МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл учебников и учебных пособий
основан в 1997 году
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора
К.А. Пупкова
МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебник в пяти Томах
ТОМ 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И АНАЛИЗ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора К. А. Пупкова
и заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова
Издание второе, переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным
и приборостроительным специальностям
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2004
УДК
ББК
681.5:681.3 (075.8)
14.2.6
М54
Рецензенты:	___________
1. Академик РАН |£./7. Попов\,
2. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники,
электроники и автоматики (заведующий кафедрой, член-корреспондент
РАН Е.Д. Теряев)
Авторы:
д-р техн, наук, проф. К.А. Пупков, д-р техн, наук, проф. НД. Егупов,
д-р техн, наук, проф. А.И. Баркин, д-р техн, наук, проф. Е.М. Воронов,
канд. техн, наук, доц. В.Г. Коньков, д-р техн, наук, проф. Ю.П. Корнюшин,
д-р техн, наук, проф. Л.Т. Милов, инженер Ю.И. Мышляев, д-р техн,
наук, проф. В.М. Рыбин, канд. техн, наук, доц. В.И. Сивцов, д-р техн, наук,
проф. А.И. Трофимов, д-р техн, наук, проф. Н.В. Фалдин, д-р техн, наук,
проф. О.В. Шевяков
М54 Методы классической и современной теории автоматического управления:
Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.1: Математические модели, дина-
мические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под
ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2004. — 656 с., ил.
ISBN 5-7038-2189-4 (Т.1)
ISBN 5-7038-2194-0
В первом томе учебника изложены основные положения классической теории автоматиче-
ского управления: основные понятия и принципы управления, методы математического описания
стационарных, нестационарных и нелинейных непрерывных систем и исследования их устой-
чивости и качества процессов управления; подробно рассмотрен метод пространства состояний.
Значительное внимание уделено построению алгоритмов для ЭВМ, рассчитанных на примене-
ние при решении задач расчета и проектирования сложных САУ. Показана возрастающая роль
функционально-аналитических методов.
С достаточной полнотой изложен материал, связанный с описанием и анализом дискретных
систем.
Большинство глав сопровождается задачами, решение которых помогает глубже усвоить изла-
гаемый материал.
Материал является частью общего курса теории автоматического управления, читаемого сту-
дентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ТулГУ, ОУАТЭ и других вузов.
Учебник предназначен для студентов вузов. Может быть полезен аспирантам и инженерам,
а также научным работникам, занимающимся автоматическими системами.
УДК 681.5:681.3(075.8)
ББК 14.2.6
ISBN 5-7038-2189-4 (Т.1)
ISBN 5-7038-2194-0
© Пупков К.А., Егупов Н.Д. и др., 2004
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004
175-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана
посвящается
ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ
I.	Особенности учебника
Учебник издается в пяти томах и включают также задания для самостоятельной
работы. Для него характерно следующее:
1. Учебник охватывает основные фундаментальные положения, составляю-
щие содержание методов теории автоматического управления. Главное досто-
инство университетского образования России — упор на фундаментальные знания.
Фундаментальность, интеграция образования и науки являются важнейшими фак-
торами подготовки кадров с уровнем, обеспечивающим адаптацию к творчеству по
приоритетным направлениям развития науки, включая теорию автоматического
управления, с целью разработки'.
•	теоретических основ конструирования современных сложных систем автома-
тического управления технологическими процессами и подвижными объектами',
•	алгоритмического обеспечения на основе последних достижений вычисли-
тельной математики',
•	информационных технологий, позволяющих наиболее эффективно проводить
автоматизацию процессов, реализуя предварительные научно-технические
исследования и расчеты на ЭВМ.
Такой подход обеспечивает освоение и широкое применение информационных
технологий, проявление инициативы и самостоятельности при решении сложных
технических проблем. Сказанное выше также способствует профессиональной уве-
ренности выпускника в результатах его деятельности.
В связи с этим в учебнике рассмотрены фундаментальные положения, являющие-
ся базой основных направлений теории автоматического управления (ТАУ). Изло-
жение материала начинается с основных понятий и определений (сущность пробле-
мы автоматического управления, определение системы автоматического управления
(САУ), фундаментальные принципы управления, основные виды и законы автомати-
ческого управления и др.) и заканчивается рассмотрением содержания некоторых
современных направлений теории автоматического управления.
Поскольку курс теории автоматического управления включен в учебные планы
различных инженерных специальностей и является одним из важнейших элементов
общетехнического образования, учебник может быть рекомендован студентам,
заново приобретающим знания в области теории автоматического управления, и
специалистам, которым приходится эти знания восстанавливать. Учебником могут
пользоваться также студенты тех специальностей, для которых курс является про-
филирующим, определяющим квалификацию инженера.
При изучении курса студент или специалист должен сделать выборку материала,
определяемого конкретной задачей и возможностями общего плана обучения.
2.	Инженерная направленность учебника. Поскольку учебник предназначен для
студентов вузов, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным спе-
циальностям, чрезвычайно важным является этап подготовки, связанный прежде всего
с освоением инженерных расчетов. Органическое сочетание фундаментальных знаний
(о чем говорилось выше) и инженерных методов расчета и проектирования сложных
6 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
автоматических систем обеспечивает подготовку специалистов, способных решать
сложнейшие проблемы в области аэрокосмической, ракетной и атомной техники, робо-
тотехники, автомобилестроения, медицины, автоматизации производственных процес-
сов и других современных систем и комплексов, а также наукоемких технологий.
Как указано в [123], классическую теорию автоматического управления в основном
создавали инженеры для инженеров и лишь частично -— математики для инженеров.
Эти результаты отражены в первых трех томах и многие методы, например относящие-
ся к проблеме синтеза регуляторов, можно рассматривать как инженерные приемы,
показавшие высокую эффективность при решении сложных проблем проектирования
САУ (этот факт отражен в главе 6 третьего тома). Современная ТАУ разрабатывается в
основном математиками и инженерами, имеющими высокую математическую культу-
ру, поэтому освоение соответствующих разделов учебника требует определенной ма-
тематической подготовки. В условиях непрерывного повышения уровня математиче-
ской подготовки выпускников многих вузов данная проблема преодолевается доста-
точно просто (эти разделы изложены в 4 и 5 томах).
В основном же изложение ведется с инженерной точки зрения: подчеркиваются
главные идеи, лежащие в основе методов, но не всегда приводятся строгие математи-
ческие доказательства. Учитывая, что без освоения технического аспекта и глубокого
знания физических процессов, протекающих в элементах САУ (особенно при решении
задач синтеза регуляторов сложных систем, и это является одним из факторов, опреде-
ливших популярность частотного метода), изучение методов теории автоматического
управления не приводит к нужному результату, физическая и содержательная сторо-
на дела подчеркивается в течение всего курса. Более того, значительное внимание
уделено рассмотрению конкретных промышленных систем управления. Например, в
главе 6 третьего тома рассмотрены системы управления теплоэнергетическими пара-
метрами атомных электростанций, системы управления баллистическими ракетами,
высокоточным оружием, системы, используемые в противосамолетной и противора-
кетной обороне (ПСО и ПРО).
3.	Методы теории автоматического управления, рассмотренные в учебнике, в
большинстве своем ориентированы на применение ЭВМ. Интенсивное развитие
процессов автоматизации проектирования систем автоматического управления, обу-
словленное развертыванием высокопроизводительных вычислительных комплексов в
проектно-конструкторских организациях, перемещение центра тяжести процесса
проектирования от аппаратного обеспечения к алгоритмическому и программному
обеспечению приводят к необходимости разработки нового методологического обес-
печения, включая соответствующие вычислительные технологии [123].
Для содержания книги характерна, в известной мере, «вычислительная окраска» из-
ложенного материала, поскольку возможности современных ЭВМ позволяют значи-
тельно ускорить сроки проектирования САУ и, таким образом, налагают свой отпеча-
ток на вычислительную часть ТАУ. Успех в решении поставленных задач расчета и
проектирования с использованием ЭВМ зависит от многих факторов, основными из
которых являются: степень адекватности математической модели системы; степень
эффективности численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспече-
нии; наличие высококачественного программного обеспечения; от того, насколько ус-
пешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом
решающий фактор остается за человеком, который может решать многие неформали-
зованные задачи.
Поскольку системы автоматизированного проектирования (САПР) являются в
настоящее время одним из наиболее эффективных средств повышения производи-
тельности инженерного труда и научной деятельности, сокращения сроков и улуч-
шения качества разработок, то в соответствующих главах и приложениях отражено
Предисловие L
'Л^^-vp^ VJ..	^СКСЛ, % 'H<X?\3SSb-
димым обоснованием.
Рассмотренное в пятитомнике методологическое обеспечение, ориентированное
на применение ЭВМ, может служить базой для решения весьма сложных задач ин-
женерного проектирования САУ. •
4.	В учебнике с единых позиций изложены как основные методы классической
ТАУ, так и положения, определяющие содержание некоторых современных на-
правлений теории управления. В настоящее время имеют место различные трактов-
ки, связанные с выделением в ТАУ «классической» и «современной» теории. Неко-
торые из них отражены, например, в [7, 37, 82, 99, 123, 126, 141, 142].
В учебнике под современными методами понимаются методы, интенсивно разви-
ваемые в последние два десятилетия и в настоящее время внедряемые в практику
инженерных расчетов и создания новых систем, включающие аппарат синтеза гру-
бых систем автоматического управления в пространстве состояний, Н., -теория
оптимального управления, задачи оптимизации многообъектных многокритериаль-
ных систем с использованием стабильно-эффективных компромиссов, синтез сис-
тем автоматического управления методами дифференциальной геометрии (гео-
метрический подход), использование нейрокомпьютерных управляющих вычисли-
тельных систем, основные положения теории катастроф, фракталов, хаоса, а
также задачи исследования и проектирования адаптивных и интеллектуальных
систем (они отражены в третьем, четвертом и пятом томах учебника).
Таким образом, учебник охватывает наиболее важные разделы теории автома-
тического управления; вместе с тем он не претендует на всесторонний охват про-
блематики теории автоматического управления. Не затронуты такие важные на-
правления, как инвариантность, теория чувствительности, методы и алгоритмы
оценивания динамических процессов, идентифицируемость и методы и алгоритмы
идентификации (отражены лишь содержание проблемы и подходы к ее решению),
системы со случайной структурой, стохастические системы, теория нелинейной
фильтрации и др.
5.	Основное содержание и структуру учебника определил коллектив авторов,
включающий представителей разных российский школ науки об управлении-.
К.А. Пупков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Н.Д. Егупов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.И. Бар-
кин (Институт системного анализа РАН), И.Г. Владимиров (Университет Квинслэнда,
г. Брисбэйн, Австралия), Е.М. Воронов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.В. Зайцев (Во-
енная академия РВСН им. Петра Великого), С.В. Канушкин (Серпуховский военный
институт РВСН), В.Г. Коньков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Ю.П. Корнюшин (МГТУ
им. Н.Э. Баумана), В.И. Краснощеченко (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.П. Курдюков
(Институт проблем управления РАН), А.М. Макаренков (МГТУ им. Н.Э. Баумана),
Л.Т. Милов (Московский государственный автомобильно-дорожный институт (МАДИ)),
В.Н. Пилишкин (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.И. Рыбин (Московский государственный
инженерно-физический институт (МИФИ)), В.И. Сивцов (МГТУ им. Н.Э. Баумана),
Я.В. Слекеничс (Обнинский университет атомной энергетики (ОУАТЭ)), В.Н. Тимин
(совместное конструкторское бюро «Русская Авионика»), А.И. Трофимов (Обнинский
университет атомной энергетики (ОУАТЭ)), Г.Ф. Утробин (Военная академия РВСН
 им. Петра Великого), Н.В. Фалдин (Тульский государственный университет), О.В. Ше-
вяков (Министерство образования Российской федерации).
II. Методические вопросы
Необходимо указать, что никакой учебник не может дать окончательных рецептов
для решения широчайшего спектра задач, порожденных практикой проектирования
сложных систем автоматического управления.
Изложенный в книгах материал призван служить базой, фундаментом, позволяющим
с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач практики.
8 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1. Структура цикла учебников и учебных пособий
«Методы теории автоматического управления»
Предисловие
9
В томах 1-5 изучаются
1-й том
2-й том
Детерм инированный
анализ систем:
1.	Устойчивость.
2.	Качество в пере-
ходном режиме.
3.	Качество в устано-
вившемся режиме
и др.
Статистический
^анализ линейных
и нелинейных
систем
Линейная
фильтрация
(фильтры Винера-
Колмогорова,
фильтры Калмана-
Бьюси); нелинейная
фильтрация
Идентификация
объектов управ-
ления в классе
линейных и не-
линейных систем;
задания для само-
стоятельной работы
3-й том
Синтез систем по заданным показателям качества.
Методы синтеза регуляторов:
1.	Группа методов, основанная на принципе
динамической компенсации.
2.	Группа методов, основанная на аппарате
математического программирования.
3.	Частотный метод.
4.	Модальное управление.
5.	Методы -теории управления.
6.	Метод моментов и др.
7.	Задания для самостоятельной работы
4-й том
Синтез оптимальных систем.
Методы оптимизации:
1.	Вариационное исчисление.
2.	Принцип максимума, включая управление
при ограничениях на фазовые координаты.
3.	Динамическое программирование.
4.	Аналитическое конструирование регуляторов.
5.	Нелинейное программирование.
6.	Метод моментов.
7.	Синтез оптимальных обратных связей.
8.	Оптимизация многообъектных
многокритериальных систем и др.
9.	Задания для самостоятельной работы
5-й том
I.	Методы синтеза грубых систем.
2.	Адаптивные системы.
3.	Синтез систем методами дифференциальной геометрии.
4.	Основные положения теории катастроф, фракталов и теории хаоса.
5.	Нейросетевые методы для решения задач проектирования вычислительных систем.
6.	Интеллектуальные системы и др.
7.	Задания для самостоятельной работы
Рис. 2. Структурная схема, иллюстрирующая содержание пятитомника
«Методы классической и современной теории автоматического управления» (базовый уровень)
1 Зак. 14
10 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Вместе с тем материал излагается таким образом, чтобы читателю были видны
пути практического применения рассматриваемых методов. В большинстве своем
методы доведены до расчетных алгоритмов, приводятся таблицы и другой вспомо-
гательный материал, облегчающий их применение. Положения, изложенные во всех
разделах, иллюстрируются подробно рассмотренными примерами расчета итроекти-
рования конкретных систем, которые нашли широкое применение'.
•	при решении задач управления баллистическими ракетами, зенитными управ-
ляемыми ракетами (ЗУР), в системах противосамолетной и противоракет-
ной обороны;
•	в атомной энергетике;
•	в турбиностроении;
•	при создании систем вибрационных испытаний и др.
Весьма важным является вопрос методики изучения курса «Теории автоматического
управления» с целью стать специалистом в этой области, пользуясь циклом учебных
пособий и учебников, издаваемых указанным выше коллективом авторов.
Весь цикл учебников и учебных пособий можно условно разбить на две серии:
1	-я серия — базовая; эта серия включает пять томов настоящего учебника.
2-я серия — базовая повышенного уровня, в которой основное внимание уделено
глубокому и достаточно полному изложению методов, определяющих содержание не-
которых современных направлений теории автоматического управления.
Сказанное выше иллюстрируется рис. 1.
Базовый уровень приобретается изучением предлагаемого учебника, в котором сис-
тематически изложены методы классической и современной теории управления и дано
достаточно полное представление о проблематике и путях развития науки об управле-
нии техническими объектами.
Содержание каждого из томов учебника серии базового уровня иллюстрируется
рис. 2.
После освоения базового уровня можно приступить к специализации в той или дру-
гой области теории автоматического управления, изучая соответствующие тома 2-й се-
рии, а также статьи и монографии по специальным проблемам теории управления и др.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам — академику РАН
|Е.П. Попову|и коллективу кафедры «Автоматические системы» Московского государ-
ственного инстигута радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), руководимой
членом-корреспондентом РАН Е.Д. Теряевым, за ценные замечания, способствовавшие
улучшению содержания книги. Авторы благодарят заслуженного деятеля науки и тех-
ники РФ, д-ра техн, наук, проф. А.С. Шаталова, заслуженного деятеля науки и техники
РФ, д-ра техн, наук, проф. Б.И. Шахтарина (МГТУ им. Н.Э. Баумана), которые своими
советами позволили значительно улучшить структуру учебника, углубить изложение
отдельных теоретических положений, улучшить окончательный вариант рукописи.
Авторы благодарят концерн «Росэнергоатом», департамент образования и науки
Правительства Калужской области, а также Издательский Дом «Манускрипт» за по-
мощь в издании учебника.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности
при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим
образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои предложе-
ния по улучшению книги.
Авторы заранее признательны всем читателям, которые не сочтут за труд указать
на замеченные неточности, ошибки, на пути совершенствования структуры учебника
и его содержания.
К.А. Пупков
НД. Егупов
Предисловие к 1-му тому
И
ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ТбМУ
Остановимся на центральном понятии, которое рассматривается в первом томе.
Математическая модель (ММ) — это приближенное описание изучаемого явле-
ния или объекта, выраженное с помощью математической символики. ММ — мощ-
ный метод познания явлений и объектов. Важным этапом построения ММ является
формирование законов, определяющих процессы, протекающие в объектах. Этот
этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям и глубо-
кого проникновения в их взаимосвязи.
Переход от физической к математической модели позволяет проводить изучение
объекта с использованием количественной формализации, абстрактных представ-
лений об объекте. Такая количественная формализация обычно задается оператором
объекта, причем понятием оператора объединяются любые математические опера-
ции-. все алгебраические действия, дифференцирование, интегрирование, сдвиг во вре-
мени, решение дифференциальных, интегральных, алгебраических и любых других
функциональных уравнений, а также любые логические действия. Задать оператор
объекта — это означает задать совокупность действий, которые надо осущест-
вить над входной функцией, чтобы получить выходной процесс.
Очень многие ММ, лишившись физической или технической оболочки, приобре-
тают универсальность, т.е. способность количественного описания различных по
своей природе процессов или по техническому назначению объектов. В этом прояв-
ляется одно из важнейших свойств математической формализации предмета иссле-
дования, благодаря которому при постановке и решении новых прикладных задач в
большинстве случаев не требуется создавать новый математический аппарат, а
можно воспользоваться существующим. Таким образом, одна ММ может быть
использована для решения большого числа частных, конкретных задач, и в этом
смысле она выражает одно из главных практических назначений теории [69].
ММ объекта характеризуется следующими переменными: y(t), 'Y(t) — входные
функции (скалярные или векторные); х(/),Хв(/) — выходные процессы; X(z) —
процессы, характеризующие внутреннее состояние объекта. Зависимость выходных
процессов от входных сигналов и состояния определяет алгоритм функциони-
рования (поведение, эволюцию) системы. Математическая формализация этой зави-
симости, т.е. установление соответствия (функционального, операторного) между
указанными процессами представляет ключевую линию теории систем управле-
ния [69], основные положения которой представлены в данном томе.
В теории систем важное место занимает такое понятие, как геометрическая мо-
дель, которая позволяет непосредственно связать теорию динамических систем с то-
пологией. Она особенно наглядна для систем небольшой размерности, где ее образ —
фазовый портрет — доступен прямому геометрическому анализу. Фазовый порт-
рет позволяет достаточно просто делать выводы о динамике системы, логике и
обусловленности ее поведения. Многие колебательные явления нашли в фазовом
портрете свое наглядное и адекватное отражение. Функциональные же ММ, о кото-
рых говорилось выше, не есть портрет динамического поведения: он отражает
только функциональные связи, что является основополагающим положением при
решении задач синтеза регуляторов, оптимизации, включая и статистическую.
1*
12 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Изучение таких свойств ММ объектов управления и систем в целом, как:
•	автономность',
•	грубость математической модели',
•	инвариантность',
•	прямые показатели качества переходных процессов',	*
•	особенности (неединственные состояния равновесия и предельные циклы);
•	поведение при наихудших внешних воздействиях',
•	приводимость',
•	точность',
•	управляемость',
•	устойчивость,
тесно связано с содержанием указанных выше составных элементов теории управления:
1.	ММ систем.
2.	Исследование систем на основе их ММ.
3.	Синтез систем на основе их ММ, предполагающий определение состава,
структуры САУ и параметров всех ее устройств из условия удовлетворения
заданному комплексу технических требований, а также оптимизация систем,
направленная на решение задач расчета таких законов управления, которые
оптимизируют процессы по тому или иному заданному критерию.
В настоящем томе изучены ММ широкого класса систем, причем последние рас-
сматриваются в направлении применения для решения задач, составляющих содер-
жание указанных трех элементов теории управления, и, в первую очередь, к таким
задачам относятся исследование САУ и их синтез.
На аппарате ММ вскрыто содержание основных методов теории автоматического
управления, принципы и общие подходы, лежащие в ее основе. Алгоритмическое
обеспечение, приведенное в учебнике, является эффективным средством повышения
производительности инженерного труда, сокращения сроков и улучшения качества
разработок.
Определенная часть содержания книги нетрадиционна, и методы, изложенные в
соответствующих параграфах, направлены на эффективное решение инженерных
задач. Поэтому можно надеяться, что знакомство с указанным материалом предста-
вит интерес для научно-технических работников.
В учебнике приведено большое число примеров, иллюстрирующих методы опи-
сания и исследования систем автоматического управления.
Соавторами отдельных разделов 1-го тома являются канд. техн, наук, доц. Д.А. Аки-
менко (п. 2.9.3), инженеры К.И. Желнов и Е.А. Реш (пп. 4.12,4.13), инженер А.Н. Киселев
(пп. 2.2-2.4), канд. техн, наук, доц. В.И. Краснощеченко (глава 3), инженер А Л. Репкин
(пп. 3.2-3.5), инженер А.А. Самохвалов (п. 2.1), канд. техн, наук, доц. Я.В. Слекеничс
(п. 1.1), инженер М.М. Чайковский (п. 2.10), канд. техн, наук, доц. А.В. Яковлев (глава 1).
Авторы выражают признательность сотрудникам редакционно-издательского от-
дела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана К.И. Желнову, С.Н. Капранову,
А.Л. Репкину, К.Ю. Савипченко за подготовку рукописи к изданию и создание ориги-
нал-макета учебника.	•
Список используемых аббревиатур и обозначений
13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР
АСУ	— автоматизированная система управления
АФЧХ	— амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЧХ	— амплитудно-частотная характеристика
АЭС	— атомная электростанция
БИФ	— блочно-импульсная функция
БПУА	— быстрое преобразование Уолша-Адамара
БПФ	— быстрое преобразование Фурье
БПФ-У	— быстрое преобразование Фурье-Уолша
ВЧХ	— вещественная частотная характеристика
ГД	— гидродвигатель
ГС	— генератор сигналов
ГФВН	— генератор функций вибрационных нагружений
гос	— гибкая обратная связь
дз	— дифференцирующее звено
ДЗР	— дифференциальный закон распределения
дп	— датчик перемещений
ДЧХ	— действительная частотная характеристика
ду	— дифференциальные уравнения
ЗУУ	— золотниковое управляющее устройство
из	— интегрирующее звено
ист	— инверсно-сопряженная система
ИПФ	— импульсная переходная функция
ИУ	— исполнительное устройство
ИУр	— интегральное уравнение
ККФ	— кусочно-кубическая функция
КЛА	— космический летательный аппарат
КЛФ	— кусочно-линейная функция
КПФ	— кусочно-параболическая функция
КС	— критический стенд
кчх	— комплексная частотная характеристика
КУ	— корректирующее устройство
КФ	— корреляционная функция
ЛАЧХ	— логарифмическая АЧХ
лнс	— линейная нестационарная система
ли	— линейное программирование
лс	— линейная система
лее	— линейная стационарная система
ЛФЧХ	— логарифмическая ФЧХ
лч	— линейная часть
МБПФ	— матричная бичастотная передаточная функция
МИПФ	— матричная импульсная переходная функция
мм	— математическая модель
мнк	— метод наименьших квадратов
МНПФ	— матричная нормальная передаточная функция
14	Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
МП МППФ МПФ мпчх мчх нэ нп НПФ нч 0 ОБИФ ок ОНБ онс ОС ОУ ПС ППФ ПФ пх пчх р РЛС САУ САР сви свн СНАУ СПФ	— математическое программирование либо матрица перехода —	матричная параметрическая передаточная функция —	матричная передаточная функция —	матричная параметрическая частотная характеристика • —	мнимая частотная характеристика —	нелинейный элемент —	нелинейное программирование —	нормальная передаточная функция —	неизменяемая часть —	пространство оригиналов —	обобщенная блочно-импульсная функция —	основной канал в многомерных системах —	ортонормированный базис —	ортонормированная система —	обратная связь —	объект управления —	перекрестная связь в многомерных объектах —	параметрическая передаточная функция —	передаточная функция —	переходная характеристика —	параметрическая частотная характеристика —	регулятор —	радиолокационная станция —	система автоматического управления —	система автоматического регулирования —	система вибрационных испытаний —	система вибрационных нагружений —	система нелинейных алгебраических уравнений — стандартная передаточная функция либо сопряженная переда точная функция
СРП ссп СУЗ СФ сх ТАР ТАУ тпв тп УСО ФВН ФС ФЧХ ЦАП эгсв ЭТУ эмп ЯР ЯЭУ	—	система с распределенными параметрами —	система с сосредоточенными параметрами —	система управления и защиты —	случайная функция —	спектральная характеристика относительно ОНБ —	теория автоматического регулирования —	теория автоматического управления —	тракт преобразования вибраций —	технологический процесс —	усилитель сигнала ошибки —	функция вибрационных нагружений —	фундаментальная система —	фазочастотная характеристика —	цифро-аналоговый преобразователь —	электрогидравлический следящий вибратор —	электрогидравлический усилитель —	электромагнитный преобразователь —	ядерный реактор —	ядерная энергетическая установка
Список используемых аббревиатур и обозначений
15
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
	Непрерывные САУ
А ytf) Y(0 х(0 х(0 W(s) W(j)	—	оператор системы —	входной скалярный сигнал —	входной векторный сигнал —	выходной скалярный сигнал —	выходной векторный сигнал —	передаточная функция скалярной системы —	передаточная функция системы в пространстве состояний
t) F{s) k(y) K(t) A(Z, t)	—	параметрическая передаточная функция —	преобразование Лапласа функции^) —	импульсная переходная функция скалярной стационар- ной системы —	матричная импульсная переходная функция —	импульсная переходная функция скалярной нестационар- ной системы
K(z, T)	— матрица ИПФ нестационарной системы в пространстве
Л(<л) Р(ю) L(®) <p(co) e(z) xc(t)	состояний —	^ амплитудная частотная характеристика —	действительная частотная характеристика —	мнимая частотная характеристика —	логарифмическая амплитудная частотная характеристика —	фазовая частотная характеристика —	амплитудно-фазовая частотная характеристика —	сигнал ошибки системы —	свободная составляющая выходного сигнала (свободные колебания)
*„(0	— вынужденная составляющая выходного сигнала
xy(0 *n(0 «(0 m(t)	(вынужденные колебания) — установившаяся составляющая выходного сигнала —	переходная составляющая выходного сигнала —	переходная характеристика —	помеха —	полезный входной сигнал (управляющее случайное воздействие)
I	— единичная матрица
7 = лП К m Ty,Tp	— мнимая единица — коэффициент усиления системы или элемента — порядок числителя передаточной функции — порядок знаменателя передаточной функции —	время переходного процесса —	дельта-функция
16 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
т W0(s) или W„4(s)	— постоянная времени — передаточная функция объекта или неизменяемой части системы
ед ед)	— передаточная функция разомкнутой системы — передаточная функция корректирующего устройства (регулятора)
£(5) к “ср Ск Ь2[0,Т], С[0,Г] М F={fk(t)-.k= 1,2, -} Ф={<рХ0: А =1,2,	— преобразование Лапласа для сигнала ошибки — коэффициент демпфирования — корни характеристического уравнения — частота среза — коэффициенты ошибок — метрика — функциональные пространства — норма элемента х — линейно независимая система — ортонормированный базис или ортонормированная система
и pn(z) Tn(z) cf	— матрица ортогонализации — коэффициенты Фурье функции/?/) — полиномы Якоби — полиномы Лежандра — полиномы Чебышева 1-го рода — полиномы Чебышева 2-го рода — одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье функции/?/)
Wal(k,t) X(0 XT(Z) xB(0 A(r), B(0	— к-я функция Уолша — вектор-функция состояния — транспонированная вектор-функция — вектор-функция выхода — матрицы коэффициентов векторно-матричного дифференциального уравнения
хф(0 Дсо C(r) P. P £(Л) AH	— фундаментальная матрица — эффективная полоса пропускания системы — матрица уравнения наблюдения — вектор оптимизируемых параметров — вектор оптимальных параметров — число обусловленности оператора А — спектральная характеристика линейного нестационар- ного элемента или системы, описываемой векторно- матричным дифференциальным уравнением
d>(p,t), W(s,t) W(p,s) У(р,т)	— параметрическая передаточная функция — бичастотная передаточная функция — нормальная передаточная функция
Список используемых аббревиатур и обозначений 17
*нО>Т) *н(м)	— сопряженная передаточная функция ЛНС — нормальная ИПФ линейной нестационарной системы — ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы — нормальная ИПФ сопряженной линейной нестацио- нарной системы
А	— матричный оператор (спектральная характеристика) линейного элемента или системы, либо матрица коэф- фициентов векторно-матричного ДУ (стационарный случай), либо матрица условий, либо матрица состоя- ния стационарной системы
Аку Ац	— СХ корректирующего устройства — матрица оператора дифференцирования (спектральная
РТ = АИ	характеристика дифференцирующего звена) — матрица оператора интегрирования (спектральная ха- рактеристика интегрирующего звена)
Ay(/) = U^=Um(/)	— операционная матрица умножения на функцию f (?) (спектральная характеристика множительного элемента)
W(Mo)	— матрица перехода Дискретные САУ
ЭД	— спектральная плотность непрерывного стационарного 'случайного сигнала
эд	— спектральная плотность дискретного стационарного случайного сигнала
ЭДр)	— двухмерная спектральная плотность нестационарного непрерывного случайного сигнала
ЭД, z2)	— двухмерная спектральная плотность дискретного нестационарного случайного сигнала
W(s)	— передаточная функция стационарной непрерывной системы
W(z)	— передаточная функция стационарной дискретной системы
ф, т)	— обобщенная передаточная функция непрерывной системы
ЭД nT)	— обобщенная передаточная функция дискретно- непрерывной системы
K(z, т)	— обобщенная передаточная функция непрерывно- дискретной системы
ЭД nT)	— обобщенная передаточная функция дискретной системы — сопряженная передаточная функция непрерывной системы
H(nT, s)	— сопряженная передаточная функция непрерывно- дискретной системы
H(t, z)	— сопряженная передаточная функция дискретно- непрерывной системы
H(nT, z)	— сопряженная передаточная функция дискретной системы
	— бичастотная передаточная функция непрерывной системы
18 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Г(2,5)	— бичастотная передаточная функция непрерывно- дискретной системы
r(s,z)	— бичастотная передаточная функция дискретно- непрерывной системы
r(zbZ2) А(0	— бичастотная передаточная функция дискретной системы — матрица состояния нестационарной непрерывной системы
А(и7) В в(0	— матрица состояния нестационарной дискретной системы — матрица управления стационарной системы — матрица управления нестационарной непрерывной системы
в(«7)	— матрица управления нестационарной дискретной системы
Z2(-oo,0],Z?[0,oo), Z2(-oo,oo),Z“(-oo,0], Г[0,оо),Г(-оо,оо) L2, Г	— пространства Лебега квадратично интегрируемых (или суммируемых) и ограниченных сигналов соответ- ственно на интервалах (-00,0], (0,СО), (-00,00) — пространства Лебега для функций, определенных в частотной области
Глава 1. Стационарные САУ
19
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ
СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
УСТОЙЧИВОСТЬ, КАЧЕСТВО РАБОТЫ
В ПЕРЕХОДНОМ И УСТАНОВИВШЕМСЯ
РЕЖИМАХ, ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ
В данной главе на примерах автоматизации производственных процессов вводят-
ся базовые понятия теории автоматического управления, такие как', определение
автоматической системы управления, фундаментальные принципы управления
(принцип разомкнутого управления, принцип компенсации, принцип обратной свя-
зи), основные виды автоматического управления (стабилизация, программное управ-
ление, следящие системы и др.), устойчивость и стабилизация автоматических
систем; изучается характер процессов управления. Изложено содержание проблемы
проектирования и роль вычислительных средств в ее решении.
Теория автоматического управления — точная наука, она оперирует количест-
венными характеристиками. Поэтому за качественным описанием системы следует
вторая фаза абстрагирования — количественное описание системы. Известно выска-
зывание Иммануила Канта: «...во всякой науке столько истины, сколько в ней мате-
матики». Эту же мысль подтверждают слова Давида Гильберта: «Математика — ос-
нова всего точного естествознания». В этой главе будут рассмотрены проблемы ко-
личественного описания систем и введено понятие оператора САУ, изучаются мате-
матические модели систем.
Под математической моделью (ММ) понимается оператор, характеризующий
поведение реальной системы и отражающий все ее информационные свойства [123].
В соответствии с этим определением выделяются наиболее существенные свойства и
признаки системы, они представляются в такой форме, которая необходима для по-
следующего теоретического и экспериментального исследования.
Математические модели, изучаемые в учебнике, могут быть представлены раз-
личными математическими средствами: действительными или комплексными вели-
чинами, векторами, матрицами, геометрическими образами, неравенствами, функ-
циями или функционалами, множествами, алгебраическими, разностными, диффе-
ренциальными и интегральными уравнениями и т.д. Как в первой, так и в остальных
главах учебника основным является аппарат дифференциальных, интегральных и
разностных уравнений.
Материал излагается таким образом, чтобы читатель получил достаточно глубо-
кие знания по следующим направлениям теории:
•	математические модели и динамические характеристики САУ, их функцио-
нальные и структурные схемы;
•	устойчивость САУ: общая постановка задачи устойчивости по А.М. Ляпунову,
алгебраические и частотные критерии устойчивости;
20 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
•	методы оценки качества переходного процесса;
•	оценка качества управления в установившемся режиме;
•	влияние обратной связи на качество управления в переходном и установив-
шемся режимах.
*
1.1.	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ
ПРИНЦИПЫ И КАЧЕСТВО УПРАВЛЕНИЯ, ОБОБЩЕННУЮ
СХЕМУ (КОНФИГУРАЦИЮ) САУ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
МОДЕЛЬ (ОПЕРАТОР СИСТЕМЫ); ИДЕОЛОГИЯ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ
1.1.1.	Задачи управления. Обобщенная схема системы
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Настоящий параграф является ключевым с той точки зрения, что на конкретных
примерах вводятся в рассмотрение важнейшие определения и понятия теории авто-
матического управления, вплоть до изложения идеологии их проектирования, вклю-
чая такой важный этап, как испытание сложных систем. Особенно полезным содер-
жание этого параграфа является для впервые изучающих курс теории автоматическо-
го управления.
Прежде всего, дадим пояснения и определения.
При реализации технологических процессов параметры, которые характеризуют
эти процессы, должны изменяться по определенным законам (или быть постоянными).
Технологические процессы могут быть самыми разными, например:
•	процесс управления ракеты при наведении ее на цель;
•	процесс управления электротехническими, теплотехническими, химическими
или биологическими объектами;
•	процесс управления такими широко распространенными объектами, как робо-
ты (роботами принято называть автономные технические устройства, способ-
ные функционировать без участия человека, выполняя достаточно сложные
операции в условиях, которые заранее не были известны).
Управление состоит в том, чтобы, воздействуя на объект (ракета, электро-
технический или теплотехнический объект и др.), изменять протекающие в нем
процессы таким образом, чтобы была достигнута цель управления [120].
Цель управления формулируют не специалисты по системам управления, а, на-
пример, технологи, инженеры-аэродинамики, экономисты, биологи, т.е. специалисты
в той области техники, в которой необходимо применить управление. Основная зада-
ча специалистов по управлению состоит в том, чтобы создать систему для сбора ин-
формации, необходимой для осуществления цели управления, передачи, представле-
ния или преобразования ее в удобную форму, переработки и, наконец, принятия ре-
шения о том, как использовать эту информацию, чтобы обеспечить выполнение цели
объектом управления. Техническое решение этой задачи связано с применением раз-
личных аппаратных и программных средств.
Примеры:
1.	Управление летательным аппаратом.
Объект управления — летательный аппарат (ракета). Цель управления — пораже-
ние цели, т.е. обеспечение встречи ракеты с целью.
Из бесконечного количества возможных траекторий сближения ракеты с целью на
практике выбирают только такие, полет по которым выполняется, с одной стороны,
с помощью достаточно простых технических средств, а с другой — обеспечивается
максимальная вероятность поражения цели. При реализации процесса наведения
движение ракеты должно быть определенным образом ограничено, т.е. на движение
Глава 1. Стационарные САУ
21
ракеты должны быть наложены связи. Таким образом, в рассматриваемом процессе
параметры движения должны изменяться по определенным законам, обеспечиваю-
щим встречу ракеты с целью [64].
2.	Управление электротехническими объектами [16, 82, 87, 120, 138].
Цель управления — обеспечение*постоянства напряжения между различными
узлами системы или достижение максимальной мощности, выделяемой на опреде-
ленном элементе, и др. Процессы, которые должны изменяться по определенным
законам — это изменения напряжений, токов, мощностей под воздействием внеш-
них электродвижущих сил или токов от внешних источников и др.
3.	Управление техническими объектами.
Цель управления — поддерживать некоторое распределение температур или не
допускать превышения температурой некоторого предельного уровня путем подво-
да тепловой энергии.
Далее функциональные элементы технологического процесса будем обозначать
квадратиками, а сигналы, поступающие на эти элементы, — стрелками (рис. 1.1).
Дадим определение сигнала.
Сигналами называются физические процессы, параметры которых содержат
информацию. Например, в телефонной связи при помощи электрических сигналов
передаются звуки разговора, в телевидении — изображение.
Параметры, содержащие информацию, называются информационными парамет-
рами. Например, сигнал — электрическое напряжение, информационный параметр
— амплитуда сигнала.
Входной
сигнал
элемента^
Функциональный
элемент
Выходной
сигнал
элемента
Рис. 1.1. Функциональный элемент
Рис. 1.2. Аналоговый сигнал /(/)
Сигнал называется аналоговым, если его информационные параметры могут
принимать любые значения в заданном промежутке (рис. 1.2).
Сигнал называется цифровым, если его информационные параметры содержат-
ся в кодированной последовательности импульсов.
Уже на основе сказанного выше можно заключить, что создание условий, обеспе-
чивающих требуемое протекание процессов, т.е. поддержание необходимого режима,
может быть реализовано в форме технического комплекса (системы управления),
включающего в себя основные блоки:
22 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
•	объект управления;
•	блок получения информации о текущих значениях параметров, характери-
зующих процессы в объекте (измерительная система);
•	управляющий блок (этот блок формирует команды, которые, поступая на объ-
ект, изменяют протекающие в нем процессы в направлении достижения по-
ставленной цели).
Таким образом, можно дать содержательное определение системы управления:
управляемый объект вместе с присоединенным к нему измерительным и управляю-
щим блоком образуют автоматическую систему (рис. 1.3) [120, 143].
Совокупность перечисленных блоков образует замкнутый контур, охватывающий
объект управления. Поэтому систему, где присутствуют все эти блоки, называют
замкнутой системой, или системой управления с обратной связью (ОС) (рис. 1.3).
Процессы управления — это динамические процессы, протекающие в системах, в
которых потоки информации, а также решения и действия для достижения цели
управления структурно реализуются в виде замкнутых контуров, т.е. систем с об-
ратной связью [120].
Рис. 1.3. Обобщенная схема САУ:
I — информационная часть системы, осуществляет получение, хранение, обработку
и выдачу информации; II — энергетическая (силовая) часть системы, служащая для преобразования
информации в управляющее воздействие на объект u(z)
Функциональные блоки (измерительный и управляющий) реализуются с помо-
щью различных технических средств. Важным является факт: в качестве информации
в технических средствах выступают электрические сигналы, причем информация
содержится либо в текущих значениях напряжения (аналоговые сигналы), либо в ви-
де кодированных последовательностей импульсов (сигналы цифрового или кодиро-
ванного типа) [120, 143].
В соответствии с этим измерительная система представляет собой преобразова-
тель значений различных физических процессов (температура, давление, число обо-
ротов и др.) в электрические сигналы.
Примеры измерительных систем (датчиков):
•	датчик относительного перемещения;
•	датчик угловой скорости;
•	датчик давления;
•	датчик температуры и др.
Глава 1. Стационарные САУ 23
Часть элементов систем управления обладает свойством однонаправленности,
т.е. присоединение последующего элемента к предыдущему не изменяет состояния
последнего. Наличие хотя бы одного однонаправленного элемента в автоматических
системах приводит к тому, что сигналы «проходят» в одном направлении.
•
1.1.2. Примеры систем автоматического управления.
Статические и астатические системы
1.	Система автоматического управления температурой в электропечи для за-
калки металла [16]
Для реализации рассматриваемого процесса электропечь снабжается управляю-
щим (или регулирующим) органом, с помощью которого можно управлять процес-
сом закаливания (изменять температуру в соответствии с заданным законом).
Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процесса закаливания,
т.е. поддержание необходимого режима, называется управлением. Оно может быть
ручным или автоматическим. При ручном управлении воздействие на управляющий
орган осуществляет человек, наблюдающий за ходом процесса.
Введем определение: функциональной схемой системы называется символиче-
ское изображение всех функциональных элементов технологического процесса и
связей между ними', в функциональной схеме отражена последовательность про-
цессов в системе.
Представим с помощью функциональной схемы технологический процесс закали-
вания металла в электропечи (рис. 1.4).
Требуемый процесс
Рис. 1.4. Функциональная схема технологического процесса
Система предназначена для поддержания необходимого режима, т.е. для измене-
ния температуры y(z) в электропечи по заданному закону. Для обеспечения необхо-
димого изменения температуры электропечь снабжается двумя элементами: термо-
парой, выходом которой является электрическое напряжение х(/), пропорциональ-
ное температуре в электропечи, и реостатом, с помощью которого меняется сопро-
тивление в цепи нагрева печи. При увеличении сопротивления ток в цепи нагрева и
температура в электропечи уменьшаются. При уменьшении сопротивления ток воз-
24 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
растает и температура увеличивается. Оператор, которому известен нужный закон
изменения температуры у(?), наблюдает за показаниями прибора (на котором фик-
сируется реальная температура в электропечи). В зависимости от того, в какую сто-
рону температура отклонилась от требуемого значения, оператор перемещает движок
реостата таким образом, чтобы реальная температура в электропечи мало отличалась
(на величину s(z)) от требуемого значения. Имеет место так называемая обратная
связь (ОС). Важнейшим элементом рассмотренного технологического процесса явля-
ется человек-оператор, наличие которого делает систему ручной. При автоматиче-
ском управлении воздействие на управляемый орган (реостат) осуществляет специ-
альное управляющее устройство. Построим схему, осуществляющую реализацию
технологического процесса без участия человека. Назначение оператора — переме-
щение движка реостата в зависимости от наблюдаемого отклонения температуры.
Эту операцию можно реализовать с помощью двигателя (привода). Поскольку на
выходе термопары имеет место сигнал очень небольшой мощности (ее недостаточно
для питания даже небольшого приводного двигателя), то вводят промежуточное зве-
но — усилитель мощности. Реализация процесса закаливания металла в электропечи
может быть представлена с помощью функциональной схемы (рис. 1.5).
Сигнал y(t) (заданная температура в печи) называют управляющим, а сигнал х(?)
(реальная температура) — управляемой переменной.
Рис. 1.5. Функциональная схема автоматической системы,
реализующей процесс закаливания металла в электропечи
Систему, реализующую процесс закаливания, называют системой автоматическо-
го управления. Таким образом, система автоматического управления (САУ) процессом
закаливания представляет собой совокупность объекта управления (ОУ) и управляю-
щего устройства, включающего в себя усилитель, реостат, измерительное устройст-
во (датчик), элемент сравнения. Объектом управления является электропечь, выход-
ные переменные которой (температура), называемые в данном случае управляемыми,
подлежат управлению. Под управляющим устройством подразумевается устройство,
обеспечивающее процесс управления, т.е. целенаправленное воздействие, приводящее
к желаемому изменению управляемой переменной (температуры закаливания).
Итак, введены новые термины: объект управления — электропечь, управляемая
переменная — температура закаливания, управляющий орган — реостат, обратная
связь. Для улучшения качества управления (например, уменьшения ошибки е(/),
уменьшения степени колебательности и т.д.) в систему вводят дополнительный
очень важный элемент — регулятор . С учетом этого элемента САУ, представленная
на рис. 1.5, принимает несколько иной вид (рис. 1.6).
’ Далее в этом параграфе рассмотрение понятия «регулятор» будет продолжено.
Глава 1. Стационарные САУ
25
Рис. 1.6. Функциональная схема системы автоматического управления процессом закаливания:
/ — задающее устройство; 2 — сравнивающее устройство; 3 — регулятор; 4 — усилитель мощности;
5 — привод (двигатель); 6 — реостат; 7 — электропечь; 8 — измерительное устройство (датчик);
I — неизменяемая часть САУ; II — регулятор (изменяемая часть САУ)
При проектировании САУ параметры элементов 4-8 остаются неизменными, по-
этому часть САУ, включающая в себя 4—8, носит название неизменяемой {она со-
держит функционально необходимые элементы). На практике неизменяемую часть
часто называют объектом, а к управляющему устройству относят лишь регулятор.
Именно его параметры изменяются в процессе проектирования САУ.
2.	Система автоматического управления (САУ) числом оборотов электродви-
гателя постоянного тока [120]
Функциональная схема системы представлена на рис. 1.7.
Рис. 1.7. Функциональная схема разомкнутой САУ:
1 — потенциометр; 2 — усилитель; 3 — электродвигатель; 4 — тахогенератор со стрелочным прибором
В варианте ручного разомкнутого управления оператором задается путем пере-
мещения движка потенциометра 1 нужное число оборотов двигателя (оно пропор-
ционально напряжению на входе усилителя). С выхода 1 сигнал подается на усили-
тель 2, что приводит к изменению тока в якоре электродвигателя. Последнее приво-
дит к изменению угловой скорости двигателя, которая измеряется тахогенератором и
стрелочным прибором, но не используется для замыкания системы.
Из-за старения и износа элементов, при колебаниях температуры, из-за неточно-
сти исполнения элементов, градуировка системы нарушается (каждому положению
движка потенциометра должно соответствовать заданное число оборотов двигателя).
Поэтому системы, работающие по разомкнутому циклу, часто не могут обеспечить
высокого качества работы (данный факт теоретически обосновывается в п. 1.11).
Эту схему можно автоматизировать, причем система будет функционировать по
26 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
замкнутому циклу, т.е. по принципу обратной связи. Качество ее работы повышается.
Функциональная схема такой системы представлена на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Функциональная схема замкнутой САУ:
1 — потенциометр; 2 — регулятор; 3 — усилитель; 4 — электродвигатель; 5 — тахогенератор
Система замкнутого цикла отличается от системы разомкнутого цикла тем, что
в системе с ОС имеет место сравнение реального числа оборотов двигателя с тре-
буемым. Рассогласование (ошибка) поступает на регулятор 2 и усилитель 3; управле-
ние осуществляется сигналом ошибки е(/). Структура и параметры регулятора 2 вы-
бираются таким образом, чтобы обеспечить высокую точность работы системы. Замк-
нутая система не требует точной градуировки: точность сохраняется и при «уходе»
параметров системы от эталонных из-за старения или по другим причинам (см. п. 1.11).
Сделаем дальнейшие пояснения и уточнения, связанные с сущностью проблемы
автоматического управления с использованием рассмотренных выше конкретных САУ.
САУ является кибернетической системой в соответствии с определением киберне-
тики: кибернетика — наука об управлении, передаче и переработке информации.
В САУ присутствуют основные понятия, составляющие содержание киберне-
тики'. управление, информация, система.
Элементы САУ связаны между собой информационными каналами, линиями управ-
ления, по которым передаются управляющие сигналы.
Отметим важное свойство системы: система обладает свойствами и выполняет функ-
ции, которые существенно отличаются от свойств и функций ее отдельных элементов.
Отличительной чертой рассмотренных САУ является поступление на вход системы
так называемой «обратной информации», которая необходима для контроля (обратная
связь). ОС замыкает канал управления (поэтому такое управление называют замкнутым).
Таким образом, при управлении с ОС значение управляющей переменной постоян-
но сопоставляется с ее заданным (эталонным) значением. Цель управления — сде-
лать эти величины близкими (в известном смысле) несмотря на различные помехи.
Контур управления— это система, состоящая из объекта управления и регулятора
(управляющей системы, с помощью которой добиваются нужного качества управления).
К основным функциям контура управления относятся: измерение, сравнение и
реагирование (выработка команды управления и(г) на объект), которые должны, по
возможности, выполняться, в известном смысле, оптимально; в этом случае кон-
тур управления несмотря на помехи постоянно поддерживает управляемую пере-
менную близкой к ее заданному значению.
3.	Система автоматического сопровождения цели (рис. 1.9)
Примером системы, подверженной случайным воздействиям, является автомати-
ческий привод антенны радиолокационной станции сопровождения самолетов или
Глава 1. Стационарные САУ
27
других объектов, перемещающихся в пространстве по произвольной траектории. Ос-
циллограммы сигнала на выходе РЛС представлены на рис. 1.10. Сигналы представ-
ляют собой случайные функции времени [7, 52].
Рис, 1.9. Схема радиолокационного сопровождения движущегося объекта:
1 — приемник; 2,3 — электронные каскады усиления; 4,5 — электромашинные усилители мощности;
6, 7 — исполнительные двигатели; 8 — генератор опорных напряжений; 9 — антенна;
10 — сопровождаемый объект

	
» Ал	л II. 1 	а	В	й		1	. Л	й_ 	J	.J.	
Р	\Тл nz 1Т1IТ\ /1лл/ /1 /1/.~L1LПТ71Г71IZE.	ГпТУ 1111 /УТ777Г7
'	VW VI\Г1\Г Ч V / и V ЛГГД/ Г	\Р X	г* V к	
1	J • WV Ul V V ‘и "у ’J V \/ *	|/ \ V	/ U	U	
1	и	
Рис. 1.10. Осциллограмма сигнала на выходе радиолокатора
1.1.3.	Фундаментальные принципы управления,
ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ
На основе рассмотрения указанных примеров можно сформулировать задачу
управления: изменять протекающие в объекте управления процессы путем воздей-
ствия на него соответствующими командами таким образом, чтобы была достиг-
нута поставленная цель.
Существует теория, рассматривающая общие принципы проектирования систем
автоматического управления (САУ), которая получила название теории автомати-
ческого управления (ТАУ), в основе которой лежат математические модели, отра-
жающие связь элементов САУ друг с другом и с внешней средой.
28 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Фундаментальными принципами управления являются (их содержания становит-
ся ясным на основе рассмотрения приведенных выше примеров) [120, 127]:
•	принцип разомкнутого управления;
•	принцип компенсации (управление по возмущению: если возмущающие воздей-
ствия в системе велики, то для повышения точности разомкнутой системы на ос-
нове измерения возмущений в алгоритм управления вводятся коррективы, ком-
пенсирующие влияние возмущений; основные положения рассмотрены в п. 1.10);
•	принцип обратной связи (ОС).
Системы, работающие по принципу разомкнутого цикла, не могут обеспечить вы-
сокую точность управления. В них не измеряется результат, вызываемый управляю-
щим воздействием, и не осуществляются действия, влияющие на этот результат, с
тем чтобы он соответствовал требуемому.
В системах с замкнутым циклом, или обратной связью, качество управления, т.е. точ-
ность поддержания требуемой функциональной связи (в частности, пропорциональной)
между входом и выходом, в основном зависит от точности, с которой производят из-
мерение и сравнение требуемого и действительного значений регулируемой переменной.
Системой автоматического управления называется активная динамическая
система, стремящаяся сохранять в допустимых пределах отклонение между тре-
буемым и действительным изменениями управляемой переменной при помощи их
сравнения на основе принципа обратной связи (замкнутого цикла) и использования
получающегося при этом сигнала для управления источником энергии [120].
САУ называются системы с обратной связью (ОС). Это объясняется тем, что в
них имеется не только прямая связь между входом (входным управляющим воздей-
ствием, или управлением) и выходом (управляемой переменной), но и обратная меж-
ду выходом и входом, служащая для сравнения этих величин.
Изменения управляемых величин вызывают не только управляющие, но и возму-
щающие воздействия, приложенные в соответствующих точках системы автомати-
ческого управления. Управление осуществляет целенаправленное изменение управляе-
мых переменных. Возмущение стремится нарушить требуемую функциональную связь
между управляющим воздействием и управляемой переменной. Например, возмущаю-
щими воздействиями могут быть момент нагрузки, приложенный к валу электродвига-
теля, или изменение напряжения в обмотке возбуждения последнего.
САУ должна вести себя по отношению к управляющему и возмущающему воз-
действиям различным образом. Необходимо, чтобы система осуществляла управле-
ние с наименьшими погрешностями, компенсируя действие возмущений на управ-
ляемые переменные [120].
САУ с одной регулируемой величиной показана на рис 1.11.
’ Активной является САУ, содержащая источник (источники) энергии.
Глава 1. Стационарные САУ 29
Цифрой 7 обозначено устройство для сравнения управляющего воздействия с
управляемой переменной; цифрой 2 — объект и регулятор. Отметим, что если управ-
ляющее воздействие может быть приложено только к сравнивающему устройству
системы, то возмущающее воздействие rfy) может быть приложено к любой точке САУ.
Внешние воздействия на систему приводят к тому, что требуемые и действитель-
ны значения управляемой величины отличаются друг от друга. Разность между не-
обходимым и действительным значениями управляемой величины является ошибкой
системы автоматического управления.
Рис. 1.12. Основные переменные (воздействия и сигналы) в САУ:
y(t) и n(t) —управляющее и возмущающее воздействия;
e(z) —рассогласование или сигнал ошибки; х(/)—регулируемая переменная
Управляемая переменная х(г) при неограниченно возрастающих управляющих
воздействиях является также неограниченно возрастающей функцией времени,
ошибка же е(?) остается ограниченной (рис. 1.12). Воздействие, приложенное к
сравнивающему элементу системы управления, называют входным сигналом, или
сигналом на входе системы автоматического управления.
При введении отрицательной обратной связи система слабо реагирует на воз-
мущающие воздействия и подчиняется главным образом управляющему воздейст-
вию, т.е. замкнутая система управления по существу представляет собой фильтр,
который достаточно точно воспроизводит управляющее воздействие и подавляет
возмущающее.
Сигнал, который поступает с выхода системы на ее вход, называют сигналом
главной обратной связи, а разность между входным сигналом и сигналом главной
обратной связи — сигналом ошибки.
СА У являются системами направленного действия. Это означает, что выходной
сигнал последующего элемента может оказать влияние на формирование ошибки на
выходе элемента сравнения только через обратную связь.
Итак, САУ — это замкнутая активная динамическая система направленного
действия, преобразующая уставку на ее входе в воздействие, непосредственно
прикладываемое к объекту управления.
В дальнейшем будут рассматриваться системы, работающие по принципу обрат-
ной связи.
Для САУ этого класса характерно следующее [120, 143]:
•	наличие обратной связи',
•	слабые управляющие сигналы на входе, идущие от измерительного устройст-
ва, преобразуются в достаточно мощные воздействия на объект (ток в цепи
нагрева)',
30 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
•	ошибка е(г) является движущим сигналом для системы, работающей на
уменьшение этой ошибки',
• САУ является замкнутой системой, замыкание осуществляется через обрат-
ную связь (ОС), которая, в свою очередь, реализуется с помощью измеритель-
ного устройства (термопары); измерительный (чувствительный) элемент
служит не просто для регистрации температуры, а для формирования рассо-
гласования являющегося входом усилителя и, таким образом, реализую-
щего процесс управления.
В зависимости от характера изменения входного (задающего) управляющего воздей-
ствия y(t) САУ могут быть подразделены на три основных типа [16, 82, 120, 127, 143]:
1)	системы автоматической стабилизации (или системы автоматического ре-
гулирования). В них управляющие воздействия представляют собой заданные
постоянные величины (уставки);
2)	системы программного управления. В них управляющие воздействия явля-
ются известными функциями времени (изменяются по программе);
3)	следящие системы. В них задающие воздействия представляют собой заранее
неизвестные функции времени.
Если в САУ, показанной на рис. 1.8, входной сигнал сохраняет постоянное значе-
ние (движок потенциометра неподвижен), то она представляет систему автоматиче-
ской стабилизации угловой скорости электродвигателя. Постоянное значение, кото-
рое имеет входной сигнал, называется настройкой (уставкой) автоматического регу-
лятора. Уставке соответствует требуемое значение регулируемой величины объекта.
Система автоматического управления температурой в электропечи для закалки
металла является системой программного управления, если процесс изменения тем-
пературы является известной функцией времени у(1).
Типовой следящей системой является система автоматического сопровождения
цели по соответствующим координатам (рис. 1.9).
Приведем некоторые положения, характеризующие такое важное понятие, как
качество управления (все положения далее будут теоретически обоснованы).
Дадим следующее определение.
Объекты, обладающие свойством возвращаться к своему прежнему состоянию
после устранения причин, вызвавших изменение этого состояния, можно назвать
устойчивыми.
Неустойчивая система, как правило, не может выполнить возлагаемых на нее
задач и поэтому оказывается непригодной для эксплуатации.
Обсудим физическое содержание явления неустойчивости, приведенное в [143].
Рис. 1.13. Принципиальная схема системы
Глава 1. Стационарные САУ 31
Система управления (рис. 1.13) состоит из генератора напряжения и электрома-
шинного усилителя. Разомкнем систему на выходе электромашинного усилителя и
подадим на вход такой разомкнутой системы напряжение, изменяющееся скачком на
величину w0. В такой разомкнутой’системе возникает некий переходный процесс
(рис. 1.14). С течением времени напряжение на нагрузке генератора станет равным
некоторому установившемуся значению
w1 = k-uQ,
где к = ЛгАэму — коэффициент усиления разомкнутой системы, равный произведе-
нию коэффициентов усиления ее элементов, к представляет собой отношение на-
пряжения и, на выходе системы к напряжению w0 на входе системы в установив-
шемся режиме. В замкнутой системе (рис. 1.14) на усилитель воздействует не и0, как
это было в разомкнутой системе, а разность напряжений
и = и0 - щ,
представляющая собой отклонение регулируемой величины от заданной, или ошиб-
ку. При изменении и0 скачком в замкнутой системе (рис. 1.14) напряжение щ, а зна-
чит, и напряжение на нагрузке в начальный промежуток времени после момента при-
ложения напряжения и0 в силу инерционности системы будут изменяться так же, как
и в разомкнутой системе. Однако в последующие моменты времени характер измене-
ния напряжения щ в замкнутой системе будет иным, так как в замкнутой системе на
усилитель воздействует теперь не постоянное напряжение и0, а величина и = и0 -щ,
зависящая от самого напряжения щ. При достаточно большом коэффициенте усиле-
ния к малые изменения и вызовут значительные изменения тока возбуждения гене-
ратора, а значит, и напряжения на нагрузке, что приведет к увеличению отклонения и.
Это, в свою очередь, может еще более увеличить ток возбуждения генератора и т.д. Из-
менение напряжения щ во времени будет иметь характер, приведенный на рис. 1.14, а,
т.е. напряжение на нагрузке не будет стремиться ни к какому установившемуся зна-
чению, что характеризует неустойчивость системы. Если же коэффициент усиления
не столь велик, то отклонения напряжения и могут с течением времени уменьшаться
и стремиться к установившемуся значению. При этом напряжение генератора щ, а
значит, и напряжение на нагрузке будет стремиться к постоянной величине (рис. 1.14, б),
что соответствует устойчивости системы. Эти общие рассуждения имеют своей це-
лью физически пояснить причины неустойчивости системы.
Рис. 1.14. Процессы изменения щ (г)
Из приведенных рассуждений следует, что для обеспечения устойчивой работы
системы нужно уменьшить коэффициент усиления к. Но, с другой стороны, для
32 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
уменьшения отклонения управляемой величины от заданного значения в устано-
вившемся режиме, необходимо увеличить значение коэффициента усиления к. Это
обстоятельство иллюстрирует характерное для систем «противоречие» между точно-
стью и устойчивостью автоматической системы. Стремление к высокой точности
требует увеличения к, а увеличение к приводит к неустойчивости. Изменяя пара-
метры системы, можно добиться того, что система станет устойчивой и при заданном
коэффициенте усиления системы к. Следует отметить, однако, что практически мы
часто ограничены в возможности изменения параметров систем в широких пределах.
Иногда может оказаться, что устойчивость системы недостижима ни при каком
изменении параметров системы. В этом случае устойчивости можно добиться лишь
при изменении структуры системы. Автоматические системы, в которых устойчивая
работа системы не может быть достигнута никаким изменением параметров системы,
называют структурно неустойчивыми системами [143].
И, наконец, обсудим еще одно важное свойство САУ, связанное с качеством
управления [120].
САУ подразделяются на статические и астатические в зависимости от того,
имеют или не имеют они ошибку в установившемся состоянии при определенных воз-
действиях (понятие установившегося состояния иллюстрируется рис. 1.14, а в п. 1.3
будет приведено его математическое обоснование).
На рис. 1.15 приведена схема статической САУ уровня воды в резервуаре с по-
мощью поплавкового регулятора. Поплавок в ней жестко связан с регулирующим
элементом органом — задвижкой, которая изменяет количество воды, поступающей
в единицу времени по питающей трубе в резервуар. Данная система — пример стати-
ческого управления, при котором управляемая величина'при разных, но постоянных
внешних воздействиях на объект по окончании переходного процесса принимает
различные значения, зависящие от значения внешнего воздействия (нагрузки). Чем
больше расход жидкости g(z) в системе, чем больше открыта задвижка, и, следова-
тельно, тем ниже в состоянии равновесия будет находиться поплавок.
Характерные особенности статической системы управления следующие:
•	равновесие системы имеет место при различных значениях управляемой величины,
•	каждому значению управляемой величины соответствует единственное оп-
ределенное положение регулирующего элемента',
•	контур регулирования системы должен состоять из статических звеньев, осу-
ществляющих зависимость х = f(y).
Рис 1.15. Статическая САУ уровня жидкости (о.) и астатическая (б)
В схему САУ уровня жидкости (рис. 1.15) включен электродвигатель постоянного
тока. При увеличении (уменьшении) расхода жидкости поплавок (чувствительный
Глава 1. Стационарные САУ 33
элемент) опускается (поднимается) и замыкает верхний (нижний) контакт. При этом
электродвигатель начинает вращаться в таком направлении, чтобы поднять (опус-
тить) задвижку — регулирующий элемент — и увеличить (уменьшить) приток жид-
кости. Данная схема — пример астатического управления, когда при различных по-
стоянных значениях внешнего воздействия на объект отклонение управляемой вели-
чины от требуемого значения по окончании переходного процесса становится рав-
ным нулю. Степень открытия заслонки зависит от расхода жидкости, а поплавок при
заданном значении уровня занимает одно определенное положение, соответствую-
щее заданному. Связать поплавок и заслонку следует таким образом, чтобы одному
положению поплавка могло соответствовать любое положение заслонки.
Характерные особенности астатической системы управления следующие:
•	равновесие системы имеет место при единственном значении управляемой
величины, равном заданному,
•	регулирующий элемент должен иметь возможность занимать различные по-
ложения при одном и том же значении управляемой величины.
В астатических системах первая особенность реализуется с некоторой погрешно-
стью, так как чувствительный элемент обладает разрешающей способностью (нечув-
ствительностью). Для осуществления указанной связи между чувствительным и ре-
гулирующим элементами в контур регулирования должно быть введено астатическое
звено — в данном случае электродвигатель. При отсутствии напряжения вал элек-
тродвигателя неподвижен в любом положении, при наличии напряжения он непре-
рывно вращается. Астатическое звено находится в состоянии так называемого без-
различного равновесия при отсутствии внешнего воздействия и выходит из равнове-
сия при наличии этого воздействия.
Следует также различать системы статические и астатические по отноше-
нию к возмущающему и управляющему воздействиям.
В системах, статических по отношению к возмущающим воздействиям, не одина-
ковым по постоянной величине, этим воздействиям соответствуют различные значе-
ния управляемой величины. В астатических системах значение управляемой величи-
ны остается постоянным, равным заданному, и не зависит от значения возмущающе-
го воздействия.
В системах, статических по отношению к управляющим воздействиям, постоян-
ным значениям этого воздействия соответствует постоянная ошибка, значение кото-
рой зависит от значения управляющего сигнала. В астатических системах после
окончания переходного процесса ошибка равна нулю.
На рис. 1.16, а-6 приведены кривые переходных процессов в статической и аста-
тической системах по отношению к возмущающему и управляющему у(?) воз-
действиям соответственно.
Рис. 1.16. Переходные процессы в статической (кривая /) и астатической (кривая 2) системах
по отношению к возмущающему (а) и управляющему (б) воздействиям
4 Зак. 14
34 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.1.4.	Примеры технических, биологических и экономических систем
Выше были рассмотрены САУ с целью сформулировать положения, важные с
точки зрения изучения автоматических систем и их свойств.
Далее рассмотрим конкретные САУ.	t
1.1.4.1.	Система автоматического управления уровнем жидкости
Многие САУ, используемые в атомной энергетике, предназначены для автомати-
ческого регулирования уровня жидкости. К таким системам относятся, например,
автоматические регуляторы уровня в парогенераторах (ПГ), конденсаторах, компен-
саторах давления (КД), барабанах-сепараторах (БС) и др.
Большинство из перечисленных САУ построены по схеме, показанной на рис. 1.17.
Рис. 1.17. Принципиальная схема системы автоматического регулирования уровня жидкости:
П — привод; РК — регулируемый клапан; РМ — расходомер; УМ — уровнемер;
БИК — блок извлечения корня
Уровень жидкости /г(?) зависит от разности двух величин — притока Gn и расхода
GP. Если Gn >GP, то уровень растет, и наоборот, при Gn <GP — /?(/) уменьшается.
Величину притока Gn можно менять посредством регулирующего клапана РК,
который управляется электроприводом П.
Сигнал, соответствующий действительному уровню A(z), измеряется уровнеме-
ром (УМ) и сравнивается с требуемым уровнем Д, (уставкой).
В зависимости от величины и знака рассогласования e(z) регулятор посредством
электропривода увеличивает, если s>0, или уменьшает, если е<0, приток жидко-
сти Gn, поддерживая равенство между Gn и GP при заданном уровне А3.
Изменение расхода GP нарушает баланс в схеме. Поэтому GP является возму-
щающим сигналом.
Для повышения точности регулирования наряду с e(z) используется сигналы Gn
и Gp, которые порождают местную обратную связь. При использовании GP имеет ме-
сто так называемое комбинированное регулирование по отклонению и возмущению.
Выходной сигнал некоторых расходомеров пропорционален квадрату расхода
жидкости. Поэтому цепи измерения расходов содержат блоки извлечения корня (БИК).
Глава 1. Стационарные САУ 35
Воспользуемся стандартными обозначениями:	= h.} — вход системы (задан-
ное воздействие), х(?) = А(/) — выход системы (уровень жидкости), и(?) = Gn (г) —
возмущение (расход жидкости).
Функциональная схема САУ уровнем жидкости может быть представлена в виде,
изображенном на рис. 1.18.
Рис. 1.18. Функциональная схема САУ уровнем жидкости:
I — задающее устройство; 2 — сравнивающее устройство: 3 — регулятор;
4 — усилитель мощности; 5 — привод; 6 — регулирующий орган (клапан);
7 — объект управления; 8 — уровнемер; 9,10 — линейные расходомеры
1.1.4.2.	Системы автоматического управления, применяемые
I	В ЯДЕРНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ
Рассмотрим ядерную энергетическую установку (ЯЭУ). Простейшая схема уста-
новки приведена на рис. 1.19.
Рис. 1.19. Простейшая схема двухконтурной ядерной энергетической установки
с паротурбинным циклом
В установке основными элементами являются ядерный реактор ЯР и теплосило-
вое оборудование. Первый контур включает ядерный реактор ЯР, парогенератор ПГ,
циркуляционный насос Нь трубопроводы горячего (от реактора) и холодного (к ре-
актору) теплоносителя.
В теплосиловое оборудование входят турбина Т с электрическим генератором ЭГ,
конденсатор отработанного пара К, циркуляционный насос Н2 и т.д. Это оборудова-
ние образует второй контур ядерной энергетической установки.
4*
36 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В первом контуре наряду с основным оборудованием имеется различное вспомо-
гательное оборудование: система очистки теплоносителя, система подачи теплоноси-
теля в первый контур (компенсаторы уровня, система аварийного расхолаживания
реактора, система поддержания давления в контуре и т.д.).
Рассмотрим подробнее основные элементы конструкции ядерного,реактора
(рис. 1.20).
Ядерный реактор — это устройство, в котором обеспечиваются условия для про-
текания управляемой самоподдерживающейся реакции деления ядер, а также съем
тепла. Получаемое в процессе цепной реакции тепло в реакторе отводится циркули-
рующим теплоносителем и используется в паросиловой части ЯЭУ для получения
электрической энергии. Несмотря на большое разнообразие реакторов, можно выде-
лить ряд элементов и систем, присущих большинству из них.
Рис. 1.20. Основные элементы ядерного реактора:
1 — управляющие стержни; 2 — отражатель; 3 — теплоноситель; 4 — биологическая защита;
5 — активная зона; 6 — замедлитель; 7 — ядерное топливо
Активная зона — та часть реактора, в которой осуществляется цепная реакция
деления. В активной зоне размещаются ядерное топливо (уран и его сплавы, плуто-
ний и т.д.), замедлитель (графит, бериллий, вода и пр.), который служит для сниже-
ния энергии нейтронов деления. Отвод тепла от тепловыделяющих элементов актив-
ной зоны обеспечивает теплоноситель (вода, жидкие металлы, газы и пр.). В актив-
ную зону реактора также входят различные конструкционные материалы: материалы
труб, по которым подается теплоноситель, материалы оболочек тепловыделяющих
элементов и т.д.
Отражатель используется для уменьшения потери нейтронов за счет утечки че-
рез поверхность активной зоны. Обычно в качестве материала отражателя применя-
ются те же материалы, что и для замедлителя.
Биологическая защита. Работающий ядерный реактор является мощным источни-
ком различного рода излучений (нейтронов, у-квантов, а- и [3-частиц и т.д.). Биоло-
гическая защита предохраняет персонал от действия этих излучений.
Глава 1. Стационарные САУ 37
Система загрузки и выгрузки топлива. В процессе работы реактора происходит
выгорание ядерного горючего, накопление продуктов цепной реакции, являющихся
поглотителями нейтронов, и т.п. В связи с этим необходимо осуществлять замену
тепловыделяющих элементов. Эта замена может производиться при выключенном
реакторе либо на работающем реакторе. Для осуществления операций по замене вы-
горевших блоков горючего используется комплекс механизмов и устройств, объеди-
ненных в систему загрузки и выгрузки топлива.
Органы системы управления. Для управления цепной реакцией в активную зону
ректора вводятся, как правило, специальные регулирующие элементы, например
управляющие стержни, воздействующие на процесс образования или исчезновения
нейтронов. Эти элементы являются исполнительными органами системы управления.
Аппаратура систем контроля, управления и защиты — это комплекс механиз-
мов, приборов, регулирующих устройств, предназначенный для обеспечения без-
аварийной эксплуатации ядерной установки, т.е. исключения самопроизвольного
разгона реактора или отклонений технологических параметров установки от задан-
ных значений.
Основную роль в обеспечении безопасности эксплуатации ЯР призвана сыграть
система управления и защиты (СУЗ), на которую возлагаются функции по управле-
нию цепной реакцией при пуске, переходе с одного уровня мощности на другой и
остановке ЯР, а также быстрому прекращению реакции деления в случае возникно-
вения аварийной ситуации.
Системы автоматического управления ЯР являются подсистемами СУЗ и предна-
значены для автоматического регулирования реактора во время его разгона (пуска) и
стабилизации на данном уровне мощности. Функциональная схема САУ ЯР, осуще-
ствляющая алгоритм пуска по периоду со стабилизацией заданного уровня по сигна-
лу измерителя мощности, представлена на рис. 1.21, где обозначено: АР — автомати-
ческий регулятор, ЭП — электропривод, ЯР — ядерный реактор, АК — аппаратура
контроля ЯР, N3 и N — заданный и действительный (выходной) сигналы мощности
соответственно, Y., и Y — заданный и действительный сигналы обратного периода
(период Гр — время, за которое мощность ЯР увеличивается в е раз; обратный пе-
риод — величина, обратная периоду, т.е. }/Тр ), U — выходной сигнал АР, У и К
— сигналы оценки мощности и обратного периода соответственно, р — реактивность.
Рис. 1.21. Функциональная схема САУ ЯР
Рассматриваемая САУ работает следующим образом. Пусть требуется перевести ЯР
с уровня мощности Уо на уровень N3, причем N3 > No. После включения АР проис-
ходит увеличение реактивности р до достижения заданного значения Y, обратного
периода, после чего в течение разгона ЯР осуществляется режим стабилизации периода
38 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
(сигнал мощности игнорируется). При подходе к заданному уровню мощности АР ав-
томатически переключается от режима стабилизации периода на режим стабилизации
мощности (уставка по обратному периоду автоматически изменяется от У3 до нуля).
1.1.4.3.	Система автоматического управления напряжением
ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рассмотрим систему (рис. 1.22). Эта система по проходящим в ней физическим про-
цессам связана с системой, функциональная схема которой представлена на рис. 1.7.
Рис. 1.22. Функциональная схема статической САУ напряжением:
I — потенциометр; 2 — усилитель; 3 — генератор постоянного тока; 4 — нагрузка;
иоп — опорное напряжение
При обсуждении вопросов функционирования систем далее будут использоваться
введенные выше положения: устойчивость системы, астатизм и его порядок и др.
Напряжение ик генератора 3 задается его током возбуждения /в и зависит от со-
противления нагрузки 4 и скорости вращения (оборотов) п:
“н =^г*н/(7гн+''г)>
где Кт — коэффициент, зависящий от конструкции генератора, гг — сопротивление
цепи якоря генератора.
Пусть усилитель 2 имеет крутизну S усиления напряжения рассогласования е и
его преобразования в ток /в, т.е. 1Ъ = S&. С учетом того что е зависит от положения
движка потенциометра 1 и wH, в системе реализуется принцип ОС:
Б = амОп-(1-а)«н’
где а — коэффициент, отражающий положение движка потенциометра (0 < а < 1).
Подставив последние два выражения в первое, легко получить, что напряжение
генератора
Н	D	ОП’
\ + KTnS--(1-ос)
rr+V 7
Из полученного выражения следует, что, меняя положения движка потенциометра 1
(коэффициент а), можно задавать величину стабилизируемого напряжения ин, ко-
торое тем меньше зависит от нагрузки 7?н и оборотов генератора п, чем выше кру-
тизна 5 усилителя 2.
В частности, при S —>оо ин =сшоп/(1-а), т.е. не зависит от возмущений. Однако
на практике приходится ограничить значение S, так как при большом усилении оп-
Глава 1. Стационарные САУ 39
ределяющую роль начинают играть динамические свойства элементов системы и в
итоге САУ теряет устойчивость — становится неработоспособной.
Таким образом, одной из особенностей рассматриваемой САУ является наличие
статической ошибки (разницы между заданным и действительным выходным напря-
жением), зависящей от возмущений, например нагрузки (рис. 1.23).
Рис. 1.23. Нагрузочная характеристика генератора:
1 — без САУ; 2 — со статической САУ; 3 — с астатической САУ;
. напряжение холостого хода; us —заданное напряжение
Такие системы, как указывалось ранее, называют статическими, а величину
$~(хном-хмин)/хном’ х — регулируемая (управляемая) величина, — неравномер-
ностью регулирования. Заметим, что для определенных САУ неравномерность регу-
лирования нормируется. Например, регуляторы скорости вращения турбогенераторов
электростанций должны обеспечить 5 = (4,5 ±0,5)%.
Далее введем начальные понятия, определяющие назначение и структуру регулятора.
Особенностью рассматриваемой САУ является формирование управляющего сиг-
нала /в пропорционально ошибке е. В этом случае говорят, что реализован пропор-
циональный закон регулирования (П-закон). Наряду с П-законом в несложных сис-
темах промышленной автоматики применяются интегральный (И), дифференциаль-
ный (Д) и их комбинация — ПИД-закон управления.
Посмотрим, как изменятся свойства САУ напряжением генератора, если управле-
ние осуществить согласно И-закону (рис. 1.24).
Рис. 1.24. Функциональная схема статической САУ напряжения:
7 — потенциометр; 2 — усилитель; 3 — генератор; 4 — нагрузка; 5 — интегратор;
моп — опорное напряжение
40 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В этом случае
R ?
u„(t) = KrnS---J[awon-(l-a)«H/r]</T,
о
ИЛИ	•
“н 0) = nS  \ [а»оп - (1 - а) w„ А]-
Гг + лн
Если система устойчива, то в установившемся режиме wH(z)=0 и ин =и011а/(1-а),
т.е. в данном случае напряжение не зависит от возмущений RH и п (см. рис. 1.23, от-
резок 3). Заметим, что для получения этого же результата с П-законом необходимо бы-
ло бы применять усилитель с бесконечным усилением, что на практике нереализуемо.
Систему, в которой присутствуют интегрирующие звенья, называют астати-
ческой, а количество интеграторов — порядком астатизма.
Целью управления в рассмотренных ранее САУ являлась стабилизация управляе-
мого параметра, например, уровня жидкости, скорости вращения электродвигателя,
напряжения генератора и т.д. В промышленной автоматике такие САУ принято на-
зывать системами автоматического регулирования (САР) или стабилизации. В этих
системах задающее воздействие = const.
Наряду с САР рассмотрим примеры систем, где задающее воздействие >>(/) пред-
ставляет заранее известную функцию.
1.1.4.4. САУ ТЕМПЕРАТУРОЙ В ПЕЧИ И ЕЕ ВОЗМОЖНАЯ КОНСТРУКЦИЯ
Рассмотрим систему (рис. 1.25).
Рис. 1.25. Система автоматического управления:
y(l) —задающее воздействие; x(l) —управляемый параметр (температура)
Управляемый параметр — температура в печи 1 должна изменяться во времени
согласно заданному закону, определяемому программным устройством 2, которое
перемещается по горизонтали. По его рельефной поверхности катится ролик 3, кото-
Глава 1. Стационарные САУ
41
рый передает перемещение рычагу 4, вращающемуся вокруг оси 5. В вертикальной
прорези рычага 4 помещена стрелка 6, связанная с самопишущим потенциометром 7.
Она показывает температуру и одновременно при касании с контактом рычага 4 за-
мыкает цепь исполнительного двигателя 8, который открывает или закрывает вход-
ной клапан печи, через который постугйет в печь теплоноситель.
В ряде случаев задающее воздействие представляет неизвестную случайную функ-
цию. В этом случае САУ называют следящей системой. На рис. 1.26 приведен пример
системы, в которой орудийная башня 1 отслеживает случайное положение задатчика 2.
При изменении положения задатчика 2 возникает рассогласование е(/) моста 3.
Напряжение с диагонали моста поступает на усилитель 4, который посредством элек-
тродвигателя 5 и редуктора 6 управляет положением башни и связанным с ней —
движком а реостата 3. Когда движок а реостата 3 занимает одинаковое положение с
движком б реостата-задатчика 2, сигнал рассогласования в(г) = О, и следящая систе-
ма приходит в установившееся состояние.
Характерной особенностью рассмотренных ранее систем является использова-
ние дополнительных источников энергии для осуществления управляющего воздей-
ствия — питание электродвигателя, усилителя, реостата и т.д.
Существуют автоматические регуляторы (АР) прямого действия без дополни-
тельных источников энергии.
Такие АР широко применяются в пневматических системах автоматического
управления, в которых исполнительным механизмом управляет непосредственно
сравнивающее устройство, или, как его называют, — чувствительный элемент.
На рис. 1.27 показаны регуляторы давления газа прямого действия. Регулируемый
параметр — давление действует на чувствительный элемент — мембрану 1,
которая, преодолевая силу сжатия пружины 2, перемещает клапан 3, поддерживая
тем самым заданное предварительным сжатием пружины 2 давление газа независимо
от его расхода G.
1.1.4.5. Основные САУ энергоблока АЭС
Для реализации автоматического управления сложными технологическими про-
цессами, например выработкой электроэнергии на АЭС, приходится применять мно-
3 Зак. 14
42 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
жество одновременно работающих САУ. В качестве примера рассмотрим основные
САУ энергоблока АЭС (рис. 1.28), участвующего в так называемом статическом ре-
гулировании частоты в энергосистеме.
Рис. 1.27. Автоматические регуляторы давления газа прямого действия:
p(t) — регулируемый параметр (давление); G — расход;
а — АР давления «до себя»; б — АР давления «после себя»
Рис. 1.28. Упрощенная cxgMa автоматического управления энергоблоком;
АРС — автоматический регулятор скорости турбины; Г — генератор;
АРМ •— автоматический регулятор мощности; АРУ — автоматический регулятор уровня;
ГЦН — главный циркулярный насос; ЗМ — задатчик мощности; ИК — ионизационная камера;
ИМ — измеритель мощности; ПН — питательный насос; РКП — регулирующий клапан питания;
РКТ — регулирующий клапан турбин; ЯР — ядерный реактор; ПГ — парогенератор;
п, n.s — измеренная и заданная мощность ЯР; h, А, — измеренный и заданный уровень воды в ПГ;
со, со3 — измеренная и заданная частота турбины; GB, Gn — расходы воды и пара;
1 — САУ мощности ЯР; 2 — САУ уровня воды в ПГ; 3 — САУ скорости турбины
Глава 1. Стационарные САУ 43
Целью управления энергосистемой является поддержание равенства между гене-
рацией и потреблением электроэнергии при заданной частоте в сети 50 ±0,2 Гц.
Пусть, например, потребление (нагрузка) в сети возросла. Это скажется на частоте
тока, и, следовательно, скорости вращения турбины, которая уменьшится. Для под-
держания заданной скорости вращения турбины <о3 применяется САУ 3, которая
пропорционально рассогласованию <о3 - со увеличивает расход пара Gn, восстанав-
ливая с заданной неравномерностью частоту в сети. Однако в результате работы
САУ 3 нарушается материальный баланс между расходами пара, который увеличива-
ется, и водой на питание ПГ, что приводит к уменьшению уровня воды в ПГ. Для
поддержания уровня воды h равному используется САУ 2, которая увеличивает
расход воды GB на питание ПГ до значения расхода пара Gn при h-h^. Обе САУ
выполняют задачу стабилизации.
Увеличение расхода пара, кроме снижения уровня воды, приводит также к умень-
шению давления пара рп. Для его восстановления потребуется увеличить мощность
ЯР. Величину п, требуемой мощности ЯР вырабатывает задатчик мощности (ЗМ) на
основе информации об измеренном давлении рп и величины заданного давления. Для
изменения и поддержания заданной мощности применяется САУ 1, управляющим воз-
действием которой является перемещение регулирующего стержня ЯР.
ЗМ, с точки зрения теории автоматического управления, также можно рассматри-
вать как отдельную САУ. Управление, при котором одна САУ вырабатывает задание
(установку) управления для другой системы, называют каскадным.
Количество САУ, обеспечивающих управление реальным энергоблоком, сущест-
венно больше, чем рассмотрено выше. Так, на энергоблоке с реактором РБМК коли-
чество САУ и АР равняется 130.
1.1.4.6. Биологические и экономические системы управления
Приведем примеры биологических систем, заимствованные из [143].
Система управления кровообращением. Условная схема системы управления
кровообращением изображена на рис. 1.29.
Рис. 1.29. Условная схема автоматической системы регуляции кровообращения
3’
44 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Система управления кровообращением состоит из двух контуров. Первый —
управляет артериальным давлением крови. Функционирование системы в [143] опи-
сывается так: «Измерение давления производится барорецепторами — чувствитель-
ными элементами, расположенными в дуге аорты и в сонных артериях. Информация
о давлении поступает в центральную нервную систему, управляющую частотой сер-
дечных сокращений и величиной ударного объема — количеством крови, выбрасы-
ваемой за одно сокращение сердца. Второй контур следит за постоянством химиче-
ской среды в тканях организма. Изменение химического состава межклеточной жид-
кости приводит к изменению сопротивления сосудов, что непосредственно влияет на
величину ударного объема сердца».
Система управления величиной зрачка глаза [143]. Глаз человека или живот-
ного является одним из основных чувствительных органов, с помощью которого они
получают необходимую информацию об окружающей среде и на ее основе прини-
мают соответствующие решения о своем поведении.
Рис. 1.30. Условная схема системы управления величиной зрачка глаза
В радужной оболочке 1 глаза (рис. 1.30), непроницаемой для света, имеется отвер-
стие 2, называемое зрачком. Через это отверстие в глаз поступает поток света. Система
управления для нормального процесса видения обеспечивает правильную освещенность
сетчатки 3 глаза в зависимости от различной освещенности рассматриваемых предметов.
Кроме того, эта система обеспечивает четкое изображение близко расположенных пред-
метов благодаря тому, что не пропускает лучи, которые проходят через периферию хру-
сталика 4, где оптическая аберрация максимальна. Величина зрачка изменяется с помо-
щью двух мышц — антагонистов радужной оболочки глаза: радиальной 5, расширяющей
зрачок, и кольцевой 6, сужающей его. Однако кольцевая мышца более развита и явля-
ется управляющим органом зрачка. Схематично процесс управления описан в [143].
Система управления экономическими параметрами (рис. 1.31) [37, 140].
Рис. 1.31. Система управления статьей дохода бюджета в виде модели с обратной связью
Глава 1. Стационарные САУ 45
1.1.5. Процесс создания систем автоматического управления
Создание систем автоматического управления, особенно-таких, которые проекти-
руются впервые и которые включают элементы, в основу работу которых положены
разные физические законы (ракета; РЛС; электрические и пневматические устройст-
ва и др.) — процесс сложный, требуЛщий обширных знаний в различный областях
науки и большого опыта работы (творческих навыков).
Прежде чем переходить к задачам проектирования, рассмотрим типовую функ-
циональную схему системы автоматического управления. Рассмотренные выше приме-
ры САУ позволяют представить типовую функциональную схему (рис. 1.32). Функцио-
нальное назначение каждого из элементов типовой схемы состоит в следующем [120].
Рис. 1.32. Типовая функциональная схема САУ:
1 — задающее устройство; 2,5 — сравнивающие устройства; 3 — преобразующее устройство;
4,8 — корректирующие устройства (регулятор); 6 — усилительное устройство;
7 — исполнительное устройство; 9 — чувствительные или измерительные элементы;
10 — элемент главной обратной связи; 11 — объект управления; п(/) — помеха
Задающее устройство преобразует воздействие в сигнал у(г), а сравнивающее
устройство путем сравнения сигнала y(t) и управляемой величины х(г) (предполагается,
что 9 и 10 не искажают сигнал т(/)) вырабатывает сигнал ошибки Иногда сравни-
вающее устройство называют датчиком ошибки, отклонения или рассогласования.
Преобразующее устройство 3 служит для преобразования одной физической ве-
личины в другую, более удобную для использования в процессе управления (во многих
системах преобразующее устройство отсутствует).
Регулятор 4, 8 служит для обеспечения заданных динамических свойств замкну-
той системы. Например, с его помощью обеспечивается высокая точность работы в
установившемся режиме, демпфируются колебания для сильно колебательных объ-
ектов (например, летательных аппаратов). Более того, введение в систему регулятора
позволяет устранить незатухающие или возрастающие колебания управляемой вели-
чины. Иногда регуляторы вырабатывают управляющие сигналы (команды) в зависи-
мости от возмущающих воздействий, что существенно повышает качество работы
систем, увеличивая их точность.
Из схемы САУ видно, что в хорошо спроектированной системе ошибка е(/) долж-
на быть мала. Вместе с тем на объект должны поступать достаточно мощные воздейст-
вия. Мощности же сигнала е(1) совершенно недостаточно для питания даже неболь-
шого двигателя. В связи с этим важным элементом САУ является усилительное уст-
ройство, предназначенное для усиления мощности сигнала ошибки е(г). Усилитель
управляет энергией, поступающей от постороннего источника. На практике широко
используются электронные, магнитные, гидравлические, пневматические усилители.
46 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Следующим важным элементом САУ является исполнительное устройство,
предназначенное для воздействия на управляющий орган. В системах управления ис-
пользуются следующие типы исполнительных устройств: пневматические, гидравли-
ческие и электрические, подразделяемые, в свою очередь, на электромоторные и
электромагнитные.	9
Пневматические исполнительные устройства имеют сравнительно малые габа-
риты и массу, но требуют большого расхода сжатого газа.
Гидравлические исполнительные устройства способны преодолевать большие
нагрузки и практически безынерционны. Недостаток — большая масса. Электриче-
ские исполнительные устройства достаточно универсальны в применении и отлича-
ются простотой канализации подводимой к ним энергии. Вместе с тем их использо-
вание требует наличия достаточно мощного источника тока. В некоторых САУ ис-
полнительный механизм как таковой отсутствует и воздействие на объект осуществ-
ляется изменением состояния какой-либо величины (тока, напряжения) без помощи
механических устройств.
Чувствительные или измерительные элементы (датчики) необходимы для преоб-
разования управляемых переменных в сигналы управления (например, преобразования
вида «угол-напряжение»).
Элемент, который подвергается управлению, называют объектом управления.
При проектировании систем объектом управления считают всю неизменяемую
часть системы (все элементы, кроме регулятора). Им может быть электрическая
печь для закаливания металла, самолет, ракета, космический аппарат, двигатель,
ядерный реактор, станок для обработки металла и т.д. В связи с большим разнооб-
разием объектов управления разными могут быть и управляемые переменные: на-
пряжение, число оборотов, угловое положение, курс, мощность и т.д. Изучением
конструкций объектов занимаются специальные дисциплины: электротехника,
авиация и космонавтика, самолетостроение, энергетика, ядерная техника, турбо-
строение, двигателестроение и т.д.
Из рассмотрения рис. 1.32 можно сделать вывод, что САУ представляет собой
замкнутую систему, обладающую свойством однонаправленности и реагирующую
на сигнал ошибки е(г). Можно заключить, что система включает функционально-
необходимые элементы {неизменяемая часть системы), т.е. элементы, без которых
принципиально невозможна работа САУ (объект управления, исполнительный эле-
мент, усилитель, измерительное устройство), и изменяемую часть, которая вводится
для придания системе желаемых свойств, обеспечивающих качество управления,
определяемое техническим заданием (регулятор системы).
На первом этапе расчета и проектирования систем автоматического управления
(САУ) ограничиваются качественным описанием систем и в связи с этим рассматри-
вают их функциональные схемы. Такое описание называют содержательным или
неформальным. Неформальным описанием САУ называется вся имеющаяся сово-
купность сведений о ней, достаточная для построения фактического алгоритма ее
работы. Неформальное описание системы содержит информацию, достаточную для
построения ее функциональной схемы. Последняя же служит основой для разработки
формального (математического) описания системы.
Недостаток содержательного или неформального описания систем в том, что та-
кой подход не оперирует количественными характеристиками и, таким образом, нау-
ка, в основе которой лежит неформальное описание, не является точной наукой. Для
решения же задач исследования и проектирования систем необходимо оперировать
количественными характеристиками, определяющими качество ее работы. В связи с
этим центральным понятием теории систем является математическая модель или
оператор системы.
Глава 1. Стационарные САУ	47
Под математической моделью САУ понимают количественную формализацию
абстрактных представлений об изучаемой системе. Математическая модель —
это формальное описание системы с помощью математических средств: диффе-
ренциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также нера-
венств, множеств и т.д. [123].
Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть
понятие математической модели САУ.
Пусть Y и X — множества входных и выходных сигналов СА У. Если каждому
элементу у е Y ставится в соответствие определенный элемент х e X, то гово-
рят, что задан системный оператор А.
Связь между входом и выходом системы задается посредством системного опера-
тора А:
Ах = у и х = А4у = Асу .
Операторное уравнение (или уравнение с оператором А ) Ах = у следует счи-
тать математической моделью СА У, поскольку оно устанавливает количественную
связь между входом y(t) и выходом х(г) системы.
Принципиально важным является ответ на вопрос: как построить оператор систе-
мы и, таким образом, определить ее математическую модель. Ответ на поставленный
вопрос состоит в следующем: математические модели могут быть представлены
разными математическими средствами, но важнейшую роль играют дифференци-
альные и интегральные уравнения, которые получаются на основании фундамен-
тальных физических законов, лежащих в основе функционирования механических,
электрических, гидравлических, термодинамических систем.
Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно состав-
ляют описание ее отдельных элементов, т.е. составляют дифференциальные уравне-
ния для каждого входящего в систему элемента (например, для САУ (рис. 1.32) со-
ставляются дифференциальные уравнения усилителя, привода, реостата, электриче-
ской печи, термопары и элемента сравнения).
Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнение системы в целом.
Уравнения системы определяют ее математическую модель, которая для одной и
той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной [123].
Полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах строить разные ма-
тематические модели: начинать проектирование можно с простой модели, а затем
ее постепенно усложнять, с тем чтобы учесть дополнительные физические явления
и связи, которые на начальном этапе не были учтены как несуществующие.
В этой главе будем изучать системы, операторами которых являются линейные
дифференциальные и интегральные операторы.
В зависимости от того, какими классами дифференциальных уравнений опи-
сываются САУ, их можно укрупненно классифицировать так, как показано на
рис. 1.33 [120].
Линейными называют класс систем, описываемый линейными операторными
* уравнениями (например, линейными дифференциальными уравнениями или их сис-
темами), в противном случае система входит в класс нелинейных систем.
Линейными или нелинейными дискретными системами называются такие сис-
темы, которые описываются соответственно линейными или нелинейными разно-
стными уравнениями или системами разностных уравнений.
Линейными или нелинейными стационарными системами называются системы,
которые описываются дифференциальными уравнениями или системами уравнений
с постоянными коэффициентами.
48 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Нестационарными системами (линейными или нелинейными) называют системы
автоматического управления, поведение которых описывается дифференциальными
уравнениями или системами уравнений с переменными коэффициентами.
Сосредоточенными, или системами с сосредоточенными параметрами, называ-
ются системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциаль-
ными уравнениями.
Распределенные системы — это системы, которые описываются дифференци-
альными уравнениями в частных производных.
Уже по приведенной классификации можно судить о степени сложности задачи
проектирования САУ.
Теоретической базой проектирования САУ в различных отраслях техники, эконо-
мики и изучения систем в живой природе и обществе является теория автоматиче-
ского управления (ТАУ).
Рис. 1.33. Классификация САУ:
1 — система автоматического управления (САУ); 2 — линейные САУ;
3 — нелинейные САУ; 4 — непрерывные САУ; 5 — дискретные САУ;
6 — непрерывно-дискретные САУ; 7 — стационарные системы; 8 — нестационарные системы;
9 — системы с сосредоточенными параметрами (сосредоточенные системы);
10 — системы с распределенными параметрами (распределенные системы)
Проектирование систем, как указывалось выше, представляет собой высокоин-
теллектуальное занятие, творчество, требующее применения различных знаний [168].
На процесс и результат проектирования накладываются ограничения, основными из
которых являются физические и сроки проектирования. Весьма значимы технический
уровень имеющейся вычислительной техники, лабораторного (экспериментальная
база) и производственного оборудования, материалов и комплектующих изделий, а
также квалификация проектировщиков и производственного персонала.
Сроки проектирования занимают особое место. При современных ускоряющихся
темпах научно-технического развития предельное сокращение сроков проектирова-
Глава 1. Стационарные САУ 49
ния становится одним из главных требований. Действительно, при увеличении сро-
ков проектирования новизна и оригинальность решений, используемых в проекте,
теряются. Еще не будучи осуществленным, проект может морально устареть и поте-
рять смысл, поэтому быстротечность процесса проектирования — одна из самых
главных его характеристик [131].
Сформулируем основные задачи, имеющие место при проектировании автомати-
ческих систем [131]:
•	формулировка ТЗ, в котором должно быть указано, какими процессами требу-
ется управлять, каковы цели управления и в каких условиях должно осуществ-
ляться управление;
•	выяснение возможностей воздействия на управляемые процессы и прогноз
внешних возмущений;
•	оценка требуемой мощности исполнительных устройств (ИУ), выбор типа ИУ
и источников питания;
•	оценка возможностей получения текущей информации и выбор датчиков;
•	построение законов управления (выбор структуры регулятора и расчет его па-
раметров);
•	реализация законов управления (аппаратная или с помощью программирования);
•	компоновка системы в целом.
Основная задача разработчиков САУ состоит в обеспечении взаимосвязи техни-
ческих средств (технические средства — это серийно выпускаемые промышленные
блоки) и в подчинении системы общим целям [131].
Если жизненный цикл любой системы представить структурной схемой (рис. 1.34)
и учесть чрезвычайную сложность каждой из рассматриваемых систем, включающей
большое число подсистем, а также приборов, блоков (узлов), субблоков (монтажных
плат), модулей микросхем и т.д., то легко себе представить чрезвычайную сложность
проблемы создания систем.
Замысел	—►	Проектирование (разработка)	—►	Изготовление (производство)	—►	Эксплуатация	—►	Снятие с эксплуатации
Рис. 1.34. Жизненный цикл САУ
На рис. 1.35 представлены основные этапы проектирования САУ [168].
На рис. 1.36 показана укрупненная схема процесса проектирования системы, ох-
ватывающая основные этапы: формулирование задачи (цели) проектирования, науч-
но-исследовательские работы (НИР), эскизное проектирование (ЭП), техническое
проектирование (ТП).
Существенно, что при переходе от этапа к этапу происходит уточнение моделей и
углубление анализа и, как следствие, приближение системы к заданным в ТЗ харак-
теристикам.
Предварительное проектирование проводится с целью определения принципов
построения системы, изыскания новых принципов, структур и технических средств,
удовлетворяющих техническому заданию. Предварительное проектирование обычно
относят к стадии научно-исследовательской работы (НИР).
Эскизное проектирование и последующие этапы — это этапы опытно-конструк-
торской разработки (ОКР). Результатом эскизного проекта является детальная про-
работка возможности создания системы, удовлетворяющей заданным требованиям.
На этапе технического проектирования детально отрабатывают схемные, кон-
структорские, программные и технологические решения. Следует особенно остано-
50 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
виться на чрезвычайно трудоемком проектировании программного обеспечения (ПО)
разрабатываемой системы управления. Обычно создание ПО начинается одновре-
менно с разработкой технической документации и сопутствует всем последующим
этапам проектирования.
В процессе серийного производства осуществляется окончательная доводка при-
нятых технических решений, программного обеспечения и отработка технологии
изготовления с учетом особенностей серийного производства. В процессе эксплуата-
ции разработчик системы получает информацию, позволяющую внести необходимые
изменения с целью доведения параметров системы до заданных.
Этапы
Рис. 1.35. Основные этапы процесса проектирования систем управления [131]
Глава 1. Стационарные САУ
Цель	НИР	. ЭП	ТП
(задачи)
Рис, 1.36, Схема процесса проектирования системы управления [131]
В заключение отметим, что на всех этапах создания САУ важнейшую роль играет
вычислительная техника,
Учитывая назначение САУ (например, в целях обороны), очень тщательно прово-
дятся их испытания, На рис. 137 показана приблизительная схема проведения испы-
таний на этапах эскизного, технического проектирования, изготовления опытной
партии и серийных изделий,
В результате действия обратных связей происходит последовательное уточне-
ние параметров системы и приближение их к оптимальным значениям, Приве-
денная схема наглядно подтверждает органическую связь испытаний с процессом
проектирования и их определяющую роль в процессе оптимизации параметров
системы,
Приведем примеры САУ, при создании которых важнейшую роль сыграла вычис-
лительная техника,
Эскизное
Техническое
Изготовление Изготовление
проектирование проектирование
опытной партии серийных изделий
Рис. 1.37. Роль испытаний в процессе проектирования САУ [131]
52 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В главе 6 (т.З) детально рассмотрена система С-25, которая имела огромное зна-
чение в создании противосамолетной обороны Москвы. Приведем цитату из [2]: «На
комплексном моделирующем стенде в КБ-1 в Москве интенсивно отрабатывается
контур управления наведением ракет на цели. Комплексный стенд включал в себя
имитатор сигналов цели и ракеты, системы автоматического сопровождения цели и
ракеты, ЭВМ для формирования команд управления ракетой, аппаратуру передачи
команд, бортовое оборудование ракеты и аналоговое вычислительное устройство —
модель самой ракеты... Такое моделирование в последующем стало не только инст-
рументом проектирования систем управления. Моделирование на ЭВМ с использо-
ванием моделей, аттестованных путем сравнения результатов моделирования с ре-
зультатами, полученными в реальных пусках, позволило резко сократить необходи-
мое число натурных испытаний, заменить их получением результатов путем модели-
рования. При этом моделирование позволило весьма достоверно оценивать эффек-
тивность поражения самых различных (в том числе недоступных в их натуральном
виде) целей и в самых разнообразных условиях».
Один из создателей вычислительной сети экспериментальной системы противо-
ракетной обороны (ПРО) академик РАН В.С. Бурцев о роли цифрового моделирова-
ния при проектировании указанной системы пишет [50]: «Существенное развитие
получили цифровые системы моделирования. Натурным испытаниям предшествова-
ло исследование контуров управления с достоверными цифровыми моделями пове-
дения ракет. Новое развитие получили комплексы обработки натурных испытаний.
Каждый удачный или неудачный «пуск» мы имели возможность полностью повторить
и исследовать поведение системы в любой момент времени как на боевом комплексе,
так и на специальном вычислительном комплексе обработки экспресс-информации.
На базе мощных вычислительных комплексов в ряде институтов развивались иссле-
довательские центры моделирования различных ситуаций поведения систем военно-
го назначения, а также комплексы контроля космоса и состояния самого земного ша-
ра на основании данных со спутников».
При создании оборонной техники роль математических моделей и моделирова-
ния на ЭВМ трудно переоценить. Например, при разработке водородной бомбы
подход, имевший место при создании атомной бомбы, когда эксперименты играли
ключевую роль, был непригоден, поскольку процессы, характеризующие термо-
ядерные реакции, имеют очень высокие параметры (например, температуру). Здесь
эффективным оказался подход, основа которого — расчеты и моделирование на
ЭВМ с широким использованием математических моделей. К этой работе были
привлечены не только институты АН СССР, имеющие высокий математический по-
тенциал (Институт прикладной математики АН СССР, руководитель — М.В. Кел-
дыш), но и математические школы ведущих университетов СССР: Московского,
Ленинградского и др.
1.2.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ
1.2.1.	Преобразование гГап л аса
Далее будем широко пользоваться понятием преобразования Лапласа (интеграла
Лапласа); приведем основные сведения, относящиеся к понятию интеграла Лапласа
[120].
Множество функций x(t), удовлетворяющих условиям
1)	x(z) = 0 при t < 0;
Глава 1. Стационарные САУ 53
2)	ЭМ и с: |х(/)|< Me*;
3)	имеет место не более чем счетное число точек разрыва первого рода на [0,со),
называется пространством оригиналов и обозначается О.
Введем понятие интеграла Лапласа, пользуясь определением интеграла Фурье.
Прямое одностороннее преобразование Фурье определяется формулой
%(jco)= Jx(/)e"7“'a’z.	(1.1)
О
Как известно, преобразование Фурье может быть применено к функциям x(t),
для которых интеграл
о
существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не удовлетворяют
многие функции, используемые при исследовании систем: 1(г), Asin(z), еа1, ^cos(z),
некоторые решения дифференциальных уравнений.
Для того чтобы иметь возможность подобную функцию х(?) преобразовать по
Фурье, предварительно ее надо умножить на функцию е~а‘, где вещественное число
ст > ст0 выбрано таким образом, чтобы интеграл
j]x(z)|e~c'<*	(1.2)
о
был сходящимся.
В результате приведенных рассуждений запишем
X(j<o,c)= |х(/)е“ст/е^""Л = А(ст + >).	(1.3)
О
Введем новую комплексную переменную s = суч- усо; получим
%(i)= jx(r)c<s'z7z.	(1.4)
о
Функция	определяемая зависимостью (1.4), где х(г) — оригинал,
5 = ст + ум, называется изображением x(t} и обозначается
х(/)	А(л’) или А(б) = Л^х(/)}.	(1.5)
Часто интеграл (1.4) называют интегралом Лапласа. Ему присущи следующие
свойства:
1.	Линейность:
М (0 [ =	(4 где Xk (s) =L{xk (/)}, к = \,п.
l*=l J i=l
2.	Смещение в комплексной области:
пусть х(/) <-> A"(.s), тогда х(г)е±а' «-> %(.? + «)
3.	Смещение в действительной области:
пусть х(/) <-> A'(i), тогда х(г-т)	e~'lX(s).
54
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
4.	Изображение производной:
Z,|x'(/)} = 5,A'(i)-x(0),
L {х(л) (?)} = s"X(s) - sn~'x(0) - /,-2х'(0) -... -	(0).
5.
Изображение от интеграла:
6. Дифференцирование изображения:
7. Изменение масштаба во временной области:
если х(0 <-> X(s), то Z{x(a?)} = (l/a)A'(i/a).
8.
Свертка функций в действительной области:
9.
(о	J
Свертка в комплексной области:
. C+JX
L{Xl(t)x2(t)}= — J X}(q)X2(s-q)dq.
С-JX>
Далее изложим содержание второй теоремы разложения, позволяющей находить
оригинал по изображению. Эту теорему удобно применять, если X (л) есть дробно-
рациональная функция вида
, , = У"’ Чэ|И + - + />0 = л(£)
(1-6)
причем т<п и коэффициенты {cq} и {Д, | действительные. Если известны корни
многочлена B(i) = 0, то зависимость (1.6) можно переписать в виде
—+---+А—	(1,7)
где ц, —кратность корня 5,.
Известна формула [68]
х(г) = Г' {^(5)} = £Выч	.	(1.8)
v=l	S-Sv
1. Пусть
(.S'" + an_\s" 1 +... + au) = (5 -5])(5 - s2 ).. .(i - sn ),
где sx,s2,...,sn — различные вещественные и комплексные корни. Тогда оригинал
находят по формуле
<t=i " (А)
Глава 1. Стационарные САУ
2. Если изображение имеет вид
то
Я(0) " A(sk)
х(0=—тт+У —Vr-e
В(0) t[skB'(sk)
3. Случай кратных корней.
Пусть %(^) = A(s)/B(s), где
В(з) = (5-^Р x(s-52f2...(5-5r)M'-, ^+^+...+^=/7.
Тогда оригинал находят по формуле
г Mt /Mt-J ,	,M|-1	zBi-2
X (г) = У У А.к --------ек =At ]  ------- е''1' + Аг ] --— еЛ|'
ЙЙ J (М.-J)!	(Н1-1)!	(Н1-2)!
/Иг-1	/Иг-2
+ A j е'1' + Я] 2 т--г- е'2< + Я22 ----г-е'2< +... + Аи -jc'2' + • •  +
(М2-1)!	(М2-2)!
jMr-l	гМг-2
+ А, ------— es,t + А2 ----— еХг< +... + А гег>.
1г(рг-1)!	2г(Нг-2)!
Коэффициенты Ау определяются зависимостью
Ajk (;-1)!л>-‘{^
Пример 1.1. Имеем [68, 69]
ад._™-----------..^1
s\s2 + 105 + 100) 5S(s)
Найдем корни характеристического уравнения:
5, =0; s2 = -5 + jjTS', s3=-5-
Формула для оригинала имеет вид
Л(0)
В(0)
1=2
еу
s,B\Sl)
55
(1.10)
(1-11)
(1-12)
(1-13)
(114)
(1.15)
Имеем:
Д(0) = 100; В(0) = 100; Л(0)/й(0) = 1;
B'(x) = 2j + 10;
B'(s2) = 2(-5 + y>/75) + 10 = -10 + 2jV75 + 10 = 2>/75y;
B'(i3) = 2(-5 - jV75) +10 =-10 - 2j>/75 +10 =-2>/75j;
52fl'(x2) = (-5 + уч/75)(2х/75у) = -10л/75/-150;
x3B'(.s3) = (-5 -yx/75 )(-2-?75j) = 1 Ox/75J -150.
Итак, можно записать
= 1 + C2e':/ + C3eiy<.
Найдем C2 и C3:
C, =	100	= 100(-150+10^) = _0 5 + V75
2 -150- 10V75j	30000	’	30
c =_____100____ 100(-150-10V75j)	_
3 -150 + 10a/75j ~	30000	" 30 7
(1.16)
56
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Отсюда
Пример. 1.2. Положим, что изображение имеет вид [68, 69]
A(i) =-------------
(5-1)3(5 + 1)3
здесь л, = 1 — кратность 3; s2 = -1 — кратность 3. Тогда ц, =3, ц2 = 3.
Формула для оригинала имеет вид
I1	t	t1 _ t
XW =	+	’ + ^22	' + ^32e
Найдем коэффициенты AtJ:
(1.18)
(1.17)
(1.19)
2з(з + 1)3-3(5 + 1)252
2(з + 1)3 -З(д-И)2 2з 65(5 + 1)4-4(з + 1)33?
(i + l)6	' (i + l)8
Оригинал определяется формулой
, , 1 Г2 ,	1 ,	1 , 1 г, 1_,	1
х(г) =---е н---те----е-------е ' +—1е и----е
v ' 8 2	16	16	8 2	16	16
1	,	1 . ,	1
~ 1 Ди —Ду? —
8	32 16	22 16
(1.20)
1.2.2. Передаточная функция и ее свойства
Рассмотрим замкнутую автоматическую систему. Предварительно дадим оп-
ределение: схема системы, в которой указаны математические модели ее эле-
ментов (например, в форме дифференциальных уравнений), называется струк-
турной схемой.
Представим структурную схему в виде, изображенном на рис. 1.38.
Поскольку полагаются известными дифференциальные уравнения ДУ,, ДУг, ДУз,
ДУ4, ДУ5 всех элементов, то, пользуясь каким-либо из методов, можно построить
одно уравнение, связывающее вход системы с ее выходом.
Положим, что уравнение имеет вид
=2>м.	(|.21>
v=0	v=0
СА У является одномерной линейной стационарной, поскольку ее поведение опи-
сывается скалярным линейным дифференциальным уравнением с постоянными ко-
эффициентами.
Глава 1. Стационарные САУ
57
Рис. 1.38. Структурная схема системы:
1 — регулятор; 2 — усилительное устройство; 3 — исполнительное устройство;
4 — объект управления; 5 — измерительная система
Найдем изображение выходного сигнала системы.
Воспользовавшись формулой
L {fW (')) =	- 7’7(0) - ?'7'(0) - - -	(0),	(1.22)
из (1.21) получим
ап	(у) -^"-'х{0) + 5"-2х'(0) +... + х('”!) (О)j +
+a„_1^n-1Ar(5)-^"’2x(0) + ^-3x'(0) + ... + x(''"2^(0)j +...+	(1.23)
+ a0X(s) = bmsmY(s) +	+ - + V(4
Из (1.23) следует:
ansnX (x) + a„^sn~lX(s) +... + a0X (s) -
- х(0)^д„х”-1 +<2„_|.s"~2 +an_2sn~3 + ... + O] j-
'	77)
-x'(0)[aX’2+«„-i^"'3+«n-2^“4+... + «2]-...-^'’’I)(0)	=
= bmsmY(s) + VZM*) + • • • + b0Y(s).
Перепишем последнюю зависимость в виде
[а„хл + a„_1s"’1 +...+ ao]*(s)-x(O)Do(s)-x'(O)D1(.s)-...-
- 7"’0 (0) D„_, (x) = [ Vm +	+... + b0 ] Y (5).
Отсюда легко записать формулу, определяющую изображение выходного сигнала:
х(у)=VwtWg' '-+-+^У(Д)+
asn + a„_\Sn 1 +... + а0
< о	0-25)
х(0) Do (у) + х'(0)Д (s) +... + х^" ' (0) £)„_] (j)
ansn + a„_}sn~' +... + а0
Положим в (1.25) х(0) = х'(0) = ... = х^” (0) = 0, т.е. Х° =^х(0),х'(0),...,х^” *^(0)]=0.
Тогда зависимость (1.25) мо$кно записать в виде
_X(s) bmsm+bm_}sm-'+... + b0
Y(s) ansn +an_}sn-} +... + а0
(1-26)
Дадим одно из ключевых в теории автоматического управления определений: пе-
редаточной функцией (ПФ) САУ называется отношение преобразования Лапла-
58 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
са A(s) сигнала х(г) на выходе системы к преобразованию Лапласа K(s) сиг-
нала на входе y(j) при нулевых начальных условиях Х° = 0.
Преобразования Лапласа (изображения) входа и выхода СА У при нулевых началь-
ных условиях связаны между собой функцией H'(s), зависящей от переменной s.
Эта функция, называемая ПФ преобразования «вход-выход'» системы, находится
заменой оператора дифференцирования d/dt на комплексную переменную s, и, та-
ким образом, формально ПФ получается из ДУ после замены в нем символа кратного
дифференцирования на соответствующую степень s и деления образованного таким
образом многочлена правой части уравнения на многочлен левой части уравнения.
Зависимость (1.26) позволяет записать важное соотношение
%(s) = ^(s)r(s),	(1.27)
т.е. изображение выходного сигнала равно изображению входа (воздействия), умно-
женному на ПФ системы.
Приведем некоторые свойства и показатели передаточных функций [157].
ПФ представляет собой дробно-рациональную функцию (см. (1.26)), причем в ре-
альной системе порядок числителя т не превышает порядка знаменателя п, т.е.
т<п. Коэффициенты ПФ av, v = 0,n; bk, k = Q,m вещественны, поскольку они
представляют собой функции от вещественных параметров системы.
Значения s, при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ. Нули
являются корнями уравнения
bmsm + bm_xsm~' +... + b0 = 0.	(1.28)
Значения s, при которых ПФ обращается в бесконечность, называются полю-
сами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения
a„sn + an_}s” +... + «0 — 0.	(1.29)
Передаточная функция W(s) имеет, таким образом, т нулей и п полюсов. Как
нули, так и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными,
поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (s-плоскости) (рис. 1.39).
Мнимая'1
ось .. Нейтральные
полюса
Комплексная
плоскость
. .Нейтральные
нули
Действительная
ось
Левые нули
Правые нули
Левые полюса
ч4 Правые полюса
Рис. 1.39. Нули (• ) и полюса ( * ) на комплексной плоскости
Глава 1. Стационарные САУ
59
Нули и полюса называются левыми (правыми), если они расположены в левой
(правой) части s-плоскости, и нейтральными или нулевыми, если они лежат соот-
ветственно на мнимой оси или в начале координат.
К показателям ПФ относятся [143J:
1)	порядок ПФ п, равный степени знаменателя ПФ;
2)	степень гс, равная разности степеней знаменателя п и числителя т ПФ;
3)	индекс апериодической нейтральности sa, равный числу нулевых полюсов ПФ;
4)	индекс колебательной нейтральности sK, равный числу мнимых полюсов ПФ;
5)	индекс неустойчивости зн, равный числу правых полюсов ПФ;
6)	индекс неминимально-фазовости знф, равный числу правых нулей ПФ.
Рассмотренные показатели содержат ценную информацию о свойствах исследуе-
мой САУ.
1.2.3. Аппарат структурных преобразований.
Передаточные функции и уравнения замкнутых систем
На основе понятия передаточных функций в теории автоматического управле-
ния (ТАУ) построен аппарат структурных преобразований, позволяющий находить
ПФ замкнутых систем, заданных структурными схемами. Любая структурная схема
включает последовательно и параллельно соединенные элементы, а также элементы,
соединенные обратной связью. Рассмотрим последовательное соединение (рис. 1.40).
Рис. 1.40. Последовательное соединение
Для него характерны зависимости вида
А1(з) = 1Р1(з)У(з);
A(з) = W2	(з) = W2 (з)^ (з)У(з).
Отсюда имеем
1Р(з) = ^(з)Ж2(з).
Для произвольного случая
W(s) = W}(s)W2(Sy..Wn(s).
Следовательно, передаточная функция последовательного соединения звеньев
равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.
(1-30)
(1-31)
(1-32)
Рис. 1.41. Параллельное соединение
60
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Перейдем к параллельному соединению (рис. 1.41).
Для параллельного соединения
х(1) = х1(1)+х2(1) + ... + х„(г).	(1.33)
Тогда
%(s) = %)(s) + ^2(J) + ... + %n(5),	*	(1.34)
ад=аду(5);
X2(s) = Mz2(s)K(s);	(1.35)
Xn(s) = Wn(s)Y(S).
%(j) = IT1(s)y(s) + W2(s)y(s) + ...+ lF'„(s)y(s) =
==(ад+ад+...+ад)г(4
или, что то же самое,
X(s) = W(s)Y(s),
где
1P(s) = ^i(5) + 1T2(.s) + ... + >K„(.s).	(1.37)
Из последнего равенства следует, что передаточная функция параллельного со-
единения равна сумме передаточных функций отдельных элементов.
Рис. 1.42. Соединение с обратной связью
На рис. 1.42 представлено соединение с обратной связью. Для такой системы
справедливы соотношения:
£(•?) = /($)-%,($);
X(s) = lK1(s)£(s);
%,(*) = 1F2(s)*(4
Отсюда
Х(5)[1 + ^(5)>Р2(5)>И1(^)У(5).
Окончательно получим
ад: ад
Y (s) 1 +^(5)^(5)'
(1.38)
(1-39)
(1-40)
(1.41)
(1.42)
Глава 1. Стационарные САУ
61
Таблица 1.1
Очевидно, что передаточная функция соединения с обратной связью равна дро-
би, числитель которой — передаточная функция прямой цепи, знаменатель —
1 + ^ (5)^(5) (если имеет место положительная обратная связь, то знаменатель
имеет вид \-Wi(s)W2(s)).
Аналогичным образом легко найти так называемую передаточную функцию ошиб-
ки, определяемую формулой
"'.О-тгт
(1-43)
62
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Имеем
£(.) = r(5)-^2(5)Jf(5);
х(5)=адад.
Отсюда	*
£(5) = r(5)-^(5)FK2(S)£(5);
E(5)(l + ^X2(j)) = r(4
Окончательно получим
ЕМ 1
—Н =------Г~'--7Т-	О-46)
y(s) l + ^(5)fK2(j)
При структурных преобразованиях часто используются различные преобразова-
ния (табл. 1.1). Если известна структурная схема и параметры системы, то можно,
пользуясь аппаратом структурных преобразований, найти ПФ замкнутой САУ, а за-
тем и ее дифференциальное уравнение.
Аппарат передаточных функций оказался весьма эффективным при исследовании
линейных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы.
На рис. 1.43 показаны полезные при решении инженерных задач эквивалентные
преобразования структурных схем [120].
Рис. 1.43. Эквивалентные преобразования структурных схем
Глава 1. Стационарные САУ
63
Приведем некоторые примеры.
Пример 1.3 [120]. Схема многоконтурной (четырехконтурной) САУ показана на рис. 1.44, а. Переда-
точная функция (з) элемента Ц'Дх), охваченного отрицательной обратной связью Z4(j), находится
по формуле
Рис. 1.44. Пример преобразований четырехконтурной САУ
Далее последовательно соединенные структурные элементы с передаточными функциями 1И3(з) и
ИцДз), охваченные обратной связью Z3(j), могут быть заменены эквивалентным структурным элемен-
том с передаточной функцией
i + z3(s)^(x)n;4(s)
или
v i+z4(3-)^(3)+z3(x)»s(3)h;(3)-
В этом случае грехконтурную схему можно свести к двухконтурной схеме (рис. 1.44, в), которая, в
свою очередь, может быть приведена к однокон турной схеме (рис. 1.44, г).
Для схемы, показанной на рис. 1.44, г, передаточная функция
w (а - ад)М*) ..._________________________ададад_________________________
1 + г2(з)ил(з))г33(з) 1 + г4(б)и-4(х)+г3(з)1к(з)и;(з)+г2(з)1г2(з)^(з)и'4(з)'
64
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Передаточная функция всей системы с разомкнутой главной обратной связью имеет вид
^(S) = Z,(j)^X22(5) =
_________________Z, да да да да (з)_______________________________
1 + Z4 ($Х4 (5) + Z3 (s)^3 (5) и; (5) + Z2 (s)PK2 (s)lF3 (j)1K4 (j)
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
= ______
=_____________________________________________________________________
1+z4 (s) и; (s)+z3 да (.) w4 (s)+z2 да да да (5)+zt да (x) да (j) ir4 (s)'
Если структурная схема САУ имеет вид (рис. 1.45, а), то, последовательно преобразуя структурную
схему с вычислением соответствующих передаточных функций, получим ПФ замкнутой системы
_	^да2т(*)
1 ’ \ + Z}(s)J¥2(s)^(s) + Z2(S)^(S)W2(sy
Рис. 1.45. Пример преобразования структурной схемы САУ с двумя цепями ООС
Пример 1.4 [143|. Построим структурную схему САУ числом оборотов двигателя постоянного тока (рис.
1.46) (в параграфе рассматривался вопрос построения оператора Л замкнутой системы; этот пример ил-
люстрирует алгоритм нахождения математической модели замкнутой системы, если известны дифферен-
циальные уравнения ее звеньев).
Рис. 1.46. Функциональная схема САУ:
1 — элемент сравнения; 2 — электронный усилитель; 3 — электромашинный усилитель;
4 — двигатель; 5 — тахогенератор
Глава 1. Стационарные САУ 65
Как уже отмечалось, для обеспечения заданного качества управления в систему вводится регулятор.
Кратко остановимся на значении регулятора в рассматриваемой САУ. Внешние воздействия, поступающие
на систему, делятся на два класса — задающие воздействия и возмущающие воздействия »(<) За-
дающие воздействия определяются тем законом, по которому должна изменяться управляемая величина.
В рассматриваемом случае (система стабилизации) задающее воздействие постоянно, оно устанавливается
или вырабатывается задающим устройством.
Для систем стабилизации основным является возмущающее воздействие (изменение нагрузки) Возму-
щающее воздействие «(/) может изменяться по вполне определенным законам, а может изменяться и слу-
чайно. Часто характерным является скачкообразное изменение возмущающего воздействия (рис. 1.47), соот-
ветствующее мгновенному увеличению / или уменьшению 2 нагрузки. Задачей регулятора является устране-
ние или уменьшение до необходимых пределов отклонения управляемой величины от заданного значения,
вызванного возмущающим воздействием «(/). Принципиально невозможно сделать управляемую величи-
ну независимой от всех возмущающих воздействий, ибо по самому принципу работы САУ регулятор мо-
жет прийти в действие лишь тогда, когда появится отклонение регулируемой величины от заданного зна-
чения (рис. 1.48). При увеличении нагрузки на валу электродвигателя n[t) число оборотов, а следователь-
но, напряжение на выходе тахогенератора упадет. Сигнал и(/), а следовательно, сигналы и u2(t)
возрастут, а это приведет к увеличению скорости вращения вала электродвигателя. Регулятор улучшает
качество управления.
Дифференциальные и алгебраические уравнения элементов системы имеют следующий вид:
1) элементы сравнения:
«И=л -(О; «IW =«(0 - (0;
2)	электронный усилитель:
и2(/) = А>| (/);
3)	электромашинный усилитель:
г>'	+е‘w =	w; +w = к> е‘w;
4)	электродвигатель:
5)	регулятор:
«(О
Рис. 1.48. Функциональная схема САУ с регулятором в цепи ОС:
1 — элемент сравнения; 2 — электронный усилитель; 3 — электромашинный усилитель;
4 — двигатель; 5 — тахогенератор; б — регулятор
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
6 Зак. 14
66
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Зная уравнения элементов и переходя от последних к передаточным функциям, построим структурную
схему системы (рис. 1.49).
Рис. 1.49. Структурная схема системы управления числом оборотов двигателя
с математическими моделями в форме передаточных функций
Воспользовавшись структурными преобразованиями, найдем ПФ внутреннего контура, охваченного
местной обратной связью (регулятором):
[(г,»4(г.»0]	______
, К3КуКпКс, а'я3+а‘я2+а,'я + 4’	1	’
[(Гуя + 1)(Г„я+1)(Гся + 1)]
а\=ТуТлТс, а\ = (ТуТс+ТпТс + ТпТу)-, а\ =Ту+Тп + Тс +К3КуК„Кс, '
4 = I;*,1 = КэКуКпТс; 6* = К3КуКп.
Теперь легко найти ПФ замкнутой САУ
1Р(5) = ——^4-----------------’	О-53)
a4s +a3s +a2s + ^5+о©
где
bl=b[Ka,b0=blKy',
а4 = а\Тд; а3 = (а^Гц + а3); аг = (а\Тя + а3);
а, = (О’ГД + а,1 + Ь1К^Т1); а0 = (а* + Ь0КяКТг).
Подставляя численные значения параметров, получим ПФ в виде
17 0,015/ + 0,215я3 + 10,9? + 25,9я + 49,7'
Ясно, что последнее выражение является дробно-рациональной функцией, причем коэффициенты ПФ
— действительные числа.
Найдем нуль системы:
1 + 0,5я = 0 => я = -2.
Рассчитаем полюса системы, которые являются корнями уравнения
0,015я4 + 0,215я3 +10,9я2 + 25,9я + 49,7 = 0.	(1.55)
Корни последнего уравнения:
я12 =-l,2il,83j; я34 =-б±25,6у.
Нанесем значения нулей и полюсов на комплексную плоскость (рис. 1.50). О системе можно сказать
следующее:
1)	порядок системы — 4;
2)	гс=3;
3)	индекс апериодической нейтральности равен нулю;
4)	индекс колебательной нейтральности равен нулю;
5)	индекс неустойчивости равен нулю;
6)	индекс неминимально-фазовости равен нулю.
Глава 1. Стационарные САУ
67
Мнимая А
Действительная
ось
s|c
Рис. 1.50. Нули и полюса системы с ПФ (1.54)
Все нули и полюса системы — левые (поскольку лежат в левой полуплоскости). Если известна ПФ
замкнутой САУ, то, используя известную формулу
(1.56)
легко получить дифференциальное уравнение этой системы. В самом деле,
—4-------4^4------------= 77Т-	<157)
а4з + а3з +a2s + ats + a0 г (s)
Тогда
а4з4 X (з) + a3s3X (з) + a2s2X (з) + atsX (з) + a0X (з) = ^зУ (з) + Л0У (з).	(1.58)
Переходя в пространство оригиналов, запишем
а4х(4) (/) + а3х(3) (/) + а2х(с) + О|х(с) + aox(l) = bty (/) + Ьоу (/).	(1.59)
Рассматриваемый подход справедлив при исследовании САУ любой степени сложности.
1.2.4.	Масштабирование времени
При решении практических задач часто имеет место необходимость «ускорения»
или «замедления» изучаемых процессов [37, 140]. В таких случаях используется мас-
штабирование времени. Пусть t — время до масштабирования, t — время в изменен-
ном масштабе, ст — коэффициент масштабирования (безразмерный параметр), причем
Z = ctF; F = z/ct.
Очевидно, при ст > 1 имеет место «сжатие» сигнала, а при ст < 1 сигнал «растяги-
вается» во времени; амплитуда же сигнала не изменяется (при рассмотрении гармо-
нических сигналов для частоты справедливы зависимости со = сто», со = й/ст ).
Поскольку
<''/(»)	/7(«) । 7/(С)	(160)
°' л‘
то изображение функции x(F) (функция x(F) — это функция х(с) после изменения
масштаба времени) имеет вид
+... + bQ
w--° a g	,— -----------ф)=
+-- + -^ + «о	(1.61)
a" a'	a
= CT bmS +S S +- + OQ . у/-3
ansn + oan_{sn~x +... + a"_1ajs + ст”а0
где s — переменная преобразования Лапласа для времени 1.
6*
68 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ,
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС, ПЕРЕХОДНЫЙ (ДИНАМИЧЕСКИЙ)
И УСТАНОВИВШИЙСЯ (СТАТИЧЕСКИЙ) РЕЖИМЫ РАБОТЫ САУ
Введем понятия установившегося (статического) и неустановившегося (динамическо-
го) режимов работы системы, рассматривая частный случай, когда у(/) = 1(f) (рис. 1.51).
ХО м
t
Рис. 1.51. Входной ступенчатый сигнал
В связи с тем что отклонение управляемой величины существенно зависит от вида
воздействий, места их приложения (которые могут быть различными), то обычно при
рассмотрении конкретных автоматических систем приходится задаваться типовыми
{тестовыми) наиболее характерными для данной системы воздействиями y(f).
Другими словами, поскольку обычно заранее неизвестно, каким в реальных усло-
виях будет входной сигнал, то при анализе качества выбирается некоторое тестовое
входное воздействие. Такой подход вполне оправдан, так как имеется связь между
реакцией системы на типовой входной сигнал и ее поведением в реальных рабочих
условиях. Кроме того, использование типового воздействия позволяет разработчику
сравнить несколько вариантов создаваемой системы. К тому же многие системы
управления в процессе эксплуатации подвергаются внешним воздействиям, которые
по виду очень близки к тестовым сигналам [120]. Обычно в качестве такого тесто-
вого воздействия принимают воздействие вида скачка y(f) = l(f), являющегося во
многих случаях наиболее неблагоприятным. Если в этом случае выходной сигнал
удовлетворяет определенным условиям, то часто можно считать, что он тем бо-
лее будет удовлетворять им и при иных характерных воздействиях.
Примерами ступенчатых сигналов могут быть сброс или увеличение нагрузки, от-
каз двигателя в системе двухмоторный самолет-автопилот курса.
Типовое воздействие можно задать в виде 5-функции (дельта-функции). Напри-
мер, внезапное вхождение самолета в струю воздуха, движущегося перпендикулярно
траектории движения самолета.
При исследовании следящих систем типовыми управляющим воздействием мо-
жет являться полином
т(0 = х +xr+x/2 +-+yit‘> ‘>0-	С1-62)
В отдельных случаях типовое воздействие может быть сложной формы, напри-
мер, при исследовании следящих систем управления антенной РЛС используется
функция[120]
у (Г) = arctg(Pf),
которая отражает изменение азимутального угла между направлением на цель и не-
которым фиксированным направлением в случае прямолинейного и равномерного
движения сопровождаемого объекта (рис. 1.52). Часто типовые воздействия опреде-
ляются экспериментальным путем. На основе формулы (1.25) имеем зависимость для
изображения выходного процесса (начальные условия считаем нулевыми, т.е.
Х° = 0 при y(t) = 1(f))
Глава 1. Стационарные САУ 69
у/п\ _	1+--- + ^0 Л(х)
ansn +a„_15',“1 + ... + а0 s sB(s)
Выходной сигнал, соответствующий изображению (1.63), имеет вид
хв (г) = Сое'"‘ + C,e'''*+ С2еЛ'2' +... + Спе'"‘,	(1.64)
где si,s2,...,sn —корни уравнения B(s) = Q (полюса системы); .?о=О —нулевой
корень, порожденный воздействием у(/) = 1(/).
Далее рассмотрим структуру выходного сигнала хв(/), определяемого зависимо-
стью (1.64). Перепишем (1.64) в виде
хв (/) = cj'l(r) + Cfx, (/) + С?х2 (/) + ... + СД; (,).	(1.65)
где Ф(Д = [хк (/): к = 1,«| — фундаментальная система ДУ замкнутой САУ.
Рис. 1.52. Виды тестовых воздействий
Если корни характеристического уравнения s},s2,...,s„ — числа вещественные и
среди них нет равных, то каждому из полюсов соответствует составляющая в сигнале
хв(1), определяемая соотношением
и тогда
где
Xi(t) = es, i —	(1.66)
xB(r) = Con(0 + fcvV<	(1.67)
v=l
. V=K
s„B'(sv
70 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Из анализа формулы, определяющей хв(?), следует, что сигнал хв(?) порожден
воздействием y(t). Это следует и из физических соображений, так как при отсутствии
y(t) (полагается, что Jf°(x(0),x'(0),...,x("-1)(0)) = 0) выходной сигнал хв(?) = 0, так
как коэффициенты и С*, v = l, п определяются полюсами воздействия s0 и сис-
темы Sy,S2,...,S„.
Сигнал хв (?) называется вынужденным процессом,
п
Процесс, определяемый формулой xn(t') = ^C*e>'''', называется собственным
V=1
(переходным) движением системы при отработке у(?) = 1(?), поскольку эта со-
ставляющая обусловлена полюсами передаточной функции.
Процесс, аналитическая зависимость которого порождена полюсами входного
сигнала (в данном случае s0 = 0), называется установившимся движением системы.
Таким образом, в случае подачи на вход у(?) = 1(?) выходной сигнал
ху (?) = Сое*°' = Со 1 (?) — установившееся движение системы.
Если несколько полюсов системы являются комплексно-сопряженными, т.е.
^k ~ ак + J Pi > ^i+1 = ак “ 7Pi >
то в переходной составляющей они порождают колебания
хк (?) = e“‘z cosP^?; хА+1 (?) = eat‘ sin [3^,?.	'	(1.68)
Если же полюса являются кратными (кратность «I»), то в переходной состав-
ляющей будут иметь место колебания
хк (?) = cos р^?; xi+l (?) = eat‘ sin pt?;
*t+2(')=tea‘'cosiV; *i+3(')='e<x‘'sinlV;	(169)
xk+2,i-2 (0 = cos PA?; xk+2(?) = t'-'eat‘ sin p*?.
Очевидным является случай, когда ак = 0, т.е. случай чисто мнимых корней, и
когда действительный корень имеет кратность «/»; в таких случаях колебания, по-
рожденные этими полюсами, имеют вид:
*	*(?) = cos pt?; xA+1(?) = sinP*?;
*	t+2(0 = ZcosIV; xk+3(t) = tsm^kt;...	(1.70)
xk+2i-2 (0 = cos Pi?; xt+2Z_j (?) = ?'-1 sin P*?
— для кратных мнимых полюсов и
х(1(?) = Л'; xjt+1(?) = ?e^;...;xJt+z_l(?) = ?/Vt'	(1.71)
— для кратных действительных полюсов.
Если = 0 имеет кратность ЙI», то
*	*(')=!;	W='M-	и 72)
Приведенные зависимости имеют важное значение в теории автоматического
управления, поэтому проведем их анализ и сделаем соответствующие выводы.
Как уже неоднократно подчеркивалось, входной сигнал ^(?) одновременно яв-
ляется эталонным значением выхода х(?), т.е. система должна работать так,
Глава 1. Стационарные САУ 71
чтобы выход x(z) возможно меньше, в известном смысле (например, в метрике
какого-либо пространства: С[0,7’], £2[0,Г] и др.), отличался от воздействия y(z).
В рассматриваемом случае имеют место следующие соотношения для входа y(z)
и выхода x(z):
Я'Н(');
'x(r) = Con(/) + XcvV<	(L73)
v=l
Идеальное воспроизведение воздействия y(z) = 1(f) имеет место в случае, если
CJ'hI; £С*«Л'=0.	(1.74)
V=1
Очевидно, приведенные условия недостижимы, поскольку система является
инерционной и ее поведение описывается соответствующим дифференциальным
уравнением (но не алгебраическим, используемым для описания безынерционных
систем), полученным на основании фундаментальных физических законов.
Вместе с тем из формулы (1.74) легко сделать вывод: полюса sx,s2,...,sn при оп-
ределенных условиях определяют факт возможности воспроизведения на выходе
системы нужного сигнала, т.е. y(z) = 1: если все полюса S\,s2,...,sn имеют отри-
цательные действительные части, то составляющая
хп (z) =	-> 0 при Z-> оо	(1-75)
V=1
и при t>Ty (величина Ту определяется численными значениями полюсов системы)
x(z)»Col(z).
Если же Со = 1, то будет иметь место идеальное воспроизведение заданного сиг-
нала при t > Ту, т.е.
x(z)~y(z) при t>Tr
На этом этапе проведения обсуждения рассматриваемого вопроса можно конста-
тировать важный факт: система работоспособна, т.е. отрабатывает поступившее
на вход воздействие y(t), тогда и только тогда, когда процесс xn(z) затухает,
т.е. справедлива зависимость (1.75).
В (1.73) вес каждой составляющей С^е^1 определяется расположением полюсов
системы в л-плоскости, полиномом в числителе ПФ (ее нулями) и входным воздейст-
вием. Если преобладает один полюс ПФ (называемый доминирующим), то функция
хп (z) близка к реакции системы первого порядка; если же преобладает два комплекс-
но-сопряженных полюса, то процесс хп (z) будет очень похож на реакцию системы
второго порядка.
Для системы высокого порядка функция хп (?) является сложной зависимостью,
определяемой полюсами и нулями ПФ замкнутой системы.
Сделаем некоторые выводы: факт затухания хп (z) при t->ao, т.е. хп (z) -> О
при t —> оо, имеет место тогда и только тогда, когда все полюсы ПФ системы
имеют отрицательную действительную часть.
Т1 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Наличие хотя бы одного полюса системы, расположенного в правой части s-плоскос-
ти приводит к тому, что хп (/) не затухает и отработка входного сигнала y(t) = l(z)
становится невозможной, а система, следовательно, является неработоспособной
(неустойчивой).	в
Рассматриваемые положения тесно связаны с понятием устойчивости системы,
которые уже обсуждались в п. 1.1 (рис. 1.13) и далее подробно рассмотрены в п. 1.9
(параграф можно рассматривать как продолжение настоящего, поскольку там обсуж-
даются те же вопросы, но для случая, когда у(/) — произвольный входной сигнал).
Рис. 1.53. Выходной сигнал системы при y(z) = l(z) и Со * 1
Рис. 1.54. Выходной сигнал системы при у(/) = l(z) и Со = 1
Глава 1. Стационарные САУ 73
Если выполняется условие хп (?) —> 0 при t —> оо, то на выходе системы можно
наблюдать два случая (после затухания xn(Z)):
1) Со * 1 и x(z) = Col(z)»l(z); ,
2) Со =1 и x(z) = y(z) = l(z).
Таким образом, характер изменений выходного сигнала (управляемой величины) мо-
жет иметь вид, приведенный на рис. 1.53 (первый случай) и рис. 1.54 (второй случай).
Из изложенного выше следуют положения и определения [120, 143]:
1.	Вынужденный процесс хв (/) в устойчивой системе состоит из двух составляю-
щих'. переходной xn(z), порожденной полюсами ПФ системы, и установившейся
ху (z), порожденной полюсами воздействия (в данном случае .v0 = 0).
2.	Режим, при котором составляющая хп (z) отлична от нуля (не затухла), называ-
ется неустановившимся или переходным (динамическим) режимом, а процесс на
выходе системы — переходным (рис. 1.53,1.54).
3.	Режим, при котором хп (z) » 0 (составляющая хп (z) затухла), называется ус-
тановившимся или статическим режимом, а процесс на выходе системы — уста-
новившемся.
4.	Разность между входом y(z) = l(z) и выходом в установившемся режиме назы-
вается статическим отклонением или установившейся ошибкой (см. рис. 1.53).
5.	Разность между максимальным отклонением при xn(z)^0 и статическим от-
клонением, характеризующая величину так называемого перерегулирования, пред-
ставляет собой динамическое отклонение. Время, по истечении которого динами-
ческое отклонение, порожденное наличием хп (z) * 0, становится и далее остает-
ся меньше некоторой заданной малой величины, представляет собой время управ-
ления Ту или время переходного процесса (Т — время, необходимое для того, чтобы
сигнал x(z) вошел в определенную зону, прилегающую к установившемуся значе-
нию и далее оставался в пределах этой зоны: 2-5% от установившегося значения).
6.	Время управления Ту (или, что то же самое, — время затухания xn(Z)) характери-
зует быстродействие автоматической системы: чем меньше время затухания
хп (Z), тем более быстродействующей является система.
7.	Система, у которой статическое отклонение (ошибка в установившемся состоя-
нии) g(z) * 0 при y(z) = l(z), называется статической.
8.	Система, у которой статическое отклонение e(z) = O при y(z) = l(z), называ-
ется астатической.
Для статической системы, как уже отмечалось, характерно следующее [120]:
1)	равновесие системы имеет место при различных значениях регулируемой ве-
личины x(z) (отработка входа с ошибкой);
2)	контур управления состоит из статических (безынерционных) звеньев, реали-
зующих безынерционное преобразование
хвых(0 = /(Хвх0))-
Для астатической системы равновесие системы достигается при единственном
значении выхода, когда x(z) = y(z) (отработка входа без ошибки). Любое воздейст-
5 Зак. 14
74
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
вие, поданное на систему, вызывает в ней динамический режим, по окончании кото-
рого система переходит в новое установившееся состояние. При статическом откло-
нении, не равном нулю, можно выделить следующие типы переходных процессов
(они определяются составляющей хп(1)) (рис. 1.55) [127]:
•	колебательные (кривая /), в которых имеет место два и более перерегулиро-
ваний;
•	малоколебательные (кривая 2), в которых число перерегулирований равно
единице;
•	без перерегулирования (кривая 3), в которых х(<) < х(со) для всех t е [0,<ю);
•	монотонные (кривая 4), характеризующиеся тем, что скорость изменения вы-
хода не меняет знака в течение всего времени Ту.
Рис. 1.55. Основные типы переходных процессов
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие y(t) = 1(г) при ну-
левых начальных условиях называется переходной характеристикой (ПХ) сис-
темы (для нее существует специальное обозначение h{t)).
Приведем основные параметры ПХ (рис. 1.56) [120, 127, 143]:
•	время управления Ту (время переходного процесса) — минимальное время, по
истечении которого выходная величина будет оставаться близкой к устано-
вившемуся значению с заданной точностью:
|Л(<)-^|<Л vor,;	(1.76)
•	перерегулирование а, %, определяется выражением
ст = ^пах1~Йуст 100%;	(1.77)
^уст
в реальных системах обычно
о = (10+30)%,	(1.78)
н	о в некоторых случаях донускается до 70%;
•	статическое отклонение
Б(/) = 1(/)-Ауст;	(1.79)
•	частота колебаний процесса /г(/)
®~,	(1.80)
где Т — период колебаний;
75
Глава 1. Стационарные САУ
•	время установления Тк — абсцисса точки пересечения с уровнем установив-
шегося значения hy„ (иногда Тн называют временем нарастания);
•	декремент затухания
аг =
^max 1 ^уст
(1-81)
•	число колебаний п (число максимумов /г(г)).
При анализе систем рассчитывают параметры ПХ и делают вывод о качестве ра-
боты системы.
При синтезе систем обычно задаются допустимыми значениями параметров пере-
ходной характеристики, например
ст стдоп; Ту < Гудоп; аг< агдоп.	(1.82)
Пример 1.5. Рассмотрим передаточные функции и переходные процессы САУ мощностью физическо-
го ядерного реактора.
Упрощенная принципиальная схема системы автоматического управления представлена на рис. 1.57.
Управление ядерным реактором (ЯР) осуществляется при помощи регулирующего стержня (PC). Глубина
его погружения в активную зону задает реактивность р, которая, в свою очередь, определяет мощность
ЯР — п (под мощностью ЯР понимают плотность нейтронного потока). Связь между входом у(/) = р и
выходом x(t) = n ЯР определяется передаточной функцией 1Г0(з). Конкретный вид и параметры 1У0(з)
зависят от типа реактора и точности его описания соответствующей моделью.
Так, для ЯР на тепловых нейтронах при учете одной группы запаздывающих нейтронов (з) опре-
деляется зависимостью
И;(з) = ^^(12,8з + 1),	(1-83)
5
а в трехгрупповом приближении имеет вид
w , , 0,078^0 123s3 +219s2 + 44,3s+ 1	(1 84)
“W‘ s 9,56s2 + 13,7s+ 1	’
5’
76 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где п0 — уровень мощности.
Заметим, что ЯР представляет астатический объект, коэффициент передачи которого зависит от уров-
ня мощности.
Для измерения мощности применяется ионизационная камера (ИК), которая представляет конденса-
тор, помещенный в газе. Нейтроны, попадая в ИК, вызывают ядерную реакцию деления, продукты которой
в виде ионов под действием источника напряжения Ек создают ток /£. Величина 1к в зависимости от
мощности и места расположения ИК может находиться в диапазоне 10-|2-10-3 А. Для его усиления при-
менятся операционный усилитель DA1, включенный по схеме преобразователя ток-напряжение.
Операционные усилители широко применяются в САУ. Это связано с тремя основными его свойства-
ми, вытекающими из его параметров: нулевое входное напряжение (следствие большого коэффициента
усиления); отсутствие входного тока (следствие большого входного сопротивления); независимость вы-
ходного напряжения от нагрузки (следствие малого выходного сопротивления).
Учет перечисленных свойств позволяет легко получить передаточные функции устройств САУ, по-
строенных на операционных усилителях.
ИК и DA1 совместно с Rk,Ck создают токовый измеритель мощности (ТИМ) ЯР.
Ток 1к протекает через цепочку Rk,Ck. Поэтому напряжение на выходе DAI U„ (s) = -Z(s)Ik (s),
где Z(j) —операторное сопротивление цепочки Rk,Ck.
Рис. 1.57. Упрощенная принципиальная схема САУ
(185)
Тогда передаточная функция ТИМ определяется формулой
W (Л =	----
> Ik(s) 1^'
где Tk = RkCk, и обычно Тк = (0,1ч-1) с.
Конденсатор Ск используется для сглаживания пульсаций тока ИК.
На элементах DA2, Я„, Rs, R,t реализованы задающее и сравнивающее устройства САУ.
Через Я, и Я,, текут токи, созданные выходным напряжением ТИМ -U„ и источником опорного на-
пряжения Ео. Эти токи суммируются резистором Я„. Поэтому напряжение на выходе DA2 пропорцио-
нально разности сигналов U„-U} и зависит от переменного резистора Я,
LL = -—Е0+ —Un.
(1.86)
При Uz = 0 получим
U.= — Eo, так как U„=U.
т.е. с помощью Я, можно осуществлять задание уровня мощности ЯР.
(1.87)
Глава 1. Стационарные САУ 77
В зависимости от номинальной мощности ЯР, ее уровень может меняться в пределах 5-12 декад. Для
того чтобы охватить такой широкий диапазон, для задания мощности используются также Rk. При помо-
щи переключения Rk задают декаду, а посредством Rs — уровень мощности внутри декады.
С учетом (1.87) преобразуем (1.86) к виду
Ue = K„^^,	(1.88)
где К„ =-Е0— —коэффициент пропорциональности.
Ro
Из последнего выражения следует, что данная САУ работает не по сигналу отклонения U.3 -U„. а по
сигналу ошибки— ((73-(7л)/(/3.
Это позволяет устранить зависимость свойств системы от изменения коэффициента передачи ЯР
Так как U3 в соответствующем масштабе отражает заданный уровень мощности и3, который прибли-
зительно равен и0 в выражении передаточной функции ЯР, то в замкнутой системе эти величины ком-
пенсируют друг друга. Обычно Кп = 100. В этом случае 1 В на выходе DA2 соответствует 1% ошибки
по мощности.
На основе DA3 реализовано второе сравнивающее устройство для внутренней обратной связи. Выход-
ной сигнал DA3 <7„ усиливается электромашинным усилителем (ЭМУ) и подается на электродвигатель
(ЭД) постоянного тока, который посредством привода (обычно барабан-трос или шестерня-рейка) пере-
мещает PC.
Передаточная функция ЭМУ представляет собой инерционное звено 2-го порядка:
и;.,.. Ь)=7----г,------(1.89)
- / (l + TJsXl + T»
7), Т2 = (0,1-5) с,
а ЭД с приводом — последовательное включение инерционного звена 1-го порядка и интегратора:
Tv = (0,1-1) с.
Реактивность ЯР р измеряется в относительных единицах Рэф. Правила ядерной безопасности тре-
буют, чтобы скорость перемещения PC нс превышала величины 0,07 РЭф/с. Допустим, что максимальное
напряжение на выходе DA3 Uu max = 15 В . Тогда Kv < 0,07/15 = 0,0046 Рэф/(с В).
Такой подход позволяет отвлечься от величины физического коэффициента передачи ЭМУ (можно
условно считать его единицей в передаточной функции ЭМУ) путем его косвенного учета в значении Kv.
Из приведенных передаточных функций следует, что система имеет астатизм 2-го порядка (ЯР и ЭД с
приводом PC). В таких системах возникают проблемы с обеспечением устойчивости и требуемого качест-
ва переходных процессов. Для их решения вводят местную обратную связь по скорости ЭД, реализован-
ную на основе тахогенератора (ТХГ). В данной системе ТХГ нагружен резистором /?ос.
Если R^ выбрать достаточно большим, то ТХГ можно представить в виде идеального дифференциа-
тора с ПФ
Ж7ХГ(^) = Косх
Посредством же можно менять коэффициент передачи Л'ос местной обратной связи. Величину
Кк выбирают на этапе исследования устойчивости и качества переходных процессов САУ.
На рис. 1.58 представлена функциональная схема САУ.
Задающее устройство 7 реализуют переменные резисторы R. и RK. С помощью операционных усилите-
лей DA2 и DA3 с соответствующими элементами осуществляется реализация сравнивающих устройств Факт
зависимости коэффициента регулятора 3 от заданной мощности п3 отражен дополнительной стрелкой. Кро-
ме плотности нейтронного потока для измерения мощности ЯР можно применить другие относительные
единицы, например ток ИК. Тогда выходной сигнал ТИМ й можно представить как некоторую оценку дей-
ствительной мощности ЯР п. При этом коэффициент передачи ТИМ становится равным единице.
Последние замечания позволяют построить структурную схему данной САУ, которая с введением
стандартных обозначений принимает вид, показанный на рис. 1.59.
78
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.58. Функциональная схема системы автоматического управления мощностью ЯР:
1 — задающее устройство; 2, 4 — сравнивающие устройства; 3 — регулятор; 5 — ЭМУ;
6 — ЭД; 7 — привод; 8 — ЯР; 9 — ТХГ; 10 — ТИМ
Рис. 1.59. Структурная схема системы автоматического управления мощностью ЯР
Заметим, что подобные САУ использовались для регулирования маломощных ЯР в первые десятиле-
тия освоения ядерной энергетики. В современных САУ ЯР ЭМУ и ТХГ не используются. Вместо них при-
нимаются тиристорные усилители, реализующие релейный закон регулирования. Это позволяет сущест-
венно снизить габариты и стоимость, повысить надежность. Однако точность регулирования и качество
переходных процессов в релейных САУ ЯР, как правило, несколько хуже.
Приведем некоторые результаты анализа рассмотренной системы на основе переходных характеристик,
На рис. 1.60 представлен переходной процесс, вызванный скачкообразным изменением заданной мощности
на 10% при следующих параметрах:
К„ = 100 В/%; Kv = 0,001 p^/(c В); Кк = 1000 вДр^/с); Tk = Т2 = Т„ = 1 с; 7] = 5 с.
Рис. 1.60. Переходные процессы в САУ ЯР:
1 — входной сигнал (изменения задания на 10%); 2 — выходной сигнал САУ;
3,4 — выходные сигналы САУ мощностью ЯР с коррекцией по сигналу периодомера
Глава 1. Стационарные САУ 79
Из анализа кривой 2 следует, что переходной процесс является колебательным и перерегулирование
составляет приблизительно 60%. С точки зрения безопасности ЯР, такой переходной процесс недопустим.
Более приемлемой, с точки зрения параметров переходного процесса, является САУ ЯР с коррекцией
по сигналу периодомера (рис. 1.61).
Под периодом ЯР понимают время, за которое его мощность меняется в е = 2,718... раз (если мощ-
ность ЯР не меняется, тогда период равен бесконечности).
Рис. 1.61. Функциональная схема САУ ЯР с коррекцией по периоду
(9 — периодомер; остальные обозначения — см. рис. 1.58)
На практике измеряют обратную периоду реактора величину — обратный период y(t). Для измере-
ния обратного периода периодомер осуществляет операции логарифмирования и дифференцирования
/ч d. n(t)
y(t) =—In—
dt n0
После линеаризации последнего выражения передаточная функция периодомера может быть записана
в виде
 и.)-44--
п(з) и0
Так как операцию дифференцирования в «чистом» виде технически реализовать невозможно, то в пе-
редаточной функции периодомера присутствуют две инерционности (рис. 1.62).
Рис. 1.62. Структурная схема САУ мощностью ЯР с коррекцией по периоду
В зависимости от коэффициента передачи местной обратной связи переходной процесс может быть с
перерегулированием при /^ = 1000 В/(%/с) или монотонным при ^=2500 В/(%/с).
В обеих системах местные обратные связи — дифференцирующие. Однако обратная связь по периоду
охватывает не только исполнительную часть, но и объект управления. Это повышает устойчивость САУ.
Пусть
, , 0,078ло 12353 + 21952 + 44,35 + 1.
°Л s	9,56s2 + 13,75 + 1	’
К„ = 100 В/%;	=0,001 РэфДс В); Кх = 1000 в/(₽эф/с);
7^ = Г2 = Tv = 1 с; Тх = 5 с; Ио=0,5.
Передаточная функция всей системы
, х _________________________4797054 + 13338053 +10268752 +176675 + 390____________________
W 47800005* + 2214600057 + 3962800056 + 3486400055 +1604200054 + 368797053 + 28541052 +172775 + 390'
80 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Переходная характеристика имеет следующий вид:
Л(/) = 1 + 0,00528г-1’3941' cos(0,04013/) + 0,01З98е-1’3941' sin (0,04013/) + 0,00489г-0’933' +
+ 0,06472г-0’4145'cos(0,32307/) + 0,0875г-0’4145' sin(0,32307/) + 0,36738г-0’"348'-
-1,4423г-0’0236' cos (0,064/) - 0,17661г-0 02361 sin (0,064/).
Если Ку = 1000 В/(%/с), п0 = 0,5, то передаточная функция и ПХ системы определяются формулами
IK(s) = (4797i6 + 66105.? + 204956,7s4 + 248102,4s3 +122159,7s2 +18096s + 390)/(478000s1 ° +
+ 7472600s9 +33103400s8 + 69127600s7 + 78298400s6 + 49697097s5 +17508108s4 +
+ 3450518,7s3 + 381123,7s2 + 21606s + 390);
Л(/) = 1 - 0,0006г-1’4476' - 0,00139г-1’222' cos(0,415/) - 0,0066г-1’222' sin(0,415/) - О.399е-0’315' -
-0,345г-0186'-0,561г-0,103'cos(0,0891) - 2,67892г-0’103' sin(0,891/) +0,3078г-0’0307'.
Соответствующие графики представлены на рис 1.63.
Рис. 1.63. Переходные процессы в САУ ЯР:
1 — выходной сигнал САУ; 2 — выходной сигнал САУ мощностью ЯР
с коррекцией по сигналу периодомера
Пример 1.6 [52|. Одной из важнейших характеристик динамики управляемой ракеты является точ-
ность выдерживания расчетной траектории. Эта характеристика определяется по переходным процес-
сам, при этом обращают внимание на такие факторы, как быстрота затухания колебаний, частота
колебаний и др. Эти факторы входят в понятие качества переходного процесса, и от системы управления
ракетой, кроме устойчивости движения, требуется, чтобы качество переходного процесса удовлетворяло
определенным требованиям.
Для решения вопроса об устойчивости и об оценки качества переходного процесса и точности управ-
ления ракетой необходимо иметь систему уравнений, решением которой является переходной процесс.
Задаваемая программа управления обеспечивает движение ракеты по расчетной траектории только в том
случае, когда условия полета полностью совпадают с расчетными: температура, давление, плотность атмо-
сферы на разных высотах должны совпадать с их стандартными значениями; характеристики ракеты, дви-
гателя и системы управления должны соответствовать расчетным значениям. С точки зрения динамики
полета ракеты все отклонения от расчетных условий рассматриваются как возмущения, изменяющие ха-
рактер движения и вызывающие отклонения параметров движения ЛА от расчетных.
Уравнения возмущенного движения ракеты, записанные в отклонениях, получаются из уравнений
возмущенного движения летательного аппарата исключением уравнений, описывающих расчетное движе-
ние. Таким образом, текущие значения параметров представляются в виде
v = v0 + Av, Э = Эо + ДЭ, а = а0 + Да,...,
Глава 1. Стационарные САУ 81
где v0,30,a0,... — расчетные (невозмущенные или требуемые) значения скорости, угла тангажа, угла
атаки и т.д.
В [52] изучаются соответствующие нелинейные уравнения и получена линеаризованная система диф-
ференциальных уравнений; исследованы вопросы распределения корней характеристического уравнения
на комплексной плоскости.	•
sb s2 — большие по модулю комплексные сопряженные корни,
s3, з4 — малые по модулю комплексные сопряженные корни,
s5 — наименьший по абсолютной величине вещественный корень. .
Распределение корней отвечает физическому характеру переходного процесса, который для управ-
ляемой ракеты складывается из двух различных по характеру движений.
Первое движение состоит из быстрых колебаний ракеты относительно центра масс, в процессе кото-
рых наиболее заметно изменяются угол тангажа и угол атаки и очень мало меняется скорость и высота
полета. Период этих колебаний у большинства летательных аппаратов может меняться от долей секунды
до нескольких секунд [52]. Поэтому это движение принято называть короткопериодическим. Затухание
и частота короткопериодического движения определяются наибольшими по модулю корнями характери-
стического уравнения.
Второе движение связано с медленным изменением положения центра масс в пространстве. Это дви-
жение также имеет колебательный характер, но период колебаний может измеряться и сотнями секунд.
Наиболее сильно при этом изменяются скорость и высота полета и практически неизменным остается угол
атаки. Это движение принято называть длиннопериодическим. Затухание и частота дпиннопериодическо-
го движения определяются малыми по модулю корнями характеристического уравнения.
Если время полета ракеты невелико, то влияние последнего движения не успевает заметно сказаться
на характере продольного возмущенного движения. В этом случае при составлении уравнений движения
можно пренебречь членами, содержащими отклонения скорости и высоты.
На рис. 1.64 показан примерный характер изменения параметров продольного движения ракеты, после-
довавшего в результате мгновенного отклонения руля высоты на некоторый постоянный угол. Легко ви-
деть, что в первые секунды возмущенного движения изменяются угловые параметры Д9, Да, Дго2|, т.е.
наиболее заметно проявляется короткопериодическое движение. Обычно короткопериодические колеба-
ния быстро затухают (расходящиеся короткопериодические колебания могут иметь место только при
больших положительных углах наклона траектории).
Рис 1.64. Переходные процессы, характеризующие продольное движение ракеты:
Ду — отклонение путевой скорости; Д9 — отклонение угла тангажа; Дг| — отклонение высоты полета;
Да — отклонение угла атаки; Дсо2] — отклонение угловой скорости
Недопустимым является расположение центра масс позади центра давления, так как при этом пе-
рестают удовлетворяться критерии устойчивости и возмущенное движение становится неустойчивым.
При переднем расположении центра масс частота короткопериодических колебаний ракеты без системы
управления тем больше, чем больше расстояние между центром масс и центром давления (т.е. чем больше
запас статической устойчивости ракеты).
82 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Из рис 1.64 видно, что наряду с короткопериодическими колебаниями ракеты относительно центра
масс имеет место более медленное изменение таких величин, как скорость и высота полета, которые носят
более плавный характер. Это длиннопериодические колебания. Характер длиннопериодических колебаний
определяется различными характеристиками ракеты, но основное значение при этом имеют масса и разме-
ры ракеты, высота и скорость полета, а также величины коэффициентов лобового сопротивления и подъ-
емной силы. Чем больше коэффициент лобового сопротивления, тем быстрее затухают длиннутериодиче-
ские колебания.
То обстоятельство, что короткопериодические колебания, возникающие при скачкообразном возму-
щающем воздействии, затухают в течение первых секунд движения, позволяет при качественном анализе
переходных процессов рассматривать короткопериодическое движение отдельно от длиннопериодическо-
го, считая, что в процессе длиннопериодических колебаний сохраняет постоянное значение угол атаки,
колебания которого быстро затухают.
При рассмотрении управляемого движения необходимо, однако, учитывать, что характер короткопе-
риодических колебаний отражается на изменении таких параметров, как высота полета и угол наклона
траектории. Так, плохое демпфирование короткопериодических колебаний увеличивает время переходно-
го процесса по высоте полета, т е. высота изменяется более медленно, чем в случае, когда короткоперио-
дические колебания быстро затухают.
Переходной процесс в боковом движении управляемой ракеты с жестко закрепленными рулями (т.е.
без системы управления) представляет собой достаточно сложное движение, в ходе которого изменяются
углы скольжения р и крена у, а также путевой угол ЧИ и угол рыскания ф. Пример такого движения,
возникающего в результате отклонения руля направления на постоянный угол, показан на рис. 1.65. Про-
цесс складывается из быстрого изменения и колебаний угловой скорости крена Дшг , колебаний угловой
скорости рыскания Дф. Показанный на рисунке процесс является достаточно характерным для движения
ракеты и отражает основные особенности переходного процесса в боковом движении, однако для упроще-
ния анализа целесообразно расчленить задачу на две. Дело в том, что в большинстве случаев управляемые
ракеты стабилизированы по крену, причем канал управления по крену является изолированным. Переход-
ной процесс по крену при этом становится очень кратковременным.
Указанное обстоятельство позволяет рассматривать движение по крену как изолированное и выделить
уравнение, описывающее вращение ракеты относительно продольной оси из общей системы уравнений
движений. Движение ракеты по крену при этом будет описываться уравнением моментов относительно
продольной оси и кинематическим уравнением, связывающим угол крена с угловой скоростью крена.
Рис. 1.65. Переходные процессы, характеризующие боковое движение ракеты:
Д<ог — отклонение угловой скорости крена; Д<вЛ1 — отклонение угловой скорости рыскания;
ДР — отклонение угла скольжения; Ду — отклонение угла крена; Дц/ — отклонение угла рыскания
Переходной процесс может быть вызван и ненулевыми начальными условиями,
которые СА У имеет при t = 0, и, естественно, в этом случае имеет место динами-
ческий режим работы системы. Кратко рассмотрим физическую и математическую
стороны вопроса.
Глава 1. Стационарные САУ 83
Пусть имеется электрическая RCL-цепь. Рассмотрим физические процессы, про-
исходящие в электрической цепи. Цепь включает в себя активное сопротивление,
конденсатор, катушку индуктивности, источник сигнала. В таких цепях в активных
сопротивлениях происходит только необратимое преобразование электромагнитной
энергии в тепло и другие виды энергии. Накопление энергии в электрических и маг-
нитных полях отсутствует. Основной же особенностью индуктивных элементов яв-
ляется то, что при протекании через них тока происходит накопление магнитной
энергии; потери и запасание электрической энергии отсутствуют.
В емкостном элементе наблюдается обратная картина: в зависимости от напряже-
ния, приложенного к элементу, происходит накопление электрической энергии, по-
тери и запасание магнитной энергии не происходит. Индуктивные и емкостные эле-
менты часто называют реактивными.
Продолжим рассмотрение цепи, содержащей реактивные элементы. Пусть в неко-
торый момент времени к цепи подключается источник сигнала (источник тока или
источник напряжения). Цепь находится в динамическом режиме: в каждой точке це-
пи токи и напряжения изменяются по соответствующим законам. Вместе с тем реак-
тивные элементы в это время выступают в качестве накопителей энергии: индуктив-
ности — магнитной, а емкости — электрической.
Далее предположим, что в некоторый момент t внешний источник сигнала от-
ключается. Запасенная реактивными элементами энергия возвращается в цепь; в этом
режиме реактивные элементы выступают в качестве источника энергии. Во всех точ-
ках цепи сигналы, обусловленные запасенной энергией, изменяются по законам, оп-
ределяемым соответствующими ДУ.
Колебания в цепи, обусловленные запасенной энергией, называются свободными
колебаниями. В это время внешний источник сигнала отключен. Возникает вопрос:
какими факторами определяются параметры свободных колебаний? Естественно, в
первую очередь закон изменения колебаний определяют параметры цепи.
Вторым фактором является степень величины запасенной энергии: значения то-
ков в индуктивностях и напряжений на емкостях цепи в момент отключения внешне-
го источника. В теории цепей указанные величины называются начальными условия-
ми. Если на вход цепи, имеющей нулевые начальные условия, подать входной сиг-
нал у(/) (правая часть ДУ), то выходной сигнал х(?) будет представлять из себя ча-
стное решение неоднородного уравнения х(г).
Если в момент времени, когда система находится при ненулевых начальных усло-
виях, сигнал у (7) снят, то запасенная энергия в цепи будет рассеиваться, затухать —
этот сигнал соответствует частному решению однородного уравнения цри конкрет-
ном Х°. Если же в этот момент времени будет подан новый входной сигнал yj (t), то
выходная реакция будет состоять уже из двух составляющих:
1) вынужденной — реакцией на сигнал у} (г);
2) свободной — обусловленной тем, что цепь находилась при нулевых началь-
ных условиях,
Далее рассмотрим вопросы расчета свободных колебаний стационарных одно-
мерных систем, если задано дифференциальное уравнение системы.
Рассмотрим общий случай, когда дифференциальное уравнение имеет вид
НЁ^х(,,)=0'	(к91)
f v=0
Обозначим: Х° =(х0,х1,...,х„_1) —вектор начальных условий; Ф(г) —линейно
независимые решения — фундаментальная система (ФС) уравнения (1.91):
84
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ф(г) = |хА.(/): к=\,п\ Lxk =0; х*(/)}.
Систему Ф(/) можно найти аналитическим или численным методами.
При реализации численного метода задается невырожденная матрица
/	X	•
а,1	а12	ain
а21	022	у	а2п.	(1.92)
\&п\	ап2	®ПП у
Находится первый элемент Xj (^) путем решения ДУ Lx = 0 при начальных усло-
виях Х| (о)= 1 >	~ а21;...;х!("ч)(0) = а„]. Аналогичная процедура позволяет най-
ти x2(z), х3(/),..., х„(?). Ясно, что каждое ДУ имеет бесконечное множество фунда-
ментальных систем.
Для нахождения Ф(г) наиболее часто задается матрица вида
'1 0 •	 О'	
0 1 	• 0	(1-93)
ч0 0 •	• L	
Фундаментальная система Ф(/), элементы которой находятся путем решения
ДУ Lx = 0 при начальных условиях
(1	0	...	0)ох,(/);
(0	1	...	»)«,,(,);	(|94)
(0	0	...	1)»х„(г)
называется нормальной канонической фундаментальной системой. Важным является
следующий факт. Учитывая вид матрицы, имеем
	(1	0	0 •	• О'	V		' х0 '	
	0	1	0 	• 0	с2		X,	
	0	0	1 •	• 0	сз		х2	(1.95)
Отсюда находим	<0	0	0 •	• 1,	ксп)			
С] =х0; С2 =х1;...; С„ =х„_1.
Общее решение однородного уравнения запишется в виде (для ФС, порожденной
матрицей (1.92))
х(/) = с,х, (г) +с2х2 (?) + ... + спхп (/).	(1.96)
Из (1.96) имеем
С!х, (/) + с2х2 (/) + ...+ спх„ (?) = х0;
clx[(t) + c2x'2(t) + ... + c„x'„(t)) = xi-
(0 + с24"-1) (') + ••• + Сп4"-1) (') = *„>
Глава 1. Стационарные САУ
85
или в матричной форме
*1(0)	*2(0)	• *1(0)	Хг(0)	•	S' Д 'к® •	ы С2	=	< X ) *0 *1	(1.98)
ДМ|(0) Д'>(0) .					
w(oj	с Х°
или
W(0)C = X°.	(1.99)
Определитель матрицы W(0) является определителем Вронского
lw(«)l=lwWl„0.
следовательно, для линейно независимых решений уравнения (1.91) он отличен от
нуля (|w(0)| * 0); отсюда следует, что матрица W(0) не вырождена и, таким обра-
зом, существует обратная матрица W”1 (0). Имеем
W’1(0)W(p)C = W'1(0)X°;	(1.100)
c = w-I(o)x°.	(1.101)
Отсюда находим
*(') = £ cvxv (/) = СТФ(/) = (х° )Т (W-1 (0))Т ф(г)	(1.102)
У=1
—- свободные колебания, соответствующие начальным условиям Х°.
Очевидно, что характер переходных процессов, вызванных входом у(?) и Х°,
определяется полюсами системы, т.е. одними и теми же параметрами САУ.
Пример 1.7. Если [68, 69]
^avxM=0,	(1.103)
v=0
то решение находится в виде
х(1) = е\	(1.104)
где Л — некоторые постоянные (действительные или комплексные).
х(1) = е\ х'(/) = Х?'; х"(1) = А2ех';...; xW(l) = А."?'.	(1.105)
Подставляя (1.105) в (1.103), получаем
ar\"e,J + а„_1к"-'ех‘ + ... + а1Аех' +аоех' =0,	(1.106)
или
е’1' (а„А" + a„_jS~' +... + аД + а„ ) = 0.	(1.107)
Поскольку е" * 0, то
Я(А) = а„А"+а„_|А”'|+... + а,А + а(|=0.	(1.108)
Полином (1.108) относительно Л. называется характеристическим уравнением ДУ (1.103). Решая ха-
рактеристическое уравнение, можно найти численные значения А, которые определяют п линейно неза-
висимых решений ДУ:
х1(/) = е>1'; х2(/) = Л';...; х„ (/) = ?<	(1.109)
Таким образом, для рассматриваемого случая фундаментальная система имеет вид
Ф(?) = {х4(г) = ех*': Л=1^}.	(1.110)
86
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Пусть
а5 х + аАх-4> + а3х’ + а2х’ + а2х' + aQx = О,
а Х°=(0, О, О, 1ООООО, -6 020 000) — вектор начальных условий; коэффициенты имеют следующие
значения:
а0 = 200; at = 201; а2 =41,32;
а} =5,146; аА =0,1224; а5 =0,002.
Приведем этапы решения задачи.
1	этап. Характеристическое уравнение:
0,002Х5 + 0,1224Х4 + 5,146Х3 + 41,32Х2 + 20IX + 200 = 0.
2	этап. Нахождение корней характеристического уравнения:
Xj = -1,28; Х2 =-3,75+ 4,88;; Х3 =-3,75-4,88;;
Х4 = -26,2 + 37,13;; Х5 = -26,2 - 37,13;.
3	этап. Построение фундаментальной системы
Х3 Х2	Х3	Х4	Х3
xl(t) = eK'1; x2(t) = e^; x3(t) = e^'- xA(t) = e^-, x5(z) = e4
4	этап. Общее решение однородного уравнения:
*(') = ед (z) + с2х2 (z) +...+ с5х5 (z).
Построим частное решение. Имеем
— матрично-операторное уравнение.
Определитель матрицы уравнения (1.111) называется определителем Вандермонда.
Результат решения системы (1.111):
Cj=-0,47; с2 =-0,42-5,59;; с3 = -0,42 + 5,59;;
с4 = -0,642 + 0,328;; с5 = -0,642 - 0,328;.
5 этап. Построение свободных колебаний
xr (z) = с1еХ|' + с2еК2' + с3еХз' + с4ех*' + с5еХ’'.
Имеем
(а+jb)e{~jy>l +(a-jb)e{x-Jy* =еа[а{е^ + <<"") + Jb{e^ -^^''[acosy-Z-fcsinjyz].
Так как
eiyt = cosyz + jsmyt’, e~Jyl = cosyz-;sinyz,
то свободные колебания определяются формулой
х2 (z) = -0,47с"1'28' + е"3,75' [-0,84 cos 4,8 8z +11,18 s in 4,88z] +
+ e'26’2' [-1,285 cos 37,13z - 0,656sin 37,13z].
*
1.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ
Ранее уже отмечалось, что если известны изображения входа Y (5) и передаточ-
ная функция то по формуле (1.25) можно найти изображение выхода, а путем
обратного преобразования — и сам выходной процесс.
Глава 1. Стационарные САУ.87-
Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические
свойства системы (при нулевых начальных условиях).
Введем понятие дельта-функции §(/).
Дельта-функцией называется функция, которая обладает следующими свойствами'.
, ч оо при t = 0;	°°с , .
SHo приг.О, = L	<1Ш)
Иногда 6(f) вводят как производную от единичной функции 1(f), т.е.
SW=1'W=T1W'	(1113)
Дельта-функция имеет производные любого порядка. Поскольку L {l(z)} = \/s, то,
учитывая (1.113), имеем z{5(f)) = l, т.е. изображением 6(f) является единица.
Теперь найдем изображение выхода, если входом является 6(f) —дельта-функция.
Реакцию САУ на единичное импульсное воздействие, т.е. на 5(f), на входе при
нулевых начальных условиях называют импульсной переходной или весовой функцией
(ИПФ) системы k(t).
Найдем изображение ИПФ:
Z{*(f)} = Ж(5)£{5(г)} = Ж($)1 = ir(s).	(1.114)
Отсюда следует важный факт: передаточная функция равна изображению по Ла-
пласу от ИПФ и соответственно
*(/) = Г1{Ж(5)}.	(1.115)
ИПФ, как и передаточная функция, является исчерпывающей характеристикой
САУ при нулевых начальных условиях. ИПФ имеет вид, представленный на рис. 1.66.
Найдем соотношение, связывающее входной сигнал >'(f), выходной процесс x(f)
и ИПФ. Имеем
Г1 {%(,)) =	(s)}.
(1.116)
88 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Зависимость (1.116) представляет собой изображение вынужденного сигнала сис-
темы; формула для вынужденного процесса во временной области имеет вид
х(/) = |х(т)у(г-т)<7т = Х(/)*у(г).	(1.117)
о	•
Эта формула, как и зависимость (1.116), справедлива при нулевых начальных усло-
виях. ИПФ может быть построена как обратное преобразование Лапласа от ПФ W(s).
Изложим алгоритм построения к (г - т) по известному ДУ системы вида
Xavx(v)=y(r),
v=0
учитывая, что с математической точки зрения k(t - т) — это решение однородного ДУ
i>vx(v)=0	(1.118)
v=0
при следующих начальных условиях:
k(t - т)|/=т = к; (t - т)|/=т =... = Х,(”"2) (Г - т)|(^ = 0; к^ (г - т)| = 1.
Найдем частное решение (1.118) для любого т е [0, Г] по формуле
к (г - т) = С] (t)xi (г) + с2 (т)х2 (г) +... + с„ (т)х„ (/),	(1-П9)
где хД/), к = \,п —фундаментальная система.
Пусть
B(X) = X"+a„_1Xn-’+...+a1X+ao=O	(1.120)
— характеристическое уравнение ДУ (1.118), Х],Х2,...,Х„ — корни характеристиче-
ского уравнения (простые, кратных нет). Тогда фундаментальная система имеет вид
	ф(г) = |хДг) = ex‘z: Л = 1,л|.	(1.121)
Поскольку Х/(г-т)| =0, v = 0,n-2; к^"~^(t-т)| =1, то общая формула для расчета с„ (т) запишется так: Х1(т)	х2(т)	х„(т) YC1(t)'| рГ Х1'(т)	х^(т)	хЦт) с2(т) = о		(1.122)
Но так как то система имеет вид ' еХ|Т	Ф(г) = |х^(г) = е^ : Х = 1,и|, е"2Т eV Ус>(т)^ f0'	(1.123)
Х,еХ|Т	Х2еХгТ	Х„ех"т с2(т) _ °	(1-124)
	x^-’V” - x^V-JUwJ I1-	
Глава 1. Стационарные САУ
89
или
^(т)^ + c2(j)eX2Z + ... + с„(т)ех''т =0;
С) (т)Х/‘т + с2 (t)X2^t + . + сп (т)	= 0;
.........................'..................................... (1-125)
с, (т)Х”-2еХ‘х + с2 (т)^’2^2’ +... + с„ (тК’2еМ = 0;
С](т)ХГ’^ +с2(т)ХГ*^ +... + с„(т)Х"„’’	=1.
Для решения этой системы уравнений умножим предпоследнее уравнение на А,„
и вычтем из последнего. Этим мы исключим из последнего уравнения неизвестную
с„(т). И вообще, если мы вычтем по очереди из каждого последующего уравнения
предыдущее, умноженное на А.„, то мы исключим с„(т) из всех уравнений, начиная
со второго. В результате получим систему л-1 уравнений. Далее исключается неиз-
вестная с„_! (т),с„_2 (т),...,с2 (т). В результате получим следующие зависимости (по-
сле некоторых преобразований):
..ч е~Х|Т; с7(т) =	1 . е~
1
:—-е
(1.126)
Таким образом, ядро
= ick (Ф* (0 =	= Х^77ГТеЧ('’Т)-
4=1	4=1 "(А)	4=А(Лх)
Напомним структуру фундаментальной системы (имеются кратные корни):
Л.,,.. .,Л.),...	Л.г,..., А.г,...
е '
и,
г
Хд
е г


Тогда, используя предыдущие рассуждения, получаем зависимость
к(t -т) = fX Ajk 7	,
V	J (Н4-У)!
где
(1.127)
(1.128)
(1.129)
Можно рассуждать и следующим образом. Поскольку av = const, v = 0, п -1; ап = 1,
то имеет место следующая зависимость:
кU) = № (Л) + С2Х2 (V) +   • + СА (А),	(1.130)
где Е, = t - т (положим т = 0), причем
*©и=<©и	-о; ‘Г’Ц.0	('13”
Постоянные сх,с2,.	>сп	определяются из системы					
	< 1	1	1				
	А.]	Х2	К			'0^	
	А?	М		с2	=	0	(1.132)
	ЛГ	л П-1 Л-2	л И-1 ^•п J	\Сп)		Л	
90 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Если	—простые корни, то ск = \/В'{Хк). Отсюда имеем
п	п 1
W = Zq х, (£) =		(1.133)
t=l	i=l a \^k)
Так как = t - т, to можно записать общее выражение для k(t -т):	*
*('-т) = Е—7-^ех‘('~т).	(1.134)
V ’ &В'(Кк)
Расчетная формула для построения вынужденных колебаний имеет вид
х(/)= |/:(/-т)у(т)Л = ^—ev |у(т)е’^тй'т=^сД/)ех‘',	(1.135)
о	0	*=1
где
(1-136)
Очевидно, результаты, полученные операционным методом и с использованием
рассматриваемого подхода, совпадают.
Интегральное соотношение (1.117) называют интегралом свертки или интегра-
лом Дюамеля. Для него справедливы следующие основные свойства:
1)	коммутативный закон /(/)* Л(0 = /г (О*/1(0> т е-
|/1(т)/20-т)Л=	(1.137)
0	0
2)	ассоциативный закон
/1 (0 * [Л 0) * /з (0]=[/1 (') * /2 (0] * /з (');	d 1 з8)
3)	дистрибутивный закон
/1(0*Е/2(0+/з(0]=/1(0*/2(0+/1(0*/з(0-	d-139)
Графическое представление свертки входного сигнала y(f) и ИПФ £(/) изобра-
жено на рис. 1.67.
Рис. 1.67. Графическое изображение свертки
Глава 1. Стационарные САУ 91
Найдем связь между ИПФ и ПХ. Имеем
Я(д) = 1К(5)-.	(1.140)
Отсюда находим	t
sH(s) = ir(5).	(1.141)
Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на 5 соответ-
ствует дифференцирование в области времени, то из (1.141) следует
*(') = *(')•	(1142)
Пример 1.8. Рассмотрим ЯХС-цепочку (рис. 1.68).
L R
Рис. 1.68. Схема ЯХС-цепочки
Уравнение цепочки
или стандартная форма записи
LCx' + RCx' + x = Ky(t),
Тгх’ + 2Т£х’ + х = Ку(1),
причем Т = JlC; Е, = R-Jc I14l, где Т — постоянная времени цепочки; Е, — коэффициент демпфирова-
ния; К — коэффициент усиления.
Входные данные: Т = 0,3; = 0,2; К = 1; y(t) = 4е'2' cos 8/.
Необходимо записать выражение для вынужденного колебания на выходе системы в форме интеграла
свертки. Основные этапы:
1.	Записывается характеристическое уравнение
В(Х) = Х2+1,ЗЗХ + 11,11 = 0.
2.	Корни уравнения определяются формулой
\г =	=0,66661 3,2659/.
3.	Строится ИПФ: имеем В'(Х) = 2Х + 1.33, тогда
= —еХ|' +-1^^=' = 0,304е-0’6666'sin3,2659/.
v ’ В'(Х) в W
Выходной сигнал определяется зависимостью
x(t) = 4- 0,304J е"0'6666!'-’) sin 3,2659(1 - т)е~2' cos8tdx.
о
Рассмотрим уравнение вида
х' + х = 1(1).
1.
2.
3.
Входные данные: Г = 1; 4 = 0; у'(/) = 1(1).
Записывается характеристическое уравнение
X2 +1 = 0.
Находятся корни уравнения
^1,2 = ±Л
Строится ИПФ: так как В(Х) = X2 +1, то В'(X) = 2Х. Поскольку В'(+у) = 2у; В'{-J) = -2у, то
=	+YrJe~J' = ~y(cosl + ysinl) + -jy(cosl- у sin/) = sin/.
92
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
4.	Выходной сигнал, выраженный через ИПФ системы, имеет вид
г	t
х(z) = Jsin (z - т) 1 (т)Л = J[sin t cos t - cos zsin т] 1 (t) di.
0	0
Изложим второй подход, использующий фундаментальную систему.
Так как /., = у; Л2 = -у — корни характеристического уравнения, которым соответствую1*следующие
элементы фундаментальной системы: x,(z) = cosz; x2(z) = sinz, то
*('-т) = ct (т)х1(/) + с2(т)эсг(/).
Составим систему алгебраических уравнений
С] (x)cosT + c2(T)sinr = 0;
-С) (x)sinT + c3 (t) cost = 1.
Отсюда находим
cost 5ттУс1(т)') fO'j
-sinx costJ^c2(t)J I'J”
0
i
A,(t) =
sinx	. cost
= -sinx; A2(t) =
cost	-sinx
0
1
= COST.
Отсюда
z x	sinx
ci(T) =----2------— = -sinx;
cos x +sin X
c2(t) =
cost
1
= cos t.
ИПФ определяется соотношением
i(z-T) = -sinTcosZ + cosTSinZ .
Рассмотрим уравнение вида
x’ + x' + x = l(z), х(0) = 0, х'(0) = 0.
1.
2.
3.
Входные данные: Т = 1; £; = 0,5; y(t) = l(z).
Характеристическое уравнение имеет вид
Д(Л) = ^2 + Л + 1 = 0.
Корни характеристического уравнения
Х|2=-1/2 + х/з/2у.
Построим ИПФ; учитывая, что
В'(Х) = 2Х + 1;
В’[-1 + X2[-- + —j] +1 = -1 + х/Зу +1 = х/з j;
2 2 J)	2 2 J)	J
„,( 1 х/З .'l -С 1 х/з Л	/г .
В----------7=2--------j + 1 = -х/Зу,
2	2 J 2	2 J
имеем
t(t) =	___1 (-I/2-V5/2)), = _ 1	+J_ (-I/2-A/27), = 2_е4'МТ'
U х/Зу	х/Зу	73	Л
4. Вынужденный сигнал на выходе системы имеет вид
=	sinT"(Z “ т)*(т)л-
Пример 1.9 [68, 69[. Электрическая схема следящей системы с электронным усилителем и двигателем
постоянного тока представлена на рис. 1.70.
Следящая система работает следующим образом. Задающее воздействие y(t) в виде некоторого угла
поворота воспринимается сельсином-датчиком (СД). Сельсины работают попарно. Сельсин-приемник
(СП) расположен на валу объекта регулирования. Если угол поворота объекта x(z) отличается от задаю-
щего воздействие y(z), то на однофазной обмотке СП появляется переменное напряжение рассогласова-
ния Ul. Оно поступает на вход электронного усилителя (ЭУ). ЭУ состоит из фазочувствительного выпря-
мителя (ФЧВ), где переменное напряжение Ul выпрямляется, последовательного корректирующего уст-
ройства (КУ) и усилителя постоянного тока (УПТ). Корректирующее устройство предназначено для обес-
печения необходимых динамических свойств следящей системы. Усиленный УПТ сигнал подается на вход
Глава 1. Стационарные САУ 93
(обмотки управления) электромашинного усилителя (ЭМУ). Ротор ЭМУ приводится во вращение привод-
ным двигателем ПД переменного тока. Нагрузкой ЭМУ является исполнительный двигатель (ИД) посто-
янного тока с независимым возбуждением. Исполнительный двигатель через редуктор вращает вал объек-
та управления так, чтобы уменьшить сигнал рассогласования, формируемый сельсином-приемником. Для
увеличения демпфирования электромашинного усилителя и исполнительного двигателя в систему введена
местная обратная связь по току якоря. Сигнал местной обратной связи снимается с резистора Rc и подает-
ся на вход усилителя постоянного тока. Таким образом, объект регулирования с требуемой точностью
отслеживает угловое перемещение задающего воздействия >’(/).
Функциональная схема рассматриваемой следящей системы содержит следующие элементы (рис. 1.69).
Чувствительный элемент 1, вырабатывающий сигнал и,, пропорциональный ошибке системы. В следящей
системе ошибка е представляет собой разность между управляющим воздействием g и выходной коор-
динатой системы х. Чувствительным элементом в рассматриваемой системе являются два синусно-
косинусных поворотных трансформатора. Напряжение, снимаемое с трансформатора приемника:
U|=Z:|E.	(1.143)
Фазочувствительный выпрямитель и последовательное корректирующие устройство 2, предназначен-
ное для преобразования сигнала ошибки с целью улучшения динамических свойств системы. Оно пред-
ставляет собой 7?С-контур, описываемый дифференциальным уравнением вида
Т^- + и2=к2[^ + и\	(1.144)
at	( at )
причем т, > 7j.
Рис. 1.69. Функциональная схема следящей системы
Выходной каскад электронного усилителя 3, на вход которого поступает разность напряжений
u2>u4, где и2 —напряжение на выходе последовательного корректирующего устройства; и4 —напря-
жение местной обратной связи. Полагая, что выходной каскад является безынерционным, его уравнение
можно записать в виде
“з = *з(и2 “«Л	(1145)
Электромагнитный усилитель и исполнительный двигатель (ЭМУ-ИД) постоянного тока независимого
возбуждения 4. Если рассматривать в качестве выходной величины угол поворота вала двигателя ад, то
уравнение системы ЭМУ-ИД примет вид
= куи3 - kf
d Mf
у° dt2
dt
(1.146)
где 7"м — механическая постоянная времени двигателя; Т — постоянная времени цепи управления; Г„ —
постоянная времени поперечной цепи; Та — постоянная времени якорных цепей ЭМУ-ИД; ку — переда-
точный коэффициент (коэффициент усиления) ЭМУ по управляющему воздействию; kf — передаточный
коэффициент ЭМУ по возмущающему воздействию; Л/с — момент сопротивления на валу двигателя.
Редуктор 5, через который исполнительный двигатель связан с объектом регулирования. Уравнение
редуктора:
ад = /рх.	(1.147)
Элемент 6, отражающий наличие в системе обратной связи по току. Обратная связь по току служит
для коррекции динамических свойств системы, и сигнал на ее выходе представляет напряжение, пропор-
циональное току в цепи якорей ЭМУ-ИД. Уравнение обратной связи, пренебрегая моментом сопротивле-
ния Л/с, можно записать так:
щ = к5^.	(1.148)
dt2
Главная обратная связь
Местная обратная связь
Рис. 1.70. Электрическая схема следящей системы:
СД - сельсин-датчик, СП - сельсин-приемник, ЭУ - электронный усилитель, ФЧВ - фазочувствительный выпрямитель,
КУ - корректирующее устройство, УПТ - усилитель постоянного тока, ЭМУ - электромашинный усилитель,
ИД - исполнительный двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, ПД - приводной двигатель;
механические связи показаны в виде двух параллельных линий; объект регулирования условно показан в виде вращающегося маховика
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Глава 1. Стационарные САУ 95
Совокупность уравнений (1.143>—(1.148) совместно с уравнением ошибки
e = g-x	(1.149)
описывает поведение следящей системы. Исключив промежуточные переменные е,и2, и3, и4, ад, полу-
чим дифференциальное уравнение следящей системы в операторной форме:
[fas5 + Тмз + l)(ryJ +1)(7)5 +1> кук3к3 (7]s +1)? + kfa + 1)]х =	о)
= k(rts + l)g - klf (Tys + l)(T„s + 1)(7]з +1) Mc,
где
Уравнение (1.150) перепишем в виде
(ass5 + a4s4 + a3s3 + a2s2 +a}s + aojx = (bls + bo)g + [d3s3 +d2s2 +diS + dQ^Ml.,
где
«5 = W7,; а4=ТыТаТу +7'M7’O17'I +7’мГу7’1;
“з = ТЛ + ЛЛ + ТЛ + TyTi + кук3к57\;
а2 = 7’„+1'у+11+^у*з*5; ai = l + AT]; a0 = к;
di = ~ki/ТаТЛ', d2 - -kt{(TyTa + Ty7\ + TaT\);
d\ = ~kfATy+T“ + T^ do=~kfC. *,=*Ть *o=*-
Тогда передаточная функция следящей системы относительно задающего воздействия g имеет вид
(5)	= —------.
ass + a4s + a3s + a2s + at s + a0
Определим импульсную переходную характеристику при следующих значениях параметров:
*0=*! =200; а5 =0,002; а4 =0,1224; а3 = 5,146; а2 =41,32; а, = 201; а0 = 200.
Все полюса ПФ
з, =-26,212 + 37,127), s2 =-26,212-37,127),
s3 =-3,748 + 4,878), s4 =-3,748-4,878), s5=-l,28
лежат в левой полуплоскости.
ИПФ системы (представлена на рис. 1.71)
k(t) = 1,283е-26,212' cos(37,128/)-0,662e-26’212'sin(37,128z)-
-0,81514е’3”8' cos (4,878/) +11,185е~3’738' sin (4,878/) - 0,468/Г1'28'.
Рис. 1.71. ИПФ системы
96 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.5.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
При рассмотрении вынужденных колебаний систем при подаче на вход гармониче-
ских колебаний важную роль играют частотные характеристики. Их роль особенно за-
метна при исследовании устойчивости, а также при синтезе корректирующих устройств
(регуляторов). Особую роль при разработке частотных методов сыграл В.В. Соло-
довников [120].
Передаточная функция W(s) определяется зависимостью
рфХ''6* = ]>(/)е’а'е’7га'сй = W (s).
о	о
(1.151)
Пусть £(г) абсолютно интегрируема, тогда можно записать (можно положить а = 0)
p(c)e’7“' dt = w(j®') =
о .
Г(>)’
где
A'(jw)= |x(z)e--/“' dt
о
—	одностороннее преобразование Фурье выхода;
r(jco)= jy(z)e-7<0' dt
о
—	одностороннее преобразование Фурье входа.
Выражение (1.152) запишем так:
;,Л | ш( ,7,П|РХ“)		еУФх(®)
{J™) -1 Vю/ Iе		е>>-(т)
Обозначим
|1Г(у(о)| = Л(<о); |А(усо)| = Л(со); | Г(усо)| = ЛДю)
— модули соответствующих функций. Тогда
A	- Ах	_ 4t(®) /<Р,(®)-фД«>)]
Теперь можно записать
Если
w/ .ч = М>)"’+У1(>Г'+--- + Ао = д(со) + Уб(ю)
+	+--- + «о с(ш) +jJ(co)
(а(со) + /7>(со))(с(со)- /с/(со))	. .	. .
= 2z X J//	= Р(“)+ JQW’
с (®) + d ((0)
то
А (со) = а//’2(со) + 22(со);
(1.152)
(1.153)
(1.154)
(1.155)
(1.156)
(1.157)
Глава 1. Стационарные САУ
97
ф(со) = arctg
g(«>)
Р(Ю)
(1.158)
Дадим некоторые определения.
Комплекснозначная функция W (jdJ) называется комплексной частотной харак-
теристикой системы (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой
{АФЧХ или АФХ).
Функции Р(<о) и б(®) называются соответственно действительной и мнимой
частотными характеристиками.
Функции Л(о>) и <р(со), определяемые зависимостями (1.157) и (1.158), называ-
ются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) ха-
рактеристиками.
На рис. 1.72 представлены типовые АЧХ и ФЧХ системы.
Частотные характеристики определяются следующими показателями:
•	показатель колебательности Л/= Дпах (со)/Д(О) — характеризует склон-
ность системы к колебаниям: чем выше М, тем менее качественна система
(как правило, в реальных системах 1,1 < М < 1,5 );
•	резонансная частота <вр — частота, при которой АЧХ имеет максимум (на
этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);
•	полоса пропускания системы — интервал от и = 0 до <оо, при котором вы-
полняется условие
Л(йо)<О,7О7Л(О);
(1-159)
8 Зак. 14
98 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
•	частота среза шср — частота, при которой АЧХ системы принимает значе-
ние, равное А (0), т.е.
^Ю=Л(0)	(1.160)
(на рис. 1.72 условно принято Л(0) = 1).	*
Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; спра-
ведливо соотношение
г «(14-2)—.	(1-161)
“ср
Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем
система является более быстродействующей.
Если же полоса пропускания является постоянной для всех частот на (-<»,+оо)
(рис. 1.73) и, следовательно, <оср = со, то система является безынерционной, у которой
Ту =0. Этот вывод следует из формулы (1.161). Поскольку система с бесконечной
полосой пропускания (рис. 1.73) безынерционна, то ИПФ такой системы равна 8(z),
а ПХ равна 1(г) (т.е. входные сигналы отрабатываются без искажения).
Далее рассмотрим закон преобразования гармонических сигналов линейными
системами, имеющими Л(со) —АЧХ и ф(<о) —ФЧХ (рис. 1.74).
Рис. 1.74. Преобразование гармонических сигналов
Имеем (рассматривается установившийся режим работы системы, для чего верх-
ний предел интегрирования берется равным со)
,, ej^+e'J^
;
тогда
х(/)= |Л(т)у(1-т)Л =
о
=A JA(T)|>o('-<) +	=
Глава 1. Стационарные САУ 99
(т)e-J^dx + y<Le~J<* р. (x)eW^ =
2 о	2 о
pj^pj^o)	„-У®о^-Х“о)
= Уо^(®о)-----------+ %Л(юо)------------=
рЛ’У „>ф(“о) . p- j<s>tfp-7Ф(“о)
= У0Л(Й0)—-----------------------=	(1.162)
/(<О</+ф(<»о))	-;(<в()/+ф(<00))
= УоЛ(“о)------------------------=
= yo^(®o)cos(a>0? + <p(co0)).
Результат имеет вид
y(/) = y0cosoj0r;
\	( t \\	(	<	(ПбЗ)
х(?) = у0Л(ю0)со8(и0/ + ф(соо)) = х0 cos(co0z + ф(®0)).
Результат (1.163) можно трактовать так: если на вход системы подается косинусои-
дальный сигнал с амплитудой у0, то на выходе в установившемся режиме имеет место
также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и
фазой', амплитуда выхода равна х0 = уоЛ(соо), а сигнал имеет сдвиг фазы ф(а>0).
Полученный факт используют для экспериментального определения Л (со) и ф(ю).
Для определения одной точкй Л(со0) и ф(<о0) на вход системы надо подать гармо-
ническое воздействие
y(r) = y0cosco0Z,	(1.164)
имеющее конкретную угловую частоту со0.
В результате в системе возникнет переходный процесс (имеет место составляющая
х„(/)) и установившиеся колебания с частотой ш0. После затухания переходного про-
цесса (т.е. в установившемся режиме), если система устойчива хп (/) —> 0 (t -> оо), на
выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой со0, равной частоте
воздействия, но отличающиеся по амплитуде и фазе. Одна точка АЧХ (Л(и0) и
ф(а>0)) определяется зависимостями
Л(<°о) = — ’	<1165)
№
ф(со0) — сдвиг фазы выходного сигнала по отношению ко входу. Аналогично мож-
но построить все точки АЧХ и ФЧХ (рис. 1.75).
Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ)
системы называется график функции Л(со) вида
Л(и) = 201g Л(го) = 20 lg| W( jfi>) |,	(1.166)
где
'(»)-(1168)
2(о>) = ImlP(j<o).
8’
100 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.75. Экспериментальное определение частотных характеристик
динамической системы (динамического звена):
а — система или звено; б — процессы на входе и выходе
.40
1000
Промежуток усиления
/1 > 1 , амплитуды входного сигнала
-.30
.20
201gA7
декада
. 10
100
1
декада 10
0,01
0,1
со
Промежуток
ослабления
амплитуды
входного сигнала
Рис. 1.76. Логарифмические частотные характеристики
Глава 1, Стационарные САУ 101
Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота
со [с1] в логарифмическом масштабе (рис. 1.76). Равномерной единицей на оси абс-
цисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение
частоты увеличивается в 10 раз (рис. 1.^6).
Частота шср, на которой £(со) пересекается с осью абсцисс, называется часто-
той среза. Поскольку lg 1 = 0, то начало координат чаще всего берется в точке о> = 1
(исключая точку со = 0, так как 1g 0 = -да). Таким образом, начало координат можно
брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, напри-
мер: со = 0,05, со = 0,1, со = 1, со = 10 или другие), исключая точку со = 0. Обычно
начало координат помещают в точке со = 1.
Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ или ЛФХ) назы-
вается график зависимости ср (со ) = Arg W ( усо).
При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет
углов ср идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абс-
цисс откладывается по-прежнему частота со в логарифмическом масштабе.
Важно иметь в виду, что ось абсцисс соответствует значению А = 1, т.е. прохож-
дению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя
полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А > 1 (усиление амплитуды), а ниж-
няя полуплоскость — значениям А < 1 (ослабление амплитуды).
Пример 1.10. Построить частотные характеристики следящей системы с электромашинным усилите-
лем (см. пример 1.9):
=?------------- 2005 4-20°----------------
'	0,002s’+0,1224s4+5,146s’+ 41,32s2 + 201s2 + 200
Выражение, определяющее	может быть представлено в виде
»
=_________________100.Р(20_0ш)_________________
(о,1224<в4 -4],32<о2 + 200) + у(о,ОО2ш5 - 5,146го3 + 201m)
с	d
я((о)+	v л/ ч
= / \ J ( = Pm) + Jg(m),
c(to) + jd((n)
где
, х ac + bd ( х bc-ad
Р{'^ = 'Л—р'	=
с +а	с +а
Далее легко можно построить частотные характеристики (рис. 1.77-1.82).
В пакете Matlab частотные характеристики могут быть построены с помощью функции Itiview.
Рис 1.77. ДЧХ системы
Рис 1.78. МЧХ системы
102
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис 1.79. АЧХ системы	Рис 1.80. ФЧХ системы
Рис. 1.81. ЛАЧХ системы
Рис. 1.82. ФЧХ системы
Глава 1. Стационарные САУ
103
1.6.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Структурную схему системы можно представить как соединение типовых эле-
ментарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.
Цель настоящего параграфа — рассмотрение динамических характеристик типо-
вых звеньев; они строятся с использованием тех алгоритмов, которые изложены в
предыдущих параграфах.
Усилительное звено. Уравнение звена имеет вид
x(t) = Ky(t).	(1.170)
Передаточная функция: имеем .¥($) = KY(s), откуда
Иф)=^1 = Х;	(1-171)
ИПФ:
ПХ:
h(t) = Г1	= K1(/).
I*5 J
Частотные характеристики:
КЧХ: Ифсо) = Х;
. АЧХ: Л(®) = Х;
ФЧХ: <р(©) = 0;
ЛАЧХ: £(©) = 201gX.
Интегрирующее звено. Передаточная функция звена
№(s) = —.	(1.172)
Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 1.83 [120].
Рис. 1.83. Примеры интегрирующих звеньев:
а — электродвигатель постоянного тока; б — резервуар с входным трубопроводом
Очевидны следующие зависимости для динамических характеристик:
ИПФ имеет вид
k(t) = K\(t).	(1.173)
ПХ запишется так:
h(t) = Kt.	(1174)
104 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Графики £(z), й(1) приведены на рис. 1.84 и 1.85.
Рис. 1.84. ИПФ интегрирующего звена
Рис. 1.85. ПХ интегрирующего звена
Построим частотные характеристики. Имеем передаточную функцию
JV(s) = —,	(1.175)
S
отсюда
— = -— = ~j— = Р(со) + у£>(со), где £?(со) =—.
JCO CO СО	СО
Амплитудно-фазовая характеристика 1Г(усо) определяется формулой
U7(  \ К К 'J2
у'со со
При изменении частоты со отО до °о конец вектора 1К(усо) движется по отрица-
тельной части мнимой оси от -» до 0 (рис. 1.86).
Интегрирующее звено создает отставание выходного гармонического сигнала на
90° на всех частотах (рис. 1.87); амплитуда выходного сигнала уменьшается с возрас-
танием частоты (рис. 1.87).
АЧХ имеет вид
Л (со) = yjp2 (со) + Q2 (<») =	ср(<о) = -90°.	(1.176)
Графики Я(со) и ср(со) приведены на рис. 1.87.
Выражение для логарифмической частотной характеристики запишется так:
£(<о) = 20Ig^(co) = 201g— = 201g -2Olgco.	(1.177)
Глава 1. Стационарные САУ
105
Рис. 1.87. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена
со
В зависимости (1.177) график — прямая линия, поскольку L(a>) = Ко + 1gсо, так
как ось абсцисс -1gсо. Построим (1.177). Имеем ю = 1; тогда
201g Л?-20 Igl = 201g Л?.
Пусть со =10; находим значение ЛАЧХ:
L(10) = 201g/C-201gl0 = {lgl0 = log1010 = 1} =201g К-20.	(1.178)
Таким образом, имеем график (рис. 1.88).
Из этого рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение
ЛАЧХ изменится на -20 дБ. Следовательно, она имеет вид прямой.
Апериодическое звено. Дифференциальное уравнение имеет вид
ajX + aQx = boy.	(1.179)
Получим передаточную функцию:
a1iJf(5') + a0^(5) = Z>0K(j),	(1.180)
отсюда
_ b0 _ Ьа/а0 _ К	j
У(л) ats + a0 (a1/a0)s + l Ts + 1
Величины К и T соответственно называются коэффициентом усиления и по-
стоянной времени апериодического звена.
Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 1.89 [120].
7 Зак. 14
106
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
б
в
а
Рис. 1.89. Примеры апериодических звеньев:
а — электрический ЛС-фильтр; б — резервуар со сжатым газом; в — процесс закалки детали в жидкости
Поскольку 1F(.s) = X(s)/Y(s), то справедлива зависимость [37, 140]
Отсюда следует
*(0+|х(')=7Я')-
Преобразование Лапласа имеет вид
«TW-4»)*7X(s)=|r(«);
тогда
S+ —
Т
л \s)~ 1 + 1 •
S+ —
Т
Соответствующая структурная схема имеет вид (рис. 1.90, а).
(1.182)
Г(5)
К/Т
s + \/T
A'Cs)
б
Рис. 1.90. Структурная схема апериодического звена
При рассматриваемом подходе начальное условие х(0) как входной сигнал надо
считать 5-функцией с весом х(0), т.е. х(0)5(1) (далее будет использоваться схема,
представленная на рис. 1.90, б).	*
По известным формулам достаточно просто получить зависимости, определяю-
щие импульсную переходную функцию и переходную характеристику:
k^ = L-\w{S}}^e-4T
(1.183)

(1.184)
107
Глава 1. Стационарные САУ
ИПФ и ПХ изображены на рисунках 1.91 и 1.92.
Перепишем (1.184) в виде
h{t) = K-Ke~^T = хв(г) = ху(г) + хп(г).	(1.185)
Первая составляющая — это установившейся процесс, второй же член обусловлен
полюсам ПФ и является собственным движением. Функция е~‘^ уменьшается до ме-
нее чем 2% от своего начального значения за 4 Г и менее чем 1% — за ST. На практи-
ке обычно считают, что экспонента уменьшается до нуля за время от 4Т до ST. Таким
образом, можно считать, что реакция системы на = 1(f) практически заканчива-
ется через (4ч-5)7’ и, следовательно, Т [с] является мерой быстродействия [37, 140].
7*
108 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рассмотрим случай, когда y(/) = Z; тогда
vf . к/т К кт , кт
( }	5	+ г
5 5 н—	s + —
т J	т	•
Отсюда следует
x(t) = Kt-KT + KTe~‘lr = ху(г) + хп(г),	(1.186)
где
xy(t) = Kt-KT- xn(t) = KTe~t/r.	(1.187)
Анализ формул (1.187) показывает, что поскольку переходная составляющая хп(/)
затухает, выходной процесс в установившемся режиме имеет вид ху(?) = Kt-КТ, вхо-
дом же является y(t) = Kt, и, таким образом, вход отрабатывается с ошибкой
= КТ, величина которой зависит от постоянной времени Т.
Найдем частотные характеристики. Имеем следующую зависимость:
к _ К _	_
U 75 + 1 77®+ 1 (7’(Ую) + 1)(7’(-» + 1)
-KT(jto) + K К . -КТ® ч	ч
=----Уу2-----=	---+ J—т~’5---= Р(®) + jQM-
Т2®2 + 1 Т2е2 +1 Г2ог+1 7 V 7.
р(ш)	е(и)
АФХ апериодического звена определяется формулой
W(j®} = —— = . К e-i«^
V ’ 77®+ 1 Vt’V+i
(1.188)
и имеет вид (рис. 1.93).
Выражение для АЧХ запишется так:
\ I К2 К2Т2®2 К /,	2 К
^Т’2®2+1) (т’2®2+1) Т ю +1	з/т12®2 +1
ФЧХ определяется формулой
<р (га) = Arg W (jrn) = -arctgw Т.
Графики Л(ю) и ф(ю) изображены на рис. 1.94.
(1.189)
(1.190)
Глава 1. Стационарные САУ
109
Рис. 1.94. АЧХ и ФЧХ апериодического звена
ЛАЧХ определятся формулой
201g Л (со) = 20 lg X - 201g 71 + Г2со2 = 20 lg X - 201g ^/1 + со2/сО)2,	(1-191)
где coj = \/Т —частота сопряжения.
Рассмотрим три случая: -
1. со «: СО); тогда можно записать
201g Л (со) = 201g X - 201g 71 + со2/со2 = 201g X - 201g 1 = 201g X.	(1.192)
На частотах со <к СО] ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
2. со 2> СО); тогда
201g Л (со) = 20 lg X-20 lg—.	(1.193)
со,
3. Рассмотрим, чему равна /-(со) при со = coj и со = ЮсО). Пусть со = СО), тогда из
(1.193) находим
201g Л(сО)) = 20 IgX-201g—= 201gX-201gl = 201gX.	(1.194)
“1
Пусть со = 1 Осо), тогда
20^(10co1) = 201gX-201g^- = 201gX-201glO = 201gX-20.	(1-195)
СО)
ЛАЧХ представлена на рис. 1.95 и 1.96.
Рис. 1.95. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена
ПО Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Колебательное звено. Имеем уравнение
a2x’ + axx’ + aox = boy(t).	(1.196)
Примеры звеньев, описываемых уравнением (1.196), приведены на рис. 1.97 [120].
Рис. 1.97. Примеры колебательных звеньев:
а — Я£С-колебательный контур; б — механическая система
(т — масса, ку — коэффициент упругости пружины, — коэффициент демпфирования)
Звено, описываемое уравнением (1.196), называется колебательным.
Найдем ПФ. Имеем
a2s2X (5) +	(5) + а0Х (s) = b0Y (s);	(1.197)
тогда
IV (A = _(•?) =---------------------------------=-------—-------,	(1.198)
K(s) a2s1+axs + a0 (a2/a0)s2 + (aj/a0)s + l T2s2 +2^75 + 1
где
K =
T2 =^; 2Tb, = -S-;
a0 a0 a0
Глава 1. Стационарные САУ
111
или
2
W(5) = 2 пе °------2 (ПРИ К = 1 )’
S + 2^<»о5 + (Од
Параметры К,Т и £, называются соответственно коэффициентом усиления,
постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности) колеба-
тельного звена.
При различных значениях £ имеют место следующие звенья: = 0 — консерва-
тивное; £>1 —апериодическое 2-го порядка; ^е(0,1) —колебательное звено.
Запишем выражение для ПХ колебательного звена (рис. 1.98)
+ ф) , (1.199)
h(t) = L 1	| = X 1-—е ^sin^yf+cp
где
= K 1-—e~^‘ sin(rco0l
®о=у; r = y/l^; <p = arctg(r/£); 0<^<1.
ИПФ определяется выражением (рис. 1.99)
k(t)=— e~^rsin—t, t>0.
Tr T
Частота
coc = — = ----—
- c T T
называется частотой собственных колебаний звена.
С учетом введенного определения
k(t) = — е~^Т sincocZ, Г>0.
V ’ гТ	с
(1.200)
(1.201)
(1.202)
Рис. 1.98. Переходная характеристика колебательного звена при различных значениях
112
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
*(')
-0 8'---------।---------1---------1---------1---------1—
0	2	4	б	8	10 Л с
Рис. 1.99. ИПФ колебательного звена(Т = 1, К = 1 )
Пусть с, = 0, тогда
К . 1 К .
k(t) =—sm—t = —smcool,
где <в0 = 1/Т — собственная частота системы, или
k(t) = Ахоо sin <пог.	(1.203)
Положим, что внешняя сила (воздействие) определяется так:
у(1) = Hsin(<o0/ + a).	(1.204)
Тогда
х(?) =—^-vsin| ш0Г + а-— I = ^ZsinfoW+ 6)
V 7 2со0Т2 I 2J V о
— амплитуда выходного сигнала линейно растет с ростом t и может стать сколь
угодно большой. Это явление называется резонансом. Для многих систем явление
резонанса является вредным или даже разрушительным.
Если у(/) = Hsin(co/ + a) и ю ю0, но |ю-<оо| —достаточно мало, то имеют ме-
сто колебания в форме биений.
Полюса ПФ определяются формулой
(1.205)
Если > 1, то полюса являются вещественными и реакция на у(/) = 1(г) имеет вид
Л(1) = x(r) = 1 + С? е~ЧТ' + С2е~‘1'‘г,	(1.206)
где
7] =.....  i	.. и Т2 =--------1 .	(1.207)
^Оо+иоА/^2-1	-1
113
Глава 1. Стационарные САУ
При = 1 справедливо соотношение
/г(г) = x(t) = 1 + C1’V'/7' +C^te-‘/r- Т = 1/со0.
Часто пользуются терминами [37, 140]:
•	если 0 < £, < 1, то говорят, что система недодемпфирована\
•	если = 0, то система недемпфирована',
•	если = 1, то система обладает критическим демпфированием;
•	если £ > 1, то система передемпфирована.
Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.
Найдем АФХ звена:
W(ja) = --------, А------------------------------
Т’2(усо)2+27’^(усо) + 1 -TW+^io+l
К[(1 - 7’2<о2)-;2Дсо]
[(-7’2со2 +1) + j2T& ] + [(1 - 7"2 со2 ) - j'27^co]
K(l-T2a2)-j2T£,K(o	к(1-Т2а2)
(1 - Т2®2 )2 + 47’2^2со2	(1 - Т2а2 )2 + 47’2^2со2
(1.208)
(1.209)
2Т£Ксо
7(1-7’2Ыг)2+4Т2^2Сй2
= P(co) + jg(co).
Найдем АЧХ звена:
Л (со) = ^Р2 (<о) + й2(со) = \w (jco)| =
Х2(1-7’2со2)2
(1 -Т2а>2 )2 + 4Г^2со2
(1-Г2со2)2 + 4Г2£2со2
J (1-Г2со2)2+4Г2^2со2
4Т2^2Х2со2
(1-Г2со2 )2 + 4Г2^2со2
___________К___________
^(1-Г2со2)2 +4ГЧ2со2
(1.210)
где
ш] =1/Г.
Частота Ю] как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного
звена называется сопрягающей частотой.
ФЧХ имеет вид (е (0,1))
<р(со) =
2Г<	1
-arctg---—\	при со < —;
1-Г2со2	Т
27’со^	1
-л - arctg--—- при со > —.
i-rV	т
(1.2И)
114
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
АФХ колебательного звена представлена на рис. 1.100.
Уе(со)Л
Рис. 1.100. АФХ колебательного звена
Графики ^4(со) и ф(со) изображены на рис. 1.101.
<р(со)и
Рис. 1.101. АЧХ и ФЧХ колебательного звена
Построим асимптотическую ЛАЧХ; рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть со<кcoj; в этом случае имеем Я(со)« К; 201g/l(co) = 201gX. При со»^
ЛАЧХ представляет собой постоянную величину, равную 201g К.
2. Если со »со); имеем
„ ч	К	К
А (со) = 	............г----«---------
^(co/co1)4+4^2(co/cd1)2	(“/“1)
Отсюда находим приближенные значения ЛАЧХ:
201g Л(со) = 201g АГ - 201g(со/ш,)2 = 201gX - 40lg(со/со,).
Возьмем две точки: со = coj и со = 10сО]. При со = сО] имеем 201g Л(сО] ) = 201g X;
при со = lOcoj
20 lg А (1 Осоj) = 201g К - 401g (1 Осо, /со,) = 201g К - 40.
Асимптотическая ЛАЧХ при со > со, представляет собой прямую с наклоном
-40 дБ/дек. Эта ЛАЧХ представлена на рис. 1.102.
Глава 1. Стационарные САУ
115
Рис. 1.103. ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях (;
Рис. 1.104. ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях
116 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Асимптотическая ЛАЧХ не имеет значительных ошибок при 0,7 < 2, < 1; практиче-
ски же при 0,5 < £ < 1 можно пользоваться асимптотической ЛАЧХ; при 5, <0,5 необ-
ходимо учитывать «горб» (рис. 1.103). Кривые поправок представлены на рис. 1.105.
Рис. 1.105. Кривые поправок Нт для асимптотических частотных характеристик
колебательного звена
Важным является тот факт, что для колебательного звена имеют место зависи-
мости, устанавливающие связи между параметрами переходного процесса и пара-
метрами звена [37, 140]:
1.	Время переходного процесса для системы с ПФ (1.198) определяется формулой
4	„	1
77®----, т.е. 77 можно считать равным четырем постоянным времени Т =-—.
У
2.	Время максимума /г(1) определяется выражением
3.	Для максимального значения переходной характеристики ^(7max) = hmaxl, опре-
деляющей перерегулирование о%, справедлива зависимость
1 1 птах
тогда величина относительного перерегулирования находится так:
0o/o=MrmJ-4cTio0% = 100е-^/7^о/о
h
"уст
(заметим, что перерегулирование не зависит от соо).
4.	Число различимых колебаний пс при 0,2 <5, <0,6 можно рассчитать по формуле
4г 4д/1 -^2 0,55
и _ --- _ ------- ~	_
2л!;	2л;	!;
Глава 1. Стационарные САУ 117
Если требуется, чтобы для Ту было выполнено неравенство Ту <Гудоп, то должно
выполняться следующее неравенство:
t К
----------
, 'удоп
и полюса обязаны располагаться левее вертикальной прямой, проходящей через точ-
ку (-^<о0 ) на действительной оси s-плоскости (рис. 1.106).
Рис. 1.106. Расположение полюсов на 5-плоскости
Для угла а справедлива формула
- t	t
а = arctg------= arccos^.
£
Дифференцирующее звено. Передаточная функция имеет вид
W(s) = Ks.	(1.212)
Импульсная переходная функция и переходная характеристика определяются за-
висимостями
Jt(r) = ЛГ8(^); h(t) = K8(t).
Частотные характеристики выражаются формулами:
fT(jco) = jXco; P(co) = 0; Q(co) = /fco;
Л(со) = Л’со; ф(со) = 7г/2; /,(со) = 201gX' + 201gco.
АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 1.107.
Л(®) 1‘	<р(со) 1 I
71/2
Кв)
0
-------------------►	0	-------►
СО	(О
Рис. 1.107. Частотные характеристики дифференцирующего звена
Логарифмические частотные характеристики изображены на рис. 1.108. ЛАЧХ
дифференцирующего звена — прямая, проходящая через точку с координатами со = 1,
Z(co) = 2OlgK и имеющая наклон +20дБ/дек; Г(со) увеличивается на 20 дБ при
увеличении частоты на одну декаду.
118
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.108. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего звена
Запаздывающее звено. ПФ имеет вид
W(s) = Ke~s\	(1-214)
Очевидны следующие соотношения:
А(/) = К8(1-т);	=	(1.215)
АЧХ и ФЧХ определяются зависимостями
(V(jco) = Ke~Je"; А(а) = К; (р(со) = -сот.	(1.216)
В табл. 1.2 приведены основные динамические характеристики элементарных
звеньев.
Таблица 1.2
Глава 1. Стационарные САУ
119
Продолжение табл. 1.2
Тип звена
Колебательное	Идеальное дифференцирующее 1-го порядка
0 л2 Т dt + + %(/) = МО	= к Г^Г + У^>
Идеальное дифференцирующее 2-го порядка	Запаздывающее			
	х(г) = Дг-т)			
k{r2s2 + 75 + 1)	е'”			
к % t		^h(t) Т 4	»	к	, t
120 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.7.	ОПИСАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Начиная с шестидесятых годов прошлого века, все более популярной становилась
форма описания систем управления в пространстве состояний, когда исходные соот-
ношения, описывающие объект управления, равно как и блоки регулятора, представ-
лены в нормальной форме Коши, или, что то же самое, в виде системы дифференци-
альных или разностных уравнений первого порядка. К настоящему времени такая
форма описания стала общепринятой, а использование уравнений «вход-выход» вы-
сокого порядка является скорее исключением, чем правилом.
В настоящем параграфе вводятся основные конструкции, характеризующие сис-
темы управления в пространстве состояний: матрица перехода, весовая матрица, их
аналоги в области изображений. Обсуждаются основные способы вычисления сис-
темных функций и их свойства. На основе системных функций определяются связи
«вход-выход» для вычисления реакций систем при детерминированных воздействиях.
1.7.1.	Понятие состояния
Состояние системы является исходным основным понятием; точного определе-
ния понятия «состояние» не существует (определить какое-то понятие — означает
подвести его под другое, уже известное, более широкое). Вместе с тем оно имеет ес-
тественное физическое истолкование и не вызывает трудностей при практическом
использовании. Математики ввели формальное аксиоматическое определение дина-
мической системы [43], где состояние трактуется как «часть настоящего и прошлого
системы, которая необходима для определения настоящих и будущих значений вы-
ходной величины»; для целей настоящего изложения понятие состояния возникает в
задаче описания динамических систем.
В большинстве практических приложений физические объекты управления опи-
сываются обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями раз-
ных порядков, которые легко сводятся к системе дифференциальных или разностных
уравнений первого порядка:
X(z) = /(X,Y,?) или Х(и + 1) = /(х(н),У(п),и);	(1.217)
здесь вектор X характеризует состояние системы, а вектор Y описывает внешние воз-
действия. Через t и п обозначены переменные непрерывного и дискретного времени
соответственно. Компонентами вектора состояния могут быть физические величины:
координаты положения, скорость, значения напряжения, сила тока и т.п., или комбина-
ции тех же величин, полученные, например, при преобразованиях исходной системы.
Вектор Х(0) представляет собой минимальный набор величин (х1(0),х2(0),..,хп(0))Т,
однозначно характеризующий рассматриваемый объект в данный момент времени
tQ и позволяющий при известных входных воздействиях Y(/),	получить
такой же набор Х(?) для любого момента времени /е[?0,^].
Векторы состояния X(z) определены в линейном векторном пространстве со-
стояний [43]. При изменении времени конец вектора состояния описывает в про-
странстве состояний кривую, Называемую траекторией вектора состояния. Вы-
ходные координаты описываемого объекта Хв(/) могут отличаться от координат
вектора состояния и связаны с последним некоторым отображением
XB(/) = g(X,Y,z).	(1.218)
Число выходных координат объекта обычно много меньше размерности вектора
состояния. Поэтому описание в пространстве состояний называют внутренним
описанием в отличие от внешнего описания в переменных «вход—выход».
Глава 1. Стационарные САУ 121
1.7.2.	Описание непрерывных линейных стационарных систем
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Линейная непрерывная система описывается уравнениями состояния
X = А\+ BY;
Хв =CX + DY,
(1.219)
где Х(г)еЛ” — вектор состояния системы, Y(z)e7?'" — вектор управления,
Хв (/) e Rr — вектор выхода системы. В этой укороченной для простоты записи в
управление могут входить как собственно управляющие сигналы, так и другие внеш-
ние воздействия (возмущения, задающие сигналы). Если внешние сигналы разделены
на группы, то в зависимости от решаемой задачи неоднородный член дифференци-
ального уравнения будет представлен несколькими слагаемыми, описывающими раз-
ные группы сигналов. Точно так же и выходные сигналы могут быть разделены на
группы, например может быть выделен вектор наблюдаемых координат. Чтобы не
усложнять запись, эта детализация здесь не приводится, поскольку существенно не
влияет на обсуждаемые ниже конструкции, и при необходимости без труда вносятся
нужные уточнения.
Уравнениям (1.219) отвечает структурная схема на рис. 1.109.
Рис. 1.109. Структурная схема системы
Матрицы Ае7?"х",	Се7?гх", De/?rxm могут зависеть от времени. То-
гда система называется нестационарной (см. главу 2). В стационарных системах
А, В, С, D — постоянные, не зависящие от времени матрицы. Матрицу А называ-
ют матрицей состояния (матрицей системы), матрицу В — матрицей управления,
а С и D — соответственно матрицами выходных координат. Запись системы в
виде (1.219) принято называть описанием в пространстве состояний. Вместо (1.219)
используется также сокращенное обозначение (А, В, С, D).
Дифференциальные уравнения (1.219), хотя и содержат всю необходимую инфор-
мацию о системе, не дают явной зависимости «вход-выход». Более предпочтительны-
ми для решения многих задач управления оказываются системные характеристики.
1.7.3.	Матрица перехода и матрица ИПФ
В отсутствие внешних воздействий свободное движение динамической системы
(1.219) определяется уравнением
~~7=АХ.	(1.220)
Фундаментальной матрицей решений уравнения (1.220) называют квадратную
матрицу Хф(/), столбцами которой являются п вектор-функций линейно незави-
122 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
симых решений уравнения (1.220). Очевидно, что фундаментальная матрица удовле-
творяет своему уравнению (1.220)
~^ = АХф.	(1.221)
По определению матрицей перехода Ф(/,т) или переходной матрицей состояния
называют конструкцию, сформированную из фундаментальной матрицы по правилу
ф(г,т) = Хф0)Хф1(г),	(1.222)
а при t = т
Ф(м) = Ф(т,т) = 1„.	(1.223)
Матрица перехода является системной характеристикой, имеющей важное тео-
ретическое и прикладное значение. Она позволяет получить явные соотношения «вход-
выход» для системы и тем самым найти решения основных задач управления во вре-
менной области. Ценность этой характеристики наглядно характеризуют ее свойства.
Непосредственно проверяется с учетом соотношений (1.221) и (1.222), что по аргу-
менту t матрица перехода удовлетворяет исходному однородному уравнению (1.220)
—^-’^- = АФ(/,т); Ф(т,т) = 1„.	(1.224)
Свободное движение системы при ненулевых начальных условиях при t = t0 вы-
ражается через матрицу перехода простым алгебраическим соотношением
Х(/) = Ф(/,/0)Х(/0).	(1.225)
Для доказательства последнего достаточно учесть, что в силу (1.223) начальные
условия сохраняются и согласно (1.224) решение удовлетворяет однородному урав-
нению (1.220). Обобщение соотношения (1.225) устанавливает связь между состоя-
ниями в произвольные моменты времени:
Х(/) = Ф(г,т)Х(т).	(1.226)
Отсюда, в частности, следует, что столбцы матрицы перехода при t > т являются
частными решениями однородного уравнения (1.220), если начальные условия зада-
ны столбцами единичной матрицы
L, (т, т) = 8у,, j = l, п, i = 1, п.
Из определения матрицы перехода (1.222) легко установить следующее полезное
свойство:
Ф(г,0)Ф(6,т) = Ф(г,т).	(1.227)
Наконец, по аргументу т матрица перехода удовлетворяет уравнению, сопряжен-
ному с исходным (1.220):
— = -ATz,	(1.228)
dt
а именно
^М = -АтФт(/,т).	(1.229)
дг
Доказать последнее можно, дифференцируя по т тождество
Ф(т,/)Ф(/,т) = 1„
и применяя свойства (1.224), (1.227), а также правила транспонирования произведе-
ния матриц.
Все указанные свойства одинаково справедливы как для стационарных, так и не-
стационарных систем. Однако общих правил нахождения аналитических выражений
Глава 1. Стационарные САУ 123
для фундаментальной матрицы нестационарной системы, а следовательно, и ее
матрицы перехода не существует.
Вынужденное движение системы под действием внешних воздействий Y (г) най-
дем, рассматривая непрерывное упрацрение как сумму импульсных сигналов и вос-
пользовавшись принципом суперпозиции. Реакция системы с нулевыми начальными
условиями на импульсное воздействие BY(t)At8(z-t) совпадает с движением воз-
мущенной системы с начальными условиями BY(t)At. Согласно (1.226) состояние
системы меняется в соответствии с матрицей перехода Ф(г,т)ВУ(т)Дт. Суммируя
реакции и переходя к пределу, получим соотношение «вход-выход» для расчета со-
стояния системы при внешних возмущениях
i
X(z) = O>(M0)X(z0)+ Jo(z,t)BY(t)^t.	(1.230)
<0
Первое слагаемое здесь характеризует свободное движение под действием на-
чальных условий при t = t0, а второе — вынужденную составляющую вектора со-
стояния, определяемую управлением.
Выходной вектор Хв (/) связан с вектором состояния алгебраическим соотноше-
нием и вычисляется по формуле
Хв(г) = СФ(м0)Х(г0) + |СФ(г,т)ВУ(т)Л + ОУ(г).	(1.231)
*0
Вынужденную компоненту реакции системы можно записать в более компактной
форме, если воспользоваться весовой матрицей (матрицей весовых функций или мат-
рицей ИПФ)
Кв(г,т) = СФ(г,т)В + О8(г-т).	(1.232)
Тогда при нулевых начальных условиях зависимость вектора выхода от управ-
ляющего воздействия записывается в виде
i
Хв(г)= Jkb(z,t)Y(t)Jt.	(1.233)
to
При ненулевых начальных условиях добавляется слагаемое, характеризующее
свободное движение:
i
Хв (0 = СФ(/,/0)Х(г0) + Jkb (Z,x) Y(t)Jt.
*0
Весовую матрицу, как видно из формулы (1.233), можно рассматривать как ре-
акцию системы по выходным координатам при нулевых начальных условиях на воз-
действие 1т8(/ -т). Поэтому ее иногда называют по аналогии со скалярным случаем
матрицей импульсных переходных функций. В частности, и саму матрицу перехода
можно рассматривать как реакцию системы
X = AX + Y;
Y = I„8(z-t)
на импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. Для доказательства
достаточно пересчитать импульсное возмущение в начальные условия невозмущен-
ной системы в виде единичной матрицы и воспользоваться свойством (1.224).
Заметим, что весовая матрица не является исчерпывающей характеристикой сис-
темы, поскольку при ее определении (1.232) возможны потери при сравнении с исход-
124 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ным описанием (1.219). В частности, она определяет лишь вынужденное поведение и не
несет информации о свободном движении, зависящем от начальных условий и урав-
нений системы. Полное математическое описание линейного динамического объекта
составляют уравнения состояния (1.219), определяемые матрицами А, В, С, D.
Для уравнений (1.219) с постоянными матрицами А, В, С, D, в отливе от не-
стационарных систем всегда можно получить аналитические выражения для систем-
ных характеристик.
Однородное уравнение (1.220), как и в скалярном случае, имеет своим решением
экспоненту
Х(/) = еА'.	(1.235)
Последнее выражение представляет собой функцию матрицы, которая по опреде-
лению вводится с помощью ряда
еА' =1 + Аг+—А2?2+...+—AV+....	(1.236)
2!	п!
Сходным образом в виде рядов определяются и другие функции от матриц.
Непосредственной подстановкой последнего выражения в (1.220) легко убедить-
ся, что (1.236) удовлетворяет исходному уравнению (1.220) и является фундамен-
тальным решением этого уравнения. Матричную функцию (1.235) называют мат-
ричной экспонентой или матрицантом. Соответственно матрица перехода выража-
ется через последнюю в виде матричной экспоненты
Ф(/-?) = еА'е~Ат = еА('"т).	(1.237)
Как и следовало ожидать, матрица перехода стационарной системы зависит от
разности аргументов tux, или, что то же самое, от временного интервала от
момента приложения импульсного воздействия т до момента наблюдения t. Часто,
если это не диктуется конкретными обстоятельствами, вместо разности аргументов
для простоты используют единственный параметр, обозначающий время.
Вычисление матричной экспоненты по исходному определению хотя и принципи-
ально возможно в случае быстрой сходимости ряда (1.236), но затруднительно. Суще-
ствуют несколько других достаточно простых и эффективных способов ее вычисления.
Заметим, в частности, что в современных программных средах, таких как Matlab и
«.Математика», вычисление матричных функций обеспечивается с помощью встроен-
ных типовых процедур, а пользователь должен описать лишь матрицу А системы.
Возможность ограничиться конечным числом членов ряда при вычислении мат-
ричной экспоненты вытекает из теоремы Кэли-Гамильтона [5], согласно которой
матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению
|Х1-А| = Г +ЦД""1 +... + ап =0,	(1.238)
т.е. справедливо тождество
А”+а1А”-1+... + а„1 = 0,	(1.239)
из которого следует, что п-я степень матрицы, а с ней и все старшие степени выра-
жаются через алгебраическую сумму степеней матрицы от нуля до (п-1) -й. Поэтому
матричную экспоненту можно представить в виде полинома (иногда говорят интер-
поляционного полинома)
еА' =а0(/)1+а1(г)А + а2(/)А2 +... + a„_j (/)АЛ-1.	(1.240)
Неизвестные коэффициенты a,, i = \,n-1 определяются из системы уравнений,
которые получаются подстановкой в выражение (1.240) вместо матрицы А ее собст-
венных значений Х(, I = 1,н. Если все корни характеристического уравнения разные,
то получим п линейно независимых уравнений для вычисления п неизвестных ко-
эффициентов a,, z = 1, п -1:
Глава 1. Стационарные САУ
125
е 1 — a0+ccIX|+... + cc„_|X1 ;
еХ"' =а0 + а,1л + ... + ал_Д"
(1.241)
Если же среди корней характеристического уравнения окажутся кратные, то чис-
ло уравнений будет меньше необходимого числа п. Недостающие уравнения полу-
чают из соотношения
d'e“
dX1
а0 + аД + ... + а„_,
(1.242)
Х=А.„,,<=1,4-1
где А.„, — корень кратности к.
Другой способ основан на применении теоремы Сильвестра [5].
Если все корни характеристического уравнения различны, то матричная экспо-
нента вычисляется по формуле
П(Л-Х,1)
п V-1
у=1
У*'
если же среди корней имеются кратные, то последняя формула значительно услож-
няется. Слагаемое в сумме, отвечающее корню X, кратности s, заменяется выра-
жением
(1 244)
Ъ (Л-1)!	’
где
через Adj(«) здесь обозначена присоединенная матрица (матрица, составленная из
алгебраических дополнений и транспонирования).
При работе с матричной экспонентой целесообразно пользоваться формулами
[5,29,34]:
1. Если А —диагональная матрица								
*	'оц	0	. 0 >			' еа"	0 .	..	0 "
А =	0	а22	•	. 0	ТО	еА =	0	е°22	..	0
	.0	0	апп у			< о	0 .	. е°т;
2. еА'еАт = еА(,+т).
3. еАев=еА+в, если АВ = ВА (матрицы перестановочны).
126
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
4. еАТ'=(еА')Т.
5. -еА'=еА'А.
dt
Для систем с постоянными коэффициентами прежняя связь (1.230) между управ-
лением и вектором состояния записывается через матричную экспоненту
Х(1) = еА('"'о)Х(/о) + JeA('~T)BY(x)<Zx;	(1.245)
если t0 = 0, то
Х(/) = еА'Х° + рА('"т)В¥(х)б/х,
о
где Х° =Х(0).
Для диагональной матрицы А матрицант тоже будет диагональной матрицей
eAl =diag^eX'(A)(|, где А, (А) — /-е собственное значение матрицы А. Выражение
еА(А)' часто называют модой, связанной с собственным значением А, (А).
Весовая функция (1.232) конкретизируется для систем с постоянными матрицами
в виде соотношения
Кв (г - х) = СеА('~х)В + D5(z - х),	(1.246)
а связь «вход-выход» между управлением и выходным векторбм при нулевых на-
чальных условиях отличается от соотношения (1.233) лишь характерной для стацио-
нарных систем разностью аргументов весовой функции
Хв(/)= Jkb(1-x)Y(x)c/x.	(1.247)
to
Подчеркнем, что весовая и переходная функции для реакций системы дают яв-
ные, но интегральные соотношения.
Пример 1.11. Определим переходную и весовую матрицы гипотетической динамической системы,
дифференциальное уравнение которой может быть записано в следующем виде:
Т^ + — = Ку.
dt1 dt
Заметим, что в таком виде часто записывают, например, уравнения двигателя постоянного тока, когда
пренебрегают индуктивностью якорной цепи.
Выбирая в качестве переменных состояния координаты положения и скорости
X] = х;
для матриц А, В, С, D получим следующее описание:
(0
1 А 7(Р
; В= К_
Т) - 1т,
С = (1 0); D = (0).
Вычисляя матричную экспоненту по теореме Кэли-Гамильтона в виде интерполяционного полинома,
для порядка системы п = 2 будем иметь
е*'=а01 + а1А.	(1.248)
Неизвестные коэффициенты а0 и а, найдем, решая систему уравнений
е1'' = а0 + <Х)А.|;
е*2' = а0 +аА2.
Глава 1. Стационарные САУ 127
Корни характеристического уравнения найдем, раскрывая определитель |Х1 - А| = 0:
\ = 0;Х2 = -1
Решая систему уравнений, получим искомые коэффициенты интерполяционного полинома а0 = 1,
<Х| = Т\1-е~'1т\. Подставляя эти значения в (1.248), найдем матричную экспоненту

еА' =ф(/) =
о e"IT J
После выполнения вычислений целесообразно проверить, что при t = 0 матричная экспонента соот-
ветствует единичной матрице.
Выбирая в качестве начальных условий Х = (0 v0)T, что соответствует движению с некоторой на-
чальной скоростью, по выражению (1.225) найдем свободное движение системы
, ^-,1т ;
что соответствует движению по инерции и торможению.
Весовая матрица в данном случае вырождается в скалярное выражение и соответствует импульсной
переходной функции скалярной системы. Согласно (1.232) для весовой функции найдем
К (г-т) = 1-г‘('“’)/г
Х(/) =
Определим реакции системы по вектору состояния на ступенчатое воздействие y(z) = yol(z), пользу-
ясь матрицей перехода. Согласно (1.245) при нулевых начальных условиях для текущего значения вектора
состояния получим
Х(г) = |еА('-’)В¥(т)<Ут =
О
О
i т
Интегрируя, найдем значение координат положения и скорости
х(1) = х|(«) = А>о(1-1-е''/7');
*(*) = *2(') = КУоО-е-'^)-
1.7.4. Передаточные функции
Использование преобразование Лапласа создает определенные удобства при опе-
рировании со звеньями, описываемыми уравнениями с постоянными коэффициента-
ми. Уравнения состояния не составляют исключения, и следует ожидать, что инте-
гральные соотношения должны перейти в алгебраические.
Применяя преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1.219) при нулевых
начальных условиях, найдем соответствующие им уравнения в изображениях
sX(s) = AX(5) + BY(j),
V V V ’	(1.249)
XB(s) = CX(s) + DY(s).
Разрешив последнее выражение относительно вектора состояния и вектора вы-
ходных координат, получим искомые алгебраические соотношения:
Х(5) = [51-АГ1ВУ(л);
/	,	\	(1-250)
XB(j)= C[sI-A]'lB + D )Y(s).
Обозначая
W(s) = [jI-A]'‘B;
Wb(s) = C[sI-A]~'b + D,
(1.251)
128
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
запишем алгебраические соотношения, устанавливающие зависимость между управ-
ляющим воздействием и векторами состояния и выходных координат соответственно:
X(s) = W(s)Y(s);
v ’ v ’ v	. (1.252)
XB(s) = WB(s)Y(s).
Функции W(s) и WB( ,v) комплексной переменной s, с помощью которых опре-
деляются алгебраические связи «вход-выход» вида (1.252) при нулевых начальных
условиях естественно называть передаточными функциями системы.
Последние являются матричными функциями, размер матриц которых определен
размерностью входных и выходных векторов. Если входное воздействие является
векторным, то реакция системы может зависеть от всех составляющих входного век-
тора. Нетрудно видеть, что скалярные передаточные функции одномерных систем
при описании последних в пространстве состояний оказываются элементами матриц
передаточных функций многомерных систем. Точнее говоря, если входной сигнал
скалярной системы отвечает /-й составляющей вектора управления, а выход является
Л-й компонентой вектора X, то передаточная функция скалярной системы оказыва-
ется элементом Wti (s) многомерной передаточной функции.
Использование преобразования Лапласа позволяет предложить еще один способ
вычисления переходной функции (матричной экспоненты). Для этого следует найти
изображение соотношения (1.225), которое трактует матрицу перехода как решение
однородного уравнения с начальными условиями в виде единичной матрицы, или ана-
логичного соотношения (1.235), которое определяет матрицу перехода как решение
неоднородного уравнения на импульсное воздействие при нулевых начальных услови-
ях. Матрица перехода будет вычисляться как оригинал обратной матрицы [si - А] 1
<D(s) = [sI-A]-’; Ф(/) = Г'{[д1-А]"'|,	(1.253)
где через /Г1 {•} обозначено обратное преобразование Лапласа. Заметим, что при
этом нет необходимости вычисления интерполяционного полинома, но добавляется
задача обращения полиномиальной матрицы и вычисления оригинала.
Пример 1.12. Найдем матрицу перехода для системы, рассмотренной в примере 1.11:
Вычисляя оригиналы элементов матриц, найдем искомую матрицу перехода
что совпадает с результатом, полученным на основании теорем Кэли-Гамильтона и Сильвестра.
Найдем реакции системы на ступенчатое воздействие y(t) = у01(1).
Изображение реакции по вектору состояния
X (s) = [si - AfCBY(s) = 2^Уо , J ’ ].
v ' 1 J v ’ Zs2(s + l/r)(sJ
Переходя к оригиналам, найдем
*(') = *i (') = КУа (< -1 ~	);
х(/) = х2(1) = Ку„(1-е ,/У),
что совпадает с результатом, полученным выше интегрированием во временной области.
Пример 1.13. Найдем передаточные функции системы с тремя состояниями, двумя воздействиями и
двумя выходами, структурная схема которой показана на рис. 1.110.
Глава 1. Стационарные САУ
129
Рис. 1.110. Структурная схема системы
Уравнения состояния, записанные в соответствии с обозначениями на структурной схеме, имеют вид
х3 =-2Х| -10х3 + 2у,
где векторы воздействий и выходных координат выбраны в виде
и
Для матриц А, В, С из уравнений состояния получим
(О 1	0
0 -1	1
-2 0 -10
10 0
0 0 1
; в =
А =
0 О'
0 1 ; С =
2 0,
Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами вычисляется согласно (1.251). Не-
посредственными вычислениями найдем
. . г т-1	1 Г 2 з + 10А
W,j=CLl-A В = -----------—----;.
’	1 J з(5 + 1)(з + 10) + 2^25(т + 1)	-2 J
Пример 1.14. Пусть
Х = AX + BY,
где
(о
А =
\Лг
-° }в=(о}с=(°М-
Тогда
oW о
1
0 ър °) С0 0 Vf 5 0
-к3 J (0 sj \к2 -kj) {-к2 к3 +
s
к2
0
к, +s
= 5
Соответственно
W(s) =
(з1-А)~' = .P + *3 °\
'	''	^2 T)
Теперь легко найти передаточную матрицу объекта по состоянию:
s + k3 OVtA I	Г(т + Л3)#|'|
5 ДО J S(^3 + JR кхк2 J
Передаточная функция по выходу запишется так:
уу (л _ (0 'l 1	ktk2k3
” ЦзJ з(Л3 + з)^ к,к2 J з(£3+з)
Изложим метод Фаддеева-Леверье нахождения обратной матрицы [5]. В соответ-
ствии с этим методом имеет место соотношение
(Я-АГ'=^,
mis)
10 Зак. 14
130
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где
m(s) = s" -
Коэффициенты M, и mj рассчитываются по следующему алгоритму: *
А] = А, = j-SpA], Mj = А] - «гД;
А2 = AM], т2 = -^SpA2, М2=А2-/и21;
А3 = АМ2, т2 = -^SpA3, М3=А3-/и31;
А„ = АМп_],/и„ =-SpA„, М„ = А„ -ти„1=0,
п
где SpA — след матрицы А.
Пример 1.15. Рассмотрим систему X=AX+Y, где
Г 0 И
А =
~6)
Найдем обратную матрицу по методу Фаддеева-Леверье. Имеем
( 0	1 'I
А. =
Тогда m, = Sp А) = -6;
Вычислим А2,»12 и М2:
0	1
-5 -(
Ю с
ту =----= -5; М-, =
2	2	2
	6 г	W-5	0 \
бд-	-5 0,	По	-5/
Г-5		Г-5	0>1 Л
			= 0.
1°	-5J	1°	-5J
( s	О'! !	 6 С	। Гд+6
	+		1	г
1°	5 J \	-5 0;	1 s)
А2 = AM, =
В результате получим
X(s) =
1	1	^5 + 6 < -5
s2 + 6S + 5I	
у—i------С|
д_ А С- _д. <	1
(я _ А)-1 = Ь + М1 ____________________________.
s2-m]s-m2 s2 + 6s + 5	s2+6s + 5
Теперь легко написать изображение для состояния системы и для выхода:
’YWY
Л'гС’)/
s + 6 1YY1(s)A
-5
О'!
' 0
А, = А = 0
1
0
-2
1 , л = 3; /я, =-SpA, =-2;
-2	'
Глава 1. Стационарные САУ
131
Го 1
А2 = AMj =00
ч-1 -2
2	1 '
-2 0
-1 -2J
'”2 =|spA2 =-2;
М2 = А2-/и21 = -1 -2
.° -1
1 2Л Г 2 2 Г
I 0 = -1 О О
О 1J [о -1 О,
Го 1 О Y2
А3=АМ2= 0	0	1-1
(-1 -2 -1До
2 1А Г-1
0 0=0
-1 oj 1^0
О 0^
-1 О
О -1,
'«з =jSpA3=-l.
Теперь можно записать
M(j) = Is2 +М,з + М2 = О
О
к
m(s) = s3 +2s2 + 2s + l.
Изображение вектора состояния системы имеет вид
Х2(з)
lX3(s)J
1
? + 2s2+2s + 1
' s2+2s + 2
-1
-5
2 Г
О О
-1 О,
s2 + 2s+ 2 j + 2	1
-1	s2 + 2s s
-s	-2s -1 s2
V	/
5 + 2
s2+2s
-25-1
5	Y2(j)
52Jw)J
(1.254)
Если /’(A) —функция от матрицы A —многочлен вида
Р(А) = а0А"+я1А"-1 + ... + й„1,
а /(А) —некоторая функция от А, то функции от матрицы АР(А) и /(А) равны
на А, если
=	/'(А,) = Р'(А,(А,) =	(Х;),
где А, — элемент множества Л, имеющий кратность Kt.
Рассмотрим примеры применения этого положения.
Пример 1.17. Пусть
Г 4 -2
А =
16 -3.
— квадратная матрица; требуется найти еА.
Имеем
4-Х.	-2
6	-3-Х
= (4-Х)(-3-Х) + 12 = -12-4Х + ЗХ + 12 + Х2 =Х2-Х = 0.
Характеристическое уравнение Х(Х -1) имеет корни X, =0; Х2 =1; следовательно, корни 0 и 1 —
собственные значения матрицы А.
Имеем
/(А) = еА; Р(А) = а01 + а1А.
Требуется найти числа а0 и а,; Л = {0;1} —спектр матрицы А. Как говорилось, /(а) = Р(а), ес-
ли они равны на Л.
Имеем
а0 = \\ аа + ах=е'.
Тогда а0 = 1; а, = е1 - а0 = е1 -1 = е -1 = а,. Отсюда получаем
10’
132
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
, ч , х fl О'| .	/4 -2^1
/>(А) = 1 + (е-1)А = ^ J + (e-l)[6 _3J.
или, что то же самое,
Пример 1.18. Перейдем к рассмотрению еще одного примера: найдем матрицу еЛ, где
'4
А= 6
.5
Имеем характеристическое уравнение
2 -5"
4 -9
3 ~7>
4-Х
<р(Х) =
2
4-Х
3
= (4-Х)2(-7-Х)-90 - 90-[-25(4-Х) + 12(-7-Х> + (4 + Х)(-27)] =
-7-Х
6
5
= (16-8Х-Х2)(-7-Х)-180+100 - 25Х + 34 + 121 + 108-27Х = -112 + 56Х-7Х2-16Х + 8Х2-X3 +62-Х.
Из уравнения следует: X3 -X2 = Х2(Х —1) = 0; получаем Х,2=0;Х3=1.
Итак,
/(А) = еА; Р(А) = аА2 + 6А + с1.
Для нахождения неизвестных а, Ь, с воспользуемся равенствами
/(0)=/’(0); /'(0) = /”(0); /(1)=Р(1).
Далее получаем е° = с, отсюда с = 1;
еА|л=о =2аА + />|А=0 =>6 = 1.
И, наконец, для Х = 1 имеем а + Ь + с = е1, отсюда а = е-с-Ь = е-2. Тогда
еА = (е-2)А2+A + I.
Поскольку
А2 =
'3
3
,3
3'
-3
-3,
то
г
Зе-1	е	-Зе + Г
Зе	е + 3	-Зе-З
Зе-1	е + 1	-Зе
Пример 1.19. Применим интерполяционную формулу Лагранжа-Сильвестра для решения дифферен-
циальных уравнений.
Решение уравнения
f 0 Н
X = АХ +Y, где А =
1—5 — 6 )
(1.255)
имеет вид
X(0 = eA'X”+JeA(,-’)Y(T)A.
О
I.
Основные этапы:
Записывается характеристический полином
-X 1 *
-5 -6-Х
<р(Х) =
= -Х(-6-Х) + 5 = 6Х + Х2+5 = 0;
2. Находятся собственные значения матрицы А:
X2 + 6Х + 5 = 0; (Х+1)(Х+5) = 0; Х,=-1; Х2=-5.
3. Записывается интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра
/>(А) = а01 + а|А.
Глава 1. Стационарные САУ
133
4.
Коэффициенты аа и а, находятся из условия равенства /(А) = еА = ?(А) на Spec А:
а01 + а|А = еА при А=-1; й'01 + а1А=еЛ при А = -5;
Имеем
Получаем
Тогда
1 -I 1 -5
—е —е
4	4
1-1 5-5
—е +—е
4	4
Отсюда находим
Г А.-'-1-5'	,
еА,= 4	4	' 4	4 И 5е-'-е“5'	е~'-е~5' )
-<+1е-5' _1 -< +le-5'	4^-5е~'+5е-5' -e''+5e“J,J
к 4	4	4	4 J
Матричный экспоненциал можно представить в виде
т
;=|
(1.256)
где к, — собственные значения матрицы A; Ft — известные функции. Зависимость
(1.256) базируется на разложении функций еА< в степенной ряд.
Воспользуемся формулой Сильвестра
<=1
где
А-Л.,1

(1.257)
(1.258)
Применив формулу Сильвестра к (1.256), получим решение задачи.
Пример 1.20. Рассмотрим уравнение системы «вход-состояние»:
Имеем
Найдем собственные значения матрицы А:
det(A-Xl) =
-X
-5
1
-6-Х
= (X + б)Х + 5 — Х^ +6Х + 5.
134 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Тогда Х|=-1; Х.2=-5. Построим функции Е:
_	А-Х,1	if 5 1 )	„ A-X)I	if 1	1 )
1	Х.|-Хг	4^-5 -1)	Х2-Х,	4(-5	-5)
Матричный экспоненциал имеет вид
ел, И_1Р5' е'5‘ Lif 5е"-е^' е''-е"5' 1-км
4(-5е"' _eJ 4^_5е-5' _&->') 4(ч_5е-' + 5е-5' -е"+5е~5') U’
Пусть ,У|(0 = coso/; _y2(/) = sino2/; Х°=0. Тогда выражение для вектора состояния системы запи-
шется так:
1 гГ	_ е*5('*т) /cos со, О
Отсюда для компонент вектора состояния имеем
x2(/) = ^j^-5e ^"4 + 5е*5(' ’))cosO]T + (-e *' +5е ^jsino2x^c/r.
1.7.5. Нули и полюсы
Нули и полюсы в системах с одним входом и одним выходом обычно ассоцииру-
ются с корнями и знаменателями соответствующей передаточной функции. В много-
мерных системах, описывающимися матрицами передаточных функций, задача су-
щественно усложняется.
Для простоты определим полюсы системы в терминах собственных значений
матрицы состояния. Более общее определение трактует полюсы как конечные значе-
ния s, где в передаточной функции имеется сингулярность (т.е. передаточная функ-
ция обращается в бесконечность).
Полюсы р, при описании системы в пространстве состояний (1.220) определя-
ются собственными значениями А., , г = 1, и, матрицы А. Полюсы являются корнями
характеристического полинома
detfsl - А) = |я - А| = 0.
Собственные значения в правой полуплоскости комплексной плоскости s с
Re(X,(A)) >0 отвечают неустойчивым модам, поскольку е"'^‘ неограниченно
возрастает при t —> оо. Матрица, у которой все полюсы находятся в левой полу-
плоскости, называется устойчивой, или гурвицевой.
Более общее определение предполагает вычисление полюсов как корней наи-
меньшего общего знаменателя всех ненулевых миноров всех порядков матричной
передаточной функции.
Нули системы приводят к эффектам, когда выход системы оказывается рав-
ным нулю, даже если входные воздействия ненулевые. В одномерных системах ну-
ли определяют как значения, в которых передаточная функция равна нулю. Обоб-
щая это утверждение, нули многомерной системы можно трактовать как значе-
ния, где передаточная функция теряет ранг (в одномерных системах ранг меняет-
ся с единицы до нуля).
При описании в пространстве состояний исходные уравнения можно переписать
следующим образом:
Я - А -В
С D
Глава 1. Стационарные САУ
135
Нули системы вычисляются как значения s = z, в которых ранг полиномиальной
матрицы системы Р($) оказывается меньше нормального. Последний определяется
как ранг полиномиальной матрицы для всех значений s, исключая конечное число
особенностей, где ранг уменьшается. ,
При вычислении нулей, если задано описание в пространстве состояний, их мож-
но искать как нетривиальные решения (Хг * 0, Уг * 0) системы
(A В) fl 0)
D/ s 1^0 Oj
Если задана матрица передаточных функций, нули определяются как корни наи-
большего общего делителя всех миноров того порядка, который равен нормальному
рангу матрицы передаточных функций [43].
1.7.6. Реализация систем в пространстве состояний
Для одной и той же системы в пространстве состояний можно предложить
разные описания (А, В, С, D) в зависимости от того, как выбраны переменные
состояния (т.е. в зависимости от выбранного базиса). Часто исходную систему
X = AX + BY;
Хв =CX + DY
удобно переписать в новых координатах X, связанных с исходными неособенным
преобразованием
(1.259)
x = sx.
(1.260)
Новое представление
X = АХ + BY;
Хв =CX + DY
(1.261)
описывается матрицами, связанными с исходными соотношениями
A = SAS4; B = SB; C = CS-1,	(1.262)
которые очевидным способом следуют после подстановки (1.260) в исходные урав-
нения (1.259). Напомним, что переход к другим координатам не меняет корней ха-
рактеристического уравнения, поскольку матрица преобразования неособенная.
Описание в пространстве состояний существенно упрощается, если матрица со-
стояния является диагональной. При этом состояния системы не влияют друг на дру-
га, а соответствующие каналы оказываются развязанными.
Приведение системы к диагональному виду выполняется просто, если все корни
X,, А,2 > • • • Ап характеристического уравнения
А(Х) = |М- А| = 0	(1.263)
будут различны. Тогда собственные векторы hj, h2,..., h„, соответствующие различ-
ным собственным значениям Х2,... ,Х„, являются линейно независимыми и обра-
зуют базис в пространстве состояний. Учитывая, что для собственных векторов вы-
полняется равенство
Ah,=^h„	(1.264)
произвольный вектор X, представленный относительно базиса h],h2,...,h„ выра-
жением
136
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
X = £x,h„	(1.265)
/=1
преобразуется матрицей А по правилу
АХ = fx,Ah, = £x,X,h,..	* (1.266)
<=1 /=1
Другими словами, действие оператора сводится к умножению координат х, , / = 1,л,
на величины	В новом базисе h1,h2,...,h„ оператору будет соответст-
вовать диагональная матрица
А = Л = diag{A.], Х2,...Д„},	(1.267)
которую называют также жордановой или нормальной формой матрицы.
Матрица преобразования системы к диагональному виду составляется из собст-
венных векторов и называется модальной матрицей:
M = S"1=(h1 h2 ... h„).	(1.268)
Заметим [5], что столбцы модальной матрицы могут выбираться равными или
пропорциональными произвольному столбцу присоединенной матрицы Adj|\l - А].
В случае кратных корней характеристического уравнения задача приведения сис-
темы к диагональной форме существенно усложняется. Вместо диагональной может
получиться другая жорданова форма матрицы. При этом корню с кратностью р бу-
дет отвечать жорданова клетка вида
(Г
1
^к >
порядка р.
С процедурой приведения матрицы к нормальной форме в случае кратных кор-
ней можно ознакомиться, например, в [29]. Не имея возможности подробно рас-
сматривать случай кратных корней, напомним одно важное утверждение [25]. Ока-
зывается, что любое сколь угодно малое изменение любого из коэффициентов ха-
рактеристического уравнения приводит к тому, что кратные корни превращают-
ся в различные.
При составлении моделей динамических систем в пространстве состояний исход-
ными часто являются описания отдельных звеньев системы в форме дифференциаль-
ных уравнений высокого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим под-
робнее возможности составления уравнений состояния для таких звеньев.
Пусть одномерная система задана уравнением следующего вида:
х^ + ап_хх^п~^ +... + арс^ + айх = Ьп_{у'п^'1 + ... + bQy,
которому отвечает передаточная функция
b„-\Sn 1 + ... + 6|^4-fe0
s" +	1 + • • • + a0
Заметим, что такие системы, у которых порядок числителя меньше порядка зна-
менателя, часто называют правильными (если эти порядки равны, то сначала в пе-
редаточной функции выделяется слагаемое в виде постоянного коэффициента, отве-
чающего матрице D в уравнениях состояния).
(1.269)
(1.270)
Глава 1. Стационарные САУ
137
Пусть одномерная система описывается скалярным дифференциальным уравне-
нием
х^ + а„_р^п + аох = у(z).	(1.271)
Получим векторно-матричное ураЛение в нормальной форме Коши, эквивалент-
ное скалярному уравнению (1.271).
Введем в рассмотрение следующие переменные:
xi(z) = x(z); x2(z) = x'(z);...; х„ (z) = х(”-1)(z).	(1.272)
Последние зависимости можно переписать так:	
xt(z) = x(z); x2(z) = x(z);...; х„ (z) = х(и) (z).	(1.273)
Тогда	
х^ 0)= -aox(f)_ai*(0~---_an-ix("~1) (0 + т(<) =	(1.274)
= -дох10) - а,х2 (z) -... - а„_ххп (z) + у (z).	
С учетом выражений (1.273) и (1.274) можно записать
x,(z) = x2(z);
^2(0=хз0);
хп (/) = -«о*! (/) - щх2 (z)-... - an_lX„ (z) + у (z).
Последняя система в матричной форме запишется в виде
Гх/ *2	=	' 0	1 ' 0	0	0	0	. 1	0	0 ' 0	х2	+	0	Я')
Л,		ч-а0 -а^	-а2 -а3 .	• ~ап-ъ	Л,		Л	
Х(0	А	Х(/) в
(1.276)
Матрица А имеет форму, предложенную Фробениусом, и поэтому называется
матрицей Фробениуса, или матрицей сопровождения.
Из (1.276) следует
	' 0	1	0	0	0 '		И	
	0	0	1	0 ..	0		0	
А =		-«1	-а2	~аз ..	•	~ап-\ >	; в =	Л	(1.277)
В системе (1.276) х},х2,---,хп —координаты состояния.
Таким образом, имеем векторно-матричное ДУ
Х = АХ + Ву
— уравнение состояния; X(z) = (х, (z), х2 (z),..., х„ (z))T — вектор координат со-
стояния.
Легко видеть, что выходом этой системы является скалярный сигнал x(z).
Поэтому матрица выхода С имеет вид
С = (1 0 0 0 ••• 0).
Тогда
XB(z) = CX = (l 0 0 ••• 0)(х, х2 х„)Т = X] (z) = x(z).
9 Зак. 14
138 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
На практике не все координаты состояния доступны измерению, а только их не-
которая часть. В данном случае можно измерить лишь сигнал х(1) = х15 или первую
компоненту вектора состояния.
Остальные компоненты можно получить последовательным дифференцированием
сигнала х(/), поскольку
xi(r) = x(r); х2(/) = х'р);...; х„(/) = х("’1)(/).
Для получения всех координат вектора состояния х1,х2,...,х„ надо иметь цепоч-
ку дифференцирующих звеньев (рис. 1.111).
На рис. 1.111 показана структурная схема устройства для восстановления всех фа-
зовых координат вектора состояния Х(1). Если известна математическая модель
скалярной системы «вход-выход», то для получения уравнений состояний можно
воспользоваться несколькими методами, в частности, методом канонического разло-
жения, методом разложения на простые сомножители [80] и др.
x2(z)	х3(Г)	x4(f)	Х„(Г)
Рис. 1.111. Структурная схема наблюдающего устройства
Рассмотрим уравнение
fl / \	/ \
v=0	v=0
(1.278)
Для этого случая можно записать
гм		(	0 0	1 0	0 1	0 0 .	0 0		ГМ		< 0 0	0 0
х2	=								х2	+		
jnj			«0 <*п	а\ ап	«2	ап	ОЛ-1	/	Лу		А. Уп	к ап
Рассмотрим другие подходы. Представим ПФ W(х) в виде
0 4
0
w/у\ _ bmsm +bm xsm 1 +... + Z>0 _
ans" + an-\s" '+..- + a0
= K(s-y})(s.(s-ym) =	A 1
(x-x1)(x-x2)...(x-x„) и (5-5/)Д+15-5/
Имеем	*
(1.279)
X - у, _ S, - у, _ S - S, + Sj - у,- _ X - y,
S - Sj s-St S- Sj S - X,
(1.280)
Структурная схема, соответствующая функции (1.279), имеет вид (рис. 1.112).
Систему дифференциальных уравнений получим на примере конкретной системы
з
1=1
(Д-Y,) 1
(х~Х, ) Х“Хд
Глава 1. Стационарные САУ
139
Рис. 1.112. Структурная схема системы

(1.281)
Легко видеть справедливость уравнений (рис. 1.113):
Xi = ^х, +($- у! )у;
*2 Ч^-Уз^+^г+^-Уг)^
*з =(*з -Уз)*i +(5з -Уз)*2 +*3х3 +(*з -Уз)у;
х4 = X] (г) + Х2 (/) + Х3 (z) + X4X4 + у(/).
Матричная запись последней системы имеет вид
<х.)		f 5|	0	0	(П				
х2	—	^2-У2	s2	0	0	х2	+	s2~ У 2	у(?)
х3		*з -Уз	^з-Уз	«3	0	х3		*з -Уз	
		1 1	1	1	54 ?				
X			А			X		В	
Выход определяется выражением
х(г) = (0 0 0 А:)(х](г) х2 (/) х3(/) х4 (г))Т = Ах4 (г).
(1.282)
(1.283)
Идея метода канонического разложения состоит в следующем. Имеем уравнение
(1.278) и изображение выхода.
Представим выход в форме
Я0 = Хс<х<(')>	(1.284)
у /=1 5 si у ;=1
где
(1-285)
Из выражения (1.285) находим
9*
140 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
тогда
А(')=5л(')+Я0-
Система дифференциальных уравнений для определения х, имеет вид
		S1	0	0 .	' 0>1	ы		fp	
х2		0	S1	0 .	. 0	Х2		1	
х3	=	0	0	*3 •	. 0	х3	+	1	И')-
Л)		.0	0	0 .	 sn J	Л;		Л	
X				А		X		в	
Выход находится по формуле (см. рис. 1.114)
x(t) = (c},c2,...>c„)(xi,x2,...,xn)T = c1x1(f) + c2x2(f) + ... + c„x„(f).
(1.286)
(1.287)
Рис. 1.114. Структурная схема системы
Можно воспользоваться еще одной моделью. Имеем
Тогда
sX, (s) - SjXj (s) = ciY(s),
или
x, =5,х,+с,у(г);
x(f) = X] + x2 +x3 +... + X,,.
Можно записать векторно-матричное уравнение (1.286), где
A = diag[i1,s2,...,5„]; В = [с1,с2,...,с„]Т; С = [1,1,...,1]Т.
Структурная схема показана на рис. 1.115.
Рис. 1.115. Структурная схема системы
Глава 1. Стационарные САУ
141
При видимой простоте указанные способы требуют значительной подготовитель-
ной работы, связанной, в частности, с вычислением корней уравнений. Поэтому бо-
лее предпочтительными оказываются следующие два способа, приводящие к по-
строению специальных канонических форм уравнений состояния.
Исходному уравнению (1.269) можно сопоставить структурную схемы на рис. 1.116,
где обозначены и соответствующие переменные состояния.
Рис. 1.116. Структурная схема
Легко проверить, что последней схеме отвечают уравнения состояния
х2 = х3;
(1.288)
x„ = -<ад - ад -  • • - an-ixn+у,
y = b0x[+blx2+...+ bn_2xn_} + bn^xn.
Матрицы А, В, С имеют вид
(1.289)
о ...
-а2
-а,
О"
0
Г0^
о
, C-(Z>0 ft, ... b„_2 bn_^.
(1.290)
форму найдем, переписав уравнение (1.269),
полагая
(1.291)
0
0
о

1
0
о
-а}
0
1
1
, в =
0
1
Другую каноническую
s = d/dt'.
.. 1Г , И ,	1/
*в(О=- -ап-\Хъ+ д„_]У + - -ап_2хй+Ьп_2у + ...-{-.
s\	s\	s
Уравнению (1.291) отвечает структурная схема на рис. 1.117, на которой обозна-
чены переменные состояния.
142
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.117. Структурная схема
Из уравнения (1.291), равно как и построенной на его основе структурной схемы,
получим следующие уравнения состояния:
*1 =-«Л-1х1+Х2+^-1К
х2 =-аП-2х\+Хз+Ь„_2У,
:	(1.292)
Л-i =~чх\+хп+ьоу;
хп =-“oxi + Ьоу;
Этим уравнениям соответствует каноническая наблюдаемая форма записи урав-
нений состояния
~ап-\
~ап-2
о	... о
1	... о
Л-i
Л-2
; С = (1 0 0 ... 0).
(1.293)
0	...	1
о	...	о
by
Л >
В этой реализации, как и предыдущей, элементы матриц уравнений состояния по-
лучаются непосредственно из коэффициентов передаточной функции, а выход про-
сто равен первой координате состояния.
Пример 1.21. Для системы с передаточной функцией
у(д)=
s1 + a2sl +	+ а0
каноническая управляемая форма записывается в виде
' о
о
~ао
1
о
~а1
~а2
'О'
ЛВ= 0 , С = (Ьц Z>j *2)’
1,
а для канонической наблюдаемой формы получим представление
1 О'
А= -д, 0 1 ; В= ; С = (1 0 0).
0 0
Заметим, что реализация в пространстве состояний при этом получается без труда,
но говорить о физической интерпретации переменных состояния достаточно сложно.
-а2
А =
-ц
< _fl0
А =
1
о
о
о
о )
В =
1*0
Глава 1. Стационарные САУ 143
1.8. ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРЫ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА СИСТЕМЫ
И ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ САУ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Настоящий параграф можно рассматривать как продолжение п. 1.3, в связи с чем пе-
ред рассмотрением положений этого параграфа необходимо изучить содержание п. 1.3.
Постановка задачи: изучение структуры выходного сигнала рассматриваемого
класса систем, обсуждение выводов и формулировка проблем исследования, опреде-
ляемых структурой выходного сигнала и его свойствами исходя из основной задачи
проектирования автоматических систем', отработка входных сигналов, обеспечи-
вающих такое протекание процессов в САУ, которое приводит к достижению по-
ставленной цели.
Рассмотрим систему (рис. 1.118).
Рис. 1.118. Структурная схема системы
х(0
Положим, что при Г = 0, т.е. в момент подачи входного сигнала у(/), система
имела ненулевые начальные условия
Х° = (х(0),х'(0),...,х(л-1)(0))*0.	(1.294)
Воздействие, поданное при t = 0, имеет преобразование Лапласа
Y (j) = -^+C2=^. + -±S°...	(1.295)
dpsp+dp.^+... + d0
Дифференциальное уравнение замкнутой САУ имеет вид
^avx(v} =^bvy^.	(1.296)
v=0	v=0
Преобразуя обе части (1.296) по Лапласу, получим
ап + Л(0) - Л'(0) -... - х(лЧ) (0)] +
+a„_i 5"_1^(i) + j"'2x(0)-Z"3x'(0)-...-x(""2)(0)J + ...+	(1.297)
+ айХ (5) = bmsmY (s) +	+ • • • + V(4
Отсюда находим
(а„5л + а„чллЧ +... + а0 }X (s) - (х(0) Do (s) + • •  + х(л-1) (0) Dn_} (5)] =
' v	'	(1.298)
= (vm +W"’1 +...+60)r(5).
Тогда изображение выходного сигнала запишется в форме
, . (bmsm +... + b0^cksk +... + с0)
\ / "7	7*7	7
+	+... + б/0 ]	(1 299)
+	---—-------—---—-----—, т<п.
ansn+a„_iSn +... + а0
144 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Запишем формулу для выхода, для чего найдем корни уравнений
a„sn +an_]sn~i + ... + а0 =0 и dpsp + dp_-lsp~l + ... + d0 =0.	(1.300)
Положим, что , s2,  •., sn — корни первого уравнения (полюса системы), а
ОС], а2,..., а/; — корни второго уравнения (полюса изображения воздействия^.
Запишем изображение выхода и соответствующий этому изображению сигнал, но
таким образом, чтобы можно было легко сделать выводы, касающиеся появления
каждой из составляющих выхода:
_ пт+к .	. _
_______8т+к$____‘ + &)_______
(^"+- + «О)(^Х+- + ^о)	(1301)
| х(О)До(5)+... + х(И)(О)Ри(^
ansn + Qn_\Sn 1	. + ciq
х(?) = c1V‘,+... + ^ev + суеа'1 +... + суре^‘ + cfe'1' + ... + сУ'<	(1.302)
*п(')	Ху(/)	\(')
Таким образом, имеем
х(/) = хп(/) + ху(/) + хс(?),	(1.303)
где хп (?) — сигнал, аналитическая зависимость которого порождена полюсами
передаточной функции системы (он характеризует динамические свойства системы
в переходном режиме); ху (?) — сигнал, аналитическая зависимость которого по-
рождена полюсами изображения', хс (?) — сигнал, порожденный ненулевыми на-
чальными условиями и определяемый через полюса системы.
Сигнал хп (?) называется собственным движением системы при отработке воз-
действия у(?) (переходная составляющая выходного процесса).
Сигнал ху (/) называется установившейся составляющей при отработке воздей-
ствия y(j).
Сигнал хс (?) носит название свободных колебаний системы, которые порожде-
ны ненулевыми начальными условиями.
Отметим, что коэффициенты c,w, i = 1,и, су, j = \,р и ck, к = 1,п зависят от нулей
ПФ и Y(s).
Положим, что входной сигнал определяется формулами
s) = CkS +"- + С° ;	(1.304)
dpsp +... + d0
у (?) = С1эе“'' + с2эе“2' +... +	.	(1.305)
Теперь можно записать выражения для сигналов у(?) и х(?) в явной форме:
входной сигнал:
у (?) = С]эеа‘' +	+... + сХ"' ’>	О -306)
выходной сигнал:
х(?) = су еа'‘ +... + суре’г‘ + с?ех'‘ +... + с”ех"' + cfe’1' +... + cQnex"‘.	(1.307)
Глава 1. Стационарные САУ 145
Сравнивая две последние зависимости, легко записать условия неискаженного
воспроизведения входного сигнала у (?) САУ:
хп('М;	(1-зо8)
хс(Л)^0;	(1.309)
с;' = с,э, /' = \,р.	(1.310)
Учитывая, что хп (?) и хс(?)	определяются динамическими свойствами системы,
т.е. физическими процессами, протекающими в ней (поведение системы в общем
случае описывается не алгебраическими, а дифференциальными уравнениями), легко
заключить, что условия (1.308)—(1.310) в реальных системах физически не реализуе-
мы. Однако знакомство с условиями неискаженного воспроизведения сигналов весь-
ма важно, так как они определяют пути синтеза высококачественных систем с
учетом реальных возможностей и ограничений.
Выше отмечалось, что при проектировании САУ с обратной связью ключевой
проблемой является обеспечение ее устойчивости.
Сделаем второй шаг в обсуждении этого вопроса (он был рассмотрен в пп. 1.1 и 1.3;
далее будет подробно обсуждаться в п. 1.9).
Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией.
Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала
y(f) (в рассматриваемом случае предполагается, что y(z) — ограниченное воздейст-
вие), и ее реакция x(t} также является ограниченной по модулю, то такую систёму
называют устойчивой [37, 110, 143]. Если воздействие у(?) ограничено, то составляю-
щая ху(?), определяемая формулой (1.302), также ограничена, так как х (?) —сигнал,
аналитическая зависимость которого порождена полюсами воздействия y(t), также
является ограниченным по модулю. Выход системы при ограниченном по модулю вхо-
де становится неограниченным только в том случае, если по крайней мере в зависимо-
стях хП (?) и хс (?) один из членов является неограниченным. Этого не может про-
изойти, если действительная часть каждого из полюсов ПФ s, отрицательна.
Таким образом, мы приходим к заключению: для того, чтобы линейная стацио-
нарная система была устойчивой, все корни ее характеристического уравнения
(полюса ПФ) должны располагаться в левой половине х-плоскости. Если не все
полюса ПФ находятся в левой полуплоскости, то система не будет являться устой-
чивой. Если какие-то корни характеристического уравнения расположены на мнимой
оси, а все остальные корни в левой полуплоскости, то выходная переменная будет
иметь вид незатухающих колебаний при ограниченном входе, если только этот вход
не является синусоидой, частота которой равна абсолютной величине корней мнимой
оси (см. формулы, определяющие элементы фундаментальной системы для рассматри-
ваемого случая). Такую систему называют находящейся на границе устойчивости.
Таким образом, при наличии хотя бы одного полюса, имеющего положитель-
ную действительную часть, составляющие х„ (?) и хс (?) будут расти и задача
управления, заключающаяся в том, чтобы выход у(?) мало отличался от воз-
действия, становится недостижимой (нереализуемой), и, следовательно, неустой-
чивая система не имеет практического смысла, т.е. она неработоспособна.
Условиями неискаженного воспроизведения входного сигнала у(?) в установив-
шемся режиме являются'.
146 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
система должна хп (?) = q*'е'1' +... + с*es"‘ —- > 0;	(1 -311)
быть устойчивой [Xc(z) = ccev,/ +,„ + cceV ?^„ >0;	(1.312)
cy = q\cy=c23,..,cy=4	. (1.313)
Легко заметить, что если хп(?)—>0, то с течением времени хс(?) также бу-
дет затухать (и наоборот), так как движение определяется полюсами системы.
Условие (1.313) в реальных системах в общем случае не выполняется, поэтому
системы проектируют таким образом, чтобы хп (г) и хс (?) достаточно быстро зату-
хали, а с,у не сильно отличалось от с,э, i = 1,р.
Однако для ряда входных сигналов можно обеспечить точное выполнение всех
условий. Например, если у(?) = 1(?) и Х°=0, то условиями точного воспроизведе-
ния входа в установившемся режиме являются (рис. 1.119):
1) Res,<0, г = 1,и, т.е. система устойчива;
2) в прямой цепи включен один интегратор.
Приведем еще один пример. Если у(?) = у{(, то условиями точного воспроизведе-
ния этого воздействия являются (рис. 1.120):
1) Re^<0, i = l,n, т.е. системы устойчива;
2) в прямой цепи включены два интегратора.
Если же у (?) = _у0 + y2t2, то условиями точного воспроизведения входа являются:
1) ReA., <0, i = l,n, т.е. система устойчива;
2) в прямой цепи включены три интегратора.
Как правило, одновременное достижение приведенных условий связано с определен-
ными трудностями, поскольку включение интеграторов в прямую цепь может привести к
неустойчивости замкнутой системы. Поэтому на практике ограничиваются одним-
двумя интеграторами. В связи с этим, в общем случае, когда сигнал, например, имеет вид
У^ = Уо+У11 + У2{2 + --- + у/,	(1-314)
одновременное выполнение условий (1.311)—(1.313) недостижимо.
Рис. 1.119. Отработка ступенчатого воздействия
Глава 1. Стационарные САУ
147
Рис. 1.120. Отработка воздействия y(t) = yxt
При исследовании и синтезе систем часто пользуются интегралом Дюамеля, по-
этому введенные выше сигналы:
•	х(г) = хп (/) + хс (1) + ху (1) — полный процесс на выходе системы;
•	хв (1) = хп (/) + ху (/) — вынужденный выходной процесс;
•	хп (t) — собственные движения системы или переходная составляющая в ус-
тойчивых системах;
•	хс (г) — свободные колебания системы;
•	ху (г) — установившееся движение системы,
определим с использованием интеграла Дюамеля.
Сигнал, определяемый формулой
i
хв(1)= |Цг-т);у(т)<й	(1-315)
о
и порожденный воздействием поступившим в систему при 1 = 0, называется
вынужденным сигналом (вынужденными колебаниями системы).
Сигнал, порожденный ненулевыми начальными условиями Х°*0 или, что то же
самое, порожденный воздействием, поступившим в систему на промежутке
(—со, t = 0), называется свободным сигналом (свободными колебаниями).
Выходной сигнал системы при Ге(-оо,0 можно записать в виде интегрального
соотношения
I	0	t
х(/)= |&(/-т)у(т)б/т = |^(1-т)у(т)б7т+|А:(1-т)у(т)б?т,	(1.316)
—00	-00	О
где
t
|&(г-т)у(т)б7т	(1.317)
—00
— полный процесс на выходе системы;
148
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
о
*с(О = р(?-т).у(т)Л
-оо
— свободные колебания системы;
х8(0 = ]£(г-т)у(т)4/т
О
— вынужденные колебания системы;
ху(0 =
о
— установившееся движение системы.
Приведем два определения.
Ошибка системы, определяемая формулой
e(z) = y(t) - хп (?) - (/) - ху (/)
(1.318)
(1.319)
(1.320)
(1.321)
(при условии, что хп(0 и хс(1) не затухли), называется переходной ошибкой.
Ошибка системы, определяемая формулой
е(1) = у(/)-ху(1)	(1.322)
(при условии, что л'п (/) и хс(1) затухли), называется установившейся ошибкой.
А теперь обратимся к формулировке задач анализа:
1)	нахождение необходимых и достаточных условий затухания составляю-
щих хп (1) и хс (1) (анализ устойчивости системы);
2)	изучение поведения системы в переходном режиме, когда хп (1) и хс (?) не
затухли (построение переходных процессов и переходных ошибок системы);
3)	изучение поведения системы в установившемся режиме, когда хп (1) и хс (?)
затухли (анализ точности в установившемся режиме).
Пример 1.22. Рассмотрим систему с ПФ
U Г(з) ? + 2^ + »2/
При юок = 10, £, = 0,15 имеем
v ' а(з) 52 + 3s + 100
Полюса передаточной функции:
5, =-1,5 + 9,89); s2 =-1,5-9,89/
Построим хп(/), ху(/), хс(/) при входном воздействии y(t)=3+t и начальных условиях х(/0) = х0 = Ю,
х'(/0) = х'о = 2. Имеем
=	=	D(1=.S + 2^OK=3 + 3; D,=l;
s
X(S) = W(s)Y(s) + XoD°^A
a (5)
100 3s+ 1 10(s + 3) + 2-l
?+3s + 100 s2 ?+3s + 100
Отсюда находим зависимости, определяющие процессы х„(/),ху(/) и хс(/):
х„ (/) = -2,97е~1-5' cos(9,89/) - 0,55е-1'5' sin (9,89/);
xy(z) = / + 3;
хс (/) = 10е’15' cos(9,89/) +1,72е“’-5' sin (9,89/);
149
Глава 1. Стационарные САУ
x(l) = *„(() + (z) + xc(t) = l + 3 + 7,03e’IJZ cos(9,89z) + 1,17е”1’3'sin(9,89z).
Графики составляющих xn(z), xy(z), xc(z) представлены на рис. 1.121, 1.122.
Рис. 1.122. Полный выходной сигнал системы, порожденной входом y(z)
и ненулевыми начальными условиями Х° = (х(0),х'(0))
150 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.9. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
1.9.1.	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [120, 127]	•
В предыдущем параграфе первая задача, связанная с исследованием САУ, форму-
лируется так: нахождение необходимых и достаточных условий затухания состав-
ляющих хп(1) и хс(1) {анализустойчивости системы).
Настоящий параграф целиком посвящен рассмотрению содержания этой задачи и
его следует рассматривать как развитие положений, изложенных в пп. 1.1, 1.3, 1.8.
Значение теории устойчивости огромно, и оно заключается не только в установ-
лении факта устойчивости или неустойчивости САУ, но и в том, что при проектиро-
вании систем первое требование формулируется так: обеспечение устойчивости
{стабилизация) и повышение запаса устойчивости {демпфирование).
Решение задач анализа САУ любой сложности с помощью ЭВМ заключается в
численном интегрировании ДУ САУ, удовлетворяющих заданным начальным усло-
виям и воздействиям. По результатам расчетов сразу же можно сделать вывод об ус-
тойчивости или неустойчивости системы. Более того, в сложных инженерных зада-
чах исследования систем, включающих звенья с переменными параметрами, а также
нелинейности, моделирование является ключевым фактором, позволяющим опреде-
лить свойства системы, в том числе ее устойчивость. Моделирование является наибо-
лее универсальным методом исследования устойчивости сложных САУ, в известной
мере заменяющим натурные испытания (без моделирования не рредставляется воз-
можным исследование систем, когда речь идет о безопасности их испытаний).
Не менее важную роль играет теория устойчивости при решении задач синтеза,
например методами математического программирования, когда ключевое ограниче-
ние при оптимизации — это устойчивость САУ. А теперь обратимся собственно к
содержанию понятия «устойчивость».
Система управления постоянно подвергается возмущениям, отклоняющим ее от
заданного закона движения. Действие возмущения сопровождается восстанавли-
вающим действием регулятора. В системе возникает переходный процесс. Может
оказаться, что система не сможет восстановить требуемый закон движения. Она бу-
дет либо удаляться от желаемого состояния, либо совершать вокруг него незатухаю-
щие колебания. Возможные виды переходных процессов для устойчивой системы
приведены на рис. 1.123, а, а для неустойчивой системы — на рис. 1.123, б [120].
Рис. 1.123. Виды переходных процессов для устойчивой {а) и неустойчивой {б) систем
Первая задача, которая возникает перед конструктором системы, — ее статиче-
ский расчет. Вторая задача — решить вопрос о том, будет ли система устойчива и
при каких условиях.
Глава 1. Стационарные САУ
151
Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия какой-либо системы, обыч-
но изучают поведение этой системы при малых отклонениях от. положения равновесия.
Сделаем соответствующие пояснения, рассматривая механическую систему
(рис. 1.124). Чтобы определить, устойчиво ли положение шара в углублении, можно
задать ему малое отклонение, переместив в положение В. При этом возникает сила,
которая стремится вернуть шар в положение равновесия. Убедившись, что эта сила
возникает при малом отклонении, приходим к заключению, что положение равнове-
сия устойчиво.
Рис. 1.124. Примеры систем с различной устойчивостью:
а — «устойчивость в большом»; 6 — «устойчивость в малом»; в — нейтральная; г — неустойчивая
В большинстве практических задач, если система устойчива в малом, она устой-
чива и при больших конечных отклонениях, как в приведенном примере. Говорят,
что система «устойчива в большом».
В системе на рис. 1.124, б равновесие шара устойчиво лишь в том случае, если от-
клонение не переходит за точку С. В этом случае говорят, что система «устойчива в
малом», т.е. система устойчива, но в ограниченной области. Система на рис. 1.124J в
— нейтральная, а система на рис. 1.124, г — неустойчивая.
Система обычно находится в состоянии движения, поэтому рассматривают ус-
тойчивость движения. А понятие устойчивости в динамике более сложное, чем оп-
ределение устойчивости равновесия в статике.
Пусть заданный режим работы системы при отсутствии возмущений характеризу-
ется координатами х*(?), х2(г), х* (/),.... Пусть на систему действует возмущение,
которое заставляет ее двигаться по другим траекториям: Х](г), х2(/), х3(г),.... Сис-
тема будет находиться в возмущенном состоянии. Если система устойчива, то она
снова войдет в заданный режим или в область около этого режима £, = хДг)- х* (/).
Заданное невозмущенное состояние движения устойчиво, если в результате дейст-
вия возмущений возмущенное состояние движения с течением времени перейдет в
некоторую конечную область, находящуюся в окрестности невозмущенного состоя-
ния, определяемого координатами'.
Xi =x,(r)-x’(z);
х2=х2(1)-х2(<);
(1.323)
*п =xn{t)-x*n(ty
Математическое определение устойчивости САУ, поведение которых описывает-
ся системой ДУ, записанной в форме Коши, сформулировано великим русским мате-
матиком и механиком А.М. Ляпуновым. Это свойство предполагает, что математи-
ческая модель системы задана на всей полуоси [0,°о), а система подвержена толь-
ко возмущениям начальных условий.
Предполагается, что система имеет единственное состояние равновесия, каковым
является начало координат. Поведение многих технических систем рассматривается
152 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
на промежутке [О, Г], и для них важным является свойство устойчивости на конеч-
ном интервале. Это направление развивалось такими учеными, как Г.В. Каменков,
А.А. Лебедев, Н.Д. Моисеев, Н.Г. Чешаев, К.А. Абгарян, С.Я. Степанов и другие.
Далее рассмотрим определение устойчивости по А.М. Ляпунову [120].
САУ описывается дифференциальными уравнениями, которые могут быть приве-
дены к виду (нормальная форма Коши)
ж	___
—r = fk(.x\^—^xn)^	=	(1.324)
at
где xk — обобщенные координаты системы, т.е. переменные, описывающие ее со-
стояние; fk — известные функции, определенные в некоторой фиксированной об-
ласти G пространства переменных х1,х2,...,хл.
Пусть величины х, (0),х2 (0),...,хл (0) обозначают начальные значения перемен-
ных xi,x2,...,x„. Каждой системе начальных значений Х( (0),х2 (0),...,хл (0) соот-
ветствует решение
хк (1) = хк (z,Xj (0),х2 (0),...,х„ (0)), £ = 1,л7	(1.325)
уравнения (1.324).
Состояние равновесия описывается следующими тривиальными решениями урав-
нения (1.324):
X|=Xj; х2=х2;...; хл=х„,	(1.326)
которые входят в семейство решений (1.325) и зависят от начальных-значений хк (0) = хк.
Обычно рассматривают случаи, когда имеется одно решение (1.326), соответст-
вующее вполне определенному состоянию равновесия в системе управления. Введем
отклонение координат хк от установившихся значений:
хк=хк^~хк{1\	(1.327)
Подставляя отклонения (1,327) в уравнение (1.324), получим систему уравнений
^ = л(х„х2,...,х„), А = 1,и,	(1.328)
at
где
л(х,,х2,...,х„) = Д.(х, + х‘,х2+х2,...,х„+х„).
Уравнения (1.328) называют уравнениями возмущенного движения. Формула
(1.327) определяет преобразование переноса начала координат в точку хк, вследст-
вие чего решению (1.326) соответствует
х* =0;...; х* =0.	(1.329)
По терминологии А.М. Ляпунова, уравнения при выполнении (1.329) называют
уравнениями невозмущенного движения динамической системы.
При t = t0 переменные хк принимают свои начальные значения, которые назы-
вают возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений отвечает одно-
значное и непрерывное решение
= хДлХ](0),^2(0),...,хл(0))
уравнений (1.328). Это решение называют возмущенным движением системы.
Исследования А.М. Ляпунова по устойчивости движения позволяют судить об
основных свойствах возмущенного движения, не прибегая к интегрированию урав-
нений (1.328), и рационально рассчитывать регулятор САУ.
Глава 1. Стационарные САУ 153
Если окажется, что при определенной настройке регулятора решение (1.328) бу-
дет устойчивым, то система управления сама, без постороннего вмешательства, избе-
рет режим невозмущенного движения. Если же решение (1.328) будет неустойчивым,
то такого установившегося режима получить нельзя. При сколь угодно малых воз-
мущениях хк (0) система будет от него*удаляться.
В большинстве задач теории автоматического управления функции х*.(х],х2,...,х„)
допускают разложение в степенные ряды, сходящиеся в некоторой //-окрестности
начала координат (1.329):
Х^<Я,
к=\
если Н > 0 достаточно мала. В этих случаях уравнениям (1.328) можно придать вид
~7- = ак\^ + ... + aksxn +ЯА.(х1,х2,...,л-л), к = 1,п,	(1.330)
где k,s = \,n — постоянные линейные части разложения, а функции Fk не содер-
жат членов ниже второго порядка малости. На практике судят об устойчивости ре-
шения (1.328), рассматривая вместо уравнения (1.330) лишь уравнения первого при-
ближения
__
—^• = aHx1+aux1+... + afox„, к = 1,п.	(1.331)
at
Так как справедливость замены уравнений (1.330) уравнениями (1.331) заранее не
очевидна, необходимость исследовать уравнения (1.330), при которых устойчивость
(неустойчивость) решения (1.-329) вытекает из рассмотрения уравнений первого при-
ближения (1.331).
А.М. Ляпунов все случаи исследования уравнений (1.331) разделил на некритиче-
ские и критические.
К первым относятся случаи, в которых вопрос об устойчивости (неустойчивости)
невозмущенного движения однозначно решают на основании исследования уравнений
первого приближения (1.331). Чтобы обнаружить эти случаи, следует составить ха-
П(Х) =
рактеристическое уравнение системы
а12		а,„
а21	а22~^ "	а2п
< ®п\	®п2	'''	)
(1.332)
и исследовать его корни к = \,п.
Ляпунов доказал две теоремы, которые позво-
ляют исследовать все некритические случаи.
Теорема 1.1. Если вещественные части всех корней кк характеристического
уравнения (1.332) первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение
асимптотически устойчиво независимо от членов разложения выше первого поряд-
ка малости.
Теорема 1.2. Если среди корней Хк характеристического уравнения (1.332) пер-
вого приближения найдется, по меньшей мере, один с положительной вещественной
частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов разложе-
ния выше первого порядка малости.
Критические случаи имеют место, когда среди всех корней уравнения (1.332) име-
ются некоторые корни, вещественная часть которых равна нулю, а остальные корни
имеют отрицательную вещественную часть. В критических случаях вопрос об ус-
тойчивости невозмущенного движения (1.329) не может быть разрешен на основании
154 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
исследования уравнений первого приближения: устойчивость (неустойчивость) не-
возмущенного движения определяется видом нелинейных функций Fk. Поэтому в
критических случаях требуется рассматривать уравнения (1.330) в исходном виде.
Конкретизируем введенные выше понятия, рассматривая класс одномерных ста-
ционарных линейных систем.	*
Выходной сигнал системы, порожденный входом и ненулевыми начальны-
ми условиями, можно записать в виде
t
х(г)= |л(/-т)у(т)й?т + хс(/) = хв(/) + хс(г),	(1.333)
о
где
г
хв(0=	-т)у(т)</т = х„ (/) + Ху (/).	(1.334)
о
Сигнал xB(z), который обусловлен входом y(t), будем называть невозмущенным
движением (колебанием) системы.
Ненулевые начальные условия будем считать внешними возмущениями', они будут
действовать на выход и вызовут отклонение реального движения от заданного хв (г).
Реальное или действительное движение xB(z) + xc(z) называют возмущенным
движением.
Таким образом, еще раз отметим, что за невозмущенное движение системы при-
нимают вынужденную составляющую хв (/) в (1.333), а за отклонение или вариацию
— свободную составляющую xc(z).
Возмущениями являются начальные условия
Х° =(x(0),x'(0),...,x("'1)(0)j.
Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если возмущенное движение,
порожденное возмущением Х° (возникшим в момент t = 0 под действием внезапно
приложенных к системе дополнительных внешних сил), по истечении некоторого вре-
мени войдет в заданную область |хв (z)-x(z)| < £, где е = const —заданная величина.
В соответствии с определением устойчивости по А.М. Ляпунову, система будет
асимптотически устойчивой, если xc(z)—>0.
Понятие устойчивости является чрезвычайно важным, поскольку свойство
устойчивости системы определяет факт ее работоспособности или неработоспо-
собности.
При изучении вопросов устойчивости важно не забывать о физической сущности
этого явления. В п. 1.1 рассмотрены физические причины неустойчивости системы
регулирования напряжения. Одной из таких причин является желание проектиров-
щика обеспечить высокое быстродействие системы и высокую точность в устано-
вившемся режиме за счет соответствующих энергетических ресурсов. Это, естест-
венно, приводит к необходимости введения в прямую цепь усилителя с большим ко-
эффициентом усиления. Физически ясно, что значительная инерционность объекта
и достаточно большой коэффициент усилителя, обеспечивающий высокое быстро-
действие, приводят к колебательным процессам, вплоть до потери устойчивости.
Проблемы устойчивости физически очевидны в задачах проектирования САУ ле-
тательными аппаратами.
Глава 1. Стационарные САУ 155
Ввиду важности понятия устойчивости приведем некоторые примеры. В [37, 140]
указано, что если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту
управлять машиной, то большинство современных истребителей являются неус-
тойчивыми и просто не могут летать. Следующие случаи из практики испытаний
самолетов иллюстрируют этот факт [7Ц.
При испытаниях сверхзвукового истребителя на проверку его устойчивости (та-
кой вид испытаний имеется) самолет, превысив критический угол атаки, свалился в
штопор. Причиной выхода на критический угол атаки и срыва в штопор явилась не-
устойчивость по перегрузке. Устойчивый самолет при создании перегрузки «сопро-
тивляется» — возникает момент на уменьшение угла атаки. У неустойчивого самоле-
та точка приложения результирующей подъемной силы смещается вперед, оказыва-
ясь впереди центра тяжести — возникает кобрирующий момент, стремящийся увели-
чить угол атаки. В [71] описаны случаи, когда пассажирские реактивные лайнеры с
пассажирами на борту попали в неуправляемый режим и разбились.
Пассажирскому ТУ-104 заход в грозовую облачность с высокими «шапками» был
запрещен в связи с наличием опасности для конструкции самолета. Полет же на вы-
соте, близкой к потолку машины, чтобы обойти облачность, приводил к тому, что
плотность воздуха и тяга двигателей уменьшалась, а угол атаки — увеличивался.
Достаточно было случайного порыва воздуха или небольшого движения штурвала на
себя, чтобы угол атаки еще увеличился и самолет попал в режим неустойчивости.
Для избавления самолетов ТУ-104 от возможности попадания в режим неустойчиво-
сти в его конструкцию были внесены соответствующие доработки [71]. При проведе-
нии испытаний опытного двухместного самолета с новой системой вооружения ма-
шина на разбеге задрала нос,- раньше времени взлетела, круто пошла вверх, потеряла
скорость и упала. Оба летчика погибли. Причиной была неустойчивость по углу атаки.
При испытаниях ТУ-128 проявилась неустойчивость по перегрузке, свойственная
многим самолетам со стреловидным крылом (при выполнении испытательного ре-
жима на устойчивость угол атаки превысил критическое значение и самолет сорвался
в штопор); на самолете типа МИГ-23 при выходе на большой угол атаки (при стрело-
видности крыла 40-45°) иногда теряется путевая устойчивость и возникает боковое
скольжение, что было причиной срывов в штопор.
Инженер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость
САУ с неустойчивым объектом (самолетом), а затем позаботиться об удовлетворении
параметров, характеризующих качество работы в переходном и установившемся ре-
жимах [37, 140].
Из изложенного ясно, что устойчивая система принципиально работоспособна,
неустойчивая же — неработоспособна. Обсудим этот вопрос более подробно, по-
вторяя некоторые положения п. 1.8 с использованием теории А.М. Ляпунова.
Имеем
хс (/) = cfe1'1 + с^е4 +... + с'еЧ	(1.335)
Для асимптотически устойчивой по А.М. Ляпунову системы имеем
с'/1' + c\e4 +... + c°ev >0.	(1.336)
Зависимость (1.335) будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда кор-
ни X/ отрицательны (если они действительные) или имеют отрицательную дейст-
вительную часть (если они комплексно-сопряженные).
Корни характеристического уравнения Х1Д2,...ДП можно расположить на ком-
плексной плоскости (рис. 1.125).
Как уже отмечалось, если корни Х[Д2,...Д„ лежат строго в левой полуплоско-
сти, то их называют левыми.
156
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Область
неустойчивости
О
----------------►
Действительная ось
Рис. 1.125. Комплексная плоскость
Теперь можно сформулировать условие устойчивости: для того, чтобы система
была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее
характеристического уравнения
1	. + Uq =0
были левыми.
В устойчивой системе затухают как свободная составляющая, так и переход-
ные колебания вынужденного движения.
После затухания хс (г) и хп (1) выходной сигнал линейной системы имеет тот же
вид, что и входной:
ху (Z) = суеа'‘ +	+... + Суеа"1.	(1.337)
Легко видеть, что в устойчивой системе в установившемся режиме ошибка опре-
деляется формулой
е(0 = (С1э-су )еа’1 +(с2э-су)еа>1 +... + (4-Сур)еа<	(1.338)
Известно, что импульсная переходная функция (ИПФ) системы определяется по-
люсами X] Д2,...Д„. Выражение для ИПФ имеет вид
к(t) = L~' {W(s)} = q/1' + c2Z2' +... + с„Л'.	(1.339)
Поскольку полюса Х1,А,2,...,Х„ —левые, то
<оо.	(1.340)
о
Отсюда следует: для того, чтобы автоматическая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы ее ИПФ была абсолютно интегрируемой.
Подводя итог сказанному, приходим к следующей формулировке условий устой-
чивости.
Если:
1) в ПФ системы т < п, т.е. степень многочлена в знаменателе ПФ не меньше
степени многочлена числителя (ПФ системы строго реализуема);
2) корни характеристического уравнения являются левыми, т.е. характеристиче-
ское уравнение не имеет других корней, кроме корней с отрицательными ве-
щественными частями,
то САУ является устойчивой.
Для суждения об устойчивости нет необходимости вычислять корни характери-
стического уравнения. Достаточно лишь установить их расположение на комплекс-
ной плоскости. Правила, позволяющие это сделать без вычисления корней, называ-
ются критериями устойчивости. Они позволяют в ряде случаев не только устано-
Глава 1. Стационарные САУ 157
вить, устойчива система или нет, но и выяснить влияние тех или иных параметров, а
также влияние структурных изменений на устойчивость системы. Существуют раз-
личные формы критериев устойчивости. Однако математически эти формы эквива-
лентны, так как определяют условия, при которых корни характеристического
уравнения находятся в левой части комплексной плоскости.
Критерии устойчивости классифицируют на алгебраические и частотные. Крите-
рии, которые позволяют определить, устойчива ли система, с помощью только алгеб-
раических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют
алгебраическими. К ним относят критерии устойчивости Рауса, Гурвица и др. Алгеб-
раические критерии для систем, описываемых уравнениями выше четвертого порядка,
дают возможность определить лишь устойчивость системы при заданных численных
значениях коэффициентов уравнения. Но затруднительно с их помощью ответить на
вопрос: как изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой?
Частотный критерий устойчивости, впервые сформулированный Найквистом,
был применен для исследования устойчивости САУ А.В. Михайловым в 1936 году.
Кроме того, последний сформулировал другой частотный критерий, получивший
название критерия устойчивости Михайлова. Достоинством частотных критери-
ев является их наглядность, а также возможность использовать частотные ха-
рактеристики, полученные экспериментально, когда не известны дифференциаль-
ные уравнения системы или ее элементов. Критерий устойчивости Михайлова це-
лесообразно применять тогда, когда размыкание системы не приводит к заметному
упрощению задачи.
Об устойчивости замкнутой системы судят по частотной характеристике разомк-
нутой, и в этом случае применяют критерий устойчивости Найквиста-Михайлова.
Кроме того, частотные критерии устойчивости дают представление и о качестве
процесс управления.
Пример 1.23 |37|. Функциональная схема канала крена имеет вид (рис. 1.126).
Рис. 1.126. Система управления углом крена
Дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы управления углом крена, имеют
вид [37]:
1.	р(р + l,4)x(z) = 1 l,4u(z) —ДУ самолета.
2.	(р + 10)w(z) = X'e(z) —ДУ привода элеронов.
3.	Кж = 1 —коэффициент передачи гироскопа.
4.	[р(р + 1,4)(р + 10) + 1 l,4K]x(z) = 11,4Ку(/) —ДУ замкнутой системы,
d
где р =-----оператор дифференцирования.
dt
В системе (рис. 1.126) коэффициент усиления К может меняться (его изменением можно получить
необходимое, с точки зрения разработчика, качество управления).
Положим, что на систему подействовало возмущение y(z) = 5(z). Если при К = 6 система после сня-
тия сигнала y(t}~5(z), вызвавшего изменение состояния, возвращается к своему прежнему состоянию,
то при К = 18 процесс расходится, и, таким образом, свойство возвращаться к своему прежнему со-
158 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
стоянию не имеет место, т.е. при К = 18 система неустойчива (корни характеристического уравнения
имеют положительные действительные части). При К = 12 система находится на границе устойчивости.
Рис. 1.127. Реакции на возмущения при различных значениях коэффициента К
1.9.2. Критерий устойчивости Рауса
Этот критерий был разработан английским математиком Э. Раусом в 1877 году.
Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы
в форме [120]
W<s\= bmsm +bm-]sm 1 +--- + ^Q
ansn +an_lsn~1 + ... + a0
(1.341)
Глава 1. Стационарные САУ 159
Характеристическое уравнение имеет вид
B(s) = a„sn +anAsn~} + ... + а0.	(1.342)
Критерий Рауса формулируют следующим образом: если система автоматиче-
ского управления описывается линеаризованным характеристическим уравнением
вида (1.342), то для того, чтобы система была устойчива (т.е. все корни уравнения
имели отрицательные вещественные части), необходимо и достаточно, чтобы все
элементы столбца 1 табл. 1.3 для данного уравнения были одного знака.
Если ап > 0, то все элементы столбца 1 табл. 1.3 должны быть положительными.
Таблицу (алгоритм) Рауса (см. табл. 1.3) составляют следующим образом: в стро-
ку 1 вписывают коэффициенты уравнения с индексами ап, ап_2, ап_4,...; в строку 2
— коэффициенты уравнения с индексами ап_}, ап_3, ап_5,...; в строку 3 — коэффи-
циенты с13,с23, которые подлежат определению. В последующие строки вписывают
коэффициенты cki (к — номер столбца; / — номер строки, в которой стоит коэф-
фициент). Каждый из коэффициентов с13,с23,...,сй равен определителю; первый
столбец определителя составлен из двух элементов, записанных в следующем за ис-
комым коэффициентом столбце таблицы на двух расположенных выше строках.
Первый элемент второго столбца определителя образован из частного от деления
двух элементов, расположенных в столбце 1 табл. 1.3 на двух вышележащих строках.
Второй элемент второго столбца определителя равен единице.
Таблица 1.3
Алгоритм Рауса
Коэффици- енты г.	Строка i	Столбец			
		1	2	3	4
-	1	Сц = а»	С21 = а2	C*3i — 04	C’41 = 0h
-	2	Сп =	С22 = #3	C32 = 05	C42 = 07
И =С11/С12	3	С|3 = С21 “Г3С22	С23 “ С31 “ Г3С32	C33 = С41 — >*ЗС42	C43
п = сп/Сп	4	С14 = С22 - Г4С23	С 24 ~ С32 “ Г4С33	C34 ~ C42 ~ ^4^43	C44
“ Сц/С14	5	С15 — С23 - Г$Си	С25 СЗЗ - ^5^34	C35 ~ С43 ~ ^44	C45
					
П = Cl.) j/Cl.i !	i	Ch ~ Cl.i 2-TiC2.i 1	C2i "" С31 2~ 1С3.1 1	C3i C4.1 2	1C4 i 1	C41
					
Так,
ап-3 1
где ^_3 =q,_2/<?! ,_!•
Значения г вписывают в столбец 1 табл. 1.3, озаглавленный «Коэффициенты ».
На них умножают соответствующие коэффициенты.
Из критерия Рауса следуют выводы:
1.	Все коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы долж-
ны быть одного знака. Обращение в нуль одного из коэффициентов а, (за исклю-
чением коэффициента старшего члена) свидетельствует о неустойчивости
системы или о том, что она находится на границе устойчивости. Если коэффи-
циенты характеристического уравнения положительны, то все вещественные
корни, если они существуют, отрицательны (так называемые «левые» корни).
Комплексные корни могут быть «правыми».
160
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
2.	Число отрицательных коэффициентов с1; столбца 1 табл. 1.3 равно числу кор-
ней с положительной вещественной частью.
3.	Обращение в нуль а0 приводит к появлению нулевого корня. Обращение в нуль
последних v коэффициентов а0 = 0, а} = 0,..., av_[ = 0 приводит к появлению нуле-
вых корней. При этом обращаются в нуль последние коэффициенты ctj табл. 1.3
( с1,п = С1,П-1 = •  • = с1,и-V+1 = 0 )•
4.	Обращение какого-либо промежуточного коэффициента в нуль свидетельствует
о появлении пары чисто мнимых корней.
Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ,
поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высо-
кого порядка. Более того, можно исследовать влияние на устойчивость системы от-
дельных ее параметров.
Пример 1.24. Пусть характеристическое уравнение имеет вид [120]
0,0008? + 0,03s4 + 1,36s3 + 4s2 + 52,5s + 50 = 0;
c„ = 0,0008 >0; c,2=0,03>0; c13=l,25>0;
C|4=2,77>0; cI5 = 28,6>0; C|6=50>0.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что система устойчива.
1.9.3. Критерий Гурвица
Этот критерий предложен немецким математиком Гурвицем в 1895 году. Его легко
получить из критерия устойчивости Рауса. Для данной цели выразим коэффициенты
в виде определителей [120]:
= Аз_
Л2
(1.343)
а в общем случае
c\k =--<
At-2
где — определители Гурвица, получаемые с помощью следующей записи:
(1.344)
т.е. соответствующим отчеркиванием строк и столбцов. Все коэффициенты с отрица-
тельными индексами заменяются нулями. Определитель составляют по следующему
Глава 1. Стационарные САУ
161
правилу. По диагонали вписывают коэффициенты характеристического уравнения,
начиная с а„_х. Строки определителя, начиная с диагонали, заполняются коэффици-
ентами: вправо — по убывающим индексам, а влево — по возрастающим.
Согласно критерию Рауса необходимым и достаточным условием устойчивости
являются соотношения
сп=ап>Ъ, сп = ап_} > 0; с13 > 0; с,„+1 > 0.
Этим неравенствам, как следует из (1.344), эквивалентны неравенства вида
ап>0; А[>0; Д2>0;...; А„>0.
Таким образом, критерий Гурвица формулируют следующим образом: для того,
чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
неравенство ап>0, а определители Гурвица А1,А2,...,А„ были положительны.
Для характеристических уравнений высоких степеней порядок определителей
возрастает, и практическое вычисление их обычным путем становится громоздким.
Необходимые, но недостаточные условия устойчивости заключаются в том,
что в случае уравнения п-го порядка все коэффициенты ап,ап_^,...,а0 должны быть
положительны и не один из них не должен равняться нулю.
Пользуясь критерием Гурвица, получим условия устойчивости для систем, поря-
док характеристических уравнений которых не превышает четырех.
Если В(л') = axs + а0 = 0, то условия устойчивости имеют вид а0 > 0, at > 0; для урав-
нения B(s) = a2s2 + ats + Oq = 0 условиями устойчивости являются: а$ > 0, а1 > 0, а2 > 0.
Для уравнения третьего порядка = a3s3 + a2s2 + ats + а0 = 0 имеем
а0 0
at 0
«2 «о
Отсюда следуют условия:
я3 > 0, а2 > 0, а{ >0, а0 > 0; аха2 - а0а3 > 0.
И, наконец, если имеется характеристическое уравнение четвертого порядка
= a4s4 + a3s3 + a2s2 + axs + а0 = 0, то определитель Гурвица запишется так:
а3	в,	0	0
д = «4	«2	ао	0
4	0	а3	Я)	0
0	а4	а2	Oq
Необходимым и достаточным условием устойчивости является
а0 > 0, Я] > 0, а2 > 0, а3 > 0, я4 > 0;
я1 (аза2- a4ai) - а1 ао > 0;
Практически, поскольку я0>0, находят определители Гурвица от А] до A„_j.
Например, для последнего случая имеем
а3 >• 0, А2 -
«з
я4
aj 0
а2 ао
>0.
Я3
Система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица
низшего порядка положительны, а главный определитель равен нулю, т.е.
А] >0; А2 >0;...; А„ =a„A„_] =0.
12 Зак. 14
162 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Если а0 = 0, а Дл_[ > 0, то один из корней характеристического уравнения равен
нулю (система находится на границе апериодической устойчивости), если же
а0 * 0, а ДиЧ = О, то система находится на границе колебательной устойчивости
(два комплексно сопряженных корня находятся на мнимой оси).	в
Сведем полученные выше результаты в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Условия устойчивости
В(з) = 0	Условия устойчивости
ats + а0 = 0	a0 > 0, a, > 0
a2s2 + ats + а0 = 0	a0 >0, a, > 0, a2 > 0
a3s3 + a2s2 + ats + aQ = 0	a0 > 0, Л, > 0, a2 > 0, a3 > 0; ata2 - aQa3 > 0
a4s4 + a3s3 + a2s2 +als + ao=O	a0 >0, a, >0, a2 >0, a3 > 0, a4 >0; a, (a3a2 -a]a4)-a2a0 >0
Из табл. 1.4 следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости
системы, характеристическое уравнение которой первой или второй степени, являет-
ся положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Пример 1.25. Имеется система третьего порядка с характеристическим уравнением
B(s) = a3s3 + a2s2 + als + an = 0.	(1.345)
Обозначим
5 = ^5.	-	(1.346)
Тогда (1.345) перепишется в виде
—а3У3+a2f 3^1 s2+at3^s+ao-0,	(1.347)
Чз	( У аз )	V а3
или, что то же самое, 
Т1ДК+1 = О	(1.348)
ао )|\азу ао Nаз
Обозначив
я =	. B = fL,IKs,	(1.349)
аа 1|\аз) ао\аз
перепишем (1.348) в виде
У3 + ЯУ2 + ВУ+1 = 0.	(1.350)
Необходимые и достаточные условия запишутся так:
А>0, В>0, ЛВ>1.	(1.351)
Графически (1.350) представлено на рис. 1.128.
Рис. 1.128. Гипербола Вышнеградского
Глава 1. Стационарные САУ
163
Пример 1.26. Характеристическое уравнение имеет вид
- B(s) = 0,0003s4 + 0,0337s3 + 0,43s2 + 51,2s + 24,8 = 0.
Все коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Найдем Д3:
Д3 = а, (а3а2 - ata4 ) - а0а32 = 51,2(0,0^37 • 0,43 - 0,0003  51,2) - 24,8 - 0,03372 =
= -51,2  0,0009 - 24,8 0,03372 < 0.
Система неустойчива.
1.9.4. Критерий Льенара-Шипара
В 1914 году Льенаром и Шипаром был предложен критерий, упрощающий крите-
рий Гурвица.
Критерий Льенара-Шипара формулируется так: при ап > 0, ап~} > 0, а„_2 > 0,...,
а0 > 0, необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди опреде-
лителей Гурвица Д1; Д2,..., Д„ были положительными все определители с четными
индексами, т.е.
Д2 >0, Д4 >0, Д6 >0,...,	(1.352)
или все определители с нечетными индексами
Д! >0, Д3 >0, Д5 >0....	(1.353)
Итак, необходимым и достаточным условием устойчивости системы является:
а„ > 0, а„_, > 0,..., ап > 0,
” п 1	°	(1.354)
Д, >0, Д3 >0, Д5 >0,...,
или
а„>0, а„_, > 0,..., ап > 0,
"	" 1	0	(1.355)
Д2 >0, Д4 >0, Д6 >0,....
Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.129.
Рис. 1.129. Структурная схема системы
Пусть
А СО =	+... + Оо,
тогда
(0 = "л-Х	+... + а05ц = В(s).
Найдем ПФ замкнутой системы
= A/(q»-X + - + aojk‘) =________________К________________,
1 + аДап_^п + ...+	) а„_^п + ал_ц_15"’1 +... + 50$ц + К ’
(1.356)
(1.357)
(1.358)
где
5п-и =ап>^ Д.-Ц-1 = а„-1 > 0.... К	= а0 > 0.	(1.359)
Анализ (1.358) показывает, что часть коэффициентов характеристического уравнения
B(s) = an^sn +... + а05м + К = ansn +...+а^ + К	(1.360)
равна нулю (= 0, а2 = 0,..., ац_] = 0).
12*
164
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таким образом, не выполнено условие положительности всех коэффициентов,
что свидетельствует о неустойчивости системы.
Никакой набор коэффициентов ац, огц+],..., ап стабилизировать систему не в со-
стоянии [143].
Указанный класс систем носит название структурно неустойчивых.
Справедливо утверждение [143]: системы, для которых степень передаточной
функции IT(s) равна ее порядку, структурно неустойчивы, если индекс апериодиче-
ской нейтральности не меньше двух. Такие системы содержат не менее двух после-
довательно соединенных интеграторов.
Для стабилизации структурно неустойчивых систем требуется изменить их струк-
туру, например, сделать ПФ разомкнутой системы в виде
и,
(1.361)
Степень выбирается таким образом, чтобы все коэффициенты характери-
стического уравнения замкнутой системы были отличны от нуля (степень Л($)
должна быть не меньше ц -1).
Стабилизация структурно неустойчивых систем достигается либо введением внут-
ренней связи, охватывающей один из интеграторов, либо введением производной.
Пример 1.27. Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.130 [23].
Рис. 1.130. Структурная схема системы
Построим область устойчивости в функции коэффициентов усиления Ку< и Ко, если остальные па-
раметры равны:
Кс =0,4 В/град; Kv =5,2; с, =0,014—5—; у =297; Т' = 0,06 с; Тм = 0,1 с.
град/с ‘	4
Передаточная функция разомкнутой системы
W (у) _ KcKyKyJc,Jp
”	[(l + T^Xl + r^ + K^y
Найдем передаточную функцию замкнутой системы
ТЧТМ ? + [тч + Тм) ? + (1 + КУ1 Ко) 3 + D ’
где
KCKV Kv
D —	- «п /2
Ыр
Характеристическое уравнение имеет вид
a2s3 + a2sz + a,s + aQ = О,
(1.362)
(1.363)
где
а3 = ТЧТМ = 0,006; а2=Тч+Тм= 0,06 + 0,1 = 0,16;
Глава 1. Стационарные САУ
165
КСК К 0 4-52
а, = 1 + Kv Ко = 1 + 5,2/С; а0 = с у' У1 =	’	’ Kv = 0,5К„ .
1 ъ °	°	0 ctjp 0,014-297 у' . Л
Пользуясь критерием Гурвица, имеем:
а0>0, Я|>0, а2>0, а3 > 0;	(1.364)
Д2 = a,a2-аоа3 > 0.	(1.365)
Условия (1.364), (1.365) выполняются при Хо>0, Ку >0.
Воспользуемся условием (1.365); имеем
0,16(1 + 5,2Ко)-О,006-0,>0.	(1.366)
Из последнего неравенства следует
Ко > 0,0036Ху| -0,192.	(1.367)
Граница устойчивости определяется выражением
Ко = 0,0036^ -0,192.	(1.368)
Область устойчивости в плоскости параметров и Ко построена на рис. 1.131.
Пример 1.28. Рассмотрим систему (рис. 1.132) [143].
Рис. 1.132. Структурная схема системы
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
lP(s) = 7-----.	(1.369)
v ' (7]5 + 1)(7’25 + 1)7’3s
Характеристическое уравнение замкнутой системы запишется так:
B(s) = a3s3 + a2s2 + a^s + а0,
где
аз = а2 ~(Ti +	а1=^з> aQ = K = K\K2.
Запишем условия устойчивости:

166
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или, что то же самое,
КТ3Т2Т3 < (Т3 + Т2)Т3 = Т]Т2 + Т2Т32.
Перепишем последнее неравенство в виде
т2 т3
Граничное (критическое) значение коэффициента определяется формулой
К
41 т2 т\'
Построим график
1	1	Т
;— = —	при	— = const,
кр	т	И
или К^Т = 1 при Т3/Т2 = const.
Функция	—равносторонняя гипербола, ее график представлен на рис. 1.133.
Рис. 1.133. Зависимость от TjT3 при Г3/Т'2= const
1.9.5.	Частотные критерии устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Частотные критерии в большинстве случаев используют в качестве графоанали-
тических критериев — они отличаются наглядностью при выполнении инженерных
расчетов [120].
В основе частотных методов лежит принцип аргумента — следствие из теоремы
функций комплексного переменного, а именно теоремы Коши, относительно числа
нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.
1.9.5.1.	Принцип аргумента
Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффици-
ентами [120]:
= Gn\n 4"С?Л_]ХЛ +... +	+ciq = 0.
Если через Х1,Х2,...,Х„ обозначить корни этого уравнения, то многочлен £>(Х)
можно представить в виде произведения простых сомножителей:
D(X) = a„(X-X1)(X-X2)...(X-X„).
На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная
точка (рис. 1.134, а). Геометрически каждый корень к1 изображается в виде вектора,
проведенного из начала координат к точке X, (рис. 1.134, б).
Глава 1. Стационарные САУ
167
Рис. 1.134, Корни характеристического уравнения системы:
а — расположение корней; б — модуль и фаза вектора X,
Длина этого вектора равна модулю комплексного числа, т.е. |Х,|, а угол, образо-
ванный вектором с положительным направлением действительной оси, — аргументу
или фазе комплексного числа X,-, т.е. argX(. Векторы (Х-Х;), входящие множите-
лями в £>(Х), проведены из точек X, к точке X. Каждый из этих векторов является
разностью двух векторов, соответствующих X и X, (рис. 1.135). Если принять Х = у<о
в £>(Х), то
O(j®) = a„(j®-X1)(j®-X2)...(j®-Xn),
где (о — круговая частота.
Рис. 1.135. Элементарный вектор (X-XJ
Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке X = у<о
(рис. 1.136).
Модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов и ап:
Р (7“)| = ап 17® " 117® - |  • |7® ~ Ч |.
а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:
arg £>(у со) = arg( Ja - X,) + arg(;co - X2) +... + arg( yco - X„).
Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за положи-
тельное. Тогда при изменении со от -со до +оо каждый элементарный вектор
(]<£> - \) повернется на угол +7Г, если его начало (корень X!) находится в левой
части комплексной плоскости (рис. 1.137).
168
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.136. Элементарные векторы ( /иi = \,n
Рис. 1.137. Изменение аргумента векторов (jw-Xj и (уш-Х*)
при возрастании частоты со от -оо до +<ю
Если уравнение Е>(Х) = 0 имеет т корней в правой части комплексной плоско-
сти X и, следовательно, п - т корней — в левой части комплексной плоскости, то при
возрастании о от -оо до +а> изменение аргумента вектора Z>(jco), или угол пово-
рота D(jco) (равный сумме изменений аргументов элементарных векторов), будет
A arg £>(ja>) = (n-wj)n-wn = (и-2от)л.	(1.370)
Отсюда следует, что разность (н-/и) корней уравнения £>(Х) = 0, находящихся в
левой части плоскости, и т корней, расположенных в правой части плоскости, ум-
ноженная на л, отражает собой изменение аргумента £>(усо) при возрастании св от
-оо до -ню. Это утверждение в теории автоматического управления называют прин-
ципом аргумента.
1.9.5.2.	Критерий устойчивости Михайлова
Этот критерий основан на принципе аргумента (1.370) и является геометрической
интерпретацией соотношения [120]
Aarg 2?(усо) = (н-7и)л-7ил = («-2?и)л,
-00^(0^00
Глава 1. Стационарные САУ 169
где т — число корней в правой части комплексной плоскости; (п-т) — число
корней в левой части комплексной плоскости.
Пусть характеристическое уравнение системы с обратной связью (замкнутой
САУ) имеет вид
D()C) — ап)^ + А +... + X + 4/q = 0.
Если все корни этого уравнения находятся в левой части комплексной плоскости
X (система устойчива), а в правой части плоскости корней нет, то т = 0 и изменение
аргумента
A arg £>(усо) = ил.
-оо<С1)^+оэ
Отсюда следует вывод: САУ является устойчивой, если при возрастании <о от
-оо до +оо изменение аргумента вектора D (усо) будет равно т, где п — сте-
пень характеристического уравнения £>(у'го) [120].
При изменении частоты св от -оо до +оо вектор	на комплексной плос-
кости опишет своим концом кривую, которая называется характеристической кри-
вой, или годографом вектора
Уравнение характеристической кривой определяют подстановкой А = ja в мно-
гочлен £>(А) и последующим разделением действительной и мнимой частей:
D( ja) = ап (jv)n + а„_} (у®)"”' +. • • + at (>) + а0;
D(y<o) = w(®) + yv(®),
где
ы(со) = а0 -а2ю2 + а4ю4 -...;
v (со) = Oj®1 - сг3®3 + а5а5 -....
Действительная часть м(со) является четной функцией, а мнимая часть v(o>) —
нечетной функцией частоты га, т.е. =	=-v(ro). Поэтому для от-
рицательных значений а
D(-y®) = u(®)-yv(®).
Отсюда следует, что характеристическая кривая симметрична относительно оси
+<ви -га. При построении характеристической кривой можно ограничиться лишь
положительными значениями и от 0 до +оо. При этом угол поворота вектора
£>(ую), т.е. изменение аргумента £>(усо), уменьшается вдвое, и критерий устойчи-
вости формулируется следующим образом.
САУ будет устойчивой, если при возрастании частоты to от 0 до оо вектор
£)(уш) повернется на угол ил/2 (где и —степень уравнения £>(А) = 0 ). Это оз-
начает, что вектор характеристической кривой (при изменении частоты (о от О
до +<ю, начиная с положительной действительной оси) последовательно «обходит»
п квадрантов в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.
На рис. 1.138 приведены характеристики, соответствующие устойчивой системе.
При и = 1 изменение аргумента равно л/2, при и -1 изменение аргумента равно л
и характеристическая кривая проходит через два квадранта, и т.д.
На рис. 1.139 приведена характеристическая кривая для и = 4, которая соответст-
вует неустойчивой системе. Система будет находиться на границе устойчивости,
11 Зак. 14
170
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
если ее характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало ко-
ординат, обходя при этом п-1 квадрантов. Частота ® является одновременно кор-
нем уравнений w(®) = 0 и v(co) = 0.
Рис. 1.138. Характеристические кривые (годографы) для устойчивых систем (п = 1,5)
Рис. 1.139. Годограф неустойчивой системы
Рис. 1.140. Вещественная и мнимая части кривой £>(у<в)
устойчивой (а) и неустойчивой (б) САУ (п = 4)
В ряде случаев может быть использован критерий устойчивости, называемый кри-
терием перемежаемости корней. Действительно, характеристическая кривая при из-
менении и от 0 до со будет обходить в положительном направлении п квадрантов и
система устойчива, если и(0)>0, v(0) = 0 и уравнения м(<о) = О, v(co) = 0 имеют
все действительные и перемежающиеся корни, т.е. если между каждыми двумя сосед-
Глава 1. Стационарные САУ 171
ними корнями v(co) = O лежит корень уравнения м(со) = 0 иди между двумя соседни-
ми корнями w(co) находится корень уравнения v(co) = 0.
Для устойчивости системы корни* системы должны перемежаться и быть ве-
щественными, а сумма корней должна быть равна порядку уравнения п.
На рис. 1.140, а при п = 4 изображены характеристические кривые, соответст-
вующие устойчивой системе, а на рис. 1.140, б — неустойчивой системе.
1.9.5.3.	Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
(частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова)
Этот критерий, основанный на рассмотрении частотных характеристик разомкну-
тых САУ, был впервые доказан Найквистом применительно к ламповым усилителям
с обратной связью и введен Михайловым, вытекает из принципа аргумента [120].
Для вывода амплитудно-фазового критерия устойчивости рассмотрим вспомога-
тельную функцию cp(jco), которая связана с частотной характеристикой разомкну-
той системы lFp(j(o) соотношением
<p(jco) = l + lTp(jco).
Частотная характеристика разомкнутой системы 1Гр(усо) может быть выражена
через полиномы числителя Л/р(усо) и знаменателя £>р(/ш) разомкнутой системы:
Тогда
= Ор(Я+Ч(Я = Д(>)
(1.371)
Знаменатель функции ср(усо) представляет собой характеристическую кривую ра-
зомкнутой системы, а числитель — характеристическую кривую замкнутой системы.
Предполагается, что разомкнутая система устойчива. Устойчивость разомкнутой
системы можно установить без каких-либо вычислений непосредственно по струк-
турной схеме системы. Например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых
звеньев и не содержащая обратных связей, заведомо устойчива.
Если разомкнутая система устойчива, то изменение аргумента при возрастании
частоты со от 0 до +<» будет
A arg Ор(;со) = и^,
О^С)<00
где п —число корней характеристического уравнения £>(Х) = 0, лежащих в правой
части комплексной плоскости.
Изменение аргумента функции
,  \ р(>)
при возрастании со от 0 до +<ю равно разности изменений аргумента £>(jco) и
A arg cp(jco) = A arg £>(jco)-A arg Z)p(yco) = (n-2>n)— -n—=-irm.
0<(O<oO	O^CD^oo	O^co^oo	2	2
11*
172 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Система будет устойчивой, если т = 0, т.е. если
A arg q>(jct>) = 0.
Вектор q>(jco) опишет угол, равный нулю, лишь в том случае, когда его годограф
не охватывает начало координат (рис. 1.141, а); точка А отстоит от начала коорди-
нат на единицу. От этой кривой можно перейти к амплитудно-фазовой характеристи-
ке (АФХ), построенной по выражению Жр(ую) на плоскости t7(co),jK(co), если
сместить эту кривую на единицу влево.
В плоскости IF(jco) начало вектора ф(усо) находится в точке (-1,jO), а конец
вектора при изменении ш скользит по АФХ. Изменение аргумента ф(7®) равно ну-
лю, если точка (-1,у'О) будет находиться вне АФХ (рис. 1.141, б).
Рис. 1.141. Соотношения между годографами:
а — годограф вектора <р(уш); б—соответствующий ему годограф вектора W(js>)
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируют следующим образом:
САУ будет устойчивой, если АФХ 1¥р (у<в) не охватывает точки с координатами
(-U0).
При рассмотрении многоконтурных систем, имеющих местные обратные связи,
а также систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может ока-
заться неустойчивой. Для такой разомкнутой системы возможность эксперименталь-
ного определения АФХ исключается, однако эта характеристика может быть по-
строена по уравнениям системы и по ней можно судить об устойчивости системы.
В этом случае изменение аргумента Dp (jco) при возрастании и от 0 до +оо:
AargDp(j®) = (n-2p)-p
где р — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежа-
щих в правой части комплексной плоскости.
Если замкнутая система устойчива ( р = 0 ), то на основании принципа аргумента
Л arg Пр(>) = гД
О^со^оо
следовательно,
A arg ф(у<») = А arg Z>(j®)-A arg Dp(jco) =
0^(1)<CO	O^co^oo	O^co^co
= и--(и-2р)- = рл = у2тг.
Глава 1. Стационарные САУ 173
САУ будет устойчивой, если АФХ охватывает точку (-1,у0) в положитель-
ном направлении р/2 раз. При р = 0 получится прежний результат.
На практике удобнее пользоваться следующей формулировкой критерия устойчи-
вости, исключающей необходимость непосредственного подсчета изменения аргу-
мента: изменение аргумента <р(/<в) при возрастании <о от 0 до +<ю будет равно
нулю, если число переходов АФХ через отрезок действительной оси (-<ю,-1)
из верхней полуплоскости в нижнюю и из нижней в верхнюю одинаково. Это измене-
ние аргумента будет равно +рп, если разность между ними равна ±р/2. Переход
ГГр(усо) (с возрастанием со) из верхней полуплоскости в нижнюю считается поло-
жительным, а из нижней в верхнюю — отрицательным.
В окончательном виде амплитудно-фазовый критерий устойчивости можно сфор-
мулировать следующим образом: САУ будет устойчивой, если разность между
положительными переходами АФХ отрезка действительной оси (-оо,-1) равна
±р/2, где р — число корней характеристического уравнения разомкнутой сис-
темы с положительной вещественной частью.
Следует отметить, что если 1Гр(усо) при со = 0 начинается на отрезке действи-
тельной оси (-со,-1), то считается, что И'р(усо) при со = 0 совершает половину пе-
рехода. В частном случае, когда р = 0 (что соответствует устойчивой или нейтраль-
но-устойчивой разомкнутой системе), система будет устойчивой, если разность меж-
ду положительными и отрицательными переходами равна нулю.
Пример 1.29. На рис. 1.142 изображена АФХ разомкнутой САУ. В точках ее перехода через участок
действительной оси (-оо,-1) ставят стрелки в сторону возрастания <в и определяют разность между чис-
лом стрелок, направленных вверх и вниз.
Рис. 1.142. Интерпретация амплитудно-фазового критерия устойчивости u(to), yv(<o)
Для АФХ на рис. 1.142 разность между положительными и отрицательными равна единице (2-1 = 1).
Если разомкнутая система неустойчива и р = 2, то замкнутая система будет устойчивой,
» Таким образом, критерий устойчивости Найквиста-Михайлова позволяет по годо-
графу АФХразомкнутой системы судить об устойчивости САУ с обратной связью
(замкнутой системы). Критерий может быть использован и в тех случаях, когда диф-
ференциальные уравнения системы (или отдельных ее звеньев) не известны, но проек-
тировщик располагает соответствующими экспериментальными частотными харак-
теристиками. Кроме того, критерий дает возможность исследовать устойчивость
системы не только с сосредоточенными, но и с распределенными параметрами, а так-
же позволяет связать исследование устойчивости с последующим анализом качества.
174 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.9.6.	Анализ устойчивости одноконтурных систем автоматического
УПРАВЛЕНИЯ ПО ИХ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
АФЧХ САУ в зависимости от пересечения с вещественной осью относительно
критической точки с координатами (—1;уО) можно подразделить на два типа: пер-
вый, когда все точки пересечения АФЧХ с вещественной осью расположены справа
от критической точки (кривая 1, рис. 1.143); второй, когда все точки пересечения
АФЧХ с вещественной осью расположены как слева, так и справа от критической
точки (кривая 2, рис. 1.143) [120].
Рис. 1.143. Амплитудно-фазовые характеристики 1-го и 2-го типа
В системах первого типа увеличение передаточного коэффициента К выше его
критического значения приводит к нарушению устойчивости, а уменьшение ниже
критического —- к стабилизации системы. Следует отметить, что критическим назы-
вают то значение передаточного коэффициента К , при котором АФЧХ проходит
через критическую точку (-1; у'О), т.е. система находится на границе устойчивости.
В системах второго типа при увеличении К выше его критического значения
система может превратиться из неустойчивой в устойчивую.
На основании амплитудно-фазовых критериев устойчивости могут быть сформу-
лированы требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные
характеристики разомкнутой системы, для того чтобы она была устойчива в замкну-
том состоянии.
Если система имеет АФЧХ первого типа, то она устойчива в случае, когда всем
точкам АФЧХ, начиная с со =0, вплоть до точки пересечения с окружностью еди-
ничного радиуса, соответствуют значения фазы 0, большие чем -л. Точке пересе-
чения АФЧХ с окружностью единичного радиуса соответствует точка пересечения
ЛАЧХ L (и) с осью частот (так как lg 1 = 0). Поэтому для того, чтобы система,
устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого типа, была устой-
чива и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех часто-
тах, при которых ЛАЧХ положительная, т.е. L(co)>0, значения фазы 6(со) не пре-
вышали -л. На рис. 1.144 приведены характеристики устойчивой и неустойчивой
систем соответственно.
Если система, устойчивая в разомкнутом состоянии, имеет АФЧХ второго ти-
па, то для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и
достаточно, чтобы разность между числом положительных (сверху вниз) и отри-
Глава 1. Стационарные САУ 175
цательных (снизу вверх) переходов АФЧХ отрезка действительной оси (-оо, -1)
была равна нулю. Но в точках пересечения АФЧХ отрезка (-оо, -1) ЛАЧХ £,(ю) по-
ложительна, а фазовая характеристика 9 (о) пересекает прямую -л снизу вверх (по-
ложительный переход) или сверху внйз (отрицательный переход). Поэтому для того
чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкну-
том состоянии, необходимо и достаточно иметь разность между числом положи-
тельных и отрицательных переходов фазовой характеристики 9(со) и прямой -л,
равную нулю при тех значениях со, для которыхЛАЧХ L(со) положительна.
Рис. 1.144. Логарифмические частотные характеристики САУ:
а — устойчивой; б — неустойчивой
Если ЛЧХ разомкнутой системы имеют вид, изображаемый на рис. 1.144, а (ра-
зомкнутая система устойчива или нейтрально-устойчива, т.е. имеет полюс в начале
координат), то замкнутая система будет также устойчива.
Если САУ в разомкнутом состоянии неустойчива и характеристическое уравне-
ние имеет р корней в правой полуплоскости, то для устойчивости системы в замк-
нутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом поло-
жительных и отрицательных переходов АФЧХ на отрезке (-оо, -1) составляла
р/2. Поэтому для устойчивости замкнутой системы, характеристическое уравне-
ние которой в разомкнутом состоянии имеет р корней в правой полуплоскости,
необходимо и достаточно, чтобы число положительных переходов между фазовой
характеристикой 9(со) и прямой (-л) превышало на р/2 число отрицательных
переходов при положительных значениях ЛА ЧХ.
На рис. 1.145 приведены ЛАЧХ, соответствующие системе, неустойчивой в ра-
зомкнутом состоянии, если р = 2. Если характеристическое уравнение этой системы
имеет два корня с положительной действительной частью (р = 2 ), то такая система
будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как разность между числом положи-
тельных и отрицательных переходов равна единице.
Для анализа устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам сле-
дует: определить и построить ЛАЧХ и ЛФЧХ системы; найти интервал частот, в ко-
тором ЛАЧХ положительна [z(m)>0]; подсчитать число пересечений в этом ин-
176 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
тервале частот ЛФЧХ 6(<о) с прямой (-л) снизу (+) и сверху вниз (-). Если разность
между числом точек пересечения, отмеченных знаком «+», и числом точек пересече-
ния, отмеченных знаком «-», равна значению р/2, то система устойчива; если како-
му-либо другому значению, то система неустойчива. В случае астатических систем
при подсчете числа точек пересечения необходимо учитывать точку пересечения
(или касания) амплитудно-фазовой характеристикой отрезка (-со, -1), получаю-
щуюся при бесконечно малых значениях о.
Рис. 1.145. ЛЧХ разомкнутых систем, устойчивых в замкнутомхостоянии:
а — число корней в правой полуплоскости р = 0;
б — число корней в правой полуплоскости р = 2
1.9.7.	Запасы устойчивости систем по модулю и фазе
Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа 1Гр(усо) ра-
зомкнутой системы относительно критической точки с координатами (-1; у’О). Чем
ближе он к критической точке, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.
Для устойчивых систем удаление годографа (/со) от критической точки
(-1; у'0) характеризуется запасом устойчивости по модулю и фазе (рис. 1.146) [120].
Минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние
между критической и ближайшей точкой пересечения годографа Wp(ja) с дейст-
вительной осью, называют запасом устойчивости по модулю. Минимальный угол у,
образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа	с
окружностью единичного радиуса (с центром в начале координат) и отрицательной
частью действительной оси, называют запасом устойчивости по фазе. Система
обладает требуемым запасом устойчивости, если она, удовлетворяя условию устой-
чивости, имеет значения модуля характеристического вектора 1Ер(у'со), отличаю-
щиеся от единицы не менее чем на заданное значение h (запас устойчивости по мо-
дулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся от -п не менее чем на заданное
значение у. Амплитудно-фазовые характеристики систем, обладающие запасами
устойчивости по углу или по фазе (рис. 1.147), не должны входить в область 1-1,
II-И комплексной плоскости.
Глава 1. Стационарные САУ
177
Рис. 1.146. Запасы устойчивости САУ по модулю и фазе
Рис. 1.147. Зона устойчивости САУ на комплексной плоскости
Рис. 1.148. Определение запасов устойчивости САУ по ЛЧХ
В случае применения для анализа устойчивости логарифмических частотных ха-
рактеристик (рис. 1.148) запасу устойчивости системы по модулю соответствует от-
резок I = 20 lg h при том значении частоты, при котором фазовая характеристика
0(<о) = -л. Относительно ЛЧХ можно говорить и о запасах устойчивости по модулю
(Z] и /2), соответствующих частотам ©j и со2- Запасу устойчивости системы по фа-
зе у соответствует значение угла, превышающее значение фазовой характеристики
над линией -л при частоте среза а>ср (см. рис. 1.148).
178 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.9.8.	Определение областей устойчивости
Критерии устойчивости позволяют выяснить, устойчива ли САУ, если все ее па-
раметры (постоянные времени, коэффициенты усиления и др.) заданы. Часто на
практике задают все параметры системы (кроме одного или двух, которые могут из-
меняться в некоторых пределах) и определяют, при каких их значениях ыЛтема бу-
дет устойчивой [120].
Для решения этой задачи необходимо многократно повторять построение годо-
графа Михайлова или АФХ либо, если пользоваться критерием устойчивости Гурвица,
проводить анализ сложных и громоздких выражений. Области устойчивости в плос-
кости двух действительных параметров системы были впервые введены И. А. Вышне-
градским.
Пусть в характеристическом уравнении
а„ А," + ап_{кп~х +... + + а0 = 0	(1.372)
все коэффициенты, кроме двух (например, а0 и ап), определены. При некоторых
фиксированных значениях п0 и ап уравнение (1.372) имеет на комплексной плоско-
сти К корней, лежащих слева, и п - К корней, лежащих справа от мнимой оси. Из-
менение в определенных пределах значений коэффициентов а0 и ап не вызывает
изменения числа корней, расположенных слева и справа от мнимой оси в плоскости
корней. Поэтому на плоскости а0 и ап можно выделить такую область, каждая точка
которой определяет многочлен (1.376), также имеющий К корней, лежащих слева, и
п-К корней, лежащих справа от мнимой оси. Эту область обозначим через Г)(Х).
Число К может иметь любое целое значение, и в плоскости а0, ап можно ука-
зать области D(AT), соответствующие разным значениям К. Например, если харак-
теристическое уравнение имеет третью степень (п = 3), то могут быть указаны об-
ласти 7)[О], D[l], D[2] и /Э[3]. Область £)[3] будет областью устойчивости в про-
странстве коэффициентов. Если не существует области /Э [3], то это значит, что при
любых значениях неопределенных коэффициентов (а0 и ап ) и при заданных значе-
ниях остальных коэффициентов уравнение не может иметь трех корней с отрица-
тельной действительной частью слева от мнимой оси, т.е. система не может быть
устойчивой.
При трех неопределенных коэффициентах, например при а0, и а„, следует
рассматривать трехмерное пространство с осями координат а0, и ап. При боль-
шем числе коэффициентов приходится рассматривать многомерное пространство
коэффициентов и область D[А-] выделяется гиперповерхностью. Такое разбиение
пространства коэффициентов называют D-разбиением.
Пусть К корней полинома (1.372) лежат слева от мнимой оси. Если плавно изме-
нять значения коэффициентов а,, то корни могут перейти в правую полуплоскость.
Этот переход может осуществляться либо через мнимую ось, либо через бесконеч-
ность при значении параметров, обращающих в нуль коэффициент а0.
Переход в пространстве D -разбиения соответствует в плоскости корней переходу
через мнимую ось. Отсюда следует метод определения границы D -разбиения, кото-
рую определяют заменой в исследуемом полиноме А на у® и могут построить изме-
нением значения © от -оо до -к», т.е. граница D-разбиения есть отражение мнимой
оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения.
Глава 1. Стационарные САУ
179
Аналогичным образом можно построить D -разбиение пространства любых пара-
метров, от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения (напри-
мер, постоянных времени и коэффициентов усиления системы).
Построение области устойчивости в плоскости одного комплексного пара-
метра. В том случае, когда необходим» исследовать влияние на устойчивость только
одного параметра (при заданных значениях других параметров), удобно ввести вме-
сто неизвестного параметра комплексную величину, вещественная часть которой
равна этому параметру.
Для определения влияния, например, параметра к, характеристическое уравне-
ние выражают относительно этого параметра к, т.е. приводят к виду
е(Х) + АЯ(Х) = 0,	(1.373)
откуда	к = ~^\-	(1.374) Л(Х)
Предполагается, что	Х = С/(со) + уИ(со).	(1.375)
Для построения области устойчивости принимают X = ./со и разделяют вещест-
венную и мнимую части:
k = ~^)=U^ + jV^- (13?6)
Задавая различные значейия частоты со (от -оо до +оо ), строят в плоскости U, V
(плоскости к) границу D -разбиения. При движении по мнимой оси от со = -оо до
со = +оо на комплексной плоскости область корней с отрицательными вещественны-
ми частями остается слева. При этом отмечают направление движения от -оо до +оо
и заштриховывают левую часть кривой по отношению к этому движению. В той час-
ти плоскости, в сторону которой направлены штрихи, находится отображение левой
полуплоскости корней. Поэтому областью устойчивости может быть только эта часть
плоскости. Так как область устойчивости ищется в плоскости только одного пара-
метра, то этой области может и не быть; поэтому необходимо проверить условие ус-
тойчивости с помощью какого-либо критерия. После нахождения области устойчиво-
сти рассматривают лишь действительные значения к.
Пример 1.30. Пусть дано характеристическое уравнение системы [120]
А3 + А2 + А + к = О,
которое выразим относительно параметра к:
а = -а3-а2-а.
Вместо А подставим у'со, т.е. А = ja>. Тогда
к = jai3 + со2 - ja> = U + jV,
где
U = (a2; К = со3-ш.
В плоскости U и V (рис. 1.149) строим область О-разбиения при частоте со = 0, U = 0 и V = 0; при
<о = 1, £7 = 1 и V - 0; при со-»со, U -»оо и V ~»со. Кривую границы области следует заштриховать слева
при движении от со = -оо к со = -ню.
Областью, соответствующей полиномам, имеющим наибольшее число корней слева от мнимой оси,
будет область, заштрихованная на рис. 1.149. Проверим, является ли она областью устойчивости. Для
этого выберем, например, граничную точку к = 0, тогда уравнение сводится к виду
а(а2 + Х + 1) = 0.
180
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 1.149. Выделение областей устойчивости:
£>[1], £>[2] и О[3] — области, соответствующие различным значениям корней
Его корни
. „ .	1 . ,7з
А.]-0, Х2>3 -
т.е. один корень нулевой, а два лежат слева от мнимой оси. Внутри области число корней, расположенных
слева от мнимой оси, должно быть на один больше, так как при этом происходит движение в сторону
штриховки. Следовательно, этой области соответствуют полиномы, у которых все три корня лежат слева
от мнимой оси. Здесь существенны только действительные значения к, принадлежащие области устойчи-
вости. Они определяются отрезком оси U, лежащим внутри области О[3]. Условию устойчивости рас-
сматриваемой системы отвечают значения 0 < к < 1.
1.10. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КАЧЕСТВА РАБОТЫ САУ
В ПЕРЕХОДНОМ И УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМАХ
В п. 1.8 к основным задачам анализа было отнесено:
•	изучение поведения системы в переходном режиме, когда и хс(с)не за-
тухли (построение переходных процессов и переходных ошибок системы);
•	изучение поведения системы в установившемся режиме, когда хп(1) и xa(t)
затухли (анализ точности в установившемся режиме).
Рассмотрим содержание указанных задач.
1.10.1.	Анализ переходных процессов
Для исследования качества работы САУ в переходном режиме используются:
•	частотный метод [16,23,26,32,37,40, 80, 82, 86,116,120,127-129,138,140,149];
•	метод корневого годографа [16, 37, 86, 127-129, 132, 138, 140, 148];
•	метод логарифмического корневого годографа [59, 129, 132, 142];
•	метод интегральных оценок [127-129, 132, 142, 149];
•	методы, ориентированные на применение ЭВМ [4, 6, 14, 37, 57, 61, 67, 70, 96,
102-111, 118, 121, 122, 127, 133].
В настоящей книге сделана ориентация на использование ЭВМ. Соответствую-
щие методы изложены в главе 2; они одинаково эффективны для всего класса линей-
ных САУ (стационарных и нестационарных) и поэтому подробно рассматриваются в
главе 2, посвященной изучению систем с переменными параметрами.
1.10.2.	Исследование точности работы систем
В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
Положим, что:
1) на вход поступает сигнал, имеющий дробно-рациональное изображение
у \ _ Cksk +ck-\s>C 1 +--- + CQ .
dpsp +dp_xsp~x + ... + da'
(1.377)
Глава 1. Стационарные САУ 181
2) система имеет нулевые начальные условия;
3)	система устойчива;
4)	система работает в установившемся режиме.
Найдем изображение выходного процесса
(+ • • • + Ьп VCkSk + ... + Сп 'j
X(s) = W (s)Y(s) =	(1.378)
+... +flops'’+... + «/„)
Переходя в (1.377) от изображения к оригиналу, получим зависимость, опреде-
ляющую входной сигнал:
у(г) = £"1{у(5)} = с1эеа,'+фа2'+... + с’е“^.	(1.379)
Для нахождения реакции системы на сигнал (1.377) перепишем (1.378) в виде
*(*) = 7----Sm+ksm+k+--- + g0----- = 4^.	(1.380)
Переходя в последней формуле к оригиналу, запишем
x(t) = c^‘‘ + ... + с*ек"' + суеа< + суе^‘ + ... + суре^‘.	(1.381)
В связи с тем что система устойчива и работает в установившемся режиме,
qV1' + ... + c„H'ev ...................>0.	(1.382)
Тогда выходной сигнал системы, работающей в установившемся режиме, опреде-
ляется формулой
ху (г) = qye“|Z + с2уе“2' +... + суе“<	(1.383)
Формулы для нахождения коэффициентов сук , к = 1, р имеют вид (полагаем для
простоты, что все корни простые)
к B'(5)|J=at
к = 1,р.
(1.384)
С учетом последнего выражения (1.383) примет вид
(1.385)
Надо отметить, что поскольку
A(s) = (bmsm + ... + b0)(cksk +... + с0) = A(s)(cksk +... + с0);
B(j) = (a„y" + ... + a0^dpsp + ... + d0^ = B(s)[dpsp + ... + tZ0),
(1.386)
т.е. в формулы для Л(у) и B(s) входят полиномы и 5(s), определяющие
передаточную функцию системы (поскольку fV(s) = A(s)/B(s)), то коэффициенты
> ск, к = \,р определяют не только свойства воздействия у(/), но и параметры, харак-
теризующие свойства собственно системы. Именно в связи с последним фактом, т.е.
связи с тем что коэффициенты сук, к = \,р отражают свойства системы, последние
отличаются от эталонных коэффициентов ск, к = \,р. Поскольку известен вход
и реакция xy(z) на этот вход, то легко записать формулу, определяющую ошибку
работы системы:
182 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
(1.387>
4=1	4=1 <	° \ак) J
Воспользуемся обозначением
Q3-^=^-4^4 = ^-	(1-388)
к В'(ак)
С учетом (1.388) получаем выражение, определяющее точное значение ошибки вос-
произведения входного сигнала y(z) исследуемой системы в установившемся режиме:
е(0 = £ф“''.	(1.389)
4=1
1.10.3. Приближенное исследование точности работы системы
В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
Положим, что выполнены условия 1), 2), 3), а также
£(т) = £-1{^(5)};	(1.390)
тогда выходной сигнал системы в установившемся режиме определяется формулой
(1.391).
40 =J
о
Пусть существует разложение воздействия в ряд Тейлора относительно точки t:
4=0 К-
(1.392)
где
* = 0Л2)
v ’ dtk
Подставляя (1.392) в (1.391), получаем
4=0 (о
Л У I
к\
(1.393)
(1.394)
Величины
=(-1)*	(т)t/т, £ = 0,1,2,...
о
называются степенными моментами к-го порядка импульсной переходной функ-
ции к(х).
Зависимость (1.394) позволяет сделать вывод: установившийся процесс в линей-
ной стационарной системе полностью определяется моментами ИПФ и производ-
ными воздействия.
Моменты легко рассчитываются по передаточной функции замкнутой систе-
мы. В самом деле, справедлива зависимость
dkW(s) . ./Л к ,
-^ = (-1) \хе k^dx-
Сравнивая (1.395) и (1.396), легко заключить, что
dkW(s)
dsk
(1.395)
(1.396)
М4 =
, к = 0,1,2,....
(1.397)
5=0
183
Глава 1. Стационарные САУ
Если разложим W (л) в степенной ряд по s, то получим
dkfV(s)
,dsk
Л
(1.398)
1К(5)=Х
к=0
Отсюда следует, что моменты цк ИПФ представляют собой коэффициенты
разложения передаточной функции IV (s) замкнутой системы в ряд по степеням s.
Для дробно-рациональных передаточных функций моменты можно опреде-
лить простым делением многочлена числителя передаточной функции на многочлен
знаменателя.
С учетом (1.394) и (1.395) имеем
е(')=Я') - X м* = I1 - Цо 0) -	—р-
к=0	к=\ К-
(1.399)
Введя обозначения
СО = 1-Но. ск =-Ць А: = 1,2,3,
запишем (1.399) в компактной форме:
(1.400)
i=0 к-
Коэффициенты ск, £=0,1,2,... называются коэффициентами ошибок системы.
Они могут быть вычислены по формуле
(1.401)
ск =
, k = 0,1,2,
Л-0
Передаточная функция We (i) = 1 - W(s) называется передаточной функцией ошибки.
Коэффициенты ошибок ск, £ = 0,1,2,... равны к-м производным от передаточ-
ной функции ошибки при s = Q.
Коэффициент с0 называется коэффициентом статической или позиционной
ошибки, коэффициент q — коэффициентом скоростной ошибки, с2 — коэффици-
ентом ошибки от ускорения.
Коэффициенты ошибок определяют зависимость установившейся ошибки от
структуры системы и ее параметров. Поэтому исследование коэффициентов оши-
бок позволяет наметить пути уменьшения или полного устранения установившей-
ся ошибки.
Пусть у (г) = у0l(z), тогда е(/) = соуо, т.е. при постоянных воздействиях устано-
вившаяся ошибка также постоянна (эта ошибка называется статической). Статиче-
ская ошибка пропорциональна значению постоянного внешнего воздействия.
Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал y(t) = у01(/)
без ошибки, называется астатической 1-го порядка.
Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал
= y^(t) + yxt + y2t2 +... + у^'	(1.402)
без ошибки, называется астатической порядка I.
Выражение (1.400) можно рассматривать как разложение ошибки е(?) САУ в ряд
по производным от управляющего воздействия y(z). В случае медленно изменяю-
184 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
щихся воздействий, когда в выражении (1.400) можно ограничиться небольшим чис-
лом членов, оно оказывается удобным для вычисления е(/), так как при этом не тре-
буется знания корней характеристического уравнения. Каждый из членов ряда (1.400)
можно интерпретировать как z-ю составляющую ошибки е(/) САУ. КаждаяJ13 состав-
ляющих является реакцией системы на соответствующую производную от воздейст-
вия y(t). Коэффициент пропорциональности между этой составляющей, обусловли-
ваемой /-й производной от у(г), деленной на /-факториал, является коэффициентом
ошибки САУ.
Коэффициенты с, могут быть вычислены и по заданной передаточной функции
ошибки И'Дл):
(j) = 1 -Ж(л) = 1 - ]>(т)е'ЛЛ = JX(т)е’4'«7т.	(1.403)
о	о
Разложим выражение для передаточной функции (1.403) в ряд Маклорена при ма-
лых S'.
We(s)=K0+KiS+K2s2+....
Преобразование Лапласа E(s) для ошибки е(/) на выходе можно представить в
следующем виде:
<1404>
Применяя к выражению (1.404) обратное преобразование Лапласа, получим
Е(/)=Коу(/) + К1у(/) + А:2у(/)-|-....	(1.405)
Сравнивая выражение (1.405) с (1.400), имеем
с0 = К0; сг=К}-, с2=2\К2;...; сг=г\Кг.	(1.406)
Таким образом, вычисление коэффициентов с, сводится к разложению в ряд
Маклорена передаточной функции ошибки Wz (s) при s -» 0. Формулы для опреде-
ления коэффициентов К, в соответствии с (1.406) имеют вид
Ко = с0 = НтИ'Дл);
5->0
^=q = lim-[^(5)-/:0];
>0 s	-1
Z! s~£
г 1
1Ш1 —
*->о s'
4=1
В общем случае
с' = !™"7
~k\
(1.407)
Коэффициенты ошибок могут быть выражены через коэффициенты ПФ разомк-
нутой системы. В табл. 1.5 приведено несколько коэффициентов ошибок для стати-
ческих и астатических систем 1-го и 2-го порядка, вычисленных для случая, если
Глава 1. Стационарные САУ
185

£(l + p1s + p2?+- + P„.?'”)
Z (1 + сц.5 + a2s2 +... + ansn j
(1.408)
Таблица 1.5
Формулы для коэффициентов ошибок
Тип системы	Коэффициент ошибки	Формула, определяющая коэффициент ошибки
Статическая система	с0	1 \ + К
	А	(а.-М* 1 + К2
	с2	2(сс2-р2)А7 । 2ct,(p1-al)K । 2р, (р, - а,) АГ2 (1 + К)2	(1 + /Q3	(1 + К)4
	с3	б^(аз-Рз) . (1 + К)2 ! 6А'[2а|а2-2Кр|р2+(АГ-1)(агр1+а1р2)] (1+О3 , 6К(а,-Р,)(а, +^р,)2 (1 + К)4
Астатическая система 1-го порядка	с()	0
	А	1 К
	А>	2(ai-pi) 2 К	К2
	с3	6 12(Р,-а|) 6(а2-р2) 6P,(P,-a|) К3	К2	К	К
Астатическая система 2-го порядка	А)	0
	А	0
	С2	2 К
	А	6(<Х|~Р1) К
Как следует из анализа формул, представленных в табл. 1.5, при увеличении ко-
эффициента усиления К разомкнутой системы ошибка системы в установившемся
режиме уменьшается.
Однако чрезмерное увеличение коэффициента усиления может привести к неус-
тойчивости системы.
Важным свойством астатических САУ является то, что для системы с порядком
астатизма, равным v, первые v коэффициенты ошибки с0, q,..., cv4 равны нулю.
Следовательно, соответствующие ошибки в установившемся режиме работы системы
отсутствуют.
1.10.4. ТОЧНОСТЬ РАБОТЫ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Наряду с воздействием у(?) в системе часто имеются и другие неконтролируемые
входные воздействия (возмущения), оказывающие влияние на управляемую перемен-
186 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ную х(1). Например, в системе управления радиолокационной станцией (РЛС) таки-
ми возмущающими воздействиями являются ветровые нагрузки (момент силы ветра).
Изложим соответствующие теоретические положения, следуя [143]. Рассмотрим
систему (рис. 1.150).	е
Рис. 1.150. Структурная схема системы
Основное назначение автоматической системы состоит в том, чтобы выходная ве-
личина x(f) с течением времени изменялась в соответствии с изменением задающего
воздействия и мало зависела от изменения возмущающего воздействия /„(/)•
В рассматриваемом случае справедливы зависимости
X(^) = lK(.S)y(5) + lPB(.v)FB(.?),	(1.409)
где
1+»UW)
— ПФ по задающему воздействию и
(*)=----Л7—, <
bV ’ l + W^s)W0(s)
(1.410)
(1.4П)
— ПФ по возмущающему воздействию.
Поскольку управляемый объект задан, то его передаточную функцию W(s) не-
возможно изменять по своему усмотрению. Мы можем изменять лишь параметры
корректирующего устройства, т.е. коэффициенты передаточной функции ^(s). При
увеличении передаточная функция lPB(s) будет уменьшаться, стремясь к 0,
а передаточная функция IF(s) будет возрастать, стремясь к 1. Следовательно, в пре-
деле, при бесконечно большом коэффициенте усиления корректирующего устройства,
1-Иф) = 0, И;(5) = 0.	(1-412)
Вывод. При неограниченном увеличении усиления корректирующего устройства,
расположенного в прямой цепи системы между точками приложения задающего и
возмущающего воздействий, ошибка системы стремится к нулю.
Для САУ, структурная схема которой имеет вид (рис. 1.151), имеет место сле-
дующее положение [143].
При неограниченном увеличении усиления корректирующего устройства, распо-
ложенного в прямой цепи системы между точками приложения задающего и воз-
мущающего воздействий, выходная величина замкнутой системы перестает зави-
сеть от возмущающего воздействия и определяется только произведением обрат-
ной передаточной функции в цепи обратной связи и задающего воздействия.
Последнее положение следует из того, что соответствующие ПФ имеют вид
W(s\ = w / \______________________wo{s)--------------	и 413)
Глава 1. Стационарные САУ 187
и при неограниченном возрастании усиления корректирующего устройства с переда-
точной функцией ^(s), ^(5) стремится к 0, a W(s) стремится к IK"1 (5), и, зна-
чит, в пределе
X(S) = М0У(0-	(1.414)
Рис. 1.151. Структурная схема системы
Рассмотрим систему с внутренней положительной обратной связью (рис. 1.152)
Рис. 1.152. Структурная схема системы
Поскольку справедливы соотношения
МОВД
v 7 1+МОВД+МОВД’
w (1-ВД)ВД)ВД
i+МОВД+МОВД’
то, выбирая передаточную функцию WK (s) из условия
М0ВД=1>
т.е. при
ВД=М0>
получаем из (1.415) и (1.416)
РК(лг) = 1, 1Кв(5) = 0.
(1.415)
(1.416)
(1-417)
(1.418)
(1.419)
Вывод. Если передаточная функция внутренней обратной связи f¥K (5) равна об-
ратной передаточной функции управляющего устройства	то ошибка сис-
темы с положительной внутренней обратной связью тождественно равна нулю.
188 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Как система с внутренней положительной обратной связью, так же как и обычная
система с неограниченно возрастающим усилением, являются идеализированными
системами. В них ошибка равна тождественно нулю вне зависимости от изменений
задающего и возмущающего воздействий.
Рассмотрим системы (рис. 1.153).	,
б
Рис. 1.153. Структурная схема системы
Система (рис. 1.153, я и б) совпадает с системой с внутренней положительной об-
ратной связью, если И/К(^) = И/М(5), и при выборе Жм (j) =	(s) получаем
lK(s) = l, FKB(s)sO.
Комбинированная система представлена на рис. 1.154.
Рис. 1.154. Структурная схема системы
Анализ структурной схемы (рис. 1.154) позволяет сразу же записать условие ком-
пенсации возмущающего воздействия
(*),	(1-420)
т.е. при передаточной функции корректирующего элемента WK(s}, равной обрат-
ной передаточной функции прямой цепи системы между точками приложения
задающего и возмущающего воздействий, т.е. обратной передаточной функции
корректирующего устройства, влияние возмущающего воздействия на ошибку
устраняется.
Глава 1. Стационарные САУ 189
К комбинированной системе близка разомкнуто-замкнутая система, структурная
схема которой изображены на рис. 1.155. В этой системе измеряется задающее воз-
действие, которое после преобразования корректирующим элементом с передаточ-
ной функцией ^(j), суммируется с ^выходной величиной корректирующего уст-
ройства.
Рис. 1.155. Структурная схема системы
Из анализа рис. 1.155 следует, что при передаточной функции корректирующего
элемента	равной обратной передаточной функции прямой цепи системы
между точкой приложения возмущающего воздействия и выходом, т.е. обратной
передаточной функции управляемого объекта, влияние задающего воздействия у(?)
на ошибку устраняется.
Если выполнено соотношение WK(s) = W~} (s), то далее система (рис. 1.155) мо-
жет рассматриваться как обычная система.
Комбинированная разомкнуто-замкнутая система, структурная схема которой изо-
бражены на рис. 1.156, представляет собой совмещение комбинированной системы и
разомкнуто-замкнутой системы. Она отличается от обычной системы наличием двух
дополнительных возмущающих воздействий
ед=адед и ед=адед.
Рис. 1.156. Структурная схема системы
На основе предыдущих рассуждений можно записать
ад=ад);	(1-421)
=	(1-422)
ошибка е(1) становится тождественно равной нулю при любых задающих воздействиях.
Запишем общие уравнения автоматических систем.
Пусть
W° (s) = W(s)+ WB (s)1K2k (s),	(1.423)
190 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
<(.S) = li;(.v) + lK (5)^(5)	(1.424)
— общие передаточные функции по задающему и возмущающему воздействиям.
В частных случаях при 1K1k(5) = 0 либо ^2к(5) = 0 мы получаем передаточные
функции разомкнуто-замкнутой либо комбинированной системы, а при
FK1K (s) = 1F2k (s) s 0 — передаточную функцию системы с внутренней положитель-
ной обратной связью и обычной системы. Поэтому общее уравнение автоматических
систем относительно изображения выходной величины можно записать в виде
%(5) = П'° (s) Y (.) - W° (s) F„(s),	(1.425)
а общее уравнение ошибки автоматических систем относительно изображения ошиб-
ки — в виде
E(s) = (1 - W° (s))y (s) —	(s)FB (s).	(1.426)
Автоматические системы называются инвариантными, если их ошибка тожде-
ственно равна нулю при любых задающих возмущающих воздействиях.
Как видно из общего уравнения (1.426), условием инвариантности автоматиче-
ской системы является тождественное равенство нулю передаточных функций
ошибки по задающему и возмущающему воздействиям'.
1-Ж°(.?) = 0;	(1.427)
С(Ф°-	(1.428)
Если в автоматической системе выполняется какое-либо одно из этих условий,
то систему можно назвать частично инвариантной.
Инвариантные и частично инвариантные системы представляют собой иде-
альные системы. Эти системы, как правило, физически нереализуемы. Однако зна-
комство с такими идеальными системами весьма важно, так как они определяют тот
предел, к которому следует приближаться при желании синтезировать высококачест-
венные системы с учетом реальных возможностей и ограничений [143].
1.11. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ И КАЧЕСТВО УПРАВЛЕНИЯ
В настоящее время понятие обратной связи стало универсальным, характери-
зующим все природные и технические процессы, связанные, в том числе, и с дея-
тельностью человека [37, 120, 140]. Так, например, экология является проявлением
принципа обратной связи между человеком и природой. До недавнего времени че-
ловек использовал природные ресурсы, не заботясь об обратной реакции, т.е. осу-
ществлял воздействие на природу по разомкнутому циклу. Сейчас он вынужден
учитывать эту реакцию и в управлении ею осуществлять принцип обратной связи
(рис. 1.157, а) [120].
Принцип обратной связи проявляется и во взаимодействии человека с им же
создаваемой техникой: последняя приобретает возможность влияния на человека.
Так, в начале технической революции ремесленный труд в значительной мере был
вытеснен машинами и их системами (например, конвейерами). В дальнейшем в
связи со стремительным развитием вычислительной техники возможность такого
обратного воздействия на человека в области его умственной деятельности сущест-
венно возросла. Влияние современной техники на социальные, трудовые, психоло-
гические и физиологические условия деятельности человечества должно быть
управляемым (рис. 1.157, б).
Насколько важно уметь управлять научно-техническим прогрессом, особенно на-
глядно показывает пример с развитием ядерной энергетики. АЭС — величайшее дос-
Глава 1. Стационарные САУ
191
тижение науки. Однако в случае аварии на ней (например, из-за ненадежности тех-
нических средств или нарушения условий эксплуатации) может последовать гибель
людей. Поэтому система «человек-машина» или проблема «человек-техника» при-
обретают в настоящее время глобальнее значение [120].
а	б
Рис. 1.157. Обратная связь в системах «человек-природа» (а) и «человек-техника» (б)
Информационная сущность систем привела к необходимости введения в САУ
отрицательной обратной связи, являющейся непременным атрибутом структуры
систем автоматического управления, позволяющим уменьшить влияние возмущений
и помех на точность воспроизведения управляющего сигнала.
Таким образом, кардинальным в процессах управления является принцип отри-
цательной обратной связи (ООС). Сущность его, как указывалось в п. 1.1, заключа-
ется в том, что для достижения цели управления, поставленной перед процессом,
объектом или системой, необходимо не только формирование управляющих воздей-
ствий, но и получение достоверной информации о протекании процесса на выходе
САУ. Техническая реализация принципа ООС сводится к разработке каналов прямой
и обратной связи между управляющей системой и объектом, что существенно повы-
шает эффективность управления при наличии возмущающих воздействий и помех.
Процессы управления — это динамические процессы, протекающие в системах, в
которых потоки информации, а также решения и действия для достижения цели
управления структурно реализуются в виде замкнутых контуров, т.е. систем с об-
ратной связью.
В связи с особой важностью обсуждаемого вопроса рассмотрим два класса САУ:
1. Разомкнутые системы (рис. 1.158 и 1.159).
Вход
Объект
управления
> Выход
Рис. 1.158. Объект управления
Желаемое
значение
выхода
Исполнительное
устройство
Объект
управления
> Выход
Рис. 1.159. Разомкнутая система управления (без обратной связи)
Примером может служить САУ, представленная на рис. 1.160 [37, 140].
Рис. 1.160. Разомкнутая система управления скоростью вращения диска (а)
192
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
б
Продолжение рис. 1.160. Разомкнутая система управления
скоростью вращения диска (а) и функциональная схема системы (б)
2. Системы, работающие по принципу обратной связи (рис. 1.161).
Ошибка
Рис. 1.161. Функциональная схема САУ с обратной связью
Примером САУ с обратной связью является система, функциональная схема ко-
торой представлена на рис. 1.162, с наличием принципиального фактора — отрица-
тельной обратной связи [37, 140].
Рис. 1.162. Замкнутая система управления скоростью вращения диска (а)
и функциональная схема системы (б)
Выше были подробно рассмотрены теоретические положения, определяющие основ-
ное свойство САУ: качество ее работы в переходном и установившемся режимах.
Однако в предыдущем изложении не был дан ответ на вопрос: какое влияние
оказывает обратная связь (ООС) на качество процессов управления? Детально-
му рассмотрению этого ключевого положения посвящен настоящий параграф.
Рассмотрим некоторые наводящие соображения (они подробно рассмотрены в
томе 3 настоящего учебника).
Охватим апериодическое звено отрицательной обратной связью. Тогда ПФ запи-
шется так:
Глава 1. Стационарные САУ 193
W (з)	к
^(5) =----;Ц--—; т, где (FL (s) = ———, Woc(s) = k0.
’V ’ l + ^p(s)lKoc(s)’ pV ’ Ts + l ocV 7	°
Имеем
^(г) = —~, где кэ =-------, 71 =———.
v ’ Т3з + \	1 + кок3 э 1 + ^Аэ
Вывод. Введение ООС повысило быстродействие элемента [127].
Приведем еще два примера, играющих важную роль при решении инженерных
задач.
Рассмотрим колебательное звено с небольшим значением коэффициента демпфи-
рования:
^p(j)= -...--------.
PV 7 Т2з2 + 2£7s + l
Во многих задачах ставится вопрос о демпфировании сильно колебательных про-
цессов.
Охватим колебательное звено ООС с fV0C (s) = k(,s. Тогда ПФ замкнутой системы
запишется так:
W. (s) =  к-------,
V 7 T2s2+2^7s + 1
где при к0 <2Г(1-^)Д
Вывод. При выполнении неравенства к0 <2Т(\-^/к ООС не изменяет струк-
туру колебательного звена, но увеличивает его коэффициент демпфирования. Если
же k0>2T(\-Q/k, то эквивалентом колебательного звена будет последователь-
ное соединение двух апериодических звеньев [127].
При синтезе регуляторов часто имеет место задача создания реальных форси-
рующих звеньев.
Эта задача решается так: идеальное усилительное звено с коэффициентом усиле-
ния к охватывается элементом обратной связи с ПФ
и«<-’)=т7д;
J0s + 1
тогда
К3(з) = к3(Т3з + 1),
где
к -___-___ т = То
э 1 + кк0 ’ 3 \ + кк0
В настоящее время используются малогабаритные устройства, позволяющие в
конкретных условиях получить с достаточной точностью производные сигналов.
Возможность с необходимой точностью получать производные приводит к тому, что
при решении задачи синтеза регуляторов динамические свойства системы будут не-
значительно отличаться от эталонных.
При решении задачи синтеза регуляторов находит применение подход, реали-
зующий синтез корректирующих обратных связей (КОС). Примером технической
реализации задачи синтеза КОС является схема коррекции с тахометрической обрат-
14 Зак. 14
194 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ной связью (последнюю обычно применяют в позиционных следящих системах для
демпфирования колебаний) [120].
При выборе технически реализуемых корректирующих устройств применяются
параллельные корректирующие устройства, охватывающие все инерционные элемен-
ты [120]. Общее же положение формируется так: обратные связи (параллельные кор-
ректирующие устройства (ПКУ)) — эффективный аппарат синтеза регуляторов'.
•	ОС (ПКУ) улучшает устойчивость и уменьшают влияние нелинейностей;
•	в элементах системы, близких к выходу, развивается значительная мощность,
вследствие чего питание обратной связи не вызывает затруднений;
•	САУ с ПКУ менее подвержены влиянию помех.
Часто используется комбинация двух видов ПКУ: физически осуществимые ПКУ,
охватывающие некоторые звенья регулятора, и ПКУ, охватывающие наиболее инер-
ционные (колебательные) звенья системы.
А теперь обратимся к обсуждению вопросов, связанных с влиянием ООС на каче-
ство работы САУ, следуя [37, 140].
1.11.1. Чувствительность САУ к изменению параметров
Рассмотрим замкнутую САУ (рис. 1.163).
Рис. 1.163. Структурная схема системы
Объект управления, представленный передаточной функцией ^(«) = ^(5)^(5),
какова бы ни была его природа, подвержен влиянию окружающей среды, старению,
отсутствию точной информации о его параметрах и других объективных факто-
ров, которые негативно сказываются на его поведении. В разомкнутой системе все
эти факторы приводят к отклонению выходной переменной от желаемого значе-
ния. Замкнутая система, напротив, чувствует это отклонение, обусловленное изме-
нениями параметров объекта, и пытается скорректировать выходную переменную.
Поэтому чувствительность системы управления к изменению параметров есть вопрос
первостепенной важности. Основное преимущество систем с обратной связью
состоит в их способности снижать чувствительность к изменению параметров.
Положим, что параметры объекта изменились и, следовательно,
И;(5) = 1Крэ(5) + Д^р(5),	(1.429)
где W? (5) — ПФ разомкнутой САУ с эталонными параметрами.
Если САУ не замкнута, то
^(5) = [^(5) + А1Кр(5)]у(5);
отсюда
A¥(s) = AlKp(s)y(4
Если имеет место ООС, то
. .	/ ч С (s) + A1K„(5)
X(s) + A¥(s) = —f=--ш-----------------^(s)
1 + [1РрЭ(5) + Д^р(5)]1Гос(5)
(1.430)
(1.431)
(1.432)
Глава 1. Стационарные САУ
195
или, что то же самое,
. .	/ ч	(Г„Э(*) + Л(Г„($)
A(i) + AY(i) =-----------------Е-Л-2-----Г(Д	(1.433)
U 1 + (ГД5)(Г0Д.) + А(Гр(.)(Г0С(5) U
Тогда
дл-mJ.__________W________________WMW L,,
[l + WM») 1<Л’Ы»'«(4 + д»'р(4»'о.М[ ' "
отсюда следует
ЛА' (s) = г----------------------------------------=| r(s).	(1.434)
[1+(гД 5)(г0С (s)+д(гр (5)ЖОС (5)][1+ж; (s)^ (,)]
Поскольку на практике выполнено неравенство
(ГД5)(Гос(5)»Л(Гр (5)^(5),
ТО
. . AlK.(s)
Л*(*) = ---------------уГ(4	(1.435)
[1+едм*)]
Из сравнения (1.434) и (1.435) и с учетом неравенства (Грэ (5)^(5)»! легко
сделать вывод о преимуществах систем с ООС.
Способность уменьшать влияние изменения параметров путем введения обрат-
ной связи — одно из положительных качеств замкнутых систем управления. Чтобы
добиться высокой точности управления в разомкнутых системах, необходимо очень
тщательно подходить к выбору элементов, образующих передаточную функцию
M'p(.s). Напротив, замкнутые системы допускают определенные вариации парамет-
ров И'р(.у), поскольку их влияние ослабляется.
Поскольку

то на основе этого определения в [37] введено понятие чувствительности системы
dwv/wv a in 1гр
Чувствительность системы — это отношение изменения ее передаточной
функции к изменениям передаточной функции {или параметров) объекта управления
при условии их малости', степень чувствительности дает достаточно полное пред-
ставление о влиянии «ухода» параметров от эталонных на качество управления.
Чувствительность разомкнутой системы равна единице; формула, определяющая
чувствительность замкнутой системы, имеет вид [37, 140]
,	gW _________1_____.
1 + (Гр (s)(T0C(s)’
из (1.436) следует, что увеличение ^p(s)(^Oc(s) в соответствующем диапазоне час-
тот приводит к уменьшению чувствительности замкнутой системы.
Справедливы следующие положения:
• зависимость, определяющая чувствительность замкнутой САУ к изменению
(1.437)
14*
196
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
=_dw_ ivoc ( wP
”',с airoc w +
• формула, определяющая чувствительность замкнутой САУ к изм^ению па-
раметров ПФ Wp (j):
-^ос	^Р^ОС .
wvK\ + wpw0A i + ^oc’
(1.438)
S*=S*Sp>;	(1.439)
соотношение, определяющее чувствительность замкнутой САУ, имеющей ПФ
IV(s) = - )
N(s,p}
с параметром р, подверженным изменениям:
w _ Sin W _ 51пМ
р д\пр д]пр
р=р,
a in у	
Sin р	р
_	о.С,:
,=Л„
где рн — номинальное значение параметра.
Пример 1.31 137,140].
Структурная схема усилителя с ООС имеет вид (рис. 1.164).
Рис. 1.164. Структурная схема усилителя с обратной связью
(1.440)
(1.441)
ПФ усилителя имеет вид
если £я=104; р = 0,1, то
д’
" 1 + 103
т.е, чувствительность усилителя с ООС практически в 1 000 раз меньше, чем усилителя без обратной связи.
1.11.2. Влияние ООС на параметры переходной
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Содержание вопроса целесообразно проиллюстрировать на конкретном примере
[37, 140]. Рассмотрим систему управления скоростью двигателя. Принципиальная
схема разомкнутой системы имеет вид (рис. 1.165).
Е- постоянный ток
возбуждения
С 0 НаГРУЗКа’
Скорость, СО (г)
Рис. 1.165. Принципиальная схема разомкнутой системы управления скоростью двигателя
Глава 1. Стационарные САУ 197
Передаточная функция системы определяется формулой
где	,
ку =	т =
’ Rab + khkm ’ 1 Rab + kbkm’
причем кт — коэффициент, зависящий от магнитной проницаемости (постоянная
электродвигателя); кь=кт', т, —эквивалентная постоянная времени; Y(s) = k2E/s
— изображение ступенчатого воздействия.
Соотношение для переходной характеристики разомкнутой системы запишется так:
Л(/) = k{k2E^\-ej = со(/).
А теперь найдем Л(/), используя для замыкания системы тахогенератор (рис. 1.166).
Рис. 1.167. Переходные характеристики разомкнутой и замкнутой систем управления
скоростью двигателя при Tj = 10 с и к}какт =100.
Для достижения 98% установившегося значения скорости в разомкнутой
и замкнутой системе требуется соответственно 40 с и 0,4 с
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
PY(s)=	= __2^1—_ -	к\!х\
\ + kakTWv(s} Txs + kakrkx+\ s+ (\ +кактк\)/х\
Динамические характеристики замкнутой системы зависят от параметров ка (ко-
эффициент усиления усилителя) и кт (коэффициент усиления тахогенератора).
198
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Переходная характеристика определяется формулой
а с учетом того, что момент инерции нагрузки достаточно велик, приближенная зави-
симость для Л(/) принимает вид
й(г) = Л(/)=-^-А2£
кг
, Г -кпктк'
1-ехр —S-J—i-t
Если полюс разомкнутой системы принять равным l/xt =0,1, то за счет измене-
ния параметров ка и кг для замкнутой системы можно добиться выполнения равен-
ства какгкх/ху =10, и, таким образом, результат формулируется так: быстродейст-
вие замкнутой системы за счет изменения параметров в прямой цепи и цепи ООС
удается повысить в 100 раз по сравнению с быстродействием разомкнутой систе-
мы (рис. 1.167).
1.11.3. Влияние ООС на значение установившейся ошибки системы
Изображение ошибки замкнутой системы при 1Г0С($) = 1 определяется за-
висимостью
E(i)=-----(1.442)
V ’ 1 + ^(5) У ”
а значение установившейся ошибки — формулой
lime(f) = limsiYs).	(1.443)
’ л_»о ' '
Если у(г) = 1(г), то
е =е(со) =----1	;	(1.444)
у V ’ 1 + 1Гр(0)
в разомкнутой же системе имеем
zy = е(оо) = lim s[l - lPp (5)] 1 = 1 - Wv (О).	(1.445)
Очевидно, что при 1Тр(0) значение ошибки е(оо) = 0. Здесь ключевым является
то обстоятельство, что параметры 1Ер(л) отличны от эталонных, и это приводит к
неравенству 1Гр(0)^1, и, таким образом, для устранения ошибки необходимо пере-
настраивать систему. Напротив, в замкнутой системе происходит непрерывное
измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводящий к уменьшению ее устано-
вившегося значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что побудительным
мотивом к введению отрицательной обратной связи является снижение чувстви-
тельности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и внешним
возмущающим факторам [37, 14©].
Если, например, разомкнутая система — апериодическое звено с ПФ
ИС(5)=——,
м ’ 75 + 1
то при у(/) = 1(г) и А = 1 е(<ю) = 0. В замкнутой же системе
/ х . k 1
е(оо) = 1----=-----,
v ’	1 + Л 1 + Г
Глава 1. Стационарные САУ 199
причем к — коэффициент усиления разомкнутой системы, который при известных
обстоятельствах, связанных с качеством работы в переходном режиме и устойчиво-
стью, может принимать достаточно большие значения.
ПриЛ = 100 е(оо) = 1/101.
Положим, что значение к изменилось на 10% [37, 140]. Тогда:
•	для разомкнутой системы имеет место относительное приращение
Ле(оо) Де(оо) 0,1
ИГ-i“=~;
•	для замкнутой системы можно записать
4£W,fe'/ioi=o,o011.
К<)|	1
В первом случае относительное приращение ошибки составило 10%, во втором
— 0,11% [37, 140].
1.11.4. Влияние ООС на процесс снижения различного рода
возмущений
Возмущение — это нежелательный входной сигнал, который оказывает
влияние на выходной сигнал системы. Многие системы управления подвержены
влиянию внешних воздействий, приводящих к отклонению выходного сигнала от
желаемого значения. Так, в электронных усилителях всегда имеет место шум, возни-
кающий в транзисторах или интегральных схемах; на антенны радиолокаторов влия-
ют порывы ветра; во многий системах также возникают искажения за счет присутст-
вия в них нелинейных элементов. Системы с обратной связью обладают тем пре-
имуществом, что в них влияние всех этих негативных факторов может быть сущест-
венно снижено.
1.11.5. Общие выводы
Для систем с ОС характерно следующее:
•	в них уменьшается влияние изменений параметров объектов на качество управ-
ления, и, таким образом, замкнутые системы допускают определенные вариа-
ции параметров объектов управления относительно их номинальных значений',
•	имеются пути повышения быстродействия замкнутой системы',
•	в них влияние возмущений (нежелательный входной сигнал n(t), который ока-
зывает влияние на выходной сигнал системы х(Г), увеличивая ошибку
е(°°) = y(t) - x(t) ) может быть значительно снижено',
•	способность уменьшить ошибку системы e(z) после окончания переходного
процесса.
К отрицательным факторам введения обратной связи относят следующие:
•	реализация обратной связи усложняет систему',
•	возможность потери системой устойчивости.
1.12. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ
ФУНКЦИИ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Выше были детально изучены системы с сосредоточенными параметрами. Многие
положения обобщаются на стационарные системы с запаздыванием и системы с рас-
пределенными параметрами.
200 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Все введенные выше понятия, а именно: понятия передаточных функций, ИПФ
и ПХ, частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ и др.) — обобщаются на системы с за-
паздыванием и системы с распределенными параметрами.
Рассмотрим класс систем с запаздыванием. Он описывается дифференциальным
уравнением (ДУ) с запаздывающим аргументом [32]	*
X avx^ + X bvx^ (z - т) = у (г).	(1.446)
v=0	v=0
Решение x(z) должно удовлетворять исходному ДУ при положительных значе-
ниях аргумента t и условиям
х(/) = ^(/); Ze[-T,0];
х(О) = хо; х'(0) = Xj;...; х'" 1\о) = х„_];	(1.447)
полагаем, что начальная функция ^(z) дифференцируема т раз на отрезке [-т,0] и
хо=^(0); х,=^'(0);-; ^=Г(0).	(1.448)
Введем обозначения:
A(x(z)) = ^avx^v^(z); A/I(x(z-x)) = ^avx^v)(z-T).	(1.449)
v=0	v=0
При этом полагаем, что п > т (уравнение принадлежит к запаздывающему или ней-
тральному типу) [32]. С учетом введенных обозначений исходное ДУ запишется так:
A(x(z)) + Mi(x(z-x)) = y(z).
В [32] показано, что x(z) при известных условиях — оригинал. Поэтому сразу же,
используя этот факт, получаем
рУ(х(г))е_4<еЙ+ jA/1(x(z-x))e 4/£Й = У(а).
о	о
Первое слагаемое в (1.450) имеет вид
jA(x(z))e-4'A = jr(s) £
о
т
avs
_v=0
(1.450)
(1-451)
где У; (j) — член, учитывающий ненулевые начальные условия.
Если во втором слагаемом выражения (1.450) ввести замену, то можно получить
pW] (x(z-T))e~s,c7z = jA/j(x(w))e ^U+X^clu =
0	-т
(1.452)
-т	0
или, что то же самое,
о
-Л’Г	-SX
е at ~е
т
*u) xv
_v=0
о
-r2(i)+ JA/I(£(«))e-Wdw
(1-453)
X(s) Ya*S
\v=0
e~sx
На основе полученных зависимостей можно записать
'	( т
+ XV
<v=0
о
= y(s) + К, (s) + e	(a) + e-" j
(1.454)
—T
Глава 1. Стационарные САУ
201
Введя обозначения
/?(5)
Ф(5) = У1(4+е-"Г2(5);	(1.455)
о
<р($) = е ^M}^^u)^e~'udu,
-т
получим зависимость, определяющую изображение выходного сигнала:
,|45б)
Положим, что Y} (5) = 0, Y2 (5) = 0, <р(л) = 0. Тогда имеет место зависимость
A'(s) = lF(s)y(s),
где ^(5) = 1/T?(s). Обозначим &(/) = Л-1
Функции и k(t) называются соответственно передаточной функцией и
ИПФ стационарной системы с запаздыванием.
Частотные характеристики определены теми же зависимостями, что и ДУ систем
без запаздывания.
Если САУ с запаздыванием описывается ДУ с переменными коэффициентами, то
имеют место динамические характеристики, введенные в главе 2.
Далее рассмотрим класс систем с распределенными параметрами [63]
d2x(z,t) d2x(z,t) d2x(z,
«11 A + «22 Д + «12 —А-
дг	dz	dtdz
Sr(z,r) .	.
+ а2 —-—-+ax(z,t) = у(:
dz
(1.457)
+а,------
1 dt
Пусть
2
О=Ч1-«11«22.
4
(1.458)
Уравнение (1.457) называется уравнением гиперболического типа, если D > 0; эл-
липтического типа, если D < 0; параболического типа, если D = 0 [63]
Как будет видно из дальнейшего изложения, операционный метод можно приме-
нить лишь для построения решений уравнений гиперболического и параболического
типа, т.е. когда D > 0 или D = 0. Зададим условия:
начальные
*(z’OL=o = *0 (z); х!(v)|z=o = *1 (г);
(1.459)
краевые
х(г>^)Ь=о =У1(0: x(z^)|z=/=Уг(О-	(1.460)
Краевые условия часто задаются в виде обыкновенных ДУ, которым должны
удовлетворять функция x(z,t) и ее частная производная dx(z,t)/dz при z = 0 и z = l
(0<z<l).
В форме изображений краевые условия можно задать так:
^(0,5) + G1(5)^^|2=0=G2(5);
dz
(1.461)
13 Зак. 14
202 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
X(l>S)+G3(s)^^\^=G4(S),	(1.462)
az
где Gk (5) — известные функции (к = 1,4).
Рассмотрим более подробно случай (1.460). Предположим, что существуют изо-
бражения от функций
, . dx(z,t) d2x(z,t)
x{z,t), —Ш	<	(1.463)
& dz2
Преобразуя по Лапласу обе части уравнения, запишем [63]
я11|^Аг(г,5)52 -5x(z,0)-x'(z,0)j + a22~—+я12—[^(2,5)5-x(z,0)] +
&	&	(1.464)
+ 0] [^A'(z,5)-x(z,0)] + a2—+aX(z,s) = Y(z,s).
В полученном уравнении дифференцирование X(z,s) производится только по
одной переменной 2; это позволяет знак частной производной заменить на знак пол-
ной производной. Произведя соответствующую группировку, запишем последнее
уравнение в более удобной форме
d2X(z,s) . .dX(z,s) /	>	\ .	.
а22---—г----+ {ai2s + a2 )-—<• +1 а} xs + O1s + а) X (z, s) =
(1.465)
= x(z,0)(aj ,5 + Я] ) + x'(z, О) Я] ] + я12	(z>s)-
Уравнение (1.465) представляет собой обыкновенное ДУ второго порядка отно-
сительно изображения искомой функции X(z,s\ Его коэффициенты не зависят от
переменной z, поэтому оно является неоднородным уравнением с постоянными ко-
эффициентами.
Для его решения можно применить любой известный метод: например, частное
решение неоднородного уравнения можно найти методом Коши, а общее решение
однородного — методом Эйлера. Найдем функции фундаментальной системы.
Из характеристического уравнения
Я22А.2(.$) + (Я125' + Я2)Х(.!|’) + (я1152 +Яи.У + я) = 0	(1.466)
получим
I/ V 7 2	\
X|2(j) Z Д12Д + а2± I ai2^ + fl2 «П-У + a
2^22 yl 2я22 J а22
Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения
X(z,z) = Q (s)eX‘(i)2 +С2	+ Хо (z,s).
(1.467)
(1.468)
Постоянные С] (j) и С2 (s) можно найти, если воспользоваться краевыми усло-
виями. Это дает возможность записать
%0(Z,s) + C1(5)ex,{l)' +С2(фХг(л)' = Y2(s),
отсюда
?г(,)/	Уг(5)	x0(l,S)-X0(l,S)e^
iU Us)i _ x2(s)i мо'М*)'
С	С-	w	С-
(1.470)
Глава 1. Стационарные САУ
203
где
Подставив два последних равенства в зависимость (1.468), получим [63]
X(z,s) = Wx (z.y)^ (s)+% (z,j)r2 (*) + »з (z,5),
(1-471)
(1.472)
(1.473)
В предыдущих формулах XQ (z,s) - частное решение неоднородного ДУ, оно за-
висит от начальных условий и от правой части ДУ (1.465).
Если X(z, s) = 0 , а также имеют место нулевые начальные условия, то выражение
для изображения выходного сигнала имеет вид [63]
X(z,s) = Wx (z,s)Yx (s) + W2 (z,s)Y2 (s).	(1.474)
Анализируя зависимости'(1.472), (1.473) и (1.474), легко заключить, что в случае
систем с распределенными параметрами передаточные функции ^(z.s) и IY2(z,s)
являются трансцендентными (в отличие от дробно-рациональных для систем с со-
средоточенными параметрами).
Для обращения трансцендентных изображений неприменима вторая теорема раз-
ложения и построение оригинала встречает трудно преодолимые проблемы (в каче-
стве особых точек изображения (1.474) могут быть точки разветвления, существенно
особые точки и т.д.).
В связи со сказанным выше, разработаны численные методы обращения транс-
цендентных изображений [3].
Все выводы, полученные для систем с сосредоточенными параметрами, справед-
ливы и для систем с распределенными параметрами и запаздыванием. Приведем со-
ответствующие формулы.
Частотные характеристики определяются выражениями
^(zjco), (Y2(z,j<o), 4(z,<n) = |lFj(z,;<o)|, Л2(г,<о) = |1К2(г,;со)| ит.д.
Если W3 (z,s) = 0, то интеграл Дюамеля запишется так (он определяет вынужден-
ные колебания):
i	t
x(z,t} = |Л1(г,т)у1(/-т)(/т+ jk2(z,x)y2(t(1-475)
о	о
где ^(z.x) и A2(z,t) —ИПФ системы.
Свободные колебания определяются членом lK3(z,z).
Установившиеся колебания находят по формуле
QO	00
x(z,t)= fkl(z,T)yl(t-x)dx+ fa(z,r)y2(t-x)dx.	(1.476)
о	о
13’
204 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Если коэффициенты уравнения (1.476) зависят от времени (рассматривается не-
стационарная система с распределенными параметрами), то выходной сигнал опре-
деляется интегральным соотношением
t	t
x(z,t)= |Л1(х,?,т)у1(т)<7т+ ^к2(г,1,т)у2(т)с/т:.	* (1.477)
о	о
Для нестационарных систем с распределенными параметрами можно ввести в
рассмотрение параметрические передаточные функции
PYt(s,t,z) = |Л](г,Г,т)е
о
lF2(5,r,z)=	Т)<Л.
о
Тогда
X(s,t,z) = (s,t,z)Yx (s) + W2 (s,t,z)Y2 (s).	(1.478)
Пользоваться приведенными выше формулами чрезвычайно сложно.
Глава 2, Нестационарные САУ
205
ГЛАВА 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Теория линейных САУ с переменными параметрами, основы которой изложены в
настоящей главе, рассматривается как теоретический фундамент анализа и синтеза
систем, содержащих переменные параметры и находящихся под воздействием как
детерминированных, так и случайных сигналов.
Важная роль в развитии теории нестационарных САУ принадлежит А.В. Солодо-
ву [ИЗ, 114], Е.Д. Теряеву [74, 75], Ф.А. Михайлову, В.П. Булекову, Л.М. Саликову,
Л.С. Дикановой [73-75], Г.Д’Анжело [33], А.М. Баткову, И.Н. Бриккеру [20],
Б.Е. Рудницкому, Ю.Н. Бородину и А.Б. Иониссиану [19], В.А. Карабанову [45, 46];
В.В. Солодовниковым и В.В. Семеновым разработана спектральная теория нестацио-
нарных систем, получившая широкое развитие в дальнейших исследованиях [104—
108, 121, 122].
В главе изложены не только основы теории, но и пути практического применения
рассматриваемых методов: теоретические положения доведены до расчетных алго-
ритмов, облегчающих их использование. Все разделы, в отличие от ранее изданных
учебников, иллюстрируются примерами исследования конкретных достаточно слож-
ных автоматических систем.
2.1.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ САУ
В ФОРМЕ СКАЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1.1.	Примеры простейших нестационарных систем
и их дифференциальные уравнения
Переменность коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих по-
ведение САУ, порождается многими факторами, а именно:
•	физическими процессами, протекающими в элементах систем;
•	линеаризацией нелинейных систем около опорных траекторий;
•	статистической линеаризацией при подаче на вход нестационарных сигналов и др.
Далее рассмотрим некоторые примеры.
Пример 2.1. Структурная схема контура самонастройки имеет вид, представленный на рис. 2.1 [113, 114].
Рис. 2.1. Структурная схема системы с переменным параметром а(/)
Выходным сигналом контура самонастройки можно выбрать постоянную величину К коэффициента
усиления системы, которую контур должен поддерживать, несмотря на изменение внутренних параметров
объекта.
Уравнение системы (рис. 2.1) имеет вид
°2	+а>^^+а°^к = W’	(2- л
206
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где
a2(t)=.;
МО
“1(0 =
1	, К2К„С}.

а0 (0 -	+
к-^у
K}a(t) Л ’
Уравнение (2.1) относится к классу линейных ДУ с переменными коэффициентами.
Пример 2.2 [96]. Рассмотрим простейший дифференцирующий ЯС-фильтр с изменяющимся по извест-
ному закону Я(<) сопротивлением и неизменной емкостью С, ток ! которого управляет исполнитель-
ным устройством ИУ (управляющая обмотка ИУ обладает постоянным активным сопротивлением R*?;
индуктивностью обмотки пренебрегаем) (рис. 2.2).
Поскольку сопротивление изменяется в зависимости только от времени при неизменных остальных
параметрах, фильтр является линейной нестационарной системой. Структурная-схема, соответствующая
фильтру, приведена на рис. 2.3.

Фильтр
Рис. 2.3. Структурная схема дифференцирующего фильтра
Работа фильтра подчиняется второму закону Кирхгофа
yR{t) + yc(t) + yi^(t) = y(t),
где yn(t),	(0 —падения напряжения на соответствующих элементах Я, С, Я^; y(z) —при-
ложенное к фильтру извне напряжение. С учетом известных из электротехники положений имеем
я(0Л')+£р(т)Л+Л^(')=Я')-
*0
Продифференцировав левую и правую части этого выражения, получим
или
=	(2.2)
где а, (/), а0 (г) — коэффициенты, представляющие собой известные функции времени. То есть динамика
данной линейной нестационарной системы с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами.
Пример 2.3 [96]. Пусть задана система, описываемая дифференциальным уравнением
+	=	(2-3)
здесь at (х) — коэффициент, являющийся функцией выходной координаты, поэтому уравнение (2.3) —
нелинейное. Пусть, например, на основании какого-то упрощающего предположения исходную систему уда-
Глава 2. Нестационарные САУ 207
лось преобразовать к новой, у которой легко вычислить выходной сигнал хоп (г) (в общем случае xon * const),
причем процесс xon(z) близок к x(t). Тогда, выбрав x0„(z) в качестве опорной траектории, получаем
*(') = ХоП(') + Дх(')’	<2-4)
где Ax(z) — малая величина.	*
Уравнение (2.3) примет вид
а, (х)	^(0] + ао	щ + дф)] = Кущ
Так как по предположению величина Ax(z) мала, линеаризуем сначала функцию at (х), если она не-
линейная,
|[aiWL=o+	^((){^^ + ^^] + ao[x0„(r) + Ax(z)] = Ky(z),
I	«-	-1дг=0 J \	/
а потом линеаризуем уравнение (пренебрегая малыми величинами второго и высшего порядков, считая
при этом, что величина dbx(t)/dt тоже мала):
[L -JAr=0	J	I	J
Нетрудно заметить (см. (2.4)), что выражение [^(х)] =aj(xon) — известная функция времени
(так как xOT(z) известна). По той же причине известной функцией времени является и выражение
С учетом обозначений
, [aiWL=o=a>oW;
IL * L * т0<,()’
|°0*оп (') + [«1 «Uo	= УО (0
уравнение примет вид
a‘° G)~^ + aoo (')Ax(z) = Ку (z) + у0 (z);
здесь a10 (z), Oqo (z), у0 (z) — известные функции времени, т.е. исходная нелинейная система после линеа-
ризации стала описываться линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами с
добавочным известным воздействием y0(z), чт0 не приносит дополнительных принципиальных трудно-
стей в процесс решения. Действительно, эта система линейна и по отношению к ней справедлив принцип
суперпозиции, поэтому Ax(z) можно искать следующим образом;
z\x(z) = Ax?(z) + 4x>,0(z),
где &xy(t), &xyQ(l) —решения уравнений соответственно:
a.oW^^+«oo(0^W=^W;
«10 (z)rfA^°^ + a00 (Z) Дх/0 (?) = Уо (z).
Класс ДУ, переменность коэффициентов которых обусловлена линеаризацией не-
линейных ДУ около некоторых опорных траекторий, являющихся функциями време-
ни, весьма широк.
В самом деле, физические процессы, протекающие в динамических системах, в
общем случае описываются нелинейными ДУ. Имеется класс так называемых суще-
ственно нелинейных систем (см. главу 4), физические процессы которых могут быть
описаны только нелинейными ДУ, не допускающими линеаризацию.
Дополнительные
а	сигналы управления
Движение ракеты
Дополнительные
Движение ракеты
Рис. 2.4. Функциональные схемы системы самонаведения
208______Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Глава 2. Нестационарные САУ 209
Однако можно выделить класс САУ, для которых путем перехода к малым от-
клонениям можно получить линейные ДУ, отражающие основные свойства физиче-
ских процессов, протекающих в системах. Нелинейные элементы СА У, статические
характеристики которых имеют конечные непрерывные однозначные производные в
окрестности установившегося процесса, не препятствуют построению линейной
модели при переходе к малым отклонениям (см. главу 4).
2.1.2.	Примеры сложных нестационарных систем автоматического
УПРАВЛЕНИЯ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Примерами сложных САУ являются системы управления движением ракет или
сближением космических аппаратов.
Подробно рассмотрим систему управления самонаводящейся ракеты [62, 64, 121].
Функциональная схема системы самонаведения определяется, главным образом,
типом координатора. Если принимать во внимание только средства, обеспечивающие
изменение траектории ракеты, то для случаев использования неподвижных и подвиж-
ных координаторов имеют место функциональные схемы, показанные на рис. 2.4, а, б.
Входным воздействием для координатора является угловое положение линии
«ракета-цель»; этот сигнал имеет место на выходе кинематического звена и характе-
ризует взаимное движение центров масс ракеты и цели.
Угловое положение линии «ракета-цель» в неподвижном координаторе сопостав-
ляется с угловым положением продольной оси ракеты, а в подвижном — с равносиг-
нальным направлением. Выходными сигналами неподвижного и подвижного коор-
динатора являются напряжения (токи), характеризующие отклонения оси ракеты от
направления на цель и угловую скорость линии «ракета-цель» соответственно.
Команды управления в системах самонаведения формируются автопилотом. Там
же, помимо того, измеряются и соответствующим образом преобразуются дополни-
тельные сигналы управления, необходимые для стабилизации ракеты и улучшения
динамических свойств контура наведения.
Под действием управляющего сигнала, вырабатываемого автопилотом, произво-
дится отклонение рулей ракеты так, чтобы устранялось нарушение связей, которые
накладываются на движение ракеты.
Из рис. 2.4 видно, что система самонаведения помимо контура наведения, обрат-
ная связь в котором замыкается через кинематическое звено, содержит ряд внутрен-
них контуров.
В радиотехнической системе самонаведения имеется несколько открытых звень-
ев, которые могут подвергаться действию организованных помех.
Структурная схема системы самонаведения ракеты с осевой аэродинамической
симметрией при прямом способе наведения в вертикальной плоскости может быть
представлена в следующем виде (рис. 2.5) [62, 121].
На рис. 2.5: К, Кц — скорость ракеты и цели; 0, 0Ц — угол между вектором ско-
рости и горизонтом ракеты и цели; 50, g — установочный угол руля и ускорение
свободного падения; kny —коэффициент передачи пеленгационного устройства; Z(s)
— передаточная функция устройства формирования команд; F(i) = Лпр, Wa (s) = ka
(5) =	— передаточные функции привода рулей, измерителя угла атаки и изме-
рителя угла тангажа; г (?) — расстояние между целью и ракетой.
Основные геометрические соотношения при методе пропорционального сближе-
ния ракеты и цели в режиме движения на встречных курсах представлены на рис. 2.6.
В этом случае линеаризованное уравнение движения ракеты запишется так:
г (?) Дф(?) + г(?) А<р(г) = -V (?) А0(?) + Уц (?) А0Ц (?),	(2.5)
210 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где V — скорость ракеты; Иц — скорость цели; Д<р — приращение угла линии ви-
зирования цели; Дф — скорость вращения линии визирования; Д0 — приращение
угла траектории ракеты; Д0Ц — приращение угла траектории цели; г — расстояние
между ракетой и целью на опорной траектории, причем г (f) = Иц (1) - V (г). *
Рис. 2.5. Структурная схема системы самонаведения
Методом пропорционального сближения называется метод наведения, при ко-
тором угловая скорость вращения вектора скорости ракеты пропорциональна угло-
вой скорости вращения линии «ракета-цель». Уравнения метода в прямоугольной
системе координат имеют вид (см. рис. 2.6)
хц = Hucos0u;
zn = Husin0u;
х = И cos 0;
z = И sin 0;
0 = aroz,
где a — постоянный коэффициент пропорциональности, со; = ф — скорость вращения
линии визирования R, расстояние между ракетой и целью r(/)=|R|. Пусть цель дви-
жется со скоростью Иц и поворачивается с угловой скоростью <оц = 0Ц, положительное
направление которой показано на рис. 2.6 (+соц). Положения ракеты и цели в прямо-
угольной системе координат OXY (О — произвольная точка) определяются координа-
тами х, у и Хц, уц. Положение ракеты относительно цели в полярной системе координат
OnRq, начало которой связано с целью, определяется расстоянием r(f) между целью
и ракетой и курсовым углом цели q. Ориентация векторов скорости ракеты и цели в
прямоугольной системе координат OXY задается углами 0 и 0Ц. Ориентация вектора
скорости ракеты в полярной системе координат задается углом пеленга цели у = <р - 0.
Уравнения движения в полярной системе координат могут быть записаны так:
г = -Vcosy - Иц cosq',
К sin q - И sin у
q =---------------+ йц;
г
Hu sin q - И sin у
Ф = —-------------.
г
Глава 2. Нестационарные САУ
211
Рис. 2.6. Основные геометрические соотношения
при пропорциональном методе сближения
Законы изменения скорости цели Кц, скорости ЗУР V, курса цели 0Ц(?) или уг-
ловой скорости вращения вектора скорости цели <вц (?) и соответствующие началь-
ные условия приводят к замкнутой системе дифференциальных уравнений как в пря-
моугольных, так и полярных координатах.
С помощью структурного преобразования, заключающегося в переносе воздейст-
вия Д0О к точке приложения воздействия Кц (?)Д0Ц (?), исходная схема (рис. 2.7, а)
примет вид, изображенный на рис. 2.7, б. На схеме g(?) = Кц (?) Д0Ц (?)- V(?)Д0О —
внешнее воздействие, эквивалентное маневру цели и начальной ошибке прицеливания.
Система включает следующие блоки [62, 121]:
Блок 1 — кинематическое звено 1 (рис. 2.7, а), соответствующее инерционной
части линеаризованного уравнения (2.5), имеет импульсную переходную функцию
Л1(',Т) = ^)1(/’Т)- (2'6)
Блок 2 — кинематическое звено 2, определяемое правой частью уравнения (2.5) с
использованием связи между нормальными ускорениями ракеты г|(?) и скоростью
изменения угла ее траектории 0 (?): т] (?) = К (?) 0 (?).
Блок 3 — система стабилизации ракеты, она имеет следующую передаточную
функцию:
ад=^-	(2-7)
Блок 4 — блок выработки команд (устройство формирование команд), реали-
зующий метод наведения. При методе пропорционального сближения требуемые
нормальные ускорения ракеты определяются формулой
П* (') = «|^(О|Ф* ('),	(2-8)
где п — константа навигации.
212 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Блок 5 — координатор цели, который измеряет скорость вращения линии визи-
рования ф(/). Передаточная функция координатора имеет вид
*K5(s) = ^—.	(2.9)
5V ’ Ts + \
Рис. 2.7. Структурные схемы системы управления самонаводящейся ракеты:
а — исходная схема; б — преобразованная схема
Выходной сигнал системы — линейное смещение ракеты /i(t) относительно
опорной невращающейся линии визирования цели (линия, соединяющая центры масс
ракеты и цели):
Л(г) = г(/)Дф(г).	(2.Ю)
За величину промаха (ошибки) h принимается значение h(f) в момент выключе-
ния координатора t = ?вык- При исследовании систем управления целесообразно так-
же пользоваться понятием о текущем промахе /г(г), характеризующем величину от-
клонения ракеты от цели в картинной плоскости при предположении о том, что начи-
ная с данного момента времени t процесс наведения прекращается и векторы ско-
ростей цели и ракеты остаются неизменными.
Из внешних воздействий системы учтены: маневр цели, описываемый функцией
Иц(г)Д0ц, начальная ошибка прицеливания Л0О = const и помеха n(t).
Итак, метод пропорционального наведения требует, чтобы угловая скорость
вращения вектора скорости ракеты была пропорциональна угловой скорости вра-
щения линии «ракета-цель». При наведении ракеты в вертикальной плоскости урав-
нение рассогласования имеет вид
Дд=аЁ-0;	(2.11)
здесь а — коэффициент пропорциональности.
Глава 2. Нестационарные САУ
213
Рис. 2.8. Определение промаха ракеты ( /0(/) — скорость ракеты относительно цели)
Первый член правой части уравнения рассогласования представляет собой тре-
буемое значение управляемой величины хт = «ё, а второй — ее действительное зна-
чение хд = 0-
Пропорциональное наведение, как и параллельное сближение, относится к группе
методов управления с переменным углом упреждения. При идеальном наведении
закон изменения требуемого угла упреждения дт находится из уравнения (2.11), если
положить в нем = 0. Тогда
<7Т = (1-а)ё.
В отличие от метода параллельного сближения, идеальное выполнение которого
требует от системы управления мгновенного устранения вращения линии «ракета-цель»,
при пропорциональном наведении требования к системе управления менее жесткие, так
как ее роль сводится лишь к уменьшению угловой скорости вращения линии визирования.
Измерение параметра рассогласования при наведении ракеты по рассматриваемо-
му методу осуществляется координатором, который содержит два типа измерителей.
Один из них представляет собой следящий радиотехнический угломер, измеряющий
угловую скорость линии «ракета-цель», а второй является измерителем угловой ско-
рости вращения вектора скорости ракеты. Такой измеритель может быть выполнен на
базе датчика нормальных ускорений (акселерометра).
Параметр рассогласования при наведении ракеты записывается в виде
Дё = (аёг-0г)+/(аё;,-0у).
Последняя формула справедлива при условии согласовании измерительных сис-
тем координат с плоскостями управления.
Для решения задач анализа и синтеза САУ самонаводящейся ракеты необходимо
знать ДУ, связывающее входной и выходной сигналы системы, т.е. ДУ замкнутой САУ.
Подробно рассмотрим этот вопрос.
2.1.3. Метод уравнивающих операторов
Система уравнений, описывающая динамику САУ, может быть записана в виде
^\(t,p)x\+ A}2(t,p)x2+... + Aik{t,p)xk = Ai(t,p)fx(t)’,
^2x(t,p)xx+ A22(t,p)x2+... + A2k(t,p)xk =A2(t,p)f2(t);	12)
41	+4г 0,p)x2 + ... + 4* (t,p)xk = 4 (t,p) fk ('),
214 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где p = d/dt —символ дифференцирования; Atj (t,p), A, (t,p), i,j = l,k—полино-
мы от р с коэффициентами, зависящими от t; i = l,k —внешние воздействия.
Система (2.12) состоит из к уравнений и содержит к неизвестных. Приведение
ее к одному уравнению осуществляется поэтапно, путем последовательного исклю-
чения к-1 переменной [74, 113, 114].
Пусть X] — интересующая нас неизвестная. Изберем следующий порядок исклю-
чения переменных: сначала исключим величину хк, потом хА-1 и т.д.
Для этого на первом этапе выберем одно дифференциальное уравнение из систе-
мы (2.12), например первое, и будем его комбинировать с каждым из следующих.
Эту операцию осуществим следующим образом.
Подвергнем левую и правые части первого уравнения действию некоторого диф-
ференциального оператора Ц (/, р) — полинома от р с коэффициентами, завися-
щими от времени, порядок и коэффициенты которого пока не определены. Анало-
гично левую и правую части /-го уравнения (/ = 2,3,...,к) подвергнем действию опе-
ратора U, (t,p)- Тогда коэффициенты первого и z-го уравнений изменятся. Их можно
выразить через коэффициенты исходных уравнений и введенных вспомогательных
операторов, используя следующее свойство линейных операторов: если	и
И2 (/, р) — полиномы от р, то
(Л р)[И (/, р)/(/)] = [И2 (/, р} * Vx (г, р)] f (/),	(2.13)
причем
К2*Г! =И2-И1+-^-И1р + -^--И1-^- + ... + -^--К1^-,	(2.14)
21	2 1 dp 1dp2 1 2 dpm 1 ml
где т —порядок полинома Т2 (t,p), а звездочкой обозначена операция алгебраическо-
го умножения полиномов. Данная операция осуществляется по следующим правилам'.
•	когда раскрываются скобки, порядок сомножителей не изменяется;
•	произведения вида pkf(t) заменяются сомножителем dk f(t)/dtk;
•	операция некоммутативна.
Потребуем, чтобы выполнялось тождество
(2.15)
Если этому требованию можно удовлетворить, то, вычитая из первого уравнения /-е,
получим уравнение, не содержащее неизвестной хк. Таким образом, основной задачей
здесь является нахождение операторов Ц и Ц, обеспечивающих тождество (2.15).
Очевидно, для выполнения тождества (2.15) необходимо, чтобы коэффициенты и
порядки операторов левой и правой частей были равны между собой, т.е. если
=cop?+Ci^-1+... + cg;	(2
Ц * А,к = Л<П>Г + ^iPr ’ + • • • + dr,
то необходимо
ct =d,(/ = 0,l,...,<7); q = r.	(2.17)
Пусть порядки операторов Alk и Aik равны соответственно п и т, а неизвест-
ные порядки операторов Ц и U, — соответственно v и ц. Тогда для выполнения
тождества (2.15) должно иметь место условие
n + v = m + p.	(2.18)
Глава 2. Нестационарные САУ
215
С другой стороны, число коэффициентов, подлежащих определению, равно
v + l + |x + l = v + |x + 2.
Это число можно уменьшить на единицу, если коэффициент при старшей степени
р полинома U\ (t,p) положить равные единице. Для определения всех коэффициен-
тов необходимо иметь v + w + l уравнений. В силу равенства (2.14) таким числом
уравнений мы будем располагать, если порядок оператора Ц * А1к (или Ц * Aik ) ра-
вен v + ц. Сравнивая это условие с равенством (2.18), получим
v = m, ц = н.	(2.19)
Это условие является необходимым для выполнения тождества (2.15). Оно. опре-
деляет минимальные порядки операторов Ux и Ц, при которых может быть осуще-
ствлено уравнивание. Для определения коэффициентов этих операторов надо вос-
пользоваться системой уравнений (2.17).
Если удалось уравнять операторы для каждой комбинации первого уравнения
системы (2.12) с другим, то после исключения переменной хк в каждом случае полу-
чим систему (Л -1) уравнений с (£-1) неизвестной. Из этой системы, по аналогии с
предыдущим, можно попытаться исключить неизвестную и т.д.
Если всю цепочку последовательного исключения неизвестных удастся осуществить,
то в результате для каждого учитываемого внешнего воздействия / (/) получается
одно дифференциальное уравнение, в котором у —одна из функций
Пример 2.4. Использование метода уравнивающих операторов рассмотрим на примере получения
дифференциального уравнения замкнутой нестационарной системы, поведение которой описывается сис-
темой ДУ вида [74, 113]
	"i(')^ + ao(0*2=*i; *з=М')^ + М')х2; rfi(0^+do(0y=*i; с2 (')^г+q (0^-+со (0=у - ъ - *4=е1(')^Тд-+ео(')Х dt	(2.20)
Введем дифференциальные операторы И = ciP2 + ciP+Л> = ь,р+А>;		
	Г2 = в,р + а0; F3=elp + e„; V3=dxp + d0	(2.21)
и перепишем (2.20) в следующем виде: ^1=«вХ-^-х4=е-^з; K2x2=xt;		
	F1X2=Xi', F3x = x4; K3x = x1; e = y~x4.	(2.22)
Структурная схема системы изображена на рис. 2.9.
Преобразуем сначала внутренний контур I в один эквивалентный элемент, т.е. найдем уравнение, свя-
зывающее координаты в (z) и X[(z).
216
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.9. Структурная схема системы
Для контура 1 имеем уравнения
И2х2 = х,;
F2x2 = х3;
1’|Х| = Е-Х3
Применяя метод уравнивающих операторов, исключим промежуточную переменную х2.
для этого обе части первого и второго уравнений (2.23) на уравнивающие операторы и U2.
Имеем
р|*Г2]х2=6',х,;
[t/2 * /’г]-*! = U2x3.
При выполнении тождества
Ul*V2=U2*F2
переменная х2 исключается, в результате чего получаем систему уравнений
= С2х3;
Р|Х| =е-х3.
Из этих уравнений подстановкой исключим переменную х3:
ил =U2[e-Flxi]-U2e-U2*Ftxl,
или
t/2E = [t/2+t/2*K|]xI.
Уравнение (2.26) можно записать также в виде системы двух уравнений
х5 = С/2е;
Структурная схема системы, учитывающая (2.27), представлена на рис. 2.10.
(2.23)
Умножим
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Рис. 2.10. Структурная схема системы
Глава 2. Нестационарные САУ
217
Определим операторы Ц и U2. Операторы U2 и Е2 имеют соответственно порядок и = 1 и т = 1,
так что их общий порядок г = п + т = 2. Порядок операторов 17, и U2 должен быть соответственно равен
v = m = l и ц = п = 1, поэтому они могут быть записаны в следующем виде:
(Ul =а|^ + а();
[U2 =Р1Р + Р(>-
Составим на основании тождества (2.25) систему из г +1 = 3 уравнений для определения коэффициен-
тов а(|, р|,Р() (коэффициента] примем равным единице):
П] = РА;
р<7] + аоа, + а0 = fapbt + Р(А + р,60;
рао+аоа(1 =р,р60+р06().
Решая ее, находим следующие значения коэффициентов операторов (7, и U2:
В В - ~Д|	+ а° + Ь°'>~ а'рЬ° ] +	(ра' + а,)) 
1 А ’ °	б1(а06|-а,60)	’
_ .	_ *i [«1А + ba (pat + а0) -Ь^рао] -Ьоа{ (pbi + b0)
_ * а»--------------гттт—m------------------•
Произведение операторов U2 *Vl, входящее в выражение (2.27), найдем по формуле (2.15):
С2*Г] = С/2-Г, +^-Р’1р = (Р1Р + Ро)(с2р2+с1Р + Со) + Р1(с2р2+С|Р + с())р =
Ф	v	v	’	(2.28)
= Ра/ + (Р|РС2 + poc2 + P]C]) p2 + (P]PC, + P0C] + P]CO ) p + (P,pc0 + POCO).
Определим значение суммы операторов
I/,+С/2*К,.
Очевидно,
[П] + и2 * К]] = И4 = а43р3 + в42р2 + а41р + а40,	(2.29)
где коэффициенты а43, а42, а41, а40 имеют следующие значения:
а43 = Р|С2 ’
а42=Р|7’С2+Р1А+Р1С1;
а41 =PiPCi +Р(|С| +Р|Со + а,;
. а4о = Р]Рсо+Росо+а(|.
Произведем дальнейшее преобразование структурной схемы. Найдем эквивалентное звено для звень-
ев, входящих в контур П.
Для этих звеньев имеем систему уравнений
[1(7. +U2 * К, 1х, = х5;
ц 1	2 и । з,	(2.31)
1Л = V3x.
Подставляя значение х, из второго уравнения (2.31) в первое, получим
{[Ц+772*Р,]*К3}х = х5.	(2.32)
Применяя формулу (2.15), вычислим значение оператора левой части уравнения (2.32)
{[(71+С72*И]]*Г3} = И4*Г3 = Г4Гз+^^ + ^И3^ + ^Г,=
ар dp' 2 dp	(2.33)
= 644// + b43p3 + b42p2 + b4Xp' + b4Bp,
»где коэффициенты 644,643,642,441,^40 определяются соотношениями
644 - а43<7];
643 = За43р<7] + a42d\ + a43d0',
642 = За4зРф + «42Ф + a41rf] + 2a42pd, + 3a43p2dt;	(2.34)
641 = a4 Ao + 2п42рф + 3a43p2dB + amdx + a4xpdx + a42p2dx + a43p3d^,
640 = а4оФ + a4\Pd(S + Д42Р2Ф + й4зР3ф-
Структурная схема системы, преобразованная с учетом уравнения (2.32), изображена на рис. 2.11.
218
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.11. Структурная схема системы
Перейдем к последнему преобразованию структурной схемы — к установлению связи между сигнала-
ми у(г) и х(1).
Для структурной схемы, изображенной на рис. 2.11, имеет место система уравнений
xs = U2e;
х. = F,x;
.	(2.35)
х5 = {[(/,+ U2 * К, ]* И3) х;
s = y-x4.
Применяя метод подстановки, исключим из системы уравнений (2.35) промежуточные переменные х4
и х5. Получаем последовательно
^в = {[Ц + (/2*К,]*К3}х;	(236)
e = y-F3x.
Далее из уравнений (2.36) находим
t/2y = {t/2*F3+[t/1+C72*r1]*K3)x.
Обозначая оператор в фигурной скобке через Д,:
{l/2*F3+[U, +С/2*И]*Г3} = Д>,	(2.37)
окончательно получим
1/2У = Дх	(2.38)
Чтобы найти выражение для оператора Д), нужно определить значение только первого слагаемого
t/2*F3, так как второе слагаемое уже найдено (см. (2.32)).
Применяя зависимость (2.15), получим
и2 * = U2 • F3 +^-F3p = (р,е() р2 +(p,pe, + Ров! + Pie0)p + (poeo + Pipe0).	<2.39)
dp
Подставляя в соотношение (2.37) выражения (2.33) и (2.39), находим для оператора Ц следующую за-
висимость:
Д) = Z>44p4 + Ь„р3 + (Z>42 + р,е,) р2 + (&4| + P,pe, + рой| + Р|Й!) р + (640 + Роео + РI рео ) •	(2.40)
Эквивалентная структурная схема, соответствующая уравнению (2.40), имеет простой вид и изобра-
жена на рис. 2.12.
Рис 2.12. Структурная схема системы
2.1.4.	Математическая модель системы управления
САМОНАВОДЯЩЕЙСЯ РАКЕТЫ В ФОРМЕ СКАЛЯРНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Расчетная схема системы управления самонаводящейся ракеты представлена на
рис. 2.13.
Глава 2. Нестационарные САУ
219
Рис. 2.13. Расчетная схема системы управления самонаводящейся ракеты
С использованием дифференциальных операторов данная структурная схема мо-
жет быть представлена в форме (рис. 2.14), когда каждому из функциональных бло-
ков, входящих в состав системы управления, соответствует свой дифференциальный
оператор. Запись оператора в виде обратного (Я"1,1 = 1,9) означает, что соответст-
вующий дифференциальный оператор действует на соответствующий выход, а в виде
прямого (А,) — на соответствующий вход.
Рис. 2.14. Структурная схема системы управления самонаводящейся ракеты
в операторной форме
Структурной схеме рис. 2.14 соответствует следующая система операторных
уравнений:
Л1х1(/) = В1х2(1);
х2(1) = В2х3(1);
x3(z) = B3x4(z);
х4(1) = В4х5(0;
. ^W = 65x6(r);	(241)
^W = S6x7(l);
x7(z) = E(z)-g(/);
х8(1) = В8х1(1);
e(/) = B7x8(z);
х1(1) = В9й(1),
где дифференциальные операторы определяются следующими зависимостями:
p = d/dt\
4 = в;
4 = 7р + 1 = 611р + 610;
220
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В2 ~ —I. z \i — ^20 >
B3=Tcc/?+l = Z>3)p + f>3o;
В4 =K(f) = Z>40;
В5=/?;
В6=1/Г(/) = *60;
В7 =р;
=г(,)=^о;
Далее необходимо привести структурную схему (рис. 2.14), описываемую сис-
темой дифференциальных уравнений (2.41), к эквивалентной простой схеме, опи-
сываемой одним скалярным дифференциальным уравнением, связывающим вход
g(f) и выход й(г).
Для этого сначала преобразуем группу функциональных элементов в обратной
связи I (рис. 2.14).
1.	Исключим переменную х2 (/):
4*1 = В,х2,
*2 = В2х3
*В2 =foo+foiP;
= [В!*В2]х3 =Fox3;
1
; /о1=-г^
п г(
/оо — Тр
1
«|г(/
2.	Исключим переменную х3 (/):
Л1Х' д°М => 4*1 = [/) *#з]*4 = ^*4;
*з = В3х4 J
Fx = Fo * В3 = /j0 + fup + fnp2;
/io = /оо^зо +/о1Р^о;
/11 = /<мА1+ fo\P^n +ЛАо>
/12 =/оА1-
3.	Исключим переменную х4 (/):
4*1 Л*4>1	=[f1*B4]x5 =F2x5;
х4 = В4х5 J
F2 = F] * В4 = /20 +/2ip + f22p2',
/10 ~ /п?2^40 +/11/Ао +/10^40»
Л1 = 2/12^40 + /11^40 >
/22 = /12^40-
4.	Исключим переменную х5 (г):
4*1 ^2*5>1 А = д ]Хб = F^6.
*5 = fi5*6 J
Глава 2. Нестационарные САУ 221
F3 = F2 * В5 = f30 + f3ip + f32p2 + /33р3;
/зо = О; /з1=/20’ /з2 = Л1’ /33-/22-
5.	Исключим переменную х6 (t\.
=>	= [Г3 * S6]x7 = Г4х7;
Г4 = Г3 * В6 = /40 + /41Р + f42p2 + /4зР3;
Ло ~ /ззР3^60 + /з2Р2^(й + /з\РЬ6О’
/м = 3/ззР2^6О +2/з2РЬ(Л +/з1^601
/42 - 3/ззР^6О + /з2^601
/43 = /зЗ^бО-
Таким образом, группа элементов в обратной связи описывается следующим
уравнением с дифференциальным оператором:
4*1 (0=(И;
f4 = [в1*в2*в3*в4*в5*в6].
Структурная схема (рис. 2.14) с учетом преобразованной обратной связи примет
следующий вид (рис. 2.15):
Рис. 2.15. Структурная схема системы управления с преобразованной обратной связью
Преобразуем схему, исключив переменные х7 (/), е(1), x8(z), х, (z). Структурная
схема на рис. 2.15 описывается следующей системой уравнений с дифференциаль-
ными операторами:
*7 (/) = g(/)-М//,
4^0) = F4x7(/);
•	e(/) = B7xg(z);	(2.42)
х8(/) = ^х,(г);
Х1(/) = В9Л(/).
Из системы соответствующей подстановкой получим
X7(t) = g(t)-B7xs(t),
или
х7(') = £(')-[В7 * Д$]*1 (')-
Исключим переменную х7 (/):
4^1 (') = ^4 {g(')“lA *Bs]*i 0)}’
222 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или
4*1 (f) = F4g(z)-[^4*B7 *^]xj(/).
Учитывая, что X] (г) = B9h(t), окончательно получаем
{[4 * в9 ]+[Г4 * В7 * Bs * В9 ]} h (?) = F4g (0.
Найдем дифференциальный оператор левой части уравнения:
1.	В-) *Bg *В9 = С = с}р + с0;
с0 = АоРАо + РАоАо’’
С1 ~	
2.	4 *В9 ^ЬдоР + рЬ^.
3.	F4 * С + А\ * В9 — L = l4р^ + l2p3 + 12р2 + 1\Р + /0;
1о = Лз/’Ч + A1P\ + AiPco + Аосо + РАо’
h = зЛзрЧ + 2/42рс0 + Л1со + АзР3^ + АзР2^ + А1РС1 + /40С1 + ^0;
12 = 3/43рс0 +/42с0 + 3/4зР2С1 +2/42pq + А\с\1
h =/4зО>+3/43^1+/42ci;
^4 ~ АзС\-
4.	Для удобства переобозначим
D = F4 = Ар3 + d2p2 + dxp + dQ;
А = Аз> А = Аг, А = Ai’ А =Ао-
Структурная схема с учетом последних преобразований примет вид (рис. 2.16):
Рис. 2.16. Преобразованная структурная схема системы управления
самонаводящейся ракеты
Искомое скалярное дифференциальное уравнение, описывающее поведение сис-
темы управления самонаводящейся ракеты в операторной форме запишется так:
Lh(t) = Dg(t),	(2.43)
или, что то же самое,
/xd*h(t} ^d3h(t)	,	, .dh(t\ / x
(4W^P+(jW^P+/!W^P+',«)4j+4<)a«)=	(2 44)
Действие дифференциального оператора определяется зависимостями
л(')-^-ад; Л(<)=^7^=4(<);
at	at
со (t)pbo 0)«0 (0 = Со	а0 (t) = с0 (t)bg (t)a0 (t);
at
Co (ОрЧ (Oa0 (z) = Co (z)^-^^Oo (') = Co ('Ж')«о (')•
Глава 2. Нестационарные САУ
223
Пример 2.5. Если в системе управления самонаводящейся ракеты принять
•	скорость ракеты — Г (г) = 200(1 + г) м/с;
•	скорость цели — Кц (г) = 400 м/с;
•	изменение расстояния между ракетой и целью— г(т) = 100(45-6/-г2) м;
•	задающее воздействие— £(/) = ИцД0ц(/)-Г(г)Д0о(/) = КцО,О5-К(/)О,О5,
то коэффициенты дифференциального уравнения будут иметь вид
№
МО
МО
'4 (О
t
,2
= —L-
и

L =
0,54/л	2,16/л	3,42/л	2,72/л	1,14/»	0,24/л	0,02/л	0,00/л	0,00/л
-17,31+4,05л	-44,89+14,31л	-29,87+18,63л	2,7+10,41л	3,56+1,79л	-0,0125-0,39л	-0,0815-0,15л	-0,005-0,01л	0,00
17,31	62,21	74,77	27,17	-6,26	-3,55	0,094	0,087	0,005
10,935	34,55	35,89	10,45	-3,27	-1,42	0,055	0,036	0,002
0,911	2,79	2,81	0,78	-0,26	-0,11	0,0045	0,0027	0,00015
4>(0
d,(‘)
=1d
п
L<MOj
где п —константа навигации.
D =
-17,3	-44,89	-29,87	2,7	3,56	-0,0125	-0,082	-0,005	0,00
17,31	62,2	74,77	27,17	-6,26	-3,55	0,094	0,087	0,005
10,935	34,55	35,89	10,45	-3,27	-1,42	0,055	0,0357	0,002
_ 0,911	2,79	2Л1	0.775	-0,261	-0,11	0,0045	0,0027	0,00015
2.2.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ САУ,
ЗАДАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОШИ
Положим, что система дифференциальных уравнений имеет вид
*1 = «и (0*1 + • • + «1л (0х» + Ь 1 (0У1 + •  • + Ьт (0^’>
х2 = a2i(.t)xx+... + a2n(t)xn+b2x(t)yx+... + b2m(t)ym;	(2 45)
х» ~ ап1 (0Х1 апп (0Хл + *л! (0л	+ Ьпт
Описание САУуравнениями вида (2.45) называют описанием в нормальной фор-
ме, или описанием в пространстве состояний.
Если воспользоваться обозначениями			•• «1»(0 «2л (0
А(,) =	«nW °21 (0	«12 (0 ’ «22 (0 ’	
	Л1 (0	«„2(0 ’	” «»и(0.
	*ц(0	*12(0 ”	• *1т (0
в(0 =	*21 (0	*22 (0 ’	• *2т(0
	_*»1 (0	*»г(0 ”	• *««(0.
то систему (2.45) можно записать так:
x(0=a(0x(0+b(0y(0.	(2.46)
224 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рассмотрим скалярное ДУ
х^ + «„-i(0x^" + ... + я0(?)х = у(г).	(2.47)
Векторн лярному ур X] х2 л]	о-матричное уравнение в нормальной форме 1 авнению (2.47), имеет вид 0	1	0	0	0 0	0	1	0	0 .~«о0)	-а,(0	~4>0)	~«з0)	-«„-10).	Соши, эквивалентное ска- • X]	0 х->	0	. . f + . у(/).	(2.48) _X„J L1.
х(0	А(1)	X(z) B(z)
Рассмотрим общий случай, когда ДУ имеет вид (введем переобозначение коэф-
фициентов)
Х(и) + а, (?)х(”-1) +... + д„(/)х = (t)y^ + ... + bm(t)y.	(2.49)
Предполагается, что коэффициенты в скалярном уравнении имеют необходимое
число производных. Скалярному уравнению (2.49) соответствует следующая система
уравнений в нормальной форме [5]:
х, =x2+F](r)y;
*2 = х3 + F2 (t)y;
.......................................................... (2.50)
xn-i =x„+Fn_l(t)y-
х„ = -«1 (t)x„ - а2 (t)xn_x-...-a„(t)xx+F„ (t)y,
где x1(r) = x-F0(r)y, Fo (г) = Z>0 (?), а функции /•}(/), / = 1,и вычисляются с помо-
щью рекуррентной формулы
<-1 i-k	d' F, (/)	____
Л 0) = b.	W—гН ‘	(2.5i)
£=0s=0	at
в которой
(n-i + s)\
n+s~‘ (n-tysl ’
Нетрудно проверить, что при таком выборе переменных состояния матрицы сис-						
темы им<	зют вид 0	1	0	0 0	0	1	0	0 0		в0) =	^0)	
А(Г) =	~4>0) -4,-10) -а„-г0) -«„-зО) "	• "а1(0.			л,-10) ЛлО).	. (2.52)
Пример 2.6. Рассмотрим математическую модель системы управления самонаводящейся ракеты в
нормальной форме Коши.
Скалярное дифференциальное уравнение системы управления самонаводящейся ракеты имеет вид
, ,ч</4Л(0	,,,d2h(t) , . .dh(t)
л *'"W*W=	(2В)
Сделаем следующие переобозначения для коэффициентов этого уравнения:
Глава 2. Нестационарные САУ 225
d“h(t) . ,d3h(t)	. .d2h(t)	,,dh(t)	,
dt	dt	dt
где
а (А - (0  а (Л-	 ,(ьмо-	а (А- !> (0  а (A- МО-^’МО-^.
i>w‘7w;	
Тогда скалярному уравнению соответствует следующая система уравнений в нормальной форме Коши:
М0=М0+Л (ОНО;
^2(0=хз (0+/r2(0s(0’
МО-МО+МОяО);
Л (0=-«1 (О МО - °2 (О МО - аз (0М0 - МО НО+МО ио,
где xl(t) = h(t)-FQ(t)g(t), Fo(0 = M0, а функции Н0> / = 1,4 вычисляются с помощью рекуррент-
ной формулы
О (0 = (0-22' = й,	(2.56)
k=0s=0
в которой
(и-/ + д)!
”+Л 1	(п-/)!з!
Начальные условия согласованы следующим образом:
Xi(0) = x(0)-Fo(0)g(0); '
*2 (0) = *'(0)" (МО) + Ъ (0))g(0) - Л> (0)g'(0);
*з (0) = х’(0)- (МО) + НО) + Ъ (0))g(0) - (2Fo'(O) + Fx (0))g'(0) - Fo (0)g'(0);
(о) = По) - (Mo)+Но)+M°)+г3 (o))g(o) -
-(змо)+2Г,'(0)+F2(0))g’(0) -(змо)+Л)И(О)- Л)(o)g’(o).
В матричной форме система (2.55) имеет вид
X(0=A(0X(/)+B(/)g(0,
где
	0	1	0	О’				(О'
А(0 =	0	0	10 0	0	0	1	; в(/)=	Fi(t) F,(>)	; *(')=	но МО
	-а4(0 -«з(0 ~щ(>) -МО				МО.
Таким образом, от скалярного уравнения 4-го порядка мы перешли к системе из 4-х дифференциаль-
ных уравнений первого порядка — к нормальной форме Коши. Переменные Х|,х2,х3,х4 называются
переменными состояния, или фазовыми координатами.
2.3.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В ФОРМЕ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.3.1.	Общие положения
Интегральным называют уравнение (ИУ), содержащее неизвестную х(() под
знаком интеграла.
Использование интегральных уравнений в некоторых отношениях является более
целесообразным, чем дифференциальных, в частности, интегральное уравнение со-
держит в себе полную постановку задачи [42, 65]. Например, интегральное уравнение
16 Зак. 14
226
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
x(z) = x0 + ]/(т,х(т))4/т	(2.57)
о
эквивалентно задаче Коши для дифференциального уравнения
^ = /(z,x(z)), х(О) = хо.	(2.58)
Таким образом, если задача Коши требует задания х(0) = х0, то для уравнения
(2.57) не требуется задавать никаких дополнительных условий (начальных или гра-
ничных).
Важным является тот факт, что в интегральных уравнениях переход от одной пе-
ременной ко многим является естественным.
Так, многомерным аналогом является уравнение
jf(t,T,x(T))^T = y(t,x(t)); t = (z1,r2,...,f/,)eG(f),	(2.59)
G
отличающееся от (2.57) только тем, что интегрирование проводится по многомер-
ной области G. Поскольку (2.57) и (2.59) не требуют дополнительных условий и
полностью определяют задачу, аналогия является полной. Отсюда следует, что
теоретическое обоснование постановок и методов решения одномерных задач,
описываемых интегральными уравнениями, непосредственно обобщается на слу-
чай многих измерений.
В терминах же дифференциальных уравнений переход от одной переменной к не-
скольким равносилен переходу от описания явлений и процессов обыкновенными
дифференциальными уравнениями к описанию уравнениями в частных производных,
что является принципиальным усложнением, приводит к новым постановкам задач
и требует разработки новых методов для их обоснования и решения [4, 14, 18, 24,
27, 42, 44,51,65,96, 97].
Интегральные уравнения делятся на два основных класса: линейные и нелиней-
ные ИУ. К линейным ИУ относятся, например, линейные ИУ Фредгольма 2-го рода:
т
х(/) + ^ |Л(г,т)х(т)г/т = f(t), 0<t<T-,	(2.60)
о
линейные уравнения Вольтерра 2-го рода:
i
х(г) + ^|&(г,т)х(т)<Ут = /(/), 0 < т < t, 0 < t < Т;	(2.61)
о
линейные ИУ Фредгольма 1-го рода:
т
|л(г,т)х(т)б/т = f(t), 0 < t < Т;	(2.62)
о
линейные ИУ Вольтерра 1-го рода:
|л(/,т)х(т)й?т = /(/), 0 < т < Z, Q<,t<T.	(2.63)
о
В этих уравнениях х(/) —» искомая функция из некоторого функционального
пространства X, f(t) — заданная функция из пространства Y , называемая правой
частью (или свободным членом), А(/,т) — ядро, X — параметр. В уравнениях
Фредгольма ядро определено на квадрате 0<t <Т, 0<х<Т', в уравнениях Вольтер-
ра — на треугольнике 0 < т < t < Т, причем предполагается, что ядро А:(/,т) принад-
лежит некоторому функциональному пространству Z. Если в уравнении Фредгольма
Глава 2. Нестационарные САУ 227
ядро А:(?,т) отлично от нуля только на треугольнике 0 <х <t <Т, т.е. А(?,т) = 0 при
Кх, то уравнение Фредгольма переходит в уравнение Вольтерра. Таким образом,
уравнение Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнения Фред-
гольма. Тем не менее, его полезно изучать самостоятельно, так как это позволяет
получить более эффективные методы решения. Выделение среди линейных ИУ
уравнений 1-го и 2-го рода объясняется тем, что только для уравнений 2-го рода га-
рантируется их корректность. Задачи для уравнений 1-го рода, как правило, явля-
ются некорректно поставленными, что существенно усложняет их решение.
Важнейшими примерами нелинейных ИУ являются уравнения Урысона-Фред-
гольма 1-го и 2-го рода:
т
|а(г,т,х(т))с/т =/(г), 0<Г<Т;	(2.64)
о
т
х(г)+Щг,т,х(т))4/т =/(/), 0</<Т;	(2.65)
о
и уравнения Урысона-Вольтерра 1-го и 2-го рода:
i
|Ц1,т,х(т))б/т = f{t), 0<t<T;	(2.66)
о
t
х(/)+Ja(?,t,x(t))cZt =/(г), 0<t<T.	(2.67)
о
В дальнейшем изложении будут использоваться уравнения Вольтерра 1-го и 2-го
рода. Они имеют вид
t
р:(г,т)х(т)с/т = /(t) —уравнение 1-города;	(2.68)
о
।
x(z)+|Л(г,т)х(т)4/т = /(/) —уравнение 2-го рода.	(2.69)
о
Во многих случаях оказываются весьма полезными соотношения, позволяющие
свести уравнения Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода.
Если ядро k(t,x) и правая часть /(/) уравнения (2.68) непрерывны по t и вы-
полняется условие k(t,t}*0, то после дифференцирования (2.68) с последующим
делением обеих частей на k(t,t} можно получить уравнение [65]
(2.70)
являющееся уравнением 2-го рода.
Если k(t,t} s 0, a k't (t,t) 0, то легко получить уравнение вида [65]
(2.71)
В общем же случае можно записать
(2.72)
16*
228 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Можно воспользоваться и следующим способом [65]. Если
*Л')= ИТ)Л-
о
то после интегрирования правой части исходного ИУ (2.72) (при /(0) = 0 )чю частям
получим
(2-72’’
(предполагается, что k(t,t) * 0).
Во многих случаях полезным является сведение уравнений Вольтерра второго ро-
да к уравнениям первого рода. Если имеет место уравнение второго рода
х(/)+|А:(/,т)х(т)<й =/(?),	(2.73)
о
то после интегрирования обеих частей по t и изменения порядка интегрирования в
двойном интеграле, находим
]>„(г,т)х(т)Л = /„(,),	(2.74)
о
где
Л„(г,т) = 1- уЛ(г,т)с/т; fn(t) = |/(т)Л.	(2.75)
т	О
При выполнении условия /(0) = 0 можно получить уравнение первого рода от-
носительно не решения х(/), а его производной х'(г); соответствующее уравнение
имеет вид
]>„(Лт)х'(т)Л = /(/),	(2.76)
о
где
кп (г,т) = 1- Ja (г, т) dt.
т
Если имеет место случай, когда f (0) * 0, то метод сведения уравнения второго
рода к уравнению первого рода подробно рассмотрен в [65].
Уравнение (2.76) представляет интерес со следующей точки зрения: если найдено
решение (2.76) в виде
x;(/) = £cv4(/),	<2-77)
V=1
притом имеет место сходимость в £2[0,Т], т.е.
x!(f)	/e[°>rL
то после интегрирования
x,(t} -» x(t),
'V c[0,T] V ’
т.е. приближенное решение х; (/) равномерно сходится к точному решению x(f).
Глава 2. Нестационарные САУ
229
2.3.2.	Интегральные уравнения 1 -го и 2-го рода с операторными
ЯДРАМИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
НА ПРОМЕЖУТКЕ [О, Г] *
Положим, что линейная нестационарная система автоматического управления
описывается дифференциальным уравнением вида
L ак ('hw к)=Y,bk (0-	(2-78)
k=0	k=0
Будем считать, что an (f) = 1; тогда уравнение (2.78) будет иметь вид
x(n) + (z)xW (0 = Ybk (4	(2.79)
£=0	i=0
Не уменьшая общности, будем рассматривать уравнение (2.79) при нулевых на-
чальных условиях
xW(0) = 0, / = 0,и-1.	(2.80)
Рассмотрим вопрос перехода от дифференциального уравнения (2.79) при нуле-
вых начальных условиях (2.80) к эквивалентному интегральному уравнению Воль-
терра 2-го рода [18]
х0)+fMZ’T)x(TPT = _[М?’Т)ЯТИТ-	(2.81)
О	о
Интегрируя п раз левую и правую части уравнения (2.79), получим
J... jx(”)(Tn)t/T1...Jx„ + ^ J... |'аДт„)х(*)(ти)Л1...Л„ =
0 0	£=о о о
т I тл-1
к-0 о О
В силу нулевых начальных условий (2.80)
J... |х(л)(т„)4/Т1...с(тп=хО).
О о
Рассмотрим п -кратный интеграл
J ^(x„)xW(^)^i---^n = fa* (т)х(А) (т)(с?т)” =
0	0	0	0
= |...рДт)х(*\т)(<7т)"чЛ.
о о
Легко показать, что
отсюда следует

(и-!)!
230
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Тогда
J- • J«i (т)(^)""' dr = J... fak (t)xW	[(? -т)"’1 ]di =
0	0	0	0
в силу нулевых начальных условий (2.80).
Таким образом, уравнение (2.79) примет вид
1	1
*(') + X/--7Т J0 ~Ф' ак (Ф(*} (Фт =
к=о\п~Ч-о
= f 7~4v Р - Ф1 <т)у(к}	•
i=o(w П'О
Рассмотрим интегралы в левой части последнего соотношения; проинтегрируем
по частям:
J(*-Ф1 <4 0)Ф (Ф* = jQ-^r^iOHp^0 (т)] =
= (г-т)" ф(ф* 1)(т)|0- J*(/I ’^[фФ’М1)] dx =
= (-1) j[o-ф1 ак (т)] б/[Ф2) (т)] =
01------v----/>--v--•
и	dv
=0
dx =
=(-1)2 j[0 - Ф1 ак (т)] d[Ф3) 0)]=• •  =
оЬ----------------v--------<»------v'
и	dv
0
=0
Используя формулу Лейбница, запишем
(2.82)
dv
dxv
Ф(т)| =0’ v =
в силу нулевых начальных условий.
Таким образом,
р - т)”’1 ак (t)xW (т)с?т = (-1/ jx(T)^r[at (т)(г - т)"-1
Глава 2. Нестационарные САУ
231
и, следовательно,	^(п IV	“k^Hxjdx- 4=о(И-1)!О
Аналогично можно показать, что
т -I 1
Е 77~гй	bk ^у(к} dx =
к~о\п~ч'о
о к=0\п lp dx L	-I
Следовательно, линейное дифференциальное уравнение (2.79) при нулевых началь-
ных условиях (2.80) равносильно интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода
t	t
x(z)+|^Л(г,т)х(т)г/т = |^(/,т)у(т)Л,	(2.83)
о	о
где	к*	“к (т)0-т)пЧ1;
•	(2-84) ку ('’т) = £Т^—гГЬк	- т)"-11. .	4=o(«"l)!^L Н Л ’ -1
Если провести аналогичные рассуждения для случая, когда ап (/) ф 1, то от ли-
нейного дифференциального уравнения (2.78) с начальными условиями (2.80) можно
перейти к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода
t	t
]\(/,т)х(трт= ^(/,т)у(т)б/т,	(2.85)
о	о
где
к=0 П! dx	L-	-I
т l-Wk dk	Г	1
ку ('>т) = Е М~~7Т	(т) (' “ т)” ]•
4=0 и! ат	L	J
Обозначим
кх ('.*) = Дг (лЛ-с) = Х^-Рк Г«4	- т)" 1;
4=0 «!	L	J
^(г,т) = 1ДА/,т) = Х^-/Г^(т)(?-т)"1;
4=0 ”	L	J
d T t \dk T vn \dk
P=-Tx L- = ^a^^^k’ Ly=Ybk(t,x)—p.
ax i=0 dx k=0 dx
Тогда интегральное уравнение (2.85) принимает вид
(2.86)
232 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
t	t
|£х(р,/,т)х(т)<£т = jby (p,t,т)у(т)б/т,
о	0
где 1х(р,1,т) и Ly(p,t,i:) —линейные дифференциальные операторы.
Таким образом, ядрауравнения (2.85) суть линейные дифференциальные операторы.
Очевидно, при t = Т из (2.85), (2.86) следует
О
или, что то же самое,
т
m (-1) г	л
£=0 «Т L	-J
k-Q
о
Если обозначить
) л!
» /-1/
п\
(2.87)
k=(j
О
Г
к=0 п-	к=0 п-
то (2.87) принимает вид
о	о
Обычно в обозначении линейного оператора скобки не пишутся, т.е. вместо
£(/?)(/), где f — элемент пространства, на который действует оператор £(р),
пишут L(p}f. Здесь же используется обозначение £(/?)[/].
Таким образом, в интегральных уравнениях (2.83), (2.85) и соотношениях (2.84),
(2.86) функции £х(г, т),	(z, т), £“(/?), £°(р) содержат линейные дифференци-
альные операторы. Ядра kx(t,x) и £?(г,т) будем называть операторными ядрами.
В связи с этим уравнения класса (2.83), (2.85) названы интегральными уравнения-
ми с операторными ядрами.
Отметим, что принадлежность kx(t,x) и ky(t,x) к классу операторных ядер
имеет принципиальное значение при построении метода решения интегральных
уравнений класса (2.83), (2.85).
2.3.3.	Интегральные уравнения 1 -го и 2-го рода с операторными
ЯДРАМИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ САУ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Рассмотрим линейную нестационарную систему, которая описывается уравнени-
ем вида
^av (z)xW (/) + ±bv (0х V (z“e) =	(')•	<2’88)
v-0	v=0	v-0
Будем полагать, что на отрезке [-0,0] x(z) = ^(z), причем известны начальные
условия
Глава 2. Нестационарные САУ
233
х(О) = хо=^(О); х'(0) = Х] =^'(0);...;	(0) = х„_, =	(0);	(2.89)
£(-0) = О; £'(-0) = 0;...; ^"-,)(-0) = О.
Допустим также, что т < п и выполнены условия теоремы существования и един-
ственности решения.
Проинтегрируем и раз левую и правую части уравнения (2.88):
0 0 OVV=O
= i J f ... J«v (t)x(v) (т)л?Т4*!	:
v=0^0 0	0	,
=	/('-тГЧМх^Л .
\П !)т=0<0	У
Используя формулу интегрирования по частям, получим
(2.90)
1 а„(т)х^\т)й(т = (/-т)” ’ау(т)х^ *\т)
= Z("1)' 7t[(z -ТГ' а? (т)]х('”'~’) (т) = (-1)” Jyyfflv (*)('- т)”"' ]х(т)dx =
<=о ат L	j	о оат L	J
=(-1У
L J
- 2(-O' ± f С/	(t)V-'-’) (t) ' =
i.o J=O\. drJ	dx J J	о
= (-!/ Hv[avМ('-тГ’]х(т)</т +
c>dt L	J
;=o y=o<	;	0
= (-1)V j7v[av(T)0-T)"-1]x(T)jT-
odx L	J
i=0 j=0	\n J
* S Z НГ С/ (<-’)''	('h'-"1’ (>)
,=oy=o
Подставив последнее выражение в (2.90), найдем окончательный результат
для 1(.
15 Зак. 14
234
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
о^=о(.«-Ч!«т L
(о)(0) + а.
v=0i=0 j=Q\n~J~1)-
Рассмотрим n-кратный интеграл от второго слагаемого уравнения:
h = J j-jf	|ЛЛ)...Л„_1 =
О О o(v=O	/
= Е f J-fbv(x)x(v)(т-е)^...(//„_] =
v-0^0 0 О	J
(2.91)
(2.92)
4	JfJ t	\
= 7—^-г)”_1^(т)х^(т-е)Л .
\п l)-v=0\o	)
Произведем замену переменной в (2.92) т = Т] +0, а затем вернемся к переменной
интегрирования т:
, т ('
;2=7—/('-т-0Г ^(t+0)x(v)(t)c/t .
и1- i)!v=o<-0	;
Произведем аналогичные с предыдущим случаем преобразования:
j (г —т-е)"-1 bv (т+0)x(v) (т) с/т = (-l)v j ^-\bv (т+0)(f -т -е)"~’ ]х(т)с/т +
-о	-еЛ L	J
+ J (z - т - 0)”-1 bv (т+0) x(v) (т) с/т = (-1)” j Ар>у (т+0) 0 - т - 9)""’ ]х(т) с/т +
-0	-0Л L	J
v-1	 ' (	i	A i n (_0
777f’.(’+e) l< ’(’) s-
,=o	7=0^ at	dr	J	°
= (-1)” )TvIX(T + 0)(/-т-0)”’1 ]x(t)c/t +
-о dx L	J
+z(-o'i
i=o j=o\	\n J l)-	7
=(-1)” Jут[^(т+е)(/-т-еГ1]х(г)Л-
-0Л L	J
Тогда зависимость I2 принимает вид
; =' J	/zlL Ar z,v (T+0)(r _ T _ 9)"-1 ] x(t) c/t =
=1?.Д^(’+9)(,-'-еГ']5(’)л+
(2.93)
(2-94)
"г у KA
о\^о(л-1)!с/т”
(т + 0)(г-т-0)” ’^х(т)с/т.
Глава 2. Нестационарные САУ
235
Интегрирование правой части уравнения (2.88) приводит к соотношению
7з = f J - j(Xcv W/0 (*)Wi

00 0\v=0

(2.95)
- I ZZt^^c/?^-) (0)/--" (0).
v=0i=0 J=0\n~ J
Введем обозначения
р=о(.и-1)!ат L	J
(2.96)
	*2('>T)-Z/ L v[Mt+0)(' т е) }	(2.97) v=0(h-1)! dx L	J Mf’T) = Z/ L v[c,W('	)	(2-98) V=OHOJ=O(« j-1).	(299) m 0 ( —iV z7v г	“1
Тогда уравнение (2.88) можно записать в форме эквивалентного интегрального
уравнения	1-0 а»(0х(0+ |{^10>т) + Л2(г,т)}х(т)Л + ,	°	(	(2.Ю0) + j кх (/,т)х(т)dx = р3 (г,т)у(т)dx + R(t), Г-0	0
или	ап (z)x(z)+	(/,т)х(т)dx = jky (t,x)у(х)dx + R(t),	(2.101) 0	0
где	^1(Л'С) + ^2(^>Т)’ О<т</-0; кх {t, т) = - кх (t, т),	t - 0 < т < t\ 0,	t < т < Т-, ,	.	[k,(t, т),	О^т<г; ’	l0,	t<x<T.
Для ДУ (2.88) эквивалентное ИУ 1-го рода имеет вид
t-в	t	t
j {#! (г, т) + к2 (?,т)}х(т)й?т+ j ki[t,x')x(x)dx = рз(г,т)у(т)Л+Я(г), (2.102)
о	f-e	о
15*
236
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или, что то же самое,
т	т
JX- (/,х)х(х)с/т = (г,т)у(т)с?т + R(t),
о	о
(2.103)
где
кх (г,т) + Л2(г,х), 0 < х <t~0;
Г-0 < т < t;
t <х<Т;
О < х < Г;
t < х < Т,
причем
к (/)X) = yl_2)L^Lra (т)(г_т)"-Я;
vTo(«-1)!^vL	J
к2 т) = Z	(т + е)(' -т - 9Г‘}
„=0(и-1)!с/х L	J
v=o(.n-1)! dx L	J
v=0 1=0 j=0\n ~ J Ч-
-t Jh~р|т[^("+0)(?-"-еГ’]^(^)^
2.3.4.	Интегральные уравнения 1-го рода с операторными
ЯДРАМИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
НА ПРОМЕЖУТКЕ [0,оо) [118]
Интегральные уравнения с операторными ядрами, описывающие поведение сис-
тем управления на промежутке [0, оо) можно получить из уравнений, приведенных в
предыдущем параграфе.
В этом параграфе изложен другой подход, использующий аппарат интегрального
преобразования Лапласа.
Положим, что все функции, входящие в (2.78), — оригиналы, а решение имеет
ненулевые начальные условия.
Применим к (2.78) теорему свертывания изображений. Положим
|Л(Г)|<^^; |/2(/)|<Л/2еЧ
Тогда имеет место зависимость
- ст* + jco
= — Д	(2.104)
7 O*-JCO
где ReX = ст* > с2; Re(j'-X) = ст-ст >cb L—символ преобразования Лапласа.
Из (2.78), используя (2.104), получаем
Глава 2. Нестационарные САУ
237
1
2 ту
С3+/«>Г n
J £а(я-Х)Г X(k)dX = B(s);
Cj— JoO _v=0
Res > m^c[c5,c6];
здесь
C4+J°°r m
J £Bv(s-X)V r(X)4/X
c4-yo°Lv=0	J
s(5) = ^Hy(,)+-L
Zti/
— известная функция; ЛГну (.$) — член, учитывающий начальные условия;
Av(s) = L{av(t)}, v = 0,n‘,
(2.105)
(2.106)
, т = 0,ти;
c5 — Cj + C3; c6 — c2 + C4;
c1=max^c-, ; = l,nj; c2 = max^cj, v = l,?wj;
с',, c”, c3, c4 —абсциссы абсолютной сходимости соответственно функций
ч(0’ МО» х0)> у({)’ A'(s) = £{x(/)}> r(5) = £Mz)}-
При проведении дальнейших рассуждений воспользуемся обобщенным равенст-
вом Планшереля
"О	, Ct+Jx
J F^)F2(-X)dX,	(2.107)
0	Ct-jx
где F|(s) = Z{/;(r)}; F2 (s) = L{f2 (?)}; cx, c2 — соответственно абсциссы абсолют-
ной сходимости функций /](?), /2 (О-
Равенство (2.107) справедливо, если maxfc^^JcO (т.е. если / (?) и f2(t) пре-
образуемы по Фурье или если для них выполняются условия Дирихле).
Рассмотрев в выражениях (2.105), (2.106) члены
£Д,($-Х)Г = Л(5,Х) и	= B(s,X),
v=0	v=0
нетрудно заметить, что при изменении знака аргумента X на противоположный
A(s,-k) = £ А (я + X)(-X)V;
v=0
b(5,-x)=Xa(^+M(-Mv;
v=0
этим членам соответствуют оригиналы
ЕНГ	(^0;
. v=0	(2.108)
т	z7v г	-I
[v=o	dt
В предыдущих рассуждениях были использованы теоремы о сдвиге аргумента у
изображения и о дифференцировании оригинала.
Учитывая приведенные выше соотношения, интегральные члены формул (2.105),
(2.106)
238
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
C3+J0O	Cy+jX
2^7 Cj-yto	271./ C3-jX
c4+/oo	c4+/<»
J B(5A)r(X)JX = — j B(S,-(-X))y(X)dX,
C4-J<»	** C4")CO
согласно обобщенному равенству Планшереля (2.107) и равенств (2.108), соответст-
венно равны
р(г)Ях(м)Л и jy(t)Hy(s,t)dt.
о	о
Таким образом, дифференциальному уравнению (2.78), а также интегральному
уравнению первого рода в комплексной области (2.105) эквивалентно при
max [с5, с6 ] < 0 уравнение вида
^x(t)Hx(s,t)dt = XHy(s)+ jy(t)Hy(s,t)dt = B(s)	(2.109)
о	о
— интегральное уравнение первого рода в вещественной области с ядром Hx(s,t},
которое в [118] названо системным ядром, так как оно полностью определяется
только параметрами динамической системы Далее уравнение (2.109) будем
записывать в виде (начальные условия будем считать нулевыми)
Jx(f)^x(5,,r)Jr =	($,г)<Й.		(2.110)
о	о
Как и в предыдущем случае, ядра Нх (s,t) и Ну (s,t) принадлежат к классу опе-
раторных, поскольку справедливы соотношения
Hx(s,t) = Lx(p)^av(t)e'sl];
Hy(S,t)^Ly(p)[bv(t)e-st],
п	т
причем Lx (р) = £ (-1) pk, Ly (р) =	(-1) рк.
к=0	к=0
Все изложенные положения обобщаются на нестационарные системы с запазды-
ванием.
Уравнения с запаздыванием являются естественной математической моделью для
описания таких процессов, в которых выходная координата и ее производные зависят
не только от значений входных и выходных сигналов и их производных в данный
момент, но и от предыстории.
Ниже будут рассмотрены одномерные нестационарные системы с запаздыванием,
которые заданы дифференциальным уравнением вида
и	т
У, av (f)x(v) 0) +	0)*W (t - т) = y(t),	(2.111)
v=0	v=0
где y(/) может рассматриваться как значение линейного дифференциального опера-
тора, действующего на функцию у0 (г).
Так же, как и для нестационарных систем без запаздывания, для рассматривае-
мого класса систем можно ввести в рассмотрение интегральные уравнения с сис-
темными ядрами. Положим, что нестационарная система описывается уравнением
(2.88), причем выполнены условия:
Глава 2. Нестационарные САУ
239
1)	функции y(t), решение уравнения x(t) и п производных решения — ориги-
налы интегрального преобразования Лапласа;
2)	(/): у = 0,	(t): 0, /и} — ограничены;
3)	(?): v = 0, и};	(г): 0, mj — непрерывно дифференцируемы v раз;
4)	п > т — уравнение (2.88) запаздывающего или нейтрального типа;
5)	т = const;
6)	на отрезке [-т, 0] задана п раз непрерывно дифференцируемая функция ^(/);
7)	решение х(?) удовлетворяет начальным условиям
x(t) = £(t) —на отрезке [-т,0];
х(0) = ^(0) = х0; x'(°) = V(0) = *i.х<и|(0) =
В	этом случае уравнению (2.111) эквивалентно интегральное уравнение первого
рода с системным ядром вида [118]
^x(t)H(s,t)dt = В(з),	(2.112)
о
где
v=0 “t	v=0
В(5) = Г(.) + У1(5) + У2(5) + У3(5);
здесь
y(s)= Jy(t)e-*<*;
о
v=0i=0 о
П V—1	00	jV
v=Q k=Q	о	at
-sx
J £Ми+т)^(“) e sudw,
-tLv=O
8(t) — дельта-функция.
Для доказательства эквивалентности уравнений (2.111) и (2.112) применим к пер-
вому из них теорему свертки в комплексной области. Результат можно записать в
следующей форме:
! С+>Г и	т
— J	х(х)л-
^c->Lv=O	v=0	J	(2.113)
= г1(5)+у2(5)+у3(5)+г(4
где
1 С+У«Г п v-1
Z7V c_7ooLv=0t=0

(2.П4)
v=0t=0
240
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
, с+У®Г т v-1
J c—j<x> _v=OAs=O

Г(я) = ф(/)}; Bv(s) = L{bv(t)}-, 4,(s) = i{av(f)}.
(2.115)
• (2.116)
(2.117)
Применяя к уравнениям (2.113)—(2.116) равенство Планшереля, получим выраже-
ния (2.117). Эквивалентность зависимостей (2.111) и (2.112) показывается так же, как
и для уравнений без запаздывания.
2.3.5. Векторно-матричные интегральные уравнения 1 -го рода
с операторными ядрами, эквивалентные системе ДУ,
ЗАПИСАННОЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОШИ
2.3.5.1. Промежуток [о, г]
Если для описания системы используется векторно-матричное ДУ вида
X(r) = A(/)X(/) + B(f)Y(r);	(2.118)
Х(0) = 0,	(2.119)
то можно получить векторно-матричное интегральное уравнение Вольтерра 1-го ро-
да, эквивалентное исходной системе (2.118).
Перепишем (2.118) в форме
Aj (/)Х(/) + Ао (Z)X(Z) = B(Z) Y(f),	(2.120)
где
^(0 = 1; A0(z) = -A(z).
Далее, пользуясь зависимостью (2.120), сразу же получаем векторно-матричное
интегральное уравнение 1-го рода с операторным ядром
jk* (/,т)Х(т) = jk^ (/,t)Y (трт,	(2.121)
о	о
где
кх ('л)=Z А* W0 -т)];
к=0	1 •
ку(/,т) = В(т)(?-т).
Поскольку
кД?,т) = А0(т)(/-т)-^-[А1(т)(г-т)]; А, (г) = !(/); Ао (г) =-А(г),
то окончательно имеем
кх ('>*) = “[I (*)('" *)] - А (т)(г - т),
и векторно-матричное интегральное уравнение (2.121) принимает вид
У-А(т)(г-т)--у-[1(т)(г-т)]1х(т)Л= Jb(t)(z-t)Y(t)Jt. (2.122)
0 I	«Т	J	0
Последнее интегральное уравнение будет широко использоваться в дальнейшем
изложении.
Глава 2. Нестационарные САУ
241
2.3.5.2. Промежуток [О,»)
Полагая, что в (2.118) Х° =0 и выполнены условия преобразуемости (2.118) обе-
их частей по Лапласу, запишем
e~s,dt;
00 т
dt= \ ^Ьпк^)Ук^
oU=l

e~x‘dt,
ОЭ	п
0L	*=1
или, что то же самое,
J[A! (r)X(z) + A0(r)X(/)]e“''^= jB(f)Y(z)e-4'<*.
о	о
Далее, пользуясь формулой (2.108), можно записать интегральные уравнения 1-го
рода с операторным ядром
E(-1)V-7v[Av(0e'i']XW^= jB(/)Y(z)e-'Z6?r,	(2.123)
о v=0	о
или, что то же самое,
JhJs,z)X(z)J/ = ]’Hj,(5,/)Y(z)^,	(2.124)
о	о
где
1	z/v г	п
Нх (.,/) = Y (-0V Tv[Av ОК" ]•	(2-125)
v=o	dt
Формулу, определяющую операторное ядро, можно записать следующим образом:
Окончательно векторно-матричное интегральное уравнение, описывающее пове-
дение САУ, принимает вид
|1-А(/)е"л''	[l(/)e~'']lx(z)<* = jB(z)Y(/)e'v'<*.	(2.126)
о (	& J о
Уравнения (2.124) и (2.126) являются ключевыми в рассматриваемом подходе.
2.4. ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ САУ В ФОРМЕ СКАЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ
В предыдущих параграфах для описания ЛНС использовался аппарат дифференци-
альных, интегральных и матричных операторов. В главе 1 введено понятие ИПФ ста-
ционарной системы; это понятие можно обобщить на класс ЛНС. Более того, понятие
ИПФ является базовым при решении основных задач расчета и проектирования САУ.
Я0 = 5(?-т)
ЛНС
x(t,x) = k„(t,x)
Рис. 2.17. Структурная схема линейной нестационарной системы
242 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Нормальной импульсной переходной функцией (обозначается Лн(/,т)) ЛНС (2.82)
называется реакция этой системы на воздействие вида единичной дельта-функции,
приложенной в момент времени т (рис. 2.17) при нулевых начальных условиях
[[»('. ’)1„-’(’)=°;
dt	V ’
. L J,=t .	(2.127)
p" 1)x({lt)~|	(„-!)/ x 0
dt^	1 j
.L
Тогда нормальной ИПФ системы (2.78) должно соответствовать уравнение
(=о	at i=Q	at
при начальных условиях (2.127), в которых везде х(/,т) следует заменить на kH
Прикладывая дельта-функцию при различных т, получим уравнения для семейства
нормальных ИПФ.
Поскольку нормальные ИПФ ЛНС являются ее реакциями, они представляют со-
бой функции времени t, удовлетворяющие принципу причинности
*н(/,т) = 0, t < х,	(2.129)
которые в силу переменности параметров при различных моментах приложения
дельта-функции могут иметь разный вид (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Графики нормальных ИПФ ЛНС
Таким образом, кн зависит от двух переменных t,x. Нормальная ИПФ, рассмат-
риваемая как функция двух переменных t,x, называется импульсной переходной
функцией системы (2.78) (обозначается k(t,x)) и имеет вид поверхности, участок
которой изображен на рис. 2.19.
Величина k(t,x) в силу принципа причинности (условие (2.129)) равна нулю при
значениях независимых переменных t и т, соответствующих области плоскости
/От, расположенной левее биссектрисы координатного угла /От (линия / = т ). При
отрицательных значениях т ИПФ обычно не рассматривается. Считается, что систе-
ма при / < 0 не наблюдалась, а следовательно, и не было возможности ею управлять.
Если ИПФ рассматривать как функцию второго аргумента при различных фик-
сированных значениях первого (см. рис. 2.19, б), то ей соответствует семейство
кривых, называемых сопряженными ИПФ и обозначаемых кс (/,т) (рис. 2.20).
Глава 2. Нестационарные САУ
243
Рис. 2.19. ИПФ ЛНС
Такое название объясняется тем, что импульсной переходной функции как функ-
ции второго аргумента-функции отвечает уравнение
«	v ф(т)8(1-т)1
^(-1) - L 'V < cV = ^(-1) —I —(2.130)
/=о	dt	i=q	dt'
которое по отношению к уравнению для нормальной ИПФ (2.128) является сопря-
женным [113]; сопряженные уравнения широко используются в математике, напри-
мер для отыскания первого интеграла исходного уравнения.
Рис. 2.20. Сопряженные ИПФ ЛНС
244 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Когда по ходу изложения ясно, какая из отмеченных ИПФ фигурирует в данном
случае, то индекс при Л(г,т) опускается и, таким образом, А:(/,т) может обозначать
любую из рассмотренных ИПФ.
Уравнением для ИПФ принято считать уравнение (2.128), которое записывает в виде
«-о
,=о at |=о at
при нулевых начальных условиях.
Из рис. 2.19 видно, что сечение ИПФ плоскостями, параллельными плоскости
kOt, представляет собой семейство нормальных ИПФ (рис. 2.18); плоскостями,
параллельными плоскости кОх, — семейство сопряженных ИПФ (см. рис. 2.20).
На рис. 2.21 изображено семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными
плоскости гОт.
Ввиду того что для нестационарных линейных систем справедлив принцип су-
перпозиции, располагая ИПФ, нетрудно вычислить реакцию системы на произволь-
ное входное воздействие y(f), приложенное в момент времени тР
Действительно, представим y(t) в виде импульсов, ширина которых А® выби-
рается так, чтобы их можно было приближенно считать для данной системы дельта-
функциями (рис. 2.22).
Рис. 2.21. Семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными плоскости Ют
Рис. 2.22. К пояснению процесса представления входного сигнала y(z) в виде импульсов
Глава 2. Нестационарные САУ 245
Найдем реакцию в некоторый момент Zj > Х] на один (произвольный) из этих им-
пульсов, например на импульс, который приложен на /А®, i = 1,h,, где
л. A® = Г|-х1	(2.132)
раньше момента времени Так как импульс этот можно приближенно рассматри-
вать как дельта-функцию площади у(/| -zA®)A®, приложенную в момент -/А®,
реакция на него, очевидно, приблизительно равна значению
умноженному на площадь этого импульса y(/(-zA®)A® (так как, во-первых, со-
гласно определению, k(t,x) есть реакция системы в момент t на дельта-функцию
единичной силы, приложенную в момент времени т, и, во-вторых, реакция линейной
системы на короткий импульс пропорциональна площади приложенного импульса).
Приближенное значение реакции системы в момент на весь входной сигнал,
согласно принципу суперпозиции, равно сумме значений ее реакций в момент на
каждое слагаемое входного сигнала (на каждый из входных импульсов):
",
х(/,,Т|) =	-zA®)^(zI,z1 -zA®)A®.	(2.133)
<=1
Точное значение реакции может быть найдено, если величину интервалов А®
устремить к нулю, при этом произойдет следующее:
А® -> d&; i&® ->©;£-> j
'=1 о
(см. формулу (2.132)), и выражение (2.133) примет вид
G-Ti
*(zi’Ti)= J y(h-®)k(tut}-®)d®.
о
Поскольку моменты времени и Х| выбраны произвольно, полученная формула
справедлива для любых /их
х(/,х) = |у(/-®)Л(/,/-©)</©.	(2.134)
о
Более широко используется другая форма этого выражения, к которой легко пе-
рейти, выполнив замену переменной
/~® = Х; ® = /-Х; d® = -d'k; ® = 0; X = z; ® = z-x; Х = х,
после чего
х(/,х) = |y(A.)£(z,Z.)zA.	(2.135)
т
Обычно наблюдение за системой начинают с момента приложения воздействия
(когда х = 0), тогда формулы (2.134), (2.135) принимают вид
x(t) = Jy(/-®)zt(/,/-®)J®;	(2.136)
о
x(z)= |y(X)A:(z,	(2.137)
о
246 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Соотношение (2.137) напоминает интеграл Дюамеля из теории стационарных
линейных систем, однако существенно отличается от последнего', оно не является
сверткой входного сигнала и ИПФ, в связи с чем соотношение (2.137) называются
интегралом суперпозиции (интегралом Коши, см. главу 1).
Известно, что реакция системы на единичный ступенчатый входной сигнал при
нулевых начальных условиях есть переходная функция (ПФ) этой системы h(t}. Та-
ким образом, для линейной нестационарной системы, если
у(/,0) = ф-т],
то
x{t,x) = h(t,z).
В классе обобщенных функций можно считать, что
5(,-т)=_дМ.
v ’ dt
поэтому естественным воспринималось бы соотношение, связывающее ПФ и ИПФ,
. . dh(t,x)
Аф,т) =—L2_J.,	(2.138)
как в случае стационарных систем, но здесь оно неверно.
Для нестационарных систем справедливо соотношение [ПО]
. . dh(t,x\
k(t,x) =---(2.139)
В уравнении (2.78) нестационарной системы правая часть представляет собой из-
вестную функцию времени
m
/(О = Ё^О)Т(,)О)’	(2-140)
/=0
так как воздействие у(1) известно. Тогда уравнение (2.78) можно представить так:
=	(2-141)
>=0
Уравнение системы в форме (2.141) (в которой не указывается закон формиро-
вания правой части из управляющего сигнала y(t) ) называется уравнением с укоро-
ченной правой частью, или просто укороченным уравнением. Именно для формы
(2.141) в математике разработаны методы решения уравнений с переменными коэф-
фициентами, так как для нее обычно не важен физический смысл (техническое на-
значение) функций в системе. В одном частном случае взгляды на уравнение (2.78) и
специалистов ТАУ, и математиков совпадают — когда оно имеет вид
i=0
так как в этом случае f (1) =
Соотношение (2.137) установлено, исходя из физических соображений.
Установим связь между входом у(1), выходом и ИПФ нестационар-
ной системы, пользуясь следующими рассуждениями [113, 114].
ИПФ определяется уравнением
=	те(-оо,+оо).	(2.142)
v=0	v=0 ш
Глава 2. Нестационарные САУ 247
Умножим обе части (2.142) на у(т) и проинтегрируем по т на промежутке
(-оо,+оо). Результат имеет вид
п	jv +с0	т	jv +°°
EavG)—	|^(т)8(Г-т)Л.	(2.143)
v=o at _w	v=o at _x
Известно следующее свойство 8-функции:
+со
[/(т)8(/-т)Л = /(/);	(2.144)
тогда
"	z7v +°?	т
2>Л0~7	=	(2.145)
v=o	at	v=o	at
Сравнивая (2.78) и (2.145), получаем
х(?)= |л(?,т)у(т)с/т.	(2.146)
-оо
Анализ уравнения (2.145) показывает следующее:
Л(г,т)у(т) = О при т<0;
А(/,т)у(т) = 0 при т < /;
тогда (2.146) перепишем в виде
x(t) - |Л(г,т)у(т)е/т.	(2.148)
о
Таким образом, если в результате проведения соответствующего числа экспери-
ментов построена поверхность к (t, т) — импульсная переходная функция системы, то
реакция системы на произвольный вход y(t) может быть найдена по формуле (2.148).
Рассмотрим две системы, описываемые соответственно уравнениями
л	т
SXWxM-SM')/’’;	(2.149)
v=0	v=0
= y(t).	(2.150)
v=0
Математической основой для получения зависимости, определяющей колебания
на выходе одномерной нестационарной системы, описываемой укороченным уравне-
нием (2.150), является следующая теорема (теорема Коши) [32].
Если:
1)	имеет место линейное ДУ вида
£av(t)x(v) =т0); Х° =0;
v=0
2)	av(?) непрерывна на [0,7"], v =	1; a„(f)-l;
3)	т(0 непрерывна на [0,7"];
4)	k(t,x)—решение однородного уравнения, т.е. Lk(t,x) = Q, причем
*(М,=Тт)|,=т =---=а'”’2)(/’т)|/_х =°;
(2.151)
(2.152)
248
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или
если a„(z)*l,
lr=t an(t)
тогда частное решение неоднородного уравнения, соответствующее нулевым на-
чальным условиям, имеет вид
t
р:(/,т)у(т)<Ут —формула Коши-, k(t,x) —ядро Коши.	(2.153)
о
Доказательство заключается в следующем.
Уравнение (2.150) перепишем в виде Lx = у. Тогда х = L~xy; L~x — оператор, об-
ратный линейному дифференциальному оператору L. Таким образом, задача заклю-
чается в нахождении оператора 17х. Поскольку L — линейный дифференциальный
оператор, то ясно, что Ux — интегральный оператор.
Воспользуемся формулой
, ₽(х)	₽(т) ч
— j f(x,y)dx = | —^2^<* + Р'(т)/(₽(т),т)-а'(т)/(а(т),т)-	(2.154)
а(у)
Дифференцируя формулу Коши, получаем
i
х(/) = (/, т)у(т)«7т;
о
х'(/)= ]\'(/,т)у(т)б/т + Л(м)у(/) = fa(t, х)у(х) dx;
о	о
х"(/)= fa(t,x)y(x)dx + k’l(t,t)y(t)= fa(t,x)y(x)dx;	(2.155)
о	о
х(я-’)(/) = '^я-,)(лт)у(т)Л + ^-2)(м)у(0= Я”’1)(/,т)у(т)^>
о	о
так как k(t,t) = k’t (t,t) = ... = k\n 2^(?,/) = 0.
Вместе с тем имеем
x(")(f)= |Л((п)(/,т)у(т)(7т + ^”_1\?д)у(г)=	(/,т)у(т)б/т + у(г),	(2.156)
о	о
так как (м) = 1 (если а„(г) = 1).
Подставляя полученные выражения в исходное ДУ (2.150), находим
п	1 I X
Xav (0JXV (?>ТЫТ)dx + т0) = ИО’	(2.157)
v=0	о
или, что то же самое,	*
Последнее равенство равносильно следующему:
J[L^(^T)]y(TPT + XO =	(2.159)
о
Глава 2. Нестационарные САУ 249
Но ДА(/,т) = О, так как k(t,x) —решение однородного ДУ, отсюда следует тож-
дество _у(/) - y(z), и, таким образом, формула Коши является решением неоднородного
ДУ. Если в (2.153) известно ядро Коши, то расчет x(z) не представляет особого труда.
Построим алгоритм нахождения ядра Коши. Поскольку А(г,т) — решение одно-
родного уравнения, то
^(/,т) = с1(т)х1(г)+с2(т)х2(г)+...+с„(т)х„(/),	(2.160)
где Ф(1) = (хД1): к = \,—фундаментальная система решений ДУ £х = 0.
Поскольку
=1,
и=т
ТО
=ч("~2)
= 0;
(2.161)

ci (т)х] (т) + с2 (т)х2 (т) +... + сп (т)х„ (т) = 0;
А (т)х1 (т) + с2 (т)*2 (т) + • •.. + с„ (т)х,; (т) = 0;
С] (т)xt(”’2) (т) + с2 (т)4"-2) (т) +... + с„ (т)х^"‘2) (т) = 0;
Cl (X)X1”-1) (Т) + С2	W +  •  + Сп (т)х1"-1) (т) = 1.
Отсюда находим
Xj(t)	х2(т)				
х;(т)	х^(т)	.	• х'п (т)	с1(т)		0
						0
х<”-г>(т)	М”(’) •		С(\)		1
W(t)
ИЛИ
W(t)C(t) = X°.
Тогда, умножая (2.164) слева на W~’(t), получим
W1 (т) W(t)C(t) = W1 (т)Х°.
Отсюда следует
C(t) = W-1(t)X«,
так как | W(t)| * 0 для любого т е [0, Г].
Теперь можно записать выражение
k(t,x) = Ст(т)Ф(/) = (х°) (w~’(t)) Ф(г)—ядро Коши.
(2.162)
(2.163)
(2.164)
(2.165)
(2.166)
(2.167)
Окончательно имеем формулу для расчета вынужденных колебаний нестационар-
ных систем:
х(г) = f(x° )Т (w-1 (т))Т Ф(г)у(т)Л.
о
(2.168)
250 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Ядро k(t,x) найдено для уравнения (2.150), т.е. для укороченного уравнения;
обозначим его через ^(z,t). Найдем зависимость, устанавливающую связь между
£(/,т) и ку ((,т). Для этой цели достаточно правую часть уравнения (2.149^ полагать
входным сигналом системы с ИПФ ку (/,т). Тогда получим зависимость
Л(/,т)= |*у(^,и)^я,(и)6^)(и-т) + ... + ^(а)8(м-т)рм,	(2.169)
о
поскольку правая часть уравнения (2.149) при импульсном входе записывается так:
jm
^(0^(“-^) + V>(')-bn-S(«-T) + ... + Zb(r)3(«-T).	(2.170)
at	at
Подставляя (2.170) в формулу
г
Л(г,т) = jky (t,u)ly8(u-т)<А,	(2.171)
о
m	дч
получаем (2.169) (здесь Ly8(u-x) = ^bv(u)—-З(м-т)). Поскольку справедливо
выражение
(-О'^гМ/(’)а!'|(<-т)Л,	(2172)
at
находим искомое соотношение [113, 114]:
*(r,x) = (-lf—[^(1,т)йт(т)] + ... + ЛД1,т)60(т).	(2.173)
Пример 2.7. Линейная нестационарная система описывается дифференциальным уравнением вида
х’(<) + 0,2х'(/) + 0,25ехр(0,4/)х(г) = у(/).	(2.174)
Построим нормальную ИПФ системы (2.174) на интервале Г, те[0,15]. Шаг интегрирования при по-
строении нормальной фундаментальной системы решений примем равным 0,005. Решение задачи прове-
дем в пакете Matlab 6.1. На рис. 2.23 представлены элементы нормальной фундаментальной системы реше-
ний уравнения (2.174). На рис. 2.24 приводятся графики *(/,т) при различных фиксированных значениях т.
На рис. 2.25 представлена ИПФ к (г, т).
Рис. 2.23. Графики элементов нормальной фундаментальной системы решений
Глава 2. Нестационарные САУ
251
Рис. 2.24. График нормальной ИПФ при т = 0 (/), т = 3 (2) и т = 6 (3)
Рис. 2.25. ИПФ нестационарной системы (2.174)
Только для простейших случаев можно получить зависимости, определяющие
ИПФ [96].
Например, если ЛНС имеет структурную схему (рис. 2.26):
Рис. 2.26. Структурная схема линейной нестационарной системы
* то ее ИПФ определяется выражением (рис. 2.27)
Если же ДУ ЛНС имеет вид [96]
(z + l)x(/) + x(z) = (sinz)y(/) + (cos/)y(/),
то
*(г,т)=^ф-т)1(т).
252 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Вид ИПФ представлен на рис. 2.28.
Рис. 2.27. Вид ИПФ и различных ее сечений
Рис. 2.28. Вид ИПФ и ее сечений
ИПФ достаточно просто определяется только для простых систем — систем не-
высокого порядка с нестационарностями, описываемыми несложными функциями.
Но многие сложные нестационарные системы удается представить в виде сово-
купности стандартных соединений более простых систем. Стандартными назы-
ваются последовательное, параллельное соединения и соединения типа «обратная
связь». Эти соединения остаются в классе линейных систем, если входящие в их
состав звенья линейны. Исследование стандартных соединений звеньев проводится
в рамках той же теории, которой подчиняются входящие в состав этих соединений
звенья. Тогда имеет место возможность достаточно просто и удобно исследо-
вать сложные системы, если известны правила, позволяющие определять по ИПФ
соединяемых систем ИПФ их спТЬндартных соединений. Часто разбиение исходных
систем на более простые составные части удается выполнить так, что все «инерци-
онности» оказываются стационарными, а все нестационарности — безынерцион-
ными (в виде усилителей с изменяющимися известным образом во времени коэф-
фициентами усиления — в виде безынерционных нестационарных звеньев). Тогда
анализ упрощается еще более, так как для его проведения оказывается достаточным
знать ИПФ лишь элементарных стационарных звеньев и ИПФ безынерционного
нестационарного звена.
Глава 2. Нестационарные САУ 253
2.4.1.	ИПФ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ
2.4.1.1.	Безынерционное стационарное звено
С КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ
к = dmst.
Его передаточная функция
W(s) = k,
которой соответствует уравнение
х(?) = ky(t},
откуда, согласно определению,
Л(/,т) = Л5(г-т).	(2.175)
На рис. 2.29 вдоль линии t = т представлена совокупность дельта-функций; их
амплитуды равны величине к. Это на самом деле является условным обозначением
того факта, что величине к равны площади соответствующих дельта-функций (ам-
плитуды их, как известно, равны бесконечности).
Рис. 2.29. ИПФ безынерционного стационарного звена
2.4.1.2.	Стационарное интегрирующее звено
Передаточная функция:
Уравнение звена:
Рис. 2.30. Часть ИПФ стационарного интегрирующего звена
254
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Уравнение для ИПФ:
^”^Т) = 8(г-т),
dt V 7
откуда
Лм(г,т) = |3(/-т)бй = 1, Л(/,т) = 11[/-т].
т
Часть ИПФ представлена на рис. 2.30.
2.4.1.3.	Стационарное апериодическое звено
Имеем
at
откуда, опуская очевидные преобразования, получаем
Л„(Лт) = уе т ;
k(t,z) = ^e т ф-т].
Часть ИПФ представлена на рис. 2.31, 2.32.
(2.176)
(2.177)
(2.178)
Рис. 2.32. К пояснению понятия ИПФ
Глава 2. Нестационарные САУ 255
2.4.1.4.	Безынерционное нестационарное звено
С КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ к (г)
Его уравнение
х(г) = Л^)у(г),
откуда
Л(г,т) = *(т)3(^-т)	(2.179)
с учетом селектирующего свойства дельта-функции.
2.4.2.	ИПФ ОСНОВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
2.4.2.1.	Параллельное соединение элементов (рис. 2.33)
Здесь к} (z,t), кг (f,t) обозначены ИПФ соединяемых звеньев. Они известны.
Требуется определить ИПФ соединения.
Рис. 2.33. Структурная схема параллельного соединения элементов
Подав на вход соединения дельта-функцию в момент t = т при нулевых началь-
ных условиях, на выходе первого и второго звена получим сигналы в виде ИПФ этих
звеньев
х(лт) = х1(г,т)(^) x2(r,T) = A:I(f,T) (1) *2(/,т).
Этот сигнал и есть искомая ИПФ, так как он представляет собой реакцию всего
соединения на дельта-функцию при нулевых начальных условиях. Таким образом,
k(t,x) = к} (г,т) (_) £2(г,т).	(2.180)
2.4.2.2.	Последовательное соединение элементов (рис. 2.34)
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, на выходе первого звена получим
сигнал
Х1(/,т) = ^1(г,т).
Рис. 2.34. Структурная схема последовательного соединения элементов
Воспользовавшись формулой Коши по отношению ко второму звену (имея в ви-
ду, что сигнал к} (г, т) для него является входным процессом, протекающим во вре-
256 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
мени t при фиксированном значении т), нетрудно получить его выходной сигнал,
который, будучи одновременно выходным сигналом всего соединения, представляет
собой ИПФ этого соединения:
х(/,т) = k(t,x) =	(Х,т)А2(/,Х)</Х.	•
о
Согласно условию причинности, которому должен удовлетворять сигнал кх (Х,т)
(так как он является еще и ИПФ первого звена),
^(Х,т) = 0, Х<т,	(2.181)
нижний предел интегрирования необходимо заменить на т; тогда
k(t,x) =	(2.182)
т
Как уже отмечалось, здесь кх (/, т) выступает в роли сигнала, а к2 (/, т) — в роли
ИПФ, в связи с чем формулу (2.182) иногда рассматривают как операцию воздейст-
вия второго звена (представленного его ИПФ) на ИПФ первого звена и обозначают ее
поэтому условно
k(t,x) = к2 (t,x)*k\ (/,т),	(2.183)
как воздействие второй ИПФ на первую ИПФ, при этом ясно, что в общем случае
ИПФ последовательного соединения зависит от порядка следования звеньев, т.е.
(/,т)*£2 (f,t) * к2 (t,z)*k} (/,т).
2.4.2.3.	Соединение типа «обратная связь» (рис. 2.35)
Рис. 2.35. Соединение элементов типа «обратная связь»
Поскольку к нестационарной линейной системе применим принцип суперпози-
ции, перенесем первый элемент через элемент сравнения (рис. 2.35). Подав на вход
полученной системы дельта-функцию (при нулевых начальных условиях), из рис. 2.35
заметим, что
Л(г,т) = к} (г,т)-Х[ (z,t),
где Х](г,т) —реакция системы^ ИПФ £3(г,т) на сигнал k^t,x^; здесь k3(t,x) —
ИПФ последовательного соединения второго и первого звена (см. формулу (2.182)):
t
X] (/,т) = |&(А.,т)Л3 (/,Х.)бА;
т
t
к3 (/, т) =	(f, а) к2 (о, т) da.
Глава 2. Нестационарные САУ 257
Таким образом, ИПФ замкнутой системы связана с ИПФ замыкаемых звеньев не-
явной зависимостью
t
Л (Л т) =	т) -	(/Д) Л (X, т) dk;	(2 j 84)
т
к3 (г, 2.) =	о) к2 (ст, X) des,	(2-185)
х
и для отыскания &(z,t) необходимо решить интегральное уравнение (2.184), что и
является основной трудностью на пути использования метода ИПФ для исследования
линейных нестационарных систем.
Рис. 2.36. Структурная схема соединения элементов типа «обратная связь»
С учетом обозначения, введенного в формуле (2.183), зависимости (2.184), (2.185)
можно условно представить так:
к3 (/, X) = к} (/, т) * к2 ((, т).
Пример 2.8. Найти ИПФ системы, представляющей собой последовательное соединение стационар-
ного апериодического звена и двух усилительных нестационарных звеньев с коэффициентами, изменяю-
щимися по закону е' и е~' (рис. 2.37).
Согласно формулам (2.146) и (2.147),
к (1,т) = е~'б(1-т);
А2(/,т) = е-а('“’)1[(-т],
А3(1,т) = е'б(/-т).
Применив соотношение (2.182) к первым двум звеньям, получим
*12м ('л) = jе"а(,'М^Х8(Х - т)Л	V’;
кп (t,x) = е а<-/ тА-т I [/ -т].
А[(/,т)	А2(ХТ) Х3(7,т)
Ai2(Z,t)
А123(/,т) = £(/,т)
Рис. 2.37. Структурная схема системы
18 Зак. 14
258 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Применяем соотношение (2.182) к	и А3(г,т):
^м(|,т) = Je'8(/-X)e'a^”^e“’<7A.=e'e”'|8(l-X)e~a^”,*rfX=e^~^e	=е^
Таким образом, ИПФ системы (рис. 2.37) зависит только от разности t-x, т.е. данная нестационарная
система ведет себя как система стационарная (как стационарное апериодическое звено с постоянной вре-
мени и коэффициентом передачи 1/(1-а)), передаточная функция которого есть
Иф) =-----J----.
' ’ s + (l-a)
2.5.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ САУ
В ФОРМЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ
Продолжим рассмотрение вопроса, изучая вариант, когда САУ описывается век-
торно-матричным ДУ в форме Коши:
X = А(г)Х + В(г) Y — уравнение состояния;	(2.187)
Хв (?) = C(z) X — уравнение выхода.	(2.188)
Сделаем некоторые пояснения (подробно см. главу 1). Структурная схема САУ
использующая описание в форме (2.187) и (2.188) может быть представлена так (см.
рис. 2.38):
Рис. 2.38. Структурная схема САУ
Рассмотрим однородное уравнение
Х = А(г)Х.	(2.189)
Решением последней системы называется вектор-функция Х(г) с компонентами
х} (г),...,хл (г), которые обращают уравнение (2.189) в тождество по t.
Частное решение однородной системы, порожденной начальными условиями,
может быть определено так: заданы начальные условия X] (0),...,хл (0); необходимо
построить Х[ ((),...,х„ ((), удовлетворяющие начальным условиям, указанным выше.
Запишем неоднородное дифференциальное уравнение
X(f) = A(r)X(z) + B(z)Y(z).	(2.190)
Сформулируем теорему существования и единственности решения системы (2.190).
Если матрицы А((), В (7) и Y(z) непрерывны на промежутке [0,Г] и задан
произвольный начальный вектор Х(0), то на [0,Г] существует единственное ре-
шение Х(г) уравнения (2.190) (интервал [0,7’] может быть как конечным, так и бес-
конечным).
Глава 2. Нестационарные САУ
259
Зададим матрицу начальных условий [32]
*11 (°) х12(0) ... х1п(0)
x2i(0) х22(0) ... х2и (0)
. . * . • 1 / 1 )
_*„i(°) х«2(0) ••• *™(0).
Столбцы последней матрицы — начальные условия, такие, что имеет место соот-
ветствие
[хп(0),х21(0),...,хи1 (0)] Xj 0) = [x11(f),x21(r),...,x„|(f)]T;
[х12 (0),х22 (О),...,х„2 (О)] <-> Х2 (/) = [х12 (/),х22 (/),...,xn2 (z)]T ;
[xi„(0),x2n(0),...,x„„(0)	]<->Х„ (г) = [х1п(г),х2„ (г)	•••>*„„ (0] •
Определитель вида		
	*11(0 *12 (0 ••• Х1„(0	
МХф(0) =	*21(0 *22(0 Х2п (0	(2.193)
	*ы(0 х„г(0 ••• *™(0	
называется определителем Вронского системы вектор-функций (2.192), являющихся
решениями (2.189).
Совокупность п-решений (2.192) уравнения (2.189) называется фундаментальной
системой решений уравнения (2.189), если определитель Вронского этих решений не
обращается в нуль ни в одной точке интервала [0,Г].
Если матрица (2.191) является единичной, т.е. имеет вид
'10 0 ... О’
О О 0 ... 1
то система (2.192) называется нормальной фундаментальной системой [32].
Запишем матрицу вида
	*и(0	*12 (0 	• *ы(0п	
хф(0 =	*21 (0	*22 (0 '	 *2„(0	(2.195)
	.*„1 (0	*„г(0 	• *„„(0.	
Матрицу (2.195) называют фундаментальной или базисной матрицей.
Поскольку X, (г) — решение однородного уравнения, то
—-=А(/)Х,, i-l,n.
dt
Тогда
_^ = А(/)Хф,	(2.196)
так как векторные равенства можно представить как равенства соответствующих
столбцов матричного уравнения (2.189).
18*
260 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Следовательно, задача расчета фундаментальной системы (2.195), определяемой
соответствующими начальными условиями, эквивалентна задаче решения (2.196) при
начальных условиях
Хф(0) =	Хц(0) Х21 (0)	х12 (О) х22 (0) •	•	Х1« (0) •	х2п (0)	• (2.197)
	.*„1 (°)	х„2(0) .	• х™(°).	
Известен следующий факт', любая (пхп^-матрица Хф (?) такая, что
det (хф (?));* 0
и для которой Хф(?) существует при всех t 6 [О,Г], определяет векторно-матричное
дифференциальное уравнение, в котором	определяется формулой
А(/) = Хф(?)[Хф (?)]'.	(2.198)
Далее получим интеграл Коши, для чего запишем очевидное равенство	
Хф(0Хф> (/) = !.	(2.199)
Продифференцируем (2.199)	
1 / \	/ \ ^Х(Ь (0 *иХф>(0 + Хф(?)	*^=0.	(2.200)
Учитывая равенство	
	(2.201)
получим	
А(/)Хф(?)Хф1(?) + Хф(?)—-^-^- = 0,	
ИЛИ	
/ \	7 \ б^Хф (0 А(0+хф(0^к2=°-	(2.202)
Умножим (2.202) слева на Хф1 (?}:	
1 / \ / \	(0 х;*(')А(')+ \ =о.	(2.203)
Последнюю зависимость умножим справа на Х(?):	
Хф1(0А(0Х(0+^^Х(/) = О.	(2.204)
Из уравнения (2.190) находим	
A(?)X/?) = X(?)-B(?)Y(?).	(2.205)
Подставив (2.205) в (2.204), запишем	
Хф’(0Х(0 Х^(?)В(?)У(/) +	^х(?)-о,	(2.206)
или	
1 , ч iZX(z)	,,	1/\ /\ /\ х* w	+—л х(/)=х* WBWY	(2.207)
Глава 2. Нестационарные САУ
261
Последнюю зависимость можно переписать в виде			(2.208)
	^-(хф (')х('))=Хф(')в(0*(');		
отсюда пол Окончат или Обознач запишем В развер Последи.	учаем t	* Хф,(г)Х(г)= |Хф’(т)В(т) У(т)й?т 0 ельно (2.209) можно переписать в форме X(z)= ]Хф(,)Хф’(г)В(т)У(трг 0 Х(г) = |ф(/,т)В(т)У(т)с/т. 0 К(/,т) = Хф(/)Хф’(т)В(т) = Ф(/,т)В Х(/) = Jk(/,t)Y(t)c/t. 0 нутом виде (2.213) перепишется так: Xj(?)	Лц(^т) *12 (г, т) ... ^т(/,т) x2(0=jMZ’T) М'’т) Wr>T) О’	... LM?’T) кп1М - кппуЛ)_ чя формула называется векторно-матричным	(т)> зф) У2^) Ут (*). интегр	(2.209) (2.210) (2.211) (2.212) (2.213) с/т.	(2.214) алом Коши. Матрица
К [t, т) называется матрицей импульсных переходных функций, или матричной ИПФ.			
Матрица Хф (/)Хф! (т) = ф(Г,т) называется переходной матрицей состояния,
или матрицей перехода (МП) (см. главу 1).
Формула, определяющая вынужденные колебания на выходе системы, имеет вид
t
Хв (Г) = |с(/)Хф (/)Хф> (т)В(т) У(т)с/т =
О
4	I
= |с(/)Ф(/,т)В(т)У(т)с/т = Jkb(/,t)Y(t)c/t,
о	о
где Кв (/, т) — матричная ИПФ, связывающая вход и выход САУ.
Понятие состояния САУ подробно изложено в главе 1.
Пример 2.9. Рассмотрим уравнение
О
2 Х(/), />0.
Одна из фундаментальных матриц имеет вид
X*W= , ,2
262
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
то
Вычислим
2
г3
1
т2
Переходная матрица имеет вид
(')*№= ( \г
_т г3
Если имеет место система управления с уравнением
X = А(/)Х +Y(/),
т2.
х2(/)
А.
,2
О
О
О
т
3
О
Линейная однородная система, матрица которой получается из матрицы (/)||
транспонированием и изменением знака, называется сопряженной системой (2.187)
'Р = -Ат(г)Т.	(2.215)
Дифференциальное уравнение Х = А(?)Х называется самосопряженным, если
для всех t имеет место равенство
А(Г) = -АТ(Г).
Приведем некоторые свойства МП.
Нетрудно показать, что с помощью МП текущее состояние ЛНС (2.187) может
быть получено по формуле
Х(1) = Ф(1,т)Х(т) + |ф(/,т)В(т)У(т)</т
(2.216)
для любого т е [О, Г]: МП ЛНС является функцией двух аргументов (а не их разности),
отличающейся от матричной экспоненты, имевшей место в стационарном случае.
Название функции Ф(/,т) «матрица перехода» связано с выражением (2.216) при
Х(г) = Ф(1,т)Х(т),	(2.217)
откуда видно, что с помощью умножения на МП (здесь [Ф(Л"ч)]т _х = Ф(?,т)) сис'
тема «переходит» из одного состояния Х(т) в другое состояние Х(г). Первый ар-
гумент МП характеризует конечное, а второй — начальное состояние системы при
совершаемом переходе.
МП можно сформировать, располагая системой базисных функций.
2.5.1.	Некоторые свойства МП [96]
1.	Подставим результат дифференцирования формулы (2.217)
dt dt v ’
<ZX(/)	/ \ /к
в однородное уравнение системы---— = А(ИХ(Г):
dt
Глава 2. Нестационарные САУ 263
^^Х(х) = А(/)Х(?).	(2.218)
С учетом формулы (2.217)
-Аг2х(т) = Х(0Ф(/,г)Х(т),
откуда
с/Ф(7,х)	. .	. .
—-^-^ = А(г)ф(г,х),	(2.219)
Т.е. МП ЛНС, как и в стационарном случае, относительно первого аргумента удов-
летворяет однородному уравнению системы.
2.	Ф(г,г) = 1,	(2.220)
где I — единичная (ихп)-матрица.
3.	Ф1 (z,x) = Ф(хд).	(2.221)
Действительно, умножив левую и правую части уравнения (2.218) слева на обрат-
ную МП, получим выражение
Ф”1 (z,x)X(/) = Х(х).	(2.222)
4.	Ф(Сх1) = Ф(/Д)Ф^,х|), Xe[r0,rJ.	(2.223)
5.	Матрица Ф(/,Х|) —неособая при всех Xe[f0,rt].
Свойства 2-5 легко проверяются с помощью формулы (2.216).
6.	(2.224)
Последняя формула выводится из соотношения
Ф(Лт])Ф(т„0 = 1и>	(2-225)
которое получается из очевидного равенства Ф(г,х1)Ф-1	= I, если воспользо-
ваться свойством 3 МП.
Действительно, продифференцируем выражение (2.225) по Z:
^Д1ф(„,г)+ф(г,„)^М = 0.
dt v 1 ’ v 17 dt
С учетом формулы (2.219)
А (/) Ф (t, т,) Ф (т,, Г) = -Ф (/, т,	,
откуда
б/ФГт,,/)	। .	. , ,	,	. , .
--ш = -ф-1 (,. Т]) A (t) = -Ф (г,, t) A (t)
(см. формулу (2.225) и свойство 3 МП).
Поскольку второй аргумент в МП обычно обозначаем хь а первый— t, запишем
</Ф(г,х.)	,	, / ,
X --фо^оа^)-
w Т|
Согласно уравнению выхода (2.188) и формуле (2.216),
Хв(0 = С(г)Х(0 = С(/)Ф(Лт)Х(х)+
'	(2.226)
+ Jc (г) Ф (1, X]) В(х,) У (т]) dt}.
264 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
При т = 0, обозначив переменную интегрирования Т] = т, приходим к формуле
ХВ(/) = С(/)Ф(,,О)Х° + |с(г)Ф(г,т)В(т)У(т)бЙ.	(2.227)
о
Кроме того, полезными являются следующие зависимости:
7.	Пусть Х(^) = [х!(?),х2(?),...,хп(/)] —произвольное решение системы Х = А(/)Х,
а (г) = Г\|/] (/),\|/2	(?)J — произвольное решение сопряженной системы
Т = -Ат(z)'P (оба решения определены на [О,Г]).
Тогда
Х1 (О ЧЛ (О + *2 0) ЧЪ О) + • • • + х« 0) (0 = const-	(2.228)
8.	Если Ф(/,т) = Хф(г)Хф1(т) —переходная матрица состояния Х = А(г)Х, то-
гда Фт (т,г) — переходная матрица сопряженной системы 4* = -Ат (?)'Р.
9.	Для самосопряженного дифференциального уравнения справедливо условие
Фт(г,т)Ф(?,т) = 1;	(2.229)
здесь Ф(?,т)= Хф(г)Хф(т).
2.6.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРОВ [96]
В предыдущих параграфах понятие оператора широко использовалось. Были
рассмотрены уравнения ЛНС с дифференциальными и интегральными операторами.
Настоящий параграф посвящен изложению общих подходов и получению кон-
кретных результатов, относящихся к указанным выше операторам (дифференциаль-
ным, интегральным, матричным и др.).
Выше указывалось, что оператор определяется как математическая зависимость,
которая ставит в соответствие каждой функции y(t) из заданного класса функций
Y функцию	из класса функций X .
Функции х(/)е X называются образами оператора, а функции у(<)еК — его
прообразами.
Ярким примером оператора, как неоднократно подчеркивалось в предыдущем из-
ложении, может быть динамическая система, так как всегда предполагается, что она
определенным образом реагирует на любой входной сигнал из класса допустимых
сигналов, т.е. каждому входному сигналу y(z) она при фиксированных (нуле-
вых) начальных условиях ставит в соответствие определенный выходной сиг-
нал x(z). Таким образом, динамическая система задает оператор в силу своего
функционирования и может быть исследована с помощью теории операторов.
Из определения оператора следует, что его можно рассматривать как своеобраз-
ную математическую конструкцию, представляющую собой определенного вида
функцию от функции', условная запись
х(/) = ф(')]>	(2.230)
или, как еще говорят, функцию от линии (в отличие от классического анализа, где
рассматривается функция от точки). Форма записи (2.230) подчеркивает тот факт,
что х(/) есть результат выполнения над функцией y(t) некоторой операции А.
Глава 2. Нестационарные САУ 265
Оператор может быть задан аналитически — зависимость типа (2.230), если
смысл операции А раскрывается аналитическим выражением, например
x(t) = Xy(t).
Здесь операция А есть умножение «а постоянное число К. Оператор может быть
задан графически.
Если оператор x(f) = Ay(tj обладает свойством аддитивности и однородности,
соответственно
*(') = А(/) ± у2 (/)] = АУ] (/) ± Ау2 (г) = xj (/) ±х2 (/);
х3 (г) = А[Ку, (г)] = КАу1 (г) = Кх} (/);
К = const; X, (t) = Ayt (t); х2 (/) = Ау2 (г),
то он является линейным оператором. В противном случае он нелинейный. По-
скольку в данной главе исследуются только линейные системы, здесь рассматрива-
ются лишь линейные операторы. Нетрудно непосредственно убедиться, что оператор
дифференцирования — линейный.
Оператор
х(/) = Л(/>)у(').	(2.231)
который образуется с помощью операции, представляющей собой некоторую функ-
цию дифференцирующего оператора, называется дифференциальным оператором.
Оператор (2.231) называется линейным дифференциальным оператором, если
А(р) — полином от операции дифференцирования
<т, = const, г =	(2.232)
/=о
Если в операции коэффициенты ai = a, (t) — известные функции времени
п
=A(p,t),	(2.233)
/=0
то оператор x(t) = A(p,t)называется линейным нестационарным дифферен-
циальным оператором.
Единичный оператор А2 = I — это такой оператор, который ставит в соот-
ветствие прообразу точно такой же образ'. 4') = М')-		(2.234)
Обратный оператору	х(г) = Яу(г)	(2.235)
оператор	х,(г) = Л"1у(г)	(2.236)
— это такой оператор, который, будучи примененным вслед за исходным, образует
единичный оператор, т.е.
х2(Г) = А~' [х(0] = А-' [4X0]] =
хз (0=44')]=А[А~' К')]]=(4Л~’ ])К0]
(здесь символами А~} [Л], 4^"'] °б°значень1 операции, соответствующие последо-
вательному применению операторов: обратного и прямого, прямого и обратного), где
согласно определению обратного оператора должно быть х2 (t) е х3 (z) s y(t). Таким
образом,
17 Зак. 14
266 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
у(0=(л-1[л])Я0 = (^[^1])у0)-	<2-237)
Сопоставляя выражения (2.234) и (2.237), находим
/ = A~'[a] = A^A~'J.	t (2.238)
Если операция Л-1 существует, то, выполнив ее над левой и правой частью соот-
ношения (2.235), получим
Лчх(г) = А~' [Лу(/)] = (Л’1 [Л])[у(/)] = у(/).
Интегрирующий оператор
х(г)=Л3у(г)
задается соотношением
x(r)=
Обозначив операцию интегрирования ^dt = р = Аъ, выражение можно записать
в виде
Оператор x(z) = A4y(t), который образуется с помощью операции, представ-
ляющей собой некоторую функцию операций интегрирования Л4 = Л[1/р], называ-
ется интегральным оператором.
Линейный дифференциальный оператор, заданный в явном виде, называют фор-
сирующим оператором
x(t) = F(p,t)y(t),	(2.239)
где
=	<2-240)
1=0
Линейный оператор, заданный с помощью операции (2.233) следующим образом-.
L(p,t)x(t) = y(t),	(2.241)
где
L^t^A^^a^p',	(2.242)
(=0
называют инерционным оператором.
Дифференциальная операция Т(/?,г) выполняется не над известной функцией
(прообразом), а над неизвестной функцией х(/) — образом, т.е. по отношению к ис-
комому образу данный оператор представляет собой дифференциальное уравнение, в
силу чего, зная операторное выражение и прообраз, на основе операций, входящий в
состав выражения	образ .найти не удается (нужно решать дифференциальное
уравнение). Таким образом, оператор в классе дифференциальных операторов задан в
неявном виде.
Выполнив над левой и правой частями выражения (2.241) операцию L~l
x(t) = L-'(p,t)y(t),	(2.243)
получим представление инерционного оператора в явном виде. Ему соответствует
структурная схема (рис. 2.39).
Глава 2. Нестационарные САУ
267
хо>	Ll(p,t)	Х0х
Рис. 2.39. К пояснению понятия обратного оператора
£“* (p,t) есть лишь обозначение операции обратного оператора, а не ее выражение,
которое неизвестно (нет простого правила, позволяющего по выражению операции
£(/?,/) найти выражение для операции L-1(p,Z)). Явный вид инерционного операто-
ра £-1 (/>,/) не может быть представлен в классе дифференциальных операторов.
Пусть линейная нестационарная система задана своим дифференциальным урав-
нением
z=0	/=0 “t
Представим его в виде двух соотношений
/=о dt
(2.244)
(2.245)
/=0
dt*
Нетрудно заметить, что выражение (2.245) описывает соответственно инерцион-
ный и форсирующий операторы:
|z(p,z)x(z) = /(z);
В силу того что образ форсирующего оператора равен прообразу инерционного,
их можно записать в виде одного уравнения
(2.246)
и изобразить в виде структурной схемы (рис. 2.40).
Рис. 2.40. Структурная схема системы
Таким образом, оператор А5 линейной нестационарной динамической системы
(2.244) описывается последовательным соединением форсирующего и инерционного
операторов, операции для которых записываются соответственно по правой и по
левой частям дифференциального уравнения этой системы.
2.6.1. Операторы стандартных соединений нестационарных звеньев
При исследовании сложных систем важно уметь находить операторы соединений
по операторам соединяемых звеньев. При этом рассмотрим только такие соединения,
которые не выводят соответствующие им операторы из класса операторов соединяе-
мых звеньев (в данном случае из класса линейных нестационарных операторов).
Можно убедиться, что к таким соединениям относятся параллельное, последователь-
ное, соединение типа «обратная связь», и не относится, например, соединение, назы-
ваемое мультипликацией операторов.
17*
268 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.	Оператор параллельного соединения (рис. 2.41):
Рис. 2.41. К определению оператора параллельного соединения
Очевидно,
A(p,t) = Ai(p,t)±A2(p,t).	(2.247)
2.	Оператор последовательного соединения (рис. 2.42):
Рис. 2.42. К определению оператора последовательного соединения
Согласно рис. 2.42,
х(г) = Л2(р,/)х1(/),
но
*i(0 = 4(р.')Я')>
поэтому
х(1) = Л2(р,1)[/1(р,1)Х')1	(2.248)
Здесь операция Л2(р,1) действует на результат воздействия операции	на
у(/). Это последовательное действие можно рассматривать как воздействие на
функцию y(z) некоторой новой эквивалентной операции A(p,t), описывающей
оператор последовательного соединения
х(/) = A(p,t)y(t),	(2.249)
получившей название «воздействие оператора A2(p,t) на оператор ^(р,?)», ус-
ловно обозначаемой
A(p,t) = А2 (а')[4 (рД)] = Аг (p>t)®Ai	(2.250)
3.	Оператор соединения типа «обратная связь» (рис. 2.43):
Рис. 2.43. К определению соединения оператора типа «обратная связь»
Глава 2. Нестационарные САУ
269
Искомый оператор
x(z) =	(2.251)
находим из следующих соотношений, соответствующих структуре рис. 2.43:
х(/) = ^(р,/)£(/);	(2.252)
£(r) = y(f)-xi(r);	(2.253)
*1(0 = A2(p,t)x(t).	(2.254)
Имеем
X, (z) = Л2 (p,r)[4 (p,z)e(z)] = А2 (p,t)® A, (p,t)e(t);
подставим этот результат в формулу (2.253):
e(z) = y(z)-zl2(p,z)®4(p,z)8(z),
[/ + 4,(p,z)®4(p,z)]e(z) = y(z),
откуда
e(z) = [/ + H2(p,z)®4(p,z)] ’y(z),	(2.255)
и выражение (2.252) приводится к виду
x(z) = 4(p,z)®[/ + ^2(p,z)®4(p,z)] 'y(z).	(2.256)
Из сравнения его с формулой (2.251) получаем выражение оператора соединения
через операторы соединяемых звеньев [96]
A(p,t)= A^(p,t)®[l + A2(p,t)® Л, (p,z)] ',	(2.257)
где
V V 7 So u! dp" dt"
Примеры выполнения операций A2 Al (p,t) приведены в [96].
Часто причиной затруднений, а иногда и невозможности использования методики
выполнения структурных преобразований является тот факт, что неизвестен обрат-
ный оператор. Для некоторых простейших систем обратные операторы удается полу-
чить без особого труда.
Рассмотрим оператор Л-1(р), обратный оператору А(р) линейной стационар-
ной динамической системы.
Если известна передаточная функция линейной стационарной системы (в том
числе и обратной, реализующей оператор А~'(р)), то оператор, ей соответствующий,
может быть легко записан. Передаточную же функцию W 1 (х) обратной системы
можно найти по передаточной функции
исходной системы следующим образом.
Очевидно,
(2.259)
^->(5)=_=
ИДя) A/(s)
Оператор Л-1 (г), обратный оператору A(t), безынерционного нестационарного
звена с коэффициентом усиления К (z), для данного случая имеющего вид
270
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
который, в силу того что операторы не зависят от переменной р, упростится:
Л-1 (/)40 = 1,
откуда
(2.260)
u 4')
Нетрудно заметить, что операторное выражение обратного оператора в данных
случаях определяется функцией, обратной (если она существует) функции, описы-
вающей исходное операторное выражение. Если, например, прямой оператор
(р2+Зр + 2)х(г) = (2р + 1)у(0,
то обратный ему
если прямой
то обратный
Рассмотрим задачу нахождения структурной схемы обратного оператора по
структурной схеме прямого оператора.
1.	Структурная схема оператора A~}(p,t), обратного оператору A(p,t), пред-
ставленному последовательным соединением операторов	и A2(p,t)
(рис. 2.44).
A(p,f)
Рис. 2.44. Структурная схема системы
Воздействуем на выходной сигнал исходной системы оператором, представ-
ляющим собой последовательное соединение операторов А2~г (p,t) и А^1 (p,t)
(рис. 2.45).
A(p,t)
I
I
Рис. 2.45. Структурная схема системы
Глава 2. Нестационарные САУ 271
Второй и третий структурные члены схемы (рис. 2.45), согласно определению об-
ратного оператора, образуют совместно единичный оператор, в силу чего можно счи-
тать, что оператор A^(p,t) действует непосредственно за оператором Л] (
поэтому вся схема в целом образуем единичный оператор и ее выход есть сигнал
у(/). Поскольку два первых структурных члена схемы рис. 2.45 образуют исходный
оператор A(p,t) (первая верхняя фигурная скобка), оставшаяся ее часть (вторая
верхняя фигурная скобка) должна представлять оператор A-t(p,l) (так как только в
этом случае вся схема может быть эквивалентна единичному оператору). Таким об-
разом, как это видно из второй половины рис. 2.45, схема искомого обратного опера-
тора А~'(р,() может быть изображена так (рис. 2.46):
--- АГ'(РА) I—<—| A^fot) |-Л£
Рис. 2.46. Структурная схема системы
2.	Структурная схема оператора А 1 (p,t), обратного оператору A(p,t), за-
данного соединением типа «обратная связь». Пусть к выходу соединения прило-
жен еще один сигнал у, (/) (рис. 2.47).
Рис. 2.47. Структурная схема системы
Перенесем второй сумматор через точку разветвления, затем перенесем вторые
сумматоры через элементы Л((р,/), A2(p,t} соответственно против и по ходу сиг-
нала, наконец, через первый сумматор (рис. 2.48).
Рис. 2.48. Структурная схема системы
В результате проделанных преобразований (рис. 2.49, 2.50) оказалось, что второй
сумматор перенесен через всю замкнутую систему против хода сигнала, а эта опера-
272 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ция должна выполняться по правилу, проиллюстрированному на рис. 2.51. То есть
перенесенный (вместе со вторым сумматором) сигнал ^(1) должен поступать те-
перь на свой сумматор, проходя через систему с обратным (исходному) оператором.
Поэтому в структурной схеме рис. 2.51 структура между сигналом Ti(?) * вторым
сумматором представляет оператор	обратный исходному. Можно изобра-
зить эту структуру так, как показано на рис. 2.52.
Рис. 2.49. Структурная схема системы
Рис. 2.50. Структурная схема системы
Рис. 2.51. Структурная схема системы
Глава 2. Нестационарные САУ
273
Рис. 2.52. Структурная схема системы
3.	Структурная схема оператора А 1 обратного оператору Л(р,/), за-
данного параллельным соединением операторов	и A2(p,t) (рис. 2.53).
Рис. 2.53. Структурная схема системы
Известно, что справедливым является соотношение
=A(p,t),	(2.261)
т.е. операторы A(p,t),A~] (p,t) (если они существуют) и структуры, им соответст-
вующие, взаимно обратны. В связи с чем, представив исходную структуру так, как
показано на рис. 2.54, легко заметить, что она совпала со структурой рис. 2.52, в ко-
торой вместо оператора А^^рА) имеет место оператор Л|(р,/), поэтому ее можно
считать структурой, обратной структуре (рис. 2.47, без второго сумматора), в которой
вместо оператора Aj(p,t) стоит оператор Л|“'(р,г) (так как Л, (/М)=[4~'(p>z)] >
т.е. структуру можно считать обратной структуре А» (p,t) (рис. 2.55)):
A(p,t) = A?(p,t).	(2.262)
Рис. 2.54. Структурная схема системы
274
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.55. Структурная схема системы
Выполнив над левой и правой частями выражения (2.262) операцию обращения,
получим
л-1	(^)) ,
что с учетом соотношения (2.261) дает
Л”’(/>д) = А(/м).
Таким образом, схема (рис. 2.55) является обратной схеме (рис. 2.54), а следова-
тельно, и схеме (рис. 2.53). Найденную схему обратной системы можно изобразить
так, как она представлена на рис. 2.56.
Возможность практического использования приведенных результатов основыва-
ется на том, что для построения структурной схемы обратного оператора необ-
ходимы звенья, обратные некоторым составляющим исходной .структурной схемы,
а если эти составляющие представляют собой стационарные инерционности и не-
стационарные усилители, то определение обратных им не представляет труда.
Понятие обратных операторов широко используется при решении задач синтеза
регуляторов. К числу методов, требующих построения обратных операторов, от-
носится метод динамической компенсации. Ключевая идея метода состоит в том,
что за счет введения в прямую цепь системы звена с оператором, обратным опера-
тору объекта, полностью компенсируется динамика объекта (рис. 2.57), что при-
водит к упрощению задачи синтеза.
Рис. 2.56. Структурная схема системы
Рис. 2.57. К иллюстрации принципа динамической компенсации
В задаче компенсации структурная схема объекта может включать различные со-
единения звеньев, и в этом случае можно воспользоваться изложенными результатами.
Глава 2. Нестационарные САУ 275
2.7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В ФОРМЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Базовым понятием теории стационарных систем является передаточная функция.
С использованием ПФ решается основой спектр задач расчета и проектирования
указанного класса систем.
Введем понятие передаточной функции нестационарной системы. В стационарной
системе, описываемой уравнением
±avx^=±bvy^,	(2.263)
v=0	v=0
передаточная функция определяется очень просто (через коэффициенты дифферен-
циального уравнения):
W (5) = У'"+^-15'Н_1+'-- + /,о.-	(2.264)
ansn + an_]sn 1 + ... + а0
А теперь запишем уравнение нестационарной системы:
v=0	v=0
Применению подхода, используемого для стационарных систем, «мешает» пере-
менность коэффициентов, поскольку для этого случая справедлива зависимость
I	<2-266)
J c-jx
Применяя (2.266) к (2.265), находим
1 с+у°° "г
— J	=	(2.267)
с—j<x> V=1
где —неизвестная функция.
Отсюда можно заключить: применение преобразования Лапласа к дифферен-
циальному уравнению с переменными коэффициентами преобразует последнее
в интегральное уравнение первого рода относительно изображения выходного
сигнала (уравнение (2.267) называют интегральным уравнением свертки в
комплексной области).
На основе такого подхода В.В. Солодовниковым разработан метод свертки расчета и
проектирования нестационарных систем [115]; этот метод развит в [19] и нашел практиче-
ское применение в задачах анализа и синтеза класса систем с переменными параметрами.
Американский ученый Л. Заде определил параметрическую передаточную функ-
цию (ППФ) системы с переменными параметрами следующей зависимостью:
W(s,t) =	(г, т) e_^r-T^T.	(2.268)
о
Рассмотрим этот подход более подробно. Имеем интеграл Коши
х(/) = |£(г,т)у(т)б/т,	(2.269)
о
где &(z,t) —ИПФ системы. Выразим у(т) так:
С+уоо
у(т)=—; Г Y^s^e^ds	(2.270)
2л/ J
J c-jx
— формула Римана-Меллина (формула обратного преобразования Лапласа).
276
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Подставляя (2.270) в (2.269), получаем
с+дюГ I
2л/ J J
J с— Joo L о
c+joo
= —7 J
где определяется (2.268). Но
C+JOO
с- j<x>
Сравнивая (2.271) и (2.272), находим
X(s,t) = W(s,t)Y(s).
е'(
ds =
, (2.271)
(2.272)
(2.273)
Учитывая, что для стационарных систем справедлива зависимость
X(j) = lK(j)y(j),	(2.274)
заключаем, что для нестационарных систем, так же как и для стационарных, изо-
бражение выхода системы находится как произведение передаточной функции на
изображение входа.
Динамическая характеристика, определяемая (2.268), называется параметриче-
ской передаточной функцией нестационарной системы.
Кроме того, для описания нестационарных систем используются следующие пе-
редаточные функции: нормальная K(s,t) (введена Бриккером в [20]) и бичастотная
W (s,p} (НПФ и БПФ). Они определяются зависимостями [20]:
И(^,т)=	"^dt
т
— нормальная передаточная функция,
W(s,p) = |^k(t,x)e~iXe~pl dtdx = ^e~pl [es,e~st 'jdt |е“'тА:(г,т)^т =
оо	о	о
= ^e~p‘e~''dt = |е”4^”т^(/,т)й?т = je
0	-oo	0
— бичастотная передаточная функция.
Поменяем порядок интегрирования в выражении (2.275), тогда
W(p,s) = |е 'Т	^е~рх k(t,x)dt =
0	т
(2.275)
= | е (p+'^dx je р(! ^k(t,x)dt = |е
0	т	0
ППФ, НПФ и БПФ являются эквивалентными в том смысле, что по любой одной
из них могут быть определены See другие, а самая широкая распространенность
среди них ППФ объясняется лишь тем, что ей соответствует наиболее простая
связь с оператором системы [20].
Найдем выражение, определяющее параметрическую передаточную функцию че-
рез исходное дифференциальное уравнение системы
X«vO)x(v) =^bv{t)y^.	(2.276)
v=0	v=0
Глава 2. Нестационарные САУ 277
На основе последнего уравнения запишем формулу для определения импульсной
переходной функции системы:
"	//v	/7V
4^)=X6V(/)—S(/-t).	(2.277)
v=0 “I	v=0
Умножим обе части (2.277) на е”'т и проинтегрируем на(-оо,+со). В результате
получим
« ,v +» т ,v
Eav(0jV	=	р'х8(г-т)<7т.	(2.278)
v=o dt	v=o dt
Перепишем последнее уравнение в виде
EMOtV Jk{t,x)e~s(,^ex,dr = ^bv (‘)—esx.	(2.279)
v=o dt Jj0	v=0 dt
С учетом формулы (2.269) зависимость (2.279) перепишется в следующей форме:
"	z7v г	-> т	dv
(2.280)
v=0 Ш	v=0
Воспользовавшись формулой Лейбница для v-й производной от произведения
двух функций, после элементарных преобразований из (2.280) находим зависимость
" 1	z7v
ЕтД -7TA^—W(S,t) = B(S,t),	(2.281)
v=0 v I ds	dt
где
A(s,t) = ^av(t)sv; B(s,t) = ^bv(t)sv.	(2.282)
v=0	v=0
Эти зависимости получены Заде в 1954 году. Формула (2.281) показывает, что для
нахождения параметрической передаточной функции необходимо решить ли-
нейное параметрическое дифференциальное уравнение с переменными коэффи-
циентами. Но исходное дифференциальное уравнение принадлежит тоже к этому
классу. Преимущество в нахождении параметрической передаточной функции со-
стоит в том, что, построив ее один раз, можно на ее основе решать задачи анализа
и синтеза рассматриваемого класса систем. Найти точное решение уравнения
(2.280) не представляется возможным. Для нахождения W(s,t} используется в ос-
новном метод последовательных приближений [74, 75, 113, 114].
2.7.1.	Сравнение для стационарных и нестационарных систем
Проведем сравнение степени эффективности использования понятия передаточ-
ной функции для стационарных и нестационарных систем, для чего составим табл. 2.1.
Аппарат расчета и проектирования нестационарных систем, основанный на поня-
тиях передаточных функций (параметрической, обобщенной, бичастотной), нашел
ограниченное применение (в частности, им пользуются для расчета систем управле-
ния конечным состоянием [19]).
Полагая, что параметрическая передаточная функция найдена, можно ввести по-
А нятие параметрических частотных характеристик:
1)	комплексная частотная характеристика
W (5> z)l.s=> = W(ja,t) = P + j'Q(	t);
2)	действительная частотная характеристика 7>(усо,г);
3)	мнимая частотная характеристика £2(j<o,f);
4)	амплитудная частотная характеристика А (co, /) =	(усо, t)|.
278
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Все частотные характеристики являются параметрическими, т.е. зависят от t.
На практике часто используется предположение, что коэффициенты дифференци-
ального уравнения изменяются медленно. Такую систему называют квазистацио-
нарной. При исследовании этого класса систем используют метод замороженных
коэффициентов, содержание которого состоит в следующем', весь премежуток
времени разбивают на несколько интервалов и на каждом интервале систему опи-
сывают уравнениями с постоянными коэффициентами.
Таблица 2.1
Сравнение степени эффективности интеграла Лапласа
Понятие	Стационарная система	Нестационарная система
Дифференциальное уравнение системы	v=()	v=0	£av(r)x(v ) = XM0y(v) v=0	v=()
Правомерность применения преоб- разования Лапласа	Если v(f) — оригинал, то х(/) — всегда оригинал, и применение преобразования Лапласа правомерно	В общем случае х(/) — не оригинал, т.е. не преобразуема по Лапласу, следо- вательно, применение преобразования Лапласа не всегда правомерно
Формулы, опреде- ляющие передаточ- ные функции систем	Передаточная функция определяет- ся по дифференциальному уравне- нию системы: a„s"+a„_ts" 1 +... + а0	Передаточная функция является реше- нием дифференциального уравнения: Vrov! dsv V ’ dtv V	V 7 где n	m J(-s>z)=Eav(Oj''; B(-M)=£*vWiV v=0	v=0
Формула, опреде- ляющая изображе- ние выхода системы	X(s) = №'(s)Y(s)	X(s,t) = W(s,t)Y(s)
Степень сложности нахождения ориги- нала по изображе- нию выхода	В подавляющем большинстве слу- чаев X (s) — дробно-рациональная функция, и для нахождения ориги- нала может быть использована 2-я теорема разложения	Для нестационарных систем X(s,t) не относится к классу дробно-рациональных (часто имеет трансцендентный вид). Поэтому задача перехода к оригиналу очень сложна
Степень эффектив- ности применения преобразования Лапласа к уравнени- ям с постоянными и переменными коэф- фициентами	Уравнение п / \ т < \ v=0	v=0 с помощью преобразования Лапласа переходит в алгебраическое А(з) = И,(з)У(5), и, следовательно, подход очень эффективен	Уравнение v=0	v=0 с помощью преобразования Лапласа переходит или в интегральное, или в дифференциальное в комплексной об- ласти (для полиномиальных коэффици- N ентов av(/) =	)> или в разностное А=0 (для экспоненциальных коэффициентов av W=	)- Подход малоэффективен *=0
Выводы	Для класса стационарных систем аппарат очень эффективен *	Сделаны обобщения некоторых положений теории стационарных систем на системы с переменными параметрами (работы Л. Заде, В.В. Солодовникова, Ю.И. Бородина, А.Б. Ионнисиана, И.П. Бриккера, В.А Кара- банова, Б.Е. Рудницкого и др.). Для некото- рых классов ЛНС этот аппарат может оказаться достаточно эффективным. В общем случае его применение встречает принци- пиальные трудности, порожденные свойст- вами дифференциальных уравнений с пере- менными коэффициентами
Глава 2. Нестационарные САУ 279
Таким образом, из сказанного выше следует, что использование преобразования
Лапласа для исследования ЛНС сопряжено с возникновением дополнительных (в срав-
нении со стационарным случаем) трудностей, существо которых удобно выразить в
форме следующих проблем [96].
1. Проблема оригинала. Порядок {Лета функции х(/), описывающей изменение
выходной координаты ЛНС, может быть больше экспоненты, и тогда преобразование
Лапласа от нее не существует:
x(z) ё ©,
где 0 — пространство оригиналов (пространство функций, для которых существует
преобразование Лапласа).
В стационарной теории такая проблема не возникает. Дело в том, что
X(f) = Xn(') + *y(0’
где хп (/) — переходный процесс, ху (/) — установившийся процесс.
Из теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами из-
вестно [96], что ху(/)е0, если у(г)е0. Функция, описывающая переходный про-
цесс, складывается из слагаемых типа i = l,n, где Д = const; X, —корни ха-
рактеристического уравнения системы — вещественные или комплексные постоян-
ные числа, поэтому xt (z) имеет степень роста не выше экспоненты, в силу чего
х(/)е0, если y(z)eO.
Пример 2.10. Пусть система описывается уравнением
x(z) + a(z)x(z) = y(z); [x(z)J=t = 0.
Его точное решение в квадратурах
I р(т, )Jt,
x(z,x) = e *	(2.283)
т
Тогда импульсная переходная функция данной системы
k(t,i) = e '	-l(z —т),
и решение дифференциального уравнения в квадратурах примет следующий вид:
x(z,r) = Je 1	l(z-X)y(X)</X.
t
Пусть a(z) = z, тогда
-[“(ч)^1	jL _
e l _e2|^=e2.e2
И
Al
x(t,x) = e 2fe2 l(z-k)y(X)dX,	(2.284)
* откуда видно, что преобразование Лапласа от x(z,x) по переменной z можно было бы вычислить с по-
мощью повторного применения теоремы свертки в комплексной области, теоремы об интегрировании
оригинала и теоремы смещения, если функции, составляющие правую часть выражения (2.284), — ориги-
налы. Но e^2e0, поэтому L,{x(z,t)} вычислять таким образом нельзя. При этом следует учитывать
также, что в общем случае здесь используются смещенные преобразования Лапласа
% (s, z) = j х (0 + т, т)= JХ| (0)е-,е<У0
о	о
280 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
И
У (s.t) = J Д' (е + Т, t)e“ied0 = Jy, (0)e~'exZ0,
О	о
где
х,(0) = х(0 + т,т); у,(/) = у(0 + т).	,
В случае стационарной системы (a(t)-a- const) выражение (2.283) примет вид
0+т	0	0
Х| (0) = J е'а(9+т~Ч . 1 (е + Т-X)у(X)Л = j• 1 (0 - ц)  у (ц + т) ф = j. 1(0 - ц) • (ц) е/ц.
г	0	0
Это — свертка в вещественной области, поэтому
X(s,r) = £{х,(0)} = L{e^-1(0)}-Л{у, (0)},
т.е.
^(^т) = -^-У(з,т).
s + a
Учитывая, что
У(з,т) = У(з,0)е" = У(з)-е”,
получаем подтверждение факту независимости формы реакции стационарных систем от изменения мо-
мента приложения входного воздействия (при сдвиге входного воздействия реакция стационарной систе-
мы также сдвигается без изменения формы).
Это свойство позволяет принять момент приложения воздействия т равным нулю, что приводит к за-
висимости
X (з) = —— У (з) = W (5) У (з),
s + a
где 1И(з) =—!— —передаточная функция апериодического звена с постоянной времени 1/а и коэффи-
s + a
циентом передачи 1/а.
Нестационарная система может быть описана так:
Х(/) = A(/)X(/) + B(/)Y(?);
ХВ(Г) = С(/)Х(Г).
Известно, что если
1)	B(()Y(/)e®;
2)	A(z), C(z) - ограничены, непрерывны и дифференцируемы на [0,<ю],
то Х(/) е 0.
2.	Проблема уравнений системы в комплексной области состоит в том, что ис-
пользование преобразования Лапласа для исследования нестационарных систем при-
водит в общем случае не к алгебраическим уравнениям (как в стационарном случае),
а к дифференциальным или к интегральным, которые часто оказываются не проще
исходного.
3.	Проблема структурных преобразований состоит в том, что их выполнение со-
пряжено с добавочными трудностями, содержание которых определяется необхо-
димостью пользоваться сложными формулами вместо простых алгебраических со-
отношений в аналогичных ситуациях для стационарных систем.
4.	Проблема обращения возникает в связи с тем, что XB(s,t) в общем случае
*
принадлежит к более сложному, чем дробно-рациональное выражение (как это бы-
ло в стационарном случае), классу функции, например, XB(s,t) может содержать
существенно особые точки, особые точки типа точек разветвления. Тогда теряет
силу теорема вычетов и встает задача анализа особых точек и разложения
XB(s,t) в их окрестности, которая не исчерпывает всех трудностей в связи со спе-
цификой связи XB(s,t) и хв(?,т).
Глава 2. Нестационарные САУ
281
2.8. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Характерной особенностью ЛНС является то, что устойчивость по отношению к
начальным условиям (предполагающая ^атухание свободного движения) не предопре-
деляет ее устойчивости по отношению к управлению (требующей конечной реакции
на конечное управляющее воздействие при нулевых начальных условиях, как было в
системах стационарных [33, 96]).
Пример 2.11 [33,96]. Пусть задана ЛНС
=	+	(2.285)
При y(j) = 1[1], [х(1)](_( = х0, to = O имеем
' dx	' dx ' dx
x(/) = e “ 2x0+e ° 2Je" 2dx.
о
Так как
dr	t
e Jr+2 =e[-l"(^2)](> =g-ln(/ + 2)+ln2 =e-ln(,+2)el„2 _ 2
1 + 2’
TO
(t + 2)2	2 t + 2 2
2(1 + 2) o“r + 2X“+ 2	1 + 2'
Отсюда видно, что свободная составляющая движения ЛНС (1)
Хя^=1 + 2Х°
(2.286)
с течением времени стремится к нулю (т.е. эта система устойчива по отношению к начальным условиям), а
вынужденная составляющая
(2.287)
неограниченно возрастает (по отношению к управлению система неустойчива). Поэтому необходимо ис-
следовать устойчивость ЛНС не только относительно начальных условий, но и ее устойчивость относи-
тельно управления.
2.8.1. Устойчивость ЛНС ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Точное исследование вопроса устойчивости относительно начальных условий
ЛНС общего вида
-^Х(1) = А(1)Х(1)	(2.288)
представляет значительные трудности, поэтому чаще пользуются приближенными
методами такого исследования. Рассмотрим некоторые из них.
Метод исследования относительной устойчивости состоит в том, чтобы пред-
ставить произвольную ЛНС (2.288) через параметры системы
^Z(l) = Az(l)Z(l),	(2.289)
устойчивость которой известна:
^X(l) = [Az(l) + e(l)]X(z),	(2.290)
и, исследуя свойства матрицы-добавка = |е- (/)j, i, j = \,п, судить об устойчи-
вости исходной ЛНС (2.288).
Наиболее рационально в качестве (2.289) использовать системы стационарные и
периодические. Первые — как наиболее простые и исследованные, в которых с
учетом (2.290)
282 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
А(/) = Аст+е(г);	(2.291)
вторые — в связи с достижениями теории Флоке, в них
А(?) = А7-(?) + е(?),	(2.292)
где	,
А7(?) = АГ(? + Т);	(2.293)
Т — период изменения коэффициентов матрицы.
Если lim е(?) = 0, то матрица (2.291) называется почти постоянной, а матрица
(2.292) с учетом (2.293) — почти периодической коэффициентной матрицей, и име-
ет место следующий критерий относительной устойчивости.
Критерий 1. Пусть система (2.289), где AZ(?) = ACT — постоянная или
— периодическая, устойчива относительно начальных условий. Тогда и
система (2.288), представленная как система (2.290), также устойчива относи-
тельно начальных условий, если
]]е(т)рт<оо,	(2.294)
*0
где под нормой матрицы понимается
п п
H’H-ZZhWl-	<2-295>
<=1 J=1
Критерий 1 для матрицы Az (?) общего вида справедлив, если помимо условия
(2.294) выполняется еще и условие
lim jtr[Az (т,	>-оо;	(2.296)
п
здесь символом tr[Az(T()] обозначен след матрицы Az(Tt), т.е.
/=1
Если стационарная или периодическая система (2.289) асимптотически устой-
чива относительно начальных условий, то при соблюдении требования соответст-
венно почти стационарная или почти периодическая система также асимптотиче-
ски устойчива относительно начальных условий.
Критерий 2 [33] — аналитический достаточный критерий устойчивости относи-
тельно начальных условий.
Рассмотрим ЛНС типа
(2.297)
л(0=1’
у которых переменные составляющие коэффициентов дифференциального уравнения
5, (?) ограничены
(?)|</и„	(2-298)
где о, (?) = а/0 + а, (?) (рис. 2.58); а,0 —постоянные составляющие коэффициентов,
т, — известные постоянные положительные числа.
Чтобы ЛНС (2.297), (2.298) была устойчива относительно начальных условий,
достаточно выполнения соотношения
а + гА<0,	(2.299)
Глава 2. Нестационарные САУ 283
где а — действительная часть ближайшего к мнимой оси корня характеристиче-
ского уравнения линейной стационарный системы (ЛСС)
Д, d'x(t\ , .
£«,0 —yr1 = y(t), «00=1;	(2.300)
/=0	•
л-1
г = £м,р'+’;	(2.301)
/=о
примем р — модуль наибольшего корня характеристического уравнения системы
(2.300);
Л = £|4|.	(2.302)
/=1
Рис. 2.58. К пояснению понятия устойчивости ЛНС
В (2.302) А, — коэффициенты разложения передаточной функции ЛСС (2.300) на
элементарные слагаемые относительно ее полюсов s = s,, i = l,n:
1	" А
W„ (s) = --------------= £—(2.303)
*+«(„-! )о*	+••• +«оо Ms~si
Смысл условия (2.299) можно понимать так: положительный (см. выражения
(2.301), (2.302)) «добавок» гА, который с некоторым запасом учитывает перемен-
ность коэффициентов уравнения (2.297) (см. формулу (2.302)), не должен переводить
самый близкий к границе устойчивости полюс передаточной функции (5) устой-
чивой стационарной системы (2.300) в правую полуплоскость.
Из соотношений (2.299), (2.301) видно, что если ЛСС (2.328) устойчива и коэф-
фициенты (2.298) изменяются относительно коэффициентов ЛСС (2.328) на малую
величину (числа mt малы), то ЛНС (2.297) останется устойчивой.
2.8.1.1.	Исследование устойчивости квазистационарных систем
Фактически эта же идея используется при анализе устойчивости квазистационар-
ных ЛНС более общего вида методом «замороженных» коэффициентов. В этом слу-
чае предлагается пользоваться критериями устойчивости ЛСС и они должны выпол-
няться для всех стационарных систем, представляющих исходную квазистационар-
ную ЛНС во все моменты времени tt, i = 1, 2,.... Например, пусть соблюдены усло-
вия, когда разомкнутая ЛНС может быть описана набором стационарных систем,
полученных «замораживанием» при / = /,,/ = 1,2,..., и пусть все они представляют
собой устойчивые системы, АФЧХ W\j(&,tj) которых изображены на рис. 2.59.
Тогда исходная замкнутая ЛНС, соответствующая нестационарной разомкнутой,
также устойчива (так как АФЧХ W(Jo>,ti') не охватывает критической точки (-1,у0)
при всех t:).
284
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.59. Частотные характеристики системы
2.8.2.	Связь ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛНС
ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Из примера следует, что ограниченность свободного движения еще не означает
ограниченности движения вынужденного (см, (2.283) и (2.284)).
Однако для систем типа
^1 = A(/)X(/) + Y(z),	(2.304)
dt
у которой A(f) непрерывна для всех t е [z0,co), можно утверждать, что если сво-
бодное движение ее экспоненциально ограничено, т.е.
||Хс(/)||	(2.305)
где
Х°=Х(г0),
то при любом ограниченном входе ограничено и ее вынужденное движение', иными
словами, она устойчива и по отношению к управлению*.
Докажем это утверждение. Поскольку свободное движение системы (2.304) есть
Хсв(/) = Ф(гд0)Х°,
то, согласно условию (2.305), имеет место неравенство
||Ф(ГД0)Х(Г0)||<Й||Х(/О)||е'а('-'»’.	(2.306)
Вынужденное движение системы (2.304) имеет вид
Хв(/)= |ф(?,т1)У(т1)с/т1.
*0
Поскольку ||ф(/, Т]) У (Т] )|| > 0 Vr,Т], ясно, что
XB(z)<'j||®O,T1)Y(T1)pT1.	(2.307)
I»
* Свободное движение системы (2.285) (см. формулу (2.286)) не может быть ограничено экспоненци-
альной зависимостью, так как
2	2е‘"
lim---------- = I im --- = оо
'->»(/ + 2)е	1-и»(/ + 2)
(если раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя).
Глава 2. Нестационарные САУ 285
Так как неравенство (2.306) справедливо для Х(10) = Х°, равного произвольному
постоянному вектору, оно может быть использовано и для оценки подынтегрального
выражения при любом фиксированном тР В этом случае оно примет вид
||®^Ti)Y(Ti)k?’||Y(Ti)||e’a(,’tl);	(2-308)
с его учетом из соотношения (2.306) получаем
||Хв(/)||<	(2.309)
'о
Если вход ограничен
||y(t)||<X„ <00,	(2.310)
то
||ХВ (1)11 < feaT'i/T, =	—W = -^-Г1-е-а('’'о)1,	(2.311)
1	/	а и0 a L	J
'о
т.е. Хв (1) при t > t0 ограничено (в том числе и при t = оо), следовательно, система
устойчива относительно управления.
Можно доказать [33], что:
1)	если для системы (2.304), у которой матрица k-(t) непрерывна для всех
1е[/0,оо) и ||а(1)|| < КА < со (см. (2.296));
2)	если вынужденное движение при любом ограниченном в смысле (2.310) воз-
действии У(1) ограничено, т.е. если такая ЛНСустойчива и по отношению к
управлению,
то эта система не только устойчива по отношению к начальным условиям, но и имеет
некоторое (в смысле экспоненциальной ограниченности) качество свободного движения.
Заметим, что устойчивость по отношению к начальным условиям не гарантирует
даже устойчивости по отношению к управлению (см. пример 2.11). В этом смысле
понятие устойчивости по управлению является более емким.
2.8.3.	Устойчивость ЛНС ОТНОСИТЕЛЬНО управления
Критерий 3. Необходимым и достаточным условием устойчивости ЛНС (2.187),
(2.188) по отношению к управлению является
J|K(/,T)|dT<C<oo;	(2.312)
'о
здесь |к(1,т)| =	(1, т)||, i - 1,п, j = 1,т — МИПФ ЛНС, в которой на месте каждо-
го элемента стоит его модуль; С = {су}, i = 1,п, j = 1,т ; Су =с = const.
В справедливости условия (2.312) можно убедиться следующим образом. Извест-
но (см. (2.213)), что
Х(1)= Jk(/,t)Y(t)i7t.	(2.313)
(/1X1)	/0 (пхт) (w*l)
Пусть воздействие Y(t) ограничено некоторой величиной Ymax размерности
т х 1; тогда реакция г-го компонента выхода системы наj-й компонент входа
286
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
имеет максимально возможное значение при уу (t) = ymax signT ky {t,i) (рис. 2.60):
t	t
*утах(0 = Утах J^ O-'t)signT^ (r,T)rfT = ymax J|^ (z,t)c/t|.
Рис. 2.60. К пояснению понятия устойчивости ЛНС
Отсюда видно, что составляющая ху(/), а следовательно, и любой компонент
выходного вектора ограничены, если
t
ymaxf|^0,T)jT|symax^<oo;
by = const.
Из соотношения (2.314) вытекает условие (2.312), если положить
с = max [by |; i = 1, п; j = 1, и; t = со.
2.8.4.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЛНС НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
Устойчивость — асимптотическое свойство системы, связанное с ее поведением в
бесконечности. Но большинство реальных систем работает на конечном интервале
времени [0, Т& ], в связи с чем возникает вопрос, насколько эффективно такая харак-
теристика, как устойчивость, может быть использована для оценки работоспособно-
сти системы в этом случае?
Для линейных стационарных систем (ЛСС), если устойчивость гарантирует их ра-
ботоспособность в бесконечности, то она гарантирует ее и на конечном интервале че-
рез время t = Ту после начала работы (здесь Ту — время переходного процесса). Дей-
ствительно, устойчивость предполагает затухание переходного процесса в бесконечно-
сти, и если установившееся значение удалось сделать равным желаемому ху = хэ (это-
го можно достигнуть выбором величины ступенчатого входного воздействия), что и
означает работоспособность системы в бесконечности (в смысле близости x(t) к
хэ(1)), то, поскольку Д — близость х(/) к xy(t) обеспечивается уже после t = Ty
(здесь Д = 0,05 ху (Г)), и поскольку ху (t) вследствие постоянства параметров не ме-
няется во времени, близость х(/) к хэ обеспечится и после t = Ту , т.е. обеспечивается
работоспособность и на конечном интервале после t = Ту, если Д <Т&. При необхо-
димости оценки работоспособности в переходном режиме пользуются понятием ка-
Глава 2. Нестационарные САУ
287
чества системы, впервые предложенного В.В. Солодовниковым. Например, можно
считать систему удовлетворяющей требуемому качеству, если переходная функция
/г(г) не выходит за пределы некоторой области («коробочки») (рис. 2.61, где
ху, ст %, Ту, Eqo — соответственно установившееся значение, перерегулирование,
время переходного процесса, статическая точность — первичные показатели качест-
ва системы, являющиеся параметрами переходной функции [33, 96]).
Рис. 2.61. «Коробочка» В.В. Солодовникова и качество системы
Таким образом, вопрос исследования работоспособности ЛСС на конечном ин-
тервале принципиальных затруднений не встречал и решался в рамках понятий
обычной устойчивости и качества.
В случае ЛНС после t = Ту также наступает установившийся режим, однако в си-
лу переменности ее параметров он не постоянен даже при неизменном воздействии.
В силу чего выполнение условия ху = х3 при t = оо никак не связано с его выполне-
нием при 1е [7^п, Тд], ведь ху(г) непостоянен и неизвестен, поэтому результат ис-
следования на устойчивость не может служить для оценки работоспособности ЛНС
на конечном интервале даже после затухания переходного процесса (как было в слу-
чае ЛСС). В частности, использование результатов исследования на устойчивость для
оценки работоспособности на конечном интервале может привести и к противопо-
ложным истинным результатам. Например, пусть система должна работать на интер-
вале [0,Гд] и обеспечивать точность не ниже ед, т.е. процесс не должен выходить за
пределы областей, выделенных жирными линиями на рис. 2.62.
Удовлетворительную работу на конечном интервале обеспечивает изображенная
на этом рисунке неустойчивая система, а устойчивая — нет. Поскольку исследование
288 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
на устойчивость не решает вопроса определения работоспособности ЛНС на ко-
нечном интервале, нужно ставить новую задачу о невыходе управляемого процесса
из «коробочки» (см. жирные линии на рис. 2.62), определяемой техническими усло-
виями работы системы. Наличие в системе этого свойства и предполагает понятие
устойчивость на конечном интервале, которое, как это видно, является разновид-
ностью понятия качества.
Так как устойчивость ЛНС по отношению к начальным условиям не предопреде-
ляет ее устойчивости по отношению к управлению, ниже рассматривается устойчи-
вость на конечном интервале по отношению и к начальным условиям, и к управлению.
2.8.4.1.	УСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ПО ОТНОШЕНИЮ
К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
Определение 1. ЛНС
^-X(0 = A(r)X(/) + B(z)Y(z)	(2.315)
называется устойчивой на конечном интервале для г], е, Ту по отношению к началь-
ным условиям, если для уравнения
(2.316)
at
выполнение неравенства
Хт (f0)X(f0) < Г]	(2.317)
означает, что
Хт(/)Х(/)<е	(2.318)
на интервале [j0, t0 + Гр J.
Известно несколько достаточных критериев устойчивости ЛНС типа (2.316) на
конечном интервале. Приведем три из них.
Чтобы ЛНС (2.316) была устойчива на конечном интервале для г], s, Ту по от-
ношению к начальным условиям, достаточно выполнения одного из следующих условий.
Критерий 4.
i
— для всех	{о + ^у]>	(2.319)
*0
где Хм (/) — максимальное собственное значение симметрической матрицы
А(/) = |[А(/) + Ат(/)];	(2.320)
Критерий 5. Все главные миноры матрицы
__________________________	1 р
-А(0+т^1п^1(0	(2.321)
(нхп)	Ч (лхл)
отрицательны.
Критерий 6.
J	(2.322)
*0
Критерий 4 наиболее труден, а критерий 6 наиболее легок в смысле их практиче-
ского использования, однако в таком же порядке они расположены и по степени точ-
ности оценки с их помощью необходимых и достаточных условий устойчивости на
конечном интервале [33].
Глава 2. Нестационарные САУ 289
В качестве примера рассмотрим доказательство наиболее точного из достаточных
критериев — критерия 4, ценность которого существенно возрастает в связи с тем,
что после нахождения собственных значений матрицы А(/) можно неопределен-
ность границ областей устойчивости (явившуюся следствием того, что критерий 4
лишь достаточный) существенно локализовать, воспользовавшись еще и достаточ-
ным критерием неустойчивости 7.
Критерий 7. Чтобы ЛНС (2.320) была неустойчива на конечном интервале для
Г], е, Ту по отношению к начальным условиям, достаточно выполнение неравенства
(2.323)
>-	1s
|хи(т])(/т| >—In— для всех t е [/0, t0 +Гу],
где Хц(т) —минимальное собственное значение матрицы А(/).
Доказательство критерия 4. Из теории квадратичных форм [33,96] известно, что
Хт G) A(r)X(z) < Хм (Г)ХТ (/)х(г),	(2.324)
где A(z) — симметрическая матрица, все собственные значения которой действи-
тельны. Продифференцируем скалярную функцию Хт (7)Х(г):
A[XT(,)XW]=^XW+XTW^
С учетом соотношений (2.316) и (2.320) запишем
£[хт (г)х(г)]=хт (,) ат G)x(0+Хт (г) А(г)х(г) =
= Хт (z)[aT (г) + А(/)]х(?) = 2ХТ (г) А(г)Х(г) .
Имея в виду неравенство (2.324), получим
^[XT(Z)X(O]<2^(Z)XT(/)X(Z).
Так как Хт(г)Х(г) — скаляр, то
Проинтегрируем левую и правую часть последнего неравенства в пределах от t0 до t:
xT(Qx(Q
ХТ(г0)Х(/0)
t
‘a
После потенцирования
Хт(г)Х(г) < 25хм(ч)л,
хт(/0)х(/0)“е
с учетом формулы (2.317)
1^м(т1Ит1
Хт (z)X(r) < ре
Из этого неравенства видно, что соотношение (2.318) имеет место, если
е	<-,
0
20 Зак. 14
290 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или после логарифмирования
Хм	<1п—,
<0	Л
откуда и следует неравенство (2.319), что и требовалось доказать. •
Аналогично доказывается критерий 7, если исходить из второго широко известно-
го в теории квадратичных форм неравенства
xT(r)A(z)x(0>M0xT(0x(7).
Пример 2.12. Пусть в системе (2.315), где
А(/) =
(2.325)
0 Г
-(l-acos2z) 0
требуется найти ограничения на параметр а, обеспечивающие выполнение неравенства
In
для всех t, принадлежащих интервалу [0,2 л].
Из условия задачи следует, что здесь требуется обеспечить устойчивость на конечном интервале для
г\,е,Ту по отношению к начальным условиям системы (2.316), где 7].= 2л секунд, 1п(е/т|) = 2. Для этого
(см. критерий 4) нужно вычислить собственные значения матрицы A(z) (см. формулу (2.320))
2^ -(l-acos2z) 0 т
acos2z
2
В соответствии с известным правилом, приравнивая определитель
acos2z
|a(z) м(2х2)|-
a cos 2/
2
acos2z
2
0
о
о
2
-X
2
2
нулю, получаем уравнение, корни которого
±2^
суть собственные значения матрицы A(z).
Из рис. 2.63, где показано изменение собственных значений матрицы во времени, наглядно следует,
что максимальное собственное значение этой матрицы изменяется во времени по закону
(0 = ^Не-
согласно критерию 4, для всех z е [0,2л] должно выполняться условие (2.319)
'[И1^л,<1,
oJ 2
откуда
|а| < ---------- для всех ze[0,2x],	(2.326)
J|cos 2т, | б?Г]
о
Чем больше знаменатель правой части, тем более жесткие ограничения накладывает условие (2.319) на
параметр а. В заданном диапазоне изменения Z знаменатель принимает максимальное значение на грани-
це интервала:	*
J |cos2tj|с/т, =8 | созгт^Т] =4sin2T1|”'4 =4,
о	о
поэтому
|a|zSl/2.	(2.327)
Если для решения этой задачи воспользоваться критериями 5, 6, то результаты соответственно
Глава 2. Нестационарные САУ 291
получаются более просто, но, как это видно, они накладывают ограничения на исследуемый параметр со
все большим запасом.
Рис. 2.63. График изменения собственных значений матрицы во времени
2.8.4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ПО ОТНОШЕНИЮ
К УПРАВЛЕНИЮ
Определение 2. ЛНС (2.186), (2.188) является устойчивой на конечном интерва-
ле для пу> Е> Ту по отношению к управлению, если при ||y(/)|| < выполняется
|х(1)|| < £ на интервале
Приемом, аналогичным использованному при обосновании условия (2.312), не-
трудно показать, что необходимым и достаточным критерием такой устойчивости
ЛНС является выполнение условия
Ч>+Ть
J |к(г,т)рт<—, t0 <t<t + Tb.	(2.328)
'о	Лб
Существует несколько достаточных критериев устойчивости на конечном интер-
вале относительно управления, а также несколько достаточных критериев устойчи-
вости на конечном интервале и относительно начальных условий и относительно
управления [33, 96].
В качестве примера приведем формулировку одного из них.
Критерий 8. Чтобы ЛНС (2.315) при B(z) = I была устойчивой на конечном ин-
тервале для Г], т|у (?), к(/), Ту по отношению и к начальным условиям, и к управле-
нию, достаточно, чтобы
МПчИч ' 1МТ)Л	г
т)е,(|	+ ]т]у (xi)е'‘	<е(г) для всех te^0,r0 + TyJ,
Z()
где Хм(г) —максимальное собственное значение матрицы А(7) (см. (2.320)).
2.9. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ
(СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ) СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Проекционными называются методы, которые предполагают построение решения в
некотором конечномерном подпространстве Lt ^<р1,ф2,...,ф/} бесконечномерного про-
странства	где Lt —линейная оболочка координатных элементов ф,, ф2,...,ф/.
Другими словами, имеет место проектирование I? (£1) в (фрфг,...^) и ре-
шение ищется в этом подпространстве. Элементы ф!,ф2,... порождают базис, по
20*
292 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
которому и разлагаются динамические характеристики линейных стационарных и
нестационарных систем (см. Приложение 1, т. 2).
Проекционные методы являются основой теоретических положений и алгоритмов
исследования рассматриваемого класса систем.
2.9.1. Математические модели линейных САУ в форме
УРАВНЕНИЙ С ПРОЕКЦИОННО-МАТРИЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Основой для введения в рассмотрение матричных операторов является следую-
щий факт [44]: пусть £2[0,Г] — гильбертово пространство и Ф =	:к = 1, 2,...}
— счетный ортонормированный базис в I? [0,7]. Тогда линейный ограниченный
оператор А: Z? [0, Г] —> Z2 [0, Т] или Ах = у можно представить в форме
’«п
«21
«12
«22
•• «1/
" «2/
С1
«2
су
и
су
с2
(2.329)
_«/1
«/2
• “и
.У
Lc/ J
где ajk =(Лфьфу), с* =(х,фу), j = 1,п.
В самом деле, пусть хеТ2[0,Т], х
для любого xeZ2[0,71] можно записать
к=\
Аналогично, так как Ах е I? [0,7’], имеем
Лх = _у = £с^.
к=1
По определению, справедлива зависимость
— произвольный элемент в 2? [0,У]; тогда
=(Лх,<р„)= Л1пп£с£ф*, Ф„ .
Поскольку оператор А непрерывен, т.е. если х„ —> х, то
(2.330)

а также непрерывным является скалярное произведение: если х„ -> х, то
( 1
(y,x) = lim А%сХкЧ>к,<Рп
= Jim Y,CkA^^n ,
и, кроме этого, учитывая линейность скалярного произведения, найдем:
i
сп =	(Л(Р4’Ч>«)’
где (ЛфА,ф„) —скалярное произведение в пространстве в Z2[0,T’]:
т
(Лф*,ф„)= |(ЛфДг))-ф„(г)сй.
о
Глава 2. Нестационарные САУ
293
Отсюда следует ключевая зависимость:
л = 1,2,....
4=1
Последнее выражение представляет собой общий вид линейного ограниченного
оператора в пространстве Гильберта, причем строки и столбцы матрицы опера-
тора— это векторы, принадлежащие пространству I2:
Далее, для иллюстрации рассмотрим ИУ 2-го рода, эквивалентное ДУ, описы-
вающему поведение класса линейных систем (к этому классу относятся линейные сис-
темы с постоянными и переменными параметрами, системы с запаздыванием и др.).
В частности, уравнения, описывающие нестационарные и стационарные систе-
мы, соответственно имеют вид
и
И)* dk
(n-\)\dik
(2.331)
t п-1
x(0+f £
О
ak
(2.332)
Аналогичные уравнения можно записать и для стационарных и нестационарных
систем с запаздыванием.
Будем полагать, что А: Z2 [О, Т] -> Z,2 [0,7’]. Ядра указанных выше уравнений
суммируемы с квадратом, поэтому интегральные операторы ограничены.
Воспользуемся следующим представлением [118]:
х(/) = Фт (/)СХ;
Я') = ФТО)СХ;
Ах(/,т) = Фт (7)А^Ф(т);
ку (г, т) = Фт (/) АУФ (т),
где Ф(у) = {фДг): к = 1,2,...} — ОНБв i2 [0,7’];
т Г
Cx=^cf с2х с*j , с* = |х(/)ф,(/)<Й, / = 1,2,.
о
C>'=[cf с2 cf]T, cf = |у(/)ф((/)Л,/ = 1,2,...,/,...;
о
(2.333)
(2.334)
(2.335)
294
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Из (2.331) и (2.333) следует
т
Фт (г)СЛ + ]фт (0 АдФ(т)Фт (т)СхЛт =
о
т
= ]фт(?)А'Ф(т)Фт(т)С^т,
о
или, что то же самое,
т
ФТ(/)СХ +Фт(/)Ао |ф(т)Фт(т)<7т Сх =
о
т
= Фт (/) А-*1 |ф(т)фт (т)АС-.
о
(2.336)
т
Поскольку |ф(т)фт (т)г/т = 1 — единичная матрица, то из (2.336) находим
о
СХ+А^СХ=А>'С<
или
АХСХ = А'С\
где
Ах =1 +AqJ
йц+1	а12	аи
.х	^21	522+1	a2i
А —	.	.	,
5/1	а12	•••
т t	__
aj= |^(^т)ф,(^ф7(т)^т; i,j = v.
о о
Из (2.337) находим
сх=(ах)”‘ач/=ас<
Матрицу вида
(2.337)
(2.338)
(2.339)
Ян ап  аи
ап а12 ” ап
(2.340)
будем называть проекционно-матричным оператором или спектральной характери-
стикой (СХ) системы относительно ортонормированного базиса Ф х Ф. Для проце-
дуры вычисления двойных коэффициентов Фурье во многих ОНБ (например, в три-
гонометрическом базисе, базисе из косинусов, базисе из многочленов Чебышева, ба-
зисе из функций Уолша) существуют эффективные «быстрые» алгоритмы [38, 118].
С алгоритмической точки зрения предварительный переход от (2.331) к уравнению
Фредгольма целесообразен.
Но переход от уравнения Вольтерра к уравнению Фредгольма имеет существенный
недостаток с точки зрения потери точности, если точность измеряется в равно-
мерной метрике. Действительно, при доопределении ядра в общем случае оно стано-
Глава 2. Нестационарные САУ
295
вится разрывным. Исключение составляют, например, ядра вида &(?,т) = ^(/-т), где
!;(/) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию ^(0) = 0. Но, как извест-
но, разрывные функции нельзя гарантировано приближать в С [0,7"] с порядком вы-
ше, чем первый. Это означает, что погрешности в вычислении элементов матрицы
А* размерности I будут иметь порядок 0(1//). В этом случае и разность ||х;-х||
между решениями приближенного и точного уравнений не может быть лучше С/1.
Таким образом, если требуется аппроксимировать исходную систему в равномерной
метрике, осуществляя переход к интегральному уравнению Фредгольма, мы теряем в
порядке точности. Таким образом, этот прием целесообразно применять или в слу-
чае негладкого ядра, или при аппроксимации в пространстве I? [0,Г].
Итак, рассмотрен возможный способ аппроксимации системы (2.78), основанный
на переходе от дифференциального уравнения н-го порядка к скалярному интеграль-
ному уравнению Вольтерра или Фредгольма. Как было отмечено, способ, состоящий
в переходе к уравнению Фредгольма, связан с потерей точности аппроксимации в
равномерной метрике. Но в то же время этот способ приводит к одномерному инте-
гральному уравнению, а при применении проекционной аппроксимации — к системе
линейных алгебраических уравнений порядка I.
Сделаем некоторые пояснения по поводу изложенных результатов. Функции, с
которыми приходится иметь дело инженеру, чаще всего являются решениями функ-
циональных уравнений, в данном случае — дифференциальных, и, следовательно,
над этими функциями должны производиться определенные операции, такие как
дифференцирование и интегрирование.
Подлинное значение спектральных представлений функций в ОНБ и аппарата
проекционно-матричного представления интегральных операторов заключается в
том, что они имеют характер отображений, заменяющих функции из пространст-
ва Z,2 [О, Г] и производимые над ними операции числовыми последовательностями и
операциями с матрицами (алгебраизация вычислении), причем выполняемые над ними
операции значительно проще и нагляднее исходных.
Это приводит к тому, что уравнения с интегральными, дифференциальными и
другими операторами заменяются системами линейных алгебраических уравнений,
которые являются более простыми, чем исходные, и решаются значительно проще.
Вопросы, связанные со сходимостью метода и оценкой погрешности, рассмотре-
ны, например, в [38, 118].
Алгоритм, реализующий метод проекционно-матричных операторов, обладает
вычислительной устойчивостью, поскольку уравнение (2.78) эквивалентно инте-
гральным уравнениям 2-го рода (2.331) и (2.332), задача нахождения решения кото-
рых принадлежит к числу корректно поставленных задач.
Изложенные положения обобщаются на случай, когда используется описание
системы ДУ в нормальной форме Коши; тогда
Т	Г
Х(/)= |кД?,т)Х(т)с/т+ |кДг,т)¥(т)<7т + Х°,	(2.341)
о	о
где
кД/,т) =
1(?) А(т), 0 < т < Г;
О, t < т < Т;

1(/)В(т), 0 < т < Г;
О, t < т < Т.
296
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Уравнение (2.341) — векторно-матричное интегральное уравнение Фредгольма
2-го рода. В развернутой форме оно имеет вид
п Т	т Т
Х1 (0“Е К’ G’T)xv = Е JVv (т)Л + Х! (0);
v=l о	V=1 о	*
п Т	т Т
_	|ВДл(т)л+х2(о);	(2342)
|	V=1 О	v=l о	' ’	'
Хп (0 - Е fa (*>т) xv (-t) dx = Е fa? (t, ^уЛ^х + х^О),
v=l 0	v=l 0
где
v ’ |o,	t < т < T;
v ’ [0,	t < т < T.
Формулы (2.341) и (2.342) определяют интегральную форму описания линейных
систем. Перейдем к рассмотрению формы описания систем с помощью проекционно-
матричных операторов.
Воспользуемся спектральным представлением всех функций, входящих в систему
уравнений (2.342):
хк (/) —> СХк =	” с*к ] , А=1,л;
yv (/)-> СЛ = [cf’ dy  cf'j , v = l,m.
Тогда
у7.(0=НГф(0=фт(0с^
1	’	(2.343)
х, (г) = (cXf )Т Ф(/) = Фт (/)СЛ',
где Ф(г) = [ф] (г), ф2 (/),..., ф; (г)]Т.
Предполагая, что интегральные операторы в системе уравнений (2.342) ограниче-
ны (задача рассматривается в сепарабельном гильбертовом пространстве /?[0,Г]),
получим эквивалентные уравнения с проекционно-матричными операторами. Для
этого в каждое уравнение системы (2.342) подставим зависимости, определяющие
спектральные представления функций х, (/), i = l,n и у7(/), j = \,т, после чего обе
части полученного равенства умножим слева на матрицу-столбец Ф(/) и проинтег-
рируем на промежутке [0,Т].	»
В результате получим для z-го уравнения [118]
]ф(/)фт (t)Cx‘dt = ]ф(г) JE^ (^т)фТ ^)CXjdxdt +
О	0	0 7=1
Г	7 т	1	___
+ |ф(/)	(^,т)фТ (т)СУ}dxdt + |ф(/)х, (0)Л, / = 1,и.
О	0 у=1	о
Глава 2. Нестационарные САУ
297
Сделаем некоторые пояснения, рассматривая отдельные слагаемые последнего
уравнения. Имеем
ФгФ1
Ф2-Ф1
ФгФ/
ф2 -ф/
dtCXi = 1СХ,
о
-Ф/-Ф1
Ф/’Ф/J
поскольку система Ф(0 представляет собой ОНБ.
Аналогично можно записать
Г	I
|ф(/) |а,у(т)Фт(т)а,т<ЛС’с? =
о	о
Ф1 (01,
: JX/COl/PitO	=
_ф/(01°
Г<Р1 (01 Г'
oLh(OJLo
К(т)ф|(т)б/тФ1(о<//	/а!/(т)ф/(т)4/тФ1(0^
о	о
I	I
l ру(ОФ1(т)ЛФ2(0^	Р'ДОфДО^фзОИ
Jo	о
о	:	.
t	t
ру(т)ф1(т)ЛФ<(0Л  {^(т)ф,(т)с/тф,(/)Л
.0	о
т t
Л«!/(ОФ1(ОФ1(т)^т
о о
Т I
|^(т)ф/(0ф,(т)^т
.0 0
Т 1 Ла</(т)ф1(0ф/(0ла'т 00	сГ7	= -АхСХу
Т t Л«у(О(р/(0ф/(О^с?т 00	-clj J	7
Теперь можно записать матричный эквивалент уравнений (2.342)
И	И1
1СХ> +ХЧсХу + (о)фдг;
7=1	7=1
ICX> +t А^ =ХВ'27С'7 +-X2(O)<I>W;
2=1	2=1
ic* +х чсъ=ixc'; +х„ (о)ф„,
2=1	2=1
о
(2.344)
19 Зак. 14
298
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где
т	t	___
А* = - ]ф(?) р,-, (т)Фт (т)dxdt, i, j = \,n\
о	о
Т I	___ ______ •
В£ = -|ф(?) jbjj (т)Фт (x)dxdt, i = \,m, j = 1,и;
о о
T
H>N = |ф (?)</?.
О
Матрицы:
Af1+I
— клеточная (/и)х(/-и)-матрица;
BY
A„i А*2	••• А*„+1
В-*'
"11
В-у
"21
Bv
"12
в У
"22
b,v
1m
в^
"2m
— клеточная (/ • и) х (/ • н) -матрица;
В' В'2 - в'т
сх= [с“]т [с^]т ••
— клеточная ((/ • п) х 1)-матрица;
— клеточная ((/ • т) х 1)-магрица;
Ф°Л1 = [[х, (0)Ф„]Т [х2(0)Ф„У - [х„(0)ФЛ,]Т]\
где
Для расчета матриц СЛ, Ах, В£, будем использовать алгоритмы быстрых преоб-
разований. С учетом введенных обозначений, систему уравнений (2.344) можно пе-
реписать в виде
АХСХ = BYCY + Ф^.	(2.345)
Соотношение (2.345) — система линейных неоднородных алгебраических уравне-
ний относительно Сх; решая ее, находим
Сх =(AX)4(BYCY +Ф^) = AxByCy +АхФ^ = АФСу +АхФ^. (2.346)
Формулы (2.339) и (2.346) можно трактовать как простой способ алгебраизации
линейного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Однако значение формулы
(2.346) в теории автоматического управления далеко не исчерпывается простотой
сведения интегрального уравнения к алгебраическому. Более важен следующий факт.
Матрицу
AH = AxBy	(2.347)
в технической литературе называют спектральной характеристикой системы [133].
С математической точки зрения эту матрицу можно называть проекционной характе-
Глава 2. Нестационарные САУ 299
ристикой системы [38]. Этим определением подчеркивается факт использования
проекционных методов для решения уравнений, описывающих поведение сис-
темы автоматического управления.
Значение формулы (2.346) заключается в том, что при решении различных задач
анализа систем управления, поиска оптимального управления, при проектировании
корректирующих устройств управляемых систем и т.п. приходится многократно
проверять реакцию модели на различные входные воздействия. При этом, если варь-
ируется только вектор управления, то после вычисления спектральной характери-
стики исследуемой системы и записи ее в память компьютера поиск выходных сиг-
налов или компонент вектора состояний модели сводится к простому перемноже-
нию матриц и добавлению к нему постоянного столбца.
Можно также подчеркнуть, что зависимости (2.339) и (2.336) выражают в явной
форме связь между входом и вектором состояния, или выходом нестационарной
линейной системы.
Член АхФу отражает факт проекционного преобразования начального со-
стояния системы.
Матрица оператора Ан имеет блочную структуру
	А11	А12	’	‘ А1„	
Ан =	А21	А22	' А2„	(2.348)
	_А„1	А„2	’	• А„„.	-
Этот факт имеет двойное «значение. Во-первых, становится более ясной структура
матрицы оператора САУ, поскольку каждый блок А,у указывает на характер зависи-
мости /-й компоненты вектора выхода оту-й компоненты входного вектора. Во-вторых,
реализовать формулу (2.346) проще, поскольку для стандартных процедур перемно-
жения матриц второй способ умножения требует меньше компьютерной памяти.
Далее укажем важный факт, который будет широко использоваться.
Одномерная нестационарная линейная система описывается скалярным диффе-
ренциальным уравнением вида
х(л) +«„ (?)x(”4) + ... + а0 (t)x = Ьт ^+Ьт_х (О/””1) + ... + bQ (t)y.	(2.349)
Структурная схема, соответствующая последнему уравнению, имеет вид (рис. 2.64).
Положим, что нестационарная система описывается векторно-матричным диффе-
ренциальным уравнением вида
Х = A(?)X + B(?)Y,	(2.350)
или в развернутом виде
X, = a11(?)x1+... + a1„(?)x„+Zi11(?)^1 +... + l\m (t)ym-,
x2=a2X(t)xx+... + a2„(t')xn+b2x{t)yx+...-¥b2m{t)ym-,	(2 351)
хп = ап1 (f)xx +... + апп (t)xn + b„x (?) ^ +... + Ьпт (?)ут.
Воспользуемся обозначениями
А1 (?) = Щ ] (?) Xi + а13 (?) х3 +... + а]л (?) х„ + j (?) ух +... +	(?) ут;
А2 (0 = «21 (0 *1 + «22 (О х2 + «24 (?) х4 + • • • + «2л (О ХП + *21 (О У\ + •  • + *2т (0 Ут 1
А„-1 (0 = «(„-1)1 (0 *1 +   • + «(„-!)(„-!) (О Х(„-1) + *(„-1)1 (О У1 + • ‘ •+ \п-1)т (') Ут 1
А„ (0 = *„1 (О + Ь„2 (О У г + •  • + Ьпт (?) ут 
19’
300
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
а
2
О
X
о
S
£
Ё
&
Глава 2. Нестационарные САУ 301
С учетом введенных обозначений (2.351) запишется в виде
=а12(/)х2+А1(г);
х2 = а23 (?)х3 + А2 (/);
:	*	(2.352)
V1 = «(„-!)„ (Z)^+A„_! (г);
Л = «„1 (')х1 + ат (0*2 + ••• + апп (')*» + А» (')•
По уравнениям (2.351) легко построить соответствующую структурную схему
(рис. 2.65).
Из рассмотрения структурных схем, представленных на рис. 2.64 и 2.65, можно
заключить, что они содержат операторы интегрирования, дифференцирования и
умножения; соответствующие звенья имеют встречно-параллельное, параллель-
ное и последовательное соединения.
Аналогичные структурные схемы легко построить для класса нелинейных систем
с операциями умножения, систем с запаздыванием и др.
В методе проекционно-матричных операторов каждый из указанных операто-
ров (интегрирования, дифференцирования, умножения и запаздывания) заменяется
эквивалентным проекционно-матричным оператором, а для нахождения проекци-
онно-матричного оператора всей системы используются соотношения, связы-
вающие операторы соединений звеньев [38, 96, 118].
множительное звено
Рис. 2.65. Структурная схема нестационарной системы
Вывод состоит в том, что независимо от того, в какой форме задана нестацио-
нарная линейная система (в форме скалярного дифференциального уравнения, век-
302 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
торно-матричного дифференциального уравнения или ее структурной схемы), всегда
можно построить ее эквивалентную структурную схему, включающую только ин-
теграторы, дифференцирующие элементы, умножители и сумматоры, а для сис-
тем с запаздыванием— запаздывающие элементы.
Рассмотрим задачу нахождения проекционно-матричного оператора всей системы
в выбранном ортогональном базисе, если задана ее структурная схема, состоящая из
интеграторов, дифференцирующих звеньев и умножителей.
Положим, для примера, что система задана ее структурной схемой (рис. 2.66).
Рис. 2.66. Структурная схема системы
Напомним, какую огромную пользу принесли теории и. практике стационарных
систем автоматического управления понятия передаточной функции и структурной
схемы системы.
Простота, удобство и наглядность представления систем с помощью их струк-
турных схем позволили разработать методическую базу для описания и исследования
сложных взаимосвязанных систем, включая системы с местными обратными связями.
Структурные методы обобщены и на системы более сложной природы, в частно-
сти для описания движения систем и объектов с распределенными параметрами, по-
ведение которых описывается дифференциальными и интегральными уравнениями,
интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными, а также сис-
темами уравнений подобного типа.
Построен общий формализм, охватывающий стационарные системы как с распре-
деленными, так и с сосредоточенными параметрами. Введение понятия проекционно-
матричных операторов позволяет распространить структурные методы на сис-
темы с переменными параметрами [38, 96, 118].
Правила, позволяющие определять спектральные характеристики системы в це-
лом по спектральным характеристикам отдельных элементов, составляют аппарат
структурных преобразований, или алгебру проекционно-матричных операторов.
Легко показать справедливость следующих положений.
Параллельным соединением элементов называется такое соединение, при кото-
ром входной сигнал один и тот же для всех элементов, а их выходные процессы
суммируются (рис. 2.67).
А = А] + А2
Рис. 2.67. Параллельное соединение элементов
Глава 2. Нестационарные САУ 303
Проекционно-матричный оператор параллельного соединения равен сумме мат-
ричных операторов отдельных звеньев
A = Aj+A2.	(2.353)
Последовательным соединением элементов называется такое соединение, при
котором выходная величина предшествующего элемента является входным сигна-
лом последующего (рис. 2.68). Проекционно-матричный оператор последовательно-
го соединения элементов равен произведению проекционно-матричных операторов
отдельных элементов
А = А2Ар	(2.354)
А = А2-А!
Рис. 2.68, Последовательное соединение элементов
Соединением двух элементов с обратной связью называется такое соединение,
при котором выход каждого из элементов соединяется со входом другого элемента
(рис. 2.69).
Рис. 2.69. Соединение с обратной связью
Проекционно-матричный оператор соединения с обратной связью равен произве-
дению проекционно-матричных операторов, причем левым сомножителем является
проекционно-матричный оператор прямой цепи Ар а правым — проекционно-
матричный оператор вида (1 + А2А]) т.е.
А = А(1 + А2А1)_|.	(2.355)
Элемент, характеризуемый тождественным оператором I (единичная матри-
ца), называется единичным, поскольку он играет роль единицы.
Оператор А-1 называется обратным к оператору А, если
A’1A = AA’1 =1.	(2.356)
Аппарат структурных преобразований, основанный на описании стационарных и
нестационарных звеньев с помощью проекционно-матричных операторов в ортого-
нальных базисах, аналогичен аппарату структурных преобразований, основанному
на описании стационарных звеньев передаточными функциями.
Общая методика исследования замкнутых систем, заданных своими структурны-
ми схемами, состоит в следующем:
1)	находят спектральные характеристики А, каждого звена системы;
2)	преобразуют схемы так, чтобы образовались соединения: последовательное,
параллельное и с обратной связью;
3)	рассчитывают спектральную характеристику замкнутой системы, пользуясь
формулами (2.353), (2.354) и (2.355).
304 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Пользуясь рассмотренными выше положениями, найдем проекционно-матричный
оператор замкнутой системы (см. рис. 2.65), если А; — проекционно-матричные
операторы элементарных звеньев: интегратора, дифференциатора, умножителя.
Расчетная структурная схема системы представлена на рис. 2.70.
Рис, 2,70. Расчетная структурная схема системы
Проекционно-матричный оператор разомкнутой системы определяется зависимостью
Ар = А8А4А3 (1 + А5А4А3) А2^1 + А7А6А4А3(1 + А5А4А3) А2] Ар
Проекционно-матричный оператор замкнутой системы имеет вид
А = Ар(1 + Ар)-1.
Вывод. Структурная схема линейной системы любой степени сложности мо-
жет быть представлена в виде соответствующего соединения элементарных
звеньев: интегратора, дифференциатора, умножителя и сумматора.
С помощью аппарата структурных преобразований легко найти проекционно-мат-
ричный оператор {спектральную характеристику) всей системы, используя при этом
только проекционно-матричные операторы указанных выше элементарных звеньев.
Рис. 2.71. Структурная схема системы с запаздыванием, представленная
в форме соединения элементарных звеньев (элементов)
Глава 2. Нестационарные САУ 305
Важным является тот факт, что проекционно-матричные операторы эле-
ментарных звеньев можно вычислить заранее по формулам (2.353), (2.354) и
(2.355) и хранить в памяти ЭВМ.
Аппарат структурных преобразований матричных операторов может быть ис-
пользован для решения задач анализа и синтеза нестационарных систем при детер-
минированных и случайных воздействиях.
Метод проекционно-матричных операторов обобщается на нестационарные
системы с запаздыванием, поведение которых описывается дифференциальным
уравнением вида
0)+«„-I (t)	(0+---+ao(0x(/)+c«WxW(/-'cm)+---+
+ c1(f)x'(z-Ti) + c0(/)x(z-T0) = y(t).
Структурная схема представлена на рис. 2.71.
Описание нестационарных систем с запаздыванием с помощью проекционно-мат-
ричных операторов требует знания проекционно-матричного оператора звена запазды-
вания. Формулы, определяющие указанные операторы, приведены, например, в [70].
Пример 2.13. Рассмотрим систему самонаведения, представленную структурной схемой (рис. 2.72).
Построим описание системы самонаведения на конечном временном интервале [0, Г] с использова-
нием аппарата проекционно-матричных операторов. Обозначим входы и выходы каждого из элементарных
звеньев системы переменными Х|,...,х9. Запишем соотношения «вход-выход» для каждого элементарного
звена, входа и выхода системы:
-Ч (0 = у- / *з Д) dt - y-J х4 (т) Л + х4 (°) = —- у jx4 (т) dx + х4 (0);
7с о	1с о	1с ‘с о
х5 (z) = n|r (z)| х4 (z); х6 (z) = у- jx5 (x)dx - у- Jx6 (т) dx + х6 (0);
‘сс о	‘ сс о
ъ =7(7р	*8 =J*7 + *8 (°)’
x9(z) = K(z)x8(z); x,(z) = g(z)-x9(z); *(z) = r(z)x3(z).
Рис. 2.72. Структурная схема системы самонаведения
Пусть {фД<_, —ортонормированный с весом p(z) = 1 базис гильбертова пространства Z.2 [0, Г].
Пусть Ф(г) = [ф|(/),...,(р;(z)]T — вектор-столбец базисных функций, ditn®(z) = /xl. Тогда, согласно
методу проекционно-матричных операторов, векторы коэффициентов Фурье разложений входных и вы-
ходных сигналов каждого из элементов системы, а также входа и выхода системы по базису {ф* (;)}Д 1
будут связаны следующими соотношениями:
С*2 = АИСХ| + х2 (0) ФЛ,; С1’ = А (1/г (z)) С*2;
306
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
I
1 + ^Аи	х4(0)Ф„;
С*» =

Сх’ = а(1/Г(1))С\ С* = АИСХ’ + х8(0)Фл,;
С* = А(И(/))СХ‘; Сх'=Cg-С*>; С* = а(г(г))СХз ;
в данных соотношениях: Аи — проекционно-матричный оператор интегрирования в базисе {<pt (<)}^=|;
А (/(<)) —проекционно-матричный оператор умножения на функцию f(t) в базисе {ф* (0}*=1 ’ 1 —
единичная матрица;
Ф^ =
т
/<Ро(')Л
.0
т
О
Положим начальные условия для системы самонаведения нулевыми и введем ряд обозначений:
А,=АИ; А2 = A(l/r(z)); А3 ± 1 + у-А,
* с
А4 = а(и|г(/)|);
а5 -
IJ Л 1 А 
1-1-----А4 ----------Аи,
^СС _
А6 = А(1/И(1)); А7=Аи; а, = а(и(г)); аЗа(г(/)).
На рис. 2.73 представлена структурная схема системы самонаведения с учетом введенных обозначений.
Рис. 2.73. Структурная схема системы самонаведения
Воспользуемся аппаратом структурных преобразований для нахождения проекционно-матричного
оператора системы. Обозначим
Аю = AjAj; Ан = А8А7А6А5А4А3.
Структурная схема системы самонаведения после данных структурных преобразований изображена на
рис. 2.74.
' Ап 4
Рис. 2.74. Структурная схема системы самонаведения
Обозначив
Au = A|o[l + AnA|O] ,
запишем выражение для проекционно-матричного оператора системы:
А = АдА]2-
Глава 2. Нестационарные САУ 307
Таким образом, векторы коэффициентов Фурье разложения входного и выходного сигналов системы
самонаведения по базису {<р4 (/)}”_] ПРИ нулевых начальных условиях связаны соотношением
СА = АС«.
Сигналы на входе и выходе системы определяются выражениями
ё(/) = Фт(/)С«;
й(/) = Фт(/)СА.
2.9.2.	Метод проекционно-матричных операторов
ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЛНС
Проиллюстрируем применение метода проекционно-матричных операторов для
решения задачи детерминированного анализа достаточно сложной ЛНС — системы
самонаведения.
Пример 2.14. Решение задачи описания системы самонаведения методом проекционно-матричных
операторов приведено в примере 2.13.
Зададимся следующими значениями параметров системы самонаведения:
g(/) = 10/-10; Г(/) = 200 + 200/;
г (/) = 4500 - 600/ -1ОО/2; г (/) = -600 - 200/;
Гсс=0,1; Тс =0,3; и = 2.
Решение задачи проведем в системе Matlab 6.12 на временном интервале [0, 4] с в базисе ортонорми-
рованных полиномов Лежандра. При решении будем использовать 8 базисных элементов.
Матричный оператор интегрирования в базисе ортонормированных на отрезке [0, 4] смещенных по-
линомов Лежандра имеет вид (представлен вырез матрицы размерностью 5x5)
	"2,00000 ---1,15470		0	0	0
	1,15470	0	-0,51640	0	0
А„ =	0	0,51640	0	-0,33806	0
	0	0	0,33806	0	-0,25198
	0	0	0	0,25198	0
Ниже приводятся полученные для данной задачи матричные операторы А2, А3, А4, А5, А6, А8, А9,
А10, Ац, А12 и А (вырезы матриц размерностью 5x5)
	‘0,48494	0,27873	0,16612 0,09444 0,05342		
	0,27873	0,63352	0,33225 0,19254 0,10862		
А2 =	0,16612	0,33225	0,63686 0,32668 0,18771		•10’3;
	0,09444	0,19254	0,32668 0,62734 0,31856		
	0,05342	0,10862	0,18771 0,31856 0,61588_		
	‘ 0,24999	0,36809	0,34514	0,25598	0,15829	
	-0,36809	0,73318	0,68748	0,50988	0,31530	
А3 =	0,34514	-0,68748 1,17116	0,86860		0,53713	
	-0,25598	0,50988	-0,86860 1,54965	0,95828	
	0,15829	-0,31530 0,53813 -0,95828		1,86155	
	‘2,00000	0,46188	0	0	0	
	0,46188	2,00000	0,41312	0	0	
А4 =	0	0,41312	1,99999 0,40567	0	•103;
	0	0	0,40567 1,99999 0,40316		
	0	0	0	0,40316 1,99999		
	0,97572	-0,04224	-0,04608 -0,05120	-0,04151"	
	0,04244	0,92282	-0,08381 -0,09311	-0,07549	
А5 =	-0,04608	0,08381	0,88073 -0,13251	-0,10743	
	0,05120	-0,09311	0,13251	0,81858	-0,14709	
	-0,04151	0,07549	-0,10743 0,14709	0,79749_	
308
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
	‘ 0,00201 -0,00090 -0,00090 0,00233	0,00036 -0,00014 -0,00092 0,00036	0,00005 ' -0,00014	
А6 =	0,00036 -0,00092	0,00228 -0,00089	0,00034	
	-0,00014 0,00036	-0,00089 0,00226	-0,00087	
	0,00005 -0,00014	0,00034 -0,00087	0,00225 _	•
			’6,00000	2,30940	0	0	0			
			2,30940	6,00000	2,06559	0	0			
Ag			0	2,06559	5,99999 2,02837	0		1(	)2;	
			0	0	2,02837 5,99999 2,01581				
			0	0	0	2,01581 5,99999				
	’2,76667			-1,15470	-0,11926	0	0	-		
			1,15470	2,66000	-1,03280	-0,10474	0			
Ag -		-0,11926		-1,03280	2,69048	-1,01419 -0,10222		• 1	03;
			0	-0,10474	-1,01419	2,69556 -1,00791			
			0	0	-0,10222	-1,00791 2,69740 _			
			'0,00129	-0,00047	-0,00011	-0,00004 -0,00002'			
			0,00129	-0,00015	-0,00026	-0,00008 -0,00004			
Ajc	=		0,00072	0,00014	-0,00006	-0,00017 -0,00006			
			0,00041	0,00006	0,00011	-0,00003 -0,00012			
			0,00023	0,00004	0,00005	0,00009 -0,00002_			
		2,78817		-0,96393	0,15406	-0,50073 -0,03672			
		1,27907		0,89921	-0,19662	-0,59826 -0,26570			
Ац -		-0,14134		0,83951	0,97595	-0,57511 -0,52671			103;
		0,08818		-0,19778	0,84211	0,71481 -0,67109			
		-0,04378		0,09439	-0,18776	0,82571	0,47940			
	Г	0,39927		0,04266	-0,05593	-0,03871 -0,04672’			
		0,17452		0,38228	-0,09053	-0,07172 -0,07800			
A12 =		-0,07154		0,35969	0,16332	-0,10926 -0,09666		• 1	0"3;
		-0,03100		0,09190	0,25353	0,06957 -0,12488			
	-	-	0,01004	0,03062	0,09831	0,16877	0,01763			
			0,91167	-0,36627	-0,06968	-0,01125 -0,02767'			
			0,08032	0,58649	-0,37146	-0,04052 -0,04063			
A			-0,38788	0,47150	0,27241	-0,30308 -0,04907			
			-0,01869	-0,18955	0,42408	0,12821 -0,25992			
			0,01614	-0,06292	-0,04926	0,31798	0,06126 _			
Векторы коэффициентов Фурье разложений входного и выходного сигнала системы по выбранному
базису имеют вид
	20,0000		 9,77456 ’
	23,0940		15,1507
	o.ooOoo		3,13106
C« =	0,00000 0,00000	; c* =	-4,75115 -1,13026
	0,00000		-0,05587
	0,00000		-0,01052
	0,00000		-0,14686
Графики входного g(z) и выходного Л(/) сигналов представлены на рис. 2.75.
Глава 2. Нестационарные САУ
309
2.9.3.	Построение выходных сигналов лнс с помощью решения
ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ МЕТОДОМ ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
2.9.3.1.	Основные теоретические положения
Здесь будем рассматривать скалярные нестационарные линейные системы авто-
матического управления, ДУ которых имеет вид
П	/ х	т	I X
Ё av (0х ” (0 = ЕА (0/ (4	(2.357)
v=0	А-=0
Введем в рассмотрение так называемую порождающую функцию Д (f), которая
играет ключевую роль в методе, теоретические основы которого рассматриваются далее.
Умножая обе части (2.357) на порождающую функцию д(т), получим*
П	/ х	т	/ X
Еа*0)Мг)х " (')= ЕМ0М0-У * (4	(2.358)
v=0	к=й
Пользуясь теоретическими положениями, изложенными в п. 2.3, легко получить
интегральное уравнение первого рода, эквивалентное ДУ (2.357); оно имеет вид
Jx(t)Ax(/,t)4Zt= |у(т)Ау(г,т)й?т,	(2.359)
о	о
где
('>т) = Е -д	(т) a (0 (' -т)" ];
*=0 п\ dx L	J
т (-1V dk Г	3
ку М=Е	(т) р- (т)0 -т)" ]•
4=0 п\ dxK L	J
' В [124] решается задача нахождения функции р(/) такой, чтобы Lx(x) = '^'к^ак	стало
точной производной по / при любой функции х(/) (функция />(/) называется множителем £х(х)).
310
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
При t = T справедливо равенство
Поскольку коэффициенты исходного ДУ {av и [bv известны и име-
ют необходимое число непрерывных производных, то из (2.358) следует зависимость
[МтЫт)(7’-т)л] 
(-1/ dk
п\ dxk
dx,
(2.360)
или, что то же самое,
(Мт)а(т))Нт’
(2.361)
где р,(т) = р, (т)(7’-т)". Поскольку
” (-1V	dk
(т)~7тА (т) = L А (О’
к=0 п-	dx
где L — линейный дифференциальный оператор:
т v ("О* - (\dk
S п\ dxk
то из (2.361) получим соотношение вида
т
т
(2.362)
о
о
Введем обозначение / (т) = L Д (т), тогда (2.362) запишется в виде
{4тШт)Л = /*(/) = >1/’ / = 1’Л
о
Соотношения вида (2.363) могут быть получены из уравнения (2.109)
(2.363)
оО
= B(s).
о
А
В последнем уравнении полагаем х(т)б£2[0,Г]; интегральное уравнение (2.109)
имеет единственное решение и соответствующий интеграл сходится в полуплоскости
Re5>0, поэтому переменной s можно придавать значения s = sk, где к = 1,2,3,....
Это позволяет получить систему соотношений
Jx(t)//(s,,t)<7t = B(s,).
о
Глава 2. Нестационарные САУ 311
Вводя обозначения
/(т) = Я(я,,т), \	/ = 1,2,.„, '
получим зависимости
Jx(t)/ (t)</t = X„ / = 1,/;
о
в отличие от (2.363) они порождены другим интегральным уравнением и те [0,оо).
Приведем некоторые теоретические положения, связанные с зависимостью
(2.363), при этом для конкретизации формулировок будем рассматривать простран-
ство Z,/>[0,7’].
Рассмотрим банахово пространство Z/’[0,7’]. Пусть f е Lp [О, Г] — некоторый
его элемент; через р(/) будем обозначать норму этого элемента в пространстве Lp .
Функционалом на Lp [О, Г] называется отображение Г: Lp [О,Г] -> R, где R —
множество действительных чисел. Из последнего определения следует, что (2.363)
— функционал в банаховом пространстве Lp [О,?1], при этом / (г) е Lp [О,Г] — не-
которая функция, а х (/) е 13 [О, Г] — порождающая функция, -J- + J- = 1.
Линейный функционал I* называется ограниченным, если существует ceR+
такое, что для всех f 6 Lp [О, Г] выполняется неравенство
|Г(/)|<с-р(/).
Известно [44], что линейный функционал I* непрерывен тогда и только тогда,
когда он ограничен.
Множество линейных ограниченных функционалов на Lp само образует банахо-
во пространство, которое называют сопряженным к Lp и обозначают If*, и ум-
ножение на число определяется естественным образом, а норма I* е If' определя-
ется как наименьшее из чисел с* таких, что для любого f е If выполняется
|Г (/)|<с*-р(/).
Норму функционала Г е Lp*, следуя [44], будем обозначать здесь через pLP. (Г).
Из последнего равенства следует, что
PLr“ ft)= su₽ '"	= SUP К (/)| = SUP К (/)|-
V 7 fell p(Z) р(Г>1‘	1 р(/)=1 Л
Отображение L'. В} —> В2 называется линейным, если для любых a, be R и лю-
бых f\, f2 е В справедливо
L(a-f1+bf2) = aL(f})+bL(f2).
Линейное отображение называется ограниченным, если существует се R+ та-
кое, что для любого f е В} выполняется
PB1M<cpBi(f).
Банаховы пространства называют изоморфными, если существует линейное ог-
раниченное взаимно однозначное отображение одного пространства в другое.
312 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Изоморфизм банаховых пространств I:	—> В2 называется изометрическим, если
Рв,(/) = Рв2(Л-
Важным примером банаховых пространств являются пространства типа фр [О, Г]:
< 00 >
О
р^,
где интеграл понимается в смысле Лебега. Норма в таких пространствах определяет-
ся выражением
Р//
Л/(т)Гл
1/р
Для этих пространств имеет место важная теорема.
Теорема 2.1 (об изометрическом изоморфизме) [44, 55, 76]. Пусть числа р и q
таковы, что —+ — = 1. Тогда существует изометрический изоморфизм I'.LP -» I?,
Р Я
при котором для любого I* е Lp существует х(т) е [О,/1] такое, что выполня-
ется соотношение
т
l(f)= J/(T)x(r)rfT Vf &LP-,
О
при этом, очевидно, ру =pi? (х* j для соответствующего элемента х(т)еД [О, Г].
Из сказанного следует:
1)	любому линейному функционалу в пространстве Lp [О, Г], 1 < р < оо, f (т) е Д’ [О, Г]
соответствует производящая функция х(т), которая определена почти
всюду на [0,Т] и х (т)е£’[О,Т], 1/р + 1/<7 = 1;
2)	всякий линейный функционал Г (/) в пространстве 1Р [О, Т] может быть
представлен в виде
т
/*(/) = (/,х) = J/(t)x(t)Jt; /(т)е Д[О,Т], х(т)е Д' [0,Г],	(2.364)
О
причем производящая функция х(т) однозначно определяется заданием функ-
ционала I ;
3)	норма функционала в пространстве Lp [0,Т] равна норме производящей
функции в пространстве Д [О, Т]:
(т	~д/ч

ко	7
vrai0STS7- max
при —г— = 1;
Р Я
при р = 1, q = оо.
(2.365)
Из содержания приведенного выше факта следует два важных положения: каж-
дый функционал из Lp [О, Т] представляется в виде операции интегрирования на
Глава 2. Нестационарные САУ 313
[0,7’] (формула (2.364)); норма функционала в Lp [0,7’] равна норме производящей
функции в L4 [0,7’] (изометрический изоморфизм пространств Lp и 7? )* [44, 55, 76].
Пусть заданы I элементов / е LP и I чисел X, е R, i = 1,/. Ставится задача: най-
ти такой функционал I е Lp , что выполняется
= i = u
При этом функционал I, удовлетворяющий последнему соотношению, называет-
ся разрешающим [76].
Сказанное выше тесно связано с проблемой моментов в пространстве LP [О,?1].
Пусть
f(z) = {/Jz):A = U; A(z)eZ/’[o,7’]}
— некоторая система функций; i-м моментом функции х(т) относительно f (z)
системы F(t) называется интеграл вида
т	__
= K = /Л(т)х(т)Л, Z(t)gZ/,[0,7’], х(т) е L4 [0,Т}, i = \,l.	(2.366)
о
Система равенств (2.366) называется моментной системой (или системой мо-
ментных уравнений).
Система функций F(t) называется моментной системой функций.
Числа i = l,l называются моментами функции x(t} относительно момент-
ной системы F.
Множество Х = А = 1,/| называется множеством моментов.
Проблема моментов формулируется следующим образом [44, 55, 76]. Заданы мо-
менты ~Кк функции х(т) относительно элементов моментной системы F(t). Чис-
ло заданных моментов может быть как конечным, так и бесконечным.
Требуется найти условия существования, единственности, а по возможности
вычислить или оценить производящую функцию x(z) (или, что то же самое, необ-
ходимо найти функционал I e.Lp ). Так как интеграл (2.366) можно рассматривать
как линейный функционал, то последний определяется функцией x(z), а функции
fk (z) можно рассматривать как элементы, на которых этот функционал определен,
т.е. интеграл (2.366) записывается в виде
Г(А) = ^, к = 1,2,3,....
Известно [44, 55, 76], что сформулированная проблема моментов имеет не един-
ственное решение, т.е. существует много функционалов I, которые дают решение
проблемы моментов. Для получения единственности решения вводят дополнитель-
ные ограничения. Например, можно поставить задачу об отыскании такого линей-
ного функционала Г, который не только давал бы решение проблемы моментов, но
и имел бы минимальную норму (например, в пространстве Lp [0,7’]).
’ Эти положения послужили основой для разработки методов синтеза оптимальных автоматических
систем (см. том 4).
314 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
А теперь сказанное выше соотнесем к зависимости (2.363).
Выше указывалось, что
£^^М4ттА(т)=/(т)-	(2.367)
л=о п'	•
Из (2.367) следует, что моментная система
F(/) = {A(z): k = Vn-,
представляет собой множество функций определяемых порождающей систе-
мой р, (т), а моменты рассчитываются по формуле
И)* dk
и! dxk

(2.368)
Дальнейшее изложение проблемы моментов будем проводить для пространства
L2 (Q) — линейного банахова пространства с нормой
K0|£2(q)
• ИР
1/2
и скалярным произведением
(/>?)= jf(t)g(t)dt,
а
т.е. гильбертова пространства. Для пространства Z,2 всякий линейный функционал
записывается как скалярное произведение
/*(/)= р;(т)*(тИт=(./»•
п
Общий результат. Нахождение решений ДУ САУ (определяющее основную за-
дачу детерминированного анализа — расчет выходных сигналов при заданных воз-
действиях) на основе интегральных уравнений (2.359) и (2.109), определенных соот-
ветственно на [0, Г] и [0, оо), сводится к решению проблемы моментов:
на интервале [0,7"]:	/(т)х(т)«/т = Х,, / = 1,7, причем /(т) и X, определя-
ются формулами (2.367) и (2.368);
на интервале [0,оо):	/(т)х(т)б/т = 1(, i = l,/, причем
Решение ДУ (2.357) должно иметь минимальную норму в 1} [0, Г], т.е.
Т I1/2
- jx2 (t)dt  = min.
.о
Метод моментов нашел широкое применение в математике и при решении
сложных проблем в теории автоматического управления.
Глава 2. Нестационарные САУ
315
В книге [55] рассматривается большой круг вопросов, ведущих свое начало от
классических работ П.Л. Чебышева и А.А. Маркова. В [55] показано, что результаты
и методы обобщенной проблемы моментов переплетаются с различными вопросами
геометрии выпуклых тел, алгебры и теории функций. С этих позиций в [55] детально
исследована структура выпуклых и канонических оболочек кривых; установлены
изопериметрические неравенства для выпуклых оболочек; строится теория ортого-
нальных и квазиортогональных многочленов; обобщаются и решаются задачи «о пре-
дельных величинах интегралов», о наименее уклоняющихся (в различных метриках)
функциях; решаются задачи теории приближения, интегрирования и экстраполиро-
вания в различных классах функций. Установлен принцип двойственности между
задачами наилучшего приближения в нормированном пространстве и абстрактной
L-проблемой моментов. К числу важных для решения ряда задач теории управления
можно отнести следующие результаты:
•	решена проблема моментов и наилучшее приближение в пространстве Z.1 [0,7’];
•	решена проблема моментов и наилучшее приближение в пространстве С [О, Г];
•	наилучшее приближенное решение несовместных систем линейных управле-
ний и др.
Основой для решения ряда практических задач с использованием результатов ре-
шения проблемы моментов послужила статья М.Г. Крейна, в которой излагалась
большая часть цикла лекций, прочитанных им в 1936 году в НИИ математики и ме-
ханики при Харьковском государственном университете.
На возможность сведения задач линейного оптимального управления к абстракт-
ной L-проблеме моментов впервые указал академик Н.Н. Красовский.
Аппарат теории моментов В.А. Диткин, В.М. Амербаев, В.И. Крылов, Н.С. Скобля,
и другие авторы использовали для решения проблемы численного обращения интеграль-
ных преобразований [4]. В.В. Солодовников, А.Н. Дмитриев, В.Ф. Бирюков, В.Ф. Реутов
при решении ряда задач теории автоматических систем, в том числе построения ал-
горитмов идентификации объектов управления, фильтрации, решения интегральных
уравнений, применяли теоретические положения теории моментов [17, 118].
2.9.3.2. Решение проблемы моментов методом порождающих функций
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МОМЕНТНОЙ СИСТЕМЫ
Полагая известными функции	1 = 1,2,...} (они задаются проектировщиком
из условия обеспечения быстрой сходимости приближенного решения к точному),
можно записать моментные равенства
г
Jx(t)/;(t)<7c = X,, z = 1,2,...,	(2.369)
о
где
(2.370)
(2.371)
Положим, что с помощью (2.369) построена система Г = (/^(г): А: =1,2,...}, яв-
ляющаяся полной в Z,2[0,7]. Построим на основе системы F ОНБ, поскольку по-
следние имеют определенные преимущества:
316 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1) система возмущенных ортонормированных элементов при известных условиях
заведомо линейно независима;
2) при увеличении размерности подпространства нет необходимости проводить
все вычисления заново; при ортонормированном базисе ортогональную проек-
цию рассматривают как совокупность частных проекций, каждая ив которых
является проекцией на одномерное пространство, натянутое на z-й базисный
элемент, причем такая проекция дает непосредственно /-й член разложения.
В результате значительно уменьшается объем расчетов, если после оценки ошиб-
ки принято решение об увеличении размерности подпространства.
Процесс ортогонализации можно реализовать с помощью зависимости
Ф1(0 = ^0)’
.................................................. (2.372)
Фп+1 (0 ~ fn+\	I. , ,||2	(Р; (г)'
i	lh(')L[0,r]
В последней формуле (/n+1(f), Ф<(0) — скалярное произведение в Л2[0,Г],
||Ф/ (f)IL2[o г] — норма в этом же пространстве.
Из выражения (2.372) следует
Ф1(0 = 2?(/Л(')> / =
7=1
где
V=j	av	1=1 J=1
Нормируя, получим систему Ф:
Ф = к(0 = Е^Л(0: « =	(2.373)
I v=l	J
где [ск, — матрица ортогонализации.
Очевидно, что элементы ортонормированного базиса ф, (/), ср2 (?),• •., <Р/ (?) входят
в линейную оболочку функций /1(?),/2 (?),-•>//(?)• Матрица ортогонализации
[c4v]tv=i является треугольной и имеет определитель А = си-с22 отличный от
нуля, т.е. она не вырождена. Поскольку зависимость (2.373) можно рассматривать как
систему алгебраических уравнений с невырожденной матрицей относительно элемен-
тов /!(?), /г (?),..-,fi(?), то легко сделать вывод, что функции /j(?),/2 (?)>• •,//(?)
линейно выражаются через ф] (?), ф2 (?),..., Ф/ (?); это означает, что линейная оболочка
(ф! (?), Ф2 (?),..., ф/ (?)) совпадает с линейной оболочкой Ц (/] (?), /2 (?),..., f (?)).
Приведем матричную форму зависимости (2.373):
’ф1 (О’		си 0		• О’	’Л(0’	
<р2 (0	=	С21	с22	'	•• 0	Л(0	,	(2.374)
_<р/(0.		_ СП с12	‘	  Си .		
Глава 2. Нестационарные САУ
317
или
Ф = UF,
где
ф = [<Р1(0 ф2(0	<₽/(/)]•; F = [/(/) /2(/)	//(0]Т;
(2.375)
С] ।	0	• • О
с21 С11 ” О
_с/1	с/2	"	си	_
Отметим, что процесс ортонормирования является в некотором смысле неустой-
чивым и при его проведении могут возникнуть погрешности [25]. Вместе с тем ука-
занный процесс хорошо изучен, и использование переортогонализации, как правило,
приводит к хорошим результатам [25].
Поскольку
k
v=l
то вычисление коэффициентов Фурье можно свести к реализации на ЭВМ зависимости
ск = /х(т)фДт)Л = ^с^ {х(т)/у(т)Л = £с^(х,/у) = £сь,Ху.	(2.376)
О	v=l о	v=l	v=l
Xv
Числа Av называются, как указывалось выше, моментами функции х(/) относи-
тельно системы F.
Запишем соотношение (2.376) в развернутом виде:
Пусть М = [(х, _/j)
(х,/2) ” (x>fi)]Т е —вектор-столбец моментов функ-
ции х(г) относительно системы F; Сх=[(х,ф]) (х,ф2) ••• (х,ф/)]Те7?/ —век-
тор-столбец коэффициентов Фурье элемента х(/) в ортонормированном базисе
Ф(г).
Из соотношения (2.375) получим
сх = им,
где U — матрица ортогонализации.
Для проекции х(т) на подпространство Д(ф],...,ф/) имеет место зависимость
РгМф,,.,ф,) х(') = х> (т) = мТиТф = £<<Pv (4	(2.377)
V=1
Фактически вместо операторного соотношения Сх = UM решается другое опера-
торное соотношение Сх = UM. Искажения U = U + AU и М = М + ДМ вызваны раз-
личными причинами. Вычислительные погрешности имеют своим источником раз-
личного рода неточности при реализации метода, в частности, погрешности округле-
318 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ния при проведении арифметических операций; могут иметь место погрешности при
построении математической модели системы.
Если
М = М+ДМ, ДМеТ?',	t
то формула, определяющая относительную погрешность ||дСЛ||/||сх||, обусловлен-
ную составляющей ДМ, имеет вид [25]
1 |АМ||,К||	||ДМ|
*(Ч) М “ И ’ ( ’ |м|'	*
Рассмотрим более общий случай, когда возмущен оператор U, т.е. имеет место
равенство
(и + ди) (М + ДМ) = Сх + ДСХ;
отсюда находим
им + идм+дим+дидм = сх + дсх.
Пренебрегая членом второго порядка малости, получим
идм+дим = дс\
т.е.
||дсх||<||и||.||м||+||ди||.||м||.
Приведем еще одну оценку для ||дсх|| и ||дСхЦ/||сх||. Введем обозначения
6и-М.6С._М, 8м_М|
мг и м’
тогда
|д<ф	|с-|.
II II i-x(u)5ull II i-x:(u)5ull II
Отсюда получим
8СХ<——(8U+8M).	(2.379)
1-£(U)8UV	7
В формулы (2.378) и (2.379) входит число обусловленности A"(U) оператора U.
Найдем зависимости для его расчета. Напомним, что множество линейных операто-
ров А: Rl —> R1 есть конечномерное линейное пространство. Наибольший интерес
представляют нормы операторов, которые связаны с нормой в R1. Норму операторов
U называют согласованной нормой в пространстве R1, если
||им||<||и|Н|м||
для всех Me R1.	.
Преимущество согласованных норм состоит в следующем: модули собственных
значений линейного оператора U не превосходят любой его согласованной нормы'.
1^ Ml-
Норму, определяемую формулой
||u|| = sup(|UM||,-
называют нормой, подчиненной векторной норме в R1.
Глава 2. Нестационарные САУ
319
Если в качестве нормы в R1 берется длина вектора
||м||=(м,м)|/2,
то соответствующую подчиненную норму оператора называют спектральной нор-
мой. Таким образом, спектральная норма будет согласована с квадратичной норми-
ровкой векторов. Ее определяют через собственные значения матрицы оператора.
В [4, 25] приведена формула для относительной оценки
™ахЫ М ||cr|| min|^| ||М|| ’
где Кк — собственные значения матрицы оператора U.
Из формулы (2.380) видно, что для проведения расчетов необходимо уметь вы-
числять собственные значения матрицы оператора U. В общем случае это слож-
ная вычислительная задача. Однако даже для общего случая существуют эффек-
тивные методы вычисления собственных значений. Матрица же оператора U яв-
ляется треугольной, поэтому диагональные элементы матрицы U совпадают с
собственными значениями оператора U даже с учетом их кратности, поскольку в
соответствии с теоремой Лапласа характеристический многочлен матрицы оператора
U определяется зависимостью
det(XI-U) = n(X-c,,).
Таким образом, имеют место формулы
т;пЫ [|дм|| < ||дс*|| тах|са| [|АМ[[
тахЫ М ’ |СХ|| "	||М||
И
тах|сй|
т}пЫ
______к
max
1—k—
||ДМ|| тах1М~
М +тт|Дс^|
Ы max|Actt
_________к_______
min Ы тт|Дс^|
При решении задач следует следить за величиной меры обусловленности опера-
тора U.
При проведении процесса ортогонализации из-за простоты вычисления числа
обусловленности K(\J) величину последнего можно контролировать выбором
размерности пространства R1. Идея замены неограниченного оператора конеч-
номерным обеспечивает возможность выбора I таким, чтобы величина ^(U)
была не более некоторой допустимой. Если известен оператор U, то легко постро-
ить зависимость
max|ctt|
*(и’*)=±ТГ|=Ж’ ^ = ’>2,-,/.
nun|ctt|
Естественно, выбором I определяется и точность нахождения решения х;(г),
поэтому I выбирают с учетом многих факторов.
320
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Задача суммирования рядов Фурье с возмущенными коэффициентами исследова-
на достаточно полно. Для процесса ортогонализации в отношении вычислительной
устойчивости характерно следующее.
Наличие ошибок округления, имеющих место при реализации процесса ортого-
нализации, приводит к тому, что изменяются свойства системы Ф. Это изменение
состоит в том, что система
Ф = {<р, (,):* = 1,2,
эквивалентна некоторой возмущенной системе
f={A(0=/*(')+e*('): *=и,.
Как показано, вычислительная схема ортогонализации обеспечивает высокую сте-
пень устойчивости в смысле малости эквивалентных возмущений (/),в2 (/),...,£/ (/)
и неустойчива в смысле сохранения ортогональности системы получаемых векто-
ров <р, (г), <р2 (/),..., ф/(г).
Обозначим через D^in минимальную среднеквадратическую ошибку при аппрок-
симации функции x(f) системой Ф, а через D^in — возмущенной системой Ф.
Об оценке AD^jn ~ Anin ~ Anin можно сказать следующее: имеет место высокая
степень устойчивости в смысле малости возмущений е,(/),...,£/(/); при известных
условиях в среднем искажения базисных функций не приводят к изменению средне-
квадратической погрешности приближения.
Нарушение ортогональности имеет место при I >124-14; «исправить» неорто-
гональность можно с помощью процесса переортогонализации [25].
Покажем справедливость следующего факта: задача разложения функции
x(z)e£2(Q) по базису Ф = {<pjz):£ = 1,2,...,/} и задача построения элемента x(z)
такого, что ||х(^)||/2(П) =min
(при этом выполнены моментные равенства (2.366)),
эквивалентны. Другими словами, минимизирующим в Z2 (Q) элементом оптималь-
ной проблемы моментов (2.366) является частичная сумма разложения х(/)
i
х/(О=Хс*<р* (')•
*=1
Приведем весьма ценное для решения проблемы моментов положение: необходи-
мым и достаточным условием однозначной разрешимости оптимальной проблемы
моментов является полнота моментной системы F. Из этого факта следует решение
сложной задачи доказательства полноты системы F, если показана однозначность
решения проблемы моментов, и наоборот.
Обратимся к доказательству факта эквивалентности указанных выше двух задач.
Обозначим
Л
яэ(0=Е^(р<(/)>
/=1
где Ik* : i = 1,Z> — компоненты вектора К* = к*
*	* "1т
к2  kt , которые доставля-
ют условный минимум функционалу
(2.381)
Глава 2. Нестационарные САУ 321
/
при ^ktc* =1.
/=1
Запишем известную формулу, даюшуф решение оптимальной проблемы моментов:
*min (') =	(')| sign	(') = 7 £ к* <р, (г),
А»	А
причем
lXmin IL2(q)
1
= min = -7=
Vx
Воспользовавшись правилом множителей Лагранжа, найдем условный минимум
интеграла (2.381).
Учитывая, что
Г ,	-12
6L'=i
г I 12	/
JEW') dt=Hki
и пользуясь условием
= 0, j = l,/,
можно записать уравнение для нахождения координат стационарного вектора к*, т.е.
, 2к‘ = ус* = 0.
Умножим обе части уравнения на kj и, суммируя по j, получим
I . ч2 1
7=1	7=1
откуда
2Х. 4- у = 0,
и, следовательно,	
— Л:’ =сх X 7 J'	(2.382)
Окончательно запишем	
xmin (0 W') =	(') = ЕС'Х(Р' (')’ Л /=1 <=1	(2.383)
где с*, i = 1,1 определяют с помощью соотношения (2.382).
Пример 2.15. Рассмотрим нестационарную систему автоматического управления, поведение которой
описывается следующим дифференциальным уравнением:
^(()х<‘>(0=М
к=0
где коэффициенты ак (/), к = 0,5 определяются из следующего выражения:
«о(')		0,5596	1,8918	2,5825	1,7855	0,6277	0,0909 ’	’Г
«1(0		0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065	t
«г(')		0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507	t2
«з(0		0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122	i3
«4 О)		0,0140	0,0449	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015	t*
«ио.		0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,0060	0,00007	t5
22 Зак. 14
322
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
На вход подается сигнал
>>(/) = (85,7661 + 338,5984/ +497,0437/2 +406,9496г3 +186,9354/“ + 46,7809г5 +4,8258/6)е“4',
график которого представлен на рис. 2.76. Интервал исследования — [0,5] с.
Таблица 2.2
Значения моментов
i	К	i	К
1	1,1169е+003	16	7,9274е-003
2	-9,3872е+002	17	-5,0662е-003
3	6,5703е+002	18	2,4046е-003
4	-3,7378е+002	19	-9,2006е-004
5	1,6229е+002	20	2,9582е-004
6	-4,2705е+001	21	-8,2036е-005
7	-5,2853е+000	22	2,0172е-005
8	1,4507е+001	23	-4,6335е-006
9	—1,0209е+001	24	1,1012е-006
10	4,7967е+000	25	-3,0435е-007
11	-1,6531е+000	26	9,8164е-008
12	4,0632е-001	27	-3,3154е-008
13	-6,2600е-002	28	1,0697е-008
14	7,8104е-003	29	-3,1688е-009
15	—7,8316е—003	30	8,5159е-010
Система линейно независимых функций определяется выражением
fi (т) =	(х)р> (т)(г-т)5]-' =
к=0 5! L	J
формулы для моментов имеют вид
/ = 1,7.
э-0
В качестве системы порождающих функций использовались полиномы Лежандра (/ = 30). Ниже
представлены результаты расчетов.
На рис. 2.77 представлены графики элементов системы линейно независимых функций. В табл. 2.2
представлены значения моментов.
Глава 2. Нестационарные САУ 323
Матрица ортогонализации системы линейно независимых функций имеет вид (представлен вырез раз-
мерностью 10x10)
' 0,0079	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,0068	0,0233	0	0	0	0	0	0	0	0
0,0186	0,0295	0,0330	0	0	0	0	0	0	0
0,0261	0,0669	0,0547	0,0362	0	0	0	0	0	0
0,0423	0,0992	0,1131	0,0723	0,0347	0	0	0	0	0
0,0503	0,1319	0,1545	0,1319	0,0739	0,0292	0	0	0	0
0,0413	0,1094	0,1508	0,1453	0,1124	0,0611	0,0220	0	0	0
0,0142	0,0472	0,0804	0,1087	0,1090	0,0868	0,0489	0,0163	0	0
-0,0079	-0,0106	0,0112	0,0511	0,0863	0,0943	0,0757	0,0422	0,0122	0
-0,0111	-0,0271	-0,0157	0,0124	0,0527	0,0808	0,0845	0,0654	0,0351	0,0091
На рис. 2.78 представлены элементы ОНБ.
а	б
Рис. 2.77. Графики элементов линейно независимой системы F
Рис. 2.78. Графики элементов ОНБ
В табл. 2.3 представлены значения коэффициентов разложения выходного сигнала x(z) по ОНБ.
На рис. 2.79 представлен график выходного сигнала, полученного изложенным выше методом, и для
сравнения приведен график, рассчитанный методом Рунге-Кутта.
22*
324
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 2.3
Значения коэффициентов Фурье искомого выходного сигнала
i	cf	i	с'
1	8,7811	16	1,9005 r
2	-14,2338	17	-1,3879
3	14,7301	18	0,9246
4	-11,2420	19	-0,5285
5	7,0116	20	0,1885
6	—4,6439	21	-0,0513
7	3,6755	22	-0,0319
8	-2,3488	23	0,0096
9	-0.4533	24	-0,0756
10	3,3918	25	-0,0362
11	-5,1843	26	-0.0234
12	5,4775	27	0,0148
13	-4,8500	28	0,1248
14	3,7063	29	0,0635
15	-2,6806	30	0,0502
Рис. 2.79. Графики выходного сигнала
Пример 2.16 |118|. Рассмотрим уравнение 5-го порядка, приведенное в предыдущем примере, где ко-
эффициенты ак (г), к = 0,5 определяются из следующего выражения:
«о (01		"0,4927	1,6363	2,1975	1,5044	0,5265	0,07776"
«1(0		0,8454	2,7800	3,7011	2,4950	0,8580	0,12147
аг(0		0,5972	1,9469	2,5552	1,6938	0,5681	0,07712
аз(0		0,2192	0,7030	0,9071	0,5877	0,1910	0,02487
«Л')		0,0419	0,1321	0,1660	0,1041	0,0326	0,00407
		0,0034	0,0104	0,0125	0,0075	0,0022	0,00027_
»(') А
Начальные условия полагаем нулевыми. На вход подается сигнал
>’(0 = (уо +У11 + У2‘2 +Уз>3 +У4‘4 +Уз‘5 +У(,‘6)е~а'-
Для построения решения x(t) получим интегральное уравнение 1-го рода
О
Глава 2. Нестационарные САУ
325
эквивалентное исходному ДУ, причем
е’1';
OS |_,=0
в(0=у(4
Приведем результаты решения.
Первый этап. Построение моментной системы F. Сначала вычисляются коэффициенты выражения
40=£ £	а-=о^.
p=ki=p~k
Затем элементы моментной системы рассчитываются на основе зависимости
Л(') = Ё40''
>=0
e~sl, s = l,l.
Введем матричную запись
F, =[w А(ф2' 	]т;
  Ль
   /б
Выберем I = 9. Тогда справедливо F, = F2t, где
	0,30558667 0,90216564 2,2042968 4,7118546	0,33838570 2,2337308 7,5312691 19,320329	-0,86440359 0,21082148 6,8147931 26,146827	-1,0825763 -2,6114799 -1,1877716 10,838803	0,02846393 -1,4560474 -3,3881181 -2,3369348	0,17590662 -0,02595327 -0,75747465 -1,6300308
F2 =	9,1204029	42,125296	69,537517	46,916698	9,0541731	-1,2483585
	16,353810	82,177399	153,35461	127,80253	43,326053	3,2088663
	27,596863	147,68651	299,90904	283,07102	119,46499	16,408464
	44,327884	249,11293	538,36083	552,62494	264,14601	45,282173
	68,351345	399,43916	905,62514	988,20509	513,02118	99,446095
Второй этап. Ортогонализация системы F. Матрица ортогонализации U в рассматриваемом слу-
чае имеет вид
’0,07327110	0	0	0	0	0	0	0	0
-0,03410738	0,74695591	0	0	0	0	0	0	0
0,02177059	-0,60956337	1,3498559	0	0	0	0	0	0
-0,02116094	0,68100493	-1,9061891	1,5570138	0	0	0	0	0
0,02158569	-0,79872793	3,2209671	-3,2101058	1,3574777	0	0	0	0
-0,02544056	1,0902129	-5,7693626	10,028802	-7,0098308	1,8291685	0	0	0
0,02699109	-1,3651714	9,7085869	-24,646154	29,148774	-16,480043	3,6260114	0	0
-0,02788299	1,6486714	-15,120379	52,892421	-92,034978	85,918060	-41,351433	8,0858346	0
0,03012258	-2,0571661	23,525171	-107,31079	254,23546	-343,85009	-268,72027	-113,28654	19,9900241
ОНБ определяется формулой Ф = UF.
Третий этап. Расчет одностолбцовой матрицы моментов
Мт =[1,6125631 0,98163018 0,68797334 0,52380314 0,42065060 -►
-> 0,35044697 0,29983581 0,26173751 0,23208104].
Четвертый этап. Вычисление коэффициентов Фурье решения x(t) относительно базиса Ф:
Ст =[0,11815427 0,13853311 0,04622371 0,67823415 0,35625258 -»
-> -0,01089673 0,36540551 0,00544849 0,00721684].
Пятый этап. Построение решения х;(т).
Дискретные значения х(/), построенные методом Рунге-Кутта и изложенным методом, приведены в
табл. 2.4. При решении уравнения методом Рунге-Кутта шаг интегрирования принимался равным 10 4
326
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 2.4
Дискретные значения x(t) и х;(г)
Обозначение	Численные значения <			)ункций x(t) И Xi(t)		
х(/)	0,00000000	0,00093656	0,1812994	0,8226837	0,20494013	0,36621581
	0,52901605	0,65859373	0,73424233	0,75148586	0,71821443	0,64882913
	0,55907147	0,46264459	0,36965152	0,28638093	0,21586700	0,15875614
	0,11417659	0,8045617	0,00556387	0,03781126	0,02528096	0,01664644
	0,01080361	0,0691586	—	—	—	—
	0,01038277	0,00301457	0,01766806	0,08005817	0,20673971	0,36814503
	0,52802293	0,65625854	0,73321191	0,75255671	0,72035686	0,65054951
	0,55977090	0,46168189	0,36786846	0,28448714	0,21443330	0,15808406
	0,11430692	0,08124836	0,05686473	0,03923173	0,02669258	0,01790299
	0,01181791	0,00765097	—	—	—	—
Замечание. На основе метода моментов обращения интегрального преобразова-
ния с ядром H(s,t) или, что то же самое, метода решения интегрального уравнения
первого рода построены алгоритмы численного обращения интегрального преобра-
зования Лапласа. В этом случае H(s,t) = e~sl, и тогда, если в интеграле Лапласа вве-
сти замену переменной z = е~', он приводится к виду
<ю	1
рс(/)<г~',бй = jx(z)zAafe,
о	о
где x(z) = x(-lnz). Поскольку интеграл Лапласа сходится всюду в полуплоскости
Rei>0, переменной s можно придать значения sk, к = 1,2,3,... и получить сле-
дующую зависимость:
1
Хк = fzStx(z)dz, к = 1,2,3,....
о
Теперь задача нахождения оригинала формулируется так: найти функцию x(z) по
ее моментам "кк = X(sk) или, что то же самое, найти функцию х(/) по значениям ее
изображения в целочисленных точках s = sk. Эта задача получила решение в работах
В.М. Амербаева [3], причем оригинал находится в форме разложения по классическим
ортогональным полиномам Якоби, Лежандра, Чебышева 1-го и 2-го рода, по базису
синусов и функциям Лягерра. Некорректная постановка задачи решения интегрального
уравнения 1-го рода приводит к накоплению вычислительной погрешности, и этот
факт в данном случае приводит к тому, что матрица ортогонализации имеет быстро
растущие элементы. Поэтому, для того чтобы коэффициенты разложения оригинала
по ортогональному базису были вычислены хотя бы с умеренной точностью, значения
исходных данных Кк должны быть заданы с большой точностью.
2.9.3.3. Решение проблема моментов методом порождающих
ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО КЛАССИЧЕСКИМ БАЗИСАМ,
БЛОЧНО-ИМПУЛЬСНЫМ ФУНКЦИЯМ И СПЛАЙНАМ
Ключевой проблемой, определяющей сложность вычислительной схемы и сте-
пень конструктивности конечного результата с целью его использования для реали-
зации других этапов комплексной проблемы расчета и проектирования системы
автоматического управления, предназначенной для выполнения конкретной задачи,
является проблема выбора базиса.
Глава 2. Нестационарные САУ
327
В качестве базисной системы можно использовать Т-системы, т.е. системы
вещественных функций порядка I, определенные на некотором множестве Q, если
каждый многочлен
1	( 1 / ч2 )
1>Шт) Е(^). >о
к=0	\к=0	)
имеет в Q не более I корней [67].
Т-системы называют системами Чебышева [67].
Чрезвычайно важным является следующее свойство Г-систем: после умножения
каждой функции Г-системы {Л(т)}^_0, 0<т<7’ на непрерывную функцию ^(т)*0
снова имеет место Г-система {Л (т)^(т)}^_0-
Примеры Т-систем [67]:
1)	Л(т) = т*; к = 0,1; те[0,7’];
2)	Л(т) = —’—; 0<а0 <а, <а2 <...<а;; к = О,Г, те[0,Г];
3)	Л(т) = е“‘\ 0 <а0 <а, <а2 <... <а(; к = 0,1; ге[0,Г];
4)	Л(т) = 1а‘; 0<а0 <сц <а2 <...<а(; к = О,Г, се[0,7’].
В общем же случае выбор базиса осуществляется исходя из следующих сообра-
жений [67]:
1.	Как правило, от {/} требуется плотность или Л-полнота в соответствующем про-
странстве (проблема плотности выбранной системы базисных функций), где А .—
соответствующий оператор.
2.	В ряде алгоритмов требуется, чтобы / принадлежали области определения опе-
ратора А. Это обстоятельство в случае дифференциальных операторов наклады-
вает помимо определенных условий дифференцируемости f еще и требование
удовлетворения краевым условиям, которым подчиняются функции из £>(А)
(проблема удовлетворения краевым условиям в краевых задачах).
3.	При решении задачи естественно желание при заданном числе базисных функ-
ций добиться как можно меньшей погрешности. Чтобы сделать это, стремятся
уменьшить ошибку аппроксимации решения задачи с помощью выбора \ft}
(проблема минимизации ошибки аппроксимации при заданном числе базисных
функций).
4.	Уменьшить погрешность решения можно и за счет увеличения числа базисных
функций. Но это приводит к необходимости нахождения порождающих функций
Д(т), р2(х),..., Д(т), где / достаточно велико.
Весьма перспективным является использование в качестве базисных систем
вейвлетов.
Метод порождающих функций, основные положения которого излагаются ниже,
позволяет построить решение x(z) в виде разложения по любой координатной сис-
теме, являющейся наиболее приемлемой в конкретном случае, исходя из указанных
выше соображений.
В подавляющем числе известных методов, в которых строится решение х(?) опе-
раторного уравнения в виде разложения в ряд по ортонормированной системе функ-
ций, основной вопрос формулируется так: на какой теоретической основе постро-
ить конструктивную, удобную при проведении инженерных исследований вычисли-
тельную схему для расчета коэффициентов Фурье c*,v = 1, Z ?
328
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Здесь сделаем следующее замечание: в методе матричных операторов (см.
п. 2.9.1), основой которого является соотношение с матричным оператором вида (см.
формулу (2.239))
ai\

для коэффициентов Фурье сигнала х(г) имеет место следующее свойство:
с* —> с/ при I -> со, i = \,1,
т.е. только при достаточно больших значениях I найденные значения коэффициен-
тов Фурье сигнала х(/) близки к истинным, например с,х - с* < е.
В рассматриваемом методе коэффициенты с* в указанном смысле находятся точ-
но для любого I.
Все дальнейшие рассуждения проведем, предполагая, что в качестве базовой сис-
темы выбран ортонормированный базис
Ф(Г) = {ФД/): к = 1,2,...}.
Если Ф(/) — полная система функций, ортонормированная с весом р(г) в
Z2 [0,7’], т.е. для нее справедливы условия
с / \ / \ / \	f 0, i /,
о	I1’ '
то разложение решения х(г) врядпоОНС Ф(г) имеет вид
*/(0 = 2Ж(4	(2.384)
V=1
В (2.384) используется конечное число членов ряда /.
Поскольку
т
ci = 1х(т)(Р/ (т)р< (тНт>
о
то в (2.362) достаточно положить Lpt (т) = ф, (т)р(т), и тогда можно записать основ-
ное соотношение
ф<(т)р(т)
(-1)* dk
п\ dxk
(Мт)а(т))гЛ-
(2.385)
Из предыдущего соотношения следует, что для расчета сх достаточно обеспечить
равенство
" (-1)*	rlk
^~ГкР‘ (т)= ф' (т)Р(т)	(2.386)
л=о п.	ах
Последнее означает, что надо найти порождающую функцию р, (г), являющуюся
частным решением неоднородного ДУ (2.386).
Глава 2. Нестационарные САУ 329
Поскольку порождающая функция определяется зависимостью
aW=aW(M-
то при т = Т порождающая функция Д (т) и ее производные должны иметь нулевые
значения.
Очевидно, если находить порождающую функцию Д (т), удовлетворяющую ука-
занным условиям, то необходимо в ДУ (2.386) подбирать соответствующие началь-
ные условия, что является трудной самостоятельной задачей.
В таких случаях эффективен подход, использующий решение задачи в «обрат-
ном» времени. Для реализации этого подхода поступим следующим образом.
Пусть Т-т = ^, т = Т-^ и dx = -d^. Тогда (2.386) принимает вид
" (—1)*	Ак
=Ф,(7’-Ор(7’-О.	(2.387)
или, что то же самое,
=	' = М.	(2.388)
4=0 п- “С,
Построив частные решения неоднородного ДУ (2.388) при i = 1,/ (в общем случае
численным методом), определяются функции Д(т), Д2(т)>•••> Р/(т)-
Далее воспользуемся цепочкой соотношений
_[х(т)ф,(т)р(т)</т = с^ = k, = Jy(T)l	-—[bk (т) Р(т)]	(2.389)
О ’	'	0	1.4=0	J о
где
m ,	>4
^('г) = Ет?7т[^(т)л(т)]	(2-39°)
4=0 Н! ЙТ
Окончательная формула для расчета коэффициентов Фурье функции х(т), те[0,Г],
поОНС {фД/)}'=] имеет вид (коэффициенты Фурье в рассматриваемом случае являют-
ся моментами X, функции х(т) относительно моментной системы / (т) = ф, (т)р(т))
т
с* =	(2.391)
о
где d, (т) зависит только от г-й порождающей функции Д(т), которая является ре-
шением ДУ (2.388) и найдена численным методом.
Очевидно, метод, содержание которого изложено выше, дает возможность
построить разложение решения ДУ (2.357) по любой ОНС и с любой весовой функ-
цией р(/).
Более того, метод позволяет использовать в качестве базиса любую наиболее
подходящую для конкретной задачи систему.
Например, если рассматриваемая САУ является стационарной и известны полю-
са передаточной функции sl,s2,.--,sn, то метод позволяет получить точное реше-
ние задачи в форме
х(т) = cf еЛ‘т + с2 ev +... + c*e'v,	(2.392)
21 Зак. 14
330
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
причем процесс вычисления коэффициентов cf,C2,...,cx значительно проще, чем с
использованием теории вычетов, поскольку метод целиком компьютеризирован, т.е.
полностью отработана его реализация на ЭВМ.
Зависимость (2.392) можно переписать так:	•
ф) = C1V1 СО + сгЛ (0 + • • • + cnfn (т)>	(2.393)
где система F = [fk (т): к = 1,и} не обладает свойством ортонормированности.
Тогда система алгебраических уравнений, определяющая вектор С* = Гcf  с;х1
имеет вид
ZX М(Т)Л(Т)Л= 1Х(Т)Л (Т)Л’ 7=1’Z>	(2.394)
'=1 о	о
или, что то же самое,
=	;	= М,	(2.395)
где
— скалярные произведения, которые могут быть заранее рассчитаны,
Ху — неизвестные моменты функции х(г) относительно базовой системы F.
В качестве базиса может быть использована фундаментальная система ап-
проксимирующего ДУ, которое является более простым по сравнению с исходным
ДУ и фундаментальная система которого достаточно просто находится.
Задача построения приближенного решения х;(?) уравнения (2.357) устойчива
по отношению к малым погрешностям его исходных данных, не нарушающим одно-
значной разрешимости этого уравнения в £2[0,Г]. Устойчивость обеспечивается
разумным выбором величины I исходя из величин погрешностей исходных данных.
Используя результаты решения проблемы моментов Крейна, можно показать,
что найденное в форме
Х/(0 = Ж(0	(2-396)
V=1
решение минимизирует функционал в Z.2 [0,7].
2.9.3.4. Интегральная форма описания ЛНС
Приближенное решение х; (/) можно записать в форме интегрального соотноше-
ния. Если
x(z) = X<<pv(r),	(2.397)
V=1
где
т
сх = |х(т)фу(т)(/т,	(2.398)
о
то из (2.397) и (2.398) следует зависимость для /-й частичной суммы
x/(z) = Sfx(T)<₽v(T)a'T-<Pv(O =	(/,т)б/т,	(2.399)
v=l о	0
Глава 2. Нестационарные САУ 331
где
/
&;(г,т) = ^Ч\,(1)фу(т>), <Ле[0,Г], / = 1,2,....	(2.400)
V=1
Функция k[(t,-t), определенная равенством (2.400), называется ядром порядка I
ОНС Ф(г), а функция
Т
/.,(?)= Л^(г,т)|с/т, /е[0,Т], 1 = 1,2,...	(2.401)
о
— l-й функцией Лебега ОНС Ф(г).
Естественным является вопрос: для построения решения x(z) ДУ (2.357) в форме
(2.396) рассматриваемый метод требует нахождения I решений i = 1,1 ДУ
(2.388), причем степень сложности уравнений (2.357) и (2.388) одинакова. Другими
словами, метод не приводит к более простой вычислительной схеме.
Достоинство метода состоит в том, что, построив один раз функции р, (т), i = 1,/,
далее легко найти решение исходного ДУ (2.357) для любой правой части j’(z), т.е.
предоставляется возможность записать формулу, определяющую решение x(z) для
любой функции j(z). Покажем этот факт:
/	I	f т I jk	'I
xi (0=Ec>v (0=ЙХт) Е-т-тт(^ Мл W) • <pv (0=
v=l	v=l о	J
Т. I	Г т 1 ,:k	1
= (о] i (т)^ w) мт)л =	<2-402)
qv=1	U=0"-“T	J
T r l	1	T
= nX(PvO)^v(T)rJ'(t)^= р/рл)у(т)Л,
0 lv=l	J	0
/ ___________________________________________________
где D/(/,t) = ^(pv(z)Jv(t) —ядро порядка l ОНС Ф(г) = ((рА.(г): k = 1,Z|.
V=1
Таким образом, практически важной как при решении теоретических задач, так и
в инженерных расчетах является интегральное соотношение
т
X/(z) = j/)/(/,т)у(т)й?т.	(2.403)
о
В теории тригонометрических рядов ядро, близкое по содержанию, носит назва-
ние ядра Дирихле, поэтому в дальнейшем ядро т) будем называть ядром Ди-
рихле системы, описываемой уравнением (2.357).
Ядро определяет дифференциальное соотношение
т 1 /7^
^(т) = Х--7г[Мт)Л(т)]’	(2.404)
£=0П-
содержащее полную информацию об исходном ДУ: функции bk(t), к = 0,т опреде-
ляют правую часть (2.362), а порождающие функции PV(T) —левую.
Таким образом, ядро Дирихле в вычислительном смысле требует построения I
решений уравнения (2.388).
21*
332 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Хорошо известно в теории автоматического управления значение интеграла Коши
t
х(/) = р:(/,т)у(т)б/т,	(2.405)
о
связывающего воздействие у(?), выход х(/) и импульсную переходную функцию
Такую же важную роль играет в рассматриваемом методе интеграл Дирих-
ле, также связывающий три функции x(t}, и (z,t). Однако во втором случае
ядро Дирихле находится значительно проще, чем ИПФ
Впрочем, рассмотренный метод дает возможность эффективно строить ИПФ не-
стационарных систем.
Заметим, в интегральном соотношении Коши имеет место оператор Вольтерра, а в
интегральном соотношении (2.403) — оператор Фредгольма.
На основе (2.403) легко решаются задачи статистического анализа и оптимизации
в классе линейных систем.
2.9.3.5. Проекционно-матричная форма описания ЛНС
Матричная форма описания САУ может быть получена и на основе метода поро-
ждающих функций.
Воспользуемся основным соотношением, определяющим коэффициенты Фурье
функции х(?):
Т
cf = |у(т)б/,(т)с?т.	(2.406)
о
Представим воздействие у(т) в форме разложения по ОНС:
>'(T) = Zcv(Pv('t)-	(2.407)
V=1
Подстановка (2.407) в (2.406) приводит к следующему результату:
cf =Scv p/(T)(Pv(t)^ = Xa/v<	(2.408)
v=l о	v=l
aiv
Поскольку функции <7, (т), i = 1,/ известны, то матрица
т
<0	Jiy=]
может быть построена заранее для ДУ (2.357) с использованием конкретного базиса
В развернутом виде (2.408) может быть представлена так:
А
(2.409)
Глава 2. Нестационарные САУ 333
или, что то же самое,
СХ=АСУ,	(2.410)
где А — проекционно-матричный оператор системы, эквивалентный ДУ (2.357) и
ИУ (2.359).	,
Очевидно, матричное соотношение (2.339), полученное в методе проекционно-
матричных операторов (см. п. 2.9.1), совпадает с зависимостью (2.410).
Пример 2.17. Приведем примеры применения полиномов Чебышева 1-го рода для расчета выходных
сигналов нестационарных линейных систем. Результаты расчетов изложим, представив весь алгоритм в
форме блоков.
Результатом первого блока расчетов является система порождающих функций Д(т), Z = l,/. По-
строение порождающих функций реализуется каким-либо численным методом.
С помощью второго блока рассчитываются коэффициенты Фурье выходного сигнала х(() по вы-
бранному ОНБ.
Третий блок позволяет построить выходной сигнал а для сравнения — процесс x(z), рассчи-
танный численным методом. Этим же блоком находится абсолютная ошибка e(z) = |x(z) - х, (z)| (предпо-
лагается, что численный метод построения решения x(z) обладает такими возможностями, что x(t) на-
ходится с ошибкой, которой в инженерных расчетах можно пренебречь).
Линейная нестационарная система описывается дифференциальным уравнением вида
(2,25 + 1,8/ + 0,36z2)x’(z) + (0,3 + 0,8z + 0,24z2)x'(z) +
х	v	’	(2.411)
+(25,12 + 19,76z + 4z2jx(z) = (125 + 150Z + 60Z2+8z3jy(z).
Найдем реакцию данной системы на входное воздействие
y(z) = e’0'2'	(2.4i2)
при нулевых начальных условиях на интервале t е [0,10].
Вычислительный блок 1: результаты расчетов. При решении уравнения (2.411) с правой частью
(2.412) использовалось 20 смещенных полиномов Чебышева 1-го рода.
Графики порождающих функций, полученных в результате решения, представлены на рис. 2.80, а-д.
Вычислительный блок 2: результаты расчетов. Коэффициенты Фурье решения уравнения САУ
(2.411), (2.412) по базису смещенных полиномов Чебышева 1-го рода представлены в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Коэффициенты Фурье решения уравнения (2.411), (2.412)
i	cf	i	
0	14,17328580856501	10	1,45197174798145
1	-0,59356910660766	11	-1,53430837208737
2	-2,51490086528337	12	0,93536834051572
3	1,76063840789912	13	-0,33238205449673
4	-1,68550789855648	14	-1,71263657436862
5	1,57272220286060	15	1,53120369694074
6	-1,35198613091669	16	0,84239294074827
7	1,22441843987362	17	-1,08002131184491
8	-0,16845196163275	18	-0,19274122605185
9	-0,14806387965876	19	0,42346410504765
Вычислительный блок 3: результаты расчетов. На рис. 2.81, а приводятся графики решений урав-
нения (2.411), полученные методом порождающих функций и Адамса-Башфорта. На рис. 2.81, б представ-
лен график погрешности решения.
Пример 2.18. Пусть ЛНС описывается уравнением
x*(z) + (0,42 + 0,lz)x'(z) + (2,5cos2z)x(z) = y(z),
где Ze[0,10]; у(/) = 2 + е-0,2', / = 19. Базис—полиномы Чебышева 2-го рода.
Графики первых семи порождающих функций для базиса многочленов Чебышева 2-го рода представ-
лены на рис. 2.82. В табл. 2.6 представлены коэффициенты Фурье сигнала x(z) по многочленам Ц(г),
1 = 0,19. На рис. 2.83 и 2.84 изображены графики x(t), xt(i) и |x(z)-xz(z)|.
334
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.80. Графики порождающих функций Д (£).р10	(£)
Глава 2. Нестационарные САУ
335
Рис. 2.81. Графики решений уравнения (2.411), полученные методом Адамса-Башфорта (2)
и порождающих функций (/) (а); график погрешности (б)
Рис. 2.82. Графики первых семи порождающих функций
Рис. 2.83. Графики выходных сигналов
336
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 2.6
Коэффициенты Фурье решения уравнения
i	с*	i	с*
0	12,250802	10	-1,772873
1	3,0622657	11	0,4367174
2	-2,3624277	12	1,3093368
3	0,61654687	13	-0,1869808
4	0,3596557	14	-0,6026949
5	0,3377522	15	0,0123659
6	0,4477024	16	0,1213467
7	0,2941196	17	-0,034398
8	0,791675	18	-0,0600615
9	-0,8080813	19	-0,0116108
Пример 2.19. Приведем результаты расчета нестационарной системы пятого порядка с использовани-
ем в качестве базиса функций Уолша и блочно-импульсных функций [38].
Уравнение системы записывается в форме
где коэффициенты ДУ определяются по формуле
у=0
матрица коэффициентов	ы	имеет вид					
		’0,5596	1,8919	2,5825	1,7855	0,6277	0,909 ‘
		0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065
(с V	с _	0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507
	Vz 		0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122
		0,0140	0,0?49	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015
		0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,0060	0,00007
Пусть y(t) = l(z) на интервале [0,5].
Запишем уравнение, определяющее порождающие функции:
£Мт)Ам(т)=ш/(т)’ г=1>/;
k^Q
р^(х = Т) = 0, V = OA
337
Глава 2. Нестационарные САУ
Коэффициенты ДУ имеют вид
а5 (т) = -0,0008- 0,0025т - 0,0031т2 - 0,0019т3 -0,006т4 - 0,00007т5;
а4(т) = 0,0015 + 0,0139т + 0,0291т2 -0,0831т3+0,01005т4+0,0015т5;
а3 (т) = 0,0174 + 0,0190т - 0,7072т2 «• 0,1079т3 - 0,063т4 - 0,0122т5;
а2 (т) = -0,0345 -1,4583т - 0,0918т2 + 0,1678т3 + 0,1898т4 + 0,0507т5;
О] (т) =-0,6591 + 0,1975т + 0,4128т2+0,0529т3-0,2518т4 -0,1065т5;
аа (т) = 0,0437 + 0,0186т - 0,2684т2 - 0,2357т3 + 0,0952т4 + 0,0909т5.
Численные значения матрицы Сх при / = 16 и / = 32 приведены в табл. 2.7 и 2.8.
Таблица 2.7
Коэффициенты Фурье решения уравнения
i	Сх	i	С*
1	0,284463383	9	0,206217276
2	0,000230127	10	-0,019847008
3	-0,011012164	11	-0,046655276
4	0,013365043	12	0,003402411
5	-0,049634201	13	-0,111569382
6	-0,035658129	14	-0,051997693
7	-0,089756422	15	-0,122245634
8	0,021387007	16	0,01394164
Таблица 2.8
Коэффициенты Фурье решения уравнения
i	Сх	i	С*
1	0,284453318	17	0,206207146
2	-9,96479Е-05	18	-0,010206433
3	0,000230327	19	-0,019846781
4	7,78674Е-05	20	-0,002058789
5	-0,011011264	21	-0,04665428
6	0,005489503	22	0,000625598
7	0,013366667	23	0,003404019
8	0,004430744	24	0,002468338
9	-0,049638293	25	-0,111573564
10	-0,017432578	26	-0,025630039
11	-0,035656275	27	-0,051995745
12	0,003535004	28	0,001823222
13	-0,089752061	29	-0,122241232
14	0,010019622	30	0,006356283
15	0,02138927	31	0,013944109
16	0,00816101	32	0,008044037
Графики выходного сигнала (точного х(1) и приближенных x16(Z) и х32(/)) представлены на
рис. 2.85, а, б.
Рассмотрим решение той же задачи по системе блочно-импульсных функций, определяемых формулой
L/i/T, ze[4_„rJ, Л=й
<р«(О=	1 J
( 0 при других I.
На рис. 2.86, 2.87 приведены графики некоторых порождающих функций для / = 16.
В табл. 2.9 представлены коэффициенты Фурье сигнала x(t) по системе БИФ.
Графики сигналов х(г),х16(/) и х32(/) представлены на рис. 2.88 и 2.89.
338
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.85. Графики выходного сигнала при / = 16 (а) и 1 = 32 (б)
*(0. *32(0
Pi(‘)
Ps(‘)
Рис. 2.86. Графики порождающих функций Д(г) (а) и (б)
Ри(')
t
а
МО
0,01
-0,01
б
Рис. 2.87. Графики порождающих функций pn(t) (а) и Д6(г) (б)
Глава 2. Нестационарные САУ
339
Таблица 2.9
Коэффициенты Фурье решения уравнения
i	С1	i	Сх
1	0,001157448	9	0,065534533
2	0,028745604	10	0,038622253
3	0,10994397	11	0,022764396
4	0,189628817	12	0,013260033
5	0,213923877	13	0,006429948
6	0,189184698	14	0,003302454
7	0,146037044	15	0,003594284
8	0,102736956	16	0,002984168
Рис. 2.88. Графики сигналов x(t) и х16(/)
*(<). *32(0
Рис. 2.89. Графики сигналов x(t) и х32(г)
Пример 2.20. Метод порождающих функций позволяет построить ИПФ ЛНС с использованием в
качестве базиса фундаментальной системы ДУ (поскольку используется фундаментальная система, то
результаты расчетов позволяют получить не приближенную, как это имеет место при использовании клас-
сических ОНС, а точную ИПФ).
Пусть линейная нестационарная система описывается дифференциальным уравнением вида
х*(1) + О,2х'(/) + О,25е0’4' x(t) = y(t).	(2.413)
Построим нормальную ИПФ системы (2.402) на интервале t, те[0,15]. Шаг интегрирования примем
равным 0,005.
На рис. 2.90 представлена нормальная фундаментальная система решений уравнения (2.413).
Рис. 2.90. Графики фундаментальной системы решений (а) и порождающих функций (6)
340
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
На рис. 2.91 приводятся графики при различных фиксированных значениях т.
На рис. 2.92 представлен график нормальной ИПФ к (z,x).
Если линейная нестационарная система описывается дифференциальным уравнением вида
x'(z) + (z2+2)x(z) = y(z),	(2.414)
то при построении нормальной ИПФ на интервале Z, те[0, 10] при шаге интегрирования, равном 0,005,
нормальная фундаментальная система решений уравнения (2.414) имеет вид (рис. 2.93). На рис. 2.94 при-
водятся графики i(z,x) при различных фиксированных значениях х. На рис. 2.95 представлен график
нормальной ИПФ k(t,z).
Рис. 2.93. Графики фундаментальной системы решений (а) и порождающих функций (о)
о а
Рис. 2.95. ИПФ
342 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Пример 2.21. Решение задач анализа ЛНС с использованием интеграла Коши
Пусть линейная нестационарная система описывается дифференциальным уравнением вида
х'(1) + (/2 + 2)х(1) = у(1).	(2.415)
Найдем отклик данной системы на заданное входное воздействие
у(/) = 2 + е’0,2'	•	(2.416)
при начальных условиях
х(0) = 1, х’(0) = -6
на интервале t е [0,7], используя при этом построение ИПФ методом порождающих функций. Шаг интег-
рирования принимался равным 0,002.
На рис. 2.96 представлена нормальная фундаментальная система решений уравнения (2.415) и графики
порождающих функций. На рис. 2.97 представлены графики решений задачи конечно-разностным мето-
дом и с использованием интеграла Коши, а также погрешность решения.
Рис. 2.96. Графики фундаментальной системы решений (а) и порождающих функций (о)
Рис. 2.97. Графики решений задачи (а) и погрешности решения (б)
Рассмотренный здесь метод может быть применен для разложения выходных сиг-
налов х(?) по самым различным базисам, включая блочно-импульсные функции,
обобщенные блочно-импульсные функции, кусочно-линейные функции, локальные
сплайны 2-го и 3-го порядков, систему функций Уолша, тригонометрический базис,
классические ОНС (полиномы Лежандра, Чебышева 1-го и 2-го рода и др.). С целью
повышения точности можно применять линейные методы суммирования.
Глава 2. Нестационарные САУ 343
2.10.	СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ
(СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ) СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
2.10.1.	Квадратурные формулы
Введем общие понятия. Пусть f (?) — непрерывная на отрезке [0, Т] функция и
?! =0, t2,...,tN =Т — некоторые точки на отрезке [0, Г] — узлы квадратурной фор-
мулы, Aj — числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы,
N > 0 — целое число.
Квадратурной формулой называется приближенное равенство вида
(2-417)
о	<=1
Величина
R=	(2.418)
о	<=1
называется погрешностью (или остаточным членом) квадратурной формулы (2.417).
При использовании квадратурных формул область непрерывного изменения ар-
гумента заменяют конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемых
сеткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматривают функции, опреде-
ленные только в узлах сетки — сеточные функции.
При таком подходе функция f (?) характеризуется ее дискретными значениями
/('О,Ж),-,Ж), а, например, производные заменяют их разностными анало-
гами — линейными комбинациями значений сеточных функций в узлах сетки. Разде-
лим промежуток [О, Т] на N равных подинтервалов [?1,^]’гДе
?! = 0, tN=T, h = tM -tj (рис. 2.98).
Для вычисления значений определенного интеграла в вычислительной математи-
ке пользуются квадратурными формулами вида (2.417).
Наиболее простыми являются формулы прямоугольников и трапеций (рис. 2.99 и
2.100).
344
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Формулы прямоугольников с левыми и правыми ординатами (рис. 2.99 очевид-
ным образом изменится) соответственно имеют вид
	\f(t)dt=h[f +f2+...+fN_x\- °r	(2.419) jf(t)dt = h[f2+f3+...+fN], 0
где /;=/(?,).
Приведем формулу трапеций
Т
\f(t)dt = h L + f2+f3+... + fN_,+h- .	(2.420)
о L2	2 J
Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигу-
ры, расположенной под параболой, проходящей через точки nt_}, п(_у2 и и.
(рис. 2.101), то для этого случая имеет место формула Симпсона
7	h
—[/J +	+ 2/2 + 4/5/2 + 2/3 +... + 2fN_x + 4/w_^2 + fN ] =
0	(2.421)
,Г	N	N-\
= T 71+Л+4^Z-l/2+2X-^ •
6	<=2	i=2
Глава 2. Нестационарные САУ
345
В численных методах применяются квадратурные формулы интерполяционного
типа (частный случай — формулы Ньютона-Котеса), формулы Гаусса (частный слу-
чай — формула Эрмита) и др.
2.10.2.	Решение скалярных интегральных уравнений
С ОПЕРАТОРНЫМИ ЯДРАМИ МЕТОДОМ КВАДРАТУР
Далее метод квадратурных формул будем применять для решения интегральных
уравнений с операторными ядрами [27]
JMZ’T)X(TPT = /(O’	(2.422)
о
где

/(0=К0’т)Ят)л’
о
ку М=(*)(' - гГ1}
при этом будем пользоваться следующими обозначениями: ( — фиксированные
абсциссы отрезка [0, Г]; Д —числовые коэффициенты, при этом ^^Д =Т\ отре-
зок разбит на (.У -1) частей, а точки /, являются равноотстоящими, т.е. следующи-
ми друг за другом с шагом h = Tf^N -1), t, = (z - 1)Л, i = 1, N.
Для этого случая числовые коэффициенты Д, точки Z, и шаг h определяются
формулами:
Д=—; t: =h(i- 1),Z = 1,N; h = -^—
’ У-1 ' v '	У-1
— для формулы прямоугольников;
h	--- T
a\=an=~’ A2 = Л = •••= 4v-i = h> ti=h(i-\),i = \,N; h = —j
— для формулы трапеций;
346 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
А —А	А —А — —A	А —А — —А —	
Л1 - л2т+1 -	_ л4 - •  • “ л2т ~	’ л3 ~	~	~ л2т-1 ~	>
--- Т
t = h(i-l), i = 1,У; h =-
v 7	N-\	,
— для формулы Симпсона при N = 2т +1, т = 1,2,....
Приведем общие положения, связанные с решением уравнения (2.422), следуя [27].
Перепишем (2.421) в виде
Ах = f,	(2.423)
где х и f — элементы метрических пространств X и F (в общем случае беско-
нечномерных, например, Л' = С[0,7’], F = C[0, Г]); А: X F — оператор, дейст-
вующий из X в F.
Введем пространства XN и FN, аппроксимирующие в известном смысле, т.е. с
использованием сеточного представления функций пространства X и F. Связь
между парами будем считать заданной операторами Ах: X ->XN, Aj: F -> FN, и
A* : XN -> X. Тогда уравнение (2.423) заменяется на приближенное
ANxN=fN,	(2.424)
где An : XN FN — оператор, аппроксимирующий оператор А.
Из предыдущих рассуждений следует, что XN = FN = RN.
Теперь введем следующие понятия. Допустим, что (2.424) имеет единственное
решение x*N eXN. Этот элемент не принадлежит X, поэтому'нет оснований назы-
вать его приближенным решением (2.423). Будем называть его каркасом прибли-
женного решения, а приближенным решением (2.423) — элемент
xN(t) = AB(x*N)eX.
Так как роль Аъ заключается в конструировании приближенного решения по его
каркасу или в восполнении каркаса приближенного решения, А^ будем называть опе-
ратором восполнения. Операторы Ах и Aj —операторы сноса.
Пусть гх — метрическая функция в X. В дальнейшем положим X = F - С[0, Т].
Близость приближенного решения xN к точному х* измеряется величиной
часто представляет интерес и величина
xN=rxN (4 > Ахх*) = IАхх* - x*N I .
Если <3N -> 0, то говорят, что имеет место сходимость приближенных реше-
ний в X; а если xN —> 0, то имеет место сходимость каркасов приближенных ре-
шений в XN.	.
Рассчитывать на сходимость приближенных решений уравнения (2.423) к точному
можно лишь, если уравнение (2.424) в указанном выше смысле приближает (аппрокси-
мирует) уравнение (2.423). Точный смысл такого приближения может рассматриваться
только с учетом того, что это — уравнения в разных пространствах. Говорят, что
уравнение (2.424) аппроксимирует уравнение (2.423) (или что оператор AN аппрокси-
мирует оператор А) на элементе хе D(A), если мера аппроксимации
Глава 2. Нестационарные САУ 347
стремится к нулю при N -> оо. Соотношение уN (х) —> О (N —> <ю) называют усло-
вием аппроксимации.	е
В рамках введенных понятий пересмотрим интегральное уравнение (2.422) и со-
ответствующий ему дискретный эквивалент
n
xi ~ AAxJ = fi’	(2.425)
>1
где xj=x(ti),kj=kx^ti,Xj),f=f(ti), коэффициенты Aj определяются типом ис-
пользуемой квадратурной формулы.
Интегральный оператор Вольтерра в рассматриваемом случае заменяется линей-
ным оператором AN в конечномерном пространстве RN и тогда, очевидно, (2.425)
можно переписать в виде
АдгХд, = fw.
Роль операторов сноса играют операции дискретизации. Оператором восполне-
ния А* может быть, например, оператор интерполирования полученного сеточного
решения.
Выполнение условия аппроксимации вполне очевидно. Покажем это:
I N	‘‘ II
II '	о	||Л«
II''	i	_ ||	____
=	, / = 1,А.
II0	7=1	||/;w
Таким образом, мера аппроксимации ограничена нормой остаточного члена квадра-
турной формулы, который, как известно, стремится к нулю при N Отсюда сле-
дует, что при N -> оо интеграл сколь угодно точно приближается суммой, и yN (х) -> 0.
2.10.2.1.	Корректность
При решении уравнения (2.423) приходится считаться с наличием погрешностей
разного происхождения.
Погрешности первого рода связаны с тем, что при составлении уравнения (2.422)
могли быть допущены искажения как в правой части /, так и в операторе А. Иными
словами, вместо уравнения (2.423) мы фактически решаем некоторое другое уравнение
(Л + ДЛ)х = / + Д/,	(2.426)
где АЛ — искажение в операторе, а А/ — искажение в правой части.
Искажения в уравнении могут быть вызваны тем, что оно недостаточно полно
описывает изучаемый физический процесс из-за неполноты теории, неточностей из-
» мерений или вычислений при построении оператора А или правой части /.
Погрешности второго рода появляются в процессе решения уравнения (2.423)
(не имеет значения, является ли оно точным или искаженным). Эти погрешности
можно разделить на две категории. Погрешности метода возникают из-за того, что
применяемый метод, даже в случае его точной реализации, дает лишь приближенное
решение уравнения (2.423). Вычислительные погрешности имеют своим источником
различного рода неточности при реализации метода — в частности, погрешности
округления при проведении арифметических операций.
348 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Оператор А называется корректным, если область значений R(A}=F и суще-
ствует ограниченный обратный оператор Л-1; уравнение (2.423) называется кор-
ректным, если корректен оператор А.
Если уравнение некорректно, то даже малые искажения исходных датТных могут
привести к значительному ухудшению точности найденного решения или к неустой-
чивости алгоритма. Что касается рассматриваемых нами интегральных уравнений
Вольтерра 2-го рода, то задача их решения, в отличие от уравнений 1 -го рода, являет-
ся корректно поставленной.
2.10.2.2.	Устойчивость
При составлении уравнения (2.424) обычно допускаются искажения, в результате
чего фактически решается уравнение
(4v + A4W )xN =fN+ AfN,	(2.427)
где AAN —операторы из XN в FN, a AfN — элементы FN.
Наличие погрешностей второго рода ведет к тому, что найденное значение карка-
са приближенного решения x*N + Ex*N удовлетворяет лишь тождеству
(an + &An)(x'n + Ахд,) = fN + \fN +6N,
где 6N — невязка. Можно включить невязку в искажение правой части (2.424) и в
дальнейшем не учитывать ее наличие.
Будем называть процесс нахождения каркасов приближенных решений о-устой-
чивым, если стремление к нулю относительных погрешностей ||AAN ||/|ру || и
|a/„|/||a| в данных задачи для уравнения (2.423) влечет разрешимость уравнений
(2.427) и стремление к нулю относительных погрешностей каркасов приближенных
решений.
Необходимым и достаточным условием о-устойчивости процесса нахождения
каркасов приближенных решений является ограниченность последовательности
чисел обусловленности матрицы AN.
Обратимся ко второму этапу вычислений. Положим, что найдены приближен-
ные значения каркасов x*N +Ax*N. Допустим, что и оператор восполнения Ав вычис-
ляется с погрешностью, так что фактически применяется не этот оператор, а опера-
тор А^+АА*. Таким образом, вместо элемента xN вычисляется элемент
xw + Axn = (Ав + ЛАВ )(х^ + Ax'n ).
Если х ф 0, имеет место сходимость приближенных решений; процесс нахожде-
ния каркасов приближенных решений о-устойчив, то для о-устойчивости процесса
нахождения приближенных решений необходима и достаточна ограниченность по-
следовательности {удг}:
v”n=kii-|4||-
Воспользовавшись изложенными выше теоретическими положениями, построим
каркас решения уравнения (2.422).
Запишем приближенное уравнение
ANXN = fit’
аппроксимирующее интегральное уравнение с операторным ядром (2.422) с исполь-
зованием квадратурной формулы (2.417); поскольку
Глава 2. Нестационарные САУ 349
I,
*('/)- (гмт)х(т)Л =
о
то после замены в последней зависимости интеграла квадратурной формулой получим
х ) - Z AJкх ('< > Ъ) х (т7 ) = f ) + Ri Iх] ’	(2.428)
7=1
где R, [х] — остаточный член (ошибка), порождающий погрешность решения.
Обычно при получении (2.428) предполагается непрерывность ядра и свободного
члена в заданных треугольнике и промежутке.
Из изложенного ясно, что Ах : С[0, Г]-> RN, где RN — А-мерное пространство
дискретных значений x(z), т.е.
x„=[x(ri) х(/2) ••• х(/Л,)]Т eRN;
аналогично
/02) - f(tNrfeRN.
Элемент
Vv^’Oi) х’(гг) ••• x’(zw)]T erN
— каркас приближенного решения.
Вводя обозначения х(?,)^=х(, /(/,) = /;, kx(tj,Tj} = кц, а также полагая R, [х]
малыми и отбрасывая их, получаем линейную систему алгебраических уравнений
х; - X AjkyXj =/,< = ЦУ,	(2.429)
7=1
или
XN ~^NXN = АуУлг>
причем
= МгУм-
Обозначив ку^,х^ = Ц, запишем
1- Atkn -Atk21	0 1 — ^2^22	0 0	‘Xi x2	=	^1^21	0 Я2^22	0 0	’У1 ’ У2
_ ~Aikm	-A2kN2	’ ’ 1 ~ ANkNN .	XN.		_AlkNl	A2kN2 ’	 ANkNN _	Jn.

тогда
A^yw =	= Асуу,
где
AC=^I-A^J АдГ=Алг1А^.
Если в правой части имеет место функция f (/), то
350 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1 Афп “441	0 1 ^2^22	0 0	’х1’ Х2	=	/2
_ _44л	-A2kN2 ’	• 1 - ANkNN _	XN_		/1У,
	Ад1				fy
или, что то же самое,
4i 4i	0 •• 4г "	0 ‘ 0		•• 	J	=	fl
	^N2 '	к NN.				Jn .
	Ад-					
(2.430)
Поскольку матрица AN в уравнении (2.429) является треугольной, то представ-
ляется возможность найти зависимости, определяющие в явной форме Xj, х2, .  ., xN :
Х1 -/1(1 ~441) >
х2 ~ (fi - 44ixi )(1 ~ 44г) ;
(2.431)
= A-Z44x
1 - ANkNN
j
/
при условии (1 - А,ки) * 0, i -1, N.
Поскольку в скалярных интегральных уравнениях с операторными ядрами ки = 0,
i = l,N, то соотношения (2.431) упрощаются:
=Л;
х2 = /2 - 441х1>
N-\
xN=fN~Y, AjkiJxJ-
2=1
Применение формулы трапеций с постоянным шагом h приводит к следующим
соотношениям:
1-1
х,^fi + h^AjkyXj,
2=1
—	[0,5 при 7 = 1;»
где i = \,N, А, = (
J [inP11.^1-
Проекционные и сеточные матричные операторы часто имеют одну и ту же тео-
ретическую базу. Например, проекционно-матричные операторы в базисах блочно-
импульсных функций, кусочно-линейных функций, локальных сплайнов 2-го поряд-
ка совпадают с сеточно-матричными операторами при использовании в качестве
квадратурных формул соответственно формулы прямоугольников, формулы трапе-
ций, формулы Симпсона.
351
Глава 2. Нестационарные САУ
2.10.2.3.	Оценка погрешности решения
Следуя [27], получим априорные оценки для решения интегрального уравнения
(2.422) на конечном временном интервале [0, Г] с использованием квадратурной
формулы Симпсона (2.421). Для облегчения некоторых дальнейших оценок сделаем
предположение
При вычислении I v(t)dt для квадратурной формулы Симпсона известна оценка
остаточного члена
<2432)
в предположении, что v(f) имеете [0, Т] четыре непрерывные производные.
Воспользуемся этим результатом; предположим, что в интегральном уравнении
(2.422) ядро kx(t,z) имеет четыре непрерывные производные по каждому из аргу-
ментов и что функция f (t) также имеет четыре непрерывные производные. Исполь-
зуя теоремы об интегралах, зависящих от параметра, можно показать, что х* (t) име-
ет четыре непрерывные производные, вычисляемые по формуле
^Гх’(0=+	* = 1>4-	(2.433)
Имеем
-^Г кх (/,т)х* (т)1 =	(2.434)
аЛи	4 аг4 л4'4
С помощью (2.433) и с учетом оценок для максимумов модулей производных
функций kx(t,z) и /(?) можно оценить производные точного решения х* (z). С по-
мощью же (2.434) оценим четвертую производную по т функции Ax(z,t)x*(t):
(2.435)
Таким образом, находим:
^Л(/,т)х‘(т)б/т-£л/Дг,т7)х*(ту) <——тм, Ге[0, Г].
о	у=1	1
Для меры аппроксимации имеет место неравенство
I ‘V т5 ЛХ 1
у,,х <-----М—т.
( ' 180 У4
Эффективная оценка для yN I х I позволяет установить правомерность аппрок-
"симации оператора А оператором AN именно на элементе х*(1), являющимся
точным решением уравнения (2.422). Для приближенного решения xN «кс[о, Г]
оценить yN (xN) не представляется возможным.
Оператор AN задается матрицей Ад,:
Ад,-1-А^; Axn
/
,=]
352 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Для нормы получаем (при равномерной норме векторов соответствующая
норма матрицы равна максимальной сумме модулей ее элементов в строке)
Ml=th)| а к м=кМ=*
Тогда
Последнее неравенство означает, что таблица значений точного решения урав-
нения (2.422) х* (?) на сетке аппроксимируется таблицей чисел xt с погреш-
ностью порядка 1/ У4.
Так как ||Aw||<1 + ||a^||, то
m-(aw)=|1алг11||а№|| ~ утр
и процесс нахождения каркасов приближенных решений оказывается о-устойчивым.
Выберем теперь определенным образом оператор восполнение Ае. Допустим, что
/^Хд, (где xN = {х,}^) есть непрерывная функция xw(?), совпадающая с х, в точ-
ках th i = l,N, и линейная в каждом промежутке	? = 1,У-1. Нетрудно ви-
деть, что ЦдЛ = 1 (N = 2,4,...). Поэтому
IWlMIM* )<-L2-mA
Теперь следует оценить
|pBV-x||=||x40-^0)||c[o,7.]-
На каждом из промежутков Ху(/) линейно интерполирует x*(f). По известной
оценке погрешности линейной интерполяции
Iх* (0 - (ф ^'+1g— ““
^(0
dt2
pi г *~i
-^2M2LxJ’ reh’^]’
где Му х* = max
d2x* (t)
dt2
. Следовательно,
I *	I
X* (t)-XN (?) < —2-Л/2
[x*]> 'e[0,T],
||ЛЛх’ -x‘|| = ||xy -x‘||c[o r] <-^М2[х'].
Далее, если ЛвХу=х*(?), то
||х’-х’||	<— — Л/ф +—М2Гх’1ф = °М
11	||с[°,7’] 1-х 180 N4 8 L -1у2 [У
Глава 2. Нестационарные САУ 353
Для рассмотрения вопроса об устойчивости процесса нахождения приближенных
решений следует отметить, что ||JX|| = ||jy | = 1 и поэтому
мы	IMs
Обе последовательности ц(АЛ1) и ||Л||||хл'|| ограничены — процесс нахождения
приближенных решений о-устойчив.
Результаты, полученные для случая, когда применяется формула Симпсона,
обобщаются следующей теоремой.
Теорема 2.2 [27]. Пусть уравнение (2.422) решается методом квадратур с ис-
пользованием формулы Симпсона и притом-.
1) х = ^ max |Лх(г,т)| < 1;
2) функция f(t) четырежды непрерывно дифференцируема, ядро kx(t,x) че-
тырежды непрерывно дифференцируемо по каждому из аргументов',
тогда:
1)	имеет место сходимость каркасов приближенных решений и справедлива
оценка
ЦлЛ -Лх*|| v < maxJx ~x*(t.)|<—-—— М-^-г,
II N х Н«Л Vi=Tjvl ' v''l 1-х 180 N*
где M определяется из (2.435);
2)	процесс нахождения каркасов приближенных решений о-устойчив',
3)	если восполнение приближенного решения осуществляется с помощью линей-
ной интерполяции, то имеет место сходимость приближенных решений и
справедлива оценка
||хЛГ-х*||	,= max	—^—М-^-т+—М2\х*~\-^г = 0 —iy ;
II N Но,?]	v'I 1-xlSO A4 8 2L JА2 Ы J
4)	в этом случае процесс нахождения приближенных решений о-устойчив.
Приведенная теорема носит частный характер, поскольку относится только к квад-
ратурной формуле Симпсона. Нетрудно получить аналогичную теорему, если приме-
няется другая формула квадратур, для которой известна оценка остаточного члена.
2.10.3.	Решение векторно-матричных интегральных уравнений
С ОПЕРАТОРНЫМИ ЯДРАМИ МЕТОДОМ КВАДРАТУР
Рассмотрим применение метода квадратурных формул для решения векторно-
матричных интегральных уравнений с операторными ядрами
Х(0~ /кх(?,т)Х(т)<Ут = F(z); 0	(2.436)
F(z)= |ку(/,т)У(т)<Ут + Х0; о	(2.437)
кх(/,т) = А(т)1(г); ку(/,т) = В(т)1(/),	(2.438)
соответствующих описанию линейной нестационарной системы в нормальной форме
Коши
24 Зак. 14
354
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
X(/) = A(z)X(/) + B(z)Y(/);
Х(0) = Х°.
(2.439)
(2.440)
В уравнении (2.439) Х(?)е7?"; Y(?)e7?m; dimA(z) = «xn; dimB(l) = nxw.
При применении квадратурной формулы трапеций с постоянным шагом h схема
решения уравнения (2.436) имеет вид
7=1
(2.441)
где Г,	i = \,N\ I —единичная (п х п )-матрица.
Проведя рассуждения, аналогичные скалярному случаю, приходим к следующей
системе линейных алгебраических уравнений:
или в развернутой форме			AWX = F,				’Fl’ f2 F3	(2.442)
	I -0,5/гкХ2] -0,5/гкх31	0 I -0,5/1кХ22 /1кх32	0 0 1-0,5Лкхзз	0 0 0	.. X X >4 			1			
	—0,5/ikxjv!	-/гкхлг	-^ХУЗ	I — 0,5AkXWjV	_Xy_			
			Ay		X		£	
В последних соотношениях кХу= кх(/,,Xi = X(fjt); Fi. = F(li:).
Если же интеграл с переменным верхним пределом (2.437) также вычислять с ис-
пользованием квадратурной формулы трапеций, приходим к следующим соотноше-
ниям:
fa fa fa 1		= h	0 0,5kY2I 0,5kY31	0 0,5ky22 кузг	0 0 0>5кузз ‘	0 0 0	’V y2 Y3	+	. X X x' ООО 	1
Fx.		_0,5kwl	kyw2	кууз	• 0,5k Y7W	yN.		x°
F				в*		Y		4^
где kY// = kY (1,, ту ); \к = Y (tk).
Тогда компактная запись для системы (2.442) будет выглядеть так:
A^ = ByY + X°.	(2.443)
Решая систему линейных неоднородных алгебраических уравнений (2.443), находим
Х = A*BY¥ +А*Х°,	(2.444)
где A* =[AW] '.
Все рассмотренные выше теоретические положения относительно корректности и
устойчивости решения задачи, а также оценки погрешности решения для скалярного
случая справедливы и для решения векторно-матричных интегральных уравнений
методом квадратур.
Глава 2. Нестационарные САУ 355
2.10.4.	Сеточно-матричные операторы, полученные методом квадратур
Метод может быть обобщен на случай, когда система задана структурной схемой.
В таком случае, используя матричные операторы интегрирования, дифференцирова-
ния и умножения на функции, с помсуцью аппарата структурных преобразований
можно легко получить матричный оператор системы A.N.
Введем в рассмотрение сеточно-матричные операторы интегрирования, диффе-
ренцирования и умножения, получив расчетные формулы методом квадратур.
2.10.4.1.	Матричный оператор интегрирования
Для интегрирующего звена имеем
х(г)= |у(т)с7т,
о
где х(г) —выход интегрирующего звена, у(г) —входной сигнал.
Для каждого дискретного момента времени Z,
4	/	___
о	у=1
где коэффициенты Af зависят от выбора квадратурной формулы. Приходим к сле-
дующему векторно-матричному выражению:
х2
или в сокращенной форме
о
^2
л2
У\
У1
УН.
Уы
(2.445)
4
4
4
0
о
AN 
XN ~ ^иУм>
где Аи — матричный оператор интегрирования.
2.10.4.2. Матричный оператор дифференцирования
Матричный оператор дифференцирования Ад определяется выражением
АД=А;‘.	(2.446)
2.10.4.3. Матричный оператор умножения на функцию
Пусть a(f) —некоторая функция и х(г) = а(/)у(г). Тогда
*1 ’			0	0	>1 ’
*2	=	0	я('г) ••	0	У2
-XN.		0	0		Уц.
			Ау(а)		У.у
(2.447)
или в более компактной форме
xN = Ay(a)yw,
где Ау(а) —матричный оператор умножения на функцию a(t).
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
356
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Пример 2.22. Решим задачу детерминированного анализа системы
ХаД/)х«(/) = Я')> *=0	(2.448)
где	
“>(z)=ZavZJ'’ z = o>5-	
;=0	
Коэффициенты уравнения (2.448) определяются выражением
4(z)’		0,5596	1,8918	2,5825	1,7855	0,6277	0.0909	'Г
5i(z)		0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065	/
5г(')		0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507	I2
Mz)		0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122	/3
		0,0140	0,0449	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015	/“
A(Z)J		0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,006	0,00007	/’
Детерминированное входное воздействие имеет вид
у (/) = (85,7661 + 338,5984/ + 497,0437/2 + 406,9496/3 +186,9354/“ + 46,7809/’ + 4,825 8/6 )е'4'.
Построим выходной сигнал х(/) на интервале[0;2,5] с при нулевых начальных условиях методом
квадратур.
Для перехода к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода перепишем (2.448) в следующем виде:
^(Z) + W’(Z) = MZ).	<2449)
4=0
где
MZ)=W; °2(')=Йп; а'(')=Йг	М')=17Л
а5(/)	а5(1)	a5(t)	a5(t)	as(t)	а5(/)
Запишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное (2.449):
о
(2.450)
где
/(') = JMZ’T)XTX
о
(2.451)
& 4!
<(-1/
4! Л*
(2.452)
При решении используем квадратурную формулу трапеций. Решение проведем для различных значе-
ний шага дискретизации h: 0,05, 0,1 и 0,2. Для сравнения приведем также результаты решения уравнения
(2.449) методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности с шагом Л = 0,1.
Для вычисления вектор-столбца правой части fN системы линейных алгебраических уравнений
(2.430), соответствующего интегралу (2.451), также воспользуемся формулой трапеций. Тогда (2.430) за-
пишется так:

отсюда
- AxA^yw,
где АХ=АЛ,1, или

где Ас = АхАд, — матричный оператор системы.
Для шага дискретизации Л = 0,1 соответствующие матричные операторы имеют вид (приводятся вы-
резы матриц размерностью 5x5)
Глава 2. Нестационарные САУ
357
	'0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000'
	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
^N =	0,0042	0,0004	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0211	0,0062	0,0003	0,0000	0,0000
	0,0667	0,0311	0,0046	0,0002	0,0000
	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"
	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Ас =	0,0020	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0074	0,0029	0,0002	0,0000	0,0000
	0,0165	0,0110	0,0022	0,0001	0,0000
Дискретные значения выходного сигнала системы приведены в табл. 2.10.
Таблица 2.10
Дискретные значения выходного сигнала системы
Л с	Метод Рунге-Кутта, h = 0,1	Метод квадратур, h = 0,1	Метод квадратур, Л = 0,05
0	0,0000	0,0000	0,0000
0,1	0,0063	0,0119	0,0082
0,2	0,1425	0,1867	0,1540
0,3	0,7603	0,8961	0,7941
0,4	2,2445	2,5203	2,3118
0,5	4,7845	5,1882	4,8837
0,6	8,2914	8,7403	8,4043
0,7	12,4417	12,8378	12,5441
0,8	16,7831	17,0749	16,8595
0,9	20,8488 "	21,0518	20,9000
1	24,2476	24,4231	24,2881
1,1	26,7177	26,9350	26,7665
1,2	28,1440	28,4475	28,2153
1,3	28,5461	28,9398	28,6434
1,4	28,0470	28,4957	28,1622
1,5	26,8326	27,2768	26,9498
1,6	25,1113	25,4872	25,2122
1,7	23,0812	23,3388	23,1506
1,8	20,9070	21,0226	20,9373
1,9	18,7095	18,6893	18,7017
2	16,5659	16,4412	16,5288
2,1	14,5172	14,3348	14,4646
2,2	12,5806	12,3899	12,5272
2,3	10,7618	10,6037	10,7198
2,4	9,0656	8,9641	9,0421
2,5	7,5016	7,4612	7,4973
На рис. 2.102 изображены графики выходного сигнала системы.
Пример 2.23. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид
=	(2.453)
*=0
5	__
где (z) =	/ = 0,5. Коэффициенты уравнения (2.453) заданы выражением
;=()
М0‘		'1,0000	3,5489	5,1523	3,8608	1,5192	0,2620 ’
МО		1,1716	4,1050	5,8550	4,2732	1,6091	0,2511
МО		0,5579	1,9211	2,6761	1,8881	0,6743	0,0973
МО		0,1349	0,4537	0,6125	0,4146	0,1405	0,0190
МО		0,0165	0,0539	0,0699	0,0452	0,0146	0,0018
_М0.		0,0008	0.0025	0,0031	0,0019	0,0006	0,00007
358
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Построим сигнал на выходе системы при заданном входном воздействии
;у(/) = (2,1 + 1,Зе“')6г“4'
и нулевых начальных условиях на временном интервале [0;2,5] с.
Для перехода к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода приведем дифференциальное уравне-
ние (2.453) к виду (2.449). Интегральное уравнение с операторным ядром для данного примера определя-
ется формулами (2.450}-(2.452).
При решении используем квадратурную формулу трапеций. Решение проведем для значений шага
дискретизации h, равных 0,1 и 0,2. Для сравнения приведем также результаты решения уравнения (2.453)
методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности с шагом Л = 0,1.
На рис. 2.103 изображены графики выходного сигнала системы.
Рис. 2.103. Графики выходного сигнал системы
Глава 2. Нестационарные САУ
359
При шаге дискретизации		Л = 0,1	матричные операторы А^			и Ас	имеют вид (приводятся вырезы	
матриц размерностью 5x5)								
		' 0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’		
		0,00002	0,0000	е,оооо	0,0000	0,0000		
	=	0,0004	‘ 0,0001	0,0000	0,0000	0,0000		
		0,0019	0,0009	0,0001	0,0000	0,0000		
		0,0059	0,0045	0,0011	0,0001	0,0000		
	0,00000		0,00000	0,00000	0,00000	0,000003		
	0,00001		0,00000	0,00000	0,00000	0,00000		
Ас =	0,00015		0,00002	0,00000	0,00000	0,00000		
	0,00051		0,00036	0,00003	0,00000	0,00000		
	0,00102		0,00123	0,00043	0,00003	0,00000		
Дискретные значения выходного сигнала системы приведены в табл. 2.11.
Таблица 2.11
Дискретные значения выходного сигнала
г, с	Метод Рунге-Кутта, Л = 0,1	Метод квадратур, h = 0,1	Метод квадратур, Л = 0,05
0	0,0000	0,0000	0,0000
0,1	0,0092	0,0169	0,0119
0,2	0,1886	0,2555	0,2055
0,3	0,9217	1,1073	0,9670
0,4	2,5050	2,8188	2,5824
0,5	4,9401	5,3280	5,0378
0,6	7,9560	8,3441	8,0554
0,7	11,1438	11,4781	11,2300
0,8	14,0942	14,3561	14,1611
0,9	16,4885	16,6893	16,5384
1	18,1377	18,3036	18,1775
1,1	18,9804	19,1380	19,0178
1,2	19,0578	19,2252	19,0980
1,3	18,4801	18,6631	18,5250
1,4	17,3930	17,5871	17,4415
1,5	15,9518	16,1458	16,0009
1,6	14,3016	14,4822	14,3476
1,7	12,5670	12,7221	12,6066
1,8	10,8462	10,9676	10,8772
1,9	9,2108	9,2949	9,2322
2	7,7082	7,7558	7,7201
2,1	6,3650	6,3804	6,3687
2,2	5,1918	5,1816	5,1890
2,3	4,1872	4.1590	4,1799
2,4	3,3419	3,3031	3,3320
2,5	2,6415	2,5987	2,6307
Пример 2.24. Решим задачу детерминированного анализа линейной стационарной системы
х>(01 Го Го , .
/ч =	Л + ИО	(2454)
[О Oj[x2(/)J Ld
при подаче на вход сигнала
y(t)= 2,9183673-0,31486881	(2.455)
для начальных условий Х](0) = -2, х2(0) = -10 на интервале [0, 14] с.
Аналитическое решение данной задачи имеет вид
х] (1) =-2 -101 +1,459183612 - 0,0524781?;
х2 (1) = -10 + 2,91836731 - 0,157434412.
360 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Построим фазовые траектории системы (2.454) квадратурным методом решения векторно-матричных
интегральных уравнений на основе формулы трапеций и, для сравнения, методом Рунге-Кутта 4-го поряд-
ка точности. Шаг интегрирования h в обоих случаях примем равным 1 с.
Интегральное уравнение, эквивалентное уравнению (2.454), имеет вид
/
Х(/)-/кх(/,т)Х(т)Л = Р(1),	’	(2.456)
О
где
F(/) = |ку(/,т)У(т)Л + Х°;
О
ку(/,т) =
кх('’т) =
!(')•
О
Расчеты выполнены в системе Matlab 6.1. Для построения ядер кх(/,т) и ку(/,т) воспользуемся па-
кетом символьных вычислений Symbolic Toolbox, встроенным в Matlab, и аппаратом ш/ше-функций.
В табл. 2.12 представлены дискретные значения точного аналитического решения задачи и дискретные
значения фазовых траекторий, полученные численными методами при одинаковом h = 1.
Таблица 2.12
Дискретные значения фазовых траекторий системы
fk	Точное решение задачи		Метод квадратур		Метод Рунге-Кутта 4-го порядка	
	Xi('t)	*2(4)	X\N (h )	X1N (** )	Х|('*)	
0	-2,0000	-10,0000	-2,0000	-10,0000	-2,0000	-10,0000
1	-10,5933	-7,2391	-10,6195	-7,2391	-10,6983	-7,3965
2	-16,5831	-4,7930	-16,6356	-4,7930	-16,9504	-5,1079
3	-20,2843	-2,6618	-20,3630	-2,6618	-21,0714	-3,1341
4	-22,0117	-0,8455	-22,1166	-0,8455	-23,3761	-1,4752
5	-22,0802	0,6560	-22,2114	0,6560	-24,1793	-0,1312
6	-20,8047	1,8426	-20,9621	1,8426	-23,7959	0,8980
7	-18,5000	2,7143	-18,6837	2,7143	-22,5408	1,6122
8	-15,4810	3,2711	-15,6910	3,2711	-20,7289	2,0117
9	-12,0627	3,5131	-12,2988	3,5131	-18,6749	2,0962
10	-8,5597	3,4402	-8,8222	3,4402	-16,6939	1,8659
11	-5,2871	3,0525	-5,5758	3,0525	-15,1006	1,3207
12	-2,5597	2,3499	-2,8746	2,3499	-14,2099	0,4606
13	-0,6924	1,3324	-1,0335	1,3324	-14,3367	-0,7143
14	0,0001	-0,0000	-0,3673	-0,0000	-15,7959	-2,2041
Выполним также построение погрешности решения
еО)=|х-(/)-х^(/)|
для обоих методов. Полученные результаты приведены на рис. 2.104,2.105. Анализ графиков позволяет
сделать вывод: для данной задачи при выбранном шаге интегрирования h = 1 квадратурный метод реше-
ния интегральных уравнений приводит к меньшей погрешности по сравнению с конечно-разностной схе-
мой решения дифференциальных уравнений.
Решим теперь задачу детерминированного анализа системы (2.454) с использованием формул (2.443),
(2.444). Матрицы Ад,, Ах и Av имеют вид (приводятся вырезы матриц размерностью 6x6):
1,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000 '
0,0000	1,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	-0,5000	1,0000	-0,5000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	0,0000	0,0000
0,0000	-0,5000	0,0000	-1,0000	1,0000	-0,5000
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000
Глава 2. Нестационарные САУ 361
	1,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’
	0,0000	1,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Ах	0,0000	0,5000	1,0000	0,5000	0,0000	0,0000
	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	0,0000	0,0000
	0,0000	0,5000	о,ооЛ)	1,0000	1,0000	0,5000
	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000
	’0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000“
	0,5000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,5000	0,5000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,5000	1,0000	0,5000	0,0000	0,0000	0,0000
Рис. 2.104. Фазовые траектории системы (2.454):
1 — полученные методом квадратур (формула (2.441)); 2 — полученные методом Рунге-Кутта
4-го порядка с тем же шагом интегрирования; 3 — точное аналитическое решение задачи
Рис. 2.105. Погрешности решения задачи:
1 — для метода квадратур (формула (2.441)); 2 — для метода Рунге-Кутта
4-го порядка с тем же шагом интегрирования
В табл. 2.13 приводятся дискретные значения точного аналитического решения задачи, а также дис-
кретные значения фазовых траекторий, полученные методом квадратур в форме (2.443), (2.444) и методом
Рунге-Кутта 4-го порядка точности.
Графики фазовых траекторий системы (2.454), полученные методом квадратур в форме (2.443),
(2.444), и графики погрешностей в выбранном масштабе не отличаются от графиков, изображенных на
рис. 2.104,2.105.
23 Зак. 14
362 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 2.13
Дискретные значения фазовых траекторий системы
‘к	Точное решение задачи		Метод квадратур		Метод Рунге-Кутга 4-го порядка	
	Alfk)		X\N (1к )	X2N Ок)	xi(‘k)	х2('к)
0	-2,0000	-10,0000	-2,0000	-10,0000	-2,0000	-Го,0000
1	-10,5933	-7,2391	-10,6195	-7,2391	-10,6983	-7,3965
2	-16,5831	-4,7930	-16,6356	-4,7930	-16,9504	-5,1079
3	-20,2843	-2,6618	-20,3630	-2,6618	-21,0714	-3,1341
4	-22,0117	-0,8455	-22,1166	-0,8455	-23,3761	-1,4752
5	-22,0802	0,6560	-22,2114	0,6560	-24,1793	-0,1312
6	-20,8047	1,8426	-20,9621	1,8426	-23,7959	0,8980
7	-18,5000	2,7143	-18,6837	2,7143	-22,5408	1,6122
8	-15,4810	3,2711	-15,6910	3,2711	-20,7289	2,0117
9	-12,0627	3,5131	-12,2988	3,5131	-18,6749	2,0962
10	-8,5597	3,4402	-8,8222	3,4402	-16,6939	1,8659
11	-5,2871	3,0525	-5,5758	3,0525	-15,1006	1,3207
12	-2,5597	2,3499	-2,8746	2,3499	-14,2099	0,4606
13	-0,6924	1,3324	-1,0335	1,3324	-14,3367	-0,7143
14	0,0001	-0,0000	-0,3673	-0,0000	-15,7959	-2,2041
Пример 2.25. Решим задачу детерминированного анализа линейной нестационарной системы
О Z (О
dWO.
(2.457)
при подаче на вход сигналов
у, (t) = -33,8312Z7 + 7,8253/ -142,3602/’ - 9,9991/8 +109,1337/6 +.
+ 0,5186  10-2?3 -5,1499?° + 103,2184/“ -0,1150/12 +1,06151" +
+13,0203? - 4,1337/2 - 41,1046/3 - 2,8237;
уг (/) = 29,6088? - 2,7895/ + 33,6943/’ -15,1160/8 - 38,6432? +
+0.4639 10 3/13 -1,1465?° -18,2983/4 -0,013I/'2 + 0,1618?1 +
+ 5,1345? - 0,4283 -10“3 + 7,78 5 8/2 + 0,73 57/3
для начальных условий jq (0) = 9, х2(0) = -9 на временном интервале [0,3]с.
Графики входных сигналов изображены на рис. 2.106.
Рис, 2.106. Графики входных сигналов
Построим фазовые траектории системы (2.457) квадратурным методом решения векторно-матричных
интегральных уравнений на основе формулы трапеций, а также методом Рунге-Кутта 4-го порядка точно-
сти. Шаг интегрирования h в обоих случаях примем равным 0,01 с.
Глава 2. Нестационарные САУ 363
Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное уравнению (2.457), имеет вид
Х(0-}кх(/д)Х(т)Л = ₽(0,	(2.458)
о
где
F(/) = |ky(/,t)Y(t)dT + X0;
О
, , Гт21(/) о
1к’'(,л)-1 КО -(.)]
Результаты решения задачи детерминированного анализа системы (2.457) при ненулевых начальных
условиях отражены на рис. 2.107,2.108.
Рис. 2.107. Фазовые траектории системы (2.457):
1 — полученные методом квадратур (формула (2.441));
2 — полученные методом квадратур с использованием формул (2.443), (2.444)
Рис. 2.108. Фазовые траектории системы (2.457):
1 — полученные методом квадратур (формула (2.441));
2 — полученные методом Рунге-Кутта 4-го порядка с тем же шагом
Задача решалась также по формулам (2.443), (2.444). Графики полученных решений приводятся на
рис. 2.107.
Матрицы Ау, Ах и Ау имеют вид (приводятся вырезы матриц размерностью 8x8):
23’
364
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1.0C	00	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000 0,0000 0,0	000'
0,0000	1,0000	0,0000		0,0000	0,0000	0,0000 0,0000 0,0000	
0,0000 -0,0050 1,0000		-0,0050	0,0000	0,0000 0,0000 0,0000	
-0,0050 0,0000 -0,0050		1,0000	0,0000	0,0000 0,0000 0,0000	
0,0000 -0,0050 0,0000		-0,0099	1,0000	-0,0049 0,0000	0,0000	
-0,0050 0,0000 -0,0101		-0,0001	-0,0051	0,9999 0,0000 0,0000	
0,0000 -0,0050 0,0000		-0,0099	0,0000	-0,0098 1,0000 -0,0049	
-0,0050 0,0000 -0,0101		-0,0001	-0,0102	-0,0002 -0,0052 0,9999	
	’1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0050 1,0000	0,0000 0,0000 0,0050	0,0000 0,0000 0,0000	0,0000 0,0000 0,0000' 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	
A* -	0,0050 0,0000 0,0051	1,0001	0,0000	0,0000 0,0000 0,0000	
A =	0,0001 0,0050 0,0001 0,0050 0,0001 0,0101 0,0001 0,0050 0,0002 0,0050 0,0001 0,0101 '0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	0,0099 0,0002 0,0099 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000	1,0000 0,0051 0,0001 0,0102 0,0000 0,0000 0,0000	0,0049 0,0000 0,0000 1,0001 0,0000 0,0000 0,0098 1,0000 0,0049 0,0003 0,0052 1,0002 0,0000 0,0000 0,0000“ 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	
AY -	0,0050 0,0000 0,0050	0,0001	0,0000	0,0000 0,0000 0,0000	
A —	0,0000 0,0000 0,0000 0,0050 0,0000 0,0100 0,0000 0,0000 0,0000	0,0000 0,0001 0,0000	0,0000 0,0050 0,0000	0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	
	0,0050 0,0000 0,0100	0,0001	0,0100	0,0002 0,0050 0,0001_	
Пример 2.26. Рассмотрим пример решения задачи детерминированного анализа системы самонаведе-
ния зенитной ракеты (см. п. 2.1.4, пример 2.5) методом квадратур. Дифференциальное уравнение системы
при следующих исходных данных о движении ракеты и цели:
•	скорость ракеты Г(/) = 200(1+/) м/с;
•	скорость цели Кц (/) = 400 м/с;
•	изменение расстояния между ракетой и целью г(/) = 100(45-6/-/2);
•	константа навигации п-2
имеет вид
, . d*h(t) . .d2h(t)	. . d2h(t) . .dh(t) .. ..
'4	+(0—2г2+a2	+a> (0—T-2+а» (') A(0=
at	at	at	at
=b^^+b^^+b^^+b^^
(2.459)
где
aAt)=™ 2.
oU 3 (_45 + 6z + z2)2’
, ,	1 (-4095 - 7779/ +2155/2 + 10569/3 + 4630/4 + 500?)
a At) = — ----------7-----------г----x----------------
'	3	(-45 + 6/ + /2)(l + /) (3 + /)
, 4 1 (171 + 489T + 430/2 +100/3)	, , 2 (54 + 77/ + 20/2)
(3-,)(i-0'	 -(,)-з O-OC-O ; “•W-t
1 (171 + 489/ + 430/2 + 100/3)	i (171 + 489/ + 430/2+100/3)
U 3	W>)	3	(3+/)/(i+02
2(54 + 77/ + 20/2)
*,(/) = -Ц-----Гт--=
3 (3 + /)(l + /)	3V7
Глава 2. Нестационарные САУ 365
Запишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное (4.459):
*(') +	=	(2.460)
О
где
Л')=	(2.461)
О
Входное воздействие задано выражением
g(r) = 101-10.
Решим задачу детерминированного анализа системы самонаведения методом квадратур, используя для
представления (2.460) формулу трапеций и зависимости (2.431), определяющие в явной форме Л(г,) с
шагом Л = 0,1 с на интервале [0,4] с. Для сравнения проведем решение задачи методом Эйлера с шагом
Л = 0,001 с. Результаты решения отображены на рис. 2.109.
Решим задачу детерминированного анализа, используя матричные операторы. Для вычисления вектор-
столбца правой части fN системы линейных алгебраических уравнений (2.430), соответствующего инте-
гралу (2.461), воспользуемся формулой трапеций. Тогда (2.430) запишется так:
отсюда
где Ah = Av', или
'*,V - AcglV’
где Ac = AhA^ — матричный оператор системы.
Матричные операторы Ад,, Ад- и Ас для данной задачи имеют вид (приводятся вырезы матриц раз-
мерностью 5x5 ):
	1,6000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"
	0,6690	1,6051	0,0000	0,0000	0,0000
Ад, -	0,7182	1,3657	1,6094	0,0000	0,0000
	0,7459	1,4875	1,3888	1,6131	0,0000
	0,7507	1,5729	1,5301	1,4085	1,6162
	0,0500	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"
	0,1139	0,0500	0,0000	0,0000	0,0000
А* =	0,1847	0,2296	0,0500	0,0000	0,0000
	0,2608	0,3744	0,2310	0,0500	0,0000
	0,3405	0,5316	0,3786	0,2323	0,0500
	'0,0313	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"
	0,0580	0,0312	0,0000	0,0000	0,0000
Ас =	0,0516	0,1162	0,0311	0,0000	0,0000
	0,0493	0,1033	0,0311	0,0310	0,0000
	0,0479	0,0985	0,1033	0,1167	0,0309
График функции промаха представлен на рис. 2.110.
Решим теперь задачу детерминированного анализа системы самонаведения зенитной ракеты, исполь-
зуя сеточно-матричные операторы интегрирования и умножения на функции, рассчитанные по формулам
(2.445), (2.447). Структурная схема системы самонаведения приводится на рис. 2.25 (см. пример 2.7, п. 2.4).
Проведем структурные преобразования системы аналогично примеру 2.7. Матричный оператор замкнутой
системы определяется выражением
Ас = А9А2А, [l + AgA7A6AsA4A3A2A, ] '.
366
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.109. Промах системы самонаведения:
1 — построенный методом квадратур с шагом Л = 0,1;
2 — построенный методом Эйлера с шагом Л = 0,001
Рис. 2.110. Промах системы самонаведения:
1 — построенный методом квадратур в форме (2.430) с шагом Л = 0,1;
2 — построенный методом Эйлера с шагом Л = 0,001
Матричные операторы А,,...,А, для рассматриваемой задачи имеют вид (приводятся вырезы матриц
размерностью 5x5):
0,0500	0	0	0	0
0,0500	0,0500	0	0	0
0,0500	q,iooo	0,0500	0	0
0,0500	0,1000	0,1000	0,0500	0
0,0500	0,1000	0,1000	0,1000	0,0500
0,2222 0,0000
0,0000'
0,0000
0,0000
0,0000
0,2253
0,0000
0,0000
0,0000 0,0000
0,0000
0,0000
0,2285
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2320
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2356
•10’;
Глава 2. Нестационарные САУ
367
	' 2,8571		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’	
	-0,4082		2,8571	0,0000	0,0000	0,0000	
А3 =	-0,2915		-0,8163	2,8571	0,0000	0,0000	
	-0,2082		-0,5831»	-0,8163	2,8571	0,0000	
	-0,1487		-0,4165	-0,5831	-0,8163 2,8571		
		"600,00	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"	
		0,0000	620,00	0,0000	0,0000	0,0000	
а4	=	0,0000	0,0000	640,00	0,0000	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	660,00	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	680,00	
		0,3333	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’	
		0,2222	0,3333	0,0000	0,0000	0,0000	
а5	=	0,0741	0,4444	0,3333	0,0000	0,0000	
		0,0247	0,1481	0,4444	0,3333	0,0000	
		0,0082	0,0494	0,1481	0,4444	0,3333_	
		"0,0050	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"	
		0,0000	0,0045	0,0000	0,0000	0,0000	
Аб	=	0,0000	0,0000	0,0042	0,0000	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	0,0038	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0036	
		"0,0300	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’	
		0,0500	0,0500	0,0000	0,0000	0,0000	
а7	=	0,0500	0,1000	0,0500	0,0000	0,0000	I
		0,0500	0,1000	0,1000	0,0500	0,0000	
		0,0500	0,1000	0,1000	0,1000	0,0500,	
		’200,00	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000"	
		0,0000	220,00	0,0000	0,0000	0,0000	
As	=	0,0000	0,0000	240,00	0,0000	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	260,00	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	280,00	
		"4500,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’	
		0,0000	4439,0	0,0000	0,0000	0,0000	
А,		0,0000	0,0000	4376,0	0,0000	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	4311,0	0,0000	
		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	4244,0,	
Матричный оператор системы Ас определяется выражением
’0,0500	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’
0,0499	0,0500	0,0000	0,0000	0,0000
0,0496	0,0998	0,0500	0,0000	0,0000
0,0490	0,0991	0,0997	0,0500	0,0000
0,0482	0,0979	0,0991	0,0997	0,0500
Сравнивая его с Ас = AhA“, можно сделать вывод, что при реализации структурных преобразований
в вычислительной схеме имеет место накопление ошибок.
Г рафик функции промаха системы самонаведения изображен на рис. 2.111.
Выборочные дискретные значения функции промаха, полученные методом Эйлера с шагом Л = 0,001
и методом квадратур (Л = 0,1) с использованием всех описанных выше подходов, приводятся в табл. 2.14.
368
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 2.111. Промах системы самонаведения:
I — построенный методом сеточно-матричных операторов с шагом h = 0,1;
2 — построенный методом Эйлера с шагом h = 0,001
Таблица 2.14
Дискретные значения функции промаха
	Метод Эйлера	Метод квадратур		
		в форме (2.429)	в форме (2.430)	структурные преобразования
				
0,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,5	-3,6648	-3,6762	-3,6953	-3,6602
1,0	-4,3797	-4,3639	-4,3695	-4,3659
1,5	-2,1404	-2,1081	-2,1072	-2,1218
2,0	2,5053	2,5445	2,5492	2,5239
2,5	8,5009	8,5367	8,5436	8,5130
3,0	14,1920	14,2125	14,2204	14,1888
3,5	17,0929	17,0846	17,0918	17,0628
4,0	13,2297	КЗ, 1799	13,1840	13,1512
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
369
ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЭВМ
Наличие микропроцессора в контуре управления приводит к необходимости
квантования непрерывных сигналов по времени и по уровню, что переводит исход-
ную систему в класс непрерывно-дискретных систем, который требует новых ме-
тодов описания, исследования и проектирования. Эти методы в значительной мере
опираются на привычные для непрерывных систем понятия, но далеко не исчерпы-
ваются ими. Поэтому системы с ЭВМ в контуре управления выделяются в особый
класс цифровых систем автоматического управления.
Большой вклад в развитие систем управления с ЭВМ внесли: Я.З. Цыпкин,
Ю.С. Попков [145, 146], В.А. Бесекерский [15, 16], Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев
[68, 69, 79], А.С. Ющенко, В.А. Иванов [41], П.Д. Крутько [56], Гельфонд [31], Д.В. Пу-
занков [93, 94], Л.Т. Кузин [58], И.В. Прангишвили, Ю.А. Николаев, В.П. Петухов [90],
С.М. Федоров, А.П. Литвинов [139] и другие.
Если в качестве регулятора динамической системы используется микропроцессор,
то в описании системы присутствуют дифференциальные и разностные уравнения,
функциональные зависимости, отражающие преобразования сигналов из непрерыв-
ной формы в дискретную и обратно, а также алгебраические выражения связи между
звеньями. Это приводит к серьезным трудностям уже на этапе описания систем и
последующем решении задач управления.
В настоящее время используются два подхода к рассмотрению таких систем:
непрерывный и дискретный. В первом случае анализ и синтез проводится в непре-
рывной области, а полученные результаты синтеза подвергаются дискретизации
для использования ЭВМ. Таким образом, речь идет об аппроксимации непрерыв-
ных систем, и, следовательно, при этом заведомо сужаются потенциальные воз-
можности управления, так как в лучшем случае такой подход дает результаты не
хуже достигнутых при непрерывном управлении. При втором подходе система рас-
сматривается в дискретной области. Это предполагает замену дифференциальных
уравнений разностными.
Каждый из указанных подходов приводит к методическим погрешностям, так как
связан с заменой непрерывно-дискретной системы либо непрерывной, либо дискретной
моделью, каждая из которых, в той или иной степени, отличается от исходной. В ча-
стности, можно показать, что при переходе к разностным уравнениям могут проис-
ходить качественные изменения. Например, система из управляемой может стать
неуправляемой [81].
С другой стороны, даже ограничиваясь лишь разностными уравнениями, можно
заметить, что используемый формальный аппарат описания динамики существенно
усложняется при любой попытке расширить класс исследуемых систем. Простые
связи «вход-выход» на основе передаточных функций приходится заменять на суще-
ственно более сложные, в которых исчезают алгебраические правила, хорошо знако-
мые инженеру из теории стационарных непрерывных систем. В частности, это об-
стоятельство проявляется уже при попытках описать связи «вход-выход» простей-
ших преобразующих устройств, таких как ключ и экстраполятор, при любых предпо-
ложениях о математических моделях и способах их реализации.
Опыт анализа и синтеза непрерывных систем широко используется при проекти-
ровании микропроцессорных систем. Однако при этом приходится находить ответы
370 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
на целый ряд новых вопросов, таких как выбор требуемой разрядности, периода
квантования, рационального программирования алгоритма, соответствующего мас-
штабирования всех переменных и коэффициентов, преобразователей «аналог-код» и
«код-аналог».
Очевидная сложность процессов управления, обусловленных эффектами кванто-
вания, наличием непрерывных и дискретных элементов, приводит к качественно но-
вым явлениям в поведении систем, для глубокого исследования которых требуются
весьма тонкие методы анализа. Тем не менее ответы на многие из поставленных вы-
ше вопросов могут быть получены без привлечения сложных математических конст-
рукций качественной теории нелинейных систем, оставаясь в рамках привычных ин-
женеру понятий теории управления.
Данная глава посвящена описанию систем с ЭВМ в дискретной и дискретно-
непрерывной областях. Основное внимание уделяется механизму и эффектам, свя-
занным с квантованием непрерывных сигналов, а также проблемам описания систем
с непрерывными линейными динамическими объектами.
Хорошо известны и повсеместно используются понятия передаточных функций
стационарных линейных систем (непрерывных Ж(л) и дискретных W(z)).
Своей популярностью передаточные функции обязаны простому и удобному со-
отношению, связывающему вход и выход системы. При этом процедура, характери-
зующая действие линейного оператора, сводится к простой операции умножения
двух комплексных выражений. Обсуждается взаимосвязь понятий пространства со-
стояний и передаточной функции систем. Отдельно обсуждаются вопросы построе-
ния соотношений «вход-выход» для нестационарных систем.
Используя интегральные преобразования импульсных переходных (весовых) функ-
ций (одномерные и двухмерные), удается определить передаточные функции и с их
помощью установить соотношения «вход-выход» для линейных нестационарных сис-
тем: непрерывных, дискретных, дискретно-непрерывных и непрерывно-дискретных.
Полученные выражения по форме и по существу являются одинаковыми для разных
типов линейных звеньев, что обеспечивает общность описания в переменных «вход-
выход» для основных классов линейных систем.
3.1.	ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЭВМ
3.1.1.	Система управления вибрационными испытаниями
Система вибрационных испытаний (СВИ) предназначена для управления и про-
ведения испытаний изделий машино- и приборостроения на различные типы виб-
рационных нагрузок — гармонических, полигармонических и случайных. Испыта-
ния проводятся на вибрационном стенде — электродинамическом или электрогид-
равлическом.
Схема испытаний — следующая. Изделие устанавливается и закрепляется на
платформе стенда. На вибрационный стенд через электронный усилитель мощности
подается сигнал, приводящий платформу в движение, в результате чего изделие под-
вергается вибрационным нагрузкам.
Вибрационный стенд с испытываемым изделием представляет собой динамиче-
ское звено, обладающее своими характеристиками (математическая модель подобной
системы описывается нелинейными дифференциальными уравнениями высокого
порядка). Поэтому для получения желаемых вибрационных нагрузок необходимо
корректировать динамические характеристики стенда. То есть СВИ должна содер-
жать управляющее устройство, с помощью которого формируются воздействия на
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 371
вибрационный стенд такие, что на испытываемом изделии нагрузки мало отличаются
от требуемых.
Важной проблемой, с которой приходится сталкиваться при испытаниях, обеспе-
чивающих имитацию реальных условий эксплуатации изделий, является формирова-
ние случайных испытательных сигналов с заданными вероятностными характеристи-
ками. Например, при транспортировании изделий вид действующих на них нагрузок
определяется типом транспортного средства, скоростью его движения, видом дорож-
ного покрытия (для автомобильного транспорта) и рядом других факторов. Таким
образом, вибрационные нагрузки являются случайными и для каждого случая имеют
свои вероятностные характеристики. Для решения указанных проблем в контур
управления вводится ЭВМ.
Функциональная схема системы вибрационных испытаний приведена на рис. 3.1.
Рис. ЗЛ.-Функциональная схема системы управления
вибрационными испытаниями с ЭВМ
Алгоритмическое и программное обеспечение имеет модульную структуру. В од-
ном модуле реализуются алгоритмы управления вибрационным стендом. Другой
модуль выполняет функции генератора испытательных сигналов и измерителя ста-
тистических характеристик сигналов. Третий модуль осуществляет общую коорди-
нацию функционирования как элементов системы, так и программного обеспече-
ния, осуществляет накопление экспериментальных данных с целью их последую-
щей обработки.
Оператор через терминал может вводить параметры необходимого режима испы-
таний, информацию о котором получает из базы данных. База данных содержит све-
дения о математических моделях функций вибрационных нагружений в удобной для
оператора форме. Функции вибрационных нагружений несут всю необходимую ин-
формацию для имитации вибрационных нагружений в конкретных задачах. Так, для
имитации транспортных вибраций функции вибрационных нагружений строятся в
зависимости от указанных выше факторов (дорожного покрытия, скорости движения
автомобиля, его марки, степени загрузки).
Взаимодействие ЭВМ с вибрационной установкой осуществляется через цифро-
аналоговый преобразователь (ЦАП). Поскольку выходной сигнал с ЦАП представля-
ет собой процесс, «богатый» высокочастотными гармоническими составляющими, то
он перед подачей на усилитель мощности предварительно поступает на фильтр низ-
ких частот (ФНЧ).
Информация о состоянии объекта испытаний снимается с датчика виброускоре-
ний (акселерометра) (Д) и поступает в ЭВМ через аналого-цифровой преобразователь
(АЦП). Синхронизацию работы ЭВМ АЦП и ЦАП обеспечивает таймер.
Достоинства такой цифровой системы — в возможности изменять по желанию
пользователя программное обеспечение и реализовывать новые дополнительные
функции для всей системы.
372 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
3.1.2.	Бесплатформенная инерциальная система управления
ОРИЕНТАЦИЕЙ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА
Система предназначена для пространственной ориентации подвижного объекта из
произвольного положения в желаемое в соответствии с заданной программер. Струк-
турная схема системы показана на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Структурная схема бесплатформенной инерциальной системы управления
ориентацией подвижного объекта
Работа системы заключается в следующем. Под действием маршевых двигателей
объект движется в пространстве в общем случае по произвольной пространственной
траектории. Изменение направления движения объекта в пространстве определяется
положением его рулей, которые приводятся в действие рулевым приводом. Измене-
ние положения рулей объекта приводит к изменению пространственной траектории
движения объекта. В качестве датчиков текущего состояния объекта используются
лазерные датчики угловых скоростей (ЛДУС). Это связано с тем, что в настоящее
время нет простых и сравнительно недорогих датчиков углового положения подвиж-
ных объектов, которые измеряли бы углы в диапазоне ±360° в трех плоскостях. По-
этому для подвижных объектов, имеющих произвольную пространственную эволю-
цию, применяют датчики угловых скоростей. Для вычисления текущих значений уг-
лов по известным значениям угловых скоростей необходимо интегрировать кинема-
тические уравнения. Данную задачу с необходимой точностью можно выполнить
только с использованием ЭВМ. Этим объясняется ее введение в контур управления.
3.2.	ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЭВМ
Обобщенная функциональная схема системы с ЭВМ в контуре управления изо-
бражена на рис. 3.3.
Непрерывный выходной сигнал хв (г) объекта управления с помощью аналого-
цифрового преобразователя (АЦП) дискретизуется в моменты времени tk (преобра-
зуется в цифровую форму) и обрабатывается в соответствии с алгоритмом управления.
Управляющая цифровая последовательность U(/„) преобразуется цифро-аналоговым
преобразователем (ЦАП) в аналоговое входное воздействие U(f) объекта управления.
Функциональная схема позволяет выделить ряд особенностей системы управле-
ния с ЭВМ. Во-первых, информация о поведении объекта поступает на ЭВМ лишь в
дискретные моменты времени. Поэтому между моментами дискретизации система
управления является разомкнутой. Замыкание обратной связью происходит лишь в
моменты времени tn. Во-вторых, для ЭВМ характерна последовательность выполне-
ния операций обработки информации, и, как следствие, в системе управления с ЭВМ
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 373
существует временное запаздывание т между моментом выборки выходной инфор-
мации от объекта Хв ) и формированием управляющей последовательности
U (/„ + т). В-третьих, управляющее воздействие U (7) на объект определяется не
только алгоритмом управления, но зависит и от схемы функционирования ЦАП.
Рис. 3.3. Функциональная схема САУ с ЭВМ
Непрерывная система управления лишена этих недостатков. Система управле-
ния является постоянно замкнутой, в формировании управляющего воздействия
нет временных задержек, отсутствуют дополнительные устройства аналогово-
цифрового и цифро-аналогового преобразования. Таким образом, система управле-
ния с ЭВМ не может обеспечить качество функционирования замкнутой системы
лучше, чем непрерывная.
Однако алгоритм цифрового управления по сравнению с аналоговой реализацией
обладает рядом преимуществ: высокая точность реализации нелинейных алгоритмов
управления; помехозащищенность цифровых каналов связи выше, чем у аналоговых;
наличие ЭВМ позволяет легко комбинировать различные алгоритмы управления, про-
водить модернизацию системы управления путем замены алгоритма управления без
изменения аппаратной части; использовать ЭВМ для решения других задач, например
диагностики функционирования объекта управления. Кроме того, современное разви-
тие цифровой техники идет по пути увеличения быстродействия процессоров и объ-
ема оперативной памяти, возможности же использования параллельных вычислений
обеспечивают способность функционирования систем управления с ЭВМ в реальном
масштабе времени. Режим реального времени означает, что временная задержка т
пренебрежимо мала по сравнению с интервалом дискретизации Тп = /п+1 -tn.
К системам управления с ЭВМ предъявляются следующие требования: осуществ-
ление вычислений с точностью, позволяющей системе выполнять свои функции; воз-
можность производить обработку входной информации в темпе работы системы и др.
3.3.	КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Математическое описание систем управления с ЭВМ невозможно без понимания
механизма дискретизации непрерывных сигналов и восстановления аналоговых сиг-
налов по их цифровой последовательности.
3.3.1.	Математическое описание процесса квантования
НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Квантованием называется замена непрерывного по времени сигнала последова-
тельностью чисел, представляющих значения этого сигнала в определенные значе-
ния времени, или последовательностью импульсов.
374
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Пусть Z = {...,-1, 0, 1,...} — множество целых чисел; множество : к е Z} с R
— подмножество действительных чисел (R ) (моментов квантования); f (?) — не-
прерывный сигнал.
Тогда дискретный вариант сигнала /(?) —последовательность {/(rt):4t€Z}.
Таким образом, квантование —линейная операция.
Квантование называется периодическим, если моменты квантования отделены
друг от друга равными промежутками времени, т.е. tn = пТ, где Т — период кван-
тования (fs= l/Т [Гц] — частота квантования').
Квантование называется многочастотным, если в различных контурах системы
используются разные периоды квантования.
Таким образом, операцию квантования можно рассматривать как преобразование
непрерывного во времени сигнала в модулированный импульсный или цифровой.
Наиболее распространенным видом модуляции в процессе выборки и хранения
информации является амплитудно-импульсная модуляция (АИМ).
Выше указывалось на линейность операции квантования. С другой стороны, опе-
рация модуляции приводит к замене исходного непрерывного сигнала последова-
тельностью импульсов. Интуитивно понятно, что такая замена может привести к ка-
чественному изменению исходной информации, содержащейся в аналоговом сигнале.
Возникает вопрос о том, что следует понимать под линейностью операции кван-
тования и с какими побочными эффектами мы можем столкнуться. Чтобы ответить
на этот вопрос, целесообразно рассмотреть изменение спектра исходного сигнала
после квантования, используя для этого преобразование Фурье. В пользу последнего
указывает периодичность модулирующего сигнала и, как следствие, возможность его
представления рядом Фурье. Не снижая общности результата, будем считать несущий
сигнал последовательностью прямоугольных единичных импульсов (рис. 3.4).
/0) г-1Д(/)/;(0=/(0р0)
----► АИМ -----►
p(t) — несущий сигнал
ло /до
й(т)
Схема квантователя
с постоянным h и конечным
временем выборки
Опишем несущий сигнал в виде
p(t) = Ё {ф-лТ)-1(г-иТ-т)}, т<Л,
п =-00
(3.1)
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 375
, . [о, ко
где 1(f) = (	—единичная ступенчатая функция.
(1, t > О
При этом предполагается, что квантование начинается при г = -оо и передний
фронт импульса совпадает с t = 0. При Этом выход квантователя описывается в виде
p(t) = i {l(f-^)-l(f-«r-T)}, х<Т,	(3.2)
И=-со
а несущий сигнал p(f) представим рядом Фурье
Н') =	(3.3)
п=-<х>
1 Т
с частотой квантования =2л/Г и коэффициентами ряда сп =—
Т о
Следовательно,
/t‘(f) = /(f)p(f)= ЕСЛО^“<	(3.4)
И=-оо
Заметим, что p(f) = l, 0<t<p, и, следовательно,
на>Л.т
2
Ю,.Т
2~~
Фурье-преобразование fx (f) имеет вид
F' (я=г{/т* (/)} = ] /; (f)?“'^r.	(з.б)
т Sin
_____
т
-1г •
Си т Jfi
о
,-/««>? - 1 е _ 2.. £_____________________е е
Т 2jnex> —
J s 2

Используя теорему о смещении Фурье-преобразования в области комплексной
переменной F (f) e7"“’' | = F (jco - jnms), получаем
Fx (>) = F j E Cnf(t} eJ™S' | = Ё CnFUa~ Jn(S)s )’	(3-7)
O0	J n=-oo
которое заменой порядка суммирования можно записать как
ОО
F* (>) = Е C«F(> + jnas).	(3.8)
«=-00
Из (3.5) определим коэффициенты ряда при п -> 0: с0 = lim с„ = т/Г, и, следова-
л->0
тельно, если в ряде (3.8) учесть только член, соответствующий п = 0, получим
F' = coF0“) = у ^(у<о).
Таким образом, гармоники, содержащиеся в спектре непрерывного сигнала f (f),
содержатся и в выходном сигнале квантователя f* (t), однако их амплитуды от-
личаются в х/Т раз.
При п Ф 0 сп — комплексная величина, для которой справедливо
т sin(na)yT/2)
Т пщхх/2
(3-9)
376
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
и, следовательно,
оо	СО
х cnFUa+Jn®s) s icJk(7m+7«“v)i-
П=—оо	п=-<х>
(3.10)
Соотношение (3.10) может быть использовано для иллюстрации амплитудного
спектра F* (у со).
Рассмотрим два случая:
1) удвоенная высшая частота (2сос) исходного непрерывного сигнала /(/) не
превышает частоты дискретизации (2сос <со,);
2) 2а>с > со,.
При 2сос < со5 (рис. 3.5, б) спектр (усо)| в основной полосе частот мало похож
на спектр исходного сигнала.
Явление перекрытия высокочастотных составляющих основной составляющей
частотного спектра называется наложением или эффектом поглощения частот.
Требование, чтобы со, была по крайней мере в два раза больше высшей частотной
составляющей сигнала f(t), известно как теорема Котельникова-Шеннона, а час-
тоту &N = со,/2 называют граничной или частотой Найквиста. Теорема и физиче-
ский смысл эффекта поглощения частот будут рассмотрены ниже.
Рис. 3.5. Спектры входного и выходного сигнала для квантователя
с конечной шириной импульса [81]
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 377
Преобразование Фурье сигнала f*(t) [f* (уго)) (3.8) получено для иллюстрации
процесса квантования в частотной области, однако выражения для F* (усо) неудобны
для аналитического исследования, так к^к представлены бесконечными рядами.
Другое описание модулированного сигнала fx (?) в области изображений можно
получить, используя теорему о свертке в преобразовании Лапласа. Преобразование
Лапласа для f* (?) имеет вид
F* СО = L{А’ (0} = ^{/(0-Р^} = F(S)*P(.S)’
где « * » означает операцию свертки в комплексной области.
Так как
ОО I -ТЛ
п=0	5
ТО
^*С0 = 7~ J F(x)P(s-x)dx.	(3.11)
J c-ja
Переходя к контурным интегралам и используя теорему о вычетах, получаем:
р
- jnti)..—
г 1 F(s +jn<ns),
(3.12)
jn<av~ -jn<a —
» xeJ "2_e	'2 .
F, W= L 7----------------—e
n=-x 	2 jna>s —
что эквивалентно (3.5) с учетом (3.4) с точностью до замены s на усо и тем, что
суммирование ведется на промежутке от 0 до оо.
Частные случаи:
1. Пусть F(s} имеет к простых полюсов. Тогда изображение по Лапласу выходно-
го сигнала квантователя можно вычислить по формуле
1 _

^(0 (s-X,
ds
где Х„ —и-й полюс F(s), F(s) = В^/А^з).
2. Пусть F(s') имеет к полюсов кратности тк >1. Тогда справедливо соотношение
У1--' 1-е-
где

3.3.2. Идеальный квантователь
Очевидно, что в силу данного выше определения дискретный сигнал может быть
получен из непрерывного путем его модуляции импульсами с бесконечно малой шириной
(т —> 0 ). Устройство, обеспечивающее модуляцию с бесконечно малой шириной им-
пульсов, называется идеальным квантователем.
378 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
На практике обеспечить нулевую ширину импульсов невозможно. Однако если
О < т Т, то конечностью ширины импульсов можно пренебречь (рис. 3.6).
Для описания идеального квантователя вновь рассмотрим преобразование Лапласа
(3.11) для квантователя с конечной шириной импульса
e~nTs
п=0
Если т мало, то
1-Т5 +
Т5,
и, следовательно, F* (i) = x^f(kT}e~nTs, что соответствует оригиналу
/1=0
t=o
где 5(f) — единичная импульсная функция.
Таким образом, квантователь с конечной шириной импульсов может быть пред-
ставлен импульсным модулятором с несущим сигналом
\	5r(f)=f 5(f-nT)
n=0
или идеальном квантователем, выход которого соединен с усилителем (аттенюато-
ром) с коэффициентом ослабления х (рис. 3.7).
/(О	Л’(')	/(0	----|Л’(0
—t——-------------- ----------"У-------- т --------►
Т	т
идеальный квантователь
Ри«. 3.7. Эквивалентные схемы квантователя с конечной шириной импульса [60]
Заметим, что аттенюатор необходим только в случае, если не применяется уст-
ройство фиксации.
Выходной сигнал идеального квантователя можно записать в виде
Л0 = Ё/(«ЭД'-^) = Л')М')>	(3.13)
«=о
т.е. он представляет собой последовательность импульсов бесконечно малой шири-
ны, амплитуда которых равна значению f (f) в моменты времени tn.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 379
3.3.3. Дискретное преобразование Лапласа, Z-преобразование
и их СВОЙСТВА
Основные положения. Подобно тому как при исследовании и проектировании не-
прерывных систем управления широко применяется преобразование Лапласа, так и при
решении аналогичных задач для дискретных систем используется дискретное преобра-
зование Лапласа (/^-преобразование) и связанное с ним /-преобразование [60, 69, 145].
Дискретное преобразование Лапласа определяется следующей зависимостью:
F*(s)=Yf(nT)e-snT,	(3.14)
п=0
здесь F (я) — изображение, порожденное оригиналом /(«Г) — решетчатой функци-
ей; s = c + ja — комплексная переменная; Т — период дискретизации сигнала.
Если ввести новую переменную q = sT, то можно записать D-преобразование для
решетчатой функции /(л) с любым периодом дискретизации
F*(s)=Z/We'</"-	о-15)
и=0
Сокращенно дискретное преобразование Лапласа обозначается F* (</) = D{/(«)} •
Символ «*» у изображения обозначает, что это изображение находится для решетча-
той функции.
Дискретные преобразования (3.14) или (3.15) легко получаются из изображения
Лапласа для функции, представляющей собой выход простейшего импульсного эле-
мента (квантователя):
п=0
Действительно,
(0} =	= JE - nT)e-s‘dt =
о	о "=°
= Ё f^T)]8(t-nT)e-s,dt = ^f(nT)e~snT.
л=0 о	л=0
Если ввести новую переменную z = еч, то формулу (3.15) можно записать в виде
(з.1б)
и=0
Последняя формула определяет /-преобразование: F (z) = /{/(«)}. Существен-
ной разницы между D- и /-преобразованиями нет. Задавая z = еч, можно перейти от
D-преобразования к /-преобразованию. И, наоборот, заменяя q по формуле q = Zn(z),
можно перейти от /-преобразования к D-преобразованию.
Обратное дискретное преобразование Лапласа позволяет по известному изобра-
жению F (<?) найти оригинал /(и):
/(и) = D-’{F’(<?)}.
D-I-npeo6pa3OBaHHe определяется формулой
. , с+уя
= J F'№ndq-	(3.17)
J с-/к
380 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Выполняя замену z — еч, из формулы (3.17) можно получить формулу для обрат-
ного Z-преобразования f (п) = /“'	(z)| :
/(„) = -^-j>‘(z)z',-1<fe.	.	(3.18)
Интегрирование в формуле (3.18) проводится по окружности С радиуса ехр(с) в
положительном направлении, причем с (это касается и формулы (3.17)) должно быть
больше величины 5С = lim ^|/(и)| — абсциссы абсолютной сходимости.
Попутно отметим, что область сходимости ряда (3.15) — это полуплоскость в
комплексной плоскости q справа от прямой Re<? = 3c.
Для того, чтобы решетчатая функция /(«) была оригиналом, необходимо, чтобы
выполнялись следующие условия:
1) /(и) = 0 при и<0;
2) |/(п)| < Ме&°п при п>0,
где М > 0, 80 > 0 — постоянные величины, причем 80 > 8С.
Причиной, по которой интегрирование в формуле (3.17) выполняется в полуполо-
се (с- jit,c + jit\, является то, что изображение F* (</) есть периодическая функция
вдоль мнимой оси комплексной плоскости q с периодом 2л. Действительно,
F*(q + 2тук) = ^f(n)e^4+2^n =^f(n)e~4n =F"(q), к =...- 2, -1,0,1,2,....
n=0	п=0
Поэтому свойства изображения F (<?), определенного в полуполосе (с- jit, с + ул],
распространяются на всю полуплоскость, в которой ряд (3.15) сходится.
Вычисление прямых и обратных D- и /-преобразований. Прямые D- и /-пре-
образования вычисляются с использованием формул (3.15) и (3.16). Для достаточно
широко распространенных, но простых формул, таких как
/(и) = 1[и]; /(и) = е“”; /(и) = coscon; /(n) = sincon,
для вычисления преобразований можно использовать формулу суммы членов гео-
метрической прогрессии. Поясним это на примере.
Пример 3.1. Заданы решетчатые функции /(и) = 1[и] и f(n) = ean. Определить D-и/-преобразова-
ния для указанных функций.
оо	оо	1 ^~Чп
п-0	и=0	1 - е
1 еч
l-е'’ е’-1
Поскольку с = е’, то F’ =
00	со	. ~(q~a)n
2.	=т£ч^)
л=0	л=0
1 е’ е’
1-Л-’ е“-еа е4-d
Учитывая, что г = е’, имеем /72*(-) = —~, гДе d = ea\ zl=ea.
D- и /-изображения для наиболее часто употребляемых в теории управления ре-
шетчатых функций достаточно просто находятся на основе использования свойств
соответствующих преобразований. Процедура нахождения прямых D- и /-преобразо-
ваний (изображений) для решетчатых функций является более простой задачей, чем
нахождение оригинала по известному изображению.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
381
Отметим также, что если решетчатая функция не является иррациональной, то D-
и Z-изображения будут представлять собой дробно-рациональные функции
F (z) = B(z)/A(z). Эту особенность структуры изображений используют для нахо-
ждения оригиналов.	в
Вернемся к формуле (3.18). Учитывая, что функция F (z)z”-1 является аналити-
ческой вне окружности С и на самой окружности, указанный интеграл можно вы-
числить, используя теорию вычетов. Согласно этой теории
/(«)=ZResF*(z)z”-1 ’
(3.19)
где z=Zj — полюс (особая точка) функции F* (z)zn~l, лежащий внутри окружности С;
I — количество различных полюсов (корней знаменателя A(z)).
Если полюс является простым (имеет кратность kt = 1), то он вычисляется по
формуле
Res/*"* (z)z"-1|	= lim ^F*(z)(z-z1)z"-1 J;	(3.20)
если же полюс является кратным, то пользуются соотношением
Res7?*(z)z”-1|	= -—У-lim — rFF*(z)(z-z.)*' z"-1l.	(3.21)
Таким образом, общая формула для вычисления оригинала по известному изо-
бражению принимает вид
/	1	г	»	-1
/(") = У/ lim f' (z)(z - z,)‘ z"-11.	(3.22)
Если известно О-изображение F* (<?), то формула обращения записывается так:
/(л)= У7—"Т 1*т —~—ГТ F* (я)(еЧ ~e<h )	•	(3.23)
Пример 3.2. Найти оригинал, изображение которого имеет вид F* (:) =	,
Полюса изображения Г*(с) являются корнями полинома -2+Зс + 1: r,=-l. z2=-2. Кратность по-
люсов равна 1. Поэтому для вычисления вычетов можно использовать формулу (3.20). Имеем
ResF^-'X,^
(--+3)
(-- + 1)(.- + 2)

ResF’(z)?-,|	= lim 7-^7^ Jr+ 2)с”4 = -1(-2)"’’.
V > U, г->-2[(; + 1)(; + 2)к	’ J V ’
Согласно формуле (3.20), получим
/(п) = 2.(-1Г’-(2)”-'.
Пример 3.3. Найти оригинал, соответствующий изображению F* (с) =--—-
(с-е-)
Изображение имеет один полюс г, = е~а кратности kt = 2. Поэтому для вычисления вычета использу-
ем формулу (3.21)
ResF’(z)r"'|
= lim — :"= lim
382 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Свойства D- и Z-преобразований. Приведем важнейшие свойства D- и Z-пре-
образований и покажем, как находятся изображения для некоторых решетчатых
функций и как находятся решетчатые функции и выполняются операции над ними
при известных изображениях. Изложение проведем применительно к D-преобразо-
ванию, одновременно обобщая его для Z-преобразования.	*
1.	Линейность D- и Z-изображения
Если решетчатые функции	являются оригиналами и име-
ют соответственно изображения (g),F2 (g),...,.ff(g), то
[<=1	J Z=1
где с, — произвольные константы.
Данное положение справедливо и для /-преобразования:
zkc’f>(n) -=Хс^*(4
I (=1	(=1
Это свойство можно использовать для нахождения изображений некоторых функций.
Пример 3.4. Определить изображение функций ft (и) = cos<o«; /2 (”) = sin соя.
Используя теорему Эйлера, имеем
coscon =	и sm<an = —	е->",
2	2	2j 2J
следовательно,
D{ cos сои! =	+-e-Ja"
1	1	1.2	2
Аналогично
1 eq 1 еч _ е2’-е* Cosco
2е’-е> + 2е»-е-> “ е2’-2г’cos со+ 1'
Dfsinto/i}
1	1 I2j 2j
sin со
е2’-2e?cosco + l
Соответственно
Z {cos сои}
с2-cosco с
г2 - 2coscoc + l’
Z {sin сои}
sinco-c
с2 -2coscoc + l
2.	Смещение в области оригиналов
Если решетчатая функция /[и] является оригиналом и ей соответствует изо-
бражение F* (д), то справедливы соотношения
D{f(n-k)} = e-4kF\q),k = \,2,....
Покажем справедливость первого положения. Действительно,
Я{Л«+*)} = £f(n+k)e~4n =	=e^f(n)e^ =
л=0	l=k	l=k
»	fc-1	'I	f	k-X	'j
=Z 7('K’Z - Z=e<? 1F'	•
./=0	/=0	j	1	/=0	j
Применительно к /-преобразованию последнее свойство будет выглядеть сле-
дующим образом:
Z{f(n + k)} = zkF,(z)-Yzk-‘f(iy
1=0
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 383
Если начальные значения решетчатой функции / (и), /2 (п),..., / (Л -1) являются
нулевыми, то
Z{f(n + k)] = zkF*(z).
Покажем справедливость второго положения.
Функция /(и + Л) = 0 при п > 0 и п < к в силу свойств оригиналов, поэтому
D{f(n - *)} = Z /(« - ^~ЧП = £/(«-	= e-okYf{l)e^ = e^F* (q).
п=0	п=к	1=0
Соответственно
Z{f(n-k)} = z~kF\z).
Данное свойство, в частности, используется для решения разностных уравнений.
3.	Смещение в области изображений
Если решетчатая функция f(n] является оригиналом и ей соответствует изо-
бражение F* (q), то
D^f^Fyq-ci).
Действительно,
Г* (9 - а) = X /(«)^“)Л = £ (е“п/(и))е-?и = о{саи/(«)}.
и=0	и=0
Пример 3.5. Найти D- и Z-изображения для функции f (п) = е~а" cosan.
Согласно данному свойству,
n( _а„	)	е2^+а)-cos®-е’+а e2?-(e-acoso)e«
I	) e2<*+a>-2cos®-e’+a+l г2’ ~[2е~а cos®)e’ +е '2а
Соответственно
< -пп	1 ?-(c,cosra)c
Z\e cos ши =-5—— -----2—-г, где ^=6 .
1	’ z -(2с, coscojc + c,
4. Изображение конечных разностей
Если решетчатая функция f(n) является оригиналом и F*(q) — ее изображе-
ние, то первая разность Af(n) также является оригиналом и
D{ V(«)} = {е“ - 1)Г‘(q) -е’/(0).	(3.24)
Действительно,
/){Д/(и)} = D{f(n +1)-/(и)} = D{/(« + l)}-D{f(n)} =
= еч{Е‘(q)-/(0)}-F*(q) = (еч -1)F*(q)-eqf(0).
Данное свойство для Z-преобразования будет выглядеть следующим образом:
Z{A/(h)} =(z-l)F*(z)-z/(°).
' Для конечных разностей Л-го порядка имеем
п{д7(и)} = (е« -1)А F'^-e^e4 -l)*’’’' Д'/(0);
1=0
Z { а7(«)}=(^ -1/	(z) - ZE(Z - О4-1-' д7(о).
1=0
В случае если /[/] = 0, 7 = 0,Л-1, последние формулы упрощаются:
384
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
z{a7(«)}=(z-i)7’(4
Пример 3.6. Найти изображение решетчатой функции f(n) = п.
Так как Д/(и) = (л + 1)-и = 1[и], а изображение единичной функции О{1[и]} = -^—р из формулы
(3.24) следует
или
о{д/(»)} | еу(0)
’	е’-1 е’-Г
Р{1["]} , е*0 е"
е'-Х 7-1
Соответственно Z {«} = —-—
5. Изображение суммы решетчатых функций
Если решетчатая функция f(n) является оригиналом и ей соответствует изо-
бражение F* (q), то справедливо
[/=о J е -1
Справедливость данного положения доказывается следующим-образом. Поскольку
д(ёло|=/(«)-
м=о J
ТО
(А
D A £/(/) = Я{/(н)},
или
l/=o J
откуда следует
is uj p-i)
Если решетчатая функция подвергается /и-кратному суммированию, то справедливо
Для Z-преобразования суммы решетчатых функций справедливо
т
,т
Л-1
Z Z Z £/('.) =
/„=0/„.=0 /,=0
^>т
/,=0

385
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
Пример 3.7. Найти изображение решетчатой функции f (п) = п2.
Двукратное суммирование единичной функции дает
/ =0i=0	2	2
т.е.
"2=2ZZ’(*)+«•
/=04=0
Применяя к обеим частям данного равенства D-преобразование и учитывая рассмотренное свойство,
получаем
еч
d{h2} = D 2££1(А) + и
I /=о*=о
= 2^и
е* е^ + е4
	“7Т п"-
Соответственно
?+.-
 ’
Используя рассмотренный прием, можно получать изображения степенной решетчатой функции
/(и) = и* в виде
где Rk (с) — полином, вычисляемый через определитель
1-с
О
... о
«4 (-') = *!
2!
3!
_1_
2!
1-с
... о
... о
1
1
(/:-!)!
1
(*-2)!
6.	Теорема о свертке
Свертка решетчатых функций f} (и)
/=0
и f2(n) определяется зависимостью
или
1=0
Теорема о свертке формулируется следующим образом: если решетчатые функ-
ции fi(n) и f2(n)являются оригиналами и им соответствуют изображения Fx (<?)
u F2 (q), то свертка также является оригиналом и справедливо соотношение
D\tfAn-l)f2{l)\ = F^q)F^q\
1/=о
Доказать справедливость данного положения можно следующим образом. Сверт-
ка является конечным рядом. Перейдем от свертки к бесконечному ряду
00	QD
путем добавления суммы	имеющей нулевое
1=0	1=п+\
значение. Это связано с тем, что функция /(и) является оригиналом и, следова-
тельно, /(«-/) = 0 при 1>п + \. Таким образом,
26 Зак. 14
386
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
(3-25)
/=0	1=0
Применим к (3.25) D-преобразование. Учитывая свойство 2 (смещение в области
оригиналов), получим	t
Л	1	0°	1
./=о
l/=0	J
=ZX (?)е’9'/2 (О=К (?)£/2	=F* (^)f2 (ч\
1=0	1=0
Теорема доказана.
Z-преобразование свертки двух решетчатых функций определяется формулой
п
./=о
е2’
Пример 3.8. Найти оригинал, соответствующий изображению у----г?—
Данное изображение можно представить в виде произведения двух изображений Е (?) =
-----Г и
^2 ('?)=/—е -"г соответствующих оригиналам /(«) = ](«) и /2(п) = е
е’-е“
Тогда, согласно теореме о свертке,
W /W = £>“'
1=0
Функцию f (п) можно найти, используя формулу суммы членов геометрической прогрессии. Имеем
Таким образом,
7.	Конечное значение решетчатой функции
Если решетчатая функция f (л) является оригиналом и ей соответствует изо-
бражение F* (q) и если функция (е4 -	не имеет полюсов в правой полуплос-
кости и на мнимой оси, то справедливо
lim f(n) = lim(e?
Согласно свойству 4,	»
Z>{A/(n)} = ^Д/(л)е’9” =(e9 -1)у‘(7)-е?/(0),
n=0
и эта функция является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси,
следовательно, существует
lim(e‘'-l)F‘(t/)-eV(0) = XV(«)-/(0).
387
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
Раскрывая первую разность в правой части последней формулы, имеем
(«) = Ё( Л" + 0 “ /("))= lim Л л) ~ Л0)-
л=0	п=0
Из двух последних выражений следует
lim/(n)= lim(e‘z-l)7?*(<j').
И—><»	И-Х» '	'
Для /-преобразования справедливо
л-*оо	5—>1
Кроме того, функция (z-1)F* (z) не должна иметь полюсов на окружности еди-
ничного радиуса |z| = 1 и вне ее на z-плоскости.
Пример 3.9. Найти конечное значение решетчатой функции, изображение которой имеет вид
„.,л_	0,05г
Полюсами функции (c-l)F*(c) являются значения г,2 =0,4±у0,3, их модуль |г12| = 0,5, т.е. они
лежат внутри единичной окружности. Следовательно, получаем
lim /(и) = lim------------------ = 1.
8.	Дифференцирование изображений
Если решетчатая функция f Qi) является оригиналом и ей соответствует изо-
бражение F*(q), то справедлива зависимость

J n=0 a4	n=0
Действительно,
d^~
dtf dq <л=о
Операция дифференцирования рядов не всегда является правомерной. Почленное
дифференцирование ряда возможно, если ряд, составленный из производных, схо-
дится равномерно [112]. Рассмотрим абсциссу абсолютной сходимости ряда
Ё(-«)Л«№”:
п=0
8С = In lim ^|-n/(n)| = In lim ^|-n||/(«)| = In lim	= In lim ^/(n)|.
Абсциссы абсолютной сходимости исходного ряда и ряда после дифференциро-
GO
вания совпадают, поэтому ряд £(-и)f (п)е~чп сходится равномерно в области
п=0
Re<?>8c. В соответствии с этим операция дифференцирования для исходного рав-
номерно сходящегося ряда является правомерной.
Для /-преобразования данное свойство будет выглядеть следующим образом:
dF*(z) ,	,
z—^ = /{-«/(«)}.
Пример 3.10. Найти с использованием данного свойства Z-изображение функции f (п) = «cos tan.
Имеем
Z{ncos сои] = (-;)Z{cos con] = (-;)——COsm~—
1	‘ v ' 1	1 v 'ck\:2-2coscor + l
-cosmr3 +2:2-costa:
(;2-2coscor + lj
26*
388 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Ниже приведена краткая таблица D- и /-преобразований (табл. 3.1) для некоторых
оригиналов (наиболее часто используемых в теории автоматического управления
решетчатых функций).
Таблица 3.1
D- и Z-изображения некоторых оригиналов
№	Оригинал	.D-изображение	Z-изображение
1	ф] = Р’ ” = 0; 1 J |0, п#0	1	1
2	1[н]	еч е’-1	7Л
3	е-“"	еч d = e'a еч-d	z-d
4	sin ton	sin со -е* e2v -2cosco-e4' +1	sinco-r z2 -2cosco-c + l
. 5	cos СОЛ	е2д -cos со-е17 е2’ -2cosco-e’ + 1	c2 - cosco - z z2 -2cosco-r + l
6	п	ед (М	(--I)2
7	п2	е»(е* + 1) W	--(-^1) (---I)3
8	e-a"sincon	(cZsinco)e’	(c/sinco)-c
		e2g - (2d cos co) • eg + d2	z2 - (2dcosco)- z + d2
9	coscon	e2g ~(dcasta) eg	z2-(d cosco)- z
		e24 - (2d cos co)  eg + d2	z2-(2dcasta)-z + d2
10	пе““"	de4	dz
11	п2е"“”	d2eg(eg+d) (eg-d)3	^2--(--^) (s-c/)3
12	л sin сол	(sinco)e2’ -(sinco)-e’	(sinw)z2 ~(sina>) z
		(e2g -(2cosco)-e’ +1)	(r2 -(2cosco) -c + lj
13	Л COS СОЛ	(cosco)e3’-2e2g + (cosco)e’	(cosco)r3 -2z2 + (cosco) -z
		{e2g ~(2cosco) e’ + 1)	(r2 -(2cosco)-: + lj
Вначале установим связь между преобразованием Лапласа непрерывных функций
и дискретным преобразованием Лапласа соответствующих им решетчатых функций.
Дискретное преобразование -Лапласа по переменной s = c+ja> для решетчатой
функции f[nT] определяется формулой
Д-(5) = ^/[нГ]е-^
и=0
Воспользуемся данной формулой для нахождения соответствующих связей. Ре-
шетчатую функцию /(иГ) можно получить из порождающей ее функции /(г) сле-
дующим образом:
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
389
со
f{nT}=
—ао
тогда
(3.26)
и=0
Функция /(г) является оригиналом и ей соответствует изображение F(s'). Они
связаны преобразованием
(3.27)
. C+J'co
А')=з- J *(>)»“*•
J с~Г*>
Подставляя (3.27) в (3.26), получим
03	00	. С+уоо
F\s)=^e~snT	J F^e^d'kdf.
—со	^ТГ/
Интеграл Лапласа при ReX = c>c0, где с0 — показатель роста оригинала, схо-
дится равномерно по X относительно параметра t, поэтому в последнем выражении
порядок интегрирования можно изменить. Соответственно имеем
, СО	C+jX	00
F*(s) =—:Ye'Sn/ f j3(/-HT)eXzJWr =
n=0	c— jco	-co
да	C+JOO	C+JCO	да
~^esnT J F(k)eXnrdk=-^- J F(X)X^’I)nr^.
— n=Q	c-jx	c_n=0
(3.28)
Если положить Re(^-X)>0, то ряд V e будет сходиться равномерно и
и=0
замена порядка интегрирования и суммирования является правомерной. Положим,
что это условие выполняется. Для вычисления значения ряда используем формулу
суммы членов геометрической прогрессии:
e-(s-x)nT _ i е
1
l-e-W
Тогда выражение (3.28) запишется в виде
] с+7®	.	л c+jx	sT
f’w=^J/wT—(329)
Функция F(X) в полуплоскости ReX является аналитической. Функция
аГ хт
е -е
в этой же полуплоскости имеет только простые полюсы
X = s + j—к (А = 0, ± 1, ± 2,...), поэтому данный интеграл можно вычислить, исполь-
зуя теорию вычетов.
Соответственно будем иметь
c+jx	sT	„	т
1
1 V с-1 -2тс J
= — У F 5+ /—к .
[ т
390
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таким образом,
(з-зо)
Формула (3.30) устанавливает связь между непрерывным и дискретам преоб-
разованием Лапласа для непрерывной и соответствующей ей дискретной функ-
циями.
3.3.4. Теорема Котельникова-Шеннона. Эффект поглощения частот.
Предварительная фильтрация
Теорема Котельникова-Шеннона. Непрерывный сигнал f(t), Фурье преобра-
зование которого равно нулю вне интервала (-юс, сос), однозначно представляется
своими значениями в равностоящих точках, если частота квантования >2сос.
При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполя-
ционной формуле
sincoJz-AT)/
(3.31)
Доказательство. Предположим, что квантование начинается при t = -<x>. Ис-
пользуя Фурье-преобразование, получим соотношение для идеального квантователя:
<ог ,®т
7Т "•/Т
е 1 —е 2
.ФТ
2е’7т
=------
у2со
_ . .СОТ 1
2sm j—
\ 2 ) ~Jу
------------е 1
со
(3.32)
Заметим, что формула (3.32) получается по аналогии с выводом уравнения (3.14) с
учетом, что Фурье-преобразование отличается от преобразования Лапласа заменой 5
на усо и тем, что интегрирование ведется от -оо до оо, тогда как в ^-преобразовании
интегрирование ведется на промежутке от 0 до +со. Формулу (3.32) часто называют
дискретным преобразованием Фурье.
С другой стороны, используя соотношения (3.13) и 8Г(?) = lim—p(t), находим
т->0 Т
F*(y<») = lim-F*(jco) = y £ F(yco +jncoJ.	(3.33)
* «=-оо
Таким образом, аналогично (3.30) находим
F*(» = Z f(»T)e-JnTa =- £ F(> + jhcoJ.	(3.34)
П--00	П»-00
При выполнении условия теоремы (со5 > 2ис) спектр входного сигнала связан со
спектром выходного сигнала идеального квантователя соотношением
F(jco) = <
Г*(до), |со|<со5/2;
0, |со|>со^/2
и однозначно представим своими значениями в равностоящих точках
(f(nT), п = 0, ±1, ±2,...).
Формулу (3.31) можно получить, используя обратное преобразование Фурье и со-
отношения (3.34) и (3.35):
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
391
1 °®	Т
f{t)=— ]>(>)е7“'</®=— J F*(j®)e/(0'J® =
271 J	2 Л J
-оо	-ют/2
гр	°0	00	гр
•— J	] г*-”г|л> =
71 -<aJ2	к=~х	"=-а>	271 -ш.,/2
и,/2	sin®
5/	00
- Е /Ю-СГ
-./г —
 Ё fW- .7 г.^-г>
„=-« 2ту (t-nT)
откуда с учетом л = ®5.7’/2 получаем (3.31).
Таким образом, теорема Котельникова-Шеннона диктует условие выбора час-
тоты дискретизации. Очевидно, что на практике не существует сигналов, Фурье-
преобразование которых равно нулю вне некоторого конечного интервала (-юс, ис).
Следует также иметь в виду, что измерению сигнала, как правило, сопутствуют вы-
сокочастотные помехи. Как же на практике осуществлять корректный выбор час-
тоты дискретизации, помня при этом, что высокая частота дискретизации озна-
чает большое быстродействие процессора и, следовательно, стоимость? Чтобы от-
ветить на этот вопрос, рассмотрим более подробно механизм квантования. Вернемся
к соотношению (3.34) или к соответствующей формуле (3.8)
«--00
для квантователя с конечной шириной импульса. Очевидно, что квантователь являет-
ся генератором гармоник и на его выходе воспроизводится как спектр входного сиг-
нала /(1), так и дополнительные составляющие на частотах, кратных частоте кван-
тования. Вследствие этого невозможно выделить составляющие сигнала на частотах
® + п®5, и = ±1, ±2,.... Поэтому говорят, что частота о квантованного сигнала
«поглощает» частоты © + k<f>s исходного непрерывного сигнала. Это явление назы-
вается эффектом поглощения частот.
При локализации спектра непрерывного сигнала в конечном диапазоне (-®с, ®с)
и выполнении условия теоремы Котельникова-Шеннона исходный спектр будет «ти-
ражироваться» в высокочастотной области (рис. 3.5, а). Заметим, что при квантова-
нии с конечной шириной импульса интенсивность высокочастотных составляющих
падает с ростом частоты (|с„| — убывает), а «хорошая» система обладает свой-
ством фильтра низких частот. Следовательно, влияние высокочастотных состав-
ляющих на качество функционирования системы должно быть несущественным.
Значительно более сложные проблемы возникают при ®4. <2®е (рис. 3.5, б). Состав-
ляющие спектра исходного сигнала f (г) после дискретизации появятся не только в
высокочастотной области, но и на низких частотах. Эти низкочастотные поглощен-
ные сигналы будут рассматриваться системой управления как дополнительные по-
лезные сигналы, хотя первоначально они таковыми не являются.
Пример 3.11. Пусть непрерывный сигнал состоит из полезной постоянной составляющей /0 (г) = а0 и
помехи /п(«) = а1 coslOn/. Предположим, что непрерывный сигнал =	+ дискретизуется
идеальным квантователем, частота дискретизации которого выбрана исходя из спектра полезного сигнала
/0 (юСо =0 с а>, = 10л с'1, <о4. >2шСо). Очевидно, что условия теоремы для помехи не выполнены
(<оС[] = Юл с-1). На рис. 3.8 с учетом линейности операции квантования и коэффициента Г-1 (3.33) пред-
392 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ставлены графики исходных сигналов, дискретизованный сигнал, а также их спектры. После дискретиза-
ции частота <ос = Юл с'1 неотделима от частоты ш = О, 30л, 60л,... с”1.
Примером практического использования эффекта «поглощения» частотой являет-
ся стробоскоп. В стробоскопических приборах частота соЛ. выбирается таким обра-
зом, чтобы высокочастотный гармонический непрерывный сигнал в результате кван-
тования был неотделим от сигнала нулевой частоты.
Для получения основных низкочастотных поглощенных частот можно воспользо-
ваться графической процедурой. Спектр непрерывного сигнала воспроизводят на листе
бумаги и в точках абсцисс, соответствующих нечетным кратным частотам aN = <ns/2,
проводят вертикальные штриховые линии, по которым затем «мысленно» сгибают лис-
ты. Дискретный спектр получается суммированием составляющих на каждом листе с
соответствующей составляющей. Поясним процедуру на нескольких примерах.
Пример 3.12. Рассмотрим условия предыдущего примера и определим наименьшую поглощенную
частоту для сигнала помехи (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Определение поглощенной частоты
На рисунке пунктирными кривыми показано зеркальное отображение |7гп(усо)| относительно линии с
абсциссой a>N.
Пример 3.13. Спектр непрерывного сигнала показан на рис. 3.10, а. Процедура построения спектра
дискретного сигнала показана на рис. 3.10, б, в.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
393
Рис. 3.10. Преобразование непрерывного спектра при дискретизации
Частоту s>N = (£>s/2, играющую важную роль в теореме Котельникова-Шеннона
(соЛ. > 2сос <=> (Од, > сос), называют частотой Найквиста. Важно отметить, что иска-
жение спектра непрерывного сигнала в случае нарушения условия aN > сос тем
меньше, чем ниже интенсивность спектра исходного сигнала в диапазоне со >cow.
Поэтому если основному сигналу сопутствует высокочастотная помеха, а частота
дискретизации выбрана из граничной частоты сос спектра основного сигнала, то для
уменьшения искажений при дискретизации целесообразно провести предваритель-
ную фильтрацию перед квантованием. Простейшим решением является введение
непрерывного фильтра перед аналого-цифровым преобразованием. Для этих целей на
практике часто используются фильтры Баттерворса и Бесселя (см. т.2).
3.3.5. Восстановление сигналов
Операция преобразования последовательности чисел f(tn),neZ в непрерывную
функцию /(/) называется восстановлением сигнала.
Таким образом, восстановление — инверсия операции квантования. В системах
управления с ЭВМ операция восстановления реализуется цифро-аналоговым преобра-
зователем (ЦАП), который преобразует управляющую цифровую последовательность в
непрерывное воздействие на объект (рис. 3.3). Среди алгоритмов, реализующих эту
операцию, выделяют восстановление Шеннона и экстраполяторы.
В случае периодического квантования восстановление Шеннона проводится по
формуле (3.31) с заменой бесконечного интервала суммирования на конечный. Одна-
ко эта операция требует не только знания предшествующей последовательности чи-
сел, но и последующей, т.е. не является причинно-следственной. По этой причине
такое восстановление не используется в системах управления, но может быть исполь-
зовано в коммуникационных системах, допускающих запаздывание в приеме и вос-
становление информации.
Экстраполяторы осуществляют приближение (аппроксимацию) исходного сигна-
ла f (1) многочленами, коэффициенты которых вычисляются по последовательности
чисел f(t„Y t<tn.
Простейшее восстановление экстраполятором нулевого порядка осуществляется
по формуле
7(/) = /(1п),/и</</„+1,	(з.зб)
что соответствует кусочно-постоянной, непрерывной справа функции и равной сиг-
налу квантования в моменты квантования.
Более сложное восстановление можно получить, применив экстраполятор первого
порядка по формуле
25 Зак. 14
394 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1п ‘л-1
На рис. 3.11 показан исходный непрерывный сигнал /(/), его дискретные значе-
ния /(г„) при периодическом квантовании и функции приближения /*(/) при ис-
пользовании экстраполяторов нулевого и первого порядков.
Рис. 3.11. Квантование непрерывного сигнала и его восстановление экстраполяторами
нулевого (/0 ) и первого порядка ( / )
Очевидно, что с уменьшением шага дискретизации и увеличением порядка экст-
раполяторного многочлена точность аппроксимации повышается.
Однако с увеличением порядка усложняется техническая реализация операции
восстановления и исходный сигнал должен иметь непрерывные высшие производ-
ные. Поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили экстраполя-
торы нулевого порядка (ЭНП).
3.4. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотренные ниже математические модели предназначены для описания работы
системы только в моменты квантования, хотя физические процессы, протекающие в
системе, остаются непрерывными. Моменты квантования синхронизированы с тайме-
ром ЭВМ. В результате модели описываются разностными уравнениями состояния и в
форме «вход-выход».
3.4.1.	Дискретные модели непрерывных систем,
ЗАДАННЫХ УРАВНЕНИЯМИ СОСТОЯНИЯ
Структурная схема непрерывного объекта управления с цифро-аналоговым (ЦАП)
и аналогово-цифровым (АЦП) преобразователями представлена на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Непрерывный объект управления с ЦАП и АЦП
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 395
В дальнейшем будем считать, что объект управления задан уравнениями состоя-
ния вида
Х(?) = AX(?) + BY(?) + GF(?), Х(О) = Хо;
XB(?) = CX(?) + DY(»,
где X е Rk, Y е Rm, Хв е R1 — векторы состояния входа и выхода соответственно,
N е Rr — возмущение.
Будем считать, что ЦАП формирует импульсное входное воздействие на основе
последовательностей {у, (?„ )} так, что Y (?) = (^ (?),..., ут (?))Т,
У, (0 = Рп (') У, (*п)> tn^t< t„+x,	(3.38)
где рп (?) — заданные функции, характеризующие к-й импульс управления и удов-
летворяющие условиям /?„(?) = О при ?<?„, ? >t„ + гп, где < Тп (рис. 3.13).
Величина т„77' — скважность импульса на n-м интервале (Г„ — шаг дискрети-
зации на и-м интервале).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем, в которых импульсы одина-
ковы по форме и отличаются только моментом приложения
pn(t)=p(t-tn),
где функция р(?) называется формирующей функцией. Исходным для исследования
импульсных систем является следующая теорема.
Теорема 3.1 [82}. Пусть система описывается уравнениями состояния (3.37),
управляющее воздействие имеет вид (3.38). Тогда значения вектора состояния в мо-
менты времени t = tn> п = 1,2,... могут быть вычисленырекуррентно по формуле
Х(?Й+1)=Ф(?Л+1Д„)Х(?„) + Г(?П+1,?Й)У(?П) + У(?„),	(3.39)
где
ф(и1Л)=еА('"+,~'");
С»+1—С»
Г(?л+1,?л) = f еА(и|’'’’т)Вр(г)Л;
о
V(?„) = J eA(''’+1-'"_T)GN(?„+T)tZT.
о
25'
396 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
При найденных X(t„} состояние в промежуточный момент времени fn+9,
О < 9 < /й+1 -tn вычисляется по формуле
е	е
Х(/и+0) = еАеХ(г„)+ |еА(е’т)р(тртВУ(г„)+ рА(МСМ(/и+фт. •	(3.40)
о	о
Доказательство. Пусть Х(?„) — задано, тогда при любом управлении значе-
ние Х(?) в моменты t>tn дается формулой
Х(/) = eA(‘"’’')X(t„) + рА('~т) [BY(t) + GN(x)] dx.
‘п
В частности, имеем
X(rn+1) = eA('"+’"'")X(r„)+ f еА(и,'т)[ВУ(т) + СХ(т)]Л.
Подставляя Y(t) из (3.38), получаем
^л+1	^+1	,	.
Х(/„+1) = Ф(ги+1Л)Х(т„)+ J eM'^BX(tn)P(x-tn)dx + J еА('--тЫ(фг,
или
^п+1 ~1п
Х(г„+1) = Ф(^+1^й)Х(/„)+ f /^-'"-T>Bp(TpTY(r,,) +
о
+ J eA('"+rt-t)GN(r„+T)fik
о
3.4.2.	Дискретная модель непрерывной системы
С ЭКСТРАПОЛЯТОРОМ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
Пусть восстановление осуществляется согласно (3.36). Это означает, что форми-
рующая функция
Р«(0 = 1> z«^?</n+T«-
Тогда уравнения, описывающие дискретную систему, имеют вид
Х(/й+1) = Ф(гй+]Дй)Х(Гй) + Г(/й+1Дй)У(/й) + У(/й);
Хв (?„) = CX(z„) + DY(/„),
где
Ф(^+1Дп) = еА(и1’'");
Г(ги+1Л)= }еА('"+|_'"’т)ВЛ= |еАтВй?т;
о»	о
V(/„)= J eA('"+’-'"’T)GN(z„+T)^T.
о
Заметим, что уравнения (3.41) дают точные значения переменных состояния и
входа в моменты квантования.
Для периодического квантования с периодом Т, tn = пТ и единичной скважно-
сти (т = Т) модель (3.41) сводится к стационарной системе
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 397
Х((п + 1)т) = ФХ(и7’) + Г¥(п7’) + У(п7’);
Х„ (пТ) = СХ(иГ) + DY(nT’),
где
т	9 т
ф = еА7’; г= |еАтВЛ; V(n7’) = рА(7’’х)СМ(т + лГ)</т.
о	о
При получении дискретной модели непрерывной линейной системы требуется
вычисление матричной экспоненты еАТ. Это может быть осуществлено различными
способами, в том числе:
1)	на основе преобразования Лапласа, используя соотношение L^eA7| = (Я - А) 1;
2)	с применением интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра'.
л-1
F(A) =	где F(A) = eAr, а( —коэффициенты, определяемые по
1=0
собственным числам матрицы А;
п
3)	на основе представления матричной экспоненты в виде еАТ = У'е''1' F:,
i=i
с г-г А — А. I \ к	*
г, = 11, где Л, — собственные числа матрицы А;
У=1 \ ~ \
4)	вычислением с помощью диагонализирующего преобразования. Если собствен-
ные числа А., различны и найдены соответствующие им собственные вектора
S,, то еА7 вычисляется по формуле еАТ = Sdiag^ex,,|s-1, где S = (S1,...,S„).
В общем случае матрицу А можно привести к жордановой форме, что упро-
стит вычисление еАГ [6];
5)	вычислением по определению путем интегрирования уравнения —F(A) = AF(A),
dt
где F(A) — искомая функция. В данном случае F(A) = eAr и решение на-
ходится при начальных условиях F (0) = I;
6)	разложением в степенной ряд eA1 = 1 + АТ + ... + ~ AkTk +..., а слагаемые Р,
АТ
(Ро = I) можно вычислить итерационно: РЛ+1 =--Pt.
Л-1-1
Способы 1)-5) вычисления матричной экспоненты подробно, с примерами, обсу-
ждались выше в п. 3.4.
Общие рекомендации. При вычислении еАТ «вручную» удобны способы 1)-3);
способы 2), 3), 5) являются универсальными в смысле вычисления различных функ-
ций от матрицы, например In А; способ 4) удобен для получения аналитических
(формульных) зависимостей на ЭВМ; при конкретно заданных Г и А численные
значения коэффициентов матрицы еАТ на ЭВМ предпочтительнее вычислять спосо-
бом 6) при конечном числе членов разложения.
Для понимания процессов, протекающих в системах управления с ЭВМ, важно
отметить ряд особенностей, которые отличают непрерывно-дискретные систе-
мы от систем непрерывных. Во-первых, между моментами квантования система
398 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
с ЭВМ функционирует как разомкнутая. Вследствие этого возможны скрытые
колебания непрерывных процессов объекта управления, невидимые при дискрети-
зации (эффект «поглощения» частот). Используя уравнение (3.40), можно вычис-
лить вектор состояния между точками квантования, что позволяет исследовать
поведение системы между ними.
Во-вторых, если рассматривать входное воздействие Y(hT) как управление, выра-
батываемое ЭВМ по заданному алгоритму и измеренным выходам объекта Хв(иГ),
то в системе всегда присутствует временная задержка, связанная с вычислениями. Если
эта задержка незначительна по сравнению с шагом дискретизации, то ею можно пре-
небречь, оставаясь в рамках полученных выше дискретных моделей системы. В про-
тивном случае нужны иные модели, учитывающие временную задержку. При этом
очевидно, что в моделях матрица D = 0, т.е. отсутствует прямая связь «вход-выход».
3.4.3. Модели систем с запаздыванием
Пусть непрерывный объект описывается моделью
X = AX(/) + BY(?-t),	(3.43)
где XeRk, YeRm.
Будем предполагать, что для восстановления сигнала используется экстраполятор
нулевого порядка. Рассмотрим сначала случай, когда запаздывание т меньше шага
дискретизации Т (рис. 3.14), а затем полученные результаты распространим на системы
с большим временным запаздыванием. Дискретная модель системы (3.43) имеет вид
(п+1)7’
X((w + 1)7’) = еАГХ(иТ’)+ J eA((”+1)r'")BY(sT)d5.
Рис. 3.14. Входной сигнал с временным запаздыванием т
Учитывая кусочно-постоянный характер сигнала Y(1-t), разобьем интервал ин-
тегрирования на два промежутка таким образом, чтобы входной сигнал был построен
в обеих частях.	*
Тогда
(и+1)Т	л7'+т
j e^(n+l}T~^BX(s-x)ds= J еА((”+1)7'-')ВбйгУ((и-1)Т’) +
пТ	пТ
(«+1)7’
+ j eA((”+1)7'-s)Bd5rY(HT).
«Г+т
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
399
Используя подстановку s = s' -кТ и s = s'-nT-x соответственно для первого и
второго интеграла, получаем
(и+1)Г	_	т	т-х
J eA(("+')7’-5')BY(s-T)ds=feA(7’j'f)BtfcY((n-l)7’)+ j eA(J-^")B^ у(пТ’),
пТ	О	О
и, используя тождество jeA^T-^Bc/s = jeAi BA к слагаемым, находим
о	о
(«+1)7’	т	Т-х
j eA(("+1)MBY(s_T)fifs = eA(7’-x) JeAiBdsY((n-l)7’)+ j e^Vds\(nT).
-пТ	О	О
Таким образом, в результате квантования системы (3.43) имеем
Х((л + 1)Г) = ФХ(лТ) + Г0У(лТ) + Г1У((л-1)Г),	(3.44)
где
Т-х
Го = J e^Bds;
о
Г] = еА(г т) fe^Bcfc.
О
(3.45)
(3.46)
Модель (3,44) в терминах уравнений состояния имеет вид
'х((и+1)7Л_<ф
< Y(«n Д°
ГЛГ Х(нТ) '
°AY((h-1)^
+ [Г1°|у(н7’).
Рассмотрим дискретную модель непрерывной системы (3.43) при большом вре-
менном запаздывании. Пусть х - (d- 1)Т + т', 0 < х' < Т, где d&N. Тогда
Х((п+1)Т) = ФХ(лТ) + Г0У((и-«/ + 1)7’) + Г1У((и-йГ)Т),
где Го, Г] получаются из (3.45), (3.46) заменой х на т'.
Соответствующее описание в пространстве состояний имеет вид
' Х((« + 1)П Y((n-tZ + l)r)			Ф Г! Го 0 0 0	10	• •• О' ... о	х(лг) Y((n-<Z)r)	+	0	Y(«n-	(3.47)
Y((H-l)r)		0 		0 I	Y((«-2)r)		0		
Замечания:		<0 		- 0,			Л		
1. Для учета запаздывания используются d  m дополнительных переменных состояния.
2. Характеристический многочлен системы с запаздыванием имеет вид
Д(А,) = Х‘/'”а(Л),	(3.48)
где а(^) = беГ(к1-Ф) —характеристический многочлен матрицы Ф.
3. Непрерывная система (3.43) имеет неограниченную размерность; соответствую-
щая ей дискретная система конечномерна.
3.4.4. Преобразование моделей в пространстве состояний
Как для непрерывных, так и для дискретных систем можно ввести новые коор-
динаты, которые используются для получения более удобных и простых форм урав-
нений состояния, облегчающих решение задач анализа и синтеза. Разнообразие раз-
400 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
личных задач анализа и синтеза порождает многообразие форм представлений, кото-
рые принято называть каноническими. Наибольшее распространение получили сле-
дующие формы представления'.
1)	диагональная и жорданова формы',
2)	каноническая управляемая форма',	•
3)	каноническая наблюдаемая форма'.
Ограничимся рассмотрением линейной дискретной системы со скалярным управ-
лением:
Х((н + 1)Г) = ФХ(нГ) + ГУ(нГ);	(3
Хв(пТ) = СХ(пТ),
где XeRk, Ye/?1, XBeR‘.
Диагональная и жорданова формы. Алгоритм приведения матрицы к диаго-
нальной форме приведен в п. 3.4 и ранее использовался в п. 3.4.2 для вычисления
матричной экспоненты. Ограничением данной формы представления является усло-
вие существования вещественных и различных собственных чисел матрицы Ф.
В общем случае наличия кратных вещественных и комплексно-сопряженных соб-
ственных чисел матрицы Ф она приводима к форме Жордана.
Алгоритм приведения матрицы Ф к жордановой форме связан с выполнением
следующих действий:
1)	составление характеристического многочлена det(XI-Ф) и определение его
собственных чисел Хм / = 1,А;
2)	классификация собственных чисел по группам:
а)	простые вещественные корни Х(, i = l,n};
б)	вещественные корни X , i = l,n2 кратности /( >1;
в)	простые комплексно-сопряженные корни
K=an±Jb^ J2 = -i; «=1Л;
г)	комплексно-сопряженные корни kd = ad ± jbd, d = \,kA кратности ld > 1,
Ic	k
k = ki+2k3+Ylj+Y2ld',
>1	d=l
3)	составление клеток Жордана для выделенных групп собственных чисел:
а)	простым корням соответствуют клетки размером 1 х 1 вида J, = X,, i = 1,щ;
б)	кратным вещественным корням соответствуют клетки размером /, х /. вида
	% 1	0 0	0 '		
	0 S	1 0 •••	0		
Jj ~	0			1	5	(3-50)
в) для простых комг	0 -	 0 тлексно-сопряженных		кор]	чей строятся	клетки размером
2x2 вида
J„=P” Ь"\ п = ^-	(3.51)
ап)
1 Названия тесно связаны с проблемой наблюдаемости и управляемости объектов управления, широко
используемых в задачах синтеза.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
401
г) по кратным ко ки Жордана ра	мплексно-сопряженным собствен змерности 21 d х 21 d вида ' ad	bd	1	0	0	•••	О' -bd ad 0*1 0	0 0	0	ad	bd	1	• • •	0 0	0	-bd	ad	0		0							ным числам строятся клет- ;	(3.52)
	0	0 0	0 0	0 0	0 0	ad -bd	bd ad >	
4) составление матрицы Жордана блочно-диагонального вида из клеток
J =	0	0 • л 	• 0'  0	(3.53)
	<0	0 •	J r,	
где г —суммарное количество составленных клеток вида (3.50)—(3.52).
Переход к описанию системы в диагональной и жордановой формах удобен тем,
что исходная система декомпозируется на ряд независимых параллельно соединен-
ных подсистем. Это может быть полезным для решения задач анализа и синтеза.
Каноническая управляемая форма. Если выполнено условие невырожденности
пары матриц Ф и Г, которое сводится к требованию
rank{r^r,...,Oi_1r} = A:,	(3.54)
то система (3.49) приводима к управляемой канонической форме вида
	x( XB	(w + l)r) = AX(nT) + BY(nT); (иТ) = СХ(л7’),	(3-55)
где		' 0	1	0		0 ' 0	0	1	0	
	A =	0	0	0		1 <-a0 -al ~a2	(3.56)
В = (0	0 1)Т, a,, i = 1,л-1 — коэффициенты приведенного характеристиче-
ского многочлена матрицы Ф,
=	' + ...+ ос j Л. + <Xq.
Таким образом, в данном представлении «фиксируется» вид пары матриц А и В,
а вид матрицы С не оговаривается. Заметим, что в последней строке матрицы (3.42)
содержатся коэффициенты характеристического многочлена, поэтому матрицы та-
кого вида часто называют сопровождающими матрицами своего характеристиче-
ского многочлена или матрицами Фробениуса, а форму (3.55) — формой Фробениуса -
Калмана. Заметим, что при скалярном управлении (от = 1) условие (3.54) равносильно
бе1(г,ФГ,...,Ф"_1г) ^0. Каноническая управляемая форма широко используется в
задачах синтеза алгоритмов управления.
402 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Каноническая наблюдаемая форма. Если выполнено условие невырожденности
пары Фт и Ст, которое сводится к требованию
гапк{ст,ФтСт,...,(фт)*-1Ст1 = ^	(3.57)
то система (3.49) со скалярным выходом ( / = 1) приводима к наблюдаемой канони-
ческой форме
Х((л + 1)7’) = AX(«7’) + BY(n7’);
_ _________
Хв(иГ) = СХ(иГ),
где матрица А имеет форму Фробениуса (3.56), матрица С имеет вид
С = (1 0 ••• 0), вид матрицы В заранее не фиксируется, а вход системы может
быть векторным (Y е R"").
Такая форма представления нашла применение в синтезе устройств асимптотиче-
ской оценки состояния системы X по измеряемому входу Y и выходу Хв.
Рассмотренными выше каноническими формами представления в пространстве
состояния не исчерпывается ряд моделей, используемых в задачах управления. С дру-
гими формами можно познакомится, например, в работах [5, 6].
При использовании канонических форм и интерпретации результатов исследования
в терминах исходной модели необходимо знать соответствующую матрицу преобра-
зования. Пусть существует некоторая (к х к )-матрица Т: detT 0. Тогда используя ее
в качестве матрицы преобразования Х(и7’) = 7Х(«7'), где Хе 7?* —новые фазовые
переменные, перейдем к новому представлению исходной системы (3.49) в виде
Х((л+|)Г) = ЛХ(лГ)+В¥(»Г);
Х,(пГ) = СХ(лГ),
где А = ТФТ"‘, В = ТГ, С = СТ-1.
Матрица преобразования к диагональной или жордановой форме. В данном
случае вид матриц В и С заранее не определен и вычисляется в соответствии с (3.59)
по формулам В = ТГ, С = СТ-1, а матрица преобразования находится из соотношения
ТФ = АТ.	(3.60)
В частности, при наличии только простых вещественных собственных чисел мат-
рицы Ф модель приводима к диагональной форме с помощью преобразования
Т = (х],...,£*) ', где х, —собственные вектора матрицы Ф, соответствующие соб-
ственным числам и удовлетворяющие уравнениям Фх,-!^-.
Матрицы преобразования к канонической управляемой и наблюдаемой фор-
мам. Данные представления объединяет вид матрицы А в форме Фробениуса. Следу-
ет заметить, что соответствующая матрица преобразования Т существует лишь в
случае совпадения приведенного характеристического многочлена Ф(Х) = det(XI-Ф)
с его минимальным многочленом матриц Ф, который может быть вычислен по фор-
муле Фт;п(Х) = Ф(Х)/8(Х), где 8(Х) — наибольший общий делитель элементов
присоединенной для матрицы (XI-Ф). Напомним, что присоединенная матрица
вычисляется путем замены элементов исходной матрицы его алгебраическими до-
полнениями с последующей операцией транспонирования. В дальнейшем предпола-
гаем возможность преобразования к рассматриваемым каноническим формам.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
403
В случае управляемой формы помимо уравнений (3.60), связывающих исходную
матрицу Ф с формой Фробениуса, фиксируется вид векторов В (3.56). Таким обра-
зом, искомая матрица Т должна удовлетворять уравнениям
ТФ = АТ, В = ТГ.	(3.61)
Проведя несложные преобразования
В = ТГ => АВ = АТГ <» АВ = ТФГ =>
=> А2В = АТФГ о А2В = ТФ2Г =>...«> А*ЧВ = ТФ*-1Г,
получаем систему векторных уравнений вида
В = ТГ;
АВ = ТФГ;
А*-1В = ТФ*ЧГ,
которую можно записать в более компактной форме
G = TG,	(3.62)
гдеб = (в АВ ••• А*-1в), G=(r ФГ ••• Ф*чг).
Используя уравнение (3.62), находим матрицу преобразования по формуле
T = GG-1.	(3.63)
Существование и единственность решения Т уравнения (3.63) гарантируется ус-
ловием невырожденности пары матриц Ф и Г (3.54). Невырожденность матрицы
преобразования Т следует из невырожденности пар матриц Ф, Г и А, В. Послед-
нее гарантируется формой представления матриц А и В в (3.55). Действительно,
нетрудно убедиться, что при а, условие detG^O выполнено.
Для наблюдаемой канонической формы (3.58) фиксируются представления матриц
А и С. Таким образом, матрица преобразования Т должна удовлетворять соотношениям
ТФ = АТ, С = СТ-1.	(3.64)
Последовательным умножением справа С на А с учетом соотношений (3.64) по-
лучаем систему уравнений
С = СТ-1;
СА = СФТ-1;
СА*-’ =СФ*~1Т~1,
или
G=GT-1,	(3.65)
гдеб=(ё СА ••• СА*Ч)Т, G=(c СФ СФ*-1)Т.
В силу условия невырожденности пары матриц Ст и Фт (3.57) матрица G явля-
* ется невырожденной. С учетом того что искомое преобразование должно удовлетво-
рять условию detT^O, получаем условие невырожденности матрицы G, т.е. пара
матриц Ст и А невырожденна ^rank|cT,АТСТ,...,^АТj CTj = /^. Действитель-
но, в силу рассматриваемого канонического представления (3.58) матрица G = I.
Таким образом, искомая матрица преобразования имеет вид
T = G.	(3.66)
404 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Заметим, что характеристическое уравнение det (XI-Ф) является инвариантом,
если новое состояние вводится через невырожденную матрицу преобразования Т.
Построение канонических форм представления и вычисление соответствующих мат-
риц преобразований для систем с многомерными входами и выходами трепет более
тонкого подхода и здесь не рассматривается; детально ознакомиться с указанной
проблемой можно в [6].
3.4.5.	Операторный метод описания систем
Целью операционного исчисления является сведение задач исследования к ис-
пользованию алгебраических операций. Для дискретных систем, описываемых раз-
ностными уравнениями с постоянными коэффициентами, удается построить опера-
ционное исчисление, описывающее взаимосвязь входных и выходных сигналов.
Пусть класс рассматриваемых сигналов — неограниченные слева и справа после-
довательности {/„: neZ, ||/л||<00}- Здесь и в дальнейшем введена сокращенная
запись fn = f(nT), Z —множество целых чисел.
Введем два оператора:
•	оператор сдвига вперед q, обладающий свойством
qkfn=fk+n, keN;	(3.67)
•	оператор сдвига назад q~}:
<7"*Л=/„-ь kzN.	,	(3.68)
Очевидно, что оператор сдвига назад является обратным, инверсным оператором
по отношению к q. Одновременно ведение этих операторов объясняет необходи-
мость рассматривать сигналы на неограниченной слева и справа временной последо-
вательности. Очевидно, что при использовании норм сигналов в виде
||/„|| = sup|/„| или ||/„||= £ /„2
«	л=-оо
введенные операторы прямого и обратного сдвига имеют единичную норму.
Рассмотрим дискретную систему с одним входом и выходом, заданную разност-
ным уравнением вида
^Л+п + <Ч-Л+п-1 + •  • + а]Хп+1 + аох„ =
= Pm Уп+т + Рт-1Ул+т-1 + • • • + Р1У»+1 + РоХл •
Используя оператор сдвига вперед, получаем
W*п + ^к-^'хп + • • • +	+ а0Х„ = М”у„ + РтЧ^Ул + •   + Pl«y„ + Ро у„-
Введя многочлены от оператора q
a(q) = акЯк +	+ • •  + <М + а0;
Р(<?) = Pm?" + Pm-1<’ + • • • + Pl<7 + Ро,
уравнение (3.69) можно записать в компактной форме
=Р(<?)>'„-	(3-70)
Аналогично, записав разностное уравнение (3.69) в форме
“Л +	+... + а.ххп_ы + аох„_* =
= РтУп+т-к + Рт-1Л+т-л-1 + • • • + Р1 Уп-к+1 + PoJn-it
и введя многочлены от оператора q~l
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 405
а (?"') = а* +	+ • • • + <М"*+1 + а07-*;
+₽m-i^+m’1 + ... + ₽1^+1 + Р0<Л
получаем	•
а(?’’)х« =Р(<7’1).УП-	(3-71)
Заметим, что если вместо многочлена Р(‘7-1) использовать многочлен вида
₽ (?-') = рт + рт_19-] +... + р^1 + р0<т,
связанный с р(<7-1) зависимостью P^i?-1 j = q,_i+'”P^<7-1 j, то получается иная форма
записи исходного разностного уравнения:
= P(?-1)yn-i+m-	(3.72)
Соотношения «вход-выход», записанные с помощью оператора q~\ непосредст-
венно указывают на причинно-следственные, алгоритмические связи в рассматри-
ваемой системе и удобны для моделирования на ЭВМ. Уравнения с оператором пря-
мого сдвига используются в задачах, связанных с использованием характеристиче-
ского многочлена, например с проблемой устойчивости.
Разделив левые и правые части уравнений (3.70)-(3.72) на многочлен при х„, по-
лучаем уравнения с передаточными функциями
' x„=^(«7b;	(3.73)
x„=^(9-')y„;	(3.74)
хп=^(^)уп-к+т,	(3.75)
где W(q) = р(^)/а(<7),	) = р(<7-1 )/сс(<7-1) — пере-
даточные функции.
Заметим, что многочлены от оператора q~l не могут быть получены формальной
заменой q на q~l из многочленов оператора прямого сдвига.
Подобно непрерывным системам, уравнения с передаточными функциями спра-
ведливы при нулевых начальных условиях, означающих для дискретных систем ра-
венство нулю всех последовательностей при п < 0.
Структурные преобразования дискретных систем с передаточными функциями
аналогичны ранее рассмотренным преобразованиям для линейных непрерывных
систем.
3.4.6.	СВЯЗЬ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ С ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Рассмотрим дискретную линейную систему в форме пространства состояний
Хи+1 = ФХ„ +ГУ„;
Хви =СХ„+DY„.
Используя оператор прямого сдвига для первого уравнения, получаем
(91-ф)Х„=ГУ„,
и, следовательно, соотношение «вход-выход» имеет вид
хв„={с(^1-Ф)"1г+о}у„.
406
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Аналогично, используя оператор обратного сдвига, имеем
о (1-<7-,ф)хл=9-1гуп
Вл
9-1r + DY„.
Таким образом, матричные передаточные функции от операторов прямого и об-
ратного сдвига имеют вид
W( ) Р(^) C adj(gI-O) r+det(gI-O) D.
^9 a(q)	det(gl -Ф)
z _n p(<’) C adjjl-g-^-g-'r + detjl-^-D
а
где adjR, как и прежде, означает присоединенную матрицу к матрице R.
Для большинства систем характерно одновременное влияние входа на выход. Это
означает, что D = 0, а числители в матричной передаточной функции имеют степень
меньше знаменателя. Заметим также, что импульсные операторы W(^), j для
модели, заданной в пространстве состояний, не зависят от выбора пространства со-
стояний. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Рассмотрим задачу определения уравнений состояния по передаточной функции,
ограничившись случаем скалярного входа и выхода, D = 0 и импульсным операто-
ром W (q).
Полагаем, что
+(V1<C +'" + Ро , т<к.	(3.76)
а(<7) atg"+a*_19"-'+... + a0
Здесь предполагается, что знаменатель передаточной функции — приведенный
многочлен ( a„ = 1).
Выбор пространства состояний прежде всего связан с определением размерности
вектора состояния X. Это задача определения минимальной реализации, т.е. опреде-
ления наименьшей размерности пространства состояний, соответствующей за-
данной передаточной функции. Для рассматриваемой скалярной передаточной
функции минимальная реализация соответствует несократимости передаточной
функции, т.е. отсутствию одинаковых нулей и полюсов. В случае матричной пере-
даточной функции минимальная реализация соответствует полностью управляе-
мым и наблюдаемым системам, для которых одновременно выполняются ранговые
условия (3.54), (3.57). Будем считать, что условия минимальной реализации выполнены,
тогда размерность вектора состояния равна k (X е Rk). Выше в п. 3.4.4 отмечалось,
что уравнения состояния определяются с точностью до невырожденного преобразо-
вания координат, поэтому ограничимся рассмотрением задачи перехода от переда-
точной функции (3.76) к ранее рассмотренным каноническим формам.
Управляемая каноническая форма. Запишем уравнение (3.73) с учетом (3.76) в виде
Введем новое обозначение
1
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 4Q7
и получим с учетом вида многочленов а(<у), Р(<?) операторные уравнения
Уп = Чк + a-k-if-'xin + + «o*i„;	7
Хп ~ Pm‘У *1п+Рт-1^? *1п +••• + Ро*1п 
Выберем в качестве фазовых переменных хи, х2к = qx}k,...,xnk = qn~lx}k. Тогда
уравнения (3.77) можно записать в виде системы уравнений
*1,п+1 = х2п ’
*2,п+1 = х3п’
хА-1,п+1 хАп’
*4,п+1 ~ ~«0х1п — «1х2п —	— <Хк-\хкп + Уп’
хп Рох1п + Р1х2п + •  • + Pm-lXmn + Pmxm+l,n >
или в матричной форме (3.55'		х„+1 Х,=	= AX„+BY„;			
			Х„	= сх„,		
где	' 0	1	0	0 '		Г (Г
	0	0	1	0		0
А =	0	0	0	1	; в =	0
		-“1 -	-а2	~ап-1,		Л
с=	х ₽1 •	 ₽«,	0.. к-т	0); Х„ =(х1п,...,х -1		te)T
Процедуру приведения к управляемой форме легко распространить на случай
многомерного входа. При этом предполагается, что система описывается векторной
передаточной функцией размером I х 1
, fa И
в которой а(<?) указан в (3.76), а многочлены Р( (<?) имеют степени ти, <к, 1 = 1,1.
В этом случае Хв е R1, а вместо (1 х к )-матрицы С используется (/ х к )-матрица
Наблюдаемая каноническая форма. Запишем уравнение «вход-выход» с уче-
том передаточной функции (3.76) в виде
</х„ + ам^чх„ +... + аох„ = Pmqmy„ + РтЧ^'"’1Т„ + • • • + РоУ„ >	(3-78)
а уравнения состояния для наблюдаемой канонической формы (3.58) в «развернутой»
форме
408 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
xi,n+i =х2П+Ь1Ул;
*2,п+1 = х2п+Ь1Уп,
.............."......	,	(3.79)
xk-i„+i =хк„ +Ьк_-1уп-,
хк,п+1 — —— “1х2п ~ ~ Ct-k-yXkn + Ькуп,
^вп ~	>
где Р, — неизвестные элементы матрицы В = (P1,...,PZ.)T, вычисляемые методом
неопределенных коэффициентов. Поясним алгоритм вычисления коэффициентов Р(
на следующем примере.
Пример 3.14. Пусть степень многочлена знаменателя передаточной функции (3.76) равна к = 5, а сте-
пень многочлена знаменателя т < п. Коэффициенты многочленов будем считать произвольными. Наблю-
даемая каноническая форма имеет вид
*1,л+1 ~ х2п +Ь1Уп,
х2.п+1=хЗп+Ь2Уп,
' хЗ,л+| = х4п + *зГл.
*4,л+1 = *5л + Ь4Уп ’
х5,л+1 = ~“<Лл - “|х2л “ а2*3л - аЗх4л ~ а4х5л + *5^-
Используя уравнения системы и оператор сдвига вперед q , последовательно вычисляем
^2л=^1л-*|Тл;
Хзп = 9*2л - Ь2У„ = q2xln - (t\q + b2 ) у„;
*4л = ^зл - 1>зУп = ?\л - (W+ь2я+*3 )т„;
*5л =	- b4y„ = q4xln -(b,q3 + b2q2+b3q + b4'}y„.
Подставляя первые три полученные уравнения с учетом х1п = х„ в последнее уравнение, получаем
<J5xl,-(b1q4 + b2q3+b3q2+b4qjy„ = -aox„-al(qx„-bly„)-a2^q2x„-(blq + b2)y„j-
-«3(?Ч - (м2 + b2q + bj)у„)- а4(q4x„ -(brf3 + b2q2 + b3q + b4)y„)+b5y„.
Проведя перегруппировку слагаемых по степеням оператора q и последовательностям х„,у„, находим
1У + а4/ + a3q3 + a2q2 + a.xq + а0 ]xt =
= [*1/ + (*2 + а46, ) q3 + (b, + a3Z>! + a462 )q2 +
+(b4+a2bl+a3b2+a4b3)q + (bs+a1b{ +a2Z>2 +a3Z>, +a4Z>4)]yt.
Сравнивая левые и правые части полученного уравнения с (3.64), для рассматриваемого случая получаем
₽4=^;
₽3=*2+a4*i;
₽2 = ^з +а-зЬ\ +o,tb2;
Р, = b4 + a2by + a3Z>2 + a4Z^;
₽0 = *5 + al*l + “2*2 + “3*3 + a4*4
и рекуррентно находим искомые коэффициенты:
*2 =₽3-“4*11
*3=₽2-“з*1-“4*2;
*4 =31 -“2*1 — “з*2~ а4*3’
*5 = Зо - “1*1 - “2*2 * “3*3 - “4*4-
Заметим, что если т < к -1, то первые коэффициенты вектора В будут нулевыми.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 409
Аналогичные рассуждения можно провести для общего случая. При этом спра-
ведлива следующая рекуррентная процедура вычисления:
Ь, =0 при i = 1, к - (»? +1);
Ьп-т Pm’
(3.80)
bj =р*_7~Y,b‘ak-J+i-
<=1
В случае многомерного входа системы (Y е Rm) с векторной передаточной функ-
цией вида
где степени многочленов Р,(</) меньше к; вместо матрицы В размером кх! ис-
пользуется матрица размера кхт
/Р1.1 31,2 - М
в =
ч3и,1 Рл,2 Рл,т>
коэффициенты которой вычисляются по формулам (3.80).
Диагональная и жорданова формы. Приведение к этим формам (п. 3.4.4) основано
на вычислении корней характеристического уравнения, что с точки зрения структур-
ных преобразований соответствует представлению системы в виде последователь-
ных и параллельных соединений звеньев первого и второго порядка, соответственно
для простых вещественных и комплексно-сопряженных корней и звеньев порядка г и
2г — для кратных корней. Напомним, что при последовательном и параллельном
соединении звеньев корни характеристического многочлена системы представляют
собой совокупность корней характеристических многочленов подсистем. Необходи-
мость вычисления полюсов систем обусловливает большую трудоемкость приведе-
ния к диагональной и жордановой форме по сравнению с представлением в управ-
ляемой и наблюдаемой формах.
3.4.7. Импульсные переходные и передаточные функции
ИМПУЛЬСНОЙ И ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Простейшая разомкнутая импульсная система представляет собой последовательное
соединение импульсного элемента и некоторого непрерывного динамического звена
с переходной функцией или импульсной переходной функцией к (г) (рис. 3.15).
ИЭ -Luk» да
Рис. 3.15. Структурная схема простейшей разомкнутой импульсной системы
Импульсный элемент формирует последовательность импульсов заданной формы,
следующих друг за другом с интервалом Т. Амплитуда импульсов, в случае исполь-
зования амплитудно-импульсной модуляции, пропорциональна или равна значению
модулирующего сигнала у (г) в дискретные моменты времени t = п • Т, п = 0,1,2,....
Форма модулирующих импульсов может быть произвольной, но наиболее часто
модуляция осуществляется с помощью прямоугольных импульсов p(t), форма ко-
торых показана на рис. 3.16.
410
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
р(0
-J----------------1-----►
0 то То
Рис. 3.16. Форма прямоугольного модулирующего импульса
Функция в этом случае описывается выражением
<3-81)
Вид сигнала на выходе импульсного элемента представлен на рис. 3.17.
Рис. 3.17. Вид сигнала на выходе импульсного элемента
Сигнал на выходе импульсного элемента у* (г), в случае если амплитуда импуль-
са /?(?) в момент времени t = nT совпадает со значением входного сигнала в этот же
момент времени, описывается выражением
y{t) = ^p(t-nT)y(nT).	(3.82)
и=0
Найдем выходной сигнал х(г) для рассматриваемой системы. Вначале найдем
изображение по Лапласу сигнала на выходе импульсного элемента
У*($)= ]У(1)е"я<Й = ^у(пТ) jp(t-nT)e~sldt.	(3.83)
О	и=0	0
Введем новую переменную £ = t - пТ и рассмотрим внутренний интеграл выра-
жения (3.83):	•
1 = Xjp(t-nT)e~sldt= J p(E>)e~s^+nT^dE, = e~snT J
0	-пТ	-пТ
Так как в силу свойств оригиналов /?(£,) = 0 при ^<0, то
о
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 411
Соответственно
Л*) = £Я'17’)Р(ф-отГ-	(384)
п=0
Для случая, когда /?(z) определяется формулой (3.81),
Учитывая, что передаточная функция динамического звена IT(s), можно найти
изображение выхода разомкнутой импульсной системы:
^(5) = lT(5)r*(^),
или
X(s) = Xy(«T)P(sX(5)e-OTr	(3.85)
п=0
В правой части выражения (3.83) присутствуют два изображения. Если считать,
что — это передаточная функция некоторого элемента, то их произведение
соответствует последовательному соединению этого элемента и динамического звена
с эквивалентной периодической функцией 1T(s) = P(s)W(s). В этом случае выраже-
ние (3.85) запишется в виде
^(s) = Yy(nT)W(s)e-snT.
,	л=0
Перейдя в область времени, будем иметь
х(/)= ^у(н7’)Л(/-н7’),	(3.86)
п=0
где k (z) = £-1 [w (s)} — импульсная переходная функция данного последовательного
соединения.
Используя теорему о свертке, можно записать формулу, определяющую к (z):
k(t)=‘\k{t-^p{^d^.	(3.87)
о
Функцию p(t) в соответствии с данной формулой можно рассматривать как
импульсную переходную функцию элемента, формирующего модулирующие импульсы.
Таким образом, импульсную систему можно рассматривать как простейший импульс-
ный элемент, работа которого описывается уравнением
y{t) = YyW^-nT\	(3-88)
и=0
и последовательно соединенный с ним динамический элемент с импульсной пере-
ходной функцией p(z).
Структурная схема простейшей разомкнутой импульсной системы теперь будет
выглядеть так, как показано на рис. 3.18.
Структурная схема представляет собой соединение простейшего импульсного эле-
мента и приведенной непрерывной части.
Можно достаточно просто проверить, что это действительно имеет место. Так как
y(z) является входным сигналом для приведенной непрерывной части, то, используя
интеграл Дюамеля, связывающего вход и выход непрерывной системы, имеем
412
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
О	О	п=0
= Z ЛпТ) F 0 - W - пТ№=Ё у («И* О - пТ1
п=0	о	л=О
что совпадает с выражением (3.86).
Приведенная непрерывная
часть
Рис. 3.18. Структурная схема преобразованной разомкнутой импульсной системы
Полученную формулу (3.86) можно интерпретировать и по-другому, а именно
рассматривать как импульсную переходную функцию импульсной системы.
Так как по свойствам причинности k(t} = 0 при t<0, то верхний предел суммиро-
вания в (3.86) можно заменить на конечный и формула примет вид
х(1) = £*(/-/7’)у(/7’),	-	(3.89)
1=0
или, учитывая, что t = nT + ъТ, где 0 < е < 1, формулу (3.89) можно записать так:
х(пТ,еТ) = £Г((и-/)Т,е7’)	(3.90)
1=0
Формулы (3.89) и (3.90) представляют собой свертку импульсной переходной
функции приведенной непрерывной системы и входного воздействия.
Поведение дискретных систем рассматривается только в дискретные моменты
времени t = nT. Учитывая это, формулу (3.90), связывающую вход и выход во вре-
менной области, для дискретных систем можно записать следующим образом:
х(лТ) = ХГ((Л-/)т)у(/Т).	(3.91)
/=о
Рассмотрим более подробно вычисление импульсных переходных функций им-
пульсной и дискретной систем. Согласно формуле (3.87)
*(') =
о
Функция определена на интервале 0 < £, < т, поэтому i(f) импульсной
системы в зависимости от значения, принимаемого t, будет определяться по сле-
дующей формуле:
*(') = '
0</<т;
_ о
t>x.
.0
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 413
Для дискретной системы t = пТ и верхний предел интегрирования в (3.87) стано-
вится фиксированным, поэтому
т
ЦпТ)= [к^пТ-^р^.
о *
Пример 3.15. Импульсная переходная функция динамического звена системы, приведенной на
рис. 3.15 имеет вид k(t) = кое~а', а>0. Модуляция осуществляется прямоугольными импульсами, опи-
сываемыми формулой (3.81). Определить импульсную переходную функцию дискретной системы и ее
реакцию на ступенчатое единичное воздействие y(t) = 1(г).
Для нахождения импульсной переходной функции воспользуемся формулой для к (пТ):
к(пТ) = f koe~a(nT^h^)d^ = k„erlnT = -°^
о	о	“
График импульсной переходной функции изображен на рис. 3.19.
Рис. 3.19. График ИПФ системы в дискретные моменты времени
Для нахождения реакции системы на единичное воздействие воспользуемся формулой (3.91):
1=0 u
е
а
1-е'
„-«"Т 1 - е
е'а7(""')-1(/7’) =
е-алг£еаГ/ =
График реакции системы в дискретные моменты времени приведен на рис. 3.20.
Рассмотрим импульсную систему, замкнутую единичной обратной связью, струк-
турная схема которой приведена на рис. 3.21.
414
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 3.21. Структурная схема замкнутой импульсной системы
Прямая цепь данной системы описывается уравнением
х(пГ,еГ) = ^1((и-/)Г,ЕТ)е(/7’),	(3.92)
1=0
а элемент сравнения — соотношением
е0) = 3'(0-х(0-	(3.93)
Для получения одного уравнения, описывающего работу системы, необходимо
записать соотношение (3.93) через решетчатые функции:
е(и7’) = у(и7’)-х(и7’).	(3.94)
Тогда, подставляя (3.94) в (3.92), будем иметь
х(ЯГ,еГ) = £А:((Я-/)Т,еТ)(у(/7’)-х(/Г)),
7=0
или
х(»Т,е7’) = ХГ((л-/)7’,еГ)у(/Т)-^Г((л -1)Т,гТ)х(1Т).	(3.95)
1=0	1=0
Рассмотрим поведение системы только в дискретные моменты времени t = пТ.
Имеем
п _	п __
х(пТ) = Xк ((»-l)T)y(IT)~^к((п-/)г)х(/Т).	(3.96)
1=0	1=0
Как видно из уравнений (3.95) и (3.96), непосредственно выразить х(пТ,гТ) и
х(пТ) через входной сигнал у(пТ) не представляется возможным. Соответственно
нельзя получить импульсные переходные функции импульсной и дискретной систем.
Для получения, например, импульсной переходной функции замкнутой дискрет-
ной системы вначале введем понятие передаточной функции дискретной системы.
Вернемся к (3.90) и (3.91), записав их в относительном масштабе времени Т = t/T\
=	(3-97)
7=0
п __
х1(и)==ЁЛ1("_/)з?1(/);	(3.98)
1=0
здесь хг(Т) = х(7Т), кх(Т) = к(ТГ), у1(Т) = у(ТГ)', соответственно х^и^х^Г/Г),
к1(п) = к(пТ/Т), у1(п) = у(пТ/Т). Переход к относительному времени позволяет
оперировать с решетчатыми функциями с любым периодом дискретизации Т.
Уравнение (3.98) представляет собой свертку решетчатых функций. Применим к
нему Z-преобразование. Согласно теореме о свертке будем иметь
Лг*(г) = И,’(г)У*(г),	(3.99)
где
r(z) = Z{x1(n)}; r,(z) = Z{y1(»)}; ^(z) = Z^(«)}.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
Из (3.99) следует, что
415
(3.100)
Выражение (3.100) представляет собой отношение изображения выходного сиг-
нала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях и называется
передаточной функцией дискретной системы. Таким образом, передаточная функ-
ция дискретной системы представляет собой Z-преобразование импульсной пере-
ходной функции дискретной системы
и=0
Аналогичная ситуация имеет место и в случае использования /^-преобразования.
Соответственно
(3.101)
. Х'(а\
w
и
л=0
Для нахождения импульсной переходной функции замкнутой дискретной системы
вначале применим Z-преобразование к уравнению (3.96). В результате будем иметь
X* (z) = W* (z)r* (z) - W* (z) X* (z),
откуда следует
X'(z)	W*(z)
X’(z) l + ^‘(2)
(3.102)
В правой части равенства (3.102) записано выражение, определяющее отношение
изображения выхода к изображению входа, следовательно, оно представляет собой
передаточную функцию замкнутой системы, т.е.
(3.103)
Обратное Z-преобразование от W3 (z) определяет импульсную переходную
функцию замкнутой системы
^3(n) = Z-1{<(z)}.
Выражение, связывающее вход и выход для замкнутой системы, будет иметь вид
1=0
Рассмотрим влияние элемента, формирующего модулирующие импульсы, на ди-
намические характеристики импульсной и дискретной систем. Импульсная переход-
ная функция формирующего элемента, как указывалось выше, имеет вид
p(z) = l(z)-l(?-x).
Соответственно частотная передаточная функция
1 — j®*
P(j<») = F{p(t)} = !- е.~ ,	(3.104)
где	—Фурье-преобразование функции />(/).
416
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Запишем выражение (3.104) в виде
/’(>) =
2е’>т/2(е>т/2-е
у2о>
2sin(jcox/2)^_zo)T/2
(О
Из (3.105) легко получить амплитудно-частотную характеристику

2sin(jrox/2)
со
(3.105)
(3.106)
Вид амплитудно-частотной характеристики показан на рис. 3.22.
Рис. 3.22. Амплитудно-частотная характеристика элемента,
формирующего модулирующие импульсы
Согласно формуле (3.106), амплитудно-частотная характеристика является «па-
дающей», т.е. формирующий элемент представляет собой низкочастотный фильтр,
полоса пропускания которого тем ниже, чем больше х. Эта особенность форми-
рующего элемента влияет в целом на динамические свойства всей импульсной или
дискретной системы, снижая их быстродействие и уменьшая полосу пропускания по
отношению к аналогичной непрерывной системе.
3.4.8.	Частотные характеристики импульсных и дискретных систем
Частотные характеристики импульсных и дискретных систем можно получить,
основываясь на их передаточных функциях, записанных с использованием D-преобра-
зования, и формально выполняя замену s на ja>. Так как q = sT (п. 3.3.3), то ампли-
тудно-фазовой частотной характеристикой (частотной передаточной функцией) сис-
темы будет
Функция Л (и) = |jF*(jto)| называется амплитудно-частотной характеристикой,
а функция <р(со) = argl/ (jco) — фазочастотной характеристикой системы. Физи-
ческий смысл этих характеристик во многом аналогичен их эквивалентам для непре-
рывных систем. Он становится ясен, если рассмотреть прохождение гармонического
сигнала через дискретную систему.
Пусть система имеет передаточную функцию и на ее вход поступает гар-
монический сигнал у(пТ) = y0cos(co0«7’ + <р).
417
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
Введем новую переменную <50=®0Г; тогда входной сигнал с нормированным
временем запишется в виде
yi(/7) = 3’ocos(®on + <p)> где <50 е(0,п).	(3.107)
Представим у, (и) в виде двух сигналов, используя формулу Эйлера:
Л(«) = У11(") + 3;12(«)>
где
У!! (и) = |	J12 („) = ^е-Л»о«+ф)
Рассматриваемая система является линейной, поэтому для ее анализа справедлив
принцип суперпозиции, т.е. реакцию на сумму воздействий можно найти как сумму
реакций на каждое воздействие. Если реакция хи(и) порождена воздействием Уп(и),
а реакция х)2(и) —соответственно у12(и), то х1(и) = х11(н) + х12(и) будет реакци-
ей на воздействие у1 (и).
Найдем изображение выхода на воздействие ун(и). В соответствии с формулой
(3.99), применительно к О-изображению будем иметь
q
X, (я) = w* (q) г,- (q)
2	еч — eJ 0
Оригинал определяется зависимостью
f	•- q
хн (и) = D<—	(q)  —=~
= 20.е7Ф
2
Аг	q
Ук.евИ'Чд)——=-
еч -eJ<a°
(3.108)
Ч=Ч:
В (3.108) вычеты берутся в полюсах <?,, 1 = 1,к. передаточной функции jy*(g) и
q0 = ую0, определяемых воздействием.
Вычеты в случаях простых или кратных полюсов передаточной функции W (#)
вычисляются по формулам (3.20), (3.21) при выполнении замены z = e4. Для просто-
ты изложения, что не ограничивает общности рассуждений, будем полагать полюса
передаточной функции простыми, и она не имеет полюса на мнимой оси. Тогда
Res W* (q)—-——	= lim W* (q)(e4 - e4‘)—-—— = с;е9/".
^>е4_е^	>еч-е^
4=4,
Для вычета в точке q0 = jaQ имеем
Res FT (q)= lim W (q) e4 - в7"" )-?—=- = № (ую0)еЛ-и.
4=4,
Таким образом, реакция системы на воздействие ун (и) имеет вид
*п(«) = Е—eJI?c,e4'n(3.109)
i=o	2
Изображение выхода на воздействие у12 (и) определяется следующим образом:
q
^*2 (q) = W* (9)(q) = У^-e-^w* (q)-e4~e^-
Выполняя аналогичные рассуждения при переходе во временную область, будем
иметь
28 Зак. 14
418 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
х12 (л) =	(-jSoX^".	(3.110)
Полученные выражения (3.109) и (3.110) позволяют найти реакцию системы на
гармоническое воздействие	•
Х](и) = ^Уосозф^е9'” + —Г1Т’(у50)е^“о"+<₽) +17*(-jM0)e_-y(“ll”+4>n.	(3.111)
i=o	2 L	J
Передаточные функции W (<?) являются дробно-рациональными, поэтому функ-
ции	и W (~/со0), в свою очередь, являются комплексно-сопряженными.
В силу этого выражение (3.111) можно записать в виде
x1(n) = y0coscp^c,e’i" + у0Л(ю0)-со8(со0и + ср + ср (<o0)k	(3.112)
i=i
где Л(й0) = |fF*(jco0)|; q>*(coo) = arg0'*(5o)-
Если действительные части всех полюсов q, являются отрицательными, то пер-
вое слагаемое в выражении (3.112) при п-too будет стремиться к нулю, и в уста-
новившемся режиме реакция системы на гармоническое воздействие будет опреде-
ляться выражением
X] [и] = y0?4(co0)cos(co0H + cp + cp* (ёо0)).	(3.113)
Таким образом, при прохождении гармонического сигнала через дискретную сис-
тему после окончания переходного процесса не произошло изменения его формы. Из-
менилась лишь амплитуда сигнала, и произошел фазовый сдвиг. Причем изменение
величины как амплитуды, так и фазового сдвига зависит от частоты входного гар-
монического сигнала. В этом и состоит физический смысл амплитудно-частотной
и фазочастотной характеристик системы. Амплитудно-частотная характеристи-
ка определяет изменение амплитуды гармонического сигнала на заданной частоте
при его прохождении через систему, фазочастотная характеристика — сдвиг фазы
гармонического сигнала на выходе системы по отношению к исходной фазе гармо-
нического сигнала на входе.
При рассмотрении дискретного преобразования Лапласа отмечалось, что изобра-
жение является периодической функцией с периодом 2л по отношению к перемен-
ной q. Вследствие этого амплитудно-фазочастотная характеристика системы являет-
ся графическим отображением частотной передаточной функции, а также является
периодической с периодом 2л/7’, т.е.
=	+ к = 0,±1,±2,....
Поэтому частотная характеристика W*(ja) полностью определяется значениями
со в полосе частот -л/Т <со<л/7’. Для нормированной частоты сое (-л, л] имеем
W* (jco) = W' (j(со + £2л)), к = 0, ± 1, ± 2,....
Рассмотрим связь частотных характеристик дискретной системы и ее приведен-
ной непрерывной части на примере разомкнутой системы.
Воспользуемся соотношением (3.30) для нахождения связи между частными ха-
рактеристиками для разомкнутой дискретной системы и ее приведенной непрерыв-
ной частью. Если под изображениями F* (s) и F(s) понимать соответственно пере-
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 419
даточные функции дискретной системы и ее приведенной непрерывной частью, то
формула (3.30) может быть записана следующим образом:
(ЗЛ14)
1 к=-<09	\	1 j
где
W(s) = P(s)W(s).
Связь для передаточных функций следует из (3.114) при замене s = jco:
Z	(3.115)
‘ к=-х \ V 1	/7
Формула (3.115) показывает, что для определения амплитудно-фазочастотной
характеристики дискретной системы необходимо просуммировать соответст-
вующие характеристики приведенной непрерывной части, смещенные на кЪтфТ,
к =0,±1,±2,.... Простым суммированием амплитудно-частотных и фазочастотных
характеристик приведенной непрерывной части получить аналогичные характеристики
дискретной системы не представляется возможным. Однако, используя зависимости
Re И/'(>) = -X Re И/<»+—£
*=-00	Ч \	Т
Im	= — £ Im W\ j{co +—к
T k=-n	H
можно достаточно просто найти, например, АЧХ.
Рис. 3.23. К пояснению связи частотных характеристик непрерывной и дискретной систем
Обратим внимание на еще одну особенность связи частотных характеристик. При
уменьшении периода дискретизации Т частота <в0 = 2л/Г, на которую смещаются
частотные передаточные функции при своем суммировании, увеличивается. Если для
частотной характеристики приведенной непрерывной части выполняется условие
|^(;со)| = О при |со| > аь,
28’
420 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где аь < <о0/2, то в полосе частот |ш| < (со0 - <вй) частотные характеристики приве-
денной непрерывной части и дискретной системы полностью совпадают. Для ампли-
тудно-частотной характеристики совпадение выполняется с точностью до коэффици-
ента 1/7 (рис. 3.23). Причина — «неналожение» частотных характеристик приведен-
ной непрерывной части друг на друга.
На частотах IcoIxb*, в частности, амплитудно-частотная характеристика дискрет-
ной системы является зеркальным отражением своей части в полосе частот |со| < <оА.
3.4.9.	Связь S- И Z-ПЛОСКОСТЕЙ И ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОЛЮСОВ
НА ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
Выше была установлена взаимосвязь между комплексными переменными s и z
в виде z = e’7. Однако операция квантования непрерывных систем вызывает эффек-
ты, требующие особого внимания. Так, например, невыполнение условий теоремы
Котельникова-Шеннона приводит к искажению реакции системы. Рассмотрим этот
эффект подробнее с точки зрения расположения полюсов исходной непрерывной
системы и соответствующей ей дискретной системы.
Пусть непрерывная система описывается моделью в пространстве состояний
Х = AX + BY;
ХВ=СХ
Тогда соответствующая ей дискретная система при квантовании с постоянным
шагом Т и использовании экстраполятора нулевого порядка имеет вид
Х((«Т +1)7) = ФХ(лТ) + ГУ(л1Г);
Хв(нТ) = СХ(лТ).
Так как Ф = еАГ, то из свойств матричной экспоненты следует, что
А,.(ф) = /'(А)7',	(3.116)
где A;(R) — /-е собственное число матрицы R.
Это уравнение задает взаимосвязь между расположением полюсов на s- и z-пло-
скостях.
Рассмотрим непрерывную систему с двумя парами комплексно-сопряженных по-
люсов, представленных на рис. 3.24, а.
Рис. 3.24. Расположение полюсов на s- и z-плоскостях (со, < лГ/2)
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
421
Отображение (3.116) не является взаимно однозначным. Действительно, две пары
полюсов Xj и Х2 в результате квантования отображаются на z-плоскость в одну пару
полюсов X (рис. 3.24, б).
Поскольку расположение полюсов ца 5-плоскости определяет характер собствен-
ных движений линейной непрерывной системы, представляет интерес не только вза-
имное расположение корней характеристических уравнений, но и соответствующие
им временные характеристики (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Расположение корней на s- и z-плоскостях и соответствующие
временные характеристики [60]
^-ПЛОСКОСТЬ k
-со, /2



422 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
3.5. ОПИСАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
3.5.1. Системные характеристики линейных динамических звеньев
Исходное описание динамических звеньев в виде обыкновенных дифференциаль-
ных и разностных уравнений представляет собой неявную форму записи соотноше-
ний «вход-выход». Поэтому в практике решения задач управления получили распро-
странение характеристики, позволяющие получить явные соотношения, определяю-
щие зависимость реакций системы от входных воздействий.
Во временной области такими характеристиками являются весовые функции, оп-
ределяемые как реакции системы на импульсные воздействия. Интегральные преоб-
разования весовых функций приводят к определению соответствующих передаточ-
ных функций и связанных с ними частотных характеристик.
Понятие передаточной функции линейной стационарной системы было обобщено
сначала на непрерывные нестационарные [20], а затем и на дискретные нестационарные
системы [102]. По-видимому, впервые систематическое описание всего класса линейных
нестационарных систем удалось осуществить в рамках спектрального метода [118].
Примерно тогда же стало ясно, что известные понятия передаточных функций
стационарных непрерывных W(s) и дискретных W (z) систем могут быть распро-
странены на весь класс линейных динамических систем (нестационарных, непрерыв-
ных и дискретных, описываемых смешанной системой непрерывных дифференци-
альных и разностных уравнений) [106].
3.5.1.1. Непрерывные системы
Если вход и выход системы являются вектор-функциями, то импульсное воздей-
ствие записывается как произведение единичной матрицы I, соответствующей раз-
мерности входного вектора, и дельта-функции 8(/-т). При этом весовая функция
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 423
будет прямоугольной ( т х п )-матрицей соответственно входному /и-вектору и вы-
ходному «-вектору.
Весовая функция определяет явную связь «вход-выход» в виде интегрального со-
отношения
i •
Х(/)= Jk(z,t)Y(t)Jt,	(3.117)
'о
где размер матрицы весовых функций К(1,т) согласован с размерностями векторов
входных воздействий Y(r) и реакцией Х(г). Не ограничивая общности, выберем
начальный момент t0 = 0. Поскольку дальнейшее изложение в данной главе не зави-
сит от того, является ли весовая функция матричной или скалярной, мы не будем
каждый раз останавливаться на размерностях матриц весовых функций, предполагая,
что их размеры согласованы с векторами входных воздействий Y(f) и реакций Х(г),
Х(/)= Jk(/,t)Y(t)c?t.	(3.118)
о
Передаточные функции определяются как интегральные преобразования весовой
функции. Поскольку последняя является функцией двух переменных, могут быть оп-
ределены три передаточные функции по каждой из переменных т и t и по тем же
двум переменным одновременно. Соответствующие передаточные функции были
определены сначала Л. Заде, а затем И.Н. Бриккером [20].
Подчеркнем, что для нестационарной системы целесообразно определить именно
три передаточные функции, поскольку для различных задач удобно пользоваться
разными функциям, тогда как попытки использовать одну передаточную функцию
Заде заведомо обречены на неудачу.
Обобщенную передаточную функцию V (я,т) определим как преобразование Лап-
ласа по переменной t:
K(s,t)=	(3.119)
t
Нижний предел интегрирования выбран с учетом известного свойства весовой
функции
£(z,t) = O, t<x.	(3.120)
Вводя новую переменную 0 = t - т, обобщенную передаточную функцию можно
записать также в виде
К(5,т)= рс(0 + т,т)е’1е</0.	(3.121)
о
Если система является стационарной, то весовая функция к (1,т) зависит от разности
^переменных t и т, т.е.	и тогда из последнего соотношения получим известное
выражение для определения передаточной функции стационарной системы W (s):
K(s,t) = 1F(s) = ]>(0)е’*6с/е.	(3.122)
о
Чтобы получить выражение для связи «вход-выход» на основе К($,т), преобра-
зуем по Лапласу обе части соотношения (3.118)
424
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
A"(s)= je”'7 рг({,т)у(т)б/тД/.
О т
Меняя порядок интегрирования, с учетом определения (3.119) будем иметь
%($)=! |л(/,т)е~5(/_’\у(т)е_этс?Т4й.
О т
И окончательно
^(5) = ]г(5,г)у(т)е-"Л.	(3.123)
о
Для стационарной системы передаточная функция К($,т) не зависит от времени
И(л,т) = lP(.s). Из (3.123) получим широко известное выражение для связи «вход-
выход»
A'(s) = lR(s)r(s).	(3.124)
Завершая обсуждение обобщенной передаточной функции, сделаем одно замеча-
ние относительно смысла V(л',т). Из основного определения (3.119) следует, что
К(5,т)е”" = jk(t,T)e~sldt.
т
То есть если рассматривать е~" в качестве входного воздействия, то интеграл
справа представляет собой интеграл свертки системы, сопряженной с исходной. Ина-
че говоря, если на вход системы, сопряженной с исходной, подать сигнал e~sl, то на
выходе получим обобщенную передаточную функцию, умноженную на тот же сигнал.
Сопряженная передаточная функция определяется как интегральное преобразо-
вание по переменной т:
= |л(г,т)е’^'т)Л.	(3.125)
о
Для установления связи «вход-выход» на основе сопряженной передаточной функ-
ции выразим в (3.117) воздействие у(/) через его изображение с помощью обратного
преобразования Лапласа
(	c+Ja
x(r)= Ja(z,t)— J estY{s)dsdx
О	J С- jco
или с учетом определения (3.125)
х(/) =—- J eslH(t,s)Y(s)ds.	(3.126)
с-jx>
Последний интеграл отвечает .формуле обратного преобразования Лапласа, отсю-
да следует, что
H(t,s)Y(s) = X(s,t).	(3.127)
Вместе с тем смысл изображений У(^) и X(s,t) разный. Изображение У($) есть
обычное преобразование Лапласа воздействия у(/), тогда как параметр t в левой
части выражения (3.127) свидетельствует о существенной разнице соотношения
«вход-выход» для стационарных систем (3.124) и похожего на него выражения (3.127).
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 425
Хотелось бы иметь конструкцию, связывающую обычные изображения воздейст-
вия и вызываемой им реакции. Для нестационарных систем такая конструкция суще-
ствует и задается бичастотной передаточной функцией, которая определяется как
двухмерное интегральное преобразование
V(s,p) = ^dx $dtk(t,x)e~slepx -$dt^dxk(t,x)e~xlepx.	(3.128)
От	0	0
Если звено стационарное и аргументом весовой функций будет разность r-т, то
непосредственным вычислением из (3.128) получим
Г(«,р)=—(3.129)
S~P
где W (5) — передаточная функция стационарного звена.
Связь «вход-выход» на основе бичастотной передаточной функции найдем, пре-
образовав по Лапласу (3.128) и выразив воздействие у (г) через его изображение Y (5):
= |е-’' Ц- J eptY(p)dpdxdt.
0	0	2Я-/ с-/«>
Меняя порядок интегрирования, с учетом определения (3.128) получим искомое
соотношение
^(0 = — J l\s,p)Y(p)dp.	(3.130)
C-JX
В стационарной системе эта формула преобразуется в (3.124), поскольку, под-
ставляя Г(х,р) в (3.129), запишем
J С-jx£>	Г
Ось интегрирования с абсциссой «с» разделяет особенности У(р) и l/(s-p).
Интегрируя вычетами в правой полуплоскости, приходим к известному соотноше-
нию (3.124).
Подчеркнем, что для нестационарных динамических систем не существует про-
стого алгебраического соотношения вида (3.124), связывающего изображения вход-
ного воздействия и реакции, и интегральное представление связи «вход-выход» (3.130)
является типовым характерным представлением для всех классов линейных неста-
ционарных систем.
Найдем соотношения, связывающие введенные передаточные функции. Перепи-
сав определение (3.128) для бичастотной передаточной функции в виде
оо / оо
r(5>p)=J
Окт
s(t~x}dt epxe~5xdx,
получим с учетом (3.129) выражение, связывающее обобщенную и бичастотную пе-
редаточные функции:
Г(з,р)= |к(х,т)е	р}хdx.
о
(3.131)
Откуда очевидно, что Г (л1, />) есть преобразование Лапласа по переменной х от
обобщенной передаточной функции. В качестве комплексной переменной выступает з-р.
27 Зак. 14
426
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Обратный переход от Г($,р) к К($,т) получим как обратное преобразование из
(3.131):
с+уоо
И(5,т) = —7 J r(sis~p)efndp.	(3.132)
С- j<*>
Если звено стационарное, то
,	. W(s) W(s)
r(s,s-p)=-------= —(3.133)
S-S + p p
и из (3.132)
J C-j<£> Г
что и следовало ожидать.
Выделив в определении (3.128) составляющую (3.125), найдем соотношение, свя-
зывающее бичастотную и сопряженную передаточные функции'.
Г(з,р) = j	e~s‘e~p,dt,
0^0
откуда
Г (s, р) =	(/, р) e~(s~p)‘ dt.	(3.134)
о
Другими словами, Г (s, р) есть преобразование Лапласа для сопряженной пере-
даточной функции по переменной t. При этом комплексная переменная — (s-p).
Переход от Г($,р) к H(t,s) выполняется при помощи обратного преобразования
Лапласа. Переписав последнее соотношение в виде
Г($ + р,р)= ^H{t,p)e~udt,
о
найдем искомую зависимость
, с+у»
Я(/,р) = — f r(s + p,p}es‘ds.	(3.135)
2л *
c-jn
Исходные весовые функции получим как обратные преобразования от соответ-
ствующих функций'.
1 с+7“
£(Г,т) =---; j И(5,т)еА^
с-JOQ
। ЯМ/('~Т)А’
с- j<x>
q+J«c2+y«>
*('л) = 7—7Г 1 f V{s,p)este~tndsdp.
(2nj) d-JnCi-Ja
Непосредственно проверяется, что для стационарных звеньев весовая функция за-
висит от разности Z-т, т.е. k(t,x) =
(3.136)
(3.137)
(3.138)
1, n = m;
0, n m.
(3.139)
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 427
3.5.1.2.	Дискретные системы
Рассмотрим чисто дискретную систему, входным воздействием которой является
последовательность (скалярная или векторная) ^(«) (л — целочисленная перемен-
ная), а выходом — последовательность**^).
Весовую функцию дискретной системы к(п,т) определим как реакцию на им-
пульсное воздействие &(п-т)'.
\(п-т) =
Считая, что воздействие подается на систему в момент п$ = 0, связь «вход-выход»
описывается соотношением
х(л)= 22 k(n,rn)y(m).	(3.140)
т~0
Передаточные функции дискретных систем определим как дискретные аналоги
соответствующих интегральных преобразований. Таковыми для временных последо-
вательностей являются дискретные преобразования Лапласа и Z-преобразования. С ме-
тодической точки зрения целесообразно было бы начать с дискретного преобразования
Лапласа, поскольку соответствующие динамические характеристики допускают яс-
ную физическую интерпретацию [15, 58].
Вместе с тем на этапе определения системных характеристик достаточно ограни-
читься /-преобразованием, имея в виду, что связь последнего с дискретным преобра-
зованием Лапласа известна [58] и в случае необходимости соответствующие соотно-
шения получаются простой подстановкой.
Обобщенную передаточную функцию дискретной, в общем случае, нестационарной
системы определим как Z-преобразование весовой функции к(п,т) попеременной п:
У(г,т) = £k(n,m)z ~т\	(3.141)
п=т
которое можно также записать так:
V(z,m) = ^к(р +m,in)z~p.	(3.142)
р=0
Для получения соотношения, связывающего вход и выход системы, преобразуем
по z обе части выражения (3.140)
со П
Х (z) = EEk(n’mMm)z''' z~m •
л=0т=0
Меняя порядок суммирования и учитывая определение (3.140), получим искомую
зависимость
*(*) = Z Ё k{n,rn)z~(n~m>>y(m)z~n = £ V(z,m)y(m)z~n.	(3.143)
m=Qn-m	т=0
У стационарной системы, весовая функция которой зависит от разности аргументов
к(п,т) = к(п-т),	(3.144)
обобщенная передаточная функция не зависит от временного параметра т,
V(г,ти) = 22 k(n-m)z~^n~m^ = 22 k(p)z~p = W(z),	(3.145)
n=m	p=0
27*
428 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
а выражение для связи «вход-выход» (3.143) превращается в известное алгебраиче-
ское соотношение
X(z)=£w(z)y(m)z~m =VY(z)Y(z).	(3.146)
т=0	•
Таким образом, в общем случае обобщенная передаточная функция связывает
изображение реакции A'(z) с оригиналом воздействия у(и), и только если система
стационарна, удается записать алгебраическую связь между изображениями (3.146).
Сопряженную передаточную функцию дискретной системы определим как пре-
образование весовой функции к(п,т) по второму аргументу т
H(n,z)=^k(n,m)z~<‘n~m\	(3.147)
m=0
Как и для непрерывных систем, сопряженная передаточная функция позволяет
установить соотношение для изображений входа и выхода системы. Заменим в (3.140)
оригинал у (от) его изображением T(z), используя обратное Z-преобразование:
х(и)=	к(п,т)-^~ (jzm~1Y(z)dz.	(3.148)
m=0	27IJ J
В последнем выражении поменяем местами операции интегрирования и суммиро-
вания. Тогда, принимая во внимание определение (3.147), получим
х(п) =-^^<jzn~lH(n,z)Y(z)dz.	(3.149)
Интеграл (3.149), представляющий собой обратное /-преобразование, позволяет
предположить, что стоящее под знаком интеграла выражение можно интерпрети-
ровать как изображение реакции
X(z,n) = k(n,zyY(z).	(3.150)
К сожалению, произведение (3.150) не есть изображение нормальной реакции
х(и), о чем свидетельствует «застрявший» параметр п, а связь между обычными
изображениями в общем случае нестационарных систем оказывается сложнее и
устанавливается другой системной характеристикой.
Наиболее общей характеристикой нестационарных динамических систем в об-
ласти изображений будет бичастотная передаточная функция, которую определим
как двухмерное Z-преобразование-.
r(z2>zi)= Е XA("’w)z2"zi'"’1 = Е Ё k(n,m)z2nz™~\	(3.151)
/?=0 т=0	т=0п=т
Если звено стационарное и весовая функция зависит от разности аргументов
п-т, то непосредственными вычислениями получим
Г(^<) = J ^k^n-m^z^ = t tk(p)z-2pZ2mzrl- (3-152)
m=0n=m *	p=Q
Принимая во внимание, что передаточная функция стационарной системы есть
Z-преобразование весовой функции
W(z2)=Yz-2pk(p),	(3.153)
р=0
и полагая |z1|<|z2|, передаточную функцию стационарной системы запишем в сле-
дующем виде:
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
429
/	\ ^(z2) z7
r(Z2,z,)=—--------г—.	(3.154)
Z1 z2 ~ Z1
Заметим, что тождественное преобразование характеризуется передаточной функ-
цией	•
r(z2,Z]) = —------V	(3.155)
Z1(Z2~Z1)
Найдем теперь связь между /-преобразованием входа и выхода дискретной сис-
темы, для чего преобразуем обе части соотношения (3.140), выразив предварительно
у(ти) через изображение Y(z):
=	(3.156)
п=0	т-0	ZnJ
Меняя порядок интегрирования и суммирования, приведем последнее выражение
к виду
^(z2) = ^-^Z Z^(«^)z2”',zr'lz(zi)a'zi,
л=0т=0
из которого с учетом определения (3.151) получим искомую связь
X(z2) = ^-4r(z2,zi)r(z')nfe1.	(3.157)
Итак, для нестационарных дискретных систем связь между изображениями вхо-
да и выхода устанавливается на основе бичастотной, а не сопряженной передаточ-
ной функции. Причем эта свЛзь является не алгебраической, а интегральной. Только
если звено является стационарным (3.154), из последней формулы прямыми вычисле-
ниями легко получить знакомую алгебраическую зависимость
^(z2) = W(z2)/7^-L-Y(z1)dzI=W(z2)Y(z2).	(3.158)
Zj Z2 Zj
В последнем случае для вычисления интеграла используется вычет в полюсе
Z] = z2 вне контура интегрирования.
Для установления связи между бичастотной и обобщенной передаточными функ-
циями в определении (3.151) выделим составляющую, отвечающую обобщенной пе-
редаточной функции:
r(Z2-Zl)=X ik(n’m)Z2{n т}
m=Q\_n=m
-т „т-У
z2 Zj ,
откуда
1 00
r(z2,Z])= — Ху(г2,т)(г1/г2)т,	(3.159)
Z\ т=0
и, следовательно, с точностью до множителя 1/zt, r(z2,z1) может рассматриваться
как Z-преобразование И(г2,ти) по переменной т, а в качестве комплексной пере-
' менной выступает отношение z2/z].
Обратный переход от r(z2,Z]) к И(г2,ш) должен отвечать некоторому обратно-
му /-преобразованию. Перепишем последнее соотношение, обозначая для наглядно-
сти z2/Z1,
z2,^\ = § Г(г2,ш)Гт.	(3.160)
S к Ь J m=Q
430 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Выражение справа в точности отвечает Z-преобразованию функции K(z2,w).
Вычисляя обратное /-преобразование, получим искомую зависимость
K(z2,W) = ^-^z2r^z2,|-^'n*2^.	• (3.161)
Воспользуемся последним соотношением для стационарного звена, у которого
rfz2,|.yiK(z2)|-^r.
<	Z2z2-|-
Тогда из (3.161) найдем
K(z2>W) = ^(z2)^^^ = fr(z2),
что и следовало ожидать.
Сходным образом, выделив в определении (3.151) часть, отвечающую соотноше-
нию (3.147), получим
(3.162)
Откуда найдем выражение, связывающее бичастотную и сопряженную переда-
точные функции'.
1 ”
r(z2>zl) = ~£я(Л>г1)(г2/г1) ">	'	(3.163)
Z1 и=0
и бичастотная передаточная функция с точностью до множителя \/z\ может
рассматриваться как преобразование сопряженной передаточной функции по пере-
менной п, где в качестве комплексной переменной используется отношение z2/zx.
С помощью замены z2/zt = ц перепишем последнее соотношение в виде
zir(ziTl>zi) = Z^("’zi)Tl ">
»=о
которое показывает, что //(л, Zj) является обратным преобразованием'.
) = Y-<fzir(vi>zi)n" ’^1-
(3.164)
В заключение приведем сводку формул, связывающих передаточные функции с ори-
гиналом к(п,т), которые получаются очевидным образом как обратные Z-преобра-
зования, соответствующие определениям (3.141), (3.147) и (3.151):
Л(и,/и) = ^-7(^К(г,/и)г”_'”_1<&;	(3.165)
k(n,m) = -^—<^H(n,z)zn~m~xdz',	(3.166)
к(п,т)=—l—<ffi(z2,z^zn-'z-m.	(3.167)
\ )
Если звено стационарное, то V(z,m) = И/(г) и из (3.161) очевидным образом сле-
дует, что к(п,т) = к(п-т), а из (3.167) прямыми вычислениями находим
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 431
(2ту)	zi(z2-2i)
1	1	7^
= —<j^i'm~l—<f^(z2)—2—=	(3-168)
^ту	^ту	^2 —
= ^-4^i^(Z1)zi” ~m’' =k(n-m),
что и следовало ожидать.
3.5.1.3. Непрерывно-дискретные системы
Будем рассматривать системные характеристики непрерывно-дискретных объек-
тов, у которых при непрерывных входных воздействиях реакция представлена кван-
тованными по времени сигналами. Примером таких звеньев является ключ.
В данном случае для связей «вход-выход» не следует ожидать простых соотно-
шений даже для стационарных систем, поскольку воздействия и реакции являются
разными по математическому описанию и физической природе сигналов.
Весовая функция Л(и7’,т) определяет систему, которая является дискретной по
аргументу t = nT (Т — период квантования) и непрерывной по аргументу т. Во
временной области весовая функция устанавливает связь «вход-выход» в виде из-
вестного интеграла
пТ
х(пТ} = |Л(лГ,т)у(т) </т.	(3.169)
о
Обозначим через а = [т/Т] — минимальное целое, удовлетворяющее условию
а>х]Т.
Обобщенную передаточную функцию непрерывно-дискретной системы опреде-
лим соотношением
Г(г,т) = Е k(nT,i)z~^lr^.	(3.170)
п=[т/Г]
Для стационарной системы, в общем случае, существенных упрощений получить
не удается
И(г,т)= £ Ц7’(н-г/7’))2-(”-^,
П=[г/Г]
и только в тактовые моменты времени х-пТ
K(z,t) = K(z),	(3.171)
тогда как при х*пТ
K(z,t)* K(z).
Воспользуемся Z-преобразованием для обеих частей равенства (3.169):
оо пТ
^(z)=Ez’n
n=0 о
и после очевидных преобразований соотношение, связывающее изображение реак-
ции с оригиналом воздействия, запишем в следующем виде:
X(z) = |г(2,т)у(т)Ит/г]</т.	(3.172)
о
432 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Сопряженная передаточная функция непрерывно-дискретной системы определя-
ется интегральным преобразованием весовой функции к(пТ,х) попеременной т
пТ
H(nT,s) = jк(пТ,х)е~*(пТ	в (3.173)
о
Как и в случае непрерывных систем, связь «вход-выход» получим, представив
оригинал у(т) в (3.169) через обратное преобразование Лапласа. После чего, меняя
порядок интегрирования, найдем
, C+JOO
х(иГ)=— j H(nT,s)Y(s)e~mTds,	(3.174)
С—Joo
откуда следует соотношение
X(s,nT) = H(nT,s)Y(s),	(3.175)
относительно которого справедливы все оговорки, упомянутые для непрерывных
систем.
Наиболее полной характеристикой, описывающей непрерывно-дискретную сис-
тему в области изображений, является бичастотная передаточная функция, опре-
деляемая совместным интегральным и Z-преобразованием
и пТ
r(z,s)=^ ^k(nT,t)z~neszdx.	(3.176)
n=0 О
Проиллюстрируем последнюю характеристику на примере ключа, для которого
Л(и7’,т) = 5(«7,-т).	(3.177)
Непосредственным вычислением по формуле (3.176) найдем
r(z,5) = X(^1es')".	(3-178)
л=()
Полагая |z|>e'7, передаточную функцию ключа r(z,.v) получим в виде
(3|79)
1-z е
Бичастотная передаточная функция определяет характерное соотношение, связы-
вающее изображения воздействия и реакции, которые нетрудно получить, используя
Z-преобразования для (3.169) и обратное преобразование Лапласа для у(т):
оо пТ	, c+j«>
x(z) = Yz~n ]k(nT’xh~ J Y(s)e”dsdt.
П~0 О
Откуда, меняя порядок интегрирования, с учетом определения (3.177) получим
искомую зависимость
JT(z) = — j r(z,5)r(5)tZs.	(3.180)
В частности, для ключа
X(z)=— j т ds.	(3.181)
Как и следовало ожидать, последняя формула воспроизводит знакомую запись,
связывающую преобразование Лапласа непрерывного сигнала Y(s) с его Z-преобра-
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
433
зованием У (z). Другими словами, ядро интегрального преобразования, связывающего
изображения по Лапласу непрерывного сигнала с его же Z-преобразованием, явля-
ется динамической характеристикой соответствующего непрерывно-дискретного зве-
на (ключа).	•
Если в определении (3.176) выделить составляющую (3.170), получим соотноше-
ние, связывающее бичастотную и обобщенную передаточные функции:
ОО
T(z,s)= ^(z,x)esxz~^/r]dx.	(3.182)
о
-,-л
z
Точно так же, выделяя в (3.176) составляющую (3.173), найдем связь между бича-
стотной и сопряженной передаточными функциями
r(z,s) = YH(nT,s)esnTz~" =£г(лТ,5)
л=0	л=0
(3.183)
т.е. T(z,i) есть Z-преобразование сопряженной передаточной функции по перемен-
ной п. В качестве переменной преобразования выступает и = z/e '7.
В этом случае z = со е 17 и последнюю формулу можно переписать так:
г(сое-</, j) = ^Н(пТ,1')ш~",	(3.184)
л=0
что позволяет рассматривать сопряженную передаточную функцию как обратное
преобразование от Г^(ое~'7
7/(nT,s) = y-^r(coe_''7',5)co',4a'co.	(3.185)
Вычисление весовой функции к(пТ,х) по известным передаточным функциям
выполняется по очевидным формулам соответствующих обратных интегральных
преобразований:
k(nT,x) = -^—(jk'(z,x)zn	'cZz; к(пТ,х)= —— | H[nT,s)es^nl~x^ds; с+уоо к(пТ,х) =	-(^ j r(z,5)z"'‘1e”’Tcfcc/z. (2л/) c-jm	(3.186) (3.187) (3.188)
3.5.1.4. Дискретно-непрерывные системы
Дискретно-непрерывные звенья, представителями которых являются, например,
экстраполяторы, преобразуют дискретную последовательность у(лТ’) в непрерыв-
» ный сигнал х(/) и потому характеризуются весовой функцией А(/,и7’). Обозначая
через (t/T) целую часть числа t/T, так что
(т/7’)<?/Г,	(3.189)
запишем связь «вход-выход» во временной области
(Г/Г)
x(f) =	А:(г,и7’)у(и7’).	(3.190)
л=0
434 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
По уже привычной схеме определим обобщенную передаточную функцию
V(s,nT) как интегральное преобразование по непрерывной переменной Г.
K(s,hT)= J k(t,nT)e~s{‘~nT>>dt.
пТ
• (3.191)
В стационарных звеньях весовая функция зависит от разности аргументов t-nT\
тогда
V(s,nT) = J k(t-nT)e~s{f~nT>idt = jA(6)e^J0 = ^(5),
пТ	О
т.е. обобщенная передаточная функция совпадает с обычной передаточной функци-
ей непрерывного звена
V(s,nT) = W(s).	(3.192)
Преобразуем по Лапласу обе части выражения (3.190):
оо б/Т)
X(s)= X k(t,nT)y(nT)dt.	(3.193)
0	п=0
Меняя местами операции интегрирования и суммирования, выделим составляю-
щую К(л,«7’) в соответствии с определением (3.191)
X(s) = £ J k(t,nT)e~s(‘~nT'>dt
n=0\nT
Тогда связь «вход-выход» на основе обобщенной передаточной функции запи-
шется как сумма
п=0
В стационарных звеньях, с учетом (3.192), в последнем соотношении И(л,и7’) не
e~snry(nT).
(3.194)
(3.195)
зависит от п и ее можно вынести за знак суммы:
2^) = 1Т(5)]Гу(„7’)е-от7’.
и=0
Здесь суммирование определяет известное дискретное преобразование Лапласа
• у\^±у(»тУ‘пТ •
rt=0
Поэтому, как и следовало ожидать,
X(s) = W(s)Y*(s).
Если ограничиться дискретными значениями х(иТ’) непрерывного сигнала х(/),
что соответствует сигналу на выходе фиктивного ключа, и воспользоваться /-пре-
образованием, то для стационарных звеньев из (3.182) получим более простое со-
отношение
A'(z) =	k(nT-mT)y(mT) =	к(пТ-mT}z~^n~m}y(mT}z~m,
n=G m=0	m=0n=m
ИЛИ
X(z) = W(z)Y(z),	(3.196)
где вход и выход звена заданы их /-преобразованиями.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
435
(3.197)
Сопряженную передаточную функцию дискретно-непрерывного звена определим
преобразованием по дискретному аргументу
(t/r)
H(t,z) = £ k(t,nT)z~{,/r'>+n
п=0	*
Ждать упрощений для стационарных звеньев здесь не приходится. Поэтому сразу
переходим к определению связи «вход-выход». Представляя воздействие у(пТ) че-
рез его Z-преобразование, можно записать
('/П	, г
(fr(z)z n~xdz.
п=0
Выделяя в последнем выражении составляющую (3.197)
1	('/?’)
получим искомое соотношение
х(?) =-^—<^7/(/,z)K(z)z^^^ Xdz.
Интеграл обратного Z-преобразования (3.198) позволяет получить формулу для
связи «вход—выход»
Xdz,
(3.198)
X(z) = H(/,z)y(z)	(3.199)
с теми же оговорками, что и выше. Иными словами, если Y(z) является /-преобразо-
ванием воздействия у(иТ), то этого нельзя сказать о реакции х(г) и даже о ее дис-
кретной последовательности х(иТ’).
Поэтому для того чтобы получить явную связь «вход-выход» для изображений,
потребуется бичастотная передаточная функция дискретно-непрерывного звена,
определяемая соотношением
r(.s,z) = ^r |k(t,nT}e~st zn~x dt.
п=0пТ
В стационарных звеньях эта конструкция конкретизируется. В самом деле, пря-
мыми преобразованиями (3.200), учитывая, что в стационарных звеньях
k(t,nT} = k(t- пТ},
(3.200)
найдем
r(s,z) = У k(t - пТ^ё^1 zn~x dt = У,zn~x
п=0пТ	л=0
jk(t-nT)e-*-nr)dt e~snT.
<пт	7
Принимая во внимание определение передаточной функции как преобразования
Лапласа от весовой функции (3.129), будем иметь
Г(5,г) = Ж(5)Уг"’1е’5”7’.
л-0
Выберем значение абсциссы сходимости (с = Re 5 ) так, чтобы выполнялось условие
|ze-'r|<l.	(3.201)
По формуле геометрической прогрессии получим искомую передаточную функ-
цию дискретно-непрерывной стационарной системы
r(s 1
’ ' г l-ze~sT
(3.202)
436
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В структуре последней формулы выделены явно два множителя, каждый из кото-
рых имеет свое функциональное назначение. Изменяемая часть, множитель И7(У),
будучи непрерывной системой, выполняет роль формирующего фильтра, тогда как
оставшаяся часть, одинаковая для всех стационарных звеньев, является некоторым
преобразователем код—аналог. Свойства последнего будут рассмотрены ниже при
изучении экстраполятора.
Связь «вход-выход» будем искать по традиционной схеме. Преобразуем по Лап-
ласу обе части выражения (3.190), выразив при этом воздействие у(пТ') через его
преобразование F(z)
1 г
X(i)= je л/ 22 k(t,nT}—;<^y(z)z" xdzdt.
о п=о 2л/ J
Меняя порядок интегрирования и учитывая определение (3.200), получим иско-
мое соотношение
X(s) = -^-cfr(.s,z)r(zpz,
(3.203)
по существу и по форме повторяющее аналогичные соотношения для других комби-
наций сигналов входа и выхода.
Выделив в определении (3.200) интегральную составляющую выражения (3.191)
-snT п-1
е z
(3.204)
п=0\пт	J
найдем связь между обобщенной и бичастотной передаточными функциями
r(i,z) = ^2 У(з,пТ)е snTzn *.
п=0
Переписывая последнее выражение в виде
zF(.s,z) = 22	А) >
/1=0
заметим, что с точностью до множителя z бичастотная передаточная функция может
интерпретироваться как ^-преобразование обобщенной передаточной функции по
дискретной переменной пТ с комплексной переменной
w = esT /z,
= 22 (s,nT)w п.
п=0
Поскольку сумма справа представляет собой прямое Z-преобразование (z = w),
обобщенную характеристику найдем, выполняя обратное преобразование
wn~2dw.	(3.205)
V (5, пТ) =	(s, esT /w)
Сходным образом выделим в определении (3.200) сумму, определяющую соглас-
но (3.197) сопряженную передаточную функцию
оо(//п
r(s,z)=	K(t,nT)z~^+nz^-'e-s,dt,
О «=о
что позволит получить соотношение, выражающее Г(^,г) через 7/(/,z):
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
437
r(j,z)= J//(r,z)z('/7'He“''^.	(3.206)
о
Для установления связи между H^z) и T(j,z) воспользуемся дискретным пре-
образованием Лапласа ( z = ерТ )
^ = epl ^H^t,p*^e~^'~p^dt,
о
откуда
(3.207)
1 C+Jx
= I r(s + p,p)e~pl estds.
Исходная весовая функция дискретно-непрерывного звена определяется по переда-
точным функциям соответствующими обратными интегральными преобразованиями
1 C+JX
k(t,nT} =—у | V ^s,nT^e^tnI^ ds\
c~ ix>
(3.208)
z^-'dr,
2ту
C+yoO
k(t,nT} =—у J ^V(s,z)e'' z~" dsdz.
(3.209)
(3.210)
Подведем некоторые промежуточные итоги. Итак, для линейных нестационарных,
в общем случае, систем вводятся не одна, а три различные передаточные функции.
Попытка ограничиться одной (например, параметрической передаточной функцией
Л. Заде) заведомо обречена на неудачу.
Каждая из передаточных функций по-своему важна. Для разных задач управле-
ния удобно использовать разные передаточные функции. Таким образом, создается
единая методологическая основа для описания и исследования линейных систем, опе-
рирующих с сигналами разной физической природы.
Причем наиболее общими и естественными для описания нестационарных сис-
тем разных типов являются бичастотные характеристики, связывающие изобра-
жения воздействий и реакций.
3.5.2. Передаточные функции элементарных и типовых звеньев
В качестве элементарных для непрерывно-дискретных систем будем рассматри-
вать следующие звенья: квантователи сигналов, экстраполяторы, усилительные, сум-
мирующие разности, интегрирующие, дифференцирующие, понижения такта и сдви-
га тактовых точек. Типовые, равно как и любые другие звенья, являются результатом
соединений элементарных звеньев.
Квантователь (ключ) является непрерывно-дискретным элементом с бесконечно
малым временем замыкания и описывается уравнением
Я"О-Я0|,=пГ>	(3.211)
которому соответствует весовая функция
Л(лГ-т) = 5(л7’-т).	(3.212)
Если тактовые точки определены произвольной временной последовательностью
tn (и = 0,1,...), то

(3.213)
438 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Сопряженная передаточная функция вычисляется согласно (3.174):
Я(Г„,5) = 1.	(3.214)
Бичастотная передаточная функция ключа
Г(2’5) = Хе'''"2’Л	• (3.215)
для постоянного периода квантования Т записывается в виде
r(z,5) = —(3.216)
1 —z е
Легко видно, что последняя формула является ядром интегрального преобразова-
ния, связывающего Z-преобразование функции y(t) с преобразованием Лапла-
са Y(s) той же функции, что и следовало ожидать.
Экстраполятор нулевого порядка, преобразующий дискретную последовательность
у(пТ} в непрерывный сигнал, описывается уравнением
х(/) = у(пГ), пТ < t < (n + l)?1,	(3.217)
которому отвечает весовая функция
k(t,nT) = l(t -nT)-i(t-(« + 1)7’).	(3.218)
Согласно определению (3.191) обобщенная передаточная функция T'(s,«7’) отве-
чает стационарной системе
r(5,«r) = fK(i) = ——	(3.219)
и связывает дискретное изображение Лапласа Y* (.у) с изображением непрерывной
реакции А" (я) зависимостью
Jf(j) = ^(5)^(5).	(3.220)
Вычисляя бичастотную передаточную функцию по определению (3.200), соответ-
ствующую весовой функции (3.218), найдем
1 — e~sT	1
Т^~- „
В последнем выражении присутствует в качестве множителя хорошо знакомая
передаточная функция экстраполятора нулевого порядка. Такая структура переда-
точной функции не случайна и имеет ясную физическую интерпретацию. Второй
множитель в последнем выражении выполняет функцию преобразователя решетча-
той функции у(иТ) в импульсную последовательность дельта-функций с весами
у(пТ), чему отвечает бичастотная передаточная функция
, 1-jTV	(3-222)
z(l-ze )
Таким образом, операцию экстраполирования дискретной последовательности
можно представить как последовательное выполнение двух шагов. Сначала дискрет-
ная последовательность превращается в последовательность дельта-функций линей-
ным преобразованием с весовой функцией
k(t,nT) = 6(t-nT).	(3.223)
На втором шаге формируется искомый непрерывный сигнал посредством чисто
непрерывного устройства — формирователя сигнала в пределах шага квантования.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
439
Этот формирователь в зависимости от способа преобразования может быть разных
порядков [58], но в любом случае это будет некоторое непрерывное устройство, реа-
гирующее на импульсные сигналы.
Такая интерпретация носит в основном методический характер, объясняя матема-
тические модели преобразования сигналов. Ясно, что в реальных устройствах упомя-
нутого разделения на физическом уровне не существует.
Дискретное усилительное звено описывается уравнением
х(л) = а(п)у(п),	(3.224)
которому отвечает весовая функция
k(n,m) = а(п)&(п-т).	(3.225)
Обобщенная и сопряженная передаточные функции, вычисленные по формулам
(3.148) и (3.154), соответствуют коэффициенту передачи, в общем случае зависящему
от дискретного параметра
r(z,m) = a(m),	(3.226)
H(n,z) = a(n).	(3.227)
Для бичастотной передаточной функции по формуле (3.157) найдем
r(z2,Zj) = —a(z2/zj),	(3.228)
zi
т.е. с точностью до множителя \/zx это — Z-преобразование функции а(п), когда в
качестве комплексной переменной выступает отношение z2/Z|.
Как и следовало ожидать, связь «вход-выход»
*(z2) = -^4-а(22/г1) Y (z,) dz}	(3.229)
2лу J Z]
повторяет известную формулу для изображения произведения а(и)у(и).
Непрерывное усилительное звено описывается уравнением
х(/) = п(/)у(г)	(3.230)
с весовой функцией
Л(г,т) = а(/)8(г-т),	(3.231)
для которой обг ^ценная и сопряженная передаточные функции записываются в виде
И(5,т) = а(т),	(3.232)
=	(3.233)
а бичастотная характеристика согласно (3.135)
Г (у, у) = a(s-p')	(3.234)
есть преобразование Лапласа коэффициента передачи а(г) относительно комплекс-
ной переменной s- р.
Непрерывные и дискретные звенья чистого сдвига описываются соотношениями
х(г) = у(г-0),	(3.235)
х(иТ) = у(и7’-/7’),	(3.236)
где 0 и IT — величины сдвига соответственно в непрерывных и дискретных цепях.
У дискретного звена тактовые моменты на входе и выходе совпадают.
Весовым функциям, описывающим указанные процессы сдвига,
Л(г,т) = 5(/-т-0);	(3.237)
к.(пТ,тТ} = Д(и-т-1,Т},	(3.238)
440 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
отвечают передаточные функции
V(s,x) = e~se;V(z,m) = z~l;	(3.239)
H(n,s) = е~'е; 7/(«,z) = z-/;	(3.240)
1	Л’1)
Г(.,р) = e-se -L-; r(z2,z,) =	-----.	(3.241)
5-p	Zj^-zJ
При 0 > 0 и Z > 0 сдвиг приводит к звеньям чистого запаздывания, а при 0 < 0 и
I < 0 получим звенья чистого упреждения. Если первые являются физическими вы-
ражениями, то вторые оказываются физически неосуществимыми. При 0 = 0 и I = 0
звенья чистого сдвига превращаются в усилительное звено с коэффициентом переда-
чи равным единице.
Звено сдвига тактовых частот является дискретным звеном, которое сдвигает
тактовые моменты на выходе относительно тактовых моментов на входе на величину
0 < ДТ < Т. В отличие от дискретного звена чистого сдвига, в котором величина
сдвига является кратной числу тактов, здесь тактовые моменты на входе и выходе не
совпадают. Весовая функция, реализующая сдвиг тактовой точки,
х(пТ) = у(пТ - АТ)	(3.242)
задается Д-функцией вида
k(nT,mT} = \(пТ-mT - АТ).	(3.243)
Физически ясно, что временная последовательность дискретных сигналов на вы-
ходе привязана к моментам времени пТ -\Т. Поэтому при определении бичастот-
ной передаточной функции (применяя для наглядности дискретное преобразование
Лапласа) следует пользоваться соотношением
Г(5>л)= X ^^(пТ-тТ-\Ту~^пГ~М>,ерГ.	(3.244)
m=0n=m
При этом соответствующая характеристика r(z2,Z!) отвечает тождественному
преобразованию	ч
r(z2,z,)=	(3.245)
Звено понижения такта относится к дискретным звеньям. Тактовые моменты на
входе и выходе звена совпадают, но число их различно. Поскольку звенья этого типа
встречаются лишь в особом классе систем с многократным синхронным прерывани-
ем, подробно они рассматриваются ниже в разделе, относящемся к анализу указан-
ных систем.
Элементарные непрерывные звенья — дифференцирующие и интегрирующие, явля-
ются стационарными звеньями. При использовании системных характеристик, при-
нятых при описании нестационарных процессов, передаточные функции элементарных
звеньев, подобно другим стационарным звеньям, входят в конструкции бичастотных
передаточных функций в качестве множителей
— для дифференцирующего звена и
Г(5,^)=-Д-	(3.247)
ф-р)
— для интегрирующего звена.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
441
Сходным образом, если возникает необходимость оперировать с бичастотными
передаточными функциями для элементарных дискретных звеньев — разностными и
суммирующими, то в соответствии с общим правилом вычисления бичастотных пе-
редаточных функций дискретных стационарных звеньев будем иметь
r(z2,z,)=* 22 -1	(3.248)
21(х2-г1)
— для разностного звена и
,2
r(z2>zl)=7-------------7	(3-249)
— для суммирующего.
3.5.3. Характеристики соединений непрерывно-дискретных звеньев
В этом разделе описываются способы вычисления передаточных функций соеди-
нений непрерывно-дискретных, в общем случае, нестационарных звеньев. Эти спо-
собы определяются типом соединения и выбранными характеристиками звеньев. За-
метим, что для одного и того же соединения вычисления могут быть проще или
сложнее, в зависимости от того, какие характеристики выбираются для описания ис-
ходных звеньев.
Опишем сначала характеристики последовательного соединения двух непрерыв-
ных звеньев (рис. 3.25).
Рис. 3.25. Последовательное соединение звеньев НН-НН
Записывая связь «вход-выход» для изображений, в соответствии с рис. 3.25 найдем
С+/со	с+ /со f с+
2ф) = — J Г,(^)£т=— J — J г2^,p)y(p)dp
7	2.711	7	271]	7
J C-JB>	J	C-J'S.	J	C-	J
Меняя порядок интегрирования, выразим бичастотную передаточную функцию
последовательного соединения через аналогичные характеристики звеньев:
C+JX
Г(-у,р)=— J r}(s,^r2^p)dp.
ZlU .
J c—jco
Если изображение G(s) в промежуточной точке определить как функцию от V2 (5>т)
1 с+Joo Л СО	>
то, записывая реакцию X (л) как результат интегрирования обобщенной передаточ-
ной функции соединения
оо ,	(С+/оо
f Г,(^)И2е;,т)
О J V^C-JoO
выразим последнюю через Г] (л,/?) и И2(.$,т):
(3.250)
(3.251)
е+(’Ч)т
d^ е STy(v)dx,
442
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1 c+j<°
И(Л’Т)=^- J	(3.252)
' c-j<x>
Перейдем к определению сопряженной характеристики соединения. В соответст-
вии с рис. 3.25	*
I С+уоо
XW=^~ J я!(?.n)g(n)eT1'^n =
J C-j<X>
C+ycof 1 c+j<x>
= ^“ f 2л/ f Г20м№)Л я1(лп)^п =
J	с-Г*3	/
. C+jaof _ c+joo	Л
= — f — J //1(f,n)r2(n,5)e(,’’4)'r(5)JTi estds =
2ш J 2л/ J
J С— /00 J Г— /00

c-j<n
C~J<X>
= ^~ f Я0’^)У(5)гЛ’
J c-j<x>
откуда сопряженная передаточная функция H[t,s) соединения выражается через
Я1(м) и Г2($,р)
Я(Л^)=^- j	(3.253)
Попытаемся теперь найти сопряженную передаточную функцию по сопряженным
же характеристикам звеньев. Для этого в (3.253) вместо Г2(р,^) запишем ее пред-
ставление через Я2 (/,.$)
r2(n,.s)= р/Я2(м)е (n
о
и тогда перепишем (3.253) несколько иначе:
j //[(/,т|) J//2(т,$)е	dxdx\.
2ТУ c-J=o	О
(3.254)
Очевидно, что попытка вычислить сопряженную передаточную функцию соеди-
нения через сопряженные же характеристики звеньев приводит к существенно более
сложным выражениям, чем записанные ранее (3.253). Другими словами, неправиль-
ный выбор исходных характеристик может заметно осложнить задачу вычисления
характеристик соединений.
Бичастотная передаточная функция в (3.250) получена интегрированием в ком-
плексной области. Отталкиваясь от обобщенной характеристики, удается получить
7
иное представление:
00	00	1 C+J OO
Jr(5)= k](5,t)g(T)e’iTJT= j — f Я2(т,1р)У(р)ертф Vx{s,i)e~sxdx.
*	Z7T7 J
2л/ -
> C-JX
о
Откуда, меняя порядок интегрирования, найдем
С+jca ао
^(5) = — J fyi(s,x)H2(^P)^(S~P)t}'(p)^P-
с- ja> О
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 443
Последнее выражение связывает изображения входа У($) и выхода Л'(я), откуда
следует, что бичастотная передаточная функция соединения может быть получена как
результат интегрирования по времени обобщенной Vx (1,т) и сопряженной Н2 (т,$)
характеристик исходных звеньев *
Г($,р)= jpj (5,т)Я2 (т,р)е p^dx.	(3.255)
о
Если звено 1 стационарное, то
К1(5,т) = Ж1(5),
и из (3.255) для последовательного соединения получается более простое соотно-
шение
Г(л,р) = Wx (s) §Н2 (x,p)e~^s~p^dx.
о
Вспоминая зависимость между H(x,s} и Г(5,р), вместо последнего можно за-
писать алгебраическое выражение
Г(5,р) = Ж1(5)Г2(5,р),	(3.256)
которое также является очевидным следствием (3.250).
Точно так же, если второе звено — стационарное, то алгебраическое выражение
для бичастотной передаточной функции соединения выглядит следующим образом;
r<5,p) = r1(5,p)fF2(p).	(3.257)
Найдем соответствующие зависимости для соединений дискретных звеньев
(рис. 3.26).
y(«)	E2(z, m) H2(n, z)  r2(zi,z2)	g(«)	H(z, m) Hi{n, z) Г1(гьг2)	х(и)
E(z)		G(z)		^(z)
Рис. 3.26. Последовательное соединение звеньев ДД-ДД
Последовательно записывая связь «вход-выход» для изображений, легко полу-
чить соотношения для бичастотной передаточной функции соединения
r(z2,zj) = ^-(Jr1 (z2,n)T2 (n.ijrfn.	(3.258).
Если одно из звеньев является стационарным, тем же путем легко получить ал-
гебраические выражения
r(z2,z1) = FF1(z2)r2(z2,z1);	(3.259)
r(z2,z1) = r1(z2,z1)FT2(z1).	(3.260)
Найдем обобщенную передаточную функцию соединения, вычисляя изображение
A'(z) как отклик на воздействие у (и):
х(z) = Г1 (^n)g(n)</n = ri (z,n) X v2 iy\,m)y{m}r\-mdx\ =
2^7	271/	m=0
= S	г1 (z>n) V2 (n, w)(z/t1)'" dx\z~my(m).
444 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Тогда искомая обобщенная передаточная функция V(z,m} выражается через
r1(z1,z2) и K2(z,w) следующим образом'.
K(z’w) = ^“4Г1 (Z’^)K2 (n,"0(z/n)m
Для сопряженной передаточной функции соответствующую связь получим, по-
следовательно вычисляя реакцию х(и):
(3.261)
z" }H] (n,z)dz =
)G(z)dz =
2л/ J
1
2лу
Принимая во внимание связь «вход-выход» на основе сопряженной характери-
стики, выразим последнюю через //](«,z) и Г2(г,т|):
Для дискретных систем найдем аналог формулы (3.225), вычисляя связь между
изображениями Y(z) и X (z):
(3.262)
*(z2)= X7l(Z2’m)Z2my(m) =
т=0
= XVdZ2’m)Z2m ^~^zr}H2(m>zl)Y(zl)dzl =
т-0	27V
=	(Z2> m)H2 (m’Z\\Z1!Z\	Y(Z1 Hl-
27V Z1 m=0
Сравнивая последнее соотношение с формулой связи «вход-выход» на основе
r(z2,zl), выразим бичастнотную характеристику соединения через обобщенную и
сопряженную характеристики звеньев
r(z2>zi)= ZKi(z2>w)^2('»>zi)(z2/zir'”—•	(3.263)
т=0	Z1
Сходным образом получаются характеристики соединений звеньев с различными
формами входных и выходных сигналов. На рис. 3.27 показано соединение, в кото-
ром внутренний сигнал является непрерывным, а сигналы на входе и выходе соеди-
нения — дискретные.
Бичастотная передаточная функция соединения записывается очевидным образом
с+у«о
j Tj(z2,.s)r2(.s,2!)<&.	(3.264)
c-joo
у(и)
K2(j, т)	g(t)	K,(z, г)
H2(t,z)		►	/7i(h, j)
r2(s,z)		T1(Z, 5)
Рис. 3.27. Последовательное соединение звеньев ДН-НД
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 445
Для вычисления обобщенной передаточной функции соединения в соотношении,
связывающем изображения 2f(z) и G(i),
, c+Jx
y(z)=— J r^z^G^dz,
c-jn
выразим G(i) как функцию И2($,и) и у(л)
1 C+Jc°	00
A'(z) = — j T\(z,s)dz ^И2(.?,и)у(«)е''иЛ.
27V c-yoo	«=0
Меняя порядок интегрирования и суммирования, изображение X(z) представим
как функцию .у(и)
оо 1 С’+7СО
J(z) = Zr- f
„=о 2л/ <
е“'и7.’"
znds y(n)z
-п
'’-° У J c-Jx	/
Вспоминая связь «вход-выход» на основе обобщенной характеристики (3.150),
получаем искомую зависимость для V (z, и)
С+усО
J c—j<x>
Сопряженную характеристику соединения найдем, записав цепочку соотношений
«вход-выход»:
1 с+/от
х[п) = —- J Hx^n,s)G^esnTds =
с— ioo
e~snTznds.
(3.265)
snT 1
е as =
zn~'dz.
(3.266)
= J Hl^n,s)r2(s,z)esnTz~^n ^ds K(z)
27y lc->	J
Учитывая выражение (3.149), связывающее x(n) и K(z), для сопряженной пере-
даточной функции соединения получим соотношение
Я(и,г) = —Ц- J Н} (n,s)r2 ^s,z')esnTz^n^ds.
Пусть теперь вход и выход соединения представлены непрерывными функциями,
а промежуточная координата — дискретным сигналом (рис. 3.28).
Бичастотная характеристика соединения записывается в традиционной форме
(3.267)
Г(5’Р)= 2л7^Г1
Рис. 3.28. Последовательное соединение звеньев НД-ДН
446
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Она же может быть выражена через обобщенную и сопряженную характеристики
составляющих соединение звеньев. Для этого воспользуемся следующей цепочкой
соотношений:
^(5)=ZKi(^«)g(n)e snT =
л=0
= Yv}(s,n)e-^J_ j H2{n,P)epnrY(p)dp =
П=0	2?У c-jx
-7- J
27V с-Дм
У(р)ф.
J
Изображения А'(л') и /(s) связываются друг с другом бичастотной передаточ-
ной функцией, для которой справедливо выражение
Г(*. р) = Е И (5>«)н2 («> р) е'^пТ.	(3.268)
п=0
Сходным образом можно записать сопряженную и обобщенную передаточные
функции соединения, которые оставим для самостоятельных упражнений.
Пусть теперь соединение представлено дискретно-непрерывным звеном на входе
(звено 2) и непрерывным звеном на выходе (рис. 3.29).
Рис. 3.29. Последовательное соединение звеньев ДН-НН
(3.269)
Бичастотная передаточная функция выражается через аналогичные характеристи-
ки звеньев уже знакомым соотношением
с+уео
r(*’z)=TT J Г](5,р)Г2(р,г)ф.
J C-JCO
Соотношение для обобщенной передаточной функции найдем после следующих
преобразований:
I C+J»
X(s) = — J T\(s,p')G(p)dp =
J c-j<x>
1 c+joo/ «j	\
= — f Yy2(P^)y(n)e~pnr Г](5,р)ф =
27Ус-у«ки=о	J
\
1 C+Jco
~ j ^(s,p)V2(p,n)e^s~p^Tdp y(n).
2Л/
J C— ICO
n=0
Вспоминая связь между A'(j) и y(n) (3.195), для обобщенной передаточной
функции получим выражение
С+>00
(3.270)
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
447
Рис. 3.30. Последовательное соединение звеньев НД-ДД
Если непрерывно-дискретное звено на входе соединения сопрягается с дискрет-
ным звеном на выходе (звено 1), то бичастотную передаточную функцию соединения
находят по формуле
F(z,s) =	(3.271)
Сопряженную характеристику соединения найдем, последовательно записывая
связь оригинала х(и) с изображением {G(z)J, которое является преобразованием
воздействия функцией r2(z,s). В результате будем иметь
H(n,s) =~-<^Ну (n,z)r2 (z,5)z"-1<4'6fe.	(3.272)
Отличное от (3.269) выражение для бичастотной характеристики соединения по-
лучим, если в качестве исходных описаний звеньев выбрать обобщенную и сопря-
женные характеристики
x(z)= Е K](z,OT)g(m)z’ffl = £ r1(z,m)z~m-^-(fH2(m,s)Y(s)esmrds.
т=0	т=0
Или, изменяя порядок суммирования и интегрирования,
_Y(z)=^-(^	Vl^z,m)H2(m,s>)^ze~s7 j
2тУ Vm=0	J
откуда
r(z,s)= Vi(z,m)H2(m,s)(ze~sT) ,	(3.273)
m=0
что, как и следовало ожидать, является вариантом Z-преобразования соответствую-
щей временной функции.
Рис. 3.31. Последовательное соединение звеньев ДД-ДН
Для показанного на рис. 3.31 соединения бичастотная характеристика есть ре-
, зультат свертки аналогичных характеристик звеньев по дискретной переменной
Г(л,г)=-^т^Г1(5,п)Г2(т],г)б/п.	(3.274)
Обобщенную передаточную функцию удобно искать через обобщенную же вход-
ного звена и бичастотную — выходного
K(s,n) = —!—dr] (s,z)72 (z,n)es"rz~ndz.	(3.275)
2ту J
448 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Повторив вывод (3.273), для бичастотной характеристики заданного соединения
получим
Г(5,г) = — И, (,у,и)//2 (н,г)(г-1е'7) .	(3.276)
Z и=0	•
Наконец, рассмотрим соединение непрерывного и непрерывно-дискретного звена
(рис. 3.32).
Рис. 3.32. Последовательное соединение звеньев НН-НД
Последовательно связывая изображение входа и выхода, для бичастотной харак-
теристики найдем
c+jn
r(z,s)=— J Г1(д,р)Г2(А5)ф.	(3.277)
J С- jao
Повторяя вывод (3.253) для сопряженной передаточной функции, получим соот-
ношение, почти совпадающее с (3.253):
. с+jx
=	| Я1 («,n)r2(n,s)e(T,_if)'iZn.	(3.278)
J c-j<»
Итак, хотя разные системные характеристики связаны друг с другом извест-
ными соотношениями, для вычисления характеристик соединений не все они равно-
ценны. Так, бичастотную передаточную функцию удобнее вычислять либо через
бичастотные же характеристики звеньев, либо через сопряженную и обобщенную
характеристики звеньев. Для вычисления обобщенной передаточной функции следу-
ет брать аналогичную характеристику входного звена, связывая ее с бичастотной
характеристикой звена на выходе, тогда как для сопряженной характеристики,
напротив, удобно воспользоваться той же характеристикой выходного звена, со-
прягая ее с бичастотной характеристикой звена на входе соединения.
Любые другие комбинации передаточных функций приводят к лишним неоправ-
данным затруднениям, что, в частности, не позволяет ограничиться использованием
одной сопряженной характеристики.
В качестве полезного упражнения рассмотрим соединения ключа и экстраполятора.
Рис. 3.33. Последовательное соединение экстраполятор-ключ
*
Из физических соображений ясно, что результатом последовательного соедине-
ния (рис. 3.33) будет тождественное преобразование, т.е. х(п) = у{п). Характери-
стикой соединения должна быть, в частности, передаточная функция (3.155), отве-
чающая этому преобразованию.
Подставляя в (3.264) характеристики ключа ^(z.i) и экстраполятора r2(s,z),
будем иметь
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
449
Л-1 ,
Л-2,
Л-i
_ \( яТ
1 с+/“
г(^)=у- I —г~
„	1 с+>
= z2 1 Г ___
*1 21У С-.’^(Л -zx^z2-e- )
Как следует из определения передаточных функций,
Для вычисления интеграла 3 удобно перейти к дискретному преобразованию
Лапласа
ds.
3(л/п=±сТ______________
Ось интегрирования разделяет особенности, состоящие из счетных множеств про-
стых полюсов
2л	2л
s = S] + Л =0,±1,... и s-s2+ J—m, m =0,±1,....
Будем интегрировать вычетами, для вычисления которых воспользуемся извест-
ной формулой
>(*)] =
Интегрируя по контуру, охватывающую левую полуплоскость, имеем
s* = st + j-^k, к = 0,±1,...;
st 1
5(е2 -е
и^|
ds
Res
P{s)
= 7е4‘г.

Тогда
es' -1
eS1T
у 1	1
Т	,2л,’
^\+J—k
Принимая во внимание, что бесконечная сумма в последнем выражении допуска-
ет представление
1 +°°	1
1 у----------'—
Ть	.2л ,
^цля интеграла З^е'2 *’,е4|Г) получим
е 1
е4,г -1’
е 2 ,
1
е“гТ-es'T
Возвращаясь к Z-преобразованию, для передаточной функции соединения будем
иметь
1
r(z2,Z1)=^
Z1 z2 “ Z1
что, как и следовало ожидать, отвечает тождественному преобразованию.
30 Зак. 14
450 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Поменяем местами ключ и экстраполятор (рис. 3.34).
Рис. 3.34. Последовательное соединение ключ-экстраполятор
При любом типе экстраполятора, как это очевидно из физических соображений,
такое соединение не приведет к тождественному преобразованию. Поэтому ограни-
чимся экстраполятором, который дискретную последовательность g(«) на входе
экстраполятора преобразует в последовательность дельта-функций с весами g(n) на
выходе. Другими словами, исключим формирующий элемент экстраполятора.
Вычислим бичастотную передаточную функцию соединения по формуле (3.267)
ч 1 _г 1 z
—
epl
2д/ z[\-ze
при этом |ел/1 > |z| > |ер71.
Контур интегрирования разделяет особенности
z = ерТ и z = esT.
Интегрирование с помощью вычета в полюсе внутри контура дает
Г(5,р) =---7—г—.
V г) \_e-(s-p}r
Запишем связь между изображениями входа и выхода для такого соединения
«Jj-A'1'
Откуда видно, что r(s,p) совпадает с ядром интегрального оператора, опреде-
ляющего дискретное преобразование Лапласа по преобразованию Лапласа непре-
рывного сигнала, что и следовало ожидать.
3.5.4.	Уравнения для определения передаточных функций
Для нестационарных систем, непрерывных и дискретных, в общем случае не су-
ществует простых алгебраических соотношений для определения передаточных
функций. Для получения любой из передаточных функций приходится решать соот-
ветствующие дифференциальные или интегральные уравнения. Другими словами, по
сложности задачи определения любой из системных характеристик близки. Принято
считать, что такая ситуация является типичной для любых попыток поиска «удоб-
ных» для анализа интегральных преобразований.
Вместе с тем системные характеристики, временные и частотные, слишком
важны и информативны, чтобы отказаться от их определения, ограничиваясь рас-
смотрением лишь стационарных систем. Непрерывно-дискретные системы по са-
мой своей природе меняются в пределах такта квантования и в этом смысле будут
нестационарными, даже если составляющие их непрерывные и дискретные звенья
описываются стационарными выражениями. Напомним, что последнее обстоятель-
ство приводит к невозможности определения привычных дискретных передаточных
функций для некоторых соединений стационарных звеньев.
Уравнения для передаточных функций могут быть получены либо из исходных
дифференциальных и разностных уравнений, либо непосредственно из их определе-
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 451
ния. Запишем сначала искомые уравнения для непрерывных звеньев. Ограничимся
рассмотрением матрицы перехода и связанных с ней передаточных функций, по-
скольку весовые функции очевидным образом получаются из матрицы перехода.
Для уравнений состояния	,
X = A(z)X + Y(z)	(3.279)
матрица перехода K(z,t) является решением уравнения
-^-К (?,т) = А(/)К(/,т) + I8(z,t)	(3.280)
при нулевых начальных условиях.
Умножим (3.280) на	и проинтегрируем полученное выражение по т.
Предварительно учтем, что
Принимая во внимание определение сопряженной передаточной функции H(z,s)
(3.125), получим искомое дифференциальное уравнение
=[A(z)-jl]H(z,j) + I.	(3.281)
Это уравнение можно получить непосредственно из исходного определения (3.125),
дифференцируя последнее как интеграл с переменным верхним пределом:
=	,т)е-*-т^т + К(г,т)е-*-т)| .
Учитывая определение (3.125) и уравнение для матрицы перехода (3.280), из по-
следнего приходим к записанному выше уравнению (3.281).
Чтобы получить уравнение для обобщенной характеристики, удобно воспользо-
ваться выражением, определяющим матрицу перехода как решение уравнения при
дифференцировании по второму аргументу т
с/К(7,т)	, . , ,
di' ~~КМА(Т)
с начальным условием К (z,t) = I.
Как и выше, матрицу перехода можно рассматривать как решение неоднородного
уравнения с нулевыми начальными условиями
dK(t,x} , , , .
—^-2 = -K(z,t)A(t)-18(z-t).	(3.282)
Умножая последнее выражение на и интегрируя по t от т до оо, получим
т	т
= - JК (z, т) е’л(,'т)dt - Jis (Z - т) e~s(‘~^dt.
т	т
Вспоминая определение (3.119), из последнего соотношения получим искомое
уравнение для обобщенной передаточной функции
^Ь11 = У(5,т)[[Я-А(т)]-1.	(3.283)
30*
452 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Заметим, что, как и выше, для сопряженной характеристики последнее уравнение
может быть получено непосредственно из определения (3.119) дифференцированием
по т.
В стационарных системах А(т) = А = const, V(s,,t)=W(j) и из уравнения (3.283),
как следствие, получается известная передаточная функция системы по вектору со-
стояния
W(j) = [sl-A]-1,
что и следовало ожидать.
Уравнение для бичастотной передаточной функции будем определять, используя
известную связь H(t,s) и (3.134). Полученное выше выражение (3.281) ум-
ножим на и проинтегрируем от 0 до оо
dt =	^A(t)-pl)H(t,p) + l]c/t.
о	dt о
Изопределения Н (t,p) следует, что Н(0, р) = 0, и тогда левая часть последнего
выражения будет равна (л - р)Г(л,/>).
Правую часть преобразуем одним из следующих способов:
00	00	1 с+
Je"(’_/,)'A(t)H(t,p)A=	— J А(Х)?'Л,Л =
О	0	c-j«>
С+/СО	И	C+JCO
= — J А(Х) \e~(s~K'p)lH(t,p)dtdX=— J А(?с)Г(5-Х,р)Л,
с-JOO	О	^Ч c-j<X)
ИЛИ
ОО	00	1 С+j<X>
A(t)—; J е^Х-/’^Г(Х,р)(/Х(й =
о	о	2л-/ с-у®
- С+J0O оо	1 С+J00
= — j р"(5‘х)/А(^)Г(Х,р)^Х=— j А(5-Х)Г(Х,р)Л.
^Ч с_о	2тс/
Таким образом, для бичастотной передаточной функции имеем два равносиль-
ных уравнения'.
C+J®
sr(s,p) = —; [ A(X)r(s-X,p)<ZX +-------1	(3.284)
2тС/ .	s — p
J c—joo	*
И
i £+/»	i
sT(s,p) =---- f А(я-Х)Г(Х,р)</Х +------1.	(3.285)
2л/ J	s — p
J c-JM	t'
Для стационарной системы ^постоянной матрицей состояния А(5) =—А. Учиты-
вая, что ось интегрирования разделяет особенности А(5) и Г(.?,/?), будем интегри-
ровать с помощью вычетов в точке X = 0 для (3.284) и X -р для (3.285). Как и сле-
довало ожидать, в каждом случае будем иметь
r(s,p) = [sI-Af-l-.
е~“
о .
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 453
Уравнение (3.284) может быть получено непосредственно из уравнений состояния
(3.280). Домножая обе части уравнения (3.280) на е-йе''рт и интегрируя дважды, бу-
дем иметь
|e/7T j-(’ )e~'i'^T= |е/,т |[А(г)К(г,т) + 18(г-т)]е~л'47гс/т.
о	т	От
Для интеграла в левой части получим
I	!	* J
что с учетом начальных условий (3.284) приводит к выражению
В правой части, используя обратное преобразование Лапласа, матрицу А(() выра-
зим через соответствующее изображение А(Х), что с учетом определения Г (.у,/?) дает
|‘е/л{ГА(г)К(/,т) + 15(/-т)’1е-''^т=— Г А(Х)Г($-Х,р)Л+-— I.
о т	2Л-/’с-}оо	S~P
Результат очевидно совпадает с записанным выше уравнением (3.285).
Рассмотрим теперь уравнения состояния для систем с дискретным временем
х(и + 1) = А(и)х(л) + В(и)У (л).
Матрица перехода К(и,ти) является решением однородного уравнения
(3.286)
(3.287)
с начальным условием х(/и) = 1 либо решением неоднородного уравнения
(3.288)
(3.289)
с нулевыми начальными условиями х(ш -1) = 0.
Уравнение для сопряженной передаточной функции будем искать, отталкиваясь
от определения (3.147). Поскольку
К(и + 1,»7) = А(л)К(и,/и), К(от,/и) = 1,
то, вспоминая определение (3.147), домножим последнее соотношение на z '.' и
просуммируем:
У", К(и + 1,w)z~^	= У A(n)K(n,w)z т\
т=0	т=0
Левую часть последнего выражения перепишем в виде
У K(n + l,»j)z = 2
_m=0
Тогда в соответствии с определением Н(и, z) получим искомое уравнение
H(h + 1,z) = z-1A(h)H(«,z) + I.	(3.290)
Чтобы получить уравнение для обобщенной передаточной функции, удобно вос-
пользоваться уравнением, сопряженным исходному (3.287),
х(и + 1) = ^А-1 (n)j х(и),
которому, как известно [41], матрица перехода удовлетворяет по второму аргументу,
следствием чего является следующее соотношение:
К(н,т +1) А(т) = К(и,ш).
(3.291)
454
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
-4п-т)
По привычной схеме домножим обе части последнего уравнения на z 1 'и
просуммируем от п = т до со:
n=m	n=m
Правая часть определяет согласно (3.141) обобщенную характеристику. Чтобы
воспользоваться этим определением для матрицы перехода, левую часть последнего
уравнения перепишем сначала в виде
К(и,от + 1)А(/и)х^"”"^ =
п=т
^2 К(и,« + 1)А(/и)х	тЧ)+К(от,>и + 1)А(»?)х
_п-т+\
— z
К(н,/и + 1) A(m)z (п т O+Iz
,п-т+\
В соответствии с определением (3.141) получим искомое уравнение для обобщен-
ной передаточной функции
z_1V(z,w + 1)A(tw) + I = V(z,»i).	(3.292)
Заметим, что для стационарной системы А(ти) = А = const, V(z,w) = W(z), и из
последнего уравнения найдем изображение матрицы перехода
W(z) = z[zl-A]
Уравнение для бичастотной характеристики можно искать, используя известные
связи между передаточными функциями (3.163), (3.159), отталкиваясь от полученных
выше уравнений (3.290) или (3.292), но можно также в соответствии с определением
применить двухмерное Z-преобразование непосредственно к исходному соотноше-
нию (3.287) для матрицы перехода
Ё SK(« + 1,w)z2"z1m 1 = Ё Ё А(п)К(и,/и)г2'7г1'я ’.
т=0п~т	т=0п=т
Выражая матрицу А (и) через ее изображение А(Х) посредством обратного/-пре-
образования, правую часть последнего выражения запишем в виде интегрального
соотношения
Ё£т!-4лИх”-,лг!-гг'к(„,т)=-!-44£)г^,2|1л
В левой части соотношения, выполняя последовательно преобразования, позво-
ляющие применить определение (3.151) для r(z2,Z]), найдем
ЁЁК('2 + 1’'”)22”2Г-1 = Ёг2ЁК(Л + 1’"г)22("+,)2Г ’ =
п=0п-т	т-0 п=т
= г2ЁгГ’’ Ё K(/’m)Z2/ =г2Ё2Г~' ЁК(/’/И)г2-К('и>/и)22т •
т=0	l=m+\	т=0 L/=w
Принимая во внимание, что К(от,ш) = 1 и |z2|>|z1|, объединяя снова обе части,
с учетом определения (3.151) для бичастотной передаточной функции получаем сле-
дующее интегральное уравнение в комплексной области:
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 455
-----=	(3.293)
Z] (z2 -Zj) 2ry J л < л J
Применим последнее уравнение для^частного случая А(от) = А = const. Тогда
А(М“А-
Л — 1
Контур интегрирования разделяет особенности А(Х) и T(z/X,z). Интегрируя
вычетами в полюсах А(Х), получим
Г(г2,Z|) = z2 [z2I - А]'1	--,
zl(z2 ~z\)
что и следовало ожидать для стационарной системы.
3.6.	АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
3.6.1.	Устойчивость ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим дискретную систему, описываемую моделью в терминах пространст-
ва состояний
Хи+1 = Г(Х„,и),	(3.294)
где Хк е Rk, F(X„,h) — в общем случае нелинейная нестационарная вектор-
функция. Предполагается существование и единственность решения системы (3.294)
при заданных начальных условиях.
Невозмущенным движением системы Хк называется решение системы (3.294)
при заданных начальных условиях Хо, т.е.
Х„: X„+1=F(X„J), Х„о = Хо.
Возмущенным движением системы называется решение системы (3.294) при
иных начальных условиях: Х0*Х0.
Невозмущенное движение Хп устойчиво по Ляпунову, если для любого, сколь
угодно малого е>0 существует 8(е,и0) такое, что для всех решений, удовлетво-
ряющих условию ||х„о -X„J|<8, выполняется ||х„ -Х„||<е для всех п>п$.
Невозмущенное движение Хп асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по
Ляпунову и выполняется ||х„ - Х„ || -> 0 при п-><х>, при условии, что ||х^ - Х„о || < е,
О < е < оо.
Невозмущенное движение Х„ устойчиво в целом, если оно асимптотически ус-
тойчиво при любых начальных условиях.
„ Таким образом, устойчивость определяется для конкретного решения, а не для
всех возможных решений системы. Очевидно, что частным случаем невозмущенного
движения является равновесное состояние системы Хп, которое, не умаляя общно-
сти, можно считать нулевым.
Система (3.294) устойчива, если она имеет единственное состояние равновесия,
асимптотически устойчивое в целом.
Выше были даны определения устойчивости по отношению к возмущениям на-
чальных условий. Наряду с ними используются и другие понятия устойчивости.
456
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Линейная стационарная система устойчива по входу, если из ограниченности
входа следует ограниченность выхода при любых начальных условиях.
В иностранной литературе такой вид устойчивости называют В1ВО-устойчивостью
(от английского «.Bounded Input-Bounded Output» (BIBO) — «ограниченный вход-
ограниченный выход»).	*
Далее ограничимся рассмотрением вопросов анализа устойчивости лишь для ли-
нейных стационарных систем
Х„+1 =ФХ.+ГУ •
И+1 П П’	(3.295)
XM=CX„.
Для определения устойчивости линейных стационарных систем существуют раз-
личные методы, в том числе [81]:
•	метод, основанный на вычислении корней характеристического уравнения',
•	алгебраические методы ',
•	метод анализа в частотной области',
•	метод функций Ляпунова.
Таким образом, используется весь спектр методов анализа устойчивости для ли-
нейных непрерывных систем, но применительно к системам дискретного времени.
Рассмотрим невозмущенное движение Х„ линейной дискретной системы
Хп+1 = ФХ„; Х„о = Хо, Х„ е R"	(3.296)
и соответственно возмущенное движение
Х„+1=ФХ„; Х„0=Х0*Х0.	(3.297)
Введя обозначения = Xk -Xk и используя уравнения (3.296), (3.297), получим
уравнение в отклонениях
E„+i = ФЕ„; Еи0 = Хо - Хо,
решение которого имеет вид
Е =Ф"Е „
'-'л ^пО
и представляет собой линейную комбинацию у^Х/, где у у —многочлен от J порядка
на единицу меньше кратности собственного числа Х( матрицы Ф. В частности, при
различных вещественных числах матрицы Ф, решение — линейная комбинация X/.
Очевидно, что линейная система имеет единственное равновесное состояние X = О,
которое является асимптотически устойчивым в целом, если выполнено условие
|Х,|<1, Vz=UJ.	(3.298)
Теорема 3.2. Линейная стационарная система устойчива тогда и только тогда,
когда все собственные числа матрицы Ф лежат внутри единичного круга.
Можно показать, что дискретная линейная система BIBO — устойчивая по входу,
если она устойчивая. Обратное утверждение неверно.
Таким образом, корневой мегцод устойчивости предполагает нахождение реше-
ний характеристического уравнения системы бе!(Х1-Ф) = 0 и проверки условия
(3.298). В случае высокого порядка характеристического многочлена эта задача тре-
бует привлечения численных методов. Достоинство метода заключается в том, что
расположение собственных чисел матрицы Ф дает информацию не только об ус-
тойчивости системы, но и, например, позволяет судить о характере собственных
движений системы (см. п. 3.4.9). Взаимосвязь между s- и z-плоскостями позволяет,
используя конформное отображение Мебиуса
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 457
(0=-—- или z = —Ю,	(3.299)
z + 1	1—(О
преобразовать внутренность единичного круга в левую полуплоскость некоторой
комплексной переменной со.	t
Пусть характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид
akzk +afr_1zi“1 + ... + a0 =0.	(3.300)
Тогда, подставляя z из (3.299) в (3.300), придем к алгебраическому выражению
вида
и характеристическому уравнению
£(co) = /ia>i + ... + /0 =0.
Такой переход, в свою очередь, позволяет использовать методы анализа устойчи-
вости линейных стационарных непрерывных систем (алгебраические, критерий Ми-
хайлова, корневой и т.п.) для определения устойчивости дискретной системы.
3.6.2.	Алгебраические критерии устойчивости
ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости по анализу коэффи-
циентов характеристического многочлена. Такой критерий, эквивалентный критерию
Рауса-Гурвица, был предложен Шуром, Кохом и Джури.
Для того чтобы определить, все ли корни характеристического многочлена нахо-
дятся внутри единичного круга, строят следующую таблицу:
a*-i “i	«о «1=«о/аг
a0 а,	at, ак
4 4-1 ••• 4	^2=4/4
«1 4	4
4>
где а/ = а/“'
Первая и вторая строки — коэффициенты характеристического многочлена (3.300)
в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки
на =а0/ак и вычитанием произведения из первой строки. Четвертая строка —
это третья строка, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до тех пор,
пока в последней строке не останется единственный элемент а.к.
Критерий Джури. Если ак > 0, то все корни характеристического уравнения
лежат внутри единичного круга, только когда все ak, j = 1, к положительные. Если
среди ак нет нулевых, то количество отрицательных ак равно количеству корней
вне единичного круга.
Пример 3.16. Пусть задано характеристическое уравнение вида
:3 +а,с + а0 = 0.
Таблица Джури имеет вид
29 Зак. 14
458 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
I «1 а0	а}=а0
ао а1 1
1-«о	“i(l-«o)	а2=ТТ1—
1 + а0
Ц|(1-«х«) 1~ао
, а?(1-а0)
* ~ ао ГТ •
1+а0
Все корни лежат внутри единичной окружности, если
1-а?>1;
Условия устойчивости имеют вид:
а0<1;
а0>О|-1;
а0>-а,-1.
Область устойчивости имеет вид, показанный на рис. 3.35.
а
Рис. 3.35. Область устойчивости для приведенного уравнения второго порядка
3.6.3.	Критерии устойчивости в частотной области
Так же как и для непрерывных систем, при исследовании устойчивости дискретных
систем в частотной области применяются два основных критерия — Михайлова и
Найквиста. Как указывалось выше, анализ устойчивости выполняется на основе про-
верки выполнения условия |zj < 1, i = \,к для корней характеристического полинома
А
л(г)=Еа<2'-
л i=0
При использовании частотных критериев осуществляется переход от характери-
стического полинома к характеристическому комплексу путем замены переменной z
по формуле z = eJul (-л < й < л):
Л(уш) = Л(и)|2=еЯ
и исследуется поведение годографа Л(уй) в комплексной области.
Рассмотрим некоторые свойства характеристического комплекса.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 459
Л(7'й) имеет вид
A(j®) = аке^к +	. + Од.
Выделяя действительную и мнимую части, будем иметь
Л(7й) = Х(га) + 7Г(й) = |л(7га)|е-/аг8^у5),	(3.301)
где
_ к	к
X (“) = X ак C0S 0®)> Y(“) ~ X ак Sin (*й),
1=0	i=0
Р (7й)| =	(й) + Г2 (й).
Так как функции coscp и sin ф являются соответственно четной и нечетной, то
И(-7й) = Л(7га),
т.е. X (-й) = X(б) и У(-й) = -У(й).
Следовательно, годограф характеристического комплекса А(Дй>) при изменении
й в интервале (-л, л] симметричен относительно вещественной оси и полностью
определяется своими значениями для 0 < й < л. Поэтому достаточно строить и рас-
сматривать поведение годографа А (7й) при изменении аргумента от 0 до л.
Второе свойство состоит в следующем. Определим действительную и мнимую
части комплекса при й = 0 и, га = л; имеем
к	к
*(о) = 1>; *(*) = £(-1)Ч; г(о) = х(л) = о.
1=0	/=0
Таким образом, годограф	всегда начинается (га = 0) и заканчивается
(га = л ) на действительной оси.
Критерий Михайлова для дискретных систем. В основе данного критерия ле-
жит принцип аргумента, который формулируется следующим образом. Если полином
A(z) имеет т корней, лежащих внутри единичной окружности, то приращение ар-
гумента характеристического комплекса при изменении го от 0 до л составляет тп:
AargH(7w)|^=0 =/ил,
т.е. вектор А()<л) при изменении сд от 0 до л должен последовательно обойти 1т
квадрантов комплексной плоскости в положительном направлении.
Исходя из данного принципа можно сформулировать условие устойчивости дис-
кретной системы следующим образом. Для того, чтобы система была асимптоти-
чески устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента харак-
теристического комплекса А(рД) при изменении й от 0 до л составляло величину
kit (к — порядок системы):
AargH(7ra)L=^,
т.е. годограф A(jco) последовательно охватил 2к квадрантов в положительном
направлении. На рис. 3.36 показаны годографы характеристических комплексов ус-
тойчивых систем первого, второго и третьего порядков.
На рис. 3.37 приведен пример годографа, не соответствующего рассмотренному
критерию. Система имеет третий порядок.
29*
460
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 3.37. Годограф неустойчивой системы
Исходя из вида годографа, приращение аргумента составляет величину 2л, сле-
довательно, число корней, лежащих внутри единичной окружности, равно т = 2.
Один корень лежит вне указанной окружности. Система является неустойчивой.
Поскольку для устойчивых систем Л arg Л(/<в)|* о =кп, то И(ул)<0 — для не-
четного к, Л(ул)>0 —для четного к. Поэтому можно сформулировать следую-
щее необходимое условие устойчивости:
A(jO)- A(jn) < 0 —для нечетных Л;
A(jO)-A(jn) > 0 —для четных к.
Данное условие необходимо проверять до построения годографа. Если оно не вы-
полняется, то система неустойчйва.
Критерий устойчивости Найквиста. Данный критерий используется для ис-
следования устойчивости замкнутых систем (рис. 3.21), исходя из вида годографа
амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы. Как показано в
п. 3.4.7,

Глава 3. Системы управления с ЭВМ
461
Пусть fVp(z) =
Mil
H(z)
, тогда
<(*) =
Z?^z) B(z)
B(z)+ A(z) D(z)
Рассмотрим вспомогательную функцию
®*(z) = l + ^p’(z);
(3.302)
Ф’(2) =
B(z) + A(z) ^(z)
A(z) A(z)'
Особенностью функции Ф (z) является то, что ее числителем является харак-
теристический полином замкнутой системы, а знаменателем — характеристический
полином разомкнутой системы. Отметим также, что единичная обратная связь не
увеличивает порядок системы. Действительно, для физически реализуемых систем
степень полинома B(z) не превосходит степень полинома A(z). Поэтому характе-
ристический полином £>(z) имеет ту же степень, что и полином A(z).
Воспользуемся рассмотренным выше принципом аргумента для определения
приращения аргумента функции Ф* (у'со) = Ф* (z)|	_ при изменении й от 0 до л.
Так как
arg Ф* (у'со) = arg D (усо) - arg А (усо),
то
Лаг8ф* (у<о)|”_о = AargD(y<B)|”=0 - arg А(уй)|”=о.	(3.303)
Пусть разомкнутая система является неустойчивой и ее характеристический по-
лином A(z) имеет т корней, лежащих вне единичной окружности, тогда
arg^(y©)|”=0=(A-m)x	(3.304)
Пусть замкнутая система является устойчивой, тогда все корни характеристиче-
ского полинома D* (z) лежат внутри единичной окружности и
AargZ)’ (уй)£=0 = kit.	(3.305)
Функции (3.304) и (3.305) позволяют определить приращение аргумента для
функции Ф*(усо):
A arg Ф* (уй)|^_о = kit-(k-m)n = тп.	(3.306)
На основе формулы (3.306) можно сформулировать следующий критерий устой-
чивости. Для того, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы годограф функции Ф* (уй) при изменении й от 0
до л проходил в комплексной плоскости через 2т квадрантов в положительном
направлении.
Согласно (3.303), имеем
Ф*(уй) = 1 + 1Гр (уй),
т.е. годограф функции Ф* (уй) представляет собой сдвинутый вправо годограф ам-
плитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы (Гр*(уй). Поэтому
462 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
можно сформулировать критерий устойчивости по отношению к годографу IV* (уй).
Для того, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива, необходимо
и достаточно, чтобы годограф IV* (уй) при изменении й от 0 до л обходил точку
(~1,у0) в положительном направлении т/2 раз (т — число полюсов передаточной
функции разомкнутой системы, лежащих вне единичной окружности).
Системы управления проектируют, как правило, из устойчивых элементов, по-
этому разомкнутые системы в большинстве случаев являются устойчивыми (т =0).
В этом случае для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо
и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазочастотной характеристики ра-
зомкнутой системы IV* (уй) при изменении й от 0 до л не охватывал точку
(-1,у0) (рис. 3.38).
Рис. 3.38. К иллюстрации критерия устойчивости Найквиста
По степени удаленности годографа IV*(ja) от точки (-1,у'О) можно судить о
величине относительной устойчивости замкнутой системы. Для оценки относитель-
ной устойчивости используют два показателя — запас устойчивости по амплитуде
(модулю) и запас устойчивости по фазе.
Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки пересечения
годографа IV* (уй) отрицательной части действительной оси по отношению к точ-
ке (-1, у0). Чем меньше эта удаленность, тем менее устойчивой будет система,
тем меньшим будет запас устойчивости по амплитуде (рис. 3.39). Обычно эта ве-
личина выражается в децибелах и вычисляется по формуле
А = 201g
Гр (М)|
где йс — частота, соответствующая точке пересечения действительной оси. На час-
тоте йс фазовый сдвиг составляет 180°.
Запас устойчивости по фазе определяется углом между лучом, исходящим из на-
чала координат и проходящим через точку пересечения годографа IV* (уй) с еди-
ничной окружностью, и отрицательной частью действительной оси (рис. 3.39).
В точке пересечения годографом IV* (уй) единичной окружности коэффициент
передачи разомкнутой системы равен единице. Частота, соответствующая этой точке,
называется частотой среза.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
463
Рис. 3.39. К иллюстрации запасов устойчивости по амплитуде и фазе
Таким образом, запас устойчивости по амплитуде определяется в точке, где фаза
принимает значение -180°, а запас устойчивости по фазе — в точке, где коэффици-
ент передачи равен единице. Соответственно эти показатели могут определяться при
совместном рассмотрении амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик дис-
кретной системы.
Очевидным является тот факт, что увеличение коэффициента передачи разомкну-
той системы уменьшает запасы устойчивости по фазе и амплитуде.
3.6.4.	Исследование устойчивости методом функций Ляпунова
Второй метод Ляпунова является универсальным инструментом исследования ус-
тойчивости нелинейных нестационарных систем. Метод был разработан для диффе-
ренциальных уравнений и позднее распространен для систем, описываемых разност-
ными уравнениями.
Скалярная функция И(Х) является функцией Ляпунова для системы
^+1=F(Xj; F(0) = 0,	(3.307)
если'.
1)	она непрерывна по X и К(0) = 0;
2)	V(0) > 0 при любых X * 0;
3)	PK(jr) = r(jr„+1)-K(jr„) = r(F(x„))-K(x„)<o.
Таким образом, определение функции Ляпунова для разностных уравнений ана-
логично непрерывному случаю с точностью до замены производной по времени от
функции Г(Х) на конечную разность ДИ(Х).
Теорема 3.3. Равновесное состояние ХА = 0 асимптотически устойчиво, если для
л системы (3.307) существует функция Ляпунова. Кроме того, если выполнено условие
0<ф||х||< К(Х), где ф(1|х||) оо при ||х[| —> оо, то равновесное состояние асимпто-
тически устойчиво при любых начальных условиях.
Основная трудность при использовании метода функций Ляпунова состоит в по-
строении подходящей функции К(Х). Для линейных систем часто используют квад-
ратичную форму
И(Х) = ХТНХ; Н = НТ.
(3.308)
464 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Приращение функции Ляпунова для линейной системы
Х„+1 =ФХ„
имеет вид
АК(Х) = и(х„+1)-к(х„) = Х>ТНФХ„ -Х^НХ„ = xj [фтнф-н]х„.
Для того чтобы V(х) была функцией Ляпунова, необходимо и достаточно суще-
ствование матрицы Н - Нт > 0, удовлетворяющей уравнению
ФТНФ-Н = -С,	(3.309)
где G = GT > 0 — некоторая матрица.
Уравнение (3.309) называется уравнением Ляпунова для дискретных линейных
систем. Можно показать, что симметричная положительно определенная матрица Н
— решение уравнения (3.309) — существует, если все собственные числа матрицы
Ф лежат внутри единичной окружности, т.е. система устойчива.
3.6.5.	Оценка качества управления
Оценка качества управления выполняется на основе анализа переходной функции,
т.е. по кривой переходного процесса. Так же как и для непрерывных систем, оцени-
вается перерегулирование, время регулирования и точность отработки заданных воз-
действий. Остановимся более подробно на оценке точности работы системы в уста-
новившемся режиме.
Ошибка отработки системой заданного воздействия определяется зависимостью
е1(и) = У1(п)-х1(и).	,	(3.310)
Индекс «1» у функции означает, что рассматривается функция, нормированная по
аргументу относительно периода дискретизации Т.
Установившаяся ошибка в дискретные моменты времени оценивается по формуле
в] = lim ej (и).
Л“>ОО
Зависимость (3.310) в явном виде имеет место при замыкании системы единичной
обратной связью, что соответствует структурной схеме, изображенной на рис. 3.20.
Выразим ошибку через входное воздействие. Для рассматриваемой системы имеем
п _
хЛп)=ХкАп~1)еА1У’
1=0
е1(и) = у1(п)-х1(и),
откуда следует
е|(и) = У1(и)-^^(и-/)-е1(/).	(3.311)
1=0
Непосредственно выразить ^(н) из уравнения (3.311) невозможно. Воспользуем-
ся для нахождения ех («) /-преобразованием; имеем
£*(z) = f (z)-^*(z)-£’(z).	(3.312)
Из выражения (3.312) следует
£’(z) = ^(z)T,(z),	(3.313)
где H'g (z) =---------передаточная функция системы по ошибке.
l + W (z)
Так как нас интересует значение ошибки в установившемся режиме, то согласно
теореме о конечном значении решетчатой функции имеем
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 465
eiycT = limeI(w) = lim(z-l)E*(z),
Л—>СО	2—>1
ИЛИ
qycT=lim(z-l^(z)r*(z).	(3.314)
Зависимостью (3.314) можно пользоваться для нахождения величины ошибки.
Однако выявить влияние свойств системы на точность отработки отдельных типов
сигналов, используя формулу (3.314), затруднительно.
Положим, что передаточная функция системы по ошибке W*- (z) не имеет полюса
в точке z = 1, тогда возможно разложение этой функции в ряд Тейлора:
W*E(z) = Y^z-\)k,	(3.315)
к=0 к1
где
Подставим (3.315) в выражение (3.313), тогда будем иметь
Е'	г' (4	<3-31’)
к-0
Согласно свойствам Z-преобразования, умножение изображения на (z-l)A экви-
валентно во временной области взятию к-й разности от оригинала. Учитывая это,
выражение (3.317) можно записать во временной области следующим образом:
ei (") = Ё77АУ1 (4
к=0
ИЛИ
*1 («) = соУ1 («) + С1ДУ1 («) + у Д2У1 («) + ••• •	(3.318)
Коэффициенты с,, входящие в (3.318) и определяемые по формуле (3.316), назы-
ваются коэффициентами ошибок. Величины, обратные им, называются добротно-
стями. Коэффициенты c0,clt с2 называются соответственно коэффициентами
ошибок по положению, скорости и ускорению.
Порядок астатизма системы определяется исходя из значений коэффициентов q.
Если все коэффициенты q 5*0: / = 1,2,..., то система является статической. Если
с0 = 0, с, Ф 0, i = 1,2,..., то система имеет первый порядок астатизма, если с0 = 0,
q = 0, Cj * 0, i = 2,3,..., то система имеет второй порядок астатизма и т.д.
Пример 3.17. Найти установившуюся ошибку в дискретной системе, если передаточная функция ра-
зомкнутой ее части
входное воздействие —	(и) = а + Ьп.
Передаточная функция системы по ошибке будет
466 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Коэффициент с2 вычислять нет необходимости, поскольку Azy(n) = 0.
Таким образом, система имеет астатизм первого порядка. Установившееся значение ошибки определя-
ется формулой
e(n) = c„y(n) + C|Ay(n) = il-^-.	•
Отметим также, что астатизм соответствующего порядка можно определить по
кратности полюса передаточной функции W (z) или кратности нуля передаточной
функции W*[: (z) в точке z = l.
Если система имеет астатизм нулевого порядка, то она будет иметь нулевую
ошибку на ступенчатое воздействие. Если астатизм второго порядка, то ошибка
будет нулевой при ступенчатых и линейно изменяющихся воздействиях.
Кроме этого, заметим, что оценивать установившуюся ошибку системы на линей-
но изменяющийся входной сигнал неправомерно. Поскольку при п -> оо сигнал вида
у(п) = а + bn также будет бесконечно большим, то такие сигналы не существуют.
Линейно изменяющийся сигнал характеризуется, прежде всего, скоростью изменения
— величиной Ь. Таким образом, если система обладает астатизмом первого порядка
и при п —> оо скорость изменения входного сигнала по модулю не превосходит б, то
установившаяся ошибка будет не выше той, которая имеет место при линейно изме-
няющемся сигнале.
3.7.	АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Далее рассматривается решение типовых задач анализа непрерывно-дискретных,
в общем случае, нестационарных динамических систем. На единой методической
основе, использующей аппарат двухмерных интегральных преобразований, устанав-
ливаются соотношения «.вход-выход'» для анализа систем при детерминированных и
случайных воздействиях. В последнем случае обеспечивается возможность оценивать
не только установившиеся ошибки, но и соответствующие переходные процессы.
Наряду с простыми непрерывно-дискретными системами исследуются достаточно
трудные для анализа системы с несколькими ключами и разными периодами кванто-
вания, а также существенно нестационарные классы систем управления конечным
значением и с конечным временем замыкания ключа.
Известны многочисленные попытки изучать указанные классы систем, не выходя
за привычные определения. Вместе с тем заметим, что попытки на основе известного
аппарата анализа стационарных систем описать более сложные классы, например
системы с конечным временем замыкания ключа, не приводят к эффективным ре-
зультатам. При этом не удается получить аналитических выражений для динамиче-
ских характеристик, а соотношения, с которыми приходится оперировать, оказыва-
ются намного сложнее привычных формул (см., например, метод Р-преобразования
для систем с конечным временем съема данных). Это обстоятельство привело, в ча-
стности, к рекомендации [134] поменять для анализа методы пространства состоя-
ний (по существу — метод припасовывания).
Указанные затруднения обусловлены не столько сложностью самих систем,
сколько непригодностью исходных характеристик для новых классов систем.
Напротив, переход к более общим характеристикам, принятым при описании не-
стационарных систем, позволяет получить единообразные, относительно простые
соотношения для различных, в том числе и для упомянутых классов линейных неста-
ционарных систем.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
467
3.7.1.	Анализ непрерывно-дискретных систем
ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Непрерывно-дискретные системы описываются смешанной системой уравнений
и содержат дифференциальные и разностные составляющие для описания непрерыв-
ных и дискретных звеньев. Соответственно решением этих уравнений являются не-
прерывные и дискретные выражения для описания соответствующих сигналов. Хоте-
лось бы, чтобы не терять информацию, вычислять реакции в таких системах, не при-
бегая к квантованию непрерывных сигналов. В рамках теории нестационарных систем
такая задача может быть решена. Вместе с тем получение аналитических решений в
нестационарных системах является скорее исключением, чем правилом. Поэтому ждать
аналитических решений для общего случая нестационарных объектов не приходится.
Ограничимся рассмотрением достаточно общего описания непрерывно-дискретных
систем, которые заданы дифференциальными и разностными уравнениями с посто-
янными коэффициентами.
Итак, будем считать, что система представлена уравнениями состояния
= аих, (z) + а12Э[х2 («)] + b, YH (z);	(3.319)
х2 (л + 1) = aI2D[x] (z)] + a22x2 (и) + Ь2Уд (л)	,	(3.320)
с начальными условиями х, (0) и х2(0), где X] (z) •—вектор состояния непрерыв-
ной части системы; х2(и) —вектор состояния дискретной части системы; YH(z) —
непрерывный вектор управления; Уд(и) —дискретный вектор управления; а,ъ Ь, —
числовые матрицы соответствующих размерностей.
Через э[х2(л)] и o[x](z)J обозначены соответственно операции экстраполя-
ции дискретного сигнала х2 (и) и квантования по времени непрерывного сигнала
X](z). Эти операции для дальнейшего рассмотрения удобно записать при помощи
импульсных переходных функций экстраполятора нулевого порядка и ключа
пТ<Л
Э[х2(л)] = Z [l(z-«7’)-l(z-«7’-7’)]x2(w)5	(3.321)
и=0
пТ
D[xi (')] = Js(«7’-t)xi (т)б7т.
о
(3.322)
Поскольку рассматриваемая система не является чисто непрерывной или чисто
дискретной, простых алгебраических выражений, связывающих воздействия и соот-
ветствующие им реакции, получить не удается. Поэтому ожидаемым результатом
будет установление связей «вход-выход» в комплексной области на основе матрицы
бичастотных передаточных функций, связывающей входные воздействия и реакции
интегральным соотношением
С+уоо
J ^1Г11(*2.*1) ф^1Г12(52’21)
х1(52) _ 1 с-уоо
X2(z2) 2itj с+>
J ^1Г21(22,-?1) g^ir22(z2,Z])
c-j<x>
Ун(*1Л Г<Р1(Х1(0))
[<P2(x2(0))J
Уравнения состояния (3.319) и (3.320) можно записать в более общей форме, до-
бавив в правую часть дополнительные воздействия (дискретные в (3.319) и непре-
468
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
рывные в (3.320)) с соответствующими преобразователями, а также дополнить урав-
нения состояния алгебраическими выражениями для вектора выходных координат.
Получающиеся при этом соотношения очевидным образом следуют из приведенных
здесь результатов и не приводятся только по причине упрощения записи.
Чтобы определить явные выражения для матрицы передаточных функций через
коэффициенты уравнений состояния, преобразуем уравнения (3.319) и (3.320) с по-
мощью преобразования Лапласа и Z-преобразования соответственно. Кроме того,
получающиеся при этом изображения сигналов, подвергающихся экстраполяции
и квантованию, выразим через соответствующие изображения сигналов на входах
экстраполятора и ключа. После очевидных преобразований найдем
jx1(s)-x1(0) = a11x1 (s) + a12
-^^r3(i,z)x2(z)dz + b1YH(i),
2тд J
(3.323)
I c+>”°
z(x2(z)-x2(0)) = a21 — J rK(z,5)x1(5)A + a22x2(z) + b2Yfl(z);	(3.324)
Ml
J C-J<X>
здесь через	и fK(z,s) обозначены передаточные функции экстраполятора и
ключа
l-e~sT
(l-ze~sr
(3.325)
Гк(^) = —^г.	,	(3.326)
z — е
Перепишем уравнения (3.323) и (3.324) для последующего матричного представ-
ления неявной зависимости «вход-выход», обозначив для сокращения записи
b1Y„(0 = Y1(r), Ь2Уд(и) = У2(л):
[Я1
-•njx^-au
1
2ту
<fr3(i,z)x2(z)fife = x!(O) + y1 (s);
с+у«>
-а21----- [
2 2ту J
J c-jx
rK(z, j)x((s)o!s + [zl2
-a22]x2(z) = zx2(0) + y2(z),
или в матричной форме
Я) -а„
-a2]Z>
-а]2Э j Xj(j) = Х](0)
zl2-a22 x2(z)	zx2(0)
У1(5)
у2(4
(3.327)
(3.328)
(3.329)
где через Э и D обозначены операции экстраполирования и квантования сигналов,
смысл которых раскрывается в исходных уравнениях (3.327) и (3.328). Разрешив по-
следние уравнения относительно искомых переменных, формально запишем
x1(s)'| ГЯ1-аи -а12Э
_X2(Z)_	_ ~л1аВ ^2-а22
ГУ1(5)ЪГ х1(°) 1
,Ly2(Z)J L“X2(°)j.
(3.330)
Из последнего соотношения следует, что успех в решении исходной задачи вы-
числения явной связи «вход-выход» зависит от того, можно ли получить явное вы-
ражение для обратного оператора, представленного блочной матрицей. Этот вопрос
решается положительно, и в рамках двухмерных интегральных преобразований уда-
ется получить требуемые выражения для искомого оператора.
Для сокращения промежуточных выкладок воспользуемся известной формулой
Фробениуса для обращения блочных матриц [66]. Блочная матрица
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
469
А В
С D
у которой А — неособенная матрица, имеет обратную
М’1 =
А1 +А1ВН»1СА’1
-НСА’1
-А-1ВН-1
Н1
(3.331)
(3.332)
М =
где H = D-CA~’B.
Смысл последующих преобразований сводится к тому, чтобы каждый из операторов
блочной матрицы М-1 выразить через простые соединения известных операторов.
Очевидно, что для искомого оператора выражение Мч представляет собой изо-
бражение матрицы перехода непрерывной части
WH (s) = [Я, -а,,Г1.	(3.333)
Оценим оператор Н-1. Обозначив
Wfl(z) = [zl2-a22]’1,	(3.334)
по формуле Фробениуса для оператора Н-1 имеем
И"1 =[wH-’(z)-a21Z)WH(5)a123]'1,
или
И’1 =[l2-WH(z)a21DWH(.?)a123]4 WH(z).	(3.335)
Оператор Z)WH (s)3, у которого вход и выход являются дискретными сигналами,
для стационарной системы описывается соответствующей передаточной функцией,
вычисляемой по известной передаточной функции непрерывной части системы. Тот
же результат получается непосредственным вычислением оператора последователь-
ного соединения звеньев D, WH и 3 или, что то же самое, последовательным соеди-
нением двух интегральных операторов, отвечающих операциям экстраполяции и
квантования. Принимая во внимание передаточные функции ключа (3.326) и экстрапо-
лятора (3.325) для бичастотной передаточной функции соединения, сначала получим
1 С*7”	7	1 - O~ST
г(2!,2,)-— J	(З.ззв)
2Т/ с_700 Z2 - е	szt (1 - zAe j
Для вычисления интеграла удобно воспользоваться дискретным преобразованием
Лапласа. Ось интегрирования разделяет особенности подынтегральной функции, от-
вечающие полюсам выражения WH(.s), которые неизвестны, поскольку линейная
непрерывная часть системы задана в общем виде, и счетному множеству простых
полюсов ключа
(3.337)
sk ~ s2+ J j, > A = 0, ±1, ±2,....
Интегрируя с помощью вычетов в полюсах sk, найдем
_dQ/ds
(3.338)
где
\-e-sT
АЧГ ST
5)=vvhH)------> W=e -е
s
470 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Подставляя P(s) и 6(.v) в (3.328) и производя вычисления, получим
_-Г «о W |52+J —
1	1	ОО	Н 2 J rrt
zi(‘ е zi )*=-=°	.s2 + j — к
(3.339)
Iю	(	2л ।
Выражение вида — W s + j—к является дискретным преобразованием Ла-
Т к=-х V	Т J
пласа, которое соответствует непрерывной функции с изображением W(s). Снова
возвращаясь к Z-преобразованию, т.е. при z2 = е'г7, получим
, X Z2^-z2
(3.340)
здесь через Z2[W'(s)] обозначено/-преобразование функции с изображением И7 (.у)
попеременной z2.
В частном случае, когда WH (s) = I,
(l-z2-1)/2	=	(3.341)
При этом, как и следовало ожидать, соединение £>WH3 приводит к оператору
тождественного преобразования
Г(г2,г,) = -	..-I.	(3.342)
zl(z2-zl)
Таким образом, искомый оператор Н-1 задается бичастотной передаточной функ-
цией r22(z2,zj)
Wa(z2).	(3.343)
Передаточная функция Г22 (z2,Z[) описывает стационарную дискретную систему.
Это легко заключить из рассмотрения структуры функции Г22 (z2,Zj), составленной
из матричной функции переменной z2 и скалярного множителя тождественного пре-
образования —-— -----. Выполняя интегрирование по переменной z,, указанное в
Z1 (z2 ~zl)
(3.323), получают известное алгебраическое выражение, связывающее изображение
входа и выхода стационарной дискретной системы. По этой причине всюду ниже для
обозначения оператора НГ1 целесообразно использовать естественное обозначение в
виде Фд(г), отвечающее обычной матричной передаточной функции одной перемен-
ной для замкнутой дискретной системы с выходом х2 (z) и входом у2 (z). Таким же
образом находятся передаточные функции для операторов -Н 'СА-1 и -А-'ВН-1:
Г12 (5, z) = WH (ф12Фд (z)-y----(3.344)
szll-ze ' j
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
471
Г21(^) = Фд(г)а21\¥н(^)—(3.345)
z-e'
Для вычисления передаточной функции	в соответствии с формулой
(3.332)	нужно выполнить следующие преобразования:
А"1 (I + ВН-'СА) = WH (s)[l, +а12ЭФд (z)a21DW„ (s)].	(3.346)
Из формального операторного выражения (3.346) следует, что искомый оператор
включает в себя последовательное соединение экстраполятора, дискретного стацио-
нарного звена и ключа. Найдем характеристику такого соединения по известным ха-
рактеристикам каждого звена:
-Ц(j2,г)фд(z)n(Z,5,) =	(3.347)
Контур интегрирования здесь разделяет особенности функций
Удобно вычислять интеграл с помощью вычета в точке z = е'2 . Тогда для инте-
грала (3.347) будем иметь
liv--) ..... -	4^-	(3.343)
$1	1 ~е v 2 17
Заметим, что множитель fl-e j представляет собой ядро интегрального
преобразования для вычисления дискретного преобразования Лапласа по изображе-
нию непрерывной функции.
С учетом последней формулы, искомую бичастотную передаточную функцию,
связывающую непрерывные составляющие входа и выхода, запишем в виде
Гц (52>51 ) _ WH (з2)
~Ц" I+ а12Фд (е'2/ )a21WH(gl) 1
s2 'S1	i2 (1 —e 2 ' )
(3.349)
Итак, определены все четыре матрицы бичастотных передаточных функций,
связывающих непрерывную и дискретную составляющие вектора состояния с век-
торами входных воздействий и соответствующими начальными условиями. Как
показывает вышеприведенный анализ, относительно просто удается определить
поведение системы в дискретные моменты времени для дискретного воздействия,
что согласуется с известными физическими представлениями о поведении дискрет-
ной системы. Для описания движения системы по всей совокупности фазовых ко-
ординат потребовался переход к двухмерным интегральным преобразованиям, ко-
торые позволяют получить явную зависимость полного вектора состояния от
входных воздействий и начальных условий.
По блочной матрице бичастотных передаточных функций можно получить мат-
рицу перехода непрерывно-дискретной системы, для чего следует определить двух-
мерные оригиналы соответствующих передаточных функций.
Пример 3.18. Для иллюстрации предложенного выше подхода рассмотрим простой пример непрерыв-
но-дискретной системы, описывающейся следующими уравнениями:
^^ = -т,(г)-Эх2(п) + У|(г);
х2 (« + О = Dx\ (О + х2 (") + Уг (Д).
472
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Непрерывная часть системы описывается передаточной функцией
' 7 s(s + l)
которой отвечает /-преобразование
:-е
Соответственно для стационарной передаточной функции замкнутой системы имеем
Г22 (-2>-1) - Фд (-2)_ (_ 2__ )
Оставшиеся три бичастотных передаточных функции найдем соответственно по формулам (3.344),
(3.345) и (3.349):
Найдем реакции системы на непрерывное воздействие = С учетом найденных выражений
Г'11(®2»'®1) и Г21(-л) найдем
]_(l + e-^e^+e-Te-2ST
) = 5(5 + l)(l-(l-e-r)e-jr+e-z'r);

3.7.2. Непрерывно-дискретные системы
С МНОГОКРАТНЫМ СИНХРОННЫМ ПРЕРЫВАНИЕМ
Рассмотрим класс непрерывно-дискретных систем с несколькими квантователя-
ми, которые замыкаются синхронно, но с разными периодами квантования. Такие
системы относятся к числу достаточно сложных для анализа [134].
Если требуется определить детерминированные реакции системы в дискретные
моменты времени, то такая задача может быть решена известными методами [58],
хотя расчетные формулы при этом существенно отличаются от известных соотноше-
ний для дискретных систем с одним квантующим элементом. Более того, как будет
показано ниже, аппарат анализа названного класса систем приводит к зависимо-
стям, принятым при расчете нестационарных систем, что является следствием уже
упоминавшегося факта нестационарной природы непрерывно-дискретных систем.
Введенные выше описания непрерывно-дискретных звеньев используются здесь
для получения явных аналитических соотношений, определяющих динамические
характеристики, — бичастотных передаточных функций и связей «вход-выход» в
линейных системах с двумя и более синхронными прерываниями.
Строго говоря, требование синхронности прерывания не является обязательным.
В самом деле, рассмотрим соединение линейного непрерывного звена с ключами на
входе и выходе, замыкающимися с периодами 7] и Т2 (рис. 3.40).
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
473
у{пТх) ___________
-----------/------ Г(5.2,) -------/-
Т L.-------------- Т2
х(пТ2)
Рис. 3.40. Система с разными периодами квантования
Обозначив через FK(z2,s) передаточную функцию ключа на выходе звена, в со-
ответствии с общими правилами вычисления характеристик последовательного со-
единения, найдем бичастотную передаточную функцию, связывающую сигналы у(пТх)
и х(лГ2),
] с+2®
ri(z2>*l) = — J rK(z2>J)r(J>z1)<*;
J c~j<x>
здесь Z-преобразование по переменной zx определено относительно периода 7], апо
переменной z2 — относительно Т2. Для разомкнутых систем удается получить яв-
ные соотношения всегда, если известны соответствующие описания динамических
звеньев рассматриваемых соединений. Трудности возникают при вычислениях ха-
рактеристик замкнутых систем, для чего в общем случае приходится решать инте-
гральные уравнения, которые для нестационарных звеньев общего вида не имеют
явных аналитических решений.
Ограничимся рассмотрением систем с синхронными кратными прерываниями, с тем
чтобы сопоставить рассматриваемый подход к описанию непрерывно-дискретных
систем с известными результатами [58, 145].
Типовыми для данного класса систем являются звенья изменения тактовой часто-
ты, которые можно рассматривать как линейные объекты с соответствующими пере-
даточными функциями.
Звено понижения такта представляет собой ключ, который замыкается с частотой
в к раз меньшей частоты входного сигнала и описывается весовой функцией
,	, [ 1, кп = т;
Ь(кп-т) = {	(3.350)
v	’ [0, кп*т.	4
Вычисляя по определению (3.151) бичастотную передаточную функцию, непо-
средственными вычислениями найдем
1 со пк
r(z2-zl) = —
г1 n=0m=0
ИЛИ
r(z2,Z,)=^—Ц-.	(3.351)
Z] z2-zf
Эта передаточная функция является ядром известной интегральной зависимости
«вход-выход» (см. например формулу (24) на стр. 552 в [58]). Заметим, что в дан-
ном случае проявляется общее правило, когда для описания цепей более сложной
природы, чем простейшие стационарные дискретные системы, не удается ограни-
читься простыми алгебраическими формулами Z-преобразования. Попытки пре-
одолеть возникающие затруднения приводят к соотношениям, типичным для опи-
сания нестационарных линейных систем с помощью аппарата бичастотных переда-
точных функций.
474
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Соотношение «вход-выход» записывается в виде
^(г) = пг г(п)
2л/ •'tiz-ti*
здесь У(т|) — изображение сигнала входа звена. Контур интегрирования «разделяет
особенности функций {к(г))/г|} и (z-r|*j . Поскольку для произвольного воздей-
ствия полюсы У (р) неизвестны, будем интегрировать с помощью вычетов в полюсах
г|т известной функции (z-т]*)
,2я
1/7 J-т
v\m=zx'ke к , т = 0,-1.
Кратность каждого из полюсов равна единице, поэтому для вычетов можно вос-
пользоваться известной формулой [58]. Если G(r|) = />(т))/б(л), то вычет в полюсе
r)m можно искать следующим образом:
ResG(r]) =

в нашем случае б(л) = г-г)Л, Р(т]) = гУ(г])/т].
Суммируя вычеты и принимая во внимание направление обхода контура интегри-
рования, получим известную формулу [58], которая выводится проще:
X(z)=-§y(z1/V2"'”/i).	(3.352)
т=0
Применение последней формулы при к > 3 требует громоздких вычислений. В прак-
тике расчета конкретных задач для нахождения изображения реакции проще при из-
вестном выражении У(т)) интегрировать с помощью вычетов в полюсах У(т))/т|.
Звену с весовой функцией Д(и-£/и) отвечает ключ, который замыкается син-
хронно с тактовыми моментами, по частоте в к раз большей. Ему соответствует пе-
редаточная функция
1 7к
r(z2,z,) = --^_.	(3.353)
Z1 z\-zx
Если на вход такого звена поступает сигнал с изображением У (г), то для изо-
бражения реакции справедливо соотношение
к
(3-354)
Zj Z2 ~ Z\
Для анализа замкнутых систем потребуются характеристики соединений непре-
рывно-дискретных звеньев и ключей, изменяющих частоту квантования. Вычислим
передаточную функцию типового последовательного соединения, состоящего из
ключа, замыкающегося с периодом Тг, и дискретно-непрерывной части. Последняя
состоит из экстраполятора, на вход которого поступает дискретный сигнал с перио-
дом квантования 7], и стационарного непрерывного звена.
Соответствующие бичастотные передаточные функции упомянутых звеньев опи-
сываются соотношениями
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
475
Гк(22^) =
£2___.
z2-e^
z^-z^')’
через Wx (s) обозначена обычная передаточная функция стационарной непрерывной
части, включающей формирующее устройство экстраполятора и непрерывное звено.
Для последовательного соединения упомянутых звеньев имеем
1 с+>
ri(z2,zi) = — J ------2-г-
2л/ J Zl -е 2 z,
J С—1	^1
Чтобы упростить интегрирование, воспользуемся дискретным преобразованием
Лапласа, заменив z2 на и будем интегрировать с помощью вычетов в простых
ds.
полюсах
5 = ^2+J—т, т = 0, ±1, ±2,....
Т2
Суммируя вычеты, для искомой передаточной функции соединения получим сле-
дующие соотношение:
(	. 2л
Wx 5, + / — т
1	00	12 J Т I
Г1(52>г1)₽— X -------Ц--------1-^.	(3.355)
Z112 т=-<ю	- s2?i + j—l\m
l-z,el 7’2 J
В частности, при TX=T2=T
т (	\	1	1 V1 wz (	 'I
г1(52>21) = "-ZTF— L S2+J~m
l-zxe 2 zi/< T2 )
Заметим, что сумма в правой части выражения с коэффициентом l/Т описывает
дискретное преобразование Лапласа JT|(z2)| _ ,2?., отвечающее непрерывной функ-
ции с изображением Wx ($2)
^1(5) = 7 Ё Wi(s2+j^™\ z2=eS2T.
* m=-co \	* J
Возвращаясь к Z-преобразованию по переменной е2'г, найдем
(3.356)
Fi(z2,Z]
) = ВД
z2
Z] (z2 -Zj)
Из последнего, в частности, следует очевидное из физических соображений заклю-
л чение, что соединение экстраполятора и ключа дают в итоге тождественное соедине-
ние. А именно, поскольку для запоминающего элемента экстраполятора Wx (z) = 1, то
ri(z2>zl) =
z2
Zi(z2-Zi)’
что отвечает тождественному преобразованию.
Пусть теперь Тх =кТ2, т.е. ключ на выходе замыкается с частотой в к раз боль-
шей частоты квантования входного воздействия. Тогда
476 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Принимая во внимание (3.343), найдем
Г1(22!21) = --^^4.	(3.357)
Z] l~ZxZ2
Несколько большие затруднения вызывает рассмотрение случая, когда Т2 = кТ}.
7\
W2(s)I\s,z)
Т2
I'2(s2,zx')
Рис. 3.41. Система с разными периодами квантования
При этом (рис. 3.41) из (3.357) имеем
I . 2л
^2 s2+j-— m
__\____'2	,
( т 2л
-| ^j—m
Г2 (^2 ’ Z]) — “~~ Е
zlK1\ m=-°
1 -zxe
Воспользуемся формулой для изменения порядка суммирования
О	£-1 оо
(3.358)
и перепишем выражение (3.358) в виде
^2^2+J-^-(' + W)
r2(S2,Z1)’7bi
1 — гхе
Принимая во внимание связь между непрерывным и дискретным преобразовани-
ем Лапласа, найдем
r2(J2»zl)-—гЕ
i=0
1	- X, к	Л J
1 — z^c
Возвращаясь к Z-преобразованию по переменной z2 = е“1Тг, получим искомую пе-
редаточную функцию	*
/ X 1	)
r2(Z2’Z1)=^^l-z,z^e-^-
При вычислении передаточных функций замкнутых систем приходится сначала
определять характеристики разомкнутых систем, составленных из звеньев, опреде-
ляемых формулами (3.357) и (3.359). Передаточную функцию последовательного
соединения таких звеньев запишем сначала в виде
(3.359)
Г с- т, . 2тс.
i-l^l е +J-T1
К
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
477
Г (	1 - 1 А 1	1 ^(z)
rp(z2>zl)	г Jlnilk - < -к
/.ту Z]/c,=oi —Z[Z2 e zi 1 —Z]Z
Интегрируя с помощью вычетов в простых полюсах
z = z'/V2”/\ / = 0,1,...,А-1,
найдем явное выражение для rp(z2,z1)
rp(z2,z,), -f—W, )•
Z1 (z2 “ Z1) k i=0
(3.360)
Для получения передаточных функций замкнутых систем необходимо найти яв-
ное выражение для обратного оператора ^l + rp(z2,Z])J *. Непосредственно проверя-
ется, что бичастотная передаточная функция указанного обратного оператора запи-
сывается в следующей форме:
r(z2>zi) =
z2
Z,(z2-Zi)
I +-£Х (4ке^) W. ^2ке^к)
к 1=0
(3.361)
Найденные соотношения в совокупности с исходными описаниями звеньев сис-
темы позволяют получить явные аналитические зависимости «вход-выход» между
любыми точками системы как для дискретных, так и непрерывных систем и, как
следствие, вычислять реакции при детерминированных и случайных воздействиях. -
Пример 3.19. Проиллюстрируем применение методики на примере расчета системы, изображенной на
рис. 3.42.
Рис 3.42. Система с двумя различными периодами квантования
В [134] эта система анализировалась методами пространства состояний. Используемые при этом мето-
ды припасовывания не позволяют получить решения в аналитической форме и весьма громоздки.
В принятых выше обозначениях элементы системы описываются соотношениями
^-'>=7rp
(l-d) c' + c+l
2^-4)
Передаточную функцию разомкнутой системы для указанных составляющих сначала запишем в виде
г /	--2	1 X Г(1-4)(п2+п + 1)
₽ ‘2"’ П
Как отмечалось выше, эту передаточную функцию удобно вычислять не по явной формуле (3.360),
а интегрируя с помощью вычетов. Определяя вычеты в простых полюсах г] = 1, д = ив полюсе г) = 0
кратности 3, найдем характеристику разомкнутой системы (Т = 1/3 с)
>	:2	0,129с2+0,188
Р " -'I (-2 - н ) с2 - l,36fc2 + 0,366
и передаточную функцию замкнутой системы по ошибке Ге (с2,с,)
478 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
,	, Г2 с2-1,366с2+ 0,366
‘г2 (г2 — -1) -2 — 1,237г2 + 0,554 ’
Используя передаточную функцию, связывающую ошибку e(z) с координатой t(z),
Г2(-'2’-',)=2,(,+11):е(1-.-е-’)
и найденную выше Ге(с2,с1), по формуле вычисления характеристик последовательного соединения
найдем искомую передаточную функцию, связывающую изображения X(s) и К (с):
, X 1-е~д	l-l,366e~J+0,366е~2д
2$(з + 1)с(1-се~д) 1-1,237е~'+0,554е-2’
По формулам связи «вход-выход» найдем изображение непрерывной реакции системы X (s) на еди-
ничное ступенчатое воздействие
, . =	1	1-1,366е~д+0,366е~2д
2s(s +1) 1 - 1,237е*д + 0,554е*2“ ’
Соответствующая этому изображению реакция системы показана на рис. 3.43.
Сравнения объемов вычислений для этого примера частных методов и методов пространства состоя-
ний оказывается не в пользу последних.
3.7.3. Анализ непрерывно-дискретных систем с особой точкой
Системы с особой точкой [117], в которых коэффициент при старшей произ-
водной обращается в нуль, относятся к трудным для анализа существенно неста-
ционарным системам. Вместе с тем такими уравнениями описывается ряд при-
кладных задач, в частности, линеаризованные модели систем самонаведения, что
обусловило пристальный интерес проектировщиков к исследованию таких моде-
лей. Поскольку нестационарный характер системы проявляется больше по мере
сближения движущихся объектов, применение стационарных моделей для исследо-
вания наиболее интересных заключительных этапов движения оказывается недо-
пустимым.
На рис. 3.44 показана типовая структурная схема систем указанного класса, где
через ^(z) и ^(z) обозначены соответственно стационарные передаточные
функции дискретного фильтра и непрерывной части системы, Э — экстраполятор
нулевого порядка; N-n — переменный коэффициент (0 < п < N) дискретного типа,
N = const, характеризующая временной интервал конечного этапа движения.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
479
Рис. 3.44. Система с особой точкой
Процедура динамического расчета систем с особой точкой базируется на возмож-
ности представления замкнутых нестационарных систем с переменным коэффициен-
том, неограниченно возрастающим на конечном интервале времени, в виде последова-
тельного соединения стационарных звеньев, разделенных переменным коэффициентом.
Изначально возможность такого представления была сформулирована для непре-
рывных систем. Можно показать, что процедура приведения замкнутой нестацио-
нарной системы к разомкнутой справедлива и для непрерывно-дискретных систем.
Более того, если объект управления задан системой линейных дифференциальных и
разностных уравнений, то все характеристики указанного представления определя-
ются в явной форме.
Рассмотрим сначала характеристики соединения двух дискретных звеньев (рис. 3.45),
составленного из переменного коэффициента N - п и стационарного динамического
звена с передаточной функцией JV(z) в комплексной области.
Рис. 3.45. Соединение звеньев
(3.362)
Переменный коэффициент /(и) описывается весовой функцией Д(п-/и)/(и),
которой в комплексной области отвечает передаточная функция
r/(z2>zi) =—^(z2/zi)-
zi
Здесь через F(z) обозначено Z-преобразование дискретной функции /(«)• Для
нашего случая f (л) = Nn, которому отвечает преобразование
г/ \ Nz ________________________________z
z —1 (z-1)2'
Вычисляя бичастотную передаточную функцию соединения, найдем
^2
(3.363)
_Z1(Z2“Z1) (z2-Z])2_
Воспользуемся теперь соотношением, связывающим сопряженную Я(л,г) и би-
частотную	передаточные функции,
Я(и,г) = y-;c|zr(T]z,z)r]"_,dr),
которое для рассматриваемого случая записывается в виде
1
H(n,z) = — dr(nz) —------------=-
V	(п-1)2
T|"<iT].
480 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Интегрируя вычетами в кратном полюсе т) = 1, перепишем соотношение в форме
дифференциального уравнения
H(h,z) = -^^-(A-h)^(z).	(3.364)
Полученному выражению отвечает структурная схема (рис. 3.46), которую можно
интерполировать как результат структурных преобразований, а именно как результат
переноса переменного коэффициента через динамическое звено по ходу движения
сигнала.
Рис. 3.46. Эквивалентное соединение
Для каждого из соединений на рис. 3.45 и 3.46 найдем обратные, структурные
схемы которых показаны соответственно на рис. 3.47 и 3.48.
Рис. 3.47. Соединение, обратное 3.45
Рис. 3.48. Соединение, обратное 3.46
На рис. 3.47 и 3.48 показаны разные представления одной и той же системы. От-
куда легко заключить, что система с обратной связью (рис. 3.48) эквивалентна после-
довательному соединению стационарного дискретного звена и переменного коэффи-
циента
Вернемся теперь к исходной системе и выполним очевидные преобразования, с тем
чтобы привести исходную структуру к рассмотренной выше (рис. 3.48). Результат
преобразования приведен на рис. 3.49.
Рис 3.49. Эквивалентное преобразование структурной схемы 3.44
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
481
Через IVQ (z) здесь обозначена дискретная передаточная, функция стационарной
части разомкнутой системы
^0(z) = ^(z)Z*

Принимая во внимание установленную выше эквивалентность структур, для ис-
ходной системы получим искомое представление в виде разомкнутой системы, пока-
занное на рис. 3.50.
Рис 3.50. Разомкнутое представление замкнутой системы 3.44
Передаточные функции W (z) и JV0 (z) связаны дифференциальным уравнением
в области комплексной переменной z
V 7 fP(z) dz
Если объект управления задан системой дифференциальных и разностных урав-
нений с постоянными коэффициентами, то JF0(z) является дробно-рациональной
функцией, которую можно представить в виде
(z) _ у ai
z
Дифференциальное уравнение при этом легко интегрируется и для искомой пере-
даточной функции iy(z) после очевидных преобразований находится явное пред-
ставление
^(2)=П(2-^Г'-
/=|
Произвольная постоянная интегрирования, которая, строго говоря, должна выби-
раться из краевых условий для функции W(z), без ущерба для расчета реакций в
системе может быть выбрана произвольно (например, равной 1), поскольку она вхо-
дит множителем в выражение для FF(z), а разомкнутая структура наряду с функци-
ей IV(z) содержит также и обратную X/W^z).
В заключение заметим, что если передаточная функция fV0(z) не содержит неус-
тойчивых и неминимально-фазовых звеньев, а непрерывная часть исходной системы
устойчива, то из найденного представления следует, что исходная замкнутая система
будет устойчива в смысле определения: ограниченный вход-ограниченный выход на
конечном интервале времени.
Пример 3.20. В качестве простого иллюстрирующего примера рассчитаем непрерывную реакцию сис-
темы, изображенной на рис. 3.44, на единичное ступенчатое воздействие.
п i , ш / \ к	М-)	КТ	КТ
Пусть И,1(с) = 1, W2 (5) = —,	тогда	— 7 =---.
s	z	с-1	с
Отсюда следует, что решение для W (с) записывается в виде
( - \КТ
32 Зак. 14
482 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Принимая КТ = 1, непосредственными вычислениями по структурной схеме найдем сигнал на входе
экстраполятора G(r)
Учитывая связь «вход-выход» для сигналов G(z) и A'(.s), для изображения непрерывной реакции
X(s) имеем
X(s) = —ф1-е/7 ——5—- 2 -dz = -L-.
2ту ' s2 z(\-zes)(- —1)АГ №2
Другим словами, на интервале 0<кпТ реакция x(z) является линейно возрастающей функцией.
3.7.4.	Системы с периодической коммутацией параметров
Рассмотрим класс линейных систем, параметры которых периодически изменяют-
ся, оставаясь постоянными на интервалах между коммутацией параметров. К та-
кому классу относятся, в частности, импульсные системы с конечным временем за-
мыкания ключа. Известно достаточно большое количество работ, в которых рассмат-
ривались такие системы. Во всех случаях, однако, анализ их предполагал громоздкие
вычисления. Поэтому не случайно в [134] отмечалось, что наиболее простым спосо-
бом анализа таких систем является непосредственное вычисление реакций путем
припасовывания с использованием матрицы перехода. К сожалению, и этот путь не
является исчерпывающим. С его помощью, равно как и другими известными спосо-
бами, не удается решать такие задачи, как определение реакций систем при случай-
ных воздействиях, для которых более предпочтительным является использование
системных характеристик типа передаточной функции.
Отмеченные трудности являются показательным примером дополнительных про-
блем при попытках распространить методы описания стационарных систем на объек-
ты, которые по своей природе являются нестационарными.
Периодическая коммутация параметров объекта очевидно переводит эти объек-
ты в класс нестационарных, в рамках которого и целесообразно выполнять их анализ.
Вместе с тем частный характер нестационарности позволяет для данного класса
получить явное аналитическое выражение для системных характеристик, что для
нестационарных систем является скорее исключением, чем правилом.
Будем считать, что динамическая система, параметры которой могут изменяться
скачком, описывается уравнениями состояния
~ = A(t)X + Y, Х(О) = Хо,	(3.365)
где матрица состояния А (7) в промежутках между коммутацией параметров прини-
мает постоянные значения
А(г) = А,, kT + Tt_x <t<kT + Tj (k = 0,1,2,...; i = 1, 2,..., т-1).	(3.366)
Ясно, что при таком описании матрица А(/) удовлетворяет условию
A(t) = A(t + T)
и динамическая система (3.398) является периодической. Известно [33], что для не-
возмущенной системы
-^ = А(/)Х, Х(О) = Хо	(3.367)
состояния системы в моменты времени, кратные интервалам периодичности, связаны
соотношением
Х((к + 1)Т) = СХ(кТ),
(3.368)
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 483
где С — некоторая постоянная матрица, которую обычно называют дискретной
матрицей перехода [33]. Этот результат является следствием теории Флоке [33] для
периодических систем. Поскольку в промежутках между коммутацией параметры
системы остаются постоянными, матрица С легко определяется припасовыванием
решений на смежных отрезках интервале?периодичности
Х(Т’) = еА"'<7-7'" ‘'...еА^/г 7|)е>А|7'Хо.	(3.369)
Здесь через eA,z обозначены матрицы перехода стационарных сис тем с матрица-
ми состояния А,.
Сравнивая (3.368) и (3.369) при X = 0, искомую матрицу С выразим через про-
изведение матриц перехода, вычисленных для моментов времени, в течение которых
параметры системы остаются постоянными:
С = eW-r„ <) _ _ _)еА,7, _	(3.370)
Не ограничивая общности, лишь для упрощения изложения примем т -2. Иначе
говоря, изменение параметров на интервале периодичности происходит один раз.
При этом матрица С определена произведением
С = (?А'"(7”/|)еА|'' =е>ЛЛеА'7'.	(3.371)
Заметим, что устойчивость системы (3.365) определяется характеристическими
числами к. матрицы С, и если
ix.,j< I, / = 1.п,	(3.372)
где п — размерность вектора состояния, то система является асимптотически устой-
чивой [60].
Соотношения (3.368) и (3.371) устанавливают поведение системы (3.367) в мо-
менты времени 0, Т, 2Т,.... Для других моментов времени соответствующая матрица
С в общем случае будет иной.
В частности, свободное движения системы для моментов времени 7], 7\ + 7',
Т\ +27’,... определяется выражением
X(кТ + Т + /]) = С, X (кТ 7]),
где С,
В общем случае <?A|,‘eA-/; +еА-’7;еА|7‘ и С, + С. Поэтому при устойчивом характе-
ре некоторой последовательности наблюдаемых значений можно было бы ожидать
скрытое раскачивание системы. Однако нетрудно показать [66], что характеристиче-
ские уравнения матриц С, и С совпадают, вследствие чего условие (3.372) является
необходимым и достаточным для устойчивости системы (3.365) при любой последо-
вательности дискретных значений.
Дискретная матрица перехода С позволяет построить решение однородной сис-
темы (3.367) для любого момента времени
, .	1<?•»’-« Vx,,, кт<1 <к'Г + '!\\
Х<)4	'	(3.373)
'eA2(,'A'’':ieAi';CXi;, кТ+Т-<1 <кТ + Т.
Из последнего видно, что фундаментальная матрица решений *!>(/) системы
(3.367) определяется выражениями
+Л7|СА, кТ + Т} <1<кТ+Т.
32’
484
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
По фундаментальной матрице найдем системную характеристику &((,т)
Л(Ст) = Ф(/)Ф-1(т),	(3.375)
которую можно использовать для вычисления реакций системы при нулевых и отлич-
ных от нуля начальных условиях. Реакции системы, получаемые при этом? отвечают
известной процедуре припасовывания решений и являются весьма громоздкими. Более
компактные выражения можно получить, если решать задачу в комплексной области.
При этом в качестве основной динамической характеристики выступает бичастотная
передаточная функция, определяемая соотношением (3.128).
При вычислении передаточных функций интегрирование по каждой переменной
/ и т выполняется по областям, указанным в (3.374), после чего производится сум-
мирование по целочисленным переменным. Выполняя указанные действия с учетом
(3.374) и (3.375), по формулам (3.128) получим явное выражение для искомой пере-
даточной функции
ф, =	'W3 (A1 >+£?(W/| [ W’ (А2) + W' (А2)е-'7 WCW2 (А,)] +
+[ W] (А() We-'’7 С + W] (А2) e~sT' еА'7; w] W2 (А,) +	(3.376)
+W, (А,) ерТ' е~хТ'Пе*л W2 ( А2)},
где
W = [l-e-''7'c]-1;
W,(AJ =[5l-
W2(At) = [PI-AJ-'[A-a‘7‘-i];
W3(AJ= [pl -A,]-'
:----I-W^AJ
P~s
к = 1,2.
Бичастотная передаточная функция позволяет вычислять изображения реакций
системы (3.365) при детерминированных и случайных воздействиях при нулевых и
отличных от нуля начальных условиях.
Пример 3.21. Проиллюстрируем применение предполагаемого подхода на простейшем примере сис-
темы первого порядка (рис. 3.51), чтобы показать особенности выражений, определяющих истинные реак-
ции в системах указанного класса.
Рис. 3.51. Система с конечным временем замыкания ключа
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
485
Однородная система с уравнением
dx I"-*, кТ < I < кТ + 7];
кТ + Т\ <1<кТ + Т
имеет решение х(кТ) = Скх0, где С = е\
Бичастотная передаточная функция, отвечающая весовой функции А:(/,т)а(т),
1		>+,)7i -1)	e~sr		( e-'r' -e~sT
	1-	-e~r‘e~sl	(5 + 1)(р + 1)		i(p + l)
(s + l)(s-p)	(s + l)(p + l) j
Реакцию на единичное ступенчатое воздействие найдем, интегрируя выражение
1 t+/co
х(/)=^Хг(^р)7ф'
Результатом интегрирования является изображение реакции X (s)
3.7.5.	Замечания об устойчивости непрерывно-дискретных систем
Последовательное применение частотного метода для описания и анализа непре-
рывно-дискретных, в общем случае, нестационарных систем предполагает определе-
ние и использование бичастотных передаточных функций, которые, в отличие от
привычных передаточных функций Лапласа для стационарных линейных систем, к
настоящему моменту еще не получили широкого распространения в инженерной
практике. Сама конструкция передаточных функций, зависящих от двух комплекс-
ных переменных, достаточно сложна, что, очевидно, является платой за возможность
описания достаточно сложных классов динамических систем.
Задачей данного рассмотрения не является формулировка критериев устойчиво-
сти. Здесь обсуждается несравненно более скромная задача. Целью последующего
изложения будет интерпретация классических простых понятий устойчивости по
Ляпунову, когда в качестве объекта исследования выступает бичастотная передаточ-
ная функция.
Рассмотрим сначала непрерывные объекты. Для скалярной весовой функции А'(г,т)
воспользуемся оценкой
(/,т)| < Mer,^‘ , t > т.
Система является асимптотически устойчивой, если при любом т выполняется
условие
lim k(t,x) = 0.
, Упомянутое условие заведомо выполняется, если г, < 0.
Определим двухмерное преобразование Лапласа соотношением
W (s,p^ = | ^k(t,x)e~i(‘~^e~px dtdx.
0 т
Нетрудно заметить, что определенная здесь функция IV (з1,/?) очевидным образом
связана с бичастотной передаточной функцией Г(^, />):
486
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
J ^k{t,x)e~st е^~р^ dtdx = r(s,s - р).
О т
Другими словами, указанная связь определяется соотношением
Wfap) = Tfas - р).
Интеграл сходится, если Res>rb Rep>r2- Тогда функция IV fa р) является за-
ведомо аналитической всюду, где выполняются эти неравенства Res > rb Rep > г2.
На плоскости (Res, Rep) неравенства выделяют область, где функция Ff(s,p)
является заведомо аналитической (заштрихованная область на рис. 3.52).
Истинный вид области сходимости, расположенной в правом верхнем углу, опре-
деляется особенностями функции FF(s,p).
Нанося на плоскость (Res, Rep) все нарушения аналитичности >F(s,p), полу-
чим монотонно невозрастающую характеристику сходимости (рис. 3.53).
Если она такова, что включает в себя точки, где Res <0, то выполняется неравен-
ство |A:(z,t)|<Ме'^‘ ^еГ1\ где Г] < 0, что гарантирует асимптотическую устойчивость.
Учитывая связь между IV fap') и Vfap), для оценки устойчивости динамиче-
ской системы, описываемой бичастотной передаточной функцией T(s,p), следует
формально положить р = s - р и для полученной функции Г (s, s - р) строить ха-
рактеристику сходимости.
Глава 3. Системы управления с ЭВМ 487
, Pf'(s)
В стационарных системах Пл',р) =—и
s~P
r(s,s-p) = r(s,p)[p=sp=IV(s)j.
Ясно, что особенности W ($) не зависят от р, и, таким образом, приходим к хо-
рошо известному результату: стационарная система, описываемая передаточной
функцией Лапласа И7 (.у), устойчива, если все полюсы И7 (у) расположены в левой
полуплоскости.
Для весовой функции дискретной системы рассмотрим оценку
|Л(и,»г)|<Мап~тЬт, п>т, а>0, Ь>0.
Динамическая система с весовой функцией к(п,т) асимптотически устойчива,
если для любого т а < 1.
Определим двухмерное Z-преобразование функции к{п,т) соотношением
w(z2’z\)= Z
т=0п=т
Двухмерная функция W(z2,z!) является аналитической всюду, где |z2| > a, |z,| > b.
Последние неравенства на плоскости (|z2|,|z]|) занимают правый верхний угол (за-
штрихованная область на рис. 3.54).
Система будет асимптотически устойчивой, если этот угол заходит в область,
где |z2| < 1.
Как и выше, вычисляя нарушение аналитичности для функции W7(z2,z1), можно
построить характеристику сходимости, которая является невозрастающей функцией
(рис. 3.55). Если эта характеристика заходит в область, где |z2| < 1, то система асим-
птотически устойчива.
Переписав определение H7(z2,z1) в виде
w(z2’zi)= Z ZA:(">OT)z2"[—"l
m=0n=m	V Zl J
и сравнивая его с определением бичастотной передаточной функции дискретной
системы
488
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Г(г2>г1)= Е ЕЛ(«’/И)22''2Г1,
т=0п-т
легко видеть, что ^(z^z,) и r(z2,Z]) связаны соотношением
^(z2^i) = 2r(z2,z)|r4z2/2|.
Рис. 3.55. Характеристика сходимости
Для стационарной дискретной системы бичастотная передаточная функция запи-
сывается в виде
тогда
w (z2, г,) = zr(z2, z)|r=2j/zi = W (z2 )-^y.
У функции f^(z2,zt) особенности ^(г2) не зависят от z,, и, как следствие, по-
лучаем привычное условие устойчивости: все корни характеристического уравнения
zk передаточной функции W (z) должны удовлетворять условию |zt|<l.
Обратимся к рассмотрению дискретно-непрерывных систем. Пусть весовая функ-
ция системы k\t,nT), которая является непрерывной по первому аргументу t и дис-
кретной по второму пТ, удовлетворяет неравенству
< Ме'^‘ п1^ап, t>nT, а>0.
Система с такой весовой функцией будет асимптотически устойчива, если для
любого п
lim k(t,nT\ = О,
что, очевидно, будет иметь место при г < 0.
Определим двухмерное преобразование функции Л(г,нГ) соотношением
JV(s,z) = I k(l,nT)e~^'~”7^z~ndt.
n=0„y
Интеграл и сумма сходятся, если Res>r, |z| > а. Другими словами, функция
^(s,z) является асимптотической всюду, где выполняются неравенства Re5>r,
|z| > а. На плоскости (Res, |z|) эти условия выделяют область (заштрихованную на
рис. 3.56), где функция H'^s,z) является аналитической. Более того, область сходи-
Глава 3. Системы управления с ЭВМ
489
мости определяется особенностями функции W(s,z). Невозрастающая характери-
стика сходимости может быть получена при нанесении на плоскость нарушений ана-
литичности.
Если область сходимости включает в себя точки, где Res < 0, г < 0, то система
является асимптотически устойчивой.
Сравнивая определения W(s,z) и r(.s,z), установим связь между ними:
H^.z) = X ]k(t,nT)e~st (esTz-l)n dt = г(а, esTz~l).
n=OnT
Откуда искомая зависимость устанавливается соотношением
^(5>г) = г(5;п)|л =Л.,.
Итак, если известна бичастотная передаточная функция дискретно-непрерывной,
в общем случае, нестационарной системы Г(.у,г), то для оценки устойчивости сле-
дует вместо z в выражении для r(s,z) положить ё'Т z~'1 и по полученной функции
оценивать устойчивость.
В качестве принципиального примера рассмотрим устойчивость типовой стацио-
нарной дискретно-непрерывной системы (рис. 3.57).
Рис. 3.57. Дискретно-непрерывная система
Здесь непрерывная часть системы, описываемая передаточной функцией Лапласа
W (.?), включает в себя и формирующее устройство экстраполятора.
Бичастотная передаточная функция замкнутой системы определяется выражением
Переходя к W(s,z), найдем
Ял(5,г) = г(5,е'7’г_1.) =
И^)Фе(/7)
^(l-z-’jz-1 ’
31 Зак. 14
490 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таким образом, особенности fV(s,z) по s и z независимы. Особенности по s
совпадают с особенностями функций и	или, что то же самое, с осо-
бенностями непрерывной разомкнутой системы W (s) и замкнутой дискретной
системы фДе5?).
Отсюда следует, что замкнутая дискретно-непрерывная система будет устой-
чива, если'.
•	полюсы разомкнутой непрерывной системы лежат в левой полуплоскости
(т.е. Rest < 0);
•	полюсы замкнутой системы удовлетворяют условию |е4,г|<1, т.е. Z-характе-
ристическое уравнение замкнутой системы имеет корни, по модулю не пре-
восходящие единицы |z;j<l.
Глава 4. Нелинейные системы управления
491
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ:
МОДЕЛИ, УСТОЙЧИВОСТЬ,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ,
РАСЧЕТ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Первым приближением описания системы автоматического управления является
линейная математическая модель, которая обычно строится в виде системы линейных
дифференциальных или разностных уравнений. Решение таких уравнений зачастую
может быть получено в аналитическом виде, что облегчает анализ системы управле-
ния и синтез регулятора.
Многие системы управления содержат, однако, нелинейные звенья. В этом случае
применение линейной теории приводит к неточным или принципиально неверным
результатам. В нелинейных системах обнаруживаются типы движений (например,
автоколебания), которые не могут быть описаны в рамках линейной теории.
Здесь приведены основные модели нелинейных систем. Вводятся классические
определения устойчивости по Ляпунову. Приведена сводка результатов по устойчи-
вости и неустойчивости нелинейных систем общего вида. Специальный вид моделей
рассматривается в задаче об абсолютной устойчивости. Основное внимание уделяет-
ся связи частотных методов с функциями Ляпунова. Глава завершается некоторыми
результатами по оценке параметров периодических колебаний.
4.1.	ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ
Пусть математическая модель управляемой системы описывается дифференци-
альными уравнениями
*	*=/*(*!,*2, - *Л>0, А = 1’Л,	(41)
где хк — зависимые переменные; хк — производные зависимых переменных по
времени /; fk — нелинейные функции, удовлетворяющие условиям существования
и единственности решений системы (4.1) при заданных начальных условиях
*10>-->хл0-
Введем вектор состояния X, элементами которого являются зависимые перемен-
ные Х],...,хп, и вектор-функцию f с элементами fk, к = \,п. Все векторы будем
трактовать как одностолбцовые матрицы. В векторных обозначениях система (4.1)
будет иметь вид
Х = /(Х,/).	(4.2)
Фазовое (п + 1)-мерное пространство системы (4.2) образуют переменные
xx,...,xn,t.
Динамическое поведение нелинейной системы (4.2) определяется разбиением фа-
зового пространства на траектории, изображающие решения.
Напомним некоторые понятия из теории дифференциальных уравнений. Рассмот-
рим автономную систему Rn
Х = /(Х).
(4.3)
31
492 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В и-мерном пространстве вектор-функция Х(/), координаты которой можно рас-
сматривать как координаты изображающей точки, описывает фазовую траекторию.
Совокупность всех фазовых траекторий, определяемых начальными условиями, об-
разует фазовый портрет системы (4.3).	,
Особыми точками фазового пространства являются точки, удовлетворяющие
уравнению f (X) = 0. Эти точки могут быть изолированы или составлять некото-
рую область. Особые точки являются устойчивыми, если они притягивают окрест-
ные траектории. Поверхности в фазовом пространстве, к которым притягиваются
или от которых отталкиваются траектории, называются сепаратрисными.
Метод фазового пространства особенно нагляден для систем второго порядка, ко-
гда фазовое пространство представляет собой плоскость с координатами X], х2.
Пусть в этом случае система (4.3) имеет вид
=а1|х1+а!2х2+Т?(х!,х2);
х2 = а21Х! +а22х2 +G(x],x2),
где atj —постоянные коэффициенты; «ца22-а12а21 0, Т?(х],х2), G(x];x2) —
функции от х, и х2, стремящиеся к нулю при X —> 0 как бесконечно малые второго
порядка. Особой точкой здесь является начало координат. Характеристическое
уравнение системы (4.4)
i-X) (а22-X)-а]2а21 = 0	(4.5)
имеет два корня X] и Х2, определяющие один из следующих типов особой точки'.
•	устойчивый фокус, если X] и Х2 — комплексные с отрицательными дейст-
вительными частями. На устойчивый фокус траектории наматываются спи-
ралями;
•	неустойчивый фокус, если X] и Х2 — комплексные с положительными дейст-
вительными частями. С неустойчивого фокуса траектории разматываются
спиралями;
•	устойчивый узел, если X) и Х2 — действительные отрицательные. К устой-
чивому узлу траектории сходятся апериодически (без колебаний);
•	неустойчивый узел, если Xt и Х2 — действительные положительные. От не-
устойчивого узла траектории апериодически расходятся;
•	седло, если X] w Х2 — действительные разных знаков. В седло две траектории
входят и две выходят, остальные траектории проходят мимо особой точки;
•	если X! и Х2 — чисто мнимые, то возможен фокус или центр — в зависимо-
сти от вида функций R и G. Центр представляет собой особую точку, ок-
руженную замкнутыми траекториями, вложенными друг в друга.
Изолированные замкнутые Тпраектории называются предельными циклами. Ус-
тойчивые предельные циклы называются автоколебаниями.
В случае линейной системы (4.4) R = G = 0. При этом сохраняются все типы осо-
бых точек: при чисто мнимых Х];Х2 получается центр, причем замкнутые траекто-
рии не изолированы.
Применение метода фазового пространства к системе порядка п > 2 наталкивает-
ся на большие трудности и теряет наглядность.
Глава 4. Нелинейные системы управления 493
4.2.	УСТОЙЧИВОСТЬ И ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
В настоящей работе устойчивость понимается в смысле Ляпунова. Некоторое оп-
ределенное движение системы (4.2), подлежащее исследованию на устойчивость,
называется невозмущенным движение^. Ему соответствует определенное частное
решение X(z) = X(z) системы, отвечающей начальным условиям X(z0) = XQ. Если
изменить начальные условия, положив X(z0 ) = Хо + Ro, то получим новое движение
системы, отвечающее новым начальным условиям и называемое возмущенным. Обо-
значим YB (z) = X(z)-X(z).
Определение 4.1. Невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, если по лю-
бому е > 0 можно найти такое 5 > 0, что при Rg Ro < 3 и при любом Z > t0 будет
выполнятся неравенство X' X < 3.
Определение 4.2. Невозмущенное движение называется асимптотически устой-
чивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для данного Zo существует такое положи-
тельное число А < 3, что если R'o Ro < 3, то X(R0, z) -» 0 при Z —> со.
Исследование устойчивости любого решения X(z) уравнения (4.2) можно свести
к исследованию нулевого (тривиального) решения некоторого другого уравнения.
Действительно, для функции YB (z) имеем
YB(O = /(YB+X,f)-/(x,z) = y(YB,r),
причем /(О, z) = 0. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем изучать ус-
тойчивость нулевого решения уравнения (4.2) при /(0, z) = 0.
Назовем функцией Ляпунова скалярную функцию V(X, z) от векторного аргу-
мента X, Z, обладающую следующими свойствами', функция непрерывна вместе со
своими частными производными первого порядка в некоторой области, содержащей
начало координат',
K(O,z) = O;
r(X,z)>0, Х^О.
Геометрический смысл функции E(X,z) можно пояснить при Z — Z, = const,
п = 2. Обозначим z = V (х], х2, t}) и рассмотрим рис. 4.1.
Так как К(Х, zJ>0 для Х^О, то поверхность z = E(X, Z,) напоминает стоящую
на столе (плоскость (х,,х2)) чашу.
Если рассечь эту чашу плоскостями, параллельными плоскости стола, то проек-
ции линий пересечения на горизонтальную плоскость описываются уравнениями
K(x],x2,Z1) = h. Эти кривые являются замкнутыми (рис. 4.2).
Чаще всего в качестве функции Ляпунова используется квадратичная форма
=	=	(4-6)
/=1 7=1
которая в векторно-матричных обозначениях может быть записана в виде
E(X,z) = X'L(z)X,
где матрица L(г) имеет элементы £,y(z).
494
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 4.1. Примерный вид функции Ляпунова
Простые необходимые и достаточные условия положительной определенности
квадратичной формы (4.6) даются критерием Сильвестра: все последовательные
главные миноры матрицы L > 0 должны быть положительными:
Сформулируем теорему Ляпунова об устойчивости. Обозначим скалярную непре-
рывную неубывающую функцию со свойствами
ф(0) = 0, <р(ц)>0 при ц>0.
Глава 4. Нелинейные системы управления
495
Назовем производной V функции V(X, z) в силу уравнения (4.2) величину
у (х, о=/(х>	(4-8)
dt 7~\Oxt	dt (<ЭХ J
dv . IZ	*„	dV
где---= grad V — вектор, составленный из частных производных-.
d X	dx.
Теорема 4.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть существует функция
Ляпунова K(X,z) такая, что
<P(|X|)<K(X,Z);	(4.9)
К<0.	(4.10)
Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Пусть е>0. Возьмем в качестве 5(s, z0) такое число, что
iXI™5^hK(Xo^)Me)-	(4J1)
|Х0|£о (e,f0)
Из непрерывности V(X,t) и условия К(0, Zo) = O следует, что такое §(е, z0) су-
ществует. Используя (4.9) и (4.10), получим при |Х0| < б(е, Zo)
max
В силу монотонности функции ф(ц) получаем |х(г)| < е.
Теорема доказана.
Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть суще-
ствует такая функция Ляпунова И(Х, z), что
Ф1 (|х|) < К(Х, z) < ф2 (|х|);	(4.12)
V(X, z)<-cp3(|x|),	(4.13)
где ф, (ц), i = 1, 2,3 — скалярные неубывающие непрерывные функции со свойства-
ми ф,(р.)>0 при ц—>0. Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) равномерно
асимптотически устойчиво.
Теорема 4.3 (Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский [10]).
Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и, сверх того,
ф, (ц)->оо при ц -> оо.	(4.14)
Тогда решение уравнения (4.2) асимптотически устойчиво в целом (для любых
начальных условий).
Теорема 4.4 (теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости). Пусть для уравнений воз-
мущенного движения существует такая функция, для которой в сколь угодно малой
окрестности нуля существует область, во всех точках которой V >0 (или И <0 ),
V > 0 (или V < 0 ). Тогда невозмущенное движение неустойчиво.
4.3.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ
Построим функцию Ляпунова для линейной стационарной системы
Х = АХ, Хе 7?"	(4.15)
в виде квадратичной формы
K(X) = X'LX, L = L'.
(4.16)
496 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Дифференцируя И(Х) по времени, в силу (4.15) получаем
K(X) = X'(A'L + LA)X.	(4.17)
Потребуем, чтобы производная И(х) была равна произвольной квадратичной
форме -Х'РХ : Й(х) = -Х'РХ, Р = Р'. Из (4.17) получаем
X'(A'L + LA)X = -X'PX.	(4.18)
Тождество (4.18) возможно при всех X тогда и только тогда, когда
A'L + LA = -P.	(4.19)
Матричное уравнение (4.19) называется уравнением Ляпунова. Собственные зна-
чения X, , i = \,n матрицы А определяются как корни уравнения
det(A-Xl) = 0.	'	(4.20)
Теорема 4.5 (А.М. Ляпунова). Пусть все собственные значения АДА) матрицы
А имеют отрицательные действительные части. Тогда для любой матрицы Р > 0
существует единственное положительно определенное решение уравнения Ляпунова
(4.19), вычисляемое по формуле
L= рА''РеА'Л.	(4.21)
о
Обратно: если для какой-нибудь матрицы Р > 0 существует решение L > 0 урав-
нения (4.19), то матрица А устойчива.
Формула (4.21) доказывается следующим образом. Имеем тождество
—( еА''РеА') = А'еА'РеА' + еА'(РеА'А.	(4.22)
dtv >
Интегрируя в пределах от 0 до со, получаем
eAzPeAz| -P = A'L + LA,
k=oo
откуда ввиду устойчивости матрицы А следует (4.21).
Устойчивость линейных нестационарных систем. Рассмотрим нестационарное
линейное уравнение
Х(/) = А(?)Х(/).	(4.23)
Известно, что по собственным значениям Aq (г),...,Х„ (z) матрицы А(/) нельзя
судить об устойчивости системы (4.23), т.е. метод «замороженных коэффициен-
тов», вообще говоря, неверен. Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.6. Пусть собственные значения матрицы A =-^-(A(r) +А'(/))
отрицательны. Тогда система (4.23) асимптотически устойчива.
Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова И(Х) = Х'Х. В силу (4.23) имеем
V = Х'Х + ХХ' = 2Х'АХ < 2цтах (t)V(X).	(4.24)
Поскольку цтах(?)<0, то из (4.24) и теоремы 4.2 следует доказываемое утвер-
ждение.
Отметим, что решения неоднородного линейного уравнения Х(г) = A(/)X(/) + g(r)
устойчивы или неустойчивы в зависимости от устойчивости однородного уравнения
(4.23). Действительно, если Z(?) — некоторое решение неоднородного уравнения,
то определим
Глава 4. Нелинейные системы управления 497
Y(/,X0-Z0) = X(f,X0)-Z(r,Z0).
Имеем Y(f) =	поэтому из устойчивости (неустойчивости) уравнения
(4.23)	следует устойчивость (неустойчивость) решения Z(/).
Устойчивость по линейному приближению. Рассмотрим нелинейную систему
Х = АХ + />(Х), |Л(Х)| < ц|х|’+“, а>0, ц>0.	(4.25)
Наряду с (4.25) рассмотрим линейную систему первого приближения
X = АХ.	(4.26)
Теорема 4.7 (А.М. Ляпунова). Тривиальное решение системы (4.25) асимптоти-
чески устойчиво, если асимптотически устойчиво тривиальное решение системы
первого приближения (4.26).
Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова в виде V = X'LX. В силу систе-
мы (4.25) имеем
К(х) = Х'( A'L + L A)X + 2X'LZ>(X).	(4.27)
Пусть матрица L>0 удовлетворяет уравнению Ляпунова A'L + LA = -I. Такая
матрица существует, поскольку система первого приближения устойчива.
Тогда
V < -|Х|2 + 2|L|(X)| < -|Х|2 +2|L||x|p|x|1+“ < 2|x|2 (1 -2ц|b||x|“) < ~Р|х|2,
если
2ц|ь||х|“ <1-р, р>0.	(4.28)
Таким образом, при малых |х|, обеспечивающих выполнение (4.28), система
(4.25) асимптотически устойчива.
4.4.	ЗАДАЧА ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
При всем разнообразии нелинейных систем можно выделить класс таких систем,
которые ведут себя в смысле устойчивости подобно линейным системам. Так, на-
пример, устойчивость имеет место при любых начальных условиях; часто из факта
устойчивости следует асимптотическая и даже экспоненциальная устойчивость.
Этот класс систем будем называть классом абсолютно устойчивых систем. На-
ряду с линейными системами в него входят системы как с непрерывными, так и с
разрывными нелинейными звеньями. Как правило, такие системы не могут быть ли-
неаризованы в малом. Поэтому об их устойчивости нельзя судить по уравнениям
первого приближения.
Опишем некоторые основные модели этого класса.
Любая система автоматического управления содержит объект управления и регу-
лятор. Во многих случаях объект является линейным, в то время как регулятор со-
держит существенные нелинейности. Поэтому в моделях систем управления принято
выделять линейную часть и одно или несколько нелинейных звеньев.
Наиболее распространенной является модель, описываемая дифференциальными
уравнениями в и-мерном действительном пространстве R":
X = AX + B£ + Rg, Х(О) = Хо;
^ = cp(o,z);	(4.29)
ст = С'Х,
498 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где вектор-функция Х(/) называется вектором состояния, скалярные функции £(?)
и g(t) называются сигналом обратной связи и внешним сигналом соответственно.
Постоянные векторы-столбцы В, R, С имеют размерность п. Матрицу А будем
считать постоянной. Особо выделим важные частные случаи системы (4.59). Будем
называть эту систему автономной, если внешний сигнал отсутствует, т.е. g(t) = Q.
Если функция <р(ст,г) не зависит явно от времени, <р(а,/) = <р(ст), то такую систе-
му будем называть стационарной.
В ряде случаев полезно перейти от дифференциальных уравнений к описанию с
помощью одного интегрального уравнения, имеющего вид
t
a(t) =	+ Jw(r-X)£(X)JX,	(4.30)
о
где
/(г) = L~x [C'(pl-А)'1 Хо); s(z) = L~x (c'(pl-A)’1 G(p)};
G(p) = z{g(r)}; W(/) = Z-1[c'(A-pI)’1b};
£{•}, L~x {•} — символы прямого и обратного преобразования Лапласа.
Функции w(f) и lF(p) = C'(A-pl) *В называются соответственно импульс-
ной характеристикой и передаточной функцией линейной части [26]. Структурная
схема, соответствующая (4.30), показана на рис. 4.3.
Обратимся к описанию нелинейности. Будем предполагать, что <р(ст,г) удовле-
творяет условиям
0 < <р(о,/) < Ас2.	(4.31)
На плоскости о, £ кривая £ = <р(а,/) лежит в секторе, образованном прямой = Ло
и осью а, причем она может иметь общие точки со сторонами сектора и совпадать с
одной из сторон (рис. 4.4). Если нелинейность стационарна, то обычно предполагает-
ся, что функция ср(ст) однозначна и непрерывна.
Глава 4. Нелинейные системы управления 499
Рассмотренный класс включает в себя такие широко распространенные в автома-
тическом управлении нелинейности, как зона нечувствительности, реле без гистере-
зиса, насыщение и т.д. Очевидно, что линейные характеристики ^(/) = w(z)o(z),
и е [0, &] принадлежат этому же классу.
Рис/4.4. Характеристика нелинейности
В дальнейшем рассматривается также дискретный аналог системы (4.29), описы-
ваемый уравнениями
X(/ + l) = AX(z) + B^(z), Х(О) = Хо;
^(/) = <р(ст(/),/);	(4.32)
o(z) = C'X(z), Г = 0,1,2,...,
где Х(г) —вектор-функция размерности я; А —постоянная матрица; В, R, С —
векторы-столбцы размерности п. Нелинейная функция <р(о,;) удовлетворяет нера-
венству (4.31).
Уравнению (4.30) соответствует уравнение
<*(') =	(4.33)
т~0
где
/(z) = D-1^C'(e9I-а) ’е9Х0
w(/) = £>’1|с'(А-е?1)"1в|;
£>{•}, £>-1 {} — символы прямого и обратного дискретного преобразования Лап-
ласа [26].
Постановка задачи об абсолютной устойчивости принадлежит Лурье и Постникову.
Определение 4.3. Автономная система (4.29) абсолютно устойчива в секторе
[0, Л], если при любой функции <р(ст,/), удовлетворяющей (4.31), тривиальное (нулевое)
500 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
решение этой системы асимптотически устойчиво в целом. Это означает, что ну-
левое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову (определение 4.2) и обла-
стью притяжения точки X = 0 является все фазовое пространство.
Следует отметить, что определение абсолютной устойчивости относится к классу
систем, имеющих одинаковые линейные части, но разные нелинейные звейья, удов-
летворяющие неравенству (4.31).
Для исследования абсолютной устойчивости стационарной автономной системы
(4.29) в работе [1] была использована функция Ляпунова вида
С'Х
И(Х) = Х'ЬХ + 9 J (p(o)rfo,	(4.34)
о
где L = L' > 0 — положительно определенная матрица, q — действительное число.
Если нелинейность нестационарная, то полагаем, что q = 0.
Покажем, что функция (4.34) удовлетворяет условиям теоремы 4.2. Заметим сна-
СТ
чала, что |ср(ст)<7о > 0 в силу (4.31). Это следует из теоремы о среднем значении
о
интеграла
ст
|ф(ст) des = о<р(о* j,
о
где о* принадлежит отрезку [0,ст]. Аналогичным образом
|(Лс-ф(ег))с/о >0.
о
Пусть q>Q. Тогда имеем
х1 |х|2 <и(х)<|х|2 +^~<[х„ + ^С'с||х|2,
где A.J и — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения
матрицы L. Пусть q<0. Тогда возьмем вместо L матрицу L-	При этом
Г(Х) = X'LX- +q|ф(о)<7о = Х'ЬХ-<7|(Ло-фо)й?ст > 0;
2 о	о
х,|х|2 <И(Х)< А„|Х|2
Таким образом, для обоих случаев
Ф1(|Х|) = Х1|Х|2;
/| [\ 1 Шс'с\ и
ф4|х|). Ч+И-т— |х|.
\ £ )
Найдем теперь условия, при которых в соответствии с теоремой 4.2 Й < -ф3 (|х|).
Дифференцируя V(X) по времени, в силу уравнений (4.29) получим
— = X'(A'L + LA)X + 2^X'LB + ^d.	(4.35)
Глава 4. Нелинейные системы управления 501
Прибавим к правой части выражения (4.35) и вычтем величину (ст-	> 0.
Тогда получим
^ = -5(Х,^-^(о-ГЧ),	(4.36)
где
5(ХД) = у2^2-2y^U'X-X'(A'L + LA)X;
У = (Г1-9С-В)'/2;
yU = LB + y + ?А'у.
б/и(х)
Производная-----—- будет отрицательно определенной, если квадратичная фор-
dt
ма от п + 1 переменных 5(Х,^) является положительно определенной. Описанный
специальный прием построения функции Ляпунова назван S-процедурой. Как показа-
но в [30], 5-процедура обладает свойствами неущербности.
Теорема 4.8 [30]. Пусть X — евклидово пространство; /'"(х), р(Х) — произ-
вольные квадратичные формы. Кроме того, существует такой вектор Хо, при ко-
тором £>(Х0)>0. Следующие утверждения равносильны.
a)	F(X)>0 на множестве, где р(х)>0;
б)	существует такое число т > 0, при котором
F(X)-xp(X)>0
для всех возможных X е X.
В рассматриваемом случае роль ^(х) играет форма -dV/dt из (4.36), а роль
р(х) — форма	Теорема 4.8 говорит о том, что S-процедура, несмот-
ря на видимую искусственность, не приводит к потере какого-либо множества в
области устойчивости.
Как видно из уравнения (4.36), форма 5(Х,^) положительно определена, если
выполнены условия
A'L + LA = -UU'-eP;
LB + y + -2y-^- = yU;	(4.37)
у =(*-* -<7С'В)1/2,
где Р = Р'>0, е>0. Система (4.37) называется системой уравнений Лурье. Если
уравнения Лурье имеют действительное решение, то
у^<-£Х'РХ<£Л.|х|2,	(4.38)
где X — наименьшее собственное значение матрицы Р. При этом выполнены все
условия теорем 4.2, 4.3. Следовательно, верен следующий результат.
Теорема 4.9. Для абсолютной устойчивости автономной стационарной системы
(4.29) в секторе [0,£] достаточно, чтобы при некотором в >0 существовалореше-
502 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ние уравнений Лурье в виде действительной симметричной положительно-определенной
матрицы L, действительного вектора U и действительного числа у.
К сожалению, прямая проверка существования допустимого решения системы
(4.37) является громоздкой алгебраической задачей, аналитическое решение которой
в общем виде неизвестно.	*
4.5. МЕТОД АПРИОРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК
И ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
Метод априорных интегральных оценок был разработан румынским ученым
В.М. Поповым. Суть метода состоит в получении интегральных оценок изучаемых
систем на конечном интервале времени. Изучение поведения таких оценок дает воз-
можность сделать вывод о характере движения в системе.
Попов [85] исходил из описания (4.30) и использовал интегральную оценку вида
Т
p(T)=^-k-\ + qd)dt,	(4.39)
о
которая называется функционалом Попова. В случае дискретной системы (4.32)-
(4.33) вместо (4.39) используется сумма
N
р(А) = £^(/)[о(/)-ГЧ(0).	(4.40)
/=о
Приведем сначала частотный критерий абсолютной устойчивости для дискретной
системы.
Теорема 4.10 (критерий Я.З. Цыпкина). Автономная система (4.32) абсолютно ус-
тойчива для всех нелинейностей, удовлетворяющих условию (4.31), если линейная
часть системы =C'^A-e?lj В устойчива; для всех сое[О,л] выполнено условие
BeW* (j<a) + k-x >0.	(4.41)
Доказательство. Рассмотрим сумму (4.40). Из (4.33) имеем
ст0) = /О)- X w(t-m)^m\
т=0
где /(г) и w(r) являются экспоненциально убывающими функциями. Подставив
о(г) в (4.40), получим
р(А) = Р1(А)-р2(А),	(4.42)
где
pi(^)=S^W/0);
,=0	(4.43)
р2(дг)=Х s(')ZXz-wiK(w)+*~V(z) •
/=о|_	4=0
В силу свойств нелинейности <р(о,/) имеем р(А)>0, следовательно,
р2(У)<Р1(У).	(4.44)
Из неравенства Коши-Буняковского следует, что
Г У	А’/2
Р1(*)= £V(0	Z/2(0 	(4.45)
М=о у м=о J
Глава 4. Нелинейные системы управления
503
Введем усеченную функцию
0,
(4.46)
Тогда величина р2 (<V) может быть записана в виде
(4-47)
По формуле Парсеваля
f|tw(7'c£,)|2(Re^*(>) + /:^1)6/“-	(4.48)
-Я
Если выполнено условие (4.41), то существует такое А > 0, что
Re W* (jm) + k~l > А > 0.	(4.49)
Из (4.48) и (4.49) получаем
А 71_,_	12	00	N
р2(^>А	^=д£^(0=дЁ^2(0-	(4-5°)
27Г _п	t=0	г=0
Из неравенств (4.32), (4.33) и (4.38) следует, что
(«о
Окончательно получаем оценку
hIL
co
из которой следует, что ряд ^jJ;2(/) сходится, а его общий член £2 (г) стремится к
1=0
нулю при Г -> ОО.
Теорема доказана.
Теорема 4.11 (критерий В.М. Попова [85]). Автономная система (4.29), (4.31) аб-
солютноустойчива, если:
1) линейная часть IP(s) = C'(A-sl) 1В устойчива',
2) существует такое действительное число q, при котором для всех & > 0 вы-
полняется неравенство
P(q,k,(o) = Re(l + qj(o)W(ja>) + k~} >0.	(4.53)
Доказательство последней теоремы может быть выполнено по схеме доказатель-
ства теоремы 4.1, но является более сложным.
Обозначим f/(co) = Re IF(jco), К (со) = со Im 1Г (усо). Тогда (4.53) можно перепи-
сать в виде
U(a)-qV((o) + k~l >0.	(4.54)
Геометрическая интерпретация (4.54) очень проста: параметрически заданная
кривая С/(со), И (со) на плоскости U, V должна находиться правее прямой
U-qV + k~x =0 (рис. 4.5).
Для случая нестационарной нелинейности <р(а,?) критерий (4.53) справедлив, ес-
ли положить <7 = 0. Приведем простое обобщение этого критерия для нестационар-
ной системы на случай, когда нелинейность принадлежит сектору [г, Л], т.е.
гст2 <<р(а)ст<£а2.	(4.55)
504 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Теорема 4.12 (круговой критерий). Автономная система (4.29) с нестационарной
нелинейностью устойчива в секторе если'.
1) линейная система с передаточной функцией W(i)^/(1 + г ^(^)) устойчива',
2) при всех со > 0 выполнено условие
RelWjco) + -f- + -T| +rimlK(j(o)l2
V ’ 2<r k J J L V 4<r k
(4.56)
Название критерия (4.56) связано с его геометрической интерпретацией: годограф
частотной характеристики	не должен пересекать или охватывать за-
претный круг (рис. 4.6). При г = 0 условие (4.56) переходит в неравенство
P(q,k,(o) = ReW(j(o) + k~' >0.	(4.57)
В дальнейшем условие (4.57) также будем называть круговым критерием. Отме-
тим, что при г —> к запретный круг вырождается в точку и критерий (4.56) превра-
щается в критерий Найквиста.
Рис. 4.6. Круговой критерий
Глава 4. Нелинейные системы управления 505
4.6.	ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Со времени появления работы Попова [85] было опубликовано большое количество
результатов, в которых обобщалась постановка задачи об абсолютной устойчивости.
Наиболее общим является квадратичный критерий Якубовича [152], охватываю-
щий основные частотные условия. Рассмотрим систему с векторной нелинейностью
(Х = АХ + В^	(4.58)
[ст = С'Х,
где X — «-мерная вектор-функция, <|(с) и ст(?) — «-мерная и /«-мерная вектор-
функции. Предполагается, что функции удовлетворяют г локальным связям
Ft >0, i = 1,г
и 5 интегральным связям
t	_
|гД^,ст,ст)Л>-у, к =1,5,
о
где Fj, Fk — квадратичные формы от трех аргументов. Подобного рода неравенст-
вами можно описать многоконтурные нелинейные системы, а также системы с час-
тотной и широтной модуляцией и т.д.
Составим форму
F(^CT,<j) = ^T,Jy (^,CT,cr), т, >0.	(4.59)
/=1
Введем следующие преобразования формы F(J;,ct,ct).
Рассматривая ст, ст как независимые аргументы, распространим форму с сохра-
нением эрмитовости на комплексные значения аргументов, обозначаемые через
ст, ст. При этом получим эрмитову форму
F} (^,ст,ст) = Re F^,ct,ctJ.
В форму F]^,CT,CTj вместо ст и ст подставим ст = -IV (усо)^, ст =-jco 1K(jco)|,
где W (5) — матричная передаточная функция линейной части системы:
1Г(5) = С'(А-Я)_ 'в.	(4.60)
В результате этих преобразований получим форму FQ'co,^j одного векторного
аргумента
Теорема 4.13 [152]. Пусть матрица А устойчива и F(0,ct,ct)>0 для всех X.
Для абсолютной устойчивости системы (4.58), удовлетворяющей неравенству
F(H,,ct,ct)>0, достаточно, чтобы форма F^jeo,£^ была отрицательно определена
при любом со > 0.
Кроме абсолютной устойчивости положения равновесия, изучалась также абсолют-
ная устойчивость вынужденных движений в стационарной неавтономной системе.
Теорема 4.14 [77, 151]. Пусть в стационарной неавтономной системе (4.29)
<р(ст) — однозначная функция, удовлетворяющая неравенству
<р(ст, )-<р(стэ)
0<^V 17	<к,	(4.61)
СТ] ст2
506 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
и выполнено частотное условие (4.57). Тогда для каждой ограниченной функции
существует ограниченное асимптотически устойчивое решение ст(г).
4.7.	СВЯЗЬ МЕТОДА ЛЯПУНОВА С ЧАСТОТНЫМИ МЕТОДАМИ
В работе В.М. Попова [85] было установлено, что частотный критерий (4.53) яв-
ляется необходимым условием существования действительного решения системы
уравнений Лурье (4.37). Достаточность частотного условия установлена в работах
В.А. Якубовича и Р. Калмана.
Теорема 4.15. Пусть линейная система Х = АХ + В^ полностью управляема1.
Тогда частотное условие (4.53) является необходимым и достаточным условием
существования действительного решения уравнений Лурье (4.37).
Доказательство.
1.	Необходимость. Пусть уравнения Лурье (4.37) имеют действительное решение.
Прибавив к левой части первого уравнения в (4.37) и вычтя из нее усо L, получим
(A'+jcoI)L + L(A-j<oI) = -UU'-eP.	(4.62)
Умножим (4.62) слева на матрицу (А' + усо1) 1 и справа на матрицу (A-ycol) ’.
Эти матрицы не вырождены, потому что А — устойчивая матрица. Имеем
(А' + jffll)~1L + L(A-jcol)’1 =-(А' + jcoI)"1(UU' + sP)(A-j<bI)’1.	(4.63)
С
Умножим (4.63) слева на U' и справа на U и учтем, что LB+y = yU, где
С = С + <?А'С. Получим
2yRe U'(A-ycol)"1 B+|u'(A-ycolf ’ в|2 +
+eB'(A' + ycol)-1 P( A-ycol)1 В = ReC'( A- ywl)-1 B.
Прибавив к левой и правой частям (4.64) число у2, получим
Re(l + <2/co)ir(jft)) + ^ =|y + U'(A-j(ol) В| +
+еВ'(А' + у<о1)"1Р(А-ую1)'1В>0,
что и требовалось доказать.
2.	Достаточность. Пусть Re(l + Q/co)jy(y«>) + k~x > 0. Тогда существует такой
действительный вектор U и такое £ > 0, что справедливо тождество (4.65), где
Р = Р' > 0. Отсюда получаем
|и'(А-уш1)-1в|2 +2yReU'(A->lf, B-ReC'(A->If' в+
+еВ'(А' + >!)“’ Р(А->1)'1 В = 0.
Определим матрицу L как решение уравнения
A'L + LA = -UU'-eP.	(4.67)
Отсюда, как и при доказательстве необходимости,
1 Понятие полностью управляемой системы детально обсуждается в т.4.
Глава 4. Нелинейные системы управления
507
, |2	,	,
U'(A-jcol)' В +2Re(LB) (A-jcol) В +
+eB'(A' + jcoI) ’p(A-j<oI) 1 ВзО.
Сравнивая это тождество с (4.66), получаем
F(j<o)= yU-LB-у (A-jcol) 'в +
(4.68)
+ B'(A' + jcol) 1 yU-LB-—jsO.
Тождество (4.68) может выполняться только в том случае, если тождественно
равно нулю каждое слагаемое. Действительно, любая правильная дробно-рациональная
функция F(s), тождественно равная нулю на мнимой оси, равна нулю при любом
комплексном s. Функция
yU-LB-у (А-Я)'’В,
не равная тождественно ну-
лю, имеет по крайней мере один полюс 5 = 5t. Однако слагаемые в (4.68) не имеют
одинаковых полюсов и поэтому при 5=5] функция F(s') должна обращаться в бес-
конечность. Итак,
f
yU-LB-y (А-51)~’в = 0.	(4.69)
В силу полной управляемости системы Х = АХ + В£ тождество V'(A-5l) 1 В = 0
может иметь место только при V = 0. Отсюда имеем
yU = LB+—.	(4.70)
Следовательно, матрица L удовлетворяет уравнениям (4.70) и (4.67), т.е. уравне-
ниям Лурье. Теорема доказана.
В общем виде связь функций Ляпунова с частотными методами установлена Яку-
бовичем и Калманом в форме так называемой частотной теоремы. Ради простоты
рассмотрим ее в следующей формулировке.
Пусть задана устойчивая (пхп )-матрица А, (пх т)-матрица В и билинейная
форма ^>(Х,^) векторов XeRn, (,eRm:
p(X,^) = X'GX + 2X'g^ + Vr^,	(4.71)
где G,r — симметричные матрицы порядков пхп, тхт', g —матрица порядка
пхт. Требуется найти условие существования симметричной матрицы Н=Н',
удовлетворяющей соотношению
2Х'Н(АХ + В^)-р(Х,^)<0	(4.72)
для всех XeR", ^eRm.
Теорема 4.16 |30]. Для существования симметричной матрицы Н, удовлетво-
ряющей соотношению (4.72), необходимо и достаточно, чтобы
p[(>I-A)’'b|4]>0,	(4.73)
508 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где р[х,Ц — распространение формы (4.71) до эрмитовой. Если условие (4.73)
выполнено, то существуют такие матрицы Н = Н' > 0, h (порядков соответственно
пхп, пхт), что справедливо тождество
2X'H(AX + B^)-p(X^) = -(^-h'X)'r(^-h'X),
матрица А = А + Bh' — устойчива.
Приравнивая матрицы в квадратичных и билинейных формах, получим обобщен-
ные уравнения Лурье'.
Га'Н + НА-G = -ЬГЬ';
(4.74)
[HB-g = hr.
Частотная теорема является удобным инструментом при решении многих задач,
так как она позволяет легко переходить от функций Ляпунова к частотным критери-
ям и обратно.
4.8.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Как указывалось в п. 4.5, частотные критерии устойчивости могут быть получены
на основе изучения интегральных оценок координат управляемой системы. Однако
эти оценки можно улучшить даже в рамках использования принятого критерия ус-
тойчивости.
Наиболее точные оценки получаются при использовании частотной теоремы (тео-
рема 4.16). Рассмотрим интегральную оценку
/=|Х'РХЛ, Р = Р'>0,	(4.75)
о
где X = X(z) — вектор состояния в нестационарной системе (4.29). Зададимся квад-
ратичной формой V = X'LX и вычислим ее производную в силу (4.29):
K = X'(A'L + LA)X + 2X'LB^.
Прибавим к правой и левой частям этого выражения форму еХ'РХ и проинтег-
рируем обе части в пределах от 0 до со:
eJx'PXJ/ + k(x(oo))-K(x(0))= J{x'(A'L + LA + EP)X + 2X'LB^}tZ/.	(4.76)
о	о
Полагая систему устойчивой, получаем и(х(оо)) = 0. Преобразуем подынте-
гральное выражение в правой части (4.76), прибавив и вычтя неотрицательную вели-
чину $(С'Х-к~ к); при этом подынтегральное выражение преобразуется к виду
/	1 \	к2
X'(A'L + LA + eP)X + 2X' LB + -C к---ЦС'Х-Л"1^.
* (	2 )	к
Пусть уравнения Лурье
A'L + LA + eP =-UU';
yU = LB + |-C;	(4.77)
Глава 4. Нелинейные системы управления 509
имеют действительное решение. Тогда из (4.76) и (4.77) получаем
е ]х'РХЛ = и(х(0))-(4.78)
о	о
Поскольку ^C'X-£-li;) > 0, то окончательный результат имеет вид
/ < 8-1Х'0ЬХ0,	(4.79)
где L — действительное решение уравнений (4.77).
В силу частотной теоремы уравнения Лурье (4.77) имеют действительное поло-
жительное определенное решение при выполнении частотного условия
ReC'(A-j®l)-1 В + Г1 -еВ'(А' + jcol)-1 P(A-jcol)-1B >0,	(4.80)
которое одновременно обеспечивает абсолютную устойчивость системы (4.29). Более
того, неравенство (4.80) следует из кругового критерия (4.57) при достаточно малом е.
Решение системы (4.77) можно получить при помощи факторизации левой части
неравенства (4.80). Из (4.65) при q = 0 получаем тождество
Re^(jco) + rl -еВ'(А' + jcol)’1 Р(А- jcol)’1 В =
где вектор U таков, что передаточная функция аД-1 + U'(A-sl) *В имеет нули
только в левой полуплоскости Res<0. Далее по известному вектору U решается
уравнение Ляпунова
A'L + LA + eP = -UU'	(4.82)
относительно матрицы L, что приводит к оценке (4.79).
Пример 4.1. Рассмотрим систему первого порядка
i = -<j(x + ij).
В данном случае ^(5)= а .
a + s
ПУСТЬ Ф(5) = -|(И'(5) + И,(-5)) + Г1	+	] + Г'-
Факторизуем Ф(д):
\ I 1 иа V 1 иа \
Ф(5) = Н---------=--------I
\*Jk a + s)\\lk a-s)
_	1 + + к
Отсюда получаем и ----.
у/к
Уравнение Лурье имеет вид 2Са = и1. Поэтому
с 1 0->/<+*) . !с kxt
2а к ’	~2a[l + ^k)2'
4.9. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ И АВТОКОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим вопрос о том, как преобразуется периодический сигнал непрерывным
линейным звеном с передаточной функцией В установившемся режиме вход
и выход т](1) этого звена представляют собой периодические колебания перио-
да Т и частоты а> = 2л/7\ Разложим функции и т](1) в ряды Фурье:
510 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
(4-8з)
П--00
n(/)=ZvJ“'	, (4-84)
П =-00
В соответствии с определением частотной характеристики имеем
=^Л(У<°«);	(4.85)
П(О= Е	(4.86)
Д=-00
В формулах (4.85) и (4.86) предполагается, что (F(s) не имеет чисто мнимых по-
люсов усол. В силу ортогональности членов ряда Фурье коэффициенты £,п опреде-
ляются следующим образом:
(4.87)
1 о
Перейдем к рассмотрению периодических колебаний в замкнутой нелинейной
системе, изображенной на рис. 4.7, где ст = f -т], /(/) — Г-периодическое внешнее
воздействие, <р(<г) — однозначная функция, удовлетворяющая условию принадлеж-
ности к сектору [од].
Рис. 4.7. Структурная схема нелинейной системы
Пусть в системе установились периодические движения, представимые рядами
(4.83), (4.84). Если внешний сигнал f (z) разложить в ряд Фурье
/(') = X //"'>	<4-88)
п=-<х>
то справедлива следующая связь:
=/п-П„	(4.89)
Будем оценивать энергию колебания интегралом
(4-90)
1 о
Очевидно, что
г	к г к
Глава 4. Нелинейные системы управления
511
Поскольку нелинейность ф(о) принадлежит сектору [0,Л], то при г>к получа-
ем неравенство
. гк

(4.91)
Здесь использовано, что для непрерывной и однозначной функции ф(о)
Т	в(Т)
fecsdt = | <р(сг)<Ат = О.
О	а(0)
Оценку (4.91) можно преобразовать, используя формулу Парсеваля для рядов и
приведенные выше разложения:
£>(0) Д +
r-К	г
+2^jRe/„^„ -|£„|2(ке(1 + фШ«)(К(уши)+-
П = 1 I	X	Г
(4.92)
Пусть для значений частоты сон, п = 0,1,2,... выполнено условие
P(q,r,wri) = Re(l + qja>n)W(усол) + — > 0.	(4.93)
Выделяя в (4.92) полный квадрат, окончательно получаем
/ <zi_ л2 ,1 у 1лГ+(1+<?2(°2”2)
г~к 4(о) + —^"=I
(4.94)
Режиму автоколебаний соответствует предельный случай fn=6- При этом из
(4.94)	получаем h < 0, что противоречит предположению о существовании перио-
дических колебаний в исследуемой системе.
Теорема 4.17. В системе (рис. 4.7) отсутствуют автоколебания частоты со,
если выполнено условие (4.93) при п = 0,1, 2,....
Отметим, что условия этой теоремы отличаются от условий абсолютной устойчи-
вости (см. теорему 4.11) тем, что:
а)	не предъявляется никаких требований к устойчивости линейной части;
б)	частотное условие (4.93) проверяется только для ряда частот 0, со, 2со,..., что
проиллюстрировано на рис. 4.8.
Таким образом, частотные условия вида (4.53), не сопровождаемые ограничениями на
устойчивость линейной части, выделяют класс нелинейных систем без автоколебаний.
Рассмотрим периодические колебания в нелинейных дискретных системах. Та-
кие колебания характеризуются относительным периодом Л/, представляющим со-
бой отношение периода колебаний 1\ к периоду дискретизации Т, М =Т/7\. Будем
считать М заданным натуральным числом. Пусть W* (q) — дискретная передаточ-
ная функция линейной части системы (рис. 4.9), ф(ст) — однозначная нелинейность,
удовлетворяющая условиям
0 < <р(<д)ст < Лст2;
(ф(о1)-ф(ст2))(о| -о2)>0.
(4.95)
(4.96)
512
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 4.8. Критерий отсутствия автоколебательной частоты со
Таким образом, неубывающая, возможно, разрывная функция ср (о) принадлежит
сектору [0,it]. Такими функциями, например, описываются кодирующие и декоди-
рующие устройства в системах с управляющими ЭВМ.
Пусть в системе существует периодическое движение периода, Л/: ст(н+Л/) =ст(Л/),
^(и + Л/) = ^(Л/) при всех п. Тогда справедливо представление сигналов о(н) и
в виде тригонометрических полиномов
ф) = f ^е'СюП; а(и)= £	(4.97)
C=-N	C=~N
где (£> = 2п/М; У = [Л//2] —целая часть от М/2.
Коэффициенты в (4.97) определяются по формулам
9-тт
(4.98)
М v=0	М v=0
Рис. 4.9. Структурная схема дискретной нелинейной системы
Теорема 4.18. В дискретной системе (рис. 4.9) с нелинейностью, удовлетворяю-
щей неравенствам (4.95), (4.96), отсутствуют периодические режимы с периодом М,
если для всех натуральных L < [ЛТ/2]:
Глава 4. Нелинейные системы управления 513
•	либо существует такое а > 0, что
RelF‘(jcof)[l + a(l-e’7“f)] + A’1 >0,	(4.99)
•	либо существует такое a < О, чую
RelF*(j(o^)^l + a(e7fflf-l)J + r1 >0,	(4.100)
причем если хотя бы для одного L левые части (4.99), (4.100) строго положительны.
Доказательство. Рассмотрим выражение
и(а) = Т7 £ ^(n)(CT(w)~r ^("))+77 £	(4.101)
М п=0	М n=Q
где Vg(w) = ст(и)-а(и-1) —восходящая разность; а. —действительное число. Из
равенства Парсеваля следует
р(а) = -|£012 (f?' (0) + Г1) - 2^|^;|2 (Re ГК* (>€) + [1 +(1 -)] + Д. (4.102)
/=1 I	«J
По теореме о среднем значении интеграла,
Ф)
j <р(и)<7ст = <p(ct])Vct(«),	(4.103)
a(n-l)
где О] находится на числовой оси между ст(л-1) и ст(п). Поскольку ф(о) — не-
убывающая функция, то
<р(сГ|)<ф(о(и)), если Vct(h)>0,	(4.104)
><р(ст(п)), если Va(«)<0.	(4.105)
Следовательно, ц(а)>0 при любом a>0, что противоречит условию (4.99).
Вторая часть теоремы доказывается аналогично, с заменой (4.101) восходящей разно-
сти нисходящей.
В отличие от непрерывного случая, неравенства (4.99), (4.100) проверяются для
конечного t < [А//2]. Для их проверки можно применить геометрическую интерпре-
тацию. Обозначим в неравенстве (4.99)
А'(со^) = Re(T (>£); У(со^) = -Re W* (jW)(l-e~Jat) =
= -(l-cos(a>^))Re W* (jco^) + sin(<o^)lm (jcoZ’).
Тогда (4.99) перепишется в виде
А'((о£)-аГ(аН?) + А:_' >0.	(4.106)
Для проверки (4.106) при заданном М определяем число [М/2] и отмечаем на
плоскости X,Y точки с координатами У(<»^); € = 0,1,...,[Л//2].
Неравенство (4.106) удовлетворяется, если найдется такое неотрицательное число
а, что все отмеченные точки лежат правее прямой X-аУ + к~} = 0.
Пример 4.2. Пусть передаточная функция непрерывной части дискретной системы имеет вид
щ ($) =____________________________!_________
(7'|5 + 1)(г2з2+2^Т25 + 1) '
Обозначим 8 = 7'/7], р = 7'/7'2, у = 2^. Передаточная функция приведенной непрерывной части запи-
сывается следующим образом:
34 Зак. 14
514
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где
с_ Р2 
1 а2 + р2~р8у’	•
(8-гР) р(71-0,25у2)-7|^-р2-^
2	2(1 -8у + 82)р2 (>/1-0,25у2)
с3 =с2; ?2,з =-^±7>/1-0,25у2.
На рис. 4.10 изображена характеристика W (уса), построенная для следующих значений параметров:
8 = 1; р = 3,1; у = 0,2.
Рис. 4.10. Условия отсутствия автоколебаний в дискретной системе
Допустим, что нелинейность удовлетворяет условиям (4.95), (4.96), и применим неравенство (4.99) при
а = 0. Нетрудно заметить, что при к = kt = 5,6 в системе отсутствуют периодические колебания с М = 2
и М = 4, а при к = к2 = 3,5 невозможны колебания с периодом М = 2,3,4,6.
4.10. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Метод гармонического баланса является приближенным методом расчета па-
раметров периодических колебаний в замкнутых нелинейных системах. При расчете
по этому методу делается предположение о том, что входной сигнал нелинейного
Глава 4. Нелинейные системы управления 515
элемента близок по форме к синусоиде периода Т. Во многих случаях такое предпо-
ложение оправдывается. Итак, считаем: при надлежащем выборе начала отсчета
времени в автономной = о) системе вида (рис. 4.7)
ст(?) = Лз!п(со/)	(4.107)
выходной сигнал нелинейного элемента £(?) = ср(Лзп1сог) является периодическим с
тем же периодом, что позволяет представить его рядом Фурье (4.83), в котором
коэффициенты определяются по формуле
1 Т
^n=-\e~jan‘q(Asmat)dt.	(4.108)
о
Как показано в параграфе 4.8, при подаче периодического воздействия (4.108) на
линейное звено с передаточной функцией получается периодический выход-
ной сигнал
(4.109)
о(/) = - X ^(j<on)ejan‘.
п=-<х>
Очевидное противоречие между формулами (4.107) и (4.109) может быть устра-
нено только в том случае, если в (4.109) £о=О, I^(ja>r) = 0 при |r| > 1.
Поскольку частота со до решения задачи неизвестна, то это предположение носит
название гипотезы фильтра. Гипотеза фильтра приводит к уравнению баланса ко-
эффициентов Фурье:
А=Ч1^(у(0),
или, учитывая (4.108) и заменяя т = со t, получаем
1 1
-----—- =— I ср(Л5Шт)(5тт+ /созт)<Ут.
^(усо) лЛ'У' л	7
Интегралы
1 2л
<?(Л) =— J<p(/lsinT)sinTcZT;
। 2л
д'(Л) =— [ср(Лзшт)созт</т
лЛ *
(4.110)
(4.1Н)
(4.П2)
называются коэффициентами гармонической линеаризации. Они являются функ-
циями параметра Л и однозначно определяются нелинейной характеристикой ср(о).
Соотношение баланса (4.111) может быть записано в следующем виде:
1ф<о) = -	\	(4.ПЗ)
9(Л) + 7^(Л)
Геометрическая интерпретация уравнений (4.113) приведена на рис. 4.11. Уравне-
ния баланса упрощаются, если <р(ст) — нечетная однозначная характеристика. Тогда
?'(Л) = О;
2
q(A) =--- |ср(Л8Шт)5ШТс/т,
лЛ J
(4.114)
34'
516 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
и уравнения баланса можно записать так:
к(>)1=-7А;	(4-,15)
argjy(jco) = -л.	•	(4.116)
Рис. 4.11. Метод гармонического баланса
Пример 4.3. Рассмотрим нелинейную систему с идеальным реле и линейной частью третьего порядка
Соответствующая частотная характеристика ^(усо) изображена на рис. 4.12. Идеальное реле описы-
вается функцией
Если предположить, что a = Jsinco(, то £(г) является симметричной (!;(/ + Г/2) = £(()) и нечетной
функцией. Поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит только синусы нечетных гармоник, т.е.
л=0
Коэффициенты гармонической линеаризации вычисляются следующим образом:
э	л
д(А) =—f sintdt =—; q'(A) = 0.	(4.117)
nA •	nA
Из уравнения (4.116) получаем расчетную частоту автоколебаний со, =1,731, а из уравнения (4.115)
41 I 4•20
получаем А = —1Р(уЮ|) =------= 2,546. Истинные значения этих параметров, полученные при математи-
ческом моделировании, равны со, = 1,745; Л = 2,55.
В данном случае гипотеза фильтра оправдывается, поскольку третья гармоника имеет частоту
Зю = 5,235, на которой модуль частотной характеристики близок к нулю.
Пример 4.4. Рассмотрим ту же систему, что и в примере 4.3, но с нелинейностью в виде реле с гисте-
резисом (рис. 4.13).
В этом случае
= ; = А>ь'
Глава 4. Нелинейные системы управления
517
Рис. 4.14. Определение параметров автоколебаний
Re
518
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рассмотрим уравнение баланса в форме (4.113):
. , nA , ( i Y / Ttft'l
W(ja) =-------. 11- —	-/ — .
Частоту автоколебаний определим из уравнения 1тИЛ(усо|) = -я2>/4 или графически (рис. 4.14).
Уравнение |И'(у<о1)| = лЛ/4 определяет амплитуду А. Для 6 = 1/тг получаем со, = 1,643; А = 2,87.
4.11. МЕТОД СТЕПЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Как было показано в первой главе, классические частотные критерии абсолют-
ной устойчивости — круговой критерий и критерий Попова — очень просты и эф-
фективны в применении.
Можно ожидать, что уточнение условий устойчивости может быть получено
при использовании в качестве функции Ляпунова форм четной степени (четвертой,
шестой и т.д.). Эта идея реализуется ниже на базе степенного преобразования вектора
состояния системы управления.
Приведем простой пример, иллюстрирующий идею предлагаемого здесь подхода.
Запишем нелинейную систему второго порядка
Г*1 = х2>
1 %2 = ——
Введем новые переменные: ух = х?, у2 = х1х2, у3 = х2. Дифференцируя новые пе-
ременные в силу уравнений (а), получаем
Л=2у2;
У1 =-а1У}-а2у2+у3+Ч\(х',Г);	(4.119)
у3 = -2а}ух -2a2y2+\y2(xl,x2,t),
где
V! (х],/) = ср(х,,t)х!; \р2 (хьх2д) = <р(х1,()х2.
Наличие нелинейности <p(xj ,z) в исходном уравнении приводит к тому, что сис-
темы (4.118) и (4.119) оказываются связанными. Кроме того, растет размерность век-
тора состояния и числа нелинейных элементов. Однако преобразованная система
(4.119) значительно упрощается, если cp(x1,/) = w(/)x1. В этом случае
Vi (хи?) = w(r)y,; v2(*ьМ = u(f)y2,
т.е. нелинейное преобразование вектора состояния переводит линейную систему
(4.118) в линейную систему (4.119) со сходной структурой.
Рассмотрим ряд естественно возникающих вопросов:
1.	Каков общий вид преобразования степени />>1?
2.	Каковы условия эквивалентности исходной и преобразованной систем?
3.	Каким образом можно применить этот подход к нелинейным системам?
4.11.1.	Степенное преобразование координат
Степенное преобразование для анализа линейных (в общем случае нестационар-
ных) систем было развито Р.У. Брокеттом.
Рассмотрим n-мерную систему автоматического управления, фазовые координаты
которого образуют вектор состояния х. Введем вектор у, имеющий в качестве ко-
ординат линейно независимые произведения из р (р — натуральное число) элемен-
тов вектора х:
Глава 4. Нелинейные системы управления
519
xf'x2ft...x„A, ^Pl=p, Р,>О,	(4.120)
i=i
причем элементы вектора у упорядочим лексикографически. Размерность вектора у
равна числу сочетаний из п элементов по р с повторениями. Это число определяет-
ся по формуле
л + p-lA (и + р-1)!
Р J p'.(n-l)'. ’
(4-121)
Назовем степенное преобразование нормированным, если в качестве базовых
взяты элементы
Р Р-Л Р-Р1---А-1 ,,	„
...	X] х2 ...х„
Р1Д Рг ) I рп )
(4.122)
Обозначим нормированное преобразование вектора х через х^. Известно цен-
ное свойство нормированного преобразования, оправдывающее его название:
(x'xf = хМ'х^1.	(4.123)
Выполняется и более общее равенство:
(x'zf = хЮД	(4.124)
Очевидна связь между векторами у и х^:
ХИ =Мру,	(4.125)
где — диагональная матрица размерности /ихт, элементы которой определя-
ются из (4.123). Поскольку эти элементы положительные, то Мр — положительно
определенная матрица и
у = М"1х[/’1.	(4.126)
Рассмотрим применение нормированного степенного преобразования к линейным
уравнениям. Если задано уравнение
z = Ax,	(4.127)
то имеем
zW=AWxW,	(4.128)
где A^l — (т х /и)-матрица. Например, для п = р = 2 имеем
А =	Oil	а12	; аИ =	л/2апа21	^и«12 а11а22 +я12а21	2 «12 а21а22^	(4.129)
	а21	агг _		2		2	
				а21	аг\ат1'^-	а22	
Отметим, что элементы матрицы А^ нелинейно зависят от элементов матрицы А.
Известны следующие свойства преобразования А^1
Пусть А, В — (пхп)-м атрицы. Тогда:
1)	1^=1 •
2)	(АВ)1р5 = А^В^;
520
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
3)	, q —целое, А.4 —существует;
4)	(A')W =(A[/,1j'.
Пусть X],... Д„ — собственные числа матрицы А.
Собственными значениями матрицы являются т произведений XiXj...kk
из р элементов по различным множествам индексов. Отсюда следует:
а)	собственные значения А^ лежат внутри единичного круга, если |\| < 1, i = 1,п;
б)	если А' = А > 0, то А^ > 0.
Пусть теперь в Я" задано линейное дифференциальное уравнение
х = А(г)х.	(4.130)
Тогда
^-xW=AwxW	(4.131)
где А[рj — некоторая (т х т )-матрица, элементы которой линейно зависят от эле-
ментов матрицы А(/).
Например, матрице
А = Рп а'21	'	(4.132)
1°21 а22')
при р = 2 соответствует ее образ
	2ап -J2an	0	
А[2]-	\/2а2] Д11+^22 ^2а|2	(4.133)
	0	y/2a2i ^-а22	
Отметим соответствие между собственными числами матрицы А и А^]. Собст-
венными числами ( т х т )-матрицы А^| являются т сумм по различным множест-
вам индексов Xj+Xj +... + Хк р членов. Отсюда, в частности, вытекает, что если А
— гурвицева, то матрица А[р] — также гурвицева.
Приведенных определений степенных преобразований вектора состояния х^ и
связанных с ним верхнеиндексных А^ и нижнеиндексных А^] преобразований
квадратных матриц оказывается недостаточно для изучения систем с обратной свя-
зью или неавтономных систем. Одним из недостающих звеньев является нижнеин-
дексное преобразование Ь^] вектора Ь, которое введем следующим образом.
Определение 4.4. Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rn:
x = b^(/),	(4.134)
где — скалярная функция. Применяя степенное преобразование, получаем
(4.135)
Глава 4. Нелинейные системы управления
521
\п + р-2)
где Ь[р] — прямоугольная (тхГ)-матрица, I = I	I, которую и будем считать
искомым преобразованием вектора Ь. Естественно принять также, что
[ьЪгьы-
Например,
Г 2bi 0 '
= у/2Ь2 42^ ;
1 О 2b-,
к	2 7
2^	О	О
V2fe] О
72^	О
О	21^	О
О	л/2*з	>/22^
О	О	2ЬУ
(4.136)
(4.137)
(4.138)
4.11.2.	Алгебра степенных преобразований
Принимая за определения матриц А^, А^, уравнения (4.127), (4.130), (4.132)
и используя свойство нормированного степенного преобразования (4.124), получаем
ряд алгебраических соотношений между верхнеиндексными и нижнеиндексными
преобразованиями векторов и матриц. Эти соотношения образуют алгебру степенных
преобразований, являющуюся необходимым математическим аппаратом для построе-
ния новых моделей систем управления.
Рассмотрим соотношения между преобразованиями векторов.
Теорема 4.19. Пусть а, b — действительные вектор-столбцы одинаковой раз-
мерности. Справедливы следующие тождества'.
pa'ba^ = b'^ja^;	(4.139)
	(4.140)
(а+ь)[Р] = аИ+ьИ;	(4.141)
(ab')^ = a^Wpl.	(4.142)
Доказательство.
1.	Продифференцировав тождество (а'х)р = а^ х^, в силу уравнения х = Ь^(г)
, получим
p(a'b)a^-ll x^-1^(z) = а^ Ь^х^”1^/).
Поскольку вектор х и функция £,(/) произвольны, то выполняется тождество (4.139).
2.	По определению (4.130) имеем
— x^=(ba')r если х = Ьа'х.
dt V 'W
33 Зак. 14
522 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
С другой стороны, по определению (4.132) имеем
dt Х " Ь[₽]а ХХ 
Из тождества (4.139) следует	,
(а'х)х^-11 =— а! ,х^,
v '	pl/’]
что дает в итоге тождество (4.140).
3.	Дифференцируя тождество
(x'z)p =
в силу уравнения
z = (a + b)Jj(f)
получаем
Х1₽ГА#]
= х[р] (a + b)[p^(?)z[p 11=p(x'z)p ’x'(a+b)^.
Использование (4.139) дает тождество
х^ (a + b), j ^(f)z^ = p(x'a + x'b)x^-1^(z)z^ ’’ =
= xt/”1] (aM+b[/’])^(0zI/”11>
из которого следует (4.141).
Пусть z = ab'x. По определению (4.128)
z^ = (аЬ'У^ х^1
Учитывая, что Ь'х — скаляр, имеем
zW=aM(b'xf=MlpixW.
Сравнивая два выражения для z^, получаем (4.142).
Следующие результаты демонстрируют свойства нижнеиндексного преобразова-
ния матриц: линейность, перестановочность с транспонированием, преобразование
единичной матрицы.
Теорема 4.20. Пусть А, В — квадратные действительные матрицы одинаковой
размерности. Тогда
(А + В)[д] =АИ+ВИ;	(4143)
(А')ы=(Аы)'-	<4144>
Доказательство. Пусть х = Ах; z = Bz. Дифференцируя тождество (z'x)p = z^ х^,
получаем
p{z'x)p~l (z'x + z'x) = z^ (в )[р] х^ +z^ A^jx^h
pz[p’4 x[p’I]z'(А+В) x = z[p] (А[р] + (В')и) x[p].
Свойство (4.139) приводит к тождеству
г1'’1'(Л + В)|(,|х1'1.хй’(лн+(ВДрф1'’1.
523
Глава 4. Нелинейные системы управления
следовательно,
(А+вЪгАи+(в')и-
Положив А = 0, получим В^] = (В')^, т.е. свойство (4.144). Поэтому
(А + В)и =AW+BW,
т.е. тождество (4.143) справедливо.
Теорема 4.21. Нижнеиндексное преобразование единичной матрицы 1„ удовле-
творяет тождеству
(1Я)Н=Л-	(4-145)
Доказательство. Рассмотрим уравнение х = х. В силу определения (4.131) за-
пишем
AxW = Ir 1XW
dt	
Элементы вектора x^ в соответствии с определением (4.122) имеют вид
XPi=P-
Дифференцируя каждый элемент, получаем
г, Р Г п	г. у.Рг YP„ , у Pi n у-Рг~^ у уРз уРн I 4. n vP2 уР,~^ у
|_ЛХ1 л1х2 ••д'л Р1Х1 Х2Х3 •••хл +", + Рпх\ х2 ••хл хп
Поскольку х = х, то х, = х, и каждый элемент х^ имеет вид
( п >
£а х\'-
•Рп — ПП Р	уРп
-п - Л] ...Лп
Таким образом,
Л
Сравнивая два выражения для —х^, получаем тождество (4.145).
dt
Теорема доказана.
Невырожденное преобразование у = Вх, det (В) * 0, применяемое к дифференци-
альному уравнению х = Ах, приводит к уравнению у = ВАВ-1у. Следующий резуль-
тат дает преобразование (ВАВ-1) .
Теорема 4.22. Пусть А, В — квадратные матрицы одинаковой размерности,
det(B)*0. Тогда
(вав-)н = вИа|р|(вИ)'.
Доказательство. Пусть х = Ах. Тогда по определению
-XW=Ar 1XW
^х -А[р]х .
Введем линейное невырожденное преобразование у = Вх. Имеем
| УИ-
'и
(4.146)
у = (ВДВ-1 )у; 4.уЫ . (ВДВ-1)
33’
524 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
С другой стороны,
у[р] = в[р]хЦ ±у\р\ = виА[р] (в^1уW
Сравнивая два выражения для —у^, получаем (4.146).
dt
Теорема доказана.
Следующая группа свойств степенного преобразования связывает векторы с мат-
рицами.
Теорема 4.23. Пусть А — (п х и ^-матрица, а, b — вектор-столбцы размерно-
сти п. Справедливы следующие тождества-.
(АЬ)на1'’-'1 = аИь1,];	(4.147)
(Ab)[pl ь|1"'1 = А|НЬИ-	<4148>
Доказательство. Пусть x = b£(z), z - Ах. Тогда
z = Ab£(f);
jj'l-(АЬ)ИЩ)*М = (Ab)W лМхЫЦ,).
С другой стороны,
z[r] = Аихи. £zw = Аиь,
dt	J
„	d [pl	K
Сравнивая два выражения для — zl J, получаем в силу произвольности х и с,
тождество (4.147).
Для доказательства (4.148) продифференцируем тождество (Ь'х)р = Ь^ х^ в си-
лу уравнения х = А'х. При этом получим
р(Ь'х)/’-1 Ь'А'х = Ь^ А['р]Х^1
В соответствии со свойством (4.139) имеем
ь1'-|1(ь-а')|,|хИ’-ьИ'а1;]хИ
откуда и следует (4.148).
Теорема доказана.
Следствие. Полагая в (4.148) А = I и используя (4.145), получаем
а[р]а^'^ = ps^p\	(4.149)
Применив свойство (4.149) последовательно р-\ раз, разложим верхнеиндекс-
ное преобразование а^ в произведение нижнеиндексных преобразований:
аН=7?а[р]а[р-11-ана-	(4150)
Ряд полезных соотношений связывает преобразования индексов р и р -1.
Теорема 4.24. Пусть А — ( п х п ^-матрица, а, b — вектор-столбцы размерно-
сти п. Справедливы тождества:
О'1*)1/ +7~[Ь[д-Ча[д-1] = “аИЬИ;	(4151)
Глава 4. Нелинейные системы управления
b[/’]A[/’]-(b'A)[p]+A[p-i]bW;
aMb[p-i] - Ь[р]а[р-1]'
525
(4.152)
(4.153)
Доказательство. Дифференцируя тождество а'хх^ 13 =
1 - М
7awx
, в силу урав-
нения х = b^(z) получаем
а'хх[р 13 +а'х^-х[рЧ] =1а^]Ь[/;]х[р“!^(/))
или
a'b^Ox^’J ч^ь^а^^)^-’3 =|а^Ь[р]х3рЛ(0>
что в силу произвольности х, £(/) приводит к (4.151). Свойство (4.152) доказывает-
ся аналогично (4.151) с заменой х = Ь£,(г) на х = Ах. Тождество (4.153) является
следствием (4.151) и (4.152) при А = ха'.
Теорема доказана.
Соотношения алгебры степенных преобразований приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Таблица степенных преобразований
№ п/п	Алгебраические тождества
1	2
А. Преобразование квадратных матриц	
1	I И = 1 Лп	*т
2	(AB)W = А[р1В[р1
3	(а^Ца^) , q —целое, А’ —определено
4	(А’)1р1 = А[р1'
5	(C)w = Л
6	(A + B)W = AW + BM
7	(АЪ1= Aw
8	(вав’1)[,Гв['М'’г'
Б. Преобразование векторов (а, b — вектор-столбцы одинаковой размерности)	
9	pa'ba'p ’I = b^a^l
10	H»b')W = aWbW
11	(а + Ь)ы=ам + ь[р]
12	(ab')W = aIpWp1’
13	(a'b)p = a[pl’b[pl
14	pa[p| = а^’1
526
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Продолжение табл. 4.1
1	2
15	aW=~ja[pla[p-4-a[2]a
16	аЫЬ(₽-Ч = Ь[р]я[₽-1)
17	“я[р1ь[/'1=ь[₽-1 iai/- >1+(?'ь)
В. Связь преобразований матриц и векторов	
18	(АЬ^лМ.лИьн
19	(АЬ)[;)]Ь1-Ч = АИ^
20	ЬИАЫ = ^bA\p]+ A[p-4bW
Г. Соотношения для р = 2	
21	(а + Ь)'21 = а^ +	+ а[г]Ь
22	(А + ab')121 = А[21 +а12)Ь121’ + |а[2]АЬ[2]
23	аМ-Яа2 -(а2) 1 "2k [2] ' W
4.11.3.	Иерархия моделей нелинейной системы управления
Для построения моделей нелинейных систем необходимо иметь общее выражение
для производной вектора х^ (1).
Теорема 4.25. Пусть х(?) —вектор-функция размерности п и производная x(t)
существует, тогда справедливо тождество
ixW(0 = (i(0)wxM(<).	«154)
Доказательство. По определению имеем
х (г + й) = х (f)+Лх (f)+0 (/г2 ).
Применяя верхнеиндексное преобразование (»)^, получаем
х^ (г + Л) = [х(?) + /гх(г)]^ +0(/i2).
По свойству (4.150) имеем
(x(/) + /2x(z))W = -^П(х(') + Лх(')), =-ГуПхи(') +
Р ‘ r=p	ul Р' г^р
  • х[г]*+хи- -Ммх+• • •+(*)[/,] х[л-1] • • • хих}+° (л2).
В фигурных скобках полученного выражения содержится р слагаемых вида
хихн-хи(*)[г-1]М-ь
Используя свойство (4.153) степенных преобразований, получаем, что все слагае-
мые в фигурных скобках одинаковы и равны
Глава 4. Нелинейные системы управления 527
Применив свойство (4.150), имеем
(х(г) + йх(г))^ = х^1 + Л(х)^ х^р-1^,
откуда
х^ (г + Л) - х W (/) = h (х)^	+ 0 (h2).
Тождество (4.154) следует отсюда в результате предельного перехода при h -> 0.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть х(/) удовлетворяет дифференциальному уравнению
i = F(x,t);	(4.155)
тогда
^xW=(F(x,f))wxM.	(4.156)
Формула (4.156) позволяет получить степенные преобразования нелинейных
дифференциальных уравнений. Последовательно применяя (4.156) к уравнению
(4.120) при g(f) = O, имеем
^x(?) = Ax(0 + b^(f);	(4.157)
^х[2] (0 = (Ax(z) + Ь$(/))[2] х(г) =	
"= A[2]X[21(z) + b[2]x(/)^(z);	(4.158)
	(4.159)
Здесь использованы теорема 4.20 (тождество (4.143)) и теорема 4.23 (тождество
(4.147)).
В системе (4.157)-(4.159) каждое последующее уравнение является следствием
уравнения (4.157). Для случая линейной системы с переменным коэффициентом в
обратной связи, т.е. при
£(/) = w(z)c'x,	(4.160)
можно сделать уравнение (4.159) не зависящим от х^-11 В соответствии со свойст-
вом (4.139) имеем
z = (с'х) х[р“1] = —	•	(4.161)
Поэтому (4.159) приводится к виду
=(aw +A-M(/)b[plc(p] jx^l	(4.162)
или в соответствии с (4.140)
=(A+w(/)bc')^]X^l	(4.163)
Наряду с уравнением (4.163) можно рассматривать уравнение в Rm:
^-у = (А+ц(г)Ьс')ну.	(4.164)
528 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
При согласованных начальных условиях, т.е. при у(0) = х^, решения уравнений
(4.163) и (4.164) совпадают. При несогласованных начальных условиях решения этих
уравнений различны. Однако можно рассматривать все решения уравнения (4.164)
при всех начальных условиях у(0)е7?т. В этом случае решения уравнения (4.163)
составляют подмножество множества решений уравнения (4.164).
В общем случае систему (4.157)-(4.159) легко развязать, заменив х^ на у е Rm и
х^"1^ на г) е R1. Однако при этом разрывается связь с исходной задачей. Эту опас-
ность можно в значительной степени уменьшить, если учесть нелинейные, в частно-
сти квадратичные, связи между элементами векторов х^ и х^ 'I Компактное, с
наименьшим числом свободных параметров описание таких связей является нетри-
виальной задачей. Желательно, чтобы это описание было приспособлено к аппарату
теории абсолютной устойчивости и чтобы оно давало возможность улучшить суще-
ствующие результаты.
Здесь предлагается использовать в качестве основной связь вида
T]'Sc'[p]y = 0,	(4.165)
где S = -S' — произвольная кососимметричная (I х /)-матрица.
Равенство (4.165) выполняется тождественно, если
у = х^, т| = Е,х^-11
Определение 4.5. Моделью уровня р для уравнения х = Ах + Ь£, называется сис-
тема
У = Ак]У+ьИп;
n'Sc'[p]y = 0; VS = -S'.
(4.166)
Следующим шагом является описание нелинейной обратной связи в новых коор-
динатах. Оно достигается умножением неравенства	>0 на произвольную
положительно определенную квадратичную форму
х^’Ч'их^1!, R = R>0,
что приводит к неравенству
H'R^c^y-^'n^O.	(4.167)
Объединяя (4.167) с (4.166), получаем модель уровня р для исходной системы.
Определение 4.6. Моделью уровня р для системы (4.29), (4.31) называется сис-
тема в Rm вида
y = Awy+W;
ft ,1	(4-168)
где Q = R + S — произвольная несимметричная положительно определенная матрица.
Определение 4.7. Упорядоченная по степени преобразования р совокупность мо-
делей р-го уровня называется иерархической системой моделей.
В дальнейшем будут построены модели уровня р для некоторых модификаций
основной системы (4.29), (4.31). При этом наряду с основной связью (4.165) будут
Глава 4. Нелинейные системы управления
529
использованы и другие, как локальные, так и интегральные, связи в новых координа-
тах. В большинстве случаев эти модели целесообразно рассматривать вместе с иссле-
дованием устойчивости, поскольку они отражают специфику применяемых подходов.
Здесь мы остановимся лишь на случае системы с аддитивным внешним воздейст-
вием g(t) е L2p (0, °о), описываемой уравнением
х = Ax + b^(/) + rg(/).
При степенном преобразовании (4.169) переходит в уравнение
х w = АихИ+b[p]^[/,’1]+е (0 >
где с(/) = r[/,]g(/)x^4l Для нормы вектора в(?) в Ь2(0,Г) имеем
И£1г = J#2 (0х[р’1] гигих[/’~11‘* -т Jg2 Wx[/’~11
о	о
где т —наибольшее собственное значение матрицы г[,р]г[р]-
Используя (4.123) и применяя неравенство Гельдера, получаем
Пусть существует интеграл
ОО
,А = Jg2p (/)<*< ОО.
о
(4.169)
(4.170)
(4.171)
Определение 4.8. Назовем моделью р-го уровня для неавтономной системы сле-
дующую систему уравнений и неравенств'.
у = ану+ьиП+е(/);
 z = -^-C['p]y; r|'Q(z-£ ’т])>0;	(4.172)
В модели для неавтономной системы наряду с основной связью (4.165) присутст-
вует неквадратичная интегральная связь ||е||г < ц||у||^’
Полезность введенной в этой главе иерархической системы моделей не является
очевидной, поскольку модель уровня р > 1 имеет размерность, значительно превосходя-
щую размерность исследуемой системы. Еще более существенный недостаток состоит
в росте размерности вектора нелинейности и появлении неопределенных параметров
(матрица Q ). Однако применение к новым моделям метода функций Ляпунова выгля-
дит интересным, поскольку квадратичная форма от новых координат является формой
степени 2р от исходных координат, т.е. класс функций Ляпунова можно расширить.
4.11.4.	Анализ устойчивости нестационарных моделей
Об устойчивости исходной системы (4.29) будем судить по ее моделир-го уровня:
y = Awy+bwn;
> 0;	(4.173)
z=7cwy-
530 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Если модель (4.173) абсолютно устойчива, то у'у->0 при g(t) е Ь2р (0,оо). Оче-
видно, что все свойства устойчивости, присущие модели (4.173) (устойчивость по
Ляпунову, экспоненциальная устойчивость и т.д.), переносятся на исходную систему.
В частности, (х'х) -» 0 при t оо.	*
В дальнейшем будем пользоваться также степенным преобразованием с единичны-
ми коэффициентами в форме (4.120) (ненормированным). При этом получаем систему
y = Rpy + Spn;
-z = Dpy;	(4.174)
0,
где
<4Л75>
Rp=M;’AHMp;	(4.176)
Sp	(4.177)
Модель (4.173) и эквивалентная ей (4.174) являются линейными системами с
квадратичными связями. Основной результат по исследованию устойчивости таких
систем сформулируем применительно к системе (4.174).
Теорема 4.26 [11]. Для абсолютной устойчивости системы (4.174) достаточно,
чтобы при всех со > 0 выполнялось неравенство
Кер(фДусо) + Г11/)>0,	(4.178)
где Фр (усо) — передаточная матрица линейной части'.
Фр (jco) = Dp (R, -ycolj’1 Sp.	(4.179)
Доказательство. Воспользуемся квадратичным критерием Якубовича, приме-
нив его к линейной системе (4.174) с одной локальной связью. Частотное условие
(4.178) является необходимым и достаточным для того, чтобы
F[yco,f|] = fi’Q^-Ф^ (усо)-^”1!)?) < 0 для всех fjeC".
Теорема доказана.
Условие (4.178) означает положительную определенность эрмитовой матрицы
Г (со) = ОФ (усо)+Ф' (-усо) Q' + к-1 (Q+Q').	(4.180)
Матрица Г (со) положительно определена, если [152]
Г(оо)>0;	(4.181)
det Г (со) *0.	(4.182)
Для положительно определенной матрицы Q условие (4.181) выполняется авто-
матически, поскольку Ф(усо) -> 0 при со —> 00.
Запишем теперь частотное условие абсолютной устойчивости в терминах норми-
рованного степенного преобразования. Обращаясь к системе (4.173) и применяя
квадратичный критерий Якубовича, получаем
КеО(ф(усо) + Г11/)>0,	(4.183)
Глава 4. Нелинейные системы управления 531
где
фОда) = -^си(А[?]->1т) 'ьи-	(4-184)
Используя соотношения (4.175)-(4.177), легко показать, что условия (4.178) и
(4.183) эквивалентны при	*
Q = M/,_1QMp_1.	(4.185)
Соответствие между Ф(у<в) и	задается тождеством
ф(у<в) = М/,_1Ф/,(усо)М~|_1.	(4.186)
Модель (4.174) удобнее модели (4.173) в практических расчетах, поскольку в ней
нет необходимости учитывать коэффициенты в (4.122). Матрицы D^, Rp, Sp можно
подсчитывать непосредственно по уравнениям, не пользуясь формулами (4.175)-
(4.177). При этом (/ х да )-матрица D^, имеет вид
С]С2...сп	0	0...0
D 0	^с2...сп	0...0
[	0	...	С]С2...СИ
Если система предварительно приведена (это всегда можно сделать линейным не-
вырожденным преобразованием) к виду, в котором с'= (1, 0,0,..., 0), то Dp может
быть получена из единичной матрицы 1т отбрасыванием последних да -1 строк.
Рассмотрим примеры применения критерия (4.170).
Пример 4.5. Рассмотрим систему второго порядка с нестационарной нелинейностью:
X!=ai|X,+ anx2+bfc
х2=а21х1+а22х2 + й2^;
5 = ф(а|д);
а, =с,Х|+с2х2;
0 < <р(а|,/)а1 < Ла2.
Введя новые переменные = qX) + с2х2, а2 = х2, запишем систему в форме
di =РцО| +р12а2 +^ф(а, ,г);
а2 = /?21I + Р\ 2^2 + 42Ф (а,, 0.
Преобразование второй степени дает модель второго уровня
Уз =2рпЭ'1 +2pl2y2+2d2ri; _
Уг = Р21У1 + (Рп + Рп)Уг + РпУз +	+ 4,т|2;
Уз = 2р21у2 + 1р22у2 + ld2x\2,
гдеу^а2; у2=а1в2; у3=а2; П|=^а,; ч2=?а2.
Условие устойчивости имеет вид (q22 = 1)
det Г(со) =	! (Re ф,, + к"') + <?12 Re Ф21 ][Re ф22 + Г1 + q2X Re ф12 ]-
-||?11Ф12 + Ч>21 + <712 (ф22 +*’’) + ?21 (фГ1 + к~' )| > 0,
где фт„ —элемент матрицы Фр(/<о), а звездочка означает операцию комплексного сопряжения. Было
принято: plt = d} = 0, р12 =1, d2 = -1, р2| = -а0, р22 - -at. В этом случае
Ф,, (s) = 2(j + 2а{ )/& (s); ф12 (5) = 4/Д (s);
Ф21 (j) = 4- 2а,)/Д(j) ; ф22 (5) = 2/д(5);
Д (5) = j3 + 3aj52 + (2а2 + 4а0) s + 40^.
532 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В контрольном примере принято =1, а0 = 2. При решении на ЭВМ задачи нелинейного програм-
мирования удалось получить максимальную величину £ = 5,47 при <711=0,514; <?,, = 1,193; <jr2] =-0,206;
?22 =1- График det Г(ш) нри этих параметрах приведен на рис. 4.15. Для сравнения укажем, что крите-
рий Попова в этом случае дает к < 3,82.	•
Рис. 4.15. График det Г(со)
Пример 4.6. Рассмотрим модель третьего уровня для системы, описанной в предыдущем примере,
вводя ее при помощи преобразования третьей степени: у, = а’, у2 = а^а2, Уз = CTiCTz> Ул = ст2- Для системы
сравнения имеем
	'ЗРп	ЗР12	0	0		36,	0	0 '	
R3 =	Р21	2Рц+Р22	2Р|2	0	; s3 =	ь2	2^	0	
	0	2р21	Р1|+2Р22	Р12		0	1Ъ2	Л	
	0	0	3^21	ЗР22.		0	0	3*2.	
Область устойчивости		по параметру к определялась с помощью ЭВМ для аи=0, а12 = 1, 6,=0,							
а21 = -2, а22 = -1. Матрица Q имеет вид
	1,0	4,075	1,575’
Q =	-0,6508	4,628	2,867
	0,4068	0,5683	1,246
При этом максимальная величина	£ = 5,98.		
Пример 4.7. Рассмотрим систему третьего порядка;
х, = х2;
• х2 = х3;
х3 = -20х, -10х2 -Юхз -1 Оср(xj ,г).
Построим модель второго уровня, взяв новые переменные:
Уз = xi2. У2 = Х3Х2> Уз = Ул = х2, Уз = *2*3, Уб = *з•
в результате чего получим систему
Л =2у2;
У2=Уз+Ул'>
у3 = -20у]*- 10у2 - 10у3 +у5 - 10щ;
л = 2у5;
у5 = -20у2 -10у4 -10у5 + у6 -10^2;
у6 = -40у3 - 20у5 - 20у6 — 20т]з,
где л, =а1<р(а1,г); т|2 = а2ф(ст1;?); т)3 = ст3ф(а|,/).
По критерию Попова устойчивость имеет место при к < 2,43. Применив критерий (4.180) и решив со-
ответствующую задачу нелинейного программирования, удалось получить расширение области устойчи-
вости до к = 3,0.
Глава 4. Нелинейные системы управления 533
4.11.5. Сравнение с круговым критерием
Как показано на примерах, критерий (4.178) может давать большую область абсо-
лютной устойчивости в пространстве параметров, чем круговой критерий (4.57). Ус-
тановим соотношение между этими критериями в общем виде.
Теорема 4.27. Пусть выполнено частотное условие кругового критерия (4.57).
Тогда существует симметричная положительно определенная матрица Q, для ко-
торой выполнен критерий (4.178).
Утверждение теоремы говорит о том, что все результаты, которые можно полу-
чить из кругового критерия, можно получить также из условия (4.178), т.е. новый
критерий, во всяком случае, не слабее кругового критерия. Доказательство теоремы
основывается на следующей лемме.
Лемма 4.1. Пусть действительная положительно определенная матрица L = L' и
действительный вектор и удовлетворяют системе уравнений Лурье (4.47) при q = 0:
A'L + LA = -uu'-eP;	(4.187)
Lb+—с = уи,	(4.188)
где А — гурвицева матрица', Р = Р' — действительная положительно определен-
ная матрица', Е, у — положительные числа', Ь, с — действительные п-векторы.
Тогда справедливы тождества
АИ L1'1 +	~ ”И^Ч”Ы -	(4.189)
F = F' = lIp1(L’1p)[ ;	(4.190)
v^’11=(4191)
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы. Умножим (4.187) слева на L-1
и применим к обеим частям полученного тождества нижнеиндексное преобразование:
(Va'l'I +А(л1 = -(l-1uuA -e/L’1?) .
К /[р] И I Аг] V Аг]
Согласно свойству 8 таблицы степенных преобразований имеем
где F = L[/’1(l'1p') .
'	'[г]
Применив то же свойство, можно убедиться, что F = F'. Согласно свойству 10
имеем
(l-1uuA =—(l-1u) Ur_),
Аг] р{ Аг] И
а по свойству 18 получаем
ЧЧгЧТЧЧ"'
Два последних соотношения показывают, что
LW(L’luu')[p]=Ju[r]lJ/,41u[r]’
что и доказывает тождество (4.189).
Применяя нижнеиндексное преобразование к (4.188) и используя свойство 18, по-
лучаем (4.191).
534 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Доказательство теоремы 4.27. Пусть выполнено частотное условие (4.57).
Тогда согласно частотной теореме Якубовича-Калмана при достаточно малом е > О
справедливы уравнения (4.187), (4.188). По доказанной выше лемме получаем, что
справедливы тождества (4.189)-(4.191).
Рассмотрим квадратичную форму
v(y,i|)=у'(	a(/,j ) у+гугНь^п+рц'ьН1 с[р] у ~	• (4-192)
Используя (4.189)-(4.191), получаем
V(y,i]) = -^y^[p]-^=--^^if^Lp’_1l^U[/,]y-^=--.^^ii^--Ey'Fy.	(4.193)
Из свойств степенного преобразования следует, что матрица F = F' — положи-
тельно определенная. Тогда У(у,ц) при всех уеЯ"1, qe Rl, |y) + |n|*0. Поэтому
ij*lJ/’~1l|^c[pjy-A:"1Tij<O,	(4.194)
при у = (>Im - А) 1 что следует из частотной теоремы. Из (4.194) получаем
Red^l (А[р]	)’’ Ьм +Г1!/1 > 0.	(4.195)
Итак, из кругового критерия (4.43) следует выполнение неравенства (4.183) при
Q = iP' Соответственно из (4.57) следует, что выполнено и условие (4.178) при
Теорема доказана.
Теорема 4.27 свидетельствует о том, что область абсолютной устойчивости в
пространстве параметров системы (4.29), получаемая по круговому критерию,
вложена в область абсолютной устойчивости, получаемую по критерию (4.178).
Поскольку известны примеры, когда условие (4.178) действительно расширяет об-
ласть устойчивости по сравнению с (4.57), то можно утверждать, что вновь получен-
ный критерий является более сильным, чем круговой.
В примерах раздела 4.11.3 наибольшая область устойчивости получена при не-
симметричной матрице Q. Покажем, что нельзя улучшить круговой критерий, Огра-
ничившись в (4.178) использованием только симметричных матриц.
Теорема 4.28. Одним из собственных значений передаточной матрицы
ф(^) = |си(А[р]-^1т) ‘ьи
является передаточная функция
W(s) = с'(А-Я)-1 Ь,
а соответствующим правым собственным вектором является вектор
d(5) = |^(A-5ln)[/’’1^ ’b^.	(4.196)
Доказательство. Умножим матрицу Ф(/м) на вектор d(s) справа:
Ф(рт)б7(5) = ^сЦА[?]-р.Ят)	I	(4.197)
Глава 4. Нелинейные системы управления 535
Обозначим R = А - Яи. По свойству 5 из таблицы степенных преобразований
имеем
КИ=а[р]--Р51»=(а-51«)И’	(4.198)
а по свойству 19 получаем	•	(4.199)
®(ps)d(j)=^e[rf[R-1b]W.	(4.200)
Используя в (4.200) свойство 9, имеем lCi^R-|b)W=(o'R-|b)(R-,b)1'’’";	(4.201)
®(/?i)d(j) = с'(А-Я) 1 bd(.s),	(4.202)
что и требовалось доказать.
Пусть теперь в условии (4.183) Q = Q'. Условие (4.183) эквивалентно неравенству
QO(/yct>) + O'(-/y(»)Q' + Kl (Q+Q') > 0.	(4.203)
При Q=Q', умножая (4.203) слева на d'(-yo>) и справа на d(yco), получаем
d' (-yco)Qd (у'(о)[ф (усо) +Ф (-усо) + 2£-11 > 0.	(4.204)
Поскольку Q = Q' > 0, то из последнего неравенства следует круговой критерий.
Таким образом, круговой критерий не может быть улучшен при Q = Q' (или соот-
ветственно при Q=Q' в (4.178)).
4.11.6. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим устойчивость системы (4.29) при наличии исчезающего возмущения g(z).
Для этого введем понятие устойчивости в функциональном пространстве L2p (О,00)-
Определение 4.9. Векторная функция принадлежит L2p(0,oo), если
j(x'x)/’ dt < со.	(4.205)
о
Определение 4.10. Система (4.29), (4.31) называется устойчивой в L2p, если из
условия g(z) е L2/, (0,оо) следует, что x(z), ^(1)еЬ2р(0,и).
Теорема 4.29. Пусть существует положительно определенная матрица Q та-
кая, что для всех (о>0 выполнено условие (4.178). Тогда система (4.29), (4.31) ус-
тойчива в L2P(0>°°)-
Замечание. Если |g(z)|<L<oo, то из устойчивости системы (4.29), (4.31) в
* Ь2р(0,оо) следует ее асимптотическая устойчивость. Действительно, пусть
|(х'х)р dt < со; р;2р(?)й?/<оо.
о	о
Пусть V = х'х. Тогда
— Vp =2р(х'х)/’"' (x'Ax + x'b^ + x'rg).
536 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Интегрируя, получаем
(x'(z)x(z))/’-(хохо)г =2pJ(x'x)/”I(x'Ax + x'b^ + x'rg)of/.	(4.206)
о
Оценим слагаемые в правой части (4.206):
/	t
J(x'x)p 1 x'^xdt < ц |(х'х)2 dt,
о	о
где ц — наибольшее собственное значение матрицы (А + А')/2;
J(x'x)p 1 x'b^dt < J(x'x)p 1/2 (b'b)1/21^| dt <
о	0
< (b'b/2 j(x'x)p dt
ко
,Д-1
ко
0
Приведенные оценки показывают, что
\1/2д
ко
ч(2р-1)/2р z(
Al/2?
ко J
х(2р-1)/2р
,Р
0
<0
(x'x) < M = const.
Оценим теперь V = 2x'x - x'Ax + x'b£ + x'rg. Очевидно, что V<M2<oo, если
|g(/)| < L. Используя лемму Барбалата [85], завершаем доказательство.
В силу приведенного замечания теорема (4.128) является частным случаем теоре-
мы (4.130) при g(z) = 0.
Доказательство. Очевидно, что для устойчивости системы (4.29), (4.31) в
Ь2р (0,оо) достаточно, чтобы модель р-го уровня (4.172) была устойчива в Ь2 (0,оо).
Из (4.172) имеем
у = Rpy -ь SpT| + е(/) ;
z = Dpy;	(4.207)
> 0;
llellr - ^Ilyll-Z ’ и=const-
Из (4.207) имеем
sY(s) = R/,Yjs') + S/,H(s) + E(s) + y0,	(4.208)
где
Y(s) = Z{y(z)};
= E(s) = L{e(z)}.
Из (4.208) следует
Y(5) = -(R/7-5l)’1S/,H(i) + (iI-R/,)''E(s) + (.Im-R/,)’,y0.
(4.209)
537
Глава 4. Нелинейные системы управления
Обозначим
г1 {(Rp-nm)_'sp}=<₽(/);
Z-’{(sIOT-Rp)"*E(s)} = 7(r);
г1 {(яи -Rj’1 yoj = 7o(r).
Из (4.209), переходя к оригиналам, получаем
y(t) = - fФ - М л (М dx+7; (/)+/о (О-
о
Соответственно
z (0=DPy (0=- /ф 0 - М л +/1 (0+/о (0 >
о
(4.210)
(4-211)
где
<p(O = Dp<p(O; /1(z) = Dp/(0; /o(0 = Vo(0-
Введем усеченные вектор-функции

л(/), t<T,
0, t>T\
е(/), t<T,
0, t>T.
(4.212)

Обозначим zr (г) решение'уравнения
Z7. (/) = - Jcp (г - X) Пт (М dk + fVT (г) + /о (г),
О
где
/5г(0 = Г' |ор (slm-R^) * Е7-($)};
е7-(/) = л-1 {е7-(/)}.
Очевидно, что при t < Т выполняется тождество z7 (z) = z(?).
Обозначим
Р(7)= fn'Q(z-A-In)^ = рйQ(zr -k~lT\r)dt >0.
о	о
Применяя к (4.214) формулу Парсеваля, получаем
р(Г) = 2- J Н}. (>)[qV7. (>) - Q (Фр (>) + к-11,)] н7. (» da,
—ОО
где
Н7 (я) = £{%}; Vr(s) = L{vr(t)}; vT (?) = fxr (О + /о (0 •
Поскольку р(Г)>0, то
- ОО	I оо
— fH7(jra)QV7(yo)) d&>— f Н7-(у<в)Г(со)Н7. (yo>)t/a),
2% J	2л v
—00	-00
где Г(ш) = ReQfop (уо>) +£-1l) > 0 по условию теоремы.
(4.213)
(4.214)
(4.215)
(4.216)
538 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Левую часть (4.216) оценим сверху:
J Н*г (j®)QVr (усо) Jco < q2 ||ti|| ||v|| ,	(4.217)
2.71 j
—00
где q2 — наибольшее собственное значение матрицы Q'Q.
Для правой части (4.216) справедлива оценка снизу:
J Н* (усо)Г(со)Н7. (усо) Ло > с2 Ing.,	(4.218)
где с2 = min71 (со); у, (со) —наименьшее собственное значение матрицы Г(со).
Сравнивая (4.217) и (4.218), имеем
Нг СгЪ Hr - с2^2 ||7i + fo\\T 	(4.219)
Оценивая (4.210) в ^(О,?), получаем
Мт * сз Нт + ||7 + 7о|| < с. (||7Н7о||),	(4.220)
где с3 = max у3 (со); Уз (со) — наибольшее собственное значение матрицы
ф(-усо)ф(усо);
Q =С3С2’?2+1-
Далее имеем
||7i||r<M«i>	-	<4-221)
где с5 = max у2 (со); Х2 (со) — наибольшее собственное значение матрицы
(-ycoIm-R'p) '(ycoI^-R,,) ’.
Используя (4.221) в неравенстве (4.220), получаем
Мг^с4^Нг+с4||7о||г.	(4.222)
Принимая во внимание последнее неравенство из (4.220), имеем
(4-223)
где с = цс4с5.
Из (4.223) следует, что Мт<0° при любом Т. Действительно, с41|^| < с0, по-
скольку /0 (/) — экспоненциально убывающая функция. Поэтому
(4.224)
Возможны случаи:
а)	если Мт < с, то утверждение выполняется;
б)	если ||< > с, то М^ < Co/(Mr₽ ~с) < °0-
Теорема доказана.
При конкретных р неравенство (4.223) может быть решено аналитически или
графически. В частности, при нулевых начальных условиях имеем Мт < с, а при
отсутствии внешнего воздействия ||у||^Р< с4 ||7о|| •
Глава 4. Нелинейные системы управления 539
4.11.7.	Устойчивость ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим применение степенного преобразования к дискретным системам вида
*(, + !) = Ах(г) + ^(г);	(4.225)
^(/) = ф(а(/),г);	(4.226)
О < ф(а(/),/)о(г) < Лст2 (/);	(4.227)
o(f) = c'x(z).	(4.228)
Система (4.225)-(4.228) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда ус-
тойчива линейная система (4.225) с переменным коэффициентом
£(/) = м(г)с'х(г), 0 <u(t)<k.	(4.229)
Более того, достаточно рассмотреть случай кусочно-постоянной функции м(/),
принимающей только два значения: 0 и к. Подставляя (4.229) в (4.225), получаем
х(г +1) = (А + м(?)Ьс')х(г).	(4.230)
Отсюда следует
х (Г +1) = (А + и (/) bc')W xW (z).	(4.231)
Вектор (А + u(z)bc')^ х^ можно представить в виде
(А + м (z) bc')[p] xW = A[p]xW + (S] и (z) + S2w2 (z) +.., + Spup (z))z(z),	(4.232)
где
z(/) = ^c[P]x[plW-
Если и (г) принимает только значение 0 и к, то
=kp~lu(t).	(4.233)
Используя (4.232) и (4.233), из (4.231) получаем
х^ (z + 1) = А^х^ + w(z)Sz(z),	(4.234)
где
S = £Spt'-1.	(4.235)
i+i
Аналогичным образом, применяя ненормированное преобразование (4.120), полу-
чаем
y(z + l) = R/,y(/) + Spn6);	(4.236)
ti(z) = k(z)z(z);	(4.237)
z(t)=Dpy(t).	(4.238)
Для того чтобы исключить (4.237) и получить систему сравнения, введем нера-
венство
n'Qfz-F’njsO.	(4.239)
Рассмотрение системы сравнения (4.236Н4.239) приводит к следующему результату.
Теорема 4.30. Пусть все собственные числа матрицы А лежат в открытом
единичном круге и существует положительно определенная (I /1)-матрица Q такая,
что для всех со е [0,л]
540
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Re Wd, (R, - е*\т)"' Sp + Г'l Л > 0.
(4.240)
Тогда система (4.225)-(4.228) абсолютно устойчива.
Доказательство (4.131) аналогично доказательству (4.130) с заменой непрерывно-
го преобразования Лапласа на дискретное и интегралов на суммы.
Следующий пример показывает, что критерий Цыпкина (4.41) является лишь дос-
таточным условием абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем.
Пример 4.8. Рассмотрим дискретную систему второго порядка
х1(1 + 1) = а1|х|(с) + а12х2(с) + ^(с);
х2 (/ + !) = <г2|х, (г) + а22х2 (/) + 62Цс).
Применим преобразование второй степени. Тогда
		2ана12	4 ’
r2 =	а|1а22	al \а22 + aV2a2l	а12а22
		2а21а22	2 а22 .
Д + kbf
S, —	1^2 ^21^1 ^1^2^
2^Z| 2^1
а,2/>2 + a22Z>|
2а2, b2
]^2 ^^2
Для аи =2,07; ai2 = -2,79; а2\ =0,84; а22 =-0,84; b\ =0,1; b2 =0 в соответствии с теоремой 2.5 полу-
чаем &>2,98. Критерий Цыпкина дает предельную величину к = 2,51.
Остановимся более подробно на случае квадратичного (р = 2 ) преобразования.
При этом уравнение (4.231) имеет вид
х^ (г + 1) = (A + w(z)bc')[2] хИ (г).	(4.241)
В соответствии со свойством 22 (см. таблицу степенных преобразований) получа-
ем из (4.241)
х^ (t + 1) = f А^1 +м2ь[2У21 + — wbr2lAcr2ilx^.
'	' I	2 12J J
Используя соотношения
и1 =ки; С['2]Х^ = (с'х)х;
, ,	, , х2 WC[2]x[2]	[2]'	С'С[2]
rj = qc х = w(c х) =—; с1 J =—
получаем
х^ (/ + 1) = А^^х^ (г) + Ь[2] ^А + —^-^1).	(4.242)
Полученная модель дает возможность сформулировать следующий критерий аб-
солютной устойчивости для дискретных систем.
Теорема 4.31 [13]. Система (4.225)—(4.228) абсолютно устойчива, если сущест-
вует такая положительно определенная матрица Q > 0, что при всех со е [0, л]
выполнено неравенство
ReQ^|c[2] (А^ -Ь[2]А, + к~\} > 0,
где
(4.243)
Глава 4. Нелинейные системы управления 541
Доказательство этой теоремы следует из дискретного варианта квадратичного
критерия Якубовича (теорема 1.14) при учете квадратичной связи
n'Q^c[2]x[2]
Соотношение между критерием (4,^43) и критерием Цыпкина (4.41) описывается
следующим образом.
Теорема 4.32. Пусть выполнен критерий (4.41). Тогда матрица
Q = A'LA + L + £cb'LA,	(4.244)
где L является действительным положительно определенным решением системы
уравнений
A'LA-L = -ии'-el, е>0;
<A'Lb+—= yw;	(4.245)
у2 =Л-1 -b'Lb,
обеспечивает выполнение критерия (4.243) для всех со е [0,л].
Таким образом, критерий (4.243) является более сильным, чем критерий Цыпкина.
Нахождение максимальной области устойчивости по критерию (4.243) связано с
численным поиском оптимальной матрицы Q. Этот поиск облегчается, если в каче-
стве начального приближения взять Q в виде (4.244), (4.245). При этом начальная
параметрическая область устойчивости будет не меньше области устойчивости по
критерию Цыпкина. Отметим, что в отличие от непрерывного случая (теорема 4.27),
начальное приближение (4.244) является несимметричной матрицей.
4.11.8.	Квадратичные связи в стационарных системах
Рассмотрим совместно уравнения исходной и преобразованной систем при квад-
ратичном преобразовании. Опуская индексы, перепишем их в виде (пользуемся не-
нормированным преобразованием (4.120))
х = Ах + Ь£;	(4.246)
y = Ry + Siy,	(4.247)
ц = фс	(4.248)
Пусть 5, = <р(сг), где <р(ст) — непрерывная однозначная скалярная функция. В этом
случае результаты п. 4.11.2 могут быть усилены за счет учета дополнительных квадра-
тичных связей в координатах т|, у, являющихся следствием свойств функций <р(ст).
Лемма 4.2 [12, 13]. Пусть ф(ст) — непрерывная однозначная функция, удовлетво-
ряющая условию (4.31). Тогда справедливы неравенства
|ст2 (г)ф(ст)стсй >-vt;	(4.249)
о
|<т2 (/)[£сг-ф(а)] cdt> -v2,	(4.250)
о
где постоянные V| и v2 не зависят от t.
Доказательство. Левая часть (4.249) в силу однозначности и непрерывности
ф(о) может быть записана в виде
afr)	а(Г)	а(0)
J ст2ф(ст)с(ст = j ст2<р(ст)е/ст- j <т2ф(<т)акт.	(4.251)
а(0)	0	0
о ф(о)о = q сс хд = т]сс (z-Az-bci
а3а = ±z'cc'z = z'cc'(z- Az-Ьс'ц).
Поэтому при cq > 0, а2 > 0 имеем
'	1
j (oq -oc2)t]'cc'(z- Az - Ьс'ц) + а2 — z'cc'z dt>-v
oL	2	-

542 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Однако в силу (4.31)
Д' (а) = jcr2<р(ст) de > 0.
0 •
Действительно, по теореме о среднем значении
О
|о2ф(о)о?о = стст2(р(о]), tqep.o].
о
Поэтому СТО] > 0 и (поскольку а1<р(а])>0) ф(сг)>0. Если обозначить
V; = у (ст0), то отсюда следует (4.249). Неравенство (4.250) доказывается аналогично
с заменой ф(ст) на Ло-ф(ст).
Лемма доказана.
Для записи неравенств (4.249), (4.250) в новых координатах заметим, что
(4.252)
(4.253)
(4.254)
1	*3 —	~r'~*"2v2'
Лемма 4.3 [12, 13]. Пусть G],G2,G3,G4 — неотрицательно определенные
(пхп)-м атрицы; t\,r2,g},g2 —неотрицательные числа, причем k~}-gjC'b>0. То-
гда на решениях системы (4.246)-(4.248) справедливо неравенство
т
J{[n'(G1 -G2 ) + (z' - h]')(G3 “ G4 )](z - Az - bc'p) +
(4.255)
dt > -v,
где v = const не зависит от T;
(4256)
Постоянные Ц] и ц2 являются соответственно наибольшими собственными
значениями матриц N, = (М, + М' )/2, i = 1, 2, причем
М,. = A Gj + G, А + u^Uj j
=^-[(G<+G;)b+/‘/(c+^A'c)];
у2 = (v1-g,c'b)r,;	(4.257)
Gj =G,-G2;
G2 = G3 -G4.
Отметим, что N( становится отрицательно определенной матрицей, если G, = L,
/• =1, где L —решение уравнения Лурье'.
Глава 4. Нелинейные системы управления
543
A' L + LA = — ии — еР;
• ЬЬ+^-с+-^<7/А'с = уи;	(4.258)
у = ^к'х-q^c'b.
Доказательство. Обозначим
V,= x'G/x, Gz >0 , / = 1~4;
Tj (о) = Jcp(cr) Jo;	(4.259)
о
^2 (<*) =	- J<p(n)</CT.
2	0
В силу (4.31) имеем
(*! - Г2(a) + (K3 - K4)T2 (о) + (И4 + И2 )|Ao2 > 0.	(4.260)
Дифференцируя левую часть (4.260) по времени, а затем интегрируя ее от 0 до Т,
получаем
т
j[(Pj -К2)ф(ст)ст+(К3-К4)(Аст-ф(п))ст+(к1-К2)т1 (а) +
о
+ (К4-К3)т2(о)+^(Г2+Г4)^
dt > -V],
где
Vi = xb (Gj - G2) XqTj (с’х0 ) + xj, (G3 - G4 ) х0Т2 (с'х0 ).
Обозначим
V2 =Г3-Г4;
G]=G1-G2; G2=G3-G4.
Для i = 1, 2 имеем
= x'(AG, + G,-A)x + 2x'G(b£ ± rt - k~+ gia
Выделяя в (4.263) полный квадрат, получаем
—Vt = x'N/x-g,(p(o)dz;,
где N( определено в (4.257). Отсюда
т ,	т
j—< |х'1\хф, (a)Jr-v2i,
оdt	о
где
с'х0
J(p(ct)vz(o)zZct,
о
поскольку
j <р(Х)ф, (Х)й?Х > 0.
о
(4.261)
(4.262)
(4.263)
(4.264)
(4.265)
(4.266)
(4.267)
544 Математические модели, динамические характеристики и анализ СА)Г
Оценивая форму x'N,x < ц,х'х, приходим к неравенству
v2/>
ц, > 0.
Введя определенную в формулировке леммы функцию Р(ц) и учитывая, что
/ \ к 2
получаем
т ,	т
- Р(И/) JZ'Z^“V2r
о0
Используя (4,268) в (4.261) и подставляя в (4.261) тождества
z = ох; р = £х; хст = г - Az - bc'rj,
получаем (4.255).
Лемма доказана.
(4.268)
4.11.9.	Критерий устойчивости стационарных систем
Рассмотрим устойчивость модели второго уровня, состоящей из уравнений (4.174)
и неравенств (4.31), (4.254), (4.255). Устойчивость этой модели обеспечивает устой-
чивость исходной стационарной системы (4.29), (4.31).
Теорема 4.33 [12,13]. Модель второго уровня абсолютно устойчива, если сущест-
вуют такие действительные числа a, g} > 0, g2 > 0, г > 0, причем к 1 - (gt - g2) c’b > 0,
и такие действительные (пхп)-матрицы, Q>0 и G, что при всех со>О выполне-
но неравенство
Re {Q (Ф(jco) + к~'l) + gt (G + acc')[( jcol - А)Ф(/co) + be'] -
(4.269)
--£1₽(р)ф’ (>)ф (У®)| > °>
где ®(jco) = D(R- jcol)-1 S; p — наибольшее собственное значение матрицы
N = |(M + M');
М = A'G + GA + uu' + g2£cc'A;
2yw = (G + G')b + r(c + gA'c);	(4.270)
Y2 =г(к~] -gc'b), g = gt -g2.
Функция P(co) описана в лемме 2.3.
Доказательство. Положим в (4.254) a = <X|-a2 и в (4.255) G3=G4=0,
G=G|-G2. Тогда утверждение теоремы получается из квадратичного критерия
Якубовича с использованием связей (4.31), (4.254), (4.255).
Наряду с системой (4.29)-(4.31) можно рассмотреть эквивалентную ей в смысле
устойчивости систему, полученную с помощью преобразования	= кс - £,:
х = Ах-Ь^; А = А + ЛЬс';
= Лст-ф(ст) = ф] (ст);	(4.271)
0 < ф| (ст)ст < ко2.
}Глава 4. Нелинейные системы управления
545
Формальное применение критерия (4.269) к системе (4.271) приводит к еще одно-
му критерию абсолютной устойчивости преобразованной системы: преобразованная
система абсолютно устойчива, если существуют такие действительные числа
a, g] > 0, g2 - г > 0 и такие действительные матрицы Q] > 0 и G]; что при всех
со > О выполнено неравенство
Re^Qi (ф(усо)+ £’!) + £] (G +асс')[(>1- а)Ф(>)-Ьс'^-
k	1	(4'272)
--ДР(м)Ф* (>)ф(усо)| > О,
где
Ф(усо) = -(1 + £Ф(усо)) 'ф(ую);
ц —наименьшее собственное значение матрицы N = -^-(М + М');
М = A'G[ +G]A + ww' + g2^cc'A;
2yw = -(G1 +G[)b + r(c + gA'c);	(4.273)
у2 =r(F1-gc'b); g = g}-g2.
Критерии (4.269) и (4.272), по-видимому, не сводятся друг к другу и поэтому могут
рассматриваться как различные. Связь между ними поясним в следующем разделе.
Пример 4.9. Рассмотрим систему третьего порядка со стационарной обратной связью
г, =-101Х| +х2 +<р(а);
х2 = -5xt + х3;
х3 =-100Х[-<р(о);
а = Х|
и с передаточной функцией линейной части
W (s) =  ---.
s3 +101? + 5s +100
Годограф видоизмененной частотной характеристики
Ifj ( jvt) = Re W (/о>) + jvs Im W ( Jro)
и прямая Поповадля наибольшего коэффициента усиления Л = 4,85 показаны на рис. 4.16.
Рис. 4.16. График частотной характеристики и прямой Попова
6 Зак. 14
546 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Из рис. 4.16 видно, что критерий Найквиста и критерий Попова для данной системы дают различные
области устойчивости по параметру к. Элементы ф,; передаточной матрицы преобразованной системы
Ф(/>) задаются выражениями
Дфп =-2р5-404р4-20430р3-4030р2-80920р -4800;	,
Дф12 = -2р4 -202// -Ар2 + 4р;
Дф13 = -2р3 + 32 р +1608;
Дф21 = 1I р4 + 1412р3 + АОр2 - 2420р -160800;
Дф22 =-р5 -ЗОЗр4 -20404р3 -402/? +404р;
Дф23 = —р4 — 202р3 + 16/? +4036р + 162408р;
Дф31 = р5 +503р4 +40622р3 + 3220р2 +80400р;
Дф32 = р* + 603р3 + 40622р2 +1620р;
Дф33 = -р5 -ЗОЗр4 - 20420р3 -1614р2 + 444р + 3240;
Д(р) = Р6 +404р5 + 51030р4 + 20666857р3 + 447530р2 + 8172900р ++324000.
Нахождение наибольшей области устойчивости по параметру к, при котором выполнен критерий
(4.269), сведено к задаче нелинейного программирования к -> max при ограничениях (4.269) и Q > 0.
Задача решалась методом штрафных функций. Значение А = 5,42 получено при следующих величинах
свободных параметров:
	1,0000	-1,7718-!0’3	-2,9910-10’2
=	-3,5932-Ю’2	8,7810-Ю’4	6,2690-10’3
	-4,5513 10'2	-5,1960-Ю’3	1,5950-Ю’2
	0,8910	-3,0200-Ю'3	-4,9667-10’3
	1,0987-10”2	1,4040-10’3	-3,0130-Ю’3
	4,2230-10’3	2,8110 Ю’3	1,2500-10’3
г	= 0,1310; <х =	-0,1093; g, =0,	0706; g2 = 0.
4.11.10. Сравнение с критерием Попова
Покажем, что критерий (4.269) более сильный, чем критерий Попова.
Лемма 4.4 [12,13]. Пусть выполнено частотное условие Попова (4.53). Тогда су-
ществует матрица Q > 0 такая, что для всех со > 0 выполнено неравенство
Re Q {фр (>) + к~% + <?[(>! -	)Фр (>) + DpS„ - с'Ы, ]} > 0.	(4.274)
Доказательство. В соответствии с частотной теоремой Якубовича-Калмана при
достаточно малом е > 0 из (4.53) следует существование решения уравнения Лурье
(4.37). При этом мы находимся в условиях леммы (4.1) и теоремы (4.128) с заменой
вектора с на вектор c + qA'c при у2 = к~} -qc'b. Поэтому справедливо неравенство
RelW -
_Р
RetM —(c + q-A'c)),,] Alr]-ycolm)-1b[p]+(i ’-^c'bjlf >0.
Согласно свойству 11 из таблицы степенных преобразований имеем
(с + 9А'с)'[/,]=с(р]+<?(сА)[/;].
Свойство 20 дает
(сА)и=с[р]Ам-А[р-1]с'и-
Элементарными преобразованиями получаем
сНАи(А[л]->1«») Ь[р]=с[р]ЬЫ + >сы(А[р]">ю1»>) ьи-
(4.275)
(4.276)
(4.277)
(4.278)

Глава 4, Нелинейные системы управления 547
Подставляя (4.277) и (4.278) в (4.275), получаем неравенство
Red^] J(l-^A[p4])lc{p](Aw -уЮ1т) ' b[p]	+
1	и	и	(4.279)
> О, V® > 0.
Используя соотношение 19, 20 таблицы преобразований, получаем неравенство
(4.274) при
Теорема доказана.
Теорема 4.34 [12,13]. Пусть существует действительное число q, для которого
выполнен частотный критерий Попова (4.53). Тогда при q>Q выполнен частотный
критерий (4.269), а при q <0 — критерий (4.272).
Доказательство.
1. Пусть в условии (4.53) q > 0. В соответствии с частотной теоремой Якубовича-
Калмана из (4.53) следует существование действительной симметрично положитель-
ной определенной матрицы L, удовлетворяющей уравнениям Лурье (4.37) при дос-
таточно малом г > 0. Положим в (4.269) Q = G = L, а = 0, g] = q. В силу замечаний
в лемме 4.2 имеем N<0, Р(ц) = О. Применение леммы (4.123) завершает доказа-
тельство для этого случая.
2. Пусть в (4.53) q < 0. Используя обозначения
w\ О®) = ~w(j®)/(l + kW(>)),
из (4.53) получаем неравенство
Re W} (yco)(l-q/co) + AT1 > 0.	(4.280)
Это неравенство одновременно является условием абсолютной устойчивости для
системы (4.271). Учитывая, что (j<o) = -с'(А- jcol) 1 b, и используя частотную
теорему, получаем решение соответствующих уравнений Лурье:
A'Lq +G]A = -uu'-eP, £P = eP'>0;
ум =-2Ljb + c-<3A'c;	(4.281)
у2 =	- gc'b.
Из леммы 4.4 следует
Re L] |ф(у(в) + А_11п -q^jol-А)ф(усо)-с'Ь1„| > 0.	(4.282)
Приняв в (4.272), (4.273) Q] = Gj = Lb а = 0, rx -1, gt = -q, g2 = 0, получим сов-
падение левых частей (4.272) и (4.282), что и завершает доказательство.
Из теоремы 4.34 следует, что область устойчивости, соответствующая крите-
рию Попова, вложена в одну из областей устойчивости, даваемых критериями
(4.269) и (4.272). Практическая проверка этих критериев является задачей нелинейно-
го программирования. В качестве начального приближения полезно найти такие зна-
' чения параметров, при которых критерий Попова выполнен. Поэтому при q > 0 нуж-
но взять критерий (4.269), а при q < 0 — критерий (4.272).
4.11.11. Оценки качества
Рассмотрим сначала мгновенную оценку состояния системы управления в виде
квадратичной формы
V (х) = хТИх.
(4.283)
36’
548 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Любая квадратичная форма вида (4.283) может быть представлена в виде линей-
. „ ,	[2]
нои формы от координат вектора у = xl J:
К(х) = а'у.	(4.284)
В соответствии с (4.210) имеем	•
1 а'у - а/0 - |а'ф(/-Х)т|(Х)Л,? 0	(4.285)
где
ф(г) = Г' {(R2~5l) ' S2},
7(0 = Г1 {(я-к2)чу0},
п(/) = £(0х(0-
Применяя к интегралу в (4.285) неравенство Коши-Буняковского, получим								
1	(t				1/2		1/2	
jcc'(p(r-X)r|(X)dX <	Га'ф (t - X) ф' (/ - A.) ad,			А		Jp'(X) л (X) с?Х		(4.286)
0	<0					\о		
Отсюда следует								
	Г(х)		Sa7(r) + p(r)||n||(;					(4.287)
	И(х)		>ccZ(z)-h(0I|t1|	о				(4.288)
где		(t			X	/2		
mW	=	Ja	ф(t - X) ф' (? - X) ad к			>		(4.289)
		\0		1/2				
	м, =		Jp' (А.)т| (X) <7Х					(4.290)
Таким образом, формулы (4.286)-(4.290) дают двустороннюю оценку для С(х),
если известны величины ц(?) и ||т]||(. В качестве оценки для ||г)||( можно использо-
вать формулу (4.219), положив в ней fx = 0:
и •
Рассмотрим теперь вычисление интегральной оценки
/= Jy'GytZ/	(4.291)
О
для модели произвольного уровня р\
У = АИУ+ЬИТ1;
 Г1 , ")	(4-292)
n'Ql — С[Р]У-* ’ll-0-
Зададимся квадратичной формой V = у'Ну и вычислим ее производную в силу
(4.292):
р> = У'(АИн + НА[р])у + 2У'нь[д]т1-
(4.293)
549
Глава 4. Нелинейные системы управления
Дальнейшие рассуждения почти дословно повторяют содержание п. 4.7 с учетом
особенностей модели (4.292). Окончательно получим
/<8_1у„Нуо, Уо =Х1О/’1,
где Н — решение обобщенных уравнений Лурье:
А(-л|Н + НА|р|+гС = -Л«^/,<
ньы+^си<г' = ',2|г''
В соответствии с частотной теоремой уравнения (4.295) имеют действительное
решение тогда и только тогда, когда выполнено для всех со > О частотное условие
ReQp-cj
(4.294)
(4.295)
VI+ г 1
(4.296)
G(A[p]-7(Dl) b[p]>0'
При достаточно малом а условие (4.296) эквивалентно условию абсолютной ус-
тойчивости (4.183).
Еще раз подчеркнем, что подынтегральная функция в оценке (4.291) является фор-
мой четной степени от элементов исходного х. Оценка (4.294) может иметь место и в
тех случаях, когда не выполнен круговой критерий (но выполнено условие (4.296)).
4.12.	МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ
КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.12.1.	Общие положения
Идейной основой метода функциональных рядов является опубликованная в
1910 году работа М. Фреше, в которой установлен факт существования некоторого
сходящегося ряда, описывающего непрерывный функционал. На основе этого ре-
зультата построена теория нелинейных систем. Эта теория, называемая обычно ана-
литической теорией нелинейных систем, имеет целый ряд привлекательных черт:
она применима для решения широкого круга нелинейных задач и опирается на стро-
гий математический аппарат. Важным достоинством аналитической теории явля-
ется возможность обобщения центральных понятий теории линейных систем на
рассматриваемый класс нелинейных систем. В аналитической теории, так же как и в
теории линейных систем, центральными являются понятия импульсной переходной
функции, передаточной функции, частотных характеристик и др. В связи с этим, ис-
пользуя рассуждения, применяемые при решении конкретных задач в теории линей-
ных систем, удается получить решения соответствующих задач для класса нелиней-
ных систем. К таким задачам относятся задачи детерминированного и статистическо-
го анализа, синтеза корректирующих устройств, расчета оптимальных фильтров по
' критерию минимума среднеквадратической ошибки, идентификации и др. В отличие
от линейного случая в рассматриваемом подходе используется аппарат многомерных
динамических характеристик (многомерные ИПФ и ПФ) [98].
Первые применения функциональных рядов для описания, исследования и синте-
за нелинейных систем управления связаны с именами Н. Винера, А. Бозе, Л. Заде,
В.С. Пугачева, Г. Ван-Триса, П.И. Кузнецова, Р.Л. Стратоновича, В.И. Тихонова и др.
Аппарат рядов Вольтерра и широкий спектр его применения наиболее полно изложен в [49, 98].
550 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В.С. Пугачев рассмотрел вопрос преобразования случайных функций, приводимых к
линейным. В [92] отмечено, что класс нелинейных преобразований случайных функ-
ций, приводимых к линейным, очень широк.
В работах ряда авторов (Г. Ван-Трис, Н. Джаган и Д. Редди, Р. Мак-Фи, П. Франк,
Дж. Лаббок, М. Шетцен и др.) рассматривается проблема построения рядов Воль-
терра, описывающих поведение замкнутых систем. Используемый аппарат — мно-
гомерное преобразование Лапласа (см. Приложение 1, т.2). Решению той же задачи
во временной области посвящены работы Р. флейка, Г. Марчезини, Г. Пикки,
М. Килькевича и других авторов.
Аппарат рядов Вольтерра широко применяется для синтеза оптимальных фильт-
ров по критерию минимума среднеквадратической ошибки; получены системы инте-
гральных уравнений, определяющие оптимальные многомерные ИПФ, и рассмотрены
методы решения этих уравнений. Д. Катцнельсон, А. Гулд, М. Лион, Г. Марчезини,
М. Тасинари рассматривают в своих работах итерационные процедуры для опреде-
ления многомерных ИПФ оптимальных систем.
Значительное число работ посвящено решению проблемы сходимости функцио-
нальных рядов, а также идентификации динамических характеристик.
Начиная с конца 60-х годов, издаются книги, которые полностью посвящены ре-
шению проблем исследования и проектирования нелинейных систем с помощью ря-
дов Вольтерра или в которых эта проблема рассматривается частично.
В книге «Техническая кибернетика за рубежом», изданной под ред. В.В. Соло-
довникова в 1968 году, помещена совокупность работ, посвященных описанию и
идентификации нелинейных объектов типа Вольтерра [130].
В 1976 году была опубликована монография К.А. Пупкова, В.И. Копалина и
А.С. Ющенко «Функциональные ряды в теории нелинейных систем», в которой сис-
тематически и с единых методологических позиций изложена теория нелинейных
систем на основе рядов Вольтерра и ортогональных разложений Винера. Рассматри-
ваются задачи анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем. Для их реше-
ния используются ряды Вольтерра, многомерные преобразования Лапласа и Фурье.
Особое внимание уделено практическому применению указанных методов [98].
В этом же году увидела свет книга Ю.С. Попкова, О.Н. Киселева, Н.П. Петрова и
Б.Л. Шмульяна «Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических сис-
тем», которая посвящена вопросам идентификации и оптимизации систем, информа-
ция о которых носит стохастический характер. Вопросы оптимального синтеза и
идентификации излагаются в ней на единой методологической основе, какой являет-
ся описание систем функциональными рядами Вольтерра. При решении задач синте-
за особое внимание уделяется структурному синтезу нелинейных систем. Изложение
сопровождается решением конкретных задач [49].
В предыдущих параграфах настоящей главы в основном изложены классические
положения теории нелинейных систем. При этом
•	системы описывались нелинейными ДУ, полученными с использованием ма-
тематического описания элементов САУ, среди которых имели место как ли-
нейные, так и нелинейные элементы;
•	большое внимание уделен® изложению результатов, связанных с устойчиво-
стью систем, построению периодических движений и автоколебаний.
В теории линейных систем большое значение имеют интегральные соотношения,
связывающие входной и выходной сигналы системы (интегралы Дюамеля и Коши).
Этот аппарат можно распространить на достаточно широкий класс нелинейных сис-
тем и построить инженерные алгоритмы решения таких задач, как расчет выходных
сигналов, синтез регуляторов, статистическая оптимизация, идентификация нелиней-
ных объектов.
Глава 4. Нелинейные системы управления
551
Пусть х(г) = Л(у(г)), где	— аналитический оператор, для которого в
окрестности точки у можно построить ряд Тейлора, совпадающий с рядом
Вольтерра. Примером нелинейной системы, описываемой рядом Вольтерра, может
быть система, содержащая линейные элементы и нелинейности, представимые в виде
степенного ряда
Z av W*(v) (z)+Z ck (z)xW 0)=y^)-
v=0	k=2
В настоящем параграфе кратко излагаются основные положения метода функцио-
нальных рядов Вольтерра в части описания класса нелинейных систем и решения
задач детерминированного исследования.
4.12.2.	Описание нелинейных систем
ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ ВОЛЬТЕРРА
Отправным пунктом этого подхода является положение о том, что сигнал на вы-
ходе нелинейной системы можно рассматривать как функционал, заданный на мно-
жестве возможных процессов, действующих на ее вход. Далее используется теорема,
доказанная в 1910 году французским математиком М. Фреше. В этой теореме М. Фре-
ше показал, что для любого непрерывного функционала х[у(/)] существует после-
довательность функционалов х^[у(г)], которая при к-*<х> сколь угодно точно
аппроксимирует	(здесь и х(?) — детерминированные функции).
Если ДУ, описывающее поведение системы управления, записать в форме
£а„(/)хМ+Г(х, х, х,...) = у(/),
v=0
где F(x, х, х,...) — нелинейная аналитическая функция аргумента х, производные
которой удовлетворяют условиям экспоненциальной ограниченности Липшица, то
аппроксимирующая последовательность имеет вид
СО * f
x0) = Z	(4-297)
*=1 о о
где ряд (4.297) называется функциональным рядом Вольтерра, kk (г, Т], т2,..., ) —
многомерные импульсные переходные функции нестационарной системы (ядра Воль-
терра).
Теорема Фреше утверждает, что существует последовательность ядер
ki^t,x},X2,---,xi), при которой х(?) приближается рядом сколь угодно точно. Эту
теорему можно рассматривать как обобщение на функциональное пространство из-
вестной теоремы Вейерштрасса о существовании последовательности коэффициен-
тов степенного ряда, сколь угодно точно приближающего произвольную непрерыв-
ную функцию.
Таким образом, совокупность ядер ряда однозначно определяет динамические
свойства нелинейной системы, а само ядро (г,Т],т2,...,т,) часто называют так-
же импульсной переходной функцией i-го порядка [49, 98, 130].
Утверждение теоремы Фреше представляет собой теорему существования, так как
в формуле (4.297) ядра Л, (?,т1,т2,...,т,) остаются неопределенными, а гарантиру-
ется лишь возможность в каждом конкретном случае найти последовательность
аппроксимирующих функциональных рядов.
552 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Структурная схема нелинейной системы, описываемой функциональными рядами
Вольтерра, может быть представлена в виде, показанном на рис. 4.17.
Рис. 4.17. Структурная схема нелинейной системы
Для стационарных систем ряд Вольтерра может быть представлен в виде беско-
нечной суммы
x(')=Zx<(')’
/=1
где для i = п
х«(0=	(4.298)
о о
В данном случае каждая подсистема н-го порядка (формула (4.298)) характеризу-
ется своим ядром кп (т1,т2,...,т„) и-го порядка. Первая подсистема является линей-
ной', ее выходной сигнал представляет собой свертку входного сигнала у(?) с им-
пульсной переходной функцией линейной части системы. Вторая подсистема явля-
ется уже нелинейной и носит квадратичный характер. Ее выход'есть свертка второ-
го порядка входа с импульсной переходной функцией #2 (т1»тг)- Аналогично тре-
тья подсистема носит кубический характер', ее выход х3 (?) представляет собой
трехмерную свертку входа у (б) с импульсной переходной функцией к3 (т1;т2,т3),
которая может быть названа ядром Вольтерра третьего порядка.
Таким образом, применение рядов Вольтерра является обобщением интеграла
свертки, используемого для описания линейной системы [49].
Этот аппарат обобщается и на случай, когда У (г) и X (?) — случайные процес-
сы. Для стохастического случая ряд Вольтерра может быть записан в виде
=	(4.299)
v=l О О
Покажем, что ряд Вольтерра естественно возникает при описании во временной
области системы, в которой имеется безынерционный нелинейный элемент, предста-
вимый рядом Тейлора или полиномом [49, 98].
Рассмотрим непрерывную нелинейную систему (рис. 4.18), образованную после-
довательным соединением линейного инерционного и стационарного полиномиаль-
ного безынерционного звеньев.
-------
Рис. 4.18. Структурная схема системы
Для такой системы соотношения между сигналами >»(?) и х(?) имеют вид (y(i)
и х(?) — детерминированные функции)
Глава 4. Нелинейные системы управления
553
z(z) = |Л(/,т)у(т)<7т,	(4.300)
о
x(l) = ^[z(/^] = ^c/z'(r).	(4.301)
1=1
Общее описание системы можно получить, подставив (4.300) в (4.301):
= F
t
|Л(?,т)у(т)б/т
о
t
J# (t, т)^ (т) dx
,0
=Ес>П ('• ъ)у(ъ)dxj = Ес'[  jfl[*('’т;)Яъ)] • •dx>
1=1 7=1 Lo	J <=1 0 О ;=1
(4.302)
Если обозначить	i = l,N, то соотношение
7=1
примет вид ряда Вольтерра:
*(') = Eci • К (^т1>т2>---.т0ПЯ*у)^1 ••«Л =
1=1 0	0	7=1
N ‘ I
= ЕЕ' ^ (^Т1,Т2>-..,-Г,)у(Т1)...у(т,)Л1...Л,.
1=1 о о
Пусть, например, линейндя нестационарная система имеет импульсную переход-
ную функцию
(4.302)
(4.303)
Это соответствует дифференциальному уравнению [98]
^ + Zx(/) = y(z).
Тогда ядро порядка i получается в виде
1	_1Ц2_Т21
kt(t,x1,x2,...,xl) =	2	1 .
7=1
Если линейная система стационарна, то ряд (4.303) может быть записан следую-
щим образом:
x(z) = ECJ- К(Ti’т2>•  • >Т)Пт(?-Ъ) Jti=
1=1 О 0	7=1
W 1	1
1=1 о о
причем его ядра определяются формулами
^°(т1,т2,...,т,) = П^(ту), 1 = 1Л.
7=1
Если линейная часть системы — апериодическое звено с коэффициентом усиле-
ния К и постоянной времени Т, то
--г	--Пъ
Л(т) = А?е т и к°	= К‘е т J'' .
35 Зак. 14
554 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Ядро второго порядка для К = 1 и Т = 1 изображено на рис. 4.19.
*2 (*1^2)
Т]
Рис. 4.19. Импульсная переходная функция 2-го порядка
Ядра полинома (4.303) полностью разделимы (сепарабельны),-х.е. ядро порядка i
представимо в виде произведения i ядер первого порядка. Другой возможный тип
ядер — это частично разделимые ядра. Частично разделимое ядро порядка i пред-
ставимо в виде произведения j ядер (j <i) низших порядков. Например, ядро
третьего порядка вида
Л3(/,т1,т2,т3) = Л1 (1,Ti)^20,t2,t3)
будет частично разделимым.
Если ядра частично или полностью разделимы, то это существенно упрощает рас-
чет системы. Однако на практике ядра этого типа встречаются редко. Рассмотрим, на-
пример, непрерывную систему (рис. 4.20), образованную последовательным соединени-
ем двух линейных инерционных систем, разделенных безынерционной нелинейностью.
Рис. 4.20. Структурная схема системы
Ядра этой системы будут уже неразделимыми. Имеем [98]
dx= J*(/,t)Xc,
О '=1
t
о
<=1 о о
dx -
(4.304)
Глава 4. Нелинейные системы управления
В (4.304) для i = 1,..., N обозначено
555
g,(r,Q1,...,CT,)= |л(г,т)Пл(т,а7)Л.	(4.305)
0	7=1
Выражение (4.305) определяет неразделимые ядра Вольтерра.
Предположим, что Л(/,т) = е -е 2^‘ х\ что соответствует дифференциально-
му уравнению второго порядка [98]
d2x(t)	dx(t)	. .	. .
---Н + 3—^.+2x(t) = q(t).
dt2 dt
Если /?(г,т) = е т), то ядро первого порядка всей системы с учетом условий
причинности получится из формулы (4.305) в виде
g) ('" х) =	- е-2('~о)]= (/ - т)+ е’2^.
Ядро второго порядка определяется зависимостью [98]
_ [_е-('-х,)е-('-тг)+е-(-Ъ)_(г_Т1)е-2/+т,«2) Т]>ъ;
Приведенные примеры являются иллюстрацией к общему положению, согласно
которому любую функциональную нелинейную систему без обратной связи, образо-
ванную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерцион-
ных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра. Одновременно эти примеры
показывают, как это можно сделать практически.
Далее рассмотрим методы построения рядов Вольтерра, описывающих поведение
замкнутых нелинейных систем [98].
Рассмотрим замкнутую нестационарную нелинейную систему, поведение которой
описывается уравнением
a»(0x(^+a«-i(z)x(”~1)+-+ao(0x + 7:’(x(,)) = .’'(z)>	(4.306)
где
F(x) = c2x2 + с3х3 +... + cnxn =	(f).	(4.307)
*=2
Будем находить решение этого уравнения в виде (4.303). Поскольку
(О х w + «и-1 (0 х(л’1) + • • • + «о (/) х = у (/) - F (х (/)),	(4.308)
то очевидна справедливость нелинейного интегрального уравнения
х(г)= |л(/,т)у(т)<7т-|а(/,т)Л(х(т))<7т.	(4.309)
о	о
Воспользуемся обозначением
X] (г) = |Л(г,т)у(т)Л,	(4.310)
о
где £(/,?) — импульсная переходная функция линейной части системы.
35'
556 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Тогда из (4.309) и (4.310) следует
х
(4.311)
Будем находить решение последнего уравнения в виде функционального ряда [130]
х(/) = £х„(/).	(4.312)
п=\
Подставляя (4.312) в (4.311), имеем
оо
Xi(0 + x2 (?) + х3(г) + ...=х,(/)- |А:(г,т)
О
N f сО
£х„(т)
к=2	<п=1
dx,
(4.313)
или, что то же самое,
*1 (?) + х2(/) + х3(/) + ... = х1(г)-
-	с2 |л(/,т)[х! (т) + х2(т) + х3(т) + ...]2 dx-
о
00	3
-	с3	(г,т)[х] (т) + х2 (т) + х3 (т)+...] dx-...-
О
-	ср |/;(/,т)[х|(т) + х2(т) + х3(т) + ...]/’Л-....
О
Раскрывая формулы возведения в квадрат, куб и т.д., получим выражение
(/) = X] (/) - с2	(г, X)[xj2 (т) + х22 (т) + х32 (т) + ... +
и=1	О
+ 2х] (т)х2 (т) + 2х] (т)х3 (т) + 2Х] (т)х4 (т) + ...+
+2х2 (т)х3 (т) + 2х2 (т)х4(т) + ... + 2хг (т)хг+1 (t) + ...J dx-	(4.314)
-с3 р(г,т)[х13(т) + Зх12(т)х2(т) + Зх1(т)х2(т) + х2(т) + ...]Л-
О
со	со
-с4 j* (г, т) [ X!4 (т) +... ] dx - с5 (г, т)[х,5 (т) +...] dx-....
о	о
Далее будем строить члены ряда Вольтерра, используя следующие положения.
Эквивалентная нелинейная система, математической моделью которой является ряд
Вольтерра, может быть представлена структурной схемой (рис. 4.21).
Рис. 4.21. Структурная схема нелинейной системы:
1 — линейный канал; 2 — квадратичный канал; 3 — канал с характеристикой возведения в куб
Глава 4. Нелинейные системы управления
557
Выделим из (4.314) члены, определяющие математическую модель линейного ка-
нала. Она определяется зависимостью
00	СО
xi(0= p(z>T)j'(T)<5?T= J*i (z>Ti )у(т1)^1 •	(4.315)
о	• о
Квадратичный канал описывается формулой
СО
Х2 (0 = ~с2 р(^т)х12 (т)Л.
О
Поскольку из (4.314) следует
00	00
*12(Т)=
О	О
то выражение, определяющее х2 (f), можно представить в форме
со со оо
хг(0= J J ~с2 /*(^)МТ’Т1)*1(Т,Т2)Л у(т1)у(т2)б7т1й?Т2 =
° °L о	J	(4.316)
со со
о о
где
k2 (z,Tj,t2) = -с2	(z,т)Л, (т,т2)с/т.	(4-317)
о
Очевидно, третий член в ряде (4.313) представляет собой составляющую выход-
ного сигнала на выходе кубической ветви системы. Для построения ее математиче-
ской модели из правой части (4.314) необходимо выбрать все члены, содержащие в
многомерном интеграле Коши произведение у} (т)^2 (т)у3 (т).
Из (4.314) имеем
СО	СО
х3 (0 = -2с2 JA:(/,t)x1 (т)х2 (т)<7т-с3 |а(/,т)х3 (т)сН.
о	о
(4.318)
Раскроем зависимости, определяющие х] (т)х2 (т) и х3 (т).
Находим
СО	00 СО
х1(т)х2(т)=
О	0 0
со оо со
х| (т) = И 1*1 (т>т1)*1 (т>ъ)*1 (т^зЫи
ООО
Подставив последние две зависимости в формулу (4.318), можно записать выра-
жение, определяющее х3 (/):
хз(0= JJJ {(-2с2)Л(/,т)/:1(т,т1)Л2(т,т2,т3)Л
О 0 0 Lo

СО оО со ОС
+ Ш |(-сз)*(Лт)*1(т,Т1)^(т,т2)А1(т,т3)4/т
oooLo
Ит1 ) >'(т2)л'(тз)«'т1^'с2б/т3
(4.319)
оо со со
= Ш*3(^'С1,Х2>'С3)3'(Т1)3'(Т2)3'(Т3)Л1Л2Л3>
ООО
558
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
где
*з (z, Т], т2, т3) = J(-2c2 ) кх (t, т) Л] (т, Т]) к2 (т, т2, т3) Л+
0	, (4.320)
+ f(-c3)*1 О’т)(т’Ti)*1 (х>т2)к\ (т’тз)Л-
о
Поступая аналогичным образом, можно записать формулу, определяющую выход
х4 (0-
о
-Зс3 Ji(z,t)хх (т)х2 (т)^т-с4 |л(г,т)х]4(t)dx.
о	о
Подставляя в эту зависимость выражения, определяющие х2(т), 2xj(t)x3(t),
Х!2(т)х2(т) И Х]4(т), получим
*4(0= JJJJ J(-c2)A(z,t)A2(t,ti,t2)^2(t,t3,t4)z/t X
О 0 0 0 Lo
ХЯХ1ЫТ2)ЛХз)у(Х4рИ^МХ3^4 +
со оо со оо СО
+ fJJJ Д-2с2)Л(/,т)Л1(т,т1)Л3(т,т2,т3,т4)<Ут x
О О О о|_О
ХИТ1ЫТ2ЫТз)ЯТ4)Л1Л2Л3Л4 +
co co co oo co
+ JJJJ |(-Зс3)Л(г,т)Л1(т,т1)Л1(т,т2)Л2(т,т3,т4)Л х
Lo
0 0 0 0
х^('г1)у('с2)^(тз)у(х4)^1^х2Л3</т4 +
co co coco oo
+ ПИ 1(-С4)Л(Г>Т)^(Х>Т1)Л1(Х’'С2)^(Х,Хз)^1(Х>Х4)^ Х
Lo
оооо
Ху(Х1)з/(Х2)3'(Тз)у(Т4)^1^2^3Л4,
или, что то же самое,
оо со со со
Х4(')= f f f J*4	)y(t2)^(X3)>'(X4)^1^2^3^4 >
0 0 0 0
где
A4(z,t1,t2,t3,t4) = £(^c2)*(z,t)*2(t,ti,t2)*2(t,t3,t4) +
0
+ (-2с2)Л(/,т)Л1 (т,Т])Л3 (t,t2,t3,t4) +
+ (-Зс3)А(г,т)Л]	(т,т2)Л2 (t,t3,t4) +
+(-c4)к(z,т)kx (т,t])kx (т,т2)kx (т,t3 )kx (т,t4)] dt.
Для составляющей x5 (?) справедлива формула
Глава 4. Нелинейные системы управления
559
00	со
х5 (?) = -2с2 p^.xjxj (т)х4 (т)а?т-2с2 р(?,т)х2 (т)х3 (т)«7т-
о	о
со	оо
-Зс3 P(Z,t)x] (т)х2 (т)»47т-С5 p(z,x)x15 (т)й?т =
о	о
оо оо оо оо оо оо
о о о о о|_о
+ (-2с2)*(/,т)£2(*Л1Л2)МТ’Т3>Т4>т5) +
+ (-Зс3)^(?,т)А! (т,Т])к2 (т,т2,т3)Л2 (т>т4>т5) +
+(-с5)А(/,т)А1	(т, т2 )^! (т, т3) Aj (т, т4 ) (т, т5 )J <7т X
ХЯТ1 )ЯТ2 )у(Т3	)]</т1Л2Л3(/т4</т5 •
Отсюда имеем
оо со со оо оо
*s(') = f J J П*5 (?,т1,т2,т3,т4,т5 )^(т1 )>'(т2)>'(тз Ыт4 Ыт5 )dxxdx2dx3dxidx5,
0 0 0 0 0
где
со
&5 (f, Т], т2, т3, т4 ,т5) — |[(-2с2)А:(г,т)^1(т,Т1)А:4(т,т2,Тз,т4,Т5) +
о
+ (-2с2)Лр,т}Л2(т,т1,т2)Л3(т,т3,т4,т5) +
+ (-Зс3)Л(г,т)Л1(т,т1)Л2 (^г^з)^ (^4,т5) +
+(-с5)к(t,т) кх (т, Т1) Л] (т, т2)кх (т, т3) кх (т, т4) кх (т,т5)]dx.
Аналогичным образом можно получить ядра k6[t,xx,...,x6), Л7 (г,Т],...,т7) ит.д.
Структурная схема системы, описываемая рядом Вольтерра, представлена на
рис. 4.22.
Рис. 4.22. Структурная схема нелинейной системы, описываемой дифференциальным
уравнением (4.306) и эквивалентным ему функциональным рядом Вольтерра
у(0
~► k(t,r)
Х1ф__________
Квадратор -*• -c2k(t,i)
х2(0|
X
Операция
*► возведения
в куб
-с3А(/,т)
1 >► Квадратор
> -Зс3£(?,т)
Операция
возведения в чет-
вертую степень
-2с2Ц/,т) -j
х3(0
* Квадратор
-с2Л(Дт)
-с4£(/,т)
х^
X
Операция
возведения
в пятую степень
-► Квадратор
x2V)

X
*1(0
х4(?)
X -2с2Л(/,т)
-► -2с2А(?,т)
-Зс3Л(7,т)
> -с5£(/,т)
х(г)
х5(/)
Рис. 4.23. Структурная схема эквивалентной нелинейной системы, описываемой функциональным рядом Вольтерра
560_______Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Глава 4. Нелинейные системы управления 561
На рис. 4.23 представлена структурная схема эквивалентной нелинейной системы,
поясняющая механизм формирования линейного, квадратичного и т.д. каналов на
основе первичной информации, содержащейся в исходном нелинейном дифференци-
альном уравнении.
Воспользовавшись зависимостью (4.312), можно получить решение задачи расче-
та выходного сигнала х(/) (детерминированный анализ).
С целью решения задачи анализа рассматриваемого класса нелинейных систем
можно воспользоваться аппаратом многомерного преобразования Лапласа (см. При-
ложение 1, т.2).
4.13.	МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Математические модели систем автоматического управления являются, как прави-
ло, нелинейными. В то же время в теории автоматического управления хорошо обос-
нованными являются методы анализа и синтеза, ориентированные на класс линейных
систем управления. Поэтому одним из подходов, позволяющих применить методы
теории линейных систем управления, является линеаризация нелинейных систем.
Сущность линеаризации состоит в том, что нелинейная математическая модель
заменяется некоторой эквивалентной ей линейной моделью. Причем динамические
свойства линеаризованной модели достаточно близки к свойствам нелинейной моде-
ли только при определенных условиях и ограничениях и в рамках решаемой задачи.
Методы линеаризации можно условно разделить на две большие группы: стати-
ческая линеаризация и динамическая линеаризация.
Основным методом статической линеаризации для нелинейных математических
моделей с аналитическими нелинейностями является метод линеаризации относи-
тельно заданной опорной траектории. Примером динамической линеаризации мо-
жет служить линеаризация Ньютона-Канторовича, получившая название квазили-
неаризации.
4.13.1.	Линеаризация вблизи опорной траектории
Математические модели систем автоматического управления могут быть заданы:
•	в виде структурной схемы;
•	в виде одного дифференциального уравнения;
•	в виде системы дифференциальных уравнений.
При задании математической модели в виде структурной схемы нелинейные эле-
менты представляются в виде функциональных преобразователей с одним или не-
сколькими входами. В этом случае операция линеаризации выполняется для каждого
функционального элемента.
Если математическая модель задана одним дифференциальным уравнением или
системой дифференциальных уравнений, то линеаризуются уравнения системы.
4.13.2.	Линеаризация функциональных преобразователей
Рассмотрим нелинейный функциональный преобразователь, описываемый выра-
жением вида
X =	У2,-,У„);	(4.321)
здесь У],у2,...,уп —входные сигналы, х — выходной сигнал преобразователя. От-
носительно функции /(у],у2,...,у„) предполагается, что она является аналитиче-
ской в заданной области изменения переменных у,, у2,..., уп, т.е. имеет необходимое
число частных производных.
562
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Полагаем также, что задана некоторая опорная траектория движения системы.
Под опорной траекторией понимается движение, соответствующее режиму нормаль-
ной эксплуатации системы.
Полагается также, что реальное движение системы незначительно отличается от
опорного, т.е.	*
х = х0+Дх,	(4.322)
причем
Это предположение имеет силу и относительно входных воздействий
у, = у/0 + Ду(, |Ду,|«|у,0|, z = 1,л.	(4.323)
Разложим нелинейную функцию (4.321) в ряд Тейлора в окрестностях опорной
траектории
x = f(yi,--;yn)=X---L~,—“7----2’"7~ I'"
,,=о z,=o'i !	&1‘---ду„
Ау{'-ДХ"
У1=Ую, '=>.»
(4.324)
где Ду, = у, -yi0.
Ограничимся в ряде (4.324) первыми членами разложения, соответствующими
приращениям в первой степени.
Остаточным членом ряда Тейлора, содержащим приращения переменных в степе-
нях выше первой и произведения приращений, можно пренебречь ввиду его малости.
Поэтому
* = /(У\,--;У„)^ /(Тю>--->Т„о) +
У,=У,о.'=1.«	^Уп У:=У1а,1=^,п
Первое слагаемое в правой части (4.325) соответствует движению по опорной
траектории
*о =/(Тю>---,Ко)-	(4.326)
Поэтому выражение (4.325) можно записать в виде
Др, _+...+1(>к^л) дЛ
^1	дУп У/=Ую<'=1.п
или, что то же самое,
Ах = К} (Z) ДУ1 + К2 (?) Ду2 +... + Кп (г) Дуп,	(4.327)
где К, — линеаризованный коэффициент передачи по z-му входу:

Соотношение (4.327) устанавливает линейную связь между входными перемен-
ными и выходной координатой.
Замена ряда (4.324) его первыми членами геометрически можно интерпретиро-
вать как замену гиперповерхности (4.324) гиперплоскостью (4.325), касательной к
данной гиперповерхности во всех точках опорной траектории.
Коэффициенты передачи К, (/) являются функциями времени, если опорная
траектория также является функцией времени, или постоянными величинами, если
имеет место опорная точка.
563
Глава 4. Нелинейные системы управления
Переход от выражения (4.321) к зависимости (4.327) означает переход к новой
системе координат для переменных х и у,, i = 1, п (рис. 4.24).
Рис. 4.24. К пояснению процесса перехода к новой системе координат
Часто выражение (4.327) записывают не для приращений, а для самих сигналов
х = К{у}+К2у2+... + Кпу„.	(4.328)
Результат отбрасывания членов высшего порядка малости, можно оценить с помо-
щью суммы членов второго порядка малости ряда Тейлора.
Пример 4.10. Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 4.25) описыва-
ется следующей системой уравнений (насыщением магнитных цепей и реакцией якоря пренебрегаем):
uB=L.^ + R,i„
u^L^ + R^i^e;
dt	н
Л/ — d^ * 1Я  is,
e = de -iB a>.
Индексами «в» и «я» отмечены параметры (индуктивность L, активное сопротивление R) и перемен-
ные (напряжение U, ток i) цепей возбуждения и якоря; М — электромагнитный момент двигателя, е —
ЭДС якоря.
и,
Рис. 4.25. Принципиальная схема электродвигателя постоянного тока
с независимым возбуждением
Структурная схема электродвигателя представлена на рис. 4.26.
Функциональными преобразователями в данной структурной схеме являются умножители, т.е. эле-
менты, формирующие электромагнитный момент и ЭДС якоря.
564 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рис. 4.26. Структурная схема нелинейной математической модели
электродвигателя постоянного тока
Проведем линеаризацию этих элементов в установившемся режиме: -га = гя0, г, = 1в0, со = со0. Эти зна-
чения переменных определяют опорную точку. Коэффициенты линеаризации для каждого из нелинейных
элементов определяются в соответствии с формулой (4.328):
di„
Км>

:,я0>
- d [dMW.
‘яО
^вО

— de • сОп,
:4о
=dei,-
1 аОУ	|о-(й0
'»='м
Таким образом, нелинейные зависимости для электромагнитного момента двигателя и ЭДС якоря за-
меняются линейными:
^ = ^4+^4;
te = Ke&B+Ke2hw.
Переходя от приращений к самим переменным, можно составить структурную схему для линеаризо-
ванной модели электродвигателя (рис. 4.27).
Рис. 4.27. Структурная схема линеаризованной математической модели электродвигателя постоянного тока
Глава 4. Нелинейные системы управления 565
4.13.3.	Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений
Пусть динамика системы управления описывается дифференциальным уравнени-
ем n-го порядка вида
(4.329)
где x(z) —выходной сигнал, у(Г) —входное воздействие.
Полагаем, что функция /(x(z),..(z)j является аналитической в области из-
менения переменных x(z), >(/) и их производных. Полагаем также, что задана неко-
торая опорная траектория движения системы, определяющая требуемый процесс
управления, на которой x(z) = x0(z), x'(z) = Xq (?),..., x^”~^(z) = x^"”^(z), y(z) = у0 (г),
Движение на опорной траектории соответственно описывается уравнением
хо”’ 0) = /(*о(О’хо (О’-’Уо^ ('))•	(4.330)
Пусть реальное движение системы незначительно отличается от движения по
опорной траектории, т.е.
(z) = х^ (z) + Дх^ (z),
причем
|ax^ (z)|«|х^ (z)|, / = 0,и-1.
Те же предположения справедливы и для входного воздействия и его производных:
т(,)(О = То) (0+Ат(,)(0;
|AyW(z)|«|^')(z)|,z = O,OT.
Разложим функцию в правой части уравнения (4.329) в ряд Тейлора по перемен-
(w)
ным	7 относительно опорной траектории:
XW(z) = /^X0,Xo,...,X^ ’^Уо,.
Ax(z) +^L Ax'(z) +
/ дх (,) (.) г—j дх' (,) о, . —,
xw=xJ\/=0,w-l	xv
у^=у$,1=0,т	у^=у^
+ ...+—у-— Ax^” ”(Z) +^~ by(t) +...+ A/m\z) +jr2>
dx(n } xW=Jf(') ,=o^i	/=о7П dyW ,-о7ч
= i=Ci m	v^ = vi'^ i=Ci m	/=П m
(4.331)
где
a/') (z) = x^ (z)-x^ (z), i = 0,n-l;
Ay(') (r) =	(z) - yft) (z), i = 0, m.
Остаточный член R2 содержит слагаемые с приращениями переменных в степе-
нях выше первой и их произведения. Ввиду малости остаточного члена R2 ограни-
чимся в ряде (4.331) только линейными членами. Учитывая (4.330), получим
x{n’(z)-x(")(z)«^- Ax(z) +...+-^v A/m)(z) .	(4.332)
OX Ji) (i) /-оТч ду{ 1 x(')-4') ,-п^Ч
i=0. m	i=0 m
566 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Введем обозначения
AxW(r) = xW(/)-xW(f);
ХЮ=Х(О1 (=о,л-1
у^=у^,<=0,т
df
х'',=х,У’,1=0,л-1
_=ш
Тогда (4.332) можно записать в виде (приближенное равенство заменяем на точное)
/ \	П-1	/Л	т	/л
' (О=(0 Ду' (О-	(4.ззз)
1=0	i=0
Уравнение (4.333) является линейным дифференциальным уравнением', оно за-
писано не относительно переменных, а относительно их приращений на опорной
траектории.
4.13.4.	Линеаризация систем нелинейных
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы управления описываются следующей системой дифференциальных
уравнений в нормальной форме:
X(/) = F(X(f),Y(r),z),	(4.334)
где
Х(/) =	(/),...,хп (г)]Т — вектор состояния;
Y(0 = [ti (*)]Т — вектор входа;
Как и ранее, полагаем, что задана опорная траектория движения системы Хо (/),
Y0(r), а функция F(X(z), Y(z),z) является аналитической.
Разложим функцию F(x(z), Y(z),/) в ряд Тейлора по элементам векторов Х(/) и
Y(/) относительно опорной траектории движения и ограничимся только линейными
членами. Имеем
а аг
п АГГ	т
Х(<) . F(xo (,).¥. (<),<)+£— л», ('Мт-
/=1 х~х0	/=i су{
Ду, (О*
или, что то же самое,
х(0 « f(x0 (0> Yo (0’0+а(0дх(0+в(0 ду(0’
(4.335)
где
— якобианы вектора F(X, Y,f) — правой части уравнения (4.334).
Глава 4. Нелинейные системы управления
567
Запишем уравнение (4.335) относительно приращений
ДХ(г) = A(z)AX(z) + B(z)AY(z).
Если под приращениями понимать сами переменные, то будем иметь
X(z) = A(z)X(^ + B(z)Y(z).	(4.336)
Уравнение (4.336) является линеаризованным векторно-матричным уравнением
для нелинейного уравнения (4.334).
Пример 4.11. Кинетика ядерного реактора описывается следующей системой дифференциальных
уравнений:
п' =—(р-р)п + лс;
Л
' с' = -1-Рл-Хс;	(4.337)
р' = и,
где п — плотность нейтронов в реакторе; с — начальная концентрация предвестника; р — реактив-
ность; Л, (3, л — параметры активной зоны реактора; и — управление.
Первое из уравнений системы является нелинейным. Выполним линеаризацию системы уравнений
(4.337) для установившегося режима работы: п = «о, с = с0, р = р0.
Якобианы А и В для правой части уравнений (4.337) будут иметь следующий вид:
О
О
Таким образом, линеаризованное уравнение для приращений переменных состояния будет следующим:
Ди' = ~(Ро~Р) Дл + Х-Дс + ^-ПоДр;
L л j	л
 Дс' = J-рДп-Х-Дс;	(4.338)
Др' = Ди,
или в матричном виде
ДХ = АДХ + Ви.
(4.339)
где
ДХ = [Дл, Дс, Др]Г.
» Как видно из системы уравнений (4.338), имеют место уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения (второе и гретье) после линеаризации не изменились.
4.13.5.	Линеаризация Ньютона-Канторовича
Данный метод линеаризации позволяет выполнить редукцию нелинейного диффе-
ренциального уравнения к последовательности линеаризованных дифференциальных
уравнений, т.е. перейти от нелинейной математической модели системы управле-
ния к последовательности линеаризованных моделей.
568 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Рассмотрим особенности метода Ньютона-Канторовича на примере операторного
уравнения вида
Ах = 0,	(4.340)
а затем применим его к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Сущность метода Ньютона—Канторовича состоит в том, что если*оператор
А дифференцируем по Фреше и найдено приближение хк, то последующее при-
ближение хк+1 находится из линеаризованного в точке хк уравнения
Л(хА) + Я'(хА)(х(1+1-хА) = 0	(4.341)
или модифицированного линеаризованного уравнения
Л(х^) + Л'(х0)(хм-х4) = 0.	(4.342)
Линеаризованные уравнения (4.341) и (4.342) принципиально отличаются от
уравнений, линеаризованных относительно опорной траектории. Известно, что если в
шаре 5г(х0) оператор А ограничен ||л||<г], дифференцируем и его производная
удовлетворяет условию Липшица с постоянной I, оператор А' непрерывно обратим
и существует такое постоянное число т > 0, что (Л') 1 < т, то при
1	00	!
1	2/	!	!	2-1
<7=—м/г|<1иг =	7 <г
2	к=0
итерационные процессы, определяемые уравнениями (4.341) и (4.342) и начатые с
х0, сходятся к х* т.е. хк^х*, хк+,~хк -» 0 при к -> оо, и уравнения (4.341) и
(4.342) преобразуются в уравнение
Ах* = 0.	(4.343)
Для нелинейных уравнений, линеаризованных относительно опорной траектории,
полученные решения не обеспечивают выполнения равенства (4.343). Описанный
подход получил название линеаризация по Ньютону-Канторовичу; он дает последо-
вательность линеаризованных уравнений. Таким образом, метод Ньютона—Канто-
ровича позволяет задачу решения нелинейного уравнения представить как задачу
последовательного решения линейных уравнений.
Метод Ньютона-Канторовича может быть применен к различным по структуре
нелинейным уравнениям. Рассмотрим процедуру линеаризации на примере нелиней-
ного дифференциального уравнения первого порядка, а затем обобщим ее на уравне-
ния и-го порядка и системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Пусть система управления описывается уравнением вида
x'(f) = /(x(f),y(f),r), х(О) = хо.	(4.344)
Уравнение (4.344) является уравнением самого общего вида, поэтому рассмотрим
применение метода Ньютона-Канторовича именно для него. Полагаем, что функция
/(x,y,f) и ее производная по х — непрерывны и ограничены в области t е[0,<»),
Рассмотрим два банаховых пространства X = С'[0,Г] и Z = С[0,Т] + Е с нормами
[о,г] 1	1	[О,У]
I, = тах|/г(?)| + .
IZ [0>Г] I V /|
здесь z(?) = |й(/);х0} е Z.
Глава 4. Нелинейные системы управления 569
Тогда уравнение (4.344) с учетом начальных условий можно представить в виде
операторного уравнения (4.340)
Ах = 0,
где Лх = х'(/)-/(х(/),у(/),г), х(0) = хо^
Для того чтобы воспользоваться методом Ньютона-Канторовича, необходимо оп-
ределить А', где А' — производная Фреше оператора А в точке х. Нетрудно убе-
диться, что
^'(x)u = w'(z)-/;(x(r),y(t),r)w(z), м(О) = ио.	(4.345)
Таким образом, в соответствии с формулой (4.341) с учетом (4.345) имеем сле-
дующий итерационный процесс:
4(0-/(хДг)’У(/)’?)+4+|(/)-Л'(хД/)’>'(/)’/)х*+1(?)-
-4 (0+Л'	(0 = °;
х4+|(О) = хо, k = 0,1, 2,...,
4+1(0 + аА(0х4+1(0 = с/Ч0’ * = 0,1,2,...,	(4.346)
где
(0 = -Л'(хЛг)’Т(0>0;
dk 0) = f(xk Л(х* (О’
- £=0,1,2,....
Уравнение (4.346) является линеаризованным уравнением относительно решения
хк (f). Оно позволяет найти решение xi+1 (г), которое является более точным реше-
нием исходного нелинейного уравнения (4.344), чем xk(t). Уравнение (4.346) явля-
ется линейным по отношению к решению xi+1 (/), т.е. к выходному сигналу системы
управления, но нелинейным по отношению к у(/) — входному воздействию. Если
у(1) входит аддитивно в правую часть нелинейного уравнения, т.е. система управ-
ления описывается уравнением
х'(/) = /(х(г)’0 + /’(0>’(/)’ х(°) = х0’	(4.347)
то последовательность линеаризованных уравнений, имеющая вид
4+> (')+«* (0x*+i (') = dk
хА+1(О) = хо- л = 0,1,2,...,
где
aA(z)=-/;(xJ0’0;
dk О)=-A'(x* (0’z)x* (z)+f(*k 0)’f)’
*
будет линейной и по отношению к у(/).
Условия сходимости, справедливые для операторного уравнения, применительно
к дифференциальному уравнению (4.344) будут выглядеть следующим образом.
Условию ||Лх0|| < г] будет соответствовать неравенство
^ах|хо (/)-/(х0 (/),у(г),г)| + (х0 (/)-х0) < Г].	(4.349)
570 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Выполнение условия Липшица для производной оператора А гарантируется в ша-
ре 5г(х0) с радиусом г пространства X для всех х(г)еАг, т.е.
max |х(г) - х0 (0| + шах|х'(?) -х'о (/)| < г,	(4.350)
в случае, если для всех w(?) и v(z) из этого шара выполняется неравенство
поскольку Я'(х)м определено формулой (4.345) и
|p'M->!'v|| = max|/;(M(O,y(z),/)-/;(v(r),y(/),z)|.
Так как операторному уравнению А'(х)и = z соответствует линейное уравнение
w'O) = fx	+	м(°) = хо>
то выполнение оценки
||м||л, <W(p|| + x0)	(4.352)
для всех x(/)eS,(x0) также приводит к оценке ||[Л'] *|< т в шаре Sr(x0).
Формулы (4.349)-(4.352) определяют смысл переменных Г], /, т и позволяют оце-
нить условия сходимости итерационных процессов (4.346), (4.348) и оценить по-
грешность получаемого решения.
Пусть динамика системы управления описывается линейным дифференциальным
уравнением одного из видов:
X(/) = F(X(?),Y(/),z);	(4.353)
X(r) = F(x(/),z) + B(/)Y(z);	(4.354)
Х(О) = Хо,
где Х(/)=[х|(г),...,х„(/)]Т —вектор состояния; Y(r)=[^1(r),...,_ym(/)]T —вектор вход-
ных воздействий; F() = [/1(-),...,/„()]T, B(/) = {fy(?)}/.=]; Х(0) = [х1(0),...,х„(0)]Т
— вектор начальных условий.
Тогда последовательность линеаризованных векторно-матричных дифференци-
альных уравнений, полученных методом Ньютона-Канторовича для каждого из двух
типов уравнений, будет иметь следующий вид.
Для уравнений (4.353):
Хм0) = А*(/)Х*+1(0 + О^(/);	(4 355)
Xt+](O) = Xo, к = 0,1,2,...,
где А* (г) = Рх(Х*.(?),У(г),г) —якобиан для вектора F(x(r),Y(/),/):
rj()=«.,. Л =^-;
d* (?) = f(x* (?), y(?),?)-f; (xt (/), y(0j)xa (?).
Соответственно для уравнения (4.354):
х;+1 (?) = F(xt (г), y(/),z)-f; (хк (?), y(?),/)x* (/);	(д 356)
Xi+1(O) = Xo, к =0,1,2,...,
Глава 4. Нелинейные системы управления
571
где
а*(0 = р;(хД/)Д
Di(/) = F(Xt(/),/)-Fi(Xj/)>/)Xt(l)-
Условия сходимости для уравнений^ записанных в векторно-матричном виде,
аналогичны рассмотренным выше.
Пример 4.12. Задана колебательная система (маятник в вязкой среде), на которую действует подтал-
кивающая сила переменной величины. Уравнение, описывающее систему, имеет вид
X‘(t)+2^х'(0+*(')=sin (40);	(4 357)
х(0) = 0, х'(0) = 1.
Требуется выполнить линеаризацию, определить коэффициенты линеаризации для каждой итерации и
построить переходный процесс на интервале Т = 9 с.
Для значения 5 = 0,9 имеем
x’(z) + l,8x'(z)-sin(x'(z)) + x(z) = 0.	(4.358)
Запишем уравнение (4.358) в нормальной форме Коши: l'x1'(z) = x2(z); (z) = -х, (z) -1,8х2 (z) + sin (х2 (z)).	(4.359)
Применяя метод Ньютона-Канторовича, получим следующую систему линеаризованных уравнений:	
Xi+1(z) = At(z)Xi+1(z) + D‘(z),	(4.360)
A‘(z) = [a‘,W a‘2Wl; Oi(z) = [^(')l;	(4.361.)
_a21 (0 a22 (0.	.^2 (0. an(/)=0; ai2(0-1; a2i(0 = ~i; a22(/)=_i,8+cos(x£(z));	
dk (z) = 0; d2 (z) = sin(x2 (z))-x2 (z)cos(x2 (z)).	(4.362)
Учитывая структуру матрицы A*(z) и вид коэффициентов aj(z), /,/ = 1,2; dk (z), / = 1,2, систему
уравнений (4.360) можно вновь записать в скалярной форме в виде одного линейного дифференциального
уравнения с переменными коэффициентами
x'(z) + a*(/)x’(z) + x(z) = t/‘(z), /1 = 0,1,2,...,	(4.363)
где
(z) = -а22 (z) = 1,8 - cos (xj (z));
dk (z) = sin (x[ (r))-4 (/)cos(x; (z)).
Коэффициенты ak (z) и dk (z) зависят от решений, полученных на предыдущем шаге итерационного
процесса.
Коэффициенты ак (z) и dk (t) удобно аппроксимировать полиномами 8-й степени:
	</(z) = £a*z';	(4.364) /=0 rf*(0 = L^'-	(4.365)
ь Поскольку уравнение (4.357) описывает движение маятника и предполагается, что переходный про-
цесс будит носить колебательный характер, то в качестве нулевого приближения целесообразно взять
следующие решения:	x0(z) = sin(Kz); xj>(z) = cos(ztz).
В табл. 4.2 приведены значения коэффициентов полиномов (4.364) и (4.365) в зависимости от номера
итерации.
Как видно из таблицы, значения коэффициентов для третьей и четвертой итерации не отличаются.
На рис. 4.28 приведены графики переходного процесса для различных итераций.
572 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 4.2
Значения коэффициентов полиномов (4.364) и (4.365)
в зависимости от номера итерации
К		4	«г	4	4	4	4	4	4
0	- 0,7860	- 0,3692	0,9068	- 1,0230	0,6392	-0,2416	0,0575	- 0,0087’	0,0008
1	- 1,2574	0,6138	0,3144	- 0,9835	0,7109	0,2635	0,0579	- 0,0079	0,0007
2	- 1,2557	0,7236	0,0097	- 0,6466	0,5121	-0,1934	0,0424	- 0,0057	0,0005
3	- 1,2556	0,7234	0,0107	- 0,6479	0,5130	-0,1937	0,0425	- 0,0057	0,0005
4	- 1,2556	0,7234	0,0107	- 0,6479	0,5130	-0,1937	0,0425	- 0,0057	0,0005
К	лА «0		лА' “2	4	л А' а4	лА «5		4	4
0	-0,0101	0,1738	- 0,4703	0,5369	- 0,3320	0,1237	-0,0291	0,0043	- 0,0004
1	0,3121	- 0,8747	1,0124	- 0,6320	0,2290	- 0,0486	0,0056	- 0,0002	0,0000
2	0,3081	-0,9315	1,1844	- 0,8278	0,3476	-0,0915	0,0154	-0,0016	0,0001
3	0,3081	-0,9318	1,1852	- 0,8287	0,3481	-0,0917	0,0154	-0,0016	0,0001
4	0,3081	-0,9318	1,1852	- 0,8287	0,3481	- Q.0917	0,0154	-0,0016	0,0001
Рис. 4.28. Графики переходного процесса для различных итераций
и точное решение уравнения (4.357)
Из рисунка (рис. 4.28) следует, что вторая, третья и последующие итерации практически совпали с
точным решением, полученным численным методом.
Глава 5. Релейные САУ
573
ГЛАВА 5. РЕЛЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ’ФАЗОВЫЙ ГОДОГРАФ
СИСТЕМЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ,
УСТОЙЧИВОСТЬ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
СИСТЕМЫ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ
Релейные системы автоматического управления широко используются в технике.
Характерной особенностью таких систем является возможность возникновения в них
автоколебаний. Автоколебательный режим является рабочим режимом релейной
системы. При этом необходимо, чтобы параметры существующих в системе автоко-
лебаний находились в некотором заранее выбранном диапазоне значений. Таким об-
разом, исследование автоколебаний является неотъемлемой частью общего иссле-
дования релейных систем автоматического управления.
Рассматриваются релейные системы с двухпозиционными и трехпозиционными
релейными элементами. Вводится понятие фазового годографа релейной системы-и
рассматривается его применение для определения возникающих в системе периоди-
ческих движений. Формулируются алгебраические критерии устойчивости периоди-
ческих движений.
Большое внимание уделяется исследованию режима слежения в релейной системе
управления за входными сигналами. Излагается специальный метод линеаризации ре-
лейной системы по полезному сигналу. Метод является весьма простым и удобным для
практического использования. Он отличается повышенной точностью и в отличие от
метода гармонической линеаризации не имеет ограничений типа гипотезы фильтра.
5.1.	УРАВНЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Релейными принято называть системы, у которых сигнал управления, посту-
пающий непосредственно на регулируемый объект, изменяется скачком всякий раз,
когда величина рассогласования достигает некоторого порогового значения, причем
сам сигнал управления является дискретным по уровню и может принимать два или
три значения. На рис. 5.1 изображена структурная схема релейной системы.
Рис. 5.1. Структурная схема релейной системы
Здесь у — входной сигнал, х — выходная координата, и — сигнал управления,
РЭ — релейный элемент, W(s) — передаточная функция объекту управления. Ре-
лейный элемент, если отвлечься от его физического содержания и рассматривать как
динамическое звено, представляет собой статическую нелинейность, вид которой
задается одним из графиков, изображенных на рис. 5.2.
574
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Нелинейность, порожденная релейным элементом, является разрывной. Переключе-
ние реле происходит при достижении сигналом а порогового значения (к, - к, Хк, - Хк).
В дальнейшем для удобства будем отождествлять релейный элемент с его характери-
стикой (см. рис. 5.2).	*
Различают двух- и трехпозиционные релейные элементы. Выходной сигнал двух-
позиционного реле может иметь только два значения: и = -А и и= А. На рис. 5.2
двухпозиционными являются релейные элементы, представленные графиками а и б.
На рис. 5.2, в и г изображены релейные элементы, имеющие зону нечувствительно-
сти, т.е. выходной сигнал и в зависимости от величины о может принимать три зна-
чения: и = 0, и = А, и = -А. Соответствующие реле называются трехпозиционными.
Рис. 5.2. Статические характеристики релейных элементов
Релейные элементы, изображенные на рис. 5.2, б и г, имеют гистерезис, стрелками
указано направление переключения. Именно, для релейного элемента, представлен-
ного на рис. 5.2, б, переключение с и = -А на и = +А происходит при o(f) = к, ас
и = +А на и = -А — при о(?) = -к. Значение управления в зоне неоднозначности
-к < о < к определяется предысторией, т.е. зависит от того, как изменялась пере-
менная о(?) в предшествующие моменты времени. Аналогичная ситуация имеет ме-
сто и для трехпозиционного релейного элемента, изображенного на рис. 5.2, г.
На рис. 5.3 представлены графики изменения функций о (г) и w(?) для различных
типов релейных элементов, при этом рис. 5.3, а соответствуем релейному элементу,
изображенному на рис. 5.2, а; рис. 5.3, б — реле, изображенному на рис. 5.2, б и т.д.
Глава 5. Релейные САУ
575
Рис. 5.3. Входные и выходные сигналы релейных элементов
Графики, изображенные на рис. 5.2, не задают значение выходной переменной и
в точках разрыва. Для приводимых ниже рассмотрений это обстоятельство не играет
никакой роли, т.е. любой способ доопределения и не влияет на конечный результат.
Если отсутствует гистерезис, то уравнение релейного элемента можно записать в виде
и = Ф(о).	(5.1)
Для релейного элемента, изображенного на рис. 5.2, а, запишем и = Л-sign(о).
При наличии гистерезиса уравнение релейного элемента не может быть представлено
в форме (5.1), т.е. в виде функции о. Строго говоря, связь между выходной и и
входной о переменными в этом случае задается не функцией, а оператором, т.е. зна-
чение и в некоторый момент времени /* определяется функцией ст(г), /0
здесь t0 — начальный момент времени. Однако, несмотря на сказанное (на влияние
предыстории), релейный элемент с гистерезисом в дальнейшем будем обозначать
Ф(о,к), если речь идет о релейной характеристике, представленной на рис. 5.2, б, и
символом Ф(о,к,Х) для реле, показанного на рис. 5.2, г. Обозначение Ф(о,к,Х)
.будем использовать также как общий символ релейного элемента.
В соответствии со структурной схемой (рис. 5.1) объект управления предполага-
ется линейным и задается передаточной функцией
здесь M(s) и — многочлены. Если в передаточной функции отсутствовало
сокращение числителя со знаменателем (такие передаточные функции называются
576 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ 1
несокращаемыми), то движение объекта описывается линейным дифференциальным
уравнением следующего вида:
М(р)х = N(p)u;	(5.2)
здесь р= d/ dt — оператор дифференцирования. Исходя из условия физической реа-
лизуемости будем предполагать, что многочлен Л/(р) имеет более высокую сте-
пень, чем многочлен Разность между степенями многочленов Л/(р) и
называется индексом передаточной функции. Таким образом, уравнение релейной
системы имеет вид
М(р)-х = У(/?)-Ф(_у-х,к,Х);
здесь функция Ф(у-х,к,Х) задается одним из графиков, представленных на рис. 5.2.
Характерной особенностью релейных систем является то, что в них обычно воз-
никают незатухающие периодические колебания, называемые автоколебаниями. Ав-
токолебания для релейных систем являются установившимся процессом, который
возникает в автономном режиме работы системы, когда входной сигнал отсутству-
ет либо представляет собой постоянную величину. Для многих релейных систем ав-
токолебания являются рабочим режимом. Поэтому при проектировании релейных
систем большое внимание уделяется исследованию возникающих в них автоколебаний.
При подаче на вход релейной системы периодического сигнала последний может
подавить автоколебания, осуществить принудительную синхронизацию, т.е. в релей-
ной системе возникают периодические колебания, частота которых совпадает с час-
тотой входного сигнала. В этом случае релейная система работает в режиме вынуж-
денных колебаний.
5.2.	ФАЗОВЫЙ ГОДОГРАФ РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим сначала релейную систему с двухпозиционным релейным элементом
и линейным объектом управления. Движение системы задается уравнениями
x = Cx + Dw;	(5.3)
и = A-sign[y-o(x)];	(5.4)
здесь С и D — постоянные («х«)-и(пх1 )-матрицы; х = , х2,..., хп) — «-мерный
вектор ((пх 1 )-матрица), который будем называть фазовым вектором системы; у(/)
— входное воздействие; а(х) — гладкая скалярная функция, удовлетворяющая ус-
ловию о(-х) = -о(х); А — некоторое число. Уравнения (5.3), (5.4) задают релей-
ную систему, релейный элемент которой не имеет гистерезиса. Наличие гистерезиса
не влияет на определение и свойства фазового годографа.
В автономной релейной системе, т.е. при у(?) = 0, периодическое движение од-
нозначно задается одной (любой) точкой с предельного цикла. Ограничимся рас-
смотрением простых симметричных периодических движений. Будем задавать пе-
риодическое движение точкой х* = ^х*,х*2,...,х*п j, соответствующей переключению
релейного элемента с «минуса» на «плюс». Отвлечемся от конкретного вида пере-
ключающей функции о(х) и рассмотрим множество всех возможных периодических
движений объекта (5.3). Это множество, очевидно, совпадает с множеством периоди-
ческих решений системы (5.3) при
и = A-sign [ sin (и?)],	(5.41)
Глава 5. Релейные САУ 577
где частота ш должна изменяться от 0 до оо. Каждому периоду 2Т = 2л/и соответ-
ствует единственное периодическое решение системы (5.3), (5.4), т.е. каждому пе-
риоду 2Т в фазовом пространстве X системы (5.3) соответствует единственная точка
х (Г). Множество возможных периодических движений объекта (5.3) задается в X
некоторой линией х* (Г) (в функции полу периода Т). Назовем эту линию по анало-
гии с годографом Цыпкина [144] фазовым годографом релейной системы [136].
Фазовый годограф, таким образом, характеризует свойства объекта. То обстоя-
тельство, что фазовый годограф выделяет возможные периодические движения объ-
екта, когда еще не выбраны обратные связи (функция о(х)), имеет решающее значе-
ние для синтеза релейной системы.
Если построен фазовый годограф, то периодическое движение, возникающее в
релейной системе, определяется точкой пересечения фазового годографа с поверхно-
стью о(х) = 0, т.е. период автоколебаний 2Т определяется из уравнения
-о(х‘(7’))=к.	(5.5)
К уравнению (5.5) следует присоединить неравенство
^(Cx'(r)-Dj)<0,
которое указывает направление переключения релейного элемента (в данном случае
с минуса на плюс).
Рассмотрим релейную систему
x=f(x,w);	(5.6)
и = -A-sign[o(x)]	(5.7)
с нелинейным объектом управления (5.6), где f (x,w) = (/] (х,и),/2 (x,w),...,/„ (x,w))
— кусочно-непрерывная кусочно-гладкая по х вектор-функция, причем
f(-x,-w) = -f(x,w); а(-х) = -о(х).	(5.8)
Поверхности разрывов вектора f и его производных df/dxi обозначим Гу
( j = 1, р ) и будем считать гладкими многообразиями фазового пространства X. Пред-
положим, кроме того, что фазовые траектории x(z), являющиеся решением уравнения
(5.6) при и = А либо и = -А, могут иметь разрывы первого рода. Те из поверхностей
Гу, на которых имеют место разрывы фазовых траекторий, будем обозначать Г*.
Обозначим
х(/) = е(х°,Л,/)
решение уравнения (5.6) при и = А; здесь x°=x(z = 0); F = (F},F2,...,Fn) —и-мер-
ный вектор. При сделанных выше предположениях относительно уравнения (5.6) вектор-
функция Г^х°,Л,г) —кусочно-непрерывна и кусочно-дифференцируема по х°,г
Так как в фазовый годограф включаются только симметричные периодические
движения, то точка х* (Т) принадлежит фазовому годографу тогда и только тогда,
когда она является решением уравнения
x*(T) + F(x‘(T),47j = 0.	(5.9)
Уравнение (5.9) будем называть основным уравнением фазового годографа.
38 Зак. 14
578
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Фазовый годограф объекта (5.6) (если он существует) представляет собой кусоч-
но-непрерывную, кусочно-гладкую вектор-функцию х (Г). На участках гладкости
функций х* (Г) и ф(х‘ (Т),А,Т) уравнение (5.9) можно продифференцировать по Т:
dx дР дх* dF
---Ч---------1---
dT дх дТ дТ
(5.Ю)
здесь
зф
- *	_ ♦
дх	дха
г j
/,р = 1,и
— квадратная матрица порядка и; dx/dT и dV/dT —«-мерные векторы. Принимая
во внимание (5.6), найдем
( „ дР \dx _/ » л
1Е+агДг ~ (х	( }
где Е — единичная матрица. Уравнение (5.11) будем называть основным дифферен-
циальным уравнением фазового годографа.
Если х* (Г0) — некоторое решение векторного уравнения (5.9), причем в некото-
рой окрестности точки Т° функции х* (Г) и F^x* (Г), A,Tj —гладкие, то решение
дифференциального уравнения (5.11) при начальном условии
задает связанный кусок фазового годографа х (Г). Как следует из (5.9) и теоремы
существования неявных функций, фазовый годограф х* (Г) может иметь разрывы
только в точках поверхностей Г* , т.е. в точках разрыва функции е(х°,Л,?), а также
в точках непрерывности функции е(х°,Л,/), для которых
det[E + aF(x’,47’)/ax’j = 0.	(5.12)
Из дифференциального уравнения (5.11) вытекает, что если на некотором отрезке
< IJ4 <
|зр(х‘,Д7’)/ах*|<1,	(5.13)
где под нормой матрицы можно понимать любую из обычно употребляемых, то точ-
ки фазового годографа находятся из решения уравнения
— г(х’,-Д	(5.14)
dt v !
т.е. в указанном диапазоне фазовый годограф объекта (5.6) приближенно совпадает с
его фазовой траекторией. В технических системах условие (5.13) выполняется обыч-
но для больших значений полупериода Т, т.е. низкочастотная часть фазового годо-
графа «является» траекторией объекта. Кроме того, в окрестности точки х = 0 мат-
рица дР/дх = Е, и вместо уравнения (5.11) можно записать
dx
~dt
.1г(л-4
Глава 5. Релейные САУ 579
Так как данное уравнение получается из (5.14) введением масштаба по времени,
то, следовательно, и высокочастотная часть фазового годографа имеет характер пе-
реходного процесса.
Введенное выше понятие фазового годографа для релейных систем с двухпозици-
онным релейным элементом легко распространяется на релейные системы с трехпо-
зиционным релейным элементом.
В автономной релейной системе с трехпозиционным релейным элементом (как и
в случае двухпозиционного релейного элемента) периодическое движение однознач-
но задается любой точкой с предельного цикла.
Ограничимся рассмотрением симметричных периодических движений, удовле-
творяющих соотношениям
х(1 + Г) =-х(Т); w(z+ Г) =-w(z);
здесь ТТ — период. На рис. 5.4 изображен вид симметричного сигнала w(l). Если
объект управления и переключающая функция о(х) удовлетворяют указанной выше
нечетной симметрии, то в такой релейной системе при отсутствии входного сигнала,
как правило, возникают именно симметричные периодические движения.
п и
А			Т	(1+у)7’			
-А	уТ					2Т	t
Рис. 5.4. Вид симметричного сигнала u(z)
Будем задавать периодическое движение точкой х* (Т,у), соответствующей пе-
реключению релейного элемента с нуля на плюс. Вектор-функцию х (Т,у) (она за-
висит от двух параметров Т и у) назовем фазовым годографом линейной системы
с трехпозиционным линейным элементом.
Рассмотрим релейную систему с нелинейным объектом управления (5.6), полагая, что
и = ф(-о(х),к,Х);
здесь функция Ф(о,к,Х) задается графиком трехпозиционного релейного элемента
(см. рис. 5.2). В режиме автоколебаний на вход объекта управления подается сигнал
и(/) = Л[1(1)-1(г-уГ)], 0<t<T.	(5.15)
Обозначим
х(г) = Г(х(0),Ду,г)
решение уравнения (5.6) при н(г), задаваемом равенством (5.15), и начальном усло-
вии х(0). Поскольку в фазовый годограф включаются только симметричные перио-
дические движения, то справедливо равенство
х*(7’,у) = г(х‘(Т,у),Л,у,г).	(5.16)
38*
580 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Уравнение (5.16) называется основным уравнением фазового годографа для ре-
лейных систем с трехпозиционным релейным элементом.
Симметричный периодический сигнал w(i) характеризуется двумя величинами
— полупериодом Т и параметром у, с помощью которого задается скважность сигна-
ла управления (рис. 5.4). Для определения этих параметров необходимо располагать
двумя уравнениями.
Обозначим х** (Т,у) значение вектора х(?) (в периодическом движении) в мо-
мент переключения релейного элемента с плюса на нуль (на рис. 5.4 момент уТ).
Очевидно,
х“ (Г,у) = f(x* (Т,у),Л,уГ);
здесь функция F^x*(7’,y),A,t} задает решение уравнения (5.16) при и = А,
х(0) = х* (Т,у). Таким образом, точка х"(7’,у) получается путем сдвига вектора х
из точки х*(7’,у) по траекториям объекта управления за время уТ при и = А.
Если получены вектор-функции х* (Т, у) и х**(7’,у), то возникающее в системе
~ = f(x,uy, и = ф(-о(х),к,Х)	(5.17)
периодическое движение определяется из соотношений:
C(X’(7’’V)) = -K>
<fc(x*(r,y)) t	(5Л8)
-A___2f(x (Т’,у),0)<0;
о(х”(Т,у)) = -Хк,
da(x',(T,y)\	(5-19)
-L__22f(x (г,у),л)>о.
Соотношения (5.18), (5.19) задают условия переключения релейного элемента со-
ответственно с нуля на плюс и с плюса на нуль.
5.3.	СУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗОВОГО ГОДОГРАФА
С теоретической точки зрения важно выделить класс объектов, для которых су-
ществует фазовый годограф релейной системы. Проблема существования фазового
годографа имеет и большое практическое значение. Дело в том, что при построении
фазового годографа нелинейного объекта могут использоваться достаточно сложные
численные методы. Часто строгие утверждения о сходимости таких методов отсутст-
вуют или они являются трудно проверяемыми. В этом случае очень важны точные
сведения о том, что фазовый годограф существует, чтобы правильно квалифициро-
вать возникающие в процессе расчетов затруднения.
В режиме автоколебаний сигнал управления u(z) задается равенством (5.4) для
нелинейных систем с двухпозиционным релейным элементом и равенством
и
А (	71 I	I
t) = —sign sin—t ч—sign sin
(5.20)
для релейных систем с трехпозиционным релейным элементом.
Глава 5. Релейные САУ'581
Проблема существования фазового годографа тесно связана с существованием
периодических решений в разомкнутых релейных системах (5.6), (5.4) и (5.6), (5.20).
В настоящее время известно большое число работ [39, 53, 54, 83], в которых приводят-
ся результаты по существованию периодических решений неавтономных дифференци-
альных уравнений с периодической по времени t правой частью. Правда, в указанных
работах обычно предполагается, что правая часть дифференциальных уравнений непре-
рывна, что не имеет места для систем (5.6), (5.4) и (5.6), (5.20). Однако предположение о
непрерывности часто удается снять (речь идет о разрывах функции u(Z)).
Будем сначала предполагать, что релейный элемент является двухпозиционным.
Пусть система (5.6), (5.4) при любых начальных условиях имеет единственное
решение, определенное для любого />0. Периодическое решение x(z) системы
(5.6), (5.4) называется симметричным, если
x(z + T) = -х(1).
В силу (5.8)
-x(z) = -f(x°, A,t) = F(-x°,-/l,r).
Рассмотрим преобразование
-f(x°,/1,z),
которое будем обозначать U*x°, т.е.
U*x = -F(x,4?)-	(5.21)
Нетрудно убедиться, что неподвижная точка преобразования U* соответствует
симметричному периодическому решению системы (5.6), (5.4).
Перейдем непосредственно к изложению результатов по существованию фазового
годографа. Отметим, прежде всего, что для линейного объекта (5.3), если среди соб-
ственных значений матрицы С нет чисто мнимых, фазовый годограф существует
для любого полупериода Т, определяется однозначно и задается гладкой вектор-
функцией х* (Г). Если среди собственных значений матрицы С имеются чисто мни-
мые /Шу и j=l,v, то в точках полупериода Т = Ttkl<bj, к = \, 3,5,..., j = l,v
вектор-функция х* (Г) претерпевает разрывы второго рода, а в остальных точках
однозначна и непрерывна.
В технике весьма часто встречаются системы, которые не имеют других нелиней-
ностей, кроме статических. Ярким примером таких систем являются системы с типо-
выми нелинейностями. Движение системы со статическими нелинейностями может
быть записано в виде
dx
= Cx + T](x) + Dw;	(5.22)
здесь д(х) = (т|1 (х)>т12(х)’-- ’т1л (х)) — нечетная непрерывная и-мерная вектор-функция.
Будем, далее, предполагать, как это часто имеет место на практике, что
lim ЦЦ^ = О.	(5.23)
Н
Если справедливо соотношение (5.23), то система (5.22) по терминологии [53]
называется асимптотически линейной.
Теорема 5.1. Пусть выполнено условие (5.23). Тогда справедливы утверждения'.
1.	Если среди собственных значений матрицы С отсутствуют чисто мнимые, то
для любого периода 2Т в системе (5.22), (5.4) существует симметричное перио-
дическое решение.
582 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
2.	Если среди собственных значений матрицы С имеются чисто мнимые i(Oj и
—	я(2£ + 1)	—
-/со., j = l,v, то для любого Т *—----j = \,v, £=0,1,... в системе (5.22),
(5.4) существует симметричное периодическое решение периода 2Т.	*
Доказательство теоремы 5.1 почти дословно совпадает с доказательством тео-
ремы 3.4 [53], если в нем перейти от оператора сдвига на периоде U к оператору U*.
При этом оператор VM, задающий сдвиг на периоде 2Т по траекториям уравнения
- = Сх,
dt
должен быть заменен оператором V*, где оператор - задает сдвиг на полупериоде.
Далее, необходимо иметь в виду, что внесенные изменения теперь гарантируют суще-
ствование обратного оператора - V* ] при условии, что каждое мнимое собствен-
ное значение матрицы С (если таковое существует) удовлетворяет соотношению
тг(2£-1)	—
—------j=l,v, £=0,1,....	(5.24)
“у
В содержательном плане теорема 5.1 отличается от теоремы 3.4 прежде всего тем,
что гарантирует симметрию периодических решений. Далее, теорема 5.1 гаранти-
рует существование периодических решений в случае астатизма линейной части объ-
екта, что очень важно с практической точки зрения, тогда как астатическая ли-
нейная часть исключается теоремой 3.4.
Замечание. Предположим, что в уравнении (5.22) т|(х) —кусочно-непрерывная
функция. Пусть, далее, траектории движения системы (5.22) при и = А ни в одной
точке не касаются поверхностей разрывов Гу. Так как траектории системы (5.22)
(и = А) в точках поверхностей Гу имеют изломы, то лежащая на поверхности Гу
точка х(/*) называется точкой касания, если хотя бы один из следующих векторов:
Сх(/*) + т^х(/* -0)) + D/l;
Сх(/*) + т^хр* +oj) + D/l
касается поверхности Гу. Будем, кроме того, предполагать, что по поверхности Гу
невозможно движение в скользящем режиме. При сделанных предположениях реше-
ния системы (5.22) (и = А) непрерывны по начальным условиям и времени t. Для
таких систем справедлива теорема 5.1.
Рассмотрим важный частный случай, когда объект представляет собой последова-
тельную цепочку линейных блоков с включенными между ними «статическими» не-
линейностями. Пример такого объекта изображен на рис. 5.5. Предполагается, что
функции f (х,), задающие «статические» нелинейности, кусочно-непрерывны. В этом
случае можно последовательно (от входа к выходу) проследить прохождение перио-
дического сигнала через каждый линейный блок и каждое нелинейное звено. Если ни
один из линейных блоков не содержит консервативного звена, то для такого объекта,
как и в случае линейной системы, фазовый годограф существует и определяется од-
нозначно. Далее, если ко, и -idij, j = l>v, —чисто мнимые корни характеристиче-
ского уравнения, соответствующего линейной части объекта, то для любого
Глава 5. Релейные САУ
583
Г*— к, j = l,v, £ = 1,3,5,...
фазовый годограф х* (Г) определен и однозначен.
Рис. 5.5. Структура нелинейного объекта управления
Многие технические объекты содержат различного рода ограничители. Именно,
будем предполагать, что объект разбивается на линейные блоки и звенья с ограни-
чителями. Каждый такой блок описывается системой линейных дифференциальных
уравнений. На вход линейного блока могут поступать сигналы с остальных линей-
ных блоков, со звеньев, содержащих ограничители, а также входной сигнал w(r).
Каждое звено с ограничителем описывается дифференциальным уравнением перво-
го порядка.
Пусть объект содержит N линейных блоков и т звеньев с ограничителями. Со-
стояние J-ro линейного блока (J = 1,У) определяется вектором xJ порядка
Обозначим х = (х1,х2,..., xN) — (л, + п2 +... + nN = п) -мерный вектор. Выходом i-ro
звена с ограничителем является переменная z,-. Через z обозначим от-мерный вектор
с координатами Z],z2,...,zm, т.е. z = (z],...,zm).
Будем предполагать, что выходные сигналы звеньев с ограничителями удовлетво-
ряют неравенствам
z, -Z, <0, -z,-/,<0, z = l,m;	(5.25)
здесь /, — некоторые положительные числа. Свободное движение звена с ограничи-
телем задается уравнением
^- = //(z,x,M).	(5.26)
at
В уравнении (5.26) функция / непрерывно дифференцируема по переменным
z, х, и. Движение на ограничителе определяется уравнением
^- = 0;	(5.27)
dt
предполагается, что траектория звена непрерывна, т.е. в каждой точке t выхода на
ограничитель
Z; (t* - б) = Z, [t* +о).
При движении на ограничителе прижимающая сила
^ (z,x,w) = -/ (z,x,w)-signz, <0.
Далее, для удобства, уравнения (5.26) и (5.27) объединяются в одно уравнение
•^- = /(z,x,w),	(5.28)
dt
где функция / разрывна и совпадает либо с правой частью уравнения (5.26), либо с
правой частью уравнения (5.27). Уравнение (5.28) используется в дальнейшем для
описания звена с ограничителем.
584 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Как следует из сделанных выше замечаний, движение объекта определяется урав-
нениями
-^- = Cjxj+M'/x-7+Rjz + D-'m, J = 1,A;	(5.29)
—- = fj (z,x,w), J = l,m;
dt	’
здесь x = (x1,x2,...,xJ-1,xJ+1,x/+2,...,xw) —(n-nj )-мерный вектор, C",,MJ,R'7,D'7
— постоянные матрицы, имеющие соответственно порядки nj хп,, п, х(и-иу), rij хт,
П]Х\. Отметим, что уравнения (5.29) допускают любую структуру связей линейных
блоков и звеньев с ограничителями между собой.
Представим уравнения (5.29) в виде
— = Cx + Rz + Dw;	(5.30)
dt
^- = fAz,\.,u\, i = \,nr,
здесь C, R и D — постоянные соответственно пхп, пхт и л х 1 матрицы. Нетрудно
видеть, что решения уравнений (5.30) непрерывны по начальным условиям и времени t.
Теорема 5.2. Пусть J = \,к, — различные собственные значения матрицы С.
Если каждое собственное значение Xj удовлетворяет условию
^y(2)t-l)z, Л = 0,±1,±2,...,	(5.31)
где /2 = -1, то в системе (5.30), (5.4) существует по крайней мере одно симметрич-
ное периодическое решение периода 1Т.
Из теоремы 5.2 следует существование фазового годографа для объекта (5.30).
В соответствии с (5.31) фазовый годограф определен для любого значения полупе-
риода Т, удовлетворяющего условию (5.24).
Остановимся на доказательстве теоремы 5.2.
Введем (п + m )-мерный вектор у = (x,z). Векторное пространство с декартовыми
координатами xt,...,xn обозначим X. Аналогично вводится пространство Z, которо-
му принадлежат векторы z. Через Y обозначим прямую сумму пространств X и Z,
т.е. Y = X®Z.
В дальнейшем нам понадобятся операторы (преобразования) U*, U*, U, V* и W.
Оператор U* (он определен выше) преобразует каждый вектор у0 е Y в вектор
у = (x,z) = U*y°.	(5.32)
Оператор U* получается путем «усечения» оператора U . Именно, оператор U*
каждому (п + m )-мерному вектору у0 е Y ставит в соответствие «-мерный вектор х,
который представляет собой подвектор вектора у, определяемого равенством (5.32).
Аналогично оператор U* преобразует каждый вектор у0 е Y в w-мерный вектор z,
который также является подвектором вектора (5.32).
Таким образом, можно записать
и*У = (и‘у,и*у).
Глава 5. Релейные САУ 585
Обозначим оператор сдвига на полупериоде Т по траекториям системы
~Сх	(5.33)
at
через V. Пусть, далее, V* =-V. Так«как V*x° = -еС7х°, то в силу (5.33) матрица
преобразования Е-V неособая, и, следовательно, существует обратная матрица
(обратное преобразование) [Е-V*] . Ниже существенным образом будет использо-
ваться оператор W, который переводит каждый допустимый вектор* у0 е Y в до-
пустимый вектор у по следующему правилу:
У = ([Е - V*(U*y° - V*x°),U‘y°
т.е.
Wy° = ([E-V*]’1(u*y0-V*x0),u‘y0^.	(5.34)
Легко убедиться, что операторы U* и W имеют одинаковые неподвижные точки.
Покажем, что оператор W имеет неподвижную точку.
Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение
б/х
— = Cx + Rz + Dw,	(5.35)
dt
полагая, что в уравнении (5.35) z(r) — некоторая заданная функция времени, удовле-
творяющая неравенствам (5.25), и = А. Так как система (5.35) линейна, то ее решение
х(() = F(x0, Л,/) = V(r)x° + Jv(r) V*1 (t)(Rz(t) +	(5.36)
о
где V(r) = ес‘ — оператор сдвига по траекториям системы (5.33) (V(T) = V). В со-
ответствии с (5.36)
U’x°-V‘x° =-f(x°,^,t)+V(7’)x° =
г	(5.37)
= -]¥(,)¥-' (t)(Rz(t)+D^)A;
о
в равенстве (5.37) оператор U записывается относительно уравнения (5.35).
Как следует из неравенств (5.25), найдется такое число а, что
||Rz(() + O4|| < а.	(5.38)
Отметим, что условие (5.38) не зависит от конкретного вида функции z(z), а оп-
ределяется исключительно ограничениями (5.25). Обозначим через К — постоян-
ную, такую что
||v(r)V-'(т)||<Л", 0 <t<T, 0<т<Г;
тогда из (5.37) вытекает неравенство
||r	II
|и*х - V*x|| = JV(?) V-1 (t)(rz(t) + 04)Л < KaT.	(5.39)
По	II
' Вектор у" называется допустимым, если он удовлетворяет неравенствам (5.25).
37 Зак. 14
586
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Введем оператор
W*x = [Е - V* [и‘х - У’х].
Поскольку
|| W’ х|| < |[е - V	| • ||и*х - V* х||,
то
 •	W х it »ц U*x-V*x у »ц КаТ
lim 11 л 11 < E-V • lim ----л-;;--< E-V • lim й~п~ = 0-	(5.40)
|х|-»со ||х|| II II Н-»”3	||х||	II II Mh” ||х||
Из (5.40) следует, что найдется такое число Мо, что
|| W*x|| < Мо + ^||х|| для любого х е X.	(5.41)
Рассмотрим шар ||х|| <2М0. В соответствии с (5.41) оператор W* преобразует
шар ||х|| < 2М0 в себя, т.е.
||w’x||<2Af0,	(5.42)
если ||х|| < 2М0. Так как соотношение (5.39) справедливо для произвольной функции
z(z), удовлетворяющей неравенствам (5.25), то и условие (5.42) справедливо для
произвольной функции z(z).
Обратимся теперь к оператору W, который задается равенством (5.34). Посколь-
ку на решениях (x(z),z(z)) системы (5.30) вектор z(z) удовлетворяет неравенствам
(5.25), то
|(Е - V*(й’у - ¥*х)| < 2М0,
если ||х|| < 2М0. Далее, из (5.34) следует, что вектор й’у удовлетворяет ограничени-
ям (5.25). Обозначим Q замкнутую ограниченную область, определяемую условиями
||х||<2Л/0, |z,|</(, 1 = 1,/и.
Так как оператор W преобразует область Q в себя, то по теореме Боля-Брауэра
[53] в области Q существует хотя бы одна неподвижная точка оператора W, и, сле-
довательно, оператора U .
Теорема доказана.
Замечание. Теорема 5.2 остается справедливой, если в уравнениях (5.30) w(z)
считать произвольной кусочно-непрерывной симметричной периодической функци-
ей периода 2Т. Из данного замечания, в частности, следует, что для рассматривае-
мого объекта существует фазовой годограф релейной системы с трехпозиционным
релейным элементом.
Рассмотрим важный частный случай, когда свободное движение звеньев с огра-
ничителями описывается линейными дифференциальными уравнениями. Рассмотрим
сначала отдельно одно такое звено. Пусть свободное движение звена задается урав-
нением
dx	\
—+ ax = S(z),
at
(5.43)
Глава 5. Релейные САУ 587
где а —некоторое действительное число; —симметричная 2Г-периодическая
функция; а движение на ограничителе — уравнением
^ = 0.	(5.44)
dt
Предполагается, что переменная х(/) удовлетворяет ограничению
х-/<0, -х-/<0.	(5.45)
В соответствии с замечаниями к теореме 5.2 система (5.43), (5.44) имеет, по край-
ней мере, одно симметричное периодическое решение. Нетрудно убедиться, что ука-
занное периодическое решение — единственное.
Пусть объект представляет собой последовательную цепочку линейных блоков и
звеньев с ограничителями вида (5.43), (5.44). Примером такого объекта может служить
система, изображенная на рис. 5.5, если в ней заменить «статические» нелинейности
на звенья с ограничителями. Из сказанного выше следует, что для такого объекта фазо-
вые годографы для релейных систем как с двухпозиционными, так и с трехпозицион-
ными релейными элементами определяются однозначно.
5.4. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВОГО ГОДОГРАФА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ДЛЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ДВУХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Рассмотрим сначала простейшую релейную систему, изображенную на рис. 5.1,
полагая, что релейный элемент является двухпозиционным (рис. 5.2, а, б). Компонен-
ты фазового годографа будем называть ^-характеристиками. Этим термином будем
называть также любую линейную комбинацию R-характеристик. Для определения
периодического движения в изображенной на рис. 5.1 релейной системе, вообще го-
воря, не требуется построение фазового годографа как вектор-функции, а достаточно
ограничится ^-характеристикой выходного сигнала.
Автоколебания могут возникать только в автономной системе. Поэтому положим,
что входной сигнал у (7) = 0. В режиме автоколебаний с релейного элемента на вход
объекта поступает периодический сигнал
w(/) =/isign^siny/^;	(5.46)
здесь 2Т — период автоколебаний. Разложим функцию (5.46) в ряд Фурье:
, , 4А А 1 .л
Ult}-—> -------sin—
7 л	T
Поскольку линейная система обладает свойством суперпозиции, то в автоколеба-
тельном режиме
4 ЛА 1
хвЦ) =— / -----------------
V 7 тг
( -тт	\ тг
Relf	sin-
I p X	/ I p
(5.47)
(5.48)
+ ImlTl i-(2k-V) lcosy(2fc-l)r .
В методе Цыпкина (аналогичная ситуация имеет место и в методе Гамеля) период
автоколебаний 2Т определяется из условия переключения релейного элемента. Если
в некоторый момент времени Z* происходит переключение реле с минуса на плюс, то
tfo
к, —	> 0
dt ,_г
а
37
588
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
или
*В(И = ~К>	<°-	(5-49)
v 7	dt t=,‘
Отметим, что в соотношении (5.49) предполагается, что производны^ da/dt и
dxjdt непрерывны.
Если индекс передаточной функции W (.?) равен единице, то в момент переключе-
ния реле производная dxB/dt претерпевает разрывы первого рода. В этом случае усло-
вия переключения релейного элемента с минуса на плюс задаются соотношениями
хв(?’) = -к; А,(**-0)<0.	(5.50)
Обозначим х* (Г) .^-характеристику выходного сигнала. Из (5.48) находим
Х’(Г) =—У —-5—
bV ’ л ^2Л-1 Т'
В точке разрыва ряд Фурье сходится к среднему значению. Поэтому
X. (t* + о)-хв (/ -о) л д ® с ~	\
----L = idy Rew /-(2Л -1) .
2	Т V ТЧ
Далее, учитывая, что
хв Lt* + о)-хв (t* -б) = 1А lim sW(s),
можно записать
zB (г) = — Y Re W(i-(2k -1)'] - A lim s W (5);
ЛЛ »	( jr	A
<(2') = -yZRe^ 'y(2M +>*lim^(5);
•* lr—1	\ *	У
(5.51)
(5.52)
(5-53)
здесь zB (T) = xB(?-o); zB (7’) = xB^*+oj, т.е. через zB(T) обозначено значение
хв (z) в момент переключения релейного элемента с минуса на плюс. Если индекс
передаточной функции больше единицы, то
lim sW(s) = 0 и z~ (7j = zB (Г).
Соотношения
х*в(Т) = -к, z;(T)<0	(5.54)
могут быть использованы для определения возникающих в релейной системе автоко-
лебаний. В соответствии с равенством (5.54) период автоколебаний определяется
точкой пересечения прямой х* =-к с ^-характеристикой хв(Т) (рис. 5.6). График
функции хв(Т) может иметь несколько точек пересечения с прямой хв =-к. Нера-
венство (5.54) позволяет выделить полупериод, для которого действительно имеет
место переключение релейного элемента с минуса на плюс.
Строго говоря, соотношения (5.54) не могут служить гарантией того, что найденное
решение действительно соответствует автоколебаниям. Окончательный вывод можно
сделать, лишь построив с помощью равенства (5.48) само это решение и убедившись в
отсутствии на периоде других непредусмотренных переключений релейного элемента.
Однако необходимо иметь в виду, что ситуация, при которой решение, полученное
исходя из условий (5.54), затем не подтверждается, является достаточно редкой.
Глава 5. Релейные САУ
589
Рис. 5.6. Определение периода автоколебаний
Неравенство xB(/*-oj<O при хДг’) = -к действительно гарантирует переклю-
чение релейного элемента с минуса на плюс. Однако если хв+oj>0, то после
переключения управления переменная a(t) при t >t* убывает. Поэтому если в точ-
ке переключения реле с минуса на плюс выполняются соотношения
х;(Т) = -к, z”(T)<0, zB(r)>0,	(5.55)
то соответствующее им периодическое решение имеет амплитуду, равную к. Этот
случай не является чем-то исключительным. Автоколебания такого вида имеют место,
например, в релейной системе, структурная схема которой изображена на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Структурная схема релейной системы
Для релейной системы с идеальной релейной характеристикой (к = 0) соотноше-
ния (5.55) соответствуют движению релейной системы в скользящем режиме.
Если выполнено условие фильтра, как это предполагается в методе гармониче-
ской линеаризации, то в разложении (5.47) можно учитывать только один первый
член. Условия (5.54), с помощью которых определяется период возникающих в сис-
теме автоколебаний, в этом случае принимают вид
4А „,Г.л>
— ImPr i— = -к;
л I Т J
/ ч	(5.56)
4/4	( 7t ।
— ДеЖ /- -Л limsfP(s)<0.
Л	( 7 J
Амплитуда автоколебаний определяется равенством
590 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Для релейных систем, индекс передаточной функции которых больше единицы
(lim,sW (s) = 0), соотношения (5.56) полностью эквивалентны методу гармонической
линеаризации в той его части, которая касается определения автоколебаний. Однако
соотношения (5.56) позволяют определить автоколебания и в том случае, жогда ин-
декс передаточной функции равен единице, например определить параметры автоко-
лебаний в релейной системе, представленной на рис. 5.7. Метод гармонической ли-
неаризации для данной системы не работает.
Рассмотрим другой способ определения ^-характеристик.
Воспользуемся приемом, предложенным Г.С. Поспеловым [89]. Представим пере-
даточную функцию W(s) = N(s)/M(s) в виде суммы простых дробей. Каждому дей-
ствительному простому корню а уравнения Л/(л-) = 0 будет соответствовать слагае-
мое вида k/(s-a), а каждой паре комплексно-сопряженных корней -а±/р — сла-
Cs + D
гаемое------------.
(s + a) +р2
Передаточная функция
(s + 6)P+2^ + 5)(s2+4)
________2____<2______-___'Л-----L_______,
+	+4s + 20j(5, + a2)^52 + 2s + lO^s
например, разлагается на сумму простых дробей:
/ , к\ к2 к3 С|5 + D] C2s + D2
.s-i-a] s + a2 s s +4s + 20 s +2s + l0
где числа кх, к2 ,к3, С\, С2,	, D2 находятся по методу неопределенных коэффициен-
тов. В этом случае структурную схему релейной системы можно представить в виде,
изображенном на рис. 5.8; здесь символом S обозначено суммирующее звено.
Рис. 5.8. Определение ^-характеристик
В соответствии со структурной схемой
хв(П = Хх’(7’); zb(7’) = 5X(7’)-
/=1	/=1
Глава 5. Релейные САУ
591
Таким образом, зная ^-характеристики типовых звеньев можно построить 7?-харак-
теристику выходного сигнала.
Найдем ^-характеристику апериодического звена с передаточной функцией
W(5) = k/(s + а). Данному звену соответствует уравнение
х + ах = ки.	(5.57)
Решая это уравнение при w(z) = А и принимая во внимание, что в периодическом
движении х(Г) = -х(0), из (5.57) найдем
ИЛИ
/(Г) = -
-аТ
х*(Т) =
,а7’
(5.58)
^-характеристику интегрирующего звена можно получить, если в равенстве (5.58)
перейти к пределу при а —> 0:
х(П = -^-	(5-59)
Далее, из уравнения (5.57) непосредственно следует, что для апериодического звена
(5.60)
z-(T) = -^-ax-(T) = --^L;
1 + е
+ (т\ ъ-л	2kAe“T
z (Г) = kA-ах (т)=-----
1 + е
Для интегрирующего звена
z~(T) = -kA; z+(T) = kA.
Для получения ^-характеристики звена
W( =_______Cs + D____
s2 + 2os + a2 + p2
(5.61)
(5.62)
представим его в виде суммы двух апериодических звеньев с комплексными коэф-
фициентами:
Cs + D	Ry R2
s2 + 2as + a2 + p2 s + a - ф s + a + ф ’
где
_ D-Ca + Сф D D-Ca-Сф
2/p	2	-2ф
Принимая во внимание, что полученные апериодические звенья являются ком-
плексно-сопряженными, из (5.58) найдем
x’(T) = 2Re
Из (5.63) следует, что
(а-ф)(1 + е(“-'«^
(5.63)
х’(7) =
(1 - е2аТ )(сра - р(Са - D)) - 2еаТ sin рГ(ср2 + а(Са - D))
(l + e2“7+2e“rcosp7j(a2+p2)
(5.64)
592 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Из (5.60) аналогичным образом найдем
9 л СВ(1 + еаТ cos рт)- еаТ (Са - £>)sin (37’
z-(7’) = _±l_!2-----------------------------	(5-65)
V ’ Р	1 + 2е 7 cospr + e2 г
В соответствии с передаточной функцией звена	*
z+(T) = z~(T) + 2CA.
Пусть в релейной системе с помощью соотношений
х;(Г) = -к; 2в-(Г)<0
найден период автоколебаний 2Т°. Тогда х* (Г), z(+(Г) (z,+ (T) необходимо учиты-
вать только для выписанного выше колебательного звена с дифференцированием)
можно рассматривать как начальные условия, при которых решение релейной систе-
мы является периодическим. Ниже приводятся периодические решения, соответст-
вующие типовым звеньям:
x(t) = x,(T°) + kAt, 0<t<T°;
Первое уравнение (5.66) соответствует интегрирующему звену, второе — аперио-
дическому звену, третье — колебательному звену с дифференцированием.
Выходной сигнал релейной системы
1=1
здесь п — число звеньев передаточной функции FF(x). В интервале Т° <t<2T°
функция хв (г) определяется из соотношения
=-*»(')•
В вычислительном плане разложение передаточной функции на простые
дроби для некоторых объектов управления плохо обусловлено. Именно, если поли-
ном имеет корни, близкие и кратные, то малые возмущения начальных данных
могут привести к большим погрешностям вычисления полюсов передаточной функ-
ции W (.у) и коэффициентов разложения. В этом случае можно использовать описа-
ние линейной части релейной системы системой дифференциальных уравнений (5.3).
При и = А уравнение (5.3) имеет решение
х(/) = еС7х(0)+ |еС^”^ВЛ<Л.
о
Если в системе имеет место нечетно симметричное периодическое решение, то
х(Т) = -х(0), т.е. можно записать
-х* (Т) = еи х’ (Т) + ест	(5.67)
О
Глава 5. Релейные САУ
593
Из (5.67) следует, что
х* (Г) =-(е+ еС7 ) 'есг ]е"Ст<ЛШ;	(5.68)
О
здесь Е — единичная матрица. Если матрица С является невырожденной, то
|е-СтЛ=-С-1 (е-С7 -Е)
О
и равенство (5.68) принимает вид
х* (Г) = (е + естесгС"1 (е’С7' - е)ш.	(5.69)
Использование современных программных средств (MathCAD, Matlab) делает ра-
венство (5.69) очень удобным для построения фазового годографа релейной системы.
Здесь только следует иметь в виду, что если объект управления является астатиче-
ским, то матрица Сч не существует.
Рассмотрим нелинейный объект управления (5.6), полагая, что функция f(x,w)
является непрерывной по и и х и кусочно-гладкой по х. Пусть, далее, выполняется
условие симметрии (5.7). Общий способ построения фазового годографа — это реше-
ние основного уравнения годографа (5.9). Для объекта (5.6) функция F(x(0),А,т},
как правило, задается численно в результате решения уравнения (5.6) на компьютере.
Поэтому ниже речь будет идти о численных способах решения уравнения (5.6).
Наиболее простым численным методом решения нелинейного уравнения (5.9) яв-
ляется метод итераций. В соответствии с этим методом последовательные приближе-
ния к решению находятся по формулам
/+1 =-F(y\/l,7’), к =0,1, 2,...;	(5.70)
здесь у(Т’) = х* (Г), уА — значение вектора у на к-м шаге. Обычно фазовый годо-
граф строится в виде дискретной вектор-функции. Так как для большинства систем
функция х (Т) непрерывна (кусочно-непрерывна), то в качестве начального при-
ближения у0 (7]) рекомендуется выбирать значение фазового годографа в предыду-
щей точке 7]_], т.е. следует положить у0 (?}) = у(7’_1).
Функция f(x°,/4,z) представляет собой решение уравнения (5.6) при и = А ив
общем случае определяется численным интегрированием. Поэтому алгоритм (5.70)
эквивалентен интегрированию системы (5.6), (5.4) в интервале (0, оо) при t > 0. Если
периодическое движение системы (5.6), (5.4) асимптотически устойчиво, то в фазо-
вом пространстве системы (5.6) существует область такая, что любое решение систе-
мы (5.6), (5.4) с начальным условием из этой области сходится к периодическому
движению. Указанная область является областью сходимости и для алгоритма (5.70).
Сходимость метода итераций иногда удается существенным образом улучшить,
если использовать принудительное симметрирование. В этом случае последователь-
ные приближения строятся в соответствии с равенством
Алгоритм (5.71) целесообразно использовать в случае, когда некоторые из компо-
нент вектора х(/), являющегося решением системы (5.6), (5.4), быстро сходятся к
594
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
периодическому решению, а по другим имеет место плохая сходимость. Опыт прак-
тического применения этого алгоритма показывает, что он существенно эффективнее
метода простых итераций (5.70). С его помощью неоднократно удавалось построить
фазовый годограф, когда соответствующие периодические решения системы (5.6),
(5.4) были неустойчивыми.	*
Другим известным численным методом решения систем нелинейных уравнений
является метод Ньютона. Применительно к уравнению (5.9) алгоритм метода Ньюто-
на задается равенством
yi+1 = ук
Е +
(5.72)
Вместо алгоритма (5.72) можно использовать эквивалентный ему алгоритм вида
У*+1 = у* + Ду*,
где л-мерный вектор Ду* находится из линейного алгебраического уравнения
Е +
Ду* =-у*
Известно, что метод Ньютона быстро сходится в окрестности решения. Далее, в
отличие от метода итерации для сходимости метода Ньютона не требуется устойчи-
вость периодического решения системы (5.6), (5.4).
Так как фазовый годограф для технических систем непрерывен (кусочно-непре-
рывен) и обычно строится последовательно точка за точкой (по мере увеличения по-
лупериода Т), то при построении фазового годографа с помощью метода Ньютона
при каждом к нему обращении, как правило, имеется хорошая начальная точка —
значение фазового годографа, полученное в предыдущих расчетах.
Остановимся кратко на определении матрицы производных SF^y*, A, Т^[ду. Эту
матрицу можно определить численным дифференцированием, для чего требуется
л-кратное интегрирование уравнения (5.6) в интервале 0 < t < Т (и = А) при определении
производной методом с центральной пробой и 2л-кратное — методом с парной пробой.
Для более точного определения указанной матрицы можно воспользоваться урав-
нением в вариациях
dbx _ df (х, А)
dt Эх
(5.73)
5х;
*=«')
здесь £(/) — решение уравнения (5.6) при х(0) = ук, и = А. Уравнение (5.73) пред-
ставляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с пе-
ременными параметрами.
Обозначим V (/, 0) — нормированную фундаментальную матрицу решений урав-
нения (5.73). Ясно, что
= V(7\0).
Если построен фазовый годограф, то для релейной системы
./ X
— = f (x,w)
dt v '
(5.74)
Глава 5. Релейные САУ
595
период автоколебаний определяется из условий
4х‘(П) = -к;
do х) .	.	(5.75)
—<0.
x=x (/)
Пусть 2T° — период автоколебаний, найденный из соотношений (5.75). Само пе-
риодическое решение x(z) определяется путем интегрирования уравнения
dt '	’
при w(/) = ^sign^sin^-zj винтервале 0<Z<2r° с начальным значением x(0) = x*^r°j.
Пример 5.1. Рассмотрим изображенную на рис. 5.1 релейную систему, положив
w (s\=___________________________________!__________
5(7'1j + 1)(7’22?+2£7'25 + 1)’
где 7] =0,2; Тг =0,5; £ = 0,3. Пусть,далее, А = 10; к = 0,2.
Разложим передаточную функцию системы на сумму простых дробей:
\ к, к-, Cs + D
W(s) = -!+----------------X---у,
5 5 + а 52+2а5 + а2+Р
где а = 1/7]; а = £/7]; а2 + р2 = 1/7/. Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных
коэффициентов и имеют следующие значения: к} = 1; к2 =0,174; С = 0,826; /5 = 1,861.
На рис. 5.9 изображены хв(7') (сплошная линия) и z~ (Т) (пунктирная линия). Из рисунка видно, что
Я-характеристика хв(7’) пересекается с прямой х =-к = -0,2 в точке, которой соответствует 7"° = 1,762,
причем c](7’°j<0.
На рис. 5.10 изображен выходной хв (/), построенный с использованием формул (5.66).
Рис. 5.9. Определение периода автоколебаний
596
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ
СИСТЕМАХ С ТРЕХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫИГЭЛЕМЕНТОМ
Как и в п. 5.4, рассмотрим сначала простейшую релейную систему, изображенную
на рис. 5.1. Однако теперь будем предполагать, что релейный элемент является трех-
позиционным и задается графиком (рис. 5.2, г).
Положим	На рис. 5.11 изображен график релейного сигнала, который в
периодическом движении поступает на вход объекта управления. Этот сигнал задает-
ся двумя параметрами Т и у, здесь по-прежнему 2Т — период. Для определения Т
и у можно воспользоваться условиями переключения релейного элемента с нуля на
плюс и с плюса на нуль.
Рис. 5.11. Симметричный периодический сигнал с выхода релейного элемента
Обозначим х*(Т,у), zB(T,y) значения в периодическом движении соответст-
венно выходной величины xB(f) и ее производной xB(z), соответствующие пере-
Глава 5. Релейные САУ
597
ключению релейного элемента с нуля на плюс, а через х** (Г,у), zB (Г,у) — значения
хв(?) и хв(г), соответствующие переключению релейного элемента с плюса на
нуль. Тогда условия переключения релейного элемента могут быть записаны в виде
х;(Г,у) = -кГ zB(T,y)<0;	(5.76)
х:*(Т,у) = -Хк, гв(Г,у)>0.	(5.77)
Условия (5.76) соответствуют переключению релейного элемента с нуля на плюс,
а условия (5.77) — переключению релейного элемента с плюса на нуль. В силу сим-
метрии периодического решения х(/) проверка переключения релейного элемента с
нуля на минус и с минуса на нуль не требуется.
Разложим изображенный на рис. 5.11 периодический сигнал h(z) периода 2Т в
ряд Фурье:
2А ^Г81п(я(2&-1)у) л ,	.	1 -соз(л(24- 1)у) Л/ ч
М г) = —У --cos—(24-1) f +------------------^sin-(24-lV
V ’ л 24-1	’	24-1	j 7
Так как для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, то
*в(') = —f ^p^(2^-l)^Sm^~1)^cosfe(2^-l)/ + <PX
Л	i=i У 1 J	2.К — 1	У1	J
1 - cos( л (2k - l)y)	< л	'l
+------------sin — (2A; — 1)Z + q>A ;
2k 1	уT	J
(5.78)
(5.79)
здесь <pt = argMz^iy(24-l)j.
В соответствии с рис. 5.11 релейный элемент переключается с нуля на плюс при
t = 0. Положим в равенстве (5.79) t = 0. Тогда
хв*(Лг) = — 1>и{Д(24-1))
я *=1 < т )
*, ч 2/1A sin(n(24-l)y)	( л,
^в(Лу) = —Z \\ . ;U-ReFK Л(24-1) +
71 £.=j	2-К	1	\ 1	J
1-соз(л(24-1)у)
2А-1
(5.80)
Если в равенстве (5.79) положить t = уТ, то получим ^-характеристику хв* (Т,у).
Из (5.79) следует
8т(л(24-1)у)	. , ч .
----j-------cos (л (24 -1) у + <р* ) +
1 -cos(n(24- 1)у)	, .	.
--------——--------sin (л (24 -1) у + <у>к)].
ЛК *— 1
(5.81)
Для получения ^-характеристик z(T,y) и z(T,y)’ необходимо равенство (5.79)
продифференцировать по t и положить соответственно t = 0 и t = уТ. Далее, учтем,
как это делалось в п. 5.4, возможные разрывы скорости выходного сигнала. В резуль-
тате получим
598 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
2в {Т, у) =	[0 - cos(n (2к - О Г))'Re	- Oj -
— lim s-J¥(s);

zB (Л у) = 2В (Лу) + A lim s • W (i);
(5.82)
zB (Г,у) = гв(7’,у)-Л lims JKfj).
На практике для построения фазового годографа целесообразно использовать рас-
смотренный выше прием, связанный с разложением передаточной функции системы
на сумму простых дробей.
Получим зависимости, задающие ^-характеристики типовых звеньев.
Рассмотрим сначала апериодическое звено с передаточной функцией
W(s) = k/(s + а). Движение звена в интервале 0 < t < Т задается уравнением
х + аг = Л4[1(/)-1(г-уГ)].	(5.83)
Из (5.83) следует, что
х(г) = х(0)е-а,+^(1-е-о,) + ^(И'-^-1(/-у7’)-1(/-у7)].	(5.84)
Если имеет место симметричное периодическое движение, то х(г) = -х(О). Из
(5.84) найдем
кА(е-аГ -е-аГ^}
х(0) = х (Г,у) =	V	(5.85)
all + e I
Умножим в равенстве (5.85) числитель и знаменатель на еаТ:
кА(\-еауТ\
'(ЛУ)= <5 86)
Далее, из уравнения движения апериодического звена следует, что
z-(7’,y) = -ar*(7’,y); z+ (Г,у) = кА- ах* (Т,у).	(5.87)
Для получения ^-характеристик звена
.... . Cs + D
W СО = ----------3---7
5 +2оз+а +Р
целесообразно воспользоваться рассмотренным в п. 5.4 способом, т.е. представить дан-
ное звено в виде суммы двух апериодических звеньев с комплексными коэффициентами,
азатем с помощью формул (5.86), (5.87) получить зависимости для х* (Т,у), z~
Формулы для ^-характеристик х**(7’,у), z-(Г,у) типовых звеньев можно полу-
чить, если выполнить аналогичные рассмотрения, положив, что в интервале 0 < t < Т
Глава 5. Релейные САУ 599
Их можно получить также путем сдвига по уравнениям движения на время уТ
точек х (А,у), z~(A,y) при п(г)=Л.
В табл. 5.1 приведены формулы для определения A-характеристик наиболее часто
встречающихся на практике типовых звеньев.
Таблица 5.1
A-характеристики типовых звеньев
IT(s)	*(Ay)				-‘(Ay)	(Ay)
А 5	кАуТ 2	кАуТ 2			0	кА
к ?	АЛу(1-у)72 4	fc4y(y-l)7~2 4			кАуТ 2	кАуТ 2
к s + a	Атф-е"77)	кА	е‘'Т _еА'~у')Т		Це1”'7'-!)	*л(1+ео(|-т)7’)
	в(1+е“Г)	о(1 + е“7')			1+е“г	1+е“7
к	—(P/nH-am12)	(P^zi -am2Z)			y(a(am12-pm11) + +p(pW|2+amH))	у(а(ат22-Р"‘12) + +Р(Р"'22+ате]2))
(s-a)2 + р2						
C.v+ D	—("1цИ|-т12л:)				-у(а(т,|П|+/И|2П2) + +Р("111«2-"’12"1))	-^(«(m2l”|+"122«2) + +P('H2ln2-m22nl))+cA-
(j-a)2+P2						
В таблице введены обозначения: /Иц = 1 + е“7 cos(pZ’)-e“1’7 cos(Py7’)-e“(1+1')7 cos(p(l-y)7’); m12 =ea(|+1')7 sin(p(l-y)7’)-e“7 sin(pT’)-e“77 sin(PyT’); m2[ = elaT + eaT cos (p T) - e“(2“’)7' cos(руГ) - ea<1'’)r cos (p(l - у)Г); m22 = earsin(p7') + e“(2'1')7 sin(Py7')-e“'1-7^ sin(p(l-y)7'); n,=Z>P; n2 = C(a2 + p2)-Da\ Д = p(a2 +p2)(l + 2eaZcos(pr) + e2a7')						
Остановимся кратко на построении фазового годографа непосредственно по урав-
нению (5.3). Положим в уравнении (5.3) м(1) = -Л(1(г)-1(?-уТ)). Очевидно
х(Г) = ес(’-^
у'г
еС1'7х(0) + еСуГ |е~Стс/тШ
о
(5.88)
Из (5.88), принимая во внимание, что в периодическом движении х(Г) = -х(0),
найдем
х’(7’,у) = -(Е + есг)’1 еС7 je~CxdxDA.	(5.89)
о
Если существует матрица С-1, то
х*(Г,у) = (Е + еС7’)’1 еС7С-1 (e~c'lT -e)dA	(5.90)
Вектор-функция х" (Г,у) получается путем переноса точки х’(Г,у) по траекто-
рии уравнения за время уТ при u(t)-= А'.
х"(Т,у) = ес^
ут
х*(Т,у) + |е-Стб?тВЛ
о
600
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Можно получить более простую зависимость, если принять во внимание, что точ-
ка х**(Г,у) переносится по траектории уравнения (5.3) за время (1-у)Т в точку
х(Т’) = -х (Г, у) при w(f) = 0, т.е. имеет место равенство
-х* (Т,у) = еС(1-7)Гх*’ (Т,у),
откуда следует, что
Векторы z (Г) и
(5.3) следует, что
х”(Г,у) =-е у^Гх’(Г,у).	(5.91)
z' (Г) определяются непосредственно по уравнению (5.3). Из
(5.92)
z-(7’) = Cx‘(7’,r);
z"(7’) = Cx*‘(7’,y) + DA
Если объект уравнения является нелинейным, то фазовый годограф строится путем
решения основного уравнения фазового годографа (5.16). Как правило, это уравнение
решается численно. Для численного построения фазового годографа используются те же
алгоритмы и приемы, которые были рассмотрены в п. 5.4. Изменения, которые при этом
следует внести в алгоритмы (5.70)—(5.73), являются очевидными. На практике при син-
тезе релейной системы фазовый годограф, как правило, строится при нескольких фик-
сированных значениях параметра у и задается графиками х* (Г, уХ), z = l,«,
Возникающее в релейной системе (5.17) периодическое движение определяется из
соотношений (5.18) и (5.19). Поскольку уравнения
а(х’(7’л)) = -к;
(5.93)
СДХ (T,y)j = -?lK
часто имеют несколько решений, чтобы не упустить некоторые из них, указанные урав-
нения целесообразно решать графически [144]. Задаваясь фиксированными значениями
у, строятся два семейства графиков а{х* (Т,у^ и o^x**(7',y)j в функции полупериода
Т. По точкам пересечения прямых ст = -к и ст = -Хк с графиками указанных семейств
функций (рис. 5.12) строятся графики функций у = q} (Г) и у = q2 (Г) (рис. 5.13).
Точка (или точки) пересечения графиков у = q{ (Т')и у = q2 (Г) является решени-
ем уравнений (5.93). В указанной точке (точках) необходимо проверить выполнение
неравенств (5.18) и (5.19).
Периодическое решение х(?) определяется путем интегрирования уравнения
— = f(x,«)
dt v 7
в интервале 0 < t < 2Т° (см. рис. 5.13), положив
u(t) = л[1(/)-1(/-у°Г0)-1(/-7’0) + 1(/-(1 + у0)?'0)]
с начальным условием х(0) = х* (т°,у0 j.
Если линейная часть системы задается передаточной функцией W (5) и для по-
строения ^-характеристик выходного сигнала передаточная функция W (5) разлага-
лась на сумму простых дробей, то выходной периодический сигнал может быть по-
лучен путем суммирования периодических сигналов типовых звеньев, т.е.
Глава 5. Релейные САУ
601
здесь п
ХЛ^ = ^ХМ^
1=1
число звеньев, на которые разлагается передаточная функция Ж($).
Рис. 5.13. Определение периодического решения
602 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В табл. 5.2 приводятся формулы, задающие периодические решения типов звеньев.
Таблица 5.2
Периодические решения типовых звеньев
№ п/п	ITfj)	х(/), 0<t<T°	*
1	к_ S	х* (т°, у0 ) + kAt - кА (/ - Т°у° ) • 1 (/ - Т°у°)
2	к s+ А	Г/(го>уо)_^У‘>чМ+МГе-‘'(--7Л2")_Л1(,_гоуох Vх	'а )	а а \	v	7
3	Cs + D	[xy0,y0)-a^2pcoSp/J(ax77’0,y°) + .--(7’0,y0) + +СА—?Л<Х-2 V *" sinр/ + е	(cos р (z-7~°у°) + а2 + р2)	+Р ' V + “sinp(/-rV)-^sinp(z Г°у°)]-1(/-гУ)+а™“2[1 1(/ TV)]
	s2 + 2 as + a2 + р2	
х(/ + Г°) = -х(/)		
Пример 5.2. Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис. 5.1, где
щ(3) -____________________________________Sit]_________
(г3252+2^Г35 + 1)(Г2я-1)5
Релейный элемент является трехпозиционным и имеет характеристику, представленную на рис. 5.2, г.
Положим Г] = 0,1; Т2 = 0,8; 7"3 = 0,5; 5 = 0,2; А -10; X = 0,7; к = 1. Полагая, что входной сигнал отсутствует
(у = 0), найдем возникающие в релейной системе автоколебания.
Представим передаточную функцию объекта в виде суммы простых дробей:
К В Cs + D
	*	1-----5---Т ’
s-------------------s + a (s + a) +р2
здесь a = 5/7’= 0,4; ₽2 = (1 -Е,2)/^2 =3,84; К = 1; В = -0,767; С = -0,233; D = -1,145; а = \/Т2 =1,25.
Очевидно,
ч(7’!у) = *1(Лу) + х1(7’,у) + х3’(Лу);	:;(T,y) = :;(T,y) + :2(T,y) + z2 (7\у);
£ (Лу) = <(Лу) + £(т,у) + х3" (Т,у); 5В’ (Т,у) = cf (Г,у) + :2 (Т,у) + (Г,у).
^-характеристики интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев рассчитываются по
формулам табл. 5.1.
На рис. 5.14 и 5.15 приведены семейства характеристик х'(Г,у), х’*(7',у). По точкам пересечения ха-
рактеристик х'(Т,у) с прямой х"=-к (см. рис. 5.14) построена функция у = <;1(7’), а по точкам пересе-
чения характеристик х'(Г,у) с прямой х"=-ХХ —функция у = у2(Т'). Графики этих функций изобра-
жены на рис. 5.16. В точке пересечения функций Т° = 1,91; у0 = 0,92. Таким образом, в рассматриваемой
релейной системе возможны автоколебания с частотой <оо = л/?’0 = 1,64 и параметром у = 0,92. Форма
автоколебаний задается функцией хв(/) = х,(/) + х2(/) + х3(/), где х,(/), x2(z), х3(/) —периодические
составляющие интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.
В соответствии с табл. 5.2
х, (/) = 10/ + 9,59е~|25' + е”0,4' [3,58cos 1,96 - 4,84sin 1,96/] +
+[>И'-'-87) (0,6sin 1,9б(/ -1,87) - 2,86cos (/ -1,87)) -
-6,14(е“|'25('<87)-1)-10(г-1,87)]- 1(/-1,87)-2,8б[1-1(/-1,87)]-15,49.
На рис. 5.17 изображен график функции xB(z).
Глава 5. Релейные САУ 603
Из рисунка видно, что функция хв (/) исключает возможность дополнительных переключений релей-
ного элемента, т.е. в рассматриваемой системе действительно имеют место автоколебания периода
2 7'° =3,82 с параметром у0 =0,92.
Рис. 5.16. Определение параметров Т° и у'
604
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
Будем предполагать, что объект управления является линейным, так что движение
релейной системы задается уравнениями
— = Cx + Dw;	,	(5.94)
dt
w = Ф(-о,кД), о = RTx.	(5.95)
Если объект управления задается передаточной функцией W(5), то для перехода
от передаточной функции к дифференциальным уравнениям представим передаточ-
ную функцию, как это делалось выше, в виде суммы простых дробей, т.е. будем
предполагать, что структурная схема системы имеет вид, изображенный на рис. 5.8.
Интегрирующее и апериодическое звенья (см. табл. 5.1) приводят соответственно к
уравнениям х = ки, х = ки-ах. Звену вида
. Cs + D
W (s) = —---------
5 +2а + а +р
соответствуют уравнения
Xi = х2 + Си;
.	.	/ 7	7 \	(5.96)
х2 =(£>-2аС)м-2ах2-(а2+р jx^
здесь X, = х, х2 = х - Си.
Такой способ перехода от передаточной функции к системе дифференциальных
уравнений обусловлен желанием иметь единообразный метод исследования про-
стейших релейных систем управления. Именно для такого способа задания матриц
С и D ниже будут получены зависимости, задающие в явном виде матрицу, по соб-
ственным числам которой оценивается устойчивость периодического движения.
Векторное пространство с декартовыми координатами xj,x2,...,x„ будем называть
фазовым пространством системы (5.94), (5.95). Каждому решению х(/), t0 <t<tx
системы (5.94), (5.95) в фазовом пространстве соответствует некоторая линия,
т.е. совокупность точек L: {х(г): t е [?0,^ ]} фазового пространства, которая называ-
Глава 5. Релейные САУ
605
ется фазовой траекторией системы. Фазовая траектория, соответствующая перио-
дическому решению системы (5.94), (5.95), представляет собой замкнутую линию.
Расстояние p(z,Z) между некоторой точкой zeT?" и множеством LeRn будем
определять равенством	,
p(z,Z,) = inf||z-x||;
здесь ||z - х|| = ^(z-x)T(z-x) — евклидова норма вектора z - х.
Пусть Zo < Z < <ю — периодическое решение системы (5.94), (5.95). Этому
решению в фазовом пространстве соответствует замкнутая фазовая траектория, т.е.
множество точек Ло = {l;(z): Ze[z0,<»]J . Решение называется асимптотически орби-
тальноустойчивым, если найдется Е>0 такое, что для всех решений x(z) систе-
мы (5.94), (5.95), удовлетворяющих неравенству
ИоМ('о)1Н	(5-97)
выполняется соотношение р(х(/),Л0) —> 0 при	Таким образом, если
является асимптотически орбитально устойчивой траекторией, то любая удовле-
творяющая неравенству (5.97) траектория x(z) при навивается на замкну-
тую линию Lo.
Анализируя возникающие в релейной системе автоколебания, как правило, рас-
сматривают автономный режим работы системы (y(f) = 0). Понятие асимптотиче-
ской орбитальной устойчивости наиболее адекватно автоколебаниям как физическо-
му явлению. Именно при наличии орбитальной асимптотической устойчивости авто-
колебания обладают определенной стабильностью и как явление обнаруживаются
физическими экспериментами.
5.6.1. Двухпозиционный релейный элемент
Будем сначала предполагать, что релейный элемент является двухпозиционным
(см. рис. 5.2, а, б). Остановимся на оценке симметричного периодического решения.
Обозначим
x(z) = f(x°,A,z)	(5-98)
— решение уравнения (5.94) при и-А~, здесь х° = x(z = O), F =^,Р2,...,Тп) —«-мерный
вектор. Если в системе (5.94), (5.95) имеет место симметричное периодическое реше-
ние периода 27’°, то равенство (5.98) при х° =х*(т’°) в интервале 0<t<T° совпа-
дает с этим решением. В соответствии с (5.94), (5.95) переключение управления с
минуса на плюс происходит на плоскости
Rtx = -k,	(5.99)
а с плюса на минус — на плоскости
RTx = к.	(5.100)
Рассмотрим точечное отображение плоскости (5.99) в плоскость (5.100), которое
осуществляется траекториями системы (5.94), (5.95) и задается равенством
x(F) = f(x°,4z);	(5.101)
здесь точка х° лежит на плоскости (5.99), а точка x(z) — на плоскости (5.100), т.е.
RTx° = -к; RTx(z) = к.
606 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Введем оператор
х = Рх° =-г(х°,Л,?).	(5.102)
Ясно, что симметричному периодическому движению соответствует неподвижная
точка оператора Р. Именно, имеет место равенство
х*(т’°) = /’х*(г0).
Пусть точка х(0) = х* [т°) + 8х(0) лежит на плоскости (5.99). Тогда возмущенное
движение описывается выражением
х(?) = е(х*(7’°) + 8х(0),Я,г).
В соответствии с (5.102)
х = х* (Т°) + 8х = -f( х* (т°) + 8х(0), А, Т° + 8т);
,	, ч	(5.103)
Rt(-x*(7’°)-8x) = k.
Если тривиальное решение 8х = 0 нелинейных разностных уравнений (5.103) ус-
тойчиво, то устойчиво и соответствующее периодическое движение системы (5.94),
(5.95). Устойчивость тривиального решения 8х = 0 может быть исследована на осно-
вании линеаризованного точечного отображения [78], т.е. на основании линеаризо-
ванных в точке (x*(7’0),7’j уравнений (5.103). Линеаризованное точечное отображе-
ние задается равенством
I RTh
8х(0);
(5.104)
здесь
Q = —
дх
т=г
— матрица порядка п х п;
h =—i--
дТ

— «-мерный вектор.
Отметим, что вектор h совпадает с производной dx/dt\i=To_0, если
х(/ = 0) = х* (т° j. Из уравнения (5.94) следует, что
h = Cx(7’°j + Dy4 = -Cx*(r°) + DA	(5.105)
Обозначим
Ч^>(0).
к к 11 /
В силу нечетной симметрии устойчивость периодического решения хп (г) можно
оценивать с помощью линеаризованного точечного отображения на полупериоде.
Глава 5. Релейные САУ
607
Положим
Дхр1Т0) = х(АТ0 + ДП)-хп(Л7’°), к = 1,2,3,...;
здесь t = кТ° + АТ к — моменты переключения управления на возмущенной траекто-
рии х(г). Легко увидеть, что
Ax(jtr°) = (-l)*G8x(0).	(5.106)
Равенство (5.106) записано с точностью до величин первого порядка малости.
Очевидно, периодическое решение х„(г) асимптотически орбитально устойчиво,
если
Ах(аТ0)—>0 при к—>оо.
Приращение Ах^Г0) можно определить с помощью линейного разностного
уравнения
Ax(* + l) = GAx(£).	(5.107)
Таким образом, устойчивость периодического решения хп (/) сводится к устой-
чивости тривиального решения линейного разностного уравнения (5.107). Устойчи-
вость разностного уравнения определяется собственными числами матрицы G.
Пусть 1|} i = l,m, т<п — собственные числа матрицы G. Если они удовлетво-
ряют условию
|\|<1, / = 1^.	(5.108)
то соответствующее периодическое решение хп(г) системы (5.94), (5.95) асим-
птотически орбитально устойчиво. Если найдется хотя бы одно такое X,, что
|Х,|>1, то периодическое решение хп(г) неустойчиво. Случай, когда |\| = 1 является
критическим. В этом случае об устойчивости периодического решения невозможно
судить по линеаризованному точечному отображению.
Остановимся на практическом построении матрицы G. Матрица Q имеет вид
			
	дх*{	дх2	
	dF2	dF2	dF2
Q = -	дх*	дх*2	дх*
	дГп	SF	3Fn
	дх*	дх2	дхп.
Если система (5.94) состоит из уравнений, описывающих движение типовых
звеньев, на которые разбивается передаточная функция объекта управления, то для
определения производных dF^dx* можно воспользоваться уравнениями (5.66). В со-
ответствии с уравнениями, если переменная xt является выходом интегрирующего
или апериодического звеньев, то соответственно
3/" _ j  _ _аГо dFt
dxj дх*	дх*
0 при i j.
(5.109)
608
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В том случае, когда переменная xt представляет собой выход колебательного зве-
на с дифференцированием,
4-е-"1' [eospr» + Л-sinРЗ-°1; i =	;
йг, L ₽ J ЙХ/+1 ₽	•
5^i_ = _a^+P^e-aTosinp7,O. S^H=e-a7“ cos “ sin
йг, Р	дхм |_ Р
(5.110)
-^- = 0,	=0 при j * [/, г +1].
ЙХ; ЙГ;
Далее, поскольку периодическое решение х(г) обладает симметрией, то
h = -z~(7’0);
здесь т = ^zf,z£,...,z“) — «-мерный вектор, который можно рассчитать по форму-
лам (5.60), (5.62), (5.65). Достоинство такого способа определения вектора h за-
ключается в том, что компоненты вектора h вычисляются при нахождении автоко-
лебаний (см. п. 5.4).
Остановимся на особенностях определения компонент вектора z~, соответст-
вующих колебательному звену с дифференцированием. Это звено описывается
двумя уравнениями (5.96). Если переменная х,(/) является выходом колебательно-
го звена, то х, (Г) и z”^) рассчитываются по формулам (5г64), (5.65). Далее, в
соответствии с (5.96)
х;1(Т) = д-(Т)+СД;
z’, (Г) = -[ш + 2az“ (Т) + (а2 + р2 )х‘ (Г)].	(5.111)
При и = А уравнение (5.94) имеет решение
x(z) = V(T)x(0)+ Jv(,-x)Adv,
о
здесь V(/) —нормальная фундаментальная матрица решений, V(f) = eC/. Поэтому
У’О
x(r°) = v(7’0)x’(7’°)+
о
и, следовательно,
Q = -V(7’0) = -ec'/’°.	(5.112)
Если используется равенство (5.112), то вектор h целесообразно определять с
помощью равенства
h = -Cx‘(T°)+DA
Остановимся кратко на оценке неравенств (5.108).
В настоящее время существуют программные средства (например, MathCAD,
Matlab), которые содержат программы, позволяющие легко определять собствен-
ные числа матрицы. С помощью этих программ легко проверить выполнение нера-
венств (5.108).
Получим простое необходимое условие устойчивости.
Глава 5. Релейные САУ
609
Лемма 5.1. Если периодическое решение автономной релейной системы (5.94),
(5.95), определяемое точкой х*(7'0), асимптотически орбитально устойчиво, то
справедливо неравенство
det(E-Q)
dT
(5.113)
здесь Е — единичная матрица.
Доказательство. Характеристическое уравнение для определения собственных
значений матрицы G имеет вид
detkE-Q+^Q
RTh
= 0.
Преобразуем это уравнение аналогично тому, как это сделано в [21]:
de.( XE-Q^Kde.ftE-Q)delfEJXE-Q>~'llRTQ^
I RTh J v 7	RTh
k	7	k	7
Второе слагаемое последнего определителя является произведением
столбца
(A.E-Q) 'h на строку
RTQ
RTh
Тогда имеет место соотношение
J ( (AE-Q)’hRTQ
det Е + ---------
RTh
= 1 +
RTQ(XE-Q) ‘h
RTh
Но
Q(XE-Q)’1 =X(XE-Q) '-E
и, следовательно,
det E +
(XE-Q)'hRTQ^ RTX(XE-Q) 'h
RTh	RTh
(5.114)
С учетом (5.114) характеристическое уравнение принимает вид
J Мж, , RTX(XE-Q)-1h n
det(XE-Q)-----2<L_ = o.
Из условия надлежащего направления переключения релейного элемента RTh > 0.
Освобождаясь от знаменателя и отбрасывая корень А. = 0получим
det(A.E-Q)RT(A.E-Q)-1h =0.	(5.115)
Если представить уравнение (5.115) в виде
W-1
g(X) = £fe,X'=0,	(5.116)
1=0
то bn_t = RTh и, следовательно,
/>„_,> 0.	(5.117)
Установим связь между g(l) и dclx* (T)\/dT.
Отсюда следует, что одно собственное число матрицы G обязательно равняется нулю.
40 Зак. 14
610 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В соответствии с (5.11)
Выше предполагалось, что фазовый годограф х (Г) в точке Г0 существует, и,
следовательно, матрица (Е-Q) не особая, поэтому

= (-E-Q) *h.
Откуда следует, что
dT т=т".
= -RT(E-Q) ’h.
(5.118)
Сравнивая (5.118) и (5.115), получим
g(l) = -det(E-Q)-^P
T=r0
Рассмотрим характеристическое уравнение (5.116). В силу (5.117)
lim g(X) = 00.
X—>00
Если g(l)<0, то существует корень Х>1. Таким образом,-если периодическое
движение асимптотически орбитально устойчиво, то
g(0^0
или
det(E-Q)^^
(5.119)
Лемма доказана.
Рассмотрим релейную систему (5.94), (5.95). Тогда
Q = -ест"
m (	0 \ V»
det(E-Q) = ]Щ1 + ?7 ) ;	(5.120)
здесь X,, i = 1, m — собственные числа матрицы С, V, — кратность собственного
числа X,. Так как для полупериода Т° выполняется условие
Т° *—к, к = 1,3,5,...,
%
то каждый сомножитель равенства (5.120) положителен, т.е.
det(E-Q)>0.
Из (5.119) следует, что

<0.
(5.121)
Получим следующую теорему.
Глава 5. Релейные САУ
611
Теорема 5.3. Если поведение релейной системы описывается уравнениями (5.94),
(5.95), то для асимптотической орбитальной устойчивости периодического реше-
ния периода 2Т° необходимо выполнение неравенства
—i—^<0.	(5.122)
dT
Впервые необходимое условие устойчивости в форме (5.122) было получено
Я.З. Цыпкиным для релейных систем с устойчивым или нейтральным линейным объ-
ектом управления. Теорема (5.3) задает необходимое условие устойчивости для ре-
лейных систем с любым линейным объектом управления. В [101] условие устойчивости
(5.122) распространяется на релейные системы с нелинейными объектами управления.
Равенство
dT
соответствует критическому случаю, когда об устойчивости периодического движе-
ния невозможно судить по линеаризованному точечному отображению. Поэтому на
практике следует использовать строгое неравенство
—i—^<0.	(5.123)
dT
Неравенство (5.123) имеет простую геометрическую интерпретацию. Оно выпол-
няется, если о^х* (Г)) пересекает в точке Т = Т° прямую линию о = -х сверху вниз
(см. рис. 5.6, где о(х*(Г)) = х*(Г)). Иногда фазовый годограф задают в виде функции
круговой частоты a = nlT. В этом случае условие (5.123) необходимо заменить не-
равенством
с/а[х*(л/(о)|
_А_22_22	>о.	(5.12
cZ(O ш=ш0
Очевидно, неравенство (5.124) выполняется, если характеристика olx (л/со
пересекает в точке со = со0 = л/Т0 прямую линию о = -к снизу вверх.
Во избежание недоразумений отметим, что неравенство (5.123) представляет со-
бой необходимое условие устойчивости, и как необходимое условие оно не может
гарантировать устойчивость автоколебаний, т.е. неравенство (5.123), равно как и
неравенство (5.124), нельзя рассматривать в качестве критерия устойчивости. Од-
нако, если неравенство (5.123) не выполняется, т.е. имеет место условие

dT т=та
>0,
то соответствующее периодическое движение неустойчиво. Для релейной системы
второго порядка неравенство (5.121) является достаточным условием устойчивости.
В литературе иногда встречаются неточности в толковании неравенства (5.124).
Например, в [126] ошибочно утверждается, что неравенство (5.124) (без ограничения
порядка системы) является достаточным условием устойчивости.
5.6.2. Трехпозиционный релейный элемент
По-прежнему рассматривается релейная система (5.94), (5.95). Однако теперь бу-
дем предполагать, что релейный элемент является трехпозиционным (см. рис. 5.2, в, г).
В периодическом движении сигнал с выхода релейного элемента имеет вид, пред-
40*
612 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
ставленный на рис. 5.11. Переключение релейного элемента с нуля на плюс происхо-
дит на плоскости
Атх = -к,	(5.125)
с плюса на нуль — на плоскости	в
Ятх = -Хк.	(5.126)
Принимая во внимание нечетную симметрию периодического решения xn(z) и
релейного элемента, при оценке устойчивости этого решения, как и в случае релей-
ной системы с двухпозиционным релейном элементом, можно ограничиться соответ-
ствующими рассмотрениями на полупериоде. Устойчивость периодического движения
будем оценивать с помощью точечного отображения плоскости (5.125) в плоскость
/?тх = к,	(5.127)
на которой происходит переключение релейного элемента с нуля на минус.
Точечное отображение плоскости (5.125) в плоскость (5.127) выполним в два эта-
па. Сначала найдем отображение плоскости (5.125) в плоскость (5.126), а затем —
точечное отображение плоскости (5.126) в плоскость (5.127).
Пусть в релейной системе (5.94), (5.95) имеет место нечетно-симметричное пе-
риодическое решение хп (г) периода 27’° и с параметром у = у°.
Обозначим, как и выше,
х(г) = f(x° , Л,/)
— решение уравнения (5.94) при и = А, х(0) = х°. Пусть, далее,
x(z) = F(x°,0,f)
— решение уравнения (5.94) при и = 0, х(0) = х°.
Легко видеть, что линеаризованное (в окрестностях точки х*(7’°,у0)) точечное
отображение плоскости (5.125) в плоскость (5.126) задается равенством
/	т А
5х(у°Г°) = _Q1 + hl^A 5х(0);	(5.128)
I R hi J
здесь
Начальная точка х(0) = xn(0) + Sx(0) возмущенной траектории х(/) лежит на плос-
кости (5.125), а точка х(у0?’0 + ) = хп (у0?’0) + 5х(у0Г0) — на плоскости (5.126).
Аналогично равенство
(5.129)
где
задает линеаризованное точечное отображение плоскости (5.126) в плоскость (5.127).
Глава 5. Релейные САУ
613
В равенствах (5.128) и (5.129) в целях единообразия с пунктом 5.6.1 матрицы Q,
и Q2 задаются отрицательными производными.
Подставляя (5.128) в (5.129), найдем
5x(7’°) = e2G15x(0);	(5.130)
С _о h,RTQ,.
g'"Qi~"5V
g2=q2
h2RTQ2
RTh2
Равенство (5.130) задает линеаризованное (в окрестности точки х*(Г°,уи)) точеч-
ное отображение плоскости (5.125) в плоскость (5.127). Введем матрицу
G=- G2Gj.	(5.131)
Для матрицы (5.131) справедливы равенства (5.106), (5.107), и, следовательно, ее
можно использовать для оценки устойчивости периодического движения в релейных
системах с трехпозиционным релейным элементом.
Таким образом, если собственные числа матрицы G, задаваемой равенством
(5.131), удовлетворяют неравенству (5.108), то соответствующее периодическое ре-
шение асимптотически орбитально устойчиво.
Если уравнение (5.94) получено путем разложения передаточной функции
на сумму простых дробей, то матрицы Qj и Q2 определяются по тем же формулам,
что и матрица Q, т.е. задаются равенствами (5.109), (5.110). Однако при определении
матрицы Q] в соотношениях (5.109), (5.110) аргумент Т° следует заменить на у0Г0,
а при определении матрицы Q, —полупериод Т° на 7'0(l-y°j. Далее,
h^z-frV); h2=-z-(r°,Y°),
причем компоненты векторов z и z рассчитываются по формулам табл. 5.1. Если
переменная звена xt (t) является выходом колебательного звена с дифференцирова-
нием, то компоненты z’^0^0),	определяются по табл. 5.1, a z~+1 и z~+l
— в соответствии с уравнениями (5.96) — равенствами:
^(г”,Г1>) = -[2<И-(г».Т») + («2+р2)х:(г«,т»)];
2,;, (г0.7° ) = ПЛ - 2OZ-	,т«) -(«2 +₽2 )х- (7-”,У ).
При любом способе получения уравнения (5.94) справедливы равенства:
Q, .-“'М.
h1 =Сх"(т0,У°) + Ш; h2 =-Cx’(r°,Y°).
Пример 5.3. Рассмотрим изображенную на рис. 5.1 релейную систему управления, полагая, что
W (А =___________-___________
(7j з +1) (r2V + 21^5 +1) (7^ +1) ’
где 7j = 0,5; Т2 = 0,1; Т3 = 0,2; = 0,2. Релейный элемент является двухпозиционным и имеет следующие
параметры: /1 = 10; к = 0,2. На рис. 5.18 представлена A-характеристика выходного сигнала х[(Т), полу-
ченная с использованием формул (5.18), (5.59), (5.64).
^-характеристика хв(Г) пересекается с прямой х =-к = -0,2 в двух точках: Г0 = 0,276 и Т' =3,047,
причем =-213,87; г, (Г11 = 0,537. Поскольку для полупериода Г1 не выполняется второе условие
614
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
(5.54), то в рассматриваемой релейной системе могут иметь место автоколебания только периода
2Г° =0,553 с. На рис. 5.19 представлен график соответствующей периодической функции, полученный с
помощью формул (5.66). Так как управление u(t) имеет на периоде только одно переключение, то в ре-
лейной системе действительно имеет место периодическое решение, вид которого изображен на рис. 5.19.
Оценим устойчивость полученного периодического решения, т.е. установим, обладает ли соответст-
вующее периодическое движение определенной стабильностью и можно ли его было бы наблюдать в фи-
зическом эксперименте, если бы речь шла о реальной релейной системе.
Воспользуемся критерием (5.110). В соответствии с (5.109), (5.110) матрица
<7,	0	0	0
_ 0	?2	0	0
0	0	?3	?4 ’
* [°	0	?5	q6
где
q^=e~a'T°; q2=e~^r°-, q3 = e’ar° ^cospr0 + jsinpr0 j; ?4 =|е“аГ” sinp7°;.
q} = “2р--е-а7Л sinpr0; ?6 = e-aT° (cospr0 -|sinpT° j;
1	1	26	2 „2	1
a. =—•	=—• a = a + B =—
1 7]	2 T3	T2 н	Г22
Глава 5. Релейные САУ 615
Вектор
h = -(.-Г (г°), _-2 (т°), (г0), - DA +2а--3-г“ - (а2 +₽2)х3’(г0)),
где	:2(7’0), рассчитываются по формулам (5.60), (5.65), а —по формуле (5.64).
После соответствующих расчетов найдем •
-0,176 0,171 -0,141 0,007 '
G_ -0,059 -0,712 0,112 -0,006
0,236 0,540 0,029 -0,001 ’
0,515	1,179	1,498	0,622
Собственные числа матрицы G определялись с помощью программных средств пакета Matlab. Были
получены следующие значения: X, =-0,104; Х2 = 0; Х3 =-0,748; Х4 =-0,615. Так как собственные числа
матрицы G удовлетворяют неравенствам (5.108), то найденное периодическое решение периода 2Т°
(см. рис. 5.19) асимптотически орбитально устойчиво.
Остановимся кратко на оценке устойчивости периодических движений в релейной системе (5.6), (5.7),
т.е. в релейной системе с нелинейным объектом управления. Анализ доказательства показывает, что кри-
терий устойчивости (5.108) справедлив и для релейной системы (5.6), (5.7) при условии, что функция
f(x*,/1,7') непрерывно дифференцируема на х" и Т в некоторой окрестности точки (x'(r°),7'°j Для
релейной системы с трехпозиционным релейным элементом требуется непрерывная дифференцируемость
функций	F(x",O,zJ по х”, г, и х", Т соответственно в некоторых окрестностях точек
(х'(т0,у0),уГ0)и(х”(г°У),Г0(1-у0)).
Справедливы формулы, задающие матрицы G, G],G2. Однако в этом случае возникают серьезнее
затруднения с определением матриц Q, Q,, Q2. Для получения указанных матриц обычно обращаются к
уравнениям в вариациях, и в общем случае они могут быть рассчитаны только численно.
5.7. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ
РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
С ДВУХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
В литературе по теории релейных систем основное внимание, как правило, уделя-
ется определению возникающих в релейных системах периодических движений и
оценке их устойчивости, т.е. исследованию автоколебаний. Между тем важнейшей
характеристикой релейной системы, как и вообще любой системы автоматическо-
го управления, является точность воспроизведения системой входных сигналов.
Универсальным методом исследования точности режима слежения в релейной
системе является метод моделирования, когда динамика системы моделируется на
ЦВМ или АВМ. Однако метод моделирования требует больших затрат времени и его
невозможно использовать на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое
число вариантов. Поэтому для релейных систем большое значение приобретают
простые приближенные методы исследования.
Релейные автоматические системы обычно проектируются таким образом, чтобы
частоты входного сигнала и автоколебаний были разнесены в десять и более раз.
В этом случае входной сигнал можно рассматривать как медленно меняющуюся (по
отношению к автоколебаниям) функцию времени и можно говорить о линеаризации
«автоколебаниями» релейного элемента и других нелинейностей.
В настоящее время хорошо известны два метода линеаризации релейной системы
по полезному сигналу, т.е. линеаризации в интересах исследования в системе режима
слежения: метод гармонической линеаризации и метод Поспелова.
Возможности метода гармонической линеаризации ограничены, так как теорети-
чески обоснованное применение данного метода допускается лишь при выполнении
гипотезы фильтра. На практике гипотеза фильтра часто не выполняется, особенно
616 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
при достаточно сложной коррекции релейной системы, направленной на повышение
точности режима слежения.
В методе Поспелова [89] точность режима слежения оценивается с помощью неко-
торой дискретной системы, позволяющей определить значение выходного сигнала (ра-
зумеется, приближенно) в моменты переключения релейного элемента. Однако метод
Поспелова при наличии на входе системы гармонического сигнала не позволяет выде-
лить из выходного сигнала основную составляющую, т.е. составляющую, имеющую
частоту входного сигнала. При исследовании режима слежения в релейных системах
интерес, как правило, представляет именно указанная составляющая движения.
Ниже рассматривается метод линеаризации, который лишен отмеченных недос-
татков и который составляет единое целое с изложенными выше методами исследо-
вания автоколебаний.
Рассмотрим изображенную на рис. 5.1 релейную систему. Будем сначала предпо-
лагать, что объект управления является статическим, т.е. 1F(O) # оо.
При подаче на вход релейной системы постоянного входного сигнала у в систе-
ме возникают несимметричные периодические колебания. Для определения несим-
метричных колебаний используются годографы х{Т,х) и	причем вектор
х* (Г,т) задает значение вектор-функции х(г) в периодическом движении в момент
переключения релейного элемента с минуса на плюс, а вектор х**(Г,т) — в момент
переключения с плюса на минус; здесь 2Т — период, т — продолжительность на
периоде интервала времени, на котором сигнал и (/) положителен. Несимметричное
периодическое движение определяется из условий
у-х‘(Г,т) = к, у-хв(Т,т)=-к;
здесь х*(Г,т) и х/^т) —/^-характеристики выходного сигнала (соответствующие
компоненты годографов х (Т,т) и х *(Г, т)).
Пусть в релейной системе при отсутствии входного сигнала (у(Г) ^0) имеют ме-
сто симметричные периодические движения, которые задаются точкой фазового го-
дографа	здесь 2Т° — период колебаний. Малый постоянный входной сиг-
нал у приведет к малому изменению параметров автоколебаний (периода 2Т и па-
раметра т).
Обозначим параметры автоколебаний при малом входном сигнале у соответст-
венно т = т° + Ат = Т° + Ат и Т = Т° + АГ. Приращения Ат и АГ можно определить
из соотношений
здесь многоточием обозначены величины, имеющие порядок малости выше первого
относительно Ат и АГ. Далее,
х.-(г« ) = -<(?•“);
Глава 5. Релейные САУ
617
дТ
дТ
х=Т"
7'=7'"
Из (5.132), принимая во внимание (5.54) и опуская величины, имеющие порядок
малости выше первого, найдем
ЬТ = у.
= у;
(5.133)
Дт +
дТ
Ниже будет показано, что йх* (т° j/йг = йх’’ (т°)/от.
Далее, поскольку дх*я(т°\/дТ * дх** (т°}/дТ, то из (5.133) следует, что
У
Ат =
А7' = 0.
Таким образом, при подаче на вход релейной системы малого постоянного сигна-
ла частота автоколебаний остается неизменной (не изменяется с точностью до ве-
личин первого порядка малости), а нарушается симметрия сигнала w(z).
Найдем коэффициенты передачи релейного элемента по постоянной составляю-
щей. Для этого выделим среднее значение сигналов w(z) и ст(?), которые обозначим
соответственно й и с. Очевидно,
Кр =
(5-134)
-ЛИ^(О)
Линеаризация релейной системы сводится к замене релейного элемента коэффи-
циентом передачи Кр.
^-характеристики х*(Г,т) и х**(Г,т) позволяют найти периодические решения
при любом постоянном входном сигнале у. Это дает возможность построит функ-
цию смещения
и
Легко видеть, что
_ <Mq)
ао
о-0
т.е. с помощью Кр задается касательная к функции смещения в точке <5 = 0.
Из приведенных рассуждений следует, что линеаризованная указанным способом
релейная система может обеспечить сравнительно высокую точность исследова-
ния режима слежения при выполнении следующих условий:
39 Зак. 14
618 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
1) имеется большой разнос частот входного сигнала и автоколебаний',
2) входной сигнал не приводит к существенному изменению частоты автоколе-
баний и к существенной несимметрии сигнала u(t).
Но именно такая ситуация обычно имеет место в следящих релейных системах,
т.е. в системах, для которых и предназначен настоящий метод линеаризации.
Исследования конкретных релейных систем показывают, что функция смещения,
как правило, представляет собой линию, которая на значительном протяжении прак-
тически не отличается от прямой
й = Крс.
Благодаря указанному свойству замена релейного элемента коэффициентом пе-
редачи Кр обеспечивает удовлетворительную точность исследования и в том слу-
чае, когда при воспроизведении входных сигналов существенно изменяются частота
колебаний и появляется существенная несимметрия сигнала u(t).
В отличие от метода гармонической линеаризации в данном методе коэффици-
ент передачи реле по постоянной составляющей определяется точно, т.е. в полной
мере учитывается форма периодических сигналов. Далее, метод свободен от огра-
ничения типа гипотезы фильтра.
Представим передаточную функцию W (5) в виде суммы простых дробей. Напри-
мер, передаточная функция
1F(5)=—-----------------------,
sis2 + 2as + г) j(s + a)(s + 6)
где N (s) — некоторый многочлен, представляется в виде
n. z \ ^1	^2 ^з Cs + D	.
lF(s) = —+—*-+——+ ~5----------•	(5.135)
s s + a s + b s +2as + T]
Коэффициенты К1г К2, К3, С, D находятся методом неопределенных коэффици-
ентов. При таком преобразовании системы выходной сигнал
X(/) = ZX'C);	(5.136)
i
здесь — выходные сигналы соответствующих (см. равенство (5.135)) типовых
звеньев.
Равенство (5.134) было получено для статического объекта управления. Если пе-
редаточная функция W (s) имеет полюс s = О (астатический объект управления), то
W (s) = 00. В этом случае, как будет показано ниже,
j
*,=------' (5Л37)
п5хв(7’°)
--АЦР(О)
Передаточная функция fK(s)x получается путем разложения передаточной
функции W (s) на сумму простых дробей и исключения из этого разложения интег-
рирующих звеньев. В соответствии с (5.135), например,
 Г, / \	К3 Cs + D
(F(s) = —2-+—^- + —----------.
s + a s + b s +2as + i]
Глава 5. Релейные САУ
619
5.7.1.	Определение производных
По определению,
дх*(Т) х* (7’,т)-х* (Т’,7’)	х*(7’,7’ + Ат)-х‘(7’)
-V -hm—-------------------i-= hm-iLJ------L—(5.138)
dt t-*T x-T •	Ат—>o	Дт
Представим несимметричный 2T-периодический сигнал
u(t) = u* (z) + 8w(z);
здесь и (z) — симметричная (т = Г) периодическая функция. Приращение 8u(z)
также является 2Г-периодическим сигналом, причем в интервале 0 < t < 2Т
6u(t) = 2Л[1 (Z - Т) - l(z - Т - Ат)],	(5.139)
где l(z) — единичная ступенчатая функция. Так как для линейной системы справед-
лив принцип суперпозиции, то для ^-характеристики х* (Т,Т + Ат) можно записать
хв(7’>:г + Дт) = *в(7’) + 5*в(7’>Ат);
здесь 8х*(Г,Дт) —^-характеристика, соответствующая периодическому сигналу ?>и (z).
В соответствии с (5.138)
&’ (Т)	1	. , ч
---^-= lim—8х (T,At).	(5.140)
dt Ат->0Дт v 7	v 7
Для получения аналитических зависимостей представим передаточную функцию
W(s) в виде суммы простых дробей (см. 5.135). Из (5.136) следует, что
дх* (Т) „ йх‘ (т)
(5.141)
от I dt
Рассмотрим апериодическое звено Wi(s) = k/(s + a). Найдем для него 7?-характе-
ристику на периодический сигнал (5.139) периода 2Т. Рассматривая типовые звенья
объекта управления (см. рис 5.8), легко установить, что для выделения из Зх^Г.Дт)
линейного на Ат приращения прямоугольный импульс (5.139) следует рассматривать
как 5-функцию Дирака, т.е. можно считать, что в интервале 0 < t < 2Т
&u(t) = 2Ab.xb(t-T).
Апериодическому звену соответствует уравнение
+ а8х, = к&и (z).
В интервале 0 < t < 2Т
8x/(z) = 6x,(0)e-<" + 2kAixte~a(,~T\(t-Т).	(5.142)
Если имеет место гТ-периодическое движение, то Зх( (2Г) = Зх, (0). Из (5.142)
находим, что
8х, (0) = 8х‘ (Т, Ат) = ^!2а7. Ат.
1 — е
Из равенства (5.140) следует
йЗхДг) 2кАе~аТ _ 2кАеаТ
dt 1-е-2^	1-е2^’
Формулу для колебательного звена с дифференцированием можно получить из
(5.143), представив указанное звено в виде суммы двух апериодических звеньев с ком-
39*
620
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
плексно-сопряженными коэффициентами, как это делалось при выводе соответст-
вующей ^-характеристики.
Если линейная часть системы имеет астатизм первого порядка, то линеаризация
релейной системы производится на линейно нарастающий входной сигнал. t
Рассмотрим интегрирующее звено, полагая, что на вход звена поступает несим-
метричный периодический сигнал u(t) с периодом 2Т. В интервале 0<t<2T этот
сигнал имеет вид
w(z) = Л1(/)-2Л1(?-т).
Движение звена описывается уравнением
х = £и(т).
Выходной сигнал звена представим в виде
x(t) = ku r + v + x°(f);	(5.144)
здесь v — некоторая константа, которая определяется начальным условием х(0) и,
вообще говоря, может быть любым числом; х° (/) — периодическая функция перио-
да 2Т, среднее значение которой на периоде равно нулю; и — среднее значение на
периоде сигнала w(z). Очевидно,
- а(т~Г)
Т
Для нахождения функции х°(0) проинтегрируем уравнение
----— = u(t)-u.
dt V 7
Начальное условие х° (0) выберем таким образом, чтобы среднее значение на пе-
риоде функции х° (/) равнялось нулю. В результате получим
х(0) = х*(Г,т)~(т2-27т).
(5.145)
Функцию х*(Г,т) будем называть ^-характеристикой интегрирующего звена.
В соответствии с (5.145)
б?х*(7’) дх* (?’,т)
di 5т
В табл. 5.3 представлены формулы, задающие значения производных дх* (т)/5т.
= 0.
(5.146)
Таблица 5.3
Значения производных
	к	к s + a	Cs + D s2 + 2 as + а2 + р2
Эт	0	2кАеаТ 1-е1аТ	4Де07' N 2р М
В табл. 5.3 обозначено:
N = Q3cos(p Т)(1 - е2аТ )+(Са - D)sin(p7’)(l + е2аГ );
М = 1 - 2е2аГ cos (2РТ) + е4а7’.
Глава 5. Релейные САУ 621
Докажем равенство
Эх*(г) дх*'(Г)
дх дх
Как уже отмечалось, вектор-функцйя х (Т,х) задает значение вектора состояния
в момент переключения в периодическом движении релейного элемента с минуса на
плюс, а вектор-функция х” (Т,т) — с плюса на минус. Поэтому при определении
производной дх^Т^/дх рассматривается сигнал w(/), момент / = 0 в котором со-
вмещен с переключением релейного элемента с минуса на плюс. Обозначим й(г)
сигнал с выхода релейного элемента, в котором момент t = 0 совмещен с переклю-
чением реле с плюса на минус. Очевидно, й(/) = w(z + t).
Рассуждая, как и выше, получим равенство
= lim —8x7(ЛАт);	(5.147)
дх	дг—>о Дт	'
здесь 8х*’(Г,Дт) —A-характеристика выходного сигнала, соответствующая перио-
дическому сигналу 8й(г), причем в интервале 0<г<2Г
8й(г) = 2Л[1(г-Г + Ат)-1(/-7’)].	(5.148)
Выше отмечалось, что для выделения главной линейной по Дт части приращения
Ъх*&(Т,Лх) прямоугольный импульс (5.139) следует рассматривать как 8-функцию.
Это справедливо также и для прямоугольного импульса (5.148), т.е. можно считать,
что в интервале 0 < t < 2Т
bu(t} = 2A\xb(t-T\
Но тогда, очевидно,
8х** (Т, Ат) = 8х* (Г, Ат) + 0 (Ат).	(5.149)
Поскольку
0(Ат)
lim -i—= О,
Дт->0 Дт
то из (5.140), (5.147) и (5.149) следует, что
дх*(Г) ахГ(г)
дх дх
Докажем справедливость равенства (5.137).
Представим релейную систему в виде, изображенном на рис. 5.20.
Рис. 5.20 Линеаризация релейного элемента
622 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Линеаризация изображенной на рис. 5.20 релейной системы управления произво-
дится на входной сигнал
At) = gxt + gQ,
где & и g0 случае полн< Полагая запишем усл	— некоторые константы. Величина несимметрии сигнала ufc) в этом )стью определяется коэффициентом gP gi малой величиной и учитывая (5.144), а также соотношение Д7’ = 0, овия переключения релейного элемента с минуса на плюс: (	дх‘(т0}	' g\t +g0 git	(т )+	'	Дт + v -к;	(5.150) ' ' дт к	7
здесь — т.е. автокоде	момент переключения; 2Т° — период симметричных автоколебаний, баний при y(z) = 0, агв*(т°) аг‘(г0) ах^г0) дт	дт	дт
В равенс носительно	тве (5.150) учитываются только величины первого порядка малости от- Дт. Принимая во внимание, что -х*(т°) = к, из (5.150) найдем а^г0) 	i—-Дт = г,	(5.151) ат
где r = g0-i В соотвеп	гствиис(5.144) g] - кхА^т/Т и,следовательно, Дт=А, «=f-.	(5.152)
Коэффиц	иент передачи релейного элемента КР = " =		г •	(5.153) ° кх r-lT(O)-^- \	J
Подставл	яя (5.151) в (5.153) иучитывая (5.152), получим равенство (5.137).
5.7.2.	Частотный способ линеаризации
Разложим периодический сигнал 8u(z) в ряд Фурье:
5w(/) = 4At + Ev’At('1)* C0S7& + °(At);	(5.154)
1	к=\ 1	1
0(Дт)
здесь lim —*—= 0.
Дт->0 Дт
Будем предполагать, что передаточная функция W (д) не изменяет нулевого по-
люса. Из (5.140) следует, что
= lim — — 1Г(0)Дт+—ДтУ(Ч)*КеМ/-£У| + 0(Дт) =
ат д~од4т v ' т	( I т JJ { 'J (5155)
= -1К(0)+—У(-1)*КеМ1-Л
1	1 к=0	k к 1 J)
Подставляя (5.155) в (5.134), найдем
Глава 5. Релейные САУ
623
КР=—------------\	w	(5J56)
2Z(-1)iRe w\‘~к]\
i=0	к V T’ J)
Хотя равенство (5.156) получено только для статических объектов, несложный
анализ показывает, что формула (5.156) является универсальной, т.е. справедлива как
для статических, так и для астатических объектов.
Равенство (5.156) позволяет проследить, как влияет уточнение формы периодиче-
ского сигнала на коэффициент передачи релейного элемента Кр. Далее, нетрудно
установить, что если в равенстве (5.156) ограничиться только одним слагаемым при
к = \, то получим значение коэффициента передачи, совпадающее с соответст-
вующим коэффициентом в методе гармонической линеаризации (при условии, что
частота автоколебаний определена точно).
Пример S.4. На рис. 5.21 изображена структурная схема релейного автоколебательного пневмоприво-
да. Здесь релейный элемент является двухпозиционным и задается рис. 5.2, б. Параметры математической
модели привода имеют следующие значения:
Л = 27 В; А: = 2 В; Х = 0,6; Л, =0,01 рад/В; Го = 0,002 с; 7] =0,026 с;
А2 = 1,9х108 Па/рад; Г2 =0,00106с; к3 =3,927x10"* м/Па; кА =3,376x10"3 рад с/м.
Рис. 5.21. Структурная схема релейного пневмопривода
Звено с передаточной функцией 1РЮ (г)
Пневмопривод предназначен для отработки гармонических входных сигналов частоты 0S/<10 Гц.
L
—:— ---------, где А:6=2; £ = 0,5; Г, =0,002, являетсякоррек-
Г3? + 2§Т3« + Г
тирующим, с его помощью удалось поднять частоту автоколебаний пневмопривода с 55 Гц до 264 Гц.
Для линеаризации релейного элемента использовалось равенство (5.134) и табл. 5.3. Было установле-
но, что Кр =3,45.
Точность режима слежения за гармоническим входным сигналом удобно оценивать с помощью ам-
плитудно-частотной и фазочастотной характеристик. Обозначим амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики, построенные по линеаризованной динамической модели релейной системы, соответст-
венно Нх(/) и <Pj(/). Через Я2(/) и <р2(/) обозначим частотные характеристики, полученные путем
моделирования динамики релейной системы на компьютере с выделением в выходном сигнале состав-
ляющей, соответствующей частоте входного сигнала. При численном моделировании использовалась
максимальная для данного пневмопривода амплитуда входного сигнала В = 10.
В табл. 5.4 для сравнения приводятся результаты, полученные путем линеаризации релейной системы
и численным моделированием. Из таблицы видно, что линеаризация обеспечивает высокую точность ис-
следования режима слежения.
Таблица 5.4
Расчетные данные по линеаризации релейной системы и численному моделированию
Л Гц	Я,(/).ДБ	Я2(/),дБ		Фг(Л°
1	-1,36	-1,36	-1,44	-1,47
5	-1,36	-1,35	-7,18	-7,16
10	-1,39	-1,38	-14,3	-14,31
20	-1,43	-1,43	-28,12	-27,97
30	-1,35	-1,34	-41,28	-40,97
40	-0,9	-0,84	-54,5	-54,25
624 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
5.8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ РЕЛЕЙНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ТРЕХПОЗИЦИОННЫМ
РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Будем теперь предполагать, что релейный элемент является трехпозиционным и
задается рис. 5.2, в, г.
5.8.1. Линеаризация релейного элемента
Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис 5.1; здесь — переда-
точная функция линейной части системы, в которую помимо передаточной функции
объекта управления могут входить и передаточные функции корректирующих звень-
ев. Будем сначала, как и выше, предполагать, что передаточная функция ^(s) не
имеет нулевого полюса.
При отсутствии входного сигнала (у = 0) в такой релейной системе, как правило,
возникают симметрические периодические движения. В режиме автоколебаний на вход
объекта управления поступает симметрический сигнал, изображенный на рис. 5.22,
где Та = 2Т — период автоколебаний, а параметр у определяет длину интервала, на
котором управляющий сигнал положителен.
Рис. 5.22. Вид сигнала с выхода релейного элемента
Малый постоянный входной сигнал у приведет к малым изменениям параметров
автоколебаний, которые обозначим через Дт,, Дт2, Дт3, ДГа. Введем обозначения:
х’ - хв (т1>т2>тз>^) — значение выходного сигнала системы в периодическом дви-
жении, соответствующее моменту переключения релейного элемента с нуля на плюс,
ХВ = хв* (Т1 > т2 > т3> ?а ) - с плюса На нуль, хв3 = Х*"(т1,Т2,Т3,Га) — с нуля на минус,
хв =х””(т1’т2>гз>^а) —с минуса на нуль. Функции х‘в назовем ^-характеристиками
релейной системы при несимметричном управляющем сигнале. Запишем условия
переключения релейного элементу при входном сигнале у, опуская величины,
имеющие порядок малости выше первого относительно Д^, Дт2, Дт3, ДГЯ :
1 ЙХв . дх3 А ЙХв А ЙХв а 'Г '
у- х‘ +—-Дт, +—-Дт2 +—-Дт3 +—-ДГО = к;
7 t	^2 2 5т3 3 ата °)
у-(хв +—-®~ДТ] +^-Дт2 +-^-Дт3 +-^-ДГо) = Хк;
z I 8	1 Зт2 2 ат3 3 дта а\
Глава 5. Релейные САУ
625
з дх* дх* дх3 йхв
у- х„ ч—-Ат. ч—-Дт2 ч-—-Ат3 ч-—— АГ = -к;
at!	ЙТ2	<^3	дТа	)
4	дх*	дх*	йхв	дх*
У~ х° +^ГЛт>=-Хк'
йт.	йт->	Отз	8Т„
(5.157)
Очевидно, что при отсутствии входного сигнала справедливы равенства
1	2 л	3	4	л —хв = к; - хв = Лк; - хв = -к; - хв = -Лк.	(5.158)
Сравним уравнения (5.157) и (5.158), получим йт’	йгв	йт'	йхв —-Ат. ч—-Ат, ч-—-Ат3 +——АГ = у; 'у	1	Z	.	3	"''i'T*	У	S' иХ]	СТ2	СТ3 йхв А дх*	дх*	йхв А_ —-Ат, ч-—-М2 ч-—5-Дтз +—-АТа = у; (7Т|	СТ2	@Та йгв	йхв А йхв А йхв —2-Дт, ч-—S-At, ч-—S-At, ч-—-АГ = у, СТ|	£^3	изс! дх*	йхв	дх*	дх* Т^Лт1 +7Г-Ат2 +^Лтз +ГГЛ7« = У- CTj Ниже будет показано, что	(5-159)
АГ0 = 0, Ат3 = Дт2 - Al].	(5.160)
Принимая во вниа	чание (5.160), пер йг' йг' 'I			епишем сис йс1 дх\	:тему уравнений (5.159) в виде	
	х j	। । W « bj	|о < > 4		At] ч- ДТ| +	ъ	в ^Т2 йт3> йхв йхв йт2 йт3 \	х	-’у	Ат2 = у; Дт2 = у.	(5.161)
Коэффициент передачи релейного элемента найдем как отношение среднего сиг-
нала на выходе релейного элемента к среднему значению сигнала на входе, т.е.
К==.	(5.162)
о
Из (5.162), принимая во внимание, что
й = —a = y-wfK(0),
следует
к ИАт,
р Ту-АЛ^^(О)'
В соответствии с (5.161)
j ' 8х1в
дт2 йт3
У 7	7
, дх* дх*
йт2 йт3
Дт1 =------------------3-—-
дх}и	дхв	йхв	йхв
ЙТ]	йт3	йт2	йт3
йтв	дх*	дх*	дх*
ЙГ|	йт3	йт2	йг3
(5.163)
(5.164)
626 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Подставляя (5.164) в (5.163), найдем
А
Кр Td-AW(O)’
где
йг'
dq dt3
дх? SXb
Si) йг3
d =
(5.165)
(5.166)
(5.167)
dx? dx?
--н_ _|_5-
йг2 йг3
ЭХд dxl
йт2 5т3
Зх' Эх’
1 —- +—-
dt2 dt3
, dx? dx?
dt2 dt3
Если объект управления астатический, то справедливо равенство
К - А •
р Td-AW(0)’
здесь, как и в п. 5.7, передаточная функция W(s) получается путем разложения пе-
редаточной функции W(s) на сумму простых дробей, исключая из этого разложения
интегрирующее звено. Вывод равенства (5.167) приводится ниже.
5.8.2. Определение производных ^-характеристик
Для практического использования равенств (5.165) и (5.167) необходимо найти
производные йх'/3т7 . Как и в п. 5.7, представим передаточную функцию системы в
виде суммы простых дробей. Очевидно, что для производных Я-характеристик спра-
ведливы равенства
дх'в _ у1 дх'а.
здесь dx^dtj —производные, соответствующие типовым звеньям.
Обозначим
а*, ^(*1.^3,И
dt	dt
Т,=ТЛ
х' (Т1 +дт1,т2,т3,Г)-х^ (т„т2>т3>Т)
(5.168)
здесь 2Т — период.
По определению,
аг*(т1,т2,т3,Г)= Нт
Stj	АТ,->0	At]
Рассмотрим несимметричный периодический сигнал управления u(f) периода 2Т, в
котором момент времени t = 0 совмещен с переключением релейного элемента с нуля на
плюс (рис. 5.22). Несимметрия сигнала «(/) обусловлена изменением первого момента
переключения, т.е. Т] =уГ + Ат1; т2 =Г; т3 =Т(1 + у). Сигнал «(/) представим в виде
w(z) = и° (f) + du] (f, т,),
Глава 5. Релейные САУ 627
где w°(z) —симметричный сигнал управления (т, = уГ; т2 =Г; т3 = Г(1 + у)). Так как
для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, то можно записать
(Т, у, Дт,) = х* (Т, у) + 8хв (Т, у, Дт,);
здесь х’(Г,у,ДТ|) и 8х'в(Г,у,Дт,) —^-характеристики, соответствующие сигналам
w(z) и Sw1 (z,t,). В соответствии с (5.168)
^-= lim —8х'(Г,у,Дт,).	(5.169)
Л, Дт.-ЮДт, BV 17
Рассмотрим апериодическое звено. Запишем уравнение
—+ ох = £3i?(z,t,),	(5.170)
dt
где
Зм1 (z,r,) = Я1(/-у7’)-т41(г-у7’-Дт1).
Как отмечалось выше, в интервале 0<г<2Г сигнал 8zJ(z,T]) можно задавать с
помощью 8-функции, т.е. уравнение (5.170) можно переписать в виде
— + ах = А^Дт13(/-уТ).	(5.171)
Из (5.171) следует, что
x(z)=x(0>“" +АЛДт1е’о('"77')-1(г-у7’).	(5.172)
Из (5.172), приравнивая х(2Г) и х(0), найдем
, , -аТ(2-у)
х^Зх1^,)^^.
Таким образом,
(5.173)
Эт, е2а7 -1
Остальные производные йх'/дту для апериодического звена находятся аналогич-
но. На рис. 5.23 и 5.24 представлен вид приращений 3w' (z,t7).
Для нахождения производных ^-характеристик, соответствующих колебательно-
му звену с дифференцированием, используется стандартный прием: колебательное
звено разлагается на два апериодических звена с комплексно-сопряженными коэф-
фициентами, а затем суммируются производные ^-характеристик полученных таким
образом апериодических звеньев.
Рассмотрим интегрирующее звено с передаточной функцией
JP(s) = -.
s
На вход интегрирующего звена поступает несимметричный периодический сиг-
нал w(z). В интервале 0 < t < 2Т (2Г — период) этот сигнал имеет вид
и (z) = А  1 (z) - А • 1 (z - т,) - А • l(z - т2 ) + А • l(z - т3).	(5.174)
Как и в случае релейной системы с двухпозиционным релейным элементом, вы-
ходной сигнал звена представим в виде
x(z) = kut + v + x° (z);
628 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
здесь Я(т] +т2 -т3)/2Т — среднее на периоде значение сигнала н(г); х°(г) —
функция, среднее значение которой на периоде равно нулю; v — константа, опреде-
ляемая начальным условием.
Рис. 5.23. Приращения 8г?(/,т;) и 8w2(z,tJ
Глава 5. Релейные САУ
629
Очевидно,
dx°
~dt~
и.
(5.175)
630 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
В соответствии с (5.174)
хо(/) = х°(О)+АЛг-А?1(г-т1)-1(г-т|)-АЯ(г-т2)-1(г-т2)+ЛЛ(/-гз)-1(г-т3)-гй.
Выберем начальное условие х°(0) таким образом, чтобы среднее значение функ-
ции х° (г) на периоде обратилось в нуль. В результате получим
Х° (0) = X1 (Т1, т2, т3, Г) = -^(т? + - т^) - у (т, + т2 - т3).	(5.176)
Из (5.176) найдем, что для интегрирующего звена
дх'	АЛ(у-1)	йс1	Q	дх'	кАу
St! 2	’	dr2	’	Эг3 2
Для нахождения производных дх1 /dXj можно, проинтегрировав в интервале
0 < t < т, уравнение (5.175), найти х0^), положить xo(O) = x1(t),t2,t3,7’) и вы-
полнить соответствующее дифференцирование. Аналогичным образом находятся
остальные производные.
В табл. 5.5 приводятся значения производных для типовых звеньев. В таблице
приводятся не все производные, а только те из них, которые используются при ли-
неаризации релейной схемы с трехпозиционным релейным элементом.
Таблица 5.5
Значения производных для типовых звеньев
И'(л)	OJ I	k s + a	Cs+ D s2 + 2as + a2 + p2	
дх' Эг,	fc4(r-l) 2	kAeTat e27"-l	Л[(£)-Са)Л:,+Cpfr2] p(e47a - 2e27“ cos 2Tp + f	
дх' аг2	0	kAeTa e2r°-\	^[(д-СсОд+ср^] p(e47'a-2e27’acos2Z’P+l	
дх' аг3	kAy 2~	kAe7*'^ \-e2Ta	Л[(Р-Са)ЛУ,+СрЛ/2] p(2e27" cos2T’P-e47'a -f	
дх2 Эг,	kA 2		j[(D-Ca)(tl + ^-^) + Cp(£2 + P2-^)]	
		e27il-l	P(e47'“-2e27'“ cos2Tp + l	
дх2 дт2	kAy 2~	e27b-l	Л[(Р-Са)У,+Ср^] р(е4Г“ -2e27“cos2rp + l	
дх2	0	kAeTa \-e2Ta	j[(O-Ca)Z1+CpZ,2] p(2e27a cos27'p-e4ra -I1	
В табл. 5.5 используются следующие обозначения:
Кх = era^+1'’sin7p(2-y) + er“1'sin7^y;
К2 = еТа(2+у> cos 7Р (2 - у) - еГау cos Гру;
Ц =(e3ra+era)sin7p;
L2 =(e37’“-Za)cosT'p;
Глава 5. Релейные САУ
631
Л/] = еГа^3+у} sin7p(l-y) + er“^'+^ sin7]3(l-i-y);
М2 = eTa(3+yj cos 7р(1 - у) - era(1+Y) cos 7р (1 + у);
А] = e7a(3~7)sinTp(l + f) + e7a(1-Y) sinTp(l-y);
N2 = еТа^3~у} cos 7р(1 + у) - еГа(’"т) cos 7^(1 - у);
Р{ = er“(4*Y) sin т^у + е7“(2-т) sin7p(2-y);
Р2 = е/а(4-т) cosTpy-e7^2^ cos 7^(2-у).
Докажем справедливость равенства (5.160). Для этого рассмотрим приращения
8w'(/,t7), представленные на рис. 5.23 и 5.24. Из этих рисунков непосредственно
следует, что
йх1 _	дх3 дх'	_ дх2 _ дх4	дх'	_ дх3
ЙТ|	йт3	’ йт2 йт3 дтх	йт3 ЙТ]	’
йх2	йх1 йх4 йх2 _ — 	 ... - 	 -	йх3	_ йх1	йх1 йх1 . 	•	177^
ЙТ]	йт2 йт2 йт2	йт2	ЙТ]	йт2 йт3 ’	р.1 //)
Йх4 _	йх2 йх1 йх4	йх1 _	йх3	йх2 _ йх4	
йт3	йт2 йг2 йт2 ’	йт;-'	"йт;	’ ат;"_а7;‘	
Принимая во внимание (5.177), перепишем систему уравнений (5.159) в виде
йх* йх4 дх2
чЙт2
йх1
-----ДТ] +
йт3
. йх2 . дх' дх2
----ч	Ат, ч-----------Ат----------Ат-2 ч-----A7L = у,
75_-75—-----------1 Д- z Д» л ДТ а у
С/Т2 ^“2
. Йх1	ЙХ1
Дт,--------Дт3--------Д7„ = у;
2 ЙТ] 3 дТа а
йт2 йт2 ,
дх'	дх'	дх'
---+------+-----
ЙТ]	йт2	йт3 ,
(5.178)
йх1	йх4
----ДТ] +-----Дт2 +
йт2	йт2
йх1 йх4
йт2 Йт2 7
йх2
йт;
Из (5.178) следует равенство (5.160).
Полагая, что линейная часть системы имеет астатизм первого порядка, предста-
вим структурную схему системы в виде, изображенном на рис. 5.20. Линеаризация
релейной системы производится на входной сигнал
y = g\t + go-
Величина несимметрии сигнала w(z) в этом случае полностью определяется ко-
эффициентом g].
Запишем условия переключения релейного элемента с нуля на плюс и с плюса на
нуль, полагая gj малой величиной и учитывая соотношения (5.160):
ST /	1 ST 	 ГТ /			x’ +	x	_x	A	t	f дх' йх'	Ат	\t	
g\t + go gl‘	XB +		^3,	ZAVj t	йт2 йт3	4У12 v	— KJ
*« ••	7	rax2			Йх2 + йх2		(5.179)
g}t + go-git -	XB +	в	_ ° йт3/	ДТ] +	йт2 йт3	Дт2 + v	= Хк;
632
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
здесь t — момент переключения релейного элемента с нуля на плюс, a Z** — мо-
мент переключения релейного элемента с плюса на нуль. В соответствии с рис. 5.20
1-112-22
хв=х + х,, хв=х +х{;
Эх’в _ дх'	Эх2 _ Зх2 Эх2
dtj dTj dij ’ dij Зт; dij
Из (5.179), принимая во внимание уравнения (5.160), найдем
8хв	Зхв		Зхв йхв	
		Al] +		Дт2 = г;
,5Т|	^з,		к3т2 Зт3/	
Эх2	Эх2		Эх2 Зх2	
В		 в	At] +	В । в	Ат, =г
4^1	Зг3 }		ч Зг] Зг3	£
(5.180)
где r = g0-v.
В соответствии с (5.180)
AT1=lr.	(5.181)
а
Коэффициент передачи релейного элемента по постоянной составляющей
Кр= = —,----~(5-182)
Подставляя в (5.182) равенство (5.181), получим формулу (5.168).
Пример 5.5. Применим изложенный метод исследования режима слежения к релейной системе,
структурная схема которой изображена на рис. 5.25.
Рис. 5.25. Структурная схема релейной следящей системы
Релейный элемент в представленной системе является трехпозиционным и задается графиком рис. 5.2, г.
Звено, охватывающее релейный элемент, является корректирующим и введено в структуру системы для
повышения частоты автоколебаний.
Система имеет следующие значения параметров: Л = 10; к = 2,5; X = 0,7; к{ = 20; 7] =0,017; 7^= 0,034;
Т3 =0,011; Т4 =0,022; ^=0,4; к2 =69,461; Ts =0,01; £2 = 0,5.
Проведенный анализ показал, что в такой системе имеют место устойчивые автоколебания с парамет-
рами Т = Т° = 0,0025 с; у = у" = 0,733.
Разложим передаточную функцию объекта управления на сумму простых дробей. В результате получим
... , , Kt К2 К3 CiS + D.
Wv(s)=------------------------+---i— +------+ —----------j-—,
s + df s + a2 s + a3 5+2a,5 + af + pf
(5.183)
где K) =-2033,207; a, = 58,824; K2 =1930,141; a2 =29,412; K3 =468,883; a3 =90,909; C, =-365,817;
D, =-33508,249; a, =18,182; 0, =41,66.
Передаточную функцию корректирующего звена представим в виде
(з) = -=------------=,
v ’ s2+ 2a2s + a2+ 02
где D2 =694617,981, a2=50; 02 =86,603.
Глава 5. Релейные САУ
633
Очевидно, что для производных ^-характеристик справедливо равенство
дх'в _ дх{	дх‘2	дх2	дх‘4	дх'5
ст, дт,	дт/	дт.	dtj	dtj	’
где дх\)ст., дх^/дт,, d^jdij и ох‘4/дт. соответствуют типовым звеньям (5.183), дх^дт, являются
производными Я-характеристик корректирующего звена. Для коэффициента передачи релейного элемента
по постоянной составляющей получено значение Кр = 1,496.
Точность режима слежения системы целесообразно оценивать с помощью амплитудной и фазовой час-
тотных характеристик. Для линеаризованной релейной системы

Л(а>) =
ф(ш) = arg
1+^(4
где (5) = ^.(5) + ^ (5).
Для оценки точности метода линеаризации было выполнено компьютерное моделирование системы.
На вход системы подавался гармонический входной сигнал единичной амплитуды. В [135] установлено,
что выходной сигнал релейной системы является почти периодической функцией. В выходном сигнале
выделялась основная составляющая движения, соответствующая частоте входного сигнала (на практике
интерес представляет, как правило, именно эта составляющая).
На рис. 5.26 и 5.27 представлены амплитудная и фазовая частотные характеристики линеаризованной
системы. Кружочками обозначены экспериментальные точки (полученные с помощью моделирования).
Рис. 5.26. Амплитудная частотная характеристика линеаризованной системы
Рис. 5.27. Фазовая частотная характеристика линеаризованной системы
Более полное представление о полученном результате дает табл. 5.6.
Отсюда видно, что максимальное расхождение по амплитуде составляет 0,03216%, а максимальное
расхождение по фазе — 0,021 %.
634
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Таблица 5.6
Значения расхождений по амплитуде и по фазе
f, Гц	со, рад/с	4 (со)-Л (со)	срэ (со) — <р(со)1
		Л(со)	срэ (со)
1	6,28319	0,02622	0,0 Лоо
2	12,56637	0,02766	0,01278
3	18,84956	0,02759	0,01013
4	25,13274	0,02887	0,01030
5	31,41593	0,03062	0,02100
6	37,69911	0,03216	0,01651
7	43,98229	0,03147	0,01314
8	50,26548	0,02862	0,00452
9	56,54867	0,02537	0,01088
10	62,83185	0,02225	0,01083
11	69,11504	0,01917	0,01102
12	75,39822	0,01598	0,01136
13	81,68141	0,01261	0,01179
14	87,96460	0,00902	0,01229
15	94,24778	0,00517	0,01286
16	100,53097	0,00105	0,01347
17	106,81415	0,00337	0,01410
18	113,09733	0,00807	0,01476
19	119,38052	0,01297	0,01549
20	125,66371	0,01841	0,01611
Пример 5.6. Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис. 5.28, объект управления которой
имеет астатизм первого порядка.
Рис. 5.28. Структурная схема релейной системы с астатическим объектом управления
Система имеет следующие значения параметров: А = 20; к = 1,5; Л. = 0,4;	= 7; 7] = 0,001; Т2 = 0,025;
Т3 = 0,004;	= 0,8; к2 = 75,232; Т4 = 0,008;	= 0,4.
Как и ранее, релейный элемент является трехпозиционным и задается графиком рис. 5.2, г. Звено с пе-
редаточной функцией №ю(з) = —5-5---------
T4s + 2^7)5 +1
используется в качестве корректирующего. Проведенные
исследования свидетельствуют о наличии в такой системе устойчивых автоколебаний с параметрами
Г = 7’° =0,00167; у = у° =0,931.
Передаточная функция
W (А =	+ Кз +_________Cts + Di___+________Dj_________,
5 + а, s + a2 s2 + 2oj5 + а, + 02 s2 + 2a2.s + а2 + 03 ’
где #2 = 0,0275; a,=1000; #3=-9,475; ^=40; Ct =2,447; Z) =627,372; a, =200; 0]=15O; 73, =1175502,715;
a2=50; 02 =114,564.
Для коэффициента передачи релейного элемента получено значение Кр =1,801. Частотные характе-
ристики линеаризованной системы показаны на рис. 5.29 и 5.30. Результаты сравнения с методом модели-
рования приведены в табл. 5.7. Как и в примере 5.5, в выходном сигнале выделялась гармоника, соответст-
вующая частоте входного сигнала
Из таблицы видно, что максимальное расхождение по амплитуде составляет 0,02602%, а максималь-
ное расхождение по фазе — 0,02203%.
Глава 5. Релейные САУ
635
Рис. 5.29. Амплитудная характеристика линеаризованной релейной системы
с астатическим объектом управления
Таблица 5.7
Сравнение с методом моделирования
/, Гц	(о, рад/с		4(а>)-Л(ш)	•100%		<рэ(ш)-<р(й>)	100%
			Л(“)				
1,5	9,42478	0,01679			0,01131		
3	18,84956	0,01553			0,01085		
4,5	28,27433	0,01445			0,01066		
6	37,69911	0,01335			0,01067		
7,5	47,12389	0,01213 .			0,01082		
9	56,54867	0,01073			0,01107		
10,5	65,97345	0,00913			0,01141		
12	75,39822	0,00746			0,01191		
13,5	84,82300	0,00556			0,01249		
15	94,24778	0,00365			0,01324		
16,5	103,67256	0,00158			0,01409		
18	113,09733	0,00062			0,01498		
19,5	122,52511	0,00272			0,01604		
21	131,94689	0,00509			0,01704		
22,5	141,37167	0,00708			0,01815		
24	150,79645	0,01009			0,01905		
25,5	160,22123	0,01420			0,01972		
27	169,64600	0,01846			0,02036		
28,5	179,07078	0,02172			0,02134		
30	188,49559	0,02602			0,02203		
636 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Предложенный в пп. 5.7, 5.8 метод линеаризации является весьма простым и
удобным для практического использования. Он сводит исследование режима слеже-
ния в релейных системах управления к исследованию режима слежения в некоторой
линейной системе, а это важно для синтеза релейных систем, когда приходится
рассматривать большое число вариантов. Далее, его можно относительно Несложно
распространить на релейные системы с нелинейными объектами управления [137].
Метод ориентирован на использование его в сочетании с изложенными в пп. 5.4-5.6
точными методами исследования автоколебаний в релейных системах. Это открывает
широкие возможности для синтеза высококачественных релейных систем автомати-
ческого управления. По сравнению с методом гармонической линеаризации данный
метод является более точным и не имеет ограничений типа гипотезы фильтра.
Высокая эффективность метода подтверждается исследованиями по синтезу релей-
ных систем управления техническими объектами [137].
Рассматриваемый метод линеаризации — приближенный метод исследования.
Точность метода зависит, прежде всего, от разноса частот входного сигнала и авто-
колебаний. Накопленный опыт показывает, что метод дает хорошие результаты при
разносе частот в десять и более раз. Это также подтверждают рассмотренные выше
три примера.
Предметный указатель
637
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоколебания........................492
Автоматизированная система управления... 20
Автоматический регулятор............. 20
Автоматическая система
(см. система автоматического управления) ... 20
Автопилот............................209
Алгебра структурных преобразований... 32
-	вариант описания систем импульсными
переходными функциями............. 87
-	вариант описания систем передаточными
функциями............................. 57
- вариант описания систем уравнениями
вынужденных колебаний............... 147
Алгоритм ............................ 20
Амплитудно-частотная характеристика.. 97
Анализ качества управления............ 28
Апериодическое звено................ 105
Астатическая система.................. 32
। в тггз
Банахово пространство..................311
Вектор состояния.................... 120
Весовая функция
- дискретной системы.................430
-	дискретно-непрерывной системы.....437
-	непрерывной системы..............426
-	непрерывно-дискретной системы.....433
Вещественная частотная характеристика
замкнутой системы.................... 97
Воздействия.......................... 28
-	возмущающие...................... 28
-	задающие......................... 28
- единичное ступенчатое.............. 69
-типовые............................. 68
Вольтерра интегральное уравнение......226
Вольтерра интегральный оператор.......226
Время запаздывания.................. 118
Время управления..................... 74
Вход системы......................... 20
Входной сигнал системы............... 20
Вынужденные колебания............... 147
Выход системы........................ 20
II г	>
Гипербола Вышнеградского.............575
Гипотеза фильтра.....................575
Годограф............................ 169
Декада........................... 101
Дельта-функция (см. единичная импульс-
ная функция)...................... 87
Декремент затухания............... 75
Децибел............................ 101
Динамические характеристики
(см. также уравнение динамики).... 32
Дифференциальные уравнения
- объекта регулирования........... 32
Дифференциатор................... 117
Дифференцирующий фильтр...........206
ге---------------------------------23
Единичная импульсная функция............. 69
> ж	II
Жорданова форма................. 136
3	I
Задача управления..................... 27
Задающее устройство................... 25
Запас устойчивости
- по модулю.......................... 176
-	по фазе.......................... 176
Звено
- апериодическое (инерционное)....... 105
-	второго порядка.................. 105
-дискретное...........................439
-	дифференцирующее (форсирующее).... 117
-	запаздывающее.................... 118
- интегрирующее...................... 103
-колебательное....................... 110
-	неустойчивое апериодическое...... 105
-	первого порядка.................. 105
-	сдвига частот.....................440
-усилительное........................ 103
-	эквивалентное.................... 105
I и'"	~П1
Идеальная следящая система........... 41
Идеальный квантователь...............377
Изображение.......................... 52
Изображение функции по Лапласу....... 52
Импульсная переходная матрица........261
Импульсная переходная функция
- непрерывной системы................ 87
-	нормальная.......................242
-	параллельного соединения.........255
638
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
-	последовательного соединения.....255
-	системы с сосредоточенными
параметрами.......................... 87
- соединения с обратной связью.......256
-сопряженная.........................242
- способы вычисления................. 87
Интеграл Дюамеля..................... 90
Интеграл Коши........................261
Интегральная оценка..................508
Интегратор.......................... 103
Информация о системе................. 20
Исполнительное устройство............ 46
|| К
Качество САУ........................ 45
Качество управления................. 28
Квадратурная формула................343
Квантование.........................373
Квантователь........................437
Кибернетика......................... 26
Классификация динамических звеньев.. 103
Колебательное звено................. ПО
Контур управления................... 26
Коробочка Солодовникова.............287
Корректирующее устройство
- параллельное...................... 45
- последовательное................... 45
Коэффициент демпфирования.......... 111
Коэффициенты ошибок................ 183
Критерий
- Джури.............................457
-Гурвица........................... 161
-круговой...........................504
- Льенара-Шипара................... 163
-Михайлова......................... 169
-Найквиста......................... 172
- Попова............................503
-Рауса............................. 159
-устойчивости...................... 157
- Цыпкина...........................502
Л
Линеаризация.........................562
Логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика (ЛАЧХ)................ 99
Логарифмические частотные характери-
стики (ЛЧХ)......................... 101
-	анализ устойчивости.............. 101
-	динамических звеньев............. 101
-	метод построения.................. 101
-САУ.................................101
М
Масштабирование времени.............. 67
Математическая модель системы........ 47
Матричная передаточная функция....... 128
Матрица
- присоединенная.................... 125
- переходная....................... 122
•-Фробениуса....................... 137
-клеточная..........................298
-состояния......................... 121
Матрицант.......................... 124
Матричная экспонента..........*.....397
Матричный оператор
- дифференцирования.................355
-интегрирования.....................355
-умножения..........................355
Метод Ньютона...................... 594
Мнимая частотная характеристика..... 97
Момент функции......................313
|| н
Наблюдающее устройство............. 138
Нелинейность........................498
Нелинейный элемент................. 552
Неустойчивость..................... 150
Норма...............................312
-оператора..........................318
-спектральная.......................319
О
Обратная связь..................... 24
-вСАУ.............................. 24
- отрицательная...с................ 24
Объект управления.................. 46
Оператор...........................264
-дифференциальный..................265
-единичный.........................265
-инерционный.......................266
- интегральный.....................265
-корректный........................348
-линейный..........................265
-обратный..........................274
-ограниченный......................292
-проектирования....................611
- проекционно-матричный............294
-сдвига............................404
-системы........................... 47
-умножения.........................266
- форсирующий......................266
Операторное ядро...................232
Определитель
- Вандермонда...................... 86
-Вронского.........................259
-Гурвица.......................... 161
Оригинал........................... 53
Особая точка
- седло............................492
-	узел неустойчивый...............492
-	узел устойчивый.................492
-	фокус неустойчивый..............492
-	фокус устойчивый................492
-	центр...........................492
Отклонение регулируемой величины.... 29
Отображение.........................311
Оценка точности..................... 185
Предметный указатель
639
Параллельное соединение элементов.... 59
Параметры
-детерминированные.................... 22	•
-	системы.......................... 22
Передаточная функция
- бичастотная........................276
-	Заде.............................275
-	нестационарной системы...........275
-	нормальная.......................276
-	нули и полюсы.................... 58
-	обобщенная непрерывной системы...423
-	определение..................... 128
-	ошибки........................... 61
-	параллельного соединения......... 60
-	параметрическая..................276
-	последовательного соединения..... 59
-	сопряженная
—	бичастотная.....................425
—	дискретной системы..............427
-	- дискретно-непрерывной системы..434
-	- непрерывно-дискретной системы..431
—	непрерывной системы.............424
- стационарной системы............... 57
Перерегулирование.................... 74
Переходная характеристика системы.... 75
Переходная функция............::..... 75
Переходные процессы.................. 74
Планшереля равенство.................237
Плоскость фазовая....................492
Погрешность..........................347
Показатели качества регулирования.... 74
Показатель колебательности........... 97
Полоса пропускания................... 97
Порождающая функция..................309
Последовательное соединение элементов.... 59
Постоянная времени.................. 108
Предельный цикл......................492
Преобразование
- Лапласа............................ 52
—	дискретное......................379
-	Фурье............................ 53
Преобразования структурные........... 59
Привод............................... 25
Проблема
- моментов...........................313
-	обращения........................280
-	оригинала........................279
Проекционный метод...................291
Пространство
- банахово...........................311
-	оригиналов....................... 53
-	состояний....................... 121
Процесс
- абсолютно устойчивый...............499
-	асимптотически устойчивый........495
-	неустановившийся................. 75
-	управления...................... 191
-	установившийся................... 75
I Р	ll
Регулируемая величина................. 45
Регулятор............................. 45
Резонансная частота................... 97
Ряд
-Вольтерра............................551
-Тейлора..............................562
I с	>
Свободные колебания................. 148
Связь обратная....................... 22
Сигнал............................... 21
-	аналоговый....................... 21
-	входной.......................... 29
-	выходной......................... 29
-	главной обратной связи........... 29
-	детерминированный................ 22
-	дискретный....................... 22
-	непрерывный...................... 23
-	ошибки........................... 29
-	полезный......................... 29
-	цифровой......................... 21
Система
-	абсолютно устойчивая.............497
-	автоматического управления....... 22
-	астатическая..................... 32
-	детерминированная................ 22
-	динамическая.....................263
-дискретная..........................396
-	линейная......................... 47
-моментная...........................313
-	нелинейная.......................399
-	нестационарная...................209
-	программного управления.......... 30
-релейная............................573
-	с отрицательной обратной связью.. 22
-	следящая......................... 93
-	сопряженная......................262
-	стабилизации..................... 30
-	статическая...................... 32
-	Чебышева.........................327
Система линейная
-	вибрационных испытаний...........370
-	детерминированная................ 47
-	непрерывная...................... 47
-	нестационарная................... 48
-	с сосредоточенными параметрами... 48
-	стационарная..................... 47
-	устойчивая........................ 145
Соединение
-	параллельное..................... 59
-	последовательное................  59
Соединение элементов с отрицательной
обратной связью...................... 60
Состояние системы................... 120
Сравнивающее устройство.............. 25
Степенное преобразование.............519
Стробоскоп...........................392
Структурная схема.................... 56
640 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
Теорема
- Котельникова-Шеннона..............390
- Коши..............................247
-Сильвестра........................ 125
-Фреше............................. 551
Теория
- автоматического управления........ 27
Точность работы системы............ 108
II у	II
Управляемая переменная.............. 24
Управляющий сигнал.................. 24
Уравнение
-Вольтерра 1-го рода................226
-	Вольтерра 2-го рода.............226
-	динамики........................ 32
- ин тегральное.....................225
-линеаризованное....................569
-Лурье..............................501
-Ляпунова...........................497
-	релейного элемента...............575
-	укороченное.....................246
-Урысона............................227
-	фазового годографа..............577
-	Фредгольма 1-го рода............226
-	характеристическое.............. 85
Уравнения
-дифференциальные в форме Коши......223
Усилительное звено................. 103
Устойчивость........................451
Устройство
-управляющее........................ 45
-	задающее........................ 45
-	преобразующее................... 45
-	исполнительное.................. 46
-	корректирующее................... 45
-	измерительное.................... 46
-наблюдающее....................... 138
Фазовое пространство................492
Формула	f
- прямоугольников...................344
-Симпсона...........................344
- трапеций..........................344
Фредгольма интегральное уравнение...226
Фундаментальная матрица............ 121
Фундаментальная система............. 84
Функционал..........................311
Функциональная схема САУ............ 46
Функция Ляпунова....................493
|| X
Характеристика
-	спектральная.......................294
-	частотная амплитудная.............. 97
-	частотная амплитудно-фазовая....... 97
-	частотная вещественная............. 97
-	частотная комплексная.............. 97
-	частотная мнимая................... 97
-	частотная фазовая.................. 97
I 4	I
Частота
- колебаний........................... 74
-	сопрягающая....................... 98
-	среза............................. 98
Чебышева многочлены...................478
Чувствительность системы............. 195
Чувствительный элемент................ 18
II я
Ядерный реактор................... 36
Ядро
-Вольтерра........................551
-Дирихле..........................331
Список литературы
641
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ’
1.	Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых сис-
тем. — М.: АН СССР, 1963. — 450 с.
2.	Альперович К.С. Ракеты вокруг Москвы. — М.: Воениздат, 1995. — 72 с.
3.	Амербаев В.М. Некоторые применения ортогональных многочленов к числен-
ному обращению интеграла Лапласа И Труды 2-й Республиканской конф, по ма-
тематике и механике. — Алма-Ата: АН Каз. ССР, 1959. — С.26-38.
4.	Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова А.Н. Вычислительные методы для ин-
женеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.
5.	Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Нау-
ка, 1976. —424 с.
6.	Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического
управления с примерами на языке Matlab. — СПб.: Наука, 1999. — 467 с.
7.	Астапов Ю.М., Медведев В.С. Статистическая теория систем автоматического
регулирования и управления. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
8.	Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом про-
странстве. — М.: Наука,.1966. — 544 с.
9.	Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 312 с.
10.	Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // ДАН
СССР. — 1952. — Т.86. — №3. — С.453-458.
11.	Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных
систем управления // Автоматика и телемеханика. — 1981. — №7. — С.5-10.
12.	Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Абсолютная устойчивость систем регулирова-
ния с единственным нелинейным элементом И ДАН СССР. — 1984. — Т.276. —
№4, —С.809-812.
13.	Баркин А.И., Зеленцовский АЛ., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерми-
нированных и стохастических систем управления. — М.: МАИ, 1992. —426 с.
14.	Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука,
1987, —600 с.
15.	Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. — М.: Наука, 1976. — 576 с.
16.	Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. —
М.: Наука, 1975. — 768 с.
17.	Бирюков В.Ф., Реутов В.Ф. Метод построения решений уравнения Бутона для
класса исходных данных И Труды МВТУ. — 1975. — №190. — С.50-54.
18.	Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. —М.: Наука, 1976. — 296 с.
19.	Бородин Ю.И., Ионнисиан А.Б. Частотный метод проектирования одного класса
систем с переменными параметрами // Электричество. — 1967. — № 1. — С.43-54.
20.	Бриккер И.Н. О частотном анализе линейных систем с переменными парамет-
рами И Автоматика и телемеханика. — 1966. — №8. — С.43-54.
21.	Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулиро-
вания. — М.: Наука, 1967. — 323 с.
22.	Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. — М.: Мир,
1964, —168 с.
41 Зак. 14
642 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
23.	Васильев Д.В., Чуич В.Г. Системы автоматического управления. — М.: Высшая
школа, 1967. — 368 с.
24.	Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения. — Киев: Наукова думка,
1986, —542 с.
25.	Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: На^ка, 1977.
— 304 с.
26.	Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. 4.1, 2. — М.: Энер-
гия, 1965, 1966. —472 с., 336 с.
27.	Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука, 1971. — 248 с.
28.	Гайский В.А., Егупов НД., Корнюшин Ю.П. Применение функций Уолша в сис-
темах автоматизации научных исследований. — Киев: Наукова думка, 1993. —
212 с.
29.	Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. —- 576 с.
30.	Гелиг АЖ., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с не-
единственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. — С.45-53.
31.	Гельфанд А.О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. — 315 с.
32.	Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории
управляемых систем. — М.: Наука, 1969. — 512 с.
33.	ДАнжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез:
Пер с англ. / Под ред. Н.Т. Кузовкова. — М.: Машиностроение, 1974. — 288 с.
34.	Деруссо П., Рой Р., Клоуз. Пространство состояний в теории управления. — М.:
Наука, 1970. —620 с.
35.	Джури Э., Цыпкин Я.З. Теория дискретных автоматических систем (обзор) //
Автоматика и телемеханика. — 1970. — №6. — С.6-24.
36.	Дмитриев А.Н., Егупов НД. Анализ и синтез нелинейных систем автоматиче-
ского регулирования при помощи рядов Вольтерра и ортогональных спектров.
В кн.: Техническая кибернетика / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн.З. 4.2. —
М.: Машиностроение, 1969. — С.223-254.
37.	Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория Ба-
зовых Знаний, Юнимедиастайл, 2002. — 831 с.
38.	Егупов НД., Лапин С.В. Численный метод решения систем нелинейных диффе-
ренциальных уравнений с помощью разложения в ряды по системе Уолша //
Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. — М.:
ИПМ АН СССР, 1989. — С.174-178.
39.	Жуков В.П. О периодических режимах в нелинейных системах // Автоматика и
телемеханика. — 1981. — №7. — С.45-50.
40.	Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К. Математические основы теории
автоматического регулирования: В 2-х тт., Т.1.— М.: Высш, школа, 1977. —
518 с.
41.	Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управ-
ления. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
42.	Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
43.	Колман Р. Фалб И., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.:
Мир, 1971. — 400 с.
44.	Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. —
742 с.
45.	Карабанов В.А. О некоторых возможностях применения частотного метода к
анализу линейных динамических систем с переменными параметрами // Неко-
Список литературы 643
торые вопросы теории систем автоматического управления / Под ред. В.В. Со-
лодовникова. — М.: Оборонгиз, 1955. — С.42-54.
46.	Карабанов В.А., Севрюков А.Г. Структурные преобразования линейных САР,
основанные на использовании обратных динамических систем И Изв. вузов.
Приборостроение. — 1979. — T.XY. — №2. — С. 13-26.
47.	Катковник ВЛ., Полуэктов Р.А. Многомерные дискретные системы. — М.: Нау-
ка, 1983.
48.	Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.:
Мир, 1987, —650 с.
49.	Киселев О.Н., Попков Ю.С., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация не-
линейных стохастических систем. — М.: Энергия, 1976. — 440 с.
50.	Кисунъко Г.В. Секретная зона. — М.: Современник, 1996. — 510 с.
51.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального ана-
лиза. — М.: Наука, 1968. — 496 с.
52.	Кочетков В.Т., Половко А.М., Пономарев В.М. Теория систем управления и са-
монаведения ракет. — М.: Наука, 1964. — 536 с.
53.	Красносельский МА. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных
уравнений. — М.: Наука, 1966. — 331 с.
54.	Красносельский МА. Частотные критерии в задачах о вынужденных колебаниях
систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. — 1980. —
№9. — С.23-29.
55.	Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные за-
дачи. — М.: Наука, 1973. — 551 с.
56.	Крутько ПД. Статистическая динамика импульсных систем. —М.: Связь, 1989.
57.	Крутько ПД., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы проек-
тирования автоматических систем / Под ред. П.Д. Крутько. — М.: Связь, 1986.
— 650 с.
58.	Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. — М.:
Машгиз, 1962.
59.	Кузовков Н.Т., Карабанов В А., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы
управления и методы идентификации. — М.: Машиностроение, 1978. — 222 с.
60.	Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. — М.: Машино-
строение, 1986. — 488 с.
61.	Лапин С.В., Егупов НД. Теория матричных операторов и ее приложение к за-
дачам автоматического управления. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1996, —496 с.
62.	Лебедев АА., Карабанов ВА. Динамика систем управления беспилотными лета-
тельными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1965.
63.	Лившиц НА., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического
управления. Т.1. — М.: Советское радио, 1963. — 896 с.
л64	. Максимов М.В., Горгонов Г.И. Радиоуправление ракетами. — М.: Советское
радио, 1964. — 644 с.
65.	Манжиров А.В., Полянин АД. Методы решения интегральных уравнений: Спра-
вочник. — М.: Факториал, 1999. — 272 с.
66.	Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.:
Наука, 1972. — 176 с.
67.	Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.:
Наука, 1981. — 416 с.
41
644 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
68.	Математические основы теории автоматического регулирования. Т.1 / Под ред.
Б.К. Чемоданова. — М.: Высшая школа, 1977. — 366 с.
69.	Математические основы теории автоматического регулирования. Т.2 /Под ред.
Б.К. Чемоданова. — М.: Высшая школа, 1977. — 456 с.
70.	Машинные методы расчета и проектирования систем электросвязи и управления /
А.Н. Дмитриев, Н.Д. Егупов, А.М. Шестопалов, Ю.Г. Моисеев. — М.: Радио и
связь, 1990. — 272 с.
71.	Микоян С.А. Воспоминания военного летчика-испытателя. — М.: Издательский
дом «Техника — молодежи» при участии ФГУП РСК МиГ, 2002. — 478 с.
72.	Мита Ц., Хара С., Кондо Р. Введение в цифровое управление. — М.: Мир, 1994.
— 250 с.
73.	Михайлов Ф.А. Динамика нестационарных линейных систем. — М.: Наука,
1976. —368 с.
74.	Михайлов Ф.А., Теряев ЕД., Булеков ВЛ. Динамика нестационарных линейных
систем. — М.: Наука, 1967. — 344 с.
75.	Михайлов ФА., Теряев ЕД., Булеков ВЛ. Динамика непрерывных линейных сис-
тем с детерминированными и случайными параметрами. — М.: Наука, 1971. —
286 с.
76.	Мороз А.И. Курс теории систем. — М.: Высшая школа, 1987. — 380 с.
77.	Наумов Б.Н., Цыпкин Я.З. Частотный критерий абсолютной устойчивости про-
цессов в нелинейных системах автоматического управления // Автоматика и те-
лемеханика. — 1964. — №6. — С.852-867.
78.	Неймарк ЮЛ. Метод точечных отображений в теории нелинейных систем. —
М.: Наука, 1972.
79.	Николаев Ю.А., Петухов В.П., Феклистов Г.И. Чемоданов Б.К. Динамика циф-
ровых следящих систем. — М.: Энергия, 1970.
80.	Основы теории автоматического управления / Под ред. Н.Б. Судзиловского. —
М.: Машиностроение, 1985. — 512 с.
81.	Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. — М.: Мир, 1987. —
480 с.
82.	Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука,
1986. —616 с.
83.	Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.: Наука, 1984, —
367 с.
84.	Попков Ю.С. Достаточные характеристики нелинейных систем // Автоматика и
телемеханика. — 1970. —№3. — С.55-64.
85.	Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического
регулирования И Автоматика и телемеханика. — 1961. — №8. — С.961-979.
86.	Попов ЕЛ. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах.
— М.: Наука, 1973. —583 с.
87.	Попов ЕЛ. Теория линейных систем автоматического регулирования и управ-
ления. — М.: Наука, 1978. — 720 с.
88.	Попов ЕЛ. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управ-
ления. — М.: Наука, 1979. — 256 с.
89.	Поспелов Г.С. Динамические характеристики релейных следящих систем // Изв.
АН СССР. Техническая кибернетика. — 1965. — №3. — С.43-52.
90.	Прангишвили И.В. Микропроцессоры и микро-ЭВМ. — М.: Энергия, 1979. —232 с.
Список литературы 645
91.	Пугачев В.С. Основы автоматического управления. — М.: Наука, 1968. — 679 с.
92.	Пугачев В.С. Теория случайных функций и их применение в задачах автомати-
ческого управления. — М.: Физматгиз, 1962. — 884 с.
93.	Пузанков Д.В. Опыт разработки систем управления на основе микропроцессор-
ных модулей с регулярной структурой. —Л.: ЛДНТП, 1981.
94.	Пузанков Д.В., Балашов Е.П. Микропроцессоры и микропроцессорные системы
/ Под ред. В.Б. Смолова. — М.: Радио и связь, 1981. — 328 с.
95.	Пупков КА. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. — М.:
Высшая школа, 1974. — 416 с.
96.	Пупков К.А., Егупов НД., Коньков В.Г. Методы анализа, синтеза и оптимизации
нестационарных систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова.
— М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 684 с.
97.	Пупков К.А., Егупов НД., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, син-
теза и идентификации систем автоматического управления / Под ред.
Н.Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. — 560 с.
98.	Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нели-
нейных систем. — М.: Наука, 1976. — 448 с.
99.	Пупков К.А., Коньков В.Г. Мировоззрение управленца. — М.: Биоинформ, 1997.
— 80 с.
100.	Руднев С.А., Фалдин Н.В. Линеаризация релейной следящей системы по полезно-
му сигналу // Изв. АН РФ. Теория и системы управления. — 1998. — №2. —
С.36-43.
101.	Руднев С.А., Фалдин Н.В. О расширении области применения условия устойчи-
вости релейных систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1980. —
№5. —С. 193-196.
102.	Рыбин В.В., Семенов В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета
нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным
методом: Учебное пособие. — М.: МАИ, 1984. — 84 с.
103.	Семенов В.В. Спектральный анализ и синтез линейных систем с переменными
параметрами. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирова-
ния. Кн.З. 4.1. — М.: Машиностроение, 1969. — С.136-196.
104.	Семенов В.В. Спектральный анализ линейных систем с переменными парамет-
рами на конечных нестационарных интервалах времени // Вычислительная тех-
ника для управления производством / Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Ма-
шиностроение, 1969. — 344 с.
105.	Семенов В.В., Панин ЕД. Обобщение спектрального метода анализа линейных
систем с переменными параметрами на многомерные системы // Изв. вузов.
Приборостроение. — 1970. — №1. — С.44-58.
106.	Семенов В.В., Сивцов В.И. К определению передаточных функций непрерывно-
дискретных систем // Труды МВТУ. Системы автоматического управления. —
1978. — Вып. 5. — №265. — С.27-39.
107.	Семенов В.В., Сивцов В.И. Обобщение спектрального метода анализа неста-
ционарных систем на конечных интервалах времени на нелинейные системы с
переменными параметрами // Изв. вузов. Приборостроение. — 1969. — №12.
— С.64-68.
108.	Семенов В.В., Солодовников В.В. Спектральный анализ линейных систем с пе-
ременными параметрами на конечных нестационарных интервалах времени //
Автоматика и телемеханика. — 1968. — Т.29. — №11. — С.14-27.
646 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
109.	Сивцов В.И. Анализ линейных систем с периодической коммутацией параметров //
Изв. вузов. Приборостроение. — 1980. — №10. — С.27-30.
ПО. Сивцов В.И. Анализ линейных непрерывно-дискретных систем частотным ме-
тодом. В кн.: Спектральные методы обработки информации в научных исследо-
ваниях. — Пущино, 1980. — С.70-78.
111.	Сивцов В.И. Организация среды обучения в задачах управления И Вестник
МГТУ. Серия приборостроение. — 1993. — №3. — С.65-75.
112.	Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1. — М.: Наука, 1965. — 478 с.
113.	Солодов А.В. Линейные системы автоматического управления с переменными
параметрами. — М.: Физматгиз, 1962. — 264 с.
114.	Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными
параметрами. — М.: Наука, 1971. — 324 с.
115.	Солодовников В.В. Об одном применении операторного исчисления к динами-
ческим системам с переменными параметрами И Изв. АН СССР. ОТН. — 1945.
— №12, —С.17-40.
116.	Солодовников В.В. Частотный метод в теории автоматического регулирования И
Автоматическое управление и вычислительная техника. Вып. 8 / Под ред. В.В. Со-
лодовникова. — М.: Машиностроение, 1968. — С.44-59.
117.	Солодовников В.В., Бородин Ю.И., ИонисянА.Б. Частотные методы анализа и син-
теза нестационарных линейных систем. — М.: Советское радио, 1972. — 168 с.
118.	Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов НД. Спектральные методы расчета и
проектирования систем управления. — М.: Машиностроение, 1986. — 440 с.
119.	Солодовников В.В., Коньков В.Г., Суханов В.А. Микропроцессорные автоматиче-
ские системы регулирования / Основы теории и элементы. — М.: Высшая шко-
ла, 1991,—324 с.
120.	Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управ-
ления техническими системами. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. —
492 с.
121.	Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем
управления. — М.: Наука, 1974. — 336 с.
122.	Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральный метод расчета нестационарных сис-
тем управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1975. — 272 с.
123.	Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского.
— М.: Наука, 1987. —712 с.
124.	Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 468 с.
125.	Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. —
412 с.
126.	Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее приме-
нение. — М.: Машиностроение, 1972. — 552 с.
127.	Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. 4.1, 2. — М.:
Высшая школа, 1986. — 362 с., 382 с.
128.	Теория автоматического управления. Изд. 2 / Под ред. А.В. Нетушила. — М.:
Высшая школа, 1983. — 432 с.
129.	Техническая кибернетика / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн.1. Кн.2. Кн.З. 4.1.
— М.: Машиностроение, 1967. Кн.1 — 768 с., 1967. Кн.2 — 680 с., 1969. Кн.З —
608 с., 1969.
130.	Техническая кибернетика за рубежом / Под ред. В.В. Солодовникова. — М.:
Машиностроение, 1968. — 280 с.
Список литературы 647
131.	Тищенко Н.М. Введение в проектирование систем управления. — М.: Энерго-
атомиздат, 1986. — 248 с.
132.	Толчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирова-
ния. — М.: Машиностроение, 1977- — 720 с.
133.	ТрофимовА.И., Егупов НД., ДмитриевА.Н. Методы теории автоматического
управления, ориентированные на применение ЭВМ. — М.: Энергоатомиздат,
1997, —654 с.
134.	Ту Ю. Современная теория управления: Пер. с англ. / Под ред. В.В. Солодовни-
кова. — М.: Машиностроение, 1971. —474 с.
135.	Фалдин Н.В., Панферов Н.В. К вопросу о частотном анализе релейных систем //
Изв. вузов. Приборостроение. — 2000. — №9. — С.21-25.
136.	Фалдин Н.В., Руднев С.А. Синтез релейных систем методом фазового годографа //
Изв. вузов. Приборостроение. — 1982. —№7. — С.32-36.
137.	Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез релейного воздушно-динамического при-
вода в условиях нестационарности параметров объекта управления // Доклады
Всероссийской конференции «Проблемы совершенствования робототехниче-
ских и интеллектуальных систем летательных аппаратов». — М.: МАИ, 2002.
— С.285-289.
138.	Фельдбаум А.А. Электрические системы автоматического регулирования. — М.:
ГИОП, 1957.-—807 с.
139.	Федоров С.М., Литвинов А.П. Автоматические системы с цифровыми управ-
ляющими машинами. — М.: Энергия, 1965.
140.	Филипс У., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. — М.: Лаборато-
рия Базовых Знаний, 2001. — 615 с.
141.	Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамиче-
скими объектами. — М.: Наука, 1981.
142.	Фролов К.В. Машиностроение: Энциклопедия. — М.: Машиностроение, 2000.
— 688 с.
143.	ЦыпкинЯ.З. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука, 1977. — 650 с.
144.	Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. — М.: Наука, 1974. — 576 с.
145.	Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963. —
724 с.
146.	Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. — М.: Нау-
ка, 1973.
147.	Чуи К. Введение в вейвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
148.	Шаталов А.С. Отображение процессов управления в пространстве состояний.
— М.: Энергоатомиздат, 1986. — 256 с.
149.	Шаталов А.С. Преобразование сигналов автоматического управления. — М.-Л.:
Энергия, 1965. — 344 с.
150.	ШахназаровГ.А. Программное обеспечение расчета систем автоматического
регулирования: Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1985, —50 с.
151.	Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных
регулируемых систем. Абсолютная устойчивость вынужденных движений // Ав-
томатика и телемеханика. — 1964. — №7. — С.577-590.
152.	Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследо-
вания нелинейных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1975. —
С.177-182.
648
Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
СОДЕРЖАНИЕ
ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ....................................... 5
ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ТОМУ ......................................... 11
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР .................................. 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ .................................. 15
ГЛАВА 1.	ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ, УСТОЙЧИВОСТЬ, КАЧЕСТВО РАБОТЫ
В ПЕРЕХОДНОМ И УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМАХ ................. 19
1.1.	Фундаментальные положения, определяющие принципы
И КАЧЕСТВО УПРАВЛЕНИЯ, ОБОБЩЕННУЮ СХЕМУ (КОНФИГУРАЦИЮ)
САУ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ (ОПЕРАТОР СИСТЕМЫ);
ИДЕОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ....................... 20
1.1.1.	Задачи управления. Обобщенная схема системы
автоматического управления.....................у........... 20
1.1.2.	Примеры систем автоматического управления.
Статические и астатические системы......................... 23
1.1.3.	Фундаментальные принципы управления.
Понятия устойчивости и качества управления.......... 27
1.1.4.	Примеры технических, биологических
и экономических систем..................................... 34
1.1.5.	Процесс создания систем автоматического управления . 45
1.2.	Математическое описание линейных стационарных систем:
ПЕРЕДА	ТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ......................... 52
1.2.1.	Преобразование Лапласа............................... 52
1.2.2.	Передаточная функция и ее свойства................... 56
1.2.3.	Аппарат структурных преобразований. Передаточные
функции и уравнения замкнутых систем....................... 59
1.2.4.	Масштабирование времени.............................. 67
1.3.	Переходная характеристика системы, переходный процесс,
ПЕРЕХОДНЫЙ (ДИНАМИЧЕСКИЙ) И УСТАНОВИВШИЙСЯ (СТАТИЧЕСКИЙ)
режимы работы САУ...................................... 68
1.4.	Математическое описание линейных стационарных систем:
ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ.................. 86
1.5.	Математическое описание линейных стационарных систем:
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ............................ 96
1.6.	Элементарные звенья стационарных систем
И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ............................ 103
1.7.	Описание стационарных систем автоматического
УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ........................ 120
1.7.1.	Понятие состояния................................... 120
1.7.2.	Описание непрерывных линейных стационарных систем
в пространстве состояний...................................121
1.7.3.	Матрица перехода и матрица ИПФ......................121
1.7.4.	Передаточные функции................................127
1.7.5.	Нули и полюсы.......................................134
1.7.6.	Реализация систем в пространстве состояний..........135
Содержание 649
1.8.	Изучение структуры выходного сигнала системы
и постановка основных задач исследования линейных
стационарных САУ С ОБРАТНОЙ связью ............................143
1.9.	Методы исследования устойчивости линейных стационарных
систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости..........150
1.9.1.	Теоретические положения..............................150
1.9.2.	Критерий устойчивости Рауса .........................158
1.9.3.	Критерий Гурвица.....................................160
1.9.4.	Критерий Льенара-Шипара..............................163
1.9.5.	Частотные критерии устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости.............166
1.9.6.	Анализ устойчивости одноконтурных систем
автоматического управления по их частотным
характеристикам......................................174
1.9.7.	Запасы устойчивости систем по модулю	и фазе .........176
1.9.8.	Определение областей устойчивости....................178
1.10.	Методы исследования качества работы САУ
В ПЕРЕХОДНОМ и установившемся режимах .........................180
1.10.1.	Анализ переходных процессов..........................180
1.10.2.	Исследование точности работы систем
в установившемся режиме .............................180
1.10.3.	Приближенное исследование точности работы
системы в установившемся режиме......................182
1.10.4.	Точность работы систем при наличии возмущений........185
1.11.	Обратная связь и качество управления ....................190
1.11.1.	Чувствительность САУ к изменению параметров .........194
1.11.2.	Влияние ООС на параметры переходной
характеристики системы...............................196
1.11.3.	Влияние ООС на значение установившейся ошибки
системы..............................................198
1.11.4.	Влияние ООС на процесс снижения различного рода
возмущений...........................................199
1.11.5.	Общие выводы.........................................199
1.12.	Передаточные функции, импульсные переходные функции,
частотные характеристики систем с распределенными
ПАРАМЕТРАМИ И С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ .................................199
ГЛАВА 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ .........................................................205
2.1.	Математические модели нестационарных САУ
В ФОРМЕ СКАЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................205
2.1.1.	Примеры простейших нестационарных систем
и их дифференциальные уравнения.............................., 205
2.1.2.	Примеры сложных нестационарных систем
автоматического управления
и их дифференциальные уравнения......................209
2.1.3.	Метод уравнивающих операторов........................213
2.1.4.	Математическая модель системы управления
самонаводящейся ракеты в форме скалярного
дифференциального уравнения .................................218
2.2.	Математические модели нестационарных САУ, заданные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОШИ .........223
2.3.	Математические модели нестационарных систем в форме
СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .........225
2.3.1.	Общие положения .....................................225
2.3.2.	Интегральные уравнения 1-го и 2-го рода с операторными
ядрами, описывающие поведение линейных скалярных
нестационарных систем автоматического управления
на промежутке [0,7] .........................................229
650 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
2.3.3.	Интегральные уравнения 1-го и 2-го рода с операторными
ядрами, описывающие поведение САУ с запаздыванием............232
2.3.4.	Интегральные уравнения 1-го рода с операторными
ядрами, описывающие поведение линейных скалярных ,
нестационарных систем автоматического управления
на промежутке [0, оо ]..............................236
2.3.5.	Векторно-матричные интегральные уравнения 1-го рода
с операторными ядрами, эквивалентные системе ДУ,
записанной в нормальной форме Коши..........................240
2.4.	Импульсные переходные функции нестационарных систем.
Математическая модель САУ в форме скалярного интеграла Коши.....241
2.4.1.	ИПФ некоторых элементарных звеньев..................253
2.4.2.	ИПФ основных соединений.............................255
2.5.	Математические модели нестационарных САУ
В ФОРМЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ ....................258
2.5.1.	Некоторые свойства МП...............................262
2.6.	Математическое описание линейных нестационарных систем
С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРОВ....................................264
2.6.1.	Операторы стандартных соединений
нестационарных звеньев .....................................267
2.7.	Математические модели нестационарных систем
В ФОРМЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ...........................275
2.7.1.	Сравнение для стационарных и нестационарных систем...277
2.8.	Исследование устойчивости линейных нестационарных систем.281
2.8.1.	Устойчивость ЛНС относительно начальных условий......281
2.8.2.	Связь понятий устойчивости ЛНС относительно
начальных условий...........................................284
2.8.3.	Устойчивость ЛНС относительно управления............285
2.8.4.	Устойчивость ЛНС на конечном интервале..............286
2.9.	Проекционные методы математического описания
И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ (СТАЦИОНАРНЫХ
И НЕСТАЦИОНАРНЫХ) СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ............291
2.9.1.	Математические модели линейных САУ в форме
уравнений с проекционно-матричными операторами......292
2.9.2.	Метод проекционно-матричных операторов
детерминированного анализа ЛНС...............................307
2.9.3.	Построение выходных сигналов ЛНС с помощью решения
проблемы моментов методом порождающих функций................309
2.10.	Сеточные методы математического описания
И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ (СТАЦИОНАРНЫХ
И НЕСТАЦИОНАРНЫХ) СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ...........343
2.10.1.	Квадратурные формулы ...............................343
2.10.2.	Решение скалярных интегральных уравнений
с операторными ядрами методом квадратур.............345
2.10.3.	Решение векторно-матричных интегральных уравнений
с операторными ядрами методом квадратур.............353
2.10.4.	Сеточно-матричные операторы, полученные
методом квадратур ..................................355
ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ С ЭВМ...................................................369
3.1.	Примеры систем автоматического управления с ЭВМ ........370
3.1.1.	Система управления вибрационными испытаниями........370
3.1.2.	Бесплатформенная инерциальная система управления
ориентацией подвижного объекта..............................372
3.2.	Особенности систем управления с ЭВМ.....................372
3.3.	Квантование непрерывных сигналов........................373
3.3.1.	Математическое описание процесса квантования
непрерывных сигналов .......................................373
Содержание 651
3.3.2.	Идеальный квантователь ..................................377
3.3.3.	Дискретное преобразование Лапласа, Z-преобразование
и их свойства ...................................................379
3.3.4.	Теорема Котельникова-Шеннона. Эффект	поглощения
частот. Предварительная фильтрация.......................390
3.3.5.	Восстановление сигналов..................................393
3.4.	Дискретные системы...........................................394
3.4.1.	Дискретные модели непрерывных систем,
заданных уравнениями состояния...........................394
3.4.2.	Дискретная модель непрерывной системы
с экстраполятором нулевого порядка ...............................396
3.4.3.	Модели систем с запаздыванием............................398
3.4.4.	Преобразование моделей в пространстве состояний .........399
3.4.5.	Операторный метод описания систем .......................404
3.4.6.	Связь уравнений состояний с передаточными функциями .....405
3.4.7.	Импульсные переходные и передаточные функции
импульсной и дискретной систем автоматического
управления........................................................409
3.4.8.	Частотные характеристики импульсных и дискретных
систем............................................................416
3.4.9.	Связь s- и z-плоскостей и влияние расположения полюсов
на временные характеристики .......................................................420
3.5.	Описание нестационарных непрерывно-дискретных систем
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ...............................422
3.5.1.	Системные характеристики линейных динамических
звеньев...........................................................422
3.5.2.	Передаточные функции элементарных и типовых звеньев......437
3.5.3.	Характеристики соединений непрерывно-дискретных
звеньев...........................................................441
3.5.4.	Уравнения для определения передаточных функций...........450
3.6.	Анализ дискретных систем.....................................455
3.6.1.	Устойчивость линейных дискретных систем..................455
3.6.2.	Алгебраические критерии устойчивости линейных
дискретных систем................................................457
3.6.3.	Критерии устойчивости в частотной области................458
3.6.4.	Исследование устойчивости методом функций Ляпунова ......463
3.6.5.	Оценка качества управления...............................464
3.7.	Анализ нестационарных непрерывно-дискретных систем
методом интегральных преобразований.................................466
3.7.1.	Анализ непрерывно-дискретных систем
при детерминированных воздействиях................................467
3.7.2.	Непрерывно-дискретные системы
с многократным синхронным прерыванием ............................472
3.7.3.	Анализ непрерывно-дискретных систем с особой точкой......478
3.7.4.	Системы с периодической коммутацией параметров ..........482
3.7.5.	Замечания об устойчивости непрерывно-дискретных
систем ..........................................................485
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ: МОДЕЛИ,
УСТОЙЧИВОСТЬ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ,
РАСЧЕТ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ..............................................491
4.1.	Описание основных моделей....................................491
4.2.	Устойчивость и функции Ляпунова..............................493
4.3.	Устойчивость линеаризованных систем..........................495
4.4.	Задача об абсолютной устойчивости............................497
4.5.	Метод априорных интегральных оценок и частотные критерии.....502
4.6.	Обобщение задачи об абсолютной устойчивости..................505
4.7.	Связь метода Ляпунова с частотными методами..................506
652 Математические модели, динамические характеристики и анализ САУ
4.8.	Интегральные оценки......................................508
4.9.	Периодические движения и автоколебания...................509
4.10.	Метод гармонического баланса.............................514
4.11.	Метод степенных преобразований........................♦..518
4.11.1.	Степенное преобразование координат...................518
4.11.2.	Алгебра степенных преобразований.....................521
4.11.3.	Иерархия моделей нелинейной системы управления.......526
4.11.4.	Анализ устойчивости нестационарных моделей...........529
4.11.5.	Сравнение с круговым критерием ......................533
4.11.6.	Устойчивость неавтономных систем.....................535
4.11.7.	Устойчивость дискретных систем ......................539
4.11.8.	Квадратичные связи в стационарных системах ..........541
4.11.9.	Критерий устойчивости стационарных систем............544
4.11.10.	Сравнение с критерием Попова.........................546
4.11.11.	Оценки качества......................................547
4.12.	Метод функциональных рядов математического описания
и исследования класса нелинейных систем.........................549
4.12.1.	Общие положения ......................................549
4.12.2.	Описание нелинейных систем функциональными
рядами Вольтерра..............................................551
4.13.	Методы линеаризации математических моделей систем
автоматического управления .....................................561
4.13.1.	Линеаризация вблизи опорной траектории...............561
4.13.2.	Линеаризация функциональных преобразователей.........561
4.13.3.	Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений....565
4.13.4.	Линеаризация систем нелинейных
дифференциальных уравнений...........................566
4.13.5.	Линеаризация Ньютона-Канторовича.....................567
ГЛАВА 5. РЕЛЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
ФАЗОВЫЙ ГОДОГРАФ СИСТЕМЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ,
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ ...........................573
5.1.	Уравнение простейшей релейной системы....................573
5.2.	Фазовый годограф релейной системы........................576
5.3.	Существование фазового годографа.........................580
5.4.	Построение фазового годографа и определение
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ДЛЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ДВУХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ...........................587
5.5.	Определение периодических движений в релейных системах
С ТРЕХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ...........................596
5.6.	Устойчивость ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ....................  604
5.6.1.	Двухпозиционный релейный элемент.....................605
5.6.2.	Трехпозиционный релейный элемент.....................611
5.7.	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
С ДВУХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ...........................615
5.7.1.	Определение производных..............................619
5.7.2.	Частотный способ линеаризации........................622
5.8.	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ПОЛЕЗНОМУ СИГНАЛУ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
С ТРЕХПОЗИЦИОННЫМ РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ...........................624
5.8.1.	Линеаризация релейного элемента......................624
5.8.2.	Определение производных R-характеристик..............626
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ...............................................637
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
641
653
TEXTBOOK ANNOTATION
•
The textbook “Methods of Classic and Modem Control Theory” includes five volumes:
Volume I — “Description and Analysis of Automatic Control Systems”
Volume II — “Stochastic Dynamics of Automatic Control Systems”
Volume III — “Controllers Design”
Volume IV — “Automatic Control Systems Optimization Theory”
Volume V — “Methods of Modern Control Theory”
I.	Characteristic features of the textbook
1.	This textbook is addressed to the wide range of readers:
a)	The beginning control theory students. It should be mentioned that this subject may be both
an obligatory one evaluating the level of engineer’s proficiency and an optional one.
b)	Students and specialists resuming studies in the field of control theory because of expanding
range of problems concerned with automation processes.
c)	Students and specialists who want to refresh their knowledge by studying a part of the text-
book that has not been included into engineering specialities curriculum.
The readers are to choose the material according to a particular tasks a), b), c) and to general cur-
riculum opportunities. Taking into consideration the purpose of the textbook it should be noted that it
presents sufficient material to make a proper choice.
2.	Material introduction methods
The textbook attempts to provide readers with knowledge of control theory methods from funda-
mental concepts of control theory (control aims and concepts, control systems analysis, systems clas-
sification, analysis and synthesis of the main tasks and others) to its state-of-the-art issues. Getting a
deep insight into the problems of control theory is impossible within the framework of current sylla-
bus, that’s why the subject matter of some trends has not been included into this textbook.
3.	The level of readers’ mathematical background
The authors have tried to set out the material in a simple and readily available form.
A scope of knowledge of higher mathematics necessary for understanding the contents corre-
sponds to the syllabus for earlier stages of tuition at higher technical educational institutions.
The textbook implements concepts of functional analysis. The necessary information is given in
corresponding section of the textbook. Owing to language application and the results of functional
analysis bring about the more thorough discussion of the essence of each method, the opportunity of
obtaining in-depth theoretical information as well as correlation of methods that seem entirely differ-
ent at first sight.
4.	Technical trend of the textbook
The subject matter of the textbook is given from the engineering point of view. The author
stresses the main ideas of forming basis of methods but does not always adduce strict methodologi-
cal proofs. The textbook is supposed to find simpler methods for solving practical tasks. Besides, the
presentation of the materials is intended to help students realize the practicality of described methods.
In most cases the methods are reduced to computing algorithms. Tables and other additional ma-
terials are available to facilitate their application.
The main merit of the textbook is the outline of the use of particular control systems in the atomic
industry for thermotechnical processes control:
•	The textbook presents principal, functional and structural circuits of the system.
•	It illustrates the calculations using particular algorithms.
♦	It gives the analysis of the results, etc.
It is impossible to study control theory without mastering the engineering aspect. That is why the
engineering aspect of formulating and solving practical tasks is emphasized throughout the course.
5.	“Computing colouring” of the material
The contents of the book is characterized by a certain “computing colouring” because present-day
computers make it possible to reduce greatly automatic control systems designing time, stressing thus
the significance of numerical methods in automatic control theory.
654
The author of the textbook has tried to take into account that the computer-aided control system
design depends on many factors:
•	The adequacy degree of system mathematical model.
•	The efficiency degree of numerical methods used in algorithmic support.	•
•	The availability of high-quality software.
•	The extent of using the creative ability of the researcher-designer.
II. The contents
1.	Mathematical models of automatic control systems
The problems of mathematical description of singular and nonsingular linear and nonlinear con-
trol systems, systems with distributed constants, continuous discrete systems are considered in the
textbook in detail. Much attention is paid to the state space method in linear systems which gives
basically new possibilities of the system analysis and control laws synthesis. The description by Vol-
terra series is described in nonlinear system class.
2.	Deterministic analysis of automatic control systems
The system theory methods has been studied to solve the following problems:
a). The investigation of the steady-state singular, nonstationary and nonlinear systems:
-	the criteria of stability are considered in detail;
-	much attention is paid to nonlinear system class;
(The original material concerning the problems of stability is given in the corresponding chapter.)
b). The analysis of system performance in unstable mode and creation of output processes.
c). The investigation of performance accuracy in stable mode.
3.	Statistic analysis of automatic control systems
The textbook deals with technical methods of the broad class ACS statistic research, including
nonlinear and stochastically disturbed systems.
4.	Filtration and control systems statistical synthesis
This chapter includes the following methods:
a)	. Optimal filter synthesis on basis of Kolmogorov-Wienner’s theory as well as R. Caiman and
R. Busy.
b)	. Synthesis of optimal observers.
c)	. Synthesis of optimal analytical and nonlinear filters, described by Volterra series, etc.
5.	Numerical methods of complex control system analysis under deterministic and stochastic
inputs
Matrix operator method forms the basis for computer-aided control system investigation useful
for algorithmization and programming.
6.	Control objects identification
Formulation of identification problem for linear and nonlinear objects classes, its main aspects
and engineering approach to its solution are outlined in this textbook.
7.	Control system synthesis based on quality (controller synthesis)
Alongside with traditional methods of controller synthesis (frequency, modal control, dynamic
compensation methods etc.), great attention is devoted to the application of mathematical program-
ming due to the fact, that it determines general approach to optimization problems solution and is
computer-aided.
8.	Synthesis of optimal automatic control systems
The following problems were analysed:
a)	. Basis principles of calculus of variations;
b)	. Pontryagin’s maximal principle including the problem of state variables;
c)	. Dynamic programming; .
d)	. Linear-quadratic problems;
e)	. Method of moments;
f)	. Mathematical programming as applied to optimal program controls development.
9.	Methods of up-to-date CAD theory
Methods include rough control systems synthesis, H-control theory and robust methods as well as
the problems of multi-object and multi-criteria systems optimization as well as application of effec-
tive compromises, calculation tasks and design of adaptive and intellectual control systems, differen-
tial geometry methods application for control theory, etc.
Учебное издание
Александр Иванович Баркин
Виктор Григорьевич Коньков
Лев Тихонович Милов
Виктор Михайлович Рыбин
Адольф Иванович Трофимов
Олег Васильевич Шевяков
Константин Александрович Пупков
Николай Дмитриевич Егупов
Евгений Михайлович Воронов
Юрий Петрович Корнюшин
Юрий Игоревич Мышляев
Владислав Иванович Сивцов
Николай Васильевич Фалдин
МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В пяти томах
Том 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И АНАЛИЗ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Редакторы С.Н. Капранов, К.Ю. Савинченко
Корректоры Н.Г. Варварская, А.В. Жарков
Компьютерная верстка A.JI. Репкин, М.Р. Фишер
Изд. лиц. №020523 от 25.04.97. Подписано в печать 28.01.2004.
Формат 70х 100 1/16. Печ. л. 41. Усл. печ. л. 53.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 2500 экз. Заказ №14
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским отделом
филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана в г. Калуге
совместно с Издательским домом «Манускрипт»
Отпечатано с готового оригинал-макета в ГП «Облиздат»
248640, г. Калуга, пл. Старый Торг, 5
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
совместно с Издательским домом «Манускрипт»
предлагает Вашему вниманию
цикл учебников и учебных пособий
«Методы теории автоматического управления»
Подготовлен к изданию: Учебник для вузов в 5-ти томах, рекомендо-
ванный Министерством образования РФ: К.А. Пупков, Н.Д. Егупов
и др. «Методы классической и современной теории автоматического
управления». Под ред. К.А. Пупковаи Н.Д. Егупова; издание второе,
переработанное и дополненное.
1-й том: Математические модели, динамические характеристики
и анализ систем автоматического управления',
2-й том: Статистическая динамика и идентификация систем ав-
томатического управления',
3-й том: Синтез регуляторов систем автоматического управления',
4-й том: Теория оптимизации систем автоматического управления',
5-й том: Методы современной теории автоматического управления.
Вышли в свет:
1.	Учебник для вузов, рекомендованный Министерством образования:
К.А. Пупков, Н.Д. Егупов и др. «Методыробастного, нейро-нечет-
кого и адаптивного управления». Под ред. Н.Д. Егупова. Твердый
переплет, золотое тиснение, 744 с.
2.	К.А. Пупков, ВТ. Коньков. «Интеллектуальные системы». Мягкая
обложка, 348 с.
3.	Учебное пособие, рекомендованное УМО вузов: Е.А. Микрин.
«Бортовые комплексы управления космическими аппаратами
и проектирование их программного обеспечения». Твердый пере-
плет, золотое тиснение, 336 с.
ф Готовятся к изданию в 2004 г.:
1.	В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко и др. «Нелинейные системы',
геометрические методы анализа и синтеза».
2.	К.А. Пупков, Н.Д. Егупов и др. «Нестационарные системы', иссле-
дование, синтез и оптимизация».
3.	К.А. Пупков, В. И. Капалин. «Идентификация систем человек-
машина».
Эти учебники, а также другие книги
Издательства МГТУ им. Н.Э. Баумана Вы сможете приобрести
в Издательском доме «Манускрипт»
248000, г. Калуга, ул. Баженова, 4
Тел./факс (0842) 57-31-87
E-mail: id_manuskript@mail.ru
Электронный магазин: www.manuskript.ru