной обработки почвы на урожайность этой культуры были про*
ведены опыты, в которых рожь высевали на трех участках, разделенных на
Некоторые приложения линейной алгебры
111
четыре равные делянки каждый. Площадь каждой делянки равнялась 2 га.
Полученные данные об урожайности ржи приведены в табл. 9.
Таблица 9
Урожайность ржи, ц/га
День высева Участки
1-ый 3-ий
1-ый 12.1 пл 11,0
2-ой 13,2 11,4 11,7
3-ий 12,1 12,5 12,0
4-ый 11,3 10,8 11,8
Составить:
а) матрицу Л, характеризующую урожайность ржи на делянках этих
участков;
б) матрицу В, характеризующую урожай ржи (число центнеров), со-
бранный с каждой из делянок.
4.1.13. В табл. 10 приведены данные об урожайности озимой ржи
при различном процентном содержании металлов (кальция, кобальта и ни-
келя), входящих во вносимые в почву сополимеры.
Таблица 10
Урожайность озимой ржи (в ц/га) при различном процентном содержа-
нии металлов в сополимерах
*Со|ерж:ание металла
0,005% 0,001%
Кальций 17,85 16,08
Кобальт 17,63 15,59
Никель 17,61 16,19
Эти результаты получены путем обработки данных об урожае ози-
мой ржи, собранном с ддук полей 1 и 2, площади которых равнялись соот-
ветственно 5 и 10 га.
112
Глава 4
Составить:
а) матрицу А, характеризующую урожайность ржи, ц/га при различ-
ном процентном содержании кальция, кобальта и никеля во вносимых в
почву сополимерах;
б) матрицы 4 и 4г» характеризующие урожай (общее количество
ржи, ц), собранный соответственно с полей 1 и 2;
в) матрицу S = Ai +А2, характеризующую урожай ржи, собранный с
обоих этих полей.
4.1.14. Имеются данные о продаже женской обуви в четырех мага-
зинах 1,2,3,4 в пятницу и в субботу. В табл. 11 приведены данные о про-
даже этой обуви в магазинах 1,2,3.
Таблица 11
Количество пар проданной женской обуви
Размеры обуви Магазины
1 2 3
Пятница суббота Пятница Суббота Пятница Суббота
36 40 60 20 30 10 30
37 50 70 40 50 50 60
38 30 70 40 60 40 40
Одна пара обуви стоит 2 тыс. рублей. Суммарная выручка от прода-
жи указанной обуви во всех четырех магазинах приведена в табл. 12.
Таблица 12
Суммарная выручка от продажи женской обуви в четырех магазинах.
(в тыс. руб.)
Размеры обуви Дни недели
Пятница Суббота
36 170 300
37 360 460
38 290 410
Некоторые приложения линейной алгебры 113
Составить:
а) матрицы Л, В, С9 характеризующие количество пар женской
обуви 36, 37 и 38 размеров, проданное магазинами 1, 2, 3 в пятницу и в
субботу;
б) матрицу S, характеризующую суммарную выручку от продажи
обуви во всех четырех магазинах;
в) матрицу D, характеризующую число пар женской о&/ви, продан-
ное в магазине 4.
4.1.15. Суточный рацион для откорма свиней, имеющих живой вес
30 - 40 кг и среднесуточный привес 300 - 400 г, состоит из трех видов
кормов: ячменя, бобов и сенной муки. На одну голову в сутки приходится
0,845 кг ячменя, 0,416 кг бобов и 0,0564 кг сенной муки. Содержание пита-
тельных веществ в 1 кг этих кормов приведено в табл. 13.
Таблица 13 -
Содержание питательных веществ в 1 кг кормов
Питательные вещества Виды кормов
Ячмень Бобы Сенная мука
Кормовые единицы, кг 1,21 1,29 0,73
Перевариваемый протеин, г 81 287 228
Кальций, г 1,2 1,5 13,7
Фосфор, г 3,3 4,0 1,7
Каротин, мг 1,0 1,0 100
Составить матрицу - столбец, характеризующую количество пита-
тельных веществ, приходящихся на одну голову в сутки.
4.1.16. В хозяйстве засеяли озимой пшеницей 40 га, яровой пшени-
цей - 35 га и озимой рожью - 50 га. В течение всего вегетационного пе-
риода и уборки под эти культуры были внесены азотные (N), фосфорные
(^) и калийные (К) удобрения в количествах, выраженных в кг/га и ука-
занных в табл. 14.
114
Глава 4
Таблица Ц
Количество внесенных под зерновые культуры удобрении (в кг/га)
Зерновые Культуры Удобрения
Р к "
1 - озимая пшеница 20 30 30
2 - яровая пшеница 20 45 20
3 - озимая рожь 25 50 35
Затраты на 1 кг азотных, фосфорных и калийных удобрений в рублях
соответственно равны С = (2,0; 0,65; 2,4).
Найти матрицы, характеризующие:
1) количество каждого вида удобрений, затраченное
а) на каждую зерновую культуру;
б) на все зерновые в целом;
2) затраты на удобрения
а) по каждой из культур в отдельности;
б) на все зерновые в целом.
4.1.17. Завод выпускает четыре вида продукции в количеств е, харак-
теризующемся вектор - планом:
Г10>
Для изготовления этой продукции используют шесть видов сырья.
Известны:
Некоторые приложения линейной алгебры
115
матрица
виды продукции
<3
10
4 11 3YI
3 6
10 5
•, -видысырья
6
<2
5 3 15
9 2 4,
8 6 2
где ау - количество расходуемых единиц i -го вида сырья на о,щу единицу
j - го вида продукции,
и матрица
Г10 7 8 5 2 3)
В ~ I,
^2 2 4 5 1 3/
первая строка которой задает стоимость (в тыс. руб.) одной единицы каж-
дого вида сырья, а вторая строка - стоимость транспортировки (в тыс.
руб.) одной единицы каждого вида сырья.
Найти:
Г
а) матрицу С, характеризующую стоимость сырья, расходуемого на
одну единицу каждого вида продукции, а также стоимость транспортиров-
ки этого сырья;
б) матрицу D, характеризующую суммарную стоимость сырья, не-
обходимого для выполнения всего плана, а также суммарную стоимость
транспортировки этого сырья.
4.1.18. В хозяйстве выращивают четыре зерновые культ^фы, исполь-
зуемые в качестве кормов для скота: кукуруза, овес, горох и ячмень. Ха-
рактеристики экономической эффективности производства Э’гих культур
приведены в табл. 15.
Площади посева, занимаемые кукурузой, овсом, горохом и ячменем,
составляют соответственно 40,50,60 и 70 га.
1) Составить:
а) матрицу Л, характеризующую урожайность указанных зерновых
культур,
116
Глава 4
Таблица 1$
Урожайность зерновых культур и затраты на их произвольно
Зерновые культуры Урожайность, ц/га Материально^ денежные за- траты, тыс. руб./га
Фактическая Кормовых единиц перевари- ваемого протеина
Кукуруза 48 64 3,7 15
Овес 25 25 2,1 13
Горох 25 29 4,9 11 ~~
Ячмень 29 39 2,4 10 ”
б) матрицу 5, характеризующую посевные площади под этими
культурами;
в) матрицу С, характеризующую материально - денежные затраты
на их производство.
2) Найти:
а) матрицу Р, характеризующую общее количество центнеров (фак-
тический урожай, количество кормовых единиц, количество переваривае-
мого протеина) по всем этим зерновым культурам;
б) матрицу М, характеризующую суммарные материально - денеж-
ные затраты по каждой из культур;
в) суммарные материально - денежные затраты на производство всех
указанных зерновых культур.
4.1.19. В табл. 16 приведены данные [20] по возделыванию ряда сор-
тов винограда в одном из хозяйств Краснодарского края.
1) Составить:
а) матрицу А типа 6x2, характеризующую урожайность указанных
сортов винограда и затраты труда на 1 га, необходимые для их возделыва-
ния;
б) матрицу - строку В, характеризующую площади, занимаемые
этими сортами винограда.
2) Найти матрицу С = ВА, характеризующую количество центнеров
собранного винограда и затраты труда в чел. - ч. по всем названным сор*
там.
Некоторые приложения линейной алгебры
117
Таблица 16
Показатели возделывания винограда в хозяйстве Краснодарского края
"Сорта виноград а Урожайность, ц/га Затраты труда, чел. -ч./га Занимаемые площади, га
"1. Рислинг 127 672,8 817
"2. Ркацители 131 661,6 198
3. Саперави 93 588,0 100
1. Каберне 95 592,0 62
У Алиготе 124 648,0 53
б. Совиньон 93 588,0 12
4.1.20. По данным отчетного периода получена следующая струк-
турная матрица (матрица коэффициентов прямых затрат), характеризую-
щая трехотраслевую экономическую систему:
f 0
А = 0,2
0,2 0'
0 0,1 .
0 0,1 0,2;
Найти для этой экономической системы матрицу S = (E-A) 1 ко-
эффициентов полных внутрипроизводственных затрат. (Расчеты выпол-
нить с округлением до 0,01).
Указание.
Теория вопросов, относящихся к решению задач
4.1 ДО - 4.1 Л изложена в работах [4,5].
4.1.21. По данным отчетного периода получена следующая струк-
турная матрица, характеризующая трехотраслевую экономическую систе-
му:
'0,4 0,1 0,2'
А = 0,3 0,2 0,1 .
<0,1 0,4 0 ,
Найти матрицу К коэффициентов косвенных затрат', зная, что
^ = (£-Л)-1-Л.
118
Глава 4
4.1.22. Сила F = (2; 4; 5) приложена в точке А (4; 2; - 3). Най-
ти момент М этой силы относительно точки В (3; 2; -1).
Указания.
1) Теоретический материал, относящийся к решению
задач 4.1.22-4.1.27 изложен в работе [15].
2) Момент силы F, приложенной в точке А, относи-
тельно точки В равен векторному произведению
BAxF.
3) Векторное произведение векторов
а =BA=axi+ ayJ+azk и F = fxi + fyj+f£
равно axF-
i j k
4.1.23. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ®
вокруг неподвижной оси. Осью вращения является ось Oz прямоугольной
декартовой системы координат Oxyz, направление вектора а> совпадает с
направлением оси Oz. Найти разложение по осям координат x9y9z векто-
pa v линейной скорости точки M(x9y9z) этого тела.
Указание.
Вектор V линейной скорости равен векторному произве-
дению вектора ш на вектор г = xi + yj + zk - радиус -
i ] k
-векторточки ЛГ,т.e. v = ey xr = 0 0 о.
х у z
4.1.24. Найти объем пирамиды с вершинами в точках О (0; 0; О)
Л (5; 2; 0), 5(2; 5; 0), С(1; 2; 4).
Указание.
Объем пирамиды F = |a *b -с|/6,где а = О А,
b = ОВ ,с=ОС. Смешанное произведение векто-
ров а = (ах9ау9а2J, b = =
Некоторые приложения линейной алгебры
119
4.1.25. Дана пирамида с вершинами в точках А (-1; 12: 7),
д(-1; 10; 11), С(-4; 14; 9), D(3; 14; 7).
Найти:
а) площадь грани АВС,
б) объем пирамиды.
Указания.
1) . Площадь треугольника, сторонами которого яв-
ляются векторы а = АВ = {аХ9ау9а2)9
b =АС = [bxibyib2} равна:
S=-laxZ>|;
' 2’ 1
2) векторное произведение векторов а и b равно:
3) Объем пирамиды определяется согласно указа -
нию к задаче 4.1.24.
4.1.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ныеточки Мг(3; -1; 2), Af2(4; -1; -1)иМ3(2; 0; 2).
Указание.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки Af/xj.Ji.Zi), M2(x2,^2,z2), Af3(x3,j3,z3)
может быть представлено в виде:
X-Xj
Х2-Х1
Х3-Х1
У~У1 Z-Zj
У2-У1 ^2-Z!=0.
Уз-У1 г3-г!
120
Глава 4
4.1.27. Доказать, что действующие на тело силы = -i + 3J+2f
F2 =2i -3j-4k и F3 =-3i + 12j + 6k компланарны.
Указание.
Векторы компланарны, если их смешанное произведение
равно нулю: а • b • с = 0. Правило вычисления смешан,
ного произвеления векторов приведено в указании к за-
даче 4.1.24.
4.1.28. Двумерный случайный вектор X ъм&п вектор средних зна-
чений тх = (2; -1) и матрицу ковариаций
Sx =
2
-1
-1
4
Случайный вектор Y получен из случайного вектора X путем ли-
нейного преобразования: Y = ЛЗ+с, где
fl 1 А
В = - матрица линейного преобразования, с = (0; 2). Найта
V “2у
вектор средних значений ТП? и матрицу ковариаций X г вектора Y.
Указания.
1) Теоретический материал, относящийся к решению
задач 4.1.28 - 4.1.29 изложен в курсе теории веро-
ятностей [21].
2) Искомые величины находят по формулам:
4.1.29. Трехмерный случайный вектор X имеет вектор средних
значений = (2; 0; 3) и матрицу ковариаций
' 1 2 -Г|
Zx = 2 3 1 .
-1 1 2,
Случайный вектор Y получен из случайного вектора X путем ли-
нейного преобразования: Y = ХВ + С, где
Некоторые приложения линейной алгебры
121
' 3
В~ 1
I"2
-2
вектор средних значений ту и матрицу ковариаций X г вектора Y.
4.2. Приложения систем линейных уравнений и неравенств
4.2.1. В ремонтной мастерской выявили возможность перевыпол-
нить план по ремонту сельскохозяйственных машин трех наименований
, Л2 и . Подсчитали, что для перевыполнения плана имеются сле-
дующие производственные ресурсы: 15 единиц производственного обору-
дования (станки и т. п.), 11 единиц сырья (металл и т. п.) и 16 единиц элек-
троэнергии. Нормы расхода производственных ресурсов на ремонт одной
машины представлены в табл. 18.
Сколько сельхозмашин сверх плана (какого вида и в каком количест-
ве) может отремонтировать мастерская?
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти решение полученной системы линейных уравнений по пра-
вилу Крамера.
Таблица 18
Нормы расхода производственных ресурсов
Виды ресурсов Виды сельскохозяйственных машин
4 4 4
Оборудование 2 3 2
Сырье 1 2 3
Электроэнергия 3 2 4
4.2.2. Имеются две взаимосвязанные отрасли производства. Выпол-
нение баланса при работе этих отраслей за некоторый предшествующий
период характеризуется данными, приведенными в табл. 19.
122
Глава 4
Таблица 19
Производство изделий (в тыс. изд.) и производственные
затраты (в млн, руб)
Номер произво- дящей отрасли Номер потреб- ляющей отрасли Итого за- трат, млн. руб. Конеч- ный про- дукт (У) Валовой’-'' выпуск (jf )•
1 2
1 100 160 260 240 500 ’
2 275 40 315 85 400~~~"
Итого затрат в i - ю отрасль, млн. руб. 375 200 575
[ Xi । (Vi I
Пусть / = 1 I, К = 1 I, где х,- и соответственно валовой
1*2 J W
выпуск и конечный продукт i - той отрасли, i = 1, 2.
1) Рассчитать по данным табл. 19 коэффициенты прямых затрат в
составить матрицу А = (а,у) коэффициентов прямых затрат (структурную
или технологическую матрицу).
2) Составить линейную балансовую модель задачи определения ва-
лового выпуска отраслей на будущий период.
3) Найти:
а) матрицу коэффициентов полных затрат S = (E-A)~1, где £ -
единичная матрица третьего порядка;
б) валовой выпуск первой и второй отраслей, необходимый для сле-
дующего выпуска конечного продукта: ^=480, у2 = 170 тыс. изделий;
в) изменение ДХ валового выпуска, которое потребуется при увели-
чении конечного выпуска изделий 1-ой отрасли на 10 тыс. ед. и второй от?
расли - на 30 тыс. ед.
Указание.
Теория вопросов, относящихся к решению
задач 4.2.2 - 4.2.7. изложена в работах [4, Я-
Некоторые приложения линейной алгебры
123
4.2.3. На предприятии имеются три цеха, каждый из которых выпус-
кает один вид продукции. В табл. 20 приведены расходные коэффициенты
(коэффициенты прямых затрат) а#, характеризующие количество единиц
вродукции Z-го цеха, используемое как "сырье1' (промежуточный продукт)
для выпуска единицы продукции j - го цеха, а также количество yt единиц
продукции i-го цеха, предназначенное для реализации (конечный про-
дует).
Таблица 20
Коэффициенты прямых затрат и конечный продукт
Номера цехов Коэффициенты прямых затрат ау Конечный про- дукт yi9 ед.
1 2 3
1 0 0,2 0 400
2 0,2 0 0,1 _ 200
3 0 0,1 0,2 600
1) Составить линейную балансовую модель задачи определения ва-
лового выпуска X = (xj х2 х3)Т продукции каждого из цехов.
2) Найти матрицу S = (E- Л)”1 коэффициентов полны?; затрат, где
матрица А = Е - единичная матрица третьего порядка.
3) Определить валовой выпуск продукции каждого цеха для обеспе-
чения заданного выпуска конечного продукта.
4.2.4. По данным отчетного периода получен баланс трехотраслевой
экономической системы, представленный в табл. 21.
Найти:
1) структурную (технологическую) матрицу А ;
2) матрицу S = (Е - Л)-4 коэффициентов полных затрат, где Е -
единичная матрица третьего порядка;
3) новый валовой выпуск Х9 необходимый для обеспечения нового
^сортимента конечной продукции Y = (400 200 320^
4) коэффициенты прямых затрат труда - вектор а4;
124
Глава 4
5) коэффициенты полных затрат труда - вектор а5 = а4 • 5.
6) полные затраты труда по всем отраслям Ь = а4 Х.
Т а б л и ц a 2f
Выполнение баланса в трехотраслевой экономнчес кой системе
Отрасли про- изводства Отрасли потребления Ито- го Конечная продукция, тыс. пгт. Валовой выпуск, ТЫС. ШТ,
1 2 3
1 30 15 120 165 135 зосг~
2 90 0 90 180 120 300 ~
3 60 120 0 180 420 600 -
Итого 180 135 210 525
Затраты труда, чел.-чУтыс. шт. 60 90 90 240
4.2.5. По данным отчетного периода получен баланс трехотраслевой
экономической системы, представленный в табл. 22.
Таблица 22
Выполнение баланса в трехотраслевой экономической системе
Производствен- ный сектор Потребляющий сектор Конечный продукт Y Валовой выпуск X
Сель- ское хоз-во Промыш- ленность Прочие отрасли
Сельское хо- зяйство 600 400 1400 600 3000
Промышлен- ность 1500 800 700 1000 4000
Прочие отрасли 900 4800 700 600 7000
1) Рассчитать по данным табл. 22 коэффициенты прямых затрат и со-
ставить структурную (технологическую) матрицу А.
2) Составить линейную балансовую модель задачи определения &
лового выпуска продукции (вектора X).
3) Найти:
Некоторые приложения линейной алгебры
125
а) матрицу S = (Е ~ А) 1 коэффициентов полных затрат, где Е -
единичная матрица третьего порядка;
б) валовой выпуск X для обеспечения выпуска конечного продукта
г = (1000 1200 800f.
в) изменение АХ = (Axj Дх2 bxjf валового выпуска продукции,
необходимое для увеличения конечного продукта
ДУ = (400 200 200)Г.
4.2.6. Имеются три группы взаимосвязанных предприятий: группа
№1 выпускает станки, группа №2 - электромоторы, группа №3 - металло-
прокат. Коэффициенты прямых затрат для этих трупп предприятий приве-
дены в табл. 23.
Таблица 23
Коэффициенты прямых затрат
Производство продукции груп- пами предпри- ятий Потребление продукции группами предприятий
№1 (на 1 шт) №2 (на 1 шт) №3 (на 1 т)
№1 0,03 0,05 0,06
№2 0,02 0,03 0,01
№3 0,01 0,04 0,02
Известно, что предприятия должны дать народному хозяйству в пла-
нируемый период 32 тыс. станков, 154 тыс. электромоторов и 92 тыс. тонн
проката. Определить производственную программу Аг = (х/) указанных
групп предприятий.
4.2.7. Имеются три взаимосвязанные отрасли производства. По дан-
ным о выполнении баланса за отчетный период для этих отраслей найдена
следующая структурная матрица (матрица коэффициентов прямых затрат):
Чз 0,1 о4
Л= 0,2 0,3 0,2 .
0,1 0 0,1,
126
Глава 4
Найти:
1) матрицу S = (Е - Я)"1 коэффициентов полных затрат, где матри-
ца А = ЦД Е - единичная матрица третьего порядка;
2) изменение валового выпуска при следующем планируемом изме-
нении конечного продукта: ДУ1= 60, Ду2= 30, Ду3 = 80 тыс. шт.
4.2.8. В хозяйстве имеется для продажи 7 т моркови и 12 т картофе-
ля. На погрузку в автомашину для отправки на рынок 1т моркови затрачи-
вают 5 мин, а 1 т картофеля - 4 мин. Картофель и морковь грузят не одно-
временно и всего на их погрузку должно быть затрачено не более 40 мин.
Пусть погрузят в автомашины х т моркови и у т картофеля. На
плоскости хОу изобразить область, координаты точек которой соответст-
вуют возможным значениям количества погруженных в автомашины за
указанное время тонн моркови и картофеля,
4.2.9. Необходимо составить дневной рацион для откорма свиней,
включающий в себя два вида кормов: ячмень и бобы. Содержание кормо-
вых единиц и перевариваемого протеина в 1 кг каждого вида корма и себе-
стоимость кормов приведены в табл. 24.
Табл ица 24
Содержание питательных веществ в кормах и себестоимость кормов
Виды кормов Содержание в 1 кг Себестоимость 1 кг корма, руб.
Кормовых единиц, кг Протеина, г
Ячмень (jq, кг) 1,2 80 3
Бобы (х2, кг) 1,25 280 4
Требуется, чтобы этот дневной рацион содержал необходимое коли-
чество кормовых единиц (не менее 2,3 кг) и перевариваемого протеина
(не менее 270 г) и при этом оказался бы наиболее выгодным по себестои-
мости z.
1) Составить математическую модель задачи определения оптималь-
ного рациона.
Некоторые приложения линейной алгебры 127
2) Найти оптимальный план, применив графический способ решения
задач линейного программирования (решение системы линейных уравне-
дей выполнить по правилу Крамера).
3) Найти минимальную стоимость рациона, соответствующую
принятому оптимальному плану.
Указание.
В задачах 4.2.9-4.2.12 следует, воспользовавшись
геометрической интерпретацией задач линейного про-
граммирования, применить графический способ их ре-
шения. Теоретическое обоснование и пояснения такого
способа решения задач линейного программирования
приведено в работах [2,5,9,10].
4.2.10. В хозяйстве возделывают зерновые культуры и картофель,
располагая следующими ресурсами: пашня - 5 тыс. га, труд - 300 тыс.
чел. ~ ч., возможный объем тракторных работ - 35 тыс. усл. га.
Нормы затрат и выхода продукции для данного хозяйства приведены
в табл. 25.
Требуется получить оптимальный план распределения посевных
площадей между зерновыми культурами и картофелем. Критерием опти-
мизации является максимум стоимости z валовой продукции.
Таблица 25
Нормы затрат и выхода продукции в хозяйстве
Культуры Затраты на 1 га посева Выход валовой продукции с 1 га, тыс. руб.
Труд, Чел.- H. Тракторные рабо- ты, усл. га
Зерновые (*]) 30 5 400
Картофель (х2) 150 14 1000
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти оптимальный план, применив графический способ решения
задач линейного программирования (решение системы линейных уравне-
ний выполнить по правилу Крамера).
128
Глава 4
3) Найти максимальную стоимость Zj^ валовой продукции, соот-
ветствующую принятому оптимальному плану.
4.2.11. Для производства двух видов изделий А и В пре^щриятие
использует токарные, фрезерные и шлифовальные станки. Нормы затрат
времени для каждого из типов оборудования на одно изделие каждого вида
приведены в табл. 26. В этой же таблице указан общий фонд рабочего вре-
мени каждого из типов станков. Прибыль от реализации одного изделия
вида А составляет 3 тыс. руб., а одного изделия вида В - 4 тыс. руб.
Таблица 26
Показатели работы оборудования
Типы станков Затраты времени, станко-ч./изд. Общий фонд полезного рабочего времени стан- ков, ч.
А, (Х1) 5,(х2)
Фрезерные 12 .. 4 300 г
Токарные 4 2 80
Шлифовальные 7 б 190
Требуется составить оптимальный план выпуска изделий. Критерий
оптимизации является максимум прибыли z от реализации изделий.
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти оптимальный план, применив графический способ решения
задач линейного программирования (решение системы линейных уравне-
ний выполнить по правилу Крамера).
3) Найти величину zXDSai максимальной прибыли.
4.2.12. Небольшое предприятие перерабатывает некоторте ком-
плексное сырье (например, нефть) в два вида А и В конечной продукции.
Технологический процесс состоит из двух этапов. На первом этапе посту-
пающее сырье перерабатывают в три промежуточные продукта 1, 2 и 3, ко-
торые на втором этапе используют для изготовления требуемой конечной
продукции. Из одной тонны сырья получают следующие количества про-
межуточных продуктов 1, 2 и 3 соответственно: 121, 130 и 440 кг. В
Некоторые приложения линейной алгебры
129
табл. 27 указан расход продуктов 1,2 и 3 на производство одной тонны ко-
нечной продукции каждого вида (А и В).
Таблица 27
Расход промежуточных продуктов на производство 1 т конечной про-
дукции двух видов
Промежуточные продукты Расход на производство 1 т конечного гродукта, кг
А В
1 50 160
2 200 50
3 500 0
Оптовая цена тонны конечной продукции вида А равна 5 тыс. руб-
лей, а вида В - 6 тыс. руб.
Требуется составить оптимальную производственную программу,
т. е. найти оптимальные значения величин Xj и х2 - количества выпускае-
мой продукции соответственно вида А и вида В, которым соответствует
максимальная стоимость z выпускаемой продукции этих видов.
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти оптимальный план, применив графический способ решения
задач линейного программирования (решение системы линейных уравне-
ний выполнить по правилу Крамера).
3) Найти величину z^^ максимальной стоимости.
4.2.13. Зерно из двух районов нужно перевезти на три элеватора.
Данные об ожидаемом сборе зерна в каждом из районов и о мощности эле-
ваторов приведены в табл. 28.
В табл. 28 обозначены через Уу =xk (i = 1,2; j = 1,2,3; Л=1,2,.. .,6)
- количество зерна, перевозимое из i -го района на j -тый элеватор.
1) Составить математическую модель задачи определения допусти-
мых планов перевозок зерна.
2) Найти общее решение полученной системы линейных уравнений
методом Гаусса.
130
Глава 4
3) Найти какие-либо два допустимые плана перевозок.
Таблица 28
Производство зерна и его распределение по элеваторам
Районы Элеваторы Суммарный сбор зерна, тыс. ц
1 2 3
1 Уп=*1 У12 =*2 Ув=хз 1200 ~
2 3*21 = Х4 У21=х5 3*23 = *6 803
Мощности эле- ваторов, тыс. ц 700 800 500 2000
4.2.14. Три специализированные мастерские по ремонту двигателей
сельскохозяйственных машин и тракторов выполняют заявки на ремонт
двигателей, поступающие из двух районов. Производственные мощности
мастерских, количество двигателей, которое нужно отремонтировать каж-
дому из районов, а также затраты на перевозку одного двигателя из мас-
терских в районы приведены в табл. 29.
Таблица 29
Количество ремонтируемых двигателей (шт) и стоимость перевозки
одного двигателя (руб)
Мастерские Районы Заявки на ремонт двигателей, шт.
1 2
1 Уи~х1 4,5 Уи=*2 2,5 1000
2 У21=*3 6,5 ?22=*4 5,5 600
3 У31=*5 8,0 У32 =*6 6,0 900
Количество ремонтов двигателей, шт. 1200 1300 2500
Примечание. Над чертой - количество двигателей у у = xk, под чертой -
стоимость перевозки одного двигателя, руб.
Некоторые приложения линейной алгебры 131
В табл. 29 обозначены через у у =х* (i = 1,2,3; j = 1,2; £«1,2.6)
. количество двигателей, перевозимых из из i -ой мастерской в j -тый рай-
он.
1) Составить математическую модель задачи определения допусти-
мых планов перевозок двигателей.
2) Найти:
а) общее решение полученной системы линейных уравнений мето-
дом Гаусса;
б) какой-либо допустимый план перевозок;
в) стоимость перевозок двигателей, соответствующую этому плану.
4.2.15. Минеральные удобрения, хранящееся на двух складах, необ-
ходимо перевезти к трем полям. Данные о количествах удоб-
рений на складах и о потребностях в этих удобрениях на по-
лях приведены в табл. 30.
Таблица 30
Количество минеральных удобрений, перевозимых со складов
наполи
Склады Поля На каждом складе, т.
1 2 3
1 Уи=х1 У12=Ъ У13 =х3 400
2 У21=*4 У22=Х5 У23=*6 600
Количество для каждого . поля, т. 200 300 500 1000
В табл. 30 обозначены через Уу=хк (г = 1,2; / = 1,2,3; £=1,2,...,6)
~ количество удобрений, перевозимое с i -го склада на / -е поле.
1) Составить математическую модель задачи определения допусти-
мых планов перевозок зерна.
2) Найти:
132
Глава 4
а) общее решение полученной системы линейных уравнений мето-
дом Гаусса;
б) какие-либо два допустимые плана перевозок.
4.2.16. Каменный уголь нужно перевезти из трех шахт Sj, S2, S3 в
два пункта назначения и К2. Суточная производительность шахт (в
тыс. тонн), потребности пунктов потребления (в тыс. тонн) и стоимости *
транспортировки 1 тонны (в руб.) приведены в табл. 31.
Таблица 3}
Производство, потребление угля (в тыс. тонн) и стоимость его транс»
портировки (в руб.)
Производители (шахты) Потребители Производитель- ность шакт
*1 к2
^1 Ун=х1 80 У11=*2 90 200
*$2 У21=*3 60 У = *4 50 150
^3 У31=*5 50 40 150
Потребности за- казчиков 300 200 500
Примечание. Над чертой - количество угля у у = хк, под чертой - стои-
мость перевозки 1 т угля
В табл. 31 обозначены через уу =хк (/ = 1,2,3; j = 1,2; £==1,2,...,6)
- количество тонн угля, перевозимое из /-ой шахты в j-тый пункт по-
требления.
1) Составить математическую модель задачи определения допусти-
мых планов перевозок угля.
2) Найти:
а) общее решение X полученной системы линейных уравнений ме-
тодом Гаусса;
Некоторые приложения линейной алгебры 133
б) какие-либо два Хч1 и Хч2 допустимые плана перевозок;
в) транспортные издержки Q и С2 при двух предложенных планах
перевозок.
4,2.17. В хозяйстве имеются три животноводческие фермы. Кукуру-
за на силос возделывается на трех полях севооборота. Потребности в зеле-
ной массе для силосования на этих фермах (в тыс. тонн) и сбор силосной
массы на полях (в тыс. тонн) приведены в табл. 32.
Таблица 32
Производство и потребление силосной массы (в тыс. тонн)
Поля Фермы Сбор силос- ной массы на полях
1 2 3
1 Уп=Х[ ?12=*2 У13 = х3 2
2 У21=*4 3>22=*5 У23 = Х6 6
3 Уз1=х7 З>32=*8 УЗЗ = х9 2
Потребности ферм 3 4 3 10
В табл. 32 обозначены через Уу=хк (z=l,2,3; 7 = 1,2,3;
£=1,2,.. .,9) - количество тыс. тонн силосной массы, перевозимое с i -ого
поляна j-юферму.
1) Составить математическую модель задачи определения допусти-
мых планов перевозок зеленой массы с полей на фермы.
2) Найти:
а) общее решение X полученной системы линейных уравнений ме-
тодом Гаусса;
б) какой-либо Хч допустимый план перевозок.
4.2.18. В хозяйстве три отделения А1, А2 и А$ выращивают карто-
фель, зерновые и кормовые культуры. Для возделывания этих культур от-
деления располагают следующими ресурсами пашни: отделение А1 -
1300 га, отделение А2 - 1100 га, отделение А3 - 1600 га. Хозяйству необ-
134
Глава 4
ходимо посадить 500 га картофеля, посеять 1500 га зерновых 2000 га кор.
мовых культур, полностью использовав всю предназначенную для выра-
щивания этих культур пашню. Данные об имеющихся посевных площади
и их распределении между культурами приведены в табл. 33.
Таблица 33
Распределение посевных площадей меящу сельскохозяйственными
культурами
Отделения Культуры Всего посев- ной площади по отделе- нию (га)
Картофель 1 Зерновые 2 Кормовые 3
1(4: Уп=*1 У12=*2 У\з=хз 1300
2(4) Z>i = х4 У22=*5 У23=х6 1100
3(4) У31=*7 У32=*8 УЗЗ=Х9 1600 '
Посевная площадь под культуру (га) 500 1500 2000 4000
В табл. 33 обозначены через Уу=хк (/ = 1,2,3; у = 1ДЗ;
£=1,2,..количество га пашни, предназначенное в /-ом отделении
для возделывания у-ой культуры.
1) Составить математическую модель задачи распределения посев-
ных площадей для возделывания указанных культур в каждом из отделе-
ний.
2) Найти:
а) общее решение X полученной системы линейных уравнений ме-
тодом Гаусса; •"
б) какие-либо два ХчХ и Хч2 допустимые плана распределения по-
севных площадей.
4.2. 19. Не выполняя элементарных преобразований системы линей-
ных уравнений, найти опорный план задачи линейного программирования,
допустимое множество решений которой задается ограничениями:
Некоторые приложения линейной алгебры
135
«1 + Х2 + 4х3 = 2,
2x2 + Зх3 + х4 = б,
Зх2 - 2х3 + х5 = 4.
XjZ0, 0 = 1,2,
Указание,
Теоретическое обоснование вопросов, относяпщхся к ре-
шению задач 4.2.19 - 4.2.22, изложена в работах [2,8,9].
4.2.20. Не выполняя элементарных преобразований системы линей-
ных уравнений, найти опорный план задачи линейного програвширования,
допустимое множество решений которой задается ограничениями:
*1 + х4 + 5хб = 10,
ЗХ| + х2 - 4х3 + 2хб = 5,
Л - 2х3 + х5 + 4х6 = 8,
(/ = 1,2,...,6).
4.2.21. Найти опорный план задачи линейного программирования,
допустимое множество решений которой задается ограничениями:
При решении задачи выполнить элементарные преобразования сис-
темы методом Гаусса.
4.2.22. Найти опорный план задачи линейного программирования,
Допустимое множество решений которой задается ограничениями:
136
Глава 4
3xj + х2 + 2х3 + х4 - 2х5 = 5,
6xi + Зх2 + Зх3 + 2х4 - 4х5 = 9,
lOxi + х2 + 6х3 + Зх4 - 7х5 = 14.
ху£0, 0 = 1,2 5).
При решении задачи выполнить элементарные преобразования сис-
темы методом Гаусса.
4.2.23. На двух предприятиях отрасли нужно изготовить 200 одина-
ковых изделий. Затраты, связанные с производством Xj изделий на пред-
приятии , равны 4xf, руб., а затраты, обусловленные изготовлением х2
изделий предприятии Л2, составляют 20х2 + 6х2 , руб. Сколько изде-
лий следует произвести на каждом из этих предприятий для того, чтобы
общие затраты на изготовление необходимого количества изделий были
минимальными? Каковы соответствующие затраты?
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти решение задачи, применив исследование на условный экс-
тремум функции нескольких переменных с помощью метода множителей
Лагранжа и решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
Указание,
Теоретическое обоснование вопросов, относящихся к
решению задач 4.2.23 и 4.2.24 (применение метода
множителей Лагранжа при отыскании условных экс-
тремумов функций нескольких переменных) дано в
работах [2,9,14,15].
4.2.2 4. Три предприятия А1, Л2 и А3 должны произвести 500 тонн
одинакового горючего. Зависимости затрат на производство горючего на
каждом из этих предприятий от количества производимого горючего при-
ведены в табл. 34.
Какое количество горючего следует произвести на каждом из пред-
приятий для того, чтобы общие затраты на производство необходимого
количества горючего были минимальными? Каковы соответствующие за-
траты?
Некоторые приложения линейной алгебры 137
1) Составить математическую модель задачи.
2) Найти решение задачи, применив исследование на условный экс-
тремум функции нескольких переменных с помощью метода множителей
Лагранжа и решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Таблица 34
Зависимости затрат на производство горючего от его количества
Предприятие Количество горючего, т. Затраты, руб.
4 6x1
4 *2 10X2 4%2
4 хз 20х3 +8x3
4.2.25. Зависимость между действующими на почву сжимающими
напряжениями а, МПа и относительными деформациями сжатия почвы -
£, изменяющимися во времени t, с, моделируются дифференциальным
уравнением
dor de
at at
(*)
где <о - угловая скорость деформирования, g и q, МПа - характеристики
вязкоупругих свойств почвы [22].
Пусть деформирование почвы осуществляется по гармоническому
закону
z? = £msin(a#+pb), (**)
где ет - амплитуда относительной деформации сжатия почвы, <р$ - угол
сдвига фаз между напряжениями и деформациями.
Общее решение дифференциального уравнения (*) имеет вид
ст = а + огч,
где а - общее решение однородного уравнения —+ agcr = O, ач -
dt
частное решение уравнения (♦). Исходя из зависимости (**), частное ре-
138
Глава 4
шение уравнения (*) следует отыскивать в виде:
<тч =/nsinsX+ncosfiX, (♦♦♦)
где тип- искомые коэффициенты.
Найти:
а) общее решение уравнения (*);
б) формулы для определения коэффициентов тип путем решения
системы двух линейных уравнений по правилу Крамера.
4.2.26. Имеются данные по 30 хозяйствам области об их валовой
продукции (у, млн. руб.), стоимости основных производственных фондов
(, млн. руб.) и затратах труда (х2, чел. - ч.), расходуемых на производ-
ство этой продукции [20]. Зависимость у = /(х1(х2) является линейной
у = а0 + а1х1+а2х2. (♦)
Коэффициента а§, и а2 этой зависимости находят как решение
системы нормальных уравнении, составленной по методу наименьших
квадратов [14,15,16]:
ляо + + п а2 Sx2/ п = м
М + Я А м + *2 2>1Л/ = iytxu. (**) /=i
а0 £x2i + а^хухц + =
В результате обработки имеющихся по каждому из хозяйств данных
найдены входящие в эту систему суммы. Значения найденных сумм при
п = 30 приведены в табл. 35.
Таблица#
Суммы факторов, входящие в систему (*)
И. /=1 1 1 2Х м ^ixu м К п 2х» w
2124 1812 600 15932 143004 39570 45204 12348J
Некоторые приложения линейной алгебры
139
Найти коэффициенты at и а2 зависимости (*), описывающей
данные табл. 35, решив соответствующую этим данным систему уравне-
ний (♦♦) методом Гаусса.
4.2.27. Проведено исследование влияния удобрения - сульфата ам-
мония на урожайность хлопка - сырца. В табл. 36 приведены
опытные данные для одного из полей.
Таблица 36
Влияние азотного удобрения ня прирост урожайности хлопка - сырца
Количество азо- та, кг/га (х) 30 40 80 120 150 180 240 300 350
Прирост урожай- ности, ц/га (у) 2,3 6,7 9,1 12,9 13,4 15,5 17,9 15 12,1
Выявлено, что зависимость прироста урожайности хлопка у от ко-
личества х внесенного в почву сульфата - аммония является квадратиче-
ской. Эта зависимость имеет вид:
у = ах2 +Ьх + с. (*)
Коэффициенты а, b и с этой зависимости находят как решение
системы нормальных уравнений, составленной по методу наименьших
квадратов [14,15,16]:
п п п п
+ b£xf + = ^xfyt,
f=l M f=l
n n n n
a^xi + = ^xiyi,
M f=l i=l z=l
n n n
a^xi + b£Xi + cn =
. i=l 1=4 i=l
(**)
В расчетах, выполненных по данным табл. 36, получено:
140 Глава 4
9 9 9
^jq-1490, £}>,. =104,9, =34830,
f=i /=1 /=1
9 9 9
=20444, £х?= 9,52237 407, JX = 2,82317 1О10,
i=i /=1 /=1
9
2^x^=4923780.
/=1
Найти параметры а, b и с зависимости (*), описывающей данные
табл. 36, решив соответствующую этим данным систему уравнений (*♦)
по правилу Крамера.
4.2.28. Дана система уравнений
Зх - бу + 2 = 0,
[х3 + у3 - 1 = 0. °
Получено приближенное решение системы (*): х0 =0,83, Vq =0,75
(координаты точки пересечения графиков функций /(х,_у) = Зх-6_у+2
и^(х,>’) = х3 + у3-1).
Найти поправки hx и кх к значениям х0 и у0, воспользовавшись
способом Ньютона - Рафсона решения нелинейных систем уравнений
[17], а также уточненные значения Xj = х0 + h\, у1 = + ^1 корней дан-
ной системы. Для определения поправок составить систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными и решить ее по правилу Крамера.. Вычис-
ления выполнить, сохраняя четыре знака после запятой.
Указание.
Согласно способу Ньютона - Рафсона решения нели-
нейных систем уравнений [17] поправки Лj и Aj к
нулевому приближению Xq, у$ находят как решение
системы двух линейных уравнений:
Некоторые приложения линейной алгебры
141
nSi + \dxJo h (д<р\ рЫо + (дГ В системе (♦♦) — Гв А <"> К = -p(*o»Jo)- 1 ® ГЭД и .зна. 1 ’ ^5yJ ’ IcbcJ.’ Jo 0 v 7 0 ' 0 4 л 'O
чения частных производных по х и по у функций
f(x,y) и <р(х,у) при X = XQ, у = у0.
4.2.29. Экстремум целевой функции некоторой задачи нелинейного
программирования достигается в точке B(xs,yB,zs), координаты кото-
рой находят как решение системы трех нелинейных уравнений:
х2 + у2 + z2 - 1 = О,
• 2х2 + у2 - 4z =0, (*)
Зх2 - 4у + z2 =0.
Получено нулевое приближение решения этой системы: хо=0,8,
Jo =0,5 , zo=O,4.
Найти поправки h\, kx, pi к значениям х0, у0 , z0, воспользовав-
шись способом Ньютона - Рафсона решения систем нелинейных уравне-
ний [17], а также уточненные значения Xj = х0 + Aj, у^ = у0 + kt,
^i~z0+Pi корней системы (*). Для определения поправок составить сис-
тему трех линейных уравнений с тремя неизвестными и решить ее по пра-
вилу Крамера. (•*).
Указание.
Ввести обозначения: f(x,y,z) = х2 + у2 + z2 -1 ,
₽(х, у, z) = 2х2 + у2 - 4z, F(x, у, z) = Зх2 - 4 у + z2.
142
Глава 4
Согласно способу Ньютона - Рафсона решения нелинейных систем уравне-
ний [17] поправки hy ку, Р\ к нулевому приближению х$ , у$, z0 находи
как решение системы трех линейных уравнений:
\uXJo кЧУ/О yOZJo
+ *i|¥l + = ~Ф(хо>УО’го)> (**)
\ОХ Jo V4F Jo к™ Jo
i.fciF'l L(dF> (dF) ... .
AiН- + КН- + А 7~ = -^»№»2Ь)«
ЧOX Jo \ЧУ Jo Ч uZ Jo
функций f(x,y,z) , <p(x,ytz), F(x,y,z) при x = xQ, у = yQ, z = zQ.
4.230. Найти изгибающий момент у(х), действующий на брус с пе-
ременным поперечным сечением и шарнирно закрепленными концами,
учитывая, что функция у (х) является решением краевой задачи
у* + (1 + х2)у + 1 = 0,
у(-1) = 0, (♦)
у(1) = 0.
Для приближенного решения задачи (*) воспользоваться методом
коллокации [16], выбрав в качестве базисной функции полином
у = Ci(1-x2)+C2(x2-x4), (*•)
удовлетворяющий краевым условиям.
I) Приняв за точки коллокации точки х = 0, х = ±1/2, составить
систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными для определения
коэффициентов Q и С2 полинома (**).
Некоторые приложения линейной алгебры 143
2) Найти решение составленной системы уравнений по правилу Кра-
мера.
4.2.31. Методом коллокации [16] решить приближенно краевую за-
дачу
у” + х2у + 4 = 0,
Я-з) = о,
ХЗ) “ о.
В качестве базисной функции выбрать полином
у = G(9 - X2) + С2(х2 - х4) + С3(х4 - х6), (**)
удовлетворяющий краевым условиям.
1) Приняв за точки коллокации точки х = 0, х = ±1, х = ±2, соста-
вить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными для опреде-
ления коэффициентов С1? С2 и С3 полинома (**).
2) Найти решение составленной системы уравнений методом Гаусса.
ОТВЕТЫ
Глава 1
П - МЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. п - Мерные векторы и действия над ними
1.1.1. s=(3; 3; 7; 13).
1.13. s=(3; 6; 9; ...; Зл).
1.1.5. г = (-1; -9; -10; 5).
1.1.7. г = (2; 2; 2).
1.1.2. s=(l; 13; -5; 0; 12).
1.1.4. J = (l; 2; 1; 0; ...; 0).
1.1.6. г=(1; 1; 1; ...; 1; 1).
1.1.8. г = (^; -й^; 0; ...; 0)
1.1.9. Ь = (6; -12; 9; 0; 18). 1.1.10. Ь = (2; 4; 6; ...; 2л).
1.1.11. й=(з2; З3; З4; ...; 3n+1). 1.1.12. й=(4; 4; 0; ...; 0).
1.1.13. а=(9; 9; 2; 8). 1.1.14. а=(-1; -1; ...; -1).
1.1.15. а=(-й; -2Л; ...; -лй). 1.1.16. х = (1; 1; 2; -2).
1.1.17. х = (1; 2; 3; 4). 1.1.18. У=(11; И; 5; 9).
1.1.19. з = (5; 9; 13; ...; 4л -1). 1.1.20. г = (5; 5; 1; -3; 1).
1.1.21. г=(-2; -2; ...; -2). 1.1.22. а=(-9; 13; 6; -1).
1.1.23. а=(0; 3; 6; ...; 3(л-1)). 1.1.24. х = (3/5; 6/5; 4/5).
1.1.25. х = (б/5; -1; 1; *8/5).
1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы
п - мерных векторов. Понятие п - мерного векторного пр©*
странства
1.2.1. Линейно независима. 1.2,3. Линейно независима. 1.2.5. Линейно зависима. 1.2.2. Линейно зависима. 1.2.4. Линейно зависима. 1.2.6. Линейно независима.
1.2.7. Линейно независима. 1.2.8. Линейно зависима.
1.2.9. Я, =-2, =7/4, Яз=0, Я^!.
Ответы
145
1.2.19- (5; 15). 1.2.20. (1;
1.2J2. Линейно независима.
1.2.24. Линейно независима.
1.2.26. Линейно зависима.
12.40. (15; 10). 1.2.41. (4;
3). 1221. (-2; 2; 1).
1.2.23. Линейно зависима.
1.2.25. Линейно зависима.
1.2.27. Линейно зависима.
-1). 1.2.42. (2; 2; 1).
Глава 2
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ П - МЕРНЫХ
ВЕКТОРОВ
2.1. Понятие матрицы. Транспонирование матриц
2.1.1. а)Л= 9
Д6
г9
2.12. а)Б= 4
^25
Г4 9 16'
9 16 25'
Т 9 16 25
16 25 36 , 5) Ат =
16 25 36 ’
25 36 49,
125 36 49;
25 49' г9 4 25'
36 64 , 6) Вт = 25 36 49
49 81, к49 64 81;
"2 3 4'
2.1.4. £>=0 4 5
<° 0 6,
ООО' "4 0 0 О'
8 0 0 т 0 8 0 0
6) С- =
0 12 0 ’ ’ 0 0 12 0
0 0 16, <° 0 0 16,
1
146
Ответы
'8 ООО'
0 8 0 0
2.1.6. С =
0 0 8 0
1о 0 0 8,
г-2 1 -1'
'-2 5 3 -8 10' 5 -4 -2 г
2.1.8. а) В 1 -4 0 2 6 , б)Вт = 3 0 6 •
.-1 -2 6 -10 38, -8 2 -10
.10 6 38 ,
2.1.9. Ai и Af - верхние треугольные; Д, - нижняя треугольная;
А2 и Л} - диагональные; А$ - скалярная.
2.1.10. а) А = '0 1 Л 1 4 9 4 1 £ OS 9
0 1 1 0
<1 0 1 4^
9 4 1 0
2.1.11. а) В- 25 16 9 4 9
<49 36 25 16,
2.1.12. С = (0 1 4 9 16).
'3 0 О'
2.1.13. В= 5 6 0 2.1.14. В--
V 8 9,
(-1 3 -9'
2 6 -6
2.1.17. а) С= 5 7 1 9 б)
<8 10 4,
'0 1 1 0 4' 1
б) АТ = 4 1 0
9 4 1
.16 9 4,
'1 9 25 49'
т 0 4 16 36
б)Вг = 1 1 9 25 ’
Л 0 4 16,
г2 0 О' г7 0 О'
0 4 0 . 2.1.1S i. С = 0 7 0.
<0 0 6> .0 0 7, -
Г"1 2 5 8'
Ст = 3 6 7 10 .
1-9 -6 1 4 7
Ответы
147
2.2. Линейные операции над матрицами
(6 10 4 1 '-2 6 2 х
2.2.1. а) 5 = 1 10 11 10 $ 3 , б)/? = 1 -7 -2 2 -4 -5 *
,10 7 10 J Л 5 ~8,
2.23. а) 4 = '10 15 ,20 25 -5 40 j, б)Л2=^ -2/ -4/ 5 -3/5 : 5 -1 - 1/5 ) 8/5/
2.2.4. С = ^~ 4 -3 5 -7 0> 8> 2.2.5.1 С = '-1 -7 7 9 ,-12 -2 -6" -17 8 >
2.2.6. С = ' 52 120 ,-26 '-20 -30'' 44 20, -7 8 2.2.7. С = '2-2 5 - -1 1 о -3 -1 -3-2 4 0 -2-2 1 0 -5 > 6 7 8-2;
2.2.8. D = 28 19 -6 >
,-5 18 27 J
2.2.9. xi= -1/5, х2=- •2/5, х3=-1, j 4=9/5, х5=7/5,
х6 = -13/5.
2.2.10. х1= - 5/3, х2 = 10/3, х3 = 4/3, х4 = 4/3, х5 = 29/3, хб = 0.
2.2.11. Xj=-5, х2=2/3, х3=5, х4 = 7/3, х5 =16/3, х6 = -4/3.
(6 3 7> <-2 -1 -1\
2.2.12. S = . R =
\о ,° -3 -1/
'6 10 4' '-2 6 2 '
2-2.13. a) S 1 10 8 1-2 2 , б)й= л г
11 10 -3 -7 -4 -5
,10 7 Ю; 14 5 -8J
148
Ответы
'-12 18' '-0,2 0,3'
2.2.14. a) Bx = 30 12 , 6) B2 = 0,5 0,2 •
I 24 36, < 0,4 0,6,
' 19 -10 1Г
Г0 8 6 'l
2.2.16. C = 2.2.17. C= -6 -4 -2
k° 3 -з/
L-ii I 6 -3,
'14+Я -4 6 '
2X18. 5 = 0 4+Я 2
< -1 6 4 + Л,
2.2.19. Xj = -2/5, x2 = -6/5, x3 =-6/5
*4=1/5, xs = -9/5,
*6 =-V5.
2X20. *i=-3/5, x2=-2/5, x3=4/5, x4=9/5, xs = 12/5, x6 = 6/5.
2X21. *! =-1/2, x2=-5/2, x3 = -7/4, x4=9/4, x<=-3/2,
x6=-1/4.
23. Умножение матриц
23.1.
233. 6
aa+by afl+bd'
ca+dy cfi + dd;
'1 5 -5' '0 0 o'
23.4. 3 10 0 23.5. 0 0 0.
<2 9 -7, 0 °/
AB* BA .
2.3.7. Her.
23.6.
AB =
'19
<43
22'
50/
<23.8. Да.
23.11. AB = (-1),
23.9. Her.
( 5
-3
-4
1
BA =
23.10. Her.
-10 15 O'
6-9 0
8 -12 0
-2 3 0,
Ответы
149
2 д.12. = Р9
8 18'
6 11/
В А - не существует.
<13 ЮЛ
25.13. АВ = 17 20 , ВА - не существует.
<20 11J
23.14.
'2 7 9 '
ВА = 2 -5 -11
<2 10 14 J
9
(36 7 25'
23.15. ЛВ = | <-4 3 -з> * ВА - не существует.
23.16. АВ = 23.17. АВ = \ (6 ~ I3 '2 8 А А. -2А 9 J , ВА ВА = '4 8 8 ' = 4 4 -12 . <°9 15 , '2 4 3 0 4' 4 2 3 0 5 0 0 0 0 0.
23.18. ВА = Я- ' 1 -3 -3 4 11 _< ['I 9/ 4 2 3 0 5 ,0 4 2 0 2, ВА не существует.
23.19. м о ° W . 2350. '-10 -4 -7' б 14 4 ,-7 5 -4, . 23.21. '1-2 0 > 3 1 -1 ,3 -1 -2,
Г-20 И О'! Г 7 юл <15 22J
23.22. -11 12 7 . 23.23.0. 23.24. -4 9 8. •
150
Ответы
2.3.25.
cos 2а
sin 2а
-sin 2а
cos 2а
2.3.26.
-7
12
-6'
8,
2.3.27.
'7 0
0 7 0
1° 0 I
Г2п л-2""1 0 '
23.29. 0 2" 0
1° 0 (-з)\
АТА=
ААТ-(5 1Г|
111 25)’
2.3.30.
10 14А
14 2о)
'9 0 0' '25 0 О'
(28 14
2.3.31. А4Г = 0 4 0 , АТА = 0 4 0 . 2332.
<21 21
к0 0 25, <0 0 9,
' 5 1 3 >
2333. 8 0 3 .
1-2 1 "2>
2.3.40.
0 О']
о oj
/а ллЧ ' 21 -23 1 15'
2334. 1 О 4U | . 2335. -13 4 10 .
1° 167
к-9 22 25,
Г-9 13> ГО 0>
23.41. 23.42.
<15 4J <0 0;
23.44. , . (0 О' (11 -15). 23.45. 1 о •
2.3.43.
'п -22 29' ' 2 -9 14 '
23.46. 9 -27 32 2347. 5 -22 -И
113 -17 26; t-18 19 -32J
<0 0 0^ '6 2 -Г
2.3.48. ООО 23.49. 6 1 1
<0 0 0; <8 -1 4;
2-3.51. Нет. 23.52. Да.
23.53. Нет.
(11 -19>
2.3.55. ЛЯ= „
17 -12)
Ответы
151
23.56.
г2 7 9 '
ВА = 2 -5 -11
10 14;
(19 8 6>
23.57. АВ = [7 7 9/ ВА не существует.
2338. АВ = 1 г2 г'» <5 5/ ВА — '3 2 2 Г 3 4 12 12 0 1' ,1 0 0 0,
f 6 0 6^
23.59. АВ = \-4 3 1, В А не существует.
'-20 11 О'
(-4 -4А
23.68. л ' 23.61. 0. 23.62. -11 12 7 .
\ 4 *г / ,-4 9 8,
(1 101 fl5 го'! (ап o'!
23.63. 23.64. . 23.65.
<15 22) <20 35) <0 Ъл J
23.66. fl 0) (4 -3^ при и = 2л; 1фии = 2£+1. \0 1у ^5 -4)
23.67. fl О') , f3 -2} 1 1прии = 2л; 1 при п = 2Л + 1. VO 1) ^4 -3}
'1 2 3 4^
23.68. Л ЛГ=(30), Аг-А = 2 4 6 8
3 6 9 12 '
И 8 12 16,
23.69. Г ° 1 23.70.
(о о)
'0 0 О'
23.71. 0 0 0
0 oj
152
Ответы
2.3.73.
х
.У
У 1
х-у/
2.4. Определители и их свойства. Вычисление определителей
2.4.1. -39. 2.4.2.34. 2.4.3.-4. 2.4.4. sin(a-£).
2.4.5. 0. 2.4.6.0. 2.4.7. -1. 2.4.8. х =-13.
2.4.10. а) М21 — 2, ^21— -2; б)М13=-14, 43=-14.
2.4.11. -2. 2.4.12. -63. 2.4.13. 1. 2.4.14. 1.
2.4.15. 3. 2.4.16. -49. 2.4.17. -16. 2.4.18. 6.
2.4.19. xyz. 2.430. 2а2(а + х). 2.4.21. 40. 2.432. 4.
2.4.23. -1. 2.434. 0. 2.4.25. 32. 2.4.26. 35.
2.4.27. -2ft2. 2.4.28. 2. 24.29. -10. 2.430.-19.
2.4.31. 144. 2.432. 1824. 2.433. 0. 2.434. 0.
2.435. 0. 2.436. Я41<*у2(.а14а23 “ Л13а24)'
2.437. 3a-b+2c+d. 2.4.38. -40. 2.439. -abed.
2.4.40. 0. 2.4.41. 0. 2.4.44. 10. 2.4.45. 160.
2.4.46. 10. 2.447. 48. 2.4.48. -1. 2.4.49. 1.
2.4.50. 665. 2.4.51. 78. 2.432. -20. 2.4.53. -28.
2.434. abed. 2.4.55.0. 2.4.56. и! 2437. (»- 1)! 2.438. п+1.
2.4.59. 3(n- 1)! 2.4.60. -4. 24.61. 1. 2.4.62. -132. 24.63.
2.4.64. 1/соз2 24.65. 0. 2.4.66. 1;2.
2.4.68. а) М31 7, 432 = —7; । б)Л/и=-1б, 4р = -16.
2.4.69. 50. 2.4.70. -66. 2.4.71. 10. 2.4.72. -1.
2.4.73. 6. 2.4.74. 2. 2.4.75. -6. 24.76. 0.
2.4.77. 3. 24.78. 8. 2.4.79. 4а. 2.4.80. 13.
2.4.81. -2х. 2.4.82. -46. 2.4.83. 15. 2.4.84. 15.
2.4.85. 18. 2.4.86. 72. 24.87. 0. 2.4.88. 0.
2.4.92. а14в23 (а32Л41 -а31а42. ). 2.4.93. 6. 2.4.94. -3.
Ответы
153
2.4.95. 100. 2.4.96. а-d. 2.4.97. abed. 2.4.98. -5.
2.4.99. - 3. 2.4.100. 153. 2.4.101. - 75. 2.4.102. Зх(х2 + 3).
2.4.103. abed. 2.4.104.54. 2.4.105.-320. 2.4.106.-24.
2.4.107. аиаг2...апп. 2.4.108. л! 2.4.109. 2(л-1)!. 2.4.110. пап~х.
2.5. Ранг матрицы. Ранг системы п - мерных векторов
2.5.1. Миноры третьего порядка:
2.5.2. г(В) = 2; два базисные минора:
3
2
2
б
4 5
2 3
2.53. г(4) = 1- 2.5.4. г(А2) = 1. 2.5.5. г(Л3) = 2. 2.5.6. г(Л) = 3-
23.7. rG4s) = 2.
2.5.8. г = 3, 2-3 3 4 -3 1 3-2 3 - базисный минор.
2.5.9. г = 2, 0 1 - базисный минор. 2 1
2.5.10. 3. 2.5.11. 2. 2.5.12. 3. 2.5.13. 4.
0 3 0| 3 0 0
2.5.14, г(Л) = : 3, базисные миноры: 2 0 0,0 0 5.
0 0 4 0 4 0
2 3 2 6 6 8
2.5.15. г(А) = 2, базисные миноры: , 2 3’34
154
Ответы
2.5.16. 2.
2.5.22. 2.
2.5.17. 3. 2.5.18. 3. 2.5.19. 2. 2.5.20. 2. 2.541. 3
2.5.23. 3. 2.5.24. 4. 2.5.25. 2. 2.5.26. 3.
2.5.27. г = 3 при Я=4; г = 4 при Я # 4.
2.5.28. г = 1приЯ = -3; г = 2 при Я = 3; г = 3 при Я2-9#0.
2.5.29. 2. 2.530. 2.
2.533. Линейно зависимы.
2.535. Линейно зависимы.
2331. 4. 2332. 3.
2.534. Линейно независимы.
2336. Линейно независимы.
2.537. Я = 15. 2.538. Я #12. 2339. Я #12,5. 23.40. 1.
2.5.41. 1. 2.5.42. 2. 23.43. 3. 23.44. 2
2
1
23.46. г = 2, базисный минор:
2.5.47. 3.
23.48. 4.
2.5.49.
г(Л) = 2; базисные миноры:
2.5.50. 2. 2.5.51. 3. 2.5.52. 2. 2.533. 3.
23.55. 2. 2336. 2. 2.537. 2. 2.5.58. 3.
2.5.60. г = 3 при Я = 3; г = 4 при Я # 3.
2.5.61. г = 0 при Я = 0; г-2 при Я#0.
2.5.62. г = 1при Я = 1; г = 3 приЯ#1.
23.63. г-2 приЯ = 3; г = 3 при Я#3.
2.5.64. 1. 23.65. 3. 23.66. 3. 23.67. 2.
2.5.54. 3.
2.539. 3.
2.5.69. Линейно зависимы. 23.70. Линейно независимы.
2.5.71. Я-любое число.
2.6. Обратная матрица. Матричные уравнения
2.6.2. Нет. 2.63. Да.
2.6.4. Нет.
2.6.5.
-2
7
2.6.6.
1 (d
ad-bc\-c
Ответы
155
/ 1/5 3/5 -2/5' Г-1 1 : 2 '
1.6.7. -3/5 1/5 1/5 2.6.8. -3 2 4 .
\ 1/5 -2/5 3/5 J <-7/3 5 i/3 11/3,
/4 -8 7 '
coscr sin а 1 „
2.6.9. 2.6.10. — 2 7 - 2 .
-sin а cos а 11
1-1 2 1>
2 -р
(7 -4>
2.6.11. 7/4 - Ь/2 - -9/4 -5/2 5/4 . 3/2/ 2 бЛ2, [-5 3 }
'-7/4 3/2 -1/4' р 2 2 >
2.6.13. -1/2 0 1/2 2.6.14. - 2 1 О -2
<5/4 -1/2 -1/4, ^2 -2 1 >
'3/4 -7/2А 1 -1/24'] Г 8 7 -17'
2.6.15. -i/2 5/12 -1/12 . 2.6.16. — -11 8 -6 .
1-1/4 1/24 7/24) 47\“9 -2 25,
Г1 -3 1 11 -38> Г 22 -6 -26 17 '
0 1 -2 7 -17 5 20 -13
2.6.17. 2.6.18.
0 0 1 -2 -1 Р 2 -1
J) 0 0 1 > 1 4 -1 -5 з ,
' 2 3 -7 6 '
(-8 29 -1 Г
1 -1 2 7 -10
2.6.19. -5 18 -' 7 . 2.6.20. -
7 4-1 0 -2
1 - 3 1
<-з -1 0 5 ,
'1 -1 0 О'
0 1 -1 0
2.6.21.
0 0 1 -1 ‘
<о о 0 1>
*1
156
Ответы
Г1 1 1 ... г
0 1 1 ... 1
2.6.22. 0 0 1 ... 1
... ... ••• ... ...
1о 0 0 ...
2.6.24.
<1 0 0 ...
1 1 0 ...
2.6.23. 1 1 1 ...
(Г
О
О
/3 -2^1
2.6.25.
(5 -4J
2.6.27. 4 5
2.6.28.
2.6.29. Х =
2.631. Нет. 2.632. Да. 2.633. Нет. 2.634. Да.
/2 1
2.635. . 2.6.36.
(3/2 -1/2)
2.638. Обратная матрица не существует.
( 1 О 0>
2.639. I \ |. 2.6.40. -2 1 О
^"3/2 2' (1/2 -1/2 1/2,
2.6.41. - 3 ' 5 -7 ("6 -3 6 3 -Г -1 3; 2.М2. -1 3. (5 -г"!
2.6.43. -2 1 )'
-1 -1/3 2/ 3' (1 -1 Г
2.6.44. 0 -2/3 1/: 3 2.6.45. 9 - 14 12 .
к 1 1/2 -1/2. 5 - -8 7,
Г1 -2 1 0'
-7/3 2 -1/3' 0 1 -2 1
2.6.46. 5/3 -1 -1/3 2.6.47. 0 0 1 -2 •
1 -2 1 1 7 .0 0 0 1 ,
Ответы
157
<14
1
42
2.6.50. |
-1
2
6
-9
3
12
4
-3
4
1
-5.
2.6.49.
2.6.51.
'1/3
о
о
. О
-1
О
1/7
О
о
(Г
о
о
1/5,
“ %:
2
3
О
О
О
О
2.632. Нет решений (X не существует).
2.6.53.
'-4 1
.-3 2
2.6.54.
'-2 4
-1 -1
.-1 6
2.6.55.
О'
3
-1
4.
3
1
о
Глава 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
3.1. Системы п уравнений с п неизвестными. Правило Крамера
3.1.1. Нет, т. к. определитель системы А =
2 5
4 10
= 0.
*0.
системы А =
3.1.2. Да, т. к. число уравнений равно числу неизвестных и определитель
3 2
4 -5
3.13. Да, т.к. число уравнений равно числу неизвестных и определитель
системы А =
-1
3
1
2
-5
1
#0.
3
2
1
158
Ответы
2 -I
3
3.1.4. Нет, т.к. определитель системы А =
-5 =0.
1 2
3 1
-2
3.1.5. Нет, т.к. число уравнений не равно числу неизвестных.
3.1.6. (3; -1/2). 3.1.7. (3; -1). 3.1.8. (1; 2). 3.1.9. (4; б).
3.1.10. (5; -2; 3). 3.1.11. (2; -3; 5). 3.1.12. (1; 2; 3).
3.1.13. (1; 1; -1; -1). 3.1.14. (2; -1; 0; -2).
3.1.15. (0; 0; 0; 0). 3.1.16. (-1; -1; 0; 1).
3.1.17. Qb/l'fa/i) при о&*0; при oZ> = 0 правило Крамера применить
нельзя.
Г 2 2 Л
3.1.18. -----;-------- при а * ±д; при а = ±Ъ правило Крамера при-
Va+6 3(а + 6);
менить нельзя.
3.1.19. Да, т. к. число уравнений равно числу неизвестных и определитель
системы Д =
5
7
3.1.20. Нет, т. к. определитель системы А =
= 0.
3.1.22. (5; -4). 3.1.23. (2; 1). 3.1.24. (4/о; 1). 3.125. (1/2; -1/2).
3.126. (asina+hcosa; acosa-ftsina).
3.1.27 . (-3; 19/2; 13/2). 3.1.28. (3; 1; 1). 3.1.29. (1; 2; -2).
3.1.30 . (1; 2; 3). 3.1.31. (2; -1; 1). 3.132.(1/3; 2/3; 0).
3.133. (-2; 0; 1; -1). 3.134.(0; 0; 0; 0; 0).
3.135. (2; 1; -3; 1).
Ответы
159
f 3—106 10а—Зе , л гл w
3.136. ----> ------ при в-ос*0; при а—ос = 0 правило Кра-
la-ос а-ос J
мера применить нельзя.
3.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной
матрицы
(7 3)
3.2.1. Нет, т. к. матрица системы | является вырожденной.
(21 9
-1
2
-2
г2
ЗЛ2. Да, т. к. матрица системы 3
.1
2 является невырожденной.
3,
3.23. Нет, т. к. матрица системы 2
.4
-2
3
-1
3.2.4 . а = ±1. 3.2.5. а = 0, а = 1, 6 = 0.
3.2.7 . (3; -1). 3.2.8. (2; 3; 1). 3.2.9. (2; -2; 3).
ЗЛЮ. (2; -1; 4). ЗЛИ. (1; 2; 3).
32.13. (-4; -4; 9; -4).
-1 является вырожденной.
1 )
3.2.6. (3; -1/2}
3.2.12. (-2; 5; -3; 1).
3.2.14. (-3; 0; 1; -1).
Г-1/3
3.2.15. Х= 2 , Y = -2/3 .
-2
I 1/2 )
(3
3.2.16. Нет, т. к. матрица системы
(6
3.2.17. Да, т. к. матрица системы Р
8}
является вырожденной.
16/
-2\
1 I является невырожденной.
160
Ответы
2 -3^
3.2.18. Да, т.к. матрица системы 2 -1 -1 является невырожденной.
<13 4,
3.2.19. a = ±b. 3.2.20. а = 1 или b = 0. 32.21. (5; 2). 3.2.22. (0; 4).
3.2.23. (1/9; -1/9; 5/9). 3.2.24. (-1; 1; 3). 3.2.25. (2; -1; -3).
3.2.26. (2; -3; 5). 32.27. (-2; 0; 1; -1). 3.228.(2; 0; 0; 0).
г3> f3' '-3'
3.2.29. Х = 2 , У = -5 3230. Х = -9 , У = 5
< > -ъ
3.3. Исследование систем линейных уравнений
3.3.1. Система несовместна. 33.2. Система совместная, определенная.
3.3.3. Система несовместна. 33.4. Система совместная, определенная.
3.3.5. Система совместная, неопределенная. 33.6. Система несовместна.
33.7. Система совместная, неопределенная.
3.3.8. Система совместная, неопределенная.
33.9. Система совместная, определенная. 3.3.10. Система несовместна.
33.11. Л = 5. 33.12. Система несовместна.
33.13. Система совместная, определенная. 3.3.14. Система несовместна.
33.15. Система совместная, определенная. 33.16. Система несовместна.
33.17. Система совместная, неопределенная.
33.18. Система совместная, неопределенная.
3.3.19 . Система совместная, неопределенная.
3.3.20 . Система совместная, определенная.
33.21. Система совместная, определенная. 33.22. 2 = 1.
Ответы
161
3.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
3.4.1. (1; 2; 3). 3.4.2. (-3; 19/2; 13/2). 3.4.3. Система несовмест-
на. 3.4.4. (2; 0; 0; 0). 3.4.5. Система несовместна.
3,4.6. Общее решение: А” = (-х3; 2х3-2; х3).
3.4.7. Общее решение:
Jf = ((x3 + 4х4 +2)/3; (х3-5х4-1)/3; х3; х4)
3.4.8. (1; -1; -1; 1).
3.4.9. Общее решение: АГ = (х3 + 2х4-1; х3 + 2х4-3; х3; х4).
3.4.10. Система несовместна. 3.4.11. (1; 0; -1; 2).
3.4.12. Общее решение:
Х = ((х3-9х4-2)/11; (-5х3 +х4 + 10)/11; х3; х4).
Частное решение: Хч = (-1; 1; 0; 1).
3.4.13. Общее решение: Лг = (2х2-х3; х2; х3; 1)
Частное решение: X, = (3; 2; 1; 1).
3.4.14. Общее решение:
Х = (-х5/2; -l-Xj/2; 0; -1-х5/2; х5).
Частное решение: 2Гч=(-1; -2; 0; -2; 2).
3.4.15. Х = (0; 2; 3; 1; 0). 3.4.16. Х = (-5 -12 -40)г.
3.4.17. При любом Л система является совместной и определенной.
Х= (0,252 + 4; 0,52-8),
3.4.18. При 2 = -4 система несовместна. При Л = 4 система является со-
вместной и неопределенной; общее решение: X = (3-2х2; х2). При
Л* ±4 система является совместной и определенной;
Х = (12/(2+ 4); 6/(2+ 4)).
3.4.19. При 2*8 система является совместной и определенной;
ЛГ = (3; -1; 0).При2 = 8 система совместная и неопределенная; общее
решение: X = (3 + 2х3; -1 - х3; х3).
3.4.20. При 2*0 система несовместна. При 2 = 0 система является со-
вместной и неопределенной; общее решение:
162 Ответы j
Х = (-(5х3+13х4+3)/2; -(7х3 + 19х4 + 7)/2; х3; х4)
3.4.21. (2; 3; 5). 3.422.(1; 2; 3; 4). 3.4.23. Система несовместна.
3.4.24. Система несовместна. 3.4.25. (3; -4; -1; 1).
3.4.26. X = (1, 4 + х4; 5+2х4; х4). 3.4.27. (2х3-х4; 1; х3; х4) j
3.4.28. (1 + (4х3 + х4)/5; 2 + (2х3+Зх4)/5; х3; х4). ;
3.4.29. (-х3; 2х3-2; х3). 3.4.30. Система несовместна.
3.4.31. Общее решение:
Х = (-17х3+29х4+5; 10х3-17х4-2; х3; х4).
Частное решение: Хч = (5; -2; 0; 0).
3.432. Общее решение:
2’ = (х1; х2; 6-15xj + 10x2; -7+18XJ-12X2).
Частное решение: Хч = (0; 1; 16; -19).
3.433. Х = (2 -1 3f.
3.434. При любом Я система является совместной и определенной.
Х=(1+Л/6; -З + Л/2).
3.435. При Л = -3 система несовместна. При Л = 3 система является со-
вместной и неопределенной; общее решение: Лг = (1-х2; х2). При
Л * ±3 система является совместной и определенной;
Х = (3/(3 + Я); 3/(3 +Я)).
3.4.36 . При Я = 1/5 система несовместна. При Я # 1/5 система является
совместной и определенной;
Г5-11Я. 9Я-6 7
~к,5Я-Г 5Я-1’ 5Я-1/
3.437. При Я = 0 система несовместна. При Я Ф 0 система является со-,
вместной и неопределенной; общее решение:
v (4-Л 3 9Я-16 8 1)
I 5Я 5 3 5Я 3 3 Л)
3
Ответы
163
3.438. При (Л - 1)(Л + 2) * 0 система является совместной и определен-
ной;
2 + 1. 1 (2 + 1)2
Л+2 Л + 2 Л + 2
. При Л = -2 система несовместна.
При Л = 1 система является совместной и неопределенной; общее реше-
вне; Т = (1-х2-х3; Хг; х3).
3.439. При 2*1, 2*-3 система является совместной и определенной;
X = (1/(2+3); 1/(2+3); 1/(2+3); 1/(2+3)). При 2 = 1 система явля-
ется совместной и неопределенной; общее решение:
X = (1-х2 -х3 -х4; х2; х3; х4). При 2 = -3 система несовместна.
3.5. Системы однородных линейных уравнений
3.5.1. Нет. 3.5.2. Да. 3.53. Нет. 3.5.4. Да. 3.5.5. Да. 3.5.6. -1;0; 1.
3.5.7. Система имеет ненулевые решения, если среди чисел к\, Л2, Л3, к4
есть равные. 3.5.8. а) (Зх2-2х3; х2; х3);б)(3; 1; 0), (-2; 0; 1).
33.9. а) ^-|х3; -|х3; х3б) (-5/2; -9/2; 1).
33.10. а) Система имеет только нулевое решение: (0; 0; 0; 0);
б) не существует.
3.5.11. а) (-Зх3+5х4; х3-Зх4; х3, х4);
б)(-3; 3; 1; 0), (5; -3; 0; 1). 3.5.12. а) (5х4; -Зх4; 0; х4); б) (5; -3; 0; 1)
3.5.13. а) (х4; Зх4; -х4; х4); б) (1; 3; -1; 1).
3.5.14. а) (8х3-7х4; -6х3+5х4; х3; б) (8; -6; 1; 0), (-7; 5; 0; ,1).
33.15. а) (-(2х2 +4х4 + 8х5)/3; х2; х4+Зх5; х4; х5);
б) (-2/3; 1; 0; 0; 0), (-4/3; 0; 1; 1; 0), (-8/3; 0; 3; 0; 1).
33.16. а) (5х2-х5; х2; х3; 13х2 + 2х3 + х5; х5);
б) (5; 1; 0; 13; 0), (0; 0; 1; 2; 0), (-1; 0; 0; 1; 1).
164
Ответы
3.5.17. а) (О; (х4-2х5)/3; 0; х4; х5);
б) (0; 1/3; 0; 1; 0); (0; -2/3; 0; 0; 1).
2
3.5.18. При 2 = -5
общее решение:
13
Ух3;
х3 I» фундаменталь-
?х3;
ная система решений: (13; 2; 7). При Л*-5 система имеет только три-
виальное решение: (0; 0; 0), фундаментальной системы решений нет.
3.5.19. При Л = -5 общее решение: (xj; 2хх - 8х4; - Зх4; х4 );
фундаментальная система решений: (1; 2; 0; 0), (0; -8; -3; 1).
При Л -5 общее решение: (xj; 2хг; 0; 0); фундаментальная: система
решений состоит из одного решения: (1; 2; 0; 0).
3.5.20. Нет. 3.5.21. Нет. 3.5.22. Да. 3.5.23. Нет. 3.5.24. Да.
3.5.25. -1; 0; 1. 3.5.26. а) (х2-2х3; х2; х3); б) (1; 1; 0),
(-2; 0; 1).
3.5.27. а) ^-|х3; ух3; х3}; б) (-1/5; 13/5; 1).
3.5.28. а) (-2х3-х4; -х3-Зх4; х3; х4);
б) (-2; -1; 1; 0), (-1; -3; 0; 1).
3.5.29. а) (0; (х3-2х5)/3; х3; 0; х5);
б) (0; 1/3; 1; 0; 0); (О, -2/5; 0; 0; 1).
3.5.30. а) (-Зх3-5х5; -2х3-Зх5; х3; 0; х5);
б) (-3; -2; 1; 0; 0); (-5; -3; 0; 0; 1).
3.531. а) (0; х3/3; х3; 0; 0); б) (О, 1/3; 1; 0; 0).
3.532. а)(Зх3-5х5; -2х3-Зх5; х3; 0; х5);
б) (3; -2; 1; 0; 0), (5; -3; 0; 0; 1).
3.533. а) (15х2-2х4-5х5; х2; -10х2+х4 + 2х5; х4; х5);
б) (15; 1; -10; 0; 0), (-2; 0; 1; 1; 0), (-5; 0; 2; 0; 1).
3.5.34. а) (х4-х5; х4-х6; х4; х4; х5; х6);
б) (1; 1; 1; 1; 0; 0); (-1; 0; 0; 0; 1; 0);
Ответы
165
(0; -1; 0; 0; 0; 1).
3,5.35. При Л = -5 общее решение:
8 1 Е
хз I» фундамен-
тальная система решений: (- 8; -1; 3). При Л -5 система имеет толь-
ко тривиальное решение: (0; 0; 0), фундаментальной системы решений
нет.
3.5*36. При Л = 1 общее решение: (2х2 - х4/2; х2; - Зх4/2; х4);
фундаментальная система решений:
(2; 1; 0; 0), (-1/2; 0; -3/2; 1).
При Л*1 общее решение: (2х2; х2; 0; 0); фундаментальная система
решений состоит из одного решения: (2; 1; 0; 0).
3.537. При (2 + 2)(2 -1) # 0 система имеет только тривиальное решение:
(0; 0; 0). При 2 = 1 общее решение: (- х2 - х3; х2; х3). При 2 = -2
общее решение: (xj 9 , Xj).
3.6. Выявление линейной зависимости или независимости сис -
тем п - мерных векторов
3.6.1. Линейно независимы. 3.6.2. Линейно независимы.
3.6.3. Линейно зависимы. 3.6.4. 2а^ + За2 + а3 - 2а4 = 0.
3.6.5. 2ах —а2 - а4 = 0. 3.6.6. 8^ + а2 - За3 = 0.
4
3.6.7. 6ai-а2-8а4 =0. 3.6.8. +а2-а3 = 0.
3.6.9. Линейно независимы. 3.6.10. Линейно независимы.
3.6.11. Линейно независимы. 13 3.6.12. ——ах + 5а3 + а4 = 0.
3.6.13. Зд| — а2 + 4а4 = 0. 3.6.15. Й4 - За2 + а3 = 0. 3.6.14. 4ai + 2а2 - а3 = 0.
166
Ответы
3.7. Базис системы п - мерных векторов. Разложение вектора но
базису
3.7.4. Векторы ё], образуют базис, так как они линейно независимы. В
этом базисе х = (5; -4).
3.7.5. Векторы ё|, ё2, ё3 образуют базис, так как они линейно независи-
мы. В этом базисе х = (-1; 1; 2).
3.7.6. Векторы ё], ё2, ё3 образуют базис, так как они линейно независи-
мы. В этом базисе х=(2; -1; 3).
3.7.7. Векторы ё], ё2, ё3, ё4 образуют базис, так как они линейно незави-
симы. В этом базисе х = (5/4; 1/4; -1/4; -1/4).
3.7.8. Векторы ё], ^, ё3, ё4 образуют базис, так как они линейно незави-
симы. В этом базисе х-(-2; 2; -1; 0).
3.7.9. Базис образуют векторы aj, а2, в3; а4 = + За2 - За3;
a5=4ai-3a2-2a3.
3.7.10. 1)2^; а2. 2)а2; а3. 3.7.11. Любые два вектора образуют базис.
3.7.15. Векторы ё], ё2 образуют базис, так как они линейно независимы.
В этом базисе х = (0; 2).
3.7.16. Векторы ёр ё2, ё3 образуют базис, так как они линейно независи-
мы. В этом базисе х = (5; 3; - 2).
3.7.17. Векторы ё^, ё2, образуют базис, так как они линейно независи-
мы. В этом базисе х=(3; 2; 1).
3.7.18. Векторы ё], ё2, ё3, ё4 образуют базис, так как они линейно незави-
симы. В этом базисе х = (1; 0; -1; 0).
3.7.19. 1) ау; а3; 2) а2;а3; 3) а3; а4.
3.7.20. 1) а{; а4; 2) ё2;а4; 3) а3; а4.
Ответы
167
3.8. Системы линейных неравенств
3.8.1. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые входят в эту область.
3.8.2. Часть плоскости внутри пятиугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые входят в эту область.
3.8.3. Неограниченная сверху часть плоскости, заключенная между гра-
ничными прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенст-
вам. Граничные прямые входят в эту область.
3.8.4. Часть плоскости внутри пятиугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.
Граничные прямые входят в эту область.
3.8.5. Система имеет единственное решение. Решением системы является
точка (0; 1).
3.8.6. Система имеет единственное решение. Решением системы является
точка (3/5; 14/5).
3.8.7. Область решений является пустой: система неравенств несовместна.
3.8.8. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые входят в эту область.
3.8.9. Часть плоскости внутри четырехугольника, образованного гранич-
ными прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.
Граничные прямые входят в эту область. Вершины четырехугольника
имеют координаты: (0; 4), (8/7; 4/7), (3; 1), (3; 4/5).
3.8.10. Часть плоскости внутри четырехугольника, образованного гранич-
ными прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.
Граничные прямые входят в эту область. Вершины четырехугольника
имеют координаты: (4; 0), (5; 0), (0; 2), (3; 4).
168
Ответы
3.8.11. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничны^
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра»
ничные прямые входят в эту область.
3.8.12. Часть плоскости внутри треугольника, ограниченного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.. Сто-
роны треугольника в эту область не входят.
3.8.13. Неограниченная выпуклая многоугольная область, заключенная
между граничными прямыми, уравнения которых соответствуют данным
неравенствам. Граничные прямые входят в эту область.
3.8.14. Система имеет единственное решение. Решением системы является
точка (2; 0).
3.8.15. Область решений является пустой: система неравенств несовмест-
на.
3.8.16. Часть плоскости внутри четырехугольника, образованного гранич-
ными прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.
Граничные прямые входят в эту область.
3.8.17. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые входят в эту область. Вершины треугольника имеют коор-
динаты: (10/7; 18/7), (42/13; 10/13), (45/11; 40/11).
3.8.18. Неограниченная выпуклая многоугольная область, заключенная
между граничными прямыми, уравнения которых соответствуют данным
неравенствам. Граничные прямые входят в эту область. Вершины области
решений имеют координаты: (3/2; 5/2), (27/13; 20/13).
3.8.19. Часть плоскости внутри пятиугольника, образованного граничны-
ми прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам.
Граничные прямые входят в эту область. Вершины пятиугольника имеют
координаты: (3; 0), (0; 2), (0; 4), (4; 0), (10; 9).
3.8.20. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые входят в эту область. Вершины треугольника имеют коор-
динаты: (-2; 2), (4; 5), (8; -4).
Ответы
169
3.8.21. Часть плоскости внутри треугольника, образованного граничными
прямыми, уравнения которых соответствуют данным неравенствам. Гра-
ничные прямые не входят в эту область. Вершины треугольника имеют ко-
ординаты: (9; -4), (0; 2), (-9/4; -1/4).
Глава 4
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
4.1. Приложения матриц и определителей
(20 40 60Л '0,7 0,6/
4.4.1. Л = 4.1.2. к=
/30 50 70/ 0,8 0,4 J
'13,4' '13,7' '10,7' '2,7'
13,1 15,3 11,8 1,3 -
12,6 15,1 11,0 1,6
4.13. а) А = 12,6 , в= 15,0 , с= 11,2 ; б) D = 1,4 •
13,6 14,6 11,0 2,6
13,9 14,9 11,2 2,7
<13,7, <14,3; (11,6; <2,1;
4.1.4.
0,26 20,17'| 20>10) Г-0,13 °’07>|
0,40 19,96/ "(0,60 19,88/ В) Д-0,20 0,08/
4.1.5. '98 35 47' '76 47 56' '174 82 103'
а)Л = 45 51 28 ; б)В= 43 41 34 , в)С = 88 92 62
38 24 42 42 26 49 80 50 91
<52 18 29; (48 25 37, /00 43 66;
920 1350 1210А <2050 1640 1956Л
; 6)5= :
870 980 680) (1470 1080 1075)
170
Ответы
ГИЗО 290' 746Л
(бОО 100 395J
'17 11 12' '20 1 3 11^ '12 15 14'
4.1.7. а) Ах= 21 17 19 11 14 21 9 ^2, 34 16 19 16 16 26 , Л 3“ 25 19 23 18 20 22 9
к32 24 24, I4' 1 з П 33; 137 28 2i d
Г 29 26 26' 49 39 37'
б)В = 46 40 37 30 34 43 ; в) s 80 46 • 59 ; 50 53 69 •
69 52 49, НО 83 82;
'4000 6000 3000 8000 7000'
4.1.8. 5000 2000 4000 7000 9000
5000 6000 8000 4000 7000
ч3000 4000 3000 6000 9000,
4.1.9. '1500 3500 3000 ч2500 2000 2500' 1000 1500 5000 2000 1000 1500; • 4.1.10. '400 600 к800 600 400 400 1000 600 400 800' 200 1200,
f 100 0 0 0 0
-100 200 0 0 0
4.1.11. -300 0 300 0 0 *
-500 -200 100 400 0
^-700 -400 100 200 500;
'12,1 11,1 11,0s '24,2 22; 2 22, О'
4.1.12. а) А = 13,2 11,4 12,1 12,5 11,7 12,0 9 б) < в > = 26,4 24,2 22,8 25,0 23,4 24 •
J1.3 10,8 11,8; <22,6 21,6 23,6;
Ответы
171
'17,85 16,08'
4.1.13. а) А = 17,63 15,59 >
,17,61 16,19,
'89,25 80,40' '178,5 160,8^ <267,75 241,2'
6)4= 88,15 77,95 ;Л2 = 176,3 155,9 ;в)5 = 264,45 233,85 .
1,88,05 80,95, ,176,1 161,9) 1,264,15 242,85,
'40 60' '20 ЗОЛ <10 30'
4.1.14. а) А = 50 70 , В = = 40 50 , С= 50 60 ;
,30 70, ,40 60J I,40 40>
<170 300'| <15 ЗОЛ
6)8 = 360 460 в)£> = 40 50 .
,290 410, ,35 35;
4.1.15. (1,600 200,696 2,411 4,548 6,901f.
4.1.16. 1) а) на культуру 1: (800 1200 1200);
на культуру 2 -(700 1575 700); на культуру 3-(1250 2500 1750);
1) 6) (2750 5275 3650); 2) а) (5260 4103,75 8325); 2) б) 17688,75.
<179 207 237 99'i <3410>
4.1.17. а) С = ; 6) £> =
1,71 118 S >2 46j ’ 1,1452)
'48 64 3,7'
4.1.18.1) а) А = 25 29 ?9 > 50 60 7°)’ Zu Zjf it,?
,29 39 2,4,
») С = (15 13 1 И 10).
<воо'|
2) a) D = (6700 8280 715); 6) М =
650
660
в) 2610.
172
Ответы
4.1.19.1) а) А = "127 627,8' 131 661,6 93 588 95 592 124 648 ч93 588 , ; б) В = (817 198 100 62 53
2) С = (152575 817578,4). "1,04 0,21 0,03 > f0,40 1,41 0,1 Г'
4.1.20. 5 = 0,21 1,06 0,13 к0,03 0,13 1,27 4.1.22. М = -16/ + 13J -4к. . 4.1.21. К = 0,22 0,45 1,07 ; [1,87 0,07 0,44 , 4.123. v = -cayi + сад'.
4.1.24. 14 куб. ед. 4.1.26. 3x+3y + z-8 = 0. 4.1.28. my = (1; 6); £г = 4.1.25. а) 48 кв. ед.; б) 12 куб. "4 -5А
ед.
, . „ <40 20
4.1.29. my = (3; -6); Sr = 1П
к Xv 1 v
4.2. Приложения систем линейных уравнений и неравенств
4.2.1. 1)
2xj
3xi
+ 3x2 2x3 = 15,
+ 2x2 + 3x3 = 11,
+ 2x2 + 4x3 = 16.
Здесь Xp x2, x3 - количество машин видов А2 и Л3 соответст-
венно.
2)xi=2;x2=3;x3 = 1.
0,4\ fxi - ОДХ] _ М*2 = >'1Ч
0,1)’ |х2 - O,55xi “ Wx2 ~ Уъ
ГхЛ /"ЮООА |"42>
”ЛГ=ет’J’lsooJ’ ’“W-
( 0,2
4.2.2. 1) А = \
р,55
fl,8 0,8Л
3),,S- U 1,6 '
Ответы
173
42.3. 1) Xi “ О/Л 0,21 0,03' + ai2x2 + ai3x3) = "476' = yif (z = L;2;3);
"1,04
2)S = 0,21 1,06 0,13 ; 3) X = S Y= 374 •
.0,03 0,13 1,27, .800,
"0,1 0,05 0,2) /"1,23 0,17 0,26^
4.2.4. 1)Л = 0,3 0 0,15 ; 2)S= 0,43 1,25 0,25 ;
<0,2 0,4 0 J t°>42 0,48 1,16;
"609'
3)Z = S-Y = 504 ; 4)a4=(0,2; 0,3; 0,15);
<636,
5)a5 = (0,438; 0,481; 0,302); 6) b =368,2 чел.- ч.
/"0,2 ; 0,1 0,2)
42.5. 1) A = 0,5 0,2 0,1 ;
<0,3 1 1,2 0,1;
*1 - 0,2xt - 0,lx2 - 0,2x3 = yi,
2) • x2 - 0,5x] i - 0,2x2 - 0,lx3 = y2,
х3 - 0,3X] - 1,2x2 - 0,lx3 = y3.
/"0,60 0,33 0,17) /"4287,88)
3)a)S = 0264 °’48 0,66 0,18 5 6>X = SY= 5363,64 ;
’ 641.0,84 0,99 0,59J 1^9469,70,
"1287,88^
в) ДАГ = 5-ДУ = 1363,64 .
^2469,70J
42.6. Предприятия должны произвести 47509 станков, 160760 электромо-
торов, 100,92 тыс. тонн проката.
(1,496 0,2138 0,0475)
4.2.7. 1)S = 0,4751 1,5602 0,3328 ; б)
|0,1663 0,0238 1,1164)
' 99,98'
101,94
J00,00,
174
Ответы
4.2.8. Область представляет собой часть плоскости, заключенную внутри
четырехугольника, сторонами которого являются граничные прямые
области решений системы неравенств:
5х + 4у <40,
•х^7, у <12,
х£0, у£0.
Граничные прямые входят в эту область.
4.2.9. 1) z = 3x1+4x2 (min),
1,2х] + 1,25х2 — 2,3,
80xj + 280х2 £ 270.
xt£ 0, х2 й 0.
2) Xi = 1,3 кг, х2 = 0,593 кг; 3) zmin ® 6,27 руб.
4.2.10. 1) z = 400xi+1000x2 (max),
' *1 + х2 £ 5,
< ЗОХ] + 150х2 £ 300,
5xi + 14х2 < 35.
Xi> 0, х2 £ 0.
35 10 „ _
2) Xi= — га; х2=—га; 3) zm„ ® 2666, тыс. руб.
4.2.11. 1) z = 3xi+ 4*2 (max),
12xi + 4х2 300,
• 4xi + 2х2 < 80,
7xt + 6х2 < 190.
Х12:0, х2 £ 0.
2) Xi” 10; х2= 20; 3) zm„ = 210 тыс. руб.
4.2.12. 1)z = 5xi+6x2 (max),
50xi + 160х2 £ 121,
• 200X1 + 50х2 < 130,
500xi 400.
Ответы
175
Xj>0, х2>0.
2) Xj= 0,5 т; х2= 0,6 т; 3) zm„ = 6,1 тыс. руб.
*1 + х2 + х3 х4 + х5 + х6 = 1200, = 800,
42.13. 1) « «1 + х4 = 700,
*2 + х$ = 800,
Хз + хб = 500.
х^^О,
+ *2 = 1000,
*з + Х4 = 600,
42.14. 1)< Х5 + х6 = 900,
Х1 + *2 + х5 = 1200,
*2 + х4 + х6 = 1300.
хк 2:0.
2) a)JT = <300 + х6> 700-х6 0 6 900 -х6 ; б)ЛГч = <600> 400 0 600 600 ; в) 13600 руб.
< Х6 > <300;
XI + х2 Хз = 400,
х4 + Х5 -1- х6 = 600,
42.15. 1) < XI + х4 = 200,
х2 + Х5 = 300,
Хз Хб = 500.
х*-0.
176
Ответы
2)а)Х = ( -400+х5+хбЗ 300-х5 500 -х6 600-х5-х6 *5 х6 , ОХ V» II II 1 - 301 201 ' 0 ' 0 400 200 300 jooJ э, 3, . ^2 = r100> 100 200 100 200 <зоо,
«1 х2 + Х3 + + Х4 +
4.2.16. 1) < *1 + х2 = 200,
*3 + х4 = 150,
/5 + *6 = 150.
Хк^0.
f 50+х6> <50> W
150-х6 150 100
100 100 100
2) а)Х = 50 ; б) x4i = 50 . Хч2 = 50 ’
150-х6 150 100
< *6 ) <о, <50;
в) Ц= 33500; С2 = 32500.
«1 + х2 + х3 = 2,
*1 + х4 + х7 = з,
4.2.17. 1) *2 + *5 + *8 = 4,
х3 + х6 + х9 з,
Х4 + х5 + Х6 = 6,
*2 4- х* + х9 = 2.
х*£0.
Ответы
177
—3+x$ + x$ rr
2-x5 + x9 1
3-x6-x9 0
6-x5-*6 2
2) а)АГ = *5 ; 6)X4 = 1 •
X6 3
2-x8 -x9 1
*8 1
< x9 , <0J
Xi + x2 + x3 = 1300,
x4 + x5 + X6 = 1100,
4.2.18. 1) x7 + x8 + x9 = 1600,
Xi + x4 + x7 = 500,
x2 + x5 + *8 = 1500,
x3 + x6 + x9 = 2000.
хк ^0.
— 2200++ Xg + Xg '300^
Xl 1500-x5-x8 200
xy 2000-x6-x9 800
x4 U00-x5-x6 100
2) a)X = *5 — x5 9 6)Xd = 500 ,
*6 X6 500
X7 1600 -x8 -x9 100
x% «8 800
<.х9) < X9 > JOO;
Хч2=(10 0 200 1000 200 900 0 200 400 lOOOf.
4.2.19. A >• 0; 0; 6; 4).
4.2.20. X = (0 5; 0; 10; 8; 0).
4.2.21. X = (11/9; 17/9.; 8/9; 0; 0; 0) •
178
Ответы
4.2.22. X = (l; 1; 0; 1; 0).
4.2.23. 1) Найти минимальное значение функции
f = 4х2 + 20х2 + 6х2
при условии:
*1 + х2 =200.
2) Xj= 121; х2=79; /^(121; 79) = 97590 руб.
4.2.24. 1) Найти минимальное значение функции
f = 6х2 + 10х2 + 4х2 + 20х3 + 8х3
при условии:
Xi + х2 + х3 =500.
2) xj = 154,62 т, х2 = 230,67 т, х3 = 114,71 т, = 466146,62 руб.
4.2.25. а) а = Се~е<я + т • sin(fiX + р0)+п • cos(fiX+р0);
д qg
б) т =—=—~ет' п~~2 7епг
g +1 g2+l
4.2.26. а0 = -43,2119; ^=0,3247; а2=4,72.
4.2.27. а = -0,00029, 5=0,1410952, с = -0,215291.
4.2.28. Aj =0,0031, ^ = 0, хг =0,8331, ^ = 0,7500.
4.2.29. Л1=-0,0020, ^=-0,0025, #=-0,0378, Xi= 0,7980,
У1 =0,4975, Zi=0,3622.
Г G - 2С2 = 1,
4.2.30. 1) 17 п U1 49 + — С2 = 1. 2) Ci =177/185, С2 =-4/185.
116 1 64 2
Q - с2 = 2,
4.231. 1) • 3<4 - 5С2 - 9С3 = -2,
Я - 47С2 - 312С3 = -2.
2) Ci =1440/141, С2 =1158/141, С3 =-132/141.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
1. Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.,
Высшая школа. 1972.
2. Рудык Б. М., Ермаков В.И. и др. ЪбЗдей курс высшей математики для
экономистов. Под редакцией Ермакова В.И. - М., ИНФРА-М. 1999.
3. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. - М., Изда-
тельское объединение ЮНИТИ. 1977.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов ВА. Математика в эко-
номике. - М., Финансы и статистика. 2000.
5. Калихман ИЛ. Линейная алгебра и программирование. - М., Высшая
школа. 1967.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -- М., Наука.
1970.
7. Фаддеев Д. К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. -
М., Наука. 1968.
8. Нит И.В. Линейное программирование. - М., Изд-во МГУ. 1978.
9. Кузнецов ЮЛ., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое про-
граммирование. -М., Высшая школа. 1980.
10. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и ли-
нейного программирования. - М., Наука. 1967.
И. Калихман ИЛ. Сборник задач по математическому программирова-
нию. - М., Высшая школа. 1975.
12. Акулич ИЛ. Математическое программирование в примерах и зада-
чах. - М., Высшая школа. 1986.
13. Харитонова Л.А., Гаврилов Г.В. Сборник заданий по линейному про-
граммированию. - М., Изд-во ТСХА. 1970.
14. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.,
Наука. 1979.
15. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов АС. Краткий курс высшей ма-
тематики. - М., Высшая школа. 1978.
180
Список литературы
16. Демидович Б.Н., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные метода
анализа. - М., Наука. 1967.
17. Гутер Р.С., Резниковский П.Т. Программирование и вычислительная
математика. Выпуск второй. - М., Наука. 1971.
Литература, использованная дополнительно при составлении -
задач прикладного характера
18. Сирл Сч Госман У. Матричная алгебра в экономике. - М., Статисти-
ка. 1974.
19. Ревут И.Б. Физика почв. - Л., Колос. 1964.
20. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. Математическое мо-
делирование экономических процессов в сельском хозяйстве. - М.,
Агропромиздат. 1990.
21. Печинкин А. В., Тескин О. И., Цветкова Г. М. И др. Под ред. В. С.
Зарубина, А. П. Крищенко. Теория вероятностей. - М., Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана. 2001. (Сер. Математика в техническом университе-
те; Вып. XVI).
22. Золотаревская Д.И. О трении качения при движении колес по уплот-
няющемуся грунту И Доклады ТСХА. Вып. 136.1967.
Издательство УРСС
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том
числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии
наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарны]»! научным
фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях.
При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора,
редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изд анию книг мы предлагаем Вам следующие;
Бэр Р Лямйнял алгебра и проективная геометрия.
Чеботарев Н. Г Основы теории ТЬлуа. В 2 кн.
Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций.
Чеботарев Н. Г, Введение в теорию алгебр.
Чеботарев И. Г. Теория групп Ли.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.
СупруненкоДА. Группы подстановок.
Супруненко Д.А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы.
Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.
Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций.
Яглом И. М. Необыкновенная алгебра.
Князев П. Н. Функциональный анализ.
Князев П. Н. Интегральные преобразования.
Рашевский И. К. Геометрическая теория уравнений с частными производ ными.
Рашевский П. К. Рйианова геометрия и тензорный анализ.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
Рашевский И. К Теория спиноров.
Теория вероятностей
Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Боровков А. А. Теория вероятностей.
Боровков А. А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов.
Пытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения.
Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.
Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.
Шикин Е. В. От игр к шрам. Математическое введение.
Жуковский В. И., Жуковская Л. В. Риск в многокритериальных и конфликтных
системах при неопределенности.
Оуэн Г. Теория игр.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам: телефакс (095) 135-42-16, 135-42-46 Издательство УРСС
или электронной почтой URSS@URSS.ru Научная и учебная
Полный каталог изданий представлен в Интернет-магазине: http://URSS.ru литература
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги: '<5Т
Дубровин Б. А., Новиков С.П., Фоменко А. Т, Современная геометрия. Т. 1-3.1
Гильберт Д.9 Кон-Фоссен С. Накладная геометрия.
Крыжановский Д. А. Изопериметры. Свойства геометрических фигур.
Клейн Ф, Неевклидова геометрия.
Клейн Ф. Высшая геометрия.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.
Позняк Э. Г., Шикин Е. В. ^яффертялшяя геометрия: первое знакомство.
Белько И. В. Слоеные группоиды Ли и метод Эресмана в дифференциальной геометрии.
Смирнов Ю. М, Курс аналитической геометрии.
Хаусдорф Ф. Теория множеств.
Александров П С. Введение в теорию множеств и общую топологию.
Александров Н С. Введение в теорию групп.
Дифференциальные и интегральные уравнения
Филиппов А Ф. Ъммше в теорию дифференциальных уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
Ловитт У, В, Линейные интегральные уравнения.
Трикоми Ф, Дифференциальные уравнения.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Амелькин В. В, Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения.
Амелькин В, В. Дифференциальные уравнения в приложениях.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных диф. уравнений.
Картон А. Дифференциальное исчисление. Д ифференциальные формы.
Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения.
Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем.
Немыцкий В, В.9 Степанов В. В, Качественная теория дифференциальных уравнений.
Степанов В. В, Курс дифференциальных уравнений.
Теория чисел
Вейль А. Основы теории чисел.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.
Хйнчин А. Я. Три жемчужины теории чисел.
Хинчин А. Я. Цепные дроби.
Карацуба А А Основы аналитической теории чисел.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.
Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии.
Ожигова Е. П. Что такое теория чисел.
Оре О. Приглашение в теорию чисел.
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
*«««*
&
Учебники и задачники по математике
Босс В. Лекции по математике: анализ.
Босс В. Лекции по математике: дифференциальные уравнения.
Боярчук А. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антвдемвдович). Т. 1-5.
Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-6.
Краснов М. Л. и др. Сборники задач «Вся высшая математика» с подроби, решениями.
Избранные задачи по математике из журнала “АММ”. Под ред. Алексеева В. М.
Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).
Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.
История математики
Репьи А. Диалога о математике.
Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фгауры Земли.
Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт. О квадратуре круга.
Орем Н. О соизмеримости или несоизмеримости движений неба; Зубов В. П. Трактат
Брадвардина «О континууме».
Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России.
Гнеденко Б. В. О математике.
Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей.
Григорян А. А. Закономерности и парадоксы развитая теории вероятностей.
Шереметевский В. П. Очерки по истории математики.
Нейгебауер О. Точные науки в древности.
Флоренский П. А. Мнимости в геометрии: расширение области двухмерных образов
геометрии (опыт нового истолкования мнимостей).
Серия «Психология, педагогика, технология обучения»
Михеев В. И. Моделирование и методы теории измерений в педагогаке.
Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе.
Фридман Л. М. Что такое математика.
Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике.
Л. С. Понтрягин'. Серия «Знакомство с высшей математикой»
Метод коорд инат.
Анализ бесконечно малых.
Алгебра.
Дифференциальные уравнения и их приложения.
Другие книги Л. С. Понтрягина',
Основы комбинаторной топологии.
Падкие многообразия и их применения в теории гомотопий.
Обобщения чисел.
Принцип максимума в оптимальном управлении.
Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленное им самим.
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Математ ическая логика
Колмогорэв A Н.9 Драгалин A. Г Математическая логика.
Драгалин А Г. Конструктивная теория доказательства нестандартный анализ.
Бахтияров К. И. Логика с точки зрения информатики.
Гамов Г., Стерн М, Занимательные задачи.
Клини С. Математическая логика.
Математгческое моделирование
Колман Г.9 Фалб П.} Арбиб М. Очерки по математической теории систем.
Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование.
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Плохотнмков К, Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей.
Киселева И. А. Коммерческие банки: модели и информационные технологии.
Оптимизация
Софиева Ю. Н.9 Цирдин А М. Введение в задачи и методы условной оптимизации.
Галеев Э. М, Оптимизация: теория, примеры, задачи.
Ковалев М. М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование).
Ковалев М. М. Матровды в дискретной оптимизиции.
Балакришнан А Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.
Механика
Арнольд Л. И. Математические методы классической механики.
Арнольд В. И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики.
Жуковский Н.Е. Аналитическая механика.
Жуковский Н. Е. Кинематика, станка, динамика точки: университетский курс.
Якоби К. Лекции по динамике.
Уиттекер Э. Т Аналитическая дшамика.
Розенблат Г. М. Механика в задачах и решениях.
Петкевич В. В. Основы механики сплошных сред.
Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.
Сапунов В. Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач.
Кузьмина Р. П. Математические модели небесной механики.
Издательство УМ! (095) 135-42-46, (095) 13М2-16, URSS®U1SS.ra Наим книги можно приобрести в магазинах: «Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (095) 925-2457) «Московский дом книги» (м. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (095) 203-8242) «Мкква» (и. Охотный ряд, ул. тверская, 8. Тел. (095) 229-7355) «Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. полянка, 28. Тел. (095) 238-5083,238-1144) «Дом деловой книги» (м. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. (095) 270-5421) «Гнозис» (и. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. Ж Тел. (095) 939М713) «У Кентавра» (РГГУ) (м. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (095) 973-4301) «СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)
Дина
Исааковна
ЗОЛОТАРЕВСКАЯ
Доктор технических наук, профессор кафедры выс-
шей математики Московской сельскохозяйственной
академии им. К. А. Тимирязева. С 1966 года работает
на кафедре высшей математики МСХА. Д. И. Золота-
ревской опубликовано 70 научных и методических
работ, среди которых 10 учебных пособий по курсу
высшей математики.
Д. И. Золотаревская — Соросовский профессор, лау-
реат конкурсов Правительства Москвы и Между-
народной Соросовской Программы Образования
в Области Точных наук (ISSEP) по специальности
«математика» 2000, 2001 и 2002 годов.
Сборник задач охватывает разделы линейной алгебры, входящие в учебные прог-
раммы курсов высшей математики для студентов, обучающихся по экономическим,
ряду инженерных и других специальностей.
Сборник включает в себя оглавление, 4 главы, ответы к задачам, список литературы.
В каждой главе приведены типовые задачи и указания по решению некоторых из них.
В главах 1 -3 каждый параграф состоит из двух частей. В первую часть входят задачи,
которые могут быть использованы при проведении практических занятий, а во вто-
рую — аналогичные задачи, которые можно рекомендовать студентам для выполнения
домашних заданий по соответствующим темам. Вторая и третья главы содержат
большое количество задач, из которых преподаватель может компоновать варианты
для выполнения студентами контрольных работ. В главе 4 приведены составленные
автором задачи прикладного характера, решение которых позволит студентам по-
знакомиться с некоторыми приложениями линейной алгебры в экономике, линейном
и нелинейном программировании, в математическом анализе и других математиче-
ских дисциплинах, при решении инженерных и других практических задач.
2840 ID 24687
9
785354
009992
Любые отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru. Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги в нашем интернет-магазине http://URSS.ru
Издательство УРСС
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
Тел./факс: 7 (095) 135-42-46