Text
СБОРНИК
ЗАДАЧ
поАЛГЕБРЕ
Под редакцией
А. И. КОСТРИКИ НА
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО АЛГЕБРЕ
Под редакцией
А. И. КОСТРИКИНА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей вузов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.14
С 23
УДК 512(075.8)
КОЛЛЕКТИВ АВТОРОВ:
В. А. АРТАМОНОВ, Ю. А. БАХТУРИН, Э. Б. ВИНБЕРГ, Е. С. ГОЛОД,
В. А. ПСКОВСКИХ, В. Н. ЛАТЫШЕВ, А. В. МИХАЛЕВ, А. П. МИШИНА,
А. Ю. ОЛЬШАНСКИЙ, А. А. ПАНЧИШКИН, И. В. ПРОСКУРЯКОВ,
А. Н. РУДАКОВ, Л. А. СКОРНЯКОВ, А. Л. ШМЕЛЬКИН
Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие/Под ред. А. И. Костри-
кина. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 352 с.
Задачник составлен применительно к учебнику А. И. Кострикина
«Введение в алгебру» (1977 г.) и учебному пособию А. И. Кострики-
на, Ю. И. Манина «Линейная алгебра и геометрия» (1986 г.).
Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум
обязательным курсам: «Высшая алгебра» (семестры I и III) и «Ли-
нейная алгебра и геометрия» (семестр II), а также предоставить сту-
дентам материал для самостоятельной работы.
Для студентов первых двух курсов математических факультетов
университетов и педагогических институтов.
Рецензенты:
кафедра высшей алгебры и теории чисел Ленинградского госу-
дарственного университета;
доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Дрозд
_ 1702030000—084 ск
С-----053(027-8?---65'87
© Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической литературы^
1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...••• ........................................8
Список литературы...................................f • • 8
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
Глава 1. Множества и отображения...........................9
§ 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элемен-
тов ..................................................9
§ 2. Подсчет числа отображений и подмножеств Биномиаль-
ные коэффициенты ....................................10
§ 3. Перестановки . . . . ............................12
§ 4. Рекуррентные соотношения . . ....................14
§ 5. Суммирование.....................................15
Глава 2. Арифметические пространства и линейные уравнения 15
§ 1. Арифметические пространства . . . *..........15
§ 2. Ранг матрицы и системы векторов..............20
§ 3. Системы линейных уравнений...................23
Глава 3. Определители.................................30
§ 1. Определители второго и третьего порядка..........30
§ 2. Выражение определителя матрицы через ее элементы 31
§ 3. Основные свойства определителя...................32
§ 4. Разложение определителя по строке и столбцу ... 34
§ 5. Вычисление определителя с помощью элементарных
преобразований...................................... 36
§ 6. Вычисление определителей специального вида ... 39
§ 7. Определитель произведения матриц.............40
§ 8. Дополнительные задачи........................41
Глава 4. Матрицы......................................45
§ L Действия над матрицами . . . ....................45
§ 2. Матричные уравнения. Обратная матрица........47
§ 3. Матрицы специального вида....................50
Глава 5. Группы, кольца, поля (элементы теории) . ... 53
§ 1. Алгебраическая операция. Полугруппа..........53
§ 2. Понятие группы. Изоморфизм групп ............54
3
§ 3. Подгруппы. Порядок элемента группы................59
§ 4. Кольца.......................................... 63
§ 5. Поля..............................................70
Глава 6. Комплексные числа.................................72
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме .... 72
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической форме . . 74
§ 3. Корни из комплексных чисел........................76
§ 4. Корни из единицы и многочлены деления круга ... 77
§ 5. Вычисление сумм и произведений с помощью комплекс-
ных чисел..............................................80
§ 6. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 81
Глава 7. Многочлены........................................84
§ 1. Деление на х — х0. Кратность корня................84
§ 2. Разложение на неприводимые множители..............85
§ 3. Симметрические многочлены и формулы Виета ... 87
§ 4. Результант и дискриминант................... . . . 88
§ 5. Интерполяция......................................89
§ 6. Деление с остатком и алгоритм Евклида.............90
§ 7. Многочлены над полем рациональных чисел и над ко-
нечными полями....................................... 90
ЧАСТЬ 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Векторные пространства..........................93
§ 1. Понятие векторного пространства. Базисы.........93
§ 2. Подпространства.................................96
' § 3. Линейные функции и отображения.................101
Г л а в $ 2. Билинейные и квадратичные функции..........103
§ 1. Общие билинейные и полуторалинейные функции . .103
< § 2. Симметрические билинейные и квадратичные функции 109
Глава 3. Линейные операторы.............................114
§ 1. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матри-
ца линейного оператора.................;•.............114
§ 2. Собственные векторы, инвариантные подпространства,
корневые подпространства..............................118
§ 3. Жорданова форма и ее приложения. Минимальный
многочлен.............................................122
Глава 4. Метрические векторные пространства............128
§ 1. Геометрия метрических пространств................128
§ 2. Сопряженные и нормальные операторы...............135
§ 3. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных
функций к главным осям..........................139
§ 4. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное раз-
ложение ..............................................142
Глава 5. Тензоры.......................................145
§ 1.“ Основные понятия................................145
§ 2. Симметрические и кососимметрические тензоры . . .148
4
Глава 6. Аффинная, евклидова и проективная геометрия . . 150
§ 1. Аффинные пространства.............................,150
§ 2. Выпуклые множества.................................157
§ 3. Евклидовы пространства.............................161
§ 4. Гиперповерхности второго порядка...................158
§ 5. Проективные пространства . . . ....................174
ЧАСТЬ 3. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Глава 1. Группы.....................................179
§ 1. Действие группы на множестве. Отношение сопряжен-
ности ................................................179
§ 2. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Центр . , 182
§ 3. Силовские подгруппы. Группы малых порядков . . ; 185
§ 4. Абелевы группы. Прямые произведения и прямые
суммы..............................................i 187
§ 5. Порождающие элементы и определяющие соотношения 191
§ 6 Разрешимые группы............................194
Глава 2. Кольца.....................................196
§ 1. Кольца и алгебры..............................196
§ 2. Поля..........................................205
§ 3. Специальные классы алгебр.....................219
Глава 3. Элементы теории представлений..............226
§ 1. Представления групп. Основные понятия.........226
§ 2. Представления групп малых порядков............231
§ 3. Групповые алгебры и модули над ними . . . . ; 233
§ 4. Характеры представлений ...........................237
§ 5. Представления конечных групп................ 242
§ 6. Первоначальные сведения о представлениях непрерыв-
ных групп............................................* 246
Ответы и указания......................................... 249
Теоретические сведения......................................331
Список определений..........................................340
Список обозначений ...................................... 348
ПРЕДИСЛОВИЕ
Существующие сборники задач по курсам «Высшей
алгебры», «Линейной алгебры и геометрии» (см., напри-
мер, [5], [6] и др.) зарекомендовали себя с самой луч-
шей стороны. Поэтому выпуск еще одного учебного по-
собия аналогичного жанра нуждается в пояснении. Со-
ставители предлагаемого сборника задач руководствова-
лись простыми соображениями. Изменившаяся за по-
следние годы структура указанных курсов, появление
новых разделов, упразднение или частичное сокращение
ряда традиционных тем — все это привело к тому, что
преподаватели, ведущие семинарские занятия, вынуж-
дены ориентироваться на большое число разнородных
источников. Чтобы исправить сложившееся положение
вещей, кафедра высшей алгебры МГУ решила подгото-
вить новый сборник задач, который охватывал бы все
разделы трехсеместрового курса.
Труд с самого начала приобрел коллективный харак-
тер. Сотрудник, ответственный за ту или иную главу, при-
держивался выработанного опытным путем критерия
полноты и разнообразия материала, проявляя разум-
ную умеренность в его подборе. Фактически это озна-
чало определенное сокращение количества шаблонных
численных примеров и выделение в массиве задач наи-
более характерных представителей. Таким образом, в
сборник вошли в основном те задачи, которые реально
предлагались студентам. Сравнительно небольшую долю,
особенно в первом семестре, составляют задачи повы-
шенной трудности. Все они снабжены указаниями. Роль
таких задач, однако, возрастает к концу курса. Наибо-
лее трудные задачи могут предлагаться на дополнитель-
ных занятиях по алгебре.
Предлагаемому сборнику задач предшествовали три
ротапринтных выпуска: I. «Основы алгебры»; II. «Ли-
6
нейная алгебра и геометрия»; III. «Дополнительные гла-
вы алгебры». Три части задачника имеют аналогичные
названия. Такое расположение материала полностью от-
вечает давно установившейся структуре обязательного
лекционного курса на механико-математическом факуль-
тете МГУ. Оно принято также в новом учебном плане
для большинства университетов страны. Понятно, что
конкретное содержание и порядок изложения материала
на лекциях во многом зависят от лектора. А это значит,
что как в учебниках, так и в сборниках задач к ним
должна быть заложена возможность достаточной гиб-
кости при их использовании. Во всяком случае, авторы
сознательно запрограммировали небольшой паралле-
лизм и повторяемость материала разных частей задач-
ника.
Количество теоретических пояснений сведено к мини-
муму, однако соображения автономности играли все бо-
лее значительную роль по мере продвижения к допол-
нительным главам алгебры. Теоретической основой ча-
стей I и III служит учебник [1], а части II — учебное по-
собие [2]. В известной степени материал отражен также
в учебнике [3] и учебном пособии [4]. При составлении
настоящего пособия было использовано значительное
число задач из сборников, указанных в списке литера-
туры.
В конце книги приводятся список обозначений и опре-
деления основных понятий, используемых в книге, к ко-
торым следует обращаться в случае затруднений при
понимании условия задачи. Определения, отсутствующие
в последнем списке, можно найти в разделе «Теоретиче-
ские сведения», где кратко изложены основные утвержде-
ния, необходимые для решения задач.
Авторы выражают благодарность В. В. Батыреву,
много поработавшему над текстом сборника. Особая бла-
годарность— сотрудникам кафедры высшей алгебры и
теории чисел Ленинградского университета, алгебры и
математической логики Киевского госуниверситета. Они
провели тщательное рецензирование сборника и сделали
большое число конкретных замечаний.
Авторы благодарны редактору книги Г. В. Дорофееву,
который обратил самое серьезное внимание на принципы
Упорядочения текстового материала и унификацию обо-
значений, устранив излишний параллелизм, о котором
говорилось выше.
7
к проверке решений задач и к устранению возмож-
ных неточностей были привлечены также студенты стар-
ших курсов. Тем не менее количество оставшихся оши-
бок, возможно, прямо пропорционально мощности кол-
лектива авторов, которым остается лишь апеллировать
к читателям (пользователям задачника) и просить их
сообщать о своих замечаниях. Отказ от сплошной ну-
мерации задач способствует учету разных мнений и упро-
щает дальнейшую работу над совершенствованием сбор-
ника.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.
2. Кострики н А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и гео-
метрия.—М.: Наука, 1986.
3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971.
4. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1980.
5. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по выс-
шей алгебре. — М.: Наука, 1977.
6. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.—
М.: Наука, 1974.
7. И к р а м о в X. Д. Задачник по линейной алгебре. — М.; Наука,
1975.
8. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1970.
Часть 1
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
Глава 1
МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Операции над подмножествами.
Подсчет числа элементов
1.1.1. Пусть Ai В — подмножества в X. Дока-
зать равенства:
а) СУ/Л/)лв=/и/(Л‘лв);
б) С0/л0ив=<0/(л,ив);
В) ЦЛ = П А;
/е/ i е 1 ...
г) ТГа = U а. '
i е/ is/
1.1.2. Пусть X — произвольное множество, 2х — мно-
жество всех его подмножеств. Доказать, что операция Д
симметрической разности
А ДВ = (АПВ)иЙЛВ)
на множестве 2х обладает следующими свойствами:
а) А Д В = В Д А;
б) (А ДВ)ДС = 4 Д(ЙДС);
в) А Д 0 = А;
г) для любого подмножества А сХ существует под-
множество В с X такое, что А Д В = 0;
Д) (А Д В) Л с = (А л С) Д (ВЛС).
1.1.3. Доказать, что для любых конечных множеств
А, ...,А„
п п
Ua=Eiai- £ 1АПА1+---
S ‘ |А,Л... ЛЛ/.1+ ...
... +(- 1)П-Ч А Л... ЛЛ„|.
1.1.4. Доказать, что для любого натурального числа
п > 1
где pi, р2, ...» Рг — все различные простые делители чис-
ла п, ф(п) — функция Эйлера.
1.1.5. Какое максимальное число подмножеств можно
образовать из данных п подмножеств с помощью опера-
ций пересечения, объединения и дополнения?
§ 2. Подсчет числа отображений и подмножеств.
Биномиальные коэффициенты
1.2.1. Пусть X — множество людей в некотором поме-
щении, У— множество стульев в этом помещении и пусть
а) каждому человеку поставлен в соответствие стул,
на котором он сидит;
б) каждому стулу поставлен в соответствие человек,
который на нем сидит.
В каких случаях правила а) и б) определяют отобра-
жения X У и У -> Л? В каких случаях эти отображения
инъективны, сюръективны, биективны?
1.2.2. Доказать, что если множество X бесконечно, а
его подмножество У конечно, то существует биективное
отображение Х\У->Х.
1.2.3. Пусть f: X -> У — отображение. Отображение
g: X -+ У называется левым (соответственно правым) об-
ратным для f, если g'f—lx (соответственно f-g = ir)-
Доказать, что
а) отображение f инъективно в том и только том
случае, если оно обладает левым обратным;
б) отображение f сюръективно в том и только том
случае, если оно обладает правым обратным.
1.2.4. Установить биективное соответствие между мно-
жеством всех отображений множества X в множество
{0,1} и множеством 2х и найти 12х|, если |Х| = п.
1.2.5. Пусть |Х| = т, |У| = п. Найти число
а) отображений,
б) инъективных отображений,
в) биективных отображений,
г) сюръективных отображений
множества X в множество У.
10
1.2.6. Пусть |Х| = п. Найти число ) всех подмно-
жеств в X, состоящих из т элементов (это число назы-
вается также числом сочетаний из п элементов по m и
обозначается часто символом С„).
1.2.7. Пусть |Х| = п. Найти число всех подмножеств
в X, состоящих из четного числа элементов.
1.2.8. Доказать формулу бинома Ньютона:
(а + b)n = S . ]а‘Ьп~1 (п <= N).
i=0 4 1 /
1.2.9. Пусть |Х|=пи mi + ••• +mk = n (пи^О).
( п А
Найти число I I упорядоченных разбиений
\ mt, ..., тк/
множества X на k подмножеств, содержащих соответ-
ственно mi, ..., m.k элементов.
1.2.10. Доказать равенства:
а) (xi + • • • + Xk)n =
_ / п \
= Е (
(тv .... ,nk) \tnx, .... mkJ 1 *
k
S «£«=/:, m, >0
/ S=S- 1 k *
1.2.11. Найти число разбиений числа п в упорядочен-
ную сумму из k неотрицательных слагаемых.
1.2.12. Доказать равенства:
а) J: V
в) Д(-1)'(”)-0; г) tz(;)=„2.-b
д) ") = 0 (П> I);
е) Шиэ-ег)-
11
§ 3. Перестановки
1.3.1. Перемножить перестановки в указанном и об-
ратном порядке:
а) ( 1 2 3 4 5 4 / 1 2 3 4 5 4
I 3 4 1 5 2 / \ 5 3 1 2 4 ) ’
б) / 1 2 3 4 5 6 \( 1 2 34 5 6 4
43 6 4 5 2 1 7 \2 4 1 5 6 3/’
в) ( 1 2 3 4 5 4 ( 1 2 3 4 5 4
U 1 3 5 4/U 5 3 2 U'
г) ( 1 2 3 4 5 6 4 / 1 2 3 4 5 6 4
43 5 1 6 2 4/ Кб 3 4 2 1 5/’
1.3.2. Записать в виде произведения независимых цик-
лов перестановки:
а) / 1 2 3 4 5 6 7 4; б) /12345674
4 5 4 1 7 3 6 2 ) -4 3 1 67524/’
в) /1 234567 4; г) /12345674
кз7651247 \4367152/’
д) / I 2 3 4 ... 2л — 1 2л 4
4 2 1 4 3... 2л 2л - 1 ) ’
е) / 1 2 ... лл + 1л + 2...2п4
, \.л4-1 л-|-2...2л 1 2 ... л/
1.3.3. Записать в виде таблицы перестановки:
а) (13 6) (2 4 7) (5); б) (1654237);
в) (1 35 ... 2л— 1)(246 ... 2л).
1.3.4. Перемножить перестановки:
а) [(1 3 5)(2 4 67)] • [(1 47)(2 3 56)1;
б) [(13) (5 7) (2 4 6)]-[(1 3 5) (2 4) (6 7)].
1.3.5. Определить четность перестановок:
а) /12345674 б) (1234567 8’4
4 564 72 1 3/’ 435216487/’
в) /35642174 г) /275483614
42 4 1 7 6 5 3/’ 4 3 5 8 7 2 6 1 4 /’
д! /1 2 3......л - 1 л 4 е) /1 2 3...п 4.
42 4 6 ... 1 3 5 ..Р 4 1 3 5 ... 2 4 6 ... /’
ж) / 1 2 3 ... л — 1 л 4
4лл — 1л — 2... 2 17’
3) / 1 2 3 4 ... л - 1 л 4
4л 1 л - 1 2 ....... 7’
12
1.3.6. Определить четность перестановок:
а) (123...*); б) (444 •••4);
в) (1473)(67248)(32);
г) (44) (h 4) (4 4) •; • (Z2fe-1 4ft)i
д) (4 •' • lpi^h • • • /«) (^1 • • • *,) (4 • • • 4)*
1.3.7. Пусть |X| = m, |F| = n, ае$х, reSy, и
I (x, У) = (<r (x), т (y)) G=Sxxr.
Найти:
a) sgn g, если заданы sgn а и sgnx;
б) длины независимых циклов в разложении переста-
новки если известны длины ki, ..., ks и /ь •••» 4 не-
зависимых циклов в разложениях перестановок а и т
(с учетом циклов длины 1). Получить отсюда еще одно
решение задачи а).
1.3.8. Выяснить, как изменяется разложение переста-
новки в произведение независимых циклов при умноже-
нии ее на некоторую транспозицию. Что происходит при
этом с декрементом перестановки?
1.3.9. Пусть 4 = d (о) — декремент перестановки о. До-
казать, что
a) sgn<r=(—l)d;
б) перестановку о можно представить в виде произ-
ведения d транспозиций;
в) перестановку о нельзя представить в виде произ-
ведения менее чем d транспозиций.
1.3.10. Доказать, что всякая перестановка <j^Sn мо-
жет быть представлена как произведение транспозиций
вида:
а) (12), (13).....(In);
б) (12), (2 3), ...» (п-1 п).
1.3.11. Доказать, что всякая перестановка ое5л мо-
жет быть представлена как произведение циклов (12)
и (1 23 ... п).
1.3.12. Доказать, что всякая четная перестановка мо-
жет быть представлена как
а) произведение тройных циклов;
б) произведение циклов вида
(1 23), (12 4), ...» (1 2п).
1.3.13. Пусть — любой из двучленов х,— X/ и
Xj~Xi, где । и / — произвольные натуральные числа от
1 До n, и пусть f (xi.........Хп) — произведение всех
этих двучленов.
13
Доказать, что для любой перестановки а е $л
f (ха ............ (п)) = sgn а • f (xj, .... х„).
1.3.14. Пусть Т — некоторый набор транспозиций из
Sn и Г — граф с множеством вершин 1, 2.....пи мно-
жеством ребер Т. Доказать, что
а) всякая перестановка из Sn представляется в виде
произведения транспозиций из набора Т тогда и-только
тогда, когда граф Г — связный;
б) при |Т| < п—1 существует перестановка из Sn,
не представляющаяся в виде произведения транспозиций
из набора Т.
§ 4. Рекуррентные соотношения
1.4.1. Пусть f(x) = x2— ах — b — характеристический
многочлен рекуррентного уравнения
и(п) — аи(п— 1) + &м(п — 2) (п^Ло + 2).
Доказать, что
а) функция и(п)=а'1 является решением данного
уравнения тогда и только тогда, когда а — корень f(x);
б) функция и(п)=пап является решением данного
уравнения тогда и только тогда, когда а — двойной ко-
рень f (х);
в) если f(x) имеет различные корни ои и аг, то вся-
кое решение данного уравнения имеет вид
и (п) = + С2а",
причем постоянные и С2 определяются однозначно;
г) если f(x) имеет двойной корень а, то всякое ре-
шение данного уравнения имеет вид
и (п) = Cian + Сгпап,
причем постоянные С\ и С2 определяются однозначно.
1.4.2. Решить рекуррентные уравнения:
а) и (п) = Зи (п — 1) — 2и (п — 2), и (0) = —2, и (1) = 1;
б) и(п) — — 2и(п— 1) — и(п —2), u(0)=—1, w(l)=—1.
1.4.3. На сколько частей разбивают плоскость п пря-
мых, находящихся в общем положении (т. е. никакие две
из них не параллельны и никакие три не пересекаются
в одной точке) ?
14
§ 5. Суммирование
1 5.1. Найти суммы:
а) р + 22 + ... + п2; б) Is + 23 + ... + л3.
1.5.2. Доказать, что сумма 1* + 2к + ... + nk пред-
ставляет собой многочлен от п степени k + 1.
1.5.3. Пусть ЛЦо) = | {И <т(0 = 0 I— число непод-
вижных элементов перестановки ое и
£ (Лг(o))s = у(s)(!<«<«)•
Доказать, что ?(1)= 1, y(s) не зависит от л и
Y (s + 1) = Y («) + ( * ) V (« — 0 + • • •
... + (Ov(s-*)+-.- + Gi,)v(i) + i-
1.5.4. Доказать, что
„ ( 1 при п = 1,
2^ И GO — | о при п > J (
где р(п) — функция Мёбиуса.
1.5.5. Пусть f(n) и g(ri) — две функции N->N. Дока-
зать, что равенства:
a) g(n)=S f(d)> б) g(n) = Hf(d),
d | n d\n
rw=I>t(£). Н")-П«(£Г
din din
эквивалентны.
1.5.6. Доказать, что функция Эйлера <р(п) и функция
Мёбиуса |i(n) связаны соотношением
EhW ф(п)
d п
d I п
Глава 2
арифметические пространства и линейные
УРАВНЕНИЯ
§ 1. Арифметические пространства
2.1.1. Найти линейную комбинацию 3ai-j-5a2 — а3
векторов
<h = (4, 1, 3, -2), а2 = (1, 2, -3, 2),
а3 —(16, 9, 1, -3).
15
2.1.2. Найти вектор х из уравнений:
а) й| + 2а2 + Зй3 + 4х — О,
где
а1==(5, —8, —1, 2), й2 = (2, —1, 4, —3),
а3 — (—3,2, —5, 4);
б) 3 (Я| — х) + 2 (й2 + х) = 5 (а3 + х),
где
п, = (2, 5, 1, 3), и2 = (10, 1, 5, 10),
а3 = (4, 1, -1, 1).
2.1.3. Выяснить, являются ли следующие системы
векторов линейно независимыми:
а) й! = (1, 2, 3), б) ai = (4, —2, 6),
й2 = (3, 6, 7); а2 = (6, -3, 9);
в) й] = (2, -3, 1), г) й( = (5, 4, 3),
а2 = '3, -1,5), й2 = (3, 3, 2),
а3 = ,1, —4, 3); а3 = (8,1,3);
д) ^ = (4, —5, 2, 6), е) и1 = (1, 0, 0, 2, 5),
йг = (2, —2, 1, 3), й2 = (0, 1, 0, 3, 4),
а3 = (6, -3, 3, 9), й3 = (0, 0, 1, 4, 7),
й4 = (4, -1, 5, 6); а< = (2, —3, 4, 11, 12).
2.1.4. Из координат каждого вектора данной системы
векторов одного и того Же числа измерений выберем ко-
ординаты, стоящие на определенных (одних и тех же
для всех векторов) местах, сохраняя их порядок; полу-
ченную систему векторов будем называть укороченной
для первой системы, а первую систему будем называть
удлиненной для второй.
Доказать, что
а) укороченная система любой линейно зависимой
системы векторов линейно зависима;
б) удлиненная система любой линейно независимой
системы векторов линейно независима.
2.1.5. Доказать, что если векторы а\, аг, а3 линейно
зависимы и вектор а3 не выражается линейно через век-
торы at и аг, то at и а2 различаются между собой лишь
числовым множителем.
2.1.6. Доказать, что если векторы at, а2, .... а* ли-
нейно независимы, а векторы йь й2, .... ak, Ь линейно
зависимы, то вектор b линейно выражается через
#1, #2* • • • ,
16
2.1.7. Пусть система векторов ai, аг, аз, а4 линейно
независима. Является ли линейно зависимой система
векторов
= За, 4~ 2а2 4~ аз 4~ а4,
Z>2== 2а, 4" баг Я- За2 4” 2а4>
63===: 8а, 4“ 4а2 “1“ 2а3 “I- За4?
2.1.8. Пусть система векторов аь аг, аз, а4, а$ ли-
нейно независима. Является ли линейно зависимой си-
стема векторов
bt = 3a, + 4a2 — 5a3 — 2a4 4- 4a5,
b2 — 8a, + 7a2 — 2a3 + 5a4 — 10a5,
b3 — 2a, — a2 + 8a3 — a4 -|- 2a5?
2.1.9. Пусть система векторов at, a2, ..., afe линейно
независима. Выяснить, являются ли линейно зависи-
мыми или линейно независимыми системы векторов:
а) bt ==a,, 62 = a,4-a2,
63 = «1 + «2 + a3. • • • >, bk = a, + a2 + • • • +
6) bt — a,, b2 == a, 4“ 2a2, b3 === a, 4~ 202 4~ 3a3, • • •, bk :=s
== a, 4~ 2a2 4~ 3a3 4- ... 4- kak\ ,
в) bi = a, 4- a2, b2 = a2 4- a3, b3 = a3 4- a4, .... =
~ak-t'{'ak> bk~а*4*аь
r) 6,=a,—a2, b2 — a2—^a3, b3=^a3—a4, ...» bk_i~=
t bk
2.1.10. Даны векторы
a, = (0, 1, 0, 2, 0), a2 = (7, 4, 1, 8, 3),
a3 = (0, 3, 0, 4, 0), a4 = (l, 9, 5, 7,
a5 = (0, 1, 0, 5, 0),
Существуют ли числа Сц такие, что векторы
== У G7az (Z, / — 1, 2, 3, 4, 5)
линейно независимы?
17
2.1.11. Найти все значения 1, при которых вектор b
линейно выражается через векторы а\, аг, а3;
a) at = (2, 3, 5), б) Oj = (4, 4, 3),
а2 = (3, 7, 8), 02 = (7, 2, 1),
Оз = (1, -6, 1), Оз = (4, 1, 6),
Ь = (7, -2, Л); Ь = (5, 9, Л);
в) Я) (3, 4, 2), г) Oj = (3, 2, 5),
02 = (6, 8, 7), 02 = (2, 4, 7),
аз = (15, 20, 11), а3 = (5, 6, Л),
Ь = (9, 12, Л); & = (1, з, 5);
д) й! = (3, 2, 6), 02 = (5, 1, 3),
о3 = (7, 3, 9), Ь = (Л, 2, 5).
2.1.12. Найти все ( 5азисы системы векторов:
а) а1 = (1, 2, 0, 0), о2 = (1> 2, 3, 4), а3 = (3, <
б) а1 = (4, -1, 3, - -2), Ог = (8,-2, 6, -4),
а3 = (3, -1, 4, - 1 00 04 1 СО II <3 сТ 1
в) Oj = (l, 2, 3, 4), г) о1 = (2, 1, -3, 1),
а2 = (2, 3, 4, 5), 02 = (2, 2, -6, 2),
о3 = (3, 4, 5, 6), а3 = (6, 3, —9, 3),
а4 = (4, 5, 6, 7); а4=(1, I, 1, 1);
д) а1 = (3, 2, 3), 02 = (2, 3, 4),
аз = (3, 2, 3), а4 = (4, 3, 4),
os = (l, 1, 1).
6, О, О)}
случае система векторов обладает
2.1.13. В каком
единственным базисом?
2.1.14. Найти какой-нибудь базис системы векторов и
выразить через этот базис остальные векторы системы:
a) ai = (5, 2, —3, 1),
а2 = (4, 1, -2, 3),
а3 = (1, 1, -1, -2)
а4 = (3, 4, -1, 2);
б) о, = (2, -1, 3, 5),
а2 = (4, -3. 1, 3),
а3 = (3, -2, 3, 4),
а4 = (4, -1, 15, 17),
а5 = (7, -6, -7, 0);
18
в) а,=(1, 2, 3, -4), г) 01 = (2, 3, -4, -1),
д2 = (2, 3, —4, 1), я2 = (1. —2» 1, 3),
д3 = (2, —5, 8, —3), о3=(5, 3, —1, 8),
а4 = (5, 26, —9, —12), а4 = (3, 8, —9, —5);
ct5 = (3, —4, 1, 2);
д) Д1 = (2, 2, 7, — 1), е) а{ = (3, 2, — 5, 4),
а2 = (3, — 1» 2, 4), а2 = (3, — 1, 3, —3),
= (1, 1, 3, 1); Оз=(3, 5, —13, 11)}
ж) ai = (2, 1), з) о1 = (2, 1, 3),
а2 = (3, 2), а2 = (3, 1, —5),
а3 = (1, 1), аз = (4, 2,-1),
о4 = (2, 3); а4 = (1, 0, —7);
и) о, = (2, 3, 5, -4, 1),
а2 = (1, -1, 2, 3, 5),
аз = (3, 7, 8, -11, -3),
а4 = (1, —1, 1, —2, 3);
к) ^ = (2, -1, 3, 4, -1),
аг = (1, 2, -3, 1, 2),
а3 = (5, -5, 12, 11, -5),
а4 = (1, —3, 6, 3, -3);
л) а, = (4, 3, -1, 1, -I),
о2 = (2, 1, -3, 2, -5),
^ = (1, -з, О, 1, -2),
о4 = (1, 5, 2, —2, 6).
2.1.15. Пусть векторы ai, аз, .... а* линейно незави-
симы. Найти все базисы системы векторов
l>i = ai—a2, Ь2 — О2 — а3, Ь3 = о3 — о4, ...
.... bk_i = ak_x— ак, Ьк — ак — а{.
2.1.16. Пусть дана система векторов
ai=® («п> а«> •••» а/п) (* = 1. 2, ..., s; s^n).
£
Доказать, что если | a}i | > £ | af/1 для всякого /=!,...
/*/
• • •, s, то данная система векторов линейно независима.
19
2.1.17. Доказать, что если целочисленные векторы
01, 02, a* е Zrt линейно зависимы над полем Q, то
найдутся такие целые числа Ль Лг, ..., Л*, взаимно про-
стые в совокупности, что
Л10! + Л202 + • • • + ^kak ~ О*
2.1.18. Доказать, что если система целочисленных век-
торов линейно независима над полем вычетов по модулю
р для некоторого простого числа р, то данная система
векторов линейно независима и над полем рациональных
чисел.
2.1.19. Пусть система целочисленных векторов ли-
нейно независима над полем Q. Доказать, что найдется
лишь конечное число простых чисел р таких, что век-
торы данной системы линейно зависимы по модулю р.
2.1.20. Для данных систем целочисленных векторов
указать все простые числа р, по модулю которых эти си-
стемы линейно зависимы:
а) а1 = (0, 1, I, 1), б) aj = (l, 0, 1, 1),
а2 = (1, 0, 1, 1),
Оз = (1, 1, 0, 1),
а4 = (1, 1, 1, 0);
, а2 = (2, 3, 4, 3),
' 03 = (1, 3, 1, 1).
§ 2. Ранг матрицы
и системы векторов
2.2.1. Найти ранг
окаймлёния миноров
следующих матриц с помощью
и элементарных преобразований:
а) 1| 8 2 2 4 11|;
В 1 7 4 —2 51
|| —2 4 2 —1 3||
б)
17 7 9
7 5 1—1
4 2—1 -3
—11.3 5
в) 4 17-5 1
0-7 1-3 -5
3 4 5 -3 2
.2 5 3 -1 3
д) 11-6 4 8 -1 6
|—5 2 4 1 3
1724 13;
J 2 4 8 -7 6
| 3 2 4 -5 3
г)
8 -4 5 5 9
1-3-5 0 -7
7 -5 ; 1 4 1
3—1 3 2 5
е) 77 32 6 5 3 32 14 3 2 1
6 3 10 0
5 2 0 1 0
4 10 0 1
20
ж) 11111 4 3 2 1 з) 3 1 1 0 2—1 2 -1 1 2
14 11 4 3 2 -1 1
5 111 » 1 2 9 8 -7 3
113 1 -12 -5 —8 5 1
1112
и) 1 1 0 0 0 0 к) 110 0 0 л) 1 10 0 ... 0 0
0 1 10 0 0 0 110 0 01 1 0 ... 0 0
0 0 1 10 0 0 0 110
0 0 0 11 1 0 » 0 0 0 11 0000 ... 11
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ... 0 1
100001
2.2.2. Найти ранг следующих матриц при различных
значениях параметра X:
а)
7 —X — 12
10 —19-Л
12 -24
6 И
10 :
13 — х ||
б) II1 — X о о о
О i — х о о
I О 0 2— Л 3
| О 0 0 3-Х
3 4 2 2
3 17 7 1
1 10 4 X
4 113
г) Il X -I 21
|1 2 х 5 ;
111 ю -6 11
д)
ж)
з)
1 1 2 3
1 2 - X2 2 3
2 3 15
2 3 19-Х2
X 1 2 ... п— 1 1
1X2 ... я— 1 1
1 2 X ... п — 1 1
1 2 3 ... XI
1 2 3 ... п 1
1 X X2 ... Xя
2 1 X V.. X"-1
2 2 1 ... Xя-2 •
-XI 2 31
1 —X 3 2 1
2 3 — X 11
32 1-X1
222 ... 1
2.2.3. Доказать, что если ранг матрицы А н<г изме-
няется при добавлении к ней Любого столбца матрицы В
21
с тем же числом строк, то он не меняется при добавле-
нии к А всех столбцов матрицы В.
2.2.4. Доказать, что ранг суммы матриц не превосхо-
дит суммы рангов этих матриц.
2.2.5. Доказать, что ранг произведения матриц не пре-
восходит ранга каждой матрицы-сомножителя.
2.2.6. Доказать, что ранг матрицы ||А|В||, получен-
ной приписыванием к матрице А матрицы В, не превос-
ходит суммы рангов матриц А и В.
2.2.7. Доказать, что всякую матрицу ранга г можно
представить в виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя
представить в виде суммы меньшего числа таких матриц.
2.2.8. Доказать, что если ранг матрицы равен г, то
минор, стоящий на пересечении любых г линейно неза-
висимых строк и линейно независимых столбцов, отли-
чен от 0;
2.2.9. Пусть А — квадратная матрица порядка п > 1
и г — ее ранг. Найти ранг присоединенной матрицы
А* =||А//||, где Ац — алгебраическое дополнение элемен-
та ац матрицы А.
2.2.10. Пусть А и В — матрицы с вещественными эле-
ментами с одинаковым числом строк. Доказать, что
г|2Л-5^|-'-<Л> + г<В>-
2.2.11. Пусть А и В — квадратные матрицы одного по-
рядка. Доказать, что
г|в В + В2|~ГИ) + Г(В)-
2.2.12 Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет
вид
b\C\ biCz ... Ь\Сп
6гс2 62С2 • • • ЬгСп __ fQ .
bmci bmfiz • • • bmcn
где B=(b\, b2, ..., bm), C = (ci, Ci, ..., cn).
2.2.13. Пусть Ai, A2..A* — матрицы с одинаковым
числом строк, С =||с;/||—невырожденная матрица по-
рядка k.
Доказать, что ранг матрицы
1сцЛ1 С12А2
С21Л| С22А2 . •
CkzAi ... CkkAk
равен сумме рангов матриц Ai, Ai, ..., As.
22
2 2.14. Доказать, что прямоугольная матрица
где А — невырожденная матрица порядка п, имеет ранг
п в том и только том случае, когда D = СА~1В\ при этом
|соН1с|и£»1л-'в«-
2.2.15. Доказать, что с помощью элементарных преоб-
разований II типа со строками
а) невырожденную матрицу
И*0II
||0 did
можно привести к виду
б) невырожденную матрицу можно привести к виду
1 о ... о о
0 1 ... о о
О О ... 10
0 0 ... О d
2.2.16. Доказать, что матрица с определителем, рав-
ным 1, является произведением элементарных матриц
вида Е + ХЕц (i Ф j).
2.2.17. Доказать, что с помощью элементарных пре-
образований со строками и столбцами всякую прямо-
угольную матрицу ранга г можно привести к виду
где Ег — единичная матрица порядка г.
§ 3. Системы линейных уравнений
2.3.1. Найти общее решение и одно частное решение
системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:
а) 5х1 + Зх2 + 5х3 + 12х4 = 10,
2xt + 2х2 + Зх3 + 5х4 = 4,
Х1 + 7х2 +9х3 + 4х4 = 2;
23
6) —9x]4-6x24- 7x34* 10x4 = 3,
—6xi 4" 4х2 4- 2х3 -f- ЗХ4 = 2,
—3xt + 2х2 — 11хз — 15х4= 1;
в) —9xj 4* 1 9х2 4“ Зх3 -{-7x4== 7,
—4х! + 7х2 + х3 + Зх4 = 5,
7 X] 4- 5х2 — 4х3 — 6x4 — 3;
г) 12х] + 9х2 + Зх3 + 10х4 = 13,
4Х} Зх2 4- х3 4- 2X4 = 3,
8x1 4" 6х2 4- 2х3 4- 5х4 = 7;
д) —6х] 4- 9х2 4~ Зх3 4- 2х4 = 4,
—2x14- Зх2 4- 5х3 4- 4х4 = 2,
—4х] 4“ 6х2 4~ 4х3 4“ ЗХ4== 3»
2.3.2. Исследовать систему и найти общее решение в
зависимости от значения параметра X:
a) 8xi 4~ 6х2 4- Зх3 4- 2х4 = 5,
— 12xi — Зх2 — Зх3 4- Зх4 = —6,
4xi 4- бх2 4- 2х3 4- Зх4 = 3,
Л.Х] 4~ 4х2 4* х3 4- 4x4== 2;
б) —6х] 4- 8х2 — 5х3 — х4 — 9,
—2X1 4- 4х2 4~ 7х3 4* 3x4= 1»
—3x1 4- бх2 4~ 4х3 4- 2X4 = 3,
—3xi 4- 7х2 4~ 17х3 4~ 7х4 = Л;
в) 2xi4- 5х24- х34-Зх4 = 2,
4xi 4“ 6х2 4“. Зх3 4- 5х4 = 4,
4xi4-14x24- х3 -{-7x4 = 4,
2xi— Зх2 4~ Зх3 4" Ax4 = 7;
г) 2xi — х2 4- Зх3 4- 4х4 = 5,
4Х] — 2х2 4- 5х3 4- 6х4 = 7,
6xi — Зх2 4" 7х3 4- 8x4 = 9,
А.Х] — 4х2 4” 9х3 4* 1ОХ4 = 11;
Д) 2x14- Зх2 4- х34~ 2x4 = 3,
4xi 4“ 6х2 4“ Зх3 4~ 4х4 == 5,
6xi 4- 9х2 4- 5х3 4- 6х4 = 7,
8Х| 4* 12х2 4* 7х3 4~ = 9;
24
e)Axi+ х2+ х3—I,
4* ^х2 *4~ 1 ’
Х1 + х2 + ^3 ~ 1J
ж) АХ1 + Х2 4“ *з + Х4=1,
X] + Ах2 4“ Х3 4“ х4 — Ь
Х1 + х2 + ^Х3 4~ Х4 = 1,
Xi + Х2 4“ Х3 + = 1 >
з)(1+^)Х1+ х2 + х3=1,
Xi + (1 + А) х2 + х3 = А,
Xi + х2 + (1 4- Л) х3 = А2;
и) (1 + ^) Xi + х2 + х3 = А2 + ЗА,
h + (l + A)x2+ х3==А3 + ЗА2,
Xi + х2 + (1 + ^) х3 = Л4 + ЗА3.
2.3.3. Найти все векторы пространства Rrt, переходя-
щие в вектор 6 е Rm при линейном отображении Rrt-> R^1,
заданном матрицей А:
а) А =
3 2
3 4
5 2
8 1
—5
-9
-8
-7
&==
7
9
8
12
в) А =
г) Л =
д) л ~
е) Л =
-3
-6
-9
-2
-6
-6
-4
-з
-3
-5
-1
—2
-4
-1
-14
-1
-6
Ь =
8II
“5 ;
—4II
-2
—4
—8
— 1
-3
-5
-13
—2
-2
-3
-9
-1
б) Л = ||2
ь
1
3
3
2
1 9 4
3 2 2
2 3 2
1 7 6
2 2 3
-5
5
2
-1
4
Ь =
1
3
2
7
5
-2 3
-1 3
1 1 3
2 2 4
335-23’
2 8-39
—6 —1 4
-2 -3 7
-4 -14 31
2
3
1
2
ь =
1
2
1
2
25
ж) А —
2 13—21
635-43
2 17-41
4 2 2 -3 3
8 6 5 2
3 3 2 1
4 2 3 1
3 5 11
7 4 5 2
2111
101
81
150
18II
2.3.4. Найти общее решение и фундаментальную си
стему решений систем уравнений:
а) *1+ х2 — 2х8 + 2х4
3*1 + 5* 2 + 6х3 — 4х4
4xi + 5х2 — 2х3 + Зх4
3xi $х2 + 24х3 — 19х4
б) Xi — х3 = 0, в)
х2 — х4 = О,
— Jfi + x3 —х5 = 0,
— х24-х4 —х6=0,
— х3 4- х5 = О,
— х4 + хв = 0;
г) Xi + x2 = 0,
Xi + х2 + х3 = О,
х2+*з + *4 = 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0;
Xi — х34-*5=0>
х2 — х4 + х6=о,
Xi —х24-х5 —х6 = 0,
х2 — х3 4- Хб=0,
xt — х4 4- х5 = 0;
Хп—2 4“ хп_14- Хц • О,
хп_] 4" хп — 0.
2.3.5. Найти какой-нибудь базис ядра линейного ото-
бражения, заданного матрицей:
а)
в)
3 5 -4 2II
2 4 -6 3 ;
11 17 -8 41|
б)
3 5 3 2 1
5 7 6 4 3
7 9 9 6 5
4 8 3 2 0
6 9 2
-4 1 1
5 7 4
2 5 3
г)
5 7 6 -2 2
8 9 9 —3 4
7 16—26
4-13-14
26
д)
о
9
9
2
7
5
-1
-3
—3
2 7
4
5
1
4
2
6
6
е)
3 4 12 3
5 7 13 4
4 5215'
7 10 1 6 5
2.3.6. С помощью правила Крамера решить системы
уравнений:
a) 2xi 4- х2 4" хз ~ 3> б) xj + х2 + хз= б»
Xi 4" 2х2 4~ хз = б. — *1 4" хг 4~ хз = б,
Х14- х24-2х3 = 9; X! — х2 4" *з == 2-
2.3.7. Найти многочлен /(х) второй степени с веще-
ственными коэффициентами, для которого
f(l) = 8, f(—1) = 2, f(2)=14.
2.3.8. Найти многочлен f(x) третьей степени, для ко-
торого
f(-2)=l, /(—1) = 3, f(l)=13, f(2) —33.
2.3.9. Найти многочлен f(x) четвертой степени, для
которого
/(—3) = —77, f(—2) = —13, /(—1) = 1,
/(!) = —1» /(2) = —17.
2.3.10. Решить системы сравнений:
а) 2x4- У — zsa 1,
х 4~ 2г/4* 2 = 2, (mod 5);
х+ у — г*& — I
б) Зх + 2у + 5г а 1,
2х + 5z/+ 3z 1, (mod 17).
5х 4- Зг/ 4- 2z ss 4
2.3.11. Доказать, что если определитель квадратной
матрицы || а,/|| порядка п с целыми коэффициентами
взаимно прост с натуральным числом т, то система
сравнений
anxi 4- ai2x2 + ... 4- ainxn as bt (mod m) (г = 1, 2,..., n)
имеет единственное решение по модулю т.
2.3.12. Пусть А — целочисленная матрица и d — наи-
меньший из модулей ее элементов. Доказать, что если
27
при элементарных преобразованиях строк, и столбцов
над кольцом Z число d не уменьшается, то d делит все
элементы матрицы А.
2.3.13. Доказать, что с помощью элементарных пре-
образований строк и столбцов над кольцом Z любую це-
лочисленную матрицу можно привести к виду
1?о|- '
где А — diag{di, .... dr) и dt |di+1 (i= 1, 2, ...» г — 1).
2.3.14. Доказать, что если квадратная целочисленная
система линейных уравнений является определенной по
модулю любого простого числа р, то она является опре-
деленной и над кольцом целых чисел.
Верно ли обратное утверждение? Верно ли первое
утверждение для неквадратных систем?
2.3.15. Выяснить, будет ли квадратная целочисленная
система линейных уравнений, совместная по модулю лю-
бого простого числа р, совместной над кольцом целых
чисел.
2.3.16. Доказать, что следующие системы уравнений
имеют единственное решение по модулю всех простых *
чисел, кроме конечного их числа. Решить эти системы |
по модулю остальных простых чисел:
а) X] 4- 2х2 + 2х3 = 2, б) х1 + х2 + х3 = 1,
2х( + х2 — 2х3=1, Xi + х2 + х4=1,
2xt — 2х2+ х3=1; х1Ч-х3 + х4=1,
х2 + *з + *4=1;
в) х, + х2 + х3 + х4= 1,
*1 + *2 — Х3 — Х4 = 1,
х( + х2 + х3 — х4= 1,
X! — х2 — Хз + х4 — 0.
2.3.17. Доказать, что всякую систему линейных урав-
нений' с вещественными коэффициентами можно при-
вести к ступенчатому виду, используя лишь элементар-
ные преобразования II типа.
2.3.18. Доказать, что при целочисленных элементар-
ных преобразованиях строк и столбцов целочисленной
матрицы наибольший общий делитель ее миноров фик-
сированного порядка k не меняется.
28
2 3 19 Доказать, что если целочисленная матрица с
.«.пыо целочисленных элементарных преобразований
"?рок и столбцов приведена к виду
гпе >l = diag{di, d* .... dr}, dt 0 и dt |Ji+bTO числа
.........dr определены однозначно (с точностью до
знака).
2.3.20. Два набора неизвестных называются целочис-
ленно эквивалентными, если они связаны соотношением
-'-I-
где U — целочисленная матрица с определителем, рав-
ным по модулю единице. Доказать, что система уравне-
ний
Е ai)xi = bi (/=1,2,..., m),
где ац, bi — целые числа, эквивалентна над кольцом це-
лых чисел системе уравнений вида
diyi = ct (г= 1, 2, ..., иг),
причем набор неизвестных ..., уп) целочисленно эк-
вивалентен набору (xi, ..., хп).
2.3.21. Доказать, что целочисленная система уравне-
ний имеет целочисленное решение в том и только том
случае, когда для любого натурального числа k наиболь-
шие общие делители всех миноров порядка k в матрице
системы и ее расширенной матрице совпадают.
2.3.22. Доказать, что целочисленная система уравне-
ний имеет целочисленное решение в том и только том
случае, когда она имеет решения по любому модулю р.
2.3.23. Обосновать следующий практический способ
нахождения всех целочисленных решений системы урав-
нений
п
T.a{lx} = bi (i=l, 2, ..., tn)
/=® 1
с целыми коэффициентами. Построим матрицу порядка
<« + т)Х(« + 1):
, II «I-
29
Затем, используя лишь целочисленные элементарные
преобразования первых т строк и п столбцов, приведем
эту матрицу к виду
где
с =
|detZ7|=l,
dt 0 ... О 0 ... О
О dt ... О О ... О
Z> =
о 0 ... dr о ... о
оо ... о о ... о
di\di+i, 56 0, .... dr Ф 0.
00 ... о о ... о
Тогда система совместна, если dt\ci при i=l, ..., г,
Ct = 0 при k > г, а общее решение дается формулой
хп II
ci/dj
crldr
Уг+i
Уп
где уг+1, уг+ъ • • • > Уп — любые целые числа.
2.3.24. Найти все целочисленные решения следующих
систем уравнений:
a) 2xi + Зх2 + 4х3 = 5;
б) 2xj + Зх2 — 11х3 — 15х4 = 1,
4х! — 6х2 + 2х3 + Зх4 = 2,
2xj ““ Зх2 + 5х3 + 7х4= 1.
Г лава 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Определители второго и третьего порядка
3.1.1. Вычислить определители:
а) 13 51 б) I ab ас I в) I cos а — sin а I
15 81 ’ I bd cd I ’ I sin а cos а г
г) I sin a sin 01 д) 1a 1
I cos a cos ₽ I ’ I 1 loga b ’
30
е)
ж)
cos oi Ч" i sta ® 1
1 cos а — i sin а
| a + bi c + di: |
L- c 4- di a — bi Г
3.1.2. Вычислить определители:
a)
-1 5 4
3—20;
—1 3 6
1 2 з
5 1 4
3 2 5
в)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0 2 2
2 0 2
2 2 0
О а О
Ь С d ;
О е О
д)
3)
а Ъ с
b с а ;
cab
1 0
О 1
1 — i —
lee2
е2 1 е
е е2 1
sin а cos а 1
sin 0 cos 0 1
sin у cos у 1
И 82 (е = cos + i sin4 л
1 е2 е 4 3 3
§ 2. Выражение определителя матрицы
через ее элементы
3.2.1. Выяснить, какие из следующих произведений
входят в развернутое выражение определителей соответ-
ствующих порядков и с какими знаками:
а) $1зЯ22^ 1^46^55^64»
б) ^31^13052^45^24»
В) Оз4О21О4бО 17073054^62.
3.2.2. Выбрать значения i, j, k так, чтобы произве-
дение
a51ai6a 1 /ЛЧ5а44^6й
входило в развернутое выражение определителя шестого
порядка со знаком минус.
3.2.3. В развернутом выражении определителя
х 1 2 3
х х 1 2
12x3'
х 1 2 2х
найти члены, содержащие х4 и х3.
31
к
8.2.4. С каким знаком входит в развернутое выраже-
ние определителя порядка п произведение:
а) элементов главной диагонали;
б) элементов побочной диагонали?
3.2.5. Пользуясь развернутым выражением определи-
теля, вычислить следующие определители:
а) ап 0 0 0
#21 а22 0 ... 0
«31 «32 «33 • • • 0 , *
«П1 «П2 «ПЗ • • • «пп
б) 0 ... ( ) 0 с hn j
0 ... I ) «2, п- -1 «2п
. . . 1
ат ... «П, П-2 < «п, п -1 «пп
в) а 3 0 5 г) 1 0 2 а
0 b 0 2 2 0 b 0
1 2 с 3 » 3 с 4 б
0 0 0 d d 0 0 0
д) «It «12 «13 «14 «15
«21 «22 «23 «24 «25
«31 «32 0 0 0
«41 «42 0 0 0
«51 «52 0 0 0
3.2.6. Представить в виде многочлена, расположен-
ного по убывающим степеням t, определитель
— t 0 0 ... О at
а2 — t 0 ... О О
О a3 — t ... О О
О 0 0 ... — t О
О 0 0 ... ап — t
3.2.7. Пользуясь развернутым выражением, вычис-
лить определитель, у которого все элементы главной
диагонали равны 1, элементы столбца с номером / равны
ah а2, ..., a/-i, Л/ = 1, 0/ч-ь ...» а остальные эле-
менты равны 0.
§ 3. Основные свойства определителя
3.3.1. Как изменится определитель порядка п, если
а) у всех его элементов изменить знак на противопо-
ложный;
б) каждый его элемент умножить на (с =£ 0);
32
% каждый его элемент заменить элементом, симмет-
ичным относительно побочной диагонали;
Р г\ каждый его элемент заменить на симметричный
относительно «центра» определителя;
д) его повернуть на 90° вокруг «центра» (против ча-
совой стрелки)?
3.3.2. Как изменится определитель порядка п, если
а) его первый столбец поставить на последнее место,
а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их распо-
ложение;
б) его строки записать в обратном порядке?
3.3.3. Как изменится определитель, если
а) к каждому столбцу, начиная со второго, приба-
вить предыдущий столбец;
б) к каждому столбцу, начиная со второго, приба-
вить все предыдущие столбцы;
в) из каждой строки, кроме последней, вычесть сле-
дующую строку, а из последней вычесть прежнюю пер-
вую строку;
г) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить
предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний
последний столбец?
3.3.4. Доказать, что определитель кососимметриче-
ской матрицы нечетного порядка равен 0.
3.3.5. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся
на 17. Доказать, что определитель
2 0 6 0 4
5 3 2 2 7
2 5 7 5 5
2 0 9 2 7
0 0 2 8 9
также делится на 17.
3.3.6. Вычислить определитель, не развертывая его:
х у z 1
у 2 х 1
г х у 1 .
х + г х + ^ y-\-z .
2 2 2
3.3.7. Чему равен определитель, у которого сумма
строк с четными номерами равна сумме строк с нечет-
ными номерами?
3.3.8. Доказать, что любой определитель равен полу-
сумме двух определителей, один из которых получен из
2 Под ред. А. И. Кострикина
33
данного прибавлением ко всем элементам i-й строки
числа Ь, а другой — аналогичным образом прибавлением
числа —Ь.
3.3.9. Доказать, что если все элементы определителя
порядка п являются дифференцируемыми функциями од-
ного переменного, то производная этого определителя
является суммой п определителей £><, где все строки оп-
ределителя Di, кроме i-й, те же, что и в определителе D,
а i-я строка составлена из производных элементов i-й
строки определителя D.
3.3.10. Вычислить определители:
а) ai+x х х о2 4- х ... X X »
б) X X ai 4- х о2 ... oi о2 4- х ... ап + х ^п ап »
в) Oi о2 1 4- Xiyi 1 4- Х1У2 1 4- Х2У1 1 4- Х2У2 ап + х ... 14 ... 14 ’ Х1Уп Х2уп
г) 1 + ХпУ1 1 + хпУг ft (at) ft (аг) ... fa (ai) /2 (аг) ... ... 14 ft (ап) ft (ап) ~Хпуп >
fn (at) fn (аг) • • • fn (ап)
где f,(x)'—многочлен степени не выше п — 2 (i= 1, 2,...
.... п);
д)
1 4- ai + bi d\ 4" Z>2
О2 4“ bl 1 4” #2 4” ^2
oi 4- bn
02 + bn
&n 4- bi an 4- ^2 • • • 1 + an 4- bn
r § 4. Разложение определителя по строке и столбцу
3.4.1. Разлагая по третьей строке, вычислить опреде-
литель
2-341
4-232
о bed
3-143
34
3.4.2. Разлагая по второму столбцу, вычислить опре
делитель
5 а 2 -1
4 Ъ 4 -3
2 с 3 -2 ‘
4 d 5 - 4
3.4.3. Вычислить определители:
а)
х у 0 ... 00
0 х у ... 0 0
О 0 х ... О О
0 0 0 ... х у
у О 0 ... Ох
б)
Оо #2 • • • —1 &П
— У1 xt 0 ... О О
О — у 2 х2 ... О О
в)
О 0 0 ... xn^t О
О 0 0 ... — уп хп
а0 — 1 О 0 ... О О
at х —1 0 ... О О
а2 0 х —1 ... О О
г)
art-i О О 0 ... х —1
ап О О 0 ... О х
п\ а0 (п — 1)! at (п — 2)! а2 ...
— п х 0 ... 0
0 — (я — 1) х ... 0
0 0 0 ... X
Д)
1 2 3 ... л-1 л
—1 х 0 ... 00
О —1 х ... 0 0
е)
2*
О О 0 ... х О
О О 0 ... —1 х
п —1 О 0 ... О О
«— 1 х —1 0 ... О О
га —2 0 х —1 ... О О
2 О О 0 ... х -1
1 О О 0 ... О х
35
ж) о о о о О <3 г—» •—♦ ... 0 1 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 >
1 1 1 0 Й2 0 > 1 а3
1 с 1 0 0 . •• 1 ап
з) Я! 0 ... 0 bx
0 «2 ... Ьг 0
0 bin— 1 ... dm—i 0
bin 0- ... 0 а2П
и)
До 1 1 1
1 Л1 О О
1 О аг О
1
О
О
1 О О О ... ап
3.4.4. Рядом Фибоначчи называется последователь-
ность, которая начинается числами 1, 1 и в которой каж-
дое следующее число равно сумме двух предыдущих. До-
казать, что (п-|-1)-й член ряда Фибоначчи равен опре-
делителю
1 1 0 0 ... 0 0
— 1 1 1 0 ... 0 0
0 -1 1 1 ... 0 0
0 ООО ... -1 1
порядка п.
§ 5. Вычисление определителя с помощью
элементарных преобразований
3.5.1. Вычислить определители:
а) 1 2 3 4 б) 1 -1 1 -2
2 -5 13 1 3 -1 3
1 -2 10 4 -1 -1 4 3
-2 9 -8 25 -3 0 —8 -13
в) 7 6 9 4 —4
1 0 —2 6 6
7 8 9 -1 -6
1 -1 -2 4 5
—7 0 —9 2 —2
36
г)
4 4
2 3
3
1
1
2
2
2
7
1
-1 О
7 5
5
2
6
. 1
7
1
6
2
•1
2
3
1
5
2
8
3
2
2
7
1
л) 1 5 3 5 -4
/Л' 3 1 2 9 8
— 17—3 8 —9
3 4 2 4 7
1 8 3 3 5
е) -5 -7 -2 2 —2
0 0 4 0 -5
2 0-20 2
6 4 6 -1 15
5 —4 10 1 14
3 0—2 0 3
1001 1002 1003 1004
1002 1003 1001 1002
1001 1001 1001 999
1001 1000 998 999
16
О
О
—5
6
О
з)
27 20 44 64 40 55 2! 40 и) 30 20 15 12
20 15 12 15
13 -20 -13 24 15 12 15 20
46 45 -55 84 12 15 20 30
к)
л)
1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 2 2 4 > ’ 4 2 1 2 3 1 1 3 2 >
1 10 100 1000 10000 100000
0,1 2 30 400 5000 60000
0 0,1 3 60 1000 15000
0 0 0,1 4 100 2000
0 0 0 0,1 5 150
0 0 0 0 0,1 6
37
3.5.2. Приведением к треугольному виду вычислить
следующие определители:
a) 1 2 3 ... n -10 3 ... n — 1—2 0 ... n
-1 -2 -3 ... О
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
1 п п ... п
п 2 п ... п
п п 3 ... п
п п п ... п
1 ... 1 11
О} ... 01 01 — bl й}
О2 . • • 02 “ bi 02 02
ап — Ь,
Xi
Xi
Xi
#12
Х2
Х2
'л • • • an
#13 ••• #i«
#23 • • • #2rt
Х3 ... a3n
аП аП
Xt x2 x3 ... xn
1 2 3 ... n — 2 zz-1 n
2 3 4 ... n — 1 n n
3 4 5... n n n
И П П ... n X3 .. X2 .. X n . xn . xn~ . xn~ n -1 -2
1 X an 1 #21 O22 X2 X 1
#П1 #П2 #пз an4 • • . 1
1 1 .. 1 — n 3) 0 b ... b b
1 1 .. .. — n 1 b 0 ... b b
1 - n . < 1 1 >
— n 1 .. 1 1 b b ... a b
b b ... b a
3.5.3. Вычислить определитель
о a + h a + 2h ... a + (n— 2) h a + (n — 1) h
a + (n—\)h a a+h ... a + (# -3) h a + (n — 2) h
a + h a + 2h a + 3h ... a + (n — 1) h a
88
§ 6. Вычисление определителей специального вида
3.6.1. Вычислить с ледующие определители методом
рекуРРентных соотношении (см. 1.4.1):
а) 2 1 0 ... 0 б; 3 2 0 ... 0
7 1 2 1 ... 0 13 2 ... 0
0 1 2 ... 0 ; о 1 з ... о ;
0 0 0 ... 1 000 ... 3
в) 56000...00
45200 ... 00
0 1 3 2 0 ... 0 0
0 0 1 3 2 ... 0 0 >
0 0 0 0 0 ... 3 2
0 0 0 0 0 ... 1 3
г) 1 2 0 0 0 ... 0 0
3 4 3 0 0 ... 0 0
0 2 5 3 0 ... 0 0
0 0 2 5 3 ... 0 0 >
00000... 53
0 0 0 0 0 ... 2 5
д) 3200...000
1 3 1 0 ... 0 0 0
0 2 3 2 ...ООО
0 0 1 3 ... 0 0 0
0 0 0 0 ... 1 3 1
0009...023
е) а + 0 ар 0 0 ... 0
1 а + ₽ аР 0 ... 0
0 1 а + Р ар ... 0 ;
0 0 0 0 ... а + Р
ж) 1 1 1 ... 1
1 2 22 2"
1 3 З2 зп ;
1 п + 1 (« + I)2 ... (я + 1)"
з)
ап (а - 1)" ... (а - п)п
ап~1 (а — 1)л-1 ... (а —я)'*-1
а а — 1 ... а — п
1 1 ... 1
89
и)
1
Х1 4- 1
*? + *!
хп 4- 1
- хп 4“ хп
X* 1 + х"-2 .. yn-t 1 yrt-2 • хп ' хп
к) „n-2t2 i Dj . . . £
Сеч <3 & ю» £ to 4~2b22 ... ь" »
л) м) “n-H “п+Гп+1 1 Xj х\ ... •1 Х2 Х2 * • • Х2 1 хп хп • • • хп H-Xj 1+х, 1+ х2 1 + х2 1 + хп 1 + хп 4?14+1 1 -1 v$+l *1 *1 -1 vs+l vn x2 ... X2 -1 „s+l vn Xn • • ' лп ... 1+x” ... 1 + 4 . ... i + 4 9
§ 7. Определитель произведения матриц
3.7.1. Вычислить определитель
abed *
— b a d — с
— с —d а b
— d с — Ь а
путем возведения его в квадрат.
3.7.2. Вычислить следующие определители, представ-
ляя их в виде произведений определителей:
cos (ai ~ P0 cos (aj — p2) • cos (a2 — Pi) cos (a2 — P2) . .. cos (at — pn) .. cos(a2 —prt)
cos (an — Pt) cos (an — p2) . .. cos(a„ —P„)
1 - an{b“ 1 ^»nkn
1 — a^bi 1 — aibn
1-44 1-44
1 — anbt 1 — вп^п
(«о + Z>o)n • .. (ao + b)n
(art 4" ^o)n • < .. (ап + ЬпГ
40
г)
So 52
Sj Si S3
S2 53 54
. . . Sn —1
... sn
• . . Sn+ l
Sn-} Sn Sn+\ . . . S2n_2
«л c :—- “T" X^ 4" " * * 4“
где sk — Л1 ‘ 2 ’ П
3.7.3. Доказать, что циркулянт
Ct2 Яз • . . аП
an £Zi a2 • • • fln—i
an— i Qn °a • • • an—2
d2 CL$ CL4 . . . CL\
равен Hei)f(e2) ... f(e„), где f (x) = ax 4- a2x + ...
f.. + anxn~€1,62......ея— все корни степени п из еди-
ницы.
3.7.4. Вычислить определители:
а)
а Ь с d
d а Ь с
с d а b
b с d а
а а2 а3 ... 1
§ 8. Дополнительные задачи
3.8.1. Найти наибольшее значение определителя треть-
его порядка, составленного
а) из чисел 0 и 1;
б) из чисел 1 и —1.
3.8.2. Доказать, что если в определителе порядка п
на пересечении некоторых k строк и I столбцов стоят
элементы, равные нулю, причем k + I > п, то определи-
тель равен нулю.
3.8.3. Пусть D — определитель порядка п > 1, D\ и
— определители, полученные из D заменой каждого
элемента ац на его алгебраическое дополнение Д,/ для D\
и на его минор Мц для D2. Доказать, что Di = D2.
3.8.4. Взаимным (или присоединенным) определите-
лем к определителю D порядка п > 1 называется опре-
делитель D*, полученный из D заменой всех его элемен-
41
тов на их алгебраические дополнения. Доказать, что
D* = Д'1-1.
3.8.5. (Формула Бинэ — Коши.) Пусть А — ||а</||, В ==
==Ц6//11— матрицы порядка тУ<.п,А{1.im и Bit....tm~
миноры порядка т матриц А и В соответственно, состав-
ленные из столбцов с номерами й.....im,
ct^^aibbjk, С = |]с#/|| (Z=l........т; j= 1, ..., m).
Доказать, что
detC= £ А,
1</,<г2<... <im<n
lm'
если т п, и det С = 0, если т~> п.
3.8.6. Пусть А и В — матрицы порядка р X п и п X k
соответственно,
ЛС: s С:
— миноры матриц А и В, стоящие на пересечении строк
с номерами 1\, ..., im и столбцов с номерами /ь ..., jm,
и С = АВ. Доказать, что
( Й • • • im\_
<'\jl im)
1 I < • • •
если tn n, и С ( V
v /1
z.m "1 = 0, если tn > n.
Im /
3.8.7. Доказать, что сумма главных миноров
k матрицы А-‘А равна
порядка k матрицы А.
3.8.8. Пусть
сумме
квадратов всех
порядка
миноров
an
ant
ann
Доказать, что
ant • • • аПп хп
У1 ... Уп
= Dz —
п
AijXiXj.
D =
Яц ... Ящ Xj
ащ
42
3.8.9. Доказать, что сумма алгебраических дополне-
ний всех элементов определителя не изменится, если ко
всем элементам прибавить одно и то же число.
3.8.10. Доказать, что если все элементы какой-нибудь
строки (столбца) определителя равны единице, то сум-
ма алгебраических дополнений всех элементов опреде-
лителя равна самому определителю.
3.8.11. Пусть
А —
Дп ... ain
... b\k
в =
ani • • • апп
bk\ ... bkk
«11^11 ••• Дщ&И #11^12 ••• Д1Я&12 ••• Oll^lft •••
ац\Ь\\ ••• Д.П1^12 ••• 0-ntlb\2 ••• ••• i^nnblk
D *=...........................................................................
ci\{bk\ • •• ainbki ... ••• &iibkk ••• ^\'ibkk
^n\bki ••• ann^ki anibk2 ... dtin^ki • •• an\bkk ••• G-nnbkk
(определитель порядка nk— кронекеровское произведе
ние определителей А и В).
Доказать, что D =AkBn.
3.8.12. Континуантой называется определитель
(аха2 ... ап) =
at 100... 00
-1 д2 1 0 ... 0 0
0 -1 а3 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... — 1 ап
а) Выразить (ai ... ап) в виде многочлена от аь ...
i . . , 0>п>
б) Написать разложение континуанты по первым k
строкам.
в) Установить следующую связь континуанты е не-
прерывными дробями:
(«]«2 ... д^) _ । 1
(Д2Дз...Дп) . 1
а2 + ——----------
Дз + ...
+i-
3.8.13. Доказать, что если А, В, С, D — квадратные
матрицы порядка пи С • lD = D • *С, то
1с п|=М-
43
3.8.14. Доказать, что если Л, В, С, D — квадратные ;
матрицы порядка и, причем С или D — невырожденная
матрица, и CD = DC, то ’ ‘
|*»|-|ЛО-вСк
,3.8.15. Вычислить определитель сЕ , где
а 1 О О
1 а 1 О
О 1 а 1
О
О
О
А =
0 0 0 0 ... а
3.8.16. Доказать, что определитель, получающийся
при вычеркивании й-го столбца в матрице
nM=|G-i)l (/=1, •••’п+1;/==1’ •••’ "+2)>
равен
3.8.17. Доказать, что
1 1 .1 1
2! 31 ,41 •" (2k+ 2)1
1 _1_ L_
21 3! (26 + 1)1
° 1 1Г '* (2й)1
о о о ... +
(k е N).
3.8.18. (Тождество Эйлера.) Перемножив матрицы
х1 хг х3 xt
хг — Х| — xt х3
Х3 — xt — х2
х4 — х3 х2 — xt
У\ У2 Уз У*
Уг ~Ух — У 4 Уз
Уз У4 — Ух —Уъ
У 4 — Уз У2 —
доказать, что
(Х2 + Х2 + Х2 + Х2) (у2 + + у2 + ^2) _
= (XilJt + х2у2 + ХзУз + x4f/4)2 +
+ (х {у2 — х2у{ — X3yt + Х4Уз)2 +’
+ (х^з + Х2У4 — x3yt — ХАу2)2 +
+ (*104 — Х2у3 + х3г/2 — ^4?/i)2-
44
3.8.19. Вычислить определитель матрицы Ца^Ц по-
рядка п, где
а) ап равно 1, если i делит /, и равно 0 в противном
случае;
б) ац равно числу общих делителей чисел i и у.
3.8.20. Доказать, что определитель матрицы по-
рядка п, где da — наибольший общий делитель чисел I
и /, равен <р(1) <р(2). ... ф(п).
Глава 4
МАТРИЦЫ
§ 1. Действия над матрицами
4.1.1. Перемножить матрицы:
а) | 1 nil Ц1 ml |. б) Icosa — sin all' IIcos Р cos а || И sin P — sin P
о 1Г ||о 11 Г II sin a cos P
в) । 3 -4 511 2—3 1 . II3 II2 291 18В: г) 1 II1 5 3|| 1- 2 -3 •1 4 — 5U •2|;
3 —5 — I di II0 -з| l|2 -3 1|| | 3 -1 If
д) II 1 2 1 II 1 ; 3 1
3 13. 2 1 2 1 *
1 2 1|| 1 : 3 1
1 -1 з II 1 5 211
е) । -1 1 - -3 03- -it
2 -2 6 2 1 - -11|
ж) 12 0 0 1 1 0 0
2 10 0 1 1 0 0
0 0 13 0 1 D 1 -1 >
|о 0 3 1 0 0-1 1
з) 110 0 И 1 0 0
12 0 0 1 3 0 0
0 0 3 1 0 0 1 2 •
0 0 11 |о 0 -3 1
4.1.2. Выполнить действия:
1 —2 2
a) 13 0 2 On 2 —1 1 ||-2 0 -311
|o 1 2 1 . — 1 1 —2 co 1 c© о +
h з 0 o| 2 2 -1 II 5 —2 8||
45
б)
3 0 2
0 1 3
2 2 0
О 1 О
II
-2
2
2 -1
1
1 1
2 [I
2 +
21|
0—461
2 2—5—2
2—264
13 0 1
4.1.3. Вычислить:
а) 1 2 2||2 б) 0 1 0 0 2
2 1 —2 ; 0 0 1 0
2-2 11| 0 0 0 1
0 0 0 0
в) 1111 2 г) 0 1 0 0 2
1 1-1-1 0 0 2 0
1-1 1-1 > 0 0 0 3 •
1-1-1 1 0 0 0 0
4.1.4* Вычислить:
а) || cos a sin а h б) || Я» 1 ||Л.
|| —sin а cos а || ’ || 0 % || ’
в) сн:?1-Ц’Г
4.1.5. Вычислить значение многочлена f(x) от мат-
рицы А:
a) f(x) = x3 — 2х2+ 1; б) f(х) = х3 — Зх.+ 2;
12 1 О
0 2 0
1 1 1
12 1 1
1 2 1
1 1 2
4.1.6. Доказать, что если матрицы А и В перестано-
вочны, то
G4 + B)n = £Q) А{Вп-1.
Z=0
Привести пример двух матриц А, В, для которых эта
формула неверна.
4.1.7. Вычислить еА, где
а) А-Ц 4||; 6) А =
о
о
о
1
о
о
2II
61
о II
4.1.8. Вычислить 1пД, где
«м=и_;|; б)л=
о ... о
1 ... о
о о 0 ... 1
1
о
1
1
46
4.1.9. Найти все матрицы А порядка п такие, что для
любой матрицы X порядка п tr АХ = 0.
4.1.10- Доказать, что след произведения двух матриц
не зависит от порядка сомножителей.
4.1.11. Доказать, что если С — невырожденная мат-
рица, то для любой матрицы А того же порядка
trCAC-1 = trA.
4.1.12. При каких! имеет решение уравнение [X, У] =
= КЕ([Х, Y] — коммутатор матриц X и У)?
4.1.13. Доказать, что любая матрица со следом 0 яв-
ляется суммой коммутаторов матриц со следом 0.
4.1.14. Для матрицы
о 1 о ... о
0 0 1 ... о
ООО ... 1
ооо ... о
найти такие матрицы А и В, что
[А, Х] = Х, [А, В] = -В, [X, В] = А.
4.1.15. Доказать, что для любых квадратных матриц
А, В, С выполняются равенства:
а) [Л, ВС] = [А, В]С + В[А, С];
б) [[А, В], С] + [[В, С], А] + [[С, А], В] = 0.
4.1.16. Доказать, что для любых матриц порядка 2
выполняется равенство
[[А, В]2, С] = 0.
4.1.17. Пусть А, В....Di —- квадратные матрицы
одного порядка* Выразить произведение матриц
IIЛ ВЦ М, В,II
к о|Г Цс. о,||
через заданные матрицы.
§ 2. Матричные уравнения. Обратная матрица
4.2.1. Решить систему матричных уравнений:
а)х+у=Ц!||- M+31'=|i?l
47
4.2.2; Доказать, что квадратная матрица А порядка 2
является решением уравнения
X2-(tr А) X + det А = 0.
4.2.3. Решить матричные уравнения:
а>|1г|Л=|И|; М J
< IIH! Н”1-
Ч-1~2 ~'1-
-4II II 3 48’
"М=1131-
-21| II6 21|’
4.2.4. В терминах рангов матриц сформулировать и
доказать критерий разрешимости матричного уравнения
АХ = В, где А и В — матрицы порядка tn X п и tn X k.
4.2.5. Найти все квадратные матрицы А порядка п,
для которых любое матричное уравнение АХ == В, где
В — матрица порядка п X Я, имеет единственное реше-
ние.
Как изменится результат, если матрицу А считать
прямоугольной?
4.2.6. Доказать, что система уравнений
= (t=l, 2, ..., «),
где X/ и Bi — матрицы порядка р X <7, имеет единствен-
ное решение тогда и только тогда, когда det||=#= 0.
4.2.7. С помощью присоединенной матрицы найти об-
ратную к матрице: *
е) и ° oil
Р 1 0 Г>
Из о ill
3) II 1 3 °||
2 7 0 ;
||о 0 71|
И) II1 1 °11
0 I 0|;
||0 3 з||
К) || 2 0 011
3 1 1
По 0 21|
48
4.2.8. Найти с помощью элементарных преобразова-
ний обратную к матрице:
а) 10 0 0 б) 0 0 1 0
0 0 10 1 0 0 0
0 0 0 1 > 0 0 0 1 >
0 10 0 0 1 0 0
в) 2 0 0 0 г) 0 0 0- г
0 0 0 1 0 0 2 0
0 2 0 0 > 1 0 0 0
|0 0 1 0 0 3 0 0
д) 1 1 ... 1 е ) 1 0 0 . . . 0 0
0 1 ... 1 1 1 0 . . . 0 0 -
. . . . » 0 1 1 .00
0 0... I
0 0 0 .. . 1 1
4.2.9. Найти обратную к квадратной матрице:
a) poll б) И В|
||в.С||’ || О С||’
где А, С — невырожденные матрицы.
4.2.10. Найти обратную к матрице:
а) 1 2 0 0 2 3 0 0 1—113 0 10 2 б) 1 2 3 1 2 112 0 0 0 1-2 0 0 1-2
4.2.11. Пусть А, В, С, D — невырожденные матрицы.
Доказать, что
С £>|| |(В- AC~lD)~l (D-CA~lB)~l
4.2.12. Какие значения может принимать определи-
тель
а) ортогональной матрицы;
б) унитарной матрицы?
4.2.13. Чему равен определитель целочисленной мат-
рицы А, если матрица Д-1 также целочисленная?
4.2.14. Пусть А — квадратная матрица порядка п, эле-
менты которой — многочлены от переменной t, и det Л —
ненулевой многочлен. Доказать, что существует един-
ственная матрица В, элементы которой — многочлены от
Л такая, что АВ = В А = (det А)Е.
49
Найти В, если
а) 4 = 11 1 — / 1+1-
а/ Л h +12 t3 1г
II * 1 *11
б) -i 11.
|-i 1 ill
4.2.15. Доказать, что в кольце матриц над полем
а) обратимая матрица не является делителем нуля;
б) любая матрица либо обратима, либо является ле-
вым и правым делителем нуля.
4.2.16. Доказать, что если матрица Е-{-АВ обратима,
то матрица Е + ВА также обратима.
§ 3. Матрицы специального вида
4.3.1. Вывести формулу для перемножения матрич-
ных единиц.
4.3.2. Представить матрицу в виде произведения эле-
ментарных матриц:
а)
И б)р
h 1 о
4.3.3. Используя свойства элементарных матриц, пе-
ремножить матрицы:
а) 12 3 4 1 0 0 0
13 5 7 0 2 0 0
124 8 0 0 3 0 >
1111 0 0 0 4
б) 10 0 0 1 2 3 4
0 2 0 0 1 3 5 7
0 0 3 0 1 2 4 8 9
0 0 0 4 1 1 1 1
в) 12 3 4 1 0 0 0
13 5 7 0 1 0 0
12 4 8 2 0 1 0
1111 -3 0 0 1
г) 1 0 0 0 1 2 3 4
110 0 1 3 5 7
2 0 10 1 2 4 8
-3 0 0 1 1 1 1 1
50
4.3.4. Доказать следующие свойства операции транс-
понирования:
а) *(А + В) = *А + *В; б) ‘(КА) = V Л;
в) /(ЛВ)==^.М; г) бли^л-1);
д) ^Л) = Л.
4.3.5. Доказать, что всякая матрица может быть
единственным образом представлена в виде суммы сим-
метрической и кососимметрической матриц.
4.3.6. Доказать, что
а) если матрицы Л и В ортогональны, то матрицы
Д-1 и АВ также ортогональны;
б) если комплексные матрицы Л и В унитарны, то
матрицы Л-1 и АВ также унитарны.
4.3.7. Доказать, что
а) произведение двух симметрических или кососим-
метрических матриц является симметрической матрицей
тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны;
б) произведение симметрической и кососимметриче-
ской матриц является кососимметрической матрицей
тогда и только тогда, когда эти матрицы перестано-
вочны.
4.3.8. При каком условии произведение двух эрмито-
вых или косоэрмитовых матриц является эрмитовой мат-
рицей?
4.3.9. Доказать, что для любой квадратной комплекс-
ной матрицы X существует матрица У такая, что
XYX = X, YXY = У, и матрицы XY и YX эрмитовы.
4.3.10. Доказать, что матрица, обратная к симметри-
ческой или кососимметрической, является симметриче-
ской или кососимметрической.
4.3.11. Доказать, что если матрицы Л и В обе сим-
метрические или кососимметрические, то их коммутатор
[Л, В] — кососимметрическая матрица.
4.3.12. Верно ли, что всякая кососимметрическая мат-
рица является суммой коммутаторов кососимметрических
матриц?
4.3.13. Найти все симметрические ортогональные и
кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2.
4.3.14. Найти все квадратные матрицы, коммутирую-
щие со всеми матрицами того же порядка.
4.3.15. Найти все невырожденные матрицы, коммути-
рующие со всеми невырожденными матрицами того же
порядка.
61
4.3.16. Найти все унимодулярные матрицы, коммути-
рующие со всеми унимодулярными матрицами того же
порядка.
4.3.17. Найти все нижние нильтреуголъные матрицы,
коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными
матрицами того же порядка.
4.3.18. Доказать, что сумма двух коммутирующих
нильпотентных матриц является нильпотентной матри-
цей. Верно ли это утверждение, если матрицы не комму-
тируют?
4.3.19. Доказать, что если матрицы Л, В и [Л, В] ниль-
потентны и матрица Л коммутирует с матрицей [Л, В],
то матрица Л + В нильпотентна.
4.3.20. Доказать, что если матрица Л порядка 2 ниль-
потентна, то А2 — 0.
4.3.21. Доказать, что всякая нижняя нильтреугольная
матрица нильпотентна.
• 4.3.22. Доказать, что если матрица Л нильпотентна,
то матрицы В — А и Е + Л обратимы.
4.3.23. Доказать, что если матрица Л нильпотентна
и многочлен f(t) имеет свободный член, отличный от 0,
то матрица f(A) обратима.
4.3.24. Решить уравнение ЛХ + % + Л=0, где Л-^-
нильпотентная матрица.
4.3.25. Доказать, чтсинильпотентная матрица порядка
2 имеет нулевой след.
4.3.26. Доказать, что если все степени матрицы имеют
нулевой след, то матрица нильпотентна.
4.3.27. Доказать, что если [Л, В] = Л, то матрица Л
нильпотентна.
4.3.28. Доказать, что произведение двух коммутирую-
щих периодических матриц является периодической мат-
рицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не ком-
мутируют?
4.3.29. Доказать, что матрица СЛС~1 является ниль-
потентной или периодической тогда и только тогда,
когда матрица Л является нильпотентной или периоди-
ческой.
4.3.30. Пусть о — перестановка на множестве {1,2, ...
.п} и ла — II dzo (/)JJ (Sr7 — символ Кронекера). Дока-
зать, что
а) матрица Ла — периодическая;
б) для любых перестановок о и т Лат == ЛОЛТ;
в) Ло может быть представлена в виде произведения
не более чем п— 1 элементарных матриц.
52
Глава 5
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ (ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ)
§ 1, Алгебраическая операция. Полугруппа
5.1.1. Ассоциативна ли операция * на множестве А1,
если
а) М == N, х * у = ху\
б) М = N, х * у = НОД (х, у)-,
в) M = N, х*у = 2ху, : s
г)I Л4 = Z, х * у = х — у,
д) A4 = Z, х * у = х2 4- у2",
е) М — R, х * у — sin х • sin у,
ж)А4--Я*, х * у = х • //|х1?
5.1.2. Пусть S — полугруппа матриц |* ^|. где
X, у е R, с операцией умножения. Найти в этой полу-
группе левые и правые нейтральные элементы, элементы,
обратимые слева или справа относительно этих нейтраль-
ных.
5.1.3. На множестве М определена операция о по
правилу х ° у = х. Доказать, что (М, о) — полугруппа.
Что можно сказать о нейтральных и обратимых элемен-
тах этой полугруппы? В каких случаях она является
группой?
5.1.4. На множестве М2, где 'Af — некоторое множе-
ство, определена операция о по правилу (х, у) о (z, t) =
— (х, t). Является ли М2 полугруппой относительно этой
операции? Существует ли в М2 нейтральный элемент?
5.1.5. Сколько элементов содержит полугруппа,, со-
стоящая из всех степеней матрицы
11-1 ° °|
° 0 11?
II о о ой
Является ли эта полугруппа группой?
5.1.6. Доказать, что полугруппы (2м, (J) и (2м, П) изо-
морфны.
5.1.7. Сколько существует неизоморфных между со-
бой полугрупп порядка 2?
J5.1.8. Доказать, что во всякой конечной полугруппе
найдется идемпотент.
5.1.9. Полугруппа называется моногенной, если она
состоит из положительных степеней одного из своих эле-
53
ментов (такой элемент является порождающим). Дока-
зать, что
а) моногенная полугруппа конечна тогда и только
тогда, когда содержит идемпотент;
б) конечная моногенная полугруппа либо является
группой, либо имеет только один порождающий элемент;
в) любые две бесконечные моногенные полугруппы
изоморфны;
г) всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна
полугруппе вида S(n,k), определенной на множестве
{ai, ап} следующим образом:
at+f, если i +
aft+/+i, если i + / > п,
ci + aj=
где I — остаток от деления числа i + / — п — 1 на п — k.
§ 2. Понятие группы. Изоморфизм групп
5.2.1. Какие из указанных числовых множеств с опе-
рациями являются группами:
а) (Л,+), где А — одно из множеств N, Z, Q, R, С;
б) (Л, •), где Л—одно из множеств N, Z, Q, R, С;
в) (Ло, •), где Л —одно из множеств N, Z, Q, R, С, а
Л0 = Л\{0};
г) (nZ, +), где п — натуральное число;
д) ({—1,0,-);
е) множество степеней данного вещественного числа
о ^0 с целыми показателями относительно умножения;
ж) множество всех комплексных корней фиксирован-
ной степени п из 1 относительно умножения;
з) множество комплексных корней всех степеней из
1 относительно умножения;
и) множество комплексных чисел с фиксированным
модулем г относительно умножения;
к) множество ненулевых комплексных чисел с моду-
лем, не превосходящим фиксированное число г, относи-
тельно умножения;
л) множество ненулевых комплексных чисел, распо-
ложенных на лучах, выходящих из начала координат и
образующих с лучом Ох углы <pi, ф2, • • •, фл, относи-
тельно умножения?
5.2.2. Доказать, что отрезок [0, 1] с операцией Ф,
где афр— дробная часть а + р, является группой. Ка-
54
кой из групп из задачи 5.2.1 изоморфна эта группа? До-
казать, что всякая ее конечная подгруппа является цик-
лической.
5.2.3. Доказать, что 2м — группа относительно опера-
ции симметрической разности А.
5.2.4. Какие из указанных ниже совокупностей ото-
бражений множества Л! = {1,2....п} в себя образуют
группу относительно умножения:
а) множество всех отображений;
б) множество всех инъективных отображений;
в) множество, всех сюръективных отображений;
г) множество всех биективных отображений;
д) множество всех четных перестановок;
е) множество всех нечетных перестановок;
ж) множество транспозиций;
з) множество всех перестановок, оставляющих непод-
вижными элементы некоторого подмножества SsM;
и) множество всех перестановок, при которых образы
всех элементов некоторого подмножества S s/i'l принад-
лежат этому подмножеству;
к) множество {Е, (1 2) (34), (13) (24), (1 4) (23)};
л) множество {Е, (13), (24), (12) (34), (13) (24),
(1 4) (23), (1 234), (1 432)}?
5.2.5. Какие из указанных множеств квадратных ве-
щественных матриц фиксированного порядка образуют
группу:
а) множество симметрических (кососимметрических)'
матриц относительно сложения;
б) множество симметрических (кососимметрических)’
матриц относительно умножения;
в) множество невырожденных матриц относительно
сложения;
г) множество невырожденных матриц относительно
умножения;
д) множество матриц с фиксированным определите-
лем d относительно умножения;
е) множество диагональных матриц относительно сло-
жения;
ж) множество диагональных матриц относительно
умножения;
з) множество диагональных матриц, все элементы
диагонали которых отличны от 0, относительно умно-
жения;
и) множество верхних треугольных матриц относи-
тельно умножения;
55
к) множество верхних нильтреугольных матриц от-
носительно умножения;
л) множество верхних нильтреугольных матриц отно-
сительно сложения;
м) множество верхних унитреугольных матриц отно-
сительно умножения;
н) множество всех ортогональных матриц;
о) множество матриц вида /(Д), где А — фиксиро-
ванная нильпотентная матрица, f(t)—произвольный
многочлен со свободным членом, отличным от 0, относи-
тельно умножения;
п) множество верхних нильтреугольных матриц отно-
сительно операции X ° У = X + У — ХУ;
р) множество ненулевых матриц вида|_*
g R) относительно умножения;
с) множество ненулевых матриц вида|^* (х, у.^
s R), где X — фиксированное вещественное число, от-
носительно умножения;
т) множество матриц
{±|;;|. ±|‘»|, ±|_“ (}
относительно умножения?
5.2.6. Доказать, что множество верхних нильтреуголь-
ных матриц порядка 3 является группой относительно
операции
X*Y = X + Y + ~[X, Y].
At
5.2.7. Пусть X — множество точек кривой у — х3, I —
прямая, проходящая через точки a, b & X (касательная
к X при а = Ь), с — ее третья точка пересечения с X и
m — прямая, проходящая через начало координат О и
точку с (касательная к X при с = 0).
Положим а Ф b = d, где d — третья точка пересече-
ния m и X или О, если m касается X в точке О. Дока-
зать, что (X, Ф)—коммутативная группа.
5.2.8. Доказать, что множество функций вида у =
— ax-j-b/cx-pd, где a, b, с, d е R и ad — Ьс=£О, яв-
ляется группой относительно операции композиции функ-
ций.
5.2.9. Доказать, что коммутатор [х, у] = хух~]у~1 эле-
ментов х, у группы G обладает свойствами;
а) [х, */]-1-=[//. х]‘,
56
б) [ху, «] = х[у, 2]х~][х, г];
в) [z, xy] = [z, x]x[z, у]х '.
5.2.10* Какие из следующих равенств тождественно
выполняются в группе S3:
а)х6=1; б) [[х, у], z]= 1; в) [х2, у2] = 1 ?
5.2.11. Доказать, что в группе верхних унитреуголь-
ных матриц порядка 3 выполняется тождество
(ху)п = хпуп[х, y]-n(n~W (neN).
5.2.12. Доказать, что если в группе G выполняется
тождество [ [х, у\, z] = 1, то в G выполняются тождества,
[х, yz] = [x, у] [х, 2], [ху, z] = [x, z][y, г].
5.2.13. Доказать, что если в группе G выполняется'
тождество х2 — 1, то G коммутативна.
5.2.14. Какие из отображений групп f: C*->R* яв-.
ляются гомоморфизмами:
а) /(г) = |г|; б) /(г) = 2|г|;
В) Нг) = щ;т) f(2)=l+|z|;
Д) f(z) = \z?; е) f(z)=l; ж) f(z) = 2?
5.2.15. Для каких групп G отображение f: G-+G, ort-1
ределенное правилом:
а) Дх) = х2, б) f(x) = x_|,
является гомоморфизмом? При каком условии эти ото-'
Сражения являются изоморфизмами?
5.2.16. Разбить на классы попарно изоморфных групп
следующий набор групп:
Z; raZ; Q; R; С; Q*; R*; С*; иТ2(Л), где Л - од-
но из колец Z, Q, R, С;
G — группа матриц вида |_* (х, у е R) относи-
тельно сложения;
G* — группа ненулевых матриц видаЦ _* (х, //е
eR) относительно умножения;
£(Л) — группа вещественных чисел вида еа (аеЛ),
где Л — одно из колец Z, Q, R.
5.2.17. Найти все изоморфизмы между группами
ми (z;, .).
5.2.18. Доказать, что группа порядка 6 либо комму-
тативна, либо изоморфна группе S3.
57
5.2.19. Доказать, что если рациональное число а#=0,
то отображение <р: х-*-ах является автоморфизмом груп-
пы Q. Найти все автоморфизмы группы Q.
5.2.20. Пусть О — ненулевая аддитивная группа, со-
стоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом
ограниченном промежутке содержится лишь конечное
число ее элементов. Доказать, что G Z.
5.2.21. Привести примеры плоских геометрических
фигур, группы движения которых изоморфны:
a) Z2; б) Z3; в) S3; г) V4.
5.2.22. Какие из следующих групп изоморфны между
собой:
а) группа D4 движений квадрата;
б) группа кватернионов Q8;
в) группа из задачи 5.2.4 л);
г) группа из задачи 5.2.5 т) ?
5.2.23. Доказать, что группы собственных движений
тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно
группам А4, S4, S4.
5.2.24. Доказать, что
а) множество всех автоморфизмов произвольной
группы является группой относительно композиции;
б) отображение <т: х-+аха~1, где а — фиксированный
элемент группы G, является автоморфизмом группы G
(внутренним автоморфизмом)-,
в) множество всех внутренних автоморфизмов произ-
вольной группы является группой относительно компо-
зиции.
5.2.25. Найти группы автоморфизмов групп:
a) Z; б) Zp; в) S3; г) V4; д) D4; е) Q8.
5.2.26. Доказать, что отображение g>—»<т, сопостав-
ляющее каждому элементу а группы G перестановку
о: х>—>ах множества G, является инъективным гомомор-
физмом группы G в группу So.
5.2.27. Найти в соответствующих группах Sn под-
группы, изоморфные группам:
a) Z3; б) D4; в) Q8.
5.2.28. Пусть о — перестановка степени п и Ац=
=||бм/)||—квадратная матрица порядка п. Доказать, что
если G — некоторая группа перестановок степени п, то
множество матриц Аа, где с е G, образует группу, изо-
морфную группе G.
5.2.29. Найти в соответствующих группах матриц
GLn(C) подгруппы, изоморфные группам:
a) Z2; б) S3; в) Z3; г) V4
58
5.2.30. Найти в группе вещественных матриц порядка
4 подгруппу, изоморфную группе Q8.
5.2.31. Доказать, что группу UPTO нельзя отобразить
гомоморфно на конечную группу, отличную от единич-
ной.
5.2.32. Разбить на классы попарно изоморфных друг
другу групп следующий набор групп:
a) SL2(2); б) SL2(3); в) Д4; г) Д5; д) S4; е) S5.
5.2.33. Доказать, что всякая некоммутативная группа
порядка 6 изоморфна S3.
5.2.34. Доказать, что группа невырожденных матриц
порядка п над полем Zp изоморфна симметрической
группе Sm лишь в трех следующих случаях:
а) п = р = 2, т = 3; б) п = 1, р = 2, т = 1; в) п =
= 1, р = 3, т = 2.
§ 3. Подгруппы. Порядок элемента группы
5.3.1. Доказать, что во всякой группе
а) пересечение любого набора подгрупп является
подгруппой;
б) объединение двух подгрупп является подгруппой
тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержит-
ся в другой;
в) если подгруппа С содержится в объединении под-
групп Л и В, то либо С = А, либо С = В.
5.3.2. Доказать, что конечная подполугруппа любой
группы является подгруппой. Верно ли это утверждение,
если подполугруппа бесконечна?
5.3.3. Найти порядок элемента группы:
а) <1 2 3 4 54 б) fl 2 3 4 5 6\ „
\2 3 1 5 47 е а5’ 12 3 4 5 1 67 S S(5’
в)^
д)
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
e=GL4(R);
г) ----------\=-i е С;
’ V2 д/2
у1 s С*;
10 0 0
е) Jo|eGL2(C); ж)|—* “|s GL2(C).
5.3.4. Доказать, что
а) элемент -4 + 4-г группы С* имеет бесконечный
порядок; 5 5
59
б) число — arctgy иррационально.
5.3.5. Сколько элементов порядка 6 содержится в
группе: .
а) С*; б) D2(C)*; в) S5; г) А5?
5.3.6. Доказать, что во всякой группе \
а) элементы ху и ух имеют один и тот же порядок; i
б) элементы х и уху-' имеют один и тот же порядок; I
в) элементы xyz и zyx могут иметь разные порядки.
5.3.7. Пусть элементы х и у группы G имеют конеч-
ный порядок и ху — ух. Доказать, что ' |
а) если порядки элементов х и у взаимно просты, то
порядок произведения х у равен произведению их поряд-
ков; J
б) существуют показатели k и I такие, что порядок
произведения ху равен наименьшему общему кратному
порядков х и у.
Верны ли эти утверждения для некоммутирующих
элементов х и у?
5.3.8. Доказать, что
, , а) если элемент х группы G имеет бесконечный поря- -
док, то xk —х1 тогда и только тогда, когда k = /; * .. ,
, б) если элемент х группы G имеет порядок и, то
xk = х1 тогда и только тогда, когда n\k —1\
; в) если элемент х группы G имеет порядок п, то
xk = е тогда и только тогда, когда n\k.
5.3.9. Доказать, что в группе Srt
а) порядок нечетной перестановки является четным ,
числом;
б) порядок любой перестановки является наимень-
шим общим кратным длин независимых циклов, входя-
щих в ее разложение.
5.3.10. Найти порядок элемента xk, если порядок эле-
мента х равен п.
5.3.11. Пусть G — конечная группа, a^G. Доказать/
что G — (а) тогда и только тогда, когда порядок а ра-
вен | G |.
5.3.12. В циклической группе <а> порядка п найти все
элементы g, удовлетворяющие условию gk = е, и все
элементы порядка k при f
а) п = 24, k — 6; б) п = 24, k = 4; в) п — 100, k = 20;
г) п = 100, k — 5; д) и = 360; k = 30;
е) и = 360, k = 12;
ж) п = 360, k — 7.
60
5.3.13. Найти число элементов порядка рт в цикличе-
ской группе порядка рп, где р — простое число, 0 <
гп п-
5.3.14. Найти все подгруппы в циклической группе
n°^af 24; б) 100; в) 360; г) 125; д) рп (р— простое
число).
5.3.15. Пусть G = <а>— циклическая группа порядка
rt. Доказать, что
а) элементы ак и а1 имеют одинаковые порядки тогда
и только тогда, когда НОД (£,п) = НОД (1,п);
б) элемент ak является порождающим элементом G
тогда и только тогда, когда k и п взаимно просты;
в) всякая подгруппа И = G порождается элементом
вида аа, где d|n;
г) для всякого делителя d числа п существует един-
ственная подгруппа Н = G порядка d.
5.3.16. Пусть G — конечная группа и d(G)—наимень-
шее среди натуральных чисел s таких, что gs = е для
всякого элемента g & G (период группы G).
Доказать, что
а) период d(G) делит |G| и равен наименьшему об-
щему кратному порядков элементов группы G;
б) если группа G коммутативна, то существует эле-
мент ge G порядка d(G);
в) конечная коммутативная группа является цикли-
ческой тогда и только тогда, когда d(G) = |G|.
Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной
группы?
5.3.17. Существует ли бесконечная группа, все эле-
менты которой имеют конечный порядок?
5.3.18. Периодической частью группы G называется
множество всех ее элементов конечного порядка.
а) Доказать, что периодическая часть коммутативной
группы является подгруппой.
б) Верно ли утверждение а) для некоммутативной
группы?
в) Найти периодическую часть групп С* и Dn(C)*.
г) Доказать, что если в коммутативной группе G есть
элементы бесконечного порядка, и все они содержатся
в подгруппе Н, то Н совпадает с G.
5.3.19. Доказать, что в коммутативной группе множе-
ство элементов, порядки которых делят фиксированное
число п, является подгруппой. Верно ли это утверждение
Аля некоммутативной группы?
61
5.3.20. Найти все конечные группы, в которых суще-
ствует наибольшая собственная подгруппа.
5.3.21. Множество всех подгрупп группы G образует <
цепь, если для любых двух ее подгрупп одна содержится
в другой.
а) Доказать, что подгруппы циклической группы по-
рядка рп, где р — простое число, образуют цепь.
б) Найти все конечные группы, в которых подгруппы 1
образуют цепь.
в) Найти все группы, у которых подгруппы образуют
цепь.
5.3.22. Представить группу Q в виде объединения воз- ;
растающей цепочки циклических подгрупп.
5.3.23. Установить изоморфизм между группами U„
комплексных корней степени п из 1 и группой Zn выче-
тов по модулю п.
5.3.24. Какие из групп <g>, порожденных элементом ;
g е G, изоморфны:
а)0 = С‘; +
6) G = GLa(C), g = |»;|;
в) G==S6, g = (32651); г) G = C’, g = 2-i;
д) G = R‘, g=10; e) G = C‘, g = cos^ + z sin^-; ;
ж) 6 = Z, g — 3?
5.3.25. Доказать, что
а) во всякой группе четного порядка имеется элемент ”
порядка 2;
б) группа, в которой все элементы имеют порядок 2, ’
коммутативна.
5.3.26. Доказать, что всякая конечная подгруппа труп- <
пы С* — циклическая.
5.3.27. Доказать, что всякая собственная подгруппа
группы Up~ является циклической конечного порядка.
5.3.28. Доказать, что
а) в мультипликативной группе поля для любого на-
турального числа п существует не более одной подгруп-
пы порядка п;
б) всякая конечная подгруппа мультипликативной
группы поля является циклической;
в) мультипликативная группа конечного поля являет-
ся циклической.
5.3.29. Найти все подгруппы в группах:
а) S3; б) D4; в) Qg; г) А4.
62
5.3.30. Доказать, что если подгруппа Н группы S„
содержит одно из множеств
{(1 2), (13), . • ♦ , (1«)}, {(1 2), (1 2 3 ... п)}, то Я = Sn.
5.3.31. Найти все элементы группы G, коммутирую-
щие с данным элементом g е G (централизатор элемен-
тэ f если
a) С = S4, g = (12)(34); 6)G = SL2(R), =
в) G = S„, g = (123 ... n).
5.3.32. Для многочлена f от переменных Xi, x2, x3, x4
положим
Qf = {(T S S4I f (Xo(i), X<r(2), Xa(3), Xa(t)) — f(Xi, X2, ^4)}
Доказать, что Gf — подгруппа в S4, и найти эту под-
группу для многочлена:
а) / = Х1Х2 + х3х4; б) f = xlx2x3,
в) f = х, 4- х2; г) f = Х!Х2ХзХ4;
д) f=' П (xi—Xf).
§ 4. Кольца
5.4.1. Какие из следующих числовых множеств обра-
зуют кольцо относительно обычных операций сложения
и умножения:
а) множество Z;
б) множество nZ (п > 1)’;
в) множество неотрицательных целых чисел;
г) множество Q;
д) множество рациональных чисел, в несократимой
записи которых знаменатели делят фиксированное число
ns N;
е) множество рациональных чисел, в несократимой
записи которых знаменатели не делятся на фиксирован-
ное простое число р;
ж) множество рациональных чисел, в несократимой
записи которых знаменатели являются степенями фикси-
рованного простого числа р; _
з) множество вещественных чисел вида х-\- у л/2, где
х, у е Q;
и) множество вещественных чисел видах4-у-^2,
гДе х, psQ;
63
к) множество вещественных чисел вида х + у ^2 4-
4-г ^4, где х, у, zcQ;
л) множество комплексных чисел вида x-{-yi, где
X, у Z;
м) множество комплексных чисел вида x + yi, где
х,у& Q;
н) множество всевозможных сумм вида a\Z\ 4-
+ a2z2 + +впгп, где alt а2, .... ап — вещественные
числа, zj, z2, zn — комплексные корни из 1;
„ х + у
о) множество комплексных чисел вида ----1,
где D — фиксированное целое число, свободное от квад-
ратов (не делящееся на квадрат простого числа), х, у —
целые числа одинаковой четности?
5.4.2. Какие из указанных множеств матриц обра-
зуют кольцо относительно матричного сложения и умно-
жения:
а) множество вещественных симметрических матриц
порядка п;
б) множество вещественных ортогональных матриц
порядка п;
в) множество верхних треугольных матриц порядка п;
г) множество матриц порядка « 2, у которых две
последние строки — нулевые;
д) множество матриц вида *|, где D — фиксиро-
ванное целое число, х,ye Z;
е) множество матриц вида |р* *|, где D — фиксиро-
ванный элемент некоторого кольца К, х, у^ К‘,
ж) множество матриц вида *|’ где &— Фик"
сированное целое число, не делящееся на квадрат про-
стого числа, х и у — целые числа одинаковой четности;
\ II z w II
з) множество комплексных матриц вида I ;
и) множество вещественных матриц вида
х — у — z — t
у X ~t £
Z t X — у
t — Z у X
5.4.3. Какие из следующих множеств функций обра-
зуют кольцо относительно обычных операций сложения
и умножения функций:
64
а) множество функций вещественного переменного,
непрерывных на отрезке [а, ;
б) множество функций, имеющих вторую производ-
ную на интервале (а,&);
в) множество целых рациональных функций веще-
ственного переменного;
г) множество рациональных функций вещественного
переменного;
д) множество функций вещественного переменного,
обращающихся в 0 на некотором подмножестве
D £ R;
е) множество тригонометрических многочленов
п
+ S cos kx + bk sin kx с вещественными коэффи-
k=i
циентами, где n—произвольное натуральное число;
ж) множество тригонометрических многочленов вида
п
а0 + S^cos^x с вещественными коэффициентами, где
л=1
п — произвольное натуральное число;
з) множество тригонометрических многочленов вида
п
2 ak sin kx с вещественными коэффициентами, где и —
k=i
произвольное натуральное число;
, и) множество функций, определенных на некотором
множестве D и принимающих значение в некотором
кольце /??
5.4.4. В множестве многочленов от переменного t
с обычным сложением в качестве умножения рассматри-
вается операция, заданная правилом
Является ли это множество кольцом относительно задан-
ных операций?
5.4.5. Образует ли кольцо множество всех подмно-
жеств некоторого множества относительно симметриче-
ской разности и пересечения, рассматриваемых как сло-
жение и умножение соответственно?
5.4.6. Доказать изоморфизм колец из задач:
а) 5.4.1 о) и 5.4.2 ж);
б) 5.4.2 з) и 5.4.2 и).
_ 5.4.7. Какие из колец, указанных в задачах 5.4.1 —
°-4.5, содержат делители нуля?
3 Под ред. А. И. Кострикина
65
5.4.8. Найти обратимые элементы в кольцах с едини-
цей из задач 5.4.1—5.4.5.
5.4.9. Доказать, что одно цз колец задач 5.4.3 д) и
5.4.3 е) изоморфно, а другое не изоморфно кольцу мно-
гочленов R {х].
5.4.10. Доказать, что все обратимые элементы кольца
с единицей образуют группу относительно умножения.
5.4.11. Найти все обратимые элементы, все делители
нуля и все нильпотентные элементы в кольцах:
а) 1п-, б) Z„n, где р— простое число; ' '
в) К [х]ЦК [х], где К — поле;
г) верхних треугольных матриц над полем;
Д) M2(R).
е) всех функций, определенных на некотором множе-
стве S й принимающих значения в поле К.
5.4.12. Пусть R — конечное кольцо. Доказать, что
а) если 7? не содержит делителей нуля, то оно имеет
единицу и все его ненулевые элементы обратимы;
б) если R имеет единицу, то каждый его элемент,
имеющий односторонний обратный, обратим;
в) если К имеет единицу, то всякий левый делитель
нуля является правым делителем нуля.
Верны ли утверждения б) и в) для колец без еди-
ницы?
5.4.13. Доказать, что в кольце с единицей и без де-
лителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний
обратный, является обратимым.
5.4.14. Пусть 7? — кольцо с единицей, х, y^R. Дока-
зать, что
а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы
х и у также обратимы;
б) если R без делителей нуля и произведение ху об-
ратимо, то элементы х и у обратимы;
в) если R конечно и произведение ху обратимо, то х
и у обратимы;
г) без дополнительных предположений о кольце R из
обратимости произведения ху не следует обратимость
элементов х и у.
5.4.15. Пусть R— прямое произведение колец Ri, ...
...,Rk.
а) При каких условиях R коммутативно; имеет еди-
ницу; не имеет делителей нуля?
б) Найти в R все обратимые элементы; все делители
нуля; все нильпотентные элементы.
66
5.4.16. Доказать, что
а) если числа k к I взаимно просты, то
Zfei — Z^ X Zj;
б) если п = рк{' где рг, ..., —различные
простые числа, то
z„=z s.x...xzA;
в) если числа k и / взаимно просты, то
г) для различных простых чисел pi, ..., р,
Ч(Ркг = •••
5.4.17. Пусть К — поле. Доказать, что
а) если многочлены /, g е К [х] взаимно просты, то
K[x]/fgK [xf К [x\ffR WXff [xj/gtf [xj;
б) если f = р\ ... pks, где pi, ..., p, — взаимно про-
стые неприводимые многочлены, то
/С [x]/fK [xl К [xj/p^K [х] X ... X К [х]/р*.< [х].
5.4.18. Пусть R — кольцо с единицей 1 и S — его под-
кольцо.
а} Верно ли, что I eS?
б) Может ли подкольцо S иметь единицу е, отличную
от 1?
5.4.19. Пусть /? и S — кольца с единицей, <₽: R-+S—
гомоморфизм.
а) Верно ли, что образ единицы кольца R является
единицей кольца S?
б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм <р
сюръективен?
5.4.20. Гомоморфизм <р: колец R и S е едини-
цами 1 и е называется унитарным, если <р(1)»е. Найти:
а) все унитарные гомоморфизмы кольца Z и кольца
Z(xi хп} многочленов от некоммутирующих нере-
менных в произвольное кольца R с единицей;
б) все гомоморфизмы колец Z и Z{xb в про-
извольное кольцо /?.
М.2-1. Пусть поле К содержится в коммутативном
кольце R с единицей 1 и 1s К. Гомоморфизм кольца
3*
/([xi, x,J в кольцо /? называется К-гомоморфизмом,
если элементы поля К отображаются тождественно.
а) Доказать, что всякий /(-эндоморфизм кольца
К[х\, ..., хп] определяется набором многочленов — об-
разов порождающих элементов Xi, .... хп.
б) При каком условии /(-эндоморфизм <р кольца
К [х] является автоморфизмом?
в) Доказать, что если /(-эндоморфизм <р кольца
К[хь .... хп] является автоморфизмом, то якобиан
принадлежит полю К и отличен от 0.
5.4.22. Доказать, что
а) кольцо эндоморфизмов циклической группы по-
рядка п изоморфно кольцу Z„;
б) группа автоморфизмов циклической группы поряд-
ка п изоморфна группе обратимых элементов кольца Z„.
5.4.23. Пусть К. — поле и f пробегает множество всех
многочленов степени 2 из /([х]. Разбить на классы по-
парно изоморфных колец совокупность колец К [х] ЦК [х],
если
а) К = С; б) К = R; в) К = Q; г) К — конечное поле.
5.4.24. Найти с точностью до изоморфизма:
а) все кольца с единицей, б) все кольца,
имеющие циклическую аддитивную группу порядка п,
5.4.25. При каких п все необратимые элементы коль-
ца Тп образуют идеал?
5.4.26. Найти все идеалы кольца:
a) Z; б) К[х], где /(— поле.
5.4.27. Доказать, что кольцо
a) Z [х], б) /([х, у], где /( — поле,
не является кольцом главных идеалов.
5.4.28. Доказать, что в кольце матриц над полем вся-
кий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает
со всем кольцом.
5.4.29. Найти все двусторонние идеалы в кольце
квадратных матриц над кольцом R. с единицей.
Останется ли верным полученное утверждение, если
кольцо /? не имеет единицы?
5.4.30. Доказать, что множество 1s непрерывных
функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмно-
жестве S s [а, 6], является идеалом в кольце функций,
непрерывных на [а, 6].
68
Берио ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид
Is для некоторого S s [а, Ь\ ?
5.4.31. Пусть R— коммутативное кольцо без делите-
лей нуля. Доказать, что
а) если элементы a, b е R имеют наименьшее общее
кратное НОК(я, Ь), то они имеют наибольший общий де-
литель НОД(а, Ь), и НОК(а, Ь) НОД (a, b) = ab\
б) если любые два ненулевых элемента кольца имеют
наибольший общий делитель, то любые два ненулевых
элемента имеют наименьшее общее кратное;
в) из существования наибольшего общего делителя
двух элементов а и b не следует существование их наи-
меньшего общего кратного.
5.4.32. Пусть R — коммутативное кольцо без делите-
лей нуля и отображение 6: A’\{0}->N удовлетворяет
условию: для любых элементов а, b <= К, где 6У=0, су-
ществуют элементы q, г е К такие, что а — bq + г и
5 (г) < 6(6) пли г = 0.
Доказать, что существует отображение бь /(\{0}->N,
удовлетворяющее как этому условию, так и условию:
для любых a, b ее К, где ab ф 0, 6i (аб) 61 (6).
5.4.33. Доказать, что всякую прямоугольную матрицу
с элементами из евклидова кольца с помощью элемен-
тарных преобразований ее строк и столбцов можно при-
вести к виду
I0 .. 0 е2 .. ..0 0 ..0 0 ... 0 ... 0
0 0.. .. ег 0 ... 0
0 0.. ..0 0 ... 0
0 0.. ..0 0 ... 0
где ei|e2| ... |er, 0 (Z = 1, 2, ..., г).
5.4.34. Доказать, что
а) кольцо целых гауссовых чисел x^-iy (x,y^Zj
евклидово;
б) кольцо комплексных чисел видах + гуд/3 (*> У&
Z) не является евклидовым;
в) кольцо комплексных чисел вида -—у , где х
и У целые числа одинаковой четности, евклидово.
5.4.35. Дифференцированием кольца R называется
отображение D: R-+R, удовлетворяющее условиям:
1) D(x + y) = D(x) + D(y)-, 2) D(xy)-D(x)y +
+ х£Ю) (х, y&R).
69
Найти все дифференцирования колец:
a) Z; б) Z [х]; в) Z [xi, х2, ..., хп].
5.4.36. Множество L с операцией сложения, относи-
тельно которой L является коммутативной группой-, и
операцией умножения о, связанной со сложением зако-
нами дистрибутивности, называется кольцом Ли, если
для любых х, у, z е L выполняются равенства:
1) хех = 0; 2) (х»у) о z(у ° z) ox + (z°x) °у~0
(тождество Якоби).
Доказать, что
а) в кольце Ли выполняется тождество х»х/ =
= —у ° •*;
б) векторы трехмерного пространства образуют коль-
цо Ли относительно сложения и векторного умножения;
в) всякое кольцо R является кольцом Ли относитель-
но сложения и операции х о у = ху — ух;
г) множество всех дифференцирований кольца R яв-
ляется кольцом Ли относительно сложения и операции
о Z)2 ж D\Di — D%D\,
5.4.37. Доказать, что полугрупповое кольцо R [S] упо-
рядоченной полугруппы S не имеет делителей нуля тогда
и только тогда, когда кольцо R не имеет делителей нуля.
§ 5. Поля
5.5.1. Какие из колец в задачах 5.4.1—5.4.3 являются
полями?
5.5.2. Какие из следующих множеств матриц обра-
зуют поле относительно обычных матричных операций:
а) {|Пу х,. у eQp где п — фиксированное це-
лое число;
б) {|пр х1= х’ где п — фиксированное це-
лое число;
в) {|»М= где р-2. 3,5, 7?
5.5^3. Доказать, что порядок единицы поля в его ад-
дитивной группе либо бесконечен, либо является про-
стым числом.
5.5.41 Для каких чисел п = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует
поле из п элементов?
5.5.5. Доказать, что поле иэ р2 элементов,, где р —
простое число, имеет единственное собственное подполе.
5.5.6. Доказать, что поля Q и R не имеют автомор-
физмов, отличных от тождественного.
70
5.5.7. Найти все автоморфизмы поля С, при которых
каждое вещественное число переходит в себя.
5.5.8. Имеет ли поле Q(V2) автоморфизмы, отлич-
ные от тождественного?
5.5.9. Доказать, что в поле F характеристики р
а) справедливо тождество
' „т „т , „т . .
(х + Уг —х + У (т — натуральное число);
<б) если F конечно, то отображение х>—>хр является
автоморфизмом.
5.5.10. Доказать, что если комплексное число г не
является вещественным, то поле R(z) совпадает с С. _
5.5.11. При какихт, п е Z\{0} поля Q(<Vw) hQ(V«)
изоморфны?
5.5Л2. Доказать, что для любого автоморфизма <р
поля К множество элементов, неподвижных относитель-
но <р, является подполем.
5.5Л3. Доказать, что любые два поля из четырех эле-
ментов изоморфны.
5.5.14. Существует ли поле, строго содержащее поле
комплексных чисел?
5.5.15. Решить в поле Q(V2) уравнения:
а) х2 + (4 — 2 д/2) х + 3— 2 д/2 = 0;
б) х2 — х — 3 = 0; в)х2+х — 7 + 6^/2 = 0;
г) х2 —2х+ l-V2 = 0.
5.5.16. Решить систему уравнений
х + 2z = 1, у + 2z = 2, 2х + z — 1
а) в поле Z3; б) в поле Z5.
5.5.17. Какие из уравнений:
а) х2 = 5, б) х7 = 7, в) х3 = а
имеют решения в поле Zu?
5.5.18. Доказать, что в поле из п элементов выпол-
няется тождество х" = х.
5.5.19. Доказать, что многочлен f е К [х] степени п
не может иметь в поле К. более чем п корней.
5.5.20. Найти порядок элемента 2 в мультипликатив-
ной группе поля Zp для р = 3, 5, 7, 11. В каких из этих
групп 2 является порождающим элементом?
5.5.21. Найти все порождающие элементы в мульти-
пликативных группах поля: a) Z?; б) Zu.
5.5.22. В поле рациональных функций с веществен-
ными коэффициентами решить уравнения:
71
5.5.23. Доказать, что в поле Zp выполняются равен-
ства:
Р-1 5
а) У, /г'1 = 0 (р > 2);
(P-D/2
б) У /г“2 = О (р > 3). t
*=1 |
5.5.24. Пусть ... т0 и tiktik-\ ... п0 — записи |
натуральных чисел т и п в системе счисления с основа- |
нием s, где s — простое число. Доказать, что |
а) числами £°) (”*)••• О при делении на I
s дают одинаковые остатки; ?|
б) делится на s тогда и только тогда, когда при |
некотором i выполняется неравенство тп> n<. I
5.5.25. В векторном пространстве Z” (р— простое I
число) I
а) найти число одномерных подпространств; I
б) доказать, что число упорядоченных множеств из k I
линейно независимых векторов равно I
(рп— 1)(рп — р) ... (рп — р*-1). I
5.5.26. Пусть р — простое число. I
а) Найти порядок группы GL2(ZP). I
б) Доказать, что порядок группы GLn(Zp) равен I
(рп— 1)(р'! — р) ... (pn — pn~i). I
в) Доказать, что порядок группы SLn(Zp) равен -I
(рп — 1) (рп — р) ... (р'! —Pn-’)/(p —1). I
Глава 6
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
6.1.1. Вычислить выражения:
а) (2 +0(3-0 +(2 4-3Z)(3 +40;
б) (2 + 0 (3 + 70 - (1 + 21) (5 4- 30;
в) (4 4- 0 (5 + 30 - (3 4- 0 (3 - 0;
г) (5 + I) (7 - 6Q . . (5 4 0 (3 4 5Z) .
3-f- i ’ 2/ *
72
ч (1 + Зг) (8 - i) . „д (2 + г) (4 + n .
е) (2 + г)2 ’ ’ 1+г
з) ; и) (2 + О3 + (2 - г)3;
к) (3 + г)3 - (3 - г)3; л)-2±$; м) (-2 ±
6.1.2. Вычислить г77, г98, г-57, г", где п — целое число.
6.1.3. Доказать равенства:
а) (1 + г)8л = 24га (га е Z);
б) (1+/)4П = (-1)«22'1 (raeZ).
6.1.4. Решить систему уравнений:
а) (1 + 0*! + (l-~г)г2=1 + i,
(1 + г)г2= 1 + Зг;
6) izi + (1 -|- i) z2 = 2-j-2i,
2iZ\ -|- (3 -f- 2i) z2 =s 5 -)•- 3г;
в) (1 — г) Z[ — 3z2 — —г,
2z\ (3 "4* 3г*) z2 = 3 — i-,
r) 2zj — (2 + г) z2 == — г,
(4 — 2г) z1 — 5z2 = — 1 — 2г.
6.1.5. Найти вещественные числа х и у, удовлетво-
ряющие уравнению:
а) (2 + г) х + (1 4- 2г) у = Г— 4г;
б) (3 + 2г)х + (1 + Зг)0»=4-9г.
6.1.6. Доказать, что
а) .комплексное число г является вещественным тогда
и только тогда, когда z = z;
б) комплексное число является чисто мнимым тогда
и только тогда, когда z = —z.
6.1.7. Доказать, что
а) произведение двух комплексных чисел является
вещественным тогда и только тогда, когда одно из них
отличается от сопряженного к другому вещественным
множителем;
б) сумма и произведение двух комплексных чисел
являются вещественными тогда и только тогда, когда
Данные числа или сопряжены, или оба вещественны.
6.1.8. Найти все комплексные числа, сопряженные к
а) своему квадрату; б) своему кубу.
6.1.9. Доказать, что если из данных комплексных чи-
сел Zi, z2, ..., 2п при применении конечного числа опе-
раций сложения, вычитания, умножения и деления по-
73
лучается число z, то из чисел z\,zz, .... zn при примене-
нии тех же операций получится число z.
6.1.10. Доказать, что определитель
Zi Zj а
2г 22 b t
z3 z3 с
где zi, Z2, z$— комплексные и а, Ь, с — вещественные
числа, является чисто мнимым числом.
6.1.11. Решить уравнения:
а) г2 = /; б) z2 = 3 — 4i; в) z2 = 5—12/;
г) z2 — (1 +/)z + б + 3/= 0;
д) г2 — 5г+ 4+10/= 0;
е) z2 + (2i —7)z+13 —/ = 0.
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической
форме
6.2.1. Найти тригонометрическую форму числа:
а) 5; б) /; в) —2;
г) —3/; д) 1 + /; е) 1 — /;
ж) 1 + / д/3; з) — 14-/д/3; к) 1—/д/3;
л) V3 + /; м) — д/3 4" /; н) — д/3 — /;
о) д/3 - /; п) 1 4- /4^; Р) 2 4- V3 4- Г,
с) 1 — (2 4- д/3) /; т) cos а — / sin а;
у) sin а 4-1 cos а; ф) 1_-jga -.
6.2.2. Вычислить выражения:
а) (1 4- О1™; б) (1 + / д/3)180; в) (д/3 + Z)30;
г)(1 + ^эг+т)*; д) (2-V5+012;
6.2.3. Решить уравнения:
а) |z14-*”“84-4/; б) |z| — z = 8+ 12i.
6.2.4. Доказать следующие свойства модуля комп-. =
лексных чисел;
1) |zi±z2|<|zi | + |z*|;
2) HzJ — |z2|K|Zi±2^k
74
3) |zi + z2| = |zi| + |z2| тогда и только тогда,
когда векторы z\ и z2 имеют одинаковые направления;
4) |zi + z2|=||zi| — |z2|| тогда и только тогда, когда
векторы Zi и Z2 имеют противоположные направ-
ления.
6.2.5. Доказать, что
а) если | z | < 1, то | z2 — z + i | < 3;
б) если | z К 2, то 1 | г2 — 5 К 9.
6.2.6. Доказать неравенство
| z, - z21 <l|Zi I -1 z2II + min {| Zi I, | z21} • | arg*j — argz21.
В каком случае это неравенство обращается в равенство?
6.2.7. Доказать формулу Муавра:
[г (cos ф + i sin ф)]п = г" (cos пф + i sin Пф)
для целых п < 0.
6.2.8. При ne Z вычислить выражения:
а) (!+,)"; «(±4^)“; В) (4^)'.
6.2.9. Доказать, что если г 4- z-1 = 2 cos ф, то zn +
+ z~n = 2 cos пф, где п <= Z.
6.2.10. Представить в виде многочленов от sinx и
cosx функции:
a) sin4x; б) cos4x; в) si-n5x; г) cos5x.
6.2.11. Доказать равенства:
(п/2]
a) cos пх — У, (—1)* cosn-2fex • sin^x;
б) sin пх = 2 (—l)fe \2k + 1) cos””2*"1* • sin^x-
6.2.12. Выразить через первые степени синуса и коси-
нуса аргументов, кратных х, функции:
a) sin4x; б) cos4x; в) sin6x; г) cos6x.
6.2.13. Доказать равенства:
a) cos2,n х = ) cos (2т —• 2k) х + (2« ) ] ’
т
б) cos21”-” X == ~ 2 (2m + *) cos (2m + 1 - 2k) х;
b-0
78
в) sin2mx =
(-l)m
227П-1
“ m-1
E (-1)' CT)cos - w+
- k-0
r) sin2,"+1x —
m
=Л^Е (-1)* (2V ’)sin +1 --
A=0
§ 8. Корни из комплексных чисел
6.8.1. Доказать, что если комплексное число г яв-
ляется одним из корней степени п из числа веществен-
ного а, то и сопряженное число г является одним из
корней степени п из а.
6.8.2. Доказать, что если
V* = {zb z2, .... zn},
ТО
Vf = {^, 23......Z„}.
6.8.3. Какие из множеств д/г содержат хотя бы одно
вещественное число?
6.3.4. !) Пусть г и w — комплексные числа. Доказать
равенства:
а) Vznw — z л/w\ б) V —
в) \/zw~= и w, где «-—одно из значений л/z.
6.3.5. Доказать, что объединение множеств %jz и Ц—z
есть множество л^2-
6.3.6. Верно ли равенство ^zs = '\/z (s > 1)? А
6.3.7. Записать в тригонометрической форме эле-
менты множества:
а) УГ; б) ^512(1 - г д/З)’; в) ^8 д/2(1 - г).
6.3.8. Записать в алгебраической форме элементы
множества:
а) д/1; б) 1 ; в) V1 > г) Vi ; д) М““4;
е) д/б4; ж) ^16; з) ^/—27; и) i — 8;
1) Множество zA есть по определению {za | аеД}.
76
к) V—72 (1 — i -у 3); л) V1~H; м) л/2—2г;
И) Л/Т=7-; о) N^+T- "> V^TT7v?;
X 4 / 32
Р' V 9(1 — / д/з) '
6.3.9. Найдя двумя способами корни степени 5 из еди-
ницы, выразить в радикалах:
, 2л ,ч . 2л , 4л ч 4л
a) cos—; б) sin-у; в) cos-у; г) sin-у.
6.3.10. Решить уравнения:
а) (?+1)" + (2—1)п = 0;
б) (z+l)n —(z—1)п = 0;
в) (z-(-/)n + (z —
§ 4. Корни из единицы и многочлены деления
круга
6.4.1. Выразить в радикалах корни из единицы сте-
пени 2, 3, 4, б, 8, 12.
6.4.2. Найти произведение всех корней степени п из
единицы.
6.4.3. Доказать, что
a) V1 = {ео> ер .... en-J, где
„ „ 2л& , . . 2яй
— COS-------Р I sin---
п 1 п
(0 < k < п);
б) ек — е![ (0 < k < п);
х ( ek+i> если k-\-l<n, (Q^.k<n,
В) 8^,8/ == <
(, Zk+i-я’ если k-j-l^n Q^l<n);
г) множество Un = V1 корней степени п из единицы
является циклической группой порядка п относительно
умножения;
д) всякая циклическая группа порядка п изоморфна
группе Un.
0.4.4. Доказать, что
если числа г и s взаимно просты и аг = а® = 1, то
6) если d — наибольший общий делитель чисел г и в,
то Urf] Vs = ud;
в) если числа г и » взаимно просты, то всякий корень
из единицы степени rs однозначно представляется в виде
произведения корня степени г на корень степени з.
77
6.4.5. Доказать, что следующие утверждения равно-
сильны:
а) в является первообразным корнем из единицы сте-
пени п;
б) порядок е в группе Un равен п;
в) е является порождающим элементом группы U„.
6.4.6. Доказать, что если е является первообразным
корнем степени п из единицы, то. & также является пер-
вообразным корнем степени п из единицы.
6.4.7. Доказать, что если числа г и s взаимно просты,
то е является первообразным корнем степени rs из еди-
ницы тогда и только тогда, когда е является произведе-
нием первообразного корня степени г и первообразного
корня степени s.
6.4.8. Найти число первообразных корней из единицы
степени:
а) 2; б) 3; в) 12; г) 16; д) 24; е) р*, где р—простое
число.
6.4.9. Вычислить:
а) сумму всех корней степени п из единицы;
б) сумму s-x степеней всех корней' степени п из еди-
ницы (s — целое число);
в) произведение всех первообразных корней степени
п из единицы.
6.4.10. Доказать, что
а) число первообразных корней степени п из единицы
равно ф(п)-;
б) если числа /пип взаимно просты, то
ф(/пп)==ф(/п)ф(п);
в) если п = р^р^2 ... pbs, где plt. ..-. , ps — различ-
ные простые числа, то
6.4.11. Порядком, корня г из единицы называется наи-
меньшее положительное число k, для которого zb = 1.
а) Доказать, что порядок корня е* степени п из еди-
ницы равен n/d, где d — наибольший общий делитель
п и k.
б) Доказать, что если порядок z равен п, то порядок
zb равен n/d, где d — наибольший1 общий делитель п и k.
в) Какой порядок может иметь число z, если z* имеет
порядок /?
78
г) Доказать, что если корни z и w из единицы имеют
одинаковый порядок, то существует число k, взаимно
простое с п, такое, что zk = w.
л) Доказать, что если z — первообразный корень не-
четной степени п из единицы, то —z — первообразный
корень степени 2п.
е) Доказать, что если z — первообразный корень сте-
пени 2/г из единицы, то z или —z — первообразный ко-
рень степени п.
ж) Доказать, что среди произведений вида zw, где
корни из единицы z и w имеют порядки k и I, найдется
число, порядок которого равен наибольшему общему де-
лителю чисел k и I.
6.4.12. Найти порядки всех корней из единицы сте-
пени 15 и 20.
6.4.13. Найти все корни степени 600 ив единицы,
имеющие порядок 6.
6.4.14. Обозначим через о(п) сумму всех первообраз-
ных корней степени п из единицы. Доказать, что
а) о(1)=1;
б) при п > 1 У, o(d) = 0;
d | п
в) о(р)=—1,:если р— простое число;
г) <т(р*)=О, если р — простое число, kZ> 1;
д) о (гз) = о (г) • о (з), если числа г и s взаимно просты;
е) функция о (га) совпадаете функцией Мёбиуса ц.(и).
6.4.15. Пусть d—(положительный) наибольший об-
щий делитель целого 'числа з и натурального числа п,
8,- — первообразный корень степени п из единицы ‘{i —
= 1,2, ..., <р(п)). Доказать равенство
6.4.16. Является ли число корнем некоторой
степени из единицы?
6.4.17. Найти многочлены деления круга (круговые
многочлены) Фя(х) для п, равного:
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 6; ё) 12; ж) р, где р — про-
стое число; з) pk, где р — простое число, k > 1.
6.4.18. Доказать следующие свойства круговых мно-
гочленов:
а) ПфДх) = х»-1;
d |п
79
б) Ф2„(х) = Фп(—х) (п — нечетное число, большее 1);
в) Ф„ (х) = Ц (xd — 1) ( d А
d | п
г) если k делится на любой простой делитель числа
п, то
Ф„(х) = Ф6 GT);
д) если п делится на простое число р и не делится
на р2, то
Фгс(х) = Ф пЛхР) (Ф_2 (х))"1.
6.4.19.. Найти круговые многочлены для п,равного 10,
14, 15, 30, 36, 100, 216, 288, 1000.
6.4.20. Доказать, что у всякого кругового многочлена
а) все коэффициенты — целые числа;
б) старший коэффициент равен 1;
в) свободный член равен —1 при п = 1 и равен 1
при п > 1.
6.4.21. Найти сумму коэффициентов кругового много-
члена Фп(х).
6.4.22. Доказать, что если для всякого натурального
числа выполняется равенство
хп-1 = П/Дх),
d\n
то для любого k s N fk (х) есть круговой многочлен
Ф*(х).
§ 5. Вычисление сумм и произведений с помощью
комплексных чисел
6.5.1. Вычислить суммы:
a>1-(D + G)-(n + -;
в> (О-(з) + (?)-(7)+
в> 1 + (3) + («) + ---;
г> (;)+«)+(;)+•••’
д) 1 +2е + 3в2+ ... +пвЛ~1,
где в — корень степени п из единицы.
80
6.5.2. Доказать равенства:
пх (n + 1) х
sm ~ cos--------2----
a) cos x + cos 2x + • • + cos nx =---------------------------
sin —
6) sin x + sin 2x + ... + sin nx —--------------
sin —
(x 2Zjji, k s Z);
ч л Зл . 5л . . (2n—-1)л p.
7 n fl n fl 9
. . л . . 3л , . 5л । i (2п—1)л л
г sin —+ sin—+ sin —+ ... + sin*——i—=0;
fb fb f b f b
/г-1
Д) — £ + z^y)n = xn + yn (e0> eI( ..., e„_! — корни
n fe=0
степени n из единицы);
п
e) x2n+1 - 1 = (x - 1) JJ (x2 -2x005^^4- 1);
n—1
ж) x2a — 1 — (x2 — 1) JJ (x2 — 2x COS —+ 1) ;
A=1
x ГТ л/е n v TT . Ttk V2/1 + 1
3) 11 sm IT ~ 11 Sln 2n+l ~ 2n
fe=l
§ 6. Связь комплексных чисел с геометрией
на плоскости
6.6.1. Изобразить на плоскости точки, соответствую-
щие числам
5, —2, —3/, dzlzb£zy3.
6.6.2. Найти комплексные числа, соответствующие
а) вершинам квадрата с центром в начале коорди-
нат, со сторонами длины 1, параллельными осям коор-
динат;
б) вершинам правильного треугольника с центром в
начале координат, стороной, параллельной оси ординат,
вершиной на отрицательной вещественной полуоси и ра-
диусом описанного круга, равным 1;
81
I
в) вершинам_правильного шестиугольника с центром I
в точке 2 -|- / -\/з, стороной, параллельной оси абсцисс,
и радиусом описанного круга, равным 2; ’
г) вершинам правильного n-угольника с центром в
начале координат, одной из вершин которого является 1.
6.6.8. Указать геометрический смысл выражения |
]»1 — xj|, где zi и Z2 — заданные комплексные числа.
6.6.4. Как расположены на плоскости точки, соответ- Я
ствующие
а) комплексным числам zi, z2, z3, для которых
2i + z2 + z3 = 0, |zi| = |z2| = |z3|#=0;
б) комплексным числам zb z2, z3, Z4, для которых
21 + Z2 + z34-Z4 = 0, |zi|=|гд|=:|^| = |z4|#= о.
6.6.5. Изобразить на плоскости множество точек, со-
ответствующих .комплексным числам z, удовлетворяю-
щим условиям:
a) |z|=l; б) argz = n/3; в) |z|^2;
г) |z—1—/|<1; д) |z + 3 + 4zK5;
е) 2<|z|<3; ж) l<|z-2/|<2;
3) | arg z | < л/6; и) а < arg z < 0, где — л < а < 0 л
и z0 — заданное комплексное число;
к) |Rez|^l; л) — l<Reiz<0;
м) |Imz |= 1; н) | Rez + Imz |< 1;
о) |z-.l | + |z+ 1 | = 3; п) |z + 2|-|z-2| = 3;
п) |z — 2 | = Rez+ 2.
6.6.6. Доказать тождество
\z -f- wJ2 -j-|z — w|2 = 2|z|2 -j-2| w|2
и указать его геометрический смысл.
6.6.7. Пусть комплексные числа zi, z2, z3 соответ-
ствуют вершинам параллелограмма Ai, Д2, А3. Найти
число, соответствующее вершине А4, противолежащей Д2.
6.6.8. Найти комплексные числа, соответствующие
противоположным вершинам квадрата, если двум дру-
гим вершинам соответствуют числа гида.
-6.6.9. Найти комплексные числа, соответствующие
вершинам правильного -n-угольника, если двум его сосед-
ним вершинам соответствуют числа z3 и z\.
6.6.10. Изобразить на плоскости множество точек, со-
1 + а
ответствующих комплексным числам z = t , где
/ s R.
82
в;вЛ1. Указать геометрический смысл числа
arg _Z1 , где Zi,Z2,23 — различные комплексные числа.
Z% —
6.6.12. Доказать, что
а) точки плоскости, соответствующие комплексным
числам zi, 22, г», лежат на одной прямой тогда и только
тогда, когда существуют вещественные числа М, А#, X»
не все равные нулю, такие, что
%12) 4“ ^2^2 4" ^3^3 = О, М + ^2 4" ^30^
б) точки плоскости, соответствующие различным^
комплексным числам zi, 22, 23, лежат на одной прямой
2i — Жч
тогда и только тогда, когда число —----- является ве-
^2— Ж$
щественным;
в) точки плоскости,, соответствующие различным
комплексным числам zb 22, 23, z4 и не лежащие на> од?-
ной прямой, лежат на одной окружности тогда и только?
тогда, когда их двойное отношение Zl~Zt ; z‘:~2r* яв-
Z2 — 2^3 — 24
ляется вещественным числом.
6.6.13. Изобразить на плоскости множество точек, со-
ответствующих комплексным числам z, удовлетворяю-
щих равенству | [ = ^> ГДО z2 & С и к > 0.
6.6.14. (Лемниската.) Изобразить на плоскости мно-
жество точек, соответствующих комплексным числам 2,
удовлетворяющим равенству | z2 — 11 = X. При X = 1
записать уравнение полученной кривой в. полярных коор-
динатах.
6.6.15. Расширенной комплексной плоскостью назы-
вается комплексная плоскость, дополненная «бесконечно
удаленной точкой» оо.
Доказать, что если (zi?z2, z3) и (оч, w2, w3.)f—две
тройки попарно различных точек расширенной комплекс-
ной плоскости, то существует дробно-линейное преобра-
зование
w — (а, Ь9 с, d е С, ad — be Ф 0),
переводящее первую тройку во вторую.
6.6.16. Доказать, что если в каждой из двух четверок
(2ь ^2,23, z4) и (w 1, ш2, ш3, ш4) точек расширенной комп-
лексной плоскости все точки попарно различны, то дроб-
но-линейное преобразование, переводящее одну’ из этих
83
четверок в другую, существует тогда и только тогда,
когда совпадают двойные отношения:
Zj — Z3 . ?! — Z4 Wj — W3 . Wj — w4
Z2 — Z3 ’ Z2 ~ z4 W2— W3 *' w2 — w4
6.6.17. Доказать, что при дробно-линейном преобразо-
вании расширенной комплексной плоскости всякая пря-
мая переходит в прямую или в окружность.
6.6.18. Доказать, что дробно-линейное преобразова-
ние w = ~cz d (ad — be = 1) переводит вещественную
прямую в себя тогда и только тогда, когда числа а, Ь, с,
4 — вещественные.
6.6.19. Выяснить геометрический смысл дробно-ли-
. 1
чеиного преобразования w — —.
6.6.20. Доказать, что всякое дробно-линейное преоб-
разование, отображающее открытую верхнюю полупло-
скость на внутренность единичного круга с центром в
начале координат, имеет вид
w = а -~~, где |а|=1, 1ш&>0.
z — Ъ -
6.6.21. Доказать, что всякое дробно-линейное преоб-
разование, отображающее единичный круг с центром в
начале координат на себя, имеет вид
w = а где | а | = 1, | | < 1.
1 — zb
6.6.22. Выяснить геометрический смысл преобразова-
ния комплексной плоскости, заданного формулой w = zn
(n>2).
Глава 7
МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Деление на х — х0. Кратность корня
7.1.1. Разделить с остатком многочлен f(x) на х — Хц
и вычислить значение f(xo):
a) f (х) = х4 — 2х3 + 4х2 — 6х + 8, х0 = 1;
б) f (х) = 2х® — 5х3 — 8х, х0 — —3;
в) f (х) = Зх5 + х4 - 19х2 - 13х - 10, х0 = 2;
г) / (х) = х4 — Эх3 — !0х2 +2х+5, х0 = -2.
84
7.1.2. Вычислить f(x0):
a) f (х) — х4 — Зх3 + 6х2 — 10х + 16, х0 = 4;
б) f (х) = х4 + 2Х3 — Зх2 — 4х + 1, х0 = — 1;
в) f (х) == 5х5 — 19Х3 — 7х2 + 9х + 3, х0 = 2;
г) f (х) = Зх4 + 4х3 + 5х2 + х + 33, х0 — —2.
7.1.3. Разложить многочлен f(x) по степеням х — 2 и
найти значения его производных в точке 2:
а) f (х) = х4 — 8х3 + 24х2 - 50х + 90;
б) f (х) = х® — 4х3 + 6х2 — 8х + 10.
7.1.4. Определить кратность корня х0 многочлена
f(x):
a) f (х) = х5 — 5х4 + 7х3 — 2х2 + 4х — 8, х0 = 2;
б) f (х) = х5 + 7х4 + 16х3 + 8х2 - 16х - 16, х0 = -2;
в) f (х) = Зх5 + 2х4 + х3 — 1 Ох — 8, х0 = — 1;
г) f (х) = X5 - 6х4 + 2Х3 + 36х2 — 27х — 54, х0 = 3.
7.1.5. При каком значении а многочлен х5— ах2 —
— ах-р 1 имеет —1 корнем не ниже второй кратности?
7.1.6. При каких а и Ь многочлен ax"+l + Ьх“ + 1 де-
лится на (х— I)2?
7.1.7. При каких а и b многочлен х3 + ах8 + b имеет
двойной корень, отличный от нуля?
7.1.8. Доказать, что многочлен
1 + тг + -|г+---+4-
не имеет кратных корней.
7.1.9. Доказать, что многочлен
а^"1 + а2хПг + ... + akxnk (nj < п2 < • • • < nk)
не имеет отличных от нуля корней кратности больше
k— 1.
§ 2. Разложение на неприводимые множители
7.2.1. Разложить на линейные множители над полем
комплексных чисел многочлены:
а) х3-6х2+ 11х — 6; б) х4 + 4; в) х6 + 27;
г) х2п + х" + 1; Д) cos (п arccos х);
е) sin((2n -f- ijarcsinx).
7.2.2. Разложить на линейные и квадратные множи-
тели над полем вещественных чисел многочлены}
а) х6 -р 27; б) х4 + 4Х3 + 4х2 + 1;
в)х4-ах2+1 (| а | < 2); г) х2П + хп + 1;
д) х6-х3+ 1; е) х12 + х8 + х4+ 1-
85
7.2.3. Построить многочлен наименьшей степени с
комплексными коэффициентами, имеющий
а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1 4~ G
б) двойной корень i, простой корень —1 — L
7.2.4. Построить многочлен наименьшей степени с ве-
щественными коэффициентами, имеющий
а) двойной корень 1,. простые корни 2, 3 и 1 + i;
б) двойной корень i, простой корень —I — i.
7.2.5. Докааать, что многочлен x3m + x3't+! + х3|₽+& де-
лится на 4-х + 1.
7.2.6. При каких т,п,р многочлен х3”— хзи+г + хзр+2
делится на х2 — х 4- 1 ?
7.2.7. При каких т многочлен (х4-1)т — Де"
лится ца (х* 4- х 4-1 )2?
7.2.8. Найти наибольший общий делитель многочле-
нов-:
а) (х - If (х 4- 2f (х — V) (х + 4)
и (х — 1)2(х 4- 2) (х -F 5);
б) (к- 1)(хЕ- 1>(х»- 1)(х4- 1)
и (х-Ь 1)(х2+ 1)(х»-Ь 1)(**+ О;
в) хт-1 и хп-1;
г) х"1 4-1 и х" 4- !•
7.2.9. Найти линейное выражение многочлена h(x)\
через многочлены f(х) и g(x):
a) f (*) = -*3, § (х) = (х — I)2, Л (х) = 2х — 1;
б) f (х) = (х - 1) (х - 2), g (х) = х (х 4- 1) (х 4- 2),
/г(х}=« 1.
7.2.10. Представить рациональную дробь в виде сум-
мы простейших дробей над полем комплексных чисел»
а) (х- 1)(х + 2) (х4-3); б) х44-4 ’
, х ф , 5х2 + бх — 23
В' (х2 — I)2’ (х—1)3(х4-1)2(я-2} •
7.2.11. Представить рациональную дробь в виде сум-
мы простейших над полем вещественных чисел:
X2 1
а) х4 - 16 ’ х* + 4:
в) (Х + 1)(Х2+I)2 ’ Г) (х4 —1)*’
д) -------------Г-;
7 cos (n arccos х);
е) где многочлен f(x)
различных вещественных корней.
степени п имеет п
S6
§ 3. Симметрические многочлены и формулы Виета
7.3.1. Построить многочлен степени 4 со старшим
коэффициентом 1, имеющий
а) корни 1, 2, —3, —4;
б) тройной корень —1 и простой корень Г,
в) корни 2, —1, 1 + i и 1 — i;
г) двойной корень 3 и простые корни —2 и —4.
7.3.2. Найти сумму квадратов и произведение всех
комплексных корней многочлена:
а) Зх5-х3 + х + 2; б) х“ + ахп~1 + Ь (п^З).
7.3.3. Найти сумму чисел, обратных комплексным кор-
ням многочлена:
а) Зх3 + 2Х2 — 1; б) х4 — х2 — х — 1.
7.3.4. Найти сумму и произведение всех комплексных
корней степени п из единицы.
7.3.5. (Критерий Вильсона.) Доказать, что (р—1)1 ==
==—1 (modp) тогда и только тогда, когда р — простое
число.
7.3.6. Выразить через элементарные симметрические
многочлены:
a) xix2 + + Х1Х3 + х^хз + Х2Х3 4“ х2х^
б) xt -|- х% 4- х3 — 2х?х| — 2x2ixl — 2xfx3;
в) (Х1Х2 + х3х4) (х4х3 + х2х4) (х,х4 + х2х3);
г) (X! 4- х2 — х3 — х4) (х4 — х2 4- Х3 — х4) X
Х(Х( — х2 — х34-х4);
д) (х4 4- х2 4-1) (Х| 4“ х3 4" 1) (хг 4" х3 4~ 1,).;
е) (xix2 4- х3) (xjx3 4- х2) (х2Х3 4- х4).
7.3.8. Найти значение симметрического многочлена Р
от корней многочлена f (х):
а) Р = х? (х? 4- х3) 4- х2 <Х[ + х3) 4- х3<х4 4- х2),
Г(х>=х3— х2— 4x4-1;
б) F = xt (х2х3 4- х2х4 4- х3х4) 4-
4- xi (х,х3 4- х,х4 4- х3х4) 4- х3(х!х2 4- х^ 4- х2х4) 4-
4- xt(xix2 4- Х1«8 4- х2х3),
f (х) = х4 4- х3 — 2х2 — Зх 4-1;
в) F = (Х( — х2)2 (Х[ — Хз)2 (хг — х3)2,
f (х) == х3 4- а^2 4- а2х 4- «в-
7.3.9. Пусть Gki — элементарный симметрический мно-
гочлен степени k от xlf x^lf хп. Доказать,
что
Gki =“ Gk "" + • • • + (—0* 'xi 1ori + (—0^
(считается, что ит = 0 при т > п и о mi = 0 при т п).
7.3.10. Доказать формулы Ньютона, связывающие сте-
пенные суммы sk = Х\ + ... + хп (k N) с элементар-
ными симметрическими многочленами:
Sk — 0^15^1 +C2Sfe-2— ••• +(— + (— l)*^o-ft = 0
(считается, что о* » 0 при k > п).
7.3.11. С помощью формул Ньютона
а) выразить степенные суммы s2, s3, s4 через элемен-
тарные симметрические многочлены;
б) выразить элементарные симметрические много-
члены 02, оз, о4 через степенные суммы.
7.3.12. Найти многочлен третьей степени, корнями ко-
торого являются:
а) кубы комплексных корней многочлена № — х—1;
б) четвертые степени комплексных корней много-
члена 2х3 — х2 + 2.
7.3.13. Найти многочлен четвертой степени, корнями
которого являются:
а) квадраты комплексных корней многочлена х4 4-
+ 2х3 — х-ЬЗ;
б) кубы комплексных корней многочлена х4— х—1.
7.8.14. Решить над полем комплексных чисел систему
уравнений:
a) Xi + х8 + х3 = 0, б) х2 + хг + Хз = 6,
х? 4* х2 х3 = 0, х? 4* ^2 4~ х3 — Х1Х2Х3 = —4,
х& 4~ -^2 4" хз — 24; Х]Х2 4~ *1X3 4" х2х3 = —3.
7.3.16. Доказать, что значение всякого симметриче-
ского многочлена с целыми коэффициентами от п пере-
менных от корней степени п из единицы является целым
числом.
§ 4. Результант и дискриминант
7.4.1. Найти все значения X, при которых много-
члены:
а) х3 — %х 4- 2 и х2 4- Кх 4- 2,
б) х3 4- Ьх2 — 9 и х3 4- Хх — 3
имеют общий корень.
7.4.2. Исключить х из системы уравнений:
а) х2 — ху + if = 3, б) х3 — ху — tf + у = 0,
х2у + ху2 = 6; х2 + х — у2 = 1.
7.4.3. Вычислить дискриминант многочленов:
а) ах2 + Ьх + с; б) х3 + рх + <?;
в) х3 + щх2 + а2х + а3.
7.4.4. Найти все значения X, при которых много-
члены:
а) х3 — Зх + Л, б) х4 — 4х + к
имеют кратный корень.
§ 5. Интерполяция
7.5.1. Найти многочлен наименьшей степени по дан-
ной таблице его значений:
а) х Д — 1 0 1 2 3 б) х Д1 2 з 4 6
f(x) || * 6 5 0 3 2 f (х) |(б 6 1 —4 10
7.5.2. Вывести интерполяционную формулу Лагранжа
с помощью решения системы линейных уравнений f(x/) —
= yi (i = 1, 2, ..., п) относительно коэффициентов ис-
комого многочлена f(x).
7.5.3. Доказать, что многочлен степени <п, прини-
мающий целые значения при п последовательных целых
значениях переменной, принимает целые значения при
всех целых значениях переменной.
Верно ли, что такой многочлен имеет целые коэф-
фициенты?
7.5.4. Доказать, что всякая функция f: F-+F на ко-
нечном поле F из q элементов однозначно представляет-
ся в виде многочлена степени <9.
7.5.5. Доказать, что многочлен степени <п, прини-
мающий в точках Xi, ..., хп значения ..., равен
п
£ S (x — Xi)gr (Х[) ’
»=1
где g(x) = (x — xi) ... (х —х„).
7.5.6. Доказать, что точки xi, ..., х« е С являются
вершинами правильного n-угольника с центром в точке
*о тогда и только тогда, когда для любого многочлена
l(x) степени <п выполняется равенство
89
7.5.7. Пусть все корни Xi, , хя многочлена f(x)
различны.
а) Доказать, что при любом неотрицательном целом
s п — 2
б) Вычислить сумму
' АГП-1
V xi
Ь г (хг) •
/-1
§ 6. Деление с остатком и алгоритм Евклида
7;6.1. Разделить многочлен f(x) с остатком на много-
член g(x):
a) f(x)»2x4— Зх34-4х2— 5х 4-6, g (х) = х2— 3x4- 1;
б) f(x)ex® — Зх2 — х—1, g(x) = 3x2— 2x4-1-
7. 6.2. Найти наибольший общий делитель многочле-
нов:
.а) х4 + х3 — Зх2 — 4х—1 их3 + х2 — х—1;
б) х6 -j- 2Х4 — 4Х3 — Зх2 + 8х — 5 и х5 4- х2 — х + 1;
в) х6 + Зх2— 2х + 2 и х6 + х5 + х4 — Зх2 + 2х — 6;
т) х4-^*3 — 4х + 5 и 2Х8 — х2—2x4-2.
7.6.3. Найти наибольший общий делитель многочле-
нов f(x) и g(x) и его линейное выражение через Д(х) и
g (*-)'
a) f(x) = x44-2x3 — х2 — 4х — 2, g(x) = x4 4- *3 —
— х2 — 2х — 2;
б) f(x)= Зх3—2Х24- х4-2, g(x)= х2 — х 4- 1.
7.6.4. Выделив кратные неприводимые множители
данного многочлена, разложить его на неприводимые
множители:
а) х6 —15х44-8х34-51х2 —72x4-27;
б) х5 — 6х4 4- 1 бх3 — 24х2 4- 20х — 8.
§ 7. Многочлены над полем рациональных чисел
и над конечными полями
.7.7.1. Доказать, «иго если несократимая рациональная
дробь у- является корнем многочлена f(x) = aoXa +
4- aix"-14- ... 4- an-ix ап с целыми коэффициентами,
то
а) р\ап; б) а0;
90
в) р — при любом т &Z.
7.7.2. Найти все рациональные корни многочленов:
а) х3 — 6х2+ 15х—-14;
б) х4 — 2х3 — 8х2 + 1 Зх — 24;
в) бх4 + 19Х3 — 7х2 — 26х + 12;
г) 24Х4 — 42х® — 77 х2 + 56х + 60.
7.7.3. Доказать неприводимость над полем рацио-
нальных чисел многочленов:
а) х3 — 2; б) х4 + 2; в) х4—10х2 -|- 1..
7.7.4. Доказать, что многочлен, неприводимый над
полем рациональных чисел, не может иметь кратных
комплексных корней.
7.7.5. Найти:
а) все неприводимые многочлены степени ^4 над по-
лем Zj;
б) все неприводимые многочлены степени 2 над по-
лем Z3;
в) число неприводимых многочленов степени 5 над
полем Z2;
г) число неприводимых многочленов степени 3 и 4 со
старшим коэффициентом 1 над полем Z3.
7.7.6. Многочлен с целыми коэффициентами назы-
вается примитивным, если его коэффициенты в совокуп-
ности взаимно просты. Доказать, что произведение при-
митивных многочленов является примитивным много-
членом.
7.7.7. Доказать, что если многочлен с целыми коэф-
фициентами приводим над полем рациональных чисел,
то он может быть разложен в произведение двух много-
членов меньшей степени с целыми коэффициентами.
7.7.8. (Признак неприводимости Эйзенштейна.) Пусть
f(x) — многочлен с целыми коэффициентами и сущест-
вует простое число р такое, что
1) старший коэффициент f(x) не делится на р;
2) все остальные коэффициенты f(x) делятся на р;
3) свободный член f(x) не делится на р2.
Доказать, что многочлен f(x) неприводим над полем
рациональных чисел.
7.7.9. Доказать неприводимость над полем рациональ-
ных чисел многочленов:
а) х4 — 8х3 + 12х2 — 6х + 2;
б) х5 — 12х3 + 36х— 12;
в) х105 — 9;
г) Фр(х) = х”-1 + хр~2 + ... +х+1 (р — простое
число);
91
д) (х —ai)(x —а2) ... (х — ап)— 1, где а1г а2, ...
..., ап — различные целые числа.
7.7.10. Доказать, что если а — корень некоторого мно-
гочлена h (х) <= Q [х] и f (х), g (х) (= Q [х], причем g (а) =И= 0,
f (а) Л
то число может быть представлено в виде мно-
ё w
гочлена от а с рациональными коэффициентами.
7.7.11. Доказать, что над всяким полем существует
бесконечно много неприводимых многочленов.
Часть 2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе координаты вектора записываются в
строку. Базис пространства, состоящий из векторов
ei, ег, •••> ея, записывается строкой (е,. е2......еп),
а при переходе к матричной записи координаты базис-
ных векторов располагаются в столбец.
Матрицей перехода от «старого» базиса («1,62....ея)
к «новому» базису (е,, е2, .... ея) называется матрица
Т=НМ, в столбцах которой стоят координаты новых
базисных векторов в старом базисе.
Таким образом,
(е'1, 4....ея) = (е„ е2......е„)Т,
а координаты вектора х в старом и новом базисе свя-
п
заны равенствами xz = или, в матричной записи,
*1
х2
хп
§ 1. Понятие векторного пространства. Базисы
1.1.1. Пусть х, у — векторы, а, ₽ — скаляры. Дока-
зать, что
а) ах = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 или
*==0;
б) ах + Ру — рх + ау тогда и только тогда, когда
а = Р или х = у.
93
1.1.2. При каких значениях Л
а) из линейной независимости системы векторов
{а\, яг} вытекает линейная независимость системы
{Xfli + flj, Oi -|- Хаг};
б) из линейной независимости системы (яь ..., яп}
вытекает линейная независимость системы {Я1 + я2,
Яг -Ь Яз, ...» Яп-i -|~ я«, Ял 4~ Ля1}?
1.1.3. Доказать линейную независимость систем функ-
ций:
a) sin х, cos х;
б) 1, sin х, cos х;
в) sin х, sin 2х, .... sin nx;
г) 1, cos х, cos 2x..cos nx;
д) 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx;
e) Г, sinx, sin?x, ..., sin"x;
ж) Г, cos x, cos2x, ..., cos" x.
1.1.4. Доказать линейную независимость систем функ-
ций1:
а) ...,
б) х“‘, .... х“",
где аь .... ая — попарно различные вещественные числа.
1.1.5. Доказать, что в пространстве функций одной, ве-
щественной переменной векторы ..., fn линейно неза-
висимы тогда и только тогда, когда существуют числа
Я], ..., ап такие, что det II О-
1.1.6. В векторном пространстве V над полем С опре-
1 делим7 новое умножение векторов на комплексные числа
по правилу а ° х = ах. Доказать, что относительно опе-
раций + и о V также является векторным простран-
ством над С.
1.1.7. Доказать, что
а) группа Z не изоморфна аддитивной группе ника-
кого векторного пространства;
б) группа Z„ изоморфна аддитивной группе вектор-
ного пространства над некоторым полем тогда и только
тогда, когда п — простое число;
в) коммутативную группу А можно-превратить в век-
торное пространство над полем Zp тогда и только тогда,
когда рх = 0 для любого х е А;
г) коммутативную группу А можно превратить в вею
торное пространство над полем- Q тогда и только» тогда,
когда в ней нет элементов конечного порядка (кроме
нуля-) и для любого натурального числа w и любого
а е А. уравнение пх = а имеет решение в- группе А.
1.1.8. Пусть F — поле, Е— его подполе.
а) Доказать, что F является векторным простран-
ством над полем Е.
б) Найти базис и размерность поля С над полем R.
в) Доказать, что в пространстве R над полем Q квад-
ратные корни из простых чисел образуют линейно неза-
висимую систему.
♦ г) Пусть а — комплексный корень многочлена ре
е Q И. неприводимого над Q. Найти размерность над
полем Q пространства Q(a), состоящего из чисел вида
Да),где/еО[х].
1.1.9. Пусть М—множество, состоящее из п элемен-
тов. На множестве его подмножеств 2м определим опе-
рации сложения и умножения на элементы поля по
. правилам
Х4-У = (ХиУ)\(ХПУ),
\Х = Х, ОХ = 0.
а) Доказать, что относительно этих операций множе-
ство 2м является векторным пространством над полем
Z2, и найти его базис и размерность.
б) Доказать, что если подмножества Xi, , Xk об-
разуют строго возрастающую последовательность (по
включению), то они составляют в пространстве 2м ли-
нейно независимую систему.
в) Доказать, что если ни одно из подмножеств Х,ь ...
..., Xk не содержится в объединении остальных, то -эти
подмножества составляют в 2м линейно независимую
систему.
1.1.10. Пусть векторы е\, ..., еп и х заданы своими
координатами в некотором базисе:
а) е1 =(1,1,1), е2=(1,1,2), е3=(1,2,3), х = (6,9,14);
б) е1в(2,1,—3), е2 = (3;2,—5),
«з = (1,—1,1), х = (6,2,—7);
в) в1 =(1,2,—1,—2), е2 =(2,3,0,—Г), е3 = (1Д1,4),
«4=0.3,—1,0), х =(7,14, —1,2).
Доказать, что (ei, ...,бп) — также базис прострая-
ства> и найти координаты вектора х в этом базисе.
1.1.11. Доказать, что каждая из двух заданных си-
стем векторов является базисом, и найти .связь между
координатами одного и того же вектора в этих базисах:
a) S = ((1,2,1), (2,3,3), (ЗД2)),
S' = ((3,5,8), (5,14,13), (1,9,2));
95
6) S=((l, 1,1,1), (1,2,1,1), (1,1,2,1), (1,3,2,3)),
S'=( (1,0,3,3), (—2,—3,-5,—4), (2,2,5,4),
(—2,—3,-4,—4)),
1.1.12. Доказать, что в пространстве R[x]n многочле-
нов степени с вещественными коэффициентами си-
стемы
(1,х, хп) и (1,х— а, (х— а)2, ..., (х— а)п)
(aeR)
являются базисами, и найти координаты многочлена
f(x) = aQ + сцх + ... + апхп в этих базисах и матрицу
перехода от первого базиса ко второму.
1.1.13. Как изменится матрица перехода от одного ба-
зиса к другому, если .
а) поменять местами два вектора первого базиса;
б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы обоих базисов в обратном по-
рядке?
§ 2. Подпространства
1.2.1. Выяснить, является ли подпространством соот<
ветствующего векторного пространства каждая из сле-
дующих совокупностей векторов:
а) векторы плоскости с началом О, концы которых
лежат на одной из двух прямых, пересекающихся а
точке О;
б) векторы плоскости с началом О, концы которых
лежат на данной прямой;
в) векторы плоскости с началом О, концы которых
не лежат на данной прямой;
г) векторы координатной плоскости, концы которых
лежат в первой четверти;
д) векторы пространства R", координаты которых —
целые числа;
е) векторы Rrt, координаты которых удовлетворяют
уравнению Xi + х2 + ... + хп = 0;
ж) векторы R", являющиеся линейными комбина-
циями данных векторов а\, ..., ak\
з) векторы Rn, являющиеся решениями данной си-
стемы линейных уравнений;
и) последовательности вещественных чисел, имеющие
предел;
96
к) последовательности вещественных чисел, имеющие
предел я;
л) последовательности вещественных чисел, удовлет-
воряющие рекуррентному соотношению
и(п + 2) + аи(п+ 1) + — f(n),
где (/(«)) — фиксированная последовательность, a, 0 е R;
м) многочлены четной степени с коэффициентами из
поля F;
н) многочлены с коэффициентами из поля F, не со-
держащие четных степеней х;
о) множества из пространства 2м (см. 1.1.9), состоя-
щие из четного числа элементов;
п) множества из 2м, состоящие из нечетного числа
элементов.
1.2.2. Доказать, что следующие совокупности векто-
ров пространства R" образуют подпространства, и найти
их базисы и размерности:
а) векторы, у которых совпадают первая и послед-
няя координаты;
б) векторы, у которых координаты с четными номе-
рами равны 0;
в) векторы, у которых координаты с четными номе-
рами равны между собой;
г) векторы вида (а, 0, а, 0, ...);
д) векторы, являющиеся решениями однородной си-
стемы линейных уравнений.
1.2.3. Выяснить, какие из следующих совокупностей
матриц порядка п над полем F образуют векторные про-
странства относительно сложения матриц и умножения
матриц на элементы поля К, и найти их базисы и раз-
мерности:
а) все матрицы;
б) симметрические матрицы;
в) кососимметрические матрицы;
г) невырожденные матрицы;
д) вырожденные матрицы;
е) матрицы со следом, равным нулю;
ж) матрицы, перестановочные с фиксированной мат-
рицей А (при нахождении базиса и размерности счи-
тать матрицу А диагональной с различными диагональ-
ными элементами);
3) матрицы, перестановочные со всеми матрицами.
1.2.4. Пусть Rs — пространство всех функций, опреде-
енных на множестве S и принимающих вещественные
Под ред. А. И. Кострикина 97
значения. Выяснить, какие из следующих совокуиностей
функций f(x)e Rs составляют подпространство в Rs:
а) функции, принимающие значение а в данной точ-
ке s е S;
б) функции, принимающие значение а во всех точках
некоторого подмножества TsS;
в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной
точке множества S;
г) функции, имеющие предел а при х->оо (при
S = R);
д) функции, имеющие не более конечного числа точек
разрыва (при S = R).
1.2.5. Пусть К09 — пространство бесконечных последо-
вательностей с элементами из поля К. Выяснить, какие
из следующих совокупностей последовательностей со-
ставляют в К" подпространство:
а) последовательности, в которых лишь конечное чис-
ло элементов отлично от нуля;
б) последовательности, в которых лишь конечное
число элементов равно нулю;
в) последовательности, в которых все элементы от-
личны от 1;
г) ограниченные последовательности (шриЛ=И).
1.2.6. Доказать, что в пространствах R’0 я С"0 сле-
дующие совокупности образуют пространство:
а) последовательности, удовлетворяющие заглавию
Коши: для любого 8>0 найдется число N такое,
что при любых п, k> N выполняется неравенство
]хл — xk\< е;
б) последовательности, удовлетворяющие
оо
Гильберта: ряд £ | х{ |2 сходится.
i = 1
1.2.7. Выяснить, какие из следующих совокуиностей
многочленов образуют подпространства -в пространстве
R[x]n, и найти их базисы и размерности;
а) многочлены, имеющие данный корень se R;
б) многочлены, имеющие данный корень cigC\R;
в) многочлены, имеющие данные корни аь
•. *, o&fc R,
г) многочлены, имеющие данный простой корень
а е R.
1.2.8. Доказать, что если подпространство векторного
пространства R[x]n для любого k = 0,1, .... tn содер-
38
ит хотя бы один многочлен степени k и не содержит
многочленов степени >т, то оно совпадает с R[xjm.
1.2.9. Пусть R[xi, ..., хт]— пространство многочле-
нов от переменных Xi, ..., хт. Найти:
а) размерность его подпространства, состоящего из
всех однородных многочленов степени А;
б) размерность его подпространства, состоящего из
всех многочленов степени ^А.
1.2.10. Пусть V — п-мерное векторное пространство
над полем F, состоящим из q элементов. Найти:
а) число векторов в пространстве V;
п
б) число решений уравнения Хад—0 (at
в) число базисов пространства V;
г) число невырожденных матриц порядка п над по-
лем F;
д) число A-мерных подпространств пространства V.
1.2.11- Найти базис и размерность линейной оболочки
следующей системы векторов:
a) ai =(1,0,0,— 1), as=(2,1,1,0),
а3 = (1,1,1,1), а< = (1,2,3,4), ав-(0,1,2,3);
б) а, =(1,1,1,1,0), а,—(1,1,-1,—1,-1),
а8 =(2,2,0,0, —1), а< =(Г, 1,5,5, 2),
а8=(1,—1,-1,0,0).
1.2.12. Пусть. Li и Li — подпространства конечномер-
ного векторного пространства V* Доказать, что
а) если LisLt, то dim L\ dim причем равен-
ство имеет место только при L\ = L8;
б) если dim(£iZ^)= 1 4-dim(Lj f)Lt), то сумма
Lt + Lg равна одному из этих подпространств, а пересе-
чение Li fl Lt— другому;
в) если dim L\ 4- dim Lt > dim V, то £j f) £i 0.
1-2.13. Пусть U, V, W— подпространства векторного
пространства.
а) Можно ли утверждать, что (/ГКУ4-Ю“(^ПИ)4-
+ (t/|W)?
У б)^Доказать, что предыдущее равенство верно, если
1-2.14. Найти размерности суммы и пересечения ли-
нейных оболочек систем векторов пространства R4;
a) £=-((1,2,0,1), (1,1,1,0)),
=.((1,0,1,0), (1,3,0,1));
4»
99
6) S =((1,1, 1,1), (1,-1, 1,-1), (1,3,1,3)),
7’ = ((1,2,0,2), (1,2,1,2), (3,1,3,1));
в) S=((2,—1,0,—2), (3,—2,1,0), (1,—1,1,—1))',
Т = ((3,—1,—1,0), (0,—1,2,3), (5,—2,—1,0)).
1.2.15. Найти базисы суммы и пересечения линейных
оболочек <аь аг, аз> и <&i, bit b3):
а) а, = (1, 2, 1), &! = (!, 2, 2),
а2 = (1, 1, -1), 62 = (2, 3, -1),
а3*= (1,3,3), &3 = (1, 1, -3);
б) о, =-(-1, 6, 4, 7, —2), &i = (l, 1, 2, 1, -1),
а2 = (—2, 3, 0, 5, -2), &2 = (0, -2, О, -1, -5),
а3 = (-3, 6, 5, 6, -5), Ь3 = (2, 0, 2, 1, -3);
в) ai = (l, 1, О, О, -1), *! = (!, О, 1, О, 1),
а2 = (0, 1, 1, О, 1), &2 = (0, 2, 1, 1, 0),
аз —(О, О, 1, 1, 1), 6з = (1, 2, 1, 2, -1).
1.2.16. Найти систему линейных уравнений, задаю-
щую систему векторов:
а) ((1,-1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1));
б) ((1,—1,1,—1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1,—1,7)).
1.2.17. Пусть Li, Li, — подпространства вектор-
ного пространства.Доказать, что
а) сумма этих подпространств является прямой тогда
и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно
-представляется в виде
Х\ 4- ... -(-ха (xt s Li', i = 1, ..., k);
б) условие Li П Li = 0 для любых различных i и / от
1 до А не является достаточным для того, чтобы сумма
этих подпространств была прямой.
1.2.18. Пусть подпространства U, V £= R" заданы си-
стемами уравнений
Xi Xi 4- ... 4~ %п = 0, Xi = Хг = ... = хл.
Доказать, что Rn = U ® V, и найти проекции единич-
ных векторов на U параллельно V и на V параллельно V.
1.2.19. Пусть в пространстве R4
1/ = <(1,1,1,1), (—1,—2,£1)>,
У = <(—1,-1, 1,-1), (2,2,0, 1)>.
100
Доказать, что R4 — U Ф V, и найти проекцию вектора
(4,2, 4,4) на подпространство U параллельно V.
' ’ L2.20. Доказать, что для любого подпространства
U £ R" существует такое подпространство V, что Rn =
₽ U Ф V.
1.2.21. Доказать, что пространство матриц M„(R) яв-
ляется прямой суммой подпространства симметрических
и подпространства кососимметрических матриц, и найти
проекции матрицы
О 1 ... 1
0 0 ... 1
на каждое из этих подпространств параллельно другому
подпространству.
§ 3. Линейные функции и отображения
1.3.1. Пусть Vq Vm — последователь-
ность линейных отображений векторных пространств.
Доказать, что
т т
X dim Ker stf-t — У, dim = dim V — dim Ko.
i«l i=l
1.3.2. Пусть F— поле из q элементов. Найти при
k n: ’
а) число линейных отображений пространства Fn в
пространство Fk\
б) число линейных отображений пространства Fn на
пространство Fk.
1.3.3. Пусть линейное отображение V W в бази-
сах (еь е2, е3) пространства V и (М2) пространства W
10 1 2II
3 4 5- Найти матрицу отображения &
в базисах (ej, в\ -]- в2, в1 Ч--Ь ®з) и
1.3.4. Пусть L~K[x]\ (К — поле). Найти матрицу
линейного отображения f(x)>—>f(S) пространства L
в пространство М = М2(К), где S«= *|, если в L вы-
бран базис (1,х), а в М— базис из матричных единиц.
( 1.3.5. Пусть V = R[x]n и отображения ав (aeR),
₽ > у' пространства V в R заданы правилами
i
О
101
Доказать, что системы:
а) а0, а1, ..., а",
б) р°, р1, ..., р«,
в) у1, -у8, .... тл+1
являются базисами сопряженного пространства V*.
1.3.6. Доказать, что для любой ненулевой линейной
функции f на «-мерном пространстве V существует базис
(б]......еп) пространства V, для которого
/(xiei+ ••• хпеп) =
для любых коэффициентов хь ..., хп.
1.3.7. Доказать, что всякое A-мерное подпространство
«-мерного пространства является пересечением ядер не-
которых п—k линейных функций.
1.3.8. Пусть f — ненулевая функция на векторном:про-
странстве V (не обязательно конечномерном), U = Kerf.
Доказать, что
a) U — максимальное подпространство V, т. е. не со-
держится ни в каком другом подпространстве, отличном
от V',
б) V = U Ф <а> для любого а U.
1.3.9. Доказать, что если две линейные функции, на
векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они
различаются линейным множителем.
1.8.10. Доказать, что п линейных функций на «.-мер-
ном пространстве линейно независимы тогда и только
тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпро-
странство.
1.3.11. Доказать, что векторы ei, ..., ek конечномер-
ного пространства V линейно независимы тогда и только
тогда, когда существуют линейные функции f1, ...,
е V* такие, что det||^(ey) 0.
1.8.12. Для всякого подмножества U конечномерного
пространства V и для. всякого подмножества W сопря-
женного пространства V* положим
U° = {f €с V* | f (х) = 0 для любого х е U},
17°== {х г V* |/ (х) = 0 для любой функции f е V*}-
Доказать, что
а) U°— подпространство в V*, и если U — подпро-
странство, то dim U + dim U° — dim V;
б) если Ui и U2— подпространства в V, то U°i=Ui
тогда и только тогда, когда U\ — U2',
102
в) для любых подпространств пространства V
(:/1 + t/2)0=^nt/2,
1.3.13. а) Доказать, что для каждого базиса сопря-
женного пространства V* существует единственный базис
пространства V, для которого данный базис является со-
пряженным.
б) Найти этот базис в задаче 1.3.5 а).
в) Найти этот базис в задаче 1.3.5 б).
1.3.14. Доказать, что пространство многочленов Q [х]
не изоморфно своему сопряженному.
Глава 2
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Общие билинейные и полуторалинейные функции
2.1.1. Какие из следующих функций двух аргументов
являются билинейными функциями в соответствующих
векторных пространствах:
a) f(x, y) — tX'y (х, у^Кп—столбцы, К—поле);
б) f (х, у) = х • *у;
в) f(A, В) = tr (АВ) (А, Ве=ГАп(К), К-поле);
г) f (А, В) = tr (АВ - В А); д) f (Л, В) = АВ;
е) f(A, B) = tr(A + B); ж) f(A, В) = tr (Л • * В)-, .
з) f (и, v) — Re (uv) (и, v е С, С — пространство над R);
и) f(u, v) =.Re (uv);
K) f (и, v) = | uv I;
л) f (u, v) = Im (uv);
ь
м) f (u, v) = uv dt (u, v — непрерывные функции на
a
на отрезке [а, 6]);
ь
н) f (u, v) = uv' dt (и, v — дифференцируемые функ-
ции, и (а) == и (6) == v (а) = v (&) =
103
b
о) f (и, v) = (и + v)2 dt',
a
n) f(u, t>) = (wo)(a) (u, а<=/С[х], a e 7Q;
p) f(u, v) = degut);
c) f (u, o) = | и + v |2 — | и |2 — | v |2 (u, v e R3);
t) f(u, v) = e(uXp) (X — векторное умножение,
e(x) — сумма координат вектора х в заданном базисе)?
2.1.2. В конечномерных пространствах из задачи 2.1.1
выбрать базис и найти матрицы соответствующих били-
нейных функций.
2.1.3. Найти матрицу билинейной функции f в новом
базисе, если заданы ее матрица в старом базисе и фор-
мулы перехода:
а)
1-2 311
4 6 6,
7 8 911
е2 — 4” ®3’ е3 4“ 62 4“ ез>
ei — 4~ 2е2 е3, е2 е2 е3,
ез= ®1 4~ е2
2.1.4. Пусть билинейная функция f задана в некото-
ром базисе матрицей F; найти f(x,y), если
а) F- -2 -1 81 х = (1, 0, 3), г/ = (-1, 2, -4);
I о 4 б|
Ii 1-Н О II
-1-Н 0 2-», х=(1 4-i, 1 -i, 1),
2 + i 3 - i -1 |
у = (-2 + i, -i, 3 + 2i).
2.1.5. Пусть g— билинейная функция с матрицей 6
в некотором базисе пространства V, — линейный опе-
ратор в V с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу
билинейной функции f(u, v) — g(u, если
11 -i oil II-1 1 IB
2 0-2, A= -3-4 2B;
3 4 5|| 11—2 -3||
10 1 211 II 1 —4 311
4 0 3, Д = | 4—1—2.
5 6 011 II—3 2 1||
104
2.1.6. Найти левое и правое ядра билинейной функ-
ции f заданной в базисе (еь в2, е3) матрицей:
/ 2 -3 111 114 3 211
3 -5 5 ; б) h 3.5 .
5 — 8 61| || 3 6 91|
2.1.7. Найти левое и правое ядра билинейной функ-
ции f(x, y) — (x,J$(y)), где st— линейный оператор с
матрицей А в ортонормированном базисе (еье2,ез),
евклидова пространствам
II5 -6 Ч II2 3
а) А= 3 -5 -2 ; б) А — 3 -2 2 .
]|2 -1 3|| ]|5 -4 О
2.1.8. Пусть f — билинейная функция с матрицей F
на векторном пространстве V, U — подпространство в V.
Найти левое и правое ортогональные дополнения к U от-
носительно f (т. е. максимальные подпространства U\ и
U2 такие, что f(Ult U) = f(U, Uij — O), если
4
3
2
1 3
3 6
5 9
а)
б)
F==
F =
, £/ = <(1, -1, 0), (-2, 3,
1»;
6 -8 511
5 -5 31 U = ((2, 0, -3), (3, 1, -5)).
1 -з 2||
2.1.9. При каких из следующих элементарных преоб-
разеваний базиса матрица билинейной функции меняется
как матрица линейного оператора:
а) (вр ............еп)->(е1......Ле(.......е„);
6)(elt..., eit ..., en)-»(et, ..., ег + Ле/, ..., е„) (МО;
в)(<?1, , е„)-*(е15 ....et......ел)?
2.1.10. Найти связь между матрицами А, В, G линей-
ных операторов «я£, & и билинейной функции g в некото-
ром базисе пространства и матрицей F билинейной функ-
ции
f <х, (х), $ (у)).
2.1.11. Доказать, что всякая билинейная функция f
ранга 1 может быть представлена в виде произведения
Двух линейных функций p(x)q(y).
К какому простейшему виду можно привести матрицу
Функции / с помощью замены базиса?
2.1.12. Пусть е = (в], ..., еп), е' = (е', .... е') — два
базиса пространства V, С — матрица перехода от е к е',
/ — билинейная функция на И с матрицами F и F' в этих
105
базисах, F = |] f (ер ||. Найти связь между матрицами
F, F' и F.
2.1.13. Доказать, что билинейная функция 1г(ЛВ) на
пространстве Мп(/С) является невырожденной.
2.1.14. Доказать, что размерности левого и правого
ядер билинейной функции совпадают, однако сами ядра
могут и не совпадать.
2.1.15. Пусть f — невырожденная билинейная функ-
ция на пространстве V. Доказать, что для любой линей-
ной функции р найдется единственный вектор v е V та-
кой, что p(x) = f(x, о) для любого хе V, и отображе-
ние pi—>о является изоморфизмом пространств V* и V.
2.1.16. Пусть F — матрица невырожденной билиней-
ной функции f на вещественном пространстве размер-
ности п.
а) Доказать, что при нечетном п матрица —F не яв-
ляется матрицей функции f ни в каком базисе простран-
ства V.
б) Верно ли утверждение а) для четного п?
в) Рассмотреть утверждение а) при четном п для
диагональной матрицы F.
2.1.17. Пусть для ненулевой билинейной функции f
на пространстве V существует такое число е, что для
любых х, у 6= V
f(y, x) = sf(x, у).
Доказать, что
а) е равно 1 или —1;
б) если Ui и Ut — вполне изотропные подпростран-
ства относительно f, имеющие одинаковую размерность,
и Ut П = 0, то ограничение f на их сумму Ui Uz —
невырожденная функция;
в) если 1Г1 и — максимальные вполне изотропные
подпространства относительно f и (] Wa “ 0, то
dim Wi *= dim W,
г) если невырожденные билинейные функции fi и ft
удовлетворяют рассматриваемому условию (при одном
и том же в) и относительно каждой из них V является
прямой суммой двух изотропных подпространств, то
функции fi и fz эквивалентны.
2.1.18. Пусть f — билинейная функция на простран-
стве V и для любых х, д& V на равенства f(x,
следует, что f(y,x)^O. Доказать, что функция / либо
симметрична, либо кососимметрична.
106
2.1.19. Пусть fi, f2—билинейные функции на про-
странстве V с базисом (elt еп). На пространстве W
С оазисом («11, «12, •••, «1л, «21, •••, «2л, , вп1,
апп) определим билинейную функцию f, положив
f(«u, aki) = ek)f2(eh et).
а) Найти матрицу функции f в заданном базисе.
б) Доказать, что если пространство V является пря-
мой суммой вполне изотропных подпространств относи-
тельно fi, то W является прямой суммой вполне изотроп-
ных подпространств относительно f.
2.1.20. Не производя вычислений, выяснить, эквива-
лентны ли билинейные функции:
a) fi (х, z/) = 2x^2 — Зхуу3 + х2у3 — 2х2У1 —
— x3z/2 + 3x3z/h
f2(x, у) = Х1У2 — x2yi + 2x2z/2 + Зх}у3 — Зхзуу,
б) fl (X, у) = ХгУ! + 1Х!У2,
f2 (х, у) — 2x^1 + (1 + г) Х1У2 + (1 — Z) х2У1 — ix2y2.
2.1.21. Привести к каноническому виду кососимметри-
ческие билинейные функции:
a) Х\у2 — Х1У3 — x2yi + 2х2г/3 + х3у{ — 2х3г/2;
б) 2х^2 + х{у3 — Чх2У1 + Зх2у3 — х3у{ — Зх3г/2;
в) Х\у2 + х4г/1 — х2г/1 + 2х2г/з — %х3у2 +
+ Зх3г/4 — хху4 — Зх1Уз\
r) xiy2 + Х1У3 + хм — x2yi — х2г/3 +
+ Х3у2 + X3l/4 — X4Z/f — X4Z/3.
1
2.1.22. Доказать, что функция A (f, g)=^fg' dx на
о
пространстве многочленов степени ^5, обращающихся
в нуль в точках 0 и 1, является кососимметрической, и
найти для нее канонический базис.
2.1.23. Доказать, что определитель целочисленной ко-
сосимметрической матрицы является квадратом целого
числа.
2.1.24. Пусть f — кососимметрическая билинейная
Функция на пространстве V, W — подпространство в V,
— его ортогональное дополнение относительно f. До-
казать, что dim ИР — dim(№ f) W/J-) — четное число.
107
2.1.25. Доказать, что для любой кососимметрической
матрицы А найдется такая невырожденная матрица С,
что при некотором г выполняется равенство
II ° Ег ° ||
С А* С — -£г 00.
II о оо||
2.1.26. Пусть f — кососимметрическая билинейная
функция на пространстве V, V1 — ее ядро, W — макси-
мальное вполне изотропное подпространство. Доказать
равенство
2.1.27. Пусть f — невырожденная кососимметрическая
билинейная функция на n-мерном пространстве V,
“lltfdl—кососимметрическая матрица порядка и. Дока-
зать, что существуют векторы ..., vn^V такие, что
Vj).
2.1.28. Пусть f(x,y)— эрмитова функция, q(x)=>
c=*f(x,x). Доказать равенство
4f (х, y) = q(x + y) — q(x — y)+ iq(х + iy)— iq(x — iy).
2.1.29. Доказать, что вещественная и мнимая части
эрмитовой функции на комплексном векторном про-
странстве V являются соответственно симметрической и
кососимметрической функциями на V, рассматриваемом
как 2п-мерное вещественное векторное пространство.
2.1.30. Доказать, что если f — положительно опреде-
ленная эрмитова форма на комплексном пространстве, то
f (х, у) f (х, у) <f(x, x)-f (у, у).
2.1.31. Пусть s4-— линейный оператор, /— положи*
тельно определенная эрмитова функция на комплексном
векторном пространстве V. Доказать, что если
f (J& (х), х) = 0 для любого x&V, то st— нулевой опе-
ратор.
Верно ли это утверждение для симметрических били-
нейных функций на вещественном пространстве V?
2.1.32. Для каких значений п невырожденная били-
нейная функция на n-мерном векторном пространстве
может обладать:
а) вполне изотропным подпространством размерности
п —1|
•108
б) вполне изотропным подпространством размерности
Вывести формулу для максимально возможной раз-
мерности вполне изотропного подпространства.
§ 2. Симметрические билинейные и квадратичные
функции
2.2.1. Какие из билинейных функций задачи 2.1.1 яв-
ляются симметрическими?
2.2.2. Не производя вычислений, выяснить, эквива-
лентны ли билинейные функции
fi {х, у) в *\У\ + 2x^2 + Зх^з + 4х2у 1 + 5х2у2 +
+ 6x^3 + 7Хз//1 + 8x3Z/2 + 1OX3J/3,
f2 (*> У) = 2х<У1 — х1Уз + х2у2 — X3Z/1 4- 5х3г/з•
2.2.3. Не производя вычислений, выяснить, для какой
из билинейных функций / существует базис, в котором
матрица этой функции диагональна:
а) — Xiyi — 2Х1//2 — 2х2</1 — Зх2у2 + x3yi — 4х3у3;
б) — xiy2 — x2yt + Зх2уа + 5х2у3 + 5х3у2 — х3у3.
2.2.4. Доказать для ортогональных дополнений к под-
пространствам относительно невырожденной билинейной
функции равенства:
а) (и^У-U-, б) (Ut + и2У - Uf Л Uh
в) +
2.2.5. Найти ортогональное дополнение к линейной
оболочке <«!,•!> относительно билинейной функции с
матрицей F, если
I1 ~1 ~21
-1 0 -з[, e1 = (l, 2, 3), е2 = (4, 5, 6);
2 -3 71|
1-1 2
2 2
5 8
Бй
8,в1=(-3,
29
-15, 21), е2 = (2,
10, -14).
2.2.6. Методом Якоби найти канонический вид сим-
метрических билинейных функций:
а) 2х1у1 — хм + xty3 — х2у} + х3у} + Зх3у3;
б) 2*i#2 + Зх^з + 2x^1 — х2у3 + Зх^ — х3у2 + х3у3.
10»
2.2.7. Методом Якоби выяснить
линейных функций с матрицами
эквивалентность би-
III 2 311 1113 0#
2 0 -1 I 3 1 1
||3 -1 з|| ||0 1 5||
а) над полем вещественных чисел;
б) над полем рациональных чисел.
2.2.8. Какие из симметрических билинейных функций
задачи 211.1 являются положительно определенными?
2.2.9. При каких значениях X следующие квадратич-
ные функции являются положительно определенными:
а) 5х2 х2 Хх| + 4Х[Х2 — 2Х]Х3 — 2х2х3;
б) 2х{ + xi + Зх? + 2Лх.х, + 2х.х3;
в) xf + х| + 5х3 + 2%х!Х2 — 2XjX3 + 4х2х3;
г) х2 + 4х2 + х2 + 2Лх1х2 + 10х,х3 + 6х2х3.
2.2.10. Доказать, что для любой положительно опре-
деленной симметрической билинейной функции f выпол-
няется неравенство
f(x + y, * + у) < Vf(x, х) + у),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
ах + Ру = 0 для некоторых чисел аир таких, что
ар 0, а2 + р2 #= 0.
2.2.11. Не применяя критерия Сильвестра, доказать,
что для положительной определенности квадратичной
п
функции S aijxixi условие ан > 0 (t=l, .... п) яв-
i, /М
ляется необходимым, но не достаточным.
2.2.12. Доказать, что квадратичная функция от п пе-
ременных является отрицательно определенной тогда и
только тогда, когда угловые миноры ее матрицы в неко-
тором базисе имеют чередующиеся знаки, причем первый
минор отрицателен.
2.2.18. При каких значениях X являются отрицательно
определенными квадратичные функции:
а) — х2 + Ах2 — х2 + 4х,х, + 8х2х3;
б) %х2 — 2х2 — Зх2 + 2х.х„ — 2х.х3 4- 2х2ха?
1 Z 1 Z АО & v
110
2.2.14. Найти симметрическую билинейную функцию,
ассоциированную с квадратичной функцией:
а) х2 + 2x^2 + 2х| — 6xjX3 + 4х2х3 — х2;
б) XiX2 + Х]Х3 4- х2х3.
2.2.15. Найти симметрическую билинейную функцию,
ассоциированную с квадратичной функцией q (х) = f (х, х),
где
a) f {х, у) = 2x^1 — 3x^2 — 4x^3 + х2у{ — 5х2г/3 + х3г/3;
б) f (х, у) = — хху2 + х2ух — 2х2у2 + Зх2г/3 —
— х3у1 + 2х3у3.
2.2.16. Эквивалентны ли над полем вещественных чи-
сел квадратичные функции:
a) xf — 2Х]Х2 + 2х| + 4х2х3 + 5х2 и
х2 — 4х,х2 + 2Х[Х3 + 4х| + xf;
б) 2х2 + 9х2 + Зх| + — 4Х[Х3 — Юх2х3 и
2х? + Зх? + 6х? — 4х.х, — 4х,х, + 8х,х,?
2.2.17. Методом Лагранжа найти нормальный вид
квадратичных функций:
а) х2 + х2 + 8х2 + 4х(х2 4- 2xtx3 + 2х2х3;
б) х2 + 2х2 + xf + 2х,х2 + 4х,х3 + 2х2х3;
в) х2 — Зх| — 2xtx2 + 2х,х3 — 6х2х3;
г) xjx2 4- XiXg 4- -*ix4 4- х2х8 4- *j*4 4- *8X4.
2.2.18. Эквивалентны ли над полем комплексных чи-
сел квадратичные функции:
а) ж2 — 2XjX2-f-SXjXg — 2х1х44- х|4- 2я2*8—
- 4х2х4 4- х| — 2x2 и Х2 4. XiXi 4. w
б) xj 4- 4х| 4- *8 4- 4x,xs — 2XjX3 и
х2 4- 2х| — х| 4- 4Х]Х2 — 2х,х, — 4x^ctf
2.2.19. Пусть q — отображение вещественного вектор-
ного пространства V в поле R, для которого существуют
такие квадратичные функции а, Ъ и билинейная функция
с, что
Я (^х 4- цу) = А2а (х) 4- Аре (х, у) 4- Н26 (у)
Для любых А, ц е R и х, у е V.
Доказать, что q — квадратичная функция.
111
2.2.20. Пусть fi, ..., fr+s — линейные функции и
q (х) = f? (х) + ... + Pr (х) - pr+1 (х) - ... - pr+s (x).
Доказать, что положительный индекс инерции функ-
ции q(x) не превосходит г, а отрицательный индекс не
превосходит s.
2.2.21. Найти положительный и отрицательный ин-
дексы инерции квадратичной функции ^(x) = trX2 на
пространстве Mn(R).
2.2.22. Пусть f — невырожденная симметрическая би-
линейная функция на пространстве V размерности ^3.
Доказать, что если функция f не является нулевой на
двумерном подпространстве U, то существует такое трех-
мерное подпространство IF (7, на котором ограничение
функции f невырождено.
2.2.23. Пусть f — невырожденная симметрическая би-
линейная функция, имеющая отрицательный индекс инер-
ции, равный 1, и для некоторого вектора v f(v,v)<ZO.
Доказать, что ограничение f на любое подпространство,
содержащее v, невырождено.
2.2.24. Пусть f — невырожденная симметрическая би-
линейная функция на пространстве размерности ^3. До-
казать, что всякий изотропный вектор лежит в пересече-
нии двух двумерных подпространств, на каждом из ко-
торых ограничение функции f невырождено.
2.2.25. Доказать, что размерность максимального изо-
тропного подпространства относительно невырожденной
симметрической билинейной функции равна наимень-
шему из ее положительного и отрицательного индексов
инерции.
2.2.26. Найти положительный и отрицательный ин-
дексы инерции невырожденной квадратичной функции на
2/г-мерном векторном пространстве, обладающем п-мер-
ным вполне изотропным подпространством.
2.2.27. Пусть невырожденная квадратичная функция
q на 2п-мерном пространстве V является нулевой на
n-мерном подпространстве U. Доказать, что
а) существует такое n-мерное подпространство U',
что
у = ?(£/') = 0;
б) в некотором базисе функция q имеет вид
Х1Х2 4“ Х3Х4 4“ • • • 4” Х2п—1X2/1.
112
2.2.28. Доказать, что если в симметрической матрице
некоторый главный минор порядка г отличен от нуля,
а все окаймляющие его главные миноры порядка г + 1
и г + 2 равны нулю, то ранг этой матрицы равен г.
2.2.29. Доказать, что вещественная симметрическая
матрица А может быть представлена в виде Д = *С-С,
где С — квадратная матрица, тогда и только тогда, когда
все главные миноры матрицы А неотрицательны.
2.2.30. Найти размерность пространства симметриче-
ских билинейных функций от п переменных.
2.2.31. Сопоставим каждому (неориентированному)
графу Г с вершинами ..., vn квадратичную функцию
п
У- aijXiXp положив '
2, если i = j,
—1, если v{ и V/ соединены ребром,
0, если V[ и Vj не соединены ребром,
и рассмотрим графы
(число вершин графа Гп равно п, графа Гп равно «+ 1) .
Доказать, что для графов Гя^функция qr положи-
тельно определена, а для графов Гл положительно полу-
определена: qr(x)^ 0 для любого х.
2.2.32. Пусть q — невырожденная квадратичная функ-
ция на пространстве V над произвольным полем F. До-
казать, что если существует ненулевой вектор хе V,для
которого q(x) = 0, то отображение q: V -> F сюръек-
тивно.
ИЗ
Г л а в а 3
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Определение линейного оператора. Образ, ядро, .
матрица линейного оператора
3.1.1. Какие из следующих отображений в соответ-
ствующих векторных пространствах являются линей-
ными операторами:
a) 'х*—*а (а — фиксированный вектор);
б) xt—>х-|-а (а — фиксированный вектор);
в) хь->ах (а — фиксированный скаляр);
г) хн->(х,а)6 (V—евклидово пространство,, аф-
фиксированные векторы);
д) xt—>(а,х)х(К — евклидово пространство,а — фик-
сированный вектор);
е) f(x)t—>/(ах + b) (f е R [х] а, b — фиксирован-
ные числа);
ж) f(x)H^f(x+l)-f(x) (fe=R[x]n);
s) (fSR[x]„);
и) (xi, x2, Xj)i—*(xi + 2, x2 + 5, x3j;
к) (xi, x2, x3)t—>(xi + 3x3, xf, xi -|- x3);
Л) (Xi,X2,X3)l-»(Xi,X2,'Xi -j-x2 + х3)?
3.1.2. Доказать, что всякий линейный оператор лю-
бую линейно зависимую систему векторов переводит в
линейно зависимую систему.
3.1.3. Доказать, что в n-мерном пространстве для
любой линейно независимой системы векторов си, ..... ап
и произвольной системы векторов Ь\, Ьп найдется
единственный линейный оператор, переводящий а,- в bi
(i«= 1, n).
3.1.4. Доказать, что в одномерном векторном про-
странстве всякий линейный оператор имеет вид х>—>ах,
где а — некоторый скаляр.
3.1.5. Найти образы и ядра линейных операторов из
задачи 3.1.1.
3.1.6. Доказать, что оператор дифференцирования
а) является вырожденным в пространстве многочле-
нов степени
б) является невырожденным в пространстве функций
с базисом (cos t, sin t).
3.1.7. Доказать, что всякое подпространство вектор-
ного пространства является:
а) ядром некоторого линейного оператора;
114
б) образом некоторого линейного оператора.
3.1.8. Доказать, что если два линейных оператора
ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они
перестановочны.
3.1.9. Пусть — линейный оператор на подпростран-
стве L пространства V, отличном от V. Доказать, что
существует бесконечно много линейных операторов на
V, ограничение которых на подпространство L совпадает
C <5^.
3.1.10. Пусть si— линейный оператор в пространстве
V, L — подпространство V. Доказать, что
а) образ 3i(L) и полный прообраз si~l(L) являются
подпространствами в V;
б) если оператор si— невырожденный и V конечно-
мерно, то
dim si (L) = dim si~l (L) = dim L.
3.1.11. Пусть si— линейный оператор в пространстве
V, L — подпространство в V и L (] Кег зФ = 0. Доказать,
что любая линейно независимая система векторов из L
оператором si переводится в линейно независимую си-
стему.
3.1.12. Доказать для линейных операторов si, Ч?
неравенство Фробениуса
гк fflsi + гк зФ1^ гк si 4- rk dUst-H.
3.1.13. Линейный оператор si называется псевдоотраг
жением, если гк(<$$— &)=1. Доказать, что в и-мерном
пространстве всякий линейный оператор является произ-
ведением не более чем п псевдоотражений.
3.1.14. Доказать, что для линейного оператора si в
n-мерном пространстве множество операторов SS таких,
что si36 = О, является векторным пространством, и
найти его размерность.
3.1.15; Найти матрицу:
a) (xi,x2, x3)i—>(xi, xi + 2х2, х2 + Зхз) в пространстве
R8 в базисе из единичных векторов;
б) поворота плоскости на угол а в произвольном ор-
тонормированием базисе;
в) поворота трехмерного пространства на угол
вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе коор-
динат уравнениями Xi = х« х», в базисе из единичных
векторов осей координат;
115
г) проектирования трехмерного пространства на ко-
ординатную ось вектора е2 параллельно координатной
плоскости векторов «1 ие8в базисе (ej, е2, е3);
д) оператора хн->(х, а)а в евклидовом пространстве
в ортонормированном базисе (eb е2, ез) при а — е\ — 2е3
в указанном базисе;
е) оператора в пространстве M2(R) в
базисе из матричных единиц;
ж) оператора X н-> X | “ & | в пространстве M2(R) в
базисе из матричных единиц;
з) оператора Xt—>*Х в пространстве M2(R) в базисе
из матричных единиц;
и) оператора Х*-*-АХВ(А, В— фиксированные мат-
рицы) в пространстве M2(R) в базисе, состоящем из
матричных единиц;
к) оператора X•—> АХ + ХВ (А, В — фиксированные
матрицы) в пространстве M2(R) в базисе из матричных
единиц;
л) оператора дифференцирования в пространстве
R[x]n в базисе (1,х, .хп);
м) оператора дифференцирования в пространстве
R[x]„ в базисе (хп,хп~\ 1);
н) оператора дифференцирования в пространстве
»Г 1 * fl 1 (х — 1)2 (х — l)rt\
R [х] „ в базисе ^1, х — 1, -—• • •» "—м~) ‘
8.1.16. Доказать, что в пространстве R3 существует
единственный линейный оператор, переводящий векторы
(1,1,1), (0,1,0), (1,0,2)
соответственно в векторы
(1,1,1), (0,1,0), (1,0,1),
и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из
единичных векторов.
3.1.17. Пусть векторное пространство V является пря-
мой суммой' подпространств Ц и Lt с базисами (ai, ...
..., а*) и (а»+1...а„). Доказать, что проектирование
на Li параллельно L? является линейным оператором, и
найти его матрицу в базисе (аь ..., ап).
3.1.18. Найти общий вид матриц линейных операто-
ров в n-мерном пространстве, переводящих заданные ли-
нейно независимые векторы ai......a* (k < п) в задан-
ие
otj₽ векторы bit ...» bk в базисе вида (аь ...» а»,
Hbi c 1
Лi ...» •
3 1 19- Пусть линейный оператор в пространстве V в
базисе (ei, ---> имеет матрицу
0 12 3
5 4 0 -1
3 2 0 3 ‘
6 1-1 7
Найти матрицу этого оператора в базисах:
а) (62, 61, ез, 64);
б) (б[, 61 + 62, 61 + 62 + вз, 61 + 02 + бз + е<).
3.1.20. Пусть линейный оператор в пространстве
R(x] 2 имеет в базисе (1,х, х2) матрицу
11°0 41
р 1 0 •
II1 о 0II
Найти его матрицу в базисе
(Зх24-2x4-1, х24-3x4-2, 2x24-x-f-3).
3.1.21. Пусть линейный оператор в пространстве R*
имеет в базисе
((8,—6,7), (-16,7,-13), (9,—3,7))
матрицу
1
-1
1
—18 1511
—22 20
-25 221
Найти его матрицу в базисе
((1,-2, 1), (3,-1, 2), (2,1,2)).
3.1.22. Пусть линейный оператор в n-мерном век-
торном пространстве V переводит линейно независимые
векторы а\.....а„ в векторы &i, ..., b„ соответственно.
Доказать, что матрица этого оператора в некотором ба-
зисе е = (ei, ..., е„) равна ВА~1, где столбцы матриц А
и В состоят соответственно из координат заданных век-
торов в базисе а.
3.1.23. Найти общий вид матрицы линейного опера-
тора <4- в базисе, первые k векторов которого состав-
ляют:
а) базис ядра оператора
б) базис образа оператора «я£.
117
3.1.24. Доказать, что если f(t)=fi(t)f2(t)—разложе-
ние многочлена f(t) на взаимно простые множители и
для линейного оператора выполняется равенство
}{'&) = 0, то в некотором базисе матрица оператора &
имеет вид где /2(Д2) = 0.
§ 2. Собственные векторы, инвариантные
подпространства, корневые подпространства
3.2.1. Найти собственные векторы и собственные зна-
чения
а) оператора дифференцирования в пространстве
R [х] п\
б) оператора в пространстве Mrt(R).
3.2.2. Доказать, что в пространстве R[x]n линейный
операторfb—> f (ах + &) (а=И=0, ±1) имеет множество
собственных значений 1, а, .ап.
3.2.3. Доказать, что собственный вектор линейного
оператора с собственным значением % является соб-
ственным вектором оператора /(^), где f(t)—много-
член, с собственным значением f(Z).
3.2.4. Доказать, что если оператор Ж— невырожден-
ный, то операторы и имеют одни и те же соб-
ственные векторы.
3.2.5. Доказать, что все ненулевые векторы простран-
ства являются собственными для линейного оператора
тогда и только тогда, когда Ж — оператор подобия
х*—>ах, где а — некоторый фиксированный скаляр.
3.2.6. Доказать, что если линейный оператор в
n-мерном пространстве имеет п различных собственных
значений, то любой линейный оператор, перестановочный
с имеет базис, состоящий из его собственных век-
торов.
3.2.7. Доказать, что подпространство состоя-
щее из всех собственных векторов оператора с соб-
ственным значением X и нулевого вектора, инвариантно
относительно любого линейного оператора «$, переста-
новочного с
3.2.8. Доказать, что для любой (быть может, беско-
нечной) совокупности попарно перестановочных линей-
ных операторов конечномерного комплексного простран-
ства
а) существует общий собственный вектор;
б) существует базис, в котором матрицы всех этих
операторов — верхние треугольные..
118
3.2.9. Доказать, что если оператор имеет собствен-
ное значение л2, то один из элементов X и —1 является
собственным значением оператора
3.2.10* Доказать, что
а) коэффициенты ci, сп многочлена
I А — | = (— %)Л + Cj (— Л)п-'1 ... +
яваяются суммами главных миноров соответствующего
порядка матрицы А;
б) сумма и произведение характеристических чисел
матрицы А равны ее следу и определителю соответ-
ственно.
3.2.11. Доказать, что всякий многочлен степени п со
старшим коэффициентом (—1)" является характеристи-
ческим многочленом некоторой матрицы порядка п.
3.2.12. Доказать, что если А и В — квадратные мат-
рицы одинакового порядка, то матрицы АВ и ВА имеют
совпадающие характеристические многочлены.
3.2.13. Найти характеристические числа матрицы
‘А-А, где А — матрица-строка (ait ..., ая).
3.2.14. Доказать, что все характеристические числа
матрицы отличны от нуля тогда н только тогда, когда
матрица невырожденная.
3.2.15. Найти собственные значения и собственные
векторы линейных операторов, заданных в некотором
базисе матрицами:
а)
г)
3.2.16. Выяснить, какие из следующих матриц можно
привести к диагональному виду путем перехода к новому
базису над полем R или над полем С:
a) 8-1 3-11 б) | 4 7 —5|
-8 5 -11; 1-4 5 0 ;
11-3 3 11 119 -41
В) 84 2 —58 г) 1 1 1 Ч
|б 4 —9В; 1 1—1—11
|б з —71 1 -1 1 -if
1 -1 -1 1|
Найти этот базис и соответствующий вид матрицы.
119
3.2.17. При каких условиях матрица, у которой все
элементы, кроме, быть может, элементов он.....ап по-
бочной диагонали, равны нулю, подобна диагональной
матрице?
3.2.18. Для матрицы порядка п, у которой элементы
побочной диагонали равны 1, а остальные элементы рав-
ны нулю, найти такую матрицу Т, что матрица В =
= Т~ХАТ диагональна. Вычислить матрицу В.
3.2.19. Доказать, что число линейно независимых соб-
ственных векторов линейного оператора зФ с собствен-
ным значением Л не больше кратности X как корня ха-
рактеристического многочлена оператора
3.2.20. Пусть А.], ..., Л„— собственные значения ли-
нейного оператора в n-мерном комплексном простран-
стве. Найти собственные значения оператора зФ как опе-
ратора в соответствующем 2п-мерном вещественном про-
странстве.
3.2.21. Пусть Ль ..., Лл — корни характеристического
многочлена матрицы А. Найти собственные значения:
а) линейного оператора Хь->АХ‘А в пространстве
Mn(R);
б) линейного оператора Х<—>АХА~Х в пространстве
M„(R) (матрица А невырожденная).
8.2.22. Найти все инвариантные подпространства для
оператора дифференцирования в пространстве R[x]„.
3.2.23. Доказать, что линейная оболочка любой си-
стемы собственных векторов линейного оператора ин-
вариантна относительно з&.
3.2.24. Доказать, что
а) ядро и образ линейного оператора инвариантны
относительно з£\
б) всякое подпространство, содержащее образ опера-
тора зФ, инвариантно относительно
в) если подпространство L инвариантно относительно
зФ, то его образ и полный прообраз инвариантны отно-
сительно
г) если линейный оператор з£— невырожденный, то
всякое подпространство, инвариантное относительно з&,
инвариантно относительно з&~х.
3.2.25. Доказать, что в n-мерном комплексном про-
странстве всякий линейный оператор имеет инвариантное
подпространство размерности п — 1.
3.2.26. Доказать, что линейный оператор в векторном
пространстве над полем К, имеющий в некотором базисе
120
матрицу
а, 1 0 ... О
а2 О 1 ... О
ад_1 О О ... 1
ап О О ... О
гпе многочлен хп — а[хп-1 — ... — ап_{х — ап неприво-
дим над К, не имеет нетривиальных инвариантных под-
пространств. о „
3.2.27. Пусть линеиныи оператор w в n-мерном про-
странстве имеет в некотором базисе диагональную мат-
рицу с различными элементами на диагонали. Найти все
подпространства, инвариантные относительно
3.2.28. Найти все инвариантные подпространства для
линейного оператора, имеющего в некотором базисе мат-
рицу, состоящую из одной жордановой клетки.
3.2.29. Найти в трехмерном векторном пространстве
все подпространства, инвариантные относительно линей-
ного оператора с матрицей
14 -2 2|1
2 0 2 I
-1 1 1||
3.2.30. Найти в трехмерном векторном пространстве
все подпространства, инвариантные относительно одно-
временно двух линейных операторов, заданных соответ-
ственно матрицами
II 5—1—111 II-6 2 811
-1 5 -1 и 2 -3 6
Ц-1-1 5|| I) 3 6 2||
3.2.31. Доказать, что если для операторов $ ко-
нечномерного векторного пространства V над полем С
выполняются равенства == = то в V существует
одномерное или двумерное подпространство, инвариант-
ное относительно и
3.2.32. Доказать, что комплексное векторное про-
странство, содержащее только одну прямую, инвариант-
ную относительно линейного оператора неразложимо
в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариант-
ных относительно
3.2.83. Найти собственные значения и корневые под-
пространства линейного оператора, заданного в некотором
°азисе матрицей:
121
а) И -5 211
5 ~’7 3 :
||б —9 4 [|
в) II2 6 -15
11 ““5
||1 2 -6
6) || 1 -3 411
4 —7 8 ;
||6 —7 7И
r)
0 -^2 3 2
1 1 -1 -1
0 0 2 0
1-1 0 1
3.2.34. Доказать, что линейный оператор в комплекс-
ном векторном пространстве имеет в некотором базисе
диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все
его корневые векторы являются собственными.
3.2.35. Доказать, что если линейный оператор в комп-
лексном векторном пространстве имеет в некотором ба-
зисе диагональную матрицу, то его ограничение на лю-
бое инвариантное подпространство L также имеет
диагональную матрицу в некотором базисе простран-
ства L.
3.2.36. Доказать, что всякое корневое подпростран-
ство линейного оператора инвариантно относительно
любого линейного оператора перестановочного с
3.2.37. Доказать, что если матрица линейного опера-
тора приводится к жордановой нормальной форме, то
всякое инвариантное подпространство является прямой
суммой своих пересечений с его корневыми подпростран-
ствами. ч
§ 3. Жорданова форма и ее приложения.
Минимальный многочлен
3.3.1. Найти жорданову форму матрицы:
а)
в)
Д)
122
012, Й28, . • •, <U-1, я 4*0.
где
3.3.2. Доказать, что жорданова форма матрицы
А-\-аЕ равна Af-j-aE, где А/ — жорданова форма мат-
рицы А.
3.3.3. Пусть А — жорданова клетка порядка п с эле-
ментом а на главной диагонали.
а) Найти матрицу f (Л), где f (х) — многочлен;
б) найти жорданову форму матрицы А*.
3.3.4. Найти жорданову форму матрицы
|а 0 1 0 .... 0 0
0 а 0 1 ... 0 0
0 0 а а ... 0 0
0 0 0 а .... 0 0
0 0 0 0 ... а 0
0 0 0 0 ... 0 а
8.8.6. Найти жорданову форму матрицы:
а) Л*,
б) А~1 (Л — невырожденная матрица) г
если А имеет жорданову форму А/,
3.3.6. Найти жорданову форму матрицы Л к выяснить
геометрический смысл соответствующего линейного* опе-
ратора 6^,если
а) Аг = Е,
б) Д2 Х=Е Л.
3.3.7. Доказать, что всякая периодическая комплекс-
ная.матрпца подобна диагональной матрице, я найти вид
•той диагональной матрицы.
123
3.3.8. Доказать, что матрица нильпотентна тогда и
только тогда, когда все ее характеристические числа
равны нулю.
3.3.9. Доказать, что для всякого линейного оператора
ранга 1 в. комплексном векторном пространстве суще-
ствует такое число fe, что = k<&.
3.3.10. Найти жорданову форму матрицы линейного
оператора и базис (fi, в котором имеет
эту матрицу, если в базисе (еь ..., еп) оператор за-
дается матрицей:
а) 3 2 —311 б) 1 1 -1
4 10 —12 ;
3 6—7
-3-3 3 ;
—2—2 2
в)
0 1-11
— 12—11
-11 10
г)
6-954
7 —13 8 7
8 -17 11 8
-11 0 1
1-213
3.3.11. Найти жорданову форму матрицы линейного
оператора в комплексном векторном пространстве, имею-
щего только одну инвариантную прямую.
3.3.12. Доказать, что число линейно независимых соб-
ственных векторов линейного оператора с собствен-
ным значением X равно числу клеток с диагональным
элементом % в жордановой форме матрицы оператора
3.3.13. Доказать, что комплексное векторное простран-
ство является прямой суммой (одного или нескольких)
подпространств, инвариантных относительно линейного
оператора каждое из которых содержит ровно одну
инвариантную прямую.
8.3.14. Доказать, что множество линейных операторов
в n-мерном комплексном векторном пространстве, пере-
становочных с данным оператором является вектор-
ным пространством размерности ^п.
3.8.15. Доказать, что если линейный оператор & в
комплексном векторном пространстве перестановочен с
любым линейным оператором, перестановочным с опера-
тором то &— многочлен от
3.3.16. Доказать, что если матрицы А и В удовлетво-
ряют соотношению АВ — В А — В, то матрица В нильпо-
тентна.
3.3.17. Доказать, что для любой невырожденной
квадратной комплексной матрицы А и любого натураль-
ного числа k уравнение Xk = A имеет решение.
124
3.3.18. Решить уравнения:
3.3.19. Используя жорданову форму матрицы, вычис-
лить:
б>1.1=:г-
8.3.20. Найти минимальный многочлен:
а) тождественного,оператора;
б) нулевого оператора;
в) оператора проектирования «-мерного пространства
V на ^-мерное подпространство L (0 </?<«);
г) оператора отражения;
д) нильпотентного оператора индекса k.
3.3.21. Найти минимальный многочлен диагональной
матрицы с различными элементами на главной диаго-
нали.
3.3.22. Найти минимальный многочлен жордановой
клетки порядка п с числом а на главной диагонали.
3.3.23. Доказать, что минимальный многочлен кле-
точно-диагональной матрицы равен наименьшему об-
щему кратному минимальных многочленов ее клеток.
3.3.24. Найти минимальный многочлен матрицы:
а)
з -1 —1
0 2 0
1 1 1
б)
4 —2 211
—5 7 —5
-6 6 -4II
3.3.25. Пусть линейный оператор в базисе е2,
пространства V имеет матрицу
Найти минимальный многочлен g(t) оператора и раз-
ложить пространство V в прямую сумму инвариантных
подпространств в соответствии с разложением минималь-
ного многочлена на взаимно простые множители.
3.8.26. Доказать, что минимальный многочлен мат-
рицы порядка >2 и ранга 1 имеет степень 2.
3.3.27. Что можно сказать о жордановой форме мат-
рицы линейного оператора в комплексном простран-
стве, если
3.3.28. Доказать, что свободный член минимального
Многочлена невырожденной матрицы отличен от нуля.
125
3.3.29. Доказать, что некоторая степень минимального
многочлена матрицы делится на ее характеристический
многочлен.
З.ЗЛО. Доказать, что для подобия двух матриц не-
обходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинако-
вые характеристический и минимальный многочле-
ны.
3.3.31. Доказать, что если степень минимального мно-
гочлена линейного оператора равна размерности про-
странства, то всякий оператор, перестановочный с яв-
ляется многочленом от s4-.
3.3.32. Линейный оператор называется полупростым,
если для любого инвариантного подпространства имеется
инвариантное дополнительное подпространство. Дока-
зать, ито
а) ограничение полупростого оператора на инвариант-
ное подпространство также является полупростым опера-
тором;
б) линейный оператор полупрост тогда и только
тогда, когда пространство является прямой суммой ми-
нимальных инвариантных подпространств;
в) если для линейного оператора существует раз-
ложение пространства в прямую сумму инвариантных
подпространств, на каждом из которых оператор S& по-
лупрост, то полупрост и на всем пространстве.
3.3.33. Доказать, что если минимальный многочлен
линейного оператора в пространстве V является про-
изведением взаимно простых многочленов gi(-x) и gzfiX),
то V может быть разложено в прямую сумму двух инва-
риантных подпространств таких, что ограничения опера-
тора лФ на эти подпространства имеют минимальные мно-
гочлены gi(x) и £г(х) соответственно.
3.3.34. Доказать, что для любого линейного опера-
тора существует такое разложение пространства в пря-
мую сумму инвариантных подпространств, что мини-
мальные многочлены его ограничении на эти подпро-
странства являются степенями различных неприводимых
многочленов.
3.3.35. Доказать, что если минимальный многочлен
линейного оператора л4- является неприводимым много-
членом степени k, то для любого х ф 0 векторы х, s^x,...
..., s4-k~l'x составляют базис минимального инвариант-
ного подпространства.
3.3.36. Доказать, что линейный оператор полупрост
(см. 3.3.32) тогда и только тогда, когда его мннималь-
126
ный многочлен не имеет кратных неприводимых .множи-
телей.
3.3.37. Доказать, что линейный оператор в векторном
пространстве над полем К характеристики 0 полупрост
тогда и только тогда, когда он обладает собственным
базисом над некоторым расширением поля К..
3.3.38. Доказать, что сумма двух перестановочных по-
лупростых линейных операторов над полем характери-
стики 0 является полупростым оператором.
3.3.39. Пусть зФ — линейный оператор в векторном
пространстве над полем К характеристики 0 и /<[^]—
кольцо линейных операторов, представимых в виде мно-
гочленов от зФ. Доказать, что если минимальный много-
член оператора является степенью неприводимого
многочлена р(х), то
а) элементы кольца К [з&], делящиеся в этом кольце
на элемент р (<s$), образуют идеал /, отличный от ;
б) для всякого оператора е I минимальный много-
член оператора зФ + & делится на р(х);
в) существует оператор такой, что минималь-
ный многочлен оператора равен р(х).
3.3.40. Доказать, что всякий линейный оператор з&
в векторном пространстве над полем характеристики 0
может быть представлен в виде суммы полупростого и
нильпотентного операторов, являющихся многочленами
от зФ.
3.3.41. Доказать, что всякий линейный оператор
можно единственным образом представить в виде сум-
мы перестановочных друг с другом полупростого и -ниль-
потентного операторов,
оо
3.3.42. Ряд У, Ап из комплексных матриц ||а,7. „|| на-
зывается сходящимся к матрице А =||а//[|, если для лю-
бых г, j числовой ряд а сходится к а,/. Доказать,
п-0 "
ОО
что если ряд У, сп (г — z0)n сходится к функции Дг)
в круге |z — Zo|< г и собственные значения матрицы А
лежат в этом круге, то
со
а) ряд У, са(А — Zi£)n сходится;
п =0
б) матрица f(A) равна р(А), где многочлен р(х)
Удовлетворяет условиям p(m)(X,j= (т — 0, ...
127
— 1) для любого корня X/ кратности kt минималь-
ного многочлена матрицы А.
3.3.43, Вычислить матрицы:
ir:i
а) е......; 6) In I -4 2 ;
||1 “5 3
ч . || л — 1 1 ||
В) sin|| я + 1|.
3.3.44. Доказать для любой квадратной матрицы ра-
венство
sin2X = 2 sin A -cos А,
3.3.45. Найти определитель матрицы еА, где А — квад-
ратная матрица порядка п.
3.3.46. Решить уравнение
Х2 =
1 4 2И
О -3 -2
О 4 3||
Какие из этих решений — многочлены от Д?
3.3.47. Доказать, что если степень минимального мно-
гочлена g(x) линейного оператора S& в векторном про-'
странстве V над полем К равна размерности простран-
ства и g(t) является степенью многочлена, неприводи-
мого над К, то
а) V нельзя разложить в прямую сумму двух инва-
риантных подпространств;
б) V является циклическим относительно 5$.
Глава 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Геометрия метрических пространств
4.1.1. Какие из векторных пространств с билиней-
ными формами из задачи 2.1.1 являются метрическими?
4.1.2. Доказать, что вещественная часть f(x,y) и мни-
мая часть g(x,y) эрмитовой функции на комплексном
векторном пространстве V инвариантны относительно
умножения на z, т. е. для любых векторов х, у <= V
f (ix, iy) = f (x, у), g(ix, iy) = g(x,y).
128
4.1.3. Доказать, что метрическое векторное простран-
ство' является прямой суммой подпространства L и его
ортогонального дополнения М тогда и только тогда,
когда скалярное произведение на L невырождено, и что
в этом случае скалярное произведение на L1 также не-
вырождено.
4.1.4. В пространстве М„(С) с эрмитовым скалярным
произведением
(X, Y)=tTXfY
найти ортогональное дополнение к подпространству:
а) матриц с нулевым следом;
б) эрмитовых матриц;
в) косоэрмитовых матриц;
г) верхних треугольных матриц.
4.1.5. Дополнить до ортогонального базиса систему
векторов:
а) ((1,-2, 2,-3), (2,—3,2, 4));
б) ((1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, -3));
4.1.6. Найти ортогональную проекцию вектора х ев-
клидова пространства на линейную оболочку ортонорми-
рованной системы векторов (вь ..., ek).
4.1.7. Доказать, что в любых двух подпространствах
евклидова пространства можно выбрать ортононормиро-
ванные базисы (еь ..., ek) и (fi, ..., ft) таким обра-
зом, чтобы (ez, fj) = 0 при i #= / и (е/, fi) 0.
4.1.8. Пусть (еь .ek) и (/ь ..., ft)—ортонорми-
рованные базисы подпространств L и М евклидова про-
странства, А =|| (в/, fj) ||— матрица порядка k X I. Дока-
зать, что все характеристические числа матрицы fA-A
принадлежат отрезку [0, 1] и не зависят от выбора ба-
зисов в подпространствах L и М.
4.1.9. Доказать, что всякая вещественная симметри-
ческая матрица ранга с неотрицательными (соответ-
ственно положительными) главными минорами является
матрицей Грама некоторой системы (соответственно ли-
нейно независимой системы) векторов n-мерного евкли-
дова пространства.
Доказать аналогичное утверждение для эрмитовой
матрицы и эрмитова пространства.
5 Под ред. А. И. Кострикина 129
4.1.10. Доказать, что сумма квадратов длин проекций
векторов любого ортонормированного базиса евклидова
пространства на ^-мерное подпространство равна k.
4.1.11. Пусть G — матрица скалярного произведения
в базисе ..., еп) евклидова пространства V. Найти
матрицу перехода к сопряженному базису (/,, ..., fn) и
матрицу скалярного произведения в этом базисе.
4.1.12. Пусть S — матрица перехода от базиса е к ба-
зису е'. Найти матрицу перехода от базиса f, сопряжен-
ного к е, к базису f', сопряженному к f:
а) в евклидовом пространстве;
б) в эрмитовом пространстве.
4.1.13. С помощью процесса ортогонализации по-
строить ортогональный базис линейной оболочки системы
векторов:
а) ((1,2,2,—!), (1,1,—5,3), (3,2,8,—7));
б) ((1,1,-1,—2), (5,8,—2,-3), (3,9,3,8));
в) ((2,1,3,—!), (7,4,3,—3), (1,1,—6,0),
(5, 7,7,8)).
4.1.14. Найти базис ортогонального дополнения ли-
нейной оболочки системы векторов:
а) ((1,0,2,1), (2,1,2,3), (0,1,—2,1));
б) ((1,1,1,1), (—1,1,—1,1), (2,0,2,0)).
4.1.15. Найти уравнения, задающие ортогональное до-
полнение к подпространству, заданному системой урав-
нений:
a) 2х, + х2 + Зх3 — х4 = 0,
Зх, 2хг — 2х4 = 0,
Зх, + х2 + 4х3 — х4 = 0;
б) 2xt ~ Зх2 + 4х3 — Зх4 == 0,
Зх, — х2 + 11х3 — 13х4 = 0,
4х, + x2-f-I8x3 — 23х4 = 0.
4.1.16. Доказать, что системы линейных уравнений,
задающих линейное подпространство в Rn и его ортого-
нальное дополнение, связаны следующим образом: коэф-
фициенты линейно независимой системы, задающей одно
из этих подпространств, являются координатами векто-
ров базиса другого подпространства.
4.1.17. Найти проекцию вектора х на подпространство
L и ортогональную составляющую вектора х:
130
a) £ = <(1,1,1,1), (1,2,2,-1), (1,0,0,3)},
х = (4, —1,—3,4);
б) £ = <(2,1,1,-1), (1,1,3,0), (1,2,8, 1)>,
х =(5,2,—2,2);
в) £ задано системой уравнений
2х{ + х2 + х3 + Зх4 = 0,
3%! + 2х2 + 2х3 + х4 — о,
X] + 2х2 + 2х3 — 4х4 — О,
х=(7, —4,—1,2).
4.1.18. Доказать, что если в процессе ортогонализа-
ции система векторов ai, ..., ап переходит в систему
bi, ..., bn, то вектор bk есть ортогональная составляю-
щая вектора а* относительно линейной оболочки си-
стемы щ, .... а*-1 (k > 1).
4.1.19. Найти расстояние от вектора х до подпро-
странства, заданного системой уравнений:
а) 2х14-2х2 + х3 + х4 = 0, х = (2, 4, 0, —1);
2xi + 4х2 + 2х3 + 4х4 = О,
б) Xj + 2х2 + Хз — х4 — 0, х = (3, 3, —4, 2);
Xj -I- Зх2 Хз — Зх4 = О,
в) 2Xj — 2х2 + Зх3 — 2х4 + 2х5=0, х=(3, 3, —1,1, —1);
г) Xi — Зх2 + 2х4 — х5 = 0, х=(3,3, — 1,1, — 1).
4.1.20. (Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.)
Пусть (ci, ..., ек)— ортонормированная система векто-
ров n-мерного евклидова пространства. Доказать, что
для любого вектора х выполняется неравенство
к
Т,(х, e4)2C|xf,
1 — 1
причем равенство достигается для любого х тогда и толь-
ко тогда, когда k = п, т. е. данная система векторов яв-
ляется ортонормированным базисом пространства V (ра-
венство Парсеваля).
4.1.21. Пользуясь неравенством Коши, доказать, что
(к \2 к k
'LafiA < £ aj • £ b*
х = 1 V i = l /=1
Для любых вещественных чисел аь bk\
/ k \2 k k
б) ( Еад) Eim2
\i-l / i-l i=l
Для любых комплексных чисел ai, ..., a*, bi, 6*.
б* 131
4.1.22. Доказать, что квадрат расстояния от вектора х
евклидова пространства до подпространства с базисом
(вь ..., е*) равен отношению определителей Грама си-
стем векторов (бь ..., ек,х) и (еь ек).
4.1.23. Доказать, что определитель Грама любой си-
стемы векторов
а) в процессе ортогонализации не меняется;
б) неотрицателен;
в) равен нулю тогда и только тогда, когда система
линейно зависима;
г) не превосходит произведения квадратов длин век-
торов системы, причем равенство имеет место только в
случае, когда векторы попарно ортогональны или один
из них нулевой.
4.1.24. Доказать, что определитель матрицы положи- <
тельно определенной квадратичной формы не превосхо- *
дит произведения элементов ее главной диагонали. |
4.1.25. (Неравенство Адамара.) Доказать, что для f
любой вещественной квадратной матрицы А =||ац|| по-
рядка п выполняется неравенство
(deW^ft^L^y /
причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда либо
^aikalk = 0 (i, ..., п\ i=£ j),
либо матрица А имеет нулевую строку.
Сформулировать и доказать аналогичное утвержде- ;
ние для комплексной матрицы А.
4.1.26. Найти длины сторон и внутренние углы тре- <
угольника abc в пространстве R5: Й
а) а = (2, 4, 2, 4, 2), Ь = (6, 4, 4, 4, 6),
с = (5, 7, 5, 7, 2);
б) а = (1, 2, 3, 2, 1), Ь = (3, 4, 0, 4, 3),
c-(‘+4VrS, 2+4V7S, 3+JjV78,
2+4 V78. 1+^V78). ‘
4.1.27. С помощью скалярного произведения векторов
доказать, что
132
я
I
а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов его сторон;
б) квадрат стороны треугольника равен сумме квад-
ратов двух других сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними.
4.1.28. Методом наименьших квадратов решить, пере-
определенную систему линейных уравнений:
a) Xj + х-2 — Зхз = —1,
2Xi + х2 — 2х3=1,
Xi + х2 + Хз = 3,
Х[ -|- 2х2 — Зх3 = 1;
б) 2Х[ — 5х2 + Зх3 + х4 — 5,
Зх{ — 7х2 + Зх3 — х4 — 1,
5%1 — 9х2 + 6х3 + 2х4 = 7,
4xi 6х2 + Зл3 + х4 = 8.
4.1.29. (п-мерная теорема Пифагора.) Доказать, что
квадрат диагонали n-мерного прямоугольного паралле-
лепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих
из одной вершины.
4.1.30. Найти число диагоналей n-мерного куба, орто-
гональных данной диагонали.
4.1.31. Найти длину диагонали n-мерного куба с реб-
ром а и углы между диагоналями куба и его ребрами.
4.1.32. Найти радиус шара, описанного около п-мер-
ного куба с ребром af и решить неравенство R < а.
4.1.33. Доказать, что длина ортогональной проекции
ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1/п
длины диагонали.
4.1.34. Вычислить объем со сторонами: n-мерного параллелепипеда
а) (1, -1, 1, -1), б) (1, 1, 1,1),
(1. 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1),
(1, 0, -1, 0), (2, 1, 1, 3),
(0, 1, 0, -1); (0, 1, -1, 0);
в) (1, 1, 1, 2, 1); г) (1, 0, 0, 2, 5),
(1, 0, 0,1, -2), (0, 1,0, 3, 4),
(2, 1, —1, 0, 2), (0, 0, 1, 4, 7),
(0, 7, 3, —4, -2), (2, -3, 4, 11, 12),
(39, -37, 51, -29, 5), (0, 0, 0, 0,1).
133
4.1.35. Доказать, что для объема параллелепипеда вы-
полняется неравенство
V(ab...,ak> бь...,М< V(ai.......ак) V(bu..., bt),
причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда (а,-, &;) — 0 при всех i и /.
4.1.36. Найти угол между вектором х и подпростран-
ством L:
a) L = ((3, 4, -4, -1), (0, 1, -1, 2)>,
х = (2, 2, 1, 1);
б) L = ((5, 3, 4, -3), (1, 1, 4; 5), (2, -1, 1, 2)),
х = (1, 0, 3, 0).
4.1.37. Доказать, что если каждые два различных из
k векторов евклидова пространства V образуют между
собой угол -у, то k dim V.
4.1.38. Доказать, что если каждые два различных из
k векторов евклидова пространства образуют тупой угол,
то k 1 + dim V.
4.1.39. Найти угол между диагональю «-мерного куба
и его ^-мерной гранью.
4.1.40. Найти угол между двумерными гранями ao«ia2
и аоазсц правильного четырехмерного симплекса
00^1612^3^4.
4.1.41. Найти угол между подпространствами
<(1,0,0,0), (0,1,0,0)> и <(1,1,1,1), (1,-1,!,-!)>.
4.1.42. Многочлены
Р0(х)=1, Pft(x)^-J-Jt[(x2-l)ft] (£ = 1,2, ...,»)
называются многочленами Лежандра.
а) Доказать, что многочлены Лежандра образуют
ортогональный базис в евклидовом пространстве R[x]n
1
со скалярным произведением f (x)g(x)dx.
-i
б) Найти явный вид многочленов Р^(х) для k 4.
в) Доказать, что degРк(х)— k, и найти развернутое
выражение по степеням х для Pfe(x) при всех k.
г) Вычислить длину многочлена Лежандра Р^(х).
д) Вычислить значение
134
е) Доказать, что при применении процесса ортого-
нализации к базису (1,х,х2, ..., хп) пространства R [х] я
получается базис, элементы которого лишь постоянными
множителями отличаются от соответствующих многочле-
нов Лежандра, и найти эти множители.
ж) Доказать, что интеграл ^f(xfdx, где Дх)— мно-
— 1
гочлен степени п с вещественными коэффициентами со
старшим коэффициентом 1, достигает своего минимума
-------ПРИ
(»)
4.1.43. В пространстве R [х] п со скалярным произве-
1
дением j f(x)g(x)dx найти:
-1
а) объем параллелепипеда Р(1,х, ..., х");
б) расстояние от вектора х" до подпространства
R (х] п—1 •
4.1.44. Пусть V — псевдоевклидово пространство сиг-
натуры (р, q) и W — подпространство в V. Доказать, что
а) если скалярное произведение на W положительно
определено, то dim W р;
б) если (х, х) = 0 для любого xg W, то dim IF
^min(p, q).
4.1.45. Пусть на векторном пространстве задано не-
вырожденное скалярное произведение сигнатуры (р, q) и
ограничение его на подпространство W — невырожденное
скалярное произведение сигнатуры (р', q'). Доказать, что
ограничение скалярного произведения на 1FX невырож-
дено и имеет сигнатуру (р — р', q — q').
4.1.46. Доказать, что в псевдоевклидовом простран-
стве сигнатуры (р, q), где р и q отличны от нуля, суще-
ствует базис, состоящий из изотропных векторов.
§ 2. Сопряженные и нормальные операторы
4.2.1. Доказать следующие свойства операции пере-
хода к сопряженному оператору в метрическом простран-
стве:
а) =
б) + = +
в)
135
. г)
д) и stst*— самосопряженные операторы;
е) если оператор st невырожден, то (j?/-1)* — (sf)~l.
4.2.2. Найти матрицу оператора st* в базисе е метри-
ческого векторного пространства V, если оператор st
имеет в этом базисе матрицу А, а скалярное произведе-
ние— матрицу G.
4.2.3. Пусть (вь е2) — орт'онормированный базис мет-
рического векторного пространства и оператор st имеет
II1 2II
в базисе (ei, ei + е2) матрицу L J . Найти матрицу
оператора в этом базисе.
4.2.4. Найти оператор, сопряженный к проектирова-
нию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно
биссектрисе первой и третьей четвертей.
4.2.5. Пусть — проектирование метрического век-
торного пространства V на подпространство V\ парал-
лельно подпространству У2. Доказать, что
a) V —
б)' st* — проектирование пространства V на па-
раллельно У Л
4.2.6. Доказать, что если подпространство метриче-
ского векторного пространства инвариантно относитель-
но линейного оператора st, то его ортогональное допол-
нение инвариантно относительно оператора st*.
4.2.7. Доказать, что ядро и образ сопряженного опе-
ратора st* являются ортогональными дополнениями со-
ответственно к образу и ядру оператора st.
4.2.8. Доказать, что если х — собственный вектор опе-
раторов st и st* в метрическом векторном пространстве
с собственными значениями X и ц, то ц = X.
4.2.9. Пусть V — пространство вещественных беско-
нечно дифференцируемых периодических функций пе-
' - h
риода h > 0 со скалярным произведением f (х) g (х) dx.
—h
а) Найти оператор, сопряженный к оператору диф-
ференцирования S).
б) Доказать, что отображения st и заданные пра-
вилами
п п
(П = Г (f), (f) = s (- № М),
i=0 i=0
136
где «о, «ь •••> — фиксированные функции, яв-
ляются линейными операторами в V и =
в) Доказать, что оператор, определенный правилом
(f) = sin2 х<& (f) + cos xS) (f),
является самосопряженным.
4.2.10. Пусть V — пространство вещественных беско-
нечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь] со
ь
скалярным произведением f (х) g (х) dx. Доказать, что
а
а) если функции м0, • • •, ип е V удовлетворяют усло-
виям
^‘(Ui)(a) = = 0 (/ = 1, ..., п- i = 0, 1, ..., / - 1),
то отображения «я^ и определенные правилами
п п
^(f)= Е#(f)=E
i=0 i=0
являются линейными операторами в V и ^ = ^*;
б) линейный оператор определенный правилом
Ж (/) = (х - а)2 (х - b)2 St)2 (f) + 2 (х - а) (х~Ь)Ф (/),
самосопряжен.
4.2.11. Доказать, что если линейные операторы <5$ и
& в пространстве R [х] со скалярным произведением
ъ
\f (х) g (х) dx определены правилами
а
b b
(Л = $ Р (X, У) f (У) dy, (у, х) f (у) dy,
а а
где Р(х, i/)gR [х, у], то — sfi*.
4.2.12. Доказать, что если — самосопряженный
оператор, то функция f (х, у) — (з&х, у) эрмитова.
4.2.13. Доказать, что если и —самосопряжен-
ные операторы в метрическом векторном пространстве V
и х) = (.^?х,х) для всех хе V, то —
4.2.14. Доказать, что оператор в евклидовом или
эрмитовом пространстве V нормален тогда и только
тогда, когда |j$x| = |j^*x| для всех xg V.
137
4.2/15 . Доказать, что если х— собственный вектор
нормального оператора в евклидовом или эрмитовом
пространстве с собственным значением X, то х— соб-
ственный вектор оператора с собственным значе-
нием X.
4.2.16. Доказать, что собственные векторы нормаль-
ного оператора в метрическом векторном пространстве
с различными собственными значениями ортогональны.
4.2.17. Доказать, что
а) ортогональное дополнение к линейной оболочке
собственного вектора нормального оператора в евкли-
довом или эрмитовом пространстве инвариантно относи-
тельно <2/;
б) оператор в эрмитовом пространстве нормален тогда
и только тогда, когда он имеет ортонормированный соб-
ственный базис;
в) оператор в евклидовом или метрическом простран-
стве нормален тогда и только тогда, когда любой его
собственный вектор является собственным для сопря-
женного оператора.
4.2.18. Доказать, что любое множество попарно пере-
становочных нормальных операторов в эрмитовом про-
странстве имеет ортонормированный базис, состоящий из
векторов, собственных для всех операторов из этого мно-
жества.
4.2.19. Доказать, что если нормальный оператор
в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором
то «5^ перестановочен с
п
4.2.20. Для всякого многочлена f (х) = S <Hxi <= К [х]
п
положим f (х)= £йгхг. Доказать, что если — опера-
i-0
тор в метрическом пространстве, то
a) f(^)* = б) если f(^) = 0, то f(^*) = 0.
4.2.21. Пусть — нормальный оператор в метриче-
ском векторном пространстве V и f(x)e/<[x]. Доказать,
что
а) ядро Kerf(j^) инвариантно относительно
б) Kerf(j/*)= Kerf(^).
в) если f(x) = fi(x)f2(x), где fi(x) и fz(x) взаимно
просты, то Kerf(^) является ортогональной прямой сум-
мой подпространств Kerfi(^) и Кег /г(^);
г) если (f№))n = 0, то f(s&) = 0.
138
§ 3. Самосопряженные операторы. Приведение
квадратичных функций к главным осям
4.3.1. Доказать, что произведение двух самосопря-
женных операторов в метрическом векторном простран-
стве является самосопряженным оператором тогда и
только тогда, когда эти операторы перестановочны.
4.3.2. Доказать, что если S& и — самосопряженные
операторы в метрическом векторном пространстве, то
а) оператор + самосопряжен;
б) при К = — X оператор — самосопря-
жен.
4.3.3. Доказать, что проектирование метрического
пространства Ц ® L2 на подпространство Ц параллельно
L2 является самосопряженным оператором тогда и толь-
ко тогда, когда Ц и ортогональны.
4.3.4. Найти собственный ортонормированный базис
и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некото-
ром ортонормированием базисе матрицей:
а) 112 111 б) II Н 2 —8 ft в) Й У? -8 4|
Ь 2Г | 2 2 101; 1-8 17 —4»;
11—8 10 5|| II 4 -4 1Ц
г) || 5 -1 -Н д) ||0 0 11| е) 0 0 0 1 i
й-1 5 -1 ; 0 1 0 . 0 0 10.
Ц-1 -I 5||’ || 1 о о|1 0 10 0 ’
10 0 0
1111
I 1 -1 -1
1-1 1-1
1-1-1 1
4.3.5. Доказать, что функции
у, cos х, sin х, ..., cos nx, sin nx
составляют собственный ортонормированный базис в
пространстве
== {оа + cos х + b{ sin х + ...
... + ап cQsnx bn sin nx R}
л
co скалярным произведением — \f(x)g(x)dx для сим-
Л J
-л
d2
метрического оператора
139
4.3.6. Доказать, что многочлены Лежандра (задача
4.1.42) составляют собственный базис для самосопря-
женного оператора, определенного правилом
(^(Л)и) = и2-1)Ги) + 2хГ(Д
в пространстве многочленов степени со скалярным
1
произведением f (х) g (х) dx.
-1
4.3.7. Найти собственный ортонормированный базис
и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного
в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а) || 3 2 + 2/|| б) ||3 —/II в) || з 2-Л
|[2 —2Z 1 Г ||j 3|Г ||2 + г 7 Г
4.3.8. В векторном пространстве МП(С) положим
(Л, B) = tr(4- 'В).
Доказать, что
а) МДС)—эрмитово пространство;.
б) всякая унитарная матрица в этом пространстве
имеет длину Vи;
в) операторы Х^^АХ и Х>—>*АХ в пространстве
МЛ(С) взаимно сопряжены;
г) оператор Х*—*АХ3 где А — унитарная матрица,
является унитарным.
4.3.9. Доказать, что самосопряженные операторы ев-
клидова или эрмитова пространства перестановочны тог-
да и только тогда, когда они имеют общий ортонормиро-
ванный собственный базис.
4.3.10. Доказать, что самосопряженный линейный опе-
ратор в евклидовом или эрмитовом пространстве
а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его
собственные значения неотрицательны;
б) положителен тогда и только тогда, когда все его
собственные значения положительны;
в) положителен тогда и только тогда, когда все коэф-
фициенты его характеристического многочлена положи-
тельны и имеют чередующиеся знаки.
4.3.11. Доказать, что если Ж— оператор в евклидовом
или эрмитовом пространстве, то — неотрицатель-
ный самосопряженный оператор и положителен тогда и
только тогда, когда оператор обратим.
4.3.12. Доказать, что если два неотрицательных са-
мосопряженных оператора в евклидовом или эрмитовом
140
пространстве перестановочны, то их произведение — не-
отрицательный самосопряженный оператор.
4.3.13. Доказать, что для всякого неотрицательного
^положительного) самосопряженного оператора в
евклидовом или эрмитовом пространстве существует та-
кой неотрицательный (положительный) самосопряжен-
ный оператор Я, что 9Р = .50.
4.3.14. Пусть оператор 5$ в трехмерном евклидовом
пространстве в некотором ортонормированном базисе за-
дан матрицей
II13 14 4||
‘ 142418.
II 4 18 291|
Найти в этом базисе матрицу положительного само-
сопряженного оператора такого, что
4.3.15. Доказать, что собственные значения произве-
дения двух неотрицательных самосопряженных операто-
ров в евклидовом или эрмитовом пространстве, один из
которых обратим, являются вещественными и неотрица-
тельными.
4.3.16. Доказать, что неотрицательный самосопряжен-
ный оператор ранга г в евклидовом или эрмитовом про-
странстве является суммой г неотрицательных самосо-
пряженных операторов ранга 1.
4.3.17. Доказать, что всякий линейный оператор .5$
эрмитова пространства единственным образом предста-
вим в виде + z.^2, где и — эрмитовы опе-
раторы.
4.3.18. Найти ортогональное преобразование, приво-
дящее квадратичную функцию к главным осям:
а) 6л;2 + 5л:2 + 7х2 4х.х9 + 4х,х-
б) 11 х2 + 5х2 + 2х2 + 16xtx2 + 4xfx3 — 20х2х3;
в) + х2 + 5х| — 6XjX2 — 2х,х3 + 2х2х3;
г) х2 + х2 + х3 + 4х,х2 4- 4x^3 4- 4х2х3;
Д) х2 — 5x2 4- х2 4- 4х.х 4- 2х.х3 4- 4х,х,;
е) 2Х]Х2 — 6Х|Х3 — 6х2х4 4- 2х3х4;
ж) 3x2 4- 8х х2 — 3x2 4- 4x2 — 4х3х. 4- х2'
з) х2 4- 2х.х, 4- х2 — 2x2 — 4хчх. — 2х2;
* 1 Z О О 0 4 тг
141
и) 9xf 4- 5х| 4- 5х| 4- 8х® 4- 8х2х3 — 4х2х4 4- 4х3 х4;
к) 4x2 — 4х| — 8х2х3 4- 2x2 — 5х| 4- 6х4х5 4- Зх|.
Г
4.3.19. Доказать, что если f (х)= £ то
г-i
max (| Aq |, ...» I Ar |) = max | f (x) |. ’
1*1-1
§ 4. Ортогональные и унитарные операторы.
Полярное разложение
4.4.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) опе-
раторы образуют группу относительно умножения.
4.4.2. Доказать, что если оператор в евклидовом (эр-
митовом) пространстве сохраняет длины векторов, то он
ортогонален (унитарен).
4.4.3. Доказать, что если векторы х и у евклидова
(эрмитова) пространства имеют одинаковую длину, то
существует ортогональный (унитарный) оператор, пере-
водящий х в у.
4.4.4. Пусть Хь ..., хк и ..., ук — две системы
векторов евклидова (эрмитова) пространства. Доказать,
что ортогональный (унитарный) оператор, переводящий
Xt в yt (i= 1, ..., k), существует тогда и только тогда,
когда (х,-, X/) = (у{, у/) при всех i и / от 1 до k.
4.4.5. Найти канонический базис и матрицу в этом ба-
зисе ортогонального оператора, заданного в некотором
ортонормированном базисе матрицей:
, I- 2 2 -111 j
а) | 2—1 2 ; б) у
11-1 2 2II
1 1 - V2
1 1 УГ
л/2 —^2 О
В)
1 - V2 — 1
•• г>7
— Vg
Уб
2
1 V2 -1
Vf о V?
till
1 i—1—i
i-i i-i
i-1-i 1
3 1
1 3
Ve — л/б
Illi
ж) у
1
-1
-1
1 -1 -1
1 -1 1
1 1 -1
142
4.4.6. Найти собственный ортонормированный базис
и матрицу в этом базисе унитарного оператора, задан-
ного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а)
cos а — sin а
sin а cos а
(а #= Ал);
1 II1-H 1|.
б> vrt-1 ‘-'ll’
в) "И
4 + 3/
— 4/
6 + 2Z
4Z —6 — 2ZII
4 - 3Z —2 — 6Z й
-^2 - 6Z 1 I
4.4.7. Доказать, что унитарная матрица порядка 2 с
определителем, равным 1, подобна вещественной ортого-
нальной матрице.
4.4.8. Доказать, что если — унитарный оператор в
эрмитовом пространстве и оператор обратим, то опе-
ратор + эрмитов.
4.4.9. Пусть з$-— эрмитов оператор. Доказать, что
а) оператор з^ — i<£ обратим;
б) оператор $ = — Ж)-1 {з^ + унитарен;
в) оператор — & обратим;
г) = — +
4.4.10. Доказать, что для всякого эрмитова оператора
з£ оператор е1Л унитарен и, обратно, всякий унитарный
оператор представим в виде ем, где з& — эрмитов опе-
ратор.
4.4.11. Пусть V — евклидово пространство с базисом
(^ь₽2, ез) и з£ — ортогональный оператор в V с опреде-
лителем 1. Доказать, что зФ = где и з1^ —
повороты в плоскости <ei,e2> на углы «риф, — пово-
рот в плоскости <вг, взУ на угол Ф.
4.4.12. Пусть V — пространство эрмитовых матриц по-
рядка 2 над полем R и (А, В) = tr АВ (А, В е V).
Доказать, что
а) V — евклидово пространство с ортонормирован-
ным базисом
а __ 1 111 011 1 110 111 1 Я Oil
1 vrllo- ИГ в2 V2I11 0||’ 03 Л/2’|-ЮГ
б) оператор, определенный правилом Х>—>АХ(Л (Хе
е V), где А — унитарная матрица, является ортогональ-
ным;
в) для всякого ортогонального оператора з£ в про-
странстве V существует такая унитарная матрица по-
рядка 2 с определителем 1, что з£(Х) = АХ*А для всех
А’е V.
из
4.4.13. Доказать, что всякий ортогональный оператор
в евклидовом пространстве является произведением
отражений относительно гиперплоскостей и минимальное
число множителей равно коразмерности подпространства
Кег(^ — ^).
4.4.14. Доказать, что если $— положительные са-
мосопряженные операторы, и оператор орто-
гонален (унитарен), то Ф — ё>.
4.4.15. Представить в виде произведения положитель-
ного симметрического и ортогонального операторов опе-
ратор, заданный в некотором ортонормированием базисе
матрицей:
а) 112—1[1 б) || 1 —4|| в) || 4-2 2||
||2 111’ || 1 4||’ 4 4-1
11—2 4 21|
4.4.16. Доказать, что в разложении — опера-
тора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, где $—
неотрицательный симметрический (эрмитов) оператор,
— ортогональный (унитарный) оператор, оператор Я
определен однозначно.
4.4.17. Доказать, что для всякого унитарного опера-
тора и любого натурального числа k существует унитар-
ный оператор SS, являющийся многочленом от и та-
кой, что <%k = S.
4.4.18. Доказать, что всякая унитарная матрица яв-
ляется произведением вещественной ортогональной и
комплексной симметрической матриц.
4.4.19. Пусть V — комплексное векторное простран-
ство со скалярным произведением (в поле С рассматри-
вается тождественный автоморфизм). Доказать, что для
любого симметрического оператора в пространстве V
существует жорданов базис, в котором матрица скаляр-
ного произведения клеточно-диагональна с клетками
того же размера, что и жордановы клетки матрицы опе-
ратора и имеющими вид
О 0 ... О 1
О 0 ... 1 О
0 1 ... о о
1 о ... о о
4.4.20. Доказать, что собственные значения косоэрми-
това оператора являются чисто мнимыми.
144
4.4.21. Доказать, что линейный оператор в эрмито-
вом пространстве является косоэрмитовым тогда и толь-
ко тогда, когда =/Ж где & — эрмитов оператор.
4.4.22. Доказать, что всякий оператор в евклидовом
(эрмитовом) пространстве является суммой симметриче-
ского и кососимметрического (эрмитова и косоэрмитова)
операторов.
4.4.23. Доказать, что оператор в евклидовом про-
странстве V кососимметричен тогда и только тогда, когда
для любого V векторы х и s£x ортогональны.
4.4.24. Доказать, что матрица кососимметрического
оператора в двумерном евклидовом пространстве в лю-
бом ортонормированием базисе имеет вид
|°”Si <»sR>-
4.4.25. Доказать, что для всякого кососимметриче-
ского оператора в евклидовом пространстве существует
ортонормированный базис, в котором его матрица имеет
клеточно-диагональный вид, где по главной диагонали
стоят нули или клетки вида
Глава 5
ТЕНЗОРЫ
§ 1. Основные понятия
В этом параграфе V — n-мерное векторное простран-
ство, п 2, (вь еп)—базис У, (е1, ..., еп) — сопря-
женный базис пространства V*.
5.1.1. Какие из следующих тензоров, заданных своими
координатами, разложимы:
а) 1,-1/; б) /,'=«„/; в) /« = !' + /;
г) д) е) /т = бЛД,?
5.1.2. Найти значение F(v,f) тензора
F = е1 ® е2 + е2 ® (а, + Зе3) е Т} (У),
где v = ei + 5е2 -f- 4е3, f = е‘ + е2 + eV
145
5.1.3. Найти значение тензора А ® В — В® A s T°(V)
от набора (yi...у5):
а) А *= е1 ® е2 + е2 ® е3 + е2 ® е2 е Т° (У),
В = е1®е1®(е1-е3)е=Т«(У)>
t»i — <?!,. v2 = eI + е2, у3 = е2 + е3,
у4 = у5 == е2;
б) Л==е1®е2 + е2®е3 + е3®е1еТ0(У), В е T»(V),
все координаты тензора В равны 1, t»i = ei + е2, v2 =
= е2 + е3, у3 = е3 + у4 = у5 = е2.
5.1.4. Найти значение F(v, v, v, f, f) тензора F e T|(V),
если все координаты тензора F равны 3, у = ei + 2е2 +
+ Зе3 + 4е4, f = е1 — е4.
5.1.5. Найти координату ?}23 тензора TeT3(V), все
координаты которого равны 2, в базисе
(ё1, ё2, ё3) = (<?р е2, е3)
1 2 з
о 1 2
о о 1
5.1.6. Найти координаты с индексами 1, 2, 3, 3, 3 про-
изведений А® В и В® А тензоров
Д = е1®е24-е3® е’еТ»^),
В = В(Ур о2, о3)еТ°з(Ю.
где В(У1, у2, у3) — определитель, составленный из коорди-
нат уь v2, ь'з в базисе (вь е2, е3).
5.1.7. Найти координаты:
a) t2i тензора е1 ® е2® (е( + е?) е T2(V) в базисе
(ёр ё2) = (<?!, е2)|з *[:
б) ?!2 тензора TeTf(V), все координаты которого
равны 1, в базисе
(?i. ё2) = (вр е2)1]2
в) ?3i тензора е2 ® е1 ® е3 ® et + е3 ® е3 ® et ® е2 е Т2 (V)
в базисе
II1 0 °!1
(ёр ё2, ё3) = (бр е2, е3) 2 1 о .
||3 2 1||
/ 146
5.1.8. Найти координаты тензоров:
a) (ei + e2)®(ei — е2);
б) (£1 + ^2)®(е1 + 62);
в) (ei + 2е2) ® (^1 + вг) — (^1 4* е2) ® (е\ + 2е2);
г) (ei И- 2вг)® (ез 4~ е4)— (at — 2е2)® (аз— а4).
5.1.9. Пусть п = 4, Г = е1 ® е2 + е2 ® е3 4- е3 ® е4 е
е Т, (V). Найти все такие
a) f е V*, что Т (и, f) = 0 для любого v е V;
б) v е V, что Т (о, f) = 0 для любого f е V*.
5.1.10. Пусть п = 3, К = Zp, Т = е1®е24-е2 ® е3 е
еТ1 (Ю- Найти число пар (v, f) е V X V*, для которых
T(v, f) = o.
5.1.11. Найти ранг билинейных функций:
а) (а1 + е2) ® (а1 + а3) — е1 ® е1 — е2 ® е2;
б) (а1 — 2а3) ® (а1 + Зе2 — а4) + (а1 — 2е3) ® а4;
в) (а1 + е3)®(е2 + а4) —(а2 —е4)®(а1 — е3).
5.1.12. Доказать, что
а) ранг билинейной функции и ® V, где элементы и,
v Е V* отличны от 0, равен 1;
k
б) ранг билинейной функции где ult ...
1 — 1
..., Uk, v\, ..., vk E 17*, не превосходит k.
5.1.13. Найти полную свертку тензоров:
a) (ei + За2 — е3) ® (а1 — 2а3 + Зе4) — (е/4- <?з) ®
®(е' — Зе34-а4);
б) (е14-2е24-3ез)®(е14-в2 —2е3)—(ai —е2 4- е4)®
®(е2 —2е3 —Зе4);
в) ei ® (а1 4- а2 4- а3 4- е4) 4- е2 ® (а1 4- 2е2 4- 2е3 4-
4- 4е4) 4- 2е3 ® (а1 — а2 — а4).
5.1.14. Пусть а: V* ® VL(V) — канонический изо-
морфизм. Вычислить при n = 4 a(t)v, где
a) t = el ® е3, v = ei 4~ 4~ £з 4~
б) t = (а1 4~ б2) ® (вз 4- е4), v = 2ej 4- Зе2 4” 2е3 4~ Зе4.
5.1.15. Найти хе V*® V такой, что а(х)=а(/)2 для
t, равного
а) (2а1—а3) ® (ei 4-е2);
б) е1®е24-(е14-2е2)®е3.
147
5.1.16. Пусть на пространстве V задано скалярное
произведение с матрицей
2 10 0
110 0
0 0 11
0 0 12
Провести опускание и подъем индексов у тензоров:
а) е1 ®е3 + е2® е4;
б) (е1 + ®2) ® («з + е4) — (е1 + в3) ® ед
в) t} = S2< + г) tf == /S/у.
5.1.17. Доказать, что если оператор st диагонализи-
руем, то оператор также диагонализируем.
5.1.18. Пусть а — след оператора st, d— его опреде-
литель. Найти:
a) tr ® st\ б) в) det st ® st.
5.1.19. Найти жорданову форму матрицы оператора
st ® 3S, если матрицы операторов st и имеют соответ-
ственно жорданову форму:
а) II1 1II 1 110 0 0 2 0 |о 0 3 б) II1 1II ; Цо 111’ 1|2 1Ц. ||о 2||’
1)0
в) II1 111 0 1 0 /
||о 11г 0 0 1
0 0 0
§ 2. Симметрические и кососимметрические тензоры
5.2.1. Установить изоморфизм пространств (Т?(У))* и
Т’(Ю-
5.2.2. Доказать следующие свойства операторов Sym
и Alt в пространстве То(У):
а) пересечение ядер Ker Sym и KerAlt равно нулю
при q = 2 и отлично от нуля при q > 2;
б) Sym• Alt = Alt-Sym = 0;
в) оператор 9 = — Sym) — Alt)—проектирова-
ние.
Найти ранг 9* при q = 3.
5.2.3. Доказать, что, если основное поле имеет харак-
теристику 0, то линейная оболочка тензоров вида Vя
(v е V) совпадает с S*(V).
5.2.4. Доказать, что алгебра S(V) не имеет делите-
лей нуля.
148
5.2.5. Установить изоморфизм:
a) S4lzi®V2) и
б) и ®
5.2.6. Доказать, что при dim V > 2 пространства
Д2(Л2(Ю ) иЛ4(У) не совпадают.
5.2.7. Доказать, что для любой невырожденной били-
нейной функции f на пространстве V существует невы-
рожденная билинейная функция F на пространстве A2V,
для которой
v3 л о4)=detiij!*’
v 1 '4 2 4 4 II f (V2, Оз) f (Vi, vt) II
5.2.8. Найти след оператора А’(з^) по его матрице S&:
а) 1 1 °|| б) 1—2 0 0
0 2 2 ( 0 0 з|| (9 = 2); 1 4 0 0 0 0-4 4 0 0—3 1 (9 = 4);
в) 10 12 0 2 10 10 10 0 0 13 (9 = 2, 3).
5.2.9. Найти жорданову форму матрицы оператора
Л2(л$), если матрица имеет жорданову форму:
а) 1 1 0 0 б) 2 1 0 0 в) 2 0 0 0 0
0 1 1 0 0 2 0 0 0 —2 0 0 0
с 0 1 1 0 0 3 1 > 0 0 —2 0 0
0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
5,2.10. Доказать, что если trA’(^/) = O для всех
q > 0, то оператор нильпотентен.
5.2.11. Доказать, что в п-мерном пространстве V не-
нулевой оператор вида An-1(^/) на An-1(V) либо невы-
рожден, либо имеет ранг 1.
5.2.12. Доказать, что ^-мерное подпространство
\ ~ V инвариантно относительно линейного оператора
тогда и только тогда, когда №W инвариантно относи-
тельно Afc(^).
5.2.13. Доказать, что бивектор | разложим тогда и
Только тогда, когда £ А | — 0.
149
5.2.14. Доказать, что для g е AP(V)', х <= V равенство
| Л х = 0 выполняется тогда и только тогда, когда g sa
= х Л т) для некоторого ц е A₽_1 (V).
5.2.15. Пусть | е Лр (У)—ненулевой р-вектор и W ==
={х s V | £ Л х = 0}. Доказать, что
a) dim W р;
б) dim W — р тогда и только тогда, когда g разло-
жим;
в) наименьшее подпространство, в р-й степени которо-
го лежит р-вектор |, есть U = {g(v, ..., Ур-i) | v, е V*}.
г) dim U р, причем dim U = р тогда и только тогда,
когда g разложим.
5.2.16. Доказать, что для всякого бивектора geA2(V)'
существует базис (е\, ..., еп) пространства V, для ко-
торого
| — ei А Ё2 4- е3 А в4 + ... + eft_i Л в*
при некотором четном k.
5.2.17. (Лемма Квартана.) Пусть система уь ..., ок
векторов пространства V линейно независима и 6, ...
..., tk е V. Доказать, что Vi !А ti + • • • 4- Vk Л h = О
тогда и только тогда, когда Л, ..., tk е <»i.у*>, и
ь
матрица, составленная из элементов ац, где/г = X ациц —
симметрическая.
5.2.18. Доказать, что внутреннее умножение /(у*), где
о* е V*, является дифференцированием алгебры S (V).
5.2.19. Доказать, что операторы внутреннего умноже-
ния i (oj) и i (уэ) (о*, t»2 е V*) коммутируют в алгебре
5(У) и антикоммутируют в алгебре A(V).
Глава 6
АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Аффинные пространства
6.1.1. Доказать, что для любых точек а, Ь, с аффин-
ного пространства ab 4- Ьс = ас.
6.1.2. Доказать, что если S Х; = 0, то для любых то-
г-1
k ____
чек ai, .... ak аффинного пространства вектор У
i=i
не зависит от точки а.
150
k
6,1.3. Доказать, что если 2^ = 1, то для любых
точек «1» •••> аффинного пространства точка
k л,
(обозначаемая не зависит от
точки а.
6.1.4. Пусть (Р, U) — аффинное подпространство (пло-
скость) аффинного пространства. Доказать, что
a) U ={pq\p,q^Py,
б) р — Р + U для любой точки ре Р.
6.1.5. Доказать, что пересечение любого семейства
плоскостей аффинного пространства либо пусто, либо
является плоскостью.
6.1.6. Пусть S — непустое подмножество аффинного
пространства А. Доказать, что ___
а) подмножество <S> — а + <{ах|х е S}>, где а е S,
не зависит от а и является наименьшей плоскостью, со-
держащей S;
Z* k к .
б) (S) = ) У ЛjOj У, Л/ = 1, at е= S, k е N
V=1 i=l
6.1.7. Доказать, что подмножество аффинно независи-
мого множества аффинно независимо.
6.1.8. Доказать, что любое максимальное аффин-
но независимое подмножество множества S в аф-
финном пространстве содержит k -f- 1 точек, где k »
= 1 + dim<S>.
6.1.9. Пусть в аффинном пространстве (Л, V) заданы
две системы аффинных координат: {а,в\, ..., еп) и
(a, e'h ..., е'п), (аь ..., а„)— координаты точки а' в
первой системе и В =|[6i/ll—матрица перехода от базиса
(ei, еп) к базису (е\, ..., е'п) в векторном про-
странстве V. Выразить координаты (xi, ..., хв). точки
х<=А в первой системе через ее координаты (х{, ...» хв)
во второй системе и наоборот.
6.1.10. Найти систему уравнений и параметрические
уравнения, задающие аффинную оболочку множества:
а) {(—1,1,0,1), (0,0,2,0), (-3,-1,5,4),
(2,2,-3,-3)};
б) {(1,1,1,—1), (0,0,6,—7), (2,3,6,—7),
(3,4,1,-1)}.
151
6.1.11. Пусть di— (ал, Clin) (/ = 1, ..., $)— точ-
ки в /i-мерном аффинном пространстве. Доказать нера-
венство
rk||az/|| — 1 dim <ab ..., as) < rk||a/7||
и указать условия, при которых в левой или правой части
достигается равенство.
6.1.12. Доказать, что любые две прямые в аффинном
пространстве содержатся в трехмерной плоскости.
6.1.13. Пусть Pi = ai + Lb Р2=а2 + Р2— две пло-
скости в аффинном пространстве. Доказать, что _____
a) Pi П Р2 = 0 тогда и только тогда, когда «]П2 s
(ЕЕ Z-i “р
б) если Pi П Р^ =# 0, то
dim <Pi (J f>2> = dim Pi + dim P2 — dim(Pj f|P2);
в) если P] П P2 ~ 0, to
dim <Pj (J P2> — dim Pi + dim P2 — dim (Ц П P2) + 1.
6.1.14. Доказать, что для любых плоскостей Рь ...
».., Ps аффинного пространства
dim<Pi(J ... (J Ps>^ dim Pi + ... + dim P$ + s—1.
6.1.15. Доказать, что степень параллельности двух
непересекающихся плоскостей Рь Р2 равна:
а) наибольшему из чисел k, для которых существуют/
параллельные плоскости Qi Pi и Q2 Р2 размерности А; '
б) наибольшей размерности плоскости, содержащей-
ся в Pi и параллельной Р2, если dim Pi 2$: dim Р2.
6.1.16. Найти размерность аффинной оболочки объ-
единения плоскостей Pi и Р2 и размерность их пересече-
ния или степень их параллельности, если
а) Рр ЗХ1Ч-2х24'2хзЧ“2х4=:2,
2х1Ч-Зх2+2х3+5х4=3,
Р2: 2х1+2х2+Зхз+4х4=5,
5х! - - х2+Зх3 —- 5х4—2;
б) Рр 2х1+Зх24-4х3+5х4=6, Р2: Xj=1— /р
6х1+5х2+4х3+Зх4=2, x2=1+2/i-H2,
х3=1—2/1Ч-2/2.
x4=1+/1i+A2;
152
х2=3+2/2,
х3=5+4/2,
Х4=4+3/1+2/2,
xs=2+/i+2/2
Л: Xi=l+2/p Ps: xi——6-[-4/,
х2=2+3/,
*з=2+7/,
х4——2+5/,
х3==—3+3/.
6.1.17. Пусть Pi = ai + Li и Р2 — а2 + L2 — две не-
пересекающиеся плоскости. Доказать, что минимальная
размерность плоскости, содержащей Р\ и параллельной
р2, равна
dim Pi + dim Р2 — dim (Ц П L2)
6.1.18. Пусть Pi, Р2 — две плоскости в йффинном про-
странстве А над полем К, <PilJP2> =Л, Pi П ^2 = 0 и
пусть X— фиксированный элемент из К, Х+=0,1. Найти
геометрическое место точек kai +(1—к)а2, где ai и а2
пробегают соответственно Р\ и Р2.
6.1.19. Пусть Pi — at + Ц и Р2 = а2 + L2— скрещи-
вающиеся плоскости в аффинном пространстве. Дока-
зать, что для любой точки b ф Р\ U Р2 существует не бо-
лее одной прямой, проходящей через b и пересекающей
Р] и Р2, причем такая прямая существует тогда и только
тогда, когда b е <Pi (J Р2>, но aib ф. L\. + L2 и а2Ь ф.
^Li + L2.
6.1.20. Найти прямую, проходящую через точку b и
пересекающую плоскости Pi и Р2:
а) Ь = (6, 5, 1, -1),
Рр — Xi + 2х2 + х3 = 1, Р2: Xi = 4 + t,
*1+ х4=1, , х2 = 4 + 2/,
*з = 5 + 3/,
х4 = 4 + 4/;
б) Ь = (5, 9, 2, 10, 10),
Рр *i — х2 — х4 + х5 = 2, Р2: ^ = 3,
*1 — *3 — *4"b*5=l> -Х2 = 2 —f— 6/д —|— 5/2,
5х, + Зх2 — 2х3 — xs = 0, х3 = 0,
х4 — 5 + 4/1 + 3/2,
*5 = 6 + /] + 2/2;
в) b = (6, -1, -5, 1),
Pi; Xl = 3 + 2/, Р2: —6х| + 2х2 - 5х3 + 4х4 = 1,
х2 == 5 — /, 9xi ~ *2 + 6х3 — 6х4 — 5.
х3 = 3 — /,
х4 = 6 + /,
153
6.1.21. Пусть a0,ai,...,an — аффинно независимые
точки n-мерного аффинного пространства А. Доказать,
что всякая точка а е А единственным образом представ-
п п
ляется в виде а= У Azaz, где £ Az = 1.
i-0 i-0
6.1.22. Пусть (a0,ei..еп) — аффинная система ко-
ординат в аффинном пространстве (Д, V), а, = а0 4* ez
(i=l, ...» п). Найти барицентрические координаты
точки х = (xi, ..., хп) относительно системы точек
#0, • • • > О'П-
6.1.23. Пусть (Д, V)—аффинное пространство над по-
лем К, ]Х| 3, Р — непустое подмножество в Д. Дока-
зать, что Р является плоскостью тогда и только тогда,
когда вместе с любыми двумя различными точками а,
b е Р в Р содержится прямая <а, 6>. Верно ли это
утверждение, если К — поле из двух элементов?
6.1.24. Доказать, что всякое аффинное преобразова-
ние, дифференциал которого не имеет собственного зна-
чения 1, обладает неподвижной точкой.
6.1.25. Доказать, что для любых двух точек а, b аф-
финного пространства (Д, V) и любого невырожденного
линейного оператора в пространстве V существует
единственное аффинное преобразование f, удовлетворяю-
щее условиям f(a)= b и Df = s/.
6.1.26. Доказать, что для любых аффинных преобра-
зований fug
D(fg} = Df.Dg.
6.1.27. Пусть f — аффинное отображение аффинного
пространства А в аффинное пространство В над полем К.,
аь ..., flsG Д, ai, ..., as <= К. Доказать, что
S / S \ 5
а) если У at — 1, то f I У, azaz) = У aj (az);
>=i \/-i / I-1
S / S X S
б) если У а/ = 0, то Df I У a/zz I = У a J (а^.
\i=i / i=i
6.1.28. Пусть f — аффинное преобразование аффин-
ного пространства (Д, V) над полем К, имеющее конеч-
ный порядок п. Доказать, что если char КАп, то f имеет
неподвижную точку. Верно ли это» если char
6.1.29. Доказать, что если G — конечная группа аф-
финных преобразований над полем К и char К Д' | С? |» то
преобразования из G обладают общей неподвижной
точкой.
154
6.Г.30. Пусть ао, ai, ..., ап и Ьо, bi, .... Ьп — два на-
бора аффинно независимых точек в n-мерном аффинном
пространстве А. Доказать, что существует единственное
яЛЛинное преобразование f: А->А, при котором f(at) =
==Х (1 = 0,1.....п).
6.1.31. Найти все точки, прямые и плоскости трехмер-
ного аффинного пространства, инвариантные относитель-
но аффинного преобразования, переводящего точки
ао, а\, йз в точки ^о, bi, Ьг, Ьз соответственно:
а) аэ = (1, 3, 4), а1 = (2, 3, 4),
fl2 = (l, 4, 4), аз = (1, 3, 5),
6о==(3, 4, 3), &, = (8, 9, 9),
62 = (-2, -2, -6), 63 = (5, 7, 8);
б) йо — (3» 2, 3), = (4, 2, 3),
а2 = (3, 3, 3), а3 = (3, 2, 4),
Z>o = (2, 4, 6), &! = (!, 8, 12),
Ь2 = (-1, -5, -1), Ь3 = (6, 12, 11);
в) а0 = (2, 5, 1), а, = (3, 5, 1),
02 = (2, 6, 1), аз = (2, 5, 2),
&о = (3, 7, 3), &! = (6, 11, 6),
62 = (5, 17, 9), 63 = (0, -5, -4);
г) ао = (2, 5, 4), а, = (3, 5, 4),
а2 = (3, 6, 4), а3 = (2, 5, 5),
Ьо = (1, 6, 6), &1 = (8, 16, 18),
&2 = (—11, -13, -18), &3 = (7, 16, 19)
6.1.32. Доказать, что две конфигурации {Pi, Pt} и
{Qi. Qa} в аффинном пространстве аффинно конгруэнтны
в том и только том случае, если
dim Pt = dim Qb dimP2 = dimQ2,
dim<PIUP2>=dim<Q1UQ2>,
и обе пары имеют одновременно пустое или непустое
пересечение.
6.1.33. Существует ли аффинное преобразование, пе-
реводящее точки а, Ь, с соответственно в точки ai, bi, Ci,
а прямую I — в прямую It, если
а) а = (1,1, 1,1), &=(2, 3,2,3), с = (3,2,3,2)\
/ = (1,2,2,2) + (0,1,0,1)/,
oi=(—1, 1,—1,1), bi =(0,4,0, 4),
ci=(2,2,2,2), /1=(—1,2,0,3}+ (1,-5, 1,—б)*;
155
б) а=(2,—1,3,— 2), b =(3,1, 6,-1),
с=(5,1,4,1), / = (2,0,4,—1) + (0, 1,2,0)/,
Я1 =(1,— 2,3,5), bi = (2, 1,8,7),
ci=(3, 2, 10,-6),
/1 =(1,—1,5, —2) +'(0,2,3, —3)/;
в) а = (2, -1, 2, 2), Ь = (5, -4, 0, 3),
с = (4, 4, 6, 8),
/ = (7, 4, 10, 9) + (4, 4, 5, 6)/,
Я! = (1, 3, 2, —2), = (4, —2, 0, 0),
с, = (-3, 10, 6, 2),
/, = (5, -6,-1, 5) + (2, -6, -3, 2)/?
6.1.34. Существует ли аффинное преобразование, пе-
реводящее точки а, Ь, с, d соответственно в точки at, bi,
Ь, di, а прямую / — в прямую /1, если
а) а = (1, 2, 3, 4), а{ = (1, -1, 4, 2), Ь — (1, 3, 3, 4), &! = (2, -2, 5, 3), с = (1, 2, 2, 4), q = (2, 0, 3, 3), </ = (!, 2, 3, 3), d, = (2, 0, 5, 1), / = (-3, 2, 4, 1) + (2, 1, -1, —2)/, /( = (1, -5, 2, -12) + (1, 1, 1, 1)/;
б) а = (—3, 0, 2, 4), а, = (-1, 1, 2, 3), /> = (—3, 1, 3, 5), bi = (1, -4, 3, 5), с = (—2, 0, 3, 5), ci — (-4, 8, 1, 7), d = (-2, 1, 2, 5), = (4, —8, 4, 10),
/ = (-1, 5, 5, 6) + (1, 1, 1, 0)/,
• /1==(4, 5, -1, 1) + (4, -6, 1, 2)/?
6.1.35. ,Пусть аффинное пространство А равно (Pi (J Р<2),
где Р\ и Р2 — скрещивающиеся плоскости, и G — под-
группа в аффинной группе пространства А, состоящая
из преобразований, оставляющих инвариантными Pi и
Р2. Найти орбиты действия G на А.
6.1.36. Пусть (Д, V) — аффинное пространство надпо-
лем К. Биективное отображение f; А-^А называется кол-
линеацией, если для любых трех точек а, Ь, с е А, лежа-
щих на одной прямой, точки f(a), f(b), f(c) также ле-
жат на одной прямой. Доказать, что если |К|^ 3, то
образ и полный прообраз плоскости Р s А при колли-
неации f: Д->Л являются плоскостями той же размер-
ности, что и Р. Верно ли это утверждение, если | = 2?.
156
6.1.37. Пусть V — векторное пространство над полем
К Отображение <р: VV называется полулинейным от-
носительно некоторого автоморфизма о поля К, если
ф(х + у) =<Р(*)+<₽(«/), ф(ах) = о(а)ф(х),
где х, y^V, а е К.
П о лу аффинным преобразованием аффинного про-
странства (А, V) называется пара (f,Df), где f: Л->Л,
pj. V, удовлетворяющая условиям:
1) Df — биективное полулинейное отображение отно-
сительно некоторого автоморфизма поля /<;
2) f(a + v) — f(a) +Df(v) для любых ае.4, ysV.
Доказать, что
а) полуаффинное преобразование является коллинеа-
цией;
б) если (Л, V)—аффинное пространство над полем К
и |Л’|^ 3, то всякая коллинеация f: Л->Л является по-
луаффинным преобразованием.
6.1.38. Пусть (В, U) — плоскость аффинного простран-
ства (Л, V) и W— подпространство пространства V, до-
полнительное к U. Доказать, что всякая точка а е Л
единственным образом представляется в виде а = b + w,
где 6 еВ, ® Е У, и что отображение а^—^Ь (проектиро-
вание на В параллельно №) является аффинным отобра-
жением пространства (Л, V) в пространство (В, U).
§ 2. Выпуклые множества
6.2.1. Доказать, что всякая плоскость аффинного про-
странства является пересечением конечного числа полу-
пространств.
6.2.2. Доказать, что подмножество плоскости Р аф-
финного пространства Л является выпуклым многогран-
ником в Р тогда и только тогда, когда оно является вы-
пуклым многогранником в Л.
6.2.3. Пусть выпуклый многогранник М в аффинном
пространстве задается системой линейных неравенств
/,• (х) О (i — 1, ..., k', fi const).
Доказать, что для всякого непустого подмножества
•••>&} множество М1, задаваемое условиями
/.(х) = о При i е Q ПрИ i если оно непусто,
является гранью многогранника М и, обратно, всякая
157
грань многогранника М имеет вид М1 для некоторого
множества /s {1.......k}.
6.2.4. Пусть Яо, 0i, ..., ап — точки n-мерного аффин-
ного пространства, находящиеся в общем положении,
Hi (/ = 0,1, п) — гиперплоскость, проходящая через
все эти точки, кроме nHt — ограничиваемое ею полу-
пространство, содержащее точку Доказать, что
п
convfcz0, • • •» ап}= П И*.
1-0
6.2.5. Доказать, что грани n-мерного симплекса
conv{a0, а\, ..., ая}—это выпуклые оболочки всевоз-
можных собственных подмножеств множества {а0, ai,...
.... ап}.
6.2.6. Найти грани «-мерного параллелепипеда, за-
падного в некоторой системе аффинных координат нера-
венствами 0 < х, 1 (i = l, 2, ..., «}.
6.2.7. Найти вершины и описать форму выпуклого
многогранника в трехмерном аффинном пространстве,
Задаваемого неравенствами
Xi 1, х2 1, х3 sC 1,
Х1+х2^—1, Х1 + Хз —1, Х2-}-Хз —1.
6.2.8. Найти вершины и описать форму сечений четы-
рехмерного параллелепипеда, заданного неравенствами
О х,1 (i = 1, 2, 3, 4), плоскостями:
a) Xi + х2 + х3 + х4 = Г, б) xi + х2 + х3 + х4 = 2;
в) Xi-}-х2 4-х3 = 1; г) xi + х2 = ХзЧ-Х4 = 1.
6.2.9. Доказать, что замыкание выпуклого множества
выпукло.
6.2.10. Доказать, что открытое ядро М° телесного вы-
пуклого множества М выпукло и его замыкание содер-
жит М.
6.2.11. Доказать, что образ и полный прообраз выпук-
лого множества при аффинном отображении являются
выпуклыми множествами.
6.2.12. Доказать, что
а) при сюръективном аффинном отображении пол-
ный прообраз гиперплоскости является гиперплоскостью;
б) полный прообраз полупространства является по-
лупространством.
158
6.2.13. Доказать, что выпуклая оболочка множества S
k
состоит из всевозможных комбинаций вида У, Лгаг, где
1 = 1
k
a^S, Л<>0 (/=1, ...» k), £ Л£=1.
6.2.14. Пусть М— выпуклое множество иаеМ, До-
казать, что
conv (Л1 (J {а}) = (J ab.
ъ^м
6.2.15. Пусть S — подмножество '«-мерного аффин-
ного пространства А. Доказать, что если <S> = X, то
convS есть объединение п-мерных симплексов с верши-
нами в точках множества S.
6.2.16. Доказать, что выпуклая оболочка компактного
множества компактна.
6.2.17. Пусть М — выпуклое подмножество двумер-
ного аффинного пространства и Доказать, что
через точку а можно провести прямую так, что множе-
ство М будет лежать по одну сторону от нее.
6.2.18. Пусть М — выпуклое подмножество «-мерного
аффинного пространства А и а — точка, не принадлежа-
щая М°. Доказать, что через точку а можно провести
гиперплоскость так, что множество М будет лежать по
одну сторону от нее.
6.2.19. Доказать, что через любую точку замкнутого
выпуклого множества, не принадлежащую его откры-
тому ядру, можно провести опорную гиперплоскость.
6.2.20. Доказать, что всякое замкнутое выпуклое мно-
жество М есть пересечение (вообще говоря, бесконечного
числа) полупространств.
6.2.21. Доказать, что всякий замкнутый выпуклый ко-
нус в векторном пространстве есть пересечение (вообще
говоря, бесконечного числа) полупространств, границы
которых проходят через нуль.
6.2.22. Пусть ft (i = l, ..., k)—аффинные линейные
Функции на аффинном пространстве А. Доказать, что си-
стема неравенств (i = l, ..., k) несовместна
тогда и только тогда, когда существуют такие числа
k
0, что У Ktft есть положительная константа.
6-2.23. Пусть М — компактное выпуклое множество,
содержащее окрестность нуля, в векторном пространстве
159
V, рассматриваемом как аффинное пространство, и пусть
1 для всякого х Л4}.
Доказать, что
а) 7И* — компактное выпуклое множество в простран-
стве У*, содержащее окрестность нуля;
б) М**=М при каноническом отождествлении про-
странства V** с V.
6.2.24. Доказать, что всякое компактное выпуклое
множество совпадает с выпуклой оболочкой множества
своих крайних точек.
6.2.25. Доказать, что максимум аффинной линейной
функции на компактном выпуклом множестве достигает-
ся с некоторой крайней точке (но, может быть, дости-
гается и в других точках).
6.2.26. Доказать, что крайние точки выпуклого много-
гранника — это его вершины.
6.2.27. Доказать, что всякий ограниченный выпуклый
многогранник совпадает с выпуклой оболочкой множе-
ства своих вершин.
6.2.28. Доказать, что выпуклая оболочка конечного
числа точек является выпуклым многогранником.
6.2.29. Задать системой линейных неравенств выпук-
лую оболочку указанных точек четырехмерного аффин-
ного пространства и найти трехмерные грани этого вы-
пуклого многогранника:
а) 0 = (0,0,0,0), а =(1,0, 0,0),
b =(0,1,0,0), с = (1,1,0,0), d = (0,0, 1,0),
e=(0,0,0,l)J=(0,0,1,1);
б) О=(0,0,0,0), а = (1,0,0,0),
&=(0,1,0,0), с = (0,0,1,0),
d=(l,l,0,0), е=(1,0,1,0), f = (0, 1,1,0),
g=(l, 1, 1,0), й=(0,0,0, 1).
6.2.30. Пусть М и N— выпуклые множества в аффин-
ном пространстве (Л, V). Доказать, что
а) середины отрезков, соединяющих точки из М с
точками из W, образуют выпуклое множество в простран-
стве А;
б) векторы, соединяющие точки из М с точками из N,
образуют выпуклое множество в пространстве V.
6.2.31. Пусть М и N — непересекающиеся замкнутые
выпуклые множества в аффинном пространстве А и одно
из них ограничено. Доказать, что существует такая аф-
160
финная линейная функция f на пространстве А, что
f(x) < 0 при всех .vs М и f(y) > 0 при всех у е N.
6.2.32. Пусть М— компактное выпуклое множество в
аффинном пространстве A, N — компактное выпуклое
множество в векторном пространстве L всех аффинных
линейных функций на А и пусть для всякой точки а е М
найдется такая функция f^N, что f(a)^O. Доказать,
что существует такая функция fo&N, что f0(x)^Q при
всех А' Л1.
6.2.33. (Теорема двойственности линейного програм-
мирования.) Пусть F — аффинная билинейная функция
на прямом произведении аффинных пространств А и В
и пусть М и N — компактные выпуклые подмножества
пространств А и В соответственно. Доказать, что
a) max min F(x, t/) = min maxF(x, y)\
x 6 Al у /V у e N x e Af
б) существуют такие точки x0 e M, y0 e N, что при
всех x e M, у е N
F(х, у0) F(х0, Уо) С F(х0, у).
6.2.S4. Доказать, что
а) максимальное число частей (выпуклых многогран-
ников), на которое может разбиваться n-мерное веще-
ственное. аффинное пространство k гиперплоскостями,
равно
б) число частей - максимально тогда и только тогда,
когда пересечение любых m заданных гиперплоскостей
при т^п есть (п — т)-мерная плоскость, а при т =
= п 4- 1 пусто;
в) если число частей максимально, то число ограни-
« Г k — 1 \ <
ченных частей равно I п J.
§ 3. Евклидовы пространства
6.3.1. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы данный набор из неотрицательных ве-
щественных чисел служил набором расстояний между
а) п аффинно независимыми точками евклидова про-
странства;
б) п произвольными точками евклидова простран-
ства.
6 П'оД ред. А. И. Кострикнна
161
6.3.2. Существует ли в евклидовом пространстве на-
бор точек ai, az, аз, а 4, as, для которого матрица А есть
матрица расстояний ||р(а,-, а/) ||, и какова наименьшая
размерность пространства, в которое такой набор можно
поместить:
а) А —
б) А =
в) А =
0 1 2 2 2УГ
1 0 УГ УГ 3
2 УГ 0 2 УГ 2
2 УГ 2д/Г О 2 Уз
2У2 3 2 2 Уз" О
О 3 УГ У Г 2л/2
з о УП УП УП
УГ УП о УГ У17 ;
УГ УП УГ о з
2л/2 У17 УТ? 3 О
О 1 2 уг 1
1 о Уб 2 Уг
2 Уб о У17 1 ;
уг 2 У17 о УТо
1 УГ i УТо о
г)
4
А — Уб
уг
уг
уг уг уг
о гуГ гУГ
гУГ о 2
2УГ 2 о
2 2УГ 2УГ
Уб
2
гУГ
2УГ
о
6.3.3. Доказать эквивалентность следующих двух
свойств пары плоскостей {Р, Q} в евклидовом простран-
стве:
1) любая прямая, лежащая в одной из этих плоско-
стей, перпендикулярна любой прямой, лежащей в другой
плоскости;
2) плоскости Р, Q перпендикулярны и либо скрещи-
ваются, либо пересекаются в одной точке.
6.3.4. Пусть QcP — плоскости в n-мерном евклидо-
вом пространстве Е. Доказать, что любая плоскость
Р' с Е, перпендикулярная Р, для которой Р f) Р' = Q,
имеет размерность — dimP + dimQ и существует
единственная такая плоскость размерности п — dim Р +,
+ dim Q.
162
6 3 5. Пусть Р — плоскость в евклидовом простран-
стве и точка а &Р. Доказать, что
V а) существует единственная прямая, проходящая че-
рез точку а, пересекающая Р и перпендикулярная Р;
" g) если с — любая точка в Р и z — ортогональная со-
ставляющая вектора ас относительно направляющего
подпространства плоскости Р, то а + <z> — прямая, ука-
занная в а), а а + z— точка пересечения этой прямой
с Р;
в) p(a,P) = \z\.
6.3.6. В евклидовом пространстве найти прямую, про-
ходящую через точку а, пересекающую плоскость Р и
перпендикулярную Р, если
а) а = (5,-4,4,0),
Р = (2,—1,2,3) + <(1,1,1,2), (2,2,1,1)>;
б) а =(5,0,2,11),
Р: Х[ + 5х2 + х4= 10,
5х, -f- х2 -4- Зх3 -J- 8x4 e 1•
6.3.7. В евклидовом пространстве найти расстояние
от точки а до плоскости Р, если
а) а = (4, 1,-4,—5),
Р = (3, —2,1, 5) + < (2,3, —2, —2), (4,1,3, 2) >;
б) а =(1,1,-2,— 3,-2),
Р = (3,7,—5,4,1) + <(1,1,2,0,1), (2,2, 1,3,1)>;
в) а =(2,1, —3,4),
Р: 2%! — 4х2 — 8х3 + 13x4 = —19,
Х\+ х2 — х3 + 2х4=1;
г) а = (1, —3, —2, 9, —4),
Р: Xj — 2х2 — Зх3 + Зх4 + 2х3 = —2,
х( — 2х2 — 7х3 + 5х4 + Зх5 = 1.
6.3.8. В n-мерном евклидовом пространстве найти
расстояние от точки (bi.....bn) до гиперплоскости
£ aiXi = с.
6*
163
6.3.9. В пространстве многочленов со скалярным
произведением
(A g)= f{x)g{x)dx,
-1
найти расстояние от многочлена хп до подпространства
многочленов степени меньше п.
6.3.10. В пространстве тригонометрических многочле-
нов со скалярным произведением
л
if, g)= J f(x)g(x)dx,
-Л
найти расстояние от функции cos п+1х до подпростран-
ства <1, cosx, sinх, ..., cosnx, sinnx).
6.3.11. Пусть Р — плоскость в n-мерном евклидовом
пространстве Е. Доказать, что через всякую точку а е Е
проходит единственная плоскость Q размерности п —
— dim Р, перпендикулярная Р и пересекающая ее в од-
ной точке.
6.3.12. Найти в евклидовом пространстве плоскость
наибольшей размерности, проходящую через точку а,
перпендикулярную плоскости Р и пересекающую ее в
одной точке, если
а) а=(2, —1,3,5), '
Р = (7,2,— 3,4)+<(—1,3,2,1), (1,2,3,—1)>; .
б) а =(3, —2,1,4),
Р: 2Х]-|-Зх2— х3 — 2х4 = 4,
Зх, + 2х2 — 5х3 х4 = 5.,
6.3.13. Пусть Р4 — Ci + Li и Р2 = cz у|- Ь2 — две непе-
ресекающиеся плоскости в евклидовом пространстве,
и' г — соответственно ортогональная проекция и ортого-
ная составляющая вектора с\с2 относительно подпро-
странства L\ + L2 й пусть у = уг4* У2, где yi&Li,
у2^ L2.
а) Доказать, что прямая ci + i/i + <z> перпендику-
лярна плоскостям Pi, Р2 и пересекает Pi в точке + уь
& Р2 — в точке с2 — у2.
б) Найти расстояние p(Pi, Р2).
в) Установить биективное соответствие между
и множеством всех прямых, перпендикулярных Pi и Ръ *
пересекающих обе эти плоскости.
164
v Показать, что все прямые, описанные в в) , парал-
пьны между собой и что их объединение представляет
гпбой плоскость размерности dim(£t П^)+ 1.
С 6 3.14. В евклидовом пространстве найти расстояние
между плоскостями Pi и Р2, если
a) Pi ' xi + + хз + х4 = 3,
xt + Зх2 — х3 + 2х4 = 6,
Р2 = (0,2,6, -5)4- <(—7,1,1,1), (-10,1,2,3)>;
б) Рр —*1 + *2 + х3 + х4 == 3,
— Зх2 4- 2х3 4х4 = 4,
р2 = (1,3, -3,-1)4- <(1,0, 1)>;
в) Рр *i + хз 4- х4 — 2х5 = 2,
х2 4- х3 — х4 — х5 = 3,
Х[ — х2 4“ 2х3 • х3 = 3,
Р2=(1,— 2, 5,8, 2)4-<(0,1,2,1,2), (2, 1,2,—1, 1)>;
г) Рр xt — 2х2 4- *3 — х4 4* Зх5 = 6,
Х[ — х3 — х4 4- Зх5 = 0,
Р2= (—4, 3,-3, 2,4)4-<(2,0, 1, 1, 1), (—5, 1,0, 1, !)>.,
6.3.15. Точки ао, ai, .... ап в евклидовом простран-
стве расположены на одинаковом расстоянии d друг от
друга. Найти расстояние между плоскостями <ао, ...
..., aft> и <а*+1..апу.
6.3.16. Доказать, что конфигурации из двух плоско-
стей
{«! 4- £(, а2 4-£2) и {ai 4* Li, а2 4- £2}
в евклидовом пространстве метрически конгруэнтны тог-
да и только тогда, когда р (at 4- £р «2 4- Ц) == Р (fli 4* £ь
<i2 + L2\ и конфигурации подпространств (£i, £2},
{£|, £2} ортогонально конгруэнтны в соответствующем
евклидовом векторном пространстве.
6.3.17. Выяснить, являются ли заданные пары плоско-
стей в евклидовом пространстве метрически конгруэнт-
ными:
Р1 = (0, 9, 8, -12, 11)4-<(0, 2, 2, 2, 1), (3, 1, 1, 1, -1)),
^2^(-3, -4, -5, 11, -12)4-
+ <(7, 5, —5, -1, —5), (3, 5, -1, 11, 13));
165
Qi = (2, -5, -11, -8, -10)4-
+ ((2, -1, 1, -1, 1), (2, —2, 1, o, 1)}>
Q2 = (8, 8, 10, 9, 11) +
+ <(0, 3, 4, —4, -3), (14, —2, -5, 3, 4)).
/?i = (7, -3, -9, -14, 5) +
+ ((0, 0, 0, 1, 2), (2, -1, 2, 0, -6))
P2 = (0, 10, 9,14, —5) +
+ ((I, 7, 2, 0, 6), (4, -1, 0, 2, -2)).
6.3.18. Найти геометрическое место точек в евклидо-
вом пространстве, через которые можно провести пря-
мую, пересекающую плоскости Pi, Р2 и перпендикуляр,
ную этим плоскостям:
а) Р1=(1,2,—1,-9,—13)+<(2,3,7, 10,13),
(3, 5,11,16,21)>,
Р2: 3xt — 5х2 + 2х3 — х4 + х5 = —22,
2xj + 4х2 + Зх3 — х4 — Зх5 = —4,
9xi + 3x2+ х3 — 2х4 — 2х5= —138;
б) Pt = (3,7,2,4, —3) + < (2, 5,4, 5,3), (4,5,6, 3,3)>,
Р2: —3xi + 2х2 + х3 — 2х4 + х3 = —14,
6х] — х2 — 4х3 + 2х4 — х5 = 16,
2xi — х2 + 2х4 — Зх3 = 26.
6.3.19. Доказать, что
а) если движение евклидова пространства имеет две
скрещивающиеся инвариантные плоскости, то оно обла-
дает неподвижной точкой;
б) движение f «-мерного евклидова пространства,
имеющее неподвижную точку, имеет две скрещиваю-
щиеся инвариантные плоскости положительной размер-
ности, если f — собственное, О5и нечетно или f — не-
собственное, п 4 и четно.
6.3.20. Пусть {a0,ai, ..., as} и {&0, &i, .... М—два
набора точек в евклидовом пространстве. Доказать, что
движение, переводящее из точек а,- в точку существует
тогда и только тогда, когда
р (а,-, ау) = р (bi, bj) (i, j = 1, ..., s).
6.3.21. Доказать, что для всякого движения f евклй'
дова пространства совокупность точек а, на которых до*
стигается минимум расстояния p(a,f(a)), являетсяпло*
166
скостью, инвариантной относительно f, и что ограничение
f на эту плоскость есть параллельный перенос.
' 6.3.22. Доказать, что если у двух тетраэдров в трех-
мерном евклидовом пространстве соответствующие дву-
гранные углы равны, то эти тетраэдры подобны.
6.3.23. Дать геометрическое описание собственного
движения f евклидовой плоскости, если
а) оН-Ш 4):
®D'=vd'i“IP(0>"<1' '>
6.3.24. Дать геометрическое описание несобственного
движения f евклидовой плоскости, если
•)W-|J !!• «О)=(1, 0);
б)С/=4|4- -’I’ 'иИ|'-vs).
6.3.25. Дать геометрическое описание собственного
движения f трехмерного евклидова пространства, если
II 2 __1 21|
2 2 —1 , f (О) = (1, 0, —1);
1-1 2 2||
14 1-811
7 4 4 , f(O) = (-l, —7, 2);
4 -8 1II
||-2 3 6Ц
в) ^ = 4-|| 6-2 з, f(O) = (—2, 4, 1),
II 3 6 —211
6.3.26. Дать геометрическое описание несобственного
движения / трехмерного евклидова пространства, если
||4 1 —8||
a) Df = -A 7 4 4 , /(O) = (l, 1, -2);
h -s ill
12 2 — 11|
2-1 2 , f (О) = (4, 0, 2);
-1 2 2||
||_12 21|
-2 1 -2 , f (O) = (2, 0, 0);
I 2 2 -11|
167
II”2 3 6||
Г) £>/ = -Н 3 6-4 /(0) = (—3, 1, 2).
II 6—2 3||
§ 4. Гиперповерхности второго порядка
Обозначения и понятия, используемые в задачах
этого параграфа, содержатся в разделе «Теоретические
сведения», II.
6.4.1. Доказать, что для любых х, V выполняется
равенство
Ф(йо + % + у) = q(y) + 2f(X,y) + l(y)+Q(a0 + x).
6.4.2. Доказать, что если Ь = ад + v (и е V)— цен-
тральная точка квадратичной функции Q, то Q(b-^x) =
— Q(b— х) для любого хе V и линейная функция
у •-» 2f (v, у) + 1(у) нулевая.
6.4.3. Доказать, что множество центральных точек
(центр) квадратичной функции Q задается системой
уравнений = 0 (i= 1, п).
6.4.4. Доказать, что при переходе от аффинной си-
стемы координат (йо. £1, •••> еп) к системе координат
(й0, вь ...» вп) по формуле
матрицы квадратичных форм Q и q в новой системе ко-
ординат связаны с их матрицами в старой системе фор-
мулами
Aq^^AqT, Aq = fTAqT,
где
— матрица аффинной замены координат.
6.4.6. Доказать, что точки пересечения аффинной пря-
мой xft = 4 + rfe/ (k~l, .... п) и квадрики Q(xlt
..., хп) = 0 определяются значениями t, удовлетворяй*
1:68
ШИМИ уравнению
At2 + 2Bt + С = 0,
где п
A==q(r)= £ ацг^, C==Q(xl............х°),
i, / = 1
п п .
• «-£•$-«...........4)г,-£-(М+»<Ь
6.4.6. Найти центр квадратичной функции над полем
р заданной в некоторой аффинной системе координат:
п
а) 2 ^2 X}Xj "h 2 %i 4“
!</</<* *=1
б) х? + 2 Е xixj + 2 Е Xi + 1;
\<i<i<n i = l
rt-1 ‘
в) E xix’i + l + X1 + Xn 4" 1;
i— 1
r)txU.2 E XiXj + Xf
<==1
6.4.7. Две квадратичные функции Q;: A-+K (i= 1,2)
называются эквивалентными, если существует такое аф-
финное преобразование f: А-+А, что Q2(.x)== kQi(f(x))
для некоторого /. е^и всех хе Л. НайТи число клас-
сов эквивалентных квадратичных функций' над полем Z3,
если
а) размерность А равна двум;
’б) размерность Л равна трем.
6.4.8. Найти число классов эквивалентных квадратич*
вых функций на ц-мерном аффинном пространстве:
а) над полем С;
б) над полем R.
6.4.9. Пусть точка ао аффинного пространства (Л, V)
лежит на квадрике X и вектор ti е V определяет асимп-
тотическое направление. Доказать, что прямая х = ао +
+ tu либо целиком лежит на поверхности X, либо пере-
секает ее ровно в одной точке.
6.4.10. Пусть ие V — вектор неасимптотического на-
правления квадрики Xq, т. е. q{u)^=Q. Доказать, что се-
редины хорд квадрики Xq, параллельных вектору и, ле-
Жат в одной гиперплоскости, и найти ее уравнения.
.1.69
6.4.11. Доказать, что направление и не является
асимптотическим для квадрики X, заданной уравнением
в аффинных координатах, и найти уравнение гиперпло-
скости, сопряженной к этому направлению:
а) и = (1,1,1,1),
X: *1*2 + х2х3 + х3х4 — Xi — х4 = 0;
б) м=(1,0, .... 0,1),
Е х{х/4-х1 + х„=1.
6.4.12. Доказать, что если центр квадрики непуст, то
он содержится в гиперплоскости, сопряженной к любому
неасимптотическому направлению.
6.4.13. Доказать, что множество особых точек квад-
рики есть ее пересечение со своим центром.
6.4.14. Доказать, что особые точки квадрики, если
они существуют, образуют плоскость, и написать ее
уравнения.
6.4.15. Найти точки пересечения квадрики с прямой:
а) х| + х,х2 — х2х3 — 5х, = 0,
х2 — 5 ___________________ хз — 10 ф
X! — з 7 ;
б) 5x2 _J_ 9х2 + 9Х2 _ 12х,х2 - 6х,х3 + 12х1 - З6х3 = 0,
3 2 Хз 4’
в) xf — 2х| + х| — 2х,х2 — х2х3 + 4х,х3 + Зх, — 5х3==0,
6.4.16. Найти все прямые, лежащие на квадрике
х? + х| + 5х? — бх.х, + 2х,х3 — 2х.х3 — 12 — О
и параллельные прямой
xi — 1 _ х2 + з _
2 — 1 — Хз-
6.4.17. Найти прямые, проходящие через начало ко-
ординат и лежащие на комплексной квадрике x^4-3XjX24-
+ 2х2х3 — х,х3 + Зх, + 2х3 = 0. ..
6.4.18. Найти уравнение квадрики Q после переноса
начала координат в точку О':
170
a) Q: “1“ 4xtx2 2x2x3 4x^3 2x{
_Юх2 + 4х3 = 0, O' = (3, 0, 1);
6) Q: x* + 2x2 + X2 _ 4XjX2 + 6x,x3 - 2x,x3 + lOx, -
_5 = 0, O' = (-l> 1. 2).
6.4.19. Найти уравнение квадрики после переноса на-
чала координат в точку О';
а) П1^+1 + 2Д^+1=0, О' = (1, 1, .... 1);
б) £ xiXj + 2Xl+l=0, О' = (0, 1..........1);
в) У, х? 4* 4 У “Ь 2 2 х» = О,
' i_i ‘ 1<1<1<П i“l
О' = (1, 1, .... 1, 0).
6.4.20. Найти аффинный тип кривой, являющейся пе-
ресечением квадрики и плоскости:
а) Зх| + 4х| + 24х1 + 12х2 - 72х3 + 360 = 0,
Xi — х2 + х3= 1;
б) Х| + 5х| х2 2Xjx2 + 2x^3 +
4- 6XjX3 — 2х1 + 6х2 + 2х3 = 0,
2xi — х2 + х3 = 0;
в) х? — Зх? + х? — бх.х, + 2х,х, — Зх, + х3 — 1 = 0,
z 1 Л О L Лл kj А О
2xi — Зх2 — х3 + 2 = 0;
г) xj 4- х| + х| — 6Xj — 2х2 + 9 = 0,
•*1 + *2 — 2х3 — 1 = 0.
6.4.21. Найти аффинный и метрический тип квадрики,
заданной в евклидовом пространстве R"+1 уравнениями:
а) Ххг+ L xiXj + Х14- х„+1 = 0;
«“1
б) X xiXj + X! + х2 + ... + х„ = 0.
рик®-22. Найти центр и определить аффинный тип квад-
а) 4x2 + 2x2 4- 12x2 — 4х,х2 4- 8х2х3 4-
-f- 12Х1Х3 *4“ 14xi — Юхз *4* 7 = 0j
171
б) 5xj + 9х^ + 9х| — 12х(х2 — 6х(х3 + 12xi — З6х3 = q.
в) 5х; + 2х; + 2х? — 2х. х1 — 4х„х3 +
+ 2Х|Х3 — 4х2 — 4х3 + 4 = 0;
г) х? — 2x2 + х? + 6х„х, — 4х.х, — 8х, + 10х2 — 0.
z i Z О Z □ 1 и
6.4.23. Определить вид квадрики и ее расположение
относительно начальной системы координат, преобразуя
левую часть ее уравнений:
а) х~ 4- 2x^2 + х| — х| + 2х3 — 1=0;
б) 3x24-3x2 +3x2-6^ +4хг-1 =0;
в) 3x2 + Зх| - 6Х[ + 4х2 — 1 = 0; '
г) 3х2 + 3х| —3x2-6t1 + 4x2 + 4x3 + 3 = 0;
д) 4x2 + х2 — 4х(х2 — 36 = 0.
6.4.24. Определить вид и расположение квадрики,
пользуясь переносом системы координат:
а) х| + 4х| + 9х| — 6xt + 8х2 — З6х3 = 0;
б) 4x2 - х| - х| + 32х( - 12х3 + 44 = 0;
в) 3x2 - х2 + 3xf - 18х, + 10х2 + 12х3 + 14 = 0;
г) 6x2 + 6x2 + бх, + 6х2 + ЗОх3 —11=0.
6.4.25. Определить вид и расположение квадрики,
пользуясь поворотом системы координат вокруг одной
из ее осей:
а) х| = 2x^2;
б) х3 = х,х2;
в) х| = Зх, + 4х2;
г) х| = 3х^ + 4Х]Х2;
д) х3 = х, + 2XjX2 + х| + 1;
е) xf + 4x2 + 5x2 _|_ 4Х(х2 + 4х3 = 0;
ж) х2{ + 2Xj + Зх2 + 4х3 + 5 = 0;
з) х3 = xf + 2xjX2 + х| + 1.
6.4.26. Доказать, что каждая из следующих поверхно-
стей в евклидовом пространстве является поверхностью
вращения, определить ее вид, написать каноническое
уравнение и найти расположение относительно исходно»
системы координат:
172
a) x? - 2x2 + X2 + 4x,x2 - 8x,x3 - 4x2x3 -
— 14x, — 14x2+ 14x34- 18 = 0;
б) 5л'2 4- Sx2 _]_ 5x2 4x,x2 + 8X]X3 4- 4x2x3
— 6X] 4- 6x2 4- 6x3 4- 10 = 0;
в) 2xiX2 4" 2X|X3 4~ 2x2x3 4" 2xi 4" 2x2 4“ 2x3 4-1—0;
• r) 3x*2 4* 3x2 4" 3x'3 2x^2 2xjX3 2x2x3
— 2xt — 2x2 — 2x3 — 1=0;
д) 2xf _|- 6x2 _|_ 2x| 4- 8xrx3 — 4x( — 8x2 4- 3 = 0.
6.4.27. Определить вид каждой из следующих квад-
рик в трехмерном евклидовом пространстве, написать их
канонические уравнения и найти канонические системы
координат:
a) 4xj 4- х| 4- 4х| — 4хгх2 — 8х,х3 4- 4х2х3 —
— 28xt -f- 2х2 4- 16х3 4- 45 = 0
б) 2xf 4- 5x2 4“ 2x2 — 2Х(Х2 — 4х1х3 4- 2х,х3 4-
4- 2Х! — 10х2 — 2х3 —1=0;
в) 7x2 7Х2 16х2 _ 10x^2 — 8x^5 — 8х2х3 —
— 16xt—16х2 — 8х34~72 = 0;
г) 4x2 4- 4х;2 — 8х| — IOXjX, 4- 4хгг3 4- 4х2х3 —
— 16х| — 16х2 4-Юх3 — 2 = 0;
Д) 2x2 — 7x2 _ц. 4Х2 _ 1бх,х3 4-
4-’26x2X3 4-60х! —12х2 4-12хз — 90 = 0.
6.4.28. Найти каноническое уравнение и канониче-
скую систему координат для квадрик в четырехмерном
евклидовом пространстве:
a) 2xiX2 4- 2x^3 — 2х(х4 — 2х2х3 4-
4- 2х2х4 4~ 2х3х4 — 2х2 — 4х3 — 6х4 4-5 = 0;
б) 3x2 4- 3x2 4- Зх? 4- 3x2 - 2х.х„ -
— 2х,х, — 2х.х, —, 2х„х, — 2х„х. — 2х,х. = 36.
1о .14,' 2 о 24 <34
6.4.29. При каких значениях параметра а квадрика
х? + х? 4- х? 4- 2ах.х„ 4- 2ах.х, 4- 2ах,х, = 4а
является эллипсоидом? ,
6.4.30. При каком необходимом и достаточном усло-
вии два гиперболоида имеют общий асимптотический
конус?
ХП
6.4.31. Найти аффинный и метрический тип квадрики
заданной в евклидовом пространстве Rn+I уравнением *
а У х? + 2Ь У, xtxf 4- 2с У, xt = О
i«-l i-l
в зависимости от значений параметров а, b и с.
6.4.32. Квадрика называется k-планарной, если через
любую ее точку проходит хотя бы одна 6-мерная пло-
скость, целиком принадлежащая квадрике, но никакая
(6 + 1) -мерная плоскость не содержится в квадрике. До-
казать, что
а) квадрика типа I' в над R 6-планарна, где k =»
= min (s,n— s);
б) невырожденная квадрика типа s над R (s—1),
планарна, если 0 s п/2, и (п— з)-планарна, если
s > п/2;
в) невырожденная квадрика типа IIn,« над R з-пла-
нарна, если 0^з^п/2, и (п— 1—s)-планарна, если
s > п/2.
6.4.33. Выяснить, при каких значениях параметров
а, &, с #= О на квадрике
п п+1
CL X? 4“ 2Ь XiXj 4“ 2с У xt — О
i=0 l<i</<n i-l
в пространстве R"+1 лежит плоскость наибольшей раз-
мерности, и найти размерность этой плоскости.
§ 5. Проективные пространства
6.5.1. Найти какое-нибудь проективное преобразова-
ние плоскости, переводящее заданные прямые в задан-
ные прямые:
а) х==0ь->х = 0, у = 0>—>х=1;
б) х4-у= li—»х= 1, х4-у = 0н->«/ = 0.
6.5.2. Найти какое-нибудь проективное преобразова-
ние плоскости, переводящее заданные кривые в задан-
ные кривые:
6.5.3. Найти какое-нибудь проективное преобразова-
ние плоскости, переводящее окружность х2 4" У2
в себя и
а) точку (0,0) — в точку о) ;
174
61 прямую х = 2 — в бесконечно удаленную прямую.
g54. Найти какое-нибудь проективное преобразова-
пространства, переводящее заданную квадрику в за-
данную квадрику:
a) x2 + y2 + z2=l>->xy — z2=l-,
б) х// = г^^ + ^-гг=1;
в) xy = z2^y = x2.
6.5.5. Найти максимальную размерность плоскостей,
содержащихся в квадрике:
а) х2 + • • 4" xk xl+i • • • хп ~ 1 >
б) +xl-xl+i-
6.5.6. Доказать, что над полем комплексных чисел
любое проективное преобразование имеет по крайней
мере одну неподвижную точку.
6.5.7. Доказать, что в вещественном проективном про-
странстве четной размерности любое проективное преоб-
разование имеет неподвижную точку.
6.5.8. Доказать, что если проективное преобразова-
ние «-мерного проективного пространства над бесконеч-
ным полем имеет конечное число неподвижных точек, то
это число не превосходит п 1.
6.5.9. Доказать, что для всякого конечного множества
точек в проективном пространстве над бесконечным по-
лем существует содержащая его аффинная карта А.
6.5.10. Доказать, что любое (k—1)-мерное подпро-
странство в Рп можно покрыть k аффинными картами и
нельзя покрыть меньшим числом аффинных карт.
6.5.11. Найти число точек «-мерного проективного
пространства над полем из q элементов.
6.5.12. Найти число 6-мерных подпространств «-мер-
ного проективного пространства над полем из q эле-
ментов.
6.5.13. Найти число проективных преобразований
«-мерного проективного пространства над полем из q
элементов.
6.5.14. Пусть Л41 и Мг — непересекающиеся плоскости
в Р"> Ц и 12— непересекающиеся плоскости, имеющие
Те же размерности. Доказать, что существует проектив-
ное преобразование, которое переводит в Li и М2 в L2.
6.5.15. Доказать, что если проективное преобразова-
ние переводит некоторую аффинную карту в себя, то оно
ндуцирует аффинное преобразование на этой карте.
175
. 6.5.16. Доказать, что всякое биективное преобразова-
ние двумерной проективной плоскости, переводящее пря-
мые в прямые и сохраняющее двойное отношение точек
на каждой прямой, является проективным.
6.5.17. Доказать, что с помощью подходящего проек-
тивного преобразования любые четыре прямые на про-
ективной плоскости, из которых никакие три не пересе-
каются в одной точке, можно перевести в любые четыре
прямые, обладающие тем же свойством.
6.5.18. Доказать, что существует проективное преоб-
разование плоскости, сохраняющее заданный треуголь-
ник и переводящее заданную точку внутри этого тре-
угольника в любую другую заданную, точку внутри него.
6.5.19. Доказать, что существует преобразование пло-
скости, сохраняющее окружность х2 + у? = 1 и переводя-
щее заданную точку внутри этой окружности в люб$ю
другую заданную точку внутри нее.
6.5.20. Доказать, что с помощью одной линейки нель-
зя. построить центр заданной окружности.
6.5.21. Доказать с помощью проективных преобразо-
ваний, что отрезки, соединяющие вершины треугольника
с точками противоположных сторон, пересекаются в од-
ной точке тогда и только, тогда, когда эти точки являют-
ся точками касания некторого вписанного в треугольник
Эллипса. ' !
6.5.22. На картине изображена аллея. Расстояние от
первого дерева до линии горизонта вдоль линии аллеи
обозначим через /, расстояние между А-м и (А-f- 1)-м де-
ревьями— через afe. Выразить:
а) а3 через ai и а2; >
б) а2 через I и
6.5.23. Проективное преобразование плоскости :назы-.
вается гомологией, если оно сохраняет все точки, лежа-
щие на некоторой прямой (оси гомологии), и все пря-
мые, проходящие через некоторую точку (центр гомоло-
гии) . Доказать, что .
а) существует единственная гомология с заданной
осью I и заданным центром О, переводящая заданную
точку. А #= О, А ф. I, в заданную точку Д' =И= О, А' I, ле-
жащую на прямой ОА\
б) всякое проективное преобразование плоскости есть
произведение двух гомологий.
6.5.24. Доказать, что существует единственное проек-
тивное преобразование плоскости, сохраняющее окруж-
ность х2 + у2 = 1 и переводящее заданны^ три точки на
176
ой окружности в заданные три точки, также лежащие
на этой окружности.
6.5.25. (Теорема Дезарга.) Доказать, что если прямые
ад' ВВ' СС' пересекаются в одной точке, то точки пе-
ресечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', АС и А'С' ле-
жат на одной прямой.
6.5.26. (Теорема Паскаля.) Доказать, что точки пере-
сечения противоположных сторон шестиугольника, впи-
санного в окружность, лежат на одной прямой.
6.5.27. (Теорема Паппа.) Доказать, что точки пересе-
чения противоположных сторон шестиугольника, вер-
шины которого находятся поочередно на двух заданных
прямых, лежат на одной прямой.
6.5.28. Пусть ai, а2, а3, а4 — прямые на плоскости,
проходящие через точку О, I — прямая, не проходящая
через О. Доказать, что двойное отношение точек пересе-
чения прямых ai, а2, аз, 04 с прямой I не зависит от I
(двойное отношение прямых аь о2, о3, а4).
6.5.29. Пусть / — невырожденная билинейная функ-
ция на (п+ 1/-мерном векторном пространстве V. Каж-
дому (k 4- I)-мерному подпространству U с V сопоста-
вим (п — k) -мерное подпространство
UL={y<= V| f(x,y) = 0 для всякого xs {/}.
Этим соответствием в проективном пространстве Р(У)
определено отображение К?, которое каждой 6-мерной
плоскости сопоставляет (п — k — 1) -мерную плоскость
(корреляция относительно функции f). Доказать, что
а) корреляция сохраняет инцидентность:
б) если функция f — симметрическая или кососим-
метрическая, то корреляция К; инволютивна:
Kf(Kf(U)) = U-,
в) композиция корреляции и проективного преобра-
зования есть корреляция;
г) всякая корреляция есть композиция фиксирован-
ной корреляции и некоторого проективного преобразо-
вания.
6.5.30. Доказать, что всякая корреляция проективной
прямой действует на точки так же, как некоторое проек-
тивное преобразование.
6.5.31. Доказать, что корреляция на проективной
плоскости сохраняет двойное отношение.
177
6.5.32. Доказать, что корреляция на проективной пло-
скости относительно симметрической билинейной функ-
ции f переводит каждую точку кривой f(x,x) = 0 в каса-
тельную к этой кривой, проходящую через данную точку.
6.5.33. Сформулировать теорему (теорема Брианшо-
на), получаемую из теоремы Паскаля (см. 6.5.26) при-
менением корреляции.
6.5.34. С помощью понятия корреляции доказать, что
точки пересечения касательных к данной окружности,
проведенных через концы всевозможных хорд, проходя-
щих через заданную точку, лежат на одной прямой.
Часть 3
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Глава 1
ГРУППЫ
§ 1. Действие группы на множестве.
Отношение сопряженности
1.1.1. Найти все орбиты группы G невырожденных
линейных операторов, действующих на n-мерном евкли-
довом пространстве V, если
a) G — группа всех невырожденных линейных опера-
торов;
б) G — группа ортогональных операторов;
в) G — группа операторов, матрицы которых в ба-
зисе (ei, ..., еп) диагональны;
г) G — группа операторов, матрицы которых в ба-
зисе (бь ..., еп)— верхние треугольные.
1.1.2. Найти стационарную подгруппу Ga вектора
а =е14-ег+ ••• +би: a) G — группа 1.1.1 в); б) G —
группа 1.1.1 г).
1.1.3. Найти все орбиты и все стационарные подгруп-
пы для группы G, порожденной перестановкой
/1 2 34 5.6 7 8 9 104 „
° ~ к 5 8 3 9 4 10 6 2 1 7 J S &1°
и действующей на множестве {1,2, ..., 10}.
1.1.4. В прямоугольной системе координат задан ромб
с вершинами
Д=(0,1), В=(2,0), С=(0,— 1), D =(—2,0).
а) Найти матрицы ортогональных преобразований
плоскости, переводящих ромб в себя.
б) Доказать, что эти матрицы образуют относительно
умножения группу G, изоморфную группе V<.
179
в) Найти орбиты действия группы G на множестве
вершин ромба и их стационарные подгруппы.
1.1.5. Найти порядок группы диэдра Dn.
1.1.6. Найти порядок:
а) группы вращений куба;
б) группы вращений тетраэдра;
в) группы вращений додекаэдра.
1.1.7. Доказать, что
а) группа вращений куба изоморфна группе S4;
б) группа вращений тетраэдра изоморфна группе А4;
в) группа движений тетраэдра изоморфна S4.
1.1.8. Найти порядок стационарной подгруппы вер-
шины для группы вращений:
а) октаэдра; б) икосаэдра. 1 ’
1.1.9. Пусть коммутативная группа G действует на
некотором множестве Л1. Доказать, что если для некото-
рых g^G и тоеЛ1 справедливо равенство gmQ = m0,
то gm — т для любой точки т, лежащей в одной орбите
с точкой т0.
1.1.10. Пусть Н — подгруппа группы G, aeG. До-
казать, что
а) отображение gH<-->agH есть перестановка на
множестве М всех левых смежных классов группы G по
подгруппе /7;
б) отображение f: аг—>ва определяет действие груп-
пы G на М;
в) оа является тождественной перестановкой тогда и
только тогда, когда а принадлежит пересечению всех
подгрупп, сопряженных с Н в группе G.
1.1.11. Перенумеровав левые смежные классы груп-
пы G по подгруппе //, найти все перестановки оа (задача
1.1.10), если
a) G = Z4,'Я —единичная подгруппа;
б) G — D4, Н— подгруппа, состоящая из тождествен-
ного преобразования и некоторой осевой симметрии
квадрата.
1.1.12. Доказать, что для любой группы G
а) сопряжение определяет действие
m^g-m = gmg~x (gtm^G)
группы G на множестве G;
б) стационарная подгруппа точки т (централизатор
элемента т) совпадает с множеством элементов группы
G, перестановочных с т.
1.1.13. Найти централизатор:
180
а) перестановки (1 2) (3 4) в группе S4;
б) перестановки (12 3 ... п) в группе Sn.
1.1.14. В группе GL2(R) найти централизатор мат-
рицы:
a)IH Off. б) poll в)!|121|. Г) II1111 :
|о-1|Г И» 2||’ 113 411’ ||о 1||- .
1.1.15. В группе GLn(R) найти централизатор мат-
рицы diag(Xj, .... Хп), если =
а) все элементы, диагонали различны;
б) Х| =:== . • . z== Xfe === Д, Х/е+1 • • == Хп —“ Ь И U Ь.
1.1.16. Какие из трех матриц сопряжены между со-
бой в группе GL2(C):
1.1.17. Найти разбиение на классы сопряженных эле-
ментов групп: a) S3; б) А4; в) D4.
1.1.18. Найти все конечные группы, число классов со-
пряженности которых равно: а) 1; б) 2; в) 3.
1.1.19. В группе S4 найти класс сопряженности: а) пе-
рестановки (12) (34); б) перестановки (124).
1.1.20. Доказать, что две перестановки сопряжены в
группе Sn тогда и только тогда, когда они имеют оди-
наковую цикловую структуру, т. е. их разложения в про-
изведения независимых циклов для любого k содержат
одинаковое число циклов длины k.
1.1.21. Найти число классов сопряженности в груп-
пах: a) S4; б) S5; в) Ss; г) Drt.
1.1.22. Канонической формой матрицы AeSO3(R)
называется сопряженная с А матрица вида
Ц1 о ° Л
0 cos ф — sin ф .
II0 sin ф cos ф
Доказать, что матрицы Ai и Д2 сопряжены в SO3(R)
тогда и только тогда, когда их канонические формы свя-
заны соотношением ф1 + Ч>2 = 2л& или срi — <р2 = для
некоторого целого k.
1.1.23. Доказать, что
а) если Н и /(— сопряженные подгруппы конечной
группы и К s Я, то К = Я;
181
б) подгруппы
"“{lill <',sz>}' 'Mir.’l M
сопряжены в группе GL2(R), и К. czH.
1.1.24. Найти нормализатор N(H) подгруппы Н в
группе G, если
a) G = GL2(R), Н — подгруппа диагональных
матриц;
б) G = GL2 (R), Н — подгруппа матриц вида
|!Л||
в) G = S4, Я = <(1 234)>.
1.1.25. Найти группу автоморфизмов: а) группы Z5;
б) группы Z6. .
1.1.26. Доказать, что
a) Aiit S3 a: S3, причем все автоморфизмы группы
S3 — внутренние;
б) Aut V4 ~ S3, причем внутренним для V4 является
лишь тождественный автоморфизм.
1.1.27. Является ли циклической группа автоморфиз-
мов: а) группы Z9; б) группы Z8?
1.1.28. Найти порядок группы Aut Aut Aut Z9.
§ 2. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Центр
1.2.1. Доказать, что подгруппа Н группы G нор-
мальна, если
a) G — коммутативная группа, Н — любая ее под-
группа;
б) G «= GLn(R), Я — подгруппа матриц с определите-
лем, равным 1;
в) G = S«, Я = Ал.
1.2.2. Доказать, что любая подгруппа индекса 2 яв-
ляется нормальной.
1.2.3. Найти все нормальные подгруппы, отличные от
единичной и от всей группы, в группах: а) S3; б) А4; в) S4.
1.2.4. На примере группы А4 показать, что нормаль-
ная подгруппа К нормальной подгруппы Я группы G не
обязательно является нормальной в G.
1.2.5. Пусть А и В — нормальные подгруппы группы
G и А П В — единичная подгруппа. Доказать, что ху — ух
для любых х е А, у е В.
1.2.6. Пусть Я — подгруппа в G индекса 2, С — класс
сопряженных в G элементов и С сН. Доказать, что С
182
является либо классом сопряженных в Н элементов,
либо объединением двух классов сопряженных в Н эле-
ментов, состоящих из одинакового числа элементов.
1.2.7. Найти число классов сопряженности в группе
А и'число элементов в каждом из классов.
° 1.2.8. Доказать, что группа А5 является простой.
1*2.9. а) Доказать, что в группе кватернионов Q8 лю-
бая подгруппа является нормальной.
б) Найти центр и все классы сопряженности в груп-
пе Qe-
в) Доказать, что комплексные матрицы
±£=±||о1|- ±/ = ±|о -Л’
±К=±|°о|
относительно умножения матриц образуют группу, изо-
морфную Q8.
1.2.10. Доказать, что для любой группы G множество
всех внутренних автоморфизмов является нормальной
подгруппой в группе AutG всех автоморфизмов группы G.
1.2.11. Найти центр группы: a) S«; б) А,,; в) Dn.
1.2.12. Доказать, что центр группы порядка рп, где
р — простое число (neN), содержит более одного эле-
мента.
1.2.13. Пусть G — множество верхних унитреугольных
матриц порядка 3 с элементами из поля Zp.
а) Доказать, что G — коммутативная группа порядка
р3 относительно умножения.
б) Найти центр группы G.
в) Найти все классы сопряженных элементов груп-
пы G.
1.2.14. Найти центр группы: a) GLra(R); б) (MR)’;
в) SO2(R); г) SO3(R); д) SU2(C); е) SU„(C).
1.2.15. Доказать, что группа G' является гомоморф-
ным образом конечной циклической группы G тогда и
только тогда, когда G' также циклическая и ее порядок
делит порядок группы G.
1.2.16. Доказать, что если группа G гомоморфно ото-
бражена на группу G', причем аь-то
а) порядок а делится на порядок а'\
б) порядок G делится на порядок G'.
1.2.17. Найти все гомоморфные отображения:
a) Z8 —>Z8; б) Z6-»ZI8; в) Zi8—>Z8;
Г1 Zi2—»-Z15; д) Zg-*-Z25.
183
1.2.18. Доказать, что аддитивную группу рацнональ-
ных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитив,-
ную группу целых чисел.
1.2.19. Найти факторгруппы: a) TjnL\ б) Ui2/U3-
в) 4Z/12Z; г) R*/R+.
1.2.20. Пусть Fn— аддитивная группа «-мерного ли?
нейного пространства над полем F и Н — подгруппа век-
торов A-мерного подпространства. Доказать, что фактор-
группа Fn/H изоморфна Fn~k.
1.2.21. Пусть Нп — множество чисел с аргументами
вида (kEZ'i. Доказать, что
a) R/Z~U; б) C*/R* « U; в) C*/U =- R+;
г) U/U„ — U; д) C*/U„^C*; е) C*//7„^U;
ж) Hn/R+ ~ U„; з) Я„/и„ s; R+.
1.2.22. Пусть G = GL„(R), H = GL„(C), P = SL„(R),
•Q=sSL„(C),
A={Xi=G\ |detX|= 1}, B={X^H\ |detX|= 1},
M={X<=G[detX>0}, AT={X€=/7|det^>0}. . .
Доказать, что
a) G/P^R*; 6) в) G/M~Z2;
r) H/N ~ U; д) G/A ~ R+; e) H/B ~ R+.
1.2.23. Пусть G — группа аффинных преобразований
n-мерного пространства, Н — подгруппа параллельных
переносов, К. — подгруппа преобразований, оставляющих
неподвижной данную точку О. Доказать, что
а) Н является нормальной подгруппой в G;
б) G/H^K.
1.2.24. Доказать, что факторгруппа группы S4 по нор-
мальной подгруппе {е, (1 2) (34), (1 3) (24), (14) (23)}
изоморфна группе S3.
1.2.25. Доказать, что если Н — подгруппа индекса k
в группе G, то Н содержит некоторую нормальную, в G
подгруппу, индекс которой в G не более k\.
1.2.26. Доказать, что подгруппа, индекс которой яв-
ляется наименьшим простым делителем порядка группы,
нормальна.
1.2.27. Доказать, что факторгруппа группы GL2(Z3)
по ее центру изоморфна группе S4.
. 1.2.28. Доказать, что в группе Q/Z
а) каждый элемент имеет конечный порядок;
б) для каждого натурального п имеется в точности
одна подгруппа порядка п.
1.2.29. Доказать, что группа внутренних автомор-
физмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по
ее центру.
184
1.2.30. Доказать, что факторгруппа некоммутативной
гоуп'пы по ее центру не может быть циклической.
Р 1.2.31. Доказать, что группа порядка р2, где р —про-
стое число, коммутативна.
1.2.32. Доказать, что группа всех автоморфизмов не-
коммутативной группы не может быть циклической.
1.2.33. Найти число классов сопряженности и число
элементов в каждом классе для некоммутативной груп-
пы порядка р3, где р — простое число.
1.2.34. Подгруппа Н называется максимальной в
группе 6, если Н #= G и любая подгруппа, содержащая
Я, совпадает с Н или G. Доказать, что
’ а) пересечение любых двух различных максимальных
коммутативных подгрупп содержится в центре группы;
б) во всякой конечной простой некоммутативной
группе найдутся две различные максимальные подгруп*
пы, пересечение которых содержит более одного эле-
мента;
в) во всякой конечной простой некоммутативной
группе существует собственная некоммутативная под-
группа.
§ 3. Силовские подгруппы. Группы малых порядков
1.3.1. Найти порядок групп: a) GLn(^); 6)SLn(q).
1.3.2. Изоморфны ли
а) группа Q8 и группа D4;
б) группа S4 и группа SL2(3)?
1.3.3. Найти все силовские 2-подгруппы и 3-подгруп-
пы в группах: а) S3; б) А4.
1.3.4. Указать сопрягающие элементы для силовских
2-подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах: а): S3;
б) А4.
1.3.5. Доказать, что любая силовская 2-подгруппа
группы S4 изоморфна группе диэдра D4.
1.3.6. В каких силовских 2-подгруппах группы S4 со-
держатся перестановки:
а) (1324); б) (13); в) (12) (34)?
1.3.7. Доказать, что существуют в точности две не-
коммутативные неизоморфные группы порядка 8 — груп-
па кватернионов Q8 и группа диэдра D4.
1.3.8. Доказать, что силовская 2-подгруппа группы
SL2(3)
а) изоморфна группе кватернионов;
6) нормальна в SL2(3).
185
1.3.9. Сколько различных силовских р-подгрупп в
группе А5, где
а) р — 2; б) р = 3; в) р — 5?
1.3.10. Найти порядок силовской р-подгруппы в груп-
пе Sn.
1.3.11. Сколько различных силовских р-подгрупп в
группе Sp, где р — простое число?
1.3.12. Доказать, что силовская р-подгруппа в группе
G единственна тогда и только тогда, когда она нор-
мальна в G.
1.3.13. Пусть
^>=={|о1| lasZp, р —простое число}.
а) Доказать, что Р — силовская р-подгруппа в группе
SL2(p).
б) Найти нормализатор подгруппы Р в SL2(p).
в) Найти число различных силовских р-подгрупп в
SL2(p).
г) Доказать, что Р — силовская р-подгруппа в группе
GL2(p).
д) Найти нормализатор подгруппы Р в GL2(p).
е) Найти число различных силовских р-подгрупп в
GL2(p).
1.3.14. Доказать, что подгруппа верхних унитреуголь-
ных матриц является силовской р-подгруппой в GL„(p).
1.3.15. В группе диэдра Dn для каждого простого де-
лителя р числа 2п
а) найти все силовские р-подгруппы;
б) указать сопрягающие элементы для силовских
р-подгрупп.
1.3.16. Доказать, что образ силовской р-подгруппы
конечной группы G при гомоморфизме группы G на
группу Н является силовской подгруппой в Н.
1.3.17. Доказать, что любая силовская р-подгруппа
прямого произведения конечных групп Л и В является
произведением силовских р-подгрупп сомножителей А
и В.
1.3.18. Пусть Р — силовская р-подгруппа конечной
группы G,H — нормальная в G подгруппа.
а) Доказать, что пересечение Р П Н является силов-
ской р-подгруппой в Н.
б) Привести пример, показывающий, что без пред-
положения о нормальности подгруппы Н утверждение
пункта а) неверно.
186
1 3 19. Доказать, что все силовские подгруппы группы
порядка '100 коммутативны.
1 3 20. Доказать, что любая группа порядка:
а) "15, б) 35, в) 185, г) 255
коммутативна.
1.3.21. Сколько различных силовских 2-подгрупп и
силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе по-
рядка 20?
1.3.22. Доказать, что не существует простых групп
порядка: а) 36; б) 80; в) 56.
1.3.23. Пусть р и q — простые числа, р <Zq. Доказать,
что
а) если q—1 не делится на р, то любая группа по-
рядка pq коммутативна;
б) если q—1 делится на р, то в группе невырож-
денных матриц вида *| (a, be Z?) имеется некомму-
тативная подгруппа порядка pq.
§ 4. Абелевы группы. Прямые произведения и прямые
суммы
1.4.1. Доказать, что группы Z и Q не разлагаются
в прямую сумму ненулевых подгрупп.
1.4.2. Разлагаются ли в прямое произведение нееди-
ничных подгрупп группы: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8?
1.4.3. Доказать, что конечная циклическая группа яв-
ляется прямой суммой примарных циклических подгрупп.
1.4.4. Разложить в прямую сумму группы: a) Z6;
б) Zt2; в) Zeo.
1.4.5. Доказать, что мультипликативная группа комп-
лексных чисел является прямым произведением группы
положительных вещественных чисел и группы всех комп-
лексных чисел, по модулю равных 1.
1.4.6. Доказать, что при п 3 мультипликативная
группа кольца вычетов Z2n является прямым произведе-
нием подгруппы {±1} и циклической группы порядка
1.4.7. Чему равен порядок:
а) прямого произведения конечных групп;
б) элемента прямого произведения конечных групп?
1.4.8. Доказать, что если в абелевой группе подгруп-
пы Аь А2, ..., Ak имеют конечные попарно взаимно про-
стые порядки, то их сумма является прямой.
1.4.9. Доказать, что если k — наименьшее общее крат-
иое порядков всех элементов конечной абелевой группы,
187
то В’ группе существует элемент порядка k. Верно ли это
утверждение без предположения об абелевости группы?
1.4,10. Найти все прямые разложения группы, состоя-
щей из чисел вида ±2", в прямое произведение.
1.4.11. Пусть А — конечная абелева группа. Найти
все прямые разложения группы Z 4- А в прямую сумму
двух групп, одна из которых бесконечная циклическая.
1.4.12. Найти классы сопряженности группы ДХВ,
если известны классы сопряженности групп А и В,
1.4.13. Доказать, что центр прямого произведения ра-
вен прямому произведению центров сомножителей.
1.4.14. Доказать, что если факторгруппа A/В абеле^
вой группы А — бесконечная циклическая, то подгруппа
В выделяется в А прямым слагаемым, т. е. существует
подгруппа С группы А такая, что А — В 4- С.
1.4.15. Доказать, что подгруппа А абелевой группы G
выделяется в G прямым слагаемым тогда и только тогда,
когда существует сюръективный гомоморфизм л: G-+A
такой, что л2 = л.
1.4.16. Пусть фь ф2 — гомоморфизмы групп Дь А2 в
абелеву группу В. Доказать, что существует единствен-
ный гомоморфизм ср: Л1ХЛ2->В, ограничения которого
на 41 и А2 совпадают соответственно с cpi и <р2. Суще-
ственна ли здесь абелевость группы В?
1.4.17. На множестве гомоморфизмов абелевой груп-
пыА в абелеву группу В определим операцию сложения
по правилу
(а+ ₽)(%)== а (х)+Р(х).
Доказать, что гомоморфизмы А -> В образуют абелеву
группу Нот(4,В).
1Л.18. Найти группы гомоморфизмов:
a) Hom(Z12, Z6); б) Hom(Zi2, Zu);
в) Hom(Z6, Zi2); г) Hom(Ai-j-Л2, В);
д) Hom(4, Bi 4-В2); е) Hom(Zrt,Zft);
ж) Hom(Z, Z„); з) Hom(Zn, Z); и) Hom(Z, Z).
1.4.19. Доказать, что Hom(Z, А~)~А.
1.4.20. Пусть А — абелева группа. Доказать, что все ее
эндоморфизмы образуют кольцо End А с единицей отно-
сительно сложения и обычного умножения отображений.
1.4.21. Доказать, что группа автоморфизмов абелевой
группы совпадает с группой обратимых элементов ее
кольца эндоморфизмов.
1.4.22. Найти кольца эндоморфизмов групп:
a) Z; б) 1п\ в) Q
188
1.4.23. Доказать, что в абелевой группе отображе-
ние’Х|_> nx (n е Z) является эндоморфизмом. Для
каких групп оно будет: а) инъективным; б) сюръектив-
ным?
1.4.24. Доказать, что кольцо эндоморфизмов свобод-
ной абелевой группы ранга п изоморфно кольцу Mn(Z).
1.4.25. Найти группы автоморфизмов групп:
a) Z; б) Q; в) Zjn; г) свободной абелевой ранга л.
1.4.26. Доказать, что
a) Aut Z30 =: Aut ZI5; 6) Aut (Z -j- Z3) = Z2 -j- Z3.
1.4.27. Доказать, что кольцо End(Z-f-Z2) бесконечно
и некоммутативно,
1.4.28. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конеч-
ной абелевой группы является прямой суммой колец
эндоморфизмов ее примарных компонент.
1.4.29. Доказать, что подгруппа конечно порожден-
ной абелевой группы также конечно порождена.
1.4.30. Доказать, что всякий гомоморфизм конечно
порожденной абелевой группы на себя является авто-
морфизмом.
Верно ли аналогичное утверждение для аддитивной
группы кольца многочленов?
1.4.31. Доказать, что свободные абелевы группы ран-
гов тип изоморфны тогда и только тогда, когда т = и.
1.4.32. Пользуясь основной теоремой о конечно по-
рожденных абелевых группах, найти с точностью до изо-
морфизма все абелевы группы порядка: а) 2; б) 6; в)и 8;
г) 12; д) 16; е) 24; ж) 36; з) 48.
1.4.33. Говорят, что абелева группа имеет тип
(П1,П2,:..., rik), если она является прямой суммой цик-
лических групп порядков Hi, п2, nk. Есть ли в абеле-
вой группе типа (2,16) подгруппы типа: а) (2,8);
б) (4,4); в) (2,2,2)?
1.4.34. Найти тип группы (<a>9-i-<b>27)/(3a + 9b).
1.4.35. Изоморфны ли группы:
а) (<^>2 + <6>4)/<2&> и (<a>2+<fe>4)/<a + 26>;
б) Zg 4- Z36 и Z12 4- Z]8*,
в) Ze 4“ Z36 и Z9 4- Z24?
1.4.36. Сколько подгрупп
а) порядков 2 и 6 в нециклической абелевой группе
порядка 12;
б) порядков 3 и 6 в нециклической абелевой группе
порядка 18?
1.4.37. Найти все прямые разложения групп:
а). <й>2 + 6) <а>Р + <6>р; в) <a>2H-<fe>4.
1М
1.4.38. Доказать, что конечная подгруппа мультипли-
кативной группы поля является циклической.
1.4.39. Доказать, что конечно порожденная подгруппа
мультипликативной группы комплексных чисел разла-
гается в прямое произведение свободной абелевой груп-
пы и конечной циклической.
1.4.40. Доказать, что подгруппа {та 4- п6> свобод-
ной абелевой группы с базисом а, Ь выделяется прямым
слагаемым тогда и только тогда, когда тип взаимно
просты.
1.4.41. Пусть А — свободная абелева группа с бази-
сом xi хп. Доказать, что элементы
п
У! = ^ацх} (j=l< ••• . «)
составляют базис группы А тогда и только тогда, когда
detl|a<7|| = ±1.
1.4.42. Пусть А — свободная абелева группа с бази-
сом xi, .... хп, В — ее подгруппа с порождающими эле-
ментами
п
У1='£а11х1 (j = 1, ... , п).
Доказать, что факторгруппа A/В конечна тогда и только
тогда, когда det||al7||#= 0, и при этом |Л/В| — det|(a!f/||.
1.4.43. Разложить в прямую сумму циклических групп
факторгруппу А/В, где А — свободная абелева группа
подгруппа, порожденная
с базисом xi, хг, Хз, В — ее
Уь У2, Уз-
а) Уi “ 7Х\ + 2x2 4* Зх3,
y2 = 21Xi + 8х2 + 9х3,
Уз = 5xt — 4х2 + Зх3;
в) yt «= 5х, 4- 5х2 + 2х3,
г/2 = 11 Xj + 8х2 + 5х3,
z/3 == 17Х] + 5х2 + 8х3;
Д) г/! = 4х1 + 5х2 + х3,
у2 = 8х1 + 9х2 4- х3,
z/з = 4xi + 6х2 4- 2х3;
ж) У1 = 6xi + бх2 4- 4х3,
у2 == 7xi 4- Ьх2 4- 9х3,
Уз = 5x1 + 4х2 — 4х3;
б) ух = 5xi + 5х2 4- Зх3,
у2 = 5xt + 6х2 4- 5х3,
Уз = 8xi 4- 7х2 4- 9х3;
г) Vi — 6xi + 5х2 4- 7х3,
у2 = 8xi “Ь 7х2 4-11х3,
Уз = бх! 4- 5х2 4-11*з’»
е) у! = 2х, 4- 6х2 — 2х3,
у2 = 2Х]4- 8х2 — 4х3,
Уз = 4xi 4- 12х2 — 4х3;
з) Ух = Xj 4- 2х2 4- Зх3,
Уг = ^Ук
Уз ~ ^Уй
190
и) ух = + 7х2 + Зхз,
у2 = 2xi 4* Зх2 4* 2х3,
у3 = 6xi 4* Ю*2 + бг/з;
к) у{ == 2х, + Зх2 + 4х3,
Уъ ~ 5Х] + бх2 4- 6x3,
z/з — 2Х| + 6х2 + 9х3.
1.4.44. В факторгруппе свободной абелевой группы А
с базисом Xi, х2, х3 по подгруппе В, порожденной xt 4-
Х2 4- 4х3 и 2xi — х2 + 2х3> найти порядок смежного
класса (xi + 2х3) + В.
1.4.45. Доказать, что конечная абелева группа яв-
ляется циклической тогда и только тогда, когда каждая
ее примарная компонента является циклической.
1.4.46. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной
абелевой группы коммутативно тогда и только тогда,
когда она является циклической.
1.4.47. Доказать, что если порядок элемента а абеле-
вой группы А взаимно прост с п, то уравнение пх = а
имеет в А решение.
1.4.48. Абелева группа А называется делимой, если
уравнение пх = а имеет в ней решение при любом а е А
и целом /г#=0. Доказать, что группа делима тогда и
только тогда, когда при любом а и любом простом р
уравнение рх = а имеет решение.
1.4.49. Доказать, что прямая сумма делима тогда и
только тогда, когда делимы все прямые слагаемые.
1.4.50. Доказать, что группы Q и Up00 (р — простое
число) делимы.
1.4.51. Доказать, что на группе без кручения можно
ввести структуру линейного пространства над полем Q
тогда ц только тогда, когда она является делимой.
1.4.52. Пусть А—делимая подгруппа группы G, В —
максимальная подгруппа группы G такая, что A П В =
= {0} (такая всегда существует). Доказать, что G —
= А 4- В.
1.4.53. Доказать, что в любой абелевой группе суще-
ствует наибольшая делимая подгруппа, факторгруппа по
которой не имеет делимых подгрупп.
§ 5. Порождающие элементы и определяющие
соотношения
1.5.1. Доказать, что
а) группа Sn порождается транспозицией (1 2) и цик«
лом (12 ... п);
б) группа Ап порождается тройными циклами.
1.5.2. Доказать, что полная линейная группа GLn(A)'
над полем К порождается элементарными матрицами.
191
1.5.3. Доказать, что специальная линейная группа
SLn(K) над полем К порождается трансвекциями, т. е.
элементарными матрицами вида E-^-aEij
1.5.4. Доказать, что
а) любую целочисленную матрицу с единичным опре-
делителем можно привести к единичному виду только
элементарными преобразованиями, заключающимися в
том, что к одной строке (или столбцу) прибавляется дру-
гая строка (столбец), умноженная на ±1;
б) группа SLn(Z) конечно порождена.
1.5.5. Найти все двухэлементные множества, порож-
дающие группы:
a) Z6; б) S3; в) Q8; г) D<; д) <а>2-+-<&>2-
1.5.6. Доказать, что если d— минимальное число по-
рождающих конечной абелевой группы А, то для группы
А Ц- А аналогичное число равно 2d.
1.5.7. Доказать, что группа S3 X S3 порождается
двумя элементами.
1.5.8. Доказать, что еслц группа имеет конечную си-
стему порождающих, то из любой системы порождаю-
щих можно выбрать конечную подсистему, порождаю-
щую всю группу.
1.5.9. Будет ли конечно порожденным нормальноеза-
мыкание матрицы. A = |q в группе G, порожденной
л . n 112 OIL
матрицами А и В— L Л?
. . 1.5,10. Доказать, что .
а) каждое слово в свободной группе эквивалентно
единственному несократимому слову;
б) «свободная группа» действительно является груп-
пой. .......
1.6.11. Пусть F— свободная группа со свободными
порождающими хь ..., х„, О — произвольная группа.
Доказать, что для любых элементов g\....gn^ G су-
ществует единственный гомоморфизм <р: F-+G такой,
что q>(xi) = £i, •••, <f(xn) — gn. Вывести отсюда, что лю-
бая конечно порожденная группа изоморфна факторгруп-
пе подходящей свободной группы конечного ранга.
1.5.12. Доказать, что в свободной группе нет элемен-
тов конечного порядка, отличных от единицы.
1.5.13. Доказать, что два коммутирующих элемента
свободной группы лежат в одной циклической подгруппе.
1.5.14. Доказать, что слово w лежит в коммутанте
свободной группы с системой свободных порождающих-'"'’
192
х .... xn тогда и только тогда, когда для каждого i =
да 1, . ’.., п сумма показателей у всех вхождений xt в w
равна 0.
1.5.15. Доказать, что факторгруппа свободной группы
по ее коммутанту — свободная абелева группа.
1.5.16. Доказать, что свободные группы рангов тип
изоморфны тогда и только тогда, когда т — п.
1.5.17. Сколько подгрупп индекса 2 в свободной груп-
пе ранга 2?
1.5.18. Доказать, что все сюръективные гомомор-
физмы свободной группы ранга 2 на группу Zn -4- Z«
имеют одно и то же ядро.
1.5.19. Сколько существует гомоморфизмов свободной
группы ранга 2 в группу
a) Z2 + Z2; б) S3?
1.5.20. Доказать, что если группа G с порождающими
элементами хь .... хп задана определяющими соотноше-
ниями /?j(xi..х„)= 1 (ie/) ив какой-либо группе Н
для элементов йь _., hn^H Rt(h\, ..., ftn)=l, то су-
ществует единственный гомоморфизм <р: G -*- Н такой,
ЧТО ф(Х1)=/и, .... <р(хл)=йп.
1.5.21. Доказать, что если между элементами а и &
группы выполнены соотношения a5 = b3 = 1, b~lab = а2,
то а — 1.
1.5.22. Показать, что группа, порожденная элемен-
тами а, b с соотношениями а2 — b7 = 1, a~lba — Ь~1, ко-
нечна.
1.5.23. Доказать, что группа, заданная порождаю-
щими элементами xi, хз и определяющими соотноше-
ниями:
a) х2 = xl — (х.х,)2 = 1, б) х2 = х’=1, x-'XjX. = х!,
изоморфна S3.
1.5.24. Доказать, что группа, заданная порождаю-
щими элементами xi, хг и определяющими соотноше-
ниями
у2 - уМ - 1 1 V* V — V-1
Л1 л2 ’ Л1 Л2Л1 2 ’
изоморфна группе диэдра D„.
1.5.25. Доказать, что группа, заданная порождаю-
щими элементами xi, Х2 и определяющими соотноше-
НИЯМИ
х*=1, х2 = х2, х^1х1х2 = х®,
изоморфна группе кватернионов Q3.
7 Под ред. А. И. Кострикина
193
1.5.26. Доказать, что группа, заданная порождаю-
щими элементами х2 и определяющими соотноше-
ниями х2 — х^~ I, изоморфна группе матриц
Го1 "I
1.5.27. Доказать, что группа, заданная порождаю-
щими элементами Xi, х2 и определяющими соотноше-
ниями x2 = x| = (x1x2)n= 1, изоморфна группе матриц
{|V ‘I
1.5.28. Доказать, что если G/H = (gH}— бесконеч-
ная циклическая группа, то О = {g)H, (g) ft Н = {е}.
1.5.29. Описать в терминах порождающих элементов
и определяющих соотношений группы, у которых имеет-
ся бесконечная циклическая нормальная подгруппа с
бесконечной циклической факторгруппой.
1.5.30. Пусть группа G задана порождающими эле-
ментами X], х, и определяющим соотношением х1х2хр1 =
— х-г Найти наименьшую нормальную подгруппу, по-
рожденную в G элементом х2. Является ли эта подгруппа
циклической?
§ 6. Разрешимые группы
1.6.1. Найти коммутатор невырожденных матриц:
% 110 11| II а 011 ,, || а 6 !| |х и II
а) |1 о| И |0 1||; б) |о С|| И |о 2||:
в) двух транспозиций в симметрической группе S„.
1.6.2. Доказать следующие свойства коммутанта G'
групп:
a) G' — нормальная подгруппа в G;
б) факторгруппа G/G' коммутативна;
в) если N нормальна в G и G/N коммутативна, то
G's N. '
1.6.3. Доказать, что при гомоморфизме <p: G-+G'
^GY = ^GY.
1.6.4. Установить биективное соответствие между го-
моморфизмами группы в коммутативные группы и гомо-
морфизмами ее факторгруппы по коммутанту.
1.6.5. Доказать, что коммутант группы GLn(K) содер-
жится в SL„( Л).
194
1.6.6. Доказать, что коммутант прямого произведения
есть прямое произведение коммутантов сомножителей.
1.6.7. Найти коммутанты и порядки факторгрупп по
коммутантам для групп: а) S3; б) А4; в) S4; г) Q8.
1.6.8. Найти коммутанты групп: a) Sn; б) Dn.
1.6.9. Доказать, что коммутант нормальной подгруп-
пы нормален во всей группе.
1.6.10. Рядом коммутантов (или производным рядом)
группы G называется ряд подгрупп
G = G<°> = G' э G" = ...,
где G(/+1) = (G(‘))'. Доказать, что
а) все члены ряда коммутантов нормальны в G;
б) для всякого гомоморфизма <р группы G на груп-
пу Н <p(G(i)) = Н«\
1.6.11. Доказать, что
а) всякая подгруппа разрешимой группы разрешима;
б) всякая факторгруппа разрешимой группы разре-
шима;
в) если А и В — разрешимые группы, то группа А X В
разрешима;
г) если G/А ~В и А, В — разрешимые группы, то G
разрешима.
1.6.12. Доказать разрешимость групп: a) S3; б) А4;
в) S4; г) Q8; Д) D„.
1.6.13. Пусть UTn(K) — группа верхних унитреуголь-
ных матриц. Доказать, что
а) иТ„(/<) — множество матриц из UT„(/C) cm—1
нулевыми диагоналями выше главной — подгруппа
в UT„(/<);
б) если А <= UT„ (/<), В е= UT£ (К), то [А, В] g=UT£+/ (/С);
в) группа UT„(K) разрешима.
1.6.14. Доказать, что группа невырожденных верхних
треугольных матриц разрешима.
1.6.15. Доказать, что конечная группа разрешима
тогда и только тогда, когда в ней имеется ряд подгрупп
G = H^H^ ... =>Hk={e}
такой, что Hi+l нормальна в Hi и —(цикличе-
ская) группа простого порядка.
1.6.16. Доказать, что конечная р-группа разрешима.
1.6.17. Доказать разрешимость группы порядка pq>
где р, q — различные простые числа.
7* 195
1.6.18. Доказать разрешимость группы порядка:
а) 20; б) 12; в) p2q, где р, q— различные простые
числа; г) 42; 100; е) п < 60.
1.6.19. Доказать для трансвекций tu (а) — Е + аЕц
формулу [6а(ос), /*/(₽) ] = Ма₽) ПРИ различных i, j, k.
1.6.20. Доказать, что группа SL„(R)
а) совпадает со своим коммутантом;
б) не является разрешимой при п 2.
1.6.21. Пусть р, q — простые числа, причем р делит
q— 1. Доказать, что
а) существует целое г 1 (mod q) такое, что rp е» 1
(mod q);
б) существует (с точностью до изоморфизма) ровно
одна некоммутативная группа порядка pq.
1.6.22. Доказать, что
а) если в коммутативной группе элементы а, b свя-
заны соотношениями а5 — Ьъ =(ab)7 = е, то а = b = е;
б) подгруппа, порожденная в S7 перестановками
(123) и (1 4 567), не является разрешимой;
в) группа с порождающими элементами Xi, х2 и опре-
деляющими соотношениями xf = х^ = (XjX2)7 = е не яв-
ляется разрешимой.
1.6.23. Разрешима ли свободная группа?
Глава 2
КОЛЬЦА
§ 1. Кольца и алгебры J
2.1.1. Доказать, что образ коммутативного кольца
при гомоморфизме является коммутативным кольцом.
2.1.2. Доказать, что отображение <р: f(x)i-^f(c)
(ceR) является гомоморфизмом кольца вещественных
функций, определенных на R, на поле R.
2.1.3. Найти все гомоморфизмы колец:
a) Z->2Z; б) 2Z^2Z; в) 2Z->3Z; г) Z-»-M2(Z2).
2.1.4. Найти все гомоморфизмы
а) группы Z в группу Q;
б) кольца Z в поле Q.
2.1.5. Доказать, что любой гомоморфизм поля в коль-
цо является или нулевым, или изоморфным отображе-
нием на некоторое подполе.
2.1.6. Доказать, что всякая коммутативная алгебра
над полем К, порожденная конечным числом элементов,
1S6
изоморфна факторалгебре алгебры /С[хь ..., хп) для не*
которого п по некоторому идеалу.
2.1.7. Пусть Л, ..., Is — идеалы в алгебре с единицей
д h + h=A при i^j. Доказать, что отображение
S
ft А! П 4 АЩ х • • • ХЛ//4, задаваемое формулой
Й = 1
(S \
а+ П )= (а + Л> ••• > <* + !s), является изомор-
физмом алгебр.
2.1.8. Установить изоморфизм Q [х] /<х2 — 1> ~ Q ® Q.
2.1.9. Модуль называется нётеровым, если всякая воз-
растающая цепочка его подмодулей обрывается через
конечное число шагов. Доказать, что сюръективный го-
моморфизм нётерова модуля является автоморфизмом.
2.1.10. Рассмотрим кольцо М„(Я) над полем К. как
левый модуль над собой. Доказать, что
а) его фактормодуль по максимальному левому
идеалу изоморфен левому идеалу, состоящему из всех
матриц, вне первого столбца которых все элементы —
нули;
б) неприводимые унитарные модули над МП(Я) изо-
морфны между собой.
2.1.11. Пусть Н — тело кватернионов.
а) Является ли Н алгеброй над полем С, если умно-
жение на скаляр as С понимать как левое умножение
на а е Я?
б) Доказать, что отображение
, 1|1 oil . h о II . II о ill , || о i||
Mio ill’ М|о-/||’ MI-1 oil’ k^\\ i oil
является изоморфизмом H как алгебры над полем R на
некоторую подалгебру в алгебре матриц М2(С) над R.
в) Доказать, что отображение хь->||^®|| является
изоморфным вложением поля С в алгебру Н, реализован-
ную в виде подалгебры алгебры М2(С) над R (см. б)).
г) Решить в Н уравнение х2 — —1.
2.1.12. Найти все делители нуля алгебр:
а) С® С; б) функций на отрезке [0,1].
2.1.13. Доказать, что
а) делитель нуля в произвольной (ассоциативной)
алгебре не является обратимым;
б) в конечномерной алгебре с единицей всякий эле-
мент, не являющийся делителем нуля, обратим;
197
в) конечномерная алгебра без делителей нуля яв-
ляется телом (алгеброй с делением).
2.1.14. Доказать, что
а) конечномерная алгебра с единицей и без делите-
лей нуля над полем С изоморфна С;
б) над полем С не существует конечномерных алгебр
с делением, отличных от С.
2.1.15. Перечислить с точностью до изоморфизма все
коммутативные двумерные алгебры над С:
а) с единицей;
б) не обязательно с единицей.
2.1.16. Перечислить с точностью до изоморфизма все
коммутативные двумерные алгебры над R:
а) с единицей;
б) не обязательно с единицей.
2.1.17. Доказать, что коммутативное кольцо с еди-
ницей нётерово как модуль над собой (задача 2.1.9) тогда
и только тогда, когда каждый идеал кольца конечно по-
рожден.
2.1.18. Доказать, что если идеал кольца содержит об- .
ратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом.
2.1.19. Образуют ли идеал необратимые элементы ко-
лец:
a) Zie; б) Z24?
2.1.20. Найти все идеалы двумерной алгебры L над
полем R с базисом (1, е), где 1 —единица L, и а) е2 = 0;
б) е2 = 1.
2.1.21. Найти все идеалы колец:
a) Z6;6) Z32;b) Z2[x]/<x2+1>.
2.1.22. Найти все идеалы алгебры над К, являющейся
прямой суммой ф Kt полей, изоморфных полю К.
2.1.23. Пусть алгебра А над полем К является пря-
п
мой суммой полей ф Кь где все Ki изоморфны К. Найти
i = 1
все подалгебры в Д, содержащие единицу алгебры А.
2.1.24. (Китайская теорема об остатках,) Пусть А —*
коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что
а) если /1 и /2 — идеалы в А и Ц + /2=Д, то для
любых элементов xi, х2еЛ существует такой элемент
хеЛ, что х — — х2 е/2;
б) если /1, 1п — идеалы в А и /, + Л = ^ ДлЯ
всех i j, то для любых элементов хь ..., хп е А суще-
198
ствует такой элемент хеЛ, что х — xk^Ik (й = 1; ...
п).
2.1.25. Найти все идеалы прямой суммы простых ко-
лец Ai® ••• ®Ап, если умножение в А/— ненулевое
(i = 1, «)•
2.1.26. Доказать простоту алгебры матриц над полем.
2.1.27. Доказать, что
а) в кольце M„(Z) подкольцо Mrt(2Z) является дву-
сторонним идеалом;
б) любой ненулевой идеал в кольце Mn(Z) совпа-
дает с tAn(kZ) для некоторого k е N;
в) в кольце матриц Мп(/?) с элементами из произ-
вольного кольца R идеалами являются в точности мно-
жества матриц, элементы которых принадлежат фикси-
рованному идеалу кольца R.
2.1.28. Найти все идеалы кольца верхних треугольных
матриц порядка 2 с целыми элементами.
2.1.29. Пусть I и J — множества матриц вида
О g h II || О I 2m II
О 0 2k | и j 0 0 2п I
О 0 0 j Цо О О II
с целыми g, h, k, ... . Доказать, что I является двусто-
ронним идеалом в кольце R верхних треугольных матриц
над Z, I есть идеал кольца 1, но I не является идеалом
кольца R.
2.1.30. Найти все левые идеалы алгебры M2(Z2).
2.1.31. Пусть Ik (k = 1..n)—множество матриц
порядка п над полем К, состоящее из матриц, у которых
вне k-vo столбца все элементы равны 0. Доказать, что
a) h — левый идеал алгебры М„(/С);
б) Ik — минимальный подмодуль в Мп(/С), рассмат-
риваемой как левый модуль над собой;
в) МД/() = Д® ... ®1п,
г) модуль М2(/() обладает разложением в прямую
сумму минимальных подмодулей, отличным от разложе-
ния в);
д) между двумя этими разложениями модуля М2(/С)
существует модульный изоморфизм.
2.1.32. Доказать, что множества матриц:
199
являются подмодулями кольца М2(К) как левого модуля
над собой и М2(К)//
2.1.33. Найти все идемпотенты и все левые идеалы в
кольце М2(К).
2.1.34. Доказать, что центр алгебры M„(jD) над телом
D совпадает с множеством всех матриц вида Л£, где X
принадлежит центру тела D.
2.1.35. Пусть R— кольцо с единицей. Левым аннуля-
тором подмножества М <= R называется множество
{х е R | хт = 0 для всякого tn е М}.
Доказать, что
а) левый аннулятор любого подмножества является
в R левым идеалом;
б) . левый аннулятор правого идеала кольца R, порож-
денного идемпотентом, также порождается (как левый
идеал) некоторым идемпотентом.
2.1.36. Доказать, что сумма левых идеалов, порожден-
ных попарно ортогональными идемпотентами, также по-
рождается идемпотентом.
2.1.37. Доказать, что кольцо целых чисел не содержит
минимальных идеалов.
2.1.38. Найти максимальные идеалы в кольцах:
a) Z; б) СИ; в) R[х]; г) Z„.
2.1.39. Пусть А— коммутативная конечномерная ал-
гебра с единицей над полем К, В — подалгебра в А. До-
казать, что для всякого максимального идеала I в А
пересечение В Г) 1 является максимальным идеалом в В
и всякий максимальный идеал в В имеет такой вид.
2.1.40. Идеал / коммутативного кольца R называется
простым, если факторкольцо R/I не имеет делителей
нуля. Доказать, что в конечномерной коммутативной ал-
гебре с единицей всякий простой идеал является макси-
мальным.
2.1.41. Пусть R — кольцо непрерывных функций на
отрезке [0,1], Ic ={f(x)e/?lf(c) = 0} (0 с 1). До-
казать, что
а) 1С — максимальный идеал /?;
б) всякий максимальный идеал R совпадает с 1С для
некоторого с.
2.1.42. Доказать, что если /, J — максимальные левые
идеалы кольца R, то I = J или I + J = R.
2.1.43. Доказать, что коммутативное кольцо с едини-
цей (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных
200
от нуля и всего кольца, является полем. Существенно
ли для этого утверждения наличие единицы?
2.1.44. Доказать, что кольцо с ненулевым умноже-
нием и без собственных левых идеалов является телом.
2.1.45. Доказать, что кольцо с единицей и без дели-
телей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых
идеалов конечна, является телом.
2.1.46. Доказать, что кольцо Z[i] целых гауссовых чи-
сел является кольцом главных идеалов.
2,1.47. Доказать, что любое кольцо, заключенное ме-
жду кольцом главных идеалов R и его полем частных Q,
само является кольцом главных идеалов.
2.1.48. Доказать, что кольцо:
a) Z[xj,
б) F (х, у), где F — поле,
не является кольцом главных идеалов.
2.1.49. Доказать, что кольцо многочленов /?[х] над
коммутативным кольцом R с единицей и без делителей
нуля является кольцом главных идеалов тогда и только
тогда, когда R — поле.
2.1.50. Пусть R =11 Ф /2— разложение кольца с еди-
ницей е в прямую сумму двусторонних идеалов 1\, /2 и
е = ei + 62, где ei е /1, в2 е /2. Доказать, что ei и е2—
единицы колец Ii и /2.
2.1.51. Доказать, что кольца Zmn и Zm Ф Zn изо-
морфны тогда и только тогда, когда т и п взаимно
просты.
2.1.52. Кольцо называется вполне приводимым спра-
ва, если оно является прямой суммой правых идеалов,
являющихся простыми модулями над этим кольцом. При
каких п кольцо вычетов Zn вполне приводимо?
2.1.53. Доказать, что алгебра всех верхних треуголь-
ных матриц порядка п 2 над полем не является вполне
приводимой.
2.1.54. Доказать, что в коммутативном вполне приво-
димом кольце с единицей число идемпотентов и число
идеалов конечны.
2.1.55. Доказать, что во всякой вполне приводимой
алгебре пересечение всех максимальных идеалов равно
нулю.
2.1.56. Доказать, что всякое коммутативное вполне
приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме
полей.
2.1.57. Модуль называется вполне приводимым, если
его можно разложить в прямую сумму минимальных под-
201
модулей. Какие циклические группы вполне приводимы
как модули над кольцом Z?
2.1.58. Кольцо называется вполне приводимым слева,
если оно вполне приводимо как левый модуль над собой.
Доказать, что если кольцо R вполне приводимо слева и
/ — его левый идеал, то R = IФ J для некоторого левого
идеала J кольца R.
2.1.59. Доказать, что всякий левый идеал вполне при-
водимого слева кольца R
а) вполне приводим как левый модуль над R;
б) порождается идемпотентом.
2.1.60. Пусть R — вполне приводимое слева кольцо
с единицей. Доказать, что
а) если R не содержит идемпотентов, отличных от 0
и 1, то R — тело;
б) если R не содержит делителей нуля, то R-—
тело.
Верны ли эти утверждения для колец, в которых су-
ществование единицы заранее не предположено?
2.1.61. Доказать, что если ху = 0 для любых двух
элементов х, у левого идеала I вполне приводимого сле-
ва кольца R с единицей, то / ={0}.
2.1.62. Доказать, что если I — идеал кольца R с еди-
ницей, то факторкольцо R/I тоже имеет единицу.
2.1.63. Доказать, что факторкольцо R/I коммутатив-
ного кольца с единицей является полем тогда и только
тогда, когда / — максимальный идеал в R.
2.1.64. Доказать, что факторкольцо коммутативного
нётерова кольца также нётерово.
2.1.65. Доказать, что кольцо вычетов ZP] ...pm, где
pi, ..., рт — различные простые числа, является пря-
мой суммой полей.
2.1.66. Доказать, что
а) FIх]/<х— (F — поле);
б) R[x]/<x2 + 1>^С;
в) R [х]/<х2 + х + 1>«С.
2.1.67. При каких а и b факторкольца
Z2 [х] /<х2 + ах + ЬУ
а) изоморфны между собой;
б) являются полями?
2.1.68. Изоморфны ли факторкольца
Z3[x]/<x3 + l> и Z3[x]/<x3 + 2х2 + х-|-1>?
202
2.1.69. Изоморфны ли фактор кольца
Z[X]/<x2 — 2> и Z [X]/<х2 — 3>?
2.1.70. Пусть а, Ь — различные элементы поля F. До-
казать, что F [х] -модули К [х] /<х — а> и F [х] /<х — Ь) не
изоморфны, но соответствующие факторкольца изо-
морфны.
2.1.71. Доказать, что если а^Ь и с =/=d — элементы
поля F, то факторкольца F[x]/<(x — а) (х — Ь)> и
F [х] /< (х — с) (х — d) > изоморфны.
2.1.72. Какие из следующих алгебр изоморфны над С:
Д1 = С[х, у]/<х — у,ху — 1>, 4 = С[х]/<(х— 1)2>,
Л3 = СФС, Д4 = С[х,«/], Л5= С[х]/<х2>?
2.1.73. Изоморфны ли алгебры А и В над полем С:
а) А -=С[х,у]/(хп — у), В = С[х,у]/(х — ут>;
б) А = С[х,у]/<х2-у2>, В = С[х,у]/((х-у)2>?
< 2.1.74. Изоморфны ли следующие алгебры над полем R:
a) A = R[x]/<x2 + x+ 1>, B = R[x]/<2x2 —3х4-3>;
б) А = R [х] /<х2 + 2х + 1>, В = R [х] /<х2 — Зх + 2>?
2.1.75. Доказать, что элемент f алгебры К[х]/<хп+1>
(К — поле) обратим тогда и только тогда, когда Д0)У=0.
2.1.76. Пусть /Л (х)... p^s (х)— разложение многочлена
/(х) в произведение степеней неприводимых многочле-
нов с показателями ki 1 (i — 1.......п). Вычислить
размерность факторалгебры K.\x\/<j(x)} над К.
2.1.77. Пусть R— коммутативное кольцо с единицей,
рассматриваемое как модуль над собой, /, J — его
идеалы. Доказать, что если 7?-модули R/I и R/J изо-
морфны, то I — J.
2.1.78. Доказать, что:
а) факторкольцо Z [t] /<2> не является полем;
б) факторкольцо Z[i]/<3> является полем из 9 эле-
ментов;
в) Z [г]/<п> является полем тогда и только тогда,
когда п — простое число, не равное сумме двух квадра-
тов целых чисел.
2.1.79. Доказать, что при любом целом га > 1 фак-
торкольцо Z [х] /<п> изоморфно Z« [х].
2.1.80. Пусть f(x)—многочлен степени п из кольца
[х], неприводимый над полем Zp. Доказать, что фак-
торкольцо Zp [х] /<f (х) > является конечным полем, и
найти его число элементов.
203
2.1.81. Найти все подмодули в векторном пространстве
с базисом (еь ...» еп) как модуле над кольцом всех
диагональных матриц, если
diag(M, •••, А,п) ° (ai6i + ... 4-апеп) =
= Xi«i6i + ... + А,пап£?п.
2.1.82. Пусть R— коммутативное кольцо с единицей
и без делителей нуля, рассматриваемое как модуль над
собой. Доказать, что R изоморфно любому своему нену-
левому подмодулю тогда и только тогда, когда R —
кольцо главных идеалов.
2.1.83. Доказать, что правило h (х) ° f = h (xr) f, где
й(х)— фиксированный многочлен, превращает кольцо
многочленов F[x] над полем F в свободный модуль
ранга г над F [х].
2.1.84. Доказать, что правило 11
g(x) of(x)=a0f(x)+ aif'(x)+ ... + (х),
где g(x) = ao+aix+ + anx"— фиксированный мно-
гочлен, превращает F[x] в модуль над собой, у которого
все собственные подмодули конечномерны над F.
2.1.85. Доказать, что
а) всякое кольцо изоморфно подкольцу некоторого
кольца с единицей;
б) n-мерная алгебра над полем F изоморфна подал-
гебре алгебры с единицей размерности п -|- 1;
в) n-мерная алгебра с единицей над полем К изо-
морфна некоторой подалгебре алгебры Мя(/<);
г) n-мерная алгебра над изоморфна некоторой
подалгебре алгебры M«+i(/C).
2.1.86. Используя изоморфизм из задачи 2.1.79, дока-
зать, что
а) если f(x)eZ[x] и х(0), f(l) —нечетные числа, то
/(х) не имеет целых корней;
б) если коэффициенты каждого из многочленов f(x),
g(x)eZ[x] в совокупности взаимно просты, то коэффи-
циенты произведения f(x)g(x) также взаимно просты;
в) если все коэффициенты многочлена с целыми коэф-
фициентами, кроме старшего, делятся на простое число
р и свободный член не делится на р2, то многочлен не-
приводим над полем рациональных чисел.
2.1.87. Доказать, что
а) многочлен х37 + х35 + 1 делится на х2 + х + 1;
б) многочлен х36 — х15 — 2 делится на х2— х+ 1.
204
§ 2. Поля
В этом параграфе все кольца и алгебры предпола-
гаются коммутативными и обладающими единицей.
2.2.1. Пусть А — алгебра над полем К и K = Kocs
czKi^ ••• — башня подполей в А. Доказать, что
(Л:Х) = (Л:Л,)(К,:К4_1) ... (Кг. Ко).
2.2.2. Пусть А — алгебра над полем КиаеЛ. Дока-
зать, что
а) если элемент а не является алгебраическим над
К то подалгебра Л [я] изоморфна кольцу многочленов
К[х];
б) если а — алгебраический элемент над К, то К[я] ~
aiК[х]/{ца(х)), где р.0(х)—некоторый однозначно опре-
деленный унитарный многочлен (минимальный мноео-
член элемента а) (над К) ;
в) если А — поле, то для всякого алгебраического
над К элемента яеЛ многочлен ца(х) неприводим в
КМ;
г) если все элементы А алгебраичны над К и для вся-
кого а е Л многочлен (х) неприводим, то Л — поле.
2.2.3. Найти минимальные многочлены для элемен-
тов:
a) У2 над Q; б) Уб над Q; в) 'V9 над Q;
г) 2 — 3: над R; д) 2 — 3Z над С;
е) V2 4- Уз над Q; ж) 1 + д/2 над Q (У? + УЗ)-
2.2.4. Доказать, что
а) если А — конечномерная алгебра над К, то вся-
кий элемент из Л алгебраичен над К;
б) если Я], ..., я$еЛ— алгебраические элементы
над К, то подалгебра K[ai, ..., я«] конечномерна над К.
2.2.5. Доказать, что если А — поле и в], ..., а,е
е А — алгебраические элементы над К, то расширение
K(«i, as) совпадает с алгеброй К[яь ..., as].
2.2.6. Доказать, что множество всех элементов К-ал-
гебры А, алгебраических над К, является подалгеброй
® Л, а если А — поле, то подполем.
2.2.7. Доказать, что если в башне полей К = Ко с:
с с ... с Ks = L каждый этаж Ki-i cz Ki (t == 1, ...
• s) является алгебраическим расширением, то L/K —
алгебраическое расширение.
205
2.2.8. Доказать, что всякий многочлен с коэффициен-
тами из поля К имеет корень в некотором расшире-
нии L/K.
2.2.9. Пусть К — поле. Доказать, что
а) для произвольного многочлена из К. {х] существует
поле разложения этого многочлена над К',
б) для любого конечного множества многочленов из
/<[х] существует поле разложения над К.
2.2.10. Пусть К — поле, g(x)e/C[x], Л(х)е/С[х],
f(x) = g(h{x)), и а — корень многочлена g(x) в некото-
ром расширении L/К. Доказать, что многочлен f непри-
водим над К тогда и только тогда, когда g(x) неприво-
дим над К и й(х) — а неприводим над 7([а].
2.2.11. Пусть К — поле, а е К. Доказать, что
а) если р — простое число, то многочлен хр— а либо
неприводим, либо имеет корень в К;
б) если многочлен хп — 1 разлагается в К [х] на ли-
нейные множители, то многочлен хп — ае /С[х] либо не-
приводим, либо для некоторого делителя d ф 1 числа п
многочлен xd — а имеет корень в К',
в) предположение о разложимости хп — 1 на линей-
ные множители существенно для справедливости утверж-
дения б).
2.2.12. Доказать, что над полем К характеристики
р#=0 многочлен f(x) = xp— х — а либо неприводим,
либо разлагается в произведение линейных множителей,
и указать это разложение, если f(x) имеет корень хо.
2.2.13. Найти степень поля разложения над Q для
многочленов:
а) ах + b (a, b е Q, а =# 0); б) х2 — 2;
в) х3 — 1; г) х3 — 2; д) х4— 2; .
е) хр — 1 (р — простое число);
ж) х"— 1 (n е N);
з) х₽ — a (aeQ и не является р-й степенью в Q,
р — простое число);
и) (х2—£?i) ... (х2— ап) (at, .... ап s Q* и все раз-
личны).
2.2.14. Доказать, что конечное расширение L/К яв-
ляется простым тогда и только тогда, когда множество
промежуточных полей между К и L конечно, и привести
пример конечного расширения, не являющегося простым.
2.2.15. Пусть L/K — алгебраическое расширение. До-
казать, что расширение L(x)//((x) также алгебраическое
и (L(x): K(x))==(L:/Q.
206
2.2.16. Пусть L/K — расширение. Элементы at, ...
as с= L называются алгебраически независимыми
над К, если f^ai....для всякого ненулевого
многочлена /(хь ..., xs)e/([xi, ..., xsJ. Доказать, что
элементы он, .... as^L алгебраически независимы над
К тогда и только тогда, когда расширение К(х\, ..., Xi)
К-изоморфно полю рациональных функций/С(хь ..., xs\.
2.2.17. Пусть L/K— расширение и а.\, ..., ат, Ь\, ...
Ьп — две максимальные алгебраически независимые
над К системы элементов из L. Доказать, что т = п (сте-
пень трансцендентности L над К).
2.2.18. Доказать, что
а) в конечномерной Л-алгебре А имеется лишь конеч-
ное число максимальных идеалов, и их пересечение со-
впадает с множеством W(A) всех нильпотентных элемен-
тов алгебры А (нильрадикал алгебры А);
б) алгебра Агеа=А/У(А) — редуцированная (не со-
держит отличных от 0 нильпотентных элементов) ;
в) алгебра А/У(А) изоморфна прямому произведе-
нию полей Кь .... Ks, являющихся расширениями
поля К;
г) s<(A:K);
д) набор расширений Ki определен для алгебры А
однозначно с точностью до изоморфизма ');
е) если В — подалгебра в А, то всякая компонента В
является подрасширением в одной или нескольких ком-
понентах А;
ж) если I — идеал в А, то компоненты алгебры A/I
содержатся среди компонент алгебры А.
2.2.19. Пусть К — поле,/ (х) е К [*]>Pi . .ps(x)ks—
разложение f(x) в произведение степеней различных не-
приводимых многочленов над К, А = К [х] /</(х) >. Дока-
зать, что Ared = А/N (А) ~ Ц К [х]/ < pi (х) >.
2.2.20. Пусть А — /(-алгебра и L — расширение поля
Л. Доказать, что
а) если fit ..., fn — различные /(-гомоморфизмы
A-^Lt то fi,...., fn линейно независимы как элементы
векторного пространства над L всех /(-линейных отобра-
жений А-> £;
!) Расширения , Ks вместе с каноническими гомоморфиз-
мами А*-> Ks
называются компонентами алгебры А.
207
б) число различных /(-гомоморфизмов A-^L не пре-
восходит (Л : L). _
Найти все автоморфизмы полей Q(V2), Q(V2-h V^)
Q(^2).
2.2.21. Пусть A — конечномерная /(-алгебра, L — рас-
ширение поля К и (ai, ..., еп) — базис алгебры Л над К.
Определим на векторном пространстве Al над полем
L, состоящем из формальных линейных комбинаций
п
22 (at е L), произведение по правилу
i=l
(Е b,e^ = {£ j aibj (ер,).
Доказать, что
а) при естественном вложении Л в L-алгебру Al А
является в Ль /(-подалгеброй;
б) конструкция алгебры AL не зависит от выбора ба-
зиса (в1, ...,.0„) в следующем смысле: если A'L по-
строена, исходя из базиса (е'1г ... , е'п) алгебры Л над
К, то существует единственный изоморфизм L-алгебр
Al -* Л£, тождественный на Л.
2.2.22. Пусть Л — конечномерная /(-алгебра, L — рас-
ширение поля /(. Доказать, что
а) если В — подалгебра в Л, то Bl — подалгебра
в Ас,
б) если / — идеал алгебры Л и II — соответствующий
идеал в Ль, то (A/L)l szAo/Ic,
S S
в) если Л = ПЛ/, то Al ~ П (Л4)£;
1 = 1 1=1
г) если /(i, ..., Ks — множество компонент алгебры
Л, то множество компонент алгебры Ль совпадает с объ-
единением множеств компонент алгебр (/(1)ь, ••., (/(s)i;
д) если F — расширение поля L, то (Ль)? = ЛР.
2.2.23. Пусть Л — конечномерная /(-алгебра, L — рас-
ширение поля К, В — некоторая L-алгебра. Доказать, что
а) множество /(-гомоморфизмов А-+В можно отож-
дествить с множеством L-гомоморфизмов Ль—>-Вь;
б) множество /(-гомоморфизмов Л->£ находится в
биективном соответствии с множеством компонент ал-
гебры Ль, изоморфных L;
в) число различных /(-гомоморфизмов Л->£ не пре-
восходит (Л : К) (ср. с задачей 2.2.206)).
208
2.2.24. Пусть F и L—расширения поля К и Г —ко-
нечное. Доказать, что существует расширение Е/К, для
которого имеются вложения F в Е и L в Е, оставляющие
на месте все элементы из К.
2.2.25. Пусть А — конечномерная К-алгебра и ' А =
sae/Cfai, •••> а,]. Доказать, что следующие свойства рас-
ширения L/К равносильны:
а) все компоненты AL изоморфны L;
б) L — расщепляющее поле для минимальных много-
членов ai, ...» cis',
в) L — расщепляющее поле для минимального мно-
гочлена любого элемента а е А (расщепляющее поле
К-алгебры А).
2.2.26. Доказать, что если L — расщепляющее поле
К-алгебры А и В — подалгебра в А, то любой К-гомо-
морфизмВ->£ продолжается до К-гомоморфизма А->А.
2.2.27. Расщепляющее поле L для конечномерной
К-алгебры А называется полем разложения для А, если
никакое его собственное подполе, содержащее К, не яв-
ляется расщепляющим для А. Доказать, что
а) если А = К[«ь ..., as], то L — поле разложения
для А тогда и только тогда, когда L — поле разложения
для минимальных многочленов элементов а\...as‘,
б) любые два поля разложения К-алгебры А К-изо-
морфны;
в) для поля разложения К-алгебры А существует
К-вложение в любое расщепляющее поле для А.
2.2.28. Пусть А — конечномерная К-алгебра, L — рас-
щепляющее поле для А. Доказать, что число компонент
L-алгебры Al одно и то же для всех расщепляющих по-
лей алгебры А (сепарабельная степень (A:K)S ал-
гебры А).
2.2.29. Пусть А — К-алгебра и L — расширение поля
К. Доказать, что
а) число компонент алгебры AL не превосходит
И: К).;
б) число различных К-гомоморфизмов A-+L не пре-
восходит (А : К) s и равенство имеет место тогда и толь-
ко тогда, когда L — расщепляющее поле для А.
2.2.30. Доказать, что следующие свойства конечного
расширения L/К равносильны:
а) все компоненты алгебры Ll изоморфны L;
б) L имеет (L : К) К-автоморфизмов;
в) для любых К-вложений <р(-: L-+L' (i— 1,2) поля
Е в любое расширение L'/K <fi(L)= <р2(Ь)_;
209
г) всякий неприводимый многочлен из /([х], имею-
щий корень в L, разлагается над L в произведение ли- :
нейных множителей; I
д) L — поле разложения некоторого многочлена из
/<[х]. (Расширение L/К, удовлетворяющее этим усло-
виям, называется нормальным.)
2.2.31. Пусть KcLcF — башня конечных расшире-
ний поля К. Доказать, что
а) если расширение F/К нормальное, то расшире-
ние F/L также нормальное;
б) если расширения L/К и F/L нормальные, то рас-
ширение F/К не обязательно нормальное;
в) всякое расширение степени 2 нормально.
2.2.32. Пусть А — конечномерная /(-алгебра и аеЛ. ;
Характеристический многочлен, определитель и след ли- ,
нейногр оператора t*—>at на А обозначаются соответ- ;
ственно через %л/х(а, х), Нл/к(а), tr^/x(a) и называют-
ся соответственно характеристическим многочленом, нор- •
мой и следом элемента а алгебры А над /(.
Доказать, что если /( с: L с: F — башня конечных рас- !
ширений полей и а е F, то
а) Xf/k(«» х) — ^цх)1К(х)(%рц(а, х)), |
где х) рассматривается как элемент поля рацио-
нальных функций /((х);
б) Nf/x (а) = Nl/x (Nf/l (а));
в) trF/K (а) = tri/к (trf/z, (а)).
2.2.33. Пусть L/K — конечное расширение и а е L.
Доказать, что
а) минимальный многочлен элемента а равен
±%х(а)/х(а, х);
б) %£/х(а, х) является (с точностью до знака) сте-
пенью минимального многочлена элемента а.
2.2.34. Пусть L/K — конечное расширение. Доказать,
что /(-билинейная форма на L
(х, у)>-> t'r£/K(xi/)
либо невырожденная, либо trt/x(x) = 0 для всех xgL
2.2.35. Доказать, что следующие свойства конечно-
мерной /(-алгебры А равносильны:
а) для всякого расширения L/К алгебра Al редуци-
рованная (задача 2.2.18);
б) (Л : K)s = (Л : К) (задача 2.2.28);
210
в) для некоторого расширения L/К существует (А : К\
/(-гомоморфизмов А —► L;
г) билинейная форма (х, y)i->trA/K(xt/) на А невы-
оождена. (Алгебра А, удовлетворяющая этим условиям,
называется сепарабельной.)
2.2.36. Пусть L — расширение поля К. Доказать, что
конечномерная К-алгебра А сепарабельна тогда и только
тогда, когда сепарабельна L-алгебра AL.
2.2.37. Доказать, что всякая подалгебра и всякая фак-
торалгебра сепарабельной К-алгебры является сепара-
бельной К-алгеброй.
2.2.38. Пусть А — сепарабельная К-алгебра, (А:К) =
= п, <рь .... фл — различные K-гомоморфизмы алгебры
Д в некоторое ее расщепляющее поле L. Доказать, что
для всякого элемента а е А
п п
Тгл/к (а) = Е («)> Na/k (а) = П Ф/ (а).
i=l
п
Хмк (а, х) = П (фг (а) — х).
i=l
2.2.39. Конечное расширение L/К называется сепара-
бельным, если L — сепарабельная К-алгебра.
а) Доказать, что сепарабельное расширение полей
является простым. _
б) Являются ли числа а = —пЬ = ^2-\-1
примитивными элементами расширения Q(V2, t)/Q?
2.2.40. Доказать, что конечномерная К-алгебра сепа-
рабельна тогда и только тогда, когда она является пря-
мым произведением сепарабельных расширений поля К.
2.2.41. Пусть К = Kod Ki<=. ... <= Ks czL — башня
конечных расширений полей. Доказать, что расширение
L/К сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое
расширение (i= 1, ..., s) сепарабельно.
2.2.42. Пусть К — поле. Многочлен f(x)eK[x] назы-
вается сепарабельным, если ни в каком расширении поля
К он не имеет кратных корней. Доказать, что
а) если К. имеет характеристику 0, то всякий непри-
водимый многочлен из К [х] сепарабелен;
б) если К имеет характеристику р =/= 0, то неприводи-
мый многочлен f(x)eK[x] сепарабелен тогда и только
тогда, когда его нельзя представить в виде е(хр), где
£(*)<= K[xJ.
211
Привести пример несепарабельного неприводимого
многочлена над каким-либо полем.
2.2.43. Пусть А — конечномерная К-алгебра. Элемент
а е А называется сепарабельным над полем К, если
К [а]—сепарабельная К-алгебра. Доказать, что элемент
сепарабелен тогда и только тогда, когда сепарабелен его
минимальный многочлен.
2.2.44. Пусть К с LczF — башня конечных расшире-
ний полей. Доказать, что
а) если элемент ае F сепарабелен над К, то а сепа-
рабелен над L;
б) утверждение, обратное к а), верно, если расши-
рение L/К сепарабельно.
2.2.45. Пусть А — сепарабельная К-алгебра, /(х)е
еК[х]— сепарабельный многочлен. Доказать, что ал-
гебра В. = А [x]/<f(x)> сепарабельна.
2.2.46. Пусть А = К[оь ..., а«] — конечномерная К-
алгебра. Доказать, что следующие условия утверждения
равносильны:
а) Л — сепарабельная К-алгебра;
б) всякий элемент а е А сепарабелен;
в) элементы ai.....as сепарабельны.
2.2.47. Доказать, что
а) всякое конечное расширение поля К сепарабельно
тогда и только тогда, когда либо К имеет характери-
стику 0, либо характеристика К равна р > 0 и Кр = К;
б) всякое конечное расширение конечного поля сепа-
рабельно.
2.2.48. Конечное расширение полей L/К характери-
стики р > О называется чисто несепарабельным, если в
L\K нет сепарабельных элементов над К. Доказать, что
L/К является чисто несепарабельным расширением тогда
и только тогда, когда Lpk s К. для некоторого k^l.
2.2.49. Пусть К с Ко cz Ki с: ... с Ks = L — башня
конечных расширений полей. Доказать, что расширение
L/К чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда
каждое расширение (г = 1, ..., s) чисто несепа-
рабельно.
2.2.50. Доказать, что степень чисто несепарабельного
расширения поля характеристики р > 0 является сте-
пенью числа р, а его сепарабельная степень равна 1.
2.2.51. Пусть L/K — конечное расширение полей. До-
казать, что
а) множество Ks всех сепарабельных над К элемен-
тов из L является полем, сепарабельным над К;
212
L/Ks— чисто несепарабельное расширение;
в (к,:К) = (Ь:Ю/.
г) (L:K) = (L:K)s-(L:K)i, где (L : /(),• =(L : Ks)-
несепарабельная степень расширения L/K.
2.2.52. Пусть KczLcz F — башня конечных расшире-
ний полей. Доказать, что
a) (F: K)s =(F:£)»•(£:К),;
б) (F:/()£=(F :£)<•(£ :/(),•.
2.2.53. Пусть L/K— конечное расширение полей,
п ==(£:/()« и epi...<рп — множество всех /(-вложений
поля L в какое-либо расщепляющее поле расширения
L/К. Доказать, что при любом йе£
а) tu/к (а) = £ Ф/ (а);
ОП 1
IФ/ (a)J ;
/ П \ (L : К)г
в) XL/к (a, x) = (П (Ф/ («) —
2.2.54. Нормальное сепарабельное расширение полей
L/K называется расширением Галуа, а группа /(-авто-
морфизмов такого расширения называется его группой
Галуа и обозначается через G(L/K). Доказать, что
a) G(L/K) транзитивно действует на множестве кор-
ней из поля L минимального многочлена любого эле-
мента поля L;
б) порядок группы G(L/K) равен степени расшире-
ния L/K.
2.2.55. Найти группу Галуа расширения:
a) C/R;_6) Q_(V2)/Q; в) G(L/K), где (L:K) = 2;
- г) Q(V2+V3)/Q.
2.2.56. Группой Галуа над полем К сепарабельного
многочлена f (х) е К [х] называется группа Галуа поля
разложения этого многочлена над К (как некоторая
группа перестановок на множестве корней f(x)). Найти
группы Галуа над полем Q многочленов из задачи 2.2.13.
2.2.57. Пусть G — конечная группа автоморфизмов
поля L и К = L0 — поле неподвижных элементов. Дока-
зать, что L/K — расширение Галуа и G(L/K)= G.
2.2.58. Доказать, что если элементы ai, ..., ап алгеб-
раически независимы над полем К, то группа Галуа мно-
гочлена хп -j-.aix"-1 + ... +ап над полем рациональных
Функций К(х\, ..., хп) есть Sn.
213
2.2.59. Доказать, что всякая конечная группа являет-
ся группой Галуа некоторого расширения полей.
2.2.60. (Основная теорема теории Галуа.) Пусть L/K —
расширение полей и G — его группа Галуа. Доказать,
что сопоставление всякой подгруппе Н cz G подполя LH
неподвижных элементов определяет биективное соответ-
ствие между всеми подгруппами группы G и всеми про-
межуточными подполями расширения L/К, при котором
промежуточное подполе F соответствует подгруппе Н =
= G(L/F); при этом расширение F/К нормально тогда и
только тогда, когда подгруппа Н нормальна в G, и в
этом случае каноническое отображение G-+G(F/K) оп-
ределяет изоморфизм G(F/K) G/H.
2.2.61. Используя основную теорему теории Галуа и
существование вещественного корня у всякого много-
члена нечетной степени с вещественными коэффициен-
тами, доказать алгебраическую замкнутость поля комп-
лексных чисел.
2.2.62. Доказать, что группа Галуа всякого конечного
расширения L/Fp циклическая и порождается автомор-
физмом хь->xD (xeL).
2.2.63. Доказать, что группа Галуа над полем К се-
парабельного многочлена f(x)^K[x], рассматриваемая
как подгруппа в Sn, содержится в группе четных пере-
становок тогда и только тогда, когда дискриминант
/)== П(*/ — X/)2 многочленаf(x),где xi, ..., хп — корни
i>i
f(x) в его поле разложения, является квадратом в полеК.
2.2.64. Пусть L/K — расширение Галуа с циклической
группой Галуа <ф>п. Доказать, что существует такой эле-
мент a^L, что элементы а, ф(а), ..., ф^Ца) обра-
зуют базис L над К.
2.2.65. Пусть L/K — сепарабельное расширение сте-
пени п и фь ..., фл — различные К-вложения L в некото-
рое расщепляющее для L поле. Доказать, что элемент
а е L является примитивным элементом в L/К тогда и
только тогда, когда образы фДа), ..., фп(а) различны.
2.2.66. Найти группу автоморфизмов /(-алгебры, яв-
ляющейся прямым произведением и полей, изоморфных К.
2.2.67. Пусть L/K — расширение Галуа с группой Га-
луа G, L = ПА0, где — компонента алгебры Ll, проек-
ция на которую индуцирует на L автоморфизм о, и еа —
единица компоненты Lo. Доказать, что для продолжений
214
автоморфизмов из G до L-автоморфизмов алгебры Lt
справедливы равенства т(ео) = еох_1 (сг, теО).
2.2.68. Пусть L — расщепляющее поле для сепара-
бельной К-алгебры А и <рь ..., <рп — множество всех
Х-гомоморфизмов А -+ L. Доказать, что элементы у\, ...
уп^ А образуют базис А над К тогда и только
тогда, когда det||<p,(jf/) ||#= 0.
2.2.69. (Теорема о нормальном базисе.) Доказать, что
в расширении Галуа L/К с группой Галуа G существует
такой элемент а <= L, что множество {о(а)|себ} яв-
ляется базисом поля L над К.
2.2.70. Найти поле инвариантов К. (хь ... , хп)Хп для
группы Ая, действующей на поле рациональных функ-
ций посредством перестановок переменных.
2.2.71..Пусть 8 — первообразный комплексный корень
степени п из 1 и группа G = <о>п действует на поле
C(xi хп) по правилу о(х,)=8‘х/ (t = l, - п).
Найти поле инвариантов С(xi, ..., хп)°.
2.2.72. Найти поле инвариантов для группы G, дей-
ствующей на поле С(хь .... х„) посредством цикличе-
ской перестановки переменных.
2.2.73. Пусть поле К содержит все корни степени п
из 1 и элемент а е К не является степенью с показате-
лем d > 1 ни для какого делителя d числа п. Найти
группу Галуа над К многочлена х" — а.
2.2.74. Пусть поле К содержит все корни степени п
из 1 и L/K — расширение Галуа с циклической группой
Галуа порядка п. Доказать, что L — K.^а) для неко-
торого элемента а^К.
2.2.75. Пусть поле К содержит все корни степени п
из 1. Доказать, что конечное расширение L/К. является
расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода
п тогда и только тогда, когда L = K(Gi, ..., 0S), где
6? = а{ <= К (i = 1..s) (т. е. L является полем разло-
жения над К. многочлена П (х? — «//)•
2.2.76. Пусть поле К содержит все корни степени п
из 1 и L = /((9i, .... 9Д, где 0? = а. б=/(* (t=l, ...
, s). Доказать, что
в(Ь/Ю~((КТ, ai> .... as)/(KT-
2.2.77. Пусть поле К содержит все корни степени п
из 1. Установить биективное соответствие между множе-
215
ством всех (с точностью до /(-изоморфизма) расширений
Галуа с абелевой группой Галуа периода п и множе-
ством всех конечных подгрупп группы /<*/(/<*)".
2.2.78. Доказать, что всякое расширение Галуа £//(
степени р поля К характеристики р>0 имеет вид L =
= /<(0), где 0 — корень многочлена хр— х — а (ае/С),
и, обратно, всякое такое расширение является расшире-
нием Галуа степени 1 или р.
2.2.79. Пусть К — поле характеристики р >• 0. Дока-
зать, что конечное расширение L/К является расшире-
нием Галуа с абелевой группой Галуа периода р тогда
и только тогда, когда L = Л(0ь .... 0s), где 0,' — корень
многочлена хр— х — a, (at <= /(; i = 1, ..., s).
2.2.80. Пусть К — поле характеристики р > 0 и L =
= /<(01, ..., 0S), где 0,- — корень многочлена хр — х — at
(а,еК; i = 1, ..., s). Доказать, что
G (/.//<) а-<р (К), ai, .... asy/K,
где р: К-*-К— аддитивный гомоморфизм xi—>хр— х.
2.2.81. Пусть К. — поле характеристики р > 0. Уста-
новить биективное соответствие между множеством всех
(с точностью до /(-изоморфизма) расширений Галуа L/K
с’абелевой группой Галуа периода р и множеством всех
конечных подгрупп группы /</р(/<).
2.2.82. Доказать, что всякий многочлен положитель-
ной степени с целыми коэффициентами имеет корень в
поле Zp для бесконечного множества простых чисел р.
2.2.83. Пусть F— конечное поле. Доказать, что для
всякого отображения Л: Fn-> F существует многочлен из
кольца /7[Х1, ..., хп], для которого f(ait ..., ап) —
~h{a\, ..., ап) для любых а\, ап<= F.
2.2.84. Доказать, что число элементов конечного поля
является степенью простого числа.
2.2.85. Доказать, что всякое конечное расширение ко-
нечного поля является простым.
2.2.86. Доказать, что если F — поле из q элементов, то
хч — х = п (х — а).
2.2.87. Доказать, что
а) конечное расширение конечного поля нормально;
б) любые два конечных расширения конечного поля
F Г-изоморфны.
2.2.88. Доказать, что
а) для любого числа q, являющегося степенью про-
216
стого числа, существует единственное (с точностью до
изоморфизма) поле из q элементов,
б) вложение поля F9 в поле Fa< существует тогда и
только тогда, когда q' есть степень q-,
в) если К и L — конечные расширения конечного поля
р то F-вложение поля К в L существует тогда и только
тогда, когда (К: F) | (L : F);
г) если многочлен f(x) над конечным полем F раз-
лагается в произведение неприводимых множителей сте-
пеней П1, • • •, ns, то степень поля разложения много-
члена f(x) над F равна наименьшему общему кратному
чисел пь . • •,
2.2.89. Доказать, что
а) для всякого п 1 существует многочлен степени
п, неприводимый над полем F?;
б) число неприводимых над F9 многочленов степени
п равно £ ц (-J) qn .
d I п
2.2.90. Пусть F — конечное поле из нечетного числа q
элементов. Элемент а е F* называется квадратичным вы-
четом в F, если двучлен х2— а имеет корень в F. Дока-
зать, что
а) число квадратичных вычетов равно (q—1)/2;
б) а является квадратичным вычетом тогда и только
тогда, когда a^~l}12 = 1, и не является квадратичным вы-
четом при а<<7-»/2 — _ j
2.2.91. Для элемента ае F* положим 0.) равным 1,
если а — квадратичный вычет в F, и —1 в противном
случае. Доказать, что
а) отображение Г*->{—1, 1}, при котором *(/)>
является гомоморфизмом групп;
б) (£) = sgnoa, где оа: х^ах— перестановка на
множестве элементов поля F.
2.2.92. Пусть а и b — взаимно простые числа и
о: xi—^ax — перестановка на множестве классов вычетов
по модулю Ь. Доказать, что
а) если Ъ четно, то
1 при *s2(mod4)>
(. (— 1)(“-W2 при j = q (mod 4);
217
б) если Ь нечетно, 6 = Прг (pt, , ps — простые
i = l
числа), то
sgna = n(X).
где () (символ Лежандра) (в этом случае
sgnor обозначается через и называется символом
Якоби);
»>G“j=«.)(□• (т)-(?)(?)=
г) (~J) -=(-1)1’-».
2.2.93. Пусть G — аддитивно записанная конечная
абелева группа нечетного порядка, о — автоморфизм
группы G, = sgn or, где or рассматривается как пере-
становка на множестве G. Доказать, что если G пред-
ставляется в виде объединения {0} U S U {—S} непересе-
кающихся подмножеств, то (д) —(—s>l.
2.2.94. Пусть <т—автоморфизм группы G нечетного
порядка, Gi — подгруппа в G, инвариантная относитель-
но о, Qi = G/Gi и ai, Па — автоморфизмы G\ и Gz, ин-
дуцированные о. Доказать, что
(S) -©(?.)
и получить отсюда утверждение 2.2.92 б).
2.2.95. (Лемма Гаусса.) Доказать, что если N — ко-
1 ь - 1
личество чисел х из промежутка 1 х —д— , для ко-
торых ах s г (modft), —1, то (“)=(—l)w.
2.2.96. Доказать, что 0) = (—-1)(62_|)/8.
2.2.97. (Квадратичный закон взаимности.) Доказать,
что для любых взаимно простых чисел а и b
2.2.98. Пусть V — конечномерное векторное простран-
ство над конечным полем Р нечетного порядка, S&— не-
218
вырожденный линейный оператор на V. Доказать, что
(?)-ГП
§ з. Специальные классы алгебр
2.3.1. Доказать, что кольцо многочленов от одного пе-
ременного над коммутативным нётеровым кольцом с еди-
ницей является нётеровым.
2.3.2. Доказать, что алгебра многочленов от конеч-
ного числа переменных над полем нётерова.
2.3.3. Доказать, что алгебра верхних нильтреуголь-
ных матриц порядка п является нильпотентной алгеброй
индекса п.
2.3.4. Доказать, что все автоморфизмы алгебры мат-
риц над полем являются внутренними.
2.3.5. Доказать, что
а) элемент алгебры /([ [xi, .... хп] ] формальных сте-
пенных рядов над полем обратим тогда и только тогда,
когда его свободный член отличен от 0;
б) всякий идеал алгебры К [ [х] ] является главным;
в) всякий автоморфизм <р алгебры /<[ [х>, ..., хп] ]
определяется равенствами
Ф (**) = S + gt (z = 1, ... , п),
где gt — ряды без линейных членов и det ||а,7-|| =/=(), и, об-
ратно, такая формула всегда определяет автоморфизм
алгебры К [ [xi, ..., хп] ];
г) в алгебре K[[xi, ..., хп] ] существует собственный
идеал, содержащий все остальные собственные идеалы;
д) С-алгебры С [[х, у]]/(у2 — х3, у) и С [[х]]/<х2> не
изоморфны.
2.3.6. Алгебра А (а, Р) обобщенных кватернионов над
полем F характеристики, отличной от 2, где а, 0 е F*,
определяется как векторное пространство над F с бази-
сом (1,г, j, k) и таблицей умножения
1.1 = 1, Ь( = М = i,
Ь/ = /.1 = 1, \.k = k-\==k,
I2 = —a, j2 = —р, ij = —ji — k.
Доказать, что
а) А(а, р) — (ассоциативная) центральная простая
алгебра над полем F;
219
б) отображение
х = х0 + x\i + х2/ + xsk I—> х0 — Xti — xaj — x3k = x
является инволюцией (т. е. для любых х, у^А(а, р) вы-
полняются равенства х + у = х + у, ху = ух, х = х);
в) для любого х е А (а, Р)
х2 — (tr х) х + N (х) ® О,
где trx —х + х и N (х) = хх — элементы поля F;
г) алгебра А (а, Р) является телом тогда и только
тогда, когда норменное уравнение N(x) = 0 имеет в ней
только нулевое решение;
д) алгебра А (а, Р) является либо телом, либо изо-
морфна алгебре матриц M2(f)— в соответствии с суще-
ствованием или отсутствием в ней делителей нуля;
е) если норменное уравнение имеет в алгебре А (а, р)
ненулевое решение, то оно имеет решение и в множе-
стве ненулевых чистых кватернионов;
ж) подалгебра F(a), порожденная элементом алгебры
А (а, Р), является коммутативной алгеброй размерности
2 над F, и если а не является делителем нуля, то F(a)—
поле, изоморфное полю разложения многочлена х2 —
— (trx)x+ N(x);
з) (Теорема Витта.) норма N(x) является квадратич-
ной формой ранга 3 на подпространстве чистых кватер-
нионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3
на трехмерном векторном пространстве W над полем F
соответствует алгебра обобщенных кватернионов, опреде-
ляемая как векторное пространство F Ф W с правилами
умножения
1 'W — W-1,
ПУ1- W2 — —Q(W1, w2) • 1 + [о>1, w2] ,
где Q — билинейная форма на W, ассоциированная сдан-
ной квадратичной формой, '[шь w2\ — векторное произве-
дение элементов пространства W (см. ниже 2.3.8 з));
и) приведенная конструкция устанавливает биектив-
ное соответствие между кватернионными алгебрами над
полем F (с точностью до изоморфизма) и классами экви-
валентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном
векторном пространстве над F. (Формы Q: WXW-+-F
и Q': W"XW"-»W называются эквивалентными, если
существует изоморфизм a: W -> W' и элемент % е F* та-
кие, что Q'(a(x), a(y))= %Q(x, у) для любых х, t/e IT.)
220
2.3.7. Конечномерная алгебра называется noiynpo-
стой, если она не содержит ненулевых нильпотентных
идеалов. Доказать, что
а) факторалгебра С[х]/</(х)> полупроста тогда и
только тогда, когда многочлен f(x) не имеет кратных
корней;
б) алгебра, порожденная полем С и матрицей А в
алгебре МП(С), полупроста тогда и только тогда, когда
минимальный многочлен матрицы А не имеет кратных
корней;
в) конечномерная полупростая алгебра без единицы
над полем F является векторным пространством над/е,
где е2 = 0;
г) коммутативная полупростая алгебра с единицей
изоморфна прямой сумме полей;
д) если все идемпотенты полупростой алгебры лежат
в центре, то алгебра является прямой суммой нескольких
тел,
2.3.8. Пусть (ei.еп) — базис векторного простран-
ства V над полем К характеристики, отличной от 2, н
A(V)—алгебра с базисом, состоящим из 1 и всевозмож-
ных символов вида
е^Де^Д.. (1 < < i2 < ... <
с внешним законом умножения (см. часть 2, глава 5).
(внешняя, или грассманова алгебра над векторным про-
странством V).
а) Доказать, что внешняя алгебра А над К является
(ассоциативной) алгеброй ранга 2" над К.
б) Доказать, что при п = 4 все разложимые эле-
менты v\ А ц2 в A2V удовлетворяют невырожденному од-
нородному квадратичному уравнению Q(x0, ..., Xs) = 0.
(Множество решений этого уравнения в пятимерном
проективном пространстве Р8 над К — квадрика Плюк-
кера.)
в) Доказать, что все разложимые векторы в про-
странстве ArV (2 г п — 2) удовлетворяют некото-
рой системе однородных квадратичных уравнений
Q; = (Система всех таких уравнений,
которым удовлетворяют разложимые векторы ArV, опре-
деляют в проективном пространстве р(г) 1 алгебраиче-
ское многообразие, называемое грассмановым многооб-
221
разием G(r,n) r-мерных подпространств в n-мерном про-
странстве.)
г) Для любого ненулевого вектора v е V определим
гомоморфизм <p‘: AzV->-A‘+IK (z = 0...га—1) форму-
лой <pz(u>) = u> Д v. Доказать, что последовательность го-
моморфизмов
фО ф! фп”1
’И D
Я = А°7 —>A'V—-»• ... -^->A'tIz = 7<
точна, т. е. Ker<p‘+1 = Im cpz (i = 0, ...» га — 1).
д) Доказать, что формула
Н]-‘
ф(«<) = Е ^z+i + ^e! Д ... Леп,
/-1 Z-1
где (еь ..., еп)— базис V, det||a,/||^= 0, a ay2z+i е A2Z+* V —•
произвольные элементы, определяет автоморфизм ал-
гебры Л( V).
е) Пусть на пространстве V имеется квадратичная
форма Q. Тогда на пространстве A₽V можно ввести квад-
ратичную форму Q<p) по формулам
Q(0)(l)=l,
Q(vlt oj ... Q(v1( vp)
Q<p>(t»1 Д ... A vp) = det
Q(vu o,) ... Q(vp, vp)
Доказать, что полученное продолжение формы Q на ал-
гебру А(V) является невырожденной квадратичной фор-
мой на Л( V).
ж) Ориентацией «-мерного векторного пространства
с невырожденной квадратичной формой Q называется
элемент d е Л"V, для которого Q(n)(d)= 1. Доказать, что
если det Q является квадратом в поле К, то на V имеются
ровно две ориентации и для любой из них, скажем, d,
можно определить изоморфизм векторных пространств
ка‘. У-*-Ал-1У, удовлетворяющий соотношению
v /\ x — Q(v, Xdix)d = Q(n~1)(^dV, v)d.
(Q — билинейная форма, соответствующая квадратичной
форме Q.)
222
з) Используя изоморфизм kd из предыдущего пункта,
определим в случае dim V = 3 билинейное отображение
у У-+. у с помощью формулы
[х, г/] = AJ1 (х Л у) (х, у е= V).
Доказать, что так определенное умножение в V наделяет
V структурой алгебры Ли над К.
2.3.9. Пусть Я — симметрическая (n X п)-матрица по-
рядка п над полем F. Алгеброй Клиффорда называется
2п-мерное пространство C(F, Н) над F с базисом, состав-
ленным из символов
е»,... ik (1 < ii < i2 < • • • < it < n) и e0 = 1,
и с умножением, определяемым правилами
е^еi eoet е ^е^ e^t s^e^ s
е^... ik = eix ... elk (1 < ^ < ... < < n).
Если V — n мерное векторное пространство с базисом
(е\, .... Sn) и квадратичной формой Q,to алгебра Клиф-
форда Cq(F) квадратичной формы Q определяется как
алгебра С (F, Н), где Л// = Q (ei, ej).
а) Доказать, что если Я = 0, то C(F, Н) s^A(V).
б) Четной • алгеброй Клиффорда C+(F,H) (или
Cq(F)) называется подалгебра алгебры Клиффорда,
порожденная элементами • ... • в;2т (/п = 0, 1, ...
..., [у-])* Доказать, что четная алгебра Клиффорда
квадратичной формы
Q(xp х2, х3) = Л^х2 + Zz12XjX2-|-Л22х2,
не распадающейся в Г на линейные множители, является
квадратичным расширением поля F, изоморфным полю
разложения Г(д//^2 — 4/iu/i22) формы Q.
в) Доказать, что при char Г =# 2 четная алгебра
Клиффорда квадратичной формы Q на трехмерном век-
торном пространстве V изоморфна алгебре обобщенных
кватернионов формы Q(2) на трехмерном векторном про-
странстве № = Л2К (см. задачи 2.3.8 и 2.3.6).
г) В условиях в) доказать, что квадратичная форма
N(x) = xx на подпространстве чистых кватернионов экви-
валентна форме XQ (ле F*).
2.3.10. Тензорной алгеброй векторного пространства V
вад полем К называется (бесконечномерное) векторное
223
пространство
Т(Ю=© Tfe(V),
где TQ(V) = K, Tfe(V) = V® ... ®V при k>0, ,
k раз
с умножением
Тк(ЮХТх(7)->Тй+1(П ик-и1 = ик®и1.
а) Доказать, что внешняя алгебра A(V) изоморфна
факторалгебре алгебры Т(У) по двустороннему идеалу,
порожденному всеми элементами о2 V).
б) Доказать, что алгебра Клиффорда Cq(K) изо-
морфна факторалгебре алгебры Т(У) по двустороннему
идеалу, порожденному всеми элементами вида о2 — Q(t>)
!(veV).
в) Симметрической алгеброй S(V) называется фак-
торалгебра алгебры Т(У) по двустороннему идеалу, по-
рожденному всеми элементами вида u-v — v-u (и, »s
е V). Доказать, что алгебра S(V) n-мерного векторного
пространства V изоморфна алгебре многочленов
/С[Хх Хп].
2.3.11. Пусть А = До ® Ai — 2-градуированная ассо-
циативная алгебра над полем К, т. е. А,А/ с: А,+/ (сложе-
ние индексов по модулю 2). Определим в А новую опе-
рацию, полагая \х,у] = ху—(—\)Чух, где хе А,, цеА/.
а) Доказать, что для любых однородных элементов
х е At, у е А/, z е А имеем
[X, [у, Z] ] + [у, [z, х] ] 4- (-1) ‘Ж [г, [х, у] ] = 0.
Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные эле-
менты удовлетворяют данным соотношениям, называется
супёралгеброй Ли.
б) Пусть V — «-мерное векторное пространство с ба-
зисом (в], ..., еп) над полем К характеристики, не рав-
ной 2, и А(У) — внешняя алгебра на V, I — тождествен-
ный оператор на V, Lq == К • 1 и Li — линейная оболочка
операторов <р(-. и ф,-, где
<Р/ (да) = w А еь
А ... Де/р) =
1)”“*^ А ••• A^ft А ... А%. если ik = i>
( 0, если ik =¥= I для всех k=l, р.
224
Показать, что L = Ц ® L\ является супералгеброй Ли
относительно операции, введенной в а).
2.3.12. Пусть А и В — алгебры над полем К. Тензор-
ное произведение алгебр С = А®КВ определяется как
тензорное произведение векторных пространств А и В
над К с умножением
(а' ® Ь') • (а" ® b") = а'а" ® b'b".
Доказать изоморфизм алгебр над полем К'.
а) С ®R С — С ХС (К == R или С);
б) Мя(Х)®Мт(К)~Мтя(/<);
в) Мп(К)®кА где А — произвольная ассо-
циативная алгебра над К;
г) ВД......Xn]®KK[Yl......Ут]~
.....Xn,Yi....Ут];
д) H®RC~M2(C) (K = C или R);
e) S(7)®A(V)~T(V) при dimF = 2;
ж) q(Vp)®g(V<7) — Q(Vp + V?)> где p и <? —раз-
личные простые числа.
2.3.13. Пусть /С — расширение поля Q степени п.
Доказать, что
а) для любого многочлена f(x)eQ[x] степени п най-
дется матрица А порядка п, для которой f(A) = O;
б) алгебра M„(Q) содержит подалгебру, изоморф-
ную Л';
в) если L — подалгебра в M„(Q), являющаяся полем,
то [L: Q] га.
2.3.14. Имеет ли делители нуля С-алгебра аналитиче-
ских функций, определенных в области U cz С?
2.3.15. Функция комплексного переменного называет-
ся целой, если она аналитична на всей комплексной пло-
скости. Доказать, что всякий конечно порожденный идеал
алгебры целых функций является главным.
2.3.16. Пусть Ai, Аг, Аз, А4 — соответственно алгебры
многочленов с п переменными над полем С, целых ана-
литических функций от п переменных, аналитических
Функций на единичном шаре Вс С и формальных сте-
пенных рядов от п переменных над полем С, Ц — идеал
в Ai, lk==Akji — идеал в A*, dk— размерность фактор-
алгебры Ak/Akh над С (k = 1,2,3,4).
а) Какие из алгебр Ак нётеровы?
б) Указать все истинные импликации между усло-
виями конечномерности алгебр Ак/Ак1\.
8 Под ред. А. И. Кострикина
225
в) Доказать неравенства di *4 d3 25= dt.
г) Привести пример идеала /icAb для которого
/з = Лз.
д) Привести пример простого идеала 71 сАь для ко-
торого идеалы /2 и /3 просты, а идеал Д не является
простым.
2.3.17. Пусть в условиях предыдущей задачи £),• — С-
алгебра дифференциальных операторов на алгебре Ai,
т. е. бесконечномерная подалгебра алгебры эндоморфиз-
мов С-линейного пространства Л„ порожденная опера-
торами умножения на элементы f е At и всеми диффе-
ренцированиями
д} = -^ <= Endc (Лг) (/==1.....п; 1=1.......4).
* С/л у
а) Наделить Л/ структурой левого £),-модуля.
б) Привести пример элемента Ре£>ь ядро которого
в А, тривиально при 1=1, 2, 3, но нетривиально при
i = 4.
в) Пусть Д = ОгР(РеЛ1), Mi=Di/h. Доказать,что
векторное С-пространство гомоморфизмов модулей из
Mi в Ai изоморфно ядру эндоморфизма Р векторного про-
странства Ai над С.
г) Ядро эндоморфизма Р называется пространством
решений дифференциального уравнения P-f = O(f<=A,).
Доказать, что размерности di пространств решений в Л<
связаны неравенствами d\ <Д d3 Д. Привести при-
мер дифференциального оператора Р, для которого
di Д d'3 <С d^
д) Пусть Ji — произвольный левый идеал Di, Mi =
t^ Di/Ji. Доказать, что пространство Нотог(ЛД, Л4) изо-
морфно пространству решений f систем {Pf = 0|Ре Д).
е) Доказать, что Di проста при всех 1 = 1, 2, 3, 4.
Глава 3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 1. Представления групп. Основные понятия
3.1.1. Доказать, что отображение р: Z->GL2(C), при
котором
p(«)=|UI
226
является приводимым двумерным комплексным пред-
ставлением группы Z и не эквивалентно прямой сумме
двух одномерных представлений.
3.1.2. Доказать, что отображение р; <а>р-> GL2(F0),
/п______простое число), при котором
является приводимым двумерным представлением цикли-
ческой группы <а>₽, определенным над полем Fp, и не
эквивалентно прямой сумме двух одномерных представ-
лений.
3.1.3. Пусть АеСЦС). Доказать, что отображение
рл: Z-*-GLn(C), при котором р4(/г) = Ля, является пред-
ставлением группы Z и представления р4 и рв эквива-
лентны тогда и только тогда, когда жордановы нор-
мальные формы матриц А и В совпадают (с точностью
до порядка клеток).
3.1.4. Будет ли линейным представлением группы R
в пространстве R [х] отображение $, определяемое по
формулам:
a) (x) = f(x — t);
б) (s(t)f) (х) = f(tx);
в) (s(Of)(x)=f(^x);
г) (s(i)f)(x)=elf(x);
д) (s(t)f)(x) = f(x)+t;
е) (s(0D(x)=e7U + 0?
3.1.5. Какие из следующих подпространств простран-
ства вещественных функций инвариантны относительно
линейного представления L группы R, определяемого
формулой (L(t) f) (х) = f(x — t):
а) подпространство непрерывных функций;
б) подпространство многочленов;
в) подпространство многочленов степени ^п;
г) подпространство четных функций;
д) подпространство нечетных функций;
е) линейная оболочка функций sinx и cosx;
ж) подпространство многочленов от cos х и sin х;
з) линейная оболочка функций cos х, cos 2х, ...
• cosnx;
и) линейная оболочка функций еС[{, ес^, ...,еСп*,
гДе Сь ..., сп — фиксированные вещественные числа?
3.1.6. Найти подпространства пространства многочле-
нов, инвариантные относительно представления L из за-
дачи 3.1.5.
8*
227
3.1.7. Записать матрицами (в каком-либо базисе)'
ограничение линейного представления L из задачи 3.1,5
на подпространство многочленов степени ^2.
3.1.8. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ог-
раничение линейного представления L из задачи 3.1.5 на
линейную оболочку функций sin х и cos х.
3.1.9. Доказать, что каждая из следующих формул
определяет линейное представление группы GL„(F) в
пространстве Mn(F):
а) А(Л)-Х = ДХ;
б) А<1(Д)-Х = ЛХД-1;
в) Ф(А)-Х = АХ‘А.
3.1.10. Доказать, что линейное представление Д
(3.1.9а)) вполне приводимо и его инвариантные подпро-
странства совпадают с левыми идеалами алгебры МП(Д).
3.1.11. Доказать, что если charF не делит п, то ли-
нейное представление Ad (3.1.96)) вполне приводимо
и его нетривиальные инвариантные подпространства —
пространство матриц с нулевым следом и пространство
скалярных матриц.
3.1.12. Доказать, что если char 2, то представле-
ние Ф (3.1.9в)) вполне приводимо и его нетривиальные
инвариантные подпространства — пространства симмет-
рических и кососимметрических матриц.
3.1.13. Пусть V — двумерное пространство над по-
лем F. Показать, что существуют представления pi и р2
группы S3 на V, для которых в некотором базисе про-
странства V будут выполнены соотношения
₽«*2»-1! JL 23»=|?z!|’
₽>«' 2>Н?Я 23»-=1~1
Доказать, что при char Г ^=3 эти представления изо-
морфны, а при char F = 3 не изоморфны.
3.1.14. Пусть V — векторное пространство над полем-
С с базисом (во,ei, .... вл-i). Определим на V линейный
оператор полагая
( et+i, если i < п — 1,
& (et) = < . .
' ( е0, если i = n—l.
Доказать, что существует представление Ф: <а>я-*
->GL(V), для которого Ф(а) = st-, и разложить Ф в пря-
мую сумму неприводимых представлений для п = 2,3,4.
228
3.1.15. Пусть V — векторное пространство над полем
р с базисом (еь .... еп). Зададим отображение if: Sn->
GL(V), полагая
где а е Sn, i — 1, . • •, п. Доказать, что
а) if — представление группы Sn;
б) подпространство W векторов, сумма координат ко-
торых относительно базиса (ei ..., еп) равна нулю, и
подпространство U векторов с равными координатами
инвариантны относительно представления if;
в) если charF не делит п, то ограничение представ-
ления if на W — неприводимое (п—1)-мерное представ-
ление группы Sn.
3.1.16. Пусть Рп, т — подпространство однородных
многочленов степени т в алгебре F [xi, ..., хп] и
charf = 0. Определим отображение 6: GLn(F)->
-►GL(Pn, m), полагая для f^Pn,m и Л =||аг/||<= GL„(F)
/Л п \
•••• *n) = HEw EjfAn).
xi—1 i-1 /
Доказать, что 0 — неприводимое представление группы
GL„(F) на пространстве Рп,т-
3.1.17. Пусть Ф — конечномерное комплексное пред-
ставление группы G. Доказать, что каждый оператор
Фг (g е G) диагонализируем.
3.1.18. Пусть р: G->-GL(V)— конечномерное представ-
ление группы G над полем F. Доказать, что в V суще-
ствует базис, в котором для любого ge G матрица p(g)
имеет клеточно-верхнетреугольный вид
p(ff) =
о
|Рт(£)
где рг — неприводимые представления группы G.
3.1.19. Пусть р: G->GL(V)— конечномерное пред-
ставление группы G и в V существует базис (ei, .... еп),
в котором для любого g G матрица p(g) имеет кле-
точно-верхнетреугольный вид
Pl (.g)
p(g) =
О
229
где размер dt квадратной матрицы р,- (§•) не зависит от g.
Доказать, что
а) линейная оболочка Vt векторов ed , ..ed +
является G-инвариантным подпространством (l^is;
т)',
б) отображение £t—»p/(g) является матричным пред-
ставлением группы G;
в) линейное представление группы G, соответствую-
щее этому матричному представлению, изоморфно пред-
ставлению, возникающему на факторлространстве Vi/K-i
(по определению, Vo = 0).
3.1.20. Доказать, что
а) для любого представления р группы G существует
представление р®т группы G на пространстве у®т==
= V ® ... ® V т раз контравариантных тензоров на
т
пространстве V такое, что
p®'»(g)(O1® ... ®»m) = (p(g)f1)® ... ®(p(g)vm)
При любых 01.....Vrn е V, g s G*,
б) подпространства симметрических и кососимметри-
ческих тензоров являются инвариантными подпростран-
ствами для представления р® т. Найти размерности этих
подпространств, если dim V = п.
3.1.21. Пусть р: G->GL(V) —представление группы G.
Доказать, что
а) для любого о е V линейная оболочка <p(g)v|gE
е G> является инвариантным подпространством для
представления р;
б) любой вектор из V лежит в некотором инвариант-
ном подпространстве размерности | G |;
в) минимальное инвариантное подпространство, со-
держащее вектор v е V, совпадает с <p(g’)o|g’е G>.
3.2122. Пусть р: G -> GL(V) — представление группы 6
и Н — подгруппа в G, [G ://] = & < оо. Доказать, что
если подпространство U инвариантно относительно огра-
ничения Представления р на подгруппу Н, то размер-
ность минимального подпространства, содержащего
инвариантного относительно представления р, не превос-
ходит k- dim U.
3.1.23. Пусть Ф — представление группы <а>„ из за-,
дачи 3.1.14 и п=2т. Найти размерность минимального
инвариантного подпространства, содержащего векторы1
280
a) si + Sm+i', 6) ei + e3 + • • • + eam-f,
в) ei — 62+ вз— ... —Slm\ r) 614*62+ ••• +®я»«
§ 2. Представления групп малых порядков
3.2.1. Доказать, что у любого множества попарно ком-
мутирующих операторов на конечномерном комплексном
векторном пространстве V есть общий собственный век-
тор-
3.2.2. Доказать, что всякое неприводимое представле-
ние абелевой группы на конечномерном векторном про-
странстве над полем С одномерно.
3.2.3. Пусть зФ и ЗИ— два перестановочных оператора
на конечномерном векторном пространстве V над С и
= S для некоторых натуральных чисел тип.
Доказать, что пространство V распадается в прямую
сумму одномерных инвариантных относительно з& и 3S
подпространств.
3.2.4. Перечислить все неприводимые комплексные
представления групп:
а) <а>г; б) <а>4; в) <а>2Х <&>?;
г) <а>6; д) <а>в; е) <а>4Х <&>г;
ж) <а>2 X <6>2 X <с>2; з) <а>6 X <&>з! и) <а>9 X О>27-
3.2.5. Пусть ^eGL(V) и з1-п —
а) Доказать, что соответствие >з£к определяет
представление циклической группы <п>л на простран-
стве V.
б) Найти все инвариантные подпространства этого
представления в случаях:
-4. и
3.2.6. Разложить в прямую сумму одномерных пред-
ставлений регулярное представление группы (задавая их
в собственном базисе регулярного представления):
a) Z9; б) Zg; в) Z4; г) Z2X ^2-
3.2.7. Доказать, что любое конечномерное комплекс-
ное представление:
а) конечной циклической группы;
б) конечной абелевой группы
раскладывается в прямую сумму одномерных подпред-
ставлений.
3.2.8. Пусть Н = <а>3 — циклическая подгруппа груп-
пы G, ф — регулярное представление группы G и —
его ограничение на Н. Найти кратность неприводимого
231
представления группы Н в разложении представления Т
в сумму неприводимых:
a) G=<&>e, а = Ь2\ б) G = S3, а =(123).
3.2.9. Найти все неизоморфные одномерные веще-
ственные представления группы Z„.
3.2.10. Доказать, что неприводимое вещественное
представление циклической группы имеет размерность не
более двух.
3.2.11. Пусть pfe: <a>„->GL2(R) — представление, для
которого
Pk (а) =
2nk . 2nk
cos----- — sin------
n n
, 2nk 2nk
sin----- cos--------
n n
(0<k< fi).
Доказать, что
а) представление неприводимо, если k n/2-,
б) представления pft и рк> эквивалентны тогда и
только тогда, когда k = k' или k + k' = п;
в) любое двумерное вещественное неприводимое пред-
ставление группы <а>п эквивалентно представлению рп
для некоторого k.
3.2.12. Найти число неэквивалентных неприводимых
вещественных представлений:
а) группы Z„;
б) всех абелевых групп порядка 8.
. 3.2.13. Найти все неизоморфные одномерные комп-
лексные представления групп S3 и А4.
3.2.14. Найти все одномерные комплексные представ-
ления групп Sn и D„.
3.2.15. Построить неприводимое двумерное комплекс-
ное представление группы S3.
3.2.16. Используя гомоморфизм группы S4 на группу
S3, построить неприводимое двумерное комплексное пред-
ставление группы S4.
3.2.17. Используя изоморфизмы групп перестановок и
соответствующих групп движений куба и тетраэдра
(1.1.7), построить:
а) два неприводимых трехмерных матричных комп-
лексных представления группы S4;
б) неприводимое трехмерное представление группы А4.
3.2.18. Доказать, что если е — корень степени л из 1,
то отображение
—1:”4 Ml
232
продолжается до представления группы D„, неприводи-
мого при 8 — ± 1 •
3.2.19. Используя реализацию кватернионов в виде
комплексных матриц порядка 2 (1.2.9) построить двумер-
ное комплексное представление группы Q8.
§ 3. Групповые алгебры и модули над ними
3.3.1. Является ли алгебра кватернионов групповой
алгеброй группы комплексных чисел?
3.3.2. Пусть V — векторное пространство над полем
р с базисом (еье2, е3), <p: F[S3]->-End V — гомоморфизм
и ф(о) (^<) = е<т(0 Для всех ffe^3 (i = 1, 2, 3). Найти ба-
зис ядра и размерность образа гомоморфизма <р.
3.3.3. Найти базис ядра гомоморфизма ср: С«а>я]-*С,
при котором ф(а)=е, где в — корень степени п из 1.
3.3.4. Пусть группа Н изоморфна факторгруппе груп-
пы G. Доказать, что F [Я] изоморфна факторалгебре ал-
гебры F[G].
3.3.5. Пусть G = Gi X G2. Доказать, что в A = F[G]
элементы из G, порождают подалгебру А,, изоморфную
F[Gi] (i= 1, 2), причем At и А поэлементно перестано-
вочны, и если (ei..ет)—базис в Ai, a (ft, ..., fn)—
базис в Л2, то {eifi|i — 1, ..., m; / = 1, ..., п}—базис
в F[G].
3.3.6. Пусть G — конечная группа, /? — множество ото-
бражений из G в поле F. Определим на /? операции, по-
лагая для fl, f2^R
(afi + Pf2) (g) = afi (g) + Pf2 (g),
(O)= Z /МО
йе G
Доказать, что R— алгебра над полем F и отображение
f(g)g из R в F[G]— изоморфизм алгебр.
geG
3.3.7. Доказать, что если группа G содержит элементы
конечного порядка, то групповая алгебра F[G] имеет
делители нуля.
3.3.8. Доказать, что всякий неприводимый F[G]-мо-
дуль изоморфен фактормодулю регулярного F[G]-мо-
дуля.
3.3.9. Найти все коммутативные двусторонние идеалы
групповой алгебры C[G] для
a). G = S3; б) G = Q8; b) G = Ds.
233
3.3.10. Найти все элементы х групповой алгебры
F[G], удовлетворяющие условию xg = x при любом
G.
3.3.11. Найти базис центра групповой алгебры групп:
a) S3; б) Q8; в) А4.
3.3.12. Доказать, что в групповой алгебре свободной
абелевой группы конечного ранга нет делителей нуля.
3.3.13. Доказать, что поле частных групповой алгебры
свободной абелевой группы ранга г изоморфно полю ра-
циональных дробей от г переменных.
3.3.14. Пусть А — кольцо, V — A-модуль и V = U Ф IF,
причем U — неприводимый модуль и в IF нет подмоду-
лей, изоморфных U. Доказать, что если а — автомор-
физм модуля V, то а (U) = U.
3.3.15. Пусть А — кольцо, A-модуль V разложен в
прямую сумму подмодулей V = V Ф IF, ф: U-+ W — го-
моморфизм А-модулей. Доказать, что Ui ={х + <р(х) |хе
е U} есть Д-подмодуль в V, изоморфный U, и V ==
= 1/1 Ф IF.
3.3.16. Пусть А — полупростая конечномерная алгеб-
ра над С и Д-модуль V разлагается в прямую сумму
попарно неизоморфных неприводимых Д-модулей: У = .
= Vi Ф ... Ф Vk. Найти группу автоморфизмов модуля V.
3.3.17. Пусть А — полупростая конечномерная алгеб-
ра над С и Д-модуль V есть прямая сумма двух изоморф-
ных неприводимых Д-модулей. Доказать, что группа ав-
томорфизмов Д-модуля V изоморфна ОЦ(С).
3.3.18. Пусть А — полупростая конечномерная алгеб-
ра над С и V — A-модуль, конечномерный над С. Дока-
зать, что V имеет конечное число A-подмодулей тогда и
только тогда, когда он является прямой суммой попарно
неизоморфных неприводимых А-модулей.
3.3.19. Пусть G— конечная группа, F — поле характе-
ристики 0 и групповая алгебра A = F[G] рассматри-
вается А как левый модуль над собой. Доказать, что для
любого его подмодуля U и гомоморфизма А-модулей
ф: U-*-A существует такой элемент аеА, что ф(а)=я
= иа для всех ц е U.
3.3.20. Для каких конечных групп групповая алгебра
С [G] является простой?
3.3.21. Пусть A = F[G] (F —поле), G —конечная
группа порядка п > 1, и для п-1 =/= 0 положим
е1==(п-1)"1 £ g, е2=1—
234
Показать, что Aei и Ае2— собственные двусторонние
идеалы и Л = Aei Ф Ае2.
3.3.22. Доказать, что равенство
ху = f (X, у) • 1 + s ag • g (<3.gG= F)
8 е О \ {1}
в групповой алгебре F[G] задает на пространстве F[G]
симметрическую билинейную функцию и ядро этой функ-
цИИ —двусторонний идеал в F[G].
3.3.23. Пусть G — конечная группа, f—билинейная
функция на R[G], определенная в задаче 3.3.22. Дока-
зать, что f невырождена, и найти сигнатуру функции f
для групп:
a) Z2; б) Z3; в) Z4; г) Z2 Ф Z2.
3.3.24. Пусть Н — подгруппа группы G, а>(Н) — левый
идеал в FIG], минимальный среди левых идеалов, содер-
жащих {h— 1 ] А е Н}. Доказать, что если Н — нормаль-
ная подгруппа, то идеал а>(Н) — двусторонний.
3.3.25. Разложить в прямую сумму полей групповые
алгебры группы Z3 над полями вещественных и комп-
лексных чисел.
3.3.26. Доказать, что Q[ZP] (р — простое число) есть
прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из ко-
торых изоморфен Q, а другой Q(e), где в — первообраз-
ный корень степени р из 1.
3.3.27. Пусть G — конечная группа, charF не делит
| G |, I — идеал в F [ G]. Доказать, что Р = I.
3.3.28. Найти идемпотенты и минимальные идеалы
в кольце:
a) F3[<a>2];6) F2[<a>2];
в) С[<а>2]; г) R[<a>3].
3.3.29. Пусть G — конечная группа, 8 — идемпотент
в Л = С [G]. Доказать, что правый Л-модуль &А непри-
водим тогда и только тогда, когда неприводим левый
4-модуль Де.
3.3.30. Пусть G — конечная группа. Доказать, что при
любом aeC[G] уравнение а—аха разрешимо в C[G].
3.3.31. Сколько различных двусторонних идеалов в
алгебре:
a) C[S3]; б) C[Q8]?
3.3.32. Для каких конечных групп G групповая ал-
зд | С[^] является суммой п=1, 2, 3 матричных
3.3.33. Пусть G — группа, А — алгебра над полем F
с единицей, <р — гомоморфизм G -*А*. Доказать, что суще-
235
ствует единственный гомоморфизм F[G]-»-4, ограниче-
ние которого на G совпадает с ф.
3.3.34. Доказать, что в конечномерной алгебре с еди-
ницей делителями нуля являются необратимые элементы.
3.3.35. Доказать, что если char F не делит |G|, то
всякий двусторонний идеал групповой алгебры F [G] ко-
нечной группы G является кольцом с единицей’. Верно
ли это утверждение для произвольных алгебр с едини-
цей?
3.3.36. Пусть F — поле характеристики р > 0, р де-
лит ]G| и и = У, geF[G]. Доказать, что F[G]u —
подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющий-
ся прямым слагаемым.
3.3.37. Пусть G =<а>р, F — поле характеристики рэ
Ф: G->GL2(/7), где
— представление группы G. Найти, при каких р пред-
ставление Ф изоморфно регулярному представлению, и
указать F[G]-подмодуль U регулярного представления
V = F[G] такой, что представление G на V/U изо-
морфно Ф.
3.3.38. Доказать, что алгебра F2IZ2] не является пря-
мой суммой минимальных левых идеалов.
3.3.39. Пусть Н— р-группа, являющаяся нормальной
подгруппой в конечной группе G, F — поле характери-
стики р.
а) Доказать, что идеал <о(Я) (3.3.24) нильпотентен.
б) Найти индекс нильпотентности идеала со (Я) при
G = Z2, H = Z2, f= f2.
3.3.40. Доказать, что все идеалы групповой алгебры
бесконечной циклической группы — главные.
3.3.41. Доказать, что циклический модуль над алгеб-
рой F [ZJ либо конечномерен над F, либо изоморфен ле-
вому регулярному F[Z]-модулю.
3.3.42. Пусть А = С [<g>], Р = Axi Ф Ах2 — свободный
4-модуль с базисом (xi,x2), Н — подмодуль, порожден-
ный в Р элементами hi, h2. Разложить Р/Н в прямую
сумму циклических 4-модулей и найти их размерности,
если
a) hi = gxi + хг, h2 — xi— (g+ 1)х2;
б) hl = g2Xi + g~2X2, h2 = giXi +(1 — g)X2‘,
в) hi = gxi 4- 2g~ix2, h2 = (1 + g)xi + 2(g~2 + g-1)**
236
3.3.43. Пусть &, Я — линейные операторы на V и
esf lxL &(f(x)) = xf(x). Доказать, что
отображение <р: g^sMb продолжается до гомомор-
физма F[Z]->End V, и найти Кег<р.
v 3.3.44. Пусть М — максимальный идеал алгебры
д => [Z] и г = dinv (Д/А1). Доказать, что
а) если F = С, то г = 1;
б) если F = R, то г = 1 или г — 2;
в) если F — F2, то г может быть неограниченно ве-
лико.
3.3.45. Доказать, что групповая алгебра свободной
абелевой трупы конечного ранга является нётеровой.
3.3.46. Доказать, что в групповой алгебре свободной
абелевой группы конечного ранга справедлива теорема
о существовании и единственности разложения на про-
стые множители.
3.3.47. Разложить в произведение простых множите-
лей элемент групповой алгебры А = C[G] свободной абе-
левой группы G с базисом (gi,g2):
a) б) 1 + g7'g2~ g^T1 ~ Z~2&
3.3.48. Пусть G — свободная абелева группа с бази-
сом (gi,g2). Найти факторалгебру групповой алгебры
А = F[G] по идеалу /, порожденному элементом:
а) ад1; б) g,-g2; в) g]- l и g2-2.
§ 4. Характеры представлений
3.4.1. Пусть элемент g группы G имеет порядок k и
X — n-мерный характер группы G. Доказать, что %(g)
есть сумма п (не обязательно различных) корней сте-
пени k из 1.
3.4.2. Пусть Ф — трехмерное комплексное представле-
ние группы Z3 и для некоторого g е Z3 x®(g) = 0- Дока-
зать, что ф эквивалентно регулярному представлению.
3.4.3. Пусть х — двумерный комплексный характер
группы G = Z3 X Z3. Доказать, что для всякого g е G
X(g)^0.
3.4.4. Пусть х — двумерный комплексный характер
группы нечетного порядка. Доказать, что для любого
£*= G х(£)й£О.
3.4.5. Пусть Ф — n-мерное комплексное представле-
ние конечной группы G. Доказать, что %ф (g) = п тогда
и только тогда, когда g принадлежит ядру представле-
237
3.4.6. Пусть А — аддитивная группа л-мерного век-
торного пространства V над полем Fp и % — неприводи-
мый комплексный характер группы А. Доказать, что
подмножество {аеД|%(а)=1} есть (п—i)-мерное
подпространство в V.
3.4.7. Пусть % — комплексный характер конечной груп-
пы G и т — max{|x(g) | |g <= G}. Доказать, что
H = {g<=G\x(g) = m} и tf = {g€=<3|h(g)|=m}
— нормальные подгруппы в G.
3.4.8. Доказать, что двумерный комплексный харак-
тер % группы S3 неприводим тогда и только тогда, когда
Х((123))=—1.
3.4.9. Пусть % — двумерный комплексный характер ко-
нечной группы G и g^ G'. Доказать, что если y.(g)^2,
то х неприводим.
3.4.10. Чему равно «среднее значение» -у-щ- X(g)
ge в
неприводимого характера неединичной конечной груп-
пы G?
3.4.11. Доказать, что для любого элемента g нееди-
ничной конечной группы существует нетривиальный не-
приводимый комплексный характер х группы G такой,
что х (£)=/= °-
3.4.12. Доказать, что отображение группы G в С яв-
ляется одномерным характером группы G тогда и только
тогда, когда это отображение является гомоморфизмом
группы G в группу С*.
3.4.13. Доказать, что центральная функция, равная
произведению двух одномерных характеров группы G,
является одномерным характером группы G.
3.4.14. Доказать, что операция умножения функций
определяет в множестве одномерных характеров группы
G структуру абелевой группы G, двойственной к группе G.
3.4.15. Доказать, что для конечной циклической груп-
пы А Группа А — конечная циклическая группа того же
порядка.
3.4.16. Пусть конечная абелева группа А разлагается
в прямое произведение A — AiXA2, щеАь a2^A2.
Доказать, что отображение Д—>С*, переводящее элемент
(си, а2) в ai(ai)-«2(02), является одномерным характе-
ром группы А и А Ai X А2.
3.4.17. Пусть В — подгруппа конечной абелевой груп-
пы А и В® = {a е А]а(&)= 1 для всякого В}. Дока-
зать, что
238
a\ /jo — подгруппа в А и всякая подгруппа в А совпа-
яоа-г с В° для некоторой подгруппы В;
д 6) 5=Л/В»;
в) с В2 тогда и только тогда, когда BJ дэ В’;
г) (В,ПВг)» = В|.В»;
д) (BA)’-B;nB",
3.4.18. Пусть Ф — гомоморфизм группы G в GLa(C).
Доказать, что
а) отображение Ф*: £•—>(Ф(£-1))* также является
представлением группы G;
б) Хф (g) = X®. (g) Для всякого g €= G;
в) представления Ф и Ф* эквивалентны тогда и толь-
ко тогда, когда значения характера % вещественны.
3.4.19. Пусть Ф — неприводимое комплексное пред-
ставление группы Sn и Ф'(о) = Ф(о)8§по (oeSn). До-
казать, что Ф' — представление группы Sn и следующие
утверждения эквивалентны:
а) Ф~Ф';
б) ограничение представления Ф на Ая приводимо;
в) Хф(°г)==0 Для любой нечетной подстановки ое Sn.
3.4.20. В задаче 1.2.9 задана группа матриц из М2(С),
изоморфная группе кватернионов Q8. Доказать неприво-
димость этого двумерного представления группы Q8 и
найти его характер.
3.4.21. Найти характер представления группы Sn в
пространстве с базисом (вц ..., еп), задаваемого форму-
лой
Ф(о}&=ео(о для oeS».
3.4.22. Найти характер двумерного представления
группы D„, определяющегося изоморфизмом группы D„
с группой ортогональных преобразований евклидовой
плоскости, сохраняющих правильный п-угольник.
3.4.23. Найти характер трехмерного представления
группы S4, определяющегося изоморфизмом группы S4
с группой ортогональных преобразований евклидова трех-
мерного пространства, сохраняющих правильный тет-
раэдр.
3.4.24. Найти характер представления группы S4, оп-
ределяющегося изоморфизмом группы S4 с группой вра-
щений куба.
Гр 3.4.25. Составить таблицу неприводимых характеров
239
a) Z2J 6) Z3; в) Z4: г) Zj X Z2; д) Z2 X Z2 X Z2.
3.4.26. Составить таблицу характеров одномерных
представлений и вычислить группу одномерных характе-
ров (задача 3.4.14) для групп:
a) S3; б) А4; в) Q8; г) S„; д) D„.
3.4.27. Найти модуль определителя матрицы, строки
которой совпадают со строками таблицы неприводимых
характеров абелевой группы порядка п.
3.4.28. Составить таблицу неприводимых характеров
групп:
a) S3; б) S4; в) Q8; г) D4; д) D5; е) А4.
3.4.29. Может ли характер представления некоторой
группы порядка 8 принимать значения
(1,-1, 2,0,0,—2,0,0)?
3.4.30. Разложить центральную функцию на Q8 по ба-
зису неприводимых характеров (1, —1, i, —i, j, —j, k,
—k)*~->(5,—3,0,0,—1,—1,0,0). Является ли она харак-
тером какого-либо представления?
3.4.31. Определить, какая из центральных функций
на S3
Л: (е, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2))
>->(6, —4, —4, —4, 0, 0),
f2: (е, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2))i—>
^->(6, -4, -4, -4, 3, 3)
является характером, и указать это представление.
3.4.32. Пусть А — аддитивная группа конечномерного
векторного пространства V над полем Fp и Т — нетри-
виальный неприводимый (комплексный) характер адди-
тивной группы поля Fp.
а) Доказать, что всякий неприводимый характер %
группы А имеет вид %(а) = Чг(/(а)) для некоторой ли-
нейной функции le V*.
б) Установить изоморфизм двойственной группы А
(3.4.14) и аддитивной группы пространства V*.
в) Построить изоморфизм А и А.
3.4.33. Пусть в условиях предыдущей задачи f—
комплекснозначная функция на А. Определим функцию
f на А, полагая для х е А
= Е На)х(а) = (А Х)д-
as А
240
a)
Доказать, что
f= Е /(%)•%•
б) Доказать, что
fa(%) = f (фШ<р“‘ •%)•
фе А
в) Сравнить функции f на А и f на А, используя
изоморфизм из задачи 3.4.32 в).
3.4.34. Пусть А — аддитивная группа поля Fp. Рас-
смотрим функцию f на Д, полагая
О, если а — О,
1, если а — х2 для некоторого xeF',
. — 1 в остальных случаях.
Доказать, что если % — неприводимый комплексный
характер группы А, то | (/, %)л | =
3.4.35. Пусть С — конечная группа, Н — ее подгруппа.
Доказать, что центральная функция на Н, получающаяся
ограничением на Н характера группы G, является ха-
рактером группы Н.
3.4.36. Пусть Ф — матричное n-мерное представление
группы G. Построим представление Т группы О на про-
странстве квадратных матриц порядка п, полагая для
ЛеМД)
Тв(Д) = ФвДЧ-
Выразить через х®-
3.4.37. Найти неприводимые слагаемые представле-
ния Т задачи 3.4.36 и их кратности, если
а) Ф — двумерное неприводимое представление груп-
пы S3;
б) Ф — представление из задачи 3.4.23;
в) Ф — двумерное представление группы Q8 из за-
дачи 3.4.20.
3.4.38. Пусть Ф — матричное n-мерное представление
группы G. Построим представление Т группы G на про-
странстве квадратных матриц полагая
¥г(Д) = Фг-Д.
Выразить через х®-
3.4.39. Пусть р: G->GL(V) — регулярное комплексное
представление группы Z„. Найти кратность единичного
проставления группы Zn в разложении представления
Р (см. задачу 3.1.20) на неприводимые представления.
241
3.4.40. Пусть р — двумерное неприводимое комплекс-
ное представление группы S3. Разложить на неприводи-
мые представления р®2 и. р®3.
3.4.41. Пусть р: Znt—>GL(V)—комплексное регуляр-
ное представление группы 1п. Найти кратность единич-
ного представления группы в разложении на неприводи-
мые компоненты представления, возникающего на про-
странстве кососимметрических /n-контравариантных тен-
зоров на V (см. задачу 3.1.20).
3.4.42. Пусть х — характер группы G, f—централь-
ная функция на G,
Доказать, что f — характер группы G.
3.4.43. Пусть Ф — представление группы G = S3
в пространстве C(G) всех комплекснозначных функций
на G:
(Фа/) (ж)~ /(<Нх) (/<= C(G), xg G, aeG),
f0^ C(G), и Vo — линейная оболочка множества элемен-
тов вида Фс/о, где се G. Найти характер ограничения Ф
на Уо для
a) fo(o) = sgna;
( 1, если а г {е, (1 2)},
б) /о М = | q в Противном случае;
_ ( 1, если се{е, (1 2 3), (1 3 2)},
в) /о(т) | q в противном случае;
( 1, если а е {е, (1 3), (2 3)}, -
г) fo (а) = | _ 1( если а е 2)> (1 2 3)> (1 3
3.4.44. Пусть Ф—комплексное представление конеч-
ной группы G на пространстве V, W — представление
группы G на пространстве W. Обозначим через Т (Ф, Т)
пространство таких линейных отображений S из V в W,
что S ° Фг = Tg ° S для всех g е G. Доказать, что
dim Г (Ф, W) = (хф, Хчг)0-
§ 5. Представления конечных групп
3.5.1. Доказать, что ядро одномерного представления
группы G содержит коммутант G' этой группы.
3.5.2. Пусть р — комплексное представление группы G
в пространстве V и в V существует базис, в котором все
242
операторы p(g) (g e G) диагональны. Доказать, что
Ker p 2 G'.
3.5.3. Пусть группа G имеет точное приводимое дву-
мерное представление.Доказать, что
а) коммутант группы G' — абелева группа;
б) если G конечна и основное поле имеет характери-
стику 0, то G коммутативна.
3.5.4. Доказать, что точное двумерное комплексное
представление конечной некоммутативной группы непри-
водимо.
3.5.5. Доказать, что все неприводимые представления
конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда
она коммутативна.
3.5.6. Доказать, что если группа G конечна и алгебра
C[G] не имеет нильпотентных элементов, то G комму-
тативна.
3.5.7. Доказать, что регулярное представление конеч-
ной группы над полем С (R) является в каноническом
базисе унитарным (ортогональным).
3.5.8. Пусть G — конечная группа, р — ее конечно-
мерное комплексное представление и в некотором базисе
матрицы всех операторов p(g) (ge G) — верхнетреуголь-
ные. Доказать, что Кер (р) Э G'.
3.5.9. Доказать, что если в задачах 3.1.18, 3.1.19
основное поле является полем комплексных чисел и груп-
па G конечна, то представление р эквивалентно прямой
сумме представлений pi, .... pm.
3.5.10. Доказать, что если в задаче 3.1.18 основное
поле является полем комплексных чисел и группа G ко-
нечна, то существует такая невырожденная матрица С,
что для всех g е G
lp»(g)| 0 ।
0
3.5.11. Пусть G — конечная группа порядка п, р — ее
регулярное представление. Доказать, что
г °.
trp(g) = < п
g¥= I»
g=I.
243
3.5.12. Доказать, что для любого неединичного эле.
мента конечной группы существует неприводимое комп-
лексное представление, переводящее его в неединичный
оператор.
3.5.13. Пусть .$£, & — линейные операторы в конечно-
мерном векторном пространстве V над полем F харак-
теристики 0 и J^3 = fffl2 = <S,
Доказать, что для всякого подпространства U, инва-
риантного относительно и 9&, существует подпростран-
ство W, инвариантное относительно si, и такое, что
V = и ф W.
3.5.14. Найти число всевозможных попарно неэквива-
лентных двумерных комплексных представлений групп:
a) Z2; б) Z4; в) Z4XZ2; г) G — абелева группа по-
рядка п; д) А4; е) S3.
3.5.15. Для каждой абелевой группы порядка 9 найти
число трехмерных попарно неэквивалентных комплекс-
ных представлений.
3.5.16. Верно ли, что число трехмерных попарно неэк-
Бивалентных комплексных представлений абелевой груп-
пы G порядка п равно Cln + + С3?
3.5.17. Доказать, что число четырехмерных попарно
неэквивалентных представлений абелевой группы поряд-
ка п 4 равно Схп + ЗС3 + ЗС3 + С\.
3.5.18. Найти число и размерности неприводимых
комплексных представлений групп:
a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8; д) Dn; е) А3.
3.5.19. Сколько прямых слагаемых в разложении на
неприводимые компоненты регулярного представления
следующих групп:
a) Z3; б) S3; в) Q8; г) А4?
3.5.20. С помощью теории представлений доказать,
что группа порядка 24 не может совпадать со своим
коммутантом.
3.5.21. Могут ли неприводимые комплексные пред-
ставления конечной группы исчерпываться:
а) тремя одномерными и четырьмя двумерными;
б) двумя одномерными и двумя пятимерными;
в) пятью одномерными и одним пятимерным?
3.5.22. Доказать, что в группе GL2(C) нет подгруппы,
изоморфной S4.
3.5.23. Доказать существование двумерного инва-
риантного подпространства в любом восьмимерном комп-
лексном представлении группы S4.
244
3.5.24. Доказать существование одномерного инва-
иантного подпространства в любом, пятимерном пред-
ставлении группы А4.
3.5.25. Пусть п—нормальная подгруппа в G, V —
некоторый F[G] -модуль и (Н— 1) V — линейная оболоч-
ка элементов вида (h— 1)п, где h е И, v е V. Доказать,
что
а) (И—1)У является f[G]-подмодулем в V;
б) если Н— (нормальная) силовская р-подгруппа в
G, charF=pH (Я— 1)V= V, то V = 0.
’ 3.5.26. Доказать, что число неприводимых представле-
ний группы G строго больше числа неприводимых пред-,
ставлений любой ее факторгруппы по нетривиальной нор-
мальной подгруппе.
3.5.27. Доказать, что комплексные групповые алгебры
двух конечных абелевых групп одного и того же порядка
над полем С изоморфны.
3.5.28. Доказать, что комплексные групповые алгебры
групп D4 и Q8 изоморфны.
3.5.29. Найти число попарно неизоморфных комп-
лексных групповых алгебр размерности 12.
3.5.30. Доказать, что число слагаемых в разложении
групповой алгебры симметрической группы Sn над полем
С в прямую сумму матричных алгебр равно числу пред-
ставлений числа п в виде n = п\ + п* + • • • + tik, где
«2 tlk > 0.
3.5.31. Для каких конечных групп регулярное пред-
ставление над полем С содержит лишь конечное число
подпредставлений?
3.5.32. Доказать, что любое неприводимое представ-
ление конечной р-группы над полем характеристики р
единично.
3.5.33. Пусть G — конечная р-группа и р — ее пред-
ставление в конечномерном пространстве V над полем
характеристики р. Доказать, что в V существует такой
базис, что для любого матрица оператора p(gj—
верхняя унитреугольная.
3.5.34. Пусть Н — нормальная силовская р-подгруппа
в G, charF=p и V — неприводимый F[G]-модуль. До-
казать, что hv = v для любых о е V, h е Н.
3.5.35. Пусть Н — нормальная подгруппа в конечной
группе G. Доказать, что размерность любого неприводи-
мого представления группы G над полем F не превосхо-
дит [G: /7] т, где т — наибольшая размерность непри-
водимого представления группы И над полем F.
245
3.5.36. Доказать, что в GLn(C) существует лишь ко-
нечное число попарно несопряженных подгрупп фиксиро-
ванного конечного порядка.
3.5.37. Пусть р: G->GL3(R)— неприводимое трехмер.
ное вещественное представление конечной группы G ц
представление р: G->GL3(C) получается как компози-
ция отображения р со стандартным вложением GL3(R)->.
->GL3(C). Доказать, что представление р неприводимо.
3.5.38. Доказать, что всякое неприводимое неодно-
мерное комплексное представление группы порядка р3
является точным.
3.5.39. Найти число неприводимых комплексных пред-
ставлений некоммутативной группы порядка р3 и их раз-
мерности.
8.5.40. Доказать, что неприводимые комплексные пред-
ставления группы Up~ взаимно однозначно соответствуют
последовательностям (ап) натуральных чисел таким, что
0 ап рп — 1 и ал = ап+\ (mod рп) при всех п.
3.5.41. Доказать, что неприводимые комплексные пред-
ставления группы Q/Z взаимно однозначно соответ-
ствуют последовательностям натуральных чисел (ап) та-
ким, что 0 ап п— 1 и ап^ am(modn), если п де-
лит т.
§ 6. Первоначальные сведения о представлениях
непрерывных групп
Если не указывается противное, то все рассматривае-
мые в этом параграфе представления предполагаются
конечномерными.
3.6.1. Пусть F есть поле R или С. Доказать, что
а) для любой матрицы А е Mn(F) отображение,
РА: t>-^etA (t е F) является дифференцируемым матрич-
ным представлением аддитивной группы поля F;
б) всякое дифференцируемое матричное представле-
ние Р аддитивной группы поля F имеет вид РА, где А ==
= Р'(0);
в) представления РА и Рв эквивалентны тогда и толь-
ко тогда, когда матрицы А и В подобны.
3.6.2. Доказать, что Р является матричным представ-
лением аддитивной группы поля R, и найти такую мат-
рицу А, что Р = РА, если
£46
д)нН^1; е>р<Н5’'?‘|-
3.6.3. Какие из матричных представлений группы R
из задачи 3.6.2 эквивалентны?
3.6.4. В каком случае представления РА и Р_д экви-
валентны для F = С?
3.6.5. Доказать, что аехел = екл для любой матрицы
Д £ Мп (С).
3.6.6. Найти все дифференцируемые комплексные
матричные представления групп:
a) R+; б) R*: в) с*>
г) U (в последнем случае предполагается дифферен-
цируемость представления по аргументу комплексного
числа z) -
3.6.7. Всякое ли комплексное линейное представле-
ние группы Z получается ограничением на Z некоторого
представления группы С?
3.6.8. Найти в пространстве С" все подпространства,
инвариантные относительно матричного представления
Рд (3.6.1) в случае, когда характеристический многочлен
матрицы А не имеет кратных корней.
3.6.9. Доказать, что матричное представление РА
(3.6.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда
матрица А диагонализируема.
3.6.10. Пусть Р„ — пространство однородных много-
членов степени п от х, у с комплексными коэффициен-
тами. Для Л = |“ ^|eSL2(C) и /еР„ положим
(Фп И) /) (х, y) = f (ах + су, bx + dy).
Доказать, что
а) ф„ — неприводимое представление группы SL2(C)'
в пространстве Ря;
б) ограничение представления Ф« на подгруппу
SU2(C) неприводимо.
3.6.11. Пусть G = GL2(C). Комплексную функцию на
О назовем полиномиальной, если она есть многочлен от
матричных элементов.
а) Пусть t(A)=\x A, d(A) = detA. Доказать, что t
и d — центральные полиномиальные функции на G.
б) Доказать, что любая центральная полиномиальная
Функция на Q является многочленом от t и d.
247
в) Пусть А =|| «//Це G и R = С[х, у]. Обозначим че-
рез ЧГ(А) гомоморфизм R-+R, для которого
Ф(А): xi—*апх + а12у,
W (А): у a2ix + а22у.
Доказать, что Ф — представление группы G в простран-
стве R и подпространства однородных многочленов сте-
пени п инвариантны относительно представления Ч'.
г) Доказать, что для А е SL„(C) ограничение на под.
пространство Rn совпадает с оператором ФЯ(А) из за-
дачи 3.6.10.
д) Пусть Хя — характер ограничения Чг]Лп.
Доказать, что
Хя.= /%я-1 — rfXn-2-
®| со структурой четырехмерного евкли-
3.6.12. Пусть Н — пространство комплексных матриц
вида X—
дова пространства (X, X) = detX и Но = {X е Я] tr X ®
= 0}. Доказать, что
а) отображение Р: SU2-> GL(#o), определенное фор-
мулой Р(А): Xi—э-АХА-1, является (вещественным) ли-
нейным представлением группы SU2, Ker Р={±Е}, а
ImP состоит из всех собственных ортогональных преоб-
разований пространства Но',
б) отображение Р: SU2X SU2->GL(ZZ), определен-
ное формулой R(А, В): X >—>АХВ-1, является (веществен-
ным) линейным представлением группы SUjjXSU^
KerR = {(Е,Е), (—Е,—Е)}, a ImP состоит из всех соб-;
ственных ортогональных преобразований пространства Н&
в) комплексификация линейного представления Р
изоморфна ограничению представления Ф2 группы SLs
из задачи 3.6.10 на подгруппу SU2.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЧАСТЬ I
1.1.3. Провести индукцию по п. 1.1.4. Использовать формулу для
(JAi .1-1.5. 22\ Пусть Xi, Х„ — данные подмножества и
j«=l
обозначает Xi или Xi. Тогда всякое образованное из {ХД под-
множество может быть записано в виде
и п^2п ... л4").
8п)ее
(ег
где в —некоторое подмножество в множестве всех последовательно-
стей (еь ...» ей). В множестве X всех подмножеств множества из п
элементов построить п подмножеств Xt таких, что любой элемент из
X можно записать в виде р ... р
1.2.2. Представить X в виде (Y IM) U (Х\ (Y LM)), где А счетно
и Л П У — X \ Y в виде AU (X\(У UЛ)), и использовать сущест-
вование биекции У U А -> А. 1.2.4.2rt. 1.2.5. а) | Yx | = пт\ б) п (n—1)...
... (п — т + 1); в) п\ при т ® п, 0 при т п\ г) пт—п (п—\)т+...
... +(-l)i (")(Л-От+ ... + (—О'1-1 (rt2.1 )• Исполь-
зовать задачу 1.1.3.
1.2.6. п (п — 1)... (п — т + 1 )/т\.
1.2.7. 2П-1. 1.2.9. пЩтЛ ... т.П.
Установить биекцию между множеством указанных разбиений и
множеством подмножеств из k — 1 элементов в множестве из п +.
+ «—1 элементов. Использовать задачу 1.1.3.
1.3.1 а) / 1 2 3 4 5\ и / 1 2 3 4 5\
42 1 3 4 5/ 4 1 2 5 4 37’
б) /1 234564 и /1 234564
46532 1 4/ 41 35642/*
в) /123454 г) /1234564
45 4 3 1 2/’ 44 1 6 5 3 2 /’
1-3.2. а) (1 5 3) (2 4 7); б) (1 3 6 2) (4 7);
в) (1362745); г) (1 472365);
249
д) (1 2) (3 4) ... (2п - 1 2n); е) (1 п + 1) (2 п + 2) ... (п 2п).
1.3.3. а) /1 2345674
кЗ 4 6 7 5 1 2/*
б) /12345674 в) / 1 2 3 4 ... 2п-1 2я\
\6 3 7 2 4 5 2 /’ \ 3 4 5 6 ... 1 2 )'
1.3.4. а) (1642573); б) (26537).
ГД±2]
1.3.5. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) (—1)L 2 J»
Г п+1 4 ГМ Гп-|Гп+1~|
е) (—I)*- 4 А ж) (— ip2 А 3) (—1)1- 2 JL 2 J 1.3.6. а), б) четная
при k нечетном; в) четная; г) четная при k четном; д) четная при
р + Я + г + s четном. 1.3.7. a) sgn g = (sgn <r)rt (sgn Лексико-
графически упорядочить X X У и подсчитать число инверсий;
б) Длины циклов равны НОК ГД каждый входит НОД
раз (i = 1, ..., s; j = 1, ...» 0; рассмотреть сначала случай, когда
сами о, т являются циклами. Заметить, что в этом случае чет-
ность g совпадает с четностью | Х| + | Y |.
1.3.8. Если Z, / входят в разные циклы, то эти циклы сливаются
в один; если Z, / входят в один цикл, то он распадается на два
цикла; остальные циклы не изменяются; декремент увеличивается
или уменьшается на 1. 1.3.9. в) Воспользоваться задачей 1.3.8.
1.3.13. Если g — другой многочлен того же типа (при другом выборе
двучленов), то Gf/Qg = f/g', затем использовать JJ (х. —
i>l
1.3.14. а) Если граф связный, то в виде указанных произведений
представляются транспозиции (1 2), ..., (1 д), а если несвязный, то
только циклы, которые содержатся в одной из компонент связно-
сти. б) Воспользоваться утверждением а).
1.4.2. а) и (п) « 3 • 2п - 5; б) и (п) == (-1)" (2п - 1).
1.4.3. П + L Добавление n-й прямой увеличивает число
областей на п.
1.5.1. а) п(п + 1) (2д + 1)/6; рассмотреть сумму (0 + I)3 +(1 +
+ I)3 + ... + (п + п)3; б) п2(п+02/4. 1.5.2. См. указание к 1.5.1.
1.5.3. Пусть Т — множество, состоящее из пар (о, Z), где oeS
o(Z) a Z; тогда
£ ДГ (<,)«+!= Y.N^‘>sa'L £ (ЛЧ<т')+1)я-
c^Sn (a, i—1
1.5.4. Использовать задачу 1.2.7 или 1.2.12 а). 1.5.5. а) Использо-.
вать задачу 1.5.4, предварительно представив в виде суммы выраже-
ние одной функции через другую. 1.5.6. Использовать задачу 1.5.5.
2.1.1. (1,4, —7,7). 2.1.2. а) (0, 1, 2, —2); б) (1, 2, 3, 4).
2.1.3. а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) да. 2.1.7. Нет. 2.1.8. Да.
2.1.9. а) Линейно независима; б) линейно независима; в) линейно
зависима при k четном; г) линейно зависима. 2.1.16. Нет. 2.1.11.
а) X = 15; б) X — любое число; в) % — любое число; г) X 12;
д) такого X не существует. 2.1.12. a) (ai, a2), (аг, а3); б) (аь аз),
(а2, а4); в) любые два вектора образуют базис; г) (аь а2, а4),
(а2, а3, а4); д) (аь а2, а4), (аь а2, а5), (а2, а3, а4), (а2, а3, а5).
250
2 1.13. Если система линейно независима или получается из ли-
« * Независимой добавлением нулевых векторов.
2.1.14. а) (0ь 02, 04)> йз = — 02; б) (оц, а2, аз), — 2ах —
__2а2 4* 40з, 05 s 01 4” 5а2 “• 5аз', в) (аь аг» as), а8 = ах — а2 + 05»
— 3ai + 40г — 2а5; г) (01, а2), аз = ах + За2, а4 = 2ах — а2;
п) Tai, ^2» лз); е) (01, а2), «з = 201 — 02; ж) (аь а2). 03 ===== — ах + а2,
д i — 501 + 4а2; з) (аь а2, а3), 04 = «1 + 02 — 03; и) (аь а2, а4),
а 2ai — к) (аь «з = За! — а2, а4 = ах — а2; л) (ан, а2, 0з),
= ai - 02 ~ аз-
2.1Л5. Любые k— 1 различных векторов образуют базис.
2 1.20. а, б) р = 3.
2.2.1. а) 2; б); в) 3; г) 3; д) 2; е), ж), з) 4; и), к) 5; л) п при п
нечетном, п — 1 при п четном. 2.2.2. а) 1 при X = 2, 2 при X = —1,3
пои X =/= —1; б) 2 при X — 1, 3 при А = 2 и Z = 3, 4 при Л =/= 1, 2,
3- в) 2 при X = 0, 3 при Л =/= 0; г) 2 при X = 3, 3 при X 3; д) 3
при Л = ± 1 и X — ± 2, 4 при X =/= ± 1, ± 2; е) 3 при Л = 0,-2, —4;
4 при X =/= 0» —2, —4; ж) п при X = 1, 2, ..., и; п + 1 при остальных
значениях X; з) п при X = 1/2, п + 1 при X =£ 1/2. 2.2.4. Система строк
суммы матриц линейно выражается через объединение систем строк
этих матриц. 2.2.5. Система строк произведения матриц линейно вы-
ражается через систему строк каждой из этих матриц. 2.2.7. Если,
например, система строк матрицы ранга 2 есть (а, 6, аа + £6, уа +
4 6Ь), то А есть сумма матриц со строками (о, 0, aa, ya) и (0, Ъ\
0, 6Ь); далее использовать 2.2.4. 2.2.9. 0 при г < п — 2; 1 при
г = п— 1; п при г = п. 2.2.10. Воспользоваться элементарными пре-
образованиями.
2.3.1. а) х3 = (хх — 9х2 — 2)/11, х4 » (—5хх + х2 4- 10)/11»
(О, 1, —1, 1); б) х3 = — 33xi 4-22х2 — 11, х4 = 24jq — 16х2 4-8,
(2, 3, 4, 0); в) система несовместна; г) х3 = 1 — 4xi — Зх2, х4= 1,
(1, — 1, 0, 1); д) х3 = 6 4- lOxj — 1бх2, х4 = —7 — 12xt + 18х3,
(1, 1, 1, -1).
2.3.2. а) При X = 0 система несовместна; при X # 0
1 9Х-16 8 4-Х 3
Х‘=Т- *’--------5Х------V* Xi--------5Х------5х*
б) при X 0 система несовместна; при X = 0
*i=-4 <7+,9*з+7^)> *2=- 4(з+!з*>+б*л;
в) при X »= 1 система несовместна; при X 1
43 — 8Х 9 5 , х3 5
1== 8-8Х 8 Хз> *2~4-4Х+~Г’ Х4“"Х-1;
г) при X = 8 х2 == 4 4* 2xi — 2х4, х3 = 3 — 2х4; при X =# 8 решение
^1=0, х2 и 4 — 2х4, х3 » 3 — 2х4; д) при X == 8 х3 =« —1, х4 == 2 —
3
Xl — ПРИ ^=/=8 х2 == 4 — (2xi)/3, х3 = — 1, х4 0; е) при
=5^ 1, —2 Xj ==х х2 = х3 = 1/(Х 4~ 2); при X —1 x^l- х2 — х3;
при X = —2 система несовместна; ж) при X =/= 1, —3 Xi ==» х2 =» х3 =
== х4 = 1/(х -р 3); при X = 1 X! “ 1 — х2 — х3 — х4; при X = —3 си-
стема несовместна; з) при X =/= 0, —3
х _ 2 - X2 2Х — 1 X3 4- 2Х2 - X - 1
* Л(Л + 3)’ Хг Л(Л + 3) ’ *3 Л (Л + 3) :
25!
При Л — 0 и к — —3 система несовместна; и) при к о
Xl = 2-V, х2 = 2Л-1, х3 = к3 + 2V-X- 1; при
Xj == — х2 ~ х3; при к = “3 Xi = х2 — х3.
2,3,3. а) *(2, 3, 1) !); б) множество векторов вида *(0, 0, 2, —
Ч- а *(13, 0, 9, — 1) + Р *(0, 13, —27, 3); в) множество векторов вида
*(2, 1, -1, 0,1) + а *(1, 0, 4, 0, —1) + Р* (0, 1, -8, 0, 2); г) множество
векторов вида *(2, —2, 3, — 1) + а*(—13, 8, —6, 7); д) 0: е) мно*
жество векторов вида *(1, 2, 22/5, 8/5) + а*(5, 0, —17, —8)
+Р *(0,5,34,16); ж) множество векторов вида *(—3,1,3/2, —1/2, —5/2)4
+ <х*(1, 0, —2, —4, -4) +Р *(0, 1, -1, —2, -2); з) *(3, 0, -5, Ц).
2.3.4, a) Xi = 8х3 — 7х4, *2 = ~ + 5х4; (*(8, —6, 1. ty’
* (—7, 5, 0, 1)); б) система имеет только нулевое решение*
в) *1 = *4“*5, *2 = *4 — *6, *3 = *4l (*(L 1, 1, 1, 0, 0),
* (—1, о, 0, 0, 1, 0), *(0, —1, 0, 0, 0, 1)); г) если п = 3k или п = 3k + .1*
то система имеет только нулевое решение; если п = 3k + 2, то
общее решение
x3i = °’ *з/+1 ~ ““ хп' хз*+2 в хп (* == 1, ..., 6);
(*(-1, 1, 0, -1, 1, 0, ..., О, -1, 1)). 2.3.5. а) (*(7, -5, 0, 2),
* (—7, 5, 1, 0)); б) (*(—9, 3, 4, 0, 0), *(-3, 1, 0, 2, 0), *(-2, 1, О, О, I));
в) ядро состоит из нулевого вектора; г) (*(—9,-3,11,00),
*(3, 1, 0, 11, 0), *(-10, 4, 0, 0, 11)); д) (*(0, 1, 3, 0, 0), *(0, 0, 2, 0, 1));
е) (*(—3, 2, 1, 0, 0), *(—5, 3, 0, 0, 1)). 2.3.6. а) *(1, -2, 3); б) *(3, 2, 1).
2.3.7. х2 + Зх + 4. 2.3.8. х3 + Зх2 + 4х + 5. 2.3.9. — х4 — х + 1.
2.3.10. а) *(2. 4, 2); б) *(4. 4, 3). 2.3.11. Получить формулы Крамера
Дх* = и обе части умножить на число и такое, что Дм + mv = 1.
2.3.12. Если d = ац и aik — dqг (0 < г < |d|), то элемен-
тарным преобразованием можно перейти к матрице с элементом
г < |d|; поэтому все элементы строки i и столбца / делятся на d, и
матрицу можно привести к виду В, где Ьц — d, Ьц = = 0; если
b2 — dqs (0 s < |d|), то, вычтя из первой строки вторую, а
затем прибавив к второму столбцу первый, умноженный на q, по-
лучим матрицу с элементом —$, т. е. s == 0. 2.3.13. Использовать
2.3.12 и ее решение.
2.3,14, Использовать теорему Крамера. Обратное утверждений
неверно: система из одного уравнения 2х = 2 является определен-
ной над кольцом целых чисел и неопределенной по модулю 2.
2.3.15. Неверно: система из одного уравнения 4х = 2 не имеет
целых решений, но совместна по модулю любого простого числа р-
2.3.16. а) Единственное решение по модулю р =й= 3; Х\ = —1. 4
+ х2 + х3 при р — 3; б) единственное решение по модулю р =£ 3;
по модулю 3 система несовместна; в) единственное решение по мо-
дулю р #= 2; по модулю 2 система несовместна, ,
2.3.19. Использовать результат предыдущей задачи. 2.3.23. Вос-
пользоваться результатами задач 2.3.20—2.3.22.
2.3.24. а) {*(1 - 3k - 21, 26, I) [ k, 1Z);
6) {*(6, 0, 11 (26 - 1), -8 (26 - 1) | k g= Z).
, /
9 В ответах символ гм обозначает вектор-столбец, полученный
транспонированием строки и.
252
ei 1 a) —1; 6) ft в) b r) sin (° — ₽)» д) ft e) ft ж) «*+ b2 +
3.1.2. a) -8; 6) -50; в) 16; г) 0; д) ЗаЬс - а3 - b3 - с3;
"t 0- ж) sin (₽ “ Y> + sin (Y — «) + sin (а — Р); з) —2 и) 0; к) 31 Уз?
а ч 1 а) Входит со знаком плюс; б) входит со знаком минус!
не входит. 3.2.2. i = 2. ] = 3, k = 2. 3.2.3. - 8лА 3.2.4. а) .Со зна-
ом плюс; б) со знаком (—!)’»<'»-0/2 3.2.5. а) аиа22 ... апп',
(_-Пп(п“1)/2а1пв2, п-i ••• апй в) abed-, г) abed-, д) 0-
&в (-1)“••• «»)• 3-2-7- »•
*3jj. а) Умножится на (—1)п; б) не изменится; в) не изме-
ится* преобразование можно заменить двумя симметриями относи-
тельно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией
Относительно главной диагонали; г) не изменится; д) умножится
на (-
3,3,2. а) Умножится на (—l)*"1; б) умножится на (—ip
3 3 3. а), б) Не изменится; в) обратится в 0; г) определитель четного
порядка обратится в 0, нечетного порядка — удвоится. 3.3.4. Транс-
понировать определитель и из каждой . строки вынести —1 за знак
определителя. 3.3.5. Использовать, что, например, 20604 = 2 • 104 4-
|, б. io2 + 4. 3.3.6. 0, так как одна строка равна полусумме двух
других. 3.3.7. 0. 3.3.10. а) 4* (а1д2 • • • ап—1+ ai • • • an—2an~i~
(Wh • • • an) разложить определитель на сумму двух
слагаемых, пользуясь последней строкой; б) хп 4- (аг 4- ... 4- ап) X
X х*-1; в) Dn « 0 при п > 2, Dt = 1 4- *1Уъ D2 == (xj — х2) (yi ~ у2);
г) о ПРЙ > 1: разложить на сумму определителей, используя
п
каждый из столбцов; д) 1 + £ (а{ + bi) + ~ Х
i-1 l<i<fe<n
X представить в виде суммы двух определителей, поль-
зуясь первой строкой.
3.4.1. 8а 4- 156 + 12с - 1М 3.4.2. 2а - 86 4“ с + 5d.
3.4.3. а) хп 4- (—l)n+1 УпЧ разложить по первому столбцу
6)aQXiX2x3... xn+aiyix2x3... хп+а2у!у2х3 ... хп4- -.>+апУху2у3... уп*
разложить по первой строке и использовать теорему об определи-
теле с углом нулей или разложить по последнему столбцу и со-
ставить рекуррентное соотношение; в) aQxn 4- ai*””1 4“ • • • 4- а«;
разложить по первому столбцу; г) п! (аохп 4-ai*”"1 4-... 4-Д/г)‘>
xrt+1 — 1 п 4-1 ч пхп хп — 1 .
’ (х-1)2 х-1: е) х-1 ж) а,а* •••«»-
“ ... a«-i 4* ... art_2— ... 4" (—l)rt 1 4" (~4)п; раз-
ложить по первому столбцу или разложить по последнему столбцу,
в первом слагаемом перенести последнюю строку на первое место и
п
составить рекуррентное соотношение; з) JJ —
и) .. ап(а0 —--------------5-----...----L-Y 3.4.14. Доказать, что
D _ П . гЛ а2 ап J
п “7 4- ^п~2-
3-5.1. а) 301; б) —153; в) 1932; г) —336; д) —7497; получить
угол ИЗ нулей; е) —30; ж) —18016; з) 1; и) —2639; к) ~ л) 1.
о!
253
3.5.2. a) n\* б) (—1)я~1л!; последнюю строчку (или последний
я (п - 1) ин
столбец) вычесть из всех остальных; в) (—1) 2 Ь^Ь2 ...
г) *1 — fli2) • (х3 — Озз) ... (хп — an-lt п); из каждой строки, наш»
п (п-1)
ная с последней, вычесть предыдущую; д) (—1) 2 п\ нз
каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий-
п п(п-М)
ж) (—1) 2 (п + 1)п-1; прибавить все столб-
[(а+(п— 1)&](а —
(п - 1) .1
-—-—— AJ; из каждой строки от 1-й до
& = 1
цы к первому; з)
3.5.3. (—nh)n~x
(п— 1)-й вычесть следующую и полученные п—1 строки сложить.
3.6.1. а) п + 1; б) 2п+1-1; в) 9 —2п+1; г) 5 2п-1 - 4 • 3"~1;
д) 2n+1 — 1; е) а а _ |---- при «=/>р; («+ 1)а“ при а={1; ж),
п
з) Пй!; и> П (xi~xk)' к) П (вЛ_вЛ)
n>f>6>! Ki<K»+l
л) (Е ха ха. • • • ха ) И (*/ “ хк)’ где сУмма беРется по
\ 1 г п-s/ п>{>к>1
всем сочетаниям п — s чисел аь ..., an_s из чисел 1, 2./г; при-
писать строку 1, г, z2,...2s""1, 2s, zs+1, ...,гп и столбец
*{z\ X®, ..., x®), полученный определитель вычислить двумя спосо-
бами: разложением по приписанной строке и как определитель Ван-
дермонда и сравнить коэффициенты при zs,t м) [2xix3... хд —
- (xi - !) (х2 - ’) • • • (хп - О П (xi - приписать пер-
n>i>6>l
вую строку 1, 0, 0, ..., 0 и первый столбец из единиц, первый стол-
бец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем углу представ!
вить в виде 2—1 и представить определитель в виде разности двух
определителей, пользуясь первой строкой.
3.7.1. (а2 + ^2 + с2 + d2)2;умножить данную матрицу на транс*
понированную. Найти коэффициент при а4 в развернутом выраже-
нии данного определителя.
3.7.2. а) 0, если п > 2, sin(ai — a2)sin(0i— ₽2) при п = 2;
б> П (ai-ak)(bi~bk)>
”(“)©•••(:) п
г> П (хг —х*)2.
n>i>6>l
3.7.3. Умножить определитель на определитель Вандермонда.
3.7.4. а) (а + Ъ + с + d) (а — b + с — d) (а + bi — с—di) (a—bi —
— с + di) = a4 — Ь4 + с4 — d4 — 2а2сг + 2b2d2 — 4a2bd Н- 4b2ac
— 4c2bd + 4d2ac\ см. задачу 3.7.3; б) (1 — см. задач/
3.7.3 и равенство (1 — a8i) (1 — ae2) ... (1 — авл) = 1 — <хга.
254
3.8 !• a) 2; показать, что все три члена определителя, входящие
азвернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и
0 Р мотреть определитель с нулем на главной диагонали и осталь-
Расс единицами; б) 4; в развернутом выражении определителя рас-
н отпеть произведение членов со знаком плюс и членов со знаком
С нус и вычислить определитель с элементами главной диагонали
и остальными единицами.
1 3 8.2. Воспользоваться развернутым выражением. 3.8.4. Приме-
теорему об умножении определителей к произведению DD *.
ЙИ 3.8.5. Разложить det С в сумму пт определителей, пользуясь
столбцами. В каждом слагаемом из /-го столбца вынести . Пока-
ft
зать, что detC= £ bik... bmkАкк. Заметить, что
л„..7ГАт=1 1 min
при w >п среди чисел kit ..., km всегда есть равные
=0. Второй способ: при т > п матрицы А и В допол-
нить до квадратных при помощи т — п столбцов, состоящих из 0,
и применить теорему об умножении определителей.
3.8.6. Использовать формулу Бинэ — Коши (задача 3.8.5).
3.8.7. Использовать формулу Бинэ — Коши (задача 3.8.5). 3.8.8. Раз-
ложить по последнему столбцу.
3.8.9. Сначала доказать, что
Д11 + X ... Дщ + х
Дц ... Д1я
+ х ... апп + х
ап1 • • • апп
+ х £ Аи>
1,1
затем в левой части равенства и в первом слагаемом правой части
вычесть первую строку из всех остальных и положить х я= 1.
3.8.11. Выполнить над каждой из р- групп по п строк определи-
теля D преобразования, приводящие определитель А к треугольному
виду, и разложить полученный определитель по строкам с номерами
л, 2л, ..., рп по теореме Лапласа.
3.8.12. а) Сумма всевозможных произведений элементов дь ...
..., ап, одно из которых содержит все элементы, а другие полу-
чаются из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножи-
телей с соседними номерами (если выброшены все сомножители, счи-
таем член равным 1); использовать рекуррентное соотношение
(Я1 • • • %) = «„ («1. • • i) + («1 • • • б> ••%) =
“(в1а2 ••• ak)(ak+iak+2 %) + (а1в2 ••• ak-lHak + 2ak+3 •••
• •• Д^); в) применить метод математической индукции.
3.8.13. В случае линейной зависимости строк матрицы HC|D||
элементарными преобразованиями строк перевести эту матрицу в
матрицу с нулевой строкой и эти же элементарные преобразования
применить к столбцам матриц Ф и *С; это даст матрицу, отличаю-
щуюся от ДФ — В*С невырожденным множителем; в случае, когда
••• cukdUt di/z
Cnii " Cnikdnli " dnh
¥=0
255
(£ + I = n, is jt) рассмотреть произведение ||^ л
где
1ВД==
О ... ... О ... clik ... О ... ... О ... ... о|
О ... cni^ ... О ... cnik ... О ... dn^ ... О ... dn^ ... qI
cliI ••• cni,
• • • ^1
— матрица, обратная к
Си1 ••• dlll
cnit • • • dnit
что другие случаи невозможны. 3.8.14. Рассмотреть произведи
иие |с о|| 0 1 -с| или соответственно £||_£ |.
3.8.15. [(с-а)" - Г ‘) (с - «)"‘ 4 + (” 7 2) (с “ а)П~* +
+ ...] [(с + а)п - (" ’) (с + а)"-» + (" ~ 2) (с + . .J;
IcE А |
А I ” ' — Л21 == | —- 4 [ | +
+ Л|.
3.8.16. В определителе Drt+2 матрицы, полученной из исходной
приписыванием снизу строки 1, х, х2, ..., xft+l, вычесть из каждого
столбца предыдущий, показать, что Dn+2 = (х—\)Dn-\, и разло-
жить Dn+2 по последней строке. >
3.8.17. Разложив Dsa+j по последнему столбцу, показать, что
числа — Di, D2, —D3t Db ... удовлетворяют той же системе уравне?
X ’ *
ний, что и коэффициенты разложения _ j 5=81 + Ьхх + Ъ2х2 +
+ Ь3х3 + ... (использовать тождество 1 = (1 + biX + b2x2 + Ь3х3 +
I ч Л 1 X , X2 , х3 t , 1
+ •••) V1+-2Г + "зГ + ‘4Г+•• J/ заметить’ чт0 61 = “Т
х «.I
и что —----т---1 + —х — четная функция.
в ““ 1 л
3.8.18. Каждый из определителей возвести в квадрат. 3.8.19. а),
б) Рп = Qn == 1; показать, что 3.8.20. Пользуясь фор-
п
мулой Гаусса ra=^cp(d), показать, что
din fe=l
где рц = 1, если i делит /, и рц = 0, если i не делит /; разложить
определитель на сумму пп слагаемых.
4.1.1. a) Ijl n + ml| б) l]cos(a + p) - sin (a + 0)Ц
Цо 1 ||; || sin (a+ 0) cos (a+ 0) IP
256
в) 1 0 0 1 — 1 0 г) л » 6 10 - 14 -2II. д)| 6 8 611 8 19 8 ; 6 8 6||
-19 17II’
7 5 °|| ж) 3 3 0 0 з) 2 4 0 01
eJ —7 - -5 0 ; 3 3 0 0 . 1 3 7 0 0!
14 ю oil 0 0 —2 2 ’ 0 0 0 71 ’
0 0 2 - -2 о о — 2 з;
4.1.2. а) II -1 —4 -1 1 б ) 5 4 5 н
2 9 —7 6 6 —5 —2
13 —9 15 0 0 6 12 *
1 2 1 3
4.1. 3. а) 9 0 011 б) 0 0 1 0 в) 14 000 г) 0029
° 9 ° ; 0 0 0 1 J 0 4 0 0 0006
0 0 9| 0 0 0 0 10 0 4 0 ’ 0000
0 0 0 с 10004 0000
I cos na sin na
; применить метод математическом ин-
— snna cos not r
дукции;
||Л" nV1"1 II 4 ||3n + 1 -n II
«) II 0 %" |: в) II 9ft -3n+ ill’ замвтить’ что пе₽вая
и третья матрицы — взаимно обратные, и записать степени в виде
п сомножителей»
4.1.5. а) II1 4 р 1 011 б) 18 18 18|| 18 18 181. 18 18 1з||
° ;
111 4 oil
4.1.7. 4.1.8. а) а) | и | 2 1II- 6 -11г iii б' ) 1 1 51 0 1 61. 0 0 1 » 0 1 -1 * 1 IzlUL 2 Т 4 п — 1 1 1 ( —1)п 0 0 1 2 3’"ft—2 1 (—1)" 00 ° 1 2”’ « —3 0 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 0 ... 0
|-4 -21|’
4.1.9. А == 0; после умножения А на матричную единицу Eji по-
ручится матрица, у которой на главной диагонали стоит элемент аг7,
? остальные элементы — нули. 4.1.11. Использовать 4.1.10. 4.1.12. При
Лр=а 0; использовать 4.1.10. 4.1.13. Заметить, что ft7 = [£г7, Ё/7]
ПРИ i =5^ j, а матрица diag(ai, ..., аЛ) с нулевым следом равна
У Щ [Ен, £н].
lee2
9 Под ред. А, и. Кострикина 257
4И.14. A - diag(/tb ..., hn),
В =
0 Л, 0 0 0 0 0 0 0 0
0 Ai 4“ hi 0 0 0
0 0 fl! + h2 + hs .. 0 0
0 0 0 0 0
л-i
0 0 0 • S A*0 k =1
где hk «« (n — 2k + l)/2. 4.1.16. tr,[4, И » 0; вычислить квадрат
матрицы с нулевым следом (см. тайЖе 4.2.2).
4.1.17. IIЛЛ1 + BCi ABi + BDt II
|| САу 4* CBi 4“ I
«.г....>х-|”|, «> i'-2x+|?~,;|.,,.
X — произвольная матрица порядка 2.
4.2.3. а) |0 0|; б) |_24 _у|; B)|2a_j 2fe_8| («• *>®R)j
1—1 211
О о|-
4.2.4. Ранг матрицы А равен рангу объединенной матрицы ||Л|ВЦ,
4.2.5. det А 0; для прямоугольных матриц система не может
иметь единственного решения.
4.2.7. .) |,
-5
3
1
Т
о
о
4.2.8. а)
10 0 1
0 0 0 1
0 10 0
0 0 10
0 10 0
0 0 0 1
10 0 0
0 0 10
Т» » °
о о|о
0 0 0 1
0 10 0
о
о
2 г
—1 и
258
4.2.9. a) I A~* О I
Ц-С-'ВЛ-1 c-I|r
б) II A"1 -A-'BC-*
II0 C-‘
4.2.10. a)
-3 2 0 0
2—10 0
8-11-A
8 2 1 2
-i Ao 2-
-1 3-8 3
1—2 4-1
0 0 2 -1
0 0 1-1
4.2.12. a), 6) ±1. 4.2.13. ±1.
4.2.14. Использовать присоединенную матрицу A*.
a) II t3 --1-/|| 0
II-\-t2 l-d; 0 2/2 —2t
||-1 + t —2t 1 +t
4.2.15. б) Заметить, что если det A «= 0, то система уравнений
п
= 0 имеет ненулевое решение. 4.2.16. Положив С == (Е+
/=1
+ АВ)-1, доказать, что (Е — ВСА) (Е + BA) « Е.
Ш.) Л_|^|.|; Л 6) (Е-Е„)(Е + Е„)Х
X (Ё - 2£22) (Е + BI2) (Е + £В1) (Е + E3i) (Е - З£3) (£ + 2Е23); ив-
пользовать задачу 4.3.1.
4.3.3. а)
б)
1 4 9 16
1 6 15 28
1 4 12 32
12 3 4
12 3 4
2 6 10 14
3 6 12 24
4 4 4 4
в) -5 2 3 4 г) 1 2 3 4
-10 3 5 7 2 5 8 11
-15 2 4 8 > 3 6 10 16
0 111 —2 -5 -8 11
9*
259
4.3.5. Матрица А + М — всегда симметрическая (4.3.4), а мат-
рица А — *А — кососимметрическая. 4.3.6. Воспользоваться задачей
4.3.4. 4.3.8. Если матрицы перестановочны. 4.3.9. Для построения мат-
рицы У использовать матрицы U, V такие, что UXV — Е}} , 4.
... + Err. 4.3.12. Верно при п 3. 4.3.13. В случае симметрий
|| ±1 01| || cos ф sin ф ||
ческих матриц || Q ±1|| и 1| sjn ф _cos(p|p в случае кососимметриче-
ских матриц |_Jj* и |ц о|. 4.3.14. {о£|&е/(} (Л —основное
поле); представить искомую матрицу в виде линейной комбинации
матричных единиц и записать условия ее коммутирования с матрич-
ными единицами. 4.3.15. {аЕ|аеК} (К — основное поле); если мат-
рица А коммутирует с Е + Ец, то она коммутирует и с Ец. 4.3.16.
См. указание к 4.3.15. 4.3.17. {aEi, |<х<=/(}. 4.3.18. Воспользоваться
формулой бинома (4.1.6); неверно. 4.3.20. Если Ап — 0, то detA==x
= 0; далее использовать 4.2.2. 4.3.22. Воспользоваться формулой
суммы бесконечной геометрической прогрессии. 4.3.23. Если g(t).
многочлен без свободного члена и Ап — 0, то g(A)n — 0: применить
4.3.22. 4.3.24. Использовать 4.3.22. 4.3.25. См. 4.3.20 и 4.2.2.
4.3.26. Жорданова форма данной матрицы (рассматриваемой над по-
лем С) имеет тот же след и обладает тем же свойством, и потому
все элементы ее главной диагонали равны 0, откуда следует ее ниль-
потентность. 4.3.27. С помощью 4.1.15 доказать по индукции, что
[Ап, В] = пА\ и воспользоваться тем, что коммутатор имеет нуле-
вой след, и задачей 4.3.26. 4.3.28. Неверно.
5.1.1. а) Нет; б) да; в) нет; г) нет: д) да; е) нет; ж) да.
5.1.2. Все элементы видаеа = |^ нейтральны слева; нейтраль-
ных справа и двусторонних нейтральных нет. Относительно еа обра-
|| х и |1
|ф g при х Ф 0; обратимы слева лишь
|| х ах ||
элементы вида 1| при х =/= 0.
5.1.3. Любой элемент нейтрален справа; относительно любого •
нейтрального х каждый элемент обратим слева и лишь сам х обра-
тим справа при |М| = 1. 5.1.4. Да; не существует, если |М| > 1.
5.1.5. а) 3; б) нет. 5.1.6. Рассмотреть отображение А i—> Д.
5.2.1. Все множества в а), кроме N; все множества в в), кроме
No; г), д). е), ж), з), и) при г == 1 и при г = 0; к) при 0 < г 1;
л) при ф* = (считая, что <pi < ф2 < ... < Фп). 5.2.2. Группе
и) при г = I. 5.2.3. См. 1.1.2.
5.2.4. г), д), з), и), к), л). 5.2.5. а), г), д) при d=/= 1; е), з)/
л), м), н), о), п), р), с) при %< 0; т). 5.2.10. а) и в). 5.2.13. Рас-
смотреть элемент {ху}2. 5.2.14. а), д), е). 5.2.15. Для коммутатив-
ных групп.
5.2.16. {Z, nZ, UT2 (Z), Е (Z)}, {Q, UT2 (Q), Е (Q)}, {R, UT2 (R).
Е (R)}, {С, UT2(C), G, Е(С)}. {Q*}- {R*}. {С\ G*}.
5.2.17. р?]ь-^[2*] и [ft] i-> [3fe].
5.2.18. Если в группе тождественно х2 = е, то см. 5.2.13; в про-
тивном случае найти некоммутирующие элементы х и у, для кото-
рых х2 — у3 = 1. 5.2.19. Других автоморфизмов нет.
5.2.21. а) Равнобедренный, но не равносторонний треугольник
или пара точек; б) [КВ] U ,[LC] U [МА], где К, Е, М— середины сто-
260
правильного треугольника ЛВС; в) правильный треугольник;
Р? пяоаллелограмм или прямоугольник.
rJ 5 2.22. D4^ 5.2.4 л), Q8 ~ 5.2.5 т). 5.2.25. a) Z2; б) Zp_i; в) S3;
a s3; Д) В*: е) s<- 5‘2-27- а) U23), (13 2)}; б), е) См. 5.2.2.
^2 29. Использовать 5.2.28. 5.2.30. Использовать 5.2.22 н 5.2.28.
5 2 32. Эти группы попарно не изоморфны. 5.2.33. Рассмотреть центры
ГР'П5.3.1. б) Если A U В — подгруппа, х <= 4 \ В, у (= В \ А, рас-
смотреть ху; в) рассмотреть хе (С\Л) Q (С\В), 5.3.2. Для любого
элемента а подполугруппы найдутся различные k и / такие, что
д* = а1, откуда = ak~l «= е, так что элемент а обратим в
подполугруппе; утверждение неверно для N cr Z. 5.3.3. а) 6; б) 5;
в) 12; г) 8; д) 4; е) 8; ж) 2. 5.3.5. а) 2; б) 4; в) 20; г) 0. 5.3.6. б)
Использовать а); а) умножить равенство (ху)п — е слева на у и
справа на х; в) рассмотреть перестановки (12 3), (12) и (13).
5,3.7. а) Для взаимно простых чисел р и q существуют и н v такие,
что pu + qu = 1; б) следует из а); в) рассмотреть (12) и (12 3).
5.3.9. Воспользоваться тем, что порядок цикла равен его длине.
5.З.Ю. п/НОД(п, k).
5.3.12. Если хк = е и х = а1, то ahl = е, откуда kl • п и /;
: НОД (и, k); элемент ак имеет порядок п/НОД(п, k) (5.3.10) и по-
этому удовлетворяет условию при НОД(п, I) = n/k.
5.3.13. рт — рт-\ 5.3.14. Во всех случаях {{ad} |d|n}, где п —
порядок группы.
5.3.15. а) См. 5.3.10; б) см. указание к 5.3.7 а); в) рассмотреть
наименьшее из натуральных чисел $, для которых as <= Н; г) ис-
пользовать в); если di и d2 — различные делители п, то соответст-
вующие подгруппы имеют разные порядки.
5.3.16. Пусть и = |G|, d = d(G), ап — наименьшее общее крат-
ное элементов G. а) По теореме Лагранжа d\n, откуда xd = /, так
что d делится на порядок любого элемента группы, т. е. m]d;
б) пусть d = р{* ... pss — разложение на простые множители; в
k
силу а) в G существует элемент х, порядок которого равен
где I и pi взаимно просты; тогда х1 имеет порядок рг, аналогично
получаются элементы х2, ... х$, и произведение Xi ... xs (см. 5.3.7а))
имеет порядок d; утверждения б) и в) неверны для S3.
5.3.17. Upoo. 5.3.18. б) Неверно: в группе G биекций плоскости
на себя композиция симметрий относительно двух параллельных пря-
мых является параллельным переносом; в) множество корней всех
степеней из 1; множество диагональных матриц с корнями из 1 на
главной диагонали. 5.3.19. Неверно: в GL2(R) элементы порядка 2
не составляют подгруппу (см. ответ к 5.3.186)). 5.3.20. Z k(p~
простое число).
5.3.21. а) Выписать явно все подгруппы (см. 5.3.15 г));
б) Zpk(k^n) (р — простое число); заметить, что группа является
объединением своих циклических подгрупп, и если они образуют
Цепь, то группа циклическая, далее использовать 5.3.15г); в) Z
П
v0oo» пусть р — наименьший из порядков элементов группы; р —
простое число, так как из р — kl следует, что в подгруппе <хр>
имеется элемент порядка k; (х) р — наименьшая неединичная под-
Руппа и содержится во всех других подгруппах, так что порядки
Сех элементов делятся на р и на самом деле являются степенями р.
261
5.3.22. U <
п es W
5.3.23. cos--^ + * sin 1—> [£]• 5.3.24. a) б); в) osi e); r) ~
д) ~ж). 5.3.25. а) Если в группе G нет элементов порядка 2, то
G = {(х, х-1) (х ¥= е)} U {е} и |G| нечетен; б) см. 5.2.13. 5.3.26.
Если порядок подгруппы Н равен п, то хп = е для любого
х s //, откуда Н £ ил, но Un — циклическая, и далее сослаться на
5.3.15b). 5.3.27. См. 5.3.21в).
5.3.28. б) Показать, что если конечная абелева группа содержит
не более одной подгруппы любого заданного порядка, то она цикли-
ческая, и воспользоваться а). 5.3.29. а) £, S3, <(ч))> < (1 2 3’)); б) Ё,
D4, <(1 3)), <(2 4)), ((1 2) (3 4)), <(1 3) (2 4)), <(1 4) (2 3)), ((1 2 3 4)), V4;
В) Е, Q8, <0, </), г) Е, А4, <(12) (3 4)), <(13) (2 4)), <(14)>(2 3)>,
V4, <(123)), <(124)), <(134)) <(234)). 5.3.30. а) (//) = (1/) (1/)
(1г). 5.3.31. a) D4; б) D2 (R) при a=£6;SL2(R) при а == Ь\ в) <g).
5.3.32. a) D4; б) S3 как подгруппа S4, состоящая из перестановок с не-
подвижным элементом 4; в) {е, (1 2), (3 4), (1 2) (3 4)}; г) S4; д) А4.
5.4.1. а), б), г), е)чж), з), к), л), м), н), о) при Е = 1 (mod 4).
5.4.2. в), г), д), е), ж) при D s 1 (mod 4), з), и) использовать, что
^2 не является корнем квадратного трехчлена над Q. 5.4.3. Все,
кроме з). 5.4.4. Нет. 5.4.5. См. задачу 1.1.2. 5.4.7. 5.4.2. в), 5.4.3 г)
при п > 2, 5.4.2 д) при D = с2 (се 2); е) при D = с2
5.4.3 а), б), д) при >1, и); 5.4.5. 5.4.10. Заметить, что -
(хг/)-1 = у~хх~1.
5.4.11. а) Л — {[£]]& и п взаимно просты}, Д, {[&]|& делится на
все простые делители «}; б) А = {[&] |& не делится на р}, А, Д’;
в) аналогично а); г) множества матриц II а//II, у которых соответ-
ственно а^О (г == 1, ..., п); ан = 0 хотя бы при одном г; а»=
= 0 при любом г; д) множества матриц А соответственно с det А Ф
=?& 0, det А = 0, det А = tr А = 0; е) множество функций, не при-
нимающих значение 0; множество функций, принимающих значение
0; нулевая функция.
5.4.12. а) Отображение xi—* ах (а е R, а Ф 0) — биекция, по-
этому ах = а при некотором xg R; любой b е R представим в виде
b = уа, и тогда Ьх = Ь, т. е. х — левая единица; б) элемент, обра-
тимый справа, не является правым делителем нуля, и поэтому xi—>
1—>ха — биекция; в) если ab = 0 и а не является правым делителем
0, то элементы х^а, ..., хпа попарно различны и один из них равен
1. Утверждение в) неверно в алгебре над Z2 с базисом (х, у) и таб-
лицей умножения ху = у2 = 0, ух — г/, х2 = х; б) неверно в беско-
нечномерной алгебре над Z с базисом (ykxl\k, I е N) (элементы х и
у не коммутируют) и умножением
укх1•угх8 =
ykxl-r+s при z >
ykxs при / = г,
yk+r~lxs при Кг.
5.4.13. Если ab = 1, то (Ьа—1)Ь —0. 5.4.14. б) См. ответ к
5.4.13; в) см. 5.4.12 б); г) см. ответ к 5.4.12.
5.4.16. а) Отображение [x]^t—»([x]^, [x]z) — изоморфизм; в) па-
ра ([х], [г/]) обратима в Z* X Z, тогда и только тогда, когда [х] об-
ратим в Zk, [г/] обратим в Z/; ф (л)—число порождающих элемен-
тов Zn.
5.4.17. Аналогично 5.4.16.
262
5.4.18. а) Нет; б) Да: L q — единица в кольце S матриц вида
|о °о|-
5.4.19. а) Нет: рассмотреть вложение S (см. ответ к 5.4.18) в
Ms(R); да* 5*4.20. а) Единственный гомоморфизм kr—^ke\ б) го-
моморфизмы k\—где е2 = е е R. 5.4.21. ф(х)—многочлен пер-
вой степени. 5.4.22. а) Все эндоморфизмы Тп имеют вид х kx\
б) эндоморфизм х:—>хк группы (а) и является автоморфизмом, если
я* порождает (а), т. е. k и п взаимно просты.
5.4.23. Пусть D— дискриминант f(x); а) два класса: при D = О
и D Ф 0 (кольца разных классов не изоморфны, так как кольца од-
ного класса содержат, а другого — не содержат нильпотентных эле-
ментов); б) три класса: классы, соответствующие £> = 0 и D > О,
не изоморфны, так как в кольцах второго класса нет нильпотентных
элементов; в) класс, в котором D = 0, и бесконечно много клас-
сов, в которых D =s а2п, где п е Z свободно от квадратов; г) три
класса, соответствующие D = О, D = a2 (as К*), D а2 (аед).
5.4.24. a) Zn; показать, что все элементы кольца имеют вид ke\
б) mZImnZ, где т 1; /п|п; показать, что кольцо порождается не-
которым элементом а таким, что а2 == та, где т\п.
5.4.25. п «ха р* (р — простое число): 5.4.26. Использовать деле-
ние с остатком; a) nZ; б) f(x)K[x]. 5.4.27. а) Рассмотреть идеал
(2, х); б) рассмотреть идеал (х, г/). 5.4.28. а) Ёсли ненулевая мат-
рица X принадлежит идеалу /, то матрица 4ХВ вида Ец + ...
... + Err ® /, откуда АХВЕц == s /; поэтому Е «= + ...
.., + Епп^Е. 5.4.29. Всякий идеал в МП(Е) имеет вид Мл(7), где
he 4d| обРаэУют идеал в
НОК fa, 6); в) В zb' V5-]
1 — идеал в Я; неверно: матрицы вида
Mn(2Z). 5.4.30. Верно.
5.4.31. а) Доказать, что НОД (а, Ь)
НОД(3, 1 + ZV5')= 1 и, если НО К (3, 1-Н‘д/5) существует, то
оно равно 3 (1 + « Уб"), а тогда 6 ™ 3 • 2 « (1 + I л/b) (1 — i Уб"),
но 6 не делится на 3 + I УУ. 5.4.32. Положить di (a) = min di(ax) |,
где x s К \ {0}. 5.4.33. См. 2.3.19. 5.4.34. а) Рассмотреть норму
б(х-Н#) =x2+t/2; б) в этом кольце элементы 2 и 1±/д/з
простые, и 4 = 2-2 = (1 + Z Уз) (1 — Z Уз) — два неасеоциирован-
ных разложения на простые множители; в) рассмотреть норму
6(х + iy) «» х2 + у2. 5.4.35. а) D == 0; рассмотреть х « у = 1;
б) f(x)D, где f(x) sZ[x], D —обычное дифференцирование; в) ZfiDi,
где fi s Z[xb ..., xn], Di — частные дифференцирования по пере-
менным. 5.5.1. 5.4.1 г), з), к), м), н), 5.4.2 г). 5.5.2. а) Если Уп~ Q;
б) если п < 0; в) п = 2 при р = 3; п = 2, 3 при р == 5; п = 3, 5,
6 при р =» 7.
5.5.4. Мультипликативная группа поля из 4 элементов имеет по-
рядок 3, и для построения такого поля достаточно иметь матрицу по-
рядка 2 над полем Z2, для чего достаточно, чтобы она удовлетво-
ряла уравнению Д2 + Л + £ «□= о, т. е. tr Л = det А = 1. Такая мат-
рица | * JII, и поле состоит из элементов О, Е, А, А + Е; при п = 6
рассмотреть порядки элементов в аддитивной группе.
263
5.5.5. {ke\k&1}\ аддитивная группа собственного подполя имеет
порядок р и содержит указанное подполе.
5.5.6. Для поля Q доказать сначала неподвижность целых чисел
при любом автоморфизме; для поля R заметить, что неотрицатель-
ные числа являются квадратами, и поэтому их образы неотрица-
тельны; из х > у следует, что ср (х) «= ф(х—у) 4-(р(//) > Ф(^);
далее воспользоваться рациональными приближениями.
5.5.7. zi—> г и zt—>z; рассмотреть образ Z.5.5.8. х + у —>х —
—д/2 — единственный такой автоморфизм; рассмотреть образ V2.
5.5.9. При т — 1 заметить, что биномиальные коэффициенты ( )
деляется на р; далее применить индукцию; б) ненулевой гомомор-
физм поля в себя является автоморфизмом.
5.5.11. При mjn == г2 (г е=. Q \{0}). 5.5.13. Аддитивная группа
поля X из 4 элементов не может быть циклической (5.4.24а)), и по-
этому все ее отличные от 0 элементы имеют порядок 2, А == {0, 1,
а, а + 1}; при этом умножение определяется однозначно, в частно-
сти, а(а+ Г) = 1. 5.5.14. Например, поле рациональных функций с
комплексными коэффициентами. 5.5.1^а) {—1, -3 + 272}; б) 0;
13 не является квадратом bQ(V1)*, в) 0; г) 0. 5.5.16. а) 0;
б) (2, 3,2). 5.5.17. Все. 5.5.18. Мультипликативная группа поля из
п элементов имеет порядок л — 1.
5.5.20. 2 при р == 3; 4 при р = 5; 3 при р = 7; 10 при р = 11.
5.5.21. а) 3 и 5; б) 2, 3, 8 и 9. 5.5.22. а) {±1}; б) 0. 5.5.23. Так как
при р>2 в Хрнет элементов порядка 2, то kl—>k~l— биекция и
р-i р-1
У k~l == £ /г; б) аналогично а); р2 —-1 I 8.
i =□ 1
5.5.25. а) (рп — 1)/(р— 1).
6.1.1. а) 1 + 18/; б) 4Z; в) 7 4- 17г, г) 10-11/; д) 14-5/; е) 5-Н;
14 1 11 97
ж) -y-yG 3) И) 4; к) 52/; л) 2; м) 1. 6.1.2. in =~ 1
при п = 46, in = i при п = 4k + 1, in = — 1 при п = 4k + 2, in = — i
при п = 4k + 3, где k — целое число; Z/7 = Z; z98 = —1, z 57 = — z.
6.1.4. а) 2! = /, z2=l+z; б) z, = 2, z2 = 1 — Z; в) 0; г) Zj =
= (2-+<)£2~-1. 6.1.5. а) х = 2, у =-3; б) х = 3, у =-5.
6.1.8. 0, 1. —б) 0, ±1, ± I. 6.1.9. Применить
индукцию по числу операций. 6.1.10. Применить предыдущую за-
х/2*
дачу. 6.1.11. а) ±-^—(1+0; 6) ±(2 — 0, в) ±(3-2/); г) z1 = l—2t,
z2 = 3Z; д) zt = 5 — 2/, z2 — 2Z; e) Zj = 5 — 3z, z2 == 2 + /.
6.2.1. a) 5 (cos 0 + i sin 0); 6) cos -2- + i sin 5-; b)2(cosji4-z sin л);
z &
r) 3 (cos (—Д) + i sin (— у)); д) VT (cos^-+ i sin 4) -
e) V2 ^cos ——j + i sin --------—J J ; ж) 2 ^cos — + / sin -g-j ;
264
з) 2 (cos -у- + » sm — (: и) 2 (cos —) + z sm — J J;
к) 2 (cos ( 2.) + i sin (— ~j) I л) 2 (cos-^-+ i sin-—);
M) 2(4C0S — +«sm-g-J; н) 2 (cos j + z sm (--JJj
(/ л A , . , / л \\ . 2 / л . . . л \
COS(~TJ+,sinr7)): n) vncosT + lsinT):
p) 2 V"2 + V3(cos i + i sin £) или (-03 + V2) (cos i + i sin ;
для получения второго выражения для модуля применить формулу
_ V a+vf^ ± => х vsvs)*
х (cos (— 4- i sin (— ^70); T) cos (— a) + i sin (— a);
y) cos — a j + i sin ; ф) cos 2a + i sin 2a. 6.2.2. а) 260;
б) 2150; в) —230; r) (2 + V3)12; Д) -212 (2 - д/3 )6; e) -26; ж) 2i5/.
6.2.3. a) 3 + 4r, 6) 5— 12/.
6.2.5. Использовать 6.2.4. 6.2.6. Равенство получится лишь при усло-
вии arg Zi == arg z2, или одно или оба данных числа равны нулю;
выяснить геометрический смысл числа mindzjl, |22|)|arg2i —
— arg 2i|). 6.2.9. Доказать, что z ™ cos ф ± i sin ф.
6.2.10. а) 4 cos3 х sin х — 4 cos х sin3 х; вычислить (cos х 4- i sin х)4
по формулам Муавра и бинома Ньютона; б) cos4 х ~ 6 cos2 х sin х 4*
4-sin 4х; в) 5 cos4 х sin х — 10 cos2 х sin3 х + sin5 х; г) cos5 x —
— 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x.
6.2.12. a) -i- (cos 4x ~ 4cos 2x 4* 3); если z = cos x + i sin x, to
о
2 I ~ Z— l ь ъ 1
sin x =--------, 2й 4~ 2“ft » 2 cos /ex; 6) -g- (cos 4x + 4 cos 2x + 3);
в) i (sin 5x — 5 sin 3x + 10 sin x); г) -X-(cos 5x+5cos3x+ lOcosx).
6.2.13. а) Применить указание к задаче 6.2.12.
6.3.6. Неверно: эти множества состоят из разного числа эле-
ментов. 6.8.7. a) cos •^'"76' ^^' + z sin ~ (0 < k < 5);
I 1Z
б) l^cos 30^Я + i sin (o < k < 9); в) V? X
X [cos (8^ ~ ° + i sin (0<fe<7). 6.3.8. a) !1.
1 • а/з 1 . i 4- / Уз* , i - /Уз 1
—± г “2~J ’ 6) {±1, ± 4; в) 1, =h------2--’ ---2---J »
r) + "y —^2 {1 ± Л — 1 ±/};
6 __ _
e) 2 д/l (см. в)); ж) {± д/2, ± V2 i, ± д/2 (1 + /), ± д/2 (1 - /)} .
265
8) i V3, ± 2~ 1 (Vs + 0, ± ~2—(V3 i)j; и) {V3 + I
— 1 + iVs, -V3-J, 1-zVs); к) {3-»Vs, V3 + 3Z,
—3 + »V3, -V3-3/} Л) V3 + i'V2 V3),
“4-V2 (V2-V3 + » V2 + Vs )};m) {4^2*
X(V2 +V3 -/V2- Vs), - -2-V24V2- V3-/V2 + V3)»
1 —«}; h) {± Vs +1, —2/}; 0) |-L(±V3_ Z)};
0>{<+i4), ±(#-t-)}; ”{*(-'#)•
=fc(“T’+Z)}- e-3-s * * * 9- а) б) Т^10 + 2л/§~’
6.4.1, {± 1}; fl, -5- ± i 4""1; {± 1, ±0; f±l,
X " " ✓ X
±^_(i + iV3). ±4(1-‘V3)}; {(±1, ±i, ±^.(1 + 0,
±-|(V3+z),
±— (уз — 6.4.2. (—i)n; все сомножители, отличные от 1 и —1,
разбить на пары взаимно обратных. 6.4.3. г) См. б); д) рассмо-
треть отображение ah—>ek группы <a>rt в U«.
6.4.4. Наибольший общий делитель чисел г и s может быть пред-
ставлен в виде ru + sv\ в) если а е Ur, р с= U®, то (ap)rs = 1, т. е.
ар е LU, и UrUs £S Urs; если <%i =/= а2 — элементы Ur, pt =/= р2~_
элементы U®, то aiPi ¥= «2р2~ в противном случаес^а^"1 = Pjp^1 <=
s Ur П Us, хотя0^2 1 =/=1, Ur П lb = {1} (см. б)); поэтому |UrU5| =
=s rs == |иг«|,_так что Urs — UrU®.
6.4.6. е и ё имеют одинаковые порядки. 6.4.7. См. 6.4.3 г), 6.4.4.
в) 5.3.7 б). 6.4.8. См. 6.4.5. а) 1; б) 2; в) 4; г) 8; д) 8; е) —
6.4.9. Использовать 6.4.3. б), а) 0; б) 0, если s не делится на п, л,
если s делится на л; в) См. указание в к 6.4.2: корень, обратный к
первообразному, является первоообразным, поскольку имеет тот же
порядок. 6.4.10. а) См. 6.4.5 и 5.3.15 б); б) см. 6.4.7; в) следует из
б) и 6.4.8 е).
6.4.11. а) См. 6.4.3. б) и 5.3.10; б) см. 5.3.10; в) если порядок z
равен $, то порядок zk равен s/d, где d — наибольший общий дели-
тель $ и k, т. е. s == dl; если число р входит в разложения чисел /,
k, s на простые с показателями a > 0, р, у, то у = min(P, у) + а,
откуда у > р, у = a + р; при a = 0 получаем неравенство у р;
г) если z и w имеют порядок л, то (6.4.5) оба они являются перво-
образными корнями степени л, и в частности гк = w, wl = z при
некоторых k и /; отсюда zkl == z, разность kl—1 делится на л(5.3.8),
т. е. kl—1 == na, и числа k и л взаимно просты; д), е) см. 6.4.7;
ж) в циклической группе (zw) порядка, равного наименьшему об-
266
щему кратному k и Z; найдется элемент любого порядка d, являю-
щегося делителем этого кратного (5.3.15).
6.4.12. См. 5.3.10. 6.4.13. {е100, е500} = | 1 6.4.14.6)
Каждый корень является первообразным ровно для одной степени,
и поэтому данная сумма есть сумма всех корней степени п\ в), г)
следует из б); д) см. 6.4.7; е) рассмотреть разложение п на про-
стые множители.
6.4.16. Представить z в тригонометрической форме (см. 5.3.4).
6.4.17. а) х— 1; б) *+1; в) х2 + х+1; г) х2+1; д) х2 —x-j-1;
е) х4 —х2 + 1; ж) х^-1 + х?-2 + ... + 1; 3) (xpfe — О/Сх^”"1 — 1).
6.4.18. а) См. указание к 6.4.14 б); б) см. 6.4.11 д), е); е —пер-
вообразный корень степени и тогда и только тогда, когда — е —
первообразный корень степени 2п (п нечетно); в) следует из а) и
формулы обращения 1.5.5 б); г) если -fez}—все первообразные кор-
ни степени k из 1, и {егА 11 k Ш —все значения корней степени
d из 8/, то |/= 1, ...» <p(As); &=1, ...,d}—первообразные
корни степени п\ д) см. 6.4.14; для любого делителя d числа т
имеем:
и (т)=и (?р)=и (т)м₽) = -11 (т)
и все делители п получаются, если ко всем делителям т добавить
их произведения на р; поэтому
ф« (х) =
П (xd - if ® = п (xd - if ® п (xPd - o’1 ) =
d | п d\m d\ti
= П (х4 _ 1)-» Ст). П (хР4 _ if (-г) = Ф.?..(£р)„
d |т d\n Фт (X)
6.4.19. а) Ф10 (х) я= ф5 (— х) = г4 _х3 + х2 — х + 1;
б) Фи (х) == хб — х5 + х4 — х3 + х2 — х + 1;
»10 | , у5 1. 1
В) Ф15 (X) = Фз (Х=)/Ф3 (X) = Л* f, =
X -Г х -Г 1
= х8 — х7 + х5 — х4 + х3 — х + 1;
г) Фзо (х) = Ф15 (— х) = х8 + х7 — х5 — х4 — X3 + х + 1;
Д) Фзб (х) = Фе (х6) = х12 — х6 + 1-,
е) Фюо (х) = Фю (х10) — х40 — х30 + х20 — х10 -|- 1;
ж) Ф216 (х) = Фб (х36) = х72 - х36 + 1;
з) Ф?88 (х) = Фб (х48) = X96 — X48 + 1;
и) Фюоо (х) == Фю (X100) = X400 - X300 + X200 — X100 + 1.
6.4.20. а), б) следует из 6.4.18 в); в Фп (0) есть произведение
всех первообразных корней степени п на — 1 (см. 6.4.9в)).
6,4.21. Ф* (1) = 0, ф^(1) = р, ф (1) == 1 для остальных п (р —
267
простое число); по 6.4.18 г), д) Ф k (1) = Фр р (1) =»
I ”• ps
см. 6.4.17 з).
= фР2...Р50)/ФР2...р/1) = 1: Далее
6,5.1. a) 2n/2cos -j-. Вычислить (1 + i)n по формуле бинома
Ньютона и по формуле Муавра; б) 2n/2 sinв) уХ
п
х ^2"-, + 2n/2 cos использовать а) и равенства ^^ = 2Л;
k=o
п
Z(-1)ftG)=0; о 4-(2"-1 + 2't/2sin'v); д) _г^епри
fe=0
в=£1; —-------- при 8=1. При е ¥= 1 умножить данную сумму на
1 — в.
6.5.2. Левая и правая части равенств а) и б) равны веществен-
— J
ной и мнимой части суммы z + ... + zn = z ’ где z e
= cosx + tsinx; в), г) аналогично а) и б); д) применить задачу
6.4.96); е) разложить левую часть в произведение (х— Bi) ...
... (х — е2п) и объединить множители х — ei и х — en-i = х — в/;
з) равенства в задачах е), ж) сократить соответственно на х2—1
и на х— 1 ив полученных равенствах положить х_= 1.
6.6.2. а) ±4±71’; б) -1’ 4±Z"T’: в) 4 + /V3,
3 + 2i д/З , 1 + 2z V3 , * V3 > 1, 3. 6.6.3. Расстояние между точками,
соответствующими данным числам.
6.6.4. а) Вершины правильного треугольника с центром О;
б) вершины ромба с центром О:
6.6.5. а) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат;
б) луч, выходящий из начала координат и образующий угол л/3 с
положительной вещественной полуосью; в) круг радиуса 2 с цент-
ром в начале координат, включая границу; г} внутренность круга
радиуса 1 с центром в точке 1 + г, д) круг радиуса 5 с центром
в точке — 3 — 4Z, включая границу; е) внутренность кольца, заклю-
ченного между окружностями радиусов 2 и 3 и с центром в начале
координат; ж) кольцо, заключенное между окружностями радиусов
1 и 2 с центром в точке 2/, причем окружность радиуса 1 включается,
а радиуса 1 — не включается; з) внутренность угла, содержащего
положительную вещественную полуось и образованного лучами,
выходящими из начала координат под углами —-л/6 и л/6 к этой
полуоси; и) внутренность угла с вершиной zQ, стороны которого об-
разуют с положительным направлением вещественной оси углы а
и р; к) полоса, заключенная между прямыми х = ±1, включая эти
прямые; л) внутренность полосы, заключенной между у = 1 и ве-
щественной осью; м) две прямых у = ±1; н) внутренность полосы,
4х2 4//2
заключенной между прямыми х + у = ±1; о) эллипс —77- Н--=*
J7 О
4х2 4 г/2
= 1; п) гипербола —------=— = 1; р) парабола у2 = 8х.
V I
268
6.6.6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сум-
ме квадратов его сторон. Положить Zj = + yrf, z2 = х2 + y2i или
истолковать квадрат модуля комплексного числа как скалярный ква-
драт вектора, соответствующего этому числу.
6.6.7. ?4 = — z2 4- ?3.
6.6.8. 2±^±г-£^_
6.6.9. Zk — с 4- (?о ~ с) ^cos у-у + i sin (6 = 0, 1,2, ...
1 1 эт
... , п — 1), где с = у (Zo + Z1) + у i ctg — (?i—г0) —центр мно-
гоугольника.
6.6.10. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, ис-
ключая точку г = —1; положить t = tg у, —л < ср < л.
6.6.12. а) При доказательстве необходимости убедиться, что век-
торы ?з — Zi и 23 — z2 коллинеарны; для доказательства достаточно-
сти из данного равенства вычесть равенство (Xi + %2 ~h Хз) Zi = 0;
б) использовать предыдущую задачу.
6.6.13. При X =/= 1 — окружность с концами диаметра в точках
zx 4- Х?2 zi — Х?2 л 1
-; г— и —:---х—; при X == 1 — прямая, проходящая через
1 4“ л 1 — л
середину отрезка с концами z2 и перпендикулярная этому отрезку.
6.6.14. Искомая кривая состоит из точек, для каждой из кото-
рых произведение расстояний этой точки от точек, для каждой из
которых произведение расстояний этой точки от точек z — ±1 рав-
но X. Эти кривые называются лемнискатами. При X = 1 получим
лемнискату Бернулли, имеющую в полярных координатах уравнение
г2 = 2 cos 2ср; при X < 1 показать, что кривая не имеет точек на
мнимой оси.
7.1.1. a) f (х) = (х - 1) (х3 - х2 4- Зх - 3) 4- 5, f (х0)=5; б) f (х)=
= (х + 3) (2х4 — бх3 4- 13х2 — 39х-|-109)—327, f (х0) =-327; в) f (х)=
== (х - 2) (Зх4 4- 7х3 4- 14х2 4- 9х + 5), f (х0) = 0; г) f (х) = (х 4- 2) X
X (х3 — 5х2 4-2) 4- 1, f (х0) = 1.
7.1.2. а) 136; б) 1; в) I; г) 67.
7.1.3. a) f (х) = (х - 2)4 — 18 (х — 2) 4~ 38, f' (2) == -18, f (2) =
= (2) = 0, fiv (2) = 24: б) f (х) = (х - 2)5 + 10 (х - 2)4 +
+ 36 (х - 2)э 4- 62 (х - 2)2 + 48 (х - 2) + 18; f' (2) = 48, f" (2) = 124,
f'" (2) = 216, fIV (2) = 240,(2) = 120. 7.1.4. a) 3; б) 4; в) 2, г) 3.
7.1.5. -5. 7.1.6. а = п, b = - (п. + 1).
7.1.7 312562 + 108а5 = 0, а Ф 0.
7.2.1. а) (х- 1) (х - 2) (х - 3); б) (х - 1 - 0 (х - 1_+/) X
X (х + 1 — 1) (х + 1 + I); в) (х — i Уз) (х + i V3 ) (х—
3 V3.V 3 . Уз" V , 3 Уз .V , 3 , Уз Л
2 2 7V 2 + 2 'ДХ + 2 2 ‘ДХ+2+ 2 Т
Зп—1
П/ 2л& , . 2л& \
( х — cos —-----I sin —— ;
\ Зп 3/г /
й==1
(k, 3) = 1
269
д)
п
Л=1
(2fe- 1)
2п
7.2.2. а) (х2 4-3) (х2 +х + 3) (х2 — Зх + 3); б) I х2 + 2х + 1 +
+ 72 + 2 (х + 1) д/^22+-l)(x2
+ 2х + 1 + V2 - 2 (х + 1) X
в) (х2 — х л/а + 2 + 1) (х2 + х л/а + 2 + 1);
Л-0
д) (х2 — 2х cos -^ + 1) ^х2 + 2х cos — + (x2+2xcos -^-+ Q;
в) (х2 + хд/2' + l)(x2-xV2+ 1)(х2 + х V2 +72+ 1) X
Х(х2 - xV2 + 72+1) (х2 + х д/2-72 + 1) (х2—х V2 - 72+ О-
7.2.3. а) (х - I)2 (х - 2) (х - 3) (х - 1 -«); б) (x-i)2 (х+ 1 +t).
7.2.4. а) (х- 1)? (х — 2) (х — 3) (х2 — 2х + 2); б) (х2+1)2Х
X (*2 + 2х + 2). 7^2.5. Корни многочлена x2 + *+U т. е. корни
из 1 степени 3, отличные от 1, являются корнями многочлена
х3т + х3л+1 + хзр+2. 7.2.6. Числа т, п, р должны иметь одинаковую
четность. 7.2.7. При т = 6k + 1; записать условие того, чтобы корни
многочлена х2 4- х + 1 были не менее чем двукратными корнями
многочлена (х + 1)т — хт — 1.
72JS. а) (х- 1)2(х + 2); б) (х + I)2 (х2 + 1); в) х('п’- 1;
г) х^"1’rt' + 1, если т~—г и .-нечетные числа, и 1 — в про-
' (т, п) (т, п) > г
тивном случае.
7.2.9. a) /i^-(6x2-llx + 4)f+ (6х3 + х2-1)я;
б) ft = ^-(3x2+llx + 12)f-^-(3x-7)g.
7-2Л0- 12 (х — 1) 3 (х + 2) + 4 (х + 3) ; б) _‘Тб><-
V Г—1+1— + + ~1+f + •
\ х — 1 — i х — 1 + / х + 1 — i х + 1 + z ) ’
1 13 4 1 __
в) 4 (х - 1У 4 (х + I)2 : Г) (х - 1)э (х - I)2 х - 1
1________2_ ____1
(х+1)2 х+1 “г х-^ •
7,2Л1, а) 8 (х - 2) ~ 8 (X + 2) + 2 (х2 + 4) * б) 1ГХ
у ( х + 2________Lz.2__• в) ______1__+. *-.! _ +
Акх2 + 2х + 2 х2 — 2х + 2 / ’ ' 4 (х + 1) 4 (х2 + 1) т
270
+ 2(х24“1)2* Г) 16(х— I)2 16(х-1) + 16(х + 1/ +
3 11 п
+ “16 (х 4- 1) + 4(х24- 1) + 4(х24- I)2 : д) X Х
. fe-i
, 2k - 1 „
sln 2»'~Я Л 1
X-------2fe- i" : е) Ъ (Х*.^-«ОРНИ/М).
X-COS"1S—Я
7.3.1. а) х4 4-4х3 — 7х2 — 22х 4-24; б) х4 4-(3 —/) х3 4-
4- (3 — 3i) х2 + (1 — 3Z) х — i; в) х4 — Зх3 4-2х2 4-2х — 4;
2 2
г) х4-19х2-6х4~72. 7.3.2. a) у и - у; б) а2 и (-1)« Ь.
7.3.3. а) 0; б) —1. 7.3.4. —1 и (—I)*”1. 7.3.5. Вычислить по фор-
муле Виета произведение корней многочлена х^'1 — 1 над полем
вычетов по модулю Q. 7.3.6. a) ata2 — Зсг3, б) of — 4afo2 4- So^
в) afo4 4- ог| — 4о2о4, г) of — 40^2 4- 8о3. 7.3.7. а) — о3 4-
4- а|4- а2 4- 2ot 4-1, б) о3 4- afa3 — 2о2о3 4- — 20^3 + сг3.
7.3.8. а) —85; б) 16; в) а2{а2 — 4afa3 — 4а^ 4- 18аха2а3 — 27а|.
7.3.9. Воспользоваться тем, что oki — xiGk~[, f 7.3.10. Просум-
мировать по i формулу из задачи 7.3.9. 7.3.11. a) s2 =« tff — 2ой,
$3 « of — За^ 4-Зо3, s4=«af — 4orfo24-2a^4-4a1a3 —4а4; б) а2 —
= + <T4 = -^-(sf-6s-s2 +
+ Ss^j + 3«2 - 6з4). 7.3.12. х8 - Зх2 4- 2х - 1. 7.3.13. х4 - 4х3 4-
4- Юх2 — х 4- 9. 7.3.14. a) Xj = 2, х2 = —1 + i д/з, х, = — 1 — i д/3
с точностью до перестановки; б) xt = 1, х2= 1, х3 » —2 с точ-
ностью до перестановки.
7.4.1. а) 3 и —1; б) ±/д/Г и ± 2; д/3. 7.4.2. а) у* — 4у* +
4- З#2 — 12# + 12 “ 0, б) 5#5 — 7#4 + 6#3 — 2#2 — # — 1=0.
7.4.3. а) а(/г — 4ас); б) — 27q2 — 4р3; в) — 27а3 4-ISa^^—
— 4afa3 — 4а2 4- 7*4*4* а) ~ 2; б) 3 — -у ±
7.5.1. а) — х4 + 4х3 — х2 — 7х + б, б) х3 - 9х2 4-21х - 8.
7.5.6. Путем замены переменной свести задачу к случаю, когда
хг ... , хп — корни степени п из 1, а хо==О; затем воспользо-
ваться задачей 7.5.5. 7.5.7. Применить 7.5.5 к многочлену f (х) = х5+1.
7.5.8. 1. Применить 7.5.5 к многочлену f (х) = xrt — q> (х).
7.6.1. а) 2х2 4- Зх 4-11, 25х - 5; б) (Зх - 7), — -1- (26х 4- 2).
7.6.2. а) х 4- 1; б) х3 — х 4- 1; в) х3 4- х2 4- 2; г) 1. 7.6.3. a) d =
==x2-2--(x4-l)f + (x4-2)^ б) d = 1 = xf — (Зх2 + х — 1)g.
7.6.4. а) (х - I)3 (х 4- З)2 (х - 3); б) (х - 2) (х2 - 2х 4- 2)2.
271
7.7.1. в) Сделав замену x=t/ — m, свести к утверждению б).
7.7.2. а) 2, б) —3, в) —3, 1/2, г) 5/2, —3/4. 7.7.3. Рассмотреть раз-
ложение многочлена на неприводимые множители над R. 7.7.4. Если
многочлен f g= Q[x] неприводим над Q, то (f, /') = 1.
7.7.5. а) х, х + 1, х2 + х + 1, х3 + х2 + 1, х3 + х + 1, х4 + х3 + 1,
х4 + х + t Х4 + хз + Х2 + х + 1; б) Х2 + u Х2 + х + 2> Х2 + 2х + 2.
Многочлен степени 4 неприводим тогда и только тогда, когда он не
имеет корней в данном поле и не является произведением двух не-
приводимых многочленов второй степени. 7.7.6. 14. 7.7.7. а) 8; б) 18.
7.7.8. Предположив, что все коэффициенты произведения де-
лятся на простое число р, сделать редукцию по модулю р.
7.7.9. а), б) Воспользоваться задачей 7.7.8; в) пусть х105 — 9 =
= где f (х), g (х) е= Q[x] и a = ^9 ; тогда
f(x) — (x — ata) ... (x —a*a) (а|0о== 1)
и
|f(0) | = ak|at ... a*| = ak e Q,
и при k < n имеем противоречие; г) сделать замену у = х—1;
д) если f = ght где g, h е Z[x], то при любом i = 1, ..., п имеем
g(ai)h(ai) = —1; отсюда g(a-) + h(at) = 0, и если степени многочле-
нов g и h меньше п, то g + h — 0, так что f = —g2.
7.7.10. НОД (g, h) ~ d представить в виде gu + hv и положить
в этом равенстве х = а; при этом d(a) += 0, поскольку в против-
ном случае g-(a) = 0.
7.7.11. Предположив, что имеется лишь конечное число непри-
водимых многочленов ..., рассмотреть многочлен fi...f$ + l.
ЧАСТЬ 2
1.1.2. а) X = ± 1‘; б) п — любое нечетное число. 1.1.3. В слу-
чаях в), г), д) продифференцировать два раза и применить индук-
цию. В случаях е), ж) использовать определитель Вандермонда.
1.1.4. Использовать определитель Вандермонда. 1.1.5. Если ...
..., fn линейно независимы, то найдется точка а\ такая, что
fi(ai) =^= 0; проверить, что система fi-—7 Л, i = 2, ..., ц,
/1
линейно независима и завершить доказательство индукцией по п.
1.1.7. а) Если charP =# 2, то 1 + 1 = 2 — обратимый элемент в
Р. Поэтому для любого векторного пространства L над Р и любого
х е L существует вектор у е L такой, что у = х. Тогда у + у =» >
== х. Если же характеристика поля Р равна 2, то х + х « 2х = 0
для любого вектора х е L, но в аддитивной группе целых чисел
1 + 1 + 0 и 2у 1 для любого целого числа у\ б) в векторном про-
странстве над полем характеристики р для любого вектора х спра-
ведливо равенство рх » 0; в) для доказательства необходимости см.
указание к задаче 1.1.7 б); достаточность проверить, положив
[£]а = а + а... + а; г) для доказательства достаточности для лю-
-----------------'
k раз
бого рационального числа — (р, ^sZ) положить — а — Ь, где
272
# — решение уравнения qx = ра, и проверить, что решения уравне-
р т
ний qx = ра и пх = та совпадают, если = — •
1.1.8. б) (1, Z), dimR С = 2; .в) пусть р0, ..рп, ... — простые
числа. Утверждение доказывать индукцией по п. При этом ^рас-
смотреть последовательно кольца чисел вида {а + Ъ л/рх | а,
b е Q} = , {а + b л/ Рп | а, b е ДЛ-1} оДновРеменно
доказывать, что отображение а 4- b л/Рп i—> я — b VРп является
автоморфизмом кольца ДЛ.- Допустив равенство вида VPrt==^o +
+ V^i + * * ’ + an-i л/рп-\» где по крайней мере два коэф-
фициента при радикалах ненулевые, получим у уравнения х2 — рп
не менее четырех корней вида ± ... ± ап_{ рп_}.
Случай = «0 + n\^Pi рассмотреть отдельно; г) dim Q (а) ~/г,
где п — степень р (х).
1.1.9. а) Базисом является, например, система всех одноэле-
ментных подмножеств множества Л4. Размерность равна п\ б) если
х s ХЛ U X/, то х не содержится ни в какой линейной комбина-
4*1
ции подмножеств Хп j^i; в) использовать индукцию по k.
1.1.10. а) (1, 2, 3); б) (1, 1, 1); в) (0, 2, 1, 2). 1.1.11. а) х{ =
= —27X1 — 71х' — 43х3; х2 = 9xi + 20х2 + хз + i2x2 +
+ 8X3; б) Xj 2xj + Х3 — х4; х2 » —3X1 + х2 — 2х' + х'4; х'3 =
= Xj — 2х2 + 2х3 — х4; х4 — Xj — х2 + х3 — х4.
1.1.12. а0. а„ .... ап; f (а), f (а), .......
1 __ а а2 — а3 ... (—1)пап
О 1 —2а За2 ... (-l/1-1 па"-1
0 0 0 0 ... 1
1.1.13. а) Поменяются местами две строки; б) поменяются ме-
стами два столбца; в) произойдет симметрия матрицы относительно
се центра.
1.2.1. б) Если прямая проходит через О; е), ж), з) если си-
стема однородная; и), к) при а = 0; л) если f — нулевая последова-
тельность; н), о).
1.2.2. а) ((1, 0, 0, ... , 0, 1), (0, 1, 0, ... , 0, 0), (0, 0, 1, ...
... , 0, 0), ... , (0, 0, 0, ... , 1, 0)); п - 1; б) ((1, 0, 0, 0, 0, ...
... , 0), (0, 0, 1, О, 0, ... , 0), (0, 0, 0, 0, 1, .... 0), ... ); 1 j;
в) к векторам из пункта б) добавить вектор (1, 1, 1, ... , 1, 1);
при п> 1: ((1, °’ ь °’ *’ (0> *’ °’ 11 °’ '>'>•2
(при n> 1); д) базис — фундаментальная система решений.
1.2.3. a) {Eq | i, j 1, 2, ... , n}; n2; б) базис образуют, напри-
мер, матрицы {^z + ^/d 1 — ^2+ ; в) если
char /(^2, то {Eij — Ец | 1 i < j п}; —Щ при char /С=2
273
ответ, как и в пункте б); е) {Ен — Ец | / == 2, 3.....и} (J {Ei f | it
j = 1, 2, ... , n; Z#= j}\ n2 ~ 1; ж) {Ец | i — 1, 2, ...» п}\ п.
1.2.4. а) и б) при а — 0; в) если |S| = 1; д). 1.2.5. а), б), г).
1.2.7. a) {f (х) (х — а) [ f (х) е R [x]n_ б) {f (х) (х — а) X
X (% — а) | f {х) е R Wrt-2}’> в) размерность равна п — k + 1
< ПЛ \ П (И k ---- 1 \
1.2.9. а) Размерность I I; в качестве базиса взять
1 г» 1 к\ (& "Ь &i
одночлены и использовать 1.2.1; б) I I; положить xf =------------—.
и свести к а).
1.2.10. См. 5.5.25,26 (ч.1); a) qn\ б) qn, если все аг = 0, qn~x
в противном случае; найти число свободных неизвестных; в) 1)X
X {qn __ q) ... (qn — qn~x)\ если уже выбрана линейно независимая
система ...» то дополнить ее некоторым вектором до
линейно независимой системы ар а^+1 можно qn — qk спо-
собами; г) {qn — \)(qn — q) ... (qn — <7rt~1). Рассмотреть столбцы
матрицы как векторы из Fn и воспользоваться пунктом в);
(^_i)( n_ ) _ (qn_qn-k+l)
д) —--------------2------------2-------; знаменатель равен чи-
(qk -\)(дк -q) ... (qk - qk~l)
слу различных базисов в ^-мерном подпространстве.
1.2.11. («1, а2> а4); 3; б) (аъ а2, аб); 3. 1.2.12. б), в) использовать
формулу: dim Lj + dim L2 = dim (Ai + I2) + dim (£j Q L2).
1.2.13. а) Нет: рассмотреть U » {a + b\ V = (a), W = {b), где
а и b — линейно независимые векторы; б) если х е U П (У + 1Г),
то w^=x- ugU (так как ц, х s £7), т. е. w е U П W7,
и поэтому х е (£7Q F) + (U ПГ). Обратное включение следует из
того, что U П V и U П W содержатся и в £7, и в V + W.
1.2.14. а) 3,1; б) 3,2; в) 4,2.
1.2.15. a) (ai, а2у Ъх)\ (3, 5, 1); б) (аь а2, а3, /ц); (1, 1, 1, 1, 1);
(0, 2, 3, 1, -1); в) (an а2, а3, Ь^ . (1, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1, -1),
1.2.16. а) х2 — х3 — х4 — 0, х2 + х3 — х4 = 0; б) Xj — х2 — 2х3 = 0.
xt — х2 + 2х4 = 0, 2Xt + х2- х5 = 0.
1.2.17. б) Рассмотреть (х), {z}, где векторы попарно линейно
независимы.
1.2.18. Проекция вектора ег- на Ц параллельно Ь2 имеет z-ю ко»
п — 1 ( 1 \ т
ординату—-—, а остальные равны ------------проекция на £2 па-
раллельно Ц имеет все координаты, равные .
1.2.19. (-1, -3, 1, 3). 1.2.21. А = (А + * Л) + (А - <Л).
1.3.1. Применить индукцию по т.
1.3.2. а) qnk\ б) (qn— l)(qn — q) ... (qn — qn~k+i); ранг матрицы
отображения равен k.
1.3.3. [I—3 —6 — 911 1.3.4. la
|| 3 7 12 Г 0 Ь-
0с*
1 d
274
1.3.5. а) Использовать многочлены Лагранжа такие, что
f.(Z) = l, ff(/)==0 G./ = 0, б) рассмотреть много-
члены 1, х, ...,хп; в) рассмотреть матрицу || у* (х^) || (г, / = 11).
1.3.6. Найти базис (вр е2, ..е^), для которого
f (я2) = ... = f (еп) = 0. 1.3.7. Использовать системы линейных
уравнений. 1.3.8. Доказать, что
f W ГТ
У~х~Па)-а^и-
1.3.9. Использовать 1.3.86). 1.3.10. В некотором базисе задать пере-
сечение ядер (однородной системой линейных уравнений (1.3.7)).
1.3.11. Если система е^, ..., е* линейно независима, то дополнить ее
до базиса и рассмотреть сопряженный базис в V*.
1.3.12. а) Базис (еь ..., е&) подпространства U дополнить до
базиса (ei еп) пространства V. Если (е1.......еп) — сопряжен-
ный базис, то доказать, что = {ek+i, ..., еп}; б) использовать
а); в) использовать б).
1.3.13. а) Выбрав в V произвольную систему координат, запи-
сать условие задачи в виде систем уравнений; б) ft — многочлен
Лагранжа:
F м = (*-0)(х-1) ,,, (X — / + 1) (х —/ — 1) (х —гг) ,
'1 ( ’ i(z-i)... i-(-i)... (i-n) !
в) f i (х) = -jj- (‘ ™ 0.1, ..., п).
1.3.14. Доказать, что Q[x]— счетное множество, и указать в
Q[x]* несчетное множество различных линейных функций. Напри-
мер, для каждого подмножества I натуральных чисел определить
функцию fi формулой
//(«)= У, и{,
i&I
где
i
2.1.1. а), в), г), ж), з), к), л), м), н), п), р), с), т).
2.1.2. а) Е в стандартном базисе; в) в базисе из матричных еди-
ниц Еу матричные элементы ац, ki функции f имеют вид 1,
а в остальных случаях 0; г) 0; ж) aij,u == 1, в остальных случаях 0
(см. в)); з) в базисе (1, 0 матрица 1 _J; и) Е (см. ж));
м, н, п) пространство бесконечномерно; с) 2Е в стан-
II °
дартном базисе; т) — 1
II 1
странства R3.
1
0
-1
-1
1 в ортонормированном базисе про-
0
2.1.3. а) II 0 -6 —9
—2 20 30 ;
11-3 30 45
б) ЦП 8 15
6 5 12
II И 10 29
2.1 4. а) —43; б) 1 — 19Z.
275
2.1.5. a) II 2 .5—111 б) ||-2 3 0
I —4 6 8 ; -5 -10 15
Il —10 -23 -4II || 29 —26 3
2.1.6. a) <(—1,
, „ . -1, 1)), ((10, 7, 1)>; 6) ((-1, -5, 3)), ((1, —2, 1)>.
. 2.1.7. a) ((-1, 1, 1)), <(-17, -13, 7)); 6) ((2, -3, 1)\ ((-4, -5, 1)).
2.1.8. a) ((1, —2, 1)), ((-1, -5, 3)); 6) ((-1, 1, 1)>, ((4, 0, -9)>.
2.1.9. а) при X —±1, в). 2.1.10. F = iAGB.
2.1.11. Если F симметрическая, то к виду аЕп, если не является
симметрической, то к виду Е12.
2.1.12. F' = *CFC, F=FC = *C lF'.
2.1.14. Пример несовпадения: функция на R2 с матрицей
в некотором базисе. 2.1.16. б) Пример: функция на R2 с матрицей
|1 * | в некотором базисе. 2.1.17. г) В случае 8 = 1 матрицы для
fi и в подходящих базисах имеют вид
11° Л11 II0- В11
IIМ о II* |г в о |г
где Л, В — невырожденные матрицы. Остается непосредственно подо-
брать матрицу перехода. 2.1.18. Использовать 2.1.17.
2.1.19. б) Аналогично теореме о приведении симметрической би-
линейной формы к нормальному виду; можно использовать и прием,
аналогичный алгоритму Лагранжа и сгруппировать сначала члены
с множителями у\ и хь а затем применить предположение индукции.
2.1.20. а) Нет; б) нет;
2.1.21. а) х\у2 — х2у\, где х' — xt — 2х3, х'2 = х2 — х3, х3 — х31
Г f г г г 3 / /
б) х{у2 — х2#р где х1 — х}---------— х3, х2 = 2х_? + х3, х3 = х3‘
в) *1!/2 ” *201 + Х3#4 “ где Х1 = *1 ~ 2%3’ = Х2 ~ -Х4’ Х3=Х3»
х4 = г) х\у2 — х2у\, где Х| = Xj 4- Х3, х2 = Х2 + х3 + Х4, х3 = х3,
/
^4 ~~~ %4
2.1.22. 60/(1—/), /2(1 —/), /(1 —/)(/2 —/ — 1). 2.1.23. Исполь-
зовать 2.1.196). 2.1.24. Определитель кососимметрической матрицы
нечетного порядка равен нулю. 2.1.25 Использовать 2.1.19 6).
2.1.26. Использовать 2.1.19 б). 2.1.32. а) 1, 2; б) 2, 3, 4; в) •
2.2.1. а), в), ж), и), м), п), с), т). 2.2.2. Нет. 2.2.3. Для f2.
. 2.2.5 а) ((2, 1, 0)); б) ((—21, 13, 0), (-79, 0, 13)). 2.2.6. а) 2х'у'-
- -J-X2H2 + 8хзУ'з> б) Х'\У\ - Х2У2 + 16*314
2.2.7. а) Да; б) нет. 2.2.8. а), в), и), м),
б) | Л |
смотреть функцию Xj + 4XjX2 + х|. 2.2.13.
п),
при
а)
о). 2.2.9. а) X > 2;
каких X. 2.2.11. Рас-
Х<—20; б) Х<
276
2.2.14. a) xtyt + x,i/2 + x2(/, + Zx2y2 — Зх2//3 — 3x3yt + 2x,//3 +
+ 2хз</| — Хзу3; 6) (Xiy2 + х2у\ + х3уз + Х1У\ + хгУъ + хзУг)-
3 3 1
’ 2.2.15. a) 2xtyt — — хху2-— 2х,(/3 — 2x3yt + -^-х,Уг+
15 5 3
+ -у А'2^1--2” х2//з-хзУз х3Уз', б) —2х2//г + “у х^Уз +
.3 1 1
+ -у хзУ2 — xdh — “у хзХ/1 + 2х3*/з.
2.2.16. а) Нет; б) да. 2.2.17. а) у\ + у\ — У% б) у\ + у2 — У$
в) У\—У2. г) У2 — У2 — Уз ~ у\- 2.2.18. а) Нет; б) да.
2.2.21. и(п+ 1)/2, п(п— 1)/2. 2.2.22. В случае W — <еь е2> и
f(eb ^2) = f(e2t е2) выбрать в IT1 вектор е3 такой, что f(e2, е3)У=0.
2.2.25. Привести к нормальному виду, применить рассуждение, ана-
логичное доказательству закона инерции. 2.2.26. п, п. 2.2.28. Рассмот-
реть соответствующую квадратичную функцию. 2.2.30. П ^~у-'""•
2.2.31. Рассмотреть значения в точках вида кх + у, где X е F.
3.1.1. а) При а = 0; б) при а = 0; в); г); д) при а = 0, е), ж),
з), л). 3.1.5. а) {0}, V; б) V, {0}; в) V, {0} при а =/» 0; {0}, V при а = 0;
г) {Ь)> (а)1 при а, b ф 0; {0}, V при а = 0 или Ъ = 0; д) V, {0}»
е) RW„, {0}; ж) RW,^, R; з) R[x]^, R[x]^- л) R, {0}-
3.1.7. Дополнить базис (еь ..., ek) подпространства до базиса
(еь ..., еп) пространства и рассмотреть проектирования на
<еь ..., &k) и <е*+ь ...» еп} (см. 3.1.17). 3.1.9. Дополнить базис
подпространства до базиса пространства. 3.1.12. Сначала доказать,
что rk<s$ = rk + dim (Im Ж П Ker ^). 3.1.14. п(п — г), где
г = rk 3$.
3.1.15. а)
1 0 °11-
1 2 0Г
0 1 3||
б) cos a —sin а
. I, если положительное на-
sm а cos а
правление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего
поворота, переводящего первый базисный вектор во второй;
в) 110 0 111 г) 110 0 011 д) II 10 —2fj
1 0 0 Г 0 10; 0 0 0 ’
||о 1 о|| ||0 0 о|| П-2 0 4||
e) a 0 b 0 Ж) a c't 0 0
0 a 0 b b d 0 0
c 0 d 0 0 0 a c
0 c 0 d 0 0 b d
з)
10 0 0
0 0 10
0 10 0
0 0 0 1
d\b\ d\b3 л2Ь\ а2Ь3
d\b2 d\b^ 6/2^2 d2b^
d3b\ a3b3 a^b\ a^b3
d3b2 a3b^ d^b2 a^bt
где A = IIa' 4, B = H‘ Ml?
II a3 |i || b3 €>41|
277
4“ bi Ь3 а2 0
Z>2 а1 + ^4 0 а2
Лз 0 а4 + Ь\ Ьз 1
0 а3 Ь2 b 4
0 1 0 0 ... 0 С I 1 0 0 ... 0
0 0 2 0 ... 0 с I 0 1 0 ... 0
л) 0 0 0 3 ... 0 ; м) с 1 0 0 1 ... 0
0 0 0 0 ... п 0 0 0 0 ... 1
0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0
3.1.17. Первые k элементов главной диагонали матрицы опера-
тора равны 1, а все остальные элементы матрицы — нули.
3.1.18. Первые k столбцов матриц состоят из коэффициентов выра-
жений векторов ..., bk через аь ..», ап, остальные столбцы про-
извольны.
4 5 0 -1 б) -5 -8 -6 -2
3.1.19. ; а) 1 0 2 3 2 0 3 3 > 2 -3 4 -2 4 0 -1 -5
1 6 — 1 7 6 7 6 13
3.1.20. 1 2 2
3.1.23. а) Первые k столбцов матрицы — нулевые, остальные —
линейно независимые; б) последние n — k строк матрицы — нулевые,
остальные k— линейно независимые. 3.1.24. Рассмотреть подпро-
странства Vi (£==1,2), состоящие из всех векторов х, для которых
(AW)(x) = 0.
3.2.1. а) Многочлены нулевой степени; {0}; б) ненулевые сим-
метрические и кососимметрические матрицы; {1, —1}. 3.2.2. Из ра-
венства f (ах + b) = Kf (х) следует, что А. == а*, где k — степень
f(x); если х + р — собственный вектор с собственным значением а,
то (х + р)s — собственный вектор с собственным значением as
(р ==. Ь/(а — 1)). 3.2.4. Если <5/ (х) = Хх Д 0, то 1 (х) = х.
Л
3.2.6. Использовать матрицы операторов. 3.2.8. а) Использовать 3.2.7;
б) рассмотреть факторпространство по подпространству <а>, где
а — общий собственный вектор всех заданных операторов. 3.2.9. Рас-
смотреть — АА^2.
3.2.11. Рассмотреть матрицу
1
0
А =
—ап_2 ... aQ
0 ... 0 0
1 ... 0 0
0 0 ... 1 0
278
3.2.13. X, = of + ... + a®, X2 =•.•=%„ = 0.
3.2.15. a) X, = X2 = Xj = — 1; c(l, 1, —1) (c 0); 6) Xt=>X2 =
= Л3 = 2; Ct (1, 2, 0) + c2 (0, 0, 1) (ci и c2 не равны нулю одновре-
менно); в) Яч = 1, = Л3 = 0; для М = 1 имеют вид с (1, 1, 1), для
Л2 ?з = 0 с (1, 2, 3) (с=/=0); г) Л1 = Л2 = 1; для Л1>2= 1 Ci (2, 1, 0) +
+Ь2(1, 0, —1) (Cj и с2 не равны нулю одновременно), для Х3 == — 1
с (3, б, 6) (с=И=0); д)Х!=1, Л2 = 2 + 3/, Л3 = 2 — 3/ (над С); для
=* 1 с (1, 2, 1), для Л2 = 2 + 3/ с (3 — 3/, 5 — 3/, 4), для Л3 = 2 — 3/
с (3 + 3/, 5 + 3/, 4), где везде с =И= 0; е) к = 2; Ci (I, 1, 0, 1) +
+ с2 (0, 0, 1, 1) (ci и с2 не равны нулю одновременно).
3.2.16. а) ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, -3)),
1 0 °И
0 2 0 ;
0 0 21|
б) ((1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) (к -1, -1, — 1)).
2 0 0 О
0 2 0 О
0 0 2 0 ’
0 0 0 -2
в) ((1, 1, 2), (3-3/, 4, 5-3/), (3 + 3/, 4, 5 + 3/)),
I1 0 0 II
0 2 + 3/ 0 ;
О 0 2 — 3/1|
г) не приводится к диагональному виду ни в R, ни в С.
3.2.17. Элементы ш и аЛ-й+1 должны либо оба быть отличными
от нуля, либо оба обращаться в нуль (k = 1, ..., п).
3.2.18. В качестве Т можно взять матрицу с 1 на главной диа-
гонали и на соседней диагонали ниже главной, —1 на соседней диа-
гонали выше главной и 0 на остальных местах. В имеет на главной
п п + 1
диагонали сверху-j- единиц при четном п и —%— единиц при не-
четном п, а ниже на главной диагонали —1.
3.2.19. Рассмотреть матрицу оператора S& в базисе, первыми
векторами которого являются линейно независимые собственные
векторы, принадлежащие Ло. 3.2.20. Л1, ..., ...,
3.2.21. a) kikf (i, / = 1...n); б) (/, /= 1, ..., п). 3.2.22. {0}
и R [x]fc (6 = 0, 1, 2, ..., п). 3.2.27. {0} и линейные оболочки под-
систем базиса. 3.2.28. Vi = .... сЛ (/ = 1, .......... п).
3.2.29. {0},И,<(2, 2, —1)>, {(1, 1, 0)>, ((1, 0, -1)>, £7 = <(1, 1,0), (1,0, -1)},
<(2, 2, —1), ц>, где a^U. 3.2.30. V, {0}, <(1, -2, 1)>, <(1, 1, 1),
(1, 2, 3)>.
3.2.31. Рассмотреть собственные подпространства U\9 U-i опе-
ратора и Vi, V-i оператора В случае, когда все пересечения
Ui Г) V/ нулевые, получить ненулевые векторы a е t7b de U_b для
которых а + b е Vi, а + kb <= V-t при некотором к.
3.2.33. а) Л1 = 1, к, з = 0; <(1, 1, 1)} для = 1, <(1, 1, 0), (1, 0, -3))
для k2i 3 = 0. б) Ач = 3, Л2,3 = —1; ((1,2,2)) для ^ = 3, <(1,1,0).
(1,0, — 1)) для к2, з = —1. в) ki 2 з » —1; V. г) Xi, 2 = 2, Л3 4 = 0;
<(1,0, 1,0), <1,0,0, 1)> для Л1|2 = 2, <(1,0, 0,0), (0, 1,0. 1)> для Z3|4 = 0.
3.2.35. Использовать задачу 3.2.34.
279
3.3.1. a)
3 0 Oil
О -1 1 ;
О О —1II
б) diag (1, 2 + 3/, 2-3/);
в)
1ООО
0 110
0 0 11
0 0 0 1
г) две клетки порядка 2 с 0 на главной диагонали; д) клетка с 1 па
главной диагонали; е) клетка с 1 на главной диагонали; ж) клетка
с числом п на главной диагонали; з) diag(l, 2, .и); и) diag(e0,
В], ея-1), где е/ — корень степени и из 1 (/ = 1, ..., п);
к) клетка с числом а на главной диагонали; в правом верхнем углу
матрицы А — ХЕ стоит отличный от нуля минор порядка п—1;
найти элементарные делители матрицы А — ХЕ.
3.3.3. а) Г (а) 1! Г («) 2! ’ п!
0 f (а) f (а) 1! ‘ (а) (л-1)1
0 0 На) • (а) •• (п-2)!
0 0 0 ... f (а)
б) При а ф 0 жорданова клетка с числом а2 на диагонали; при
а = 0 две жордановы клетки с нулем на диагонали, имеющие по-
рядок л/2 при четном п и порядки (л — 1)/2 и (п + 1)/2 при нечет-
ном п.
3.3.4. Две клетки с числом а на диагонали порядка п/2 при чет-
ном п и порядков (п— 1)/2 и (п + 1)/2 при нечетном п; исполь-
зовать задачи 3.3.2 и 3.3.3.
3.3.5. а) В каждой клетке жордановой формы матрицы А за-
меняем X (X =/= 0) на X2; если в клетке порядка k на главной диа-
гонали стоит 0, то при k = 21 заменяем ее двумя клетками порядка
а при k = 21 + 1 двумя клетками порядков I + 1 и Z; б) в жор-
дановой форме матрицы А заменяем диагональные элементы на об-
ратные.
3.3.6. а) Диагональная матрица с элементами =Ь1 на главной
диагонали. Ж является отражением пространства V относительно
некоторого подпространства L\ параллельно некоторому дополнитель-
ному подпространству Ь2. б) Диагональная матрица, где на диаго-
нали стоят 0 и 1. является проектированием пространства V на
некоторое подпространство Ц параллельно некоторому дополни-
тельному подпространству L2. 3.3.7. На главной диагонали стоят
корни из 1.
II2 1 °||
3.3.10. а) 0 2 0 , ((1, 4, 3), (1, 0. 0), (3, 0, 1));
||о 0 2II
11° 1 0
б) 0 0 0
||о о о
((1, -3, -2), (1, 0, 0), (1, 0, 1));
280
в)
г)
110 0
0 10 0
0 0 11
0 0 0 1
2 10 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
, ((1, 1, 1, 1), (-1, О, О, 0), (1, 1, О, 0), (О, О, -1, 0));
, ((-1, -1, -1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, О, О, -1),
(3, 6, 7, 1)).
3.3.11. Одна жорданова клетка. 3.3.12. Использовать жорданову
форму матрицы оператора. 3.3.13. Использовать жорданову форму
матриц операторов. 3.3.14. Использовать жорданову форму матриц
операторов. 3.3.15. Использовать жорданову форму матрицы В,
3.3.17. Использовать вид жордановой формы /г-й степени жордано-
вой клетки (см. задачу 3.3.3).
3.3.20. a) t — 1; б) i\ в) г) t2 - 1; д) tk. 3.3.21. (f - X.) ...
...(/ — Лп). 3.3.22. (t — а)" 3.3.24. a) t2 — 4t + 4: 6) t2 — 5t + 6.
3.3.25. (t — !)’(/ — 2), V = £i®£2, где Lt имеет базис (eIte2 — e3),
a L2 — базис (e2). 3.3.27. Состоит из клеток первого порядка с 1 на
главной диагонали и клеток первого или второго порядка с 0 на
диагонали.
3.3.31. Сравнить размерности пространства многочленов от s£
и пространства матриц, перестановочных с Л. 3.3.32. в) Использо-
вать б). 3.3.36. Использовать 3.3.34, 3.3.32 и разложение простран-
ства в прямую сумму циклических подпространств. 3.3.39. в) Дока-
зать индукцией по I существование такого что +
делится на р1№) в кольце 3.3.40. Вывести из задачи 3.3.34
и предыдущей задачи, доказав, что все элементы идеала I нильпо-
тентны. 3.3.41. Использовать 3.3.39 и 3.3.37с
!2р2 —в2 II
*2 о ||; б)
3 -15 6
1 -5 2
1 -5 2
если брать вещественное
значение логарифма, а общее решение:
3 + 2шп —15 6
1 —5 + 2шп 2
1 —5 2 + 2шп
где neZ; в) | * ||.
3.345. det = etr А.
281
3.3.46.
±1 ±2 (1 + i) ±(14-/) II ± 1 ±2(1—0 ± (l-o II
0 —l=F2t -1+/ , 0 — 1 ± 2Z —1±!
0 2 ±21 2 ± i || 0 24= 21 2T! 1
=Ы ±2(1+1) ±(1+011 ±1 ±2(1-0 ±(1 -0
0 1 T2Z 1T i , 0 1 ± 2i 1 ±i
0 —2 ± 21 —2 ± i 1 0 —2 =f 2i —2 + 1
(везде берется верхний знак или везде нижний). Многочлены от
А — те из них, у которых не все корни характеристического много-
члена различны.
4.1.4. Подпространство а) скалярных матриц; б) кососимметри-
ческих матриц; в) нижних нильтреугольных матриц; г) симметриче-
ских матриц.
4.1.5. а) (2, 2, 1, 0), (5, -2, -6, -1); б) (1, -2, 1, 0), (25, 4,
. ( 2 2 1 \ . ( 1 11 1 \
17, 6);в)^3> 3, 3j; г) 2,
(1 _1 _± П
V2’ 2’ 2 2)
4.1.11. Обе матрицы равны G *. 4.1.12. a) S-1; б) 3 *.
4.1.13. а) ((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, —1, —1, -2)),
б) ((1. 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)); в) ((2, 1, 3, -1), (3, 2, -3, -1)).
4.1.14. Например, а) ((2, -2, -1, 0), (1, 1, 0, -1)); б) ((0, 1, 0, -1),
(1, 0, -1, 0)).
4.1.15. а) х2 + *4 = 0;
б) Xj 4“ Х2 + %3 4* Х4 «а 0,
—18X1 4- х2 4- 4-11Х4 — 0.
4.1.17. а) (1, -1, -1, 5), (3, 0, -2, -1); б) (3, 1, -1, -2),
(2.) (»• Ч <.»). (’.-!• -4. *)•
4.1.19. a) V14; б) 2; в) 1/5; г) д/з/б- 4.1.24. См. задачу 4.1.23 г).
4.1.25. См. задачу 4.1.23 г). 4.1.26. а) 6, 6, 6; 60°. 4.1.30. 0 при п не-
1 / П \ / 2k — 1 \ ftl. 4 1 О1 /— 1
четном, —L = , . I прип==2&. 4.1.31. ауп\ arccos —=.
2 \ & / \ я 1 / уп
4.1.32 R = —R < а при п < 4, R = а при п ®» 4 и R > а при
п > 4. 4.1.34. а]_8; б) 4; в) 12 714; г) 0. 4.1.36. а) 60°; б) 30°.
4.1.39. arccos V/г/п*
2
4.1.40, arccos —; пусть ai = A0Ai (i == 1, 2, 3, 4); показать, что
квадрат косинуса угла между векторами 4- azh и Дз^з 4- #4^4
равен
(Л + ^)2(^з4-/4)2
4 (/f 4- + Ф (*3 + У 4 + Ф
и найти максимум функции 4“ ?2)2 при условии t\ 4- » 1.
282
4.1.41. 45°. Найти минимум углов векторов второй плоскости с
их ортогональными проекциями на первую плоскость.
4.1.42. б) Ро (х) = 1. Pt (х) = х, Р2 (х) = у (Зх2 - 1), Ра (х) =
₽ 2 (5х3 - Зх), Р4 (х) = -j- (35х4 — ЗОх2 + 3);
ч Л о
k
в) Рк (X) = 2
i-o, i>k/2
1 - 3-5 ... (2j- 1)
(k-j)l (2j-k)t2k~!'
xW-k ==
1
2kkl
k
/-0, l>fe/2
г) л/2/21г + 1; д) 1.
4.1.43. a) гДе
£ 1
2 * “ n + 1
1 1
3 n + 2
(2/)' x2/-fe.
(2/-1г)! X ’
(1!2I... n!)3
(n + 1)! (n + 2)! ... (2n+ 1)1 ’
1 1_________ 1
n + 1 « + 2 2n + 1
® / 2n \ / j-- *
( n J V4«+l
4.2.2. G~ltAG. 4.2.3. |_® _®|.
4.2.4. Проектирование параллельно оси ординат на биссектрису
второй и четвертой четверти. 4.2.9. a) D* = —D; б) интегрировать
по частям. 4.2.10. См. указание к 4.2.96). 4.2.13. Воспользоваться
задачей 4.2.12 и связью между эрмитовыми и квадратичными функ-
циями. 4.2.14. Условие задачи эквивалентно равенству («я^*х, х) =
= (зй^з&х, х) для всех х е V. Воспользоваться задачами 4.2.1 д) и
4.2.13. 4.2.15. Если = —то —Х<^; воспользо-
ваться задачей 4.2.14, где х — собственный вектор оператора & с
собственным значением X. 4.2.16. Воспользоваться задачей 4.2.15.
4.2.17. а) Воспользоваться задачами 4.2.15, 4.2.6 и 4.2.1 а); б) вос-
пользоваться а) и задачей 4.2.2. в) Если S& нормален, то утвер-
ждение следует из задачи 4.2.15, для доказательства обратного ут-
верждения, как и в б), доказать, что «я£ имеет собственный орто-
нормированный базис. 4.2.19. Использовать диагональный вид мат-
рицы оператора в ортонормированном базисе. 4.2.20. Воспользо-.
ваться задачей 4.2.1 в), г), д).
4.2.21. а), б) Воспользоваться задачей 4.2.20 для подпростран-
ства Kerf (<$£); в) существуют такие многочлены а (х), с (х), что
а (х) f\ М + с (х) f2 (х) = 1; отсюда вывести Ker f (j$) « Ker f, (j/) ф
ф Ker f2 («5^), если х е Ker h («$£), у <= Ker f (sty, то по задачам 4.2.20
и 4.2.21 имеем (х, у) = (с (Л) f2 W х, у) = (х, с (s&*) f2 (^*) у) = 0;
283
г) по задачам 4.2.7, 4.2.20 и 4.2.21 имеем Kerf (з^)1 =• Im f №*) s
Ker f (зФ*)п~х — Kerf отсюда V == Kerf (*я£) + Kerf (<я£)п^1,
т. е. f (r)fl'“1 аннулирует при п^2.
4-3-4- а> И “IHvs*1- "тг");
19 0 011
0 18 °1
О 0 —9||
(1(2, 2, 1), 1(2, -I, -2), 1(1, —2, 2));
9 ° ° / 1 1 I
в) 0 9 0 , |Ц=(1, 1, 0), —£=-(1, -1, -4). —(2, -1
||о 0 27| VV2 VI8 3
16 0 0||
о 6 0 1,
о о з||
(Ц=(1, -2, 1), -4^(—1, о, 1), -Ь(1, 1, 1)
к л/б V2 <3
10 0 0
0 1 0 0
0 0-1 о
0 0 0 -1
1 1
-=(1, О, О, 1), -7= (О, 1, 1, 0),
.-V2 V2
-~(1, О, О, -1), -4= (0, 1, -1, 0)
V2 V2
ж)
2 0 0 О
0 2 0 О
0 0 2 О
0 0 0 -2
1.0. 0).
1(1. -1.1.1).
2
—1=- (0. О, 1, —1), 1(1, —1, -1,
-у2 2
< -?! (^,,+л
4.3.9. Перестановочные операторы имеют общий собственный век-
тор х; рассмотреть его ортогональное дополнение к (х). 4.3.10. в)
Воспользоваться формулами Виета и теоремой Декарта. 4.3.11. Вос-
пользоваться задачей 4.2.1 д). 4.3.12. Воспользоваться задачей 4.3.2.
4.3.13. Использовать диагональность матрицы в некотором орто-
гональном базисе и задачу 4.3.10.
284
13 2 Oil
2 4 2.
О 2 5 [I
4.3.15. В силу 4.3.13 &—&2, где — неотрица-
тельные самосопряженные операторы; если положителен, то
(^Л)*] воспользоваться задачей 4.3.11.
4.3.18. Указаны функции в главных осях и матрицы перехода
Л = Afy)\
а) Зу2 + бу2 + 9z/|, у
2
2
-1
-1 2
2 -1 ;
2 2
|| 2 2 -1'||
б) 9у2 + 18^ - 9^, 4 -1 2 2 ;
II 2 -1 2II
в) Зу2 + 6г/| — 2^,
V2 1 <у/з
- V? -i 7з
V2- —2 О
, 2 „2 ..2 1
Г) оУ[ — У2 — у3, ~^==-
л/2 1 Уз
УГ 1 - Уз
Уг —2 о
д) Зг/f — 6г/|. у
4 У2“ Зд/2
2 — 4У2 О
4 yf -З-У2
1111
е) 2у\ + 4z/2 — 2(/| — 41/4.
J_ -1 11 -1
2 -1 —1 1 1
1-11—1
ж) Ьу\ — Ьу1 + 5г/|.
з) Чу\ ~ ^у1
и) 9i/j + + 9^3»
2 1 0 0
1 1 —2 0 0
0 0 0 0 2 -1 1 2
1 0 1 1 о
1 с 1 — -1 0
0 1 0 1
0 1 0 -1
3 0 0 0
1 0 1 2 2
3 0 2 1 -2 >
0 2 —2 1
285
к) 4г/? + 4г/| + 4у| — — 6г/|,
1_
УЛТ
УкГ .00 0 0
о Уг о 2 У Г о
О -2 У? О а/2 0
О 0 10 3
О 0 3 0 -1
I1 0 °|| / 1
О 1 О , {—7=(1, 1,
о о -1|| ^V3
1)’7Г(1’ °’ -1)’
г)
-2,
1)
б) |1
о
о
00| г 1 1
0 1, ( -4=-(1, 1, 0), (0, о, 1), —^(1,
-1 о VV2 V2
-1. 0));
1 О
° Т
«4
О
Vs
2
£
2
(2, -1, -1),
W10'1'
1 о
° t
°4
О
Уз
2
4
2
, 1, о), 4,(1
V2
д)
1 о о
„ 2V2-I V?+4Vf ,
° ---4---------4--- , f— » (1-V2.1.-1),
V? + 4V2 2 V2 — 1 * 5 2
° 4 4
—(О, 1, 1), - 1---(-2, 1 - V2 , V2 - 1)\
Уг У10-4У2 7
10 0 о
0 10 о
0 0 1 о
0 0 0 -1
(1(1, 1, 1, -1), 1 (1, 1, -1, 1),
1(1. -1.1. о. |(-i. и 1.1));
286
зк)
1 000
0-1 0 0
0 0 0 1
О 0—10
-4^(1, 1, 0, 0), -4=- (0, 0, 1,
.-у2 V2
-1).
-U (1, -1, 0, 0), -L. (О, 0, 1,
V2 д/2
1)
4.4.6. а)
б)
О
1 -г V2
=1=^(1, -/(1-У2Э),
4-2 V2
в) [1 0
0 Z
о о
011
О L
4 (2, I, —21),
О
4.4.7. Такая матрица подобна диагональной матрице
л IIе0
очередь, подобна матрице
eia О II
О
cos а — sin а
sin а cos а
которая, в свою
даче 4.4.6а).
4.4.10. б) Использовать диагональный вид матриц унитарного и
эрмитова оператора.
по за-
4.4.11. Любой ортонормированный базис в V, одинаково ориен-
тированный с ($1, а2, е3), можно оператором вида пере-
вести в (еь е2, а3). 4.4.12. в) Если (еь е2, е3) — базис из V, то опе-
раторы поворота в плоскостях (еь е2) и (е2, е3) имеют требуемое
представление; воспользоваться задачей 4.4.11. 4.4.13. Поворот в дву-
мерной плоскости является произведением двух отражений; для
доказательства второго утверждения заметить, что если «
т
® «я/i ... то Кег («я/ — ^Г) з Q Ker (s&i — #). 4.4.14. Восполь-
зоваться задачей 4.3.15.
4.4.16. Доказать, что =« 4.4.17. Пусть ei(\ ..., —
все различные собственные значения оператора найти такой мно-
гочлен f(t) степени п, чтобы f (/а/) » ela1 k при всех 1 j п.
Проверить, что 4.4.18. Если U — унитарная матрица, то
287
в силу 4.4.17 существует такая унитарная симметрическая матрица
Т, что lUV = Т2, доказать, что UT-' — вещественная ортогональная
^матрица. 4.4.19. Воспользоваться задачей 4.2.21 и показать, что кор-
невые подпространства с разными собственными значениями орто-
гональны; тем самым задача сводится к случаю нильпотентного опе-
ратора.
5.1.1. а), г). 5.1.2. 21.
5.1.3. а) В (^3, v4, Ц5) = О, — В ® А (ei, -j- в2, 4* 63, в2, ^2) =
= 1, (А® В — В® A) (vb о2, и3, t>4, v5) = 1; б) A (ei + е2, е2 + е{) =*
= 2, В (е3 + е2, е2) ~ 2, А (е2, е2) ~0, В + е2> г2-Нз, ^2+^1) ==
=* 8, (4 ® В —• В ® Д) (»ь v2, v3i v4t v5) = 4.
5.1.4. 0. 5.1.5. 0.
5.1.6. (A®B)(^!, e2, e3, e3, e3) = 0,
(B® A) (eb e2, e3, e3, e3) = 1.
5.1.7. a) 4; 6) —9; в) 3.
5.1.9. a) T (v, f) ~f где
0 0 0 0
А = 10 0 0 0 10 0 = (Irn^)1 =<е*Х
0 0 10
поэтому {f s V* I T (v, f) = 0 для любого V «= V}; б) (e4).
5.1.10. p2 (4p - 3). 5.1.11. a) 2; 6) 1; в) 2. 5.1.13. a) —3; 6) —7; в) 1.
5Л.14. a) e3\ 6) 5e3 + 5e4. 5.1.15. a) (2e!--e3) ® (2^ 4-2e2);
б) 2г1 ® e3, 5.1.16. a) (2et + e2) ® e3 4- (ei 4- e2) ® e4, e1 ® (2e3 — e4) —
— e2 ® (e3 — e4); 6) (3ei 4* 2a2) ® (e3 + £4.) — (2ei + e2 -J- e3 + e4) ®
® e2, (el + e2) 0 e3 4- (el + e3) ® (a1 — 2e2); в) (e^ 4- e2) ® (в! + e2 +
4- e3 + e4) + (Зв! + 2e2 4* 2e3 4 3e4) ® e4, e2 ® e2 — (el 4- e3 4- e4) ®
® e3 4* (el + e2 + e3 4- e4)® в4; г) (2ei 4- ^2) 0 <?! 4- 2 (ex 4- e2) ®e2 +
4- 3 (e3 4- ^4) 0^3 4- 4 (e3 4-2в4) ® в4, в1® (в1— e2)—2в2 ® (el —2e2) +
4-3e3 ® (2e3 — e4) — 4e4 ® (e3 — e4). 5.1.17. Рассмотреть базис из
собственных векторов. 5.1.18. б) (tr в) а2П.
5.1.19. а) Три жордановых клетки порядка 2 с числами 2,1,2
и 3 на диагонали; б) две жордановых клетки цорядка 2 с числом
2 на диагонали; в) жорданова клетка порядка 6 с 0 на диагонали.
2
5.2.2. ~ п (п 4-1) (п — 1), где п = dim V. 5.2.6. Подсчитать раз-
мерности. 5.2.8. Доказать, что след оператора совпадает с точ-
ностью до знака с ^-ым коэффициентом характеристического много-
члена. 5.2.9. а) Две жордановы клетки порядков 5 и 1 с 1 на диа-
гонали; б) жорданова клетка порядка 3 с 6 на диагонали и три
клетки порядка 1 с числами 4, 6 и 9; в) две жордановы клетки
порядка 2 с 2 на диагонали, клетка порядка 2 с —2 на диагонали
и четыре клетки порядка 1 с числами 1, 4, —4 и —4. 5.2.10. Ис-
пользовать указание к задаче 5.2.8. 5.2.14. Рассмотреть базис, со-
держащий элемент х.
6.1.9. *х = Вх'4- х' == В~хх — B~xta.
288
6 ЛЛО. а) Х| — 2х2 — Хз + х* == —2,
2xt + 7х2 + Зх3 4- х4 = 6,
Xi » fi + 3f2,
Xi Я» — tt + t2t '
Хз= 2 4* 2fj •— 3f2, .
- • х4 =— fj —4f2;
б) 3xI — 2x2 — x3 — *4 = 1,
- 6x8 4- 5*4 === 1,
X i—4“ 2f 2i :
^2 = + 3f2,
x3=*6 —5fi,
*4 = -7 4-6*!.
6.1.11. Равенство имеет место справа, если {аь .а$) содержит
начало координат, равенство слева — в противном случае. 6Д.14. Если
(AU • • • U Ps> — 0i + (М 4- • • • + 4- (oi02> • • •» 0i0s)).
6.1.16. a) dim <?! U dim Pi Л ^2 «I;
6) dim (Pi U Ръ) e 4, Р1 П Pi = 0» степень параллельности равна 1;
в) dim (Р( 0 Р2) = 4, плоскости Pj и Р2 скрещиваются. 6.1.18. Гипер-
плоскость, параллельная Pj и Р2 и проходящая через одну из точек
указанного вида.
6.1.20. a) xt = 3f, х2 = -1 4- 3/, х3 = 3 — f, х4= 1 — f; б) хх ==
= 1 4- 2f, х2.= —'3 4* 6f, х3 = 4- 2f, х4 = —2 4“ 4/, х5 — 5f; в) не
существует. 6.1.22. I — xj —• ... — хп, хь ..., хп. 6.1.23. При | К |>
^>3 прямая содержит не менее трех точек; при |/С | = 2 утвержде-
ние неверно. 6.1.24. Для любой Точки а существует такой вектор и,
что f (а 4- и) = 0 4- v. 6.1.28. Если chaj К f п, то неподвижной будет
точка ~ (а 4- f (а) 4- (а) 4- ... 4- fn~' (а))> где 0 — произвольная
точка. 6.1.29. См. решение 6.1.28. 6.1.31. а) а 4- (fit, где а«
= (-1, 0, -1), ^ = (1,2,3), е2=*(1, 1, 1); б) а + кеъ а + (ех\
0 + квх 4- (а2), 0 4- (^i> ®г)> 0 + + (е2» ®з)» где и = (3, 3, 4), в| =
= (1, 2, 2), е2 = (—1» —& —1), е3=»(1, 1, 0), к произвольно; в) а,
а + (кех 4-Н^з)» а + {ех, e3)t а + (ех, е2'+ке3\ где а = (0, —1, —4),
et = (l, 4, 3), е2 = (1, 0, 0), е3 = (3, 0, 1), Л, g произвольны;
г) 0 + + (^i 4- ^г)» 0 4- (^ь 0 4- кех 4- (^i + е2> £з)> где а =
= (у» -у. 7). «1 = (2- Ь °)- *-(“!. 0. 1). е, = (3, 5. 6), X про-
извольно. 6.1.33. а) Да; б) нет; в) да. 6.1.34. а) Да; б) нет.
6.1.35. Рь Р2, Щ\Р/ (/1, 2): где Щ — гиперплоскость, содер-
жащая Pi и параллельная Р/ (/ /), всевозможные гиперплоскости,
параллельные одновременно Pt и Р2. 6.1.36. Воспользоваться зада-
чей 6.1.23. . .
6.1.37. б) Используя 6.1.36, показать, что f сохраняет парал-
лельность прямых; определить отображение Df: V-+V по формуле
Df (ab) = f (a) f (b) и показать, что f (х 4- у) f (х) 4- f (у); из ус-
10 Под ред. А. И. Кострнкика
289
ловия Df (<w) =® о (a) Df (и), где v некоторый вектор из V, опреде-
лить отображение о: К -> К, показать, что оно не зависит от v и
является автоморфизмом поля К.
6.2.3. Если М' Ф 0, то гиперплоскость Н — |х| £ ft (х) «=* 0|
является опорной гиперплоскостью многогранника М и М П Н — АР.
Обратно, пусть Г — грань многогранника М, являющаяся его пересе-
чением с опорной гиперплоскостью Н. Пусть а — внутренняя точка
грани Г и / == — 0}. Тогда MJ — грань многогранника 74,
содержащая. Г и а — ее внутренняя точка. Отсюда следует, что
s Н, и, значит, MJ = Г.
6.2.4. Рассмотреть систему барицентрических координат, связан-
ную с точками aa, сц...о*. 6.2.7. Вершины А = (1, 1, 1), В — (1,
1, -2), С = (1, -2, 1), D = (-2, 1, 1) и£= (—1. -4’ ~ 4):
Многогранник представляет собой объединение двух треугольных пй7
рамид с общим основанием BCD.
6.2.8. а) Тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),
(0, О, 0, 1); б) октаэдр с вершинами (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1),
(0, 1, 1, 0), (0,1, 0, 1), (0, 0, 1, 1); в) треугольная призма, вершины
одного основания которой — (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),
другого — (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1); г) параллелограмм с
вершинами (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1).
6.2.15. С помощью 6.2.14 свести доказательство к случаю, когда
5 == М U {а}, где М — л-мерный симплекс и а & М. В этом случае
также воспользоваться задачей 6.2.14 и заметить, что любой отре-
зок ab, где b е М, пересекает некоторую (л—1)-мерную грань Г
симплекса М, не содержащую точки Ь, и, следовательно, содержится
в объединении симплексов М и conv(r(J {a}). *
6.2.16. Воспользоваться задачей 6.2.15. 6.2.17. Лучи с началом
в точке а, пересекающие М°, заметают угол, величина которого не
превосходит л.
6.2.18. Провести доказательство индукцией по л. Рассмотреть
произвольную гиперплоскость Я, проходящую через а. Доказать, что
если какая-либо окрестность точки а в Н содержится в М, то М ле-
жит по одну сторону от Я. В противном случае в пространстве Н по
предположению индукции существует такая гиперплоскость а + W
(где W — (л — 2) -мерное подпространство векторного пространства
V, соответствующего 4), что множество М П Я лежит по одну сто-
рону от иее. Пусть U — двумерное подпространство пространства V,
дополнительное к W. Рассмотреть проекцию N множества М на дву-
мерную плоскость Р = a-h U параллельно W (см. 6.1.38). Доказать,
что a&NQ и воспользоваться задачами 6.2.17 и 6.2.12.
6.2.20. Выбрать любую точку b е М и для всякой точки а&М
провести опорную гиперплоскость через точку отрезка ab, ближай-
шую к а. 6.2.21. Показать, что всякая опорная гиперплоскость замк-
нутого выпуклого конуса проходит через нуль.
6.2.22. Совокупность м всех неотрицательных линейных комби-
наций функций fь ..., fm есть замкнутый выпуклый конус в вектор-
ном пространстве "! всех аффинных линейных функций на 4. Если
М не содержит положительных констант, то из 6.2.21 следует, что
существует такая линейная функция ф на пространстве L, что
ф(1) = 1 и qp(f) СО при f^M. Показать, что всякая линейная
функция ф на пространстве L, удовлетворяющая условию ф(1) 1,
имеет вид ф(/) =/(а), где а—-некоторая точка пространства А (не
290 i
зависящая от f). 6.2.23. б) С помощью 6.2.20 доказать, что для вся-
кой точки а ф М. найдется такая линейная функция f е М*, что
f(a) > 1.
6.2.24. Применить индукцию до размерности пространства. Вна-
чале доказать, что всякая не крайняя точка принадлежит отрезку,
соединяющему граничные точки.. Затем из предположения индукции
вывести, что всякая граничная точка принадлежит выпуклой обо-
лочке множества крайних точек, лежащих в опорной гиперплоскости,
проходящей через эту точку.
6.2.27. Вытекает из задач 6.2.24 и 6.2.26.
6.2.28. Достаточно рассмотреть случай, когда аффинная обо-
лочка данных дочек совпадает со всем пространством. В этом слу-
чае отождествить аффинное пространство с векторным, приняв за
нуль, какую-либо внутреннюю точку выпуклой оболочки М данных
точек, и доказать, что выпуклое множество М*, определенное как в
задаче 6.2.23, является выпуклым многогранником. Затем воспользо-
ваться задачами 6.2.27 и 6.2.23 6).
6.2.29. а) *1 >5 0, х4^0, *1 + 1» + *4< 1/
х2 + 1» *2 + 1; трехмерными гранями являются 4 четырех-
угольные пирамиды Oabcd, Odefa, Odefb, Oabce с вершинами d, е,
а, b соответственно и 4 тетраэдра acdf, aceft bcdft beef; б) > 0,
х2>0, х3>0, х4>0, Xi + x4<l, х2 + х4<1, х3 + х4 < 1; трех-
мерными гранями являются параллелепипед Oabcdefg и 6 четырех-
угольных пирамид с общей вершиной Л, основаниями которых
являются двумерные грани указанного параллелепипеда.
6.2.31. Рассмотреть выпуклое множество N — М в пространстве
V, состоящее из векторов, соединяющих точки из М с точками из АГ.
Доказать, что оно замкнуто, и из задачи 6.2.20 вывести существо-
вание такой линейной функции ф на пространстве V, что у{ху) >= 1
при всех х s М, i/eN. В качестве f взять подходящую аффинную
линейную функцию, линейная часть которой совпадает с (р.
6.2.32. В пространстве L рассмотреть замкнутый выпуклый ко-
нус /<, состоящий из всех аффинных линейных функций, неотрица-
тельных на М. Предположить, что К П ЛГ « 0, и из задачи 6.2.31
вывести существование линейной функции на пространстве L, неот-
рицательной на К, отрицательной на N и удовлетворяющей усло-
вию <р(1) = 1. Показать, что ф(/) = f(a), где аеЛ1, и прийти к
противоречию с условием задачи.
6.2.33. Очевидно, что max min F (х, у) min max F (х, у).
х е М. y^N y^N х&М
Пусть max min F (х, у) —с. Тогда для всякой точки хеМ най-
дется такая точка у е N, что F (х„ у) с. Используя задачу 6.2.32,
доказать существование такой точки ЛГ, что F (х, у0) С с при
всех х е М. Вывести отсюда, что min max F (х, у) ==» с. Анало-
y<=N х е М
гично доказать существование такой точки х0 е М, что F (х0> у) с
при всех у ^N.
6.2.34. Доказывать все утверждения индукцией по п + т.
6.3.1. Если ао, ....... — искомые точки, то можно выразить
скалярные произведения векторов а9аь ..., аоап через расстояния
между данными точками; составленная из них матрица Грама долж-
на быть положительно определенной (в случае а)) или неотрицатель-
но определенной (в случае б)) (см. задачу 4.1.9). 6.3.2. а) 4; б) 3.
в) 2; г) не существует.
10*
291
63.6.ча) Чбь-Ч 4, 0) + «1, -2» 3, <-!»; 6) (5, О, 2, 14) +
+ <(3, -
6.3.8. с— 2
63.9. 2** 2 + 1 } в Использовать ортогональный базис,
составленный из многочленов Лежандра (см. задачу 4.1.42).
л
6.3.10. ; использовать представление соз”*1* в виде тригономе-
трического многочлена. 6Л.11. Р Л Q состоит из одной точки/«
6.3.12. а) — jfi + 3*2 + 2*а + х4 » 6,
*i + 2*а + 3*э — *4 “ 4;
б) (3, —2, 1, 4) + <(2, 3, -1, —2), (3, 2, -5, 1)).
6.3.14. а) 22/3; б) 5; в) 7; г) 6.
6.8.15. dA -r-, ,nt/-------------—.
V 2 (k + 1) (n — k)
6.3.17. Пары {Pi, P2) и {Qi, Qa} метрически конгруэнтны между
собой, ио не конгруэнтны паре {Pi, Р2}. Все расстояния равны 36;
косинусы углов для первых двух пар —3/5 и 4/5, для третьей—l/V^"
и 2/V5-.
6.3.18. а) (2, -3, -4, 1, 0) + <(18, 0, —13, -1, 5»;
б) (5, 2, 2, —5, -6) + ((0, 3, —2, —2, 1), (1, 0, 1, —1, 0». Исполь-
зовать задачу 6.3.13 г). 6.3.20. Использовать задачу 4.4.4. 6.3.22. До-
казать, что существует ортогональный оператор, переводящий еди-
ничные векторы, ортогональные гранями первого тетраэдра, , в еди-
ничные векторы, ортогональные соответствующим граням второго
тетраэдра. 6.3.23. а) Поворот на_—л/2 вокруг точки (I, 3)'; б) пово-
рот на л/4 вокруг точки (—1/V2 > 1 + 1/V2 )• л
6.3.24. а) Композиция отражения относительно прямой с на-
правляющим вектором а *=* (1, 1), проходящей через точку (1/2, 0)
и параллельного переноса на вектор у а; б) отражение относитель-
но прямой с направляющим вектором (V$, 0> проходящей через
точку (2, 0).
6.3.25. а) Поворот на л/3 вокруг оси с направляющим вектордм
(1, 1, 1), проходящей через точку (1 2, 0); б) композиция поворота
на л/2 вокруг оси с направляющим вектором а = (—2, —2, 1), про-
ходящей через точку (2, —1, 2), и параллельного переноса на век-
тор 2а; в) композиция поворота на л — arc sin вокруг оси с на-
правляющим вектором а » (1, 1, 1), проходящей через точку(—'1,
2, 1) и параллельного переноса на вектор а.
6.3.26. а) Композиция поворота на л/2 вокруг оси с! направляю-
щим вектором (2, 2, — 1), проходящей через точку Р = (0, 1,-1)., и
отражения ртносительно ортогональной плоскости, проходящей че-
рез точку Р; б) композиция отражения относительно плоскости * —
292
*—2^+Л—3;н параллельного.переноса на вектор (3/2* 1); в)ч ком-
позиция поворота на arccos — вокруг оси с направляющим векто-
ром (1, 0, — 1), проходящей через точку Р — (1, -—1, 0), и отраже-
ния относительно ортогональной плоскостиJ проходящей. че.рез точ-
ку Р\ г) отражение относительно плоскости Зх — у —^ + 7 — 0,
6.4,2. Перенести начало координат в точку Ь; Воспользовавшись
формулой из задачи 6.4.1. 6.4.3. Использовать 6.4.2. 6.4.4. Заметить,
что если ввести расширенный столбец координат .
.. . . X-/U1. ,
то Q (а0 + х) = *ХА^Х и,1 Г*'. г
6A5v’ Воспользоваться разложением Тэйлора многочлена
Q(xr .... xj в точке (х« х«):
Q(*i.....*«)= ;
п
6.4.6. а) Точка l/(n — 1).......— 17(п — 1)); б) гиперплоскость
Xi + • • • + хп + 1 = О' в) если п четно, то центр есть точка
(4 - 4)- г«е
о Г (— 1)^2 причетном/,
1 1 1)(я+1“0/2 при нечетном I;
если п =s 4k + 3, то центр есть прямая (0, —1, 0, 1,.—1, 0)+
+1 (1, 0, —1, 0, ...» 0, —1); если n == 4& + 1, то центр пуст; г) центр
пуст; 6.4.7. а) 9; б) 17. 6.4.8. а) Зп — 1; б) п* + Зп - Г. 6.4.9. Вос-
пользоваться результатом задачи 6.4.5. 6.4.10. Использовать 6Л.5 и
. • ! ' ПтЧ
6.4.1. 6.4.11. а) Х| -{- 2x2 4- 2х3 -р Х4 == 1; б) Х| 4~ 2 xi *4* -р 2 ^0.
f = 2
6.4.12. Использовать 6.4.3 и 6.4.10. 6.4.13. Использовать 6.4.3.
6.4.14. Воспользоваться результатом задачи 6.4.13. 6.4.15. а) (1, 2,
3) и (2, —1, —4); б) прямая целиком лежит на квадрике; в) пря-
мая касается квадрики в точке (—3, 0, 0).
6.4 Л 6. (xj + V12 )/2 = х2 = — х3 и (xt —; V12 )/2 = х2 ==- ха.
Искомую прямую можно представить уравнениями = ~~ ~
=» —, z или х == a — 2z, у = b — г. Подставляя эти значения х и
у в уравнение квадрики, мы должны • получить тождество. Из ус-
ловия, что все коэффициенты полученного равенства должны, быть
равны нулю, определяем неизвестные параметры а и Ь. 64.17. Две
комплексно сопряженные прямые:
293
6.4.18. я) х$ 4- 5х| + 4х3 + 4xtx2 — 2х2х3 — 4х{х3 — 1; б) х*+
4- 2х2 + — 4xtx2 + 6х2х3 — 2XjX3 + 20х2 + 12х3 + 12 = 0.
6.4.19. а) У ytyi+l + Зу, 4- 4 + Зу„ + Зп = О,
f«l i-2
б) £ У^7 + (м+ 1) yt+ 0» + 2) £ yf+
1-2
+ (п - 1) (я - 2) + J и
л п
*) £у! + 4 У + 4 (л - 1) £ + 2уя + 2п2 = 0.
i-l t <<</<» i-i
6.4.20. а) Эллипс; б) гипербола; в) пара пересекающихся пря-
мых; г) пустое множество.
6.4.21. а) Аффинный тип квадрики дается каноническим уравне-
нием jr? + • + Уп + 2ул+1 «0, а метрический тип — уравне-
нием + $ + ... + Уп-\ + 0* + ОУп + 2Лжб) аффинный
тип квадрики дается уравнением р? ——#3 — ... —1,
а метрический тип — уравнением (п — 1) у2{ — — р| — ... — = 1.
(3 \
— 1, -, 0), однополостный гиперболоид; б) линия
Xi ж® х< — 2
центров тятв i—, эллиптический цилиндр; в) центра нет,
3 2 1
эллиптический параболоид; г) 3, -у), однополостный гипербо-
лоид.
6.4.28. а) Пара пересекающихся плоскостей + х2 + х3—1) X
/ О \ 2 1 а
X (*1 + X» - х, + 1) — 0; б) сфера (х, — I)2 + (х2 + у j + х| — у;
(2\2 16
*2 +у) “-д"» г) круговой ко-
нус (xj — I)2 + (х2 + у) — (х3 — = 0; д) пара параллельных
плоскостей (2X1 — х2 + 6) (2xi — х2 — 6) = 0.
«2 4i/^ 9t/^
6.4.24. а) Эллипсоид + + *> Центр (3, — 1, 2),
большая, средняя и малая осн соответственно параллельны осям
Охь Ох2 и Ох3; б) однополостный гиперболоид вращения
у* у?
-т——гтг==“ 1; центр (—4, 0, —6), ось вращения парал-
4 IO 16
_ . п У% , О л
лельна оси Oxf, в) круговой конус у{--вершина
(3, 5, —2), ось вращения параллельна оси Ох2; г) параболоид вра-
294
fin 1 б\
щения, вершина I 10, —-yl; °СЬ вРашеиия параллельна
осн OxP
6.4.25. а) Круговой конус — у^ + у% + Уз1=8 0, направляющий
вектор оси конуса , 0^; б) гиперболический парабо-
лоид — #2 = 2у3; вершина (0, 0, 0), направляющие векторы кано-
„ ' / 1 I А\ ' / I
нической системы координат: е, = | —т=-, ~7=“» 01, е2«|--у=-
\V2 V 2 ) \ V2
0^» ез О; в) параболический цилиндр у3 = 5ур напра -
вляющие векторы канонической системы координат: — I п-р
-тр о), е2=» (— °), 4 = (0, 0, 1): г) круговой
конус — 4у 1 + у2 + Уз « 0; направляющий вектор оси конуса —
— Д) гиперболический цилиндр у| — 2у|=1, на-
правляющий вектор оси гиперболы — , <^1 направля-
ющий вектор образующих цилиндра—---------------, 0^;е) круговой
цилиндр yf + yf ==4/25; ось цилиндра проходит через точку (0, 0,
—215) и имеет направляющий вектор (----у=-, —?=-, (А; ж) па-
\ V5 у5 /
раболический цилиндр yf=5y2; вершина параболы О'=(—1,
12 16 \
— ~25~»---25” J ’ напРавляющие векторы канонической системы ко-
ординат: = ^0, (направляющий вектор оси пара-
болы в сторону вогнутости), 0» 0), ---1-^
(направляющий вектор образующих цилиндра); з) параболический
цилиндр y3 = 2yf; вершина параболы О' «= (0, 0, 1), направляю-
щий вектор оси параболы в сторону вогнутости (0, 0, 1), направ-
-к- 4=-. «У
V2 V2 )
3?| , 3^2
вращения ---
14 \
-----о- J» направляющий
f 2 1 2 \
вращения I -т-, -х-.--5- ); б) параболоид вращения
х О о о /
2
"о“Уз> вершина О'= (1, 0, —1), направляющий вектор
о •
лякнций вектор образующих цилиндра
6.4.26. а) Однополостный гиперболоид
о 9 85 „ ( 14 7
-3?з----J". Центр О = (-д-,-------
f 2 1
вектор оси вращения I-g-,
у[+у1^
295
оси вращения - (4-> 4- •—ГЬ в) Двуполосгный гиперболоид
вращения2(/| + 2^ —4^| = -1, центр О' = -у, — у --у-)»
направляющий вектор оси вращения —
Уз
г) эллипсоид вращения р । ~ “ Ь центР О'Я(Ь 1. 1),
направляющий вектор оси вращения -* J;
д) двуполостный гиперболоид вращения 4~6z/f — 2^f == — 1,
(1 , 2 2 \>
----о"» “о”» Т* I направляющий вектор оси вра-
3 3 3 / ,
щения — (—7=-, 0,---“т=-\
\ У2 Уг У
6.4.27. а) Параболический цилиндр У» О,= (2. 1, — 1),
/ ( 2 2 1 4 г ( 2 1 2 4
е‘ “ I 3 ’ 3 ’ 3 )’ *2 “ I 3 ’ ’ 3 ’ 3 ) ’
, / 1 . 2 2 4 л •
в3 н I -Q-,--5“, -’Я- 1; б) эллиптический цилиндр
* \ 3 3 3 /' »
2
4 + </_«>, >, 0), >•,-
= (—7=-,-----7=-.-----7=-\ 4 = (—7=-, 0, —Ц-V, в) эллипти-
I Уб Уб Уб / 3 V V2 V2 )
f г
ческий параболоид + -у — 2#3> О' ==(2, 2, 1), е\«
^(л/2’ V2’ °)’ *2 (зл/2’ 3V2” Зл/2)’ 63=8
2 2
3 ’ 3
•>-у)» г) гиперболический, параболоид у? — {/| = 2Рз>
О' = (0, 0, 1), 4
/ ( 2 2
е3 ~ (Т’ ~
( 1 J_ \ /_/ 11 4 \
“wr V2” > *2 Дзтг 3V2” 3V2 /’
1 х
-g-J; д) гиперболический параболоид “2* + ^|я
f ( 2 1 2 \ f ( \ 2 2\
~^Уз> О “(1. 2, 3), «!= 3 ’ 3 ’ 3 J’ в2 — \3’ 3*3/
/ ( 2 2 14
е3~ к 3 ’ 3 ’ 3 J'
о о о 2 .......... »
в.4^а)-^-^^^+^1; 0'^(0, 1.2.3)., 4-
Z 1_____________1_________1_
К2л/з” 2 Уз’ 2УГ
/ = _1 2А-.
2Уз/ 4 V2’ 2’ 2* 2/’
296
бГй + й+Й - 9- - <0. °- °). X - (4* {. - т ~;4)‘
, .(_i_ L ____LY z = fX __к _J_ _LY
е2 = \ 2 ' . 2’ 2’ 2/’ 3 \2’ 2’ 2 ’ 2 )’
' _ (-L 1 1 _1_Ч :
*4 “А 2’2’2’27"
6.4.29. При —< а < 1.
6.4.30. Все соответствующие коэффициенты их уравнений, кроме,
может быть, свободных членов, пропорциональны.
6.4.31. Каноническое уравнение квадрики в евклидовом про- •
СТ₽?НС^ /Я — о й — ь) »п-1 + <« + (« — 1) Ь) Уа +
+ 2су,+1=0.
6.4.33. При л = b (плоскость размерности п — 1).
Ш. .) («, ,) НН. (-^у l±t); 6) ») w. (A, JL).
«м,Л,н-(2^^)
«лл. .) (>, 2)^> (1±£, 1_£, Л);
.)(«, у. *>ь-(Л, JL, 2.).
6.5.5. a) min (Л— 1, и —й);б) min(£, п — k — 1). 6.5.J0, Рас-
смотреть дополнения к аффинным картам. 6.S.11. qn + ^л+1 + ... + 1.
вЛ12 (г+1-о(г+1-<?) (г+1-/)
(X*’-i)(X+1-4)... (?+,-X)'
eels (/+‘-0Gn+‘-<?)... Un+l-Л
ч- 1
6.5.17. Рассмотреть вместе с P(V) еще P(V*). 6.5.20. Испольэо-
. (ai+aj)a2 .. аг (I — а>)
вать предыдущую задачу, а) а9 — ; б) а2 = — , п -
ОЙ1 — 0,2 * Т
6.5.25. Выбрать аффинную карту, в которой прямая будет беско-
нечно удаленной. 6.6.26. Выбрать аффинную карту, в которой две
пары противоположных сторон шестиугольника будут парами парал-
лельных прямых. 6.5.34. Эта прямая получается применением кор*
реляции, соответствующей данной окружности, к заданной точке.
297
ЧАСТЬ 3
1.1.1. а) Две орбиты: одна состоит только из одного нулевого
вектора, другая — из всех ненулевых векторов, б) Каждая орбита
состоит из всех векторов одинаковой длины, в) Каждому подмно-
жеству /s {1, 2.....п} отвечает орбита Оь состоящая из тех век-
торов х, у которых координата xi равна 0 тогда и только тогда,
когда i е I. Всего 2я различных орбит, г) Всего п + 1 различных ор-
бит б?о, ..., Оп> где 0 состоит только из нулевого вектора,
п
a 0i9 1, — из всех таких векторов хрь для которых
О И X/ = 0 для всех / > I.
1.1.2. a) Ga содержит только тождественный оператор; б) Ол
п
состоит из операторов с матрицами А — ||ац|| такими, что ац = 1
/«1
для любого i » 1, 2, ..., л.
1.1.3. 4 орбиты: {1, 4, 5, 9}, {2, 8}, {3}, {6, 7, 10}. Стационарная
погруппа (о = — Об яя Gio имеет порядок 3 и порождена пере-
становкой о4; стационарная подгруппа и2 == О8 имеет порядок 6 и
порождена перестановкой о2; стационарная подгруппа Оз имеет по-
рядок 12 и совпадает с О; стационарная подгруппа Oe = О7 = Ow
имеет порядок 4 и порождена перестановкой о3.
1.1.4. a) б) рассмотреть, например, отображение
или установить изоморфизм, занумеровав стороны ромба; в) две
орбиты: {А, 0} и {В, D},
1.1.5. В группу входят л различных поворотов л-угольника во-
круг центра и л осевых симметрий; |Drt] == 2л.
1.1.6. а) 24; б) 12; в) 60. Все вершины правильного многогран-
ника образуют одну орбиту относительно действия группы враще-
ний многогранника. При этом порядок стационарной подгруппы ра-
вен числу ребер, выходящих из вершины.
1.1.7. а) Каждому вращению куба сопоставить перестановку на
множестве диагоналей куба; б) каждому вращению тетраэдра сопо-
ставить перестановку на множестве его вершин; в) каждому дви-
жению тетраэдра сопоставить перестановку на множестве его вер-
шин; полученное отображение в S4 инъективно, ибо каждое аффин-
ное преобразование определяется однозначно образами четырех то-
чек общего положения; сюръективность вывести из того факта, что
в образе, кроме подгруппы А4, есть нечетная подстановка.
1.1.8. а) 4; б) 5.
1.1.9. По условию задачи т = hmQ для некоторого h&G. От-
сюда gm = g (hma) = (gh) т$ «(hg) mQ=*h (gm^) «= A/wq «= m.
298
6eR и h2 +
где a, b e R,
б) подгруппа
I, где А и В — невырожденные матрицы
1.1.10. а) Заметить, что ag\H «== ag2H » gji = g2H\ и для каж-
дого xeG хН =* а(а~'хН); б) проверить, что ofl* = оЛо*; в) до-
казать, что условия gH = agH и а & gHg-1 равносильны.
1.1.11. а) Каждый смежный класс состоит из одного элемента, и
если {е}, {х)> {х2}, {ж3} присвоить номера 1, 2, 3, 4, тоох = (12 34),
ожа = (1 3) (2 4), охз= (1 4 3 2), ое — тождественная перестановка,
б) Пусть х —данная симметрия, а # —поворот квадрата на 90°.
Тогда G s Н U уН U у*Н U и занумеровав смежные классы в
указанном порядке имеем: ав— тождественная перестановка,
оу = (1 2 3 4), о^=(1 3) (2 4), <ytf3«=(l 4 3 2), ах = (2 4), аху ==
»(1 2) (3 4), ау2Х = (1 3), 0ух = (1 4) (2 3). (Для вычисления во-
спользоваться соотношением ху « у~1х.)
1.1.13. а) Подгруппа Клейна; б) множество всех п степеней дан-
ной перестановки.
1Л.14. а) Подгруппа диагональных матриц; б) вся группа;
Ia + b 2а II
За 4а + b |* где а*
+ 5аЬ — 2о2 # 0; г) множества матриц вида | ® * |,
а 0.
1.1.15. а) Подгруппа всех диагональных матриц;
всех матриц вида
порядка k и п — k соответственно.
1.1.16. Л1 и А3 сопряжены, так как имеют одинаковую жорда-
нову форму, а Л] и Л2 не сопряжены, так как имеют разные жорда-
новы нормальные формы.
1.1.17. a) S3=He}U{(l 2), (1 3), (2 3)} Ц {(1 2 3), (1 3 2)};
б) А4 = {е}Ц{(1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}U{(1 2 3), (1 3 4),
(1 4 2), (2 4 3)} (J {(1 3 2), (1 4 3), (1 2 4), (2 3 4)}. в) Симметрии .
относительно диагоналей квадрата, симметрии относительно средних
линий квадрата, повороты квадрата на углы ±я/2, центральная сим-
метрия квадрата, тождественное отображение.
1.1.18. а) Единичная группа; б) группа порядка 2; поскольку
все нёединичные элементы группы сопряжены, порядок группы п
должен делиться на п — 1; в) группа изоморфна группе подстано-
вок S3 или имеет порядок 3. В любой группе есть класс, состоящий
только из единицы. Пусть л—’Порядок группы G, a k, / — числа со-
пряженных элементов в каждом из классов, k I. Тогда п делится
наЛи/и 1 + k + l «в п. Ъъзшявжыъ решения: 1) п » 3, k / »
1, 2) п == 4, k = 1, I «в 2 —это решение нужно отбросить, по-
скольку группы порядка 4 абелевы (т. е. имеют 4 класса) 3) п = 6,
k = 2, I = 3; чтобы установить изоморфизм G & S», использовать
действие группы 6 сопряжениями (см. задачу 1.1.12) на классе, со-
стоящем из 3 элементов.
1 1.19. а) {(1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}; б) {(1 2 3), (1 3 2),
(1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.
1.1.20. Пусть а == ft... /*) (и+1... i) ... — разложение переста-
новки а на независимые циклы. Для вычисления перестановки с =
== bab-1 записать Ь в виде
А •• 4
V.... 4 4+1
Тогда /А)(/А+1 ... 4)...
*л+1
299
у’’ t.1.21,a) 5;. б/ 7;’ 1£) 1 И/г) —ес^и «чётно, и -
если п нечетно; для нахождения числа элементов; сопряженные
с данным, достаточно найти порядок его централизатора; обратить
внимание на то, что поворот вокруг центра на угол л совмещает
n-игольник с собой только/ если п четно.
1.1.22. Необходимость следует из равенства следов сопряженных
матриц. Для доказательства достаточности равенства ф1 + ф2 » 2лЛ
в ,, качестве сопрягающей матрицы для канонических форм рассмо-
треть матрицу di ag(—l,—1,1). . ,
1.1.23. а) Сопряженные подгруппы имеют одинаковый порядок;
б) К .«=? gHg~\ где g• == diag(2, 1).
; 1Л,24 а) ЛГ(Я) и Я; б) ЛГ(Й) состоит .из всех невырожденных
матриц второго порядка, в которых a^i == 0; в) W(Н) состоит из
8 перестановок, выписанных в ответе к задаче 1.1.11 б).
1.1.25. a) Aut G— циклическая группа порядка 4, состоящая из
автоморфизмов возведения в степень & ==== !, 2, 3, 4; б) Aut G —
группа второго порядка, в которую кроме тождественного автомор*
физма входит автоморфизм возведения в пятую степень. 1.1.26. а)
Каждый автоморфизм группы S3 определяется своим действием на
трех элементах второго порядка; б) любая перестановка неединнч-
ных элементов. группы V4 определяет ее автоморфизм.
1.L27. а) Да, Aut Z9 ~~ циклическая . группа порядка 6, поро*
ждаемая автоморфизмом возведения в квадрат, б) Нет, JAutZ8| =='
4, но, квадрат каждого автоморфизма — тождественное отображе*
ние.
1.1.28. I Aut Aut Aut ZJ == 1. Использовать задачи 1.1.27 и
1.1.25.
1.2.1. б) Использовать теорему об определителе произведения
матриц, в) Использовать теорему о четности произведения переста-
новок.
1.2.3. а) А3; б) V4; в) V4 и А4. Воспользоваться тем, что поря-
док подгруппы делит порядок группы, что нормальная подгруппа
вместе с любым элементом содержит все сопряженные, а также за-
дачами 1.1.17 и 1.1.20.
1,2.4. Например, Л = {(1 2) (3 4)}, Н == V4.
1.2.5. aba~lb~{ ш а (Ьа~^Ь~1^ = е А П В.
1.2.6. Пусть csC я G = разложение группы G на два
смежных класса. Тогда любой элемент нз С может быть записан в
виде hch~] или в виде hxcx-'h-1, где h^H.
1.2.7. 5 классов сопряженности, состоящих из 1, 15, 20, 12 и
12 элементов. Воспользоваться задачами 1.1.20 и 1.2.6. Группа As со-
стоит из четырех классов элементов, сопряжённых в Ss, представи-
телями которых являются е, (1 2) (3 4)., (12 4) и (12 34 5). Первый
и второй состоят из нечетного числа элементов (1 и 15), поэтому
являются классами сопряженности и в As. Третий также не распа-
дается в А5 на два класса, ибо в качестве х (см. указание к задаче
1.2.61 можно выбрать перестановку (4 5), но тогда (4 5)(1 2 3) (4 5)“1=3
«(123). Наконец, четвертый распадается в А5 на два класса,
ибо число его элементов 24 не делит порядок группы As.
1.2.8. В соответствии с задачей 1.2.7 порядок нормальной под-
группы, делящий число 60, можно составить из слагаемых 1, 15, 20,
12, 12, причем в качестве одного из. слагаемых непременно нужно
взять 1, ибо е входит в любую подгруппу.
300
1.2.9. Сначала доказать в). Центр состоит из ±Е. Других под-
групп порядка 2 нет, поэтому все они нормальны (см. 1.2.2). Клас-
сы сопряженности {E)t {—E}i {±/}, (th J}, {±Д}.
1.2.10. Еслиа^—автоморфизм хь—* gxg^\ то «^ — тождест-
венный автоморфизм, («g)*"1 = « -i и и для любого
.ф е Aut О (фавф“,)(х)-ф(§ф“1 (х) «”*) w Ф (g) ХфйГ1)аф(в)(х)
1.2.11. a) S2 при л = 2 и (е) при п 2; б) А3 при п =»3 и {с)
при п 3; в) центр является единичным при нечетных л, а при чет-
ных включает еще поворот на угол л.
1.2.12. Элемент лежит в центре тогда и только тогда, когда Он
совпадает со всеми сопряженными ему элементами. Поэтому, если
в центре лежит лишь; единица, тор” = 1 ~Ьр 1 ... + Р 1 (k.i > 1)
(число элементов любого класса сопряженности делит порядок Груп-
пы). Но тогда 1 делится на р.
1.2.13. б) Центр состоит из матриц вида Е +ЬЕ\з\ в) класс сб-
. пряженности нецентрального элемента Е + аЕ^ + + сЕ& со-
стоит из матриц вида Е + аЕхг + хЁ\з + cE<& (x eZp).
1.2.14. а) {!£}; б) {±Е}; в) вся группа; г) {£}; д) {±£};
е) {<х£ | <х" = 1).
1.2.16. Группа G' изоморфна факторгруппе группы G.
1.2.17. Гомоморфизм определяется образом порождающего эле-
мента а. Ниже указаны возможные Образы этого элемента! а) Лю-
бой элемент группы; число гомоморфизмов равно л; б) а, Ь\ Ь6, Ь®,
Ь12, Ь15; в) а, 6, Ъ3, Ь4, Ь6; г) а, Ь10; д) а.
1.2.18. Найти образ если «I—> 1»
1.2.19. a) Z«; б) Z4; в) Z3; г) Z2.
1.2.20. Постройть линейное отображение Fn на Fn-k с ядром Н.
1.2.21. Рассмотреть отображения: а) х н-> cos 2лх + i sin 2лх;
б) xi—в) zi—>|z|; г) zi-^z"; д) г^г”; е) zi—>
ж) z ь-> з) z н-> | z |.
1.2.22. Для доказательства изоморфизма вида X/Y ~ Z найти го-
моморфизм X на Z с ядром У.
1.2.23. Воспользоваться тем, что каждый элемент g е G одно-
значно представим , в виде kh, где k е К, h &Н. Доказать, что ото-
бражение g\—>k является при этом гомоморфизмом G-+K.
1.2.24. В силу 1.1.7 группа S4 действует на кубе. Отсюда, если
занумеровать три пары противоположных граней куба числами 1, 2,
3, мы получаем действие группы на множестве 1, 2, 3. Проверить,
что ядром этого действия является подгруппа V4.
1.2.25. Проверить, что пересечение ДО всех подгрупп группы G,
сопряженных вис Я, является нормальной в G подгруппой. С по-
мощью задачи 1.1.10 установить, что факторгруппа G)n изоморфна
некоторой подгруппе группы S*.
1.2.26. Пусть N — нормальная в G подгруппа, построенная в ре-
шении задачи 1.2.25. Тбгда р! делится на |&/ДО| и \G/N\ ибо
N^H. Но по условию р — минимальный простой делитель числа
|6|, а значит и у числа | GjN\ не может быть простых делителей,
меныпих, чем р, так как |G| делится на. |(г/АП. С другой стороны,
в разложении числа /4 все простые делители, кроме одного, Меньше
р. Поэтому |G/jV| = р, т.е. индексы, д следовательно, к Порядки
861
подгрупп N и Н совпадают. Из включения АГ>ss Н ыъхует тогда ра-
венство # = Я (и нормальность подгруппы И),
1.2.27. Любой линейный оператор действует на одномерных под-
пространствах, переставляя их. Проверить, что в двумерном про-
странстве над Z8 имеется четыре одномерных подпространства, ко-
торые можно произвольным образом переставить с помощью под-
ходящего линейного оператора. Проверить, наконец, что ядром дей-
ствия является центр группы GL2(Z8).
1.2.28. В единственную подгруппу порядка п попадают все смеж-
ные классы вида----f- Z, где k — любое целое число.
л
1.2.29. Рассмотреть отображение, сопоставляющее каждому
g cs G автоморфизм х gxg-'.
1.2.30. Если G/Z « <aZ>, то любые элементы x,y&G имеют вид
х «= akzu у z= а%, а тогда ху «= ух.
1.2.31. Использовать задачи 1.2.12 и 1.2.30.
1.2.32. Использовать задачи 1.2.29 и 1.2.30.
1.2.33. р2 + Р — 1, причем р классов состоят из одного элемента,
а остальные — из р элементов. Вывести из задач 1.2.12 и 1.2.30, что
центр Z имеет порядок р. Централизатор любого элемента a&Z
имеет порядок р2, так как он содержит Z U {а} и не совпадает со
всей группой. Число сопряженных с а элементов равно о3: р2 « р.
1.2.34. а) Проверить, что произведения a^bi... an-ibn-ian эле-
ментов максимальных подгрупп А и В составляют подгруппу С,
строго содержащую А и В (а значит, совпадающую с G). Элементы
из А п В перестановочны с элементами из С, так как А и В комму-
тативны; б) Пусть Н— некоторая максимальная подгруппа в б:
Я =/= {е}, так как G не является циклической группой. Обозначим
| Н | == т и | G1 == п = 1т. Из максимальности подгруппы Н и про7
стоты группы G следует, что нормализатор N подгруппы Н в груп-
пе G совпадает с Н, т. е. существует I различных сопряженных с Н
максимальных подгрупп. Если допустить, что их попарные пересе-
чения содержат только 5, то в их объединение входит 1 +1 (т — 1)
элементов из G. Поскольку 1т — / + 1 то найдется элемент, не
лежащий ни в одной из них, а значит, найдется содержащая этот
элемент максимальная подгруппа /С, не сопряженная с Н. Пусть
опять |К| «в mi и п = limit Тогда, допустив, как и выше, что I + Ц
максимальных подгрупп попарно пересекаются по {е}, получим
1 4-/ (m—1)1)> 1+-^- +> п элементов в G;
At At
в) Одна из максимальных подгрупп некоммутативна, иначе, как вид-
но из п.п. а), б), в группе G был бы нетривиальный центр вопреки
ее простоте.
1.3.1. (<7л--1)(?п — fl')...(fln— fl”"1). При подсчете числа невы-
рожденных матриц заметить, что если уже выбраны I первых строк,
то для выбора (i+ 1)-й строки имеется qn — у возможностей: дей-
ствительно, всего существует qn различных строк длины п над по-
лем из q элементов, но в качестве (*+ 1)-й подходят лишь те из
них, которые не являются линейными комбинациями i строк, вы-
бранных раньше. Число таких линейных комбинаций — это число
упорядоченных наборов, составленных из i коэффициентов, т. е. q{.
б) t ~ f fa" — 0 (fl'" — <?) • • • (qn — подгруппа SLn(<?) есть
ядро гомоморфизма >det А группы GLn (fl') на мультипликативную
группу поля Zq (состоящую из fl'— 1 элементов). Отсюда по теореме
302
о гомоморфизме |GLe(?)/SL/r(?)| « q—1; остается применить а) и
теорему Лагранжа.
1.3.2. а) Нет; найти число элементов второго порядка в этих
группах; б) нет; заметить, что матрица 2Е лежит в центре группы
SL2 (3) и воспользоваться задачей L2.ll а).
1.3.8. а) 2-подгруппы <(1 2)), ((1 3)), ((2 3)); 3-подгруппа
<(1 2 3)>; б) 2-подгруппа V4; 3-подгруппы <(1 2 3)>, <(1 2 4)>,
((1 3 4)\ «2 3 4)>.
1.3.4. а) Первая и вторая (см. ответ к задаче 1.3.3 а)) из силов-
ских 2-подгрупп сопряжены с помощью перестановки (2 3), первая
и третья — с помощью (13), вторая и третья — с помощью (12);
б) первая и вторая из силовских 3-подгрупп сопряжены с помощью
перестановки (12) (3 4), первая и третья — с помощью (13) (2 4),
первая и четвертая — с помощью (2 3) (1 4).
1.3.5. Занумеровав вершины квадрата, получить изоморфное
представление группы D4 перестановками: D4 Р с S4. Поскольку
|Е>4| = 8 и |S4| == 24 «и» 8*3, Р —силовская 2-подгруппа в S4. Дру-
гие силовские 2-подгруппы группы S4 изоморфны Р в силу сопря-
женности.
1.3.6. а) В подгруппе {а, (1324), (1423), (1 2) (34), (1 3) (24),
(1 4) (2 3), (1 2), (3 4)}; б) в подгруппе {е, (1 2 3 4), (1 4 3 2),
(1 3) (2 4), (1 2) (3 4), (1 4) (2 3), (1 3), (2 4)}; в) в каждой из трех
силовских 2-подгрупп.
1.3.7. Эти группы неизоморфны по задаче 1.3.2. Если в некото-
рой неабелевой группе G порядка 8 есть подгруппа второго порядка,
не лежащая в центре, то и^О4, — это следует из задач 1.1.10 и
1.3.5. В противном случае обозначаем е и — е — элементы центра
группы G (по задачам 1.2.12 и 1.2.30 центр группы G состоит из
двух элементов). Пусть /, j е G и i] Ф ji. Обозначим k == ij, М =
я® —Z, у-1 = — у, « —k. Проверить, что естественное отображе-
ние группы G на группу кватернионов является изоморфизмом.
1.3.8. Решая в группе SLg(3) уравнение X2 = Е, получаем лишь
два решения: X = ±Е. Аналогично находим шесть элементов по-
рядка 4, решая уравнение X2 == —Е. Из них уже не извлекаются
квадратные корни, т. е. в SU(3) нет элементов порядка 8. По-
скольку получилось 8 элементов, порядки которых — степени двойки,
в SL2(3) есть лишь одна силовская 2-подгруппа, так как
|SLz(3)| =24 = 8-3 по задаче 1.3.2. Следовательно, эта подгруппа
нормальна. Она неабелева, так как, например, элементы
имеют порядок 4 и не коммутируют. Далее использовать за-
дачу 1.3.7.
1.3.9. а) 5; б) 10; в) 6.
1.3.10 г, где », _ [Л-] +[£.] + [-£.] + ...
1.3.11. (р —2)1. Число р! делится на р, но не делится на р*.
Значит, каждая силовская р-подгруппа состоит из степеней одного
цикла (*1 is-.‘*р). Число таких циклов равно (р—1)1, а число раз-
личных порождающих в циклической подгруппе порядка р равно
Р—1.
1.3.12. Воспользоваться теоремой о сопряженности силовских
подгрупп.
303
ЛЛ.13. а)4$Ыр)1 « H(P+1| (см.-задачу 1.3.2). Значит,
силовская р-подгруппа имеет порядок р. б) Нормализатор состоит,
из. всех ч матриц вйда |* |, где к =£ 0., в) Поскольку порядок
нормализатора равен р(р—1), его индекс, а значит, и число раз-
личных силовских р-подгруйп, равно р+1. г) Использовать за-
дачу 1.3.1. д) Множество всех матриц вида |* где я, г^йО.
е) р+Е Z
1.3.14. Доказать, что порядок подгруппы и максимальная сте-
\\ . . . п(n-i)
пень числа р, делящая |GLn(p)|, равны р 2 (см. задачу 1.3.1).
1.3.15. а} Если р нечетно, то силовская р-подгруппа единственна
. ' 2nk
и состоит из поворотов правильного /г-угольника на углы .——,
0 k < pz, где pz — наибольшая степень числа р, делящая л. Пусть
л = 2r-m, где т нечетно. Тогда в Dn .содержится т различных си-
ловских 2-подгрупп. Каждую такую подгруппу можно получить, если
выбрать правильный ^-угольник, вершины которого содержатся сре-
ди вершин данного л-угольника (а центр — тот же), и рассмотреть
все движения, совмещающие его с собой, б) При р = 2 в качестве
2nk
сопрягающих элементов можно взять повороты на углы-----------, 0
< k < m — 1. w
. 1.3.16. Пусть | G|pl-tn, где m не делится на р, и |Кегф| ==«
» ps -t, где t не делится иа р. Тогда Н & 6/Кегф, и по теореме Ла-
гранжа порядок силовской р-подгруппы Р в Н равен p'~s. С дру-
гой стороны, \Р п Кегф| р\ ибо 1 Кег ф| делится на |РПКегф(.
Значит, |ф(Р) | □= | PIP П Кег ф | > что и требовалось.
1.3.17. Очевидно, что Р s фд(Р) X фв(^)> где фд и фв — гомо-
морфизмы проецирования на А и В соответственно. Это включение
на самом деле является равенством, как видно из сравнения поряд-
к?в |Р|, |фЛ(Р)| и |®ИР)|.
1.3,18. а) Пусть IG | «= р^т и |/7| = рМ, где m, t не делятся
на р. Тогда порядок р-подгруппы PHjH в G/Н не больше pl~s. Зна-
чит порядок ядра Р П Н естественного гомоморфизма Р -* PHjH не
меньше р\ что и требуется доказать, б) В качестве Р и Н взять,
например, различные силовские 2-подгруппы в S3 (см. задачу 1.3.3).
1.3.19, См. задачу 1.2.31.
1.3.20. Использовать теорему о том, что число различных силов-
ских р-подгрупп делит порядок группы и сравнимо с 1 по модулю р,
а также 1.3.12 и 1.2.5.
1.3.21. 5 силовских 2-подгрупп и одна силовская 5-подгруппа
(см. указание к задаче 1.3.20).
1.3.22. а) К силовской 3-подгруппе Н применить задачу 1.2.25,
б) Если силовская 5-подгруппа не является нормальной, то, как сле-
дует из теоремы о, числе силовских подгрупп, в группе должно быть
16 различных 5-подгрупп. Поскольку их попарные пересечения три-
виальны, в группе не больше, чем 80— 16-4=16 элементов, порядки
которых суть степени двойки, они могут образовать, лишь одну сй-
ловскую ^-подгруппу, которая, следовательно, нормальна, в). Реше-
ние аналогично б).
1:3.23. а) См. указание к задаче 1.3.20; б) рассмотреть все мат-
рицы'вида Н Ле где ft e Z, й а принадлежат подгруппе порядка
804
р в мультипликативной труп не’Поля гу^этаподгруппй-гч^адйияи^вг^
так«ак4<7— 1| делится на р).
1.4.1. Если Z и А + В, где А О, В 0, и m е Д, п ® В, то
тп & А П В » {0}. Аналогичное соображение применимо и к груп-
пе Q ....
1.4.2. В группах S3, А4, S4 нет нормальных подгрупп, пересекаю-
щихся по единице, а в Qe любая нетривиальная подгруппа содер-
<жит*—1; поэтому перечисленные группы неразложимы в прямое про-
изведение.
1.4.3. Если (а) —аддитивная циклическая группа порядка п =»
'» П1-П2, где (пь п2) — 1, то (а) (hta) 4- Oka) (указанные сла-
гаемые имеют соответственно порядки Пъ и ль и поэтому их пере-
сечение тривиально). <
1.4Д.а) ^»«+(в?); б) ZlSc-Z3 + Z4; в) ZM~Z34-Z^ + Z5
(укажите порождающие элементы слагаемых).
1.4.5. Следует из представления комплексны* чисел в тригоно-
метрической, форме. . • ,
1.4.6, Элемент из обратим тогда и только тогда, когда его
класс содержит нечетное число, поэтому порядок мультипликативной
группы кольца Z^ равен 2я-1. Элемент 3 = 1 + 2 (mod 2я) имеет по-
рядок 2л-2 и его циклическая подгруппа тривиально пересекается
с подгруппой f±l}; поэтому их произведение имеет порядок 2я*1,
т. е. совпадает с группой Z^. 4
1.4.7. а) Произведению порядков сомножителей; б) наимень-
шему, общему кратному порядков компонент.
1.4.8. Используя предыдущую задачу, показать, что при любом/
(Aj + Д2 +... + А/-1) П Ai да {0}.
ft . Г ft
1.4.9. Если,т»р1> ... prr, то в группе существуют элементы
порядков р*1, ...» РгГ (см., например, задачу 1.4.3). Пользуясь за-
дачами 1.4,8, 1.4.7, показать, что их сумма имеет порядок т. В груп-
пе S3 есть элементы порядка 2 и 3, но нет элемента порядка 6.
1.4.10. f±l}X<2>= {±1}Х<-2>.
1.4.11. Одно из слагаемых совпадает с А, другое порождается
суммой порождающего элемента группы Z с любым элементом груп-
пы А. Таким образом, будет |А| прямых разложений.
1.4.12. Каждый класс группы АХ. В является произведением
класса из А на класс из В.
1.4.13. Воспользоваться предыдущей задачей. 1.4.14. Если А/В^а
== <а + В>, то положить С = <а>. 1.4.15. G = А + Кег л. 1.4.16. Абе-
левость группы В существенна, так как образы групп Ai и А2 ком-
мутируют при любом гомоморфизме <р: Aj X А2-> В.
1.4.18. а), б), в) Z6; г) Ноги (Аь В) + Нош(А2, В); д) Hom (А, В0 +
+ Hom (А, В2); е) Z^, где d = (т, н); ж) Zn; з) (0); и) Z.
1.4.19. Гомоморфизму ф: Z->A сопоставить ф(1).
1.4.22. a) Z; б) Zn; в) Q; показать, что если ф: Q->Q эндомор-
физм, то ф(г) = Гф(1).
1.4.23. а) Отображение хн>пх имеет тривиальное ядро тогда и
только тогда, когда в группе нет элементов, порядок которых делит
л. kr
п, и если п = р{ ’ . • • рг —каноническое разложение на простые
множители,, это означает, что. примарные компоненты групп относи-
тельно простык чисел pi, ...»>г равны 0; б) сюръективность бтб-
305
бражения означает, что?'в группе уравнение nx = g разрешимо для
любого g.
1.4.24. Эндоморфизму <р поставить в соответствие матрицу так
же» как это делается для линейных операторов.
1.4.25. a) Zs; б) Q*; в) единичная при п = 1, при л = 2 цикли-
ческая порядка 2, ZaXZan-s при л >2 (см. 1.4.6); г) групп цело-
численных матриц с определителем ±1. Во всех случаях использо-
вать задачи 1.4.21 и 1.4.22.
1.4.26. а) (а)эо= (ai> 2 4- (а2) i5, где ах » 15а, а2 « 2а. При
любом автоморфизме <р( (aj)) — (ai), <р( (а2)) «= (а2), так как ai и
а2 имеют взаимно простые порядки. Остается заметить, что у {а})
имеется лишь тождественный автоморфизм.
б) Пусть Z «= <a>, Z2 = <b>; при любом автоморфизме cp<Z2)»
= Z2 и ф(Ь) = Ь. Кроме того, ср (а) может быть равен а, —а, а +
+ Ь, —а + Ь. Нетрудно проверить, что каждый из этих автоморфиз-
мов в квадрате дает тождественный автоморфизм.
1.4.27. В обозначениях ответа к предыдущей задаче ср (а) «=
= па + 8b, ср (b) » 6Ь, где ne Z, е, 6 = 0, 1. Не коммутируют эндо-
морфизмы фь ф2, где Ф1 (а) ш а, <Pi (Ь) — 0, ф2 (а) «« Ь, ф2 (Ь) = 0.
1.4.28. Всякая примарная компонента инвариантна относительно
любого эндоморфизма данной группы; воспользоваться задачей
1.4.18.
1.4.29. Индукция по числу порождающих элементов группы. Ес-
ли группа циклическая и равна <а> (операция — сложение), U — ее
ненулевая подгруппа, k — наименьшее положительное число такое,
что ka &U, то U порождается элементом ka. Действительно, если
та е U, разделим т с остатком на k: т » qk^r, 0 г < Ь. Тог-
да га «= та— q(ka} е U, следовательно, г = 0 и та = q(ka). Пред-
положим, что утверждение доказано для группы с п — 1 порождаю-
щим, G » <ab ..., an-i, ал>, U^G— подгруппа. Рассмотрим эле-
менты и = -f-... + тпап е U. Если тп «= 0 для всех и е Z7, то
V s {ab ..., Gn-i) и можно воспользоваться индуктивным предпо-
ложением. В противном случае пусть пРп наименьшее положитель-
ное число для всех элементов и е I/, т. е. существует u° е U такой,
что .. 4- т^ап. Очевидно, любое число mrt, входящее
в разложение любого и е U делится на нацело, скажем,
Тогда u — {ait ..., an^). Эта подгруппа, по
предположению индукции, порождается п — 1 элементом. Тогда V
порождается теми же элементами и и0.
1.4.30. а) Если ф — гомоморфизм группы G на себя, не являю-
щийся автоморфизмом, то Кег ф cz Кег ф2 cz ... — строго возрастаю-
щая цепочка подгрупп, и ее объединение не может порождаться ко-
нечным множеством элементов — каждый из них лежал бы в члене
цепочки с конечным номером. Остается воспользоваться предыдущей
задачей; б) Рассмотреть дифференцирование.
1.4.31. Если бы свободные абелевы группы рангов тип
п) были изоморфны, то ранг не был бы инвариантом свободной
абелевой группы, однако, его инвариантность может быть доказана
так же, как основная лемма о линейной зависимости. Можно исполь-
зовать и такое соображение: если G — свободная абелева группа
ранга п, то (6/2б| » 2я.
1.4.33. а) Есть; б) нет; в) нет.
1.4.34. (3, 27); показать, что (а)$ 4- {Ь)2у » (а + ЗЬ) + (Ь).
306
1.4.35. а) Нет: вторая группа циклическая, а первая — нет;
б) изоморфны; в) не изоморфны.
1.4.36. а) 3; б) 4.
1.4.38. Доказать, что если конечная абелева группа не является
циклической, то в ней найдется подгруппа типа (р, р) (см. 1.4.45).
Учесть, что уравнение хр » 1 имеет в поле не более р решений.
1.4.39. Использовать предыдущую задачу.
1.4.40. Если (т, п)« 1, то существуют и, v е Z такие, что
mu + nv » 1. Тогда {а) 4- (Ь)» {та + nb} 4- (pa — ub). Если (/», п)У= 1,
то в факторгруппе всей группы по (та + nb) имеется элемент ко-
нечного порядка т' а + nb, где т m'd, п = n'd, что невозможно,
если та + nb можно включить в базис.
1.4.41. Если У{ (/«1, ..., п) составляют базис, то через них
можно выразить Xi (i« 1.......п) с целочисленной матрицей В ко-
эффициентов. Тогда АВ — Е и det4 = ±l, где А = ||о//1|.
1.4.42. Использовать доказательство основной теоремы о конеч-
но порожденных абелевых группах, основанное на приведении мат-
рицы к диагональному виду элементарными преобразованиями строк
и столбцов.
1 4.43. a) Z2 4- Z2 4- 2*з, б) Z3 -f- Z4, в) Z2 4* 4“^з, г) Z2 4- ^4
д) Z4 Ч~ Z, е) Z2 -+• Z2 4- Z, ж) Z3, з) Z -f- Z, и) Z, к) {0}.
1.4.44. 3.
1.4.45. Если группа циклическая, но ее примарная компонента,
как и всякая подгруппа, циклическая. Использовать далее 1.4.8.
1.4.46. Учитывая 1.4.28 и 1.4.22, остается показать, что кольцо
эндоморфизмов конечной примарной нециклической группы неком-
мутативно. Не уменьшая общности, можно рассмотреть группу
а>рбЧ-0)рЬ В силу 1.4.18 любой эндоморфизм такой группы
имеет внд: ф(а) = s^a Ч- txb, <$(b) — s2a + t2bt где делится на
pk~l. Не коммутируют, например, автоморфизмы ф, ф такие, что
Ф(а) = а, ф(&) = 0, ф(а) » Ь, ф(б) = 0.
1.4.47. Отображение —?пх есть автоморфизм циклической груп-
пы (а) (имеет тривиальное ядро), поэтому при подходящем х будет
пх = а,
k
1.4.50. Делимость группы Q очевидна. Если == I, то суще-
ствует б такое, что бр = в. Если q р простое число, то (q, рк) = 1
и можно воспользоваться задачами 1.4.48 и 1.4.47.
1.4.51. В качестве g взять (единственное) решение уравне-
ния пх =« mg.
1.4.52. То, что сумма подгрупп А и В прямая, следует из усло-
вия; надо показать, что она равна G. Пусть существует элемент
g&AA- В. Подгруппа (g) имеет ненулевое пересечение с А 4- В —
иначе сумма 4 4- В 4- (g) прямая и вместо В можно было бы взять
В Ч- (g), что невозможно в силу максимальности В. Пусть ng
е А 4- В. Можно считать п простым числом (если бы было не так,
вместо g мы взяли бы g при некотором р | п). Итак, ng = а Аг
+ о е Д, Ь s В. Ввиду делимости А в ней есть элемент at такой,
что nai = а. Получаем, что ngt = bt где gi ~ g — а также не ле-
жит в А 4- В. По выбору подгруппы В будет А Л <gi, В) о. Зна-
чит, некоторый элемент a' is А можно выразить в виде a' =*-kg\+b'9
307
&В\ 0 < А < п. Так как (kt п) == 1, существуют a, v такие,
что ka 4~ пи = 1, значит, gi == kugi + nugi. Так как ngi js А4.В,
kg\ == а'-У'еЛ 4- В, то gi е А 4- В, Получили противоречие;
, 1.4.53. Пусть D — сумма всех делимых подгрупп. Нетрудно про- 1
верить, Что D делима. Пусть а е D, тогда а = ах 4- • * • + Ш, где
ai е А{ (i ~ 1, ..., ^—делимому слагаемому группы D. Если
па\ ® i = 1, ..., k, то п == а. Согласно предыдущей
задаче, вей группа разлагается в прямую сумму D 4- В. Еслй бы
в В нашлась делимая подгруппа, ее можно было бы присоединить к
D, так что такой подгруппы в В нет. Факторгруппа всей, группы по
D изоморфна В.
1.5.1. а) Рассмотреть элементы, сопряженные с транспозицией
(1 2) при помощи степеней данного цикла; б) элементы, из . Ап —
произведения четного числа транспозиций, и (ij)(j' k) — (ifk),
(i/) (kl) == (tkj) (ikl). (См. задачи 1.3.11 и 1.3.12 а) части 1.)
1.5.2 Невырожденная матрица приводится к единичному виду
элементарными преобразованиями над строками, т. е. умножением
слева на соответствующую элементарную матрицу;
4.5.5. а) {1, а), (5, а), {2, 3}, {4, 3}, где а —любой элемент из Z0
б) две различные транспозиции Или транспозиция и тройной цикл;
в) любые два не взаймно обратные элементы порядка 4; г) поворот
я 1
о квадрата на угол ±-£-и любая осевая симметрия т, а также, т.н
то; д) {a, b}t {а, а 4- Ь}, (Ь, а 4- &}.
1Л.6. Доказать, что наименьшее число порождающих груййы
равно наименьшему числу порождающих ее примарных компонент
(использовать основную теорему о конечных абелевых группах, го-
моморфизм группы на свою примарную компоненту, а также то, что
.сумма циклических групп взаимно простых порядков — циклическая
группа).
1.5.7. S3 X S3 <((12), (12 3)), ((1 2 3), (1 2)>.
1.5.8. Если gi, ..., gn — конечная система порождающих, ц,
h, • ... — Другая система порождающих, то элементы gi, ...
..., gn выражаются через вторую систему. В каждом таком выраже-
нии участвует лишь конечное число элементов второй системы, ска-
жем ft, ..., fm- Тогда .....fm порождают вею группу.
1.5.9. Нормальное замыкание элемента А порождается как под-
группа элементами = % | (ieZ), и поэтому изо-
морфна группе рациональных чисел вида относительно сложе-
ния. Эта подгруппа не конечно порождена.
1.5.10 . а) Использовать индукцию по числу возможных сокраще-
ний; б) Операция определена корректно в силу а.) Ассоциативность
очевидна. Единицей служит пустое слово. Словом, обратным и
е. —е„ —8.
и = Xj’ ... XQ служит Xi п ... 1 .
1.5.11. Гомоморфизм ф определяется так: если и=хе* ... x*nt то
ф М = g$. >.. gin • Это единственно возможное определение.
• 1 Л * * ’ ’ ’
*1.5.12. Всякое несократимоеi слово можно записать в виде и
•di= сию-*, где w имеет в начале и в конце не взаимно обратные бу»*
- 308
ВЫ.. Тогда ип = где, длина ДОП в п раз больше .длины до и во-
рбще d(un\ == d(u) 4~ (»-rA)d(w), -поэтому йп 1 (пустому слову).
1Д13. Будем считать, что коммутирующие элементы «, о несо-
кратимы Пусть d(u) ^d(v)t 1) Если в uv сокращается больше по-
ловииы слова и, то переходим.к словам u, uv (второе более корот-
кое,; чем о, и эти слова коммутируют, как и -« с и). ,2) Если bvU
сокращается больше половины слова и, то аналогично переходим к
рассмотрению слов u, vu. 3) Если в слове и-1? сокращается больше
половины первого сомножителя, переходим к рассмотрению а-4,
цт1»?г4) Если в слове ии~1 сокращается брльще половины второго
сомножителя,, переходим к и vu~\ 5) В оставшемся случае будет
й г=± И(«2, где d{U}) — d(«2), »я «г"1» > где. между сомножителями
нет сокращений. Из равенства uv = vu получаем «, v = uiu?
Так как в v'uiu2 сокращается не более, чем получаем ® и^1
и и да® 1. 6) Делая каждый раз замены типа 1)—4), мы в конце кон-
цов придем к случаю 5). Рассматривая предыдущий шаг, найдем
порождающий элемент, через который выражаются и и о.
1.5.14. В любом коммутаторе и в произведении коммутаторов
сумма показателей по каждому вхождению xt равна 0 при любом
I. Дусть в слове и сумма показателей при некотором xi равна k Q.
Согласно задаче 1.5.11 построим гомоморфизм свободной группы в
Z такой, что хп—>1, х/i—>0 '(/¥«0. Тогда и перейдет в k 0, в
следовательно, не лежит в коммутанте (см. 1.6.2 в)).
1.5.15. Пусть F— свободная группа со свободными порождаю-
щими хь ..., хп, А — свободная абёлева с базисом ад,- ..., ап.
Если гомоморфизм F->A продолжает отображения хр—>ai, ...
1514п*~~>ал (задача 1ЛШ)» то его ядром является коммутант
1.5.16. Воспользоваться задачей 1.5.14.
Г.5.17. Подгруппа индекса 2 нормальна в любой группе. Задача
сводится к описанию различных сюръективных гомоморфизмов сво-
бодной группы на группу (а) 2. Если xt, х?— свободные порождаю-
щие .свободной группы, то согласно 1.5.11 нужно по-разнОму. выбрать
образы xi, х2. Ответ: qpi(*i) = а,' <pt (х2) = 1; ф2 (Xi) = а, <р2 (х2) = а;
Фз (х1)= 1, ф3(х2) = а, т. е. имеется три подгруппы индекса 2.
1.5.18. Очевидно, при любом гомоморфизме группы F = (Xi, х2)
в ZR X Zrt переходят в единицу коммутант, а также х^, х”. Фактор-
группа по подгруппе ДО, порожденной коммутантом и элементами
х", х" изоморфна ZnXZn. Поэтому N будет ядром любого сюръ-
ективного гомоморфизма F Zn X Zrt.
1.5.19. а) 16; б) 36; воспользоваться 1.5.11.
1,5.20. Согласно задаче 1.5.11, построим гомоморфизм <р свобод-
ной группы F со свободными порождающими хь ..., хп в Я.такой,
что. ф(х<) = hi, i=l, 2, ..., п. При этом гомоморфизме,наимень-
шая нормальная подгруппа R, содержащая слова Ri(Xi, ..., хп)9
1&1 перейдет в единицу. Если М = Кег ф, то Im ф F/N с*
&(F/R)/(N/R).
1.5.22. Доказать, что каждый элемент выражается в виде а№,
О i <2, 0 < j <7. 1.5.23. Вывести из определяющих соотноше-
ний, что порядок группы 6, затем воспользоваться задачей 1.5.20.
1.5.24. Вывести из определяющих соотношений, что порядок группы
2п, затем воспользоваться задачей 1.5.20. 1.5.25. Вывести из оп-
ределяющих соотношений, что порядок группы < 8, затем восполь-
809
зеваться задачей 1.5.20. 1.5.26. Согласно задаче 1.5.20 рассмотреть
гомоморфизм этой группы на группу указанных матриц, при кото*
ром
(квадрат второй матрицы равен £); воспользоваться тем, что под-
группа, порожденная %1Х2, нормальна.
1.5.27. См. указание к задаче 1.5.26.
1.5.28. Каждый смежный класс по Н имею вид glH, i е Z, по-
этому любой элемент группы имеет вид glht h&H.
1.5.29. Пусть {h) — бесконечная циклическая нормальная под-
группа, порожденная Л; факторгруппа G/Я — бесконечная цикличе-
ская, порожденная gH, По предыдущей задаче G «= (я) (Л). Так
как Н нормальна, ghg-' е Я и отображение х н-> gxg~l (х е Я)—
автоморфизм группы Я. Поэтому ghg~\ как и h, — порождающий
элемент группы Я. Значит, ghg~l равен h или Л-1. Поэтому в груп-
пе выполнено одно из двух соотношений: ghg“l = Л, ghg~l = hr*
В первом случае группа свободная абелева и задается порождаю-
щими Xi, х2 и определяющим соотношением х1х2х1-1«х2. Рассмот-
рим группу с порождающими хь х2 и определяющим соотношением
XjXjXj-1 = х^1. В этой группе циклическая подгруппа, порожден-
ная х2 нормальна (видно из определяющего соотношения), фактор-
группа по ней — бесконечная циклическая (рассмотреть гомомор-
физм в Z такой, что xiF-> l,x2i—>0). Элемент х2 также имеет бес-
конечный порядок — для этого рассмотрим гомоморфизм нашей
jzfcl nil 1-1 Ой
группы в группу матриц видай Q Я, при котором Xi I—> || Л,
J| (см. задачу 1.5.20).
1.5.30. Наименьшая нормальная подгруппа, порожденная х, изо-
морфна аддитивной группе чисел вида -~т~, т, k е Z. Рассмотреть
2е
гомоморфизм в группу матриц второго порядка, при котором
Ж1Н^|о 11 **h->|o 1 | <сРавнить с заДачей 1-5.0)).
I_L oi 11
1.6.1. а) а I б) I с ex z !; в) <[(//),
I 0 аII ||о 1 |
(jk) ] = (Ikj); в остальных случаях коммутатор равен единице.
1.6.2. a) g[a, &]#-1 = ]£ag~l, gbg-']; б) [aG, bG'] ® [a,b]G'=
— G'\ в) если [аЯ, bN] = N, to fa, ft] N = N и [a, 5] e N.
1.6.3. <p([a, 5]) « [(p(a), ф(Ь)]. 1.6*4. Если в: G->G/G'— есте-
ственный гомоморфизм и ф: GIGf -> А — гомоморфизм в абелеву
группу Л, то фв: Я->Л — также гомоморфизм. Биективность этого
соответствия следует из задачи 1.6.2 в) и того, что в сюръективен.
1.6.5. По теореме об определителе произведения |ЛВЛ-1В-1| = 1.
1.6.6. Вытекает из того, что I(ai, hi), (а* b2)] = ([ab a2], [bt, b2]).
1.6.7. а) Аэ, 2; б) {е, (12)(34), (13)(24), (14)(2 3)}, 3; в) А«, 2;
г) {±1}, 4.
1.6.8. а) Art; коммутатор — четная перестановка и согласно за-
даче 1.6.1 в) коммутант содержит все тройные циклы; А» поро-
310
ждается тройными циклами (1.5.1); б) если элемент а е Dn есть
поворот на угол 2л/га, то = (а), если п нечетно, и D' = {а2}, еслй
п четно.
1.6.10. а) Индукция с применением предыдущей задачи; б) Ин-
дукция с применением 1.6.2.
1.6.11. а) Следует из того, что коммутант подгруппы содер-
жится в коммутанте группы; б) следует из 1.6.З.; в) индукция с при-
менением 1.6.6; г) так как — <е>, то G^^A и = <е>,
где Л <*> = (е).
1.6J2. См. задачи 1.6.7 и 1.6.8. 1.6.14. Следует из 1.6.13в), так
как коммутант этой группы содержится в UTrt(K).
1.6.15. Если ряд, указанынй в задаче, имеется, то = <е>
в силу задачи 1.6.2в). Если группа разрешима, то факторы ее ряда
коммутантов GW/GO+d абелевы, поэтому между G™ и можно
вставить несколько подгрупп так, что получается ряд с нужными
свойствами.
1.6.16. Согласно задаче 1.2.12 центр конечной р-группы G не-
тривиален. Пусть А — подгруппа порядка р, лежащая в центре.
Тогда А нормальна в G, Завершается доказательство индукцией с
переходом к G/4(—-тоже р-группа) и использованием 1.6.12.
1.6.17. Если q > р, го силовская ^-подгруппа нормальна в груп-
пе (см. указание к задаче 1.3.20).
1.6.18. а) Силовская 5-подгруппа нормальна, так как индекс ее
нормализатора — делитель числа 4 и сравним с 1 по модулю 5.
б) Если в группе порядка 12 силовская 3-подгруппа не нормальна,
то таких подгрупп по крайней мере 4 и элементов порядка 3 не ме-
нее 8. Но по теореме Силова существует подгруппа порядка 4 и тог-
да она, в силу сказанного, единственна, в) Если р > q, то число т
подгрупп порядка р2 сравнимо с 1 по модулю р только при т = 1.
Если р < q, то число Q-подгрупп сравнимо с 1 по модулю q и делит
р или р2. Так как р оно делить не может, оно равно р2. Значит,
элементов порядка q будет pt(q—1). Однако подгруппа р2 суще-
ствует, поэтому она единственна (p2q == j?(q—1) 4. р2). г) Силов-
ская 7-подгруппа нормальна, д) Силовская 5-подгруппа нормальна,
е) Комбинируются соображения задач 1.6.16, 1.6.18 в), а также то,
что если некоторая силовская подгруппа имеет индекс нормализа-
тора k, то группа представляется подстановками на множестве си-
ловских подгрупп, т. е. на k символах.
1.6.20. Использовать предыдущую задачу и то, что SLn(R) по-
рождается трансвекциями (1.5.3). 1.6.21. а) Так как порядок q—1
мультипликативной группы поля Zq делится на р, то таких чисел г
существует р—1 (см. 1.4.38). б) Группа, состоящая из матриц
йг* х II
|0 1 Г где г число из а)» рассматриваемое по модулю q, xGZq
(0 i < р), некоммутативна — достаточно рассмотреть матрицы
|о ?| и |о 1|‘ ^та группа имеет порядок pq. Пусть
G — неабелева группа порядка pq, А = <а> — ее силовская
подгруппа порядка q> В ~ (&) — силовская подгруппа порядка р.
Тогда по теореме Силова (см. также задачу 1.6.17) А нормальна
в G. Поэтому bab~x — а5. Далее Ь1аЬ~* = asi, в частности, bpab~p
= а == aspt, поэтому sp = 1 (mod q) и s 1 (mod q), так как G не-
абелева. Меняя, если нужно, элемент b на его k-ю степень (1 <
k < р), мы можем s заменить на любое число, обладающее ана-
311
логичными свойствами. Поэтому есдщ иеабедевыгрупны ..
порядка до, в них можно;выбрать элементы сщ bi (i == 1, 2),. анало-
гичные а и bt обладающие свойствами: а] « е, Ь^ = е, = аг^
где 'г* ии j (mod"?)» г'Ф l (mod^). Изоморфизм между такими груп-
пами устанавливается соответствием ф= где 0^5 < qy
Q^t<p.
1.6.22. б) Произведение этих перестановок в указанном порядке
есть цикл длины 7. Согласно а) факторгруппа этой группы по ком-
мутанту тривиальна, поэтому группа совпадает ср своим коммутан-
том; в) Данная группа гомоморфно отображается на группу из
б). согласно задаче 1.5.20 и поэтому неразрешима.
1.6.23. Неразрешима, если система свободных порождающих со-
стоит более, чем из одного элемента, так как в этом случае нет
нетривиальных абелёвых нормальных подгрупп. См. также 1.6.116),
' 2.1.3. а) ль->0; б) ль-пь^О; в)л-*0; г) Любой гомомор*
фиэм имеет вид hi—>ле/, где ei — идемпотент кольца матриц; всего
8! гомоморфизмов, соответствующих идемпотентам О, £, £ц,
i'll + ftb Яи + £22, ^2i + ^22.2.1.4. а) л i—>ла, где а —
произвольный фиксированный элемент из Q; б) лн-»0, лн-^л
2.1.5. Доказать, что ядро гомоморфизма или равно нулю, или сов-
падает с полем. 2.1.7. Доказать, что для всякого л» 1, ..., $
f) Ц=*А\ вывести отсюда сюръективность отображения f.
2,1.8. Использовать гомоморфизм f(x)i—>(f(l), /(—!)). 2.1.9. Рас-
смотреть ядро данного гомоморфизма и его последовательных сте-
пеней.
2.1.10. а) Предварительно показать, что фактормодуль МЯ(К)
по максимальному идеалу I изоморфен идеалу Л, состоящему из
всех матрищ вне Z-го столбца которых все элементы —нули, если
б) Рассмотреть гомоморфизм Л«—>Ах модуля МП(К) в не«
приводимый модуль М, где х 0 — фиксированный элемент М. Ис-
пользовать теорему о гомоморфизмах и а).
2.1.11. а) Нет; г) все кватернионы X\i + x2j + x$k с условием
xj + xl + xl^l.
2.1.12. а) Элементы вида (z, 0) и (0, z); б) функции, обращаю-
щиеся в 0 хотя бы в одной точке.
2.1.13. б), в) Рассмотреть линейное отображение <ра: Л->Л, за-
даваемое формулой фа (*) в ах. 2.1.14. Использовать существование
аннулирующего многочлена у каждого элемента алгебры.
2.1.15. а) СфС, С [х]/(хя); б) кроме алгебр в а), еще трц
алгебры: Се ф Се, где е2 » 0; Се ф Cf, где е2 ® ef « fe = 0, f2 = ei
Ce®Cft где e2 = 0, f2 - f. 2.1.16. a) R®R, C, R{x]/(x2); б) кроме
алгебр в a), Re ф Re, где e2 = 0; Re ф Rf, где e2 = 0, f2 = f, и век-
торное пространство Re ф Rf, где e2 « ef « fe » 0, f2 = e.
2.1.19. а) Да; б) нет: 2 + 3 = 5. 2.1.20. a) 0, L и подалгебра (e);
6) 0, Ly (1 + e) и (1 — e). Всякий идеал, отличный От 0 и L является
одномерным подпространством в L. 2.1.21. а) 0, (2), (3), Ze; в) 9,
{0, х + 1 + {х2 + 1)}, все кольцо.
2.1.22. Всякий идеал имеет вид JJ /Q, где Т — некоторое под-
i е Т
множество в {1, 2, ..., п).
312
t
2.1.23. Всякая подалгебра имеет вид Пд> где {1, ..., «}«
~ ' /«Г*
t • . . _ . , . ......_ . . . „
» U ~ некоторое разбиение нА/ —диагональ . в прямом
J-i ' > • - *
произведении Ц Ki* Для подалгебры рассмотреть ее пересечения
• /е77 . . '
с максимальными идеалами алгебры А и канонические гомоморфиз-
мына компоненты алгебры Л.
2,1.24. а) Представить единицу в виде 1 «= ai + где а\ & Л,
02 е /i; б) По индукции свести к случаю п ?== 2. Для каждого I >
>2 можно найти элементы ai<sli и bj e /j такие, чтЬ 1 —
П п •' ' }п
Тогда I s Ц (<Ч + bi) 6 7i 4- IJ Ц. Следовательно, Л + И Ъ А
i-1 i-2 - i“2
и согласно задаче 2.1.24а) можно найти ss 1 (mod/i) и
п \
Ух в б I mod JJ Ц ). Аналогично найдутся. yz,. .. / уп <в Л такие,
\ i-2/
что у[ ss 1 (mod//) и У/ 0 (mod/0 при /. Тогда элемент х ч=
» х\У\ +... + хпул удовлетворяет требованиям задачи.
2.1.25. Все суммы вида Л^ ф ... ф Л^ , где: 1 Л < ...
... доказать, что если компонента идеала / в слагаемом
Л/ отлична от нуля, то она совпадает с Л/ и с 1 П Л/.
2.1.28. Каждый идеал состоит из всех матриц вида Ц ^1 ^|, где
элементы а* составляют в Z идеал h (Z?= 1, 2, 3), причем Z]S/2
и Ц г /2.
2.1.30. 0; вся алгебра; все матрицы с нулевым первым (вто-
рым) столбцом; все матрицы с одинаковыми столбцами.
\ 2Л.31. г) Например, Ез?== у|} Ф 2$|}’ ГДе а* Ь*~лю~
бые элементы поля.
2.1.32. М2;(К)
Д) ф1
=₽/.фл .
2.1.33. О, Е и все матрицы вида гДе
/, st t -— любые элементы йоля, для которых ki + si 0. Каждый
левый идеал, Отличный от М2(К), состоит из всех матриц вида
Й fl/ll .14. ™ Ж
IftZ 5/ । : где * и * фиксированы. Использовать жорданову форму
идемпотентной матрицы.
2.1.34. Пусть Л ф 0 — элемент центра Мл(/>). Из соотношения
АВ в= ВЛ, справеливого для всех диагональных матриц В =
=ч diag(di dn), находим dta^ as aijdh откуда ац = 0 при i ф j.
Теперь, считая А, диагональной, а В — произвольной матрицей, та-
ким же образом находим Л « ЛЕ, X е Z(D).
2.1.35. б) Аннулятор порождается идемпотентом 1—е, где е —
порождающий элемент данного идеала. 2.1.36. Если идеалы 7i, ...
..., In порождаются попарно ортогональными идемпотентами ...
.,., ел, то /1 +... 4-/л порождается идемпотентом ei • + вл*
313
2.1.38. a) (p), где p—простое число; б) (р(х)), где р(х) —
многочлен первой степени; в) (р(х)), где р(х) — многочлен первой
степени или многочлен второй степени, не имеющий действительных
корней; 2.1.40. Применить задачу 2.1.13 к факторалгебре 4//.
2.1.41. б) Если нет точки, где все функции обращаются в 0, то
для каждой точки а е [0, 1] найдется такая функция fa, что
fa(а) = 0. В силу непрерывности функция (а) строго положи-
тельна в некоторой окрестности (а — Ъа, а + 8а) точки а (и неот-
рицательна в остальных точках). Поскольку из каждого покрытия
отрезка интервалами можно выбрать конечное покрытие, найдется
конечное число функций fb ..., fk из идеала, таких, что fj (х) + ...
...+Pk(x)> О для любого х.
2.1.42. Доказать, что I + I — левый идеал в R.
2.1.43. Рассмотреть идеал, порожденный элементом а 0. Коль-
цо с нулевым умножением, аддитивная группа которого цикличе-
ская простого порядка, не имеет нетривиальных идеалов, но полем
не является.
2.1.44. Доказать, что полные правые делители нуля (т. е. эле-
менты а е R, для которых Ra == 0) образуют левый идеал и потому
не могут быть отличными от нуля. Если же Ьа # 0, то Ra = R. Вы-
вести отсюда, что в R вообще нет делителей нуля и что отличные
от нуля элементы кольца образуют группу по умножению.
2.1.45. Пусть R э а Ф 0. Имеем Ra Ra2 Э ..., откуда Rak =
— Rak+* прн некотором k. Отсюда а* = bak+lt I — ba.
2.1.46. Доказать, что любой идеал I =5^= 0 порождается своим
элементом а =£ 0, имеющим наименьший модуль (предварительно по-
казав, что в кольце целых гауссовых чисел возможно евклидово
деление с нормой |х|).
2.1.47. Пусть R^A^Q и I — идеал в А. Доказать, что / =
= fro), где го порождает идеал кольца, состоящий из числителей
всех элементов из /.
2.1.48. Рассмотреть идеалы а) (х, 2), б) (х, у) (см. также за-
дачу 2.1.49).
2.1.49. Пусть R [х] — кольцо главных идеалов. Для 0 #= a s R
рассматриваем идеал Z = (x, а} кольца Я [х). Так как а е /?, то
/=4fo)» где /о ~ константа, т. е. /»R [х]. Отсюда 1=»п(х)х +
+ о(х) а, а и (0) = 1, так что R — поле; заметить, что F (х, у] &
^[х][У1.
2.1.51. Рассмотреть ядро гомоморфизма Zmn~> Zm® Zn, при
котором / + mnZ ।—> (I + mZ, / + raZ).
2.1.52. При л, не делящихся на квадрат простого числа; исполь-
зовать задачу 2.1.51. 2.1.53. Доказать, что идеал, состоящий из всех
матриц вида лежит в любом ненулевом идеале этой алгебры.
2.1.54. Если R — Ц © ... © 1п — разложение кольца R в прямую
сумму простых колец и е — идемпотент в Я, то е == ei + •. • +ert, где
ei^lt — идемпотенты. Доказать, что в h число идемпотентов ко-
нечно (использовать задачу 2.1.44). Затем использовать задачу
2.1.59.
2.1.55. Если А » /1 ф ... Ф/д — вполне приводимая алгебра
(Ik — простые алгебры), то Цф ... ф/fc-i©ffe+i © •• • Ф
максимальный идеал (ft == 1, 2, ..., п). 2.1.56. Использовать за-
дачу 2.1.43.
2.1.57. Конечные циклические группы, порядки которых не де-
лятся на квадрат. Циклическая группа не содержит собственных
314
подгрупп тогда и только тогда, когда ее порядок — простое число;
использовать разложение циклической группы в прямую сумму при-
мирных циклических групп.
2.1.58. Пусть Я = Zi Ф... Ф Zn—• разложение кольца R в пря-
мую сумму минимальных левых идеалов. Если то существует
и тогда = Если то существует
/Ла 9= ® Z, и Ik2 П (Zkt ® 0 ** °’ В конце концов получаем
/й|®... ©?ks®1 в (п₽и некотором з < «).
2.1.59. а) Если Я *» Z> Ф... ФI* — разложение кольца в прямую
сумму минимальных левых идеалов и I — левый идеал в R, то Я «
= Л Ф ... Ф 1ц ФI при соответствующей нумерации слагаемых (см.
указание к задаче 2.1.58) и I&RI(It Ф... ©Z*) са /А+1 Ф ... Ф Zn;
б) R = I®J (задача 2.1.58), 1 «= е> + е?, где e\^It e2eZ; до-
казать, что ей — идемпотенты и что I =» Re^ 2.1.60. Рассмотреть
циклическую группу простого порядка с нулевым умножением. См.
указание к задачам 2.1.596) и 2.1.44. 2.1.61. См. задачу 2.1.58.
2.1.63. См. задачу 2.1.43. 2.1.65. См. задачу 2.1.51. 2.1.66. Рассмо-
треть гомоморфизмы a) f(x) ь-> f(a), б) f(x) н-> f(0, в) f (х)ь->
2.1.67. Поле получается при fi(x) — х2 + х+1, изоморфные
факторкольца — при fi(x) = х2 и fa(x) »х»+1. Рассмотреть таб-
лицы умножения для указанных факторколец. 2.1.68. Нет: в первом
факторкольце есть ненулевой элемент, куб которого равен нулю, а
во втором факторкольце элемента с таким свойством нет. 2.1.69. Нет.
2.1.70. При умножении на элемент х — аеГ[х| любой элемент пер-
вого модуля обращается в 0, а во втором модуле это не так; оба
факторкольца изоморфны F.
2.1.71. Пусть ((х — а)(х— 5)) «== 1и {(х — с)(х— d)) =»/2. За-
писать произвольный элемент из в виде а(х— а) + Щх —
— Ь) + Ii и поставить ему в соответствие элемент fax (х — с) +
+ (х — d) + /,е= F [х}/1г, где k = •
2.1.72. Ai и А3, Л2 и Аб. 2.1.73. а) Да; б) нет. 2.1.74. а) Да;
б) нет. 2.1.75. Искать обратный элемент к f методом неопределен-
ных коэффициентов. 2.1.76. Воспользоваться задачей 2.1.7. 2.1.77. Zj
аннулирует R/Ii, а значит, и /?/Z2, откуда Zi s Z2.
2.1.78. а) Найти делители нуля; б) доказать, что каждый нену-
левой элемент имеет обратный: в) доказать, что данное кольцо не со-
держит делителей нуля, если «-—простое число, не равное сумме двух
квадратов, и что конечное ненулевое коммутативное кольцо без де-
лителей нуля является полем. Использовать указание к задаче 2.1.46.
2.1.79. Рассмотреть отображение aoxfe + ... + ь—> aQx^ + ...
... + а*, где + (п) (i = 0, ..., k).
2.1.80. /Л 2.1.81. Линейные оболочки наборов векторов ...
, где 1 < /.<...< L <п. Доказать, что если подмодуль А
содержит вектор + • • • где at, * • • ais т0 • • •
..е{ е А
2.1.82. где До — фиксированный,/г — произвольный эле-
мент из R, дает изоморфизм м-модуля Д с левым идеалом I =» Rk*
315
Обратно наличие изоморфизма Я-модуля Я с левым идеалом I s ц
означает, что I <=*= Rk^ где kv— образ 1 при этом изоморфизме, -л.
2.1.83. F [х] « F [х] о 1 ф F [JST] *х ф ... ф F\x] о хг~\ причем
1 [х] ы F (х] (изоморфизм F [х]-модулей).
2.1.84. Доказать, что ' йсякий собственный подмодуль является
подпространством над полем F, инвариантным Относительно Диффе-
ренцирования, и поэтому совпадает с F[x]rt.
2.1.85. а) Ввести структуру кольца на прямой сумме S«=<R$
Ф,2;б),если Л.т алгебра над полем К, то превратить в алгебру
над д прямую сумму $ == /? ф К; в.) сопоставить каждому элементу
а/данной алгебры Д линейный оператор фа на векторном простран-
стве А над К, при котором <рл(х) = ах; г) использовать б).
2.2.1. Индукцией по s свести к случаю s =« 1; в этом случае по-
строить базис А над К, исходя из базисов А над Ki и Ki над %.
2.3.6. Применить задачу 2.2.4. 2.2.7. Индукцией по s свести к случаю
s = 2; в этом случае применить задачи 2;2.1, 2.2.4, 2.2.5. 2.2.8. Если
многочлен р(х) неприводим, то он имеет корень в К[х]/<р(х)}.
fc.2.9. а) Применить индукцию по степени f(x), используя задачу
2.2,8; б) Применить а) к многочлену fi(x). ,.^(х).
, 2.2.10,. Рассмотреть степени расширений в башне полей /(с:
с: К(а) с: Я(9, т)), где г|— корень многочлена h(x)*—a в некото-
ром расширении поля L и воспользоваться задачами 2.2.1. 2.2.2.
2.2.11. а)? б) Сравнить разложение многочлена хп — а на ли-
нейные множители в его доле разложения с возможным разложе-
нием этого многочлена над полем К. в) Например, многочлен
х4 + 1 над полем вещественных чисел.
2.2.12. f(x) = JJ (х — х0 — i), где F^ —поле из р элементов,
/sFp
содержащиеся в К. Доказать, что если в некотором расширении L
поля К многочлен f (x) имеет корень, то f(x) разлагается над L в
произведение линейных множителей, и вывести отсюда, что над К
вер неприводимые множители многочлена f (х) имеют одинаковую
Степень
2.2.13. а) 1; б) 2; в) 2; г) 6; д) 8; е) р—1; ж) <р(п); зГр(р,-
—1); и) 2Г, где г —ранг матрицы |]&/||, i= 1, з, / = 0, ,I
над полем вычетов по модулю 2 и — класс вычетов по модулю 2
.показателя кц в разложении ^ = (—1)^® JJ pfr числа ai в про*
доведение степеней, различных простых чисел рь , . ., Pt (допускается,
что некоторые кц = 0). В ж) показать, что если £ — первообразный
корень л-й степени из 1 и р^(х) — его минимальный многочлен над
Q, то для всякого простого р|л, t,p также является корнем ц* (х); в
противном случае, если хп— 1 = P^(x)/i(x), £ является корнем мно-
гочлена h(xP); привести последнее в противоречие с тем, что Xя—1
йё имеет кратных множителей над полем вычетов по модулю р; в
з) воспользоваться задачей 2,2.11; если в и) К — искомое поле, рас-
смотреть К*2 П Q* и применить индукцию по s.
2.2.14. F(Xt Y)/F(Xp, Р), где F —поле характеристики р. Если
поле К конечно, воспользоваться задачей 5.3.32 из части 1. Пусть
К бесконечно и L = К(аь ..., as). Индукцией по s вопрос о сущест-
вовании примитивного элемента сводится к случаю s «=> 2; в этом
случае показать, что при некотором X е К элемент ai + tag не со-
держится ни в каком собственном промежуточном поле. Обратно*
318
если L ₽ К (в), то показать, что всякое промежуточное поле поро-
ждается над К коэффициентами некоторого делйтеля из £[х] мини-
мального многочлена (х) элемента а над /С
2.2.15. Выбрать базис L(x) над К(х),состоящий из элементов/,.
2.2.17 Индукцией по i доказать, что при надлежа-
щей нумерации элементов kv - bn система ар ..., а., Ьп
является максимальной системой алгебраически независимых над К
элементов в £.
2.2.18. а) Показать, Что число максимальных идеалов не превос-
ходит (4:д). Далее показать, что если элемент а&А не является
нильпотентным, то идеал,1 максимальный в множестве идеалов, не пе-
ресекающихся с {d, a2t является максимальным идеалом в Л;
о) использовать а) и 2.1.39. Для получения единственности в д) по-
‘ • =' [ t ' Г
казать, что во всяком представлении Лге4= Д£/ поля £/ изо-
/«1
морфны факторалгёбрам по всевозможным максимальным идеалам
в Л; е) Использовать задачу 2.1.39.
2.2.20. Применить индукцию пб л. Записав соотношение линей-
ной зависимости для fi получить противоречие, исходя йз того, что
fi — гомоморфизмы алгебры.
2.2.23. а) Всякий К-гомоморфизм Л->В единственным образом
продолжается до /.-гомоморфизма Л1->В; б) Использовать а).
2.2.24. ВзятЬ в качестве Е любую компоненту алгебры Fl.
2.2.25. Для доказательства б) => а) Заметить, что если Li —
любая компонента AL и at, ..., aa — образы ait ..., as в Li, то Li =»
= L(ai, ..., a«); для получения импликации а) => в) применить
к подалгебре К [а] задачи 2.2.22 а), 2.2.19 и 2.2.18 е).
,2.2.26. Применить задачу 2.2.25 и использовать далее задачу
2.1.39 (или 2,1.23).
2.2.27. б), Заметить, что каждое из полей £д, £2 является рас-
щепляющим для другого; .получить отсюда К-вложения £i—>£2и
£2 £>. 2.2.28. Использовать задачи 2.2.27 в) и 2.2.22. 2.2.29. .а) Вы-
брать расщепляющее поле для А, содержащее поле £, и применить
задачу 2.2.22; б) применить а) ,и задачу 2.2.23 б). 2.2.30. Воспользо-
ваться (задачами 2.2.25 и 2.2.29,6). 2.2.31,. б) Необязательно: напри-
мер, QczQ(V2’)czq(V2). 2.2.32. Для получения двух послед-
них соотношений общий случай свести к двум частным, когда а^К
и £ = К (а). В первом случае использовать любой базис в L/F, свя-
занный с башней полей, а во втором в L/К использовать базис из
степеней а. Для получения первого соотношения заметить, что
V.LIK х) = NZ. (х)/К (х) (а ~
2.2.33. Использовать задачу 2.2.32. 2.2.34. Если Тг£/^ (а) У=0
для некоторого ае£, то (х, ax~J)i—> Тг£^ (а) 0 для всякого
х 0. из £. 2.2.35. Каждое из условий а) — в) равносильно тому,
что для расщепляющего ,поля £ ALc* П£. Невырожденность формы
следа на А и Al означает одно и то же. Нильпотентные элементы
всегда содержатся в, ядре формы следа.
. 2.2.37. Использовать задачи 2.2.22 и 2.1.22. 2.2.38. Воспользо-
ваться тем, что Тгл^(а) = Тгд£/£ (а), и аналогично в других.слу-
чаях. 2.239. а) Воспользоваться задачами 2.2.14, 2;2.22, 2.1.23; б)
примитивный' элемент, а примитивным элементом не является.
2i2k49. Использовать задачу 2*2.22в). 2.2.41. Воспользоваться задача-
81?
ми 2.2.34 й 2.2.35 г). 2.2.42. в) Многочлен хр — t над полем рацио-
нальных функций л (0» где К — произвольное поле характеристики
р =^= 0. 2.2.43. Использовать задачу 2.2.19. 2.2.44. Для доказательства
обратного утверждения воспользоваться задачей 2.2.41. 2.2.45. Пусть
L— расщепляющее поле для многочлена f(x). Показать, что Вьы.
п
~ JJ Ар где A/~Al, n = degf. 2.2.46. Для доказательства им-
пликации в) => а) представить А как факторалгебру алгебры
.., xs]/(P'al (xi)> •••» ^a5(xs)) и воспользоваться задачей
2.2.45. 2.2.47. а) Использовать задачи 2.2.46, 2.2.45, 2.2.42, 2.2.11.
2.2.48. Рассмотреть |хв (х) для всякого элемента а е L. 2.2.50. Вос-
пользоваться задачами 2.2.48 и 2.2.49. 2.2.51. б) Используя зада-
чу 2.2.26, доказать, что для всякого расщепляющего поля Е рас-
ширения L/К число различных К-вложений равно (К»: К),
2.2.52. а) Подсчитать число различных Л-вложений поля F в какое-
либо расщепляющее поле расширения F/K. 2.2.53. Рассмотреть баш-
ню полей К с: К» cz L и применить задачи 2.2.31 и 2.2.38. 2.2.54. а)
Применить задачу 2.2.30 и 2.2.35; б) применить задачу 2.2.27.
2.2.55. а) Группа G(C/R) состоит из тождественного автоморфизма
и комплексного сопряжения; б), в) l<i\ г) Z2 © Z2. 2.2.56. а) {е};
б) Sa; в) St; г) $а; д) В4; е) Zp-i; ж) Zn; з) полупрямое произве-
дение группы 2Р и ее группы автоморфизмов; и) прямое произведе-
ние г экземпляров группы Zs (см. ответ к задаче 2.2.13).
2.2.57. Всякий элемент a&L является корнем сепарабельного
многочлена над К степени |G|, а именно, f(x) = JJ (х — xi).
&Ga
Используя существование примитивного элемента у всякого (конеч-
ного) сепарабельного расширения, доказать, что r(L : К) ® | G |.
2.2.58. Рассмотреть действие Sft на поле рациональных функций
K(xi.......хп) и применить задачу 2.2.57. 2.2.59. Вложить группу G
в симметрическую группу и применить задачу 2.2.57. 2.2.60. Приме-
нить задачу 2.2.57. 2.2.61. Сначала доказать, что всякое отличное от
R расширение Галуа L/R имеет степень, равную степени числа 2.
Затем, используя разрешимость конечной 2-группы и несуществова-
ние расширений L'/R степени 2, показать, что L = С.
2.2.63. Рассмотреть действие элементов группы G на
2.2.64. Используя линейную независимость автоморфизмов (задача
2.2.21), доказать, что L является циклическим модулем над /С[Ф1*
2.2.66. Группа Sn, действующая посредством перестановок на ком*
понентах алгебры А = ILKi(Ki^K). Использовать, что Kt являются
единственными минимальными идеалами в А (см. задачу 2.1.22).
2.2.67. Принять во внимание, что для х е L т (х) == о (тх) еа =
о
= У*, о (х) т (еа). 2.2.68. Использовать задачу 2.2.20 или интерпрети-
а
ровать |1фДу/)|| как матрицу перехода к новому базису, вложив
А в Ад.
* 2.2.69. Если поле К конечно, см. задачу 2.2.64. Пусть К беско-
нечно, ..., (оя — некоторый базис L над К и ш = ai<oi + ...
... + fln<0n — произвольный элемент из L (если ai е К) или из Lt
(если щ ё L). Условие из задачи 2.2.68, обеспечивающее, что эле-
менты {о((о), jgG} образуют базис в L (соответственно в Ll), оз-
начает, что для некоторого многочлена f(xIt хя) еД[хь ..., хя]
318
его значение f(ai, ..., ап) Ф 0. Далее использовать существование
нормального базиса в Ll (задача 2.2.67).
2.2.70. Если характеристика поля К 2, то К (хь ...» хп) Л «= '
= К (<У|, ...» <гп, Д), где Oi, ..ап — элементарные симметрические
многочлены от хи ..., ха, Д я Ц (х. _ ХЛ. В случае произвольной
/>*
д
характеристики имеет место равенство К (хр ...» хп) п = К (ор «.♦
W У = £ <r(П ««“‘Y
М—1 ✓
2.2.71. С (х", х""“2х2, ...» хп). Использовать задачу 2.2.60.
п
2.2.72. С (#", у"-2^ • • •> У\Уп-ъ У Л где ^ == Z 8-‘*хэ в —
ы
первообразный корень степени п из единицы. В пространстве линей-
ных форм от х>, ..., хл выбрать базис, состоящий из собственных
векторов оператора о; затем использовать задачу 2.2.71.
2.2.73. Группа Zn. Поле разложения L многочлена хп — а над
К имеет вид L К (0), где 0 — некоторый корень многочлена
Xя — а в £. Группа G(L/K) порождается автоморфизмом о, при ко-
тором о(0) = е0, где в — некоторый порождающий элемент (цикли-
ческой) группы корней степени п из 1. Использовать задачу 2.2.11.
2.2.74. Пусть © — порождающий элемент группы корней степени
п
п из 1 в К; y&L— такой элемент из L, что У*, в”"*а(у ф 0 (по-
/ п \п
чему такой элемент существует?); тогда а—I £ I . Рас-
\1=М /
смотреть собственные векторы оператора о на L.
2.2.75. Если £ = X (0Ь ...} 0Д то для всякого (УеС(ВД)
о (0<) ® (о) Of, где (о)п » 1; обратно, если группа G (L/K) —
абелева периода п, то использовать следующий факт: если в мно-
жестве попарно коммутирующих линейных операторов, каждый из
них диагонализируем, то существует базис из векторов, собственных
для всех этих операторов. (Этот факт следует из задачи 3.2.7 части 2.)
2.2.76. Рассмотреть билинейное отображение G (£//<jX^->Un
для о G (L/К), а^А(аЕ {К*п, аь ..., а5)), (о, а) (и0) • 0“’,
где 0 е £ н 0й = а.
2.2.77. £ (£*л П К*)/К*п; если А = В/К*", В = ...
..., as) — подгруппа в К*, то А н-> £ = К (01, ..0Д где
= Воспользоваться задачей 2.2.76.
2.2.78. Если G (L/K) = (а), то для отыскания 0 использовать
корневой вектор высоты 2 линейного оператора о. Для доказатель-
ства обратного утверждения воспользоваться задачей 2.2.12.
2.2.79. Если £ == /С (0Ь ..., 0S), то для всякого о е G (L/K)
a (0j) == 0/+ у/eFp (см. задачу 2.2.12). Обратно, если (?=>
= G (L/K) есть прямое произведение s циклических групп порядка р,
то выберем в G подгруппы (Z = 1, з) индекса р, для которых
А и
П = W; тогда £ 1 = К (0/) (см. задачу 2.2.78) и L — К (0Ь ...
i == 1
319
2.2.80. Рассмотреть билинейное отображение G (L/КЖЛ Ьт-> F₽|
где для aeG(L/K), de А (а е(р (К), аь ..as}$ (о, а)ь->
t—> а (0) — 0, где 0 е L и р (0) = а.
2.2.81. Д и-> (р (£) П Ю/р (К); если А =±= В/р (Jf), В =» (р (/Q,
ai.........as), то At—* К (0|г ...» 0$), где p(8/) = at-. Воспользовать-
ся задачами 2.2.79, 2.2.80.
2.2.82. Если множество таких чисел р конечно, то во 0, ц
пусть с —число, делящееся на все эти простые числа. Тогда
f(aoc) = oof, где rs l(modtf) и (при надлежащем выборе с) г
±1; поэтому f(x) имеет корень в поле вычетов по модулю лю-
бого простого делителя г, что противоречит выбору с.
2.2.83. Рассмотреть сначала случай отображения Л, принимаю-
щего значение 1 в одной точке из Fn, а в остальных точках — значе-
ние 0.
2.2.84. Рассмотреть F как векторное пространство над содержа-,
щимся в F поле вычетов по модулю char Л
2.2.85. Воспользоваться задачей 5.3.32 из части 1. 2.2.88. Заме-
тить, что все элементы поля F являются корнями многочлена
xq— х. 2.2.87. а) Если |L| == qt то L является полем разложения
многочлена xq— х (см. задачу 2.2.86); б) использовать указание к
£) и задачу 2.2.27 б). 2.2.88. См. указание к задаче 2.2.87; в пунк-
те а) использовать также, что многочлен xq — х не имеет кратных
корней. 2.2.89. а) Использовать задачу 2.2,88. б) Рассмотреть раз-
ложение многочлена х4 - х на неприводимые множители и приме-
нить формулу обращения Мёбиуса (см. задачу 1.5.6 из части 1),
2.2.90. Использовать задачу 5.3.32 из части 1. 2.2.91. б) Разложить
о в произведения независимых циклов.
2.2.92. Если 5=ПрД где р/ —различные простые числа, то
/=1
разложить кольцо Ze в прямое произведение колец вычетов по.мо-
дулю PfJ, Если о — рп,р— простое, то представить множество
классов вычетов в виде объединения подмножеств, каждое из кото-
рых содержит все элементы, имеющие одинаковый порядок в адди-
тивной группе кольца вычетов. Далее использовать строение группы
обратимых элементов кольца вычетов по модулю рп.
2.2.93. Подсчитать число инверсий перестановки о, упорядочив
элементы из G следующим образом: 0, ...» хп, —хп, .... —Д»
где {хь ..., Хп} S.
2.2.94. а) Использовать задачу 2.2.93, взяв произвольным обра-
зом множества Si и Sj в Gi и (?2 и положив S = S[ U.qr"1 (Sa), где
ф: G — канонический гомоморфизм.
2.2.95. Использовать задачу 2.2.93. 2.2.96. Использовать ’задачу
2.2.95.
а — 1 1
2.2.97. Множество R пар чисел (х, у), где 1 С * С —1 С
СУ С л разбивается в объединения четырех подмножеств:
а.
y)t=R\
Rn — {(х, у) е= R |
R* == {(*, У) е Я|
/?4»{(х, у)е/Н
ау — Ьх < —5/2},
—5/2 < ау — Ьх < 0},
0 < ау — Ьх < а/2},
а/2 < ау — Ьх}.
320
Показать, что (/?![== |/?4|, используя биекцию (х, у) н-> -*•
и что — (—1/ **1 ( * ) ® используя
задачу 2.2.95.
2.2.98. Представить матрицу оператора А в виде произведения
элементарных.
2.3.1. Пусть J — идеал в 4[х]. Легко видеть, что множество ко-
эффициентов at многочленов а© + ъх + ... + из / является идеа-
лом / в 4. Последовательность идеалов стабили-
зируется, скажем, на 1Г\ пусть a,/ (i = 0, ..., г, j = 1, ..., п) — об-
разующие для Л, и пусть для каждого из указанных i, / выбран
многочлен }ц из J степени i со старшим коэффициентом а^. Тогда
V//} “ множество образующих /. Для каждого f е J индукцией по
степени можно показать, что f лежит в идеале, порожденном fi}..
2.3.2. Воспользоваться предыдущей задачей. 2.3.4. Воспользо-
ваться разложением F = Fex + • • • + F = Mrt (/<), где
..., еп — ортогональные идемпотенты.
2.3.5. а) Пусть Ik — идеал А, порожденный всеми одночленами хт
степени fe. Пусть f—fo+fi+fiA- • • * причем f ss (f0+ • • • +^-i) mod
для всех fe > О, fo =/= 0. Показать индукцией по fe существование
ряда g •= g0 + gx + g2 + • ••» Для которого f-g = lmod/fe
(fe = 1, 2, ...); б) применить а); в) воспользоваться сюръективностью
композиции 4-^> А->А/12, где /2 определен в а). Отсюда получить
условие det || || 0. Если ф — автоморфизм i—> £ aijxj' т0
рассмотрение автоморфизма ф' = ф~1°фоф сводит задачу к случаю
= 6ц. Для этого случая доказательство того, что ф — автомор-
физм, следует проводить индукцией по fe, как в а).
2.3.6. г) Написать формулу для обратного элемента; д) Рассмо-
трим три случая. Случай 1. Среди элементов —а, —3, —оф есть
элемент, равный у2 для некоторого у е F. Пусть для определенности
—а = у2, у е К. Тогда в А есть, очевидно, делители нуля, и изо-
морфизм А са F2 можно задать явными формулами, например,
-И НИ нл Н’Л
Случай 2. В А есть делитель нуля вида и + р, где и = у -1,
у е К, у =/= 0, р — х\1 + хг/ + x2k — чистый кватернион. Тогда (см.
г)) N (и + Р) .= у2 — р2 = 0. Положим if = р и дополним Г до ба-
зиса г, fe' пространства чистых кватернионов так, чтобы выпол-
нялись соотношения/ = у2, / = “3 . i / = •—/ i = fe Это сводит
случай 2 к случаю 1. Случай 3. В А есть чисто мнимый делитель
нуля Р = xxi + x2j + x3fe. Тогда, рассматривая кватернион
мы сводим задачу к случаю 2. Если хх = 0, то имеет место слу-
чай 1; е) В матричном представлении д) чистые кватернионы вы-
деляются условием trP~O. Таким образом, все нильпотентные
матрицы (и только они) представляют чисто мнимые делители нуля
П Под ред. А. И. Кострикина
321
в Л; ж) Воспользоваться г), е). з) Умножением на ненулевой эле-
мент % е F можно добиться того, что определитель матрицы Q ста-
нет квадратом поля F- тогда Q в некоторой системе координат имеет
вид ах% + + аРхз* Следует обратить внимание на то, что век-
торное произведение зависит от выбора ориентации. Проверить, что
замена ориентации W приводит к замене алгебры А на двойствен-
ную алгебру Л°, умножение «♦> в которой связано с умножением
<•> в А по правилу = (как векторные пространства А и
Л° совпадают). Далее, если Л — алгебра кватернионов, то Л Л®.
2.3.7. в) Рассмотреть F-линейное отображение хн-д) све-
сти утверждение к случаю простой алгебры с единицей. Минималь-
ные идеалы имеют вид Ле, где е2 = е.
2.3.8. б) Искомое квадратичное уравнение имеет вид А со — О,
где со « хо*1 Л е2 + x^i Д е3 + х2ех Л е4 + х3е2 А е3 + х4е2 Л е4 +
+ *5^3 А ^4. в) Пусть Л е Лг7, IF cz V — минимальное подпростран-
ство, такое, что Л содержится в образе вложения ArIF -> ЛГУ. Рас"
смотрим подпространство IF' «= {w е W: w Д Л =0}, Легко видеть
что разложимость Л эквивалентна равенству W = IF'. Используя
невырожденность спариваний Л*У ® -> ArtF сы К, определим
спаривание A^F*® ArF -> V. Пусть образ элемента S® А, в V
будет обозначаться через i (S) Л. Тогда IF может быть охаракте-
ризовано как образ отображения АГ“|У*->У, определенного фор-
мулой S t—> I (S) Л. Условие IF = IF' теперь эквивалентно условию
(i (S) Л) Д Л в 0 для всех S е Ar“lV . Это и есть искомая система
квадратичных уравнений. В частности, при г = 2 имеем (х (о*) Л) Д Л==
= i (о*) (Л Д Л) для всех V* е 7*, так что разложимость Л
эквивалентна справедливости равенства А Д Л ~ 0. При п « 4
условие Л Д Л == 0 дает единственное квадратичное уравнение;
г) Выбрать в V базис et, ..., еЛ, для которого et = о; д) Условие
det И«// II ¥* 0 вытекает из сюръективности композиции A (F)
А (V) -> A (V)/I2t где 12 — идеал, порожденный АПЛ Для дока-
зательства того, что ф — автоморфизм, необходимо показать, что
Ф (в/) А ф (в/) + ф (еу) А ф (et) = 0 для всех /, а также сюръектив*
ность ф. Последнее достаточно показать для отображения ф с еди-
ничной матрицей ||ау/||. Доказательство проводится убывающей ин-
дукцией по k, начиная с включения AnV с Im ф.
2.3.9. в) Подпространство Ао чистых кватернионов алгебры
A == Cq (F) выделяется условием х = —х, где черта обозначает
естественную инволюцию алгебры Клиффорда: 1 = 1, е/= е/, е/ву=
в= е/в/. В качестве базиса Ао можно выбрать элементы
1 1 1
^2-----2~ Q (^Ь £2)» *2*3-2“ Q (*2> *з), ^1^3-2~ Q (#Ь 0з)<
2.3.13. а) Достаточно рассмотреть случай неприводимого много-
члена f над Q. Тогда К — Q[X]/(f(X)) — конечное расширение сте-
пени п над Q; пусть х — класс Xmod(f(X)). Тогда отображение
КК определенное формулой a-+xa является линейным отобра-
жением л-мерного векторного пространства К над Q в себя, причем
его минимальный многочлен совпадает с минимальным многочле-
ном элемента х.
322
2.3.14. Нет. 2.3.15. Пусть /=s(fb ..., fn). Для любой точки
г е С определим неотрицательное целое число п (г) = min уг (fi),
где Vztfi) обозначает порядок нуля функции fi в точке г (если
fi (z) =/* 0, то Vzifi) « 0)* Пусть (zfc) — последовательность всех то-
чек в С, для которых п (Zk) 0. Построить целую функцию f,
имеющую последовательность (zk) последовательностью нулей с
кратностями п (zk), и показать, что / = (f).
2.3.16. a) и А2; б) (dl < оо) о (d2 < оо) => (d3 < оо) =>
< °0)’ Г) <*1 ~ Ъ’ Д) (-4 - Х1 (*1 - №}}'
2.3.17. б) Написать дифференциальное уравнение для функции
S(rt!)zn; в) Воспользоваться точной последовательностью
Л . С П . О .А
где гомоморфизм Di-*Di— умножение на Р справа. Доказать, что
из этой точной последовательности Df-модулей вытекает точность
последовательности
0->HomDi(Mr Аг)-> Нотд* (Df, A,) ->HomD* (Df A J,
II p II
Ai------------*Ai
в которой гомоморфизм Ai -> Ai совпадает с P e End (A/), а через
НрЩр (S, T) обозначается векторное С-пространство гомоморфиз-
мов Df-модулей S, Г; г) Написать дифференциальное уравнение
pzfz = 0 для функции f2t непродолжимой за границу единичного кру-
га (pa е Di) уравнение ptfz = 0 для функции /з из б) и рассмо-
д2
треть оператор Рз° Р20 Ръ где рх ---~ + X2; е) Использовать со-
дхх
отношение [dz, х/] = б;/, где — символ Кронекера.
3.1.4. а) Да; б) Нет; в) Да; г) Да; д) Нет; е) Да. 3.1.5. Все
указанные подпространства, за исключением г), д) и ж). 3.1.6. Все
пространство многочленов* нулевое подпространство и для каждого
целого я > 0 — подпространство многочленов степени
. I1 Л
3.1.7. 0 1 —2* | (в базисе 1, х, х*).
0 0 1 II
8.1.8. | C^S \ S*n (в базисе sin х, cos х).
—sin t cos / у' '
3.1.10 . Представить пространство М«(К) в виде суммы подпро-
странств, состоящих из матриц, все столбцы которых, кроме одного
нулевые.
3.1.11. Доказать предварительно, что подпространство в М„(К)
инвариантное относительно всех операторов Ad (А), где матрица А
диагональна, является линейной оболочкой некоторого множества
матричных единиц Ец j) и некоторого подпространства диаго-
нальных матриц.
3.1.12. Доказать предварительно, что всякое подпространство в
Mrt(/С), инвариантное относительно всех операторов вида Ф(А), где
матрицы А диагональны, является линейной оболочкой некоторого
!!•
323
множества матриц вида аЕц + ЬЕц (i /) и некоторого подпро-
странства диагональных матриц.
3.1.13. Найти общий вид матриц X таких,
, что
Л -Н
X
и показать, что всегда det X = 0.
3.1.14. Если п = 2, то V = (е0 + ф (е0 — ех}. Если п == 3,
обозначим через 8 число 1/2 + i д/з72- Тогда V = (е0 + е, + е2)ф
ф(е0 + 8в! + 82е2)ф(е0 + е2*?! + ее2). Если п =» 4, то V == (е0 + ех +
+ е2 + £з) ф <*о — + е2 — £з) ф (^о + tei “ е2 — ie3) ф (е0 — iex —
— ^2 + *£з)*
3.1.15. в) Пусть Н cz IF — инвариантное подпространство и х js
е Н. Рассмотреть вектор лх— х для я= (г/). 3.1.16. Определить
сначала подпространства, инвариантные относительно ограничения
представления 0 на подгруппу диагональных матриц. 3.1.22. Ис-
пользовать задачу 3.1.21 в) и разложение группы G на левые смеж-
ные классы по Н. 3.1.23. а) т\ б) 2; в) 1; г) т 4- 1.
3.2.1. Если А и В — коммутирующие операторы, то каждое соб-
ственное подпространство оператора А инвариантно относительно В.
3.2.3. Использовать задачи 3.2.1 и 3.1.17. 3.2.4. Использовать зада-
чу 3.2.2.
3.2.7. Установить, что инвариантные подпространства представ-
ления р: <a>n-^GL(]/) совпадают с инвариантными подпростран-
ствами оператора р(а) и воспользоваться задачей 3.1.17; б) исполь-
зовать указание к задаче 3.2.1 и задачу 3.1.17.
3.2.8. В обоих случаях каждое неприводимое представление груп-
пы Н встречается с кратностью 2. 3.2.9. Только тривиальное для
группы нечетного порядка; для группы четного порядка — еще гомо-
морфизм на подгруппу {—1, 1} в GLj(R)~R*. 3.2.10. Воспользо-
ваться теоремой о существовании у вещественного оператора дву-
мерного инвариантного подпространства. 3.2.12. а) [п/2] + 1. Ис-
пользовать задачу 3.2.11. 3.2.13. а) Тривиальное и сопоставляющее
подстановке ее знак; использовать теорему о коммутанте и за-
дачу 1.6.7 а); б) использовать теорему о коммутанте и задачу
1.6.7 6). 3.2.14. Использовать теорему о коммутанте и задачу 1.6.8.
3.2.15. Можно взять представление задачи 3.1.13.
3.3.1. Нет. 3.3.2. Базис состоит из одного вектора £ (sgna)<r.
oeSj
Размерность равна 5.
3.3.3. {е —а, в2—а2......в"-1 — а”-1}.
3.3.9. а) Пусть в! =-g- У, а, e2==-g- S (sgna)cr. Комму-
ogSj o^Sj , _
татавные_идеалы: 0, Се4, Се2, Се1фСе2. б) Пусть_Са = {£, EJ, 1,
J,J, К, К}, е, = (£+£)(£ + / + / + К), =(£ + £) (E + I-J-K),
е3 = (Е + Ё) (£ - 1 + J - К), е4 = (£ + Е) (Е - / - J + К). Комму-
тативные идеалы — линейные оболочки любого подмножества векто-
ров множества {еь е2, е3, е4}. в) Пусть ех = —гт— (det А) А, е2 =
ш A^d5
= V (det Л) Л. Коммутативные идеалы: 0, Сеь Се*
10 a#d5
Cej ф Се2.
324
. 3.3.10. Если G бесконечна, то х = 0, если конечна, то х »
d £ g, а е F.
ge G
3.3.11. Базис центра F[G] образуют элементы вида g,
8 еС
если в качестве С взять последовательно все классы сопряженных
элементов в G.
3.3.14. Автоморфизм а можно записать в виде а (х) = 0 (х) 4-
4- у (*)» гДе х ^Vt 0 (х) е (У, у (х) е W. Показать, что у — гомо-
морфизм модуля V в W и вывести отсюда, что ограничение у на U
равно нулю.
3.3.16. С*Х£*Х • • ♦ XG*; использовать задачу 3.3.14, и лемму
’ k '
Шура. 3.3.17. Использовать лемму Шура. 3.3.19. Свести к случаю
U == А. В этом случае а находим, полагая а = <р(1). 3.3.20. Только
для G = {е}. 3.3.23. а) 2; б) 1; в) 2; г) 4.
3.3.25. Пусть е — первообразный корень степени 3 из единицы
в С, Го = 4- (e+a+a2) е R [<а>3] <= С [<а>3]. П = 4- (е+еа+егаг) е=
О О
& с [<а>,1, г2 = -1- (е + е2а + еа2) е С a) R [<а>3] = Fo ©
О
где поле Fo = Яго ~ Я и Fj = <аое + о^а 4- «гя2
2
У, аг = 0.
1=0
cti е Rj ~ С. При изоморфизме С —> Fj имеем 11—> е — г0,
е н-> а (е — г0). б) С [<а>3] = Fq ® F{ ф F^. Поля = О, изо-
морфны С.
3.3.26. Использовать неприводимость многочлена хр~х 4*
4- хр“2 4-... 4- * + 1 над полем Q.
3.3.28. а) Идемпотенты: 2е4-2а, 2е + я; идеалы: F3eh F3e2;
б) идемпотент — единица групповой алгебры, идеал F2(l 4-я);
в) идемпотенты: -у (1 4-я), — (1 — я), идеалы Сеь Се2; г) идемпо-
л Z
тенты: у (1 4- я 4- а2), у (2 — а — а2); идеалы: Reh R[(a) 3]е2.
3.3.29. Заметить, что разложимость каждого из этих модулей
равносильна разложимости идемпотента 8. 3.3.30. Проверить анало-
гичное утверждение для алгебры МЛ(С) и использовать теорему о
структуре групповой алгебры конечной группы. 3.3.31. а) 8; б) 32.
3.3.32. а) {е}; б) G ~ Z2; в) G Z3 или S3. Воспользоваться тем, что
п равно числу классов сопряженных элементов в G. 3.3.34. Рассмо-
треть линейное отображение пространства в себя, задаваемое умно-
жением на элемент (см. также задачу 2.1.13). 3.3.37. При р = 2 G—
« F[G] (а — е)2. &3.39. а) Рассмотреть случай G = Н. Провести
индукцию по порядку группы Я; б) п — 2.
3.3.42. a) PIH^Al(g — ze)A®A)(g—&2е)А, где е — перво-
образный корень степени три из единицы в С; б) Р/Я = 0;
в) P/Я ~ А. 3.3.43. Кег 4) = 0. 3.3.44. Рассмотреть аналогичный во-
прос для А = F[/] — кольца многочленов. 3.3.47. а) элемент прост;
б) («! -g2)4~sr'g2l - «Г2)- 3.3.48. а) 0; б) в) F.
325
3.4.1. Использовать задачу 3.1.17. 3.4.2. Используя 3.1.17, найти
возможный диагональный вид матрицы оператора Ф($). 3.4.3. Ис-
пользовать задачу 3.4.1. 3.4.4. Использовать задачу 3.4.1. 3.4.5. За-
метить, что сумма п корней из 1 равна п только когда все слагае-
мые равны 1. 3.4.6. Использовать задачу 3.4.5 и доказать, что любая
подгруппа индекса р в А есть подгруппа элементов некоторого
(я—1)-мерного подпространства. 3.4.7. Пусть %— характер пред-
ставления Ф. Используя задачу 3.4.5, доказать, что Ф(£) ® Е для
g еН. Аналогично, показать, что g&K тогда и только тогда, когда
матрица Ф(£) скалярная 3.4.8. Использовать теорему Машке и свой-
ства коммутанта. 3.4.9. Использовать теорему Машке и свойства
коммутанта.
3.4.20. —
X
111-11 »• 1 /1*
| 2 | —2 | 0 | 0 | 0
Использовать задачу 3.2.19.
3.4.21. Хф(о) есть число элементов множества {1, 2, ..., л), не-
подвижных относительно о.
3.4.22. Пусть Dn = b\a2 ~ bn = е, aba == b~l). Тогда % (bk)»
= 2 cos X fabk) 0.
H*1 2)|(1 2 3)1(1 2H3 4) | (1 2 3 4)
3.4.23. —r-4-----1----------------------------Использовать
x|3| I IiI-iI-1
задачу 3.2.17.
|e|(l 2)1(1 2 3)1(1 2)(3 4)|(1 2 3 4)
3.4.24. ——-----------!--------1----------;--------Использовать
%|3I -1 I 0 | -1 I Г
задачу 3.2.17.
3.4.25. Использовать задачу 3.2.4.
3.4.26. а) Два характера: тривиальный и он-> sgn о.
е (1 2 3) (1 3 2) | (1 2) (3 4)
Фо 1 1 1 1
Ф1 1 Е е2 1
фа 1 в* в 1
где е — первообразный корень степени 3 из 1 в С;
1 -1 1 / k
фо 1 1 1 1 1
Ф1 1 1 — 1 -1 1
Ф2 1 1 -1 1 -1
Фз 1 1 1 — 1 -1
г) См. а); д) Пусть Dft » (a, b | q? = bn == е, aba = Ь-^.Если п
нечетно, то одномерных характеров два: тривиальный и —> (—1 )г.
Если п четно, то четыре: тривиальный и 1)*, -1)^,
3.4.27. ля/2. Использовать соотношения ортогональности для ха-
рактеров для вычисления произведения матрицы на ее сопряжен-
ную.
326
, 3.4.28, а) | e (1 2) (1 2 3)
Фо 1 1 1
Ф1 1 — 1 1
ф? 2 0 —1
Использовать задачи 3.4.26 и 3.1.15;
6) е (1 2) (1 2 3) (1 2) (3 4) (1 2 3 4)
Фо 1 1 1 1 1
Фв 1 -1 1 1 — 1
Фз 3 1 0 -1 — 1
фз 3 -1 0 -1 1
Ф< 2 0 -1 2 0
Использовать задачи 3.4.26, 3.4.23, 3.4.24 и 3.4.20;
1 — 1 i / ь
Фо 1 1 1 1 1
ф| 1 1 1 — 1 -1
Фз 1 1 -1 1 — 1
Фз 1 1 — 1 — 1 1
ф< 2 —2 0 0 0
Использовать задачи 3.4.26 и 3.4.20;
1е b ь2 а ab2
Фо 1 1 1 1 1
Ф1 1 -1 1 -1 1
ф» 1 1 1 -1
Фэ 1 1 1 -1 —1
Фз 2 0 -2 0 0
Использовать задачи 3.4.26 и 3.4.22;
д) е b ь* а
Фо 1 1 1 1
Ф» 1 1 1 1
Фз 2Л 2 2соз-=? 0 2 cos 4г 0 0
Фз 2 2 cos 0 2 cos 0 0
Использовать задачи 3.4.26 и 3.4.22;
е) е (1 2) (3 4) (1 2 3) (1 3 2)
Фо 1 1 1 1
Ф1 1 1 8 8*
Фз 1 1 82 8
Фз 3 — 1 0 0
327
где 8 — корень третьей степени из 1 в С. Использовать задачи 3.4.26
и 3.2.17. 3.4.29. Нет, так как скалярный квадрат указанной функции
не является целым числом. 3.4.30. В обозначениях ответа к задаче
3.4.28 a) F = 2ф4 + 0,5ф1 + 0,5ф3.
3.4.31. В обозначениях ответа к задаче 3.4.28 а) запишем fa =
—ip0 + 3ф1 -|- 2ф2, ft = 4ф1 + ф2. Отсюда следует, что fi не яв-
ляется характером представления, a f2 — характер прямой суммы не-
приводимого двумерного представления группы S3 и четырех экзем-
пляров нетривиального одномерного представления этой группы.
3.4.32. а) Доказать, что отображение Л в С, переводящее х в
%(а) при некотором сеЛ есть характер группы Л и доказать, что
возникающее таким образом отображение А -> Л есть изоморфизм.
3.4.33. в) Вывести с помощью а) равенство f (а) = X /(х)-
я
•Х(а) и доказать, что F переходит в (| А |)“7 ПРИ изоморфизме за-
дачи 3.4.32 в).
3.4.34. Использовать равенство Q, f)A = X (f, Х)д- 3.4.36.
д
Хф (§)2==Хф (g)2. 3.4.37. Приведем разложение характера предста-
вления Ч на неприводимые характеры: а) х^г в + ^2>
б) Xw^o + ^i + ^2 + ^ в) + + +
3.4.38. /ф- « п • Хф- 3.4.39. п"1"1. Доказать, что все неприводимые
представления группы G входят в р®т с одинаковой кратностью.
3.4.40. а) хр2 = 1 + ^2? б) Хрз = + 3^2. 3.4.41. Если
- Г«+11 - Гт1 /я —1\
п = I—~—I и т = I —J, Т° кратность равна I I.
3.4.42. Рассмотреть представление на пространстве кососимметриче-
ских дважды контравариантных тензоров. 3.4.43. В обозначениях
ответа к задаче 3.4.28 a) фв б) фо + Фз: в) Фо + Фв г) ф] + ф2.
3.5.12. Рассмотреть разложение регулярного представления в сум-
му неприводимых подпредставлений. 3.5.13. Доказать, что подгруппа,
порожденная и & в GL(V), изоморфна S3. 3.5.14. а) 3; б) 10;
в) 36; г) п(п+ 1)/2; д) 6; е) 4. 3.5.15. Для обеих групп порядка 9
число представлений 165. 3.5.16. Нет, оно равно С+ 2С„ + С3п.
3.5.18. а) 1, 1, 2; б) 1, 1, 1, 3; в) 1, 1, 2, 3, 3; г) 1, 1, 1, 1, 2;
д) если п = 2Я, то четыре одномерных и k — 1 двумерных, если п ==
— 2й+ 1, то два одномерных и k двумерных; е) 1, 3, 3, 4, 5. Ис-
пользовать основные теоремы и задачи 3.4.28, 3.1.15.
3.5.21. а), б), в) Нет. 3.5.22. Существование подгруппы приво-
дит к существованию двумерного представления группы S4.
3.5.29. 3 — C[Zi2], C[De], С[А4]. Доказать, что в группе порядка 12
не может быть 9 классов сопряженных элементов. 3.5.31. Только для
абелевых. Воспользоваться задачей 3.3.15. 3.5.32. Провести индукцию
по порядку группы. 3.5.35. Использовать задачу 3.1.22. 3.5.36. Вос-
пользоваться конечностью числа неизоморфных групп фиксирован-
ного порядка и конечностью числа неизоморфных представлений дан-
ной размерности фиксированной конечной группы. 3.5.38. Заметить,
что группы порядков р и р2 — абелевы.
3.5.39. р2 одномерных представлений и р—1 р-мерных. Заме-
тить, что центр данной группы имеет порядок р и число классов со-
пряженных элементов равно р2 + р — 1. Так как факторгруппа по
328
центру коммутативна, то коммутант данной группы имеет порядок
р. Этим определяется число одномерных представлений. Заметить
ещё, что в данной группе есть нормальная подгруппа индекса р и
с помощью задачи 3.5.35 доказать, что размерность неприводимого
представления не может быть больше р.
3.6.2. ») |0 1|. .)|10|,
3.6.3. б) и г); в) и е).
3.6.4. В том случае, когда для любых k, 1 в жордановой форме
матрицы А число жордановых клеток порядка k с собственным зна-
чением Л равно числу жордановых клеток порядка k с собствен-
ным значением —Л.
3.6.6. а) Всякое представление имеет вид RA (О = e(ln А, где
А&Мп (С); б) Всякое представление эквивалентно представлению
вида:
О (sgn 0 е1п| <|,в
. А <== Мр (С), В е М, (С).
Рассмотреть образ элемента —1 е R* при данном представлении, до-
казать, что его собственные подпространства инвариантны, и вос-
пользоваться а); в) Всякое представление эквивалентно представле-
нию вида
2Ь' О
(Л......... е Z).
О
Доказать, что представление аддитивной группы С, получаемое как
композиция гомоморфизма С->С* (/I—>ег) и представления груп-
пы С*, имеет вид Рд (3.6.1) и = £. Затем доказать, что мат-
рица А подобна целочисленной диагональной матрице; г) Всякое
представление эквивалентно представлению вида
zkl О
zki
kb Л2,
О
Рассмотреть представление аддитивной группы поля R, получаемое
как композиция гомоморфизма R->U (ti—и представления
группы U, затем воспользоваться задачей 3.6.1.
3.6.7. Да; доказать, что всякую невырожденную комплексную квад-
ратную матрицу можно представить в виде еА, и воспользоваться
задачей 3.6.1. 3-6.8. Линейные оболочки наборов собственных век-
329
торов для 4. 3.6.10. а) Рассмотреть ограничение представления фй
на подгруппу диагональных матриц. 3.6.11, д) Доказать, что равен-
ство имеет место на подмножестве диагонализируемых матриц.
3.6.12. Заметить, что SUs ® (4 е Н| (4, 4) ® 1}. Дока-
зать, что если 4 е SU2 имеет собственные значения то
оператор Р(4) есть поворот пространства HQ на угол 2ф вокруг
оси, проходящей через 4—— (tr 4) 51 е Яо; б) Доказать, что гругь
па /?(SU2XSU2) транзитивно действует на единичной сфере
в Н, и воспользоваться а); в) Комплексификация пространства
есть подпространство матриц вида __д|| в Л12(С>. Искомый изо-
морфизм осуществляется отображением, сопоставляющим такой мат-
рице многочлен f (х, у) - — Ьх2 + 2аху + су2.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
I. Аффинная и евклидова геометрия
Аффинным пространством над полем К называется пара (Л, V),
состоящая из векторного пространства V над полем К и множе-
ства Л, элементы которого называются точками; предполагается, что
пара (Л, V) снабжена операцией сложения точек и векторов
(a, v) I—+ и е V,
удовлетворяющей следующим условиям:
1) (а 4- Vi) + v2 = а + (V) + о2) для любого а е Л, о2 г V;
2) а + 0 » а для любого се Л;
3) для любых двух точек а, b е А существует единственный
вектор v е V такой, что а + v « Ъ (этот вектор обозначается через
ab).
Термин «аффинное пространство» часто используется примени-
тельно только к первому члену пары (Л, V); в этом случае V на-
зывается векторным пространством, ассоциированным с данным аф-
финным пространством.
Размерностью аффинного прстранства (Л, V) называется раз-
мерность векторного пространства V.
Всякое векторное пространство V можно рассматривать как аф-
финное пространство, если положить Л === V и определить сложение
точек и векторов как сложение в пространстве V.
Аффинным подпространством, или плоскостью, в аффинном про-
странстве (Л, V) называется пара (Р, U), где U — подпространство
в V, а Р —такое непустое подмножество множества Л, что
1) р + и е Р для любых р е Р,
2)“pq&U для любых р, q е Р.
Пара (Р, U) в этом случае сама является аффинным простран-
ством.
Термин «аффинное подпространство», или «плоскость», часто
применяется по отношению только к первому члену пары (Р, U).
В этом случае подпространство 1), однозначно определяемое множе-
ством Р, называется направляющим подпространством данного аф-
финного подпространства.
Одномерное аффинное подпространство называется прямой. Аф-
финное подпространство, размерность которого на единицу меньше
размерности пространства, называется гиперплоскостью.
Если S —- непустое подмножество аффинного пространства А,
то наименьшая плоскость в Л, содержащая S, называется аффинной
331
оболочкой множества S и обозначается через <$>. Множество из
k + 1 точек во> » а* в аффинном пространстве А называется
аффинно независимым, если dim (а0, .... ak) ш ft; в этом случае
говорят также» что точки а& .... ak находятся в общем поло-
жении.
Две плоскости (Рь М), (Р2. Ь2) в аффинном пространстве, не
имеющие общих точек, называются параллельными, если Li с £а
или и скрещивающимися, если Mf|£2 = {0}- В общем слу-
чае число б!т(£1ПЬ2) называется степенью параллельности данных
плоскостей.
Системой аффинных координат в аффинном пространстве (Л, И)
называется набор (оо, ei, ...» еп), состоящий из точки а0 (начала
координат) и базиса (ei.....еп) векторного пространства И Коор-
динатами точки а е А относительно такой системы служат коорди-
наты вектора а^а в базисе (еь ...» еп).
Аффинным отображением аффинного пространства (4, У) в аф-
финное пространство (В, W) называется пара (f, Df), состоящая из
отображения множеств f: А -> В и линейного отображения Df: V ->
-> W, удовлетворяющая условию f(a + о) == f(a) + Df(v) для лю-
бых а е A, v s V. Биективное аффинное отображение аффинного
пространства в себя называется аффинным преобразованием. Часто
термин «аффинное отображение» (или «преобразование») применяет-
ся по отношению к одному только первому члену пары (f, Df) —
отображению f; линейное отображение Df в этом случае называется
линейной частью или дифференциалом аффинного отображения f.
Все аффинные преобразования аффинного пространства обра-
зуют группу, называемую аффинной группой и обозначаемую через
Aff А.
Аффинное преобразование, дифференциал которого — тождест-
венное отображение, называется параллельным переносом. Парал-
лельные переносы образуют подгруппу в Aff А, которая отождест-
вляется с аддитивной группой векторного пространства V: каждому
вектору v е V соответствует параллельный перенос tv: ш—>а + v.
Конфигурацией в аффинном пространстве А называется упоря-
доченный набор аффинных подпространств {Pi.......Ps}. Двё конфи-
гурации {Pi, PJ и {Qi............................Q4 в А называются аффинно кон-
груэнтными, если существует аффинное преобразование f, для кото-
рого f (Pi) — Qi при i s.
Далее будем Считать, что (А, V) — аффинное пространство над
полем вещественных чисел.
Для любых точек а, b е А, а ф Ь, совокупность точек вида
%а+(1 — Х)&, где называется отрезком, соединяющим
точки а и о, и обозначается через ab. Непустое множество М s А
называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно со-
держит соединяющий их отрезок. Размерностью выпуклого множе-
ства называется размерность его аффинной оболочки. Выпуклое мно-
жество, аффинная оболочка которого совпадает со всем простран-
ством, называется телесным.
Точка выпуклого множества М называется внутренней, если она
принадлежит открытому ядру множества М в его аффинной обо-
лочке, и граничной в противном случае. Точка выпуклого множе-
ства М. называется крайней, если она не является внутренней точкой
никакого отрезка, целиком лежащего в М
Открытое ядро выпуклого множества М в пространстве А обо-
значается через Ж (Если М не телесно, то М° — 0.)
332
Наименьшее выпуклое j множество, содержащее данное непу-
стое множество S s А, называется' выпуклой оболочкой множества
$ и обозначается через conv S. Выпуклая оболочка п 4- 1 точек, на-
ходящихся в общем положении, называется л-мерным симплексом.
Для любой непостоянной аффинной линейной функции f на про-
странстве А множество, задаваемое неравенством f(x) О, выпукло
и называется полупространством, ограничиваемым гиперплоскостью
{x|f(x) === 0}. Каждая гиперплоскость ограничивает два полупро-
странства. Говорят, что множество S лежит по одну сторону от ги-
перплоскости Н, если оно содержится в одном из ограничиваемых ею
полупространств; если при этом S А Н = 0, то говорят, что S ле-
жит строго по одну сторону от Н.
Гиперплоскость Н, имеющая общую точку с замкнутым выпук-
лым множеством М, называется опорной гиперплоскостью этого мно-
жества, если множество М лежит по одну сторону от Н.
Непустое пересечение конечного числа полупространств назы-
вается выпуклым многогранником. Иначе говоря, выпуклый много-
гранник— это множество точек, координаты которых удовлетворяют
некоторой совместной системе нестрогих линейных неравенств. Под-
множество n-мерного аффинного пространства, задаваемое в подхо-
дящей системе аффинных координат неравенствами 0 Xi 1 (/=
= 1, л), называется л-мерным параллелепипедом.
Подмножество выпуклого многогранника М, являющееся его пе-
ресечением с опорной гиперплоскостью, называется гранью много-
гранника М. Нульмерные грани называются вершинами, одномер-
ные — ребрами. Всякая грань выпуклого многогранника также яв-
ляется выпуклым многогранником.
Подмножество # векторного пространства V называется вы-
пуклым конусом, если для любых х, у е К и любого X > 0
х 4- у е К, Лх е К.
Всякий выпуклый конус является выпуклым множеством в простран-
стве V, рассматриваемом как аффинное пространство.
Аффинное пространство (£, V) над полем вещественных чисел
называется евклидовым пространством, если векторное пространство
V наделено структурой евклидова векторного пространства. В ев-
клидовом пространстве Е вводится расстояние между двумя точ-
ками: если а, Ъ&Е, то р(а, Ь) = |аЬ|, где |vl = V(^» *0 дли-
на вектора v е V, а также расстояние между двумя плоскостями
Р, Q <= Е:
р(Р, Q) = inf {р(а, Ъ)\а&Р, Ь е Q}.
Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их на-
правляющими подпространствами. Плоскости, угол между которыми
л г»
равен —, называются перпендикулярными.
Движением евклидова пространства называется аффинное пре-
образование, дифференциал которого является ортогональным опе-
ратором. Движение f называется собственным, если detDf=l.
Движения сохраняют расстояния между точками. Все движения ев-
клидова пространства Е образуют группу, обозначаемую через
Isona£. Группа собственных движений обозначается через Isom+ Е.
Две конфигурации {Рь ..., Ps) и {Qj, ..., в евклидовом
пространстве Е называются метрически конгруэнтными, если суще-
ствует движение f пространства Е, при котором f(Pi) ~ Qi (i =
= 1, s).
333
II. Гиперповерхности второго порядка
Пусть (Л, V)—аффинное пространство над полем К. Квадро-
точной функцией Q: А->К на А называется функция вида
Q(ao + х) = q(x) + l(x) + с
где а0 — некоторая точка аффинного пространства Л, q: V-*K—
квадратичная функция, /: V -> К — линейная функция, с&К. Квад-
ратичная функция q, не зависящая от выбора точки а^, называется
квадратичной частью функции Q. Линейная функция / называется
линейной частью функции Q относительно точки Оо. Гиперповерх-
ностъю второго порядка в Л, или квадрикой, называется множество
вида
Х=» XQ=={ae A|Q(a)=0}.
В аффинной системе координат («о: въ ..., еп) квадратичная
функция Q записывается в виде
Q(a0 + x)= aljxixl + 2'£bi*( + c,
где ан = ац. Символом Л? обозначается матрица ta/H квадратич-
ной функции q в базисе (еь е„), а символом Aq — матрица
bt
Aq * .
_______Ьп
bi ... Ьп с
Определители матриц Aq и Aq обозначаются через Д и б соответ-
ственно. При этом Aq, Aq, Д и б зависят от выбора системы коорди-
нат (во; ei, .еп), однако ранги матриц Aq и Aq уже не зависят
от выбора системы координат. Квадрика называется невырожден-
ной, если Д Ф 0, и вырожденной, если Д = 0.
Гиперплоскость
п
А /-1
называется касательной гиперплоскостью к Xq в точке а* = (хр ...
п
xJQsXq, если для некоторого i £ aifx^ + 0. Если это
условие не выполнено, то точка Oq называется особой.
Вектор г = (гь ..., гп) называется вектором асимптотического
направления, если q(r) = 0.
Точка а « Q называется центральной точкой квадратичной функ-
ции Q (или квадрики Xq), если линейная часть Q относительно До
равна нулю. При этом Q(a0 + х) = Q(a0 — х) для всех xeL. Цент-
ром функции Q (или квадрики Xq) называется множество ее цент-
ральных точек.
334
Конус {а е А|ф(а — ао) =0), где ао — центральная точка, не за-
висит от выбора этой точки и называется асимптотическим конусом
квадрики Xq.
Для любой квадратичной функции Q существует такая аффин-
ная система координат в А, в которой Q принимает один из следую-
щих видов:
а) если q— невырожденная —
<?(*,. м? + ‘ ® К. Л, ¥=0);
i-l
б) если q — вырожденная ранга г и центр Q непуст —
Q (*..... хп) — £ Хгх| + с eeKAt =И=0);
i—1
в) если q — вырожденная ранга г и центр Q пуст —
Q(*i...*п)“ ЁМ? + *г+1-
i-l
Над полем вещественных чисел уравнение квадрики в некоторой
аффинной системе координат имеет один из следующих видов:
(1Г< xf + ... + x2s-x2+i — ...-х2= I (0<$<г<п);
(Q x2t + ... +x2s-x2+i- ... -х2 = 0
(O^s^r^n, s^r/2y,
(ПГ1 4): x2t + ... + X2 - х|+1 - ... - х2 = 2x,+J
(0<s<r<n — 1, s>r/2).
111. Проективные пространства
Проективным пространством, ассоциированным с векторным про-
странством V над полем К, называется множество Р(У) одномер-
ных подпространств в И. Элементы P(V) называются точками про-
ективного пространства. Проективное пространство обладает сле-
дующими структурами:
А) В Р(У) выделены подмножества, называемые проективными
подпространствами, или плоскостями. Подмножество называется
проективным подпространством, если оио есть подмножество всех
одномерных подпространств некоторого подпространства в V.
Б) Задано семейство инъективных отображений аффинных про-
странств в P(V), называемых аффинными картами. Аффинная карта
(р: А->Р(У) строится из аффинной гиперплоскости А в V (рассма-
триваемой как аффинное пространство и не содержащей нуля). Каж-
дой точке в А сопоставляется единственное одномерное подпростран-
ство в V, ее содержащее.
В) Выделено семейство биективных отображений пространства
P(V) в себя, называемых проективными преобразованиями. Проек-
тивное преобразование а — это отображение a: P(V)->P(V), кото-
рое строится по невырожденному линейному оператору^: V та-
ким образом, что образ элемента из P(V) при отображении а есть
335
образ при отображении & одномерного подпространства, представ-
ляющего этот элемент.
Проективное преобразование переводит: подпространства в под-
пространства и в композиции с аффинной картой дает снова аффвд.
ную карту. Размерностью пространства P(V) называется число
dim V — 1. Проективное пространство размерности п часто обозна-
чают через Р". При рассмотрении аффинных карт часто отождест-
вляют аффинное пространство А и его образ в P(V). Координаты,
заданные в некоторой аффинной карте, называются неоднородными
координатами в проективном пространстве (они определены не на
всем пространстве).
Если в пространстве V задана система координат (выбран ба-
зис), то, имея точку в Р(У), мы можем рассмотреть координаты
любого вектора из соответствующего ей одномерного подпростран-
ства. Эти координаты определены с точностью до пропорционально-
сти и называются однородными координатами точки проективного
пространства.
Если в V задана система координат х0, *i, ...» хг, то аффинная
карта, определяемая гиперплоскостью с уравнением xi — 1, назы-
вается i-й координатной аффинной картой.
Если q — квадратичная функция на V, то множество одномер-
ных подпространств, содержащихся в конусе q(x) = 0, называется
квадрикой в P(V).
Для четырех различных точек р2, Рз, Р4 проективной прямой
Р1 определено их двойное отношение 6(pt, р2, рз, Р4), которое яв-
ляется элементом основного поля. Для его вычисления зададим на
Р1 произвольную систему однородных координат, выберем для каж-
дой точки какой-нибудь набор ее координат и обозначим А(рь ру)
определитель матрицы 2-го порядка, составленной из координат то-
чек pi и р/. Тогда
б (р|, Рг, Рз, Р4) =
А (рь р4) А (рз, р2)
А (р3, р4) * A (pi, р2) *
Правая часть этой формулы не зависит ни от выбора системы
координат, ни от выбора векторов, представляющих данные точки.
В неоднородных координатах
б (pi, р2, Рз, Р4>
(Х4 — х,) (Х2 -- Хз)
(*4 — *з) (*2 — *1) ’
где Xi — координата точки р/.
Рассматривая некоторую аффинную карту и аффинную систему
координат в этой карте, мы можем задавать подмножества в проек-
тивном пространстве уравнениями относительно этих неоднородных
координат. Такие подмножества будут лежать внутри карты, но в
некоторых случаях их можно дополнить и вне карты: подмноже-
ство карты, задаваемое линейными уравнениями (т. е. аффинное под-
пространство), однозначно дополняется до проективного подпро-
странства; подмножество карты, являющееся аффинной квадрикой,
однозначно дополняется до проективной квадрики. Такое дополне-
ние подразумевается в некоторых задачах.
Точки проективного пространства, не принадлежащие заданной
аффинной карте, называются бесконечно удаленными по отношению
к этой карте.
336
IV. Тензоры
Тензором типа (pt q) или р раз ковариантным и q раз контрава-
пиантным тензором на векторном пространстве V называется Функ-
ция на V X •.. XV X У* X ... X И*, линейная по каждому из
р раз q раз
р + q аргументов. Тензоры типа (р, q) образуют векторное про-
странство Т£(7). Оно естественным образом отождествляется с тен-
зорным произведением
V® ... ®7® У*® ... ® 7*,
q раз р раз
Координаты тензора ГеТ^(7) (в каком-либо базисе пространства
V) обозначаются через ***
Если char К = 0, то в пространстве Tj (7) определены линейные
операторы Sym и Alt:
£ r(f0(n.......f^),
(АИЛ(Л.......=
oe
являющиеся проекторами на подпространства S*(7) и А? (7) сим-
метрических и кососимметрических тензоров соответственно.
Элементы из Лр(7) часто называются р-векторами (в том числе
из Л2 (V) — бивекторами).
оо
Пространство S (V) = ф S* (7) с операцией умножения ху =
q~Q
« Sym (х ® у) является алгеброй, которая называется симметриче-
оо
ской алгеброй пространства 7. Пространство А (7) = ф А? (7) с
операцией х Д у = Alt (х ® у) является алгеброй, которая назы-
вается внешней алгеброй пространства 7 или алгеброй Грассмана.
V. Элементы теории представлений
Для изложения основных определений и первоначальных ре-
зультатов в теории представлений групп традиционно используется
несколько разных способов. При дальнейшем развитии теории выяс-
няются связи между различными вариантами определений и выраба-
тываются способы «перевода с одного языка на другой». Мы не
имеем в виду определенного способа первоначального изложения,
считая целесообразным ознакомить изучающих с основными спосо-
бами, принятыми в литературе, и дать возможность преподавателю
найти задачи, использующие удобный ему вариант изложения.
Напомним в основных чертах эти основные подходы к построе-
нию теории представлений нли варианты терминологии.
337
А. Терминология линейных представлений. Линейным представ-
лением группы G на пространстве V называется гомоморфизм ф;
GGL (V) группы G в группу невырожденных линейных операто-
ров на V. Размерность пространства V называется размерностью или
степенью представления. Гомоморфизмом представления Ф группы
G на пространстве V в представление Т группы G на пространстве
W называется линейное отображение a: V-+W, для которого
а(Ф(#)о) = ^(£)(<»(»)) при всех ge G, ve V. Если гомоморфизм
а является изоморфизмом пространств, то представления Ф и Т на-
зывают изоморфными
Подпространство U в пространстве V представления Ф группы G
называют инвариантным, если ®(g)U=U при ecexge G. Представ-
ление ненулевой степени, не имеющее инвариантных подпространств,
отличных от нуля и всего пространства, называют неприводимым.
Б. Терминология матричных представлений. Матричным пред-
ставлением группы G степени п над полем F называется гомомор-
физм р: G->GL„(F) группы G в группу обратимых матриц порядка
« над полем F, Два матричных представления р и о группы G од-
ного и того же порядка п над г называют эквивалентными (изо-
морфными), если существует невырожденная матрица
для которой для всякого g е G
p(g)^C-tO(g)C.
Матричное представление называется приводимым, если оно эк-
вивалентно представлению, в котором все матрицы имеют один и тот
же «угол нулей», т. е. имеют вид
где А и В — матрицы порядков г и $, одинаковых для всех g е G.
В. Терминология линейных G-пространств. Пусть G —группа,
V — линейное пространство. Говорят, что на V задана структура ли-
нейного G-пространства, если на GX У определена операция со значе-
ниями в V, причем отображение vt—>g ♦ v является линейным ото-
бражением пространства У в себя и gi ♦ (g2 ♦ v) — (gtgz) * v при
всех gu g2 e G, v e V. Два G-пространства V и W называют изо-
морфными, если существует линейное отображение а: V -> W, яв-
ляющееся изоморфизмом пространств, для которого a(g*v)==g-a(v)
при всех g е G, и е V.
Подпространство U в G-пространстве V называют инвариант-
ным, если g * и е U при всех g е G, u&U. Ненулевое G-простран-
ство V называют неприводимым, если оно не имеет нетривиальных
инвариантных подпространств.
Г. Терминология модулей над групповой алгеброй< Простран-
ство V называют модулем над групповой алгеброй F.(G], или F[G"|-
модулем, если на F[G]X У определена операция (a, со
значениями в V, для которой ai(a2o) « (a^-v. Два ^[G]-модуля
V и W, изоморфны, если существует линейное отображение а: У->
-> W, для которого а (а-и) = а-а (о} при всех а & FIG], и е V.
Подпространство U в F [GJ-модуле V называют подмодулем,
если а-и el/ при всех aeF[Gj, и s U, и ненулевой модуль V на-
зывают простым или неприводимым, если он не имеет нетривиальных
подмодулей.
Отметим, что, имея структуру FJG]-модуля на У и рассматри-
вая группу G как подмножество в F[ti] (суммы с одним ненулевым
338
коэффициентом, равным 1) при ограничении операции на GXK мы
получаем на V структуру G-пространства (g, ц)|—>g‘V.
Наоборот, имея на V структуру G-пространства, мы можем по-
ложить
(( Z ае «)> °) *“* • о).
и это превращает V в F[6]-модуль.
Если Ф— линейное представление группы 6 на V, то операция
о) и-> Ф (g) v
задает на V структуру 6-пространства.
Если V—6-пространство и Ф(£): V»—>g*v, то G>(g)—линей-
ный оператор на V, и легко показать, что gi—*Ф(£)—линейное
представление группы 6 на пространстве V.
Если имеется линейное представление группы 6 на л-мерном про-
странстве V, то, выбирая в V базис и сопоставляя каждому элемен-
ту ge6 матрицу оператора Ф(£) в этом базисе, мы получаем ото-
бражение 6 в GLft(F), которое оказывается матричным представле-
нием группы 6. Другой выбор базиса приводит к эквивалентному
матричному представлению.
Если задано л-мерное матричное представление р группы 6, то,
сопоставляя каждому элементу g е 6 оператор умножения на мат-
рицу p(g) в пространстве Г”, мы получаем линейное представление
группы 6 на пространстве F".
Нетрудно проверить, что указанные способы перехода от F[6]-
модулей к 6-пространствам, линейным и матричным представлениям
и обратно переводят неприводимые объекты в неприводимые и изо-
морфные— в изоморфные.
Операция умножения в F[6] задает на пространстве V ==
=8 F[6] структуру Ft[6] -модуля; соответствующее линейное пред-
ставление группы 6 на V называют регулярным представлением. Мы
можем также задать регулярное представление, рассматривая про-
странство V с базисом (ег), g&G и определяя отображение /?:
GL(V) правилом R(h)eg — ehg при всех g, h&G. Базис (eg)
называется каноническим базисом пространства регулярного пред-
ставления.
Приведем основные теоремы о представлениях групп.
Теорема. Пусть G' —коммутант группы G и <р: G^GIG' —
канонический гомоморфизм. Тогда формула ° <р устанавливает
взаимно однозначное соответствие между множествами одномерных
представлений групп G и GIG'.
Теорема (Машке). Пусть группа 6 конечна и charF не де-
лит |6|. Тогда всякое конечномерное представление группы G над
полем F изоморфно прямой сумме неприводимых представлений.
Теорема. Пусть гриппа 6 конечна, поле F алгебраически зам-
кнуто и charF не делит |6|, Тогда число различных неприводимых
представлений группы 6 над полем F равно числу классов сопря-
женных элементов группы 6, а сумма квадратов размерностей этих
представлений равна порядку группы G.
СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Определения понятий, содержащихся в главах 5 и 6 части 2 и
главы 3 части 3, даны в разделе «Теоретические сведения».
Алгебра внешняя векторного пространства — см. «Теоретические
сведения», IV и задачу 2.3.8, ч. 3
. — Грассмана векторного пространства — внешняя ал-
гебра пространства
— групповая (группы G над полем F) — множество
конечных формальных линейных комбинаций вида
ag£ № е G, е F) с естественным сложением
и умножением на элементы поля F и операцией
умножения
V М = agahSh’
распространяющейся на линейные комбинации по за-
кону дистрибутивности
— дифференциальных операторов— см. 2.3.17, ч. 3
— нётерова (коммутативная) — коммутативная алгебра,
в которой всякая строго возрастающая последова-
тельность идеалов конечна
— обобщенных кватернионов — см. 2.3.6, ч. 2
— полупростая — алгебра, не имеющая ненулевых
двусторонних идеалов, состоящих из нильпотентных
элементов; в коммутативном случае алгебра без
нильпотентных элементов, отличных от О
— простая — алгебра, не имеющая двусторонних идеа-
лов, отличных от 0 и всей алгебры
— сепарабельная — см. 2.2.35, ч. 3
— симметрическая векторного пространства — см. «Тео-
ретические сведения», IV и задачу 2.3.11, ч. 3
— тензорная векторного пространства — см. 2.3.10, ч. 3
— формальных степенных рядов (от переменного х над
полем К) — множество формальных выражений вида
оо
(afe е К) с естественным сложением и ум-
ножением на элементы поля К и операцией умно-
жения
Еakxk • ibkxk = Е скхк-где ск = Е aibt
Jfe-0 fe=0 й-0
i >0, / >0
340
Алгебра центральная — алгебра, центр которой совпадает с 1-К,
где 1 — единица алгебры, К — ее основное поле
Аннулятор — см. 1.3.5, ч. 3
Вращение — движение, сохраняющее ориентацию пространства и
имеющее неподвижную точку
Вычет квадратичный — см. 2.2.90, ч. 3
К-вложение — инъективный /С-гомоморфизм
Гомология — см. 6.5.23, ч. 3
Гомоморфизм унитарный — гомоморфизм колец (алгебр), при ко-
тором единица переходит в единицу
К-гомоморфизм — гомоморфизм алгебр над полем К\ термин
употребляется в случае, когда алгебры рассматриваются
одновременно над некоторым расширением поля К
Группа абелева двойственная — см. 3.4.14, ч. 3
— Галуа многочлена — см. 2.2.56, ч. 3
— Галуа расширения — см. 2.2.56, ч. 3 .
— делимая — абелева группа, в которой для любого
элемента а и любого целого числа п уравнение
пх = а имеет решение
— диэдра Dn — группа движений плоскости, отображаю-
щих правильный л-угольник на себя; см также
5.2.4л), ч. 1 и 1.5.24, ч. 3
— кватернионов — множество элементов ±1, ±1, ± /,
± /г с умножением элементов, как в теле кватернио-
нов; см. также 5.2.5 т), ч. 1 и 1.5.25, ч. 2
— Клейна V4— группа перестановок {е, 12) (34), (13)
(24), (14) (23)} и всякая изоморфная ей группа
— периодическая — группа, все элементы которой имеют
конечный порядок
р-группа — группа, все элементы которой имеют порядок вида
рп(п е N)
Движение—отображение евклидова пространства в себя, сохраня-
ющее расстояния между точками
Двойное отношение прямых — см. 6.5.28, ч. 2
Действие группы на множестве — группа G действует на множест-
ве М, если каждому элементу g е G поставлена в соот-
ветствие биекция М-+М и gi(g2(m)) = (gig2) (т) для
любых gb gz е G, m е М
Декремент перестановки — разность между степенью перестановки и
числом циклов в ее разложении на независимые циклы
(с учетом циклов длины 1)
Делитель нуля в кольце — элемент а, для которого существует
элемент b Ф 0 такой, что ab = 0 (левый делитель нуля)
Единицы матричные — квадратные матрицы j « 1, ...» п), у
которых на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит
1, д остальные элементы равны 0
Закон взаимности квадратичный — см. 2.2.97, ч. 2
Идеал максимальный — идеал кольца (алгебры), не содержащийся
строго ни в каком идеале, отличном от всего кольца
(всей алгебры)
341
Идеал простой — идеал, факторкольцо (факторалгебра) по кото-
рому не содержит делителей нуля
Идемпотент — элемент кольца, совпадающий со своим квадратом
Идемпотенты ортогональные — идемпотенты, произведение которых
равно О
Инволюция — см. 2.3.6, ч. 2
Индекс нильпотентности (элемента а) — наименьший показатель
степени п, для которого ап » О
Квадрика й-планарная — см. 6.4.32, ч. 2
— Плюккера — см. 2.3.8, ч. 3
Кватернион — элемент тела кватернионов
— чистый — кватернион, действительная часть которого
равна О
Кольцо без делителей нуля — кольцо, не содержащее делителей
нуля, отличных от О
— вполне приводимое (слева, справа)—см. 2.1.52, ч. 3
и 2.1.58, ч. 3
— Ли — см. 5.4.36, ч. 1
— многочленов от некоммутирующих переменных
хь ..., хп (над кольцом Д) — множество формаль-
ных выражений вида £ • •*«"(%...
е Д) с естественной операцией сложения и умно-
жением одночленов
в*,... *Х‘ •••«*“•*/,... in*l' •••*»"=
- %... k„bi,... • • • 4",
распространяемым на суммы по закону дистрибутив-
ности
— нётерово (коммутативное) — коммутативное кольцо,
в котором всякая строго возрастающая последова-
тельность идеалов конечна
— простое — кольцо с ненулевым умножением» не
имеющее двусторонних идеалов, отличных от нуле-
вого и самого кольца
— целых гауссовых чисел — кольцо, состоящее из ком-
плексных чисел х + yi (х, у е z)
Коммутант группы — подгруппа, порожденная всеми коммутаторами
элементов группы
Коммутатор элементов группы хну — элемент группы хух-'у-'
---------------кольца х и у — элемент кольца ху — ух
Компонента полупростой (редуцированной) алгебры —см. 2.2.18,4.3
Континуанта — см. 3.8.12, ч. 1
Координаты барицентрические — координаты Хо, М, ..., точки
х аффинного пространства относительно системы точек
х0, хь ..., хп, находящихся в общем положении, опре-
деляющиеся равенством
X = 2 где £ = 1
^0
342
Коразмерность подпространства — разность между размерностью
пространства и размерностью подпространства
Корень (комплексный) из 1 — комплексное число, некоторая степень
которого с ненулевым показателем равна 1
-----первообразный степени п — корень из 1, не являю-
щийся корнем из 1 степени, меньшей л; см. также
6.4.5, ч. 1
Корреляция — см. 6.5.29, ч. 2
Матрица верхняя (нижняя) треугольная — матрица, у которой
элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали,
равны О
— Грама (системы векторов е}, ...» е* евклидова прост-
ранства) — матрица || (*, в/) || порядка п
— кососимметрическая — матрица Л, для которой
Ч = —А
— косоэрмитова — комплексная матрица, для которой
*А — —А, где А — матрица, полученная из А заменой
ее элементов на комплексно сопряженные
— нильпотентная — матрица, некоторая степень которой
равна нулевой матрице (нильпотентный элемент коль-
ца матриц)
— нильтреугольная — верхняя (или нижняя) треугольная
матрица с нулями на главной диагонали
— ортогональная — матрица А, для которой *А = А-1
— перестановка — матрица, у которой в каждой строке
и в каждом столбце стоит ровно одна 1, а остальные
элементы равны О
- ₽• периодическая — матрица, некоторая степень которой
равна единичной матрице
— присоединенная — транспонированная к матрице, со-
ставленной из алгебраических дополнений элементов
данной матрицы
— симметрическая — матрица А, для которой *А = А
' — треугольная — верхняя или нижняя треугольная
матрица
— унимодулярная — матрица с определителем 1
— унитреугольная — треугольная матрица с единицами
на главной диагонали
— унитарная— комплексная матрица А, для которой
(А = А~*, где — матрица, полученная из *А заме-
ной ее элементов на комплексно сопряженные
— элементарная — матрица вида Е + (у — 1 )Ен(у ¥= 0)
(I типа), Е + a,Eij(а =Н= 0) (II типа); иногда элемен-
тарными называют также матрицы-перестановки
— эрмитова — комплексная матрица А, для которой
*А = А, где А — матрица, полученная из А заменой
ее элементов на комплексно сопряженные
Многообразие грассманово — см. 2.3.9, ч. 3
Ф(«)
Многочлен круговой (деления круга) Фп(х) — многочлен JJ(x — ел),
где 8р . еф^ — первообразные корни степени п
из 1
343
Многочлен минимальный линейного оператора — многочлен наимень-
шей степени, аннулирующий данный оператор; мини-
мальный многочлен матрицы оператора
----матрицы — многочлен наименьшей степени, анну-
лирующий данную матрицу
---элемента алгебры — см. 2.2.2, ч. 3
— сепарабельный — см. 2.2.42, ч. 3
— характеристический элемента алгебры — см. 2.2.32, ч. 3
Многочлены Лежандра — см. 4.1.42, ч. 2
Модуль вполне приводимый — см. 2.1.57, ч. 3
— неприводимый— ненулевой модуль, не имеющий под-
модулей, отличных от нулевого и самого модуля
— приводимый — ненулевой модуль, не являющийся не-
приводимым
— унитарный — модуль, в котором единица кольца
действует тождественно
— циклический — модуль, в котором существует такой
элемент т0, что для любого элемента т модуля М су-
ществует элемент кольца а такой, что- а/п0 = т
Нильрадикал кольца — наибольший (в смысле теоретико-множествен-
ного включения) двусторонний идеал кольца, состоя-
щий из нильпотентных элементов
Норма элемента алгебры — см. 2.2.32, ч. 2
Нормализатор подгруппы — наибольшая подгруппа, в которой дан-
ная подгруппа является нормальной
Нормальное замыкание элемента группы — наименьшая нормаль-
ная подгруппа, содержащая данный элемент
— нильпотентный — линейный оператор, некоторая сте-
пень которого является нулевым оператором
Оператор кососимметрический — линейный оператор для кото-
рого (j^x, у) — — (у, s&x) при любых векторах х и у
(т. е. = — j/)
— косоэрмитов — линейный оператор & в эрмитовом
пространстве, для которого («$£х, у) « —(х, А* у) при
любых векторах х и у (т. е.
— нормальный — линейный оператор в евклидовом или
метрическом пространстве, перестановочный со своим
сопряженным оператором
4 — ортогональный — линейный оператор сохраняющий
скалярное произведение векторов ((^х, <s£y) = (х, у)
для любых векторов х и у) (т. е.
— полупростой — линейный оператор, у которого всякое
инвариантное подпространство обладает инвариант-
ным дополнительным подпространством
— самосопряженный — линейный оператор в евклидовом
или эрмитовом пространстве, для которого №х, у) =
= (х, s&y) при любых векторах х и у (т. е.
— симметрический — линейный оператор S& в евклидо-
вом пространстве, для которого (J^x, у) = (х, ^у)
при любых векторах х и у (т. е.
— сопряженный (к оператору — линейный оператор
для которого (^х, у) ==. (х,
344
Оператор унитарный — линейный оператор в эрмитовом про-
странстве, сохраняющий скалярное произведение
векторов ((s£x, sty) ±= (х, у) для любых векторов х и у)
(т. е. = з£“1)
— эрмитов — линейный оператор & в эрмитовом прост-
ранстве, для которого у) = (х, з&у) при любых
векторах х и у (т. е.
Определитель Грама — определитель матрицы Грама
Орбита элемента — множество образов элемента при действии всеми
элементами группы
Ориентация векторного пространства — 2.3.8, ч. 3
Ось гомологии — см. 6.5.23, ч. 2
Отражение (в подпространстве U параллельно дополнительному
подпространству V) — линейный оператор, ставящий
каждому вектору х = « +v(us ие V) в соответ-
ствие вектор и — v
Параллелепипед (со сторонами ...» ak) — множество линейных
k
комбинаций Xiai (0 1, i = 1, ../?)
Перестановка — взаимно однозначное отображение множества ко-
нечного на себя; подстановка
Период группы — наименьшее натуральное число п, для которого
хп — е для любого элемента группы х
Периодическая часть группы — множество элементов группы, имею-
щих конечный порядок
Подгруппа максимальная — подгруппа, не содержащаяся строго ни
в какой подгруппе, отличной от всей группы
— стационарная элемента множества М — множество
элементов группы, действующей на множестве М,
оставляющих данный элемент неподвижным
р-подгруппа силовская — максимальная подгруппа, являющаяся
р-группой
Подпространство дополнительное (к подпространству U) — под-
пространство V, для которого все пространство равно
U&V
— корневое (линейного оператора Л, отвечающее соб-
ственному значению Л) — множество векторов, анну-
лируемых оператором вида (Л— Z£)4(^sN)
— максимальное — подпространство, не содержащееся
строго ни в каком подпространстве, отличном от
всего пространства
Поле разложения алгебры — см. 2.2.27, ч. 3
----многочлена — наименьшее расщепляющее поле мно-
гочлена
— расщепляющее алгебры — см. 2.2.25, ч. 3
----многочлена — расширение поля коэффициентов мно-
гочлена, над которым он раскладывается в произведе-
ние линейных множителей
----множества многочленов — расширение поля коэф-
фициентов . многочленов, над которым все данные
многочлены раскладываются в произведение линей-
ных множителей
345
Проектирование (на подпространство U параллельно дополнитель-
ному подпространству V) (проектору — линейный опе-
ратор, ставящий каждому вектору х = и + v (и е Ut
v е V) в соответствие вектор и
Произведение полу прямое групп G и Н — множество G X й с опе-
рацией
(х, у) (г, о = (X4f(y)(z), yt),
где qp: Н -> Aut G — некоторый гомоморфизм
Псевдоотражение — см. 3.1.13, ч. 2
Расширение Галуа — см. 2.2.54, ч. 3
— нормальное — см. 2.2.30, ч. 3
— сепарабельное — см. 2.2.39, ч. 3
— чисто несепарабельное — см. 2.2.48, ч. 3
Символ Кронекера да = 1, 6// = 0 при i ¥= / (i, / = 1....л)
~ Лежандра — см. 2.2.92, ч. 3
— Якоби — см. 2.2.92, ч. 3
Симметрическая разность множеств — см. 1.1.2, ч. 1
След матрицы — сумма элементов матрицы, стоящих на главной
диагонали
— оператора — след матрицы данного оператора
— элемента алгебры — см. 2.2.32, ч. 3
Степень сепарабельная алгебры — см. 2.2.23, ч. 3
— трансцендентности расширения — см. 2.2.17, ч. 3
Супералгебра Ли —см. 2.3.11, ч. 3
Тело кватернионов — векторное пространство над полем R с базисом
1, i, /, k, где 1 — единица умножения,
/2 = /2 = fe2==- 1, ij = — ji = k9 = —
ki = — ik = j\
алгебра обобщенных кватернионов при а = Р = 1
Трансвекция — см. 1.5.3, ч. 2
Функция Мёбиуса — функция натурального числа л, определяемая
равенством
1 при п == 1
(— 1)г, если п — произведение г различных
И (л) =
простых чисел
0 в остальных случаях
— Эйлера— при п == 1 равна 1, при п > 1 равна числу
натуральных чисел, меньших п н взаимно простых
с п
Центр гомологии — см. 6.5.23, ч. 2
— группы (кольца) — множество элементов, перестано-
вочных со всеми элементами группы (кольца)
346
Централизатор элемента группы — множество элементов группы,
перестановочных с данным элементом
Циркулянт — см. 3.7.3, ч. 1
Элемент нильпотентный кольца — элемент, некоторая степень кото-
рого равна О
Элементарные преобразования (строк) матрицы — для матрицы над
полем: умножение строки на элемент, отличный от нуля
(I тип); прибавление к строке другой строки, умножен-
ной на элемент, отличный от О (II тип), иногда пере-
становка двух или любого числа строк. Для матриц над
кольцом множитель в преобразовании II типа предпо-
лагается обратимым. Элементарные преобразования
столбцов определяются аналогично
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
fA — транспонированная матрица для матрицы А
А* — присоединенная матрица для матрицы А
— сопряженный оператор для линейного опе-
ратора
Ал — знакопеременная группа степени л (группа чет-
ных перестановок на множестве {1, 2..л})
Al — алгебра над полем L — расшйрением поля К
алгебры над полем К
|А | —число элементов множества А
[А, В] — коммутатор АВ — ВА матриц А и В
Aut G — группа автоморфизмов группы G в про-
странстве (V)
Alt — оператор альтернирования
(а) — идеал кольца, порожденный элементом а
<а> — подгруппа (подкольцо, подалгебра, идеал),
порожденная элементом а
— циклическая группа порядка л с образующим
элементом а
argz— аргумент комплексного числа г; считается,
что 0 arg z < 2л
С —множество (поле, аддитивная группа) комп-
лексных чисел
Dn—труппа диэдра (группа движений правильного
л-угольника)
Drt(A)—множество диагональных матриц порядка
п над кольцом А
3)— оператор дифференцирования в функциональ-
ных пространствах
diag (М, .. •, Ьп) — диагональная матрица с элемен-
тами %i, ..., Кп на главной диагонали
End А — кольцо эндоморфизмов абелевой группы А
(кольца А)
еА — сумма ряда Тэйлора функции е* при х = А
(А — матрица)
348
Ец — матричная единица — матрица, у которой эле-
мент на пересечении t-й строки с j-м столбцом равен 1,
а остальные элементы равны О
Ея— поле из q элементов
Ga — стационарная подгруппа элемента а е М при
действии группы G на множестве М
G' — коммутант группы
GLn(V) — группа невырожденных линейных опера-
торов в векторном пространстве V
GLn(F)—группа невырожденных линейных опера-
торов в n-мерном векторном пространстве над полем F;
группа невырожденных матриц порядка п над полем F
GLn(qj — то же самое, что GLn(F4?)
Н — тело кватернионов
Нот (Л, В) — группа гомоморфизмов группы А в
группу В
К* — группа обратимых элементов кольца К
К (а)—расширение поля К, полученное присоеди-
нением элемента а
K[G] — групповая алгебра группы G над полем /С
К[х]— кольцо многочленов от переменного х с ко-
эффициентами из кольца К
К [х]я — множество многочленов из кольца К [х]
степени, не большей п
К(х) —поле рациональных функций от переменного
х с коэффициентами из поля К
к [И] — кольцо формальных степенных рядов от
переменного х с коэффициентами из кольца К
хл] —кольцо многочленов от переменных
х>, ..., хп с коэффициентами из кольца К
K{xi, ..., хп}—кольцо многочленов от некоммути-
рующих переменных Xj......хп с коэффициентами из
кольца К
L (V) — множество линейных операторов в вектор-
ном пространстве V
In Л—сумма ряда Тэйлора функции In (1 — х) при
х = А (Л — матрица)
МЛ(Х) — кольцо (алгебра) матриц порядка п над
кольцом К
N — множество натуральных чисел
N(A)—нильрадикал алгебры Л
N(H) — нормализатор подгруппы Н
Nx/x (а) — норма элемента а алгебры Л над по-
лем К
349
nZ — множество целых чисел, кратных числу л
Ол (К)—группа ортогональных матриц порядка л
над полем К
Q — множество (поле, аддитивная группа) рацио-
нальных чисел
Н — тело кватернионов
R — множество (поле, аддитивная группа) веще-
ственных чисел
R+ — множество (мультипликативная группа) поло-
жительных вещественных чисел
rk А — ранг матрицы
rk — ранг линейного оператора &
(S) — подгруппа (подкольцо, подалгебра, подпро-
странство) с множеством порождающих <$; аффинная
оболочка множества S
Sn — симметрическая группа степени- л (группа
перестановок множества {1, 2, л})
Sx — группа взаимно однозначных отображений мно-
жества X на себя
SL«(/() — группа матриц с определителем 1 над по-
лем К
SLn(q) — то же самое, что SLrt(F<7)
SOn(K) —группа ортогональных матриц с определи-
телем 1 над полем К
S Un (С)—группа унитарных комплексных матриц
с определителем 1
SUn — то же самое, что SUn(C)
S (V) — симметрическая алгебра векторного про-
странства V
S’(V)—р-я симметрическая степень векторного
пространства V
Sym — оператор симметрирования в пространстве
W)
Т(У)—тензорная алгебра векторного простран-
ства V
Т£ (V) — векторное пространство тензоров типа
(р, q) на векторном пространстве V
tr Л — след матрицы А
tr«$^ — след линейного оператора
*ГЛ/К <а) "" след элемента алгебры а над по-
лем К
U — группа комплексных чисел с модулем 1
и« — группа комплексных корней степени л из 1
850
Up00 — группа комплексных корней степени рп из
1 (n е= N) (р — простое число)
U0 — ортогональное дополнение к подмножеству
U векторного пространства в сопряженном простран-
стве
— ортогональное дополнение к подмножеству U
векторного пространства относительно заданной били-
нейной функции
иТЛ(К) —группа унитреугольных матриц порядка п
над полем К
V4 — группа Клейна
V* —векторное пространство, сопряженное (двой-
ственное) к пространству V
V (щ, ..., ац) — объем параллелепипеда, со сторо-
нами П], ..., ац
х Ду — произведение элементов х, у в алгебре
Грассмана векторного пространства
Z— множество (кольцо, аддитивная группа) целых
чисел; бесконечная циклическая группа
Zn — циклическая группа порядка п\ кольцо выче-
тов по модулю п
Z [/] — кольцо целых гауссовых чисел
п
Vz—множество комплексных корней степени п
из числа z е С
р (и) — функция Мёбиуса
р(а) — минимальный многочлен алгебраического
элемента а
Л(V)—внешняя алгебра (алгебра Грассмана) век-
торного пространства
Л«(У)— q-я внешняя степень векторного простран-
ства V
Фп(х) — многочлен деления круга (круговой много-
член) JJ (х — еА где е*первообразный корень сте-
пени п из 1 (k — 1, ..., ф(п))
<р(п) —функция Эйлера
Хд/Х (а> *) — характеристический многочлен элемен-
та а алгебры А над полем К
— тождественное отображение множества X
2х — множество всех подмножеств множества X
351
Вячеслав Александрович Артамонов, Юрий Александрович Бахтурин,
Эрнест Борисович Винберг, Евгений Соломонович Голод,
Василий Алексеевич Псковских, Виктор Николаевич Латышев,
Александр Васильевич Михалев, Анна Петровна Мишина,
Александр Юрьевич Ольшанский, Алексей Алексеевич Панчишкин,
Игорь Владимирович Проскуряков, Алексей Николаевич Рудаков,
Лев Анатольевич Скорняков, Альфред Львович Шмелькйн
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
Под редакцией А. И. Кострикина
Редактор Г, В. Дорофеев
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор О. М. Березина
ИБ № 32450
Сдано в набор 01.08.86. Подписано к печати 30.03.87. Формат
84X108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высо-
кая. Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт. 18,48. Уч.-изд. л. 22,24. Ти-
раж 29 000 экз. Заказ № 132 Цена 1 р.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Крас-
ного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга*
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном ко-
митете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. С матриц Ленинградской типо-
графии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Зна-
мени Ленинградского объединения «Техническая книга* им. Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ле-
нинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.