СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Т. XVII, № 5
Сентябрь — Октябрь
1976
УДК 519.9+517.9+517.С2.50
А. Л. ЛИХТАРНПКОВ, В. А. ЯКУБОВИЧ
ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
Введение
В конечномерном случае частотная теорема (1-4) утверждает (в фор-
мулировке (4)), что для существования эрмитовой матрицы Я, удовлет-
воряющей соотношению
Не[гг*Я(А:г+&н)]-|-.Г(я, u):^sO (Vx^CN, и^Сп),	(0.1)
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено неравенство
F[(iul—A)-'bu, u]>0 (VueCn, Vaefi1).	,(0.2)
Здесь А, Ъ — управляемая по Калмапу пара матриц соответствующих
размерностей, F — эрмитова форма аргумента x-j-ueC**'1. Частотная тео-
рема утверждает также, что при выполнении (0.2) существуют такие
матрицы Н=Я* и h, для которых справедливо представление
Re[z*ff(Ах+Ьи)] -|-F(z, и) = |fe*z-}-xu|2 (Vz, и),	(0.3)
где х=х* — матрица формы Е(0, и).
Соотношение (0.3) может быть записано в виде матричных уравнений
относительно h п Я; они называются системой «разрешающих уравнений
Лурье» (см. (5-6)), а в зарубежной литературе — матричными уравнения-
ми Рпккати. Удобный алгоритм решения уравнений Лурье имеется в (4).
Частотная теорема широко используется при исследовании систем
управления. Применение частотной теоремы — центральный момент при
получен пл для нелинейных систем автоматического регулирования усло-
вий абсолютной устойчивости и неустойчивости, критериев дисоипатив-
иости, конвергенции, существования периоднчоскшх, почти периодических
вынужденных режимов, существования автоколебаний ((5~13) и ДР-”)*
Частотная теорема используется при решении задач синтеза адаптивно-
го управления (14, IS), оптимального управления (3> 16~18), в теории слу-
чайных процессов (,9~21). Недавно А. А. Нудельман обнаружил интерес-
ные связи частотной теоремы с проблемой Пев ан линны — Пика и с ее
обобщениями.
При перенесении указанных результатов на случай систем с распре-
деленными параметрами (т. е. систем, описываемых уравнениями в част-
ных производных, пптегродифференциальными уравнениями и т. д.) ос-
’> Вес эти условия получаются выраженными через частотные характеристики
линейной части системы, что объясняет введенное в (4) название «частотная» теорема,
1070
Л. Л. Лихтарников, В. Л. Якубович
новная трудность состоит в необходимости «иметь аналог частотной тео-
ремы для бесконечномерного случая. Целью настоящей работы является
получение таких теорем для неограниченных операторов. Хорошо изве-
стно (см. также замечание 3 и пример и. 5 в § 1), что для широкого
класса приложений удобна «вариационная» (в терминах интегральных
тождеств) постановка задачи. Ниже для этого случая установлена час-
тотная теорема для «невырожденного» п «вырожденного» случаев (тео-
ремы 4 и 5), т. е. случаев строгих и нестрогих неравенств в бесконечно-
мерном аналоге (0.1). Средством для получения этих результатов явля-
ется вспомогательная задача оптимального управления .’пшенной систе-
мой с квадратичным критерием качества. Для этой задачи установлено
достаточное (и «почти необходимое») условие существования синтези-
рованного оптимального управления. Этот результат усиливает резуль-
таты (22), гл. 3. Попутно в статье устанавливается ряд других утвержде-
ний, из которых отметим теорему о стабилизации (теорема 2). утвер-
ждающую, что при наличии некоторых общих свойств управляемости
линейную систему управления можно стабилизировать введением подхо-
дящей линейной обратной связи (мы получаем это утверждение как
следствие частотной теоремы).
В доказательствах мы следуем схеме (23), где установлены аналогич-
ные результаты для ограниченных операторов. Однако специфика случая
неограниченных операторов потребовала почти полностью изменить до-
казательства. Там, где доказательства почти повторяют доказательства в
(2Э), мы отсылаем читателя-к (23)..~
§ 1. Постановка задач и основные обозначения
(.Гильбертова шкала пространств (24). Говорят, что
гильбертово пространство Xq оснащено гильбертовыми пространствами Х[
и Х-ц если XiCzXqCzX-i, Xi всюду плотно в Хо, Хо всюду плотно в X-i
и соответствующие операторы вложения непрерывны: c|x|-i^
где | -11, | • |o, |  ]-i — нормы в пространствах Xi, Xo, X~i соот-
ветственно2). Часто удобнее рассматривать семейство оснащенных прост-
ранств — гильбертову шкалу пространств. Пусть в Хо задан неограничен-
ный самосопряженный оператор Л с областью определения D(A) такой,
что
(Лх,а;)о>|х|? ГхеД(Л).	(1.1)
Пусть а^О. Ообозиачим через XR область определения оператора Л“:Х«=
—D(Aa). Пространство Ха является гильбертовым по отношению к ска-
лярному произведению (а;, у)а= (Аах? Л“у)о, х, y^D (Аа). При а<0 по
этой же формуле вводится новое скалярное произведение в пространстве
Хо п пространство, полученное пополнением Хо по норме I 	~ ,  )а,
обозначается через Ха. Полученное семейство гильбертовых пространств
[^ajaeH1 называется гильбертовой шкалой пространств.
Ясно, что для любого ссе(Р, f) пространство Ха оснащено простран-
ствами Хр и Хт. Пространства Ха и Х_а являются взаимно сопряженными
по отношению к скалярному произведению в Хо. Иначе говоря, между
антилинейными	=JU(x)-]-pZ(j/)) непрерывными функциона-
лами над Хи и элементами из Х_к существует взаимно-одпозначное изо-
метричиое соответствие. Покажем это. Пусть яеХ«, jj^Xq. Тогда
2) Всюду далее рассматриваются пространства вад полем комплексных чисел.
Вес результаты работы справедливы и для вещественного случая.
Частотная теорема
1071
| (ж, у) о | = | (Аах, Х~лу) о |	| х | a (у | -и. Расширяя функционал (х,  ) о по
непрерывности на Х-а, получаем
I (х, у) о I С IXI „ I у I _о,	уе=Х-а.	(1.2)
Иначе говоря, для х^Ха, у(=Х_а определено «скалярное произведение»
(х, у) о и справедливо неравенство Коши — Буняковского (1.2). В силу
(1.2) каждый элемент у<^Х_а порождает непрерывный на Ха функцио-
нал 1и по формуле lv(x) — (y, х)о, х^Ха. Наоборот, если I — непрерывный
антплпнейный функционал над Ха, то по теореме Рисса l(x) — (z, х)и
для некоторого z<=Xa. По определению, (z, xja—iy, х)о, где p=A2eze
При этом \11у* = | z\a = | Aaz |0 = | у I—a.
a
2. Операторы в оснащенных пространствах. Пусть
па гильбертовом пространстве XjXX.i .задана эрмнтово-билпнейпая непре-
рывная форма а (х, у)
|a(al, у) I ^СЫ,1г/|ь X, У<=Х\.	(1.3)
Тогда для произвольного элемента х^Х[ а(х, •)—антилииейный непре-
рывный функционал на Хь Предположим, что Xj плотно и ограниченно
вложено в некоторое гильбертово пространство Xq.
Оказывается (24), что существует неограниченный самосопряженный
в Хо оператор А такой, что _D(A)=Xi и | Ах|0='|х| ь По оператору /1
можно построить гильбертову шкалу пространств, включающую Xi и Xq.
Оператор А строится не единственным образом (при неизменных то поло-
тях пространств Xi, Хо он зависит от выбора скалярных произведе-
ний в этих пространствах), однако шкалы, построенные по двум поло-
жительно определенным операторам Ai, Aa:P(Ai) =Р(Лг) =Xi, совпада-
ют с точностью до эквивалентных гильбертовых норм.
Таким образом, форма а(х, у) порождает линейное отображение
х~^Лх, где Ааз=Х-1 — вектор, отвечающий функционалу а(х, ). Оче-
видно, что A^S?(Xlt X-i), где через S’(X), X-i) обозначено банахово про-
странство непрерывных линейных отображений Xi~->X-i с нормой
I'll.a’l*..-''-!)’ и а(х’ У) = (Ах, У)о, х, у^Хл. Форме а*(ж, у)=а(у, х) со-
ответствует некоторый оператор A*<=JSF(Xi, Х_]), который будет сопряжен
к оператору А в следующем смысле: (Ах, у)о—!(х, А*у)о, х< У^%1-
3. Уравнения эволюционного типа. Пусть{Ха)кеВ1 _гиль-
бертова шкала пространств. Через £2(^1, ^2; Ха) далее обозначается
гильбертово пространство измеримых по Бохнеру функций x(t): (Т\, Г2)—>-
-+Ха, —таких, что
т,
Обозначим через И7^, Т2) пространство функций x(’)^L2(Ti, Т2\ Xi)
таких, что (~L<>(Tr, Г2; X„i), где производная ^-понимается как обоб-
щенная функция на [Г|, Г2] со значениями в Xi
г»	тЕ
j	Ф (О dt = - J X (0 Ф' (t) dt «= X, Уф <= С“ (Л, Т2).
71	Ti
Снабженное нормой | х(.)|2, =к(-)||1+ |	£ пространство ИГЛ, Тг)
является гильбертовым пространством (25).
1072
А. Л. Лихтарников, В. А. Якубович
Через С(Гц Г2; Ха) обозначим банахово пространство непрерывных
отображений [Гц Г2]-^Ха (ограниченных, если Ti~—оо или Гя^-Ь00),
снабженное нормой |^(-) |c,a=sup |x(i) |о. Имеет место следующая
теорема вложения.
Теорема (25). Пространство W(T\, Г2) непрерывно вкладывается
в пространство С{Т{, Xq), т. е. всякая функция из W(7'i, Г2), надле-
жащим образом измененная на некотором множестве меры нуль, являет-
ся непрерывной функцией [Гц Г2] —*-Хо и |а:( -) |с_ о const* | х( •) | и-.
Рассмотрим теперь эволюционную задачу. Пусть дана эрмнтово-бп-
лнпейная, непрерывная па Х]ХХ> форма а(х, у), вектор ,?oGeXo и вектор-
функция /(-)е£2(0, Г; A’-i). Требуется найти or(*)elfT(O, Г), удовлет-
воряющую тождеству
(^Г’у) = “ МО. 1/1+ 0(0. У)о	п в- /«=10,7)	(1.4)
и начальному условию
х(О)=хо.	(1.5)
В силу теоремы вложения значение функции aJ( •)	(0, Г) в точке
1=0 «имеет смысл и условие (1.5) корректно. Рассмотрим оператор А,
порожденный формой а(х, у). Задачу (1.4), (1.5) можно переписать в
виде
‘^p=Az(t)+f(t),xm = Xo.	(1.6)
Предположение 1. Всюду в данной работе предполагается, что
задача (1.6) корректна на любом компактном промежутке [0, Г], т. е.
для произвольных элементов xG^.XG, /(-)е£2(0, Г: X-i) существует
единственная функция х{ •) еИ7(0, Г), удовлетворяющая (1.4), (1.5) в
непрерывно зависящая от исходных данных
(L7>
Замечай и е 1. Это предположение выполнено, если, например,
форма а коэрцитивна
ЗХеЯ1, ct>0:Rea(x, х) 4-Х]я|оС“«l^|i Xi
(см. (22), гл. 3).
Пусть x(t)— решение задачи (1.6) для /(/)^0. Введем оператор
G (t): G (t) xG=х (t), тсезХ0. По предположению, х () е W (0, Г), т. с.
•G(i)xoeXi для п. в. te[0, Г]. Из теоремы вложения следует, что
(1)	G(Z)e^(X0, Хо);
(2)	отображение i->G(t)^o непрерывно в норме Хо;
(3)	G(0) —Iq, где /о — единичный оператор в Хо-
Кроме того, семейство {G(Z)} обладает полугрупповым свойством
(4)	G(Z-H)=G(£)G(t:)=G(t)G(O, т, ie[0, Г].
Таким образом, G(t) — сильно непрерывная полугруппа линейных
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Хо- Оператор
А<=2?(Х\., Х-1)можно рассматривать как расширение па пространство
Xi инфинитезимального производящего оператора А -D{A) -+ Хо полу-
группы G(t) класса Со (26).
Замечание 2. Элементы пространства Х-i часто называют обоб-
щенными векторами (24). В приложениях X~i — пространство обобщен-
ных функций конечного порядка (элементы двойственного пространства
Частотная теорема
1073
Xi — функции, имеющие конечное число суммируемых с квадратом обоб-
щенных производных).
Сопряженная полугруппа G*(t), как легко видеть, соответствует
задаче (1-4), (1.5) с формой а*(х, у). В терминах полугрупп легко вы-
ражается решение неоднородной задачи (1.6).
x(O = G(t)xo + $G(t-T:) f(z)dz,	(1.8)
о
где пптеграл в правой части определяется следующим образом. Посколь-
ку /(•)	(0, Г; Х-1), функционал-
1 (г) = f(/ (г), G* (t — т) z}„ dt
о
непрерывен на А'о, т. е. 1(х) при любом i>0 можно отождествить с неко-
торым вектором xi (£), который мы и записали как второе слагаемое в
(1.8). Непосредственно проверяется, что z’i(-) — решение задачи (1.4),
(1.5) с £j(0)==0.
4.	Задача оптимального управления для линейной
системы с квадратичным критерием качества общего
впда. Пусть кроме пространства А\ и формы а(-, •) заданы гильбертово
пространство U и эрмитово-билииейная форма Ь(и, х), непрерывная на
1/ХХь Форме b соответствует некоторый оператор B^S? (U, X-i)
b(u, х) = (Ви, x)q, ueU, х&Х\. .
Далее, пусть F(x, и) — эрмитова форма на XiXU
F(x, u) = (Fix, 3:)o+2Re(F2K, x)0+ (F3y, u)u, (1.9)
где F3 = Fl ch Z (U, U), F2 e Z (U, XQ), F,=F\^Z (A\, X_t) - само-
сопряженный оператор относительно скалярного произведения в Хо-
Системой управления будем называть уравнение
~=Ах + Еи.	(1.10)
Функции w(-)e£2(0, Т; U) будем называть управлениями, а реше-
ния х(-, х0) задачи (1.4), (1.5) с f=Ви —состояниями системы управ-
ления (1.10) с начальным состоянием x(0)=Xq. Пару {а?(-, xq), u(-)}
будем называть процессом задачи (1-10), (1.5), если {х(-, а?о), п(-)}е
еП'(0, оо)Х£г(0, 00, U) и я(«, а?0) — решение (1.10), (1.5). Множество
всех процессов задачи (1.10), (1.5)- С начальным состоянием Xq^Xq обоз-
начим через ЭДХо. (Множество процессов с нулевым начальным состояни-
ем будем обозначать через 2%.) Введем критерий качества процесса
{х(-, х0), и()} по формуле
/[*(), «(-)] = {/,[к(«), u(t)]dt.	(i ll)
(1
Будем говорить, что процесс {х°(-, Xq), и°(«, хо)} оптимален, если
Л^(-)^°(-)]^[х(.),и(-)]	(1.12) ,
для любого процесса {z(-). н(-)}е2Лз:о.Нпже будет рассмотрена задача об
условиях существования оптимального процесса. Если п°(-) удается пред-
ставить в виде некоторой функции состояния u°(t) =A-[z(t)], где
. не зависит от начального состояния xq, то u°(f) =fc[x(t)] называет-
ся синтезированным оптимальным управлением.
8 Сибирский математический журнал Ка 5. 1976
1074
А. Л. Лихтарников, В. А. Якубович
Замечание 3. Ряд задач оптимального управления типа (1.10)-
(1.12) рассмотрен в книге (22). Основное отличие сформулированных ни-
же результатов состоит в том, что форма (1.9) не предполагается поло-
жительно определенной 3) 4. Отметим, что приложения частотной теоремы
к задачам теория абсолютной устойчивости нелинейных спстем автома-
тического регулирования с распределенными параметрами возможны
лишь для незнакоопределенных форм (1.9). Для наших целей также
существенно, чтобы были рассмотрены операторы B^2?(U, X-i) без до-
полнительных ограничений B^S? (U, Xq), которые наложены в основном
утверждении (22), теорема 4.4, гл. 3. Поясним последнее замечание при-
мером.
5.	Пример. ПустьX1 = W1(Q),-XO = L3(Q), Z7 = 1ГГ1/2(0Й)(25), где
Q— область в евклидовом пространстве Яп, 8Q— ее граница, ()=QX
Х(0, -f-oo), S=6QX[0, +°°)- Рассмотрим неоднородную начально-крае-
вую задачу Неймапа для уравнения теплопроводности в вариационной
постановке. Введем эрмитово-билинейную форму


(1.13)
Форма Ъ задается следующим образом 4>:
b(u,x)= f u(B)T(E)d5, s(-)e»7|(Q), u(-)eIF?i/2(0Q), (1.14)
оЯ
т. е.
В е £?(?7, X— 1). : (Ви, x)Q = J uxdS.
В качестве / возьмем функционал на W2 (£2)
/(1)1<Р1 = [/1(1»0ч>(Ю^+ f<реИ1(й).
я	ар _ .
где fi^Lz(Q), g€E L., [О,со; (dQ)]. Тогда состояние системы (1-10)
определяется из интегрального тождества
(^Г’ф) = а(х(О> <Р) + b(u(t), q?) + /l<₽] уфеХп (1-15)
з?(0) — зго^Хо-	(1.16)
В случае гладкой области и гладких данных задача (1.15), (1.16) экви-
валентна классической
5^Л = д^(|,0 + ла,0. (М)еС,
~ Р|r = g(5. О + U(6,О,	(5.0) = (5).
В этом примере управление граничное. Даже при U=L2(8Q) функ-
ция Ви, вообще говоря, не будет принадлежать пространству Хо=.Дг(й)
3) Вариационная задача (1.10)—(i.12) рассмотрена недавно в интересной работе
В. А. Бруспва (27). При несколько иных предположениях в (27) получено достаточно:
частотное условие для представления (2.6) (разрешимость уравнений А. II. Лурье)
4) В силу теоремы о следах (25) функция u(£) x(g) в (1.14) суммируема на <Ю
Частотная теорема
1075
(й). Следовательно,	X~i), B#S?(U, Xq). Задачи управления
дпффузпопнымп процессами с граничными управлениями образуют ши-
рокий класс «естественных» прикладных задач.
6.	Регулярные операторы. Вернемся к задаче (1.6). В тео-
рии оптимального управления возникает задача, которую мы далее будем
называть сопряженной к задаче (1.6):
^ = _Л*Ф + /, ф(7’) = ’Фт-	(1-17)
Если существуют решения х{-), задач (1.6), (1.17), то в силу
теоремы вложения x{t), ip(i) — непрерывные функции [0, Г)->-Хо и их
значения для и. в. t<=[0, X] принадлежат пространству Хь Для доказа-
тельства осуществимости синтеза оптимальных управлений нам потребу-
ются предположения о «гладкости» решений. В связп с этим введем
Определение 1. Оператор А (форму а (•, )) будем называть
регулярным {регулярной), если при xo^Xi, фуеХь /еХ2(0, Т\ Хо) ре-
шения задач (1.6), (1.17). сильно непрерывны по t в норме Xj.
В ряде важных для приложений случаев оператор А регулярен55
(см. (22,25)). Например, форма (1.13) регулярна. Если	Хо),
Де.ЗДХо, Хо), то условие регулярности ниже нс потребуется. В этом
случае задачи могут быть поставлены в рамках теории полугрупп, т. е.
в предположениях более слабых, чем предположение 1. Однако, как мы
уже отмечали выше, при этом значительно сужается область приложений.
7.	Стабилизируемые н £2 - У п р а в л я е м ы о систем ы. За-
дача оптимального управления (1.10) — (1.12) поставлена корректно, если
множество процессов системы управления (1.10) непусто. В связи с -этим
введем следующие определения.
Определение 2. Пару форм {а, 6} (н систему (1.10)) будем на-
зывать Lz-управляемой, если для произвольного элемента Xq^Xq множе-
ство не пусто, т. е. существует управление и(-)&Х2(0, 00; U)
такое, что состояние х{-) системы (1.10) удовлетворяет условиям
х(-)еРГ(0, оо), x(0)=xq.
Замечание 4. В отличие от (23) в определении 2 не требуется
линейной зависимости и(-) от начального состояния xq^Xq. В (23) так-
же можно опустпть требование линейной зависимости от начального со-
стояния, дополнив доказательства соответствующими рассуждениями (см.
лемму 2 в § 3).	’ ‘ '
Определение 3. Пару {а, Ь} (и систему (1.10)) будем называть
[^-стабилизируемой, если существует оператор (Xb U) такой, что
задача
^ = (А + Вс)х, х(0) = х„.	(1-18)
корректна па полуоси [0, +°°), w экспоненциально стабилизируемой,
если решение задачи (1.18) экспоненциально убывает при t->+oo
1^(0 |о^Се_е,|а:(О) [о, е>0.	(1.19)
Очевидно, что экспоненциально стабилизируемая пара Х2-стабилизи-
руема, а Хг-стабплпзпруемая пара £2-управляема. Ниже будет доказано,
что для регулярных форм а{-, •) все три класса систем совпадают.
5j Требование регулярности формы а малоогранпчптельно; студент ЛГУ
А. С. Матвеев показал, что оно всегда выполнено прп условии полной пепрерывпостл
сложения Xi с А'о. Авторы признательны А. С. Матвееву также за упрощенно дока-
зательства теоремы 1.
1076
Л. Л. .Пихтарников, В. А. Якубович
§ 2.	Формулировки результатов
1.	Далее мы будем употреблять следующие обозначения. Пусть
&(z)==(Xz, z)— эрмитова форма на .гильбертовом пространстве Z, К=
=K*^S’{Z, Z). Будем писать: (a) Х^О, если /c(z)^O, VzeZ; (b) К>
>0, если /c(z)>0 Vz=j£O; (с) k(z) J»0 (K^>0), если 36>0: k(z) > 6[z|z
VzeZ.
2.	Пусть задана эрмитова форма (1.9), непрерывная на XiXU. Вве-
дем числа а,- (г= 1, 2, 3) по следующим формулам. Положим
«I = inf I [I х (•) |2 , + I и (-) \l JJ F [X (t), и (t)] dJ.	(2.1)
I ’	’	0	J
Здесь нижняя грань берется по всем процессам задачи (1.10) с нулевым
начальным состоянием. Пусть
а2 = inf {[I#]?+ lnlu] w)| (i<ax = Ac 4- Au). (2.2)
В (2.2) нижняя грань берется по всем тройкам {со, а:, uj&fl’XXiXJJ та-
ким, что ио(х, y)G=a(x, у)-\-Ь(и, у) Vy<~Xi.
ссз= inf inf |к| 2F[(i(aI—A)~lBu, u]	(2.3)
о е в1 и е и
(в предположении, что существует непрерывный обратный у оператора
1ы1—A Vtoe/?1).
3.	Теорема 1. (о задаче оптимального управления). Пусть выпол-
нено предположение 1 § 1 и пара {а, Ь} Lz-управляема. Тогда:
1°. Если одно из чисел ot[, ocz, определенных формулами (2.1), (2.2)
положительно, то положительно и второе число и существует единствен-
ный оптимальный процесс {г°(-, ^й), п°(-, хр)} задачи (1.10) — (1.12),
непрерывно зависящий от начального состояния хоеХо. Соответствующее
значение минимума П(т0) — 7[а:0(), п°(-)] является квадратичной фор-
мой на X0'.V (х) = (Нх, х)0, Н=Н*е&(Хо, Хо).
2°. Пусть aiZ>0. Оптимальный процесс удовлетворяет следующей га-
мильтоновой системе уравнений:
~ = Ах 4- Ви, х(0) = хо,
-~ = ~ А*$ + Егх -j- F2u,
(2.4)
Fsu 4- F%x — В*чр = 0
с некоторым 4j)=4]?°. Оператор Н выражается через i]?0(-): Hxq=—т]?°(0)
V Xq^Xq.
Пусть, кроме того, форма а регулярна и F\^S?(X\, Хо). Тогда
Н^2?(Х-1, Хо) П ^(Хо, Xi), 4?o(-)оо) и существует оператор
h^S?(Xo, U) такой, что u°(t, xq) =hxG(t, xG) V£0<=X0. При этом задача
Коши для уравнения (1.18) и c=h корректна на полуоси [0, +°°).
3°. Если одно из чисел cci, аа отрицательно, то отрицательно и вто-
рое число и оптимального процесса в задаче (1.10) — (1.12) не существу-
ет: inf /[&(), u(-)] =—оо.
4°. Если оператор icol—А имеет- непрерывный обратный для всех
сое/?1, то числа ab az в формулировках пп, 1°—3° можно заменить чис-
лом аз, определенным по формуле (2.3).
Частотная теорема
1077
Замечание 5. Утверждение п. 2° теоремы означает, что осуще-
ствим синтез оптимальных управлений и, следовательно, пара {a, t»} Ls-
стабилизируема.
Теорема 2 (о стабилизации). Пусть пара {а, 6} Lz-управляема и
выполнены предположения п. 2° теоремы 1. Тогда пара {с, Ъ} экспонен-
циально стабилизируема.
Замечание 6. Легко видеть, что экспоненциально стабилизируемая
пара Дг-управляема. Таким образом, из теоремы 2 следует, что свойства
^-управляемости, £г-стабилизируемости и экспоненциальной стабилизи-
руемости эквивалентны для регулярных форм.
4.	Т е о р е м а 3. Пусть выполнены предположения п. 1° теоремы 1.
Тогда форма V(x)—'(Hx, х), определенная в теореме 1, обладает свой-
ством
it	ti
V [х (t2)] - V [х (t,)] + j F [X (I), и (()] dt > 6 J' [| x (t) If + I и (t) Is] dt
h	t
Ш некоторого 6>0 и любого решения x(t) уравнения (1.10).
5.	Теорема 4 (частотная теорема для невырожденного случая).
Пусть выполнены все предположения п. 2° теоремы 1. F(x, и) — непре-
рывная эрмитова форма (1.9). Тогда для существования самосопряжен-
ного в Хо оператора /Ле^ЧХ-ь Хо) П 2?{Х^, Хх) такого, что для неко-
торого S>0
Re (а (х, Пух) + Ь (и, Ifa)} -^F (х, и) 6 [| и |2 4-1 х ||/2]
(v^XheP)»	(2,5)
необходимо и достаточно, чтобы число а2, определенное формулой (2.2),
было положительно. Если а2>-0, то существуют операторы Н S^X—i,
Хс) П (Хо, Хх), hsS5(X0, U) такие, что справедливо представление
Re [а (з?, Нх) + Ъ (и, Нх)] + F (х, и) — | F$2 {и — hx) |ц (2.6)
ш произвольных элементов х<=Х[, ueU и задача Коши (1.4), (1.5) для
формы «i(t, у)=а(х, y)-]-b(hx, у) корректна на полуоси [0, +°°). Опе-
раторы Н, h, обладающие этими двумя свойствами, определяются одно-
томно. Для существования такой, пары Н, h необходимо условие а2^0.
Замечание 7. Б предположении обратимости оператора icoZ—4
число «2 в формулировке теоремы можно заменить на число аз, введен-
ное в (2.3).
Теорема 5 (частотная теорема для вырожденного случая). Пусть
исполнены предположения теоремы 4 и, кроме того,	Хо). Тог-
fa для существования операторов H=H*^S?(Хо, Хо), ДеЙ’(Хо, U) та-
шх, что для Vxg=D(A), u(EbU выполнено (2.6) (и, следовательно, фор-
па (2.5) неотрицательна на D(A)XU), необходимо и достаточно, чтобы
были выполнены следующие два условия-.
(а)	а2^0;
(Ь)	функционал (1.11) полуограничен на множестве ЯП Хо процессов
юдачи (1.10) с произвольным начальным состоянием xq^Xq
’> В (2.6) F3=F* — оператор формы/’(О, и).
1078
А. Л- Лихтарпиков, В. А. Якубович
§ 3.	Доказательство теоремы 1
1.	Пусть X, Zq — комплексные гильбертовы пространства, причем 2о
оснащено пространствами Zx, Z-i'.ZidZo^Z-u / — произвольный квад-
ратичный функционал на Zi
I(z) = ((?z, z)o+2Re(z, §)0, zeZb	(3.1)
где geZ-i, Q<^S?(Z\, Z-i) и самосопряжен относительно скалярного про-
изведения в Zo. Пусть, далее,	Zi), 2Л0 — подпространство в 1\.
Рассмотрим семейство плоскостей	н задачу о мини-
муме функционала 1 на плоскости 2ЛХ. Элемент г(а?)еЭ1к такой, что
Z[z(x) ] ^l(z) Vz^3Jlx, будем называть оптимальным.
Лемма 1. Для того чтобы задача о минимуме функционала на плос-
кости 2ИХ была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы были выпол-
нены два условия:
a = inf(^L£l»^O,	(3.2)
3z(z) Е«Щ,: Qz(x) +q±!Wc,	(3.3)
т.	e. при условии (3.2) любой элемент z(x)(=9Rx' такой, что Vj/(=2S0
{Qz{x)-\-q, р)о=О, оптимален. Если сс>»0, то существует единственный
оптимальный элемент z°(x), линейно- и непрерывно зависящий от пары
{х, q}e^XXZ-x:z°(x) =Mx+Nq, Mg=S?(X, Zx), Ne=3?(Z_x, Zx).
Доказательство. ПустьРассмотрим y=z—Px.
def
Тогда I(z) = (Qy, р)04-2Пе(СРг+(д y)o+(QPx, Рх)0=1х(у). Пусть
Qz(x)+q-LWlo, z(x)=y0+Px. Тогда A (у) ='(Qyo, yo) + (QPx, Px) + (Q(y-
—?/o)i (.У—Уо)}- При условии (3.2) получаем, что
Z[z(z)]=/i[p0]==-((?Pz, P?)+(QyOl РоХ'/Ду),
т.	е. элемент z(x) оптимален. Если а>0, то вариационная задача
(<?2о, y)o+Re(gi, ^)о=О Ху<=ЯЯ0	(3.4)
для	имеет единственное решение z0eSfto, непрерывно зависящее
от gieZ-i (см. гл. 1 (22)). Отсюда сразу следует, что соотношения (3.3)
однозначно разрешимы и оптимальный элемент г°(ж) непрерывно зави-
сит от (х, q}<=XXZ-X. Осталось доказать необходимость условий (3.2),
(3,3) для разрешимости задачи минимизации функционала на множест-
ве SWX. Как п при доказательстве достаточности, запишем I(z) в ввде
h(y), y=z—Px. Если a<0, то ЗгдеЗЛо: (Qyx, i/i)<0. Тогда A(?vi/i)-*-
——со при Л->•<». Для доказательства необходимости условия (3.3) до-
статочно заметить, что Qz-j-q есть градиент функционала 1Х в смысле
Фреше на гильбертовом пространстве ЭЯо- Лемма доказана.
2.	Пусть Х=-Хс, Zo=L2(0, do; Xo)XL2(O, оо; U), ZX=L2(Q, оо; Х,)Х
XL2(0, оо; U). Тогда Z-1=LS(O, оо- Х10Х£2(0, оо; V).
В § 1 было введено множество SRxczZi процессов задачи (1.10) с на-
чальным состоянием x(fi)=x. Имеет место следующая
Лемма 2. Пусть пара {а, Ъ} Ь2-управляема. Тогда существует опе-
ратор P^S?(Xq, Zi) такой, что	я<—Хо> где Ж — подпрост-
ранство процессов задачи (1.10) с нулевым начальным состоянием.
Доказательство. В силу /^-управляемости пары {а, множе-
ство непусто для любого х^Х0. Любой элемент может быть
представлен в виде z=z(x) -j-zo, где гоеЭЛо/(а;) е - Определим опера-
тор Р следующим образом: Px=z(x)„
Частотная теорема
1079
Из линейности уравнения (1.10) немедленно следует, что Р— линейное
отображение Xo->Zj. Покажем, что Р— ограниченный оператор. Рас-,
смотрим семейство непрерывных функционалов {Фт}г>о, где ФХ ж) —
Поскольку ФтС^С^Ь»» по принципу равномер-
вой ограниченности (26) имеем |Рх|Zi|х|о, т. е. Р^З? {Xq, Zi). Лем-
ма доказана.
3.	Функционал (1.11), очевидно, имеет вид (3.1) с ?=0, а число, оп-
ределенное в (3.2), совпадает с числом (2.1). Если а1>0,то по лемме! су-
ществует единственный оптимальный процесс {х° (, zD), и® (•, х0)) е 2йХо
задачи (1.10)— (1-12), непрерывно зависящий от начальных данных
хоеХо {х°(-, Хо), и°(", ж0)} =Мх0, M^3(Xq, Zi). Значение минимума
функционала (1.11) на множестве 2НХв есть Z[x°, u°] — F(x0) == (Hxq, xq),
(Xq, Xq), где Q — оператор	формы (1.11).
Лемма 3 (полугрупповое свойство оптимального процесса). Пусть
xq), и°{-, х0)} — оптимальный процесс в задаче (1.10) — (1.12).
Тогда для всех t, s^O выполнено
3p(t-\-s, xo)=x°[t, x°(s, x0)],
Xq) =U°[f, X°(s, X0)].
Лемма 3 доказывается дословно так же, как соответствующая лемма
в работе (28).
Отсюда получаем, что для любого £>0
1
I [z°, u°] = J F [х» (т), и" (т)] йт + (Их” (/), х° («))„.
о
Рассмотрим семейство оптимальных задач для уравнения (1.10) на
компактных промежутках [0, /]', f>0, с функционалом качества
Z, [х, u) = f [х (т), и (т)] йт 4- (Нх (Z), х (О)о.	(3-5)
о
Пара {х°(-, х0), и°(-, х0)} является оптимальным процессом такой за-
дачи для любого £>0. Обозначим через Z\ пространство TV(O, t)X
ХЛз(0. t; U), а через ZD — пространство Дг(О, t; .£o)XZ,2(O, t; U) и при-
меним лемму 1. Поскольку функционал (3.5) непрерывен на Z\, то для оп-
тимального процесса {х°(-, хо), и°(-, Хо)} выполнено соотношение (3.3).
Определим ф° («сопряженное состояние») как решение задачи
^ = -	+ F^fi + FjJ>, -ф (/) --- - Нх“ (t).	(3.6)
Из соотношения (3.3), интегрируя по частям, получим
Fix* + Fsu® — Б*ф° = 0.
Как легко видеть,- ip°(t) =—. Hx°(t) Vf^O. Выбирая t таким, чтобы
<^(0п используя условие регулярности формы а(х, у), получаем,
что VxoeXo Ях0=—'ф°(0)еХ1. По теореме о замкнутом графике опера-
тор Н ограничен, как оператор Хо-*-Xi. Поскольку И=Н* относительно
скалярного произведения в Хо, то Н ^3 (Хо, Хх) f] 3 (X—i, Xfl).
Следовательно, тройка {х°, tP, ф°} удовлетворяет системе (2.4) и в
условиях п. 2° ф°<=17(0, со),'	3 (Хо, Xj) П 3 (Х—i, Хо).
4.	Так же. как это сделано в работах (23, 2В) (т. е. используя пре-
образование Фурье по t и равенство Парсеваля), можно показать, что
1080
А. Л. Лихтарников, В. А. Якубович
ai=a^tx2. Следовательно, если сс2>0, то и aj>0. Для окончания дока-
зательства и. 1° теоремы! осталось доказать, что нз «]>0 следует аг>0-
Лемма 4. Пусть пара {а, Ъ) Е2-управляема и эрмитова форма Р
задана соотношением (1.9). Если существует тройка {со, xq, u0}^R'X
XX[XU'. i(i)XD=Ax0-[-BuD, такая, что ipo=F(xo, uo)<O, то функционал
(1.11) не ограничен снизу на множестве 2ПЖв процессов задачи (1.10)
с начальным состоянием х (0)
inf 7[х(-), п(-)] =— оо.	(3.7) j
Яс.
Доказательство. Пусть 7>0 — произвольное положительное
число. Построим семейство процессов {хт( ), ит( •)} по формулам Мт(0 =
= еШо1и0, хт (t) = ег“о/х0 при Т. На [ Т, -4-оо) продолжим эту пару про-
цессом {х(-), п(-)} задачи (1.10) с начальным состоянием х(7,)=е’С)вТа:(г,
определенным по формуле {x(Z), u(t)} — [Px(T)](t—Т), где Р— опера-
тор из леммы 2. Таким образом, 7[хт, ит]—Тсро+фь |ф11	Следо-
вательно, /[хт, Uj-]-»—оо при Т	Лемма доказана.
Пусть «]>0. Рассмотрим форму Ft(x, и) = F(х, и) —	[|х|Г 4- |u|2J.
Из доказанных выше утверждений следует, что задача (1.10) — (1.12) с
формой F\ (х, и) в функционале (1.11) имеет единственное решение, т.е.
функционал (1.11) полуограничен снизу на множестве Ж, VxeXo- Если
число осагСО, то чпсло (2.2), вычисленное для формы Fi, отрицательно.
Из леммы 3 получаем, что для некоторого и функционала (1.11)
(с формой -Fi) имеет место (3.7). Полученное противоречие доказывает
утверждение.
5.	Лем м а 5. Пусть выполнены предположения п. 2° теоремы 1 и
Н=Н* — оператор, определенный выше. Положим
Е(х, u)=2Re[a(x, ffx)4-b(u, Яя)]Ч-Г(*, и).	(3.8)
Для любого xq^Xq выполнены соотношения
E[x°(t, х0), v]>0 VveCZ,	(3.9)
£[x°(Z, Xq), U°(t, Xo)]=0 п. в. Z>0.	(3.10)
Доказательство. Пусть s2>0, 6>0, Положим xt =x° (s, xo);
x(Z)—решение задачи Коши (1.10) при u(t)=v, x(s) =xi на отрез-
ке [s, s-f-6). Пусть xi(s-p6)—x2.
Построим процесс{х(-), ы(-)}еВДКо по формулам
x°(«,x0), ze[0,s),
x(/) =
x(t), £e[s, s+6),
x° (t — s — fi, x2), t = [s 4- 6, 4- oc),
u(O =
u°(t, Xo), ze [0, s),
V, ZGE [s, 5 4- 6),
u° (Z — s — 6, x2), t e [s 4- 6» 00 )
По определению оптимального процесса
«( )]’	(3-11)
Учитывая выбор {х (-), и {•)}, по лемме 4 получим
(3.12)
Частотная теорема
1081
Предположим теперь, что x°(s, xq)=xi&Xi (последнее имеет место для
п. в. s>»0). По предположению 1 решение задачи Коши
—-Ax-j-f, x(s) = xlf ZGE[s, s+fi),	(3.13)
непрерывно зависит от f(-)<=L?(s, s-f-fi; X-i). Приблизим вектор Bv^
eX_j некоторым /ueXo так, чтобы
|V(x2)-V(x2.E)|<e, е>0,	(3.14)
где х2. е=£е($+6), жЕ(-)— решение задачи (3.13) с f(t)=fv. Поскольку
rieXj, и форма а регулярна, то xE(t)eX1 V£e[s, s-f-fi]1. Следова-
тельно, (3.13) выполнено для всех te [s, s-J-fi] и скалярная функция
Iz[xt(f)] непрерывно дифференцируема при ie [s, s-J-fi]'. Причем
^Ji^l_s=2Re(Ar1+/.,^i:i)-j;3-^2Re(Az1+Bp>ff«1)(1. Из (3.12) по-
лучаем
з+б
2Re (Лх, + Bv, БхО +	+ -5- J F\x (t), и] dt > 0.	(3.15)
Устремляя 6-*- 0, получаем (3.9). Для доказательства соотношения (3-10)
приблизим оптимальное управление и° гладкой функцией ue(t, Хо) на
отрезке [s, s-|-6) так, чтобы /[xt, цЕ]—7[х°, и°]'<е. Повторяя предыду-
щие рассуждения для v=ut(s, хо), имеем
0^‘£[x°(s, хо), u£(s, жо)]'^е.	(3.16)
При п. в. s^O предельным переходом при е—>0 в (3.16) получаем
(3.10). Лемма доказана.
Фиксируем t>»0:xo(i, xo)eXi и рассмотрим непрерывный квадра-
тичный функционал па U:
£[х°(«, х0), w] ==(7?u, ii)u-J-2Re(ii, r)v+p.	(3.17)
По лемме 5 функционал (3.17) неотрицателен, следовательно, R^0. За-
метим, что R— оператор формы F(0, и), т. е. R=F^. По предположению
а2>0. Повторяя доказательство для задачи (1.10)?-(1.12) с формой
Fi(x, u)=F(x, и) — V2a2|u|2, получим, что	Применим к
функционалу (3.17) лемму 1 с ЭДо—Z\=Zo—Z-\ — U. Из соотношения
(3.3) получаем
F3u° 4- Fix0 (t, х0) 4- В*Нх° (t, х0) = 0,
где u°=u°(t, Хо) в силу соотношения (3.10). Отсюда
u°(t, x0)=hxQ(t, х0),	(3.18)
Л = -/Т*(В*^ = ^)G2’(A'c,i7).	(3.19)
Поскольку функция x°(t, хо) непрерывна по t в норме Хо, то функция
u°(i, хо) непрерывна по t в норме U и соотношение (3.18) выполнено
для всех /^0. Так как z°(-)gW(0, оо) и непрерывно зависит от хо^Хо,
то задача Коши (1.18) с оператором c—h корректна на полуоси [0, 4-°°).
Утверждения п. 2° теоремы 1 доказаны.
Если C4i<C0, то a2^ai<0, н по условию (3.2) леммы 1 оптимально-
го процесса в задаче (1.10) — (1.12) не существует. Если ai<0, то по
лемме 4 для некоторого. хоеХо функционал 1[х, и]1 не ограничен снизу
1082
А. Л. Лихтаркиков, В. А. Якубович
на множестве ЭД ж,,. Следовательно, cq^O.. С помощью приема, применен-
ного в п. 5 данного параграфа, можно показать, что ajCO. Теорема 1
доказана.
§ 4.	Доказательства теорем 4 и 5
1.	Необходимость условия «2^0 для представления (2.6) и условия
«2>0 для (2.5) очевидна. Докажем достаточность условия а2>0 для су-
ществования и единственности пары операторов II, h, обладающей ука-
занными в теореме 4 свойствами. Рассмотрим операторы II, h, определен-
ные в теореме 1. В силу соотношения (3,19) форму (3.8) можно пред-
ставить в виде
Е(х,и) = |/’з/2(н — hx)\u + у (х, х),	(4.1)
Ч(х, ж)=2Ке(Лх, /Гж)о+ (F^x, x)0~(F2hx, hx)v, xeXt.
Для x=x0^Xi, u=u°(0)^=hxQ получаем у(я0, #o)=0 (соотношение
(3.10) выполнено для £=0, поскольку xeXi). Отсюда следует, что для
Va-jeXi, VweZ7 справедливо (2.6). Таким образом, при условпп ct2>0
существует пара операторов Н, h, обладающая указанными в теореме 4
свойствами. Покажем, что такая пара определяется единственным обра-
зом. Пусть, наряду с Н, h, существует пара Hi, h\ с темп же свойствами,
в частности, удовлетворяющая (2.6). Рассмотрим в качестве процесса за-
дачи (1.10) —(1.12) пару {^i(-), ftiZj(-)}, где £i(-)— решение системы
(1.10) с u=ui(-)=hiXi(-). Подставпм в (4.1) процесс {zi(-), щ(-)} и
проинтегрируем на полуоси [0, + оо)
ЛМ-). «1()1 = f f tMO. = (ЯА(0), а=х(О))о.	(4.2)
о
Для любого другого процесса {z (), и (-)} е ЭД.,, «п имеем
/[*(),	М-)] = (#1М0), *1 (0))0.
Следовательно, процесс {^i (•), uj (•)} оптимален и. по единственности
оптимального процесса совпадает с {z°(-), u°(-)}. Тогда uD(0) ~hxi (0) =
= hiXi (0) и, поскольку a?i(0) произвольно. h=hi, Н\~Н.
2.	Для доказательства существования оператора	=Н\^2^(Х.Ъ Х0)П
ПЙ7(Х0,Х1) такого, что выполнено (2.5), рассмотрим квадратичную форму
F, (х, и) = F (х, и) — 6 [|и|& + |г|1/г]
с б: 0са,2. Для формы Fi выполнены все предположения, при кото-
рых справедливо представление (2.6). Следовательно, для формы F (ж, и)
справедливо (2.5). Теорема 4 доказана.
3.	Перейдем <к доказательству теоремы 5. Необходимость условия а)
очевидна. Необходимость условия Ь) доказывается следующим образом.
Подставим в (2.6) произвольный процесс {х(-), и(-)}еЭДХ11 п проинтег-
рируем полученное неравенство по полуоси [0, 4-°°)- Получим Z[z(-).
\Нх> .г>). Для доказательства достаточности рассмотрим семей-
ство задач оптимального управления вида (1.10) — (1-12) с функцио-
налами
л»[г( ). U(-)J = J{FIx(«), u(i)J+ a|u(0|2}<2t.	(4.3)
Частотная теорема
1083
По теореме 1 для а>0 эти задачи имеют единственное решение:
Э7/а (X—1, Хо) (XOi Xi), ha^S?(Xo, U) такие, что на процес-
се {.гД-), haxa()}, яа(О)=яо функционал (4.3) принимает мини-
мальное значение, равное Fa(x0) = (Нахо, х0). Пусть а£(0, I]1. Тогда
7(2о) ^'(Яахь, х0) (HiXq, Xq) Чхс^Хо, со<= (0, 1].	(4.4)
По принципу равномерной ограниченности (26)
Отсюда следует, что На-^- Ho^S’ (Хо, Хо) и ha-*-ho<=2? (Xq, U) в силь-
а—о	а->о+
ной операторной топологии. Для каждой пары {На, hj}, а>0, по теоре-
ме 4 выполнено
2Ве (Ля + Ви, Нах)0 4- F (х, и) 4- а [u|2 = |(^s 4- ocZ)t/2 (и — Лая)|ц.
Переходя к пределу при а-»-4-0, получаем утверждение теоремы 5.
§ 5.	Доказательства теорем 2 и 3
1.	В п. 2° теоремы 1 утверждается, что если форма а регулярна и
пара {а, Ь} ^-управляема, то пара {а, Ь} Дестабилизируема. Докажем
экспоненциальную стабилизируемость пары {а, Ъ}. Из доказательства
теоремы 4 следует, что существуют операторы Н, h:H 2?(Х0, Xi)f|
П^(Х_1,Х0), h^2?(X0, U) такие, что
2Re(^,	=	VieXb	(5.1)
где A\=A-{-Bh. При этом задача Коши
^ = лл z(0) = z„	(5.2)
корректна на полуоси [0, 4*°°) н Я>0. Положим q>($) = (Hx(t), x(t))o,
где x(t) — решение задачи (5.2) с яое£>(Л1). Продифференцируем функ-
цию ф по t
<p'(Z) = 2Ве(Ля(г), Яя(О)<-|*(*)|о-	(5 3)
В сплу ограниченности оператора Н получаем
ф'(0^-2[[Я|Г1ф(0-
(5.4)
Пусть 0<е<|(Я||-1 Тогда из (5.4) следует 0<tp(t)exp(2e£) С
=5<р(0)ехр( —pt), Р = 2(||Я”‘—е) >0. Умножим обе части неравенства
(5.3) на exp(2ct) и проинтегрируем по [0, +°о). Получим
f |z (t)[= exp (2et) dt < С ]ж0|а V*o e Xo.
о
(5.5)
Из (5.5) следует утверждение теоремы 2.
2.	Для доказательства теоремы 3 применим прием, использованный
в доказательстве леммы 5, § 3. При условии по п- 1° теоремы 1
1084
А. Л. Пихтарников, Л. А. Якубович
имеем Э//=Я*е£?(Хо1 Хо)
ОО
V (х) = (Hxt х)0 = inf
[2(0.
0 1
u(01-^I|z(0l=+|u(0l2]}-
Пусть 0=^tits<z + °о; пара {#(•), ы(-)}i2)XL2(*i, ^2; U) и удов-
летворяет (1.10) для п. в. £е[£15 is]. Построим процесс щ(-)}е
следующим образом:
Х1 (t) = Iх	ZJ>
1	U°(* — *я+ *i> *Ua))» i>f2 — G-
U (t) = (U
lu°(f— f2-Wi» s(ia)),	— h-
Из неравенства
co	CO
f F, [a, (t), u, (t)] dl > J F, [z“ (0, u» (0J dt, . Л = F -	(|  I? + | • $
0	0
и леммы 4 (§ 3) немедленно следует неравенство
t,	G
V[z(«2)] — V [*(*,)] + J F(x(0, и(0]<Й>^г j [Holi-P |u(o|u] dt.
Теорема 3 доказана.
Поступила в редакцию
18 марта 1976 г.
ЛИТЕРАТУРА
1 Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории
автоматического регулирования. Докл. АН СССР, 143, № 6 (1962), 1304—1307,
2 Kalman В, Е. Liapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control. Proc
Nat. Acad. Sci. USA, 49, 1963, 319—361.
3 Попов В. M. Гиперустойчивость автоматических систем. М., «Наука», 1970, 94—97,
319—361.
4 Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления. Снб. мат. жури , 14. № 2
(1973), 384—419.
• Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.
Л., Изд-во АН СССР, 1963, 1—60.
° Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулиру-
емых систем. В сб.: Труды 2-го Всесоюз. съезда по теоретической п прикладной
механике. М., «Наука», 1965, 30—63.
7	Siljak D. Nonlinear systems. New York — London— Sydney — Toronto, John Wi-
ley & Sons, Inc., 1969.
8	Lee E. B., Markus L. Foundation of optimal control theory. London — Sydney, John
Wiley & Sons, 1967.
° Якубович В. A. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического
управления (под ред. Р. П. Нелешша). М., «Наука», 1975, с. 74—180, гл. 2—3.
10	Noldus Е. A. Frequency domain approach to the problem of existence of periodic moti-
on in autonomous nonlinear feedback systems. Z. angew. Math, und Meeh., 49,
№ 3 (I960), 167-175.
11	Якубович В. А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной
стационарной нелинейностью. Снб. мат. жури., 14, № 5 (1973), 1100—1129.
12	Леонов Г. А. Частотные условия существования нетривиальных периодических
решений в автономных системах. Снб. мат. журн., 14, № 6 (1973), 1259—1265.
13	Леонов Г. А. Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений, ддя ко-
торых вопросы существования ограниченных и периодических решений могут
быть решены эффективно. Вести. Лениигр. ун-та. Сер. математика, механика,
астрономия, № 19, вып. 4 (1972), 29—32.
Частотная теорема	1085
Фрадков А. А. Синтез адаптивной системы стабилизации динамического объекта.
Автоматика и телемеханика, Л» 12 (1974), 96—103.
Фрадков А. А. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилиза-
ции линейного динамического объекта. Сиб. мат. жури., 17, № 2 (1976), 436—
445.
Андреев В. А., Казаринов Ю. Ф., Якубович В. А. Синтез оптимальных управлений
для линейных однородных систем в задачах минимизации квадратичных функ-
ционалов. Докл. АН СССР, 199, № 2 (1971), 257—261.
А ндреев В. А., Пляко Д. А . Об одной задаче оптимального управления линейной
неоднородной системой. Спб. мат. журн., 14, № 3 (1973), 660—665.
.1 ндреев В. А. Синтез оптимальных управлений для неоднородных линейных систем
с квадратичным критерием качества. Сиб. мат. журн., 13, № 3 (1972), 698—702.
' Faurre Р. Identification par minimisation d'une representation markovienne de pro-
cessus aleaire. Lecture Notes in Mathematics, 132. Berlin — Heidelberg — New
York, Springer — Verlag, 1970, 85—106.
1 Faurre P., Afarmorat I. P. Un algorithme de realisation stochastique. С. r. Acad,
sci., A. 268 (1969), 978—981.
1 Faurre P. Identification of marcorian representation for stochastic processes. In: 4-th
Hawai International Conferens on Sistem Sciences, Jan. 12—14, 1971. Honolulu,
1971, 576—578.
a Лионе rK. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в
частных производных. М., «Мир», 1972, 108—273.
а Якубович В. А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и
управлений — гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза
оптимального управления, II. Сиб. мат. журн., 16, № 5 (1975), 1081—1102.
24 Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных опе-
раторов. Киев, «Наукова думка», 1965, 45—82.
26 Лионе /К. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и нх приложения.
М„ «Мпр», 228—274.
26 Крейн С. Г, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
М., «Наука», 58—75, 182—185.
37 Б русин В. А. О существовании глобальных функционалов Ляпунова для нелиней-
ных распределенных систем. В сб.: Динамика систем, вып. 7. Горький, изд.
Горьк. ун-та ,1975, 18—34.
28 Якубович В. А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и уп-
равлений — гильбертовы, н ее применения в некоторых задачах синтеза опти-
мального управления, I. Сиб. мат. журн., 15, № 3 (1974), 639—668.