МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл учебников и учебных пособий
основан в 1997 г.
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора
К.А. Пупкова

МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебник в трех томах
Т0М1
АНАЛИЗ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук,
профессора Н.Д. Егупова
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным
и приборостроительным специальностям
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2000

УДК 681.5:681.3(075.8)
ББК 14.2.6
М54
Рецензенты:
1. Академик РАН Е.П.Попов;
2. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники,
электроники и автоматики (заведующий кафедрой, член-корреспондент
РАН ЕД. Теряев).
Авторы:
Д-р техн. наук, проф. К А. Пупков, д-р техн. наук, проф. АЖБаркин,
д-р техн. наук Е.М. Воронов, д-р техн. наук, проф. НД, Егупов, канд. техн.
наук, доц. ВТ. Коньков, канд. техн. наук, доц. В.Н, Пилишкин, канд. техн.
наук, доц. В.И. Сивцов, д-р техн. наук, проф. А.И. Трофимов, д-р техн.
наук, проф*. Н.В. Фалдин
М54 Методы классической и современной теории автоматического управления:
Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического
управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000,
- 748 с, ил.
ISBN 5-7038-1578-9 (T.I)
ISBN 5-7038-1579-7
В первом томе учебника изложены основные положения классической теории
автоматического управления: основные понятия и принципы управления, методы математического
описания стационарных, нестационарных и нелинейных непрерывных систем и исследования их
устойчивости и качества процессов управления; подробно рассмотрен метод пространства
состояний. С необходимой степенью глубины приведены разделы статистической динамики
линейных и нелинейных систем и описаны методы фильтрации сигналов (фильтры Колмогорова -
Винера, фильтры Калмана - Бьюси). Значительное внимание уделено построению алгоритмов
для ЭВМ, рассчитанных на применение при решении задач расчета и проектирования сложных
САУ. Показана возрастающая роль функционально-аналитических методов, языка и результат
тов функционального анализа.
Отдельная глава посвящена изложению методов идентификации линейных и нелинейных
объектов управления. Большинство глав сопровождается задачами, решение которых помогает
глубже усвоить излагаемый материал.
С достаточной полнотой изложен материал, связанный с описанием и анализом непрерывно-
дискретных систем. Материал является частью общего курса теории автоматического управления,
читаемого студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ТулГУ, ОИАТЭ и других вузов,
Учебник предназначен для студентов вузов. Может быть ^полезен аспирантам и инженерам,
а также научным работникам, занимающимся автоматическими системами,
УДК 681.5; 681.3 (075.8)
ББК 14.2.6
TCDiNj с тп*в 1 сто о/тп © Пупков К.А., Баркин А.И., Воронов Е.М. и др., 2000
lbBJN Э-7О38-1378-У (1.1) о мггу им н э Баумана> 2000
ISBN 5-7038-1579-7 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000

Нашим учителям
посвящается.
ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ
I. Особенности учебника.
Учебник издается в трех томах, состоящих из четырех частей и заданий для
самостоятельной работы. Для него характерно следующее:
1. Учебник охватывает основные положения, составляющие содержание
теории автоматического управления. Изложение материала начинается с
основных понятий и определений (сущность проблемы автоматического управления,
определение системы управления, фундаментальные принципы управления, основные
виды и законы автоматического управления и др.) и заканчивается детальным
рассмотрением содержания некоторых современных направлений теории
автоматического управления.
Поскольку курс теории автоматического управления включен в учебные планы
различных инженерных специальностей и является одним из важнейших элементов
общетехнического образования, учебник может быть рекомендован студентам,
заново приобретающим знания в области теории автоматического управления, и
специалистам, которым приходится эти знания восстанавливать. Учебником могут
пользоваться также студенты тех специальностей, для которых-курс является
профилирующим, определяющим квалификацию инженера.
При изучении курса студент или специалист должен сделать выборку материала,
определяемого конкретной задачей и возможностями общего плана обучения.
2. Содержание учебника имеет инженерную направленность, поэтому
изложение ведется с инженерной точки зрения, подчеркиваются главные идеи, лежащие в
основе методов, но не всегда приводятся строгие математические доказательства.
Учитывая, что без освоения технического аспекта изучение методов теории автоматического
управления не приводит к нужному результату (часто имеют место трудности в
постановке и решении инженерных задач даже при хороших знаниях теоретических
положений), физическая и содержательная сторона дела подчеркивается в течение
всего курса. Более того, значительное внимание уделено рассмотрению конкретных
промышленных систем управления. Например, в главе 6 тома 2 рассмотрены
системы управления теплоэнергетическими параметрами атомных электростанций; в
заданиях для самостоятельной работы описаны системы управления, применяемые в
атомной промышленности. Примеры, иллюстрирующие теоретические положения и
методы расчета, тесно связаны с решением конкретных инженерных задач в таких
отраслях, как атомная энергетика, производство летательных аппаратов и др.
3. Методы теории автоматического управления, рассмотренные в учебнике, в
большинстве своем ориентированы на применение ЭВМ.
Интенсивное развитие процессов автоматизации проектирования систем
автоматического управления, обусловленное развертыванием высокопроизводительных
вычислительных комплексов в проектно-конструкторских организациях,
перемещение центра тяжести процесса проектирования от аппаратного обеспечения к
алгоритмическому и программному обеспечению приводят к необходимости разработки
нового методологического обеспечения, включая соответствующие вычислительные
технологии [156].

Предисловие
Для содержания книги характерна, в известной мере, «вычислительная окраска»,
поскольку возможности современных ЭВМ позволяют значительно ускорить сроки
проектирования САУ и, таким образом, налагают свой отпечаток на вычислительную
часть ТАУ. Успех в решении поставленных задач расчета и проектирования с
использованием ЭВМ зависит от многих факторов, основными из которых являются:
степень адекватности математической модели системы; степень эффективности
численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспечении; наличие
высококачественного программного обеспечения, от того, насколько успешно
используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом решающий
фактор остается за человеком, который может решать многие неформализованные
задачи.
Поскольку систе,\Я>1 автоматизированного проектирования (САПР) являются в
настоящее время одним из наиболее эффективных средств повышения
производительности инженерного труда и научной деятельности, сокращения сроков и улучшения
качества разработок, то в главе 8 (том 1) кратко отражены соответствующие положения, в
том числе изложены численные методы (аппарат матричных операторов).
Рассмотренное в трехтомнике методологическое обеспечение, ориентированное
на применение ЭВМ, может служить базой для решения весьма сложных задач
инженерного проектирования САУ.
4. В учебнике с единых позиций изложены как основные методы классической
ТАУ, так и положения, определяющие содержание некоторых современных
направлений теории управления.
При рассмотрении материала учитывался тот факт, что периодизация развития
ТАУ не является установившейся и общепринятой [156].
К классическим можно отнести положения, базирующиеся на рассмотрении ли=
нейных и нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными и
переменными коэффициентами применительно к описанию систем, исследованию их
устойчивости и качества процессов.
К классическим положениям также можно отнести и описание процессов в
пространствах состояний, поскольку в классической теории широко применялось
описание движения в фазовом пространстве.
В конце пятидесятых - начале шестидесятых годов появились известные работы
Л.С. Понтрягина, Р. Белмана, Р. Калмана, в которых заложены основы теории
оптимального управления: принцип максимума, динамическое программирование,
функционально-аналитические методы и др. Хорошо известно, что многие идеи теории
оптимального управления сформировались на инженерном уровне в классический
период ТАУ.
Важнейшие результаты теории оптимального управления можно отнести к
классическим положениям ТАУ.
Все указанные положения с необходимой глубиной и полнотой изложены в
первых двух томах учебника.
Методы современной ТАУ, интенсивно разрабатываемые в настоящее время и
включающие аппарат синтеза грубых систем автоматического управления в про^
странстве состояний, Я00 -теорию оптимального управления, задачи оптимизации
многообъектных многокритериальных систем с использованием стабильно*
эффективных компромиссов, синтез систем автоматического управления
методами дифференциальной геометрии (геометрический подход), а также задачи
исследования и проектирования адаптивных систем отражены в 3-м томе учебника,
Таким образом, учебник охватывает наиболее важные разделы теории
автоматического управления, вместе с тем он не претендует на всесторонний охват
проблематики теории автоматического управления. Не затронуты такие важные направления,
как инвариантность, теория чувствительности, методы и алгоритмы оценивания ди-

Предисловие
намических процессов, идентифицируемость и методы и алгоритмы идентификации
(отражены лишь содержание проблемы и подходы к ее решению), системы со
случайной структурой, стохастические системы, теория нелинейной фильтрации, теория
хаоса.
5. Основное содержание и структуру учебника определил коллектив авторов,
включающий представителей разных российский школ науки об управлении:
К.А.Пупков (МГТУ им. Н.Э.Баумана), А.И.Баркин (Институт системного анализа
РАН), Е.М. Воронов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Н.Д. Егупов (МГТУ им. Н.Э. Баумана),
В.Г. Коньков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.П. Курдюков (Институт проблем
управления РАН), Л.Т. Милов (Московский государственный автомобильно-дорожный
институт (МАДИ)), В.Н. Пилишкин (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.И. Рыбин (Московский
государственный инженерно-физический институт (МИФИ)), В.И. Сивцов (МГТУ им.
Н.Э. Баумана), Я.В. Слекеничс (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)),
А.И. Трофимов (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)), Н.В. Фалдин
(Тульский государственный университет); этими авторами написана большая часть
трехтомника.
И. Методические вопросы. Необходимо указать, что никакой учебник не может
дать окончательных рецептов для решения широчайшего спектра задач,
порожденных практикой проектирования сложных систем автоматического управления;
Изложенный в книгах материал призван служить базой, фундаментом,
позволяющим с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач
практики.
Вместе с тем материал излагается таким образом, чтобы читателю были видны
пути практического применения рассматриваемых методбв. В большинстве своем
методы доведены до расчетных алгоритмов, приводятся таблицы и другой
вспомогательный материал, облегчающий их применение. Положения, изложенные во всех
разделах, иллюстрируются подробно рассмотренными примерами, связанными с
задачами расчета и проектирования конкретных систем.
Весьма важным является вопрос методики изучения курса «Теории автоматического
управления» с целью стать специалистом в этой области, пользуясь циклом учебных
пособий и учебников, издаваемых указанным выше коллективом авторов.
Весь цикл учебников и учебных пособий можно условно разбить на три серии:
1 серия - базовая; эта серия включает три тома настоящего учебника.
2 серия - базовая повышенного уровня, в которой основное внимание уделено
глубокому и достаточно полному изложению методов, определяющих, содержание
современных направлений теории автоматического управления.
3 серия - серия учебных пособий, посвященная полному и глубокому изложению
теоретических положений конкретных направлений ТАУ, например, статистической
динамике нелинейных САУ и др.
Сказанное выше иллюстрируется рис. В.1.
Базовый уровень приобретается изучением предлагаемого учебника, в котором
систематически изложены методы классической и современной теории управления и дано
достаточно полное представление о проблематике и путях развития науки об
управлении техническими объектами.
Содержание каждого из томов учебника серии базового уровня иллюстрируется
рис. В.2.
После освоения базового уровня можно приступить к специализации в той или
другой области теории автоматического управления, изучая соответствующие тома 2-й
серии, а также статьи и монографии по специальным проблемам теории управления.

Цикл: Методы теории
автоматического управления
1
i
Том 1: Анализ и статистическая
динамика систем автоматического
управления.
М: Изд-во МГТУ, 2000. - 748 с.
♦
Том 2: Синтез регуляторов
и теория оптимизации систем
автоматического управления
*
Том 3: Методы современной теории
автоматического управления
1-я серия учебников "Методы
классической и современной теории
автоматического управления" - серия
базового уровня
1
Том 1: Методы синтеза
оптимальных систем автоматического
управления. М.: Изд-во МГТУ, 2000.- 512 с.
♦
Том 2: Оптимизация многообъектных
многокритериальных систем
*
и интеллектуальные системы
автоматического управления
2-я серия учебников - серия
повышенного базового уровня
1
К.А. Пупков, Н.Д. Егупов,
А.И. Трофимов. Статистические
методы анализа, синтеза и
идентификации нелинейных систем
автоматического управления.
М.: Изд-во МГТУ, 1998.- 562 с.
К.А. Пупков, Н.Д. Егупов,
В.Г. Коньков. Методы анализа,
синтеза и оптимизации
нестационарных систем
автоматического управления.
М.: Изд-во МГТУ, 1999.- 684 с.
3-я серия - серия учебных пособий,
в которых отражены конкретные
направления ТАУ
(специализация)
Рис В.1

Предисловие
1 том: Анализ и статистическая динамика
систем автоматического управления
1
Математическое описание классов систем, отраженных
на приводимой ниже структурной схеме
1. САУ; 2. Линейные САУ; 3. Нелинейные САУ; 4. Непрерывные САУ;
5. Дискретные САУ; 6. Непрерывно-дискретные САУ; 7. Стационарные САУ;
8. Нестационарные САУ; 9. САУ с сосредоточенными параметрами;
10. САУ с распределенными параметрами
±
Анализ и статистическая динамика САУ

Детерминированный анализ систем:
1. Устойчивость,
2. Качество в
переходном
режиме,
3. Качество в
установившемся
режиме и др.
Статистический
анализ систем
Линейная
фильтрация
(фильтры Винера -
Колмогорова,
фильтры Калмана
- Бьюси);
нелинейная
фильтрация и
статистический
анализ систем
Идентификация
объектов
управления
t
2 том: Синтез регуляторов и теория оптимизации
систем автоматического управления
- Методы и задачи —.
Синтез систем по заданным показателям
качества.
Методы синтеза регуляторов:
1. Группа методов, основанная
на принципе динамической
компенсации;
2. Группа методов, использующая
аппарат математического
программирования;
3. Частотный метод;
4. Модальное управление;
5. Метод моментов и др.
Синтез оптимальных систем.
Методы оптимизации:
1. Вариационное исчисление;
2. Принцип максимума;
3. Динамическое программирование;
4. Аналитическое конструирование
регуляторов;
5. Нелинейное программирование;
6. Метод моментов
I
3 том: Методы современной теории автоматического управления:
1. Методы синтеза грубых САУ;
2. Оптимизация многообъектных многокритериальных систем;
3. Я"- теория оптимального управления;
4. Адаптивные системы;
5. Синтез систем методами дифференциальной геометрии, понятия о теории
катастроф, фракталах и теории хаоса;
6. Интеллектуальные системы
Рис. В.2

_10 Предисловие
Если специализация предусматривает расширенное изучение статистической
динамики нелинейных систем автоматического управления, то можно воспользоваться
учебным пособием К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, А.И. Трофимова «Статистические методы
анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления». -
М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с. (под редакцией д-ра техн. наук,
проф. Н.Д. Егупова), в котором систематически изложено содержание основных
положений статистической теории нелинейных систем, методов их анализа, синтеза,
оптимизации и идентификации.
При специализации в области систем автоматического управления с переменными
параметрами полезным может оказаться учебное пособие К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова,
В.Г. Конькова, Л.Т. Милова, А.И. Трофимова «Методы анализа, синтеза и оптимизации
нестационарных систем автоматического управления». - М.: Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 1999. - 684 с. (под редакцией д-ра техн. наук, проф. Н.Д. Егупова).
Этот труд представляет собой первое учебное пособие в отечественной литературе,
специально посвященное рассмотрению методов математического описания,
детерминированного и статистического исследования, синтеза и оптимизации
нестационарных систем. Работа включает две части: в первой части изложена теория линейных
систем с переменными параметрами; вторая часть посвящена разработке алгоритмов
исследования, синтеза и оптимизации сложных нестационарных систем, поведение
которых описывается скалярными и векторно-матричными дифференциальными
уравнениями высокого порядка. Алгоритмы предназначены для решения задач, имеющих
место в повседневной инженерной, практике при расчете и проектировании систем
управления одноконтурными и многоконтурными сложными объектами с переменными
параметрами.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам - академику РАН
Е.П. Попову и коллективу кафедры «Автоматические системы» (Московского
государственного института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА)), руководимой
членом-корреспондентом РАН Е.Д. Теряевым, за ценные замечания, способствовавшие
улучшению содержания книги. Авторы благодарят заслуженного деятеля науки и
техники РФ, д-ра техн. наук, проф. А.С. Шаталова, заслуженного деятеля науки и техники
РФ, д-ра техн. наук, проф. Б.И. Шахтарина (МГТУ им. Н.Э. Баумана), которые своими
советами позволили значительно улучшить структуру учебника, углубить изложение
отдельных теоретических положений, улучшить окончательный вариант рукописи.
Авторы благодарят концерн «Росэнергоатом», научно-исследовательский центр
космической системотехники, департамент образования и науки Правительства
Калужской области, а также Издательский Дом «Манускрипт» за помощь в издании учебника.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности
при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим
образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои
предложения по улучшению книги.
Авторы заранее признательны всем читателям, которые не сочтут за труд указать
на замеченные неточности, ошибки, на пути совершенствования структуры учебника
и его содержания.
К.А. Пупков
Н.Д. Егупов

Предисловие 11
ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ТОМУ
Настоящая книга представляет собой 1-й том учебника «Методы классической и
современной теории автоматического управления», который охватывает основные
разделы классической теории автоматического управления, относящиеся к
математическому описанию систем автоматического управления, исследованию их
устойчивости и качества процессов управления (детерминированный анализ), их работы
при случайных воздействиях (статистический анализ), фильтрации сигналов в
классе линейных и аналитических нелинейных систем. Одной из важнейших проблем
теории управления является проблема построения математической модели системы
(идентификация), под которой понимается оператор, характеризующий ее поведение и
описывающий все ее информационные свойства. Изложению содержания проблемы и
некоторых подходов к её решению посвящена глава 9 настоящего тома. Кратко
изложены основы автоматизированного проектирования систем автоматического
управления. Разработаны конкретные алгоритмы, в основе которых лежит метод
матричных операторов (глава 8). Алгоритмическое обеспечение, приведенное в
учебнике, является эффективным средством повышения производительности
инженерного труда, сокращения сроков и улучшения качества разработок.
Определенная часть содержания книги нетрадиционна, и методы, изложенные в
соответствующих параграфах, направлены на эффективное решение инженерных
задач. Поэтому можно надеяться, что знакомство с указанным материалом
представит интерес для научно-технических работников.
В приложении к книге даны необходимые материалы, носящие как справочный,
так и теоретический характер. Например, построение и теоретическое обоснование
вычислительных схем, применяемых для исследования сложных систем, имеющих
высокую размерность при детерминированных и случайных воздействиях, а также
решение классов операторных уравнений (например, уравнения Винера - Хопфа) не
обходится и не может обойтись без широкого использования языка и результатов
функционального анализа. Возрастающая роль функционально-аналитических
методов в приложениях к теории управления объясняется возможностью глубокого
теоретического обоснования построенных на их основе алгоритмов расчета и
проектирования САУ. В связи с этим в приложениях 2 и 3 приводятся некоторые положения
функционального анализа и зависимости, определяющие конкретные ортонормиро-
ванные базисы, используемые в методе матричных операторов.
Для лучшего уяснения излагаемого материала приведено значительное число
примеров по описанию и исследованию систем автоматического управления,
используемых в атомной энергетики, машиностроении и др.
Соавторами отдельных разделов 1-го тома являются д-р техн. наук, проф..
Л.Т. Милое, (пщвз 2), д-р техн. наук, проф. ЮЛ. Корнюшин (§ 4,13), канд. физ.-мат.
наук, доц. СВ. Лапин (§§ 8.2, 8.3, 8J, 8.12, приложение 2), инженер ДД Мельников
(§ 6.4), канд. техц. наук М.О. Гдбибулаев (§§ 6.1, 6.3, 8.9 - 8,11), инженер
А.Н. Бурлакин (§ 8.3), канд. техн. наук Д.А. Акименко (§ 8.14), канд, техн. наук, доц.
A.M. Макаренков (§§ 8.15, 8.16), канд. техн. наук, доц. А.К. Карышед (глава 5), канд.
техн. наук, доц, СИ. Николаенко (§ 8.13), канд. техн. наук, доц, Я.В. Слекеничс
(§ 1.1), § 7.3 написан канд. техн. наук, доц. В.И. Краснощеченко.
Авторы выражают признательность сотрудникам редакционно-издательского
отдела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана К.И. Желнову, СН. Капранову,
М.П. Трубачеву, К.Ю. Савшченко за подготовку рукописи к изданию и создание
оригинал-макета учебника.

ЧАСТЬ I
АНАЛИЗ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

Список используемых аббревиатур и обозначений
13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР
АСУ - автоматизированная система управления
АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЧХ - амплитудно-частотная характеристика
АЭС - атомная электростанция
БИФ - блочно-импульсная функция
БПУА - быстрое преобразование Уолша - Адамара
БПФ - быстрое преобразование Фурье
БПФ-У - быстрое преобразование Фурье - Уолша
БШ - белый шум
ВЧХ - вещественная частотная характеристика
ГД -г гидродвигатель
ГС - генератор сигналов
ГФВН - генератор функций вибрационных нагружений
ГОС - гибкая обратная связь
ДЗ - дифференцирующее звено
ДЗР - дифференциальный закон распределения
ДП - датчик перемещений
ДЧХ - действительная частотная характеристика
ДУ - дифференциальные уравнения
ЗУУ - золотниковое управляющее устройство
ИЗ - интегрирующее звено
ИСТ - инверсно-сопряженная система
ИЗР - интегральный закон распределения
ИПФ - импульсная переходная функция
ИУ - исполнительное устройство
ИУр - интегральное уравнение
ККФ - кусочно-кубическая функция
КЛА - космический летательный аппарат
КЛФ - кусочно-линейная функция
КПФ - кусочно-параболическая функция
КС - критический стенд
КЧХ - комплексная частотная характеристика
КУ - корректирующее устройство
КФ - корреляционная функция
ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ
ЛНС - линейная нестационарная система
ЛП - линейное программирование
ЛС • -линейная система
ЛСС - линейная стационарная система
ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ
ЛЧ -линейная часть
МБПФ - матричная бичастотная передаточная функция
МИПФ - матричная импульсная переходная функция
ММ - математическая модель

14
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
МНК - метод наименьших квадратов
МНПФ - матричная нормальная передаточная функция
МО - математическое ожидание
МП - математическое программирование либо матрица перехода
МППФ - матричная параметрическая передаточная функция
МПФ - матричная передаточная функция
МПЧХ - матричная параметрическая частотная характеристика
МЧХ - мнимая частотная характеристика
МСИ - метод статистических испытаний
НЭ - нелинейный элемент
НП - нелинейное программирование
НПФ - нормальная передаточная функция
НЧ - неизменяемая часть
О - пространство оригиналов •
ОБИФ - обобщенная блочно-импульсная функция
ОК - основной канал в многомерных системах
ОНБ - ортойормированный базис
ОНС - ортонормированная система
ОС - обратная связь
ОУ - объект управления
ПС - перекрестная связь в многомерных объектах
ППФ - параметрическая передаточная функция
ПФ - передаточная функция
ПХ - переходная характеристика
ПЧХ - параметрическая частотная характеристика
Р - регулятор
РЛС - радиолокационная станция
САУ - система автоматического управления
САР - система автоматического регулирования
СВ - случайная величина
СВИ - система вибрационных испытаний
СВН - система вибрационных нагружений
СКО - среднеквадратическое отклонение
СНАУ - система нелинейных алгебраических уравнений
СП - случайный процесс
СПл - спектральная плотность
СПФ - стандартная передаточная функция либо сопряженная
передаточная функция
СРП - система с распределенными параметрами
ССП - система с сосредоточенными параметрами
СУЗ - система управления и защиты
СФ - случайная функция
СХ - спектральная характеристика относительно ОНБ
ТАР - теория автоматического регулирования
ТАУ - теория автоматического управления
ТПВ - тракт преобразования вибраций
ТП - технологический процесс
УСО - усилитель сигнала ошибки
ФВН - функции вибрационных нагружений

Список используемых аббревиатур и обозначений 15^
ФС - фундаментальная система
ФФ - формирующий фильтр
ФЧХ - фазочастотная характеристика
ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь
ЭГСВ - электрогидравлический следящий вибратор
ЭГУ - электрогидравлический усилитель
ЭМП - электромагнитный преобразователь
ЯР - ядерный реактор
ЯЭУ - ядерная энергетическая установка

16 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть!
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Непрерывные САУ
А - оператор системы
y{t) - входной скалярный сигнал
Y(/) - входной векторный сигнал
x(t) - выходной скалярный сигнал
Х(/) - выходной векторный сигнал
W(s) - передаточная функция скалярной системы
W(s) * - передаточная функция системы в пространстве
состояний
W(s, t) - параметрическая передаточная функция
F(s) " - преобразование Лапласа функции^/)
Цх) . - импульсная переходная функция скалярной
стационарной системы
К(т) - матричная импульсная переходная функция
k(t, т) - импульсная переходная функция скалярной
нестационарной системы
К(/, т) - матрица ИПФ нестационарной системы в
пространстве состояний
Ко - коэффициент статистической линеаризации по
математическому ожиданию
К\ - коэффициент статистической линеаризации
по центрированной составляющей
А((й) - амплитудная частотная характеристика
/>(со) - действительная частотная характеристика
Q((o) - мнимая частотная характеристика
L((o) - логарифмическая амплитудная частотная
характеристика
у((й) - фазовая частотная характеристика
A (j(q\ - амплитудно-фазовая частотная характеристика
е(/) - сигнал ошибки системы
хс (/) - свободная составляющая выходного сигнала
(свободные колебания)
xu(t) - вынужденная составляющая выходного сигнала
(вынужденные колебания)
х (t) - установившаяся составляющая выходного сигнала
xn(t) - переходная составляющая выходного сигнала
h(t) - переходная характеристика
я(0 - помеха
m(t) - полезный входной сигнал (управляющее случайное
воздействие)
I - единичная матрица
.•_ ГГу - мнимая единица
К - коэффициент усиления системы или элемента

Список используемых аббревиатур и обозначений 17_
т - порядок числителя передаточной функции
п - порядок знаменателя передаточной функции
Tyjp - время переходного процесса
5(/) - дельта-функция
Т - постоянная времени
W0(s) или WH4{s) - передаточная функция объекта или неизменяемой
части системы
Wp(s) - передаточная функция разомкнутой системы
Wyyis) - передаточная функция корректирующего устройства
(регулятора)
E(s) - преобразование Лапласа для сигнала ошибки
£ - коэффициент демпфирования
Xt - корни характеристического уравнения
со - частота среза
Ск - коэффициенты ошибок
р(ХуУ) - метрика
L [0,Г], С[0,Г] - функциональные пространства
II х II - норма элемента х
F = {fj^t): к = 1,2,...} - линейно независимая система
Ф={(р*(/): к =1,2,...} - ортонормированный базис или ортонормированная
система
U - матрица ортогонализации
rf - коэффициенты Фурье функции^/)
p(a$)(z) - полиномы Якоби
р (z) - полиномы Лежандра
f (z\ - полиномы Чебышева 1-го рода
U (z\ - полиномы Чебышева 2-го рода
С/ - одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье
функции ДО
Wal(k,t) - *-я функция Уолша
Х(0 - вектор-функция состояния
X (0 - транспонированная вектор-функция
Хв (/) • - вектор-функция выхода
А(0, В(/) - матрицы коэффициентов векторно-матричного
дифференциального уравнения
Хф(/) - фундаментальная матрица
М - оператор математического ожидания
&хх (*i»h) ~ корреляционная функция случайного процесса X(f)
&xyih>h) ""взаимная корреляционная функция случайных
процессов ДО и ПО
Dxx (t) - дисперсия СП X(f)
mx(t) - математическое ожидание СП X(t)
Sxx (t) - спектральная плотность случайного сигнала X(t)
Асо - эффективная полоса пропускания системы
сх (t) - среднеквадратическое отклонение случайного сигнала
X(t)
3 Зак. 232

J_8 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
<j(t) - случайный сигнал ошибки системы
C(t) - матрица уравнения наблюдения
р - вектор оптимизируемых параметров
р - вектор оптимальных параметров
К (А) - число обусловленности оператора А
Fx(x) - интегральный закон распределения случайной
величины Jf
fx(x) - дифференциальный закон распределения случайной
величины X
М \х\ ~ математическое ожидание случайной величины X
Dxx - дисперсия случайной величины X
ах - среднеквадратическое отклонение случайной
величины^
гхх (f j, t2) - нормированная корреляционная функция случайного
процесса ДО
DCTCT (t) - дисперсионная матрица векторного сигнала ошибки
фильтрации
Ан - спектральная характеристика линейного
нестационарного элемента или системы, описываемой векторно-
матричным дифференциальным уравнением
д - спектральная характеристика нелинейного элемента
ко по математическому ожиданию
д - спектральная характеристика нелинейного элемента
кх по центрированной составляющей
Ф(/?,/), W(syt) - параметрическая передаточная функция
W (ц, s) - бичастотная передаточная функция
N{\i,x) - нормальная передаточная функция
H(p,t) ~ сопряженная передаточная функция ЛНС
k (t,i) - нормальная ИПФ линейной нестационарной системы
k h, т) - ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы
дс /^ т\ _ нормальная ИПФ сопряженной линейной
нестационарной системы
А - матричный оператор (спектральная характеристика)
линейного элемента или системы, либо матрица
коэффициентов векторно-матричного ДУ (стационарный
случай), либо матрица условий, либо матрица
состояния стационарной системы
А - СХ корректирующего устройства
Ад - матрица оператора дифференцирования (спектральная
характеристика дифференцирующего звена)
Рт = Аи - матрица оператора интегрирования (спектральная
характеристика интегрирующего звена)
А (/) = U^ = Uw (/) - операционная матрица умножения на функцию /(/)
(спектральная характеристика множительного элемента)
W (/, t0) - матрица перехода

Список используемых аббревиатур и обозначений 19_
Дискретные САУ
S(s) - спектральная плотность непрерывного стационарного
случайного сигнала
S(z) - спектральная плотность дискретного стационарного
случайного сигнала
S(s, p) - двумерная спектральная плотность нестационарного
непрерывного случайного сигнала
S(zu z2) - двумерная спектральная плотность дискретного
нестационарного случайного сигнала
W(s) - передаточная функция стационарной непрерывной
системы
W{z) - передаточная функция стационарной дискретной
системы
V(s, т) - обобщенная передаточная функция непрерывной
системы
V(s, nT) - обобщенная передаточная функция дискретно-
непрерывной системы
K(z, т) - обобщенная передаточная функция непрерывно-
дискретной системы
V(z, nT) - обобщенная передаточная функция дискретной системы
И (/, s) - сопряженная передаточная функция непрерывной
системы
Н(пТ, s) - сопряженная передаточная функция непрерывно-
дискретной системы
Я(/, z) - сопряженная передаточная функция дискретно-
непрерывной системы
Н(пТ, z) - сопряженная передаточная функция дискретной
системы
Дя, р) - бичастотная передаточная функция непрерывной
системы
I\z, s) - бичастотная передаточная функция непрерывно-
дискретной системы
I\s, z) - бичастотная передаточная функция дискретно-
непрерывной системы
f\zu z2) - бичастотная передаточная функция дискретной системы
А(/) - матрица состояния нестационарной непрерывной
системы
А(л7) - матрица состояния нестационарной дискретной системы
В - матрица управления стационарной системы
В(г) - матрица управления нестационарной непрерывной
системы
В(я7) - матрица управления нестационарной дискретной
системы
I? (-оо, 0], I? [О, оо), ~ пространства Лебега квадратично интегрируемых
2 л (или суммируемых) и ограниченных сигналов соот-
L (-оо,оо),/,00(~оо,0], ветственно на интервалах (-оо,0], [0,оо), (-оо,оо)
Г[0,оо),ГНо,оо)
^2 £«> _ пространства Лебега для функций, определенных
в частотной области

7Q Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ
СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
УСТОЙЧИВОСТЬ, ТОЧНОСТЬ ОТРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Под математической моделью (ММ) понимается оператор, характеризующий
поведение реальной системы и отражающий все ее информационные свойства [156].
В соответствии с этим определением выделяются наиболее существенные
свойства и признаки системы, они представляются в такой упрощенной форме, которая
необходима для последующего теоретического и экспериментального исследования.
Теория автоматического управления - точная наука, она оперирует количествен*
ными характеристиками. Поэтому за качественным описанием системы следует
вторая фаза абстрагирования - количественное описание системы. Известно
высказывание Иммануила Канта: «... во всякой науке столько истины, сколько в ней мате'
матики». Эту же мысль подтверждают слова Давида Гильберта: «Математика - осно*
ва всего точного естествознания». В этой главе будут рассмотрены проблемы
количественного описания систем.
Математическая модель САУ отражает в той или иной мере свойства реальной
системы, в том числе ограничения, существующие в реальных условиях [85, 156].
Математическая модель разрабатывается в математических терминах и имеет
количественное описание. Математические модели могут быть представлены
различными математическими средствами: действительными или комплексными
величинами, векторами, матрицами, геометрическими образами, неравенствами, функ~
циями или функционалами, множествами, алгебраическими, разностными,
дифференциальными и интегральными уравнениями и т.д.
1.1. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЦЕЛИ И ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ
ОПЕРАТОР СИСТЕМЫ
1.1.1. Примеры систем автоматического управления
Введем основные понятия, позволяющие сформулировать цели и принципы
управления и рассмотреть вопросы математического описания на примере
конкретных автоматических систем.
Прежде всего, дадим некоторые пояснения и определения.
При реализации технологических процессов параметры, которые характеризуют
эти процессы, должны изменяться по определенным законам (или быть
постоянными). Необходимость изменения параметров в соответствии с требуемым законом
возникает в самых разнообразных отраслях техники. Функциональные элементы'

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
21
технологического процесса будем обозначать квадратиками, а сигналы^
поступающие на эти элементы, - стрелками (рис. 1.1).
Дадим определение сигнала.
Сигналами называются физические процессы, параметры которых содержат
информацию. Например, в телефонной связи при помощи электрических сигналов
передаются звуки разговора, в телевидении - изображение.
Параметры, содержащие информацию, называются информационными
параметрами. Например, сигнал - электрическое напряжение, информационный
параметр - амплитуда сигнала.
Входной
сигнал
элемента.
Функциональный
элемент
Выходной
сигнал
элемента
Рис. 1.1. Функциональный элемент
ъ
а
[
{
f
►
Рис. 1.2. Аналоговый сигнал ДО
Сигнал называется аналоговым, если его информационные параметры могут
принимать любые значения в заданном промежутке (рис. J..2).
Сигнал называется дискретным, если его информационные параметры
принимают только дискретные значения (конечное множество). Перейдем к рассмотрению
конкретного технологического процесса.
Регулирование температуры в электропечи для закалки металла [112]. Для
реализации рассматриваемого процесса электропечь снабжается управляющим (или
регулирующим) органом, с помощью которого можно управлять процессом
закаливания (изменять температуру в соответствии с заданным законом).
Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процесса закаливания,
т.е. поддержание необходимого режима, называется управлением. Оно может быть
ручным или автоматическим. При ручном управлении воздействие на управляющий
орган осуществляет человек, наблюдающий за ходом процесса.
Введем определение: функциональной схемой системы называется
символическое изображение всех функциональных элементов технологического процесса и
связей между ними; в функциональной схеме отражена последовательность процессов
в системе.

22
Анализ и статистическая динамика СЛУ, Часть I
Представим с помощью функциональной схемы технологический процесс
закаливания металла в электропечи (рис. 1.3).
Требуемый процесс
изменения температуры y(f)
Реостат
u(t)
Разность между
требуемым и реальным
процессами измерения
температуры
Прибор для
фиксирования
температуры в
электропечи
Термопара
(датчик,
измерительный
элемент)
j
Электропечь
для закалки
металла
Реальный процесс
изменения
температуры
в электропечи
Рис. 1.3. Функциональная схема технологического процесса
Сиетема предназначена для поддержания необходимого режима, т.е, для
изменения температуры y(t) в электропечи по заданному закону. Для обеспечения
необходимого изменения температуры электропечь снабжается двумя элементами: термо-
парой, выходом которой является электрическое напряжение x(t)t пропорциональное
температуре в электропечи, и реостатом, с помощью которого меняется
сопротивление в цепи нагрева печи. При увеличении сопротивления ток в цепи нагрева
уменьшается и температура в электропечи уменьшается. При уменьшении сопротивления
ток возрастает и температура увеличивается. Оператор, которому известен нужный
закон изменения температуры y(t), наблюдает за показаниями прибора (на котором
фиксируется реальная температура в электропечи). В зависимости от того, в какую
сторону температура отклонилась от требуемого ее значения, оператор перемещает
движок реостата таким образом, чтобы реальная температура в электропечи мало
отличалась (на величину е(0) от требуемого значения. Имеет место так называемая
обратная связь (ОС). Важнейшим элементом рассмотренного технологического
процесса является человек-оператор, наличие которого делает систему ручной. При
автоматическом управлении воздействие на управляемый орган (реостат) осуществи
ляет специальное управляющее устройство. Построим схему, осуществляющую
реализацию технологического процесса без участия человека. Назначение оператора ~
перемещение движка реостата в зависимости от наблюдаемого отклонения
температуры. Эту операцию можно реализовать с помощью двигателя (привода), Поскольку
на выходе термопары имеет место сигнал очень небольшой мощности (ее
недостаточно для питания даже небольшого приводного двигателя), то вводят
промежуточное звено - усилитель мощности. Реализация процесса закаливания металла в
электропечи может быть представлена с помощью функциональной схемы (рис. 1.4).

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
23
Сигнал y(t) {заданная температура в печи) называют управляющим, а сигнал x(t)
(реальная температура) -управляемой переменной.
устройство
(задает нужное
изменение
температуры)
f идеальная температура
в электропечи
y(t)
Ster
1 \
Усилитель
мощности
^ошибка (расе
обрат*
) - реальная тем
в электропе
—>
оглас
1ая се
nepai
чи
Привод
ование)
$язь
ура
Т
Реостат
еомопаоа
u(t)

Электропечь лля
закалива
ния
металла
элемент вычитания
(сравнения)
Рис. 1.4. Функциональная схема системы, реализующей процесс закаливания металла в электропечи
Систему, реализующую процесс закаливания, называют системой
автоматического управления. Таким образом, система автоматического управления (САУ)
представляет собой совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего
устройства, включающего в себя усилитель, реостат, измерительное устройство
(датчик), элемент сравнения. Объектом управления является электропень,
выходные переменные которой (температура), называемые в данном случае управляемыми,
подлежат управлению. Под управляющим устройством подразумевается
устройство, обеспечивающее процесс управления, т.е. целенаправленное воздействие,
приводящее к желаемому изменению управляемой переменной (температуры закаливания).
Итак, введены новые термины: объект управления - электропечь, управляемая
переменная - температура закаливания, управляющий орган - реостат, обратная
связь (ОС). Для улучшения качества управления (например, уменьшения ошибки е(г),
уменьшения степени колебательности и т.д.) в систему вводят дополнительный очень
важный элемент - регулятор. С учетом этого элемента САУ, представленная на
рис. 1.4, принимает несколько иной вид (рис. 1.5).
x(t)
г
У
E{t)
з я
II
u(t)
4
ос
I
5
6
8
7
Рис. 1.5. Функциональная схема системы автоматического управления процессом закаливания:
/ - задающее устройство; 2 - сравнивающее устройство; 3 -регулятор; 4 -усилитель мощности;
5 - привод (двигатель); 6 -реостат; 7 - электропечь; 8 - измерительное устройство (датчик);
I'- неизменяемая часть САУ; II-регулятор (изменяемая часть САУ)
При проектировании САУ параметры элементов 4-8 остаются неизменными,
поэтому часть САУ, включающая в себя 4-8 носит название неизменяемой. На
практике неизменяемую часть часто называют объектом, а к управляющему устройству
относят лишь регулятор. Именно его параметры изменяются в процессе
проектирования САУ.

24
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Рассмотрим еще несколько примеров конкретных систем.
Многие САУ, используемые в атомной энергетике, предназначены для
автоматического регулирования уровня жидкости. К таким системам относятся, например,
автоматические регуляторы уровня в парогенераторах (ПГ), конденсаторах,
компенсаторах давления (КД), барабанах-сепараторах (БС) и др.
Большинство из перечисленных САУ построены по схеме, показанной на рис. 1.6.
^-*®-~
Рис. 1.6. Принципиальная схема системы автоматического регулирования уровня жидкости:
П- привод; РК- регулируемый клапан; РМ - расходомер; УМ - уровнемер; БИК- блок извлечения корня
Уровень жидкости h(t) зависит от разности двух величин - притока Gn и расхода
GP. Если Gn > Gp, то уровень растет, и наоборот, при Gn< Gp - hit) уменьшается.
Величину притока Gn можно искать посредством регулирующего клапана РК,
который управляется электроприводом П.
Сигнал, соответствующий действительному уровню h(t), измеряется уровнемером
(УМ) и сравнивается с требуемым уровнем А3 (уставкой).
В зависимости от величины и знака рассогласования е(г) регулятор посредством
электропривода увеличивает, если 8 > 0, или уменьшает, если 8 < 0, приток
жидкости Gn, поддерживая равенство между Gn и Gp при заданном уровне Л3.
Изменение расхода Gp нарушает баланс в схеме. Поэтому Gp является
возмущающим сигналом.
Для повышения точности регулирования наряду с е(г) используется сигнал Gn,
который порождает местную обратную связь. Имеет место так называемое
комбинированное регулирование.
Выходной сигнал некоторых расходомеров пропорционален квадрату расхода
жидкости. Поэтому цепи измерения расходов содержат блоки извлечения корня
(БИК).
Воспользуемся стандартными обозначениями: y(t) = h3 - вход системы (заданное
воздействие), x(t) = h(f) - выход системы (уровень жидкости), n(t) = Gn(0 -
возмущение (расход жидкости).
Функциональная схема САУ уровнем жидкости может быть представлена в виде,
изображенном на рис. 1.7.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
25
2
к
и(0
"(О
г - £
9
► А -ш
*• ц. -т
<*
„ С л
* Э *
- 8
*. £ -•
^ О
•*» 7 •
*(0
Рис. 1.7. Функциональная схема САУ уровнем жидкости:
/ - задающее устройство; 2 - сравнивающее устройство: 3 -регулятор;
4 -усилитель мощности; 5 - привод; 6 - регулирующий орган {клапан);
7 - объект управления; 8 -уровнемер; 9,10- линейные расходомеры
Рассмотрим ядерную энергетическую установку (ЯЭУ). Простейшая схема
установки приведена на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Простейшая схема двухконтурной ядерной энергетической установки
с паротурбинным циклом
В установке основными элементами являются ядерный реактор ЯР и
теплосиловое оборудование. Первый контур включает ядерный реактор ЯР, парогенератор ПГ,
циркуляционный насос Нь трубопроводы горячего (от реактора) и холодного (к
реактору) теплоносителя.
В теплосиловое оборудование входят турбина Т с электрическим генератором ЭГ,
конденсатор отработанного пара К, циркуляционный насос Н2 и т.д. Это
оборудование образует второй контур ядерной энергетической установки.
В первом контуре наряду с основным оборудованием имеется различное
вспомогательное оборудование: система очистки теплоносителя, система подачи
теплоносителя в первый контур (компенсаторы уровня, система аварийного расхолаживания
реактора, система поддержания давления в контуре и т.д.).
2 Зак. 232

26
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Рассмотрим подробнее основные элементы конструкции ядерного реактора
(рис. 1.9).
Ядерный реактор - это устройство, в котором обеспечиваются условия для
протекания управляемой самоподдерживающейся реакции деления ядер, а также съем
тепла. Получаемое в процессе цепной реакции тепло в реакторе отводится
циркулирующим теплоносителем и используется в паросиловой части ЯЭУ для получения
электрической энергии. Несмотря на большое разнообразие реакторов, можно
выделить ряд элементов и систем, присущих большинству из них.
'^
Рис. 1.9. Основные элементы ядерного реактора:
/ -управляющие стержни\ 2 - отражатель', 3 - теплоноситель', 4 - биологическая защита',
5 - активная зона\ 6 - замедлитель', 7 - ядерное топливо
Активная зона - та часть реактора, в которой осуществляется цепная реакция
деления. В активной зоне размещаются ядерное топливо (уран и его сплавы, плутоний
и т.д.), замедлитель (графит, бериллий, вода и пр.), который служит для снижения
энергии нейтронов деления. Отвод тепла от тепловыделяющих элементов активной
зоны обеспечивает теплоноситель (вода, жидкие металлы, газы и пр.). В активную
зону реактора также входят различные конструкционные материалы: материалы
труб, по которым подается теплоноситель, материалы оболочек тепловыделяющих
элементов и т.д.
Отражатель используется для уменьшения потери нейтронов за счет утечки
через поверхность активной зоны. Обычно в качестве материала отражателя
применяются те же материалы, что и для замедлителя.
Биологическая защита. Работающий ядерный реактор является мощным
источником различного рода излучений (нейтронов, у-квантов, а- и (3-частиц и т.д.).
Биологическая защита предохраняет персонал от действия этих излучений.
Система загрузки и выгрузки топлива. В процессе работы реактора происходит
выгорание ядерного горючего, накопление продуктов цепной реакции, являющихся
поглотителями нейтронов, и т.п. В связи с этим необходимо осуществлять замену
тепловыделяющих элементов. Эта замена может производиться при выключенном

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
27
реакторе либо на работающем реакторе. Для осуществления операций по замене
выгоревших блоков горючего используется комплекс механизмов и устройств,
объединенных в систему загрузки и выгрузки топлива.
Органы системы управления. Для управления цепной реакцией в активную зону
ректора вводятся, как правило, специальные регулирующие элементы,
воздействующие на процесс образования или исчезновения нейтронов. Эти элементы являются
исполнительными органами системы управления.
Аппаратура систем контроля, управления и защиты - это комплекс
механизмов, приборов, регулирующих устройств, предназначенный для обеспечения
безаварийной эксплуатации-ядерной установки, т.е. исключения самопроизвольного
разгона реактора или отклонений технологических параметров установки от
заданных значений.
Основную роль в обеспечении безопасности эксплуатации ЯР призвана сыграть
система управления и защиты (СУЗ), на которую возлагаются функции по
управлению цепной реакцией при пуске, переходе с одного уровня мощности на другой и
остановке ЯР, а также быстрому прекращению реакции деления в случае
возникновения аварийной ситуации.
Системы автоматического управления ЯР являются подсистемами СУЗ и
предназначены для автоматического регулирования реактора во время его разгона (пуска) и
стабилизации на данном уровне мощности. Функциональная схема САУ ЯР,
осуществляющая алгоритм пуска по периоду со стабилизацией заданного уровня по
сигналу измерителя мощности, представлена на рис. 1.10, где обозначено: АР -
автоматический регулятор, ЭП - электропривод, ЯР - ядерный реактор, АК - аппаратура
контроля ЯР, N3u N- заданный и действительный (выходной) сигналы мощности
соответственно, К, и К - заданный и действительный сигналы обратного периода (период
Тр - время, за которое мощность ЯР увеличивается в е раз; обратный период -
величина, обратная периоду, т.е. 1/ГД £/- выходной сигнал АР, N и Y - сигналы
оценки мощности и обратного периода соответственно, р — реактивность.
Рассматриваемая САУ работает следующим образом. Пусть требуется перевести
ЯР с уровня мощности Af0 на уровень N39 причем N3 > No. После включения АР
происходит увеличение реактивности р до достижения заданного значения Y3 обратного
периода, после чего в течение разгона ЯР осуществляется режим стабилизации
периода (сигнал мощности игнорируется). При подходе к заданному уровню мощности,
АР автоматически переключается от режима стабилизации периода на режим
стабилизации мощности (установка по обратному периоду автоматически изменяется от У3
до нуля).
i
АР
i i
i
и
N
/\
Y
ЭП
АК
Г)
к
n(t)\
яр
lnN
1
1 Т
v
1
Рис. 1.10. Функциональная схема САУ ЯР
2*

28
Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I
Качество регулирования и надежность САУ ЯР существенно зависят от
электропривода, выбор которого определяет закон регулирования. На практике широкое
распространение получил релейный закон регулирования - в.этом случае статическая
характеристика ЭП подобна характеристике трехпозиционного реле. Релейные САР
ЯР имеют высокую надежность, быстродействие и универсальность, а также
меньшую чувствительность к флуктуациям входных сигналов из-за наличия зоны
нечувствительности.
Выше рассмотрены замкнутые системы, в которых имеет место обратная связь,
т.е. сравнение входного сигнала (эталона) с выходным сигналом (реальное значение
регулируемой величины). Кроме них встречаются системы разомкнутого типа и
комбинированные системы. В разомкнутых системах для выработки управляющего
воздействия u(t) (сигнал с выхода регулятора) используется только информация о
цели управления y(t), а действительное значение выходной управляемой переменной
x(t) не контролируется.
Система автоматического управления (САУ) числом оборотов
электродвигателя постоянного тока [153].
Функциональная схема системы представлена на рис. 1.11.
0
Рис. 1.11. Функциональная 'схема разомкнутой САУ;
1 - потенциометр', 2 -усилитель', 3 - электродвигатель; 4 - тахогенератор со стрелочным прибором
В варианте ручного разомкнутого управления оператором задается путем
перемещения движка потенциометра 1 нужное число оборотов двигателя (оно
пропорционально напряжению на входе усилителя). С выхода 1 сигнал подается на
усилитель 2, что приводит к изменению тока в якоре электродвигателя. Последнее
приводит к изменению угловой скорости двигателя, которая измеряется тахогенератором
и стрелочным прибором, но не используется для замыкания системы.
Из-за старения и износа элементов, при колебаниях температуры, из-за
неточности исполнения элементов, градуировка системы нарушается (каждому положению
движка потенциометра должно соответствовать заданное число оборотов двигателя в
установившемся режиме). Поэтому системы, работающие по разомкнутому циклу,
часто не могут обеспечить высокого качества работы (высокую точность). Эту
схему можно автоматизировать, причем система будет функционировать по
замкнутому циклу, т.е. по принципу обратной связи. Качество ее работы повышается.
Функциональная схема такой системы представлена на рис. 1.12.
Система замкнутого цикла отличается от системы разомкнутого цикла тем,
что в системе с ОС имеет место сравнение реального числа оборотов двигателя с

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
29
требуемым. Рассогласование (ошибка) поступает на регулятор 2 и усилитель 3;
управление осуществляется сигналом ошибки е(г). Структура и параметры
регулятора 2 выбираются таким образом, чтобы обеспечить высокую точность работы
системы. Замкнутая система не требует точной градуировки: точность сохраняется и при
«уходе» параметров системы от эталонных из-за старения или по другим причинам.
Рис. 1.12. Функциональная схема замкнутой САУ:
1 - потенциометр; 2 -регулятор; 3 -усилитель; 4 - электродвигатель; 5 - тахогенератор
Сделаем дальнейшие пояснения и уточнения, связанные с сущностью проблемы
автоматического управления с использованием рассмотренных выше конкретных
САУ.
САУ является кибернетической системой в соответствии с определением
кибернетики:
кибернетика - наука об управлении, передаче и переработке информации.
В САУ присутствуют основные понятия, составляющие содержание кибернетики:
управление, информация, система.
Элементы САУ связаны между собой информационными каналами, линиями
управления, по которым передаются.управляющие сигналы.
Отметим важное свойство системы: система обладает свойствами и выполняет
функции, которые существенно отличаются от свойств и функций ее отдельных
элементов.
Отличительной чертой рассмотренных САУ является поступление на вход
системы так называемой «обратной информации», которая необходима для контроля
(обратная связь). ОС замыкает канал управления (поэтому такое управление называют
замкнутым).
Таким образом, при управлении с ОС значение управляющей переменной
постоянно сопоставляется с ее заданным (эталонным) значением. Цель управления -
сделать эти величины близкими (в известном смысле), несмотря на различные помехи.
Контур управления - это система, состоящая из объекта управления и регулятора
(управляющей системы, с помощью которой добиваются нужного качества
управления).
К основным функциям контура управления относятся: измерение, сравнение и
реагирование (выработка команды управления u(t) на объект), которые должны, по
возможности, выполняться, в известном смысле, оптимально; в этом случае контур
управления, несмотря на различные помехи, постоянно поддерживает управляемую
переменную близкой к ее заданному значению.

^0 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I
..1,2. Цели и принципы управления
Уже на основе рассмотрения указанных примеров можно сформулировать,
например, задачу управления: изменять протекающие в объекте управления процессы
путем воздействия на него соответствующими командами таким образом, чтобы
была достигнута поставленная цель.
Существует теория, рассматривающая общие принципы проектирования систем
автоматического управления (САУ), которая получила название теории
автоматического управления (ТАУ), в основе которой лежат математические модели,
отражающие связь элементов САУ друг с другом и с внешней средой.
Теперь можно расширить определение САУ: системой автоматического
управления называется система, представляющая собой совокупность объекта управления и
управляющего устройства, обеспечивающего процесс управления, т.е.
целенаправленное воздействие, приводящее к желаемому изменению управляемых переменных.
Фундаментальными принципами управления являются (их содержания
становится ясным на основе рассмотрения приведенных выше примеров) [161]:
• принцип разомкнутого управления;
• принцип компенсации (управление по возмущению: если возмущающие
воздействия в системе велики, то для повышения точности разомкнутой системы
на основе измерения возмущений в алгоритм управления вводятся
коррективы, компенсирующие влияние возмущений);
• принцип обратной связи (ОС);
В дальнейшем будут рассматриваться системы, работающие по принципу
обратной связи.
Для САУ этого класса характерно следующее:
• наличие обратной связи;
• слабые управляющие сигналы на входе, идущие от измерительного
устройства, преобразуются в достаточно мощные воздействия на объект (ток в цепи
нагрева);
• ошибка 8(0 является движущим сигналом для системы, работающей на
уменьшение этой ошибки;
• САУ является замкнутой системой, замыкание осуществляется через обратную
связь (ОС), которая, в свою очередь, реализуется с помощью измерительного
устройства (термопары); измерительный (чувствительный) элемент служит не
просто для регистрации температуры, а для формирования рассогласования
8(г), являющегося входом усилителя и, таким образом, реализующего процесс
управления.
Использование принципа ОС позволяет дать еще одно определение САУ,
делающее акцент на особом значении указанного принципа [153]: САУ называется
система, стремящаяся сохранить в допустимых пределах отклонения
(рассогласования) ошибки 8(0 между требуемыми y(t) и действительными x(i) измерениями
управляемых переменных при помощи их сравнения на основе принципа ОС (замкну*
того цикла) и использования получающихся при этом сигналов для управления
источниками энергии.
1.1.3. Типовая функциональная схема САУ. Классификация систем
Рассмотренные примеры САУ позволяют представить типовую функциональную
схему (рис. 1.13). Функциональное назначение каждого из элементов типовой схемы
состоит в следующем [153].

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
31
1
1
v(t)
%
г
до
л
ч
wi(0 5
1 "2(0
/:
О
о
о
7
/
(r)i
1 1
11
10
Рис. 1.1Э. Типовая функциональная схема САУ:
1 - задающее устройство; 2,5- сравнивающие устройства', 3 - преобразующее устройство;
4,8- корректирующие устройства (регулятор); б - усилительное устройство; 7 - исполнительнок
nrtiifmarr О — илюптаипюпииию или ччилегштепииме ъпрклриты' 10 — ъпрклеит рппаипи nfinnmunii гая
, о — корректирующие устройства крегулятору, и — усилительное устройства, / — исполнительное
устройство; 9 - чувствительные или измерительные элементы; Ю- элемент главной обрап
И - объект управления; n(t) - помеха
хтной связи;
Задающее устройство преобразует воздействие в сигнал y(i), а сравнивающее
устройство путем сравнения сигнала y(t) и регулируемой величины x(t) (предполагается,
что 9 и 10 не искажают сигнал x(t)) вырабатывает сигнал ошибки s(t). Иногда
сравнивающее устройство называют датчиком ошибки, отклонения или рассогласования.
Преобразующее устройство 3 служит для преобразования одной физической
величины в другую, более удобную для использования в процессе управления (во
многих системах преобразующее устройство отсутствует).
Регулятор 4, 8 служит для обеспечения заданных динамических свойств
замкнутой системы. Например, с его помощью .обеспечивается высокая точность работы в
установившемся режиме, демпфируются колебания для сильно колебательных
объектов (например, летательных аппаратов). Более того, введение в систему регулятора
позволяет устранить незатухающие или возрастающие колебания управляемой
величины. Иногда регуляторы вырабатывают управляющие сигналы (команды) в
зависимости от возмущающих воздействий, что существенно повышает качество работы
систем, увеличивая их точность.
Из схемы САУ видно, что в хорошо спроектированной системе ошибка е(г)
должна быть мала. Вместе с тем на объект должны поступать достаточно мощные
воздействия. Мощности же сигнала 8(0 совершенно недостаточно для питания даже
небольшого двигателя. В связи с этим важным элементом САУ является усилительное
устройство, предназначенное для усиления мощности сигнала ошибки е(г).
Усилитель управляет энергией, поступающей от постороннего источника. На практике
широко используются электронные, магнитные, гидравлические, пневматические
усилители.
Следующим важным элементом САУ является исполнительное устройство, оред-
назначенное для воздействия на управляющий орган. В системах управления
используются следующие типы исполнительных устройств: пневматические,
гидравлические и электрические, подразделяемые, в свою очередь, на электромоторные и
электромагнитные.
Пневматические исполнительные устройства имеют сравнительно малые
габариты и массу, но требуют большого расхода сжатого газа.
Гидравлические исполнительные устройства способны преодолевать большие
нагрузки и практически безынерционны. Недостаток - большая масса. Электрические
исполнительные устройства достаточно универсальны в применении и отличаются
простотой канализации подводимой к ним энергии. Вместе с тем их использование

32 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
требует наличия достаточно мощного источника тока. В некоторых САУ
исполнительный механизм как таковой отсутствует и воздействие на объект осуществляется
изменением состояния какой-либо величины (тока, напряжения) без помощи
механических устройств.
Чувствительные или измерительные элементы (датчики) необходимы для
преобразования управляемых переменных в сигналы управления (например,
преобразования вида: «угол - напряжение»).
Элемент, который подвергается управлению, называют объектом управления.
При проектировании систем объектом управления считают всю неизменяемую часть
системы (все элементы, кроме регулятора). Им может быть электрическая печь для
закаливания металла, самолет, ракета, космический аппарат, двигатель, ядерный
реактор, станок для обработки металла и т.д. В связи с большим разнообразием объектов
управления разными могут быть и управляемые переменные: напряжение, число
оборотов, угловое положение, курс, мощность и т.д. Изучением конструкций объектов
занимаются специальные дисциплины: электротехника, авиация и космонавтика,
самолетостроение, энергетика, ядерная техника, турбостроение, двигателестроение и т.д.
Из рассмотрения рис. 1.13 можно сделать вывод, что САУ представляет собой
замкнутую систему, обладающую свойством однонаправленности и реагирующую
на сигнал ошибки z(t).
Напомним определения сигналов, представленных на рис. 1.13.
Сигнал y(t) называют воздействием (задающим воздействием, входом).
Процесс x(t) называют управляемой переменной (выходом системы, реакцией).
Сигнал 8(0 называют сигналом ошибки (сигнал рассогласования).
Сигналы u\(t)u u2(t) - команды управления.
Дадим несколько определений.
Система, у которой сигнал y(t) - известная функция (детерминированный
сигнал) на всем промежутке управления, называется системой программного
управления.
Система, у которой задающее воздействие y(t) = const называется системой
стабилизации.
Система, у которой задающее воздействие y(t) - случайная функция, называется
следящей системой.
Таким образом, одномерные системы могут быть" системами программного
управления, системами стабилизации и следящими системами.
Кроме этого на практике имеют место [153]:
• системы с поиском экстремума показателя качества;
• системы оптимального управления;
• адаптивные системы.
1.1.4. Математические модели систем; оператор системы
На первом этапе расчета и проектирования систем автоматического управления
(САУ) ограничиваются качественным описанием систем и в связи с этим
рассматривают их функциональные схемы. Такое описание называют содержательным или
неформальным. Неформальным описанием САУ называется вся имеющаяся
совокупность сведений о ней, достаточная для построения фактического алгоритма ее
работы. Неформальное описание системы содержит информацию, достаточную для
построения ее функциональной схемы. Последняя же служит основой для разработки
формального (математического) описания системы.
Недостаток содержательного или неформального описания систем в том, что
такой подход не оперирует количественными характеристиками и, таким образом, нау-

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 33_
ка, в основе которой лежит неформальное описание, не является точной наукой. Для
решения же задач исследования и проектирования систем необходимо оперировать
количественными характеристиками, определяющими качество ее работы. В связи с
этим центральным понятием теории систем является математическая модель или
оператор системы.
Под математической моделью САУ понимают количественную формализацию
абстрактных представлений об изучаемой системе. Математическая модель — это
формальное описание системы с помощью математических средств:
дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также неравенств,
множеств и т.д. [85]
Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть
понятие математической модели САУ.
Пусть Y и X- множества входных и выходных сигналов САУ. Если каждому
элементу yeY ставится в соответствие определенный элемент хе X , то говорят,
что задан системный оператор А.
Связь между входом и выходом системы задается посредством системного
оператора А:
Ах = у и х = А'1 у = By.
Операторное уравнение (или уравнение с оператором А) Ах = у следует
считать математической моделью САУ, поскольку оно устанавливает количественную
связь между входом y(t) и выходом x(t) системы.
Принципиально важным является ответ на вопрос: как построить оператор
системы А?
Важным положением ответа на поставленный вопрос является следующее: в
подавляющем большинстве случаев операторное уравнение системы принадлежит к
классу дифференциальных уравнений или эквивалентных им интегральных уравнений.
Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно составляют
описание её отдельных элементов, т.е. составляют дифференциальные уравнения для
каждого входящего в систему элемента (например, для САУ (рис. 1.4) составляются
дифференциальные уравнения усилителя, привода, реостата, электрической печи,
термопары и элемента сравнения).
Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнение системы в целом.
Уравнения системы определяют ее математическую модель, которая для одной и
той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной [153].
Полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах строить разные
математические модели: начинать исследование можно с простой модели, а затем ее
постепенно усложнять, с тем, чтобы учесть дополнительные физические явления и
связи, которые на начальном этапе не были учтены как несуществующие.
Задать оператор системы — это значит задать правило определения выходного
сигнала этой системы по ее входному сигналу.
В этой главе будем изучать системы, операторами которых являются линейные
дифференциальные и интегральные операторы.*
В зависимости от того, какими классами дифференциальных уравнений
описываются САУ, их можно укрупненно классифицировать так, как показано на рис. 1.14 [153].
Линейными называют класс систем, описываемый линейными операторными
уравнениями (например, линейными дифференциальными уравнениями или их
системами), в противном случае система входит в класс нелинейных систем.
* Предполагается, что читатель знаком с основными положениями теории дифференциальных
уравнений (см., например, [45]).

34
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Линейными или нелинейными дискретными системами называются такие
системы, которые описываются соответственно линейными или нелинейными
разностными уравнениями или системами разностных уравнений.
Линейными или нелинейными стационарными системами называются системы,
которые описываются дифференциальными уравнениями или системами уравнений
с постоянными коэффициентами.
Нестационарными системами (линейными или нелинейными) называют системы
автоматического управления, поведение которых описывается дифференциальными
уравнениями или системами уравнений с переменными коэффициентами.
Сосредоточенными, или системами с сосредоточенными параметрами
называются системы, поведение которых описывается обыкновенными
дифференциальными уравнениями.
Распределенные системы - это системы, которые описываются
дифференциальными уравнениями в частных производных.
4 i
\%
7
9
>
) 6
f/
8
<-
10
4 i
7
v >
9
■Ч
5 6
YJ
8
<-
10
Рис. 1.14. Классификация САУ:
1 - система автоматического управления (САУ); 2-линейные САУ; 3 - нелинейные САУ; 4-
непрерывные САУ\5- дискретные САУ; 6- непрерывно-дискретные САУ; 7- стационарные системы;
8 - нестационарные системы; 9 - системы с сосредоточенными параметрами (сосредоточенные
системы); 10- системы с распределенными параметрами (распределенные системы)
1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ
Далее будем широко пользоваться понятием преобразования Лапласа (интеграла
Лапласа); приведем основные сведения, относящиеся к понятию интеграла Лапласа
[95,153].

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 35^
Множество функций x(t), удовлетворяющих условиям: 1) x(t) = 0 при г<0;
2) 3 М и с: \x(t)\ < Mect; 3) имеет место не более чем счетное число точек
разрыва первого рода на [0,°°), называется пространством оригиналов и обозначается О.
Введем понятие интеграла Лапласа, пользуясь определением интеграла Фурье.
Прямое одностороннее преобразование Фурье определяется формулой:
Х(7Ю) = /х(0е-***. 0.1)
о
Как известно, преобразование Фурье может быть применено к функциям x(t),
для которых интеграл
оо
\\x{t)\dt
о
существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не
удовлетворяют многие функции, используемые при исследовании систем: l(r), Asin(r), еш,
Acos(0, некоторые решения дифференциальных уравнений.
Для того, чтобы иметь возможность подобную функцию x(t) преобразовать по
Фурье, предварительно ее надо умножить на функцию e~at, где вещественное число
а > а0 выбрано таким образом, чтобы интеграл
j\x(t)\e~atdt (1.2)
о
был сходящимся,
В результате приведенных рассуждений запишем
Х(7(о,с) = jx(t)e~ate-jmdt = Х(а+ №. (1.3)
• о
Введем новую комплексную переменную s = а + ./со; получим
оо
X(s) = jx(t)e~stdt. (1.4)
о
Функция X(s), определяемая зависимостью (1.4), где x(t) -оригинал, 5 = а+7'со,
называется изображением x(t) и обозначается
xU)^X(s) иди X(s) = L{x(t)}.
Часто интеграл (1,4) называют интегралом Лапласа. Ему присущи следующие
двойства.
Линейность:
4£М*(о} = 2М*М, meXk(s) = L{xk(t)}9 * = U.
Смещение в комплексной рблдсти:
пусть x(t) t*X(s), тогда jc(r)^ ш о X(s + a).
Смещение в действительной области:
пусть x(t) <-^ X(s), тогда д:(г-т) ^-> е~5'Х (.$•).

36 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Изображение производной:
L{x'(t)} = sX(s)-x(fl),...,
L{xin) (/)} = snX (s) - sn'lx(0) - sn-2x(O) -... - xin"l) (0).
Изображение от интеграла:
l|J*(t)</tI = ±X(5).
Дифференцирование изображения:
^-(-l/ifA*)}.
Изменение масштаба во временной области: если x{t) о X(s), то
L{x(at)} = (l/a)X(s/a).
Свертка функций в действительной области:
L\
]xl{x)x2{t-x)dxUXl{s)X2{s).
№
Свертка в комплексной области:
C+joo
1 ь-гу«"
L{xl(t)x2(t)} = — J Xl(q)X2(s-q)dq.
J C-joo
Далее изложим содержание второй теоремы разложения, позволяющей находить
оригинал по изображению. Эту теорему удобно применять, если X(s) есть дробно-
рациональная функция вида
x(s) = bmsm+bm_lS^+...+bo=m
sn+an_lSn-l+... + a0 B(s)
причем т<п и коэффициенты {а,} и {bt} действительные. Если известны корни
многочлена B(s) = 0, то зависимость (1.5) можно переписать в виде
' Xit)m ь^+ьп.^+...+ь0 '
где ц, - кратность корня st.
Известна формула
x(t) = L-l{X(s)} = %BbviX(s)es'\_ . (1.7)
v=l s Sy
а). Пусть (sn+an_lsn~l+...+a0) = (s-sl)(s-s2)...(s-sn)9rne sl9s2,...,sn
-различные вещественные и комплексные корни. Тогда оригинал находят по формуле
*(0=!£8е"'- (18>
б). Если изображение имеет вид
X(s) = 4£t' (L9>
sB(s)
то

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 37^
fi(O) faskB'(sk)
в). Случай кратных корней. Пусть X(s) = A(s)/B(s), где B(s) = (s - s^1 x
x(s-s2yi2.~(s-sr)*ir, Ш +Цг +—+Ит = п • Тогда оригинал находят по формуле
^'^j?e"+^'(£Sj]e'"+-+^'e"+
vm / W4 ; (1 n)
+^т£^^'+^ ra**+-+v'+-+
^(£^^+^(£^eV+"-+^-
Коэффициенты Лд определяются зависимостью
4*"С=щ£К'"<к1Р'Н. ■ (112)
Структурная схема алгоритма построения оригинала представлена на рис. 1.15.
Входные
данные
I
*
±
] д<0
>►
Рис. 1,15. Структурная схема алгоритма построения оригинала:
7 - нахождение корней полинома B(s) = 0=> sl,s2,...,sn ; 2 -расчет коэффициентов Ajk ;
3 - построение оригинала jt(f)
Пример 1.1. Имеем
Найдем корни характеристичеекога. ураэнения:
Формула для оригинала им§§Т ЭВД:
5(0) Й'/^Х*,)
Имеем:
^)=4§+i4^^'. (1.14)

38
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
А(0) = 100, 5(0) = 100, Д(0)/Я(0) = 1,
B\s) = 2s + 10;
В^2) = 2(-5 + 7Ч/75) + 10 = -10 + 27Ч/75 + 10 = 2>У75;;
B'(s3) = 2(-5 - У>/75) + Ю = -10 - 2;775 +10 = -2775;;
s2B\s2) = ("5 + jjT5)(2jl5j) = -10775; -150;
s3B\s3) = (-5 - jJJ5)(-2sll5j) = 10775; -150.
Итак, можно записать:
Найдем С2 и С3:
x(t) = \ + C2eS2' +C2eSi*.
100 100(-150 + 10775j) ^^775.
: ?==—= - = -0,5 + /:
-150-10775; 30000 30
100 100(-150-1(К/75;) 7т5 . Л,
___ = i L- 1—0,5.
-150 + 10775; 30000 30
(1.15)
С,=
Отсюда
JC(/) = 1 +
= 1 + е"
.-5/
I-0,5 +—; I(cos775r + ;sin775/) +
J_0)5-—;|(cos775r-;sin775r) =
L 30 J J
= l-*-5'| cos775/ + — sin775r |.
Пример. 1.2. Положим, что изображение имеет вид
(s-lf(s + lf
(1.16)
(1.17)
Здесь 5-1 = 1 — кратность 3; $2 = - 1 - кратность 3. Тогда jii = 3, Ц2 = 3. Формула для оригинала имеет вид
x(t) = AllLie' + All^e' + A3iel + Al2j;e-+A22^e-'+Ai2e-. (1.18)
Найдем коэффициенты Л,>:
or
(,-1)3(,+1)3
5=J,=I
(*,+1)3 8
-3(^ + 1)2^2
J=8=i4li;
= 1 d Г 52 1 _2j(.e + 1)3
^l 1!^L^ + 1>3JL (5 + 1)°
25 1 З^2 I =J_ = A
= (, + l)3L|"(, + l)4L|=16= 2"
= l["2(5 + l)3-3(5 + l)225 6^ + l)4-4(5 + l)33521
= l[" 2 б£_
6^ 12^
+ •
"2 [(5 +I)3 (5 +I)4 (5 +l)4 (5 + 1У

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
39
^■^-^(J^tfL-u^L-?
(1.19)
Ам"Тб;/Ц2"1б'
Оригинал определяется формулой
U2 , 1
If2
1 .-'
jt(f) = *' +—te е е +—te +—е .
8 2 16 16 8 2 16 6
Рассмотрим замкнутую автоматическую систему. Предварительно дадим
определение: схема системы, в которой указаны математические модели ее элементов
(например, в форме дифференциальных уравнений), называется структурной схемой.
Представим структурную схему в виде, изображенном на рис. 1.16.
Поскольку полагаются известными дифференциальные уравнения ДУЬ ДУ2, ДУз,
ДУ4, ДУ5 всех элементов, то, пользуясь каким-либо из методов, можно построить
одно уравнение, связывающее вход системы с ее выходом.
Положим, что уравнение имеет вид
5>v;c(v)=5>v?(V)-
v=0 v=0
(1.20)
y(t) e(r)
*(0|
ДУ1
2
ДУ2
з
ДУз
4
ДУ4
ДУ5
Рис. 1.16. Структурная схема системы:
1 -регулятор; 2 - усилительное устройство; 3 - исполнительное устройство;
4 - объект управления; 5 - измерительная система
САУ является одномерной линейной стационарной, поскольку ее поведение
описывается скалярным линейным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Найдем изображение выходного сигнала системы.
Воспользовавшись формулой
L{fik\t)} = skF(s)-sk-lf(0)-sk-2fX0)-...-fik-l)(0\ (1.21)
из (1.20) получим
aJ^X^)-^"1^)^
+an_l[sn-iX(s)-(sn-2x(0) + sn-3xm + ... + x(n-2\0)^ (1.22)
+д0* (*) = bmsmY{s) + bm_xsm-lY{s) +... + V4*)-
Из (1.22) следует:
an/x(s) + an_ls"-lX(s) + ... + a0X(s)-
-хф^а^^а^-^а^^-^^а^

iy(5)a±W."-a тц-l^ т...-г«ц (126)
40 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
-x\0)[ansn-2+an.lsn-3 + an.2sn-4+...+a2]-...-x^l\0) a^ =
' Б^ ' D^(s) (1-23)
= bmsmns) + bm.lSm-lY(s) + ... + b0Y(sy.
Перепишем последнюю зависимость в виде
k*" +an.ls"-l+...+a0]x(s)-x(0)D0(s)-xX0)Dl(s)-...-
г , (1.24)
-^"-"(О)^.,^) = [bmsm + Bm.lsTl +...+bo\Y(Sy.
Отсюда легко записать формулу, определяющую изображение выходного сигнала
ans»+an^+... + a0 (j ^
|x(0)^)(J) + xt(0)AW + .-+Jc(ll"1)(0)P>l-iW
e^'+^V1"1+••• + <%
Положим в (1.25) х(0) = х\0) = ... = х{п-1)(0) = 0, т.е. Х° =[jc(O),jct(O),...,Jc(/I-1)(O)] =
= 0 . Тогда зависимость (1.25) можно записать в виде
_X(j)_Vm4^VW-1+... + fr0
Y(s) ansn+an_xsn-{+... + a0
Дадим одно из стержневых в теории автоматического управления определений:
передаточной функцией (ПФ) САУ называется отношение преобразования Лапласа
X(s) сигнала x(t) на выходе системы к преобразованию Лапласа Y(s) сигнала на входе
y(t) при нулевых начальных условиях X °= 0.
Зависимость (1.26) позволяет записать важное соотношение
X(s) = W(s)Y(s). (1.27)
т.е. изображение выходного сигнала равно изображению входа {воздействия),
умноженному на ПФ системы.
Приведем некоторые свойства и показатели передаточных функций [172]. ПФ
представляет собой дробно-рациональную функцию (см. (1.26)), причем в реальной
системе порядок числителя т не превышает порядка знаменателя я, т.е. т<п .
Коэффициенты ПФ av, v = 0,n; bk, k = 0,m вещественны, поскольку они представляют
собой функции от вещественных параметров системы.
Значения s, при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ. Нули
являются корнями уравнения
bmsm+bm.lsm-l+...+bo=O. (1.28)
Значения s, при которых ПФ обращается в бесконечность, называются
полюсами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения
ansn+an_lSn-l+... + a0=0. (1.29)
Передаточная функция W(s) имеет, таким образом, т нулей и п полюсов. Как
нули, так и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными,
поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (рис. 1.17).
Нули и полюса называются левыми (правыми), если они расположены в левой
(правой) части комплексной плоскости, и нейтральными или нулевыми, если они
лежат соответственно на мнимой оси или в начале координат.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
41
(
(
Левые
>
нули
Левые
Мнимая ■
ось
0
0
0
ч
полюса :
: Нейтральные
полюса .
^Нейтральные
нули
)
к
0 #"
•
I
г
0
<
<
I
' Пр
Сомплексная
шоскость
ТТриртнитр ттт.
ОСЬ
Травые нули
авые полюса
Рис. 1.17. Нули и полюса на комплексной плоскости:
* —полюса\ • —нули
К показателям ПФ относятся [172]:
1) порядок ПФ я, равный степени знаменателя ПФ;
2) степень гс, равная разности степеней знаменателя п и числителя т ПФ;
3) индекс апериодической нейтральности sa, равный числу нулевых полюсов ПФ;
4) индекс колебательной нейтральности sKi равный числу мнимых полюсов ПФ;
5) индекс неустойчивости sHi равный числу правых полюсов ПФ;
6) индекс неминимально-фазовости янф, равный числу правых нулей ПФ.
Рассмотренные показатели содержат ценную информацию о свойствах
исследуемой САУ.
На основе понятия передаточных функций в теории автоматического
управления (ТАУ) построен аппарат структурных преобразований, позволяющий находить
ПФ замкнутых систем, заданных структурными схемами. Любая структурная схема
включает последовательно и параллельно соединенные элементы, а также элементы,
соединенные обратной связью. Рассмотрим последовательное соединение (рис. 1.18).
W\(s)
W(s)
W(s)
X\{t)
W2(s)
x(t)
Рис. 1.18. Последовательное соединение
Для него характерны зависимости вида
Xx(s) = ^,(5)У(Д X(s) = W2(s)X,(*) = W2(s)Wl(s)Y(s).
Отсюда имеем
W(s) = Wl(s)W2(s).
(1.30)
(1.31)

42
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Для произвольного случая
W(s) = Wx(s)W2(s)...Wn(s). (1.32)
Следовательно, передаточная функция последовательного соединения звеньев
равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Перейдем к
параллельному соединению (рис. 1.19).
y(t)
II/ /_\
W\(S)
W (?\
yVn{S)
*i(0
/ V к
W(s)
Рис. 1.19. Параллельное соединение
Для параллельного соединения
x(t) = xl(t) + x2(t) + ...+xn(t).
Тогда
X(s) = X1(s) + X2(s)+...+Xn(s),
но
Х,(5) = 1У,(5)У(5);
X2(s) = W2(s)Y(s);
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Xn(s) = Wn(s)Y(s).
Отсюда
(1.36)
(1.37)
X(s) = Wl(s)Y(s)+W2(s)Y(s)+...+Wn(s)Y(S) =
= (Wl(s)+W2(s) + ...+Wn(s))Y(s),
или, что то же самое, X(s) = W(s)Y(s), где
W(s) = W1(s)+W2(s) + ...+Wn(s).
Из последнего равенства следует, что передаточная функция параллельного
соединения равна сумме передаточных функций отдельных элементов.
На рис. 1.20 представлено соединение с обратной связью. Для такой системы
справедливы соотношения:
E(s) = Y(s) - Хх (s); X (s) = W, (s)E(s); X, (s) = W2 (s)X{s)
Отсюда
X(s)
или
Тогда
Окончательно получим
■ = Y(s)-W2(s)X(s),
X(s) = Wl(s)Y(s)-Wl(s)W2(s)X(s).
X (s) [1+Wi (s)W2 (s)] = W, (s)Y(s).
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
43
X(s)
ВД
(1.42)
Y(s) 1ЩШ2(з)
Очевидно, что передаточная функция соединения с обратной связью равна
дроби, числитель которой - передаточная функция прямой цепи, знаменатель -
\-\-W\(s)W2(s) (если имеет место положительная обратная связь, то знаменатель имеет
вид 1 - W\{s)W-As)).
y(t)
[
V /Л
x\{t)
Wi(s)
ТХ7 / \
W(s)
x(t)
Рис. 1.20, Соединение с обратной связью
Аналогичным образом легко найти так называемую передаточную функцию
ошибки, определяемую формулой
Els)
WJs) =
Y(s)
Имеем
Отсюда
E(s)*ns)-W2(s)X(s)\X(s) = Wx(s)E(s).
(1.43)
(1.44)
(i.45)
(1.46)
Y (s) l+Wl(s)W2(s)
. При структурных цреобразоэання^ ЧЗРТО используются различные
преобразования (табл. 1.1). Если известна ртруктурная ехема и параметры дистемы, то можно,
пользуясь аппаратом структурных преобразований, найти ПФ замкнутой САУ, а
затем и ее дифференциальное уравнение.
E(s) = Y(s)rWl(s)W2(s)E(s)\E(sl(l+Wl(s)W2(s)) = Y($l
Окончательно получим
E(s)_
1

Преобразования
Пепенос учла
через звено
Перенос узла
через
сумматор
Исходное
Xl
Xl
ЭкРИвале
W" 'wi \
1 UWi \
;ht
X2
т
J
Исходи
—Ha)—
юе
Xi
I *r
I—►
1
-r
L
Таблица J.I
Эквивалент
Г 1 *2
1 i*2

44
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Продолжение табл. 1.1
Перенос
сумматора
через звено
нЯН^ГУ
Перенос
сумматора
через
сумматор
JC4
Г*з
Перенос
сумматора
через узел
I X2
xi Т хъ
Х2
XI
хг
\хг
Х\ 1 ХЪ
-j-Hg)—►
TJC1
хг

Последовательное
включение
звеньев
-4WW2
/=1

Параллельное
включение звеньев
"4^1+^2
^экв(*) = №*)
Включение
обратной
связи
W=-
W-.
' \±w.
Аппарат передаточных функций оказался весьма эффективным при исследовании
линейных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы.
На рис. 1.21 показаны полезные при решении инженерных задач эквивалентные
преобразования структурных схем [153].

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
45
W)(s) |-»>
+\W2(s)
*2
l/Wts) \-+^{*T[-*»
ж
Рис. 1.21. Эквивалентные преобразования структурных схем
Приведем некоторые примеры.
Пример 1.3 [153]. Схема многоконтурной (четырехконтурной) САУ показана на рис. 1.22, а.
Передаточная функция Wm(s) элемента W4(s), охваченного отрицательной обратной связью Z«(.?)t находится по
формуле
W (,)„ Ш?1 .
При этом четырехконтурная система может быть сведена к трехконтурной системе (рис. 1.22, б),
y(t) x(t)
Рис. 1.22. Пример преобразований четырехконтурной САУ

46
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Далее последовательно соединенные структурные элементы с передаточными функциями W3(s) и
WuC?), охваченные обратной связью Z3(», могут быть заменены эквивалентным структурным элементом с
передаточной функцией
W3(s)W^s)
W33(s) =
W33(*) = :
\ + Z3(s)W3(s)Wu(s)
W3(s)W4(s)
\ + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s)
В этом случае трехконтурную схему можно свести к двухконтурной схеме (рис. 1.22, в), которая,
в свою очередь, может быть приведена к одноконтурной схеме (рис. 1.22, г).
Для схемы, показанной на рис. 1.22, г, передаточная функция
W2(j)W33(j)
W22(s) =
\ + Z2(s)W2(s)W33(s)
W2(s)W3(s)W4(s)
1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s)
Передаточная функция всей системы с разомкнутой главной обратной связью имеет вид
W/,(^) = Zl(^(^)W22(^) =
1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s)'
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
1 WJs)
W(s)--
Zx{s) l + WJs)
W^sW^sW^sW^s)
1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s) + Z, (^(^)И'2(^)^з(^)^4(^)
Если структурная схема САУ имеет вид (рис. 1.23), то, последовательно преобразуя структурную
схему с вычислением соответствующих передаточных функций, получим ПФ замкнутой системы
W(s) =
1 + Z, (s)W2 (s)W3 (s) + Z2 (.9)W, (s)W2 (s)
y(t)
-►OH ^tw 1
I lM> 1
^[^У^Щ—f4 w^ \++*
Us) [^-
x{i)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
47
y(t)
x(t)
-^OMj^iLrHj^i
Us)
«* 1
Phc. 1.23. Пример преобразования структурной схемы САУ с двумя цепями ООС
Пример* 1.4. Построим структурную схему САУ числом оборотов двигателя постоянного тока [153].
«(0 1
_L_N(0 = *(0
Рис. 1.24. Функциональная схема САУ:
1 - элемент сравнения; 2 - электронный усилитель; 3 - электромашинный усилитель;
4 - двигатель; 5 - тахогенератор
Как уже отмечалось, для обеспечения заданного качества управления в систему вводится регулятор.
Кратко остановимся на значении регулятора в рассматриваемой САУ. Внешние воздействия, поступающие
на систему, делятся на два класса - задающие воздействия y{t) и возмущающие воздействия n(t). Задающие
воздействия определяются тем законом, по которому должна изменяться управляемая величина. В
рассматриваемом случае (система стабилизации) задающее воздействие постоянно, оно устанавливается или
вырабатывается задающим устройством.
Для систем стабилизации основным является возмущающее воздействие (изменение нагрузки).
Возмущающее воздействие n(t) может изменяться по вполне определенным законам, а может изменяться и
случайно. Часто характерным является скачкообразное изменение возмущающего воздействия (рис. 1.25),
соответствующее мгновенному увеличению 1 или уменьшению 2 нагрузки. Задачей регулятора является
устранение или уменьшение до необходимых пределов отклонения управляемой величины от заданного
значения, вызванного возмущающим воздействием n(t). Принципиально невозможно сделать управляемую
величину независимой от всех возмущающих воздействий, ибо по самому принципу работы САУ
регулятор может прийти в действие лишь тогда, когда появится отклонение регулируемой величины от
заданного значения (рис. 1.26). При увеличении нагрузки на валу электродвигателя n(t) число оборотов, а
следовательно, напряжение на выходе тахогенератора упадет. Сигнал u(t), а следовательно, сигналы u\{t) и м2(0
возрастут, а это приведет к увеличению скорости вращения вала электродвигателя. Регулятор улучшает
качество управления.
n(t)
■О
t
Рис. 1.25. График возмущающего воздействия
*В параграфе 1.1 рассматривался вопрос построения оператора Л замкнутой системы. Этот пример
иллюстрирует алгоритм нахождения математической модели замкнутой системы, если известны
дифференциальные уравнения ее звеньев.

48
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Дифференциальные и алгебраические уравнения элементов системы имеют следующий вид:
1) элементы сравнения
и(') = ;уо-иг2(О; и,(О = и(О-Ис(');
2) электронный усилитель
3) электромашинный усилитель
и2(0 = *эМ1(0;
4) электродвигатель
5) регулятор
deB{t)
'~dT
д dt
«МО
+ ев(0 = Куи2«); Тп -^р + ея(1) = АГуев(О;
Л
Ы«) = Каея«);иТг(1) = КТгЫ(1);
duc
:~dt
+ uc(t) = Kc
de^t)
dt
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
У(О=УО 1 U(t) l UX(t)
«2(0
n{t)
^я(0 | N(t)=x(t)
Рис. 1.26. Функциональная схема САУ с регулятором в цепи ОС:
7 - элемент сравнения; 2 - электронный усилитель; 3 - электромашинный усилитель;
4 - двигатель; 5 - тахогенератор; 6-регулятор
Зная уравнения элементов и переходя от последних к передаточным функциям, построим структурную
схему системы (рис. 1.27).
—TQ
1
> ^ /С
ГО
«Г2(0
5\ ^
Ис(0
1
Tys +
Kcs
Tcs +
- К
- Лг,
1
1
eB(t)
Гп* + 1
W
д«)=ад
i=
Рис. 1.27. Структурная схема системы управления числом оборотов двигателя
с математическими моделями в форме передаточных функций
Воспользовавшись структурными преобразованиями, найдем ПФ внутреннего контура, охваченного
местной обратной связью (регулятором)
КЭКУКП
bjs + lj
W,(.s) = -
1 +
л з Лу К л Кq s
[(V+i)(rn*+i)(rcf+i)]
«з^3 + a\s2 + a\s + uq '
(1.52)
где
а\ = ГУ7ПГС; а\ = (ТУТС + ТПТС + ТПТУ); а\ =ТУ+ТП+ТС + КЭКУКПКС;
al0 = \;bl = КЭКУКПТС; % = КЭКУКП.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
49
Теперь легко найти ПФ замкнутой САУ
W(s) =
V + fr)
aAsA + a3s3 + a2s2 +а^ + а0'
(1.53)
где
b{ -b{K^\bQ= ЬОКУ;
а4 = а\Тл; аъ = (а^Гд + а\); а2 = (а|7д + в£ );
«1 = (во^д + <*\ + */*д *г2); а0 = Ц + Ь0КдКТг).
Подставляя численные значения параметров, получим ПФ в виде
49,7(1 + 0,5.*)
W(s)--
(1.54)
" 0,015/+ 0,215^3 +10,9^ + 25,9^ + 49,7*
Ясно, что последнее выражение является дробно-рациональной функцией, причем коэффициенты ПФ
- действительные числа.
Найдем нуль системы: 1+0,5$ = 0 =* s = - 2.
Рассчитаем полюса системы, которые являются корнями уравнения
0,015/+0,215$3+10,9$2+25,95 + 49,7 = 0. (1.55)
Корни последнего уравнения: s\2 = - 1,2 ±./1,83; 53,4 = -6 ±./25,6. Нанесем значения нулей и полюсов на
комплексную плоскость (рис. 1.28). О системе можно сказать следующее: 1) порядок системы - 4; 2) гс = 3;
3) индекс апериодической нейтральности равен нулю; 4) индекс колебательной нейтральности равен нулю;
5) индекс неустойчивости равен нулю; 6) индекс неминимально-фазовости равен нулю.
Мнимая
ось
+4
Действительная
ось
►
Рис. 1.28. Нули и полюса системы с ПФ (1.54)
Все нули и полюса системы - левые (поскольку лежат в левой полуплоскости). Если известна ПФ
замкнутой САУ, то, используя известную формулу
5*F(5)<->/(ft)(0. (1.56)
легко получить дифференциальное уравнение этой системы. В самом деле,
bs + bb =*X£) (157)
a4s4 + a3s3 + a2s2 + axs + Oq Y(s)
Тогда
a4s4X(s) + a3s3X(s) + a2s2X(s) + alsX(s) + a0X(s) = blsY(s) + b0Y(s). (1.58)
Переходя в пространство оригиналов, запишем:
а4*(4)(0 + a3x{i)(t) + a2x(t) + а{х«) + aox(t) = b^t)+boy(t). (1.59)
Рассматриваемый подход справедлив при исследовании САУ любой степени сложности.
Введем понятия вынужденных и свободных колебаний системы. Если на вход
системы, описываемой уравнением (1.20) при t = 0 поступает воздействие y(t), а система
при t = 0 имела ненулевые начальные условия, то изображение выхода и сам выход
имеют вид
5 Зак. 232

^0 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
X(s). bmsm +...+b0 ns) + mD0(s) + ...+X^(Q)Dn_i(s) ^ (160)
-y- a^"+...+g0 ^ ansn+...+a0
' I ' ' I '
f
x(t) = jk(t->c)y(>c)dT+xc(t,x(0),xX0),...,xin-{)(0)). (1.61)
0
Р1ли, в развернутой форме,
40 = }^(г-х)Ях)Л + д:(0)хДО + ^1(0)х2(0 + ... + д:('1"1)(0)^(0, (1.62)
о
где jci(O, ..., xn(t) - элементы нормальной фундаментальной системы.
Последние формулы позволяют заключить, что имеют место два фактора,
вызывающие колебания на выходе системы:
1) наличие воздействия на входе y(t);
2) наличие в системе ненулевых начальных условий Х° =fx(O),...,x(/I~1)(O)J^O
(наличие в системе запасенной энергии, порожденной действием предыдущего
сигнала, поступившего на систему до t = 0).
А теперь дадим два важных определения:
Сигнал у определяемый формулой
t
xB(t) = jk(t-T)y(x)dx (1.63)
о
и порожденный воздействием y(t), поступившим в систему при t = 0, называется
вынужденным сигналом (вынужденными колебаниями системы);
Сигнал, порожденный ненулевыми начальными условиями Х°*0 или, что то же
самое, порожденный воздействием, поступившим в систему на промежутке
(-°°,t = 0), называется свободным сигналом (свободными колебаниями).
Выходной сигнал системы при te (- °°, t) можно записать в виде интегрального
соотношения
/ о t
x(t)= J k(t-T)y(i)dT= J k(t-T)y(x)dT+jk(t-T)y(T)dx, (1.64)
где
t
\k(t-T)y(x)dx (1.65)
- полный процесс на выходе системы;
о
xc(t)=\k(t-x)y(x)dz (1.66)
- свободные колебания системы;
t
xb(t)^\k(t-x)y(x)dx (1.67)
о
- вынужденные колебания системы.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 51_
1.3. ПЕРЕХОДНЫЙ (ДИНАМИЧЕСКИЙ) И УСТАНОВИВШИЙСЯ
(СТАТИЧЕСКИЙ) РЕЖИМЫ РАБОТЫ СИСТЕМЫ;
ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ
Введем понятия установившегося (статического) и неустановившегося
(динамического) режимов работы системы, рассматривая частный случай, когда y(t) = 1(0
(рис. 1.29).
s
t
Рис. 1.29. Входной ступенчатый сигнал
В связи с тем что отклонение управляемой величины существенно зависит от
вида воздействий, места их приложения (которые могут быть различными), то обычно
при рассмотрении конкретных автоматических систем приходится задаваться
типовыми, наиболее характерными для данной системы воздействиями y(t). Обычно в
качестве такого типового воздействия принимают воздействие вида скачка y(t) = l(f),
являющегося во многих случаях наиболее неблагоприятным. Если в этом случае
выходной сигнал удовлетворяет определенным условиям, то часто можно считать, что
он тем более будет удовлетворять им и при иных характерных воздействиях.
Примерами ступенчатых сигналов могут быть сброс или увеличение нагрузки,
отказ двигателя в системе двухмоторный самолет - автопилот курса [153].
Типовое воздействие можно задать в виде 8-функции (дельта-функции).
Например, внезапное вхождение самолета в струю воздуха, движущегося перпендикулярно
траектории движения самолета.
При исследовании следящих систем типовым управляющим воздействием может
являться полином
y(t)=yo + yit + y2t2+--- + y/> *>0. (!-68)
В отдельных случаях типовое воздействие может быть сложной формы,
например, при исследовании следящих систем управления антенной РЛС используется
функция [153]
y(f)=arctg(PO, (1.69)
которая отражает изменения азимутального угла между направлением на цель и
некоторым фиксированным направлением в случае прямолинейного и равномерного
движения сопровождаемого объекта (рис. 1.30). Часто типовые воздействия
определяются экспериментальным путем. На основе формулы (1.60) имеем зависимость для
изображения выходного процесса (начальные условия считаем нулевыми, т.е.
Х°=ОпризЧО = 1(О)
x{s) b-i-+W^+^;1 = 4\. (1.70)
(апз»+ап_^+... + а0) ' sBW
Выходной сигнал, соответствующий изображению (1.70), имеет вид
jc(f)= CoeSot +CxeSlt+C2eS2t +... + C/Ie5"', (1.71)
5*

52
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
где sl9s2,...9sn - корни уравнения B(s) = 0 (полюса системы ); s0 = О - нулевой
корень, порожденный воздействием y(t)'= 1(г).
Из (1.71) следует важный вывод: полюса системы sl9s2,...,sn определяют закон
изменения во времени выходного сигнала; постоянные же коэффициенты С{,С2,...,Сп
(формула для расчета Ck имеет вид: Со = А(о)/#(о), Ck = A(sk)/skB'(sk), k = l,n )
зависят в соответствии с приведенной формулой как от полюсов, так и от нулей
системы и определяют величину амплитуды каждой из составляющих, определяющих
сигнал x(t).
Перепишем (1.71) в виде
*(0=*,(0+*п(0. (1-72)
где
y{t) = W
MO=Q'v=^ji(')=coi(<);
xn(r)=C1^'+C2^'+... + Cn^-'.
Я') = 5(0
У«)=Уг?П
y(t) = arctg (P0
(1.73)
(1.74)
Рис. 1.Э0. Виды типовых воздействий
Составляющая ху (t) порождена полюсом воздействия y(t) = 1(0, и, следователь
но, 5 = 0, т.к. Y(s) = 1/5. Составляющая xn(t) порождена полюсами ПФ, т.к
s{,s2,...,sn являются корнями
ansn+an_lSn-l+... + a0=0. (1.75
Эта составляющая определяет динамические свойства системы. Итак, имеет мест
картина: y(t) = 1(0 - вход системы;

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
53
jc(r)=C0l(r)+C1^/+C2^24... + C^v
- выход системы.
Очевидно, в работоспособной системе, если на вход подается ступенчатый сигнал
1(0, то и выход также должен быть постоянной величиной, т.е. Col(r). Этому
«мешает» составляющая хп (t). Отсюда ясно, что в работоспособной системе
*п('Нц—>0. (1.76)
Система, для которой выполнено условие (1.76), называется устойчивой.
Если выполняется условие (1.76), то на выходе системы можно наблюдать два
случая (после затухания хп (?)):
1) co*i и *(0=coi(0«i(0;
2) Со=1 и x(t)=y{t)=l(t).
Таким образом, характер изменения выходного сигнала (управляемой
величины) может иметь вид, приведенный на рис. 1.31 (первый случай) и рис. 1.32 (второй
случай).
Максимальное
динамическое
(1-77)
х(0,
Максимальное
статическое
отклонение
Рис. 1J1. Выходной сигнал системы при y(t) = 1(0 и Сф 0
Максимальное
динамическое
отклонение
Рис. 132. Выходной сигнал системы при y(t) = 1(0 и С = 0
Вводимые ниже понятия имеют важное значение для характеристики качества
работы системы.
Составляющая вынужденного сигнала xn(t) называется переходной
составляющей.
Переходная составляющая, с физической точки зрения, порождена
инерционностью системы (например, в системе управления кораблем момент инерции отличен
от нуля и, в связи с этим, изменение курса происходит с некоторым запаздыванием).

_54 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Составляющая вынужденного сигнала ху (г) называется установившимся
сигналом.
Таким образом, вынужденный процесс хв (t) состоит из двух составляющих:
переходной, порожденной полюсами ПФ системы, и установившейся, порожденной
полюсами воздействия (в данном случае s0 = 0).
Режим, при котором составляющая хп (t) отлична от нуля (не затухла),
называется неустановившимся или переходным (динамическим) режимом.
Режим, при котором xn(t)**O (составляющая xn(t) затухла), называется
установившимся или статическим режимом.
Разность между входом y(t) = 1(0 и выходом в установившемся режиме
называется статическим отклонением или установившейся ошибкой (см. рис. 1.31);
Разность между максимальным отклонением при хп (t)^0 и статическим
отклонением, характеризующая величину так называемого перерегулирования,
представляет собой динамическое отклонение. Время, по истечении которого динамическое
отклонение, порожденное наличием д:п \t) Ф 0, становится и далее остается меньше
некоторой заданной малой величины, представляет собой время управления Ту .
Часто говорят, что время управления Ту (или, что то же - время затухания хп (t))
характеризует быстродействие автоматической системы: чем меньше время
затухания хп (t), тем более быстродействующей является система.
Система, у которой статическое отклонение (ошибка в установившемся
состоянии) e(f)*O при y(t) = l(t), называется статической.
Система,у которой статическое отклонение e(f)sO при y(t)-\(t), называется
астатической.
Для статической системы характерно следующее [161]:
1) равновесие системы имеет место при различных значениях регулируемой
величины x(t) (отработка входа с ошибкой);
2) контур управления состоит из статических (безынерционных) звеньев,
реализующих безынерционное преобразование
^вых(0=/кх(0). ^ (1.78)
Для астатической системы равновесие системы достигается при единственном
значении выхода, когда x(t) = y(t) (отработка входа без ошибки). Любое воздействие,
поданное на систему, вызывает в ней динамический режим, по окончании которого
система переходит в новое установившееся состояние. При статическом отклонении,
не равном нулю, можно выделить следующие типы переходных процессов (они
определяются составляющей xn(t)) (рис. 1.33) [161]: колебательные (кривая 1), в
которых имеет место два и более число перерегулирований; малоколебательные (кривая
2), в которых число перерегулирований равно единице; без перерегулирования
(кривая 3), в которых x(t)<x(oo) для всех te [0,«>); монотонные (кривая 4),
характеризующиеся тем, что скорость изменения выхода не меняет знака в течение всего
времени Ту.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные сау
jj
0
i
/-
/ 1
^ 4
/ А
Рис. 1.ЭЭ. Основные типы переходных процессов
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие y(t) = 1(0 при нулевых
начальных условиях называется переходной характеристикой (ПХ) системы (для
нее существует специальное обозначение h(t)).
Приведем основные параметры ПХ (рис. 1.34) [153, 161]:
но1
flyer
/
Лтах2/
1
1 Т
/
•/max
\;
\
\
Т
/ V
/
1 / 2А
t
Рнс. 1.34. Переходная характеристика системы
• время управления Ту (время переходного процесса) - минимальное время, по
истечении которого выходная величина будет оставаться близкой к
установившемуся значению с заданной точностью
t)-h
уст
<А \ft>TD;
• перерегулирование с, %, определяется выражением
К
a=kmaxl ^уст100%;
►уСТ
в реальных системах обычно
а = (10-30)%,
но в некоторых случаях допускается до 70 %;
• статическое отклонение
(1.79)
(1.80)
(1.81)
(1.82)

ЪЬ Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
• частота колебаний процесса h(t)
© = —, (1.83)
где Т- период колебаний;
• время установления Тн - абсцисса точки пересечения с уровнем
установившегося значения hyCT (иногда Гн называют временем нарастания);
• декремент затухания
«=Ь=^Ц; (1.84)
Р*тах2"~Луст|
• число колебаний п (число максимумов hit)).
При анализе систем рассчитывают параметры ПХ и делают вывод о качестве
работы системы.
При синтезе систем обычно задаются допустимыми значениями параметров
переходной характеристики, например
с<сД0П; Ту <Гудоп; ж< хдоп. (1.85)
1.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ
Ранее уже отмечалось, что если известны изображения входа Y(s) и передаточная
функция W(s), то по формуле (1.27) можно найти изображение выхода, а путем
обратного преобразования - и сам выходной процесс.
Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические
свойства системы (при нулевых начальных условиях).
Введем понятие дельта-функции 8(0.
Дельта-функцией называется функция, которая обладает следующими
свойствами:
8(0 = |Г ПРИ' = °; Ь(0А = 1. (1.86)
w [0 при г * 0, ^ w
Иногда 8(0 вводят как производную от единичной функции 1(0, т.е.
в(0-1'(0«|1(0- (1-87)
Дельта-функция имеет производные любого порядка. Поскольку L{l(r)} = l/s , то,
учитывая (1.87), имеем L{8(0} = 1, т.е. изображением 8(0 является единица.
Теперь найдем изображение выхода, если входом является 8(0 - дельта-функция.
Реакцию САУ на единичное импульсное воздействие, т.е. на 8(0 на входе при
нулевых начальных условиях называют импульсной переходной или весовой функцией
(ИПФ) системы K(t).
Найдем изображение ИПФ
L{k(t)} = W(s)L{8(t)} = W(sy\ = W(s). (1.88)
Отсюда следует важный факт: передаточная функция равна изображению по
Лапласу от ИПФ и соответственно
k(t) = I7l{w(s)}. (1.89)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
57
ИПФ, как и передаточная функция, является исчерпывающей характеристикой
САУ при нулевых начальных условиях. ИПФ имеет вид, представленный на рис. 1.35.
Рис. 135. ИПФ системы
Найдем соотношение, связывающее входной сигнал y(t)9 выходной процесс x(t) и
ИПФ.
Имеем
Г'{Х(.)}=Г1{И'(5)У(5)}. (1.90)
Зависимость (1.90) представляет собой изображение вынужденного сигнала
системы; формула для вынужденного процесса во временной области имеет вид:
x(t) = jk(T)y(t-x)dT = k(t)*y(t). (1.91)
о
Эта формула, как и зависимость (1.90), справедлива при нулевых начальных
условиях.
Изложим алгоритм построения fc(f-x) по известному ДУ системы вида
Х«,*(У) = Я').
v=0
учитывая, что с математической точки зрения к (г - х) - это решение однородного ДУ
E<VC(V)=O
v=0
при следующих начальных условиях
*r>(,-x)|f=T=i.
Найдем частное решение (1.92) для любого те [0;Г] по формуле
*(f-x) = q (x)Xl(t)^c2 (т)х2(г)+... + сЛтК(0>
где xk(t), к = 1,п - фундаментальная система.
Пусть
В (X) = Хп + ап^Хп~1 +...+а{Х + а0 = 0
4 Зак. 232
(1.92)
(1.93)

58
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
- характеристическое уравнение ДУ (1.92), А,,,А,2,...,А.П т- корни характеристического
уравнения (простые, кратных нет). Тогда фундаментальная система имеет вид
ф(') = {** (0яе**': * = Ц-. (1-94)
Поскольку /fc,v(f-xM =0, v = 0,>i-2; ^"""(f-x)! =1, то общая формула для
расчета с„ (т) запишется так
х,(х) *j(t)
*,'(х) д£(т)
дГ>(х) д^>(т)
v(«-l)
(х)
С2(х)
=
'(Г
0
1
Но т.к.
*(0-fc(0-eV: * = 1>4
то система имеет вид
«Л*
рХ2х
А,т
Х.е^ \гех*
А..е*-Т
=
0
1
(1.95)
(1.96)
(1.97)
Или
Х(«-1)еХ,т X(2«-DeM ... х<«-1)еХ,.т
с, (т)ех'т + с2 (т)еХ2Т +... +'с„ (т)Лт = 0;
с, (т)*,^'+с2 (т)Х2е^т + ...+с„ (т)А.„Лт =0;
(1.98)
с, (x)A.rV'T+с2 (т)Г2-2^ + ...+ся (т)ХГ2**"* = 0;
с, (х)ЛГ'ех'т + с2 (т) А.Г1 вХгТ + -+с„ (х)^'1 Лт = 1.
Для решения этой системы уравнений умножим предпоследнее уравнение на Х„ и
вычтем из последнего. Этим мы исключим из последнего уравнения неизвестную
с„(х). И вообще, если мы вычтем по очереди из каждого последующего уравнения
предыдущее, умноженное на Х„, то мы исключим с„(х) из всех уравнений, начиная со
второго. В результате получим систему (и - 1) уравнений. Далее исключается
неизвестная с„. i(x), ся_2(х),..., с2(т). В результате получим следующие зависимости
(после некоторых преобразований)
^•щ^-^-щ^*" С"(Т)-^ГЧ
Г^ех"=У—1^('-т>
Таким образом, ядро
к=\ Ы\В\Кк) k=\ti КАк)
Напомним структуру фундаментальной системы (имеются кратные корни):
(1-99)
(1.100)
5'
.5'

Глава L Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
59
Тогда, используя предыдущие рассуждения, получаем зависимость
-1У-
где
(1.101)
(1.102)
lx=xA
Можно рассуждать и следующим образом. Поскольку av= const, v = 0,n-l;
йл 2= 1, то имеет место следующая зависимость
*(6)-сЛ(5)+ад(5)+-.-+^л(§). (I-"»)
где § =ь t - х (положим t« 0), причем
*(«U a *4 (§)U - - - kt2) («U - о; *Г (^,=o=! • (U04)
Постоянные ci, c^ . • •♦ сй определяются из системы
Г 1 1 - 1 ^
}2 л2
Aj A2
Л1
л-1 л л-1
.» х\
п-1
(1.105)
Если Xi,X2,..'.,XK - простые корни, то q =l/B'(Xt). Отсюда имеем
Так как ^ = г - т, то можно записать общее выражение для k(t - х)
*(*-х)-х
- 1 AM
Расчетная формула для построения вынужденных колебаний имеет вид
0 t=lB \Kk) 0 *=1
(1.106)
(1.107)
(1.108)
(1.109)
Интегральное соотношение (1-91) называют интегралом свертки или
интегралом Дюамеля. Для него справедливы следующие основные свойства:
коммутативный закон f\{t)*f2(i) = f2(t)*fl{t)9 т.е.
J/iW/2(^xyT = f/2(x)/1(r-x)Jx; (1.110)
о о
ассоциативный закон
/1(0*[/2(')*/з(0]=[/|(0*/2(0]*/з(0; ' а-»"
дистрибутивный закон
4*

60
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
М*)*Ш*)+М*)]=Ш*М*)+М*)*М*)- (1Л12)
Графическое представление свертки входного сигнала y(t) и ИПФ к(х) изображено
на рис. 1.36.
i
со
(2)
/—-\
(?)
©
©
©
©
©
y(t) t
y(t) т
у(х)
у(т) т —.
}*(»,-т)у(х
0
1
)dx = x(tl)-
*(т:
--—■
/
Ц
т)
*(
— ■ ■—
t
т
т
ti-T)y(x)
Рис. 1.36. Графическое изображение свертки
Найдем связь между ИПФ и ПХ. Имеем
H(s) = W(s)i.
(1.113)
Отсюда находим
sH(s) = W(s). (1.114)
Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на s
соответствует дифференцирование в области времени, то из (1.114) следует
Л(0 = *(0- О-115)
Пример 1.5. Рассмотрим RLC-цепочку (рис. 1.37).
L R
-О
Уравнение цепочки
или стандартная форма записи
Рис. 1.Э7. Схема tfLC-цепочки
LCx' + RCx' + x = Ky(t),
T2x" + 2Tfy' + x = Ky(t),

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 61_
причем Г = yfLC; \ = R>fc/2yfL , где Г - постоянная времени цепочки; £ - коэффициент демпфирования;
К - коэффициент усиления.
Входные данные: Г = 0,3; 5 = 0,2; К = 1; y(f) = 4e~2t cos8f. Необходимо записать выражение для
вынужденного колебания на выходе системы в форме интеграла свертки.
1). Характеристическое уравнение
5(Х) = Х2+1,ЗЗХ +11,11 = 0.
2). Корни уравнения определяются формулой
Ч, - ~2П*У -4Г2 --I*^Д Ч, -0.6666. Д2659 ■
3). Построение ИПФ: имеем Я'(Л) = 2А,+ 1,33, тогда
*w=^eX"+ifeeX!l=0-304e"a6666'sin3'2659i-
4). Выходной сигнал определяется зависимостью
t
X(t) =4-a304je-0'6666(/"T)sin3,2659(/-T)e-2Tcos8Ti/T.
о
Рассмотрим уравнение вида
jc' + jc = 1(0.
Входные данные: Г= 1; § = 0; y(t) = l(f).
1). Характеристическое уравнение X2 +1 = 0.
2). Корни уравнения X, 2 = ±У .
3). Таккак Я(Х) = Х2 + 1,то В'(\) = 2\ . Поскольку B'(+j) = 2j; B'(-j) = -2j,то
= — i/(cosr + ;sinr) + -./(cosr-i/sinr) = sinr.
4). Выходной сигнал, выраженный через ИПФ системы
x(t) = f sin (r - i)l(x)dx = f [sinf cost - cosrsinxjl (x)di.
0 • 0
Изложим второй подход, использующий фундаментальную систему. Так как Xl = j\ X2 = ~j ~ корни
характеристического уравнения, которым соответствуют следующие элементы фундаментальной системы:
jcj(/) = cosr, Jt2(f) = sin/,TO
k(t-z) = cl(x)xl(t) + c2(z)x2(t).
Составим систему алгебраических уравнений
с{ (x)cosx + c2 (x)sinT = 0;
-c1(x)sint + c2(T)cosT = l.
Отсюда находим
cosx sinxyc^xJ^fO
-sinx cosxllc2(x
A,(x)=
0 sinx
1 cosx
= -sinx; A2(x) =
cosx 0
-sinx 1
Отсюда
, v sinx . / ч cosx
c1(x) = = z—= -smx; c2(x) = = cosx.
1V ; cos2x + sin2x 2V ; 1
ИПФ определяется соотношением
fc(f-x) = -sinxcosf + cosxsinf .
Рассмотрим уравнение вида x"+x'+x = \(t), дс(О) = О, дс'(О) = О . Входные данные: Т = 1;> § = 0,5 ;
У (О = Н0.

JS2 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I
1). Характеристическоеуравнение Я(А,) = А,2+А- + 1я0.
2). Корни характеристического уравнения А,12 = -1/2 ± /V5/2.
3). Построим ИПФ; учитывая, что
B'(\) = 2\ + U
имеем
k(Л = _* e(-i/2+7V3/2)/—1 е(-1/2-у>/з/2)/ =
W ;7з % 7V3
= 1 /e(-l/2+;V3/2)r+ 1 /е(-1/2-Ул/3/2)г ^ 2 -^6inTf t
Тз-7 7зу л
4). Вынужденный сигнал на выходе системы имеет вид
*(O-J^'^rin^(i-t)l(T)rff.
1.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ: ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
При рассмотрении вынужденных колебаний систем при подаче на вход
гармонических колебаний важную роль играют частотные характеристики, Их роль особенно
заметна при исследовании устойчивости, а также при синтезе корректирующих
устройств (регуляторов). Особую роль при разработке частотных методов сыграл
В.В. Солодовников [153].
Передаточная функция W(s) определяется зависимостью:
]k(ty*<h = ]k(t)e-"t-*"dt*W(s). ' (1.И6)
о о
Пусть k(t) абсолютно интегрируема, тогда можно записать (можно положить
ст = 0)
|*(r)e->'^ = W(;(o) = |M, (U17)
где
X(ja) = ]x(tyjmdt
о
- одностороннее преобразование Фурье выхода;
Y{ja) = ]y(t)t-*»dt
О
- одностороннее преобразование Фурье входа.
Выражение (1.117) запишем так:
■^H'Wl'r-'gp*»- «-us,

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 63^
Обозначим | W (усо) | = А (со); | X (усо) | = Ах (ш); | Y (jw) | = Ау (со) - модули
соответствующих функций.
Тогда
Теперь можно записать
АН=7Т^; Ф(а))=ФлН-фЛ(0)- (112°)
Если
ап(7а))п+ап.,(уа)Г'+...+а0 с(а>)+#(а>) (j ^
c2((o)+d2((o)
то
A(o)) = Jp2(o))+G2(co); (1.122)
9((o) = arctg
"СИ"
(1.123)
P(O))J
Дадим некоторые определения.
Комплекснозначная функция JV(J(ui) называется комплексной частотной
характеристикой системы (КЧХ) или ймплитудно-фазовой, частотной характеристикой
(АФЧХилиАФХ).
Функции Р((О) и Q((O) называются соответственно действительной и мнимой
частотными характеристиками.
Функции А((й) и ф((0), определяемые зависимостями (1.122) и (1.123), называются
соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ)
характеристиками.
На рис. 1.38 представлены типовые АЧХ и ФЧХ системы.
Частотные характеристики определяются следующими показателями:
• показатель колебательности М = Amax(co)/A(0) (этот показатель характеризует
склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна систе-1
ма; как правило, в реальных системах 1,1 < М < 1,5);
• резонансная частота сор (частота, при которой АЧХ имеет максимум; на этой
частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);
• полоса пропускания системы (интервал от со = 0 до Сйо, при котором
выполняется условие
А(ооь)£0,707А(0); (1.124)
• частота среза соСр - частота, при которой АЧХ системы принимает значение,
равное А(0),т.е.
д(соср) = Д(О) (1.125)
(на рис. 1.38 условно принято А(0) = 1).
Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса;
справедливо соотношение

64
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Гу«0 + 2>
271
(О,
(1.126)
ср
А(со)
0,707Д(0)
ф(со)
Авах(СО)
> А(0)
АЧХ
О)р О)ср ш0
(О
Рис. 1.38. АЧХ и ФЧХ системы
Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем
система является более быстродействующей.
Если же полоса пропускания является постоянной для всех частот на (-<»,+<»)
(рис. 1.39), и, следовательно, 0)ср = «>, то система является безынерционной, у
которой Ту = 0. Этот вывод следует из формулы (1.126). Поскольку система с
бесконечной полосой пропускания (рис. 1.39) безынерционна, то ИПФ такой системы равна
8(0, а ПХ равна l(t) (т.е. входные сигналы отрабатываются без искажения).
Далее рассмотрим закон преобразования гармонических сигналов линейными
системами, имеющими А(со) - АЧХ и ф((о) - ФЧХ (рис. 1.40).
А(ш)
-О) +0)
Рис. 1.39. Бесконечная полоса пропускания системы

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 65
y(t) = y0cos
Gty
W(jto) = А((й)еМ(й)
*«-?
-►
Рис. 1.40. Преобразование гармонических сигналов
Имеем (рассматриваем установившийся режим работы системы, для чего верхний
предел интегрирования берется равным <*>)
у(0=л—Y'—'
тогда
х(0 = /*(т)у(^т)Л = ^/*(т)[еЛ(«)+е-^м>]л =
о о
= ^e^Jit(x)e-^Tdx+^e-^Jit(x)e^Tdx =
2 о 2 о
= у0А((00)^—| +)ИМ j = (».127)
* / \С С ТС С
= )ИЫ 2 =
еУ(оу+Ф(«ь))+e-y(«v+4K«b))
= Jo A (coo) = у0А (ш0 )cos (щг+ф (соь)).
. Результат имеет вид
Л:(г)=^0А((00)сО8(0)0Гтф((00)) = Л0СО8(0)0Гтф(0)0)).
Результат (1.128) можно трактовать так: если на вход системы подается косину-
соидалъный сигнал с амплитудой у& то на выходе в установившемся режиме имеет
место также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими
амплитудой и фазой: амплитуда выхода равна х$ = )>оА((00), а сигнал имеет сдвиг
фазы ф((00).
Полученный факт используют для экспериментального определения А(со) и ф(ш).
Для определения одной точки А(сйо) и ф((00) на вход системы надо подать
гармоническое воздействие
y(t) = y0costo0t, (1.129)
имеющее конкретную угловую частоту соо.
В результате в системе возникнет переходный процесс (имеет место составляющая
Xa(t)) и установившиеся колебания с частотой Сйо. После затухания переходного
процесса (т.е. в установившемся режиме), если система устойчива xn(t)—»0 (t—»°°), на
выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой (Оо, равной частоте
воздействия, но отличающиеся по амплитуде и фазе. Одна точка АЧХ (А(сйо) и ф(сйо))
определяется зависимостями

66
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
1 Уо
Ф(о>о) - сдвиг фазы выходного сигнала .по отношению ко входу. Аналогично можно
построить все точки АЧХ и ФЧХ (рис. 1.41).
y(t)
Динамическая
система
или звено
x(t)
x(t)
Xq = А((Оо)уо
фЛ-ф =ф((00)
Рис. 1.41. Экспериментальное определение частотных характеристик динамической системы
(динамического звена):
а - система или звено; б - процессы на входе и выходе
Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ)
системы называется график функции L (со) вида
L(o)) = 201gA((o) = 201g|w(;co)|, (1.130)
где ^
W(jco) = >/P2(o))+Q2((o); (1.131)
P(co) = ReW(./co); Q(v) = ImW(jv>). (1.132)
Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота
0)[1/с] в логарифмическом масштабе (рис. 1.42). Равномерной единицей на оси
абсцисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение
частоты увеличивается в 10 раз (рис. 1.42).
Частота cOq,, на которой До) пересекается с осью абсцисс, называется частотой
среза* Поскольку lgl = 0, то начало координат чаще всего берется в точке со = 1
(исключая точку (0 = 0, т.к. lgO = -«>). Таким образом, начало координат можно брать в
любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, например:
со - 0,05, (0 = 0,1,со=1,со = 10 или другие), исключая точку со = 0. Обычно начало
координат помещают в точке со = 1.
Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХили ЛФХ)
называется график зависимости ф (со) = Arg W (jco).

Глава 1» Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
67
Цдб] ▲
Промежуток усиления
А>1 амплитуды входного сигнала
Промежуток
ослабления
амплитуды
входного сигнала
ф[град] ^
90°
0f0l ОД оо
1 10 100 1000
«90°
со
сек]
Рис, 1.42. Логарифмические частотные характеристики
При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет
углов ф идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси
абсцисс откладывается по-прежнему частота со в логарифмическом масштабе.
Важно иметь s виду, что ось абсцисс соответствует значению А •■ 1, т.е.
прохождению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя
полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А > 1 (усиление амплитуды), а
нижняя полуплоскость - значениям А < 1 (ослабление амплитуды).
1,6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Структурную схему системы можно представить как соединение типовых
элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.
Цель настоящего параграфа - рассмотрение динамических характеристик
типовых звеньев; они строятся с использованием тех алгоритмов, которые изложены в
предыдущих параграфах,
Усилительное зэено, Уравнение звена имеет вид
*(г)-*у(О. (1.133)
Передаточная функция; имеем X(s) = KY($), откуда
Y(s)
(1.134)

68
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
ИПФ: k(t) = Kb(t) = L~l{W(s)\9
ПХ: h(t) = Ux I - W(s)\ = К -1(0 .
Частотные характеристики:
КЧХ: W( ja) = К ; АЧХ: A(w) = К ; ФЧХ: ф(ш) = 0.
ЛАЧХ: L((0) = 201g*:.
Интегрирующее звено. Это звено имеет следующую передаточную функцию
(1.135)
W(s) = ±.
s
Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 1.43 [153].
x(t)=e(t)
О . ^
м=т
а б
Рис. 1.43. Примеры интегрирующих звеньев:
а - электродвигатель постоянного тока; б -резервуар с входным трубопроводом
Очевидны следующие зависимости для динамических характеристик:
ИПФ имеет вид
t(0 = if-1(0;
ПХ запишется так:
h(t) = Kt. (1.137)
Графики k(t\ h(t) приведены на рис. 1.44 и 1.45.
(1.136)
КО i
К
i
КО i
К
Рис. 1.44. ИПФ интегрирующего звена
Рис. 1.45. ПХ интегрирующего звена
Построим частотные характеристики. Имеем передаточную функцию:
W(s) = -.
s
Отсюда
JL = -*L = -jL = Р(со) + jQ(co), где С(ю) = —.
7*0) (о со (о
(1.138)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
69
Амплитудно-фазовая характеристика W(j(o) определяется формулой
.... , ч л. л. J~
Щ/со) =— = —е 2.
усо со
При изменении частоты со от 0 до «> конец вектора W(j(u) движется по
отрицательной части мнимой оси от -«> до 0 (рис. 1.46).
со = °° Р(со)
W(ja)
Рис. 1.46. АФХ интегрирующего звена
Интегрирующее звено создаёт отставание выходного гармонического сигнала на
90° на всех частотах (рис. 1.47); амплитуда выходного сигнала уменьшается с
возрастанием частоты (рис. 1.47).
Д(со) | ФМ
-90°
СО
(О
Рис. 1.47. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена
АЧХ имеет вид:
А(со) = >2(со) + (22(со) = }^- =—; ф(со) = -90°.
(1.139)
со" со
Графики А(со) и ф(со) приведены на рис. 1.47.
Выражение для логарифмической частотной характеристики запишется так:
Дсо) = 20 lg А(со) = 201g— = 20 lg К - 201gco. (1.140)
со
В зависимости (1.140) - график прямой линии, поскольку Д(0) = Ко + К{ lgco, т.к.
ось абсцисс —lgco. Построим (1Д40). Имеем со = 1; тогда 201gAT — 201gl = 20lgAT.
Пусть со = 10 ; находим значение ЛАЧХ:
Z.(10) = 201g AT - 201g 10 = (lg 10 = log1010 = 1) = 201g AT -20. (1.141)
Таким образом, имеем график (рис. 1.48).

70
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
201gA((o),flBi k
Наклон = - 20 дБ/дек.
(l,201g/0
Ф(со) i
0
-90°
20igX^;
0 '
,0,1
20 ^^С^
1 1 декада
1 1
[10;
"*>
0
201g£-20)
Рис. 1.48. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена
Из этого рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение
ЛАЧХ изменится на - 20 дБ. Следовательно, она имеет вид прямой.
Апериодическое звено.
Дифференциальное уравнение имеет вид
a{x+aox = boy. (1.142)
Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 1.49.
х(0=т2(0
y(t)=Px(t)
-о
Вен
тиль
x(t)=
у(О=т,(О
Рис. 1.49. Примеры апериодических звеньев:
а - электрический RC-филътр; б-резервуар с сжатым газом; в - процесс закалки детали в жидкости
Получим передаточную функцию
alsX(s) + a0X(S) = b0Y(s).
Отсюда
X(s)_ b0 _ bo/ao _ К
(1.143)
(1.144)
Y (s) a{s + a0 (ajao)s + l Ts + l
Величины КиТ соответственно называются коэффициентом усиления и
постоянной времени апериодического звена.
По известным формулам достаточно просто получить зависимости,
определяющие импульсную переходную функцию и переходную характеристику:
К —
k(t) = L-l{W(s)}=^e T,t>0;
h(t) = irll±W(s)\ = K
1-е Т
, f>0.
(1.145)
(1.146)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
71
Функции k(t) и h(t) изображены на рис. 1.50 и 1.51.
Ш) \ h(t) *
т
Рис. 1.50. ИПФ апериодического звена
Рис. 1.51. Переходная характеристика
апериодического звена
Найдем частотные характеристики. Имеем следующую зависимость:
К _К K(T(-jto) + l)
W(s) = -
Ts + l T/w+1 (r(jo)) + l)(r(»j(o) + l)
^-KT(j(Q) + K^ К . -КТ(й
rV+i "гУ+i jtW+i
- = P(0)) + ;Q((0).
(1.147)
АФХ апериодического звена определяется формулой
W(» =
К
Т/со+1
-yarctgr©
и имеет вид (рис. 1.52).
;Q(o>)
Рис. 1.52. АФХ апериодического звена
Выражение для АЧХ имеет вид:
А(со)
1 \(TW
К2Т2(О2
К
7' оо о-оо „! + Г2(О2=-/
+ 1)2 (Г2о2 + 1)2 Г2ш2 + 1 VrV+l
ФЧХ определяется формулой
ф(о) = AigW(j(u) = -arctgcor.
Графики А (со) и ф(со) изображены на рис. 1.53.
(1.148)
(1.149)

72
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
А(<ю),
к
0
ф((0)-
0
-45°
-90°
\
\. АЧХ
со=1/г\^
О), 1/с
< ФЧХ
Рис 1.53. АЧХ и ФЧХ апериодического звена
ЛАЧХ определятся формулой
со*
201gA((o) = 201g^-201gVl + rW=201gA:-201gJl + ^r,
щ
где щ = частота сопряжения. Рассмотрим три случая:
(1.150)
1). (0« 0)!; тогда можно записать
(О
(1.151)
201gA(w) = 201g£-201gJl + ^ = 201gA:-201gl = 201g*:.
На частотах ©«(ty ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси
абсцисс.
2). со»(Of, тогда
20lg А((0) = 20lg К - 20lg—.
(1.152)
3). Рассмотрим, чему равна Цш) при (й = щ и (0 = 10(0!. Пусть (й = (д{, тогда из
(1.152) находим
201gA((01) = 201g^-201g^L = 201gAT-201gl = 201gA:.
Пусть (о = 10©!, тогда
201gA(10co1) = 201gtf-201g^- = 201gtf-201gl0 = 201g*:-20.
ЛАЧХ представлена на рис. 1.54 и рис. 1.55.
20 lg А((о) = L((0) | Прямая с наклоном
-20дБ/дек.
(1.153)
(1.154)
О)! =1/7 10(0! ^*(0, 1/С
Рис. 1.54. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
73
Ц(й),
Ф(со),
-45°
-90°
201ёК
(й«Щ
co^l/Г
Точная L(co)
Приближ
>' (асимпто
^(0, 1/с
со, 1/с
— —
Рис. 1.55. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена
Колебательное звено. Имеем уравнение
a2x"+alx'+a0x = b0y(t). (1.155)
Примеры звеньев, описываемых уравнением (1.155), приведены на рис. 1.56 [153].
L R
&
V
Рис. 1.56. Примеры колебательных звеньев:
а - RLC - колебательный контур; б - механическая система (т - масса, ку - коэффициент упругости
пружины, £ - коэффициент демпфирования)
Звено, описываемое уравнением (1.155), называется колебательным. Найдем ПФ;
имеем
(1.156)
a2s2X(s) + axsX(s) + aoX(s) = boY(s).
Тогда

/4
Анализ и статистическая динамика w\y. iacib i
bo
bo/ao
К
(1.157)
где
X(s)=
Y (s) a2s2+axs + a0 (a2/a0)s2+(a{/a0)s + l Г252+2£7Ъ + Г
a0 a0 a0
Параметры К,Ти% называются соответственно коэффициентом усиления,
постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности)
колебательного звена.
При различных значениях i; имеют место следующие звенья: £ = 0 -
консервативное; £>1 - апериодическое 2-го порядка; ^ 6(0,1) -колебательное звено.
Запишем выражения для ПХ и ИПФ колебательного звена (рис. 1.57 и 1.58)
-1
h{t) = Ul №s)
M-'t'-T'MH]
где
r = Vl-£2; q> = arctg(r/£).
ИПФ определяется выражением (рис. 1.57)
t(0 = ^-*^sin^r>0.
k(f) = h'(t)
/Л О
0,8
U,o
04
v,t
02
0
-0,2
-0,4
-0,6
С
г
И
I /\
Г
) 2
V
V
1
1
=0,1
25
1,5
f
У
1,0
/
(г
) i
\
т
1 1
*
Г
(1.158)
(1.159)
(1.160)
Рис. 1.57. ИПФ колебательного звена (t =— )
Частота
г
(00 = — = -
1-е
называется частотой собственных колебаний системы.
С учетом введенного определения,

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
75
Пусть i; = 0, тогда
кг
£(0 =—е~^/т sin city, t > 0.
К 1 К
k(t) = jsmjt =—sina>of,
(1.161)
где 0)0 = 1/Г - собственная частота системы, или
jfc(f) = Кщ sino)or. (1.162)
Положим, что внешняя сила (воздействие) определяется так
y{f) = Asin(G)or+cc). (1.163)
Тогда
x{t) = jsin(co^r + а —) = At sin(Gty + ф)
- амплитуда выходного сигнала линейно растет, с ростом t и может стать сколь
угодно большой. Это явление называется резонансом. Для многих систем явление
резонанса является вредным или даже разрушительным.
Если y(t) = Asin((or + cc), и со* со0, но |(0-(00| - достаточно мало, то имеют дое-
сто колебания в форме биений.
V)
i
1 О
1,о
1 (L
1,0
1 И
1,4
1 *>
1 л
1,U
П Q
U,i5
U,D
0 ^1
П 0
u,z
i
/
/
V
1 /
/
f
/
"\
>
V-
=1,0
= 0,1
-0,
\
25
>
J
/
J
L
r
3BBB
0123456789
- t
Рис. 1.58. ИПФ колебательного звена (t = — )
T
Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.
Найдем АФХ звена:
К К
W(j(0) =
Г2(уш)2 + 2Г£(;(0) +1 -Г2(02 + у2Г§ш+1
А:[(1-Г2(О2)-у2Г^(о]
[(-Г2о>2 +1) + у2Г£(о]+[(1 - Г2(02) - ;2Г^(о]

/и
/\нал*и и сшшничакал динамика w\.у. ~iaciь i
= K(l-T2a>2)-j2T$K(u^ £(1-Г2(О2)
(1-Г2со2)2 +4Г242Ю2 (1-Г2о2)2 + 4Г2£2со2
2Г£ЛГо>
-7
г2,.ч2ч2
■2к2/л2
(l-rV)z+ 47^(0
= Р((0) +7(2(ш).
АФХ колебательного звена представлена на рис. 1.59.
;G(to)ik
(0 = оо
tf
(О
Рис. 1.59. АФХ колебательного звена
Найдём АЧХ звена
Л(со) = V^2(co)+Q2(co) = |W(jco)| =
r(i-rV)
2^2ч2
4r2|^V
= л:
[(l-rV)2+4r4V]2 [(l-rV)2 + 4rWf
I (1-Г2ш2)2+4Г2^2о>2 ^
|[(1-7'2а)2)2+4гЧ2(02]2 7(1-Г2(О2)2+4П20)2
л:
>/[1-(а)/(о1)2]2 + 4^2(о)/(о|)2
где
(1.164)
(1.165)
со, 4
Частота ofy как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного
звена называется сопрягающей частотой.
ФЧХ имеет вид (£е (0,1)):
ф(0)) =
^ при0)4:
2Гео$ I
-n-arctgirW,npH(O>-.
(1.166)
Графики А((о) и ф((0) изображены на рис. 1.60.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
77
1=0,4
Рис. 1.60. АЧХ и ФЧХ колебательного звена
Построим асимптотическую ЛАЧХ; рассмотрим несколько случаев.
1). Пусть ««(Oj; в этом случае имеем А((0)« К\ 201gA((0) = 201g£. При
со » €&!, ЛАЧХ представляет собой постоянную величину, равную 20 lg AT.
2). Если со» щ , имеем
А(<£>) = -
гаженные значения ЛАЧХ:
20lg А(со) = 20lg К - 201g( — 1 =. 201g К - 401g| — |.
Отсюда находим приближенные значения ЛАЧХ:
\2
L(G)) = 201gA(G>)
[рямая с наклоном
^Ю дБ/дек.
Ф(СО);
-90°
-180(
Рис. 1.61. Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена
Возьмем две точки: (й = (й{ и (0 = 10(0!. Присело)! имеем 201gA((01) = 201g£;
при о = 10(0!
201gA(10(01) = 201gAT-401g^^ = 201g^-40.

78
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Асимптотическая ЛАЧХ при (д>(й{ представляет собой прямую с наклоном
- 40 дБ/дек. Эта ЛАЧХ представлена на рис. 1.61.
Асимптотическая ЛАЧХ не имеет значительных ошибок при 1 > £ > 0,7 ;
практически же при 0,5<£<1 можно пользоваться асимптотической ЛАЧХ; при £<0,5
необходимо учитывать «горб» (рис. 1.62). Кривые поправок представлены на
рис. 1.64.
1
Цсо),дБ
10
0
1П
-1U
-20
{
•
ш
-*-
i
{
**•
/у
1
1
\ 5=0,05
\_^0,10
л^:о,2о
^L^O0,25
«
^-0,80
Д=1,0
ч
ч
ч
ч
ч
ч
S
ОД 0,2 0,3 0,4 0,50,6 0,8 1,0 2 3 4 5 6 8 о)Г
Рис. 1.62. ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях £
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
Г!
Щ
о/
Ш
Ш
0,4
0,5
Г/
v
^-4=0,05
^"U,1U
_^0,15
^Z-0,20
^0,25
Is.
\^
ii
i
ш
ш
1
d
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 2 3 4 ' 5 6 соГ
Рис. 1.63. ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях \

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
79
Ят,дБ
16
12
8
-8
>
*^
-».
i
s
1
V
у
/
«*^
*ч,
ч
S
S
i>
\
S
ч
\
1—-
5=0,05
.0,10
-0,15
.0,20
,0,25
J0.3O
0,40
-0,50
"
«^
0,60
0,80
$=1,0
0,2 0,3 0,40,5 0,6 0,8 1
3 4 5 6 8 о)Г
Рис. 1.64. Кривые поправок Нт для асимптотических частотных характеристик
колебательного звеиа
Дифференцирующее звено. Передаточная функция имеет вид
W(s) = Ks. (1.167)
Импульсная переходная функция и переходная характеристика определяются
зависимостями
k{t) = Kb(t)\ А(0 = ЛГ8(0.
Частотные характеристики выражаются формулами:
W(jw) = jKw; P((0) = 0; Q(co) = £о>; А(со) = Км;
Ф(ш) = 7i/2;L((O) = 201gtf+ 201gw. (1.168)
АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 1.65.
А(ю) ' >
ф((0)'
л/2
/л
и
(О
Рис. 1.65. Частотные характеристики дифференцирующего звена
Логарифмические частотные характеристики изображены на рис. 1.66. ЛАЧХ
дифференцирующего звена - прямая, проходящая через точку с координатами

80
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
(0 = l,L((o) = 201g£ и имеющая наклон +20дБ/дек; До) увеличивается на 20 дБ
при увеличении частоты на одну декаду.
Доэ)
<р(а>)
я/2
г20 дб/дек.
Г
20\gK
0 1 а>
Рис. 1.66. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего звена
Запаздывающее звено. ПФ имеет вид
W(s) = Ke"s\
Очевидны следующие соотношения:
k(t) = Kb(t-i);h(t) = Kl(t-x).
АЧХ и ФЧХ определяются зависимостями
W(jv>) = Ke~Jm; А(ш) = К; ф(ш) = -сот. (1.171)
В табл. 1.2 приведены основные динамические характеристики элементарных
звеньев.
Таблица 1.2
(1.169)
(1.170)
X
Вид характеристики
Уравнение
Передаточная функция
Передаточная
характеристика h{t)
ара
I
i
ктерр
ТрОПОрь
(усилн
безыне]
jc(O
i
[стики эле
щональное
тельное,
эционное)
= *?(')
L
L
г
ме
i
нтарных звенье
Тип звена
Интегрирующее
at
1
Ts
/arctg^r r
7
i
Апериодическ
(инерционное
*
7i + l
^H |
oe
0
КО

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
81
т
+
j
i
(
КЧХ W
АЧХ W
ФЧХ ф
Колебате
2 « X{t) ,
J А2 ''
дс(О = Ау(0
Г0У+7
/ А: 1
« * ,
(./со)
(со)
(со)
льное
5 + 1
►
L
i
i
)
х(
1
i
к
4
1
1
кр(о>)
Иде
^иффере
1-го
Г
г) = *|г
h{t)
i
it
Q)
(0 =
)
—►
i
;аль
:нци
пор
r/vff
))
> on
P((0)
CO
►
(0
Тип:
ное
рующее
ядка
4 "I
14
►
1
1
fP(co)
к
1
i
шен
i
i
\
' \<
i А(ш)
1
i
it
a.
Иде
деффере
2-го
Y(t\ _ Л./
dt
K{1OS
ih(t)
ki
k 7fi(o
JO —> <■
C0=l
Продо
>)
P«a)
to
альное
нцирующее
порядка
Г2^2У(О ,
0 *Л
dt
+ y(t))
I , 7»p ,i\
+ IS + I)
! ^
t
3)
it
i
i
q
;
(0 =
'7"Q(
^
^0):
it4
>(0))i
c\
n/
/4
^2
Sana
x(t
X
4 ►
Q(co)
M 0
ft
e mat
a»
^
= oo i
co =
здываю!
) = y(t-
e
i
к
Л
J
(0 =
л. 7.2
|P(co)
1—.
CO
►
Yt
CO
дее
•
т)
P(co)
7 Зак. 232

82
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть 1
J
к (
ф((
-я/
/2
—1
iA
Г
(со) |
I ^"^^^»
1 Ui
1 »
1
,ф
к А((0)
/
Ш
(со)
к^
i
п/
/2
i
.Я
■-
Продо
кА«в)
1—^ (0
Ш»=Хо
>(w)
лэн
i
i
71
2
^Ф<
ч
tg
ие табл. 1.2
i A(co)
(0
:ш)
ч/а со
а = т\
1.7. НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА АНАЛИЗЕ
ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ФОРМ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ
Выше были получены формулы, являющиеся стержневыми в теории
стационарных систем.
Одной из таких формул является
X(ju) = W(ju)Y(j®)9 (1.172
где
Y(ju) = ]y(ty*»dt; X(jti>) = ]x(tyjl0tdt; W(jv>) = ]k(tyj™dt
0 0 0
- односторонние преобразования Фурье функций y(t), x(t) и k{t).
Если же комплекснозначные функции Х(/со), У(/(°) и W(/co) представить в показа
тельной форме
К(;ш) = Ау((0)е^(а)); X(jW) = A,(a))e;<(>»; W(y©) = А(о))е^т),
то справедливы зависимости
Л^(о)) = А((о)А),((о), ф(ю) = Фх(со)-Фу(со). (1.173
Из (1.173) следует, что модуль I X (усо) I = Ах (ш) выходного сигнала равен произ
ведению А ЧХ системы на модуль | Y (j(u) | воздействия.
Из (1.173) следует, что система изменяет спектральную характеристику на вхо
де, действуя как фильтр, изменяющий частотные составляющие.
В области, где А(со) > 1, частотные составляющие входа усиливаются по ампли
туде, на промежутке же А(ш) < 1 они ослабляются, при А(ш) = 1 частотные состав
ляющие остаются без изменения.
Подобным же образом, в соответствии с зависимостью (1.173), изменяются фазовьк
сдвиги каждой частотной составляющей сигнала при прохождении через систему.
Пример 1.6. Рассмотрим цепь (рис. 1.67).
Реакция на импульс, АЧХ и Y(j(u) представлены на рис. 1.68 - 1.70.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
83
10м
*—С
y(t)
1ф
**-
x(t)
Рис. 1.67. Схема цепи
X(t)
2 4
Рис. 1.68. Реакция на импульс
На рис. 1.70 показана спектральная функция входного сигнала (модуль ее очевиден).
Формула Y(j(o) может быть получена исходя из следующих соображений.
Л(со) =
-0)
-я -тт/2 я/2 п
Рис. 1.69. АЧХ системы
+0)
Y(/co)^
-0) -П
Рис. 1.70. Г(/со) входа системы
Пусть имеется функция (рис. 1.71).
П СО

84
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
(1 при |г|<т/2;
y(t'~[0 при |г|>т/2.
(1.174)
-t
2
'2
т
2:
Рис. 1.71. Стробирующая функция
Найдем преобразование Фурье
У(уш)= ? e-^rfT=-i-(e-^'2-e^'z) = T^^.
' J >Vrtv ' ((ОТ/2)
(1.175)
уш, .........
Функция Y(j(u) - действительная функция; ее график представлен на рис. 1.72.
Из рисунков можно заключить, что цепочка значительно ослабляет высокочастотные составляющие
входного сигнала и почти не ослабляет низкочастотные (в области | W(y(o)|«1); в связи с этим она может
служить простейшим фильтром нижних частот.
Y(/co) -
» -tt/^S-S-
-со -nlx^s -2nl% 2я/т ^^-^ nix со
Рис. 1.72. Спектральная функция стробирующего сигнала
На рис. 1.68 представлен выход x{t)\ он представляет собой искаженную копию входа y{t). Искажения
вызваны тем, что цепь неодинаково пропускает все частотные составляющие входного сигнала. Сильно
ослабляются высокочастотные составляющие. Это проявляется в более медленном нарастании и спаде
выхода по сравнению со входом.
Рассмотрим условия неискаженной передачи сигнала. Положим, что допускается следующее: 1)
различие в амплитуде (но не в форме), т.к. важна форма, а не величина отклика; 2) выходной сигнал может
запаздывать во времени относительно входа.
Тогда
x{t)=Ky{t-%). (1.176)
Отсюда имеем
ХО'со) = W(ju)Y(j(u) = Ke-jmY(j(u). (1.177)
Следовательно, неискажающая система должна иметь передаточную функцию
*<*>-Л-м-7$-
(1.178)
АЧХ и ФЧХ неискажающей системы представлены на рис. 1.73.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
85
\W(j(o)\ = Kt
\
[
0
к ►
\
(О
\
ф(ю) = - ют \
Рис. 1.73. АЧХ и ФЧХ ненскажающей системы
Как следует из предыдущего, для неискаженной передачи сигнала система
должна иметь бесконечную полосу пропускания. В силу физических ограничений такую
систему создать невозможно. В действительности удовлетворительное неискаженное
преобразование можно получить в системе с ограниченной, но весьма широкой
полосой пропускания. Энергия любого физического сигнала убывает с увеличением
частоты, поэтому достаточно, чтобы система пропускала лишь те частотные
составляющие, в которых содержится наибольшая часть энергии сигнала.
Рассмотрим идеальный фильтр нижних частот; его АЧХ и ФЧХ изображены на
рис. 1.74. В идеальном фильтре частоты выше 0)ср полностью подавляются.
А((о), ф(о>) J
0
-О) -ЮСр
ф(СО) = -СОТ Х
©
Рис. 1.74. АЧХ и ФЧХ идеального фильтра нижних частот
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно найти ИПФ
идеального фильтра нижних частот (рис. 1.75).
Как видно из рис. 1.75, ИПФ отлична от нуля при отрицательных значениях т, в
то время как 8(0 - входная единичная дельта-функция приложена в момент х = 0.
Из этого можно заключить, что реакция на импульс появляется раньше
воздействия (система как бы предвосхищает воздействие). Такие системы физически нереали-
зуемы; создать систему с предсказанием невозможно. Следовательно, идеальный
фильтр нижних частот физически нереализуем. Аналогичным образом можно
показать, что идеальные фильтры верхних частот или полосовые фильтры также
физически нереализуемы (рис. 1.76).
При решении практических задач пользуются фильтрами, характеристики
которых близки к идеальным. В качестве примера на рис. 1.77 приведен фильтр нижних
частот, а на рис. 1.78 - его АЧХ и ФЧХ.
Передаточная функция фильтра нижних частот имеет вид (рис. 1.77)
i/[(i/*)+;coc] 1
v ' j(0L+l/[(l/R)+jaC] l-co2LC + 7"(o(L/J?)
ИПФ определяется формулой
(1.179)

86
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
»W-*^»*(£v).
Входная дельта-функция 8(0
ВДА
я/со.
'ср
-t
\~s
+t
Рис. 1.75. ИПФ идеального фильтра нижних частот
|W(/<o)|
N
|W(/<o)| к
Ш
т
-СО -СО,
'ср
\чсоср со
-0>о \^0)о. О)
(1.180)
ф((О) = -(ОТ ^ч ф(СО) = -СОТХ
Рис. 1.76. Частотные характеристики фильтра верхних частот и полосового фильтра
y(t)
-ЯГ
x(t)
Рис. 1.77. Принципиальная схема фильтра нижних частот
|W(/co)|,,l
Ф(со)
+71 J.
-СО
Рис. 1.78. АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
87
Желательно найти признак, по которому можно было бы различать физически
реализуемые и физически нереализуемые системы. Таким признаком является
критерий Пэйли - Винера. Еще раз напомним, что в физически реализуемой системе не
может иметь места реакция {отклик), начинающаяся раньше момента приложения
воздействия. Это положение известно под названием условия причинности.
Очевидно, отклик на единичный импульс в физически реализуемой системе должен быть
равен нулю при t < 0.
Ш)
In
са
ер,
Рис. 1.79. ИПФ фильтра нижних частот
Критерий Пэйли-Винера формулируется так: для физической реализуемости
системы необходимо и достаточно выполнения условия
г
|1п1У(7С0)|
1 + ОГ
<ico<«>.
(1.181)
Если АЧХ не удовлетворяет критерию Пэйли - Винера, то система имеет
непричинную ИПФ, т.е. реакцию, существующую до того, как к системе приложено
воздействие.
1.8. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ИМПУЛЬСНЫЕ
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
И С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Все введенные выше понятия, а именно: понятия передаточных функций, ИПФ и
ПХ, частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ и др.) - обобщаются на другие классы
стационарных систем: системы с запаздыванием и системы с распределенными
параметрами.
Рассмотрим класс систем с запаздыванием. Он описывается дифференциальным
уравнением (ДУ) с запаздывающим аргументом [45]
E*v*(V) + 5 V(V)('-x) = yif). (1.182)
v=0 v=0
Решение x(t) должно удовлетворять исходному ДУ при положительных значениях
аргумента t и условиям:
х(0 = §(0;*<=[-т,0];
х(0) = х0; х\0) = хх; ...; х(п-{)(О) = хп_1. (1.183)
Полагаем, что начальная функция £(0 дифференцируема т раз на отрезке [-т,0] и
х0 = 5(0); хх = £(0); ...; хт = £Г(0). (1.184)

Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Введем обозначения
N(x(t)) = XavJc(v)(0;M1(^-x))= ]>>vJc(v)(f-T). . (1.185)
v=0 v=0
При этом полагаем, что п > т (уравнение принадлежит к запаздывающему или
нейтральному типу) [45]. С учетом введенных обозначений исходное ДУ запишется
так:
N(x(t)) + M{(x(i->c)) = y(t).
В [45] показано, что x(t) при известных условиях - оригинал. Поэтому сразу же,
используя этот факт, получаем
оо оо
| N{x{t))e~stdt + $MX (x(t - x))e~stdt = Y(s). (1.186)
о о
Первое слагаемое в (1.186) имеет вид
]NW)e-*A = X(s)\ X<VV -life), (1.187)
О Lv=O J
где Y{(s) - член, учитывающий ненулевые начальные условия.
Если во втором слагаемом выражения (1.186) ввести замену, то можно получить
оо оо
J Mx (x(t - T))e~s'dt = j M, (x(u))e-siu+x)du =
-Т
'О со "I
J Mx{x{u)e-sudu + \Mx{x{u))e-sudu . (1.188)
L-т 0 J
Или, что то же самое,
оо
JM{(x(t-T))e-s'dt =
о
f Г
-sx
= е-"\Х(з)\ УЬ/ -ВД+ M^uW'du}. (1.189)
Г т 1 О
Lv=O J -т
;ависимостей можь
[\ v=0 J \ v=0
На основе полученных зависимостей можно записать:
oV \p'SX
Vs \е
= Y(s) + Yi(s) + e-*tY2(s)+e-tv J М(£,(и))е~*Чи. (1.190)
-X
Вводя обозначения
R(s) = | %avsv ]+[ £ VV V". *(*) = ^(5)+е-ЛУ2(5),
0
(f{s) = e-sx\M{U.u))e~sudu, (1.191)
получим зависимость, определяющую изображение выходного сигнала
ф(,)+ф(,)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 89^
Положим, что Yx(s) = 0, Y2(s) = 0, (p(s) = 0. Тогда имеет место зависимость
X(s) = W(s)Y(s),
где W(s) = l/R(s). Обозначим k(t) = L"1 {W(s)}.
Функции W(s) и k{t) называются соответственно передаточной функцией и ИПФ
стационарной системы с запаздыванием.
Частотные характеристики определены теми же зависимостями, что и ДУ систем
без запаздывания.
Если САУ с запаздыванием описывается ДУ с переменными коэффициентами, то
имеют место динамические характеристики, введённые в параграфе.
Далее рассмотрим класс систем с распределенными параметрами [87]
d2x(z,t) , д2хЩ) , d2x(z,t) ,
дг dz otdz
dx(z,t) dx(z,t) / v / v „ ,л^ч
+al-\^ + a2—^-+ax(z,t) = y(z,t). /1.193)
ot dz
Пусть
D = ^-aua22: (1.194)
4
Уравнение (1.193) называется уравнением гиперболического типа, если D > 0;
эллиптического типа, если D < 0; параболического типа, если D = 0 .
Как будет видно из дальнейшего изложения, операционный метод можно
применить лишь для построения решений уравнений гиперболического и параболического
типа, т.е. когда D > 0 или D = 0; зададим условия:
начальные
*(z,O|,=o = *o(z); *)(z.O|,-o = *i(z); (1.195)
краевые
x(z,0|z=o = Л(0; *(z,0|zw = ЗЪ('). (1.196)
Краевые условия часто задаются в виде обыкновенных ДУ, которым должны
удовлетворять функция x(z, t) и ее частная производная dx(z,t)/dz при z = 0 и z = /
(0<z</).
В форме изображений краевые условия можно задать так:
X(0,5) + Gl(^)^^|2=0=G2(5); (1.197)
Х(19*) + С3(5)4Щ^\Ы =G4(j), (1.198)
«г
где G^(^) - известные функции (к = 1,2,3,4).
Рассмотрим более подробно случай (1.196). Предположим, что существуют
изображения от функций
Эх(г,0 d2x(z,t)
dz ' Эг
Преобразуя по Лапласу обе части уравнения, запишем
an[x(z,s)s2-sx(z,0)-x\z,0)y
d2X(z,s) Э
dz oz
6 Зак. 232
x(z,t), ^^, ^F- d-199)
+ои *а +ei2J:[xu.*)*-*U.0)]+

jH) Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
+ai[sX(z,s)-x(z,O)] + a2$?^- + aX(z,s) = Y(z9s). (1.200)
oz
В полученном уравнении дифференцирование X(z, s) производится только по
одной переменной z\ это позволяет знак частной производной заменить на знак полной
производной. Производя соответствующую группировку, запишем последнее
уравнение в более удобной форме
d2X(z,s) , sdX(z,s) , 2 ' 4V/ ч
а22 71~^ + (fli2^ + a2)—3— + (flu* +<V + a)X(z,*) =
* & (1.201)
= jc(z,O)(flnj + fl1) + xi(z,O)fl11+e12^i^ + y(z,j).
Уравнение (1.201) представляет собой обыкновенное ДУ второго порядка
относительно изображения искомой функции X(z, s). Его коэффициенты не зависят от
переменной z, поэтому оно является неоднородным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Для его решения можно применить любой известный метод: например, частное
решение неоднородного уравнения можно найти методом Коши, а общее решение
однородного - методом Эйлера. Найдем функции фундаментальной системы.
Из характеристического уравнения
a22k2(s) + (al2s + a2)X(s) + (ans2 + ans + a) = 0 (1.202)
получим
Xl 2 W = ■fa£±gL±JS±gtY-faiija+aiJ + al. (1.203)
2a22 ^ 2a22 J [ a22 J
Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения
X(z,s) = С^е^1 +С2(5)/2(1)г + X0(z,s). (1.204)
Постоянные Cj(5) и C2(s) можно найти, если воспользоваться краевыми
условиями. Это дает возможность записать
Х0(0,5) + С,(5) + С2(5) = К1(5);
XO(U) + C,(V«(1)/ + C2(5)/2W/ =Y2(s),
отсюда
qw- ^ *.„уг.е>--. 21,,
(1.206)
^,WI _/2(^)' lV ; /i(*)' _/гй)'
X0(l,s)-X0(l,s)e^(s)l _
e\{s)l _eX2(s)l
'2
*Ms)l v,_, Y2(s)
* e e * (1207)
X0(l,s)-X0(0,s)eX>Ml
Подставив два последних равенства в зависимость (1.204), получим
X(z,s) = Wl(z,s)Yl(s)+W2(z,s)Y2(s) + W3(z,s), (1.208)
где

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 91_
W>(z'S)=eW_eW> (L209)
^i(^)z_^A.2(5)z
У3и^) = Х0(г,5)-^|(1у_^(1)/У0(/,5) +
e\{s)ze\2{s)l _eX2{s)ze\{s)l
В предыдущих формулах X0(z,s) - частное решение неоднородного ДУ, оно
зависит от начальных условий и от правой части ДУ (1.201).
Если Y(z, s) = 0, а также имеют место нулевые начальные условия, то выражение
для изображения выходного сигнала имеет вид [87]
X(z9s) = Wl(z9s)Yl(s) + W2(z9s)Y2(s). (1.210)
Анализируя зависимости (1.208), (1.209) и (1.210), легко заключить, что в случае
систем с распределенными параметрами передаточные функции W{(z,s) и W2(z,s)
являются трансцендентными (в отличие от дробно-рациональных для систем с
сосредоточенными параметрами).
Для обращения трансцендентных изображений неприменима вторая теорема
разложения и построение оригинала встречает трудно преодолимые проблемы (в
качестве особых точек изображения (1.210) могут быть точки разветвления, существенно
особые точки и т.д.).
В связи со сказанным выше, разработаны численные методы обращения
трансцендентных изображений [4].
Все выводы, полученные для систем с сосредоточенными параметрами,
справедливы и для систем с распределенными параметрами и запаздыванием. Приведем
соответствующие формулы.
Частотные характеристики определяются выражениями Wj(z,y(o), W2(z,j(O),
A(z,(0) = |W1(z,7(0)|, A2(zM = \W2(zJo»\ ит.д.
ЕслиИ^(г,.у) = 0, то интеграл Дюамеля запишется так (он определяет
вынужденные колебания)
t t
J<Z,0 = J*i(z,T)yia«T)£/T + Jt2(z,T)y2fr"T)£/T> (1.211)
о о
где kx(z,i) и k2(z,i) -ИПФ системы.
Свободные колебания определяются членом W3(z,t).
Установившиеся колебания находят по формуле
оо со
x(z9t) = lkl(z,T)yl(t-x)dx + jk2(z^)y2(t'T)dx. (1.212)
о о
Если коэффициенты уравнения (1.212) зависят от времени (рассматривается
нестационарная система с распределенными параметрами), то выходной сигнал
определяется интегральным соотношением
t t
л(г,0 = /*1(г.^.т)л(т)^т+/*2(г,г,т)у2(т)Л (1.213)
о о
Для нестационарных систем с распределёнными параметрами можно ввести в
рассмотрение параметрические передаточные функции
б*

92 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
О
W2(s9t9z) = jk2(z,t9x)e-si"*)dT.
о
Тогда
X(s9t,z) = Wx(sj9z)Y{(s) + W2(s^z)Y2(s). (1.214)
Пользоваться приведёнными выше формулами чрезвычайно сложно.
1.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Далее изложены как общие положения, связанные с исследованием САУ, так и
конкретные пути решения задач устойчивости *.
Рассмотрим систему (рис. 1.80).
y(t)
Рис. 1.80. Структурная схема системы
Положим, что при г = 0, т.е. в момент подачи входного сигнала y(t), система
имела ненулевые начальные условия
Х° =(*(0),*'(0) *("-'> (0))*0. (1.215)
Воздействие, поданное при t = 0, имеет преобразование Лапласа
Y(sU с***+с*-/~1+- + 3) . (1.216)
V ' dpsP+dp.ls"-l+... + d0
Тогда изображение выходного сигнала запишется в форме
X
(bmsm+... + b0)(cksk+... + c0) ^
(S)=(ans^^ao)(dps^.^dof (i2i7)
|^(о)^(5)+-+^<в"1)(о)д-1(5)>ст1:л
ansn+an_lsn-l+... + a0
Запишем формулу для выхода, для чего найдем корни уравнений
Vw+^_1^-1+... + a0=0 и dpsp+dp_{sp-l+... + d0=0. (1.218)
Положим, что A.J, Х2, ... Ал - корни первого уравнения (характеристического
уравнения системы), a al9 a2, ... ,ар - корни второго уравнения (полюса
изображения воздействия).
Запишем изображение выхода и соответствующий этому изображению сигнал, но
таким образом, чтобы была ясность в отношении появления каждой из составляющих
выхода (формулы (1.219) и (1.220)):
Методы расчета выходных сигналов рассмотрены в главе 8.-

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 93^
x{s)= 8m+ks""k+... + g0
(v-+...+*)(</,,'+...+«,) (i2i9)
ix(0)DQ(s)+... + x(n-i\Q)Dn_l(s)_
ansn+an_1s"-i+... + a0
x(t) = c?ex< + ...+c>X"' + c,yea'' + ... + c*A' +
+с^х'Ч... + с„сЛ'
*(') *,(.) (L220)
*c(<)
Таким образом, имеем
x(t) = xn (t)+xy(t) + xc(t), (1.221)
где xa(t) - сигнал, порожденный полюсами передаточной функции системы (он
характеризует динамические свойства системы в переходном режиме); xy(t) -
сигнал, порожденный полюсами изображения; xc(t) - сигнал, порожденный
ненулевыми начальными условиями и определяемый через полюса системы.
Сигнал хП (/) называется переходной составляющей при отработке воздействия
Сигнал xy(t) называется установившейся составляющей при отработке
воздействия у(г).
Определение хс (t) было дано выше (этот сигнал носит название свободных
колебаний системы).
Положим, что входной сигнал имеет вид (он является оригиналом функции Y(s)):
Y(s)=CkSk+- + C° ; (1.222)
V ' dps"+... + d0
y{t) = clea>' +clea* +...+c3pea-'. (1.223)
Теперь можно записать выражения для сигналов y(t) и x{t) в явной форме:
у(1) = с\еа<+с\еа*+... + греа>'
- входной сигнал;
x{t) = с\е^ +...+Су>' + с?ех>' +...+с^Л' + с,с/'' +... + с'Л'
- выходной сигнал.
Сравнивая две последние зависимости, легко записать условия неискаженного
воспроизведения сигнала:
*п(0 = 0; (1.224)
xc(t) = O; (1.225)
cj=cf, i = T^. (1.226)
Эти условия достижимы лишь в статических {безынерционных) системах.
В динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями,
указанные условия достижимы лишь в установившемся режиме.

94
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Например, условиями неискаженного воспроизведения входного сигнала y(t) в
установившемся режиме являются
хП(t) = с?ех'' + ...+сУ '-*" )0; (1.227)
хс (t) = с,сЛ +... + сс„ех"' '-*" ) 0; (1.228)
cf=cf, 4=4,...,cl=c;. (1.229)
Легко заметить, что если xn (t)—*~*°° )0, то с течением времени хс (f) также
будет затухать (и наоборот).
Третье условие (1.229) в реальных системах в общем случае не выполняется,
поэтому системы проектируют таким образом, чтобы лгп (г) и хс (г) достаточно быстро
затухали, а с? не сильно отличалось от с?, i = l,p.
Однако для ряда входных сигналов можно обеспечить точное выполнение всех
условий.
Например, если y(t) = l(t) и Х°=0, то условиями точного воспроизведения
входа в установившемся режиме являются (рис. 1.81):
а) ReX, <0, / = 1,л ;
б) в прямой цепи включен один интегратор.
6(0 = 0 точное
воспроизведение
входа y(t)
Установившийся
режим
Рис. 1.81. Отработка ступенчатого воздействия
Приведем еще один пример. Если y(t)=yxt, то условиями точного
воспроизведения этого воздействия являются (рис. 1.82):
а) ReX, <0, i = l,л ;
б) в прямой цепи включены два интегратора.
Если же y(t) = у0 + y2t2 , то условиями точного воспроизведения входа являются:
а) ReX,<0;
б) в прямой цепи включены три интегратора.
Приведем несколько фактов, связанных с одновременным достижением условий
а) и б). Как правило, одновременное достижение условий связано с определенными
трудностями. Поэтому на практике ограничиваются одним-двумя интеграторами.
В связи с этим, в общем случае, когда сигнал, например, имеет вид
y(t) = yo + yxt + y2t2+... + yitl, (1.230)
одновременное выполнение условий а) и б) недостижимо.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
95
к
x(t)
ЭКС1
/
L
^^
тонента ^
синусоида
1 е(0 ^0 точное
воспроизведение
входа Х0
** Установившийся
режим
►
Рис. 1.82. Отработка воздействия .у(0 -уit
Приведем два определения:
Ошибка системы, определяемая формулой
е(0 = у(0--*1.(0-^(0-*у(0 d-231)
(при условии, что ^п(0 и *с(0 не затухли), называется переходной ошибкой.
Ошибка системы, определяемая формулой
s{t)=y(t)-xy(t) (1.232)
(при условии, что *n(f) и xc(t) затухли), называется установившейся ошибкой.
А теперь обратимся к формулировке задач анализа:
1) нахождение необходимых и достаточных условий затухания составляющих
xn(t) и хс (г) (анализ устойчивости системы);
2) изучение поведения системы в переходном режиме, когда xn(t) и хс(t) не
затухли (построение переходных процессов и переходных ошибок системы);
3) изучение поведения системы в установившемся режиме, когда xn(t) и xc(t)
затухли (анализ точности в установившемся режиме).
1.10. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ
УСЛОВИЯ
Понятие устойчивости является одним из центральных в теории систем.
Система управления постоянно подвергается возмущениям, отклоняющим ее от
заданного закона движения. Действие возмущения сопровождается
восстанавливающим действием регулятора. В системе возникает переходный процесс. Может
оказаться, что система не сможет восстановить требуемый закон движения. Она
будет либо удаляться от желаемого состояния, либо совершать вокруг него
незатухающие колебания. Возможные виды переходных процессов для устойчивой системы
приведены на рис. 1.83, а, для неустойчивой системы - на рис. 1.83, б.

96
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Рис. 1.8Э. Виды переходных процессов для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем
Первая задача, которая возникает перед конструктором системы, - ее статический
расчет. Вторая задача - решить вопрос о том, будет ли система устойчива и при
каких условиях.
Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия какой-либо системы,
обычно изучают поведение этой системы при малых отклонениях от положения
равновесия.
Рассмотрим механическую систему (рис. 1.84, а). Чтобы определить, устойчиво
ли положение шара в углублении, можно задать ему малое отклонение, переместив
в положение В. При этом возникает сила, которая стремится вернуть шар в
положение равновесия. Убедившись, что эта сила возникает при любом малом отклонении,
приходим к заключению, что положение равновесия устойчиво.
Ъ7т9$ ^9^
А
а
А
б
О О
7777777/7
в А
А
г
В
Рис. 1.84. Примеры систем с различной устойчивостью:
а - «устойчивость в большом»', б - «устойчивость в малом»; в - нейтральная', г - неустойчивая
В большинстве практических задач, если система устойчива в малом, она
устойчива и при больших конечных отклонениях, как в приведенном примере. Говорят,
что система «устойчива в большом».
В системе на рис. 1.84, б равновесие шара устойчиво лишь в том случае, если
отклонение не переходит за точку С. В этом случае говорят, что система «устойчива в
малом», т.е. система устойчива, но в ограниченной области. Система на рис. 1.84, в
нейтральная, а система на рис. 1.84, г неустойчивая.
Система обычно находится в состоянии движения, поэтому рассматривают
устойчивость движения. А понятие устойчивости в динамике более сложное, чем
определение устойчивости равновесия в статике.
Пусть заданный режим работы системы характеризуется координатами:
*ю (0» *20 (0' -^зо {г)»•••• Пусть на систему действует возмущение, которое
заставляет ее двигаться по другим траекториям: хх (г), х2 (г), х3 (г),.... Система будет
находиться в возмущенном состоянии. Если система устойчива, то она снова войдет

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 97^
в заданный режим или в область около этого режима е, =** (*)~*го(0* Заданное
невозмущенное состояние движения устойчиво, если в результате действия
возмущений возмущенное состояние движения с течением времени перейдет в некоторую
конечную область, находящуюся в окрестности невозмущенного состояния,
определяемого координатами:
ei(0 = *i(0-*io(0:
е2(о=*2(0-*2о(0; (1233)
ея(0 = *Л0-*|ю(0-
Конкретизируем введенные выше понятия, рассматривая класс одномерных
стационарных линейных систем.
Выходной сигнал,системы, порожденный входом y(t) и ненулевыми
начальными условиями, можно записать в виде
х(0 = /*(/-т)у(т)Л+д:с(0 = хв(0 + хс(0, (1.234)
о
где
xB{t) = \k(t->c)y(>c)d>c = xn(t)+xy{t). ,(1.235)
о
Сигнал хв (j), который обусловлен входом y(t), будем называть невозмущенным
движением (колебанием) системы.
Ненулевые начальные условия будем считать внешними возмущениями: они
будут действовать на выход и вызовут отклонение реального движения от заданного
Реальное или действительное движение *B(0 + Jcc(0 называют возмущенным
движением.
Таким образом, еще раз отметим, что за невозмущенное движение системы
принимают вынужденную составляющую xB(t) в (1.234), а за отклонение или вариацию
- свободную составляющую xc(t).
Возмущениями являются начальные условия
х°=(*(о),*'(о),...,^-1)(о)).
Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если возмущенное
движение, порожденное возмущением X (возникшим в момент t = О под действием
внезапно приложенных к системе дополнительных внешних сил), по истечении
некоторого времени войдет в заданную область |jcB(f)-*(/)[<£, где е = const - заданная
величина.
В соответствии с определением устойчивости по A.M. Ляпунову, система будет
асимптотически устойчивой, если хс (г)—*~*°° )0.
Понятие устойчивости является чрезвычайно важным, поскольку свойство
устойчивости системы определяет факт ее работоспособности или неработоспособности.

98
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
А если точнее, то устойчивая система принципиально работоспособна,
неустойчивая лее - неработоспособна. Обсудим этот вопрос более подробно.
Имеем
*c(') = ciC*V +С2**2/ +... + ^Лг. (1.236)
Для асимптотически устойчивой по А.М. Ляпунову системы имеем
cfgX|/+... + cggx<>/ '"*" >0. (1.237)
Зависимость (1.236) будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда
корни X отрицательны (если они действительные) или имеют отрицательную
действительную часть (если они комплексно-сопряженные), и в этом и только в этом
случае имеем
to-^t JL.r**-^
сГе
+ с\е
-+... + cie
fi*-Kt.
(1.238)
Корни характеристического уравнения Х{9 Х2, ... Д„ можно расположить на
комплексной плоскости (рис. 1.85).
Мнимая ось
Область
неустойчивости
О
Действительная ось
Рис. 1.85. Комплексная плоскость
Если корни Я1э Х2, ... Дл лежат строго в левой полуплоскости, то их называют
левыми.
Теперь можно сформулировать условие устойчивости: для того, чтобы система
была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее
характеристического уравнения
ansn+an_lsn-l+... + a0=0
были левыми.
Запишем две зависимости:
хс (t) = с\ех< +с\ех* + ... + с'Л'; (1.239)
хпк) = с?ех*'+с?ех* +...+с>х«'. (1.240)
В асимптотически устойчивой системе хс (f)—г"^°° >0.
Последнее возможно тогда и только тогда, когда корни Х{9 Х2, ... Дп - левые
(т.е. имеют отрицательные действительные части). Отрицательность же
действительных частей показателей Хх, Х2, ... Дп приводит к тому, что и составляющая хп (г)
также стремится к нулю при t —> «>, т.е.
Таким образом, в устойчивой системе затухают как свободная составляющая,
так и переходные колебания.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 99^
Анализируя характеристические уравнения системы, A.M. Ляпунов
сформулировал следующие теоремы устойчивости для нелинейных*, но линеаризованных систем,
т.е. описанных линейными уравнениями:
1). Нелинейная система устойчива в «малом», если отрицательны все
вещественные части корней характеристического уравнения системы (ее линейного
приближения).
2). Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы один корень
характеристического уравнения линейного приближения имеет положительную
вещественную часть.
3). Если имеется чисто мнимый корень, т.е. вещественная часть равна нулю, то
система находится на границе устойчивости.
Если линейные системы устойчивы в «малом», то устойчивы и в «большом».
Нелинейные системы могут быть устойчивы в «малом», но не устойчивы в
«большом», т.е. при больших сигналах возмущения.
После затухания хс (t) и хп (t) выходной сигнал линейной системы имеет тот же
вид, что и входной
д:у(г) = с{е°* + с\е** +... + с*Л'. (1.242)
Легко видеть, что в устойчивой системе в установившемся режиме ошибка
определяется формулой
е(') = (с1 -с?)еЩ' +Н -^У2' +-+(ср -clV''- (L243>
Известно, что импульсная переходная функция (ИПФ) системы определяется
полюсами Х{, А,2, ... Д„. Выражение для ИПФ имеет вид
k(t) = L'l{W(s)} = cleXlt +c2ex* +... + слЛ'. (1.244)
Поскольку полюса Х1У Х2, ... ,АЛ -левые, то
оо
j\k(tpt <оо, (1.245)
о
Отсюда следует: для того, чтобы автоматическая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы ее ИПФ была абсолютно интегрируемой.
Подводя итог сказанному, приходим к следующей формулировке условий
устойчивости.
Если:
1) в ПФ системы т<п, т.е. степень многочлена в знаменателе ПФ не меньше
степени многочлена числителя (ПФ системы строго реализуема);
2) корни характеристического уравнения являются левыми, т.е.
характеристическое уравнение не имеет других корней, кроме корней с отрицательными
вещественными частями,
то САУ является устойчивой.
Для суждения об устойчивости нет необходимости вычислять корни
характеристического уравнения. Достаточно лишь установить их расположение на
комплексной плоскости. Правила, позволяющие это сделать без вычисления корней,
называются критериями устойчивости.
Критерии устойчивости можно разделить на алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии позволяют сделать вывод об устойчивости системы по коэффи-
Теория устойчивости нелинейных систем изложена в главе 4.

100
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
циентам характеристического уравнения. Частотные критерии позволяют судить об
устойчивости по частотным характеристикам элементов, которые могут быть или
рассчитаны или получены экспериментальным путем.
1.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
1.11.1. Критерий Рауса
Этот критерий был разработан английским математиком Э. Раусом в 1877 г.
Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы
в форме
W(s) =
_bmsm+bm_lsm-l+...+b0
aosn +axsn I+... + £iJ
Характеристическое уравнение имеет вид:
B(s) = aosn+alSn-{+... + an.
Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса (табл. 1.3).
(1.246)
(1.247)
Таблица 1.3

Коэффициенты/*,
-
-
ГЗ = С,|/С12
Г4 = С12/С|3
/5 = С,з/С,4
*
-Cu-2/Cu-i
Строка
/
1
2
3
4
5
i
•
1
Си =я0
с,2 = ах
с\ъ = с2\ - гъс2г
С|4 = С22 - Г4С23
С\Ь = С2з - Г5С24
•
си-
= C2j-2-r,C2j-l
•
Ctoj
2
С21 = а2
сп = Дз
С23 = Сз| - Г3Сз2
С24 = Cyi - Г4С33
Сгь = Сзз - Г5С34
Сц-
= С3,/-2-Г/Сз,/_|
1бец
3
СЪ\ = <*4
Сз2 = а5
СЗЗ = С4\ - Г3С42
Су4 = С42 - ^4Q3
^35 = Q3 - Г5С44
сз,=
= С4,/-2-'*А./-1
4
С41 = «6
с42 = а7
СЛЗ
Си
С45
С4/
•
Алгоритм составления таблицы Рауса очевиден.
Сформулируем критерии устойчивости.
Для того, чтобы автоматическая система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы для всех коэффициентов г, было выполнено условие
П> 0,/ = 3,4,..., (1.248)
или, что эквивалентно,
си> 0, / = п+1,(яо>О). (1.249)
Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения (1.247)
отрицателен, то система неустойчива.
Обращение в нуль одного из коэффициентов а, (за исключением коэффициента
старшего члена) свидетельствует о неустойчивости системы или о том, что она
находится на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов си
равно числу правых полюсов.
Обращение ап в нуль приводит к появлению нулевого корня. Если
апЛ = 0, я„_2 = 0,... - это приводит к появлению нулевых корней.

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
101
Обращение промежуточного коэффициента в нуль свидетельствует о появлении
пары чисто мнимых корней.
Для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на
положительную величину.
Если в процессе вычислений появляется отрицательный коэффициент в таблице
Рауса, то это свидетельствует о неустойчивости системы и дальнейшие расчеты
проводить не следует.
Число перемен знака коэффициентов г,-, i = 3,4,... равно числу корней
характеристического уравнения (1.247), расположенных в правой полуплоскости комплексной
плоскости.
Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ,
поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы
высокого порядка. Более того, можно исследовать влияние на устойчивость системы
отдельных ее параметров.
Пример 1.7. Пусть характеристическое уравнение имеет вид [161]
0,Ш8*5+0,03*4+136*3+4*2+52Д*+50=0;
сп=0,0008>0; с12=0,03>0; с13=1,25Х);
с14=2,77>0; с15=28,6>0; с,6=50>0 .
Из полученных результатов можно сделать вывод, что система устойчива.
1.11.2. Критерий Гурвица
' Этот критерий предложен немецким математиком Гурвицем в 1895 г.
Если известно характеристическое уравнение системы (1.247), то легко записать
матрицу Гурвица
а\
%
0
0
0
0
аг
а2
«1
*o
0
0
аь
а4
аг
<h
а\
«о
«7
«6
а5
а4
аъ
а2
Од ...
Og ...
а-, ...
а6 ...
а5 ...
а4 ...
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 ... ап
Пример 1.8. Если характеристическое уравнение имеет вид
OqS5+als4+a2s2 +a3s2+a4s+as =0,
то матрица Гурвица запишется так:
'д, аъ а5
.(1.250)
uq а2 аЛ
0
0
0
д, аъ а5
Oq a2 а4
0"!
0
0
0
0 ах аъ а5
При составлении матрицы Гурвица первая строка заполняется коэффициентами
характеристического уравнения с нечетными индексами, а вторая - с четными.
Дальнейшие пары строк получаются смещением вправо первой пары на один, два и т.д.
столбцов. Все коэффициенты с индексами, большими степени, заменяются нулями.
Определитель матрицы Гурвица (1.250) называется главным определителем Гур-
вица.
Он имеет вид

102
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
А =
«о
0
0
0
а3
Л
а,
%
0
а4
а3
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... ап
(1.251)
Из (1.251) получим определители Гурвица низшего порядка:
Д, =а,, Д2
«о
<h.
,А3 =
0
а\
а4
(1.252)
Критерий Гурвица формулируется так:
Для того, чтобы замкнутая автоматическая система была устойчивой,
необходимо и достаточно, чтобы при а0 > 0 все определители Гурвица были
положительны, т.е.
Ai > 0, А2 > 0, А3 > 0,..., Ап.! > 0, Д„ = ап Ап.х > 0. (1.253)
Пользуясь критерием Гурвица, получим условия устойчивости для систем,
порядок характеристических уравнений которых не превышает четырех.
Если B(s) = aos + ах = 0, то условия устойчивости имеют вид а0 > 0, ах > 0 ; для
уравнения B(s) = a0s2 + axs + а2 =0 условиями устойчивости являются: а0>0, а^О,
д2>0.
Для уравнения третьего порядка B(s) = aos3 + axs2 + a2s + a3 = 0 имеем
ax аъ 0
Аз = ао а2 ° •
0 ах аъ
Отсюда следуют условия: а0 > 0, ах > 0, а2 > 0, аъ > 0, а^з ~аоа3 > 0.
И, наконец, если имеется характеристическое уравнение четвертого порядка
B(s) = OqS4 + axs3 + а252 + a3s + а4 = 0, то определитель Гурвица запишется так
ах аъ 0 0
4 0 ах аз °
0 Oq а2 а4
Необходимым и достаточным условием устойчивости является
а0>0, ах > 0, а2 > 0, аъ >0, а4> 0, a3(aia2 "аоаз)"a?a4 > 0.
Практически, поскольку а4 > 0, находят определители Гурвица от Ai до An_i.
Например, для последнего случая имеем:
ах аъ 0
ах>0, А2
а3
= аха2-а0а3>0, А3 =
0
я, а3
>0.
Система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица
низшего порядка положительны, а главный определитель равен нулю, т.е. А! > 0,
Д2>0,..., Ая=овА1|Ч=0. .

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
103
Если ап = 0, а Ап_х > 0, то один из корней характеристического уравнения равен
нулю (система находится на границе апериодической устойчивости), если же апФ0,
а ДлЧ = 0, то система находится на границе колебательной устойчивости (два
комплексно сопряженных корня находятся на мнимой оси).
Сведем полученные выше результаты в табл. 1.4.
Из табл. 1.4 следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости
системы, характеристическое уравнение которой первой или второй степени,
является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Таблица 1.4
B(s) = 0
aos + ах = 0
aQs2 + axs + а2 = 0
aos3 + axs2 + a2s + аг = 0
aosA + a{s3 + a2s2 +a$s + a4=0
Условия устойчивости
ao>O, ax >0
a0 > 0, ax > 0, a2 > 0
a0 > 0, ax > 0, a2 > 0, аъ > 0, axa2 -atft*} > 0
a0 >0, ax >0, a2 >0, a3 >0, a4 >0, аъ{аха2 -сщаъ)-аха4 >0
Пример 1.9. Имеется система третьего порядка с характеристическим уравнением [172]:
B(s) = аоУ3+Д|$2+а2-Н-Дз = 0.
Обозначим
Тогда (1.254) перепишется в виде
Или, что то же самое,
«о lVaoJ Vflo
a3]i{ao) fl3Vflo
Обозначив
fl3Vl*oJ лз\до
(1.257) перепишем в виде
T3 + AT2 + Bs+\ = 0.
Необходимые и достаточные условия запишутся так:
А>0, Я>0, АВ>\.
Графически (1.259) представлено на рис. 1.86.
Область
устойчивости
АВ>\
(1.254)
(1.255)
(1.256)
(1.257)
(1.258)
(1.259)
(1.260)
АВ=1
Рис. 1.86. Гипербола Вышнеградского

104
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Пример 1.9. Характеристическое уравнение имеет вид:
Д(5)=0,000354+0,033753+0,4352+51,25+24,8=0.
Все коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Найдем А з:
A3=a3(flifl2-aofl3)-fl4ai2=51,2(O,O337 • 0,43-0,0003 • 51,2)-24,8 • 0,03372=
=-51,2 • 0,0009-24,8 • 0,03372<0.
Вывод: система неустойчива.
1.11.3. Критерий Льенара - Шипара
В 1914 г. Льенаром и Шипаром был предложен критерий, упрощающий критерий
Гурвица.
Критерий Льенара - Шипара формулируется так: при а0>0, ах >0, а2 >0,...,
ап > 0, необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди
определителей Гурвица A!,A2,..., Д„ были положительными все определители с
четными индексами^ т.е.
Д2>0,Д4>0,Д6>0, (1.261)
или все определители с нечетными индексами
А,>0,А3>0,А5>0,.... (1.262)
Итак, необходимым и достаточным условием устойчивости системы является:
до > 0, ах > 0,..., ап > 0,
А1>0,А3>0,А5>0,..., - (1.263)
или .
а0 > 0, ах > 0,..., ап > 0,
А2 > 0, Д4 > О, Д6 > 0,.... (1.264)
Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.87.
e(t)
—*ЛХ)—
1
к
x(t)
Пусть
Рис. 1.87. Структурная схема системы
«1 (*) = W"'*1 + «П-а-1^'Ц"' + - + «0.
тогда
s>iBi(s) = an_lisn -an_Ms"4 +-+^ц = B(s).
Найдем ПФ замкнутой системы
W(s) =
l + K/(an_tlsn+... + aos>l)
К
где
an_llstt+an_il_lsn-l+... + aos? + K
а„-а =а»>0, <Vu-i = ап-\ > 0.-. К = а0>0.
(1.265)
(1.266)
(1.267)
(1.268)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 105^
Анализ (1.267) показывает, что часть коэффициентов характеристического
уравнения
(1.269)
B(s) = an_Visn+... + aos>i + K = ansn+... + alls*l + K
равна нулю (а\ = 0, аг = 0,..., а^\ = 0).
Таким образом, не выполнено условие положительности всех коэффициентов,
что свидетельствует о неустойчивости системы.
Никакой набор коэффициентов ац, а^\,..., ап стабилизировать систему не в
состоянии [172].
Указанный класс систем носит название структурно неустойчивых.
Справедливо утверждение [172]: системы, для которых степень передаточной
фукнции W(s) равна ее порядку, структурно неустойчивы, если индекс
апериодической нейтральности не меньше двух. Такие системы содержат не менее двух
последовательно соединенных интеграторов.
Для стабилизации структурно неустойчивых систем требуется изменить их
структуру, например, сделать ПФ разомкнутой системы в виде
(1.270)
Степень A(s) выбирается таким образом, чтобы все коэффициенты
характеристического уравнения замкнутой системы были отличны от нуля (степень A(s)
должна быть не меньше ц - 1).
Стабилизация структурно неустойчивых систем достигается либо введением
внутренней связи, охватывающей один из интеграторов, либо введением производной.
Пример 1.10. Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.88 [32].
-Hg^
Л*
Г
h
1 +
К с
лос,
Jp
\ + TMs
1
S
x{t)
Рис. 1.88. Структурная схема системы
Построим область устойчивости в функции коэффициентов усиления Ку^ и Ко , если остальные
параметры равны:
В
Кс = 0,4 В/град; Ку = 5,2; с, = 0,014 -
2 град/с
jp = 297; Тя = 0,06 с; Г„ = 0,1 с.
Передаточная функция разомкнутой системы
КсКухКуг1сцр
Wp(J)--
[(l + Tqs)(l + TMs) + Ky2K0]S
Найдем передаточную функцию замкнутой системы
D .
W(s)--
где
TqTMs* + (Tq+TM)Sz+(l + Ky2K0)s + D
кску. Ку2
(1.271)
(1.272)
D = -
ciJP

1U6
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Характеристическое уравнение имеет вид
OoS3 +a,s2 +a2s+a3 =0»
где
aD=TqTM=O,0O6; ax=Tq + 7^=0,06+0,1=0,16;
Пользуясь критерием Гурвица, имеем:
Оо>0, а,>0, д2>0, д3>0 . (1.273)
Д2=а,а2-Яоаз>О. (1.274)
Условия (1.273), (1-274) выполняются при К0>0, Kyt >0.
Воспользуемся условием (1.274); имеем
0,16(1+5,2*0)-0,006.0,5Л:У| >0. (1.275)
Из последнего неравенства следует:
£0>0,0036Л:У| -0,192. (1.276)
Граница устойчивости определяется выражением
АГ0=0,0036/ГУ| -0,192. (1.277)
Область устойчивости в плоскости параметров Ку^ и Ко построена на рис. 1.89.
Ко1
0.8 •
0.6 •
0.4 '
0.2
-0.2 ;
Область
устойчивости
Illf
1 ,llLK
1 llJr
1 ,l/lr
lllr 100 200
,ils
Область
неустойчивости
300 *v,
Рис. 1.89. Область устойчивости в плоскости параметров КУу и Ко
Пример 1.11. Рассмотрим сист
"1
ему (рис. 1
7> + 1
•90) [1
72].
T2s + l
*-
1
Рис. 1.90. Структурная схема системы
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
КХК2
W(s) = -
(TlS + l)(T2s + l)T3s
Характеристическое уравнение замкнутой системы запишется так:
x(t)
(1.278)

Глава 1» Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
107
B(s) = a$s* + a2s2 + axs + a0,
где
аг = ТхТ2Тг, а2 = (Г, + Г2)Г3, ах = Г3, я0 = К = АГ,А:2.
Запишем условия устойчивости:
аоа3<л,а2.
или, что то же самое,
КТХТ2ТЪ<{ТХ +Т2)Т?=Т1Т32+Т2Т32.
Перепишем последнее неравенство в виде
Граничное (критическое) значение коэффициента определяется формулой
Построим график
^кР - т т т •
'2 'I
К^ = = — при -2. = const,
или КфТ=1 при 73/72=const.
Функция АГкр=1/7 - равносторонняя гипербола, ее график представлен на рис. 1.91.
кр
V=i
Область
неустойчивости
КТ> 1
Облает^
устойчивости
КТ<\
—►у
Рис. 1.91. Зависимость ККР от ТХ1ТЪ при Г3/Г2 = const
1.12. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ СИСТЕМ
В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
1.12.1. Оценка точности работы системы для класса воздействий
Положим, что:
а) на вход поступает сигнал, имеющий дробно-рациональное изображение
y,s) = CkSk+Ck_xSk Ч.-. + Ср ш
dpsp+dp_lSp-l+...+d0'
б) система имеет нулевые начальные условия;
в) система устойчива;
г) система работает в установившемся режиме.
Найдем изображение выходного процесса
(1.279)

108 Анализ и статистическая динамика 1АУ. часть 1
(bmsm+...+b°)(cksk+...+c0)
X(s) = W(s)Y(s) = j £ L (1.280)
(ansa+...+a0)(dpsP. + ...+d0)
Переходя в (1.279) от изображения к оригиналу, получим зависимость,
определяющую входной сигнал
y(t) = Гх {Y(s)} = <%е°* +$£* + ... + с^Л'. (1.281)
Для нахождения реакции системы на сигнал (1.279) перепишем (1.280) в виде
X{s) W +-+g0 МП (1.282)
(ansn+...+a0)(dpsl>+...+d0) B(s)
Переходя в последней формуле к оригиналу, запишем
x(t) = с?ех>' +...+сУк' +с?еа>' +с>еа>' +...+с>еа"'. (1.283)
В связи с тем что система устойчива и работает в установившемся режиме,
с^1' +...+с%ек' '^Го. (1.284)
Тогда выходной сигнал системы, работающей в установившемся режиме,
определяется формулой
xy{t) = c{e4 +c2V>' +...+cJea''. (1.285)
Формулы для нахождения коэффициентов сук, к = 1,р имеют вид
^Мь-М,^ (1.286)
B'(s)\s=ak B'(ak)
С учетом последнего выражения, (1.285) примет вид
*=1 В \ак )
' Надо отметить, что, поскольку
Д(5) = (Ьт5т+... + Ь°)(^/+... + с0) = Л(5)(^/+... + с0);
B(s) = (ansn +... + ao)(dpsp +... + do) = B(s)(dpsp +... + </0)> (L288)
т.е. в формулы для A(s) и B(s) входят полиномы A(s) и B(s), определяющие
передаточную функцию системы (поскольку W(s) = A(s)/B(s)), то коэффициенты
с1,к-\,р определяют не только свойства воздействия y(t), но и параметры,
характеризующие свойства собственно системы. Именно в связи с последним фактом, т.е.
с учетом коэффициентами сук,к-\ур свойств системы, последние отличаются от
эталонных коэффициентов с*,£ = 1,р. Поскольку известен вход y{t) и реакция
xy{t) на этот вход, то легко записать формулу, определяющую ошибку работы
системы:
eW-ifc-tf).*' s fic^W^\Vkt' (L289)
*=i м{ B{ak)j
Воспользуемся обозначением

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 109^
С учетом (1.290) получаем выражение, определяющее точное значение ошибки
воспроизведения входного сигнала y(t) исследуемой системы в установившемся
режиме
е(О = Х^г, (1.291)
1.12.2. Приближенное исследование точности работы системы
в установившемся режиме
Положим, что выполнены условия б), в), г), а также
k(x) = L-l{W(s)}. (1.292)
Тогда выходной сигнал системы в установившемся режиме
оо
x(t) = jk(T)y(t-T)dT. (1.293)
о
Пусть существует разложение воздействия в ряд Тэйлора относительно точки t:
У('--0 = £^ТгЛот*. (1-294)
где
y(*)w = ±3W t = 0,1,2,.... (1.295)
dr
Подставляя (1.294) в (1.293), получаем
*(о=Х-
*=0
Величины
}*(т)тЦ(-1)*^. (1.296)
ц*=(-1)*|т**(т)<*т, Л = 0,1,2,... (1.297)
о
называются степенными моментами к -го порядка импульсной переходной функции
*(т).
Зависимость (1.296) позволяет сделать вывод: установившийся процесс в
линейной стационарной системе полностью определяется моментами ИПФ и
производными воздействия [172].
Моменты \xk легко рассчитываются по передаточной функции замкнутой
системы. В самом деле, справедлива зависимость
^£Ц-1)*7т*.-**(т)Л. (1.298)
ds ■ о
Сравнивая (1.297) и (1.298), легко заключить, что
|djv£) ^ £=(U2j (1299)
L * JL
Если разложим W (s) в степенной ряд по s, то получим

110 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
„(.)-2№1 А (..зоо,
»Ч Л JL
Отсюда следует, что моменты \хк ИПФ представляют собой коэффициенты
разложения передаточной функции W (s) замкнутой системы вряд по степеням s.
Для дробно-рациональных передаточных функций моменты \лк можно
определить простым делением многочлена числителя передаточной функции на многочлен
знаменателя.
С учетом (1.296) и (1.297), имеем
juo kl *=i *!
Введя обозначения
co=1-Ho' Ск=-Чк> * = 1.2Д...,
запишем (1.301) в компактной форме:
8W = E^ZTTZ. (1.302)
*=о *!
Коэффициенты ск, А: =0,1,2,... называются коэффициентами ошибок системы.
Они могут быть вычислены по формуле
1 J j=0
,t= 0,1,2,.... (1.303)
Передаточная функция WB(s) = l-W(s) называется передаточной функцией
ошибки.
Коэффициенты ошибок ck, ft = 0,1,2,... равны к-м производным от
передаточной функции ошибки при 5 = 0.
Коэффициент с0 называется коэффициентом статической или позиционной
ошибки, коэффициент с{ - коэффициентом скоростной ошибки, с2 —
коэффициентом ошибки от ускорения.
Коэффициенты ошибок определяют зависимость установившейся ошибки от
структуры системы и ее параметров. Поэтому исследование коэффициентов ошибок
позволяет наметить пути уменьшения или полного устранения установившейся
ошибки.
Пусть y{t) = yo\(t), тогда е(г) = соуо, т.е. при постоянных воздействиях
установившаяся ошибка также постоянна (эта ошибка называется статической).
Статическая ошибка пропорциональна значению постоянного внешнего воздействия.
Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал
y(t) = УоКО без ошибки, называется астатической 1-го порядка.
Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал
y(t) = УоКО + V\t + У2*2 + - + У/-/"1 (1.304)
без ошибки, называется астатической порядка I.
Для разомкнутой системы с ПФ вида [153]
W(s) = —) L (1.305)
sv (1 + a{s + a2s +...+ansn)

Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ
111
формулы для определения коэффициентов ошибок представлены в табл. 1.5.
Как следует из анализа формул, представленных в табл. 1.5, при увеличении
коэффициента усиления К разомкнутой системы ошибка системы в установившемся
режиме уменьшится.
Однако чрезмерное увеличение коэффициента усиления может привести к
неустойчивости системы (см. параграф 1.11).
Таблица 1.5
Тип системы
Статическая
система
Астатическая
порядка
Астатическая
порядка
Коэффициент
ошибки
со
*э
Со
С\
сг
*э
Со
С\
с2
*э
Формула, определяющая коэффициент ошибки
1
1 + К
(<*,-Р.)*
1 + АГ2
2(a2-p2K|2a1(P1-a1K|
(l + Kf (1 + К)3
|2р1(р1-а,К2
(1 + К)4
^(«з-Рз),
(1 + К)2
ш 6K[2ala2-2KPfi2 + (K-l)(o^l + afi2)] ,
(l + Kf
i6K(al-^l)(al + K^f
(1 + К)4
0
1
К
^ai-ft) 2
к к2
6 ^(ft-o,)
к'1 к2 '
к к
0
0
2
к
6(ttl-pl)
к

112
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
УСТОЙЧИВОСТЬ
Настоящая глава посвящена краткому изложению теоретических положений
систем с переменными параметрами, следуя [121]. Полное изложение теории
рассматриваемого класса систем приведено в [121]*.
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИМПУЛЬСНЫХ
ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ
2.1.1. Дифференциальные уравнения систем
Система автоматического управления называется нестационарной, если ее
параметры изменяются во времени (часто эти системы называют системами с
переменными параметрами).
При проектировании можно прийти к рассмотрению этого класса систем в
следующих случаях:
1) переменность во времени параметров обусловлена физикой работы систем
(изменение массы летательного аппарата за счет сгорания топлива и др.);
2) переменные коэффициенты дифференциального уравнения появляются при
линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений около некоторых
опорных траекторий, являющихся также функциями времени;
3) при использовании статистической линеаризации при нестационарных
случайных воздействиях.
Рассмотрим примеры.
Пример 2.1. Структурная схема контура самонастройки имеет вид, представленный на рис. 2.1 [121].
Рис..
У
гл. ст.
к*
Г„5-
руктурна
i
и
1Я схе
s 2
ма системы с перемен
Cxa{t)
ным парамет]
>ом a{t)
к
Достаточно полная библиография по теории систем с переменными параметрами приведена в
[49,99,100,101,121,143].

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 113
Уравнение имеет вид
a2(0^-f+al(t)^- + a0№ = АГВХ (I), (2.1)
at at
где
й (0 = _Zi_, а (,) = _L_+*2££l,
21' К,а(О lW tf,a(O AT, (22)
Пример 2.2. Рассмотрим простейший дифференцирующий /?С-фильтр с изменяющимся по известному
закону R(t) сопротивлением и неизменной емкостью С, ток / которого управляет исполнительным
устройством ИУ (пусть управляющая обмотка ИУ обладает постоянным активным сопротивлением /?иу;
индуктивностью обмотки пренебрегаем) (рис. 2.2).
R(t) 4
п
С
т
о Ь
Рис. 2.2. Дифференцирующий фильтр
Поскольку сопротивление изменяется в зависимости только от времени при неизменных остальных
параметрах, фильтр является системой линейной нестационарной. Структурная схема, соответствующая
фильтру, приведена на рис. 2.3.
Фильтр
Рис. 2.3. Структурная схема дифференцирующего фильтра
Работа фильтра в любой момент времени подчиняется второму закону Кирхгофа
МО+МО+^иу (')=?(').
где y*(f), Ус(*)*Уят (0 ~ паДения напряжения на соответствующих элементах; /?, С, /?иу; у(0 -
приложенное к фильтру извне напряжение. С учетом известных из электротехники закономерностей имеем
*(')'(')+£}'(')*+V(')-y('>
'о
Продифференцировав левую и правую части этого выражения, получим
R 1
dl(t
dt
dl(t
dt
)JdR(')+ 1
[а с
Uflo(;)/(0 =
dt '
dy(t)
dt
(2.3)
где a{ (f), Oo(r) - коэффициенты, представляющие собой известные функции времени. То есть динамика
данной линейной нестационарной системы с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами.
Аналогично нетрудно убедиться, что поведение линейной нестационарной
системы общего вида описывается линейным уравнением с переменными
коэффициентами порядка п
аД0^+---+М0*(0=М0^+---+М<Ы<)> (2-4)
9 Зак. 232

114 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
или
i=O 1=0
в связи с чем теория линейных нестационарных систем в значительной степени
посвящается методам исследования линейных дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами. Эта теория является важным разделом курса
«Управление в технических системах» (УТС), т.к. уравнениями вида (2.4) и (2.5) описывается
очень широкий класс явлений, например, движение почти всех аэродинамических
летательных аппаратов, надводных и подводных судов, работа систем в режиме
«разгона», «разогрева», процессы наведения на цель и т.п.
Распространенность уравнений (2.4) и (2.5) объясняется еще и тем, что к ним в
первом приближении сводится описание многих нелинейных процессов, если
рассматривать их линеаризованные модели в отклонениях от изменяющегося в
зависимости от времени опорного движения xon(t) (здесь *on(f)*const - известная
функция времени).
Пример 23. Пусть задана система, описываемая дифференциальным уравнением
«,(*)^+«о*(<)= *?(')• (2-6>
Здесь ах (х) - коэффициент, являющийся функцией выходной координаты, поэтому уравнение (2.6) -
нелинейное. Пусть, например, на основании какого-то упрощающего предположения исходную систему
удалось преобразовать к новой, у которой легко вычислить выходной сигнал хОП (/) (в общем случае
хоп * const), причем процесс xon (t) близок к x(t). Тогда, выбрав *оп (t) в качестве опорной траектории,
получаем
*(') = *о-(')+М'). (2-7)
где Ах (f) - малая величина.
Уравнение (2.6) примет вид
«,(*)^('i+M<)U[U0+M0]=W
Так как по предположению величина Ax(f) - мала, линеаризуем сначала функцию а^х) , если она
нелинейная,
а потом линеаризуем уравнение (пренебрегая малыми второго и высшего порядков, считая при этом, что
dbx(t\
тоже мала)
at
Нетрудно заметить (см. формулу (2.7)), что выражение [а, (*)]^_0 = а\ (*оп) ~ известная функция
времени (т.к. хоп (/) известна). По той же причине известной функцией времени является и выражение
Обозначим:
l>'WL-o=a'o('):

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
115
f
\Шх)] Ло„(') 1 '
^onW+hWU^J^oO).
и уравнение примет вид
М0^+М')Д*(0=*(0+л(0-
Здесь а10 (*)» аоо (0* <Уо (О ~ известные функции времени, т.е. исходная нелинейная система после
линеаризации стала описываться линейным дифференциальным уравнением с переменными
коэффициентами с добавочным известным воздействием Уо('), что не приносит дополнительных принципиальных
трудностей в процесс решения. Действительно, эта система линейна и по отношению к ней справедлив
принцип суперпозиции, поэтому Ajc(r) можно искать следующим образом:
Д*(0 = А*,(|) + А*,о(0.
где &xy(t), &xyo(t) - решения уравнений соответственно:
«.о(0^^+^(0Ч(0-*>(0.
*.о(0^^+М0^о(0=*>(')-
2.1.2. Понятие ИПФ Л НС и ее основные свойства
1). Нормальной импульсной переходной функцией (обозначается kH(t,x)) ЛНС
(2.12) называется реакция этой системы на воздействие вида единичной дельта-
функции, приложенной в момент времени т (рис. 2.4) при нулевых начальных условиях
[*(<.<L=*w=°.
~dx{t,T)~
dt
= i(x) = 0,
Ми
dt
y(t) = 8(t-x)
(«-!)
= jr
-)(x)-0.
(2.8)
ЛНС
x(t,x) =kH(t,x)
►
Рис. 2.4. Линейная нестационарная система
Тогда нормальной ИПФ системы (2.5) должно соответствовать уравнение
1=0 at /=о dt
при начальных условиях (2.8), в которых везде x{t,i) следует заменить на kH (r,x).
Прикладывая дельта-функцию при различных т, получим уравнения для семейства
нормальных ИПФ.
Поскольку нормальные ИПФ ЛНС являются ее реакциями, они представляют
собой функции времени t9 удовлетворяющие принципу причинности
9*

116
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Лн(г,т) = О; г<т,
(2.10)
которые в силу переменности параметров при различных моментах приложения
дельта-функции могут иметь разный вид (рис. 2.5).
*„(г,-т
V
.)
/
1
/
[
/
1
0
со)
/
>
>
(?Л,
■—^
*>
)
-
(»,т2)
Рис. 2.5. Нормальные ИПФ ЛНС
2). Таким образом, h зависит от двух переменных г,т. Нормальная ИПФ,
рассматриваемая как функция двух переменных г,т, называется импульсной переходной
функцией системы (2.5) (обозначается k(t,%)) и имеет вид поверхности, участок
которой изображен на рис. 2.6.
Величина k(t,%) в силу принципа причинности (условие (2.10)) равна нулю при
значениях независимых переменных Гит, соответствующих области плоскости f От,
расположенной левее биссектрисы координатного угла Ют (линия t = т),
Замечание 2.1. При отрицательных значениях т (см. пунктир на рис. 2.6.) ИПФ
обычно не рассматривается. Считается, что система при t < 0 не наблюдалась, а
следовательно, и не было возможности ею управлять.
kiK{ux)
Рис. 2.6. ИПФ ЛНС

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
117
3). Если ИПФ рассматривать как функцию второго аргумента при различных
фиксированных значениях первого (см. рис. 2.6.), то ей соответствует семейство
кривых, называемых сопряженными ЙПФ и обозначаемых кс (г,т) (рис. 2.7).
i i fcft/c)
Рис. 2.7. Сопряженные ИПФ ЛНС
Такое название объясняется тем, что импульсной переходной функции как
функции второго аргумента-функции kc(tyx) отвечает уравнение [121]
1(УЬ^И.Е(_1у''Г'*Ж'-'>]. (2.н,
i=o d*1' i=o dx
которое по отношению к уравнению для нормальной ИПФ (2.16) является
сопряженным (сопряженные уравнения широко используются в математике, например, для
отыскания первого интеграла исходного уравнения).
Часто по ходу изложения бывает ясно, какая из отмеченных ИПФ фигурирует в
данном случае, тогда индекс при &(г,т) опускается и, таким образом, k{t,x) может
обозначать любую из рассмотренных ИПФ.
Поскольку уравнение нормальной ИПФ (2.9) справедливо при всех допустимых
т, а уравнение сопряженной ИПФ (2.11) - при всех допустимых t, многократно
используя любое из них, можно судить и о &(/,т) (как о функции двух переменных),
в связи с чем и (2.9), и (2.11) можно было бы рассматривать как уравнение для ИПФ,
однако в качестве такового принято считать уравнение (2.9), которое в этом случае
записывают в виде
,-=о dt 1=0 dt
(2.12)
при нулевых начальных условиях.
4). Из рис. 2.6. видно, что сечение ИПФ плоскостями, параллельными плоскости
kOt, представляет собой семейство нормальных ИПФ (рис. 2.5); плоскостями,
параллельными плоскости кОт, - семейство сопряженных ИПФ (см. рис. 2.7).
На рис. 2.8 изображено семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными
плоскости fОт. Если эти сечения параллельны биссектрисе ОА координатного угла
Ют, то ИПФ представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей ОА,
что может иметь место лишь в случае, когда форма нормальной ИПФ одинакова при
всех т, т.е. в случае стационарной системы. Для уяснения вопроса о стационарности
системы такие сечения иногда и используются.

118
Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I
I I I
Q= const (i= 1,2,3)
I ч Ч
' \ \
\ \
X ir.
Рис. 2.8. Семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными плоскости Ют
5). Ввиду того что для нестационарных линейных систем справедлив принцип
суперпозиции, располагая ИПФ, нетрудно вычислить реакцию системы на произвола
ное входное воздействие y(t)9 приложенное в момент времени Tj. Действительно,
представим y(t) в виде импульсов, ширина которых Д0 выбирается так, чтобы их
можно было приближенно считать для данной системы дельта-функциями (рис. 2.9).
i
0
{
y(t)
/
/
*1
Г
-^
t
А0
<4
1 г
Рис. 2.9. Представление входного сигнала y(t) в виде импульсов
Найдем реакцию в некоторый момент ц > т, на один (произвольный) из этих
импульсов, например, на импульс, который приложен на /Д0, / = 1,/ij, где
nlAe^tl-xl (2ЛЗ)
раньше момента времени tx. Так как импульс этот можно приближенно
рассматривать как дельта-функцию площади y(tx -/А0)ДЭ, приложенную в момент t\ ~/Д®,
реакция на него, очевидно, приблизительно равна значению

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ П£
умноженному на площадь этого импульса y(tY -/Д0)Д0 (т.к., во-первых, согласно
определению, k(t,x) есть реакция системы в момент t на дельта-функцию единичной
силы, приложенную в момент времени т, и, во-вторых, реакция линейной системы
на короткий импульс пропорциональна площади приложенного импульса).
Приближенное значение реакции системы в момент tx на весь входной сигнал,
согласно принципу суперпозиции, равно сумме значений ее реакций в момент tx на
каждое слагаемое входного сигнала (на каждый из входных импульсов):
^„xOsJy^-iAeJk^.^-iAejAe. (2.14)
/=1
Точное значение реакции может быть найдено, если величину интервалов А0
устремить к нулю, при этом произойдет следующее
Д0-></0; /Д©->0, £-> J
i=l О
(см. формулу (2.13)), и выражение (2.14) примет вид
о
Поскольку моменты времени tx и тх были выбраны произвольно, полученная
формула справедлива для любых гит
*('>т)= J y(*-e)k(fff-e)rfe. (2.15)
о
Более широко используется другая форма этого выражения, к которой легко
перейти, выполнив замену переменной
Г-0 = Х; 0 = r-X; </© = -</Х; 0 = 0; X = f; © = r-r, X = x,
после чего
x(t,<z) = ]y(X)k(a)dX. (2.16)
т
Обычно наблюдение за системой начинают с момента приложения воздействия
(тогда <и = 0), формулы (2.15), (2.16) принимают вид соответственно
x(t)=jy(t-e)k(t,t-e)de, (2.17)
о
t
x{t)^\y(X)k{uX)dX, (2.18)
о
Правая часть соотношений (2.17), (2.18) напоминает интеграл Дюамеля из теории
стационарных линейных систем, однако существенно отличается от последнего: она
не является сверткой входного сигнала и ИПФ, в связи с чем соотношения (2.17),
(2.18) называются интегралом суперпозиции.
Соотношение (2.18) установлено, исходя из физических соображений.
Установим связь между входом ^(г), выходом x{t) ИПФ k(t,x) нестационарной
системы, пользуясь следующими рассуждениями [121].
ИПФ определяется уравнением

120 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
^av(o47^(r'T)=EbvWTV8(^T)' T€(-oo,+oo). (2.19)
v=0 dt v=0 "*
Умножим обе части (2.19) на у(т) и проинтегрируем по т на промежутке
(-оо,+оо). Результат имеет вид
%аЛ0^1к(1л)у№т=%ЬЛ)-^1у(т)Ь(1-т)с1т. (2.20)
v=o at _„ v=o dt _„
Известно следующее свойство 8-функции
J/(x)5(f-T)dT = /(r). (2.21)
—оо
Тогда
2>v(o-7T f k^x)y (x)dx=S*vW-7ryw • <2-22>
v=0 dt -co v=0 *t
Сравнивая (2.5) и (2.22), получаем
x(t)=\k{u%)y(x)d%. (2.23)
—оо
Анализ уравнения (2.23) показывает следующее:
*(г,т)>>(т) = 0прит<0; (2м)
^(г,т)у(т) = О при т>Г.
Тогда (2.23) перепишем в виде
x(t) = )k{t,x)y{x)d%. (2.25)
о
Таким образом, если в результате проведения соответствующего числа
экспериментов построена поверхность &(г,т) - импульсная переходная функция системы, то
реакция системы на произвольный вход y{t) может быть найдена по формуле (2.25).
Рассмотрим две системы, описываемые соответственно уравнениями
Xev(*)*(v)=XM'>y(v)i с2-26)
v=0 v=0
JTav(')*(v) = :KO. (2.27)
v=0
Вторую систему будем называть укороченной.
Математической основой для получения зависимости, определяющей колебания
на выходе одномерной нестационарной системы, описываемой укороченным
уравнением (2.27), является следующая теорема (теорема Коши) [45].
Если:
1) имеет место линейное ДУ вида
S«v(^(v) = ^(0'x°=0' (2-28>
v=0
2) av (Г) - непрерывна на [0, Т], v = 0, п -1; ап (t) = 1;
3) y(t) - непрерывна на [0,Г];

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 121_
4) к (f, т) - решение однородного уравнения, т.е. Lk (г, т) = 0, причем
*^х)Ц^;(лх)Ц=... = Г2)('Д)| =0;
"=т (2.29)
*,(иЧ)М =i.
тогда частное решение неоднородного уравнения, соответствующее нулевым
начальным условиям, имеет вид
t
x(t) = \к (г,т) у (x)d% - формула Коши, (2.30)
о
&(м) -ядроКоши.
Доказательство заключается в следующем.
Уравнение (2.28) перепишем в виде Lx-y . Тогда x = L~ly, L~l - оператор,
обратный линейному дифференциальному оператору L. Таким образом, задача
заключается в нахождении оператора L"1. Поскольку L -линейный дифференциальный
оператор, то ясно, что L"1 -интегральный оператор.
Воспользуемся формулой:
^ J /(*,у)Л= J ^lZ2^+P/(y)/(P(^)^)"-cc/(^)/(a(^)^). (2.31)
Дифференцируя формулу Коши, получаем
*(0 = }*(м>(т)</т;
о
/W = J*;(*.x)y(T)dT+*(»fr)y(«)=j*;(r,T)y(T)dT,
о о
At) = jk't'(t,x)y(x)dx+k'l (t,t)y(t) = \k't'{t,z)y{x)dv, (2.32)
о о
т.к.*(*,о-*;('.о--в*.(""2)('.о=°-
Вместе с тем имеем
t
*«(*) = j*,00 (г,т)у(т)^т+^-1) (г, ОУ (0 = j*r"} ('.*Мт)Л+ Я0, (2.33)
о о
т.к. *,(яЧ)(М) = 1.
Подставляя полученные выражения в исходное ДУ (2.28), находим
^av(0j^(v) (г,т)у (т) Jx+ y(t) = y(0, (2.34)
v=0 о
или, что то же самое,
8 Зак. 232

122
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Ч п
л v=n at
0Lv=0
у(т)Л+у(О = у(О.
(2.35)
Последнее равенство равносильно следующему
}[1,*(м)]у(т)Л+у(0 = У(О. (2.36)
о
Но L,fc(f,x) = O, т.к. &(г,т) - решение однородного ДУ, отсюда следует
тождество у (г) = у (г), и, таким образом, формула Коши является решением неоднородного
ДУ. Если в (2.30) известно ядро Коши, то расчет x(t) не представляет особого труда.
*('ДФ)А
Xcv(to)*v(O
v=l
г*
]£cv(*l)Xv(0
(2.37)
Рис. 2.10. Ядро Коши для конкретных х = т0 и т = т,
Построим алгоритм нахождения ядра Коши. Поскольку к(г,т) - решение
однородного уравнения, то
/:(г,т) = с1(т)дс1(г)+с2(ф2(г) + ...+с/1(т)^(г),
(рис. 2.10), где Ф(Г) = \хк (t):k = 1, п\ - фундаментальная система ДУ Lx = 0.
Поскольку
*(r,x)|r=t^;(,,x)|/=T=... = ^-2)(r,x)L=O;
*,(ПЧ)И =1'
1г=х
(2.38)
то
с, (т)х, (т)+с2 (т)дг2 (т) + ... + си (т)*„ (т) = 0;
с1(т)х[(т) + с2(т)х'2(т)+... + с„(т)х'п(т) = О;
qW^W + ^W^W+.-. + c^xJ^W-O;
c1(x)^>(x) + ci(x)4-l)(x) + ... + c11(x)x?-')(x)-l.
Отсюда находим
(2.39)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
123
*,(т) х2(т) ... хп(т)
х[(т) хЦх) ... х'п(х)
,f-2)(x) 4-2)(х) - 4"-2)(х)
Г(Г\
(2.40)
или
W(t)C(t) = X°.
Тогда, умножая (2.40) слева на W"1 (т), находим
W1 (т) W(x)C(x) = W"1 (т)х£. (2.41)
Отсюда следует
C(t) = W4(t)X?, (2.42)
т.к. |w(x)| Ф 0 для любого те [0,Г].
Теперь можно записать выражение
*(*,т)*Ст(т)Ф(/) = (Х^)Т(W"1 (т))ТФ(г) -ядроКоши. (2.43)
Окончательно имеем формулу для расчета вынужденных колебаний
нестационарных систем
^о=}(х2)т(1¥-!(т))тф(Оу(т)л.
(2.44)
Ядро &(г,т) найдено для уравнения (2.27), т.е. для так называемого укороченного
уравнения; обозначим его через ky{t,x). Найдем зависимость, устанавливающую
связь между &(г,т) и ky(tyx). Для этой цели достаточно правую часть уравнения
(2.26) полагать входным сигналом системы с ИПФ ky(ty%). Тогда получим
зависимость
к{их) = \ку{ии)^м{и)№ (2.45)
поскольку правая часть уравнения (2.26) при импульсном входе записывается так
dm ,, v . _ dm~l
*m(0—B^-^+ft^W—г5(г-т) + ... + 46(г)5(г-т).
Подставляя (2.46) в формулу
k(t,x) = ]ky(t,u)Ly&(u-T)d%9
(2.46)
(2.47)
получаем (2.45) (здесь /^8(м-т)= ^bv(u)—-8(и-т)). Поскольку справедливо
v=0
выражение
(_l)V^)=J/(T)5(v)(;_x)^
(2.48)
находим искомое соотношение [143]
8*

124
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
^^^"(-^^[^(^^Wl+'-'+^^^W-
(2.49)
Введем понятие сопряженных систем, рассматривая при этом для примера
уравнение системы с укороченной правой частью, т.е.
£av(0*(v) = >>(')• (2-50)
v=0
Важность введения этого понятия состоит в том, что для нахождения x(t) по
формуле (2.25) требуется с целью построения k(t,x) многократное приложение к
исследуемой системе 8 -функций в различные моменты времени т и последующая
обработка получающихся при этом кривых.
Функцию &(м), рассматриваемую как функцию второго аргумента X при
фиксированном t, условимся обозначать через к* (*,т).
Ясно, что к(г,т) удовлетворяет уравнению
2ev(o-j7*Me8('-0-
at
(2.51)
v=0
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция к* (г,т).
Предварительно определим сигнал y(t), который надо подать на вход инерцион*
ной части системы, чтобы получить на выходе 5-функцию (рис. 2.11),
у®
t,av(t)xw(t) = y(t)
v=0
S(f-T)
Имеем
Тогда
Рис. 2.11. К определению сопряженной системы
£av(0-£-8(,-T) = ,(')-
v=o dt
8(t-T)=]k(t,$)y(£,)dS.
(2.52)
(2.53)
Рис. 2.12. Последовательное соединение
Подставим (2.52) в (2.53)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 125
8(r-T)-jft(«,$)
X-v(«^7»ft-T)k (2.54)
Lv=o d\
Воспользовавшись свойством 5 -функций
{-\)"Щ^-=\ m^\t~\)dt, (2.55)
из (2.54) найдем
8(^^) = S(-l)V^r[*('^K(x)]. (2.56)
v=0 "т
В последнем уравнении относительно k(t,x) независимой переменной уже
является т, т.е.
E(-1)"7^[*('^)«v(t)] = 5(r-x). (2.57)
v=0 "T
Итак, если для определения &(*,т), когда независимой переменной является Г,
служит уравнение
v=0 «*
то для построения k{t,%) с независимой переменной т надо пользоваться уравнением
Х(-1)^[л(/,т)ау(х)] = 4Л(г,т) = 5(г-т). (2.59)
v=0 "T
Оператор L* называется сопряженным относительно оператора Lx.
2.2. ИПФ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ
Как видно из рассмотренных примеров, легко определяется ИПФ только простых
систем - систем невысокого порядка с нестационарностями, описываемыми
несложными функциями. Но многие сложные нестационарные системы удается представить
в виде совокупности стандартных соединений более простых систем. Стандартными
называются последовательное, параллельное, типа «обратная связь» соединения
звеньев в силу того, что эти соединения остаются в классе линейных систем, если
входящие в их состав звенья линейны. Отчего исследование стандартных соединений
звеньев проводится в рамках той же теории, которой подчиняются входящие в состав
этих соединений звенья. Но тогда возникает возможность достаточно просто и
удобно исследовать такие сложные системы, если известны правила, позволяющие
определять по ИПФ соединяемых систем ИПФ их стандартных соединений. Часто
разбиение исходных систем на более простые составные части удается выполнить так,
что все «инерционности»* оказываются стационарными, а все нестационарности -
безынерционными (в виде усилителей с изменяющимися известным образом во
времени коэффициентами усиления - в виде безынерционных нестационарных звеньев).
* Термином «инерционность» здесь условно охвачены динамические звенья, в описание которых
входят в любых комбинациях производные как их выходных, так и входных сигналов.

126
Анализ и статистическая динамика САУ» Часть I
Тогда анализ упрощается еще более, т.к. для его проведения оказывается
достаточным знать ИПФ лишь элементарных стационарных звеньев и ИПФ безынерционного
нестационарного звена.
2.2.1. ИПФ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ
1). Безынерционное стационарное звено с коэффициентом передачи а = const.
Его передаточная функция
W(s) = a,
которой соответствует уравнение
x{t) = ay(t),
откуда, согласно определению,
к (г, т) = ab (t - т) (см. рис. 2.13).
Замечание 2.2. На рис. 2.13. вдоль линии t = т представлена совокупность
дельта-функций, которая изображена так, будто их амплитуды равны величине а. Это на
самом деле является условным обозначением того факта, что величине а равны
площади соответствующих дельта-функций (амплитуды их, как известно, равны
бесконечности).
*(*,Т)
Огибающая
Рис. 2.13. ИПФ безынерционного стационарного звена
2). Стационарное интегрирующее звено.
Передаточная функция: W (s) = —.
Уравнение звена: —— = y[t).
dt
Уравнение для ИПФ: —м^ ' ' = 5 (t - т), откуда
dt
ku(t,x) = jb(t-x)dt = l, k(t,x) = hl[t-x].
(2.60)
Часть ИПФ представлена на рис. 2.14. ,

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
127
* it, X)
Рис. 2.14. Часть ИПФ стационарного интегрирующего звеиа
3). Стационарное апериодическое звено.
Аналогично рассуждениям в п. 2 имеем
dt
'■+kM(t,x) = b{t-T),
откуда, опуская очевидные элементарные выкладки, например, на основе
использования преобразования Лапласа, получаем
t-x
(2.61)
1
*мМ=7* г.
*М=
1
•1[,-т].
(2.62)
Часть ИПФ представлена на рис. 2.15.
k(f,x)
Рис. 2.15. К пояснению понятия ИПФ
4). Безынерционное нестационарное звено с коэффициентом передачи a(t).
Его уравнение x(t) = a(t)y(t),
откуда
*^т) = д(05(г-т) = д(т)8(г-т), (2.63)
с учетом селектирующего свойства дельта-функции (см. рис. 2.16 и замечание 2.2).

128
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
я(т)
Кит)
a(t)
t = x
Рис. 2.16. К пояснению понятия ИПФ
2.2.2. ИПФ ОСНОВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
1). Параллельное соединение элементов (рис. 2.17).
Здесь k{{tfx)y k2(t,x) обозначены ИПФ соединяемых звеньев. Они известны.
Требуется определить ИПФ соединения.
уО)
S(f-x)
/
lr (t т\
^24*» L/
if, т) = ?
bit,*) Ш/"
x2(t) 1
*2(f.T)
xit)
k(f,T)
Рис. 2.17. Структурная схема параллельного соединения элементов
Подав на вход соединения дельта-функцию в момент t = т при нулевых
начальных условиях, на выходе первого и второго звена получим сигналы в виде ИПФ этих
звеньев, которые на выходе схемы образуют сигнал
*M=*i('>t)h *2M=*iMh M'»t)-
Этот сигнал и есть искомая ИПФ, т.к. он представляет собой реакцию всего
соединения на дельта-функцию при нулевых начальных условиях. Таким образом,
*(*,т) = *,(*,т)(!) *2(м).
(2.64)
2). Последовательное соединение элементов (рис. 2.18).
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, на выходе первого звена получим
сигнал

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
129
5(м)
к
Ь- (t т\
*К*> Ч
:(г.х) = ?
X\{t)
Ш х)
к (t т\
K2V> Ч
x(t)
Рис 2.18. Структурная схема последовательного соединения элементов
Воспользовавшись формулой (2.18) по отношению ко второму звену (имея в виду,
что сигнал кх (t,x) для него является входным процессом, протекающим во времени t
при фиксированном значении т), нетрудно получить его выходной сигнал, который,
будучи одновременно выходным сигналом всего соединения, представляет собой
ИПФ этого соединения, т.к. возник в результате приложения ко входу последнего
дельта-функции при нулевых начальных условиях
х(их) = к (их) = J*i (X,т)*2 {uX)dX.
о
Согласно условию причинности (2.10), которому должен удовлетворять сигнал
кх (Х,т) (т.к. он является еще и ИПФ первого звена),
&,(Х,т) = 0, Х<т, (2.65)
нижний предел интегрирования необходимо заменить на т, тогда
к(ит) = 1к2(иХ)к{(Кт)с1Х.
(2.66)
Как уже отмечалось, здесь кх (г,т) выступает в роли сигнала, а к2 (*,т) - в роли
ИПФ, в связи с чем формулу (2.66) иногда рассматривают как операцию воздействия
второго звена (представленного его ИПФ) на ИПФ первого звена и обозначают ее
поэтому условно
*^т) = *2(лт)**,(*,т), (2.67)
как воздействие второй ИПФ на первую ИПФ, при этом ясно, что в общем случае
ИПФ последовательного соединения зависит от порядка следования звеньев, т.е,
*1 (*.*)**2 (Г'Т) * к2 ('>Т)**1 (*'Т) •
Замечание 2.3. Замена нижнего предела (формула (2.66)) может показаться
излишней операцией, т.к. интегрирование при X < т все равно, казалось бы, должно
дать нулевой результат - согласно свойству (2.65) ИПФ либо потому, что сигнал
к\ (г,т) в реальной системе станет отличным от нуля лишь при X > т. Однако
следует иметь в виду, что в формуле (2.66) символ кх (Х,т) выступает не как ИПФ, но и не
как сигнал, а как функция, используемая для описания сигнала. Эта функция должна
фигурировать здесь так же, как функция у (X), используемая для описания входного
воздействия в формуле (2.18), (т.к. к{ (Х,т) в формуле (2.66) играет ту же роль, что и
у(Х) в формуле (2.18)). Пусть функция y(t) определена от - оо до +оо. Используя ее
для описания входного воздействия системы, нужно было бы писать
у(*)1[*-с]> (2.68)

1JU
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
учитывая тот факт, что воздействие у (t) поступило на вход в момент t = т, а до
этого момента оно было равно нулю. Однако в формуле (2.18) этот факт уже учтен
самим алгоритмом ее вывода (см. соотношение (2.13)), отчего в ней фигурирует просто
функция y(t), а не (2.68). Поэтому и в формуле (2.66) должна фигурировать (и
фактически фигурирует) функция кш (Х,т), а не кх (Х,т), несмотря на то, что она там
записана, но тогда нижний предел интегрирования должен быть обязательно т.
8(t-x)
К
t,x) =
bx(t т\
**(*,т)
?
««—
т, т)
Рис. 2.19. Соединение элементов типа «обратная связь»
3). Соединение типа «обратная связь» (рис. 2.19).
Поскольку к нестационарной линейной системе применим принцип
суперпозиции, перенесем первый элемент через элемент сравнения (рис. 2.20). Подав на вход
полученной системы дельта-функцию (при нулевых начальных условиях), из
рис. 2.20 заметим, что
fc(''T) = *i(''Tb*i(''T)>
t
где хх (г,т) = \к{Х,т)к3 (t,X)dX - реакция системы с ИПФ къ (f,x) на сигнал k(t>x);
X
t
здесь &3(f,x) = J*i (г,а)Л:2 (or,x)dfa - ИПФ последовательного соединения второго и
т
первого звена (см. формулу (2.66)).
yit)
Рис. 2.20. Структурная схема соединения элементов типа «обратная связь»
Таким образом, ИПФ замкнутой системы связана с ИПФ замыкаемых звеньев
неявной зависимостью
(2.69, а)
k(t,x) = kl(t,x)-jk3(t,X)k(X,x)dX,
X
*з(а) = }*,(»,о)*2(о,Х)Л»,
(2.69, б)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
131
(2.70)
и для отыскания k(t,%) необходимо решить интегральное уравнение (2.69, а), что и
является основной трудностью на пути использования метода ИПФ для исследования
линейных нестационарных систем.
С учетом обозначения, введенного в формуле (2.67), зависимость (2.69) можно
условно представить так
*(г,т) = *1(лт)-*з(^^)**^^.]
M^ = M'^)**2M' j
после чего она своей структурой очень напоминает известную из стационарной
теории зависимость
/ ч Wl(S)
w(s)= ';J . ч,
W l + W{{s)W2{s)
если записать ее в виде
W(s) = Wl{s)-W3(s)-W(s);
W3{s) = Wl{s)-W2(s).
Здесь W(s); Wx(s); W2(s)\ W3 (s) - соответственно передаточные функции
замкнутой стационарной системы, имеющей структуру (см. рис. 2.19); звена,
стоящего в ее прямой цепи; звена ее обратной связи; разомкнутой стационарной системы.
Формально заменяя в выражении (2.71);
1) знак умножения - на знак * (воздействия ИПФ на ИПФ),
2) передаточные функции стационарных звеньев - на ИПФ нестационарных
звеньев, которые стоят на их месте в структурной схеме, получим выражение
(2.70).
Отмеченнзд формальная аналогия распространяется и на случай
последовательного и параллельного соединений элементов (см. формулы (2.67) и (2,64)).
(2.71)
Пример 2.4. Найти Щ1Ф системы, представляющей собой последовательное соединение
стационарного апериодическогр зрена и двух усилительных нестационарных зреньев с коэффициентами,
изменяющимися по закону е' и е~' (рис. 2.21).
у(0
* 6
*l(',T)
Ш ( г\ —
WoyS)
s + a
k2(t,-c)
*-
i
x(t)
Рцр> 2.21. Структурная схема системы
Согласно формулам (2.62) и (1,63),
*,(*,т) = «~'8(г-т);
*2(г,т) = е-а<'-<>1[,-т]:
*зМ = е'6(/-т).

132 ^ Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Применив соотношение (2.66) к первым двум звеньям, получим
X
*12(лт)=*-а<'А-ч[,-т].
Применяем соотношение (2.66) к kl2(t9x) и k3(t,x)
*м (м) = j^5(r-X)e"a(X"VT^ =
т
= е'е-т jS(t -Xya{k^d\ = <><'-V0^' L .,=е('-«Х'-^) #
Т
^(м) = Ла)(/-т>1[/-т].
Таким образом, ИПФ системы (рис. 2.21) зависит только от разности м, т.е. данная нестационарная
система ведет себя как система стационарная (как стационарное апериодическое звено с постоянной
времени и коэффициентом передачи ), передаточная функция которого
Иногда рассмотренные методы определения ИПФ (чаще всего в силу сложности
системы) не эффективны. Тогда ИПФ можно находить с помощью моделирования.
2.3. ОПИСАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЛНС С ПОМОЩЬЮ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
Аппарат интегральных преобразований нашел широкое применение в теории
стационарных линейных систем. Прежде всего, следует отметить преобразования
Лапласа и Фурье. Например, теоретической основой часто используемого частного
метода анализа и синтеза систем с постоянными параметрами, в разработку которого
большой вклад внес В.В. Солодовников, является преобразование Фурье.
Сделаны обобщения некоторых положений теории стационарных систем на
системы с переменными параметрами (работы Л. Заде, В.В. Солодовникова,
Ю.И. Бородина, А.Б. Ионнисиана, И.П. Бриккера, В.А. Карабанова, Б.Е. Рудницкого
и др.). Для некоторых классов ЛНС этот аппарат может оказаться достаточно
эффективным. В общем же случае его применение встречает принципиальные трудности,
порожденные свойствами дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами.
Очень удобное соотношение частотного метода, справедливое для стационарной
линейной динамической системы
ВД=У(*)Щ*), (2.72)
где
W(s)=jk(ne-Stdt = Lt [*(*)] (2-73)
о
- передаточная функция, являющаяся преобразованием Лапласа ИПФ линейной
стационарной системы (индекс при символе преобразования Лапласа здесь и далее
указывает переменную, по которой оно выполнено); X(s)=Lt [*(*)]; Y(s)=Lt [y(t)])9
наталкивает на целесообразность обобщения интегральных преобразований Лапласа и
Фурье для исследования и нестационарных линейных систем. Впервые такая попытка
была сделана в работе В.В. Солодовникова [146] и, далее, в работах Л. Заде [196].

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 133
2.3.1. Общее интегральное уравнение Л НС
Пусть в уравнении (2.5) коэффициенты представимы как
flI.(0 = e? + 5I.(0, i = CUl . (2?4)
fcv(O = *J + *v(O. v = <^"4
где д?, fej и а,- (0, £v(0 "" соответственно известные постоянные и функции
времени; для последних существуют преобразования Лапласа: Д (s), Bv(s).
Выполнив над левой и правой частями уравнения (2.5) преобразование Лапласа с
учетом соотношения (2.74), имея в виду, что преобразование Лапласа от
произведения двух функций равно свертке (отсюда и название метода - метод свертки)
изображений сомножителей [163], получим
п , Ci+J- п
i=o 2nj c_jooi=0
= £&vVy(5)+-L J £/?v(X)(*-X)vr(5-X)</X,
v=0 2тУ C2-jooV=0
Re5>max[c5;c6];c5=c1+c3;c6=c2+c4,
где cx,c2 и с3,с4 - абсциссы абсолютной сходимости соответственно функций
5/(0, МОи x(t), y(t), '
Введя в рассмотрение полиномы по s
L°(*) = £e,V;F0(5)=f;bvV,
i=0 v=0
получим
ЭД=4о7ТУ<5>+,оЛ ■ f ЁВУ(Х)(*-Х)УГ(*-Х)Л-
tf(s) L°(s)2njcJ_, £й
1 (2.75)
Г J YJAi{X){s-X)iX{s-X)d%
- интегральное уравнение в комплексной области относительно изображения
искомого выходного сигнала [163], к которому свелось в результате применения
преобразования Лапласа исходное линейное дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами.
Первый член правой части выражения (2.75) характеризует в комплексной
области решение уравнения (2.5) без учета переменности его коэффициентов, второй член
позволяет учесть влияние на решение переменности коэффициентов правой части, а
третий член (который и превращает выражение (2.75) в уравнение) - переменность
коэффициентов левой части. Такая структура выражения (2.75) создает
определенные удобства для исследования влияния на решение уравнения (2,5) переменности
его коэффициентов»
Обозначим Xq(s) изцедтиые члены правой части выражения (2.75)
X0(s)=£^Y(s)+ Q l 2\ %Ву(Х)(5-ХУ¥(5-Х)с1Х;- (2.76)
^ (s) L (s)2nj C2_7oov=0
тогда

134
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
c\+j~ Л
X(s)=X0(s)—g-i ' Г Уда)(*-А.)'Х(*-Л)<а. (2.77)
J(s)2nj ci^
В случае, когда представимо
где
C(s)
D(s)
Хла)(,-х)- = С(^;-Х),
- дробно-рациональное выражение, порядок полинома числителя которого
меньше порядка полинома знаменателя, решение уравнения (2.77) можно искать в
форме сходящегося ряда [163]
члены ХД.у),(/ = 1,2,...) которого вычисляются по формуле
1 '7
C(X,s-\)
(s)2njetij_ D(X)
)
F°(s)
L°(s)
. B(s) .
X^is-XldX.
MO
(2.78)
(2.79)
x(t)
A(s)
Xl(t)
■o
A(s)
x2(t)
Рис. 2.22. Структурная схема стационарной системы, эквивалентной нестационарной
Если второе слагаемое правой части соотношения (2.76) и правую часть формулы
(2.79), которые после выполнения интегрирования зависят только от s, с помощью
аналитических преобразований удастся представить в виде
• -5-J 7 f,Bv(X)(s-XyY(s-\)dX = B(s)Y(s); (2.80)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 135^
0 . J ХАДХ)(5-Х)%ч(5-Х)<а = А(5)Хм(5), (2.81)
£ (s)2nj c^jooi=0
то исходной стационарной системе, согласно (2.76), (2.78) - (2.81), ставится в
соответствие эквивалентная стационарная система, представленная на рис. 2.22.
Таким образом, преобразование по Лапласу уравнения (2.5) к понятию,
аналогичному понятию передаточной функции (как это было в стационарном случае),
непосредственно не приводит.
2.3.2. Понятие параметрической передаточной функции (ППФ)
В интеграл суперпозиции (2.16), записанный для случая, когда входное
воздействие приложено к системе в минус бесконечности (он тогда описывает
установившуюся реакцию системы на это воздействие)
t
*(*,-<») = xy(t) = J y(T)k(t,T)dT, (2.82)
— CO
подставим функцию y(t), выраженную через ее преобразование Лапласа
1 е'7~
y(t)=— \ y(s)e"ds;
VO = ~tJ*(*.t) 7 esly(s)ds <*т = -^7 J (e"-e-")y(*)x
UJ - УС'Ч~ ) nJc<-J~ (2.83)
x f Л(Г,т)ЛЛ = — f esty(s)ds\ f e~^~x)k{t,x)dx Ids.
V-~ ; J cA-j°° ^-oo )
Обозначим V/{s,t) вьфажение в скобке
W(s,t) = J e's(t~x)k(t,x)dz. (2.84)
Л. Заде [196] назвал его параметрической передаточной функцией (ППФ). Теперь
соотношение (2.83) принимает вид
*y<t) = -Vf e"Y(s)W(s,t)d*\ (2.85)
2nj J.
J CA-J<*>
оно отражает тот факт, что xy(t) связано преобразованием Лапласа с произведением
Y(s) W(s,t), но тогда по аналогии со случаем стационарных систем это произведение
можно обозначить X(s,t):
Y(s)W(s,t)=X(s,t). (2.86)
Соотношение (2.86) по форме напоминает соотношение (2.72) из теории
стационарных систем, что и желательно было получить, однако применимость соотношения
(2.86) ограничивается пока только рамками установившегося режима (см. формулу
(2.85)), что, конечно, существенно снижает его ценность в сравнении с выражением
(2.72), справедливым и для переходного режима.
Выражение для текущей реакции нестационарной системы на сигнал y(t),
приложенный в момент т0 (см. формулу (2.16)),

136 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
t
x(t,To)=j y(t)k(t,T)dT,
т°
с учетом того, что ;у(0=0 при t < т0, можно представить в виде
t
*('Л0)= J ;у(т)1[т-то]£(г,т)</т.
—оо
Проделав над ним операции, аналогичные тем, которые были проделаны над
соотношением (2.82), получим
*('До) = Т-7 f estns)\ |НгЛ(М)1[х.т0]Л Ids. (2.87)
Выражение в скобках представляет собой интегральное преобразование (2.84), но
уже не от fc(f,x), а от ее части, «обрезанной» плоскостью, параллельной
координатной плоскости Ш, проходящей через точку т = т0 (см. рис. 2.23 (жирные сплошные
линии)). Таким образом, для того чтобы формула (2.86) была справедлива в
переходном режиме, W(s,t) в ней должна отличаться от W(s,t), представленной
выражением (2.84), причем для каждого to,W(s,t) различная, что, конечно, очень неудобно. К
счастью, на практике часто система начинает функционировать с момента времени,
определяемого ее пользователем, например, с момента ее пуска. В этот же момент на
систему поступает входной сигнал и начинается наблюдение за ее реакцией, которая
в этом случае (т0 = 0) представляет собой
*,0)=(у(тЖгд)1[фт. (2.88)
—оо
Для такой реакции справедлива формула (см. выражение (2.87)):
! с4+7~ Г t \
*(r,0) = -i- f esty{s)\ \ е"5('-т)^т)1[т]^т L/5, (2.89)
но fc(r,x)l[x] - ИПФ, обрезанная координатной плоскостью Ш (см. штрих-пунктир
на рис. 2.23), и есть именно та ИПФ, которую принято считать ИПФ системы в
реальных условиях ее эксплуатации (см. замечание 2.1), тогда выражение в скобках
совпадает с выражением (2.84) для ППФ такой системы:
W(s,t) = J <f 5('-x)*(f,x)l[x]dx, (2.90)
—оо
а формула (2.86) описывает в этом случае в области комплексной переменной уже
функцию, связанную не с установившейся реакцией д:(Г,-°°), а с переходным
процессом *(f,0) (см. (2.89)).
Из формулы (2.84) следует, что ППФ есть интегральное преобразование от ИПФ,
но не преобразование Лапласа. Сделав в выражении (2.84) замену переменной
Г-т = 0 (2.91)
(новая переменная имеет смысл временного сдвига),
Т = Г + 0; dX = d&9 Т = ~оо; 0 = -оо; х = Г, 0 = 0,
получим
W(5,O=jV50*(M-0)d©,

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
137
т.е.
W(s,t)=Le[k(t,t-e)] (2.92)
- ППФ системы все-таки есть преобразование Лапласа, связанное с ИПФ этой
системы (аналогично тому, как это имеет место в стационарной теории (формула (2.73))),
но не от той функции, которую описывает &(г,т) по переменной т, а от функции,
которую описывает k(t,t-Q)=[k(t,T)] Q попеременной Э (см. рис. 2.23).
kH(t,x0)
*•/
\\/-\
^
Рис. 2.23. К пояснению процедуры вычисления выходного сигнала
2.3.3. Понятие параметрической частотной характеристики (ПЧХ)
В стационарной линейной теории широко используется понятие частотной
характеристики W(/co), которая может быть получена из передаточной функции путем
формальной замены в ней аргумента s на у'со:
Выполнив аналогичную замену в ППФ, получим также частотную
характеристику, но помимо переменной со она зависит еще и от параметра г
W(ja,tHW(s,t)]
(2.93)
поэтому называется она параметрической частотной характеристикой. Легко понять,
что ей соответствует семейство (по параметру t) амплитудных, фазовых,
вещественных, мнимых, амплитудно-фазовых (см. рис. 2.24), логарифмических и тому
подобных параметрических частотных характеристик.

138
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Одним из важнейших свойств частотной характеристики W(j(O) является то, что
она может быть получена экспериментальным путем. Для выяснения возможности
экспериментального снятия ПЧХ необходимо установить ее физический смысл.
В выражении (2.90) заменим s на у'со и представим его как
ИЧМ')=-
J «*'*(*, т)1[т]Л
о№
(2.94)
Согласно формуле (2.88), числитель правой части выражения (2.94) есть текущая
реакция ЛНС на сигнал у(г) = е]ш , приложенный в момент т = 0, и тогда ПЧХ
трактуется как отношение текущей реакции системы на сигнал е*ш к этому сигналу.
Однако сигнал этот нереальный, т.к. связан с мнимой единицей.
j
Рис. 2.24. К пояснению понятия параметрической частной характеристики
Представив функцию
WOco,r)=P(w,O+/<2(co,f) (2.95)
через вещественную и мнимую параметрические частотные характеристики,
функцию
ejm =coscof + 7sin(0f
разложением по формуле Эйлера, выражение (2.94) приведем к виду
[P(cD,OcoscDr-6(co,OsincDr]+;[P(cu,Osincor + j2(co,r)cosu)r] =
= f cos(Oxk(tfx)l[x]dz-¥ j J sincox/:(r,T)l[T]dT.
(2.%)
Поскольку интегральные члены правой части представляют собой текущие
реакции ЛНС на воздействия coscor и sincor, приложенные при т = 0(см. (2.88)),
обозначим их соответственно xc(t>0) и xs(t,O), после чего, имея в виду, что равенство
(2.96) возможно, если независимо равны вещественные и мнимые его части, получим
два уравнения
P(co,r)coscor-(2(u),Osin(or = j[:c(r,0);lsincDrlcoscDf,
P(cD,r)sincDr + 6(cD,Ocos(or = Jcs(r,0).jcoscorJ sincof.

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
139
Домножим левую и правую части первого из них на sin cor, а второго на cos cor
и вычтем почленно первое уравнение из второго. Имеем (т.к. sin2 cor+cos2 Ш = 1)
£K<0,0=M^)cosC0f-;cc(f,0)sinC0f. (2.97)
Домножив левую и правую части первого из них на cos со г, а второго на sin cor и
сложив их почленно, получим
P(<uyt)=xs(ttO)sin(ut + xc(tyO)cos<ot. (2.98)
Соотношения (2.97) и (2.98) описывают алгоритм экспериментального снятия
мнимой и вещественной частотных характеристик ЛЫС. Схема установки,
соответствующей этому алгоритму, представлена на рис. 2.25. Для ее реализации, как это
видно из рисунка, требуются две одинаковые системы. Квадратами с диагональным
крестом здесь обозначены блоки перемножения. ПЧХ является функцией двух
аргументов: со и t.
РШ)
sin см
cos cor
■* система
xs(t,0
хс(',0)
д
/
/
\
\
/
/
V
\
/
\
/
/
\
/
\
(2Ш)
Рис. 2.25. Структурная схема системы, реализующей алгоритм экспериментального определения
частотных характеристик ЛЦС
Совокупность кривых, снятых с установки при фиксированных значениях со,
представит ПЧХ как семейство (по параметру со) функций времени (см.
рис. 2.26, а). Представление ПЧХ в виде семейства функций частоты (что обычно
имеют в виду, употребляя термин частотная характеристика) по параметру t
требует перестройки экспериментально полученного семейртва (рис. 2»26, б).
Р(ш„О Р(ш2,г)
Рис. 2.26, а. К пояснению понятия частотных характеристик ЛНС
и их экспериментального определения

140
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
P(<bh)
P((O,t2)
Щ со2 \а)з
б
со
Рис. 2.26, б. К пояснению понятия частотных характеристик ЛНС
и их экспериментального определения
2.3.4. Понятие нормальной и бичастотной передаточных функций
ППФ W(sJ), введенная Л. Заде, является интегральным преобразованием (2.84)
от k(ty%) по второму аргументу, поэтому ее еще называют иногда сопряженной
передаточной функцией (СПФ) и обозначают H(t,s):
t
W(s,t)= ^e~s{t~x)k{t,x)dx = H{t,s). (2.99)
Однако не все операции при исследовании ЛНС могут быть осуществлены только
с её помощью. Например, выполним над левой и правой частями интеграла
суперпозиции (2.16) преобразование Лапласа по переменной t
]x{ux)e^tdt^\e^t{\y{x)k{t^)dx)dt.
0 От
Поскольку ИПФ есть &(Г,т)1|7-т], то фактическая область интегрирования имеет
вид заштрихованной на рис. 2.27 области (порядок фактического интегрирования
указан штрихпунктирными стрелками). Поменяем порядок интегрирования
(см. двойные штрихпунктирные стрелки на рис. 2.27):
оо оо
Х(ц,х0) = J (e^Vt)y(T)(J«-|ltt(r,T)rfT)rfT =
То г
оо оо
= \e-^y{x){\e-^k{ux)dx)dv,
здесь Х(|1,т0) обозначено jxityX^e'^dt = Lt[x(t,z0)].
о
В скобках правой части фигурирует выражение, аналогичное интегральному
преобразованию (2.99) от ИПФ, но выполненное по первой переменной, оно называется
нормальной передаточной функцией (НПФ) и обозначается N(\i,t) :
N(\L,%) = le~*t'*)k(t9T)dt.
(2.100)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
141
О
Рис. 2.27. Графическое представление области интегрирования
Понятие НПФ было впервые введено Бриккером [30].
Для ППФ было показано, что
Я(М) = 1в[*(*,*-в)].
Аналогично можно показать, что
N(H,T) = Le[*(x+Ti,T)].
В некоторых случаях наиболее удобной оказывается так называемая бичастотная
передаточная функция (БПФ) W(vl,s) , которая представляет собой двойное
преобразование Лапласа от ИПФ по ее переменным. Она может быть получена как из
сопряженной, так и из нормальной передаточных функций с помощью повторного
преобразования Лапласа по оставшейся временной переменной:
wfas) = Mtf('.-*)]f-wl (2Л01' а)
W(\i,s) = LaltfQx,т)]М1+ц. J (2.Ю1, б)
Приведенное обозначение t—>s + \i означает, что при выполнении повторного
преобразования Лапласа изображение, соответствующее переменной г, является
функцией комплексного аргумента s + \i'. Этот факт является следствием того, что
Н (г, s) - интегральное преобразование по т, отличное от преобразований Лапласа.
Действительно, выполнив двойное преобразование Лапласа от &(*,т), получим бича-
стотную передаточную функцию:
W(\iys)^]e^tdt\e-sxk{t,x)dx.
о о
Но поскольку k(t,%) = 0 при т > t,
со /
ИЧщ s) = je-^(eue-5t)dtje-nk(t,x)dT. (2.102)
о о
Кроме того, &(f,t) = O при т<0 (см. (2.84)), поэтому
со I
W(\L,s) = \e-ve-stdt \ e-si'-x)k(t,T)dT =
= je~(li*s)lH(t,-s)dt.

142 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Поменяем порядок интегрирования в выражении (2.102) (см. двойной штрихпунк-
тир на рис. 2.27, при т0 = 0), тогда
W(\xys) = je'^ie^e^dxje^kdt^dt =
= \e-^s)xdT\e-^-x)k(u>z)dt = \e-^s)xN{\x,x)d>z
От 0
(см. выражение (2.100)), откуда следует равенство (2.101, б).
Согласно равенству (2.101, д), в БПФ входит два типа переменных s: та s,
которая уже была в функции Н (Г, s), и та s, которая вновь появилась после повторного
интегрального преобразования (вместе с |Л). Для W(\x,s) как функции двух
переменных происхождение s совершенно безразлично, но если возникает потребность с
помощью обратного преобразования Лапласа вернуться от W(\i,s) к H{tys) и k(t,T),
то эти переменные нужно различать: из «старой» s должна образоваться переменная
т, а из «новой» (в паре с ц, вида \i+s) - переменная t. Чтобы «новая» s не
«затерялась» предлагается ввести обозначение \x + s = X и записывать результат (2.101, а)
в виде W(kys). В случае использования W(k,s) только в области комплексной
переменной заменяем X = \i+s, в случае же перехода в область вещественной
переменной первое из обратных преобразований проводим по X, а второе - по s.
Аналогичное замечание можно сделать по поводу формулы (2.101, б). Здесь
причиной необходимости подобных операций является «старая» и «новая» переменные \х.
ППФ, НПФ и БПФ являются эквивалентными в том смысле, что по любой одной
из них могут быть определены две другие, а самая широкая распространённость
среди них ППФ объясняется, пожалуй, лишь тем, что ей соответствует наиболее простая
связь с оператором системы, и тем, что она ранее других была введена в обиход.
2.4. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА (СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ)
Использование преобразования Лапласа для исследования ЛЫС сопряжено с
возникновением дополнительных (в сравнении со стационарным случаем) трудностей,
существо которых удобно выразить в форме следующих проблем [121].
1. Проблема оригинала. Порядок роста функции x(t), описывающей изменение
выходной координаты ЛНС, может быть выше экспоненты, и тогда преобразования
Лапласа от нее не существует:
где 0 - пространство оригиналов (пространство функций, для которых существует
преобразование Лапласа).
В стационарной теории такая проблема не возникает. Дело в том, что
где xn(t) - переходный процесс, xy(t) - установившийся процесс.
Из теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
известно [121], что xy(t)e 0 , если y{t)e ©. Функция, описывающая переходный про-

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 143
цесс, складывается из слагаемых типа А{е '', i = 1, л, где А{ = const: \{ - корни
характеристического уравнения системы - вещественные или комплексные постоянные
числа, поэтому xn(t) имеет степень роста не выше экспоненты, в силу чего
x(t)eQ, если y(t)eQ.
Пример 2.5. Пусть система описывается уравнением
x(t) + a(t)x(t) = y(t)', [*(f)],=T=0.
Его точное решение в квадратурах [121]:
-Jfl(T,)rfT, / /o(T,)rfT,
*(',*) = *' \ех y(k)dX. (2.103)
т
Тогда импульсная переходная функция данной системы
-Jo(x,V/t,
k(t,x) = e * -1(*-т),
и решение дифференциального уравнения в квадратурах примет следующий вид
' -}о(Т|)</х,
*(M) = Je* -Kt-X)-y(X)d\.
т
Пусть a{t) p t, тогда'
х(/,х) = е 2 je 2 • 1(г-Я.)• y(\)d\, (2.104)
т
откуда видно, что преобразование Лапласа от *(/,т) попеременной г можно было бы вычислить с
помощью повторного применения теоремы свертки в комплексной области, теоремы об интегрировании
оригинала и теоремы смещения, если функции, составляющие правую часть выражения (2.104), - оригиналы. Но
г2 60, поэтому £,[*(;,т)] вычислять таким образом нельзя; при этом следует учитывать также, что в
общем случае здесь используются смещённые преобразования Лапласа
X{s,t) = J jc(6 + т,т)<Г *°rfe = Jjc, (6)^-^6
о о
и Y(j,t) = J y(Q+*c)e~sQdQ = jyx (Q)e~sedQt
о о
где
*,{<е)^*(6+тд),
jYM-jte+x).
В случае стационарной системы (a(t) = a = const) выражение (2.103) примет вид
в+т
Xl(Q) = J е-«(в+т-Х). 1(е + т _X)y{X)d\ =
= }е'°(в'ц)-1(в-ц)-у(ц + т)ф =
о
в
= /^в(в"й)-1(в-|л)->'1(ц)ф.
о
Это свёртка в вещественной области, поэтому
Х(5,т) = L{jc,(O)} = L{^fl9 -1(0)}. 1{у,(в)}.
То есть
Х(5,Т) = "^ К(5,Т).
5 + а

144 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Учитывая, что
К(5,т) = Y(s,0) • еп = Y(s) • е'\
получаем подтверждение факту независимости формы реакции стационарных систем от изменения
момента приложения входного воздействия (при сдвиге входного воздействия реакция стационарной
системы также сдвигается без изменения формы).
Это свойство позволяет принять, что момент приложения х воздействия равным нулю (т = 0), что
приводит к широко известному соотношению [121]
Х(5)= —K(5) = W(*)K(5),
s + a
где W(s) = передаточная функция апериодического звена с постоянной времени — и коэффициен-
s + a a
том передачи -.
Нестационарная система может быть описана в пространстве состояния
следующим образом [143]:
Х(0 = A(OX(O + B(OY(O, [X(r)],=T = Хх,
ХВ(О = С(ОХ(О,
где Х(0, Y(O>XB(O - векторы, соответственно, состояния, управления и выхода
системы, А(0,В(0,С(0 - прямоугольные матрицы, составленные из заданных функций
времени.
Известно [121], что если
1) B(OY(f)e0,
2) А(О,С(О - ограничены, непрерывны и дифференцируемы на [0,°°] 9 то
Х(у)б0. (2.105)
2. Проблема уравнений системы в комплексной области состоит в том, что
использование преобразования Лапласа для исследования нестационарных систем
приводит в общем случае не к алгебраическим уравнениям (как в стационарном случае),
а к дифференциальным или к интегральным (2.75), которые часто оказываются не
проще исходного.
3. Проблема структурных преобразований состоит в том, что их выполнение
сопряжено с добавочными трудностями, содержание которых определяется
необходимостью пользоваться положениями, изложенными в [121], вместо простых
алгебраических соотношений в аналогичных ситуациях для стационарных систем.
4. Проблема обращения возникает в связи с тем, что XB(s,t) в общем случае
принадлежит к более сложному, чем дробно-рациональное выражение (как это было
в стационарном случае) классу функции, например, XB(sj) может содержать
существенно особые точки, особые точки типа точек разветвления. Тогда теряет силу
теорема вычетов и встаёт задача анализа особых точек и разложения Xu(s,t) в их
окрестности, которая не исчерпывает всех трудностей в связи со спецификой связи
ХвС*,0 и *в(г,т).
5. Проблема нахождения передаточной функции нестационарной системы по
ее дифференциальному уравнению.
В стационарной системе, описываемой уравнением

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 145
t^-S^yW, (2.106)
v=0 v=0
передаточная функция определяется очень просто (через коэффициенты
дифференциального уравнения)
' w{s) = bmsm+bm_lS»-+...+b0
ansn+an_lsn-1+...+a0
А теперь запишем уравнение нестационарной системы
£«vG)*(v) = 5;M*)y(v). (2:108)
v=0 v=0
На основе последнего уравнения запишем формулу для определения импульсной
переходной функции системы:
v=o dt v=o dt
Умножим обе части (2.109) на е" и проинтегрируем на (-оо,+<»). В результате
получим
£av(O-^T J *(/.т>"Л = XMO-jV J '"«('"^ С2-110)
V=0 «^ -оо V=0 "^ -оо
Перепишем последнее уравнение в виде
£av(0^J *(*,T>-*<'-V'rfT= £л,(/)^*". (2.111)
V=0 "' -co V=0 "?
С учетом формулы (2.25), зависимость (2.111) перепишется в следующей форме
S^W^[W(5,0^]=S*,(07V^- (2.112)
v=o dt L J v=o dt
Воспользовавшись формулой Лейбница для V -й производной от произведения
двух функций, после элементарных преобразований из (2.112) находим зависимость
£1£а(,.0^>(*.0-*('.<). е-113*
v=oV-ds at
где
А(5,г)= ]|>у(0Л B(5,r)=§fev(05v. (2.114)
v=0 v=0
Эти зависимости получены Л. Заде в 1954 г. Формула (2.113) показывает, что.
для нахождения параметрической передаточной функции необходимо решить
линейное параметрическое дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами. Но исходное дифференциальное уравнение (2.108) принадлежит тоже к
этому классу. Преимущество в нахождении параметрической передаточной
функции состоит в том, что, построив ее один раз, можно на ее основе решать широкий
спектр задач анализа и синтеза рассматриваемого класса систем. Уравнение (2.113)
точно не решается. Для нахождения W(s,t) используется в основном метод
последовательных приближений.
Указанные выше положения сведены в табл. 2.1 [168].
11 Зак. 232

146
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Таблица 2.1
Понятие
Дифференциальное
уравнение системы
Правомерность применения
преобразования Лапласа
Формулы, определяющие
передаточные функции
систем
Формула, определяющая
изображение выхода системы
Степень сложности
нахождения оригинала по
изображению выхода
Степень эффективности
применения преобразования
Лапласа к уравнениям с
постоянными и переменными
коэффициентами
Выводы:
Стационарная система
v=0 v=0
Если y(t) -оригинал,то
x{t) - всегда оригинал, и
применение преобразования
Лапласа правомерно
Передаточная функция
определяется по
дифференциальному
уравнению системы
w,s)_bmsm+bm_lsm-l+...+b0
"v"' ansn+an_lSn-l+... + a0'
X(s) = W(s)Y(s)
В подавляющем
большинстве случаев X(s) -
дробно-рациональная
функция, и для нахождения
оригинала может быть
использована 2-я теорема
разложения
Уравнение
v=0 v=0
с помощью преобразования
Лапласа переходит в
алгебраическое
X(s) = W(s)Y(s) и,
следовательно, подход очень
эффективен
Для класса стационарных
систем аппарат очень
эффективен
Нестационарная система
|X(')*(v)' = l>v(Oy(v)
v=0 v=0
В общем случае x{t) - не
оригинал, т.е. не преобразуема по
Лапласу, и, следовательно,
применение преобразования
Лапласа не всегда правомерно
Передаточная функция является
решением дифференциального
уравнения
где
v=0
v=0
X(s,t) = W(s,tms,t)
Для нестационарных систем
X(s,t) не относится к классу
дробно-рациональных (часто имеет
трансцендентный вид). Поэтому
задача перехода к оригиналам
очень сложна
Уравнение
5X(o*(v)=!>«)/> с
v=0 v=0
помощью преобразования Лапласа
переходит или в интегральное, или
дифференциальное в комплексной
области (для полиномиальных
N
коэффициентов Oy,(t) = ^avktk ),
*=о
или в разностное (для
экспоненциальных коэффициентов
N
М0=1Х*<Г*')- Подход
малоэффективен
Для класса нестационарных систем
в общем случае малоэффективен;
эффективен лишь для отдельных
классов систем
2.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
(ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)
Характерной особенностью ЛНС является то, что устойчивость по отношению к
начальным условиям (предполагающая затухание свободного движения) не предо-

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 147^
пределяет ее устойчивости по отношению к управлению (требующему конечной
реакции на конечное управляющее воздействие при нулевых начальных условиях, как
было в системах стационарных [121]).
Пример 2.6 [121]. Пусть задана ЛНС
Согласно формуле (2.103), при y(t) = 1 [/], [■*(*)],_, = ■*<>• 'о = 0 имеем
x(t) = e»"\+e»x+2)J^2dx.
о
Так как
'(—
e"Jt+2 =g[-ln(t+2)X =^-ln(/+2)+ln2 =e-ln(/+2)^ln2 = 2
, ч 2 2 fi + 2^ 2 Г(т + 2)2Т 2 * + 2 2
^)=7^^+7Ti{^T=7Ti^+[^|=7T2^+—'—г
Отсюда видно, что свободная составляющая движения ЛНС (2.115)
*. (О-Tiro (2Л16)
с течением времени стремится к нулю (т.е. эта система устойчива по отношению к начальным условиям), а
вынужденная составляющая
^Л')~~ (2-Й?)
неограниченно возрастает (по отношению к управлению система неустойчива). Поэтому необходимо
исследовать устойчивость ЛНС не только относительно начальных условий, но и ее устойчивость
относительно управления.
2.5.1. Устойчивость ЛНС относительно начальных условий
Точное исследование вопроса устойчивости относительно начальных условий
ЛНС общего вида
^ = А(г)Х(0 (2.118)
представляет значительные трудности, поэтому чаще пользуются приближенными
методами такого исследования. Рассмотрим некоторые из них.
Метод исследования относительной устойчивости состоит в том, чтобы
представить произвольную ЛНС (2.118) через параметры системы
^ = Az(t)Z(t), (2.119)
at
устойчивость которой известна:
^-[AZ(0+E(0]X(0; (2Л20)
и, исследуя свойства матрицы-добавка E(r) = {e^(r)}, ij = l,n, судить об
устойчивости исходной ЛНС (2.118).
Наиболее выгодно в качестве (2.119) использовать системы стационарные и
периодические. Первые - как наиболее простые и исследованные, в которых с учетом
(2.120)
А(г) = Аст+Е(г); (2.121)
11*

148 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
вторые - в связи с положениями теории Флоке, в них
A(f) = Ar(f)+E(f), (2.122)
где
Аг(г) = Аг(г + Г); (2.123)
Г- период изменения коэффициентов матрицы.
Если HmE(r)=0, то матрица (2.121) называется почти постоянной, а матрица
(2.122) с учетом (2.123) - почти периодической коэффициентной матрицей, и имеет
место следующий критерий относительной устойчивости [121].
Критерий 2.1. Пусть система (2.119), где Az (г) = АСТ-постоянная или
Az (r) = Аг (г)- периодическая, устойчива относительно начальных условий. Тогда
и система (2.118), представленная как система (2.120), также устойчива относительно
начальных условий, если
оо
J|E(t)|</t<oo, (2.124)
где под нормой матрицы понимается
1|е(т)|=Е£Ы4 <2-125)
1=1 У=1
Критерий 2.1 для матрицы Az (r) общего вида справедлив, если помимо условия
(2.124) выполняется еще и условие
t
limJtr[Az(x1)]d/x1 >-oo (2.126)
п
(здесь символом tr[Az (х{ )1 обозначен след матрицы Az (i!), т.е. ^aZii (x{)).
i=i
Если стационарная или периодическая система (2.119) асимптотически устойчива
относительно начальных условий, то при соблюдении требования (2.124)
соответственно почти стационарная или почти периодическая система также асимптотически
устойчива относительно начальных условий.
Критерий 2.2 [121] - аналитический достаточный критерий устойчивости
относительно начальных условий.
Задана ЛНС типа
i=0 dt
(2.127)
*o(0 = 1'
у которых переменные составляющие коэффициентов дифференциального уравнения
а{ (t) ограничены,
аг(1)\<т{ (2.128)
(рис. 2.28), где ^(г) = аю+а/(г), аю- постоянные составляющие коэффициентов,
го, - известные постоянные положительные числа.

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные и А У му
1
0
i ai(t)
^ i
та
t
Рис. 2.28. К пояснению понятия устойчивости ЛНС
Чтобы ЛНС (2.127), (2.128) была устойчива относительно начальных условий,
достаточно выполнения соотношения
а + М<0, (2.129)
где а-действительная часть ближайшего к мнимой оси корня характеристического
уравнения линейной стационарной системы (ЛСС)
Х«ю—Н = У(')>*оо = 1; (2.130)
i=o at
r = §m1p'+I, (2.131)
i=0
здесь р- модуль наибольшего корня характеристического уравнения системы
(2.130);
А = £|А|- (2.132)
1=1
В (2.132) А(- коэффициенты разложения передаточной функции ЛСС (2.130) на
элементарные слагаемые относительно ее полюсов s = $,,* = 1,и :
1 ^ А-
»=1 '
^cxW =
sn+at
(п-\)0
Sn Ч.-. + ^о £f S-S;
(2.133)
Смысл условия (2.129) можно понимать так: положительный (см. выражения
(2.131), (2.132)) «добавок» гА, который с некоторым запасом учитывает
переменность коэффициентов уравнения (2.127) (см. формулу (2.131)), не должен переводить
самый близкий к границе устойчивости полюс передаточной функции WCT (s)
устойчивой стационарной системы (2.130) в правую полуплоскость.
Из соотношений (2.129) - (2Л 31) видно, что если ЛСС (2.130) устойчива и
коэффициенты (2.127) изменяются относительно коэффициентов ЛСС (2.130) на малую
величину (числа т{ малы), то ЛНС (2.127) останется устойчивой.
2.5.2. Устойчивость ЛНС относительно управления
Критерий 2.3 - необходимый и достаточный критерий устойчивости ЛНС
(2.127), (2.128) по отношению к управлению:
оо
J|K(r,x)|jx<C<oo. (2.134)
Здесь |К(г,т)| = {|/:0.(м)|}, / = 1,г, 7 = 1,/п - МИПФ этого объекта, в которой на
месте каждого элемента стоит.его модуль; С = \cl}}, i = 1,г, j = 1,/n ; c(j = с = const.

150
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
В справедливости условия (2.134) можно убедиться следующим образом.
Известно, что
X(f) = jK(r,x)Y(x)</x.
(rxl) ,o (rxm) (тх\)
Пусть воздействие Y(г)ограничено некоторой величиной Ymax , тогда реакция
(mxl)
i-ro компонента выхода системы нау-ю компоненту входа
t
МОвКММт)Л
'о
имеет максимально возможное значение при у7 (г) = ут^\%^хк^ (f,x) (рис. 2.29):
t t
*ymax (0 = Утахf*y O'^sign^y (t,-c)dx = ?max J|fy (г,т)<*т|.
i
jmax
0
"Утт
\
Рис. 2.29. К пояснению понятия устойчивости ЛНС
Отсюда видно, что составляющая Jty(f), а следовательно, и любой компонент
выходного вектора ограничены, если
Улшх J\kij (*>ТН ^ УтчРц < - ,
b(j = const .
(2.135)
Из соотношения (2.135) вытекает условие (2.134), если положить
c = max{ fy}; i = l,r ; ; = l,w ; * = <*>.
2.5.3. Устойчивость ЛНС на конечном интервале
Устойчивость - асимптотическое свойство системы, связанное с ее
поведением в бесконечности. Но большинство реальных систем работает на конечном
интервале времени [0,Гд], в связи с чем возникает вопрос, насколько эффективно
такая характеристика, как устойчивость, может быть использована для оценки
работоспособности системы в этом случае?
Для линейных стационарных систем (ЛСС), если устойчивость гарантирует их
работоспособность в бесконечности, то она гарантирует ее и на конечном
интервале через время Г = Гр после начала работы (здесь Тр - время переходного
процесса). Действительно, устойчивость предполагает затухание переходного про-

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ
151
цесса в бесконечности, и если установившееся значение удалось сделать равным
желаемому *ycT = д:ж (этого можно достигнуть выбором величины ступенчатого
входного воздействия), что и означает работоспособность системы (в смысле
близости x(t) к д:ж) в бесконечности, то, поскольку (согласно смысла
понятия Тр) А - близость x[t) к *yCT(f) обеспечивается уже после t = Tp (здесь
А = 0,05 *Уст(0)' и П0СК0ЛЬКУ Яуст^) вследствие постоянства параметров не
меняется во времени, близость x(t) после г = Тр обеспечится и к хж, т.е.
обеспечивается работоспособность и на конечном интервале после t = Tp9 если Тр < Гд.
При необходимости оцени работоспособности в переходном режиме пользуются
понятием качества системы, впервые предложенного В.В. Солодовниковым. Например,
можно считать систему удовлетворяющей требуемому качеству, если переходная
функция h (r) не выходит за пределы некоторой области («коробочки») (рис. 2.30, где
*ycT, a%, Гр, е^ -соответственно установившееся значение, перерегулирование,
время переходного процесса, статическая точность - первичные показатели качества
системы, являющиеся параметрами переходной функции [153]).
Таким образом, вопрос исследования работоспособности ЛСС на конечном
интервале принципиальных затруднений не встречал и решался в рамках понятий
обычной устойчивости и качества.
*усг +
i
100
хж
0
at(t)
i \
//////A//////////j
/ \
"/ ^
/ v(t)
/
1
/
/
/
//i
>V
ГР
А
г—
1V
т Л-
t
Еоо
•Куст
Рис. 2.30. «Коробочка» В.В. Солодовникова и качество системы
В случае ЛНС после t = Tp также наступает установившийся режим, однако в
силу переменности ее параметров он не постоянен даже при неизменном воздействии.
В силу чего выполнение условия *yCT = хж при t = <*> никак не связано с его
выполнением при te [Гп/|,Гд], ведь *yCT(f) непостоянен и неизвестен, поэтому результат
исследования на устойчивость не может служить для оценки работоспособности
ЛНС на конечном интервале даже после затухания переходного процесса (как было в
случае ЛСС). В частности, использование результатов исследования на устойчивость
для оценки работоспособности на конечном интервале может привести и к
результатам, противоположным истинным. Например, пусть система должна работать на
интервале [0,Гд] и обеспечивать точность не ниже ед, т.е. процесс не должен
выходить за пределы областей, выделенных жирными линиями на рис. 2.31.

152
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
i
0
Устойчивая
\ Г^
r\J ед
J ед
t
лн
С
->
Гл
x(t)
V
t
i
\
0
Неустойчивая Ш
1С
/ х
У
; ^
Гд t
Рис. 2.31. К пояснению качества работы системы
Удовлетворительную работу на конечном интервале обеспечивает изображенная
на этом рисунке неустойчивая система,, а устойчивая - нет. Поскольку исследование
на устойчивость не решает вопроса определения работоспособности JIHC на
конечном интервале, нужно ставить новую задачу о невыходе управляемого процесса из
«коробочки» (см. жирные линии на рис. 2.31), определяемой техническими
условиями работы системы. Наличие в системе этого свойства и предполагает понятие
устойчивость на конечном интервале, которое, как это видно, является
разновидностью понятия качества.
Так как устойчивость ЛНС по отношению к начальным условиям не
предопределяет ее устойчивости по отношению к управлению, ниже рассматривается
устойчивость на конечном интервале по отношению и к начальным условиям, и к
управлению.
2.5.4. Устойчивость на конечном интервале по отношению
К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
Определение 2.1. ЛНС
dX(t)_
dt
= A(r)X(0 + B(0Y(0
(2.136)
называется устойчивой на конечном интервале для Г|, б, Тр по отношению к
начальным условиям, если для уравнения
^l = A(t)X(t) (2.137)
выполнение неравенства
означает, что
dt
XT(r0)X(r0)<ri
XT(r)X(0<8
(2.138)
(2.139)
на интервале [f0, t0 + Тр J.
Известно несколько достаточных критериев устойчивости ЛНС типа (2.137) на
конечном интервале. Приведем три из них.
Чтобы ЛНС (2.137) была устойчива на конечном интервале для л» е> Тр по
отношению к начальным условиям, достаточно выполнения одного из следующих
условий:
Критерий 2.4.
1, е
JX^x^-ln— , для всех re[f0, t0 +Гр],
(2.140)

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 153
где Хм (t) - максимальное собственное значение симметрической матрицы
Критерий 2.5. Все главные миноры матрицы
а(о4[а(О+ат(О]. <2-141>
-А(0+^гШ^1(0 (2.142)
отрицательны.
Критерий 2.6.
Tfm^K- (2Л43)
Критерий 2.4 наиболее труден, а критерий 2.6 наиболее легок в смысле их
практического использования, однако в таком же порядке они расположены и по степени
точности оценки с их помощью необходимых и достаточных условий устойчивости
на конечном интервале [121].
В качестве примера рассмотрим доказательство наиболее точного из достаточных
критериев - критерия 2.4, ценность которого существенно возрастает в связи с тем,
что после нахождения собственных значений матрицы А (г) можно
неопределенность границ областей устойчивости (явившуюся следствием того, что критерий 2.4
лишь достаточный) существенно локализовать, воспользовавшись еще и
достаточным критерием неустойчивости 2.7.
Критерий 2.7. Чтобы ЛНС (2.137) была неустойчива на конечном интервале для
у\, е, Тр по отношению к начальным условиям, достаточно выполнение неравенства
jMTi)dTi>|Z'l~' Для всех fe[f0, *0+Гр], (2.144)
'о
где Хц(т) - минимальное собственное значение матрицы А (г).
Доказательство критерия 2.4. Из теории квадратичных форм [121] известно,
что
Хт (t)A(t)X(t)<XM(t)XT (t)X(t), (2.145)
где А (г) - симметрическая матрица, все собственные значения которой
действительны. Продифференцируем скалярную функцию Хт (г)Х(г):
С учетом соотношений (2.137) и (2.141)
i[xT(0x(r)]-xT(0AT(0x(/)+xT(0A(r)x(0-
-хт(«)[ат(0+а(0]х(0-2хт(/)а(»)х(0.
Имея в виду неравенство (2.145), получим
£[хт(ох(г)]*2МО*т(Ох(О-
Так как Хт(г)Х(г) -скаляр, то
ЮЗак.232

154
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
4*т(г)х(о]
dt
■<2Хм(0-
хт(г)х(О
Проинтегрируем левую и правую части последнего неравенства в пределах от t0 до t:
ХТ('о)Х('о) I
После потенцирования
ХТ(')Х(г) ,/1^\
Хт0о)Х(го)"
с учетом формулы (2.138)
2\xJxi)dx]
XT(t)X(t)<T]e'° . (2.146)
Из неравенства (2.146) видно, что соотношение (2.139) имеет место, если
или после логарифмирования
'о Ч
откуда и следует неравенство (2.140), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается критерий 2.7, если исходить из второго широко
известного в теории квадратичных форм неравенства
хт(,)а(,)х(0>М0хт(')х(0-
Пример 2.7. Пусть в системе (2.137), где
Г 0 1]
A(0-^_(1_acos2/) 0J.
требуется найти ограничения на параметр «а», обеспечивающие выполнение неравенства
для всех;, принадлежащих интервалу [0, 2п].
Из условия задачи следует, что здесь требуется обеспечить устойчивость на конечном интервале для
т|, е, Тр по отношению к начальным условиям системы (2.137) и (2.146), где Тр=2п секунд, In —= 2 .
Для этого (см. критерий 2.4) нужно вычислить собственные значения матрицы А (г) (см. формулу (2.141))
0
Ц-(1-«о.20 0j + [l 0 JJ"
A(0-2l|^_(1.flCOs2r) 0
о
<zcos2/
acoslt
В соответствии с известным правилом [121], приравнивая определитель
acos It
|а(г)-Х I 1 =
| V ' (2х2)|
-X
acos Ъ
-X
_ 2 fflcos2rY

Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 155
нулю, получаем уравнение, корни которого
есть собственные значения матрицы А (/).
Из рис. 2.32, где показано изменение собственных значений матрицы во времени, наглядно следует,
что максимальное собственное значение этой матрицы изменяется во времени по закону
1
Л-
2
0
.J2L
7
V
\4
M0 = ^|cos2f
A.2(f) = -|cos2/
/Xl(t) = -cos2t
M') = ^lcos2'l
Рис. 232. График изменения собственных значений матрицы во времени
Согласно критерию 2.4, для всех re [0,2я] должно выполняться условие (2.140)
'fHJcos2d
j > "*"
откуда
|а| < ? для всех I е [0,2я]. (2.147)
J|cos2x1|^x1
о
Чем больше знаменатель правой части, тем более жесткие ограничения накладывает условие (2.147) на
параметр «а». В заданном диапазоне изменения t знаменатель принимает максимальное значение на
границе интервала:
2я 4 «
J|cos2x,|dT, =8Jcos2t,</t1 =4sin2x1|£ =4 ,
поэтому
\а\<-. (2.148)
1 ' 2
Если для решения этой задачи воспользоваться критериями 2.5,2.6, то результаты соответственно
\а\<-'Аа\<-
11 я м 4
получаются все более просто, но, как это видно, они накладывают ограничения на исследуемый параметр
со все большим запасом.
2.5.5. Устойчивость на конечном интервале
ПО ОТНОШЕНИЮ К УПРАВЛЕНИЮ
Определение 2.2. ЛНС является устойчивой на конечном интервале для г\у 8, 7), по
отношению к управлению, если при ||У(0||< = Лу выполняется ||x(f)||< = e на интервале
|>'о + Гр].
Приемом, аналогичным использованному при обосновании условия (2.134),
нетрудно показать, что необходимым и достаточным критерием такой устойчивости
ЛНС является выполнение условия

156 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
to+Tp
\ \k{ux)\dx<—, to<t<t + Tp.
'9 %
Существует несколько достаточных критериев устойчивости на конечном
интервале относительно управления, а также несколько достаточных критериев
устойчивости на конечном интервале и относительно начальных условий и относительно
управления [121].
В качестве примера приведем формулировку одного из них.
Критерий 2.8. Чтобы ЛНС (2.136) при В(г) = I была устойчивой на конечном
интервале для т), Tiy(f), е(Г), Тр по отношению и к начальным условиям и к
управлению достаточно, чтобы
JXm(t,)</t, ' Дм(т)</т
Т\е'° +J<ny(*i)«f| dxx<E(t)
to
для всех j
>G(fo,fo + rp]f
где XM(r) - максимальное собственное значение матрицы А(г) (см. формулу (2.141)).
I
/
;

Глава 3. Метод пространства состояний
157
ГЛАВА 3. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
В главе отражены основные положения метода пространства состояний;
рассматриваются линейные системы с постоянными параметрами и нестационарные системы.
3.1. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Метод пространства состояний в качестве первичной математической модели
предполагает использование для описания системы дифференциальных уравнений
первого порядка, разрешенных относительно производных. Такую систему называют
нормальной системой, или системой в нормальной форме Коши.
Система ДУ имеет вид
xl=an(t)xl+... + ain(t)xn+bn(t)yi+... + bim(t)ym;
x2=a2l (f)x, +... + a2n (t)xn +b2i (t)yi +...+b2m (t)ym;
*.=*ni(t)*i+- + a,*(t)x»+bAt)yi+-+b*m{l)ym-
Описание САУ уравнениями вида (3.1) называют описанием в нормальной форме,
или описанием в пространстве состояний.
Если ввести следующие обозначения [7]
А(0 =
В(0 =
С(0 =
то систему (3.1) можно:
*2l(0
Л1«)
4i(0
C2l(O
cpi(t)
описать
X
anW ■
«22(0 •
««2(0 •
*12(O ••
*22<0 "
*»2<0 ••
Cl2(0 •
C22(0 •
cp2(t) ■
так
= А(ОХн
■■ a2n{t)
■■ «„„(0,
■ b2m(t)
■ bHm(t)j
■ си«У
■ c2n{t)
■ cpn{t)j
hB(OY.
(P*n),
(3.2)

158
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Система, у которой матрицы А(г), В(0 зависят от времени t, называется
многомерной нестационарной системой.
Если же А(Г) = const, B(f) = const, то такая система называется стационарной
системой.
К уравнению (3.2) добавляют уравнение вида
ХВ(О = С(Г)Х. (3.3)
Вектор Х(0 называют фазовым вектором, или вектором переменных состояния.
Координаты х{, я^,..., хп называются фазовыми координатами, или
координатами состояния.
Об остальных терминах дает представление рис. 3.1.
Л1
Фазовое
пространство
Хт— конечное состояние
х° х<<*и
начальное
состояние
Фазовая
траектория Х(/)
Ч.
/ Фазовый вектор,
/ или вектор состояния
в момент t = t.
Рис. 3.1. Фазовое пространстве
Множество векторов Х(*ф) называется пространством состояний. Это
пространство совпадает с координатным пространством Rn.
На основе уравнений (3.2) и (3.3) легко построить структурную схему системы
управления (рис. 3.2).
Y(t)
в(о
—^
X(t)
X—К
^>
f
J
А(А
X(t
V-
rV
C(0
xB(/)
=s>
Рис. 3.2.Структурная схема системы
По схеме, показанной на рис. 3.2, можно сделать следующие пояснения. С
помощью вектора Y(t) осуществляется управление объектом. Вектор X(t) характеризует
состояние объекта в фазовых координатах хх, д:2,..., хп. Поведение и свойства
системы полностью характеризуются понятием состояния, которому соответствует
точка в пространстве Rn (см. рис. 3.1) [7].

Глава 3, Метод пространства состояний 159
Если система описывается векторно-матричным уравнением в нормальной
форме Коши, то размерность пространства состояний равна порядку указанной
системы.
Координатами пространства состояний являются переменные системы уравнений
(3.1), т.е. переменные системы, записанной в нормальной форме Коши (переменные
*ь *2»—> хп)-
Поведение системы (ее движение) характеризуется фазовой траекторией
(см. рис. 3.1), которая определяет изменение координат системы во времени. Каждая
конкретная (фиксированная) точка на фазовой траектории характеризует
состояние системы при t = *ф.
Фазовая траектория полностью определяет состояние системы в пространстве Rn
и во времени.
Траектория состояний системы в течение времени t G [Гф,7] - это
геометрическое место точек конца вектора состояния X(t) в пространстве состояний Rn,
параметрически определяемых временем t e [t^T\. Траектория состояний
однозначна на интервале [t$,T\ для заданного на этом интервале входного сигнала Y(t).
Фазовым пространством скалярной системы п-го порядка с переменной на
выходе x(t) называют п-мерное пространство состояний, координаты которого
представляют собо ~: производные по времени x^k\t), к = 0, и -1.
Число координат пространства состояний равно порядку системы уравнений в
форме Коши.
Координаты jc* вектора состояния - это часто абстрактные величины, лишенные
физического смысла. Они необязательно соответствуют (но могут и соответствовать)
реальным физическим величинам процессов, действующих в системе. Многие из них
вводятся искусственно путем некоторых преобразований [153].
Поэтому координаты х{, х2,..., хп соответствуют не реальной, а
математической модели СЛ У (математические модели разной степени адекватности).
Вектор состояний X(t) образуется с помощью компонент *,-(*), выбранных так и в
таком количестве, что если известно их значение Х(гф) при t = *ф, где Гф -
фиксированный момент времени, то при заданном значении вектора входа Y(f) для t e [fy,7]
вектор Хв(0 может быть определен однозначно.
Ясно, что фазовую траекторию X(t) можно получить с помощью системы
дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающей поведение исследуемой САУ.
Уравнения состояния не единственны. Функции же x*(f),x\(f),...,xbp(f) доступны
наблюдению (измерению). Это реальные выходные сигналы, которые можно
наблюдать (измерить).
В связи с этим уравнение (3.2) называют уравнением состояния, а уравнение (3.3)
-уравнением выхода [7].
При решении вопросов проектирования систем (в том числе вопросов синтеза
регулятора, например, в задаче стабилизации объекта) необходимо иметь информацию
о состоянии системы в каждый момент времени.
Эта задача решается с помощью устройства, которое называется устройством
наблюдения (наблюдающее устройство). Указанное устройство, анализирующее
выходной векторный сигнал Хв(0 (который, как уже говорилось, можно измерить),
позволяет получить приближенное значение (оценку) вектор-функции X(t). Некоторые
координаты состояния можно измерить, другие же представляют собой линейные
комбинации выходных сигналов, и, следовательно, их можно рассчитать.

160
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Система, у которой по вектор-функции XB(f) можно с помощью специальных
наблюдающих устройств восстановить вектор X(t) (в общем случае размерность
Х(г) больше размерности Х?(0), называется полностью наблюдаемой.
Вопросы проектирования наблюдающих устройств изучает специальный раздел
теории автоматического управления [7].*
Введенное выше понятие проиллюстрируем на примере одномерной (скалярной)
системы управления.
Пусть одномерная система описывается скалярным дифференциальным
уравнением
хМ + ап.хх{п-Х) +... + аох = y(t). (3.4)
Получим векторно-матричное уравнение в нормальной форме Коши,
эквивалентное скалярному уравнению (3.4).
Введем в рассмотрение следующие переменные
х,(0 = *(0,
*2(') = *Ч0, *з(0 = *"(0,.., xn(t) = x(n-l\t).
Последние зависимости можно переписать так
*i(0 = *(0,
*2 (') = *('),
x3(t) = x"\t),...,xn(t) = xin)(t).
(3.5)
(3.6)
Тогда
г(«>/'А-
(л-1)/
х(п) (0 = -*о*(0 - «i*(0 -. • • - °п-\*к (0 + У (0 =
= -воЛ1(0-«Л(0-...-«я-Л(0 + у(0-
С учетом выражений (3.6) и (3.7) можно записать
ii(0 = *2(0,
*2(О = *з(О.
*з(0 = *4(0.-...§*я(0 = -в0Х1(0-вл(0-----^п-Л(0 + У(0-
Последняя система в матричной форме запишется в виде
y(f).
(3.7)
(3.8)
' 0
0
1
0
0
1
-а2
0
0
-аъ
... 0 N
... 0
... -а„_,
*1
х2
Л,
+
0
1
(3.9)
Х(0 А Х(0 В
Матрица А имеет форму, предложенную Фробениусом, и поэтому называется
матрицей Фробениуса, или матрицей сопровождения. Для нее характерно
следующее: элементы над главной диагональю равны единице, а элементы нижней строки
являются коэффициентами дифференциального уравнения. Все остальные элементы
являются нулями.
Таким образом, от скалярного уравнения n-го порядка путем замены переменных
перешли к нормальной форме Коши (3.9), где
Вопросам оптимального оценивания посвящен параграф 7.3.

■Глава 3. Метод пространства состояний
161
А =
О
О
1
О
о
1
о
о
о
о
;В =
(3.10)
у-а0 -щ -аг -аъ ... ~ап_х
В системе (3.?) хх,х2,...,хп - фазовые координаты.
Легко видеть, что выводом этой системы является скалярный сигнал x{i).
Поэтому матрица выхода С имеет вид
С = (1 0 0 0 ... 0).
Тогда
• \
*1
Хв(0 = СХ = (1 0 0 ... 0)
= *,(*)=*(*).
Выше подчеркивалось, что на практике не все координаты состояния доступны
измерению, а только их некоторая часть. В данном случае можно измерить лишь
сигнал x(i) = *i, или первую компоненту вектора состояния.
Остальные компоненты можно получить последовательным дифференцированием
сигналад:(О, поскольку xl(t) = x(t)ix2(t) = xt(t)J...Jxn(t)-xin~l)(f).
Для получения всех координат вектора состояния х\, х2,..., хп надо иметь цепочку
дифференцирующих звеньев (рис. 3.3).
На рис. 3.3 показана структурная схема устройства для восстановления всех
фазовых координат вектора состояния Х(г). Если известна математическая модель
скалярной системы «вход - выход», то для получения уравнений состояний можно
воспользоваться несколькими методами, в частности, методом канонического разложения,
методом разложения на простые сомножители [107].
■ wmmw
\ г
ТУЗ
А*
г
Ь. ... aj^
г
ТТО
Д^
xx(t) x2(t) x3(t) xA(t)
Рис. 3.3. Структурная схема наблюдающего устройства
Последний метод очень прост. Рассмотрим уравнение
*„«)
avx
М_
v=0
= 1Ку
(v)
v=0
Передаточная функция имеет вид
Щ$)=К^±Ш=£
ш-1
+...+1
1-1
K(s-yl)(s-y2)...(s-ym) =K^(s-yj) A
(s-sl)(s-s2)...(s-sn) w (*"*i)jiii*-*»"
1
(3.11)
(3.12)

162
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
;1 +
*|-Vi _*-*«+*/-У* _*-У/
Имеем
s-s( s-st s-Sj s-St
Структурная схема, соответствующая функции (3.12), имеет вид (рис. 3.4).
I xx(t) + y(t) x2{t) + xx{i) + y{i)
y(t)
*i-Vi
S -Л
J<0
■У2"У2
^(O + jKO
i
s-s,
m+1
1
*i(0
*2» *«W ^+i(0^.i(0
Рис. З.4. Структурная схема системы
К
(3.13)
x(t)
*-»
Систему дифференциальных уравнений получим на примере конкретной системы
W(s) = KT\{S~yi) 1 .
Легко видеть справедливость уравнений (рис. 3.5):
*i=*i*i + (*-Yi)y;
х2 = (^2 -Чг)х\ +s2x2 + (s2 -У2)У,
Хз=(Ь -Чз)х\ +(*з -Чз)хг +s3x3 + (s3 -y3)y;
Х4 = ХХ (0 + Х2 (0 + Х3 (0 + 54*4 + >-(') •
(3.14)
t)
■Si—Y,
s-sx
x{(t)
IIх-
s-s2
+t
"-
s-s3
,(0+x2(0
1
x,(0+JCj(<>h«3(0+>(0
*(0
l
s-sA
x,(0 x2(0 x3(r)
Рис. З.5. Структурная схема системы
Матричная запись последней системы имеет вид
*4«
*1
Х2
хз
х4
X
(s2 ~У2)
О
s2
О 0}
О О
(*з~Уз) (*з-Уз) *з О
1 1 1 54
i^4 ,
s2-y2
S3-Y3
1
y(t).
(3.15)
В
А X
Выход определяется выражением
х(О = (0'0 0 *)(*,(0 x2(t) *j(0 *4(О)Т=Юс4(г).
(3.16)
Идея метода канонического разложения состоит в следующем. Имеем уравнение
(3.11) и изображение выхода.
Представим выход в форме

Глава 3. Метод пространства состояний
163
*(о= S-^ яо=Хед.(о,
/=1 S Si
i=l
где
1
*;(0 = У(0-
Из выражения (3.18) находим
*,(*)(*-*,■) = У(0-
Тогда
*/(О = ЗД(О+У(О.
Система дифференциальных уравнений для определения л;, имеет вид
У(0.
X А X В
Выход находится по формуле (см. рис. 3.6)
x(t) = (схс2с3.. .сЛ ) (ххх2хъ.. .*„ )Т = сххх (0 + c2a:2 (0 +... + спхп (Г).
*Э
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
... ол
... 0
... 0
... sn>
/1
д:2
1
1
1
(3.17)
(3.18)
(3.19)
ЯО
1
s—sl
1
s-s2
1
п
С1
С2
г*
Рис. 3.6. Структурная схема системы
Можно воспользоваться еще одной моделью. Имеем
Тогда
ВД=-^-Г(5).
5Х/(5)-51.Х/(5) = с/У(5),
или
^ =5,^ +с,.у(О;*(О = ^1+^2+^з+-..+л„.
Можно записать векторно-матричное уравнение (3.19), где
A = diag[51,52,...,5/1]; B = [c1,c2,...,cn.f; С = [1,1,...,if.
Структурная схема показана на рис. 3.7.

164
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
У®
s-s*
x.(t)
s-s~
хМ)
1
1
x(t)
Рис. 3.7. Структурная схема системы
Рассмотрим общий случай, когда ДУ имеет вид
х(п) +а/1_1(Г)*(пЧ) + ... + ao(O* = bm(O/n +...+*o(O>' • (3.20)
Предполагается, что коэффициенты в скалярном уравнении имеют необходимое
число производных. Скалярному уравнению соответствует следующая система
уравнений в нормальной форме
xl=x2 + Fl(t)y;
x2=x3 + F2(t)y;
: (3.21)
xn = -a0(f)*i - ax (0*2 - • • • - an-\ (f)xn + ^i(Or,
где x{ = x - F0(t)y, F(j(r) = bn(t), а функции Ft(f)9i = l,n вычисляются с помощью
рекуррентной формулы
F,(t) = bn.x(t) - g I2c;+1_|.an_),t+i(0^^,
в которой
_(n-i + s)\
(n-i)\s\ '
Нетрудно проверить, что при таком выборе переменных состояния матрицы
системы имеют вид:
Г о i о о
0 0 10
А =
0 ^
0
*
1
,в =
•
F.
(3.22)
0 0 0 0
-а0 -а{ -а2 -а3
Ст=(1 0 ... 0).
Например, если п = 2, т.е. рассматриваемая динамическая система описывается
уравнением второго порядка
d2x dx d2y dy
£-£ + <,,(/)—+ао(О* = Ь2(О—7 + ^(0-г + *ь(0У(0,
dt2 dt dr dt

Глава 3. Метод пространства состояний 165
то в соответствии с приведенной выше формулой имеем
at at
F2(t) = b0-a0F0-a{^-a2—T-a{Fl-a2^j- =
dFx dzF _, dF{
—L-a2—T-axFx-a2—*- =
dt dt dt
и (*db2 и ^Л и dal r,d2b2
^ af ) at dt
Если коэффициенты исходного скалярного дифференциального уравнения (3.20)
постоянны, то векторно-матричное уравнение запишется так
Х = АХ + Ву;
в нем элементы матриц А и В определяются, исходя из следующих формул:
i/=^+i + /!ly;«=l,2>...fn-l;
где
F2=V2-^-1^1-^-2^0;
1-1
Fi = *n-i ~ S an-i+mFm-
m=0
Если степень числителя передаточной функции, соответствующей исходному
дифференциальному уравнению, меньше степени знаменателя, коэффициенты
ЬяА-1»—' полагаем равными нулю.
Начальные условия согласованы следующим образом
^(0) = ^(0),х2(0) = ^Ч0)-Ь,Я0),...,
^(0) = ^(/l"1)(0)-F1/w-2)(0)-...-F/l4y(0).
Переход от структурных схем с передаточными функциями или от скалярных
дифференциальных уравнений к векторно-матричным дифференциальным
уравнениям можно рассматривать в качестве перехода к модели в переменных состояния.
Еще раз подчеркнем, что использование такого перехода позволяет состояние
исходной скалярной системы в каждый момент времени полностью описывать
значениями п координат, называемых координатами, переменными состояния, или
фазовыми координатами.
Векторно-матричное уравнение, соответствующее уравнению второго порядка
(см. пример при п = 2), имеет вид
А =[Ч, al2U0 1
[a2l a22) ^-oo -a,
B=fF0=f Ъх~ахЪг
\рг) \Ъй-аф2-ахЪх-а\Ъг

166
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
3.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрим однородное уравнение
Х = А(г)Х. (3.23)
Решением последней системы называется вектор-функция Х(Г) с компонентами
*i(0v..> xn(t), которые обращают уравнение (3.23) в тождество no t.
Частное решение однородной системы, порожденной начальными условиями,
может быть определено так: заданы начальные условия *i(0),..., *л(0); необходимо
построить jci(O»..., *л(0> удовлетворяющие начальным условиям, указанным выше.
Запишем неоднородное дифференциальное уравнение
X = A(r)X + B(r)Y. (3.24)
Сформулируем теорему существования и единственности системы (3.24).
Если матрицы А(Г) и B(f)Y(f) непрерывны на промежутке [0,7] и задан
произвольный начальный вектор Х(0), то на [0,7] существует единственное решение Х(г)
уравнения (3.24) (интервал [0,7] может быть как конечным, так и бесконечным).
Зададим матрицу начальных условий [45]
|%(0) *12(0) ... *1я(0)>
*2i(0) *22(0) ... *2„(0) (325)
^ni(O) *„2(0) ... *,1Л(0);
Столбцы последней матрицы - начальные условия, такие, что имеет место
соответствие
(^ii(0),^2i(0),...,^i(0))^X1(0 = (a:11(0^2i(0,...,^i(0)T;
(*12(0),*22(0),.. .;*„2(0))<->Х2(0==(*12(0, *22(0,.. .,*„2(0)Т;
K(0)^2«(0),...,^w(0))oXw(0 = (x1^0^2n(0,...,^w(0)T.
Определитель вида
*ll(0 *12(0 - х\п(0
x2{(t) x22(t) ... x2n{t)
(3.26)
det(Xo(r)) =
^nl(0 *n2(0
до
(3.27)
называется определителем Вронского системы вектор-функций (3.26), являющихся
решениями (3.23).
Совокупность п-решений (3.26) уравнения (3.23) называется фундаментальной
системой решений уравнения (3.23), если определитель Вронского этих решений не
обращается в нуль ни в одной точке интервала [0,7].
Если матрица (3.25) является единичной, т.е. имеет вид
(\ 0 0 ... 0Л
0 1 0
о
0 0 0 ... 1
то система (3.24) называется нормальной фундаментальной системой.

Глава 3. Метод пространства состояний
167
x2(t)
*.(0,
x2l(t)
L*.l(O,
+ c2
'xi2{t)s
*22(0
+ ... + C,
*2„(0
Следует подчеркнуть, что если А(г)еС[0,7] и определитель Вронского (3.27)
отличен от нуля в некоторой точке toe [0,7], то он отличен от нуля на всем промежутке
[0.7].
Теперь приведем основную теорему, определяющую общее решение однородного
уравнения.
Если матрица А(Г) непрерывна на интервале [0,7] и определитель Вронского
решений Xi(r), X2(0>-.., Xn(t) уравнения (3.23) не обращается в нуль в некоторой точке
toe [0,7], то общее решение уравнения (3.23), соответствующее произвольным
начальным условиям, всегда может быть представлено в виде разложения по
конечномерному базису, порожденному фундаментальной системой:
Х(г) = с1Х1(0 + с2Х2(0 + ... + с,,Хп(0, (3.28)
или
(3.29)
Из выражения (3.29) сразу же можно записать формулы, определяющие x\(t),
x2(t\...,xn(t):
*\ (0 = сххх, (г) + с2*12 (0 +...+cnxln (Г);
х2 (0 = схх2! (Г) + с2х22 (*) + ...+спх2п (Г);
*„ (Г) = ci*ni (Г) + с2дся2 (0+... + ся*яя (г).
В формулах (3.28), (3.29) и (3.30) си с2,..., сп - скалярные величины, определяемые
при построении частных решений через начальные условия *i(0),..., *n(0).
Положим, что при г = 0 решение Х(г) равно некоторому вектору
Х(0) = (х1(0),х2(0),...,хя(0)). (3.31)
Легко показать, что существуют такие постоянные сь с2,..., спу при которых
решение (3.28) удовлетворяет начальному условию (3.31).
С учетом (3.31) для определения сь с2,..., сп можно записать систему линейных
неоднородных алгебраических уравнений
с{хх! (0) + с2хх 2 (0) +... + ся*1я (0) = хх (0);
схх2! (0) + с2х22 (0) +...+cw jc2w (0) = дс2 (0);
сЛ1(О) + с2дся2(О) + ... + сЛя(О) = дся(О).
Или, что то же самое,
(*ц(0) хХ2(0) ... ^(0)^
*2i(0) х22(0) ... дг2я(0) „2 = ^2VV/
^m(0) ДРя2(0) ... дряя(О)
Определитель этой системы является определителем Вронского решений
Х|(г)>...» Хя(0 в точке / = 0; по нашему предположению он отличен от нуля.
Следовательно, существует единственное решение системы (3.32); оно
определяется выражением
С = Х^(0)Х(0). (3.33)
/ \
с2
=
х2(0)
хп(0),

168
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Положим, что матрица является единичной, т.е. имеет место соотношение
(3.34)
'1
0
0
0
1
0
0 ...
0 ...
0 ...
0
1.
1 С{ 1
Сп ,
=
(МО))
*2(0)
*„(0)
Тогда
Ci=*i(0); с2=х2(0)\ ...; ся=*я(0).
Частное решение определяется выражением
X2(t)
*■(').
= *,(0)
%(0N
x2i(t)
+x2(0)
'xl2(tf
+ ...+*„(0)
*2„(')
*2(0
=
'*и(0
*2i(0
*«i(0
xi2(t)
*22(0
*2я
(0
(0,
/ \
(3.35)
Далее, с учетом полученных выше зависимостей, в частности, формул (3.27),
(3.29) и (3.30), запишем выражения, определяющие общее и частное решение
однородного уравнения (3.23).
Перепишем (3.30) в форме
(3.36)
Таким образом, общее решение в матричной форме принимает вид
Х(0 = Хф(0С, (3.37)
где Хф(г) - фундаментальная матрица (о ней подробно будет сказано ниже), С -
вектор произвольных постоянных, определяемых через начальные условия.
Предположим, что заданы конкретные начальные условия, т.е. известен вектор
Х(0). Тогда вектор С определяется зависимостью (3.33). Следовательно, частное
решение, соответствующее начальным условиям Х(0), может быть представлено в виде
Х(/) = Хф(0Хф1(0)Х(0). (3.38)
Если же имеет место нормальная фундаментальная система, то
Хф(0) = 1
и, следовательно, находим
Х(Г) = Хф(0Х(0). (3.39)
Для класса стационарных систем известна зависимость [7]
Хф(0Х^(т) = еА('"т). (3.40)
Воспользовавшись последним выражением, формула для Х(7), порожденной Х(0),
имеет вид
Х(0 = *А'Х(0). (3.41)
Подробно рассмотрим случай, когда A(r) = const, т.е. будем изучать уравнение
Х = АХ. (3.42)
Как и в случае скалярных дифференциальных уравнений, будем искать решение
однородного уравнения в виде [45]
дс1(О = а1вХг,дс2(О = а2вХг.-.дся(О = аявХг. (3.43)
Подставляя (3.43) в (3.42), получаем

Глава 3. Метод пространства состояний
169
-a{keXt + ах хъхех* + ах 2a2eXt +... + alnanekt = 0;
а2 \axeXt - a2XeXt + a22a2eXt +... + a2naneXt = 0;
аЯ1<х,«х' + д„2а2ех' +... - anXeXt+ <*nnaHeXt = 0.
(3.44)
Ju
Сокращая на е , из (3.44) находим
(ап-Х)ах+а12а2+а1Ъаъ + ...+аХпап=0\
а21а1+(а22-Х)а2+а23а3+... + а2/1а/1=0;
(3.45)
ап1а{ +ап2а2 + ... + (*,,« -Х)ая =0.
То же самое можно получить, используя матричную форму. Пусть
X(f) = aeXi,
где а = (ось..., а„) - вектор, X - скаляр, Х(0 = (x{(t),..., xn(t)). Поскольку X = XaeXt, то
из (3.42) находим
-А.а«х'+Аа«х'=0.
Отсюда
-Ха + Аа = 0, или Аа-Ха = 0.
Это уравнение можно записать в виде
(А-Х1)а = 0, (3.49)
где I - единичная матрица. В скалярной форме выражение (3.49) записывается в виде
(3.45). В развернутой форме имеем
(3.46)
(3.47)
(3.48)
'аи-Х ап а13
а21 а22 -X а23
апп "А-
а,
а2
= 0.
(3.50)
ап\ atra апъ
Последняя зависимость представляет собой линейную однородную систему
алгебраических уравнений; необходимым и достаточным условием существования
нетривиального решения является равенство нулю определителя системы (3.50)
(ап-Х) а12 а13 ... аХп
а21 (а22-Х) а2Ъ ... а2п
««1 «Л2 ««з - (<*ля-\)
или в матричной форме
det(A-Xl) = O.
Раскроем последнюю зависимость
det(A-XI) = (К-X,)"'(К-\2)"»...(X-X,)"' =
= (Х"+сп_1Г-'+сп_2Г-2+... + с0) = 0.
Ранее уже говорилось, что уравнение (3.52) называется характеристическим, а
корни Хь..., Хп называются собственными значениями матрицы А (ылм
собственными числами). При проведении дальнейших рассуждений будем полагать, что все
собственные значения отличны друг от друга. Положим, что характеристическое
уравнение решено и найдены собственные значения Хь Х2,..., Хп.
(3.51)
(3.52)

1/U
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Подставляя поочередно Хь Х2,.., К в (3.48) и решая однородную систему
алгебраических уравнений
А а, =Х/о1-,
находим
el-=(aHfa2,fa3,,...faIIi).
В развернутом виде имеем
Аа, =
ап ап
а2{ а22
1л
2/1
пп ,
Г а, Л
а2;
«„,•
=
А.,а2,-
или, что то же
Решив систем]
са
'а
-»
мое,
а2,
3.53),
«21
а«1
а,2
а«2
получим еле
= о,; Х2->
... а,
!ДУЮШ
/ \
«12
«22
«„2
«2»
(ие века
= а2; .
fttl'l
«2i
оры
= 0
—>
, / = 1,
[<\
a2»
а„п
п.
=
(3.53)
Векторы а(-, являющиеся решениями уравнения (3.53), называются
собственными векторами. Каждый вектор а,, не обращающийся в нуль и удовлетворяющий
уравнению (A-X/IJa, =0, называется собственным вектором квадратной
матрицы А, принадлежащим собственному значению Xi [45].
Поскольку главный определитель системы (3.50) равен нулю, собственные
векторы определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.
Очевидно, что fca, при к Ф 0 удовлетворяют уравнению (3.49) и являются
собственными векторами. Длина собственного вектора часто принимается равной
единице; тогда на векторы а, накладывается ограничение
Для матрицы Асп отличными друг от друга собственными значениями
существует точно п собственных векторов, являющихся линейно-независимыми элементами.
Решения уравнения (3.42), соответствующие корням Хь Х2,..., Хл, могут быть
записаны в виде
Х,(0 =
м
а21
{ \ t \
а2/"
«„/"
=
*2l(0
^nl(');

Глава 3. Метод пространства состояний
171
Х2(0 =
х„(')=
Или, в общем виде,
Х,(0 =
«22
,а»2,
'О
а2и
ач
а2)-
Л' =
ех<' =
а12^'
а2пЛ'
а21./''
«.1^ .
=
=
=
^12(0'
^22(0
^п2(0у
^2ЛС)
ч *».('),
(3.54)
(3.55)
Решения Х|(Г), соответствующие различным корням Ль Хг,.., ^л, линейно
независимы.
Решения Xi(f),..., Xn(0 образуют фундаментальную систему, и, таким образом,
общее решение однородной системы (3.42) может быть представлено так
X(0 = qa^Xir +c2a2e^ +... + cnaneKt. (3.56)
Или, в развернутом виде,
X(f) =
м
<х21
«»1
+ с2
а22
О.2.
^а,^
/г'+...+с„
«2я
аи
/-'.
(3.57)
Из последней формулы можно заключить, что общее решение векторно-
матричного уравнения (3.42) определяется через собственные значения матрицы А
(числа Хи Х2,..., Х„) и собственные векторы ai,..., сс„, соответствующие собственным
значениям.
Перепишем выражение (3.57) в развернутом виде
xl(t) = clauex>' +c2anex>' +...+с„а1пек>;
x2(t) = cla2lex't +с2а22Л' +...+с„а2пЛ';
(3.58)
х„ (t) = qa,,/'' + c2an2e^' +...+cnanneXj.
Или, что то же самое,
'*1('Л fai/'' ачеК' - ос,,/-'4)
x2(t)
a2lex>' a22e^'
<*-2пе
Л.'
*-(0j anlex'1 а„2ех>' ... аи„Л'
Х(0 = Хф(0С.
(3.59)

VIL
Анализ и статистическая динамика l-лу . часть i
Если заданы начальные условия, то (3.59) принимает вид
причем
а,, а12
а21 а22
ап1 ал2
а21
аЛ1
а
а, 2
а22
\*а)
In
2«
/1/1
=
МО))
х2(0)
х„(0)
(3.60)
а12
«22
«„2
- собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям Хх,
Я2,..., А*. Из (3.60) имеем
аС = Х(0). (3.61)
Отсюда
С = ёГ1Х(0). (3.62)
Свободные колебания на выходе стационарной системы
Х(0 = Хф(Г)а"1Х(0) = еА'Х(0). (3.63)
Из (3.63) следует равенство
(3.64)
Процессы вида а,еХ;' называются собственными процессами системы [45].
Пример 3.1.
dt
dt
4ДГ£ + 3JC2
Запишем характеристическое уравнение
det(A-Xl)=
, илиХ = АХ, гдеА=[ Х 2].
I4 3J
4 3—Х|
Отсюда Х| = 5, Ха - - 1 - собственные значения матрицы А.
Далее найдем собственные векторы. Имеем
Г1-5 'Y'-'U-4 2Ya"l=o.
I 4 3-5j[a2lJ [4 -2j[a2lJ
Тогда - 4ац + 2a!2 = 0, отсюда a,2 = 1щх. Теперь можно записать
Аналогично имеем
4 4^0^
Тогда 2<Х|2 + Ъхп = 0, а» = - «22. Запишем
Х,(0 =
'" ^w; jjy-a
Общее решение имеет вид
Компоненты вектора Х(/) определяются зависимостями
х2(о=| 1_У'.
4:sm;w-v-

Глава 3» Метод пространства состояний
173
х,(0 = с,е$1 + с2е-; x2(t) = 2с,г5' + (-1)с2в"'.
В этом примере Х| = 5, Х2 = — 1 — собственные значения матрицы А, а векторы Я] = 5 —* (1 2)т и Х2 = — 1
-> (1, - 1)т- собственные векторы, принадлежащие соответствующим собственным значениям.
3.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА. ВЫНУЖДЕННЫЕ
КОЛЕБАНИЯ В СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМАХ; ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ КОШИ
Рассмотрим векторно-матричное неоднородное уравнение
X = A(f)X+B(OY(r). (3.65)
Наряду с уравнением (3.65) рассмотрим однородное уравнение и построим
фундаментальную систему, задаваясь невырожденной матрицей начальных условий
Xi(/)-(*u(/) *2i(0... xnl(t))<*(xn(0),...,xnl(0));
X2(t) = (x12(t) x22(t)... xn2(t))^(xl2(0),...,xn2(0));
(3.66)
Xn(0 = (*in(0 x2n(0... xnn(t))<*(xln(0),...,xnn(0)).
Система (3.66) является линейно-независимой. Систему (3.66), как говорилось
выше, называют фундаментальной системой решений уравнения (3.65). Составим из
(3.66) матрицу вида
'*h(0 xn(t) ... х^))
*2l(0 X22(t) ... X2n(t)
Хф(г) =
(3.67)
Матрицу (3.67) называют фундаментальной матрицей уравнений (3.23) [45].
Поскольку Х,<0 - решение однородного уравнения, то
^■ = А(/)Х„ / = 1,п.
at
Тогда
dt
-А(г)Хф,
(3.68)
т.к. векторные равенства можно представить как равенства соответствующих
столбцов матричного уравнения (3.68).
Следовательно, задача расчета фундаментальной системы (3.66), определяемой
соответствующими начальными условиями, эквивалентна задаче решения (3.68) при
начальных условиях
'х„(0) *,2(0)
*2l(0) *22(0)
Хф(0) =
^in(0)l
*2„(0)
(3.69)
4*.i(0) ^2(0) - хпп(0)
Известен следующий факт: любая п х п матрица Хф(0> такая, что
det(X+(r))*O
и для которой Хф(О существует при всех te [0,T], определяет векторно-
матричное дифференциальное уравнение, в котором A(t) определяется формулой
А(0 = Хф(г)[Хф(01
-1
(3.70)

174 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Далее получим интеграл Коши, для чего запишем очевидное равенство
Продифференцируем (3.71)
Хф(г)Хф1(О = 1. (3.71)
—^Хф1(0 + Хф(0-^^ = 0. (3.72)
Учитывая равенство
^^ = А(ОХф(О, (3.73)
получим
А(0Хф(0Хф1(0 + Хф(0^^ = 0,
или
А(О + Хф(О » = 0. (3.74)
Умножим (3.74) слева на Х^(г)
Хф!(ОА(О+ *t =0- (3.75)
Последнюю зависимость умножим справа на Х(0
Хф!(ОА(ОХ(г)+ J^WX(O = O. (3.76)
Из уравнения (3.65) находим
A(r)X(0 = X(0-B(0Y(r). (3.77)
Подставив (3.77) в (3.76), запишем
X^(/)X(r)-X^(0B(0Y(0+—^Х(0 = 0,
или
Хф'(0^р+^^Х(0 = XjWWit). (3.78)
Последнюю зависимость можно переписать в виде
~.(Хф1(0Х(0) = Хф1(0В(0¥(Г). . (3.79)
Отсюда получаем
ХфЧОХ(Г) = Jx^(t)B(t)Y(t)Jt. (3.80)
о
Окончательно (3.80) можно переписать в форме
t
Х(г) =/хф(ОХф1(т)В(т)¥(т)с/т, (3.81)
о
или
t
Х(г) = Jo(r,T)B(x)Y(T)dx. (3.82)
о
Обозначив
К(/,х) = Хф(0Хф1(т)В(т) = Ф(г,х)В(т), (3.83)

Глава 3. Метод пространства состояний
175
запишем
X(r) = jK(M)Y(T)Jx.
В развернутом виде (3.84) перепишется так
X2(t)
I
(kn(t,T) kl2(t,X)
k2l(t,x) k22{t,x)
*2m('.t)
*«*('.*)
У2(1)
У«(х)
dT.
(3.84)
(3.85)
*„,(*, т) kn2{t,x)
Последняя формула называется интегралом Коши. Матрица К(;,т) называется
матрицей импульсных переходных функций, или матричной НПФ.
Матрица Хф(г)Хф'(т) = Ф(г,т) называется переходной матрицей состояния.
Пример 3.2. Рассмотрим уравнение
Х =
Одна из фундаментальных матриц имеет вид
1
t
2
t2
0
2
t ,
X(f), *>0.
ft 0
хФ(0=I ,2
Вычислим
Переходная матрица имеет вид
Х;!(т) =
г 1
т
1
"7
0
1
7,
Хф(г)Хф1(х) =
- о
l-il il
т т3 т2.
Если имеет место система управления с уравнением
X = A(r)X + Y(0,
то
= Ф(М).
О
.Л.
,х т3 т2.
Линейная однородная система, матрица которой получается из матрицы ||Ду(0||
транспонированием и изменением знака, называется сопряженной системой (3.23)
Ф = -Ат(0*. (3.86)
Дифференциальное уравнение X = A(f)X называется самосопряженным, если
для всех t имеет место равенство
1< А(О = -Ат(г).
Приведем некоторые свойства [168]:
1). Пусть Х(0 = (x\(t), x2(t)>..., xn(t)) - произвольное решение системы X = А(Г)Х,
a Y(0 = (Vi(0. V2W»—» Vn(0) - произвольное решение сопряженной системы
4f = -АТ(Г)У (оба решения определены на [0,Г]).

176 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть t
Тогда
* x1(0Vi(0 + *2(0V2(0 + -.. + Jc«(0Ve(0 = const. (3.87)
2). Если Ф(Г,го) = Хф(г)Хф1(^о) - переходная матрица состояния Х = А(г)Х,
тогда Фт(г0,0 - переходная матрица состояния сопряженной системы
* = -Ат(0*.
3). Для самосопряженного дифференциального уравнения справедливо условие:
ФТ(Г,ГО)Ф(МО) = 1. (3.88)
Здесь Ф(г,го) = Хф(г)Хф1(^о).
4). Ф(г,го) = Хф(г)Хф1(го) = 1. (3.89)
5). Ф"1(г,го) = Ф(го;О. (3.90)
В самом деле,
ф-1(г,г0) = (хф(г)Хф1ао))"1=Хф(г0)Хф1(0 = Ф(г0,0.
6). Матрица Ф(*,*о) удовлетворяет условию
Ф(Г,г0) = А(*)Ф(Мо), ф('>'о) = L (3.91)
7). Матрица Фт(Г0,г) удовлетворяет сопряженному уравнению
Фт(*0,0 = -Ат(0ФТ(;0,0. (3.92)
Получим выражение для выходного сигнала. Поскольку
X(0 = A(f)X(f) + B(0Y(0
- уравнение состояния,
Хв(0 = С(0Х(0
- уравнение выхода, то с учетом (3.81) и уравнения выхода, находим
t
Хв(г) = С(0Хф(0Х^(0)Х° + /(Х0Хф(0Х^(т)В(т)У(т)Л
о
Таким образом, формула, определяющая вынужденные колебания на выходе
системы, имеет вид
t t
Х„(0 = /СфХфЮХф'СОВСг) Y(x)dx = J C(t)O(t, x)B(T)Y(x)dx.
Или, что то же самое,
t
XB(O = jKB(r,T)Y(xMx,
о
где Кв(г,т) = С(0Ф(Лт)В(т) - матричная импульсная переходная функция «вход -
выход» системы (ядро системы).
Рассмотрим случай, когда система описывается векторно-матричным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, т.е. имеют место уравнения:
X = AX + BY (3.93)
- уравнение состояния;
ХВ=СХ (3.94)
- уравнение выхода.
Запишем фундаментальную систему

Глава 3. Метод пространства состояний
177
Xi(o =
;Х2(г) =
а12е -
а22ех*
; ...;Х_(г) =
а2пе
К'Л
Л.»
Л'
(3.95)
В системе (3.95) предполагается, что собственные значения матрицы А
различны. Если известка фундаментальная система, то легко записать фундаментальную
матрицу
A'N
Хф(г) =
„ Х.г -, Х,г
аие ' а.пе 2
ai«e
а21ех'' а22ех* ... a2neKt
anleX< an2ex*
а„пе
К'
Переходная матрица состояния определяется выражением
(3.96)
(3.97)
Хф(ОХф1(х) = Ф(г,т) = Ф(г-т).
Далее будет показано, что
Ф(г,т) = Фа-т) = еА('-т). (3.98)
Поскольку фундаментальная система (3.95) не является нормальной, то для этого
случая справедливы формулы для свободных колебаний
(3.99)
(3.100)
-1/
Х(г) = Хф(г)Хф1(0)Х(0)
и для вынужденных сигналов
ХО) = }хф(0Хф1(т)В Y(x)dt = \Ф{1 -T)BY(T)dx.
Перепишем (3.100) в виде
X(O = JkG-t)Y(t)</t,
где
г-1/
(3.101)
К(г-т) = Хф(г)ХфЧт)В=Ф(г-т)В. (3.102)
Матрица К(г - т) называется матрицей импульсных переходных функций «вход -
состояние» системы.
Таким образом, сигнал X(t) стационарной системы, порожденный ненулевыми
начальными условиями, определяется (3.99).
Свободный сигнал и вынужденная составляющая на выходе системы
определяется равенством
i
Хв(0 = СФ(0Х(0)+|СФ(г-т)В¥(т)Л =
о
t
= CO(t)X(0)+jKB(r-T)Y(T)rfT,
(3.103)
где
Кв(г-т) = СФ(г-т)В (3.104)
- матрица импульсных переходных функций «вход - выход» системы. Далее будет
показана справедливость равенства
13 Зак. 232

178
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
XB(O = CeA'X(O) + JCeA(/"T)BY(x)rfx.
(3.105)
При сравнении последнего соотношения с предыдущим легко сделать вывод о
том, что
СФ(0Х(0) = СеАгХ(0);
СФ(г-т)В = Кв(г-т) = СеА('~т)В.
3.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
К ОПИСАНИЮ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Поскольку основное внимание здесь уделяется стационарным системам,
рассмотрим введенное выше понятие применительно к стационарным системам, используя
преобразование Лапласа.
Имеем векторно-матричное уравнение стационарной системы
X=AX+BY, A=const; B=const. (3.106)
Обозначим
l\x}=l
X2(t)
U(0,
= s
X2(s)
xm('h
= sX(s);
L\
(yd»)
У2(О
[ym(t)t
• =
(YiW)
ад
(3.107)
= Y(s).
Преобразовав по Лапласу (3.106) с учетом (3.107), получим
sX(s)-X(0) = AX(s) + BY(s). (3.108)
Отсюда находим
sX(s)-AX(s) = BY (s) + X(0). (3.109)
Или
(jI-A)X(j)=BY(j) + X(0). (3.110)
Последнее уравнение - это уравнение состояний системы в области изображений.
Вектором Х(0) порождаются свободные колебания.
Рассмотрим случай, когда Х(0) = 0 (случай вынужденных колебаний). Из
выражения (3.110) находим
Х(5) = (Л-А)"1ВУ(5). (3.111)
Как указывалось выше, уравнение выхода имеет вид
Хв(0 = СХ(г). (3.112;
С учетом выражения (3.111) и
XB(s) = CX(s) (3.113;
получим
XB(j) = C(5l-A)"lBY(j). (3.114;

'«11
a2l
al2
a22
... a[n
... a2n
••• ann
Глава З. Метод пространства состояний 179
Если уравнение (3.111) является уравнением «вход Y(s) - состояние X(s)», то
уравнение (3.114) представляет собой уравнение «вход Y(s) - выход Хв(.ф. Формулы
(3.111) и (3.114) можно записать в виде
X(5) = W(5)Y(5); (3.115)
XB(s)=WB(s)Y(s). (3.116)
Матрицы W(s) и WB(s) называются передаточными матрицами
соответственно «вход - состояние» и «вход - выход».
Для проведения расчетов по формулам (3.115) и (3.116) необходимо иметь
алгоритм расчета матрицы (Л - А)"1.
Покажем несколько путей расчета обратной матрицы.
Первый путь можно назвать прямым. Он использует понятие присоединяющей
матрицы [36].
Рассмотрим вопрос нахождения обратной матрицы. Пусть
А =
- квадратная матрица. Тогда А^ =(-l)l+jMij называются алгебраическим
дополнением или адъюнктом к элементу a(j, М,у - дополнительным минором элемента atj; он
равен детерминанту матрицы порядка и-1, получаемой после вычеркивания из
матрицы А /-ой строки иу'-го столбца.
Заменим каждый элемент в матрице А его алгебраическим дополнением и
полученную матрицу транспонируем. Получившаяся в результате матрица называется
присоединенной для А, или союзной с А и обозначается А . Таким образом,
а=(а,7)т,
где А/, - алгебраическое дополнение элемента а^ . Тогда
А"1 =|А|"! А. (3.117)
Таким образом, для каждой квадратной матрицы А, такой, для которой det А •& О,
существует обратная матрица А"1, элементы которой 5/у вычисляются по формуле
aij = |А| А ,у,
где А/, - алгебраическое дополнение элемента atj матрицы А. Для рассматриваемого
случая формула для обратной матрицы имеет вид
/ ч-1 Л-А
(Л"А) =det(,I-A)'
где (si - А) - присоединенная матрица; del(sl - А) - определитель матрицы (si - A).
При преобразованиях надо пользоваться следующими равенствами:
1) det(A"1) = (detA)"1;
2) (А-^'^А;
3) (Аха2г{ =а21а;1-
4) (А7)"1 = (А"1)7.
13*

180
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Пример 3.3. Для матрицы
'1 -1 Г
А= 2 1 1
1 1 2
найти обратную. Имеем
1 -1 1
detA=A=2 1 1=5*0.
1 1 2
Матрица А неособенная. Составим присоединенную матрицу
Ап A2i A3i
А=
\,2 А22 А32
^13 А23 А33
где
А„ =
А„ = -
-1 1
1 1
А„ =
^4 -,1-х
2 1
1 2
= -3;А22 =
2 1
1 2
= 1;А23 = -
1 -1
1 1
Обратная матрица имеет вид
Пример 3.4. Пусть
А--А.
( 1/5 3/5 -2/5^
-3/5 1/5 1/5
1/5 -2/5 3/5
X = AX + BY,
где
Тогда
Js 0W0 6W. 0 \
[0 .J (*2 -кг) \-кг k^s)
s О I ,- ч (s + k3 О
-ъ k3+fsii*s)-( ]i *з *
Теперь легко найти передаточную матрицу объекта по состоянию
Передаточная функция по выходу запишется так
Изложим метод Фаддеева - Леверье нахождения обратной матрицы [1]. В
соответствии с этим методом имеет место следующее соотношение
Тогда соответственно
(Л-А)-' =
-1 М(5)
m(s)

Глава 3. Метод пространства состояний
181
где
М(5) = Ья"1+М1^"2+... + Мя_1;
m(s) = s -mxs -,..-тп.
Коэффициенты М, и /и,- рассчитываются по следующему алгоритму
Aj = A, mx =-SpA!, Mx =A{ -m{L\
А2=АМ!, /и2=— SpA2, М2 = А2-/n2l;
А3 = АМ2, т3=—SpA3, M3 = А3-/И3Г,
АЯ=АМИ, /nrt=-SpArt, Мя=АЛ-/ия1=0,
п
где Sp A - след матрицы А.
Пример 3.5. Рассмотрим систему X=AX+Y , где
Найдем обратную матрицу по методу Фаддеева - Леверье. Имеем
О 1
А =
А,=
-5 -6
Тогда mi = Sp At = - 6;
Вычислим А2, тг и М2:
В результате получим
(Л-А)
M-i° -Hi № i)
—-С :i-5 :)■(: :>
10 . м (-5 <П Г-5 0)
р 0W6 П (s + 6 О
1у + М,
52 - Ш^ - 7«2 ^" + 65 + 5 52 + 65 + 5
Теперь легко написать изображение для состояния системы и для выхода
X'(5)",2+6,+5C[ -5 4y2(*)J'
Пример З.6. Рассмотрим САУ, описываемую уравнением
*i)
Имеем
А,=А =
^0
0
-1
1
0
-2
(Г
1
-2
, н=3; m, =-SpA! =-2;

/-vngjim n у,lairiiiпчсслал дппамила v»//\ j . тасlь l
M, = A, -m,I =
A2 = AM,
m2=-SpA2 = -2;
M2 = A2-m2I =
A3 = AM2 =
m3=-SpA3 = -l.
'0
0
-1
0
-1
0
1
0
-2
2
-2
-1
0N
1
-2
1
0
-2
/2
-1
I °
+ 2
2
0
-
'1
0
0
1
0
1 0
1
1
(
\
)
2^
0
1
f -
(
(
=
1
'2
-1
0
0
-I
0
2
0
-1
0
-1
г
0
*
Теперь можно записать
M(j) = Ly2+M,5 + M2 =
s2 0 0
0 s2 0
0 0 52
(2s s ti\
0 2s s
-s -2s 0
'2
-\
0
2
0
-1
Г
0
0
=
5+25 + 2 5 + 2
I
-1
52 + 25 5
-25-1 s2
m(s) = s3 + 2s2+2s + l.
Изображение вектора состояния системы имеет вид
Х2(5)
Х3(5)
^52+25+.2 5 + 2
1
53+252+25 + 1
1
-I
52+25 5 II Y2(5)
-25-1 52 Y3(5)
(3.118)
Получим векторно-матричный интеграл Дюамеля. Выше была получена
зависимость
Х(5) = (Л-А)~1ВУ(*) + (Л-А)"1Х(0).
Для скалярных функций справедливы формулы
.ie выражения справедливы и для вектор-функций
L-l\^—) = eAtnAl(s)A2(s)=\Al(t-x)A2(T)dT9
[sI-A\ Jo
(3.119)
Аналогичные выражения справедливы и для вектор-функций и для матриц
где AjCs) и A2(s) - матрицы.
Воспользовавшись приведенными выше зависимостями, получим
Х(г) = ^А(г-т)В¥(т)^т + ^Х(0).
(3.120)
Последнюю формулу можно получить и другим путем. Умножим обе части
исходного уравнения на еА/

Глава 3. Метод пространства состояний
183
e~AtX(t) = e~AtAX(t) + e"A'BY(O.
Справедлива зависимость
Из (3.121) имеем
dt
e~AtX{t) - e~At AX(O = e~AtBY(t).
(3.121)
(3.122)
(3.123)
(3.124)
С учетом (3.122), зависимость (3.123) принимает вид
!(,-A'X(0) = <TA'BY(,).
Отсюда находим
t
*ГА'Х(г) = |<ГАтВУ(т)</т + Х(О).
о
Окончательно получим (3.120).
При работе с матричной экспонентой целесообразно пользоваться формулами [7]:
1). Если А - диагональная матрица
А =
(аи 0 ... 0
0 а22 ... 0
0 0
, то е =
еа" 0
0 еа»
0 0
0
0
2). ektekx =^A(/+T)
3). еАев = еА+в, если АВ = ВА (матрицы перестановочны).
4). *АТ'=(*А')Т.
5).±eAt=eAtA.
dt
Дадим несколько определений.
Функция вида eAt называется экспоненциалом матрицы At, или матрицантом.
Зависимость (3.120) называется векторно-матричным интегралом Дюамеля.
Матрица К(т) = £АтВ называется матрицей импульсных переходных функций
«вход — состояние».
Если учесть, что
хв(г) = сх(0,
то легко записать
t
XB(r) = Jc^A(/"T)BY(T)6/T + C^ArX(0). (3.125)
о
Рассмотрим алгоритм расчета Х(0 и Хв(г) по формулам (3.120) и (3.125).
Используем следующий факт [1].
Пусть:
1). А - квадратная матрица порядка п и Л - ее спектр;
2). Р(А) - функция от матрицы А - многочлен вида
Р(А) = а0Ап+а{Ап-1+... + ап1;
3). /(А) - некоторая функция от А.

104
/\н<и1Ш и ысииыичсычал димамшча v_,/\j . idtib &
Многочлен Р(А) называется интерполяционным многочленом Лагранжа -
Сильвестра для /(А) на Л, еслw Р(А) = /(А) на Л.
Функции от матрицы А Р(А) и /(А) равны на Л, если
/(X|.) = P(X|.),/l(Xi) = Pi(Xl-),...,/a'"l)(XJ.) = P(*'"I)(^),
где X, - элемент множества Л, имеющий кратность Kh
Рассмотрим примеры применения этого факта.
Пример 3.7. Пусть
Г 4 -2}
А =
6 -3
- квадратная матрица, требуется найти е .
Имеем
|4-Х -2
-3-Х
= (4-Х)(-3-Х) + 12 = -12-4Х + ЗХ + 12 + Х2=Х2-Х = 0.
Характеристическое уравнение Х(Х - 1) имеет корни Xi = 0; \г = 1; следовательно, корни 0 и 1 -
собственные значения матрицы А.
Имеем
/(А) = еА;Р(А) = я01 + я,А.
Требуется найти числа а0 и а\\ Л = {0;1} - спектр матрицы А. Как говорилось, /(А) = Р(А), если они
равны на Л. Имеем
ao = ltao + al=ei.
Тогда а0 = 1; ах = е1 - а0 = ^' -1 = е -1 = а{. Отсюда получаем
«A)-i+(.-i)A-(; j)+(e-i)[; :j
Или, что то же самое,
Пример 3.8. Перейдем к рассмотрению еще одного примера, найдем матрицу еА , где
А =
Имеем характеристическое уравнение
4-А. 2 -5
4
6
5
2
4
3
-5'
-9
-7
Ф(Х) =
4-Х -9
= (4-Х)2(-7-Х)-90-90-
6
5 3 -7-Х
-[-25(4-Х) + 12(-7-Х)+(4 + Х)(-27)] =
= (l6-8X-X2)(-7-X)-180+100-25X + 34 + 121 + 108-27X =
= -112+56Х-7Х2-16Х + 8Х2-Х3+62-Х.
Из уравнения следует: X3 - X2 = Х2(Х -1) = 0; получаем Х|,2 = 0; Х3 = 1.
Итак,
/(А) = е\ Р(А) = аА2+ЬА+с1.
Для нахождения неизвестных а, Ь, с воспользуемся равенствами
/(0) = Р(0); /'(0) = Р'(0); /(1) = Р(1).
Далее получаем е° = с , отсюда с = 1;
еА|А=0 = 2аА + ^|А=0=>/7 = 1.
И, наконец, для X =1 имеем а + b + с = е1, отсюдаа = е-с-Ь = е-2 ТогдаеА = (е-2)А2 + А +1.
Поскольку

Глава 3. Метод пространства состояний
185
'3
3
3
1
1
1
зч
—3
-3
А2 =
'Зе-1 с -Зе + Г
еА = Ъе е + 3 -Зе-3 .
3<?^1 е + 1 -Зе
Пример 3.9. Применим интерполяционную формулу Лагранжа - Сильвестра для решения
дифференциальных уравнений.
Решение уравнения
° '■ (3.126)
имеет вид
Х = АХ + У,гдеА=, ,,
Г5 ~6J
X(/) = eA'X°+JeA('-T)Y(x>/T.
Ф(Х) =
1 L^x(-6-X) + 5 = 6X + X2 +5 = 0,
6-А|
Основные этапы:
1). Записывается характеристический полином
-X
-5 -6-
Х2+6Я. + 5 = 0.
2). Находятся собственные значения матрицы А
X2+6X + 5 = 0; (X + i)(X + 5) = 0, X, =-1; Л2 = -5.
3). Записывается интерполяционный полином Лагранжа - Сильвестра
Р(А) = во1 + Я|А.
4). Коэффициенты аоищ находятся из условия равенства /(А) = еА = Р(А) на Spec A:
1=„А
aol + а, А = е при А= - Г; ао1 + а, А=е при А = -5;
aQ-ax=e~x\aQ-5ax=e~5.
Имеем
Получаем
Тогда
-а0 + 5а, = -е~5 -> 4а, = е~х - е~5 => ах - -с"1 —е~5.
4 4
"° • 4 4 4 4
= a0I + a,A= \-е —е \\ \ + \—е —е э =
Отсюда находим
гА' =
12 3ак. 232
4
4^
—^
4
5
-г
4
0
4
4
4
4
0
4 4 J
1 _, 1 .
—с —с
4 4
4 4
1 _, 1 _
-с --<?
4 4
1 _, 5
—е +-с
4 4
+
5 ^
-5
5/
-5/
5 .
~?
% if
ч
0
4
4
6 .
"Г
-5/
4
I 6 _5
V \
-^'+5е~

ekt
186 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Изложим еще один подход, для чего воспользуемся следующими положениями.
Матричный экспоненциал можно представить в виде
= |>Х'% (3.127)
/=i
где Х( - собственные значения матрицы A; F, - функции (их вид будет указан ниже).
Зависимость (3.127) базируется на разложении функций eAi в степенной ряд.
Воспользуемся формулой Сильвестра
/(A) = £/(X,)F,, (3.128)
где
Применив формулу Сильвестра к (3.127), получим решение задачи.
Пример 3.10. Рассмотрим уравнение системы «вход - состояние»:
[х2) [-5 -6){хг) [у2
Имеем
0 1
А = 1-5 -6
Найдем собственные значения матрицы А
de,(A-XI) = |:* ^
Тогда А.| = -1; А.2 = -5. Построим функции Ft.
det(A-XI) = |_X \ \ = (\ + б)\ + 5 = \2+6\ + 5.
1остроим функции Fi.
A-X2I_lf 5 {\F =A-XiI_l(rl П
1 X,-X2 4-5 -1/ 2 Я-2-Л, 4-5 -5J
Матричный экспоненциал имеет вид
4[-5е- -e'j 4{-5е-ь -5C-"J
if 5e-'-e-* . .
Пусть ^i(r) = cos aw; ^(0 = sin Gfcf; X°= 0. Тогда выражение для вектора состояния системы запишется
так
U(OJ
Отсюда для компонент вектора состояния имеем
Х|(0 = I }[(5^-(г"т) - ^5(/-т) Jcosco,! + [е'^х) - е-5{"х) )sin ш,т]л.
*2(0 = -}[(-5^"(/"т) + 5е"5(/-т) Jcosco^ + (-е"(/-т) + 5^5('-т) )sin ©jtjrfT.

Глава 4. Нелинейные системы управления 187
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ:
МОДЕЛИ, УСТОЙЧИВОСТЬ,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, РАСЧЕТ
ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Первым приближением описания системы автоматического управления является
линейная математическая модель, которая обычно строится в виде системы
линейных дифференциальных или разностных уравнений. Решение таких уравнений может
быть получено в аналитическом виде, что облегчает анализ системы управления и
синтез регулятора.
Многие системы управления содержат, однако, нелинейные звенья. В этом случае
применение линейной теории приводит к неточным или принципиально неверным
результатам. В нелинейных системах обнаруживаются типы движений (например,
автоколебания), которые не могут быть описаны в рамках линейной теории.
Приведены основные модели нелинейных систем. Вводятся классические
определения устойчивости по Ляпунову. Приведена сводка результатов по устойчивости и
неустойчивости нелинейных систем общего вида. Специальный вид моделей
рассматривается в задаче об абсолютной устойчивости. Основное внимание уделяется
связи частотных методов с функциями Ляпунова. Глава завершается некоторыми
результатами по оценке параметров периодических колебаний.
4.1. ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ
Пусть математическая модель управляемой системы описывается
дифференциальными уравнениями
Хк=/к{хих2>-~хп»*)> * = 1.--.Л, (4.1)
где хк - зависимые переменные, хк - производные зависимых переменных по
времени t, fk - нелинейные функции, удовлетворяющие условиям существования и
единственности решений системы (4.1) при заданных начальных условиях
х10>--->хп0 •
Введем вектор состояния X, элементами которого являются зависимые
переменные •*!,...,хя, и вектор-функцию / с элементами fk, к = 1,...,п . Все векторы будем
трактовать как одностолбцовые матрицы. В векторных обозначениях система (4.1)
будет иметь вид
Х = /(Х,г). (4.2)
Фазовое (п + 1)-мерное пространство системы (4.2) образуют переменные
*i,..., хп, X.
Динамическое поведение нелинейной системы (4.2) определяется разбиением
фазового пространства на траектории, изображающие решения.
Напомним некоторые понятия из теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим автономную систему Rn
Х = /(Х). (4.3)
12*

188 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
В n-мерном пространстве вектор-функция X(t), координаты которой можно
рассматривать как координаты изображающей точки, описывает фазовую траекторию.
Совокупность всех фазовых траекторий, определяемых начальными условиями,
образует фазовый портрет системы (4.3).
Особыми точками фазового пространства являются точки, удовлетворяющие
уравнению /(X) = 0 . Эти точки могут быть изолированы или составлять некоторую
область. Особые точки являются устойчивыми, если они притягивают окрестные
траектории. Поверхности в фазовом пространстве, к которым притягиваются или от
которых отталкиваются траектории, называются сепаратрисными.
Метод фазового пространства особенно нагляден для систем второго порядка,
когда фазовое пространство представляет собой плоскость с координатами х{у х2.
Пусть в этом случае система (4.3) имеет вид
*l=eil*l+*12*2+*(*l.*2).
*2 = а2 Л +<*22*2 +G(xliX2),
где ciij - постоянные коэффициенты, а1{а22 ~^\г^г\ *0, R[x{,x2), G(x{ix2) -
функции от хх и х2, стремящиеся к нулю при X —»0 как бесконечно малые второго
порядка. Особой точкой здесь является начало координат. Характеристическое
уравнение системы (4.4)
{ап-\)(а22-\)-а12а2{ = 0 (4.5)
имеет два корня Х{ и Х2, определяющие один из следующих типов особой точки.
• Устойчивый фокус, если Х{ и Х2 ~ комплексные с отрицательными
действительными частями. На устойчивый фокус траектории наматываются
спиралями.
• Неустойчивый фокус, если Х{ и Х2 - комплексные с положительными
действительными частями. С неустойчивого фокуса траектории разматываются
спиралями.
• Устойчивый узел, если Х{ и Х2 - действительные отрицательные. К
устойчивому узлу траектории сходятся апериодически (без колебаний).
• Неустойчивый узел, если Х{ и Х2 - действительные положительные. От
неустойчивого узла траектории апериодически расходятся.
• Седло, если Х\ и Х2 - действительные разных знаков. В седло две траектории
входят и две выходят, остальные траектории проходят мимо особой точки.
• Если Х{ и Х2 - чисто мнимые, то возможен фокус или центр - в зависимости
от вида функций RnG. Центр представляет собой особую точку, окруженную
замкнутыми траекториями, вложенными друг в друга.
Изолированные замкнутые траектории называются предельными циклами.
Устойчивые предельные циклы называются автоколебаниями.
В случае линейной системы (4.4) R = G = 0 . При этом сохраняются все типы
особых точек: при чисто мнимых Х{УХ2 получается центр, причем замкнутые
траектории не изолированы.
Применение метода фазового пространства к системе порядка п > 2
наталкивается на большие трудности и теряет наглядность.

Глава 4. Нелинейные системы управления 189^
4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ И ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
В настоящей работе устойчивость понимается в смысле Ляпунова. Некоторое
определенное движение системы (4.2), подлежащее исследованию на устойчивость,
называется невозмущенным движением. Ему соответствует определенное частное
решение X(f) = X(f) системы, отвечающей начальным условиям Х(го) = Хо. Если
изменить начальные условия, положив X (г0) = Хо + Ro, то получим новое движение
системы, отвечающее новым начальным условиям и называемое возмущенным.
Обозначим YB(r) = X(f)-X(f).
Определение 4.1. Невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, если по
любому 8 > 0 можно найти такое 8 > 0, что при R'o Ro < 8 и при любом t > t0 будет
выполнятся неравенство Х'Х < 8.
Определение 4.2. Невозмущенное движение называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для данного t0 существует такое
положительное число А < 8, что если Rq Ro < 8, то X (Ro, t) —> 0 при t —> <» .
Исследование устойчивости любого решения Х(г) уравнения (4.2) можно свести
к исследованию нулевого (тривиального) решения некоторого другого уравнения.
Действительно, для функции YB (r) имеем
Y.(/) = /(Y1+X,r)-/(X,/) = 7(Y,,0,
причем /(0,f) = 0. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем изучать
устойчивость нулевого решения уравнения (4.2) при / (0,r) s 0.
Назовем функцией Ляпунова скалярную функцию V(X,t) от векторного
аргумента Х,г, обладающую следующими свойствами:
- функция непрерывна вместе со своими частными производными первого
порядка в некоторой области, содержащей начало координат;
V(O,f) = O;
V(X,f)>0, Х*0.
Геометрический смысл функции V(X,r) можно пояснить при
t = tx = const, n = 2. Обозначим z = У (х{, х2 Jx) и рассмотрим рис. 4.1.
Так как V (Х,^ ) > 0 для X Ф 0, то поверхность z = V (Х,^ ) напоминает стоящую
на столе (плоскость (^, х2)) чашу.
Если рассечь эту чашу плоскостями, параллельными плоскости стола, то
проекции линий пересечения на горизонтальную плоскость описываются уравнениями
V (*!, х2,Ц ) = h. Эти кривые являются замкнутыми (рис. 4.2).
Чаще всего в качестве функции Ляпунова используется квадратичная форма
1=1 7=1
которая в векторно-матричных обозначениях может быть записана в виде
V(X,t) = X/L(r)X, где матрица L(r) имеет элементы !.Vj (t).

190
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
V(xvx2)l
-- /
У 1
*2
Рис. 4.1. Примерный вид функции Ляпунова
Простые необходимые и достаточные условия положительной определенности
квадратичной формы (4.6) даются критерием Сильвестра: все последовательные
главные миноры матрицы L > 0 должны быть положительными:
'п>0,
11
2\
-12
122
>0,..., |^да|>0; *>/п = 1>2>...,л.
(4.7)
Рис. 4.2. Линии уровня функции Ляпунова V(*i,xi) = h
Сформулируем теорему Ляпунова об устойчивости. Обозначим скалярную
непрерывную неубывающую функцию со свойствами

Глава 4. Нелинейные системы управления 191
ф(0) = 0, ф(ц)>6, при ji>0.
Назовем производной V функции V(X,f) в силу уравнения (4.2) величину
где -— = grad V - вектор, составленный из частных производных -— .
Э X oxi
Теорема 4.1. (Теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть существует функция
Ляпунова V(Xj) такая, что
cp(|x|)<V(X,f), (4.9)
V<0. (4.10)
Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Пусть е > 0. Возьмем в качестве 5(е,г0) такое число, что
. max V{X0,t0)^9(z). (4.11)
|Х0|<6(£,Г0)
Из непрерывности V(X,t) и условия У(О,ГО) = О следует, что такое 8(е,г0)
существует. Используя (4.9) и (4.10), получим при |Х0| <5(е,г0)
ф(|Х(0|)<^(Х,0^^(Х0,0^|хтахо^(Х0,г0)<Ф(е).
В силу монотонности функции ф()1) получаем |x(f)|<e. Теорема доказана.
Теорема 4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть
существует такая функция Ляпунова V (Х,г), что
Ф1(|Х|)<1/(Х,Г)<Ф2(|Х|), (4.12)
\>(Х,г)<-Фз(|х|), (4.13)
где ф, (ц), / = 1,2,3- скалярные неубывающие непрерывные функции со
свойствами ф, (ц) > 0 при \х -> 0.
Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) равномерно асимптотически
устойчиво.
Теорема 4.3. (Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский [15]).
Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и, сверх того,
ф,(|ы)--»°о при д-»°°. (4.14)
Тогда решение уравнения (4.2) асимптотически устойчиво в целом (для любых
начальных условий).
Теорема 4.4. (Теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости). Пусть для уравнений
возмущенного движения существует такая функция, для которой в сколь угодно малой
окрестности нуля существует область, во всех точках которой V > 0 (или V < 0),
V > 0 (или V < 0). Тогда невозмущенное движение неустойчиво.
4.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ
Построим функцию Ляпунова для линейной стационарной системы
Х = АХ, ХеД". (4.15)

192 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть Г
в виде квадратичной формы
V(X) = X'LX, L = L'. (4.16)
Дифференцируя V(X) по времени, в силу (4.15) получаем
K(X) = X'(A'L + LA)X. (4.17)
Потребуем, чтобы производная V'(X) была равна произвольной квадратичной
форме -Х'РХ : V (X) = -ХРХ, Р = Р'. Из (4.7) получаем
X'(A'L + LA)X = -X'PX. (4.18)
Тождество (4.18) возможно при всех X тогда и только тогда, когда
A'L + LA = -P. (4.19)
Матричное уравнение (4.19) называется уравнением Ляпунова. Собственные
значения Л,, 1=1,...,п матрицы А определяются как корни уравнения
det(A-Xl) = 0. (4.20)
Теорема 4.5. (A.M. Ляпунова). Пусть все собственные значения X, (А) матрицы
А имеют отрицательные действительные части. Тогда для любой матрицы Р > 0
существует единственное положительно определенное решение уравнения Ляпунова
(4.19), вычисляемое по формуле
оо
L = jV'PeA'</f. (4.21)
о
Обратно: если для какой-нибудь матрицы Р > 0 существует решение L > 0
уравнения (4.19), то матрица А устойчива.
Формула (4.21) доказывается следующим образом. Имеем тождество
d_
dtl
Интегрируя в пределах от 0 до °°, получаем
еА'*РеА'\ -P = A/L + LA,
откуда ввиду устойчивости матрицы А следует (4.21).
Устойчивость линейных нестационарных систем. Рассмотрим нестационарное
линейное уравнение
X(r) = A(r)X(r). (4.23)
Известно, что по собственным значениям X{(t),...,\n(t) матрицы А(г) нельзя
судить об устойчивости системы (4.23), т.е. метод «замороженных коэффициентов»,
вообще говоря, не верен. Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.6. Пусть собственные значения ji(f) матрицы A = —(A(f) + A'(j))
отрицательны. Тогда система (4.23) асимптотически устойчива.
Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова V(X) = Х'Х. В силу (4.23) имеем
• \>=X/X + XX/ = 2X/AX<2jLimax(r)Vr(X). (4.24)
Поскольку \imSiX(t)<09 то из (4.24) и теоремы 4.2 следует доказываемое
утверждение.
Отметим, что решения неоднородного линейного уравнения Х(г) =
= A(f)X(f) + g(f) устойчивы или неустойчивы в зависимости от устойчивости од-
—(*AW) = A7eAW' +eA''PeA'A . (4.22)
fit \ I

Глава 4. Нелинейные системы управления 193
нородного уравнения (4.23). Действительно, если Z(f) - некоторое решение
неоднородного уравнения, то определим Y (г, Хо - Zo) = X (г, Хо) - Z (r, Zo). Имеем
Y(r) = A(r)Y(r); поэтому из устойчивости (неустойчивости) уравнения (4.23)
следует устойчивость (неустойчивость) решения Z(t).
Устойчивость по линейному приближению. Рассмотрим нелинейную систему
X = AX + fc(X), |&(X)|<4ii|x|1+a, a>0, ц>0. (4.25)
Наряду с (4.25) рассмотрим линейную систему первого приближения
Х = АХ. (4.26)
Теорема 4.7. (A.M. Ляпунова). Тривиальное решение системы (4.25)
асимптотически устойчиво, если асимптотически устойчиво тривиальное решение системы
первого приближения (4.26).
Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова в виде V = X'LX. В силу
системы (4.25) имеем
V(X) = X'(A'L + LA)X + 2X'Lfc(X). (4.27)
Пусть матрица L>0 удовлетворяет уравнению Ляпунова A'L + LA = -I. Такая
матрица существует, поскольку система первого приближения устойчива.
Тогда
V<-|X|2+2|L||b(X)|<-|x|2 +
+2|Ь||ХИХГ < 2|Х|2 (l -2ц|Ь||Х|а)< -р|х|2,
если
2ц|Ь||Х|а<1-(3, р>0. (4.28)
Таким образом, при малых |Х|, обеспечивающих выполнение (4.28), система
(4.25) асимптотически устойчива.
4.4. ЗАДАЧА ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
При всем разнообразии нелинейных систем можно выделить класс таких систем,
которые ведут себя в смысле устойчивости подобно линейным системам. Так,
например, устойчивость имеет место при любых начальных условиях; часто из факта
устойчивости следует асимптотическая и даже экспоненциальная устойчивость.
Этот класс систем будем называть классом абсолютно устойчивых систем.
Наряду с линейными системами в него входят системы как с непрерывными, так и с
разрывными нелинейными звеньями. Как правило, такие системы не могут быть
линеаризованы в малом. Поэтому об их устойчивости нельзя судить по уравнениям
первого приближения.
Опишем некоторые основные модели этого класса.
Любая система автоматического управления содержит объект управления и
регулятор. Во многих случаях объект является линейным, в то время как регулятор
содержит существенные нелинейности. Поэтому в моделях систем управления принято
выделять линейную часть и одно или несколько нелинейных звеньев.
Наиболее распространенной является модель, описываемая дифференциальными
уравнениями в п -мерном действительном пространстве Rn

194
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
X = AX + B£+Rg, X(O) = XO,
Ъ = ФА (4.29)
<т = СХ,
где вектор-функция Х(г) называется вектором состояния, скалярные функции £(f)
н g(t) называются сигналом обратной связи и внешним сигналом соответственно.
Постоянные векторы-столбцы B,R,C имеют размерность п. Матрицу А будем
считать постоянной. Особо выделим важные частные случаи системы (4.29). Будем
называть эту систему автономной, если внешний сигнал отсутствует, т.е. g (t) = О.
Если функция ф(а,г) не зависит явно от времени, ф(а,г) = ф(а), то такую систему
будем называть стационарной,
В ряде случаев полезно перейти от дифференциальных уравнений к описанию с
помощью одного интегрального уравнения, имеющего вид
o{t) = f{t)+s(t)-fw(t-X)t(\)d\,
(4.30)
где
f(t) = L~l{ C'(pl-A)-lX0},s(t) = L-l{ C(pl-A)-lG(p)},
G(p) = L{ g(t)}.w(t)'L-l{ C(A-pl)-!B}.
L{}, L~l {•} - символы прямого и обратного преобразования Лапласа.
\-ii
Функции w(r) и W(p) = C7(A-pI) В называются соответственно импульсной
характеристикой и передаточной функцией линейной части [39]. Блок-схема,
соответствующая (4.30), показана на рис. 4.3.
ш
Рис. 43. Блок-схема нелинейной системы
Обратимся к описанию нелинейности. Будем предполагать, что ф(ст,г)
удовлетворяет условиям
0<ф(а,г)<*аг\
(4.31)

Глава 4. Нелинейные системы управления
195
На плоскости а,£ кривая £ = ф(а,г) лежит в секторе, образованном прямой £ = &<т и
осью а, причем она может иметь общие точки со сторонам^ сектора и совпадать с
одной из сторон (рис. 4.4). Если нелинейность стационарна, то обычно
предполагается, что функция ф(су) однозначна и непрерывна.
Рассмотренный класс включает в себя такие широко распространенные в
автоматическом управлении нелинейности, как зона нечувствительности, реле без
гистерезиса, насыщение и т.д. Очевидно, что линейные характеристики £(f) = w(f)a(f),
и б [ОД], принадлежат этому же классу.
Ф(о)
Рис. 4.4. Характеристика нелинейности
В дальнейшем рассматривается также дискретный аналог системы (4.29),
описываемый уравнениями
X(f + 1) = AX(O + B£(r), X(0) = X0,
$(0 = ф(а(г),0. (4-32)
с(г) = С'Х(г), /=0,1,2,...,
где Х(г) - вектор-функция размерности п ; А - постоянная матрица; B,R,C
-векторы-столбцы размерности п. Нелинейная функция ф(а,г) удовлетворяет
неравенству (4.31).
Уравнению (4.30) соответствует уравнение
a(0=/(0-2>('-«)&(0. <4-33>
;я=0
где
/(r) = D-l{c'(^I-A)"'^X0},
w(<)=d-i|c'(a-^i)"1b|,

196 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
D{}, D"1 {•} - символы прямого и обратного дискретного преобразования Лапласа
[39].
Постановка задачи об абсолютной устойчивости принадлежит Лурье и Постникову.
Определение 4.3. Автономная система (4.29) абсолютно устойчива в секторе
[О,/:], если при любой функции ф(<т,г), удовлетворяющей (4.31), тривиальное
(нулевое) решение этой системы асимптотически устойчиво в целом. Это означает,
что нулевое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову (определение 4.2) и
областью притяжения точки X = 0 является все фазовое пространство.
Следует отметить, что определение абсолютной устойчивости относится к классу
систем, имеющих одинаковые линейные части, но разные нелинейные звенья,
удовлетворяющие неравенству (4.31).
Для исследования абсолютной устойчивости стационарной автономной системы
(4.29) в работе [2] была использована функция Ляпунова вида
сх
V(X) = X'LX + <? J ф(а>/о, (4.34)
о
где L = L' > 0 - положительно определенная матрица, q - действительное число.
Если нелинейность нестационарная, то полагаем, что q = О.
Покажем, что функция (4.34) удовлетворяет условиям теоремы 4.2. Заметим сна-
а
чала, что Гф(сг) do>0 в силу (4.31). Это следует из теоремы о среднем значении
о
интеграла
а
|ф(а) </а = аф(аи),
о
а
где а* принадлежит отрезку [0,а]. Аналогичным образом |7&а-ф(а)) do>0.
о
Пусть q > О. Тогда имеем
х,|х|2<к(х)<хя|х|2+^1<^„+^с'с]|х|2,
где Х{ и Хп - соответственно наименьшие и наибольшие собственные значения
матрицы L . Пусть q < 0. Тогда возьмем вместо L матрицу L — . При этом
.2 q
2
и
2
V(X) = X'LX-2J^ + qj(p(o)do = X'LX-ql(ko-(po)dG>Q,
Таким образом, для обоих случаев
ф,(|х|И,|х|2-
„,Н)Л.+Ы£%-

Глава 4. Нелинейные системы управления 197.
Найдем теперь условия, при которых в соответствии с теоремой 4.2 V < -ф3 (|х|).
Дифференцируя V (X) по времени, в силу уравнений (4.29) получим
— = X'(A'L + LA)X + 2£X'LB + <£6. . (4.35)
Прибавим к правой части выражения (4.35) и вычтем величину ца-/с~1£1>0.
Тогда получим
^ = -5(Х,£Н(а-*"Ч), (4.36)
где
5(X,^) = y42-2y^U/X-X/(A/L + LA)X,
YU = LB+~ + ^A~.
dV(X)
Производная —- будет отрицательно определенной, если квадратичная фор-
dt
ма от п + 1 переменных S(X,£) является положительно определенной. Описанный
специальный прием построения функции Ляпунова назван 5 -процедурой. Как
показано в [43], 5-процедура обладает свойствами неущербности.
Теорема 4.8. [43] Пусть X - евклидово пространство F(X), p(X) -
произвольные квадратичные формы. Кроме того, существует такой вектор Хо, при котором
р(Х0) > 0. Следующие утверждения равносильны:
а) F (X) > 0 на множестве, где £?(Х) > 0;
б) существует такое число т > 0, при котором
F(X)~T£?(X)>0
для всех возможных Xg X .
dV
В рассматриваемом случае роль ^(Х) играет форма из (4.36), а роль
р(Х) - форма JUa-ifc"1!;). Теорема 4.8 говорит о том, что 5- процедура, несмотря
на видимую искусственность, не приводит к потере какого-либо множества в области
устойчивости.
Как видно из уравнений (4.36), форма 5(Х,^) положительно определена, если
выполнены условия
A/L + LA = -UU/-eP,
LB + ^ + l^ = YU, (4.37)
y = (*-!-9Cb)*,
где Р = Р/>0, е>0. Система (4.37) называется системой уравнений Лурье. Если
уравнения Лурье имеют действительное решение, то

198 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
— <-еХ'РХ<еХ|х|\ (4.38)
где X - наименьшее собственное значение матрицы Р. При этом выполнены все
условия теорем 4.2,4.3. Следовательно, верен следующий результат.
Теорема 4.9. Для абсолютной устойчивости автономной стационарной системы
(4.29) в секторе [0,к] достаточно, чтобы при некотором е >0 существовало решение
уравнений Лурье в виде действительной симметричной положительно-определенной
матрицы L , действительного вектора U и действительного числа у .
К сожалению, прямая проверка существования допустимого решения системы
(4.37) является громоздкой алгебраической задачей, аналитическое решение которой
в общем виде неизвестно.
4.5. МЕТОД АПРИОРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК
И ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
Метод априорных интегральных оценок был разработан румынским ученым
В.М. Поповым. Суть метода состоит в получении интегральных оценок изучаемых
систем на конечном интервале времени. Изучение поведения таких оценок дает
возможность сделать вывод о характере движения в системе.
Попов [111] исходил из описания (4.30) и использовал интегральную оценку вида
p(r) = j5(a-*"^ + 96) rfr, (4.39)
о
которая называется функционалом Попова. В случае дискретной системы (4.32)-
(4.33) вместо (4.39) используется сумма
р(*)яХ£(оНН"'$(о)- <4-4°)
Приведем сначала частотный критерий абсолютной устойчивости для дискретной
системы.
Теорема 4.10 (критерий ЯЗ. Цыпкина). Автономная система (4.32) абсолютно
устойчива для всех нелинейностей, удовлетворяющих условию (4.31), если линейная
часть системы И^*(д) = С'(A-eql\ В устойчива; для всех О)е[0,я] выполнено
условие
ReW*(ja>)+k-l>0. (4.41)
Доказательство. Рассмотрим сумму (4.40). Из (4.33) имеем a(f) = /(r)-
t
-^ w(t-ni) £(/n), где f(t) и w(r) являются экспоненциально убывающими
т=0
функциями. Подставив а (г) в (4.40), получим
p(n)=Pi(n)-{>2{n), <4-42)
где
piM-£*(Of(o.
(=0 (4.43)
N
piW-S
г=о
е(02>(»-«)§о».)+*»*2(») •
f=0

Глава 4. Нелинейные системы управления 199
В силу свойств нелинейности ф(с,Г) имеем p(N) > 0, следовательно,
р2(ЛГ)<Р,(#). (4.44)
Из неравенства Коши - Буняковского следует, что
р.И- S52(0|S/a(0 • <4-45>
Введем усеченную функцию
«.м-р;::;
Тогда величина р2 (N) может быть записана в виде
р2(*)=1(мо£"('-'«)мо+*"|&(')]- (4-47>
По формуле Парсеваля
2
P2(A0~J|M-H (ReW^O))**-1)^. (4.48)
Если выполнено условие (4.41), то существует такое А > 0, что
RQW*(j(u)+k~{ >A>0. (4.49)
Из (4.48) и (4.49) получаем
р2 (N) > A J ||w (ytofdco = ДХ^ (Г) = ДХ ^2 (Г). (4.50)
Из неравенств (4.32), (4.33) и (4.38) следует, что
Д|С *«««„• (4.51)
Окончательно получаем оценку
И^^"-!^-' (452)
оо
из которой следует, что ряд ^^2 (t) сходится, а его общий член £2 (г) стремится к
/=0
нулю при t -> ©о. Теорема доказана.
Теорема 4.11. (Критерий В.М. Попова [111]). Автономная система (4.29), (4.31)
абсолютно устойчива, если:
1) линейная часть W(s) = C'(A-sl)~ В устойчива;
2) существует такое действительное число q, при котором для всех ш>0
выполняется неравенство-
P(q,ky(u)=Re(l + qj(o) \У(№)+к~1 >0. (4.53)
Доказательство последней теоремы может быть выполнено по схеме
доказательства теоремы 4.1, но является более сложным.
Обозначим £/(G)) = ReW(./G>), V((o) = (ulmW(j(u). Тогда (4.53) можно
переписать в виде
U(ri)-qV((u) + k-l>0. (4.54)

200
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Геометрическая интерпретация (4.54) очень проста: параметрически заданная
кривая U(со),V(со) на плоскости U,V должна находиться правее прямой
U-qV + k~l=0 (рис. 4.5).
V
Рис. 4.5. Критерий 11опова
Для случая нестационарной нелинейности ф(а,г) критерий (4.53) справедлив,
если положить д = 0. Приведем простое обобщение этого критерия для
нестационарной системы на случай, когда нелинейность принадлежит сектору [г, к], т.е.
га2<ф(а)а<£о2. (4.55)
Теорема 4.12. (Круговой критерий). Автономная система (4.29) с нестационарной
нелинейностью устойчива в секторе [гД], если:
1) линейная система с передаточной функцией
2) при всех со>0 выполнено условие
п2
l + rW(j)
устойчива;
[RelV(;a>)+![i+l]] +[lm^(;a,)]2 >i[i-l] . (4.56)
Название критерия (4.56) связано с его геометрической интерпретацией: годограф
частотной характеристики W(j(u) не должен пересекать или охватывать запретный
круг (рис. 4.6). При г = 0 условие (4.56) переходит в неравенство
P(o,£,w)=ReW(;co) + *~l >0. (4.57)
В дальнейшем условие (4.57) также будем называть круговым критерием.
Отметим, что при г -> к запретный круг вырождается в точку и критерий (4.56)
превращается в критерий Найквиста.

Глава 4. Нелинейные системы управления
lmW(j(O)
ReWO'co)
Рис. 4.6. Круговой критерий
(4.58)
4.6. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Со времени появления работы Попова [111] было опубликовано большое количество
результатов, в которых обобщалась постановка задачи об абсолютной устойчивости.
Наиболее общим является квадратичный критерий Якубовича [182],
охватывающий основные частотные условия. Рассмотрим систему с векторной нелинейностью
Х = АХ + В£,1
а = С'Х, J
где X-n-мерная вектор-функция, £(')и a(t) n-мерная и m-мерная вектор-
функции. Предполагается, что функции удовлетворяют г локальным связям
/v(£,c,a)>0, / = п
и s интегральным связям
t
Jf*(S,c,g) dt>-y, * = U,
о
где FhFk - квадратичные формы от трех аргументов. Подобного рода
неравенствами можно описать многоконтурные нелинейные системы, а также системы с
частотной и широтной модуляцией и т.д.
Составим форму
F{bo,a) = rfi%iFifaa,a), т>>0. (4.59)
/=i
Введем следующие преобразования формы F(£,yoyd).
Рассматривая £„О96 как независимые аргументы, распространим форму с
сохранением эрмитовости на комплексные значения аргументов, обозначаемые через
^,д,а>. При этом получим эрмитову форму Fx (|, о, a J = Re F (|, а, а].
В форму F{fe,69d) вместо а и а подставим a = -W(i/(o)|, a = -yo)V^(./co)|,
где W(s) - матричная передаточная функция линейной части системы:

W(s) = C'(A-sI) lB. (4.60)
В результате этих преобразований получим форму Ffyco,|j одного векторного
аргумента |.
Теорема 4.13. [182] Пусть матрица А устойчива и F(0,a,6)>0 для всех X.
Для абсолютной устойчивости системы (4.58), удовлетворяющей неравенству
F(£,a,a)>0, достаточно, чтобы форма F(j(\\Z) была отрицательно определена
при любом со>0.
Кроме абсолютной устойчивости положения равновесия, изучалась также
абсолютная устойчивость вынужденных движений в стационарной неавтономной
системе.
Теорема 4.14. [104, 181] Пусть в стационарной неавтономной системе (4.29)
ф(а) -однозначнаяфункция,удовлетворяющая неравенству
0<vv ч yv ~'<k, (4.61)
и выполнено частотное условие (4.57). Тогда для каждой ограниченной функции
g (t) существует ограниченное асимптотически устойчивое решение c(t).
4.7. СВЯЗЬ МЕТОДА ЛЯПУНОВА С ЧАСТОТНЫМИ МЕТОДАМИ
В работе В.М. Попова [111] было установлено, что частотный критерий (4.53)
является необходимым условием существования действительного решения системы
уравнений Лурье (4.37). Достаточность частотного условия установлена в работах
В.А. Якубовича и Р. Калмана.
Теорема 4.15. Пусть линейная система X = АХ+В£ полностью управляема.
Тогда частотное условие (4.53) является необходимым и достаточным условием
существования действительного решения уравнений Лурье (4.37).
Доказательство.
1. Необходимость. Пусть уравнения Лурье (4.37) имеют действительное
решение. Прибавив к левой части первого уравнения в (4.37) и вычтя из нее y'coL ,
получим
(A4ya>I)L + L(A-ya)I) = ~UU/-eP. (4.62)
Умножим (4.62) слева на матрицу (A' + ycoI)" и справа на матрицу (A-ywl)" .
Эти матрицы не вырождены, потому что А -устойчивая матрица. Имеем
(A4y^)"lL + L(A-;o)I)"1=-(A47CoI)"1(UU4eP)(A-yo)l)"1. (4.63)
С
Умножим (4.63) слева на U' и справа на U и учтем, что LB + — = yU, где
С = С+qA'C. Получим
2yRe и'(А-./со1Г1В+|и'(А-./со1Г1в| +
V J ' I V ' I (4.64)
+eB'(A'+ycol)"lP(A-y(ul)"lB = ReC/(A-y(ol)"'B.
Прибавив к левой и правой частям (4.64) число у2, получим

Глава 4. Нелинейные системы управления lvd
Re(l + ^(o)W(y(o) + it-1 = Y + U^A-ycoiy^Bl +
+еВ/(АЧусо1)'1Р(А-усо1)'1В>О,
что и требовалось доказать.
2. Достаточность. Пусть Re(l + qj(u)W (j(u)+k~l >0. Тогда существует такой
действительный вектор U и такое е>0, что справедливо тождество (4.65), где
Р = Р' > 0. Отсюда получаем
1и'(А-;со1)~1в| +2YReU/(A-7a)l)"1B-ReC/(A-y(0l)"lB +
■ I (4.66)
+eB/(A4ya)l)"IP(A-ycol)'1B = 0.
Определим матрицу L как решение уравнения
A'L + LA = -UU'-eP. (4.67)
Отсюда, как и при доказательстве необходимости,
I _1 I2 • -1
U'(A-ya)l) В +2Re(LB) (A-ycoI) В +
+еВ'(АЧусо1)'!Р(А-;со1)~1В = 0.
Сравнивая это тождество с (4.66), получаем
F(yco)s yU-LB-— (A-7a>l)"lB +
V 2) (4.68)
+B'(A'+;cdI)'1| yU-LB-~ =0.
Тождество (4.68) может выполняться только в том случае, если тождественно
равно нулю каждое слагаемое. Действительно, любая правильная дробно-
рациональная функция F(s), тождественно равная нулю на мнимой оси, равна нулю
при любом комплексном s. Функция y^-LB (A-si) В, не равная
тождественно нулю, имеет, по крайней мере, один полюс s = s{. Однако слагаемые в (4.68)
не имеют одинаковых полюсов и поэтому при s = s{ функция F(s) должна
обращаться в бесконечность. Итак,
I YU-LB— I (А-Л)~1В=0. (4.69)
В силу полной управляемости системы Х = АХ + В£ тождество У'(А-Л)~ ВнО
может иметь место только при V = 0. Отсюда имеем
YU = LB + ~. (4.70)
Следовательно, матрица L удовлетворяет уравнениям (4.70) и (4.67), т.е. уравнениям
Лурье. Теорема доказана.
В общем виде связь функций Ляпунова с частотными методами установлена
Якубовичем и Калманом в форме так называемой частотной теоремы. Ради простоты
рассмотрим ее в следующей формулировке.

Пусть задана пхп устойчивая матрица А, /?хш-матрица В и билинейная форма
р(Х£) векторов Хе R\ §е Д1":
p(X,$) = X'GX + 2X'g$ + m, (4.71)
где G,T - симметричные матрицы порядков пхп, тхт; g - матрица порядка
пхт. Требуется найти условие существования симметричной матрицы Н = Н',
удовлетворяющей соотношению
2Х'Н(АХ + В$)-р(Х,!;)<0, (4.72)
для всех XeRn, §еДт.
Теорема 4.16. [43]. Для существования симметричной матрицы Н,
удовлетворяющей соотношению (4.72), необходимо и достаточно, чтобы
p[(jtoI-A)~!BU]>0, (4.73)
где рГхД] - распространение формы (4.71) до эрмитовой. Если условие (4.73)
выполнено, то существуют такие матрицы H = H'>0, h (порядков, соответственно
пхп, пхт), что справедливо тождество
2X^AX + B$)-g>(X£) = -fe-h'X)rfe-h'X),
матрица А = А + Bh' - устойчива.
Приравнивая матрицы в квадратичных и билинейных формах, получим
обобщенные уравнения Лурье:
A'H + HA-G = -hrV,
HB-8=hr. ■ <474)
Частотная теорема является удобным инструментом при решении многих задач,
т.к. она позволяет легко переходить от функций Ляпунова к частотным критериям
и обратно.
4.8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Как указывалось в параграфе 4.5, частотные критерии устойчивости могут быть
получены на основе изучения интегральных оценок координат управляемой системы.
Однако эти оценки можно улучшить даже в рамках использования принятого
критерия устойчивости.
Наиболее точные оценки получаются при использовании частотной теоремы
(теорема 4.16). Рассмотрим интегральную оценку
се
/ = J X'VXdt, Р = Р' > 0, (4.75)
о
где X = X(f) - вектор состояния в нестационарной системе (4.29). Зададимся
квадратичной формой V = X'LX и вычислим ее производную в силу (4.29):
V = X'(A'L + LA)X + 2X'LB£.
Прибавим к правой и левой частям этого выражения форму еХ'РХ и
проинтегрируем обе части в пределах от 0 до ©°:

Глава 4. Нелинейные системы управления 205
e|x/PXt/r + v(X(oo))~v(x(0)) =
1 <4-76)
= J{X/(A'L + LA + eP)X + 2X/LB4}</f.
о
Полагая систему устойчивой, получаем Vr(x(©o)) = 0. Преобразуем
подынтегральное выражение в правой части (4.76), прибавив и вычтя неотрицательную
величину £(С'Х -£~1£]; при этом подынтегральное выражение преобразуется к виду
Х'(АХ + ЬА + еР)Х + 2Х'(ьВ+-(ф-
-i--§(CX-*-l§).
Пусть уравнения Лурье
A'L + LA + eP = -UU',
yU = LB+-C, (4.77)
имеют действительное решение. Тогда из (4.76) и (4.77) получаем
eJx'PXt/r=v(X(O))-J^(c/X-it"^)^. (4.78)
о о
Поскольку £(СХ -k~lt) > 0, то окончательный результат имеет вид
/<e-lX'0LX0, (4.79)
где L - действительное решение уравнений (4.77).
В силу частотной теоремы уравнения Лурье (4.77) имеют действительное
положительное определенное решение при выполнении частотного условия
ReC(A-7(oI)"1B + it"1-eB/(A47a>l)"lP(A-y(ol)"lB>0, (4.80)
которое одновременно обеспечивает абсолютную устойчивость системы (4.29). Более
того, неравенство (4.80) следует из кругового критерия (4.57) при достаточно малом е.
Решение системы (4.77) можно получить при помощи факторизации левой части
неравенства (4.80). Из (4.65) при q = 0 получаем тождество
ReW(yco)+it"1-eB/(A/+ycol)"lP(A-7a)l)"lBs
2 (4.81)
гк/РЧи'(А-./а)1) 1В
, Va)>0,
где вектор U таков, что передаточная функция \£ 1 +и/(А-Л) В имеет нули
только в левой полуплоскости Re s<0. Далее по известному вектору U решается
уравнение Ляпунова
A'L + LA + eP = -Uir (4.82)
относительно матрицы L , что приводит к оценке (4.79).

206 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Пример 4.1. Рассмотрим систему первого порядка
В данном случае IV (s) = .
а + s
Пусть O(j) = -!-(W(j) + W (-*)) + *"' =-( JL+ _!_! +г1.
4 ' 2х ч ' ч " 2{a + s a-s)
Фа^ризуем Ф(,): ф^).^-—^-—^
_ (i+ViTI)/
Отсюда получаем w = v (/г- .
Уравнение Лурье имеет вид 21а = и2.
«■J>f*?, /, ьг
* 2e(l + VT+I)
Поэтому .
2а
4.9. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ И АВТОКОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим вопрос о том, как преобразуется периодический сигнал непрерывным
линейным звеном с передаточной функцией W (л). В установившемся режиме вход
£(f) и выход r\(t) этого звена представляют собой периодические колебания перио-
да Т и частоты (0 = —. Разложим функции £(/) и Ti(f) в ряды Фурье:
П=-оо
4(0=1^"". (4-84)
п=-°°
В соответствии с определением частотной характеристики имеем
4n=%nW(j«>n), (4.85)
Л(0= J^OtoiJe^. (4.86)
В формулах (4.85) и (4.86) предполагается, что W(s) не имеет чисто мнимых
полюсов j(un . В силу ортогональности членов ряда Фурье коэффициенты £„
определяются следующим образом
%Л)%{х)е-^\1х. (4.87)
1 о
Перейдем к рассмотрению периодических колебаний в замкнутой нелинейной
системе, изображенной на рис. 4.7, где а = / -т), f(t) - Т - периодическое внешнее
воздействие, ф(а) - однозначная функция, удовлетворяющая условию
принадлежности к сектору [ОД].

Глава 4. Нелинейные системы управления
207
-W(ri\
-w\p)
а
АО
Рис. 4.7. Нелинейная система
Пусть в системе установились периодические движения, представимые рядами
(4.83), (4.84). Если внешний сигнал f{t) разложить в ряд Фурье
/(0= Х/»'ушя'.
П=-оо
то справедлива следующая связь
°п =Л-Л* =/,,-W(ycon)Sn.
Будем оценивать энергию колебания интегралом
(4.88)
(4.89)
(4.90)
Очевидно, что
%о-1?^а-1?+!Г±?.
к " гк
Поскольку нелинейность ф(а) принадлежит сектору [0,Л],топри г>к
получаем неравенство
'^фгА*-1?****
(4.91)
Здесь использовано, что для непрерывной и однозначной функции <р(о)
т °(т)
j^adt= J ф(а)с?а = 0.
о о(о)
Оценку (4.91) можно преобразовать, используя формулу Парсеваля для рядов и
приведенные выше разложения
^(o)+i]+2|{ „/Л.
-|5.|2fRe(lt«j0)n)lV(;«m)+il J.
Пусть для значений частоты con, и = 0,1,2,... выполнено условие
P(g,r,con) = Re(l + </ya)n)W(yo>n)+—>0.
(4.92)
(4.93)

208
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Выделяя в (4.92) полный квадрат, окончательно получаем
h<
гк
г-к
/о2
(4.94)
Режиму автоколебаний соответствует предельный случай fn = 0. При этом из
(4.94) получаем /^ < 0, что противоречит предположению о существовании
периодических колебаний в исследуемой системе.
Теорема 4.17. В системе (рис. 4.7) отсутствуют автоколебания частоты со, если
выполнено условие (4.93) при п = 0,1,2,
Отметим, что условия этой теоремы отличаются от условий абсолютной
устойчивости (см. теорему 4.11) тем, что:
а) не предъявляется никаких требований к устойчивости линейной части;
б) частотное условие (4.93) проверяется только для ряда частот О,со,2со,..., что
проиллюстрировано на рис. 4.8.
coImWO'co)
ReWO'a))
Рис. 4.8. Критерий отсутствия автоколебательной частоты со
Таким образом, частотные условия вида (4.53), не сопровождаемые
ограничениями на устойчивость линейной части, выделяют класс нелинейных систем без
автоколебаний.
Рассмотрим периодические колебания в нелинейных дискретных системах*
Такие колебания характеризуются относительным периодом М, представляющим
собой отношение периода колебаний Т{ к периоду дискретизации Т, М = —. Будем
Т\
считать М заданным натуральным числом. Пусть W*(q) - дискретная
передаточная функция линейной части системы (рис. 4.9), ф(а) - однозначная нелинейность,
удовлетворяющая условиям
* См. главы 10 и! 1, в которых изложена теория дискретных систем.

Глава 4, Нелинейные системы управления
209
0<ср(а)а<*а2, (4.95)
(Ф(а1)-Ф(а2))(а1-а2)>0. (4.96)
Таким образом, неубывающая, возможно, разрывная функция ф(а) принадлежит
сектору [0,it]. Такими функциями, например, описываются кодирующие и
декодирующие устройства в системах с управляющими ЭВМ.
Пусть в системе существует периодическое движение периода
М: о(п + М) = о(м), £(п + М) = £(М) при всех п . Тогда справедливо
представление сигналов о{п) и £(п) в виде тригонометрических полиномов
(4.97)
2я ._ \М~\ М
где со =—, N = — - целая часть от —.
М [ 2 J 2
Коэффициенты в (4.97) определяются по формулам
271
м-\
271
Л/-1
^~1^УМ^ а,=^2а(у>-^.
М
v=0
М
(4.98)
v=0
-W*(s\
ф(^)
Рис. 4.9. Дискретная нелинейная система
Теорема 4.18. В дискретной системе (рис. 4.9) с нелинейностью,
удовлетворяющей неравенствам (4.95), (4.96), отсутствуют периодические режимы с периодом М,
Ш-
если для всех натуральных £ <
либо существует* такое а > 0, что
ReW* (ja£)[\ + a(l-e-ji»e)yk-1 >0,
либо существует такое а < 0, что
ReW*(ja>t)[l + a(ejl»e -\)Ук-1 >0,
причем хотя бы для одного клевые части (4.99), (4.100) строго положительны.
Доказательство. Рассмотрим выражение
Ф) =4 ^ 5W(a(n)-i»)3 2 5(п>7а(п).
М
п=0
М Mt
(4.99)
(4.100)
(4.101)
п=0
15 3ак. 232

210 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
где Vo(n) = a(n)-a(n-l) - восходящая разность, a - действительное число. Из
равенства Парсеваля следует
+[l+(l-V<")]+i j.
/-1 ' (4.102)
По теореме о среднем значении интеграла
а(п)
J ф(а)^а = ф(а1)Уа(д2), (4.103)
а(л-1)
где о{ находится на числовой оси между a(/*-l) и а(«). Поскольку ф(ст) -
неубывающая функция, то
ф(а1)<ф(а(п)), если Va(n)>0, . (4.104)
ф(а1)>ф(а(п)), если Va(n)<0. (4.105)
Следовательно, \х(а) > 0 при любом a > 0, что противоречит условию (4.99). Вторая
часть теоремы доказывается аналогично, с заменой (4.101) восходящей разности
нисходящей.
В отличие от непрерывного случая, неравенства (4.99), (4.100) проверяются для
тацию. Обозначим в неравенстве (4.99)
X(co^) = ReW*(ya^), r(co^) = -ReW+ (j(oi){l-e~jloe)j =
= -(l-cos((D/)) RtW*(j(ul) + sin((Ql)lmW*(ja>t).
Тогда (4.99) перепишется в виде
X(a>£)-aY((ui) + k-{ >0. (4.106)
\ М
Для проверки (4.106) при заданном М определяем число —
кости X, Y точки с координатами Х(со^), У(со^); ^ = 0,1,...,
конечного ?<\ — . Для их проверки можно применить геометрическую интерпре-
и отмечаем на плос-
т
Неравенство (4.106) удовлетворяется, если найдется такое неотрицательное число
a, что все отмеченные точки лежат правее прямой X -aY + k~x =0.
Пример 4.2. Пусть передаточная функция непрерывной масти дискретной системы имеет вид
W(s) = r-i г.
(Г15 + 1)(т252+2^ + 1)
Г Г
Обозначим 8 =—, р =—, Y = 2^ . Передаточная функция приведенной непрерывной части записы-
Г, Г2
вается следующим образом
рЧ — 1 pi — I pq — 1
КЧ) leq-e~8 2е«-е<» Ъ е*-г*
где
с- Р2
' a2+p2-P6Y'

Глава 4. Нелинейные системы управления
211
2(l-§y + 82)(32(Vl-0,25Y2)
На рис. 4.10 изображена характеристика W*(j(u), построенная для следующих значений параметров:
5 = 1; р = 3,1; Y = 0,2.
lmW*(j<a)
Рис. 4.10. Условия отсутствия автоколебаний в дискретной системе
Допустим, что нелинейность удовлетворяет условиям (4.95), (4.96), и применим неравенство (4.99) при
а = 0 . Нетрудно заметить, что при к=кх = 5,6 в системе отсутствуют периодические колебания с М =2
и М = 4 , а при к = к2 - 3,5 невозможны колебания с периодом М - 2,3,4,6.
4.10. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Метод гармонического баланса является приближенным методом расчета
параметров периодических колебаний в замкнутых нелинейных системах. При расчете по
этому методу делается предположение о том, что входной сигнал нелинейного
элемента близок по форме к синусоиде периода Т. Во многих случаях такое предполо-
15*

212 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
жение оправдывается. Итак, считаем, что при надлежащем выборе начала отчета
времени в автономной (/ (г) s о) системе вида (рис. 4.7)
a(f) = Asin(cof). (4.107)
Выходной сигнал нелинейного элемента £(f) = cp(Asin(Of) является
периодическим с тем же периодом, что позволяет представить его рядом Фурье (4.83), в
котором коэффициенты определяются по формуле
1 т
£„ =— 1е~**п'у(Аь1пш)Ж. (4.108)
Как показано в параграфе 4.8, при подаче периодического воздействия (4.108) на
линейное звено с передаточной функцией W[s) получается периодический выходной
сигнал
Л=-оо
Очевидное противоречие'между формулами (4.107) и (4.109) может быть устранено
только в том случае, если в (4.109) £0 =0, W (у'сог) = 0 при |г| > 1.
Поскольку частота ш до решения задачи неизвестна, то это предположение носит
название гипотезы фильтра. Гипотеза фильтра приводит к уравнению баланса
коэффициентов Фурье:
А = _^(;а)), (4.110)
или, учитывая (4.108) и заменяя т = cor, получаем
1 1 2п
;—г = — f (p(AsinT)(sinT + 7cosxWT. (4.111)
W(j(u) nA JQ ч /ч '
Интегралы
1 «.#!> .
q(A) = -—\ (f>(Asinx)sinxd% ,
nA 0
q'(A) = —j9(Asinx)cosx^x
TLA
nA
L (4.112)
о
называются коэффициентами гармонической линеаризации. Они являются
функциями параметра А и однозначно определяются нелинейной характеристикой ф(о).
Соотношение баланса (4.111) может быть записано в следующем виде
W(j«>) = - \ (4.113)
q(A) + jq(A)
Геометрическая интерпретация уравнений (4.113) приведена на рис. 4.11.
Уравнения баланса упрощаются, если <р(а)- нечетная однозначная характеристика. Тогда
q'(A) = 0,
2 2?
q(A) = —J 9(Asinx)sinT^x (4.114)
nA 0
и уравнения баланса можно записать так

Глава 4. Нелинейные системы управления
213
1
arg W(j(a) = -n.
imW(joi)
(4.115)
(4.116)
ReW(yco)
q{A) + jq\A)
Рис. 4.11. Метод гармонического баланса
Пример 43. Рассмотрим нелинейную систему с идеальным реле и линейной частью третьего порядка
W(,) = -3—£ •
v ' *3+2s2+35 + l
Соответствующая частотная характеристика W(j(u) изображена на рис. 4.12. Идеальное реле
описывается функцией
_ f+1, а>0,
[-1, а<0.
Если предположить, что a = Asino>r, то £(г) является симметричной а/+—]г£(/) и нечетной
функцией. Поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит только синусы нечетных гармоник, т.е.
£(0=2^2n+isin((2'l + 1)aV)- Коэффициенты гармонической линеаризации вычисляются следующим
образом
(4.117)
q(A) = — Г s\ntdt = —,
д'(А) = О.
Из уравнения (4.116) получаем расчетную частоту автоколебаний с^ = 1,731, а из уравнения (4.115)
получаем А = —| W(ya)j) | = = 2,546 . Истинные значения этих параметров, полученные при матема-
71 7Е
тическом моделировании, равны с^ = 1,745; А = 2,55.
В данном случае гипотеза фильтра оправдывается, поскольку третья гармоника имеет частоту
3(0=5,235, на которой модуль частотной характеристики близок к нулю.

214
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
101
10
лг\-\
10
1ГГ2
1U
103
1О"4
ю-5
1 \w(M\
1 1 1 Ш
-
1 1 1 1 1 111
—-^
■ -* ^ ^
Ч
\
>
1 II 1 1 1 1 1
\
\
argW
\
\
S
1 III II 1 1
(У©) (град)
-
-
-
\ -
i i i i 11 \
ю-2
-60
-120
-180
-240
-300
-360
10";
10°
101
102
со (рад/сек)
Рис. 4.12. Частотная характеристика
Пример 4.4. Рассмотрим ту же систему, что и в примере 4.3, но с нелинейностью в виде реле с
гистерезисом (рис. 4.13).
В этом случае
Рассмотрим уравнение баланса в форме (4.113):
b
0
-1
1 '
i
b
G
Рис. 4.1Э. Характеристика реле с гистерезисом

Глава 4. Нелинейные системы управления
215
Частоту автоколебаний определим из уравнения 1т)¥(]щ) = или графически (рис. 4.14).
Уравнение I W(jtuA 1 = — определяет амплитуду Л. Для 6 = — получаем 0)j =1,643; А = 2,87 .
1 4 п
Im W(j(o) 0,50
0,30
0,10
-0,10
-0,30
-0,50
-3
-
-
%ъ
i
i A
щ/
У
i
1
-jq'(A)
-2,70 -2,40 -2,10 -1,80 -1,50 -1,20
ReWO'co)
Рис. 4.14. Определение параметров автоколебаний
4.11. МЕТОД СТЕПЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Как было показано в первой главе, классические частотные критерии абсолютной
устойчивости - круговой критерий и критерий Попова очень просты и эффективны в
применении.
Можно ожидать, что уточнение условий устойчивости может быть получено при
использовании в качестве функции Ляпунова форм четной степени (четвертой,
шестой и т.д.). Эта идея реализуется ниже на базе степенного преобразования вектора
состояния системы управления.
Приведем простой пример, иллюстрирующий идею предлагаемого здесь подхода.
Запишем нелинейную систему второго порядка
хх =х2\
х2 =-а{хх -а2х2 -by{x{,t).
Въедем новые переменные у{ = xj2, y2 =х{х2, у3 -х\. Дифференцируя новые
переменные в силу уравнений (а), получаем
Ух=2у2;
h = -*1Л -"2У2 + уз + Vi (*ьО; (4Л19)
y3=-2alyl-2a2y2+\\f2(xl,x2,t),
где Vi(*i,0 = 4>(*i'0*i' V2(^i^2»0 = (P(-xi'0-x2-
Наличие нелинейности (f>(x{,t) в исходном уравнении приводит к тому, что
системы (4.118) и (4.119) оказываются связанными. Кроме того, растет размерность
вектора состояния и числа нелинейных элементов. Однако преобразованная система
(4.119) значительно упрощается, если q(xi,t) = u(t)xl. В этом случае

216 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Vi(^i»O = M(O^i' V2(Jci»JC2»0 = M(0^2» те- нелинейное преобразование вектора
состояния переводит линейную систему (4.118) в линейную систему (4.119) со сходной
структурой.
Рассмотрим ряд естественно возникающих вопросов.
Каков общий вид преобразования степени р > 1?
Каковы условия эквивалентности исходной и преобразованной систем?
Каким образом можно применить этот подход к нелинейным системам?
4.11.1. Степенное преобразование координат
Степенное преобразование для анализа линейных (в общем случае
нестационарных) систем было развито Р.У. Брокеттом.
Рассмотрим n-мерную систему автоматического управления, фазовые координаты
которого образуют вектор состояния х. Введем вектор у, имеющий в качестве
координат линейно независимые произведения из р (р - натуральное число) элементов
вектора х:
*№■•*„"", £/>,=/>. Pi*0, (4.120)
1=1
причем элементы вектора у упорядочим лексикографически. Размерность вектора у
равна числу сочетаний из п элементов по р с повторениями. Это число определяется
по формуле
Г„ + р-П (п-нр-1)!
( Р ) р!(»-1)!
Назовем степенное преобразование нормированным, если в качестве базовых
взяты элементы
Обозначим нормированное преобразование вектора х через х^. Известно ценное
свойство нормированного преобразования, оправдывающее его название:
(x'x)'=x[pfxW. (4.123)
Выполняется и более общее равенство:
(x'z)p=x[p]'z[pl. (4.124)
Очевидна связь между векторами у и х^:
xW=Mpy, (4.125)
где Мр - диагональная матрица размерности тхт , элементы которой
определяются из (4.123). Поскольку эти элементы положительные, то М^ - положительно
определенная матрица и
у = М;1х[р]. (4.126)
Рассмотрим применение нормированного степенного преобразования к линейным
уравнениям. Если задано уравнение
z = Ax, (4.127)
то имеем
2Ы = АЫх[р]? (4.128)

Глава 4. Нелинейные системы управления
217
где А}р* -mxm-матрица. Например, для п = р = 2 имеем
у[2апап
ап ап
А= ll " |; Ам =
[а21 а22
J21-
<Й
«12
v2aua2i «ii«22+Л12«21 a2la22>J2
4
а2Ха22Л
4
(4.129)
Лр]
Отметим, что элементы матрицы AlPJ нелинейно зависят от элементов матрицы А.
Известны следующие свойства преобразования А^. Пусть А,В-лхп -матрицы/
Тогда:
П 1[р]=1 *
2) (AB)[p] = A[plBW;
3) (а4) =(а'р'| , q-целое, А'существует;
4) (A'/p1=(aW).
Пусть Я,,...ДП - собственные числа матрицы А.
Собственными значениями матрицы А^ являются т произведений Х{Х^.Хк из
р элементов по. различным множествам индексов. Отсюда следует:
а) собственные значения А*-р* лежат внутри единичного круга, если
|А.,| <1, / = UJ;
б) если А' = А>0,то А[р]>0.
Пусть теперь в Rn задано линейное дифференциальное уравнение
x = A(f)x.
Тогда
d [р] . [р]
—хт =АГп ixl^j,
Л • 1р]
(4.130)
(4.131)
где Аг 1 - некоторая mxm-матрица, элементы которой линейно зависят от
элементов матрицы А(0-
Например, матрице
'ап ап
А =
при р = 2 соответствует ее образ
А
а2{ а22
(4.132)
\2]
Л
\ап
0
у/2а21 ап+а22 ЛаХ2 . (4.133)
0 л/2я21 2а22
Отметим соответствие между собственными числами матрицы А и Ar i.
Собственными числами тхт-матрицы Аг i являются т сумм по различным множествам
индексов Я, +Яу +..Ак р членов. Отсюда, в частности, вытекает, что если А - гурви-
цева, то матрица Ar i - также гурвицева.
14 Зак. 232

218
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть Г
Приведенных определений степенных преобразований вектора состояния х^ и
связанных с ним верхнеиндексных А^ и нижнеиндексных Ar i преобразований
квадратных матриц оказывается недостаточно для изучения систем с обратной
связью или неавтономных систем. Одним из недостающих звеньев является
нижнеиндексное преобразование br л вектора Ь, которое введем следующим образом.
Определение 4.4. Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rn:
х = Ь§(/), (4.134)
где £(f) - скалярная функция. Применяя степенное преобразование, получаем
£xM=h- ^М>"4
где br I - mxl прямоугольная матрица, / =
/2 +/7-2
/7-1
искомым преобразовани
Например,
ем в
(
i
"г
ы
екто]
f i \
ь)
2]
эаЬ
м
=
' и
л/2
0
0
0
. Естественно
[Р]=ЬЫ-
' 2Ь{ 0 N
yf2b2 *Jlbs
0 2b2
\ )
\ 0 С
ь2 4щ с
ft, 0 S
2b2 С
4гъъ V2
0 21
npi
>
\
)
b2
h _
лнятъ также, что
(4.135)
, которую и будем считать
(4.136)
(4.137)
(4.138)
4.11.2. Алгебра степенных преобразований
Принимая за определения матриц А^, А^, Ъ^ уравнения (4.127), (4.130),
(4.132) и используя свойство нормированного степенного преобразования (4.124),
получаем ряд алгебраических соотношений между верхнеиндексными и
нижнеиндексными преобразованиями векторов и матриц. Эти соотношения образуют алгебру
степенных преобразований, являющуюся необходимым математическим аппаратом
для построения новых моделей систем управления.
Рассмотрим соотношения между преобразованиями векторов.
Теорема 4.19. Пусть a, b - действительные вектор-столбцы одинаковой
размерности. Справедливы следующие тождества:
Jp-1]_k' «М. (4.139)
(4.140)
^abVaHbw;
(a + b)[P]=aW + bb];
(4.141)

Глава 4. Нелинейные системы управления 219
(пЪ')1р]=п[р]Ъ[р]/. (4.142)
Доказательство.
1). Продифференцировав тождество (а'х)р = а^х^, в силу уравнения x = b£(f)
получим р(аЪ)а^ч'х^~1^(г) = а^Ь[р]Х^~1^(г). Поскольку вектор х и
функция £(г) произвольны, то выполняется тождество (4.139).
2). По определению (4.130) имеем —х^ =(ba/)r ,х^, если х = Ьа'х. С другой
dt ^
стороны, по определению (4.132) имеем —х^ = Ьг па'хх^"^. Из тождества
dt L J
(4.139) следует (а'х)х'р~^ = —а' х^, что дает в итоге тождество (4.140).
v ' р Ы '
3). Дифференцируя тождество (x'z)p =x^z^', в силу уравнения z = (a + b)£(f)
получаем
Х[Р] ±z[p] =ХЫ (a + b) P(t)z№ = p(x/z)p-Ix/(a + b)t
Использование (4.139) дает тождество
х[р]'(а + Ъ)[р]Ц1)г["-1] = р(х'а+хЪ)х[р-^(1)г[р-1] =
из которого следует (4.141).
Пусть z = ab'x . По определению (4.128)
z[p]=(uW)[p]x[p\
Учитывая, что Ь'х - скаляр, имеем
2ы=аы^х)р=аыьы/хы>
Сравнивая два выражения для т*р*, получаем (4.142).
Следующие результаты демонстрируют свойства нижнеиндексного
преобразования матриц: линейность, перестановочность с транспонированием, преобразование
единичной матрицы.
Теорема 4.20. Пусть А, В - квадратные действительные матрицы одинаковой
размерности. Тогда
(А + В)[Р]=АЫ+ВЫ' <4-143>
(А%гЫ)- <4Л44>
Доказательство. Пусть х = Ах; z = Bz. Дифференцируя тождество
(z'x)p = z*-p* x^, получаем
р (z'x)p-1 (z'x + z'x) = zW (В')[р] хЫ + z[p] A[p]x[pl;
14*

220 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
pz[p-nxlp-*]z'(A + В)х = & (Aw + (B')[p])xt"l
Свойство (4.139) приводит к тождеству
№ (А + В)[р] ж"- ж"' (а[р] + (В0и)жМ.
Следовательно, (A + B'V , = А[р] + (В')г ^."Положив А = 0, получим Bjp] = (В')г ,,
т.е. свойство (4.144). Поэтому (A + BV , = А[р]+в[р]> те- тождество (4.143)
справедливо.
Теорема 4.21. Нижнеиндексное преобразование единичной матрицы 1„
удовлетворяет тождеству
(Цр] = р1.г (4-145)
Доказательство. Рассмотрим уравнение х = х. В силу определения (4.131)
запишем
d \р] _ \р]
Элементы вектора х*-р* в соответствии с определением (4.122) имеют вид
п
1=1
Дифференцируя каждый элемент, получаем
аР[ П YPl~^Y YP2 YPn 4- YPi П YP2~^Y YPi YPn -4- -4- П YPl YPl YPn~^ Y 1
Поскольку x = x, то ij = jc; и каждый элемент х*-р* имеет вид
( п Л
ПР\ V П \yP* YP4 - nr/PYP* YP"
I W J
Таким образом,
—xL^J = р\1И1.
dt .
Сравнивая два выражения для —х^', получаем тождество (4.145).
А
Теорема доказана.
Невырожденное преобразование у = Вх, det(B)^0, применяемое к
дифференциальному уравнению х = Ах, приводит к уравнению у = ВАВ-1у. Следующий
результат дает преобразование f BAB"1 J .
Теорема 4.22. Пусть А, В - квадратные матрицы одинаковой размерности,
det(B)*O.Tonia
(bAB-)[p] = bWaw(bW)-'. • (4.146)
Доказательство. Пусть х = Ах. Тогда по определению —x^=Ar ix* . Вве-
Л т '
дем линейное невырожденное преобразование у = Вх.

Глава 4. Нелинейные системы управления 221
Имеем
y = (BAB-')y; |yW=(BAB-)[/?]yW.
С другой стороны, у[р]=В[р]х[р\ —уЫ=В[р1А[р](в[р])"1у[р1. Сравнивая два
выражения для —у^\ получаем (4.146). Теорема доказана.
dt
Следующая группа свойств степенного преобразования связывает векторы с
матрицами.
Теорема 4.23. Пусть А - пхп -матрица, a, b - вектор-столбцы размерности п.
Справедливы следующие тождества:
(АЪ^А^-аИЬи; (4-147)
.(АЬ)[р]Ь^ = АыЬ[р]. (4.148)
Доказательство. Пусть x = b£(f),z = Ax. Тогда
*=аь$(0;
±zW = (Ab )[p] *(,)«™ = (Ab)[p] A^V"k(t) •
С другой стороны,
2ы = аых[р]. £zw = AHb[p]X["-^(,).
_ d \р] к •
Сравнивая два выражения для —z , получаем в силу произвольности х и q тожде-
dt
ство (4.147).
Для доказательства (4.148) продифференцируем тождество (b'x)p =b^x^ в
силу уравнения х = А'х. При этом получим р (b'x)p~ Ь'А'х = Ъ, А| лх^ . В
соответствии со свойством (4.139) имеем
b^^b'A^x^^b^A^1,
откуда и следует (4.148). Теорема доказана.
Следствие. Полагая.в (4.148) А = I и используя (4.145), получаем
а[р]а[/7"1] = рп[р]. (4.149)
Применив свойство (4.149) последовательно р-1 раз, разложим
верхнеиндексное преобразование а^ в произведение нижнеиндексных преобразований:
Ряд полезных соотношений связывает преобразования индексов р и р-1.
Теорема 4.24. Пусть А - пхп -матрица, a, b - вектор-столбцы размерности п.
Справедливы тождества:

222
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
(a'b)l, + __b[p_1]a[p_I] = ^a[p]b[p];
ьыАы=(ь'А)м+А[р-чьы;
аЫЬ[р-Ч=ЬЫа[Р-Ф
р
нения x = b^(f) получаем
а'хх^ + а'х4х1"-Ч4«[Р]Ь[Р^(0.
(4.151)
(4.152)
(4.153)
Доказательство. Дифференцируя тождество а'хх^"1' =— а[р]Х^', в силу урав-
dt
или
aX(Ox[P-n_L_b[p.1]a[p_1]^(r)xt''-1Ula[p]b[;,]x['':^(O)
что в силу произвольности х, £(г) приводит к (4.151). Свойство (4.152)
доказывается аналогично (4.151) с заменой x = b£(f) на х = Ах. Тождество (4.153) является
следствием (4.151) и (4.152) при А = ха'. Теорема доказана.
Соотношения алгебры степенных преобразований приведены в табл. 4.1.
Таблица степенных преобразований
Таблица 4.1
№
п/п
1
2
3
4
5
6
} 7
8
9
10
11
Алгебраические тождества
А. Преобразование квадратных матриц
(AB)(pl = AWBW
(А«) =(aWV, q -целое, А* -определено
(А')М = АМ'
(ЦрГ'1-
(А+в)ы = Аы+вы
(a')w=ah
(вав-111=в1"1аив1"г1
Б. Преобразование векторов (a, b - вектор-столбцы одинаковой размерности)
раЪа|''-1| = Ь|р]а|'>1
Р(аЬ%\ = Х\Ь\р)
(а + Ь)(р] = аЫ + ЬЫ

Глава 4. Нелинейные системы управления
223
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Продолжение табл. 4.1
(аЬ')И = аЫЬЫ'
(аЪУ=аЫЬ1р1
а -7!a|'!V"'"a|2ia
а1/']ь[р-Ч = Ь[р]а[р-Ч
7aipib(H=7^Tbi'-1ia'''-li+(a'b)11'
В Связь преобразований матриц и векторов
(Ab^Al'-'l-AWb,,,
(Ab^bM-A,,^
ьыА|,]=(ь'А)ы+А|,-«]ьы
Г. Соотношения для р - 2
(a + b)M=al2l + b'2l + a|2]b
(А + аЬ')(2| = А121 + а|2У2|' + 1а[2]АЬ;2]
4.11.3. Иерархия моделей нелинейной системы управления
Для построения моделей нелинейных систем необходимо иметь общее выражение
для производной вектора х^ (*).
Теорема 4.25. Пусть x(t) - зектор-функция размерности п и производная x(f)
существует, тогда справедливо тождество
±тР(*НЩр]^1](!)- ' (4-154)
Доказательство. По определению имеем
x(f + /*) = x(f) + /zx(f) + 0(/z2).
Применяя верхнеиндексное преобразование (.рр*, получаем
xlp](t + h) = [x(t) + hx(t)f]+0(h2).
По свойству (4.150) имеем
(х(о+ИО)1р1=^Шх(')+Ч')) =
г * Г-О l-rJ
1 1 1
= —-ДХ[г](') + к—№р)Х[р-1)"Х[2]* +

224
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
+х[р]...(х)[2]х + ... + (х)[р]Х[р_1]...х[2]х}+0(й2).
В фигурных скобках полученного выражения содержится р слагаемых вида
xWx[p_I]...x[r](x)[r_1]x[f_2]...x.
Используя свойство (4.153) степенных преобразований, получаем, что все
слагаемые в фигурных скобках одинаковы и равны
(^)[р]Х[р-1]Х[р-2]-ХИХ-
Применив свойство (4.150), имеем
(x(t)+hx(t)fp]=xM+h(x)[p]^-l\
Откуда
xlp\t + h)-x[p](t) = h(x)[p]x[p-l]+0(h2).
Тождество (4.154) следует отсюда в результате предельного перехода при h —► 0.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть х(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
x = F(x,f). (4.155)
Тогда
^x['] = (FM)rix[/'-1].
dt v v ;/W
(4.156)
Формула (4.156) позволяет получить степенные преобразования нелинейных
дифференциальных уравнении. Последовательно применяя (4.156) к уравнению
(4.120) при g (t) = 0, имеем
^ж(0«Ах(0+1*(0;
|ХИ(/) = (Ах(/)+Ь^(0)[2]х(/) =
= A[2]xN(0+b[2]x(r)i;(0;
|хМ(,) = А[р]х^(О+Ь[р]х^(г)^(г).
(4.157)
(4.158)
. (4.159)
Здесь использованы теорема 4.20 (тождество (4.143)) и теорема 4.23 (тождество
(4.147)).
В системе (4.157) - (4.159) каждое последующее уравнение является следствием
уравнения (4.157). Для случая линейной системы с переменным коэффициентом в
обратной связи, т.е. при
£(*) = н(г)с'х (4.160)
Можно сделать уравнение (4.159), не зависящим от х^~'. В соответствии со
свойством (4.139) имеем
= (с'х)х[р-Ч=1с[р]х^.
(4.161)

Глава 4. Нелинейные системы управления 225
Поэтому (4.159) приводится к виду
|хМ^АыДИ(,)Ьыс(р]]ХМ, (4.162)
или в соответствии с (4.140)
-х[р] = (А + и (0ЬсО[р] хЫ- (4Л63>
Наряду с уравнением (4.163) можно рассматривать уравнение в Rm:
|y = (A + M(0bc')[p]y. (4.164)
При согласованных начальных условиях, т.е. при у (0) = Xq , решения уравнений
(4.163) и (4.164) совпадают. При несогласованных начальных условиях решения этих
уравнений различны. Однако можно рассматривать все решения уравнения (4.164)
при всех начальных условиях y(0)e Rm. В этом случае решения уравнения (4.163)
составляют подмножество множества решений уравнения (4.164).
В общем случае систему (4.157) - (4.159) легко развязать, Заменив х'р^ на ye Rm
и х^"1^ на r\eRl. Однако при этом разрывается связь с исходной задачей. Эту
опасность можно в значительной степени уменьшить, если учесть нелинейные, в
частности квадратичные, связи между элементами векторов х'^ и х^"1^. Компактное,
с наименьшим числом свободных параметров описание таких связей является
нетривиальной задачей. Желательно, чтобы это описание было приспособлено к аппарату
теории абсолютной устойчивости и чтобы оно давало возможность улучшить
существующие результаты.
Здесь предлагается использовать в качестве основной связь вида
Л'8с'[р]у = 0, (4.165)
где S = -S' - произвольная кососимметричная 1x1 -матрица.
Равенство (4.165) выполняется тождественно, если
Определение 4.5. Моделью уровня р для уравнения х = Ах + b£ называется
система
У = А[Р]У + Ъ[Р)Ч
Ti'Sc^jy = 0; VS = -S'. (4.166)
Следующим шагом является описание нелинейной обратной связи в новых
координатах. Оно достигается умножением неравенства £(а-&~1£)>0 на произвольную
положительно определенную квадратичную форму
xW]Rx[p-i]r = r^>0>
что приводит к неравенству
VRf~c[p]y-r^j>0. (4.167)

226
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Объединяя (4.167) с (4.166), получаем модель уровня/? для исходной системы.
Определение 4.6. Моделью уровня р для системы (4.29), (4.31) называется
система в Rm вида
У = АЬ]у + Ь[р]л;
Л4^с[р]у-^}>О,
(4.168)
где Q = R+S - произвольная несимметричная положительно определенная матрица.
Определение 4.7. Упорядоченная по степени преобразования р совокупность
моделей /7-го уровня называется иерархической системой моделей.
В дальнейшем будут построены модели уровня р для некоторых модификаций
основной системы (4.29), (4.31). При этом наряду с основной связью (4.165) будут
использованы и другие, как локальные, так и интегральные, связи в новых
координатах. В большинстве случаев эти модели целесообразно рассматривать вместе с
исследованием устойчивости, поскольку они отражают специфику применяемых
подходов.
Здесь мы остановимся лишь на случае системы с аддитивным внешним
воздействием g (t)e L2p (0,°°), описываемой уравнением
x = Ax + b£(O + rg(/). (4.169)
При степенном преобразовании (4.169) переходит в уравнение
|хМ=А[р]х^ + Ь[р]Ыр-1] + е(О,
где е(г) = Гг ig (t)x*-p~{*. Для нормы вектора z(t) в L2(0,7) имеем
о
где т - наибольшее собственное значение матрицы г'г i гг ъ
Используя (4.123) и применяя неравенство Гельдера, получаем
(т \УРя „KpiO
Пусть существует интеграл
h=]g2p(t)dt<oo.
(4.170)
(4.171)
Определение 4.8. Назовем моделью р-го уровня для неавтономной системы
следующую систему уравнений и неравенств:
у = аыу+ьыт1+е(г);
z = -c[p]y; л'О(г-Г'л)>0;
Щ\т<ц\\у\\т /p* = J4(P-
(4.172)

Глава 4. Нелинейные системы управления 227
В модели для неавтономной системы наряду с основной связью (4.165) присутст-
(р-у
вует неквадратичная интегральная связь ЦеЦ^ <ц,||;у||г 'р .
Полезность введенной в этой главе иерархической системы моделей не является
очевидной, поскольку модель уровня р> 1 имеет размерность значительно
превосходящую размерность исследуемой системы. Еще более существенный недостаток
состоит в росте размерности вектора нелинейности и появлении неопределенных
параметров (матрица Q). Однако применение к новым моделям метода функций
Ляпунова выглядит интересным, поскольку квадратичная форма от новых координат
является формой степени 2р от исходных координат, т.е. класс функций Ляпунова можно
расширить.
4.11.4. Анализ устойчивости нестационарных моделей
Об устойчивости исходной системы (4.29) будем судить по ее модели р-го уровня:
y = Ab]y + b[p]i1;
' n'Q(z-r'ii)>0; (4.173)
Если модель (4.173) абсолютно устойчива, то у'у —> О при g (t)e h2p (0,°°).
Очевидно, что все свойства устойчивости, присущие модели (4.173) (устойчивость по
Ляпунову, экспоненциальная устойчивость и т.д.), переносятся на исходную систему.
В частности, (х'х) -» 0 при t -> °° .
В дальнейшем будем пользоваться также степенным преобразованием с
единичными коэффициентами в форме (4.120) (ненормированным). При этом получаем
систему
y = Rpy + SpTi;
Tl'Qfz-r^O,
z = Dpy; \ (4.174)
где
D^M^c^M,; (4.175)
Rp=M;iA[p]Mp; (4.176)
t-U
S^M^jM^. (4.177)
Модель (4.173) и эквивалентная ей (4.174) являются линейными Системами с
квадратичными связями. Основной результат по исследованию устойчивости таких
систем сформулируем применительно к системе (4.174).
Теорема 4.26 [16]. Для абсолютной устойчивости системы (4.174) достаточно,
чтобы при всех со > 0 выполнялось неравенство
ReQ(op(70>) + *"lI/)>0, (4.178)
где Фр (усо) - передаточная матрица линейной части,
Op(;u)) = Dp(Rp-;coIm)-'sp. (4.179)

228 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Доказательство. Воспользуемся квадратичным критерием Якубовича (теорема
1.14), применив его к линейной системе (4.174) с одной локальной связью. Частотное
условие (4.178) является необходимым и достаточным, для того чтобы F[yco,fi] =
= ffQ(-Op (j(u)-k~ll\f\ < Одля всех г\е Сп. Теорема доказана.
Условие (4.178) означает положительную определенность эрмитовой матрицы
r(o)) = QO(y(o)+0/(-y(o)Q4r1(Q + Q/) . (4.180)
Матрица Г(со) положительно определена, если [182]
Г(оо)>0; (4.181)
detr(co)*O. (4.182)
Для положительно определенной матрицы Q условие (4.181) выполняется
автоматически, поскольку Ф(уа>) —> 0 при со —> оо.
Запишем теперь частотное условие абсолютной устойчивости в терминах
нормированного степенного преобразования. Обращаясь к системе (4.173) и применяя
квадратичный критерий Якубовича, получаем
ReQ(o(yco) + rlI/)>0, (4.183)
где
' Фj» = у[р] (AW - yo>Im)"' ЬЫ. (4.184)
Используя соотношения (4.175) - (4.177), легко показать, что условия (4.178) и
(4.183) эквивалентны при
Q = Mp.1QMp4. (4.185)
Соответствие между Ф(усо) и Фр(у(о) задается тождеством
Ф(;<о) = МнФр (j(o)M-pl_{. (4.186)
Модель (4.174) удобнее модели (4.173) в практических расчетах, поскольку в ней
нет необходимости учитывать коэффициенты в (4.122). Матрицы Dp, Rp, Sp можно
подсчитывать непосредственно по уравнениям, не пользуясь формулами (4.175) -
(4.177). При этом 1хт -матрица Dp имеет вид
~схс2...сп 0 0...0
D 0 схс2...сп 0...0
О с\с2...сп^сп
Если система предварительно приведена (это всегда можно сделать линейным
невырожденным преобразованием) к виду, вкотором с' = (1,0,0,...,0), то D^ может
быть получена из единичнойматрицы Iw отбрасыванием последних т-1 строк.
Рассмотрим примеры применения критерия (4.170).
Пример 4.5. Рассмотрим систему второго порядка с нестационарной нелинейностью:
х, =<!„*,+а12*2 + Ь&
*2=Я21*1+Я22*2 + Ы;
S=<p(<v);
0<(p(altt)a{<ka^

Глава 4. Нелинейные системы управления
229
Введя новые переменные О] = ед + с2х2, о2 = *2, запишем систему в форме
61 = рмо1 + р12а2 + (/1ф(а1,0;
<*2 = P2i°i + Pi2°2 +d2q>(al,t).
Преобразование второй степени дает модель второго уровня
Уг = Рг\У\ + (Рп + Р22 )>2 + Р1зУз + <*гЛ| + 4Л2;
)'з = 2Р21>'2 + 2р22уз + 2(/2Л2, .
где у| = а? ; у2 =a!a2; у3 = <*2 ; Л1 =5 сг,; ti2 =5 <*2 •
Условие устойчивости имеет вид (q2i = 1)
(1е1Г(со) = [^1(Кеф11+Г1) + ^12Кеф21]х
х[ЯеФ22 + ^"1+^21^еф12]-
-~|ftl<Pl2 + Ф21 + 412 (Ф22 + *Ч ) + ^21 (ф!1 + *"' )f > 0.
где (ртл - элемент матрицы Фр(усо), а звездочка означает операцию комплексного сопряжения. Было
принято рп = dx - 0, р12 = 1, (/2 = -1, р2\ = -До»Р22 = -«1 • В этом случае
Ф11(5) = 2(^2Л1)/А(^); Ф12(*Ь4/А(*);
92IW = (^2fll)/AW; Ф22(*)*2/А(*);
A(j) = j3 + Зв^2 + (2a,2 + 4a0)* + 4oofli.
В контрольном примере принято a, = 1, a0 = 2 • При решении на ЭВМ задачи нелинейного
программирования удалось получить максимальную величину к = 5,47 при qu =0,514; qn = 1,193 ; q2\ =-0,206 ;
q21-\. График det Г (о) при этих параметрах приведен на рис. 4.15. Для сравнения укажем, что
критерий Попова в этом случае дает /: < 3,82 .
Г(со)
0,08
3 4 5 6 7 8 со
Рис. 4.15. График det Г (со)
Пример 4.6. Рассмотрим модель третьего уровня для системы, описанной в предыдущем примере,
вводя ее при помощи преобразования третьей степени ух = aj, y2 = ajo2* Уз ~ aia2> У а ~ °2- Для системы
сравнения имеем
R3
Р21
0
0
ЗР12
2А1 + Р22
2Р21
0
0
2/>12
Ai+2ft2
0
0
Pl2
ЗР22.
• С _
36,
0
0
0
26,
2^
0
0
0.
ь,

230 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть, I
Область устойчивости по параметру к определялась с помощью ЭВМ для ац=0, а12 = 1,
by = 0, a2i ="2» а22 =-!• Матрица Q имеет вид
1,0 4,075 1,575"
Q =
-0,6508 4,628 2,867
0,4068 0,5683 1,246
При этом максимальная величина к = 5,98.
Пример 4.7. Рассмотрим систему третьего порядка:
х]=х2\
х2 = хъ\
хъ = -20*! -10*2 -10*3 -Юф^ ,г).
Построим модель второго уровня, взяв новые переменные
У\ = *?• Уг = *Л» Уъ = х\хъ> Уа = *2. Уъ = *2*з> Уб = *з»
в результате чего получим систему
>;2 = >;з + >;4;
Уз = -20у, - Ю>;2 - Ю^з + у5- Ют;
>'4 = 2>'5;
у5 = -20^2 -10^4 -}0у5 + у6- 10n2;
у6 = -40^з - 20>;5 - 20Уб - 20ц3,
где T)i=<¥P(ai*O; Л2 = су2ф(а1'0; Лз = азФ(°1»0- По кРитеРию Попова устойчивость имеет место при
к < 2,43. Применив критерий (4.180) и решив соответствующую задачу нелинейного программирования,
удалось получить расширение области устойчивости до к = 3,0.
4.11.5. Сравнение с круговым критерием
Как показано на примерах, критерий (4.178) может давать большую область
абсолютной устойчивости в пространстве параметров, чем круговой критерий (4.57).
Установим соотношение между этими критериями в общем виде.
Теорема 4,27. Пусть выполнено частотное условие кругового критерия (4.57).
Тогда существует симметричная положительно определенная матрица Q , для которой
выполнен критерий (4.178).
Утверждение теоремы говорит о том, что все результаты, которые можно
получить из кругового критерия, можно получить также из условия (4.178), т.е. новый
критерий, во всяком случае, не слабее кругового критерия. Доказательство теоремы
основывается на следующей лемме.
Лемма 4.1. Пусть действительная положительно определенная матрица L = L/ и
действительный вектор и удовлетворяют системе уравнений Лурье (4.47) при q = 0:
A/L + LA = -uu/-sP; (4.187)
Lb + ~c = yu, (4.188)
где А - гурвицева матрица; Р = Р' - действительная4 положительно определенная
матрица; е, у - положительные числа; Ь, с - действительные п-векторы.
Тогда справедливы тождества
A[p]LW + LWA[p] = -iu[p]Lt"-\reF; (4.189)
F = F' = L[p](L-1p)r • (4.190)

Глава 4, Нелинейные системы управления - 231
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы. Умножим (4.187) слева на
L"1 и применим к обеим частям полученного тождества нижнеиндексное
преобразование:
(L"lA4]+'^HLMrf-<L'Iplr
Согласно свойству 8 таблицы степенных преобразований имеем
A{p]&K&\r-&\L-uu')[p]-eF,
WF = LW(L-'p)r .
Применив то же свойство, можно убедиться, что F = F'. Согласно свойству 10 имеем
(L"'"»')w-;(L"'u)wui*
а по свойству 18 получаем
(l4]=(lW)~V"-"-
Два последних соотношения показывают, что
L'"(L"1»°'lriuwL['"lni*
что и доказывает тождество (4.189).
Применяя нижнеиндексное преобразование к (4.188) и используя свойство 18,
получаем (4.191).
Доказательство теоремы 4.27. Пусть выполнено частотное условие (4.57).
Тогда согласно частотной теореме Якубовича - Калмана при достаточно малом е > О
справедливы уравнения (4.187), (4.188). По доказанной выше лемме получаем, что
справедливы тождества (4.189) - (4.191). Рассмотрим квадратичную форму
V (У, п) = У'( А'Ы1^ + &\р]) у + 2/&\р]Ц +
(4.192)
Используя (4.189) -(4.191), получаем
+PH'L^[lc[p]y-r'n].
89)-(4.191), получаем
Из свойств степенного преобразования следует, что матрица F = F' - положительно
определенная. Тогда V(y,n) при всех ye R"\ це Rl, |y| + |i]|*0. Поэтому
Ч*Ь^ч|1с'Ыу-*-1ч1<0, (4.194)
при у = (ycolm - А)~ br m, что следует из частотной теоремы. Из (4.194) получаем
RelM jlcf,j (A[p] - рла)"' Ьы + к~% J > 0. (4.195)
Итак, из кругового критерия (4.43) следует выполнение неравенства (4.183) при
Q = L» . Соответственно из (4.57) следует, что выполнено и условие (4.178) при
Q = Mp4L[p-I]Mp.1.
Теорема доказана.

232 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Теорема 4.27 свидетельствует о том, что область абсолютной устойчивости в
пространстве параметров системы (4.29), получаемая по круговому критерию, вложена в
область абсолютной устойчивости, получаемую по критерщо (4.178). Поскольку
известны примеры, когда условие (4.178) действительно расширяет область
устойчивости по сравнению с (4.57), то можно утверждать, что вновь полученный критерий
является более сильным, чем круговой.
В примерах разд. 4.11.3 наибольшая область устойчивости получена при
несимметричной матрице Q . Покажем, что нельзя улучшить круговой критерий,
ограничившись в (4.178) использованием только симметричных матриц.
Теорема 4.28. Одним из собственных значений передаточной матрицы
ФМ = у'1р](А[р]-рЛт)1Ъ[р]
является передаточная функция W(.s) = c'(A-.sl)~ b, а соответствующим правым
собственным вектором является вектор
d(,) = [(A-rfn)t'-1]jV'-4 (4.196)
Доказательство. Умножим матрицу Ф(ря) на вектор d(s) справа:
<b(ps)d(s) = ±с'[р] (АЫ - ps\m У Ь[р] [(А - Л„ у1 bf~l]. (4.197)
Обозначим R = А - sin. По свойству 5 из таблицы степенных преобразований имеем
КЫ=АЫ-^1'"=(А-Л'')Ы' <4198)
а по свойству 19 получаем
b[p](R-bf-l]-R[p](R-bf\ (4.199)
<b(ps)d (s) = ic[p] [R-'b]W. (4.200)
Используя в (4.200) свойство 9, имеем
^^(R^bf^c^bJfR^bf-11; (4.201)
Ф (ps)d(s) = с'(А - Л)"1 bd (s), (4.202)
что и требовалось доказать.
Пусть теперь в условии (4.183) Q = Q'. Условие (4.183) эквивалентно неравенству •
QO(py(o) + 0/(-pya>)Q4rl(Q + Q/)>0. (4.203)
При Q = Q', умножая (4.203) слева на d'( - j(o) и справа на d(/a>), получаем
d'(-ja>)Qd (усо)[ф (;со)+Ф (-;со) + 2к~1 ] > 0. (4.204)
Поскольку Q = Q' >0, то из последнего неравенства следует круговой критерий.
Таким образом, круговой критерий не может быть улучшен при Q = <У (или
соответственно при Q = Q' в (4.178)).
4.11.6. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим устойчивость системы (4.29) при наличии исчезающего возмущения
g(t). Для этого введем понятие устойчивости в функциональном пространстве
Ч,(о,~).

Глава 4, Нелинейные системы управления 233
Определение 4.9. Векторная функция x(t) принадлежит L2p (0,°°), если
оо
J(xx)p^<oo. (4.205)
о
Определение 4.10. Система (4.29), (4.31) называется устойчивой в L2/7, если из
условия g(t)sh2p (0,оо) следует, что x(t)y £(f)e L2p(0,«>).
Теорема 4.29. Пусть существует положительно определенная матрица Q, такая,
что для всех со>0 выполнено условие (4.178). Тогда система (4.29), (4.31) устойчива
в L2p(0,со).
Замечание. Если I g(t) |<L<°o, то из устойчивости системы (4.29), (4.31) в
h2p (0,°°) следует ее асимптотическая устойчивость. Действительно, пусть
/(x'x)pA<=o;j42"(0^
о о
Пусть V = х'х. Тогда
—\р =2р(х/х)р'1(х/Ах + хЪ^+х/г^).
dt
Интегрируя, получаем
{x'(t)x(t))P -(х'охо)р =2р\(х'х)р-1 (x'Ax+x1£+x'rgyit. (4.206)
о
/
Оценим слагаемые в правой части (4.206): J(x'x)p l x'Axdt < jij(x'x)2<u, где ц - наи-
0 0
большее собственное значение матрицы — (А + А');
/(х'хГ'хЪ^^Сх'х)"-"2^)1'2^^/^
о
, ч2р-1/2р,/ ч1/2р
, /, Y2p"1)/2pr' V/2/>
}(х'хГ'х'^^г'г)1'2 j(x'x)p</, ]g2p(t)dt .
Приведенные оценки показывают, что
ft N(2P-1)/2P
(x/x)^<(x^xo)p+clj(x^^ + c2 \{x'x)pdt <с3<оо ,
0 1,0 J
(х'х)<М = const.
Оценим теперь V = 2x/x = x/Ax + x/b£+x/r£ . Очевидно, что V<M2<°°, если
g (r)| < L . Используя лемму Барбалата [111], завершаем доказательство.
В силу приведенного замечания теорема (4.128) является частным случаем
теоремы (4.130) при g(t) = O.

234 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Доказательство. Очевидно, что для устойчивости системы (4.29), (4.31) в
L2p (0, °о) достаточно, чтобы модель р-го уровня (4.172) была устойчива в L2 (0, «>).
Из (4.172) имеем
y = Rpy + Spn + e(/);
z = Dpy; - (4.207)
r\'Q(z-k-lr\)>0;
1+^1^,11 = const.
Из (4.207) имеем
sY(s) = RpY(s) + SpH(s) + E(s) + y0, (4.208)
где
Y(s) = L{y(t)};
H(s) = L{r](t)};E(s) = L{e(t)}.
Из (4.208) следует
Y(s) = -(Rp-sl)1 SpH(s)+(sl-RpfE(s)+(slm-Rp)~l y0. (4.209)
Обозначим
L-l[(Rp-slm)lSp} = ip(t);
L-l{(slm-RpfE(s)}= /(r);
L-I{(*Im-Rp)"Iyo}=/o(0.
Из (4.209), переходя к оригиналам, получаем
v(t) = -'jip(t-X)r](XyiX + fl (/)+/„ (0- (4.210)
О
Соответственно
О
где
ф(0=в,ф(0; /i(0=Dp/(0; /о(0=»р/о(0-
Введем усеченные вектор-функции
V ; [0, />Г; V ; [0, t>T.
Обозначим zT(t) решение уравнения
zT(t) = -\q>(t-X)4T(X)dX + flT(t)+f0{t), (4.213)
о
где

Глава 4. Нелинейные системы управления 235
Очевидно, что при t < Г выполняется тождество гт (t) = z{t).
Обозначим
т
p{T) = jr\Q(z-k-{4) dt = jr(TQ(zT-k-\)dt>0. (4.214)
о о
Применяя к (4.214) формулу Парсеваля, получаем
p(T) = i- j HHyto)[QVI.(jto)-Q(o/,(7to) + *"lI;)]Hr(jU>)^ (4.215)
где
Ht(s) = L{4t}; VT(s) = L{VT(t)}, vT(0 = /,r(0 + /o(0-
Поскольку р(7) > 0, то
:M HJ. (yo>)QVr (yo>)rfo>>^-J н; (;ш)Г(о>)Нт (Jco)do>, (4.216)
2Я j^ 271 j^
где r(co) = ReQ(op(ya>) + /:~ll)>0 no условию теоремы.
Левую часть (4.216) оценим сверху:
^ / ИГГ (yco)QVr (yo>)do>< ^2||л||т|v||r, (4.217)
где q2 - наибольшее собственное значение матрицы Q'Q .
Для правой части (4.216) справедлива оценка снизу:
^-J НИусо)Г(а))Нг(7со)^а)>с2||л||', (4.218)
—оо
где с2 = min yi(co), yi(co) - наименьшее собственное значение матрицы Г(со).
Сравнивая (4.217) и (4.218), имеем
Иг ^С2!* 1М|Г ^c~2lq2\\Л + /0|г. (4.219)
Оценивая (4.210) в L2(0,7), получаем
|3i *сз|N|T +|/, + /о|| <с4 (Щ+Щ) , (4-220)
где с3 = max уз(со), уз(«)) - наибольшее собственное значение матрицы
Ф(-усо)ф(7Со); с4 =c3c2lq2 +1. Далее имеем
|/i«*Hr. • (4-221>
где с5 = max X2(co), Х2(со) - наибольшее собственное значение матрицы
(-7'(о1ш - R'p) (ycolm - Rp) • Используя (4.221) в неравенстве (4.220), получаем
|4^4с5|е|г+с4|/0|г. ' (4.222)
Принимая во внимание последнее неравенство из (4.220), имеем
1М1т<Иу|Г)/р+с4|14' (4-223)
гдес= JIC4C5.

236 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Из (4.223) следует, что \у\\т <°° при любом Т. Действительно, сЛ/А <с0,
поскольку /о(0 - экспоненциально убывающая функция. Поэтому
11у||(р-.)/р(|у|./р_с)<Со (4224)
Возможны случаи:
а) если ||;у||г р < с, то утверждение выполняется;
б) если U^ > с , то lyf0" * с0 /(|,£" -с) < ~ •
Теорема доказана. При конкретных /? неравенство (4.223) может быть решено
аналитически или графически. В частности, при нулевых начальных условиях имеем
\yfT Р < с, а при отсутствии внешнего воздействия |у|| р< с4 /0 .
4.11.7. Устойчивость дискретных систем*
Рассмотрим применение степенного преобразования к дискретным системам вида
*(f + l) = Ajc(f) + b£(f); (4.225)
£(г) = ф(а(0,0; . (4.226)
О < ф(о(/),г)о(/) < ^а2 (г); (4.227)
o(t) = c'x(t). (4.228)
Система (4.225) - (4.228) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда
устойчива линейная система (4.225) с переменным коэффициентом
£(f) = w(f)c'x(f), 0<u(t)<k. (4.229)
Более того, достаточно рассмотреть случай кусочно-постоянной функции u(t)y
принимающей только два значения: 0 и к. Подставляя (4.229) в (4.225), получаем
х (t +1) = (А + и (f)bc')x (г). (4.230)
Отсюда следует
х[р] (/ +1) = (А + и (/)bc')W x[rf (0- (4.231)
Вектор (А + и(*)Ьс') х'р' можно представить в виде
(А + и(0Ьс')Ы х[р] = А[р]х[р] + (S,n(г) + S2u2 (t) +... + Spup (t))z(r), (4.232)
где2(0 = ^с[р]х^(0.
Если w(r) принимает только значение 0 и к, то
(и(0)"=*р-Ч). (4.233)
Используя (4.232) и (4.233), из (4.231) получаем
х[р] (t +1) = А[р]к[р] + и (OSz (t), (4.234)
где
S = ^S^M. (4.235)
i+i
* См. главы 10 и 11, в которых изложена теория дискретных систем.

Глава 4. Нелинейные системы управления
237
Аналогичным образом, применяя ненормированное преобразование (4.120),
получаем
y(/ + l) = Rpy(/)+S,ii(0; • (4.236)
п(0 = и('М0; (4.237)
z(t) = Dpy(t). (4.238)
Для того чтобы исключить (4.237) и получить систему сравнения, введем
неравенство
r\'Q(z-k-lr\)*O. (4.239)
Рассмотрение системы сравнения (4.236) - (4.239) приводит к следующему
результату.
Теорема 4.30. Пусть все собственные числа матрицы А лежат в открытом
единичном круге и существует положительно определенная /х/-матрица Q такая, что для
всех cog [0,7i]
Re Ul)p (Rp - е*Чт)"' Sp + k'% 1J > 0. (4.240)
Тогда система (4.225) - (4.228) абсолютно устойчива. Доказательство теоремы
(4.131) аналогично доказательству теоремы (4.130) с заменой непрерывного
преобразования Лапласа на дискретное и интегралов на суммы.
Следующий пример показывает, что критерий Цыпкина (4.41) является лишь
достаточным условием абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем.
Пример 4.7. Рассмотрим дискретную систему второго порядка
xl(t + \) = auxl(t) + anx2(t) + b£(t)\
x2(t + \) = a2lXl(t) + a22x2(t) + b2^(t).
Применим преобразование второй степени. Тогда
R* =
«fl.
а, ,022
4
2аиа12
a\\<h2+a\2a2\
2а21а22
а\г
а12а22
«2.
S2 =
ТапЬ+кЬ?
2*12*1
«lA+^A+W *12^+в2А
2fl2A+tt|
2а22Ь2
Для аи = 2,07; ai2 = - 2,79; a2i = 0,84; an = - 0,84; Ь\ - 0,1; b2 = 0 в соответствии с теоремой 2.5 получаем
к > 2,98. Критерий Цыпкина дает предельную величину к = 2,51.
Остановимся более подробно на случае квадратичного (р = 2) преобразования.
При этом уравнение (4.231) имеет вид
x[2](r + l) = (A + W(0bc/)[2lx[2](/).
(4.241)
В соответствии со свойством 22 (см. таблицу степенных преобразований)
получаем из (4.241)
гМ
(1 + 1) = (АИ + Л^И ЛиЬ[2]Ас[2] Ь2\
Используя соотношения
и2=ки, с\2]х[2] = (с'х)х.
Т1 = 5 с'х = м(с'х)2=-
MCr,iX'
РГ
[2]

238 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
с[2]' .
2]„М
Л
2 '
f/Whr J
lr>/+D[2]
л кЪс
Л i
получаем
(4.242)
Полученная модель дает возможность сформулировать следующий критерий
абсолютной устойчивости для дискретных систем.
Теорема 4.31 [18]. Система (4.225) - (4.228) абсолютно устойчива, если
существует такая положительно определенная матрица Q>0, что при всех cog [О,тг]
выполнено неравенство
Re Qfic^fA^-^xfbpjA^^^I^O, (4.243)
Л Л ^
где А{ = А+ .
Доказательство этой теоремы следует из дискретного варианта квадратичного
критерия Якубовича (теорема 1.14) при учете квадратичной связи
n'Q^c[2]Xl2] -*-4|j*0.
Соотношение между критерием (4.243) и критерием Цыпкина (4.41) описывается
следующим образом.
Теорема 4.32. Пусть выполнен критерий (4.41). Тогда матрица
Q = A'LA + L + fccbTLA, (4.244)
где L является действительным положительно определенным решением системы
уравнений
A/LA-L = -ww/-eI, e>0,
A'Lb + - = yw, (4.245)
у2=*~1-ЬХЬ,
обеспечивает выполнение критерия (4.243) для всех cog [0, я].
Таким образом, критерий (4.243) является более сильным, чем критерий Цыпкина.
Нахождение максимальной области устойчивости по критерию (4.243) связано с
численным поиском оптимальной матрицы Q. Этот поиск облегчается, если в
качестве начального приближения взять Q в виде (4.244), (4.245). При этом начальная
параметрическая область устойчивости будет не меньше области устойчивости по
критерию Цыпкина. Отметим, что в отличие от непрерывного случая (теорема 4.27),
начальное приближение (4.244) является несимметричной матрицей.
4.11.8. Квадратичные связи в стационарных системах
Рассмотрим совместно уравнения исходной и преобразованной систем при
квадратичном преобразовании. Опуская индексы, перепишем их в виде (пользуемся
ненормированным преобразованием (4.120))
х = Ах + Ь£; (4.246)
y = Ry + St]; (4.247)
т] = £х. (4.248)
Пусть £ = ср(а), где ср(а) - непрерывная однозначная скалярная функция. В этом
случае результаты разд. (4.122) могут быть усилены за счет учета дополнительных

Глава 4. Нелинейные системы управления 239
квадратичных связей в координатах г\,у, являющихся следствием свойств функций
Ф(а).
Лемма 4.2 [17,18]. Пусть ф(а)-непрерывная однозначная функция,
удовлетворяющая условию (4.31). Тогда справедливы неравенства
jo2 (г )ф(а)сий > -v,, (4.249)
о
|а2(/)[*а-ф(а)]а^>-у2, (4.250)
о
где постоянные Vj и v2 не зависят от t.
Доказательство. Левая часть (4.249) в силу однозначности и непрерывности
ф(а) может быть записана в виде
о(Т) о(Т) о(0)
J а2ф (а)/а= J а2ф(а>/а- J а2ф(а)/а (4.251)
а(0) 0 0
Однако в силу (4.31)
а
Ч/(а) = |а2ф(а>/а>0.
о
Действительно, по теореме о среднем значении
а
Га2ф(а)б/а = аа12ф(а1), а,е[0,а].
о
Поэтому а Gi>0 и (поскольку в\ ф(аО >0) \|/ (а) > 0. Если обозначить V\ = \\f (ao),
то отсюда следует (4.249). Неравенство (4.250) доказывается аналогично с заменой
ф(а) на ко - ф(а).
Лемма доказана.
Для записи неравенств (4.249), (4.250) в новых координатах заметим, что
а2ф(а)а = 'П/сс/ха = Г1сс/(г-Аг-Ьс/т1); (4.252)
а3а = - zWz = z cc'(z - Az - be n). (4.253)
Поэтому при (Xi>0, а2>0 имеем
Тг , -i
J (a1~a2)Ti/cc/(z-Az-bc/Ti) + a2-z/ccz L/r>-v3, (4.254)
где v3 =ol{v{ +a2v2.
Лемма 4.3 [17,18]. Пусть Gb G2, G 3, G4 - неотрицательно определенные пхп-
матрицы; r\, r2, g\, #2 -неотрицательные числа, причем k~l -g/c'b>0. Тогда на
решениях системы (4.246) - (4.248) справедливо неравенство
J{[il'(GI-G2) + (z'-Aii')(G3-G4)](z-Az-bc'Tl) +
О
+^|z'(G3+G4)z + |(P(h1) + P(h2))z'zJ}a^-v, (4.255)
где v = const не зависит от Г;

240 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Постоянные ju-i и \Хг являются соответственно наибольшими собственными
значениями матриц Nj =—(М| +Mj J,i=l,2, причем
Mf ^A'Gf+GfA + iw
^=^-[№+6Оь+|г(с+йА/с)];
У?=(*"!-в<сЪ)г,; (4.257)
G! =Gj -G2;
G2 =G3-G4.
Отметим, что N, становится отрицательно определенной матрицей, если G, = L,
/7=1, где L - решение уравнения Лурье:
A'L + LA = -ww'-eP;
Lb+—с+—а-А'с = ум;
2 2*
(4.258)
Доказательство. Обозначим
V^x^x, G,>0, i = p;
У1(а) = |ф(о>/о; (4.259)
о
^2(а) = ^а2-|Ф(аУа.
о
В силу (4.31) имеем
(V1-V2)Tl(a) + (V3-V4)T2(a) + (V4+V2)l/:a2>0. (4.260)
Дифференцируя левую часть (4.260) по времени, а затем интегрируя ее от 0 до Т, по- .
лучаем
J[(V,-V2)V(o)d+(V3-V4)(*a-V(o))d+(VI-V2)'F,(a)+.
О
+(V4-V3)'F2(o)+^['(V2+V4)^.W-v1, (4.261)
где
v, =x^(G1-G2)x0^1(c'x0)+x^(G3-G4)x04'2(c'Xo). (4.262)
Обозначим
V, = V,- V2, V2 = V3 - V4, G, = G, -G2, G2 = G3 -G4.
Для1= 1,2 имеем
^Vi=x'(A'Gi+GiA)x + 2x'Gib^±/;[^(a-rI4+5l.CT)]. . (4.263)

Глава 4, Нелинейные системы управления 241
Выделяя в (4.263) полный квадрат, получаем
4Vi=xtt,x-ft.<p(a)a/;.f (4.264)
at
где N, определено в (4.257). Отсюда
\^{%)^(о)^<\х%х^(а)^-у21, (4.265)
ош о
где
с'х0
v2/ = nSi J <P(°)V; (o)do, (4.266)
0
поскольку
a
$ <p(X)\\fi(X)dX>0. (4.267)
о
Оценивая форму * N>*< ntx x, приходим к неравенству
-v2;,n,<0,
Ц(у()щ(о)^<-
Т /
toj™ Wi(o)dt-v2h ц,->0.
o°
Введя определенную в формулировке леммы функцию |3(и) и учитывая, что
получаем
т d т
J-(Vi)V/(a)^<p(^)JzWr-v2l, (4.268)
о о
Используя (4.268) в (4.261) и подставляя в (4.261) тождества
z = ox, Ti = £x, xa = z - Az - ЬсЧ|,
получаем (4.255). Лемма доказана.
4.11.9. Критерий устойчивости стационарных систем
Рассмотрим устойчивость модели второго уровня, состоящей из уравнений (4.174)
и неравенств (4.31), (4.254), (4.255). Устойчивость этой модели обеспечивает
устойчивость исходной стационарной системы (4.29), (4.31).
Теорема 4.33 [17,18]. Модель второго уровня абсолютно устойчива, если
существуют такие действительные числа a,g! >0, #2^0, г>0, причем k~l -(g{-g2)c'b>0,
и такие действительные п хп -матрицы, Q>0 и G, что при всех о>> 0 выполнено
неравенство
Re{Q(o(y(o) + ^"1l)+^1(G + acc/)[(7(oI-A)0(;co) + bc/]-
—gfii»)®*(;ю)Ф(./<о)}>0 , (4.269)
где Ф(/со) = D(R -у coI)"lS; \i - наибольшее собственное значение матрицы
N = -(M + M/);
2V '
17 3ак. 232

242 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
М = A G + GA + ии + g2kccA'y
2Yw = (G + G/)b + r(c + gAc); (4.270)
У2=ф'1-£С'Ь), g=g{~g2.
Функция Р(со) описана в лемме 2.3.
Доказательство. Положим в (4.254) а = (Xi-a2 и в (4.255) G3 = G4 = 0, G = Gp-
- G2. Тогда утверждение теоремы получается из квадратичного критерия Якубовича
с использованием связей (4.31), (4.254), (4.255).
Наряду с системой (4.29) - (4.31) можно рассмотреть эквивалентную ей в смысле
устойчивости систему, полученную с помощью преобразования £i = ко - £ :
х = Ах-Ы^ , А = А +кЪс'\
^=kG-q>(G) = <f>x(c); (4.271)
0<<р{(о)о<ко2.
Формальное применение критерия (4.269) к системе (4.271) приводит к еще
одному критерию абсолютной устойчивости преобразованной системы: преобразованная
система абсолютно устойчива, если существуют такие действительные числа
&,#! >0, g2 ^0, г>0 и такие действительные матрицы Qi>0 и Gb что при всех
со > 0 выполнено неравенство
Re{Q1(o(7(o)+rll) + |1(G + acc/)[(7Wl-A)o(70))-bc/]-
-f liP(n)<b* (усо)Ф(7(о)} >0, (4.272)
где
ф(ую) = -(1 + £Ф(70>))~ Ф(./со);
II - наименьшее собственное значение матрицы N = — (М + М'):
М = A'G! + G{ A + ии + £2*сс'А;
2YM = -(G1+G;)b + r(c + gAc); (4.273)
ТГ2=г(*-1-^сЪ), g = gx-g2.
Критерии (4.269) и (4.272), по-видимому, не сводятся друг к другу и поэтому могут
рассматриваться как различные. Связь между ними поясним в следующем разделе.
Пример 4.8. Рассмотрим систему третьего порядка со стационарной обратной связью
г -ч jcj =-101*! +*2+(p(a);
х2=-5хх+хъ\
jc3=-100jc,-(p(a);
0 = *!
и с передаточной функцией линейной части
W(s) = -2 Ц^ .
Годограф видоизмененной частотной характеристики
W,(yco) = RelV(;a))+ jvlmW(ju)
и прямая Попова для наибольшего коэффициента усиления к = 4,85 показаны на рис. 4.16.

Глава 4. Нелинейные системы управления
243
lmW\
Рис. 4.16
Из рис. 4.16 видно, что критерий Найквиста и критерий Попова для данной системы дают различные
области устойчивости по параметру к. Элементы фу передаточной матрицы преобразованной системы Ф(р)
задаются выражениями
Аф, 1 = -2р5 - 404/ - 20430р3 - 4030р2 - 80920р - 4800;
Аф12 = -2р4 - 202р3 - 4р2 + 4р;
Дф13 = -2р3 + 32р + 1608;
Аф21 = 11р4 + 1412р3 + 40р2 - 2420р -160800;
Аф22 = -р5 - ЗОЗр4 - 20404р3 - 402р2 + 404р;
Дф23 = -Р4 " 202Р3 + 16Р2 + 4036Р + 162408р;
Аф31 = р5 + 503р4 + 40622р3 + 3220р2 + 80400р;
Аф32 = р4 + 603р3 + 40622р2 + 1620р;
Дфзз = -р5 - ЗОЗр4 - 20420р3 -1614р2 + 444р + 3240;
Д (р) = Р6 + 404р5 + 5 ЮЗОр4 + 20666857р3 + 447530р2 +
+ 8172900р ++324000.
Нахождение наибольшей области устойчивости по параметру к, при котором выполнен критерий
(4.269), сведено к задаче нелинейного программирования /:—>тах при ограничениях (4.269) и Q > 0 Задача
решалась методом штрафных функций. Значение к = 5,42 получено при следующих величинах свободных
параметров:
1,0000
Q =
-1,7718-1(Г3 -2,9910-Ю"2
-3,5932-КГ2 8,7810-10"4 6,2690-10"3
-4,5513-Ю"2 -5,1960-10"3
г2
0,8910
1,5950-10
-3,0200-Ю"3 -4,9667 -Ю"3
G= 1,0987-10"2 1,4040-10"3 -3,0130 10"3
4,2230-10"3 2,811010"3 1,2500-10"3
г = 0,1310 ; а = -0,1093 ; gl =0,0706 ; g2 = 0.
17*

244 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
4.11.10. Сравнение с критерием Попова
Покажем, что критерий (4.269) более сильный, чем критерий Попова.
Лемма 4.4 [17,18]. Пусть выполнено частотное условие Попова (4.53). Тогда
существует матрица Q > 0 такая, что для всех со > 0 выполнено неравенство
Re 0{фр {]<&) +к'^ + <7[(;coI-Rp_1)Op (j(o) + DpSp -сЪ1,]}>0. (4.274)
Доказательство. В соответствии с частотной теоремой Якубовича - Калмана при
достаточно малом е > 0 из (4.53) следует существование решения уравнения Лурье
(4.37). При этом мы находимся в условиях леммы (4.1) и теоремы (4.128) с заменой
вектора с на вектор с + q\c при у2 = к~{ - qcb. Поэтому справедливо неравенство
ReL[p-1]U(c + 9A'c)'[p] A[p]- jv> Imy\] + (k-x -«сЪ)1,1>0. (4.275)
Согласно свойству 11 из таблицы степенных преобразований имеем
(c + qA'c)[p]=c{p]+q(cA)[p]. (4.276)
Свойство 20 дает
(cA)[P]=c[p]Aw-Vi]c'w' <4-277>
Элементарными преобразованиями получаем
с(р]АН (А Ы - **« Г Ь[р] = cHbW+ Мр) (А W ~ j(ul- Г ЬЫ- (4'278)
Подставляя (4.277) и (4.278) в (4.275), получаем неравенство
RelP-Ч {(l-9AM)ic[p] (АЫ - МЯУ Ъ[р] + (4.279)
+7cWb["]+ J%C'W Ы ~ М- )"1 Ьы+(к-1 - дсЪ)1(} > о, v»> 0.
Используя соотношение 19, 20 таблицы преобразований, получаем неравенство
(4.274), в Q = M^lMm,.! . Теорема доказана.
Теорема 4.34. [17,18] Пусть существует действительное число q, для которого
выполнен частотный критерий Попова (4.53). Тогда при q >0 выполнен частотный
критерий (4.269), а при q < 0 - критерий (4.272).
Доказательство.
1). Пусть в условии (4.53) q > 0. В соответствии с частотной теоремой Якубовича
- Калмана из (4.53) следует существование действительной симметрично
положительной определенной матрица L, удовлетворяющей уравнениям Лурье (4.37) при
достаточно малом е > 0. Положим в (4.269) Q = G = L, а = 0, gi = #. В силу
замечаний в лемме 4.2 имеем N < 0, Р(ц) = 0. Применение леммы (4.123) завершает
доказательство для этого случая.
2). Пусть в (4.53) q < 0. Используя обозначения
^(усо) = -^(уа>)/(1 + ^(7Со)),
из (4.53) получаем неравенство
RcW{ (j(u)(l-qj(d) + k-l>0. (4.280)
Это неравенство одновременно является условием абсолютной устойчивости для
системы (4.271). Учитывая, что W{(j(o) = -c/(A-./col) b, и используя частотную
теорему, получаем решение соответствующих уравнений Лурье

Глава 4. Нелинейные системы управления 245
A/L1+G1A = -ww/-eP, еР = еР'>0;
уи = -21^ + 0-^'с; (4.281)
yz=k-l-g&.
Из леммы 4.4 следует
ReL1{o(70>) + it-1In-^(7(0l-A)o(;a))-c/bIn}>0. (4.282)
Приняв в (4.272),(4.273) Q^G^Li , a = 0, rx =1, gx = -q9 g2 =0, получим
совпадение левых частей (4.272) и (4.282), что и завершает доказательство.
Из теоремы 4.34 следует, что область устойчивости, соответствующая критерию
Попова, вложена в одну из областей устойчивости, даваемых критериями (4.269) и
(4.272). Практическая проверка этих критериев является задачей нелинейного
программирования. В качестве начального приближения полезно найти такие значения
параметров, при которых критерий Попова выполнен. Поэтому при q > 0 нужно взять
критерий (4.269), а при q < 0 - критерий (4.272).
4.11.11. Оценки качества
Рассмотрим сначала мгновенную оценку состояния системы управления в виде
квадратичной формы
V(x) = xiMx. (4.283)
Любая квадратичная форма вида (4.283) может быть представлена в виде
линейной формы от координат вектора у = х[2]:
V(x) = ay. (4.284)
В соответствии с (4.210) имеем
ъ'у = «'/о " \ct$(t-X)r\{K)dK (4.285)
о
где
9(0=z;i{(r2-.i)-1s2},
/(0 = L-1{(.I-R2)-1yo},
л('К('М0 •
Применяя к интегралу в (4.285) неравенство Коши - Буняковского, получим
1 i
' ft Л! ft \г
]ct$(t-X)r\{\)dX<\ |а/ф(г-Л)ф/(/-Х)о^Х • jr\'(X)r\(X)dX . (4.286)
о [о ) [о )
Отсюда следует
V(x)<a'/(O+H(OH,> (4-287)
V(x)>a'/(0-^i(0lN|,, (4.288)
где
ц(г)= (а'ф((-Х)ф'((-1)^ , (4.289)

246 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Таким образом, формулы (4.286) - (4.290) дают двустороннюю оценку для V(x),
если известны величины ц,(0 и Цт^. В качестве оценки для ||т1|г можно использовать
формулу (4.219), положив в ней/! = 0:
Рассмотрим теперь вычисление интегральной оценки
оо
I = fy'Gydt (4.291)
о
для модели произвольного уровня р:
у = А[р]у + Ъ[р]Ц
(4.292)
ц'д[)с[р]у-Г'л]>0.
Зададимся квадратичной формой V = у Ну и вычислим ее производную в силу
(4.292):
V = y'JA^H + НА[р])у + 2у'НЬ[р]П. (4.293)
Дальнейшие рассуждения почти дословно повторяют содержание п. 4.7 с учетом
особенностей модели (4.292). Окончательно получим
ISe-VjHyo, yo=xjrf, (4.294)
где Н - решение обобщенных уравнений Лурье
A'{p]H + HA[p]+eG = -h^h\
1 Q+Q (4295)
В соответствии с частотной теоремой уравнения (4.295) имеют действительное
решение тогда и только тогда, когда выполнено для всех со > 0 частотное условие
KeQ^lKrH'V*-'1)- (42%)
еЬы К)" Н"1 G (A ы - ;ш1Г ьм > °-
При достаточно малом е условие (4.296) эквивалентно условию абсолютной
устойчивости (4.183).
Еще раз подчеркнем, что подинтегральная функция в оценке (4.291) является
формой четной степени от элементов исходного х. Оценка (4.294) может иметь место
и в тех случаях, когда не выполнен круговой критерий (но выполнено условие
(4.296)).

Глава 4, Нелинейные системы управления 247
4.12. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ
КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.12.1. Общие положения
Идейной основой метода функциональных рядов является опубликованная в
1910 г. работа М. Фреше, в которой установлен факт существования некоторого
сходящегося ряда, описывающего непрерывный функционал. На основе этого результата
построена теория нелинейных систем. Эта теория, называемая обычно
аналитической теорией нелинейных систем, имеет целый ряд привлекательных черт: она
применима для решения широкого круга нелинейных задач и опирается на строгий
математический аппарат. Важным достоинством аналитической теории является
возможность обобщения центральных понятий теории линейных систем на
рассматриваемый класс нелинейных систем* В аналитической теории так же, как и в
теории линейных систем, центральными являются понятия импульсной переходной
функции, передаточной функции, частотных характеристик и др. В связи с этим,
используя рассуждения, применяемые при решении конкретных задач в теории
линейных систем, удается получить решения соответствующих задач для класса
нелинейных систем. К таким задачам относятся задачи детерминированного и
статистического анализа, синтеза корректирующих устройств, расчета оптимальных фильтров по
критерию минимума среднеквадратической ошибки, идентификации и др. В отличие
от линейного случая в рассматриваемом подходе используется аппарат многомерных
динамических характеристик (многомерные ИПФ и ПФ) [123].
Первые применения функциональных рядов для описания, исследования и
синтеза нелинейных систем управления связаны с именами Н. Винера, А. Бозе, Л. Заде,
B.C. Пугачева, Г. Ван-Триса, П.И. Кузнецова, Р.Л. Стратоновича, В.И. Тихонова и др.
B.C. Пугачев рассмотрел вопрос преобразования случайных функций, приводимых к
линейным. В [114] отмечено, что класс нелинейных преобразований случайных
функций, приводимых к линейным, очень широк.
В работах ряда авторов (Г. Ван-Трис, Н. Джаган и Д. Редди, Р. Мак-Фи, П. Франк,
Дж. Лаббок, М. Шетцен и др.) рассматривается проблема построения рядов Вольтер-
ра, описывающих поведение замкнутых систем. Используемый аппарат -
многомерное преобразование Лапласа (см. приложение 1). Решению той же задачи во
временной области посвящены работы Р. Флейка, Г. Марчезини, Г. Пикки, М. Килькевича и
др. авторов.
Аппарат рядов Вольтерра широко применяется для синтеза оптимальных
фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки; получены системы
интегральных уравнений, определяющие оптимальные многомерные ИПФ и рассмотрены
методы решения этих уравнений. Д. Катцнельсон, А. Гулд, М. Лион, Г. Марчезини,
М. Тасинари рассматривают в своих работах итерационные процедуры для
определения многомерных ИПФ оптимальных систем.
Значительное число работ посвящено решению проблемы сходимости
функциональных рядов, а также идентификации динамических характеристик.
Начиная с конца 60-х годов, издаются книги, которые полностью посвящены
решению проблем исследования и проектирования нелинейных систем с помощью
рядов Вольтерра или в которых эта проблема рассматривается частично.
В книге «Техническая кибернетика за рубежом», изданной под ред.
В.В. Солодовникова в 1968 году, помещена совокупность работ, посвященных
описанию и идентификации нелинейных объектов типа Вольтерра [164].
Аппарат рядов Вольтерра и широкий спектр его применения наиболее полно изложен в [72, 123].

248 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
В 1976 г. была опубликована монография К.А. Пупкова, В.И. Копалина и
А.С. Ющенко «Функциональные ряды в теории нелинейных систем», в которой
систематически и с единых методологических позиций изложена теория нелинейных
систем на основе рядов Вольтерра и ортогональных разложений Винера.
Рассматриваются задачи анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем. Для их
решения используются ряды Вольтерра, многомерные преобразования Лапласа и Фурье.
Особое внимание уделено практическому применению указанных методов [123].
В этом же году увидела свет книга Ю.С. Попкова, О.Н. Киселева, Н.П. Петрова и
Б.Л. Шмульяна «Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических
систем», которая посвящена вопросам идентификации и оптимизации систем,
информация о которых носит стохастический характер. Вопросы оптимального синтеза и
идентификации излагаются в ней на единой методологической основе, какой
является описание систем функциональными рядами Вольтерра. При решении задач
синтеза особое внимание уделяется структурному синтезу нелинейных систем. Изложение
сопровождается решением конкретных задач [72].
В настоящем параграфе кратко излагаются основные положения метода
функциональных рядов Вольтерра в части описания класса нелинейных систем и решения
задач детерминированного исследования.
4.12.2. Описание нелинейных систем
функциональными рядами вольтерра
Отправным пунктом этого подхода является положение о том, что сигнал на
выходе нелинейной системы можно рассматривать как функционал, заданный на
множестве возможных процессов, действующих на ее вход. Далее используется теорема,
доказанная в 1910 г. французским математиком М. Фреше. В этой теореме М. Фреше
показал, что для любого непрерывного функционала x\y(t)] существует
последовательность функционалов xk \y(t)], которая при &-»«> сколь угодно точно
аппроксимирует x\y(t)] (здесь y(t) и x(t) - детерминированные функции).
Если ДУ, описывающее поведение системы управления, записать в форме
^а.Ы* + F(x,x,x,...) = y(t),
где F(x,x,x,...) - аналитическая функция своих аргументов, то аппроксимирующая
последовательность имеет вид
xdy(t)]-f,j-]h(t^^-^)y^i)y^2)'^k) dxxdx2...dxk , (4.297)
*=io о
где ряд (4.297) называется функциональным рядом Вольтерра, k(t, ть т2, ... , т*) -
многомерные импульсные переходные функции нестационарной системы (ядра
Вольтерра).
Теорема Фреше утверждает, что существует последовательность ядер
k{(t, х{, х2 , ..., т,), при которой x(t) приближается рядом сколь угодно точно. Эту
теорему можно рассматривать как обобщение на функциональное пространство
известной теоремы Вейерштрасса о существовании последовательности
коэффициентов степенного ряда, сколь угодно точно приближающего произвольную
непрерывную функцию.
Таким образом, совокупность ядер ряда однозначно определяет динамические
свойства нелинейной системы, а само ядро k;(t, хх, х2 , ... , х() часто называют
также импульсной переходной функцией i-го порядка [72,123,164].

Глава 4, Нелинейные системы управления
249
Утверждение теоремы Фреше представляет собой теорему существования, т.к.
в формуле (4.297) ядра &,(/, т^ т2 , .., т,) остаются неопределенными, а
гарантируется лишь возможность в каждом конкретном случае найти последовательность
аппроксимирующих функциональных рядов.
Структурная схема нелинейной системы,1 описываемой функциональными рядами
Вольтерра, может быть представлена в виде, показанном на рис. 4.17.
yif)
*,(г,т,)
А2(г,т,,т2)
А,(<,т,,т2)...,т,)
x(t)
Рис. 4.17. Структурная схема нелинейной системы
Для стационарных систем ряд Вольтерра может быть представлен в виде
бесконечной суммы
оо
*(0 = Х *,•(').
;=i
где для i = п
хп(О = |..|^(т1,т2,...д^^-т1Жг-т2)...>;(^т^^т1^т2...^т/1. (4.298)
о о
В данном случае каждая подсистема п-ro порядка (формула (4.298))
характеризуется своим ядром кп(хи х2,.., т„) л-го порядка. Первая подсистема является линейной;
ее выходной сигнал представляет собой свертку входного сигнала y(t) с импульсной
переходной функцией линейной части системы. Вторая подсистема является уже
нелинейной и носит квадратичный характер. Ее выход есть свертка второго порядка
входа с импульсной переходной функцией к2(хи т2). Аналогично третья подсистема
носит кубический характер; ее выход х,(0 представляет собой трехмерную свертку
входа y{t) с импульсной переходной функцией k3(xh Ъ, ^з), которая может быть
названа ядром Вольтерра третьего порядка.
Таким образом, применение рядов Вольтерра является обобщением интеграла
свертки, используемого для описания линейной системы [72].
Этот аппарат обобщается и на случай, когда Y(t) и X(f) - случайные процессы. Для
стохастического случая ряд Вольтерра может быть записан в виде
*О = Ё ]-~]к«^2,.-,%)У(Ъ)У(*2)-- Y(xv)dxxdx2... dxv. (4.299)
v=l 0 О
Покажем, что ряд Вольтерра естественно возникает при описании во временной
области системы, в которой имеется безынерционный нелинейный элемент, предста-
вимый рядом Тейлора или полиномом [72, 123].
Рассмотрим непрерывную нелинейную систему (рис. 4.18), образованную
последовательным соединением линейного инерционного и стационарного
полиномиального безынерционного звеньев.
y(t)
•► k(t,T)
z(t)
+\F[z]\-
x(t)
Рис. 4.18. Структурная схема системы
16 3ак. 232

250 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Для такой системы соотношения между сигналами y(t) и x(i) имеют вид (y(t) и x(t)
- детерминированные функции)
z(t) = jk(t9x)y(x)dx9 (4.300)
о
4O = /rU(O] = Sc/z'(O. (4.301)
Общее описание системы можно получить, подставив (4.300) в (4.301)
x(t) = F\jk(t9x)y(x)dx
Lo
N i Г'
N t
= £cJf*^T)>;(T)</T =
/=i lo
^^(«MjWxpftj
Ы y=l LO
N t t i
(4.302)
i=i о о i=i
Если обозначить JJ/:(r,T;) = ^(r,x1,...,T,),/ = l,...,N, то соотношение (4.302)
примет вид ряда Вольтерра
^O = ScJ--j*.?^Ti-T2---Ti0riy(Ty)rfT1..^x/ =
/=1 ° ° • М (4.303)
i=l 0 0
Пусть, например, линейная нестационарная система имеет импульсную
переходную функцию £(/,т) = ехр —(г2-т2) . Это соответствует дифференциальному
уравнению[123]
dx(t) , ч
dt
Тогда ядро порядка / получается в виде
*|-(/,т1,т2,...,х1.) = Пехр ~(г2-т5)[
i=i L z -1
Если линейная система стационарна, то ряд (4.303) может быть записан
следующим образом
^(0 = Ес^...|^(т1,х2,...,т/)П>;а-т7.Мт1...^ =
i=l 0 0 .7=1
= 'Zj..'jki(xX9x2,...9xi)y(t-xl)...y(t-xi)dxl..ulxi9
'=1 0 О
причем его ядра определяются формулами
*?(TifT2 х|.) = П*(ту), / = 1 Л^.

Глава 4. Нелинейные системы управления
251
Если линейная часть системы - апериодическое звено с коэффициентом усиления
К и постоянной времени Г, то
1
к(х) = Кехр( т) и *|?(т1,...,т|.) = К/ехр
~1Ъ
т> 11
1—1
J'~l
Ядро второго порядка для К = 1 и Т= 1 изображено на рис. 4.19.
*2(т„т2)
Д,0
Рис. 4.19. Импульсная переходная функция 2-го порядка
Ядра полинома (4.303) полностью разделимы (сепарабельны), т.е. ядро порядка /
представимо в виде произведения / ядер первого порядка. Другой возможный тип
ядер - это частично разделимые ядра. Частично разделимое ядро порядка /
представимо в виде произведения j ядер (/< /) низших порядков. Например, ядро третьего
порядка вида
*з^т1,т2,т3) = *1^Д|)А:2(/>т2,Хз)
будет частично разделимым.
Если ядра частично или полностью разделимы, то это существенно упрощает
расчет системы. Однако на практике ядра этого типа встречаются редко. Рассмотрим,
например, непрерывную систему (рис. 4.20), образованную последовательным
соединением двух линейных инерционных систем, разделенных безынерционной
нелинейностью.
у(0
й(М)
z(t)
k(t т)
K\ttX)
At)
Рис. 4.20. Структурная схема системы
Ядра этой системы будут уже неразделимыми. Покажем это [123]
x(t) = jk(t,x)i
jh(x,a)y(a)dc
dx =
16*

L2L
/\HdJiHi и Li спин иссекал динамика \^t\ j . -la*, 1 ь а
=}*MX<«
0
J/i(x,a)y(a)Ja
dT =
=Ы*МП
/=i о
N t t
7=1
}*(т,а,),(а,)*а,Л =
(4.304)
(4.305)
i=l 0 0 7=1
В (4.304) для i = 1, ..,N обозначено
g|.(r,a1,...,a|.) = J*(r,x)nfc(T,a/)dT.
0 7=1
Выражение (4.305) определяет неразделимые ядра Вольтерра.
Предположим, что &(г,т) = ехр[-(г-т)]-ехр[-2(/-т)], что соответствует
дифференциальному уравнению второго порядка [123]
d2x(t)dx(t)
dt*
+з^+2*(0=«(0-
dt
Если h(t,x) = exp[-(r-x)], то ядро первого порядка всей системы с учетом условий
причинности получится из формулы (4.305) в таком виде:
t
*i(f-T) = J[exp[-(r-o)]-exp[-2(r-o)]]exp[-(c-T)]do =
= (f-T)exp[-(f-T)]-exp[-(f-T)] + exp[-2(f-T)].
Ядро второго порядка будет таким [123]:
g2(r-T,,f-T2) =
I
тах{т,,т2}
exp[-(f-a)]-exp[ -2(f-a) ]Г1ехр[-(а-ту)] t/a =
7=1
-exp[-a-x1)]expKr-T2)] + exp[-(r-T2)]-
-(/-хОехр^гг + ^+Тг], т^Хз,
-exp[-a-x1)]expHr-x2)] + exp[-(r-x1)]-
-(г-х2)ехр[-2г + т1+т2], т2>х1.
Приведенные примеры являются иллюстрацией к общему положению, согласно
которому любую функциональную нелинейную систему без обратной связи,
образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических
безынерционных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра. Одновременно эти примеры
показывают, как это можно сделать практически.
Далее рассмотрим методы построения рядов Вольтерра, описывающих поведение
замкнутых нелинейных систем.
Рассмотрим замкнутую нестационарную нелинейную систему, поведение которой
описывается уравнением
ап (t)x(n) + an_{ (t)x(n-{) +... + ao(t)x + F(x(t)) = y(t), (4.306)
где
F(x) = c2x2 + c3jc3 +... + cNxN = X ckxk (0. (4.307)
k=2

Глава 4. Нелинейные системы управления ; 253
Будем находить решение этого уравнения в виде (4.303).
Поскольку
ап (t)x(n) + ап_{ (0*(""1) +... + ao(t)x = y(t) - F(x(t)), (4.308)
то очевидна справедливость нелинейного интегрального уравнения
оо оо
x(t) = \k(t,x)y(x)dx- jk(t,x)F(x(x))dx. (4.309)
о о
Воспользуемся обозначением
оо
*,(r) = J*(f,T)y(T)dx, (4.310)
о
где k(t, х) - импульсная переходная функция линейной части системы.
Тогда из (4.309) и (4.310) следует
ГN 1
*(O = *i(O-J*(',x) 2>У(т) \dx. (4.311)
0 L^=2 J
Будем находить решение последнего уравнения в виде функционального ряда
[164]
*(0 = f>w(0. (4.312)
Подставляя (4.312) в (4.311), имеем
N
о
Или, что то же самое,
x{(t) + x2(t) + x3(t) + ....=
1ск 5>ию
к=2 [ п=\
dx. (4.313)
2
= xl(t)-c2jk(t,x)[xl(x) + x2(x) + x3(x) + ...] dx-
0
00 з
-c3J^(M)[x1(t) + x2(t) + x3(t) + ...] dx-...-
0
оо
-cpjk(t,x)[xx(x) + x2(x) + x3(x) + ...]Pdx-... .
0
Раскрывая формулы возведения в квадрат, куб и т.д., получим выражение
Ё^(О = ^(О-С2^аД)[Л12(т) + Л-22(т) + Хз2(Т) + ...+
л=1 0
+2х, (т)*2 (т) + 2*, (т)дс3 (т) + 2*1 (т)дс4 (т) +... + .
+2д:2 (т)л3 (т) + 2х2 (т)д:4 (х) +...+2хг (т)хг+1 (х) +... ]dx-
оо
-c3jk(t,x)[xUT:) + ^(x)x2(x) + 3xi(x)xl(T) + xl(x) + ...]dx-
0 (4.314)
-c4J^,T)[x14(T) + ...]rfx-c5J*(/Ix)[^(T) + ...]dT-... .

254
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Далее будем строить члены ряда Вольтерра, используя следующие рассуждения.
Эквивалентная нелинейная система, математической моделью.которой является ряд
Вольтерра, может быть представлена структурной схемой (рис. 4.21).
,x(t),
АО
»>
*(/,т)
ь(* Л
k{t,x)
>
►
/
\
/
j
1
2
xx(t)
\
X3(t) //
Xn(t)/
у
Рис. 4.21. Структурная схема нелинейной системы:
У - линейный канал', 2 - квадратичный канал; 3 - канал с характеристикой возведения в куб
Выделим из (4.314) члены, определяющие математическую модель линейного
канала. Она определяется зависимостью
*i(/) = J*(r>T)y(T)rfT = J*1(/fT1)y(Tl)dx1.
о о
Квадратичный канал описывается формулой
оо
x2(t) = -c2jk(t,T)xf(T)dT.
о
Поскольку из (4.314) следует
оо оо
дс,2(х) = /*,(т,т1)у(т1)Л1-/*1(х,х2)у(т2)Л2,
о о
то выражение, определяющее дг2(0» можно представить в форме
(4.315)
*2(O = JJ
О О
-с2 J k(t, x)kx (т, Т! )кх (т, т2 )dx
y(T[)y(x2)dxldx2 =
= J jk2(t,xl9x2)y(xl)y(x2)dxldX29
о о
где
k2(t,x[ix2) = -c2jk(tix)k{(x,x[)kl(x,x2)dx.
(4.316)
(4.317)
Очевидно, третий член в ряде (4.313) представляет собой составляющую
выходного сигнала на выходе кубической ветви системы. Для построения ее
математической модели из правой части (4.314) необходимо выбрать все члены, содержащие в
многомерном интеграле Коши произведение у{(х)у2(х)у3(х).
Из (4.314) имеем
х3(0 = -2c2jk(t,x)x{(x)x2(x)dx-c3jk(t,x)xl(x)dx.
(4.318)
Раскроем зависимости, определяющие х{(х)х2(х) и ^(т).

Глава 4. Нелинейные системы управления
255
Находим
оо оо оо
xi(T)x2(x) = jkl(x,xl)y(xl)dxrjjk2(xix2,x3)y(x2)y(x3)dx2dx3y
о о
^i3(t) = JJJ/:1(t^0^i(^^2)^i(^^3)>;(^)>;(^2)>'(^3MVM^3-
000
Подставив последние две зависимости в формулу (4.318), можно записать
выражение, определяющее x3(t)
*з
o-jjj
00 0
|(-2с2)*(г,т)*1(т,х1)*2(х,т2,т3)Л
ху (*i) у (х2) у (х3 )dx{dx2dx3 +
+]]]\](-C3)k(t,x)kl(x,xl)kl(x,x2)kl(^)dx
oooLo
*У (Ti) У (Т2) У (b )dx{dx2dx3 =
оооооо
= llJk3(t,xl,x2,T3)y(xl)y(x2)y(x3)dxldx2dx3i
(4.319)
ооо
где
k3(t,x{,x2,x3) = |(-2с2)*1(Г,т)А:1(т,т1)*2(т,т2,Тз)Л+
о
оо
+J ("Сз )*i С> T)*i (т> Ti )*i (т> Т2 )*i (т. ^з № •
(4.320)
Поступая аналогичным образом, можно записать формулу, определяющую выход
X4(t)
оо
*4(0 = - c2Jt(r,T)[jc|(T) + 2j:1(T)jC3(T)]dT-
0
-3c3j*(M)jc12(x)jC2(T)dT-c4Jik(r>T)jc14(T)dx.
о о
Подставляя в эту зависимость выражения, определяющие х\(х) , 2х{(х)х3(х\
Х\(х)х2(х) и ^(т), получим
ооооооооГоо 1
^4(0 = JJff М(-^2)*Лт)*2(^Х1,Х2)*2(Х>Хз.Т4)Лкх1)у(Х2)у(Хз)у(Х4)Х
оооо[_о . . J
Х^Т1^Т2^Тз^Т4 +
оо «л» MJ ъя^ I gg
+JJJJ J("2c2)*(r,T)*1(T,T1)*3(T,X2T3,T4)rfT
ooooLo
xdxxdx2dx3dx4 +
y(Ti)^(x2)y(T3)y(T4)x

256 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
ооооооооГео
■Jff J J(-3c3)ika,T)*1(T>T1)t1(T,T2)*2(T>T3,T4)rfT
о о о о [о
xdxxdx2dx3dx4 +
У^ЫъгМъЫ^А)*
оо оо оо оо I оо
+J J J J J(-C4)*a^)*l(x,T1)t1(x,T2)t1(T>x3)*iCc^4) dx
ooooLo
xdx{dx2dx3dx4.
Или, что то же самое,
У(Т!)у(Х2)у(Хз)у(Х4)Х
оо оо оо оо
X4(O = JJJJ*4^T1^2.T3»T4)y(Tl)y(T2)y(T3)y(T4)rfVMx3dT4.
00 00
где
оо
^4(^T1'T2'T3'T4) = J[(-C2)^(/,T)^2(T,T1,T2)/:2(X,T3,T4) +
0
+(-2с2)*(/,х)*1(х,х1)*3(х,х21х3.'С4) +
+(-Зс3)*(/,х)*1(х,х1)*1(х,х2)*2(х,ХзД4) +
+(-с4)*(г,х)*1(х,х1)«:1(х,х2)«:1(х,Хз)*1(^Х4)]^.
Для составляющей x5(t) справедливы формулы
оо оо
jc5(O = -2c2jA(<,T)jc,(T)*4(x)£/T-2c2J*(r,T)jc2(T)*3(x)rfT-
0 0
оо оо
-3c3fk(t,T)xl(T)xl(T)dT-c5jk(t,x)x5lWT =
о о
оо оо оо оо оо оо
= JJJJJ[J[(-2c2)*(/,t)*1(t,x1)A:4(t,t2,T3,T4,t5) +
0 0 000 0
+(-2с2)'*(г,х)«:2(х,х1,х2)*з(х,ХзД4.т5) +
+(-Зс3)«:(г,х)«:1(х,х1)*2(х>х2,Хз)*2(^Т4.Т5) +
+(-с5)^(М)/:1(т,т1)/:1(т,х2)/:1(т,Тз)^1(т,Т4)^(х,Х5)]^х
Отсюда имеем
оо оо оо оо оо
*5(0 = J J J J J к5(1,х{,х2,х3,х4,х5)у(х{)у(12)у(х3)у(т4)у(х5) dxxdx2dx3dx4dx5,
00 00 0
где
оо
*5^т1.т2^3.^4Д5) = /[(-2с2)«:(Г,Х)*1(Х,Х1)А:4(ХэХ2эХз,Х4,Х5) +
о
+(-2с2)*(Г,Х)*2(Х,Х1,Х2)*3(ХэХз,Х4,Х5) +
+ (-3c3)*(/,X)*l(X,X1)*2(X,X2,X3)*2(^^4.T5) +
+ (-с5)^(г,х)/:1(х,х1')/:1(х,х2)^(х,Хз)/:1(х,Т4)^(х,Х5)]^т-
Аналогичным образом можно получить ядра /:6(r,rh...,x6), A:7(^x1,...,x7) ИТ-Д-

Глава 4. Нелинейные системы управления
257
Структурная схема системы, описываемая рядом Вольтерра, представлена на
рис. 4.22.
*i(0
y(t)
Рис. 4.22. Структурная схема нелинейной системы, описываемой дифференциальным уравнением
(4.306) и эквивалентным ему функциональным рядом Вольтерра
На рис. 4.23 представлена структурная схема эквивалентной нелинейной системы,
поясняющая механизм формирования линейного, квадратичного и т.д. каналов на
основе первичной информации, содержащейся в исходном нелинейном
дифференциальном уравнении.
Воспользовавшись зависимостью (4.312), можно получить решение задачи
расчета выходного сигнала x(t) (детерминированный анализ).
С целью решения задачи анализа рассматриваемого класса нелинейных систем
можно воспользоваться аппаратом многомерного преобразования Лапласа (см.
Приложение 1).
4.13. МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Математические модели систем автоматического управления являются, как
правило, нелинейными. В то же время в теории автоматического управления хорошо
обоснованными являются методы анализа и синтеза, ориентированные на класс
линейных систем управления. Поэтому одним из подходов, позволяющих применить
методы теории линейных систем управления* является линеаризация нелинейных
систем.
Сущность линеаризации состоит в том, что нелинейная математическая модель
заменяется некоторой эквивалентной ей линейной моделью. Причем динамические
свойства линеаризованной модели достаточно близки к свойствам нелинейной
модели только при определенных условиях и ограничениях и в рамках решаемой задачи.
Методы линеаризации можно условно разделить на две большие группы:
статическая линеаризация; динамическая линеаризация.
Основным методом статической линеаризации для нелинейных математических
моделей с аналитическими нелинейностями является метод линеаризации
относительно заданной опорной траектории. Примером динамической линеаризации может
служить линеаризация Ньютона - Канторовича, получившая название
квазилинеаризации.

Глава 4. Нелинейные системы управления 259
4.13.1. Линеаризация вблизи опорной траектории
Математические модели систем автоматического управления могут быть заданы:
• в виде структурной схемы;
• в виде одного дифференциального уравнения;
• в виде системы дифференциальных уравнений.
При задании математической модели в виде структурной схемы нелинейные
элементы представляются в виде функциональных преобразователей с одним или
несколькими входами. В этом случае операция линеаризации выполняется для каждого
функционального элемента.
Если математическая модель задана одним дифференциальным уравнением или
системой дифференциальных уравнений, то линеаризуются уравнения системы.
4.13.2. Линеаризация функциональных преобразователей
Рассмотрим нелинейный функциональный преобразователь, описываемый
выражением вида
^/(Л.Уг.-.У,,). (4-321)
Здесь У\,У2*—*Уп ~ входные сигналы, х - выходной сигнал преобразователя.
Относительно функции /(У\,У2,—,Уп) предполагается, что она является аналитической
в заданной области изменения переменных У1,у2,—,У„9 т.е. имеет необходимое
число частных производных.
Полагаем также, что задана некоторая опорная траектория движения системы.
Под опорной траекторией понимается движение, соответствующее режиму
нормальной эксплуатации системы.
Полагается также, что реальное движение системы незначительно отличается от
опорного, т.е.
jc = jco+Ax, (4.322)
причем
Это предположение имеет силу и относительно входных воздействий
|ДУ/|«|У/о|. * = п (4-323)
Разложим нелинейную функцию (4.321) в ряд Тейлора в окрестностях опорной
траектории
ait +...+/„
w<* ^-г-гт^'Т^Т»»
~ ~/, !.../„! Эу,"..^
Ayj1 ..AyJ", (4.324)
У1=УЮ'1= 1»л
где Ду,- = у,-ую.
Ограничимся в ряде (4.324) первыми членами разложения, соответствующими
приращениям в первой степени. Остаточным членом ряда Тейлора, содержащим
приращения переменных в степенях выше первой и произведения приращений,
можно пренебречь в виду его малости. Поэтому
х = /(^i,..., Уп) ~ ДУю.-. Упо) +
Э/(У1,-,уя)
+...+
ду{
ЩУх.....Уп)
Ъп
Ау, +
*=»о.=пГ (4325)
Ду„_

260 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть I
Первое слагаемое в правой части (4.325) соответствует движению по опорной
траектории
*Ь=/(Ло.-.уяо). (4326)
Поэтому выражение (4.325) можно записать в виде
г . Э/(У1 у.)
— Хп =
х-хо
Эй
Луг +...+
Э/(у„-,уп)
ауя
или, что то же самое,
(4.327)
где
g ^ЭЛ^,...,^)
Эу,
- линеаризованный коэффициент передачи по /-му
И=Ло»*= 1»л
входу.
Соотношение (4.327) устанавливает линейную связь между входными
переменными и выходной координатой.
Замена ряда (4.324) его первыми членами геометрически можно
интерпретировать как замену гиперповерхности (4.324) гиперплоскостью (4.325), касательной к
данной гиперповерхности во всех точках опорной траектории.
Коэффициенты передачи Kt{t) являются функциями времени, если опорная
траектория также является функцией времени, или постоянными величинами, если имеет
место опорная точка.
Переход от выражения (4.321) к зависимости (4.327) означает переход к новой
системе координат для переменных х и yh i = 1, л (рис. 4.24).
±x(t),xo(t),Ax(t)
Рис. 4.24. К пояснению процесса перехода к новой системе координат
Часто выражение (4.327) записывают не для упрощений, а для самих сигналов
х = К1У1+К2у2+...+ КпУп. (4.327)
Результат отбрасывания членов высшего порядка малости, т.е. ошибку усечения,
можно оценить с помощью суммы членов второго порядка малости ряда Тейлора.
Пример 4.9. Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 4.25)
описывается следующей системой уравнений (насыщением магнитных цепей и реакцией якоря пренебрегаем)
и. = **-£ + *«•'«+«.
at
fd(O
/_ = Af-AfH,
e-d^-L- со.

Глава 4. Нелинейные системы управления
2Ы
*в
со, а
Рис. 4.25. Принципиальная схема электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением
Индексами «в» и «я» отмечены параметры (индуктивность L, активное сопротивление R) и переменные
(напряжение V, ток i) цепей возбуждения и якоря; М - электромагнитный момент двигателя, е - э.д.с. якоря.
Структурная схема электродвигателя представлена на рис. 4.26.
"в
е
Г
1
LBs-\
л
' ае
-К
1
+ я,
\
ч
>
/
ч
}
\
/
\
ам
Ч
м,
1
.У
т
J
0)
Рис. 4.26. Структурная схема нелинейной математической модели
электродвигателя постоянного тока
Функциональными преобразователями в данной структурной схеме являются умножители, т.е.
элементы, формирующие электромагнитный момент и э.д.с. якоря.
Проведем линеаризацию этих элементов в установившемся режиме -/„ =/я0, /в =/в0, (0 = (00. Эги
значения переменных определяют опорную точку.
Коэффициенты линеаризации для каждого из нелинейных элементов определяются в соответствии с
формулой (4.328):
"1я |'«-'«о
'» ='вО
Км2= — К'Л1 =dM-i
'в='.О

262 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть 1
Таким образом, нелинейные зависимости для электромагнитного момента двигателя и э.д.с якоря
заменяются линейными:
Ае = Кв{ Д/в+ Kei Доз.
Переходя от приращений к самим переменным, можно составить структурную схему для
линеаризованной модели электродвигателя (рис. 4 27).
О)
"в
i
е
г
1
V + ^B
1
V + Яя
К
f
f
1
к
IT..
Y
+1
•d" М 1-
+
1
/
Рис. 4.27. Структурная схема линеаризованной математической модели
электродвигателя постоянного тока
4.13.3. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений
Пусть динамика системы управления описывается дифференциальным
уравнением я-го порядка вида
Jc(/i)(/)=/(jc(/),/(/),...,jc^^r), y(t\yV)^/m\t)l 44.329)
где x(t) - выходной сигнал, y(t) - входное воздействие.
Полагаем, что функция f(x(t),...,y^m)(t)) является аналитической в области
изменения переменных x(t), y(t) и их производных. Полагаем также, что задана
некоторая опорная траектория движения системы, определяющая требуемый процесс
управления, на которой x(t) = xo(f), x\t) = jco(r) x(n'l)(t) = 4'M)(0, y(0 = yo(t),
y\t)=y'0(t) y°n)(t) = y(om)(t). Движение на опорной траектории соответственно
описывается уравнением
*о°С) = /(*<>('),*&('),..,Уо °(0). (4.330)
Пусть реальное движение системы незначительно отличается от движения по
опорной траектории, т.е.

Глава 4. Нелинейные системы управления
263
х(0(0 = 40(0 + Ах(/)(г),
причем
| Дх(/) (/)|«|4° (0|, i = 0,м-1.
. Те же предположения справедливы и для входного воздействия и его производных
|Ду(О(О|« |уо Ч01,* = 0^.
Разложим функцию в правой части уравнения (4.329) в ряд Тейлора по
переменным х,..., у(т) относительно опорной траектории
хМ(1) = /(хо,х'о,...,х(оп-1\уо,...,уХ) + Щ Ax(t)
Эл1.<.)=.(.»,=-;
'л")=л11),.= 0,П-1
Ьх'\
Ax'(t)
+ ...+
x(i)=4°,i="o^T
3L
>-i)i
^c-»(0 +m
АУ(О
Эх*""0 Эу
+ ...+
О.я-1
■«'^^".^"о^Г
(4.331)
Ду(т)(О +Л2)
х<'>=4'>,,= 0л-1
где Дл:(1)(0 = л:(|)(0-4')(0, г=0,и-1,
Ду(')(О = У(О(О-)'о)(О, i=0,m.
Остаточный член Л2 содержит слагаемые с приращениями переменных в степенях
выше первой и их произведения. Ввиду малости остаточного члена /?2 ограничимся в
ряде (4.331) только линейными членами. Учитывая (4.330), получим
»
.00/
XW(t)-J$»(t)
Введем обозначения
Дх(0
/•>=у<",,="0^
+-+^)i Ау(т)^
(4.332)
= -в»(0.
=w
Ax(")(/) = jc(")(r)-4")(0,
—I
—I
y<'>=.y<'>,i="0^"
Тогда (4.332) можно записать в виде (приближенное равенство заменяем на
точное)
■ Ax(n)(0 + I>,toA*(0(0 = f>(/)Ay(O(O. (4-333)
/=0 1=0
Уравнение (4.333) является линейным дифференциальным уравнением; оно
записано не относительно переменных, а относительно их приращений на опорной
траектории.

264 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть I
4.13.4. Линеаризация систем нелинейных
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы управления описываются следующей системой дифференциальных
уравнений в нормальной форме
X(O = F(X(O,Y(O,O, (4.334)
где
X(f) = [*i(O. - .*л(0]Т- вектор состояния,
Y(0 = [y{(t\ ... , ym(t)]T - вектор входа,
F(-) = [/,(•), ...,/;l(-)]T.
Как и ранее, полагаем, что задана опорная траектория движения системы Хо(/),
Yo(0 , а функция F(X(O,Y(O»O является аналитической.
Разложим функцию F(X(0,Y(0,0 в ряд Тейлора по элементам векторов X(f) и
Y(/) относительно опорной траектории движения и ограничимся только линейными
членами. Имеем
X(/)»F(X0(0,Y0(0,0 + X!^
/=1 °xi
™+Ш
х=х()
Y=Y0
ДУ;(О,
х=х0
Y=Y0
или, что то же самое,
(4.335)
где
3F(X,Y,
ЭХТ
3F(X,Y,
ЭУТ
0
0
х=
Y=
х=
Y=
:х„
"Y0
=х0
=Y0
x=x0
V=Y0
x=x0
Y=Y0
n
\-
j =
j =
1
1
X(0 « F(X0(0, Y0(0,0 + A(/) AX(0 + B(OAY(O,
A(0 =
B(/) = -
- якобианы вектора F(X,Y,0 - правой части уравнения (4.334).
Запишем уравнение (4.335) относительно приращений
АХ(О = А(Г)ДХ(О + B(/)AY(r).
Если под приращениями понимать сами переменные, то будем иметь
Х(0 = А(ОХ(О + B(OY(O. (4.336)
Уравнение (4.336) является линеаризованным векторно-матричным уравнением
для нелинейного уравнения (4.334).
Пример 4.10. Кинетика ядерного реактора описывается следующей системой дифференциальных
уравнений
л' = — (р-р)и+Хс,
Л
С' = -Р|!-ХС,
Л
(4.337)
где п - плотность нейтронов в реакторе, с - начальная концентрация предвестника, р - реактивность,
Л, рД - параметры активной зоны реактора, и - управление.

Глава 4. Нелинейные системы управления
265
Первое из уравнений системы является нелинейным. Выполним линеаризацию системы уравнений
(4.337) для установившегося режима работы: л = ло,с = со,р = ро.
Якобианы А и В для правой части уравнений (4 337) будут иметь следующий вид
А =
Эл|_Л
f(«)
on
]
Эр|_Л
J 3cLah J эР[лм J
ОС
Эр
c=c0
P=Po
^■(Po-P) Я
7»
0
-X
0
о
о
в =
Эи|_Л
Р=Ро
Таким образом, линеаризованное уравнение для приращений переменных состояния будет следующим
Дл' = [^-(Ро-Р)]
Ал + X - Ас + —п0 • Ар,
Л
Ас' = — р-Дл-Л-Дс,
Л
Др' = Ди,
или в матричном виде
где
ДХ = А-ДХ + В-«,
(4.338)
(4.339)
ДХ = [Дл, Ас, Ар]т.
Как видно из системы уравнений (4.338), имеют место уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения (второе и третье) после линеаризации не изменились.
4.13.5. Линеаризация Ньютона - Канторовича
Данный метод линеаризации позволяет выполнить редукцию нелинейного
дифференциального уравнения к последовательности линеаризованных
дифференциальных уравнений, т.е. перейти от нелинейной математической модели системы
управления к последовательности линеаризованных моделей.
Рассмотрим особенности метода Ньютона - Канторовича на примере
операторного уравнения вида
Д* = 0, (4.340)
а затем применим его к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Сущность метода Ньютона - Канторовича состоит в том, что если оператор А
дифференцируем по Фреше и найдено приближение хк , то последующее
приближение хк+х находится из линеаризованного в точке хк уравнения
А(хк) + А'(хк)(хк+1-хк) = 0, (4.341)

266 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть I
или модифицированного линеаризованного уравнения
А(хк) + A'(хо)(хк+1 - **) = 0. (4.342)
Линеаризованные уравнения (4.341) и (4.342) принципиально отличаются от
уравнений, линеаризованных относительно опорной траектории. Известно, что если в
шаре Sr(xQ) оператор А ограничен ||Л||<Г|, дифференцируем и его производная
удовлетворяет условию Липшица с постоянной /, оператор А' непрерывно обратим
и существует такое постоянное число т > 0, что (Л')~| < т , то при q = —m2lr\ < 1 и
r' = rnr\£q2 ~l <r итерационные процессы, определяемые уравнениями (4.341) и
*=о
(4.342) и начатые с Xq , сходятся к х*, т.е. хк —» У, хк+1 -хк—>0 при к —> <» и
уравнения (4.341) и (4.342) преобразуются в уравнение
Ах* =0. (4.343)
Для нелинейных уравнений, линеаризованных относительно опорной траектории,
полученные решения не обеспечивают выполнения равенства (4.343). Описанный
подход получил название линеаризация по Ньютону - Канторовичу; он дает
последовательность линеаризованных уравнений. Таким образом, метод Ньютона -
Канторовича позволяет задачу решения нелинейного уравнения представить как задачу
последовательного решения линейных уравнений.
Метод Ньютона - Канторовича может быть применен к различным по структуре
нелинейным уравнениям. Рассмотрим процедуру линеаризации на примере
нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, а затем обобщим ее на
уравнения п-го порядка и системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Пусть система управления описывается уравнением вида
АО = /WO, у(0,0. *(0) = .т0. (4.344)
Уравнение (4.344) является уравнением самого общего вида, поэтому рассмотрим
применение метода Ньютона - Канторовича именно для него. Полагаем, что функция
f(x,yj) и ее производная по х - непрерывны и ограничены в области
ге[0,оо),хе(-оо,оо).
Рассмотрим два банаховых пространства Х=С'[0,Т] и Z = C[0,T] + £ с нормами
114=^И1+^-
Здесь z(0 = {*(0;*bleZ.
Тогда уравнение (4.344) с учетом начальных условий можно представить в виде
операторного уравнения (4.340)
Ах = 0,
где Ах = АО~ f W0,У(0,0,*(0) = *о •
Для того чтобы воспользоваться методом Ньютона - Канторовича, необходимо
определить А', где А' - производная Фреше оператора А в точке х. Нетрудно
убедиться, что
А\х)и = и'(0 " Л'W0. У(0.0«(0. "(О) = и0 . (4.345)
Таким образом, в соответствии с формулой (4.341) с учетом (4.345) имеем
следующий итерационный процесс:

Глава 4. Нелинейные системы управления 267
4 (о - / (хк (о, у (о, о+*;+i со - /;(** (о, у w, o**+J w - *; со+
+ЛЧ**(О,у(0,0**(0 = 0,
**+i(O) = *>.*= 0,1,2,...,
или
x'M(t) + ak(t)xk+l(t) = dk(t),k =0,1,2,..., (4.346)
где
^0 =-/,'(** (0, у(0,0,
<** (0 = /(** (0, у (О, О - ГЛч (0, у (О, О** (О,
* =0,1,2,....
Уравнение (4.346) является линеаризованным уравнением относительно решения
хк (0 . Оно позволяет найти решение хк+1 (t), которое является более точным
решением исходного нелинейного уравнения (4.344), чем xk(t). Уравнение (4.346)
является линейным по отношению к решению ^+1(0 , т.е. к выходному сигналу системы
управления, но нелинейным по отношению к у(0 - входному воздействию. Если
y(t) входит аддитивно в правую часть нелинейного уравнения, т.е. система
управления описывается уравнением
x'(t) = f(x(t),t) + b(t)y(t), (4.347)
х(0) = л0,
то последовательность линеаризованных уравнений, имеющая вид
х'ы (0 + ** (*)хм (0 = dk (0 + Ь(г)у(О, (4.348)
W0) = *b,*=0fl,2,...,
где
я*(о=-/;и*(о,о,
dk (О = -f'x{xk (0,0хк (/) + /(дс4 (О, О,
будет линейной и по отношению к y(t).
Условия сходимости, определенные для операторного уравнения, применительно
к дифференциальному уравнению (4.344) будут выглядеть следующим образом.
Условию ||Ахо|<Т1 будет соответствовать неравенство
гпах|ль(0-/(^)(0,У(0,0| + (^о(0-^)<Л- (4.349)
Выполнение условия Липшица для производной оператора А гарантируется
в шаре Sr(*o) с радиусом г пространства X для всех x(t)e X, т.е.
ты\т-Хб(0\ + тах\х\0-ъ(0\<г9 (4.350)
[ОТ]1 ' [0,7-1
в случае, если для всех u(t) и v(0 из этого шара выполняется неравенство
|/>(О,у(О,О-/>(О,у(О,ОИ/ИО-КО|, (4.351)
поскольку А'(х)и определено формулой (4.345) и
\А'и - A'v\\ = тю|/>(0, у(0,0 " /;(v(0, У(0,0| •
Так как операторному уравнению А\х)и = z соответствует линейное уравнение
и/(0 = Л/(х(0,у(0.0«(0 + ^(0,
и(О) = дго,

268 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть I
то выполнение оценки
|Н|х<т(||4 + ДЬ) (4.352)
для всех x(t)e Sr(xQ) также приводит к оценке И'] ~| ^ ю в шаре Sr(xQ).
Формулы (4.349) - (4.352) определяют смысл переменных r\J9m и позволяют
оценить условия сходимости итерационных процессов (4.346), (4.348) и оценить
погрешность получаемого решения.
Пусть динамика системы управления описывается линейным дифференциальным
уравнением одного из видов:
X(0 = F(X(/),Y(0,0, (4'353)
Х(/) = F(X(r),/) + B(0Y(0, (4.354)
Х(0) = Х0,
где X(f) = [*i(O» — »*n(*)]T - вектор состояния;
Y(O = [?i(O. —»Уда(0]Т - вектор входных воздействий;
F0 = [ЛО,.....Л0]т, В(о = {tyoEfr;
Х(0) = [JCi(O), ... ,*w(0)]T - вектор начальных условий.
Тогда последовательность линеаризованных векторно-матричных
дифференциальных уравнений, полученных методом Ньютона - Канторовича для каждого из
двух типов уравнений, будет иметь следующий вид:
для уравнений (4.353)
Хы (г) = A* (t)XM (0 + D* (0, (4.355)
Х*+1(0) = Х0,*= 0,1,2,...,
где A*(r) = F^(Xt(r),Y(0,0 - якобиан для вектора F(X(f),Y(f),O.
D* (0 = ¥(Хк (О, Y(r), 0 - Fi (X, (0, Y(r), OX, (г).
Соответственно для уравнения (4.354)
x;+1(o=f(x,(o,y(o,0-fx(x.(o,y(o,Ox^o,
Х*+1(0) = Х0,* =0,1,2,...,
где
A*(O = Fi(X,(O,0'
&(t) = F{Xk(t)j)-rx(Xk(t),t)Xk(t).
Условия сходимости для уравнений, записанных в векторно-матричном виде,
аналогичны рассмотренным выше.
Пример 4.11. Задана колебательная система (маятник в вязкой среде), на которую действует
подталкивающая сила переменной величины. Уравнение, описывающее систему, имеет вид
x\t) + 2^(0 + x(t) = sin(x'(r)), 35?)
jc(0) = 0,a/(0) = 1.
Требуется выполнить линеаризацию, определить коэффициенты линеаризации для каждой итерации и
построить переходный процесс на интервале Т = 9 с.
Для значения 4 = 0,9 имеем
x\t) +1,8*'(0 -sin(*'(O)+ x(t) = 0 . (4.358)
Запишем уравнение (4.358) в нормальной форме Коши

Глава 4. Нелинейные системы управления
269
(4.359)
К(0 = *2(0,
\x2(t) = -*,(*) - l,8*2(O + sin^Cr)).
Применяя метод Ньютона- Канторовича, получим следующую систему линеаризованных уравнений
х;+1 (О = А* (г)Х,+1 (0 + D* (г), (4.360)
где
A*(0 = [f° f°V(O-P!W|.
[ak2l(t) ak2(t)\ [dk(t)\
(4.361)
(4.362)
4(0 = 0; 4(0 = 1;
4(0 = -1; ak22(t) = -1,8 + cos(jc*(0);
4* (0 = 0;
dk(t) = sin(xk(t))-xk2(t)cos(xk(t)).
Учитывая структуру матрицы А* (0 и вид коэффициентов а,*(О, /,У = 1,2; dk{t\ / = 1,2 , систему
уравнений (4.360) можно вновь записать в скалярной форме в виде одного линейного дифференциального
уравнения с переменными коэффициентами
x'(t) + ak(t)x'(t) + x(t) = dk(t\ * = 0,1,2,..., (4.363)
где
AO = -fl22(') = l,8-cos(^(0),
J*(0 = sin(4(0)-^(0cos(^(0).
Коэффициенты ak(t) и dk(t) зависят от решений, полученных на предыдущем шаге итерационного
процесса.
Коэффициенты а*(0 и dk(t) удобно аппроксимировать полиномами 8-й степени
ak(t) = £«,¥.
1=0
(4.364)
(4.365)
^(0 = £^
/=о
Поскольку уравнение (4.357) описывает движение маятника и предполагается, что переходный
процесс будит носить колебательный характер, то в качестве нулевого приближения целесообразно взять
следующие решения:
*0(0 = sin(7tO, *о(О = cos(7tO .
В таблице приведены значения коэффициентов полиномов (4.364) и (4.365) в зависимости от номера
итерации.
Значения коэффициентов полиномов (4.364) и
в зависимости от номера итерации
Таблица 4.2
(4.365)
К
0
1
2
3
4
К
0
1
2
3
4
4
-0,7860
-1,2574
-1,2557
-1,2556
- 1,2556
4
-0,0101
0,3121
0,3081
0,3081
0,3081
ак
- 0,3692
0,6138
0,7236
0,7234
0,7234
di
0,1738
-0,8747
-0,9315
-0,9318
-0,9318
а\
0,9068
0,3144
0,0097
0,0107
0,0107
4
-0,4703
1,0124
1,1844
1,1852
1,1852
-1,0230
-0,9835
-0,6466
-0,6479
-0,6479
4
0,5369
-0,6320
-0,8278
-0,8287
-0,8287
«i
0,6392
0,7109
0,5121
0,5130
0,5130
4
-0,3320
0,2290
0,3476
0,3481
0,3481
-0,2416
0,2635
-0,1934
-0,1937
-0,1937
4
0,1237
-0,0486
-0,0915
-0,0917
-0,0917
0,0575
0,0579
0,0424
0,0425
0,0425
4
-0,0291
0,0056
0,0154
0,0154
0,0154
ак
-0,0087
-0,0079
-0,0057
-0,0057
-0,0057
4
0,0043
-0,0002
-0,0016
-0,0016
-0,0016
4
0,0008
0,0007
0,0005
0,0005
0,0005
4
-0,0004
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001

270 САУ: математические модели, динамические характеристики. Часть I
Как видно из таблицы, значения коэффициентов для третьей и четвертой итерации не отличаются.
На рис. 4.28 приведены графики переходного процесса для различных итераций.
1
Рис. 4.28. Графики переходного процесса для различных итераций
и точное решение уравнения (4.357)
Из рисунка (рис. 4.28) следует, что вторая, третья и последующие итерации практически совпали с
точным решением, полученным численным методом.

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 271
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Системы автоматического управления, как правило, работают в условиях помех.
В связи с этим для анализа и синтеза САУ в настоящее время широко привлекаются
вероятностные, или статистические методы.
Начиная с основополагающих работ А.Я. Хинчина в области теории случайных
процессов и работ А. Н. Колмогорова и Н. Винера, посвященных решению проблемы
фильтрации в классе линейных систем, статистическая динамика систем
автоматического управления получила дальнейшее развитие в многочисленных исследованиях
отечественных и зарубежных ученых [6, 8, 59, 64, 65, 66, 79, 84, 85, 87, 92, 93, 109,
114, 116, 117, 121, 123, 126, 133, 144, 145, 149, 151, 154, 157, 163, 171, 172, 174, 178 и
др.]. Основная роль в развитии статистических методов исследования и
проектирования САУ принадлежит B.C. Пугачеву и В.В. Солодовникову, в работах которых
получила развитие теория систем, работающих в условиях помех, и рассмотрены пути
к ее практическим приложениям.
Ценные результаты, связанные со статистическими методами расчета САУ,
получены в работах В.В. Гнеденко, Л. Заде и Дж. Рагоцини, A.M. Пелегрена, Р. Калмана
и Р. Бьюси и др.
5.1. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Пневмосистема с емкостью постоянного давления. На рис. 5.1 представлена
принципиальная схема системы. Кратко опишем ее работу.
Давление в ресивере изменяется в зависимости от положения дроссельной
заслонки, интенсивности потребления воздуха и параметров системы (размер емкости,
протяженность линии раздачи воздуха и др.). Изменяющееся во времени потребление
воздуха из ресивера вызывает отклонение давления от заданного, определяемого за-
датчиком - пружиной чувствительного элемента 4. Чем больше жесткость этой
пружины, тем выше регулируемое давление.
В качестве чувствительного элемента используется мембрана датчика давления 2,
на которую сверху действует сила, пропорциональная давлению воздуха в емкости, а
снизу - восстанавливающая сила пружины. Нарушение равновесия сил, вызываемое
изменением давления, приводит к прогибу мембраны: вверх - при уменьшении и
вниз - при росте давления.
Пружина 4 нижним упором связана со струйной трубкой 5, положение которой
определяется натяжением пружины 4. К струйной трубке через линию 3 под
давлением подводится масло. Струя масла в положении равновесия создает одинаковое
давление в верхней и нижней полостях сервомотора 10, и регулирующий орган -
дроссельная заслонка 12 - остается неподвижной. При смещении струйной трубки от
положения равновесия давления в полостях сервомотора будут различными: в
полости, к которой трубка повернется, - давление возрастет, а в противоположной -
уменьшится.

272
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
1111
12
<ю
Рис. 5.1. Принципиальная схема системы автоматического регулирования давления
непрямого действия с жесткой обратной связью:
1 - ресивер; 2 - чувствительный элемент давления', 3 - патрубок подвода масла к струйной трубке сер-
вомотора\ 4 — пружина чувствительного элемента', 5 - струйная трубка; 6 - пружина жесткой
обратной связи; 7 - подвижная опора пружины; 8 —рычаг жесткой обратной связи; 9 - шток сервомотора;
10- сервомотор; 11 - дроссельная заслонка; 12 — подводящий патрубок; 13 - патрубок расхода
(подачи воздуха потребителю)
Поршень под воздействием разности давлений будет перемещаться в
направлении, противоположном перемещению струйной трубки, и увеличит проходное
сечение подводящего патрубка 12. Давление в ресивере будет увеличиваться. Роль
жесткой отрицательной обратной связи выполняет рычаг 8, вращающийся вокруг центра
О и воздействующий посредством шарнира на подвижную опору пружины 6. При
этом усилие пружины 6 на струйную трубку уменьшится и скорость ее перемещения
будет меньше.
Положение регулирующего органа 11 будет определяться потреблением воздуха.
При максимальном расходе через патрубок 12 дроссельная заслонка полностью
открыта, при минимальном - частично открыта или закрыта полностью.
Следовательно, положение поршня сервомотора будет определяться потреблением воздуха. В то
же время положение струйной трубки. 5 в состоянии равновесия всегда одинаково.
Это возможно только при различных усилиях на мембрану чувствительного элемен-

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация
273
та, зависящих от давления воздуха в ресивере; это определяет степень
неравномерности регулятора Р = P(Q).
А теперь обратимся к факторам, которые определяют необходимость
исследования этой системы с использованием аппарата случайных функций.
В рассматриваемой системе задающим воздействием служит постоянный сигнал,
соответствующий номинальному расходу воздуха, а возмущающим - непрерывные
колебания <2(0> создаваемые подключением или отключением потребителей. Эти
колебания зависят только от потребителей и заранее не могут быть предугаданы.
Система регулирования частоты вращения автономного генератора
переменного тока. На рис. 5.2 приведена простейшая схема системы регулирования
частоты вращения автономного генератора переменного тока, используемого для
электроснабжения отдаленных малоосвоенных районов.
Рис. 5.2. Принципиальная схема системы регулирования частоты вращения .
автономного генератора переменного тока:
У - пружина\ 2 - чувствительный элемент', 3 -рычаг\ 4 - золотник; 5 — втулка; 6 - поршень;
7 - сервомотор; 8 -регулятор; 9 —рычаг обратной связи; 10 -ротор генератора; 11 — паровая турбина
Любое изменение нагрузки на генератор приводит к изменению момента
сопротивления ротора генератора 10, а значит, и частоты вращения жестко связанного с
19 3ак. 232

274 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
ним вала привода, в данном случае, паровой турбины 11. Изменение регулируемой
величины - частоты вращения - на Асо приведет к изменению положения муфты
чувствительного элемента 2 на величину Az за счет нарушения равновесия
регулирующей силы (центробежная сила грузов) и восстанавливающих сил (вес грузов,
натяжение пружины). Поворот жестко связанного рычага 3 вокруг оси О вызовет
перемещение поршней золотника 4. В состоянии равновесия отверстия в промежуточной
втулке 5 всегда перекрываются поясками поршней золотника. Давление в верхней и
нижней полостях сервомотора 7 одинаково и регулирующий орган неподвижен. В
зависимости от направления движения золотника будут открываться отверстия для
поступления масла от источника постоянного давления в одну из полостей сервомотора
7, при этом из другой полости будет открываться слив масла. Усилие, возникшее за
счет разности давлений масла в полостях, перемещает поршень 6 и связанный с ним
регулятор 8 подачи рабочего тела в турбину. Изменение положения регулирующего
органа будет происходить до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие
крутящего момента турбины и момента сопротивления генератора при требуемой частоте
вращения.
Обратная связь осуществляется с помощью рычага обратной связи 9,
перемещающего промежуточную втулку 5 золотника. При этом втулка всегда движется в
сторону, противоположную перемещению золотника, тем самым уменьшая
проходные сечения подвода и слива масла. Это улучшает качество переходного процесса.
Функции задатчика частоты вращения выполняет пружина 1, обеспечивающая
одинаковое положение муфты регулятора при разных частотах вращения.
Рассмотренный регулятор является статическим, т.к. различному пропуску пара (нагрузке),
определяющей положение поршня сервомотора, соответствуют различные
положения промежуточной втулки и поршней золотника, в состоянии равновесия всегда
перекрывающих впускные и выпускные отверстия для масла.
Интенсивность потребления электроэнергии определяется временем года и суток и,
кроме того, в случайные моменты времени потребители могут изменять нагрузку и
даже включаться в сеть или отключаться из работы. Сказанное позволяет сделать
вывод, что процесс потребления энергии во времени носит заранее непредсказуемый,
случайный характер, и таким образом, система регулирования частоты вращения
автономного генератора подвергается воздействию случайных сигналов. Исследование
этого класса систем может проводиться с использованием аппарата случайных функций.
Теплоэлектростанция блочного типа. На рис. 5.3 представлена упрощенная
принципиальная схема теплоэлектростанции блочного типа, состоящая из
прямоточного котла и паровой турбины с промежуточным перегревом пара.
Работа схемы в упрощенном виде может быть представлена так. Изменение
электрической нагрузки приводит к изменению режима работы турбины,
осуществляемого путем открытия или прикрытия регулирующего органа, определяющего расход
пара через турбину (£/4(0)- Давление и температура пара после пароперегревателя
регулируются путем впрыска питательной воды в редукционно-охладительную
установку (Ui(t)) и изменением режима работы питательного насоса (УгСО)-
Регулирование производительности прямоточного котла производится изменением подачи
топлива к форсункам (6^2(0)» качество распыления которого зависит от параметров пара
перед форсунками (Ui(t)). Контуры регулирования давления и температуры пара за
пароперегревателем и производительности котла являются взаимосвязанными.
Температура пара после вторичного перегрева (U4(t)) также определяется режимом
работы всего агрегата и регулируется впрыском питательной воды.

276
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
На рис. 5.4 представлены записи основных характеристик прямоточно-котельной
системы мощностью 500 МВт, работающей на сверхкритических параметрах [141]:
Y{(t) - сигнал нагрузки (СН),
Уг(О - давление пара в котле (ДПК),
У3(0 - температура пара в пароперегревателе (ТПП),
Y4(t) - температура пара после вторичного перегрева (ТПР),
U\(i) - поток пара у форсунки (ППФ),
[/3(0 - расход воздуха для горения топлива (ОВК).
Из рассмотрения рис. 5.4 легко сделать вывод, что сигналы теплоэлектростанции
блочного типа относятся к классу случайных и этот факт необходимо учитывать при
расчете и проектировании систем теплоэлектростанции.
Я
и
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
« J
ф$^^1щЩ^^Мч
i | |_
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
С ь
'•VvvVwv^ySva^/^
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
е
с
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
_1 | I | I
i i ^
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
i I
t
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Рис. 5.4. Записи основных характеристик прямоточно-котельной системы мощностью 500 МВт

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 277
Транспортные системы. Рассмотрим проблему воздействия вибраций на
организм человека. В частности, эта проблема имеет место в транспортных системах,
например, при проектировании автомобилей, самолетов, вертолетов, железнодорожных
и водных средств.
Если в качестве транспортного средства рассмотреть автомобиль, а источником
вибраций - двигатель, то соответствующая функциональная схема может быть
представлена в виде, показанном на рис. 5.5.
Двигатель
автомобиля
ПО
Система, входом которой
являются вибрации
двигателя, а выходом -
1/*Г\ТТ£*^ЯТЛ"1/Ю' ТЛ1Л£*Г*ТТЯ ППТТТ/ТТРТТО'
килеисшия кресла водителя
X(t)
Нолителт»
Реакция
водителя
Рис. 5.5. Функциональная схема системы
С целью изучения этой проблемы проводился соответствующий эксперимент
[141] (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Нерегулярные вибрации легкового автомобиля (постоянная скорость 20 км/ч)
На схемах Y(t) - сигнал, являющийся вибрацией двигателя.
На рис. 5.7 представлены графики ускорений вертикальной вибрации двигателя и
кресла в процессе движения легкового автомобиля. Аналогичная ситуация имеет
место при управлении самолетом, вертолетом и другими транспортными средствами.
Очевидно, Y(t) и X(i) - случайные сигналы.
Реакция водителя или пилота на вибрационное воздействие X{t) определяется
индивидуальными особенностями организма, частотой и амплитудой вибрационных
колебаний X(t). Как отмечается в [44], наличие процесса X(t) может вызывать не
только тошноту, повышенное сердцебиение, нарушение зрения, но и кровотечение в
легких и в желудочно-кишечном тракте. Внешние колебания в диапазоне частот
15 - 30 Гц оказывают влияние на сосудистый тонус организма и двигательный
анализатор [44].
Поэтому установлены некоторые количественные критерии допустимости
различных режимов установившихся вибраций конструкции для экипажей, например,
летательных аппаратов. Практика показывает, что работоспособность пилотов
снижается уже при среднеквадратичном значении случайной виброперегрузки выше 0,2.
Затрудняется наблюдение за приборами. Вибрация со среднеквадратичным уровнем
перегрузки, превышающим 0,5, заставляет пилота изменять режим движения (высоту
и скорость полета) [44].

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 279
Рассматривая подобного вида системы, легко заключить, что их исследование
можно проводить только с привлечением аппарата случайных функций, поскольку
Y(t) и X(i) (рис. 5.7) не относится к классу детерминированных функций.
К основным силовым факторам относятся вибрационные воздействия на изделия
при их транспортировке по железной дороге, автомобильными средствами, а также с
помощью водного транспорта. Как показали многочисленные исследования,
вибрационные нагружения на изделия представляют собой случайные функции [141].
Поэтому изучение транспортных систем следует проводить в классе систем,
подверженных не детерминированным, а случайным факторам (рис. 5.8).
Полотно
дороги
Y(t)
Система: шина, система
амортизации, автомобиль
X(t)
Ичлелие
подвергаемое
воздействию
виорации
Рис. 5.8. Система дорога - шина - автомобиль
Обработка металлов шлифованием. На рис. 5.9 представлены результаты
выборочных измерений профиля шлифовальной поверхности [141].
X
-50
250
500
750
1000
Рис. 5.9. Выборочные измерения профиля шлифовальной поверхности
Очевидно, сигнал X относится к классу случайных. Актуальной является задача
не только анализа систем управления процессом шлифования, но и синтеза САУ,
обеспечивающих такой режим, при котором вероятность выхода размеров из поля
допуска (т.е. брака) была бы минимальной. Эту задачу относят к классу задач,
изучающих исследование и синтез систем при воздействии случайных сигналов.
Следящие системы радиотелескопов. В [72] описана следящая система
радиотелескопа, предназначенная для изучения процессов, происходящих во внеземном
пространстве. С помощью этих телескопов проводится исследование объектов,
удаленных от Земли на огромные расстояния, например, слежение за звездами во
внеземном пространстве.
Поскольку поверхностные размеры элементов конструкции радиотелескопа
огромны, на положение его зеркала в пространстве значительное влияние оказывают
всевозможные атмосферные возмущения, а особенно температурные и ветровые.

280
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Температурные возмущения возникают из-за разности температур между
элементами конструкции радиотелескопа и могут привести к весьма значительным ошибкам
в положении его осей.
Ветровые возмущения действуют еще более интенсивно. При ветре со скоростью
50 км/ч отклонение осей из-за упругости опор может достигать 18 - 25". Поэтому
следящая система предназначена, главным образом, для компенсации указанных
возмущений.
Следящая система радиотелескопа относится к классу систем, в которых имеют
место сигналы, которые носят случайный, не предсказуемый точно характер.
Система командного телеуправления и самонаведения ракет [74].
Функциональные схемы систем самонаведения и командного телеуправления представлены
на рис. 5.10 и 5.11. Управляющим (входным) сигналом является закон изменения во
времени угла Y(t) между некоторой осью и направлением на цель (рис. 5.12). Ввиду
того что скорость цели, ее высота, ракурс, маневр и т.п. являются случайными, Y(t)
будет случайной функцией времени.
Отраженный от цели сигнал радиолокационной станции (РЛС) модулируется не
только частотой вращения луча, но и флюктуацией коэффициента отражения цели.
Этот эффект проявляется как для наземных целей, так и для воздушных целей.
Эффект флюктуационных помех при облучении РЛС наземных целей создает фон
земли и посторонних предметов. Земную поверхность можно рассматривать как
совокупность хаотически расположенных элементарных отражателей. Флюктуации
отраженных сигналов возникают в том случае, если имеют место колебания
элементарных отражателей или перемещения ракеты или цели. Сигналы, отраженные от
кораблей, зависят от состояния моря. Сигналы, отраженные от лесной местности,
зависят от интенсивности ветра.
Флюктуации сигналов, отраженных от земных ориентиров, зависят от расстояния
до цели, размеров, формы и типа цели, высоты, скорости и курсового угла носителя,
облучающего цель. При этом для различных условий полета ракеты и носителя
ширина спектра флюктуации может меняться в десятки и сотни раз.
Флюктуации сигналов, отраженных от малоразмерных наземных целей (танк,
орудие и др.) могут быть настолько большими, что наведение ракет на подобные
цели будет сопровождаться большими ошибками, а иногда может привести и к
потери цели. Флюктуации коэффициента отражения воздушных целей также
оказывают существенное влияние на точность наведения.
Головка -
самонаведения
У
Устройство
формирования7
команд
\/ППЯКЛРНИЯ
Автопилот
1
К рулям
Рис. 5.10. Функциональная схема системы самонаведения

282
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Цель
по
Рис. 5.12. Входной сигнал системы наведения
На рис. 5.13 приведена диаграмма мощности отраженного от самолета сигнала в
горизонтальной плоскости. Многолепестковый характер диаграммы направленности
приводит к тому, что сигналы, отраженные от летящего самолета, будут случайными
функциями времени.
35 дб
Рис. 5.13. Диаграмма мощности отраженного от самолета сигнала в горизонтальной плоскости
Так как ракета и воздушная цель совершают в полете колебания, зависящие от их
скорости полета, высоты, а также от интенсивности ветра, то, строго говоря,
характеристики помех, вызванных флюктуациями коэффициента отражения цели, будут
зависеть от времени, т.е. соответствующие случайные сигналы будут принадлежать к
так называемым случайным нестационарным процессам.
На рис. 5.14 приведена осциллограмма сигнала на выходе приемного устройства
РЛС автоматического слежения за целью. По оси ординат отложена величина
глубины модуляции и эквивалентное отклонение цели в тысячных долях радиана.
Выше были приведены примеры технических систем, подверженных влиянию
случайных факторов. В экономических системах случайная составляющая
вызывается, например, непредсказуемым способом.
К рассматриваемому классу систем относятся биологические системы: система
управления кровообращением, система управления величиной зрачка глаза и др.

284
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
5.2. СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ
5.2.1. Одномерные законы распределения, математическое ожидание
и дисперсия случайной функции х(т)
Рассмотрим методы описания случайных сигналов.
Функция, которая при каждом данном значении независимой переменной
является случайной величиной, называется случайной функцией (СФ). Случайные функции,
для которых независимой переменной является время г, называют стохастическими
процессами (СП).
Случайную функцию, зарегистрированную в той или иной форме по результатам
опыта, называют реализацией случайной функции (рис. 5.15): хх (0,^(0 -
реализации случайной функции X(t).
Случайную функцию X(t) можно рассматривать как систему случайных величин
(случайной величиной (СВ) будем называть такую величину, значение которой в
результате одного и того же эксперимента (эксперимента^ проводимого в
одинаковых условиях) может быть различным и заранее неизвестно).
Системой п случайных величин называется совокупность случайных величин
Х{,Х2,..., Хп, совместно рассматриваемых как единое целое (рис. 5.16).
Пример - координаты какой-либо точки, случайным образом расположенной
в пространстве (п = 3).
x(t) f
Рис. 5.15. Случайная функция X(t) (x{(t),x2(t) - реализации СФ X(t))
Ясно, что при рассмотрении лишь одного сечения случайного процесса мы имеем
дело с одной непрерывной случайной величиной X (непрерывной случайной
величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно
заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный)).
Изложим методы вероятностного описания одной случайной величины X.
Интегральным законом распределения. (ИЗР) случайной величины называется
функция вида
Fx(x) = P[X<x],
т.е. вероятность того, что возможные значения случайной величины X будут
меньше некоторого текущего значения х (рис. 5.17).
Если рассматривать СВ X как случайную точку X оси Ох (см. рис. 5.17), которая в
результате опыта может занять то или иное положение в заданном промежутке, то
Fx (х) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадает
левее точки х, где х - текущее значение.

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 285
х№
*»(0
Рис. 5.16. Рассмотрение СФ X(t) как системы случайных величин
(xl(t),x2(t)y...,xn(t)) -реализацииСФ X(t)
Функция Fx (jc) полностью характеризует СВ X с вероятностной точки зрения.
Очевидны следующие свойства интегрального закона распределения [87]:
1) Fx (х) - является функцией неубывающей;
2) Fx(-oo) = 0;Fx(+~) = l;
3) Р[а < X < Р] = Fx (P)-Fx (a) - вероятность попадания случайной величины
X в интервал [а, Р];
4) функция распределения Fx (x) есть неотрицательная функция, заключенная
между нулем и единицей.

2ЪЬ
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
ИЗР имеет недостаток, заключающийся в том, что по нему трудно судить о
характере распределения СВ X в небольшой окрестности той или иной точки
числовой оси.
Более наглядное представление о характере распределения непрерывной СВ X в
окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью
распределения вероятности, или дифференциальным законом распределения (ДЗР)Ь
Вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (jc,jc+Ax)
определяется формулой (рис. 5.18)
Р(х <X<x + bx)=Fx (x + bx)-Fx (x).
Составим отношение этой вероятности к длине участка Ах :
Fx(x + bx)-Fx(x) (51)
Ах
- средняя вероятность, которая приходится на единицу длины этого участка.
1
0
X
Рис 5.17. К пояснению понятия ЮР
/хЮ
ds = fx(x)dx
х x+dx
Рис. 5.18. определению дифференциального закона распределения
Считая функцию Fx (x) дифференцируемой, перейдем в равенстве (5.1) к
пределу при Ах—»0
Fx(x+&x)-Fx(x)_ ( dFx(x)_
Дифференциальный закон распределения обладает следующими свойствами:
п f (x) dFx{x)-
оо
2) Fx(x)=jfx(x)dx;

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 287
р
3) Fx(fi)-Fx(a) = ]fx(x)dx = Fx(x%=P[a*XSfi\i
ос
- вероятность попадания СВ X на участок [а, Р];
4) ] fx(x)ix = Fx(x)\lo = Fx(^o)-Fx(-oo) = l;
—оо
5) fx[x)>0 (плотность распределения не отрицательна, т.к.. Fx(x) есть
производная от неубывающей функции).
Законы распределения (ИЗР и ДЗР) являются полными характеристиками
случайной величины X.
В некоторых случаях нет необходимости знать законы распределения, а
достаточно ограничиться лишь некоторыми параметрами, определяющими закон
распределения. К таким параметрам относятся математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины.
Основное их назначение - в сжатой форме выразить наиболее существенные
особенности того или иного распределения. С помощью этих параметров (числовых
характеристик) и операций с ними удается в ряде случаев решать широкий круг
вероятностных задач до конца без использования ИЗР и ДЗР.
Математическим ожиданием (МО) неслучайной функции \|/(Х) СВ Xназывают
интеграл от произведения \|/(Х) на ДЗР fx(x) СВ X (предполагается, что функция
\|/(Х) такая, что интеграл существует):
оо
M[v(X)]=\v(x)fx{x)dx. (5.2)
Начальным моментом k-го порядка СВ X называется МО неслучайной функции
у(Х) = Хк
оо
m[xk] = ak = jxkfx{x)dx. (5.3)
Из всех начальных моментов наиболее часто применяются начальные моменты
первого и второго порядка.
Математическим ожиданием СВ X называется число, определяемое (5.2) при
\|/(Х) = Х:
М[Х] = тх = \xfx\x)dx (5.4)
- некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения
СВХ.
В соответствии с формулой (5.4) М[Х\ есть результат вероятностного осреднения
функции \|/(Х) = X , т.е. осреднение с весом, равным ДЗР.
Физическое содержание понятия МО СВ X наиболее наглядно выявляется, если
рассматривать дискретную случайную величину X.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая при
проведении опыта принимает некоторые заранее неизвестные дискретные значения.
Пусть при проведении экспериментов случайная величина X приняла значения
*i- тх раз;

288 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
х2 - т2 раз;
х1 - т{ раз.
Найдем среднее значение случайной величины X:
-Л-Л — l—1- = Хг—- + X,—+ ... + JC/ —L =
n n n n
I
= XJI+X2/2+... + XJ* = £*v/v\
v=l
где /v - относительная частота появления случайной величины X со значением л\,.
При проведении большего числа опытов относительная частота стремится к
соответствующей вероятности. Формула для математического ожидания
принимает вид
M[X] = 2>V/V, (5.5)
v=l
где /v - вероятность появления л\,.
Для непрерывной СВ Xравенство (5.5) переходит в (5.4).
Основные свойства математического ожидания случайной величины:
• математическое ожидание неслучайной величины С равняется самой
неслучайной величине С;
• постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания
М[СХ] = СМ[Х]\
• математическое ожидание произведения независимых случайных величин X и
Y определяется формулой
М[ХК] = М[Х]М[У];
• математическое ожидание суммы двух случайных величин определяется
формулой
М[Х+У] = М[Х] + М[Г].
Легко заметить, что математическое ожидание является далеко не полной
статистической характеристикой случайной величины'. Рассмотрим рис. 5.19. В первом
случае случайная величина X может принимать значения X, находящиеся в интервале
At. Во втором случае случайная величина С принимает значения в промежутке А2.
Легко видеть, что математические ожидания случайных величин X и С одинаковы, но
степень разброса относительно математического ожидания у них различна.
Следовательно, с целью более полного вероятностного описания СВ X
целесообразно ввести характеристику, определяющую степень разброса случайной величины
относительно математического ожидания.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется
интеграл вида
&-M[(X-M[X])k] = M[(X-mx)k]=](x-mxffx(x)dx.
Наиболее часто находит применение второй центральный момент D[X\, который
характеризует возможные отклонения СВ, т.е. возможный разброс значений СВ
относительно ее МО. Второй центральной момент обычно обозначают Dxx и называют
дисперсией, указывая тем самым, что DXx характеризует возможное рассеивание СВ
X относительно М [X].

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 289
х>У i
;
f
• ту— t
Рис. 5.19. Случайные величины X и С, у которых математические ожидания одинаковы,
а степени разброса относительно МО различны
Таким образом,
Dxx=M[(X-mxfy](x-mxffx(x)dx,
(5.6)
или
J [х2 -2тх х + т\ )fx(x)dx= J x2 fx (x)dx-2mx J xfx (x)dx-
Гоо I2
+m\ j fx{x)dx = a* -m2 = $ x2 fx(x)dx-\ jxfx(x)dx\ .
(5.7)
Дисперсия Dxx имеет размерность квадрата СВ. Во многих случаях вместо
дисперсии Dxx используют положительное значение квадратного корня из нее yJD^ ,
которое имеет размерность самой случайной величины.
Величину yJDxx называют средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X
и обозначают ах , т.е.
Gx =y^xx •
МО и СКО или Dxx являются наиболее часто применяемыми числовыми
характеристиками СВ.
Эти числовые характеристики полностью определяют один из наиболее важных и
распространенных законов распределения СВ, а именно нормальный закон
распределения (закон Гаусса), определяемый формулой
оХу]2п
(5.8)
где сх = yjDja - среднеквадратическое отклонение.
Можно показать, что если некоторая случайная величина X является суммой
независимых случайных величин, каждая из которых имеет произвольный закон
распределения, то случайная величина X имеет нормальный закон распределения.
Основные свойства нормального закона распределения:

290
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
1) максимальное значение нормального закона распределения определяется
выражением \/ах yjln при х = тх ;
2) нормальный закон распределения симметричен относительно тх\
3) изменение математического ожидания приводит лишь к смещению закона
распределения, однако форма не меняется. Дисперсия же при заданном
математическом ожидании изменяет форму закона распределения.
1 П
1,1/
0
Gx\
Gxi < Ъхг
X
fxix) i
Gx\ < GX2
Рис. 5.20. Кривые ИЗР и ДЗР (нормальный закон распределения)
Представим fx(x) в виде (рис. 5.21).
_х тх-2отх-о тх тх+О тх+2о х
Рис. 5.21. Кривая fx(x) нормального процесса
Из рис. 5.21, а также из зависимости (5.8) легко сделать вывод: СВ X
предпочтительнее принимает значения, близкие к тх. Вероятность нахождения СВ X в полосе

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 291
±ах с центром тх составляет 68 %, а в полосе ±2ах - 95 %. Если же рассматривать
полосу ±3сх с центром тх, то вероятность попадания СВ X в эту полосу равна
0.997. Поэтому величину Ъох часто используют в практических расчетах в качестве
верхней границы отклонения СВ X от ее математического ожидания.
Теперь соотнесем приведенные выше рассуждения к случайным функциям. Мы
рассмотрели одно сечение СФ и задача свелась к анализу одной СВ, ее
вероятностному описанию. Но статистические характеристики каждого сечения СФ зависят от
времени t, поэтому как законы распределения, так и числовые характеристики СФ
будут зависеть от параметра t, т.е.
Fx (x,t) - интегральный закон распределения СФ *(*),
fx (*>0 - дифференциальный закон распределения СФ *(*),
тх (*)>£>хх (t),ox(t) - числовые характеристики СФ x(t).
Приведем соответствующие пояснения и определения.
Математическое ожидание СФ в области ее существования представляет
собой совокупность математических ожиданий СВ, равных СФ при всех возможных
текущих значениях ее аргумента t (рис. 5.22).
>>mx(0 + 3ax(0
Y(t)
Рис. 5.22. Графики, иллюстрирующие отклонение СФ X(t) и Y(t) от их МО
(верхние границы отклонений приблизительно равны Зох (/)
при нормальном законе распределения)
Сечения СФ при t = t\, t = ^,... представляют собой СВ Х\9 Х2, ..., каждая из
которых имеет свой закон распределения FX/ (*,,*,) и fXj (*,-,*,•), в связи с этим ИЗР и
ДЗР СФ запишутся так: Fx(x,t) nfx(xyt). На рис. 5.22 показано МО СФ X(t) как
результат вероятностного осреднения.
МО неслучайной величины равно самой неслучайной величине. Поэтому при
значениях аргумента /, для которых СФ является неслучайной величиной, совокупность
этих неслучайных величин образует МО случайной функции.

292
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
В общем случае МО СФ X(t) зависит от аргумента t и обозначается через тЖ):
оо
mx(t) = M[X(t)]=lxfx(x,t)dx.
Математическое ожидание - это такая неслучайная функция, около которой
группируются все реализации данного случайного процесса и которая полностью
определяется одномерным ДЗР.
Дисперсия СФ в области ее существования представляет собой совокупность
дисперсий случайных величин, равных СФ при всех возможных текущих значениях ее
аргумента,
В общем случае дисперсия СФ X(t) зависит от аргумента t и поэтому обозначается
через Dxxit):
Dxx (O = Af [{X(t)-mx (0)2]= J {x-mx (t)f fx (xj)dx.
Дисперсия представляет собой среднее значение квадрата разности между СФ
и ее МО и характеризует интенсивность отклонений относительно среднего
значения; определяется одномерным ДЗР.
Вывод состоит в следующем: математическое ожидание СФ X(t) представляет
собой некоторую среднюю кривую тх (t), около которой располагаются все
возможные отдельные реализации X (t), а дисперсия Dxx(t) при ox(t) характеризует
рассеяние отдельных возможных реализаций около тх (г) (при нормальном законе
распределения границы отклонений реализаций дгДг) от МО СФ X(t) приблизительно
равны 3ox(t) (рис. 5.21)).
На рис. 5.23 и 5.24 приведены различные виды СФ X(t) [87,126].
Y(t) а
ДО
тКО
тЖ)
Рис. 5.23. Примеры реализации различных случайных функций X{t\ Y(t), Zi$\ имеющих
неодинаковые математические ожидания m^t\ m^$\ mz(t)

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация
Рис. 5.24. Примеры реализации различных случайных функций X(t), Y(t), Z(t\
имеющих одинаковые математические ожидания и разные дисперсии:
а -реализации случайных функций X{t), K(r), Z(i) {сплошныелинии) и математические ожидания этих
функций mx(t)f myit) и т&) (пунктирные линии); б - дисперсии D^ (/), Dn (/) и D^ (/)
случайных функций X(t), Y(t), Z(t)
На рис. 5.25 изображены примеры реализаций различных СФ X(t), У(0, Z(0>
имеющих не только одинаковые математические ожидания т*(0» wiy(0 и тЖ)9 но
одну и ту же дисперсию, т.е. D^ (t) = Dyy (t) = D^ (f).
Ш)
mxit)
my(t)
Рис. 5.25. Примеры реализаций случайных функций X(t\ Y(t) и Z(t)9
имеющих одинаковые математические ожидания и одну и ту же дисперсию,
но разные степени изменчивости (неупорядоченности)

294
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Как следует из рисунков, СФ X(t), Y(i) и Z(f) хотя и имеют одинаковые МО и одну
и ту же дисперсию £>(*), по характеру своей изменчивости и неупорядоченности (по
спектральному составу, под которым будем понимать модуль преобразования Фурье
от реализаций СФ) весьма сильно друг от друга отличаются.
Это хорошо иллюстрирует то обстоятельство, что в том случае, когда для
описания СФ используются лишь одни ее числовые характеристики, значение МО и
дисперсии СФ может оказаться далеко не достаточным для суждений о степени ее
неупорядоченности и изменчивости (или, что то же самое, о ее спектральном
составе). Если, например, СФ X(t) (рис. 5.25) при некотором значении аргумента t
приняла значение, лежащее выше тх (t), то почти с достоверностью можно утверждать,
что и ближайшее значение реализации X(t) пройдет выше mx(t). Для функции
Y(t) этого может и не быть, учитывая степень ее неупорядоченности. Разница между
X(t) и У(0 проявляется в характере связи между значениями X(t) и Y(t) для
различных аргументов Ц и t2.
Еще в большей степени разница в указанном смысле имеет место между
сигналами X(t) и Z(0.
Для суждений о ней необходимо знать моменты СФ, связывающие величины ее
при нескольких значениях аргумента t. В частности, весьма важную информацию о
степени изменчивости и неупорядоченности СФ можно получить с помощью ее
корреляционной функции.
5.2.2. Двумерные законы распределения и корреляционная функция
случайного процесса x(f)
В предыдущем параграфе все рассуждения построены на использовании
одномерных законов распределения Fx (x,t) nfx(x,t).
Более полными вероятностными характеристиками СФ X(t) являются ее
двухмерные ИЗР и ДЗР, использующие рассмотрение СФ как системы двух случайных
величин Х\ = X(*i) и Хг = X(t2) при произвольно выбранных значениях аргумента t\ и t2.
Важно то, что здесь уже учитывается связь значений, принимаемых СФ X(t\ -
моменты времени t\ и г2 (рис. 5.26).
x{t) ,
I
\
0
\
>
!
i
1 *1 =
t=t.
X(ti)
Mi
щ
x2 = x(t2)
щ
Рис. 5.26. К рассмотрению случайной функции как системы двух случайных величин
Перейдем к более подробному рассмотрению вопроса.
Введем понятия законов распределения системы двух СВ.
Интегральным законом распределения системы двух случайных величин Х\ и Х2
называется функция Fx (^1,^2) > которая выражает вероятность того, что
случайные величины Х\, Х2 будут принимать значения соответственно меньшие некото-

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 295
рых неслучайных величин х[9х2, т.е. вероятность случайного события,
заключающегося в совместном выполнении двух неравенств
Хх<х{, Х2<х2.
Таким образом (рис. 5.27),
М*1.*2) = ^[(*1<*1)И(Х2<*2)].
^Р\.(.х,<х\)я(хг<х\)[
Рис. 5.27. К определению интегрального закона распределения системы двух случайных величин
Основные свойства интегрального закона распределения:
1) Fx(-K»,+oo) = l;
2) Fx(xl,+~) = FXi(xl);
3) Fx(+~,x2) = FX2{x2);
4) M*i>-°°)=0; <5-9)
5) Fx(-~,*2) = 0;
6) O^FX(^^2)<1;
7) Fx (xx, Х2) - функция, не убывающая по своим аргументам.
Рассуждая так же, как и при рассмотрении одномерного закона распределения,
можно ввести понятие двумерного дифференциального закона распределения и
записать его основные свойства (рис. 5.28):
п f (x хч_Э2М*1>*2).
2) /х(^1,^)>0;
оо оо
3) J j fx(xl>x2)dxldx2=l>
4) Fx (xl,x2)= I j fx (xl,x2)dxidx2;
5) Fx(xvoo)=] ]fx(xl,x2)dxldx2, ^^"^ = J fx (*..*2)<**2 =/x, (^.).
oo

296
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Мхи х2) I
Рис. 5.28. Поверхность нормального распределения
Таким образом, если известен двумерный закон распределения, то с помощью
последних формул можно получить одномерный закон распределения каждой из
случайных величин, входящих в рассматриваемую систему. На практике широко
распространены случаи, когда случайные величины Х{ и Х2 независимы.
Тогда можно записать
Fx (*i>*2) = Fxx {х\)гхх (*i); fx {x\**i) = fxx (x\)fx2 {хгУ
Рассмотрим некоторые числовые характеристики системы двух случайных
величин. К таким характеристикам относятся начальные и центральные моменты.
Пусть имеется неслучайная функция системы двух случайных величин Х\ и Х2,
которую обозначим через У¥(Х{,Х2).
Операцией МО функции У¥(Х{,Х2) системы двух случайных величин Х\ и Х2
называется двухкратный интеграл от произведения указанной функции на ДЗР
/х(*1>хг)
M[^(X1,X2)]=ff^(X1,X2)/x(xl^2)^l^2.
(5.10)
Воспользовавшись предыдущим определением, введем понятия смешанных
моментов.
Смешанным начальным моментом k-го порядка называется МО при
оо оо
«U = J I $%h (xl,x2)dxidx2=M[x?,x!?],
где к = к{ + к2 .
Широко применяются начальные моменты 1-го порядка, которые приводятся к
математическим ожиданиям случайных величин Х{ и Х2.
Смешанным центральным моментом к-го порядка называется величина
P*i.*2 = J J (*i ~m*.)' (^ "тх2)2 fx {x\**i)<bi<toi-
Отсюда (пусть к\ =2,к2^ 0)

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 297
\2
Р2о = J (*i ~тхх) fxx 0Ол -дисперсияa:l
Аналогично можно найти дисперсию х2.
Пусть к\ = к2 = 1. Тогда
оо оо
Рх„х2 = J J (*i~тх,)(хг~тх2)fx (*i,*2)<V*2 (5.11)
—оо—оо
-момент корреляции, или корреляционный момент двух случайных величин Хх и Х2,
который характеризует статистическую зависимость между указанными
величинами.
Таким образом, из числовых характеристик системы двух случайных величин
наибольшее употребление нашли:
Ytl\
к, = ]Ч/л:,(*« )<**<> ' = 1.2;
—оо
0ед = J (xi -«х, f fx, (*)<***. * = 1.2;
оо оо
Rxtxj = J J (xi-mxt)(xj-mxt)fx (xiiXjjdXidxj, /,; = 1,2.
Ясно, что Rx.x =^x'. дисперсии СВ Dxx. могут рассматриваться как
частные случаи корреляционных моментов, т.е.
DX)Xi =M[(X,-mXi)(X,r-mXi)] = RXiXi, / = 1,2.
Две случайные величины Х\ и Х2 называются коррелированными, если их
корреляционный момент Rx x не равен нулю. Наоборот, две случайные величины Х\ и Х2
называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю:
Rxx =0.
Часто вместо корреляционных моментов рассматривают коэффициенты
корреляции, определяемые соотношением
г =r Rxi*2 - R)CxXl - R)CxXl
ххх2 х2хх
4Rxxxx *х2х2 V^W^A a*i G*2
Корреляционный момент, определяемый формулой (5.11), является
характеристикой не только зависимости СВ х{ и Xj, но и их рассеивания [87]. Величина R при
одной и той же степени связи величин х( и Xj будет различной в зависимости от
того, какими будут отклонения этих величин от своих математических ожиданий -
большими или малыми [87].
Коэффициенты же корреляции характеризуют статистическую зависимость в
«чистом» виде.
Коэффициенты корреляции являются безразмерными величинами, поэтому они
удобны в качестве характеристик степени некоррелированности случайных величин.
Отметим одно важное свойство корреляционного момента [87]:
Г*1 *2 I ~ \IRX\ *1 R*2 *2 = 4^Х\ Х1 ^Х2 Х2 f

298 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
или
\R
ххх.
^ ах, Gx
Это свойство применительно к коэффициенту корреляции rx х записывается так
'Хх*1
<1, или ±гхх <1.
Коэффициент корреляции rx x определяет степень и характер коррелированно-
сти случайных величин Хх и Х2. Если коэффициент корреляции rXj х^ равен нулю, то
случайные величины являются некоррелированными.
Если абсолютное значение коэффициента корреляции равно единице, то
случайные величины Х\ и Х2 являются полностью коррелированными {связаны линейной
зависимостью).
Значение коэффициента корреляции определяет степень коррелированности
случайных величин. Знак коэффициента корреляции определяет характер связанности
случайных величин. Положительное значение коэффициента корреляции означает,
что при отклонении случайной величины хх от ее математического ожидания
случайная величина Х2 будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего МО
по знаку в ту же сторону, что и СВ X,. При этом эта тенденция будет проявляться
тем сильнее, чем ближе к единице будет значение rXj х^.
Наоборот, отрицательное значение гх х будет означать, что при отклонении СВ
Х{ от ее математического ожидания СВ Х2 будет иметь в среднем тенденцию к
отклонению от своего МО по знаку в другую сторону по сравнению со случайной
величиной Хх. Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к (- 1) будет
значение г^.
Действительно,
_M[(Xx-mXi)(x2-mXi)]
%х2 -"
Поэтому, если rX{ Xi > 0, то
ах, <*х2
M[(X^mXi)(x2-mXi)]>0.
Отсюда получаем, что при rXj Xi > 0 в среднем знаки отклонений X, - тХ| и
Х2 -Щ2 одинаковы. Если же гХ{ Х2 < 0, то
м[(х,-тХ1)(х2-/пХ2)]<0,
и в среднем знаки отклонений Xx-mXi и Хг-тХг различны.
Отметим одно важное обстоятельство: коэффициент корреляции гзд
характеризует степень тесноты линейной статистической зависимости между СВ Хх и Х2, т.е.
такой зависимости, когда при возрастании одной из них другая имеет тенденцию
возрастать или убывать в среднем по линейному закону (рис. 5.29 и 5.30) (в общем
случае равенство нулю корреляционного момента не означает независимости СВ,
однако для нашего изложения эти случаи интереса не представляют) [87,126].

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация
299
°0
о 9*
о
>о
о с/*
р/^ о
о
Х2
х,
о
°Х
*оХ2
Рис. 5.29. К пояснению положительной
корреляции между двумя случайными
величинами Х\ и Х2
Рис. 5.30. К пояснению отрицательной
корреляции между двумя случайными
величинами Х\ и Х2
Соотнесем все рассуждения к СФ Х(г), представленной на рис. 5.31.
Сечения СФ при t = tu t = t2> ..., tn породили СВ Хь Х2, Х3, ..., Хп, ..., являющиеся
значениями СФ. Найдем корреляционные моменты между СВ Xi и СВ Хь Х2,..., Хп; в
результате получим строчку корреляционных моментов:
R
х, х{ t Rxt х2' ^х,х31 Rx^xA '•••» *х. х,, »•••»**
, апСО
Рис. 5.31. Случайная функция Af(l)
Аналогично найдем корреляционные моменты между СВ Х2 и случайными
величинами Хи Х2, Х3,..., Хп; результат имеет вид
Rx2 х,» Rx2 x2 > Rx2 хъ»^х2 хА»• • •»^х2 хп' • • •»^х2 хп •
Продолжая аналогичные рассуждения, найдем корреляционные моменты между
случайной величиной Хп и случайными величинами Хь Х2,..., Х„; запишем результат
R-Y У > **У У > **У У » **У У »#»»>**Y У »»##»**У Y •
лпл1 лпл2 лпл3 ллл4 лпл11 лпли
Запишем всю совокупность корреляционных моментов в виде матрицы:
(Я
1V*1
Rxn
Xi
Xi
x,
lxxx
Rx2
Rx.
x2
x2
x2
"X{
Rx2
Rxn
Хг
Хъ
Хъ
R
xxxn
R
x2xn
R
xnxn
•Rxx^t^R^JJ^lX^^n.
Эта матрица симметрична относительно диагонали, т.к.
RXX [ti'tj ) = RXiXj ~ RXjX{ = RXX \tjJi )•

3UU Анализ и статистическая динамика и А У. часть i
Корреляционная матрица дает информацию о корреляционных моментах лишь
для значений СФ при дискретных значениях аргумента
г = г1э* = г2,/ = /3,...,* = *„,....
А теперь возьмем любые два произвольных сечения СФ X(t) (в отличие от случая,
когда мы брали сечения при t = t\, t2, h, ...) при непрерывном времени t. В этом
случае система «столбиков», порожденная матрицей R, превратится в поверхность
Rxxi^'h)* причем ^£[0,7] и /2€[0,Г]. Эта поверхность представлена на
рис. 5.32.
Rxxifu t2)
/w^ Vl=,2
Рис. 5.32. Графическое изображение корреляционной функции случайного процесса X(t)
Дадим определение. Корреляционная функция СФ X(t) в области ее
существования представляет собой совокупность корреляционных моментов двух СВ X(t\) и
X(t2), равных случайной функции X(t) при аргументах t\ и t2, где значения t\ и t2
представляют собой любые сечения всех текущих возможных значений аргумента t
случайной функции.
Таким образом, согласно определению
/?xx(r1,r2) = M[(x(/l)-mx(r1))(X(r2)-mx(/2))].
Корреляционная функция Rxx(h>h) может быть выражена через двумерный
дифференциальный закон распределения fx (jq,x2,t{,t2):
оо оо
Rxx (h>h)= J J (^i ~mx Ы)(*2 -^дг (h))fx (хиЬ^^сЬс^.
} —OO—OO
/
Ha pkcl 5.25. представлены сигналы X(t),Y(t) и Z(t). Их корреляционные
функции для фиксированных значений Ц представлены на рис. 5.33 [87].
Свойства корреляционной функции:
1). Имеем две зависимости:
оо
Dxx{t)= \{х-тх{$ fx{x,t)<bc,
оо оо
Rxx (hh)= J J (*i ~mx (h))(*2 ~mx {h))fx {x^^t^dx^.
—OO —OO
Из сравнения последних выражений видно, что если аргументы КФ
(корреляционной функции) равны между собой, т.е. t\ = t2 = г, то RxxiU t) = Dxx(t) (рис. 5.34, а).

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 301
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристики СФ
отпадает, поэтому в качестве основных характеристик СФ достаточно
рассматривать ее МО и КФ.
СФ, у которой МО зависит от времени, а корреляционная функция зависит от
двух аргументов t\ и t2, называется нестационарной.
*хх(*|иЛ)
1
*A*i)
D(t[)
Щ)
Rzz
—*—-^.
^Knfo'A)
Rztil"J2)
RrAt\'\t2)
Рис. 5.33. Дисперсия D(t) случайных функций X(t),Y(t) и Z(t) (рис. 5.25) и их корреляционные
функции Rxx (ti'h) 9 Ryr (ti'h) и Rzz(h'h) при двух значениях /,' и t{ аргумента tx:
D(t[) и D(r() - значения дисперсии D{t) при t=t{ и / = /f; Rxx (K'h) * Rrr (ti'h) u Rzzi^h)
- значения корреляционных функций R^ (t{j2) ♦ Ryy {h*h) u Rzz (h>h) nPu *= *\ »
Rxx i?\*h ) • ^it (*\*1г) u Rzz (*\**2) ~ значения тех лее функций при t = t"
2). Так как корреляционный момент двух СВ X(tx) и X(t2) не зависит от
последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то КФ симметрична
относительно своих аргументов, т.е. (рис. 5.34, б)
Rxx {h'h)-Rxx (*2>O-
Rxxih.h) '
i>xx(t) = Rxx(ti>h)\tl^,
1 1
\
B =
R(A
R(U
to.*)
) = R(B)
,h) = R(hA)
X
t{ = t2
= /
6
*
\
h
RxxiUA)
\
Rxxit2A)\
h
Rxxituh)
RxxitiJi)
U = t2=t
(tiji) (ht2) *i = h=t
Рис. 534. К определению свойств корреляционной функции в случаях:
a-nput^^^t Rxx(h'*2) = Dxx0y.6- R^ (r,,/2)= R^^);
«- Rxx (h>h) = Rxx (h>h);^- \Rxx (h>h)|^>jRxx('iA)Rxx{h>h)

302
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Если изобразить R^ (tx,t2) B виДе поверхности (рис. 5.34, а), то эта поверхность
симметрична относительно плоскости, перпендикулярной к координатной
плоскости ti0t2 и проходящей через биссектрису угла tfit2.
3). Значение корреляционной функции в любой точке (tu t2) не может
превосходить по модулю среднее геометрическое ее значений на главной диагонали в точках
ее пересечения с прямыми, проведенными из данной точки параллельно осям (t\, t2)
(рис. 5.34, г).
4). Пусть Y(t) = (f>(t)X(t), тогда
%(г„г2) = ф(г1)ф(г2)^(г1,г2).
Когда имеет место система случайных функций, используется понятие взаимной
функции корреляции. Она определяется формулой
оо оо
ЯХ/Х, ('..'2)= J J (*i -mXl (h))(4 -mx. (t2))fx (x^xi^dx^, (5.12)
—oo—oo
где fx (*i\*2,'i''2) ~ смешанный двумерный закон распределения случайных
функций ХДг) и Xj(t).
Случайные функции называются коррелированными, если их взаимная
корреляционная функция не равна тождественно нулю. Случайные функции, взаимная
корреляционная функция которых тождественно равна нулю, называются
некоррелированными.
5.2.3. Стационарные и эргодические случайные сигналы
СФ, имеющая нулевое математическое ожидание, называется центрированной и
обозначается X(i).
СФ X(f) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое
ожидание постоянно, а КФ зависит только от разности аргументов x = t2-t{
(рис. 5.35, а)
mx(t) = mx =const; Rxx{h*h) = Rxx{h-h) = Rxx(*)-
X{t)
0
_±rny(t)
0 б t
Рис. 5.35. Стационарный X(t) (а) и нестационарный Y(t) (б) (для сравнения) случайный сигнал

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 303
Дисперсия стационарной СФ согласно формуле D^ (f) = #xx ('i»*2)| равна
Dxx = R\x {h ~h)\ _ _ = ^xx (0)* Следовательно, дисперсия стационарной СФ
постоянна и равна значению КФ в начале координат.
На основании свойства симметрии КФ можно записать
&хх (t\*h) = Rxx ('2 -h) = *xx ('1 -h) = *xx (*) = *» (-*).
где x = r2 -tx.
Таким образом, КФ стационарного СП является четной функцией (рис. 5.35, б).
Поскольку справедлива формула
то для стационарных СФ можно записать
|*ж(ф*;а(0).
т.е. значение КФ стационарной СФ нигде не превосходит по модулю ее значения в
начале координат, т.е. дисперсии. Можно показать, что КФ непрерывной СФ также
непрерывна. Если СФ содержит периодическую составляющую, то КФ также
содержит периодическую составляющую той же частоты. .
Еще раз остановимся на физическом содержании функции R^ (т). Оно состоит в
определении вероятности того, что если СФ X(t) в момент t приняла значение Хь то в
момент времени r + т она имеет значение Х2, т.е. характеризует взаимную связь
между Х(г) и Х(г+т). Если т мало, то связь между X(t) и Х(г + т) велика, т.е. при
очень малых т вероятность того, что значение функции X (t + т) мало отличается от
значения X(t), близка к единице и близка к достоверности. По мере увеличения т
связь между значениями X(t) и X (t + т) ослабевает, они делаются взаимно
независимыми, a Rxx (т) -> 0 . Другими словами, при достаточно больших т вероятность того,
что X (г + т) будет мало отличаться от X(t) практически равна нулю.
Случайный процесс X{t) называют эргодическим, если все его статистические
свойства могут быть определены по одной единственной реализации хг (Г).
Эргодическим также молено назвать такой СП, для которого среднее значение по времени
равно средним значениям по ансамблю.
Для определения статистических характеристик можно ограничиться одним
опытом, проводимым в течение достаточно большого интервала времени, т.е.
ограничиться обработкой одной реализации вместо множества опытов, необходимых
для определения характеристик СФ, не обладающей свойствами эргодичности.
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что не всякая стационарная СФ является
эргодической.
Можно показать, что стационарная СФ эргодична, если ее КФ R^ (т)
неограниченно убывает по модулю при |т| -> <» 9 т.е. если Ve > 0 ЗТ0 такое, что
|*xx(*)|<e" Vx>rD.
Таким образом, особенно важное значение эргодическое свойство имеет для
экспериментального определения МО функции Ч^Х^)) стационарной СФ X(t),
т.к. оно дает возможность найти приближенное значение т^ не по множеству pea-

304
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
лизаций X(f), а по данным одной ее реализации на достаточно большом, но
конечном интервале времени Г, т.е. из зависимости
0
На основе использования свойства эргодичности МО и КФ стационарного СП
вычисляются по формулам
1 т
™х = J xfx (x)dx=\m^-jx(t)dr9
-оо 0
оо оо
R*xx (x)= J J (*i -шх){хг-тпх)fx (x1,x2,i)dxldx2 =
—оо—оо
1 Т-хо о
= lim Г x(t)x(t + T)dt =
г->ооГ-т Jo V
1 г~т
= lim-— J [д:(г)-шх][х(г + т)-шх]Л;
(5.13)
(5.14)
л(г)
дг(;+т)
RXY (т) = lim i ]x(f) y(f)(f + т)Л.
Уменьшение времени интегрирования в формулах и на интервал т обусловлено
тем, что второй сомножитель известен только до (t + т) < Г. (рис. 5.36, а).
Для определения #^х (т) можно воспользоваться формулой
1 тр ° °
RyyM= lim \x(t)x(t-x)dt.
Последней формулой определяется левая ветвь КФ (рис. 5.36, б).
x(t)k
(5.15)
x(t+x)
y/Vvw
^чЛллЛЧЛ^
V4,
v^^
Г-т
(
дс(г+т)
)
л/wV
х б
т
t
t
t
Рис. 5.36. К пояснению формул:
а - (5.13) и (5.14); б- (5.15)

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 305
Для взаимных корреляционных функций RXY (т) и Ryx (т) справедливо
равенство Яхт СО = *»(-*)•
В самом деле,
Лет СО = Hm-J*(r)y(f + T)A;
Г^ооГ
о
7" о
%(T)=limljJ(Oi(r + T)A.
Г-И-Г
-Зто
2т Зт
Я*у(т),/Ыт)
Д*х
-Зто -2т0у -To
\ /
\ /
> /
\ ?
Рхх
/ \
б
Рис. 5.37. График корреляционной функции Rxx (т) стационарной случайной функции X(t)
и взаимных корреляционных функций RXY (т) и Rn (тз) случайной функции ДГ(О
и её производной Y(г) = —^:
а - корреляционная функция R^ (т), б - взаимные корреляционные функции RXY (т) и Лте (т)
Введем во втором равенстве новую переменнуюг + т = Х, dt = dX, г = X-т; в
результате получим
/?w(x)=BmijJ(X-T)*(X)dX.
Теперь вернемся снова к обозначению X = г:
т^юоТ-
21 Зак. 232

306
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Сопоставляя последнее равенство с первым, видим, что
На рис. 5.38 показан возможный вид взаимнокорреляционных функций двух
процессов.
у
1
л
4
/
s
Rx,x
/
/
\
V
\
\
N
Рис. 5.38. Возможные графики взаимных корреляционных функций Rx Хк (х) и RXkX( (т)
Еще раз обратим внимание на то, что любая статистическая характеристика,
определяемая в общем случае осреднением по множеству реализаций, для эргодиче-
ских процессов с вероятностью сколь угодно близкой к единице, равна
соответствующей характеристике, определяемой осреднением по времени любой одной,
достаточно продолжительной реализации этого процесса.
Приведем некоторые примеры корреляционных функций.
Если СП содержит постоянную или периодическую составляющие, то эти же
составляющие будут иметь корреляционные функции. При практических расчетах КФ
наиболее часто аппроксимируют выражениями (рис. 5.39 и 5.40):
*« (*) = Dxe-^; Rvc (т) = Dxe-°M cos|3t.
Белый шум - это случайный процесс X(i), который характеризуется
отсутствием какой-либо взаимной статистической связи между любыми двумя
значениями Дг).
ЪМ
Рис. 5.39. График корреляционной функции
Рис. 5.40. Примерный вид корреляционной
функции процесса X{t), содержащего в своём
составе кроме случайной также н
периодическую составляющую

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 307
Яхх(т)
- (т) 0 + (х)
Рис. 5.41. Корреляционная функция белого шума
КФ белого шума равна нулю для любого т, кроме т = 0, и ее можно представить
в виде дельта-функции или практически в виде импульса достаточно малой ширины,
площадь которого равна единице (рис. 5.41).
5.2.4. Спектральная плотность стационарного случайного сигнала
Во временном представлении СП в качестве его характеристики
рассматривалась КФ.
Более наглядным является частотное представление.
Функция Sxx (со), определяемая зависимостью
Sxx(<o)~]Rxx(x)e-^dT, (5.16)
называется спектральной плотностью (СПл) стационарного СП. Тогда
оо
W-0=Kx(<oKJ<OTrfco. (5-17)
Таким образом, КФ и СПл связаны между собой парой преобразований Фурье -
прямым и обратным.
Рассмотрим физический смысл понятия СПл.
Обозначим через ^реализацию СП, определенную на [0, 7]. Тогда
Или
— I Rxx (T)e-j™dT=— I lim - \х\ (t)xT (t + x)dt e'.^dx.
Последнюю зависимость перепишем в виде
— 1 Rxx(x)e-^xdx^ lim-— f xT(t) \xT(t + >z)e-j{»xdtdT.
Тогда, поскольку e~jme+jbix = 1, получим
Sxx (со) = lim IJ- f xT {t)e^dt\xT (t + zy^dT.
-oo 0
Введем замену t + т = Ь; dx = d$, тогда
Sxx (со) = ± j *; {t)e»dt lim IJ,; (t + z)e-""*dx =
0
21*

308 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
= —lxT (t)e+j<aldt lim - \хт {b)e-iw6db. (5.18)
2п>__ ' w г->~го
*'<-^>) Ит£М+*>)
Из последней формулы имеем
$хх Н = Ит -—Хт (у<й) Хт (-jco) =
= lim ±±(РХ (<a)+JQx (<o)){Px {<*>)-jQx (<в))=- (5.19)
т^тг'пУ к } v " Г-4ООГ27С1 v ;|
Выше введены в рассмотрение функции Хт (./со) и 5ХХ (^) •
Функцию |хт(1/со)| называют спектральной функцией, или спектральной
плотностью амплитуд (амплитудной спектральной плотностью). Спектральная функция
(текущий спектр процесса Xj(t)), являющаяся преобразованием Фурье реализации
СФ X(t), определенной на промежутке [0,Г], характеризует спектральный состав
этой реализации.
В отличие от амплитудной спектральной плотности |xT(i/co)|, определяющей
плотность амплитуд на участке спектра d(u, спектральная плотность Sxx (со)
характеризует распределение мощности составляющих на интервале частот dco.
В самом деле, средняя мощность стационарного СП может быть выражена так
Pcp=ffxUt)d,.
1 о
Или, воспользовавшись равенством Парсеваля, имеем
^ т 1 1 °°
lim - f4 {t)dt = lim -— f \xT (jtof dto.
Обозначим Sxx (со) = lim \ХТ(]{Л .
Отсюда получим зависимость
J Sxx (co)d(D = ij4 (t)dt = Pcp. (5.20)
-*o l 0
Интеграл в левой части характеризует мощность во всем диапазоне частот.
Элементарная же составляющая Sxx (co)t/co = t/P определяет мощность в бесконечно
узкой полосе частот dco, а коэффициент Sxx (со) соответствует крутизне нарастания
с / \ dp
мощности по частоте Sxx (со) = —.
Из формулы (5.19) следует, что функция Sxx (со) тесно связана со спектральнь^
составом СП, характеризующим степень его неупорядоченности.

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 309
Формулы (5.18) и (5.19) являются основными формулами спектральной теории
стационарных СП, впервые математически строго разработанной А.Я. Хинчиным.
Свойства спектральной плотности:
1). СПл является вещественной четной неотрицательной функцией частоты со.
В самом деле, имеем (5.28):
оо 1 °°
Sxx И = ^ J Rxx (t)[coscot-./sinсофт = — f Rxx (x)coscoxrfT-
~ ~ (5.21)
oo 1 °°
-j— f Rxx (T)sincoTdT = — J Rxx (x)cosvndx.
—oo —oo
Из последней зависимости видно, что Sxx (со) - функция вещественная и четная,
т.к. Rxx (t)coscot - четная функция частоты со, a cos сот = cos (-сот):
SxxH = Sxx(-(u).
Неотрицательность Sxx (со) для данного класса СП следует из формулы
Sxx(<») = lim~\XT(j«>f.
Выражение для Sxx (со) можно переписать в виде
sxx (w) = - f Rxx (t)coscot di. (5.22)
n"o
2). Если Rxx (т) - монотонно убывающая функция от т, то Sxx (со) - монотонно
убывающая функция.
3). Интеграл от СПл равен дисперсии или квадрату СКО стационарной СФ.
Имеем
Rxx(*)l=0 = Dxx = ]sxX(<uyJmd(A ,
1т=0
Dxx=Gx = ]Sxx(«>)d(i>, (5.23)
—оо
т.е. дисперсия стационарной СФ пропорциональна площади, ограниченной кривой
СПл Sxx (со) и осью абсцисс.
Пример 5.1. Найти СПл СФ с корреляционной функцией Rxx (т) = Dxxe~a™ (рис. 5.42).
Имеем
2я_
~ ndx
= Rxx\}e™-j™dT + le -at-/
2" [i ' I
-J^^\^£xx. a
я a2+o)2'
Зависимость кривых КФ и СПл от значений а иллюстрируется рис. 5.42. В общем случае, чем шире
график КФ, тем уже график СПл (чем медленнее процесс, тем меньшее значение в СФ имеют высокие
частоты).

310
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
Sxj№
Dx
Rxx(*)
0 т
Рис. 5.42. Графики спектральной плотности и корреляционной функции
Положим, что КФ СП имеет вид
Найдем Sxx (со):
Имея в виду, что
*xxW = 0*s*~aMcospT.
S*x(<») = iJ Dxxe-a»oos^e-^dz.
cosPx =
получим
Отсюда следует
дует
Пусть Dxx = 40 - дисперсия, a = 0,5 с'1 - параметр затухания, Р = 2 с"1 - резонансная частота.
СПл имеет вид
Sxx И
-Л-
20
20
2я [о, 25+ (2-со)2 0,25 + (2 + со)2 j
Графики Rxx (т) и Sxx (со) представлены на рис. 5.43.
Rxx(t) <
(5.24)
-X
+(0
Рис. 5.43. Спектральная плотность и корреляционная функция случайного процесса

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 311
Часто КФ аппроксимируют зависимостью
*и(т) = Ои«"*(«*Рт+|в1пР|т|\
Тогда спектральная плотность имеет вид
( \_ а n 2P-W 2Р + Ш
Белым шумом называют стационарный СП с постоянной спектральной
плотностью Sxx (со) = 50. Так как
Rxx М = J sxx (<oyjmd(d = Soj ejmda (5.25)
и дельта-функция определяется выражением
8(т) = — lejmd(u, (5.26)
из (5.25) и (5.26) следует, что
Rxx(x) = 2nS08(x) (5.27)
есть корреляционная функция «белого» шума.
Следовательно, корреляционная функция белого шума с точностью до
постоянного множителя представляет собой дельта-функцию (рис. 5.44)
[О при т * 0;
оо при т = 0.
Rxx СО
а2
(
i
-<
)
' sxx(
i
\
т
ш)
►
о т
0
СО
о
б
со
Рис. 5.44. Графики спектральной плотности и корреляционной функции:
а) при белом шуме; б) при постоянной х- а
Из предыдущих рассуждений ясно, что дисперсия белого шума (БШ) равна <», т.е.
Dxx =°°-
Физический процесс типа «белый шум» реализовать невозможно, т.к. мощность
этого процесса должна быть бесконечно большой. БШ является удобной
математической абстракцией. При некоторых условиях в практическом диапазоне частот работы

312
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть!
реальной системы «вход» можно аппроксимировать белым шумом, что существенно
упрощает исследование (рис. 5.45).
(Obp 0)
Рис. 5.45. К пояснению понятия «белый шум»
На рис. 5.46 представлены конкретные СФ, их КФ и СПл.
Rx&)
Яхх(т)=А2
-п.^*а1т1
Sx(co) = 2ti^8(co)
со
со
«M)i
Sxx=2DxaJ(a2+(u2)
SxxW
Ях(т) = 5о5(т)
-Щ
t
i
1
i
о
0
Sx
(0))
II
3
со
\
1
1
1
\
.со
~ «О))
= (A2/2)cosc0iT
I
I
X -СО! О СО! СО
Рис. 5.46. Графики спектральных плотностей и корреляционных функций
На рис. 5.47 представлены конкретные виды КФ и соответствующие им
спектральные плотности»

Глава 5. Линейные САУ: статистический анализ и оптимальная фильтрация 313
Dxx
0
а
а.г£а-
а
а
Rxxix)
\ 5i(C0) = .
Jw2(co)
= /Ыт)
3(т)
а а
А^Ых)
7?1(т) = /Ыт)
-£>хх
L5xx(co)
0 2а 4а 6а 8а а
fSi(co) = &(<»>)
,52(0))
и/ Аз(о))
,-/
2Q 3Q 4Q 5Q 6Q
Рис. 5.47. Корреляционные функции, отличающиеся друг от друга масштабом ло оси т,
4 и соответствующие нм спектральной плотности [87]
На рис. 5.48 изображены графики нормированных корреляционных функций
спектральных плотностей.
8хх (<Ь)
%■
J\
У- % %
l
Л, 2,0
0,3/
М
0.2/
У 10/ W
^ = 0.1
-^ = 0,5
щ 20% 3(0^ 4(оо 5(0^
«О
<°Ь
2^ ЗШо 4OJ, 5^ бй^
(0^ 2(оо Зоц, 4вц, 5(0^ бо\,
Рис. 5.48. Нормированные корреляционные функции rxx(*c) = e ^coso^x и соответствующие им
нормированные спектральные плотности g^ (со)
I
Для удобства построения масштаб кривой gxx С®) ПРИ ^Ц) =^Л уменьшен в пять
раз по сравнению с масштабом других кривых gxx (ю) •
20 Зак. 232

Л4 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I
5.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ
ФУНКЦИЙ (АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ)
При решении конкретных задач исследования систем автоматического
управления необходимо получить ответ на ряд вопросов, например:
• какова вероятность того, что в любой момент времени работы системы в
установившемся режиме выходной процесс "не выйдет за пределы допустимого
диапазона [а, |3];
• каковы статистические характеристики выходного сигнала системы в рам